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V
ÉLÉMENTS
DK LA THÉORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
ITMt Paris. — Imp. GAUTHIKR-VILLARS ET ni4». quai ûf» GrandK-AuKiiMin». bb.
ÉLÉMENTS
DE LA THÉORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES
PAR
Jules TANNERT,
Suaf-])irect«ar 6^» Klud»» scienliRqiieM à l'École Normalf» supérieure.
Jules MOLK,
r
I*rufes<(eur à la Faculté des Science»
de Nancjr.
TOME I.
INTRODUCTION. - CALC1IL DIFFÉRENTIEL (!"= Partie).
# «i « *
^ 9 •*
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEUHS-UBRAIRES DE l'École polytechnique, du bureau des longitudks.
Quai des Grands-Augustins, 53.
1893
(Tou« droits rétervéi. )
• • • • • ,
« a
\
PRÉFACE.
Nous désirons, avant tout, expliquer pourquoi nous avons osé écrire un livre sur les fonctions elliptiques, si peu de temps après la publication du Traité que Ton doit à Halphen. Il va sans dire que nous n^avons point la prétention de remplacer ou d'égaler l'œuvre de ce Maître ; celle-ci est inachevée; mais la*par- tie qui reste incomplète, qui était attendue avec impatience par ceux qui aiment la Science pour elle-même et pour sa beauté propre, n'aurait pu avoir qu'un nombre restreint de lecteurs, que peuvent contenter, dans une certaine mesure, les beaux fragments publiés par M. Stieltjes : il ne nous appartient pas de compléter l'œuvre d'Halphen.
C'est un livre beaucoup plus élémentaire que nous avons tenté d'écrire; ce sont les étudiants de nos Facultés que nous avions en vue : nous avons essayé de faire un livre qui se raccordât avec l'enseignement qui leur est donné; s'ils peuvent, après nous avoir lus, traiter des applications faciles et les pousser jusqu'au bout; si quelques-uns d'entre eux complètent leurs connaissances dans le livre d'Halphen, s'ils étudient en particulier les belles applica- tions qui remplissent le second volume, s'ils se retrouvent sans peine dans les Formeln und Lehrsàtze zum Gebrauche der elliptischen Functionen que M. Schwarz publie d'après les le- çons et les notations de M. Weierstrass, s'ils lisent les Mémoires fondamentaux d'Âbel et de Jacobi, s'ils pénètrent enfin dans la riche et admirable littérature des fonctions elliptiques et prennent en particulier connaissance des recherches de Kronecker et de M. Hermite, nous aurons entièrement atteint notre but.
VI PRfiPAGB.
Il nous reste à faire connaître Tordre que nous avons suivi.
Nous avons réuni dans une Introduction les éléments de la théorie des séries et des produits infinis qui nous ont paru indis- pensables. Les propositions fondamentales de la théorie des fonc- tions d'une variable imaginaire qui se déduisent de la considéra- tion des intégrales prises entre des limites imaginaires, propositions dont nous ferons largement usage, ont été, dans cette Introduc- tion, systématiquement laissées de côté : elles sont, depuis long- temps, inscrites dans le programme de la licence es Sciences mathématiques; elles sont partout très bien enseignées et sont développées dans d'excellents livres, qui sont bien connus. On insiste souvent moins sur le rôle que jouent, dans la théorie des fonctions, les séries ordonnées suivant les puissances entières de la variable, bien que Cauchj ait mis pleinement ce rôle en lu- mière ( * ). Il nous importait surtout d'exposer avec détail quelques uns des résultats essentiels obtenus par M. Weierstrass. Cette Introduction, nous espérons que beaucoup de nos lecteurs pour- ront se dispenser de la lire en entier; mais si, dans la suite, ils ont quelque inquiétude sur la rigueur de certaines démonstrations et transformations, ils pourront y recourir.
Nous introduisons immédiatement la fonction du sous forme Je produit infini. Cette voie directe, qui est celle de M. Weier- strass, nous a paru naturelle et facile dans l'état actuel de l'en- seignement. Les propriétés essentielles de cette fonction et de celles qui en dérivent sont développées dans le présent volume. Le volume suivant contiendra la théorie des fonctions 3 et les théorèmes généraux sur les fonctions doublement périodiques, déduits pour la plupart de la proposition célèbre de M. Hermite sur la décomposition en éléments simples. Il terminera ce qui se rapporte au Calcul différentiel. Nous exposerons dans leïome III le problème de l'inversion, les théories et les procédés qui con- cernent rintégration. Enfin, dans le dernier Volume, nous déve-
(') Il y a déjà longtemps que M. Méray l'a exposé d'une façon systématique dans son Précis d^ Analyse infinitésimale et dans une suite de beaux Mémoires
PRfiPAGB. TU
Jopperons quelques applications, d'une nature élémentaire, se rapportant à des branches diverses de Ja Science.
Un des ennuis de la théorie des fonctions elliptiques est dans la richesse même des formules qu'elle comporte et que la mémoire semble incapable de fixer. Il faut pouvoir renvoyer à ces formules et les retrouver facilement ; nous avons adopté, pour les plus im- portantes, un système de numérotage auquel nous prions le i,e&- teur de vouloir bien s'accoutumer. Il les retrouvera toutes, avec leurs numéros, dans un Tableau dont la première partie paraîtra à la fin du Calcul différentiel : ce Tableau constituera comme un résumé de la Théorie et facilitera beaucoup, nous l'espérons, la lecture et l'usage de notre livre.
Les notations que nous avons adoptées au début sont, sauf quelques légères modifications sur lesquelles nous nous explique- rons tout à l'heure, celles de M. Weierstrass ; mais nous n'avons pas cru devoir nous borner aux fonctions qu'il a introduites. Ces fonctions sont, d'une part, très propres à traiter de la façon la plus simple beaucoup d'applications, beaucoup de celles, en par- ticulier, qui se rapportent à la Géométrie et à la Mécanique. D'autre part, elles se prêtent très bien, en raison même de la façon symétrique dont les périodes y figurent, à l'exposition d'un très grand nombre de propriétés, qui peuvent être regardées comme véritablement élémentaires. Il nous a donc paru qu'elles constituaient un excellent point de départ. Mais, d'un autre côté, bien des propriétés, et des plus importantes, tant en Algèbre qu'en Arithmétique, n'apparaissent que lorsqu'on sépare les pé- riodes : elles restent cachées là où les périodes sont engagées d'une façon symétrique. Là où importe cette séparation des pé- riodes, d'autres notations reprennent l'avantage. Nous avons donc cru devoir laisser une place considérable à ces fonctions de Jacobi, dont on a dit qu'elles ne joueraient plus qu'un rôle his- torique : à la vérité, ce rôle serait encore assez beau. Il ne faudrait pas s'étonner si la multiplicité des notations se trouvait être dans la nature des choses et s'il convenait d'en changer suivant les questions que l'on aborde. Il semble d'abord que cette multipli-
YIII PRÊFAGB.
cité soit une gène et un ennui, il se peut qu'elle soit une ri- chesse. Quoi qu'il en soit, nous avons mis tous nos soins à bien expliquer comment les diverses notations se raccordent les unes aux autres et à faciliter la lecture des principaux Mémoires et Traités.
C'est le désir d'une parfaite symétrie qui nous a conduits à écrire (Oi, o>2, €1)3 là où M. Weierstrass écrit co, — o)"^, to'. Cette modi- fication n'altère pas les fonctions du^ d^ </, d^ u^ d^u : elle per- met de condenser singulièrement les formules et d'en écrire une seule lorsque, autrement, il faut en écrire trois. Ce changement présente quelque inconvénient (*) : le plus grand, à nos yeux, est d'obliger à quelque attention le lecteur qui voudra se reporter diux Formeln und Lehrsàtze (^) de M. Schwarz. C'est au lecteur à juger si les raisons de symétrie, qui nous ont décidés et qui sont évidentes, étaient assez fortes pour que nous nous permis- sions de nous mettre un peu en désaccord avec cette belle publi- cation, qui présente, à tant d'égards, un caractère définitif : c'est après bien des hésitations que nous nous sommes résolus à ce léger changement.
Paris, le 29 octobre 1893.
Le lecteur, qui voulant se borner à un aperçu de la théorie et acquérir seulement les notions indispensables aux applications élémentaires des fonctions elliptiques à la Mécanique, pourra, dans la partie du Calcul diffé- rentiel contenue dans ce Volume, se dispenserdelirelesn°'96, 116, i17,ii9 et s'arrêter à la fin du n'^lSS.
(*) Voir la note de la page 202.
(') Voici le titre de l'édition française de ce Recueil : Formules et proposi- tions pour l'emploi des fonctions elliptiques, d'après des leçons et des notes manuscrites de M, K. Weierstrass.
TABLE DES MATIÈRES
DU TOME PREMIER.
INTRODUCTION.
CHAPITRE I. Des séries et produits infinis à termes constants.
Paget.
1-10. Séries et produits infinis à simple entrée i
1 1-19. Séries à double entrée i4
20-22. Produits infinis à double entrée 28
CHAPITRE II.
Des séries et des produits infinis dont les termes dépendent
d'une variable.
23-28. Définitions et premières propositions 33
29-36. Séries entières en a? ' ^o
37-50. Séries de séries entières 5t
51-60. Continuation des fonctions 74
61-64. Application aux équations différentielles linéaires 93
CHAPITRE III. Fonctions transcendantes entières.
65-69. Fonctions exponentielles et circulaires 1 01
70-76. Théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler 1 14
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
>
(!'• partik)
CHAPITRE I. Considérations générales sur les fonctions périodiques.
77-85 i33
X TABLE DBS MATIÈRES.
CHAPITRE II.
La fonction m et les fonctions qui en dériTent.
Pages.
86- 93. Les trois fonctions cru^ Ci pu* L'argument augmente de 2(t>. iSa
94-103. Premières relations entre les fonctions <ru^ ^u, pu, p' u i68
104-109. Représentation de cru par un produit infîni à simple entrée 179
HO-122. Les cofonctions r^u, r^Uf <r^u 188
123-129. Transformation linéaire des fonctions or. — Substitution aux pé- riodes primitives de périodes équivalentes ao3
130-150. Transformation d'ordre quelconque des fonctions c. — Substitu- tion aux périodes primitives de périodes nouvelles liées linéai- rement aux anciennes. 3 1 4
FIN Dl LA TABLE DES MATIERES DU TOME PREMIER.
■ •■•»
ERRATA.
Page 186, ligne i3, au lieu de — t lire —^
»•— «
ÉLÉMENTS
DE LA THEORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
INTRODUCTION.
CHAPITRE I.
DES SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS.
I. — Séries et produits infinis à simple entrée.
1. Si a désigne un nombre réel ou imaginaire, nous emploie- rons l'expression valeur absolue de a, que l'on réserve d'ordinaire au cas où a est réel, avec le sens que l'on donne habituellement, dans la théorie des nombres imaginaires, au mot module, qui a, ailleurs, des significations diverses : cette valeur absolue sera dé- signée par le symbole \a\.
Nous supposons connues les propositions élémentaires relatives aux séries à termes réels ou imaginaires, la notion de convergence absolue, la possibilité de changer l'ordre des termes dans une série absolument convergente et de grouper comme l'on veut les termes d'une pareille série, chaque groupe ne comprenant qu'un nombre fini de termes, enfin les règles relatives à l'addition et à la multiplication des séries.
T. et M. — I. I
a INTRODUCTIOn.
Nous désignerons par le symbole
an
2
11=1 la somme d'une série convergente
flf -+- aj -f- . . . -4- a^
• • • •
Nous aurons souvent à considérer des suites de termes dans lesquels V indice, qui sert à distinguer les termes, peut prendre des valeurs entières positives, nulles ou négatives : une telle suite est donnée quand on se donne la loi qui détermine chaque terme en fonction de Tindice.
Supposons essentiellement que les deux séries
a© -+- ai -\- a^ -h . . . -h a« h- . . . , o-i H- a~t -1- . . . -+- a_j| -+-...
soient absolument convergentes; nous représenterons alors par Tun ou l'autre des symboles
ii=-h«p
an
«=— • n
2;««' 2
le nombre obtenu en ajoutant les sommes de ces deux séries; c'est encore, si l'on veut, la somme de la série
«0-^- («! -+- «-1 ) -^- («1 -^- «-*) -+-...-+-(««■+- a-n) -+-...,
dont le (nn- !)**"• terme est a„ -+-«_«. On pourrait d'ailleurs grouper les termes d'une infinité de manières.
On a besoin quelquefois d'exclure de la sommation un ou plu- sieurs termes de la suite, le terme a^ par exemple : on emploie alors des signes particuliers que nous indiquerons plus tard.
Il peut être utile de faire obser\'er que la façon dont nous avons précisé la signification des précédents symboles rend incorrectes quelques expressions dont l'usage est courant et dont nous nous servirons nous-mêmes à l'occasion quand elles ne pourront causer
SÉRIES ET PRODUITS IKVimB A TERMES CONSTANTS.
aucune ambiguïté : dire que la série
2**"
est convergente ou absolument convergente semble inutile, puis- que, autrement, l'emploi du symbole serait illégitime : dire que cette série est divergente est encore plus incorrect. Dans ces fa- çons de parler, ce n'est pas à la somme de la série qu'il faut pen- ser, mais uniquement à la loi de succession des termes de la série. Pour que le langage fût irréprochable, il faudrait employer des mots différents.
2. Nous allons donner maintenant les propositions élémen- ' taires relatives aux produits infinis (*). Considérons la suite infinie
et posons
P« = (i -4- ai) (i -4- ai) . . . (i -f- an).
On aura évidemment
Pn — P»— 1 = a^Pn-j,
P/ï = 1 4- ai -f- ai Pi -4- as Pi -+-...-+- a» Pn_i,
de sorte que, n grandissant indéfiniment, !?„ tendra ou non vers une limite suivant que la série
H-ai4-aiP|-|-. ,.-\-aaPa-l-^Ctn-hl^n -4-...
sera convergente ou non, et cette limite, si elle existe, sera la somme de la série.
Si cette série est convergente, \e produit infini
(i -f- ai) (I -+- a,) . . . (i -f- a„) . . . a donc un sens et l'on peut lui donner pour valeur la somme de
(») On peut consulter sur ce sujet le Traité d* Analyse àe Cauchy et le Mé- moire de M. Weierstrass : Ueber die Théorie der analytischen Functionen {Crelle, t. 51); nous empruntons l'emploi de la série que nous nommons équi- valente à M. Mittag-Leffler {Acta mathematica, t. I, p. 3o).
4 INTRODCGTlOIf.
la série : cette série est dite équivalente au produit infini; ai, ^2, ..., an^ ... sont les termes du produit infini; i + ai, 1 + ^2, . . . , I 4- ûT/i, ... en sont les facteurs. Toutefois, afin de conserver aux produits infinis les propriétés essentielles d'un nombre limité de facteurs, nous ne laisserons pas à la notion de produit infini la généralité qui précède.
3. Avant de préciser les restrictions qui vont être apportées à cette notion, considérons le cas où chacun des termes an est réel, positif ou nul. Les nombres P|, P2, . . . , P/i, . . . sont alors posi- tifs et au moins égaux à un ; la série à termes positifs, équivalente au produit infini
I 4- ai -h aj Pi -h . . . 4- a,, Prt_i -h . . . , ne peut être convergente que si la série
«I -f- Clj -h . . . -4- O/i -1- . . .
est elle-même convergente. Réciproquement, si cette dernière sé- rie est convergente, P,i tend vers uoe limite quand n augmente indéfiniment.
En eOet, lorsque n augmente, P/i ne peut qu'augmenter; afin de prouver que P^ a une limite pour n infini, il suffit donc de prouver que P/i reste toujours inférieur à un nombre fixe. Or imaginons qu'on développe le produit
(i-t- ai ) (i -+- a,) . . . (i -h a«) et qu'on l'écrive
i 4- ai 4- aj -h . . . -4- a^ -+- ai aj -+- . . . -t- ai aj . . . a^ ;
en posant
A /j = ai -+- aj H- . . . 4- a/i
et en désignant par A la somme d<^ la série convergente
a 1 4- a2 4- ... 4- (In 4- . . . ,
on voit de suite que l'oo a
P„< I 4- ^ 4- A« ^. . ._4_ ^" < eA«< e\ I 1.2 1.2. .. /t
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 5
et la proposition est ainsi démontrée. Il est à peine utile de dire que la série équivalente au produit infini, dans laquelle la somme des n -+- 1 premiers termes est égale à P|,, est alors convergente.
Ainsi, lorsque les nombres ai, ^2, . . . , a;2> • • • sont positifs ou nuls, la condition nécessaire et suffisante pour que
P/. = (i -H ai) (i -f- a,) . . . (i -h an) ait une limite pour n infini est que la série
«1 H- «1 -+- . . . -H ûf/j -f- . . .
soit convergente. S'il en est ainsi, cette limite, qui est la valeur du produit infini
(i -f- ai) (i -h aj) . . . (i -h a„) . . . , se représente par le symbole
R=:aB
nc^-")-
n = l
4. En supposant qu'on se trouve dans les conditions précé- dentes, nous allons démontrer que la valeur du produit infini est indépendante de l'ordre de ses facteurs.
Supposons, en effet, que, en rangeant d'une façon quelconque les termes (tous positifs) de la suite
on obtienne la suite
^1 » ^î» • • • j ^1} • • • » et soit
/irrae
P = JI (> + «»).
«=1
Le produit d'autant de facteurs que l'on voudra pris, chacun une fois, parmi les nombres i -f- a;, ou i -h b„^ est inférieur à P; donc le produit infini dont le n'*"* facteur est i + bn est convergent et sa valeur est au plus égale à P. D'autre part, si l'on choisit arbi- trairement un nombre Q plus petit que P, on peut déterminer un
6 nfTROOCCTION
entier positif h tel que le produit
(i-Hai)(i-+-aî)...(i-+-a/,)
soit plus grand que Q; si la suite
61 , ^1 , . . . , bk
contient tous les termes de la suite
le produit
(n-6i)(i-h^>,)...(i4-6it)
dépassera Q; donc la valeur du produit infini
(i -+- ^>i) (IH- 62) . . . (i -+- 6rt) . . .
dépasse Q : elle est donc égale à P.
5. Supposons maintenant que ai, ^2, ...9 a/,, ... soient des nombres quelconques, réels ou imaginaires : nous dirons que le
produit infini
(i-^ai)(n-a,).. .(i-ha^»)...
est absolument cons^ergent, si la série
aj H- aj H- . . . -t- ût/i -4- . . .
est absolument convergente.
Nous allons montrer que le produit P;i des n premiers facteurs d'un produit infini absolument convergent tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Cette limite, qui est la valeur du produit infini, se représente encore parle symbole
/I = «0
nc^*»)-
n = ï
Nous montrerons,' en outre, que cette valeur ne dépend pas de Tordre des facteurs et qu'elle ne peut être nulle que si Fun des facteurs est nul. Nous emploierons d'ailleurs, pour les produits infinis comme pour les séries, les mêmes expressions incor- rectes (n^l) consacrées par l'usage.
8£RIBS BT produits nVFDriS A TERMES CONSTANTS. 7
6. Faisons d'abord la remarque suivante : Si, dans un poly- nôme entier en ai, aQ, • . . , a/i, à coefficients réels et positifs, on remplace ai, ^2, . . . , a,i par leurs valeurs absolues, on obtiendra la somme des valeurs absolues des termes de ce polynôme, et cette somme sera supérieure ou égale à la valeur absolue du po- lynôme. Or le polynôme
I -+- «1 -+- a j H- . . . H- a» -^ fli <ïj -h . . . H- «1 ûtj . . . a» ,
que l'on obtient en effectuant le développement de P/,, a ses coef- ficients positifs : de même, si m désigne un entier plus grand que n, on voit de suite que le développement effectué de P/„ contient, outre les termes qui figurent dans ?«, d'autres termes à coefficients positifs; il en résulte que, si l'on regarde P|» — P/, comme un polynôme développé et réduit, les coefficients de ce polynôme seront positifs. De là résultent les conséquences sui- vantes :
Si l'on désigne en général par P^ le résultat obtenu en rempla- çant, dans P;,, ai, a^^ ..., an par leurs valeurs absolues, on aura
P;è|Pn|, Pm-P;è|P«-P«| (/«>/i);
il esta peine utile de dire que P^ — P^ est positif ou nul. Des inégalités analogues ont évidemment lieu, si l'on considère, à la place de P;„, P;,, des produits formés avec un nombre fini de fac- teurs pris dans le produit infini, mais qui ne sont pas les premiers facteurs de ce produit, pourvu que la première expression con- tienne tous les facteurs qui figurent dans la seconde.
Ceci posé, puisqu'on suppose convergente la série à termes po- sitifs ou nuls
11 = 00
11 = 1
2
le produit infini, à termes positifs ou nuls,
n^ ep
II('-<-l««l)
« = 1
est convergent : soit P' sa valeur. Puisque P^ admet une limite pour n infini, à chaque nombre positifs correspond un entier po-
8 INTBODUCTION.
sitif />, tel que Ton ait
p;.-p;<e
sous les seules condîtioDS
on en conclut, d'après la remarque précédente, que, sous les
mêmes conditions, on a
P|i-Pv|<e
et, par conséquent, P^ admet une limite pour n infini. C^est la première des propositions annoncées.
7. Cette limite est indépendante de Tordre des facteurs.
Supposons en effet que, en rangeant autrement les termes de la suite ai, a^j ..., an^ ..., on obtienne la suite 6{, 62, ...< 6;,, .... Le produit infini
R:=ap
JI(' + |6-.|)
n=\
sera convergent et aura pour valeur P' (n° 4) ; désignons en général par Q'^ le produit de ses n premiers facteurs et par Q^ le produit des n premiers facteurs du produit infini
n =
ne--*-).
n-l
produit infini qui est absolument convergent puisque la série
11 = ae
2iM
n = l
est convergente, et dont il faut montrer que la valeur est égale à celle du produit infini
n = «
no-*-"»)-
n-X
Puisque les deux produits infinis
fi = flR nssto
JI(n-|a»|), IJO + I*»!)
«=1 «=1
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 9
ont la même valeur, on peut faire correspondre à chaque nombre positif £ un entier positif/? tel que Ton ait
iQ'ii-p;i<s
sous les seules conditions u >/>, v >•/>. Or si l'on suppose [x assez grand pour que tous les facteurs qui figurent dans P'y figurent aussi dans Qj^^, on aura, d'après une remarque antérieure,
iQi.-Pv|<q;.-p;
et, par suite,
|Q|A-Pv|<e.
Si donc Ton fait croître [Ji indéfiniment, on aura, en désignant par Q la limite de Q^ pour [x infini,
IQ-PvISe, et enfin, en faisant croître v indéfiniment,
IQ-P|^£.
C'est ce qu'il fallait démontrer. 8. Il reste enfin à prouver que, si la série
/l = ae
2i«»i
n-l
est convergente, le produit infini
n =:dp
P = U(i-i-a«)
n = l
ne peut être nul que si l'un de ses facteurs est nul. Supposons d'abord que l'on ait, quel que soit /t,
|a«|< i;
nous allons montrer que P ne peut être nul. On a, en effet, en conservant toujours les mêmes notations,
P» \ i + at/V i-t-ai/ \ n-a„/'
lO niTROBCCTION.
d'ailleurs le produit infini
M=:(
n(-7^)
est absolument convergent : en effet, les séries à termes positifs
sont convergentes en même temps, puisque le rapport des termes de rang n dans ces deux séries est 1 1 -f- a^ |, quantité qui a pour limite l'unité quand n augmente indéfiniment. Il résulte de là que le produit des n premiers facteurs de ce produit infini tend vers une limite; par conséquent, P^ tend vers une limite qui n!est pas nulle; c'est ce qu'il fallait établir.
Ne faisons maintenant aucune restriction sur les facteurs i + ez/i, en supposant toujours convergente la série
n=:«
n = l
Si l'on suppose m >• n, on a évidemment
Pm = (i-^ai)(n-a,)...(i4-art)x (i -+- a„4-i)(i-H aa^-j). . .(i4-a;„), d'où, en faisant grandir m indéfiniment,
V = «p
P = (i 4- ai) (iH- a,) ... (i -+- aa) JJ[(i -f- a^+v);
v = i
or, puisque l'on a
lim. au, = o,
flrrao
on peut prendre n assez grand pour que l'on ait, quel que soit v,
f a«+v |< I ; dès lors le produit infini
V = «o
JJ(i4-a«+v)
v=i
SÉRIES BT PRODUITS I1IFIHI9 A TERMES CONSTANTS. M
aura une valeur différente de zéro ; P ne pourra donc être nul que
si le produit
(i -f- ai ) (i -f- aj) . . . (i -4- a»)
est nul, et, par conséquent, si l'un des facteurs
est nul. C'est ce qu'il fallait démontrer.
9. Nous ajouterons encore la remarque suivante, relative à la possibilité de grouper les facteurs d'un produit infini absolument convergent.
Tout d'abord, si ai, a2) • . . , ^/i, . . . sont des nombres positifs ou nuls, on aperçoit immédiatement la vérité de la proposition suivante :
Soient /11, /i2, ..., np, ... des entiers positifs croissants; po- sons
( 1 4- «1 ) (ï -h a, ) . . . (i -f- a„, ) = I -f- 61 ,
(i-+-ai,,+i)(i-f-an,+ï) ... (i-f-a„,) = i-f-6,,
(i-^anp_,+i)(i-Ha„^_,+i) ... (i-Ha„^) = i4-6p,
Si le produit infini
A = CO
n = l
est convergent, il en sera de même du produit infini
p=l
et les deux produits infinis auront la même valeur. C'est une con- séquence immédiate des définitions. Supposons ensuite que le produit infini
n = m>
!!('+«-)
n = l
soit absolument convergent, les nombres ai, a2, •• •; dtn
IQ INTRODUCTION.
étant d^ailleurs réels ou imaginaires, et désignons par i-|-B|,
1 -h Bq, . • . , I + Bp, ... ce que deviennent les premiers membres
des égalités qui définissent i + 6i ; i + ^29 • • • 9 i + ^/^ • • • quand
on y remplace ai , ^2, • • • , Gnp^ • • • par leurs valeurs absolues.
L'égalité
6| = ai + as + ... -+• a«j -+- ai ai -+- ...
et les égalités analogues montrent que Ton a
Ba^li'al (a = i,a, ...). Le produit infini
p=zl
étant convergent par bypotbèse, il en sera de même, en vertu de ce qui a été établi plus haut, du produit infini
la convergence de la série
/} = OB
1^ = 1
c|ui résulte de la convergence du produit infini précédent, entraîne la convergence de la série
p=z«
p=l
on voit donc d'abord que le produit infini
n--*'^'
p=i
est absolument convergent. Mais il est manifeste que le produit des p premiers facteurs de ce produit infini, qui est formé des rip premiers facteurs du produit infini
n=ra
n^'-^«-)>
/i=i
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. l3
De peul avoir d'autre limite que la valeur de ce dernier produit infini; on peut donc, dans ce produit infini, grouper les facteurs comme il a été expliqué. D'ailleurs, puisque, dans un produit in- fini absolument convergent, on peut changer Tordre des facteurs, on voit que le groupement des facteurs peut être fait d'une façon arbitraire, pourvu que chaque groupe ne contienne qu'un nombre limité de facteurs.
10. Ainsi les propriétés essentielles des produits d'un nombre limité de facteurs se conservent dans les produits infinis absolu- ment convergents. Il n'en est pas de même des produits infinis qui ne sont pas absolument convergents. C'est pourquoi nous ne con- sidérerons ici que des produits infinis absolument convergents et c'est là la restriction que nous avons annoncée.
Nous adopterons pour les produits infinis absolument conver- gents des notations analogues à celles que nous avons adoptées pour les séries. Ainsi, si les deux séries
a© H- ûti -f- Oj -h . . . -4- a« -+-..., a_i -f- a_j -}-...-+- a—n -r- . . .
sont absolument convergentes, nous représenterons parle symbole
J|J[(î -+-««)
A
le produit des valeurs des deux produits infinis
nss.9» /i = «0
JJ(n-a/i), JJ(i + a-«);
on aura d'ailleurs
n = «
JJ (i -+- an) = (i-H «o) JJ [(i -+- an) (i -H «-«)]
«=1
et l'on pourrait adopter une infinité d'autres modes de groupement des facteurs.
l4 INTRODUCTION.
II. — Séries à double entrée.
11. Nous avons considéré jusqu'ici des suites
de nombres qui dépendent uniquement d'un indice, chaque indice indiquant le rang que le nombre qui en dépend occupe dans la suite : nous allons maintenant considérer des ensembles infinis de nombres dont chacun dépend de deux indices ; un quelconque de ces nom- bres sera représenté, par exemple, par le symbole aa,p, a, p étant des nombres entiers. Donner un pareil ensemble, c'est donner la loi qui détermine un terme quelconque lorsque l'on connaît ses deux indices et leur ordre. On peut d'ailleurs supposer, sur les indices a, ^, qu'ils peuvent prendre indépendamment toutes les valeurs entières et positives, ou toutes les valeurs entières posi- tives, nulles ou négatives; on peut aussi supposer que l'un d'eux ne prend qu'un nombre fini de valeurs, ou encore convenir d'ex- clure telles combinaisons d'indices que l'on voudra, d'après une loi arbitraire.
Si l'on imagine un plan indéfini décomposé en carrés par des parallèles à deux axes rectangulaires, distantes de l'unité de lon- gueur, de telle façon, par exemple, que le centre de l'un des carrés soit à l'origine et que les coordonnées de tous les autres centres soient deux quelconques des nombres o, dz i, =h 2, dr 3, ... ; on peut inscrire chaque nombre «a^p dans celui des carrés dont le centre a pour abscisse a et pour ordonnée P; on aura ainsi con- stitué un tableau à double entrée; des cases en nombre fini ou infini peuvent d'ailleurs rester vides.
12. Il convient tout d'abord de remarquer qu'un tableau à double entrée ne constitue pas quelque chose d'essentiellement distinct d'une suite indéfinie de nombres rangés linéairement, ou dont chacun ne dépend que d'un indice (*). En d'autres termes, étant donné un tableau à double entrée de nombres aa,p7 on peut en ranger les éléments dans une suite linéaire 6|, 62? • • • > */;? - • •
(*) C'est là un cas particulier de propositions générales développées par M. Cantor.
SÉRIES ET PRODUITS IKFlinS A TERMES CONSTANTS. l5
de telle façon qu'on puisse trouver pour chaque élément a^^p du tableau le terme bn qui lui est égal et réciproquement.
Considérons, en effet, les divers systèmes (*) non exclus de deux nombres entiers (a, ^); nous allons montrer qu'on peut établir entre ces systèmes et les nombres entiers positifs 1,2,..., n, ... une correspondance telle que, à chaque système, corresponde un entier positif et ijn seul et que, à chaque nombre entier positif, corresponde un système non exclu et un seul ; une correspondance satisfaisant à ces conditions est dite unwoque et réciproque. Cette correspondance établie, il suffira de convenir que l'on a
toutes les fois que le système (a, p) et l'entier positif n se cor- respondent, pour avoir transformé le tableau à double entrée en une suite linéaire, ou la suite linéaire en un tableau à double entrée.
Quant à la possibilité d'établir une telle correspondance, on la mettra en évidence, si l'on veut, comme il suit.
Essayant de ranger sur une même ligne tous les systèmes diffé- rents non exclus, on conviendra, par exemple, de placer sur cette ligne ie système (oc, P) avant le système (a', P') si la somme des valeurs absolues des nombres a, ^ est inférieure à la somme des valeurs absolues des nombres a', ^'; il ne restera plus alors qu'à indiquer comment on range sur cette ligne ceux des systèmes non exclus pour lesquels la somme des valeurs absolues des nombres qui les composent est égale à un nombre entier positif donné N. Or ces systèmes sont en nombre évidemment fini, et Ton pourra adopter pour les ranger telle loi que l'on voudra; en supposant, par exemple, que l'on ait
on pourra convenir de placer le système (a, |3) avant le système (a', P') si la première des différences a' — a, P' — p qui n'est pas nulle est positive. Dès lors tous les systèmes possibles sont rangés
(*) Nous entendons par système de deux nombres l'ensemble de ces deux nombres, ensemble dans lequel il faut tenir compte de l'ordre de ces nombres. Deux systèmes de deux nombres sont identiques si les éléments de ces systèmes sont les mêmes et sont rangés dans le même ordre.
l6 ■ INTRODUCTION.
(l'une façon déterminée; d'abord vient le système (o, o) s'il n'est pas exclu, puis les systèmes ( — i, o), (o, — i), (o, i), (i, o), puis ceux pour lesquels la somme des valeurs absolues des éléments est égale à deux, puis les systèmes pour lesquels cette somme est égale à trois, etc. ; il suffit maintenant de faire correspondre chaque système à son rang dans la suite linéaire ainsi formée pour réaliser la correspondance univoque et réciproque d^nt il a été parlé plus haut.
On voit tout ce qu'il y a d'arbitraire dans la façon dont on a établi cette correspondance et il est manifeste qu'elle aurait pu être établie d'une infinité d'autres façons. En particulier, la représen- tation géométrique qui a été décrite précédemment fournit aisé- ment des moyens de réaliser cette correspondance ou, ce qui revient au même, de désigner sans ambiguïté^ chaque case du tableau par un seul entier positif au lieu de la désigner par les deux entiers ol, p qui sont les coordonnées de son centre; on donnera, par exemple, le n^ I à la case (o, o) qui contient l'origine ; puis, tournant une première fois autour de cette case à partir du carré qui a son centre sur la partie positive de l'axe des x, on afTectera des n"" 2, 3, 4/ :>, 6, 7, 8, 9 les huit cases (1, o), (i, 1), (o, i), (—1, i), (—1, o), ( — I, — i), (o, — Oî ('î — 0» puis, tournant une seconde fois autour des cases précédentes, on donnera les n^' 10, 11, ...,25 aux seize cases (2,0), (2, i), . . ., (2, — i). On continuera de la même façon ; au r**"™* tour on affectera des n°*
(ar — i)«-+-i, (ar — i)*H-2, ..., (ar-M)*,
les 8r cases que l'on rencontre.
Dans tous les ensembles de nombres aa, p que nous consi- dérons, nous supposerons toujours, pour simplifier le langage, que les indices a, ^ puissent prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, sans exclusion. On devra alors poser aa^p= o quand le système particulier (a, p) est exclu, ou bien, si l'on préfère ne pas introduire ces termes nuls, on supprimera, dans les sommations dont il va être question, les termes ârgt^p qui correspondent aux systèmes d'indices (a, p) exclus.
13. Soit donc un ensemble de nombres ûra,P' Supposons qu'on ait adopté entre les divers systèmes (a, p) formés avec deux nombres
SÉRIES ET PRODUITS IXFINIS A TERMES CONSTANTS. 17
entiers positifs, nuls ou négatifs et les nombres entiers positifs i, 2, . . ., /i, ... une correspondance univoque et réciproque telle que l'une de celles qui ont été décrites plus haut, puis que l'on fasse
toutes les fois que le système (a, p) et le nombre n se correspon- dent; alors la suite linéaire
contiendra une fois chacun des nombres ««^p et ne contiendra pas d'autres nombres.
Inversement, étant donnée une pareille suite linéaire, on peut en disposer les éléments dans un tableau à double entrée.
Supposons d'abord que tous les nombres aa,p et, par suite, tous les nombres bn soient positifs ou nuls.
On dira que ces nombres aot,p sont les termes d'une série con- vergente à double entrée, si la somme d'autant de termes que l'on veut pris parmi ces nombres, chacun n'étant pris qu'une fois, reste toujours inférieure à un nombre fixe A-, dès lors il est clair que la série à termes positifs ou nuls
^1 4- 6j -h . . . -4- 6„ -h . . ,
est convergente et que sa somme S est au plus égale à A.
Réciproquement, si cette dernière série est convergente et a pour somme S, la série à double entrée est aussi convergente, d'après la définition précédente, puisque la somme d'autant de termes que l'on veut pris dans le tableau à double entrée est inférieure à S. On peut d'ailleurs prendre, dans la suite 6« , ^2, . . ., 6/1, . . ., ou dans le tableau, assez de termes pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra, inférieur à S. 11 en résulte que la somme S est indépendante du mode spécial de correspondance que l'on a adopté entre les systèmes (a, P) et les entiers positifs n. C'est le même raisonnement que l'on emploie pour prouver que, dans une série convergente à termes positifs ou nuls, on peut intervertir l'ordre des termes; c'est, au fond, le même théorrme.
Nous dirons parfois que S est la somme de la série à double entrée.
T et M. — T. a
l8 INTRODUCTION.
a. Ceci posé, on va prouver les propositions suivantes : 1° Lrs séries à termes positifs ou nuls
P sont convergentes.
Nous rappelons, une fois pour toutes, ce qui a été dit au n** 1, qu'un pareil sjmbole désigne le nombre obtenu en ajoutant les sommes des deux séries
\ «a,o+«a,i +«a,i -^. . .-+- «a.p +
• . « )
a*» Soit
la série à termes positifs ou nuls
a
est convergente et sa somme est égale à S.
Les séries (i) sont convergentes, comme toutes celles dont les termes figurent, chacun une fois au plus, dans la suite 64, 621 • • m b„^ . . ., et leurs sommes sont, au plus, égales à S. L'emploi des
symboles ^^a, p? ^a est donc légitime : il est commode de dire
que Sol représente la somme de tous les termes du tableau à double entrée qui figurent dans une même ligne horizontale.
Soient p et q deux entiers positifs. Désignons par le sym- bole 5a, <7 la somme
P=-7
il est clair que les nombres 5^,^, tous inférieurs à S, vont en aug- mentant quand a reste fixe et que le nombre positif y va en aug-
SÉRIES ET PRODUITS LNFINIS A TERMES CONSTANTS. 19
mentant; quand ce nombre augmente indéfiniment, s^^ç a pour limite s^^.
Désignons par le symbole dp^q la somme
a=-p
^Pi<i P^u^ aussi être regardé comme la somme de tous les nombres ^a, p» dans lesquels le premier indice est, en valeur absolue, infé- rieur ou égal k p et dont le second indice est, en valeur absolue, inférieur ou égal à q. Ce nombre, positif ou nul, dp^q, est donc aussi au plus égal à S, quels que soient p et q. D'ailleurs, (ip^q ne peut qu'aller en augmentant quand Fun des indices augmente; lorsque,/) restant fixe, q augmente indéfiniment, <ip^q tend donc vers une limite au plus égale à S. Cette limite n'est autre chose que la somme
Cfp =
aL=+p = 2 *«'
a = -/i
par conséquent, la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris, chacun une fois, parmi les nombres ^a, est au plus égale à S. Il en résulte que la série
a
est convergente, et que sa somme est au plus égale à S. Il est aisé de voir qu'elle est précisément égale à S, car elle dépasse tout nombre B inférieur à S. On peut prendre, en efiet, dans le ta- bleau, assez de termes pour que leur somme dépasse 6, ce qui revient à dire qu'on peut prendre p ei q assez grands pour que (ip^q dépasse B; mais la limite, pour/> infini, de rf^, ne peut pas être inférieure à (^p^q', cette limite est donc supérieure à B. On a donc, en résumé,
a =-H 00 a =+ ao / p =-4- I
01 =— eo OC -"= — ge
Il est clair que, au lieu de faire la somme Sa des termes conte-
20 INTRODUCTION.
nus dans chaque ligne horizontale, puis la somme
a=— •
de toutes ces sommes partielles, on aurait pu aussi bien faire la somme de tous les termes contenus dans chaque ligne verticale, puis la somme de toutes les sommes partielles ainsi obtenues. En d'autres termes, on a aussi
P= 00 \ Ot = — «B /
On écrit souvent, d'une façon plus abrégée,
en n'indiquant pas l'ordre dans lequel s'effectuent les somma- tions.
Réciproquement, si, étant donné le tableau de termes positifs
ou nuls aa,p, les séries 5ci=^aa,p sont convergentes, ainsi que la série ^ ^a, et que l'on désigne encore par S la somme de cette
a
dernière série, on voit de suite que la série à double entrée est convergente, parce que la somme d'autant de termes que l'on veut, pris dans le tableau, ne peut dépasser S; alors la série
bi-h 6j -f- . . . -t- 6/t -I- . . .
est forcément convergente. Sa somme est donc égale à S, d'après le théorème qui vient d'être démontré.
15. Plaçons-nous maintenant dans le cas général où les nom- bres «a^p sont quelconques, réels ou imaginaires.
On dira que la série à double entrée, dont les termes sont «a^p? est absolument convergentCj si la série à termes positifs ou nuls, dont les termes sont | «a,p|) est convergente.
SÉRIES ET PRODUITS INFLMS A TERMES CONSTANTS. 21
Supposons qu'il en soit ainsi ; la sdrie
^1 -H ^2 -^ • • • -*- ^/i -H • • • î
dont les termes sont toujours les nombres a^^^ rangés dans une suite linéaire, est alors absolument convergente. Désignons-en encore la somme par S, et soit S' la somme de la série à termes
positifs ou nuls
|6,|-+-|62|-T-...-+-|6„|-H...,
On a alors les théorèmes suivants : I ® Les séries
p
sont absolument convergentes.
Cela résulte immédiatement de ce que Ton a démontré, dans le numéro précédent, que les séries
2 '"*«'?
sont convergentes. ?.^ Soit
P
la série
2
a
est absolument convergente, et sa somme est égale à S.
Si Ton pose, en effet, p et q désignant toujours des nombres entiers positifs quelconques,
P=-7 P=-'7
^P
a=— /? CL——p
22 INTRODUCTION.
il est clair que Ton aura, pour chaque enlier posilif /> et chaque entier positif y,
d'ailleurs s^. est la limite, pour q infini, de 5a,^. Si donc on dé- signe par s^ la limite, pour q infini, de ^^,v' ^^ ^mv^l nécessaire- ment
Mais, d'après le paragraphe précédent, la série à termes positifs ou nuls
2
s'u
est convergente; donc la série
a
est absolument convergente. Il reste à prouver que sa somme est égale à S.
Or si, après avoir choisi les entiers positifs p et y, on choisit l'entier positif m, supérieur à tous les entiers positifs qui corres- pondent à ceux des systèmes (a, P) pour lesquels on a .
il est clair que la différence
ne sera autre chose que la somme d'un certain nombre de termes du tableau a^, p; on aura donc
le second membre étant, de lui-même, positif ou nul. Faisons croître m indéfiniment; cette inégalité ayant toujours lieu, on en déduira
si l'on fait ensuite croître q indéfiniment, dp^q et rf' tendront
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 2.3
respectivement vers leurs limites
OL=-^p iX--\-p
0.=:— p 0L::=— p
et l'on aura donc
|S~o'^|<S'-a';.
Mais, lorsque p augmente indéfiniment, (i' a pour limite S'; il faut donc que (^p ait pour limite S. En d'autres termes, on a
Il est à peine utile de faire observer que Ton pourrait effectuer les sommations partielles par lignes verticales, au lieu de les efl*ec- luer par lignes horizontales, et encore d'une infinité d'autres ma- nières, en raison de ce que la correspondance entre les sys- tèmes (a, p) et les entiers positifs 1,2,...,/?,... est arbitraire, ou encore, en raison de ce que les termes de la série
^1 -h 6j 4- . . . -h 6rt -t- . . .
peuvent être rangés arbitrairement. Au fond, on est parvenu à une généralisation complète du théorème sur la possibilité de grouper arbitrairement les termes d'une série absolument convergente, la restriction que le nombre de termes contenus dans chaque groupe est fini étant supprimée : il peut y avoir un, plusieurs, une infi- nité de groupes qui soient eux-mêmes des séries.
16. Il peut être utile de faire observer que si, étant donné le tableau à double entrée ««, p, on savait que les séries
P-
sont absolument convergentes, ainsi que la série
1
on ne devrait pas en conclure que la série à double enirée dont les éléments sont | aa,p | est convergente.
24 INTRODUCTION.
17. Comme applicalion du lhéon*me général qui vient d'être démontré, signalons ce fait que, si deux séries
M, -+- «j H- . . .-t- Ma-h . . . ,
ri -h i^2 -h . . . -h i^p -h . . .
sont absolument convergentes, il en est de même de la série à double entrée dont le terme général est «/a^'p» les indices a, ^ ne pouvant prendre ici que des valeurs positives. En rangeant ensuite les termes de cette série à double entrée en une série linéaire, de façon que les termes, dans lesquels la somme des indices est la même, se suivent, on retrouve la règle ordinaire de la multiplica- tion des séries.
18. Voici une autre application très importante dans la théorie des fonctions elliptiques.
Soit
une forme du second degré dont les coefficients X, [jl, v soient réels ; supposons, de plus, que cette forme soit positis^e, c'est- à-dire que Ton ait
X > O, Xv — [Jl2 > o,
en sorte que, quelles que soient les valeurs réelles que Ton mette dans la forme à la place de ^, j", on trouve un résultat positif, sauf dans le cas où Ton ferait 5: = o, jk = o.
Nous supposerons qu'on remplace x^y par les divers systèmes de deux, nombres entiers positifs, négatifs ou nuls (a, p), en ex- cluant toutefois la corpbinaison a = o, ^ = o, et nous considé- rerons la série à double entrée dont le terme général est
(Xa2-h2|xaîi-hvp»)A''
cherchons pour quelles valeurs du nombre positif/? cette série est convergente.
Pour faire correspondre les systèmes de nombres entiers (a, P) aux nombres 1 , 2, . . . , /i, . . . , nous adopterons l'un des procédés expliqués au n" 12, et qui consiste essentiellement à ranger, sur une même ligne horizontale, les systèmes (ot, P) pour lesquels
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 25
on a
(I) |a|^|?| = m,
m étant un enlier positif. LVquation
admet m -j- i solutions distinctes où x^ y sont des nombres en- tiers, positifs ou nuis : en tenant compte de ce que les systèmes (a, ^), ( — a, ^3) ne sont distincts que si a est différent de zéro, on en déduit que Téquation (i) admet ^m solutions distinctes. Ceci posé, la suite linéaire des quantités (ot, ^) sera formée en plaçant d'abord les quatre systèmes pour lesquels |a| + |P| est égal à un, puis les huit systèmes pour lesquels la même quantité est égale à deux, ... ; de cette façon, le tableau à double entrée est remplacé par une série linéaire à termes positifs ; cette dernière série sera convergente ou divergente en même temps que la série dont on obtient le m**™* terme c», en réunissant dans un même groupe les 4 m termes de ia série primitive pour lesquels | a | -f- 1 p | est égal à m. Nous allons évaluer des limites supérieures et inférieures de Cm- On a
V ' ' V
désignons par g le plus petit des nombres positifs
Xv — fx' Xv — fx'
et par h le plus grand des nombres X, | [x|, v ; on aura, en suppo- sant
et eu remarquant que l'un des nombres a, ^ est en valeur absolue
au moins égral a — 9 ° 2
Am* ^ Xa» -i- 2 [xa^ -h v^* > gm^ ;
26 INTRODUCTION.
par suite
4^1 ^ ^ km
■ < Cw ^
gPm^P '" ^ hPni^P
Or la série
n = ao
y-
11 = 1
est convergente quand on a r > i , divergente quand on a r^ i ^ la série dont le terme général est Cm. sera donc convergente quand on aura 2/? — ' > ï ) ou /? >• i , divergente quand on aura /> ^ i . Il en sera de même de la série à double entrée.
On arriverait à la même conclusion en utilisant la représen- tation géométrique décrite au n° 12 et le mode de correspondance obtenu en tournant successivement autour des cases : on réunirait alors les termes qui se suivent dans un même tour.
Ceci posé, désignons par a, a', 6, V des nombres réels quel- conques, tels cependant que aU — a' b soit différent de zéro, de sorte que, si l'on pose
A = a -h a' «, B = 6 -h 6' «,
A et B soient deux nombres quelconques soumis à cette seule restriction que leur rapport ne soit pas réel, et envisageons la série à double entrée dont le terme général est
I (aA-h PB)^'
n étant un entier positif fixe ; a et p peuvent prendre toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles à Texclusion de la combinaison a = o, ^ = o.
La valeur absolue de la quantité précédente sera
n
(Xaî-+-2[xap-}-vP»)» où l'on a posé, pour abréger,
mais alors la forme
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 27
est positive, car la quantité
Xv — ji2 = (a6'— a'^>)ï
est positive, puisque ab* — a'6 est supposé différent de zéro; nous sommes donc, pour la série des valeurs absolues des termes de la série à double entrée considérée, dans le cas précédent ; la série des valeurs absolues est convergente si l'on a
divergente dans le cas contraire.
Ainsi, sous les hypothèses précédentes, la série à double entrée dont le terme général est
est absolument convergente quand l entier n est égal ou supérieur à trois ; elle n'est pas absolument convergente pour les valeurs de n égales k un ou k deux.
19. On pourrait encore considérer des séries à entrée /^"p** dont les termes
dépendraient de p indices a, p, . . . , X. On montrerait qu'il est possible d'établir entre les systèmes de p nombres entiers
(a, p, ...,X)
et la suite des entiers positifs i, 2, . . ., /i, . . . une correspon- dance univoque et réciproque, fondée par exemple sur le fait que Téquation
OÙ m est un entier positif, n'a qu'un nombre limité de solutions ; le reste de la théorie de ces séries s'établirait comme pour les séries à double entrée. Le lecteur pourra, par exemple, s'exercer à géné- raliser la première partie du théorème établi dans le paragraphe précédent, en considérant à la place d'une forme quadratique po- sitive à deux variables une forme quadratique positive à p va- riables.
28 INTRODUCTION.
III. — Produits infinis à double entrée.
20. On peut considérer des produits infinis à double entrée comme des séries à double entrée.
Reprenons les notations antérieures et supposons les termes <^a,^î où a, p peuvent prendre toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives, rangés suivant une suite linéaire bi, 63, ..., Oft^ ....
Le produit infini à double entrée
JJ(i-Haai,p) a. (S
sera dit absolument convergent si la série à double entrée dont le terme général est fla, p est absolument convergente ; la valeur de ce produit infini est, par définition, celle du produit absolu- ment convergent
P = JJ(« + 6«).
n = i
Nous allons prouver que celte valeur peut élre obtenue par des règles analogues à celles qui concernent les séries à double entrée.
21. Supposons d'abord que toutes les quantités a^^p soient positives ou nulles.
Le produit d'autant de facteurs que Ton veut, pris parmi les quantités i -+- «a^p est au plus égal à P. On peut prendre assez de facteurs pour que leur produit dépasse tel nombre que l'on veut inférieur à P.
Soient/?, q deux entiers positifs : posons
1-^ /a,y = YJ (n-aa,p)= d -+- «a,-7)(ï -+" «a,--7+i)- • -^ ' "^ «a.o)
X(i-+-aa,i) Ci-i-aa,j) •••(H-^a.^X
a=-p
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 29
I 4- Ay,^y peut aussi être considéré comme le produit de tous les facteurs i -{- a^^^ pour lesquels on a
^a,vî ^^^p^ç ^^^^ positifs ou nuls et Ton a
Quand q augmente indéfiniment, i-hla,q9 qui augmente avec q, tend vers une limite i -\- /«, et l'on a
P
où le second membre représente, comme il a été expliqué (n® 10), le produit des valeurs des deux produits infinis dont les facteurs s'obtiennent en faisant varier, dans ««, p, ^ de o à -}- oc et de — i à — ao,
D^ailleurs, si dans Tinégalité
on fait croître q indéfiniment, on voit, en se reportant à la défi- nition de I -h X^^y que les 2p -\- i facteurs qui le composent ten- dent respectivement vers
en sorte que l'on a
a=-»-/j
Comme les nombres /« sont positifs ou nuls, on en conclut que le produit infini
oc
est convergent et a une valeur égale ou inférieure à P. Mais cetle
valeur ne peut elre que supérieure à i-i- V»^» ^^î ^^ ^^^^ ^^ donne un nombre positif B<; P quelconque, on peut, d'une part.
3o INTRODUCTION.
prendre n assez grand pour que le produit
(i-+-^i)(i-h6,)... (\-\-bn)
dépasse B et, d'autre part, prendre/?, q assez grands pour que tous les facteurs qui précèdent entrent dans la composition de 1 H- \n^q qui sera dès lors supérieur à B. Donc, la valeur du pro- duit infini, étant supérieure à B, est nécessairement égale à P.
Remarquons en passant que la convergence de la série à termes positifs ou nuls
a
résulte de la précédente analyse.
22. Supposons maintenant que les quantités as, p étant quel- conques, réelles ou imaginaires, la série à double entrée dont le terme général est | aoi,p| soit convergente. Conservons les mêmes significations aux quantités /a, 7, X^,^ et posons
Le produit infini
esl absolument convergent à cause de la convergence de la série à termes positifs
La valeur de ce produit infini est la limite i -{- /a de i -h /«^^ pour q infini, et l'on peut poser encore
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 3l
Si l'on fait de même
on aura évidemment
Mais, d'après le numéro précédent, la série
oc
est convergente; il en est donc de même de la série
2k«
et, par suite, le produit infini
nc-*-^-)
a
est absolument convergent. Nous allons prouver que sa valeur est égal à P.
Choisissons, à cet effet, un entier n assez grand pour que tous les facteurs i H- a^,^ tels que Ton ait
figurent parmi les facteurs
désignons par P,, le produit de ces facteurs et par V'„ le produit
des facteurs
i-+-|6i|, i-h|6j|, ..., i-t-|6rt|.
D'après un raisonnement déjà employé (n®15), nous aurons alors
d'où, en faisant croître n indéfiniment et en désignant par P' la limite de P^ pour n infini,
32 INTRODUCTION.
puis, en faisant croître q indéfiniment,
a=-+-p
« = -/'
rjL--\-p
P-JI(i-^'a) ^P'-JJd^/;).
«=-/,
Mais, lorsque p augmente indéfîniment, la limite du second membre est zéro; on a donc finalement
a
Pour la même raison
=n nc-«-p)
6=— flo La^— 00 J
M'- en sorte qu'on peut grouper, soit d'abord par lignes horizontales et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus, soit d'abord par lignes verticales et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus. On pourrait en- core effectuer ces groupements partiels d'une infinité d'autres manières.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'UNB VARIABLE. 33
CHAPITRE II.
DES SÉRIES ET PRODUITS INFINIS DONT LES TERMES
DÉPENDENT D'UNE VARIABLE.
I. — Définitions et premières propositions.
23. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des séries ou des produits infinis dont les termes ou les facteurs dépendent unique- ment de leur rang ; nous allons considérer maintenant des séries ou des produits infinis dans lesquels ces termes ou ces facteurs dépendent d'une variable x réelle ou imaginaire.
Considérons tout d'abord une telle série
o = ll\ -f- Mj -+- . • . -|- Ufi -f- . • * )
et supposons qu'elle soit convergente pour chaque valeur de x appartenant à un certain ensemble défini comme on le voudra. Alors la somme de cette série définit une fonction (*) dont la va- leur est déterminée pour chaque valeur de x appartenant à cet ensemble.
Désignons par S» la somme des n premiers termes et par R/, 1^ reste de la série limitée au terme Un^ c'est-à-dire la somme de la série convergente
la série proposée est dite uniformément convergente pour les
(*) Nous entendrons le mol /onction sans épithète, dans ce sens : la variable y est fonction de la variable indépendante Xj si la valeur de ^ est déterminée quand on se donne la valeur de x. Cette signification du mot fonction est très différente de celle qu'il prend dans Texpression fonction analytique.
T. ctM. — I. 3
34 INTRODUCTION.
valeurs de x appartenant à Tensemble considéré (*), si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier positif r tel que, sous la seule condition
/i > r, Ton ait
S - S« I = I R„ |< £,
quelle que soit la valeur de x appartenant à Tensemble considéré. De même, si, pour toutes les valeurs de x appartenant à un ensemble, le produit
n :=«
JJ(I-+-W/|)
n = l
est absolument convergent, on dira qu'il est en ojutre unifor- mentent convergent pour toutes ces valeurs de x, si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que,
sous la seule condition
n > r,
Ton ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à Tensemble
considéré
I P - P/, 1< e,
en désignant par P la valeur du produit infini et par P,, le produit de ses n premiers facteurs.
D'après cette définition, on voit que le précédent produit, sup- posé absolument convergent, est uniformément convergent si la série équivalente à ce produit
1 -+- M| -h Hi Pi -+- Ui Pj -f . . . -f- Un P«-l -h . . .
est uniformément convergente.
24. SHl existe une suite de nombres positifs ou nuls
tels que la série
soit convergente, et que Von ait, quel que soit /i, et quelle que
(') Plus brièvement, uDiformcmeiit convergente dans Tenserable considéré.
SÊIIIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 35
soù la valeur de x appartenant à ^ensemble considéré,
la série
est absolument et uniformément convergente pour toutes les valeurs de x appartenant à l^ ensemble considéré et il en est de même du produit infini (*)
JJ(' + W/»)-
nz=X
Que la série soit absolument convergente, cela est évident, puisque chacun de ses termes est moindre en valeur absolue que le terme correspondant d^une série convergente à termes positifs. D\in autre côté, si Ton se donne un nombre positifs, on pourra déterminer un nombre positif r tel que l'on ait
on aura donc, quel que soit/?, sous la seule condition /i^r,
et, par suite,
I R« |< e,
et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré.
Pour ces mêmes valeurs, le produit infini
n = M
JJ(n- W/i)
n = l
est absolument et uniformément convergent, comme on s'en con- vainc de suite en comparant la série équivalente à ce produit à la série équivalente au produit convergent
/!:=«
JJ(«-+-/r«)-
«=i
(*) WsiERBTRASS, Abhcuidlungen aus der Functionenlehre, p. 70.
36 INTRODUCTION.
Mais il importe de remarquer plus généralement que si, pour un ensemble de valeurs de Xy la série à termes positifs
est uniformément convergente, et si sa somme reste inférieure à un nombre fixe A, le produit infini
n = •
II(i ■+-««)
n =1
sera absolument et uniformément convergent pour cet en- semble de valeurs de x^ ainsi que la série équivalente
En effet, les quantités Pi, P2, . . . , P», . . . , P sont toutes infé- rieures en valeur absolue à
or, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que, sous la condition n^r^ on ait
I Ma I -4- 1 M„+i I -t- 1 M„+, I -4-. . .< g; on aura donc, sous les mêmes conditions,
I a„Pn-i I -4- I M/14-1 P« I -H I M/i+iP»+i I -h. . .< e,
et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré.
25. Considérons un ensemble (E) de valeurs de :& jouissant do la propriété suivante : Quelle que soit la valeur x^ appartenant à Tensemble considéré et quelque petit que soit le nombre positif e, il existe des valeurs de x appartenant à Tensemble (E) et telles
que l'on ait
I j? — aro I < e.
L'ensemble (E) pourra être constitué, par exemple, par l'en- semble des valeurs de x figurées par les points d'un arc de courbe, ou par les points d'une aire limitée par un contour simple.
1
SÉRIES DOXT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 87
Siy*(^) est une fonction de x définie pour toutes ces valeurs de x^ on dira qu'elle est continue pour Tensemble (E) si, à chaque nombre positif a, si petit qu'il soit, l'on peut faire correspondre un nombre positif ^ tel que l'on ait
pour toutes les valeurs a?, x^ de l'ensemble (E) telles que l'on ait
|a7-ar'|<p.
26. Ces définitions rappelées, supposons que, pour l'ensemble (E), les fonctions U|, 1/2, . . . , Un^ ... de la variable x soient con- tinues et que la série
Ml -f- Mj -f- . . . -f- M/, -h . . .
soit uniformément convergente. La somme de cette série sera alors une fonction y*(:r) définie et continue pour cet ensemble.
Soit, en efiet, Srt(x) la somme des n premiers termes de cette série, R/i(a:) le reste \ on aura
Puisque la série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positif e, faire correspondre un entier n tel que l'on ait
1R«(^)I<|
pour toutes les valeurs de x appartenant à (E) ; n étant fixé, on peut, à cause de la continuité de S/i(^) qui est manifeste dans l'ensemble (E), faire correspondre au nombre e un nombre po- sitif 7^ tel que, pour toutes les valeurs x^ x^ appartenant à (E) et vérifiant la condition \x — x^\<^'h^ on ait
|S„(^)-S„(ar')l<|-
On aura donc, pour ces mêmes valeurs de x^
1/(07) -/(a?') I = I [S„(ar) - S„(ar')] H- Rn(^) - R«(:P') | < e-
C'est ce qu'il fallait démontrei'.
38 INTRODUCTION.
Si, en outre, la série est supposée absolument convergente, on verra de même que le produit infini
n = ae
JJ(l-^W/i)
n = \
définît une fonction continue de x pour l'ensemble (E).
27. Soient ç(/), ^(0 deux fonctions réelles de la variable réelle /, admettant dans Finlervalle (/q, ^4) des dérivées finies et continues ç'(/)> ^'(^)' L'Orsque t variera de (q à ^i, le point dont Taffixe est
décrira un arc de courbe (C). Considérons l'ensemble (E) des valeurs de x figurées par des points de (C) et soit, en général, F( jj) une fonction continue de x pour l'ensemble (E) ; en remplaçant, dans cette fonction, x par ©(/) -h « 'i(0> ^1'® prendra la forme
^(/), W{t) étant des fonctions réelles et continues de t dans l'in- tervalle (/oî ^i)- Ceci posé, nous rappelons que l'on appelle inté- grale de F (a;) prise le long de la courbe (C) et qu'on repré- sente par le symbole
fF{x)dx l'intégrale
L'existence des deux intégrales qui figurent dans le second membre, intégrales où tout est réel, est certaine, en raison de la continuité.
28. Soit maintenant une série
(i) «1+ "8-1-. .--4- M»-»-. . .,
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT dVnE VARIABLE. Sq
imiformément convergente pour l'ensemble (E) des points de la courbe (C), et dont les termes soient des fonctions continues de x pour ce même ensemble. Désignons par F( a:) la somme de cette série, qui est (n° 26) une fonction continue de x. Nous allons prouver que la série
(2) j Ui€la:-\- j Ufdx-i-, ..-h j Unda: -^. , .,
où toutes les intégrales sont prises le long de (C), est convergente et a pour somme
)da:»
fF{x
Si, en effet, on désigne par S;2(^) 1^ somme des n premiers termes de la série (1), et par R/i(:c) le reste correspondant, Sn{x) et Ra(^) seront des fonctions continues de x^ et l'on aura
F(^) = S«(:r)-4-R«(T),
fv{x)dx= CSn{x)dX'\- fRn(x)dx, •/c *^c ^c
I Snix)dx= I Uidx-\- j Uidx-h . , .-h I UttdXf
toutes les intégrales étant prises le long de l'arc (C). Ceci posé, à chaque nombre positif e correspond un nombre entier positif r
tel que Ton ait
|R«(^)l<e,
sous la seule condition n^r, et cela, quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré. On aura donc, en désignant par (^ la longueur de l'arc,
|^R„(.
)dx
<e3'.
Ainsi, la différence entre
dx
fFix)
et la somme des n premiers termes de la série (2) peut être sup- posée moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif que l'on
4o INTRODUCTION.
voudra, pourvu que n soit assez grand. Cela prouve, à la fois, que la série (2) est convergente et que sa somme est égale à
f¥{x)dx.
Ce théorème s'appliquera, en particulier, lorsqu'on saura que la série (i) est uniformément convergente pour l'ensemble des va- leurs de x^ représentées par des points appartenant à une aire (A) limitée par un contour simple (*), et que ses termes sont, pour les mêmes valeurs de x^ des fonctions continues, la courbe (C) faisant tout entière partie de Taire A.
II. — Séries entières en x. 29. Considérons maintenant les séries de la forme
où ao, ai, ao, . . ., a,!, . . . sont des nombres fixes donnés.
Nous donnerons à ces séries, qui jouent en Analyse un rôle très important, le nom de séries entières en x, et nous emploie- rons le symbole
9(x)
pour représenter la somme d'une telle série supposée conver- gente : la lettre 9 peut d'ailleurs être affectée d'indices, pour pei^ mettre de distinguer des séries particulières. Enfin, quand aucune ambiguïté ne sera à craindre, nous pourrons employer le sym- bole 9(x) pour représenter, non la somme de la série, mais la série elle-même, regardée seulement comme la loi de la succession de ses termes ; ainsi, nous ne nous interdirons pas de dire d'une série déterminée qu'elle est divergente pour une certaine valeur de X,
On doit à Abel deux théorèmes sur les séries de cette nature, séries qui jouent, dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire, un rôle prépondérant.
(*) A moins qae l'hypothèse contraire ne soit expressément énoncée, nous re> garderons toujours comme faisant partie d'une aire limitée par un contour les points intérieurs et les points du contour.
SÉRIES DONT LBS TERMES DfiPENDEXT D*UNE VARIABLE. ^l
30. Voici le premier de ces théorèmes :
Si, pour X = bj la valeur absolue de chaque terme a» b" de la série
$(x) = «0-+- «l^-*--' .■4-ana?'*-f-. ..
est moindre qu'un nombre positif Jixe A, la série 9(x) est ab- solument convergente pour toutes les valeurs de x dont la va- leur absolue est moindre que celle de b.
Soîl, en effet, V un nombre positif moindre que \b\, La série à termes positifs
est convergente. Or les valeurs absolues des termes de la série 9{x) sont, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la condition
moindres que les termes correspondants de la série (i); car les
suppositions
\anbn\<k, \x\<b'
entraînent les conclusions
On pourra donc appliquer les propositions du n^ 24, et Ton voit que la série 9{x) est absolument et uniformément convergente,
pourvu que l'on ait
\x\^b',
c'est-à-dire pour tous les points situés à ^intérieur et sur la cir- conférence d'un cercle décrit du point O comme centre, avec un rayon moindre que \b\.
31. Si la série 9{x) du numéro précédent est convergente pour j: = 6, comme la valeur absolue de anb" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il est clair qu'il existe un nombre positif A tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de /i,
A^\anbn\:
4^ INTRODUCTION.
donc la série sera absolument convergente pour tous les points situes à r intérieur du cercle décrit du point O comme centre et passant par le point 6; elle sera uniformément convergente à l'intérieur et sur la circonférence de tout cercle concentrique au précédent et de rayon moindre.
Différentes circonstances peuvent d'ailleurs se présenter : Ou bien la série 'JP(j:) considérée est convergente, quel que soit X : telle est la série
.r x^ x'*^
I 1.7. I . '2 . . . /i
alors ^£{jc) est uniformément convergente dans tout cercle décrit de l'origine comme centre, et même dans toute aire limitée par un contour simple. Cette série 9(x) représente alors ce que l'on appelle une fonction transcendante entière.
Ou bien la série ^£{x) est convergente pour certaines valeurs de Xj sans l'être pour toutes. L'ensemble des rayons des cercles décrits du point O comme centre, et qui passent par des points pour lesquels la série est convergente, admet alors une limite su- périeure R. Le cercle de rayon R décrit du point O comme centre est le cercle de convergence de la série ^{x). La série est convergente en tout point intérieur au cercle R; elle peut être convergente ou divergente en quelques points ou en tous les points de la circonférence; elle est divergente pour tout point ex- térieur. Elle est uniformément et absolument convergente pour l'ensemble des points situés à l'intérieur ou sur la circonférence d'un cercle concentrique au cercle de convergence et de rayon moindre. Là où elle est uniformément convergente, elle représente une fonction continue. Signalons, comme exemples, les séries
■ -i-2,^-- '-+-2ir' '-^2i«-î'
n =1 « = 1 n = t
qui admettent toutes trois pour cercle de convergence le cercle de rayon un, décrit du point O comme centre. La première est diver- gente pour tout point de la circonférence de ce cercle, comme on le voit en posant ^ = cosç -{- «sinç, et en remarquant que les deux quantités cos/r^, sin/i'^ ne peuvent avoir simultanément
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNB VARIABLE. 43
zéro pour limite quand n grandit indéfiniment. La seconde est convergente, mais non absolument, pour tous les points de la cir- conférence (' ), sauf pour jî = i . La troisième est convergente en tous les points de la circonférence.
Observons qu'une série entière en x pourrait n'être conver- gente pour aucune valeur de x autre que zéro : telle est la série
on dit alors que le cercle de convergence est de rayon nul.
(*) Cela résulte de la première des deux propositions suivantes, signalées par M. Darboux dans son Mémoire sur les fonctions discontinues {Annales de VÉ- cole Normale supérieure, 2* série, t. IV), et sur lesquelles on peut consulter VJntroduction à la théorie des fonctions de M. Jules Tannery, p. g6, n** 71 ).
Si la série à termes réels (qui peut être divergente)
(I) «,-+-«, + ...-4- a^-4-...
est telle que la somme de ses n premiers termes reste, en valeur absolue, quel que soit n, inférieure à un nombre fixe, et si les nombres positifs c,, c,, . . . , t., ... satisfont aux conditions
(II) 'ige.â«,è. .»
(III) lim. e,. = q,
n=zwi
la série
(IV) a,£,-+-a,e^-i-...+ a^8^-l-...
est convergente.
Cette dernière série (IV) est encore convergente si la série (I) est convergente et si les nombres positifs c,, e^, ..., c^, ... satisfont seulement aux condi- tions (II).
On prendra, dans le cas actuel, pour c^ c,, c^, ..., c^, ... les nombres i, ->, -, ..., -, ... cl, pour la série (I), l'une ou l'autre des séries (divergentes)
2
I H- COSîp -t- C0S3 9 -H. . .-i- COS/I9 H-. . . ,
o-f-sin ? ■+- sin 25 -h. . .-+- sinn'f -f . . . ,
dans lesquelles les sommes des (/t + i) premiers termes
. n-hi no . n -hi . n:p
sin o cos - * sin .0 sm -
2 ^ a 22
9
sin - sin —
A 2
restent finies quel que soit n, si 9 n'est pas un multiple de 27:.
44 INTRODUCTION.
Enfin, nous nous contenterons d'énoncer le théorème suivant, dont la démonstration est immédiate.
Si le rapport — ^^ a, pour n infini, une limite égale à R, le
cercle de convergence de la série
(i) $(a7) = ao-f- aiar-H. . .-hanar^H-. . .
est de rayon R.
32. Supposons encore que la série entière en x,
soit convergente pour x=b. On peut affirmer qu'elle est unifor- mément convergente pour l'ensemble des valeurs de x apparte- nant au segment de droite, qui va du point o au point b. C'est en cela que consiste le second des théorèmes d'Abel, dont nous avons parlé.
Observons d'abord que l'on peut ramener le cas général au cas où b est égal à un ; il suffit, pour cela, de faire le changement de variable
Quand le point x décrit le segment qui va du point o au point 6, le point Ç décrit, en efiet, le segment qui va du point o au point i.
Le second théorème d'Abel consiste alors dans l'énoncé sui- vant :
Si la série (a) ao-H a[-+- <2j-i-. . .H- a/i-h. • .
est convergente, la série entière en x,
9{x) = aoH- aix -4- atX^-h, . .-+- a«a:»-f-. . .,
est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de X qui appartiennent à l'intervalle (o, i), les limites de cet intervalle n'étant pas exclues.
On sait déjà, il est vrai, que la convergence est uniforme dans l'intervalle (o, a), a étant un nombre positif plus petit que i.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPEIfDENT D'UNE VARIABLE. 4^
mais les raisonnements qui précèdent ne permettent pas d'atteindre la limite i .
Cherchons donc à prouver directement que, à tout nombre posi- tif arbitrairement donné e, correspond un entier r, tel que, sous les conditions
le reste R«(^) de la série $(^), limitée au terme de rang n, soit, en valeur absolue, plus petit que e.
Comme la série (2) est convergente, au nombre e correspond un entier r tel que, pour n^- r,
c'est-à-dire | R,j(i) | soit moindre que - D'autre part, si l'on pose
2 I
i
et si l'on observe que dp est la différence entre et
%
on voit que l'on aura, quel que soit/?,
I ^P l< e. D'aiUeurs les égalités précédentes donnent
^n+p = ■«>/> — 'J p—i )
donc la somme desp premiers termes de R,i(2;), peut s'écrire
Cl a?»-*-» -H ( cf, — Ct )a7»-^-* 4- ... H- ( a*/, — o*;,-,) j?'»^-/'
= a7«-<-»(i — iP)(Ci-+- cr,x-i- . . . -h 3';,_ia:/'-«) 4- a'pa?'»-^-/'.
Si la valeur absolue de x est plus petite que i , le terme dj,x"'^P tend vers zéro quand p augmente indéfiniment; on peut donc écrire
R„(a?) = ar«-»-»(i — iF)(cr, -h 3'ja: -h cTja?* -h . . . ),
46 INTRODUCTION.
et, puisque les valeurs absolues des quantités ^p sont toutes moindres que £, on aura, en supposant que x soit positif et plus petit que i ,
I H«(a7)l <x«-»-»(i — a-)(£-hea?-+-ea7«-»-...);
or la série qui figure entre parenthèses dans le second membre, a pour somme ; on a donc, sous les conditions
1 > ''» o ^ a? < I ,
*^/i(^)| <sar«-»-» <e.
En réunissant à cette inégalité celle que Ton a obtenue plus haut, sous les conditions
savoir
on a bien démontré Tuniformité de la convergence dans tout rintervalle (o, i), les limites n'étant pas exclues.
A cause de cette uniformité, la somme de la série est une fonc- tion continue dans tout Tintervalle considéré, sans en exclure la limite i; si donc x tend vers i par des valeurs positives inférieures à I, la somme de la série a pour limite la valeur de la somme de la série pour j: = i , c'est-à-dire
Par exemple, l'égalité
log(i4-a™) = - — — -4- ~ _...,
(*) L'expression précédente du reste permet d'aller un peu plus loin, ainsi que M. Slolz l'a fait observer {Vorlesungen uber allgemeine Arithmeiik, t. II). En ne supposant plus x réel, mais en supposant toujours sa valeur absolue | x | moindre que i, on a, en effet,
I «„(x) 1< 1 07 r« 1 1- a: I (« 4- . 1 a: H- e I a: 1»+...) <el^";4l'
et il est aisé de montrer que le facteur qui multiplie c reste moindre qu'un nombre fixe, pourvu que l'angle aigu des deux directions qui vont du point i aux points a; et o reste moindre qu'un angle aigu fixe.
SÉKIES DONT LES TEIIMES DÉPENDENT d'cnIK VARIABLE. ^7
établie pour les valeurs réelles de x moindres que i, montre que
l'on a
1 III
" \ 'à. \
En effet, la série du second membre est convergente, donc, en vertu du théorème qui vient d'être démontré, lorsque le nombre réel X tend vers i par des valeurs moindres que i , la série
tend vers
X |
J-î |
j,3 |
|
I |
2 |
^3- |
|
1 I |
— |
I I |
or, dans les mêmes conditions, log(i -\- x) tend vers log2; on a
donc bien
I III
1-2 3
33. Dans les deux paragraphes qui précèdent nous avons sup- posé la série entière en x
^{^X\ = (Jq-t- (iiT -h . , . -^ <f/i^" -+-...
convergente pour x = b : lorsqu'on sait que la série est, pour cette même valeur, aô^o/w/we/i^ convergente, les termes de la série ^£(x) étant, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la con- dition I j;|^|6|, moindres en valeur absolue que les termes, tous positifs, de la série convergente
I «0 1 -+- I «I ^ I -H . . . -h I <7„ 6« I -f- . . . ,
ou égaux à ces termes, on peut appliquer la première proposition du n^ 24t, et Ton voit de suite, sans passer par le second théorème d'Abel, que, pour l'ensemble de ces valeurs, c'est-à-dire à l'inté- rieur et sur la circonférence du cercle de rayon | b \ décrit du point o comme centre, la série est uniformément et absolument convergente et représente une fonction continue. Ce cercle peut d'ailleurs être le cercle de convergence ou lui être intérieur.
34. Le premier théorème d'Abel (n° 30) nous renseigne sur la convergence d'une série entière d'après les valeurs absolues des
48 INTRODUCTION.
coefGcients de cette série. Inversement, la proposition qui suit et qui est due à Gauchj nous donne un renseignement essentiel sur les valeurs absolues des coefficients d'une série entière que Ton sait être absolument convergente sur la circonférence d'un cercle.
La série $(j?) étant absolument convergente pour a: = 6, suppo- sons que Ton ait, en désignant par A un nombre positif,
l«(:r)|<A
pour tous les points de la circonférence du cercle décrit du point o comme centre avec le rayon r = | 6 | ; on aura alors
Partons, en effet, de l'égalité
il est clair (n^ 24) que le second membre sera upe série uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x représentées par des points situés sur la circonférence du cercle de rayon /• = | 6 1 : on pourra donc intégrer cette série, terme par terme, le long de cette circonférence, ce qui donne
-è- a» / x-^ dx -H Un^i I dx-¥- a^-^-t 1 xdx-^.,., Je '/c •^L
toutes les intégrales étant prises le long de la circonférence. Pour évaluer ces intégrales, on posera (n°27)
x= r(cosl -+- isin/), d'où
<fa? = /• cos (t-h ^ ) -H t sin ( i -i — ) û?/,
et l'on aura, en général, en désignant par p un entier positif ou négatif,
/ xP dx = rP-^^ I cos (/> -h i) i 4- - dt
irP-^i r sin\(p'hi)t-h-]dt.
SÉRIES DOIVT LES TBBMES DÉPENDENT d'uNE TARUBLE. 49
Si p est différent de — i, les intégrales du second membre sont nuUes; si /?= — i, le second membre se réduit à 2;ir; on a donc (M
ï r<S{x)dx d'où
'c ^''■*-* '
i-i=f,|jrSs''^
mais la valeur absolue de 9{x)x~^''^ est au plus égale à Ar"""* et la longueur du chemin d'intégration est anr; le second membre de cette égalité est donc au plus égal à Ar""", ce qu'ih fallait démon- trer.
35. Voici une conséquence importante de cette formule. Si la série entière en x
9{x) = ao -t- aia? -H ajO?* -H ... H- anip» -h . . .
est convergente quel que soit x^ et qu'elle ne se réduise pas à la constante a^^ sa somme ne peut rester moindre en valeur absolue qu'un nombre positif A pour toutes les valeurs de x.
En effet, l'inégalité
|a„|gAr-»,
si l'on pouvait j faire grandir r indéfiniment, montrerait que \an peut être pris plus petit que tel nombre positif que l'on voudra ; on aurait donc
I ttfl I = o
pour toutes les valeurs de n à partir de i .
On voit que, si l'on se donne les nombres positifs A, B, il y a au moins une valeur de x^ telle que Ton ait
\x\>B, |«(x)|>A.
Cette propriété rapproche les fonctions transcendantes entières des polynômes entiers en â;. Il y a toutefois une différence essentielle :
(*) C'esi aassi bien, comme Ton sait, une conséquence de la formule de Cauchy
T. et M. — I. 4
5o • INTRODUCTION.
pour les fonctions transcendantes entières on peut affirmer seule- ment l'existence d'une valeur de :r satisfaisant aux conditions pré- cédentes; pour les polynômes, au contraire, si l'on se donne A, on peut trouver un nombre B correspondant tel que toutes les valeurs de X qui vérifient la première inégalité vérifient aussi la seconde.
36. Soit
une série entière en jp, convergente pour les valeurs de x telles
que l'on ait
|x|<R;
9{x) est alors une fonction continue dans tout cercle de rayon R' moindre que R; on a d'ailleurs
si donc a^ n'est pas nul, on peut fixer un nombre S, inférieur ou égal à R', tel que Ton ait
lÇ(:r)-$(o)|<|aoi pourvu que l'on ait
Pour les valeurs de x qui vérifient cette condition, 9(^x) ne sera jamais nulle.
Si les coefficients a^y Os^ . . . , a^_i sont nuls sans que Up le soit,
on aura
9{x) = xP{ap -4- ap+ix -^ ap^iX^ -h. . .),
et l'on voit qu'il existera un nombre positif 8 tel que, parmi les valeurs de x qui vérifient l'inégalité
zéro soit la seule pour laquelle 9{x) s'annule. Par conséquent, pour que ^£(x) s'annule en une infinité de points distincts dont l'ensemble admette zéro pour limite (*), par exemple pour tous
(*) Ou dit que des points appartenant à un ensemble infini admettent l pour limite si, quelque petit que soit c, il existe dans le cercle décrit du point ^ comme centre avec un rayon égal à s une infînité de points appartenant à Ten- semble.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 5l
les points d^un arc de courbe qui aboutit au point o, il faut que tous les coefficients a^, a^ , a2, . • • , ez/i, . . . , soient nuls.
Par conséquent encore, pour tous les points d'un pareil ensemble, deux séries
bo-h biX-\- bix*-h, ..-+- bn^*^-^' . •
ne peuvent avoir les mêmes valeurs sans être identiques, c'est- à-dire sans que Ton ait a„ =■ bn pour toutes les valeurs de /i. Il suf- fit, pour s'en convaincre, d'appliquer la remarque précédente à la série
III. — Séries de séries entières. 37. Soit
Mo-H Mi-f- MjH- . . .-+- MnH-. . .= ^ «a
a = o
une série dont les termes sont des séries entières en â;, en sorle que l'on ait, en désignant par aa^p des constantes,
Si le rayon du cercle de convergence de chacune des séries Uq^ est supérieur ou égal à un nombre positif fixe A; si en outre la
série ^ ''« ^*^ uniformément convergente pour l'ensemble des
a=o
valeurs de x qui satisfont à la condition
|ar|<A,
a = «
la somme de la série proposée \^ Ua sera, pouroes mêmes valeurs
« = 0
de x^ une fonction ^{x) parfaitement définie. Nous allons mon- trer que celte fonction peut, pour ces valeurs de x, être déve- loppée en une série entière en x',
bo'hbiX-\-,..'hbnX'*'\- ,.,y
5îi INTRODUCTION.
et que les coefficients de cette série sont donnés par la formule
a = M
^p = «o,p-*-«i,p-H...-Haa^p4-...= 2 aa,p,
a = o
la série qui figure dans le second membre étant convergente. On
a = •
voit que, sous les conditions requises, la série \] u^ peut être
a = o
traitée comme sMl n'y avait qu'un nombre fini de termes.
38. Il y a un cas important et fréquent dans les applications où le précédent théorème est évident : c'est celui où la série à double entrée, dont les termes se déduisent de
en donnant à a, ^ les valeurs entières nulles ou positives, est con- vergente.
S'il en est ainsi, la série à double entrée, dont le terme géné- ral est
est absolument convergente, pour les valeurs de x qui vérifient la condition |^|^A. En ajoutant les termes par lignes horizon- tales, on trouve
"V aa, p X? = «a. et en réunissant les sommes partielles on retrouve la série ^ ««•
a=o
AU contraire, en ajoutant les termes par lignes verticales, on trouve
a = « a = «
a=o a=o
puis, en réunissant les sommes partielles, on forme la série
^0 -H ^1 27 -f • . . . -+- èp a?? -H . . . ,
dont la somme est donc égale à celle de la série \^ «/«. C'est ce qu'il fallait démontrer.
a=o
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D^UNE YARIABLE. 53
Pour que la série à termes positifs, dont le terme général est
'-MAPI (;i ::;::;:::)
soit convergente, il faut et il suffit (n° 14) que les conditions qui suivent soient vérifiées :
i^ La série à termes positifs
1 «a, 0 1 -t- I «a, 1 A I 4- I aa, î A« I + . . .
est convergente pour chaque valeur de a.
2® En désignant par A» la somme de cette série, la série à termes positifs
est convergente.
Observons que, s'il en est ainsi, la série \] i/a est absolument
a=:0
et uniformément convergente (n° 24) pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition :r^A, puisque, pour ces valeurs, on a évidemment '
en sorte qu'on est bien dans le cas du n^ 24. Observons encore que la série
ôo -H ^! ^ -+- • • • H- ^p arP -+- . . .
reste convergente quand on y remplace les termes par leurs va- leurs absolues et x par A, et que sa somme est alors au plus égale à la somme de la série
En effet, cette dernière somme n'est autre chose que la somme de la série à double entrée et à termes positifs
a = o p=ro p=o a=o
54 INTRODUCTION.
et l'on a cerlaincment
l*pl =
a = «
a = o
a = «
2aa,p i^\a%.?\'
a = o
Il importe de remarquer que si les conditions (i°) et (2°), impo- sées dans le présent numéro à la série
0( rr »
M| -+- Mf -i- . . . -f- M/i 4- . . . = X, ^Oi'>
a = o
sont vérifiées, elles sont encore vérifiées pour la série
dont les termes s^obtiennent en groupant ensemble, comme la théorie des séries à double entrée permet de le faire, les termes
a=«
de la série V Ua en nombre fini ou infini, en sorte que chacun
a = o
de ses termes figure une fois et une fois seulement dans quelque terme de la série ^^ Vy, En effet, si l'on effectue le même groupe-
Y=o
ment sur les termes de la série
Ao 4- Al -f- Aj -H . . . -4- Aflt -f- . . . , on la transformera en une série de même valeur
d'ailleurs t^i , qui est la somme d'un nombre fini ou infini de termes pris dans \] Ua^ est, d'après le théorème même que nous venons
a=o
de démontrer, une série entière en x, et la somme de cette série, quand on j remplace les coefficients par leurs valeurs absolues eix par A, est, d'après une observation qu'on vient de faire, au plus égale à Jl>| ; de même pour (^^j • • m ^aj • • • et A.^, . . ., Xa, ....
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE YARIABLB. 55
T = «
Ainsi, la série \] Vy satisfait aux mêmes conditions que la série
Y = o a=o
39. Plaçons-nous maintenant dans le cas général et supposons seulement que, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la
condition
|^|<A,
les séries entières en x
^a = ^a, 0 -+- ^«,1 ^ 4- . . . -f- Ux, p a^P -+- . . .
Ol=ao
soient absolument convergentes et que la série ^ Ua soit unifor-
a=o
mément convergente (* ).
La somme des (n 4- 1) premiers termes de cette dernière série est une série entière en x, convergente sous la condition |:r|<<A; nous la représenterons par
en posant
Nous allons montrer que, si n grandit indéfiniment, &n,p tend vers une limite que nous désignerons par frp, puis, que la série
^0 -+- ^1 ^ -H 61 a?» -4- . . .
est convergente sous la condition | j? | •< A et que sa somme est égale à celle de la série
Puisque cette dernière série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positif e, faire correspondre un entier po- sitif r tel que, si on désigne par n eln +/? deux entiers plus grands que r, et d'ailleurs quelconques, on ait, pour toutes les valeurs
(*) Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, p. 73.
56 UHTRODUCTION.
de X plus petites que A en valeur absolue, On a d'ailleurs, pour ces mêmes valeurs de x^
a rr t a = i
a = p
^P ^ ««+a,p-^«"-
a = 1
Soit p un nombre positif, moindre que A; Tinégalité précédente ayant lieu pour tous les points de la circonférence du cercle de rajon p et de centre o, on a (n° 34)
a=p
2 ^'*^*' P
a = i
^ep-P;
la série
est donc convergente, puisque la somme d'autant de termes que Ton voudra, pris après le terme de rang r, peut être supposée moindre, en valeur absolue, que tel nombre que l'on voudra. Soit 6p la somme de cette série, c'est-à-dire la limite, pour n in- fini, de la somme &/i,p de ses /i-f- 1 premiers termes, et soit R/i,p le reste correspondant à 6/,^p; on aura
Cette dernière inégalité montre, par le premier théorème d'A- bel, que la série
R/t,o-H R/i,ia?-i-. . .-+- Rrt,p^P-h. . .
est absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que p; puisque ^ est seulement assujetti à être moindre que A, on voit même que cette série est absolument convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
|3?|<A.
Les séries
^«, 0 -H */», i a? -h . . . -H 6rt, p ar? -H . . .
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 67
et
élant convergentes, il en est de même de la série
obtenue en les ajoutant terme à terme; il ne nous reste donc plus qu'à prouver que la somme de cette série est égale à la somme de la série proposée
Or, si p' est un nombre positif moindre que p, et si Ton a la somme
I R«,o I -H I R/f,iar I -i-. . .-+- I Rn,parP I -+-. . .,
où n est toujours supposé plus grand que r, est inférieure à
P' P'P e
P Pf* ,_P.
P Donc la différence
entre la somme et la somme
«0 -H Ml H- ... H- W»,
des n + 1 premiers termes de la série proposée, est, en valeur ab- solue, plus petite que e'.
Sous la condition que x vérifie l'inégalité
I^I^PS on a donc
p=o a=o
d'où l'on conclut que, pour chacune de ces valeurs de x, le pre- mier membre de l'inégalité précédente est nul, puisque le second membre peut être pris aussi petit qu'on le veut. Il en est de même évidemment, pourvu que x vérifie l'inégalité
I ar I < A. C'est ce qu'il fallait démontrer.
< e -+- e',
58 INTRODUCTION.
40. Le précédent théorème entraîne une proposition analogue pour les produits infinis. Désignons toujours par
une série entière en x, convergente pour les valeurs de x qui sa- tisfont à la condition | ^ | <:^ Â. Supposons que, non seulement la série
Wo -^ «1 -4- . . . -h M/t -h . . . ,
mais aussi la série à termes positifs
soit uniformément convergente pour ces valeurs de j?, et que, en outre, sa somme reste inférieure à un nombre positif fixe. Alors le produit infini
p='Q(i -*-«„)
n=0
sera absolument convergent et définira une fonction i4-^(x), if{x) désignant une série entière en x^
A:o -h ^1 iF -f- . . . H- ArparP -4- . . . ,
convergente pour les valeurs considérées de x.
On peut, en efiet, substituer à P — i la série équivalente
Uq -\- U\ Pq -h . . . -f- M» P»— 1 -4- ... ,
oùP„_i est le produit des /i premiers facteurs de P. Cette série (n®24) est uniformément convergente pour les valeurs considérées de x ; ses termes peuvent être mis sous forme de séries entières en x^ en appliquant la règle de la multiplication des séries ; on aura ainsi
M»P/i-i = ^/i,o-+- hn^xx -\-, . .-h A/t, pa??-i-. . . ;
remarquons, en passant, que les coefficients An,p regardés comme des fonctions des aij peuvent être mis sous forme de polynômes à coefficients réels et positifs. En appliquant maintenant le théorème
r
SÊHIES DONT LKS TERMES DÉPENDENT d'cNB VARIABLE. 69
précédent, on mettra la série équivalente à P — i sous la forme cherchée
en posant
où la série qui figure dans le second membre est convergente. La somme de celte série est la limite, pour n infini, de la somme de ses n -h I premiers termes; cette dernière somme n'est autre chose que le coefficient de x? dans le développement de
A' fi n'est donc autre chose que la limite, pour n inGni, de ce coef- ficient; en particulier ko-i-i est la limite, pour n infini, de
P/i(o) = (i -^ ao,o)(i -H «1,0) • . . (i -4- «/i,o).
et, en supposant qu'aucun des nombres i -f- a„^o ne soit nul, k^ est la limite, pour n infini, de
p,(0)r ^O-t ^_^M,^....^_f[iiJL-1;
la quantité entre crochets a donc pour limite - — V-> en sorte que la série
i-+-ao,o ï-i-«!,o I -»- «11,0
est convergente et a pour somme — ~r- •
41. 11 convient d'examiner le cas particulier, qui correspond au cas du n® 38, où la série à double entrée, à termes positifs,
0=0 3=0
est convergente. Il est aisé de voir qu'alors la série équivalente àP — I,
Uq •+- Ml Pq -!-...-{- Un P /i _ 1 -H . . . ,
satisfait, pour les valeurs de x telles que l'on ait
6o INTRODUCTION.
aux conditions i'' et 2^ du n*' 38. En effet, en conservant d'ailleurs les notations du numéro précédent, considérons le produit influi à termes positifs
Q=]][(i + A„),
n = l
et la série à termes positifs, équivalente à Q — 1 ,
Ao -h A 1 Qo -4- . . . -h Art Q«_i -+-.,.,
où Q/i est le produit des n 4- i premiers facteurs de Q. Le produit A/iQn.f pourra, par des multiplications de séries, être mis sous la forme
où les H„^p sont les mêmes fonctions des | aij \ que les A„,p des a,j. En vertu d'une remarque antérieure on aura donc
l^/i,p|iH„,p;
la série
I A„,o| -+- 1 A«.i I A 4-. . .H- I Art,p I AP-h. . .
est donc convergente et sa somme est au plus égale à AnQ^^i. D'ailleurs la série à termes positifs
Ao 4- Al Qo -h . . . -h Art Qn-i -h . . .
est convergente; la série équivalente à P — i vérifie donc, pour les valeurs de x qui satisfont à l'inégalité |a:|^A, les conditions 1** et 2** du n® 38 et peut donc se mettre sous la forme
k^-\' kix -^ , ..H-^pa?P-+-.. . .
C'est précisément le résultat que nous avons obtenu dans le nu- méroprécédent, pour le cas général.
Il est aisé de voir que, dans le cas qui nous occupe, la série qui
k fournit — ^ est absolument convergente.
Enfin, en vertu d'une remarque faite au n° 38, la série
qui reste convergente quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et x par A, a alors une somme qui est au
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D'uNE VARIABLE. 6l
plus égale à celle de la série
Ao -h Al Qo -+-... H- AraQn_i -+-...= Q — I.
Il convient de remarquer, comme dans le n^ 38, que, si les con- ditions imposées ici au produit infini
P =(H- Mo)('l-+-ai;...(l-h Un)..-
sont vérifiées, elles le sont encore pour le produit infini égal
dont les facteurs s'obtiennent en groupant ensemble, en nombre fini ou infini, les facteurs du produit P, ainsi que permet de le faire la théorie des produits infinis à double entrée. En efiet, si on effectue le même groupement sur le produit infini
Q = (i -+- Ao)(i -+- Al) . . . (i -+- A„) . . . ,
on le transformera en un produit infini égal
Q =(H- Bo)(i -+- Bi) . . . (i -+- B/). . . ;
d'ailleurs i + Wo étant obtenu en faisant le produit d^un nombre fini ou infini de facteurs de P, pris chacun une fois, w^ peut, d'a- près le théorème même que nous venons de démontrer, être mis sous la forme d'une série entière en x qui reste convergente quand on remplace tous ses coefKicients parleurs valeurs absolues et dont la somme est alors au plus égale à Bq ; de même pour (Vf, (V2, • • • et B|, B2, ... ; enfin la série à termes positifs
Bo-+- Bi-H. . .H- B/-f-. . .
est convergente; les conditions sont donc vérifiées pour le produit transformé.
42. Nous allons maintenant déduire quelques conséquences très importantes de la proposition du n^ 37. Soit
une série dont le rayon de convergence est R. Pour une valeur
6a INTRODUCTION.
quelconque x satisfaisant a la condition
|ar|<R,
la fonction $(^) admet des dérivées première, seconde, etc., au sens de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire; c'est- à-dire que Texpression
h
tend vers une limite 9'{x) quand h tend vers zéro (*), que l'ex- pression
h
tend y dans les mêmes conditions, vers une limite ^^(x), et ainsi de suite. Les dérivées successives de ^(x) ne sont autres que les sommes des séries convergentes
1 .«1 -+- îajj* -+-. . .-4- nanT^-^-^. . . ,
Soit en effet x un nombre que nous regarderons comme fixe dans ce qui suit et dont nous supposerons la valeur absolue X moindre que R; soient Hun nombre positif fixe moindre que R — X et h une variable qui reste en valeur absolue moindre que H. Dé- signons enfin par Âo, Ai, . . . , Â;,, ... les valeurs absolues de ao>
flTi, . . . , a,i, D'après le premier théorème d'Abel (n** 30) la
série à termes positifs
AoH- A, (X-^H)H-...^A«(X-+-H)« -+-..., est convergente et il en est de même de la série
4\a:-h A)= aoH-«i{^-+-^)H-- • .-+- a/i(^H- A)»H-. . .
(*) En d^autrcs termes, pour une valeur déterminée de x, au nombre ^{x) correspond un nombre ^'{x) jouissant de la propriété suivante : à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un nombre r^ tel que Ton ait
(S{x-i-h)-(S{x) ^ sous la seule condition
O < I /l |< T,.
<c
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D^UNE YARIARLE. 63
On a d'ailleurs
et la somme des valeurs absolues des termes du polynôme en h qui figure au second membre, quand on y remplace h par H, n'est autre chose que A«(X -f- H)". La série
Ao-+- Ai(XH-H)-h...-h A«(Xh-H)«h- ..,
étant convergente, on voit que la série 9(x H- A), où l'on regarde h comme la variable, se trouve dans le cas du n® 38; elle peut être mise sous la forme d'une série à double entrée absolument conver- gente, qui peut être elle-même ordonnée suivant les puissances de h. Les séries partielles
ao -+- ai 37 -h . . . -h a,tar'* -f- . . . , i.a|-haata:-h. . .-h na/,ar«-*-i-. . ., i.-xai-ha.Sasar-»-. . .-+-(n — i)/ia„jr'*-'H-. . ..
Al A*
qui figurent comme coefficients de A**, —> — -$ •••? sont absolument
convergentes et, en désignant les sommes de ces séries par $(^), «'(j?), $^(^), ..., on aura
(S(x -h A) = $(a?)-+. - «'(a7)-f- -^ «'(x)-h. . . .
Cette formule subsiste tant que l'on a
|A|^H.
On déduit de cette formule la relation suivante
h * 1.2 *
qui montre, puisque le second membre est une fonction continue de A, que l'on a
lim. — ^^ i— ^ = yK{x\
et ainsi de suite.
64 INTRODUCTION.
Les séries ^(^), î^(^), . . • , absolument convergentes t&nt que Ton a
ne peuvent être convergentes pour une valeur b de x telle que l'on ait
Si ^(^), en effet, ëtait convergente pour a: = 6, on aurait
lim.l nanb'^ \ = o
et a fortiori
lim-l anô» I = o;
par suite la série 9{x) serait convergente pour les valeurs de x satisfaisant aux conditions
Yi<\x\<\b\.
Toutes les séries 9{x)^ ^(^)> ^(^)) • • • ont donc le même cercle de convergence. Il peut d'ailleurs arriver que, sur la circon- férence, la première série soit convergente sans que les autres le soient : c'est ce qui arrive si l'on suppose
/rs a? 37* a?*
' I* a* 71*
La série
«(^)-H?«'(^)-+--^«'(^)+...,
1 I • 2
convergente assurément si l'on a
peut être convergente pour d'autres valeurs de h. Ce fait sert de fondement à la théorie de la continuation que l'on développera plus tard (n*** 51-60); la proposition qui fait l'objet principal du numéro suivant résulterait immédiatement de cette théorie; toute- fois nous la plaçons ici pour ne pas interrompre la suite des idées.
43. Soit 9{x) une série entière en Xy convergente dans un cercle G de rayon R et dont tous les coefficients ne sont pas nuls. En un point x% intérieur à G la fonction 9{x) ne peut pas être nulle ainsi que toutes ses dérivées.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 65
En effet, si l'on pose
on aura
<S{X)= 9(Ti)-\ ^—^ h-+- ... H î^— ^^- A^-h
1 .2 . . . n
Supposons que 9{x) soit nulle ainsi que toutes ses dérivées pour x = Xt] alors le second membre sera nul quel que soit h ; le pre- mier membre sera donc nul pour toutes les valeurs de x qui véri- fient la condition
sous laquelle le développement de 9{x), suivant les puissances de A =: j: — Xt est légitime; c'est-à-dire que ^{x) sera nulle pour tous les points x situés à l'intérieur du cercle C| décrit de x^ comme centre et tangent intérieurement au cercle C. Il en sera de même de toutes les dérivées de ^(x), ainsi qu'on le voit soit en regardant une dérivée comme la limite du rapport de l'accroisse- ment de la fonction à l'accroissement de la variable, soit parce que l'on peut écrire pour les dérivées $'(:r), $"(^), . . . des dévelop- pements suivant les puissances de A analogues à celui de 9{x) que nous venons de considérer.
Si le cercle C< contient le point o, la fonction 9(x) étant nulle
I
en ce point ainsi que toutes ses dérivées, tous les coefficients de son développement suivant les puissances de x devraient être nuls (n** 36), ce qui est contraire à l'hypothèse. Si le cercle C< ne contient pas le point o, on prendra à l'intérieur de ce cercle, sur le rayon opposé à celui qui aboutit au point Xt, un point X2 pour lequel on appliquera le même raisonnement; 9(x) devra être nulle ainsi que toutes ses dérivées pour tous les points intérieurs au cercle C2 décrit de X2 comme centre et tangent intérieurement à C. Si le cercle C2 contient le point o, la démonstration est ter- minée; sinon, en continuant de la même façon, on parviendra évi- demment à enfermer, au bout d'un nombre fini d'opérations, le point o dans un cercle à l'intérieur duquel on saurait que la fonction ^£(x) est nulle ainsi que toutes ses dérivées et l'on arrive toujours à la même conclusion.
4i. Voici maintenant quelques conséquences importantes de T. et M. — I. 5
66 l?ITRODUCTIOX.
celle proposilion el qu'il faut rapprocher des résullals analogues oblenus dans le n® 36 pour le poinl o.
Pour x = X{ la fonction ï( a:) peut être nulle ainsi que ses dé- rivées, ^(^i), ^{x^)^ . . .; mais il existe une dérivée 9^'^^{xx) qui n'est pas nulle. En supposant que toutes celles d'un ordre moindre soient nulles, on peut écrire
$(a;)= L_L-(a7 — j-,)«H 7^^-^- (a: — a?i )"■»■» -+-...
^ ' 1.1,.. n^ ^ I .'2 . . . (n -f-i) ^
ou
Çl(x)= (a: — a:,)«P(ar — rri),
P(x — Xi) désignant une série entière en (x — Xt) qui n'est pas nulle pour x = Xi et qui est convergente dans le cercle C< ; on dit alors que Xi est un zéro d'ordre n de 9(x).
Le point a:<, intérieur au cercle C, ne peut pas être la limite d'un ensemble infini de points pour lesquels 9(x) s'annule, par exemple x^ ne peut pas appartenir à un arc de courbe, si petit qu'il soit, en tous les points duquel 9{x) s'annulerait.
DeuK séries entières en Xj convergentes dans le cercle C, ne peuvent avoir des valeurs égales pour les points d'un ensemble in- fini admettant pour limite un point Xt intérieur à C, par exemple pour tous les points d'un arc de courbe intérieur à C, sans être identiques, c'est-à-dire sans que les coefficients correspondants dans les deux séries soient égaux.
Enfin dans un cercle C concentrique à C et de rayon moindre, il ne peut exister une infinité de points distincts pour lesquels ^{x) s'annule : si l'on considère, en effet, l'ensemble infini que formeraient ces points, on voit qu'il admettrait nécessairement comme point limite un point intérieur à C ou situé sur sa circon- férence (*) et dans tous les cas intérieur au cercle C.
45. Soit
9{x) = ao-{- aix -\- ... -\- aaX" -h . . .
une série convergente dans le cercle C; la série
^{x)= ^x-^^x^-^- ... -h ~^^xn-^^ ^1 1 n-h I
{*) C'est une généralisation facile du Ihéoréme de Bolzano {voir V Introduction à la théorie des fonctions, de M. J. Tannery, p. 42, n'SS).
SfiRIBS DONT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 67
sera convergente au moins dans le même cercle, car si, pour une valeur particulière de a:, | a^^r" | tend vers zéro quand n augmente
indéfiniment, il en est de même de — ^ ^r" . D'ailleurs, la dérivée
^(a:) de la série ^{x) est égale à 9{x)\ les deux séries ï(^), ^x) ont donc le même cercle de convergence (n''42). Enfin, on peut démontrer que, sur la circonférence même, la série ^(^) est convergente aux points où la série 9{x) est elle-même conver- gente ( * ) ; mais inversement, comme nous Tavons déjà fait obser- ver dans le n° 42, sur la circonférence, la convergence de ^x) n'entraîne pas celle de 9(x). De l'égalité
résulte la conséquence suivante : si l'on considère un arc de courbe y, intérieur au cercle C, défini par la relation
où la variable réelle t doit varier de Iq à ti et où 'f (^), ^(^) sont des fonctions réelles de t^ admettant les dérivées ç'(/), ^'(^), on aura^ en prenant l'intégrale le long de l'arc y et en désignant par x^j Xi les extrémités de cet arc qui correspondent aux valeurs Iq, tt de /,
r$(:r)^=^(ari)-^(aro) («). 46. Reprenons les notations du n° 37 et considérons à nouveau
(*) C'est une conséquence de la seconde des propositions énoncées dans la note du a* 31.
{*) Nous rappelons rapidement la démonstration de cette proposition, afin d'éviter, dans Tesprit du lecteur, toute confusion entre les intégrales relatives aux variables imaginaires et celles qui se rapportent aux variables réelles.
Si, pour les valeurs de x que définit la relation x = <p{t) -h i^{t)y on a, en désignant par *(/), V(f), *,(*), V, (^) des fonctions réelles,
on aura ou
68 INTRODUCTION.
une série
wo -'- «1 ^- • • • -»- Wrt -4- ...
doDt tous les termes (*) sont des fonctions de x satisfaisant aux diverses conditions imposées dans ce n° 37. La somme f (.r) de cette série peut, comme on Fa vu plus haut, être mise sous forme d^une série entière en x pour les valeurs de la variable qui satis- font à la condition
\x\<k\
et, par suite,
\ *'(O = *,(0ç'(O~v.(O+'(O,
D^ailleurs on a, par définition,
f9{x)dx^ f '[*.(0?'(0-^\(0+'(0]rf^
or les intégrales qui figurent dans le second membre ayant le sens de la théorie des fonctions d'une variable réelle, on voit, en tenant compte des égalités (I). que ces intégrales sont respectivement égales à
ce qui démontre l'égalité
f(S{x)dx=lj,x,)--^{x,),
On aurait pu établir le même résultat en partant du théorème démontré au n"* 28. En supposant la courbe y intérieure à un cercle C concentrique à C et de rayon moindre et en se rappelant que, dans ce cercle C, la série ^{x) est uni> fermement convergente, on voit qu'on pourrait écrire
J' 9 {x) dx = a^ I dx -\- a^ I x dx h. ..-h a^ 1 x'* dx -h... \ y «/y »/y «/y
il resterait à établir les égalités
X
X'* dx = — — (X-+' — x"^' )
qui sont, au fond, des cas particuliers de l'égalité que nous voulons démontrer, mais qu'il est facile d^établir directement en se reportant à la définition des in- tégrales prises le long d'une courbe.
(*) Nous écrirons u^(x) à la place de u^ quand nous aurons besoin de mettre la variable en évidence.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'unE YARIàBLE. 69
elle admet donc (n'' 42) pour ces valeurs, des dérivées cp'(^), ç'(x), ... ; nous allons montrer que, si l'on désigne par m^^, m*, . . ., les dérivées successives de la fonction iin^, dérivées qui existent aussi en vertu du précédent numéro, les séries
"o "+" "i -+-••• -t" "« "^ ••• » MÎ -f- MÎ -+-... -I- aj -t- ... ,
sont convergentes pour les mêmes valeurs de x et ont pour sommes
Soit en effet x un nombre fixe dont la valeur absolue X soit moindre que  : soit h une variable dont la valeur absolue H reste moindre que A — X. Considérons la série
dont les termes sont des fonctions de A ; on a, d'après le n° 42,
u' . af
d'ailleurs la série (f(x-j-h) est uniformément convergente pour les valeurs considérées de A ^ on peut donc appliquer le théorème du n® 37 et mettre (f{x + h) sous la forme d'une série entière en A ; on aura ainsi
11=0 R=0 n=0
et le théorème est démontré.
47. Supposons maintenant que, pour les valeurs de x qui satis- font à la condition
la série
■ Mol -+-| Ml I -+-...-+- I Mo I-^. ..
soit uniformément convergente et que sa somme reste inférieure à un nombre positif fixe, le produit
n = ao
P(a^) = JI(i+«»)
n=0
70 INTRODUCTION.
pourra, pour ces valeurs de x^ être mis sous la forme d^une série entière ; la fonction P(^) admet donc des dérivées. Pour les former, on mettra le produit infini
/! = «
P(a? -+- A) = TT [i -h Mn( JT -f- h)]
n = 0
sous la forme d'une série entière en A, ce qui, en vertu du même raisonnement que pour la série, est possible pour toutes les va- leurs de h qui vérifient la condition
|A|<A-|ar|.
On a vu, n** 40, que, dans ce développement, le coefficient de la première puissance de la variable, qui est ici A, peut se mettre sous la forme
P(a7) / . H / . -h... H 7— r -h... L
Li-l-tto(ar) i-+-M|(a?) i 4- ««(ar) J'
pourvu qu'aucune des fonctions
ne soit nulle, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x telles que P(^) soil différent de zéro. On a donc, en désignant par P'(^) la dérivée de P(^),
P(j:) I-hMo l-^Ui '" I -H Mit ^
et l'on voit que la dérwée logarithmique de P(^) est la somme des dérivées logarithmiques de ses facteurs. Si P(^) était nul, il faudrait que Tun des facteurs, 1 -h w« par exemple, fût nul ; on verrait alors sans peine que la dérivée de P(^) serait donnée par la formule
P'(ar) = (1 -h ao)(i H- Ml). . .(I -t- Un~i)u'n{i -h M/»-hi)(i -+- M„4-î). • • :
c'est encore la même règle que pour un produit limité.
48. Plaçons-nous maintenant dans le cas du n° 38, où, en con- servant les notations de ce numéro, la série à double entrée et à
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 71
termes positifs
0=0 p = o
est convergente. Désignons par
Ui»(a?) = ^ |an,p|arP, p=o
ce que devient la série Un{x) quand on y remplace les coefficients ^'/i,p par leurs valeurs absolues; il est clair. que les dérivées U^(j:), U*(:r), ... de U„(:r) ne seront autres que les séries u'^{x)^ u^[x)y ... dans lesquelles on remplace aussi les coefficients par leurs valeurs absolues. On voit de suite que la série
où l'on regarde x comme une constante dont la valeur absolue X est moindre que A, et A comme une variable dont la valeur ab- solue est inférieure ou égale à A — X, satisfait, elle aussi, aux conditions (i°) et (2°) du n"* 38; en effet, chacun de ses termes peut être remplacé par une série entière en h\ et (1°) si, dans la
série
h h^
Un{x)-\- Un{x) h Wrt(a?) — - -4-. . .= Un{x -{- h),
1 1 • ^
on remplace les coefficients des puissances de h par leurs valeurs absolues et h par A — X, on formera une série dont les termes seront respectivement moindres que les termes correspondants de la série
U„(X) + U;(X)^^ + U^(X)^^""^^' +. . .= U„(A) = A, ; d'ailleurs (2®) la série
Ao-h A| -h . , . -H A^-f-. . .
est convergente. Dès lors, on peut appliquer à la série qui repré- sente ^{x -^ h) et au produit infini
/!=•
V{X -f- h) = JT [l -t- Un{x -h A)]
n — 0
72 INTRODUCTION.
les résultats obtenus dans les n*'* 38, 41, et Ton a ainsi établi, sans s'appuyer sur la proposition générale du n° 37, que les séries
ul{x) -h M* (a?) -f-. ..-f-«J(a?)-+-.. .,
sont absolument convergentes tant que Ton a |a:l<cA, qu'elles représenlenl les dérivées ç'(^), f"(^)j • • • de la série ^(j?) et que, en supposant toutefois P(^) différent de zéro, la série
1H-U(i{x) l-hUi{x) I-hUn{X)
est absolument convergente dans les mêmes conditions et repré- sente la dérivée logarithmique de P(^). Il est aisé de voir, en outre, que la série
satisfait aussi, ainsi que les dérivées suivantes de f (^)) stux con- ditions (i®) et (2'') du n** 38, pourvu qu'on remplace A par A — e, e étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra.
Enfin, en vertu de remarques faites dans les n*** 38 et 41 , des conclusions pareilles s'appliquent aux séries et produits infinis que l'on peut déduire de la série o{x) ou du produit infini P(^) en groupant les termes ou les facteurs de cette série ou de ce produit.
49. Voici encore une conséquence du n® 37. Soient
/(J^) = «0-»- «i^^ ^-. • •-+- «/i^'*-+-- • •.
deux séries entières, la première eny^ la seconde en x.
Supposons, en désignant par A et B deux nombres positifs, que pour les valeurs de x qui vérifient la condition
la seconde série soit absolument convergente et que l'on ait
I?(^)|gB;
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 73
supposons, de plus, que la première série soit absolument conver- genle pour^ = B.
La première série, quand on y regarde^ comme égal à ç(^), est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition [ a; | <^ A ; d^ailleurs [?(^)]'', pour ces va- leurs, à cause de la règle de multiplication des séries, peut être mis sous la forme d'une série entière en ^ ; il en est donc de même de la fonctiony[(p(:c)].
En particulier, on se trouvera dans le cas du n° 38, si la série à termes positifs
I 60 1 -+- I 6, A I -h. . . -f- 1 6;, A» 1 -H . . . est convergente et a une somme égale ou inférieure à B.
50. La proposition précédente montre que l'inverse d'une série entière en x
convergente sous la condition
x\<Q,
où C est un nombre positif, peut elle-même être mise sous la forme d'une série entière en x, quand le premier coefficient Cq n'est pas nul.
On peut, en effet, poser
y = CiX -^ C|a7*-h. . .-h C/^a?'*-!-. . ., puis écrire
9{x) Co-+-^ co cl cl c5
pourvu que l'on ait
>l<|col;
on peut d'ailleurs déterminer un nombre positif D <^ C, tel que.
sous la condition
la?|<D
on ait
lrl<K<|co|,
74 INTRODUCTION.
K étant un nombre positif; cela résuite de la continuité de la série
dans le voisinage de :r = o. Dès lors, on voit que, pourvu que ûc soit moindre que D en valeur absolue, les conditions requises pour Inapplication du théorème du numéro précédent sont véri- fiées, et, par conséquent, pour ces mêmes valeurs de x, l'inverse de $(j?) est elle-même une série entière en œ. Il en sera de même du rapport
où 9i{x) est une autre série entière en or, convergente lorsque Ton a I ^ I <; D, comme on le voit en multipliant les deux séries
(Six)'
au surplus, pour trouver les coefficients de la série égale au rap- port considéré, on pourra, au lieu d'appliquer le procédé précé- dent, employer la méthode des coefficients indéterminés ou effec- tuer la division comme s'il s'agissait de polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de x.
Des considérations d'une autre nature montrent que le cercle
de convergence de la série entière en x qui est égale à ^.— est la plus petite des valeurs absolues des racines de l'équation <S{x) = o.
rv. — Continuation des fonctions.
Si . Les paragraphes précédents montrent comment la considé- ration des séries entières donne naissanee à des fonctions de x continues, admettant des dérivées. Toutes ces fonctions, obtenues par des séries entières, ou des combinaisons, en nombre' fini ou infini, de ces séries, se ramènent elles-mêmes à des séries en- tières, et se trouvent toujours, à moins qu'il ne s'agisse de fonc- tions transcendantes entières, enfermées dans un cercle, le cercle de convergence de la série finale. Il nous reste à montrer com-
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D^DNB TARIABLE. 76
ment on peut sortir de ce cercle : on y arrive par la notion de la continuation des fonctions ( * ). Soit
une série entière en :c — Xq^ admettant pour cercle de conver- gence le cercle Co, de centre Xq^ de rayon Ro. La somme de cette série définit une fonction de x pour toutes les valeurs de la va- riable qui vérifient la condition
Cette série est, suivant la terminologie de M. Weierstrass, un élé-
ment de fonction analytique.
Soit, maintenant, x^ un point situé à V intérieur du cercle Co-
Si Ton fait
X — Xq= Xi — iro-+-/'^ h =z X — Xx,
il existera, d'après le n° 42, une série procédant suivant les puis- sances de A, ayant la même somme que la série proposée, et con- vergente tant que Ton aura
c'est-à-dire tant que le point x est à l'intérieur du cercle décrit du point Xi comme centre, et tangent intérieurement au cercle Co; nous désignerons cette série par
^i{x -— Xi) = bo-\- bx{x ^ Xi) -\- . . .-k- bn{x — a?i )'*-+-. ...
Les coefficients bo, 6|, .«•, bny • . . ne sont autre chose que les valeurs, pour x = Xi^ des fonctions
Désignons par R, le rayon du cercle de convergence C| de la série 9^ {x — Xt ). Deux cas peuvent se présenter : ou bien l'on
(') M. Méray, qui, par son enseignement et ses publications, a été l'un de cenx qui ont le plus contribué à fonder la théorie des fonctions sur la considé- ration des séries entières, emploie l'expression de cheminement.
76 INTRODUCTION.
aura, quel que soit le point Xi intérieur au cercle Co)
R,= Ro— Ixi — a7o|; ou bien, pour certains points au moins, on aura
Ri> Ro — I ^1 — ^o|' Dans le premier cas, dont on a d'ailleurs des exemples (•), la
(■) Telle est la série signalée par M. Lerch {Acta mathematica, t. X, p. 87)
dont le cercle de convergence a pour rayon i : si Ton pose
a? = r(cos^-h tsinçp) (r<i)
et si l'on suppose 9 = — air, /? et 9 étant entiers, on voit sans peine qu'on peut écrire) pour cette valeur de la variable,
* '
Ç(jr) =. y a?i« ."4- y r^*-",
n=l n—q
La seconde partie du deuxième membre est réelle et la valeur absolue de la pre- mière est moindre que g — i : la seconde partie croît d'ailleurs indéfiniment quand /' tend vers un, par des valeurs croissantes; il en est donc de même de I $(:r) I quand le point x s'approche de la circonférence du cercle C^ en restant sur le rayon qui aboutit au point dont l'affîxe est
P ' • P
cos — ar-hisin— aie;
on en conclut que ce point ne peut être situé à l'intérieur du cercle de conver- gence d'une série $,(jr — xj déduite de 9{^) comme il a été expliqué dans le texte. D'ailleurs sur tout arc de la circonférence du cercle C, se trouvent une infinité de points dont l'&ffixe a la forme précédente; tous les cercles de conver- gence des séries telles que 9^{x — x^) sont donc tangents intérieurement au cercle C^. Il en serait de même pour la série
I-»'
n=rl
et d'autres séries analogues qui se rencontrent dans la théorie des fonctions el- liptiques, mais la démonstration est un peu plus compliquée. On pourra consul- ter sur ce sujet un intéressant article de M. Méray dans le Bulletin des Sciences fnathématiques, a' série, t. XII, p. a48.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 77
fonction définie par la première série 9{x — x^^) est réellement enfermée dans le cercle de convergence Co ; elle ne peut être con- tinuée au delà.
Le second cas est celui qui se présente le plus souvent dans les applications élémentaires; nous allons nous y arrêter.
52. Dans le cas qui nous occupe maintenant, les deux cercles Co et C, ont une partie commune [Co,G|]. Nous allons démontrer que, en tout point ^, intérieur à la fois aux cercles Co, C|, les deux séries 9q{x — x©), 9\{x — x^) représentent la même fonc- tion.
D'abord, pour tout point x\ situé à Tinlérieur du cercle C'^ dé- crit du point oTi comme centre et tangent intérieurement à Coj les deux fonctions 9o{x — Xq)j 9\{x — x^) sont égales ainsi que leurs dérivées. La chose est évidente pour les dérivées, si Ton regarde celles-ci comme les limites du rapport de [^accroissement de la fonction à celui de la variable. Elle apparaît aussi claire- ment, si Ton compare les deux développements
ffo(ar'-xo) -+- - «'o(^'- xo)-^.. .H ^^— iY{x'-Xo) -H. . .,
*i(^'— ^i)-+--*;(^'-^i)-H...H ^^«i«>(ar'— ar,)H-...,
1 * ^ ' 1.2. . ./l ' ^
développements où 9^^\x' — Xo), 9\"\x' — Xi) désignent les va- leurs pour x = x' des /i»*"" dérivées par rapport kx de9o{x — Xq)-, 9i{x — Xi), et que Ton obtient en remplaçant, dans ces der- nières fonctions, x par x' -\- h, puis en développant suivant les puissances de A. Ces deux séries entières en h doivent avoir des valeurs égales pour des valeurs suffisamment petites de A, et, par conséquent, doivent avoir leurs coefficients correspondants égaux (n**36). Si donc le point Ç est intérieur au cercle G',, les deux séries 9o(x — Xq)^ ^i (^ — ^i) ont même valeur en ce point, ainsi que toutes leurs dérivées.
Si Ton considère, en général, deux points quelconques Xi et i, on peut les supposer reliés de la façon suivante. Imaginons une suite formée par un nombre fini de points, d'ailleurs aussi rap- prochés qu'on voudra,
78 INTRODUCTION.
dont les points x^ et Ç soient le premier et le dernier, et une suite correspondante de cercles
Cj» il, Fj, ..., r^, r,
tels que le centre de chaque cercle soit le point correspondant de la suite
^ii si» sî» • • • » Ç»? s»
et que chaque cercle contienne, à son intérieur, le centre du cercle suivant. Nous appellerons la figure formée par ces cercles et leurs centres chaîne de cercles entre Xt et Ç (*).
Les points x^ et Ç étant intérieurs à l'espace [Co,G|], nous supposerons la chaîne formée de cercles qui soient tous intérieurs à cet espace et qui n'en touchent même pas la limite. On pourra , si Ton veut, prendre, par exemple, les points Ç|, Çj, ...,$„ sur le segment de droite qui joint Xi à Ç.
Ceci posé, en tout point du cercle C|, les deux séries 9o{x — j?o)> 9i{x — Xi) ont les mêmes valeurs, ainsi que toutes leurs déri- vées; nous dirons que, dans ce cercle, elles coïncident. Le point Çf est intérieur aux cercles Ci, Co, C{. Si, dans Tune ou l'autre des séries 9o{x — Xq), 9i(x — Xi), on remplace x par ^i-\-x — Ç| et qu'on ordonne par rapport à x — Çi, on formera deux séries identiques entières en x — Ç|. On peut représenter l'une ou l'autre par
celte dernière série converge sûrement dans le cercle r<, intérieur aux cercles Co, C|, et y coïncide tant avec 9!o(x — x©) qu'avec *Si{x — Xi), Le point Ç2 est intérieur aux cercles Co, C|, Fi. Si, dans les ^séries ^q{x — ar©), 9i{x — ^,), rsi{x — Ç4), on rem- place X par $2 -f- ^ — $2 et qu'on ordonne par rapport à x — ^2? on formera trois séries identiques entières en x — ^27 et dont l'une quelconque peut être représentée par
cette dernière série converge dans tout le cercle r2 intérieur à
(*) Il est souvent commode de supposer que chaque cercle contienne aussi \c centre du cercle précédent, afin qu'on puisse descendre la chaîne en allant de \ à x^, comme on la monte en allant de x^ à ^.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE TàRIABLE. 79
Ce et à C<, et y coïncide avec 9q{x — ^o) et 9x{x — Xi). On continuera de la même façon, et Ton parviendra ainsi, par un nombre ^/ii d'opérations, à une série entière en ar — Ç,
convergente dans le cercle F de centre Ç, intérieur aux cercles Co et C|, et coïncidant, dans ce cercle, tant avec 5*o(^ — ^o) qu'avec ï< (^x — X\). La proposition est démontrée.
53. Nous venons de voir qu'il existe une fonction f{x) qui, pour tout point intérieur soit au cercle Co, soit au cercle C|, coïn- cide soit avec $o(^ — ^o)j soit avec 9\{x — x^)^ soit avec les deux, si le point x est à la fois intérieur aux deux cercles.
Pour un point de la circonférence du cercle Cq situé à l'inté- rieur du cercle C|, on doit prendre pour définition de f{x) la va- leur que fournit la série 9\{x — x^), A cause de la continuité, on voit que, si la série $o(^ — ^0) se trouve être convergente en ce point, elle fournira la même détermination, comme il résulte du second théorème d'Abel , en supposant qu'on s'approche du point X en suivant le rayon du cercle Go qui y aboutit. Mais la série ft'o(^ — «^o) peut n'être convergente en aucun point de l'axe considéré, et Wfaut alors recourir à la seconde série $i [x — x^ ).
Les points situés sur l'arc de cercle G|, contenu à l'intérieur de Co, donneraient lieu à des observations semblables.
Les arcs de chacun des cercles Co, C|, qui sont intérieurs à l'autre, peuvent être effacés, et, dans l'aire limitée par les arcs restants, aire que nous désignerons par le symbole
((Co, C,)),
on a défini une fonction univoque /(x), jouissant des propriétés qui suivent : En chaque point a intérieur à l'aire considérée, la fonction est finie, continue, 'et admet des dérivées de tous les ordres ; elle est développable en une série entière en x — a, con- vergente pourvu que la valeur absolue de x — a soit suffisam- ment petite. (On exprime souvent l'ensemble de ces propriétés en disant que la fonction est régulière en a.)
On dit aussi que la série ^£o{x — Xq) est continuée dans le cercle C|, hors du cercle Co, par la série $| {x — :r, ).
8o INTRODUCTION.
54. Il est à peine utile de faire remarquer que, si la série
$0(^ — ^0) = ao-^ ai{x — Xq) -h. . *-\- an(:x: — 3?©)'*-+-... est continuée par la série
9i(x ^ Xi) = bo-h bi{x — Xi)-h...4- 6„(a7 — ari)»-h...,
les séries
• • • »
dérivées successives de la première, seront, de même, continuées
par les séries
9\{x-x,), <£\(x-x,l
dérivées successives de la seconde. De même encore, si l'on pose
^0(^ — ^0) = — (ar — Xo)-»- — (x — aro)*-H...4- - _^— (a:— iro)«^-» -+-..., 5i(a? — a:,) = -^ {x — Xi) -h ^(x — Xi^-^-. ..-h -— ^ (ar - a^i )«-^-» H- . . . .
la série ^o(^ — ^0) sera continuée, dans le cercle C| , par la série
qui, au point :ri, coïncide avec elle ainsi que ses dérivées. Dans le cas où le cercle C| contiendrait le point Xo, les deux séries qui se continuent devraient être égales pour x = Xo; on aurait alors
^i (aro— a:, ) = — '^q(xi — XqY
55. On a supposé, dans ce qui précède, que les cercles C©, C| étaient les cercles de convergence des deux séries 9o{x — jr©)» $i(iP — Xi); mais il est évident que tous les raisonnements sub- sisteraient sans modification si Ton avait pris, à la place du cercle Go, un cercle concentrique de rayon moindre; puis, après avoir déduit de la même façon la série ï|(a: — Xi) de la série 9o{x — ;ro), à la place du cercle C| un cercle concentrique plus petit.
Si Ton continue à supposer que les cercles G© et G| sont les cercles de convergence des deux séries 9q(x — Xq)^ Ïi (^ — »«^i \
SfiBIBS DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNB VARIABLE. 8l
on peut faire une remarque intéressante relative aux rayons Rq et R| de Co et C| :
Le cercle C| étant, au moins, intérieurement tangent au cercle Go, on a
Ri = Ro — I ^1 — ^0 I •
On a, de même,
Cela est évident, si le cercle C| ne contient pas Xq à son intérieur; dans le cas contraire, cette inégalité résulte de ce que Ton aurait pu déduire la série $o(^ — j:©) de la série $| (x — Xi ), comme on a déduit ï| {x — Xi) de 9o{x — Xq); on poserait
1 .2. . ./l
(x—'Xq)^
et la série qui figure dans le dernier membre serait identique, terme par terme, à $0(2: — Xq), puisque les deux fonctions Ç| (x — Xi ), ^o{^ — -^o) doivent, pour x = Xq^ être égales, ainsi que toutes leurs dérivées (*).
56. Si l'on prend un point X2 intérieur à l'aire ((Cg, C|)) et si
l'on considère la série
<St(x — Xt)
entière en x — X2, qui représente en X2 et aux environs immé- diats la fonction /(ar), il peut arriver que le cercle de convergence de $2(^ — ^2) dépasse Taire ((C^, C|)), ce qui permet alors d'étendre l'aire dans laquelle la fonction /(:c) est définie. Et l'on peut continuer ainsi. On concevra d'ailleurs plus facilement la possibilité de cette extension par les remarques que nous allons faire dans ce numéro et dans le suivant.
Considérons une portion (A) du plan, limitée par un ou plu-
(*) Si l'on donne au point x^ les diverses positions qu'il peut occuper dans le cercle G,, à chaque position correspondra une valeur pour R,. Il résulte de la remarque précédente que la limite supérieure de l'ensemble des valeurs de R, est aR^. On démontre que la limite inférieure de cet ensemble est o, limite qui n'est d'ailleurs atteinte pour aucun point intérieur à Ce.
T. et M. — I. 6
8a INTRODUCTION.
sieurs contours, mais d'ailleurs conn^^e, cVst-à-dire telle que Ton puisse toujours joindre deux points intérieurs à (A) par une ligne brisée située tout entière dans (A) et n'en rencontrant pas le contour.
Supposons qu'une fonction /(j?) soit définie pour tout point a appartenant à (A) ou à son contour, et soit telle qu'il existe une série 9a {x — a), convergente pourvu que la valeur absolue de j? — a reste inférieure à un certain nombre positif fixe r, indépendant de a, aussi petit qu'on le voudra, et que cette série ait les mêmes valeurs que f{oc) dans le cercle de centre a et de rajon r('). Nous dirons que la fonction /(^) est holomorphe dans l'aire (A), et sur son contour.
Soit une seconde fonction f (x) aussi holomorphe dans l'aire (A) et sur son contour, le rayon de convergence des séries entières par lesquelles on peut l'exprimer aux environs de chaque point étant aussi au moins égal à r.
Si en un point a, intérieur à (A), les deux fonctions /(x), ç(jr) sont égales ainsi que toutes leurs dérivées, elles coïncident en tout point de Taire (A).
Autour de ce point a, en effet, dans un cercle de rayon égal ou inférieur à r, les deux fonctions sont représentées par la même sé- rie entière en x — a; soit maintenant b un autre point intérieur à (A), on pourra relier les deux points a, b par une chaîne de cer- cles, tous de rayons inférieurs à r et tous intérieurs à Taire (A). Dès lors, le raisonnement employé dans le numéro précédent pour
(*) Toutes les restrictions que nous faisons ici, comme le lecteur s'en convain- cra sans peine, ne sont pas nécessaires ; elles sont faites pour faciliter le raison- nement dans une théorie dont nous ne voulons exposer que les parties les plus essentielles.
Ainsi la fonction /(^)y défînie dans Taire ((C,, CJ), dans le n<> 53, ne satisfe- rait aux conditions imposées que si l'on substituait aux cercles C,, C, des cercles respectivement concentriques, mais de rayons moindres.
Ajoutons encore qu'en parlant de courbes qui servent de contour ou de lignes d'intégration, nous supposerons toujours que l'on a affaire à des lignes formées d'un nombre fini d'arcs de courb.es simples, comme des portions de droites, d^arcs de cercles, etc., ou, plus généralement, d'arcs de courbes analytiques, c'est-à-dire telles, que les coordonnées rectangulaires d'un de leurs points puissent s'expri- mer par des séries entières, à coefficients réels, par rapport à un paramétre réel tj lequel ne doit varier que dans les limites où ces séries sont absolument convergentes.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'UNB VARIABLE. 83
prouver que, au point Ç, les deux séries 9^{x — x^), 9^ (x — Xt) avaient même valeur, ainsi que toutes leurs dérivées, subsiste évi- demment; en allant de cercle en cercle, on voit que les deux fonctions /(j:), ^{x) sont représentées, dans chaque cercle, par la même série entière. On voit aussi d'ailleurs que ces deux fonc- tions doivent coïncider sur le contour de (A).
En particulier, si 9a{x — a) est la série entière en :r — a qui représente la fonction f{x) dans le cercle de rayon ret de centre a, l'égalité
devra subsister pour tous les points x qui sont à la fois situés à l'intérieur du cercle de convergence de la série et à l'intérieur de (A). Si l'on considère un cercle de centre a et situé tout entier à l'intérieur de (A), l'application évidemment légitime de la formule de Gauchy
où l'intégrale est effectuée le long de la circonférence de ce cercle, dans le sens direct, montre que l'on a, pour tous les points x intérieurs à ce cercle,
•^ ^ ^ J z—a ^ J (-5 — «)*
(X — a)« f , •^^^\, dz-^....
Le second membre n'est autre chose que la série $« i^x — a) et l'on voit que le rayon du cercle de convergence de cette série est au moins égal à la plus courte distance du point a au contour de (A) ( *). Le rayon du cercle de convergence est même nécessaire- ment un peu plus grand, en raison de l'hypothèse qui a été faite sur la façon dont la fonction f{x) se comporte sur le contour de (A).
Si maintenant on part d'un point b intérieur à la fois à (A) et au cercle de convergence de la série 9a{x — a), et que l'on forme
(*) Cette dernière conclusion pourrait se déduire, en ne faisant intervenir que des propositions appartenant à la théorie même des séries, du théorème énoncé dans la note du n" 55.
84 INTKODUCTION.
la série
. 9'„{b-a),_ .^^ i.a ^ '
on aura
pour tous les points x situés à la fois dans (A) et à Tintërieur du cercle de convergence de la série $^(^ — 6), en sorte que, dans (A), la continuation de la fonction $a(:c — a), effectuée comme il a été expliqué dans les n°' 52 et 53, sera toujours fournie parla fonction/(j:).
Supposons enfin que Taire (A) soit limitée par un contour simple. Alors, si l'on part du point a intérieur à (A) pour aboutir, en suivant une courbe y dont tous les points appartiennent à (A), à un points appartenant aussi a A, l'intégrale
Ji f(x)dx=: 1 f{x)dx Y ^a
sera, comme il résulte du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, indépendante de la courbe (y); elle définira donc une fonction F(a:), univoque dans l'aire (A) et Ton sait, par la théorie de Cauchy, que cette fonction est holomorphe dans (A).
On arriverait assez facilement à la notion de cette fonction F{x) en continuant dans l'aire (A) la série ^(x — a) entière en (x — a) qui a pour dérivée, dans le cercle de centre a et de rayon r, la série 9a{x — a) et cela en suivant un procédé qui sera expliqué tout au long au n° 64; nous laisserons ce soin au lecteur.
57. Considérons maintenant deux portions du plan (A), (B) limitées chacune par un contour simple et deux fonctions /(j?), ^{x) holomorphes chacune dans l'aire correspondante et sur son contour, au sens qui a été fixé dans le dernier numéro.
Supposons que les deux aires (A), (B) empiètent Tune sur l'autre et qu'en un point a intérieur à la fois à (A) et à (B), les deux fonclions/(^), (f{x) soient égales ainsi que toutes leurs déri- vées correspondantes. Alors il est clair, par le numéro précédent,
SÉRIBS DONT LES TERMES BfiPENDBNT D*UNE TARIABLE. 85
que les deux fonctions ne cesseront pa6 de coïncider, ainsi que toutes leurs dérivées dans toute la région (C) commune à la fois à (A) et à (B), et dont les différents points peuvent être reliés à a par une ligne brisée dont tous les points appartiennent à la fois à (A)età(B).
Supposons d'abord que les deux aires (A) et (B) n'aient pas d'autres points communs que ceux qui appartiennent à la région
(C) ainsi définie : on pourra effacer la partie du contour de (A) qui est dans (B), celle du contour de (B) qui est dans (A) et dans
Taire
((A, B)),
dont les points appartiennent soit à (A) soit à (B), on aura défini une fonction holomorphe F (^), égale à /(a?), àç(a;) ou aux deux fonctions /(a:) et <p(^), suivant que le point x est dans (A), dans (B), ou à la fois dans (A) et dans (B).
Mais, si les deux aires (A) et (B) ont une autre région commune
(D) telle que l'on ne pût y pénétrer en partant de a et en restante la fois dans les aires (A) et (B), rien, dans ce qui précède, n'auto- rise à dire que, dans cette région (D), les deux fonctions /(a:), f (j:) coïncident. Il pourra, suivant les circonstances, en être ou n'en être pas ainsi, et il faudra se garder, dans ce dernier cas, d'effacer les portions du contour de (A) ou de (B) qui limitent la région (D). On voit, sans que nous insistions davantage, comment s'introduit de cette façon, la notion de coupure, que nous suppo- sons d'ailleurs familière au lecteur.
38. Donnons un exemple des méthodes et propositions qui pré- cèdent. Partons de la série
^, . X x^ x^
^ ' I 2 3
dans laquelle le cercle de convergence C a évidemment l'unité pour rayon. En un point x intérieur à ce cercle, on a pour les dérivées successives
9'(x)= I — 3r-+-a?« — ... = 1
86 INTRODUCTION.
et par suite, Xt étant un point intérieur à G,
=av.)^«(^-i;).
On voit d^ailleurs que la série
\ I -t- X, /
entière en a: — jti, est convergente tant que Ton a
c'est-à-dire tant que le point ;rest situé à l'intérieur du cercle C|, décrit du point Xi comme centre et passant par le point — i. Ainsi le cercle de convergence de la série
'^^(-'>-^(f^')
est généralement extérieur en partie au cercle G, et l'on a ainsi un premier moyen de continuer la fonction ^S(x) en dehors du cercle G, moyen dont on pourra d'ailleurs poursuivre plus loin l'applica- tion.
D'autre pari, si x' est un point quelconque extérieur ou inté- rieur au cercle G, mais dont toutefois l'affixe n'est pas réelle néga- tive et plus petite que — i (ou = — i), la série
9
/x — t'\ ^x — x' I (a: — a?')^ i (a: — jr')'
entière en x — x\ est convergente tant que x vérifie la condi- tion
c'est-à-dire tant que x est situé à Tintérieur du cercle G' décrit de x' comme centre et passant par le point — i; et comme la dérivée
pai' rapport à j? de ^ ( "~ -, j est égale à
1
9
X — X \-\- X i-f-ar
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT dVnB TARIABLB. 87
les fondions
ont en x toutes leurs dérivées égales; on en conclut que, en dési- gnant par a une valeur de x vérifiant à la fois les conditions
|a|<i, |a-ar'|<|i-har'|, les deux fonctions
coïncident ainsi que leurs dérivées au point a. Elles coïncident, par conséquent, dans toute la région commune à deux cercles respec- tivement concentriques aux deux cercles G et C et de rayons un peu moindres; par suite enfin, en un point quelconque de la région commune aux deux cercles G, G', laquelle contient le point a. Si l'on efface les portions des deux circonférences G, G' dont chacune est intérieure au cercle dont elle ne fait pas partie, on a défini
dans l'aire
((C, G'))
une fonction unique f(^x) holomorphe dans celte aire mais non sur le contour.
Si l'on avait pris comme point x^ un point d'affixe réelle néga- tive et plus petite que — i, il n'existerait pas de point a\ c'est pourquoi nous avons exclu ces valeurs de x .
Si l'on considère maintenant un autre point x!^ tel que la circon- férence G* décrite du point j:" comme centre et passant par le point — I n'ait aucun point commun autre que ce dernier point avec la région [G, G'], commune aux deux cercles G, G', et, si l'on désigne par b un point intérieur à la fois aux deux cercles G, C, on voit que les deux aires limitées par des contours simples. G" et ((G, G')), auront en général deux parties communes : l'une contient le point b\ les points de l'autre ne peuvent être reliés au point b sans franchir le contour de l'une ou de l'autre des deux aires. Dans la première, les fonctions /(a?) et
*(T^>«(r^)-«(*)
88 INTRODUCTION.
coïncident; rien n'autorise à dire qu'elles coïncident dans la se- conde, et, en effet, elles n'j coïncident pas. Nous le savons, d'ailleurs, par les propriétés bien connues de la fonction non uni- voque log(i + x)y et nous ne nous arrêterons pas à montrer com- ment le procédé précédent pourrait permettre de le reconnaître directement.
59. Il nous reste encore, pour terminer ce sujet, à expliquer ce qu'il faut entendre par continuer le long d'une courbe une fonc- tion définie par une série 9q{x — x©), entière en Xq.
Supposons que les points Xq, X|, . . . , :r„ soient les centres res- pectifs des cercles Gq, Ci, . . ., C/i formant une chaîne (n° 52), c'est-à-dire tels que chacun de ces cercles contienne le centre du cercle suivant; supposons, en outre, que les séries
soient respectivement convergentes dans ces cercles, et que cha- cune ait été déduite de la précédente par continuation, de sorte que l'on a, par exemple,
, $i>")(To-arO •+■
I .2. . . n
(a? — ^i)'»H-
Enfin, supposons les points Xq, X|, ,.., Xn situés sur un arc de courbe (S), commençant au point Xq^ finissant au point x„ et sa- tisfaisant aux conditions suivantes :
A chaque valeur de l'arc 5, compté à partir de Xq^ correspond un point unique de la courbe. En se déplaçant sur la courbe de façon que Tare s grandisse d'une manière continue, on rencontre successivement, et dans l'ordre indiqué, les points :ro, X| , ar^, .. . , x„^ en décrivant successivement les arcs XoXt, x^x^^ •••) Xn^^Xnj respectivement contenus à l'intérieur des cercles Cq, C|, ..., C/i_|. S'il arrive que deux de ces arcs se croisent, on regardera comme essentiellement distincts le point du premier et le point du second arc qui coïncident; ces deux points se distingueront par la valeur de l'arc 5, qui n'est pas la même pour l'un et pour l'autre. Convenons encore, si ^ est un point quelconque de la
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'UNE VARIABLE. 89
courbe (S) correspondant à la valeur d de l'arc 5, et si (y) est un cercle décrit du point Ç comme centre, d'appeler arc de la courbe intérieur au cercle (y) la portion de cette courbe que l'on décrit en faisant croître ou décroître s à partir de (^, jusqu'à ce qu'on rencontre la circonférence du cercle (y); s'il y a d'autres points de la courbe intérieurs au cercle (y), on n'en tiendra pas compte.
Ceci posé, nous définirons sans ambiguïté, pour tout point x de la courbe (S) correspondant à un arc s donné, une fonction /(^r), par cette condition que, si le point x appartient à ïdivc XiXi^^, la valeur de/{x) soit égale à celle de 9i(x — j:/).
La fonction y(ic) jouit de la propriété suivante : Si l'on consi- dère un quelconque Ç des points de (S) correspondant à la va- leur rf de Tare s, il existera un cercle (y) de centre Ç, de rayon p indépendant de rf, et une série Ta{x — Ç) entière en x — Ç, telle que Ton ait
pour tous les points de l'arc de la courbe (S) intérieur au cercle (y). Il suffira, en efl*et, de prendre pour p un nombre inférieur à cha- cun des nombres 8|, 82, . . ., 8/i_i, où S/ désigne la plus courte distance d'un point de l'arc XiXi^^ à la circonférence du cercle C/, et, en supposant que ^ appartienne à ce dernier arc, de prendre pour la série HT (x — Ç) la série qui se déduit de 9î{x — Xi)j en substituant x — Ç-l-5 — xt k x — Xi. et en ordonnant suivant les puissances de x — Ç.
Toute fonction /{x) jouissant de la propriété précédente est entièrement déterminée dès qu'on se donne la courbe (S) et le premier élément 9o(x — Xq), ou, ce qui revient au même, les va- leurs des dérivées successives de la fonction /(^) au point Xq. On s'en convaincra sans peine par un raisonnement employé déjà plusieurs fois, en s'avançant successivement sur la courbe (S) à partir du point Xq, et en formant une chaîne de petits cercles de rayons ëgauic à p dont les centres soient sur (S), et se succèdent dans un ordre tel qu'on les rencontre successivement en marchant sur la courbe dans le sens des arcs croissants à partir du point Xq.
On voit, d'après cela, que si, pour continuer la fonction 9^{x — Xq) jusqu'au point Xn^ on avait pris sur la courbe (S) une autre suite de points x\j x'^j . . ,, x'^ Xn correspondant à des
go INTRODUCTION.
valeurs toujours croissantes de l'arc 5, de manière à obtenir, toujours par le même procédé, une suite de séries entières en »* *^ i j ^ """ ^2) ' * * 9 ^ ""~ *^ ni emin %jc ~~~ Xfi%
i\(ar — rro), P|(a:-ar;), P,(ir — x'j), ..., "^p^x — x'p), P„(ir — j:„),
la dernière série ne peut qu'être identique à la série 9n{oc — x,i)y trouvée au mojen de la première suite de points. On a ainsi une idée très nette de ce qu'est la continuation d'une fonction, donnée par un premier élément 9q{x — :ro), quand on suit une courbe déterminée, en supposant que cette continuation puisse se faire. On conçoit d'ailleurs que, en suivant deux chemins différents pour aller du point Xq au point Xn^ on parvienne en ce point avec deux séries différentes, entières en x — x^, quoiqu'on soit parti
du même élément Ço(^ — -^^o).
Si la courbe (S) fait partie d'une aire (A) dans laquelle on ait
défini (n°56) une fonction /(x) holomorphe dans (A) et sur le con- tour, et si l'on part de l'élément 9q{x — Xo), qui coïncide au point Xq et aux environs avec /{x)y il est clair que la fonction que l'on définira ainsi le long de la courbe (S) coïncidera toujours avec f{x)^ et, dans ce cas, si l'on aboutit au même point Xn en suivant deux chemins différents, appartenant tous les deux entiè- rement à l'aire (A), on arrivera en Xn avec la même série
^n\X — Xn)-
60. Reportons-nous maintenant au commencement du n° 56, où, en partant d'un élément 9q{x — x^)^ nous avons cherché à continuer la. fonction que définit cet élément dans le cercle de convergence.
Il peut se faire qu'on parvienne, par une série de continuations successives, à définir dans tout le plan, sauf certains points, cer- taines lignes, certaines régions, une fonction univoque et régu- lière partout, sauf pour les points, lignes et régions exclues. Quant aux lignes de discontinuité, elles peuvent être de diverses natures : les unes ne pouvant être traversées en aucune façon, comme dans l'exemple de la note du n** 5i , tandis que les autres, qui séparent deux régions dans lesquelles la fonction est définie, pourraient être traversées sans obstacle par une ligne suivant laquelle on pourrait continuer la fonction par le procédé
SÉRIES DONT LBS TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 9I
du numéro précédent, en partant d'un élément relatif à un point de la première région, mais avec cette circonstance, que les séries que Ton trouverait ainsi, après avoir traversé la ligne de disconti- nuité, ne coïncideraient plus avec les séries qui définissent la fonction dans la deuxième région.
Nous ferons encore la remarque suivante : Soit ^ (- ) une série entière en -> convergente tant que l'on a
:r|>A,
OÙ Â est un nombre positif. Désignons par X la région et:té- rieure au cercle de rayon A décrit du point O comme centre. On
observera d'abord que la série ^(-) définit une fonction de la
variable x holomorphe dans toute aire limitée qui fait partie de «Ao sans en atteindre la limite : cela résulte, si Ton veut, du théo- rème du n^ 49 sur la composition des séries. Imaginons mainte- nant que, en partant par exemple d'un élément de fonction ^^{x — :ro) et en appliquant le procédé de continuation, on par- vienne à une série ^Sol{^ — -2?a)) pour laquelle x^ appartienne à X et telle que, pour tous les points du cercle de convergence de celte série situés dans JI9, on ait
««(x-*a) = «(^);
il est clair qu'on pourra alors appliquer la proposition du n° 57 et que, si l'on continue l'élément ^\(^ — x») en restant dans X, par exemple au moyen d'une chaîne de cercles tous situés dans Xy on trouvera toujours des séries 9^{x — x^) pour lesquelles on aura
dans la région où les deux membres ont un sens, et l'on pourra regarder l'élément ® ( - ) lui-même comme fournissant la conti- nuation de la fonction, dont la partie que l'on considère est dite alors régulière au point 00.
M. Weîerstrass entend ^dx fonction analytique l'ensemble de
g2 INTRODUCTION.
toutes les séries telles que
que Ton peut déduire par continuation, soit d^une façon, soit d'une autre, d'un élément $o(^ — -^o)- Nous avons déjà fait ob- server, et nous le répétons ici, que, dans cette expression /b/ic- I tion analytique, le mot fonction n'a nullement le sens que nous ' avons donné à ce mot dans ce Livre, et qui indique seulement une correspondance entre deux variables telle que l'une des variables, la variable indépendante, étant donnée, l'autre variable, la fonc- tion, soit donnée. C'est ce dernier sens que nous conserverons toutes les fois que Tépithète analytique ne sera pas accolée au mot fonction.
Il résulte bien nettement de ce qui précède que l'ensemble des séries, qui constitue une fonction analytique, est déterminé quand |
on se donne une de ces séries ; en d'autres termes, une fonction analytique est déterminée par l'un de ses éléments. Comme on '
peut continuer une fonction en revenant sur ses pas et passant de Xn à Xq^ au lieu de passer de Xq à x„, on voit bien que la fonc- tion analytique est déterminée par un quelconque de ses élé- ments.
V. — Application aux équations différentielles linéaires.
61 . Le procédé de continuation d'une fonction donnée par un élément $o(^ — ^o)j c'est-à-dire, au fond, par la suite des coeffi- cients d'une série entière en x — Xq^ n'est guère applicable direc- tement pour reconnaître les propriétés de la fonction qu'on en- gendre ainsi, en raison de la complication évidente des calculs quand on passe d'une série à une autre, et l'importance de ce pro- cédé est surtout théorique. Il sert, par exemple, de base pour éta- blir l'existence de fonctions définies par des équations difieren- tielles.
Nous n'avons nullement l'intention d'exposer la théorie de ces fonctions. Nous nous bornerons, pour donner un exemple, à con- sidérer les équations différentielles linéaires et à établir le théo- rème fondamental relatif à l'existence des solutions de ces équa-
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE YàRIÀBLR. qS
tions (*), théorème qui nous sera utile plus tard : nous nous con- tenterons, d'ailleurs, uniquement pour éviter quelques longueurs d'écriture, d'examiner le cas d'une équation différentielle du se- cond ordre. Les raisonnements qui suivent ^'étendent, sans diffi- culté aucune, aux équations d'ordre supérieur. Soit donc
y'-^py'-^qy — o
une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Supposons que p eiq soient des fonctions de x développables en séries entières en x — Xq absolument convergentes pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
Nous allons montrer que, en désignant par Uq et Ut deux nombres arbitraires, il existe une série de la forme
dans laquelle les coefficients 2/27 i^z^ • • - sont parfaitement déter- minés, convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition précédente (sauf, peut-être, celles pour lesquelles l'égalité a lieu), et qui, pour toutes ces valeurs, vérifie identique- ment l'équation différentielle.
On voit d'abord, en faisant le changement de variable
qui change l'équation proposée en une autre de même forme, que Ton peut se borner à examiner le cas où l'on a
Soient donc, dans cette hypothèse,
p z=pq-^pix-{- ptx^-+-., .,
q = qo-h ÇiX -h qtX^-{-, . .;
(*) La théorie des équations différentielles linéaires, au point de vue des va- riables imaginaires, est duc à M. Fuchs, qui l'a développée dans une série de Mémoires dont le premier se trouve dans le tome 66 du Journal de Crelle.
94 INTRODUCTION.
les séries à termes positifs
P =\Po\'^\Pl\'+'"--^\Pn\-^"-' Q = I î'ol -+- Wl I -H. . .H- I ^«1 -+-. . •
étant convergentes.
Cherchons à satisfaire identiquement à l'équation différentielle par une série de la forme
Uq, Us étant des nombres donnés. En prenant les dérivées pre- mière et seconde, puis substituant dans Téquation différentielle et écrivant qu'elle est identiquement vérifiée, il vient
I .2U|-f-/>oW|-H ^o"0= Oî
(n —i)nua-\' {n — i)po Un-x H- [(n — a)jf>t -H q^] Un-t
Ces équations, où l'on doit regarder Uq, Us comme des données, déterminent successivement et sans ambiguïté les coefficients ;/„ ;<3, . . . , u„^ . . . , et si la série
Mo -h Ml ar -h Mî a?* H- . . .
ainsi formée est convergente, il est clair qu'elle vérifiera l'équa- tion différentielle. Nous allons montrer qu'elle est absolument convergente pour l'ensemble des valeurs de x qui satisfont à la
condition
|a?|<i.
Soient, en effet, A et B des nombres positifs supérieurs ou égaux respectivement à P et à Q, et, par conséquent à \p,t\, \q,i\ pour toutes les valeurs de ri] soient, en outre, Vq et Ci deux nombres positifs égaux ou supérieurs à | Wo| et | w, |. Considérons les équa- tions
2.3^3= •2Ap2-+-(A-4- B)Pi-h Bpo,
SfiRIBS DONT LES TERMES DÉPENDENT D'uNE YàRIÀBLB. gS
(n — i)/iPn = (/i — i) Ap„_i -h [(n — 2) A -f- B] t'rt-j H- [(n — 3) A -h B] (;«_,-h. . .-h (A -f- B) t^, -+- Bpo,
« ■
>
il est clair que, si Ton détermine les quantités Pa, i^g, . . . , r^j • • • par ces formules, tous les nombres ainsi trouvés seront positifs et
que Ton aura
vn^\u„\;
or l'équation qui détermine Çn peut s'écrire
(n — i)nPn= A[(/i — i)p„_i-f-(/i — a)Prt-,-h...-ht',]
en retranchant, membre à membre, de cette équation celle qu'on en déduit en changeant n en n — i, il vient
{n— i)nvn= (n — i)[ A -4-/1 — 2] P;,-, H-Bi^a-j;
ainsi, il suffit de supposer A> 2, pour que i^n soit supérieur à ^•«-i, quel que soit n, supposé toutefois plus grand que un. On a d'ailleurs
Vn-l __ n B Vn-i .
Va AH-/1 — 2 (/l — l)(AH-n — 2) Vn '
le rapport -^^ étant inférieur à un, on voit que, lorsque n aug-
mente indéfiniment, le premier membre a pour limite l'unité; par suite, si ûc' est un nombre positif plus petit que un, la série
est convergente; la série
est donc absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que un. Le théorème est démontré.
62. La valeur de Un tirée des équations (I) est évidemment de la forme
OÙ Xn etifS>n sont des fonctions des coefficients ^o) Piy •••» ?09
96 INTRODDCTION.
^1, .... Si Ton suppose i/| = o, Uo = i^ Un se réduit à Xn] de même il se réduit à ift>„ si ^o = o, {/« r= i ; il résulte par conséquent du théorème précédent que les séries
sont convergentes pour les valeurs de x qui vérifient la condition
et la forme générale des solutions de Téquation différentielle, qui peuvent être représentées par une série entière en x, sera
f{x) = ao«i»(a^)-4- W| '\ft)(x),
où f/o, i/| sont des constantes arbitraires égales aux valeurs pour j: = o àe f[x) et de sa dérivée.
Le fait que les coefficients de la série f{x) sont déterminés quand on se donne les deux premiers, n'est que la traduction de cette proposition évidente a priori : si une fonction est assujettie à vérifier l'équation différentielle
les valeurs de ses dérivées seconde, troisième, ... en un point sont déterminées quand on se donne les valeurs en ce point de cette fonction et de sa dérivée première; cela résulte pour la dé- rivée seconde de l'équation
y'-^py'-^qy = o
elle-même, pour la dérivée troisième de celle qu'on en déduirait en la différentiant, etc.
63. Supposons que les coefficients /?, q de l'équation différen- tielle soient des polynômes entiers en x ou des fonctions trans- cendantes entières. Il existera une fonction satisfaisant à l'équa- tion différentielle linéaire, prenant ainsi que sa dérivée au point a: = j^o des valeurs arbitraires «o, U\ et développable en une sé- rie entière en x — x^y convergente dans un cercle de rayon arbi- traire, c'est-à-dire dans tout le plan. La solution générale de l'é- quation différentielle sera une fonction transcendante entière.
SÉRIES DOIfT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 97
64. Supposons c[ue p et q soient des fractions rationnelles
©(a:), ^(x), 8(^) étant des polynômes entiers n'ayant pas de
facteur commun. Soient ai, 0.2, ..., oLp les racines distinctes de
l'équation
e(a?) = 0;
soit enfin Xq un point du plan distinct des points ai, a2, . . . , oLp. Si R désigne un nombre positif moindre que tous les nombres
les fonctions/? et q pourront être développées en séries entières en X — Xo^ absolument convergentes pour les valeurs de x qui vérifient la condition
I a? — a?o I ^ R ;
il existera donc une fonction tf© (x — Xq) vérifiant l'équation différentielle, prenant pour x = Xqj ainsi que sa dérivée, des valeurs arbitrairement choisies Xq? JJ^-oï ^^ convergente pour les va- leurs de X qui satisfont à la condition
I a? — a^o I < R-
Ceci posé, imaginons une courbe (S) partant du point Xqj ne passant par aucun des points ao, ai, ..., oLp, Il est aisé de voir qu'on pourra continuer la fonction ^q{x — Xq) tout le long de cette courbe. Soit, en effet, 8 un nombre plus petit que les plus courtes distances des points ai, a2, ..., a^ à la courbe (S); considérons une chaîne de cercles Co, C|, ..., C/i ayant respecti- vement leurs centres aux points Xq, ^i, , .,, x^de la courbe (S), et rencontrés successivement par un mobile qui partirait du point x^ et décrirait la courbe dans le sens des arcs croissants (n^ 59). Dans le cercle Co la série ^0 (^ — ^0) vérifie l'équation différen- tielle; cette fonction prend, avec sa dérivée, au point x^ intérieur à Co, les valeurs X| , [jL| ^ soit Ç| (x — x^) la série entière eux — Xt qui vérifie Téquation différentielle et dont les deux premiers coefficients sont X| et [Jt| ; au point a; 1, les séries 9o{x — Xq) et T. et M. — I. 7
qS introduction.
9^{x — X|) coïncident ainsi que toutes leurs dérivées; 9% {x — x^) ne diffère donc pas de la série obtenue en remplaçant, dans tfo (^ — ^o)> X — Xq par
Xi — Xq -+- X — X\
et développant suivant les puissances entières de x — x^. On continuera ainsi de proche en proche, et l'on arrivera en Xn avec une série déterminée ^n (^ — ^n)i qui peut être regardée comme déduite de ^JP© {^ — -^o) par le procédé de continuation, en che- minant le long de la courbe (S) (n® 59). Cette série, qui vérifie Téquation différentielle, dépend uniquement des nombres X©, (jl^ et du chemin (S) parcouru pour arriver au point :c„.
Si l'on considère une aire (A), limitée par un contour simple, ne contenant ni à son intérieur ni sur sa circonférence aucun des points ag, ai, ..., a^, il existera une fonction y(;r) holomorphe dans toute cette aire, vérifiant Téquation différentielle et entière- ment déterminée si l'on se donne sa valeur et celle de sa dérivée en un point j^o de (A).
Supposons, en effet, pour simplifier, que le contour qui limite l'aire considérée ne soit rencontré qu'en deux points par toute droite parallèle à une direction convenable, et soit S un nombre moindre que la plus courte des plus courtes distances des points «0, ai, ..., ^p au contour de (A). On pourra décomposer (A) en bandes par des parallèles équidistantes, la distance de deux paral-
lèles étant -; on pourra décomposer ces bandes en carrés, dpnt les
extrêmes pourront être incomplets. L'un de ces carrés contiendra le point j7oî pour lequel la fonction et sa dérivée doivent être égales respectivement à Xq, [Aq; on formera la solution correspon- dante ^JPo (^ — Xq )î qui conviendra évidemment dans tout le carré ; f{x) sera définie dans tout le carré comme devant être égale à ^0 (-^ — ^o)« Dans un des carrés contigus appartenant à la même bande, se trouve un point :ri, situé aussi dans le cercle de conver- gence de la série 9q{x — x^^)^ dont le rayon est supérieur à 8; soient X| et [jL| les valeurs de 9q{x — x^) et de sa dérivée, pour x-:^^ Xi\ on formera la solution correspondante ^JP| {x — X\)e\ l'on adoptera, pour valeurs de f{x) dans le second carré, celles de î*i {x — Xs). Ces valeurs continueront celles qui ont été définies
!
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. QQ
dans le premier carré. On passera ensuite au carré suivant de la même bande, etc. ; on parviendra ainsi à définir la fonction dans
■
toute la bande.
On la définira de même dans la bande continue en partant d'un point j:J,, situé dans le cercle de convergence d'une des séries pré- cédentes; tous ces cercles, en effet, empiètent évidemment sur la seconde bande. Les valeurs de la fonction dans la seconde bande continuent celles qui ont été définies dans la première bande, puisque, au point a? J,, la fonction définie dans la première bande et celle définie dans la seconde bande sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées. On peut donc effacer la ligne qui sépare les deux bandes, puis continuer ainsi de bande en bande d^un côté et de l'autre, jusqu'à remplir l'aire (A) tout entière.
Si Ton a maintenant une autre aire (B) de même nature que (A), ayant un point S commun avec (A) et n'empiétant sur (A) qu'en des points qu'on peut relier à Ç, sans sortir ni de (A) ni de (B), on pourra de la même façon, en partant de ce point, remplir l'aire (B) tout entière, puis effacer la ligne de séparation entre (A) et (B), et ainsi de suite. On voit de cette façon qu'on pourra définir, sans ambiguïté,, une fonction satisfaisant à l'équation différentielle, holomorphe dans toute aire limitée par un contour simple ne con- tenant aucun des points critiques ag, a,, ..., a^, pourvu qu'on se donne en un point x^ de cette aire la valeur de la fonction el de sa dérivée. Si jTq, Xn sont deux points de cette aire, si on les relie par une courbe dont tous les points appartiennent à l'aire considérée, el que l'on continue la solution ^Sq (x — Xq) relative au point Xq le long de cette courbe, comme il a été expliqué précé- demment, la solution ^n(x — x„), avec laquelle on parviendra ainsi au point Xn^ sera évidemment indépendante du chemin par- couru (n** 59).
Mais il en serait autrement si les deux chemins partant de Xq et aboutissant en Xn contenaient dans l'aire plane qu'ils limitent un des points critiques ap, a,, .,., a^. Si l'on relie tous ces points par une ligne brisée, dont tous ces points seraient les sommets, s'étendant ensuite indéfiniment à partir du dernier point et telle que chacun de ses éléments ne soit traversé par aucun autre, puis, que l'on pratique une coupure dans le plan le long de cette ligne, on voit, par ce qui précède, qu'il existera une fonction /(:r)
- > • â «
lOO INTRODUCTION.
holomorphe dans tout le plan coupé, satisfaisant à Tëquation dif- férentielle, et entièrement déterminée quand on se donne sa valeur et celle de sa dérivée pour un point du plan coupé.
Ces considérations s^étendent sans peine à des équations diffé- rentielles linéaires plus générales que celle que nous venons de considérer, et Ton trouve ainsi, sans rencontrer de difficulté nou- velle, que, si les coefficients /?, q sont holomorphes dans une aire (A) limitée par un contour simple, il existera encore dans » cette aire une fonction holomorphe, vérifiant l'équation différen- tielle, entièrement déterminée par sa valeur en un point de Taire et celle de sa dérivée.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. lOI
CHAPITRE III.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES.
I. — Fonctions exponentielles et circulaires.
65. Abandonnant maintenant ces considérations générales, nous allons établir quelques résultats fondamentaux dus pour une bonne partie à Euler et relatifs aux fonctions exponentielles et circulaires (*).
On sait que la série
, . XX* x^ o(.t) = I-h 1 h ... H H- . . .
est absolument convergente dans tout le plan : elle définit une fonction transcendante entière. Nous allons montrer que sa somme est la limite vers laquelle tend
(
I-h - )
m)
quand m augmente indéfiniment par des valeurs entières et po- sitives.
Supposons d^abord x réel et positif. La relation
(arX"* X / i\a?* / i\/ i\ x^ IH ) =H hi ) hli )(i ) -« -h ... mj i \ m/ \.i \ m/ \ m/i.a.3
-f- (I— — ) (i— — ) ... M — ^^^ ) H ...,
(') Les n*" 65, 67, 68 ont été rédigés d'après des Leçons faites à l'École Nor- male par M. Diirboux vers i88o.
lOa INTRODUCTION.
dans le second membre de laquelle les coefficients de x", x', x^^ . . . , x"^ sont tous positifs, montre que, lorsque m augmente.
/ 1-1- --] augmente, puisqu'il en est ainsi de chaque terme du
second membre et que d'ailleurs le nombre de ces termes aug- mente. D'ailleurs ces termes sont toujours inférieurs aux termes
correspondants de la série <p(^), donc f i H j reste toujours
inférieur à la somme de cette série; (in \ a donc une limite
quand m augmente indéfiniment, et cette limite est au plus égale à la somme de la série ^{x). D'un autre côté, cette limite est an moins égale à la limite de la somme des p -f- i premiers termes du
développement de ( ih j > c'est-à-dire à
X a?* xP
IH 1 h
ï -h ~ )
est égale à y(^).
Supposons maintenant x imaginaire. Si Ton ordonne, suivant les puissances de Xj la différence
/ x\"*
on obtiendra une série dont tous les coefficients sont réels et po- sitifs et dont la somme ne peut donc qu'augmenter quand on rem- place X par I ^ 1 . On a ainsi
mais le second membre de cette inégalité tend vers zéro quand m augmente indéfiniment. Il en est donc de même du premier.
On représente la fonction ^(x) définie pour toutes les valeurs de X par le symbole e^] e* ou e n'est d'après cela autre chose que la somme de la série
I I 1
IH 1 -h . . . -+- h....
1 1.9. 1.1 , , , n
L'application du théorème de la multiplication des séries montre
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Io3
immédiatement que Ton u
et, de cette égalité étendue à un nombre quelconque de facteurs, on déduit sans peine que, quand x est entier positif, e^ n'est autre chose que le produit de x facteurs égaux à e, en sorte que l'emploi de ce symbole n'implique aucune contradiction.
66. En remplaçant dans l'égalité
I 1.2 t .'2 . . . n
X par ix et, en posant
... x^ x"*
^ i.a 1.2.3.4
_ a? x^ x^
^ I 1.2.3 1.2.J.4.5
il vient
• e^^= ^{x) -\- iy(x)\
de même
e~^'=^{x) — iyix).
Lorsque x est réel, les séries ^(^), '/,(^) représentent, comme on sait, les fonctions cosj:, sin^, introduites en Trigonométrie. On pourrait même, si ces dernières fonctions n'avaient pas été intro- duites antérieurement, prendre ces séries comme définitions de cos^ et s\nx\ le nombre 7t apparaît alors comme étant le double de la plus petite racine positive de l'équation ^^(;r) = o (*). On a alors, par définition, pour toute valeur de x réelle ou imagi- naire,
e'*= cosa7-f- isinar, cosx = - (e'^H- e-'*),
2
e-''= cosa7 — ismXy sinx= — .(e^^ — c-'*),
7.1
sina? cosar
Iffa? = > cota? = -: — '!
° cosa? sin.27
on en déduira sans peine que les propriétés établies en Trigono-
(') roi/- V Introduction à la théorie des /onctions, de M. Jules Tannery, p. ii4, n* 97.
I04 INTRODUCTION.
mé trie (formule d'addition, périodicilé, etc.) s'étendent facilement aux fonctions sinx, cosj:, ainsi définies; nous ne nous y arrê- terons pas.
Nous emploierons encore les notations
shar = -: sin ix = ,
cha?= cos lar = •
Toutes ces fonctions admettent des dérivées dont la formation est
bien connue et se déduit d'ailleurs de la considération des séries
précédentes.
Enfin, si Ton pose
er=x
et si Ton pratique, dans le plan des x^ une coupure allant du point o à rinfini en suivant l'axe des quantités négatives, il existe une infinité de fonctions de x^ holomorphes dans le plan coupé, ' qui vérifient l'équation précédente quand on les met à la place de^. Pour l'une d'elles, la valeur absolue de la partie imaginaire reste, quel que soit x, inférieure à i:; c'est la détermination prin- cipale de log^c. Toutes les autres solutions de Téquation précé- dente s'obtiennent en ajoutant à celle-là un multiple entier de 2TC£ ; l'une quelconque d'entre elles vérifie l'équation différentielle
ctx X
Ces résultats, que l'on obtient d'ailleurs sans- aucune difficulté, sont trop connus pour que nous nous arrêtions à les développer à nouveau.
67. Si Ton pose
•<">-j[(-s)"-(-sr]'
m étant un entier positif que, pour la commodité de ce qui va suivre, nous supposerons toujours impair, on a, par l'une des défi- nitions précédentes,
sh(a7) = liin.6(m).
m = «
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. I05
Les racines de Téquation en x
e(m) = o sont données par la formule
X
m
k étant un entier quelconque. On tire de là
kjRi _knj
X e "» — c "* . A:tc — = : ï — . = i te — •
On aura toutes les valeurs de x en donnant à k les valeurs tn. — I m — I ïYi — t^
2 2 ' ' ' ' ' 2
Ar étant supposé égal à Tun de ces nombres, nous ferons
m
d'où Ton voit, puisque — est compris entre et H — > que la
valeur absolue du nombre réel Xk est supérieure à celle de Arit.
Les racines du polynôme 0 (m ) n^étant autres que les nombres ixh et le coefficient de x^ dans ce polynôme développé, étant égal à un, on a
I-f-
^m-\
Sohp un entier positif fixe et posons
6.(;«)==.(,-H^)(.-^îJ)...(.4-g)
• / I-i-
p+t / \ •*'p4-î/ \ ^m~X
on aura
e(m; = 6i(m)e,(m);
nous allons chercher ce que deviennent les deux facteurs du second membre quand m augmente indéfiniment.
io6
INTRODUCTION.
Arit
k étant fixe et m augmentant indéfiniment, Xfi= /w tg — tend évidemment vers A'7t; on a donc
et il est clair que ^^i^) = k\ — k admet aussi une limite, pour m
infini, puisque 6(m) et 0|(m) en admettent une. Il est aisé de trouver un nombre supérieur à la valeur absolue de cette limite : si Ton ordonne suivant les puissances de x le polynôme
0
Ôî(/n)-i,
les coefficients de ces puissances sont réels et positifs; la valeur absolue de ce polynôme est donc au plus égale au nombre positif que Ton obtient en y remplaçant x par |^|; en d'autres termes, on a
. • • / I
X^
X
— I
/rt — 1
H-
(
< 1+
\^\
ip
i)«i:>j (
l-H
\x\
(p
— ii
la dernière inégalité résultant de ce que \x/(\ est plus grand que \kr.].
Mais en raison de la convergence du produit infini
W = «o
n(-iS)
«=1
qui résulte elle-même de la convergence de la série
n = tc
|a7|2 __ \x\^
n = «
n = l
n = l
il est clair que, si Ton se donne un nombre positif £ arbitrairement petit, on peut lui faire correspondre un entier positif r tel que,
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. IO7
SOUS la condition/? > r, le dernier membre des inégalités précé- dentes soit moindre que e. On a donc, sous cette condition,
|6,(m)-il<e
et, par suite, aussi
liin.O,(/n) — il = 6.
On peut donc écrire, en désignant par e' une quantité imaginaire dont la valeur absolue est au plus égale à e,
shar = liin.6(/n) = lim.Oi(/n) Iiin.62(/n)
On en conclut que shx est égal au produit infini convergent eu d'autres termes, on a
Il _: oD
sh:r = xjj(i+^.).
/I = l
chx pourrait s'obtenir par une analyse semblable; mais il est plus simple de se servir de la formule
S\\2X
Châ7
QiShx'
le numérateur et le dénominateur peuvent être mis sous forme de produits infinis et, en supprimant les facteurs communs, on trouve
cha? =
"Hh(4^]-
Ces formules, quand on y remplace x par iXf deviennent
n:-.9o
sinx = x|"[(.-^)
cosa? =
" n[-(:rl)v]-
I08 INTRODUCTION.
Ces belles formules, dues à Euler, mettent en évidence les va- leurs de X pour lesquelles sin^ et cosx s^annulcnt.
M. Hermite a fait observer (*) que, si l'on y regarde les seconds membres comme définissant des fonctions dont on ignorerait les propriétés, elles permettraient de mettre en évidence, de la façon la plus simple, la périodicité de ces fonctions, et il a profité de cette remarque pour en déduire un moyen de construire a priori des fonctions doublement périodiques.
Observons encore que, en raison de la convergence des séries
2|a^^| ^ I a?* I
J»r=t
,=.(n-Hi)'ic.
les produits infinis qui figurent dans les seconds membres de nos formules satisfont aux conditions imposées dans le n*^ 41 ; on en conclut la possibilité de développer ces produits infinis en séries entières en x, convergentes dans tout le plan. En identifiant ces
séries avec celles qui donnent > cos^?, on parvient à une suite
d'identités que nous nous contenterons de signaler ; nous retrou- verons plus tard, sous une forme plus simple, des identités équi- valentes.
En prenant les dérivées logarithmiques (n° 48) de ces produits infinis, on obtient les développements en séries
cola: =
/! = «
2
^g^=2
X ^d x^ — /i*i:*
n = \
ILX
n=\ in-^- M Tt« — a?»
Ces formules, obtenues aussi par Euler, prêtent à des observa- tions analogues à celles dont les produits infinis viennent d'être l'objet.
Elles sont d'ailleurs contenues dans des formules plus générales dues à Cauchy et qui peuvent s'établir par une analyse élémen-
(*) Cours d* Analyse de V École Polytechnique, p. 4 2-
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. IO9
laire, analogue à celle qui nous a conduits aux expressions de sin^ ou de cos^, et que nous allons résumer très rapidement.
68. Soit X un nombre réel positif, au plus égal à un, l'ex- pression
cosXa?
._ j
sinâ7
où X est un nombre quelconque, est la limite, pour m infini, de
l'expression
/ XarA'» / Xari'y»
où nous supposerons encore que m doit croître par valeurs en- tières, positives, impaires.
En décomposant cp(/?i) en fractions simples, on trouve
o(m)=i+y-5*_,
' X A^ X —Xk
en posant
Xk~ml^ — >
m
/, m — 1 m — i m — 1\
\ 2 2 2 /
(>omme B_a ^^^hj on peut écrire
m— I
?p(/n) = h > — r r
Si l'on fait
on peut supposer otA positif et moindre que -> et Ton trouve
2
A:it\"«
* "^ "^ \ cosa;t / .Ariî'-
^ ^ cos» —
m
110 INTRODUCTION.
puis, k étant supposé fixe,
lim. Bjt — (— i)* cosXAr.
Ifl-TOB
Ceci posé, en désignant par/? un entier fixe, soienl
k=.p
'i Ba X
k
"= 1
on aura
o(/?i) = 9i(w) -h <p,(m).
Pour /w infini, 'f(/w) et ^\{ni) ont des limites, on en conclut qu'il en est de même de tf2(/w), et l'on reconnaît aisément que Ton peut supposer p assez grand pour qu'on puisse écrire l'iné- galité
i ?.(».):< 2 ;iv4il|xi')'
[X étant un nombre fixe plus petit que i ; il résulte de là que, en désignant par e' un nombre imaginaire qui tend vers zéro quand /> augmente indéfiniment, on peut écrire
lim. Oj(m ) — e',
d'où l'on conclut
k=p cosXa- ,. , . I V (— i)*cosXX-ic ,
A.-l
1 V? ( — i)^''icosXkTz
k=zi k — tn
,. V? ( — O^cosXArr
= *""• 2- — F-T:^— •
SI n A or
On peut obtenir -. — par une analyse semblable ou le déduire
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. III
de la relation
sinX:r i F » cosXir cosXfa? h-t:)!
— : = -T— <— COS Aie —. i r-7 r- ,
sinar sinAr L sinj; sin^arn-ir) J
d'où
_ = y (—0*-* ; 7^; = lim > (— 0* 7 —
De même
Xt: ^ *-• (o.k — i)Trcos(aA: — O —
COS A 37 v^ . .^, a
COS.'*? ^^— ' ' -^'
<k
et
*=1 X2— (iX— l)2— -
4
f'-^n C0S(2A- — l)
= lim. y (-1)*-! 1
k=^-n X — ilk — l)-
sinXâ? v^ . ...... . Xt: 2^?
=2 (-•)*"'''"('»*■ -■)t
cosa? — -5/1 \« ••
*=i x^—(2/c — i)*-r ,
4
*-- ^-'« sin(2A--i) — = lim. y(-_i)*-i -.
A=-/i a: — (2A:— i)-
2
Le changement de a: en ix fournira des expressions analogues pour les fonctions
^Xx -±2 g- Xx
Si l'on remplace, dans les formules précédentes, X par — X, ces formules subsistent ; on peut donc les considérer comme éta- blies pour tout nombre réel A compris entre — i et + i .
En ajoutant à la série qui représente — v — ~ le produit de i par la série qui représente — ; — -9 on a la relation
k — -hn
^. — = hm. >,(--i)* 7— >
k=-n
t
1 1 2 INTRODUCTION.
que l'on peut écrire, en posant a: = 1:5 et X -h i = 28,
cette relation est établie pour tout nombre réel positif 0 plus petit que l'unité, et pour tout nombre non entier z.
69. Si, dans l'expression qu'on vient d'obtenir pour — . , on
fait X = I , on retrouve la formule
I V^ 'IT cota? = h > -:
qui donne lieu aux observations suivantes :
Supposons, en désignant par a un nombre positif plus petit que 11, que l'on ait
|a?|la;
la quantité
207 2.x I
I
&
est alors développable en une série convergente entière en a:, savoir
n
11=0
Celte série reste convergente quand on y remplace tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a; sa somme est alors égale à
9. a
D'ailleurs, la série à termes positifs
2
2a
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Il3
est convergente. La série
*=,
k = \
se trouve donc dans le cas du n® 38, et il en résulte que la quan- tité cot^c peut être développée en une série entière en j:,
X
comme il suit.
Posons, en général, r étant un entier plus grand que un,
'r
^ rf'
n = \
on aura, sous la condition |^| <[7^,
/t = ao
I V^ 22
cota' = > —
X A^ iz
'^ Sj„H-i
..Jn-4-S « = 0
a?l/i-Hl.
Posons aussi
P I .2.3. . .2/1 o
il viendra
4a7\a: / .^d I.2.3. . .2/1 +
— • •2
Les nombres positifs B;, sont ce que Ton appelle les nombres de BernouUi. Il est bien remarquable que ces nombres, qui jouissent d^ailleurs de propriétés arithmétiques très intéressantes, soient tous rationnels : ce fait résulte de l'égalité même qui précède, en >
cosor
remplaçant co\x par -r^ — > multipliant par 4^^sinx, substituant
smor
à cosj? etsin^ leurs développements en séries, eflectuant dans le second membre les multiplications de séries et égalant les cocf- Gcients d^une même puissance de a;; on trouve ainsi
D (2/t-h2)(2/t-4-l) Bn ^
I .2.3 4
/ v„(2/l-+-2)(2/l-M)...(2/l — 2/>-+- 3) B«_p4-1 ^
' I.2.J...(2/?4-l) 4/*
. (2/H-2)(2/l -h 1). . .3 Bi , ^„2/l-+-2 I
^ ^ 1.2. ..(2/14-0 4'» ^ '^ 2 /i -h 3 4"-^*
T. cl M. - I. 8
Il4 INTRODUCTION.
d'où successivement
^»=ë' ^*=i' *^'=4^' ' ^'=^'
5 6qi "
Bj = ^-7 > Bj = — -— ï B7 = - » •
6b 2730 6
L'emploi des formules
iga? = cola? — cotaa^,
I iT
-: — = col cotx
permet de trouver des développements analogues pour tgx
el '
sinx
II. — Théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler.
70. Les expressions si remarquables qui donnent sinx, cosx,
sous forme de produits infinis, cotx, tgx, -. — sous forme de
séries dont les termes sont des fractions rationnelles, peuvent être rattachées à des types très généraux, découverts par M. Weier- strass et par M. Mittag-Leffler, et qui conviennent Tun aux fonc- tions transcendantes entières comme sinx. l'autre aux fonctions univoques dans tout le plan comme tgx.
L'objet du théorème de M. Weierstrass est de trouver l'ex- pression la plus générale d'une fonction transcendante entière dont on donne les zéros (*).
Nous établirons d'abord le lemme suivant :
Soit // un entier positif; l'expression
cp(a'j = (i — x)e^ ' "— *
peut être mise sous la forme d'une série
( ' ) C'est-à-dire les valeurs de la variable qui annulent la fonction. Comparer n*44.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Il 5
convergente quel que soit x et dans laquelle tous les coefficients a, ai, 7.2, ..., a^, ... sont réels et plus petits que i en valeur absolue.
Que l'expression çp(^) puisse être développée en une série entière en a:, toujours convergente, cela résulte immédiatement du n** 49. On a d'ailleurs, en supposant | x | <C i ,
en remplaçant, dans le développement
y yt
I I .'2
y par
n n -+- 1 Al -h 'a
on voit de suite que le développement de ^{x) a la forme indiquée plus haut. Il reste à prouver que Ton a
|art|<i. Or, si Ton fait
on pourra obtenir les coefficients ^ en remplaçant, dans le déve- loppement de e^, y par
1 h... H »
I '2 n — I
ei l'on voit déjà ainsi qu'ils sont positifs. Il est clair aussi que si l'on remplace^ par la série indéfinie
X x^ a:"-'
~~ ~r~ ""^ ~T~ . • • "T" —^^"""^ "i~ • • • j
I 2 71 — l
un obtiendra un développement analogue, mais avec des coeffi- cients plus grands; or ce développement ne sera autre chose que celui de
e i-x— = |_^_;j;4_x«-f-.. .-f-ar'»H-. ..;
I — X
ii6
on a donc
D^ailleurs
INTRODUCTION.
Pm = l. (m = I, 2, 3, ...).
o(j:) = (i — ar)(n- Pi a? H- Pja?*-h. ..)
d'où Ton conclut que les coefficients des diverses puissances de x sont au plus égaux à l'unité, en valeur absolue. Ce que nous vou- lions établir.
II résulte de là que si, dans la série
on remplace x par un nombre positif Ç plus petit que i, et les coefficients a, oti, . . . , a^, ... par leurs valeurs absolues, la somme de la série ainsi obtenue sera moindre que
71. Voici maintenant le théorème qui est notre objet princi- pal(;). Soit
ai, aj,
ni
une suite de nombres assujettis à cette condition que | a^ | augmente indéfiniment avec n, et dont en outre aucun ne soit nul. On peut construire une fonction transcendante entière de x qui s'annule pour les valeurs de la suite précédente et seulement pour ces va- leurs. En outre, si, dans la suite, il y a /? nombres égaux à a„, el pas davantage, a„ sera un zéro d^brdre/? de cette fonction.
On peut, en eflet, faire correspondre à chaque indice y un entier positif mv tel que la série à termes positifs
X
a,
m,
X
m.
X
/Ml
soit convergente, quel que soit ^. II suffira, par exemple, de prendre /iiv= v: la racine v'*"* du v*^"" terme de la série précédente aura
(*) Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, p. i6.
1
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. II7
alors manifestement zéro pour limite quand v augmentera indéfini- ment.
Cette correspondance établie, soit
\av/ Ov 2 \av/ 0 \av/ m^^ — i \av/
et considérons le produit infini
v = i
OÙ les accolades indiquent que la quantité qu'elles comprennent est i^/iyac/ee/r du produit infini. Nous allons montrer que ce pro- duit infini est absolument convergent dans tout le plan et qu'il définit une fonction transcendante entière de x.
Soit A un nombre positif quelconque et considérons les valeurs de X pour lesquelles on a
Les nombres | an \ augmentant indéfiniment avec /i, on peut faire correspondre au nombre A un entier r tel que l'on ait
|«vl> A, sous la condition
v>r.
Soit maintenant
('^£)**'^'"'^=-^"^(^)=
nous allons d'abord montrer que le produit infini
V = «o
'ï'r(a^) = JJjn-«v(^).l
v = r
satisfait, pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité
I^ISA,
au\ conditions imposées dans le n*' 41, ou plutôt que la série
v=«
2l"^(^)l
v=r
if8
INTRODUCTION.
satisfait aux conditions i^ et 2° du n® 38. En effet, on a vu que la série formée par les fonctions Wv(^), quand on y remplace les coefficients des puissances de x par leurs valeurs absolues et x par A, a une somme moindre que
A_
m.
I«vl
«vl-A'
or la série à termes positifs
V=: •
2
v = r
nu
Ovl
Jovl — A
est convergente, puisque, par hypothèse, il en est ainsi de la série à termes positifs
A^
av
2
m^
V =r
et que le rapport de deux termes correspondants dans les deux séries a pour limite Puni té quand v augmente indéfiniment.
La nature du produit infini ^r(^) est ainsi bien mise en évidence; il peut être remplacé par une série entière en x, conver- gente pourvu que Ton ait
|^|<A.
Pour ces mêmes valeurs, on peut prendre la dérivée logarith- mique (n^ 48); cette dérivée sera, en indiquant les dérivées ordi- naires par des accents,
v = « v = r
V = ao
2
v = r
V = (
2
v = r
-h u^{x)
2d j Aav/ av— xj
ay a
a?»
a:
Qrm^—t
«îf^v-l Oy — X
les accolades indiquant toujours que la quantité qu'elles en- ferment constitue un terme unique de la série où elle figure.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. I I9
L'avant-dernière forme trouvée pour ,,/, { rentre dans une
forme très générale sigpaaiée par M. Mittag-Leffler et que nous dé- velopperons bientôt (n** 75).
La dernière forme met en évidence la convergence absolue, prévue par la théorie générale, de la série qui représente la dérivée logarithmique de ^r(^) • on voit même que cette série, pour les valeurs de x telles que Ton ait
satisfait aux conditions (i**) et (2®) du n** 38; en effet, l'expres- sion
3«//Iv— 1
est, pour ces valeurs de x^ développable en une série entière en x qui, lorsqu'on y remplace les coefficients par leurs valeurs abso- lues et X par A, a pour somme
I A
A ["«v I Ov I «v I ^v I — A
et la série à termes positifs
V = a*
I I A
2
A a^
v = r
/K%
a^
! «V I — A
est convergente. Par conséquent, la série qui représente
peut être mise, pour toutes les valeurs de x considérées, sous forme d'une série entière en x absolument convergente. On peut prendre la dérivée de cette série, terme par terme : on formera ainsi successivement des séries absolument convergentes, pourvu que I X I soit inférieure à A.
Rappelons enfin que, pour ces mêmes valeurs de x, les règles de dérivation, soit pour le produit infini, soit pour la dérivée loga- rithmique, s'appliqueraient aussi bien aux produits infinis déduits
de Wr{x) ou aux séries déduites de celle qui représente ^^^^
par le groupement des facteurs ou des termes (n*** 38 et 41).
lao INTRODUCTION.
Ces conclusions s^appliquenl au produit
v = i
qui ne diffère de Wr{x) que par l'adjonction d'un nombre fini do facteurs dont nous représenterons le produit par
v = r— f
v = l
en sorte que l'on a
et à la dérivée logarithmique de G(j:), savoir :
G{X) *,.(X) Wrix)'
On voit d'abord que le produit infini G{x) sera uniformément et absolument convergent pour toutes les valeurs de x qui satisfont
à la condition
x\<X.
Puisque <^r(^) est une fonction transcendante entière de x, G(x) sera développable en une série entière en ^, pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition précédente, c'est-à-dire pour toutes les valeurs possibles de x, puisque A est arbitraire.
On aura aussi
v = «
v = l
pour toutes les valeurs de x qui satisfont à l'inégalité, et, par suite encore pour toutes les valeurs de Xj sauf les valeurs
ai, aj, . . . , av,
• • • •
La série qui figure dans le dernier membre de l'égalité précé- dente est absolument convergente pour toutes les valeurs de x autres que celles que l'on vient d'exclure. La fonction qu'elle re- présente admet des dérivées de tous les ordres que l'on obtient en prenant les dérivées, terme par terme, de la série. Toutes les se-
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. J2ï
ries que Ton obtient ainsi sont absolument convergentes pour les valeurs de x non exclues.
Relativement à Funiformité de la convergence de la série
qui représente ^TT—r? observons que la série qui représente
^^ est uniformément convergente dans le cercle de rayon A
décrit du point o comme centre. En plaçant au commencement de cette série les termes qui représentent
la seule chose qui puisse troubler l'uniformité de la convergence consiste en ce que, dans cette région, certains des termes ajoutés deviennent discontinus aux points at, a^i • • *, Or» Si donc on en- toure ces points de cercles d'un rayon fixe, arbitrairement petit 8, si Ton supprime du plan les parties intérieures à ces cercles et si l'on décrit du point o comme centre, avec un rayon A, un cercle, la série qui représente '
G{x)
sera uniformément convergente dans la portion du plan perforé intérieure à ce cercle. Il en serait de même des séries qui représen- tent les dérivées successives de cette fonction.
Les mêmes considérations montrent que toutes les fonctions re- présentées par ces diverses séries peuvent être développées en séries entières en ^ — œ^, convergentes dans tout cercle de centre x^ et auquel sont extérieurs les trous que l'on a pratiqués dans le plan des X autour des points
Enfin, si Ton transforme le produit infini
v = l
ou la série
Vs<e
G{x) ^ j^ (aj*»->(a? — «v)
v = l
laa INTRODUCTION.
en un autre produit iofini ou en une autre série, en groupant en- semble les facteurs ou les termes, on pourra appliquer les mêmes règles de dérivation au produit infini transformé ou à la série transformée. Quand on ne lient pas compte des r — i premiers facteurs du produit ou des r — i premiers termes de la série, la chose ressort, comme nous l'avons fait observer plus haut, des n**' 38 et 41, lorsque x est intérieur au cercle de rayon A. Mais la présence de ces r — i facteurs ou de ces r — i termes, en nombre Jinî, ne peut évidemment altérer en rien les conclusions; et, comme A est arbitraire, ces conclusions s'étendent à tout le plan.
Puisque le produit infini G(x) est absolument convergent pour toutes les valeurs de x, il ne peut s'annuler que si l'un des facteurs qui le composent est nul, c'est-à-dire si x est égal à l'un des nombres de la suite
S'il y a, dans cette suite, p termes égaux à ^a, on voit que l'on peut faire sortir dû produit infini p facteurs égaux à
(._fL)/.(f.)l
et que le produit infini restant ne s'annulera plus pour x = a„^ en sorte que la proposition énoncée au début de ce numéro est en- tièrement démontrée.
72. Il est aisé maintenant d'obtenir l'expression générale de toutes les fonctions transcendantes entières qui satisfont aux con- ditions imposées dans l'énoncé de cette proposition.
Si ^(x) est une telle fonction, la fonction /(x) qui est égale à
4>(a?) GÏF)
pour toutes les valeurs de x différentes de ai, «2? • • •> ^v? • • •-» ^t qui, pour x = ay, est égale à
,. *(^) est régulière (n° 53) pour chaque valeur de x.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. ia3
Cela résuite, si x n'est pas un des nombres a^,j de la règle pour la division de deux séries (n® 50) ; et si x = a^„ cela résulte encore de la même règle, en remarquant que Ton peut écrire, lorsque a^ est un zéro d'ordre/) (n^ 44),
*(ar) = (x — ay)P 9 {x — ay), G(x) = (x — ay)p9i(x — ay),
en désignant ici par 9{x — «y), ^^ (x — ay), des séries entières en X — a, y convergentes quel que soit ^.
Par hypothèse la fonction y (x), régulière quel que soit ^, est aussi différente de zéro quel que soit x ; les fonctions
1 £(£)
oïl f\x) désigne la dérivée de f{x)^ sont donc également, en vertu du même théorème sur la division des séries, régulières quel
que soit x. La fonction yr-r en particulier est, d'après le théo- rème de Cauchy sur le développement en séries des fonctions d'une variable imaginaire (*), développable en une série entière en x^ convergente quel que soit x* Désignons cette série par g'(x), en représentant par g(x) une série entière en x, convergente quel <|ne soit .r, dont la dérivée soit g'{x). L'équation
f\x) = g'{x)f{x),
où l'on regarde /(j?) comme la fonction inconnue, est une équa- tion différentielle linéaire qui, d'après sa forme même (n°63), n'ad- met pas d'autres solutions que des fonctions transcendantes entières; l'une quelconque de ces solutions est entièrement déter- minée quand on se donne la valeur de la fonction f{x) au point x^. Or, comme, d'une part, la fonction
où c est une constante arbitraire, vérifie cette équation, et que, d'autre part, on peut toujours déterminer la constante de manière
(*) On pourrait déduire le môme résultat du théorème signalé en note au n» 55.
I?4 INTRODUCTION.
que, en x^, cette fonction prenne une valeur arbitraire différente de zéro, il est clair qu'elle est la solution générale de Téquation différentielle linéaire. Rien n'empêche d'ailleurs de faire rentrer c dans g{x), en sorte que toutes les fonctions cherchées sont néces- sairement de la forme
Réciproquement, une expression de cette forme, où g{x) est une série entière en x, convergente quel que soit ^, d'ailleurs arbitraire, satisfait évidemment aux conditions imposées dans l'énoncé du théorème.
Si l'on voulait avoir l'expression générale d'une fonction trans- cendante entière, admettant, outre les zéros de la suite
la racine zéro et cela m fois, il suffirait évidemment de multiplier l'expression
esrix^G{x) par x'".
Les facteurs
.*'(«^)
où les polynômes 9y sont choisis de façon que la série
V = «o
CF 1"*»
jZà |âv v=l
soit convergente quel que soit ar, sont dits facteurs primaires de la fonction transcendante entière considérée.
Il arrive, dans de nombreuses applications, que la convergence de la série précédente a lieu en attribuant à mi, nii^ . . ., /Tty, . . . la même valeur fixe. S'il en est ainsi, soit m le plus petit des nom- bres entiers positifs pour lesquels la série
V = a»
2
V = 1
ay
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES, 125
soit convergente; la fonction
-'n|(-5)-*''--'|.
v = i
OÙ les nombres m^f sont tous choisis égaux à m, est dite de genre m — I . Celte notion de genre est due à Laguerre.
73. Nous nous trouverons précisément dans ce cas si nous cher- chons à construire une fonction qui s'annule, une fois seulement, pour tous les nombres entiers positifs ou négatifs.
En excluant le nombre zéro, nous pourrons prendre alors
a, = 1, ûrj = — I, «3=2, «v = — 2, «5=3, ...,
et, à cause de la convergence de la série
/I = 00
2i'
prendre pour facteurs primaires les quantités
(
X\ n
n I
Le produit infini
n1(-f)«-î.
OÙ n doit parcourir toutes les valeurs entières, positives et néga- tives, à l'exclusion de la valeur zéro (*), s'annulera toutes les fois que X est égal à un nombre entier non nul. Ce produit est abso- lument et uniformément convergent dans toute portion finie du plan des x. Il représente bien une fonction transcendante entière, de genre un, répondant à la question.
Comme ce produit infini est absolument convergent, on peut réunir ensemble les facteurs qui répondent à des valeurs de n
(' ) Ce qui est indiqué par l'accent ^'^ dont est affecté le signe H-
I a6 INTRODUCTION.
égales et de signes contraires; on obtient ainsi le produit infini
n(-s>
11 = 1
dont la valeur est^ comme nous l'avons vu au n° 67, égale à
sin ira:
TZX '
la formule
(Ii) sinira7 = 7rar JJ Ui — fje"
n
exprime donc la décomposition de smizx en ses facteurs pri- maires.
On aura de même
C0STJ7 = I I </ I ■ \e *^,
n
2
OÙ n prend toutes les valeurs entières, positives, nulles ou né- gatives.
De même encore, la fonction transcendante entière, de genre un,.
n = «B
o(x) = ^J];i(.+ î)e "|,
n = I
g-Cjr
s^annule pour ^ = o et pour les valeurs négatives entières de x^ Cette fonction est liée à la fonction bien connue F {x) par la re- lation ( « )
en désignant par C la constante d*Euler, c'est-à-dire la limite,
pour n infini, de
II I ,
IH i-rH-...H log n ;
on le reconnaît aisément en partant de la définition habituelle
(*) Weierstrass, loc, cit.y p. i5 et a38.
FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. 12 J
de T{x)j savoir
T{x)= lim. 1.2.3. ../i.;i*-i
n = « 37(07 -4-1). . .(07-+- R — I)
La formule que nous venons d'écrire, et qui exprime donc la dé- composition de =rT r en ses facteurs primaires, est éminem- ment propre à établir les propriétés élémentaires soit de la fonc- tion ^(x) qu'elle définit, soit de la fonction F (x).
74. Si Ton fait le quotient de deux fonctions entières, trans- cendantes ou non, il est clair qu'on obtient une fonction qui n'admet, à distance finie, d'autres singularités que des pôles ; ces pôles sont les zéros de la fonction que l'on fait figurer au dénomi- nateur, en supposant que les deux fonctions n'aient pas de zéros communs.
Réciproquement, il importe de remarquer que toute fonction univoque qui n'admet pas d'autres singularités à distance finie que des pôles est le quotient de deux fonctions entières, transcen- dantes ou non.
D^ abord ces pôles sont isolés les uns des autres; car si, dans un espace limité, il y en avait une infinité, il existerait dans cet espace un point limite, tel que, en décrivant autour de ce point un cercle de rayon arbitrairement petit, ce cercle contint tou- jours une infinité de pôles; ce point ne pourrait être ni un point ordinaire, ni un pôle, ce serait un point singulier essentiel.
Soient, dès lors,
les pôles de la fonction considérée, rangés de telle façon que, s'ils sont en nombre infini, \a,i\ augmente indéfiniment avec n; soit %n le degré de multiplicité du pôle an* On peut, par le procédé de M. Weiefstrass, construire une fonction entière, qui admette pour zéros les points e7i, a2, . . . , an, . . ., avec les degrés de mul- tiplicité ai, 0.2, . . ., a/i, ... : si les pôles étaient en nombre fini, celte fonction se réduirait à un polynôme; soit, dans tous les cas, V(jc) cette fonction, et soit /{x) la fonction proposée; il est clair que la fonction univoque
I a8 INTRODUCTION.
est régulière en tout point situé à distance finie; c'est donc une fonction entière, transcendante ou non; si on la désigne par ^{x)^
on aura
»(y)
c'est ce qu'il fallait démontrer.
75. Le théorème de M. Mittag-Leffler (*) fournit l'expression d'une fonction univoque dans tout le plan et présentant aux points
des discontinuités polaires ou essentielles prescrites à l'avance.
Avant d'en donner l'énoncé, nous ferons les remarques sui- vantes :
I" Soit
une série convergente quel que soit x^ et dans laquelle le terme constant est nul, et soit a un nombre positif plus petit que la va- leur absolue d'un nombre donné a réel ou imaginaire. La fonc- tion
est alors développable en une série entière en x, absolument con- vergente tant que l'on a
\x\ia.
En effet, le terme
A;,
est développable en une série entière en jc, et, si l'on remplace, dans cette série, les coefficients par leurs valeurs absolues et .r par a, on obtiendra une série convergente dont la somme est
A«
(|a|-a)«'
( * ) Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante {Acta mathematica, t. IV, p. i).
FONCTIONS TRANSCBNDANTBS ENTIÈRES. lag
enfin la série
/! = «
2
(|a|-a)«
n = l
est convergente.
a° Si, maintenant, on considère le reste de la série entière qui représente g ( — — j bornée au terme en a:", et si l'on remplace
dans ce reste, qui est lui-même une série entière en x, tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a, on obtiendra un nombre positif dont la valeur dépend de n, et, en choisissant con- venablement /i, on pourra manifestement faire que ce nombre soit inférieur à tel nombre positif e que l'on voudra, fixé à l'a- vance. A fortiori, le même reste, quand on y remplace les coeffi- cients par leurs valeurs absolues et x par un nombre moindre que a sera-t-ii moindre que e.
76. Voici maintenant le théorème de M. Mittag-Leffler : Soient
une suite indéfinie de nombres, tous difi'érents, et tels que \a, \ grandisse indéfiniment avec v. Soient
une suite de fonctions entières (transcendantes entières ou poly- nômes) qui s'annulent toutes pour x = o.
On pourra construire une fonction F(:r), univoque dans tout le plan, régulière aux environs de toute valeur de x qui n'appartient pas à la suite a^^ aa, . . . , av, . . . , et telle que la difi'érence
F(-)-érv(^-)
soit régulière aux environs du point Uy,
Supposons d'abord que a^ soit difi<érent de zéro et, par suite, qu'aucun des nombres a ne soit nul ; faisons correspondre à ces nombres, d'une part, les nombres positifs
Ej, E}, • • • » Ev, • . • »
T. et M. — I. o
l3o INTRODUCTION.
assujellis à celle seule condilion que la série
soil convergenle ; de Taulre, les nombres aussi posilifs
définis par l'égalité
av=7)|av
• • ■ «
où 7\ est un nombre positif arbitraire, moindre que un.
Ceci posé, développons gy( ) en une série entière en x.
convergente pour les valeurs de^ qui vérifient l'inégalité
|rF||av<|av| ;
faisons correspondre au nombre posilif Sy un entier positif /^v tel que, si Ton considère le reste de la série arrêtée au terme en ^'"»~*, puis, que l'on remplace, dans ce reste, tous les coeffi- cients par leurs valeurs absolues et x par ay, le nombre positif ainsi obtenu soil au plus égal à ey. Désignons, d'ailleurs, par ^{x) la somme des iWy premiers termes de la série entière en x qui re- présente gy ( )> en sorte que
V CP ~^ tly /
sera une fonction définie pour toutes les valeurs de x autres que Oy, et qui, pour les valeurs de x satisfaisant à Tinégalité pré- cédente, sera développable en une série entière en x^ laquelle ne sera autre chose que le reste antérieurement défini.
Nous allons maintenant montrer que la somme de la série
dont on établira la convergence pour toutes les valeurs de x au- tres que ai, a2^ . . . , ay, . . . , satisfait à toutes les conditions im- posées, dans l'énoncé, à la fonction F(x).
Soit, en efl'et, A un nombre posilif fixe quelconque. Comme les nombres positifs ai , a2, . . . , ay, . . . vont en graiidissant indéfini- ment, on peut faire correspondre au nombre A un entier r tel que, sous la condition
PONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. l3l
OQ ait
av> A.
Dès lors, pour les valeurs dç x qui vérifient Tinégalité
\x\%k, la série
vérifie les conditions (i) et (2) du n® 38 : chacun de ses termes est développable en une série entière en x ; si, dans la série qui repré- sente yr('a^)> on remplace tous les coefficients par leurs valeurs ab- solues et X par Â, on aura une somme moindre que e^; de même pouryV+i(^)7yr4.2(^)î • • • î enfin la série
tr -h Er+i -+- £r-HS -+-•••
est convergente.
La série
est donc, pour toutes les valeurs considérées de x^ absolument et uniformément convergente. De même les séries suivantes, où les accents indiquent des dérivées,
• • • »
sont absolument convergentes, û\x\ est inférieure à A, et peuvent alors être remplacées par des séries entières en ic.
En supposant que x ne soit aucun des points a\ , a^^ « . . , ar-\ , désignons par <^r(^) 1^ somme
La série
sera absolument convergente pour tous les points x non exclus qui vérifient Tinégalité
et Ton aura, pour ces points x^
D^ailleurs, la fonction ^r(^) est régulière pour tous les points
l3a INTRODUCTION.
non exclus qui se trouvent à Pintérieur du cercle de rajon A; il en est donc de même de la fonction F(^).
Enfin, aux environs d'un point Un de la suite e7{, a2, . . ., ^r-i? la fonction
est régulière, puisqu'il en est ainsi de la fonction
donc la fonction
est aussi régulière aux environs de ««.
Pour tous les points intérieurs au cercle de rayon A, la fonc- tion F(a:) satisfait donc aux diverses conditions de l'énoncé; elle y satisfait partout, puisque A est arbitraire.
La série qui représente F(j?) est absolument convergente par- tout, sauf aux points singuliers ai, a^^ • • *, ^v, . - *. Elle est uni- formément convergente dans toute aire limitée par un contour simple et ne contenant aucun des points ezi, ^2, . . . , av, ... ; on peut en prendre la dérivée terme par terme, etc.
Nous avons supposé qu'aucun des points singuliers ai, a2, . • ., a/i, . . . n'était nul. Si, outre ces points, la fonction cherchée de- vait admettre le point o comme point singulier (pôle ou point sin- gulier essentiel) et être telle qu'elle devînt régulière autour de ce
point après qu'on en a retranché la fonction g l-jy en désignant
toujours par g{x) une fonction entière (transcendante entière on polynôme) d'ailleurs arbitrairement donnée, il suffirait évidem- ment d'ajouter à la fonction F(x), construite comme nous l'avons
expliqué, la fonction g y -y
Quand on a construit une fonction satisfaisant à toutes les con- ditions de l'énoncé, on formera la fonction la plus générale qui satisfasse à ces conditions en lui ajoutant une fonction entière ar- bitraire.
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(!'• PARTIE. )
CHAPITRE I.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS
PÉRIODIQUES.
77. Désignons par a une constante réelle ou imaginaire; on dit que la fonction univoquey*(M) e^l périodique et qu'elle admet la période a si l'on a, quel que soit m,
/(M-f-a)=/(w); en changeant dans cette égalité *?/ en u — a, on trouve
en sorte que, si a est une période, — a est aussi une période; on voit aussi, en changeant w en w -f- a, w + aa, . . . , u — «, u — aa, . . . , que l'on doit avoir, quel que soit l'entier positif ou
négatif m,
/(u-hnta) =/(w),
en sorte que, si a est une période, ma est aussi une période.
Les éléments de l'Analyse fournissent des exemples de fonctions périodiques : sin m, e" admettent respectivement les périodes air, rkÎTZj la série
^A^e" '' ,
n
T. et M. - I. 9*
l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
supposée convergente, représente une fonction admettant la pé- riode a.
78. Si une fonction univoque f{u) admet la période a, et si elle s^annule pour m=Wo, il est clair qu'elle s'annulera pour u=^ Uq-\- a*^ mais il y a plus : si Uq est un zéro d'ordre n de la fonction /(m), il en sera de même de u^-^-a. En effet, dire que Uq est un zéro d'ordre n de la fonction /(m), c'est dire que, aux environs de Mq, cette fonction peut se mettre sous la forme
^£{u — Mo) étant une série entière en a — c/o, qui ne s'annule pas pour M = Mo» et cette égalité doit subsister pour toutes les valeurs de u qui satisfont à une condition de la forme
I M— Mo|<«,
OÙ e désigne un nombre positif au plus égal au rayon de conver- gence de la série 9{u — Mo); or si, dans l'égalité précédente, on change ii en m — a, il vient
f{u - a) =/{u) = [u - (1*0-+- a)]« <S[u- (1*0-+- «)],
et l'égalité des deux derniers membres devant avoir lieu pour toutes les valeurs de m, qui satisfont à l'inégalité
[m — (Mo4-«)!<8,
obtenue en changeant aussi m en m — a dans la condition précé- dente, la proposition esl démontrée.
Au reste, le même mode de démonstration prouve que si la fonction périodique /(m), aux environs du point Mo, peut être mise sous une certaine forme analytique
*(a — 1*0)»
dans laquelle m — m© joue le rôle de variable, elle pourra, aux en- virons du point Mo -f- a, être mise sous la forme
<I>[tt — (1*0 H- «)].
Ainsi, si la fonction /(m) admet un pôle en m,, d'ordre n, et peut
CONSIDÉRATIONS GÊN£R1LBS SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l35
se mettre aux environs de ce pôle, sous la forme
/(«)= i h... -h ^""^ 4-$(a-^M,),
où A, Ai, ..., A/,_i sont des constantes et 9(u — u^) une série entière en u — e/|, cette fonction admettra le point Us-\- a pour pôle dWdre n et, aux environs de ce point, pourra se mettre sous la forme
f/u) = 1 àl ^_ .H bjïzl H*(a — a, —a),
les constantes â, A|, . .\, A;,_i ayant les mêmes valeurs que pour le pôle ;/|.
Puisque, si a est une période, il en est de même de ma, en dé- signant par m un entier quelconque, il est clair que tous les nom- bres Uq + ma seront des zéros de même ordre ; de même tous les nombres u^ + ma seront des pôles de même ordre. C^est ainsi que les zéros de sino; sont tous simples et forment deux progres- sions arithmétiques dont la raison commune est 21?, que les zéros et les pôles de cot^ sont tou3 simples et forment des progressions arithmétiques dont la raison est ic.
79. Au surplus, lors même qu^on ne connaîtrait pas les fonc- tions trigonométriques, la remarque si simple qui précède, rela- tive aux fonctions périodiques en général, amènerait à les consi- dérer par une voie très naturelle.
On est en effet amené, par ce qui précède, à se poser le problème suivant : Construire une fonction dont les zéros forment une pro- gression arithmétique indéfinie. Si Ton veut, par exemple, con- struire une fonction transcendante entière, admettant comme zé- ros simples les nombres
o, dbi, dba, . . . , dr 71, ...»
et n^en admettant pas d'autres, le théorème de M. Weierstrass (n^71) permettra d'en obtenir une infinité dont la plus simple sera
(«) ?(")=«n"i(— i)"i'
l36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OÙ le nombre n doit prendre toutes les valeurs entières positives ou négatives, à Texclusion de la valeur zéro.
Nous rappelons les conventions suivantes qui seront constam- ment adoptées dans la suite : le /acteur primaire
(-.)
M
n
e
est mis entre accolades, de manière à indiquer que la quantité qu'enferment ces accolades constitue un facteur du produit in>
fini, au sens du n° 71 ; Faccent ^'^ dont est affecté le signe 1 I
veut dire qu'on obtient les différents facteurs du produit in- fini en donnant à n toutes les valeurs entières positives ou néga- tives à V exclusion de la valeur zéro : nous rappelons aussi, une fois pour toutes, les propositions suivantes, qui ont été établies dans le n'* 71.
Les produits infinis, formés en appliquant le théorème de M. WeierstrasSy sont absolument convergents; ils définissent des fonctions (transcendantes) entières; leurs facteurs peuvent être groupés comme l'on veut, et les divers groupements conduisent toujours à des produits absolument convergents, de même va- leur; on peut en prendre la dérivée logarithmique, comme s'il s'agissait de produits d'un nombre limité de facteurs, soit avant d'avoir groupé les facteurs, soit après; les séries ainsi formées sont absolument convergentes, sauf pour les valeurs de la variable qui annulent les facteurs primaires du produit infini; elles sont uniformément convergentes dans toute région limitée du plan qui ne contient aucun des points dont les affilies sont les valeurs qu'on vient de dire, et dont le contour est à distance finie de ces différents points; on peut en prendre les dérivées terme par terme et l'on obtient ainsi toujours des séries absolument et uni- formément convergentes dans les mêmes conditions que la pre- mière.
En particulier, dans le cas qui nous occupe, on aura, en dési- gnant par ç'(w) la dérivée de cp (m), la relation
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. lij
puis, en prenant les dérivées une fois de plus, ^^ du <p(a) ^ (u — ny
n
dans la première de ces relations, les accolades indiquent que la quantité qu^elles enferment constitue un terme de la série, et n doit prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à Texclusion de la valeur zéro, ce qui est indiqué par l'accent qui
aflecte le signe \]*, dans la seconde, n doit prendre toutes les va- leurs entières positives, nulles et négatives. Nous avons déjà dit (n®*67, 73) que ces expressions pouvaient conduire directement aux
propriétés relatives à la périodicité des fonctions ^(w), ^-p — ^;
mais nous allons établir à nouveau ces propriétés, afin d^ndiquer un mode de raisonnement et quelques transformations de formules qui nous seront utiles plus tard.
Remarquons d'abord que l'expression même de <f{u) montre que l'on a
puisque, sous le signe I 1 , le changement de 2/ en — u revient au changement de n en — n qui n'altèrte pas le produit infini; ç(a) étant une fonction impaire, il en est de même de ^-i-^ • U est aisé de reconnaître que cette dernière fonction s'annule pour u = -; on a, en effet.
^(0
n=p n =— \
.9
= 2-hlim. y \ 1 — 1 +liin. > l ■
n=:« ^M { I n ] „=« ^d { 1
11 = 1/ n I ^ n=-i I n
2 ) V 2
le second membre est la limite pour/? infini de
^\3 / ^ \5 "~ 2/ '^'"'^ \^2/) -h 1 p) ~' 2p-\-i limite qui est évidemment nulle.
l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si, maintenant, dans l'expression de f{u)j on change uenu-h a^ a désignant un nombre quelconque non entier, on trouve
n
or, le facteur primaire
peut être regardé comme le produit des trois quantités
donc, en raison de la convergence manifeste des trois produits in- finis dont on obtient les facteurs en remplaçant, dans chacune de ces quantités, n par Cous les entiers positifs ou négatifs, à l'exclu- sion de zéro, on voit que le produit infini
n'K'-^")-!
n
peut s'obtenir en multipliant les valeurs des trois produits infinis
a
L9(«) «J
on aura donc
M -H a a JLJ. (\ n — a} y
n
OU, en faisant rentrer sous le signe 1 1 le facteur
/ \ **
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. 189
qui n'est autre que le facteur général écrit sous ce signe, et dans lequel on supposerait n = o, on trouve finalement
n
I
dans le premier membre, n doit maintenant prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives.
En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres par rapport à i/, on obtient la relation
n
que l'on déduit d'ailleurs directement de l'expression de • ^ ■;
les premiers membres des deux dernières égalités, regardés comme des fonctions de a, sont évidemment des fonctions périodiques, admettant le nombre i pour période ; en effet, le changement de a en a + I , dans ces premiers membres, revient au changement de n en n — i qui ne fait que reculer d'un rang les facteurs ou les termes du produit ou de la série et n'altère pas la valeur de ce produit ou de cette série ; on a donc
(p'(a-+-a-+-i) 9'(a-t-i)_<p'(w-+-a) «p'(«)
9'(w-i-a-Hi) <p'(m-i- a) __ cp'(a-i- i) «p'(a)
égalité qui montre que le second membre est indépendant de a; on
voit de suite que sa valeur est nulle en y supposant a = ; on
a, en effet, par les remarques précédentes,
ainsi la fonction ^7—: est périodique et admet l'unité pour pé- riode.
o =
l40 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On trouve de la même façon, en remarquant encore que le pro- duit infini
nK-»-^)--!.
considéré comme une fonction de a, admet l'unité comme pé- riode,
<p(a-f-i) <p(«)
ou, en tenant compte de la périodicité de la fonction ^ >
^(u-ha-hi) _ 9(aH-i) ?(«-^«) ?(«)
égalité qui montre que le second membre est indépendant de a.
En y supposant a = > on trouve que sa valeur est — i ; on en
conclut sans peine que la fonction ^{u) est périodique et admet le nombre deux comme période. Les fonctions [?(«)]^, î(^^) ^^* mettraient l'unité comme période.
D'ailleurs, la fonction f (m) n'admet pas d'autres périodes que le nombre deux et ses multiples entiers, et c'est ce qui résulte en- core de la remarque qui a conduit à la former. En effet, f (u) ne peut admettre comme période un nombre impair 2 /i -+- 1 ; on a, en eflet, puisque a et 2/i sont des périodes,
mais un nombre qui ne serait pas entier ne peut être une période : en effet, puisque la fonction ç(w) s'annule pour w = o, elle doit s'annuler pour toute période; or elle ne s'annule que pour des va- leurs entières de u.
On voit comment la forme considérée de la fonction <f{u) met en évidence les propriétés les plus importantes de cette fonction relatives à la périodicité. D'autres propriétés apparaissent moins facilement sur cette forme et se rattachent à d'autres formes ana- lytiques qu'elle peut revêtir; mais nous ne voulons pas étudier da-
vantage cette fonction, qui n'est autre chose que (n** 73),
et nous nous bornerons à récrire, avec les notations de la Trigo-
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. I^f
nométrie, les formules (a), (6), (c), (rf), (e). On obtient ainsi (II) sin7rw = 'jra JJ 'Yi_^jen(
n
I V^^ ' \ I I
u Jê^ lu — n n
n
n (Ï4) 11(1 )c'«-«> = r^ ic-KU
cotna
A
< I5) ^. } i \ = 7r[cot7r(a -ho) — cotTcal.
80. Nous avons dit que, si une fonction /(«) admettait une pé- riode égale à a, tous les multiples entiers de a étaient aussi des périodes de celte fonction ; il n'y a pas lieu de regarder ces di- verses périodes comme véritablement distinctes. Si la fonction /(w) n'admet pas d'autres périodes que celles-là, elle est dite simple- ment périodique, et l'on dit que a en est la période primitive : ainsi 2 est une période primitive de la fonction o[u) du numéro précédent, 211 est une période primitive de sinw.
On peut se demander s'il peut exister des fonctions univo- quesy(w) admettant deux périodes distinctes <^ et 6, c'est-à-dire des fonctions telles que l'on ait, quel que soit u^
/(u H- a) =/(«), f{u 4- b) =/{u),
et, par conséquent aussi, quels que soient les nombres entiers /;?, /i, positifs, nuls ou négatifs,
f{u -h ma -\- nb) ^ f{u ).
En disant que les périodes a et 6 sont distinctes, nous entendons simplement ici qu'il n'existe pas un troisième nombre a dont a et b soient des multiples entiers et qui soit lui-même une période de la fonction /(u). Si un tel nombre existait, oq ne dirait rien de plus en disant que a, b sont des périodes, qu'en disant que a est une période. On peut se demander aussi s'il peut exister des fonctions univoques admettant trois périodes distinctes a, 6, c,
l4a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
c'est-à-dire des fonctions f{u) telles que l'on ait, quel que soit u et quels que soient les entiers m, /t, /?,
/{u-\- ma -h nb-^pc) =/(u).
En disant que les périodes a, 6, c sont distinctes, on entend qu'elles ne peuvent pas sVxprimer toutes trois en fonction linéaire à coefficients entiers de deux périodes de /(w). S'il en était ainsi, on n'aurait rien de plus que dans le cas des fonctions à deux périodes, etc.
81. Avant d'essayer de répondre à ces questions, nous établi- rons le lemme suivant :
Si une fonction univoque/(w)est régulière en un point Uq (n® 53) et ne se réduit pas à une constante, il existe un nombre positif s tel que la valeur absolue de toute période de cette fonction soit certainement supérieure à e.
En effet, dire que la fonction f{u) est régulière en «o» c'est dire qu'il existe un nombre positif 73 tel que, pour toutes les valeurs de h qui vérifient l'inégalité
à\<yi.
l'on ait, en désignant par n l'ordre de la première des dérivées de f{u) qui ne s'annule pas pour w := Uq,
Or, s'il en est ainsi, on a vu (n° 36) qu'il existe un nombre positifs tel que la série qui figure entre crochets dans le second membre de cette égalité ne s'annule pour aucune valeur de h moindre que £ en valeur absolue. Si donc on veut que l'on ait
/(wo-t-a) =/(wo),
il faut que | a | soit supérieure à s.
82. 11 résulte de là que si la fonction univoque /(u), régulière en Uq, est périodique, les différents points qui figurent les diverses périodes que cette fonction peut admettre sont tous à une dis- tance du point o supérieure à e. Si cette même fonction admet
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES PONCTIONS PÉRIODIQUES. l43
les deux périodes a, 6, elle admettra comme périodes tous les nombres ma -|- né, en désignant par m et n des entiers. En parti- culier, la différence de deux périodes quelconques sera une pé- riode; par suite, si Ton figure les diverses périodes par des points, la distance de deux quelconques de ces points sera supé- rieure à e, puisque cette distance est la valeur absolue de la diffé- rence entre les affîxes de ces points, différence qui est elle-même une période.
On en conclut que, dans une portion limitée du plan, il ne peut j avoir qu^un nombre fini de points figurant des périodes; en effet, on pourrait paver le plan avec de petits carrés dont la diagonale serait inférieure à e ; or, dans chacun de ces carrés, il ne peut y avoir qu'un seul des points considérés.
83. Nous allons maintenant établir les deux propositions sui- vantes :
I. Si une fonction univoque/(M), régulière en un point Mo, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, b dont le rapport soit réel, il existe une période a de la fonction /(m) dont toute autre période est un multiple entier : en d'autres
termes, cette fonction est simplement périodique et a en est une période primitive.
II. Si une fonction univoque/(M), régulière en un point Wq, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, b dont le rapport soit imaginaire, il existe un couple de périodes a, P de la fonction /(w), tel que toute période de cette fonction soit une fonction linéaire homogène à coefficients entiers de a, p.
i** Si a, b sont des périodes dont le rapport est réel, tous les points ma -h nb sont situés sur la droite qui passe par les points o, a, 6 ; leurs distances mutuelles sont plus grandes que e ; il y a donc un de ces points qui est plus rapproché que les autres de l'origine, puisque sur un segment fini de cette droite avant son origine en o, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de points figu- rant des périodes. Soit a Taffixe du point le plus rapproché; tous les nombres/? a, où/? désigne un entier, sont des périodes; ils sont figurés par des points équidistants sur la droite considérée ; or, aucune période p ne peut être figurée par un point situé entre
l44 CALCUL DIPPÊRBlfTIEL.
deux points consécutifs />a, {p + i)ay sans quoi la distance des points ^ et /7a serait moindre que |a|, et, puisque la différence entre les périodes />a et ^ est une période, il y aurait un poini figurant une période plus rapproché de zéro que le point a; ainsi, toutes les périodes sont des multiples de a, en particulier a et 6, qui ne sont pas des périodes distinctes. La fonction est simple- ment périodique et a est une période primitive (*).
là? Si donc la fonction /(m), régulière en un point, admet deui périodes distinctes âr, 6, le rapport de ces deux périodes, et, par conséquent, l'une d'elles au moins, est imaginaire.
Avant d'aller plus loin, il convient de se rendre compte de la façon dont sont distribués tous les points ma + /i&, /n et /t étanl entiers.
Tous les points ma sont des points équidistants sur la droite qui passe par les points o, a ; de même les points /i6, sur la droite
(*) On arrive à la même conclusion par les considérations arithmétiques que voici :
Supposons d'abord que le rapport - soit un nombre rationnel —tqtip étant
des entiers premiers entre eux ; il existera alors un nombre a tel que Ton ait
a =/>at, b = qoLf
et il suffit de prouver que a est une période pour démontrer que a et 6 ne sont pas des périodes distinctes ; or c'est ce qui résulte de ce qu'il existe des entiers p', q' tels que l'on ait
i=pp'-hqq\
et, par suite,
a = p'a ^ q' b.
Supposons maintenant que le rapport des deux périodes - soit un nombre ir- rationnel réel p; la théorie des fractions continues montre qu'il existe des fractions
à termes entiers -> à dénominateur aussi grand qu'on le veut et, telles que Ton ait ^
la valeur absolue de pa ^ qb ou a{p — ^p) étant moindre que
la]
peut être supposée aussi petite que l'on veut; msiïs, pa — qb étant une période, on voit que cela est impossible si la fonction f{u) est régulière en quelque point.
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CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. 1^5
qui passe par les points o, b : les deux droites sont d'ailleurs dis-
b
3Qfj;; linctes, puisque le rapport - est imaginaire ; si, par les différents
^F'-'^ ■ points de division de la première, on mène des parallèles à la se- conde, et, par les différents points de division de la seconde, des parallèles à la première, on décomposera le plan en un réseau de parallélogrammes tous égaux et dont les sommets auront des affixes de la forme ma -^ nb ; le point ma -^ nb sera obtenu par l'intersection de la parallèle à la seconde droite, menée par le point /«a, et de la parallèle à la première droite, menée par le point nb.
Nous désignerons sous le nom de premier parallélogramme du réseau le parallélogramme ajant pour sommets les points o, a^ a -^ bj b, et nous regarderons comme appartenant à ce paral- lélogramme tous les points qui lui sont intérieurs, les points situés sur le côté qui va de o à a, sauf le point a, les points situés sur le côté qui va de o à 6, sauf le point b ; les points situés sur les deux autres côtés n'appartiennent pas au premier parallélogramme.
De même, tous les points u H- ma H- nb, où m, n doivent prendre encore toutes les valeurs entières positives, nulles et né- gatives, sont situés aux sommets d'un réseau de parallélogrammes identique au précédent, et qui s'en déduirait en faisant subir à toute la figure une translation égale au segment qui va du point o au point a. Tous ces points u -j- ma -f- nb^ pour lesquels la fonc- tion y( m) reprend la même valeur, sont situés de la même façon par rapport aux parallélogrammes du premier réseau (ma -h nb) qui les contiennent; nous dirons de tous ces points qu'ils sont congruents ; étant donné un point quelconque u du plan, il existe un point appartenant au premier parallélogramme, et un seul, congruent au point u.
Il est clair, d'après cela, qu'on connaîtra entièrement une fonc- tion admettant les périodes a, 6, si on la connaît pour tous les points qui appartiennent au premier parallélogramme du réseau ; elle se reproduira dans les autres parallélogrammes.
Remarquons encore, en général, que si a, 6, c sont les affixes
de trois points, le quatrième sommet du parallélogramme ayant
l'un de ses sommets en a et ayant pour diagonale le segment qui
joint les points b^ c a pour affixe b -+- c — a; en effet, si l'on
T. et M. — I. 10
l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
désigne par d cette affixe, on devra avoir, en verlu de la repré- sentation géométrique de l'addition des nombres imaginaires,
b -^ c = a -h d\
il résulte de là, en particulier, que, si a, 6, c sont des périodes de la fonction /(m), le quatrième sommet de tout parallélogramme dont a, 6, c sont trois sommets figurera aussi une période.
Ceci posé, imaginons que la fonction univoquey"(i/), régulière en un point, admette les deux périodes a, 6 à rapport imagi- naire et considérons l'ensemble des points qui peuvent figurer des périodes de cette fonction : ces points, que nous appellerons points-périodes j sont isolés, et leurs distances mutuelles sont aa moins égales à e; choisissons arbitrairement Tun d'eux, et menons^ à partir du point o, la demi-droite qui le contient; il y aura sur cette demi-droite une infinité de points-périodes, mais, comme on Ta vu plus haut, il y en a un qui est plus rapproché de o que les autres; désignons-le par a; décrivons du point o comme centre un cercle, avec un rayon plus grand que | a | et assez grand pour em- brasser un ou plusieurs autres points-périodes, non situés sur le rayon qui passe par a*, faisons tourner ce rayon autour du centre de façon à rencontrer un point-période situé dans le cercle avant d'avoir décrit deux angles droits, et arrêtons-le dès que Ton a ren- contré un tel point; désignons par ^ le point-période le plus rapproché de o, situé sur le rayon dans cette nouvelle position. Il est manifeste que le triangle ayant pour sommets les points o, a, p ne contient à son intérieur ni sur son contour aucun autre point-période que ses sommets; il en est de même du parallé- logramme ayant pour sommets les points o, a, a-f-^, p : ce parallélogramme, en effet, est séparé en deux triangles par la diagonale qui joint les deux points a, ^; l'un de ces triangles a pour sommets o, a, p; le second a pour sommets a, p, a-f- P; or si ce second triangle contenait à son intérieur ou sur son contour un point-période y distinct de ses sommets, le sommet a -h p — Y du parallélogramme dont le segment qui joint a, p est une diagonale et dont y est un sommet, serait un point-pé- riode et appartiendrait au premier triangle, ce qui est impossible. Le parallélogramme dont les sommets sont o, a, a -+- p, p ne con- tient donc à son intérieur et sur son contour aucun autre point-
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. 1^7
période que ses sommets. Dès lors, si on le considère comme le premier parallélogramme d*un réseau dont les sommets auraient pour affîxes les différentes valeurs de ma-f- /i^, on voit qu'aucun parallélogramme du réseau ne pourra contenir à son intérieur ou sur son contour (en dehors des sommets) aucun point-période, sans quoi, le point congruent du premier parallélogramme serait un point-période, ce que l'on a démontré être impossible.
Ainsi, toute période de la fonction f{u) est nécessairement de la forme /wa -}- /i j3, et Ton voit en particulier que celte fonction ne peut admettre trois périodes distinctes (*).
En résumé, lorsqu'une fonction univoque/(w), régulière en un point, admet un couple de périodes à rapport imaginaire, il existe
(*) La démonstration arithmétique de cette dernière proposition résulte de la généralisation de la méthode d'approximation des fractions continues que voici, et qui est due à M. Hermite.
Soient a,, oc,, .,., a^, n nombres réels quelconques; on peut en approcher comme il suit par des fractions à termes entiers et de même dénominateur : soit J^ un entier positif arbitrairement choisi et x un des nombres i, a, ..., ^; prenons pour X. le nombre entier défini par les inégalités
o < a-a? — Xi< i;
si les parties entières des n expressions
^{^iX — Xi),, (1 = 1,2, ...,/l),
sont nulles, on en restera là; sinon on prendra pour x un autre des nombres de la suite i, 2, ..., J^. Si, après avoir essayé tous ces nombres, aucun des 4^" systèmes de n nombres entiers positifs moindres que ^^ formés par les parties entières des n expressions S^{ol.x — x-) n'est composé de nombres tous nuls, c'est que deux systèmes sont composés de nombres identiques, puisque, avec les ^ nombres o, i, 2, .... i^ — i, on ne peut former que 4^ systèmes distincts de w nombres, et que l'un de ces systèmes est formé de n nombres nuls; par suite, dans le cas supposé, il existe deux nombres x, o?', pris dans la suite i, 2, ..., 4^, tels que les parties entières des n expressions
soient respectivement égales aux parties entières des n expressions
Dés lors, on aura
XJai.{x^x')-{x,-x'i)\<x',
en résumé, on peut toujours choisir les entiers x, x,, x,, . . ., x„, tels que l'on ail
l48 GàLCUL DIFFÉRENTIEL.
un couple de périodes dont toutes les autres périodes sont des fonctions linéaires à coefficients entiers : un tel couple de périodes est dit couple primitif ; nous verrons d'ailleurs plus tard qu'il en existe une infinité. La fonction f{u) est dite doublement pério- dique.
A la vérité, rien encore n'autorise à affirmer l'existence de pa- reilles fonctions, existence qui a été supposée dans ce qui précède; c'est la construction de ces fonctions qui va maintenant nous oc- cuper.
84. Parmi les fonctions univoques, les plus simples sont les fonc- tions rationnelles; mais on aperçoit de suite qu'elles ne peuvent être périodiques, à moins de se réduire à une constante. 11 y a, au contraire, des fonctions périodiques parmi les fonctions transcen- dantes entières; telles sont les fonctions simplement périodiques
le nombre x est positif, et au plus égal à ^; il est facile d'assigner des limites
supérieures aux valeurs absolues des nombres j?,, :r,, . . ., x^.
Ceci établi, on démontrera comme il suit l'impossibilité de trois périodes
distinctes
a — X -h X' i, 6 = {1 -h {i' I, c = V -h v' I ;
si l'on désigne par Xj y, z des entiers, le nombre P -H iP', où l'on suppose
V = \x -f[i.y -i-'^Zj P'— X'j7-+- H-'^'-f- v'5,
sera aussi une période, et il suffit, pour établir la proposition énoncée, d'établir que l'on peut choisir les entiers x, y^ z de manière que les valeurs absolues de P, P' soient moindres que toute quantité donnée : or, on tire des égalités précédentes
(V— ^»r — (^'v — >^v')z = P'X~PV;
aucune des expressions X[i' — Vji, {iv' — {jl'v, X'v — Xv' n'est nulle; si la première en eiïct était nulle, le rapport - serait réel, et ce cas a déjà été exclu; or, après
avoir fixé le nombre entier -(^, on peut déterminer les entiers x^y^z de manière que les premiers membres des égalités précédentes soient moindres en valeur ab- solue que -j-; si donc on désigne par e, e' des nombres moindres que i en valeur
absolue, on aura
Pa'-P'a= —, P'X — PV= —,
d'où l'on tire
P = '^^ -^ ^^' , p' = Ve -+- fi'e'
or, comme -^ peut être supposé aussi grand qu'on le veut, P et P' peuvent être supposés aussi petits qu'on le veut.
CO?CSIDÊRÀTIONS GÉNÉKALBS SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l49
sîn:r, e*"; mais toute fonction entière, transcendante ou non, qui est doublement périodique se réduit à une constante. C'est là une proposition extrêmement importante, due à Liou- ville et dont l'illustre géomètre a montré qu'elle pouvait servir de principe pour fonder la théorie qui nous occupe (*). Sa démonstra- tion est d'ailleurs immédiate; considérons en eflet le réseau de parallélogrammes formé, comme il a été expliqué plus haut, au moyen de deux périodes; une fonction (transcendante) e^îtière restera évidemment finie dans le premier parallélogramme du ré- seau ; sa valeur absolue y restera inférieure à un nombre positif fixe A; et, à cause de la périodicité, cette valeur restera moindre que A dans chaque parallélogramme, c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur finie de la variable : or, on a vu (n° 35) que, dans ces conditions, une fonction transcendante entière se réduit né- cessairement à une constante; le théorème de Liouville est donc démontré.
85. Après les fonctions transcendantes entières, les fonctions univoques les plus simples, parmi celles qui admettent des déri- vées, sont celles qui n'admettent pas d'autres singularités à dis- tance finie que des pôles : sauf en ces pôles (et au point oo), elles sont partout régulières ; leurs pôles sont nécessairement isolés. Elles se comportent comme des fonctions rationnelles pour toutes les valeurs finies de la variable. Rappelons encore qu'elles peu- vent être regardées comme le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non (n° 74) ; ce sont ces fonctions que nous con- sidérerons exclusivement, et voici la marche que nous suivrons pour former celles d'entre elles qui sont doublement périodiques.
Considérons une telle fonction univoque /{u), n'ayant pas d'autres singularités à distance finie que des pôles. Supposons que Ton ait
fW=-
^{u)
^(u) et ^(u) désignant des fonctions entières (transcendantes ou non) de la variable w, qui ne s'annulent pas pour une même
(') Leçons sur les fonctions doublement périodiques {Journal de C relie, t. LXXXVIII).
l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
valeur de u; les pôles de /(m) correspondront aux zéros de W{u)f ses zéros correspondront aux zéros de ^(u). Supposons que la fonction y(w) admette les périodes a, 6, dont le rapport sera né- cessairement imaginaire, et envisageons le réseau de parallélo- grammes formé au moyen de ces périodes. Dans le premier de ces parallélogrammes, la fonction /({/) aura au moins un pôle, sans quoi, elle n'en aurait nulle part. Elle en aura, d^ailleurs, un nombre fini, sans quoi, elle admettrait nécessairement dans ce parallélogramme un point singulier essentiel, limite des pôles en nombre infini. Si les pôles distincts appartenant au premier pa- rallélogramme sont
pli Piî • • •» Py»
tous les points congruents aux points ^i, ^^^ . . . , ^^ seront aussi des pôles de la fonction, avec les mêmes degrés de multiplicité respectifs que ces points. En efiet, si m, « sont des entiers, ma -H nb est une période et, par conséquent, Pi -h fna h- nb est un pôle de même ordre v/ que P/, (f ^^ i , 2, . . . , gr) ; donc la fonc- tion V(w) admettra comme zéros tous les points ^i-\- ma -\- nb^ avec l'ordre v,-, (t = i, 2, . . . , gr); elle n'en admettra pas d'autres. De même, dans le premier parallélogramme, la fonction y(tt) admettra au moins un zéro; car, autrement, la fonction double- ment périodique
J\u) "" *(a)'
(jui n'admet aussi d'autres singularités que des pôles, n'aurait au- cune singularité si elle n'admettait pas quelque pôle dans le pre- mier parallélogramme ; ce serait donc une fonction entière, et, par conséquent, en vertu du théorème de Liouville, une constante. Dans ce premier parallélogramme, /{u) ne peut admettre qu'un nombre fini de zéros; soient donc
«1, aj, . . ., ap
les zéros distincts de la fonction *(w), appartenant au premier parallélogramme, et soit (x/, (t = 1 , 2, . . . ,/?), l'ordre de multipli- cité du zéro a/; tous les nombres a|-f- ma -h nb seront des zéros d'ordre (jl,-, (1 = 1,2, . . .,/?), pour la fonction V(w), et celle-ci n'admettra pas d'autres zéros.
Imaginons donc qu'on construise, par la règle de M. Weier-
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l5l
Strass (n"71), une fooction transcendante entière du (*) admettant pour zéros simples tous les nombres ma -h /lè, et n'en admettant pas d'autres, on devra avoir, en vertu du théorème que nous ve- nons de rappeler, et en désignant par f («), ^(w) des fonctions (transcendantes) entières de w,
cï»(M) = e9(«^[a'(a— ai)]{^.[a'(a-a,)]i^....[a'(a — ap)>r,
En effet, on voit de suite, comme au n° 72, que la fonction, régulière pour toute valeur finie de w, et ne s'annulant pour au- cune valeur de £/,
^(u)
[C(a — ai)J^'[a'(M — «5)]^*». . .[a'(M — ap)]i*"p '
est une fonction (transcendante) entière de u de la forme
Il en résulte que la fonction /(m) est nécessairement de la forme
Nous retrouverons cette forme plus lard, avec une signification plus précise; nous avons seulement voulu montrer ici comment l'étude de la fonction du s'imposait d'une façon nécessaire; c'est la construction de cette fonction et l'examen de ses propriétés élé- mentaires qui vont maintenant nous occuper.
C'est Eisenstein qui, le premier, a construit cette fonction (^). Toutefois le produit infini à double entrée qu'il considère n'est pas absolument convergent et est, par suite, moins maniable que celui que nous allons considérer en suivant la méthode et en adop- tant les notations de M. Weierstrass.
(') Dans les Chapitres qui suivent, ou désignera par ce symbole une fonction particulière entièrement déterminée.
(') Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quotienten zuzammengesetzt sind. { Eisenstein* s Ma- thematische Abhandlungen, p. qi3; Berlin, 1847.)
■ ••>»
l53 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
CHAPITRE II.
LA FONCTION <^u ET LES FONCTIONS QUI E\ DÉRIVENT.
I. — Les trois fonctions ^u, l^u, pu. L'argument augmente de aco^.
86. Nous adopterons les notations et les conventions qui suivent :
Désignons par 2(0|, 2CO3 deux nombres dont le rapport soit ima- ginaire; nous apprendrons bientôt à former des fonctions double- ment périodiques, pour lesquelles ces nombres constitueront un couple primitif de périodes, et nous emploierons de suite les mots périodes pour désigner ces nombres; quoiqu'il en soit, nous con- sidérerons le réseau de parallélogrammes formé par les points
amwi-!- 2/1(1)3,
m, n prenant toutes les valeurs entières positives, nulles ou néga- tives; comme dans le n" 83. Nous désignerons sous le nom de premier parallélogramme le parallélogramme dont le pre- mier, le deuxième, le troisième et le quatrième sommet auront respectivement pour affixes
O, 2U>,, 2a>i-T-2W3, 20)3;
le premier, le deuxième, le troisième elle qua trié me côté ^oigneni respectivement les points o,2w<; 2w<, 2W1-I-21U3; '^10,4-2103, 20)3; 2(1)3,0. Comme au n" 83, nous regarderons comme apparte- nant au premier parallélogramme tous les points intérieurs, et tous les points situés sur le premier et le quatrième côté, sauf les points 2U)<, 2(03. Nous adopterons des conventions analogues pour le parallélogramme dont les sommets sont
M, M-f-2(Ji>|. M -h 2(1)1 H- 2(03, «-4-2(1)3,
LA FONCTION :^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l53
qui sera dit parallélogramme des périodes relatif au point a; lous les points m H- 2 m 0)4-1- 2/1(03 sont dits congriients; suppo- sons en particulier que le point u appartienne au premier parallé- logramme, tous les points congruents sont situés, par rapport aux divers parallélogrammes du réseau qui les contiennent respecti- vement, de la même façon que le point u par rapport au premier parallélogramme. Étant donné un point quelconque u' du plan, il existe un point e^ appartenant au premier parallélogramme et con- gruent au point w'; Taffixe de u est la valeur réduite de u' ,
Dans le langage de l'Arithmétique, on dit que les nombres u et m' sont co/i^rw5 par rapport au système de modules 2(0,, 20)3, ou encore, congrus modulis 2w,, 20)3, si l'on a, en désignant par m el n des nombres entiers,
a' = tt -^ 2m(i)i-+- '^ 71(1)3,
et l'on écrit
u'= {^[modd. 2(1)1, 2103] (1).
87. Nous allons maintenant "nous occuper du problème posé à la fin du Chapitre précédent, de la construction d'une fonction transcendante entière admettant comme zéros simples tous les nombres 2m(i)| -4- 2/1(09, en désignant toujours par /w, n des en- tiers positifs, nuls ou négatifs.
La série à double entrée
y !
JU ( '2 /W («, H- 2 /l 0)3 )« m, n
étant absolument convergente (n° 18) lorsque a est un entier plus grand que deux, on voit que la fonction cherchée est une fonction transcendante entière de genre deux. Pour la construire, il faudra donc, d'après le théorème de M. Weierstrass (n°71),
(M La notation un peu singulière modd. a été proposée par Gauss (Werke^ t. II, NacMass, p. 289); elle a été adoptée et est employée couramment par M. Krooeckcr et ses élèves, pour distinguer les congruences suivant un système de modules des congruences suivant un seul module. Cette même notation est adoptée en Algèbre par M. Kronecker dans un sens bien plus général. ( Voir y4r{7/t- metische Théorie der algebraischen Grôssen , Festschrift et les Sitzungxbe- richte der Berliner Akademie, surtout depuis 1886.)
104 CAIXCL wrrtuEsmEL.
prendre pour facteurs primaires les qaanlités
i
M I Ml
I * • '• . _^ f
f \ 2/7tCtli — 2/IC1I3/ )'
dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux fadeurs doivent élre regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée
U I M*
n"!(-")-^*-|.
où .f doit élre remplacé par les diverses valeurs que prend TeiL- pression
amco] — a/i(U),
quand on y met à la place de m, /i les difierents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à Texclusion de la combinaison m =0, n ^ o, est alors absolument convergent quel que soit u. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n** 79. Il en est de même du produit infini à double entrée
qui admet pour zéros simples toutes les valeurs de s et n^admet
pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs
de 5, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies,
et en outre ta valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs
que peut prendre l'expression 2mci>| -\- 2/10)3 quand m et n sont
des entiers quelconques.
C'est cette dernière fonction transcendante entière que nous
désignerons par
s'a
ou, quand nous voudrons mettre les périodes dont on part, en évi- dence, par
(f{u I ti),, (1)3).
Alors, toute fonction transcendante entière admettant les mêmes
LÀ FONCTION riu ^T LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l55
zéros simples, et n'ea admettant pas d'autres, est de la forme
où g{u) désigne une fonction entière quelconque. 88. On a donc, par définition,
M 1 «^ i s*
(II.) *"="n"j('~7)*^^
s
«
En prenant la dérivée logarithmique du produit infini à double entrée, comme s'il s'agissait du produit d'un nombre fini de fac- teurs, on obtient une série à double entrée
i-^ll'\ir:
t'M . I u
— I
— s s s^
s
qui représente(n®71)la dérivée logarithmique -7- de la fonction (^ 2/ ; les éléments d'un même terme
1 i u
\ h -
u — 5 s 5*
doivent être considérés comme liés indissolublement.
Les pôles de la fonction —— - que cette série représente sont ici
bien en évidence : ce sont tous les points^; ce sontdes pôles simples.
Nous désignerons, par Çz/, la fonction — ainsi engendrée de du.
Lorsque nous voudrons mettre en évidence les nombres ci>|, 0)3 au mojen desquels elle est formée, nous écrirons
Ç(a |wi,cu,). On a donc
(II,) Ç(w)= :T-log3'M = - -^V — ^- hi-^-^ .
s
La fonction ^u engendre elle-même, par diiFérentiation, une fonction — 1^'u qui est représentée par la série à double entrée
;r«-^2
l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
obtenue en différentianl, terme par terme, la série qui repré- sente — Çw. Les éléments d'un même terme
doivent toujours être regardés comme liés indissolublement.
Les pôles de la fonction — Ç'w sont bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles doubles. Nous désignerons par pu ou, si l'on veut, par j3(w | (0|, 103), cette fonction — ^^u engendrée de !^w et, par suite, de rftt.
On a donc
(II3) pu = — r'u=— -r-\0g(fU= -T-h\ \- rx ■ r{-
t
De même pu engendre par difTérentiation une fonction p' u qui est représentée par la série à double entrée
l'J I ^ I
u^ ^ (u — s)^ JU
(u — s)^
s
obtenue en difTérentiant, terme par terme, la série qui représente pu. Les pôles de p'u sont bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles triples. On a donc
X
OÙ la somme est étendue à toutes les valeurs 5= amwi -+-2/10)3, y compris zéro.
89. Les propriétés qui suivent se lisent immédiatement sur les formules (ll«_ji)
La fonction du est impaire. En efi'et, à chaque valeur de 5, non nulle, correspond évidemment une valeur égale et de signe contraire, en sorte que, au facteur
u 1 n*
Kv u 1 II* J
LA FONCTION ^ U ET LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 167
correspond le facteur
M 1 W«
!(-;)
e
s s «*
et ces deux facteurs se permutent l'un dans Fautre quand on change u en — ' u.
Il en 'résulte immédiatement que Cm est aussi une fonction im- paire, pu une fonction paire et p' u une fonction impaire; cela se voit d'ailleurs aussi sur les formules (U^-Jk)-
On a encore immédiatement, quel que soit le nombre a différent de zéro,
{i) ^{au\ atûiy oLtûi) = a (j(a I 0)1, (03),
j
(III) I (î*) î(aw|aw,, a(03)= - Ç(a|(u,, w,),
(3) p(au\ezwi, aa)3)= -^ p(m | co,, wa).
et*
90. Soit 0 la distance du point o au plus rapproché des som- mets s du réseau de parallélogrammes. Si l'on a I w I -< S, on peut écrire
I _ I I _ r I a i/« 1
U — S S U l^S S^ 5«-*-* J
S
donc, en remplaçant dans l'expression de 2^ i^ chaque terme qui figure sous le signe \] par
j8 git gU-^l J »
et en ordonnant ensuite, ce qui est permis (n*' 38), on aura, sous la seule condition | m | <^ S,
s s s
on, en tenant compte de ce que, dans les sommes de la forme
l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les termes se détruisent manifestement deux à deux,
(.V,) c«=i-«'r"i— rr.-«'2"'i--
s s s
En intégrant par rapport à e£, on a
s
C étant la constante d'intégration et la détermination de loga dé- pendant du chemin d^intégration. On aura donc
La constante C doit être prise égale à zéro, afin que le rapport —
ait pour limite Funité quand u tend vers zéro, ce que la for- mule (II1) exi^e manifestement. En remplaçant
e ' par le développement en série entière en w,
-i-fri-Kri)']--.
on voit que du peut se mettre sous la forme
(IV.) ^«=«-j«'2'''i-i«'2'''*T----
ê s
Ce développement est valable quel que soit u ; il n'a, à la vérité, été établi que sous la condition 1 2/ { <; S; mais, comme la fonctioa 9U peut être mise sous la forme d'une série entière en a, partout convergente, et que cette série doit coïncider avec la série (IV| ) pour toutes les valeurs de 11 qui satisfont à la condition précédente,
LA FONCTION ^£/ ET LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 1 69
elle coïncide nécessairement (n® 36) avec cette même série, quel que soit u.
On remarquera que le terme en u^ manque dans le développe- ment de du.
D'un autre côté, en difTérentiant par rapport à u la relation (IV2), on trouve la formule suivante, que Ton aurait aussi bien pu dé- duire de la définition de p/^,
(') I ^-<(')
I ^n^ ' I ^r^^' I
(IV,) P« = i^ + ^"*2l F»^^"*2 T*-^----
S S
Cette formule sera valable tant que Ton aura | w | <C 2; si cette con- dition n'est pas vérifiée, le second membre n'est pas convergent. En difTérentiant encore une fois, on trouve
1 ■ v^t'' I v^('^ I
(IV4) P'^=-'^-^^^^2d ?"*'^''"'^ i»"^"-
s s
La méthode précédente permet sans doute de calculer autant de termes que Ton vondra dans le développement en séries de dii^ !^i/, pu\ mais elle ne permet pas de trouver la loi de formation de ces séries. Ce n'est qu'après avoir obtenu des équations diffé- rentielles auxquelles doivent satisfaire ces fonctions que l'on peut établir cette loi. Il convient toutefois de signaler dès maintenant ce fait important que les coefficients des séries (IVi.^) sont des polynômes entiers à coefficients rationnels par rapport aux deux nombres
s s
Les nombres g^ et g^ ont reçu le nom à^ invariants, qui sera jus- tifié plus tard.
91 . La formule (1I| ) peut être transformée comme l'a été la for- mule analogue pour siniro: dans le n^ 79. En désignant par a un nombre assujetti seulement à ne pas être égal à l'une des valeurs de Sy on aura, en remplaçant dans (Ilf ) u par u -\- a^
^^' = n"' j (- ^) -'
s t s"^
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Or le facteur primaire, qui figure sous le signe || , peut être regardé comme le produit des trois quantités
U \ Hi( )
I I e
s — a
a 1 n>
(
r_i_ t !l'\^*SLV_}_ J"l
^ ï
et, à cause de la convergence manifeste de chacun des trois pro- duits infinis dont les facteurs s^obtiennent respectivement en donnant à 5, dans les expressions précédentes, toutes les valeurs dont ce symbole est susceptible, sauf la valeur zéro, il est clair
que est égal au produit de ces trois produits infinis.
u a
Le dernier d'entre eux est égal à une puissance de e dont l'ex- posant est
s s
mais, en vertu des formules (Ha) et (II3), on a
2
" ^ I 1 « ) ^ I
= ;« —
a
\ a — s s '^ s*
M «1 — s )» s*\ *^ a»
I [a — s)^ s*)
D*autre part, le second des produits infinis est, en vertu de la formule (lii ), égal à
a
On a donc
?<" -«> ._^ ^«^"['-.tI-ï'L''-»-.]
u -*- a a
X
^n"i(--/-«)*^'"--^'"--i
LA FONCTION (^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l6f
En faisant rentrer parmi les facteurs du produit infini le facteur
qui n'est autre chose que le facteur général qui figure sous le
n('j , dans lequel on supposerait 5 = 0, on aura finale- ment
^ ^ <^{a) JijL{\ s — a/ )'
s
où 5 doit prendre toutes les valeurs, sans exception, que l'on ob- tient en remplaçant, dans l'expression a/ww| -+• 2/10)3, m el n par tous les nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs.
En prenant les dérivées logarithmiques, par rapport à u, des deux membres de l'équation précédente, on tombera sur la for- mule
(V,) i;(« + a)-;« + «pa = ;2lL + L-«-dr
u
s (a — s)*
Et, en prenant les dérivées par rapport à u dans les deux membres de cette dernière égalité, on a
(Va) p(a-f-a) — pa = 7 ); i — :; :
s
Ces deux égalités se déduiraient tout aussi bien des formules (II2) et (lia).
92. Les égalités (V) ont ceci de très remarquable que les quan- tités qui figurent dans les seconds membres ne changent manifes- tement pas quand on y remplace a par a -{- s, oxi s est l'une quel- conque des valeurs que peut prendre 2mo), -f- 2/10)3. U est clair, en effet, que, par ce changement, l'ordre des facteurs ou des termes qui figurent dans le produit infini ou dans les séries est seul modifié. Ainsi, considérés comme des fonctions de a, les premiers membres sont des fonctions doublement périodiques à périodes 2 0)|, 20)3.
T. et M. — I. II
l6a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Voici quelques conséquences essentielles qui résultent de cette remarque et dont nous empruntons la déduction à Halphen (<) :
i« On a
p{u -^ a -^ s) ^ p(a -i- s) = p{u -h a) — p{a),
d'où, en remplaçant u par b — a,
p(6 -+- 5) — p(6) = p(a -+- j) — p(a);
on voit donc que les deux membres sont égaux à une constante, indépendante de a et de b. Pour déterminer cette constante, suppo- sons d'abord que les deux entiers m et n ne soient pas tous deux
pairs, en sorte que -s ne soit pas un des nombres exclus pour a;
posons alors a = et rappelons-nous que p est une fonction
paire; on voit que la constante cherchée est alors nulle.
On a donc, en particulier, pour m = i, n = o et pour m = o, /i = I,
p(w -1-2UJ,) = pa, p(M-+-2ti)t) = pM,
et, par conséquent, quels que soient les entiers m et /?,
(VI5) p(«-h amti)i-f- 2/iu)s) = pu.
2° On a de même, en conservant les mêmes notations,
Ç(a-j-a-i-5) — Ç(a-f-5)-i- «p(a -h s) = ^(m 4- a) — Ça-i- upa.
En réduisant, au moyen de l'égalité précédente et en posant u = b — a, il vient
;(6 -r *) - î^^ = ;(a -h s) - Ça.
Ici encore les deux membres sont donc égaux à une constante in- dépendante de a et de b. Pour la déterminer, dans le cas où m
et n ne sont pas pairs simultanément, posons a= > ce qui
est alors permis ; rappelons-nous aussi que la fonction ^ est im- paire, et nous aurons alors, pour la valeur de cette constante,
2C
(9
(*) Traité des fonctions elliptiques, 1. 1, p. 367.
LA FONCTION O*!/ ET XES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l63
En particulier, pour m==i,/i = o, pour m = — i, n = — i et pour m = o, /i = I , on a
Ç(a-+-a()»i) = Ça-h aÇwi, Ç(a-+-acoi) = Çrt-f- aÇw,, Ç(a-t-2cos) = Ça -+-2^(0,,
où le nombre cos est défini par la relation
Wi -+- Wj H- u)j = o
et est introduit pour des raisons de symétrie dont le lecteur s^a- percevra bientôt. On en déduit
Ça = Ç(a — awj) -h aÇoij = Ç(a -h 2(Ui-j- 2W3) -h aÇcoj
= Ç(a-i-2aii)-H2Çwj -+-aÇ(Oj = Ça 4-a[Çwi-h Çwj4- Çwj],
de sorte que l'on a
ÇuJl -+- ÇuJj -+- Ç(03 = o.
On pose habituellement
?<«'« = 'îî,
en sorte que la relation précédente peut s'écrire (VU bis) '1i-H'3j-+-7)3 = o
et que Ton a, en écrivant u au lieu de a,
Ç(M-H2a)a) = Ça-+-27ia (a= i, a, 3);
donc aussi, par répétition, quels que soient les entiers m et /?, (VI3) Ç(a-+-amuJi h- a/iwj) = Ça H-a/nTji-h 2/ir^j.
3^ Enfin, on a, en conservant toujours les mêmes notations,
: c ' = e * .
<j{a-i-s) d'à
En réduisant, au mojen des égalités précédentes, il vient
cf(u^a^s) ^_„(,^^^^,,^,, ^ c^(u-^a) <ï{a-^s) c'a
l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et, en remplaçant u par b — a,
Ici, encore, les deux membres sont égaux à une constante indé- pendante de a et de 6, et, si m, n ne sont pas tous deux pairs, on déterminera cette constante en posant
ce qui est alors permis. On obtient, dans ce cas, pour cette con- stante, la valeur
on a donc, pourvu que Tun des deux entiers m, n soit impair,
et, en particulier,
I(y(M -h 20)1) =— e«TQi(»+w,) ^e^^ c'en -h 2W,) = — gîT)a(«*-+-W,) a* te, o'Ca -+- 2Wj) = — e«TQ»<«-»-«iJ d'à.
La première de ces trois égalités, par répétition, donne
cfCa -h 2ma)i) = (— i)weîti,(mi«4-m«M,j^
de même
^(a -t- 2/1 «03) = (— !)« eît),(««-»-n«w,) j
en remplaçant, dans Tavant-dernière égalité, u par u -\- ^riiù^ et en tenant compte de la dernière, il vient
a'(M -h 2/na>i4- 2/i«08) = (— !)'"■♦■" c^ a* m,
sans qu^ici Ton ait à exclure le cas où m et n seraient pairs à la fois; on a posé, pour abréger,
A = 27)1 [/n(a-h 2/13(03) -+- /?i'(Oi] -h 27)3 [nu -h /i^ws] = (2/nT,jH- 2/17)3) (m -h nnsii-\- /iwa) -+- 2/^/1(7)1013 — 'isWi).
En échangeant m, (i)|, 7)1 et n, 0)3, 7)3, on aurait de même a'(a-+- 2/no>i-i- 2/1 0J3) = (— !)'»■+-« «b j'^^^
LA FONCTION (S'a ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l65
OÙ
B = (a/nT)i-h2/i7)a)(M -+- mwi-l- najj) — am/i(7)i«os— tijWi).
Il faut que l'on ait e^ = e® et, par suite, que
soit un multiple entier de 2 ici, quels que soient les entiers m, n. Si, en particulier, on prend m = i , n = 1 , on voit que
TCl
est un multiple entier de — • On peut ajouter que c'est un mul- tiple impair, puisqu'on doit avoir à la fois
^(m -h awj) =— e*^2^»-»-«i^ c'a, (f{u -+- 2a)j) = e^ Cm, où
A = 27)j(wH-W,)-|-a(7Ji«Oj— T,3Cl>i),
ce qui implique
eJlT),W,-T),Ci>,) = _ I .
On prouvera plus tard (n° 108) que Ton a
-4- *"*
suivant que le coefficient de i dans — ^ est positif ou négatif.
Quoi qu'il en soit, dans le seul cas d'abord exclu, celui où m et n sont pairs à la fois, la quantité
2m/t(7^ib)3 — TQaWi) sera un multiple de 2 m', et l'on aura, dans ce cas,
gîl»/l(Y),M,-1fJ,CDi) — ij
On a donc, dans tous les cas,
(VIj) (f(u -h 2/na)i -h^nwi) = (— i)mn+m+n e(îmYi,+î/iTi,)(«+mw.+/i»,) g'^e.
93. Ajoutons encore que, de la double périodicité de pu, on
l66 CALCUL DlPfÉRBNTIEL.
déduit immédiatemeDt celle de toutes ses dérivées p^u^ p" u^
On a donc
(Vie) p'(a-4- amuJi-+- 2/1(0») = p'a.
Si l'on fait dans cette formule w = — C0|, /n=i, n=o, ona
p'w, = p'(— co,);
d'ailleurs, puisque la fonction pu est paire, la fonction p'u est
impaire; on a donc
p'wi = — p'wt = o,
puisque (t)| n'est pas un pôle de p' u. De même p'<ù2 = o, ^'0)9 = 0 : ainsi
{\Ubis) p'ajûj = o.
Le lecteur retrouvera immédiatement ces résultats sur l'égalité
s
qui donne, par exemple,
-p «"1 — ^^1^^^ — i)a)i-T-anujj]*'
il est manifeste que le second membre est composé de termes égaux et de signes contraires qui se détruisent deux à deux. On verra de même que les dérivées d'ordre impair de la fonction pu s'annulent pour m = wi , (i>2, W3. La formule (Vie bis) pour a = I , a, 3 se trouve ainsi établie à nouveau.
La périodicité de p'u est d'ailleurs mise directement en évi- dence par la formule
s
car le second membre ne change évidemment pas quand on change u en u-\-2,m^iù^-\-7.n^ii>^^Qii in\ et /i| sont deux entiers détermi- nés quelconques : dire que l'indice s prend toutes les valeurs 2J?i(i>< -f- 2/i(i>3 ou dire que s — 2/7x4(1)1 — a/iiWj prend toutes les valeurs 2/w(i>i -f- a^wj, c'est, en effet, dire exactement la même chose, et la somme double étant absolument convergente,
LA FONCTION (3*2/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 167
on peut, sans changer sa valeur, intervertir à volonté Tordre de ses termes.
De la périodicité de p'u ainsi établie directement, on aurait pu déduire celle àe pu et, par suite, les formules établies plus haut pour Ç(m -h amo), + anws) et d{u + 2/n€0| -f- 2/1(1)3). En effet, de l'égalité
par exemple, on déduit, en intégrant,
p(a-h2aji) = pa-hc,
où c est une constante; si Ton pose u=^ — Wi, celte dernière
formule devient
ptoi =p(— wi)-+-c;
on en conclut que c = o, car pz/ est une fonction paire et (Oj n'est pas un pôle de pu. De même, la ^relation
p(u -1-20)1) = pu
donne, en intégrant,
Ç(a-i-2Wi) = Ça-+-c;
c est encore la constante d'intégration, dont on trouve la valeur 2Ç(i>i, en supposant i/ = — (i>i et en se rappelant que X^u est une fonction impaire. Enfin, en intégrant l'équation différentielle
a''(M-4-2(i)|) _ a"a a'(a-h2wi)~~ Cw on trouve
et l'on trouve c = a)| en supposant encore m = — Wi.
Ajoutons que les périodes 20)4, 2(03 constituent un couple de périodes /?rimi7iVe5 pour la fonction j3m; en effet, puisque o est un pôle de cette fonction, toute période àe pu doit aussi être un pôle; or la série qui définit pu montre qu'il n'y a pas d'autres pôles que les nombres s congrus à zéro, modulis 2(0i, 20)3.
Le parallélogramme que nous avons désigné comme premier peut donc aussi être désigné sous le nom àe primilif.
Nous avons ainsi établi, sur leur définition même, quelques- unes des propriétés fondamentales des fonctions du^ X^u^ pu.
l68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
II. — Premières relations entre les fonctions du, ^m, pu, p'u.
94. Nous allons maintenant faire une courte digression pour établir entre ces fonctions quelques relations plus cachées, mais de la plus haute importance. A la vérité, nous aurons occasion plus tard de retrouver ces relations par une voie peut-être plus naturelle, et comme conséquence immédiate de l'application aux fonctions doublement périodiques du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales de fonctions d'une variable imaginaire prises le long d'un contour, mais il nous sera commode, quand nous continuerons l'étude directe de la fonction rf, d'avoir ces relations, afin de pouvoir écrire nos formules sous une forme plus définitive; les nombreuses propositions de la théorie des fonctions elliptiques, d'une part, se groupent, comme le verra le lecteur, autour d'un petit nombre de principes, et, de l'autre, se pénètrent mutuellement : la digression que nous allons faire évitera des répétitions et des renvois fatigants; elle aura d'ailleurs l'avantage de montrer immédiatement au lecteur le lien des fonc- tions que nous venons d'introduire, d'après M. Weierstrass, avec des questions qui lui sont certainement familières.
C'est tout d'abord une relation, analogue à la formule
I I _ sin(a -h j?)sin(a — x)
sin*a? sin*a ~ sin*a:siii*a
que nous allons établir. La fonction c^ajoue, à certains égards, le même rûle que la fonction
>
dont la dérivée logarithmique admet pour dérivée
11*
sin*7rJ7
de même que la dérivée de la dérivée logarithmique de c^a est — pu. Les deux fonctions de u
pu-pa, -^-^
LA FONCTION C^£/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉBITENT. 169
se rapprochent naturellement l'une de l'autre; tout d'abord, elles sont toutes les deux doublement périodiques, avec les périodes 2Ci), , 2Ci>3, ainsi qu'il résulte, pour la seconde, de la formule (VI| ), qui montre que, si l'on remplace u par w-f-awa, le produit rf(a -h a) (^(m — a) se reproduit multiplié par le facteur
exactement comme d^u. D'ailleurs, des deux fonctions considé- rées, la première pu — pa s'annule pour toutes les valeurs qui annulent le numérateur de la seconde, et, ce qui importe surtout dans la démonstration qui va suivre, les pôles des deux fonctions sont les mêmes avec les mêmes ordres de multiplicité; ce sont les nombres 5, qui tous sont des pôles doubles pour les deux fonctions; aux environs du pôle o, la fonction pu — pa se présente sous la forme
d'un autre côté, le produit <^(a -f- u)d{a — u) est le produit des deux séries
c'a H — (3* an (fa H-. . . ,
I 1.2
c'a a* a H <ra -+-...:
I 1.2
les premiers termes de son développement suivant les puissances de u sont donc
d'ailleurs le développement de d^u commence par un terme en m^, avec le coefficient un, puisque celui de <^a commence par le terme i/ : on a donc, dans le voisinage du pôle o,
par conséquent, la différence
(^(a-^ u)(^(a — u) pa — pa — — ^ — ^
est régulière aux environs du point o ; comme c'est une fonction
170 CALCUL DIFFÉBBNTIBL.
doublement périodique, qui admet pour période Tun quelconque des nombres 5, qui ne peut pas avoir d'autres pôles que ces nom- bres, et que tout se passe autour de ces points comme autour du point o, il est clair qu'elle est régulière en tout point à distance finie; c'est donc, en vertu du théorème fondamental de Liouville, une constante, et cette constante est nulle, comme on s'en assure en supposant u = a; on a. donc
(VII.) pu-pa= ^^^ ;
c'est la première relation que nous voulions établir.
95. Elle montre tout d'abord que l'équation
pu — pa = o n'admet pas d'autres solutions que celles des équations
a'(a-ha) = o, (f(u — a) = o, c'est-à-dire que les valeurs de u données par la formule
a = zha-f-5 = =ta-4-2/n 011-4-2/10)3;
on déduit de là sans peine une seconde démonstration de ce que 'j(i>i, 20)3 constituent un couple de périodes primitives pour la fonction doublement périodique pu.
Remarquons encore que les trois nombres J3ci>i, pcos, p<<>3, qui joueront dans la théorie un rôle essentiel et que nous désignerons respectivement par e,, ^2, ej, sont différents; si Ton avait, par exemple,
• pojj =po)„ on devrait avoir
=t oji == oij -h t03 (modd. aoii, 20)s);
or ces congruences entraînent toutes deux la suivante
0)3=3 0 (modd. 2 0)1, 20)3), qui est impossible.
96. La relation (YII| ) conduit immédiatement à une relation
LA FONCTION ^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 171
très importante, qui résulte de l'identité évidente
(B-C)(D — A)-h(G--A)(D — B)H-(A--B)(D — G) = o.
En désignant par a, 6, c, ;^ des nombres quelconques dont nous supposerons d'abord qu'aucun n'est congru à zéro modulis 2a)|, 2(i>3 et en posant
A = pa, B = p6, C=pc, D = pa,
on a
(ptt--pa)(p6 — pc)-t- (pw-— p6)(pc— -pa)
H-(pa — pc)(pa — pb) = o.
En remplaçant les quantités pu — pa, pb — pc, . . . par
a'(tt-*-a)(3'(a — a) <^{b-^c)<^{b — c)
et multipliant par d^ud'^ad^bc^^c, il vient
/ a'(w-H a)a'(M — a)a'(^-f- c)a'(6~c) (VH,) ' -+-a'(u-h6)a'(a — 6)a'(c-f-a)o'(c — a)
' -hO'(a-+-c)a'(a — c) (3'(a -+- 6) (3* (a — 6) = o.
Le premier membre de cette égalité, étant évidemment une fonction continue des quantités u, a, 6, c et restant nul lors- que quelqu'une de ces quantités s'approche de l'un des nom- bres congrus à zéro modulis 20) t, ^(Os, est nécessairement nul encore lorsqu'on atteint cette limite. L'égalité (VII2) a donc lieu, quels que soient les nombres u^ a, b, c.
Cette belle identité offre ceci de remarquable qu'elle caracté- rise la fonction (iu; d'une façon plus précise, il n'existe pas d'autre fonction transcendante entière que la fonction c^u dont la dérivée se réduise à i pour u = o et qui jouisse de la propriété qu'exprime l'égalité (VIl2)5 nous renverrons pour la démonstra- tion de ce théorème, dont nous ne ferons pas usage, au Traité des fonctions elliptiques de Halphen, t. I, p. 187.
97. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres de la formule (VIIi), successivement par rapport à w et par rapport
173 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
à a, on obtient les relations
pu pu — pa ^ / -•* / 1 j
— p a pu — pa
= Ç(a-H M)H-Ç(a — u) — aÇa,
qui, par addition et soustraction, donnent
p' a zp p' a
— = :it(udia) — ituzii2lay
pu ^ pa ^ -» -7- -•
formule que Ton écrit habituellement
(VII,)
2 pu — pa
et qui porle le nom de formule d'addition de la fonction Ç. On a, en particulier,
Ç(w±(Ooi)= tiuztr.a-hz '^ "
2 pii— pwa
En prenant la dérivée, par rapport à w, de la relation (VIIj), on obtient de même \di for mule d'addition relative à la fonction pu
(VII, 6«) p(«dza) = p«-l#rP'" + P'"'1.
Dans ces formules, les signes supérieurs se correspondent.
98. Nous allons encore déduire de la relation ( Vllf ) une relation entre pe^ et sa dérivée p'a, qui nous amènera, dans un instant, à ce fait capital que la fonction pu vérifie une équation différen- tielle très simple du premier ordre.
On peut écrire la relation (VII|)
pu — pa _ u — a
a'(w4- a) <ï(u — a) (^^u(j^a u — a
en faisant tendre u vers a et passant à la limite pour u
donc, quel que soit a,
(3'(2a)
a, on a
p a =
tf^a
LA FONCTION (^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉBITENT. 178
Or la formule (II,), sî l'on y remplace u par aw, devient
j / l ) gma)»-t-nw,'^i(m<i),-»-nci),l« ( ;
groupons les fadeurs où m, n sont pairs, ceux où m est impair et n pair, ceux où m est pair et n impair, ceux où m et n sont impairs; en tenant compte de la formule (Vi), qui donne, pour
s
et en tenant compte aussi de la relation tj, -f- 7)2 + 7^3 = o, nous obtiendrons, pour la valeur de cy(2w), l'expression
//«
_ ai'( a -+- a)|) 0^(^-4- 0)0 ^^(M-f-tos) - «pwi-i-pwj-t-pw,)
aq'M ^ — — e^
crb)i (^(ùf o'ioa
On a donc
, (3'(u>i-i-a) (3'(u)j-+- m) a'fwj-t- a) ^<P'*i-*-P*»>«-*-pw«) n a = — 2 — ^^ — ^ ■■ c *
et, par suite, en changeant 2^ en — a et en remarquant que les fonctions a* et p' sont impaires,
, o'((i>|— w) sTw, — u) (3'(a)3— a) - (pw,-+-pM,-»-pa),)
^tsilCjU dbi^^U (ftOi^fU
En multipliant ces deux égalités Tune par Pautre et en tenant compte de l'égalité (VU,) pour a = (Oa> on a enfin
p'îa = 4(pa — pa>0(pM — pw,)(pa — pu>3)e""<P*^»-*-P*«^«-^^*«^»'.
Mais les deux fonctions pu et p'u sont doublement périodiques et admettent le couple de périodes (aw,, 20)3). La fonction trans- cendante entière
gfl* (p O), -»-p Wj 4-p (i),\
doit donc être aussi doublement périodique d'après Tégalité pré- cédente; elle ne peut donc être qu'une constante, comme on le voit directement ou comme il résulte du théorème fondamental de Liouville. Or ceci exige que Ton ait
pa)i-t-po)j-i-pa>8 = o.
174 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Ainsi la fonction pe^ et sa dérivée p'u sont liées par la relation (VU,) p'*M = 4(P" — pwiXpi* — P««>j)(P" — P«»>»)-
Nous en concluons, en posant
(VII4) p««)a = «a, Ci-4-Cî-hC| = o,
que la fonction de u^ y = pUj est une intégrale particulière de Téquation différentielle du premier ordre
dont l'intégrale générale est donc j' = p(w -f- c), où c est une con- stante arbitraire. En prenant pour
celle des deux déterminations de cette racine qui est égale à — p^Uf nous voyons aussi que les deux variables u et y = pu sont liées par la relation
"=/
dy
V^4(r — «i)(r — «t)(j— e,) car, pour w = o, on a j^ = 00.
99. Avant de passer à un autre objet, nous allons encore dé- duire quelques conséquences essentielles de l'équation différen- tielle du premier ordre à laquelle satisfait pu.
Et d'abord on peut écrire cette équation différentielle
Remplaçons dans les deux membres pu et p'u par leurs dévelop- pements en séries donnés par les formules (IV3) et (IV4), que l'on peut écrire
pu = — -hCfU'^-hCzU^-h. . .-H c,. «S''- «-+-.. . ,
p'u = 3 -h2Cja-+-4C3W' -*-. . .-h (2r — 2) Crl**'"-»-!-. .. ,
LA PONCTION ^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 176
en posant, pour abréger (IV5),
On aura alors
S
X 1 3c, _
4 8cj
donc, en égalant, dans les deux membres de l'équation différen- tielle, les coefficients de — et les termes indépendants de w, on obtient les deux relations
— 8Ci = 12c, -H4(«î«3-H<?3^l-+-^l^i),
— i6cs = i2Cj — ieiCtCz,
d'où Ton déduit
î = — i5 >^^'^
^9 ^r^i'v I
e»e,e, = 7C3 = Ç=35 2 ^
ce qui permet d'écrire l'équation différentielle sous la forme (*) (Vils) p'«" = 4p'M — ^îPW — ^Ç'S.
100. En prenant les dérivées par rapport à 2^ et en divisant par p*u^ on tire de cette équation
(*) Comparez Eisenstbin, loc, cit,, p. 286. Les formules (5) et (6) sont iden- tiques à nos formules (VII,) et (VIIJ. Kronecker a proposé récemment, pour honorer la mémoire d'Eisenstein, d'écrire en{u) au lieu de -pu^ le symbole en étant formé an moyen de la première et de la dernière lettre d'Eisenstein. Nous consenrerons la notation de M. Weierstrass, qui a fait connaître le rôle et la place de la fonction pu dans la théorie des fonctions elliptiques : cette notation, d'ailleuTi, est aujourd'hui universellement adoptée.
176 Calcul différentiel.
En prenant les dérivées encore une fois, on a (Vils) p'"u = iipup'u,
et Ton peut continuer ainsi et obtenir, en tenant compte chaque fois des équations précédentes, les dérivées successives de pu en fonction de pu et de p'u. On aperçoit sans peine que ces fonc- tions sont rationnelles entières en pu et p^u; on peut même mon- trer que les dérivées d'ordre pair de pu sont des fonctions ra- tionnelles entières de pu seulement et que les dérivées d'ordre impair de pu sont égales au produit de p'u par une fonction ra- tionnelle entière de pu seulement.
Ce résultat, en effet, se vérifie de suite sur les formules précé- dentes pour les dérivées seconde et troisième; il se démontre ensuite par induction, sans aucune difficulté.
101. L'équation (VII7) permet d'obtenir sans peine, par des calculs successifs, les coefficients C4, C5, . . . , Cr, . . . au moyen des deux coefficients
Cj =: — , C3 = — •
20 28
En remplaçant, en effet, p" u et p^u par leurs développements en série, on trouve, après quelques réductions faciles, en égalant dans les deu\ membres les coefficients de m^''"*, la relation
(r — 3)(2r-+-i)C;. = 3 ^ CiCr-i (r = 4, 5, 6, . . .)•
On reconnaît en particulier que, comme on l'avait annoncé au commencement, tous ces coefficients sont des fonctions entières à coefficients rationnels de g2 et de g^ et que, par conséquent, toutes les sommes telles que
iC)
2à s^
f
où r est un entier plus grand que 3, s'expriment par des fonctions entières, à coefficients rationnels, au moyen des sommes
LA PONCTION (^1/ ET L£S PONCTIONS QUI BN DÉRIVBNT. I77
Lorsqu'on se donne (i>i, (O3, ces deux dernières sommes, ou, ce qui revient au même, les quantités g^ et ^3 sont déterminées sans ambiguïté.
Nous montrerons plus tard que, inversement, si Ton se donne les quantités g2 et ^3, telles toutefois que les racines e\^ ^2, ^3 de l'équation
soient différentes, c'est-à-dire telles que le discriminant
de cette équation du troisième degré soit différent de zéro, il existe deux nombres coi et (1)3 qui vérifient les équations (IV5)
^j=6o2^ j^, ^3 = 140 2^ -
s s
et tels que le coefficient de i dans le rapport ~ soit différent de
zéro (et même positif). La fonction pu^ formée avec ces quantités a(i)i , 2(1)3, satisfera manifestement à Téquation différentielle (Vile); elle sera, dans le voisinage du point zéro, représentée par une série de la forme
— j H- Ct M* -4- C3 M* H- . . . ,
et, comme on vient de vérifier que les coefficients, C2, C3, ..., Crt »-• sont entièrement déterminés par g^ et g^j on voit que ces coefficients g2 et gi déterminent sans ambiguïté la fonction j)tt, bien que, à la vérité, les équations (IV5) admettent une infi- nité de solutions €0|, (03.
Cette remarque justifie la notation
pour représenter la fonction ainsi déterminée. La fonction X^u est d'ailleurs entièrement déterminée dans les mêmes conditions, puisqu'on doit avoir, dans le voisinage du point zéro,
M 3 D
T. et M. — I. 12
1^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Enfin la fonction du est aussi déterminée sans ambiguïté parles conditions
, - = Sm,
^u da
d'où l'on tire successivement
cr(o) = o,
S'a = a - -^/- tt»- ^^ m7— /* a» 240 840 ibi28o
en sorte que Ton pourra employer les notations
C(w; g\^ gi)y 3'(m; gt, gi)
pour représenter sans ambiguïté ces fonctions.
102. Les équations d'homogénéité (III) prennent une forme un peu différente avec ces nouvelles notations. En effet, quand on mul- tiplie (0| et (O3 par a, les nombres gt et ^3, en vertu de leurs défini- tions (IV5), sont multipliés respectivement par -^j -^ ; on aura donc
(1) o'^ûtu; g,g) = atfCu;^,,^,),
(VIII) {(2) Ç^aa; g,g)=~Ç(w;^„^0,
On observera que cette dernière relation se lit en quelque sorte sur l'équation différentielle
La fonction
p'»M = 4p'a — ^îpa — ^s.
^^pHS'S)
doit en effet vérifier l'équation différentielle
r </o 1«_ jr [rf(aa)J ~ a
(d^y_ , ^_gi __
gi
LA FONCTION d'à ET LES PONCTIONS QCI EN DÉRIYENT. 179
OU
(
«•^y = 4(a'?)»- ^ï(a'9) - ^3,
qui s'obtient en changeant dans (VIIo) pu en a^o; ces deux fonctions doivent donc être identiques, puisque, dans le voisinage du point zéro, leurs développements suivant les puissances de u
doivent commencer tous deux par un terme en — •
103. La méthode précédemment exposée nous fournit le moyen d'avoir autant de termes que l'on veut dans les développements
de c^w, ÎJw > pu 5 en séries entières en w, chacun de ces
termes étant exprimé en fonction entière de g2 et de ^3. Il est utile d'avoir les premiers termes de ces développements, dont on verra plus tard l'usage fréquent. Nous transcrivons ci-dessous ces premiers termes
(1) :fu^ u ^-"^ ^''^' ^'"' 1 ...,
^ ^ 1 '^ U a*. 3. 5 2*. 5. 7 2*. 3. 5*. 7 '
\^ô) pM=— --r v~r "»" • "+" . o — ^ -T- . . . .
^ '^ M* a*. 5 2*. 7 2^.3.J*
On rappelle que les deux derniers développements ne sont con- vergents qu'aux environs du point zéro.
Le lecteur rapprochera naturellement ces formules des for- mules (IV).
III. — Représentation de a' a par un produit inâni
à simple entrée.
104. Nous allons maintenant reprendre l'étude directe de la fonction (iu et chercher à transformer le produit infini à double entrée, qui définit (^£/, en produits infinis à simple entrée.
Supposons n différent de zéro et désignons par P„ le produit de tous les facteurs primaires de (iu pour lesquels /i a la même valeur. Un de ces facteurs
\i--y
l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OÙ 5 = 2 m w 4 4- 2/1(1)8, est le produit des deux quantités
H 1 M>
or les deux produits infinis que l'on obtient en prenant respecti- vement pour facteurs ces deux quantités, où m prend toutes les valeurs entières de — oo à -l-oo, sont évidemment convergents. Le premier produit
m=: — 00
d'après la formule (I4), où Ton remplace a par et a par
/Ibis
9 est égal à
1 nto 3 — u
20)1 -— ootir— -
î — gtttf, tl>, ,
710)3
Le second est égal à une puissance de e dont l'exposant est
8
m
jUi ( n (1)3 \ >
=_, f/WH i
quantité qui, en raison de la formule (I3), est égale à
7r*a*
80)1 . ^ /lt03
SlCl'
On aura donc
sinir itù^ t»), 80)* . ,_«a),
r « — r
no)3
0)1
11 reste à effectuer le produit des facteurs primaires où /? = o, Ce produit
m
l FONCTION O^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. iSl
est égal au produit des deux produits convergents
u
sinic
u
7r
et
e = e j
n
m
d'ailleurs (n<» 69)
m:
iC)
r
ionc
Ainsi
m m = i
U
sirnr 7c«M«
r
20)1
3'M= — ig'* t^i sini: I I P»,
i: 20)1 iJ.
n
OÙ Prt est supposé remplacé par sa valeur établie plus haut. Cette formule, ayant été obtenue uniquement en groupant les facteurs du produit infini qui définit (^iiy est valable quel que soit u; le produit infini à simple entrée est absolument convergent et Ton peut en prendre la dérivée logarithmique. Comme la dérivée logarithmique de Pr est
TT ^ u — îinws T «0)3 11* a i
COtw 1 COtTt h ■: — : y
'Àtùi 2(i)f 'ihit uii Ao)i . . /ta>3
* sin*7c — '
on aura, en désignant cette expression par Q/i,
I 7r*w 11 u v^'^ ^ Çm = r- H cotit h > Q».
12 (Of 20)1 2(0| jâai ^
R
Celte dernière formule aurait pu être déduite très aisément de la formule (Hj) en groupant ensemble les termes qui correspondent à une même valeur de n. On peut prendre la dérivée de la série
l82 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
qui figure au second membre, terme par terme. Si donc on pose
R =:_f^ = J!! l 7t« I
" du At»)\ . . Il — a/icos /i(a\ , . ntùi
' sin*7r * ' sin'TT '
on aura
* * sin*7r „
2b)i
On parviendrait d^aiileurs à cette dernière formule par un grou- pement convenable des termes dans le second membre de Téqua- tion (II3).
lOo. Ces formules se simplifient; cela résulte de ce que la série
iC) I
1
0)1
0)3
1 U13 • • •
est convergente, parce que le rapport — est imaginaire.
Si, en effet, a et 6 sont des nombres réels dont le dernier n'est pas nul, on a
sin(a -t- 01) = ; ;
donc, puisque les valeurs absolues des quantités
-. 7 : —
Il ai
sont
- e~°j - e*
2 2
et que la valeur absolue d'une somme de deux termes est plus grande que la différence des valeurs absolues de ces termes,
I sin(a 4-fc«) | est supérieure à si b est positif, à
si b est négatif; on a donc toujours
|sin(a-+-60|> . . j^3 Si donc on désigne par ^ la valeur absolue du coefficient de i
LA FONCTION ^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT.
l83
dans
Ttfa)s
on aura
sin'ic
<
/i*p«'
et, par conséquent, la série considérée est absolument conver- gente.
106. Ceci posé, considérons la valeur de du. Puisque P^ est le produit des deux quantités
î gt(i)i Cl),
1l«M« 1
sinTc
8C0Î .,,.„2fîîl
et que le produit inGni
7C*M« I
««««ViC» 1
n
_ V
= e
est absolument convergent et n'a pas une valeur nulle, il faut que le produit infini
2 Al U>3 — u
n
j,j sinit
2 0)1 --cotir-—-' gw, (I),
sin?r
0)1
soit lui-même convergent et égal à
(1)1
n ^-
Si d^ailleurs, dans ce produit infini, on groupe ensemble les termes pour lesquels n a des valeurs égales et de signes contraires et si l'on tient compte de l'identité
siDTu sinit = sin*it sin'it >
2b)| 2b)i 2(1)1 Ci)i
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on voit qu'il prend la forme
où le caractère de convergence absolue est manifeste, puisque la série
y — ■ —
n = i sin*7r
est absolument convergente.
On a donc finalement
Yj,„i ^=* r sin*7: n
(Xj) ^u = c*"« — i sin I I I I h
t: 2toi J. ± I . - ntî>z I
où l'on a posé, pour abréger,
«rrS I r
'* ■" 2^ 6 "*■ ^ . , /ICO, I *
Le lecteur rapprochera naturellement la formule qu'on vient de trouver pour (iu de la formule d'Euler qui donne sinx sous forme de produit infîni.
On aura de même
(Oi
/v s V ^l" '^ ^" ^ V^^l M 2/ltOj
(Xi)Ça = -î 1 cot 1 > {cotit ?4-cot7r
R
(Xj) pw = ^H-T— ; ^ •
* „ sin*7c
2U>i
Si, dans l'avant-dernière formule, on fait u =: (O4, on trouve
Ç««>i = 11,
en remarquant que, pour deux indices n égaux et de signes con- traires, les termes sous le signe ^ sont alors égaux et de signes
LA FONCTION d U ET LBS FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l85
contraires. Ceci montre que la quantité tj^, définie parla for- mule (X4), est bien la même que celle que Ton a définie plus haut par la formule (VI4).
107. On peut, dans les formules (X), échanger (i)« et (1)3, ce qui reviendrait d'ailleurs à grouper, dans le produit infini ou les séries qui ont servi de définition primitive, les facteurs ou les termes pour lesquels m est le même; 'r\^ doit alors être remplacé par
(X.) r,,= ^
7C* Fl ^ I I
1W3 I 6 j^ . . ntJi l
Les formules (VI), relatives aux changements que produit dans les fonctions (^u, 2^e/, pu Taddition de 2 (0| ou 2(1)3 à l'argument, ont été obtenues dans le n° 98 par une voie détournée 5 il importe de remarquer qu'elles se lisent en quelque sorte directement sur les formes (X) données à ces fonctions et sur celles qui s'en dé- duisent en changeant cof en (03, en sorte qu'un groupement, d'ail- leurs bien naturel, des facteurs primaires de (iu met en évidence ces propriétés fondamentales.
108. Si, dans la formule (X2), on fait m = co,, on trouve
T^j = -^— H cot H A,
(Ol 2(1)1 20)1 20)1
en posant, pour abréger,
iC)
A =
A
\ cot (l — 2/1) 4- cot 2/1 > ,
( 2a>j ^ 2U>i )
21 cot ^^ (i 4- 2Ai) -f- cot^^ (I — 2/1) > ; ( 2Wi 20)1 )
rt = l
la seconde valeur de  s'obtient, en effet, en prenant la demi- somme de la première et de celle qu'on en déduit en y changeant n en — n.
On a d'ailleurs, comme on le voit en faisant la somme des n
l86 CALCUL DIFFÉBENTIEL.
premiers termes dans la seconde expression,
A = lim I cot — (i-h2/i) — cot — - I •
Or si, en désignant par a et 6 des nombres réels, on suppose
— - =a-\-bi, on aura, h étant un entier positif,
... ,ehatc-àb^ g-hat eàb
coin (a -h oi)= i—i—i rz . , ,.»
et il est manifeste que, lorsque h augmente indéfiniment par va- leurs positives, le second membre tend vers — i ou vers -f- 1, se- lon que b est positif ou négatif; on a donc, suivant les cas,
A = ze: £ — cot
2 0)1
et, par suite, comme on Favait annoncé (n° 92),
(Xg) TQlWs— 7)8^1 =±-«,
suivant que la partie réelle de — est positive ou négative.
109. Nous nous servirons de la formule (Xs) pour vérifier di- rectement l'identité démontrée déjà au n° 101
que l'on retrouvera encore plus tard par une autre voie. On trouve de suite
ptOi-+-p(ii,-f-p(«)3
3t)i 7t'
■[2 —
* I n COS'aI
2
t i I ^--._ — * sin*(2/i-+-i) — *
0)1 20)i
2
n C0S*(2
'2«0,J
LÀ PONCTION <iU tr LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 187
Les deux dernières sommes prises ensemble donnent
I v? 4
S ■ =51
n Sin»(2/H-l) COS*(2/1-hO = n Sin*(2/l -+- l)
2(01 20)1 0)1
D'un autre côté, écrivons la formule (X4) sous la forme
I „ sm'/i I
L wi J
si nous observons qu'on a, en séparant les termes où n est pair de ceux où n est impair ,
iC) I w-«(')
I
n sin*/i V sin*2v V sin*(2V4-i)
0)1 0)1 0)1
et que, à cause de Tidentité
. , 710)3 4 I • , T^^S ,
sin>2v — ^ I sin'v cos*v
O),
et de la convergence des séries employées, on a
E
. , 'ïtWs 41 jâ^ . . TTO), .^ , 710)3 I
siD*2v I y sin*v V cos'v I
0)1 L Wj O), J
il')
il vient, en remplaçant dans l'expression de ^ y mul
rt sin*/i
0)1
tipliant par 4 6t réunissant les deux séries à termes identiques,
1(0 T W-l I W-l I
n-3
J^ . . 710)3 jZà ^ 770), ^^
. , 710)3 >é^ 770), Jmi . ,, .
n sin'/i — „ cos*n „ sin*(2n4-i)
7ro)s 0)i 0)1 - , , ^^
donc
^1 =
40>i|3^ 710)3 z2à ... x^^S I n COS*/l î „ Sin*(2Al-hl) i
En substituant cette valeur de 7|« dans l'expression trouvée plus haut pour p(i)| + pco^ -f- pwj, on voit de suite que cette somme est nulle.
i88 Calcul différentiel.
IV. — Les cofonctions <i\u, g'^u, c'ait.
110. A la fonction du^ il convient, pour la commodité des no- tations, d^adjoindre trois autres fonctions <i\U^ ^%Uj ^zU qui jouent, par rapport à (^w, le rôle que le cosinus joue par rapport au sinus.
En désignant par a Tun quelconque des trois nombres i, 2, 3, nous poserons (*)
{^h) »aW= -77- = ;^7- •
Ces fonctions sont déCnies de manière que toutes trois se ré- duisent à I pour 1/ = o. Elles sont toutes trois des fonctions paires ; les égalités
qui mettent ce fait en évidence, résultent immédiatement des
(*) Dans ses recherches fondamentales sur les fonctions elliptiques, M. Her- mite a désigné des fonctions admettant les mêmes zéros que les trois cofonctions (f^Uf en affectant d'un indice double la fonction qu'il considère. Cette notation, qui offre, elle aussi, de grands avantages, a été appliquée par M. Klein à la fonc- tion (TU {AbJiandlungen der koniglichen sàchsischen Gesellscha/t der Wis- senschaften, t. XIII; i885). Voyez aussi les Vorlesungen iiber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen du même auteur. Il convient de prévenir le lecteur qui voudra lire les beaux travaux de M. Klein que les quantités qu'il désigne par u,, o>,, 7),, r^^ sont celles que nous désignons par 2<i>,, au,, 2?^,, a-y^,.
On passe des fonctions 0*00 u, u'^, i/, ^sr^^Uj s'„u de M. Klein aux fonctions m, ar^Uf r,u, iT^u de M. Weierstrass à l'aide des relations
-,,_"^oo(") 0*0. (") ^u (") q'i.W
cru = I X M = — — t C M = — — ) CT- M = ; — r •
» ' 0*0.(0) «^I.(O) «'.«(")
Inversement, dans nos notations, on a, en désignant par ^, {i, soit o, soit 1,
o'x,,t(") = « ^ <r(a — ^w,— |Aw,).
Dans son excellent Ouvrage, Elliptische Funktionen und algebraische Zak- len, M. Weber conserve la notation o'u et adopte des notations à double indice pour les trois cofonctions de M. Weierstrass elles-mêmes. Ses trois fonctions
«',o"> <^«»w» «'•," sont les trois fonctions s'^u, <y^u, (T^u prises dans le même ordre.
LA FONCTION d'e^ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 189
égaillés
en y remplaçant u par u — w^ et en se rappelant que la fonction du est impaire.
Les dérivées logarithmiques de ces trois fonctions, que nous désignerons par ^fx{u)^ sont des fonctions impaires et s'annulent pour M = o. Elles peuvent être définies par les formules*
(XI5) ;aW = C(M-+-tt>a) — 7ja (a = i, 2, 3).
Les dérivées des fonctions X^rfi{u)^ changées de signe, ne sont autre chose que les fonctions
p(w-f-wa).
On montrera tout à l'heure que p(w -f- Wa) s'exprime rationnelle- ment au moyen de pu,
111. Nous allons d'abord, par quelques exemples, montrer l'utilité de ces notations.
Envisageons, par exemple, l'expression trouvée pour di^iu) au n**98. Elle pourra s'écrire maintenant
(XIj) <^{iu) =i7,^UdxU^^U^zU.
De même, l'expression obtenue dans le même n** 98 pour p'w peut, en tenant compte des égalités
s'écrire
( AI3 OIS) p a = — 2 — -— — = —7 — •
De même encore, la relation (VII|), pour a = (o^, pourra s'é- crire maintenant
et nous pourrons, à l'aide de cette relation, séparer nettement les deux racines carrées de pu — e» et, par suite, les racines carrées des six différences des nombres ^i, ^3, ^3, ce qui nous sera bien- tôt très utile.
igo CALCUL DIFFÉRSNTIBL.
Nous conviendrons de désigner par la fonction univoque de u
En fai^nt u = cop dans la formule (XI5) /pa — ^a = -"^,
on a donc aussi
(XI«) v^ep — «a =
O'Wp
Au moyen des relations (IV), nous pouvons trouver mainte- nant autant de termes que nous voudrons dans le développement des fonctions (^qlU en séries entières en u. En extrayant la racine carrée de pu — ea, de manière que la fonction (^«w donnée par
la formule
(S'a M = (ju \^pu — ^a
soit égale à + i pour u = Oy on aura facilement
mais on n^aperçoit pas, par cette méthode, la loi de formation des coefficients. •
112. Nous allons maintenant développer pour les trois co- fonctions des formules analogues à celles que nous avons déjà obtenues pour la fonction (^u. Ces formules résultent immédiate- ment des définitions, des formules (Vl4_4), (Vils), (VII4), (XI,) et (XT2). Pour simplifier l'écriture, nous ferons, une fois pour toutes, la convention suivante :
Les trois indices a, p, y désigneront toujours les trois nombres entiers i , 2, 3, pris dans un ordre quelconque, de sorte que l'un des trois indices a, p, y soit i, que l'autre soit 2 et que celui qui reste soit 3. Quand, dans une formule, figureront deux seule- ment des trois indices cl, ^, y» on pourra donner à chacun de ces
LA FONCTION O'fl ET L£S FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. IQI
deux indices Tune quelconque des valeurs i, 2, 3, pourvu qu'on ne leur donne pas la même valeur. Enfin quand, dans une for- mule, ne figurera qu'un seul des trois indices a, j3, y, il sera en- tendu que cet indice pourra prendre Tune quelconque des trois valeurs i, 2, 3.
Ceci posé, voici les formules annoncées, où les signes supé- rieurs se correspondent ainsi que les signes inférieurs :
(XII,)
s'a (Os = — g-îjaw^
C'a)
r.
(XIIO
(XII,)
<f(u -h 2mti)fx H- '2/10)0 -h arwy)
r= ( iy»r-t-rm-f-//i«-4-/»-«-n+r eî(/»*Y)j[-l-«TQ^+r/jY^ (tt-4-//t(ii>K+/i(«)p-l-ra>^) g'j^
3'a(w-t-2/nwa-f-2/ia)û-+- 2ra)y)
3* ( W db Wa) = dz tf=»=na« O'oDjG'gi w,
O*!!),
a) = ^ c*^?»-^»"?*^ w = e*»l?" o'a<up«'Y"-
ci>a) =
( C («
(XIU) ;>(«
(XII,)
(XII,)
2Wa) = ÇM-+-2T^a,
2Ci>3) = ÇaW-+-2rjp;
t«>a) = îaW=^'îa,
Wa) = Çw ihr^oi,
a)p) = ÇYW±:r,p;
O'^WaO'yWfli,
Catcop CyCOai
— a» 10
oTw^o'pWa
Les formules (XII| ) se déduisent de la définition des fonctions dg^u (X.li) en supposant u = Wa» w = wp et en se rappelant que rf(2Wa) est nul, que coy est égal à — Wa — wp. Parmi les for- mules (Xn2), la première résulte des formules ( VIj ) ; la deuxième et la troisième s'obtiennent en remplaçant dans les formules (Xlf )
IQS GILGCL DIFFÉRENTIEL.
Il par 1/ + 3€i)(x OU u + 2^p 6t en réduisant au moyen des for- mules (VI*); la quatrième se déduit de la formule (VIj) eny rem- • plaçant u par 1/+ arwa et en réduisant au moyen de la for- mule (Xe) qui montre que chacune des quantités Tjacop — Tipco»
est égale à dz — En changeant dans la quatrième formule (XII2)
U en U -\' (i)(x, on obtient aisément la cinquième. La première formule (XII3) ne diffère pas de la définition des fonctions (^aw; les premières expressions de <^a(w 4- <«>«)? <^a(w-f-wp) s'en déduisent en changeant m en w 4- <i>a^ m 4- <«>p et réduisant au moyen de la première formule (XII2); en changeant ensuite u en — w, on obtient les expressions analogues pour (^«(m — o>a), <^a(w — wp). La seconde expression de (^oi(^ — ^p) se déduit de la première en tenant compte de la seconde formule (XII|); en remplaçant, dans cette seconde expression de (^a(w — ^^1 w P^^r wp, on obtient une équation qui ne diffère que par les notations de la première formule (Xlle), laquelle permet de ramener la première des expressions de (^«(w ili <i>a) à la seconde. Les autres for- mules (Xlle) s^obtiennent en remplaçant u respectivement par o)^ et (Oflt dans les expressions de <^(w -i- tOa), d^{u-\- top).
113. Remarquons encore que, si nous remplaçons dans Tex- pression ^ > obtenue dans le numéro précédent pour yje^i — ep, c^ptOa par sa valeur tirée de (XII^), on obtient la relation
Si l'on compare cette formule à celle qu'on en déduit en échan- geant les indices , on a de suite la relation
(XIII2) etjaW|j-tipw« = ^.
V^«p - «a
D'ailleurs, à cause des formules on a
LA FONCTION ^U ET LBS FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. IqS
et chacune de ces quantités est égale à ±
TTl
Dans le cas où le coefficient de i dans — ^ est positif, on a
(XIII,) Tj,(D,— 7),a>3 = 7)1 a>3— 7)5(1), = 7), (Di — 7,, (D, = --
et, par conséquent,
/ej — ej = i /e,— e, ,
/cj — ei = i /ei — ej .
Dans des applications très fréquentes, ^i, ^21 ^3 sont des nombres réels tels que l'on ait
aussi convient-il d'écrire les relations précédentes sous la forme
v/^3— ^1 =— *V^l— ^3,
y/ej — «1 = i y/ei — e^ .
Si le coefficient de e dans —^ était négatif, on devrait changer i en — j.
114. Si maintenant, dans la formule (XI4), on change u en u -+■ coa, on a
or, en vertu des relations (XIIs) et (XI4), le second membre peut s'écrire
on a donc
(XIIU) p(M-4-a>a)=eaH- — ^
pu — Bai
formule qui est d'un usage fréquent dans les applications et qui pourrait se déduire aussi facilement du théorème d'addition rela- tif à la fonction pu.
T. et M. — I. i3
194 CALCUL DIFFÉRENTIBL.
H5. Les relations (XI4) mettent en évidence des relations algébriques entre les fonctions (S'a, <^iU, (^2^7 <^3W, en effet, en éliminant pu entre ces relations, on trouve
(XIV,) tfja — a'|a = (^p — ^a)^»!*;
parmi les relations de cette espèce, il j en a évidemment deux d'indépendantes.
Signalons, comme conséquence de ces formules, la relation
(XIVj) {ey — ^a) <^lu -f- (ex — e^) 3'Ja-+- (eo — ea,)^yU = o.
116. Au mojen de ces mêmes relations (XI4), la formule fon- damentale (VII1) peut s'écrire
<f(u-^a)(f(u — a) 'i\a tfîu
ou
(XVi) 3'(iz-4-a)3'(a — a) = 3'*tt3'îa — câMar«flf.
Si, dans cette dernière formule, on change a en a + w^ et si Ton tient compte des formules (XIIj) et (Xla), on trouve
(XVj) Ca("-^«)3'a(" — <^) = 3Îa3'a« — (ea~«p)(<?a— «y)**'*"^*^'
de même, en changeant u ftw u-\- cop, puis échangeant les indices a et p, on trouve
(XV3) (3'a(w + «)3'a(tt — a) = a'Jas'pa — (««— ep)<j'«aa'^a.
Au reste, l'identité entre les deux seconds membres des deux dernières formules résulte aisément des relations entre les quatre fonctions rf, relations qui permettraient d'ailleurs de transformer de diverses manières les formules précédentes.
Nous joindrons de suite à ces formules d'autres analogues qui donnent les expressions des produits df^u-^-a^dg^i^u — a), <J'y(M-i-a)rfp(a — à) relatifs à deux fonctions d d'indices diff^é- rents.
Observons d'abord que, de la formule (VIIj), on peut dé- duire d'autres identités analogues où figurent les cofonctions, en ajoutant, par exemple, aux quantités 1/, a, 6, c quelqu'une des
LA FONCTION ^ U Vï LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. IqS
quantités cj|, fù^y (03; nous nous contenterons d^écrire les deux suivantes :
<3'a(w-ha)o' (a — a) c'a(ô H- c)cr'(6 — c) -h a'a(tt-h 6)<3' (m — 6)(3'a(c-ha)<3'(c — a) -h 3'a(M -t- 0)0* (tt — c)(3'a(a -h6)o'(a— ô)=o,
G'y(a -h a) <3'ft(a — a)<^f^{b -k- c)(^{b — c) -+- ^-^{u-^-b) ^^(m — 6) c'a(c-^- a)o'(c — a) -+- a'y(ii H- c ) a'û(M — c) 3'a(a -+- b) a'(a — 6) = o,
dont la première résulte simplement de la formule (VII2) en aug^
mentant toutes les quantités it, a, b^ c de —, et dont la seconde
résulte de la première en y remplaçant u par f^ -h wp; après avoir fait ces changements, on n'a plus qu'à réduire au moyen des for- mules (XII3).
Si, maintenant, dans les relations qu'on vient d'obtenir, on suppose c = o^ 6 = wp, on trouve de suile, toujours au moyen des formules (XII3) et après avoir divisé par rfa^p ^^p?
(XV4) a'flt(M -ha)a'(a — a) = a'tto'atta'ûa tfya — Cacs'aao'paa'YM,
<f^{u -+- a)(^o(u — a) = s'y a 0*0 M s'y a s'a a H- -J— s c'a c'a" 3'a s'a a;
(Dp
cette dernière relation, si l'on tient compte de la formule (XIo), s'écrit définitivement
(XVs) (3'y(M-ha)(3'p(a — a) = cTy m 3*0 m s'y a s'a a -t- (eo — e y) a* m (S'a a c'a g*» a.
On obtient encore deux nouvelles formules, que nous nous dis- pensons d'écrire, en changeant dans (XV4) et (XV5) a en — a.
117. Nous allons maintenant déduire de la formule (XV3) l'ex- pression de p- et, en particulier, de p — qui nous sera bientôt
utile. En y remplaçant a par u^ puis u par ~ 9 on trouve
196 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
en changeant a en p, il vient
U m U V .. M .• M
o'pa = o'î-o'J- -+- (ca-ep)^» - C? -;
d'où, en ajoutant et en retranchant,
u .m u
c'a w -+- c'a w = 5^ ^â - ^S - »
u .. u
Sans nous arrêter à ce fait, que ces formules mettent en évidence les valeurs de u qui annulent c^a^^ + ^fi^i ^a^ — <^p<^9 changeons dans la première ^ en y et divisons membre à membre ; il viendra
ou
' 1
-4- |
||
3*»" |
-h |
CTyli |
eu <^u 1 2
ou encore, en vertu des formules (XI5),
M
y/pu^erx -4- /pw — <'3 ^ i^ â ~~ ^P
/j) M — e» -4- /p w — c.
7 u
d'où
— P-rL/P" — «p — /pw — «y] = ( «B — ^Y ) V^P " — ^«
en multipliant par y/j^w — ^p + y/p'^ — ^y et tenant compte de ridentité
[/pii — ep-4-/pM — ey] [/p« — cp — /pa — Cy] =tfY — cp, on trouve, après quelques réductions faciles et après avoir divisé
LA FOIfCTlON <^U ET LES FOIfCTlONS QUI EN DÉRIVEIfT. 197
par ep — ey,
(XVIi) p - = pu-h ^pu^ ea^pu — Cy
et, en particulier, en supposant u = cj^,
(XVIi) P -^ = ^a -+- /ea— ep /ca— «y .
U importe de remarquer que, dans ces formules, les radicaux ont le sens précis qui a été spécifié dans le n° 112.
118. On obtient immédiatement les expressions de ^i e/, (i^Uj ii Uy décomposées en facteurs primaires, en partant de leurs défini- tions (XI|) et en utilisant la formule (V|). On trouve ainsi
(XVIIO o'«i..eTP^'= JJ j /i-_J^) e^Vii^^' j.
s
Cette formule met en évidence les zéros des trois fonctions d^ ;/,
En groupant les facteurs exactement comme on Ta fait pour du et en eflectuànt des réductions toutes pareilles à celles que Ton a rencontrées alors, on obtient successivement quelques identités intéressantes. Soit d^abord a = i . On remplacera partout, dans
le second membre de Téquation précédente, par
u
2Wi
\1 toi/
m
alors, en appliquant les formules (l3_4), on trouvera, pour le produit des facteurs où n reste le même,
I COSIt/l— I
Les deux facteurs mis entre crochets donnent naissance à des
198 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
produits infinis convergents dont le premier peut, en groupant les termes où /i a des valeurs égales et de signes contraires, et en tenant compte de Tidentité
cos(a — b) co8(a -+- ô) = cos*a — sin'ô, s'écrire
n = l I COS« I
d'ailleurs la valeur du second s*écrit immédiatement; on a donc finalement
0*1 M. c* = cos e ^ 'III I — I"
"=• L *=*»*' -iirJ
On a de même, pour a = 2 et a = 3,
XX I , 'l/l — I CDj I
X X I . . 2 /l — I ù), I
En remplaçant, dans les trois formules que nous venons d'éta- blir, u par ii + 2(0| par exemple, en tenant compte des for- mules (XII2) et en comparant les nouvelles formules aux an- ciennes, on obtient les trois identités
n = <n
Tt* / ^n I
rji-4-ci)ip(Di = - — / H-ay' |>
n=l COS*TC
(XVIIO iT),H.u>ip(0,= ^ 2
2(1)1 JM « 2/1 — I (lis
11 = 1 C0S*1t
2 (i>i
TT* V* I
'^ 20)1 .i«l . - 271 — l (Oj
11=1 sin«ir
2 (Oi
LA FONCTIOiN (^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. IQQ
qui permettent d'écrire comme il suit les trois formules obtenues
(3) (fiu =
(XVII) / (4) C5',w = e*"» J[J
[. . ira "1 I '^^^ I cos'ir— - J
. TZU -1
sin* I
7. Wi J
«=i I cos
(5) (f^u =
\
sm*
1
. , 2/1 — I W,
sin»7:
2 Wi
En développant les seconds membres de ces dernières relations suivant les puissances de u, on obtiendra autant de termes que l'on voudra dans le développement en séries entières en w, des fonctions paires (^a<^? sans apercevoir toutefois la loi de formation des coefficients. Si l'on tient compte des trois identités précé- dentes, on verra par exemple, sans peine, que le coefficient de u^
est égal à -y de sorte que
s'a M =1 «a a' + . . . .
On retombe ainsi, par une autre voie, sur le développement (XI7) déjà obtenu au n° 111.
119. Nous réunirons ici quelques remarques relatives à l'ho- mogénéité, qui nous seront utiles plus tard.
Imaginons que l'on forme d'abord les fonctions (3*, 2^, p et les constantes t^^, e^ qui en dépendent, au moyen des quantités a)|, (1)3, puis que l'on forme les fonctions et constantes analogues au moyen des quantités
(XVIIIi) (Uj = Xa)i, (lij = Xu)», w^ = — w, — ci)J
31
et désignons par 7^,, e^ les quantités analogues à 7^^, e^ relatives aux nouvelles fonctions. Cherchons comment les nouvelles fonc- tions et les nouvelles constantes s'expriment au moyen des an- ciennes.
aOO CALCUL DIFFÊREIITIEI..
Les équations d^homogénéité (III) peuvent s'écrire
(XVIUO j î(a|a>;,coi)= i i;^^|(o„co,),
En faisant u = co', , c/ = (o, et en se reportant aux définitions des quantités
on en conclut les relations
{XVIIItÔM) ^''« = ¥' ^^ = S' •
Si maintenant on se reporte à la formule qui définit (3'a(2/|a>',,a>3), savoir
on en conclut, à cause des relations précédentes et en particulier de la relation d'homogénéité pour la fonction d^
--ha)«|ci)i,eo8J =<? *^a'(a>a|ci>i, eo3)a'oi(tt|a>',,w;),
et, par suite, en comparant à la formule qui définit <^a ( 2/ 1 0)1,(03), (XVIII,) o'a(w|(o;,coi)=o'a(^|a)„eo3);
mais on a (XIq)
donc
(XVIIU) V«a— «ft = s-37 i r = : *^»
ce qui s'accorde d'ailleurs avec les résultats antérieurs.
Ainsi les quantités 7)a, y/^a — ep sont des fonctions homogènes
LÀ FONCTION C^tf ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. aOI
de (0|, (1)3 et du degré — 1 ; le rapport de deux de ces quantités ne dépend que de 2 .
120. Nous terminerons ce paragraphe en disant quelques mots d'un cas particulier, très important d'ailleurs, de façon à per- mettre au lecteur, au moins dans ce cas, de se représenter l'en- semble des résultats acquis d'une façon moins abstraite.
Supposons a)| et -^ réels et positifs. Si l'on suppose en outre
que la variable u soit réelle, on voit que la fonction fiu est réelle. Cela résulte aisément de la première définition de a'w, en grou- pant ensemble les facteurs pour lesquels les valeurs de s sont conjuguées, c'est-à-dire sont égales à
2/710)1-+- 2/10)3 et 2/nb>i — 2/10)3;
d'ailleurs la cho'se apparaît nettement sur la formule (X| ) ; la for- mule (X4) montre que tji est alors réel et positif. Les fonctions X^u^ pu sont aussi des fonctions réelles; les invariants ^2 ^^ ^s
sont réels 5 -5^ est réel et négatif (X5); ei=pa),, e%=^più^ sont
des quantités réelles, puisque pu est une fonction paire; e^ est donc aussi réelle; les formules (XVII) montrent que les fonctions ^atif sont aussi des fonctions réelles.
Examinons maintenant le signe des fonctions d dans la même hypothèse.
Quand u croît à partir de zéro, du augmente d'abord, puisque y(o) = ï ; cette fonction commence par être positive et reste po- sitive tant que u n'a pas atteint le premier zéro 2b>i de (iu\ ce zéro est simple : donc, si u continue de grandir, du change de signe. Dans l'intervalle (o, a(Oi), du est positive^ dans l'intervalle (2Ci>,, 4^0' ^^ ^^^ négative, et ainsi de suite. Pour w = o, la fonction ^1 u est égale à un; elle reste positive jusqu'à ce que u atteigne la valeur coi , puis elle est négative dans l'intervalle (o),, 3a>i), etc. Les fonctions d^u^ d^u, qui sont égales à i pour tt = o, restent positives pour toutes les valeurs réelles de </, puisque leurs zéros sont imaginaires.
Considérons de même les valeurs purement imaginaires ur=eV
202 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de l'argument; la fonction — .- est réelle, et Ton voit de même qu'elle est positive quand w' est compris dans l'intervalle ( o, — ^) »
négative quand w' est compris dans l'intervalle f^-> ^^ j> etc.
Pour. ces mêmes valeurs, les fonctions paires (^«m sont réelles; si 1/' est positif et voisin de zéro, les trois fonctions sont positives; (^1 u et (^2^9 n'ayant pas de zéros qui soient purement imaginaires, restent toujours positives; au contraire, d^u admet comme zéros purement imaginaires les multiples impairs de cos, en sorte que
cette fonction est positive quand u! est compris entre zéro et -^, négative quand w' est compris entre — .- et 3 -.*> etc.
121. Si l'on se reporte aux formules (Xle)
V«i — «3=-r— > V^i— ^i=— y VCj— Ct=—- — »
awi oTwi a^cuj
on voit par ce qui précède que y/e< — Ca, ^e^ — e^ sont des quan- tités réelles et positives; au contraire, )Jez — e^ est une imaginaire pure et i^Je^ — e^ est une quantité positive, puisque rfjcos est po- sitif ainsi que — T-^; \le2 — es, qui est égal à — i^Je^ — 62 (XIII4),
est donc un nombre négatif. On déduit de là d'abord que les quantités réelles ej, e^, e^ sont rangées par ordre de grandeur décroissante; leur somme étant nulle, la première est positive, la dernière négative. Enfin, des trois radicaux à valeur réelle
les deux premiers ont la signification arithmétique, tandis que le troisième est négatif {^),
(*) C'est là rioconyénieDt du système de notations que nous avons adopté et sur lequel nous nous sommes expliqués dans la Préface. M. Weierstrass, sui?i en cela par M. Schwarz, au lieu des quantités ta,, (i),, &>,, avait introduit les quan- tités (i>y (I)', (<)'= b» + (*>'; on fait coïncider les deux notations en supposant fi> = «D,, w'= o>,, 0)"=— U),, puis r^ = 7^,, Tj'= 7^,, Tj'^ — T\,. Dans les Formeln und Lehr-
sàtze de M. Sch^arz, ^e^ — e, et v^e, — e, représentent les quantités que nous désignons par les mêmes sjfmboles, changées de signe.
LÀ FONCTION (^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 203
iSâ. Considérons maintenant la fonction pu. Si u est réel et un peu plus grand que zéro, pu sl des valeurs positives très grandes, puisque, dans les environs de u = Oy la différence
pu 5 reste finie. Reportons-nous aux formules (XI),
M«
3*1 U aTj u 0*3 u
p M= — a ^^ = — 2v^pa — eiv^pw — <?, v/p" — «8*,
on voit que, dans l'intervalle (o, W|), p'w est négatif; pu décroît donc de +oo à ei ; si £/ continue de croître, (3*1 u change de signe, et, dans Tintervalle (wi, atOi), pu croît de ^i à + oo ; ensuite, à cause de la périodicité, pu reprend les mêmes valeurs. Ainsi, pour des valeurs réelles de u^ la fonction pu reste supérieure à ei, 62, es, ce que, d'ailleurs, la formule (XI^i) met en évidence.
Envisageons aussi les valeurs iu' purement imaginaires de l'ar- gument u\ la fonction paire pu est réelle pour ces valeurs; pour de petites valeurs de 2/', elle a des valeurs négatives très grandes. La dérivée de p{îu') par rapport à u' est d'ailleurs
.,,.,, . (3*1 m' 0*2 iu' 3*3 iu'
en désignant par p'{iu') ce que devient p' u quand on y remplace u par iu' \ quand m' est compris entre o et ~> les trois fonctions
rfi(iV), c^2(iV), (ii{iu') sont positives, ainsi que ." ; par
suite, — -. — ' est négative, donc la dérivée ip(iu') de p(îu') par
rapport à w' reste positive; donc, quand u' croît de o à ^, p{^^')
croît de — 00 à e^. Lorsque u' traverse la valeur -.-> dz{iu) s'an-
nule et change de signe : donc, lorsque u' croît de ~ à 2 ^ > <P("^')
décroît de es à — 00 . La fonction reprend ensuite périodiquement les mêmes valeurs.
On a d'ailleurs (VIl4^5)
[ip'(iu')y = - 4[P(*V) - e,] [p(iu') - e,] [p(iu') - e,] et, par suite, lorsque u' est compris entre o et -^9
ip\iu') = ^p(«V) = 2v^[ci — p(m')][e,-p(tV)J[e, — p(m')],
2o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
en attribuant au radical le sens arithmétique, puisque le premier membre doit être positif.
Il résulte de cette analyse que Ton a
dy
ît» = r" dy ^ r'*
* ^— '^)/{^\—y){6i—y){ei—y) •>'-•/— (4r*
5'sJ' — ^j) les radicaux étant pris avec le sens arithmétique.
On a donc exprimé, dans ce cas particulier, cj|, (1)3 au moyen de ^2) ^3 ; on a résolu en quelque sorte, par rapport à (0|, €1)3, les équations (IV5); mais il reste évidemment à résoudre la question suivante, qui se pose d'elle-même.
Etant données (*) les quantités réelles g^i gzy telles que l'é- quation
iy*—giy — ffi = o
ait ses racines réelles, désignons ces racines, rangées par ordre de grandeur décroissante, par e^, ^3, e^; déterminons les quan- tités tO|, (1)3 par les formules précédentes; aura-t-on effectivement
s s
C'est là en effet ce qui a lieu. Quoiqu'il ne soit pas difficile de le démontrer, nous renvoyons cette démonstration à plus tard, afin de pouvoir réunir ce qui concerne les différents cas.
Observons enfin, en restant toujours dans le même cas, et re- lativement à la fonction pu, que, à cause de la relation (VII|), qui montre que Ton a, a et 6 étant réels,
la quantité p(a -4- bi) ne peut être réelle que si le facteur (^261 est nul; ceci ne peut avoir lieu que si b est un multiple de ^9 et, s'il en est ainsi, p{a -h bi) est en effet une quantité réelle.
(*) Jusqu'ici, o>, et u, étaient les quantités données.
LA FONCTION C^£/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. ^ 2o5
V. ^ Transformation linéaire des fonctionB a*. — Substitution aux périodes primitives de périodes équivalentes.
133. On a vu déjà, sur de nombreux exemples, le parti que Ton peut tirer de l'application à la fonction <iu de ce théorème : dans un produit infini, absolument convergent, on peut intervertir Tordre des facteurs et grouper ces facteurs comme l'on veut; c'est là le grand avantage des notations de M. Weierstrass sur celles d'Eisenstein. D'autres conséquences essentielles de cette proposition vont apparaître dans ce qui suit; elles se rapportent aux éléments de la théorie de la transformation.
Nous avons montré comment on pouvait construire une fonc- tion du diii moyen d'un couple de deux nombres à rapport ima- ginaire 2(0|, 2 0)3 et engendrer, au moyen de cette fonction, une fonction doublement périodique admettant 2(a>|, 2(03 pour pé- riodes primitives; nous allons montrer (n** 125) comment il existe une infinité dénombres 2û|, 2Û3, liés simplement à2(0i, 2(03, au moyen desquels on peut engendrer les mêmes fonctions du^
S", pu.
Mais voici d'abord quelques remarques et définitions qui vont nous servir à caractériser ces nombres 2Q1, 2Û3.
Soit, en général, F(£/) une fonction univoque doublement pé- riodique et admettant 2(i)|, 2(03 pour couple primitif de périodes.
Posons
(XIXi) Oi = awi-h 6(0j, Û3 = c (1)1 H- 6^(1)3,
en désignant par a, 6, c, d des entiers tels que le déterminant (0 = ad — bc ne soit pas nul. On observera d'abord que, dans le
rapport —y le coefficient de i est différent de zéro et qu'il a le
même signe que dans le rapport -^> ou le signe contraire, suivant que ad — bc est positif ou négatif. Si l'on suppose, en efi^et.
a, ^, A, B étant réels, on a
(arf— 6c)3
B =
(a-4-6a)»-hô«3*
206 CALCUL DIFFÉRBIfTIEL.
Il est clair que tout nombre de la forme 2[xai + avQs, où [jl, v sont des entiers, est une période de la fonction F(i/), et il est clair aussi qu^un nombre, sMl peut être mis sous cette forme,
ne peut Tétre que d'une seule façon (puisque le rapport — est
imaginaire), et cela même si Ton suppose seulement u et v réels.
124. En résolvant par rapport à tOi, coa les équations qui dé- finissent fil, fia, on obtient
d b — c a
(Oi = -t;-ûi — ^ Û3, wj = ^ir- ûi-h -:r Oj;
(jb) cO cô cô
les quantités coi , (03 ne pourront donc être mises sous la forme [jlûi -I-VQ3, |jl et v étant entiers, que si les coefBcienls
T5' Tù"' Tô"' ôS ^^^^ entiers, et s'il en est, par conséquent, de même du déterminant de ces coefficients, c'est-à-dire de
ad — bc I ^
il faut pour cela que (0 soit égal à di i .
Inversement, s*il en est ainsi, il est évident que les quantités 2(i)|, 20)3 et, par suite, toute période de la fonction F({^), pour- ront être mises sous la forme 2|jlûi -4- 2VÛ3, |jl et v étant entiers. En d'autres termes, si l'on continue à désigner par m, n, a, v des nombres seulement assujettis à être entiers, on peut affirmer que, si (D est égal à db i, à chaque nombre 2|jlûi + 2VÛ3 correspond un nombre 2m(0| -}- 2/10)3, et un seul, qui lui est égal, à savoir celui pour lequel on a
ot que, à chaque nombre 2/nci)j -}- 2/1(03, correspond un nombre 2[jLûi 4- 2VÛ3, et un seul, savoir celui pour lequel on a
(D {X = mtf? — /ic, Clt)v = — mb -k- na.
Lorsque (D est égala di i, nous dirons que le couple (sqi, 203), défini par les formules précédentes, est équivalent au couple (2w<, 2CO3). Les deux couples sont proprement ou improprement
LA FONCTION d U ^T LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 207
équivalents selon que c£) est égal à -h i ou à — ^ {*)* Nous ne considérerons plus tard que des couples proprement équivalents,
aûn que le coefficient de i ait le même signe dans — ^ et -^; mais,
tout d'abord, cette restriction n'est pas nécessaire. Il convient de remarquer que, si le déterminant
a b c d
est égal à d=i, deux nombres a, 6, c, d, pris dans une même ligne ou une même colonne, ne peuvent être pairs simultané- ment.
Il résulte de ce qui précède que si le couple 2ûo 2Û3 est équi- valent (proprement ou improprement) au couple 2o>i, 2(03 et si Ton forme un réseau de parallélogrammes au moyen de 2û|, 2Û3, comme on en a formé un au moyen de 20)1, 2(1)3, les sommets des deux réseaux coïncideront; nous laissons au lecteur le soin de montrer que les aires des deux premiers parallélogrammes des deux réseaux sont égales.
125. En supposant toujours les couples (2^4,2 Û3) et (2 (0| , 2 0)3) proprement ou improprement équivalents, nous allons maintenant montrer que les fonctions rfw, Ç w, pu, formées au moyen du couple (2Û1, 2Q3), sont identiques aux fonctions (^2/, ^u, pu, formées au moyen du couple (2(0|, 20)3) : en d'autres termes, on a
1 (2) G'(a I ûi, Û3) = ^(u\ (D,, toa),
(XIX) .(3) ;("|ûi,Û3) = a"l«*>i.««>s),
1 (4) p(w|ûi,i23) = P(w|wi,a>j);
les deux dernières égalités sont d'ailleurs des conséquences évi- dentes de la première.
On vient de voir qu'on pouvait établir entre chaque système de nombres entiers m, n et chaque système de nombres entiers {I, V une correspondance telle que, si Ton pose
5 = ^m(0|+ 2/1(1)3, s = 2fJLÛi + 2VÛ3,
(*) Le lecteur reconnaîtra sans peine que deax couples équivalents à un troi- sième sont équivalents entre eux.
ao8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les nombres 5, s soient égaux quand les systèmes (m, n) d^une part, ([X, v) de l'autre, se correspondent et que, réciproquement, cette égalité n'ait lieu que dans ce cas. D'ailleurs les systèmes [jL = o, V = o et m = o, /i = o se correspondent ; par conséquent, les deux produits infinis
n"'j(-7)
u 1 «^ i
et
1/ 1 M*
n" I (- r)
ne diffèrent que par Tordre des facteurs; on a donc bien
cf(u I cui,wa) = a'(a | Qi, ûj).
Le même raisonnement (d'ailleurs inutile) s'applique aux sé- ries qui représentent les fonctions i^u, pu,
126. Les deux séries entières en u (IVf), qui représentent c^(i/|(i)i, CO3), c^(a|û|, ûs) doivent donc être identiques terme à terme; c'est d'ailleurs ce qui résulte de l'expression des coeffi- cients; on a, par exemple (IV5),
s
et il est manifeste que la substitution des nombres s aux nombres s ne change pas la somme des séries qui figurent aux seconds membres; l'ordre des termes seul est modifié. C'est ce qui jus- tifie la dénomination à* invariants donnée aux nombres g^y gt-
127. Voyons maintenant quelle modification apporte aux fonc- tions d^u, <i2Uj <^3Uf 2^1 e/, ^2^; ^3^ I^ substitution du couple de périodes 2û|, 2Û3 au couple de périodes 2(0|, 20)3.
En définissant d'abord, par analogie, un nombre Û2 psir l'égalité
Ûi-h Ûj-H Û3 = o,
et posant ensuite (XXi) { Hi = Çûj = Ç(— au)i — ^(Dj— ca)i — ££0)3) = — aïji— ôïj,— ciji — rfr,,,
Hs = ÎÛ8 = Ç(CWi-l-ûfa)3) = CTJi-t- ûfTj3,
LA FONCTION ^U BT LBS PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 209
OQ obtiendra de nouveau
(XX,) IIi-4- fr,-f- II3 =«: O
et
Hjûj— lljûi = (a飗ftc) (ï),a),— r^3(0i)= ±(711(1),— ïjjwi),
OÙ il faudra prendre le signe + ou le signe — suivant que le couple 2û|, 2Û3 est proprement ou improprement équivalent au couple primitif acO|, 20)3. Quoi qu^il en soit, H| Û3 — H3Û1 est
donc, comme (n® 92) Tji (i>3 — '/i3(i>i, un multiple impair de — •
Il résulte d'ailleurs du n° 108 que t^iWj — 7)3 W| est égal à
H ou à — '— suivant que le coefficient de / dans — * est positif
2 a T coi *^
ou négatif. Nous avons vu, d'autre part (n** 123), que le signe du coefficient de i est le même ou est opposé dans les deux rapports —
et -^9 suivant que le couple 2û|, 2Û3 est proprement ou impro-
prement équivalent au couple 2Ci>|, 2(03. Donc, dans les deux cas, on a
•
(XX,) 111Û3— ii,ûi =± —,
•1
où il faut prendre le signe -{- ou le sfgne — , suivant que le coef- ficient de / dans le rapport - - est positif ou négatif.
128. En désignant toujours par s l'une quelconque des valeurs 2[xû| + 2vû3, où [x et V sont deux entiers quelconques, on voit que le nombre
s — Ûi = (2[xa -- ^.vc) oji -h (2 jx6 -+- iL'id) 0), — au>i — ôu),
est congru modiiUs 2co,, 20)3 à quelqu'un des nombres 5 — w,, s — CO2, s — (O3; on sera dans le premier cas si a est impair et h pair, dans le second si a et 6 sont impairs, dans le troisième si a est pair et b impair.
Supposons, pour fixer le langage, qu'on soit dans le premier cas. Si Ton se reporte à la formule (V|), on aura, en y remplaçant T. et M. — î. i\
210 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
a par co,,
Si, dans le second membre, on remplace s par s et coi par û|, on voit de suite, par un raisonnement identique à celui du n° 124, que, à chaque système d'entiers m, n, on peut faire correspondre un système d'entiers jjl, v, de manière que les nombres s — W|, s — û| soient égaux si les deux systèmes se correspondent et que, réciproquement, cette égalité n'ait lieu que dans ce cas; le second produit infîni a donc la même valeur que le premier el l'on a
3*(i£ H- (rit I (U|, (Oa) — '«tQi+yPCw, |ci)„co,) a'((rii| w,,t«3)
" a'(ai|ûi,û8) Mais on a
p(a|(ri„w,) = p(u|ûi, ûs),
et, dans le cas qui nous occupe, où a est impair et b pair, on a
évidemment
p(ûi |cri|,a)3) = p(a)| 1(1)1,0)3) = ei.
Si donc on se reporte à la définition de la fonction c^i c/ (n^ 110), on voit que, dans ce cas, l'on a
cf'i(w I ûi, ûa) = a',(a I (rij, (ri,).
D'ailleurs, comme ad — bc est égal à dz i, rf est, dans le cas qui nous occupe, nécessairement impair. Si c est pair, on a
p(ûj I ûi, ûj) = p((rij I (ri,, (rij) = c,
p(n3|ûl,Û3) = p((ri3|(ri,,(ri,) = 63;
donc, en remplaçant a par (02 dans la formule (V|) et raisonnant comme tout à 1 iieure, on aura
ari(w|ûi,û3)= <3'i(m|w!»W3),
a'3(u| û,, Û3) = 3'3(w|(ri|,«ri3).
LA FONCTION ^ U ZT LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT.
Si, au contraire, c est impair, on a
p(û, I un aa) = P(W3J (O,, (O3) = ^3,
p(Û3 I Ûi, Û3) = P(wj I lUi, (03) = e„
21 1
et Ton parvient aux relations
0'j(w|ûl,Û3) <5'3(m|Ûi,Û3)
Cf3(M| (01,(1)3), 0*1(^10)1,(03).
La même démonstration s^applique à tous les cas, et l'on re- connaît que la substitution des périodes 2Q|, aûs aux périodes 2(i)|, 20)3, ou laisse les fonctions c^i u^ d^u^ d^u invariables ou ne fait que les remplacer par les mêmes fonctions rangées dans un autre ordre qui ne dépend que de la parité des nombres a, 6, c, d^ à savoir dans Tordre où il faut placer les quantités e^ , e^j e^ pour obtenir les quantités psi^ P^n P^z* D'une façon plus explicite, voici le résultat auquel conduit Texamen de ces divers cas.
Soient
(XX,)
On aura
(XX,)
pcjj = Cl.
pwj = Cj,
p(03 = ^3,
pÛ| = El = ex, pûj = Eî = ejjt, pÛ3 = E3 = C^
a',(u| ûi,Û3) = 0^ (m I (01,(03),
{ 3'j(m I ûi, Û3) = <3'{i(w I (Oi, (O3), Cf^iu |ûi, Û3) = CvC"! W,,(03),
i
où X, [JL, V sont les nombres entiers 1, 2, 3 rangés dans un ordre que détermine le Tableau suivant :
(XX,)
a |
b |
c |
d |
ûi |
Qs |
Û3 |
X |
f* |
V |
|
I* |
1 |
0 |
0 |
I |
(Oj |
(Oj |
(03 |
1 |
2 |
3 |
2" |
I |
0 |
1 |
I |
(Oi |
W3 |
(0, |
I |
3 |
2 |
3° |
1 |
I |
0 |
1 |
««* |
(0, |
(03 |
2 |
I |
3 |
4** |
1 |
I |
] |
0 |
(Oi |
«^s |
(0, |
2 |
.? |
I |
5*» |
0 |
I |
1 |
0 |
W3 |
(0, |
(Oi |
3 |
2 |
I |
6« |
0 |
i |
1 |
I |
«^3 |
(0, |
(O, |
3 |
1 |
2 |
212 CALCUL DIPFÉRBNTIBL.
Au-dessous de a, 6, c', d, dans chaque ligne horizontale, sonl les restes de la division de ces nombres par 2. Sur la même ligne, au-dessous de ûi, Û2, ûg, sont celles des quantités (i>|, 6)2, 0)3, qui sont congrues respectivement à û| , ûa, ûg modulis 2Ci)|, 2(1)3. Sur la même ligne encore, au-dessous de \ [x, v, sont les valeurs par lesquelles doivent être remplacés ces indices, tant dans (i\Uy d^u, dy,ii que dans e\^ e^^ e^] enfin, pour la commodité de ce qui suit, chaque ligne horizontale porte un numéro d'ordre qui permettra de désigner le cas correspondant.
Il est à peine utile d'ajouter que la substitution du nouveau couple de périodes au couple primitif ne fait que changer les fonctions 2^i i/, ^2'^» ^s'^ dans le même ordre que les fonctions
129. Posons (Xle)
puisque les quantités E| , E2, K3 ne sont autres que les quantités f?i, €2, e^ rangées dans un certain ordre, il est clair que les six diffé- rences Ep — Ea ne sont autres que les six différences ep» — e» rangées dans un ordre convenable, que Ton déterminera sans peine, dans chaque cas particulier, à Taide du Tableau précédent; mais il importe de remarquer que si Ton a, par exemple,
Ep = ^p'7 Ea = «a-,
on ne peut en aucune façon affirmer que Ton a
/Kp— Ea= /ep,— egi',
en adoptant pour chacun des radicaux la signification précise qu'exige la formule (Xle); on sait seulement que l'on doit avoir
la détermination du signe qu'il faut adopter dépend de la valeur des restes de la division des nombres a, b, c, d par 4. Nous allons montrer, dans un cas particulier, comment se fait cette détermi-
LA FONCTION (^ U ET LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 21 3
nation, et nous réunirons tous les résultats daps un Tableau ; le lecteur n'aura aucune peine à vérifier ces résultats. Pour éviter
toute ambiguïté, nous conserverons la notation ^Ep — e» quand même nous saurons, dans chaque cas particulier, auxquelles des racines ei, €2, ^3 sont respectivement égales les quantités e^, e») parce que, autrement, on serait amené à écrire deux fois le même symbole, un radical carré portant sur une différence de deux des quantités ^i , ^2, e^, avec deux sens différents.
Enfin, dans ce numéro, nous supposerons que le coefficient de i
dans — est positif, et que ad — bc est égal à 1 ; le lecteur traitera
sans peine les autres cas. Dès lors, le coefficient de i dans — feera
aussi positif, en sorte que les formules (XIII4) s'appliquent aussi bien aux quantités y/E» — Ep qu'aux quantités y/ea — ep ; en d'autres termes, on a
v/e3— E, = i)/Ei—Ei,
/ej — El = — e /ei— E3 ,
V Es — El = * /E| — Ej ,
et il suffira d'avoir les résultats pour les trois radicaux y/E2 — E3,
v/e, — E3, v/ei — E2.
Nous désignerons, pour abréger, par a', b', c', d' les quotients entiers de la division par 2 des nombres a, 6, c, d pris de façon que le reste soit toujours o ou i ; par exemple, dans le cas 2® du Tableau (X = i , [x = 3, v = 2), on aura
a = ia'-h I, b = ^b'j
C = 2C'-M, d = 2d'-{-lj
et l'égalité
arf — ôc = i
montre que l'on a
i{a'd''-b'c')-hiia'-^2d'—iib'=:o;
par conséquent, a'-\- d' — b' est pair, donc aussi a'-|- (i'4- 6'.
2l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
 chacua des cas du Tableau correspond un résultat de même nature; tous ces résultats sont compris dans le Tableau suivant où, en face du numéro d^ordre de chaque cas, on a placé la con- gruence correspondante prise suivant le module 2
r b'-hc'-^d'-^i^o,
»
6» a'-hô'-f-c'-f- I =^0.
Remarquons encore que, en vertu des formules (XII2), on a, quels que soient les entiers p et Çy les relations
0*1 (u -f- a/?fa)|-i- ayctfs) __ ,__
0*1 a
0*t(M-^U/?(Ut-f-2Çra)3) __ ^ çVm ^
3*a(aH-2/?(tfi-4-2yco») _ ^ ^, oVf^
3'(lA-+- 2/>tU|-h aywj) 3*14
Ceci posé, revenons au cas 2" que nous traitons comme exemple; on a alors, en convenant de ne pas écrire les demi-pé- riodes quand elles sont (0|, (03,
o'j(a|ûi, ûa) = ^iU, CjCa] Qit Û3)= 3*1 a.
On aura donc
^ * ' a'(ûi|û|, ûj) 3'(2a'tO|-Haô'tu3-f-a),)
LA PONCTION 0*1/ BT LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT.
2l5
puis
V^Et — K» =
0^,(û,|0l,0t) «•(Û, |û,,Û3)
i) (tfi — a(ô'-+- d') «Os— (I),]
3'[— 2(a'-+- c'-4- I) (ui — 2(6' H- <i') a)j — 0)3]
la dernière égalité provenant des formules (XIII4); enfin
^^——^^,(a,\çi,,a,)
3'(Û1 |Ûi,Û3)
a'j(2a'ui|-+-2 6'ui3
co,)
a'(2a'a)i-h zô'ia^-h toi )
Les cinq autres cas se traiteront de la même façon, et tous les résultats se trouvent résumés dans le Tableau suivant : la pre- mière colonne contient les numéros d'ordre des six cas; la se- conde, la troisième et la quatrième colonne contiennent les va- leurs de v/e2 — Es, y/E| — E3, y/E| — K2.
XX:)
1» 6* |
H |
|||
/b, — E3 |
/Ei— E3 |
v/ei — El |
||
ft-hC—l |
(- |
rt-I |
n-»-à— 1 |
|
(—0 * /e,— «3 |
■I) » /Cl— «3 |
(_,) . /«1-e» |
||
c— I |
(- |
rf-l |
a-t |
|
l(— I) * /«t— «3 |
-I) « /ci— e, |
(-!)« /ei-e. |
||
rf-hl |
(- |
/i-»-i |
*-»-i |
|
(—1) « /«l— «3 |
•1) « /e,— ^3 |
*(— i) » /«i — ej |
||
fH-1 |
*•(- |
/>M-1 |
fl-M |
|
*( 0 • /«l — «3 |
-1) 1 /ei— c, |
(-1) » /««-es |
||
ft-H/-l |
i{- |
6-*-i |
rt+6— 1 |
|
i(— i) * /e,— e, |
-l) • /Cl— ^3 |
i(— 1) » /ej— €3 |
||
rf+i |
ii- |
r-ht |
*-»-i |
|
(-!)• /^i-e. |
-i) > /cî—ej |
l(_l) « /«,— ^3 |
3l6 CALCUL DIFFÉBENTIEL.
VI. — Transformation d'ordre quelconque des fonctionB a'. — Sub- stitution aux périodes primitives de périodes nouvelles liées linéairement aux anciennes.
130. Nous avons motilré ce que devenaient les fonctions tfe/, ii Uj d^Uj ^iU quand, au lieu de les former au moyen des demi- périodes (i>iy (03, on les formait au moyen des demi-périodes ao)i -f- 6ci>8, Cîo^ + rfws, où a^ 6, c, d sont des entiers liés parla
relation
ad — bc = i.
Il est naturel de chercher, d^une façon plus générale, quel lien existe entre les fonctions
a'(u| 0)1,(0,), CaCalwijWj) (a = 1,2, 3),
d'une part, et les fonctions
<3'("|ûi»ûj), afa(M|ûi,Û3) (a = 1,2, 3).
d*autre part, lorsqu'on suppose
Ûi = aa)i+ 6(1)3, Û3 = cuii + ^cDs,
où a, bj c, d sont des nombres entiers assujettis seulement à cette condition que le déterminant
ne soit pas nul.
Le problème peut d'ailleurs être notablement simplifié. Nous prouverons en effet, dans le numéro suivant, que, si l'on suppose (i)i, (1)3, ûf, Û3 liés parles relations qui précèdent, il existe, d'une part, un système (co'^, to^) proprement équivalent à (cO|, wj), de l'autre, un système (û^, û,) proprement équivalent à (û|,Û3), tels que l'on ait
X, [X étant des nombres entiers assujettis seulement à ces deux conditions : 1° leur produit est égal à CD; 2° leur plus grand com- mun diviseur est le même que celui des nombres a, &, c, d. Dès lors on voit que le problème posé sera résolu si l'on sait
LA FONCTION (^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 217
quel lien existe entre les fonctions
et les fonctions
a'(M|X(o;, fito^), cTaCMlXio;, {jiu)',),
et ce dernier problème se décompose lui-même en deux : passer des fonctions rf, rf|, rfa? ^31 formées avec un système de demi-pé- riodes ci)|, (03, aux mêmes fonctions formées avec les mêmes demi- périodes dont l'une ou Tautre est multipliée par un nombre entier ou divisée par un nombre entier. Comme le système (coi^tos) est improprement équivalent au système ( — C0|, CO3), on voit même que Ton peut se borner au cas dans lequel le multiplica- teur (ou le diviseur) est un nombre entier positif. C'est le pro- blème qui nous occupera quand nous aurons démontré le théo- rème annoncé.
131. Ce théorème, si Ton ne tient pas compte pour un moment des conditions imposées aux nombres X, [x, revient à dire que, en supposant û|, Û3 définies par les relations
(a) ûi = awi + ôws, Û3 = c(o, H- û^toj, où a, b, Cj d sont des entiers tels que
(b) (Q^ad'-bc
ne soit pas nul, il existe des nombres entiers a, p, y, 8, a', p', y', 8' liés par les relations
(c) a8-pY = i» a'o'-p'Y' = i
et tels que les relations (a), jointes aux suivantes
{ od'i = a (i>ï -H p (uj, (o'j = Y wi-1-8 (1)3, ^ ^ I û; = a'û,-4-p'Û3, û'3 = y'ûi-+-8'û„
entraînent les relations
où \, pt. sont des entiers. Cela revient encore à dire qu'on peut satisfaire, au moyen des nombres entiers a, p, y, 6, a', P', y',
ai8 CALCUL DIFFÉBENTIBL.
8', X, [JL aux relations (c), d'une part, et, de Tautre, aux relations
(e) '
qui s'obtiennent en éliminant tù\^ o)',, û',, û, entre les relations (a), (a'), (rf), ce qui fournit les équations
Y'(aoj|-4-ôco,)H- o'(ca)i-i- rfcoa) = ^1(7 <oi-+- 5(i)j),
et en écrivant ensuite que les coefficients de 0)4, (1)3 sont respecti- vement égaux dans les deux membres.
Des équations (e)y on déduit d'ailleurs immédiatement
(«0 - Py)^H^ = (a£f — 6c)(a'8'~ ^'y'h
ce qui montre, en tenant compte des relations (c), que Ton doil avoir
(/) Àfx = (D.
Ceci posé, supposons d'abord que a, c soient premiers entre eux et choisissons deux entiers arbitraires Xj y tels que l'on ait
ax -\- cy = \\
on tirera de là et de la première des équations (e)
a(a'— Xaj7)-4-c(P'— Xa^) = o,
d'où l'on déduit sans peine qu'on doit avoir
(^) «'= Xaar-+- /te, p'=Xa^ — /la,
A étant un entier arbitraire; ces formules fournissent d'ailleurs la solution la plus générale de la première équation (e) quand on y regarde a', ^' comme les seules inconnues. Si, dans la troisième équation (e), on regarde de même y'? 8' comme les inconnues, la solution la plus générale de ces équations sera fournie par les formules
k étant un entier arbitraire.
LA FOnCTlON C^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. aiQ
Si Ton substitue, dans la deuxième et la quatrième des équa- tions (e)y les valeurs de a', P', y', S' données par les quatre for- mules (g)^ on trouvera, après des réductions faciles, en tenant compte de (/*),
} 0 = — A:X H- y(^^-h dy).
D'un autre côté, si l'on forme, au moyen des formules (^), l'expression a' 8' — p'y'? ^^ trouve de suite qu'elle est égale à
ce qui montre que Ton doit avoir
Inversement, si Ton peut trouver des nombres entiers X, p., a, Y, A, k tels que l'on ait
le problème sera résolu ; car, une fois ces entiers trouvés, si l'on détermine p, 5 par les équations (A) et a', P', y? 8' P^"* les for- mules (^), il résulte de l'analyse précédente que les relations (a) et (d) entraîneront les relations (a').
On voit, à cause de (A*), que X, [x doivent être choisis premiers entre eux; on décomposera donc cD en un produit de deux fac- teurs X, p. premiers entre eux; on choisira ensuite des entiers A, k de façon que les entiers [xA et XA" soient premiers entre eux; enfin on choisira a, v de manière à satisfaire à l'équation
{jL^Y — XA:a = 1. On peut prendre en particulier X = ad — 6c, jjl = i .
13!2. Supposons maintenant que a et c ne soient pas premiers entre eux, mais que a, 6, c, d aient pour plus grand commun di- viseur l'unité.
On commencera par substituer à coi, o>3 des nombres propre- ment équivalents co^,®^, io^^\ définis par les équations
220 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
/>, <7, r, S étant des entiers qui vérifient la relation
ps — çr ^ i. On aura alors
en posant
ao = a/? H- ^r, Ôq = açr -h- 65,
Co = c/) -h rf/*, dQ = cq -h ds.
Or il est aisé de voir qu'on peut choisir les nombres/?, r premiers entre eux de façon que ag, Cq soient premiers entre eux. Il faut évidemment, pour cela, prendre r premier au plus grand commun diviseur de a et de c, puis p premier d'une part à r, de l'autre au plus grand commun diviseur de b et de d. Si/>, /* satisfont à ces conditions, il est clair que Oq, Cq ne peuvent avoir comme divi- seur commun un facteur premier divisant soit /?, soit r, soit le plus grand commun diviseur de b et d, soit le plus grand com- mun diviseur de a et c. Nous imposerons encore une autre condi- tion à r.
Décomposons (D en deux facteurs premiers entre eux AelB; A comprendra tous les facteurs premiers de CD, pris avec leurs exposants, qui divisent le plus grand commun diviseur de a et c; B sera formé des autres facteurs premiers. Nous prendrons pour r un multiple de B, ce qui n'est évidemment pas contradictoire avec les autres conditions auxquelles/?, r restent soumis. Mais, en éli- minant/? entre les équations qui définissent Oq, Cq, on obtient
ABr = acQ — cao,
ce qui montre qu'un diviseur premier de a„, Cq devrait diviser A, B ou r. Gela est impossible, puisqu'il ne peut diviser ni r, ni B qui est un diviseur de r, ni A qui est composé des mêmes facteurs premiers que le plus grand commun diviseur entre a, c.
Les nombres premiers entre eux />, r étant ainsi choisis, on choisira q, s parmi les entiers qui vérifient l'équation
/)5 — ry = 1,
et l'on aura trouvé le couple {(>i^^\ ^3^0 satisfaisant aux conditions imposées. Dès lors, puisque ao, Cq sont premiers entre eux, on
LA FONCTION ^£/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 221
pourra, comme il a été expliqué plus haut, trouver des nombres 0)',, (i>j proprement équivalents à (o',*^\ to^^^ et, par suite, à w^, coj, et des nombres Q\y û', proprement équivalents à û|, Û3 tels que les relations (a) entraînent les suivantes
X, [X étant des entiers assujettis seulement à être premiers entre eux et à avoir pour produit ad — bc,
133. Si enûn a, 6, c, d ont un plus grand commun diviseur //?, on écrira les relations {a) sous la forme
a b c d
Ûj = -— mwjH mti)j, ûj = — /yiWjH mtoa,
mm mm
et Ton est assuré, par ce qui précède, de l'existence d'un système {mtù\y mwj) proprement équivalent à (moi,, m 0)3) et d'un sys- tème (û,, Û3) proprement équivalent à (û|, Û3), tels que les rela- tions précédentes entraînent celles-ci :
\ tx étant des entiers seulement assujettis à être premiers entre
eux et à avoir pour produit — • D'ailleurs, si les systèmes
(m(0|, m 0)3) et (/«w'^, ^^Wj) sont proprement équivalents, il est clair qu'il en est de même des systèmes (wi, W3) et (w', , (O3). Puisque le plus grand commun diviseur de Xm, [xm est ni et que le produit de ces deux nombres est ad — 6c, le théorème énoncé au début est entièrement démontré.
134. Nous allons chercher maintenant a exprimer les fonctions ^, Ç, p formées avec les périodes — ' > 20)3 au moyen des fonctions i, !J, p formées avec les périodes 2(0|, 20)3; n est un en lier positif.
Parlons de l'expression de <3'(w — > W3) décomposée en fac- teurs primaires (II 1 )
*(«|î'-') = "Il i('-f)
aaa CALCUL DlFPftRBlITlEL.
OÙ Ton suppose
(0|
et où [X, V doivent prendre toutes les valeurs entières positives, nulle ou négatives, à l'exclusion de la combinaison [x = o, v = o. Nous allons grouper ensemble tous les facteurs primaires pour lesquels les nombres p. sont congrus suivant le module /i; en mul- tipliant ensuite tous les produits relatifs à n nombres choisis arbi- trairement, mais tels que la diflTérence de deux quelconques d'entre eux ne soit pas divisible par /i, il est clair que nous aurons em- ployé lous les facteurs primaires de o'f// — , Wj) et que celle
fonction sera égale au produit considéré.
Soit d'abord — r un nombre entier quelconque non divisible
par n ; les nombres [x congrus à — r suivant le module n sont de
la forme
\L = \L n — /-,
où p.' est un nombre entier quelconque; les valeurs correspon- dantes de s sont de la forme
s = s — ar — > n
en supposant
5 = 2|Jl Wl -h 2Vaj3
9
et l'on aura tous les nombres s considérés en supposant que u', v prennent toutes les valeurs entières sans exception. Le produit de tous les facteurs primaires correspondants sera
H _ 1 H* 1
^ (I), "^â/ . Wi \* I
)■
Wl s
et la formule (Vf), dont l'usage est légitime puisque ar — n'esl pas l'un des nombres 5, montre que ce produit est égal à
(ll!lllr-<"ï')*ï'(-îi,
Là fonction (iU ET LES FONCTIONS QLl EN DÉRIVENT. Q23
les fonctions d^ X^, p étant formées au moyen du couple de pé- riodes 2a)|y 20)3.
Quant aux facteurs primaires pour lesquels [x est divisible par /i, en comprenant le facteur u parmi eux, on voit de suite que leur produit est égal à du ; on a donc, en désignant par /•< , r2, . . ., Tii-i, n — I nombres entiers tels qu^aucun d'eux ne soit divisible par /z, non plus que la diflférence de deux quelconques d'entre eux
_,yr/!::«.WîL';£j!i:îîL.) ^(u-^^^^)
/ CD, \ ^^\ n J l ^P\ n J -w-w- \ n /
tffa -^, (1)3) =e «''» ('') du 11-^ r-^y
(r = ri, rj, . .., r„_i).
13d. En vertu de la périodicité, p ( -j ne change pas quand
on augmente r d'un multiple entier de n; par conséquent
ne change pas quand on substitue aux nombres r d'autres entiers satisfaisant aux mêmes conditions; si donc on pose
on aura
(XXI,) ^^\^)^^^^ {r = ^urf, ...,r,4_,).
ir)
De même, à cause de la formule (VI3), l'expression
ne change pas quand on augmente r d'un multiple entier de/i; donc l'expression
{r) (r)
ne change pas quand on substitue aux nombres r d'autres entiers
224 CALCUL DIFFÊREUTIEL.
satisfaisant aux mêmes conditions; si l'on prend pour ces nombres
n — I n — I n — i
'— > — ■^— — -j— I , • • . 1 ~~' ï f "+" 1 1 "+~ 2. • • • 1 "+■
ou
n n n . n
-4-1, -1-2, ..., —I, -HI, -+-2, ..., -I- — — I, H — >
•2 2 2 2
suivant que /t est impair ou pair, on voit, en se rappelant que Ç est une fonction impaire et que l'on a î^oj| = r^t , que la quantité pré- cédente est toujours nulle; on peut donc écrire
On déduit de là, en prenant les dérivées logarithmiques,
(XXI,) ç(«|^.a.,) = ç«-^2!:(«+'-7-*)-2^-^-»«P';
(r) (r)
puis, en prenant la dérivée par rapport à u et changeant les signes (*),
(XXIv) ; \ I '* / -^ \ '^ /
136. Nous poserons, conformément aux notations (XXi.a),
(XXis) IIi = n — ^Wj), Il3 = ; ( W3 — , W,), II,-t-IIi-hH3=0,
(XXIg) El =])(--! --iWa), -Ks =P Ws; -, 0)3), Et 4- E, -h £5 = 0.
( ' ) Les formules (XXI) ont dû être données par M. Weierstrass dans ses Leçons de 1870-1 871. Voir l'important Mémoire de M. Kiepert : Ueber Theilung und Transformation der elliptischen Functionen {MaUiematische Annalen, t. XX Vi, p. 369). La formule (XXIJ y est obtenue en prenant pour point de départ la
considération des pôles de la fonction p(<i —^ >(<>,} ; l'égalité entre les deux
membres est une conséquence facile du théorème de Liouville; les formules (XXÎ,), (XXI,) sont ensuite obtenues par des intégrations successives. On verra plus tard que la formule (XXI^) est une conséquence immédiate du théorème de M. Ilermite sur la décomposition en éléments simples.
LA FONCTION ^U BT LBS PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 1225
Le calcul des quantités H|, H3 se fait sans difGcuIté. On a (XXI3)
OU, en vertu des relations (XII3), mais la soitime
2;[t.(î^)-i^]
est nulle, comme on le voit par un raisonnement semblable à celui qui a élé fait plus haut : on a donc
(XXJs) Ils = /it;j-4-2WjP,.
H| IU3 H3
D'ailleurs, puisque n est positif, les quantités H| W3 — H3 — et
'h wj — rj3 toi, qui sont toutes deux égales à ± — > sont de même
signe : elles sont donc égales. De leur égalité et de la formule précédente on déduit
(XXI5) H, =rnH-î^Pi.
/t
137. On peut déduire de la formule fondamentale, par le chan- gement de </ en u-\ , w — 0J3 > w + 0)3, des expressions
analogues pour les fonctions c^af" ~j ^3) (a=i, 2, 3). Nous
donnerons un peu plus loin un exemple de ce calcul; mais il est plus commode de déduire ces résultats des expressions de ces fonctions décomposées en facteurs primaires (XVIIj), en em- ployant la même marche que plus haut. Partons donc de la formule
..(«|5,.,) = r'»f[
^'tt/ « \ '-v '1-^)'
I —
s-ïil
T. et M. — I. i5
226 CALCUL DIPFÉEBNTIEL.
OÙ Ton suppose
[il, V devant prendre tous les systèmes de valeurs entières. Soient ''oî ''i» ^2j • • •) ^/i-o ^ entiers tels que la difTérence de deux quel- conques d^entre eux ne soit pas divisible par n ; pour faire coïn- cider ces notations avec les précédentes, il suflGra de supposer r^ divisible par n. Groupons ensemble, dans le produit infini, les facteurs primaires tels que les nombres [x soient congrus à — /* suivant le module n] les valeurs de s auxquelles ils correspondent sont données par la formule
, 0)1 2r{i>i s = 211 0>l4- 2VCOJ— 2r— ^ = « -y
^ n n
Cl),
e que, puur i uii uc ucs lauicurs pniiiiiireh, s —
s'écrire
en sorte que, pour l'un de ces facteurs primaires, s peut
s — (2rH-i)— i--
Le nombre (ar-l-i)— n'est jamais congru à zéro suivant le sjs-
tème de modules acof, 2033; quant aux nombres u', v, ils doivent prendre tous les systèmes de valeurs entières; d'après la for- mule (Vf), le produit de tous ces facteurs primaires sera donc
égal à
^/ 9.r-4-i \
/2r-+-i \
Par conséquent c^^ f w — > W3 j sera égal au produit
•,/ ar + i \
tff U H CD, J
multiplié par une puissance de e dont l'exposant sera
El m' V^«./2r-hi \ tt* \^ /2r-f-i \
(r) ' (r)
(r= ro, r,, . .., r„_i).
i
LA FONCTION du BT LES FONCTIONS QUI EX DÉRIVENT. 227
D^ailleurs l'expression (XXI4) de p lu — > ws j montre que Ton a
(r)
l'exposant de e se réduit donc à
Quant à la quantité \]^ W|j> on démontrera qu'elle est
égale à ^ r,^, soit directement, comme plus haut, pour une
somme analogue, soit en faisant u=- — dans Texpression de
s(a — ^> W3 ), qui devient alors égale à h^ ou à Th + -— ^ Pi- Fina- lement on a donc
- , V -m2<— -->;, + P|ii« cTfaH (i)t )
(XX.,).. «5,.. =e .. n \.r:. /'
/■ = (ro, Ti, ..., r„_i). Mais on a aussi
(TIMH Wi j O'IttH («)|-+-(U|j
_/2r-i-i \ " _/2/--i-i — n \
o-^^— ^j— oiij o'I^ a>,-f-a>,j
/ ar-f- I — 71 \ ("+ n '"'j
_ / 2 r -H I — 71 \
*'i — ^i — "-'j
à cause de la formule (Xlla), et par conséquent on peut encore écrire
(XXI,) *Y«b,o..) = e .n TT-^ '-
*'l — ;ï — «-'j
0*1 ( a -h
(r)
138. Si de même on remplace dans la formule (XVII|) a par 2
aa8 CALCUL différentiel.
co, par — [ce qui change 5ens = a[j. — -h avwj j, puis, simulla-
nément; u par — w et s par — s, on reconnaît que le produit des fac- teurs primaires qui correspondent aux nombres [x ^ — r(mod. /?), c'est-à-dire aux indices s pour lesquels on a
0)1 ar-hi
n n
est égal au produit de
/ ir-t-i \ _/ ar-Hi — n \
^ /'ir-i-i— n \ *'(, n «"'j
= c-^i"
par une puissance de e dont Texposant est
— a Ç f a)| -h Ui3 I 4- --pi (ùi 4- cuj I
On a d^ailleurs
U- ) \i't
et Ton trouve, toujours par le même mode de raisonnement, Z^'[ n "")-2* n '■'« = *' =
(r) (r)
en eflet, le premier membre ne dépend manifestement pas du sys- tème de nombres incongrus {modulo n) choisis pour Tq, /*,, .. .,
LÀ FONCTION S'a ET LES FONCTIO'S QUI EN DÉRIVENT. 229
''/i-i) el Ton vérifie de suite que les deux sommes sonl nulles, comme se composant de termes égaux et de signes contraires quand on prend pour ces nombres o, i , 2, . . . , /z — 1 . On a donc finalement
l U, \ -"S^t—n.-v.-p. 3',(«+ o.,j
(XXI,) { '\ U V 11 _ /,.r-Hc-/i \
Enfin on trouve de même
(XXM
/ , V -«£*^'r;,4.«i«l»i S'a! a H Wt )
139. Les formules qui précèdent peuvent être transformées de diverses manières; mais, pour ces transformations, il convient de distinguer le cas où n est pair de celui où il est impair.
Il suffit d'ailleurs de considérer le cas où n est impair (*) et celui où n = 2. En effet, si l'on sait exprimer les fonctions formées
avec les périodes — î-> 2(03 au moyen des fonctions formées avec
les périodes 2(0|, 2033 dans ces deux cas, on le saura toujours.
140. Soit d'abord /i = 2. Nous supposerons, pour ce qui re- garde les fonctions a", î^, p, que Ton prenne r, = i ; on aura d'ail- leurs 2P| = ei ; donc
la* (M ,C03)=e "tftt
(XXII,) / \ I 2 / o'wi
) ^
(XXII,) Ç(a— ,(i)3J = eia-!-ÇM-4-Ç, a;
/vvfi ^ / 1^1 \ / X (^« — ei)(«3— «1)
(XXII3) pU _l,W3J=pW-i-p(M-4-(Di) — e,=pM-+-^^ ' J_^^
(*) Il suffirait même manifestemeot de ne considérer que le cas où n csl pre- mier impair, mais les formules qui suivent immédiatement ne seraient en rien simplifiées si nous faisions cette restriction.
q3o calcul différentiel.
Ces deux dernières formules donnent le moyen de calculer Hi, Hj, Ef, Ej et Ton trouve successivement
9
(XXII»)
/(U| (Oj \ <?,<l
(XXIIg) E3= pai3 -^ p(w3-+- 0),) — ei = 63-1-^1 — tfj = — 2C|, Ei=P--^P— -^i=P- + >
d'où, en se reportant à l'expression (XIV3) de p — >
(XXIIb) El = Cl h- 2 \/ci — ^1 v^ei — ^3 .
Enfin, puisque e< -{- E2H- E3 doit être nul, on aura
(XXII5) Ei=Ci— A/ei — Cl ^Ci — ^3,
formule qu'il serait d'ailleurs aisé d'obtenir directement. La fonction j^ = pa vérifie l'équation différentielle
la fonction
doit donc vérifier l'équation différentielle
(35) =-*(-~^»)('^""^«)(^ — *=*)' résultat que le lecteur pourra établir directement.
141. Dans les formules relatives aux fonctions rf|, ^2, ^^3, nous supposerons ro= o, r< = i. On aura alors
0^1(14 , (1)3 ) = c » — ^ ^.
^ * ?.
LA FONCTION (^1/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 23 1
En tenant comple de Tégalilé (XVj) pour a = — et a = i ,
des relations entre les carrés des fonctions rfa, rfaW et la fonc- tion pu, enfin de la valeur trouvée pour pîî^(XVl2), on trouve sans peine les formules
gT, (m --., (i)j) =e « I crf a — (<?,— <?,) (ei — e,) C'a 1
^iM'
= «. itfîu _<£!-««)(««-*')
(XXIII,)
= e* {<^îu — /ei — Cj /ei — €z or* u) /ej — g, — /gj — gj
r.M'
= g * (pw — g| — /gi — gj /gi — gj)^'*/.
De même
Cî(m — > 0)3) = g « — ^^ ^^ -•
" 2
Cette expression peut se transformer de diverses manières; par exemple, en remarquant que Tégalité (XV3), dans laquelle on a
permuté u et a, devient, pour a=— eta = 2, P = i,y = 3,
*'(«-^t)*'(«-t) = *ît*'''+(*'-*«)*'«*?t
on trouve
cj'îaH-(gi — gj) cr*a I
«Vf! I P -7 — ^3 I
L PT--'' J
232 CALCUL DIFPÉKEUTIEL.
Après des réductions faciles et en faisant usage successivement des égalités (XVI2), (XIV), (XI4), on trouve encore
(I \ **'"*
( XXIII,) / ^ ^^ y/gi — e» q^î M -h y/et — etcflu
\/ei — ei-^-\/ei—et
e.u-
= e« 3** M (p a — 6»! -+- v^«i — Cl ^€i — e-j).
Enfin on aura
«'1"' -^ / . \ '1"*
O'jf tt -i, to)s) =e » 3'jM-î^ LZ=C« 3',II3',M
l =e* 3*' Il ^p u — e» /p w — es .
Dans ces diverses formules les radicaux ont le sens précis qui a été adopté au n® Hl et elles ne supposent rien sur le signe de la partie imaginaire du rapport des périodes.
142. On pourrait obtenir de la même façon les formules rela- tives aux fonctions rf(tt |co|, -^U G'af «^ I w<, — ^ j; mais on les dé- duit des précédentes, en remarquant que l'on a
-(«i-?) = -("|t'-)'
or, f a|tu,, ^j = «s'îf" Y» ^\Y
^^'jf"!^!» y) ~ ^*(" r^' ^''v'
en sorte qu'on obtiendra les formules cherchées en échangeant les indices 1 et 3 et laissant l'indice 2 invariable; il faut toutefois, si Ton veut n'écrire jamais que les radicaux ^d — ^2, \/e< — e,, \/'e2 — ^8, tenir compte, après avoir fait cet échange, des formules
LA FONCTION ^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 233
(XIU2), (Xe); on obtient ainsi
(XXrVf) U m| tO|, -j-^ j = esMH-Ça-i-ÇaM,
(XXIV3) p(u\0ix, y) =PM-t-p(M-^Ci)3)~e3=pM-i-~^*""^^_ *"
-ej)
= 2ï3i-l-Cjto,,
(XXIV,)
= — '2e3,
(XXIV3)
, / 0)3 I 0)8 \
0)3 3 0)3 y /
2 "2
et
#»,//« efa«'
m|o),, ~j=6* a'|aa'îa = c* (^^u\^pu — ei^pu — et,
a|o)j, -^j = c* (cTj u H- \/6i — 63 /e, — 63 3** a) (XXV,) { ^ g^ v^et— escrj u — y/ej — gs^^î m
/e,— 63 — /6î— 63
gs"'
= C* Çr*u(pU — C3-+-V^Ci — 63 \/6j — 63),
a|o)i,— j=6* (o'Ja — /«i— 63 /6j— 630'* a) (XXV3) { ^ J^ •ei-eaq^i^-t-V^gî-gaq^ÎM
/6|— 63 H- /cj — 63
fgK*
= e* (^^(pu — C3 — /«i — 63 /6j — 63).
143. Supposons maintenant n impair.
Les formules qui donnent les expressions de
<3'a(w|^J wjj, (a=i, 2, 3)
334 Calcul difféeentibl.
peuvent alors être comprises dans une formule unique. En effet, les n nombres ar-l- i — n, (r=: /'o, Ti, . . ., r<,_i), qui figurent dans deux d^entre elles, sont tous des nombres pairs et la diffé- rence de deux quelconques d^entre eux n'est pas divisible par /i; il en résulte que les n nombres ar -|- i — n peuvent être regardés comme formant un système complet de nombres incongrus {mo- dulo n), absolument comme les nombres r^ inversement les élé- ments d*un tel système peuvent toujours être mis sous la forme précédente, en sorte que rien n'empêche d'écrire les trois for- mules (XXIy.o) sous la forme unique
(r) "VIT /
(/•= /'o, /•,, ..., Trt-i), (a = 1, 2, 3).
On peut encore supposer ro = o, les nombres Tj, /'j, ..., /«-.i étant alors incongrus entre eux et incongrus à zéro (modulo n)] alors les quatre formules relatives à
prennent la forme très symétrique
, . V -w2^^i-»-"'Pi crfan 0)1 )
/ wi \ , " TT \ ^ /
(XXVI,)
(r)
(v-.)
(r) ^a(^— Wlj (r= ri, r,, ..., r;,-,), (a = i, 2, 3).
Uans ces formules figurent n — i nombres pairs ar qui sont assujettis à la seule condition qu'aucun d'eux n^est divisible par n, non plus que la différence de deux quelconques d'entre eux. On pourrait, en détruisant à la vérité un peu la symétrie, introduire aussi bien n — i nombres impairs ar — i assujettis exactement aux mêmes conditions; il suffira pour cela de remplacer, dans les
formules précédentes, — (o< par — ^^^îù^ -+- Wi et d'appliquer les
LA FONCTION C^M ET LES PONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. ^35
formules (XII3) relatives à Taddition d'une demi- période; on trouvera sans peine, en observant que les n — i nombres ar — i sont tous des nombres impairs et que la différence de deux quel- conques d'entre eux n'est pas divisible par n, de même que les n — I nombres ar — n,
\ \ n JLJL ^/ar^i \
(/•) ^( — - — ^\)
(XXVI,) ( ^ ^ \
/ wj \ , 1T \ n 1
On pourra prendre, par exemple, pour les n — i nombres ir — I la suite
— /i-f-2, — /i -+- 4, ..., — 3, — I, I, 3, ..., n — 4j '^ — ■2-
144. Si dans les formules (XXVIi) on prend pour les nombres ir la suite
— /iH-i, — /i-h3, ..., — 2; 2, 4> •••» ^ — i>
elles deviennent Il n'est pas même nécessaire de spécialiser au ^ .n lleV valeurs de r.
236 CALCUL DIFFÊREKTIBL.
Choisissons, en eflfel, nombres r<, r^, . . . , /• _ tels qu^aucun
d'eux ne soit divisible par n, non plus que la différence ou la somme de deux d^enlre eux; cela est toujours possible, puisque les
nombres 1,2, . . . , satisfont à ces conditions ; il est clair que^
parmi les n — i nombres
S S
aucun ne sera divisible par /?, non plus que la différence de deux quelconques d'entre eux. En prenant ces n — i nombres pour r<, r2, . . ., rn-\i on arrive évidemment aux mêmes formules que précédemment; seulement r, au lieu de prendre les valeurs 1,
> doit prendre les valeurs r<, r2, . . . , r .
n — I
'À
> • • • ,
z
Ceci posé, les formules précédentes montrent clairement que
les fonctions a'fw ~, Wsj, <J'a(w -^> W3J s'expriment, sauf le
facteur exponentiel e"***', en fonction entière àedu^ ^af^- O" ^i, par exemple, en tenant compte des relations (VIIi, Xl^),
(XXVU) ( i-A
L "(t»0 J
De même, en tenant compte de la relation (XV2) pour <^/ = -^co< et de la relation (XI»), on trouve
'«("I?"-')
(XXVIt)
r *' (--') 1
LA FONCTION ^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 287
»
Dans ces diverses formules, r doit prendre les valeurs i, 2, .. ., ou, si Ton veut, les valeurs r< , r^, . . ., r définies plus haut.
n — I
< \XVI1. )
On pourrait transformer, d^une façon analogue, les formules où figurent des multiples impairs de — ^ ; nous ne nous y arrêterons pas.
145. Enfin, comme rien dans ce qui précède ne distingne les périodes (Of, 0)3, on peut, en échangeant les indices i et 3 et lais- sant invariable l'indice 2, écrire
, V -m1,--/î,-i-m«p, o'fa-i (1)3)
(XXVIIi) ^ ^îr f •>r \
, , -«>,— ti,+i<«l', d'alun (1)3)
(a = I, 2, 3;.
Dans ces formules, r doit prendre /i — i valeurs Ti, r^, ..., /'m_i, dont aucune ne soit divisible par n non plus que la difie- rcDce de deux quelconques d'entre elles. Il est facile d'établir les relations
Quant à P3, il est défini par Tégalité
(XXVII,) ^^» = 2''(7f"'0*
On peut écrire aussi
(.,„„?).e...,«n['J«-4|;;j-J.
r **(7f'"') 1
a38 * CALCUL DIFFÉRENTIEL.
n — I
Dans ces formules, r doit prendre valeurs dont aucune ne
soit divisible par n non plus que la somme ou la diflerence de deux quelconques d'entre elles.
Si Ton porte l'attention sur la formule
on voit que la solution du problème posé ne dépend plus que de la recherche de la quantité
et des fonctions symétriques des quantités dont P| est la somme, fonctions symétriques qui entrent dans le produit qui figure dans le second membre. C'est là un problème d'Algèbre, sur lequel nous aurons à revenir plus tard, et dont la solution, lorsque n est premier, dépend d'une équation de degré /i 4- i-
446. Les pages qui précèdent mettent en évidence l'importance de l'opération qui consiste à substituer au couple de demi-pé- riodes (0)4, (Os) le couple (a(04 -4- ^0)3, y(0| + Swj). Nous aurons besoin plus tard de connaître quelques notations et propositions concernant la théorie de ces substitutions ; nous les rassemblerons, à la fin de ce Chapitre, dans les numéros qui suivent, afin de ne pas être obligés, quand nous aurons à les invoquer, d'interrompre la suite naturelle des raisonnements.
Désignons par Xj y deux quantités quelconques; ce seront, si l'on veut, des indéterminées, ou bien, comme dans les n**' 423 et suivants, des nombres à rapport imaginaire. Nous appellerons 5m6- 5^//M^io/i (*) l'opération qui consiste à remplacer ces quantités x^y par deux autres qui en soient des fonctions linéaires à coefficients déterminés et de déterminant non nul; si, par exemple, nous rem- plaçons x^ y respectivement par a.x 4- py, ya: 4- 8j^, nous dési-
(') Le mot substitution a une signiQcatioa beaucoup plus générale que nous n'avons pas à développer ici.
LA FONCTION ^ U ET LES PONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 289
gnerons celle opéralion par le symbole
en-
Nous emploierons souvenl une seule lellre pour désigner la même opéralion; si nous écrivons, par exemple,
-{;iy
nous enlendrons simplemenl que Popéralion S esl la même que Topéralion
Si nous eOecluons celle opéralion surx, j' el si nous effecluons ensuile sur les quanlilés olx -+- pj^, yx + 8jk, l'opéralion
■-- ( ;■ i )■
cela reviendra à remplacer olx ■+• ^y, y^ + 8j^ par
et l'on aura finalement remplacé ^, y par les seconds membres des équations précédentes, c'esl-à-dire qu'on aura efieclué sur
X, y l'opération
/ a'a-hp'Y a'p-+-p'S \ \ Y'a4-8'Y y'P + 5'^ /
La double opération qui consiste à effectuer sur x^ y l'opéra- tion S, puis sur les quantités qui remplacent alors x^ y l'opéra- tion S', s'écrit
S'S=/'''' P'\ /"« P\ /«'«-Hp'Y «'P-+-P'8\ V y' S'/ \Y 5/ \y'«h-8'y i^^Vl)'
les opérations s'effecluant dans le sens indiqué par leurs symboles en allant de la droite vers la gauche. Le déterminant de la subsli- tution S'S est égal au produit des déterminants des substitutions
24o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
S et S'. Il est essentiel de remarquer que les deux symboles S'S et SS' désignent en général des opérations différentes. Si S"^ est un troisième symbole de substitution
(y- s-)*
on désignera par le symbole
S' S' S
l'opération qui consiste à effectuer sur x^ y l'opération S, puis sur les quantités ainsi obtenues l'opération S', puis sur les résultats l'opération S'^, ce qui donne finalement
/[(a'a H- P'Y)ar -h (a'P -4- p'o)j^] -+- 0' [(fa -+- l'^)x -+- (^P H- l'l)y\.
Gela revient encore à effectuer sur x^ y une certaine substitution linéaire dont il est bien aisé de calculer les coefficients.
Les substitutions S'S, S" S'S sont dites composées avec les sub- stitutions S, S' ou S, S', S". Il est clair que la notion de composi- tion peut s'étendre de proche en proche à un nombre quelconque de substitutions.
Si S' et S représentent la même opération, c'est-à-dire si, en conservant les notations antérieures, on suppose
(ce que l'on écrit plus rapidement S'= S), on convient d'écrire S* à la place de SS; de même S^ a le même sens que SSS. On com- prend dès lors ce que signifie un symbole tel que
S'"/'»S'''«S'''«S'',
où /?, p^ , ^2î Pz sont des nombres entiers positifs ; on doit effec- tuer sur j?, y l'opération S une première fois, puis encore cette même opération sur les résultats, etc., en tout, p fois; puis, sur les résultats, l'opération S' une première fois, sur les résultats encore la même opération S' une seconde fois, etc., en tout p' fois, etc.
Il est à remarquer qu'on peut écrire
S'S'S = S''(S'S), S'S'S = (S'S')S,
LA FONCTION (^tf ET LBS FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. a4l
les parenthèses Indiquant que les opérations multiples dont elles enferment les symboles doivent être remplacées par une seule opé- ration : la première égalité n^exprime pas autre chose que la défi- nition même du symbole S'^S'S; la deuxième veut dire que l'opé- ration S'' S' S revient à efiectuer d'abord l'opération S, puis, sur les résultats, l'opération S" S'. Cela esta peu près évident, et se vé- rifie d'ailleurs sans difficulté.
Il résulte aisément de là que, dans un produit symbolique de substitutions, on peut grouper ensemble plusieurs facteurs consé- cutifs (*).
147. En supposant toujours on désigne par S~~* un symbole de substitution
(? i)
tel que l'on ait
\ o I y
On voit alors, par ce qui précède, que les nombres a', P', y', o' sont déterminés par les quatre équations
Y'a-4-o'Y=o, f p-+-5'8= I. En résolvant les deux premières par rapport à a', p' et les deux
(*) En coaservant les mêmes notations, l'opération précédente S^S'S, pur exemple, peut être défînie d'une façon un peu difTércnte : on suppose que les opérations partielles que Ton va décrire s'effectuent non plus de droite à gauche, mais bien de gauche à droite.
Partons des formes linéaires a* a: -h p'^, y' a; 4- 6'^, dont les coefficients sont les éléments du premier symbole (en partant de la gauche) S"; remplaçons-y les variables x^y par les expressions linéaires a'a:-+- py, y'j7 + 8'^, dont les coeffi- cients sont les éléments du second symbole S' ; puis, dans les formes transformées, mettons encore, à la place de x, y^ les expressions linéaires acx + ^y, ^27+ hy dont les coefficients sont les éléments du troisième symbole S; les coefficients des formes finales seront les éléments du symbole composé S' S' S.
T. et M. — I. i6
2^2 CALCUL DlPFÉRBIfTIBL.
autres par rapport à y, S' et en désignant par (Q le déterminant
(jo = «S — Py,
il vient
S
à-
Il importe de remarquer que la substitution inverse de S~* est S; en d^autres termes, on a
s-»s = ss-i
^c:)-
On désigne par S<^ la substitution identique l ] > qui n*al-
tère pas les variables.
Le symbole S" a été défini pour n entier positif ou nul; on convient de donner au symbole S"" le même sens qu'à (S"*)". Il est aisé de voir que, quels que soient les entiers positifs, nuls ou négatifs, m et /i, on a
Cette égalité est évidente quand m, n sont positifs ou nuls; bor- nons-nous donc à établir Tégalité
S»S-» = So= ( * ^ )
d'où il est aisé de déduire ensuite les autres cas. En supposant par exemple n = 3, on aura
S«S-» = SSSS-iS-îS-» = SS(SS-»)S-*S-î;
comme SS~* = S" est la substitution identique, on peut évidem- ment la supprimer et Ton a ensuite
SSS-»S-» = S(SS-»)S-J = SS-î= So : le raisonnement est général. Observons encore que l'égalité
S'S'S = T,
LA FONCTION <i U BT LES FONCTIONS QUI EN DÉRITBNT. ll\Z
OÙ S, S', S'', T sont des symboles de substitution, entraîne l'éga- lité
S' = TS-» S'-> :
on tire, en eOet, de la première égalité
S'S'SS-»S'-* = TS-iS'-S et le premier membre peut s'écrire successivement
S''S'(SS-»)S'-i = S'S'S'-J = S'(S'S'-*) = S'.
La même égalité entraîne la suivante :
S = S'-» S'-» T.
148. Les substitutions de cette nature, à coefficients entiers, à déterminant + i, jouent, comme on Ta déjà vu aux n®' 124 et sui- vants, un rôle particulièrement important : elles méritent de nous arrêter quelque peu. D'abord, on voit qu'en composant entre elles deux pareilles substitutions, on trouve une substitution qui appartient au même type, puisque les .coefficients en sont encore entiers et que son déterminant est égal à un comme produit des déterminants des substitutions proposées.
Parmi les substitutions de ce type, on peut signaler les sui- vantes :
-(;:)• -(-.:). ^-{:\)-
Il est très remarquable qu'on puisse les obtenir toutes en com- binant deux de celles-là, les deux premières, par exemple, et leurs puissances positives et négatives.
Que la dernière se ramène aux deux premières, c'est ce qui résulte de l'identité, bien facile à vérifier,
V = TUT.
On tire de là
V-i = T-iU-»T-i.
Par suite, toute puissance positive ou négative de V s'exprimera en composant les substitutions T, U et leurs puissances. Avant de démontrer la proposition énoncée, observons tout
244 CALCUL DIFFÊRBHTIBL.
d'abord que Ton a
"•=(7 :.)■ "-=(:".')•
puis
On tire aisément de ces dernières égalités
et, en particulier,
Ces diverses relations sont d'ailleurs vraies, que n soit positif ou négatif.
149. Ceci posé, nous établirons la proposition que nous avons en vue dans un cas particulier auquel nous ramènerons tous les autres, celui où l'un des nombres a, ^ est nul. Puisque ao — ^y est égal à un, on doit avoir, si a est nul, soit
soit
et si p est nul, on doit avoir, soit
a = i, 8 = 1,
soit
CL = — I, 8 = I.
On a donc à considérer les quatre substitutions
C. 0'(:v>(;:>(V-.)'
où Y et S désignent des entiers positifs ou négatifs quelconques.
LA FONCTION ^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 245
La deuxième et la quatrième se ramènent à la première et à la troisième, puisque Ton a
(7-°.)=(A :)"•■
D'ailleurs, on a et, d'un autre côté,
par conséquent
(-,;)—-'■
Par suite, le théorème est démontré, dans le cas où l'un des nombres a, ^ est nul.
150. Plaçons-nous maintenant dans le cas général. L'identité
montre que l'on peut mettre ( ^ j T"" sous la forme
où ai est, en valeur absolue, le reste de la division de a par p. Si ce reste est nul, on s'arrêtera là; sinon, on emploiera la relation
et, en multipliant à droite par une puissance convenable T""!, on
246 CALCUL DIFPÉBBNTIEL. — LÀ FONCTION ^U ETC.
mettra le second membre sous la forme
/p. «. \
OÙ ^1 est, en valeur absolue, le reste de la division de — ^ par ai, en sorte que Ton aura
d'où
Si ^1 est nul, le théorème est vérifié, puisque alors la substitu- tion { j s'obtient en composant les substitutions T, U et
leurs puissances. Si ^i n'est pas nul, on continuera de la même façon, et, comme a^ est plus petit que ^, on parviendra toujours à mettre la substitution proposée sous la forme annoncée, après un nombre fini d'opérations.
FIN DU TOME PREMIER.
178S3 Ptrli. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS ET FILS, qui des Greadi-Anrutliu, ss.
LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS,
OITAI DES r.RANDS-AVGUSTINS, 55, A PARIS.
Eaîol fraaoo daMtoula l'Union poiultt contra mandat do posto ou valeur sor Paris
P0INGAR£ (H.)) Membre de l'Institut, Professeur à la Faculté des Sciences. — Les Méthodes nouTelles de la Mécanique céleste, a beaux vo- lumes grand in-8, se vendant séparément : Tome I : Solutions périodiques, Non^existence des iniégralet uniformes.
Solutions asymptotiques, avec figures; 1892. t 12 fr.
ToMB II : Méthodes de MM. Netvcomb, Gj-îdén, Lindstedt et Bohlin; 1 8g3 1 2 f r .
Un premier fascicule (i56 p.) a paru. Extrait de rintrodnction dn Tome I.
Le Problème des trois Corps a une telle importance pour l'Astronomie, et il est en même temps si difficile, que tous les efforts des géomètres ont été depuis longtemps dirigés de ce côté. Une intégration complète et rigoureuse étant manifestement impossible, c'est aux procédés d'approxi- mation aue l'on a dû faire appel. Les méthodes emj[)loyé6s d'abord ont consisté a chercher des développements procédant suivant les puissances des masses. Au commencement ae ce siècle, les conquêtes de Lagrange et de Laplace et, plus récemment, les calculs de Le Verrier, ont amené ces méthodes à un tel degré de perfection qu'elles ont pu suffire largement jusqu'ici aux besoins de la pratique. Je puis ajouter qu'elles y suJlGront en- core longtemps, malgré quelques divergences de détails; il est certain néanmoins qu'elles n'y surfirent pas toujours, un peu de réflexion le fait très aisément comprendre.
Le but final de la Mécanique céleste est de résoudre cette grande ques- tion de savoir si la loi de Newton explique à elle seule tous les phénomènes astronomiques; le seul moyen d'y parvenir est de faire des observations anssi précises oue possible et de les comparer ensuite aux résultats du calcul. Ce calcul ne peut être qu'approximatif et il ne servirait à rien, d'ailleurs, de calculer plus de décimales que les observations n'en peu- vent faire connaître. Il est donc inutile de demander au calcul plus de précision qu'aux observations ; mais on ne doit pas non plus lui en deman- der moins. Aussi l'approximation dont nous pouvons nous contenter au- jourd'hui sera-t-elle insuffisante dans quelques siècles. Et, en effet, en admettant môme, ce qui est très improbable, que les instruments de mesure ne se perfectionnent plus, l'accumulation seule des observations pendant plusieurs siècles nous fera connaître avec plus de précision les coefficients des diverses inégalités.
Cette époque, où l'on sera obligé de renoncer aux méthodes anciennes, est sans doute encore très éloignée; mais le théoricien est obligé de la de- vancer, puisque son œuvre doit précéder, et souvent d'un grand nombre d*amiéés, celle du calculateur numérique.
Il ne faudrait pas croire que, pour obtenir les éphémérides avec une grande précision pendant un grand nombre d'années, il suffira de calculer an plus grand nombre de termes dans les développements auxquels con- duisent les méthodes anciennes.
Cc»B méthodes, qui consistent à développer les coordonnées des astres suivant les puissances des masses, ont, en effet, un caractère commun qui »'oppose à leur emploi pour le calcul des éphémérides à longue échéance. Les séries obtenues contiennent des termes dits séculaires, où le temps
- 2 -
Bort des signes sinus *el cosinus, et il en résulte que leur convergence pourrait devenir douteuse si Ton donnait à ce temps / une grande valeur.
La présence de ces termes séculaires ne tient pas à la nature du pro- blême, mais seulement à la méthode employée. C'est là un point dont tous les astronomes ont depuis longtemps le sentiment, et les fondateurs de la Mécanique céleste eux-mêmes, dans toutes les circonstances où ils oat voulu obtenir des formules applicables à longue échéance, comme par exemple dans le calcul des inégalités séculaires, ont dû opérer d'une autre manière et renoncer à développer simplement suivant les puissances des masses. L*étude des inégalités siéculaires par le moyen d'un système d'équa- tions différentielles linéaires à coefficients constants peut donc être regar- dée comme se rattachant plutôt aux méthodes nouvelles qu'aux méthodes anciennes.
Aussi tous les efforts des savants géomètres, tels que Delaunay, HilL Gyrldén, Lindstedt, dans la seconde partie de ce siècle, ont-ils eu pour bai
Ïirincipal de faire disparaître les termes séculaires. Grâce à leurs travaux, a difiiculté prévenant des termes séculaires peut être regardée comme déânitiveroent vaincue et les procédés nouveaux suffiront probablement |)endant fort longtemps encore aux besoins de la pratique.
Tout n'est pas fait cependant. La plupart de ces dévmoppements ne sont lias convergents au sens que les géomètres donnent à ce mot. Sans doute, cela importe peu pour le moment, puisque Ton est assuré que le calcul (les premiers termes donne une approximation très satisfaisante ; mais il n'en est pas moins vrai que ces séries ne sont pas susceptibles de donner une approximation indéônie. Il viendra donc aussi un moment où elles devien- dront insuffisantes. D'ailleurs, certaines conséquences théoriques que Ton nourraffêtre tenté de tirpr de la forme de ces séries ne sont pas l^iiiroeë a cause de leur divergence. C'est ainsi qu'elles ne peuvent servir à ré- soudre la question de la stabilité du système solaire.
La discussion de la convergence de ces développements doit attirer l'attention des géomètres, d'abord pour les raisons que je viens d'exposer et ao outra pour la suivante : le but de la Mécanique céleste n'est pas at- teint quand on a calculé des éphémérides pins ou moins approchées sans pouvoir se rendre compte du degré d'approximation obtenu. Si Ton constate, en effet, une divergence entre ces éphémérides et les observations, il fiant que Ton puisse reconnaître si la loi de Newton est en défaut ou si tout peut s'exoliqûer par l'imperfection de la théorie. U importe donc de déterminer une limite supérieure de l'erreur commise, ce dont on ne s'est peut-être pas assez préoccupé jusqu'ici. Or les méthodes qui* permettent de discuter les convergences nous aonnent en même temps cette limite supérieure, ce qui en accroît beaucoup l'importance et l'utilité. On ne devra aonc pas s'éton- ner de la place que je leur accorderai dans cet Ouvrage, bien que je n'en aie peut-être pas tiré tout le parti qu'il eût convenu.
Je me suis moi-même occupé de ces questions et j'y ai consacré un Mémoire qui à paru dans le tome XIII des Àcta matltematica ; je m'y suis surtout efiorcé de mettre en évidence les rares résultats relatifs au Pro- blème des trois Corps, qui peuvent être établis avec la rigueur absolue qu'exigent les Mathématiques. C'est cette rigueur qui seule donne quelque prix à mes théorèmes sur les solutions périodiques, asymptotiques et dou- blement asymptotiques. On y trouvera, en effet, un terrain solide sur lequel on pourra s'appuyer avec confiance, et ce sera là un avantage pré- cieux dans toutes les recherches, même dans celles où l'on ne sera pas astreint à la même rigueur.
11 m'a semblé, d'autre part, que mes résultats me permettaient de réu- nir dans une sorte de synthèse la plupart des méthooes nouvelles récem-
_ 3 -
meot proposées, et c'est ce qui m'a déterminé à entreprendre le présent Ouvrage.
Dans ce premier Volume, rai dû me borner à Tétude des solations pério^ diques du premier genre, à la démonstration de la non-existence des inté- grales Unitermes, ainsi qu'à l'exposition et à la discussion des méthodes àfi M. Lindstedt.
Je consacrerai les Volumes suivants à la discussion des méthodes de M. Gyldén, à la théorie des invariants intégraux, à la question de la stabi- lité, à l'étude des solutions périodiques du second genre, des solutions asymptotiques et doublement asymptotiques, et enfin aux résultats que je pourrais obtenir d'ici à leur publication.
Table des Matiôres du Tome I.
IntrodaclioD. — Ghap. I. Généralités et méthode de Jacohi, Généralités Exemples d'équations canoniques. Premier théorème de Jacohi. Deuxième théorème de Jacohi; changements de variables. Changements de variables remarquables. Mouvement képlérien. Cas particulier du Problème des trois Corps. Emploi des variables képlériennes. Cas général du Problème des trois Corps. Problème général de la Dynamique. Réduction des équations canoni- ques. Réduction du Problème des trois Corps. Forme de la fonction periur- balrice. Relations invariantes. — Ghap. II. Intégration par les séries. Défi- nitions et lemmes divers. Théorème de Cauchy. Extension du théorème de Cauchy. Applications au Problème des trois Corps. Emploi des séries trigo- oométriques. Fonctions implicites. Points singuliers algébriques. Elimination.
équations. Application au Problème des trois Corps, première sorte. Recherches de M. Hill sur la Lune.' Application au problème général de la Dynamique. Cas où le hessien est nul. Calcul direct des séries. DémoDStration directe de la convergence. Examen d'un important cas d'ex- ception. Solution de la deuxième sorte. Solution de la troisième sorte. Appli- cations des solutions périodiques. Satellites de Jupiter. Solutions périodiques «fans le voisinage d'une position d'équilibre. — Ciiap. IV. Exposants carac^ iéristi^utê. Equations aux variations. Application à la théorie de la Lune. Equations aux variations de la Dynamique. Application de la théorie des sub- stitutions linéaires. Définition des exposants caractéristiques. Equation qui définit ces exposants. Cas où le temps n'entre pas explicitement. Nouvel énoncé du théorème des n<*" 37 et 38. Cas où les équations admettent des in- tégrales uniformes. Cas des équations de la Dynamique. Changements de variables. Développement des exposants. Calcul des premiers termes. Appli- cation au Problème des trois Corps. Calcul complet des exposants caractéris- tiques. 'Solutions dégénérescentes. — Ghap. V. Non^existence des intégrales unifornuê. Non-existence des intégrales uniformes. Cas où les B s'annulent Cas où le hessien est nul. Application au Problème des trois Corps. Problèmes de Dynamique où il existe une intégrale uniforme. Intégrales non holomor- pbes en |i. Discussion des expressions (i4)* — Ghap. VI. Développement ap- proche de la fonction perturbatrice. Enoncé du problème. Digression sur une propriété de la fonction perturbatrice. Principes de la méthode de M. Dar- boux. Extension aux fonctions de plusieurs variables. Recherche des points singuliers. Discussion. Discussion dans le cas général. Application de la mé- thode de M. Darboux. Application à l'Astronomie. Application à la démoD> stratioo de la non-existence des intégrales uniformes. — Ghap. VII. Solutions asymptotiques. Solutions asymptotiques. Convergence des séries. Solutions asymptotiques des équations die la Dynamique. Développement de ces solutions
selon les puissances de \/|i.. Divergence des séries du n* 108. Démonstration nouvelle ae la proposition du n" 108. Transformation des équations. Réduc- tion à la forme canonique. Forme des fonctions Vj. Lemme fondamental. Analogie des séries du n* 108 avec celle de Stirling.
- 4 -
Extrait de ravant-propos du Tome II.
Les méthodes que je vais exposer dans ce second Volume sont dues aux efforts d'un grand nombre d'astronomes contemporains, mais c'est à l'expo- sition de celles de M. Gyldén que je consacrerai le plus de pages.
Toutes ces méthodes ont un caractère commun ; les savants qui les ont imaginées se sont efforcés de développer les coordonnées des astres en séries dont tous les termes soient périodiques et de faire disparaître ainsi les termes dits séculaires que Ton rencontrait avec les anciens procédé!^ d'approximation successive, et où le temps sortait des signes sinus ei cosmus; mais, en revanche, ces savants ne se sont pas préoccupés de savoir si les séries qu'ils obtenaient étaient convergentes au sens que les géomètres donnent a ce mot.
Aussi, tandis que les résultats obtenus dans le premier Volume étaient établis avec toute la rigueur à laquelle les mathématiciens sont accoutumés, ceux que je vais exposer ne sont vrais qu'avec une certaine approximation, qui est certainement très grande, d'autant plus grande que les masses sont plus petites.
Les termes de ces séries décroissent d'abord très rapidement et se mettent ensuite à croître; mais, comme les astronomes s'arrêtent aux premiers termes de la série et bien avant que ces termes aient cessé de décroître, l'approxima- tion est suffisante pour les besoins de la pratique. La divergence de ces déve- loppements n'aurait d'inconvénient que si l'on voulait s'en servir pour établir rigoureusement certains résultats, par exemple la stabilité du système solaire.
Dans les Chapitres suivants, j'expose les plus simples des méthodes nou- velles, celles qui sont dues à- MM. Newcomb et Lindstedt. Je montre com- ment on peut triompher de certaines difficultés que l'on rencontre quand on veut les appliquer au cas le plus général du Problème des trois Corps.
J'exposerai ensuite les premières méthodes de M. Gyldén ; fondées sur des principes qui ne sont pas sans analogie avec ceux dont je viens de parler, elles permettent de triompher des mêmes obstacles ; mais, en outre, beaucoup de difficultés de détail sont vaincues par des artifices aussi élégants qu'ingénieux.
Dans l'étude de ces méthodes, je m'écarte souvent beaucoup du mode d'exposition de leurs auteurs; je ne voulais pas, en effet, refoire ce qu'ils avaient si bien fait : aussi me suis>je moins préoccupé de mettre ces méthodes sous la forme la plus commode pour le calculateur numérique que d'en faire comprendre l'esprit, afin que la comparaison en devînt facile.
Table des Matières dn Tome II (i** fascicule ).
.Chap. VIII. Calcul formeL Divers sens da mot convergence. Séries'ana- loques à celles de Stirling. Calcul de ces séries. — Chap. IX. Méthodes de MM. Newcomb et de Linsdtedt, Historique. Exposé de Fa méthode. Diverses formes des séries. Calcul direct des séries. Comparaison avec la méthode de M. Newcomb. — Chap. X. Application à l étude des variations séculaires. Exposé de la question. Nouveau changement de variables. Application de la méthode du Chapitre IX. — Chap. XI. Application au Prooïème des trou Corps. Difficulté du problème. Extension de la méthode du Chapitre IX i certains cas singuliers. Application a)i Problème des trois Corps. Changement de variables. Cas des orbites plans. Étude d'une intégrale particulière. Forme des déieloppements. Cas général du Problème des trois Corps. — Chap. XII. Application aux orbites. Exposé de la difficulté. Solution de la difficulté. — Chap. Xlil. Divergence des séries de M. Lindstedt. Discussion des séries (3). Discuitsion des séries (a). Comparaison avec les méthodes anciennes. — Chap. XIV. Calcul direct des séries. Application au Problème des trois Corps Propriétés diverses. Cas particuliers remarquables. Conclusions.
19080 Paris. - Imprimerla GAUTHIER-VILL4RS ET FILS, qnal dm Grandi- AarniUM. si.
ÉLÉMENTS
DE LA THEORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES
19I0S Paris. '^ Imp. GAuntiM Villaks, qaai des Grand* Aunstl n*. S».
ÉLÉMENTS
DE LA THÉORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES
PAR
Jules TANMERY,
Sons -Directeur de» Études scientlflqoe» à rÉcole Normale supérieure.
Jules MOLE,
Professeur à la Faculté des Sciences de Nanrj.
TOME II.
CALCUL DIFFÉRENTIEL (11° Paktik).
^^^l^^s
PARIS.
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES DE l'École polytechnique, do bureau des longitudes.
Quai des Grandg-Augustins, 35.
1896
(Tous droits réserrés.)
TABLE DES MATIÈRES
DU TOME II.
CALCUL DIFFÉRENTIEL
(a* partie).
CHAPITRE III. Les fonctions 2r.
151-159. DéveloppemeDts des fonctions o'u, o'^u i
160-166. Relations entre les fonctions <r et les fonctions Sr i4
167-175. Sur quelques fonctions du rapport des période?. — Formules di- verses 25
176-189. Transformation linéaire des fonctions d 38
190-215. Généralités sur les transformations linéaires. — Transformation li- néaire des fonctions ?(t), ^{'s)j xC"^) ^^ ^' Hermite 54
216-241. Détermination, en fonction des coefficients de la transformation li- néaire, des racines huitièmes de l'unité qui figurent dans les for- roules de transformation des fonctions d et de la racine vingt- quatrième de l'unité qui figure dans la formule de transforma- tion de la fonction h ( t ) 89
242-253. Transformation quadratique des fonctions d. — Duplication de l'ar- gument 114
254-271. Transformation d'ordre impair des fonctions âr. — Multiplication
de l'argument ia5
272-286. Sur un théorème de M. Hermite. — Relations entre les fonctions Sr. — Théorèmes d'addition. — Identités de Jacobi. — Formule de Schrôier i5o
CHAPITRE IV. Les quotients des fonctions a* et des fonctions 2r.
287-300. Les fonctions Ç 168
301-319. Les fonctions sn, en, dn. — Notations diverses 178
320-323. Transformation linéaire des fonctions elliptiques 195
324-334. Transformation quadratique des fonctions elliptiques. — Duplica- tion de l'argument. — Application aux développements des fonc- tions sn, en, dn aoo
VI TABLE DBS MATlfeRBS.
Paies.
335-350. Transforma lion d'ordre impair des fonctions elliptiques. — Multi- plication de l'argument. — Aperçu sur le problème général de la transformation 2i3
Tableau des formules du Calcul différentiel 233
FIN DE LA TABLE DB8 MATIERES DU TOME II.
ERRATA DU TOME PREMIER.
Page iio, ligne 17, au lieu de ( - 1)' cosXA-it, lire a(— i)* cos^Att:.
Page II jy ligne 5, au lieu de — colaa7, lire — r» cotaar.
Page i4a, ligne 21, aa lieu de /{u), lire/{u^).
Page 164, lignes 17 et 19, multiplier les seconds membres par le facteur ru.
Page 164, ligne aS, au lieu de n^, lire n.
Page 167, ligne a4» aa lieu de e'>i(«+«), Ure e*^t('*+'h
— coiicn— ï - — eotfc/i— '
Page i83, ligne 14. au lieu de «*^' «^s lire «*"« «^ï.
Page 186, ligne i4, au lieu de —S lire — -. •
° W, 0),!
Page 188, ligne a5, au lieu rfc^H^, lire ^^^^• ^ «ï-toC") 0-1,(0)
Page aoi, ligne i4> au lieu de réel et positif, lire réel. Page aoiy ligne 16, au lieu de réel et négatif, lire réel. Page ao4, au lieu de V avant-dernière ligne du texte^ lire est nul ou si le fac-
teur o'(aa) est nul; ceci ne peut avoir lieu que si b est un multiple de -r ou
si a est un multiple de a>,, et, . . ..
Page aa-, dernière ligne, ajouter sous le signe | f rindice s.
Page aa5, dernière ligne, au lieu de ~> /îre — ^•
n
Le lecteur qui voudrait se borner à un aperçu de la Théorie des fonctions elliptiques et acquérir seulement les notions indispensables aux applications des fonctions elliptiques à la Mécanique pourra se dispenser de lire les nu- méros 176 à Î71 et les numéros 320 à 350.
ÉLÉMENTS
DE LA THEORIE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(2* PARTIE.)
CH4PITRE m.
LES FONCTIONS &
I. — Développements des fonctions ôru, ;^^u.
ISl. Les fonctions rfw, dg^u de M. Weierstrass, que nous avons étudiées particulièrement jusqu'ici, offrent, en raison de leur sy- métrie, un grand intérêt et une grande utilité; mais cette symé- trie même laisse confondues des propriétés que l'emploi d'autres éléments analytiques permet seul de démêler.
Ces nouveaux éléments analytiques ont été introduits dans la Science par Jacobi : leur découverte est assurément un de ses plus beaux titres de gloire (*). Ils peuvent être, comme on le
( • ) Voir Lejeune-Dirichlet, Gedàchtnissrede au/ Jacobi ( Œuvres de Ja- cobi, t. I, p. i4).
T. et M. — II. I
2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
verra bienlôt, étudiés direclement sur Jeur définition; leur étude peut aussi être rattachée à celJe des fonctions <^Uy rfa«. Ils se pré- sentent naturellement quand on développe ces dernières fonc- tions en série, sous une forme que nous allçns faire connaître (*). Dans ces développements en série, comme dans les fonctions de Jacobi, les deux périodes ne jouent plus le même rôle. Nous ferons désormais la supposition suivante, qui est essentielle :
Le coefficient de i dans le rapport ~ est positif ,
Cela revient à admettre que l'angle formé par les deux direc- tions, qui vont u point o aVix deux points 2 (0|, 2(03 du parallélo- gramme des périodes, a la disposition directe.
D^autre part, nous ne considérerons plus que des couples (2Q1 , 2Û3) proprement équivalents au couple primitif (2(01, 2€a3)
de sorte que le coefficient de / dans le rapport — sera aussi positif
et qu'il faudra toujours prendre le signe supérieur + dans les for- mules (Xo) et (XX3); ainsi l'on aura toujours
(XXVIII,)
11:1 UiÛ}— II3Û1 =H 1
152. Nous allons d'abord écrire sous une autre forme la for- mule (X|) qui donne l'expression en produit infini, à simple entrée, de la fonction <^, ainsi que les formules analogues (XVIl3_5), relatives aux fonctions (^1, d^t ^i-
Nous emploierons les notations suivantes (^)
(XXVIIIO '' ^"^^
q — c^r./,
(*) C'est la marche suivie par M. Weierstxass dans ses cours professés à TUnî- versilé de Berlin; c'est aussi celle de M. Schwarz dans les Formeln und Lehrsâtze.
(•) M. Hermite a souvent employé le symbole (o pour représenter le rapport — '; c'est aussi la notation adoptée par M. Weber (Elliptische Functionen und
LES FONCTIONS ^. 3
en vertu desquelles on a immédiatenienl, par la formule d'Euler sin^r == 7-.(e'* — ^'~'^)î l^es égalités
'2 n (1)3 — // g^z-^ — q-'^ z
sinir = :-^
2 0)1 'Il
sinir- —
tlz — Q-^Z-'^
sin::
•2W| f.l
/IW3 q^ — 7-'*
0)1 '). i
et, par suite,
2/1(1)3 u . 2/lli)T-f- /4
sinir sinir
20)1 2fa)| __ (I — y*«3~*Hi — 7*«^-)
. /i<os "" (i — ^y««)*
sin*i: ^ '■
0)1
D^ailleurs, à cause de la supposition du numéro précédent, la valeur absolue de q est inférieure à un, d'où il résulte que les produits
JJ(,_JΫS-J), JJ(,_,y .»;;.), JJ(l-y««),
11=1 /l=l /l— I
sont absolument convergents. La formule (X,)
Ca =
a = c*w, — i sin I I I I • I
TZ 2 0)1 JLX I • . '^(>»3 I
1- 0)1 -J
et la suivante, qui lui est équivalente,
2 n wi — Il . in 0^3 -h w r„„t "-* sinT: sinr— ;
~77 2 0)| . TIW I-T 20)1 '20),
(T'a = e *<*• — ^ sin I I ^ —
Tt 2 0)1 XJL . - /10)3
71 = 1 ?in27r
0)1
algebraische Zahlen), M . Weierstrass et M. Schwarz {Forrneln und Lehrsàtze) désigneot par h l'exponentielle e^'; de même ils désignent par H^, H,, H,, H, les foDCtions de q que nous désignerons (n" 154) par 7^, </,, 7,, 7,. Dans beaucoup des formules qui suivent, c'est 7' qui (igure seul; aussi a-t-on souvent employé une lettre pour désigner q*\ M. Klein emploie la lettre /% M. Hermitc s'est quel- quefois scrviy dans ce même sens, de la letirc Q, que nous employons avec une signification tout autre.
4 CALCUL DlFFfiBEIfTIEL.
peuvent donc s'écrire
nz=m n = m
<xx,x„ ,.=.«,»,..:j!i^n^^B?^n^
I — qin X JL I — 7**
OU encore, si Ton tient compte de la relation
Ai
(XXIX,) c'a = e«î.w«*'*^' sini^TilT
^*»>i . TT ' — 9.7**cosaP7r -4- 7*'»
(i-g»")>
De même les trois formules (XVIIs^s) relatives à <^i //, ^^w, 3*3// peuvent s'écrire chacune des deux manières suivantes :
a XJL n-^*» XJL i-h^ (XXIX,) ' "=* " = '
= e>iQi««>it'*cosP7r I I ■ ^ ^
/l = 0O « = 00
I _u <7λ-1 5-« TT I -+- 7««-» Z^
(XXIX,) ' "-' "-'
t/i-1
/l = ae
11 (l-h^*'*-*)*
n = 1
n =00 n = «
|_^2«-l 1 1 w = 1 « = 1
-'.— -n^^'^n .-....-.
I gzn-i j X J — 7
n ^ge
11 (I — 7*«-»;»
n = l
153. En prenant les dérivées logarithmiques des deux mem- bres des égalités précédentes, on obtient pour Çw, Ç< m, ^2^» Ç3" des expressions intéressantes que nous laissons au lecteur le soin d'écrire; les séries que Ton trouve ainsi permettent d'obtenir, pour ces fonctions, d'importants développements en séries Irigo- niétriques; c'est un sujet que nous reprendrons plus lard.
Signalons toutefois, en passant, la forme que prennent les for-
LES FONCTIONS ^. 5
mules (XVII2) avec les notations actuelles, à savoir
(l) 27)iCi)t= — leitsi
'*"[j-l(li^]
R= a»
(XXX) /(2) 2io.'o.=-^e..oî+.:'2]u+V'-')'
n = l
(3) 2 7),a)t=-2ga(oî-Tt«2^ _^ ,
n=l
(|_yt»-l)3
Joignons à ces formules celle-ci :
qui n'est autre chose que la relation (X4) écrite avec le nouveau système de notations. En ajoutant les trois premières égalités, en se rappelant que <?< + ^2 H- e^ est nul, et en comparant le résultat à la dernière égalité, on trouve la relation linéaire qui suit, entre les quatre séries qui figurent aux seconds membres des formules
(XXX,..,),
154. Revenons maintenant aux égalités (XXIX) du n** 152 dont les conséquences et les transformations font l'objet principal de ce paragraphe.
Tout d'abord, nous remplacerons, dans ces formules, u successi- vement par W|, (02, W3 de manière à avoir les développements en produits infinis de ^(Oqi, (^pcoa.
Remplacer u par a>i , (02, 0)3 revient à remplacer r par - •, ;-
- et 5 par
H-T
TZt |
-(l^T,Ç |
e« =ï, |
C 2 |
1 TTCI 1
2 /, J — /,1
On observera que, en vertu de ces égalités même, les nota-
i — -1 . /- I
tiens ûr2, q ^t ^ que nous remplacerons à l'occasion par i/gr,— t=
V7
n = a /! = «»
(XXVÎII<
«=1 n=l
Les quantités ^09 Çij Ç21 Ç3 sont liées par une relation algé- brique qu'on obtient inimédialement en remarquant que les pro- duits infinis
n =1 n=t
étant absolument convergents, on peut écrire
7o = ri(ï - 9"*) JJ(i -^ q'*)^
n = 1 /i = l
puis, en groupant dans chaque produit infini partiel les facteurs pour lesquels n est pair, d'une part, et ceux pour lesquels n est impair, de l'autre.
n = oe n =: et /I = 90 /i^od
yo =JQ(i -ç'")]"J(i-5'2/,-i)j^(,^_^2/,)j^(i_^
6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ne comportent aucune ambiguïté. Nous serons aussi amenés à
m m
écrire Vi"*, /", VT^ ? 5^"> ''^ désignant un entier quelconque et n . un entier positif quelconque, et nous entendrons par là .
(XXVIII,) ^
^ ' J m mviz*
m n«
de sorte que les symboles (7?^, «", V^y^S q" ne comporteront ja- mais aucune ambiguïté; nous disons cela une fois pour toutes.
Comme les produits infinis qui figurent aux dénominateurs des formules (XXlXi_4) s'introduisent dans un grand nombre de for- roules, nous poserons aussi, pour abréger,
«=1 n—t n=i n=l
LBS FONCTIONS &. 7
d'où
(XXVIIU) qiq,qz = l^
155. Si nous mettons (o^, (o^, cos à la place de u dans le fac- teur e*^i**>t*'* qui figure partout dans les formules (XXIX), nous trouverons respectivement
tiitot Tat^l ti.joî
Les deux dernières quantités se transforment comme il suit : l'égalité
montre que Ton a
7^3 0)2 = = ,
(i)l 2b)i lit
on aura donc
on trouve de même
e^^t =e * qK
Dès lors le calcul des diverses quantités rfa>a, <^pwa ne pré- sente aucune difficulté. En remplaçant, par exemple, dans la
formule (XXIXj), u par 0)2, z par ^^> -z^ par ^^^-, on trouve de
/^r q
suite
0'ia), = c « y/'iq^ZJ:! 2Lf^ jn(,._yï«-i;JQ(i_yî/i+i).
£d observant que Ton a
n = X
n = l
on obtient donc l'égaillé
YljO)!
C, (0 . = — e * t/7-
91
a?Î9*
8
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Le calcul se fait de la même façon pour les autres quantités el Ton trouve finalement les résultats qui figurent dans le Tableau suivant, dont la disposition s^explique d^elle-méme
(XXXJj)
0)1 |
<0, |
CD, |
|
a* |
|||
^i |
o |
iq\q^ |
|
^% |
0 |
^1 |
|
a'3 |
e « ^ |
O |
1S6. Ces résultats et la formule (XIc)
/ep— ea =
_ q'afa>p
nous permettent d'exprimer au moj^en de (o,, y, yo> 9^m ?2> ?3 '^^ six radicaux y/ep — ^a ; on trouve immédiatement, après des ré- ductions qui reposent seulement sur la formule 5^4 <7a <7? =^ i ? 1^^ expressions suivantes
(XXXI,)
/ci — et =
-4 Yoyi7
■2 0)1
•2 0>i
11 2U)i
9^0?^
9^5^»
Le calcul des autres radicaux et les formules (XIII4) fournis- sent une vérification.
LES FONCTIONS âr. 9
Ces expressions mettent bien en évidence ce fait, établi au n® 119,
que les trois quantités y/ej — e^, \Je^ — 63, y/ei — e^ sont des fonc- tions homogènes et du degré — i des demi-périodes w^, 0)3.
Les expressions de e^ — ^3, e^ — 63, e\ — e^ au moyen de y, yo> ?iy ?2y 73 nous fournissent une seconde relation algébrique entre ces dernières quantités, à savoir
(xxviih) i^qq\^q\-q\\
c*est en effet la conséquence immédiate de l'identité
(e, — C5) = (tfj — ej) — (e, — cj).
157. Nous définirons sans ambiguïté les racines quatrièmes des différences 62 — <?3, e\ — 63, e\ — e^ et la racine huitième du discriminant (j* de l'équation
en posant
v/ej— e, = ^'l/.j~; ^^o^î q^,
(XXXI3) i {/ei— ^3= l/^5^o<7l,
V^^i — ej = _
■ -2(1)1
(XXXU) î/(j = v^ej— es v^ei— 1'3 v^Ci — e, = i-^\/ -j-^^lq'-
2 u>| y ± txi\
Dans toutes ces formules la sigrnification de 4/—^ est la même; elle peut d'ailleurs être fixée arbitrairement.
158. Les produits infinis qui dans les expressions (XXIX) ob- tenues pour (^M, <^i ^/, (^2^, d^u figurent au numérateur sont sus- ceptibles d'être développés en séries convergentes, d'une forme
très simple, entières en q ou en q^ {^ ).
(*) Le procédé de passage à la limite que l'on trouvera ci-dessous pour dé- duire la fonction âr de la fonction r a été développé par M. Biehler, qui en a
I
lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Considérons d'abord le produit infini
n = oe
J^[(l -h y»«-»z«)(I -h ^*«- *-«-*)],
n=l
qui figure dans l'expression de ^^u et posons pour un instant
X (i-h qz'^){\ -i- q^z-^). , .(i -h y*»-»^-»).
11 est clair qu'on peut écrire
v>{z) = ao^-ai(5*-+- a-*)-h. ..-+- a^(5î* + ^-**)-h. . .-+- flt„(^*» -f- s-**), ^0) ai, . . ., Qk^ . . . , eZ/j étant des fonctions entières de q.
D'ailleurs la définition de ^{z) montre que l'on a d'où
^{qz){qz^-+' q^n) — ©(5)(i -+- ^«"-^U').
En remplaçant, dans cette identité, ^{z) et ^(5^5) par
et
puis en égalant dans les deux membres les coefficients de z~^^^^, il vient
ou
«X- = CTit-l
l gtn-t-tk
donné diverses applications intéressantes en envisageant les transcendantes con- sidérées comme des limites de fonctions algébriques {Journal de Crelle, L 88, p. i85). Le principe en est d'ailleurs dû à Cauchy {Comptes rendus^ i845).
Observons encore que M. Schellbach dans l'Ouvrage intitulé : Die Lefire von den elliptischen Integralen und den Thêta- Functionen (Berlin, 1864 ) a pris les pro- duits infinis comme point de départ de la théorie des fonctions Thêta. Jacobi,lai- méme, avait signalé les avantages de cette marche.
LES FONCTIONS d. II
En remplaçant successivement k par k — i, A* — 2, . . . , i , et en multipliant membre à membre les égalités ainsi obtenues, on aura ,
D'ailleurs, sur la définition de f (^), on voit que l'on a par suite,
I = Uq
(i — ^*«-^*)(i — gr««**) . . . (I — q^'^)
En remplaçant ao, dans l'expression obtenue pour a^, par la valeur que fournit cette dernière égalité, il vient
q^^ (1 — y»/»-8^-^»)...(l — y»«)
^^'~ (i — q*){i — q^)..'(i'—q*'') (i — - g'*""^*) . . . (i — 9*"-^-**)'
ou encore
en faisant, pour abréger,
a'k = (l — qtn-'ik■^^)(^x _ gln-tk+i») . . . (,_^l/i)
Il est d'ailleurs manifeste que, quand n grandit indéfiniment, a\ a pour limite l'unité, à cause de la convergence du produit in- fini
m = aB
JJ(l-9"").
/n = l
On voit aussi que tous les nombres a'/^ restent, en valeur absolue, inférieurs à un nombre positif fixe a\ indépendant de n, par exemple au produit infini convergent dont le m'^"'^ facteur serait
I 4- I q"""^ |. Ceci posé, considérons l'expression
on a, d'après ce qui précède, l'égalité
12 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et l'on voit sans peine que, si Ton fait croître n indéfiniment, F/,(5) a pour limite la somme de la série
Que cette série soit absolument convergente, c'est ce qui résulte de ce que la série
^5*-i-.. .-h ^^' 5** -+-... -h ^«'^^«-f-. . .
est elle-même absolument convergente, ainsi que celle qu'on en
déduit en changeant ;; en - : en effet, (/|y"*5^" 1 = 1 1/''^* | tend
vers zéro quand n augmente indéfiniment. Regardons maintenant <7 et 5 comme des nombres donnés : il est clair que l'on a
par conséquent, dans le développement de ¥n{^)j la valeur abso- lue de la somme des termes qui suivent le terme de rang k est in- férieure à la somme, multipliée par a', des valeurs absolues des termes qui, dans la série F(5), suivent aussi le terme de rang/*; or, tfti prenant k suffisamment grand, on peut supposer cette der- nière somme moindre qu'un nombre positif arbitraire e. D'un autre côté, k étant ainsi fixé, puisque, lorsque n augmente in- définiment, a\y a\y ..., a]^._, ont pour limite l'unité, on peut prendre n assez grand pour que la différence entre la somme des A* premiers termes de F (g) et la somme des A' premiers termes de Frt(w) soit moindre en valeur absolue que e; on aura, dans ces conditions,
|F(3)-F;,(^)|<3£,
ce qui prouve bien que F,,(z) a pour limite F (2), quand n gran- dit indéfiniment.
Observons en passant que, si Ton désigne par A un nombre positif quelconque, on reconnaît immédiatement, sur la forme même de la série dont la somme est F(:;), que cette série est abso- lument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de z qui vérifient les conditions
LES FONCTIONS d. l3
En efiety on voit, sous le bénéfice de ces conditions, que les valeurs absolues des termes de la série F(^) sont inférieures ou égales aux termes, tous positifs, de la série
série dont la convergence résulte des remarques précédentes. Il suffit dès lors, pour établir la proposition énoncée, d'appliquer le théorème du n" 24.
159. Nous avons établi Pidentité
ff = ae
9oJJ[(l-t-<?«'-'^')(l + ?»'-'5-')]=2^"'-'
n = l
et, par suite (XXIX3), l'égalité
n
nous obtiendrons des identités analogues pour les autres fonctions du en changeant u en u'-{- Wi, u — 0)2, u -h ^i, ce qui revient à
changer i^ en ç -\ — > w» H > ^ + 7- •
Par exemple, si l'on change u en u — Wa, et si l'on tient compte de la formule (XII3)
a*, ( M — (0, ) = eTi»<w.-«> —ii , on obtient l'égalité
qQqljhâ^
niivi
n
en posant, pour abréger.
T,iW|
Si l'on se reporte d'ailleurs aux valeurs de cJ'tOa, e*^' qui ont été établies au n® 155, si l'on se rappelle que t^ioj, — t,iO>2 est égal
a —, on trouve
'2
j4 calcul différentiel.
on a donc
On obtiendra de même, en changeant u en U'\-iù^ dans l'ex- pression de d^Uj l'égalité
et, en changeant dans la même expression ;/ en </ + coi,
nvni
II. — Relations entre les fonctions s* et les fonctions ^.
160. Les développements des fonctions du, d^u^ (l'ai/, d%u auxquels nous venons de parvenir nous amènent à introduire quatre
nouvelles fonctions de la variable r = ; Nous poserons (*)
H
Or
(P) = ^y/l«g»/lf?l^,
'3 .
/i
3r^(p) = V(— i)«y'»*tfî/n'iri.
/t
On reconnaît directement, sur la forme même des séries qui figuren t dans les seconds membres, que ces séries, regardées comme
(*) Les nolatioas relatives aux fonctions ^ sont celles que Jacobi a introduites pour la première fois dans un cours professé en i835-i836 à l'Université de Kœnigsberg et qu'il a ensuite employées plutôt que celles des Fundamenta dont nous parlerons plus loin. Il ne met toutefois pas d'indice là où nous mettons l'in- dice 4 et il écrit âr^(ps) là où nous écrivons &^(t') (VVerke, 1. 1, p. 5oi). M. Weier-
LES FONCTIONS ^. l5
dépendaDl de la variable v, sont absolument et uniformément con- vergentes dans toute région limitée du plan où Ton figure cette variable. En effet, un raisonnement tout semblable à celui de la fin du n® 158 montre que la série qui définit la fonction 2'3(^) de la variable s^ est absolument et uniformément convergente pour Fensemble des valeurs de v qui vérifient les conditions
OÙ A est un nombre positif fixe quelconque, et Ton reconnaît
strass, M. Schwarz, Halphen mettent Tindice o là où nous mettons l'indice .{; la variable est la même que dans notre texte. M. Hermite a employé la notation condensée
n
OÙ a, p sont des entiers quelconques; les fonctions 6,,, 6,^, 8^, 8„ de M. Hermite sont donc nos fonctions id„ Sr,, 2r,, 2r,. On a d'uiJ leurs
Pf q étant des entiers quelconques. Cette dernière formule, à elle seule, coniient les Yingt-quatre formules (XXXIV,.,) que nous écrivons plus loin explicitement; on Yoit assez, par ce seul exemple, les avantages que cette notation peut présenter dans
bien des cas. Ajoutons que les zéros de 0« a(i') sont congrus à 1 t,
m/odulU I, T.
Les notations de Briot et Bouquet ( TJiéorie des fonctions elliptiques ) se rat- tachent à celles que nous avons adoptées eu posaiiL
" — * in 1 V*
».(«) = »,(«') = »^(-')-?<^''^'* smi2^lll£
n = \
e,(j;)=2r,(v) = 2 ^ lyV « / cos ^^ >
n = ï
n — 1
0_(j7)= âr^Cv) = i-h a V {—i}''q"*
imzx eus
« = 1
l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
immédiatement que ces conditions reviennent à dire que, dans r, le coefficient de i doit être moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, d'ailleurs arbitraire. On pourrait faire le même raisonnement sur les autres séries, mais la façon dont on passe de Tune aux autres permet de s'en dispenser. Ainsi les fonc- tions 2r sont des fonctions transcendantes entières en r, et les séries qui les définissent peuvent être difi(érentiéesy terme à terme, par rapport à v. On reconnaît de même que ces séries peuvent être difTérentiées, terme à terme, par rapport à ^ ou par rapport a b .
161. En groupant ensemble les termes pour lesquels les expo- sants de e sont égaux et de signes contraires, et en tenant compte des formules d'Euler (n° 66), on peut écrire
(i) ^i{v)=i2Jc-^Y'^9^ sin(2/n-i)7rp,
(2) 3r,((;)=:N2y C0S(2/l 4- l)lCi?,
XXXII) { ""''
(3) &j(i') = I-h ^2y«* COS2/l7t(;,
n = l n = «
i\) 3^*(^) = '-+- ^( — O'^ay"* cos2/i7:i>,
(
l 71 = 1
OU encore d'une façon plus explicite
JL 9 î_5
&, (p)= a^^siniui' — iq^ svhZtzv -^ iq * sin57:«' — . .., 1 9 \L
&,((;)= 2^* COSTIP -4- 2y* COSStCP -h 2gr KXOSOTTP -h . . • ,
&j(t;) = n-2^ cos2Trp-h2<7*cos4îC('H-2<3r9oys67rp -h.... &v(^) = i — *^y 008 21:^ -^iq^ cos^Tzv — 7.q^ co%^tzv -i ....
C03
Quand on voudra mettre en évidence, soit le rap^lgrl t --= — > à
l'aide duquel les quatre fonctions 3 sont formées, soiT^ nombre q z= e"^^', on écrira
S,(i;|T), ^«(i'h), 2^3(Mx), St.CpI-u),
I I
LBS FONCTIONS &. 17
OU
%(.^,q\ %i^^q)y %{^,q). &v(^,^),
à la place de
&i(o, Sî(o, %(^h ^^(yy
Avec ces notations, les résultats du n° 159 peuvent être mis sous la forme suivante
i (XXXIII) ; (a) 2yo^îy*a',M = e«^i«t*'«&j((;),
(3) qog\<ftU = e*n^u^i^^%(ç)^
162. Les formules (XXXni<_4) peuvent s'écrire sous diverses formes, avec lesquelles il convient de se familiariser.
La première montre que 3| (v) s'annule pour u = o. En prenant les dérivées des deux membres par rapport à z/, en supposant Il z= o et en se rappelant que l'on a t^'o = i, on trouve
ci)| "^ atiii *
Divisons l'égalité (i), membre à membre, par celle que nous ve- nons d'obtenir; divisons de même chacune des égalités (2), (3), (4), membre à membre, par celle qu'on en déduit en y faisant « = o ; on trouvera
(5) c'a = 2(01 |Lg-^e«^.a)..«, (XXXIII) { ^
3^ot^-l (o)
£q prenant les dérivées logaritlimiques par rapport à u des deux membres des relations précédentes, il vient aussi
'^'^"> I (^^ riz ^t«_ I 3r;ro
u)j 2tiii 3roi-Hi(v)
^* ''•T. Cl M.- II. Q
I
j f I
l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et Ton peut mettre ces dernières relations, en tenant compte de celles qui précèdent, sous la forme
(I), 3r,(o)
w, 9.W| 5a^i(o)
Si l'on se reporte aux formules (XXXl3_4) qui donnent les
expressions de \e2 — ^3, • '. . , au mojen de y*, y©? • • •? OQ voit qu'on peut encore écrire
(9) \/^V^ ^" =/6«^«"i»"&i(0,
(XXXIII) ; '^ ""
•iWi 4
(12) l/:î^{/ei-e,cr3a = e*^.«.«"&4(p).
En remplaçant dans les formules (XXXIII|_,) du, d^u^ rfaW, ^a« par leurs développements en produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la va- riable v<f on trouve enfin
n = «
(5) &i(i')= î^tq^* sinp7:|j(i — 2^"» cosat'it H- y*»),
n = ï
(6) 3r,(f)= 2^05^* cospt: I 1 (i-t- 2^*» cos2Pic-+-y*«),
(XXXII) ' ""*
R = «B
(7) 3r,(p)= yo"rT(l-+-2^*"~* C0S2t'1T-+- y *«->),
(8) &|(i»)= ^0 TT (1 — 2 9««-l 005 2^7: -h ^♦«-*).
11 = 1
163. Il est quelquefois commode de prendre z comme variable indépendante et de considérer, au Heu des fonctions 3(^)> 1^^
LES PONCTIONS d. IQ
fonctions suivantes qui n^en diffèrent au fond que par le nom de la variable. Si Ton pose
n
(XXXII)
(aiM) p,(*)= ^qV*^) **»+*,
n
{3 bis) ps(«)= ^q^'z^^.
n
(ibis) P4(Z)= 2(-')''^'"'^*"' I "
on a manifestement
p,(z)=3rj(p), p,(^)= »,((;), p,(-5)=3r3(p), p4(>5) = 3"v((;).
En remplaçant, dans les formules (XXXIII|_4) 34(^^), ^2(^)7 ^i{^)i ^4(^)7 respectivement par pi{z)j paC-s), p«(^)î P*{^) et ^Uj d^Uj d^u^dzU parles produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable 2, on obtient les relations
n^oe
n=«
(5 6m) pi(-z;=2yo^
t^-4-^J[J(i-^»«^-«)JU(i-^««z»),
•1
«=1
n = \
11=00
(XXXII)
{(à bis) p,(^)=25roy^^^^^^J|^(l4-S''''«-')J^(l-^V*"'«*)r
n=\ «=|
(7 6«) p,(;5)=5'ofJ(i-H5'"*-*^-*)XJ(i + S''"-''2^')»
n = l n=l
(8i«) p»(.») = 9-0 JJ(i-?"-'^-«)JJ(i -?«»-«*»),
n=l
n = l
dont nous ferons usage dans un instant.
164. Les fonctions 3^1 (p), âfa+j (i') que nous venons de définir et dont nous avons établi le lien avec les fonctions du^ ^«u diffèrent
20
C4LC0L DIFFÉRENTIEL.
profondémeat de ces fonctions par la façon dont y sont engagées les périodes, qui dans les fonctions â n'entrent plus que parleur rapport. Les séries trigonométriques (XXXII|_4), qui repré- sentent ces fonctions, sont très élégantes : elles sont précieuses dans les applications numériques à cause de leur rapide conver- gence. Les fonctions 2r jouent d'ailleurs un rôle essentiel dans des recherches importantes d'Analyse, d'Algèbre et d'Arithmétique. Nous allons, dans les pages qui suivent, développer les propriétés fondamentales de ces fonctions.
Plusieurs de ces propriétés se déduisent immédiatement des propriétés correspondantes des fonctions du, ddU, On reconnaît ainsi très facilement quels sont les zéros des fonctions 3, si elles sont paires ou impaires, ce qu*elles deviennent lorsqu'on remplace a par m -h 2 (0|, m -h 20)3, a-h^i, w -f- Ws, ce qui re-
vient à remplacer v par v'-f-i, i'-hx, \?-\ — 5 v -\ — ; le change- ment de u tn u — coa donnerait les formules relatives au change- ment de (^ en i^ -h
I H-T
On peut ainsi obtenir toutes les for-
mules (XXXIV). Le Tableau qui suit
(XXXIVi)
% |
2r, |
% |
% |
0 |
1 2 |
2 |
T 2 |
donne les valeurs de v qui annulent les diverses fonctions d; ces valeurs ont été placées au-dessous de la fonction correspondante; il est sous-entendu qu'on peut leur ajouter un nombre de la forme m -h /it, m t\. n étant entiers. Les formules
3riHp)=-2ri(p),
(XXXIV,)
n'ont pas besoin d'explication.
us FONCTIONS d.
ai
Les formules
(XXXIV,)
(XXXIVt)
a,(p
2r,(p
0
')
0
0 0
0
-&l(«'), -a.(«'),
= -&!(«').
= 2rv(P),
s'obtiennent de la façon la plus aisée, sans passer par les fonc- tions d, en partant des séries trigonométriques; elles mettent en évidence, comme ces dernières, la périodicité des quatre fonc- tions d.
Les formules
(XXXIV»)
(XXXIV,)
T) =
^) =
A =
T
2
B =
-Aa,(i.), A3,(v), Aa,(P),
-Aa»(p),
«B &»(•>),
B &,(»>). 8^,(0,
«B3,(p),
peuvent se déduire des formules (XXXIIi., a,) légèrement modi- fiées. Si l'on j remplace q et z par leurs valeurs e^', e*^', on ob-
tient de suite
CALCUL DIPFÉRBlfTIBL.
a.(0= ' y (-.)».""[(""î)'"'?(""î)],
n
Or / \ V t1ï/(««+t^«)
A
«^ / V "V / VKi(n*-hi^n)
Les quantités entre crochets dans les exponentielles sont toutes des trinômes du second degré en n qui deviennent des carrés par- faits quand on leur ajoute la quantité -^; on peut donc écrire
(9) « * ^i(^)
(XXXII)
(10) e ^ a,(p)
(11) e » &,(«;)
n n
(12) e^S»(P)= ^(-O»*""^"''^^
or on voit qu'en remplaçant v par ç» -f- t et n par n — i , les expo- nentielles se reproduisent; en sorte que, par ce changement, le premier et le quatrième des seconds membres changent seulement de signes, tandis que le second et le troisième restent invariables. On a ainsi, par exemple,
e T 3ri((;-f.T) =
d'où
3r,(i; ^-x) = — 5r-ic-«''tf3r,(p),
et Ton obtient de même 3a(^ + '^)> ^sC^' + t), 34(^4-'?) au moyen de ^2(^)9 â^sC^)» 3^4(^)-
LES FONCTIONS &. a3
On voit tout aussi aisément sur ces formules comment les choses se passent quand on change ^ en (^H — • II suffit de rem-
placer, dans les deux premières, n par n — i et ^ par v -^ -
/ce qui change n-\ ! — en n -\ — h et, dans les deux dernières,
simplement v par v-\-- (ce qui change /i-h- en/i-|-;-*--)'En tenant compte d'ailleurs de ce que l'on a
on obtient les expressions de 3| fp + - ]» 3a+i (^ -i- - ) au moyen
de 2r, (i'), 3a+i(i'). Finalement, on arrive ainsi aux formules
(XXXIV»). En répétant m fois les formules (3) et n fois les formules (5),
on a aussi
&l(p H- m H- /IT) = (— !)'«+'» gr-n«e-»'»*'«'&lP,
3r^((;-+-/n-f-/iT) =(—!)'» ^-'«•c-»'»*'«04P.
Enfin, en combinant les formules (4) et (6), on parvient aux formules
(XXXIVg)
qui correspondent au changement de 2^ en 2^ — (i>2.
Observons en passant que les formules (XXXIVj ) et (XXXIV5 ), ou, si l'on veut, les formules (XXXIV7), qui les contiennent comme cas particuliers, mettent en évidence ce fait que les quotients de fonctions â sont des fonctions doublement périodiques, avec les
24 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
périodes 2, 2t : on prévoit ainsi le rôle que joueront ces quo- tients.
i65. Comme le changement de i^ en (^ 4- /w -i- /it revient au changement de z en ( — i)"^q'^z^ et que les changements de i^
I T I -f-T . 1 » j
enç'H — > pH — , v -^ reviennent aux changements de z en
iz^ Z)/q^ izsfq^ les formules précédentes peuvent s'écrire
pi[(— 0'"^"'»] = (— i)'"-^'«gr-«'.5-ï«pi(z), p,[(-i)'»^«>5] = (-i)'« ^-«•^-«'»p,(z),
p^K-i)'»^»-?] =(-!)« y-«-if-««p^(«);
pi(i^) = p,(5), p,(«z) = — pi(^),
P4(t^) = P3(«);
Pl('5/?)=-^P4(^),
P3(^ /?) = — r;=Pî(^)'
Ces formules se déduisent d'ailleurs immédiatement des déCni- lions des diverses fonctions ç{z)»
166. Les fonctions 2r vérifient toutes les quatre l'équation aux dérivées partielles
__ — = 4„,__
Nous avons vu, en effet (n° 160), que les séries qui définissent les fonctions 3^4 (t^, t), 3a+4 (^> 'r)> séries qui rentrent dans le type
^ Art ^T7t/i/i-ha)«+a»'iri(/i+a)
n
LES PONCTIONS d. a5
peuvent être dlfférenlJées, terme à terme, soit par rapport à v^ soit par rapport à t. Or la quantité
vérifie, comme on s'en assure immédiatement, Téquation aux dé- rivées partielles
il en est donc de même des quatre fonctions d.
III. — Sur quelques fonctions du rapport des périodes.
Formules diverses.
167. En faisant ^ = o dans les formules qui donnent les ex- pressions des fonctions â(^) où l'argument est augmenté de i, t,
m -+- /iT, -> -y 9 on trouve les valeurs de ces fonctions pour
i' = I, T, m -h /iT, -> -> : celles de ces valeurs qui ne sont
pas nulles s'expriment au moyen de q et de ^2(0)9 ^3(0)) ^4(0). Ces valeurs se lisent si rapidement sur les formules (XXXIV) qu'on a jugé inutile de les récrire ici. Nous nous bornons à trans- crire les résultats obtenus en faisant v = 0 dans les formules (XXXIV), après qu'on a pris les dérivées des deux membres; on obtient ainsi le Tableau de formules (XXXV), dans le- quel ^(v) désigne toujours la dérivée par rapport à (^ de la fonction 2r(i^), Il convient d'observer, d'une part, que les trois quantités ^^+1(0) sont nulles, puisque les trois fonctions ^a^i (^) sont paires; d*autre part, qu^il ne s'introduit pas dans le Tableau d'autre élément nouveau que ^\ (o).
^iU)=~&i(o),
XXXV,)
&;(!) = o;
a6
CALCUL DIFFÉRBUTIBL.
(XXXV,)
(XXXV3)
(XXXVO
(XXXV,)
(XXXV.)
^. (0 - •■
1 ^.(^)=
— 2lTC5r-«a,(o),
— 2t1t5r-'&,(o),
= jrgr *a4(o),
= — lity ♦a,(o),
iq i&',(o);
a*, (m
a; (m
«•:)=(-i)'<«+»5r-"'S',(o),
A T ) = (— !)'«+« a n it içr-"* &, (o),
nx) = — articiy— "•&,(o),
«t) =(—!)'»+» 2rtittg-"*ât(o);
_ 1
= — iTzq *&a(o),
= «^ ^^1(0),
= — *iry *^,(o).
Il est à peine utile de remarquer que toutes ces quantités ne dé- pendent que de x.
On aurait des formules analogues, que nous nous dispensons d'écrire, pour les valeurs des fonctions p(z) ou'de leurs dérivées,
quand on suppose z égal à in \fq^ <V9> • • - ; les quantités 2^04.1 (0)
LES PONCTIONS &. 1']
sont respectivement égales aux quantités pa-fi(0» quant à p', (i) c'est — . S*, (o).
ICI • ^ '
168. Les relations entre les quantités S', (o), Sa+i (o), envisa- gées comme des fonctions de q^ permettent d'établir des propo- sitions importantes de la théorie des nombres. Aussi convient-il de nous arrêter un instant à Tétude de ces fonctions.
Voici d^abord leurs expressions en fonction de q^ obtenues en posant p = o, z^i dans les formules (XXXIIi^i); toutefois, pour la première de ces formules, on a pris la dérivée des deux membres par rapport à ç avant de faire (^ = o,
3r;(o) = 7cy(— i)»(2/H-i)^v"*'«/ =2ir(gr* — 39r*-+-5^^ — ...),
(XXX Vil)
^, (o) = X^^ ^' = 2^* -+-2^* -^-açr * -h...,
A
3r, (o)= y^g'"* = n-2^-i-2g*-l-a^» -^... ,
n
A
On trouve de même, au moyen des formules (XXXIII|_4) par exemple,
a;(o) = 27cg5^ï^,
(XXXVI, ) ( ^j (o) = 2 ^0 ^î q^,
^*(o) = yo^î. En comparant ces relations aux égalités (XXXIs_4) qui donnent les expressions de /Cj et des quantités ^e^ — Cj, s/e^ — ej,
sjcx — ^1 au moyen de gr^, gr^, yi, ya» ^a? on trouve
o,.î/g=i^^a',(o),
(XXXVIa) /
28 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Ces mêmes formules s^obtiennent évidemment en supposant i^ =. o, M = o dans les relations (XXXIIl9_,2) ; toutefois, pour la première, on doit d'abord prendre les dérivées des deux membres.
Il va sans dire que 4/ — doit avoir la même signification que
dans les formules (XXXIs_4). On tire de là
(XXXVU) \ '
Puisque les quantités 3î(o), Sj(o), 3î(o), ^^(o) ne dépendent que de t, on voit que ces formules mettent bien en évidence la
propriété des radicaux y/e^ — e^, ..., de se reproduire divisés par X quand on remplace (04, w^ par Xcoi, Xcos (XVIII4).
169. Comme l'on a ^1^3 ^3= i, on voit immédiatement que les quatre quantités ^'^(o), 33(0), 33(0), ^4(0) sont liées par la rela- tion
(XXXVI,) 3r; (o) = 7r^,(o)^3(o)3r4(o).
En élevant au carré les trois dernières égalités (XXXVl4)et en les combinant comme Ton a fait quand on a obtenu la relation
on obtient la relation équivalente
( xxxvi, ) s J (o) = ^ J (o) -h ^i (o).
Si l'on tient compte de la relation ^i -1- «a -H 63 = o, on déduit aussi des trois dernières formules (XXXVI4), en les résolvant par
LES FONCTIONS 3r. 2g
rapport à 64, ^2, e^,
(XXXVI,) j«,= l(_^y[ a»(o)-2rt(o)],
En se rappelant (n° 99) que l'on a
et en tenant compte de la relation (XXXVIo), îl vient aussi
^i=:;^(j)*[^î(o)-4-^5(o)-&|(o)^J(o)], (XXXVI.) j^8=(jyjè[&}«(o) + ^iHo)]
- 4^ [^J(o) -^ ^Ko)]^J(o)^5(o) j.
170. Si l'on pose avec Jacobi (XXXVIIO /A: - ^— « i-^2^^2^*-4-uy» + ../
(XXXVII,)
/p— ^*^^) »_ I — 2 y -4" a y* — 2 <7» -f- . . .
on voit que l'égalité 2rJ(o) = 31 (o) 4- 3î(o) prend la forme (XXXVII,) ^«4-^'«=i.
On déduit aussi des formules (XXXVI3) les relations
(XXXVIU) iv^=|^^S,
(XXXVII.) /F= i^^'-^S
qui entraînent également la formule (XXXVII3). Enfin, en tenant
30 CALCUL DIFPÉIENTIBL.
compte des formules (XXXVI2), on a
(XXXVII.) /k=.^g^Û.= ,ç^<J^t^^^
XXXVII.) v/;p=4=[!'"^i!'i^:ir""^'!-r'
(
et cette forme donnée à ^ et y/Ar' invite à considérer ^, y^ en tant que fonctions univoques de t.
171. Dans un Mémoire célèbre (*), M. Hermite a désigoé ces fonctions par f (t) et <{^(t) en posant
(XXXVIIIi) <p(t) = /2gï^,
où \/2 est la racine carrée positive de 2, et (XXXVIII,) 4^(x)=2î.
Les égalités
(XXXVIII,) ?«(T) = 1?^ = v//,
(xxxviiu) ^^{^) = 1^^^ = v/F
sont manifestes.
En même temps que ces fonctions, M. Hermite a introduit (') la fonction univoque de x
(XXXVIIIs) X(^)=V^Î^^^'
où ^2 est la racine sixième réelle et positive de 2.
Les fonctions ç(t), ^(t), ^(t) sont liées par les relations
(XXXVIII*) ?»('c)-H ^'•('c) = I,
(XXXVIIIt) ?('=)4^(^) = X'(^),
qui équivalent à nos formules (XXVIIIs^c)-
(«) Comptes rendus, t. XLVI, p. 5o8. ( ») Jhid,, p. 715.
LES PONCTIONS ^. 3l
Nous joindrons à ces fonctions celle que M. Dedekind a dési- gnée (*) par T4(t) et que nous représenterons par h(T) à cause de l'usage que nous avons déjà fait de la lettre 7\, Cette fonction est définie par la formule
(XXXVIJIa) h{z) = q^qo.
On voit immédiatement que les fonctions f, ^, y, h sont réelles et positives pour une valeur purement imaginaire de t.
Signalons encore les fonctions /(t),/4(t),/2(t) introduites (^) par M. Weber
/(x) = y-«*^, =
V'^
x(^)'
(XXXVIII,) J/i(T) = r^^3 =?!^ii^\
■(/.(x)=/iA.=^^-
Ces fonctions et la fonction h(T) sont liées aux quantités &a+i(o|T) et â'j(o|T) par les relations évidentes et très symé- triques
' 3r;(o|T) = 27rh'('u),
\ &,(0|T) = h(T)/|(T),
(xxxviii.o) ') , •;!
»,(0|T) = h(T)/»(x),
&,(o|':) = h(T)/î{x). Les diverses fonctions de t que nous avons définies dans ce pa-
(«) Journal de Crelle, t. 83.
(') Elliptische Functionen, p. 63. M. Dedekind a employé les mêmes nota- tions/,/,, /^ pour désigner les fonctions suivantes {Journal de Crelle, t. 83, p. 283) :
h(,x)h(3),(l±i)
/(T) =
/.(0 =
2*h«(2T) -h h«^^^ 4- ph» Ç^-Y^)
ttci
où p = e > .
h*(T)
p«
^«+.(0)+ — a;+.(o)+ _Ji_&gï,(o)+. . ..
Choisissons, par exemple, parmi les formules (XXXIII), celles-ci :
*&;(o) ' * &a+i(o)
En écrivant, d'une part, que, dans le développement de du, le terme en u^ manque, de Tautre, que, dans le développement de
ddU, les coefficients de u^ et de u* sont ^> Is — ^> et que,
par conséquent, les coefficients de ç^ et de ^* sont — 2ea^\ et
(^ — aej jcoj, on trouve de suite
(,) .,„a>,=-gg^^, (XXXIX) {(2) 27), (i)i=— a^a^î— - ôr^~-T»
(3) 2,ÎCUÎ = (--2.â)co}-,,U>,5--^^--5-^^
La seconde de ces égalités équivaut à trois égalités; si on les
3a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
I
ragraphe jouent un rôle important dans les applications des fonc- j
tions elliptiques à TAlgèbre et à la théorie des nombres. Au point i
de vue analytique, il importe de remarquer qu'elles n*ont été définies que pour des valeurs de t représentées par des points '
situés au-dessus de Taxe des quantités réelles.
172. Reportons-nous aux formules (XXXIII) qui permettent de passer des fonctions dUjf^aiU aux fonctions Sr|((^), dxfi(^)* On obtient des identités importantes quand on développe les
deux membres suivant les puissances de v= et que Ton égale
dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de i^. Les développements des premiers membres, où figurent les fonctions dUj dg^u résultent immédiatement des formules (IX|) et (XI7); quant aux seconds membres, on n*aura qu'à y remplacer e*^» ***•*'' par son développement en série et 3|(^), STa+i (i^) respec- tivement par
LES FONCTIONS ^. 33
suppose écrites, qu'on les ajoute membre à membre et qu'on tienne compte de la relation e^ 4- <?2 4- 63 = o, on aura
et, par conséquent, à cause de la première des égalités précé- dentes, on a aussi la relation très symétrique
,vvvrY X 3r7(o) 2r;(o) 2r;(o) 2rî(o)
En éliminant 7,1 entre la seconde et la troisième des égalités précédentes, on obtient la relation
2rat-i-i(o) ;?a-Ki(o)
d'ailleurs les relations
I
^a+ ^3 -H e^= o montrent de suite que Ton a
et, en séparant les divers cas possibles, on trouve immédiatement, au moyen des formules ( XXXVI »), les suivantes
(XXXIX.) \|ii^^_3Î^'- a7:V&i(o)2r{(o)= 32(e,_e.)(c,- ea)<-i', . ^ -3 %r7^ =--'-«'&Uo)Sî(o)=-32(«,-e,)(ej-e,)o,v.
173. Signalons encore les résultats suivants, dont nous ferons usage par la suite. Si, dans les formules
n
T. el M. - II. 3
34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OQ considère, dans les seconds membres, les termes pour lesquels n est pair, on voit que leur ensemble n'est autre chose que ds(2(^|4'?); les termes où n est impair sont, d^ailleurs, égaux et de signes contraires; on a donc
(XLi) 2&,(2P|4T)=3r,(p|x)4.3r,(p|t).
On aura de même
XL,) 2&,(ap|4x)=3r,(p|x)-&,((,|t).
Quand on fait, dans ces formules, (; = o, on obtient par divi- sion, en posant
3r,(o|4T)
et en tenant compte des formules (XXXVIl2,5), les relations
/vï \ / i—^k' ^ei — 63 — \/ei — c, 2^ -h ?.^»-*-2ûr«-+-. . . ^ AL(t ; o =■
Comme, en vertu de la relation (XXXIlIo), on a
on doit avoir aussi, en remplaçant (03 par 4(*>S7 '^ par 4*^7 61, par suite, )Jk par &,
^t(t^|4T) _^tfi(u|(t)i,4^g) 38(p|4t) a'2(a|(i)i,4<o,)'
ou encore, en changeant u en ^u eiçen^v^
3r,(2i>|4'g) _ ^ ^1(21^1 (1)1, 40)3) ^ S^sCat'U'^) <5',(2a| eu,, 4(1)3)'
D^ailleurs les formules (XL|) donnent par division, en tenant compte de (XXXIII, ,_, 2),
^.(2*^1 4t) 2r3(p|T)4-&,(v|T) */^7zri;a',a^-{/^7iri;tf,tt'
LBS PONCTIONS d. 33
on a donc finalement la relation
(j^\ £^g't(^^l<^i>4Q>s)_ Vei—ei(^t(u\(tiiyti>i)'-^ei'-et(^z(u\tùu(iii)
dont on apercevra Tutilité plus tard.
174. Nous terminerons ce paragraphe par quelques remarques relatives au cas où l'on a, q étant réel,
o<^<i.
Quand les quantités ct>i ^ -4 interviendront, nous les supposerons
réelles et positives (^) ; enfin nous ne considérerons que des valeurs réelles de ç. Les fonctions 2l sont alors des fonctions réelles d'une variable réelle.
Observons d'abord que les quantités Çq, Çi, 72 ) Çi sont réelles et positives (XXVIII4); on voit, en outre, que l'on a
qo<i<qu q%<i<qj'
Il en résulte, à cause des équations (XXXVr2)9 que les quantités &', (o), 3^2(0)? ^8(0), 34(0) sont réelles et positives : cette pro- priété apparaîtrait aussi bien, pour les trois dernières, sur les dé- veloppements en série (XXXVIi); on a, en outre,
3r3(o)>^,(o).
Les racines ^i, <?2, e^ sont réelles; la première est positive, la der- nière est négative ; on a
ei>et>ei;
les quantités y/^i — e^ , y/ei — €2 sont réelles et positives, la quan- tité ^/^a — 63 est négative; tout cela a été démontré au n° ISl et résulte à nouveau des formules (XXXVI7) et (XXXVI4).
La quantité 7|| est réelle : elle peut être positive ou négative. ainsi qu'il résulte de la formule (XXX4) qui montre clairement
(*) Le lecteur traitera sans peine le cas où ta^i et u, sont des quantités réelles el négatives, cas auquel g est réel et yérifie aussi l'inégalité o <9 <i. On passe d'ailleurs de ce cas au cas considéré par la substitution Û, = w,, Û, = — u>,.
36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
<]ue l'équation en 7,
T,= O,
admet une racine réelle et une seule comprise entre zéro el un. Les formules (XXX|_3) montrent que des trois quantités e^-h —^
(«1
<»., -4- — > ^3 -h — » les deux premières sont positives et la troisième
négative; d'après cela, et en vertu des équations (XXXlXo), il en est de même des trois quantités — 2rJ(o), — ^î(o)> — ^IW' '^ ({uantité 2r'J'(o) est (XXXIX4) de signe contraire à vii.
175. Considérons maintenant les fonctions 2r«(t^), 2ra^|(r).
Le signe de ces fonctions pour les valeurs réelles de v apparaît de bien des façons : le plus simple est de recourir aux décomposi- tions en produits infinis (XXXIl5_8) qui montrent que S|(v)el ^2{^) O'ït respectivement les signes de sint'?: et cosi'Tr, et que les fonctions ^^(v), 3^(i^), qui ne s'annulent pour aucune valeur réelle de p, sont toujours positives.
Les formules (XXXIV2_s) montrent qu'il suffit d'étudier la va- riation (*) des fonctions 3i (^), ^2(^)1 ^3(^)j ^*{^)f en faisant varier i^ de o à 1.
En prenant les dérivées par rapport à v, on tire immédiatement de l'équation (XXXIIIO
—7- ^ =i -iWÎ I pu -r- )•
cii' %(i^) ' V eu,/
Quand ç augmente deoà-> u = 2(s}iV augmente de o à (i)| et pu diminue de -h 00 à ei : le second membre diminue donc de — oc à — 4 ^î(^« -+•")* or cette dernière quantité est négative; par
conséquent, la fonction ç.^, va toujours en diminuant : pour p un
peu plus grand que o elle est positive et très grande, comme toute dérivée logarithmique d'une fonction réelle qui vient de passer par zéro, et ainsi qu'il résulte, d'ailleurs, de ce que 2»'^ (o) est un nombre positif et de ce que la fonction STi ((^) est positive dans
(') Halphen, t. I, p. 285.
LES FONCTIONS ^. Sy
l'intervalle (0,1). D'ailleurs (XXXV2), pour v= -9 la fonction S'j(r) est nulle.
Ainsi, quand i^ augmente de ok-t la fonctions^— ^décroît de -+-00
à o et, puisque la fonction Si (v) reste constamment positive, il en est de môme de la fonction 2rj(ç?); par suite, enCn, 2r|((^) aug- mente. Quand r augmente ensuite de - à i, 2r<(v') diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs, à cause de Tégalité
2rj(i_ç;)=-2r,(-p) = 2r,((;).
La façon dont varie S^ (t^) pour des valeurs réelles de i^ est donc tout à fait analogue à la façon dont varie la fonction sine 7;. A cause de l'égalité
^*(^^0 =^»(^)'
on voit ensuite que2r2(^') varie comme cosi^::.
Maintenant les égalités (XXXIIIg) donnent encore, en prenant les dérivées par rapport à r,
et, en particulier,
Quand u augmente de o à w,, j)(i^ + W3) augmente de ^3 à ^2? la quantité entre crochets, dans le second membre, augmente
donc de 63 + — à ^2+ — • La première de ces quantités est néga- tive, la seconde positive. Lors donc que v augmente de o à - > le premier membre, d'abord positif, s'annule pour une certaine va- leur V = r^, puis devient négatif. La fonction ^*| augmente
quand (^ augmente de o à Tq, diminue quand v augmente de çq k - ; elle est nulle pour i^ = o, elle sera donc positive pour i» = Vq î enlin
38 Calcul différbntiil.
I pour «^ = - on a
^*(î)=&.(o) = îroîrî; ^'4(5) =o;
on voit donc que la fonction 2r'^(i^) reste constamment positive et que la fonction ^a(^) augmente constamment depuis 3^4 (o) = q^q]
jusqu'à 2f^l-j=2f^(o)=qoq\; lorsque v augmente ensuite de
-à I, ^*{v) diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs à cause de Tégalité
Ainsi, pour ce qui est du sens de la variation, la fonction ^k{v) se comporte comme ferait la fonction i — s^cosairt^, si g était
plus petit que -; de même, la fonction ^i{v) se comporte comme ferait la fonction i + a^ cosaict^, si g était plus petit que ~-
IV. — Transformation linéaire des fonctions 2f,
176. Nous avons supposé jusquMci que les quatre fonctions d étaient formées avec le même couple primitif 2(1)4, acos, ou plutôt
avec le même rapport t= ^« Supposons maintenant que Ton
remplace le couple (acoi, 2(03) par le couple proprement équiva- lent (2Û1, 2^2,) tel que Ton ait
OÙ a, bjC^ e/sont des entiers qui vérifient la condition aef — 6c = 1. Cela reviendra à remplacer
2t0| y ^ 1
par
u V v^. c -\- dx
2Q1 aH-OT a-t-OT
V = ^^ = -T-, tfVwi T = , Q — ^TW
r.,,71, par
Hl = a^l-4- ÔTJj, Bs = CT)|+ €^7)8,
LES FONCTIONS ^. Sq
et enfin q^^ ^i, ^a, q^ parles quantités Qo, Qi, Q3, Q3 formées au moyen de q comme Ço? ^n ^2» 5^3 au moyen de ç. On obtien- dra ainsi quatre nouvelles fonctions que nous désignerons par
Si(v|T), 3,(v|T), &3(v|t), S*(v|t).
Si Ton applique les formules (XXXIII|_4) aux fonctions t^(w|û,,Û3), c^,(m|û,, Û3), c^a(M|û,, Û3), (^3(^10,, Û3) qui ne sont autres que les fonctions du^ d\u^ ^[lU^ <^yU formées avec les demi-périodes (0|, (O3 et affectées d^ndices X, jjl, v dont la valeur est fixée par le Tableau (XX©), on trouve de suite
(XLI) {(2) 2QoQÎQ*C3^XW =e>HiÛ|V3f,(v[T),
(3) QoQÎcJ'ji.a=e»Hi0.v3r3(v|T),
(4) QoQÎ3'vM = e«BiOiV«3r4(v|T)
et ces formules, si Ton connaissait X, |x, v, fourniraient, par la comparaison avec les formules mêmes d'où on les a tirées, des relations entre les fonctions 2r(p|T), 2r(v|T). Les formules (XXXIIIq^i^), appliquées de la même façon, permettent de faire an pas de plus.
177. Mais il convient tout d'abord de faire, sur la significa- tion des radicaux, quelques remarques analogues à celles du nM29.
Les quantités ^£2 — E3, y/ÊT--^, y/E| — E2 doivent être dé- finies par les formules
V^fii — Ej = * l/r^ aOoQÎ O^y
y 2U1
(XLI5) { ^E, — Es = 1/-^ QoQλ
1 y 2Q1
{^«i - K« = y ^^OoQÎ,
où, dès que l'on a fixé la signification de 1/-^' il ^^ reste rien
d'arbitraire. Or, si l'on remplace E|, Ej, E3 par ex, e^f ^v, rien n'autorise à penser que les racines quatrièmes que l'on vient de
4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
définir soient les mêmes que celles qui sont définies par les for- mules (XXXI3); ainsi, si Ton a e^ = ^2, E3 = <?3, on ne peui
nullement affirmer que ^£2 — E3 soit égale à sje^ — ^3, mais seu- lement que ^E2 — K3 est égale à sje^ — t's multipliée par une racine quatrième de Tunité. En général, les quantités (ej — Es)^? (ei — £3)^, (Ei — £2)^ sont identiques aux quantités (e^ — ^3)*^ (<?! — ^3)^5 (ci — <?2)^ rangées dans un certain ordre, en sorte que
Ton peut affirmer que les quantités ^E2 — Es , ^E| — Ej , v/ei — e^
sont respectivement identiques aux quantités s/e^^ — ^3, yje^ — e^,
\je\ — e-i rangées dans un certain ordre et multipliées chacune par une racine huitième de l'unité convenablement choisie.
De même, en conservant à Ç le même sens qu'au n** 101, il est clair que Ton a
(E,-E,)»(E|— E3)»(Ei — E,)»=(e,-e3)«(^,-e3)«(ei-Ci)= = Ç« et la formule (XXXI4) montre que l'on doit avoir
E étant une racine huitième de l'unité convenablement choisie.
178. Quoi qu'il en soit, il est manifeste que, en adoptant ces notations, les formules (XXXIIIg_,2) nous donnent les suivantes
(7) e^^i/i^tfw =«c»H.Q.v.2r,(v|T),
(8) t^K, - K, l/ï|i o-x " = «'"■'»•>•• 3, ( V [ T ),
(XLI) ( ^ _!.
(9) t/E, - K, l/2|-' ci'^H=e«^''.vS,(v|T),
! (10) V^-Ti\/^ <i^u = e«".o.v3rt( v|t).
y TZ
Reprenons maintenant les formules (XXXIIIo_i2) elles-mêmes et observons que les trois dernières entraînent la suivante
oÙÊi est égal à quelque racine huitième de l'unité qui peut d'ail-
LES PONCTIONS 3r. 4*
leurs dépendre de a, p, y. Appliquons cette formule en prenant pour les nombres a, p, y successivement les nombres )., |jl, v; jjl,
V, X; V, X, (JL et observons que ^'e2 — K3 , ^E| — K3, v^E| — ej ne
peuvent différer respectivement de y/^pt — Cy, y/^v — <?>.? V^^). — ^(j. que par des facteurs égaux à quelque racine huitième de Tunité; comparons les formules ainsi obtenues aux. formules (XLIg-m), et la formule (XLI7) à la formule (XXXIII9); observons enfin que la différence 27)|iO|t?2 — 2H|û<v' se réduit manifestement, en vertu
•
de la relation Tjiioa — T^;^^û^ = —, à l'expression bvvTzi et nous parviendrons au théorème suivant :
Quels que soient les entiers a, 6, c, d vérifiant la condition ad — bc:=^\^on aura, en désignant par s, e', e", e'" des racines huitièmes de l* unité dont les valeurs dépendent de a^ 6, c, rf, les formules que voici
(XLII)
(i) £ /rn-6xe**'^«'3ri(p|x) r=2r,(vlT), (2; eVïr=^^e^'"^''2rx-Hi(i'|T)-2r,(v|T),
où les nombres X, [jl, v sont donnés en fonction de a, fe, c, rf yoar fe Tableau (XXo).
179. Il reste à déterminer, dans chaque cas particulier, les ra- cines huitièmes de l'unité e, e', e", e'". Nous observerons tout d'abord que ce n'est pas d'une racine huitième de l'unité qu'il s^agit vraiment,- mais seulement du signe d'une racine carrée.
En effet, pour chacun des six cas du n^ 128, nous avons déter- miné, sans ambiguïté, dans le Tableau (XX7), les valeurs des ra- dicaux ^^£2 — E3, y/E| — E3 , y/E| — Eo. Dès lors les racines qua- trièmes ^Ea — E3 , \/ei — E3 , y/E| — Ea ne peuvent avoir que deux valeurs égales et de signes contraires, et c'est entre ces deux va- leurs qu'il s'agit de choisir. Nous allons d'ailleurs montrer que quand le choix a été fait pour l'un des radicaux, il s'impose pour les autres : en d'autres termes, on peut exprimer, sans ambiguïté, trois des quatre racines e, e', e'', e'" à l'aide de la quatrième.
Remplaçons, par exemple, dans l'égalité (XLUi), v successi-
4a
CALCUL DIFFtUHTIEL.
vement par vH — > v + -t, vH 1 — xel, par conséquent,
^* " A jA
çpaTÇ'\-{{a + bi), c; -|- i (c 4- rf-r), (;-|-l(a4-c)4--(6-|- d)^.
A A 2 Ta
En faisant usage des formules (XXXIV), en réduisant et en comparant les résultats obtenus aux trois égalités (XLIl2_4), on obtient aisément, dans les six cas du Tableau (XXj), pour les
rapports-» -, — > les égalités
■' t'
nb w
. h «-h m
(XLfÎ7)
ab-^rd
-=i^r
-hbc-i-a-hc-¥m'
- = l*
où m\ m", m'" sont trois nombres entiers dont la valeur est donnée par le Tableau suivant :
(XLII,)
f. |
3-. |
4*. |
5-. |
6*. |
||
m' |
— ï |
— l |
— 1 |
— I |
b |
b |
m' |
— 1 |
b-^d |
— [ |
b-hd |
— 1 |
— 1 |
m
d — I
— I
— I — I
I
Il s^agit donc finalement de déterminer seulement e, dont la valeur, comme nous Tavons fait observer plus haut, ne dépend que du signe d\me racine carrée. La détermination de ce signe en fonction explicite des nombres a, by c, d est un des problèmes difficiles de la théorie qui nous occupe : il a été résolu pour la première fois par M. Hermite (*). Avant de donner la solution de ce problème, nous commencerons par indiquer un moyen qui per-
V * ) 5m/* çnelqmes /v^muies reiairsts à ia trmmsfi tiqmes (^ONriMi/ dt UoèK-i/U^ i* série, t. DU p. >6v.
eU^h-
LES FONCTIONS d. 43
mettra de déterminer effectivement la valeur de e, toutes les fois que les nombres a, 6, c, d sont donnés.
180. Nous effectuerons d^abord cette détermination pour les deux substitutions propres
(;:)• u;)
qui, par répétition et combinaison, engendrent toutes les autres. Pour la première de ces deux substitutions, on a
ûi— COi, |
Ûj= COi+COs, |
Hl= 7)„ |
II, = TJ,-+- 7^,, |
donc
T = x-M, V = V, Q = — ^, Q^=/{g* = e * ,
et Ton est manifestement dans le cas 2^ du Tableau (XXe),
oùX=i, [X=3, ^^=2.
Il serait donc aisé, dans ce cas particulier, d'arriver au résultat en se servant des formules de transformation pour les fonctions (i et des formules de passage des fonctions d aux fonctions 2r : en effet, les résultats précédents et les formules (XLI5, XXXI3) four- nissent sans peine les relations
Vei — e, = y :^^q^q\ = Vë^^^ty
V^E, — E, = y 5^ ^0^1= Wl — «s,
qui permettent d'achever les calculs.
Mais il est encore plus simple de recourir aux formules (XXXII1.4) qui définissent les fonctions 2r. On voit immédiate- ment, sur ces formules, que, par le changement de q en — 9, les fonctions ^%{v) et ^k{^) s'échangent, tandis que les fonctions
44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
q *2ri(^') et q *2J2(^') restent invariables, et l'on parvient ainsi aux formules
(XLIII) I ('^) 2rj(p|t-+-i) = /i^,(«; |t),
J (3) &j(PlT-J-i) = Sr,(r|T), ( (4) 2r4(r|TH-i)=âr3(p|T).
On voit que, dans le cas considéré, en supposant que Ton prenne >fa -h 6*: = y/i = i , on a
£ = E = yj l, £ = E =1.
Ce résultat est d'ailleurs conforme au Tableau (XLIIo).
181. Pour la seconde des deux substitutions considérées onaa = o, 6=r,c = — i,rf = o,
Ûi = ws, Os = —0)1,
lit = T,3, Il3= T^i,
donc
X=_-, v=-, ^,
et l'on est manifestement dans le cas 5° du Tableau (XX©), où ).= 3, a= 2, v= 1. Les formules (XLII|_j|) donnent donc
et l'on a, d'après le Tableau (XLlIo),
£ ~ * E " * £ ~~ '
Portons notre attention sur la troisième des formules précé-
LES FONCTIONS 2r. 4^
dentés où figurenl des & de même indice et que Ton peut écrire
!•' TZi
Le second membre de cette égalité apparaît comme une fonc- tion univoque de p et de t; i' ne figure pas dans le premier membre. On pourrait craindre que la détermination du premier membre ne dépendît de la valeur de v^ en sorte que le second membre fût toujours égal à Tune des déterminations du premier, mais tantôt à Tune, tantôt à Tautre, suivant les valeurs de v. On peut bien prévoir qu*il n'en est pas ainsi, puisque, t étant donné
et y/r étant choisi arbitrairement, e" doit être entièrement déter- miné; mais il est bien aisé de le reconnaître autrement. On véri- fie de suite, en effet, que les zéros de 2>3 ( - - — 1 coïncident avec
les zéros de S3(i' | t), et, comme ces zéros sont tous simples, il est clair, d'après sa forme, que le second membre ne peut être qu'une fonction continue de \>] il ne peut donc passer d'une valeur con- stante à une autre valeur constante; il ne peut être égal qu'à une seule et même constante, et Ton a, en particulier,
e.
ce qui fixe bien le sens de s" quand t est donné et que la détermi- nation de ^ est fixée.
Le premier membre ne peut prendre qu'un nombre fini de va- leurs déterminées; le second membre apparaît comme une fonc- tion de X sur laquelle nous allons pouvoir répéter à peu près le
raisonnement précédent. Fixons tout d'abord le sens de y/t. La partie imaginaire de t est positive; on peut donc poser
en supposant que les nombres réels p et Q vérifient les conditions
o < p, o < 0 < t:.
46 CALCUL DIFF6RBNT1EL.
Nous adopterons pour y/t la détermination
e.
en supposant^ positif; le point y/r est alors situé dans Tangle formé par Taxe des quantités réelles positives et Taxe des quan- tités purement imaginaires à coefficient positif; il se déplace d'uae façon continue dans cet angle quand le point t se déplace d\ine façon continue au-dessus de Taxe des quantités réelles. Cette dé- termination de y/r étant adoptée, la quantité
t
est une fonction univoque et continue de t; c'est donc une seule et même constante.
Si nous prenons, par exemple, t = i, p = i, 8 = -> nous au- rons
6'
d'où, puisque e', e"', e'" sont égaux à le,
Finalement les formules de transformation sont ici
On observera que, dans ces formules, la partie réelle de — est
(XLIII)
i
LES FONCTIONS ^.
47
positive. On a, en efiet,
^=,v/^le(i-")',
et cos o et 7î.
[ j est un nombre positif, puisque 8 est compris entre
182. Ces formules se rapprochent naturellement des formules (XXXIIo_4 2)« En changeant, par exemple dans la première de ces
formules, t en et ç' en -t il vient
d'où, en comparant à la formule (XLIII5),
%i''\^)=f.^i-^)''e-^('*i-'y.
En changeant, sous le signe y^> n en — n, on obtient donc la pre- mière des formules du Tableau suivant, dont les autres se dédui- sent de la même façon :
(XLIV)
^i
^,(v|.)=î^2(-»)"^"*'^^'"''^"''^'^
v/7
&t(Mx)=^_2(-^)''^ '
Or / , . V^ V -^l*"^")»
ICI, ,
v/^
n
i.(^\^)=f.^e-T{''->'y;
y/\
^. est l'inverse de -^ et doit donc avoir sa partie réelle positive.
183. Pour ç' = o, les formules (XLIIIi.g) nous donnent les re-
48
la lions
(XLIII)
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
[ (9) ^;(oh-4-i)=//^;(o|T),
(10) 2rj(o|'î:H-i)= /«^«(oIt), i (II) 3r3(o|':H-i)=3r,(o|T), ^ (12) ?Ji,io\z-i'i) = %{o\'z);
' (i3) 3r;('o|-0=--/''/'^^'i(oh),
/i
(lO Sr,(o|-l)= jJ^*(oh),
(XLIII)
fZ
(i5) 2r3(^o|-i)= vp3(o|T), (iG) %(o\-^)= ^2r,(o|T).
184-. A ces relations se joignent immédiatement celles qui con- cernent les transformations linéaires correspondantes des fonc- tions 1i(t), ?(t), 'i('^)»y.(^)-
Lorsqu'on remplace t par t -+- i , 7 est remplacé par — y, q^ et Çt restent inaltérés, tandis que q2 et ^3 s'échangent; on a donc, sur la définition même des fonctions h(T), «(t), à{'z)^ 7,(*^)'
(1) h(': 4-1)= v^h(T),
(•2) cpCc-hi)
(XLV)
{/^^, ^ +(^)
(3) ^(,-^-1)=:---.
H-)
(4) z(^-i-i)= *^i-^,^
^(T)
185. Lorsqu'on remplacer par , on déduit facilement la
relation qui concerne h(T) de la relation (XLIII,,) en faisant usage de l'égalité 2r', (0)= a7îh3(T). On a ainsi
et, par suite,
LES FONCTIONS à. 49
OÙ G est une racine de Tunité. On a déjà fait observer (n® 181)
que ^ est une fonction univoque de t; en répétant les raisonne- ments de ce numéro, on voit immédiatement que G ne dépend
pas de t; d'ailleurs, pour t = «, on a G = — ; il vient donc fina-
V*
lement
(XLV.) h(-i)=^h(T).
Quant aux fonctions ©(t) et ^(t), on a d'abord (XXXVIIIj.^)
Ç. /_ i\ = M!!Zl) = liMl) =+.(,) ;
M ^) &.(ol-i) ^'^«1^) *^^' donc
où le signe ne dépend pas de t. Mais si Ton suppose t purement imaginaire, les fonctions o et ^ sont réelles et positives; on a donc dans tous les cas
rxLV.) ç(-i)=^(T),
ety ce qui est la même chose,
Enfin la relation ç(t) '}(t) = ^'(t) montre que Ton a
x'(-J) = /'(-).
d'où
en désignant par G une racine cubique de l'unité qui est la même, quel que soit t. En observant que pour une valeur pure- ment imaginaire de t la fonction '/^(t) a une valeur réelle et posi- tive, comme il résulte de sa définition, on voit que G est égal à i; on a donc
T. et M. — II. 5
5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
186. Les formules qui précèdent nous permettent, par répéti- tion et combinaison (n^ 149), d'obtenir, chaque fois que a, fr, c, d ont des valeurs numériques données, les formules de transforma- tion linéaire pour toutes les fonctions considérées. Le problème de la transformation linéaire des fonctions 2r et des fonctions ^(t), <{^(t), x(")' ^C*^)? P^"^ donc être considéré comme résolu.
Parmi les substitutions linéaires dont on fait souvent usage, nous citerons les suivantes, où m et /i sont des entiers quel- conques,
(XLV,) < ^ ^
h(r=i:7^) = ?(^>^
(XLVto)
»Kx-h'2n) =<KX), 4;(T-^2/l-+-l)== -~-,
*(r-'^7r:) = ''*(^)'
n
(XLVn)
/ - \ -
7 ( — ■' — ) = ^'/C"^);
elles résultent immédiatement, par combinaison et répétition, des formules précédentes.
187. Le Tableau (XXy) permet d'écrire immédiatement, dans les six cas possibles, les valeurs de ©*(t) = A:(t) et de t]^*(T) = A:'(t) en fonction de ç*(':) = A-(t) et de ^j^*(t) = A''(t). Il suffît pour cela de tenir compte des relations
v/E| — Es v/E| —
Es
Mais les résultats précédents permettent d'obtenir davantage; on peut, en effet, en déduire ç^(t) et ^^(t) en fonction de o^(t) et de ^-(t) dans les six cas considérés. En faisant usage des for- mules (XLII) et en posant
LES FONCTIONS &.
5l
on a
j 3r,(olT) e' 3rx^i(o|x) -l^-&c-c4.m'-m-2rx^,(o| ^)
* = #^— : — ; — r = -» isc : — ; — r = l ^ : — i — r »
2r,(o|T) 2' ai»+,(o|t)
^t(o|T)
2r,(o|T)
'(JH-1
(oh)
£ Srv^i(oh)
/*^
2r,jH-i(o|T;
= t »
d'où résultent immédiatement, en tenant compte du Ta- bleau (XLIIu), les formules annbncées dans les six cas du Ta- bleau (XXo) :
» 1 |
1°. |
4^ • |
5». |
4*. |
5*. |
6-. |
cd |
14 Û A' |
A' |
\rk |
|||
s/T- |
ab i « /k' |
>/k' |
ab i « )/k |
Sur ce Tableau, on observe immédiatement que les quantités 3«(t) = A*-(t), ^^(t) = A-'-(t) ne sont susceptibles que de six valeurs, savoir :
A',
— A-î
k^ ' X-2
7^'
I — A-î, —
Ces six valeurs sont précisément celles que prend un rapport anharmonique quand on y permute de toutes les façons possibles les quatre éléments.
188. Les formules (XLV) nous permettent d'établir quelques relations importantes qui nous seront utiles plus tard; ces rela- tions concernent les invariants de toutes les substitutions linéaires, et c'est sur ce point que nous allons maintenant fixer notre atten- tion (*).
(') Voir Rausenberqer, Théorie der periodischen Functionen, p. 36;.
52 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Les formules (XLIII) mettent en évidence ce fait que chaque fonction symétrique entière de degré n, des quantités
2r|(oh), &5(oI'u), &;(o|t),
ne change pas lorsqu'on remplace t par t H- i et se multiplie par T*", lorsqu'on remplace t par •
Le quotient de deux fonctions symétriques entières, de même degré, des quantités
^Î(o|t), 2rS(o|T), &!(o|t)
ne change donc pas lorsqu'on remplace t soit par t+î, soit par — -; il ne change donc pas lorsqu'on effectue sur t une trans-
to
formation linéaire quelconque.
Parmi ces quotients, les plus simples sont ceux que l'on peut former à l'aide des trois fonctions symétriques élémentaires
&i(o|x)3r|(o|T)-4-2r|(oh)2r}(olT)H-2rf(o|T)&5(o|T).
&5(oh)&|(o|T)2rî(o|T).
Considérons en pai:ticulier le quotient
[^(o |t)h-^S(o|t)4-^î(o|t)]» . &|(o|T)2r|(o|T)2rî(o|'c) '
il s'exprime simplement en fonction de k^. En tenant compte de
la définition (XXXVIIi^a) de v/^,v/^' et de larelationit^H- A-^^^ i , on trouve immédiatement pour sa valeur
8(1 — A» -h Â:»)» _ (i-4-A»-f-A^*)3 k^{i — k^y "" A* A'*
On désigne habituellement par J(t) et l'on nomme invariant absolu des fonctions doublement périodiques la fonction de t,
Ci_ /fS_i- k^y
(XXXVII.) j(,) = L__±^;
nous venons de voir qu'elle ne varie pas lorsque l'on effectue sur T une substitution linéaire quelconque {ad — frc == i), et que
LES FONCTIONS 2r. 53
Ton a
r5|(0|T)-+-^}(0|T) + ^î(0|x)]» _
&i(0|x)&î(0|T)&{(0|x) ^ ^•
De plus, comme la relation (XXXVIo)
2r{(o|T) = 2ri(o|x) + &t(oh)
entraîne la suivante
&|(o|'c)&|(o|T)-t-2r5(oh)3r{(o|x) + 3rî(olx)&J(o|x) = i[2r}(olT) + 3rS(o|T)-+-3r{(o|x)]«,
on voit, en appliquant le théorème fondamental sur les fonctions symétriques, que tout quotient de deux fonctions symétriques quelconques, de même degré, des trois quantités
3rî(o|T), 3r|(o|T), &J(o|t),
est une fonction rationnelle de J(t).
189. Il est facile d'exprimer J(t) en fonction des invariants g2 et ^3. Comme on a
ex — e^
il vient immédiatement, en tenant compte des relations
ejCi-hejtfa-h ^3^1 = — ---9
4
la formule
(XXXVIUw,) J(x) =
4(1^5 - 27 ^J)
Dans les notations de M. Weierstrass, on envisage souvent le
quotient
g\ 27 ^J
54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
comme invariant absolu. Entre J(t) et cet invariant, on a immé- diatement les relations très simples
ff\
^1 J(x)
1
'''' j(^)-S
V. — Oônôralitéa sur les transformations linéaires. Transformation linéaire des fonctions (p(T), <|/(t), xC-:).
190. Pour établir les formules de transformation linéaire géné- rale pour les trois fonctions <p(t), •i('^)î yS'^) àe M. Hermite, ce qui, d'après le Tableau du n**187, revient à la détermination d'un signe 4- ou — qui peut dépendre des quatre entiers a, 6, cr, d^ il nous faut d'abord commencer par étudier de plus près ce mode de transformation.
Nous désignerons sous le nom de transformation linéaire l'o- pération qui consiste à remplacer t par — ^-^ > a^ b^ c^ d étant quatre entiers qui vérifient la relation ad — fcc = i ; elle se repré- sentera par le symbole l -^ j •
Si ( - — —' \ , l , j sont deux symboles de transformation
linéaire, le symbole
\a -i- b-z^ a'-\- b'-zj représentera l'opération qui consiste à remplacer t par
c
-r~d
a' 4- b'z ca' h- rfc' H- ( cb' -h dd')-:
, c'H- d'z aa'-t- bc'-h (a6'-f- bd')-: * a-i-b— j-r-
a -\- b 1
cette opération est manifestement une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transformations
/c-t-rfT\ fc'-^-d-zX \a--\-b'z)^ \a'-h6'T/
LES FONCTIONS d. 55
De même, si (-5 — tf-) est un troisième symbole de transfor- mation linéaire, le symbole
fc-^dz c'-hd'x c'-hc^^xN \a-^bx' 0/4- 6't' a'-^rb'z)
représentera l'opération qui consiste à remplacer t par
ca'-^ dc'-^-icb'-^ dd') V^
"z
aa'-^ bc'-^- (aô'-H bd') —^ jrr-
et l'on voit sans peine que cette opération est encore une trans- formation linéaire. Elle sera dite composée avec les transforma- /c-^d'z\ /c'-hd''z\ /c'-^d'''z\
^'^^^ [^Tj-z)' [^^^rb\)' {^^nr.)'
L'opération qui consiste à remplacer t par j— est iden- tique à l'opération qui consiste à remplacer respectivement a)< , 0)3 par a(ùi + 60)3, cto^ -hdto^ : c'est l'opération que nous avons dé- signée au n° 146 sous le nom de substitution, et que nous avons
représentée par le symbole ( ,j; en sorte que, si l'on con- serve les notations des n** 146-147, on voit que l'opération
/ c-\-d'z c'-^- d\ c" -^ cTt \ \a-H6T* a'->rb''z^ a'-h6'T/
revient à la substitution (^ )
ia b\(a' b'\(a 6'\
U d)\c' d'/yc" dr}'
n est clair que dans un symbole de transformation
/ c-^ d'z c'-\- d-z c'-4- d^z \
\a-+- ôt' a'-H 6*x' a"-H 6*x' /
on peut grouper ensemble deux ou plusieurs termes consécutifs^ de même que dans un produit symbolique de substitutions on peut remplacer plusieurs facteurs symboliques par leur produit effectué.
(*) FbiV, en particulier, la noie finale du n<> 146, t. I, p. i(\\.
56 CALCUL DIFFÉRBNTIBL.
L'opération qui consiste à remplacer t par t est la transforma- tion identique.
La transformation (-^37— ) est la transformation inverse de l - — ^ j ; le symbole de transformation
(c -h Û?T — c -^ a'z\ a -i- bz^ ci — bi )
représente aussi la transformation identique.
191 . Le théorème établi aux n°* 148-150 peut maintenant s'énon- cer de la façon suivante : Toute transformation linéaire peut s^ obtenir par la composition de transformations de la forme
(t ih i), [ )• D'ailleurs, la répétition de n transformations de la
forme (t ±: i) équivaut à une transformation de la forme (t ±:/?) ; la composition de deux transformations de cette dernière forme reproduit une transformation de même forme; enfin, la composi- tion de deux transformations ( — - j reproduit la transformation
identique, qui n'a pas d'influence. Rien n'empêche donc d'énon- cer ce théorème de la façon suivante :
Toute transformation linéaire peut être représentée par un symbole de la forme
I » « ' \
I ...,T-4-/li| J T-h /Ij, I T -h /Ij, > • ' • ) »
\ T T T /
/Zf, 712, n%^ ... étant des nombres entiers positifs ou négatifs.
Le premier et le dernier des éléments de ce symbole peuvent d'ailleurs être de l'une ou de l'autre des deux formes t -h ai? — -•
Par exemple, la transformation (o^ _ V) peut se représenter par le symbole
fT-hî, , T-4-3, > X— 5j,
c'est-à-dire que l'on a
OT — 27
LBS FONCTIONS d. Sy
192. Nous dirons qu'un ensemble de transformations linéaires, en nombre fini, constitue un groupe si la transformation iden- tique fait partie de cet ensemble et si toute transformation obte- nue en composant deux transformations de l'ensemble appartient aussi à cet ensemble. D'après cela, l'ensemble de toutes les trans- formations linéaires constitue un groupe. L'ensemble de toutes les transformations linéaires obtenues par répétition et combinai- son des deux transformations (*+ 2), ( ] constitue aussi un
groupe. Si dans un groupe de transformations linéaires on peut en isoler un nombre fini ou infini qui, prises dans leur ensemble, constituent un groupe, ce groupe partiel sera dit un sous-groupe, contenu dans le groupe total. Ainsi, le second des deux groupes précédents est un sous-groupe contenu dans le premier.
Nous appellerons fonction modulaire (*) une fonction uni- voque de t qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires d'un groupe. Telle est, en particulier, la fonction J(t), qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires.
Si une fonction univoque de t reste invariable pour quelques transformations linéaires, l'ensemble des transformations qui laissent cette fonction invariable constitue évidemment un groupe ; en effet, la transformation identique fait partie de cet ensemble, puisque la fonction est univoque, et la transformation, composée de deux transformations linéaires de l'ensemble, laissant la fonc- tion invariable, comme les deux transformations composantes, appartiendra de même à l'ensemble. On dit du groupe ainsi formé que la fonction considérée lui appartient.
Une fonction univoque de t qui, lorsqu'on fait subir à t une transformation linéaire quelconque, ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs, est manifestement une fonction modu- laire ; elle appartient au groupe des transformations linéaires qui laissent cette fonction invariable; telles sont les fonctions k{'z)j A/(t), ç(t), <J'(t), x{'^) précédemment définies, et qui sont, comme on l'a vu plus haut (XXXVII»), (XXXVIII3,4,t), liées al- gébriquement à la fonction J (t).
L'étude des fonctions modulaires, qu'il convient de faire re-
(*) Cette dénomination est due à M. Dedekind.
58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
monter à M. Hermile, a été Tobjet de développements considéra- bles, dans lesquels nous ne saurions entrer ici (*). En s^afTran- chissant de la restriction, qui consiste en ce que les nombres a, 6, c, d sont rationnels, on entre dans le domaine des recherches qui ont illustré le nom de M. Poincaré, recherches que les travaux de MM. Schwarz, Fuchs, Klein avaient d'ailleurs préparées.
193. L'un des problèmes qui se posent le plus naturellement est celui-ci : étant donnée une fonction modulaire, déterminer le groupe auquel elle appartient. Nous allons Paborder pour les trois fonctions ç(t), ^(t), y/x).
Considérons d'abord les trois fonctions
A-X (0, B- ^,,(^)^ ^- ^,,^^)-
On reconnaît tout de suite, en vertu des relations algébriques qui lient les fonctions ç, i/^ y, qu'elles ne peuvent être égales que pour des valeurs particulières de t, faisant acquérir aux fonc- tions ç, <}/, y^ certaines valeurs déterminées : comme il est évi- dent, sur leur définition, que ces fonctions ne sont pas des constantes, on voit que les fonctions A, B, C sont, en général, dis- tinctes. Or TefTet des transformations (Tzh i), ( ] est de les
ranger respectivement dans les ordres
C, B, A, A, C, B.
Toute transformation linéaire, étant composée avec celles-là, ne pourra donc avoir d'autre effet que de reproduire ces trois fonctions, rangées dans un certain ordre, et chacune d'elles ne peut prendre que trois valeurs quand on effectue sur t une trans- formation linéaire quelconque.
(*) Voir, en particulier, les nombreux Mémoires de M. Klein dans les Mathe- maiische Annalen, et son Livre Zur Théorie der Modulfunctionen, ainsi que le Mémoire de M. Kiepert dans le Journal de Crelle, t. 87, M. Hurwitz {Mathe- matische Annalen, t. XVIII, p. 5a8) a montré comment on peut envisager les fonctions modulaires directement et sans passer par l'intermédiaire des fonctions Thêta.
LES PONCTIONS ^, 69
Cela s'accorde avec ce fait que l'on a
L'équation du troisième degré en ;/,
que vérifie la fonction )^^^(t), montre bien, en effet, que cette fonction ne peut prendre que trois valeurs pour les transforma- tions linéaires qui laissent J(t) invariable, et les trois racines de cette équation sont précisément A, B, C.
19i. Les formules (XLV ) montrent clairement que les trans- formations (Tih 2), ( — - j laissent la fonction A invariable. Ré- ciproquement, toute transformation linéaire qui laisse A inva- riable peut être obtenue de cette façon, de sorte que la fonction A appartient au groupe formé en composant les transformations
de toutes les manières possibles.
Supposons, en effet, le sjmbole de transformation écrit sous la lorme
I I
(
• •
1
1
-f- /11, — -j T H- /ij, > "^ -H /13, . . . ) :
négligeons au commencement, s'il y en a, les termes de la forme
7-1-2/?, > qui laissent A invariable, de sorte que le premier
terme du symbole de transformation sera de la forme t -I- ai où n est impair; si n n'est pas égal à i, on le décomposera en deux, T -+- « — I , T -I- I , dont on fera rentrer le premier parmi ceux que Ton néglige et qui laissent A invariable. Les deux premières
transformations, (t H- i), f ], changent successivement A en C,
puis C en B; vient ensuite un terme de la forme t H- /i. Que n soit pair ou impair, la transformation {z -\- n) laisse B invariable;
puis vient un terme de la forme qui change B en C; puis un
6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
terme de la forme t 4- n\ Que n! soit pair ou impair, nous décom- poserons la transformation (t-4- /i^ en deux, (t — i), (T-f-/i'4- i) ; la transformation (t — i) change C en A, et nous prendrons la transfor- mation (t-t- /i'-4- i) comme premier terme d'une nouvelle suite dont nous traiterons les termes comme ceux dont nous venons de parler. En répétant ainsi le nombre voulu de fois le même raison- nement, on arrive finalement à la conclusion suivante :
Si une transformation linéaire laisse A invariable, son sym- bole sera formé d'une suite de groupes de termes tels que
I I
T-M, , T-h/l, , '~i,
T X
groupes de termes qui pourront être précédés, suivis ou séparés
les uns des autres par des termes tels que t -h 2AI, ; on peut
dire encore que la transformation sera composée de transforma- tions ayant pour symboles
(^
'*)» (~ ^)' (•^-^->> ~i' '^■^'»» - J' '^-')»
où n est un entier pair ou impair, positif ou négatif.
Or la transformation correspondant au dernier symbole revient à remplacer t par
i (/i — i)x — n
Trt = I = ' ;
I ni — n — I
n —
X — 1
on reconnaît d'ailleurs immédiatement, en adoptant cette nota tion, que l'on a
— I
X«— 2
on aura donc, en supposant n positif,
— I — I — I
X — 2 Xi— 2 X„_i— 2
et, par suite,
/(/l — i)x— /l\ / I I \
\/ix — n — 1/ \t 'c '
LES FONCTIONS &. 6l
le sjmbole *du second membre comprenant n termes de la
forme et /i termes de la forme t — 2. Comme on peut écrire
la relation précédente entre t« et T/,+i ,
r
Xfl = 2 ,
on a aussi
I I
T_i = 2 > T-j = 2 > •••, T-rt = 2 —
et, par suite, en supposant n négatif,
/(/i — i)t — /l\ / I I \
( i =(x-h2, , •:-^2, , ...,
le symbole du second membre comprenant n termes de la
forme t 4- 2 et n termes de la forme — -•
On voit, en résumé, que les transformations qui laissent y^*(T) invariable s^obtiennent en composant les transformations de la
forme (t ib 2), ( — - )> et pourront être représentées par des sym- boles de la forme
( « I \
I..., •:-i-2/l|, — -> X-h2/l2, > •••)>
/ii, /lo, ... étant des nombres entiers positifs ou négatifs; d^ail- leurs, le symbole peut être limité à droite et à gauche par des
termes de la forme ou t + 2/î.
195. Les transformations linéaires qui laissent la fonction '/(t) invariable appartiennent certainement à ce type, et, en vertu des relations
n
x(-^)=x(^).
il est clair que Teffet sur la fonction ^('7) de la transformation précédente est de la reproduire multipliée par une puissance de i
62 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
dont l'exposant est le sixième de la somme
. . . -H /Il -f- /ij -H /l3 -f- • • • •
Si donc on veut que la transformation laisse ^(t) invariable, il faut et il suffît que cette somme soit un multiple de 24*
196. Puisque l'on a
il est clair que les transformations linéaires qui laisseront invaria- bles «p*(t) ou <J^*(t), laissant aussi *)^^'(t) invariable, auront tou- jours des symboles de la forme
/ ' ' \
mais comme les transformations de la forme (t + 2n) n'altèrent ni o*(t) ni <{'*(t), et que les transformations de la forme ( — - j
échangent ces deux fonctions, on voit que si la transformation ne change pas ç*(t) ou ^*(':), son symbole devra contenir le terme
— - un nombre pair de fois. Il suit de là que toutes les transfor- mations cherchées résultent de la composition de transformations ayant des symboles de la forme
(•: -f- 2/n
), ^__i, , + an, -i)
On reconnaît sans peine, en répétant le raisonnement du n° 194, que la dernière transformation s'obtient en répétant n fois l'une ou l'autre des deux transformations inverses
\I — 'JIT/ \H-2T/
suivant que n est positif ou négatif.
Les transformations qui n'altèrent pas les fonctions ç*(t), ♦i*(T) pourront donc être représentées par des symboles où figu- reront, n'importe dans quel ordre, des termes de la forme
«>
2/1, ,
I — *>, T I -f- 2 T
LES FONCTIONS 3r. 63
197. Les deux dernières transformations n'altèrent pas la fonc- tion cp(t), tandis que l'effet de la première est de reproduire cette
fonction multipliée par y/i". Si donc on veut avoir une transfor- mation liùéaire qui n'altère pas ^(t), il faudra la constituer de la même manière, avec cette condition*, que la somme des nombres n qui figurent dans les termes de la forme T-ha/i soit divisible par 8. On reconnaît, au contraire, que les symboles des transfor- mations qui laissent ^{'z) invariable peuvent contenir des termes de la forme x-^an en nombre arbitraire; mais que le nombre
des termes de la forme •> diminué du nombre des termes de
I — iz
la forme > doit être divisible par 8.
H-2T ^
198. Nous nous proposons maintenant d'établir les formules qui expriment au moyen de f (t), ^(t), x('w) les fonctions f (t), '^(t), ';^(t), en désignant par
c -^ d-z T= --
a -+- ox
une transformation linéaire quelconque. Ces formules ont été données par M. Hermite (*), Tout ce qu'il y a d'essentiel dans l'analyse qui suit est dû à M. Schiâfli ('^),
Les résultats sont différents, suivant que l'on se trouve dans l'un ou l'autre des six cas du Tableau (XX^). Supposons d'abord que l'on soit dans le cas i°, en sorte que a, d soient impairs, c et 6 étant pairs. Cette transformation conservera <p®(t), ^*(t), comme il résulte du Tableau du n° 187; elle aura donc un symbole de la forme
(
I 1
Z -+- CIq, -y Z -h dif — — « • • •
les nombres ao, a,, ... étant pairs, et le nombre des éléments de
(') Comptes rendus, t. XLVI, p. 5o8 et p. 7i5.
On remarquera que les cas a» et 5** correspondent respectivement aux cas V et II de M. Hermite dans tous nos Tableaux de formules. Il y a correspondance complète entre le numérotage des six cas dans les Formeln und Lehrsàtze de M. Schwarz et le nôtre. '
(') Journal de C relie, t. LXXII^ p. 36o,
64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
la forme étant pair. Si ce symbole commence ou finit par un
terme de la forme — ;:' on placera au commencement ou à la fin
un terme de la forme t -h o, de manière à obtenir, dans tous les cas, un symbole de la forme
/Il f \
(x-+-ao? 9 z-hUiy , ••., z-^Utn-u » 'tH-«j«),
\ Z Z X /
où tous les nombres tZo, ai, .... , a2n sont pairs, le premier et le dernier pouvant seuls être nuls. En groupant ensemble les trans- formations partielles telles que
on peut encore donner au symbole la forme
( T -+- flo, — — > "C ■+■ «î, ^— - >•••>--+- Ofn ) .
\ I — ajx I — a^z I
Les transformations de la forme (t + a) changent ç(t) en
a a
i*y(T), laissent ^(t) invariable et changent ^^(t) en *^*x(t); les transformations (— - — j laissent y (•:) invariable, changent
a II
«{^(t) en i*^(':) et ^(t) en i***^(T) : si donc on pose
Aju-i = «1 + aa-h. . .-+- flîrt-i,
on aura
ç(T) = t* <j.(t), ^(T) = t~^.}.(x), X(T) = t " X(X).
Nous sommes ainsi amenés à chercher des expressions en fonc- tion de a, 6, c, </, de nombres congrus, suivant le module i6, à Ajff, à A2/i^i et, suivant le module 48, à A,;,-!- Aj„_i.
199. La première forme du symbole de transformation montre
LES FONCTIONS 2r. 65
que Ton a
c
dz î
= «0 —
a 4- 6t I
ai
«2-..^ I
1
«2/i
Désignons par — la réduite de rang m-{- i de la fraction con-
tinue
I
ai
«2-... I
<^2«
en sorte que Ton ait
(«)
/?i=ûfo«i — I, <7i = «i, Pf=. a^a\ai — a^ — «o» qi=^ a^a^ — i, ,
\ Çmpm-l — PmÇni-l=^ ^'
L'expression de —37^» sous forme de fraction continue, montre
que l'on a
c -hdz __ ( ntn -^'^)ptn-\ — Pin-i __ Pin-^ "^ Pin-i a4-6x (citfi-^')gtn-t — Qin-i Çm-^'^qin-i
et que, par conséquent, au facteur — i près, les nombres grj,!, 72/1-1 j Parti />2/i-i sont respectivement égaux aux nombres «, 6, c, d. Comme on ne change pas la transformation en changeant à la fois les signes de ces quatre nombres, et que, d'autre part, dans les for- mules finales, figureront seulement des fonctions paires de 72/ir 72n-i) /?2«î />2/i-M rien n'empêche de supposer
Pln= C, Ptn-l =d.
11 suffit donc d'exprimer A2/1, A^n-t par des nombres formés à l'aide des entiers /72/1? /?2/f-i) ?2//> Ç'in-tj à des multiples de 16 T. et M. — II 5
66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
près, pour avoir, dans le cas où nous nous sommes placés, les formules de transformation linéaire des fonctions o et ^.
200. Supposons les quantités p^^ ^r exprimées explicitement en fonction de Uoy ai, ^2, a^f ... : ce seront des polynômes à coef- ficients + 1 et — I , où l'on pourra grouper ensemble les termes de même degré. D'ailleurs, dans chacune de ces expressions, on n'aura soit que des termes de degré pair, soit que des termes de degré impair, en sorte que, si l'on désigne par A2«, A2n-.i 5 ^im 62/1-1 ; C211, C2«_i ; D2/n ^2n-i ; E2/0 E2/,«i ; . • . des polynômes en ao, ai, a2, . . • dont les degrés respectifs sont égaux au rang des lettres A, B, C, D, ... dans l'alphabet, on peut écrire, comme on le voit très aisément,
( — ' )" <72»-l = — -'^în-l "+- Gta_i — Ejrt-i -f- . . . .
A la vérité, le sens des symboles A2/1, A2/i_i a déjà été fixé; maïs ils gardent leur signification, comme on va le vérifier immédiate- ment. En substituant, en effet, les valeurs que l'on vient d'écrire dans les égalités
Ptn =^ Pta-i^in — pin-it Çîn = Çtn-l^tn ~ Çla-i^
Ptn-l = pin-iCtln—l — Pin— 3* Çin-i = Çin-t^tn—l — Çin-Sy
on trouve de suite
iA2«= Aj^-j-t-aj;,, Aj;j_i = Ajrt—a h- a^n-ii
C2rt= liin—i<^2n-+' ^in—îi ^in-i = ^în-i ^2«-l ■+■ ^in—3i
d'où l'on tire
A2/,-i = ai -+- «3-+-. . .-^ «ï«-i»
m
, Btn = Aia2-h Asa^-t-. . .-+- A2„«ia2«»
(o) /
Bjrt-i = Ao^i -+■ A2a3-f-. . .-+- A2n-s<^t/i-i» (^in = Biai-+- Baa^H-. . .-f- B2»_j «2/1,
Gjrt— I = B2a3-i-. . .-h B2«~2a2/I-1'
}
LES FONCTIONS d. 67
D'ailleurs, puisque les nombres Uq, ai, a2, • • • sont pairs, on a certainement, quel que soit Tindice r,
Ar^o (mod. 2), Br^o (mod. 4), Cr^o (mod. 8),
et les nombres D^, Er, • . . sont évidemment divisibles par i6, en sorte que les égalités (^) entraînent les congruences (mod. i6)
(— !)«/?,« S A,„— G,„,
, (— ^ypin-i = I — B,„_,, (e) {
L'avant-dernière des égalités (8) peut s'écrire
C,/,= (A2 — Ao)Bi-i-(Av— A,)BjH-...-f-(Aj;»— A,„_j)Bt«_,
= — AqBi — Ai(B3 — Bi) — . . . — Ajrt_j(Bin_i — Bj;j_j) H-Aj/iBi^-i.
Si, dans le dernier membre, on remplace pour chacun des in- dices r=2, 3, ..., /i, la différence B2r_i — Bor-s par sa valeur A2r-2Ûî2r-i et B| par ao«i ==Ao^o il vient
Ci/i= — «1 AJ — «3 A} — . . . — axn-i A|„_,-i- Xîn Bj/,_i.
D'ailleurs on a, en général,
«2r-iA|;^j = 2atr-i Ajr-2 (mod. i6);
en effet, la différence ^ar-i A2r-i(A2r_2 — a) entre les deux mem- bres est divisible par i6, puisque a2r.i est pair et que le produit des deux nombres pairs consécutifs A2r_2î ^ir-2 — 2 est divisible par 8. Ainsi, en négligeant les multiples de i6, la quantité fli AJ + «3 Aj 4- . . . + ci2n-i ^In-i peut être remplacée par
on a donc
Cj/i ^— 2Bj/i_i -♦- AjrtBj;,-! (mod. iG).
On démontre exactement de la même façon la congruence
Cj/i-i^— 2B2/I-Î-4- Aîrt-iBja-i (mod. i6).
68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Ces deux congruences permettent d'écrire la première et la der- nière des congruences (e) sous la forme
(^) \ * T. * r» } (niod. i6).
Dans le second membre de la première de ces congruences, on peut remplacer B2if_i par i — ( — i Yp^n-h ? puisque les deux quantités ne diffèrent que par un multiple de i6. De même, dans le second membre de la deuxième, on peut remplacer &2n-2 p^^
D'autre part, l'égalité
montre, en tenant compte de la dernière congruence (s) et de
la congruence C2r-i ^^ o (mod. 8), que l'on a
«
qtn = — fjin-t— (— l)** «î/i Aj„.i .
Si le nombre pair Âo/i-i est divisible par 4) on a donc
Çia^ — Çin-i (mod. 8);
mais, dans la seconde congruence (rj, B2n-2 est multiplié par le nombre pair A,w-i — î*; on peut donc négliger dans l'ex- pression de Ba„_2 les multiples de 8, et, par conséquent, rem- placer Ba/i-a par i — ( — lYg^n- Si ^%n^\ était divisible par 2 sans l'être par 4, le facteur A.2n-\ — 2 serait divisible par 4> et Ton pourrait négliger dans l'expression de Ba^-a les multiples de { *• comme aa/u Aa/i_i sont pairs tous deux, on a toujours
q^n^—qm-i (motl. 4);
on voit donc que l'on peut encore remplacer Ba/ï_2 par
I — (— \Yq2n' Dès lors, les deux congruences (ti) conduisent aux suivantes
i—^Ypm = A,„H-(a- A,«)[i — (— 0»/>j„_,] )
\ (mod. iG). (— O^^î/i-i^-AîH-, — (2 — A,„_i)[i — (-i)«y,„] )
LES FONCTIONS ^, 69
d'où Ton tire
A,»/,,,-.- p^„ +a[/,.„_.-(-i)'.]) ^^^
Multiplions ces deux congrueuces respectivement par ^2^.1, Ç2nj si l'on remarque que, en vertu des congruences (e) et de la con- gruence B^ ^ o (mod. 4)9 on a
A'în-i^i I („od. 8), d'où, puisque A2/1, A2/i_i sont pairs,
on voit que l'on peut écrire
Aî«-| = — ç^tnÇrj^.j-hgf^ -h^î;, — 2(— l)«^,n (
(mod. 16).
Les seconds membres se réduisent, en tenant compte des con-
gruences,
t.-(-OV.»-.]'-o)
[i-(-«)"yt«]» =0 i ^
qui résultent manifestement des congruences (e) et de la con- gruence B^ ^ o (mod. i6), et l'on a finalement
A„ - ^"■''«'--^''«'-— l(„,od..6).
OU encore
> (mod. 16).
âOl. Nous transformerons ces expressions de A2/1, A2/}_.i au moyen des congruences
(a — rf)(a-f-rf-f-6) = o ' ^ qui peuvent s'établir comme il suit.
70 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Écrivons les premiers membres sous la forme
( Çin—Pm-l ) ( Çin-^Ptn- 1 -»" Ptn), {gin — Pin-l) {gia-^ Pm-i H" Çln-i)-
En tenant compte des congruences (e), on voit que les deux quantités précédentes sont respectivement congrues (mod. i6) à
(B,«_,— B,„)(2-+-At„), (Bj/i-l — Bjn) (2 — Ajrt_i).
Il nous suffit donc de montrer que ces deux quantités sont di- visibles par 16.
Pour la première, il n'y a évidemment lieu à démonstration que si Ton avait à la fois
Bifl-i— Bi„=4 (mod. 8), A2„= o (mod. 4);
mais, si Ton écrit la première de ces deux congruences sous la forme équivalente
B,„-i-i-Bj„^4 (mod. 8),
on aperçoit tout de suite qu'elle est incompatible avec la seconde; car on tire de l'égalité
ÇinPtn-i — PiaÇtn-l = I»
et des congruences (e) la suivante
Bj/t-i^- B2„= Ai„Ajrt_, (mod. 16),
et cette dernière montre que, si A2/1 est divisible par 4, Bo„_i + Ba« est divisible par 8.
On déduit aussi de la dernière congruence que l'on ne peut avoir à la fois
Bjn-i — Bi« = 4 (mod. 8), Ajn«i = o (mod. 4),
et les congruences annoncées sont établies.
Puisque a — d est divisible par 4» que 6 et c sont pairs, il est
LES FONCTIONS &. 7I
clair que ces congruences entraînent les suivantes :
À) ^^-f-/ (mod.i6);
on en tire
a^zhac ^d*àzcd ]
, , } (mod. 16),
où les signes supérieurs se correspondent.
Les deux expressions de Aan» ^2n-î peuvent donc aussi s'écrire
Aj/j = crf-hrf*— 1= ac-^a* — i ) ^ , ^^
> (mod. 16) Ai„_i ~ — aô -h a* — I s — Arf -4- rf* — i )
et l'on a, par suite, dans le cas i° du Tableau (XXe), les rela- tions
-aft-t-a«-l ^bti-hd*—l
^
^^) = i — i — -Kt) = »' — '" — "K^)-
â02. Il est facile de vérifier que, dans chacun des cas 2° à 6° du Tableau (XXo), la transformation t peut être envisagée
comme composée de transformations (tH- i), f j et de trans- formations rentrant dans le premier cas. Cela résulte du Tableau suivant, où l'on a écrit, à gauche, le numéro correspondant du Tableau (XXq), et où, dans le second membre, figurent chaque fois dans l'ordre voulu les transformations qui, par combinaison^ don- nent la transformation t.
^ I c -\- d'zX ^ / c — d -\- dz ^ \
Xa-^bi) "" \a — b -\- bz^ " /'
_ /c-hdx\ / c-h{d — c)'z I \
\a-Jt-b'z/ \a-f-(6 — a)x t /
,^ (c~>rdz\ / d-^ (d—c)z i \
\a -h 6t/ \b — «T T/
^- /c-hdx\ / d-h c — cz i\
72 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On voit bien, en tenant compte de la parité des nombres a, b^
c, d dans chacun des cinq cas considérés, qu'outre (t+i), ( )>
les transformations qui paraissent dans le second membre ren- trent dans le premier cas. Les transformations (t + i), ( )
changent d'ailleurs ^ (t) et ^(t) en combinaisons de ces fonctions que font connaître les formules (XLV).
203. Â l'aide de cette remarque et des formules établies au n° 201 pour ©(t) et ^(t) dans le premier cas du Tableau (XX«), on obtiendra sans peine les mêmes formules dans les cinq autres cas de ce Tableau.
Prenons, par exemple, le cas 4^ : a, 6, c sont impairs, d est
pair; la première transformation est t'= - — g^» en supposant
aL = b, ^ = b — a^ y = dj S = rf — c. On vérifie bien que a, p, Y, S sont les coefficients d'une transformation qui appartient au cas I ^ ; on a donc
en remplaçant t par » on a ensuite
puis, en remplaçant t par t + i ,
id—c) {id — ca — i M-h6*— 1
4.(t) 4/(t)
D'ailleurs, d — c étant impair, on a la congruence
i(d — c)*^2 (mod. i6); d'où l'on déduit facilement la congruence
(d—c)(id — c — isc(rf— c)-M (mod. i6);
LES FONCTIONS ^, 78
OU a donc finalement, dans le cas 4°)
crf — r*-fj 3r/-4-&«— 1
? :r^-7:i =* * X7rT = ^
En répétant les mêmes opérations dans les quatre autres cas du Tableau (XXa), on obtient des formules analogues, et Ton a finalement pour la fonction cp(T), dans les six cas de ce Tableau, les formules de transformation suivantes :
cd-hd*—l nc-4-rt«— 1
I
II
(^ t^ J \ CH-t-a — i fïc-t-n- — ^i
cd _. V la — b){fi — b + r. — i!)
2
<>
C -4- rf X \ . T I . r I
-— ) = t * • . . = t * — ; — ,
a-^b-zj 9(1:) <p(x)
c-4-aT\ __ . — I __ . j I
(I \ — c<f-t-c*— 1 &<l-^6*— i
crf I y V (a-f-6)(<t-4-64-c-Kf)
204. Il n^est pas nécessaire, pour obtenir ces formules, de ra- mener, comme nous venons de l'expliquer, chacun des six cas au premier.
Nous avons vu au n° 202 que Ton peut envisager la transforma- tion l j^\ du cas 4°> où dr, fc, c sont impairs et d pair, comme
composée de la transformation H- — ^\ où a = 6, 8 = rf — c sont
impairs, tandis que P = A — a, y = d sont pairs, transforma- tion qui rentre donc dans le cas i^, et de la transformation
( — 2 )• 0° peut de même envisager la transformation ( r- )
du cas 6°, où a est pair, tandis que b, c, d sont impairs, comme composée de la transformation [^^ — ô-hoù a •= 6, p = 6 — a.
74 Calcul différentiel.
y z=:d sont impairs, tandis que o = d — c est pair, transformation
qui rentre donc dans le cas 4^, et de la transformation ( -)3
de sorte que Ton a, dans le cas 6"^, non seulement la décomposi- tion de la transformation (t) donnée au n° 202 en une transfor- mation qui rentre dans le cas i°, suivie des transformations (-r-f- 1),
( — - j» mais aussi la décomposition
de cette transformation (t) en une transformation qui rentre dans
le cas 4®» suivie de la transformation ( ) •
On verrait exactement de la même manièreque Ton peut envisa- ger les transformations ( j-j des cas i**, 3®, 5**, a° comme résul- tant de la composition d'une transformation (- — J'-j^ où a = 6,
P = 6 — a, y =^ d, ù = d — c, transformation qui rentre respecti- vement dans les cas 6**, 2**, 3®, 5°, et de la transformation
Observons d'ailleurs, sur l'exemple du numéro précédent, que la formule pour (f(- — ^ j s'obtient, dans le cas 4^> à l'aide de
la formule pour (fl 7~)' supposée connue dans le cas i**, en
changeant dans cette dernière formule simultanément a, b, c,
rf, T en b, b — «, rf, rf — c, ^« Les mêmes changements
simultanés permettront donc aussi, lorsqu'on connaîtra une des formules relatives aux cas 4**j ou 6°, ou a**, ou 3®, ou 5**, d'écrire immédiatement la formule relative respectivement aux cas G**, ou I®, ou 3°, ou 5°, ou 2**. 11 suffît donc d'avoir les formules rela- tives aux cas i° et 5**, par exemple, pour avoir toutes les autres. Le même raisonnement s'applique aux diverses décompositions indiquées dans le n^ 202. Le Tableau suivant résume les résultats et permet de passer des formules qui concernent l'un quelconque des cas du Tableau (XX^) à celles qui concernent les autres cas. Dans les cinq premières lignes on a écrit, à côté des lettres a, 6, c, rf, T, les expressions qui doivent les remplacer : en regard de
LES FONCTIONS &.
75
ces expressions el à côté des n°* i°, a°, 3°, 4°? ^^? 6*^» on trouve les numéros des cas qui remplacent respectivement ces six cas.
a |
a-6 |
a |
6 b — a |
b |
a-h 6 |
b |
6 |
A — a |
— a |
— a |
|
c |
c — 6? |
c |
d |
d |
c-\-d |
d |
d |
d — c |
d c |
— c |
— c |
X |
T-hl |
•c |
I |
ï •c |
T — I |
X-f-I |
TH-I |
M |
|||
f* |
2° |
s*» |
4° |
5*» |
6' |
2* |
I* |
4^* |
3° |
6*» |
5» |
3*» |
6« |
I' |
5» |
4' |
2° |
4° |
5» |
2*» |
6° 2*» |
3" |
i"» |
5- |
4" |
6° |
1° |
3' |
|
6' |
3« |
5° |
1° |
2" |
4'' |
205. Les formules relatives à la transformation linéaire de la fonction <|^(t) pourraient s'établir exactement de la même ma- nière; le Tableau précédent s'applique aussi bien à la fonction ^(t) qu'à la fonction <p(t).
D'ailleurs, on peut passer directement des formules relatives à la fonction (p(T) à celles qui concernent la fonction <J^(t) par la
76 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
remarque suivante, que nous développerons sur le cas 1^. Dans la
formule
c -+- az \
changeons t en ; elle devient
rrf4-rf*— 1 <«r-+-fl*— I
Si Ton applique au premier membre de cette formule la rela- tion
— û? -4- ex
en supposant t = — r » on trouve
crf + r/«— 1 «c-»-a*— I
Si Ton remplace maintenant a, 6, c, d par — rf, c, fc, — a, ce qui nous laisse dans le cas 1^, on obtient les formules
— a6-+.a«— 1 ^bd-hd*—t
J^;) =.•— r— i.(,) = .-- r— 4,(,),
qui sont bien celles du n^ 201.
En raisonnant de la même façon, on voit que si Ton change a, 6, c, rf en — rf, c, i, — a et simultanément o en ^ et ^ en ç» chaque formule relative à la fonction ^ conduit à une formule relative à la fonction ^; mais on ne reste pas toujours dans le même cas du Tableau (XXa); on reconnaît facilement que ron passe des cas 1°, a**, 3°, 4°> 5*», 6* aux cas 1°, 3®, 2**, 6^, 5°, 4**-
On obtient ainsi pour la fonction ^ (t), dans les six cas du Ta- bleau (XXe) les formules de transformation linéaire suivantes :
a6-4-a*-->l _ — 6rf-t-rf«— 1
Vt*»
a + bz) 4»(T) «Kx)'
4*
Vi^
, / c-hdz\ _ • \a-hbz/
LES FONCTIONS 2r.
(e—d){—n-hb-hc — d^
/i6 + A«— 1
— /?f + r*— 1
<p(T) = t"
?('),
— ab—b*-hi
«f-HC*— 1
©(t)
= l
<P(t)
77
206. Nous récrirons ci-dessous les formules relatives aux fonc- tions ç (t) et ^ (t), en ne conservant d'ailleurs, pour chacune
d'elles, qu'une seule forme. Le symbole f-V où n est un entier
impair, est emprunté à l'Arithmétique; nous aurons l'occasion d'y
n*-i
««--1
revenir au n° 228; il est mis à la place de i * = ( — i) • . Nous
m
rappelons encore une foi§ que i; " , où m est un entier quelconque et n un entier positif, est mis à la place de e ''* .
(XLV,.3>
+ (T)-
ah . .
(N ah
78 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
207. Il est à peu près inutile de dire que les différentes façons dont on parvient à ces formules donnent naissance à une suite de congruences (mod. 16) entre les nombres a, b, c, d, relatives aux différents cas du Tableau (XX0). Par exemple, dans le cas 3**, on a, entre autres congruences, les suivantes :
{d-ha){d — a — c)^o,
(c -h d) ( — a — b -h c -h d) -h ab ^ o,
c(a -h 2Ô-t- c -h û?) s o, , , j ex
^ ' ) (mod. 16).
d (— a -^ b -h c -h d) ^ b (a — c),
(a -h c) (a -h 2c) s û?(c H- û?) = I -+- 6 (a — <f ),
Elles peuvent être vérifiées en distinguant les nombres entiers a, b, c, d suivant leur reste modulo 4. Quelques-unes d'entre elles se déduisent d^ailleurs des autres en ne distinguant ces nombres entiers que suivant leurs restes modulo 2.
En tenant compte, dans chacun des six cas du Tableau (XX«), des congruences correspondantes, on peut mettre les formules de transformation linéaire des fonctions «p(t) et A(t) sous plusieurs formes équivalentes à celles des Tableaux précédents. Ainsi, dans le cas 3°, on a, par exemple,
• Xa-^b-z) \d) <p(t)
208. Pour obtenir les formules de transformation linéaire con- cernant la fonction '/^(t) dans le cas i** du Tableau (XX^), nous suivrons une méthode moins directe que pour les fonctions o(t) etti(T).
Rappelons tout d'abord que, dans ce cas 1°, on a
X
où Ton a posé, pour abréger,
quand nous voudrons mettre en évidence les nombres a, 6, c, d
LES FONCTIONS &. 79
dont dépend X, nous écrirons, au lieu de ).,
Observons aussi qu'en remplaçant, dans Tégalité T par T + an ou par — > on aura
a-4-(6 — •2/ia)x/ ~" * ^^Vi — '2/1-:/ ~ * '^^^'^
et, par suite,
M 1/1. V /AN ; (niod-48).
\ \c, d^ inc J \Cj d/ I
Inversement, si l'on détermine une fonction entière à coeffi- cients entiers X qui vérifie ces deux congruences, quel que soit le nombre pair a/i, pourvu que a, 6, c, d soient des nombres satis- faisant aux conditions du cas i°, et qui, enfin, se réduise à zéro dans le cas où a, 6, c, d sont les coefficients de la transformation identique, c'est-à-dire lorsque l'on a
a = i, 6 = 0, c = o, c?=i,
il est clair que cette fonction X pourra être prise pour la fonction X qui vérifie l'égalité
X(t) = ï^x('^)-
En effet, toute transformation du cas i® peut être obtenue en faisant suivre la transformation identique d'un certain nombre de
transformations de la forme (t-}- a/i) ou ( ).
209. Nous commencerons par déterminer une fonction L de
8o CALCUL DIFFÊRENTIBL.
a^ b^ c^ d qui vérifie les con^uences (t^) suivant le module i6; nous transformeroDS ensuite cette fonction L en une autre qui lui soit congrue suivant le module 16 et qui vérifie les con- gruences (7^) suivant le module 3; cette dernière fonction pourra être alors prise pour X, car elle vérifiera manifestement les con- gruences (tj) suivant le module 48.
Comme les formules de transformation des fonctions ©(t) et ^(t) dans le cas i** du Tableau (XX^),
Irrf -H rf« — t ?(T) = * * ?('),
donnent immédiatement pour Texposant A de la formule de
transformation
x_
y(T) = t«x('^).
la valeur
X = (cû?H-û?*— !)-+-(— ab-\-a'^—\) (mod. 16),
il est naturel de se demander si en prenant pour L Texpression cd — ab -[- d'^ -\- a- — 2, les congruences (ti) sont vérifiées sui- vant le module 16.
On le voit immédiatement, dans le cas où le nombre pair 2/1 est divisible par 4- En remplaçant alors t par t -f- /i dans les égali- tés (Ç), on obtient les relations
— {a -h nb) b -h (a -i- nb]^ — 1
^
' \a-h nb -^ bij • ^
Si donc on prend pour L l'expression
et si Ton désigne par L| ce que devient L lorsqu'on change t en T+ 71, on a l'égalité
Li — L = n[d*-^i'~b*-{-2ab-h /i6*].
De même, en remplaçant, dans les égalités (!J), t par --^ — et
1 " * »C to
LES FONCTIONS &• 8l
en désignant par Lj ce que devient alors L, on a Tégalité
Lj — L = 71 ( — c* — 2cd-{- nc«-i-a'-hi).
De ces deux égalités on déduit immédiatement, puisque n^b^ c sont pairs et a, d impairs, les congruences
Li — L ^ 2/1 i
} (mod. 16),
qui mettent bien en évidence que les congruences (rj sont véri- fiées, suivant le module 16, en prenant X = L.
Ainsi, dans le cas où n est pair, toute fonction congrue à cd — ab -^ a^-h d^ — 2, suivant le module 1 6, et s'annulant pour a = i,rf=:i,6 = o, c = o, pourra être prise pour )., si elle vé- rifie les congruences (7^) suivant le module 3.
Or, en vertu des diverses valeurs trouvées pour A 2/1, A2/i_i , on a les congruences
L = rf(c — 6)-+-2(rf* — i)^a(c — 6)-+-2(a*— i) (mod. 16),
et, par suite, puisque a et d sont impairs,
L = û?(c — b)^a{c — b) (mod. 16).
D'un autre côté on a, à cause de l'égalité ad — 6c = i , les con- gruences
a{bc-hi) — û?=(a» — j)rf=o ) d'où l'on déduit, en multipliant par le nombre pair b — c,
f (mod. 16). (6-c)(a6c — ^)-+-a(6-c)so ( ^ ^
On a donc aussi les congruences
L^(b — c)(bcd — a)^(b — c){abc — d) (mod. 16).
D'ailleurs les deux fonctions
(6 — c)(6cû? — a), (b — c)(abc — d)
sont congrues suivant le module 3; en effet leur différence est
{b — c)(a — c?)(6c-i-i) = {b — c)(a — d)adf T. et M. - II. 6
8a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et l'un des facteurs b — c, a — d^a, d est nécessairement divisible par 3, car s^ii en était autrement il faudrait que l'on eût à la fois
a = e, 6 = 6', c = — s', rf = — e, e, e' étant égaux à zb i ; on en déduirait
I = arf — 6c = — 6* -+-«'•= o (mod.3),
ce qui est absurde.
On aura donc vérifié que, pour n pair, Tune ou l'autre des deux fonctions {b — c){abc — rf), (b — c){bcd — a) peut être prise
pour la fonction Xl ' h si l'on constate que l'une ou l'autre de
ces fonctions satisfait aux congruences
\c, a — %nc ) \Cy dj ]
(mod. 3).
La vérification de ces deux congruences est particulièrement aisée, si l'on fait porter la démonstration sur (6 — c){bcd — a) pour la première, sur (fc — c){abc — d) pour la seconde. On a alors à établir les deux congruences, suivant le module 3,
(b — c — !ànd)[bdc — a-han6(rf* — i)]— (6 — c){bdc — a) — 2/1 ^ o, (6 — c — •kna)[abc — d — inc{a^— i)] — (6 — c){abc — d) — 'in^o ^
ou, en supposant n premier à 3,
— 2 nbd{ rf«— i) — d{ bdc — a)-f-6(6 — c)(rf»— 1) — 1=0, -f- 2/iac(a' — i) — a{abc — d)^ c{b —c){a^ — 1) — iso;
or les nombres d{d^ — i), a(a^ — i) sont divisibles par 3 puisque ce sont des produits de trois nombres entiers consécutifs; on a donc à établir les deux congruences
_rf(Mc-«) + *(6-c)(rf.-.)-.-o I ^^^^3^ — a^abc—d) — c{b — c)(a'^ — i) — 1 = 0 )
En retranchant des deux membres la quantité ad — bc — ^i,
LES FONCTIONS ^. 83
elles prennent la forme
c(c— ao)(a*— i) so ) ou
c(6-+-c)(a*- i) = o ) ^ '
Si a est divisible par 3 ou si d est divisible par 3, Tégalité ad — 6c = I montre que l'on a
6c== — I (mod. 3),
d'où Ton conclut que 6 + c est divisible par 3. La vérification an- noncée est donc faite.
210. Nous nous sommes bornés jusqu'ici à considérer le cas où le nombre pair 2/? est divisible par 4; mais il se peut que n soit impair et dans ce cas la démonstration précédente est en défaut, comme on le voit en observant qu'alors les substitutions t = t-4-/i
et T = — — ne rentrent pas dans celles du cas i® du Ta-
I — nx ^
bleau (XXc).
Il nous reste donc encore à vérifier que, pour n impair, les congruences (tj) ont lieu suivant le module 48 lorsque l'on prend pour \ successivement chacune des deux expressions
(h — c)(bcd— a), {b — c){abc — d).
La démonstration est la même que tout à l'heure, lorsque l'on envisage les congruences (tj) suivant le module 3 ; il suffit donc de vérifier que l'on a, pour n impair, les quatre congruences, prises toutes quatre suivant le module i6,
( b — c — 'xnd)[bd(c -h 2nd) — (a-^'Anbj\ — {b — c){bdc—a)'- 2/1=0, (b — c — ^na)\{b — 7.na){d — inc)c — a] — (b — c)(bdc — a) — 2/1^0, {b — c — 2/w/)[(a-4- inb)(c -\-ind)b —d\ — {b — C){abc — d)~'7,n~o, ib — c^ina)[{b — 7.na)ac — {d — 2/ic)] —(b — c)(abc — d)— 2/1 = 0.
Cette vérification n'offre aucune difficulté si l'on tient compte de la relation ad — bc = i et de ce que, a et rf étant impairs, h
84 CALCUL BIPPÉBBNTIBL.
et c pairs, les quatre nombres a* — i , rf* — i , b(b — 2), c{c h- a) sont divisibles par 8.
311. Nous avons ainsi démontré que dans le cas 1° du Ta- bleau (XXft), où a, d sont impairs et 6, c pairs, on a les relations
lb — e)ibcfl -a) (b — cHabc-d)
En nous reportant au Tableau du n^ 197, qui montre comment on peut décomposer dans les cinq autres cas la transformation t en
transformations (t-1-i), f — - ) et en transformations P- — ^ j où oc, S
sont impairs et P, y P^i'^'s, en faisant usage de la formule précé- dente et des formules (XLV) ainsi que de la relation ad — bc = i et de la parité des nombres a, 6, c, d, on peut obtenir les formules de transformation linéaire de la fonction x(^) ^^^^ 'es cinq autres cas.
On a ainsi, dans le cas 2'', la relation
{h — c-*-rt) (hrft — b(h — n-*-b)
que Ton peut écrire, en tenant compte de la formule (XLV4) et de la relation arf — 6c = i,
La congru encc
bd{di—i)~o (mod. 48)
est manifeste, puisque b est pair et d impair. La congruence
b[b — ^c){d*'— 1)^0 (mod. 48)
qui est manifeste quand d n'est pas divisible par 3, puisqu^alors d'2 — I est divisible par a4) résulte, quand d est divisible par 3, de la relation ad — bc = i qui entraîne les deux congruences
bc —i (mod. 3), b*-^\ (mod. 3).
Dans le cas 2**, la formule de transformation de la fonction
LES PONCTIONS ^. 85
'j^(t) se présente donc sous la forme très simple
qui est toute semblable à l'une des deux relations du cas i^. Dans le cas 5^, on a immédiatement
_ (a-hd){ard-b) {a ■hd)lnbd-c)
X(T) = / " x(^) = * " x(^)-
Dans le cas 4°, les calculs sout tout aussi simples, si l'on passe du cas S** au cas 4° à l'aide du Tableau du n° 204. On obtient ainsi la relation
{n-i-d)labd — <fi bdlbt^j) d{d+la)(b*—l) , v
y(t) = i " i " i " fpï.
En tenant compte des deux congruences
\ (mod.48),
qui résultent immédiatement de ce que dans le cas 4°t d esl pair, b impair, et de ce que l'on a ad — bc=^ïy cette relation peut s'écrire
212. On pourrait de même déduire de diverses manières, à l'aide du Tableau du n° 204, les formules de transformation linéaire, relatives aux cas 3° et 6**, des formules établies dans les cas i°, 2°, 4^, 5^. Mais on arrive plus rapidement au résultat de la manière suivante :
Dans la formule relative au cas 2°, où a, c, d sont impairs et b pair, à savoir
changeons t en ; nous aurons
{b — c)lbcd—a)
\b — azj çC*^)'
86 CALCUL DIFFÉBENTIBL
appliquons ensuite la formule
en prenant
d — ex b — ax'
la relation précédente deviendra
(A— c)(Acrf— fl)
/ 6-ax \ ^ ;— >;7—>x^), ^\— C/-+-CX/ <p(x)'
elle rentre toujours dans le cas a°. Changeons maintenant a, 6, c, e/ en — ûf, c, ft, — a; nous aurons
^\a-hbz/ <p(x)
et cette formule rentre dans le cas 3^, puisque a, c, e/ sont im- pairs, b pair.
En raisonnant de la même manière sur la formule relative au cas 4°, on voit qu^en changeant dans cette formule a, b, c, d en — rf, c, 6, — a, on obtient la relation
\a-h6x/
OÙ 6, Cy e/ sont impairs et a pair et qui rentre donc dans le cas 6"^.
Les mêmes changements simultanés de a, 6, c, rf en — rf, c, 6, — a transposent donc entre elles les formules relatives aux cas a** et 3° et les formules relatives aux cas 4° et 6**; ils transposeni aussi entre elles les deux formules relatives au cas i*^ et les deux formules relatives au cas 5^.
213. En résumé, nous avons obtenu, dans les six cas du Ta- bleau (XXo), les formules de transformation linéaire de la fonc- tion •)^(t) que Ton trouve réunies dans le Tableau suivant :
LES FONGTIODiS ^.
87
= (
3» x(T) =
(XLVI,)
{b — O {bcd — a) il
{b — c){bcd—a)
i »
(6— c) {abc—d)
i »
{b—c){abc. — d)
40 x(t) = l
12
<P(t) X(L),
xii)
11
X(').
5» X(T) I 6° x(T)
{a-\'d){abd — c) _ (a -f- rf) (agrf -» &)
X(').
= l
{a-^d){acd-~b)
il
xÇO
214. Si Ton observe que les nombres entiers a, 6, c, rf, liés par la relation ad — bc = i, vérifient les congruences
{b — c) {bcd — a) ^ ab ->rac -\-bd — ab^ c ) ^{b ^ c)(abc ^ d) ^ - cd— bd- ac -h bc^d ) ^^^^' ^^'
et que, dans le cas oh a ei d sont impairs, 6 et c pairs, ils véri- fient aussi les congruences
(i> — c)(6crf— a)s(6 — c)(a6c — c0 = 3(a*û?*— I)— 9(a6 — c/i) (mod. 16), de sorte que Ton a
(6 — c) {abc — d)
16 {—cd— bd^ac-h bc^d) -f- 3(a» rf« — 1) — 9(a6 — cd)
(b--c)(bcd^a)
16 {ab -^ ac -h bd — ab^c) -h 3(a^d* — i) — 9(0^ — crf)
(mod. 48),
on voit que, dans le cas i® du Tableau (XX©), les formules de transformation que nous venons d'obtenir peuvent être rempla- cées par les suivantes :
-—-'{ab-^ac-¥-bd—ab*c) —(ab — cd)
8 g 3 e ^
X(').
-—~{—cd — bd—ac-^bc*d) --{ab—cd)
= (-!) ' e' e ' x(^)-
De même, si Ton observe que les nombres impairs a, c, <f et le nombre pair 6, liés par la relation ad — bc = î, vérifient la con-
88 CALCUL DIFFÉBENTIBL.
gnience
(b — c) {bcd — a) = 3(a«— i) H- 9(aft 4- cd) 4- 8 (mod. i6),
de sorte que l'on a
(6 — c)(6crf— a) = i6(aft-+-ac-+-6rf— a6*c) ) , ^«v
5 (mod. 48), H-3(a«— i)-H9(a6-+-CfO-*-a4 \^ '
on voit que, dans le cas 2*^, la formule de transformation linéaire de la fonction ')^(t) peut s'écrire
En changeant dans ces deux formules a, 6, c^d^t en 6, — a,
rf, — c, ^ on obtient les formules de transformation linéaire
de la fonction xC*^)) ^^^^ les cas 5^ et 6^, sous la forme suivante :
/cH-rfx\ , ^\^ ^-^l-ab^bd+ac-asbd) '4?'(«fr-crf) ^ ^
{cd—ac^bd-hacd^) ---{ab — cd)
Enfin, en changeant dans les dernières formules relatives aux cas 2® et 6®, a, 6, c, rf en — rf, c, ft, — a, on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction /(t) dans les cas 3** et 4** sous la forme suivante :
215. Les congruences
— «6 — a^bd^ab — a6« c
cd -h acd* ^ — cd -h bc^ d } (mod. 3),
— cd — bd— ac-\- bc^ d e= ab -h ac -h bd — ab^ c
ayant lieu quels que soient les entiers a, 6, c, d liés par la rela-
LB8 FONCTIONS &. 89
tion ad — 6c = i, on a, en résumé, dans les six cas du Ta- bleau (XX« ),
3» X(T) = - (5J P« • ^^.
4 x(T) = - (^-j P«« . ij;^:^^. ^
(XLVI,)
x(T)=- (g) p« • ^;
OÙ Ton a posé
Ce sont les formules mêmes de M. Hermite, tandis que le Ta bleau (XLVI2) est celui de M. Schlâfli.
VI. — Détermination, en fonction des coefficients de la transfor- mation linéaire des fonctions 2r, des racines hnitiômes de l'unité qui figurent dans ces formules de transformation.
216. Nous avons vu (n^ 149) que toute substitution linéaire à coefBcients entiers et à déterminant + 1 peut être obtenue par répétition et combinaison des deux substitutions
et de leurs inverses.
En suivant la marche indiquée au n° 150, il est d'ailleurs facile, chaque fois que les coefficients de la substitution linéaire ont des valeurs numériques données, d^effectuer la décomposition de cette
90 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
substitution en substitutions.
(; :> il. :)
et en substitutions inverses. Une fois celte décomposition eflectuée, on n'a plus qu'à appliquer, dans un ordre déterminé, les formules de transformation du paragraphe précédent pour obtenir, dans le cas particulier considéré, les formules de transfor- mation linéaire des fonctions d et, par suite, les racines huitièmes de l'unité e, e', e^ e"'.
Mais on peut chercher à s'affranchir de cette décomposition préalable de la substitution linéaire donnée. A cet effet, nous établirons, en nous plaçant avec M. Dedekind (*) au point de vue de la fonction h('7), des formules qui donnent explicitement e, et, par suite e', e^, e''', en fonction des coefficients entiers a, 6, c, d de la transformation linéaire
217. Si l'on prend les dérivées, par rapporta p, des deux mem- bres de l'égalité (XIAl^) et que l'on pose ensuite p = o, il vient
En tenant compte de la relation
&;(o)=27rh»(x)
f et en extrayant les racines cubiques dans les deux membres de l'é- galité (a), on obtient immédiatement l'égalité
(P) h(T) = e»/a-h6'ch(':),
où e^ est une racine vingt-quatrième de l'unité que nous allons dé- terminer en fonction de a, b, c, d.
C) Biemann's Werke, a* édition, Nachlass XXVII, a. Fragmente ùber die Grenz/âlle der elliptischen Modul/unctionen.
LES FONCTIONS &. 9I
Dans le cas où b est nul, cette détermination est immédiate. En effet, l'égalité ad — bc = i exige alors que Ton ai t, soit a = rf = i , soit a=-d = — I et l'on peut se limiter à la première alternative, puisque x ne change pas quand on change le signe des quatre nombres a, 6, c, d. On a alors
T = T -h C,
et, par suite, (XLV«), d'après la formule
c
h(T-l-c)= i^h(.x).
218. Nous supposerons dans la suite b différent de zéro : a H- 6t n'est alors jamais réel.
La constante e^ n'est susceptible que de vingt-qualre valeurs;
elle ne dépendra donc pas de t si l'on a défini y/a -h b'z comme une fonction univoque el continue de t pour les valeurs de t re- présentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, valeurs qui sont les seules que nous ayons à considérer ici. A cet effet on pourrait, puisque a-\-b'z est toujours un nombre imaginaire, prendre comme argument de a-h bx un angle diffé- rent de zéro, compris entre — « et -h tc, et pour y/a -f- 6t la va- leur imaginaire correspondante, dont l'argument est compris entre
et H — 7 en sorte que la partie réelle de sJa-^-by soit positive.
mm «A
Mais il y a avantage à substituer à \Ja + &t une quantité qui ne change pas, non plus que t, quand on remplace a, 6, c, d par
— a, — 6, — c, — rf : à la place de \Ja -h 6t on mettra \/ — (a 4- 6t)^ qui n'en peut différer que par un facteur égal à une racine hui- tième de l'unité, puisque les valeurs absolues de y/a-l- 6t et de y/ — (a H- éx)^ sont égales et que les arguments de ces quantités ne
peuvent différer que par un multiple de - • Cette racine huitième
de l'unité, multipliée par e'^, reproduit une racine vingt-quatrième
de l'unité. Quant à \J — (a -h 6t)^, elle sera définie comme il suit : — (a 4- 6'c)^ n'est jamais un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre imaginaire a + 6t ne peut être un nombre positif; dès lors on peut prendre comme argument de — (a -f- 6t)*
Q2 CALCUL DIPFfiBENTIEL.
un angle compris entre — iî et h-tt, et pour y/ — (a -f- 6t)* la valeur correspondante, dont l'argument est compris entre — T ^' + 7 '
Entre les deux fonctions ^ — (a -[- 6t)* et y/a 4- 6t, précé- demment définies, on a les relations
•Ki
3=
où il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que b est positif ou négatif. En effet, si b est positif, l'argument de a 4- 6t peut être regardé comme compris entre o et ir, puisque le coefficient de i dans a -^ b'z est positif; Targumeut de la quan- tité y/a -f- 6t, définie comme précédemment, sera donc compris
entre o et -> et Targument de e * ^'a-hb-z sera bien compris
entre — ~ et 4- -;» comme celui de 1/ — (a -h biY , Le raîsonne-
4 4 T \ /
ment est le même quand b est négatif.
Quoi qu'il en soit, la fonction yj — (a -\- b^Y définie, comme nous venons de le faire, est univoque et continue pour les valeurs de T représentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, et, si l'on écrit, au lieu de l'égalité (P), l'égalité
(Y) »ï(T) = ei t/-CaH-6T)»li(T),
où ei est une racine vingt-quatrième de l'unité, il est évident, par le raisonnement du n" 181, que ê| ne peut dépendre de t; en sorte que l'on peut remplacer la formule (y) par celle-ci :
NjrJ
(8) h(T) = ci2 î/_(a-t-6'c)«h(':),
N étant un nombre entier indépendant de t qui, lorsqu'on se donne a, 6, c, (i, n'est d'ailleurs déterminé par cette formule qu'à un multiple près de a4* Nous allons donner de ce nombre N une dé- finition précise.
219. On tire de l'égalité précédente
logh(T) =:N H 7log[— (a-i-6x)«] -f- logh(T) + aÂiri,
LBS PONCTIONS ^. 93
k étant un nombre entier qui dépend des déterminations choisies pour les logarithmes. On peut faire rentrer k dans N, ce qui ne modifie N que d^un multiple de 24» et adopter pour les logarithmes des déterminations précises: alors N sera entièrement déterminé.
Nous avons choisi l'argument de — {a-\- b'zY compris entf e — 11 et -f-Tç; il est naturel d'adopter pour log[ — (a + ôx)^] la détermination correspondante, c'est-à-dire la détermination prin- cipale, celle pour laquelle le coefficient de i est compris entre — Tw et H- «. D'autre part, la définition de h(T)
TITl
h(-:) = e'* rT(i — g*«)
A=l
donne, en choisissant convenablement les déterminations des loga- rithmes,
/t = 00
logh(t)= — -t-logjjci-y»").
n = \
Mais il est aisé de voir que l'une des déterminations du logarithme qui figure au second membre est la somme de la série conver- gente ( * )
/l=«0
2 log(i - ?««),
n~l
OÙ le logarithme a sa détermination principale.
«
Pour éviter toute ambiguïté, nous poserons, en conservant tou- jours cette signification à log(i — 5^^")?
n=.i
U) lh(x) = ''J'^-+2log(l-î«'')
n = l
(*) C'est là une propriété générale que Ton a négligé de signaler dans l'Intro- daction et que nous rappelons rapidement ici.
Observons d'abord que, si x est un nombre Imaginaire dont la valeur absolue
est moindre que un, l'argument de 1 + ^ peut être supposé compris entre — 7 et -t en sorte que la détermination principale du logarithme de i~t-x a le
94 CALCUL DIPFÉRBlfTIBL.
lh(T) est alors une des déterminalions de logh(T); c^esl une fonc* tion univoque et continue de t pour les points t situés au-dessns
1C 1t
coefficient de sa partie imaginaire compris entre et H — : log(i + x) est
ainsi défini, sous la condition | j? | <i comme une fonction univoque et continue de x; cette fonction coïncide avec la somme de la série
X X* a?'
— "— -~ -T" "5~ """ • • • » 12 0
puisque la coïncidence a lieu pour x-=o. Ceci posé, soit
n<'+".)
n = l
un produit infini absolument convergent dans lequel on suppose que tous les termes u^ aient leur valeur absolue moindre que un. En désignant par v^ la dé- termination principale du logarithme de i+ ii„, on aura
* 9 »
U Un Km
a Z» _2 _u _5
"12 3
Cette série reste convergente quand on y remplace tous les termes —^j ? ,
a'
-~'> ... par leurs valeurs absolues; elle a alors pour somme
ô
V.^-log(.-lu.l),
le logarithme ayant ici la signification élémentaire. D'ailleurs, la série à termes positifs
n = »
Iv.
est convergente à cause de la convergence du produit infini
« = «
n^'-i""!)'
II en résulte (n<* 38) que la série
ll = « n = te
J^^n ou 2] ^Og(l-+-l/J,
n=l n=l
dans laquelle le logarithme a sa détermination principale, est convergente : sa
L£S FONCTIONS ^. qS
de l'axe des quantités réelles. Nous aurons de même
n=im
(o ih(T) =^ +2 '*>g(' -«'")'
en supposant
et, finalement, nous écrirons
(71) lh(T) = N~^ilog[-(a + 6T)t] + lh(T).
Le nombre entier N est complètement déterminé par cette éga- lité, ainsi qu'il résulte toujours du raisonnement du n° 181 , puisque les fonctions
lh(T) = lh(^^), log[-(a4-6T)«], lh(T)
sont univoques et continues pour les valeurs considérées de t. C'est la détermination de ce nombre précis, au moyen de a, 6, c, d qui va désormais nous occuper : Tégalité précédente met en évidence que sa valeur ne change pas quand on remplace a, 6, c, d par — a, — 6, — c, — rf.
âSO. Tout d'abord, nous allons substituer à la recherche de N
valeur est maaifestement une des déterminations de
log JJ(I4-MJ; il en résulte aussi que la série à double entrée
P
l(-)--i'
r»ù n et p doivent prendre les valeurs i, 2, 3, ..., est absolument convergente et peut être ordonnée comme l'on veut. Dans le cas du texte, où l'on a | ^ | < i, on trouve ainsi, en ordonnant suivant les puissances entières de Çt
«=1 11=1
où a. est la somme des inverses des diviseurs du nombre n.
96 CALCUL DlPFfiElOfTIBL.
la recherche d'un autre nombre entier qui ne dépend plus que de
Dans le cas où a et 6 sont différents de zéro, on doit toujours supposer a et b premiers entre eux , puisque ad — bc est égal à un.
Regardons a, b comme des données; c, £f doivent alors former une solution x = Cy y = d de l'équation indéterminée
ay — bx = 1
et comme a, b sont premiers entre eux, toute autre solution sera donnée par les formules
c' = c 4- ma^ et =i d-h mb où m est un entier quelconque. Soit d'ailleurs
T = r~ = T -h m,
a-+- bx
et N' le nombre qui dépend de a, i, c', rf' comme N dépend de a, 6, c, d; nous aurons
Ih(T') = N' ^ -H i logH(a -h 6t)»] -h IhT.
D'ailleurs
Ih(T') = lh(T ^ m) = '-l:^!^' + 2 JogC - «'");
« = l
à la vérité, on aurait dû, dans cette égalité, remplacer q = e^' par
mais cette substitution ne peut que changer q en — q et, comme on ne voit figurer que des puissances paires de q, elle est inutile. On a donc
lhCT') = lh(T)-+-m^,
12
et, par suite, en comparant les valeurs de lh(T) et Ih(T'),
N 4- m = N',
ou encore
^ b"^ b
LES FONCTIONS &. 97
Le nombre N — t reste donc le même quand on subslilue à c, d, n^'mporle quelle solution de Téquation indéterminée
en d'autres termes, il ne dépend que de a, b; il en est de même du nombre entier 6N — det d\i nombre entier
bN — a — d;
c^est ce dernier nombre que nous allons chercher à déterminer; uae fois qu'il sera connu, N sera aussi coanu. Nous poserons ( * )
(0) bN — a — d=[afb];
et l'équation (yj) qui définit N sera remplacée par l'équation
. ^ iu/^-^~<^'^\ [a, 61-f-a-f-rf . I, . . , v,T ,.
'"•) '^(5^r6^j= i-xb ^'+4log[-(a + 6x)>]H-lhT,
qui définit le nombre [a, b] quand a et b sont différents de zéro. Dans le cas où a est égal à zéro, nous poserons encore
en sorte que l'équation (x) subsiste^ nous prouverons d'ailleurs dans un instant que [o, b] est nul, et par conséquent indépendant de dj ce que la définition précédente ne montre pas tout d'abord. Le nombre [a, b] est donc défini par l'équation (x) pour tout entier b dlfTérent de zéro et pour tout entier a. Le symbole [a, è] n'aurait aucun sens si nous y supposions 6 = 0.
221. L'égalité (x), en y changeant a, b, c, rf en — a, — 6, — c, — rf, montre de suite que l'on a, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a.
D'autres propriétés du symbole [a, 6] vont s'obtenir en faisant diverses substitutions dans la même égalité.
(*) L'introduction du symbole [a,b] et les démonstrations de ses propriétés qui suiTent, n"* 221-227, sont dues à M. Dedekind.
T. et M. — IL n
98 CALCUL OIPFÉBEUTIEL.
En supposant
•c = {1 -h V I ,
où [JL et V sont des nombres réels dont le second est positif, faisons
Ti = — [X-h VI.
Les deux points t, T| sont symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Les nombres t, — t^ sont con- jugués; il en est de même des nombres fT, (Ti, et, par suite, des nombres
ainsi les deux fonctions
h(t) = 9Tî ]][(,_ ç»»), h(x,) = 9'niJJ(i -<?'«")
n = l n =1
sont imaginaires conjuguées. Si l'on pose
— C -H d'il
Ti= -, »
a — OTi
il est clair que les deux points t et T| sont dans la même situation relative que t et T| , puisque
c-^dz c-^d( — xi)
T = 7~ J Ti = TT r
a-hbz a-4-o( — xi)
«ont des nombres imaginaires conjugués; les deux fonctions b(T), h(T|) sont donc aussi imaginaires conjuguées.
Comme les coefficients a, — b, — Cy d de la transformation
a — 6xi
vérifient la relation ad — ( — b) ( — c) = i, et que les points Ti et T| sont au-dessus de l'axe des quantités réelles, on peut appli- quer la relation (x) en y remplaçant t et t respectivement par t» et T|, et simultanément a, 6, c, d par a, — 6,[ — c, d. On aura ainsi
LES PONCTIONS &. 99
Mais les valeurs principales des logarithmes de deux quantités imaginaires conjuguées sont elles-mêmes des quantités imagi- naires conjuguées : telles sont donc les fonctions
ilog[— (a-4-6T)«] et ilog[— (a-HÔTi)*],
log(i — 5r««) et log(i-5r'«»), lh(T) et lh(T,), lh(T) et Ih(Ti).
En se reportant aux équations (x), Çk),^ on en conclut (a) [a, -6] = [a, 6].
Cette égalité jointe à l'égalité (i)
[—a, — 6]=— [a, 6] donne, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a,
(3) [-a,b]==-[a,b], d'où, en particulier, pour a = o,
(4) [o, 6] = o.
Ces égalités montrent que, pour le calcul du nombre [a, b], on pourra se borner au cas où a et 6 sont positifs.
222. Changeons maintenant, dans régalité(x), t en t + i . Comme, diaprés la formule (e), on a
11=
f T -X. I ^ ^ / Ih
la on pourra écrire
n=zm
"■U + fr(^->-»)J^"^^ r. + ilog[-(«+6-t-6x).]+lh,+ -;
mais on a aussi, en remplaçant dans la formule (x) les nombres a, b, c, d par a -H 6, 6, c -{-dy d, ce qui est permis puisque {a-{-b)d — (c + rf)6 est égal à i,
,. rc-hrf-4-rfx"l [a-hb,b]-{-a-{-b'hd . i, r , . » v., » "^U-^^-^^J Hfîï '^^-Hilog[-(a4-6-h6x)«]+IhT;
lOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on en conclut
[a-hb,b] = [a, 6],
et il en résulte par répétition, en désignant par n un entier quel- conque,
(5) [a-4-/i6, b] = [a, b].
Ainsi les deux nombres [a, 6], [a', b] sont égaux si Ton a
a'^a (raod. 6).
223. Changeons aussi, dans Tégalité (x), t en : il viendra
Ih
[^îm=—^^^"-H-{''-^)'h''H)
D'autre part, en remplaçant dans la mém« égalité (x) les nom* bres a, 6, c, d par les nombres — ô, a, — rf, c, on aura
Ih
— T =^- '—^ 7r«-h 7log[— (— ô-hax)«]-hlh(T),
— 6-i-aTj i2a 4 °*- ^ ' ■• ^ -'^
et la comparaison de ces deux expressions de Ih ^-r — — va
nous fournir une nouvelle propriété du symbole [a, 6]. On a établi (n° 18S) la relation
qui équivaut à la relation
h(-i) = ^^^^h(T),
comme on s'en assure immédiatement en supposant a = o, 6= i dans la formule
Kl
établie au n'' 218 pour un entier positif quelconque b.
On en conclut, puisque lh(T) est l'une des déterminations de logh(T),
\h ^- i^ = ilog(- X*) -t- lh(T) 4- iki:i,
LES FONCTIONS &. 101
h étant un nombre entier qui, toujours en vertu du raisonnement fait au n° 181, ne peut dépendre de t, puisque les trois fonctions
Ih
(-J)» log(-T«), lh(x),
sont univoques et continues pour les valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles ; d'ailleurs, pour T == I, on a évidemment /: = o ; donc, on a dans tous les cas
lh(-i) = il0g(-T«)-4-lhT,
et, par suite,
-Ari'-m
12b 12a 4
(k) {
— 7 log[— {—à -h ax)*] -h i log(— X*) = o.
224. Supposons maintenant a>>o, b> oei faisons la remarque préliminaire que voici : Si x est représenté par un point situé au- dessus de Taxe des quantités réelles, on pourra prendre pour l'ar- gument i de :r un angle compris entre o et 77; Tun des arguments de — x^ sera 2Ç — tt, et cet argument est compris entre — tc et -i-Tz; par suite, le coefficient de i dans log( — x^) sera précisé- ment 2 Ç — Tz, en désignant par Iog( — x^) la détermination prin- cipale du logarithme.
Soient donc \ [jl, v les arguments, compris entre o et 17 des
nombres t, aT — 6, a qui tous ont pour coefficient de i un
nombre positif. Observons que l'on a [jl > X : en effet, pour con- struire le point «T — 6, on peut construire d'abord le point ot qui se trouve sur la même direction, ^partant de l'origine, que le point T, puis avancer ce point, sur une parallèle à l'axe des quantités réelles, dans le sens des quantités négatives, d'une longueur égale à b : dans ce dernier mouvement/il est clair que la direction qui va de l'origine au point mobile tourne dans le sens des rotations positives. Puisque l'angle [x — \ est positif, inférieur à 7c et que cet angle est une des déterminations de l'argument de
— ^^^f il ne peut différer de v. Il résulte de là que le coefficient
103 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de i dans
log[-(a-^yj-4-log(-x«)-log[-(ax-6)«]
est
2v — TU- aX — i: — (a|[Ji — Tr) = — it.
Dès lors Fégalité ([x) conduit à la relation
— 3 = 0,
b a
qui, en remplaçant [ — 6, a] par — [6, a], donne
a[a, 6] H- 6 [ô, a] H- a* -4- 6* -4-1 — 3a6 = 0.
Cette relation suppose a, b positifs ; mais il est aisé de voir, en fai- sant usage des relations (i), (2), (3), que Ton a, dans tous les cas où a et 6 sont différents de zéro,
(6) a[a, 6Jh- b[b, a]-i- a»-»- 6*-hi — 3a6 sgna^ = 0,
en désignant en général par sgn à, où a est un nombre réel quel- conque différent de zéro, l'unité affectée du signe -f- ou du signe — suivant que a est positif ou négatif.
225. Cette relation (6), jointe à la relation (5)
a-f-/i6, 6]= [a, 6],
permet, dans le cas où a n'est pas nul, de ramener le calcul du nombre [a, 6] défini par l'égalité (x) au cas où le nombre a est égal à di I . En effet, la dernière relation montre que l'on peut toujours remplacer a par le reste de la division de a par 6, en d'autres termes supposer | a | < | 6 |; cela fait, la relation (6) ra- mène le calcul de [a, 6] à celui de [6, a]; on remplacera encore b par le reste de la division de b par a, etc. Les nombres que I'od substitue successivement à a, 6 sont les nombres mêmes que l'on trouve comme restes dans l'opération du plus grand commun di- viseur; puisque a et 6 sont premiers entre eux, deux restes consé- cutifs sont toujours premiers entre eux et le dernier reste est dbi, en sorte qu'on est ramené à calculer [dz i; a].
LES FONCTIONS ^. I03
226. Le calcul des nombres [i , a], [ — i , a], où a est un entier différent de zéro, n'offre aucune difficulté.
La relation (6) donne en effet, en y supposant 6=1,
a [a, i]-h[i,a]-f- a*H- 2 — Sasgna = 0;
comme, d'après les relations (5) et (4), on a
[a, i] = [o, i] = 0, on peut écrire
(7) [ï> ^]= Sasgna — a* — 2 = — (a — sgna)(a — asgoa).
On déduit d'ailleurs immédiatement de la relation (3) que Ton a
[— i,a| = — [i,a].
Dans tous les cas, la recherche du nombre [a, 6] est ainsi rame- née à des opérations purement arithmétiques.
Il serait aisé de démontrer que ce nombre est toujours pair : nous ne nous arrêterons pas à cette propriété dont nous n'aurons pas besoin.
227. Nous calculerons encore a, 2] et 2, a].
On doit nécessairement supposer a impair; en ajoutant à a un nombre convenable de fois 2, on ramènera a à être égal à l'unité; mais la formule (7) montre que [1, 2] est nul; on en conclut
(8) [a,2] = [i,2]=o.
On a ensuite
a[a, 2]-i-2[2,a]-+-a*-h5 — 6a sgna = o, d'où
, . ri a*-+-5 — ôasgna
(9) [2,aJ = s—.
228. Notre but est de ramener le calcul du symbole [a^ b] à celui d'une autre expression qui joue un rôle considérable en Arithmétique et que l'on désigne par le symbole
(f)
Io4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
introduit par Legendre et généralisé par Jacobi : c^est M. Hermite qui a montré (*) le rôle de ce symbole dans la théorie qui nous occupe, rôle que Jacobi avait d'ailleurs soupçonné (^).
Ce symbole peut être défini dans le cas où les nombres a, b sont des entiers impairs premiers entre eux dont Tun au moins est po- sitif, par les propriétés suivantes :
1^ Si a est positif, on a
a" La congruence
a^a' (mod6),
où a! est comme a un nombre impair et b un nombre positif, en- traîne
3^ On a, en supposant que l'un au moins des deux nombres a et b est positif,
/i — 1 b-\
1 S
4® On a enfin, en supposant a > o.
a)"'. (i^)-<->-.
La propriété 3® est ce que l'on appelle la loi de réciprocité.
229. L'existence, pour chaque couple de deux nombres impairs a, 6, premiers entre eux et qui ne sont pas négatifs en même temps,
d'une fonction numérique lj\ qui jouisse des propriétés précé- dentes résulte en Arithmétique de la signification du symbole ( t j
dans la théorie des restes quadratiques comme aussi de diverses expressions analytiques que l'on en peut donner. Nous n'avons pas à y recourir, car cette existence nous sera assurée par la question
(*) Journal de LiouvUle, a* série, t. III, p. 36. (') WerkBy t. III, . 189.
LES FONCTIONS &. I05
même qui nous occupe : nous avons seulement à observer que, si Ton admet cette existence, les propriétés i", 2®, 3°, 4° Per- mettront de calculer le nombre ( t ) toutes les fois que les nombres
a, b seront donnés.
En effet, la propriété 1® permet de supposer toujours que le dé- nominateur du sjmbole est positif. Si maintenante est plus grand en valeur absolue que 6, on déterminera le nombre entier n par les conditions
et l'on remplacera a par celui des deux nombres a — 2/16, a — 2/i6 — 26 qui est, en valeur absolue, moindre que b] soit a» le nombre choisi, qui est évidemment impair et premier à 6; on aura à cause de (2),
Si Ui se trouve être égal à it i , la propriété 4° donne la valeur du symbole (r )> s'il n'en est pas ainsi, on ramènera le calcul de
( -^ j au calcul de ( — ] par la formule
m-
(^)
qui résulte de 3®; on traitera [—) comme on a fait pour ( r )> et
comme, en continuant ainsi, les termes des symboles successifs sont des nombres entiers de plus en plus petits en valeur ab- solue, on finira toujours par être ramené à calculer un symbole
de la forme f ^^ j à dénominateur impair positif, symbole dont la
valeur h- i ou — i sera donnée par la propriété 4***
Dans cette suite d'opérations, chaque symbole (r) est égal
à celui qui le suit, ou à son inverse, multiplié par ±1. Comme
le dernier symbole ( ^^ ] est égal à di i , il en est de même de tous
ceux qui le précèdent et du symbole l-r) lui-même.
«
230. Observons que le même raisonnement et les mêmes con-
Io6 CALCUL DlFFfiRBNTIEL.
clusions subsisteraient si, en conservant les propriétés 2°, 3®, 4**y on remplaçait la première propriété par la suivante
le sj'mbole (j-j ainsi défini serait encore égal à ± i et par consé- quent serait exactement le même que le précédent.
Dans Tun et Tautre cas la loi de réciprocité peut être remplacée par la formuJe suivante
(^)=©
Enfin nous aurons encore besoin de la définition du symbole (j-j
quand a est pair; b est alors nécessairement impair, si Ton veut que les nombres a^ b soient premiers entre eux. Nous convien- drons alors de prendre •
n étant un nombre entier impair tel que des deux nombres im- pairs a-\- nb et b Fun au moins soit positif; la définition est
évidemment indépendante du nombre n et le symbole ( — r — ) se calculera par la règle précédemment exposée.
231 . Après cette digression sur les seules propriétés du symbole f t] dont nous ayons besoin pour le moment, rappelons que, dans
N^
l'expression (S) de h(T), c'est la quantité e " qui figure. D'après
la relation (6), cette quantité est égale à e"*. ' . Les pro-
priétés (i) . • . (7) du symbole [a, b] amènent à rechercher quelle est sur cette expression, l'influence de l'interversion des lettres a, b, à laquelle il faut faire correspondre le changement de o, d en — df — c de manière à vérifier l'égalité
6(— c)— a( — d)= I. Soit donc
a
LES FONCTIONS &. IO7
on aura
^ ^,__ g [g, b]-h b[b,a]-\- a^-^ b^-had— bc
"~" ab
et, par conséquent,
Niti N'it/ «i , .,
en vertu de l'égalité ad — bc = i et de la relation (6), qui montre que N -H N' est égal à 3sgn(a6).
232. On est amené à chercher à modifier, par l'adjonction d'un facteur convenable, la racine vingt-quatrième de l'unité considérée de manière que le produit qui remplacera
soit égal à
(-0 *
--- f s n ( ab )
au lieu d'être égal à e ^
Bornons-nous d'abord au cas où les nombres a, h sont impairs et positifs. Le problème posé sera résolu si l'on trouve une fonc- tion ç(ûr, bj c, d) qui représente toujours un nombre entier et telle que l'on ait
;p(a, 6, c, rf)-4-?(6, a, — ûf, — c) = — 3(a — i)(6 — i)— 3,
car on aura alors
-rz Tz — -— (fl — l)(fr — I)
e " X e " = e * =(—0 *
[on a écrit ç et^'àla place de çp(a, 6, c, rf), <p(6, a, — rf, — c)]. Or l'équation de condition peut s'écrire
©(a, 6, c, rf)4-<p(6, a, — ûf, — c) = 3(a-f- 6 — a)— iab-hab{bc — ad)y
et l'on voit qu'on y satisfait en posant
ç(a, by c, d)= 3{b — i)-l- ab^c — ab — ac — bd.
233. Nous sommes ainsi amenés à considérer la fonction des quatre nombres a, b, c, d définie par l'égalité
(a, bf Cyd)=^ e " ,
]08 CALCUL DlFFfiRBNTIBL.
OÙ M est un entier défini par Inéquation
M = lL±^_KiJ + ^i,- 1) -+- ab^c -^ab--ac- bd.
Nous n'imposons plus, pour le moment, aux nombres a, b d'autres conditions que d'être premiers entre eux et nous allons, dans cette hypothèse, établir les propriétés de la fonction (a, 6, c, d). Tout d'abord, elle ne dépend que des deux nombres a, 6, car si l'on y remplace c, d par c + na^ d + /i6, M est rem- placé, comme il est aisé de le voir, par
M-h/i(a« — 1)(6« — I);
or Tun des nombres a, b est impair, l'un d'eux n'est pas divisible par 3; il en résulte que le produit (a^ — 1)(^' — 0 ^st divisible par 24; l'accroissement de M étant divisible par 24, la fonction (a, 6, c, d) n'est pas modifiée par la substitution k c, d d'une solution quelconque de l'équation indéterminée ay — bx = i . C'est ce que l'on avait annoncé.
Il conviendrait d'après cela de faire disparaître c, d du symbole (a, 6, c, d) et d'écrire par exemple (a, b) au lieu de (a, 6, c, d). Nous conserverons cependant la notation (a, 6, c, rf) pour faciliter au lecteur l'intelligence des calculs qui suivent. Il est entendu que si, a, b étant donnés, on adopte pour c, d une solution de l'équa- tion indéterminée précédente, on pourrait tout aussi bien en adopter une autre.
234. Des calculs très faciles montrent qu'aux propriétés (1 — 9) établies pour le symbole [a, 6] correspondent pour le symbole (a, 6, c, d) les suivantes
(a, b, c, d){a, — 6, — c, d) = — i,
(a -h b, byC -^ dyd) = e^^ {a,b,Cyd).
(a, 6, C, rf)(6, a, — rf, — c) = C ♦ ,
(i,a, o, i) = e * ,
, . — -i(H-8gna — Ifl)
(— i,a, o, — i) = C * ,
ICI
— T-(— «•+»— «ggna)
e '
LES FONCTIONS 3r. 109
S35. La troisième de ces formules coïncide avec la loi de réci- procité relative au symbole (jj quand ab est positif: nous nous rapprocherons de ce dernier symbole en introduisant à la place de (a, 6, c, d) le symbole t relatif à deux entiers quelconques a, b premiers entre eux et défini par Tégalité
Aux propriétés précédentes de la fonction numérique (a, b, c, d) correspondent les propriétés suivantes de la fonction numérique
1^9 où a et 6 sont premiers entre eux,
e *
[alfa "1 ra-hbl Pal ^^(6«-t)(ic+rf)
[i] II] =
-2Lii(a-i)(6-l)-(sfnfl-l)(8gn^-l)I
e *
lii. 1- -1 ni
En écrivant, en dernier lieu, \ -\y on suppose naturellement que a soit impair. La troisième de ces formules pourrait être re- gardée comme la loi de réciprocité relative au symbole r -
236. Dans la seconde de ces formules figurent les nombres c, d dont elle est indépendante. En effet, si b est impair ou s'il est divi- sible par 8, le nombre b(b^ — i) est évidemment divisible par 24 ; dans ces deux cas on a
et, en général,
\i] - [?]
si a est congru à a' (mod. b). Si b est le double d'un nombre pair sans être divisible par 8, b(b^ — i) est divisible par 12 et, comme 2 c -I- ^ est impair, on a
MO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Enfin, si b est le double d'un nombre impair, comme on a
a(2c-+-rf) = i-hc(64-aa),
et que è-+- 2a est divisible par 4? on en conclut que 2c 4- rf est de la forme 4/1 4- 1 ou de la forme in — i suivant que a est d'une forme ou de l'autre. On a donc
["-M=[l]-'"^"*-"=[f]-''^.
OÙ il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que a est congru à -|- i ou à — i (mod. 4)»
Il résulte aisément des diverses propriétés du symbole 1 -r 1
que ce symbole est toujours égal à l'un des quatre nombres =i= i, ± i. Il suffit de raisonner sur ce symbole comme on a fait au
n'» 229 sur le symbole yty
237. Dans le cas où a, b sont des nombres impairs dont Tun au moins est positif, on voit que l'on a
La dernière formule suppose naturellement que a soit positif. On en conclut que si a, b sont deux nombres impairs, premiers
entre eux et dont l'un au moins est positif, le symbole % 1 est
identique au symbole (,^ j de Legendre, généralisé par Jacobi. Lorsque a est pair et b impair, on doit prendre
fa\ /a-hnb\
[b)-[—s—)'
OÙ n désigne un nombre impair; mais alors a + /ifr étant impair et l'un des nombres a -+- /i6, b étant positif, ^"t ^ est iden-
rt— 1
LES FONCTIONS 2r. 111
tique à f — r — ) en vertu des remarques antérieures relatives
Ml]- ,, . .
Le symbole -r est donc identique au symbole f t) dans tous
les cas ou ce dernier symbole a été défini : il doit en être re- gardé comme la généralisation.
238. Si Ton applique successivement les relations (Q), (v) et (p), on a
• ICI — — -[8(0— l)-+-«ft«c— rté — nr — Arfl
ICI
En réunissant les résultats acquis, on voit donc que l'on peut mettre dans tous les cas la relation (8) sous la forme
/v*\7 V U/ \ M -^l8(6-sjn6) + iic|6'-l,-6|rt + rf)]vy ï--:?./ ,
(XLVi,) h(T)=:|^Jc " ;/— (a-»-6x)«h(':),
l'argument de \J — (o -f- 6t)^ étant compris entre — 7 et + j et
le symbole -r étant défini par les propriétés ci-dessus du n^ 237 qui permettent de le calculer.
239. On en déduit immédiatement les valeurs des racines hui- tièmes de l'unité e, e', e", e''' qui figurent dans les formules (XLII). D'après la formule (^), on a, dans tous les cas,
1 ,
h(T) = e* /a -+- 6t h(T).
En élevant au cube les deux membres de cette relation, puis rem- plaçant h^(T) par sa valeur tirée de la relation (XLVi 5), on a immédiatement
(XLII.) '=[!]**
d'où, par les formules (XLIIt^s))
e', e', C
112 GALGOL DIFFÉRENTIEL.
Le problème posé au n^ 179 est donc résolu.
240. On peut écrire la formule (XLV15) d'une manière un peu différente de façon à n'y faire figurer que le symbole de Legendre- Jacobi.
L'un des nombres a, b est impair et comme l'on peut dans
T = r- changer les signes de a, 6, c, rf, on peut toujours
supposer que c'est le nombre dont on sait qu'il est impair qui est positif.
On distinguera donc deux cas :
1° b impair et positif. Alors on a
m = (?)
ri
et, comme on l'a vu au n^ 218,
la partie réelle de la racine carrée étant positive. Mais, comme b est positif, on a aussi
Ul
* y/a-^bi ^ y/— i{a -+- bi) ,
si l'on entend par ^ — i[a -h b'z) celle des deux déterminations de la racine dont la partie réelle est positive : les arguments des deux
quantités e ^a -f- 6t et y/ — i{a -f- 6t), dont les carrés sont
égaux, sont, en effet, tous deux compris entre — -^ et -h 7*
On a donc, dans ce premier cas, puisque b^ — i est divisible par 8,
(XLVie) n(T) = fT)'* « " /— *(a-h ^t) h(x).
2^ a impair et positif. En appliquant la loi de réciprocité du symbole -r donnée au n^ 235, on a, puisque a est positif,
[f] [I] =
e ♦
LBS FONCTIONS ^. Il3
Mais, puisque a est impair, — est certainement identique à f - ]» dont la valeur est 4- i ou — i ; on peut donc écrire
[I] = (I)
b\ -2Li(a-l)(6-l)
e *
D'ailleurs, comme on l'a vu au n° 218, on a aussi
•Ki ,
la partie réelle de la racine carrée étant positive. On a donc, dans ce second cas,
h(T)=f-le ** /a-h 6'ch('c).
Tce
Le coefficient de ;- dans Texponentielle est égal à
3(i — a)-f-2a6-i-ac6' — ac — 6û?= 3(i — a)-hab -ha^bd — ac — bd\ on aura donc finalement
/YîvrN u/ \ (^\ '^ -^[«(ft-r)+M(a«-l)] . —7-1,/ n
Les formules (XLVIs^e) ont été données par M. Weber(*), qui en a présenté la démonstration sous forme de vérification.
241. On peut aussi écrire la formule (XLII5) de manière à
n y faire figurer que le symbole (t) de Legendre-Jacobi ; il faut
encore distinguer le cas où b est impair et positif de celui où a est impair et positif. On arrive aisément aux résultats que voici :
i^ Si 6 est impair et positif, on a 2*^ Si a est impair et positif, on a
(» V fl(3 — &->-C) — 3
(*) Elliptische Functionen, p. 100.
T. et M. — II. 8
Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si Ton suppose que a el b sont impairs et positifs, ce qui ne peut arriver que dans les cas 3** et 4" du Tableau (XXe), les deux formules coïncident, comme il résulte immédiatement de la loi de réciprocité et de la congruehce
ab — ac-\-bd — ia — 2 6-+-a^30 (mod.8)
qui a lieu en vertu de la relation ad — bc ^= i, lorsque des quatre nombres entiers a, 6, c, d, un seul, c ou d, est pair.
§ VII. — Transformation quadratique des fonctions Thôta.
242. Aux formules précédentes qui concernent le cas où les quatre entiers a, 6, c, d caractérisant la transformation considérée sont liés par la relation ad — bc= i, viennent s'ajouter, comme dans l'étude des fonctions du, (^a^t d^autres formules qui concer- nent le cas où le déterminant ad — bc est un entier quelconque. Cet entier est V ordre de la transformation. Nous envisagerons d'abord le cas où il est égal à 2.
Le raisonnement du n** 130 s'applique aux fonctions 3(t') aussi bien qu'aux fonctions 3' w, 3'aM, avec cette restriction que les systèmes de demi-périodes improprement équivalents au système (u)|, <i>3) sont exclus (n® 151) pour les fonctions 3(i^). Il suffit donc de considérer la transformation d'ordre 2 où l'on change coi
en — sans changer 103, ce qui revient à changer p en 2 p et t en 2*:,
et la transformation d'ordre 2 où l'on change <i>3 en — sans
changer w^, ce qui revient à changer simplement x en -• La pre- mière de ces deux transformations est la transformation de Landen, la seconde est la transformation de Gauss.
243. En combinant les formules concernant ces deux trans- formations et celles que Ton en déduit immédiatement concernant les transformations inverses, entre elles et avec celles déjà éta- blies qui concernent la transformation linéaire, on aura toutes les formules de transformation quadratique des fonctions S(i'). Les formules de transformation dont l'ordre est une puissance entière de 2 s'obtiendront de même, par la combinaison et la répétition des transformations précédemment définies.
LBS FONCTIONS ^. Il5
244. Nous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les fonctions 3(2(^|2t), d'autre part les fonctions 3fi^ -j> au
moyen des fonctions 2r((^ |t).
Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions (^£/, ^a^> P^i* de petites capitales, les constantes relatives
aux fonctions (^(i/—> (1)3 j, <^a(w ~' ^3) et .3(2^' | 2t). Ainsi nous poserons
Q = ^* = e»'"^',
V = oo V = ao
Q<.=TT(' -?'*). Qt=TT(i-i-?'^),
{XLVII.) { " y = l
V = ae V = ce
Q» = JJ(i H- 9«<"-"), Qj = [J(i - «r»'"-")-
V=l V=l
Les quantités q, Qo, Qo Q29 Qs sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques (XXVIIIs.a) que les quantités q^ Ço^
?!• ?29 ?3-
Nous désignerons de même par de petites capitales accentuées les constantes relatives aux fonctions (J* (1/ 1 Wi, — )> <ia(^\^i^—j et 3(ç^ - j • A.insi >
(XLVIIIi)
/ Q' = |
1 Titi |
QÔ- |
V = ao V = l |
7 = 00 V=l |
v = «
Q't = U(n-9*),
v = »
). oi=n(i-?^-^).
V = l
On a évidemment, d'après les expressions de Qq, Q3,
(XLVIIi) Q0 = ^0^1, 03=^1^3=—'
d'où l'on tire inversement
f
<73 = QoQ3i 9i= T
Q3
ii6 Calcul différentiel.
De même, d'après les expressions de q^, q',, Qj, q,, on a
9'o=Q'oQi, qt^ QiQi= ;t' d'où l'on tire inversement
(XLviii,) q'o = qoqz, Qi = T- = qiq^'
q*
245. Transformation de Landen, — Si l'on passe des fonc- tions (J*, doL awx fonctions 2r au moyen des formules (XXXIIIi.^), on a le moyen d'exprimer les fonctions 3(2i^| 2t) au moyen des fonctions ^{v \ t). Par exemple, la formule (XXIIi )
0)1 \ -^ —
u\ — >ci)3J = e* du^iU donne immédiatement
A cause de la valeur (XXII4) de H|, on voit que le facteur expo- nentiel est le même dans les deux membres ; on trouve ensuite très facilement, en réduisant au moyen des relations déjà écrites (XLVII2) entre Qo, Qs, 5^0? ^n 72» ^s, 'a formule
ai(2P)2'u) = |l3r,(i,)3r,(p).
qa
On a d'ailleurs
il = —î— = '
qa OoQI &4(o|2x)*
la dernière égalité ayant lieu en vertu des formules (XXXVI2) qui seront d'un usage constant dans ce qui suit.
On trouve de la même façon, au moyen de la formule (XXIIIj),
la relation
Au reste cette dernière relation aurait pu aussi bien se déduire de
LES FONCTIONS &. II7
celle relative à 3| (21^ | 2t) en remplaçant v par i' H — et en se ser- vant des formules (XXXIVe). On a, en effet, par ces formules
_i ai(2P-+-T|2T)=tQ *e-«'w3r4(2p|2T),
et il suffit de remplacer dans Tégalité qui donne l'expression de 3r, (2(^1 2t), pour avoir celle qui fournit l'expression de 34 ( 2 (^| 2t). Inversement, par la même opération, on passerait de cette seconde formule à la première.
Si maintenant on fait la substitution des fonctions Sr aux fonc- tions rf dans les formules (XXIlIi); si l'on remplace ensuite
v/ei — 62 , v^^i — 6$ par leurs valeurs (XXXVI2, 4) on obtient aussi
D'ailleurs on trouve très aisément
1
2Q*QoQÎ I I
On a donc
Exactement de même, en partant des formules (XXIII2), on trouve
4q'q.qÎ ?.(?. + î»)
et l'on a d'ailleurs
1 4Q^QoQÎ = a3rs(o|2T).
Il8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
246. On prévoit que Ton doit pouvoir transformer Tune dans Tautre les relations qui fournissent les expressions de 2^2(2^ | 2*^)7
2^3(2(^1 2t), en changeant v en v -\ — et en se servant des for- mules (XXXIVe). Mais tandis que, tout à Theure, ce changement ne nous a rien donné de plus que ce que nous savions déjà, il va, cette fois, nous donner des relations entre les constantes. Si, en effet, dans les relations du numéro précédent, on change v en
i^ -I — 9 on trouve, après des réductions immédiates.
X
2
1
Ces formules comparées aux précédentes donnent
1
I I 2Q*QoQÎ 3r,(ol2T)
(XLVII,)
1 _, I _ QoQÎ __ ^3(0 |2t)
•23rj(o|-2T) 2Q0QÎ gl(qï-hqi) 3r|(o)^3rJ(o)"
On a donc
Sj(2(^| •2X)= '\^^ î-^— = -^-^ =-^— >
^ 2^3(0 |2t) 2^j(o|2t)
izft{o\i'z) 23rj(o|2x)
3r*(o|2x) et Ton a, d'autre part,
rxLVii ) i ^^l(ol^^)-^i(o)~^î(o)>
^ *^ 1 23r|(o|2x)=.&i(o)+3rî(o),
relations auxquelles il convient d'adjoindre les relations suivantes obtenues en faisant p = o dans les deux dernières formules de
LES PONCTIONS ^. 1 19
transformation et dans la première divisée préalablement pari^,
/ 23r,j(o|2T)&3(ohT) = 3r|(o), (XLVII4) ^1(0 I 27)= 3r3(o)3r,(o),
( 2&;(o|2T)3r^(o|2T)=:2r;(o)3r,(o).
Les deux avant-dernières formules sont d'ailleurs une consé- quence des relations (XLVII2)
de même que celles qui les précèdent équivalent à celles-ci
(XLVII,) ,
Ainsi, comme on a q- = q, on voit que les quantités q©, qi, Qj, Qs s'expriment algébriquement au moyen de q, qQ^ qt, q^^ qz' De même pour les fonctions 3',(o|2t), 2r2(o|2T), 33(o|2t), 34(0! 2t) et les fonctions 3', (o), 2r2(o), 2^3(0), ^k{o) de la va- riable T.
247. Transformation de Gauss. — Les formules (XXlVi^ XXVi^j) qui expriment dlu\iù^^ ~ h <J'a(w|u)|, —j au moyen de ^(e/ 1 (Oi, 0)3), (^a('^| Wiî ^3)5 permettent d'exprimer, d'une ma- nière toute semblable les fonctions 2r( (^ M au moyen des fonc- tions 3(i^ jx). Nous ne développerons pas les calculs qui présen- tent exactement les mêmes circonstances que ceux de la trans- formation de Landen, que nous venons de faire.
On trouve directement, au moven des formules (XXIVi, XXV|\
'\ \ii)^ " î "" — 7Trr" '
0*QoQi
»lî
et l'on passe d'une formule à l'autre par le changement de v en V -^ — • Au moyen des formules (XXV2_3), et en tenant compte
laO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de la relation (XXIV4), on a ensuite
puis, par le changement de {f en ç-^ -,
•^3
d'où l'on conclut les formules
(XLVIII,)
ai(»)-aî(P)_ 3|(t.)+ai(i>)
3 /J''\-^l('')-^K'')-3i('')+^l' et les relations
XLVIIIO / Si (o|^) = 23.(0)3,(0),
3}(oj^) = 3|(o)+3î(o), 3î(oj^) = 3|(o)-3î(o).
LES FONCTIONS ^. 121
qui équivalent aux suivantes :
dont les deux premières ont déjà été établies au n*' 244*.
On peut vérifier que les relations (XLVIII4) sont, au fond, identiques aux relations (XLVIT4) ; on passe des unes aux autres
en changeant t en
2
248. Les relations (XLVII2) qui lient algébriquement les quan- tités q, ^Oî 5^M 92> qz aux quantités Qo, Qi, Q2J Qs et les rela- tions (XLVIII2) qui lient algébriquement les quantités Q', QJj, Q'i> Qa» Qs *"* quantités qo, q^, q^^ qz permettent d'établir des formules intéressantes concernant la transformation quadratique des fonctions modulaires h(T), ?p(t), ^(t), xC*^)-
La définition de la fonction h(T) donne
en élevant les deux membres au carré et en faisant usage de la rc-
y lation (XXXVI2), 32(0) = '^^oq^q'^', on a donc
(XLIX,) 2h*(2T)=h('c)3r,(o).
On a de même
d'où, en faisant usage de la relation 34(0)= ^Tq^J,
(XLIX,) h«Q)-h(T)^4(0).
En changeant dans cette dernière égalité t en t 4- i , et en faisant usage des égalités (XLIII,2) et (XLV|),
^^(O I T 4- I) = âsCo), h(x -4- I) = yïll(t),
on a aussi
(XLIXs) h«(^^)=î/7h(T)2ra(o).
122 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
249. Si Ton résout par rapport à ç^, Ç2> y» les équa- tions (XXXVIII,, 2, s) qui définissent f (t), ^(t), /(t), on trouve
et l^on aura de même
_ _i_
En portant ces valeurs dans les reJations (XLVIIa)
on trouve, après des réductions immédiates, les trois formules
XC^*^) X*(t)'
A cause de la relation y^{y)= (p(T) <J^(t), la première de ces for- mules peut s'écrire
(XLIX*) +(ïT)<p(T) = v^ix('^)x(^'^)i
en éliminant '/^*(t), on a ensuite, à Paide des deux autres for- mules, les relations
(XLIX5) ?K2T)= ''"tw''\ 4/H2T)= -^^!!~r--
A cause de la formule ?*(t)4- ^*(t)= i, on a aussi
d'où l'on tire, en extrayant la racine carrée et en observant que les deux membres doivent être positifs pour 1 purement imagi-
LES FONCTIONS ^. ia3
naire.
•9
250. En remarquant que la transformation quadratique (^ j
équivaut à la suite de transformations
en appliquant ce résultat à la fonction xi"^) ^^ ^^ tenant compte des formules (XLV) et (XLIX4), on trouve sans peine
(xux,) x(^)=vri
Observons aussi qu'en changeant t en - dans les formules pré- cédentes, on en tire
^ \2/ I-H«p*(x)
251. Enfin les résultats précédents permettent encore de ra- mener les fonctions f j ^, X ^ '^ seule fonction h.
Dans la formule Qi = ^^o^jj changeons x en i -h t et désignons par QJ ce que devient le premier membre ; comme q^ ne change manifestement pas, et que q^ se transforme en q^^ on aura
Soit aussi |
|
on aura |
|
h/'''-^'^ c^'Uc^'' \V7 |
d'où, en se reportant aux expressions de h(2T) = ^r** y© 7«? \L(''\=i(^ q^q^ et aux définitions des fonctions <p(t), ^(f),
1^4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
^(t), on trouve de suite
(XLIX.) <,j,(x)='^'- ^'^
(^)
h
x(-) = {^av^-
e/- «/-. h(T)
(^)
Nous nous contenterons d'observer ('), relativement à ces for- mules, qu'elles permettent de déduire les formules de transfor- mation linéaire des fonctions modulaires ç(t), J'(t), ^C*^)» ^^ celles que nous avons établies pour h(T). On obtient ainsi, dans les six cas du Tableau (XX^), des formules équivalentes aux for- mules (XLVIi..2), mais affectant une forme différente.
232. Les formules
qo=e " h(T), qi=e "
TIÇl VKl
(XLIX9) { /T^,\ f/^\
(T-l)7ti h f j TTC* ^ l " )
^' ^ h(x) ' ^* ^ h(T)'
qui expriment Çq, yi, Ça, ^3 en fonction de t, se déduisent immé- diatement des formules de définition des fonctions A(t), cp(T), ^P(t), y (t) et des formules (XLIXg).
253. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de Si (21^), 3oh.i(î*^) ^^ moyen des fonctions 3(^).
La première des formules (XLVII3), par exemple, peut s'écrire,
(*) Cette intéressante remarque est due à M. Dedekind : Ueber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen {Journal de Crelle, t. LVIII, p. a83). Dans les Elliptische Functionen de M. Weber, les résultats sont donnés pour les fonctions /(•^),/i(^),/.(T).
LES FONCTIONS ^. 125
T
en changeant t en - 9
mais, d'après la formule (XLVIII3), on a
donc, comme, d'après la formule (XLVIII4), on peut remplacer 3j (o -) par le produit 2 3a(o 1 1) 3, (o | x), on obtient la relation
^^^ ^'^'"^= &,(o)2r3(o)&»(o)
On a de même
3,(a.) _ a,(o)âî(o) '
^^^ p3(aO- 51(0) ^.(0) '
1 ^'(^'') - — âû3) — - — 5>)
VIII. — Transformation d'ordre impair des fonctions ^.
254. Dans l'étude de la transformation des fonctions 2r, nous n'avons envisagé jusqu'ici que les cas où Tordre de la transfor- mation est égal à I, à 2 ou à une puissance entière de 2. Nous al- lons étudier maintenant les transformations dont Tordre est im- pair et positif, transformations qui se ramènent (n<* 130) à celles
où Ton change (Oi en — sans changer (1J3, ce qui revient à changer V en ns^ et t en /it, à celles où l'on change W3 en — sans chan- ger (0|, ce qui revient à changer seulement t en -> et aux trans-
#1»
formations inverses.
En combinant les formules de transformation que nous obtien-
126 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
drons ainsi (*) entre elles et avec les formules de transformation linéaire et quadratique des fonctions Sr, on peut obtenir en effet, d'après le théorème démontré au n® 131, les formules de transfor- mation d'un ordre quelconque positif (£). Il n'y a d'ailleurs pas Heu de considérer celles dont l'ordre est négatif, car nous avons supposé essentiellement (n° 151) que les coefficients des parties
imaginaires des rapports — et -^ des périodes à l'aide desquelles
on forme les fonctions Sr(i^) sont positifs.
255. Nous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les fonctions 2f{nv\nT), d'autre part, les fonctions 3(ç^ -j au
moyen des fonctions 2f{ç | x).
Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions du, d^u, par de petites capitales les constantes relatives
aux fonctions tffw—, (1)3 j, <^a(w —jWjj et 3(nt^ | /it). Ainsi,
nous poserons dans ce paragraphe
Q = gr» = e«T«',
Qo = JJ(i-y»''^), Qt = fJ(i-H9»'"'),
(Li.)
Q» = IJ(' + ?»<"-"). Qj - JJ( I - y»(»*-").
V=l V=l
Les quantités Q, Qo, Qi, Qa, Q3 sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques que les quantités q^ q^, q^y q^^ q^- Nous poserons aussi, pour abréger,
s;(o) __ I îT , i /i3r;(o|/ix) I
- = — = -— ûr5 ûT*
mz
%io)=-^ = :tq]qoqK &,(o|/It) =f =2QîQoQS
»s(0) =-^= q\q„ a,(o I /IT) = ^ = QÎQ„ «3 As
«4 Al
(*) II suffirait même de ne considérer que le cas où l'ordre de la transforma- tion est un nombre premier impair; mais cette restriction n'apporterait aucune simplification aux formules que nous allons établir.
LES FOJ!<rCTIONS &. 127
ce qui permet d'écrire comme il suit les formules (XXXIIIi^i), qui relient les fonctions d aux fonctions d, et celles que l'on en
déduit en changeant Wi en — :
S'a =aic«'^i 3ri(y), c(m -- i , tojj = Aic»<^« 3r,(/ii' | nx),
En substituant ces dernières formules dans celles (XXVIi ) qui expriment les fonctions dlu-^y ^3)? ^a(w ~j wa)» au mojen des fonctions du^ ^a^^t nous aurons immédiatement
où r doit prendre n — i valeurs entières dont aucune ne soit di- visible par /2, non plus que la différence de deux quelconques d'entre elles, et où çp représente l'expression
(r) (r)
En se reportant à la valeur de h^ (XXI5), on voit de suite que cette expression est nulle. On a donc finalement
^a^,(nv\nx)=^^oiM^)'[l
(r) -^«4-1
(j)
ia8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Les constantes ^^^ sont des fonctions de g. Il en est de même des produits
(r) (r)
n^-(;)=np-(«'^)
(r) (r)
qui figurent en dénominateur. On peut évaluer chacun de ces quatre produits en supposant que r parcoure seulement la moitié des valeurs qu'il doit prendre, c'est-à-dire, d'une façon précise.
n — I
en supposant qu'il prenne valeurs Ti, r2, ...,r„_, dont
s aucune ne soit divisible par n, non plus que la différence ou la
somme de deux quelconques d'entre elles; les valeurs res- tantes seront congrues, dans un certain ordre, suivant le module /z. à celles-là changées de signe, et le produit correspondant sera égal, au signe près, au produit que nous allons calculer, comme on le voit tout de suite en se reportant aux formules (XXXIV,_3).
256. Pour évaluer les produits
\r) r\
{'' — n» ''îi • • -, ''/»--l\ï
reportons-nous aux formules (XXXIIj.g 4,-,), et remplaçons-v ;; =:= e*^* par
rict
on aura immédiatement
I» — I n— I If — I _,
n?'(-)='' *.• <?• n^.^
X
(rj L v = l
IJ Il0-9^^'=?)(i-^*^^
LES FONCTIONS ^T. lag
luis
n[n -
Il In
v-^I L (r)
çrîv^l)(,_^îv^-l)
(,_çr«v;5*)(,_^îv^p«^ ;
d'ailleurs, si Ton pose
ITCI |
|
e-e- , |
|
on aura |
' |
et le produit |
xj- ES Zr^ es |
|2(l_çrîVer)(,__grJvg-r) |
|
est égal à |
Ir) 1 — 9r««v |
l — qtM
comme on le voit en se rappelant que les nombres
1
n'étant point divisibles par n, non plus que la difl'érence de deux quelconques d'entre eux, sont congrus (mod. n), dans un certain ordre, aux nombres i, 2, . . . , n — i, et que Ton a, e étant une racine primitive /i'®*"* de l'unité,
I - - X'*
(i — ea7)(i — 6*37). ..(i — e'*-ix)=
l — X
On peut donc écrire
n — i /i— 1 n — \
nM^.)-^-7?-.-^-n
Qo TT ^r — z^
~\
•Àl
(r) (r)
et, de même,
(r) (r)
{r)
(r)
T. et M. — II.
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Quant aux produils
— «r* TT . rit
sm- — » n
(r) {r)
(r) ir)
ils s'évaluent sans peine comme il suit. D'abord le signe du pre- mier dépend du nombre de facteurs négatifs qui y figurent : or sin— est positif ou négatif, suivant que la partie entière e(0
de - * définie par les conditions précises
est un nombre pair ou impair; le signe du premier produit sera donc celui de , ^
De même, puisque l'on a
TTC . /i-+-2r
cos — = sin 1: ,
n 2/1
le signe du second produit sera celui de
(-1)
D'ailleurs les nombres
r.
n. rty ..., /-n-ti —''1» ~"'^*' •••' 'H^
étant certainement congrus, dans un certain ordre, suivant le mo- dule n, aux nombres
n — I
n — I
7.
les nombres
LES FONCTIONS 3r. i3j
sont certainement congrus, dans un certain ordre, aux nombres
I, ±2, .. ., ±:
2
en sorte que Ton a ( * )
. VIT J n :£: ■ I sin — = il sin — = -^^^
n-ïn
(r) v = i 2 *
n— I
^= «
VTC
cos =
fj cos ^'^ = "Q cos ^
(r) v=l 2 *
rt — 1
(') Voici Tun des procédés qui conduisent à ces résultats : L'équation
J7" — I
= o
X*— I
a pour racines les s n — a valeurs de
-2?* = e " » ( A- = I , a, .... /i — I, — I , — 2, . . . . — /i 4- I ).
On a d'ailleurs
sin •
. A-it I a??: — 1 sin — - = -. _5 ,
et, en remarquant que IT^j^ est égal à i, on en conclut
v=l lA) v = l
Or si, dans l'équation proposée, on fait
a:» = iH- M, on forme l'équation en u
(H- m)"-«-H(i-|- m )*-'-!-... 4-1 =0,
dont les racines, qui ne sont autres que les valeurs dislincfes de x\ — i, ont pour produit (— i)»^»/!. On en conclut
V = /r — !
. vt: n
sin— = - — ,
v=i
n
l3a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On en conclut d'abord
m
n..fâM-.r^ '■',-,- 2...
(r)
^'(«0=-"^'
(/•)
n^' (-0 ' '^ i
(r)
/r^ r,, r„ r^^A (*).
puisque les deui membres sont évidemment positifs. On en déduit
_n — i
n. Vie v^n "" -K = -«El-
Vr=I a »
On'lrouve de même
n-l
v = -^
vit I
cos — = -wzr*
n
v = i a *
(') La première de ces formules donne un résultat asser intéressant en suppo- sant n = 3, r = i, à savoir: ^
Q.= ;^ E (- •^"''" *'" — 3— •
et, en réunissant les termes où n est de l'une des formes 3/7, 3/> -f- 1, 3/? + a,
i
enfin, en remplaçant q par j?«,
n=l "='
n
Cette identité est due à Euler.
LES FONCTIONS 3r, l33
257. Les mêmes formules s'appliqueraient aussi aux
nombres r^^,, '^^-hs? • • • i ^//-i> qu'il faut adjoindre aux nombres
Vx , Tj, . . . , r^_j pour former la suite complète /"i , r2, . . . , r„_4 .
En supposant la première égalité LI2 écrite pour ces valeurs de r et en multipliant membre à membre avec cette même égalité, on trouve
(r — Ti, r,, . . ., Trt-i).
On a aussi, pour les mêmes valeurs de r,
IJ^*(^)^^"'>''' ^«""^
(r)
D'ailleurs, on voit tout de suite que les différences
(r) (r) (r) (r)
ne changent pas quand on remplace les nombres r par d'autres qui leur soient respectivement congrus suivant le module n, puisque les différences
\n I n \ in ] n
ne changent pas quand on augmente r de n. D'autre part, si l'on prend pour les nombres r les nombres
n — I n — I
a 2
les deux différences que l'on s'est proposé d'évaluer sont respec- tivement égales à
n — I
^-' o:
les quantités E ( - j » E ( -^ ) sont, en effet, nulles pour toute
l34 CALCUL DIFFÉRBICTIEL.
ces valeurs de r, sauf la première, qui, pour les valeurs négatives de /*, est égale à — i . On a donc finalement, en remarquant que
les nombres 5j''> 51 "" ^^^^ ^^ même temps pairs ou impairs.
(r) (r)
n — 1
n -1
JJ&.(^)^,-.) * Vys-./»"§l„,
(/•)
9^0
-1/, * ^
(LI.)
ir)
9Î
(r)
et, par conséquent, en se reportant aux valeurs des quantités 0% y
n — 1 V»
— -11''
(r)
(UO
a.CnH^t) = (-!)"•' ^^.(•')n^'(''-*-^)'
(r) * ' (r) ^
^ ir)
On pourra prendre, en particulier, pour les nombres Ti, r^, ..., r/,_i, une suite telle que
'•i, /-t:
S
• • • •
— r
/i--iï
aucun des nombres Ti, r2, . . ., r^_, n'étant divisible par «, non
t plus que la différence ou la somme de deux quelconques d'entre
eux.
Il convient d'observer que les quatre formules que l'on vient
LES FONCTIONS ^. l35
d'établir peuvent être déduites de Tune quelconque d'entre elles, en y remplaçant i^ par v -] — 9 v -h -jt'H -*
A JU A
S58. Nous avons déduit les expressions des quatre fonctions
(I ^
w I — j (1)3 i ,
^a (w — , (i>8 j. Il n'est pas inutile d'observer que ces expressions
peuvent s'obtenir tout aussi facilement, et même d'une façon plus rapide, en partant des formules qui donnent les fonctions 3r dé- composées en facteurs. Au fond, l'analyse que nous allons indi- quer d'après Jacobi (' ) ne diffère pas de celle qui précède. Partons, par exemple, de la formule (XXXII7)
V=:«
2r3(p) = ÇoFT [l -♦- ^gr^^-^COS'iVTT -h gr«<«V-l)J.
On en déduit
V -00
3r3(np I ni) = QoIT [» -+- a^r^^Jv -i)cos2/u;7c-f- y««t«v-i)j.
v = i
D'un autre côté, si l'on décompose en facteurs du second degré en q le polynôme de degré 2/1,
dont on a immédiatement les racines, on trouve (')
(r)
En changeant dans celte identité q en çr*^"' et en l'appliquant à chacun des facteurs qui figurent dans le produit infini on trouve immédiatement
rrri-f-a^ïv-icos'iTr /^i^-i- -\ -T-y»«*v-i)| . v = l /
(r — o, ri,r,, ..., r„_i)
( ' ) VVeuke, t. I, p. 208.
(') C'est l'identiié connue sous le nom de théorème de Cotes,
l36 CALCUL DIFFÊRENTIBL.
et Ton en conclut
(r)
Le lecteur a d^ailleurs, dans ce qui précède, tout ce qui est néces- saire pour appliquer la même analyse aux trois autres fonctions Sr : on peut aussi déduire ces trois autres formules de celle que l'on vient d'établir.
^9. Prenons maintenant les formules qui donnent
\ \ n / \ n I
au moyen de fju^^^u sous la forme (XXVl4„5). On trouvera de la même façon
ru,) 2r,(m';/iT)--=
Dans cette formule, a peut prendre l'une quelconque des va- leurs I, 2, 3. On peut l'écrire de diverses façons; on peut y rem- placer, par exemple, ^.""^* par
/i&'i (o I /it)
&;(o)&3:;}(o}'
on peut aussi, en élevant au carré la valeur (LIj) trouvée pour
(r) \ « /
écrire
260. On obtient des expressions analogues pour les fonctions
STa^i {nv I /it), (a — 1 , 2, 3), soit en partant des formules (XXVI5) e en passant des a* aux 3 par les formules (XXXIII, ), soit en
LBS PONCTIONS 3r. ^^1
remplaçant dans les formules (LI5), que Ton vient d'obtenir, écrites explicitement pour a = i, 2, 3, successivement p par
*"'"^; nous nous contenterons de transcrire
les résultats :
&,(nH/iT)=g&,roJI ^î(^)-
(r)
S?
<u,) '
(r) L
(")-
2r|
-g».<'>n
?r'-i^
<LI,)
r ^î
(r) 1^ «^î
-î:^'<«'>n
r ^u-
<LI,)
(r) L
2r?
(«-)
Sî
Sî
(")-<-
S'î
^K")
.0
f&K")
9 0
;) i)
&!(»•)
.0
^K")
.0
/r = ri,r,, .. •j^'n^V
l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
261. On vérifie sans peine que, en changeant à nouveau, dans
l'une quelconque de ces formules, pent^-h» v -{- -^ v -\ "- y
on retombe toujours sur les mêmes résultats, au moins si Ton tient compte des égalités suivantes, bien aisées à établir,
' q'^
C) (r) ir) _ (rj
/i&'i(o| /IT) ~ ^ai-t-i{o\nx)
(LU)
«— 1
(_,)S^^-^ /«[SJ'.(o)1 »
/a = 1,2, 3; r = ri,rj, ...,r„_A.
262. Le cas où Ton divise la seconde période par un nombre
impair n, et la recherche des expressions des fonctions 3 f ç' — K
au mojen des fonctions ^{v), se traitera de la même manière.
Parlons, par exemple, des formules (XXVII|_s), et, tout en conservant les notations précédentes pour ce qui concerne les fonctions (i{u\îù^, (03), (^«(m | Wi, (U3) et 3r((>|T), désignons par de petites initiales affectées d'un accent les constantes relatives
aux fonctions o^ Te/ 1 cui, ~ j , <îa(u\(ù^, — j et 3r (i' -] ; en d'au- tres termes, posons
1 I!L/
(LIIO
^ -* / fv\ ^ =* / IV\
V-00 / «uv V =•
V - 1 V - I
yz^tc , •xi_«\ v = «
= 1 v = l
LES FONCTIONS 3r. 189
Soîenl aussi, pour abréger^
20)1 \ \ n/ A, Wi '
Nous aurons alors, en passant des fondions o^, da â^i^ fonctions
,r) ^ix-^i i^ — j (r = /'i, Tj, .. ., Trt-i),
où <(/ représente l'expression
(r)
iM» v^ r/ w r-cX' r*T*"l
— -2i =">"-' Liî^ + TJ - «rj
2
(r)
qui se réduit immédiatement, et est égale à
(r)
Si Ton pose, pour abréger,
(LU.) ' "•'
n^>(?)
«a+i
Aa
(r)
1^0 CALCUL DIPFftEINTlBL.
les formules précédentes prennent la forme
I ir)
)'
(rl
(/• = Ti, Tj, . . ., r„-i),
de sorte que le problème de la transformation de t en - est ra- mené au suivant :
Exprimer, au moyen de q, les quantités bt, ^a+i définies par les formules (LII5).
263. Il est aisé de voir comment, au moyen des formules (XXXIV), on passe de Tune des relations (LII4) aux trois autres en ajoutant
successivement à l'argument v les quantités -> -» • On trouve
ainsi, par un calcul très facile, en comparant les résultats, et en se rappelant que \^ - est toujours un entier de même parité que
2
{r)
(LIU) bis bx=b,, bt=:b,'-^{-iy) b^.
Il nous suffira donc d'exprimer, au moyen de q^ Tune des quantités 6|, 62? ^3> ^4-
264. Nous commencerons par exprimer, au moyen de q^ les dif- férents produits
n— 2 _w— 1
Si l'on se reporte à la formule (XXXII7 4/,)
Oi '=) = ^o/('«\
LES FONCTIONS ^. l4l
OÙ
v = «
v = l
et si Ton fait
on aura manifestement
n— 1
r=l ^ • /
en sorte qii^il suffira de calculer le produit
/(^l)/(^î)..-//^n-l\,
qui peut s'écrire
Il nu,— '^lu,'--]!
v-i l (D
(r = i,i,...,^).
Or on a, comme on le reconnaît de suite, en écrivant les fac- teurs de la quantité entre crochets, de manière que les exposants de g aillent en croissant,
n — l
' r (»V — l>w 4-tr'j r (îv— Dn -irl
r-1
I Txf Kv-Dn-^-atl-ll
^ .=.
et, par conséquent, le produit cherché est égal à une fraction dont le dénominateur est égal à
Vr=«
fj(l + 9»v-l) = y„
V=l
I^a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tandis que le numérateur est égal à
n n L- ^"~'^~] = n [- ^"^ J = «i
V=rl |JL^1 V-1
(régalité résulte de ce que, dans le premier membre, les expo- sants de q sont tous les nombres impairs divisés par /i). On a donc
r= — - 2
n /<-) = I;
et par suite
<L,,,, 'uH~)-'7'f,-
r.-I
Par un calcul tout semblable, on obtient de même les relations
r=l _ n—l
r=l _n — \
» «-1
n^'(^)=':-?t
265. Cest en nous appuyant sur la première de ces relations que nous allons exprimer b^ en fonction de q. Comme on a mani- festement
Zn- |
-r=q'' = |
— ? |
'(!) = |
|
on |
en conclut |
ïr-n |
||
A'n |
-r) = |
q " /(-S-). |
||
d'où |
||||
11 A'r) = |
n — l = 11 /(^^ |
.-r) = |
n — l '" ■ .r- = 11'- |
|
n-t-1 |
r = ! |
r=l |
LES FONCTIONS ^. l43
et par suite
"ri '^-(ï) = 'îï ' '■(-> " «-. n'/c. ) = -^ ■
Mais il résulte des formules (XXXTVg) que Ton a
donc la fonction
ne change pas quand on remplace r par r -\- n] par suite, le pro- duit
ne change pas quand on remplace r^, /%, . . . , r^-i par un sjstème analogue de nombres entiers. On aura donc
(r) q'V ï / gi r=r\
et, en se rappelant l'expression de la somme des carrés des n — i premiers nombres entiers, on trouvera, après des réductions im- médiates,
n/r-\ 1* '» ^ «'»-*n'*
En se reportant aux valeurs de a^ et de A,, on a donc
Oa " " ^
Cette expression se réduit à -^ lorsqu'on prend pour /• les nom- bres
266. A l'aide des relations (LII5) (n««262, 263, 265), on ob-
l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tient immédiatement les relations suivantes , qui peuvent être utiles; la troisième a déjà été obtenue au numéro précédent.
V
n^' u) =<-•)''' 9s-'o'.*î "* ."lit-.
-TT /rT\ /y"-» (/,-1i(i.->i yir«
I (r)
Vr//'»-! film _y il
On a aussi les relations suivantes
\
/r = /'i, r,, ..., r„_,\,
(|ui résultent immédiatement du calcul des quantités 6^, 6a^.i, sî Ton prend pour r les nombres d= Ti, ± To, . . ., ± '^w-i-
Comme on a d'ailleurs
on pourra exprimer S, f o - j> ^d^x (o - j, au moyen de ^\{o)^ 2^0+4(0), ll^M"")' TT^a+M — )• Nous laissons au lecteur
\r) (r)
le soin d'écrire ces formules.
267. Les formules (XXVII4), qui expriment les fonctions es* f e/ o),, -~j, d'oiUf (0|, — j au moyen des fonctions d'w, rfa//,
LES FONCTIONS 3r. l45
nous permettent d'exprimer aussi les fonctions S (i^ - j au moyen
des fonctions S(v). En passant des i aux 2r à l'aide des rela- tions (XXIII|_4), et en remplaçant, à l'aide des relations (XXXIX5), les produits (e» — ^p) (^a — ^y) par les quantités 2ri^i(o), on obtient aisément les formules suivantes :
^.Hj)-TF*'">n
(LIIt)
(r= r,, /•,, ..., r„_A.
268. En chanoreant, dans ces formules, v en (' + -> (;~|--, i' H ; — , on obtient six expressions pour chacune des fonctions
2r(t' -j au moyen des fonctions 2r(i^|T); elles se réduisent à
trois, si l'on tient compte des relations (LIIo).
On remarquera d'ailleurs que les deux problèmes qui con- sistent à exprimer les fonctions 2r(/i«;|/iT) au moyen des fonc- tions 2r((^|T), et les fonctions Sr/v; -j au moyen des fonctions
3(i' |t) ne sont pas réellement distincts; on ramène l'un à l'autre par des transformations linéaires. En efVet, pour exprimer les
fonctions Sft' -j au moyen des fonctions 2r(i^|'r), on peut ex- primer les fonctions 2r f ç? - j au moyen des fonctions 2r ( — — — )
(c'est une transformation linéaire); puis, exprimer les fonc- T. et M. — II. 10
l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
lions 2r ( — — - j au moyen des fonctions 2r f ) (c'est le
premier des deux problèmes); puis, enGn, exprimer les fonctions
2rf- j au moyen des fonctions 2r(i;|T) (c'est encore une
transformation linéaire).
269. En se reportant aux déGnitions des fonctions modulaires
^* 9t qt
et aux expressions des produits
tr) (D
au moyen de q, Qo, Qa pour les uns, de q, q^, q^ pour les autres, on obtiendra immédiatement les relations suivantes :
(LUI)
(0
(a)
(î)
(4)
(5)
(i.(.)i'^=nh(»0^'(;)^*(j)]
(r) /«h(nT)[h(x)]V=JJ^,^I^,
, , n^.(;)
•Kt)
X(nx) ^ [h(x)l"'
"'" " RHO
ir)
(r — 1,2,..., 1,
LES FONCTIONS &.
1^7
/i«-i
n — l
(6) q - [h(t)] »
=nh(?)^-(T)^'(x)]
(7)
W— 1 /!«— 1
/ 1
,-''-h(^)[h(,)]"T^fja.(^
)■
(8)
?
(1) m-(?)
aiii)
(9)
to) SI-)
(10)
= ^
nKi)
C)
270. Il importe de remarquer que, puîsqu^on sait exprimer les
fonctions S(/i^|/it), 2r(i^ -j au moyen des fonctions S(^|t),
on sait, par cela même, exprimer, au moyen des fonctions S(i»|T), les fonctions 2r(/i(^|T); ces dernières, en effet, sont des fonctions entières, homogènes et du /i**™^ degré des fonctions
^(^ "")' comme le montrent les formules (Lls^g), et les fonctions
â/(>LZ j sont des fonctions entières, homogènes et du /i»*"« degré
des fonctions &(^ |t), comme le montrent les formules (LU); les fonctions Sr(/i(') sont donc des fonctions entières, homogènes et du degré n^ des fonctions &(t'). Cette conclusion subsiste même si n est pair, comme il est aisé de le voir en pensant aux formules relatives aux transformations de Landen et de Gauss. Si Ton se borne au cas où n est impair, on obtient des formules équiva- lentes à celles dont nous venons de décrire la formation, en com- binant les formules (LI4) et (LII4), où les expressions des fonc-
l48 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
dons &(/it'|/iT), &f^ -j comportenl chacuae un produit de
n fonctions S d'arguments différents; l'expression de chacune des fonctions S(/i(^ Jt) comportera ainsi un produit de/i^ fonctions 3; on trouve, en effet,
((*. V)
(LIV)
S'-
\ ( {t. V I
en supposant
'* -— ''j » ''îj • • ■ T • • • J '*«— 1 »
}jl = O, /'i, /'i, . . ., Trt-i, V = O, /*!, Tj, . .., r^j-i,
et en ayant posé, pour abréger,
X = ^;'- ^ »'•' e <'•)
271. Il est bon de jeter maintenant un coup d'œil d'ensemble sur les résultats obtenus dans les précédents numéros.
Que n soit impair ou pair, les fonctions 2r(/ii^ | /it), 3(t' -)
sont des polynômes entiers homogènes, du degré* /i par rapport aux fonctions S(t^ [t), choisies convenablement. On peut dès lors regarder comme résolu le problème suivant :
Étant donnés quatre nombres entiers, a, 6, c, rf, dont le déter- minant (S) = ad — bc est positif, exprimer les fonctions 3(t'|':) au mojen des fonctions 3(v | t), en supposant
V = i— , T = -
c -h dz
Reportons-nous, en effet, aux résultats obtenus dans les n*^' 130-
LES FONCTIONS ^. 1^9
133; reprenons les notations employées alors et rappelons-nous que nous ne considérons plus que des transformations à détermi- nant positif; on pourra énoncer le théorème suivant.
Il existe, d^une part, deux nombres entiers positifs X, p., assu- jettis seulement à vérifier la condition
Xfx = ad— bCj
et à avoir pour plus grand commun diviseur le plus grand com- mun diviseur des nombres a, è, c, d; d^autre part, deux sys- tèmes a, P, Y, 8; a', P', y, 8' de nombres entiers, vérifiant les con- ditions
et tels que Ton ait
(a -+-6-:) (a' -H ?'t) = X (a -+- ?x), (a-f-6':)(Y'4-8'T)- fji(YH-8x),
il suffit, pour s^en convaincre, de supposer, dans les n^' 130-133,
(1)3 Û3
mais, en vertu de la théorie de la transformation linéaire, les fonctions ^(t'iT) ne diffèrent que par un facteur exponentiel et par des facteurs constants des fonctions
ces fonctions sont des polynômes homogènes et du degré X par rapport aux fonctions
Cri" ^ JLtil^l
LX(a-f-ÎJx) X(a-r-?T)J
qui, en vertu des égalités précédentes, sont identiques aux fonc- tions
r_v I r-4-5-T 1
et ces dernières sont des polynômes homogènes et du degré a par rapport aux fonctions
/ V Yjtill\
Va'+P'T a'-f-p'T/
l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
qui ne difiîèrent que par un facteur exponeatiel et par des facteurs constants des fonctions 2f{\ \ t).
Finalement, les fonctions ^{ç \ x), à part un facteur exponen- tiel quMl serait bien facile de calculer, sont des polynômes homo- gènes, de degré X|x = arf — bc par rapport aux fonctions &(v | t). Le théorème du n® 130 conduit donc bien à l'expression des fonc- tions 2r((' I t) au moyen des fonctions &(v | t), et l'on voit claire- ment le rôle des nombres \ [jl et l'avantage que présente leur introduction. C'est toutefois par des opérations arithmétiques exécutées sur les entiers a, 6, c, d qu'on obtient ces nombres X, u, et il serait évidemment très intéressant d'avoir l'expression expli- cite, au moyen de ces nombres et des données, des polynômes en &(v I t), expression dont nous venons d'établir l'existence. C'est, toutefois, un problème que nous n'aborderons pas ici (^ ).
IX. — Sur un théorème de M. Hermite. Relations entre les fonctions 3r. Théorèmes d'addition.
272. C'est à la théorie des fonctions 3* que nous avons rattaché la définition et les propriétés des fonctions 2f, Toutefois, nous avons vu comment, dans bien des cas, il était tout aussi facile d'établir ces propriétés en partant de l'expression même de ces fonctions et, en particulier, de celle de la fonction
n
qui est très simple.
M. Hermile a montré comment on pouvait prendre pour point de départ des séries analogues à celle qui précède pour engendrer des fonctions plus générales, en un certain sens, que les fonc- tions Sr, qui toutefois, au moins dans le cas que nous considérons spécialement dans ce paragraphe, ne sont pas autre chose que
C) Dans un Mémoire inséré au Tome XLIII des Afathematische Aànalen, M. Krazer a résolu cette question et même une question plus générale. La mé- thode suivie par M. Krazer, où interviennent les séries trigonométriques et ces sommes de Gauss qui avaient déjà permis à M. Tlermite de traiter le cas de la transformation linéaire, n'est pas de nature à être développée ici : nous nous
LBS FONCTIONS ^. l5l
des combinaisons très simples de fonctions exponentielles et de fonctions Sr prises avec des arguments convenables. LUllustre au- teur a en outre établi, relativement à ces fonctions ainsi formées, une proposition très importante qui peut servir de principe dans
contenterons d'indiquer les notations dont se sert M. Krazer (notations qui sont aussi celles employées par MM. Prym et Krazer dans leur Ouvrage : Neue Grundlagen einer Théorie der allgemeinen Thétafunctionen), et la nature du problème qu'il traite. Il désigne par le symbole
m '"'•
la somme de la série
V ea{m-hg)*-i-i(m-i-g)(u-^-h'Ki)^
m
où m prend toutes les valeurs entières; a est la même quantité que nous dési- gnons par Titi; u est la variable que nous désignons par vizi; g^ h sont des con. stantes réelles quelconques. Pour nous rapprocher de nos notations^ nous consi- dérerons, en lui donnant le sens précédemment défini, le symbole
[J] (-.)„.;
en attribuant k g el k h, dans ce symbole, les valeurs o, o; o, -; -t o; - > -* on
trouve les quatre fonctions Sr,(i; | t), ^^{v\ t), ^^{v \ t), i2r, (v | t).
Ceci posé, en désignant par a, b, c, d des nombres entiers dont le déterminant ad — bc est positif, et en posant
y = |
V |
T = |
az |
|||
a 4- ^T* |
bx* |
|||||
on |
peut exprimer |
la fonction |
||||
'[']' |
^'^i)xi:i |
|||||
au |
moyen d'un nombre fini de fonctions |
h H^^'^^*-
La méthode suivie par M. Krazer consiste à décomposer la transformation
/c -+- dx\
l j-^ ) en transformations de types déterminés à coefficients rationnels, et à
établir la formule de transformation pour ces transformations particulières. En combinant ces formules, il parvient à la formule générale, qui appartient bien au type que nous avons décrit dans le texte; mais cette formule, d'ailleurs assez compliquée, est explicite, et n'implique pas un calcul arithmétique auxiliaire comme celui des nombres X, {jl.
l53 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
la ihéorîc des fondions doublcofienl périodiques; nous allons donner, diaprés lui, quelques indications sur ce sujet.
273. Soit h un entier positif et considérons la fonction ^(i/) dëfînie par l'égalité
-^ * ««-H - - n
(LV.) *(«)=2a,S'* e«''"»'=2A-««'*
Ci>i Ci>t
n
OÙ les An sont des constantes qui se reproduisent périodiquement de h en h. Puisque la valeur absolue de q est plus petite que i , il est clair que la série qui figure dans le second membre est absolu- ment convergente et définit une fonction transcendante entière de la variable u\ cette fonction admet manifestement la période 20),. D'ailleurs, en décomposant en carrés l'exposant de e regardé comme un trinôme du second degré en /i, on obtient
— »
Tzitùi . Tziu Tzitùm f ku \^ - fl -T — n»H w= -ir-^ln-^ ) — 7
d'où Ton conclut
n
Si Ton change ?/ en m -|- 20)3, le second membre ne change évi- demment pas, à cause de l'hjpothèse
il en résulte que le premier membre admet la période 2(1)3, et Ton en conclut immédiatement
liTZi , (M -»- tù,)
4>(a -+-2W3) = e **» *(w).
C'est là une propriété analogue à l'une de celles qui ont été éta- blies pour les fonctions d.
274. Le théorème de M. Hermile consiste en ce que la fonction <I>(w), formée comme on vient de l'expliquer, est la fonction transcendante entière la plus générale qui jouisse des deux pro-
LES FONCTIONS &. l53
prJélés
<ï>(m -+- 20)3) = e ***» ^{u).
Considérons, en effet, une fonction transcendante entière ^{u) qui jouisse de ces propriétés. Puisqu'elle admet 2C0| pour pé- riode, c'est une fonction univoque de
X = e^^ '
nizi 1
car cette dernière équation fait correspondre à chaque valeur de x une infinité de valeurs de u en progression arithmétique de rai- son Qco^ pour lesquelles la fonction ^(u) doit reprendre la même valeur; en d'autres termes, la fonction
(S "^')
n'a qu'une seule valeur, quelle que soit la détermination choisie pourlogj?; d'ailleurs aux environs de toute valeur a:, différente de zéro, l'une quelconque des déterminations de la fonction loga: est régulière; il en est donc de même de la fonction de x précé- demment déGnie, puisque ^(u) est, par hypothèse, une fonction (transcendante) entière. Mais alors, en vertu du théorème du commandant Laurent, cette fonction de x peut être mise sous la forme
2 A"^"»
n
les quantités A„ étant des coefficients indépendants de x. En mo- difiant un peu ces coefficients, on peut donc écrire
n' nwKi n^iùitzi nu ni
iu)=^Angf' e <^^ =^Ane ^^i "*"
b>,
n
n
et, puisque la fonction
Af/«iri
doit, par hypothèse, admettre la période 2(03, il doit en être de
l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
même de la fonction
on en conclut, en changeant w en w H- 20)5 et n en /i — /«,
OU
^ A„çA x''=2 A„_A^A a:»;
or le développement, suivant les puissances entières positives et négatives de ^, d'une fonction univoque de x, régulière aux envi- rons de chaque point x, sauf le point x = o, ne peut être efTectué que d'une seule façon; on a donc
c'est ce qu'il fallait démontrer. 275. Le rôle des fonctions
n
dans la théorie des fonctions doublement périodiques, résulte de la remarque suivante : Une telle fonction, outre les données (o,, W3, A, contient h constantes arbitraires A©, A|, . . ., Aa_<. Con- sidérons une autre fonction ^{u) formée de la même manière avec d'autres constantes 60, B|, . . ., Ba.i ; on voit de suite, en se reportant aux propriétés fondamentales de la fonction 4», que
l'expression
4>(m — a)
où a désigne encore une constante arbitraire, admet les deux pé- riodes îi(U|, 2W3. Voici donc une manière de former, par le quo- tient de deux fonctions transcendantes entières, une fonction dou-
LES FONCTIONS ^. l55
blement périodique, contenant 2 A constantes arbitraires, savoir ;
Ao Ai A^-i Bi B/i-i
Bq Bq Bq Bq Bq
On verra plus tard que c'est l'expression la plus générale des fonctions doublement périodiques univoques n'admettant pas d'autre singularité que des pôles et ayant h pôles dans le parallélo- gramme des périodes.
276. Revenons à la fonction ^(m). On peut, en réunissant dans la série qui la définit les termes qui ont un même coeffi- cient, l'exprimer comme il suit
<Ï>(m) = Ao*o-H Ai<ï>i-f-...-h A;i-i*/i_i,
en posant
*/•(") =2 S' ^ «
(n/i -»-r)> . , ^ uni (nh -K r) —--
n
n
n
Dans ces formules, r est l'un quelconque des nombres o, i, 2, . . ., A — I ; on peut même lui donner telle valeur entière que l'on voudra, pourvu que Ton convienne que le symbole ^r(w) re- présente toujours la même fonction quand on remplace le nombre entier r par un autre qui lui soit congru suivant le module h.
Sur la première définition de la fonction ^r(")> on voit immé- diatement que l'on a
Sur la dernière, au contraire, en désignant par s un entier quel- conque et en remplaçant u^ par u-\-s—r^9 on aperçoit de suite la propriété qu'exprime l'égalité
- — - 11% I ^(i)»\ -i« + J *\
l56 CALCUL DIFPÉRENTIBL.
OU
Si l'on prend en particulier r = o, et que Ton écrive ensuite /* au lieu de s, on a
on a d'ailleurs
n n
Cl, par suite,
Remarquons en passant que, puisque Ton connaît les zcros de la fonction Sj, on a par cela même les zéros de la fonction ^^.(e/).
277. De ce que ^ (u) est la fonction la plus générale vérifiant les équations (LV2) on déduit, entre autres conséquences, en remarquant que, pour A = i , on a
*(m} = Ao*o(m) = AoSr,(i;),
où Aq est une constante arbitraire, que Ao&s(^) est la fonction entière la plus générale /{^^) qui vérifie les deux équations fonc- tionnelles
et cette propriété peut servir de définition à la fonction &8(^) si l'on y joint la valeur de &3 (o).
278. Nous allons maintenant, en l'appliquant à quelques exemples, montrer la portée du théorème de M. Hermite.
Considérons d'abord les carrés des quatre fonctions 2r f )•
En désignant par ^(u) l'un quelconque de ces carrés et en se reportant aux formules (XXXIVa^s), on voit de suite que la
LES PONCTIONS &. 167
fonction ^ (m) jouit des propriétés
<I>(m -+- 20)j) = *("),
* (a-h 20)3) = *(z/)e ***«
Ces équations ne sont autres que les équations fonctionnelles fondamentales dans le cas de A = 2. Il résulte de là que les quatre fonctions 2r2((^) sont, d'après le théorème de M. Hermite, des fonctions linéaires des deux fonctions 4>o(w), ^i(u). Or, deux de ces équations linéaires qui expriment 2r'j(ç;), 2rï|(«;), ^l(i>)^ 3'J((;) linéairement en ^o? ^1 peuvent être résolues par rapport à $07 ^1 ) <^^i* autrement il faudrait que les carrés des fonctions â correspondantes fussent dans un rapport constant, ce qui est impossible, puisque ces fonctions n'ont pas les mêmes zéros. En portant les valeurs trouvées pour $,,, <ï>| dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on voit que les carrés de deux quelcon- ques des fonctions 2r doivent pouvoir s'exprimer linéairement au moyen des carrés des deux autres fonctions 2r. On doit donc avoir des relations telles que
ârl(i>) = A2rî(t.)H-B&î(p),
où A, A', B, B' sont des constantes que l'on déterminera en
faisant successivement ^:=o, (^ = : on obtiendra ainsi, en
tenant compte des formules (XXXIVg, XXXVIli.o),
2r
A'= ) - ! = ^Ul
Sî(o)
On a donc
(LVI,)
l58 CALCUL DIPPÊRElfTIBL.
En posant, dans la dernière relation, t; = i et faisant usage des formules (XXXIV4), on trouve
&î(o) = A&î(o)4-A-'&î(o),
et Ton obtient ainsi une seconde démonstration des égalités
A-t^A-'«=i, &}(o) = Sj(o)-+-&î(o).
Au surplus, les relations si simples que nous venons de déduire du théorème de M. Hermite ne diffèrent pas, au fond, des rela- tions
ainsi quUl résulte des formules de passage des fonctions d aux fonctions 2r.
Observons aussi qu^en faisant usage des relations (LVI|), on transforme aisément Tune dans l'autre les trois expressions don- nées au n^ 260 pour chacune des fonctions ^{nv\ wz) au moyen des fonctions 3(i' |t).
279. Nous avons dit plus haut que les carrés des fonctions 3> s'expriment linéairement au moj^en des fonctions
1
*i(m) = q^ e^^i^'&sCap -h x | at) = &j(2P | ax).
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les coefficients et de parvenir par cette nouvelle voie aux formules (XLVIIj) qui expriment 3j(a(^|2T), ^2{^"^\^'^) ^^ moyen des carrés des fonctions 3(i').
Par le même procédé on reconnaîtra encore que les quatre fonctions
OÙ c est une constante, sont des fonctions linéaires des car- rés de deux quelconques des fonctions 2^((^). Les constantes se détermineront comme tout à l'heure et l'on obtiendra ainsi des formules qui ne diffèrent pas, au fond, des relations (XV|_3) entre les fonctions ^. Parmi ces formules, nous nous contenterons
LES PONCTIONS d. iSq
d'écrire les suivantes :
(LVI i 2rî(o)&,((.-+-c)&.((^-c) =.-&J(0&î(0 ^-^î(c)&!(^), j^?(o)&3(i'-+-c)&»(i'~c) = &f(c)&}(0 H-&|(c)&l(t.), ( 2rî(o)&,(t. + c)2r,(p-c) = &|(c)3r}(p) -f-3rj(c)&î(^.).
280. Il convient de joindre à ces relations des relations ana- logues, mais où figurent des fonctions 2f avec des indices diffé- rents. On pourra les obtenir par une voie analogue, si l'on observe que l'analyse du n."^ 274 permet de trouver les fonctions transcen- dantes entières les plus générales qui satisfont aux équations fonctionnelles
*(a -h 20)1 ) = s *(i/),
hlZi ,
*(M-h 2W3) = e 4>(îi}e "t ,
où les symboles e, e' désignent soit 4- i, soit — i. Dans chacun des quatre cas possibles, comme dans le cas e = i, e'=i, les fonctions cherchées se composent linéairement avec h fonctions transcendantes entières parfaitement déterminées. Cette remarque suffit, pour le problème qui nous occupe, à prouver l'existence de relations de la forme
2rx(t^-t-c)&„(p-c) = A&x(«')&ïi(^)-+-B&v(«')&p(p), %{^^ H- c) &p(P - c) = A'2rx(p)&j,(i') H- B'&v(i>) ^pCi'),
où X, [X, V, p sont les nombres i, 2, 3, 4? rangés dans un certain ordre, et où A, B, A', B' sont des quantités indépendantes de v\
qu'on détermine en supposant t^ = o, -> -• Le lecteur pourra
appliquer celte méthode, ou encore déduire les résultats des for- mules (XV4) et (XV5) en passant des (^ au d; nous nous conten- terons de transcrire les résultats.
2r,(o)2r,(o)&t(P-+-c)3r,(«;-c) (LVI,) {
|60 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
&,(o)&4(o)3^i(PH-c)&,(r-cO
= 4-&,(c)&4(c)&,(0&3(0-h&i(c)&,(c)&,(v)&4(0,
(LVK) <
' 2r,(o)2r,(o)&,(P-+-c)2r,(p-c)
(LVI5) <
3r,(o)&3(o)3r,(p+-c)&3(^'-c)
281. Au reste, toutes ces relations, que nous avons tenu à écrire, à cause de l'usage qu'on peut avoir à en faire, sont des cas particuliers d'une ideniité générale, de même que les relations équivalentes entre les fonctions (^ (XV<_5) sont des conséquences de l'identité (VII2), établie au n°96. Pour déduire de cette ideniité ridentité correspondante entre les fonctions 3, il suffira de rem- placer la fonction d par son expression au moyen de la fonction 3i et de remarquer que l'on a
(w-Ha)*H~(«f — a)*-4-(6-4-c)»-f-(6 — c)» = («t-+-ô)*-4-(a — 6)*-+-(c-f-a)*-4-(c — a)* = (ï4 -h c)«4- («/ — c)* -h (a -+- ô)»-4-(a — 6)ï = a(M«-i- a»-h ô* -h cM.
On obtiendra ainsi la relation
«
(LVII,) ) -h&i(p-+-6)3r,(t»— ^>)&i(c-ha)2r,(c — a)
( +3rj(t;-hc)2r,(p — c)&i(a-K6)3r,(a — 6) = o,
où il est à peine utile de prévenir que les quantités a, 6, c repré- sentent celles que Ton désignait de cette façon dans le n" 96, divi- sées par 2(0|.
282. De cette identité, on en déduit plusieurs autres analogues, soit en augmentant l'une ou l'autre des quantités w, a, 6, c de
-y OU en attribuant quelque valeur particulière a ces
> ~ >
'À 1 2
variables. Nous ne voulons pas ici faire cette étude, que l'on
trouvera tout au long dans la Théorie des fonctions elliptiques
LES FONCTIONS d. l6l
de Brîol et Bouquet (*); nous nous bornerons aux remarques sui- vantes, tirées, pour la plupart, d'un beau Mémoire de Kronecker sur le même sujet (^).
Remplaçons les lettres r, w, 6, c par a, b, c, d et posons en général pour p = i, 2, 3, 4,
/ Tp = 3rp(a -H 6) 2rp(a - 6) &p( c -+- d) 3rp(c - d),
(LVIIi) I Tp = 2rp(a-4-c)2rp(a-c)&p(û?-i-6)&p(fl?-6),
( T'p = 2rp(a h- û?)&p(a - rf)&p(6 -+- c)&p(6 - c),
où les trois expressions T, T', T'' se déduisent les unes des autres par permutation circulaire des lettres 6, c, rf. L'identité fondamentale (LVII2) pourra s'écrire
Ti -+- t; -h Tî = o.
Observons que, par les vingt-quatre permutations des lettres a, 6, e, rf, les quantités Tp, Tp, Tp se reproduisent, rangées dans un ordre quelconque, si p n'est pas égal à 1, et que les quantités T|, T',, T' sont remplacées par une de leurs permutations circulaires ou par une des permutations circulaires des. quantités — T|,
On voit, en particulier, que l'identité fondamentale
T,-{-T;-4-Tï = o
se reproduit pour toutes les permutations des quatre lettres a, bj c, d.
Si maintenant on ajoute aux quantités a, c, successivement
I I -h T T
-> y - 9 on trouve
(LVII3) T3 -T'i-TS = o,
( T4— T'i — Tî = o.
Sans nous arrêter aux équations que l'on peut déduire de celles-là par les permutations des lettres a, b, c, d, observons qu'on en
(*) Deuxième édition, liv. VII, p. 4^6 et suiv. (') Journal de Crelle, t. 102, p. 260.
T. et M.— lU II
l6a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
lire, en ajoutant
( T«-hTj = T;-^T:, ( T3-hT4 = T;^-Tî,
d'où, en permutant circulairement 6, c, d,
^'^^"*^ |t,4-t; = T3^t,.
283. Ces identités ont été données par Jacobi sous une forme à peine différente. Considérons, par exemple, la relation
T,--T,= T;-hTi.
Si l'on pose
a-f-6=«v, a — b = Ty c -^ d = y, c — d = z, on voit de suite que cette identité peut s'écrire
«n regardant les variables -r, ^, z, <v, x', y, 5', w' comme liées «ntre elles par les systèmes équivalents d'équations
w' z= - { w -^ X ^ ^ -h z\ w = - {w' -i- x' -*- y -^' z')j
x' — ~{iv -hx — y ~ z), X = - (w'-\-x — y — z'), y ^ ^w^x-hjr-'Z), y = - (iv'— x'-+-y~;ï'),
28 i. C'est d'ailleurs par une voie tout autre que Jacobi par- vient à cette identité : cette voie est directe; elle consiste à eflec- iuer la multiplication des séries qui représentent ^^{w^^ ^^{^x^^ ^^^y)> 3a (5), 2rj(ir), .... Outre son intérêt propre, elle oQre un grand intérêt théorique; elle équivaut, en eflet, à un^principe dans la théorie qui nous occupe. Le lecteur n'aura aucune peine à recon- naître que de cette identité et de celle qu'on en déduit en ajou- tant à une ou plusieurs des variables 1, t, i -|-t, -> -> ^, on
LES PONCTIONS d. l63
peut tirer très facilement les relations entre les carrés des fonc- tions 3, ou entre les produits de deux fonctions 3 avec les argu- ments X 4-y, X — y^ qui ont été obtenues dans ce paragraphe au mojen du théorème de M. Hermite; en sorte que Tidentilé de Jacobi peut, comme l'auteur Ta montré lui-même ('), servir de fondement à une théorie des fonctions elliptiques. Kronecker, dans le Mémoire précédemment cité, a amené l'analyse de Jacobi à un haut degré d'élégance et de généralité, nous ne la repro- duirons cependant pas. Nous donnerons de préférence, pour initier le lecteur à ce genre de spéculations, la démonstration d'une belle formule qu'on doit à Schrôter, formule dont un cas particulier nous conduira facilement à l'identité de Jacobi et dont nous aurons d'ailleurs à tirer parti plus tard, pour la formation des équations modulaires. La formule de Schrôter pourrait être établie autrement que nous n'allons faire (^); le théorème de M. Hermite, qui a fait le premier objet de ce paragraphe, offri- rait, en particulier, un chemin pour y parvenir.
28S. Désignons par a, j3 des nombres entiers positifs et envisa- geons le produit des deux fonctions 33(:r | ar), ^^{y\ ^t).
En se reportant à l'expression (XXXII3) de 33((^|t), on voit que ce produit peut être mis sous la forme
|X.V
où le second membre est une série à double entrée, absolument convergente, dont les termes peuvent être groupés comme l'on
(») r/ieorie der elliptUchen Functioneriy aus den Eigenschaften der Thêta- functionen abgeleitet {Œuvres, l. I, p. 499 )•
(*) M. Herstowski {Math, Annalen, t. XI, p. 1-29) parvient à celte formule, ainsi qa'à d'autres relations que nous rencontrerons plus tard, en effectuant la multiplication des produits infinis qui représentent les fonctions âr.
Sauf quelques modifications sans importance, nous reproduisons ici (n" 285-286) l'analyse de Schrôter d'après Enneper {Elliptische Functionen : Théorie und Ges- chichte, i* édit.). Puisque nous avons l'occasion de citer cet Ouvrage, excellent à bien des égards, il convient de signaler au lecteur, en particulier, la richesse des renseignements historiques et bibliographiques qu'il pourra y puiser.
l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
veut. Nous supposerons d'abord qu'on eOTectue la somme
A[j,= y ç«|i'+3Vf"'''l"+vj-';
on aura ensuite à efTectuer la somme \| A,i.
[.= --
Il est claîr que, y. restant fixe, lorsque v prend toutes les va- leurs entières de — oo à + ao, il en est de même de v — (jl et in- versement. On peut donc remplacer, dans l'expression de Aji, V par [* -I- p, el faire prendre à p, comme à v, toutes les valeurs enlières de — oo à -H ao. D'un autre côté, si l'on désigne par j un nombre entier quelconque, et par ;- un des nombres o, i, 2, ..., a -I- ^ — 1 , il est clair qu'un nombre entier p peut, et d'une seule façon, être mis sous la forme
P = i^ + ?)^^r.
Réciproquement, quand on donne à s toutes les valeurs entières de — 00 à -I- X, et à /■ toutes les valeurs o, 1 , 2, . . . , a -h p — 1 , l'expression (a -|- ^)s + r représente successivement, el chacun une fois seulement, les différents nombres entiers de — 00 à + 00. On peut donc, finalement, remplacer, dans A|i, l'indice v par
,x + (a-HP)H-/-,
et donner ensuite à s les valeurs entières de — » à + ac; à ;■ les valeurs entières de o à œ -+- 3 — ' ■
Par celte substitution, on trouve, après des réductions immé- diates,
i,,j;>-Hp-,t = fii+!î)(u-f-?i,i + apr(|/-Hpi)-(-ap(a+P)i'-i-2apr*-H?/-»,
Si donc, dans A^, on groupe les termes où /■ est le même, el si l'on remarque que dans tous ces termes ou peut mettre en facteur f/^'' et e-'~", un voit que l'on peut écrire
J .
LES PONCTIONS d. l65
OÙ Ton a posé, pour abréger,
j=-f-«
C^^ étant le produit de
^ia4-P)({t4-?*)'-f-îpr((Jr4-p5)-f-ap(a+p)j«-t-îxpr* par
Le produit des deux fonctions ^^(x\ol'z), 3^3 (y | ^t) peut donc être mis sous la forme
(1= — « r=0 [!■ = — •
où
Séparons, dans l'expression de Gjjl,, les facteurs qui ne dépen- dent que de [x+ ^5 et ceux qui dépendent de s seul; nous aurons
= o(a+P) (lA+P*)' et««(ti-+-p*} (r-H^-t-rpi) ^aP(a+p)j« gî/7w(ar-p*-*-'*aPT^
En tenant compte de cette dernière forme pour évaluer
^ Cy,s et en observant que, s restant fixe et [x prenant toutes
les valeurs entières de — c» à +oo, 5'= ;jl -f- ^5 prend aussi toutes
les valeurs entières de — 00 à -i- 00, on voit que la somme ^ Cjji,,
est le produit de
par
j'=-»-90
\^ o(a-4-P)*'« gliw'(ar+j'-4-rpT) j
5 =— 00
or cette dernière somme n'est autre chose que
^j[^H-7-+-'-P'l(«-+-P)^];
l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on a donc,
2 B,= 2 2 Cm
(1=-- ,=-- ^=-«
et, par suite, enfin
rrrO
(LVIII, ) ( X ^j[a^ — par -h rapx ] a? (a -4- P)t]
r=a-HP— 1 r = 0
X &j[Par — aj^ H- rapx | a? (a -h P)x),
la dernière égalité ayant lieu en vertu de ce que le premier membre ne change pas quand on change a en ^ et a; en ^, simul- tanément. C^est la formule annoncée.
286. Pour a = i , p = I , l'égalité précédente, en tenant compte des formules (XXXI Vo), devient
(LVIII ) * ^3(a?)^8(7) = 3r3(:r-4-7|2x)&3(a?-X|2x)
) -+-2rj(iP-H^|2x)3rj(a?— j'Iïx).
En changeant dans cette formule x^ y en ûc -j-^y y-h-i on ob- tient encore
(LVIII,) I ^«(^)^»(J^) = ^«(^-+-rhT)2r,(fl?-^|ax)
Observons en passant que, en faisant x=:yj on retrouve deux des formules relatives à la transformation de Landen.
Ce sont les formules (LVIIIa-s) qui vont nous conduire à l'i- dentité de Jacobi. Si l'on désigne par x, y, z, çv quatre variables indépendantes, on en déduit^ en appliquant ces formules d'une
L
LES PONCTIONS &. 167
part aux variables x^ y, d'autre part aux variables 5, w, et en for- mant la fonction
&,(^)&,(7)2r,(^)&3(«')-i-&,(ar)2r,(7)&,(;:)&,((v).
que cette fonction s'exprime très simplement au mojen des quatre quantités
^3(2? -1-7 I 2T)&3(5 -h W I 1Z) -V- ^%{X -f-/ I 2t)&2(^ h- W \ 9.t),
2r«(a7— ^|tix)&3(^ — tv|2'c)-+-2rj(a:— v|2T)2r,(^ — w\ii\
Après une transformation algébrique facile, on voit qu'elle est égale au produit des deux premières augmenté du produit des deux dernières. Mais, en vertu des équations (LVIIl2_3) elles- mêmes, les quatre quantités que nous venons d'écrire sont res- pectivement égales à
ç. l -^-x -^ y -^ z-\- w\r. f— X -\- Y -^ z — w\ 3,(^ - — -ja,(^ j,
&, -
-^ X -\- y -r- z -it- w\ ^ ( — X -\-y -^ z — w
.)..(..
V. / V 'Jt.
— z — «'
On obtient donc bien ainsi l'identité de Jacobi.
CàLCDL DIPPtBSHTIEL,
CHAPITRE IV.
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS tf ET DES FONCTIONS 5.
I. — Les foncUoDB ^
287. Il convieot souvent, dans diverses questions, d'introduire les quotients que l'on peut former au moyen de deux fonctions i portant sur la même variable et les mêmes périodes; les quatre fonctions <iu, (i,u, diti, dsu engendrent ainsi douze ronclioDS. Nous poserons, en conservant les mêmes conventions qu'au n" H2 relatives aux indices a, ^, y.
s..« |
Su |
= l/pii - |
e». |
_ tfK |
, |
||
/r"^- |
-*» |
||
if," |
= î^ |
"es |
ou b
I
m—
r ^
Nous sous-entendrons la variable u quand il n'j aura aucune ambiguïté à craindre; ainsi nous écrirons ^aoi iaa, Spy au lieu de ïoo"> Ç»ii«i ïpï"- Au contraire, quand il y aura lieu de rappeler les nombres tii), u, qui servent à construire les Jonctions d et, par suite, les fonctions Ç, nous écrirons
EmCNm'"»), Sm("(<-i,'".), Îpt(«I'^'-'-»). ou bien
i c'est sur les invariants f „ ^, qu'on veut attirer l'attention. 288. Les fonctions Ç sont des fonctions univoqucs de u ; celles
LES QUOTIENTS DES PONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS d. 169
qui ne contiennent pas d'indice o sont paires, les autres sont impaires. Elles n'admettent pas d'autres singularités que des pôles, tous simples; ces pôles sont les nombres congrus à o, modulis 2 (0| , 2(1)3, si le second indice est o, à o)» si le second indice est a. Les zéros de ces fonctions sont congrus à o ou à (Oqc, selon que le premier indice est o ou a; ce sont tous des zéros simples.
D'après leur définition , les fonctions Ç sont des fonctions algé- briques de la seule fonction pu] elles sont donc toutes des fonc- tions algébriques de l'une quelconque d'entre elles, tandis que leurs carrés sont des fonctions rationnelles du carré de l'une quelconque d'entre elles. D'ailleurs les relations algébriques qui les lient sont manifestes; il suffit de les écrire
(2) Çao=r-> ç?y= F- = r— =çpoÇoY=53a;aYj
çoa çyo Çya
(3) pw = «a-+-Sîo=<?p-^5^o = ^r"^^ro» d'où
(LIX)
(5) ptt = ea-h- =e^^ ^^=ey-+-- -
-«Y
.ya
Notons encore celle-ci (LIX.) — i— = \h = '-^^ = - -^ •
289. 11 est très aisé, au moyen des diverses formules (XIl2_3)î de voir quel changement produit sur les fonctions Çao» Spy l'addi- tion de l'une des quantités 20)», awp, 2a)Y ou (Oa, (op, coy à l'ar- gument u»
Observons d'abord que l'on a
I?aowp= Ap— «a»
la dernière égalité résulte des formules (XIII2).
£n particulier, et en tenant compte des formules (XXXVII4.-»),
170 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on a
(LX,) A- = $,iW3, X:'=îî3U),.
Maintenant les formules (XIl2_3) donnent
(LX,)
1 îao(w-+-^wp)=— îaow. îp^^** "^ ^'*^p) ="" SPï^-
= — /ep — eoL yje^—e^ Joa". (LX ) /^ îao(w-+-wp) rr /ep— eaîypw,
ÇpY(t/-^ (Oa)= > — -^SYpt/=^ — ^,=1 ^;rP"»
, îpy(wH- wp) =— /ep— ea?oaW.
Ces formules montrent que les fonctions \ sont doublement périodiques. La fonction $,0?/, par exemple, admet les périodes a(t)|, 4^3) ^^ îl 6St clair, diaprés la nature des pôles qui sont tous congrus à zéro, modulis 2C0|, 2W3, et parce que 2(03 n'est mani- festement pas une période, que ces périodes sont primitiçes. Les carrés des fonctions \ sont doublement périodiques et admettent tous 2()L)|, 2(03 comme couple de périodes primitives.
290. Il est facile d^obtenir les équations différentielles que vérifient les fonctions $, puisque l'on a l'équation qui relie pu à p' u.
Observons d'abord que l'équation (XI3)
pu = — 1—^ --
peut s'écrire maintenant
jd' a = — 2 $ao ?po Jyo = — 2 /p m - €« v^j) a — ep \/pu — €^. Dès lors les relations
îao=/pw— «a» ^oa= -} — ? £py= -7?^=^
v/pw — Ca /pu — tfy
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O* ET DBS FONCTIONS ^. I7I
donnent immédiatement
(LXI,) Jio = — -A.l^=^ =— ^pu — e^^pu — e^=^ — Çpo?YO»
,,Y, V t/ nP'if /pw-epv^j)a-ey
( L»Aij) ^o« = — / —, : = = ÎSaÎYa»
u/jîM--ea(pa — ôa) pw — e» ^p«'.t »
(LXI,) ) a/pM — ep/pw^=^(pM-Cy)
En remplaçant dans la première de ces égaillés i^o? iro P^^ leurs valeurs (LIX3) en fonction de $aoî oi^ oblient
(LXIIi) Wo=(ga-gp-+-Uo)(ga-gy-Haîo),
c'est-à-dire que la fonction $ao vérifie l'équation différentielle
elle peut donc élre définie comme une fonction univoque de it satisfaisant à cette équation diflférentielle et telle que la différence
y soit régulière aux environs du point o, et s'annule en ce
point.
Il est clair que, si une fonction f{u) satisfait à une pareille équation différentielle, où la variable u ne figure pas explicitement, il en sera de même de la fonction /(m -f- C), où C est une con- stante arbitraire ; les fonctions Ç^o ( w 4- Wa) , Çao ( '^ -f- wp ) , iao(" 4- Wy), en particulier, devront vérifier cette équation diffé- rentielle, ainsi que les fonctions
qui leur sont respectivement égales ; on en conclut, ou l'on obtient directement par un calcul analogue au précédent, les équations
1(3) Sp'y = (l-S^y)[gp~ga-+-(ga-gr)Spy]-
291. Remarquons encore les formules, d'un usage fréquent
17^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.
dans le Calcul intégral, qui lient les fonctions Ç aux fonctions Ç, savoir :
(2) — ;aw = p(w-t-wa) = eai-+. -'^ -' ,
pu — e»
d'où
i ^^^ — î;â« — «a=(«p— *a)(«r— ««)?ôa(«); 1(4) — ÇpM— ea=(ep— «a)î'p(«); et
(LXIFF.){ , ,_1^ ^ ^
= _ Vif — Py_L_ r = - {po(" Îy«(« = - -^-rr '
y/pu — Col *"'^»"
l r r d , t , ^ I («8— «y)ï*'"
. (ïg^U<ÏU
^ P ''Vpao'ya
292. Les deux dernières relations peuvent s^écrire sous une forme un peu différente, qu'il ne sera peut-être pas inutile de faire connaître.
Reportons-nous aux formules (XXXIlIs.o)
3^a-»-i(o)
on en déduit, en prenant les dérivées logarithmiques,
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS d ET DES FONCTIONS ^. 178
(lès lors les formules (LXIIIs.e) peuvent s'écrire
•iun L^i(i') ^a-M(^)J 2Wi^^i(o)2r^-Hi(o)3ri((^)3ra-Ht(^')'
en utilisant les relations (XXXVI^^s) écrites sous la forme
40»!
3y'i (o) = 71^^+1(0) 3rp^i(o) 3ry_^i(o), on trouve, après quelques réductions immédiates,
C'est là les formules que nous avions en vue.
293. Les formules (XV) nous montrent immédiatement que les fonctions Ç de ii-^ a peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des fonctions \àeu et de a. Il suffît pour avoir les formules qui fournissent ces expressions de diviser membre à membre deux des formules (XV) choisies de façon que dans les premiers mem- bres figure un facteur commun. Ces expressions pourront d'ail- leurs être transformées de diverses façons, grâce aux relations qui existent entre les fonctions \.
Si, par exemple, nous choisissons, d'une part, les équations (XV4_5) mises sous la forme
(3'(M-t-o)a'y(M — a)
= <i^u<^}^a [Joy w îaya îgy ^ "^" îoyaîay " îpy w]i
a'p( a -h a) a'y ( M — a )
= a'*Ma'*a[îpyWÎpya — («3— ey)5orWÎ3trWÎoy«îaY«]'
et, d'autre part, l'équation (XV2) mise sous la forme
(3'y(M-j-a) (3'y(w — a) = 3'*M3'*a[i — («y— tfa)(<?r'~*p)Wr"^0Y^]' on trouvera, en divisant respectivement, membre à membre, les
(
174 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
deux premières équations par la troisième,
(LXIV.) ç„(« + a) = Sn"ear«?Pr« + gora£,r«£pr«,
^ ' 1 — (CY-«a)(eT-«P)5oT«$OY«
LXIV.) Çp,(« + «)= .-(.,-ea)(er-ep)yT«îlT«
Les formules ont été disposées de manière que le second indice des fonctions qui y figurent soit toujours y.
294. On aurait pu utiliser aussi la formule (XV| )
qui, jointe à la première des équations dont nous nous sommes servis, aurait fourni la relation
(LXIV,) ?,.(« -a) = ^n"e.T«^gr«H-;.,aj^«e3T" .
soy ^ 5oy ^
en changeant dans celte formule a en — a et comparant à l'ex- pression déjà obtenue pour ^Qy{u -{- a)^ on en conclut Tidentilé
(îoyW îaya î?y« -H îoya îay "î^y ") (îoy «* îar" >?r^ "" îoy^ îaï" î?r ")
que le lecteur pourra vérifier au moyen des relations entre les carrés des fonctions ^.
29o. Si, maintenant, dans l'expression (LXIVi) de ioy(w -H ^)> on change a en — a et qu'on effectue le produit
Joy(w-+-a)îoy(w — «),
on trouvera, en vertu de l'identité précédente,
(LXV,) Çov(M-+-a)îoY(«-«)= --- -—^ ^-^ 5 — ï
Si l'on récrit la même relation en s'arrangeant de façon que l'indice a remplace l'indice y, puis que l'on remplace u par w + cop, on trouvera de suite
(LXV,) Spy(w + a)5pY(«-«)= tï— ^-'
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DBS FONCTIONS ^. I75
296. Signalons encore les relations
[ ^[5oY(w-+-«)-+-îoyfM — a)] = aîoyMÎay» Spy^»
LXV ) / '^[în(""^^) — 5oy("--^)] = ^îoy«î«Y"îpY"»
3l[5py(w4-a) — Jpy(a -a)] =— 2(63 — Cy)îoyMÎûtyWÎoy«SaY«»
OU
51 = I — (ey— «a) (ey— cp) \l^ u Jo'yO,
et dont la déduction est évidente. Ces formules permettraient sans peine de trouver toutes les relations qui existent entre deux, nombres qui rendent égales, ou égales et de signes contraires, deux fonctions Ç ayant les mêmes systèmes d'indices.
297. Examinons maintenant, comme au n° 120, le cas où les
nombres o),, -?■ sont réels et positifs.
Si la variable u est réelle, toutes les fonctions $ sont réelles ; on en connaît le signe d'après les résultats du n° 12U et les formules
?ox = îpaîva, Jpy = — (ep— ey) {oy îay
permettent de reconnaître immédiatement si elles sont croissantes ou décroissantes; comme d'ailleurs on connaît les valeurs qu'elles prennent pour les multiples de coi qui sont les seules valeurs réelles pour lesquelles les dérivées puissent s'annuler ou devenir infinies, on reconnaîtra sans aucune difficulté entre quelles limites les fonctions varient. Par exemple, la fonction Ç^j croît de o à
-- quand u croît de o à Wi ; la formule (LXIIIi ) montre que
dans cet intervalle on a
en donnant au radical le sens arithmétique, puisque la dérivée doit être positive; on en conclut qu'on doit avoir
to,- ■ ■'
S.
0 v/[i — (ej— e^)y^\ [i — (ei — e^)y^]
176 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
X
et, en remplaçant dans cette formule y par — « on trouve
dx
0)1
/ — - r dx
y/t'Y - ej = / -^ — --^=
en donnant à A: la même signification (XXXVII4) qu'au n" 170,
jT _ î Vêt— Ci ^ Sra(o)
298. Quand u = iu^ est purement imaginaire et que u! reste dans l'intervalle f o,-^ U les fonctions paires ^^-^{iu') sont réelles
et positives, ainsi que la fonction impaire -:$oa('w')» '^^ exprès-
sions des dérivées donnent aisément le sens de la variation; soit, par exemple,
« = 7Îoi(«V),
on aura
dz
du
>=ÎJi(*V) = 5„(m')$,i(m'),
en désignant par Çoi(*"') ^® 1"® devient Çqi w quand on j rem- place u par iu!\ .— , est donc positif et z croît de o à
' t '
e/e» — ^1 V ^1 —
I
^3
comme on s'en convainc en se reportant aux formules (LX| , XIII j) . Puisque la dérivée de z est positive, elle est donnée par la for- mule
les radicaux étant pris avec le sens arithmétique, et Ton a par conséquent
I
u)3 /•V*-»-"' dz
^1 - C
0 /lî— (Cl — ej)^»][i— (ei — e3)5«J
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS d ET DES FONCTIONS ^. 177
OU, en remplaçant z par
X
V/<?1 — «3
dx
* */o v^^i — X
h y/^i-x^îii — k'^x^) ici encore /r' a le même sens (XXXVII5) qu^au n® 170, savoir :
rp- v^^i — ^« _ ^fc(Q^.
y/Xr el ^A^ sont réels, positifs et plus petits que i.
Les formules qui donnent, dans ce cas, (O4, -^ au moyen de ei,
^2, es doivent naturellement être rapprochées de celles qui ont été obtenues au n° 297.
299. Ajoutons enfin quelques remarques relatives à Thomo- généité, que le lecteur rapprochera de celles qui ont été faites au n^ 119. En reprenant pour un moment les notations de ce numéro, c'est-à-dire en posant ^
on trouve de suite, à Taide des formules (XVni2^3),
(1) {oa("|i«>i,i«>i)= >^îoa(y Wi,tt)3J, (LXVI) / (2) îao(w|w'i,w;)=r^ i{ao (xr^t^^sj,
(3) îpY(M|«oi,io'5)r-. îpY (y r^»' ***»)•
Il suit de là que, si l'on désigne par cp une fonction de (04, (03
qui soit, comme Yja ou ^e^ — ep, homogène par rapport à (04, (0| et du degré — i , les fonctions
;iit u u uuc pari, uu tppuri
de l'autre ; en effet, si l'on pose
ne dépendront que de l'argument u d'une part, du apport —
Xç'= X<p (Xwi, Xcoj) = <p (cot, toj), T. et M. — II. la
I7B CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on aura
? 1 • •/ '^•\?
300. Trois de ces fonctions,
?5oa(^|<«>i,cu,j, Çpy(^^ ti>„a),j
dont le rôle a été et restera considérable dans la théorie des fonctions doublement périodiques et dans les applications de cette théorie, ont été introduites tout d'abord par Jacobi, qui les a nommées fonctions elliptiques de V argument u et du module k ; il les a désignées, pour des raisons que nous ferons connaître plus tard, par les notations
siDain(u, A:), cosain(u, ^), Aam(u, A:).
C^est l'étude de ces fonctions elliptiques, que nous désigne- rons ( * ) par
sn(w, A:), cn(a, A:), dn(u, A),
qui fera l'objet du paragraphe suivant.
II. — Les fonctions sn^ en, dn.
301 . Supposant que la partie réelle du rapport ^ soit positive et que, par conséquent, r^\tù^' — r^^tù^ soit égal à — > nous pose-
Ci) sn(M, A-) r-. v/ei— fs Çoa f ,— " — «u,, w, ),
(LXVII) {(•-*) cn(w,A-)=Çtjf-7=^=i ^1,^3^ 1 Vvei— C3 /
(3) dn(«,A:)=î,3^ "
Vv/êT^
ez
(i),,tU3
)
(*) La notation sn, en, dn a été proposée par Gudermann. Elle a été adoptée par un grand nombre d'auteurs, en particulier par M. Hermite, avec une légère différence sur laquelle nous insistons plus loin (n*> 317).
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. I79
Quand on ne veut pas mettre k en évidence, on écrit simplement SDW, cni/, dnw, au lieu de sn(«, Ar), cn(tt, Ar), dn(M,A:).
Ces trois fonctions sont homogènes de degré zéro en (Of, tù^\ elles ne dépendent donc (n° 299) que de l'argument u et du rapport
T = -^« Ce fait si important doit se manifester dans les relations
algébriques et dans les équations différentielles que vérifient les quantités sna, en 2/, dni/, équations que Ton déduit facilement de celles que vérifie la fonction Ç.
302. En désignant par sn'e/, en' u^ dn'e/ les dérivées de snu, cni/, ànu par rapport à a, et par
^"'(t-M' ^"(t-H' «"(7-^-=)
ce que deviennent les dérivées iijW, iljW, Ç'jjW de Çoa^? Sis*^» Çjjtt quand on y remplace u par --zz. ==» et en tenant compte
V «I — «3
des relations
on trouve immédiatement
(1) sn'M=Ç;, (-— ^*==)==$,3(_^^=^Uj,[ =cuMdntt,
\v/ei— 63/ \^/e,_e,y. \^ei — e^J
(2) cn'M= -^-' S'ia ( / " )
(LXVIII) / = — /ë7^^ So3 1 T-^^ ) g^, I -7^" — : 1 =— snadnw,
— -^ f — -^ Ç03 -7:^_=^ 1 Çi3 ( 1 = — A'" sn u en u.
V^l— ^3 Vv^tfl— «3/ \/c,— 63/
D'ailleurs deux des relations (LIXc), savoir
Ç03 — - = >
«1— «3 ^S— «Î3
l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
donnent immédiatement
sn*a I — en* M i — dn*u
on a donc
j (i) sn'M 4- cn*/« = I, (LXIX) , .
f (a) dn'M-^ A-*8n*M = I,
et l^on voit, à cause de ces relations et de Texpression de la dé- rivée de snw, que snw vérifie l'équation différentielle
(LXX,) sn'«tt = (i — sn«M)(i — A:«9n«a).
On voit aussi que cnf/, dau vérifient les équations différentielles
j (3) dn'*u = (i — dn«w)(dn«M — î-f-A:*).
Dans toutes ces relations ne figure que l'argument u et la quan- tité k qui ne dépend que de t, comme on le voit sur la formule
(xxxviio-
Nous entendrons toujours par module et module complémen- taire des fonctions elliptiques sn(f/, A:), cn(u, k), dn(u^k) les quantités k et A/.
303. Si Ton tient compte des relations (LIX4)
Ç03 M = ") > gl3"— J > W^ — / >
y pu — tfs V P " — ^3 V P " — «3
on voit que les fonctions elliptiques sn, en, dn sont liées à la fonction p par les relations
(4) sn{us/7;=T,,k)= ^^' ^S
(LXVIl) < (5) cn(uv^ei-es,^)=^^i^=^^,
/p M — gj
(6) dn(a/ei~ej,A:) = îi^^^i?.
/p u — ej
LES QUOTIENTS DBS PONCTIONS (S* ET DBS FONCTIONS ^. r8l
Les fonctions
sont donc des fonctions rationnelles et linéaires de la fonction pu, et Ton a en particulier
(LXVIIt) pu = ei ''*""'''
304. En vertu de la définition même des fonctions snUj cnu,
dnu, on à
sno = o, cno = i, dno = i,
et par suite
sn'o = I , cn'o — o, dn'o = o.
On peut donc définir sn( u^k) comme une fonction univoque de u qui s^annule pour u = o, dont la dérivée pour 14 = 0 est positive et qui vérifie Téquation difiiérentielle
(Èy=c->">('-**^*>-
On verra plus tard que, réciproquement, quand on se donne k, il existe une fonction univoque sn(e/, Ar) vérifiant cette équation différentielle et satisfaisant aux conditions précédentes; puis des
quantités tùy , CO3 dont le rapport seul t = — est déterminé, le
coefficient de i dans ce rapport étant positif, telles enfin que, en construisant avec ces quantités les fonctions <^, ^, la fonction sn(i4, Ar) définie par Téquation différentielle soit précisément celle que définit de son côté l'équation
snu =
305. On connaît les valeurs de ^03^9 \\zu, ^2%^ pour £/ = (ii«, u = (1)2, 14 = (03 et Ton sait ce que deviennent ces fonctions quand on augmente u de (Oi, a>2, (03. Il est donc aisé d'avoir les valeurs des fonctions sni/, cnu, dna, pour les valeurs de u égales à
«iiiy^i — ^3, (i)2v/ei — ^3, (ù^sje% — ^8 et ce qu'elles deviennent quand on augmente u de l'une ou de l'autre de ces quantités.
l8a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Il convîeDty pour nous rapprocher encore des notations de Jacobi, de poser
(LXXI) 1^') "-.V^«7=5=K,
on en conclut, à cause des formules (XXXVI4),
(LXXl) ((3) K=j2rî(o|T),
(4) K'--''p&i(oiT),
de sorte que l'on peut envisager K et K' comme étant des fonc- tions de t; on voit d'ailleurs, sur ces formules, que la partie réelle
du rapport -^ = -. est toujours positive et que l'on a
(LXXU) g--^e ''«'.
Nous n'emploierons pas de notation spéciale pour
wj \/ei— 63 = — ( K -H iK').
Observons de suite que, si coi et -7- sont réels et positifs, on a
K= r'-- -- ^^_- -- » K'= r' _ ^-^
en donnant aux radicaux le sens arithmétique.
306. Avant d'écrire le Tableau qui donne les valeurs de sn m, cnw, Anu pour les valeurs K, i¥J j K-h«K', ou les formes que prennent ces fonctions quand on y remplace u par w + K>
remarquons que les fonctions sna, en m, dna peuvent être définies au moyen des fonctions d; il suffit, pour cela, de se reporter aux formules (XXXIIl5_o),
LBS QUOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS &. l83
qui donnent immédiatement
sn
u = awi/ei — ess^
3 ( "
&l(o)
%■ "
en u = =— : — :
3fj(o)
&»
( '^=^
^ . u
'3
dnM =
2^3(0) ^y u
ou, en se reportant aux formules ( XXXVI 3 , XXXVIl4_2, LXXI,_,),
(6) s„«=JL.!!iâ) »/P^'('s>7c)
'''^•(fK)' (8) dnw:-- /A:'— ^^^
(LXXI) ' (7) cnM
;k)
t307. Ces formules mettent en évidence ce fait que les pAles des fonctions sna, cne/, dne/, qui sont tous simples, sont les zéros de
la fonction ^\\7Trp c'est-à-dire les points
/», n étant des nombres entiers; on voit de même que les zéros de sn;/, cne/, Anu sont respectivement congrus aux nombres o, K, K -}- îK! {modulis 2K, 'àiK.'). Elles sont d'ailleurs aussi propres que les premières définitions à fournir le Tableau de formules que nous avions en vue, et qui résultent alors des formules (XXXIV):
l84 CALCUL DIPF&RENTIBL.
on parvient ainsi aux résultats suivants :
isn(— w, k) = — sn(M, k), cn(— u,k) — en (a. A), dn( — u,k)= dn(w, A:).
isn (w H- 2K) = — snw, ^.-.^.^..,, en (tt -+- aK) = — cnw,
( dn(a-4- aK) — dnw.
/ sn(tt-haiK')= snw, (LXXIIj) < en (W-4-21K'} = — ena,
( dn(a -H a/K') == — dntt.
I sn (a-4- aK-H 2tK') = — snw, (LXXII./) < en (w -H aK-h aïK') — en m,
( dn (w -h aK-f- aïK') — — dnw.
sn(w-r K) = j 7
(LXXII5) y cn(M4-K)= — A:' *""
dn(M-4-K) = A-'
dniz I
dnf^
sn (a H- iK') = -7- ,
A- snw
(LXXII,) { cn(tt-4-iK') = — 7 -^ — ,
^ k snu
dn (w-i- iK ) = — i •
• sna
sn(u -H K -H iK) = -. ,
A* en M
(LXXII7) / cn(tt4-K-+-tK') = -i V -^^
\ A: en//
dn(M-hK^-/K')=/A'5^.
en M
Il résulte de là que snw, en a, dnu sont des fonctions double- ment périodiques admettant comme périodes primitives les nombres ^K., 2ïK'; 4K.> aK-f-aeK'; aK, 4^^.' respectivement. Les carrés de ces fonctions admettent comme périodes primitives
2K, 2fK'.
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS d ET DES FONCTIONS ^. l85
308. En posant a = o dans les formules précédentes , on a immédiatement
sno = o, snK = i, sn(K -+- iK') = -r > sntK'=oo,
cno=i, cnK = o, cn(K-+-tK') = — ^'t.^ cntK' = oo,
dno = i, clnK = X:', dn(K -f- «K') = o, dniK'=«,
sn2K= o, sn(2K -+-aiK') = o, sn2tK'= o, cn2K= — I, cn(2K -4-2iK') = i, cn2iK' = — i, dn2K= I, dn(2K-h 2tK') = — I, dn2tK'= — i.
Ces formules montrent immédiatement que, dans le parallélo- gramme primitif o, 4K.> 2tK', 4^.+ 2eK', les zéros de la fonc- tion sna sont o, 2K, et que ses pôles sont f'K', 2K-f-iK'; ces zéros et ces pôles sont simples. Ce fait est mis en évidence sur \di fig, I du Tableau de formules, où l'on a noté les valeurs de la fonction 5 = sn (m, A:) aux points dont Taffixe u est mK-f-m'K', /m = o, i,2,3,4\ \n =0, 1,2 /
Les Jig. 2 et 3 du Tableau de formules mettent de même en évi- dence les deux zéros et les deux pôles, tous simples, des fonc- tions cnw, dna dans leurs premiers parallélogrammes (*).
309. Les formules d'addition résultent immédiatement des formules établies pour les fonctions Ç. Nous nous contentons de les écrire :
snze cna dna -^ snacDii dnu
(i) sn(w-ha)= rr — z z y
(LXXIII) {(2) cn(M-i-a)= r^ — 5 i >
, , , dni^dna — X:' snw cnw sna cna
(3) dD(a-ha) = j-z — r
(') h^fig. 4 du Tableau de formules se rapporte à la fonction p{u\ (*>,,<*>,); elle met en évidence le fait que la somme des deux zéros de cette fonction si- tués dans le parallélogramme primitif : o, au^ — awj, aw,, est égale à — aw,» et que le point o est un pôle double de cette fonction.
l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(l) Sn(U -h a) Sn(U a) = yr — r r— >
(LXXIV) '(2) cn(M-4-a)cn(M — a)== v- — ^ r— ,
dn*a-- A-*cn»a5in*a
(3) ân{u~ha)dn(u — a)= >- — z
, ,^ , , ^ a siiucna dna
(4) sn(w -+-a; H- sn(M — a)= j- — 5 -r-i
^^^ , , ^ !2snacni«dntt
(5) sn(MH- a) - snfM — a) =rr r- — — -,
2 en M en a
(6) cn(M -+- a) -+-cn(M — a) = 7^ — r z— *
(LXXIII)/ .--t.s„.«sn»a
— 2 snudnu sna dna
(7) cn(^M -Ha) ~cn(M — a) — 7^ — r y
/o\ j / N j / \ adnadna
(8) dn(M -}-a)-f- dn(M — a) = ;- — r r— >
, , , , > . y , ^ — îîA:* snw cnw sna cna
(9) dn(M -f- a) — dnfM — a) ~ pr — r r
310. Considérons, par exemple, la formule (LXXIII5) : le pre- mier membre est nul si la quantité sna est nulle ou Infinie, c'est- à-dire si Ton a
a = 2 m K -H m' i K',
en désignant par m et m' des entiers quelconques, ou si l'une des quantités en 2/, àxau est nulle, c'est-à-dire si Ton a
M = ( 2 m -J- i) K -H m' i K'.
Ce premier membre d'ailleurs ne peut être nul que dans l'un ou l'autre de ces cas.
On conclut de là que toutes les solutions de l'équation
sn;r --=. sna sont données par les formules
a: = a -H 4'wK-4- 2m'iK', x——OL-\-{t^m -+-2)K-+-am'iK'.
On trouve de même que toutes les solutions de l'équation
cn^r = cna
LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS &. 1 87
sont données par les formules
et que toutes les solutions de l'équation
dna? = dna
sont données par la formule
37= d:a-h2mK-+- 4'w'iK'.
En particulier, les solutions des équations
8na7=ihi, sna7=zizT» cnar = zti, dno? = =b 1 sont égales deux à deux.
3H. Supposons w, et -:^ réels et positifs. Si Ton se reporte
aux formules qui définissent k et k\ en se rappelant (n** 121 ) que
)Je2 — ^8 est un nombre négatif tandis que yei — ^2? v'^< — ^3 sont des nombres positifs, on voit que k et k' sont positifs, plus petits que i; K et K' exprimés au moyen de k'^^ k''^ par les formules
K= r'_ ^^ _,
sont réels et positifs.
Si u est une variable réelle, les formules qui donnent sn«^. en M, dni/, sous forme de quotients de & montrent que ces fonc- tions sont réelles. Si u reste coihpris entre o et K, aucune des dérivées ne peut changer de signe : les fonctions varient donc toujours dans le même sens; snu croît de o à i, cne^ décroît de I à o, dne/ de I à k'. Il convient de remarquer que la fonction dnf/, qui ne s'annule et ne devient infinie pour aucune valeur réelle de «/, reste positive pour toutes les valeurs réelles de u. De même, quand u croît de K à 2 K, les dérivées ne peuvent encore
l88 CALCUL DlFFfiRENTlBL.
changer de signe; snu décroît de i à 6, en a décroît de o à — i, dn u croît de Xr' à i .
Ensuite les formules relatives à Taddition de aK montrent comment les choses se passent dans l'intervalle (2K, 4^)*
312. Lorsque u = iu' est purement imaginaire, -^ sn(<V) est
une fonction réelle de m' ainsi que en (ta') et dn ( iu'). Les dérivées par rapport à u' de ces fonctions sont respectivement
cn(m')dn(m'), -r sn(m')dn(«V), -r A:*sn(m') cn(m');
elles ne changent pas de signe quand a' croît de o à K'; dans cet intervalle -7 sn(fV), cn(iu') et dn(tV) ne peuvent prendre que des valeurs positives puisque ces fonctions sont positives pour m'= o et ne peuvent changer de signe; on voit donc que -r sn(m') croît de o à -h O), et que en (iu!) et dn(iu') croissent de i à -i-oo- D'ailleurs, quand u' tend vers K', le quotient — 7^~À tend vers k,
puisque son carré ^, . ,, tend vers k^ et que — j-~ reste
^ ^ i~ sn*{iu ) ^ cn(ia )
réel et positif.
Lorsque u' croît de K' à 2K', — ^7 — -f cn(iV), dn(eV) crois- sent de — 00 à o, — i et — i respectivement.
313. Enfin la formule
^sn(bî) cna dna
sii(a-+- bi) — sn(a — bi) =
I — k* sn*asn*(6t)
où a et 6 sont supposés réels et où le dénominateur du second membre est par conséquent réel, montre que sn(a -h bi) ne peut être réel que si b est un multiple de K' ou si a est un multiple impair de K. Si b es^ un multiple pair de K', en effet, le facteur sn(6{) est nul; si b est un multiple impair de K', sn^(6/)qui figure au dénominateur est infini et le second membre est en- core nul; si enfin a est un multiple impair de K, cna est nul.
D'ailleurs, dans ces difl'érents cas, sn (a H- 6/) est réel. En parti- culier, on voit que sn u est réel quand le point u va en ligne droite de o à K, de K à K -f- iK!, de K -f- iK' à iK'. Le point u décrit alors trois côtés d'un rectangle; pour le premier côté sna croît
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. 189
de o à i; pour le second de i à t; pour le iroisième de -r à 4- oo.
Enfin, si sn u est réel et positif, les formules du n° 310 donnent toutes les valeurs de Uj en y supposant que a soit représenté par l'un des points de la ligne brisée précédente.
De même pour les valeurs réelles et négatives de isnu et le quatrième côté du précédent rectangle.
Les autres fonctions en a, ànu donneraient lieu à des obser- vations analogues que le lecteur n'aura aucune peine à faire de lui-même.
314. Les fonctions d et leurs quotients ont été envisagés par plusieurs géomètres; elles se présentent souvent sous d'autres formes qu'il nous reste encore à faire connaître.
Comme l'a fait observer Kronecker dans ses Cours et dans plusieurs de ses Mémoires, la fonction doublement périodique
s'introduit d'elle-même dans quelques questions importantes d'Arithmétique et d'Algèbre.
Kronecker désigne ^^v fonction elliptique El, la fonction de deux variables (^ et t,
(LXXV,) El(..,)=|liiî|ll].
En tenant comptedesformules(XXXIIl9^i a), (XL2),(XXXVIl4), on voit que cette fonction est liée aux fonctions doublement pério- diques précédemment définies, par les relations
(LXXV,) El(i;,^) = 4v^ir=^V^^7=^3eo8(aw|T),
(LXXV,)
*"^"'*^=;7i"'(A'^)
I I-hT T
Pour les valeurs particulières o, -,y — 7— ^ 7 de l'argument (^, on
4 4 4
190 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
a immédiatement
El(o,^) = o. El(:,î)=co.
{ LXXV4)
B,(i, !)„/*, ^(^.t)=:ii
Les deux relations
3r,(p >+- /n -*- nx)
El
(p 4- m H- /iT "cX _ 3^1 ^-2 ' 2/ 5^
(l'-H m -t- /it)
^^{V) \2i2/
El
^.(";) '■'" -(r^î)
où m, n sont deux entiers quelconques, se déduisent sans peine des formules (XXXIV). En supposant m pair et en remplaçant p, m, T par 2(^, 2 m, 2t, on obtient les relations
i(5) Eliv-^ m-+-/iT, i:):==E1(p,t), (6) Elfi^-i--, -:) = =,ï7^^ — :, ^ ^ \ 2 ; El(t;,T)
dont la première met bien en évidence la double périodicité de la fonction El.
En remplaçant sn(w, k) par sa valeur
on peut mettre la relation
■^i^^iwï)
cnu dnu = —z — = /(i — sn*«)(i — k^ sn'w)
sous la forme
'=""'"" = zk— à^ = \/-p^K'''0-"^K*''ï)
LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS (S* ET DBS FONCTIONS ^. I9I
OÙ l'on a posé ( ^ ) avec Jacobi (LXXV7) p = A:-f-i;
la formule d'addition de la fonction elliptique El(v,-j s'en déduit facilement : si x, y, z désignent les trois fonctions
on a
(LXXVg) z
I — x^ y^
315. En terminant ce paragraphe, indiquons, relativement aux fonctions d, d'autres notations qui ont un grand intérêt historique, qui sont souvent commodes, et dont nous aurons à faire usage.
En conservant aux. quantités K et KMa signification donnée par les formules (LXXl3_4), posons
(.) H(x) ==a.(^).
(., e(x) -&»(^),
(LXXVI) { ^
(4) e.(-)-^.(i)-
Les fonctions snor, cna:, dn^ s'expriment très simplement au mojen des fonctions H(a:), H| (x), 6(x), ©i {x) du même argu- ment X, On a
Les fonctions H(j:), 6(x), H|(ar), 6|(x) jouissent des pro-
(') Œuvres, t. I, p. 266.
192 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
priétés suivantes, qu'on déduit immédiatement des formules
(XXXIV)
/ Hrar-f-amK) = (— i)*» H(ar), 0(jr-H2mK) =6(0?), Hi(a7-t-'2mK)= (— i)'«H,(x), ei(r-i-2mK) = Qi(x);
(LXXVII,)
H(x-f-2miK') =r— i)'«AH(x), e(x-himiK') =(— o^Aera-), (LXXVIIi) { H,(a7H-2mtK') = AH,(x),
81 {x-^nmiK') = A 01 (a?),
(LXXVII3)
m' 1î „ — wi tC -p
A = e "^ '^,
H(:r + K) = U^(x), e(x-\-K) = e, (ar), i Hi(a:-4-K)=-H(a7), l e,(ar-+-K)= 0(ar);
/ n(x-^iK') = iBQ(x\ 1 B{x-hiK') =tBH(x),
(Lxxviio )h,(..h-.-k')= Be(..),
' Bi(x-^iK')= BUi(x),
IZ K^ _ 5 ^"
m étant un entier quelconque.
316. En se reportant aux formules (XXXIIl7_g), on a immé- diatement, en remplaçant la lettre u par la lettre x^
/ V ^ / X \ TixX / H'(a:)
(LXXVIII)
\)/e^eJ K e,^a7)
Nous poserons aussi
(LXXIX,) Z(ar)=^^;
LES QUOTIENTS DES FOIVGTIONS ^ ET DBS FONCTIONS ^. IQS
on a alors immédiatement les relations
(LXXIX,) - Z(ar-^aK) = Z(a7),
(LXXIXj) Z(a:-h 2tK') = Z(,x) - ~.
Iv
317. C'est ici qu'il convient peut-être d'expliquer la différence entre les notations que nous adoptons et celles de M. Hermite.
Dans la plupart des Mémoires de l'illustre auteur et, en particu- lier, dans son Cours autographié de la Faculté des Sciences,
iv et K' désignent des quantités quelconques assujetties seulement
K' . à ce que la partie réelle du rapport -^ soit positive; il pose
alors (•)
— U —
ira™ 'iTz X 'Stzx Hi(x)= i-f-aycos -|^ -h a^*cos- --♦- a^'cos -=7- ■+■
Les quantités K et K' de M. Hermite étant quelconques, on peut, sans inconvénient, les identifier avec celles que nous dési- gnons par (ii| et -^; si l'on adopte cette convention, les fonctions
H (or), 6(x), H|(x), 6i(^), avec le sens que leur donne M. Her- mite, sont respectivement
M. Hermite pose ensuite
«
T. et M. — II. i3
194 CALCUL DIFFfiRBNTIBL.
les fonctions qu'il désigne par sn^, cnj;, dnj? sont donc celles que nous désignons respectivement par sn ( j: ^<?i — /^j), en [x y/ci — ej), dn (^y/^i — €3). Au surplus, pour M. Hermite, — admet pour limite, quand a: tend vers o, la quantité qu'il désigne par ùi, savoir :
I H-(o)^ 1 ^\(o)^n r
318. Briot et Bouquet emploient les notations
X(x\ ii{x\ v(ar)
avec le sens que M. Hermite donne aux symboles sn j;, eux, dnx. Leurs notations s'identifient avec celles que nous avons suivies, en supposant que les quantités qu'ils désignent paro>, eu' soient celles que nous désignons par 2(0|, acos et en posant
\(x) = sn^^ei — «3t)ï li(x) = cn(v/e, — ^3^)» v(ar) =dn(v^ei— ^3^:).
319. Si, au lieu de laisser les quantités K, K' indéterminées, on suppose K et K' définies comme fonctions de la variable k par les deux intégrales
si l'on pose ensuite
K'
q = e »^,
et si l'on entend alors par H (x), 6(^), II| (^), ©1 (îp), les quatre fonctions définies par les relations
U{x) =^» (2^^) = ^V^^5»n ;7f — 2Vy»sin
e(r) =;3r4 l—j =1— 2^ COS-- -I- 2y^cos -jt ....
61 (.r) = ^3 f ^ I = I -h2^ cos -|^ -t- 93^^ cos —
27car
LES QUOTIENTS DES PONCTIONS ^S* ET DES FONCTIONS ^. IQS
ces quatre fonctions sont précisément celles de Jacobi (*). Le lecteur verra plus tard, après avoir étudié le problème de l'inver- sion, que le sens que nous avons attaché aux s^^mboles H(j7), B{x), H| {x)j 8| (x) au n** 315, sens auquel nous nous attacherons dans tout ce qui suivra, est identique à celui de Jacobi.
III. — Transformation linéaire des fonctions elliptiques.
320. Si l'on suppose Î2, et Q^ liés à cof, (03 par les formules
OÙ a, 6, c, d sont des entiers liés par la relation ad — 6c = i, les fonctions Çoa(« | ^«, Û3), Çpy(M | û,, Û3) s'expriment immédiate- ment au moyen des fonctions ?oa'('^ | W|, CO3), Sp'Y<(w | Wi, o>j), où a', ,3', Y désignent comme a, p, y les trois nombres 1, 2, 3, rangés dans un ordre quelconque. Reporlons-nous, en effet, au Tableau (XXo); ce Tableau permettra de déterminer, suivant les valeurs de a, 6, c, rf, les valeurs des indices X, jjl, v tels que l'on ait(XX3)
G* (u\ ûi,Û3) = 3'(w|a),,a)3), (fi(u I ûi, Û3) = <^ol(u I Wi, 0)3), 3'j(m I ûi, Û3) = ^^(U I Wj, (1)3),
tfsCwl ûi, ûs) = a'y(a 1(1)1, 0)3),
et il est clair que les douze fonctions $ formées avec les demi- périodes û|, Q3 ne seront autres, dans leur ensemble, que les douze fonctions S formées avec Wi, C03 ; mais les indices des fonc- tions égales ne seront pas les mêmes, sauf dans le cas 1° du Ta- bleau (XXe).
321. La substitution d'un couple de périodes équivalentes af- fecte un peu plus profondément les fonctions snu, en m, dnw, a
cause du facteur y/ci — e^ qu'affecte aussi cette substitution. Reprenons les notations du n'' 187, et désignons encore par
(») Comparez la lettre d'IIcrmile à Jacobi, IVer/e, t. II, p. 97 et 98, oii Ion trouve pour la première fois les symboles e, cl H^.
19^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.
/, /' les quantités Xr(T), Ar'(T), de sorte que Ton ait
f,\ /- /bi~k, _ Srî(o|T) _^,,^,
Posons aussi
(Lxxx) h'> L = a./iT:ri;,
( (4) tL'=Û3/Ei— Es-
On sait, dans chacun des six cas du Tableau (XX«), exprimer
^Ei — E3 au moyen de \fë^—e%^ yje^ — es , \Je^ — e^ ; on pourra donc exprimer L et \J au moyen de K, K', Xr, k . Le Tableau (XLVIf ) donne, d'autre part, les valeurs de ç(t), ^(t) au moyen de ç(t), <{^(t), et, par suite, les valeurs de /= ©*(t), /'= ^*(t) au moyen de A- = ©*(t), A-'=A*(t).
Plaçons-nous dans un cas particulier, par exemple dans le cas 5" du Tableau (XXe), où X=:3, [jl = 2, v = i; a^o, é^i, c ^ I, d^o (mod. 2). On a alors (XX7)
h^ff^X
/Ej— Es = *(— 0 * /«l— <?1,
*-K!
V/Ki— E, = l(— 0 * V^l — «» ,
g-»-A— t V/Ei — Ej = «(— 0 * /<?! — «8 ,
et, en consultant le Tableau du n** 187 ou le Tableau (XLVfi ),
cd ab
/ = (-!)"« A:', /'=(-i)^A-;
on a donc aussi
L = t(-i) * [aK-+-6iK'],
tL'=«(— I) * [cK-4-rf«K'].
D'après la formule (LXVIIi) et en tenant compte du Ta-
LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS d ET DES FONCTIONS &. 197
bleau (XX7), on a d'ailleurs
sn(
u,/) = v/hT::73I Y\'^ 4-
s'a -7=|ûi,Û3 L/bi— K, J
<^\ \ f I ^u ^z
= v/sr=riiJj^ i
LvEi — Ea /ei — «3 J
d'où Gnalement en distinguant deux cas, suivant que l'on a /> ^ -H I ou que l'on a è ^ — i (mod. 4)> et en faisant usage des
formules (LXVII|_a, LXXIIi),
u
sn-7
sn(M, /) = i •
en -: i
On trouve de mémey dans ce cas 5^ du Tableau (XX«),
cn(a, /)= — j^y
cn-T i
dn-:
dn(M, /) = .
u
en -7
i
Ce cas 5^ présente un intérêt particulier. Il donne les formules qui permettent de passer du cas où l'argument u est purement imaginaire au cas où l'argument u est réel; k est alors remplacé par ± k'.
On observera que les fonctions sn({^, k), sn({/, /) vérifient res- pectivement les équations différentielles
g = (,_^.)(._A.^.).
19S CALCtL D1FFÉRE>TIEL.
On est ainsi amené à cette proposition, que le lecteur vérifiera sans peine : Si une fonction cp(e/) satisfait à la première de ces équations, la fonction
•> (t)
l/-K-")
satisfait à la seconde.
322. Les calculs se font, dans chaque cas, avec la même faci- lité. Les résultats sont consignés dans les deux Tableaux qui sui- vent, que nous avons séparés pour la commodité de Timpression :
le premier donne les valeurs de /, /' et du facteur vî = .^ *^
par lequel il faut multiplier a K-f- 6* K^S dL-^-diVJ^ pour obte- nir L et iU ; le second donne les expressions de sn ( 2/, /), en ( 1/, / ), dn(i/, /); chacun des six cas des deux Tableaux correspond aux six cas du Tableau (XX«).
(LXXX,)
/. |
/'. |
||
1 _ i/K,-E, |
|||
1*» |
cd (-i)«A- |
oh (-1) 'A' |
(-1) » |
•2° |
^-^ k ( 1 * |
(-1) » k- |
|
3° |
(-0 «X. |
ah u (- 0- ^ ^ |
a — 1 (-1) « A- |
4* |
i^ I |
ah , |
|
5» |
rrf |
ah (- 0 • k |
»(-l) ' |
6"» |
ah (-1) '* |
.•(-I) » A |
r
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS (S* ET DES FONCTIONS ^. iQQ
(LXXXe)
4'
S**
sn({<, /).
snu
sn
^'
1/
A "
1. "
sn
ik'
u
TiP
u
u
sn -T
i
u cn-T
ik
u
dn-rr
ik
cn(w, /).
cnu
u cnp
dn( Uy /).
dna
dnjp
A " dn T A: |
|
u |
1 |
U |
|
I |
|
«j |
|
ci cn-r |
U cn-r i |
I |
fi '"Et |
dn-;7 |
A " dn rr {A: |
Od observera que dans les deux cas i** et 3°, c'est-à-dire lorsque c est pair, la fonction snu se transforme en une fonction de même nature.
323. Lorsque c est un nombre pair, on voit sur le Tableau (XX«) que V est égal à 3 et sur le Tableau (XLIIg) que m'"= d et que, par suite (XLII7), on a
— = t»
e
On a donc, en divisant membre à membre la première et la
aOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
quatrième des formules (XLII),
Dans les notations de Kronecker, cette relation se présente sous la forme
En posant
a = a, 26 = p, c = 27, e^ = 8,
et en remplaçant t' et t par 2(; et ax, on a donc
où a, p, Y, S sont quatre entiers dont le second ^ est pair et qui sont liés par la relation aS — ^y = 1 . Cette formule est d'ailleurs équivalente à la suivante :
(LXXX7) El [(8 — ^7)v, t] = El (v, T)t-ÔY-^«T-»-8-î,
où l'on a posé
c'est la formule de transformation linéaire de la fonction ellip- tique El, pour ^ pair, sous la forme dont Kronecker a fait usage.
rv. — Transformation quadratique des fonctions elliptiques.
324. La substitution aux deux demi-périodes coi, 0)3 des deux demi-périodes
ûi = a (1)1 -H 6(1)3, Q3= ca)i + </ot>3,
lorsque a, 6, c, d sont des entiers et que le déterminant ad — bc = n est positif, dépend de la multiplication d'une pé- riode par n et de substitutions à déterminant H- i- H nous reste donc à faire pour les fonctions Ç, sn, ... ce que nous avons fait pour les fonctions (^ et 2f (n""- 130 à 145 et 242 à 270). Les résul-
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O* ET DES PONCTIONS ^, 20I
tats se déduisent, par de simples divisions, de ceux qui ont été établis dans ces mêmes numéros. Comme alors, nous traiterons d'abord du cas où /i = 2, puis de celui où n est impair.
Dans le premier cas, pour ce qui est des fonctions Ç, nous nous dispenserons d'écrire les formules qui résultent immédiate- ment des Tableaux (XXII) à (XXV); nous nous contenterons de considérer les transformations des fonctions sn, en, dn et nous nous servirons pour cela des formules relatives aux fonctions d qui sont up peu plus avantageuses.
325. Rappelons d'abord, parmi les formules (XLIX), les sui- vantes
et observons, en passant, que les deux dernières se déduiraient des deux premières en changeant t en — -• On en déduit très ai- sément
(XLIX,,) { *'•■+-?
v/i -h çM t) = /■ + A- = v^ -?^ .
si, dans les derniers membres, on regarde ^2. comme un nombre
positif, ces formules déûnissent les radicaux y^i + Ar', y/i — Ar',
^i H- Xr, y/i — ^ comme des fonctions univoques de t; en d'autres termes, ces formules fixent le signe de ces radicaux qui appa- raissent dans diverses questions de la théorie des fonctions ellip- tiques, et que nous prendrons désormais avec cette signification
précise. Il est bien clair que, si -r est réel et positif, les radicaux
ao:2 CALCUL DIFFERENTIEL.
doivent être pris avec leur sens arithmétique, puisque les der- niers membres sont alors manifestement positifs.
Il convient d'observer que Ton a, en adoptant cette détermina- tion des radicaux,
la première de ces relations, en effet, si Ton se reporte aux défi- nitions, équivaut à l'égalité
qui résulte très facilement des formules (XLIXs.e). On a aussi
/a /n-X- /i -f- X' = I -4- X* H- X',
puisque les carrés des deux membres sont manifestement égaux et que chacun des deux membres définit une fonction analytique de T ayant une valeur réelle et positive dans le cas particulier où
T est réel et positif.
Les formules qui définissent y/i -h A"', ^i — Xr', . . . donnent, in- versement.
v/i-t-X-' s/ï-^k'
326. Plaçons-nous dans le cas où aux demi-périodes coi, (03 on substitue les demi-périodes ~> (1)3 ; t est alors remplacé par 2t et
si Ton désigne par y/7 et y/? les quantités Qp^(2T), i(^{i'z) qui
remplacent y//r = «p*(t) et \J1?= ^^(t)î on aura, d'après ce qu'on Nient de dire,
(LXXXI) { ^ ^ ^
OÙ les signes des radicaux, fixés comme on l'a expliqué, sont assurément tels que les valeurs de y/7, y/7 coïncident respective-
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 0* ET DBS FONCTIONS ^. 203
ment avec celles de
327. Si l'on désigne maintenant par E|, Es, y/ËT— -Ëâ, les quan- tités qui remplacent et, ea, y/^i — e^ et par L, U les quantités qui remplacent K, K', savoir :
(Wl I (0| \ / \^l \
— — jtoaj, E3=pfa}3 — » Wjj, Ei+Ei4-E8=o,
/El— E3=îjo ( y|T' V'
((3) L = î^/E7^^=^&î(o|aT), (LXXXf) {
((4) L'=^L = 2^L,
et, si Ton pose
axxxi.) M
\^ei — €3
/ei — Es
on aura
L ^ _i_^ ^ ^|(o|aT) K 2M &|(o|t)'
et, par suite, en appliquant la formule (XLVII4),
^î(ohT)=i[2r|(oh)-+.&l(o|T)]=i±^'2r}(o|T),
11 viendra
(3) L = 1±1'k=A, (LXXXI) { -2 2 M
(4) L' = (i-^A-')K'=^.
328. La formule (LXXIq) donne ensuite
ao4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En appliquant les formules de transformation (XL Vils), on a donc
mais, en vertu de la valeur trouvée plus haut pour L et des for- mules (LXXI(_g), on a
= /À- sn
u en
•\aK aL/ ^" i -h /f
dn "
donc
1-+-^'
u u
sn r-, en
sn(a, 0 = -7=
V/? dn "
i-+-r
Comme nous venons de voir (LXXXli) que — est égal à 1 -f-A/, on a donc enfin
u u
sn j7en
(LXXXIIt) sn(M, /) = (!-+- k') —LtK L±_^
dn
i-hA'
On est amené ainsi à cette conclusion : si la fonction /(u) vérifie Péquation différentielle
la fonction
'■-'■>/(rPT)t/-/-(7T7)
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^, aOO
vérifiera Téquation différentielle
-<'-'>[' -{^)H
et c'est ce que le lecteur constatera en effet sans peine.
On trouve de même, en tenant compte des formules qui donnent y//, ^ en fonction de k et de k',
dn«— ^ - ^' I - (I -h A-') sn» — ^
(2) cn(a, /)= = ,
(LXXXII)
dn«-iij7-+-A' , _ (, _ ;t') sn» — %
(3) dn(u, /) = i^ti =, \±±
(H-A-')dn r; dn
I -4- A-' I -+- A'
La transformation que nous venons de considérer est dite transformation de Landen.
329. Le cas où Ton remplace coi, cog par coi, ^9 ou t par >> se
traite de la même façon au moyen des formules (XL VIII); nous nous contenterons d'inscrire les résultats.
Si l'on désigne ici par y/X et yA' les quantités <f^ (-]> ^*(")
et parE',, e, les quantités (XXIV5); si enfin l'on pose
( LXXXIII )
(3) A = u),/iî3:iï = ^&î(o|^)
(LXXXIII,) M= ^^' ^'
/k; — Ei '
on aura
(LXXXIII)
(I) /X = v/â *^^
v/T-+-A
/ \ /v /« — ^ ^' T — ^
2o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et
(LXXXI.I.) M= ^\^ = ^
d'où
(LXXXIII)
(3) A = (i + *)K=^,
330. On aura aussi en faisant usage des formules (LXXIe.K)
u sn
(i) sn(ii, X) = (I -f. k) ! '-^,
I 4- k sn* ,
I -h A"
M , u en r an
(LXXXIV) / (2) cn(M, X) = —--- ^-^,
I -h /• sn*
I — /• sn*
u
(3) dn(M, X)= ^^*
I •+- A" sn*
I H- k
Il est à peine nécessaire de faire observer que l'on peut parve- nir au même résultat en exprimant d*abord les trois fonctions elliptiques sn(a, X), cn(w,X), dn(w, X) au moyen des fonctions sn(a, X'), cn(w, X'), dn(tt,X'), ce qui est une transformation li- néaire (cas 5" des Tableaux LXXXj.o); puis les trois fonctions
(Il ^ T»» ^')»
cn( — -n> A*M> dn y — t7> /tM, ce qui est une transformation deLan- den^ puis enfin les trois fonctions sn f p, AM> cn( r-,, XMj
dnf— îP'^J' au moyen des fonctions snf — V ^r ^"( — J'^)'
dn( — TJ Ajj ce qui est une nouvelle transformation linéaire.
La transformation précédente est dite transformation de Gauss.
331. Les formules de transformation quadratique des fonc*
LES QDOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS &. 207
lions Sr, à Taide desquelles dous venons d'établir les formules de Landen et de Gauss, permettent aussi, comme Ta montré M. Her- mite(*), d'obtenir des développements pour les fonctions ellip- li({ues sn, en, dn, dont l'importance a été mise en pleine lumière par l'illustre auteur. Les formules
1 Ul
7* \ '- /
dont les deux premières sont identiques à deux des formules (XLVIIa), dont les deux suivantes sont identiques à deux des formules (XLVIIIs), et dont les deux dernières se déduisent des précédentes par le changement de t en T-f- i, donnent immédia- tement, par de simples divisions et en tenant compte de la défini- tion des fonctions <p(t), ^(t), d'une part, les relations
I ■"
~ / u |x-i-i\
(') Comptes rendus, t. LVII, p. 996, et dans son Mémoire : Sur quelques for- mules relatives au module dans la théorie des fonctions elliptiques ( Journal de Liouville, a* série, t. IX, p. 3i3).
ao8 CALCUL OIFFÉIBNTIEL.
- 4*f'^
3r,
?'(x) ^
et, d'autre part, les relations
. ^'(■nc)^'(riï) , y. -1 % ^'(ïïh^)
su « = -= ^ i ^ = —= '- q • e * ^^ — ;
~^'H^'k)H^k)~^''' HMD
^*(li)^-C^) " HMD
^ / U |x-hf\
1ÏI «31 I — 17 I
= e • ^/»(t) ^ ' , . •
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. SOQ
Par un groupement convenable des ternies des séries (XXXI[|.4) qui définissent les fonctions Sr,, Sr2, STg, Sr4, on peut déduire de ces six relations les développements donnés par M. Hermite.
En remarquant que, si l'on change t en - — î-, ^devient «y/^' on a, par exemple, pour le développement de la fonction
3i y-u\ ) qui figure aux numérateurs de la première et de
la dernière des six relations,
n = 0
= 26» ^(-I) t q 8 sin(2/l-+-l)^,
11 = 0
ou, en séparant les termes de rang pair et ceux de rang impair,
^ / M |t-+-i\ -r^ I "\[^ .ÎVltV-4-l) V(ÏV-I-1)+S - , , v TT tt
Lv = o
V^l J
W I 1
= 2c» 9» 2(— i)v^v(îv+i) sin(4v -+- 1) ^,
V
où dans la dernière somme l'indice v prend toutes les valeurs en- tières de — c» à -+- c».
On a ainsi les développements
sau = — - — yliq^ —
^ 2(-i)*g''"^"sin(4v + i)^
•^ ^ > (— l)Vy«V«cOS2V —
I /- i V
v/27
8
ÇHt:) 2 (_ ,)v^v(îv-hi) cos(4 V +0 ^
V
T, et M. — n. i4
2 10 CALCUL DIFFÊIBNTIEL.
yyv{tV4.|)cos(4v-M).^
^('z) r \^
cnu = ^ — yJiq^
ç(x) ' V^ / ... ^^w
^^ • > (— gvçfîv«cos2v^
V V
dn/i =»Kt) ^~
2(-i)Vyv(îv4.i)cos({v4-i)^
V
2](-i)v^v(.v+i)sin(4v-hi)^
Vçrviïv-Hl)sin(4v-M) ^
V
332. Pour a = o, les développements de on m et dnu donnenU en prenant préalablement les dérivées par rapport à u des numé- rateurs et dénominateurs des derniers membres qui se présentent sous la forme ■[ ,
V V
V ^V'ÎV4-1) V (__ i^V( J>^_+_ ,)yV{îV+-l)
V (— ,)V<yv(îv+l) V(4v-hl)r7V(iv-Hi)
V
on a donc, pour les fonctions modulaires ^(t), ^(t),o'(t), •}'(t), les développements
V (-.i)V^V(2V+i)
(/T=Ç)(T) = /^3rl
^(-Ov^'v
LES QUOTIENTS DES PONCTIONS d ET DES FONCTIONS ^. 211
2:<- |
|)V^V(ÎV+1) |
|||
Vk' |
= i.(T) = |
V V |
> «vdv-f-D |
|
3 |
Y(4v-M)y*v(îv4-I) |
|||
yF |
= <p'(x) = |
= /89» : |
V |
2(-l)v(4v-+-l)9V(l>+i)
V
V(4v-+-i)^v(îv+t)
2^(-l)v(4v-hi)9Vliv-hi)
V
dont les deux premiers ont été déduits par Jacobi des développe- ments en produits infinis, qui nous ont servi de définition pour les fonctions ^{'z) et ^(t).
333. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de sn(2 2/), en (21^), An^iii) en fonc- tion de sne/, cnuj Anu^
I , . isnucnudnu (i) sn 'iu = T- — - — ,
(LXXXV) / (2) cnaw = r- — r ,
,^^ j dn*i/ — Ar'sn'acn'M
(3) dn2a = jz — r ,
I — A:*sn*a
et ces formules coïncident avec celles que l'on obtient en faisant a -=^11 dans les formules (LXXIIIi.a).
La formule (LXVII7) permet ensuite d'obtenir Texpression de p(2w) en fonction de p(w). On a d'abord
puis, après quelques réductions faciles^eposant sur l'emploi des formules (VII),
2^3P"
V^.'^^)^
i'i
p *U
ai2 CALCUL OIFFÉREKTIEL.
On aurait pu, tout aussi bien, déduire cette formule en com- binant les deux formules (XXII)) et (XXIVa).
334. Après avoir remplacé u par - dans ces formules, on en tire, par des combinaisons faciles, les relations
.a I — cnw
sn« = i — »
1 1 4- dntt
. tt dn a H- cna
en»- = , - >
1 I -H dnii
I
, .M A'* -r- dn M -h A' on u
dn* - = 5 »
'1 I -h dn a
dont les deux dernières résultent d'ailleurs immédiatement de la
première et des expressions de cn^ - > dn^- au moyen de sn* - •
L'usage de ces formules est évident; en y supposant successi- vement M =: K, w = « K.', on obtient
._.K_ 1 |
sn* 2 |
I |
sn-" — , , » |
= ""Â' |
|
K k' en* — = ^, » 2 I -h A' |
en» — 2 |
i-hA " k |
dn« - = k\ 2 |
dn.'»^' 2 |
— \-jfk. |
En se plaçant d'abord dans le cas où -?> K, K' sont des nombres
réels et positifs, et en se reportant à ce que Ton a dit aux n" 3H- 312 sur les valeurs de sni/, cni/, Anu quand u est réel ou pure- ment imaginaire, on voit que l'on a, dans tous les cas,
K I tK' i sn — = ■ « sn = — — ,
2
v/i 4- k' 2 ^/ç
K \/k' iK' s/x-^k en — = » en — = ,
^ y/i^k' -^ ^k
dn — = Jk\ dn — =1/14- k,
•î 2
Si d'ailleurs on adopte les conventions du u? 325, on voit im- médiatement que les deux membres de chacune de ces égalités sont des fonctions analytiques uiiivoques de t, et que, par consé- quent, ces égalités subsistent toutes pour les valeurs de t repré-
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DBS FONCTIONS ^. ai3
sentées par des points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles.
On pourrait opérer de même pour obtenir les valeurs des fonc- tions sn, en, dn quand Targument est égal à ; mais, pour
éviter des discussions de signes concernant les radicaux, il est plus
simple de déduire ces valeurs des formules d^addition (LXXIII),
K iK'
en supposant // = --, a = — ; on trouve ainsi
la dernière transformation résulte des égalités
I -h A' -h l'A' = /i H- A ( /i -f- A H- i v/i — a), I -h A -h A' == /^ /i -h A /r-+- A'.
On trouve de la même façon .
Kj- ÎK' __ y/F s/TTJ' /Th^ (i — i) __ y/JPd-'i) '- ~" \/'k(i-hk-+-k') " /â/Â
dn
K H- iK' y/k' /i -H A- ( r -h A'— ik^ i/A' / / -n • / r.\
—r-= .^k^k' = -^(v/i-hA-,v/i-AO.
V. — Transformation d'ordre n des fonctions elliptiques.
335. Arrivons maintenant au cas où Ton divise Tune des demi- périodes, (Uf par exemple, par un nombre impair n.
Nous désignerons, comme au n" 136, les constantes relatives
aux fonctions pf // , — > oj, j, rf ( w — * 0)3 j par de petites capi- tales; ainsi
/lOl Iwt \ / h"i \
^»— 'M T "TT' ***')' E3=P ( W3 --* CD3), E|-f-Ei-i-K3=0,
/k.-e,= {,,|^_|_,a,3J, / #. /wi \^\ \
/K,- E3 = — Îjo ( — ■+"^' r^* *^»)'
3l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
diaprés les formules (XXXVI4), on a donc
/ei — El = n &!(o|/ix),
20)1
ir
V^K, — Es = n^2r|(o|/iT).
Nous poserons aussi
v/ei — Es
M =
En outre, /, /' désigneront les quantités qui remplacent A*, k'j sa
voir :
/e.— E, _ 3r|(o|nT)
(LXXXVI) ' V 1 J
et L, U les quantités qui remplacent K, K', savoir :
//î\f '^ ^* / t \ ^1 / V''-i — *'-5 K K
(6) L = -&|(o|nx) = -j./E,^E.=^==-=~^,,
(LXXXVf) {
/ V ff '^'^ f I / /ei — Es ^, K!
I l y/d — es ^*
Dans tous les cas où K, K'et n ne changent pas de valeur dans une même recherche, nous représenterons par une lettre unique
Texpression
arK-f-?.r'K'i
»
n
où r et r' désignent des entiers quelconques; nous poserons
arK-4-2r'K't n
de sorte que les symboles ar^o, Oo.rt qui seront d^in u$age fréquent dans ce paragraphe, représenteront les deux quantités
LES QCOTIENTS DES FONCTIONS 3* KT DES FONCTIONS &. 21 5
Cette notation permet de réduire notablement la place que prennent les formules.
336. En se reportant aux formules (XXVI i) on aura par de simples divisions
/ I V ^oa ( w H ' )
UoL [in—' ^3) = îoa "Il : '
(/•) Çoa
Dans les seconds membres les fonctions ^ se rapportent natu- rellement aux demi-périodes ((O4, (U3) et il en sera de même toutes les fois que ces demi-périodes ne seront pas écrites explicitement. Quant aux nombres r, , Ta, . . . , r„_i , rappelons que ce sont n — i nombres entiers dont aucun n'est divisible par n, non plus que la différence de deux d'entre eux.
337. On peut écrire aussi (XXVl4_5)
îoa(wp^' W3J =5oaW JJ
Ici les nombres r<,r2, ...,r„_,sont toujours des entiers;
aucun n'est divisible par n, non plus que la différence ou la somme de deux quelconques d'entre eux; au surplus, quand nous écrirons au-dessous d'une formule que r doit prendre, ou les valeurs r<, z-^, . • . , r«_<, ou les valeurs ri, /%, . . . , /'„_!, nous
entendrons toujours, comme dans les Chapitres précédents, que ces valeurs satisfont aux conditions que nous venons de rappeler, soit dans un cas, soit dans l'autre.
La formule précédente montre que $oa('^ — '^3) est une
"^lô CALCUL DIFFÉRENTIEL.
fonction rationnelle de ^oa''? ^^ ^^^^ ^^ même que ^py (^ — ' (^s)
est une fonction rationnelle de IpyU : c^est le produit de ^^yi/ par une fonction rationnelle du carré de Tune quelconque des fonctions ^, comme on le voit en faisant usage des relations (XXVl5)et(LIX«).
Nous nous dispensons de multiplier les formules de cette nature qui sont implicitement contenues dans les formules (XXVI). Tou- tefois, nous observerons que les fonctions rationnelles ainsi for- mées comportent comme coefficients, en dehors des quantités e^, r^, ^3 qui y figurent explicitement, des fonctions symétriques de
p ( — 'jy p ( ^—^ j » • • • > p ^ ; ces fonctions symétriques,
comme on le verra plus tard, dépendent, lorsque n est premier, d'une équation de degré n -f- i , dont les coefficients sont des fonc- tions entières de ei, e^, e^ et même de g^t gz-
338. Ces formules vont nous fournir d'abord l'expression de quelques constantes dont nous allons avoir besoin. Si nous nous rappelons en effet les formules (LX2)
nous trouverons au moyen des formules du n° 336, en supposant p = 2 et, successivement, y = 1 , y = 3, et en faisant successive-
(Oi
ment u = (O3, w = — i ,
ou, en tenant compte des formules (LX4), pour u=^ — W|, a = 3, ^ = ^, Y == 1 et des formules (XXXVII4, XIII4),
(Lxxxvio ^ = ^''n^'«(ï^O' ('' = '-i»'-^'---'--i)
ou encore
Ir) V » '
LES QUOTIENTS DBS PONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS 3r. %\n
puis
OU, toujours en tenant compte des formules (LX4) et (XXXVfIs),
j /^.r-hï — n \
,....,.(:^".,)n "7^"'^-
Si Ton observe que Ton peut ajouter sans inconvénient 2 0)| à l'argument de 523^^ et que $23(0) est égal à un, on voit que le second membre peut s'écrire
in ?l. (^ «-.)
OÙ z'' prend n valeurs entières assujetties seulement à cette condi- tion que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n; on peut donc, en reprenant nos notations ha- bituelles, écrire
(LXXXVI,) l' = k'^Ylih(^^io,y (r = rur^.^..,rn-^)
OU
tr) \ « /
Formons encore la quantité y/E| — E3 ; rappelons-nous que l'on a(LX.)
s/^i — ^3 = $30Wi;
on en conclura
OU, en donnant à r les valeurs
__ n — I n — I
3i8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Cl en observaDt que la dernière valeur de r met en évidence le fadeur Ços^i = on trouve, après* quelques réductions
immédiates,
n— t
(LXXXVI5) M = ^^* ^' = 17
/Et — E, ^J-
Si l'on admet, comme on le montrera plus tard, que la quantité
p ( r —i j > où r est un nombre entier, est une fonction algébrique
de ^1, ^21 e^f il sera évident par les formules précédentes que les quantités /, /', M sont elles-mêmes des fonctions algébriques de ^19 ^2 9 ^3) on, si Ton veut, de Ci et de k; mais il est manifeste que ei ne doit pas y figurer; en effet, les quantités /, /', M, de même que k et k', ne dépendent que dcT, en d'autres termes, ne changent pas quand on multiplie coi , €03 par un même nombre m ; mais alors
Ci est multiplié par — ,; par conséquent /, /', M sont des fonctions
algébriques de k seul^ en d'autres termes, il existe une équation algébrique entre / et Xr, et une équation algébrique entre M et k. Ces équations sont dites respectivement équation modulaire et équation au multiplicateur,
339. Il suffit de se reporter aux formules de passage des fonc- tions Ç aux fonctions sn, en, dn pour obtenir les expressions de sn(e/, /), en (a, /), dn(e^, /); on obtient tout d'abord pour les con- stantes
(r) (r)
(r = /'ijTj, ..., /'n-i),
» — i '•= —
M =
_ yci — es ^ T-T \ n /
ou encore
s
( LXXXVI5) M = TT , ''" ^"'" —
r =sl
Maintenant, la première des formules du n® 336, en y supposant
LBS QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DBS FONCTIONS 3". 219
a = 3, donne
sn(wv/Ei — Es, /)
/ei— E3
— ' / / \ TT S" i^y/^i — «3 -4- ar,o)
ou, en remplaçant u par <
(LXXXVII.) sn(ii,/) = J,snaTT'"^''"^^"^^'
De même
(^) en ( ^j / ) = en M I I — ^^ ^ >
\M / ±1 cna;.,o
rLXXXVII) { *''\
(3) dn (^j^ Wj = dn « Il — jj^^^—- .
(r)
340. Dans ces diverses formules, r doit prendre les valeurs /'i, Ta, ..., r,i_i ; on les transforme aisément en supposant qu'il prenne les valeurs
'*I » ''i > • • • > ^n — \y f\y ft^ • • • ) ^*/i — t i
2 S
les divers produits qui figurent dans les seconds membres se pré- sentent alors comme des fonctions rationnelles de sn^2/; en par- ticulier pour sn ^^» /j, le résultat auquel on parvient est natu- rellement le même que celui qui résulte immédiatement de lu première des formules du n® 337, pour a = 3, savoir :
sn'w I —
' \M / M XX I — A:*sn-ar osn*w
(r)
/r= ri, r,, . .., r„_|\.
On voit ici apparaître un phénomène analytique sur lequel nous avons appelé déjà plusieurs fois l'attention; y étant une fonction de u qui vérifie Téquation différentielle
(Èy= ('-•>">(' -*'^")'
iao CALCUL DIFFÉRENTIEL.
il existe une fooctioD rationnelle z de y qui vérifie l'équation difTérentielle
M et / étant des fonctions algébriques de A*. On a de même
(5) cn(i;,/)=cn«rr ..^"•f-" , .
\M / J.JL I — A-*sn*a;.,oSii«M
(LXXXVII) / ^ , _ A-t ^îl!^^ sn« a
(6) dn(-^,/)=claarT ,/";"--- ,-,
/r= /-i, r., ..., /'^-iV
311. C'est des formules relatives aux fonctions i, ou plutôt aux fonctions (^, que nous avons déduit les formules de transfor- mation des fonctions sn, en, dn; il va de soi qu'on aurait pu partir tout aussi bien des formules de transformation relatives aux fonctions 3; nous ferons même observer que ce mode de calcul, que nous laissons au lecteur le soin de développer, pré- sente, relativement au calcul des modules transformés /, /', un
avantage : il permet d'obtenir y/7, y/7', avec leur signe; on a en effet, par définition,
/j _ 2fj(o_|_nT) jjj_ 3r^ro|nT)
et par conséquent (LI4 )
2',,, -^J-)
(S)
(r) ^J
2rv(o)
rr £ii£2TT
(r=: ri, rt, ... ,/•„_!)
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. 22 (
OU
S
(Lxxxvi,) /7 =(—)"•' Wkrji'j^
0 9
r,0
(r)
(LXXXVI4) /^' = (v^)"nd7^' ('' = ''i,/'«, ...,r«-,).
>, 0
(r)
En se reportant à la valeur de M, on trouve enfin
w — 1
s
r = 1 ' (r)
M- /7 i-JL '"~ sTi ■■'''''''•'''
342. Les fonctions snf^? O'^^vM' '/'^'^(m' 0 *'^*P"" ment aussi par des sommes de fonctions sn, en, dn, dont le mo- dule est k. Nous parviendrons plus tard à ces expressions par une voie très simple et presque sans calculs; mais il est intéressant d'observer qu'on peut les déduire, dès maintenant, des formules (LXXXVIIj|_o) en décomposant en fractions simples les fonc- tions rationnelles, regardées comme des polynômes en sn^(u, Ar), qui représentent les fonctions
sn
(?,.') "(S'') ""(f')
snu cnit dnu
Le dénominateur commun de ces fonctions rationnelles de sn^ (Uf k) n'a que des racines simples, comme on le reconnaîtra facilement en se reportant au n° 310. On a donc
sn* u I —
//• = /',, 7-2, ..., r„_|\.
Le calcul des coefficients B|.se fait d'après les règles ordinaires;
223 C4LCUL DIFFÉRENTIEL.
on trouve ( * )
(— i)''Br= — j— en a;.,o dn a;.,o ;
puis, en tenant compte de la dernière forme sous laquelle on a
mis M,
A^Mt
En faisant usage de la formule d'addition (LXXIII4) et après quelques réductions immédiates, on a enfin
(LXXXVII7) *"(sï' / ^ "T Zj^"('^"^^^^^o)*
m
343. On parvient au même résultat en observant que la rela- tion (LXXXVII4), que l'on peut écrire, en posant j: = sn (1/, k)
ety = sn^^,/j,
(r) ' (r»
a lieu identiquement en u et t. Or, si l'on change dans cette rela- tion M en w -h 2ar,o> où r désigne l'un des entiers 1, 2, ..., /i — i,
la quantité ^ est remplacée par vj -\- ^rh : donc l'expression
•>■ = *"(¥' ')
ne change pas. La relation (i), envisagée comme une équation de degré n en x, admet donc les n racines
a:- = sn ( M -+- 20^,0 )> ( r = o, 1 . 9., . . . , /i — i ) ;
ces n racines sont distinctes : on le déduit aisément de la forme générale des solutions de l'équation sn:r = sna (n^310); on a. par suite, identiquement en x,
('•) (r) {P)
= TT [a: — sii(// -^2a;.,o'>].
r —0
(*) Les calcula sont développés dans Ennepcr : EUiptische Functionen, p. Sog.
LBS QIIIOTIENTS DES FONCTIONS (3* ET DES FONCTIONS ^. 323
En égalant a donc
les coefficients de x'^~^ dans les deux membres, on
«— 1
MjA«-» JJ sn^ar.o = ^ ^"^" "^ a«r,o),
(r) r = 0
d^où, en tenant compte de la valeur trouvée au n° 341 pour M,
n — \
•^"^^"("M' V "^ ~2 sn(w + aa;.,o).
/• = 0
On a donc aussi
De même, on a
(8) cn^jl^, n = -^2cn(M4-2ar,o),
(LXXXVII) ^ '''^
344. La substitution des demi-périodes fa)|, — ] aux demi- périodes a)|, €i>3 donne lieu à des formules toutes pareilles sur la déduction desquelles il semble inutile d*insister : nous désignerons par e',, e^, E3, X, X', A, A' les quantités qui remplacent alors ei, ^21 ^3? ^'? k'y K, K'j nous poserons aussi
m r > /^'^i . I ^s\ ~ Or* / I "^ \
• Ki-E,=;„(^-+u„|a.„_j=-_:X^o|-j,
/£r^ = l,o(i^L.,î^') = Jî-a«fo|i),
ri 3 ^ " \ /l I * /l / 2ti)i ^ \ \n/
/e; — e'j
{
324 CALCUL DIFFÉRENTIEL. <
de sorte que Ton a
2r
(I) X=-
(LXXXVIII)
(LXXXVIII)
(6) A = ^ &} (o I i) = o,. /iT^Ti^ = |, (y) A'=-.A=.-v/e.-e, = -^.
315. En ce qui concerne les fonctions i, citons les formules
Observons aussi que la transformation qui consiste à diviser Tune des périodes par un nombre impair peut être combinée avec la transformation linéaire.
Par exemple, si l'on remarque que la substitution des demi- périodes (to^, W3-I- a/^Wi) aux demi-périodes (wi, w,) rentre ma- nifestement dans le cas i^ du Tableau (XXo) et que dans ce cas la suite des indices a, ^^ y n'est pas altérée, on voit de suite qu'on a, quel que soit l'entier /?,
(r, ;oa Y J
LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS ^ ET DES PONCTIONS 2r. 225
346. Voici, d'autre part, les résultats auxquels on parvient en ce qui concerne y/X, y/X', il/et les fonctions sn (j^y X K en (ji' ^)»
(3) ^^-(^^rW^/
M
(LXXXVIII)
(4)
^r=(_.)^.'(v/F)'na^l-
(5)^'=nd-„
cnao,/.
(/•)
A
in
ao,rSnao,r (/X:)'* •■--*- snao,^
n
ir)
(LXXXIX)
(i) sn (-, X = :^snM I I — î^ '-
\M J XX cnao,r
r)
— 9
- »
(n
(3) dn(j,XJ= dnwJJ
(/•»
(In (m. h- ao.r) dn(ao,r)
(/• = r,,rj, ...,r„-i).
I
sn'j^
I —
(4
(LXXXIX)
\il/ / J/ XX I — A:*sn»ao,rsn-i/
(r)
dn^Oo.rSn*!/ I (d) ofi(-, X)= cnuM -^— , ^- ^
\M J XX I — A:-sn»ao,rSn*fA
r = r,, r.
(r
» • • •> ^n- 1 V
(7)
n— I
( LXXXIX) /
(8) (-1) î c
^\Jl' V "^ >r21 sn(w-H2ao,r),
«ri
9) ^ -i)~*^(ln rjy, Xj = J/ 2dn(a4-2âfo,,),
(/• = /'o, r,,/-j, ...,/•«_,).
T. et M. -II.
1.1
^26 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
347. Les formules concernant la multiplication, par un nombre entier impair, de l'argument des fonctions elliptiques sn, en, dn, peuvent être déduites de diverses manières des formules précé- dentes concernant la transformation de A: en / et celle de k en X. En tenant compte des formules (LXXIe.g) et (LIV), on obtient, par de simples divisions, les relations
(i) (-1) » sn(/iw) = (~i)"*' (/î)"* *||sn(«-haj,,v),
(XG) /(2) cn(/ii/)- f-^j jJ[cn(M-haj,,v).
1 Vv ^ / (|i.v)
S^ I TT
(3> dn(/ia) = (-iy> r/|Ân-ï:ri||dn(a-l-a^v),
où les indices r, [x, v parcourent les valeurs
r r= ri, Tj, . . ., /'rt-i, ^ = o, /'i, Tj, . . ., r„-.i.
On peut mettre ces relations sous une forme où ne figure pas le
s*-
facteur (— i)""' . Il suffit pour cela de prendre, par exemple, pour le système de nombres o, r^, r2, . . ., /V/-i le système de nombres
o, ±: 1 , =t 2, . . . , zi: --^^- Mais on parvient aussi à ce résultat
en prenant, pour le système de nombres o, /'i, r^, ..., r„_ij le système de nombres o, 2, 4» •••? ^-{'^ — Oî on voit aisément que Ton a alors
n—i _
(ll,V)
cn(nu)=^ f -^^ j JJcn(i/-i-'2a^,v), dn (nu) = (tp) j|J[dn(a -4- ■2ajA,v)»
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS d ET DBS FONCTIONS &. 227
OÙ les indices [x, v parcourent les valeurs [jl = o, i, a, ••., n — i;v = o, 1,2, ...,n — i. Les seconds membres de ces der- nières formules ne changent pas quand on y remplace [x par [jl + n ou V par V 4- /i; ces égalités restent donc vraies quand les indices [JL et V parcourent les valeurs [jl = To» Ti , Tj, . . . , rn-\ ; v == rj,, r\ , Tj, . . . , r„_^ , les n valeurs que prend [jl étant incongrues (mod. /i), de même que les n valeurs que prend v.
Le lecteur ne manquera pas de remarquer que Ton aurait pu
se débarrasser de la même façon du facteur ( — i)""' dans plusieurs des formules précédentes.
348. Pour obtenir les expressions desn(/îw), cn(/2w), dn(/iw)en fonctions rationnelles de sn^ Uy il suffit de prendre, dans les for- mules (XCi^s), pour les nombres o,rï,r2, ...,r/i_i, les nombres o, diTi, ±:rj, ..., ±:/-„_i et d^appliquer les formules (LXXIV).
On obtient ainsi, pour la fonction sn, la relation
(K.,v) (pi,V)
sn(w) ^^ XI '^' Ai I — X:*sn»api,vsn*a
où l'indice [x prend les valeurs o, r^^ ^2, . . . , /'„_i et où, à la va- leur |x = o, correspondent les valeurs v = Ti, z^, . . . , r„_,, tandis
qu'aux valeurs (x=:/|, /.,, ..., r„_, correspondent les valeurs
t v=o, ±r,, ±i\, . . ., dz /•„__,.
s
Pour u = o, on en déduit l'égalité
w — I
on a donc
sn*i/
(XC,) sn{nu) = nsnurï- -_-îlî-?^'l'
Jl J. 1 — A-2 sn*aMv sn*a
|i.,V
({I..V)
228 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On a de même, par un calcul tout semblable (*), (XC.) «.(/»«) = cn«"fT-' x-, T""' .
<ix,v)
et
(XC9) (A'r"*=IJdn*a^,
1 —
(XC.) dn(n«) = dn«TT- - 1^^'^''-^-
XX I — A:* sn'auv sn'M
((X.V)
fA - '*!, 's, • ••» ''/i-iJ V = o, : -ri, zbrj. . .., ih r^_,
349. En remplaçant, dans la formule (LXXXVII7), Tpar-»
les quantités A", K, /, L se changent en X, A, A", K; cette formule deviendra donc
(r)
d'où, en remplaçant --- par //,
(r)
D'autre part, la formule (LXXXIX7) donne, en j remplaçant u
4rK par // H y
TA/ 4''K\ ,] AKxi / 4rK 4«K'\
(*) Ce senties formules mêmes de Jacobi {Œuvres^ t. I, p. lai).
LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS 0* ET DBS FONCTIONS 7. 220
On a donc finalement ( * )
(XCio) /i sn(/iM) = N^ N^ sn(M -+- 2ar,x).
C) {S)
De même
(il) (—1)* n cn{nu) = ^ 2^ en (u -h iLar,s)y
(r) {S)
(XC) I 2^ „„
(12) (—1) « /idn(/ia)= > > dn(a-h2ar,,),
(r) {S)
(r = To, Ti, . . . , Pfi^i ; 5 = 5o» *ii • • • » Sa-i)' 350. Sî l'on pose
on a
et, par conséquent,
v/(i— 7*)(i — X«7«) il//(i — a?*)(i — A:*a7«)
Cette équation difTérentielle est donc vérifiée identiquement en x^ quel que soit t, si Ton y remplace y par la fonction ration- nelle de X, que l'on obtient en faisant snu = x dans le second membre de la formule (LXXXIX4) et X, M par les expressions
(LXXXVIIl3,5).
Observons aussi que si Ton change t en t H- 2/71, où m désigne
1
un nombre entier quelconque, q ne change pas, tandis que q^ de-
vient e " q"\ k^= ©"(t), /:'= <J/* (t) ne changent pas, non plus que K= -2^3(0 |t); iK'=TKest remplacée par
(x -f- 2m)K = iK'-h 2mK,
(*) Comparez Abel, Œuvres, 1. 1, p. 3 18.
a3o Calcul différentiel.
de sorte que a^^^ devient a^^^m,^] V^=?('^) est remplacée par y(T4- a) = \/i\/k] les quantités X, A, il/ sont remplacées par Xm,
Am, Mm'i où
Q, / I T-4- im\
^ V n y ^.(«1 „ )
il/« =
La substitution de T + a/n à t change d'ailleurs les seconds membres des relations (LXXXVIIIs^s), et l'on a
XXdnai/n.r
«îm.r /^
La relation (LXXXIX4) est remplacée par la suivante
sn»a
/r = n, ri, .. ., r„_A,
puisque le changement de t en t -+- 2 (qui change A: en — Ar) n'al- tère pas
Mais, si l'on pose
sn(a, k) = Xy sn ^^, X;„ j = J'm, on a
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. 23 1
et, par conséquent,
dym dx^ ^
Ainsi, si Ton se donne un entier positif impair quelconque n, Féquation difTérentielle
dy dx
est vérifiée identiquement en x^ si l'on y remplace y par une quelconque des n fonctions de x, que Ton obtient en donnant à m. les valeurs o, i , . . ., n — i , dans le second membre de l'équa- tion
a?»
I —
•^ ~" M A JL I — x^k^ sn*ai,„,j
/r=ri, r,, ..., r„_A,
et y//, M par les expressions
(r)
M =
v/2
TT —
XX sna*
^'^ ' (r)
Elle est d'ailleurs aussi vérifiée identiquement en x si l'on y remplace y par l'expression
n
(r)
X^
I —
— Il sii*ar,o
/r = Ti, Ti, .. ., r„_A, et ^7, M par les expressions
a3a CALCUL différentiel. — les quotients des fonctions ^, ETC.
m"
±L sn'ar,o
(r)
de sorte que, pour chaque entier positif impair donné /i, nous connaissons n 4- i solutions rationnelles de Téquation différentielle précédente.
La quantité t ne figure pas explicitement dans cette équation différentielle. On a annoncé, au n** 338, que / et M sont des fonctions algébriques de A: ; la même assertion s'applique aux quantités X, M et aux quantités X^, Jffm, en sorte que Ton peut dire que Téquation différentielle
dy dx
doit être aussi bien vérifiée identiquement en x et quelle que soit la quantité A*, à condition que Ton prenne pour / et M des fonc- tions algébriques convenables de A:. D'ailleurs, les /i + > solutions rationnelles de cette équation différentielle, solutions dont on vient d'indiquer la formation, dépendent manifestement de l'entier po- sitif n.
Le lecteur ne peut manquer de pressentir l'importance du sujet que nous ne faisons qu'effleurer ici et sur lequel nous reviendrons plus tard.
■
\
\
\
I
FORMULES
/
(')
(2)
(3)
(5)
FORMULES.
I.
(i) «inirw=«wJJ J/i_M«=!
Il
(a) 7ucot7ca= — k> <— -h
u ^d ( u — n n
n
7r«
(3) -''-- =y J
ICCOtlM
(4) 11(1 le'—'' = =5^ -^«î-«
X±(\ n — aj \ sinica
(5) > ) 1 ( — irrcotir(tt-i-a) — cot-îral.
IL
i *»
M
(^) -->'"=2ôr-*).
«
a'(— a) = — tfa, p( — m) — pu,
IIL
(l) (3'(X li I XcOi, Xwj) = X <l(tt I Cl)|, Ù>j),
(a) ;(Xii|Xa)i, Xw,)= V- C(a|wi, co,),
A
(3) p(Xa|X(i),,X(u,) = ^p(tt| «1)1,0)5),
(4) p<'»J(Xa|Xa)i,Xa),)= 5^^^ p^»U« I «i» Wj).
(>)
(3)
(4)
<5)
(!)
(4)
F0KXDLB8.
IV.
il') I 1 . v^i''
335
S S
\V) I v^C) I , V^^'^ I
* s
s s
V.
(2) Ç(«-^«)-Ç«-+-"P« = 2ia4:i"^=l""a~-*"^(^^^
s
(3) p(«+«)-p« = 2i(i7irà^*)"«~(^-b)i
«
VI.
3.(m -H 20)1 ) =— c*^i(»-*-wt) c'a, (i) \ (3'(a-h2tuj)=— e«V»+w,)o'a,
(3'(a H- 2(1),) = — e«^»<'*+»iJ Cm,
(3) Ç(M-t-2/n(ui -h2/iti)s) = Çu H-2/nT]tH-2/nf)3,
(5) p(w -H 2mwt-t- 2/10)3) = pa,
1 p'(a-t- 2/?io)i-h 2/io)j) = p'm, { p'o)i=o, p'o)i = o, p'o)s=o.
(6)
î*36 CALCUL DIFPÉRENTIBL.
Dans toutes les formules qui suivent, a, p, y sont les trois nombres i,
•2, 3 rangés dans un ordre quelconque,
VII.
(.) pu-pa tf(« + ^)^(«-«\
(*) 'j -+-*(« -+- A)a'(M — ft)a'(c-(-a)o'(c — a)
■<f(u-+-c)(ï(u — c) <f(a H- *) tf (a — 6) = o,
(3)
(4)
(6)
(9)
I p uzçp a >
p(tt±a) = pa -V- =^ — =^ - h
2 aaLpa— paj
^po), =cj, pti), = e,, pw, = tfj,
1 tf I -t- Cj H- «3 = O,
(^) P'*W = 4(P"-C,)(pM — e,)(pW-«3),
p'»M=:4p»M--^ïpa — ^„
^î = ■— 4 («I ^i-i- e,e3-+- ej^i ) = 2(eî -h cj H- «î )
= ï2eS— 4(ea--e3)(ea— ej.)= 4(^5 — epe^), ^j = 4«i^î^j. (7) p''tt = 6p«M— ^,
2
(^) p'*M = I2pMp'u.
2 pu — ea
p(M±a)«) = ea+' f/ ^ " i/.
\ pu-^e»
VIII.
(') î(^«;ff'fî)=^î(«;^„^.),
(3) p(x«;g.g)=;-,p(«;^„^,).
(4) pt«'(x«; g. fi') = 5^. P'«'(« ;<§'.,#'.
(i) -ia = a —
FORMULES. 287
IX.
^,M* g^U? ^î«/»
^•0>vJ A ' ^ m 'J » i ^ m 0 » J » y
r^) iu='- ^^"' ^^"' ^'"'
C^) P"=::ï-^-
a 2*. 3. 5 2*. 5.7 2*. 3. 5*. 7 ^,w» . ^aw* g\u^
u^ 2'. 5 a*. 7 2^.3.5*
X.
(I) s'a = e***»» ^
„ = , I SinÎTT— - 1
/ICO3
TltU TT TTZf 7: V^^ M W 2/ICO3
(•2) !!£« = -^ i COt h - > icOt-TT ?H-COtTC
(0} a (1)1 '2(1)1 '2a>i ^ÊÀ { '2(Dj
/i
(Di 4wf .^id . . U — 2/l(0j
* „ sin'TC
2U>i
20J1 I b .^ . . nto^ I 20)3 I 6 ^^ . ^ /ï^r I
'I n = isin«7r-— I „^i sin«Tr-— I
éi, .
(<0 7J1CO3 — T^3W| =:li=- «.
XI.
( ,) :?,« = ï- = — ' ^ = s-aC- "),
( 3 ) 3'( 2 a ) = 2 s'a o'i a 3*5 M 0*3 ?/ — — p'u a'*u,
s'a a
/ - 3'a/e ,^, / 5'a^P
(7) 3'aM= I— ^a*H- -'-(^.,-6eî)wi-4-,...
2 |0
238 CALCUL DlFFÉREirriEL.
XII.
(I) a'(o)=o, <^af^a = o, tfawprr- e-Ta««P -|*|3r,
<f (MH-2a)a) = — ««^îcittt+wJ Cm , tfaCw H- 2Wa) = — eîV«»+««' c'a",
(ï) ^ (3'(m -h 2mcOûiH-a/io)ûH- arwy)
S'a (m -4- 2/nW(xH-a/iu)ûH- îrtoy)
s:^ ( l)nr+r/n+m«-4-/n gî(mrj«+nT)p+rYjY) («■♦-miDft+nwp+rWy} a'gjM,
S* (u ± Wfli) = dr e=*=^«« oTwaO'aW,
CBWaCrvtDa (3) / a'^(|,d=w„) = :^e=^.u_L__2_a'M,
(3'p( w dt (Oa) = e*TQ«" o'p cOgO'y a,
(4) Î(w-H2(ua) = î«-+-2T^a, î;a(w-+-2Wa)=Ca"-^2Tîa, CaC" -^ acoj) = Catt H- ar.jj,
(5) ;( w r^z (Da) = ïa« ± »la, Ca(w ± «*>«) = î" ± ^Jot, îa(« ± "p) = Çy «idi r,p,
XIII.
P tftOaO'tDp
V^a — ^8 - .
. SI /a p€Lrit\i
/^p - ^a r *^
(3) Tjstoi— 7)1(1)3 = r^i 0)3— 7)3 (li, = 7iiCi)i—T,i(ii, = r*^, \ ., , t«J
a ; réelle de —
_ J «U|
(1) y/e-i—ei-^iy/ei—ei, /ej— e, = - i/^i— «8, /«i— «i = t/ci— <*i, ( est positive,
XIV.
(1) CÎM — o'pw = (^p — ea)3'»w,
(2) (ey — cp) o'Sm -h («a — ey) C^i* -4- (ep — e^) s** a = o.
FORMULES. aSg
XV.
(i) ^{u -h a)^(u — a) = (3'»ao'îa — o'Jwo''a,
(2) 3'a(w-+- a)(3'oi(a — a) = (S'Jw^'àa — (««— ffp)(ea— ey)(3'*a 0**0,
(3) o'a(w -^ «) <5'a(" — o) = o'îtto'îa — («« — ea) o'^ao'yM,
(4) 3'a(tt -t-o)o'(M — a) = 3*1/ d'à «0*0 a (J'y a — <fa(^aa(foU <^yii,
(5) (3'y(M-t-a) (3*0(^ — 0) = (3'YW3'QU3'yO<3'ûa-h(eft — ey) 3* a (j'ai* s'a (l'a».
XVI.
( I ) p - = pw -h ^pu — co /pw — Cy -+- ^pu — ey /pa — ^a -+- /pw ~ ^a /p*^ — ^B »
(O
(2) p-^ =eaH-/ea— ep /«?«—' ey.
XVII.
(l) 3'3if/= e"'«"'^*^*TT (l -^— je'-^i"*'»!'"^^'
5
/ /! = •
TU* / V^ I
T,,-MO|pa)i = y^ l 14-2 ^
4t»)j I Zd /iWs
(^)
7r«
Ta-^tDipCO, = > ,
2(iii jU . 2/1 — I (l>s
n=i cos't:
2 CUi
n =: X
tu' V^ I
T<lH-(i)ipco,
2
2Cl)i JM . . 2/1 — I 0)3
11 = 1 sin*7r- — ■ — 2 a>|
TJ.M
(3> 0*11/ = e*^i cos
20)
(4)
(5)
a4o CALCUL DIFFfiRBHTIEL.
XVIII.
(I) (Ogj=Aa>fli, ^^x = y' ^^'^Xî*
(-2) I î(w|ï»>i,wi)= i ^(^pi»^^)'
(3) 3'a(a|o)'pa)'3)= S'a ^y a),,a>aj,
(4) . v'^i-<= tv/
(•)
(U
(i)
^, . .e^— e«.
^ yea— cp,
XIX.
( Qi = atOi-T- 6(1)3, ûi — ccojH- <iti)3, iii -f- iij -h lis = 0^
«
( a«/ — bc = ±1,
i'i) 3'(m|Û,,Û5) = 3'(m| 0)1,0)3),
(3) î(«|Ûl,»3) = ;(«|Wl,t«>3),
(1) Ji(w|ûl» fl3) = P(wl Wi,0)3).
XX.
lll = rtT,iH- 0713, H3 = C7Ji-r«/T,3,
(•2) Hi-h Hj-h H3 = O,
(3) HtÛ3— iiaûi =± — '
po)i = e,, pw, =^2, PW3 = ^J,
pjii = El = e)., pQ, = El = «11, pÛ3 = E3 = Cv
s'ilal ûi, Û3) = 3'x (w 1 0)1, o)s), Ci) { 3'j(w|û,,Q3) = a'jx(«|o),, 0)3),
3'3(m |Ûi, Û3)= 3'v(ï/| O),, CO3).
FORMULES.
24 1
XX (fin).
(6)
a |
1 b |
c |
1 |
0 |
0 |
I |
0 |
I |
I |
I |
0 |
1 |
I |
I |
0 |
I |
1 |
0 |
1 |
1 |
d |
ûi |
Ûl |
I |
(Ui |
0)1 |
I |
(1)1 |
Ws |
1 |
CD, |
CD| |
0 |
CDî |
ws |
0 |
(1)3 |
0)1 |
ûs
0)3
(1)1
(l>,
0)3 0)1 0)1 0)2
I I %
2
3 3
2 3 I 3
I
3
3 I I %
TZl ÎJlO)3— T^jO)i = -— ,
(7) ad — 6c =-+-!,
H1Û3
Tl
— HjÛi= —-
V^Bî — Bs
«1-4-C— I
(— i) « v^ej— e.
£—1
V El — E3
u— 1
(— i) « v^tfi— ei
d-^i
(— 1) « /ei— es
C-M
*{— l) * /«, — e.
if-i
(— i) « /ei— e.
(— i) » /ei— 63
(— I ) « /ei ~ e,
6-n
£4-1
*(— 0 * /e,— «3
/bT
Eî
g-hA— t
(— 1) « /ci — ej
a-l
(—1) « v^ei— e.
6-f-i i(— i) * /ei—c,
a-4-1
(— I) « /e,— es
*'(— 1) * /«i — e»
T. et M. — II.
16
a43 CilCCL DIPFiUtlfTIBL.
XXI.
0) ^-SK^)-
(r)
(D *
(3) î(„|^,«,)=ç„H-2!:(«H-^')-2^+»«p..
(r) (r)
(4)
p/a|î^,(o,j =pM-h2p^a-h î^M — 2P„
(r)
f en particulier : r = i , a, . . . , /i — i ou r = di i, db 2, . . . , d= j
\ /i I /i / /i
(5) { } Hi-hHt-hHj = 0,
(Ci>| I Cl)] \ / ] (Df \
— - — Y1,-I-M«P, 0*1 { M H CUi )
(7) tf.(„|î:îl,.o.) = e .0 n-^ T^'
^"^ ^*(, n ^V
vî'M-i-ff ,^ / ar-t-i — n \
(9) *»(»?. o..)=a (r. JJ _? /,
( /' = Tq, /'i , . . . , r„«i ) / en particulier ; r = 0. i , 2, . . . , n — i ow r = o, ± i , ± 2, . . . , zk ■ j •
(8) a-,
(4)
(5)
(')
(*)
F0KH0LB8. a43
XXII.
efU* f.,n*
(2) U a ~, wjJ = CjMH-Cii + î,a,
(I **^i \
b)3 — j Cl), 1 = 2î)j+eiOi3, Hi+Hs+Hs=0|
/WlItDi \ / /
Eî = P ( — -t- ws — » wjj = «1— 2/ei— ei/ei — e,, E3 = p ( ^s — ' <*>3l = — 2ei,
(Oi 3(t)i
p-^H-p — =E,-HCi.
XXIIL
V^ei— e, — /ci— «3 1/ --^ , (1)3 j = e » c'î M o*, a = e * C» a ^pu — e, v^p m — «3.
a44 CALCUL DIFFtIBXTIBL.
(•)
Ci)
(5)
XXIV.
^("'-?)— ="-^-
p[m I coi, ~) = pa-hp(«H-cD,) — «3 = pu
(gj—gsXgi— g») pa — c.
(4) j ; , [ > H'i -mi; + h; = o.
= — 2C„
K'l=p(wi|W|, y)
, / wal u>3\ i i
, /Ws| t03\ / y
Ei = p( Y ^ly — ) =g3-»-t?Ygi — gaV^i— gJ»
a>3 3(1)3 ,
(')
({)
PORMLUIS. a^S
XXV.
«»g II* If ■ Il
I. V ^8^"
S'il w| 10,, ^j =c"« (3'Ja-i-/«i — «3/6,-633''"]
v/«i — «a — /«î— «i
f. M'
cr3(M| wi, ~) =^ * (o'Jw — v^^i — e, /êi— eicr'a)
= e
/ei — 63 -h /ct — «3
r,M«
a46
CALCUL DlFFfiKBNTIBL.
XXVI.
(0
(2)
s'a
nv ^ /
*("|î'-')=^ *'("|ï'"') =
n
^ / 2/* — I \
ir) Cl
e ir)
ri,-»-««P,
lïr— I
e C-î
Slr-I
<f l u -h ' Ci>i 1
jLJL /ar — I \
■n ^ " ^
(r) Cfa
Y1,+««P|
*,«n
(r)
C-^-)
"'•("-^^V^"")
"«(^"O
(r = Ti, ri, ..., r^-i)
f crt particulier ;r = i,2, ...,/i — i Ottr = ±i,dia, ...,iiz ]
FORMULES.
247
XXVI (fin).
(3)
<ï(u-k (Oija'fu ci)|)
(r)
= <5«'Pto'M I I I a'
(5) ^ r ^.(^..) -|
= ««'Pi «Ta «TTI o-Jm— («a— «p)(«a— «t) — 7^ — T"""* I (en particulier : r = i, 2, ..., — ^ — j»
'48 CAtCCL DIPrtBBKTIBL.
XXVII.
(0
p.= 2p(Ï.,).
/ . 0).\ -"2^1.+"'^. -^-T^af"-^^»-»)
(r = Ti, Tj Tn-i)
(^en particulier : r= i, 2, ..., n— i om r= ±i, ±2, . .., ± — — ) .
(Hi = /»ïîl-+- 2 0)1 P,,
n (en particulier: r = i, :i^ ..., ^~"M.
FORMULES. tl49
Dans tes formules XXVIII et suivantes la partie réelle de - -'. est supposée positive.
(3)
(4)
XXVIII.
(i) • T,,(i),— r„(o, = -t- -^j
U CO|
i; = , X = — )
(2) { 20)1 0)1
z = c«^', q = ef'',
m wTlti
y'^^'w = q" =z e " ,
?o = fj(i - y*»), ?i = fj(i +?»").
n = l 11=1
91 = JI(« + ?»»-•), ?. = JJ(«-9»«-M.
11 = 1 rt=l
(^) gig%gi = iy
(6) ï6yyî = ^}— yf.
aSo Calcul DiPFtRBMTiBL.
XXIX.
(0
(2)
(3)
(i)
n=oa n=<
nsa»
= isini^irC«li«i*'" I I ^7 r-rr ^—
Tz Ai (i — y*«)*
R = l
n =•» A = •
^ a 11 i-+-^«» 11 i-f-y*«
n = l 11 = 1
n =«
•v« ,» oi TT ï -+- ^y cosapiT -h ç*»
= COSt'irC*^!"»*'" I I ^7 r— r ^—
n = « A = «»
* 11 l-+-a*'»-* 11 l-+-<7»'*-*
«=1 «=1
#1 = 1
11 (I-+-a«»-»)«
n = l
n =• A =«
A=l A=l
/7SA-I
/l=::aD
11 (|_^li»-l)l
A = l
XXX.
(i) 27)1 u>i = — acia)}-4-it»
[1 J'y il*' 1
2 -^(n-?«»)«|
A = «
(a) a^iiMi =-^g«<'>î+^*^^,^Ç,-,).'
A = l
2X^tA-l (,_y«»-.)l'
(4) aiii"!
6 ^(1 — 9»)* I
A = «» ASroa A = a> Assa»
rSi ic^ /7tn-l v^ /»<»-! v^ /vin
y^
A = l A=:l n=l A = l
FORMCLKS.
aSi
XXXI.
(0
(1)1 |
CI), |
b>, |
|
cr |
Tî 9Î |
||
^i |
o |
||
a-, |
o |
9\ |
|
c^z |
O |
«1= j^9i(9Î-<-îl). ««=-;7^yU?î-29!), «« = -7^j9S(2yî-yî)
2(i>i
(2)
7C
20t>|
/«i
e, =
TC
2<0i
?Ô9i.
(3)
(4)
yg = y^TTi; {/^;ir7, yi;=^= .-^ ^/^>îî g^,
g(Xw,,Xa>,)=5^Ç(w„co,).
25a CALCIL DIFFÉRENTIEL.
XXXII.
( — i)«29 sin(2/i-hi)irp = 29* sinTU' — 2^^sin3irp-+- —
11 = 0
2y C0S(2/l -+-l)7CP = 2y* COSTTi' -t- 2y* COS3lIi'-+-. . .,
Jl = 0
(3) ^s(t') = I-f-^2y'»" C0S2/l7Ut» =l-h2g COS27UCH- 2^* COS47îf -+"• • -j
n = \
n = •»
(4) ^v(*')= » "*"^( — I)'*^^"* C0S2n7Ct> = I — 29 C0S27U(?-h 2y*COS4lîl^ — . . .,
n-1
(5) â'i(p)= 2^09* Sint^TC I T(l — 2 y*» 00821^11-4- y*"),
11=1
n = «»
(6) &,((;)= 2^0^* COSPTt I T(l-H2y*» C0S2«'U-*- y*"),
« = 1
!! = •
(7) ^j(t')= ^0 jT(H-2y">-» C0S2«'îCH-9*'»-*),
n=l
(8) ^^{v)= çq I I (i — 2y«'»-« cos2('7c-h 9*"-*),
« = t
(9)
(10)
^.c)=7i;(--)»«""H*^T
TClV» __ / p\«
(.,) e— »,(.)= 2' K-),
n
(.2) ~&»(^)= 2<- ')-«"" ^"^^^
FORMULES. a53
XXXII (fin).
(i6«) P.(^)=j2^-0»?(""^^
l'hais) p,(5)= 2^(''"*'i)^««-^S
n (3*14) p.(2)= ^9"''*"-
n
(ibis) p»(5)= 2(- ')'*"'•'"''
(5 6m) P,(^)=29,?^^-^4— JJ(i-9«»«-»)JJ(i-y»''3«),
n = l » = 1
{6 bis) p,(^)='2^o^^^-=^^]J(i + y«»2-*)]][(i-i-y^^
/i=l n=l
/t := 30 /t ;= oe
(7 6«) piW=^o JJ(i -H- 7'"-* -*) JI(« -+- Ç^'"-»^'),
n=l n=l
/i = X n = 00
(8 6«) P*(>3) = ^0 JJ (I - ^*«-»>5-«) JJ (t - y««-»5'),
/i = I /i = l
■ Pi(-s)-pi(«*'^')=2r,(r),
Pa-hi(^) = Pa-Hi (««''«O = &a-Hi(t')
254 CALCUL DIFPÉmBNTIBL.
XXXIII.
(0 ~yJyi(J'a = e«lt«.*'*&i(p),
1
(3) qoq\<f%u = e^t^^*''%(ç),
(4) qogl<rzur=e^i^i*^*?f,{v),
(5) tfM = 2a>||^^«,.«...,
(6) o'aM=|^^e«^.'-»-',
(o) ^a*^ = ô; 7 — \*
(9)
l/î^ J/y (l'a = iVTni«.»'«&,((;),
(12) 4/î^t^^7^:r^c'3W = c"».«'»"3r^((;).
FORMULES.
a55
(■)
(a)
(3)
(4)
(5)
(6)
<7)
<8)
XXXIV.
Zéros {modulis i, t).
% |
% |
^1 |
% |
o |
1 2 |
IH-T 2 |
X 2 |
a,(-p) =-&,(,.), &a4.|(- !') = &««(•'),
&,(•> &»(«'
•)
s.(»'), &u»'-4-i)= a4(.'),
&lff -Ht) =
A = q-> e-""",
: Aa,(i.), = - A &»(.-),
&.(" »,(•'
t
0 0
3^i(i>-+- m -h /it) = ^t{^ -h m -h nx) — 3^3(p -h m -H nx) = 2r4(p -I- m -h /iTj =
a56 CALCUL DIFFtRBHTIBL.
(I)
(•i)
(1)
(5)
(6)
XXXV.
s-.(i)--â-.(<.), /a',(T)= -9-«&',(o),
P',(T) = -2.-icy-ta,(o),
S',(m-(-nx)= (— i)'"+»g'-"'&;(o),
^^(m-i-nT) =(— i)'»+'a«itiy-'«'St(o), &i(TO -t- nx) = — anici^— **Sj(o),
a'4(m-t-nx)=(— 1)«+« 2mttg-"'34(o),
S',('^-)=-ity-Ta»(o),
a;(~)=-«ty~*S.(o).
FORMULES. 207
XXXVI.
Il
1 \«
y. 9 %A
= iq^ -h 2cj'* -h iq ^ -h...
/I
\ n
/ .1- i
'2 0)
(3)
i-i - e, = ^.;^^:ifo), i/e, - e, = ^/jj;^4(o),
« 1)
l V^6'2 — ^3 /ei - ^3 /6>, — ^2 = — 5- ., 2r,2 (O),
<
i /<;, - e, = - -^ S^ (o), v^<ïï^<'''3 = £-&3(o), /«■r^^=-^2r; o., ' ■*<ui atui iioi '
(5) &•,(<>) = T:&j(o)&,(o)3rj(o),
(6) 35 (o) = 2rt (o) -i- âj (o),
«
A'.= -;^(;j) *[2r»(o)+ 35(0)- 3Ko) 35(0)]
7> .
T. el M. — II.
17
a58
CALCUL DIPFËBB?(TISL.
XXXVII.
(I)
t 9 »»
ft __ ^«(o) _ ay^+ 2y*-h ay * -f- . ._^ ~~ ^3(0) ~ I -+- 2^ H- 27* -I- u^» -i- . . . '
(2)
v/F'=
^4(0) _ I — 2 7 -h 2 7* — 2 7*
l -h 2 7 -h 2 7* -+- 2 7» -h
(3)
Ar'+yf'rri,
(4)
v/? =
^«1 — «j
(5)
(6)
V «I — «>
(7)
q\ Lu
-7)0-9')(i-
?)(i + y»)^
n-y»)... J '
(8)
J(t) =
(1— it-«+A:*)» _ {\—k*k'*)*
27 gi ^ I p;(o)+&{(o) + a{(o)]»
^kg\--^lg\) 8 ai (0)^5(0) SI (o)
FORMULES. a5g
XXXVIII.
V/jVCJV+l)
JJ(t +?'»-') 2^"')"^"*
n=l
(,) i.(,)=*»/F=|2 = i!^
JJ(l_yt»-I) V(_,)VyV(»v+l)
JJ(, + y.«-l) 2 9^
n = l
(4) ^.(x)=v^=|^^
(5) X(^)=V29^-.
y»
(6) (»«(t)-i-^,»(x) = i,
(7) ?(i:)-Kt) = X'('î).
(8) h(i:) = y"g-„
&',(0|T)=2,th»(T),
(lO)
&.(0|T) = h(T)/î(T)=î/5;h(x)2!Ji;,
Sr,(o I t) = h(T)/«(T) = Vâh(x) -1-, &»(o| X) = h(x)/î(x) = î/^h(x) i|f^,
(" Ç9 = q »«h(x),
(12) q^= —g U-ii—'
v^ XC^;
./- 4r I
(i3) 9, = v/a y
i4
X(^)'
(.4) „ = t/î,^iii-).
(.5) j(,)^f--X"(OT.
26o
CÀLCIL DIFFÉRENTIEL.
XXXIX.
(0
27,, Wi =— -
I &T(o)
6 3r; ( o)
(2)
2Tj Wi = — 2<7aW?
1^ 3^4-1(0)
(3)
7.r,îa>}
= (f— î)«-t-.
,to,
3â+|Co") I
^■î+lf")
^a+i(.o) a-i 2r»+,(o)'
(4)
&7ro) _ S: fa) &;fa) ^;(o)
SJ',(.0) ~ 3?,(0) "^^7,(0)'^ &4(0)'
^5)
3-;(o)
2rî(o) 2rî(o)
S7»(o) 3î(o)
= —'.-' Sj(o)3J(o) —32(fi — ej)(e, — <-,)<«; = ■2i:>2r»(o)&{(o)= 32(e, — e,)(^j — <r,)tu'; = — 2-^3^(0)35(0)=— 3a(ei — sj)(ei—e,)w}.
XL.
(■)
( 23,l(2i-| iT)=3j(ç.lt)+3v(f|t). I 23j(2t'; i-)=3j(f JT)— 3i(l'iT),
(2)6=v'7trô =
I - v//? Vo, -
V^r, — r.> _ '>q -hoq^-h ■>^-*-i-..
*_;_ 'irFie-L-
l-f-v/A'' v^^'1-t'jH- vt',— e^ i-4-'i7*-^'>./7
(3)
t / l t I
PORHULKS ^6l
XLI.
TZl H1Û3 — H3Û1 = — >
V = » T = r
2Ùi a-t- oz
(I) -QjQ^o'a =e«.o,v.3ri(vlT),
(2) 2QoOÎQ^o'XW =e«Htû,V«â,(v[T),
(3) OoQÎa'txtt = e«''tû.v*&3(v|T), (0 0001^7"= c«n.o.v«^jv|T),
v/ej — E3 = 1 1/^ ^QoQÎ Q^, (5) < V^Ei — t;~3 = l/r^ OoQλ
V'Ki — Kî = 1/ ïQ, **''''
(6) ^*v/Ô- = '^,/5^oSqS
(7) eî/^/l/îlio-u =w«H.''.va,(v|T),
( 8 ) V'W^^, l/- J' cs-X" = w'"'"'*' S.( V I T),
(9) V^iT^T, 4/':^' <?(»«= e«WS,(v I T).
(10) Vbi - K, 1/^ s-vM = e«n.o.v'&4( v|t).
a62
CALCUL DiPPfiRENTIEL.
XLII.
(•)
(•■«)
(3)
t /a-+-6te*'"«'&, (fit) =a,(v|T), e' /ô+Tx e**^* Sx+i ( c 1 1) = 2f,(v 1 1), s' /an-éx e'"^^<^^+t(v | x) = &,(v | t),
(4)
e" v'a+^ «'"'"^v+i ( K 1 X ) = &4 ( V I T ),
(5)
= [f '•■
I ab^-ac-\-bd — acb^ — 8 6 S
(6)
A(<H-rf — S)
— \j) ^ * 5* 6 65/ impair et positifs = ' — j i * 51 a e5< impair et positif ^
(7)
6' |
= |
ab |
1 |
|
e |
= |
S |
+ 6c-t-«-f-c-4-m |
|
e"' |
cd |
-f-C- |
-i+m"' |
— = t«
(8)
\\ |
2». |
3». |
4». |
5». |
6«. |
|
m' |
— I |
— t |
— I |
— I |
b |
b |
m' |
— I |
h->rd |
— I |
6-hrf |
— I |
— 1 |
m"" |
d |
— I |
d |
— I |
— I |
— I |
FOIIHULES.
263
XLIII.
(I) Si{Kh-(-i) = v'»3'i(«'h)'
(i) Si(p|t + i) = /r&i(ph),
(3) 3fs(f|t + i)= 3'»(<'|t)i
(4) 3r4(v|T + i)= &»(f|t),
(5)
(6)
(i6)
^■(-:|-;)=I-^""|"'
"1 ^■(;|--;)-7i'^^-<-'"'
(9) y^(p\x-^-l)=\/îy,{o\■z),
(10) &i(o|t-i-i)= v/t&i(o|x),
(M) a,(0|t + l)=: %(0\X),
(la) ^♦(o|t + ')= &j(oh),
(.3) a'7o|-j)=-/?xv/xa;(o|x),
(.4) a.(ol-;)= ^3»»(°l-).
(i5) 2ï,^o|-i)= ^^>(«h).
a»(o|-^-)= ^.^.(oh)
2^4 CALCUL DIPFËRENTIKL.
XLIV.
s.(H^)= ^2<-')''''~^^'"^""^''
)/'i ~ "•
n
XLV.
(I) h(-:-+-i)= {^h(t),
(3) ^,(,^-0=^-^-^,
(4) x(^-..)= •^|f-;\
(9)
(lo)
(»i)
FORMULES.
265
XLV (fin).
^
(G) ?(-J)=";'(^).
(7) 'V(-J)=?(^).
(8) x(~i) = X('').
n
<p(T-H2/l) =i*(p(T),
n
266
C4LCUL DIFFÉREXTIKL.
XL VI.
{')
<?(!) = |
-Kt) = |
|
• 3* 4° 5» 6» |
\d/ <p(T) <p(x) |
(i)rT^(,) a.(t) <Kx) (iy-^fi^) U)' 9(x) |
(^)
4"
= i
X(T) X(T)
X(T) =
(6 — c) (ftcrf — g) {b — c){abc^d)
(& — f) (bcd — a\
i "
(& — c) (abc-^tt) {rt-+-rfi (abd — c)
x(^)»
X(T) = t
12
(p(T)'
^) 4,(T)'
X(t) X(T)
= t
la-hd) Inhd — c) {a ■+■ d) {acd — b)
12
x(^).
= l
(fl-t-<f) (acd — b) 12
xÇo ?(t)
FORMULES.
367
XLVI (fin).
(3)
3»
4'
6°
X(T) = - (^)P'
X(T) = - (5) P
4,(1)
STCf
X(T) = - (J) p"" ^"-^'
8
x(T)= (è) p
-— - {ab — cd)
.17CI
x(^).
/»\ -^■|''*+«<'iX('f)
= e
•^1 27CÎ
3 = e '
- t!i* (crf + flc + 6rf- &c"rf)
(4)
h(T)
_îi|„4_.»„ft,+«c(4.-I,-4(« + *lt/_^^_^^^j,,j(,)^
(5)
1 — A Ttl
h(T) = (|)i* e " /— i(a-+-6T)h(T),
(6)
Il - 1 ir I
^68
(1)
(3)
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
XLVII.
Q = y! = e»Tit/^
V = »
V=:«o
V = l v=,,
v = «
v=«
0» = fl(l -H y«<»v-i)), Qj ^ jQ(, _ ^t(îv-i)),
V=| v=l
2QÎQ| = 9j(yi-f-5r*),
1
5^4(0 |'2X)
;3ruo|-zx;
a2r;(o|2x)3r,(ohT) = 3r;(o)3r, •22yj(o|2T)3r3(o|!ix) = 2j}(o), (4) \ î3rî(ohx) = &5(o)-2rî(o),
2^r*(o|2x) = ^r|(o)-^&J(o),
3rJ(o|2x)=Sr3(o)&,(o
FORMULES.
269
XLVIII.
(0
V = OD
1 TTT/
V = 00
oi
= U(i-?'). Q', = JJ(< + ?^),
V— .1
V = ao
V = « ,
/ 1 \ ' — "" f 1 \
v=l
v=l
(2)
(3)
(4)
«0 = 91)71. Oi= — =7172.
7j
87''7;7l = 0?[0î'-03M.
M- 10-
Or
-■ {■ t)-
^' (" I :)
S»f'') + 2r|(p)
Sfa
S?,
HO '"HO
!t
yAo^'-)?sJo\ - =2a;(o)3r,(„),
^'HO^'W'O^^'^"^'
;îli o
-] = 1^i{0)?Si{0\
'A
^U o ' .;
= 2r5(o)-h2ri(o),
1(0
- =3î(o)-3^(o).
1»
270 CALCUL DIPPÉBENTIBL.
XLIX.
(1) 2h«(2T)=h(T)2r,(0),
(2) h«(l)=h(T)&,(0),
(3) h«(l±i)=î/7h(T)&,(o),
(4) 4'(2'c)?('^)=V^âx('f)z(2'^)»
(5) <p*(2x)= fr ^, a/*(2T)= ^,1/ >
(8) <^;(x)='v^- ^^^
FORMULES.
271
XLIX (fin).
(9)
(10)
TKi
T7CI
qo =
e "h(x), q,= e » ÎJJ^,
— /. s»
gt=e
i^Mi^C-i^)
h(ï)
qi=e^
h(x)'
= 1^2
,_,},(,) o^at)
/i — ç»(x)= /â
L.
a,(ac) =
3fi(af) =
%(-iv) =
S»(af) =
&,t,o)3r,(o)&4(o)
^|(f)^l(f)-^î(«')^!(f) &,(o)2;î(o)
&|(t>)&|(0-t-&?(P)&|(i')
or*)
GAL€ITL DIFKÊKENTIKL.
1 I
I
ni
TT
^;^'^'
3r;ro)
1
= y Wo =2r3(o).
I
— --7J70 =3^4(0),
LI.
1
a; I
Âî I
Ai
— Q3 0* = y
Aî
(I)
(•>0
OJ
Q = gf — e"'^f^',
V ^ « V ^ «e
V = l
Vczao
Q2 = JJ(i + 7"^-"-*^ <iî = I J(' - 7"'-
?v— r
),
v^ I
V -:I
'/o '/ -.
ir)
{ri
n^. (j) = ^^ ^
(r)
ir)
n -1
/ ^' — /*1, /'ij • • • ♦ ''n - l\ •
ll^^œ
H — 1
« - I
-(-1)
7Ô '7
(/•)
iT-=-(r:)-
u^' vr'7
/; -1
— Of
yî
ifi
n^-fD
!'•)
(ri
^' '/i
^^ 7:-;'
(6)
(8)
FORMULES. 373
' (r)
(4) / ^^ m ^ ^
a.(„.ln,)=||&,(.)JIa.(.^-^)
(r)
^ <^ -h - I >
^0
(r)
(r = ri, Tj, . .., Trt-i).
(5) S.(«.|n.)=^i^'S.(.)II
r ^-'(^) 1
(;) &,(nf|
' '■ L ^Kn) J
(r) (r) f_r) UM
(9) < ~~ n 2r J (o I /i T ) ~~ 3r2f4.,(o I /it;
<">^n^'(;)
(ri
/r= ri,r,, ...,r^^\.
T. et M. — II. 18
274
I TC -
ai
(')
(2)
i3;
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
LU.
1 trçj
1 ^~" / î^\
V =•
Oi =
v = l
V = «
v = «
_ n — \
V = 1
n — 1 n — 1 n — 1
r — 1 n — \
n— I n-\
0=-.?)=,-^^ ft
/i — 1
r-l n — l
i —
' / s w-1
n ^' (?) = '/•
T- 9± 73
n^,(?)-=(-ir 7ï-q;^7
i;i— !)■« — î
' r 1
n^- ï j =
tn 12/1
-2 S
m-,
(r t
m(?)-
»_, "'-1 yr«
\ '• /
ir»
n
t r)
^w ';) = (-.)
( /• I
IT
n'-—\ V r«
-S
ï V3 7 (/•) ,
(r = /•,,r,, ..., r«-i)-
FORMULES.
275
(4)
(5)
(6)
(7)
^■('1^)-
'a+i
m-
LU (fin).
(/■) 6a-.ie "•'"&a+.(«')]][a«^-i(*'+^)
(r)
{r = ri,rt, ...,r„_i),
a;
6, - a.'Il^'VT)' «i:;-riS'r[^«^'(?)
^
S-
(- lyi é, = 6, = 6, = (- o". b, = ^« Q'
a^-iy...
12 /l^
^«
(r = r,, r,, . .., rn^i),
en particulier
n — I
61 = 6, = ^3 = 6^ = --^^- , pour r = dzi,±2, ...,=t: ,
('
— ''1» f^2
• • • » ^n~ l\ '.
M'iî)'
«i«STÎ
A'i
%
'"^['""'*"ïS'""]'
(I -' rr^
g:..(.)npi(')-.^3iM|.
(r)
ir, I
^' (ï)
i-i-']
fr = /'i, rj, ..., r„_A.
276 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
LUI.
(r)
(a) /îih('»x)[h(t)]V = JJçyV^^,
(r)
(3)
(4)
fijVz) ^ (r)
^Knz) ^ (r)
(r)
« — 1
(5)
X(nx)^ [h(T)] '
(r)
«' «"^w'ii'^-n ^•(':-)^-(v>'(x)]
(r) « — 1 n'— I , s » — 3
(7) ,• » q *"hQ)th{x)]« =I|&.(^)
(8)
?
il) n^-(x) n^-(")
<P(t)
(r)
(9)
'}'
0) n^?) "n*'(ï)
«K^)
i<-i
(10)
x(^) "•-
FORVILES. 277
LIV.
Il — I
Vr _ 14 n *^
t'b — ^Tq y e ,
r = Tj, Tj, .... Tn-i
V = O, Ti, Tj, . . ., Trt-i
278
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
LV.
n"
(■)
(a)
(3)
(4)
(I)
(*)
(3)
(4)
(5)
A ti>t (i>i
n n
*(M-t- 20),) = *(«),
— ~— ;« + <d,l
♦ (M-hau),) = « "' *("),
*(«) = Ao*8(m)-+- A,*,(a)H-...-t- A*_,*A_,(tt),
♦,(«)= V y * e*tittnh+rt — qJ e»'''Tf 3j( Af + rz \ hx),
n
(r = o, I, a, ..., A— i), *o(m) = 3's(a»' I 2x), *i(m) = STtCac | at).
LVI.
^l(o)^t{v-hc)^t(v-c) = aî(o)Sa(i'-»-c)3r3(«'-c) =
Sâ+i(c)^î('') 3î(c)Sî(0
(c)^â+.(»'). (c)&î(«').
(c)Sî(f),
&i(o)&*(o)S,(.'-t-c)2f,(i'-c)
= -a,(c)&,(c)2r,(p)a,(p) + a,(c)3r»(c)&,(i.)2ra«').
&,(o)&ao)&i(«'-t-c)a,((.-c)
= + a,(c)a»(c)3r,(p)&3(«')-+-3fi(c)&,(c)&,(i.-)a»(p),
= -S,(c)3r,(c)a,(i')&,(«') + &,(c)&v(c)&,(p)a,(i'),
&,(o)2f,(o)a,(P + c)&t(i.-c) = + &,(c)2r,(c)&,(.')&»(p) + 3,(c)a»(c)&,(p)a,(p),
&,(o)2r,(o)a,(p + c)&,(p — c) = -S,(c)ajc)&,(p)&4(p) + a,(c)a,(c)a,(p)a,(0.
FORMULES. ^79
LVII.
I T^=^p(a -\- b)^p(a - b)^p(c -^ d)^p(c - d),
I T'p = &p(a + d) &p(a - d) &p(6 -f- c) &p(6 - c),
(2) T,-hT;-hTî = o,
T,— ri-T; = o,
(3) { T3-f-r,-TS = o,
Tv— T'j — TÏ = o,
(4)
(2)
(3)
T3-f-Tv=r3-+-T; = Tî4-Tî.
LVIII.
3rs(:r|aT)&a(rlP-)
= V ^«'•'e*'-''»3rj[ar-+-^-+-raT|(a-+- P)t]
r = 0
X 3r3[ par ~ a^ -+- rapx I fltp (a + P)t],
-^ 2r3(ar -+-^ I 2-:) 3^s(a7 — j^ I ax).
•iSo caloi:l différentiel.
LIX.
(3)
(4)
(i) / Çoa" =
S'a M /pM — Cfl
sOa "^ Çro Çya r . r 4
(3) pw = <?«-+- ÇJo= ^p-^ 5^0 = ^r-^'^ro»
(4) 3pi^=$«o4-î^o-^5yo>
(5) ,.« = e,+ -I_-=«p+^^=e^+.^r,
(6) «r =
3 ^y ^(X'~~^Y
LX.
fao(w-+-tOa) =— /^a— ep V^^a— Cy Joa" = — V^ep— «« yje^—e^ Joa ", Îoio(m-+- wp) = v/^p— Caîrpw,
V^a— «r /«Y — ^«
ÎPy("-»-««>P)=— /ep-ea5oa«.
(3) (4)
(5)
FORXL'LES. a8l
LXI.
(0 îâo(")=--îpo(M)5vo(")'
(2) fja(")= ?pa(")fya(w),
(3) $py(«)= — («?— «r)5o.'(")f«y(")'
LXII.
(2) ?i?t(w) = ["-^(^a-«p)?o*a(w)][H-(<?a-«r)îîa(")l'
(3) Çp'Y(M)=[i-?pY(")][^p-^a-+-{^a-«r)S&Yf")].
LXIII.
(I)
— î^— - -j =p("-hWoi)-ea=— Ca"
5po(M)$Ya(") = -r -■- 'x = C" — Ça"»
(«y — ^p)îap(w)îoY(«) = Çp" — Cy"'
a82 CALCUL DIFPfiRBIfTIBL.
(«)
LXIV.
/o^ t /„^^s Sot" W" ^Pr« - ^»t« S<rr« Spr"
(.) M«-^«)= ^5',-irrî»^^ '
LXV.
M«-«)M«-«)= ,-^e,-tl^X)UrU^r-
3 [îoy (« ^- a) + Çoy (m — «)] = ^îoy « îoiy « Spr ^» 3[Çoy(m -+- a) — Çot(w — «)] = ajoya Çay " Spy"» (-*) { 5l[Çpy(w -+-a)-4-Çpy(M— a)] = 25pyaÇpya,
5^[ÎPy(w-t-«) — îpy(w — «)]= — ^(ep — eY)5oytt{aya5oya$(ïy«,
LXVI.
(i) Çoat(wUwi,Xw3)= XÇoafy wijtojj,
(3) ?Py(a|X(Oi, X(D,)= ?pyf-^ COi,U)sj.
FORMULES.
a83
LXVII.
(I)
(>)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
sn
( M, A:) = /ei— «3 ?03 [ , Wi, 01, ) ,
i£
w,,a>3 ,
)
cn(M,X:)= Çi3 . ,
dn(w,A:)=Ç,3( -p^=^— «i»"»)
sn ( a vôi — C3, A:; = ■ , »
/pa — es
y/pu — cy ^pu — Ci
en
(u^ei—eijk) =
dn(M/et— es, A:; = - >
/pw — «s
pw = esH-
^1 — «3
sn* ( a /ëT—ës )
LXVIII.
(I)
(3)
sn'«= cnadnu, en' M = — snadnM, dn'« = — A'snacnw.
LXIX.
(0
(a)
dn'u + A'sn'M = i.
3^4 CALCLL DIFFÉRENTIEL.
LXX.
(0 5n'*w = (i — sn*«)(i-.A»sn«w),
(•^) cn'«« = (i — cn»M) (i — **H- A-«cn«a),
(3) dn'«a = (i — dn«a)(dnïM-î-f-Aî).
LXXI.
('' <^i/ei — fj = K,
(3)
(6)
K=^Sî(olT),
^T
(4) .K'^^aKoix),
(5) ? = «~"^",
•nu = -~ — ) — ^;-,
(7) e„«=vj'!4^
(8) dn«=/Â' )lilZ
Fig. I
z = sn(a, k).
JC"!
TK'O
OC=-oo
x>.»-i
«oo
U/z2K
w-3^
X---I
X"0
Fig. a.
5 = cn(a, k).
x.*/
Fig. 3.
3 = dn(u, X:).
s-OO
X»7
Fig. 4.
s = p(m I Wt, tOs).
l/.s2Ci),
a86 CALCCL DIFFfitBNTIBL.
LXXll.
sn (—.11, A) =— sn(a, X), (i) l cn(— M, A)= cn(M. X),
dn( — u,k)= dB{u,k)f
sn (tt -H aK) = — sna, (2) { en (11 -+- 2K) = — en M,
dn(a-+-2K)= dnii,
sn(a -h 2«K') = snu, (J) { en (w H- 21K'; — — cnii,
dn (m -+- a«K') = — dna,
sn (m -+- aK -+- 9. iK') = — snw, {\) { en (a -+- aK -h îiK') = cni/,
dn(a H- 2K -h 21K') = — dnw,
sn(M4- K) = 1 — ^ dna
en tt
(5) / cn(ii-+-K)=-A-'^— ,
dnw
dn(H-+-K) = /:' ,— , V tin u
sn ( M -h « K ) = 7- ,
A- sn II
(h) / cn{a -h iK ) = — - ,
^ A- sn M
j .,.,. . en II
dn ( M -7- I K ) = — I ,
snu
sn(M -h K -f- *K )= T >
A cnu
A' I (7) { cn(ii -i- K -+- iK') = — «
A cnc/
dn(M-f-K-+-«K')=iA'^""
en II
FORXL'LBS. 387
LXXIII.
snucna d |
na -hsnacnu |
dnu |
i — |
lî^ sn*asn*a |
y |
cnw cna - |
— sna dn Msna |
dna |
i — |
A* sn' usa* a |
9 |
ânu dna |
— k^ sn u en u sna cna |
(i) sn(M-f-a) =
(2) cn(w-+-a) =
(3) dn(a-4-a)= ,, , ,
, ,, , ^ , , 91 sn// cna dna
(4) sn(i£-ha)-hsn(i/— a) =
(5) sn(a -+- a) — sn(a — a) =
(6) cn(M -+- a) -hcn(zi — a) =
(7) cn(a-+-a) — cn(w — a)
(8) dn(M-Ha)-h dn(a — a) =
(9) dn(M -ha) — dn(i/ — a)= ,. , ,
^ I — A:* sn*asn'a
I — k^ sn'a sn*a' |
a sna cna dnti |
I — A* sn*i/ sn*a 1 |
9. ma cna |
1 — A* sn^a sa* a' |
— 2 sn^^ dni/ sna dna |
1 — /:* sn*asn*a |
adnwdna |
1 — A* sn* u sn* a ' |
— 2 A* sn M en w sn a en a |
LXXIV.
, . , . , sn*M — sn*a
(i) %n{u->r a) sn{u — a) =
(•2) cn(a-f-a)cn(M — a) =
(3) dn(M-4-a)dn(a — a)= ., . ,
I — A* sn* a sn* M
1 — |
A-2 |
sn*a sn^a ' |
|
rnî |
a - |
- dn^asn'w |
|
1 - |
-A^ |
• sn'^a sn*a |
|
dn« |
a - |
- A* en* a sn' |
u |
aSS CALCUL DIFPÉRRNTIEL.
LXXV.
(0 «iK»'»^ ) = s~; — ; — \'
(3)
(4)
{«)
El^f,-^ =/Âsn(.jKi',A), £l(o,3) = o. El (1.1)=»,
E.(1.I)=/Â. K.(i±-^,^) =
I
(5) EI(»'-f-m-t-nT,t) = EI(f,T),
(6)
El(.4-'..)=-EI(.,x), El(.-.^,x)=gj^^. (7) P^*'^^
(^ = El(t., I), ^ = El(«', 3), ^ = El (,. + «., ;),
<
^ ~ I — J?V*
LXXVI.
(0 H(x)=2r,(il).
(.) e(x)=â»(^),
(3) II.(x) = &.(^),
(4) e,(^) = &,(-^),
I U(x)
<^) """ = 7^0(7)'
(7) <»-=*/*' "ëi^-
FORMULES. 289
LXXVII.
( H (x-himK) = (—i)'^H(x), e (a?-+-amK) = e(ar),
j Hi(ar-h2mK)=(-i)'«Ht(a;), e,(ar h- a/nK) = 61(3?),
Hi(a?-h2mK)= (-i)'»Ht(a;), e,(ar h- a/nK) = 61(3?),
H (ar-*-a/niK') = (— i)'"AH(x), 6 (ar-f-amiK') = (— O^A H,(a?-+-2mtK') = AHi(a?), e,(a?-i-2/ntK') = Aei(a:),
, K' iJr
. m' li TT — miz —
A = e '' "^j
^^ I Hi(a:-f-K)=-H(a7), 6, (a? -h K) = 6(37),
H (x-4-iK') = tBe(a7), e (a?-+-iK') = iBH(ar), Hi(ar-f-tK')= Be,(a7), ei(x-hiK')= BHi(:f),
B = C^ «i « K.
LXXVIII.
H'(^)
LXXIX.
(a) Z(ar-+-aK) = Z(ar),
(3) Z(^-4-atK') = Z(a7)- !^,
(4) Z(-jr) = -Z(a7),
(5) Z{o) = o, Z(K) = o, Z(tK') = 00 (pôle simple; résidu =1). T. et M. — n. 19
290
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Transformation linéaire.
LXXX.
(I)
(2)
(3)
(4)
(5)
L =
v/k,-E, ^i(0|T)
it ÇK, , , / ^ K -J- 6i K'
M
... , / c K -h rf« K'
I L = T L = ûj V El — Ej = TT >
M
/. |
/'. |
||
'• |
cd (-0* A: |
(-1) * k' |
a — 1 (-1) » |
i° |
(-.)';p |
(-1) « *• |
|
1 3« |
-î:^! (-.) ';f |
ai » r |
|
4** |
b + \ i{-x) • *• |
||
S*» |
r// |
a6 |
ft + 1 «(-I) • |
6' |
(-0 • ^ |
/r6 (-1) ^k |
C — t '(-I) ' * |
FORMULES.
291
LXXX (fin)
(6)
8n(u, /). |
cn{Uj /). |
dn(u, /). • |
|
I» |
snii |
cnu |
dna |
snp |
u cnp A " |
I |
|
2** |
dn-p |
||
3» |
1. ** A: sn-y a: |
||
u u "" ik- |
U |
||
4^^ |
|||
u sn -r f ... |
I |
dnff |
|
5° |
en -r |
i |
|
u cn-T |
li cn-r |
||
ik '* 1 " |
I |
u en -75- |
|
6» |
an -T7 |
(7)
El [(8 - pT)i», T] = El [p, x] i-«r+«T-»-S-i,
Y -+- Sx T ^ A
Pt
«K^— Py = «. P/>a«>.
\
993 CALCUL DlFPfiBBNTIBL.
Transformation de Landen.
LXXXI.
(1) V'?=/i ^
t
• ««>1 / 'TC û.- , , I -h ^' ^ K
(3) L = ^v'"t-K,= -&l(o|>T} = ^-K=^.
(4) L'=^L = a^L = (n-*')K'=^',
(5) M = *^'" - '* - ^IMlI _ _!_.
♦/il^^, a>î(oh') >-+-*'
LXXXII.
u u sa -p en p
(I) sa(a, /) = (I -f- A:') '"^ ^'"^ >
dn Tj
I — (l H- k') Sn* î-r
(•2) en («,/)= ,
dn
i_(i_A-')sn
14- A:'
u
1
(3> dn(«,/)= "^*'
dn "
i-H*'
(l) )/^ = /ï
<3)
FORMULES. ' 293
Transformation de Gauss.
LXXXIII.
V*
/r+Â:
(4) A'=AA = -!^A=i±*K'=i^,
2( 2K a 2^
(5) Af= }(IEIl = jjMjO. ^ 1 .
LXXXIV.
sn-
(i) sn(a, X) = (n-X:) — ,
, u
iH- A: sn* =■
i-h a:
u . u en r an
(2) cn(a, a)= ,
i-h k sn*
I — ksn*
i-^k u
(3) dn(M,X)= '"^^
I -+- A: sn*
i-h A:
Multiplication.
LXXXV.
2 snttcnudnu
I — A:* sn* u en* M — sn*M dn*M
(i) sn2a = -.- — - — ,
I — A:* sn*[
(2) cn2U =
(3) dn2ii =
I — A:* sn* li
dn* u — A:* sn* u en* u I ~ A:' sn* a
ao^ CALCUL DIFFÉBBNTIEL.
(4)
(5)
Transformation d'ordre impair.
LXXXVI.
<■> =-7i;Trîî-a}(o|n.)-* 11^"U V
S--
-- 3^4(0 In-u)
(r = ri, Tj, . .., r„_i).
n — 1
'■^ -J- M
v/ei— E3
r=l
(r) ^ C)
/r = r,, rj, ...,r„_iy
(7) L'=--.-L= ja),/E,-E, = -jj^-
FORMULES. 295
LXXXVII.
(2) en ( iT' O = en w I I — ^ '— ,
(r)
dn(a-+-a,.,o
(r)
(r = Tj, Tj, . . ., r^-i ).
sn*a I —
/ u ,\ i "f~r sn^a^ 0
^' \M/M XM. i — A:*sn*ar,osn*a
dn«a;.,o , (5) en ( ^, / = cnw I I ^ 7- — -— ^ -— ,
, V . I — ^'* T-^ — ^ sn* li
<6) dn(^, /) -dn«n /■« » "° » '
' \M / XX I — Al* sn^rtr 0 sn»w
/ u ,\ X: M v^
(7) sn f -^-, l\ =z — 2^sïï{u^ia,.,^\
(8) en {~^, l\ = ^2cn(M-h2ar,o),
(9) ^^\W 0 = ^ 2dn(M-i--2a;.,o),
(r)
(r = To, /'i, . . . , r,t_i).
2g6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(•2)
(6)
LXXXVIIL
«0,/- = -- '^ h
n
t. l'a- W
(i) ^ = -
VB', — E, '\ 171/ , TT », lir \
7^'i[(;iï)=*'n«.(^".j.
(5) ^= /gj^g». ^ TT cnqp.r ^ V^ TT i
i/s; — k; 11 dnao,rSnao,r (^/x)'» 11 snao,/
^=î^»(H«)='"'^"'""''=^'
(7) A'= - -T A = -r — /e',— b', = -^r^«
POBMDUS. 397
LXXXIX.
«0.r=^K'.,
(r)
(r)
I —
<<> " {W ^) = h ""*Il^-kuTaZ''sn*u
(r)
dn<ao,rSn>tt
(5) cn('^,x)= cn«TT .. ^"•°'- .
\Af / jLm.1 — A:*sn'ao,rSn*i£
A:*cn*ao,rSii*i£
^ \M I JLli — A:»sn«ao.rSn>M
(r)
\ > /
(7) ^^\jd' V ^ ~3r2 S'^("-*-^^o,r),
(r) n — 1
(8) (~i) • cn/^, Xj =-^2cn(M-+-2ao,r),
(r) n — 1
(9) (-1)' dn^^> Xj = ilf 2dn(ii-+-2ao,r),
(r = To, ri, Tj, . . . , Trt-t).
qqS Calcul difféructibl.
Multiplication,
xc.
2fxK-+-2vK't
^M = ^ '
(I)
(3)
(— 1) • 8n(/ia) = (-iy''' (v^*:)"* * J^| sn(t* h- ajt,v),
(•2) cn(/iu) - ( -^ ) TTcn(M-+-ap,,v)
S" , i-T
dn(/itt) = (- ir /-?7:An.-ill dn("-+-«^v),
fi = o, ri, r,, . . . , Tn-i ; v = o, ri, r,, . . . , r„_i 1 en particulier ri = 2, rj = 4i • • • » ''«-t = 2(/i — i) J
sn>tt I —
(4) «°(^") = ^^""lI,-X»sn«a»vSDta
(IX,V)
dn' a(i.,v sn*tt
I —
ncn'auL,v Ï3^'sn«aa.vsn«u
(li,V)
A:'cn«apL,vsn*a
1 —
1 I I an*aMv
(6) «^"("») = «'""ll,-;i.sD'a„.vsn««
(li.,v) n — 1
(7) 7"^^-'^'"= Il*»*«l'.v.
i3r-u-
(8) ( î^r- ) =||ciHa^.v,
t|l.v)
— o, V = r,, rj, ...,r„_4 \
1
±r
FORMULES. 2gg
XC (fin).
(lo) /i snCna) = \ sn(M -+- 2ar,j),
(r,s)
n — \
(II) ( — i) '-^ 71 cn(AiM) = N^ cn(M -h 2ar,f ),
» — 1
(l'i)
(—1) ' ndnjnu) = ^^ dn(M-r- 2ar,f),
I '•, .<)
/ r — /'o, /*!, , . . , ffi-l ; 5 — 5o, Ji, . . . , 5/1—1 \
\ Cfi particulier ; ry ~ ^q = o, ri = 5, = i , . . . , r,i_i = s„-x = n — i/
FIN DU TOUE II.
19803 l*arl«. — Impr. GAUTUIER-VILLARS ET FILS, quai dek (;randf.Auyttttins. li.
\
I/-1 ^^
1
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THB NEW YORK PUBLIC LIBRARY ! REFERENCE DEPARTMENT ThU book ■• under no ciroumilancci to be t>kea from Ibe Bnildintf |
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