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MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTßASS.

MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTRASS.

HERAüSeEGEBEN

UNTER MITWIEKÜNG EINER VON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE

DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

ZWEITER BAND.

ABHANDLUNGEN II.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER. 1895.

Übersetzungsrecht vorbehalten.

3

INHALTS -VERZEIOHNISS.

Seite

1. Tiber eine Gattung reell periodischer Functionen 1 — 18.

(Monatsberichte der König!. Preuss. Akademie der Wissenscliaften zu Berlin, 1866, S. 97—115, 185.)

2. Zur Theorie der büinearen und quadratischen Formen 19 — 44.

. (Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1868, S. 310 — 338.)

3. Über die allgemeinsten eindeutigen und 2w-fach periodischen Functio- nen von n Veränderlichen 45 — 48.

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1869, S. 853 — 857.)

4. Über das sogenannte Dirichlet'sche Princip 49 — 54.

5. Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functio- nen von mehreren Veränderlichen 55 — 69.

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1876, S. 680 — 693; Abhandlungen aus der Functionenlehre (Berlin 1886), S. 165—182.)

Anmerkungen 70.

6. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen

Werth des letzteren einen bestimmten Dififerentialquotienten besitzen 71 — 74.

7. Bemerkungen zur Integration eines Systems linearer Differential- gleichungen mit Constanten Coefficienten 75 — 76.

8. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen 77 — 124.

(Mathematische Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1876, S. 11 — 60; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 1—52.)

9. Untersuchungen über die 2r - fach periodischen Functionen von r Ver- änderlichen 125 — 133.

(Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 89 (1880), S. 1—8.)

Anmerkung 134.

10. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränder- lichen sich beziehende Sätze 135 — 188.

(Autographirt, Berlin o. J. (1879); Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 105— 164.)

■VI INHALTS -VERZEICHNISS.

Seite

11. Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G-, Mittag -Leffler 189—199.

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 707 — 717; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 53 — 6G.)

12. Zur Functionenlelire 201—223.

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 719 — 743;

Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 67 — 101.)

Anmerkungen 224 — 230.

Nachtrag 231—233.

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1881, S. 228— 230;

Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 102 — 104.)

13. Aus einem bisher noch nicht veröffentlichten Briefe an Herrn Professor Schwarz, vom 3. October 1875 235—244.

14. Zur Theorie der elliptischen Functionen 245 — 255.

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1882, S. 443 — 451.)

15. Zur Theorie der elliptischen Functionen 257 — 309.

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1883, S. 193 — 203, 265—275, 1271—1297.)

16. Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen . 311 — 332.

(Nachrichten von der Künigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Jahrg. 1884, S. 395—414.)

Zusätzliche Bemerkungen von Herrn H. A. Schwarz 332 — 339.

(A. a. 0. S. 414—419, 516—519.)

17. Zu Lindemann's Abhandlung: >Über die Ludolph'sche Zahl« .... 341 — 362.

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885, S. 1067 — 1085.)

Anmerkung 368.

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der "Wissenschaften vom 22. Februar 1866.)

1.

Geometrische und mechanische Probleme führen nicht selten auf eine Differentialgleichung

m = ^(^).

in der die von einander abhängigen Veränderlichen t, x reelle Grössen be- deuten und F eine gegebene eindeutige Function von x ist.

Ein besonderes Interesse hat der Fall, wo x eine periodische und stets endlich bleibende Function von t ist. Dies tritt ein, wenn folgende Be- dingungen erfüllt sind:

1) Es verschwindet F(x) für zwei reelle Werthe a, b von X]

2) der Quotient ^~^,\~ , welcher mit „ , , bezeichnet werde, ändert

^ J* {X) r^ (X) '

sein Zeichen nicht und wird nicht unendlich, so lange x in dem Intervall a ... b bleibt;

3) für irgend einen bestimmten Werth von t ist der zugehörige von x in diesem Intervall enthalten.

Man setze nämlich, b > a annehmend und unter v eine neue reelle Ver- änderliche verstehend,

a + b a—b X = — g— + — g— cos«,

2 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

SO ist

x — a = — 2 — (1 — cosü), 0 — x = — - — (1 + cosü),

{x-a){b-x) = [--^) siii'^. dx a — h. dv

und es wird also die gegebene Differentialgleichung befriedigt, wenn man v so bestimmt, dass

dv »/^ /a + 6 a — h \

ist, wobei der Quadratwurzel ihr positiver Werth beigelegt werde. Nun werde ferner

^ (a + h a — h \ ., j., . FA — 5 1- — 2 — cos vi mit f{coav)

und das Integral

/, mit t}i(«)

„ yf(cosv)

bezeichnet, so ist ^{y) eine Function, welche, wenn v beständig wachsend alle reellen Werthe von — oo bis +cxd durchläuft, ebenfalls stetig wachsend von — oo in +oo übergeht. Daraus folgt, wenn man

setzt, dass zu jedem reellen Werthe von w ein Werth von v gehört, der sich stetig mit jenem ändert; oder mit anderen Worten, dass es eine ganz be- stimmte continuirliche Function <f{w) giebt, die für v gesetzt die vorstehende Gleichung befriedigt. Nimmt man also, unter t eine beliebige Constante verstehend,

an, so hat man

dv

t + -z = <lf{v), dt = 'lf'{v)dv, -^ = \/f{ooav), und es wird die Differentialgleichung

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. Ö

befriedigt, wenn man

setzt.

Es lässt sich aber auch leicht zeigen, dass dieser Ausdruck jede Func- tion darstellt, die unter den gemachten Voraussetzungen der Differential- gleichung genügt. Denn es ist stets möglich, t so zu bestimmen, dass für einen gegebenen Werth t^ von t nicht nur x einen in dem Intervall a ... h willkürlich angenommenen Werth x^, sondern auch -^ ein vorgeschriebenes Zeichen erhält. Es folgt nämlich aus dem vorstehenden Ausdrucke von x

dx h — a . r ,, ST ,,, s

-^ = ^— sm [9 {t + t)] cp (^ + x) ,

und es hat daher, da ^'{t + x) = -^ positiv ist, sin[<p(^ + T)] stets dasselbe Zeichen wie ~. Man braucht daher, um den angegebenen Bedingungen Ge- nüge zu leisten, nur einen Bogen v^ so zu bestimmen, dass

a + h a — b wird und zugleich sinv^ das Zeichen von (-^j erhält, und dann

zu nehmen, so dass v^	= 9(^0+'^) wkd.
Aus der Formel
	d'!^{v) _ dv	1
	V/(cos v)
ergiebt sich	d<]> {v + 2ir) dv	d'3i>{v) dv '

und hieraus

WO (1) eine positive Constante bedeutet. Da nun

t + ^ = <^{v), so folgt

< + 2ü» + T = <!^(v + 2t:),

<p(f+2(ü + T) = <f) (< + t) + 2it ;

4 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

und es ist daher

a + h _ a — h ^ ,^ „

« = — 2— + -g— cos [cp (# + t)]

eine Function, die ihren Werth nicht ändert, wenn t um ein beliebiges Viel- faches von 2(0 vermehrt oder vermindert wird. Ferner wird

für t = — t: w = 0, X = a;

für ^ = — T + (u: V = TZ, X = h; für t = — T + 2a): v = 2tz, x = a;

woraus sich weiter ergiebt, dass x die Grenzwerthe a, h unzählige Mal erhält, den ersteren für f = — t+ 2i'(ü, wo (wie überall im Folgenden) v eine beliebige ganze Zahl bedeuten soll, und den anderen für t = — t + (2v+1)(u. Auch folgt aus dem in Betreff des Zeichens von -^ Bemerkten, dass x bei einem solchen Übergange von einer Grenze zur anderen beständig wächst oder beständig ab- nimmt.

Aus der Gleichung

<j>(t) + 27t) = <]i{v) + 2<o erhält man, wenn man v = —% setzt und bemerkt, dass

ist,

«^ vf coav) •/.

(0

äx

Jo SjficOäV) Ja SlWy

wo ^F{x) positiv zu nehmen ist.

Führt man jetzt eine neue Veränderliche u = —(t + x) ein, so wird cos« eine gerade Function von u mit der Periode 2tc und kann daher in der Form

cos V = Ai^+ 2-4, cos M + 2A^ cos 2t« -i \- 2Ä„ cos wm H

dargestellt werden, wo .4^, A^, ... Constanten sind, die sich als bestimmte Integrale folgendermassen ausdrücken lassen. Zunächst hat man

■kA„ = I cosü

coanudu.

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 6

Es geht aber, der Gleichmig

« = — (^ + t) = —']>iv)

zufolge, u stetig wachsend von 0 in tc über, wenn v das Intervall 0 ...ir durchläuft, und es ergiebt sich daher, da

^ TZ dv

au = ,

"> \lf (coav)

ist,

dv

A„ = —J cosücos(^.Kt;)j-

\Jf{C03v)

Ganz ebenso erhält man, wenn G(x) eine beliebige, für alle in dem Intervalle a ... b liegenden Werthe von x eindeutig bestimmte und stetige Function ist,

G{x) = Bo + 2B^coau + --- + 2B„cosnu-\ — ,

wo für X der Ausdruck

a + b a — b

H r — cos V

2 ' 2 ZU setzen ist.

Durch partielle Integration erhält man ferner, wenn w > 0 ist,

A„ = — / sin V sin ( — ^ A (v)] dv

G{x) aber kann man stets auf die Form

Co + Gtx cos ü + (?, cos 2« H

bringen und deshalb, da

— / cos vv cos (-^ ^ («)) f'" = — f sin vv sin f — 6 (v)] dv '"•'o \"> / v7(cost>) nitj^ \o)^^-')

b ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

ist, B^ aus den in der Formel

^/'"K^'J^^')-^'^"

2WTC .g

enthaltenen bestimmten Integralen zusammensetzen.

Als ein einfaches Beispiel für die Anwendung dieser Formeln erinnere ich an die Aufgabe, den Radiusvector eines Planeten und dessen Potenzen durch die Zeit auszudrücken, welche von Bessel und Hansen in der hier dargestellten Weise behandelt worden ist.

In den meisten Fällen aber, selbst wenn die Function F{x) eine ein- fache Form hat, sind die Coefficienten A^, B^^ sehr complicirt zusammenge- setzte Grössen, deren direkte Entwicklung aus den aufgestellten Ausdrücken schwierig erscheint. Man kann sie jedoch fast immer durch ein Verfahren bestimmen, welches das Eigenthümliche hat, ohne jede Integration zum Ziele zu führen, und zugleich sehr geeignet ist, eine Einsicht in die Zusammen- setzungsweise der zu entwickelnden Grössen zu gewähren und so auch bei der Ermittelung angenäherter Ausdrücke für dieselben, mit denen man sich oft begnügen kann, wesentliche Dienste zu leisten.

2.

Ich nehme an, es sei die Function F{x) nicht bloss für reelle Werthe von «, sondern auch für alle complexen innerhalb eines die Strecke a ... b in sich enthaltenden Bereiches eindeutig definirt, und so beschaffen, dass F {x) weder Null noch unendlich gross wird. Es wird kaum ein der analytischen Behandlung überhaupt zugänglicher Fall vorkommen, wo dies nicht zutrifft.

Setzt man dann, unter «, /3, §, yj reelle Grössen verstehend,

V = a + ßi, a; = I + Yji, so hat man

a+b a—h

l = — 2 — + — 2 — cos ßt cos K ,

a — h sin ßi .

71= — 2 — r-'"'"-

Hiernach ist, wenn man ß einen bestimmten Werth beilegt, « aber ver- änderlich lässt, der Ort des die complexe Grösse x repräsentirenden Punktes,

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 7

dessen Coordinaten |, y] sind, eine Ellipse mit den Brennpunkten a, i und den Halbaxen -^cos/3i, — ^-^~- Setzt man daher fest, es solle ß stets in dem Intervalle —ß^ — \- ß^ bleiben, « aber alle Werthe von — c3o bis +00 an- nehmen können, so liegt der Punkt x stets im Innern oder auf dem Umfange derjenigen EUipse, die zu dem Werthe ß^ gehört. Diese kann man nun, wenn man nur die positive Grösse ß^ hinlänglich klein annimmt, der die Punkte a, b verbindenden Geraden so nahe sich anschliessen lassen, dass die Function JP, (3) für alle so limitirten Werthe von x die angegebene Eigenschaft besitzt. Wird dann bestimmt, dass \ß\{xj für x = a positiv sein soll, so sind da- durch und durch die im Folgenden stets festzuhaltende Bedingung, dass x beim Übergange von einem Werthe zum anderen nicht aus dem angegebenen Bereich heraustreten darf, \[f1x) und —=^= als eindeutige und continuirliche Functionen von x, und somit auch von v, vollständig definirt. Und da die- selben ihren Werth nicht ändern, wenn ±v + 1vt: für v gesetzt wird, so kann ™^" 'jWt^ ^^^^ if, durch eine für alle jetzt in Betracht kommenden

Werthe von v convergirende Reihe

a„ + 2a, cos v + 2«, cos 2z; + ■ . . darstellen. Setzt man dann

sm S'y a„t; + 2a,sint) + 2aj — ^ — + ... =: i^{v),

SO ist ifiv) für reelle Werthe von v dieselbe Function wie die im Vorher- gehenden so bezeichnete, und somit

Jetzt werde eine Function z von v durch die Formel

11t, , , z = e definirt, so lässt sich zeigen, dass wenn a stetig wachsend von einem be- stimmten Werthe «^ in «„ + 2;: übergeht, während ß unverändert bleibt, der Punkt z eine einfache geschlossene liinie beschreibt, welche ganz innerhalb oder ganz ausserhalb eines mit dem Radius 1 um den Nullpunkt beschrie- benen Kreises liegt, je nachdem ß positiv oder negativ ist, während sie, wenn /? = 0, mit diesem Kreise zusammenfällt, vorausgesetzt, dass der Grenzwerth ß^

8 ÜBER EINE GATTUNG KEELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

hinlänglich klein angenommen werde. Setzt man nämlich

so ist

Tind

3 — p

'!^{a + ßt) = p + qt, e = e .e ,

« • • „ „ „ • sin 2a p = a„a + 2a, cos ßi am a + 2a^ cos 2pj — h'

- „ sin ßi „ sin 2ßi cos 2o; 2 = tto/J + 2a, — r^ cos a + 2«^ r-^^ — + ■

dp

-^ = «0 + 2a, cos ^^ cos a + 2a^ cos 2ßt cos 2« + -

= a,

Für /3 = 0 wird

öp ^_ 1 g'

öä — V/'(cos «) ' J ~ """ ~ IC

und es sind also beide Grössen positiv, woraus erhellt, dass bei hinlänglicher Kleinheit von ß^

~- stets positiv

sein und

q das Zeichen von ß

haben wird. Dann geht, wenn p^ der Werth von p für « = «„ ist, — be- ständig wachsend von — in ^^+2tc über, während u das Intervall a^ ... a^+ii: durchläuft, und es dreht sich die den Nullpunkt mit dem Punkte is verbin- dende Gerade beständig im positiven Sinne. Ferner ist

IT

2

e "' = 1, je nachdem j3 = 0;

womit das Behauptete bewiesen ist.

Man stelle sich nun vor, es durchlaufe v den Umfang des durch die

vier Punkte

-ß,i, 2T.-ß,i, 2K-\-ß,i, ß,i

bestimmten Rechtecks in dem durch diese Aufeinanderfolge festgesetzten Sinne, so beschreibt der Punkt s zuerst von einer bestimmten Stelle z^ aus im po- sitiven Sinne eine einfache geschlossene Ijinie (?J, die ganz im Ausseren des eben genannten Kreises liegt, geht dann dem Nullpunkt sich nähernd zu einer innerhalb des Kreises liegenden Stelle z^ über, beschreibt von da aus,

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 9

stets innerhalb des Kreises bleibend, im negativen Sinne eine zweite einfache geschlossene Linie {IJ, und kehrt darauf von 0^ nach 3^ zurück, denselben "Weg, den er beim Übergange von 2^ zu 2^ genommen, im entgegengesetzten Sinne durchlaufend. Nach einem bekannten Satze entspricht also jedem Punkte 0 in dem von den Linien l^, \ begrenzten Ringe ein Punkt v des Rechtecks, der mit ihm durch die Gleichung

— it(v)

(U

z ^= e

verbunden ist; wobei jedoch von den beiden Seiten des Rechtecks, die durch die Punkte 0, 2tc gehen, eine ausgeschlossen werden muss. Und da z unver- ändert bleibt, wenn v + 2vtz für v gesetzt wird, so erhält man aus diesem einen Werthe von v alle übrigen, die für denselben Werth von s die vor- stehende Gleichung befriedigen, wenn man zu ihm alle Vielfachen von Itz addirt. Hieraus folgt nun, dass e^'' eine eindeutige und continuirüche Function von z ist.

7t

2

Nun sei q der grösste Werth, den e '" , nachdem man ß = ß^ gesetzt hat, annehmen kann, so ist nach dem Vorhergehenden p <c 1 und zugleich

7t 1 ä

— der kleinste Werth von e '" , wenn ß = —ß^ genommen wird. Legt man also der Veränderlichen z nur solche Werthe bei, die dem absoluten Betrage nach nicht kleiner als q und nicht grösser als — sind, so gehören diese alle dem von den Linien l^, l^ begrenzten Bereiche an, und zugleich lässt sich als- dann e^ in eine Reihe

c^ + c^z +c^z'' +•••

entwickeln. Daraus folgt, wenn man —v für v, mithin — für z setzt,

e'""' = c, + c,z-' + c,z-' + --. + c[z +c>^ +•••,

und man hat daher die Gleichung

cosv = A^ + A,(z + z-') + A,(z^ + z-^) + ---,

wo

A = c„, A„ = "2 (c« + c;)

n.

10 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

ist, für jeden Werth von v, bei dem der absolute Betrag von

e

nicht ausserhalb der angegebenen Grenzen liegt.

Setzt man nun

V = «pO + t),

wo cp(^ + T) wieder die oben definirte reelle Function von t bedeutet, so ist COS 4) == -4. + 2Ä. cos — (i + t) + 2A. cos — (< + t) H — ,

(O (1)

und daher sind A^, A^, A,^, ... dieselben Grössen wie vorhin. Es geht aber aus der vorstehenden Deduction hervor, dass die durch die Gleichvmg

a + b a — b

X =

+ -^(j„ + 2^.cos-^(< + t) + ...)

2

definirte Function von t nicht nur für reelle Werthe dieser Grösse der Diffe- rentialgleichung

genügt, sondern auch für jeden complexen Werth, dessen zweite Coordinate — d. h. der reelle Theil von - — ihrem absoluten Betrage nach eine ge- wisse Grenze nicht überschreitet. Diese kann nicht grösser pIs -^ lg (—1 sein ; doch ist dies nicht nothwendig ihr wahrer Werth, indem durch das Vorher- gehende nur nachgewiesen wird, dass es überhaupt eine solche Grenze giebt. Je grösser aber dieselbe ist, um so stärker convergirt die Reihe für x bei reellen Werthen von t. Aus der Gleichung

X =

2 oder

wo

_ g + i a-b . „ _ a-b .

<^o — — ä ' ö — -^0) '-'» — — ö — ^i

2

'■nJ

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 11

ergiebt sich jetzt, wenn wir wieder x und s als Functionen von v = u + ßi

ansehen, folgende Bestimmung der Coefficienten C^. Man gebe ß irgend einen

bestimmten Werth, bei dem der absolute Betrag von ^ für jeden Werth von

a zwischen den Grenzen g und — bleibt, so ist

e

/ z~^-^da = 2m, / ^-""'-3— rf« = 0, wenn w > 0.

Daraus folgt

r^^ 1 dz

0 ^ ^^

^^ 1 dz 0 dv

und daher auch

27Ti J, 2 ^ ' z dv

Nun ist aber -^{z' + z ") als Function von x betrachtet eindeutig. Denn hat man für einen bestimmten Werth von x einen der Gleichung

a + 6 o — &

X = — h —5 — cos V

genügenden Werth v, so sind die übrigen in der Formel ±v+2vk enthalten; für alle diese aber hat, da

<\i{±v + 2vk) = ±<\i(v) + 2viu

ist, Y(/ + ^f"") denselben Werth. Ferner ist

1 dz Tzi l Tri 1

^ «^« "> \Jf (cos v) "> ^F,{x)

b — a

dx = — - — smvda = ± Sj{x — a){b — x) da,

wobei der Werth der Wurzelgrösse folgendermassen fixirt werden möge.

Für einen Punkt x ausserhalb der Strecke a ... b wird -^^ niemals eine

x—o

reelle negative Grösse, und es ist daher für einen solchen \/{x—a){b—x) völlig bestimmt, wenn festgesetzt wird, es solle

\J{x-a){b-x) = »(«-a)V^3^

12 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

und der reelle Theil von 1/ ^^^^ positiv sein. Dasselbe gilt von V^(a;), wenn

man

VF(^) = ^{x-a){b-x).\pE\(x)

nimmt und \ß\(x) so fixirt, wie oben angegeben worden. Nun ist für den Punkt, in welchem die betrachtete Ellipse die über b hinaus verlängerte Strecke a ...b schneidet, a = %, also sinv = —sinßi, und daher stets

b—a ( + Sj{x—a){b—x), wenn ß negativ,

— 5— sin(a + /3i) = ]

^ [ — y{x—a){b—x), wenn ß positiv,

indem es, weil \/{x—a){b—x) und sin(a + /3«) sich stetig mit « ändern, ohne jemals zu verschwinden, hinreicht, dass diese Zeichenbestimmung für einen Werth von « als richtig nachgewiesen wird.

Dieses vorausgesetzt, gebe man ß irgend einen negativen Werth, so dass die zugehörige Ellipse, wie aus den obigen Ausdrücken von |, v] zu ersehen ist, von einem Punkte in ihrem Inneren aus betrachtet im positiven Sinne beschrieben vpird, wenn « von 0 bis 2tc wächst. Dann erhält man, wenn man y(.8r" + ^~"), als Function von x aufgefasst, mit P{x^n) bezeichnet,

xP(x, n)dx

^"~ 2^/"

s^Fix)

wo sich die Integration im positiven Sinne über alle Punkte der Ellipse zu erstrecken hat, an deren Stelle jedoch, was wohl zu beachten ist, jetzt jede andere einfache in sich zurücklaufende und die Punkte a, b in demselben Sinne umschliessende Linie treten kann, wenn sie nur ganz in dem Bereiche liegt, für dessen Punkte F{x) die oben an- gegebene Beschaffenheit hat.

Dieser Ausdruck von C„ erweist sich nun in vielen Fällen zur Berech- nung dieser Grösse sehr brauchbar. Angenommen z. B. es gelinge, -7===- für alle einem einfach begrenzten, die Strecke a...b in sich enthaltenden Bereiche angehörigen Werthe von x durch eine Reihe

G{x,n) + G{x,n) + Q{_x,n)-\r---,

deren Glieder sämmtlich ganze Functionen von x sind, darzustellen; so er-

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 13

giebt sich zunäclist *

unter der Bedingung, dass jede einzelne Integration auf die eben angegebene Weise ausgeführt werde. Da aber Gr{x,n) eine ganze Function von x ist, so kann man zur Bestimmung von

/G{x,n)xdx \J{x-a){b^

den ursprünglichen Integrationsweg durch irgend einen Kreis ersetzen, der die Punkte a, b umschliesst, wobei es gar nicht nothwendig ist, dass die Reihe

G(x,n) + G{x,n) + ---

für alle Punkte desselben «convergirt. Ist nun c der Mittelpunkt des Kreises, so kann man femer seinen Radius so gross wählen, dass für alle Punkte des Umfangs

\J{x-a){b-x)

sich nach ganzen und positiven Potenzen von -^^j entwickeln lässt, wobei das Anfangsglied ^, _ . sein muss, weil

\/{x-a){b-x) i

für alle reellen Werthe von x, die >b sind, positiv ist. Dann ist aber der

Werth des Integrals gleich

;. xG(x,n)

^J xG(x,n) X

\V(^-a)(6-a;)/(a;_c)-i

und somit

xG(x,n)

'' /(x-c)-

C = — "S ( xG(x,n) \

wenn hier für die Entwicklung dieser Function nach Potenzen

\/(x-a)ix-b) ^

von — ^, in der das Anfangsglied — — ist, gesetzt wird.

14 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

Ganz ebenso ergeben sich die oben mit B^,B^,... bezeichneten Coeffi- cienten, wenn nur die Function G{x) ebenfalls für alle complexen Werthe von X innerhalb eines die Strecke a . .. b enthaltenden Bereiches eindeutig definirt und stetig ist. Man hat dann

B„ =

1 /• G{x)P{x,n)dx _ TT „ / G{x,n)G{x) \ 2^J WW) ~ '^^\W^W^)ix-c)-^

Nimmt man in dieser Formel (t(«) = 1 und n = 0, so erhält man noch

^ A\J{x-a)ix-b))(^^_cr''

wobei zu bemerken, dass

V-F.(x) ;.

ist.

Entwicklungen der Function , — von der Etngegebenen Form existiren

aber stets. Dies geht schon daraus hervor, dass ja

1 e" + e-"

als Function von v betrachtet für alle complexen Werthe dieser Grösse, bei denen ß zwischen —ß^ und ß^ liegt, durch eine Reihe

bg + 2ö, cos V + 2&2 cos 2v-\

darstellbar, coswv aber eine ganze rationale Function von x ist. Ebenso ist eine Entwicklung nach Kugel-Functionen mit dem Argument ^r^~ möglich, die für alle Werthe von x innerhalb einer Ellipse mit den Brennpunkten a, b convergirt. Wenn ferner F^{x) für alle Punkte im Inneren eines die Strecke a ... b umschliessenden Kreises die vorausgesetzte Beschaffenheit hai;, so lässt sich die in Rede stehende Function auch nach ganzen Potenzen von x—c entwickeln, wo c den Mittelpunkt des Kreises bezeichnet, und dann er- hält man vermittelst der vorstehenden Formeln die einfachste Bestimmung der Grösse C . Alle diese Reihen werden sich aber am einfachsten aus einer

n

linearen Differentialgleichung, der

P{x, n)

sß\W)

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 15

genügt, herleiten lassen, zumal wenn, wie das oft vorkommt, F(x) eine ratio- nale Function von x ist. Aus der Gleichung

is" + z-" = 2P{x,n) erhält man nämlich, da

ist,

de « , , , . Tri dx

,, _„ 2u) dP{x,n) .rPTT—s

Z" — Z " = r ^--\JF(X),

nm dx ' ^ ' (u dP{x,n)

^ ' m:% dx » ^ '

Der Wurzelgrösse \/F{x) müssen hier ihre beiden Werthe beigelegt werden, indem ^ als Function von x zweiwerthig ist. Daraus folgt weiter, wenn man jetzt P, F, F', F" statt P{x, n), F{x), F\x) F"{x) schreibt,

dx

oder auch

dP

VFs(V^^)-(^)^. = »-

Da (};(t?) =: 0 ist für v = 0, und '^(v) = (o für v = tc, so hat man

Pia,n) = 1, P{b,n) = {-!)",

so dass die beiden Constanten, welche die allgemeine Lösung der vorstehenden Differentialgleichung enthält, bestimmt werden können.

Man kann aber, statt die Functionen P(x, n) und , einzeln zu ent- wickeln, das Produkt derselben vermittelst einer ähnlichen Differentialglei- chung direct bestimmen. Bezeichnet man nämlich

Pix, n)

W¥)

mit R(x,n) oder i?„

16 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

80 hat man

^ dx dx 2

Wird ferner, w > 0 angenommen , gesetzt, so erhält man aus der zweiten Gleichung für J^^

oder

-^^^■^-(^K = ».

also dieselbe Gleichung wie für i^ selbst. Da nun

dx xn-Kj dxy dx )

ist, so ergeben sich aus den Formeln

0„ = -5— f xR{x,n)dx, B„ = —— f G{x)R(x,n)dx

durch partielle Integration noch die folgenden:

^" = -^fQ(.^>^)d^> ^n - -^J0'{x)Q{x,n)dx.

Nun hat man

x>/ N G{x,n)

\/(x-a){b-x) '

Q{x,n) = H{x ,n)\j{x—a){b— x)

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN. 17

ZU setzen und für G{x,n), H{x,n) Entwicklungen von der Form

G{x,n)+G{x,n)+G(x,n) + ---, E{x, n) + H{x, n) + U{x, n)-\ ,

Ol Ol

wo H, H, ... ebenso wie G, G, ... ganze Functionen von x bedeuten sollen, aus den vorstehenden Differentialgleichungen abzuleiten; worauf man dann ausser den schon vorhin angegebenen Ausdrücken von B^, C^, wenn n > 0 ist,

C„ = — S (h(x, n) \/{x-a){x-b)]

'(x—c)~

B„ = ^'EIg' (^) H{x, n) \j{x-a) («-6))

{x-cy

erhält, in welchen Formeln für \j{x—a){x—l) die mit x—c anfangende Ent- wicklung dieser Function nach fallenden Potenzen von x—c zu setzen ist.

Hierbei ist noch zu bemerken, dass man zur Entwicklung der Functionen G{x,n), H(x,n), welche zur Abkürzung mit G„, H^ bezeichnet werden sollen, auch die Gleichungen

ix-a)(x-b)^ + {x-^)H„+G^ = 0,

anwenden kann, welche aus den vorhergehenden Gleichungen

dQ„

dx

dB.

■K - 0,

^^+l^'^.+(v)«. = «

sich ergeben; oder auch die Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich aus ihnen für jede einzelne Function ableiten lassen. Zur Constanten- Be- stimmung hat man dann

und, wie aus der ersten Differentialgleichung selbst folgt,

E{a,n) = - ^-p=, H{h,n) = (zL^)" -^^ .

n. 3

18 ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

Alle diese Differentialgleichungen sind besonders brauchbar in dem schon erwähnten Falle, dass sich ^, G^, H„ nach ganzen positiven Potenzen von x—c entwickeln lassen. Namentlich erhält man, wenn F eine rationale Function ist, und daher für die zu entwickelnde Reihe, z. B. für fi^, sich eine Differentialgleichung

in der L, M, N ganze Functionen von x sind, finden lässt, zur Bestimmung ihrer Coefficienten Recursions-Formeln von möglichst einfacher BeschaflFenheit. Es kann jedoch alsdann vortheilhaft sein, zunächst für P(x, n) eine Ent- wicklung

Ol

P(x,n) + F{x,n) + ---,

0 1

in der P, P, ... ganze Functionen sind, herzustellen, so dass

/

G{x)Pi^,n)^^^

VW)

wenn auch G{x) eine rationale Function ist, ein vollständiges Abel'sches Integral wird, zu dessen Bestimmung es besondere Methoden giebt. Aus den obigen Formeln für ä", s~" geht noch hervor, dass

dP(x 1) ist. Man kann daher P(x, n) aus P(x, l), — ^^' , F(x) zusammensetzen. In

den meisten Fällen wird es aber einfacher sein, P{x, n) vermittelst der obigen

DiflFerentialgleichung direct zu bestimmen, da man ja nur für die in der

Entwicklung von P{x, 1) vorkommende Grösse — überall — zu setzen hat.

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

(Aus dem Monatsbericht der Berliner Akademie der Wissenschaften vom 18. Mai 1868

mit einigen Veränderungen abgedruckt.)

1.

Es seien zwei bilineare Formen derselben 2w Veränderlichen (x , ... x und i/,, ... yj gegeben:

(1.)

«ff

Q = ^B„.x„y,,

wo «, /3 — wie überhaupt in dieser Abhandlung die ersten Buchstaben des kleinen griechischen Alphabets — Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... n bezeichnen. Die Determinante der Form

pF + qQ,

wo p, q unbestimmte Grössen bedeuten, d. h. die Determinante des Systems

( PAi + 2-Bii , • • • PAn + i^m

(2.)

{ PAi + 2-ß«! > • • • PA» + <lBn» ,

welche ich, um auf ihren Ursprung aus den Formen P, Q hinzuweisen, mit

[P,Q]

bezeichnen will, ist dann eine homogene ganze Function w*^" Grades von p, q, und kann — wenn man von dem singulären Falle, wo ihre Coefficienten sämmtlich gleich Null sind, absieht*) — als ein Product von n Factoren, die

*) Dieser Fall ist von mir nicht behandelt worden, weil ich wusste, dass derselbe zur Zeit, als ich die vorliegende Abhandlung schrieb, von Herrn Kronecker einer eingehenden Untersuchung unterworfen wurde. (Vergl. die betreifenden Abhandlungen des Herrn K. in den Monatsberichten der Akademie.)

3»

20 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

homogene lineare Functionen von jo, q sind, und einer von diesen Veränder- lichen unabhängigen Grösse dargestellt werden. Dabei möge, um diesen Aus- druck von [P, Q] zu einem völlig bestimmten zu machen, ein Paar besonderer Werthe {g^ h) von {p, q), für welche [P, Q] nicht verschwindet, nach Will- kür angenommen und festgesetzt werden, dass jeder einzelne der genannten n Factoren für p =^ g, q = h den Werth Eins erhalten soll.

Dies vorausgesetzt, sei ap + bq irgend einer dieser Factoren, und l der Exponent der höchsten in [P, Q] aufgehenden Potenz desselben. Ferner be- deute r' den Exponenten der höchsten Potenz von ap + bq, durch welche alle aus den Elementen von [P, Q] gebildeten partiellen Determinanten (w — x)'" Ordnung — homogene ganze Functionen (w — x)*™ Grades vom p, q, die kiu'z Unter - Determinanten von [P, Q] genannt werden mögen — theil- bar sind.*)

Jede Determinante (w — x + l)*" Ordnung des Systems (2.) kann dargestellt werden als eine Summe, in welcher jedes einzelne Glied das Product aus einer Determinante (w — x)*" Ordnung und einem Elemente von [P, Q] ist. Ein gemeinschaftlicher Theiler aller Determinanten (w — x)'" Ordnung muss daher auch ein Theiler aller Determinanten der (w — x + l)'™ Ordnung, und somit überhaupt aller Determinanten von höherer als der (w — x)**" Ordnung sein. Daraus folgt, dass wenn von den Zahlen 1,1',... irgend eine gleich Null ist, alle folgenden es ebenfalls sind. Da femer die Ableitungen einer Determinante (w — x + l)*" Ordnung nach p und q sich darstellen lassen als Summen, in denen jedes Glied das Product aus einer Determinante {?« — x)*" Ordnung und einem Coefficienten von P und Q ist, so muss /'""">?*' sein, wofern nicht T" = 0 ist. Hiernach bestehen, wenn in der Reihe der Zahlen l, V, ... die letzte der von Null verschiedenen den Index {r — \) hat, die Un- gleichheiten

(3.) ?>r>--->r-">o.

Setzt man daher

(4.) e = 1-1', e' = l'-l", ..

*) Die Bezeichnung Z<«' ist in dem Sinne zu verstehen, dass Z"" = l, Z'" = V, P" = l",

Zim THEORIE DER BILINEABEN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

21

so sind e, e', ... e"^ " positive Zahlen, und man hat

(5.) (ap + h) = iap + bqf(ap + bq) ...(ap + bqf .

Jeder einzelne der so definirten r Factoren von

{ap + Iq) ,

(also {ap + bqf selbst, wenn r = 0 ist) möge ein Elementar-Theiler der Determinante von pP + qQ heissen — ein Name , dessen Einführung die folgenden Untersuchungen rechtfertigen werden. Hiemach ist, wenn

{a,p + b,q)'\ {a,p + \q)'\ ... (a^p + b^qf^

sämmtliche Elementar-Theiler von [P, Q] sind,

(6.) [P, Q] = C{a,p + b,qf\a,p + b,qt...{a^p + b^qfo,

wo C den Werth von [P, Q] für p = g., q = h bezeichnet. Die wesentliche Bedeutung aber, welche gerade diese Zerfällung von [P, Q] in Factoren für das Formenpaar (P, Q) hat, erhellt aus folgendem Satze: Es werde durch die Substitutionen

(7.)

aj, — S^iy'^y»

SÄ«y«y

«/. = ^K^Y' •■• yn = ^Kv

y

wo u^^...u^ und v^, ...v^ neue Veränderliche bedeuten, Ä„, •••Ä„„, k ,...k aber Constanten, welche keiner anderen Beschränkung unterworfen sind, als dass die Determinanten

(8.)

K =

"'111 • • • "'IM

Ä„, ... Ä,„ ^ni I • • • ^nn

nicht gleich Null sein dürfen, die Form

P{x„...x„\y„...y„) in eine andere P'{u„ ...u„\v^, ...v„),

und zugleich

Q{x„...x„\y„...y„) in Q'iu,, ...u„\v^, ...v„)

22 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

verwandelt; so stimmen die Determinanten der beiden Formen

pP + qQ, pP'+qQ'

in ihren Elementar-Theilern überein.

Und umgekehrt, wenn zwei Formen-Paare

P{x„ ...x„\y„...y„), Q{x^, ...x„\y„... y„) und

P'(m,, . . . m„ 1 V,, . . . t;„) , Q\u^, ... M„ I «;,,.. . v„)

gegeben sind, und es stimmen die beiden Determinanten

[P,Q], [P',«']

in ihren Elementar-Theilern überein; so können auch stets die Coefficienten (Ä,j, ...Ä„^) und (^„, •.•'t^„) so bestimmt werden, dass durch die unter (7.) angegebenen Substitutionen P in P' und zugleich Q in Q' übergeht.

2.

Der erste Theil des vorstehenden Satzes lässt sich sehr einfach beweisen.

Es sei

P' = ^A'u.v^

(9.)

alt '

so entsteht das System der Elemente von [P', Q']

pÄ'„, + qB'„, , ... pÄ'„„ + qB'„„ durch Zusammensetzung der drei folgenden:

(10.)

(11.) (12.)

K, ••• K»

"■mi • • • Kn } PAi + ü^ii, ••• PAn + l^in

PAi + q^m, ••• pAnn+üB„„,

"'ni I • • • '^nn •

i>

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 23

Demzufolge ist

(13.) [F',Q'] = HK[F,Q],

jeder Theiler der einen Determinante also auch ein Theiler der anderen. Ferner lässt sich jede Unter -Determinante (w — x)'" Ordnung von [P', Q'] als ein Aggregat von Producten dreier Factoren, die Unter-Determinanten (w — x)*" Ordnung von JST, K und [P, Q] sind, darstellen. Jeder gemeinsame Theiler aller Unter-Determinanten einer bestimmten Ordnung von [P, Q] ist also auch ein Theiler aller Unter-Determinanten derselben Ordnung von [P', Q']. Nun geht aber auch P' in P, und zugleich Q' in Q über, wenn man für u^, ... u und i;^, ... v^ die aus den Gleichungen (7.) sich ergebenden linearen Functio- nen von i^j, ... x^^ und t/^, ... y^ setzt; es muss daher jeder gemeinsame Theiler aller Unter -Determinanten einer bestimmten Ordnung von [P', Q'] auch ein Theiler aller Unter-Determinanten derselben Ordnung von [P, Q] sein.

Hiernach ist, wenn die vorhin gebrauchten Bezeichnungen beibehalten werden,

{ap + lg)

auch die höchste in [P', Q'] enthaltene Potenz von ap + hq, und

{ap + hq)

die höchste in allen Unter-Determinanten (w — x)*" Ordnung von [P', Q'] ent- haltene. Die als Elementar - Theiler von [P, Q] definirten r Factoren von (ap + bqf:

(14.) (ap + ig) , (ap + iq) , ... («i? + hq)

sind also auch die zu demselben Theiler {ap + hq) gehörigen Elementar-Theiler von [P', Q']; w. z. b. w.

Der Beweis für den zweiten Theil des aufgestellten Satzes beruht darauf, dass ein Formenpaar P, Q durch eine bestimmte lineare Transformation in ein anderes verwandelt werden kann, dessen Coefficienten gegeben sind, wenn man die einzelnen Elementar-Theiler der Determinante [P, Q] kennt.

24

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

3.

Man setze, unter s eine unbeschränkt veränderliche Grösse verstehend und unter g', h' Constanten, die mit g, h durch die Relation

(15.) verbunden sind, (16.) (17.) (18.)

gh'-hg' = 1

hs — Ji',

p = gs-g, 9

^ = gP + hQ, ^ = g-P + h'Q,

V = g^aß + ft^aß, Kß = g'^aß + f>''Sccß,

(19.)	S = [P, Q] =	S«u-^,, ••	• s«..,-^i«
		■
		«««i-*«i, ••	• sa„„-Ku
Dann folgt	aus den Gleichungen
(20.)	dP dQ _ ^ öd) d^ _ ^ dx„ ^ dx„ ^ dx„ dXa	'Eisa,^-Kß)yß
(21.)	^ dyß ^ dyß " dyß ^yß	S(sa„^-&„^)ar„
wenn man mit

diejenige Unter - Determinante bezeichnet, deren Elementen - System aus dem von 8 durch Weglassung der «*"" Horizontal- und der /S**" Verticalreihe ent- steht,

^^- ■^ S V äx^ dxj

(22.)

^ S \ dg^ dy^J

Sali

ö(I) d^ d<t> dW

' S \ dx„ dy^ dy^ dx.

)

ö»F dW\

a dx^ " 7ß S \ dy^ dx„ dx„ dy^) tß 8 \ dx^ dy. dx^ dyJ

aß u \ yj^a "!fß ^-^a ^3ßl

Nun ist 8 eine ganze Function w*™ Grades von s (indem in ihr der Coeffi- cient von s" gleich der Determinante von gP + hQ ist), 8„ß aber eine von

ZUR THEORIE DER BILINEÄREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 25

nicht höherem als dem (w — 1)'™ Grade. Setzt man daher, unter

§1! • • • 5n ) ^tlt • • • ^/)i

2w neue Veränderliche verstehend,

(23.) i^(§„...|„|r,„...r,„) = ^^r,J^,

SO kann man für alle Werthe von s, die dem absoluten Betrage nach grösser sind als jede Wurzel der Gleichung *S = 0, F nach fallenden Potenzen von * entwickeln, in der Form

(24.) F= s-'J',(|,,...|j7),,.'..Yi„) + s-^2^,(|.,...|jYi„...7i„) + ...,

und erhält dann aus der letzten der unter (22.) aufgestellten Gleichungen

( ^= 9P+hQ =^.(~f .• 25.) l ^' { ^y=-9'p+n'Q = F^{,^^,.	ö(I)	öd) dx,'	öd)\ öa;„j
öd)	öd) dx,'	öd)\
Jetzt werde mit
S<"'

diejenige Determinante (w — x)'" Ordnung bezeichnet, deren Elementen -System aus dem von *S durch gleichzeitige Weglassung der x ersten Horizontal- und Vertical-Reihen erhalten wird. Ferner bedeute

(-l)«+.*Ä^^

unter der Voraussetzung, dass «, ß beide grösser als x sind, die Determinante (w — X — 1)'" Ordnung, deren Elementen - System aus dem von /S"" durch Weg- lassung der (a — x)**" Horizontal- und der (/3 — x)*°° Vertical-Reihe hervorgeht — werde aber gleich Null angenommen, wenn eine der Zahlen «, j3 < x ist. Dann ist

(26.) Sir" = Ä",

und es bestehen die Relationen

Qr Qi Qf Qr Q'Q"

'^32 "aß ~ "«2 »2(5 " ^^aß

f^it"aß~'^aa^»ß — « ^^aß U. S. W.

n. 4

26 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

Aus denselben erhält man

(28.)

und es ist daher

^^^•^ ~W ~ SS' ' S'S" . ^. ^

Der Ausdruck auf der Rechten besteht aus n Gliedern, deren Gesetz deutlich ist. Multiplicirt man nun auf beiden Seiten dieser Gleichung mit 7]„L und summirt dann in Beziehung auf cc, ß, so ergiebt sich

Sa(i S	=	Sai S,ß SS'	+	S'aß S'
S'aji S'	=	S'a2 Siß S'S"	+	Saß S"
S'äß S"	=	Oaa Oiß S"S"'	+	O'" Oaß S'"
	u. s. w.	>
Sai Siß OCT»	+	Sai Siß O'O"	f-	ci'r O"'	+

(30.)

Fil,..

ZT X'Y' X"Y"

SmMi)"'^h/ cicii + ciicxri + cilicii'f +'

SS' ' S'S"

S"S"

wo

(31.)

X = S„|. + S,J3 +5.3 13 +•	• + S'i» Sn
x'= s;j,+s;,i,+-	• + SLin
x"= s;u3+.	■■ + S'^^n
u. s. w.
Y = iS„Y). + 5f„Yj,+ S..7).+ .	■ + S„,ri„
T = -S;7j, + ä;,7i, + .	•+s;,^„
r"= «;;.,.+.	■+s:,ri„
u. s. w. .

Dieser Ausdruck von F ist nun, als Function von s betrachtet, in Partial- Brüche zu zerlegen.

Es sei wieder ap + hq irgend ein linearer Theiler von [P, Q] , und c der Werth von s, für welchen er verschwindet. Da S aus [P, Q], und ebenso jede Unter -Determinante von S aus der entsprechenden von [P, Q], durch die Substitutionen p := gs—g', q^=hs — h' hervorgeht, so sind die Functionen

S, S , s , ...

beziehlich durch

2 V l"

{s-c) , {s~c) , (s-c) , . ..

theilbar, wenn ?, l', /", . . . die oben festgesetzte Bedeutung haben. Ich will

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 2.7

nun zunächst annehmen, dass in keiner dieser Functionen eine höhere Potenz von s — c als die angegebene als Factor enthalten sei. Dies vorausgesetzt, seien

{s-c,f', (s-c,A ... (s-c/?

die Functionen von s, in welche sich die Elementar-Theiler von [P, Q]

(a,p + &, qf, {a,p + b, qf', . . . (a^p + 6„ qf^

durch die angegebenen Substitutionen verwandeln. Man entwickle, unter A irgend eine der Zahlen 1, ... p verstehend, wenn e^ in der Reihe der zu dem Theüer cij^p + bj^q gehörigen Zahlen e die x*° ist,

nach steigenden Potenzen von s — c^. Dann ist der Grad des Anfangsgliedes in der ersten dieser Entwicklungen um e^ Einheiten grösser als in jeder der drei anderen. Man erhält also für hinlänglich kleine Werthe von * — c^

l/Q(x-l) cr(«) \ i/ J^ ifj.\ /./

\^ ^ (fl=0, i,...oo)

(32.)

y(»-«

V" -^ (v = o, i,...oo)

v(»-i)y(»-i)

(33.) g..-.f^,., = i:X^YUs-c,r+''-'^

(34.)

^ifi — -y=-(CUfil«H l-C^ul«)

wo Cj und sämmtliche Coefficienten der Grössen |, v] ganze Functionen von C;j, den Coefficienten der Formen P, Q und den Grössen g, h, g\ h' sind.

Ist nun c irgend eine der Grössen c^, ... c , und kommt dieselbe in dieser Reihe j-mal vor, so werden in dem Ausdrucke (30.) von F nur die r ersten Glieder unendlich gross für * = c; es stimmt daher die Reihe

wenn man die Summation nur auf diejenigen Werthe von A ausdehnt, für

4»

28 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND aUADRATISCHEN FORMEN.

welche C;^ = c ist, mit der Entwicklung von F jnach Potenzen von s — c ;in allen Gliedern, die für ä = c unendlich gross werden, überein. Daraus folgt sofort, wenn man zugleich beachtet, dass jF = 0 für s = oo wird,

(35.) Fil,...^„U„...rJ = ^'Z[Xx,YUs-c,T + ''-%

Zur Abkürzung werde, wenn e eine beliebige ganze Zahl ist,

(36.) ^X^Y,, mit (X,r,),

(fi + r = e-l)

bezeichnet. Dann ist

r(X,r;)g (X,YX-i

Den Formeln (25.) zufolge ergiebt sich hieraus

j it> = gP + hQ = S(X,r,)e^

VF _ g'p+ h'Q = Sc,(x,r,)e + S(^,r,) 1 ,

wenn man in den vorhergehenden Ausdrücken der Grössen X, , Yj^^

(38.)

(39.)

setzt, so dass

(40.)

wird.

Da man nun

also

(41.) a,, = h'-hc^, h = -g' + gc^

hat, so ergeben sich aus den Gleichungen (38.) die folgenden Dar- stellungen von P, Q:

l P = i:[ax{X,Y,) -h{X,Y,) ,]

I Q = ^MX,Y,),^ + giX,Y,),^_,].

(42.)

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 29

In diesen Formeln ist

zu setzen, wenn e^ = l.

Den Grössen ff, h, g', h' giebt man am einfachsten ganzzahlige Werthe. Wenn z. B. die Determinante von P nicht gleich Null ist, so kann man

g = 1, h = 0, g' = 0, h' = 1

nehmen, sowie, wenn die Determinante von Q nicht verschwindet,

g =^ 0, /* = -!, g' = 1, h' = 0.

Aus Gleichung (38.) ergiebt sich, wenn (für jeden bestimmten Werth von A) unter (t, v Zahlen aus der Reihe 0, ...e^— 1, deren Summe gleich e^— 1 ist, verstanden werden,

( 3.) ^^ - Ä;,,,

(44.) ^ny^^J!^ ^ Y,^

d{gP+JiQ)

Hiernach hat gP + hQ, als bilineare Form der Grössen X;^, F^^ betrachtet, die Determinante ± 1, und somit ist ± [P, Q] gleich dem Producte aus der Deter- minante der n Functionen X, in Beziehung auf die Veränderlichen x^, ... x„ und der Determinante der n Functionen Y,.^ in Beziehung auf y^, ... «/,,; keine dieser beiden Determinanten ist also gleich Null. Man kann also die Grössen X,, ... aJ„ durch die X^^, und die Grössen g^, ... g^ durch die J^^ ausdrücken in der Gestalt

'• (fi = o,...e^-i)

(45.)

Es ist aber

ua^ X _ HffP+m_ ^ ätjß djgP + hQ)

a7^ Y - ^(.9-P + ^'<?) _ V dx, d{gP+hQ)

also

öX^ « öX^. dx„

(48.)

30 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

Die in den Formeln (45.) vorkommenden Constanten sind also durch die Gleichungen (34.) bestimmt.

Wenn die bei den vorstehenden Entwicklungen gemachte Voraussetzung, es seien P, Q so beschaffen, dass die höchste Potenz eines jeden linearen Factors der Determinante S, durch welche diese und alle ihre Unter-Deter- minanten (m — x)**" Ordnung theilbar sind, zugleich die höchste in S'"' ent- haltene ist, nicht zutrifft, so kann man, wie ich sogleich zeigen werde, die Formen P, Q durch eine simultane lineare Transformation stets in andere

P(x[, ...x'„\y\,...y'„), Q{x\, ...x',,\y\, ...y'^)

verwandeln, welche die angegebene Beschaffenheit besitzen, und zwar so, dass die Grössen x lineare Functionen der x^ mit ganzzahligen Coefficienten, und die y' ebensolche Functionen der y, sind. Da nun die Determinanten [P, Q], [P, Q] in ihren Elementar - Theilern übereinstimmen, so kann man P, Q so darstellen, wie unter (42.) angegeben ist. Drückt man darauf die a?'^, y' durch die x^^ y^ aus, so gehen P, Q in P, Q über, die X, , I^^ werden homogene lineare Functionen der Grössen

d(gP + hQ) d{gP + hQ)

dy^ ' dx^ '

und es bleibt auch bestehen, was über die algebraische Zusammensetzung der Coefficienten dieser Ausdrücke gesagt worden ist. Die Umgestaltung von P, Q in die unter (42.) angegebenen Formen ist also stets ausführbar. Da femer die Gleichungen (43.), (44.) aus der Gleichung (38.) sich ergeben, so gilt auch allgemein, dass von den beiden Gleichungs - Systemen (45.), (48.) jedes eine Folge des anderen ist.

In dem besonderen Falle, wo unter den Coefficienten von P, Q, P', Q' die Relationen

bestehen, kann jene simultane lineare Transformation stets so gewählt werden, dass die Grössen x'^ mit den x^ durch dieselbe Substitution zusammenhängen, wie die y'„ mit den yg.

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 31

4.

Der von mir bei der ersten Veröffentlichung dieser Abhandlung gegebene Beweis des am Schlüsse des vorigen Paragraphen angeführten Hülfssatzes kann, abgesehen davon, dass er in Folge eines Versehens beim Abdruck un- vollständig ausgefallen ist, erheblich vereinfacht werden, wie dies namentlich Herr Frobenius gezeigt hat. Um unnöthige Wiederholungen zu vermeiden, halte ich es unter diesen Umständen für hinreichend, zur Rechtfertigung der ausgesprochenen Behauptung auf die im Sitzungsbericht der Berliner Akademie der "Wissenschaften vom 18. Januar 1894 mitgetheilte Arbeit des Herrn Fro- benius zu verweisen.

5.

Angenommen nun, es sei ausser dem Formenpaare

F(x„...x„\y„...y„), Q{x^, ...x,,\y^, ...y„) noch ein zweites

P'(M„...M„|fu •••«'«). <2'K.-"W»ku •••«'«)

gegeben, und es habe die Determinante von dieselben Elementar-Theiler wie die Determinante von dann lassen sich n homogene lineare Functionen

^po' ••• ^e(eg-i)

der Grössen w^, ... «„ und n andere

V V

10' ••• i(e,-i)

V V

>' • (?(«e-i)

der Grössen v^, ... v„ dergestalt bestimmen, dass

P' = SK(üin)e,-Ä(ü,FJ,^_J,

32 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

wird. Wenn man daher in den obigen Aiisdrücken (45.) der Grössen x, y durch die X, Y folgende Substitutionen macht:

!X,.a = U,^ , 3^„. = V,a, (f^ = 0 , . . . e, - 1)

^2,tt = f^2,UI ^2.U = ^2,«l (ft = 0, ... ej-l)

X^f. = ü^ti, ye,u = ■f^.,a, (fi = 0,...e^-l),

so verwandeln sich x^, ... x^ in homogene lineare Functionen von u^, ... ««„, y , ... y„ in ebensolche Functionen von v^, ... 15„, und zugleich

Pix„...x„\y„...y„) in P'(Mi, ...m„ k., ... «„), Q(a;,,...a;„|2^,,...y,.) in Q'{u^, ...u^\v„ ...v„).

Hiermit ist der in § 1 aufgestellte Satz vollständig bewiesen: damit es mög- lich sei, durch Substitutionen von der Gestalt

Vi = HK^^?, • • • «/» = ItK?'^?

f ?

zwei gegebene bilineare Formen P, Q der Veränderlichen (ic^, ... xj\y^i ... i/„) gleichzeitig in zwei andere P', Q' der Veränderlichen («*j, ... w„|Vj, ... «„) zu verwandeln, ist nothwendig und hinreichend, dass die Determinanten der Formen

pF-\-qQ, pF'+qQ'

in ihren Elementar- T heilern übereinstimmen.

In dem besonderen Falle, wo unter den Coefficienten von P, Q, P', Q' die unter (48*.) angegebenen Relationen bestehen, ist F^ dieselbe Function von «/j, •••</„ wie X^^ von a:;^, ...»^; und ebenso F, dieselbe Function von t;^, ... v^ wie JJ^^ von «*j, ... M^^. Dies erhellt aus den Formeln (31.) bis (39.) und aus den am Schlüsse von § 3 in Betreff der etwa erforderlichen vor- läufigen Umgestaltung von P, Q gemachten Bemerkungen. Die Substitutionen, durch welche P, Q in P', Q' übergehen, erhalten demnach in diesem Falle die Gestalt

flj, = Xj ly'*)'' ■ • • "^n ^^^ ^j'^ny^y

y y

2/l = liKy^y, • • • »/« = S^ny^y.

y y

ZUR THEORIE DER BILINEÄREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 33

Um das vorstehende Theorem, durch welches eine der Hauptfragen in der Theorie der bilinearen Formen erledigt wird, anwenden zu können, braucht man jedoch die Zerlegung der beiden Determinanten in ihre Ele- mentar-Theiler nicht wirklich auszuführen. Es genügt vielmehr, für die Form ^P + ^fQ = äO — W die im vorhergehenden § definirten Functionen

B (s) , R\s) n. 3. w.

und für die Form pP'+qQ' = s^'—W die entsprechenden

B{s), R'{s) u. s. w.

zu bestimmen. Jedem linearen Theiler {ap + bq) von [P, Q] entspricht dann ein Theiler {s — c) von R{s), und wenn für den ersteren l, l\ l", ... die oben definirten Zahlen sind, so ist /'" auch der Exponent der höchsten in R^''\s) enthaltenen Potenz von (s — c). Da nun, wie bereits früher bemerkt, jeder Theiler von JJ'"(ä) auch einer von R{s), und der Coefficient von R"\s) gleich Eins ist, so ist es nothwendig und hinreichend, dass — für jeden Werth von s — die Gleichungen

(51.) E(s) = R{s), B'is) = B'{s), u. s. w.

bestehen, wenn die Determinanten [P, Q], [P', Q'] in ihren Elementar-Theilern übereinstimmen sollen.

6-

Die in § 3 (Gleichung (42.)) erhaltenen Ausdrücke

S[a.(x,r,),^-Ä(x,r,),^_j, S[6,(x,r,).+5r(x,r,)„ j,

(52.)

welche sich in P, Q verwandeln, wenn man für

Y Y Y Y

die a. a. O. (Gleichung (48.)) angegebenen Functionen von x^f...x^ und y^, ... y^ substituirt, haben das Eigenthümliche , dass sie als bilineare Formen der Grössen X, Y betrachtet, völlig bestimmt sind, sobald man die Elementar- n. 5

34

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

Theiler von [P, Q] kennt und die Constanten g^ h passend gewählt hat. Es entsteht nun die Frage, ob auch umgekehrt aus diesen Formen, wenn man in ihnen die Zahlen e^, ...e und die Constanten a^, b^, ... a^, b^, g, h den Bedingungen

\ ga, + m^= l, . . . ga^ + hb^ = 1

gemäss, im Übrigen aber nach Willkür annimmt und dann für die X be- liebige, jedoch von einander unabhängige homogene lineare Func- tionen von X, ... X und für die Y ebensolche Functionen von

1 ' »

y, ... y substituirt, stets ein Formenpaar P, Q hervorgeht, für welches die Determinante [P, Q] die Elementar-Theiler

hat.

{a,p + b^q) ',

Ki' + ^pS')*

Es mögen die in Rede stehenden Ausdrücke, als Functionen der Grössen X, Y angesehen, mit P, Q bezeichnet werden; dann braucht nur untersucht zu werden, ob die Determinante

die angegebenen Elementar-TheUer besitzt. Man setze

\ Q,=b,{X,Y,\ + g{X,Y,),^_„

(54.) so ist, wenn gesetzt wird.

(hP + hi ^

gq — hp = V

(55.)

[Px, Qx] =

0, 0, ... 0, V, u

0, 0, . , . V, u, 0

V, u, ... 0, 0, 0

u, 0, ... 0, 0, 0

±:

Femer ist diejenige Unter-Determinante von [P^^, Q^], deren Elementen-System man aus dem vorstehenden durch Weglassung der letzten Horizontal- und der letzten Verticalreihe erhält, gleich ±i;*^"~', also nicht durch a^p + b^q theilbar. Folglich hat die Determinante [P;^, Qj^ nur den einen Elementar- Theiler

{aiP-V'bi.q.f^-

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 35

Daraus ergiebt sich zunächst:

(56.) [P, Q] = mPx, ^J = m»xP + hQ)''-

k /.

Ferner verschwinden von den Unter - Determinanten (w — x)'" Ordnung von [P, Q] nur diejenigen nicht für beliebige Werthe von p, q, welche sich, wenn man mit

irgend eine Unter - Determinante (e^—m)*^" Ordnung von [P^^, Q^] oder, wenn m ^ 0, diese Determinante selbst bezeichnet, in der Gestalt

(57.) mp,,Q.f''^

dastellen lassen, wo

(58.) 2"';. = ^

>.

sein muss. Man hat also für jeden linearen Theiler von [P, Q] zu ermitteln,

wie oft er in allen diesen Producten als Factor enthalten ist.

Es seien, wenn ap + bq irgend einer dieser Theiler ist, A^, ... A diejenigen

Werthe von A, für welche aj_ ^ a, bj^ ^= b; und

e, ... e»--"

die zugehörigen Exponenten e^, jedoch so geordnet, dass keiner von ihnen grösser ist als der vorhergehende.

Wenn nun -/>»• ist, so giebt es unter den betrachteten Unter -Deter- minanten wenigstens eine, in der m,^ für A = A^, ... A. den Werth Eins hat, und diese enthält den Factor ap + bq nicht. Ist aber x<r, so müssen von den Zahlen m^, ... m^ mindestens 9 — x = p — »• + (>• — x) den Werth Null haben, also auch unter den mit den Indices A^, ... A^ versehenen wenigstens (r — x) solche sich finden. Es ist also jede Unter -Determinante (n — x)*" Ordnung durch eine Potenz von ap + bq theilbar, deren Exponent die Summe von (r— x) der Zahlen

	e, ... e"-",
also sicher nicht kleiner als
ist. Setzt man also	(fc = x,...r-i)
(59.) l = e + --- + e"-»',	r = l-e, l" = l'-e',	u. s. w.	) 5*

36 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

SO hat jede Unter-Determinante (w — x)'" Ordnung von [P, Q] den Theiler

{ap + iq) ,

wofern x < r ist. Unter ihnen giebt es aber stets eine , welche nicht durch eine höhere Potenz von ap + bq theilbar ist, und welche erhalten wird, wenn man denjenigen x Zahlen m^, zu deren Indices die Exponenten

gehören, den Werth Eins, allen übrigen aber den Werth Null giebt. Hier- nach ist also

(«^3 + hq)

die höchste Potenz von ap + bq, die in [P, Q], und

(ap + bq)

die höchste, welchen in allen Unter - Determinanten (w — x)*" Ordnung von [P, Q] enthalten ist.*) Hieraus folgt unmittelbar, dass die in dem vor- stehenden Ausdrucke von [P, Q] enthaltenen Eactoren

(.a^P + bnif''

in der That sämmtlich Elementar-Theiler dieser Determinante sind. Die aufgeworfene Frage ist also zu bejahen.

Um eine Anwendung von dem bewiesenen Satze zu geben, betrachte ich den Fall, wo die Determinante [P, Q] n Elementar-Theiler hat — unter denen jedoch auch gleiche vorkommen können — die Exponenten e^, ...e^

*) Wenn man, von den ursprünglichen Formen P, Q ausgehend, für einen linearen Theiler ap+hq,

von [P, ^] die zugehörigen Exponenten e, ... e"""" in der im Anfange angegebenen Weise bestimmt, so

erhält man -

e =1.-V, e' = l'-l", . . . e»--" = i"-'>.

Dieselben Werthe von e, ... e*- " ergeben sich aber, da die Reihe der Zahlen 1,1', ... sich nicht ändert, wenn man ap+bq als einen Theiler von [P, Q] ansieht, auch aus den Gleichungen (59.) unter der Voraus- setzung, dass

e > e' . . . > e"-»'

sei. Man kann daraus schliessen, dass in dem Falle, wo r> 1 ist,

oder ~ (x= i,...r-i)

sein muss. Dies lässt sich mittels der obigen Relationen (27.) auch leicht direct nachweisen.

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 37

also sämmtlich gleich Eins sind. Dann erhält man den Formeln (42.) bis (48.) zufolge:

WO X^, F^, (a,A), (/3,A)' für X^^, Y^, («, A, 0), {ß,X, 0)' geschrieben ist. Nach dem Vorherstehenden hat aber die Determinante der Form

pP+qQ = ^{n,p + b,q)X,Y,

die Elementar -Theiler

a,p + \q, ... a„p + b„q;

es ist daher, wenn P, Q sich in der angegebenen Gestalt sollen darstellen lassen, nothwendig, dass die Determinante [P, Q] n Elementar -Theiler besitze. Es ist aber, wenn [P, Q] einen ihrer linearen Theiler in der Z"° Potenz enthält, und die zugehörigen Exponenten e, e', ... alle gleich Eins sind, r = l—l, Z" = Z— 2, ... u. s. w. , r = /, und daher jener Theiler auch ein allen Unter -Determinanten (w — /+1)'" Ordnung gemeinschaftlicher. Und da auch umgekehrt ein gemeinschaftlicher linearer Theiler aller dieser Deter- minanten in [P, Q] mindestens Zmal als Factor enthalten ist, so ergiebt sich der Satz:

Damit es möglich sei, die Formen P, Q durch n lineare Func- tionen Xj, ... X^ von a;,, ... ic^, und n andere Y^, ... Y^ von y^, ... y^ in der Gestalt

P = a, X,Y, + a,X,Y, + --- + a„ X„Y„

Q = h,XJ,+ b,X',Y, + -- + KX„Y„

auszudrücken, ist nothwendig und hinreichend, dass jeder lineare Theiler der Determinante [P, Q], wenn er in derselben Zmal als Factor enthalten und l>l ist, auch ein gemeinschaftlicher Theiler aller Unter-Determinanten (w — Z+1)'" Ordnung von [P, Q] sei.

(61.)

38 ZUR THEORIE DER BILINEAKEN UND QUADRATISCHEN FORMEN,

7.

Aus den im Vorstehenden entwickelten Sätzen über bilineare Formen ergiebt sich nun unmittelbar eine Reihe analoger Theoreme für quadratische Formen.

Es seien ^, d zwei quadratische Formen von n Veränderlichen a;^, ... a; und

Dann sind P, Q bilineare (und zwar symmetrische) Formen der 2n Veränder- lichen a^,, • ■• *^„|2/,5 • ■ • ^„5 und es wird die Determinante von pP-\-qQ die Determinante der Form jo^ + q£l genannt und ist im Folgenden mit [^, d] bezeichnet.

Unter der Voraussetzung, dass [^, £l] nicht für jedes Werthepaar jo, q verschwinde, sind dann ferner unter den Elementar - Theilern von [^, £l] die Elementar-Theiler von [P, Q] zu verstehen, die nach Annahme zweier Grössen ,9, Ä, für welche die Determinante von gP+hQ einen von Null verschiedenen Werth hat, so zu bestimmen sind, wie im Anfange des § 1 festgesetzt worden ist.

Dies vorausgesetzt, gelten nun die folgenden Sätze:

A. Wenn zwei quadratische Formen ^, d von n Veränder- lichen x^, ... x^ durch Substitutionen von der Gestalt

(62.) x^ = '^h.^u^, ... x„ = 2A„yM^

Y Y

gleichzeitig in zwei andere ^', £i' von u^,...u^^ verwandelt werden, und die Substitutions-Determinante

/j„, ... h„

«„, , ... «„;

ist nicht gleich Null, so stimmen die Determinanten der beiden Formen

in ihren Elementar-Theilern überein.

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

Bildet man nämlich die bilinearen Formen

39

(63.)

P P'

St

1 ö^J5

Vß,

2 dx^^!

1 6^'

2 özf« ^.^

1 ÖQ ^ - f 2 6^^^'

so sind die Determinanten von ju^ + ^Q, jo^ '+^£1' ihrer Definition nach identisch mit denen von pP+qQ, pP'+qQ'-^ die beiden letzteren aber haben dieselben Elementar -Theiler, weil P, Q in P', Q' übergehen, wenn man für x^,...x^ die angegebenen Functionen von u^,...u^, und für y^,...y^ die- selben Functionen von r, , ... v^ setzt.

B. Es seien für zwei gegebene quadratische Formen ^, £} von n Veränderlichen x,,..x

{a,pJrh,q)^, ... {a^p + b^qf^

sämmtliche (den angegebenen Festsetzungen gemäss be- stimmte) Elementar-Theiler der Determinante von jj^ + g-O; dann lassen sich n homogene lineare Functionen der Grössen ic^, ... x^

X

. X

^(e,-i)' • ■ * po' ••• Q{e^-i)

bestimmen, durch welche ausgedrückt ^, £i sich in der Form

(65.) darstellen, wo

(X,X,),^_, = 0

zu setzen ist, wenn e^ = l. Da nämlich in P sowohl als in Q die Coefficienten von x^y und X y^ einander gleich sind, so wird, wie schon im § 5 bemerkt worden, wenn man P, Q in der unter (42.) angegebenen Gestalt darstellt, Y, dieselbe Function von y^,...y^ wie X, von x^,...x^, und daher I^ = X^, wenn man y^ ^= x^, . . . y^ = x^ setzt, wodurch sich zugleich P, Q in ^, £i ver- wandeln.

40 ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

Setzt man

SO hat man nach Gleichung (34.)

(67.) (^,A,f.) = :^,

wo Cj und C„j,^ ganze Functionen von aj^,bj^,g,h,g',h' und den Coefficienten der Formen ^, £) sind. Zugleich ist

(68.) a;„ = 2(«,^,ft)X;iu (X = 1,...?; ^ <e,).

C. Der Satz (A.) ist auch umgekehrt richtig; d. h. wenn die Formen ^, d, ^', £l' so beschaffen sind, dass die Deter- minanten von

p^ + qO,, p^'+q£i' dieselben Elementar-Theiler

(a,p + \q)\ ... ia^p + \qf^

so

haben, so können auch stets die Constanten A^^, ...A, bestimmt werden, dass durch die Substitutionen

a;, = S^iyW^i • • • ^n = S^«yWy

^ in 5ß' und zugleich Q in £l' übergeht. Man hat zu dem Ende die n Functionen

der Grössen u^, . . . u^ zu bestimmen, durch welche sich ^', O' in der Gestalt

ausdrücken lassen. Dann wird nach dem vorhergehenden Satze

(70.) * = 5ß', a = o',

(69.)

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

41

wenn man

(71.)

setzt.

D. Auch der Satz (B.) lässt sich umkehren. Nimmt man die Zahlen e^, ... e und die Constanten g, h, a^, b^, ... a , b den Bedingungen

2e;i = n, ga^ + h\ = 1,

9%+ hb.

gemäss, im Übrigen aber nach Willkür an, und setzt

so hat die Determinante [^^, £l^], wenn man die Form p^^ + q^^ als Function der e^ in ihr vorkommenden Grössen

betrachtet, nur den einen Elementar-Theiler

(.axP + hi)^,

und dieser ist zugleich ein Elementar-Theiler der Deter- minante [^, D.]. Wenn man daher in ^, SU für die n Grössen X beliebige, jedoch von einander unabhängige homogene lineare Functionen der Veränderlichen Äj, ...rr„ substituirt, so erhält man stets quadratische Formen ^, £i von der Beschaffenheit, dass die Determinante [^, D] die Elementar-Theiler

(atP + b,q)^, ... (a^P + b^qp besitzt.

E. Wenn die Anzahl der Elementar-Theiler von [^,£1] gleich n, jede der Zahlen e^ also gleich Eins ist, so erhalten die Gleichungen (64.) bis (68.) die Gestalt:

n. 6

42 ZUR THEOKIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

G = b,Xl + h,Xl + .-- + b„Xi

(72.) \ x„=s(^,«)(Y^e^ + yÄ^)

(^, «) =

Cfa

s/c:

ff

wo u für A und C^^ für C.„ geschrieben ist. Umgekehrt müssen, wenn sich ^, £i aus den Quadraten linearer Func- tionen der Grössen x^,...x^ sollen zusammensetzen lassen, die Zahlen e^ sämmtlich gleich Eins sein. Dazu ist aber erforderlich und hinreichend, dass jeder lineare Theiler der Determinante [^, £}], welcher in derselben Zmal als Factor vorkommt, auch ein gemeinschaftlicher Theiler aller Unter-Deter- minanten (Z— 1)**' Ordnung von [^, d] sei.

F. Diese Bedingung ist, wie ich in der oben angeführten Ab- handlung (Monatsberichte der Akademie v. J. 1858, S. 207*)) ge- zeigt habe, stets erfüllt, wenn die Coefficienten von ^, O reell sind und unter den Formen

irgend eine sich findet, welche bei reellen Werthen von x^, ... x^ nur gleich Null werden kann, wenn diese Grössen selbst sämmtlich verschwinden. Der Beweis dieses Satzes kann jetzt nach vollständiger Entwicklung der Ausdrücke von ^, Q durch die Grössen X unmittelbar aus der Gleichung

g^ + m = ^{X,X,)^

abgeleitet werden, wobei es jedoch erforderlich ist, den Grössen g,h,g',h' reelle "Werthe zu geben. Wenn dann für einen bestimmten Werth von A. der Quotient — , und somit der Gleichung ga^ + hb, = 1 wegen auch jede der Grössen a^, b,, selbst reell ist, und e^^ die positive oder die negative Einheit bedeutet, jenachdem C^ positiv oder negativ ist, so wird, wenn man

(73.) X^ = Vi,.%

*) [Bd. I, S. 233 dieser Ausgabe.]

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN. 43

setzt, ^J^^ eine lineare Function von x^,...x^ mit reellen Coefficienten, und man hat

(74.) {X,X,),^ = s,(3e,3£,),

■Jl

h

Ist dagegen — eine complexe Grösse, so gesellt sich zu dem Elementar- Theiler

{('aP + hflf'- von [^, £}] ein zweiter

(äüP + hif^,

in welchem ä;^, b^ die mit a^, b^ conjugirten complexen Grössen sind. Giebt

man dann den Wurzelgrössen S/c,_i Vö, ebenfalls conjugirte Werthe, und setzt

so werden auch X, und X,' lineare Functionen von x , ... x mit reellen Coef- ficienten, imd man hat

(76.) {x,x,),^ + iXMe, = 2(3e,3E,),^-2(3e;sa^.

Hiernach kann man, wenn unter den Quotienten — sich a reelle finden, g'^ + hD. in der Gestalt

(77.) 9^ + hQ = ^B,g£A\+2X[{^,?£x)er(^^^'^k^

so darstellen, dass zu reellen Werthen der ursprünglichen Veränderlichen x auch stets reelle AVerthe der neu eingeführten X gehören. Ist nun für irgend einen Werth von A der Exponent ej^>l, so wird g^ + h£l = 0, wenn man sämmtliche Grössen X, X' ausser ^^^ gleich Null setzt. Ferner verschwindet, wenn A eine der Zahlen o + l, ... a + ^^ ist, auch in dem Falle, dass e^. = 1, ^^ + Ä£i dadurch, dass man H^ =■ X^^,, die übrigen X, 3t' aber gleich Null setzt. Daraus folgt, dass wenn unter den Formen g'^-vhZi sich eine findet, die bei reellen Werthen der Veränderlichen a;^, ...ic^ nur gleich Null wird, wenn diese sämmtlich verschwinden, die Deter- minante von ^^ + ^0 nothwendig » Elementar-Theiler besitzt und zugleich die Quotienten — alle reell sind. Dann aber erhält

6*

44 ZXJB THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

die vorstehende Gleichung die Gestalt

(78.) 9^ + h£i = J:^,II

(l=i,...n)

(wo X;^ statt 3£jj^ geschrieben ist), und es müssen daher die Zahlen s^^ alle den- selben Werth (e) haben. Femer ist nach Gleichung (38.)

(79.) sr'5ß + A'D = ^e,c,Xl,

und daher

( * = sS«.XL

(80.)

WO e^±l ist, Xj, ...3£^ homogene lineare Functionen vona;,...a; mit reellen Coefficienten und die Constanten a^, J^ ebenfalls sämmtlich reelle Grössen sind.

ÜBER DIE ALLGEMEINSTEN EINDEUTIGEN UND 2/i-FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON n VERÄNDERLICHEN.

l(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der "Wissenschaften vom 2. Dec. 1869.)

Nimmt man zwischen 2w veränderlichen Grössen

M,, «2, ... M„ und x^, x^, ... x„ [die nachstehenden Gleichungen an, in denen

^^{x,), ^,{x,), ... t.{x,)

.Functionen bedeuten, deren erste Ableitungen algebraische Functionen von ia;„ sind:

(a)

1 n

n

80 werden im Allgemeinen zu jedem Systeme der Grössen u^^ u^^ . . . u^ un- endlich viele Systeme der Grössen a;,, tc^, ... ic^ gehören. Es lassen sich

faber, wie die Theorie der Abel'schen Transcendenten lehrt, die Functionen ^ so bestimmen, dass jeder rational und symmetrisch aus a;^, ic^, ... a;,, zu- sammengesetzte Ausdruck eine eindeutige Function von u ^u ^ ... u wird, welche dann die ausgezeichnete Eigenschaft besitzt, 2w-fach periodisch zu sein,

kUnd durch 9 -Functionen von n Argumenten ausgedrückt werden kann.

I

46 ÜBER DIE ALLGEMEINSTEN EINDEUTIGEN UND

Indessen sind die ö - Functionen , die man auf diesem Wege erhält, nur specielle; zwischen den ^^^ — - wesentlichen Constanten (Moduln), die in ihnen vorkommen und bei allen dieselben sind, besteht eine Anzahl von Relationen, so dass nur 3w — 3 derselben willkürlich anzunehmende Werthe erhalten kön- nen. In Folge davon sind auch die durch diese 9-Functionen ausdrückbaren 2«-fach periodischen Functionen von n Argumenten nicht die allgemeinsten ihrer Art.

Ich habe deshalb, um möglicherweise zu den letzteren zu gelangen, mir die Aufgabe gestellt, die Functionen (j; so zu bestimmen, dass zu einem Sy- steme der Grössen u^, u^ •■•^« ^^^^ endliche Anzahl von Systemen der Grössen x , x„, . . . x gehöre. Denn es lässt sich zeigen, dass alsdann x,, . . . x die Wurzeln einer Gleichung w'™ Grades werden, deren Coefficienten alge- braisch durch die partiellen Ableitungen einer eindeutigen und 2n-fach periodischen Function von ti^,u^,...u^ sich ausdrücken lassen.*) Nun habe ich zwar die algebraischen Schwierigkeiten, welche sich der allgemeinen Lö- sung der angegebenen Aufgabe entgegenstellen, bis jetzt nicht überwinden können; ich habe mich jedoch überzeugt, dass man auf dem bezeichneten Wege wirklich zu den allgemeinsten eindeutigen und 2w-fach periodischen Functionen von n Argumenten gelangen muss. Ist nämlich ^(u^, ... ««„) irgend eine derartige Function, und

9r(Ml. •••««„) = ÖÜ^ .

so gelten folgende Sätze:

1) Zwischen cp und cp,, tp,, ... (f„ besteht eine algebraische Gleichung, deren Coefficienten von den Grössen u^^u^^ ... u^ unabhängig sind.

2) Jede eindeutige Function von m,, w^, ••• «*„, welche dieselben Perioden- systeme wie <s besitzt, lässt sich rational durch ?,, ?2, •••9„ aus- drücken.

Namentlich ist also ^{u^ + v^, ... u,^ + vj rational durch

cp(M.,...Mj, 9xK,. ••«*„), ... ?„(mi,...m„) darstellbar.

*) In besonderen Fällen kann diese Function in eine, die weniger als 2w Periodensysteme besitzt, entarten.

2M-rACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON M VERÄNDERLICHEN. 47

3) Da hiernach die höheren Ableitungen von cp rational durch cp, cp , ... tp^ ausdrückbar sind, so werden, wenn man du^, dti^, ... du^ auf die Form

( du, = i,-F,.,(i9;.

(b) } ^^2 = Sv-f^Jv^Vv,

bringt, die Coefficienten F ^ ebenfalls sämmtlich rationale Functionen von 9, cp|, ... cp^. Nimmt man nun zwischen cp, cp^, ... cp^ noch irgend (w — 1) andere algebraische Relationen an, so kann man sämmtliche alsdann noch möglichen Werthsysteme dieser Grössen darstellen in der Form

(c) 9 = F(x,xx), <f, = F,{x,xx), ... <p„ = F,Xx,-/.x),

wo X eine unbeschränkt veränderliche Grösse, yix eine algebraische Function derselben und F, F^, ... F^^ rational aus x und yx zusammen- gesetzte Ausdrücke bedeuten; und es erhält dann der Ausdruck von

du die Gestalt

K{x,-/.x)<^x,

wo R ebenfalls eine rationale Function von x und yx ist. Setzt man dann

(d) B,{x)dx = d'!f,(x),

so werden bei gehöriger Constanten-Bestimmung die Gleichungen

/ F{x) = 9(m.,m„...m,.),

(e) ) -^.(^) = ?.K> «2. •■•"„),

befriedigt, wenn man

(f) «, == J^,{x), M, = <^,(a;), ... M„ = -{-„(a;)

setzt. 4) Jedes System zusammengehöriger Perioden der Integrale '\i,{x), ^X^), ... '^„(x) ist auch ein Periodensystem der Function cp(Mj, w^, .. . m^J.

48 ÜBER DIE ALLGEMEINSTEN EINDEUTIGEN UND 2?J-FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN ETC.

5) Man kann die Functionen 5^(0;), F^, F^, ... F^^ stets so bestimmen, dass die Functionen cp^, ... cp^, wenn man

l

n (g) <- «2 = Sv'j'üC^v),

1

setzt, sich in rationale Functionen von

x„ X,, ... x„ und x^ir X^2, ■ • • X^«

verwandeln, unter denen keine Abhängigkeit von einander besteht. Daraus folgt, dass den vorstehenden Gleichungen bei gegebenen Werthen von «,, m^, ... w,, — wenn unter diesen nicht eine bestimmte Relation stattfindet — nur durch eine endliche Anzahl von Systemen der Grössen x^,x^,...x,, Genüge geschehen kann, und dass die zu einem solchen Systeme gehörigen Werthe dieser Grössen als Wurzeln einer Gleichung w*™ Grades, deren Coefficienten algebraische Functio- nen von

sind, erhalten werden können. Aus jeder 9 -Function von 71 Argumenten ergeben sich unzählig viele 2w-fach periodische Functionen, unter deren 2n.n Perioden nicht mehr als ^^^~ > Relationen stattfinden. Durch das Vorstehende ist also bewiesen, dass es Gleichungssysteme von der Form (a), die allgemeiner sind als die bisher in der Theorie der Abel'schen Transcendenten betrachteten, und gleichwohl einer ganz analogen Behandlung fähig sind, wirklich giebt. Ob 2m -fach periodische Functionen von n Argumenten existiren, die nicht durch 6-Fuüctionen ausgedrückt werden können, ist eine Frage, deren Erörterung ich mir vorbehalte.

ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET'SCHE PRINCIP.

(Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 14. Juli 1870.)

In seinen Vorlesungen über die Kräfte, welche nach dem Newton' sehen Gesetz mrken, hat sich Lejeune Dirichlet zur Begründung eines Haupt- satzes der Potentialtheorie einer eigenthümlichen Schlussweise bedient, welche später auch von anderen Mathematikern, namentlich von Riemann, vielfach angewandt worden ist und den Namen «Dirichlet' sches Princip« erhalten hat.

Über die Zulässigkeit dieses »Princips« haben sich seitdem manche Zweifel geltend gemacht, welche, wie ich im Folgenden zeigen werde, durchaus be- gründet sind. Ehe ich aber darauf eingehe, will ich, da Dirichlet über den in Rede stehenden Gegenstand nichts veröffentlicht hat, aus einer von Dirich- let im Sommer -Semester 1856 gehaltenen Vorlesung, welche mir in einer von Herrn Dedekind angefertigten sorgfältigen Nachschrift vorliegt, die fol- gende Stelle mittheüen, aus welcher mit voller Bestimmtheit hervorgeht, was Dirichlet gemeint und wie er sein Beweis verfahren zu rechtfertigen ver- sucht hat:

»Ist irgend eine endliche Fläche gegeben, so kann man dieselbe stets, aber nur auf eine Weise, so mit Masse belegen, dass das Potential in jedem Punkte der Fläche einen beliebig vorgeschriebenen (nach der Stetigkeit sich ändernden) Werth hat.«

»Zum Beweise schicken wir den folgenden Satz voraus:

»Ist irgend ein endlicher zusammenhängender Raum t gegeben, so giebt es stets eine, aber nur eine einzige Function w, welche sich nebst ihren ersten Derivirten überall in t stetig ändert, auf der Begrenzung von t überall n. • 7

50 ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET'SCHE PRINCIP.

beliebig vorgeschriebene (stetig veränderliche) Werthe annimmt und inner- halb t überall der Gleichung

d^w d^io d'^w

Genüge leistet. — Dieser Satz ist eigentlich identisch mit einem anderen aus der Wärmelehre, der dort Jedem unmittelbar evident erscheint, dass nämlich, wenn die Begrenzung von t auf einer überall beliebig vorgeschriebenen Tem- peratur constant erhalten wird, es stets eine, aber auch nur eine Temperatur- vertheilung im Inneren giebt, bei welcher Gleichgewicht stattfindet; oder dass, wie man auch sagen kann, wenn die ursprüngliche Temperatur im Inneren eine beliebige war, diese sich einem Finalzustande nähert, bei welchem Gleich- gewicht stattfinden würde. ((

»Wir beweisen den Satz, indem wir von einer rein mathematischen Evidenz ausgehen. Es ist in der That einleuchtend, dass unter allen Functionen u, welche überall nebst ihren ersten Derivirten sich stetig in t ändern und avif der Begrenzung von t die vorgeschriebenen Werthe annehmen, es eine (oder mehrere) geben muss, für welche das durch den ganzen Eaum t ausgedehnte Integral

--IBHI^hmV

seinen kleinsten Werth erhält. Wir wollen eine solche Function gerade mit u und das Minimum des Integrals mit U bezeichnen. Sei nun u' irgend eine andere Function, welche dieselben Grenz- und Stetigkeitsbedingungen wie u erfüllt, und U' der entsprechende Werth des Integi-als, so kann U'—U nie negativ sein. Setzen wir nun

u + hw = u',

wo h einen unbestimmten constanten Factor bezeichnet, so ist w eine Func- tion, welche dieselben Stetigkeitsbedingungen wie u und u' erfüllt und auf der Begrenzung von t überall gleich Null wird, sonst aber ganz willkürlich ist. Dann findet man leicht

Ü'-U = 2hM+h'N,

ÜBEK DAS SOGENANNTE DIEICHLET'SCHE PKINCIP. 51

(WO

-. f\öu div du dw du div ) ,

J \ dx dx dy dy de dz ) '

ist. Durch theilweise Integiation mit Rücksicht auf die Grenz- und Stetig- keitsbedingungen für w und die Stetigkeitsbedingungen für die ersten Deri- virten von u findet man leicht

Da nun U'—U für jedes auch noch so kleine h niemals negativ sein kann, und N eine endliche positive Grösse ist, so folgt, dass M nothwendig gleich Null ist; und da dies der Fall sein muss, wie auch w beschaffen sein mag, so müssen wir schliessen, dass überall innerhalb t (höchstens mit Ausnahme einzelner Flächen, Linien, Punkte)

d'u d'u d^u

sein muss; denn wäre dies Trinom in einem körperlichen Räume von Null verschieden, so brauchte man nur iv überall dasselbe Zeichen wie jenem Tri- nom zu geben, um einen von Null verschiedenen Werth für M zu erhalten.« »Es giebt also jedenfalls eine solche Function u, welche die angegebenen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt und der partiellen Differential- gleichung genügt. Aber es giebt auch nur eine einzige solche Function u. Denn ist u'=u-\-w ii-gend eine andere Function, welche dieselben Grenz- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt, so ist das entsprechende Integral

"""-imH^Km^'-

und folglich ist U wirklich ein absolutes Minimum; und sollte etwa U' = U sein, so müsste, Avie leicht zu sehen, im ganzen Räume t

/ötcV /öwV (dtoV 'sein. Daraus würde folgen, dass w constant ist; und da es stetig und auf

52 ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET'SCHE PRINCIP.

der Begrenzung von t Null ist, so muss es überall Null sein, d. h. u' muss mit u identisch sein.«

»Es wird später gezeigt werden, dass dieses u, welches die Grenz- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt, und von welchem wir wissen, dass es der par- tiellen Differentialgleichung höchstens in einzelnen Punkten, Linien oder Flächen innerhalb t widerspricht, überall, d. h. in jedem Punkte ihr ge- nügen muss, dass also solche Ausnahmestellen unmöglich sind.«

Unter der Voraussetzung, dass es für den Raum t überhaupt eine den festgesetzten Grenz- und Stetigkeitsbedingungen genügende Function gebe, soll hiernach das im Vorstehenden auseinandergesetzte Dirichlet'sche Ver- fahren dazu dienen, die Existenz einer Function von x, y, z nachzuweisen, welche der Differentialgleichung

ö'm ö'm fl"«

xmd zugleich den angegebenen Nebenbedingungen genügt. Das letztere ist in jedem bestimmten Falle leicht zu beweisen; das andere aber gilt nur in dem Falle, wo sich zeigen lässt, dass es eine Function ii giebt, für welche der Werth des Ausdrucks

i\m*m^m\-'

ein (absolutes) Minimum ist. Dieses lässt sich aber aus den von Dirichlet gemachten Voraussetzungen keineswegs folgern, sondern es kann nur behaup- tet werden, dass es für den in Rede stehenden Ausdruck eine bestimmte untere Grenze giebt, welcher er beliebig nahe kommen kann, ohne sie wirk- lich erreichen zu müssen. Hiemach erweist sich Dirichlet' s Schlussweise als hinfällig.

Ich will schliesslich das Vorstehende noch an einem einfachen Beispiel erläutern, durch welches die Unzulässigkeit der Dirichlet' sehen Schlussweise evident dargethan wird.

Es bezeichne nämlich <p(a;) eine reelle eindeutige Function der reellen Veränderlichen x von der Beschaffenheit, dass erstens ^{x) und ^ ■ im Intervall (— 1 — i-l) stetige Functionen von x sind, und dass zweitens cp(a;) an der Grenze —1 des Intervalls den vorgeschriebenen Werth a, an der

ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET'SCHE PRINCIP.

53

[Grenze + 1 den vorgeschriebenen Werth h hat. Dabei sollen die beiden Con- 'stanten a und b zwei von einander verschiedene Grössen sein. Wenn nun idie Dirichlet'sche Schlussweise zulässig wäre, so müsste sich unter den be- itrachteten Functionen (f{x) eine solche specielle Function befinden, für welche [der Werth des Integrals

[gleich der unteren Grenze aller derjenigen Werthe ist, die dieses Integral [für die verschiedenen der betrachteten Gesammtheit angehörenden Functionen I ?p {x) annehmen kann.

Die erwähnte untere Grenze ist aber in dem vorliegenden Falle noth- ! wendig gleich Null. Denn setzt man z. B.

,. a + b b — a ° s.

arctg —

wo e eine willkürlich anzunehmende positive Grösse bezeichnet, so erfüllt diese Function die beiden ersten Bedingungen; und da

J-

-jy^^h

und

dx

2 arctg \ so ist für diese specielle Function

f2arctgY]

s {b-af arctg —

x^ + e

+• tdx

x' + i'

und somit

J<

Daraus erhellt, da man s beliebig klein annehmen kann, dass die untere Grenze des Werthes von J gleich Null ist, denn negative Werthe kann / überhaupt nicht annehmen.

54 ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET'SCHE PRINCIP.

Diese Grenze kann aber der "Werth von / nicht en*eichen, wie man auch den obigen beiden Bedingungen gemäss die Function <f{x) wählen möge. Denn da ff{x) und ^ stetige Functionen von x sein sollen, so wäre hierzu erforderlich, dass

dx

für jeden dem Intervall (— 1 — hl) angehörenden Werth von x verschwinde, dass also (f(x) eine Constante sei. Dies ist aber mit der Annahme, dass a und b von einander verschieden sind, unverträglich.

Die Dirichlet'sche Schlussweise führt also in dem betrachteten Falle offenbar zu einem falschen Resultat.

NEUER BEWEIS

EINES HAUPTSATZES DER THEORIE DER PERIODISCHEN

FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN.*)

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 9. Nov. 1876

mit einigen Veränderungen abgedruckt.)

1.

Eine Function f von n Veränderlichen (m^, w^, ... u^ kann so beschaffen fsein, dass für bestimmte Systeme constanter Grössen (P^, P^, ... P^) bei be- liebigen Werthen von m^, %,,... ^«„ die Gleichung

/■(m, + P.,m,+ P., ...««„+P„) = f(u„u„...u„)

f besteht. Die Function heisst alsdann periodisch, und jedes einzelne Grössen- system (P,, P,, ... P„) ein Periodensystem derselben.**)

Aus dieser Definition ergeben sich die folgenden Sätze: 1) Ist

(p:,p,',.;.p:)

ein Periodensystem einer Function von 7i Veränderlichen, so ist auch

(-p;,-p;,...-p;)

ein solches.

*) Vgl. Hermite, Extrait de lettres ä C. G. J. Jacobi (Crelle's Journal Bd. 40, S. 310); und Rie- mann, Auszug aus einem Schreiben an We i e r s t r a s s , (ebd. Bd. 71, S. 197; Riemann's Gesanunelte Werke S. 276).

**) Dies gilt, mag die Function f eine analytische Function sein oder nicht. Ist sie mehrdeutig, . 80 besagt die aufgestellte Gleichung , dass die Gesammtheit der zu einem bestimmten Werthsystem 1(1«,, u,, ... Um) gehörigen Werthe von /■ identisch ist mit der Gesammtheit der zu (m,+P,, ««,+P,, ... m„+P„) gehörigen.

56 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

2) Sind

(p;,p;,...p;), (pr,p.",...p:)

irgend zwei Periodensysteme der Function, so ist auch

ein solches System.

Aus diesen beiden Sätzen folgt dann der allgemeinere:

3) Sind irgend ?• Periodensysteme

(p:,p;,...p;), (p;',p;,...p:), ... {pr,pr,...p:r)

der Function gegeben, so kann man aus ihnen beliebig viele andere (Pj, Pj, . .. P„) ableiten, indem man r ganze Zahlen (m^, m^, . . . m^) willkürlich annimmt und (für u = 1, ... n)

Pa = i»*^Pl^'

setzt.

4) Werden aus der Gesammtheit der Periodensysteme der betrachteten Function irgend (p + l) Systeme

K-'^ll X 2, . . . J. „;, ... yj. ^ , J. , , . . . J. „ J

willkürlich herausgehoben, und ist

"d ^^^ Paß + Waß !

^o Paß ^^^ P'a^ reelle Grössen bedeuten; so lassen sich im Falle, dass p > 2n ist, stets (p + 1) reelle Grössen (f*i) ••• ;*„+,) bestimmen, welche die 2n Gleichungen

S (^ßl^aß = 0, S ^^ßP'aß = 0 («= 1,...«)

befriedigen und nicht sämmtlich gleich Null sind. Möglicherweise ist dies auch noch der Fall für p = 2w — 1, q = 2n — 2 u. s. w., jeden- falls aber nicht für q = 0. Es muss also einen kleinsten, zwischen 0 und 2m — 1 liegenden "Werth von p geben, bei dem es noch möglich ist, die vorstehenden Gleichungen für beliebige (9 + I) Perioden- systeme in der angegebenen Weise zu befriedigen. Dieser Werth von Q werde fortan mit r bezeichnet. Dann existiren nothwendig Com-

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN. 57

plexe von r Periodensystemen, für welche den in Rede stehenden Gleichungen, wenn man q = r — 1 nimmt, nur dadurch, dass man jeder der Grössen /*,, ... ft,. den Werth Null giebt, genügt werden kann. Angenommen nun, es seien

(p;,p:, ...p:), (p:,p,", ...p:), ... iPr,pr,-.>pr)

irgend r Systeme, welche einen solchen Complex bilden, und

(JTj, x^j, ... Jr„)

ein beliebiges Periodensystem, so lassen sich (»" + 1) reelle Grössen ft, /*j, ... ft,., die nicht sämmtlich den Werth Null haben, so bestimmen,

dass die Gleichungen

(a = 1 , . . . n)

bestehen.

In diesen Gleichungen hat dann ii nothwendig einen von Null verschiedenen Werth; man erhält also, wenn man

setzt,

(A)

	iß = l,.	..r)
P, = ±m^P[f^,
P, = ±m^Pi^\ (1=1

Zugleich folgt aus der angenommenen Beschaffenheit der Systeme

(PP,Pi^>,...Pi^'),

dass zu einem bestimmten Periodensysteme (P,, P^, ... P„) nur ein System reeller Grössen »j^, »Wj, . .. jw^, für welches die vorstehenden Gleichungen gelten, gehört. 5) Obgleich die Function unendlich viele Periodensysteme besitzt, so kann sie doch so beschaffen sein, dass die Anzahl derjenigen Perioden- systeme, in denen jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach n. 8

58 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht überschreitet, endlich ist. In diesem Falle sind die in den vorstehenden Gleichungen (A) vor- kommenden Grössen 7»^, wj^, ... m^ immer rationale Zahlen. Es lassen sich alsdann die Periodensysteme

(TU -p -pt\ fpii -pii -pii\ (pm -pm -pm\

V-'^l» -'S) • • • -'• m/ ! k-*^! ) -'^2 ) • • • -'^M / > V-*^ I ) ■*• 2 > • • • ^n J

stets auch so auswählen, dass die Grössen m^, m^, ... v\. für jedes Periodensystem (P^, P^, ... P^) sämmtlich ganze Zahlen werden. Der Beweis dieses fundamentalen Satzes kann folgendermassen geführt werden.

Es bedeute A irgend eine der Zahlen 1, 2, ... r, so fasse man, unter der Voraussetzung, dass die Periodensysteme

den unter 4) angegebenen Bedingungen gemäss angenommen seien, diejenigen Periodensysteme (P^, P^,, ... P^) in's Auge, für welche die in den Gleichungen (A) vorkommenden Grössen m^, m^, ... m^, folgenden Bedingungen genügen:

0 < w^ < 1 , wenn /3 < A , 0 = ntß , wenn ^ > A.

Solche Systeme giebt es — namentlich ist (Pf ', P*, . . . P,f') eines von ihnen — ; sie sind aber, weil durch die angegebene Beschränkung der Grössen niß für den absoluten Betrag jeder einzelnen Periode eine Grenze, die er nicht überschreiten kann, festgestellt wird, nur in endlicher Anzahl vorhanden, und es muss sich unter ihnen eines finden, für welches m^ den kleinsten Werth hat. Die zu diesem System gehörigen Grössen m^, ... m^ mögen mit »»'/"', ... m* bezeichnet werden.

Nach diesen Festsetzungen ist, wenn m[, m'^^ . . . m'^ reelle Grössen sind, welche die Bedingungen

0 < m; < m[", 0 < m; < «4", 0 < < < m';'

erfüllen, das System ;

S=l ' «=1 ' ii = l /

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN. 59

ein Periodensystem nur in dem Falle, wo m\^ m'^^ . . . ni[ sämmtlich gleich Null sind.

Nun werde gesetzt

(B) p„. = s,<>pf. (i: ;;::::)

so lässt sich, wenn m^, m^^ ... m^ beliebige reelle Grössen sind, der Ausdruck stets auf die Form

in der Art bringen, dass ni[, m'^, . . . m'^ die eben angegebenen Bedingungen erfüllen und zugleich v^, v^, ... v, ganze Zahlen werden; was aus den zu be- friedigenden Gleichungen

«t, = v^ m[" + V, mf H Vv^ m'P + m\

xinmittelbar ersichtlich ist. Wenn aber

[ii'»>Hn\ ±»>!^pi^\ t^ßPf]

\/5 = i ' 1^ = 1 ß = l I

ein Periodensystem ist, so ist auch

ein solches, und es müssen daher «w'^, ?»,,... /»^ sämmtlich gleich Null sein. \ Man hat also

und die Gleichungen (A) wandeln sich um in die folgenden:

/ p. = i:^^p.^.

I r

(C) { -P» =.2//»-^«;"

f

P„ = t Vf^nr

8«:

60 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

Die durch, die Gleichungen (B) definirten Periodensysteme

sind demnach so beschaffen, dass sich aus ihnen alle übrigen auf die oben — unter 3) — angegebene Weise ableiten lassen.

In den Gleichungen (C) nehme man nun, unter y eine der Zahlen 1, 2, ... r verstehend,

p — p(y) p _ p(y) p — pM

■'■ 1 — ■'■ 1 ) ■'•2 — ■'- a 1 • • ' •'■ n — -*■ n )

und bezeichne die Werthe, die dann v^, v^, ... v^ haben, mit so dass man

hat. Dann ist die Determinante

nothwendig von NuU verschieden, weil sich sonst die In Gleichungen

•• r

durch reelle Werthe der Grössen /t^,, ohne dass diese sämmtlich gleich Null zu sein brauchten, würden befriedigen lassen. Man kann daher, wenn Vj, Vj, ...v^ beliebige ganze Zahlen sind, r rationale Zahlen »m,...w, so bestimmen, dass die r Gleichungen

r

H'myV^f = Vp (ß=:l,...r)

bestehen. Dann ist gemäss den Gleichungen (C)

Pa = 'E v^P,^ = ± m,P^'^ = ± m.Pf (« = 1,...^).

Da es nun, wie vorhin bemerkt worden, für jedes Periodensystem (Pj, Pj, ... P„) nur ein System reeller Grössen m^, m^, ... m^, giebt, für das die Gleichungen (A) gelten, so ist bewiesen, dass diese Grössen, wie man

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN YON MEHREREN VERÄNDERLICHEN.

luch die r Periodensysteme

61

den unter 4) angegebenen Bestimmungen entsprechend annehmen möge, stets rationale Zahlen sind.

6) Zu dem vorstehenden Satze ist noch Folgendes zu bemerken.

Angenommen, es seien für eine periodische Function von n Veränder- Jichen die Zahl r und die Grössen P^^' so bestimmt, wie unter 4) angegeben rde. Setzt man dann, unter m^, m^, ... m^ reelle Grössen verstehend, wie oben

r r

ßz=i ' ' (9 = 1 '

SO hat der Ausdruck

= 2|P„

stets einen positiven Werth, wenn die Grössen m nicht sämmtlich gleich Null t sind. Es ist deshalb, wenn g eine willkürlich angenommene positive Grösse

r

bezeichnet, P>g, sobald der Werth von y] tnl eine bestimmte Grenze über- schreitet, und es giebt daher unter denjenigen Werthsystemen (m^, m^, ... mj, f in denen jede einzelne Grösse eine ganze Zahl ist, nur eine endliche Anzahl solcher, für welche die absoluten Beträge von P,, P^, ... P,^ sämmtlich kleiner als g sind. Daraus folgt, dass die Gleichungen (A), wenn in denselben den Grössen m^, m^, . . . m^. bloss ganzzahlige Werthe gegeben werden, sämmtliche Periodensysteme der Fimction nur in dem Falle liefern können, wo die oben (im Anfange dieser No.) in Betreff der Beschaffenheit der Function gemachte Voraussetzung zutrifft.

Diese Voraussetzung ist aber gleichbedeutend mit der Annahme, dass die Function kein System unendlich kleiner Perioden besitze.

Man setze

■P« = Pa + iP»+a, (a = l,...M)

I wo p^ und p^_^^ reelle Grössen bedeuten, und nehme an, es lasse sich eine positive Grösse k so bestimmen, dass in jedem Periodensystem wenigstens eine der Grössen p^i p^, ■•■Pi„ dem absoluten Betrage nach grösser als h ist.

62 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

Wenn man dann 2n ganze Zahlen

n. ^2, ••• 1^2»

willkürlich annimmt, so kann es höchstens ein Periodensystem geben, in welchem die Gxösäen p^, p^^ . . . p^^^ den Bedingungen

VxJc ^ Pi < Vj^lc + Je (X = 1 , ... 2m)

genügen. Denn angenommen, es sei

(p'i + ¥„+t, p[ + ¥„+, , ■'■K + «Xn)

ein solches, und {q^, q^, ... q^^) ein beliebiges System von 2n Grössen, welche ebenfalls die Bedingungen

Vxk ^ Qx '=c Vf^lc + k {l = l,...2n)

erfüllen, so ist, wenn man

Qu = Ih+h

setzt, \ dem absoluten Betrage nach kleiner als k, und deshalb

(/.-, + «^•„+1 , ^2 + iK+i I •••'''«+ «/'■»») kein Periodensystem; woraus folgt, dass auch

kein solches ist.

Nun sei g eine willkürlich angenommene positive Grösse, so giebt es nur eine endliche Anzahl solcher Zahlensysteme (v^, v^, ... v^J, für welche

vjc, vjc, ... v^,,k

sämmtlich zwischen den Grenzen ^, —g liegen; es existirt also auch nur eine endliche Anzahl von Periodensystemen, für welche jede der Grössen 2h ihi^em absoluten Betrage nach kleiner als g ist.

2.

Ich will jetzt annehmen, die betrachtete periodische Function /"(m^, u^, ... u ) sei eine eindeutige analytische Function, und zunächst nachweisen, dass dieselbe ein System unendlich kleiner Perioden nur in dem Falle besitzt, wo sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen von u^,u^,...u^ sind, darstellen lässt.

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN.

Es seien v^, v^, ... v^^^ ganze lineare Functionen von u^,u^,..

u.

n)

63 und

%+Pn für u^,u^, ...u„ v^^^ ausdrücken lässt,

c«, SO können n Grössen P^, P,, ... P„ so bestimmt werden, dass v^, v^, sich nicht ändern, wenn man u^+ P^, u^ + P^, 3tzt. Im Falle, dass sich /' als Function von v^, v^, Bt also

/■(«. + P, , «, + P, , . . . U„ + P„) = /-(m, ,tt,,... M„).

Man kann aber (w — m) der Grössen P beliebig annehmen , und giebt man "diesen unendlich kleine Werthe, so werden die übrigen ebenfalls unendlich klein. Es besitzt also f{u^,u^,...u^) Systeme unendlich kleiner Perioden.

Bezeichnet man f, als Function von v^, v^, . . . v^^^ betrachtet, mit /", so hat man

du„

- df dv^^

(a

.«)

es bestehen also zwischen den ersten partiellen Ableitungen von f, von denen jetzt die nach u^ genommene mit A^,, «*,,... m,,)^ bezeichnet werden möge, (n — m) Gleichungen von der Form

1'

^Lwo Cj, Cj, ... f„ Constanten bezeichnen, welche nicht sämmtlich gleich Null sind.

^B Dagegen findet bekanntlich, wenn die Function f nicht die besondere Eigenschaft besitzt, sich auf die angegebene Weise in eine Function von weniger als n Argumenten verwandeln zu lassen, unter ihren Ableitungen keine solche Relation statt, und es ist daher möglich, n nicht singulare*)

^ Werthsysteme der Grössen u^, u^, ... «^„

I {K,K,...u'„), «,«c •••<), «',<,

K so anzunehmen, dass die Determinante

/■«, m;, ...«;.),, ... /■(«;,<.•••<),. /•«, <, ...iQ,, ... fite';, <, ...<)„

<>)

einen von Null verschiedenen Werth hat.

*) Es ist («',, u',, . . . «;,) ein nicht singuläres Argnmentensystem, wenn sich /"(«i, «j, . • . w„) unter der Bedingung, dass die absoluten Beträge von Mj — u',, «,—1*2, ... «„—«;, gewisse Grenzen nicht übersteigen, nach ganzen positiven Potenzen dieser Differenzen in eine convergirende Reihe entwickeln lässt.

64 NEÜEK BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

Man kann dann ferner, unter h^,\,...h^ veränderliche Grössen ver- stehend, deren absolute Beträge eine Grenze h nicht übersteigen sollen, die letztere so klein annehmen , dass (für a = l, ... n)

= th tf« + tK , <' + th„... <' + tK)^ dt ,

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von h^^\, ... h^ betrachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser n Gleichungen, welche für unendlich kleine Werthe von Ä^, Ä^, ... \ unendlich wenig von der Aor- stehenden verschieden ist, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlich gleich Null, wenn sämmtliche Grössen \, h^, ■■■ \ es sind. Hiernach ist es unmöglich, dass in einem Periodensystem der Function /" jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach kleiner als h sei; mit anderen "Worten, die Function besitzt kein System unendlich kleiner Perioden. Es gilt also der Satz:

»Eine eindeutige analytische Function von n Veränderlichen sei periodisch, ohne als Function einer geringeren Anzahl von Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellbar zu sein, und r sei für sie die oben für eine beliebige periodische Function definirte Zahl, welche also einen der Werthe 1,2,... 2?j hat. Dann lassen sich stets r Periodensysteme

der Function so auswählen, dass durch die Gleichungen

ß=l '' ''

in denen ",, v^, ... v^ beliebig anzunehmende ganze Zahlen bezeichnen, sämmtliche Periodensysteme der Function geliefert werden.« Hierzu ist noch zu bemerken, dass es unmöglich ist, aus irgend welchen (r — l) Periodensystemen alle übrigen abzuleiten; was aus der gegebenen Defi- nition der Zahl r unmittelbar hervorgeht.

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN.

Dagegen lassen sich, die r Systeme

65

lurch unendlich viele Complexe von r anderen ersetzen. Nimmt man nämlich an

"?

1,VßrP'

y = i

^Y-^ayl

70 die v^y ganze Zahlen bezeichnen, und es sollen sich aus den r Perioden- Isystemen

le übrigen ableiten lassen, so muss man haben [wo die vL ebenfalls ganze Zahlen bedeuten, und somit

r r

Es sind aber die Grössen P„j,, wie aus der gegebenen Definition der- I selben hervorgeht, so beschaflfen, dass es unmöglich ist, die n Gleichungen

S (lyPar = 0

y = i

(a = l,...M)

durch reelle Werthe von jt^, jt^, ... jt,., wenn diese nicht sämmtlich gleich Null sind, zu befriedigen. Folglich muss

1 , wenn y = d ,

S '^'liY'^ßi =

0 , wenn y^S,

sein. Daraus ergiebt sich

V„, ... V,, V,„ ... J/^

•

v[„ ... v'„ V'n, ■'■V'rr

1,

und es müssen daher die Zahlen v^^ so gewählt werden, dass die Determinante

= ±1

v„, ... v„.

n.

66 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

ist. Umgekehrt erhält man, wenn diese Bedingung erfüllt ist, die Grössen P„y durch die P„^ so ausgedrückt, dass die v'^y ganze Zahlen sind, und kann daher sämmtliche Periodensysteme (P^, P^, ... P„) auch aus den r Systemen

V-^li) -^UJ ••■ •'»11/) V-^irl -^!r) •'• -t^nr)

ableiten.

3.

Der im Vorstehenden bewiesene Satz gilt, wie ich jetzt zeigen will, auch in dem Falle, wo f{u^,u^,...uj eine m- deutige analytische Function ist.

Bezeichnet man die m Werthe der Function, welche zu demselben Werth-

system («,, «*2' ••• ^n) gehören, mit f ", /"'"? /'"") und versteht unter x eine

unbestimmte Grösse, so ist das Product

eine eindeutige analytische Function von u^,u^,...u^, und eine ganze

rationale Function von X', es können also /^", /""', /"'"" definirt werden als

die Wurzeln einer Gleichung >w*™ Grades

x'" + f,{u„u„...u„)x'"-' + +L{u„u„...u„) = 0,

deren Coefficienten eindeutige Functionen von u^^u^, ... u^ sind.

Diese Functionen von n Veränderlichen können nun so beschaffen sein, dass sie sich alle als Functionen einer geringeren Anzahl von Argumenten (v^, v^, ... Vf), welche ganze lineare Functionen von u^,\^...u^ sind, dar- stellen lassen. In diesem Falle kann man n Constanten c,, c^, ... c„, die nicht sämmtlich gleich Null sind, so bestimmen, dass die Gleichungen

befriedigt werden, und daher v^, v^, ... v^ sich nicht ändern, wenn man, unter t eine unbestimmte Grösse verstehend,

U^+C^t, U^+C^t, ... U„+ Cj für M,, M^, ... u„

setzt. Es bestehen also die m Gleichungen

(A) U»i + cJ,u, + cJ, ...u„ + cj) = f^{u„u,,...u„),

(/i = l,...m)

DEK PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN. 67

Fiind es sind demzufolge die m Werthe von f{u^ + cj, u^ + cj, ... u„+cj) iden- tisch mit den m Werthen von f(u^,u^,...uj.

Die Function f besitzt also, wenn f^, f^ die angegebene Beschaffen-

Iheit haben, ein Periodensystem (c^t,cj, cj), in vrelchem, wenn man t

[unendlich klein annimmt, jede einzelne Periode einen unendlich kleinen IWerth hat.

Aus den Gleichungen (A) ergeben sich die nachstehenden :

(B) ±cjf''^''^^^ "»^ = 0, (^=l,...m)

a = 1 OMa

[welche also eine noth wendige Folge der in Betreff der Functionen /"j, f^

gemachten Annahme sind.

Umgekehrt haben diese Functionen die in Kede stehende Beschaffenheit, fwenn für irgend ein System constanter Grössen c^, c^, ... c^, die nicht sämmt- •lich gleich Null sind, die Gleichungen (B) bestehen. Denn dann ist

dt . — "'

also ffX^i + c^t,u^ + cJ, ... u^+cj) von t unabhängig, und es gelten somit die Gleichungen (A). Setzt man aber in den letzteren

wo A. so zu wählen ist, dass Cj^ nicht den Werth Null hat, so ergiebt sich

4(«i)«a,---W,.) == fi,{v„v,,...v„), (li = l,...m)

wo

Nun ist aber, damit f{u^,u^,...u^^) als Function von (n — l) linear durch M,, «,, ... u^ ausdrückbaren Argumenten betrachtet werden könne, nothwendig und hinreichend, dass sich /",(«,) «*j, •••«„)>••• /*m(^,) w,, ••• «<„) sämmtlich als Functionen derselben (n — l) Grössen darstellen lassen. Wenn also, wie in dem zu beweisenden Satze angenommen wird, f{u^i\i ••■ u^) die angegebene besondere Beschaffenheit nicht besitzt, so ist es unmöglich, dass für irgend ein System constanter Grössen (c^, c,, ... c^), wofern nicht jede von ihnen den

9»

68 NEUER BEWEIS EINES HAUPTSATZES DER THEORIE

Werth Null hat, die m Functionen

n

a= 1

wo ^(«<,> ••• ^„)„ <iie erste Ableitung von ^.K' ^2» • •• ^„) ^^^h «^_^ bedeutet, alle identisch gleich Null sind. Daraus lässt sich folgern, dass man n nicht singulare Werthsysteme

(m;,...<), «,...<),

«',... iC)

und » ganze Zahlen f*,, f*,, • •• ft„, von denen jede einen der Werthe 1, 2, ... m hat, so auswählen kann, dass die Determinante

D

^„«.■•■<")., •■./^, «',...<')„

so dass

einen von Null verschiedenen Werth erhält.

Man bezeichne, unter s eine der Zahlen 1, 2, ...w verstehend, mit D die Determinante

/■^.K- •••<)>, ••• /ii..«, •••<),

und D^ = D ist. Dann hat man, wenn *> 1,

wo D^_j, Z)^_j, ... nur von den (* — 1) ersten Werthsystemen («*'"',.•• «^l"') ^^" hängen. Sind nun diese und die Zahlen /*,,... ftj_, so gewählt, dass D^_ nicht gleich Null ist, so ist

nicht für jeden Werth von ft identisch gleich Null; man kann also (i^ und

«,...<»') so annehmen, dass auch D^ nicht gleich Null ist. Da nun nicht alle Functionen

DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN TERÄNDERLICHEN. 69

gleich Null sind, so kann man zunächst

(ti und ii,\ , i<2 , ... u',^ ,

(t, und m", <, ...t«;;,

sodann

u. s. w. bis zuletzt

^„ und <',<>,...<

so wählen, dass D.D,, ... D sämmtlich von Null verschiedene Werthe er- halten.

Man kann dann femer eine Grenze h so fixiren, dass für alle Werth-

systeme

{h^,h„ ... /(„),

in denen jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleiner als h ist,

f^^K + h,, ... <' + A,.)-/^,«, ...<')

= ^l^?fu^{< +th„... <' + tJi„)^ dt, (s=l,...n)

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von h^,...h^^ be- trachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser Gleichungen, welche bei einem unendlich kleinen Werthe von h sich unendlich wenig von D unter- scheidet, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlich gleich Null, wenn sämmtliche Grössen ä,, ... h^ es sind. Es ist also unmöglich, dass in einem gemeinschaftlichen Periodensysteme der Functionen

jede einzelne Periode dem absoluten Betrage nach kleiner als h sei. Da nun die ?w Werthe von f{u^ + h^,u^+h^, ... u^^ + hj nur in dem Falle, wo (ä,, ä^, ... ä^) ein gemeinschaftliches Periodensystem der Functionen /",, .-./j,, ist, mit den m Werthen von f(u^,u^, ... u^) identisch sind, so folgt, dass die Function /"(««,,...«,,), wofern sie nicht die besprochene besondere Beschaffen- heit hat, kein System unendlich kleiner Perioden besitzt, und demnach der in (2.) für eine eindeutige Function aufgestellte Satz bestehen bleibt, wenn das Wort »eindeutig« in »m-deutig« umgeändert wird.

ANMERKUNGEN.

(Vom Jahre 1886.)

1) Unter welchen Bedingungen der vorstehende Satz für eine analytische Function /'(«,,Uj, ... u„) auch in dem Falle gültig bleibe, wo sie so beschaffen ist, dass zu jedem Werthsysteme der Veränderlichen Ui, «,,...«„ unendlich viele Werthe von /■(«!,«,,...«„) gehören, ist noch nicht ermittelt worden. Dass es aber Functionen dieser Art giebt, für welche der Satz nicht gilt, ist bekannt. Herr Casorati hat bereits vor Jahren gezeigt, wie sich analytische Functionen eines Arguments, deren Perioden sich nicht aus zwei derselben ableiten lassen, in sehr einfacher Weise definiren lassen. (Comptes rendus, 21 döc. 1863 et 25 janv. 1864.)

2) Das in § 1 begründete Theorem gilt, wie schon oben bemerkt worden ist, für eine beliebige (analytische oder nicht analytische) Function /■(«,, «j, ... m„). Es findet also auch Anwendung, wenn diese Function nur für reelle Werthe der Veränderlichen m,, Mj, ... «„ definirt ist und somit auch nur Systeme reeller Perioden in Betracht kommen, in welchem Falle dann die Zahl r der gegebenen Definition nach nicht grösser als n sein kann. Dagegen ist der Satz, dass eine Function von n Variabein nur dann Systeme unendlich kleiner Perioden haben kann, wenn sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellen lässt, von mir nur für ein- oder wi-deutige analytische Functionen bewiesen worden. Auf eine nicht analytische eindeutige und stetige Function reeller Argumente findet jedoch der gegebene Beweis auch noch Anwendung, wenn die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Function existiren und ebenfalls stetige P'unctionen sind. Dass der in Rede stehende Satz aber richtig ist und sich beweisen lässt, wenn für eine Function reeller Veränderlichen nur feststeht, dass sie eindeutig und stetig sei, hat neuerdings Herr Kronecker nachgewiesen. (Sitzungsberichte der Ber- liner Akademie, 20. November 1884.)

ÜBER CONTINUIRLICHE FUNCTIONEN EINES REELLEN ARGUMENTS,

DIE FÜR KEINEN WERTH DES LETZTEREN EINEN BESTIMMTEN

DIFFERENTIALQUOTIENTEN BESITZEN.

(Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 18. Juli 1872.)

Bis auf die neueste Zeit hat man allgemein angenommen, dass eine ein- deutige und continuirliche Function einer reellen Veränderlichen auch stets eine erste Ableitung habe, deren Werth nur an einzelnen Stellen unbestimmt oder unendlich gross werden könne. Selbst in den Schriften von Gauss, Cauchy, Dirichlet findet sich meines Wissens keine Äusserung, aus der unzweifelhaft hervorginge, dass diese Mathematiker, welche in ihrer Wissen- schaft die strengste Kritik überall zu üben gewohnt waren, anderer Ansicht gewesen seien. Erst Riemann hat, wie ich von einigen seiner Zuhörer erfahren, mit Bestimmtheit ausgesprochen (i. J. 1861, oder vielleicht auch schon früher), dass jene Annahme unzulässig sei und z. B. bei der durch die xmendliche Reihe

" sm{n'x) (1=1 '»

dargestellten Function sich nicht bewahrheite. Leider ist der Beweis hierfür von Riemann nicht veröffentlicht worden und scheint sich auch nicht in seinen Papieren oder durch mündliche Überlieferung erhalten zu haben. Dieses ist um so mehr zu bedauern, als ich nicht einmal mit Sicherheit habe erfahren können, wie Riemann seinen Zuhörern gegenüber sich ausgedrückt hat. Die Mathematiker, welche sich, nachdem die Riemann' sehe Behauptung in weiteren Kreisen bekannt geworden war, mit dem Gegenstande beschäftigt haben, scheinen (wenigstens in ihrer Mehrzahl) der Ansicht gewesen zu sein.

72 ÜBER CONTINUIRLICHE FUNCTIONEN, DIE FÜR KEINEN WERTH DES ARGUMENTS

es genüge, die Existenz von Functionen nachzuweisen, welche in jedem noch so kleinen Intervalle ihres Arguments Stellen darbieten, wo sie nicht difFe- rentiirbar sind. Dass es Functionen dieser Art giebt, lässt sich ausserordent- lich leicht nachweisen, und ich glaube daher, dass Riemann nur solche Functionen im Auge gehabt hat, die für keinen Werth ihres Arguments einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. Der Beweis dafür, dass die angegebene trigonometrische Reihe eine Function dieser Art darstelle, scheint mir indessen einigermassen schwierig zu sein; man kann aber leicht continuirliche Functionen eines reellen Arguments x bilden, für welche sich mit den einfachsten Mitteln nachweisen lässt, dass sie für keinen Werth von X einen bestimmten Differentialquotienten besitzen.

Dies kann z. B. folgendermassen geschehen.

Es sei X eine reelle Veränderliche, a eine ungrade ganze Zahl, h eine positive Constante, kleiner als 1, und

f{x) = |;6»cos(a"a;u);

»1 = 0

so ist f{oc) eine stetige Function, von der sich zeigen lässt, dass sie, sobald der Werth des Products ab eine gewisse Grenze übersteigt, an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitzt.

Es sei x^ irgend ein bestimmter Werth von x, und m eine beliebig an- genommene ganze positive Zahl; so giebt es eine bestimmte ganze Zahl a,„, für welche die Differenz

die mit x^_^^ bezeichnet werde, > — !> aber <| ist. Setzt man dann

_ «m-l „-, _ «„.+ 1

so hat mau
	x'	-^0 = -	1 + *».+! 1'
es ist also			X' <X^'< x".

y. i__^m+l..

0 n™ '

Man kann aber m so gross annehmen, dass x\ x' beide der Grösse x^ so nahe kommen, wie man will.

EINEN BESTIMMTEN DIFFERENTIALQUOTIENTEN BESITZEN. 73

Nun ist

f(x') — f{x„) " /,„ cos(a"a;'ir) — cos(a"a;„ic)'

" /,„ cos {a"x tc) — cos [a x„t:) \

n = o\ X 3/(1 /

'^' // 7 \n COS (a" a;'ir) — cos (a" x„ tt) \ „=o\^ a"{x'-x„) )

^ |, A.„+„ . cos (a'"+"rg'7r)- cos («'"+» a;, TT) \

K = 0 \ X — Xg /

Der erste Theil dieses Ausdruckes ist, da

. 1 „X —Xn \

cos(a"a;7r) — cos(a"a;„ir) . /,, a;+a;„ \ \ 2 / ^^ zri—, r —^ = — TTSin a" — s— ^K ^—7

und der Werth von

„ X a;„ a

2 stets zwischen —1 und +1 liegt, dem absoluten Betrage nach kleiner als

m-i

also auch kleiner als

^W"

ab- Femer hat man, weil a eine ungrade Zahl ist:

cos(a"'+"a;'it) = cos («"(«,„- 1)11) = -(-1)""*, cos (a"""^" «„■::) = cos(a"a„,ir + a"a;„+,7t) = (— l)"'"cos(a"a;,„^.,ir), also

c-

V ^m+n / COS («"•"" a;'7r) - C03 («"■+» a;„ 7:) \ ^ (_l^''m/^^m |, l+cos(a"a:„^.7r)^„^

Alle Glieder der Summe

» 1 + C03(a"a;„^,u) ^^

sind positiv, und das erste, da cos(a;^^jTt) nicht negativ ist, l + a;„+, aber zwischen \ und f liegt, nicht kleiner als f.

n. 10

74 ÜBER CONTINUIRLICHE FUNCTIONEN OHNE DIFFERENTIALQUOTIENTEN.

Hiernach hat man

wo 7] eine positive Grösse, die >1, bezeichnet, während s zwischen —1 vmd + 1 enthalten ist.

Ebenso ergiebt sich

a!'-x.

■(-ir"'(«^r...(|-fe.^),

wo Y], ebenso wie y] positiv und >1 ist, e, aber zwischen —1 und +1 liegt. Nimmt man nun a, 6 so an, dass a&>l + fTC, also

2 it

3 ab-l ist, so haben

f{^')-fM ax")-f{x,)

x'-x„ ' x"-x^

stets entgegengesetzte Zeichen, werden aber beide, wenn m ohne Ende wächst, unendlich gross.

Hieraus ergiebt sich unmittelbar, dass f{x) an der Stelle {x = x^) weder einen bestimmten endlichen, noch auch einen bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten besitzt.

BEMERKUNGEN ZUR INTEGRATION

EINES SYSTEMS LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

MIT CONSTANTEN COEFFICIENTEN.

(Der Königl. Akademie der "Wissenschaften mitgetheilt am 28. Oct. 1875.)

Die Resultate, zu denen ich. in meiner Arbeit »Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen« gelangt bin, finden eine Anwendung bei der Auf- gabe der Integration eines Systems linearer Difi"erentialgleichungen mit con- stanten Coefficienten

(1.) S««^^ = 2*«^*«.

(a,ß = l,2,...n)

wo x^, x^, ••• ^„ die zu bestimmenden Functionen der unabhängigen Variabein t sind. Auf diese Form kann man jedes derartige System bringen. Denn sollten höhere Ableitungen, z. B. —£^ auftreten, so braucht man nur —f"- = x'^, —^f- = — ^ zu setzen. Multiplicirt man die Gleichungen (1.) mit n unbe-

Ctt (tt

stimmten Constanten «/» und addirt sie, so erhält man

(2.)

■ Vn),

wo

(3.)

? = S«a/<^«2/.^>

a,i

",(1

zwei bilineare Formen sind. Man kann annehmen, dass die Determinante I a^, I von Null verschieden ist. Denn sonst kann man den Grössen y^ solche Werthe B^ geben, dass identisch (f{x^, ... x^\B^, ... BJ — 0, also nach (2.) auch 4* (^,> ••• a;„| £,,... ü,,) = 0 ist. Ist nun keine der Gleichungen (l.) eine Folge der übrigen, so ist diese lineare^Gleichung nicht identisch erfüllt. Man kann daher eine der Functionen x^ durch die übrigen ausdrücken imd erhält dann aus dem gegebenen Gleichungssystem ein anderes mit nur n — l unbe- kannten Functionen. Ich bediene mich nun derselben Bezeichnungen wie in

10*

76 BEMERKUNGEN ZUR INTEGRATION EINES SYSTEMS ETC.

der. oben citirten Arbeit. Da \aJ von Null verschieden ist, so kann man dort g = 1i und h = 0 setzen und durch Einführung neuer Variabein die beiden bilinearen Formen auf die Gestalt bringen

(4.) <p = S(x,r,),^, ^ = Sc.Är,),^+s(x,F,),^_i,

wo {s—cj ^ die Elementartheüer der Determinante der Form Äcp — 1{) durchläuft und

H + v^e

ist. Daher geht die Differentialgleichung (2.) über in

(5.) s 2 ^i^Av = S S c,x^r,,+2 2 ^x,Yx..

Durch Vergleichung der Coefficienten von F^^ ergeben sich daraus die Differentialgleichungen

(6.) -^ = «^^.. ^ = c,Z^+X,„_..

Dies System zerfällt also in mehrere Systeme von der Form

deren jedes einem Elementartheiler {s — cf der Determinante von s^ — if ent- spricht. Multiplicirt man diese Gleichungen mit e~''\ so erhält man

und durch Integration

-|-(X,e-'') = At + A„ X, = (|^f + ^,^ + ^Je«', schliesslich

(8.) X, = (^f+-^f-+... + 4.)a^

Die Constanten A, A^, ... A^. sind die Anfangs werthe der Functionen X, X^, ... X^ für ^ = 0. Sie bestimmen sich mittelst der bekannten linearen Trans- formationsformeln aus den Anfangswerthen von x^,x^, ... x^.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

(Aus den Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften vom Jahre 1876.)

1. Einleitung.

Unter den eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen zeich- len sich die rationalen durch eine charakteristische Eigenthümlichkeit aus, lie zunächst festgestellt werden soll.

Ich will von einer eindeutigen analytischen Function f{x) der complexen ''eränderlichen x sagen, sie verhalte sich regulär in der Umgebung einer hestimmten Stelle (x = d), wenn sie innerhalb eines gewissen Bezirks, dessen Mittelpunkt a ist, überall einen endlichen und mit x stetig sich ändernden Werth hat. Nach einem bekannten Satze existirt dann eine Potenzreihe ^ («]«), welche innerhalb des genannten Bezirks die Function darstellt. Dies gilt auch, wenn « = 00 ist, indem unter ^(a;|oo) eine Potenzreihe von — zu verstehen ist.*)

Die Gesammtheit der Stellen, an denen f(x) diese beiden Eigenschaften besitzt, nenne ich den Stetigkeitsbereich der Function.

*) Ich bediene mich zur Bezeichnung einer Reihe von der Form

^AyX^ (r = 0, 1, 2, ...00)

V

in Fällen, wo es auf die Werthe der von x unabhängigen Coefficienten A„, A^, A^, ... nicht ankommt, des Zeichens ^{x), auszusprechen »Potenzreilie von x*. Ist ferner a ein bestimmter Werth von x, so schreibe ich 5p(a;| a) für ^(x—a), um hervorzuheben, dass a der Mittelpunkt des Convergenzbczirks der Reihe ist. Diese Bezeichnungsweise behalte ich auch bei, wenn a = cd ist, indem ich in diesem Falle der Formel

X— 00 die Bedeutung — gebe.

X

78 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Dieser Bereich ist — wenn man von dem Fall absieht, wo f{x) sich auf eine Constante reducirt — stets ein begrenzter, wie sich folgendermassen be- weisen lässt.

Es sei a irgend eine im Endlichen liegende Stelle und r der Radius des Convergenzbezirkes der Reihe ^(a;|a), welche die Function f{x) in einer ge- wissen Umgebung von a darstellt.

Hat r einen endlichen Werth, so giebt es unter denjenigen Werthen von X, für welche \x — a\^r ist,*) mindestens einen (ic'), der dem in Rede stehenden Bereich nicht angehört. Dann ist entweder x' selbst eine Grenz- stelle des Bereichs, oder es findet sich eine solche in der Strecke {x' ... a) zwischen x und a.

Ist dagegen r = oo, so giebt es unendlich grosse Werthe von x, denen auch unendlich grosse Werthe von f(x) entsprechen; in diesem Falle ist also die Stelle (ic = oo) — und zwar diese allein — vom Stetigkeitsbereich der betrachteten Function ausgeschlossen und bildet die Begi'enzung desselben.

Hiermit ist festgestellt, dass für jede Function f{x) im Gebiete der Veränderlichen x nothwendig singulare Stellen, wie ich sie nennen will, existiren, welche Grenzstellen des Stetigkeitsbereichs der Function sind, ohne diesem selbst anzugehören. (Das Letztere ergiebt sich unmittelbar aus der Definition des Stetigkeitsbereichs.)

Ist a irgend eine solche singulare Stelle, so giebt es innerhalb eines beliebigen Bezirks, dessen Mittelpunkt a ist, unendlich viele Stellen, die dem Stetigkeitsbereich von f{x) angehören. Möglicherweise gilt dies, wenn der Radius des Bezirks hinlänglich klein angenommen wird, von allen Stellen des letzteren, und dann kann es vorkommen, dass sich f{x) durch Multipli- cation mit einer ganzen Potenz von (x — a) in eine in der Umgebung von a regulär sich verhaltende Function verwandeln lässt. Jenachdem dies der Fall ist oder nicht, nenne ich a in Beziehung auf die Function f(x) eine ausser- wesentliche oder eine wesentliche singulare Stelle.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Eine Function f(x) kann so beschaffen sein, dass es im Gebiete von x Stellen giebt, die weder dem Stetigkeitsbereiche der Function (Ä) angehören, noch Grenzstellen desselben

*) Ich bezeichne den absoluten Betrag einer complexen Grösse x mit \x\

I

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FXINCTIONEN. 79

Sind. An diesen Stellen, deren Gesammtheit mit Ä' bezeichnet werden möge, ist dann die Function nicht definirt. Es ist aber Ä' ein Bereich von der- selben Beschaffenheit wie A\ nimmt man in demselben eine Stelle a beliebig an, so liegen auch alle einer gewissen Umgebung von a angehörigen Stellen ^n Ä' . Daraus folgt, dass der Bereich Ä' ein begrenzter ist, seine Grenz- stellen aber nicht zu ihm gehören, also, da sie auch nicht in A liegen, nothwendig mit Grenzstellen des letzteren Bereichs zusammenfallen, und zwar mit solchen, die wesentliche singulare Stellen für die betrachtete Func- tion sind. Nun liegt aber in jeder Strecke, die einen Punkt von A' mit einem Punkte von A verbindet, mindestens eine Grenzstelle des Bereichs ^"; es hat also die Function f{x) in dem angenommenen Falle unendlich viele wesentliche singulare Stellen. P Nach diesen Auseinandersetzungen lässt sich nun die Klasse der rationalen Functionen einer Veränderlichen (£) definiren als die Gesammtheit der- jenigen eindeutigen Functionen von r», für die es im Gebiete dieser Grösse nur ausserwesentliche singulare Stellen giebt.

Ist nämlich erstens f(x) eine rationale Function — im gewöhnlichen Sinne — und a irgend ein bestimmter Werth von x, so kann man /"(ic) zu- nächst als Quotienten zweier ganzen Functionen von {x — d)^ die für a; = a nicht beide gleich Null sind, darstellen und sodann, wenn von den nicht verschwindenden Gliedern des Divisors das niedrigste von der »t**" Ordnung ist, bei hinlänglich kleinen Werthen von (a; — a)

in eine Reihe ^(x|a) entwickeln; d. h. es existiren für die Function f{x) nui* ausserwesentliche singulare Stellen.

Angenommen zweitens, es sei f{x) eine irgendwie definiite eindeutige Function, von der sich feststellen lässt, dass für sie wesentliche singulare Stellen im ganzen Gebiete von x nicht existiren, so dass in der Umgebung jeder beliebig angenommen Stelle a die Function in der Form

(a;-a)-'"«ß(a;|a)

darstellbar ist, wo m eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet. Nimmt man zunächst a = oo, so giebt es nach dem Obigen im Innern des Convergenz-

80 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

bezirkes der Reihe '^{x\d), jenachdem m>0 ist, entweder gar keine singulare Stelle, oder nur die eine oo. Sämmtliche singulare Stellen — ausser oo — sind also in einem ganz im Endlichen liegenden Bereiche zu suchen. In demselben kann es aber nur eine endliche Anzahl solcher Stellen geben. Existiren nämlich für irgend eine eindeutige Function im Innern eines be- grenzten Bereichs unendlich viele ausserwesentliche singulare Stellen, so giebt es im Innern oder an der Grenze des Bereichs wenigstens eine Stelle, welche sich dadurch auszeichnet, dass in jeder Umgebung derselben von ihr ver- schiedene singulare Stellen vorhanden sind, und die deshalb nothwendig eine wesentliche singulare Stelle für die Function ist. Es ergiebt sich also aus der angenommenen Beschaffenheit der betrachteten Function f{sc) mit Nothwendigkeit, dass es für sie nur eine endliche Anzahl singulärer Stellen geben kann.

Es ist nun zunächst der Fall möglich, dass f(x) in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, also durch eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe von der Form

dargestellt werden kann. Dann hat die Function nur die eine singulare oo, und da diese der Voraussetzung nach eine ausserwesentliche ist, so muss sich eine ganze, nicht negative Zahl m so bestimmen lassen, dass

für jeden unendlich grossen Werth von x unendlich klein ist. Dies aber ist nach einem bekannten Satze nur möglich, wenn in der vorstehenden Reihe jeder Coefficient, dessen Index gi-össer als m ist, verschwindet. Es ist also in dem betrachteten Falle f{x) eine ganze rationale Function.

In dem Falle ferner, dass f{x) im Endlichen singulare Stellen besitzt, mögen dieselben mit

«1 , ... «r

bezeichnet werden, und es sei m^ die kleinste ganze Zahl, durch welche be- wirkt werden kann, dass die Function

(x-at)'"Y(a;)

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 81

der Umgebung der Stelle a^ sich regulär verhält. Dann ist

bine Function, welche in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle pich regulär verhält, woraus nach dem Bewiesenen folgt, dass f{x) in der

i'orm

G(x)

(x-a,) \..{x-a^)

iargestellt werden kann, wo G{x) eine ganze rationale Function von x be- leutet.

Hiermit ist bewiesen, dass durch die gegebene Definition wirklich die charakteristische Eigenthümlichkeit der rationalen Functionen einer Veränder- lichen ausgesprochen wird.

Durch die vorstehenden Erörterungen ist aber auch für die Untersuchung und Classification der transcendenten eindeutigen Functionen eines Argu- ments ein Fingerzeig gegeben.

Werden dem Stetigkeitsbereich einer Function diejenigen von seinen Grenzstellen, welche ausserwesentliche singulare Stellen für die Function sind, hinzugefügt, so entsteht ein Bereich A', von welchem man, dem soeben Festgestellten gemäss, sagen kann, dass in ihm f{x) überall wie eine rationale Function sich verhalte. Dieser Bereich ist ein unbegrenzter oder ein be- grenzter, je nachdem f{x) eine rationale oder eine transcendente Function ist, und im letzteren Falle wird seine Begrenzung von den wesentlichen singulären Stellen der Function gebildet, deren Anzahl endlich oder auch unendlich gross sein kann.

Betrachtet man nun als einer Klasse angehörend alle Functionen f{x), für welche der definirte Bereich A' ein und derselbe ist, so bildet nach dem Vorhergehenden die Gesammtheit der rationalen Functionen von x eine solche Klasse. Dagegen existiren unzählige Klassen von transcendenten Functionen f{x)] um für die Eintheilung derselben in Gattungen ein sachgemässes Princip zu gewinnen, wird man zu untersuchen haben, welche wesentlichen Ver- schiedenheiten in der Begrenzungsweise eines Bereichs A', der für eine Klasse eindeutiger Functionen von x die angegebene Bedeutung hat, möglich sind. Aber auch ohne auf diese Untersuchung näher einzugehen, wird man in den IL 11

82 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen die den rationalen Functionen am nächsten stehenden erkennen, und als einer Gattung angehörend alle diejenigen betrachten, für welche die Zahl solcher Stellen dieselbe ist.

Man überzeugt sich leicht, dass es Functionen dieser Art mit beliebig vielen, und zwar vorgeschriebenen wesentlichen singulären Stellen wirk- lich giebt.

Wie oben bemerkt worden, wird durch jede unendliche Reihe

deren Coefficienten gegebene Constanten und so beschaffen sind, dass die Reihe für alle endlichen Werthe der Veränderlichen x convergirt, eine Function mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo dargestellt. Das- selbe gilt, wie in ganz ähnlicher Weise gezeigt werden kann, wenn G^{x), G (x) zwei solche Functionen sind — wobei jedoch eine von ihnen auch eine ganze rationale sein darf — für den Quotienten

GM.

GM

in jedem Falle, wo derselbe nicht auf eine rationale Function reducirt werden kann.

Dies vorausgesetzt, seien nun

ö.(a;,), G,{x,), ... G^-,ix„), G,„{x„)

irgend n Paare solcher Functionen, x^, ... x^ aber lineare Functionen von x, welche an n verschiedenen, im Übrigen willkürlich anzunehmenden Stellen

c, , ... c„ unendlich gross werden; dann ist

^//^.^ _. TT ""«v-I {•"'r)

eine eindeutige Function von x, für welche

c, , ... c^

wesentliche singulare Stellen sind, während sie in der Umgebung jeder andern Stelle sich wie eine rationale Function verhält.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 83

Zusammengesetztere Ausdrücke solcher Functionen kann man bilden, indem man in einer beständig convergirenden unendlichen Reihe von der Form

(v, = U, ...00, j/, = 0, ...CO, .. . r„ = 0, ...co)

oder auch in dem Quotienten zweier solcher Reihen für x^, x^, . . . x^ beliebige rationale Functionen der Veränderlichen x substituirt: die so gebildete Function von X hat dann keine anderen vi^esentlichen singulären Stellen als diejenigen, an denen eine der Grössen « , ... x unendlich wird.

1 ' ti

Nun ist im Vorhergehenden gezeigt worden, dass man von einer Function f{x) nur zu wissen braucht, sie sei eine eindeutige Function ohne eine wesentliche singulare Stelle, um sicher zu sein, dass sie als Quotient zweier ganzen rationalen Functionen von x (von denen sich eine auch auf eine Con- stante reduciren kann) darstellbar ist; mit anderen Worten, es ist nachge- wiesen worden, dass durch die beiden angenommenen Eigenschaften der Function auch die Art der arithmetischen Abhängigkeit ihres Werthes von dem Werthe der unabhängigen Veränderlichen bedingt und bestimmt ist. Da- durch ist die Frage nahe gelegt, ob für die eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen etwas Ähnliches gelte — ob es möglich sei, arithmetische, aus der Veränderlichen x und aus unbestimmten Constanten zusammengesetzte Ausdrücke zu bilden, welche sämmtliche Functionen einer bestimmten Klasse — und nur diese — darstellen.

In der vorliegenden Arbeit findet diese Frage, in der ein den Elementen der Functionenlehre angehöriges, allgemeines und zugleich wohlbegrenztes Problem ausgesprochen ist, ihre vollständige Erledigung. Das Resultat ist einfacher als die Mannigfaltigkeit der Formen, in denen, wie die gegebenen Beispiele lehren, Functionen der in Rede stehenden Art auftreten können, es erwarten liess.

Unter den Functionen, um welche es sich handelt — die rationalen jetzt eingeschlossen — sind die einfachsten diejenigen, für welche es im ganzen Gebiete der unabhängigen Veränderlichen nur eine (wesentliche oder ausser- wesentliche) singulare Stelle giebt. Liegt diese Stelle im Unendlichen, so kann, wie oben bemerkt, eine solche Function stets dargestellt werden durch

11»

84 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

eine Reihe von der Form

in der x das Argument der Function, die Coefficienten A^,A^,A^,... aber von X unabhängige, bestimmte Grössen bedeuten; so wie anderseits jede Reihe von dieser Form, wenn sie für jeden endlichen Werth von x convergirt, der Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit der einen singulären Stelle CX3 ist. Eine solche Function will ich eine ganze eindeutige Function von X nennen — oder auch bloss, wo keine Zweideutigkeit dadurch entsteht, eine ganze Function — ; man hat also zu unterscheiden zwischen rationalen ganzen Functionen, für welche die Stelle oo eine ausserwesentliche singulare ist und die angegebene Reihe aus einer endlichen Anzahl von Gliedern besteht, und transcendenten ganzen Functionen, für welche oo eine wesentliche singu- lare Stelle ist und die Reihe unendlich viele Glieder hat. Als Functions- zeichen für eine unbestimmte, in der in Rede stehenden Form ausgedrückt gedachte Function verwende ich auch im Folgenden den Buchstaben G und unterscheide, wenn mehrere solche Functionen zu bezeichnen sind, die ein- zelnen durch hinzugefügte Indices.

Dies vorausgesetzt, ist nun die Beantwortung der gestellten Frage in folgenden Sätzen enthalten.

A. Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit nur einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle (c) ist

wo der obigen Festsetzung gemäss, wenn c = oo, ^--- durch x zu er- setzen ist. Die singulare Stelle ist eine wesentliche oder ausser- wesentliche, jenachdem G eine transcendente oder eine rationale ganze

Function von ist.

x—c

B. Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen (c , ... c,J kann in mannigfaltiger Weise aus n Functionen mit je einer singulären Stelle zusammengesetzt, am einfachsten aber in den nachstehenden Formen aufgestellt werden:

" MM-^k} ') .ä"-!^)-^-«.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 85

WO R*{x) eine rationale Function bedeutet, welche nur an den wesentlichen singulären Stellen der darzustellenden Function Null oder unendlich gross wird.

Jede eindeutige Function von x, welche n wesentliche singulare Stellen (c,, ... c„) und ausser diesen noch beliebig viele (auch unend- lich viele) ausserwesentliche hat, kann in jeder der beiden nach- stehenden Formen:

1)

v=i \x-cj

ausgedrückt werden, und zwar dergestalt, dass Zähler und Nenner für keinen Werth von x beide verschwinden.

Umgekehrt stellt jeder dieser Ausdrücke, wenn die Functionen Gj, ...Gjjj willkürlich angenommen werden, eine eindeutige Function von X dar, welche im Allgemeinen w, in speciellen Fällen auch we- niger als n wesentliche singulare Stellen hat, während die Anzahl der ausserwesentlichen singulären Stellen, an denen die Function unendlich wird, unbeschränkt ist. Von diesen Sätzen war bisher nur der unter (A) angeführte bekannt, und der unter (B, 1) aufgestellte aus bekannten Sätzen leicht abzuleiten. Die übrigen aufzufinden war nicht schwer, nachdem einmal die Aufgabe, um die es sich handelt, gehörig präcisirt war. Um sie allgemein beweisen zu können, hatte ich jedoch, wie sich alsbald ergab, zuvor eine in der Theorie der transcendenten ganzen Functionen bestehende, sogleich anzu- gebende Lücke auszufüllen, was mir erst nach manchen vergeblichen Ver- suchen vor nicht langer Zeit in befriedigender Weise gelungen ist.

Für jede eindeutige Function f{x) gilt, dass in einem Theile des Gebiets von X, der weder im Innern noch an der Grenze eine wesentliche singulare Stelle enthält, Werthe, für die f{x) = oo, und ebenso Werthe, für die f{x) = 0 ist, stets nur in endlicher Anzahl vorhanden sind. Das Erstere ergiebt sich

86 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

unmittelbar aus dem oben (S. 80) Bemerkten, und das Letztere ebenfalls, wenn man beachtet, dass die Function

1

dieselben wesentlichen singulären Stellen hat wie f{x) selbst.

Ist insbesondere f{x) eine ganze eindeutige Function, so giebt es also unter den Werthen von x, deren absoluter Betrag eine willkürlich ange- nommene Grenze nicht übersteigt, stets nur eine endliche Anzahl solcher, für die f(x) gleich Null ist. Dies gilt auch noch, wenn in Übereinstimmung mit dem bei ganzen rationalen Functionen Gebräuchlichen festgesetzt wird, dass bei Bestimmung der in B,ede stehenden Zahl jeder Werth, für welchen ausser der Function f{x) selbst auch die (ft — 1) ersten Ableitungen derselben verschwinden, die (t*° aber nicht, als ein (t-mal zu zählender betrachtet werden soll.

Hieraus folgt, dass es stets möglich ist, aus denjenigen Werthen von x, für die eine bestimmte eindeutige ganze Function dieser Grösse verschwindet, eine Reihe

zu bilden, welche jeden Werth so oft enthält, als er nach der gemachten Festsetzung zu zählen ist, und zugleich, falls die Anzahl ihrer Glieder un- endlich gross ist, der Bedingung

Lim \a„\ = oo

genügt. Die so gebildete Reihe («,, «j, «,, • • •) möge die Reihe der »Null- Stellen« der betreffenden Function heissen.

Dies festgestellt, ergeben sich nun zwei Fragen:

1) In wie weit ist eine Function G(x) durch die Reihe ihrer Null- Stellen bestimmt?

2) Existirt, wenn eine unendliche Reihe bestimmter Grössen a^,a^,a,...^ die der Bedingung Lim|a^| = cx) genügt, gegeben ist, stets eine Function G{x), für welche diese Reihe in dem festgestellten Sinne die Reihe der Null- Stellen bildet?

Die erste Frage beantwortet sich leicht. Es giebt unendlich viele ganze Functionen, welche dieselben Null- Stellen haben wie eine gegebene G(x)] sie

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 87

sind sämmtlich enthalten in dem Ausdruck

wo unter G{x) eine willkürlich anzunehmende ganze Function zu verstehen ist.

Was dagegen die zweite, bis jetzt unerledigt gebliebene Frage angeht, so werde ich im folgenden Paragraphen nachweisen, dass dieselbe unbe- dingt zu bejahen ist.

Mit Hülfe des so gewonnenen fundamentalen Satzes lassen sich dann ■ von den im Vorstehenden unter (C) aufgestellten Theoremen zunächst die- jenigen leicht beweisen, welche auf Functionen mit einer wesentlichen singulären Stelle sich beziehen.

Sodann wird der nachstehende Hülfssatz eingeschaltet:

Es sei

WO die c und Ic Constanten bedeuten, welche nur der Beschränkung unterworfen sind, dass von den Grössen \^ ... \ keine gleich Null, und von den Grössen Cj, ... c^ nicht zwei einander gleich sein sollen. Ferner seien F^{y)^ Ft{y)i ••• F^_^{y) eindeutige Functionen der Veränderlichen y mit der einen wesent- lichen singulären Stelle oo. Alsdann stellt nicht nur der Ausdruck

n-i / 1 V

wo c eine beliebige der Grössen c^, ... c^ bedeutet, wenn man in demselben

y = tW

setzt, stets eine eindeutige Function mit den wesentlichen singulären Stellen c , ... c^ dar, sondern es lassen sich auch für jede gegebene Function f{x) dieser Art die Functionen -F„(«/), ... -^„_,(^) so bestimmen, dass

fix) = J/,(.p(a;)).(^)'

ist. Dabei werden F^{y), ... F^_^{y) sämmtlich ganze Functionen von y^ wenn die Function f{x) keine ausserwesentliche singulare Stelle hat.

88 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Dieser Satz dient zur Begründung des unter (B, 1) gegebenen Ausdrucks einer Function mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen.

Eine solche Function kann so beschaffen sein, dass sie an keiner Stelle, welche von den Stellen c^,...c^ verschieden ist, verschwindet; in diesem Falle ergiebt sich für sie der Ausdruck

r=; 1

Ist nun f{x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen c^, ... c^, so hat man das Gebiet der Veränderlichen x in n Theile dergestalt zu zerlegen, dass im Innern eines jeden Theiles eine der genannten Stellen liegt, und dass zugleich die Function f{x) an der Grenze zwischen je zwei Theilen überall einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat; dies kann auf unendlich viele Arten geschehen. Dann giebt es, wenn mit c irgend eine der Stellen c^, ... c^ und mit C der zugehörige Theil bezeichnet wird, unter den zu C gehörenden Werthen von a;, für welche

ist, wo Q eine beliebig klein anzunehmende positive Grösse bedeutet, nur eine endliche Anzahl solcher, für die f[x) verschwindet; dasselbe gilt auch noch, wenn auch jetzt festgesetzt wird, dass bei der Zählung dieser Werthe so verfahren werde, wie vorhin für eine ganze Function angegeben worden ist. Es kann demnach, wenn es überhaupt in C Werthe giebt, für die f{x) = 0 ist, aus der Gesammtheit derselben eine Reihe

in der Art gebildet werden, dass in derselben jeder einzelne Werth so oft vorkommt, als er der Festsetzung gemäss zu zählen ist, und zugleich, falls die Reihe nicht abbricht,

Lim|a„— c| = 0

ist. Dann ist die Reihe

1 1 1

a^ — c' a^ — c' a„—c

so beschaffen, dass eine Function G(x') existirt, für welche sie die Reihe der

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

99

Null -Stellen bildet; und wenn man in dieser x'

\x — c)

setzt, so ist

r. — r. '

eine Function von x, welche nur die eine wesentliche singulare Stelle c hat und zu der Function f{x) in der Beziehung steht, dass die vollständige Reihe ihrer Null- Stellen identisch ist mit der Reihe der dem betrachteten Theile C angehörenden NuU- Stellen von f{x). (Sind Werthe von x, für die f{x) ver- schwindet, in C nicht vorhanden, so ist die definirte Function G in den folgenden Formeln durch die Zahl 1 zu ersetzen.) Ebenso giebt es, da die Function jr-^ dieselben wesentlichen singulären Stellen wie f(x) hat, eine

Function G'( ), welche zu -f?^ ^^ derselben Beziehung steht wie Gl )

zu f{x).

Bezeichnet man nun diese beiden Functionen für die Stelle c mit

G"

und setzt

m = n

(^). «""(^). -(^)

&

\x-cj .

W),

so ist f^{x) eine Function, welche an allen Stellen des Gebiets

von X, mit Ausnahme der Stellen c.

c, einen endlichen und

von Null verschiedenen Werth hat.

Drückt man sodann diese Function f^{x) in der vorhin angegebenen Weise aus, so ergeben sich die unter (B, 2) und (C, 2) aufgestellten Formen von f{x). Aus der letzteren erhält man dann schliesslich mit Hülfe des Theo- rems (B, 1) den unter (C, 1) gegebenen Ausdruck derselben Function.

Die im Vorstehenden zusammengestellten Ausdrücke einer eindeutigen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen können nun noch weiter entwickelt werden, so dass die arithmetische Abhängigkeit des Werthes der Function von dem Werthe ihres Arguments unmittelbar in Evidenz tritt. In den Formeln (B, 1) und (C, 1) ist es für diesen Zweck am angemessensten, jede Function G\—^] in der Form einer Potenzreihe von

II.

12

90 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

-^j- darzustellen. Es lässt sich aber, wie in § 2 nachgewiesen wird, jede Function G(x) auch darstellen als Product unendlich vieler Factoren, welche ebenso wie die Potenzen von x bestimmt charakterisirte Functionen sind; diese Ausdrucksform der Functionen Cf^^-j wird man am zweckmässigsten zur weiteren Entwicklung der Formeln (B, 2) und (C, 2) verwenden. Ist

«1, «2, ••• «r

die Reihe der Null- Stellen einer ganzen rationalen Function G{x), und x^ irgend ein in dieser Reihe nicht enthaltener "Werth, so hat man

GM

11 = 1 V^l^o ^n/

Man hat schon früh versucht, diesen Satz auf transcendente ganze Functionen auszudehnen, wobei sich jedoch erhebliche Schwierigkeiten darboten. Man erkannte, dass es im Allgemeinen nöthig sei, dem Ausdruck rechts noch einen Factor von der Form

hinzuzufügen (Cauchy, Exercices de Mathematiques , IV.); aber dies reicht, abgesehen von dem Falle, wo Null -Stellen der Function nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, nur aus, wenn die Reihe

und mit ihr das Product

«=I 0„ Xg

convergirt, was im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Bei manchen Functionen gelingt es zwar, durch Festsetzung einer be- stimmten Aufeinanderfolge der Factoren, oder überhaupt durch Vorschrift einer bestimmten Ausführungsweise der unendlich vielen Multiplicationen, das Product zu einem bedingt convergenten zu machen; im Allgemeinen indess ist auch dies nicht möglich, wie unter anderen das Beispiel der Function

1

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

91

Beigt, bei welcher das in Rede stehende, aus den Factoren

X

^ + x, i + -,

1 +

X

zu bildende Product unter allen Umständen divergirt.

Abej; eben diese Function weist auf den Weg hin, der zum Ziele führt. Nach der von Gauss gegebenen Definition ist der Ausdruck derselben das beständig convergirende unendliche Product

n^3-m"

oder

Ahl)

-.i..(^)

d. h. die Function ist darstellbar als Product unendlich vieler Factoren, welche zwar nicht ganze lineare Functionen von ic, aber doch gleich diesen eindeutige Functionen mit nur Einer singulären Stelle (oo) und auch nur Einer Null-Stelle sind.

Von dieser Bemerkung ausgehend legte ich mir die Frage vor, ob sich nicht jede Function G{x) aus Factoren von der Form

{lcx + l)e^^''^

möge zusammensetzen lassen, und gelangte, indem ich diesen Gedanken ver- folgte, schliesslich zu einem Ergebnisse, durch welches die Theorie der ein- deutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen einen befriedigenden Abschluss erhält.

Ich nenne »Primfunction« von x jede eindeutige Function dieser , Grösse, welche nur eine (wesentliche oder ausserwesentliche) singulare Stelle und entweder nur eine oder gar keine Null -Stelle hat. Der allgemeinste Ausdruck einer solchen Function ist, wenn die singulare Stelle mit c be- zeichnet wird,

\x-c y

\x-cj

wo ft, l Constanten bedeuten, und zu beachten ist, dass k auch gleich Null und G\—^ eine Constante sein kann. Es erweist sich aber für den in's

12»

92 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Auge gefassten Zweck als ausreichend und zweckmässig, ausschliesslich solche Primfunctionen einzuführen, bei denen G(-——\ eine rationale ganze Func- tion von —^ ist; dies soll also im Folgenden überall, wo von Primfunctionen die Rede ist, stillschweigend angenommen werden.

Dies festgestellt, ergiebt sich zunächst, dass jede eindeutige Function f(x) mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle ent- weder selbst eine Primfunction ist oder ein Product von Prim- functionen mit derselben singulären Stelle; die unter (B, 2) und (C, 2) angegebenen Ausdrücke lassen dann unmittelbar erkennen, dass und wie eine beliebige Function der dort betrachteten Arten aus Prim- functionen durch Multiplication und Division zusammengesetzt werden kann.

Ich lasse dieser Analyse des wesentlichen Inhalts meiner Arbeit und der Darlegung der leitenden Gesichtspunkte nunmehr die erforderlichen Ent- wicklungen in mehr synthetischer Form folgen, wobei ich bemerke, dass ich bei denselben mit Vorbedacht nur einige elementare Sätze der Reihen-Theorie tind die Eigenschaften der Exponentialfunction als bekannt voraussetze.

2. Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen Einer Veränderlichen.

Ist eine unendliche Reihe gegebener Grössen

a, , «2 , a, , . . . ,

von denen keine den Werth Null hat, so beschaffen, dass

Lim \a„\ = oo ,

«=00

so kann man derselben auf mannigfaltige Weise eine Reihe ganzer Zahlen

m„ m^, m„ ...,

von denen jede >0 ist, so zuordnen, dass die Summe

1 / \ "

für jeden Werth der Veränderlichen x einen endlichen Werth hat.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

93

Man braucht zu dem Ende nur irgend eine unendliche Reihe positiver Grössen

so anzunehmen , dass e < 1 ist und dass

00

leinen endlichen Werth hat, und dann die Zahlen m^, m^, m^^ . . . so zu be- stimmen, dass (für v = 1, 2, 3, .. . oo)

e'"'+^<e.

wird.

Setzt man hierauf

so ist F{x) eine für jeden endlichen Werth von x definirte eindeutige Func- tion von der Beschaffenheit, dass sich l^(a + /f), wenn a irgend ein bestimmter Werth von x ist, bei hinlänglich kleinem Werthe der Veränderlichen k in der Form

'-i+m)

darstellen lässt, wo m eine ganze (nicht negative) Zahl ist, welche angiebt, wie oft der Werth a in der Reihe 0^,0^,«^,... vorkommt. Nach einem früher (Crelle's Journal, Bd. 52, S. 333*)) von mir bewiesenen Satze existirt also eine Function G{x)^ welche der Gleichung

dG{x)

dx

F{x).G{x)

genügt und die Eigenschaft besitzt, dass für sie die Reihe

a, , «2 ) %} • • • in dem oben angegebenen Sinne die Reihe der Null- Stellen bildet.

Dies lässt sich aber noch einfacher als a. a. (). folgendermassen beweisen.

Für diejenigen Werthe von Xj deren absoluter Betrag kleiner als Eins ist, hat man

l-x

= 2^''

d " x'"^' ~dx ,^a r + \

*) [Bd. I, S. 349 dieser Ausgabe.]

94 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

woraus

1 — x = e

rtAr + l)

folgt. Man setze nun

E{x,0) = 1-x, E{x,l) = il-x)e'', E{x,2) = (i_ic)/+'*'

.Uf)

E(x,m) = {l — x)e so ist, unter der Bedingung, dass |a;|<l,

„. , ~r=i[m+r)

E{x,m) = e

Fasst man nun die Gesammtheit der Grössen in's Auge, welche aus der Formel

r + m.,

r + my

dadurch hervorgehen, dass man r = l, 2, ...oo; v = m, w + 1, ... oo setzt, so ist ersichtlich, dass die Summe dieser Grössen einen endlichen Werth hat, wenn der Veränderlichen x nur solche Werthe gegeben werden, die dem absoluten Betrage nach kleiner sind als jede der Grössen

denn dann ist sie kleiner als

-^»1 ) '•^n+i ! • • • )

OD 00

v = n r = i

r+my

= s

1-

»«v + 1

also, wenn man mit h den kleinsten der Werthe

bezeichnet, kleiner als das Product aus \~\ und der Summe

S

ay\aj

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 95

welche der Voraussetzung nach einen endlichen Werth hat. Daraus folgt, dass die Doppelsumme

. r+jMv

für die angegebenen Werthe von x nicht nur unbedingt convergirt, sondern auch dadurch, dass man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, in ein Glied zusammenzieht, in eine Potenzreihe

^(x, n) verwandelt werden kann.

Nimmt man nun zunächst x dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen a^, a^, ... an, so convergiren sämmtliche Reihen

imd man hat

woraus sich

ergiebt.

Es lässt sich aber jede der Functionen

in eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe von der Form entwickeln, und

g-SP(a;,M+l)

in eine Reihe von derselben Form

1 + B'^'x + B'^'x^+---,

welche jedenfalls convergirt, wenn x dem absoluten Betrage nach kleiner als [jede der Grössen «„+,, «„+j, ... ist. Nimmt man daher eine positive Grösse g ibeliebig, n aber so an, dass

|a, |>(; ist, wenn v>n,

96 ZUa THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

SO geht aus der Entwicklung des Products

(1 + ^r^ + -Br^' + • • ■) fi(i + ^T^ + ^r*' + • • •)

r^ 1

eine Reihte

hervor, welche sicher für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag nicht grösser als g ist, convergirt. Die Coefficienten dieser Reihe sind aber, da der vorstehenden Gleichung gemäss für hinlänglich kleine Werthe von x

1 + A,x + A,x' + --- = e-*(^'^)

ist, unabhängig von der willkürlich anzunehmenden Grösse g\ es folgt also aus dem Bewiesenen, dass die Reihe für jeden endlichen Werth von X convergirt und somit eine ganze eindeutige Function G{x) darstellt.

Diese Function verschwindet nun für einen bestimmten Werth a von X nur in dem Falle, wo a in der Reihe a,, a^, ... enthalten ist, wie aus der Gleichung

-SP(a;,M + l)

ohne Weiteres erhellt, wenn man n so gross annimmt, dass a innerhalb des Convergenzbezirks der Reihe

liegt, und beachtet, dass die Exponentialfunction für keinen endlichen Werth ihres Arguments verschwindet. Man sieht aber auch, dass, wenn a in der Reihe a^, a^, ... ft-mal vorkommt,

G{x) auf die Form {x — aYf{x)

in der Art gebracht werden kann, dass f{x) für x = a einen von Null ver- schiedenen endlichen Werth hat. Die gegebene Reihe

«,, «2, «3> •••

ist also die Reihe der Null -Stellen für die Function G{x)^ welche nach dem Vorstehenden dadurch hergestellt werden kann, dass zunächst die Summe

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 97

in welcher die Zahlen m^ die oben angegebene Bedeutung haben, auf die Form ^(r», l) gebracht, und dann

g-?(a=, 1)

nach Potenzen von x entwickelt wird.

Multiplicirt man G{x) noch mit ic^, wo A eine ganze positive Zahl be- deutet, so erhält man eine Function, für welche die Reihe der Null -Stellen ausser den Grössen «,, a^, a^, ... noch A Glieder, die gleich Null sind, enthält.

Es ist also stets möglich, eine ganze eindeutige Function G{x) mit vor- geschrieb enen Null - Stellen ^R a, , «j , ßj , ...

zu bilden, wofern nur die nothwendige Bedingung

Lim I öy, I = CX5 erfüllt ist.

Es giebt aber nicht bloss eine solche Function, sondern unendlich viele.

Setzt man nämlich

so hat offenbar die Function G^{x) dieselben Null- Stellen wie G{x)^ wie auch die Function G{x) angenommen werden möge. Umgekehrt ist, wenn zwei Functionen G{x), G^{x) dieselben Null- Stellen haben, der Quotient

GM G{x)'

der mit G^{x) bezeichnet werde, eine Function, die für jeden endlichen Werth von X einen von Null verschiedenen endlichen Werth hat. Es lässt sich

deshalb

1 dG,{x) Gj {x) dx

in eine beständig convergirende Reihe

entwickeln, und man erhält, wenn man

Ö{x) = C^+C,x + \C^x*+\C,x'+--- II. 18

98 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

setzt, und die Constante C^ so annimmt, dass ist,

am = (P"

1 dG^{x) _ dG{x)

G^{x) dx dx

Die Formel

G,{x) = e^(^>.

giebt also alle ganzen eindeutigen Functionen von rc, welche dieselben NuU- Stellen wie G(x) haben.

Jetzt bedeute G{x) irgend eine gegebene ganze Function von x, so können drei Fälle eintreten:

1) sie hat keine Null- Stellen — dann ist sie eine Function wie die eben mit G^{x) bezeichnete, und kann in der Form

ausgedrückt Averden;

2) sie hat Null- Stellen in endlicher Anzahl — dann ist sie in der Form

darstellbar, wo G^{oo) eine rationale ganze Function bedeutet;

3) sie hat unendlich viele Null -Stellen — in diesem Falle kann sie auf die Form

gebracht werden, wo A Null oder eine ganze positive Zahl, G^{x) aber in der beschriebenen Weise aus den von Null verschiedenen Null- Stellen (a^, a^, «3, . . .) der Function, einer Reihe ganzer Zahlen (m^, m^, m^, ...) und der Veränderlichen x zusammenzusetzen ist. Dieser Function G^{x) kann man nun nach dem Vorstehenden für einen bestimmten Werth von x die Gestalt

Mi'--)

^-^(x,n + l)

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 99

geben, wenn man n so gross annimmt, dass x dem absoluten Betrage nach kleiner ist als jede der Grössen a^^,, «„^j, .... Aus dem oben bestimmten Ausdruck der Grenze, unterhalb welcher der absolute Betrag von

^(x, n) stets liegt, ergiebt sich aber

Lim^^5(a;, w + l) = 0,

indem

» I 1 /'cN*"" Lim 2 - - =0

ist, wenn die Zahlen m^, wie angenommen worden, so bestimmt sind, dass einen endlichen Werth hat. Folglich ist — für jeden Werth von x —

r = 1 \ «v '

Der Function G{x) kann man ferner in mannigfaltiger Weise die Gestalt

geben, in der Art, dass die g^^) sämmtlich rationale, für a; = 0 verschwin- dende ganze Functionen werden. Setzt man dann

so ergiebt sich

0(.,^...'nj(.-f)e'-«|.

wo C eine Constante bedeutet. Da man nun auch im Falle (1)

G(x) = Cfle^'^'"\

v=l

und im Falle (2), wenn a^, «,,... «„ die von NuU verschiedenen Null-Stellen der Function G^{x) sind,

18*

100 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

hat, so ist hiermit der Satz begründet:

Jede ganze eindeutige Function von x kann dargestellt werden in der Gestalt eines Products, dessen Factoren sämmtlich Primfunctionen von der Form

sind, wo g{oS) eine rationale, für x =^ (s verschwindende ganze Function ist und Ä, l Constanten bedeuten. (Dabei ist zu be- achten, dass ^(ic) und ebenso eine der Grössen /v, l auch den Werth Null haben kann, also auch eine Constante als Primfunction zu betrachten ist.) Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken.

Das Product, durch welches G{x) dargestellt wird, convergirt — wenn es aus unendlich vielen Factoren besteht — unbedingt und zugleich für alle Werthe von «, deren absoluter Betrag eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht übersteigt, gleichmässig, vorausgesetzt, dass bei der ange- gebenen Zerlegung der Function G{x) so verfahren wird, dass die Reihe

r = i

unbedingt und für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig con- vergirt; was unter allen Umständen möglich ist. Denn unter dieser Voraus- setzung braucht man nur nachzuweisen, dass das Product

iiAi'"')

die angegebene Beschaffenheit besitzt, was der Fall ist, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Nach Annahme zweier positiven Grössen |, tf, von denen die erste beliebig gross, die andere beliebig klein sein kann, muss es möglich sein, eine Zahl n so zu bestimmen, dass das Product aus beliebig vielen derjenigen Functionen

in denen v>«, für jeden Werth von a;, dessen absoluter Betrag kleiner als % ist, von der Einheit um eine Grösse abweicht, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 8 ist. Dies ist aber in der That möglich. Nimmt man nämlich n so gross an, dass |a^|>| ist, sobald v > «, so hat man für jeden

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

101

^erth von v, der grösser als n, und jeden Werth von x, dessen absoluter Jetrag nicht grösser als | ist,

tund es ist daher, wenn man von diesen Functionen E(-^,m] beliebig viele uiswählt und das Product derselben gleich

setzt, \fix)\ stets kleiner als

» 00 1 I fc '■+'»v

V V - —

v = «+l f=l ^ + W*v I ^v

von welcher Grösse gezeigt worden ist, dass sie für einen unendlich grossen Werth von n unendlich klein wird; woraus sich das Behauptete sofort ergiebt. Es ist ferner zu beachten, dass die in den Primfactoren der Function G{x) vorkommenden Exponentialgrössen nicht vollständig bestimmt sind. Nimmt man nämlich eine Keihe rationaler ganzer Functionen g'^{x) so an, dass für jeden Werth von x

ist — was auf unendlich viele Arten geschehen kann — so ändert der Aus- druck von G{x) seinen Werth nicht, wenn man in jedem seiner Factoren

9,ix) + g'vi^«) für g,(x)

setzt. Umgekehrt erhellt, dass man auf diese Weise alle möglichen Dar- stellungen von G{x) in der Form eines aus Primfunctionen gebildeten Products erhält.

Endlich möge noch bemerkt werden, dass in dem häufig vorkommenden Falle, wo für eine bestimmte ganze und positive Zahl ft

V = l "v

einen endlichen Werth hat, die in den Functionen Ei^,m] vorkommenden Zahlen m , wt,, ... alle gleich (;* — 1) gesetzt werden können.*)

I

♦) Die in diesem und dem folgenden § enthaltenen Sätze habe ich bereits im Herbst 1874 in meinen Universitäts -Vorlesungen ausführlich vorgetragen.

\

102 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

3. Eindeutige Functionen von x mit Einer wesentlichen

singulären Stelle.

Ist f(x) eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo, so lässt sich in dem Falle, wo sie ausserdem beliebig viele (auch unendlich viele) ausserwesentliche singulare Stellen hat, eine Function GJ^x) herstellen, für welche die Reihe der Null- Stellen identisch ist mit der Reihe der Null- Stellen der Function

Dann ist G^{x).f{x) ebenfalls eine ganze Function von x^ und man hat, wenn diese mit G^(x) bezeichnet wird,

m

0,(x)

Zugleich sind diese Functionen G^{x), G^{x) so beschaffen, dass sie für den- selben Werth von x nicht beide verschwinden. Und umgekehrt, wenn man zwei ganze Functionen von dieser Beschaffenheit willkürlich annimmt, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist, so stellt der Quotient

G,{x)

eine eindeutige Function von x dar, welche höchstens die eine wesentliche singulare Stelle oo hat.

Ist ferner f(x) eine eindeutige Function mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle c, so verwandelt sich, wenn man

X =

setzt, f{x) in eine Function von x mit der einen singulären Stelle oo, woraus sich

ergiebt. Dabei ist G eine transcendente oder rationale Function, jenachdem die singulare Stelle c eine wesentliche oder ausserwesentliche ist.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 103

Ebenso ergiebt sich als allgemeiner Ausdruck einer eindeutigen Function Aon ii", welche ausser einer wesentlichen singulären Stelle c beliebig viele ausserwesentliche hat, der Quotient

wo die Functionen G,, G^ nicht beide für einen und denselben Werth von X verschwinden, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist.

4. Ein Hülfssatz.

Ist F{p) eine eindeutige Function, welche nur die eine wesentliche singulare Stelle oo hat, und '^(x) eine rationale Function w*°° Grades, welche an n verschiedenen Stellen (c^, ... c^) gleich oo wird, so verwandelt sich F{y), wenn man y ^ (f,{x) setzt, in eine eindeutige Function von x mit den n wesent- lichen singulären Stellen (f^, ... c,_). Man überzeugt sich indessen leicht, dass man auf diese Weise nur besondere Functionen dieser Art erhält. Wohl aber ist es möglich, wie bereits in § 1 angegeben worden und jetzt bewiesen werden soll, jede eindeutige Function f{x), deren wesentliche singulare Stellen (Cj, ... c„) sind, in der Form

n-j / 1 V

darzustellen, wo c irgend eine der Grössen c^, ... c^^ bedeutet.

Ich will zuerst annehmen, dass eine der wesentlichen singulären Stellen von f{x), z. B. Cj, den Werth oo habe, so dass

cp(a;) = k^+Jc x + — '^— + --- + — ^ x-c., x-c„

ist, wo von den Constanten Ä:^, -.■ k^ keine den Werth Null hat. Nimmt man dann zwischen x und einer andern Veränderlichen y die Gleichung

<f{x) = y

an, so gehören zu jedem endlichen Werthe von y im Allgemeinen n ebenfalls endliche und zugleich von den c^^...c^^ verschiedene Werthe von ic, welche

104 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

mit rTj, ... x^ bezeichnet werden mögen; und man kann, wenn von denjenigen speciellen, nur in endlicher Anzahl vorhandenen Werthen von «/, für die unter den Grössen ic^, ... x^ sich gleiche finden, vorläufig abgesehen wird, n von y abhängige Grössen -F^, F^^ ... F^_^ dergestalt bestimmen, dass

K— 1

'^F^x" = f{x) ist für X =^ x^, ... x„.

Setzt man

U{x) = ix-x,)...{x-x„), U'{x) = ^^, so ist

woraus sich — wenn

n(x) = x"+X,x"-'+X,x''-' + --- + X„ gesetzt wird, so dass also

-5M_ = ^-. + (^^ + X,) a;"-' + {xl + XJiB, + X,)x"-'+--- + «- + Z. x^' + • • • + X„_0 X — x^

ist — die folgenden Formeln ergeben:

"-' ~ vt-. lV{Xy) '

Von diesen Ausdrücken F^, F^, ... F^_^ ist nun zu zeigen, dass sie eindeutige Functionen von y sind, welche höchstens die eine wesentliche singulare Stelle oo haben.

Setzt man

(x-c,)...(x-c„) = '^(X), so ist

<Ka;)(cp(a;)-j/) == Jc,n{x),

und es sind demnach X^, . . . X„_, sämmtlich ganze lineare Functionen von y.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 105

Die Ausdrücke

ferner, in denen die Grössen x^, ... x^ ebenso wie in X,, ... X„ symmetrisch

vorkommen, haben gleichfalls eindeutig bestimmte Werthe für jeden Werth

von i/, der nicht zu den vorläufig ausgeschlossenen gehört; es reicht dies aber

nicht aus zu dem Nachweise, dass sie — und mit ihnen JP,, ... i^„_i —

Functionen der angegebenen Art von y sind, sondern es muss auch gezeigt

^ werden, dass sich dieselben, wenn y in der Umgebung irgend eines bestimmten

B endlichen Werthes h angenommen wird, entweder unmittelbar oder doch,

" nachdem sie mit einer gewissen ganzen positiven Potenz von {y—h) multiplicirt

worden, in der Form

%{y-h) darstellen lassen.

Wird zunächst h so angenommen, dass unter den "Wurzeln der Gleichung cp(x) = h, welche mit a,, ... a,, bezeichnet werden mögen, keine zwei gleiche sich finden, so ist

nicht gleich Null, vmd es hat also die Gleichung

^{x) = y, welche, wenn x in der Umgebung von a^ angenommen wird, auf die Form

cp'(a,).(a;-fO + {(?"(«,). (a;-(OH-.- = y-b

gebracht werden kann, für hinlänglich kleine Werthe von {y — h) eine in der

Form

a,+ {y-h)%{y--b)

darstellbare Wurzel. Wird diese mit x^ bezeichnet, so hat man, da n'(a^,) ■ nicht gleich Null, und a^ nicht eine der wesentlichen singulären Stellen der Function f{x) ist, für A = 1, ... ?«

wo m^ Null oder eine ganze positive Zahl ist, jenachdem f{x) in der Um- gebung von a^ sich regulär verhält oder nicht. Bedeutet also m die grösste II. 14

106 ZUK THEORIE DEE EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

der Zahlen »i^, ... m^, so ist

Hat aber b einen solchen Werth, dass die Gleichung

(f(x) = b

weniger als n von einander verschiedene Wurzeln besitzt, so sei a eine der- selben, und (t, die Ordnungszahl der niedrigsten Ableitung von ff{x), welche für X = a nicht verschwindet. Dann lässt sich die Gleichung

f{x) = y,

wenn x in der Umgebung von a angenommen wird, auf die Form

-^ 9""(«) • (^ - «)" + jj;;^ 9''"^"(«) ■ (^ - «)"■" + - = y-h

bringen, und es giebt, wenn man

i_

■jiliy-V)^^

= -n

setzt, eine Reihe von der Form

welche, für x gesetzt, bei hinlänglich kleinen Werthen von (y — b) die Gleichung

^{x) = y

befriedigt; wobei zu beachten ist, dass ^(vj) für tj = 0 nicht verschwindet. Fixirt man also einen der (t Werthe von tj und setzt

2itt

X, = a + r^{r;), x, = a+£r^$(srj), ... x^ = a + e''-7)$ß(ef-'yj),

so sind x^,x^,...x^ diejenigen (i Wurzeln der Gleichung, welche im y = b den Werth a annehmen. Man hat dann, da die niedrigste Ableitung von U(x), welche für y = b, x = a nicht verschwindet, die ;i*° ist, für v = 1, ... /»

n'{x,) = nx:-' + {n-l)X,x'r'+--- + X„., = (e'-'r^^-f (s^-ri),

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 107

70 ^(f'^ri) für -/] = 0 nicht verschwindet, und, wenn für Werthe von x in ier Umgebung der Stelle a

f(x) = {x- «)-"' K +A,{x-a) + ■■■], So ist

IlUS der Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung müssen nun, da

2 s<'-"e

> =1

nur für solche ganzzahligen Werthe von q, die durch jt theilbar sind, einen von Null verschiedenen Werth hat, alle Potenzen von 7j, deren Exponent nicht ein Vielfaches von (i ist, fortfallen; und es ist daher

b

■VI ^v /(^vZ fA.^lA-mmd)/

,^. n'(a;J

(y-&)-"'r'(2/-&).

Hat also die Gleichung

fc <p(a;) = b

r von einander verschiedene Wurzeln a^, ... a., und haben ft,, /», für a die- selbe Bedeutung wie im Vorstehenden [i, m für a, so ergiebt sich für hin- länglich kleine Werthe von {y — h)

und somit, wenn jetzt m die grösste der Zahlen m, bedeutet, ganz so wie in dem Falle, wo unter den Wurzeln der Gleichung cp(a;) = i sich keine zwei gleiche finden.

Hiermit ist bewiesen, dass die Ausdrücke

,5. II'C^J (i = l,...n)

und daher auch die Grössen F„, ... F„_, , welche jetzt mit

14*

108 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

bezeichnet werden mögen, eindeutige Functionen der Veränderlichen y sind, welche höchstens die eine wesentliche singulare Stelle oo haben. Zugleich folgt aus dem Vorstehenden, dass F^{y), ... -F,_,(^) in dem Falle, wo es für die Function f(x) ausserwesentliche singviläre Stellen nicht giebt — die Zahl m also stets gleich Null ist — sämmtlich ganze Functionen von y sind.

Der Definition dieser Functionen -F (y) gemäss besteht nun die Gleichung

"'iF,,{y)x^ = f{x),

wenn für irgend einen endlichen Werth von y die Grösse x der Gleichung cf («) = </ genügt. Versteht man also unter x' irgend einen endlichen, von den Cj, ... c^ verschiedenen Werth und setzt y = ?(«'), so kann man x = x' nehmen, und erhält dann

"■iF,i'?ix'))x" ^fix);

r = 0

d. h. es gilt für jeden "Werth von x, der nicht in der Reihe (oo, c^, ... c^^) enthalten ist, die Gleichung

^^•iK{<f{x))x^ = fix).

Es ist angenommen worden, dass c^ gleich oo sei, weil dann einem end- lichen Werthe von y stets endliche Werthe der Grössen x^, ... x^ entsprechen, und somit bei dem Beweise des vorstehenden Satzes das Verhalten der Func- tionen F^{y) in der Umgebung der Stelle oo nicht besonders untersucht zu werden braucht. Sind aber c,, ... c^ sämmtlich endliche Grössen, so setze man

1

und bezeichne mit ^(^), f{2) die Functionen, in welche sich cp(r), f(x) dadurch verwandeln. Dann hat man

— wo die k\ c' wieder Constanten bedeuten — und es sind (oo, c^', . .. c') die wesentlichen singulären Stellen für die Function f(3). Man hat also, wenn man jetzt die Functionen F^{y), ... F^_^{y) für die Function f{z) ebenso

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 109

bestimmt wie im Vorhergehenden für f{x), oder

2>,(cp(^)).(^y=f(a;).

In dieser Form, welche in die vorher aufgestellte übergeht, wenn man c = oo setzt, kann also die Function f{x) stets dargestellt werden, wenn cp(«) eine beliebige rationale Function n'°° Grades ist, welche an jeder der n wesentlichen singulären Stellen der ersteren unendlich gross wird.*)

5. Eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer Stellen.

Eine rationale Function f{x) mit den singulären (ausserwesentlichen) Stellen c , ... c lässt sich bekanntlich in der Form

. = . '\x-cj

darstellen, wo G^, ...G^ rationale ganze Functionen bedeuten.

Es soll nun gezeigt werden, dass jede eindeutige Function f{x) mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer Stellen (c^, ...c^) in derselben Form ausgedrückt werden kann, und zwar dergestalt, dass unter den Functionen

•^■i-^)

so viel transcendente vorkommen, als f{x) wesentliche singulare Stellen hat. Es möge zunächst f{x) nur wesentliche singulare Stellen haben. Dann sind, wenn man f{x) auf die im vorhergehenden § auseinandergesetzte Weise in der Form

darstellt, die Functionen F^{y), wie nachgewiesen worden ist, sämmtlich ganze

*) Es lassen sich leicht auch ähnliche Ausdrücke von f{x), in denen die Grössen Ci, ...c„ symme- trisch vorkommen, aufstellen; es genügt aber der vorstehende für den zunächst ins Auge gefassten Zweck.

1

110 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Functionen von </, so dass man

hat, wo die F^,^ von x unabhängige Grössen sind.

Für alle Werthe von a;, bei denen der absolute Betrag von {x — c) unter- halb einer bestimmten Grenze bleibt, ist nun

cp(a;)

x — c.

■^{x-c,),

FM^)) = xFr,x^(^-<^^r'^m^-c,)f■,

und somit, wenn man

{^(X-C,)f= SAuC^-O"

setzt,

A = 0 i II = 0 '

Die Doppelsumme auf der Rechten dieser Gleichung hat aber die Eigen- schaft, dass sie convergent bleibt, wenn man jedes ihrer Glieder durch dessen absoluten Betrag ersetzt. Convergirt nämlich die Reihe ^(ic — cj, wenn der absolute Betrag von {x — cj kleiner als p ist, so lässt sich eine positive Grösse g so bestimmen, dass jeder Coefficient von ^(x — c) dem absoluten Betrage nach kleiner ist als der entsprechende Coefficient in der Entwickelung der Function

9

x — c.

und dann ist, wenn |a; — cj = | gesetzt und | <: p angenommen wird.

also

fi = 0

A,«(^-o-'^'"|<^'r'(i-|-)'

CO 00

/ ^ 0 jlt = 0

:i(i^.,.ivii.-ir)

woraus sich das Behauptete sofort ergiebt, indem die Summe

für jeden endlichen Werth von y einen ebenfalls endlichen Werth hat.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 111

Die Doppelsumme, durch welche i^^(cp(ic)) ausgedrückt worden, convergirt also unbedingt, und es ist daher gestattet, in ihr alle Glieder, welche die- selbe Potenz von (x — c^) enthalten, in eines zusammenzuziehen. Geschieht dies in den Ausdrücken sämmtlicher Functionen

so ergiebt sich

/■(^) = j5'(^)"+r(^-cj

für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von {x — cj kleiner als Q ist.

Die Reihe

convergirt hiernach für beliebig grosse Werthe von -— — , und ist also eine ganze Function dieser Grösse, welche mit Gi--^] bezeichnet werden möge.

d. h. die Differenz

verhält sich in der Umgebung der Stelle c, regulär.

Versteht man nun unter Gl — — ) die Function, welche in Beziehung auf

''' / 1 \

die singulare Stelle c^ dieselbe Bedeutung hat wie Gi-^^\ in Beziehung auf

die Stelle c,, so ist

eine eindeutige Function von a?, welche sich in der Umgebung jeder beliebig angenommenen Stelle regulär verhält. Denn die Function GI——\ verhält sich regulär in der Umgebung jeder von c^ verschiedenen Stelle; es könnte also jene nur die singulären Stellen c^, ...c,, haben, was nach dem eben Bewiesenen nicht der Fall ist — und hieraus folgt,« wie schon in § 1 gezeigt worden, dass sie einen constanten Werth hat, der mit C bezeichnet werden möge.

I

112 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Es ist also

oder aucli, wenn man zu den Functionen G^, ... G_ constante Glieder, deren Summe gleich C ist, hinzufügt.

/•w -k<-ihr}

Wenn nun ferner f{x) die m wesentlichen singulären Stellen (c^, ... c^), und die [n — ni) ausserwesentlichen (c^^^, ... c^) hat, so lässt sich, wenn v eine der Zahlen (m + 1), ... n ist, und x in der Umgebung von c^ angenommen wird,

fix) in der Form («-cJ"'"\{Gr+ C<''(a;-cJ + ••■}

darstellen. Setzt man also

A^)-i (^\-~-r) ^/''C^)'

v = m+l \ •*' i-r /

SO ist /",(«) eine eindeutige Function, welche m wesentliche singulare Stellen (c , ... c„), aber keine ausserwesentliche hat, und deshalb nach dem Vorher- gehenden in der Form

dargestellt werden kann.

Man hat also auch in diesem Falle

'W =SF{-ih-)'

mit dem Unterschiede, dass jetzt unter den Functionen G^ nur m transcendente sich finden.

Hiermit ist der in § 1 unter (B, 1) angegebene Satz vollständig bewiesen.*)

*) Es bedarf kaum der Erinnerung, dass unter Voraussetzung einiger Sätze, die niclit den ersten Elementen der Functionenlehre angehören, der im Vorstehenden entwickelte Ausdruck von f{x) auf kür- zerem Wege ohne den im vorhergehenden § bewiesenen Hülfssatz hätte hergeleitet werden können. Indess giebt dieser Hülfssatz, auch abgesehen von dem Gebranch, der von ihm gemacht worden ist, einen an sich bemerkenswerthen allgemeinen Ausdruck der untersuchten Functionen, den ich nicht übergehen mochte.

^B ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 113

^B. Eindeutige Functionen von x, welche n wesentliche singulare HrStellen besitzen, an jeder anderen Stelle aber einen endlichen ^K und von Null verschiedenen Werth haben.

^V Ist f{x) eine Function dieser Art, so hat man, wenn x in der Umgebung irgend einer nicht singulären Stelle a angenommen wird,

f{x) = A, + A^{x-a) + A,{x-af + -,

wo A^ nicht gleich Null ist. Daraus folgt, wenn a nicht oo ist,

1 df{x)

f{x) dx

= W-a);

r

dagegen, wenn in dem Falle, wo die singulären Stellen (c^, ... c„) von f{x) alle im Endlichen liegen, a = oo genommen wird, also x — a = — zu setzen ist,

df{x)

= H^-

f{x) dx Die Function

1 df{x) f{x) dx

hat also nur die n singulären Stellen c^, ... c , und kann daher, wie im vor- hergehenden § gezeigt worden, in der Form

C +

MM-^)

dargestellt werden, so dass in den Functionen G^ kein constantes Glied vor- kommt.

Ist c nicht oo, und k der Coefficient von in G , so lässt sich

« — Cy

gJ-^] auf die Form -A^ + I-gJ^—] \x — c^j x — c, dx "^xx — c^J

bringen, wo auch G( ) eine ganze Function von — - ohne constantes

Glied ist. In dem Falle, wo die c sämmtlich endliche Werthe haben, ist femer, wenn x dem absoluten Betrage nach grösser als jeder dieser Werthe ist,

c+'EgJ^—) = c+- i^v+A^f-); n. 15

114 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

es muss also

C = 0, 2 7f. = 0

sein, und man hat

1 df(x) ^ d ^^( 1 \ JL h, fix) dx dx ,^, " \x-cj ^-e, x-c,'

Wenn dagegen eine der Grössen c^ den Werth oo hat, so möge c^ diese sein; dann ist

wobei man ^„(0) = 0 annehmen kann; man hat also in diesem Falle

f{x) dx dx r=l '\X — C,,) r = lX — Cy

Es ist nun zunächst zu zeigen, dass in^beiden Fällen die \ sämmtlich ganze Zahlen sind.

Man setze, unter 9 eine constante, und unter x eine veränderliche reelle Grösse verstehend,

wo k im ersten Falle eine der Zahlen 1 , ... n und im zweiten eine der Zahlen 1, ...(n — 1) bedeutet. Dann lässt sich, wenn man q hinreichend klein an- nimmt, in beiden Fällen die Summe der Grössen

Te^dx^

auf die Form

'kxidx + d'^{x^—c{) bringen; und es ist

Daraus folgt, wenn man

setzt :

fix,) = GFix,).e^''\

wo C eine von x unabhängige Grösse bedeutet.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 115

Vermehrt man in dieser Gleichung x um 2tc, so bleibt x^ ungeändert; bs muss also

e =1

id somit \ eine ganze Zahl sein.

Setzt man jetzt, unter C^ eine Constante verstehend,

^0 e = 0 oder 1 zu nehmen ist, jenachdem c„ einen endlichen Werth hat ^der nicht, so ist

B*{x) dx ri", a;-c/

ind es ergiebt sich bei gehöriger Bestimmung der Constante C^

fix) = R*ix).Ue ^'"'''. »=1

Da nun in dem Falle, wo die Grössen c^ sämmtlich endliche Werthe haben,

v = l

ist, so ist für ic = oo die Function R*{x) weder Null noch unendlich gross; sie ist also eine rationale Function von x, welche an jeder Stelle, die nicht zu den singulären Stellen von f(x) gehört, einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat. Für n = 1 reducirt sich dieselbe auf eine Constante.

Es lässt sich also jede Function f{x) von der oben angegebenen Be- schaffenheit in der bereits in § 1 aufgestellten Form ausdrücken.

Umgekehrt stellt die vorstehende Formel stets eine Function dieser Beschaffenheit dar, wenn man die Grössen c , ... c, und die Functionen G{~^-\ willkürlich, die Function R*{x) aber so annimmt, dass sie die an- gegebene Eigenschaft besitzt.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Wenn von einer eindeutigen Function f{x) feststeht, dass nicht nur sie selbst, sondern auch jj^ in der Umgebung jeder Stelle, welche nicht zu einer Reihe gegebener Stellen (Cj, ... cj gehört, sich regulär verhält, während über ihr Verhalten in der Umgebung einer der letzteren Stellen nichts bekannt ist, so ergiebt sich ebenso

15*

i

116 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

wie im Vorstehenden

/■o

i_df(xi^ ^, 4.^1 1 \ ^V ^v \ ^ ±g( ^ ]

[x) dx v=i '{x — cj r=i « — c, dx y^i '^{x — Cyl'

A /'(^)

/•(a:) = i?*(a;)ne ''""''', wo iJ*(a;) ^ Cn(x-0^\

mit dem Unterschiede, dass jetzt die Functionen G^ zum Theil oder auch alle gleich Null sein können.

7. Eindeutige Functionen von x mit n wesentlichen und beliebig vielen ausserwesentlichen singulären Stellen.

Das Verfahren, durch welches man mit Hülfe der in den §§ 2 bis 6 ent- wickelten Sätze zu den in der Einleitung unter (B, 2) und (C, 1 u. 2) auf- gestellten Ausdrücken einer eindeutigen Function f{x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen gelangt, ist der Hauptsache nach bereits in § 1 so vollständig auseinander gesetzt worden, dass nur Weniges hinzuzufügen bleibt.

Hat die darzustellende Function keine Null- Stellen, so sind die a. a. O. mit G'" bezeichneten Functionen sämmtlich durch die Zahl 1 zu ersetzen.

Hat sie Null -Stellen in endlicher Anzahl, so kann man dieselben in beliebiger Weise den wesentlichen singulären Stellen zuordnen; es werden dann die Cr'"!-^— ) rationale Functionen, welche zusammengenommen dieselben Null- Stellen wie f{x) haben. Am einfachsten ist es in diesem Falle, eine der Functionen G"'' so zu bestimmen, dass die Reihe ihrer Null-Stellen mit der von f{x) übereinstimmt, und die übrigen dann durch die Zahl 1 zu ersetzen.

In dem Falle endlich, wo f{x) unendlich viele Null- Stellen hat, giebt es unter den wesentlichen singulären Stellen mindestens eine — sie möge mit c bezeichnet werden — die so liegt, dass in jeder Umgebung derselben imendlich viele Null- Stellen von f(x) vorhanden sind. Ist dann c^ irgend eine ' der übrigen wesentlichen singulären Stellen, und versteht man unter C, die- jenige Umgebung derselben, in welcher

ist, so kann man p so klein annehmen, dass Cj nur die eine wesentliche

IRin

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 117

guläre Stelle c^, und Null -Stellen nur in dem Falle enthält, wo in jeder Umgebung von c^ sich solche finden. Wenn man dabei q auch so annimmt, dass an der Grenze von Cj^ keine Null -Stellen liegen, und dann unter C denjenigen Theil des Gebietes von x versteht, der nach Ausscheidung von Cj, Cj, ... übrig bleibt, so ist das ganze Gebiet dergestalt in Theile C , C , ... zerlegt, dass sich in der a. a. O. beschriebenen Weise Functionen

""■(l^ir), e»(^).

bilden lassen, deren Null -Stellen beziehlich die in C^, C^, ... enthaltenen Null- Stellen von f{x) sind. Dabei ist, wenn es in einem dieser Theile keine Null- Stellen von f{x) giebt, die entsprechende Function G'" durch 1 zu er- setzen; woraus erhellt, dass man auf die angegebene Weise verfahrend die geringste Zahl von Functionen ^'^l^z^j erhält, für welche die Gesammtheit ihrer Null- Stellen identisch ist mit der Reihe der Null- Stellen der Function f{x).

Wenn nun femer f{x) — wie in § 5 angenommen worden — n (wesent- liche oder ausserwesentliche) singulare Stellen (c^, ...c^) hat, so sind wieder drei Fälle zu unterscheiden.

Die singulären Stellen können sämmtlich wesentliche sein — dann ist, wenn man

fix) = uG^-[-^yax)

setzt, f^{x) eine Function von der im vorhergehenden § vorausgesetzten Be- schaffenheit, so dass sie sich, da jede ihrer wesentlichen singulären Stellen in der Reihe c , ... c enthalten ist, in der Form

darstellen lässt — wobei zu beachten ist, dass nach dem am Schluss d. a. § Bemerkten die Functionen G^ zum Theil oder auch alle gleich Null sein können. Setzt man also

,,„(_i_)/i-J = ,.(_i^),

118 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

SO ergiebt sich

m = ÜG,[-^)-ii*ix).

Hat ferner f{x) m wesentliche singulare Stellen (c,...c,,J und (w — ??i) ausserwesentliche (c,^^^, .. . c^), so möge, wenn v eine der Zahlen m + 1, ... n ist, m^ die kleinste positive ganze Zahl sein, durch welche bewirkt wird, dass

für X = c einen endlichen Werth erhält. Setzt man dann

y

\

OJ )=( 1 , iv = m+l,...n)

"{x-cj \x-c^ c,-cj '

wobei unter dem Zeichen , falls c. — oo ist, der Werth 0, falls c = oo

ist, der Werth c^ zu verstehen ist, und

fix) = fix), n G-J^),

so ist f(x) eine Function, welche die m wesentlichen singulären Stellen (c^, ... c^j), aber keine ausserwesentliche hat, mithin in der Form

ausgedrückt werden kann.

Sind endlich c^.^...c^^ sämmtlich ausserwesentliche singulare Stellen für die Function, und hat m^ dieselbe Bedeutung wie oben, so ist, wenn von den Grössen c , ... c keine den Werth oo hat,

^^'^^- ix-c,)^\..ix-cj^»'

wo G{x) eine ganze rationale Function von nicht höherem als dem (m -i 1-»«,,)*™

Grade bezeichnet — dagegen, wenn c^ = oo,

^^^- (.^-c.r...(^-c„_,r-'

wo der Grad von Gix) den des Nenners um m^^ Einheiten übertrifft. Man kann daher in beiden Fällen f{x) auf die Form

1

n^.

r= i

X — C,

ZUK THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN. 119

bringen, in der Art, dass <?,(—:—) eine ganze rationale Function wi^'"" Grades

von ist

x—c,

Hiernach kann also jede eindeutige Function von x mit n singulären Stellen in der in § 1 unter (B, 2) aufgestellten Form

Ä"-!^)-^''^'

ausgedrückt werden. Dabei ist zu beachten, dass JJ*(a;) — wie a. a. O. an- gegeben worden — nur an solchen Stellen, welche sich unter den wesent- lichen singulären Stellen der darzustellenden Function finden, Null oder unendlich gross wird; so wie auch, dass keine der Functionen G{ _ ), wenn dieselben in der beschriebenen Weise gebildet werden, sich auf eine Constante reducirt. Zugleich erhellt, dass, wenn die Functionen G^,, R* diesen Be- dingungen gemäss, im Übrigen aber willkürlich angenommen werden, die vorstehende Formel auch stets eine eindeutige Function von x mit höchstens n singulären Stellen darstellt.

Jetzt sei f{x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen (c^, ... c^). Dann ist wieder, wenn man unter

^''+'\«-cJ' ■■■ ^"\x-cj

die Functionen versteht, welche zur Function jr-^ in derselben Beziehung stehen wie

\x-cj' \x-c„)

zu /"(«)*) — so dass die Gesammtheit ihrer Null- Stellen identisch ist mit der

Keihe der Null- Stellen von -i^rr — u^nd

fix)

G'

*) Es ist zu beachten, dass die zur Definition der Functionen G„+,. erforderliche Zerlegung des Gebietes von a; in w Theile den in Beziehung auf die Function f(x) gegebenen Bestimmungen gemäss aus- zuführen ist , so dass diese Theile nicht nothwendig dieselben werden wie die vorhin mit Cj, Cj , . . . be- zeichneten.

120 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

setzt, f (x) eine Function von derselben Beschaffenheit wie die im Vorstehenden so bezeichnete. Man erhält also, wenn man für dieselbe den angegebenen Ausdruck setzt und

\x — cj '\x-cj

bezeichnet.

Dies ist der in § 1 unter (C, 2) gegebene Ausdruck von f{x).

Die in diesem Ausdrucke vorkommenden Functionen G^^ ... G^^ sind so beschaffen, dass nicht zwei derselben eine gemeinschaftliche Null-Stelle haben, und auch keine von ihnen an einer der Stellen c^, ... c^ verschwindet. Femer ist von den Factoren des Nenners jeder, welcher nicht unendlich viele Null- Stellen hat, eine rationale Function, und der entsprechende des Zählers dann nothw endig eine transcendente. Dabei darf angenommen werden, dass die Anzahl derjenigen Factoren des Nenners, welche nicht gleich 1 sind, ein Minimum sei; dann ist in dem Falle, wo f{x) unendlich viele ausserwesent- liche singulare Stellen hat, jeder dieser Factoren eine Function mit unendlich vielen Null -Stellen, während im entgegengesetzten Falle der Nenner sich auf eine rationale Function von x mit einer — in der Reihe c^, ... c^ enthaltenen — singulären Stelle, oder auch auf eine Constante reducirt. JR*(«) hat die- selbe Bedeutung wie im vorher betrachteten Falle.

Zugleich ist klar, dass der vorstehende Ausdruck stets eine eindeutige Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen (c^, ... c„) darstellt, wenn die Functionen

so angenommen werden, dass sie die angegebene Beschaffenheit haben, im Übrigen aber willkürlich gewählt sind.

Die Function R^{x) kann in der Form

*U-cJ_ \oo-cJ

Züß THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

121

i^o Cj, eine beliebige der Grössen c^^...c^ bedeutet, dergestalt ausgedrückt [werden, dass G*, G* rationale ganze Functionen von -^^ ohne gemeinschaft-

ichen Theiler sind.

Es lässt sich also der allgemeinste Ausdruck einer eindeu- Itigen Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen \c , ... c auch in der Form

l 1' H

»=i 'Xx-cJ

MMiih-)

»darstellen, wo die Functionen Cj, ... G^,,, dieselbe Beschaffenheit [wie in dem vorhergehenden Ausdruck haben, mit der Modification, dass jetzt auch ein Factor des Zählers und der entsprechende des Nenners an einigen der Stellen c^, ... c,, verschwinden können.

Übrigens erhellt, dass beide Ausdrücke, wie auch die Functionen G ^ ... ^s„ angenommen werden mögen, stets eine eindeutige Function von x dar- stellen, deren wesentliche singulare Stellen sich sämmtlich in der Reihe Cj, ... c^ finden; so wie auch, dass c^^ wirklich eine wesentliche singulare Stelle dieser Function ist, wenn unter den übrigen Grössen c^ keine ihr gleiche sich findet und der Quotient

G

G,

"+\x-cj

sich nicht auf eine rationale Function reducirt.

Der zweite Ausdruck von f(x) kann nun auf doppelte Weise noch weiter entwickelt werden.

Setzt man

m =

U{^)

so sind fX^)i f^{x) Functionen von cc, welche sich in der Umgebung jeder von IL 16

122 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

Cj, ... c^ verschiedenen Stelle regulär verhalten, und deshalb nach § 5 in der Form

f^ix) = j3+± I:j5,,,(^-o-."

r = 1 fi = 1

dargestellt M^erden können, wo die Coefficienten

A, B, A^^„ J9,,_,

Constanten und so beschaffen sind, dass die Eeihen für jeden von c^, ... c, verschiedenen Werth der Veränderlichen x unbedingt convergiren. So ergiebt sich der in § 1 unter (C, 1) aufgestellte Ausdruck von f{x).

Wenn man ferner das in § 2 auseinandergesetzte Verfahren zur Zer- legung einer ganzen eindeutigen Function in Primfactoren auf die Functionen G'j, ... G^,„ anwendet, so erhält man jede der Functionen /",(«), fX^)i wofern sie nicht selbst eine Primfunction ist, als Product von (rationalen oder tran- scendenten) Primfactoren dargestellt, und zwar so, dass die singulare Stelle jedes einzelnen eine der wesentlichen singulären Stellen von f{x) ist, und das Product, falls es aus unendlich vielen Factoren besteht, in jedem Theile des Gebiets von ic, der weder im Innern noch an der Grenze eine der Stellen Cj, . . . c^ enthält, unbedingt und gleichmässig convergirt.

Hiermit ist vollständig nachgewiesen, wie sich jede eindeutige Function f{x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen aus den ein- fachsten Functionen mit einer (wesentlichen oder ausservvesentlichen) singu- lären Stelle durch arithmetische Operationen zusammensetzen lässt.

Es bleibt aber noch übrig zu ermitteln, wie eine solche Function sich in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen verhält.

8. Verhalten der untersuchten Functionen in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen.

Ist f{x) eine ganze eindeutige Function, so weiss man, dass es unendlich grosse Werthe von x giebt, für welche der Werth von f{x) ebenfalls unend- lich gross ist — mit andern Worten, dass sich, wenn a, h zwei willkürlich angenommene positive Grössen sind, unter den Werthen von ic, die ihrem

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

123

ibsoluten Betrage nach grösser als a sind, stets solche finden, für die der |absolute Betrag von f(x) grösser als h ist.

Dasselbe gilt für jede eindeutige Function von x mit der einen wesent- lichen singulären Stelle oo. Man denke sich nämlich eine solche Function BD, wie in § 3 angegeben worden, in der Form

lusgedrückt, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden. Ist der Nenner eine ranscendente Function, so verschwindet derselbe für unendlich viele Werthe

ron x\ unter diesen giebt es also nothwendig unendlich grosse, und in einer unendlich kleinen Umgebung eines solchen Werthes ist der Werth von f{^ unendlich gross. Ist aber GJ^ eine rationale Function, so kann

auf die Form

+ Gr^x)

in der Art gebracht werden, dass GJ^x) eine rationale ganze Function von niedrigerem Grade als G^^(x), und G^{x) eine transcendente ganze Function ist; woraus sich, da der Quotient

G,(x) G,{x)

.für jeden unendlich grossen Werth unendlich klein ist, die Richtigkeit des behaupteten auch in diesem Falle ergiebt.

Dies vorausgeschickt, bedeute jetzt f{x) wieder eine beliebige eindeutige Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen, so kann dieselbe, wenn c irgend eine dieser Stellen ist, nach dem vorhergehenden § in der Form

F{x)

iergestalt ausgedrückt werden, dass F{x) in der Umgebung der Stelle c sich

'regulär verhält, aber für x = c nicht verschwindet. Es giebt also, wenn

Q, R positive Grössen sind, von denen die erste beliebig klein und die andere

16'

124 ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

beliebig gross angenommen werden kann, Werthe von x, für die

\m\

\X — C\ < 1

B

ist.

Nun hat aber, wenn C eine willkürlich anzunehmende Grösse bedeutet, die Function

1

dieselben wesentlichen singulären Stellen wie f{x)-j es existiren also auch Werthe von x, für die

X-

m-c

B, \f{x)-C\

1 R

ist.

Hiernach ändert sich die Function f{cc) in einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle c in der Art discontinuirlich, dass sie jedem willkürlich angenommenen Werthe beliebig nahe kom- men kann, für x = c also einen bestimmten Werth nicht besitzt; was sich in den entwickelten Ausdrücken der Function dadurch zu erkennen giebt, dass dieselben für x = c aufhören, eine Be- deutung zu haben.

lUNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE 2r-FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN

VON T VERÄNDERLICHEN.

(Briefliche Mittheilungen an C. "W. Borchardt. Crelle's Journal, Bd. 89.)

1.

Im Monatsbericht unserer Akademie v. J. 1869 (S. 855)*) habe ich das (folgende Theorem mitgetheilt:

»Es sei /'j(Mj, . . . ?<J eine eindeutige Function, die bei endlichen Werthen

jder r Veränderlichen ?<j, ...«. den Charakter einer rationalen Function hat

[und 2j--fach periodisch ist; so lässt sich jede andere Function f{u^^...u^)

^dieser Art, welche dieselben Periodensysteme wie f^{u^,...u^) besitzt, rational

durch die (r + 1) Functionen

df,{u„...u,) df,{u„...u,)

f ausdrücken, unter diesen aber besteht eine algebraische Gleichung.«

Du siehst, lieber Freund, dieses Theorem entspricht vollkommen dem

[Li ouville 'sehen Satze, nach welchem, wenn /",(«<) eine eindeutige doppelt periodische Function ist, die innerhalb eines Perioden -Parallelogramms nur an zwei Stellen unendlich gross wird, jede andere eindeutige Function f{u),

[welche dieselben Perioden wie f^{u) besitzt und innerhalb eines Perioden-

, Parallelogramms an beliebig vielen Stellen unendlich gross wird, in der Form

jj

[dargestellt werden kann, wo L, M, N ganze rationale Functionen von f^{u)

*) [S. 46 dieses Bandes.]

126 ÜBER 2r-rACH PERIODISCHE FUNCTIONEN.

bezeichnen. Der Unterschied ist nur, dass nach meinem Satze f[u) rational durch f^{u) und f[{u) ausgedrückt werden kann, wenn f^{u) eine beliebige Function der betrachteten Art ist, welche dieselben Perioden wie f(u) hat; was sich übrigens aus dem Liouville'schen Satze leicht folgern lässt.

Ich habe die Aussage meines Theorems im Wesentlichen so wieder- gegeben, wie sie im Monatsbericht der Akademie steht. Dieselbe bedarf aber einer Modification.

Man betrachte als zu einer Klasse gehörend alle 2r-fach periodischen Functionen f(u^,...u^) der angegebenen Art, welche dieselben Periodensysteme besitzen; so ist das Theorem folgendermassen auszudrücken:

»Alle einer bestimmten Klasse angehörigen Functionen f(u^, . . . ««,.) lassen sich rational aus einer von ihnen — fii^o •••^r) — ^"^^ ^^^ ersten Ab- leitungen derselben zusammensetzen, wobei diese Function f^ im Allgemeinen beliebig ausgewählt werden kann, mit der Beschränkung, dass es möglicher- weise particuläre Functionen der Klasse giebt, die auszuschliessen sind. Zu- gleich besteht zwischen jeder Function f und deren ersten Ableitungen eine algebraische Gleichung.«

Es ist aber dieser Satz nur ein besonderer Fall eines allgemeineren Theorems, das ich Dir bei dieser Gelegenheit mittheilen möchte. Es wird jedoch nöthig sein, dass ich einige Bemerkungen vorausschicke, durch welche der Charakter der Functionen, auf die das Theorem sich bezieht, genau fest- gestellt werden soll.

Liouville bezeichnet in den von Dir ausgearbeiteten »Le^ons« die von ihm untersuchten Functionen als »fonctions bien determinees«, ohne dieselben genauer zu definiren; es erhellt aber aus den Voraussetzungen, die er bei der Begründung seiner Sätze macht, und aus den Endresultaten seiner Unter- suchung, dass er ausschliesslich solche eindeutige Functionen einer Veränder- lichen im Auge hat, für die — nach der von mir in der Abhandlung: »Zur Theorie der eindeutigen Functionen«*) gebrauchten Terminologie — im Endlichen eine wesentliche singulare Stelle nicht existirt. In der That haben für andere eindeutige Functionen seine Sätze keine Gültigkeit. (So z. B. ist

Tp, X sinamM

*) Abhandlungen der Berliner Akademie aus dem Jahre 1876 [S. 77 dieses Bandes].

ÜBER 2r-FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN.

127

ine eindeutige und. doppelt periodische Function, jedoch nicht rational durch sin am?« und — '°^'"" ausdrückbar. Für dieselbe ist aber jeder Werth von u,

ür den sin am m = cxd wird, eine wesentliche singulare Stelle. Denn es lässt bich F{u), wenn a irgend ein solcher Werth ist, für hinlänglich kleine ^erthe von [u — a) zwar nach ganzen Potenzen dieser Grösse in eine con-

rergirende Keihe entwickeln, in derselben kommen aber Glieder mit negativen

Exponenten in unendlicher Anzahl vor.) "Wenn es sich also darum handelt,

ie Liouville'sche Theorie der doppelt periodischen Functionen einer Ver- ^änderlichen auf 2r-fach periodische Functionen von r Veränderlichen aus- zudehnen, so ist von vorn herein klar, dass dies nur für Functionen von

)esonderer Beschaffenheit möglich sein wird.

Um mich im Folgenden kurz ausdrücken zu können, will ich, wenn Mj, ...M,. gleichzeitig betrachtete veränderliche Grössen sind, ein einzelnes Werthsystem derselben eine »Stelle im Gebiete der Grössen ^l^, ... «* « nennen.

f'erner soll, wenn (a^, ... a^) eine bestimmte Stelle des Gebietes ist, die Ge- sammtheit der Stellen (««,,... m^), für die jede der Differenzen {u^—a ), ... («, — a ) ^hrem absoluten Betrage nach kleiner als eine gegebene Grösse d ist, die »Umgebung {S) der Stelle (a^, ... a,.)« heissen. (Dabei setze ich fest, dass der

■"ormel {u — a) in dem Falle, wo a = oo ist, die Bedeutung — gegeben werde.)

)ies festgestellt, gebe ich nun folgende Definitionen:

Ich sage von einer eindeutigen Function f(u^, ... u,.), sie verhalte sich an einer bestimmten Stelle (a^, ... «,.) regulär, wenn sie in einer gewissen Um- gebung dieser Stelle durch eine Reihe von der. Form

S^r.,... !-,.(«. -«.)"' • • ■ («V-Ör)"'', ("i. ••• »>,• = 0, ...Go)

dargestellt werden kann , wo v, , ... v . ganze Zahlen bezeichnen und unter den Coefficienten A^, ^ von m^, ...«,. unabhängige Grössen zu verstehen sind. j(Ich gebrauche für eine solche Reihe die Bezeichnung

^(m, — «,, ...M,.— a,.) oder auch '>ß{u^, ...u^la^, ,..a,.)

Fällen, wo nur die Form der Reihe hervorgehoben werden soll und es luf die Werthe ihrer Coefficienten nicht ankommt.)

Die Stellen, an denen eine Function f{u^,...u^) sich regulär verhält, Ibilden ein 2r-fach ausgedehntes Continuum, das nothwendig begrenzt ist;

128 ÜBER 2r-rACH PERIODISCHE FUNCTIONEN.

jede an der Grenze desselben liegende Stelle nenne ich eine singulare Stelle für die betrachtete Function.

Ist («j, . . . «') eine solche singulare Stelle, so kann möglicherweise f{u , . . . My) durch Multij)lication mit einer Potenzreihe

die für m^ = a',, . . . u^ = a[ den Werth Null hat, in eine an der Stelle (aj, ... a[) regulär sich verhaltende Function verwandelt werden, so dass sich f{u^, ... ««,.) für alle einer gewissen Umgebung der in Rede stehenden Stelle angehörigen Werthsysteme {u^^ ... w,.) in der Form

$,(m, — a|, ...Uf—a'r)

darstellen lässt. In diesem Falle nenne ich (a',, ...a^) eine ausserwesent- liche, in jedem anderen Falle eine wesentliche singulare Stelle.

Es giebt aber, wenn r>l, zwei wohl von einander zu unterscheidende Arten ausserwesentlicher singulärer Stellen.

Man kann, wenn (a^, ...a.) irgend eine solche Stelle ist, f{u,...uj in der angegebenen Form stets so darstellen, dass '^^(u^—a[,...ti^—a') und '^(u, — a'....u—a') nicht beide durch eine dritte, für u =«',...« =a verschwindende Function ^(u^ — a[,...ti^—a'^) theilbar sind. Wenn dann '^^{u^-a[, ... u-a.) für u^ = a[, ... u^ = a|, nicht verschwindet, so ist für alle einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle (a[, ... a'^) angehörigen Werth- systeme (Wj, ... u^) der Werth von f{u^,...u^) unendlich gross, und daher

f{u^,...u,) = oo für u^ = «!,.., u, = a'f.

Ist dagegen ^^(«j— a'^, ... M^— a.) = 0 für «^ = a'^, ... «<^ = a,'., so lässt sich zeigen, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (a^, ...a^) Werthsysteme («,,...?*,.) giebt, für die /"(e«,, ... «.) einen beliebig vorge- schriebenen Werth erhält, so dass an der Stelle {a[, ... a'^) selbst die Function keinen bestimmten Werth hat.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Die Gesammtheit der Stellen, an denen sich /"(m^, ...«.) wie eine rationale Function verhält — d.h. die Gesammtheit der nicht singulären und der ausserwesentlichen singulären

ÜBER 2/- -FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN. 129

stellen — ist ein 2r-facli ausgedehntes Continuum, dessen Begrenzung die wesentlichen singulären Stellen bilden.

Ist (Oj, ... a^) irgend eine bestimmte Stelle im Innern dieses Continuums,

imd hat f(a^,...a^) einen bestimmten endlichen Werth, so verhält sich

f{u^, ... M,.) in einer bestimmten Umgebung der Stelle (a,, ••• a^) überall regulär.

Ist /"(«,,... «,.) = CO, so giebt es in jeder Umgebung von (a^, ... aj, die

keine singulare Stelle der Function

1

enthält, wenn r>l ist, unendlich viele, eine (2r — 2) -fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen, an denen die Function f{w^,...u^) den Werth oo hat, während sie sich an allen übrigen Stellen des genannten Bereichs regulär verhält.

Hat endlich f(u^, . . . uj) für u^ = a^, . . . u^ ^ a, keinen bestimmten Werth, so giebt es in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (a^, ... a^) nicht nur unendlich viele andere ausserwesentliche singulare Stellen, an denen die Function f{u^,...ti^) den Werth oo hat, sondern auch, wenn r>2 ist, un- endlich viele Stellen, an denen sie unbestimmt ist; die ersteren bilden eine (2r — 2)-fache, die letzteren eine (2r — 4)-fache Mannigfaltigkeit.

Ich knüpfe hieran sogleich die Aussage eines fundamentalen Satzes, von dem ich später Gebrauch machen werde.

»Eine eindeutige Function f{u^, ...u^,), für die im ganzen Gebiete der Veränderlichen «f^, ... m,. keine wesentliche singulare Stelle existirt, ist noth- wendig eine rationale Function.«

Für Fimctionen einer Veränderlichen habe ich diesen Satz in der vorhin genannten Abhandlung bewiesen; für Functionen von beliebig vielen Veränderlichen ist derselbe aber keineswegs so einfach zu begründen, wie es auf den ersten Blick scheint.

Endlich will ich noch Eins erwähnen. Wird aus dem Gebiete von r complexen Veränderlichen u^,...u^ auf irgend eine Weise ein 2r-fach aus- gedehntes Continuum ausgeschieden, so lassen sich stets eindeutige Functionen von Mj, ... u^ bestimmen, welche sich an allen Stellen im Innern dieses Con- tinuums, aber an keiner Stelle seiner Begrenzung wie rationale Functionen verhalten. Es treten also die wesentlichen singulären Stellen einer eindeutigen n. 17

130

ÜBER 2r-FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN.

Function von r Veränderlichen nicht nothwendig vereinzelt auf, sondern es kann vielmehr jedes im Gebiete von r complexen Grössen mögliche Gebilde der Ort solcher Stellen sein.

Nach diesen Vorbemerkungen, auf die ich mich mehrfach werde be- ziehen müssen, setze ich nun fest, dass überall, wo im Folgenden von einer 2r-fach periodischen Function von r Veränderlichen die Rede sein wird, darunter nicht nur eine eindeutige Function verstanden, sondern auch ange- nommen werden soll, dass für dieselbe im Endlichen eine wesentliche singu- lare Stelle nicht existire.

Dies vorausgesetzt, kann man zunächst beweisen, dass einer beliebigen 2r-fach periodischen Function Z^«*,, ••• «*,.) auf mannigfaltige Weise (»• — !) andere :

welche — nach der oben gegebenen Definition — derselben Klasse wie /,(Mj, ...mJ angehören, sich so adjungiren lassen, dass die Functionaldeter- minante

^f^ ... _^

du,.

du,.

du, '

df^ du, '

dUi '

3l

du.

nicht für beliebige Werthe von u,^...u^ verschwindet, die Functionen /",, Zj, ... /", also von einander unabhängig sind. Bei den in Betreff der Function /"j gemachten Annahmen ist, wie ich in der Abhandlung: »Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen mehrerer Veränder- lichen« (Monatsbericht vom Jahre 1876, S. 687)*) gezeigt habe, die Determinante

df,{u„...u,) du, ' da<,-'K) du[	•	du^ da<,--K) du\.
dfMr\--<	-")	öf. «-",•..<-")

ÖM*-"

ömI'

*) [S. 55 dieses Bandes.]

ÜBER 2r-FACH PEKIODISCHE FUNCTIONEN.

131

nicht für beliebige Werthe der Grössen u^,...u^, m[, ...m|,, ... «/j*"", . . . mJ!"""

gleich Null. Setzt man also, unter c[^...c\ unabhängige Grössen verstehend ,

"i »

von u^,

u.

< = «*„+c;,

<-" = "« + er", («=l,...r)

so kann man den Grössen c^, ... c^ " solche Werthe geben, dass die Deter- minante

du, '

df^(u, + c'„...u^+cl) du.

du,

df,(u, + c[, ...My + <) dUf

du.

df,iu,+cr",...u,+cr")

dUr

nicht bei beliebigen Werthen von u^, ... u, verschwindet. Nimmt man dann

80 haben die Functionen /,,/,, ■■•f, alle dieselben Periodensysteme, und ihre ' Functionaldeterminante ist nicht für beliebige Werthsysteme (u^, ... u,) gleich ^NuU.

Es sei nun

/iK,-"«r), fA^i,-"K)l ■" /"rCWi.-.-Wr)

irgend ein System von r derselben Klasse angehörigen und von einander unabhängigen 2r-fach periodischen'Functionen, so gilt für dasselbe zunächst der folgende Satz: Nimmt man zwischen den Grössen m^, ... u, und r anderen Veränderlichen ä^, ... s^ die r Gleichungen an:

/".(«., •••«r) = S., /■2(2«i,.--«r)

... Jy\U,,,,.Uf) — S^,

so entsprechen jedem Werthsysteme der Grössen s^, s^^ ... ä. im Allgemeinen, d.h. wenn von gewissen particulären Werthsystemen (ä^, s^, ... «^), die nur eine (2r — 2)-fache Mannigfaltigkeit bilden, abgesehen wird — unendlich viele Stellen (w^, ...m^), die weder zu den singulären Stellen der Functionen /"j, fii---fr gehören, noch zu denen, für welche die Functionaldeterminante von fiifii---fr verschwindet. Denkt man sich aber die zu einem Werthsysteme (äj, Äj, ... s^) gehörigen Stellen {u^^...u,) in der Art in Gruppen vertheilt,

17*

132 ÜBER 2r-FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN.

dass je zwei Stellen {u[, ... u'^), (u", ... u") in derselben oder in verscliiedenen Gruppen sich finden, jenachdem die DiflFerenzen u^ — u[, ... u" — ul ein Perioden- system der Functionen f bilden oder nicht; so ist die Zahl dieser Gruppen endlich und hat für jedes Werthsystem i^^, s^, . . . s^) denselben Werth, der mit m bezeichnet werden möge. Die so definirte Zahl nenne ich den Grad des Functionensystems /j, /,,.../',.

Aus diesem Satze ergeben sich sodann die nachstehenden Theoreme.

»Ist f(u^,...u^) irgend eine 2r-fach periodische Function, unter deren Periodensystemen sich auch alle Periodensysteme der Functionen /",, /"j, ... f,. finden, so besteht zwischen / und f^if^i...f^ eine irreductible Gleichung, deren Grad in Beziehung auf f gleich m oder ein Theiler von m ist.«

»Unter den 2r-fach periodischen Functionen der Klasse, zu welcher fiifi-i---fr gehören, giebt es unzählige, die mit f^, f^, . ■ . f,. durch eine irre- ductible Gleichung m*™ Grades zusammenhangen; ist f^.^^ irgend eine derselben, so lässt sich jede Function f(u^,...uj von der im vorstehenden Satze ange- gebenen Beschaffenheit rational durch die (r + i) Functionen fiTfii---f,.if,+, ausdrücken «

Zu der Klasse der Functionen f^,f,, ... /;.+, gehören auch alle Ableitungen derselben. Setzt man also

f = I^ifuf,, •••/'r+i)>

so hat man auch

^ — -R (f f f \ M.

-"i(/i)/2J •••/r+i)) *'■ ;5^, — ■^r\ft>fi>---fr+i)>

WO R, i2j, ... 12,. rationale Functionen von f^, f^, ... jT.^^ bezeichnen. Aus diesen (r + 1) Gleichungen und der zwischen /,._^j und f^if^,...f,. bestehenden Glei- chung kann man f,) /^jj ••• f^+i eliminiren, und erhält dabei im Allgemeinen zugleich diese Grössen rational durch die Functionen f, -J^, ••• -^ ausgedrückt. So ergiebt sich das im Anfange meines Briefes angeführte Theorem. Ich habe aber nicht untersucht, welcher Beschränkung der Ausdruck R{f^,f^, ... f^.^J unterworfen werden muss, damit sich f, f, ... f wirklich rational durch/ und g^j'-'-g^ ausdrücken lassen. Ich habe deswegen die ursprüngliche Fassung des in Rede stehenden Theorems etwas modificiren müssen.

Von den vorstehenden Sätzen ist der erste, wodurch der Begriff des Grades eines Systems von r derselben Klasse angehörigen und von einander

ÜBER 2r-FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN. 133

unabhängigen 2r-fach periodischen Functionen festgestellt wird, am schwierig- sten zu beweisen. Dies hat seinen Grund hauptsächlich in dem Umstände, dass immer, sobald r>l ist, im Gebiet der Grössen u,...u^. singulare Stellen existiren, an denen die Functionen /"i, Z^) ••• iC+i ^^"^ Theil oder alle unbestimmt sind. Wenn Du mir gestattest, in meinen Mittheilungen fort- zufahren, so werde ich Dir in einem folgenden Briefe den — allerdings nicht gar kurzen — Weg beschreiben, auf dem ich zu einem, wie ich glaube, völlig strengen Beweise der aufgestellten Sätze gelangt bin, und der mich dann schliesslich auch zu dem Ziele geführt hat, das ich bei meinen Unter- suchungen über die hier betrachteten 2r-fach periodischen Functionen von r Veränderlichen von Anfang an im Auge hatte — dem Nachweise nämlich, dass jede solche Function sich durch eine 0-Function von r Ar- gumenten ausdrücken lässt.

Berlin, den 5. November 1879,

ANMERKUNG.

Die beabsichtigte Fortsetzung der vorstehenden Mittheilungen ist unterblieben, weil ich im Winter 1879—80 schwer erkrankte und noch nicht völlig wieder hergestellt war, als Borchardt (27. Juni 1880) starb.

>

EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE.

1. Vorbereitungssatz.*)

Ist F{x,x^^ ... xj eine gegebene, in der Form einer gewöhnlichen Potenz- reihe dargestellte Function von x, x^, ... x^, welche, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, ebenfalls gleich Null wird, so giebt es stets unend- lich viele, dem Convergenzbezirk der Reihe angehörige Werthsysteme der Grössen x, x^, ... x^, welche die Gleichung

F{x,x„...x„) = 0 befriedigen.

Bei vielen Untersuchungen handelt es sich nun darum, von diesen Werth-

I Systemen alle diejenigen zu bestimmen, für welche der absolute Betrag jeder

einzelnen Grösse eine — beliebig klein anzunehmende — Grenze ä nicht

überschreitet.

Diese Aufgabe lässt sich folgendermassen lösen.

Es werde

F{x,o,...o) mit F^{x) >ezeichnet und

F{x,x„...x„) = F,{x)-F,{x,x„...xJ

gesetzt, so dass F für jeden Werth von x gleich Null wird, wenn x^, ... x^

*) Diesen Satz habe ich seit dem Jahre 1860 wiederholt in meinen Universitäts-Vorlesungen vor- getragen.

136 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

sämmtlich verschwinden. Ich nehme nun zunächst an, dass F^{x) nicht für jeden Werth von x verschwinde. Dann kann man eine positive Grösse q so annehmen, dass F^(x) für keinen Werth von x, dessen absoluter Betrag > 0, aber < p ist, verschwindet, und dass es zugleich Werthe von x^,x^,...x^, die sämmtlich von Null verschieden sind, giebt, für welche die Reihe F^{q,x^,...xJ convergirt. Wenn ferner eine zweite positive Grösse q^ so angenommen wird, dass sie > 0, aber <(» ist, und festgesetzt wird, dass der absolute Betrag von x zwischen q^ und g liege, die absoluten Beträge von a;,, ... x^ aber alle unter einer Grenze q^ bleiben sollen, so kann man q so klein annehmen, dass für alle Werthsysteme von x^x^, ... x„, welche diese Bedingungen erfüllen, jF„ dem absoluten Betrage nach grösser als F ist. Man hat dann

W TP* X = m jpi-

Fl ^ Fl ^ ,^„ Fl^^

,dT\ dF,

/=" ' dx ^=°°^- "öF

1	_ 1 ,
Fix,x„.	..^«) ~ F, '
	dF dF, dx dx F - F„
	dF,

0

F, i^, l dx \Fll'

Es ist aber, da der grösste Werth, welchen der absolute Betrag von -^ für alle jetzt betrachteten Werthe von x,x,^...x^ besitzt, kleiner als 1 ist, die Reihe

^=" 1 ö (Fb

^. A dx \Fl) gleichmässig convergent, und daher

dF	dF,
dx F ~	dx ~ F,	d ^='» 1 F\ dx ,^, A Fi

Es kann femer, wenn das Anfangsglied in der Entwickelung von F,{x) den Exponenten m hat, ^ in eine Reihe von der Form

n

'E,G(x„...x„\^x-'"'+^

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 137

entwickelt werden, wo G(x^, ... xj^^ eine gewöhnliche Potenzreihe von x^, ... x„ bedeutet; und bei der gleichmässigen Convergenz der Reihe

kann man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, in eines zusammenziehen und erhält so:

;. = (» J p^ v = + a> I

X=l A Je 1^ r=-«

wo auch G{x^., ... x^^ eine gewöhnliche Potenzreihe bezeichnet. Ferner ist

■'- 0

wo G{x) eine gewöhnliche Potenzreihe von x bedeutet. Also:

dF

dx d ' ~ '*''"

-^ = mx-^+G{x)--^^J^J}{x„...x„\x'.

Aus dieser Gleichung lässt sich zunächst ersehen, dass, wenn man den Grössen x^., x^., . . . x^ bestimmte Werthe, die dem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als q^ sind, beilegt, die Gleichung

F{x,x„...x„) = 0

stets durch m Werthe von a;, die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind, befriedigt wird, vorausgesetzt, dass jeder so oft gezählt wird als die zugehörige Ordnungszahl anzeigt. (Vgl. S. 86.)

Dass es überhaupt innerhalb des angegebenen Bereiches Werthe von x giebt, welche 2*" = 0 machen, lässt sich so zeigen: Angenommen, es würde JP(a;, X ^... ic„) bei gegebenen Werthen von ic , ... a;„ für keinen der in Rede stehenden Werthe von x gleich Null , so Hesse sich ^ -g— für alle Werthe von ic, die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind, in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Reihe entwickeln, und diese müsste für die ihrem absoluten Betrage nach zwischen q^ und q liegenden Werthe von X mit der vorstehenden übereinstimmen. Dies ist aber nicht möglich, II. 18

138 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

da in der letzteren Reihe das Glied mx'^ vorkommt. (Da die erste Ableitung

einer Potenzreihe von x niemals ein Glied mit dem Exponenten —1 enthält,

so kann sich das angegebene Glied nicht gegen ein anderes heben.) — An- genommen nun, es seien

die in dem angegebenen Bereiche liegenden Werthe von ic, welche die Gleichung F{x,x^^ ...x^ ^ d befriedigen, wobei ein jeder in diese Reihe so oft aufzunehmen ist, als seine Ordnungszahl anzeigt, so wird die Differenz

1 öF 1	1
F dx x — x'	a;-a;<"

für keinen Werth von x^ dessen absoluter Betrag kleiner als q ist, unendlich gross, und kann daher in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Reihe ^(x) entwickelt werden. Für alle Werthe von a;, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p, aber grösser als jede der Grössen a;', a;", . . . «** und Q^ sind, hat man also:

1 dF *="

wo

und

1 dF r = + a>

dF Die Vergleichung dieser beiden Ausdrücke von — ^ giebt

s^ = m oder r = m,

d.h. die Anzahl der in Rede stehenden, die Gleichung F(x,x^, ... x^) =^ 0 befriedigenden Werthe von x ist gleich dem Grade des Anfangsgliedes von Fix,0,...0).

Ferner ergiebt sich, wenn man

V = —l und Z > 0 annimmt , si = lG{x„...x„)_i.

MEHKEREB VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

Setzt man daher :

f{x,x,,...x,) = {x-x')...{x-x'"') = aj-^+z;«"-' +•■•+/;„,

so dass

139

1^ =

f dx x — x

1 _ 1_

~^"'^ x-x''

ist, so erhält man für Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach grösser sind als x\ ... ä""',

^:^^^^i^.^...^^^ = mx ^ + s,x ^ + s,x » + -,

und hieraus:

2/; = -s,-sj.

Hiemach sind f , ... f sämmtlich Potenzreihen von a;, , . , . a; , welche sicher convergiren, wenn alle diese Grössen dem absoluten Betrage nach I- kleiner als g^ sind. Die gesuchten m Werthe von x werden dann gefunden durch Auflösung der Gleichung

af* + /',a;'"-' + ••• + /;„ = 0.

1 SF [an erhält femer durch Vergleichung der beiden Ausdrücke von -^ gj

^(x) = Gix) -±{v + l)G{x„... x„\^, .x^

1' = 0

für alle Werthe von x^ die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind. Setzt man daher

&ix,x„...x„) = fG{x)dx-f,G{x^,...x„X ^{x,x„...x„) = e ^ ' " "',

r«o sind ® und % gewöhnliche Potenzreihen von a;, aj^, ... a;^, welche sicher [convergiren, wenn | a; | < p, | a;J < p,, . . . | a;„ | < p^. Dabei wird ij = 1, wenn la.x,, ... X sämmtlich verschwinden.

18'

140 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Aus der Gleichung

dF df ag

dx dx dx

F /• ' g

folgt nun

F(x,x„...x„) = f{x,x„...x„).Cd{x,x„...x„),

wo C den Coefficienten von x" in F{x^O, ... o) bedeutet.

Die Coefficienten von f, ^ sind nun unabhängig von den gewählten Grössen 9, p,; die vorstehende Gleichung muss also gelten für alle Werthe von X, x^, ... x^, bei denen die Reihen F,f, ^ alle drei convergiren.

Nehmen wir also eine Grösse S so an, dass erstens alle Werth- systeme von x, x^, ... .r^, in denen jede dieser Grössen dem absoluten Betrage nach die Grenze S nicht überschreitet, dem Convergenzbezirk der genannten drei Reihen angehören, und dass zweitens ^(x,x^, ... x ) für keines derselben verschwindet, so werden diejenigen unter diesen Werthsystemen, welche die Gleichung 2<'(a;, 0;^, ... a;^) = 0 befriedigen, durch Auflösung der Gleichung m^" Grades f{x, x^, ... xj = 0 bestimmt. Es ist hierbei, wie bemerkt, angenommen worden, dass

F{x,o,...o)

nicht identisch gleich Null ist. Ist dies der Fall, so hat man zur Lösung der gestellten Aufgabe folgendermassen zu verfahren.

Man bezeichne mit (rr, x^, ... x^\ die Summe derjenigen Glieder von F{x,x^, ... x^), welche von der A**" Dimension sind, und mit /* den kleinsten Werth von A, für welchen die Coefficienten von (x, x^, ... x^\ nicht sämmt- lich verschwinden, so dass man

If (X, X^, ... X„) = {X, fljj, ... X„)^ + [X, X^, ... Xn)^^^ + • • •

hat. Sodann führe man an Stelle von a;, a;,, ... x^ ebenso viele andere Ver- änderliche «/, ^j, ... y„ ein mittelst der Gleichungen

^» = c„oJ/ + c„,y, + --- + c„„y„,

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

141

wo die Grössen c„„, ...c Constanten bezeichnen, die keiner anderen Be- schränkung unterworfen sind, als dass

. C,

und

(^0,

I

von Null verschieden sein müssen. Durch diese Substitution verwandelt sich 2^(*, iCj, ... a?^J in eine ähnliche Function von y, y^, ••• y„i welche mit ■^{y^i/ii ••• Vn) bezeichnet werden möge. Dann hat man:

F{y, 0, ...0) = (r„„, c,„ ... c„„),,2/"+ (c„o, c.„, ... c„„),.+,y"+' + --- •

Es ist also die Function F{y^ 0, . . . o) nicht identisch gleich Null und ihr Anfangsglied von der ft'°° Ordnung.

Man kann daher nach dem Bewiesenen i^(2/, y,, ... 2/„) darstellen in der Form

wo ®j, ...@ Potenzreihen von y^,...y^ bezeichnen, die sämmtlich gleich Null werden, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, während ®{y,y^T--y„) eine Potenzreihe von yiy^i---y„ ist, welche einen von Null verschiedenen Werth erhält, wenn yiy^i ••■ y„ sämmtlich gleich Null gesetzt werden. Die letztere Reihe kann nun in eine ebenso beschaffene Potenzreihe von a;, 3j, ... a?„ verwandelt werden, die mit ®(iC, a^^, ... a;„) bezeichnet werden möge. Dann hat man

F(x,x,,...x,,) = {y^ + y'-'(^,{y„...y„) + --- + %{y^,...yj)®(x,x„...x„).

Nun kann man S so klein annehmen, dass für jedes Werthsystem der Grössen x,x^,...x^, in welchem jede einzelne dem absoluten Betrage nach kleiner als S ist, erstens (^(x,x^, ... xj einen von Null verschiedenen Werth erhält und zweitens das entsprechende "Werthsystem der Grössen y^, ... y^ dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen ©.(^i' • • • 2/„)j • • • ®ju(y,» • • • V,) angehört. Hieraus ergiebt sich Folgendes:

142 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Wenn man zu jedem dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen @,, ...®^ angehörigen Werthsysteme y^i-.-y„ die (t der Gleichung

y'' + 2/.''-®.(y.,...y„) + ". + ®,.(y.,. ..«/„) = 0

genügenden Werthe von y bestimmt, und dann aus den so sich er- gebenden Werthsystemen y, t/^, ... y^ die entsprechenden Werthsysteme x^x^^ ■•• x^ berechnet, so finden sich unter den letzteren alle diejenigen, welche die Gleichung F(x, x^, ... x^) = 0 befriedigen und die Bedingung erfüllen, dass jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleiner als die angegebene Grösse d ist.

2.

Eine Potenzreihe ^^{x^,...x^) ist durch eine andere ^„(^,, • •• ic„) theil- bar, wenn sich eine dritte Reihe ^,(^i)---^„) so bestimmen lässt, dass

Sß,{x„ ...x„) = ^,{x„ . . . x„) ^,{x„ . . . xj ist.

Hat ^„ an der Stelle (x^ — o, . . . x^ = 0) einen von Null verschiedenen Werth, so existirt stets eine die vorstehende Gleichung befriedigende Reihe ^^; dagegen ist dies nicht der Fall, wenn ^,,(0, ... 0) = 0 ist, während ^ (0, ... 0) einen von Null verschiedenen Werth hat. Es bleibt daher nm* zu untersuchen, unter welchen Bedingungen ^^ durch ^^ theilbar ist in dem Falle, wo

*o(o,...o), $,(o,...o)

beide gleich Null sind.

Man führe (wie in Art. l) an Stelle von x^, ... x„ n andere Veränderliche t, ... t ein, indem man

^1 = ff,itt + ---+fftJ„

setzt und die Constanten ffi^ ffis^ ■ • • ff„„ so wählt, dass erstens x^,...x^^ von einander unabhängige Functionen der Grössen t^,...t^ sind, und zweitens weder ?o(^n^i5 ••• 5'„,^J noch ^XffJi^-'-S'niK) ^^^^ Jeden Werth von i, ver- schwindet. Wenn dann die höchsten Potenzen von t^, durch welche diese

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 143

beiden Functionen von t^ theilbar sind, beziehlich die Exponenten ft, v haben, so kann man, wie in Art. 1 gezeigt worden,

%{x^, . . . x„) auf die Form G,(f„ t„...Q f „(^,, . . . Q bringen, wo

0 0 11

ist. Dabei verschwinden ^,, . . . ^^, ^,, . . . $^ sämmtlich an der Stelle («, = 0, ... f„ = 0), während ^„(0, ... 0), ^,(0, ... 0) beide einen von Null ver- schiedenen Werth haben.

Man nehme nun eine positive Grösse 8 so an, dass für jedes den Be- [ dingungen

\tA<8, ... \f„\<8

[ genügende Werthsystem {t^,...t^ die angegebenen Umformungen von '^^{x^^...x ), [^^(a;^, ... x^ gelten. Dann kann man ferner eine positive Grösse d,, die kleiner als 8 ist, so annehmen, dass für jedes den Bedingungen

\Q<8„ ... \t,\<8,

genügende Werthsystem {t^^ ... tj jede der beiden Gleichungen

nur durch solche Werthe von t^, die dem absoluten Betrage nach kleiner als 8 sind, befriedigt wird. Sind für irgend ein System bestimmter Werthe von

a' n

'^11 ''1 ; • • • ''i

die von einander verschiedenen Werthe von t , welche der einen oder der anderen dieser Gleichungen, oder auch beiden genügen, so hat man

wo Aj, ...A^, ganze Zahlen bezeichnen, deren Summe gleich v — jt ist. Hat eine dieser Zahlen einen negativen Werth, so kann man der Grösse t^ einen

144 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

solchen Werth geben, dass

""0(^1 ) ^2) ••• ^b)

ist, wo g eine beliebig angenommene positive Grösse bedeutet, ohne dass ^o(^i) ^2' ••• ^n) ~ ^ ^®*- Infolge der Gleichung

^«(^.-•••^J G-oih^hy-'tn) '>^,{t„...Q

existiren also in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (0, 0, ... 0) Werth- systeme {x^, ... a;„), für die der Quotient

dem absoluten Betrage nach jede beliebig angenommene Grösse übertrifft. Daraus folgt sofort, dass, wenn ^^(x^, ... x^) durch '^^(x^, . . . x^^) theilbar sein soll, jede der Zahlen A^, ... A^^ positiv oder gleich Null, und somit (zunächst unter der Voraussetzung, dass t^, ... t^ bestimmte, den Bedingungen

genügende Werthe haben, und der absolute Betrag der Veränderlichen t nicht grösser als 8 sei) G^{t^,t^, ... tj durch G^{t,, i^, ■ ■ ■ t„) theilbar sein muss. Dazu ist zuerst erforderlich, dass v> (i sei.

Nun kann man aber, wenn diese Bedingung erfüllt ist, und

zwei ganze Functionen von t^ mit unbestimmten Coefficienten sind, zwei andere Functionen

dergestalt bestimmen, dass die Gleichung

Ai-^^^{Bj:+-+ B,) = (A<r+ - + Ä^){c,t\-^+- + c,_,) + Ar' + - + ^^

besteht; und es sind dann

C^, ... Cv_j,, X)j, ... D^ ganze Functionen von A^.,.. A , B^, ... B^. Die nothwendigen und hin-

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHEI^DE SÄTZE. 145

reichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten Werthen von A„, ... -4^, B , ... B und unter der Voraussetzung, dass A^ nicht den Werth Null habe,

BX+--+ßl durch ÄJ>^ + --- + A^

theilbar sei, werden dann durch die (i Gleichungen

A = 0, ... D^ = 0 ausgedrückt.

Setzt man nun

B,= i, s, = ^,{t,,...tj, ... A = i(^„...y,

so wird C„ = 1, und C . ... C „, Z) . .. . D„ werden Potenzreihen von t, ... t, die sämmtlich an der Stelle (t^ = O, . . . t^ = 0) verschwinden und mit

bezeichnet werden mögen. Damit ^^(iCj, ... a;„) durch ^^(ic^, . .. a:;^) theilbar sei, müssen nun

sämmtlich verschwinden, wenn

\t,\<S„ ... \t„\<8,.

Dies ist aber nur möglich, wenn in jeder Reihe sämmtliche Coefficienten gleich Null sind.

Angenommen nun, diese Bedingung sei erfüllt, so hat man

= G,{t„t„...t„).G,{t„t t„),

und daher

Sß,ix„...x„) = G,{t„ <„ ... K).%{t„t,,...Q

^,{x,,...x„) = G,(t„ t„ ... t„).G,{t„t,,...Q.%{t„t„...i„)

= ^,{x„x„...x„).G,{t„t„...t„).l^f'l"-l"l

Verwandelt man nunmehr ^,(^,, •••<„) in eine Potenzreihe von a;^, ...ic,,, so n. 19

146 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

ergiebt sich

Wir haben also folgenden Satz:

Es seien ^„(ic,, •••*„), ^,(^,) • • • x„) zwei Potenzreihen von x^, ... x^, welche beide an der Stelle («^ = 0, . . . a;„ = 0) verschwinden. Man bilde auf die angegebene Weise die beiden Ausdrücke

0 Ol 1

und setze aus ^j, ... ^^, ^j, ... ^, die Potenzreihen

zusammen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass '^^{x^, . . . x^) durch ^„(a;,, .. . «„) theilbar sei, besteht dann darin,

4 *

dass in jeder der Reihen $j, ...^ sämmtliche Coefficienten gleich Null sein müssen. Es geht aber auch aus dem Vorstehenden hervor, dass nur in dem Palle, wo eine der mit A^, ... X^ bezeichneten Zahlen negativ ist, ^, nicht durch ^„ theilbar ist. Daraus lässt sich schliessen:

Kann man zeigen, dass der absolute Betrag des Quotienten

^Ax„...xJ ^,(x„...xj'

wenn (a;,, ... x^) in einer gewissen Umgebung der Stelle (0, . . . 0) und so, dass ^„(iCj, . .. ic„) nicht gleich Null ist, angenommen wird, stets kleiner als eine angebbare Grösse ist, so reicht dies aus, um fest- zustellen, dass ^j(a;,, ... a;„) durch '^^(x^, . . . x^) theilbar ist. Denn wäre das Letztere nicht der Fall, so müsste wenigstens eine der Zahlen A^, ... l^^^ negativ sein, und es existirte, wie gezeigt worden, innerhalb jeder Umgebung der Stelle (0, ... 0) ein Werthsystem (iC^, . . . xj, für welches der absolute Betrag des in Rede stehenden Quotienten jede angebbare Grösse überträfe, ohne dass ^„(a;,, ... a;„) gleich Null wäre; was der Voraussetzung widerspricht.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 147

In jedem Falle, wo entschieden werden kann, ob der Quotient -^ die angegebene Beschaffenheit hat oder nicht, ist man demnach der Bildung der

4 4

Reihen ^j, ... ^^ überhoben.

Es soll nun ferner untersucht werden, unter welchen Be- dingungen zwei Reihen ^^ («,,••■ a;^), ^i(^i, •.. «„), die beide an der Stelle (0, ... 0) verschwinden, einen gemeinschaftlichen Theiler von derselben Form, der ebenfalls an der Stelle (0, ...0) verschwindet, besitzen. Angenommen, man habe

^o(^.. •••««) = *.(aJ.,...a;„).51g,(a;,,...a;„),

und es sei ^^(0, ... 0) = 0. Man verwandle wieder ^^, ^^ auf die angegebene Weise in Functionen von t^,...t^. Zufolge der in Betreff der Functio- nen '^,{gj,,---ff„,t,), '^AffJv ■ ffnJi) gemachten Voraussetzung kann auch '^iiffiJi^ ■•• ffnJi) ^icht für jeden Werth von t^ verschwinden; die höchste Potenz von f,, durch welche diese Function theilbar ist, habe den Exponenten A, so kann man

%{x„...x„) auf die Form G,{t„ t„ . . . t„)%{t„ . . . t„) bringen, wo

und ^,(0,... 0) nicht gleich Null ist. Dann hat man

M«.,^,...Ü = G,it„t„...U^^^^^^^,ix„...x„) = G,{t,,t„...t„)^,{t„...t„). Es sind also

»eide durch Cr,(i,, f,, . . . tj theilbar. Nun kann man bekanntlich, wenn

A„, A^, ... A^, S^, B,, ... By

19»

148 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

unbestimmte Grössen bedeuten, aus denselben eine Reibe von ganzen Func- tionen

zusammensetzen, vermittelst welcher die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten Werthen von A^, ... A , B^, .. . B^ und unter der Voraussetzung, dass weder A^ noch B^ gleich Null sei, die Functionen

einen grössten gemeinschaftlichen Theiler A**" Grades besitzen, sich folgender- massen ausdrücken lassen: Es muss Cj in der Reihe der Grössen C, C^, C^, ... die erste sein, welche nicht gleich Null ist.

Diese Bedingung als erfüllt vorausgesetzt, stellt sich dann der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Functionen in der Form

ri' riO.1

dar, wo C[, ... Cf* ebenfalls ganze Functionen von .4^, ... A . B^, ... B^ sind. Nimmt man

J5„=l, B, = %(t,,...t„), ... JS, = i(i„...y, so werden C, C^, C^, ...; C^, C[', ... Potenzreihen von t^., ... t^, die mit

w.,---tn), T\i.,:-L), r\h,...tj, ...; r'"(^.,...ü, r'^'(^„...u, •••

bezeichnet werden mögen. Dann muss, damit für ein bestimmtes Werth- system (i„ ...tj

als Functionen von t^ betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler haben,

sein. Diese Gleichung besteht also bei der in Betreff der Functionen ?ß„(aj,, . . . x^), ^i(«,, . . • iP„) gemachten Annahme, wenn man den Grössen t^, ... t^ solche Werthe giebt, für welche die angegebenen Umformungen von ^„, ^^ gelten; woraus folgt, dass die Coefficienten der Reihe ^(^,,---^„) sämmtlich gleich Null sein müssen.

JIEHREKER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 149

Damit ist die nothwendige Bedingung dafür, dass ^X^^, ... «„), ^X^p ••• ^„) einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, festgestellt.

Angenommen nun, es seien für zwei gegebene Potenzreihen '^(x,...x), ^^(iCj, ... u;„) die im Vorstehenden definirten Functionen

G-oit^,tt^...t„), G^{t^,tj, ...tj, W.,---tn), T'(K,...Q, T\t.,---tJ, ...

gebildet, und es ergebe sich, dass die Coefficienten der Reihe ^{t^,...t) sämmtlich gleich Null sind, so wie ferner, dass ^'*' in der Reihe der Functio- nen ^, $'", ... die erste sei, die nicht identisch gleich Null ist. Nimmt man dann im Innern des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen

%it,, ...t„), ... ^„(«3, . . . tj , ^^(t,, ...t„), ... i(#„ ...t„)

irgend ein bestimmtes Werthsystem (x^, ...t^J der Grössen t^, ■ ■ ■ t„ an und unterwirft diese der Bedingung, dass

|^3|<|t,|, ... U„|<|t„|

und ^'^'(^ ^ ... t^ nicht gleich Null sein soll, so haben

(T„(f,,«,, ...t„), G^(t,,i^, ...t„),

als Functionen von t^ betrachtet, einen grössten gemeinschaftlichen Theiler vom Grade A, der zunächst in der Form

^1+ m(hu TV^i^ +■■■ +

erhalten wird. Die Werthe von t^, für welche diese Function verschwindet, sind sämmtlich unter denen, für die Gß^,Ki ■■• tj = 0 wird, enthalten. Jeder der letzteren aber hat, wie man auch t^,...t^ den angegebenen Be- dingungen entsprechend annehmen möge, einen endlichen Werth, dessen ab- soluter Betrag unterhalb einer angebbaren, von t^, ... t^ unabhängigen Grenze liegt. Dasselbe gilt also auch von dem Bruch

r''\t u

T\h,...t„) ' K ,•■■ ,

woraus sich nach dem Obigen ergiebt, dass der Zähler durch den Nenner theilbar ist. Damit ist bewiesen, dass der vorstehende gemeinschaftliche

150 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Theiler von ö^(^,, ^j, • • • ^„) und G^,(^,, ^2, • •• ^„) in der Form

dargestellt werden kann.

Betrachtet man nun wieder G^{t^, t^,... t„), G^t^i ^,, • • • Qi ^XKi Ki--- K) als Functionen von t^ und dividirt die beiden ersten durch die dritte, so er- giebt sich:

wo Gg, G^ ganze Functionen von t^, deren Coefficienten Potenzreihen von t, ... t sind, bezeichnen.

Multiplicirt man sodann die erste dieser Gleichungen mit ^„(^,» ••• ^„)) die zweite mit ^SKi • --K) ^^^^ drückt darauf t^, ... t^ durch x^, ... «,, aus, so ergiebt sich:

^,{x„...x„) = '>^,(x„...x„)'!ß,{x„...x„), wo

^,{x„...x„) = G,{t„t t„)

ist.

Es lässt sich nun femer beweisen, dass '^^(x^, ...x^),^^{x^, ... xj nicht

beide durch eine an der Stelle («^ = 0, . . . x^^ = 0) verschwindende Potenzreihe

von x^, ... x„ theilbar sind.

Es ist:

^,(x„...x„) = G,{t„h,...Q^,{t„t O,

^,{x,,...x„) = G,{t„t K)%{t„t,,...t„).

"Wären nun '^^{x^, . . . xj, ^Jas^, . . . xj beide durch eine an der Stelle (iCj = 0, . . . a;„ = 0) verschwindende Potenzreihe von x^, ... x^ theilbar, so müssten sich, wie oben gezeigt worden ist, zwei Grössen ä, S^ so annehmen lassen, dass für jedes den Bedingungen

genügende Werthsystem (t^, ... t^) die Gleichungen

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 151

durch einen und denselben Werth von t^, dessen absoluter Betrag kleiner als 8 wäre, befriedigt würden. Bei hinlänglich kleinen Werthen von d, 8 müsste dieser Werth von t^ also den beiden Gleichungen

G,{t„t„...t„) = 0

genügen, und es hätten somit für jedes den angegebenen Bedingungen ent- sprechende Werthsystem (^,, ... t^)

G.(t„t„...t„) und G,it„f„...t„),

als Functionen von t^ betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler, und daher

GS„ti,-'-Q und G,{t„t^,...t„)

einen gemeinschaftlichen Theiler von höherem als dem A''" Grade. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man t^, . . . t^ so annimmt, dass ^*(^j, ... ^^^) nicht verschwindet; und es ist somit die Annahme, dass '^^{x^, ... x^) und ^ {x , ... x ) beide durch eine an der Stelle (x^ = 0, ... x^ = 0) verschwindende Potenzreihe von iCj, ... x^ theilbar seien, unstatthaft. Wir haben also den Satz:

Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwei gegebene , an der Stelle (aj, = 0, . . . a;„ = 0) verschwindende Potenz- reihen ^S^i, ■■■ xj, '^^{x^., ... x^) beide durch eine dritte Reihe von derselben Beschaffenheit theilbar seien, besteht darin, dass die Coeffi- cienten einer bestimmten, nach der gegebenen Vorschrift zu bildenden Potenzreihe von w — 1 Veränderlichen t^,...t^ sämmtlich gleich Null sein müssen. Ferner ist es, wenn diese Bedingung erfüllt ist, stets mögUöh, ^^{x^, . . . xj, '^X^^, . . . xj in der Form

%{x„...x„) == «ß,(a;.,...a;„)^,(a;„...a;„)

so auszudrücken, dass ^^(a;,, ... a;„), '^^{x^,...xj keinen an der Stelle (ajj = 0, .. . «^ = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben.*)

*) Es lässt sich aus dem Vorhergehenden noch leicht ableiten, dass jede Potenzreihe von x^, ...x„ durch welche die gegebenen Reihen beide theilbar sind, nothwendig ein TheUer von Sp,(a;,, ...«„) ist.

152 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Hieran"; knüpfen sich nun noch einige andere Sätze.

Ich nehme jetzt an, es seien '^^(x^, ... x^)^ '>!ß^{x^, . . . xj nicht beide durch eine an der Stelle (0, ... 0) verschwindende Potenzreihe von x^ ... x^ theilbar, aber ^^(0, ...0) und ^^(0, ...0) gleich Null. Dann giebt es, wenn w>2 ist, in jeder Umgebung der Stelle (0, ...0) unendlich viele Werthsysteme {x^,...xj, für die sowohl ^X^,,---xJ als ^^{x^,...xj verschwindet. Denn man drücke wieder '>ß^{x^, .. . x^), '>!ß^{x^, ... x^J auf die angegebene Weise durch die Veränderlichen t^,t^,...t^ aus, bestimme die Function '^{t^, ■■■ t^) und nehme auch die Grössen d, S^ so an, wie oben festgesetzt worden ist. Dann giebt es unendlich viele, den Bedingungen

ifj<*„ ... \tj^d, entsprechende Werthsysteme {t^, ... t^), für die

m,---ü = 0

ist, und zu jedem dieser Werthsysteme giebt es wenigstens einen Werth von t^, dessen absoluter Betrag kleiner als S ist, und der die beiden Gleichungen

G,{t„t„...t„) = 0,

befriedigt; woraus das zu Beweisende unmittelbar folgt.

Man nehme jetzt im Gebiete der Grössen x^,...x^ irgend einen die Stelle (0, ... 0) umgebenden Bezirk so an, dass für jedes demselben angehörige Werthsystem {x^, ... xj nicht nur die Gleichungen

%(x„ ...x,)= G,{t„ t„...Q %{t„ . . . t„),

gelten, sondern auch ^„(^i' • •• ^n)' ^i(^i'---^m) beide einen von Null verschie- denen Werth haben; und setze, unter (c^, ... c^) irgend ein bestimmtes Werth- system der Grössen x^, ... x^ in dem genannten Bezirke und unter (b^, ... 6„) das entsprechende Werthsystem der Grössen t^, ... t^ verstehend,

ajj = c, + M, , ... 2;„ :=: c„ + M„ , r, = 0, + s, , ... ^n =^ "m + s« >

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 153

SO dass man

«J5„(c, + M,, ...c„ + u„) = (?„(&. + s,,&, + s,, ...b„ + s„)%{b, + s„ ...b„ + s„), 5ß,(c, + M., ...c„ + M„) = G,ib, + s,,b, + s,, ...l„ + s„)%{b, + s„ ...b„ + s„)

hat.

Es können nun ^„(c, + ^<^, ... c„ + ^(„), ^,(c, + ««,,... c„ + m„), als Potenzreihen von u , ... u betrachtet, einen an der Stelle (m = 0, ... ti = 0) verschwin- denden gemeinschaftlichen Theiler nur in dem Falle besitzen, wo ^„(c^, . .. c„), ^ (c , . . . c^) beide gleich Null sind. Dann ist auch

a,{b„b„...b„) = 0;

es geht aber aus den Ausdrücken von G^, G^ hervor, dass weder GJJ)^ + s^.,h^.,...h^) noch G (6 +*j, Ä,, ... 6„) für jeden Werth von s^ verschwindet; man kann also

Glh-^hA + Sv-K+s^) auf die Form (sr + l(s„...sj,sr' + - + ^(s..---s«V)^(s.,---sJo,

ö.(6,+s.,6,+ s 6„+sJ » » » (sI+^(s„...UC+- + ^fe-.s„)Jfc...U

in der Art bringen, dass

^(o,...o)., ... m...o)^, m •••<)),, ... ^(o,...ox

sämmtlich gleich Null sind, während ^(0, ...0)^, ^(0, ...O)^ beide einen von Null verschiedenen Werth haben.

Angenommen nun, ^„(c, + Mj, ... c^ + m„), ^,(Cj + Mj, ... c^ + m^) wären beide durch eine dritte an der Stelle {u^ = 0.^ ... u^ = 0) verschwindende Potenz- reihe von Mj, ...M^ theilbar, so würde sich nach dem Vorhergehenden zu jedem System unendlich kleiner Werthe von s^, ... s^ ein ebenfalls unendlich kleiner Werth von s^ finden lassen, für den

Go{^, + s„b, + s b„ + s„), G,(b, + s„ b, + s„ ...b„ + s„)

beide gleich Null wären. Dann aber müsste

^{b, + s,,...b„ + s„) = 0

für jedes System unendlich kleiner Werthe von *,, ... s^ sein, was nach einem n. 20

154 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

bekannten Satze nur der Fall ist, wenn

für jedes dem Convergen/bezirk der Eeihe angehörige Werthsystem t^, ... t^ verschwindet, also die Coefficienten der Reihe sämmtlich gleich Null sind. Bei der in Betreff der Reihen '^^{x^, ... x^^), ^^(x^, . . . x^^) gemachten Annahme ist aber ^{t^,...t^) nicht identisch gleich Null; und es ist somit erwiesen: Wenn die Reihen

Sß,(x„...x„), %{x„...x„)

keinen an der Stelle (x^ = 0, . . . x^ ^ 0) verschwindenden gemeinschaft- lichen Theiler besitzen, so haben auch

^,(C, + U„ ...C„ + U„), ^,(C, + M,, ...C„ + U„),

als Potenzreihen von u^, ... «,, betrachtet, keinen an der Stelle (e*^ = 0, ... M^ ^ 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler, vor- ausgesetzt, dass die Stelle («^ = c^, . . . a;^ = cj innerhalb einer gewissen — oben definirten — Umgebung der Stelle (tc^ = 0, . . . a:;^ = 0) ange- nommen werde.

3. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen beliebig vieler Veränderlichen.

Ich sage von einer eindeutigen analytischen Function f (x^, . . . x^^) , sie verhalte sich an einer bestimmten Stelle («^ ... a,,) regulär, wenn sie in einer gewissen Umgebung dieser Stelle durch eine Reihe von der Form

SM..,....„(^-«.)'''...(^„-a„r»| (v,, ... j/,, = 0, ... CO)

dargestellt werden kann, wo v^, ... v^ ganze, nicht negative Zahlen bezeichnen und unter den Coefficienten A^ ^ von x^, ... x^^ unabhängige Grössen zu verstehen sind. Diese Reihe nenne ich dann ein reguläres Element der Function. Dabei ist zu bemerken, dass die Grössen a^, ... a^ zum Theil oder auch alle den Werth oo haben können, wenn festgesetzt wird, dass das Zeichen (« — oo) gleichbedeutend mit — sein soll.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

155

Aus der vorstehenden Definition ergiebt sich nun sofort: Verhält sich eine eindeutige analytische Function f(x^,...x^) regulär an einer bestimmten Stelle (a^, ...a^J, so gilt dasselbe auch von jeder Stelle («', ... rt^J, die in einer gewissen Umgebung der ersteren liegt.

Denn es sei '>^{x^ — a^, ... x^^—a^) die Reihe, welche die betrachtete Func- tion in der Umgebung von (a^, ... a^) darstellt, so lässt sich aus derselben, wenn man im Innern ihres Convergenzbezirkes eine Stelle (a^, ... a^) willkür- lich annimmt, eine andere Reihe ^^(3;^ — a^, ... «^ — a^) dergestalt ableiten, dass für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (a^, ... a'^) angehörigen Werth- systeme (ic,, ... x^) die Gleichung

*.(^.-

• • ■ «:,- «,'.) = ^(J^, - a, , • • • a;„- a„)

besteht. Es ist also ^^(iCj — a'^, ... x^—ä^) ebenfalls ein Element der Function f{x^,...x^^), und es verhält sich diese demnach auch an der Stelle («',,... a^) regulär.

Die Gesammtheit der Stellen, an denen die Function f{x^,...x^^) sich regulär verhält, bildet hiernach ein 2w-fach ausgedehntes Continuum im Ge- biet der Grössen «,, ... x^.

Dieses Continuum ist nun nothwendig begrenzt.

Angenommen nämlich, es sei ^{x^ — a^,...x^—aj) irgend ein Element der Function /, wobei vorausgesetzt werde, dass die Stelle (a^, ...a^) im End- lichen liege; so können zwei Fälle eintreten:

1. Convergirt die Reihe '^{x^—a^,...x^^—a^) für jedes System endlicher Werthe der Grössen x^,...x^, so besteht, wenn '^^{x^—a[,...x^—a'^) irgend ein reguläres Element der Function f ist, für jedes dem Convergenzbezirk der Reihe ^, angehörige System endlicher Werthe von x^, ... x^ die Gleichung

Dies ist aber unmöglich, wenn die Grössen a[, ... a'^ nicht sämmtlich endliche Werthe haben, woraus folgt, dass in dem angenommenen Falle eine Stelle (x^, ... x^) im Innern oder an der Grenze des in Rede stehenden Continuums liegt, je nachdem die Grössen x^, . . . x^ sämmtlich endliche Werthe haben oder nicht.

2. Liegen die den Convergenzbezirk der Reihe ^{x^—a^,...x^—a^) be- grenzenden Stellen alle oder zum Theil im Endlichen, so giebt es, wie in

20*

156 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

der Functionentheorie gezeigt wird, unter ihnen mindestens eine Stelle, an der sich f{x^,...x^) nicht regulär verhält; eine solche Stelle liegt dann auch an der Grenze des in Rede stehenden Continuums.

Dies festgestellt, nenne ich jede an der Grenze dieses Continuums lie- gende Stelle eine singulare Stelle für die betrachtete Function.

Ist («,',... a^) eine solche singulare Stelle, so kann es möglicherweise eine Potenzreihe

%{x,-a[, ...x„-a'„)

geben, die für x^ ^ a[, ... x^ ^ a'^ verschwindet und so beschaifen ist, dass das Product

%{x,-a[, ...x,-a'„)f{x,,...x„)

für alle einer gewissen Umgebung der Stelle {a[, ... a'^) angehörigen Werth- sy Sterne {x^, ... x^) in der Form

^,{x,-a[, ...x^-a'„)

dargestellt werden kann. In diesem Falle nenne ich {a[, ... a'^) eine ausser- wesentliche, in jedem andern Falle eine wesentliche singulare Stelle.

Es giebt aber, wenn w>l ist, zwei wohl von einander zu unter- scheidende Arten von ausserwesentlichen singulären Stellen.

Ist («j, ...a^) irgend eine solche Stelle, so lässt sich die Function f(x^^...x^) für hinlänglich kleine Werthe der Differenzen x^ — a^, . . . x^— a^ stets dergestalt in der Form

$„(a;,-a,, ...x„-a„)

darstellen, dass '^^{x^ — a^,...x^—a^), ^Jic^ — a,, .. . a;„— a^J nicht beide durch eine dritte, an der Stelle («,, ... aj verschwindende Reihe ^(a;^— a,, ... x^ — a^) theilbar sind.

Wenn dann ^,(^, — «,, ... x^—aj an der Stelle (a,, ... aj einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist für alle einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle (a^, ... aj angehörigen Werthsysteme (rr^, ... x^) der Werth von f{x^,...x^) unendlich gross, und daher

f{x^,...x„) = c» für (x, = a„ ... x„ = a„).

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 157

Verschwinden dagegen %{x^- a^, . . . x^- aj, ^,(«,-«., • • • a;„-a„) beide an der Stelle (a^, ... aj, so kann man (nach Art. 1), indem man homogene lineare Functionen t^, t^^ ... t^ von «,— a,, ... ^„—ci„ einführt, in mannigfaltiger Weise

9ß^(x-a„...x„-a„) auf die Form it':+^,{t„...t„)tr' + - + \{t„...tj)%(x-a„...x„-a„)

bringen, dergestalt dass

i(<„...0, •■• %ii.,---t„), kii t„), ... i(<„...o

für t, = 0, . . . t^ = 0 verschwinden, ^^(0, ... 0), ^^(0, ... 0) beide von Null ver- schieden sind und die Functionen

i:+kii,,-- -in) *:-'+■ ■■ + k{h,---tn)

keinen an der Stelle (^^ = 0, . . . ^^ = O) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann existiren unzählige Systeme unendlich kleiner Werthe t^i t^, ■ ■ ■ t^i für welche die erste der vorstehenden Functionen, nicht aber zugleich die zweite verschwindet; woraus folgt, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung von (a^, ... a^) andere Stellen («,, ... x^) giebt, an denen ^o(^i~^i' ••■ ^«~"») verschwindet, '^^{x^ — a^,...x^—a^) aber nicht, so dass an Jeder solchen Stelle f{x^,...x^) = oo ist. Es hat aber, wenn b eine beliebig angenommene endliche Grösse ist, die Function

f{x^,...x„)-b

in der Umgebung der Stelle (a,, ...a^) dieselbe Form wie /"(a;,, ... a;^); es existiren also in jeder Umgebung von (a,, ... a^) auch Stellen, an denen

f{x„...x„)-b '

d. h.

f{x^,...x„) = b

ist. Es kann also f{x^,...x^^ in dem jetzt betrachteten Falle in einer un- endlich kleinen Umgebung der singulären Stelle (a^, ...a) jeden

158 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

beliebigen Werth annehmen und besitzt deshalb an dieser Stelle selbst keinen bestimmten Werth.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken:

Die Gesammtheit der Stellen, an denen sich f{x^,...x^) wie eine ratio- nale Function verhält — d. h. die Gesammtheit der nicht singulären und der ausserwesentlichen sing-ulären Stellen — ist ein 2w-fach ausgedehntes Continuum, dessen Begrenzung die wesentlichen singulären Stellen bilden.

Ist (a^, ...a^) irgend eine bestimmte Stelle im Innern dieses Continuums, und hat /"(«,)•••«„) einen bestimmten endlichen Werth, so verhält sich, wie schon oben angegeben worden ist, f{x^^...x^) in einer bestimmten Umgebung der Stelle (a^,...aj überall regulär.

Ist /(flj, . .. a„) = oo, so giebt es in jeder Umgebung der Stelle («,,..- «„), die keine singulare Stelle der Function

1

f{x„...xj

enthält, unendlich viele, eine (2w — 2)-fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen, an denen die Function f(x^,...x^) den Werth oo hat, während sie sich an allen übrigen Stellen des genannten Bereiches regulär verhält.

Hat endlich f(x^,...x^) an der Stelle (a^,...aj keinen bestimmten Werth, so giebt es in jeder Umgebung dieser Stelle nicht nur unendlich viele andere singulare Stellen, an denen f(x^,...x^) den Werth oo hat — was schon vorhin nachgewiesen ist — sondern auch , wenn n >2 ist , unend- lich viele Stellen, an denen /^(a;,, .. . «J keinen bestimmten Werth hat. Das Letztere lässt sich folgendermassen zeigen:

Es gelte für alle Werthsysteme (x^, . . . x^) in der Umgebung von (a^, ... a^) die Gleichung

^o(«.-«i' ■■•x„-a„)f{x^,...x„) = ^,(a;,-a,, ...x„—a„),

unter der gestatteten Annahme, dass die Potenzreihen ^„, ^^ keinen an der Stelle («j, ... aj verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Inner- halb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der beiden Reihen nehme man eine Stelle (a'^, ... d^) zunächst beliebig an, und setze

a^i — a, = 5, , ... !>l^„ — (ln = Znt

x^-a[ = §;, ... x„-ai, = i;.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

159

; Femer sei c, der Werth von |, für x^=^ d^^ und t], = I, — c_,, so sind ||,, vj^ [lineare Functionen von rr^, die beide für x^ = a[ verschwinden; man hat daher

fiA'x

i: =

(x=l,...n)

I

wo Ä_^, Z_ Constanten bezeichnen. (Wenn a^ nicht gleich oo ist, so ist \ = 1, I l =0.) Entwickelt man nun

$„(C, + Tfj,, ... C,.+ Yj„), $,(fi, + Tfj,, .-. C„+7i„)

nach Potenzen von yj^, ... t]^^ und verwandelt die so sich ergebenden Reihen in Potenzreihen von ^[, ... ||,, die mit

bezeichnet werden mögen, so gelten für alle einer bestimmten Umgebung der Stelle {a[, ... a[) angehörigen Werthsysteme (x^, ... x^) die Gleichungen

^o(^i-«i' ••• ^»-(^») = %{^i-a[, ...x„-a'„),

'^^{x,-a[, ...x„-a'„)f{x„...x„) = •>ß,{x,-a[, ... x„-a'„).

Nun nehme man — was dem am Schlüsse von Art. 2 Bewiesenen zufolge stets angeht — n positive Grössen C^,...C^ so an, dass erstens die Stelle (Ij = C'j, ... §^ ^ C^) im gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Reihen ^^(Ij, .. . g^), ^j(|j,...g^) liegt, und dass zweitens, wenn man c^, ... c^ den Be- dingungen

|cJ<C,, ... \c„\<C„

unterwirft, ^,(Cj + r],, ... c^ + t)„), ^,(c, + v],, ... c^+t)«)» als Potenzreihen von Tjj, ... 7]^ betrachtet, keinen an der Stelle (tj^ = 0, ... -q^ = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Dann besitzen auch die Reihen

^^{x,-a[, ...x„-a'„) und ^^{x,-a[, ... x„-a[,),

wie sofort erhellt, keinen an der Stelle (x = d. ... x = a') verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler, und es hat daher nach dem vorhin Bewiesenen /"(«j, . . . x^) an der Stelle {a[, ... d^) keinen bestimmten "Werth, wenn ^,(0, ... 0), ^3(0, ...0) beide gleich Null sind. Es giebt aber, wenn «>2 ist, wie am Schlüsse von No. 2 gezeigt worden ist, unendlich viele, den vorstehenden

160 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Bedingungen genügende Werthsysteme (c^, ... cj, für welche die beiden Gleichungen

5ß„(c„...c„) = 0, ^,(c„...c„) ^ 0

bestehen; jedem dieser Werthsysteme, deren Gesammtheit eine (2»— 4)-fache Mannigfaltigkeit bildet, entspricht also im Gebiete der Grössen x,...x^ innerhalb des durch die Bedingungen

k,-a,|<C., ... \x„-a„\<C„

definirten Bezirkes eine Stelle (a'^, ...a^), an der f{x^,...xj keinen be- stimmten Werth hat.

Hieran knüpft sich noch eine wichtige Bemerkung.

Es seien zwei beliebige Potenzreihen

gegeben, so lässt sich für die dem Innern des gemeinschaftlichen Convergenz- bezirks der beiden Reihen angehörigen Stellen {x^, ... x ), deren Gesammtheit mit ® bezeichnet werde, eine eindeutige Function f{x^,...x) in folgender Weise definiren:

Ist x[, ... x'^ eine Stelle von ®, an der ^„, ^, nicht beide verschwinden, so soll

sein.

Hat aber an einer Stelle {x[, ... x'J sowohl ^^^ als ^„ den Werth Null, so bringe man auf die im Vorhergehenden angegebene Weise

%{x,-a„...x„-a„) auf die Form Sß^ix.-x',, ... x„-x'„)'^,{x,-x[, ... x„-x'„), ^,ix-a„...x„-a„) » » » ^,ix,-x[,...x„-x'„)Sß,ix,-x[,...x„-x'„),

in der Art, dass die Reihen ^,, ^^ keinen an der Stelle (x^ = x[^ ... x^ = x'J verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Wenn dann

^,(o,...o), $,(0,...0)

nicht beide gleich Null sind, so soll

n^>,--.^«J - sß,(o,...o)

f

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 161

sein. Dagegen soll, wenn sowohl

5ß,(0,...0) = 0 als $,(0, ...0) = 0

ist, f{x^...x^) an der Stelle {x'^^...x[^) keinen bestimmten Werth haben. Dies lässt sich auch so ausdrücken. Ist {x^^ ... x'^^) irgend eine bestimmte Stelle von ®, so kann man stets zwei Potenzreihen

ohne einen an der Stelle {x^ — x[, ... x^ = x'J verschwindenden gemeinschaft- lichen Theiler so bestimmen, dass an allen einer bestimmten Umgebung der Stelle {x[, ... x'^) angehörigen Stellen die Gleichung

'>ß^{x,-x[,...x„-x'J'>ß,{x,-a„...x„-a„) = %(x,-x[, . . . x„-xl,)'^,{x,-a„ ...x,-aj besteht. Dann ist

zu setzen, mit der Massgabe, dass, wenn so dargestellt f{x[,...x'J in der Form T7 erscheint, der Function f an der Stelle {x[, ... x'^) kein bestimmter Werth beizulegen ist.

Es ist nun zu zeigen, dass die so definirte Function f(x^,...xj inner- halb des Bereiches ® eine eindeutige analytische Function ist, für welche diejenigen Stellen, an denen sie der gegebenen Definition gemäss den Werth cx) hat oder unbestimmt ist, ausserwesentliche singulare Stellen in dem oben festgestellten Sinne sind, während sie an allen übrigen Stellen sich regulär verhält.

Es sei {x' , ... x) irgend eine bestimmte Stelle von ® , und

^„(a;,-a,, ...x„-aj = '^,{x,-x[, ... x„-x'„) .'<^,{x,-x[, ...x„-x-„), ^,{x,-a„ ...x„-a„) = '^,{x,-x[, ...x„-x'„).^,{x,-x[, ...x„-x'„),

wo ^ , ^ , ^ dieselbe Bedeutung wie im Vorstehenden haben, und ^^ sich auf eine Constante reduciren kann. Nach dem oben Bewiesenen kann man nun eine Umgebung der Stelle {x[, ... x'J so bestimmen, dass, wenn {x", ... x'^) eine bestimmte Stelle dieser Umgebung ist, und man aus ^j, ^^, ^^ die drei Potenzreihen ^,,^3,^, von x^—x", ... x^—xl ableitet, für welche bei hinläng- II. 21

162 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

lieh kleinen Werthen dieser Differenzen die Gleichungen

bestehen, die beiden Reihen ^^, ^^ keinen an der Stelle (x^ = x", ... x„ = x'^) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Wenn dann f(x", ••• ^l) einen bestimmten endlichen Werth hat, so ist

'^" "' ^.(0,...0)

d. h. es gilt die Gleichung

f(_x„...xj

^,{x,-x[, ...«„-O

innerhalb einer gewissen Umgebung der Stelle (x[, ■ •• x'J für alle Stellen (x^,...xj, an denen f{x^,...xj einen bestimmten endlichen Werth hat. Wenn daher ^^(0, ...0) nicht gleich Null ist, so verhält sich f{x^,...xj an der Stelle {x[, ... x'J regulär.

Ist ^jj(0, . .. 0) = 0, nicht aber ^^(0, ...0), so kann man die in Rede stehende Umgebung von (x[, ... x'^) so klein annehmen, dass an allen Stellen derselben der absolute Betrag von f(x^, • • • ^„) gi'össer ist als jede beliebig angenommene endliche Grösse, so dass f{x[, ... x'^) == oo zu setzen ist, wie der Ausdruck von f{x^,...x^) angiebt.

Sind endlich ^^(0, ...0), ^^(0, ...0) beide gleich Null, so giebt es, wie oben gezeigt worden ist, in jeder noch so kleinen Umgebung von {x[, ... x'^) Stellen, an denen die Function f(x^,...x^) einen beliebig vorgeschriebenen Werth hat; sie hat also an der Stelle {x[,...xl) selbst keinen bestimmten Werth.

Damit ist bewiesen, dass die in der angegebenen Weise definirte Function f{x^, . . . xj) innerhalb des Bezirkes ® sich überall wie eine rationale Function verhält.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 163

4. Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen von beliebig

vielen Veränderlichen.

Dem Vorstehenden zufolge stellt eine Potenzreihe ^{x^, . .. xj, die für jedes System endlicher Werthe der Veränderlichen x^,...x^ convergirt, eine eindeutige Function f(x^,...x^) dar, die sich an jeder im Endlichen des Grössengebiets {x^, ... xj liegenden Stelle regulär verhält.

Umgekehrt weiss man, dass jede eindeutige Function f{x^,...xj, die sich an allen im Endlichen liegenden Stellen des Gebietes (x^, ... x^) regulär ver- hält, durch eine für jedes System endlicher Werthe von x^,...x^ conver- girende Reihe '^{x^, ... xj ausgedi-ückt werden kann.

Ich nenne eine solche Function /"(iCj, ... a;^)_ eine ganze Function. Hat die Reihe, durch welche sie dargestellt wird, unendlich viele Glieder, deren Coefficienten nicht gleich Null sind, so ist die Function eine transcendente.

Sind femer zwei Potenzreihen ^^{x^, ... xj, '^^(x^,...xj gegeben, welche beide für jedes System endlicher Werthe von «j, ...«^ convergiren, so wird durch den Quotienten

den in Art. 3 festgesetzten Bestimmungen gemäss eine eindeutige Function f{x^,...x^) definirt, die dadiu'ch charakterisirt ist, dass sie sich an jeder im Endlichen liegenden Stelle des Grössengebiets {x^,...xj wie eine rationale Function verhält.

Ob aber umgekehrt jede eindeutige Function f{x^,...xj, welche sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhält — also , wenn (a , . . . a ) irgend ein System endlicher Werthe ist, in einer gewissen Umgebung der Stelle (a. ... a) als Quotient zweier Potenzreihen von x —a , . .. x —a aus- gedrückt werden kann — , auch als Quotient zweier für jedes System end- licher Werthe von x^, ... x^ convergirenden Potenzreihen sich darstellen lasse, das ist eine für Functionen von mehreren Veränderlichen bis jetzt unerledigte Frage, welche sehr erhebliche Schwierigkeiten darzubieten scheint.

Mit dieser Frage ist aber noch eine andere verknüpft.

Für jede rationale Function von x^.,...x^ gilt, dass sie als Quotient zweier ganzen Functionen dieser Veränderlichen dargestellt werden kann und

21*

164 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

zwar so, dass der Dividend und der Divisor keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann verschwinden Dividend und Divisor gleichzeitig nur an solchen Stellen, an denen die Function keinen bestimmten Werth hat. Es entsteht also die Frage, ob in dem Falle, wo eine Function als Quotient zweier ganzen Functionen von aj^, ... a;^, von denen wenigstens eine transcendent ist, dargestellt werden kann, dies auch in der Art geschehen könne, dass der Quotient nur bei solchen Werthsystemen der Veränderlichen, für welche die Function unbestimmt ist, in der Form ^ erscheint — mit andern Worten, dass aus den Werthen, welche Dividend und Divisor an einer bestimmten Stelle haben, sich unmittelbar entnehmen lässt, ob an dieser Stelle die Function einen bestimmten Werth hat oder nicht, und wie sie sich in der Umgebung dieser Stelle verhält. Auch diese Frage ist bis jetzt nur für Functionen von einer Veränderlichen — und zwar für diese im bejahenden Sinne — entschieden.

In manchen Fällen, wo eine eindeutige Function mehrerer Veränderlichen durch analytische Bestimmungen definirt ist, ist es aber möglich, die ange- regten Fragen mittelst eines Theorems, das ich im Folgenden ausführlich entwickeln will, zu erledigen.

Es bedeute jetzt f{x^^...x^ eine (transcendente oder rationale) ganze Function der Veränderlichen x^^...x^. Man setze für diese Grössen ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x:

X, = a, + c,i:, ... a;„ = a„+c„T,

80 geht /"(ajj, ... a;„) in eine ganze Function von x über, welche im Allge- meinen — d. h. wenn die Grössen c^, ... c^ einer sogleich anzugebenden Be- schränkung unterworfen werden — nicht für jeden Werth von t verschmndet. Denn es erhält f{x....x), nach Potenzen von x—a....x—a entwickelt, die Form

v = 0

wo («j — «j, ... x^—a^y eine homogene ganze Function v**" Grades von x^ — a^, ... x^—a„ bezeichnet; es brauchen also die Grössen c^, ... c„ nur die Bedingung zu erfüllen, dass die Ausdrücke

r

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 165

nicht alle gleich Null sind. Dies vorausgesetzt, sei in der Entvpickelung von /■(Oj + Cjt, ... ci^+ c^t) nach Potenzen von t das erste Glied, dessen Coefficient nicht verschwindet, von der Ordnung ji, so hat man

wo C nicht gleich Null ist. Daraus ergiebt sich für hinlänglich kleine Werthe von t

dlogf{a, + c,z, ...a„+c„x) ^ ^^-i + '^M^

U/T

Setzt man also

n

d l0gf(x, ,...X„) = 2 fai^i ,---Xn) ^^a >

WO f (x^, .. . x^), . . . f^{x^, ... x^) eindeutige Functionen sind, welche sich an jeder im Endlichen liegenden Stelle des Gebietes (x^, . . . x^) wie rationale Functionen verhalten und den Gleichungen

dx^ dx„ 1^=1, ••■wj

genügen, so hat man

±f„{x,,...X„)dx^ = (^T-' + 5ß(T))c?T,

0=1

wenn

a;, = a, + c,T, ... x„ = a„ + c„T

gesetzt wird, und es ist dann (i stets entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl.

Dieser Satz lässt sich nun in folgender Weise umkehren:

Es seien n Functionen

f,(x„...x„), ... f„{x,, ...xj

gegeben, welche den folgenden Bedingungen genügen:

1) Sie sollen eindeutige Functionen sein, für die wesentliche singulare Stellen im Endlichen des Grössengebiets (a;,, ... xj nicht existiren.

2) Der DifFerentialausdruck

166 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

soll die durch die Gleichungen

C(x.,...a;„) ^ df^{x,,...x„) la = l,...n\

dXfi dx„ \ß=i,...n)

ausgedrückten Integrabilitätsbedingungen erfüllen. 3) Es soll, wenn man für x^, ... x^ irgend welche ganze lineare Functio- nen einer Veränderlichen t substituirt:

a;, = a,+ c^T, ... fl;„ = ffl„+c„T, für hinlänglich kleine Werthe von x

llfa{^„---x»)dx, die Form ((i--' + ^(z)) dx

annehmen, und dann jt entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl sein, vorausgesetzt, dass von den beiden Potenzreihen von x^— a^, . . . x^— d^, als deren Quotient

n

in der Umgebung der Stelle (a^, ... aj dargestellt werden kann, der Divisor durch die angegebenen Substitutionen nicht identisch gleich Null werde. Alsdann existirt eine ganze Function f {x^., . . . xj) , welche der Differentialgleichung

H

d log f(x, ,...x^) = -^f^{x„...xjdx„

genügt und völlig bestimmt ist, wenn der Werth irgend eines ihrer Coeffi- cienten, der in Folge der vorstehenden Gleichung nicht nothw endig gleich Null ist, lixirt wird, was in beliebiger Weise geschehen kann.

Um diesen Satz zu beweisen, nehme ich zuerst an, es sei innerhalb einer bestimmten Umgebung der Stelle (0, ... 0) jede Function f^ in der Form

f„ix,,...xj = '^„(x^,...xj

= ^ (•^11 • • • Xn)a

1=0

darstellbar. Dann ist zufolge der Bedingung 2)

d(Xt,---xX ^ dix„...x„)} dXf dx„

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 167

Setzt man

« 1

{Xi,...X„y = 2 ,1 (•'^1 ) • • • ^M )a ^a !

H= 1 V -T ^

Es ist aber

' so ist

dx.

n >> rl (t t Y

o = 1 ,* = 1

öa;^

" " d(x,, ...x„)l dx„

und daher

n

Ot = 1

0=1 V = 0

Entwickelt man also, vmter C eine willkürlich anzunehmende Constante ver- j, stehend, den Ausdruck

00

nach Potenzen von x^,...x^, so genügt die so sich ergebende Potenzreihe, für fix^,---x„) gesetzt, der in Rede stehenden Differentialgleichung und ist sicher convergent in dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Entwicke- lungen von /",(«;., ...xj, ... f^{x^, . . . xj.

Zweitens nehme ich an, man habe für alle einer bestimmten Umgebung der Stelle (0, ...0) angehörigen Werthsysteme (x^,...x^)

fai^H ••• ^n)

^:|5™(^n---^J

wobei ich bemerke, dass es nicht eine nothw endige Bedingung ist, dass I ^r(^.» • • • ^n)i ^'"(^1) • • • ^n) keinen an der Stelle {x^ = 0, ... x^ = 0) verschwin- sdenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Man substituire nun für x^, ... x^

homogene lineare Functionen von n andern Veränderlichen t^, ... t^:

^a S 9e,ß^flt

(a=l,...n)

168 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

wodurch sich das Diiferential

n

in ein anderes von der Form

verwandelt, für welches die Integrabilitätsbedingungen ebenfalls erfüUt sind. Die Constanten g„ hat man so anzunehmen, dass die Determinante

9ll 9l2 ■■■ 9ln

9ii 9ii • ■ • 9271

9ni 9n% • • • 9n

von Null verschieden ist, und bei keiner der Functionen

«

T\9^^i^,■■■9n^i.), ■•■ ^T{9ut^, ■ ■ ■ 9nA) ,

wenn man sie nach Potenzen von t^ entwickelt, sämmtliche Coefficienten ver- schwinden.

Dann lässt sich

9a{tu--tn) in der Form ^^l]\[]'}j

darstellen, und es ist ^^(^^,0, .. . 0) eine Potenzreihe von t^, deren Coefficienten nicht sämmtlich gleich Null sind. Ist das Anfangsglied dieser Reihe von der Ordnung l, so nehme man eine positive Grösse S^ so an, dass die Stelle (i, = ^j, <j = 0, . . . ^^ =: 0) innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der Reihen

liegt, und die Function

tr'^,{t„ o,...o)

für jeden Werth von t^^ dessen absoluter Betrag nicht grösser als S^ ist, einen von Null verschiedenen Werth hat. Wird darauf eine zweite positive Grösse S\ die kleiner als #, ist, beliebig angenommen, so lassen sich w — 1 andere S^, ... S^ so bestimmen, dass die Stelle {t^ = d^, t^ = S^^ ... t^ = SJ inner- halb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen ^^, ^j, ... ^^ liegt.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE. 169

und für jedes den Bedingungen

A) d'<\t,\^S„\t,\<d„ ...\t,\<S„ genügende Werthsystem (t^, t^, ■ ■ ■ tj

ist. Dann giebt es, wie in Art. 1 gezeigt worden ist, für jedes den Be- dingungen

B) \t,\<d„ ...\t„\<d„

entsprechende Werthsystem {t^,---tj unter denjenigen Werthen von t^, für welche |fj^tf, ist, nicht mehr als Z, welche der Gleichung

genügen, und diese sind ihrem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als d'. Nun sei (t^, ■ ■ . t'^) irgend ein System bestimmter, den Bedingungen B) genügender Werthe von t^, ... t^, und es habe die Gleichung

r von einander verschiedene Wurzeln

tj, (■!, ... f, ,

welche ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d' sind. Setzt man dann

so werden x^, ... x^ ganze lineare Function von x, welche der oben unter 3) angegebenen Bedingung genügen, indem

ist, und '^^{t[ + '^, t'^'! ■ ■ ■ t'J nicht für jeden Werth von x verschwindet. Man erhält also für hinlänglich kleine Werthe von x

wo m eine ganze Zahl und >0 ist; und ebenso

IL 22

170 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

WO m",...rd'^ gleichfalls ganze, nicht negative Zahlen sind. Daraus folgt, dass die Differenz

für keinen Werth von ^,, dessen absoluter Betrag kleiner als S^ ist, unendlich gross wird und demgemäss in der Form

dargestellt werden kann. Setzt man also

so ergiebt sich für jeden der Bedingung | ^, | < *, genügenden Werth von t^

Die Function cp(^) lässt sich aber ermitteln, ohne dass es nöthig wäre, die Grössen t\^ t", ... t'" und die zugehörigen Zahlen m\ m", ... m'" zu bestimmen. Man kann, wenn man die Grössen t^, t^, ... t^ den Bedingungen

C) \tA<S„ \t,\<8,, ... |^„|<d„

unterwirft, ^„C^,, ^j, ••• ^„) in der oben (in Art. 1) angegebenen Weise auf die Form

bringen, in der Art, dass '^SKi •■■^n) ^^^ ^e^rt. den vorstehenden Bedingungen entsprechendes Werthsystem (^j, t^.,...t^ verschwindet. Die Function GJ^^, ^2) • • • ^„) kann dann nicht unendlich klein werden, wenn man die Grössen t,t,...t den Bedingungen A) unterwirft. Für alle diesen Bedingungen genügenden Werthsysteme (^,, ^j, ••• ^„) lässt sich deshalb

in eine gleichmässig convergirende Reihe von der Form

2 Tj-'-^

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

171

entwickeln, in der die Coefficienten T^ gewöhnliche Potenzreihen von ^„ ... t^ sind. Diese Reihe convergirt dann auch, als Potenzreihe von t^^t^, ... t^ be- trachtet, bei jeder Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt für die gewöhn- liche Potenzreihe von t^^t^^ ... t^^ in welche der Quotient

verwandelt werden kann; man erhält daher für die jetzt betrachteten Werth- systeme (<,,••• ^„) die Function ^^(t^^...t^ dargestellt durch eine bei jeder Anordnung ihrer Glieder convergirende Potenzreihe der Grössen ^,)^j)---^„, welche negative Potenzen von t^ im Allgemeinen in unendlicher Anzahl, aber keine negativen Potenzen von ^,, ... t^ enthält imd somit auf die Form

gebracht werden kann.*) Es lässt sich aber auch

ä<?{K)

mm m

T ' ~i i"" + ■ ■ ■ +

t-tT'

(?(^j dt, t-t[ • t-fi

wenn |<J^d' ist, in eine Reihe von der Form

entwickeln, und es ist dann namentlich T,' := m' +?»"+••■ + m"''. Man hat also

9.(^,«;,--o — ^^#^ = s !r''-"(^;,...o-2;+J<7-'+sr'(<;,...o«i-

Aus dieser Reihe müssen nun dem vorhin Bemerkten zufolge alle Glieder mit einer negativen Potenz von t, verschwinden; man hat also

2;+. = *'-■'*-"(<;,... c)

(ft = 0,...oo).

*) Diese Reihe erhält man auch dadurch, dass man (unter der Annahme *'^|«, |^*,) die Function (p,(«,,«,, ...«„) als Potenzreihe von <,,...«„ darstellt und darauf die Coefficienten derselben, welche sämmt- lich die Form

5PJ(«„o,...o)

haben, nach steigenden Potenzen von tj entwickelt.

22*

172 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Es ist daher ^'~"(^^, .. . f^) für jedes der betrachteten "Werthsysteme (t^T-.tJ eine ganze Zahl. Daraus folgt, dass sich ''^^'" {t^, ■ ■ . tj auf ein von t^, ... t^ unabhängiges Glied reducirt. Denn wäre dies nicht der Fall, so würde ^'~"(^j, .. . ^„) eine continuirliche Function von t^,...t^ sein, die auch andere als ganzzahlige Werthe haben könnte. Es ist also die Summe (»w'+m"+ ■•■ + »«"■') von dem gewählten Werthsystem {t[,...t'J unabhängig und kann gefunden werden, wenn man gleichzeitig t'^ =^ 0, . .. t' =0 setzt.

Da nun, wenn t'^, ... t'^ sämmtlich gleich Null gesetzt werden,

<?.(<„ 0, ... 0) = 2 ^'-^-"(0, ... 0) ^7^- + 2 5ß™(o, ... 0) t],

ist, und aus der Differenz der Ausdrücke auf der Rechten dieser Gleichungen alle Glieder mit negativen Potenzen von t^ wegfallen müssen, so sieht man, dass die Entwickelung von

?.(^:,0,...0)

für jeden Werth von t^, dessen absoluter Betrag < d^ ist, die Gestalt

hat, wo m eine ganze Zahl bedeutet, die >0 ist, und dass man

m' +m"-\ h m""' := m

hat. Dabei ist noch zu bemerken, dass m immer >0 ist, wenn nicht etwa jede Function ^"'(a;,, ... a;„) durch ^'^' {x^, . . . xj theilbar ist, welcher Fall schon behandelt worden und hier auszuschliessen ist.

Nachdem so der Grad der Function <f>(tj ermittelt ist, setze man

so hat man, zunächst für die der Bedingung

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 173

genügenden Werthe von i^,

^ jtt ^ 1 )

Daraus ergeben sich die Gleichungen

2FI+F: . ^<-»'(<;, ... 0+ 5ß<-»'(<;, '■■Q = 0,

3JP3' + f; . ^'-"(i;, . . . c) + f: . $<-»(#;, . . . C) + $<-*'(<;, ...Q = o,

"».F;+^;-a^'-"(^;,---c)+^;-»r''(*;.---c)+-+^'-"'-"(<;,---c) = ».

Durch diese Gleichungen lassen sich die Grössen F[, ... F'^ bestimmen. Substituirt man in den Ausdrücken derselben für ^j, ... t'^ die unbestimmten Grössen t,...t, bezeichnet die Potenzreihe von t, ... t, in welche F' da- durch übergeht, mit

F^(t.,...t„) und setzt

<?(K,t t„) = tT+F,{t,,...tjtr'+---+F,„it,,...tj,

so ist durch das Vorstehende bewiesen, dass für jedes den angegebenen Be- dingungen entsprechende Werthsystem (t^, t^, ■■■ tj

ist. Da aber die Reihe auf der Rechten dieser Gleichung keine negativen Potenzen von t^ enthält, so convergirt sie für jedes den Bedingungen C) genügende Werthsystem (^,, ^,, ••• ^„), und zwar, wie aus ihrer Entstehungs- weise hervorgeht, unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt von den Reihen

Fi{t^, ...t^), ... F^{t^,...t„);

es besteht somit die vorstehende Gleichung für jedes den zuletzt angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (^j, . . . <„).

174 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Nun hat man, wenn « > 1 ist,

Es lassen sich aber, wenn man t^, t^, ... t^ wieder den Bedingungen A) unter- wirft,

.„(^.,...y und ^^"^'^(^-^")

in Reihen von derselben Form, wie die im Vorhergehenden für 9,(^1, •••^„) angegebene, entwickeln. Die vorstehende Gleichung lehrt nun, dass in der Differenz dieser beiden Reihen Glieder mit einer negativen Potenz von t^ nicht vorkommen, und dass man

d\og'f{t„...Q _ " C dT\t„...Q

faih,---in) ^^ ^At y-?„(^,.---y+s innr — öf, —

hat, wo ^'"(^2) •• • ^n) di^ Summe der von t^ unabhängigen Glieder der eben erwähnten Entwickelung von (f^(ip...i^) bezeichnet, und 9l°'(^j» • •• ^„) dieselbe Bedeutung für die Function — "^'''L" " hat. Aus der Form der Ausdrücke auf beiden Seiten dieser Gleichung ergiebt sich dann wieder, dass die Gleichung für jedes den Bedingungen C) entsprechende Werthsystem (t^, t^, ■ • • t^) gilt. Damit ist bewiesen, dass sich

auf die Form

bringen lässt. Der Ausdruck unter dem Summenzeichen genügt dann wieder den Integrabilitätsbedingungen und kann nach dem im zuerst betrachteten Falle Bewiesenen in der Form

dlog^it„...Q

dargestellt werden, wobei man ^(0, ...0) = 1 annehmen kann. Folglich ist, wenn man, unter C eine von Null verschiedene, im Übrigen willkürlich

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE. 175

anzunehmende Constante verstehend, setzt,

a =1

Drückt man nunmehr t^, ... t^ durch x^, ... x^ aus und setzt so ergiebt sich

n

2 /L(^i. • • • ^n)(K = dlogfix,, . . . a;J .

o = l

Diese Gleichung gilt nun ihrer Herleitung zufolge für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (0, ...0) angehörigen Werthsysteme {x^,...xj. Etwas Bestimmteres über den Convergenzbezirk der Reihe für f(x^,...xj lässt sich durch die gegebene Deduction nicht ermitteln, weil bei derselben nur vor- ausgesetzt ist, dass die Functionen f„{oc^,...xJ innerhalb einer begrenzten Umgebung der Stelle (0, . . . 0) überall eindeutig definirt seien und sich wie rationale Functionen verhalten. Gleichwohl reicht der in der vorstehenden Gleichung ausgesprochene Satz aus, um für den Fall, wo die Functionen f^{x^,...xj sich an allen im Endlichen des Grössengebietes {x^,...xj lie- genden Stellen wie rationale Functionen verhalten, das oben ausgesprochene Theorem zu beweisen.

Es sei (a,, ...a„) ein System bestimmter, endlicher Werthe von x^,...x^, und man nehme an, es convergire die auf die beschriebene Weise hergeleitete Reihe f{x , ... xj (in der wir uns jetzt für die Constante C einen bestimmten Werth gesetzt denken) für jedes den Bedingungen

\x,\ <.\a,\, ... |a;„|<:|a„|

genügende Werthsystem {x^,...xj. — Ferner sei {a[,...aj irgend ein be- stimmtes Werthsystem, das den Bedingungen

i «I I = I «1 I ) • • • i ö» I = I «n I

gemäss, im Übrigen aber beliebig angenommen ist. Dann kann man inner- halb einer bestimmten Umgebung der Stelle (a\,...aj

/•.(a;.,...a.J m der.lorm ^.>^<^^_ ^ ^ _ ^ l_ ^^^

176 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

darstellen und nach dem Vorhergehenden eine Reihe herleiten, welche der Gleichung

genügt. Diese Reihe möge convergiren an allen Stellen, für die

\x^ — a[\<d, ... \x„—a'„\<:S

ist, wo S eine positive Grösse bedeutet. Unter diesen Stellen giebt es nun auch solche — und zwar bilden dieselben ein 2w-fach ausgedehntes Conti- nuum — , welche zugleich den Bedingungen

\x,\<:\a,\, ... |x„|<|a„|

genügen. Innerhalb des Bereiches dieser Stellen hat man also

dlos^(x,-a[,...x„-a'„) = ^L{x„ ...x„)dx^,

a = i «

dlogf{x„...xJ =-'^fa(x„...xJdx^,

dSß(x,-a[,...x„-a'„) ^ df{x„...xj ^(x,-a[,...x^-a'J f{x„...xj'

woraus sich, da die Functionen f{x^,...xj^'^{x^-a[,...x^-dj innerhalb des in Rede stehenden Bereichs an allen Stellen sich regulär verhalten,

f{x„...x„) ^ C'^{x,-a[,...x^-aJ

ergiebt, wo C" eine von x^, ... x^ unabhängige Grösse bedeutet. Da dies für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (a[,...aj gilt, so folgt daraus (nach einem der Sätze, welche in der Functionen theorie in Betreff der Convergenzbedingungen für Potenzreihen entwickelt werden) die Existenz einer positiven Grösse S', so beschaffen, dass die Reihe auch noch convergirt für jedes den Bedingungen

\x,\<\a,\ + S', ... \xj<\a„\ + d'

genügende Werthsystem (a;,, ...a;„). Daraus ergiebt sich sofort, dass die Reihe f{x^,...xj für jedes System endlicher Werthe von x^,...x^ convergirt und

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE. 177

die Gleichung

n

^fa{x„...io^)dx^ = dlogf{x„...x„)

befriedigt.

Man sieht zugleich, wie sich die in f{x^,...x^) vorkommende Constante C so bestimmen lässt, dass einer der Coefficienten der Reihe, welcher nicht nothwendig bei jedem Werth von C gleich Null ist, einen vorgeschriebenen Werth erhält.

Es bedarf kaum der Erinnerung, dass in einem gegebenen Ealle die Ent- wickelung der Reihe f(x^,...x^) nicht nothwendig auf dem beschriebenen Wege bewerkstelligt zu werden braucht. Vielmehr kann man, nachdem einmal durch das Vorstehende die Form und der Convergenzbezirk der Reihe festgestellt worden sind, jedes zur Bestimmung ihrer Coefficienten führende Verfahren ohne Verstoss gegen die Strenge der Herleitung anwenden.

An das im Vorstehenden entwickelte Theorem schliesst sich nun ein anderes an, durch welches in manchen Fällen für eine eindeutige Function f(x^, . .. x^), welche an allen im Endlichen des Grössengebietes (x^,...x^) liegenden Stellen sich wie eine rationale Function verhält, der Nachweis geführt werden kann, dass sie als Quotient zweier — transcendenten oder rationalen — ganzen Functionen von x^,...x^ darstellbar ist, und zwar in der Art, dass nur an denjenigen Stellen, wo f(x^,...x^) keinen bestimmten Werth hat, der Dividend sowohl als der Divisor verschwindet.

Angenommen, es sei eine bestimmte Function f(x^,...x^) in der ange- gebenen Weise als Quotient zweier ganzen Functionen g^(x , .. . x^), g^{x^, ..■ x^) ausgedrückt, so hat man, wenn

d\ogg„(x„...x„) dx„

lex \^i » • • • ^nj)

dx^ gesetzt wird,

dlogg,{x„...xJ _

la V-*-! > • • • •*«/

dlogfix,, ...x„) =2 fa\^i, •••««) dx^--^ C(x^, ...x„) dx„,

CIXI a = l

n.

178 . EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

und es besitzen die Functionen f^°\ f" folgende Eigenschaften :

1) Sie sind alle eindeutige Functionen von x^,...x^, welche sich im Endlichen wie rationale Functionen verhalten.

2) Die Differentialausdrücke

« »

2j fa (^1 ) • • • ^n) "'^a > Zi /o V^i i • • • '"'%) ^^a o=i «=1

genügen beide den Integrabilitätsbedingungen.

3) Jede im Endlichen gelegene singulare Stelle einer der Functionen fn^ii ••■ ^n) ^^^ zugleich eine singulare Stelle der Function f{x^, ... x)] jede im Endlichen gelegene singulare Stelle einer der Functionen /""'(a^j, . . . icj ist entweder eine Null -Stelle von f (x^, . . . x^) oder eine derjenigen singulären Stellen dieser Function, an denen sie keinen bestimmten Werth hat.

Dies Theorem — dessen Beweis auf der Hand liegt — lässt sich folgender- massen umkehren.

Angenommen, man wisse von einer irgendwie definirten Function f{x^,...xj, dass sie eine eindeutige Function der hier betrachteten Art sei, imd es ge- linge, das Differential

dlogf(x„...xJ in der Form

dergestalt auszudrücken, dass die Functionen /j°', /^" die im Vorstehenden unter 1), 2), 3) angegebenen Eigenschaften besitzen; so sind diese Functionen auch so beschaffen, dass sich auf die in Art. 4 gelehrte Weise zwei ganze Functionen g^(x^, ... x^), g^{x^, ... x^) bestimmen lassen, welche die Gleichungen

A)

dlogg,(x„...x„) = '2,fa'(^i,---^n)^^a

a = l n

dlogg,{x„...x„) = 'EC(!«i,---Xn)dx„

a = i

befriedigen. Dann ist

wo C eine von x^, ... x^ unabhängige Grösse bezeichnet, und es verschwinden

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 179

g,g gleichzeitig nur an solchen Stellen (ifj, . .. icj, wo f{x^,...x^) keinen bestimmten Werth hat.

Es sei («,, •••«„) irgend ein System endlicher Werthe der Grössen x^, ... x^, so giebt es — nach Art. 2 — eine gewisse Umgebung (S) der Stelle (a^, . . . a^), innerhalb welcher jede der Functionen f, f°\ . . . f^\ /""', . . . /^" sich als Quotient zweier Potenzreihen von x, — a....x—a in der Art darstellen lässt, dass der

1 1 ' n n '

Dividend und der Divisor nur an solchen Stellen («,, ••. ic„), wo die betreffende Function keinen bestimmten Werth hat, gleichzeitig verschwinden. Bezeichnet man für /", f^^\ f^°^ die Dividenden bez. mit p, jo^, q'^ und die Divisoren bez. mit q, p„, q„, so hat man

a = Ap dx„ Pal a = i\q dx„ qj

woraus sich, da die Veränderlichen x^,...x^ unabhängig von einander sind,

P öa;„ Pa q dx„ q„ ergiebt.

Der Voraussetzung 3) nach kann q^ innerhalb des Bereiches (S) nur an

solchen Stellen (x^,...xj verschwinden, die zugleich singulare Stellen der

Function ^ sind, für welche also q = 0 ist. Ebenso kann p^ nur an solchen

Stellen verschwinden, an denen ^ = 0 ist. Daraus kann man schliessen, dass

die Function

q öa;„ q„

sich innerhalb ((5) regulär verhält. Denn wäre dies nicht der Fall, so hätte sie (nach Art. 3) innerhalb (ß) unendlich viele singulare Stellen, und unter diesen gäbe es nothwendig solche, an denen q ^^ 0 wäre, p aber, und somit auch p^, einen von Null verschiedenen Werth besässe, was der Gleichung

l_^_i2. = 1 ^P P'a q dx„ q„ p dx„ p^

widerspricht. Man kann also für die dem Bereiche (S) angehörigen Werth- systeme {x^^ ... x^)

1 ö« 9'«

q dXa g« 11' n »/

23'

180 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

setzen und hat dann

a=l «=I

n n

2/'f(a;,,...«„)f?a;„ = älogp-'^^^ix.-a,, ...x„-a„)dx„.

Der DifFerentialausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichungen genügt nun den Integrabilitätsbedingungen; man kann ihn daher in der Form

d^(x,-a„...x^-a„)

darstellen und erhält dann

±Ci^^,■^^^n)dx„ = (ilogJ2.e-^(^'-'^'-^"-«'')| = d\osT\x,-a„...x^-a„),

±a'\x„...x„)dx^ = dlogji>.e-^^^'-''--^»-""^j = d]ogT\^,-a„...x,-a„).

a = i

Es sind also die Functionen f^^\x^, ... x^), fl^\x^, ... xj in der That so be- schaffen, dass man (nach Art. 4) zwei ganze Functionen g„{x^, . . . x^), gX^o • • • ^„) bestimmen kann, für welche — bei gehöriger Bestimmung der Constante C — die vorstehenden Gleichungen A), B) gelten. In der Umgebung jeder bestimmten Stelle (a^, ...a^) ist dann

wo Cj, Cj Constanten bezeichnen; es verschwinden daher ^„, g^ gleichzeitig an der Stelle (a^, ...aj nur dann, wenn auch p.,q an derselben beide ver- schwinden, /"(a^j, ...«„) also für das Werthsystem {x^ = a^, ... x^ = aj keinen bestimmten Werth besitzt; w. z. b. w.

Anmerkungen.

1. Es ist vorausgesetzt worden, man wisse von der Function f(x^,...xj, dass sie eine eindeutige Function sei und im Endlichen sich überall wie eine rationale Function verhalte. Ist dies nicht bekannt, vielmehr die Aufgabe gestellt, die Function so zu bestimmen, dass sie der Differentialgleichung

dlogfix,, ...x„) =± dx,, ...x„) dx,-± Cix„ ...xj dx.

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 181

genüge, so hat man zur Lösung dieser Aufgabe kein anderes Mittel als zu untersuchen, ob jeder der beiden DifFerentialausdrücke auf der Rechten der Gleichung die in Art. 4 von dem dort betrachteten Ausdruck

«

0 = 1

vorausgesetzte Beschaffenheit habe, und im Falle, dass sich dies bestätigt und somit feststeht, dass f{x^,---x^ in der Form

dargestellt werden kann, sich zu vergewissern, ob die Functionen f^°\ f^" auch der oben (unter 3) angegebenen Bedingung entsprechen.

2. Das im Vorstehenden entwickelte Theorem kann ohne Schwierigkeit folgendermassen verallgemeinert werden:

Es sei von einer irgendwie definirten Function f(x^,...xj bekannt, dass sie sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhalte, und es lasse sich d"'logf(x^, ... xj in der Form

(«,,... c£„,= 1,2, ...n)

dergestalt ausdrücken, dass jeder der beiden Differentialausdrücke auf der Rechten der Gleichung den Integrabilitätsbedingungen genüge, und die Func- tionen f"" , /■'" „ die im Vorstehenden unter 1), 3) angegebene Beschaffen- en •• • ^m *^i) ■• • **m

heit besitzen, so ist f{x^,...x^) in der Form

g,(x„...xj

darstellbar, wo g^, g^ ganze Functionen von x^^...x^ sind, welche nur an solchen Stellen (ic,, ... icj, wo f{x^,...xj keinen bestimmten Werth hat, gleichzeitig verschwinden.

Der Beweis dieses Satzes ist dem für den Fall, wo m = 1 ist, durch- geführten ganz analog, und es braucht dabei nur folgender, leicht abzuleitende Hülfssatz vorausgesetzt zu werden:

Genügt ein Differentialausdruck

182 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

den Integrabilitätsbedingungen, so kann er auf die Form

d'"^{x,-a„...x„-a„) gebracht werden.

3. Auch das in Art. 4 bewiesene Theorem kann folgendermassen ver- allgemeinert werden:

Ist ein den Integrabilitätsbedingungen genügender Differentialausdruck

S/«!, . . . a„,(^i ! • • • ^n) "'^a, • • • "'•''tt^ («!>•■•«« = 1.2,... m)

gegeben, in welchem die Functionen f^ ^ (a;^, ...icj eindeutige Functionen der hier betrachteten Art sind, und lässt sich zeigen, dass derselbe, wenn für ajj, ... x^ lineare Functionen einer Veränderlichen x gesetzt werden — welche nur der in Art. 4 für den Fall, wo m = 1 ist, angegebenen Bedingung unterworfen sind — für hinlänglich kleine Werthe von x stets die Gestalt

erhält, wo ft entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl ist, so ist jede der Differentialgleichung

(«)""• im

genügende Function f(x^^ ••■ ^J ^i^^ ganze Function von x^, ... x^] und ist eine solche Function /o(^i5---^„) bestimmt, so erhält man den allgemeinen Ausdruck von f(x^, ... x^), wenn man

setzt und für G{x^, ... xj eine ganze rationale Function (»w — 1)*°° Grades von x^, ... x^ mit willkürlichen Coefficienten nimmt.

Um diesen Satz beweisen zu können, hat man zunächst zu untersuchen, unter welchen Bedingungen ein gegebener Ausdruck

n o = l

in welchem die Functionen /„(«,,••• a^„) eindeutige Functionen der hier be- trachteten Art sind, das Differential einer ebenfalls eindeutigen Function ist — eine Frage, welche sich mit Hülfe der Ergebnisse der vorhergehenden

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SATZE.

183

Untersuchungen ohne Schwierigkeit erledigen lässt, auf die ich aber hier, wo es sich hauptsächlich um eine Zusammenstellung solcher Sätze handelt, die in meiner Vorlesung über die Abel' sehen Functionen als Hülfssätze gebraucht werden, nicht eingehe.

6. Über die Entwickelung w-fach periodischer ganzer Functionen

von n Veränderlichen. Eine ganze Function f{u^^ •••«*„) der n Veränderlichen u^^ ... u sei n-fach periodisch; d. h. es soll n Systeme von je n Constanten

2ö>„, 2u»,j, ... 2a),„

2u)j,, 2(0,,

2(1),,

2u)„,, 2to„2, ... 2tD„„

geben, für welche bei beliebigen Werthen von «,, ... u^ die n Gleichungen

/■(«, + 2tü,^,...M„+2u)„,,) =f{u„...u„) (j?=l,2,...«)

gelten, wobei vorausgesetzt werde, dass die Determinante

U)„, ... tu,

nicht gleich Null sei.

Führt man statt u^, ... u^ andere Veränderliche v^, ... v ein mittelst der Gleichungen

M„ = 2 2(ü„.«;^ (o(=l,...w)

und bezeichnet mit f(v^,v^, ... vj die Function, in welche f{u^,...u^) durch diese Substitution übergeht, so hat man

tf{v„v,+ l,...vj = <?{v„v„...v„),

aus welchen Gleichungen sich die allgemeinere

<p (»j + »».,», + »»„... v„ + >w„) = f{v„v„...v„) ergiebt, wo »»,,?»,, ... »w^ beliebige ganze Zahlen bedeuten.

184 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

Es soll nun bewiesen werden, dass sich. ^(v^,v^, ... vj durch eine be- ständig convergirende Reihe von der Form

(rj,j'a,...v„ = -co,... + oo)

darstellen lässt, wo die C„ „ „ von «, v. ... w unabhängige Grössen sind. Es ist leicht, diesen Satz aus dem auf Functionen mehrerer Veränder- lichen ausgedehnten Fourier' sehen Theoreme abzuleiten. Man setzt zu dem Ende, unter *, ... .s„, t^, ...t^ reelle Grössen verstehend,

so lässt sich <f(t^ + sj, ...t^+sj), als Function von t^,...t^ betrachtet, in der Form

ausdrücken, wenn man

nimmt. Man beweist dann leicht, dass die partiellen Ableitungen der als Function von s , ... s betrachteten Grösse

pr „2(j',Si4 hr„s„)7t

%,,...i'„<'

bei der vorausgesetzten Beschaffenheit der Function tp sämmtlich gleich Null sind, diese Grösse also einen von s^^...s^ unabhängigen Werth hat, woraus sich der angegebene Ausdruck von ^{v^^...v^ und die Bestimmung von Cr.,...r„' nämlich

ergiebt.

Die mit einer strengen Begründung des Fourier' sehen Theorems für reelle Veränderliche verknüpften Schwierigkeiten fallen bei der Function f(t^ + sj, ... t^ + s^i) fort, indem deren Ableitungen stetige Functionen von

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 185

Es lässt sicli indess der in Rede stehende Ausdruck vf»n ^(v^,...vj auch aus den Fundamentalsätzen der Theorie der gewöhnlichen Potenzreihen ab- leiten. Dies soll hier ausgeführt werden.

Es sei

eine ganze Function der »• + 1 von einander unabhängigen Veränderlichen V, X , ... X , welche in Beziehung auf die Veränderliche v die Periode 1 besitzt, so dass, wenn m eine beliebige ganze Zahl ist, die Gleichung

g{v + m, x„... X,) = g(v, x„ . . . «,)

besteht. Setzt man dann

g^{v,x,,...x,) = \g{v,x^,...x,) + \g{-v,x,,...x,),

\g{v,x,,...x,)--\g{-v,x,,...x,) 9Av,x,,...x,) — ^^^^ ,

so ist nicht nur g^^ sondern auch g^ eine ganze Function von v, ic^, ... a;^. Denn der Nenner von g^ verschwiadet nur, wenn v = -^ und m eine ganze Zahl ist; setzt man aber v = y + Ä, so ist

sin 2 ( -— + 7i j Tt = ± sin 2/i7t ,

also

^ (t + ^*' *" • • ■ ^')~3 (- Y ""'*' ^" • • • ^•■j = ^*^(^' *!' • • • ^r) .

und es hat somit g^{v^x^^ ... x^) auch für v = ~ einen bestimmten endlichen Werth.

Jetzt sei s eine neue unbeschränkt veränderliche Grösse, und es werde eine Function G^(s,x^, ... x^) folgendermassen definirt: Jedem endlichen Werthe von s ordne man einen die Gleichung

S = cos 21771

befriedigenden Werth von v zu und nehme dann

G^(s,X„...Xr) = g,(v,X„...Xr),

' n. 24

186 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN

SO hat G^{s,x^, ... X-.) für jedes System endlicher Werthe von s, x^, ... x^ einen bestimmten und ebenfalls endlichen Werth. Denn es sei v' irgend einer der- jenigen Werthe von v, welche für einen gegebenen Werth s' von s der Gleichung s' = cos2tJTc genügen, so werden alle übrigen durch die Formel

+ v'+m

geliefert, wo m eine ganze Zahl bedeutet; für alle diese Werthe von v hat aber g^{v,x^, ...x^) denselben Werth. Nimmt man ferner s hinlänglich nahe bei s' an und setzt h = 2t:{v — v'), so erhält man aus der Gleichung

s — s

falls sin2ü'TC nicht gleich Null ist, einen dieselbe befriedigenden Werth von v — v\ und in dem Falle, wo sin2'j;''7r = 0 ist, einen Werth von {v — v'y in der Form einer Potenzreihe von s — s' ausgedrückt. Da nun im letzteren Falle v' = ^ und daher

g,(v, x„... X,) = ^g(^^ + {v-v'),x„ . . . x,j + j9[~y~ ^^~^'^' ^>' •• • ^)

ist, also in der Entwickelung von g^{v,x^^ ... x^) nach Potenzen von v — v' nur gerade Potenzen dieser Grösse vorkommen, so lässt sich in beiden Fällen G (s,x ,...x) als Potenzreihe von s — s',x,,...x^ darstellen. Damit ist be- wiesen, dass G^{s^x^, ...x^) eine ganze Function von s^x^^...x^ ist, welche, wenn s = cos2i;Tr gesetzt wird, in gX^i^i-i ••■^r) übergeht.

Ebenso wird gezeigt, dass eine ganze Function Gj(s, cc^, . .. ic^) existirt, welche, wenn s = cos2vTr gesetzt wird, in ^j(v, ic^, ... ic^) übergeht.

Hiernach hat man

g{v,x^, ...x^) = G'„(cos2t;ir,a;,, ...a;,.) + G^,(cos2t;Tr, a;,, ...Xf)sm'ivK.

Wendet man nun diesen Satz auf die Function ^(t'i, v^, .. . v^) an, so kann man dieselbe zunächst auf die Form

G^{cos2v^Tz, v^, ...v^)-]- G^i(cos2?;,7r, v^, ... ü„)sin2«;,Tr

bringen. Die Functionen G„, G^ haben dann in Beziehung auf jedes Argument

MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE. 187

V , ... v^ die Periode 1, und man erhält also (für e = 0, 1):

+ G^£ 1 (cos 2v, 7i , cos 2v^Tz, V,, . . . v„) sin 2v^r. .

Dann haben die Functionen G^^, G^^, in Beziehung auf jedes der Argumente v^, ... v^ die Periode 1; man erhält also (für e = 0, 1; s^ = 0, 1)

ö'e.e/cos 2t^,it, cos 2y,Tr, v^,... v„) ^ a^^,^^^{co3 2t;, u, cos 2t;, tt, cos 2v^t., v^,... v„)

+ G^ j i(cos 2t;, TT, cos 2v^-K, cos 2v,'k, v^, ... v„) sin 2v^tz.

So fortfahrend kommt man zu dem Ergebniss, dass sich ^{^i^v^, .. . v^) in der Form

£ = l£, = l E„_, = l

2 S ■•• S ^E,s„...E„_ (cos22;,7r, cos2t;3 7r, ... cos2t;„Tr)sin 2t;,7r.siii '22;jTr.., sin"~'2t;„Tc

darstellen lässt, wo die Functionen G^ ^ ^ sämmtlich ganze Functionen der Grössen cos2v,Tr, cos2d^tc, ... cos2i; tt sind. Setzt man sodann

cos2t;„Tr = -e +-e , sm2t;„Tr = -^e -—e

(ß= l,...n)

SO kann der vorstehende Ausdruck in eine beständig convergirende Potenz- reihe der 2w Grössen

2v,T.i — 2t>,7n 2v„ni — 2t)„zi

e , e ^ , ... e " , e " verwandelt werden, so dass man

(i,,(i,,...;i„,fi„ = 0, ...co)

erhält. Da diese Reihe unbedingt convergirt, so kann man, wenn v,, v,, ... v„ irgend n bestimmte ganze Zahlen sind, diejenigen Glieder der Reihe, in denen die Differenzen

bezüglich die Werthe

v„ v„ ... v„

24*

188 EINIGE AUF DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN ETC.

haben, in ein Glied zusammenziehen, wodurch sich die oben angegebene, ebenfalls unbedingt convergirende Eeihe für ^{v^,v^, ... v^J ergiebt.

Drückt man sodann v^,v^,... v^ durch die ursprünglichen Veränderlichen u^fU^i ... u^ aus, so gelangt man zu einer Entwickelung von f{u ,u,...u), in welcher jedes einzelne Glied dieselbe Periodicität wie die Function f(u , ...u) selbst besitzt.

Der gleichmässigen Convergenz der für ^{v^,v^, ... vj gefundenen Eeihe wegen ist, wenn ft^, ... jt^ beliebige ganze Zahlen sind,

{Vi,...Vn = -CD,... + cd)

woraus in Übereinstimmung mit dem oben Angegebenen folgt.

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG -LEFFLER.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften

vom 5. August 1880.)

1. In den Berichten der Akademie der Wissenschaften zu Stockholm*) a. d. J. 1877 hat Herr Mittag-Leffler im Anschluss an meine in den Ab- handlungen unserer Akademie a. d. J. 1876 **) veröffentlichten Untersuchungen über die eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen einige sehr beachtenswerthe Theoreme entvpickelt. Unter denselben ist von besonderer Wichtigkeit das nachstehende, auf welches näher einzugehen ich aus dem Grunde Veranlassung habe, vpeil es mir dazu gedient hat, die Ergebnisse meiner Arbeit in mehreren wesentlichen Punkten zu vervollständigen: »Es seien gegeben

1) eine unendliche Reihe bestimmter endlicher Grössen:

unter denen keine zwei gleiche sich finden, und die der Bedingung

Liraa^ = oo

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen einer Veränderlichen x:

fi(^), W)> fÄ^)> ■■>

von denen f^{x) nur an der Stelle (x = a^) unendlich gross wird und für a; = oo verschwindet.

*) Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1877. **) [S. 77 dieses Bandes.]

190 ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG - LEFFLER.

Dann lässt sich stets eine eindeutige analytische Function F{x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo bilden, welche nur an den Stellen a^,a^,a^,... vmendlich gross wird, und zwar so, dass — für jeden bestimmten Werth von v — die Differenz

an der Stelle {x = aj einen endlichen Werth hat, und daher inner- halb einer gewissen Umgebung dieser Stelle

F(x) in der Form f^{x) + ^(x-a,)

dargestellt werden kann.« Herr Mittag -LefFler beweist diesen Satz, indem er zeigt, dass sich aus den gegebenen Functionen

fM, fM^ fM, •••

eine Reihe anderer rationaler Functionen:

F,{x), F,{x), F,{x), ... dergestalt ableiten lässt, dass jede der Differenzen

FÄx)-ax), F,{x)-ax), F,{x)-ax), ...

eine ganze Function von x oder eine Constante ist, und zugleich die unend- liche Reihe

2 F^{x)

1 =:1

innerhalb jedes Bereichs, der keine der Stellen a^^a^^a^^... enthält, gleich- massig convergirt, woraus sich folgern lässt, dass dieselbe eine Function F{x) von der angegebenen Beschaffenheit darstellt.

Man kann indess für die Functionen F^{x) eine einfachere Bildungsweise als die von Herrn Mittag-Leffler auseinandergesetzte angeben und dadurch den Beweis des Satzes erheblich vereinfachen.

Man nehme eine unendliche Reihe positiver Grössen:

deren Summe einen endlichen Werth hat, und ausserdem eine ebenfalls posi- tive Grösse e, die < 1 ist, willkürlich an.

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG -LEFFLER. 191

Ist nun, für einen bestimmten Werth von v, a^ = 0, so nehme man

Wenn aber a^ einen von Null verschiedenen Werth hat, so entwickele man f^{x) in eine Potenzreihe

welche für jeden der Bedingung

11 = 0

<1

genügenden Werth von x convergirt. Dann kann man eine ganze Zahl m so bestimmen, dass für jeden der Bedingung

entsprechenden Werth von x der absolute Betrag von

kleiner als e^ ist.*) Nach Ermittelung dieser Zahl m^ nehme man

nty— 1

*) Nach Annahme einer positiven Grösse e„, die kleiner als 1, aher grösser als e ist, bestimme man eine Grösse g so, dass für jeden Werth von x, der den absoluten Betrag £, I ''v I ^^^t

ist. Dann hat man

und es ist somit, wenn — = '»

!;-<?«' s,S;(f)'-=-^-(f)" .

Man kann also für m, jede ganze, nicht negative Zahl m wählen, die der Bedingung genügt.

192 ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HEREN G. MITTAG -LEFFLER.

wobei ZU bemerken, dass F^{x) = f^{x) zu setzen ist, wenn m^ — 0, und dass man

hat, wo %(x) eine rationale Function ist, die ebenso wie f^{x) nur für x =^ a unendlich gross wird und für x = oo verschwindet.

Nun sei x^ irgend ein bestimmter endlicher Werth von x, der nicht in der Reihe

enthalten ist, und q eine positive Grösse, die man so klein anzunehmen hat, dass auch unter denjenigen Werthen von x, für die

keine der Grössen a^, a^, a,, ... sich findet. Dann kann, wenn d irgend eine gegebene, beliebig kleine positive Grösse ist, eine ganze Zahl r so ange- nommen werden, dass

r=:r

und dass für jeden der eben angegebenen Werthe von x, sobald v ^ ?•,

und somit

ist. Die Reihe

1=1

convergirt also, und zwar gleichmässig, für alle der Bedingung

entsprechenden Werthe von x, und kann daher, nach einem bekannten Satz, für diese auch in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe von (x — xj dar- gestellt werden.

Ist ferner a^^ irgend eine der Grössen a^, a^, a^, ..., und nimmt man q so klein an, dass sich unter denjenigen Werthen von x, für die

	X	^s
\FM	<e„
00 11 F,	{X)	<d

L

^^HCBEB einen FUI»CTI0NENTHE0RETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG-LEFFLER. 193

^^Husser a^ keine der genannten Grössen findet, so ist nach dem Vorstehenden die Reihe

für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig convergent und in der Form

darstellbar, so dass man

hat. Damit ist bewiesen, dass die Reihe

v — l

eine Function F{x) von der in dem angeführten Satze angegebenen Be- schaffenheit darstellt.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Ist G{x) eine beliebige (ratio- nale oder transcendente) ganze Function von x, und setzt man

F(x) = Fix) + G{x),

so ist auch F(x) eine Function von der in Rede stehenden Beschaffenheit. Und umgekehrt, wenn F{x), F(x) irgend zwei solche Functionen sind, so ist

die Differenz

F{x)-F{x)

nothwendig eine ganze Function von x.

2.

Nunmehr sei fix) irgend eine gegebene eindeutige analytische Function von a;, welche nur die eine wesentliche singulare Stelle oo besitzt, und an beliebig vielen anderen Stellen

Oj, öj, öj, . . .

gleich oo wird. Dann ist in dem Falle, wo die Anzahl dieser Stellen unendlich gross ist,

Lima, = oo,

r = 00

n. 25

194 ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. JÄlTTAG-LEFFUER.

da jeder endliche Bereich nur eine endliche Anzahl dieser Stellen enthalten kann.

Femer lässt sich, wenn a^ eine Z^mal zu zählende TJnendlichkeits - Stelle der Function j(x) ist, für die einer bestimmten Umgebung dieser Stelle ange- hörigen Werthe von x

{x-a,ff{x) in der Form ^C';^{x-a,f

It — o

darstellen; man hat also, wenn gesetzt wird,

und es ist f^{x) eine rationale Function von x, die nur für x =^ a^ unendlich gross wird und für a? = oo verschwindet. Leitet man aus den Functionen

fii^), U^), /.(^). •••

auf die in (1.) beschriebene Weise die Functionen

F,{x)> FM, F,{x), ...

ab — wobei man, wenn die Anzahl der Unendlichkeits - Stellen von f(x) endlich ist, F^{x) = f^{x) setzen kann — , so wird die Differenz

m-uFM

V

für keinen endlichen Werth von x unendlich gross, und es ist also

f{x)=^F,{x) + G{x),

wo G{x) wieder eine ganze Function von x bedeutet.

Die Function G{x) kann aber auf mannigfaltige Weise als eine Summe von ganzen rationalen Functionen der Veränderlichen x dargestellt werden.

Es lässt sich also jede eindeutige analytische Function f{x\ für die im Endlichen keine wesentliche singulare Stelle existirt, als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG - LEFFLER. 195

dergestalt ausdrücken, dass jede dieser Functionen im Endlichen höchstens eine Unendlichkeits-Stelle hat.

Dies war bisher nur für die rationalen und für einige bestimmte tran- scendente Functionen einer Veränderlichen bekannt.

3.

Aus den beiden in (1, 2) entwickelten Sätzen leitet man leicht die fol- genden ab.

A. Es seien gegeben

1) eine bestimmte Grösse c und eine unendliche Reihe von c ver- schiedener Grössen:

ff 1 , ff j , ffj , . . . ,

unter denen keine zwei gleiche sich befinden, und die der Bedingung

Limff^ ==: c

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen:

W), W), f.i^), •••>

von denen /, (a) nur an der Stelle (x = a^) unendlich gross wird und für x ^ c verschwindet.

Dann lässt sich stets eine eindeutige analytische Function F{x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle c bilden, welche nur an den Stellen a^, «,, a,, ... gleich oo wird, und zwar so, dass

an der Stelle (x = a^) einen endlichen Werth hat.

Diese Function F{x) kann dargestellt werden in der Form

WO F^{x) eine in der Form

ausdrückbare rationale Function bezeichnet.

25*

196 ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG -LEFFLER.

B. Jede eindeutige analytische Function f{x) mit nur einer wesentlichen singulären Stelle c lässt sich als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x dergestalt aus- drücken, dass jede dieser Functionen nicht mehr als eine von c verschiedene Unendlichkeits-Stelle hat.

Diese Sätze ergeben sich aus den in (1, 2) bewiesenen, wenn man

setzt und dann f{x) als Function von x betrachtet.

Der Satz B reiht sich den in §§ 2, 3 meiner oben angeführten Abhand- lung entwickelten Sätzen an.

4. In der genannten Abhandlung habe ich (§7) für eine eindeutige analy- tische Function einer Veränderlichen x mit n wesentlichen singulären Stellen (Cj,...c„) zwei allgemeine Ausdrücke aufgestellt, nämlich

1)

wo R*{x) eine rationale Function von x^ die nur an den Stellen c^, ... c^ Null oder unendlich gross werden kann, bedeutet.

Bezeichnet man mit -F(«; c) eine eindeutige analytische Function von x mit einer wesentlichen singulären Stelle c, so lässt sich der Ausdruck 2) auf die Form

2a) n F,{x; c,)

bringen.

Nun stellt aber auch der Ausdruck

3) tFxix;c,)

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG -LEFTLER.

197

pine eindeutige Function mit n wesentlichen singulären Stellen (c^,...c^) dar;

fs konnte aber mit den in der genannten Abhandlung angewandten Hülfs- itteln nicht bewiesen werden, dass jede solche Function, wie ich jetzt mit

lülfe des Satzes (3, A) zeigen will, in der vorstehenden Form 3) ausgedrückt

?^erden kann.

Es sei f{x) irgend eine Function von der in Rede stehenden BeschaflFen-

leit, so zerlege man das Gebiet der Veränderlichen x dergestalt in n Theile,

lass im Innern eines jeden eine der Stellen c^, ... c^ liegt, und zugleich an Jder Grenze zwischen zwei Theilen f(x) überall einen endlichen Werth hat.

)erjenige Theil, in welchem Cj^ liegt, werde mit C^ bezeichnet. Angenommen

lun, es enthalte, für einen bestimmten Werth von A, C^ unendlich viele Fausserwesentliche singulare Stellen der betrachteten Function:

„«' „(^) /,<^)

80 ist

Lima* = c^. Bestimmt man dann eine Reihe rationaler Functionen:

lergestalt, dass fl^\x) nur an der Stelle {x = af) unendlich gross wird, die )ifferenz

m-n\x)

aber an derselben Stelle einen endlichen Werth hat, und überdies fl^^x) für

= C;^ verschwindet; so lässt sich nach (3, A) eine eindeutige Function F^';\x)

lit der einen wesentlichen singulären Stelle Cj^ herstellen, welche nur an den

Stellen d^\ af\ a'^\ . . . unendlich gross wird, und zwar so, dass die Differenz

J'*(ic)-/"*(a;)

m der Stelle (x = a*) einen endlichen Werth hat. Daraus folgt dann, dass ie Function

f(x)-F"-\x)

Innern und an der Grenze von Cj ausser c^ keine singulare Stelle besitzt.

198 ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HEREN G. MITTAG -LEFFLER.

Enthält ferner C^ nur eine endliche Anzahl ausserwesentlicher singulärer Stellen der Function f{x):

so setze man

wo die Functionen f^{x)^ fi\^)i ••• dieselbe Bedeutung haben wie vorhin; dann wird F^^\x) nur an den Stellen af\d^\... unendlich gross, und es besitzt auch in diesem Falle die Function

f{x)-F'-^\x)

im Innern und an der Grenze von C^ ausser q keine singulare Stelle.

In dem Falle endlich, wo C^ keine ausserwesentliche Stelle der Function f{x) enthält, setze man

F*{x) = 0.

Sind auf diese Weise die Functionen i<""(ic), ... F'^\x) bestimmt, so ist der Ausdruck

f{x)-±F^'\x)

eine eindeutige Function von ic, die keine anderen (wesentlichen oder ausser- wesentlichen) singulären Stellen als c^, ... c^ besitzt, und somit (nach §5 der g. Abhdlg.) in der Form

M-^)

dargestellt werden kann, wo GJ^—t] ^^^^ ganze Function von -^^ bezeichnet. Setzt man nun

f,{x-c,) = F^\x) + G,[^^, so ist

X = i

Da die Functionen F'^\x), GA-^^\ im Gebiete der Veränderlichen x keine von Cjj verschiedene wesentliche singulare Stelle besitzen, so gilt dies auch von der Function fj.{x] c^); für diese aber ist in Folge der Voraussetzung,

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG-LEFFLER. 199

dass f{x) n wesentliche singulare Stellen besitze, q nothwendig eine solche Stelle.

Zu bemerken ist, dass nicht zwei der Functionen

f^{x;c^), ... f„{x;cj

eine gemeinschaftliche Unendlichkeits - Stelle haben.

Der im Vorstehenden mit Hülfe des in (1.) mitgetheilten Mittag -Leffier'- schen Theorems begi-ündete Satz ist in meiner Abhandlung bloss für den Fall bewiesen worden, wo die Function f{x) ausserwesentliche singulare Stellen entweder gar nicht oder nur in endlicher Anzahl besitzt. (S. § 5 d. g. Abhdlg.)

Stellt man jede der Functionen f^{x- c,) in der oben (3, B) angegebenen Gestalt dar, so ergiebt sich ein neuer allgemeiner Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function f{x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmtlich ratio- nale Functionen der Veränderlichen x sind. Diese Reihe convergirt gleich- massig für alle Werthe von x, welche einem Bereiche angehören, der weder im Innern noch an der Grenze eine der singulären Stellen der Function f{x) enthält.

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 12. August 1880.)

Im Nachstehenden theile ich einige auf unendliche Reihen, deren Glieder

rationale Functionen einer Veränderlichen sind, sich beziehende Untersuchungen

lit, welche hauptsächlich den Zweck haben, gewisse, bisher — so viel ich

reiss — nicht beachtete Eigenthümlichkeiten, die solche Reihen darbieten

tonnen und deren Kenntniss für die Functionenlehre von Wichtigkeit ist,

lar zu stellen.

1.

Es seien unendlich viele rationale Functionen einer Veränderlichen x in )estimmter Aufeinanderfolge gegeben:

)ie Gesammtheit derjenigen Werthe von a;, für welche die Reihe

leinen endlichen Werth hat, nenne ich den Convergenzbereich dieser Reihe. ^ässt sich ferner für eine bestimmte Stelle a dieses Bereichs eine positive [Grösse Q so annehmen, dass die Reihe für die der Bedingung

\x — a\^^Q TL 26

202 ZUR rUNCTIONENLEHRE.

entsprechenden Werthe von x gleichmässig*) convergirt, so will ich sagen, die Reihe convergire gleichmässig in der Nähe der Stelle a. Die Grösse q hat dann eine obere Grenze; ist diese i2, so möge — in Beziehung auf die betrachtete Reihe — die Gesammtheit derjenigen Werthe von ic, für welche

I a; — a I <; i?

ist, die Umgebung von a, und R deren Halbmesser genannt werden. Nimmt man in dieser Umgebung eine Stelle beliebig an, so ist klar, dass auch in der Nähe der letzteren die Reihe gleichmässig convergirt. Daraus ergiebt sich, dass, falls überhaupt Stellen vorhanden sind, in deren Nähe die Reihe gleichmässig convergirt, die Gesammtheit dieser Stellen in der Ebene der Veränderlichen x durch eine zweifach ausgedehnte Fläche repräsentirt wird, welche aber aus mehreren, von einander getrennten Stücken bestehen kann.

*) Eine unendliche Reihe

OD

r = o

deren Glieder Functionen beliebig vieler Veränderlichen sind, convergirt in einem gegebenen Theile (B) ihres Convergenzbereichs gleichmässig, wenn sich nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse S stets eine ganze positive Zahl m so bestimmen lässt, dass der absolute Betrag der Summe

CO

S/;,

für jeden Werth von n , der ^ m , und für jedes dem Bereiche B angehörige "Werthsystem der Veränder- lichen kleiner als 8 ist. Soll die Reihe in demselben Bereiche zugleich unbedingt convergent sein , d. h. bei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth haben, so muss es, wie man auch 8 annehmen möge, stets möglich sein, aus der Reihe eine endliche Anzahl von Gliedern so auszusondern, dass die Summe von beliebig vielen der übrigbleibenden für jedes der betrachteten Werthsysteme der Veränderlichen kleiner als S ist. Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn es eine Reihe bestimmter positiver Grössen

S'oi du 9iy ■•■

giebt, für die sich feststellen lässt, dass an jeder Stelle des Bereichs B

\fv\^gv, (v = o,...oo)

und die Summe

r = o

einen endlichen Werth hat. — Aus der gegebenen Definition der gleichmässigen Convergenz folgt u. A. unmittelbar, dass, wenn die betrachtete Reihe in mehreren Theilen ihres Convergenzbereichs gleichmässig convergirt, dasselbe auch für den aus diesen Theilen zusammengesetzten Bereich gut.

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

203

Angenommen nämlich, es gebe überhaupt Stellen der in Rede stehenden Art, deren Gesammtheit mit A bezeichnet werde, so denke man sich eine von ihnen willkürlich angenommen, in der Umgebung derselben eine beliebige zweite, in der Umgebung dieser eine dritte, u. s. w. Die Gesammtheit der Stellen von A, zu denen man auf diese Weise gelangen kann, ist dann ein in der Ebene der Grösse x durch ein zusammenhangendes Stück derselben repräsentirtes Continuum {AJ, dessen Begrenzung aus einzelnen Punkten, aus einer oder aus mehreren Linien, und auch aus einzelnen Punkten und Linien zugleich bestehen kann. Möglicherweise existiren nun ausserhalb A^ noch Stellen von A, dann giebt es mindestens noch ein zweites Continuum (A^) von derselben Beschaffenheit vde A^, das ebenfalls ein Bestandtheil von A ist und mit A keine Stelle gemeinschaftlich hat — was jedoch nicht aus- schliesst, dass die Begrenzungen von A^ und A^ theilweise oder ganz zu- sammenfallen. Existiren ferner noch Stellen von A, die weder in A^ noch in A liegen, so giebt es mindestens noch ein drittes Continuum (AJ von derselben Beschaffenheit wie A^, A^, das gleichfalls ein Bestandtheil von A ist und mit den beiden ersten keine Stelle gemein hat. U. s. w.

Nachdem so festgestellt ist, wie der Bereich A möglicherweise gestaltet ist, kann leicht an Beispielen gezeigt werden, dass die angegebenen verschie- denen Fälle auch wirklich vorkommen. Es genügt hier die beiden Reihen

I

00 "/IN

anzuführen. Für die erstere bilden den Bereich A alle diejenigen AVerthe von X, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 sind, für die andere ausser denselben Werthen auch alle diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach gi-össer als 1 sind; es besteht also A in dem ersten Falle aus einem zusammenhangenden Stücke, in dem anderen aus zwei solchen Stücken, die keine Stelle gemein haben. Beispiele von Reihen der hier betrachteten Art, für welche der Bereich A aus mehr als zwei Stücken besteht, werden später vorkommen.

Es ist ferner noch Folgendes nachzuweisen.

Angenommen, es convergire die betrachtete Reihe gleichmässig in der Nähe jeder Stelle, die im Innern oder an der Grenze eines gegebenen zu-

26*

204 ■* ZUR FUNCTIONENLEHRE.

sammenhangenden Bereichs (B) liegt, so convergirt sie auch in dem ganzen Bereiche gleichmässig.

Sind a, a irgend zwei Stellen des Bereichs J., von denen a in der Um- gebung von a liegt, und ist IR, der Halbmesser der letzteren, D = |a'— a| der Abstand der beiden Stellen, so folgt aus den gegebenen Definitionen unmittel- bar, dass der Halbmesser (22') der Umgebung von a nicht kleiner als R — D sein kann. Ist J) < |JB, so ist also R'>\R^ und es liegt a in der Um- gebung von a'; mithin muss R> R'—D sein, R' also zwischen

B-D und R + D

liegen. Wenn daher die Stelle a in ^ ihre Lage stetig ändert, so ändert sich auch der zugehörige Werth von R stetig. Daraus folgt weiter, dass die untere Grenze -R„ derjenigen Werthe von R, die diese Grösse im Bereiche B annehmen kann, mindestens an einer im Innern oder an der Grenze dieses Bereiches liegenden Stelle wirklich erreicht wird, und dass daher R^ nicht gleich Null ist. Deshalb kann B in eine endliche Anzahl von Theilen der- gestalt zerlegt werden, dass in jedem einzelnen Theile der grösste Abstand zweier Stellen kleiner als R^ ist. Jeder solcher Theil liegt dann ganz in der Umgebung einer in ihm willkürlich angenommenen Stelle; für die demselben angehörigen Werthe von x convergirt also die betrachtete Reihe gleichmässig, woraus nach dem oben Bemerkten die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes sich unmittelbar ergiebt.

Eine Reihe der in Rede stehenden Art kann so beschaffen sein, dass sie in der Nähe jeder im Innern ihres Convergenzbereichs liegenden Stelle gleichmässig convergirt. Im Folgenden werde ich ausschliesslich Reihen von dieser Beschaffenheit untersuchen. Wenn man nämlich von der Reihe

v = o

nur weiss, dass es im Gebiete der Veränderlichen x einen zusammenhangenden Bereich giebt, in welchem die Reihe convergirt, so lässt sich daraus allein nicht einmal folgern, dass ihr Werth in demselben Bereiche eine stetige Function von x sei. Macht man aber die angegebene Voraussetzung, so lässt sich zeigen, dass die Reihe in jedem der im Vorstehenden definirten Stücke (A^,...) ihres Convergenzbereiches im Allgemeinen einen

ZUR FUNCTIONETsLEHRE. 205

jindeutigen Zweig einer monogenen analytischen Function von j, und in besondern Fällen eine solche Function vollständig larsteilt.

Hierzu ist ein Hülfssatz erforderlich, den ich zunächst anführen und be- weisen will.

2.

»Es seien unendlich viele Potenzreihen einer Veränderlichen x^ welche Potenzen dieser Grösse mit ganzen, positiven und negativen Exponenten in beliebiger Anzahl enthalten, in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben:

P», I\{x), P,{x), ...;

und es sei möglich, zwei reelle Grössen R, R', von denen !?'> 12, jR>0 ist, so anzunehmen, dass für die der Bedingung

E<\x\<.R'

entsprechenden Werthe von x nicht nur jede einzelne der gegebenen Reihen, sondern auch die Summe

v = o

convergirt, und zwar die letztere für alle diejenigen Werthe der Veränder- lichen, die denselben absoluten Betrag haben, gleichmässig. Dann hat, wenn

^/» ^der Coefficient von af in P^(a;) ist, die Summe

ifür jeden Werth von ;* einen bestimmten endlichen Werth, der mit A be- zeichnet werde, und es lässt sich zeigen, dass für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag grösser als JK und kleiner als R' ist, die Reihe

convergirt und die Gleichung

± F,[x) = S^^^" besteht.«

206

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

Es sei r irgend eine bestimmte, zwischen i2 und iJ' enthaltene positive Grösse, und Ä; eine beliebige andere, so kann in Folge der hinsichtlich der Convergenz der Reihe

gemachten Voraussetzung eine ganze positive Zahl m so angenommen w^erden, dass für jeden Werth von a;, dessen absoluter Betrag gleich r ist, und für jede ganze Zahl «, die ^»w, der absolute Betrag der Summe

kleiner als jÄ, und deshalb für jede Zahl n\ die >w,

S ^v(^)

;Ä

ist. Man hat aber

und es ist deshalb nach einem bekannten Satze*) für jeden ganzzahligen Werth von fi

Demgemäss hat die Summe

syir

einen bestimmten endlichen Werth, der mit A bezeichnet werde. Nun nehme man zwei positive Grössen r, r^ so an, dass

i? < »"i < >■ < r, < 2?',

so kann man der Zahl n einen solchen Werth geben, dass

auch kleiner als jede der beiden Grössen

*) [S. Anmerkung 1, S. 224 dieses Bandes.]

I

ZUR FÜNCTIONENLEHRE.

207

ist; woraus folgt:

s^r

MT,

^Ä':A<lcr-\

Hiernach hat man, wenn

2 A™ -^M I S -^u

W A"

gesetzt, und der Veränderlichen x ein Werth, dessen absoluter Betrag gleich r ist, beigelegt wird,

+00 / y-y

,n = 0 \ ^'ä /

+ 00

s

^;^''

und somit

+tn

s

fi ^— CO

ÄX

Die Reihe

ist also unbedingt convergent, und da

^ v=:0

so gilt dasselbe auch von der Reihe

Man hat femer

1

^A^x"

2 PM-1,\^'' - S J°.(^)-S4'^^

tmd somit

2P.(^)-SA^''

Da man nun für jeden bestimmten Werth von x, dessen absoluter Betrag (r) zwischen R und R' enthalten ist, zunächst r^, r^ tier angegebenen Bedingung gemäss, und dann k so annehmen kann, dass

\r-r^ r,-r J

208 ZUR FUNCTIONENLEHRE,

kleiner ist als eine beliebige gegebene Grösse, so folgt, dass für'jeden der

Bedingung

i? < I a; I < iJ'

entsprechenden Werth von x nicht nur die Reihe convergirt, sondern auch die Gleichung

besteht; w. z. b. w. Es sei jetzt

F{x)=^Ux)

ii-gend eine Reihe von der am Schlüsse des § 1 angegebenen Beschaffenheit, und es werde mit A' eines der Stücke bezeichnet, aus denen nach der voran- gegangenen Auseinandersetzung der Convergenzbereich der Reihe besteht.

Nimmt man dann in Ä eine Stelle a„ willkürlich an, und beschränkt die Veränderliche x auf die Umgebung von a^, so lässt sich nicht nur jede der Functionen f^(x), sondern nach dem vorhergehenden Satze auch die Summe derselben durch eine gewöhnliche Potenzreihe von x — a^, die mit

bezeichnet werde, und die ich ein »Element« der Function F{x) nenne, aus- drücken. *)

Nimmt man ferner in der Umgebung von a^ eine zweite Stelle (aj an, und ist ^t(^— «,) das zu dieser gehörige Element von F{x), so hat man für

*) Hierzu bemerke ich, dass nach dem Satze des § 2 der Coefficient von (x— a,,)'* gleich

1 "

(j: = ao)

ist. Die Function F(x) hat also in A' Ableitungen jeder Ordnung, und es ist

clfF{x) _ Ä dJ^Ujx)

Es ist ferner leicht zu zeigen, dass auch die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung in der Nähe jeder Stelle von A' gleichmässig convergirt, und somit dieselbe Beschaffenheit wie die gegebene hat.

ZUE FUNCTIONENLEHRE. 209

diejenigen Werthe von x, die in der Umgebung von a^ sowohl als von a liegen,

% {X - a,) = %{x- aj , ^,{x-a,) = ± $r K - ««) ^-^ , wo

Daraus folgt, dass der Coefficient von {x — a^Y i^^ ^i(* — <^i) J^it dem ent- sprechenden Coefficienten der Entwicklung von '^^{x — a^) nach Potenzen von (rc — aj übereinstimmen muss.

Nun kann man, wenn a eine beliebige Stelle in Ä ist, zwischen a^ und a eine Reihe von Stellen

a, , «j , ... a„

so einschalten, dass a^ in der Umgebung von a^, a^ in der Umgebung von a , u. s. w., und schliesslich a in der Umgebung von a^ liegt. Dann hat man, wenn

die zu den Stellen a^, a^, ... a^, a gehörigen Elemente der Function F{x) sind,

f< = 0 ft 1

u. s. w.,

1^

/1=0 ft

Es besteht also in dem Bereich A zwischen den Elementen der be- trachteten Function ein solcher Zusammenhang, dass aus einem beliebig angenommenen Elemente jedes andere durch ein bestimmtes Rechnu.ngsver- fahren abgeleitet werden kann. Für die dem genannten Bereich angehörigen Werthe von x ist also die Function völlig bestimmt, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Möglicherweise erstreckt sich , wenn die Stelle a der Begrenzung von Ä hinlänglich nahe angenommen wird, der Convergenzbezirk der Reihe '^{x — a) über A hinaus. In diesem Falle (der sogar der gewöhnliche ist)

n. 27

210 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

existiren unendlich viele, aus ^o(« — «<,) durch das beschriebene Verfahren ableitbare Potenzreihen ^'(x — a), deren Convergenzbezirke ganz oder theil- weise ausserhalb Ä liegen, und aus diesen können dann möglicherweise durch dasselbe Verfahren wieder andere sich ergeben, welche in ihrem Con- vergenzbezirk auch Stellen von Ä enthalten, aber an diesen andere Werthe als F{x) haben. Alle diese Reihen stellen Fortsetzungen der durch die ge- gebene Reihe F(x) zunächst für die dem Bezirk A' angehörigen Werthe von X definirten Function dar; sie sind, nach der in meinen Vorlesungen über die Anfangsgründe der allgemeinen Functionenlehre eingeführten Termino- logie, sämmtlich Elemente einer monogenen analytischen Function, die eindeutig oder mehrdeutig sein kann, aber als vollständig definirt zu be- trachten ist, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Wenn der Convergenzbereich der Reihe ^(x — a), wie man auch a an- nehmen möge, stets ganz in A' enthalten ist, so kann die durch den Aus- druck F{x) für den Bereich A' definirte Function über die Grenzen dieses Bereichs nicht fortgesetzt werden. Es stellt also in diesem Falle — der wirklich vorkommt, wie weiter unten wird gezeigt werden — die Reihe, wenn die Veränderliche x auf den Bereich A' beschränkt wird, eine ein- deutige monogene Function von x vollständig dar.

Hiernach lässt sich das im Vorstehenden Auseinandergesetzte kurz so, wie am Schlüsse von § 1 geschehen ist, zusammenfassen.

Hieran knüpft sich nun eine für die Functionenlehre wichtige Frage.

Angenommen, der Convergenzbereich der betrachteten Reihe bestehe aus mehreren Stücken (A^,A^,...), so ist es möglich, dass sie in denselben Zweige einer und derselben monogenen Function darstellt. Es fragt sich nun, ob sich dies in allen Fällen so verhält. Muss diese Frage verneint werden, wie dies wirklich der Fall ist, so ist damit bewiesen, dass der Begriff einer monogenen Function einer complexen Veränder- lichen mit dem Begriff einer durch (arithmetische) Grössen- operationen ausdrückbaren Abhängigkeit sich nicht vollständig deckt.*) Daraus aber folgt dann, dass mehrere der wichtigsten Sätze der

*) Das Gegentheil ist von Riemann ausgesprochen worden (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, §20, am Schluss), wobei ich bemerke, dass eine Function eines complexen Arguments, wie sie Riemann definirt, stets eine monogene Function ist.

ZUR FUNCTIONENLEHRE. 211

neueren Functionenlehre nicht ohne Weiteres auf Ausdrücke , welche im Sinne der älteren Analysten (Euler, Lagrange u. A.) Functionen einer complexen Veränderlichen sind, dürfen angewandt werden.*)

Ich habe bereits vor Jahren gefunden — und in meinen Vorlesungen mitgetheilt — , dass die oben angeführte Reihe

^W =.l.(yTi-)'

deren Convergenzbereich aus zwei Stücken besteht, zwei verschiedene mono- gene Functionen, und zwar eine jede vollständig darstellt.

Ist nämlich x^ irgend ein Werth von x, der den absoluten Betrag 1 hat, so lässt sich — mit Hülfe von Sätzen, welche die Theorie der linearen Transformation der elliptischen 9-Functionen liefert — zeigen, dass sich sowohl unter denjenigen Werthen von ic, für die |a;|<l, als auch unter denen, für die |a;|>l, in jeder noch so kleinen Umgebung von x^ solche finden, für die der absolute Betrag von F{x) jede beliebig angenommene Grösse übertrifft.**) Daraus folgt sofort, dass die Reihe in jedem der beiden Stücke ihres Convergenzbereichs eine Function darstellt, die über die Be- grenzung des Stückes hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

Es blieb indessen, obwohl dies eine Beispiel zur Erledigung der in Rede stehenden Frage ausreichte, noch ein Bedenken übrig.

Die beiden durch die angeführte Reihe ausgedrückten Functionen stehen in einer sehr einfachen Beziehung zu einander, indem F{x-') = F{x)

*) Wenn z. B. zwei Ausdrücke

i; frioö), S fr{x)

der hier betrachteten Art gegeben sind, und sich zeigen lässt, dass es in der Nähe einer bestimmten, im Innern des Convergenzbereichs sowohl des einen als des andern liegenden Stelle unendlich viele Werthe von X giebt, für welche die Ausdrücke gleiche Werthe haben, so ist damit festgestellt, dass innerhalb eines bestimmten zusanunenhängenden Bereichs der Veränderlichen x die Gleichung

r=:o f = 0

besteht; es lässt sich aber nicht behaupten, dass dieselbe an allen Stellen des gemeinschaftlichen Con- vergenzbereichs der beiden Reihen gelte, wofern nicht der Nachweis geführt werden kann, dass beide Ausdrücke in dem genannten Bereich monogene Functionen sind. **) [S. Anmerkung 2, S. 226 dieses Bandes.]

27*

I

212 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

ist. Es war daher der Gedanke nicht abzuweisen, ob nicht überhaupt in dem Falle, wo ein arithmetischer Ausdruck F(x) in verschiedenen Theilen seines Geltungsbereichs verschiedene monogene Functionen der complexen Veränderlichen x darstellt, unter diesen ein nothwendiger Zusammenhang be- stehe, der bewirke, dass durch die Eigenschaften der einen auch die Eigen- schaften der andern bestimmt seien. Wäre dies der Fall, so würde daraus folgen, dass der Begriff der monogenen Function erweitert werden müsste.

Um jeden Zweifel über diesen Punkt zu beseitigen, habe ich mir die Aufgabe gestellt, einen Ausdruck

F{x) ^ ± Ux)

von der hier angenommenen Beschaffenheit, der den folgenden Bedingungen genüge, zu bilden: Der Convergenzbereich der Reihe soll aus n Stücken (J.,, A^,...AJ), wie sie oben definirt worden sind, bestehen, und es soll F(x) in A^ gleich -F,(«), in A^ gleich F^{x), ... in A^ gleich F^{x) sein, wo F^{x\ F^(x) , . . . F^{x) willkürlich anzunehmende, für das ganze Gebiet der Veränderlichen x, mit Ausnahme von einzelnen Stellen, definirte eindeutige und monogene Functionen bedeuten.

Zur Lösung dieser Aufgabe stelle ich zunächst einen Ausdruck von der angegebenen Form her, welcher in der Nähe jeder Stelle, wo der reelle Theil von X nicht gleich Null ist, gleichmässig convergirt und den Werth

+ 1 oder —1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist. Formeln, die in der Theorie der elliptischen Functionen vorkommen, führen zu einem solchen Ausdruck. Bei der nachstehenden Herleitung desselben habe ich jedoch absichtlich aus der genannten Theorie nichts vorausgesetzt.

Nimmt man zwei endliche und von Null verschiedene complexe Grössen (o), (1)') so an, dass der reelle Theil des Quotienten

^Kicht gleich Null ist, und versteht unter v, v' unbeschränkt veränderliche ganze Zahlen, so hat bekanntlich die Summe

2'|2i/(ü + 2vV|-'

v,v'

einen endlichen Werth, wenn bei der Summation dasjenige Glied, in welchem V, v beide gleich Null sind, fortgelassen wird.*) Es stellt deshalb — wie in § 2 meiner Abhandlung »Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen«**) gezeigt worden ist — die Reihe

M f^'lu — 2vuy — 2v'iu' \ 2v(o + 2v lu' / y

die bei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth hat, eine ein- deutige analytische Function der Veränderlichen u — mit der einen wesent- lichen singulären Stelle co — dar, welche Function hier mit

bezeichnet werden möge.

Mit Hülfe der bekannten Gleichungen

TCCtgMU — — + S'( + ~)>

° U r \U — V V)

IT (ctg MIT — ctg «tc) = 2( li wenn a keine ganze Zahl,

VsinMTc/ y (u — vf '

t. _ V'± 3 ~ ^ v^

lässt sich der vorstehende Ausdruck von (}>(«, u), to') folgendermassen um- gestalten. Es ist

<}<(m,w,o/) = -+2'(j^_2i,u,_2vV + 2v(u+2vV ^ (2i/u> + 2vV)' j'

*) Durch das dem 2 beigefügte Zeichen (') soll hier und im Folgenden darauf hingewiesen werden, dass unter den Werthen , die der Ausdruck unter dem Summenzeichen annehmen kann , sich einer findet, der = OD ist und bei der Summation fortgelassen werden muss. ♦*) [S. 92 dieses Bandes.]

214 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

Die Summe aller Glieder dieser Reihe, in denen v den Werth NuH hat, ist

1 \2o) ,/ 1 I ^ V I ^ -y' ^ IT Mit TT*

\^ ^ /)

* ZU) '

Femer die Summe aller Glieder, in denen v einen bestimmten, von Null . verschiedenen Werth hat,

1 -s/ "^ ^— \ + -^y /— i— \

2m^[ U-2v'm' v'm' 1^4«"'^ vV

\ ^(U O) / \ 0) J

TZ l , M — 2i;'(u' , v'to' \ = TT- ctg u + ctg 71 +

ZU) \ ZCO O) /

UM

4u> sm I irj

Man hat also

, , ,, 7t MTC TT / M— 2v'o)' , , v'm \

4»(M,0),(o) = -5— CtgX-+ir— 2 ctg ;r It+Ctg 1t

(1 . .j/v'iu' \\ Mit'

oder auch, wenn man, unter n eine ganze positive Zahl verstehend, setzt,

, , ,. riM it , Mit it J^ / , M— 2na)' . U+2nm' \

<^{u,m,io) = -'-+7r-ctg-5— + -— 2 ctg 11 + ctg it)-

'^ ' 0) 2u) ° 2o> 2o) „ = i\ ° 2<u ° 2co /

Aus dieser Gleichung ergiebt sich

(ji(M+ 2(1), (1), to') = (}((m, «), ü)') + 2y),

und hieraus, wenn man «* = —<« setzt und bemerkt, dass ^(u,(o,{o') eine un- grade Function von u ist,

Tj = <j;(u),o),u)').

Man erhält also aus dem vorhergehenden Ausdruck von ^(e*, w, u)'), wenn man in demselben

M = O)'

nimmt,

o)'^(u), u), ü)') — o)<}i(«u', tu, u>')

It ^ o)'it It " / ^ (2n— 1)0)' ^ (2n + l)<u' \

ZUR FUNCTIONENLEHRE. 215

Man hat aber, wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist,

TT , tü'it IT ™ / , (2w-l)<o' , (2w + l)a)' \ IC , (2m + l)m'

es ist also der Ausdruck auf der rechten Seite der vorhergehenden Gleichung gleich der Grenze, der sich

(2w + l)u)' (2OT+1)»)'

,_ ,s » 2u)i , 2u)i TU (2m + l)(a _ ^ +_£ m_

~"2 ^^ 2^ '^ ~ (2ot + 1)u>'_^ (2m+l)u)'^ ' 2

2ui2 2(ui

e —e

nähert, wenn m unendlich gross wird. Diese Grenze aber hat den Werth

— oder--

jenachdem der reelle Theil von -^ positiv oder negativ ist.

Es geht femer aus dem ursprünglichen Ausdruck von 4»(^«, a),(o'), da der- selbe sich nicht ändert, wenn man gleichzeitig

v' für V, und —v für v' setzt, die Gleichung

hervor. Man hat also

Tri

0)'(j<((ü, (1), O)') — U)<}l(u)', O)', — (u) = — -^)

wo das obere oder das untere Zeichen gilt, jenachdem der reelle Theil von -^ positiv oder negativ ist.

Es gilt femer, wenn c eine beliebige Grösse ist, die Gleichung

(}/(m, o), w') = C(j;(cM, Ca), CO)'),

woraus sich, wenn c = — gesetzt wird, ergiebt. Ebenso ist

<|;(a)',a>',-o)) = -^ <}- ^1, 1, - ^j,

216 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

Tind man hat also

w ml

Setzt man nun

(1)

: = X .

tui

SO dass X eine complexe Grösse ist, welche jeden Werth, dessen reeller Theil nicht gleich Null ist, annehmen kann, und

80 ist

y_(oo) =-ix + X-') + - 2' [^i_2v-2v'xi)i2v + 2v'xiy)

+ 1 V' ( ^ ]

■K ^>\{l-2v-2v'x-H){2v+2v'x-Hyj

ein in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmt-

lich rationale Functionen von x sind, dargestellter Ausdruck

und hat den Werth j

+ 1 oder — 1 ,

jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Man nehme nun im Gebiet der Grösse x einen ganz im Endlichen liegenden Bereich (X) so an, dass weder im Innern noch an der Grenze desselben der reelle Theil von x gleich Null wird; so lässt sich leicht zeigen, dass die vorstehende Reihe innerhalb dieses Bereiches unbe- dingt und gleichmässig convergirt.

Man setze

w = 2v + 2v'xi , so dass

ist. Versteht man nun unter k den kleinsten Werth, den der absolute Betrag der Grösse

für reelle Werthe der Veränderlichen e, e', |, |' unter der Bedingung, dass

ss + ee =1

ZUK FUNCTIONENLEHRE.

217

sein und | + S'i im Innern oder an der Grenze von X liegen soll, annehmen kann; so ist k nicht gleich NuU, und man hat

\w\>2k \jvv + v'v'

1 1- m; I > ifc \/(2v-l)'+ 4v'v'

für jeden nicht ausserhalb des Bereichs X liegenden Werth von x. Es ist aber für jede ganze Zahl v

(2v-l)'>v', also

{2v — 1 )' + Av'v' > i/y + v'v',

und somit

1

(1 — w) w^

_^ {vv + v'v') = 4F

Hiemach ist jedes Glied der Reihe, durch welche i^{'i,\^xi) dargestellt wird, seinem absoluten Betrage nach kleiner oder höchstens eben so gross als das entsprechende Glied der Reihe

i + X

{vv + v'v')

Damit ist bewiesen, dass die

welche bekanntlich eine endliche Summe hat. erstgenannte Reihe für die dem Bereiche X angehörigen Werthe von x un- bedingt und gleichmässig convergirt.

Es ist aber, wenn x in X angenommen wird, der Bereich der Grösse

L— ebenfalls so beschaffen, dass weder im Innern noch an der Grenze desselben

* 1 .

ier reelle Theil von — gleich Null wird. Daher convergirt auch der Aus-

ick von (j^M,l,^j für die dem betrachteten Bereiche angehörigen Werthe

^von X unbedingt und gleichmässig. Dasselbe gilt also auch für die Reihe,

I' durch welche -^ix) dargestellt ist.

Es möge noch bemerkt werden, dass man in der Reihe ({^(1, l,a:i), weil

ieselbe unbedingt convergent ist, je zwei Glieder, in denen v denselben, v'

kber entgegengesetzte Werthe hat, in eines zusammenziehen kann, wodurch

lan, wenn unter n eine ganze positive Zahl verstanden wird.

^(l,\,xi) = 1 + S'

n.

1 1 j (6v-l)n'x'-{2v-l)v^

4:v'{l-2v) ■*" 2 ^■\{4:n'x'+(2v-l)'){n'x'+v'y

28

218 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

erhält. Die Glieder der so umgeformten Reihe sind rationale Functionen von X, welche rationale Coefficienten haben und nur für solche Werthe von x, deren reeller Theil gleich Null ist, unendlich gross werden. Als Summe von ebenso beschaffenen Gliedern lässt sich also auch xi^) ausdrücken.

Nun sei x eine beliebige rationale Function von », und es werde

gesetzt, so dass Xi(^) ebenfalls eine Summe von unendlich vielen rationalen

Functionen der Veränderlichen x ist. In der Ebene der letzteren Grösse

werden dann diejenigen Werthe derselben, für welche der reelle Theil von

x' verschwindet, durch eine reelle algebraische Curve repräsentirt , welche die

Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt, dass der reelle Theil von x' in

einigen Stücken überall positiv, in den andern überall negativ ist. In den

ersteren hat also X:(*) überall den Werth +1, in den andern überall den

Werth -1.

Nimmt man beispielsweise

, ax + 3

yx+d

an, wo a, ß, y, S Constanten bedeuten, deren Wahl keiner andern Beschränkung unterliegt, als dass uS — ßy nicht gleich Null sein darf, so ist die genannte Curve bekanntlich ein Kreis,*) und es können a, ß, y, d so bestimmt werden, dass dieser Kreis ein gegebener wird und der reelle Theil von x' für einen gegebenen Punkt ein vorgeschriebenes Zeichen hat.

Nun seien F^(x), F^(x) irgend zwei eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen. Dann lässt sich, wenn

gesetzt wird, der Ausdruck

*) Dies gilt allgemein, wenn man eine unbegrenzte Gerade als einen Kreis mit unendlich grossem Eadius betrachtet.

ZUK FUNCTIONENLEHRE. 219

in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, umformen, und diese stellt in dem einen der beiden Theile, in welche das Gebiet der Veränderlichen x durch den genannten Kreis zerlegt wird, die Function -F,(«), in dem andern Theile dagegen die Function F^{x) dar.

Nimmt man ferner in der Ebene der Grösse x beliebig viele Kreise (oder unbegrenzte Geraden)

K', K", ... A''"

willkürlich an, und bestimmt r lineare Functionen von x

~.i ~" ™(r)

JU ^ t/U y . * t tfj

so, dass der reelle Theil von x'^^ in der Linie Ä*'' verschwindet, so wird die Ebene durch die genannten Linien in eine gewisse Anzahl von Stücken der- gestalt zerlegt, dass der reelle Theil einer jeden Function a?* innerhalb eines solchen Stückes überall dasselbe Zeichen hat. Sind dann

eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singu- lärer Stellen, und setzt man

/..(•^) = X(^*), a=l,...r)

80 kann der Ausdruck

%,{x) + %,{x) x,{x) + ^,{x) x.(a;) + • • • + %,{x) Xr(^)

ebenfalls in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, umgeformt werden, und diese Reihe hat dann die Eigenthümlichkeit dass sie zwar innerhalb eines jeden der Stücke, in welche die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer bestimmten monogenen Function darstellt, in ver- schiedenen Stücken aber Zweige verschiedener Functionen.

Sind z. B. K\ K", . . . K'" Kreise , von denen keiner einen andern um- schliesst, so wird durch dieselbe die Ebene in {r + l) Stücke zerlegt; und wenn man die Function ic* so bestimmt,*) dass ihr reeller Theil im Mittel-

*) Ist T)^ der Radius des Kreises K'-^\ und a^ der Werth von x im Mittelpunkt desselben, so kann man

rx+a^—x

^h - *'A-«A+^

setzen.

28'

220 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

punkt von JK^^' positiv ist, so liefert der Ausdruck

^1 = 1

der mit dem vorstehenden übereinstimmt, wenn unter F {x), F^{x)^ ... F (ic) ebenfalls eindeutige Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher sin- gulärer Stellen verstanden werden, eine Reihe von der in Rede stehenden Eigenthümlichkeit , indem dieselbe, wenn x innerhalb der von Ä"'^' begrenzten Kreisfläche angenommen wird, gleich F^{x), und wenn x ausserhalb aller dieser Flächen liegt, gleich F^_^_^{x) ist, also innerhalb eines jeden der (r + l) Stücke, worin die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer willkürlich anzu- nehmenden Function von der hier vorausgesetzten Beschaffenheit darstellt.

Ein anderes Beispiel erhält man, wenn die Kreise K\ K", ... K'" so an- genommen werden, dass jeder der (r— 1) ersten von dem folgenden umschlossen, und somit die Ebene durch sie gleichfalls in (r + l) Stücke zerlegt wird. Dann hat nämlich der Ausdruck

i (F,{x) + F,^M) + Y i {F,(x)-F,^,{x)) xxix)

die Eigenschaft, dass er innerhalb eines jeden der genannten Stücke gleich einer der Functionen F^{x), F^(x), ... F^_^^{x) ist. (Ein besonderer Fall ist der, wo an die Stelle der r Kreise r einander parallele gerade Linien treten.) Scheidet man ferner aus dem Gebiete der Veränderlichen x alle negativen Werthe (mit Einschluss von 0) aus, so existiren bekanntlich*) unendliche, aus rationalen Functionen von x zusammengesetzte Reihen, welche einwerthige Zweige gewisser mehrdeutiger Functionen, wie z. B. logx, x"' (wo m eine be- liebige Constante bedeutet) darstellen und in der Nähe jeder Stelle, die nicht zu den ausgeschlossenen gehört, gleichmässig convergiren. Es können nun in dem Ausdruck

U^) + U^) XÄ^) + S,(^) XÄ^) + -- + S,.(^) Xr(^)

l5o(^)) ^i(*)) %,{^)i ■■■ ^ri^) auch solche Reihen sein, und man erhält dann aus ihm eine gleichfalls aus rationalen Functionen gebildete Reihe, welche in

*) S. die auf die Gauss 'sehen Kettenbrüche und die nach Kugelfunctionen fortschreitenden Reihen sich beziehenden Abhandlungen von Thomö im 66. und 67. Bande des Borchardt'schen Journals.

ZUR FUNCTIONENLEHRE. 221

jedem der Stücke, in die das Gebiet von x diuxh die Linien Ji* und die Strecke der negativen Werthe zerlegt wird, einen einv^^erthigen Zweig einer mehrdeutigen monogenen Function darstellt, in verschiedenen Stücken aber im Allgemeinen Zweige verschiedener Functionen.

Aus diesen Beispielen erhellt zur Genüge, dass die am Schlüsse des § 3 aufgeworfene Frage folgendermassen zu beantworten ist:

"Wenn der Convergenzbereich einer Reihe, deren Glieder rationale Functionen einer Veränderlichen x sind, in der Art in mehrere Stücke zerlegt werden kann, dass in der Nähe jeder im Innern eines solchen Stückes gelegenen Stelle die Reihe gleichmässig convergirt; so stellt dieselbe in jedem einzelnen Stücke einen einwerthigen Zweig einer monogenen Function von x dar, in verschiedenen Stücken aber nicht nothwendig Zweige einer und derselben Function.

6.

Ich habe in meinen Vorlesungen über die Elemente der Functionenlehre von Anfang an zwei mit den gewöhnlichen Ansichten nicht übereinstimmende Sätze hervorgehoben, nämlich:

1) dass man bei einer Function eines reellen Arguments aus der Stetigkeit derselben nicht folgern könne, dass sie auch nur an einer einzigen Stelle einen bestimmten Differentialquotienten, geschweige denn eine — wenigstens in Intervallen — ebenfalls stetige Ableitung besitze;

2) dass eine Function eines complexen Arguments, welche für einen beschränkten Bereich des letzteren definirt ist, sich nicht immer über die Grenzen dieses Bereichs hinaus fortsetzen lasse; und dass die Stellen, für welche die Function nicht definirbar ist, nicht bloss einzelne Punkte, sondern auch Linien und Flächen bilden können.

Da im Vorhergehenden von Functionen einer complexen Veränderlichen, ^enen die unter 2) genannte Eigenthümlichkeit zukommt, die Rede gewesen Bt, so will ich bei dieser Gelegenheit ein leicht zu behandelndes Beispiel ler solchen Function beibringen.

222 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

Angenommen, der Halbmesser des Convergenzbezirks einer gewöhnlichen Potenzreihe

sei gleich 1, die Reihe convergire aber auch unbedingt und gleichmässig für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, so dass, wenn unter t eine reelle Veränderliche verstanden wird,

V = 0

eine stetige Function von t ist.

Im Innern des Convergenzbezirks der Reihe nehme man eine Stelle x^ beliebig an und forme die gegebene Reihe in eine Potenzreihe '^{x — xj u^m. Ist r^ der absolute Betrag von x^, so kann der Halbmesser des Convergenz- bezirks der Reihe '^(x — x^) nicht kleiner als 1— »"o, wohl aber grösser sein. Ist das Letztere der Fall, so liegt ein Theil der Begrenzung des Conver- genzbezirks der gegebenen Reihe ganz im Convergenzbezirke von ^(x — xj, und es besteht, wenn

— ^ = e 0 ist und x. = e r

gesetzt wird, für alle Werthe von t zwischen zwei bestimmten Grenzen (i^— T, ^^ + x) die Gleichung

±Ay' = ^{x,-x,).

r = 0

Nun hat aber ^{x — x^), als Function von x betrachtet, Ableitungen jeder Ordnung, dasselbe gilt also auch von '^{x^—xj, als Function von t betrachtet, für die zwischen t^ — i und i^^ + x liegenden Werthe dieser Grösse. Hieraus folgt nun: Wenn sich in einem bestimmten Falle beweisen lässt, dass die Function

r = o

in keinem Intervalle der Veränderlichen t Ableitungen jeder Ordnung besitzt, so ist daraus zu schliessen, dass der Convergenzbezirk der Reihe ^(a; — a;J, wie man auch x^ annehmen möge, ganz in dem Convergenzbezirk der gege- benen Reihe enthalten ist, die Function also, welche durch diese letztere dar- gestellt wird, über deren Convergenzbezirk hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

223

Nun sei a eine ungrade positive ganze Zahl, h eine positive Grösse, die 1, und a^ = a. Dann erfüllt die Reihe

1=0

[die oben für die betrachtete Reihe gestellten Bedingungen. Es ist aber vo» der Beweis*) geführt worden, dass die Function

00

2 i" cos Cly t ,

v = 0

fcobald ab> I + 'tz ist, für keinen Werth von t einen bestimmten Differential- [quotienten besitzt. Durch die Reihe

v = 0

Iwird also, wenn a&>l + |Tr, eine Function definirt, die nicht über den Con- [vergenzbereich der Reihe hinaus fortgesetzt werden kann, und also ausschliess- ich für solche Werthe von x, deren absoluter Betrag die Einheit nicht über- ^«chreitet, existirt.

Es ist leicht, unzählige andere Potenzreihen von derselben Beschaffenheit vie die vorstehende anzugeben, und selbst für einen beliebig begrenzten Be- reich der Veränderlichen x die Existenz von Functionen derselben, die über iiesen Bereich hinaus nicht fortgesetzt werden können, nachzuweisen; worauf ich jedoch hier nicht eingehe.

Schliesslich möge noch bemerkt werden, dass sich auch in Beziehung ixd zusammengesetztere arithmetische Formen, welche eindeutige monogene Timctionen einer und mehrerer Veränderlichen oder einwerthige Zweige solcher l'unctionen auszudrücken geeignet sind, Untersuchungen anstellen lassen, welche 1er hier für eine der einfachsten Formen durchgeführten analog sind und in ähnlichen Resultaten führen.

*) Dieser Beweis ist von Herrn P. du Bois-Reymond, dem ich ihn brieflich mitgetheilt hatte, im 79. Bande von Borchardt's Journal (S. 30) veröffentlicht. (Ich berichtige bei dieser Gelegenheit zwei a. a. 0. sich findende Druckfehler. Z. 10 v. o. muss es »a;„€ statt »a„«, und Z. 4 v. u. »auchc statt inichtc heissen.) [S. Anmerkung 3, S. 228 dieses Bandes.]

ANMERKUNGEN.

1. Zu S. 206, Z. 13. *)

Den hier angeführten wichtigen Satz beweise ich in meinen Vorlesungen in sehr einfacher Weise.

Ich betrachte zunächst eine Potenzreihe P{x), welche nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält, also die Form

P(x)

v= +m

hat, wo m eine ganze positive Zahl bedeutet.

Es sei I eine bestimmte Grösse, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, und deren Wahl nur der Beschränkung unterliegt, dass 1*, wenn v eine der Zahlen 0, ± 1, ±2, ... im ist, nicht gleich 1 sein darf. Ferner bedeute r eine beliebig anzunehmende positive Grösse, so existirt für den absoluten Betrag von P(x), wenn man der Veränderlichen x nur solche Werthe beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit G bezeichnet werden möge. Dann ist, wenn unter l eine beliebige ganze Zahl verstanden wird,

j s Pin')

G.

Man hat aber

1 '"' , v = +m !-l /1 \

1 ! — £'''

*) [Vgl. auch die Abhandlung „Zur Theorie der Potenzreihen", Bd. I, S. 67 dieser Ausgabe.]

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

225

wo bei der durch das Zeichen 2' angedeuteten Summation der Zahl v alle Werthe von —m bis +m, mit Ausschluss der Null, zu geben sind. Nun kann man aber, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse S, der Zahl l einen so grossen Werth geben, dass der absolute Betrag von

				J?^'	1-1'' 1-r	f
kleiner als	S	wird ;	dann hat	man	<	G + S,
also				Mo	<	G.
Jetzt	sei			P(x)	1	= +00	X

eine beliebige Potenzreihe, welche convergent ist für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag zwischen zwei bestimmten Grenzen jR, R' liegt. Ist dann r eine zwischen R und R' enthaltene, im Übrigen willkürlich anzu- nehmende positive Grösse, so giebt es wieder für den absoluten Betrag von P(ic), wenn man der Veränderlichen x nur solche Werthe beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit g bezeich- net werden möge. Man kann ferner, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, eine ganze positive Zahl m so bestimmen, dass für jeden Werth von x^ für den \x\ — r,

S AX <:t^>

I » =— m— 1

ist; dann hat man

also nach dem Bewiesenen

und somit

r =+m v = — «t

IX

S AX

l' = »l+l

■■9 + S,

■g + s

Lässt man femer die Reihe x~'^P{x), wo (i eine beliebige ganze Zahl bedeutet, an die Stelle von P{x) treten, so ist gr~^ die obere Grenze für den absoluten Betrag von x'"'P{x), wenn man der Grösse x nur solche Werthe giebt, deren U. 29

226 ZUR FXnSTTIONENLEHRE.

absoluter Betrag gleich r ist; man hat also

was zu beweisen war.

Für Potenzreihen von mehreren Veränderlichen gilt ein analoger Satz, der sich ebenso elementar wie der vorstehende beweisen lässt.

2. Zu S. 211, Z. 15.

Sind u), u>' zwei complexe Grössen, für welche der reelle Bestandtheil von — T positiv ist, und bezeichnet man die "Werthe, welche die Function p{u\<a, (o) für M = ü), (u + o)', a>' annimmt, beziehüch mit e^, e^, e^, so hat man*)

[^J-(e,-e,) = (l+2h + 2h'+2h''+...y,

•wo

«o'it

h = e

ist. Nimmt man ferner vier ganze, von Null verschiedene Zahlen p, q, p\ q' so an, dass unter ihnen die Relation

pq'-p'q = 1 besteht, und setzt

üi'jt

<ö = j)u) + qio', Vi = p'(a + s'«)', \ ■= e >

so ist, wenn p\ q beide grade, p, q also beide ungrade Zahlen sind, auch

ji>((u|o),u)') = ßj, ga(w + üi'|u),a)') = e,, p(Ä'|a),o)') = 63,

und es gilt die Gleichung

man hat also

Nun sei t eine positive Grösse, und

*) S. die »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, herausgegeben von H. A. Schwarze, S. 43.

ZUR FUNCTIONENLEHRE. 227

SO ist

Lim h = Lim e~ " = 0 ,

Lim/,, = Lime-P+^* =e' ;

es ergiebt sich also, wenn unter x eine Veränderliche, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, verstanden wird, aus der vorstehenden Gleichung, dass der absolute Betrag der Summe

»=i unendlich gross wird, wenn sich x auf einem bestimmten Wege dem Grenz- werthe

I-'

e nähert. Nun kann man aber, wenn x^ irgend eine bestimmte Grösse vom absoluten Betrage 1 ist, die Zahlen Piqip'iq so annehmen, dass dieselben den angegebenen Bedingungen genügen und überdies der absolute Betrag der Differenz

e -x^

so klein wird, wie man wiU; es giebt also in jeder noch so kleinen Umgebung von x^ Werthe der Veränderlichen x^ für welche der absolute Betrag von

1 + 2 S a;*'

r = l

grösser ist als jede beliebig angenommene positive Grösse.

Hieraus ergiebt sich nun ohne Weiteres das, was im Texte bereits von dem Ausdrucke

gesagt worden ist, indem für diejenigen Werthe von ic, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, die Gleichung

gilt.*)

*) C. G. J. Jacobi, Fund, nova § 40, Gl. (4.) und § 65, Gl. (6.).

29*

228 ZUR rUNCTIONENLEHRE.

Dazu bemerke ich noch Folgendes:

Setzt man, unter x eine Grösse verstehend, deren zweite Coordinate nicht gleich Null sein soll,

so hat man, wenn die zweite Coordinate von x positiv ist,

woraus sich die Eelation

ergiebt. Ist dagegen die zweite Coordinate von x negativ, so hat man

<p(t) = (p(-T) = :^9[-j,

also

Hiernach ist also der Ausdruck

in dem einen Theile seines Geltungsbereichs gleich x, in dem andern aber gleich — x; er ist also nicht eine monogene Function von x, imd demzufolge auch F{x) nicht eine monogene Function von x.

3. Zu S. 223, Z. 5.

(Der Beweis befindet sich auf S. 71 — 74 dieses Bandes.) Im 13. Bande des »Jahrbuchs über die Fortschritte der Mathematik« finde ich auf S. 335 in einem Eeferate über Herrn "Wiener's im 90. Bande des Borchardt' sehen Journals erschienene, auf die im Vorstehenden betrachtete Function f(x) sich beziehende Abhandlung die Bemerkung, es sei Herr Wiener durch eine gründliche geometrische und analytische Untersuchung der in Rede stehenden Function zu dem Resultate gelangt, dass die Behauptung, es besitze diese Function an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten, nicht

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

229

durchweg aufrecht erhalten werden könne. Ich entnehme daraus, dass ich im Glauben, Jedermann wisse, was erforderlich ist, wenn eine stetige Function an einer bestimmten Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitzen soll, am Schlüsse des obigen Beweises mich doch zu kurz gefasst haben muss, weswegen ich die folgenden Erläuterungen hinzufüge, welche freilich für die meisten Leser überflüssig sein werden.

Wenn eine stetige Function F{x) der reellen Veränderlichen x an einer bestimmten Stelle {x = x^) einen bestimmten endlichen Differential- quotienten besitzen soll, so ist dazu nothwendig — selbstverständlich aber nicht hinreichend — dass alle Werthe, welche der Quotient

x-x^

lach Festsetzung einer oberen Grenze für den absoluten Betrag der Differenz fiC — iP^ annehmen kann, zwischen endlichen Grenzen enthalten seien. Diese [Bedingung ist für die von mir angegebene Function f(x) niemals erfüllt, wie Iman auch x^ annehmen möge.

Soll ferner F(x) für x = x^ einen bestimmten unendlich grossen EDifferentialquotienten (+00 oder —00) haben, so muss nach Annahme einer [beliebigen positiven Grösse g für den absoluten Betrag von x — x^ eine obere [Grenze sich so festsetzen lassen, dass jeder Werth, den der Quotient

F{x)-F{x„) x-x^

[alsdann erhalten kann, im ersten Falle zwischen g und +00, im zweiten da- gegen zwischen —g und — cx> liegt. Eine nothwendige Bedingung für die

[Existenz eines bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten der Function an der Stelle (x = x^) ist also, dass der Quotient

F{x)-F{x,) x — x^

für alle einer hinlänglich klein angenommenen Umgebung der Stelle x^ an- jehörigen Werthe von x dasselbe Zeichen habe. Auch diese Bedingung ist für die in Rede stehende Function /"(a;), wie gezeigt worden, niemals erfüllt. [ch muss also den Satz, dass die von mir aufgestellte Function an

230 ZUR FUNCTIONENLEHRE.

keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitze, als unbedingt gültig aufrecht erbalten. Die dagegen erhobenen Einwen- dungen beruhen übrigens auf einem leicht aufzuklärenden Missverständnisse. Es ist mit dem Satze gar wohl vereinbar, dass für gewisse Werthe x^ sich eine unendliche Reihe von Werthen x^, x^, x^, . . . so bestimmen lässt, dass Lima; = x ist und zugleich

einen bestimmten Werth erhält. Daraus aber zu schliessen, dass in einem solchen Falle f{x) an der Stelle (x = xj einen bestimmten DifFerential- quotienten besitze, ist ebenso unzulässig, wie es sein würde, wenn man z. B. von der Function

F{x) = X8mix-\ — j

behaupten wollte, sie besitze an der Stelle {x = 0) den Differentialquotienten Null, weil sich, wenn man x^ — — setzt,

Lima;« = 0 und Lim^^ = 0

n = CO « = CO *^n

ergiebt.

ZUR FUNCTIONENLEHRE.

Nachtrag.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 21. Februar 1881.)

In der am 12. August 1880 der Akademie vorgelegten Abhandlung »Zur Functionenlehre« habe ich (in §4) eine aus rationalen Functionen einer Veränderlichen x gebildete unendliche Reihe aufgestellt, welche die Eigen- thümlichkeit besitzt, dass sie den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Obwohl diese Reihe an sich einfach genug ist und für den Gebrauch, den ich von ihr zum Beweise des in § 5 d. g. Abhdlg. gegebenen Hauptsatzes gemacht habe, durchaus geeignet sich erweist, so ist doch ihre Herleitung einigermassen umständlich und setzt mehrere Sätze aus der Theorie der trigo- nometrischen Functionen voraus. Um so interessanter war es mir, kürzlich durch eine briefliche Mittheilung von Herrn J. Tann er y, Professor an der Faculte des sciences zu Paris, der meine Abhandlung in's Französische über- setzt hat, zu erfahren, dass es höchst einfache Reihen ähnlicher Art giebt, Lwelche nicht nur für den angegebenen Zweck dasselbe leisten wie die leinige, sondern vor dieser zugleich den wesentlichen Vorzug haben, dass zu irer Aufstellung und zum Nachweis ihrer charakteristischen Eigenschaft nur lie elementarsten Sätze der Functionenlehre erforderlich sind.

Ich erlaube mir, aus Herrn Tannery's Briefe das Nachstehende mit- itheilen.

232 ZUR FUNCTIONENLEHRE. NACHTRAG.

»Man nehme eine unendliche Reihe positiver ganzer Zahlen

m„, «?.,»?,, ... so an, dass

Lim«?„ =00,

SO ist

T. l + x^" ( + 1, wenn |a;| <!,

Jjim ijT- = { , ,

n=a> 1 — x " ( — 1) wenn |a;l>l.

Man hat aber

l-x"""	l + x"'' l-x""'	H
=	l+x"^" l-x"""	n *=1	(a;'"'-l)(:r'"-'-l) '
H^)-=	1 ^»»0	CO + S	2x'"'-'(x'^'~'"'''-l)

setzt man also

so convergirt die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung für jeden

Werth von a;, dessen absoluter Betrag von 1 verschieden ist, und hat den

Werth

+ 1 oder — 1 ,

jenachdem der absolute Betrag von x kleiner oder grösser als 1 ist. Nimmt man in dem vorstehenden Ausdrucke von i^{x)

m, = 2",

SO erhält derselbe eine besonders einfache Gestalt; es ist dann

. , , 1 + X 2x 2x^ Ix" ^.

■^^ ^ 1 — x X —1 X —1 X —1

*) Ich bin vor nicht langer Zeit darauf aufmerksam gemacht worden, dass sich in einer Abhand- lung des Herrn E. Schröder a. d. J. 1876 (Schlömilch's Zeitschrift für Math. u. Phys., 22. Jahrg. S. 184) die Formel

X

1.1.1.1. )x-l

, wenn | a; | < 1 ,

"^ x^-ar^"^ a^-x-*"^

- + ... =

x—ar'- x'—ar^ x*~ar* x^—ar* ) 1 1 i i

T , wenn \x\> 1 ,

{x—\

findet, woraus sich die im Texte nachgewiesene Eigenschaft der Function ^{x) in dem Falle, wo Wy = 2' ist, unmittelbar ergiebt.

ZUR FUNCTIONENLEHBE. NACHTRAG. 233

I ..„„..„

^V Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die von Herrn Tannery gegebene Reihe in der Nähe jedes Werthes von x, dessen absoluter Betrag nicht gleich 1 ist, gleichförmig convergirt.

Ist ferner x' eine beliebige rationale Function von x, so werden in der Ebene der letzteren Grösse diejenigen Werthe derselben, für die der absolute Betrag von x' gleich 1 ist, durch eine algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt, dass der absolute Betrag von x' in einigen Stücken kleiner als 1, in den andern grösser als 1 ist. Setzt man also

so ist X (x) ein Ausdruck von derselben Beschaffenheit wie der von mir im Anfang des § 5 d. g. Abhdlg. ebenso bezeichnete. Nimmt man insbesondere

i — x

X =

1 + x

80 erhält man einen Ausdruck, der gleich dem von mir mit y^(x) bezeichneten

den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

n. 80

AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875.

... Je mehr ich über die Principien der Functionentheorie nachdenke — und ich thue dies unablässig — , um so fester wird meine Überzeugung, dass diese auf dem Fundamente algebraischer Wahrheiten aufgebaut werden muss, und dass es deshalb nicht der richtige Weg ist, wenn umgekehrt zirr Be- gründung einfacher und fundamentaler algebraischer Sätze das »Transcendente«, um mich kiirz auszudrücken, in Anspruch genommen wird — so bestechend auch aiif den ersten Anblick z. B. die Betrachtungen sein mögen, durch welche Riemann so viele der wichtigsten Eigenschaften algebraischer Functio- nen entdeckt hat. (Dass dem Forscher, so lange er sucht, jeder Weg ge- stattet sein muss, versteht sich von selbst; es handelt sich nur um die syste- matische Begründung.)

Nachdem ich dies mein Glaubensbekenntniss, in welchem ich besonders durch eingehendes Studium der Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen bekräftigt worden bin, vorausgeschickt, gestatten Sie mir, in möglichster Kürze Ihnen aus meiner letzten Vorlesung über Abelsche Func- tionen diejenigen algebraischen Sätze vorzuführen, deren Kenntniss hinreicht, um in dem Resultat Ihrer Untersuchung (betr. den Satz, dass eine algebraische Gleichung zwischen zwei Veränderlichen, wenn sie unendlich viele Trans- formationen in sich selbst zulässt, nothwendig den Rang 1 hat) eine so zu sagen selbstverständliche Wahrheit zu erblicken.

Ist zwischen zwei veränderlichen Grössen x, y irgend eine irreductible algebraische Gleichung gegeben, so nenne ich die Gesammtheit der diese

30»

236 AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE

Gleichung befriedigenden Werthepaare (x, y) das durch die Gleichung definirte Gebilde, jedes einzelne Paar aber eine Stelle (Punkt) dieses Gebildes. Das Nächste ist dann, den Ihnen bekannten BegriiF des Elementes eines solchen Gebildes gehörig festzustellen.

Es sei (a, h) eine bestimmte Stelle des betrachteten Gebildes, so giebt es eindeutige und in der Form gewöhnlicher Potenzreihen darstellbare Functio- nen /,(0) /i(0 einer Veränderlichen t von der Beschaffenheit, dass erstens die gegebene Gleichung befriedigt wird, wenn man

x-a = f,{t), y-b = m

setzt, wobei (x — a) durch — zu ersetzen ist, falls a = oo — ein Ahnliches gilt von (y—h) — ; zweitens x = a imd y = b wird für t = 0, und drittens zu verschiedenen Werthen von t — wenigstens wenn dieselben dem absoluten Betrage nach eine gewisse Grenze nicht übersteigen — auch verschiedene Stellen des Gebildes gehören. Die Gesammtheit der durch ein solches Functionenpaar gegebenen Werthepaare (ic, y) nenne ich nun ein Element des betrachteten Gebildes, und beweise, dass das ganze Gebilde in eine endliche Anzahl solcher Elemente zerlegt werden kann. (Zur Entwickelung von f{t), f^(t) habe ich jetzt eine Methode, die viel einfacher ist, als das bekannte Verfahren zur Entwickelung von y — b nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von x — a) Ferner wird gezeigt, dass aus einem Elemente alle übrigen abgeleitet werden können, weshalb das durch eine irreductible alge- braische Gleichung definirte Gebilde ein monogenes ist. Dann ist noch zu bemerken, dass im Allgemeinen alle Stellen (ic, «/), die einer gegebenen (a, b) unendlich nahe liegen, einem Elemente angehören; es giebt aber einzelne siuguläre Stellen, für welche dies nicht der Fall ist. Wenn daher von einer bestimmten Stelle des Gebildes die Rede ist, so wird, falls es sich um eine dieser singulären Stellen handelt, vorausgesetzt, dass das Element, dem sie angehören soll, bezeichnet werde. Hierauf wird festgestellt, was es heisst, es werde eine gegebene rationale Function von (a;, y") an einer bestimmten Stelle unendlich gross von einer gewissen Ordnung; woran sich dann eine Reihe von Erklärungen und Sätzen schliesst, die ich nicht zu wiederholen brauche. Ich will nur anführen, wie ich den Begriff »zwei algebraische Ge- bilde sind rational in einander transformirbar« fasse.

I

AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875. 237

[ Es sei f{x,y) = (i die gegebene Gleichung und R^{x,y) eine beliebige

rationale Function von {x,y), so gehört, wenn man ^=^It^{x,ij) setzt, zu jedem Werthe von | — eine beschränkte Anzahl specieller ausgenommen — eine bestimmte Anzahl verschiedener Werthepaare {x,y), welche ich den Grad von R^(x,y) nenne. Setzt man diese in eine zweite rationale Function R^(x,y) ein, und findet sich, dass für einen beliebigen Werth von | die ent- sprechenden Werthe von Ii^{x, y) alle von einander verschieden sind, so erhält man, wenn man t] = R^{x^ y) setzt, aus den Gleichungen

f{x,y) = 0, I = B,{x,y), tj = Ii^{x,y) stets eine irreductible Gleichung

?(§,>]) = 0,

welche, wenn /*, v die Grade von Rj(X^y), R^{x,y) bezeichnen, in Beziehung auf 7] vom fi'*", in Beziehung auf | vom v'°° Grade ist. Dann entspricht aber auch immer nicht nur einem Werthepaare {x,y),em Paar (I,tq), sondern dies gilt auch umgekehrt, und man erhält

X = -Rad.v)), y = B,{l,r^),

WO -Rj, R^ ebenfalls rationale Functionen bezeichnen. Die Gleichungen

x=^B,{l,r{), y = B,{%,r^), cp(|,7i) = 0

führen sodann durch Elimination von |, y) zu der ursprünglichen zurück. Man sagt daher, die Gleichungen f{x,y)=0, cp(|,r]) = 0 seien rational in einander transformirbar , und wendet diesen Ausdruck auch auf die beiden durch sie definirten Gebilde an.

Dies hätte ich Ihnen allerdings nicht so weitläufig darzulegen brauchen, ich woUte Ihnen aber eine ungefähre Anschauung von meinem Gange geben. Wesentlicher und Ihnen wohl noch nicht vollständig bekannt ist das nunmehr Folgende.

Es werde irgend eine bestimmte Stelle (a, b) des betrachteten Gebildes ausgewählt, so lässt sich zeigen, dass es unendlich viele rationale Functionen von {x,y) giebt, die nur an dieser Stelle unendlich gross werden. Unter diesen giebt es nothwendig eine vom niedrigsten Grade — ich will eine solche 2 nennen — , und es ist klar, dass dann jede andere von der Form as^ + ß ist.

238 AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE

WO a, ß Constanten bezeichnen. Unter den übrigen, d. h. denen, die von höherem Grade als z^ sind, wähle man eine (^J von niedrigstem Grade aus, ebenso eine (aj von denen, deren Grad höher als der von ^^ ist u. s. w. So erhält man eine unendliche Reihe von Functionen

deren Grade

»'l. v„ V,, V,, ...

eine steigende Reihe bilden, und die der doppelten Bedingung genügen, dass sie alle nur an der Stelle (a, 6) unendlich gross werden, und zugleich jede andere Function z von derselben Beschaffenheit sich in der Form

darstellen lässt, wo «„,... «^ Constanten bedeuten. Es lässt sich ferner leicht zeigen, dass in der Reihe der Zahlen

•^1, v„ v„ ...

von einer bestimmten an jede um eine Einheit grösser ist als die unmittelbar vorhergehende.

Ist V, = 1, so ist die Gleichung f(x,y) = 0 von der Beschaffenheit, dass sich alle Werthepaare {x,y) in der Form

^ = J^i(0, y = -R.W

ausdrücken lassen. In jedem andern Falle müssen daher in der Reihe

V,, V,, ...

einige ganze Zahlen fehlen, die mit

Ä, , Äj, ... bezeichnet werden mögen.

Durch sehr einfache Betrachtungen zeige ich nun, dass erstens zwar nicht diese Zahlen k selbst, wohl aber ihre Anzahl für alle Stellen (a, b) dieselbe ist — ich nenne sie q — und

zweitens für alle Stellen mit Ausnahme einer beschränkten Menge singulärer (und zwar algebraisch bestimmbarer) die in Rede stehenden fehlen- den Zahlen die folgenden sind:

1, 2, ... g.

AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875. 239

(Hieraus werden Sie erkennen, dass g die Bedeutung hat, die ich sonst diesem Buchstaben gebe.)

Ist V die erste der Zahlen v,, v,, •••, welche kein ganzzahliges Vielfaches von V ist, so besteht zwischen z^ und z^ eine algebraische Gleichung von der Form

wo G^, Gj, ... G^ ganze Functionen von 2^ bedeuten. Die Grade von G^, G^, . . . Gf ,x sind nicht sri'össer als beziehlich

der von G^ aber ist v^. Da man nun aber, wenn A die grösste in dem Bruche

-^ enthaltene ganze Zahl bedeutet, «o'^a+ ^'i'^f+^'a'^i''^ — '^^i^i + ^i.+i ^^^ ^a setzen darf, so kann man durch geeignete Wahl der Function z^ erreichen, dass in der vorstehenden Gleichung G^{2j = 0 wird. Da man femer h^z^+b für z^ setzen darf, so kann man ausserdem durch geeignete Wahl von 2 er- reichen, dass in G^{2j der Coefficient von z^" gleich (—1), der von g^" aber gleich Null wird. Dadurch ist das Functionenpaar (z^, 0^) soweit völlig be- stimmt, dass man statt desselben nur noch das folgende

wo c eine willkürliche Constante bedeutet, setzen darf.

Betrachtet man nun ,?,, m^ u. s. w. als Functionen von 0^, so entsprechen jedem Werthe dieser Grösse v^ Werthe jeder der übrigen, und man erhält für hinlänglich grosse Werthe von 2^, wenn man

i_

setzt, alle Werthe von e^ dargestellt durch eine Reihe von der Form

c„ /"• + c. /"•" ^ + c, /"•" V • • • • Man kann aber die Function z^ durch

ersetzen und die Constanten a so bestimmen, dass c^ ^ 1, und von den übrigen Gliedern mit nicht negativen Potenzen von s nur diejenigen bleiben, in

I

240 AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE

denen der Exponent von s eine der Zahlen A;^, Ä;^, . . . ä; (und zugleicli <v„) ist. (Dies gilt auch für die Entwickelung von 0^ nach Potenzen von s.) Auf diese Weise ergiebt sich eine Reihe von Functionen

welche soweit bestimmt sind, dass man sie nur durch die folgenden

C '£•,

S)

ersetzen kann.

Alles dies gilt, wie gesagt, für jede Stelle (a, b). Nun möge aber (a, b) so gewählt werden, dass für diese Stelle die Zahl v^, die im Allgemeinen gleich p + l ist, so klein als überhaupt möglich wird. Hier tritt nun ein wesentlicher Unterschied ein. Wenn q = 0 oder 1, so kann v^ nicht kleiner als p + l werden. Wenn aber p > 1, so giebt es stets Stellen, für welche Vj < p , und also auch mindestens eine , für die diese Zahl ein Minimum ist. Für diese Stelle seien nun die Functionen ^^,0^,0^,... gebildet. Im Allge- meinen ist dann die Gleichung zwischen ^^ und z^ irreductibel. In besonderen Fällen kann aber das Gegentheü stattfinden, immer aber giebt es unter den Zahlen v^, v,, ... solche, die relativ prim zu v^ sind. Ist v^ die erste derselben, so besteht zwischen s^ und m^ stets eine irreductible Gleichung von der Be- schaiFenheit , dass für hinlänglich grosse Werthe von s die zugehörigen v^ Werthe von z^ durch eine Reihe von der Form

/ff f^f (i-t 7-

V,"'/ -\-C\z^^) +cX^i^') +•■■+ Glieder mit negativen Potenzen von z^^

(in der C — 0 ist, wenn k^ > v.) gegeben werden.

Diese Gleichung zwischen z^ und z^ ist nun durch eine rationale Trans- formation aus der gegebenen f{x, y) = 0 ableitbar, und jede Function 2^ rational durch z^ und z^ ausdrückbar.

Umgekehrt ist aus der Form der Gleichung unmittelbar ersichtlich, dass, wenn sie durch eine rationale Transformation aus der gegebenen zwischen X, y entspringt, z^, z^ nothwendig rationale Functionen von a?, y sind, welche beide nur an einer Stelle des Gebildes {x^y) und zwar derselben, unend- lich gross werden, und lediglich die Grade Vj, v^ haben.

Angenommen nun, die Gleichung f{x, y) = 0 lasse eine rationale Trans- formation in sich selbst zu, so ist ein Gleiches der Fall mit der zwischen z^

AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875. 241

und z bestehenden Gleichung, so dass es zwei rationale Functionen (C,, C,.) von {z 1^ ) giebt , zwischen denen dieselbe Gleichung besteht , wie zwischen z und 2 , so dass für hinlänglich grosse Werthe von C, die Entwickelung

von C nach Potenzen von C' aus der oben für z^ angegebenen durch die ' 1 j_

Substitution von C,' für ^/' hervorgeht. Dann sind C,, C,. rationale Functio- nen von (a'j 2/), welche nach dem oben Bemerkten nur an einer Stelle des Gebildes {x^y) unendlich gross werden und beziehlich die Grade Vj, v^ haben. Ist ferner C„, dieselbe rationale Function von (C,, CJ wie z^^^ von {z^,z^), so hat auch C^ für hinlänglich grosse Werthe von C, dieselbe Entwickelung wie z^^^ für grosse Werthe von z^. Da nun z^ nur für z^ = oo^ also auch C„, nur für Cj = CO unendlich gross wird, so folgt, dass auch C„, als Function von x, y nur an derjenigen Stelle («', i) des Gebildes unendlich wird, an der dies mit C, der Fall ist. Hieraus ergiebt sich, dass für die Stelle {a\h') die Reihe der Functionen

r r r

■•l) ■•»! ■■8)

genau dieselbe Bedeutung hat, wie für die Stelle (a, i) die obige Reihe

^1) •^2) '^31 • • • )

in der Art, dass nicht nur die Reihe der Zahlen v und somit auch die der

fc für beide dieselbe ist, sondern auch die für grosse Werthe von C, geltende

1

Entwickelung von C„, nach Potenzen von C,' für jeden Werth von m aus der

entsprechenden Entwickelung von z^ durch Substitution von C,' für z^^ her- vorgeht.

Nun sind zwei Fälle möglich.

Erstens kann die Stelle (a', h') mit (a, h) identisch sein. Dann muss nach dem oben Bemerkten

. v, . », . v^

sein. Die Bedingung, dass die Gleichung zwischen C, und C, dieselbe sei wie zwischen z^ und ^^, hat aber zur Folge, dass c nothw endig eine bestimmte Einheitswurzel (im Allgemeinen 1 selbst) ist.

II. 31

I

242 AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE

Zweitens kann die Stelle («', 6' ) von (a, 6) verschieden sein. Dann wird auf dieselbe Weise gezeigt, dass es nur eine geschlossene Anzahl von Functio- nenpaaren (Cj, CJ geben kann, welche nur an dieser Stelle unendlich gross werden und durch dieselbe Gleichung wie z^ und z^ mit einander verbunden sind. Es giebt aber, wenn p > 1 ist, überhaupt nur eine beschränkte Anzahl von Stellen, für die eine Function C, vom Grade v^ existirt.

Damit steht fest: »Wenn eine Gleichung f[x,y) = 0 überhaupt rationale Transformationen in sich selbst zulässt, so ist die An- zahl derselben, sobald der Rang (q) der Gleichung grösser als 1 ist, in jedem Falle eine endliche«.

Sie sehen also, lieber College, dieser von Ihnen bewiesene Satz ist unge- mein leicht abzuleiten, wenn die erforderlichen algebraischen Hülfsmittel vor- handen sind. Ich weiss mich nicht zu erinnern, ob ich denselben in meiner Vorlesung erwähnt habe — näher auf den Beweis eingegangen bin ich nicht — , muss es aber vermuthen, da ich ihn in der Dissertation von Schottky, worüber ich Ihnen schon schrieb — gedruckt ist dieselbe noch nicht — , als einen »bekannten« angeführt gefunden, welchen Ausdruck ich bei der Re- vision gestrichen habe. (In der Theorie der Abbildung mehrfach zusammen- hangender ebener Flächen auf einander ist derselbe von wesentlicher Be- deutung.)

Nun ist es aber meine Meinung durchaus nicht, dass Sie Ihren Beweis unterdrücken sollen, aber ich wünsche, dass Sie bei der Publication bemerken möchten, ich habe Ihnen eine rein algebraische Ableitung des fraglichen Satzes mitgetheilt, und zwar wünsche ich dies einfach aus dem Grunde, weil einige meiner Zuhörer mit den Principien, worauf meine Deduction beruht, so vertraut sind, dass leicht Jemand sich finden möchte, der nach Veröffent- lichung Ihrer Abhandlung in vielleicht nicht angemessener Weise mit der Bemerkung, es lasse sich das Resultat viel einfacher begründen, hervorträte; was für uns beide nicht grade angenehm sein würde.

Gestatten Sie mir noch einige Bemerkungen in Betreff der Bedeutung, welche die Functionen z für die Theorie der Abelschen Integrale haben.

Wenn man die Stelle {a,b) so auswählt, dass die Zahl v^ ein Minimum ist, so hat die zwischen ^^ und z^ bestehende Gleichung ein Minimum von Constanten.

AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875.

243

(Durch die Substitution von c z^, c z^. kann man bewirken, dass" noch ein Coeflicient der Gleichung den Werth 1 erhält.) Im Allgemeinen kann V nicht kleiner als q werden, und dann ist der Rie mann 'sehe Satz von den (3? — 3) Constanten gültig.

Es kann aber v, bis auf 2 herabsinken (den Fall p = 0 ausgeschlossen), und dann beträgt die Anzahl der Constanten nur 2p — 1. (Fall der ellipt. und hyperellipt. Integrale.) Dazwischen liegt eine Reihe besonders zu be- handelnder Fälle. Besonders bemerkenswerth ist, dass in eine solche Gleichung zwischen z^^ z^_ (man muss für einen bestimmten Werth von p die zugehörigen Gleichungen (Gebilde) zunächst in Gruppen theilen, so dass kein Gebilde, das einer Gruppe angehört, aus einem Gebilde einer andern Gruppe durch rationale Transformation hervorgehn kann) die erforderliche Anzahl willkürlicher Constanten unmittelbar eingeht, d. h. dass alle Coefficienten rationale Functionen dieser Constanten sind. Ferner giebt es ein bestimmtes Verfahren, wodurch sich für jeden Werth von p die in Rede stehenden Gleichungen bilden lassen, während natürlich die Umformung einer gege- benen Gleichung in eine solche «kanonische« nicht ohne — practisch meist licht durchführbare — algebraische Operationen geschehen kann.

Für p = 1, 2, 3, 4, 5 hat mir Frau von Kovalevsky die Gleichungen wirklich hergestellt.

Bildet man für eine beliebige Stelle (a, b) die Reihe der Functionen

".»■^.7 •••, 80 ist

ao+«i'ä'i + "- + a„^„

[der allgemeinste Ausdruck einer Function, die rational durch ic, y ausdrück- ibar und an der Stelle (a, h) unendlich gross (von der Ordnung vj) wird. [Dieselbe wird dann nothwendig an v^ Stellen Null. Man kann aber unend- lliche Reihen

[welche beständig convergiren, so bilden, dass sie nur an der Stelle |(a, 6), die für sie eine eigentliche Grenzstelle ist, unstetig werden, und zugleich [liur an einer Stelle oder an gar keiner verschwinden. Diese Functionen |von (a;,y) nenne ich Primfunctionen. In Betreff der nirgends verschwin-

31»

244 AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE ETC.

denden zeige ich, dass es 2p solche,

E{x,y\, ... E{x,y\,^ giebt, aus denen sich alle übrigen in der Form

E3\x,y\, ...E^^^{x,y\,,

wo die g ganze Zahlen bedeuten, zusammensetzen lassen. Eine Function der andern Art, die an der Stelle (a;^, y^) verschwindet (und zwar mit der Ord- nungszahl 1), bezeichne ich mit E{x,y:, x^,yj, und beweise dann zwei Funda- mentalsätze.

1) Jede rationale Function R{x,y) r'"" Grades lässt sich in der Form

ji(x y) ^ c ^i'^' y; <. yO • • • e(x, y, x',, y;)

E{x,y;x„y,)...E{x,y)X„y^) darstellen.

2) Wenn (^,, «/,),••• (a7,„, ?/„,) die verschiedenen Stellen sind, an denen J R(x,y)dx = oo wird, so hat man

fRix,y)dx = C,logE(x,y;x„y,) + --- + C„,logE(x,y;x„,yJ + G[logE{x,y\ + --. + C;^\osE{x, y),^+ R,{x, y),

wo J2j eine rationale Function von x., y bezeichnet und die C Constanten sind. Auf diese Weise sind die Integrale algebraischer Differentiale in einer Form, die den analytischen Charakter derselben zur Evidenz bringt, dar- gestellt. Fügt man noch zwei Formeln hinzu, die das Verhalten der E- Functionen in der Nähe der (willkürlich auszuwählenden) Stelle (a, h) angeben, so sind alle Sätze, welche die Theorie der Abelschen Integrale ausmachen, einfache CoroUare der unter 1), 2) aufgestellten.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.*)

(Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften

vom 27. April 1882.)

I.

Herleitung der Relationen, welche unter den Functionen

S(w|u), ü)'), 6^(m|«), (ü'), 5^{u\(o,(o'), 6^{u\ui,(o')

und deren partiellen Ableitungen nach w, «), tu' stattfinden.

Es werde irgend eine dieser Functionen bloss mit S bezeichnet und

öMogS

gesetzt, so dass für die erste Function

cp = p(u) und für 6^, wo A eine der Zahlen 1, 2, 3 bedeutet,

'f = Piu + Oi;,)

ist. Dann hat man

(!•) (5) = 4<p--^.,_,.,

ö'cp 1

*) In Betreff der in dieser Mittheilung gebrauchten Bezeichnungen und als bekannt vorausgesetzten Formeln verweise ich auf die „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weierstrass bearbeitet und herausgegeben von H. A. Schwarz«.

246 ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Aus diesen Gleichungen erhält man, wenn man sich der Bezeichnung d'F bedient, um anzudeuten, dass ein die Grössen «*, w, w' enthaltender Ausdruck in Beziehung auf co, tu' diiFerentiirt werden solle:

\du / \du)

Man hat aber

ÖM j öcp ]

a Vi

du

ÖM ( Ö(p ) 2

ÖM

\du)

\du/ \du)

dul a^ I 2 ^ /6y\' '

\ du J \ÖM/

wenn man also t^^, d^ so bestimmt, dass

(4.) dg, = -4:g,d,-6g,d^, dg, = -^gsd,-jgld,

ist — was angeht, weil gl—27gl nicht gleich Null ist — , so lässt sich die Gleichung (3.) in der Form

du ^ du^ ^ du '

schreiben. In dieser Gleichung sind alle Glieder des Ausdrucks, auf den sich das Zeichen -n- bezieht, ungerade Functionen von u, weil 9 eine gerade und — 1|— eine ungerade Function derselben Grösse ist; folglich muss dieser

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 247

Ausdruck, da er von u unabhängig ist, gleich Null sein. Man hat also <5.) ^,,(.||,.,)..,(|j^,V-i,.)«. = 0.

Nun ist

ö' ld'(5\ _ öVlogS du'\ 6 j ~ du'

diu ö6\ ölogS

du\<5 du) du

MCp,

d'' (u ä5\ _ ^?_9 '^\ß'd^j~ "" du ■^'

6 (1_ d^6\ _ _d_ I d' log 6 / ök)g6 ^N _ _ ^ _ , ^logS

öt< V ö ölt* / öz« \ ÖM* \ du } j du ' du

awi a'6\ 6-^^ öy aiogs _ , , , a^ aiogö i

aM'\5 awV a«' du du ^ du du "^2^'^'

und es lässt sich also die Gleichung (5.) so schreiben:

{^d'5 „ M aS , /l 0^6 1 A , )

aw*

In dieser Gleichung sind nun alle Glieder des Ausdrucks, auf den sich das Zeichen ~ bezieht, gerade Functionen von u- folglich muss der Ausdruck einen von u unabhängigen Werth haben. Bezeichnet man diesen mit C, so wird

2ä'6+2u^d^ + [g^^,y6)ä^ = C6.

Nimmt man jetzt

G ^ 6(ii\ (ü, o)'),

so hat man

S = u + u^^{u),

und es ergiebt sich, wenn man auf beiden Seiten der vorstehenden Gleichung den Coefficienten von u bestimmt, C = 2«?^. Nimmt man aber 6 = 6^, so ist

G, = l-jey + u*SI^,{u),

und man erhält, wenn man in der Gleichung u = 0 setzt, C = —e^d^. So

248 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

ergeben sich die folgenden Gleichungen:

(A.) 2ä'6+2[u§-6)d^ + [g, + ^,.y6)d^ = 0,

(ß.) 2d'6,+ 2u^d, + (^^+(-^g,u' + e,)6,y, = 0 (^=1,2,3).

Wir haben hier S, 6^ als Functionen von tt, w, w' betrachtet, so dass d^, d^ homogene lineare Functionen von dw,'d(o' sind, welche folgendermassen bestimmt werden können.

Man setze

so folgt aus der Gleichung (A.), wenn man dieselbe durch 6 dividirt, wodurch sie die Form

2d'log6+2{w!^-l)d, + (-f + '!^' + ^gy\d, = 0 erhält, und dann in Beziehung auf u diiferentiirt :

^'"{u)dv. + f'\u)d,o'+(<!^(u)-U'fiu))d-(<p(u)'!^(u)-^g,uy,-^^^d, = 0

^'"{u)d.. + nu)du^'+{d-<f{u)d,)Hu) + (-^gA-dM»)y-j^d, = 0.

Aus den Gleichungen

<]>{u + 2<ü) = (];(«) + 2>), <\>{u + 2ui') = <];(m) + 2t)' aber ergiebt sich

2 ^'i'('^+^'") + A(i)(„ + 2«)) = d;"YM) + 2-~L, <L<"(m + 2(«') = i"'(M) + 2 -J^ , (7.) {

2 ^'''^''g^^"''^ + '^''\u + 2a>') = <}-">(m) + 2 I^ , <1-"'(m + 2(ü) = <!-"'(«) + 2 -^ ,

(6.)

oder

(8.)

<}-"'(« + 2o)) - .^"'(w) = 2 "1^ + ^'P W ' '!'"'(** + ^'") - 'l''"W = ^ ■£"'

f"(M+2oi') -<!.'» = 2-|^, <}-<>+ 2a)') -<!''» = 2-^ + 2<p(m).

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

249

In der Gleichung (6.) setze man nun u + 2to, u + 2ia' für u, und subtrahire sie dann von den so entstehenden neuen Gleichungen, so kommt

drt + <f{u)dm + r^{d,-<f{u)dj + m(—g,d,-d,f{uyj = 0,

drt'+<f{u)do>'+r;(d,-<f(u)d,) + oi'\^—g,d,-d,<f{uyj = 0,

Da (f)(u) jeden Werth haben kann, so folgt hieraus

dm = Tjofj+md,, dl] = —j^9,<»d^ — r^d^,

(C.)

du>' = r/rf, + <j)'d,, dr]

Mit Berücksichtigung der Relation

12'

— ^r.üj'd.-Ti'dx-

erhält man sodann (D.)

I

(E.)

(F.)

(G.)

d, = dri = dri' =

äg, =

2i^

TT

2»

IT

2t

TT

(7]'(?(U — 7)rf(u'), d, —

(-r;' +~gy ]dio + {rtTt'-j^g,ioto'jdw' Ug,ri'- 6 .9,a>'j d(u - f igr^Tj - 6 g^m) dto'l

2i

TT

d, = d. =

lSg,dg,- 12 g,dg.

1 d(g\-27gl)

12 gl-2^gl

Aus der Gleichung

ie\-g,e,-g, = 0 ergiebt sich femer

il2^,-g,)de, = e,dg, + dg, = -(4^.^ + 6^3)'^.-(6^.e.+ g-^^jt?,

= -i24el-2g,e,)d-{2ie\-eg,e[+jgijd, = -2e.(12eJ-(7,)d.-(12e:-^,)(2e:-iör.)d.,

n.

82

250 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

also

de, = -2e,d, + ^~g,-2ei^d,; und ebenso

de, = -2e,d,+ l^jg,--2eijd„ de, = -2e,d, + (jg,- 2e'; j d, .

Hieraus folgt weiter, da e^ + e, + e^ = 0,

d{e,-e,) = -2{e,-e,){d,-eJ,), <^(e.-e,) = -2(e,-eJK-e,(?,), ^{^i-e,){e-e,) = -2{e,-e,){e,-e,){2d, + e,d,). Es ist aber, wenn man

(H.) s, = (e,-e,)(e.-e,), s, = (e,-e,){e,-e,), s, = {e,-e,){e,-e^) setzt ,

(J.) 5,^ = 4(3e;|-eJ, 9, ^ '^el-g.h = '^ßxih-'^el), (^ = 1,2,3)

und somit

j de^ =^ -2eid,-\^js^-2cljd, ^ -^e^{d,-e^d,)-jSid,

{ dsi = -iz^d,-2e■^Z),d, = -iB-,(d,-ei,d,) -Ge^^^d,.

Die Gleichungen (A.), (D.), (E.), (F.) lehren hiernach, dass jede partielle Ab- leitung der Function S nach to und m' dargestellt werden kann in der Form

wo F^, i^, F,, ... ganze Functionen der Grössen (o, w', rj, yj', 5^^, ^j, ^« sind.

Ebenso ergiebt sich aus den Gleichungen (B.), (D.), (E.), (J.), (K.) für jede partielle Ableitung von 5^ nach to, w' ein Ausdruck

in welchem F*, F*, i^*, ... ganze Functionen der Grössen w, w', vj, vj', s^^, e^^, M sind.

Es lässt sich aber S in der Form einer beständig convergirenden Potenz- reihe der Grössen u, g^, g, darstellen. Betrachtet man demgemäss S als Function von u, g^, g^, so zeigen die Gleichungen (A.), (G.), dass jede partielle

(K.)

ZUB THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 251

Lbleitung von S nach .9,, g^ die Form

lat, wo sich jede der Grössen G^, G^, G^, ... als eine ganze Function von

ff,, g^, u, dividirt durch eine Potenz von (,9|— 27.(/'), darstellen lässt.

Femer ist, wenn man

_ ö'logS, ^^ du'

setzt,

und für u = 0

^^ = ^- ^ = '' woraus sich ergiebt, dass in der Entwickelung von cp^ nach Potenzen von u nur Glieder mit geraden Potenzen dieser Grösse vorkommen, und die Coeffi- cienten derselben ganze Functionen von g,, <?^ und somit auch von e^, e^ sind. Demgemäss erhält die Entwickelung von 6^ die Form

wo Ef, £*, . . . ganze Functionen von e^, e■^ sind.

Betrachtet man nun 6;, als Function von u, e^, e^^, so ergiebt sich aus den Gleichungen (B.), (K.) für jede partielle Ableitung von S^ nach e^, s^ ein Ausdruck

in welchem jede der Grössen G'^' eine ganze Function von «, e^^, e^^, dividirt durch eine Potenz von {e^—e^{e^—e^{e^ — e^ ist.

II.

Gebrauch der im Vorstehenden entwickelten Differential- gleichungen zur Entwickelung der Functionen 6, S^.

Aus der Gleichung (A.) erhält man, indem man dQ auf die Form

bringt und beachtet, dass d^., rf,, als Functionen von dg^^ dg^ betrachtet, von einander unabhängig sind — was aus den Gleichungen (4.) sich ergiebt, weil

82»

252 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

{gl—27gl) nicht gleich Null ist — , die beiden nachstehenden partiellen Diflfe- rentialgleichungen :

ÖM ^ dg, ^' dg. Setzt man

S = S ^ ^ff^rjM'', (m,n,r = 0,l,...oo)

m,a,x

80 lehrt die zweite Gleichung, dass in jedem Gliede der Reihe, dessen Coeffi- cient nicht gleich Null ist,

r-4m— 6n-l = 0 sein muss. Man kann daher setzen

(C.) 6iu) = 1.a(jgXi2g,r

j,4m+6n+i

(4m+6n + l)!

und erhält zur Bestimmung der Coefficienten a^ ^ aus (A.) die Recursionsformel

1 R 1

(D.) «„,„= 3(m + l)a„+,,„_, + -g-(n + l)a„_,„„- g (2m+3tt-l)(4m+6n-l)a„_,_„.

Bei der Anwendung dieser Formel ist jeder Coefficient, in welchem einer der Indices einen negativen Werth erhält, gleich Null zu setzen. Der Coeffi- cient «„„ ist gleich 1. Betrachtet man als zu einer Gruppe gehörig alle a , für welche die Summe 4m + 6n denselben Werth hat, so lehrt die vor- stehende Formel, dass jede Zahl a^ ^ einer bestimmten Gruppe aus zwei Zahlen der unmittelbar vorhergehenden und einer Zahl der zweitvorherge- henden Gruppe berechnet werden kann.

Die Function (5j^ hat nach dem Vorhergehenden die Form e~' ^" . S^, wo 8^ eine Potenzreihe von u, e^, s^^ ist. Dann hat man

ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 253

und es geht die DifFerentialgleichung (I. (B.)) über in die folgende :

(E.) 2d'S,+ 2u^{d,-eM + l^^ + e,u'si!jd, = 0.

Diese aber zerfällt, da

ist, in die beiden:

(G.) M-^— 2«i-v-^— 4£;i^ = 0.

^ ^ du de^ '■ d^x

Setzt man

-Sx = S C,.„,,ere>', m.ti.t

SO folgt aus (G.), dass

r-2m-4n = 0

sein muss, wenn C nicht gleich Null ist. Man kann also setzen:

' m, it,t c)

2 ,,2in+4n 1

(H.) (o,iu) = g-'^^^gc„.„(12.,)'"(2s,)"- (g^^^„), , wo 2s, = 6e|--5r.,

und erhält aus (F.) zur Bestimmung der Coefficienten c^^ die Recursions- formel

(J.) c„,„ = 16(m + l)c„+,,„_, + nc„_,,„-(m + 2n-l)(2m + 4n-3)c„,„_.,

^^0 '^m+i-i' ^-in' '^m-i gl^i^h Null ZU setzeu sind und c^^ = i ist. Endlich kann man auch der Function 6 die Form

geben. Schreibt man die Gleichung (I. (A.)) in der Gestalt

2d-Q+2u^d,^{^^ + [^9y^e^6y,-2(Ö{d,-e,d,)-Ze,6d, = 0, so ist ersichtlich, dass man zu der Gleichung

(K.) 2d'Ä*+2(M^-Ä<^')(d,-.,d,) + (^-3e,S<^'+e,M'Ä<^'jd. = 0

354 ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

geführt wird, welche in die beiden nachstehenden zerfällt:

(L*.) u-^ 2e,-T Isi-^:, S* — 0.

^ ^ du *■ dei ^ öz^

Man kann also setzen

(M.) 6(u) ^ e-'^^^ g^'..n(3..r(2s,)" (,^^,„^,^, , wo 2e, = 6^,-_^,,

und erhält aus (L.) zur Bestimmung der Coefficienten b^^ die Recursions- formel :

(N.) 6„,,„ = 4(m + l)6„+,,„_,+ (4n + l)&„,_.,„-(m+2n-l)(2m + 4n-l)&„,„_..

Hier ist

*o,o =1, T^nd 6„+,__, = 0, 6_^„ = 0, 5„_j = 0.

Aus den Gleichungen (J.), (N.) ist unmittelbar ersichtlich, dass die Co- efficienten b^ ^ und c^ ^ sämmtlich ganze Zahlen sind. Aber auch die a^ ^ sind alle ganze Zahlen. Denn aus der Gleichung (M.) ergiebt sich, dass, wenn man

setzt, (7. für jeden Werth von r eine ganze Function von \g^ und -Cj^ mit ganzzahligen Coefficienten ist. Schafft man aus C^ alle Potenzen von e^^ deren Exponent > 2 ist, mittels der Gleichung

fort, so müssen in dem so umgeformten Ausdruck von C , da derselbe für A = 1, 2, 3 denselben Werth hat, die mit e^ und el multiplicirten Glieder fortfallen; er reducirt sich also auf eine ganze Function von g , g^, deren Coefficienten Brüche sind, die zu Nennern Potenzen von 2 haben. Die a„„ könnten also, wenn sie Brüche wären, ebenfalls nur Potenzen von 2 zu Nennern haben; dies ist aber nach der Eecursionsformel (D.) nicht der FaU. Die Werthe der Zahlen a^ j,, für die 4nt + 6n + l<35 ist, finden sich in den oben erwähnten »Formeln und I^ehrsätzen zum Gebrauche der elliptischen

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

255

i'unctionen« S. 7; die Werthe derjenigen Zahlen 6„^, c„, ^, für die 2m + 4n^

12

ist, welche also zur Entwickelung der Reihen /S'^, 8^ bis zu den Gliedern, f welche in Beziehung auf u beziehlich vom 13*°° und 12*°° Grade sind, aus- bleichen, enthält die folgende Tabelle.

2m + 4rt	tn	tt	K,n	^m,n
0	0	0	1	1
2	1	0	1	0
4	2	0	1	0
0	1	1	— 1
6	3	0	1	0
1	1	3	— 1
	4	0	1	0
8	2	1	6	-1
	0	2	-9	— 1
	5	0	1	0
10	3	1	10	— 1
	1	2	-141	-6
	6	0	1	0
12	4	1	15	— 1
2	2	-1479	-15
	0	3	-69	-51

h

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.*)

(Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 15. und 22. Februar und vom 13. December 1883.)

Um die eUiptischen Functionen

sinam(M,Ä), cosam(M,Z;), Aam(u,Jc)

I. durch die Jacobi' sehen Functionen

•^(*>3) = 1 — 2g' cos 2a; + 2g* cos 4a;— 23* cos 6a; H — ,

■^li^'^tQ.) = 2y/g.(sina; — g'sinSaJ + g'sinöa; ),

^ii^ii) = 2v''g'.(cosa; + g'cos3a; + g'cos5a;H — ),

^^{x,q) = 1 + 2g cos 2a; + 2g* cos 4a; + 2g* cos 6a; + • • •

auszudrücken, hat man die Aufgabe zu lösen, für jeden gegebenen Werth von k einen die Gleichung

k

(1-)

\ß

-^.(o,g) _ 0.7- i + g'+g'+g" + --

^,(0,g) ^V2-i^2g + 2g*+2g«+.

efriedigenden Werth von q zu bestimmen. Ist ein solcher Werth gefunden, 80 hat man, wenn

(2.)

*) Durch diese Abhandlung soll eine Lücke ausgefüllt werden, welche sich in der Jacobi'schen »Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet« (Gesammelte Werke , Band I , S. 497 ff.) findet , und auf die ich in einer Anmerkung auf S. 545 a. a. 0. aufmerksam gemacht habe. Es sind deshalb hier durchgehends die Jacobi'schen Bezeichnungen von mir angewandt worden.

II. 88

258 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

gesetzt wird,

\/F- sin am (u, 7c) = "^j^'^j

Dabei kann der Werth einer der beiden Wurzelgrössen \ß^ \jq beliebig fixirt werden, worauf dann der Werth der anderen durch die Gleichung (1.) be- stimmt wird. Der Werth von y/i— A' ist so zu wählen, dass

(4.) fI3F =

-^(0, g) __ 1-22 + 2g*- 23» +

^,(0,5) 1+25+ 22*+ 23»+...

wird.

In der nachgelassenen Abhandlung Jacobi's »Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet« ist die genannte Aufgabe für den Fall, dass Ic eine reelle, zwischen 0 und 1 enthaltene Grösse ist, behandelt (§ 6) und nachgewiesen worden, dass man von der Gleichung (1.) ausgehend zu demselben Ausdrucke von q gelangt, den Jacobi in den »Fund. nov. funct. ellipt.« auf dem in diesem Werke eingeschlagenen Wege erhalten hatte. Ich werde jetzt zeigen, wie man mit den von Jacobi in der genannten Abhandlung angewandten Hülfsmitteln für jeden (complexen) Werth von h alle die Gleichung (1.) befriedigenden Werthe von q bestimmen kann, und zwar mittels einer Reihe, welche nicht nur ihrer starken Con- vergenz wegen für einen numerisch gegebenen Werth von h eine bequeme Berechnung der zugehörigen Werthe von q gestattet, sondern auch, wenn man k als eine veränderliche Grösse und q als Function derselben betrachtet, dazu dienen kann, die charakteristischen Eigenschaften dieser Function auf- zufinden. Es kommen dabei hauptsächlich in Anwendung die beiden, auch von Jacobi benutzten Gleichungen

^(0,3) -^3(0, 2*) -4(0, 2*),

(5.)

welche sich unmittelbar aus den Ausdrücken von ^(O, q), ^(0, q) ergeben, und die Relation

(6-) -^*(0,2) + -^/(0,2) - -&;(0,2).

ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 259

Ich betrachte zunächst ausschliesslich reelle, der Bedingung

0<g< 1

unterworfene Werthe der Grösse q^ und setze fest, dass im Folgenden, wenn a eine positive Grösse ist, unter loga der reelle Werth des natürlichen Lo- garithmus von a, und unter a*", für einen beliebigen Werth von jm, der durch die Formel

mloga

e ^

gegebene Werth der Potenz a"' verstanden werden soll. Dann haben ^(0, q), ^aC^) ?)> -^sC^j ?) stets reelle Werthe und sind stetige Functionen von q. Fer- ner ist aus den Ausdrücken der Grössen -5,(0, 5'), ^(0, g') unmittelbar ersicht- lich, dass die zweite beständig positiv ist, und für die erste, die für q = Q verschwindet, dasselbe gilt, wenn ^ > 0. Was aber -&(0, 5') angeht, so würde, wenn diese Grösse für einen bestimmten Werth von q gleich Null wäre, aus (5.) folgen:

^.(0,3*) = A(0,2*),

und es müsste demnach (gemäss Gleichung (6.)) auch ^(0, q*) = 0 sein. Dar- aus würde dann weiter folgen, dass auch ^{0,q^°), S(0,q^) u. s. w. gleich Null wären, was unmöglich ist, weil ^(0,^"') für einen unendlich grossen positiven Werth von m unendlich wenig von 1 verschieden ist. Es kann also ^(0, q) für keinen der betrachteten Werthe von q verschwinden und ist demnach beständig positiv. Hiernach ist

^.(o,g)

eine stetige Function von q, die für q = 0 verschwindet und für jeden ande- ren Werth von q einen positiven Werth hat. Dieselbe ist, indem in Folge der Gleichung (6.)

-5/(0, g)>A* (0,3),

stets kleiner als 1; es lässt sich aber zeigen, dass sie sich, wenn q von der Grenze Null an stetig wachsend der Grenze 1 sich nähert, ebenfalls beständig wachsend, derselben Grenze nähert.

33»

260 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Da nämlich

4(0,3) 1+ 2g +29*+ 23»+...'

SO lässt sicli jedenfalls eine positive Grösse q^, die < 1 ist, so annehmen, dass

beständig zunimmt,! wenn q stetig wachsend das Intervall (0 ...qj durchläuft. Aus den Gleichungen (5.) folgt aber, wenn q für q gesetzt wird,

M^ ^lo,g") ^,(o,g)

^'^ 4(o,.^)-i+4M'

-^s(o. i)

Hiemach nimmt — ; ( beständig ab, wenn q stetig wachsend das genannte *8(o,ä*) ^

Intervall durchläuft, oder es nimmt, was dasselbe besagt, ^ L' H beständig ab, wenn q stetig wachsend von 0 aus in q^ übergeht. Es ist aber

4(0,3) \ 4^(0,3)/'

es wächst also '| '^| gleichzeitig mit q, so lange q < q^ ist. Daraus folgt sofort, dass dasselbe gilt, so lange q kleiner als

ist. Die Glieder dieser Reihe convergiren aber gegen die Grenze 1; es wächst also J(q' ^ gleichzeitig mit q, wie nahe auch q der Einheit kommen möge. Es ist femer, wenn

A(0, q)

== 1-

gesetzt wird, nach (7.)

^.(0,2)

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 261

und somit auch

Daraus folgt für jeden ganzzahligen positiven Werth von m

1

es nähert sich daher, wenn m unendlich gross wird, der Werth von q *" also der Grenze 1 unendlich nahe kommt,

ebenfalls dieser Grenze. Damit ist das oben hinsichtlich der Function '^ '^^ Behauptete bewiesen.

Dies vorausgeschickt, denke man sich nun den Quotienten

A*(o, g)

in eine Potenzreihe '^{q) entwickelt. Das Anfangsglied derselben ist 16g', und ihre Coefficienten sind sämmtlich ganze Zahlen; man kann daher eine unendliche Reihe rationaler Zahlen

«0» «1. «2) •••

so bestimmen, dass für hinlänglich kleine Werthe von q die Gleichung (8.) 2 = i«„r+'(2)

n = o

besteht, aus welcher sich, da «, = ^ ist,

(9.) log (162) = log ^(2) + !: ^„r(2)

ergiebt, wo ß,ß^,... ebenfalls rationale Zahlen sind.

262 ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Nimmt man nun eine positive Grösse q^^ die < 1 ist, so an, dass die- selbe im Convergenzbezirke der Reihe '^{q) liegt, und zugleich, wenn man

. _ p.(0, go)V setzt, die Summe

(wo 1/3^1 den absoluten Betrag von ß^ bezeichnet) einen endlichen Werth hat, so gilt die Gleichung

sicher für die der Bedingung

entsprechenden Werthe von q^ weil für jeden solchen "Werth nach dem Vor- hergehenden

ist.

Man bezeichne

(MiM mit t

14(0,2); '

und setze in (10.) q* für q, so erhält man, da nach den Gleichungen (5.)

,_ -^(Q,g)

4(0, g^) _ ^a(0,g) _ l-(l-0"

^^^•■* 4(0, g*) 1, ^(o,g) l + (l-0*

"^4(o,g)

ist, einen zweiten Ausdruck für log^, nämlich , (12.) 4log, + logl6 = 4log(-i=:^) + |:^i^^^^r Aus (10.) und (12.) ergiebt sich dann die Gleichung (13.) S^„^"=log-r ^^ V+tS/3J ^ T ■

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

263

Bei der Herleitung dieser Gleichung ist t als Function von q ange- nommen worden. Da aber, wenn q stetig wachsend das Intervall (©...^-J durchläuft, t ebenfalls beständig wachsend vom Werthe 0 zum Werthe t^ übergeht, so erhellt, dass die Gleichung (13.) besteht, wenn man t als eine unabhängige Veränderliche betrachtet und derselben irgend einen dem Inter- vall (0 ...t^) angehörigen "Werth giebt.

Es ist aber

iii-ty^dt

? = (i(i-0-*+l(i-0-*)f; i-(i-ty ^ ' *

entwickelt man also |(l-0 +v(l — 0 ' ^^^h Potenzen von t und setzt

(14.) |(i_^)-^+A(i_^)-i- _ i + e;^ + 2s,<H3s3<' + ...,

SO ergiebt sich

(15.)

log

/i-(i-0-^\_ \l+(l_M/

log^ + Se.r,

und es sind s^, e^, e^, ... sämmtlich rationale und positive Zahlen. Aus (15.) folgt sodann

(16.)

/i-(i-0*\'' \i+a-n*/

^•^ 2 ^r.,.t\

L+(l-0^

wo für einen beliebigen Exponenten m die Coefticienten e^^ mittels der aus (16.) und (14.) sich ergebenden Gleichung

bestimmt werden können. Man erhält aus dieser Gleichung die Recursions- formel

(17.)

(i'>0)

aus welcher, da e^^ = ({)"' ist, sich die wichtige Folgerung ergiebt, dass für einen positiven Werth von m die Grössen e^_^ sämmtlich positive Zahlen sind.

264 ZUR THEORIE DER ELLU'TISCHEN FUNCTIONEN.

Die Reihen

00 »

r =: 1 r = 0

convergiren, wie aus der Herleitung derselben erhellt, für jeden (reellen oder complexen) Werth von i, dessen absoluter Betrag kleiner als 1 ist. Bei der angegebenen Beschaffenheit der Grössen e^, e^, ^ ist also für jeden zwischen 0 und 1 enthaltenen reellen "Werth von t und jeden positiven Werth von m

*=» \1 + (1-^)*/

Daraus ergiebt sich, wenn man t gegen die Grenze 1 convergiren lässt,

Se,<log8, 2s.,v^l,

vz=zl 1=0

oder vielmehr, da dies auch gilt, wenn man n + 1 für n setzt,

Sev<log8, S £„,,,<!.

Demnach convergiren die Reihen

00 00

r = 1 V = 0

auch für jeden Werth von t, dessen absoluter Betrag gleich 1 ist, und es ergiebt sich aus den Gleichungen (15.), (16.), wenn man t der Grenze 1 sich nähern lässt,

(18.) i;sv = iog8, l:w = i-

Es werde jetzt

±e„,J'"-'' mit ^{i,m)

v = o

bezeichnet, so gilt nach dem Vorhergehenden die Gleichung (19-) i ßJ" =- ± s„<" + | S ßnW, ^n)

n = i n = i * n = i

für jeden in dem Intervall (0...tj enthaltenen reellen Werth von t. Es

k

ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 266

möge jetzt aber t^ irgend eine positive Grösse, die <: 1 ist und zugleich im

CO

Innern des Convergenzbezirks der Reihe 2 ßnt" liegt, bedeuten. Dann ist, wenn mau

setzt, in Folge des ümstandes, dass die Coefficienten der Reihe '^(t, 4n) sämmtlich positiv sind und die Summe derselben den Werth 1 hat,

5ß(#,,4») positiv, aber kleiner als t", und daher

o<l;i^J5ßa„4M)<|;|/3„|C-

»1 = 1 n = 1

Für jeden der Bedingung entsprechenden Werth von t ist nun

imd hat also die Summe

S ±\ßn\hnjtr' K = 1 r = p

einen endlichen "Werth. Es ist deshalb die Reihe

^ßnhnj"''*' (n=l,...cc;r = 0,...ao)

n,v

unbedingt convergent, und es ergiebt sich, wenn man alle Glieder derselber, welche dieselbe Potenz von t enthalten, in eines zusammenzieht,

(20.) ^ßn^{i,in) = '^{r,Q)t*''+9, (« = 0,1,2,3; r = l,...co)

n = l r.fj

wo

(21.) (r,Q) = S 8,„,„_4„+j/J„.

n = i

Aus der Gleichung (19.) erhält man hiemach

ßi = hl ßi = h, ßi = %}

und kann also die Grössen ß der Reihe nach berechnen, nachdem man zuvor die durch die Gleichungen (14.), (17.) definirten Zahlen e„, s^^„ bestimmt hat. lt. ' 34

(22.)

266 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Aus den vorstehenden Formeln (22.) ist ersichtlich, dass die Grössen ß ebenso wie die e , e,„„ sämmtlich positive rationale Zahlen sind.

* n w 47*, V ■*■

Es ergiebt sich aber auch aus dem Vorstehenden, dass die Reihe

n = i

für jeden (reellen oder complexen) Werth von ^, dessen absoluter Betrag nicht grösser als 1 ist, unbedingt convergirt.

Um dies nachzuweisen, bemerke ich zunächst, dass man die im Vorste- henden gemachte Voraussetzung, es liege die mit t^ bezeichnete Grösse im Innern des Convergenzbezirkes der Reihe S^„^"» jetzt fallen lassen kann und nur anzunehmen braucht, es sei die Reihe für t = t^ convergent. Denn nach dem eben Bewiesenen ist \ß^\ = ß^, und es bleibt somit bestehen, dass die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung (20.) für t ^= t^ convergirt. Für denselben Werth von t convergirt aber auch die Reihe Se„^"; die Gleichung (19.) lehrt also, dass, wenn die Reihe S/5„i" für t = t^ convergirt, dasselbe nothwendig auch für t = t^ und somit auch für

* — '■o ) '^o ! • • •

stattfindet. Demgemäss convergirt die Reihe für positive Werthe von t, die der Einheit so nahe kommen, wie man will, und es ist also der Radius ihres Convergenzbezirks nicht kleiner als 1. Hiernach gilt die Gleichung (10.)

für jeden der Bedingung

0<2<1

entsprechenden Werth von q. Nähert sich aber q der Grenze 1, so conver- girt der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung gegen die Grenze

2 ßn,

n:=l

und es ist daher

±ß„ = log 16.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 267

Demzufolge convergirt die Reihe

n=i

auch dann, wenn der absolute Betrag von t gleich 1 ist, und stellt für den durch die Bedingung

definirten Bereich der Grösse t eine continuirliche analytische Function der- selben dar.

Setzt man nun

. 2 ßnt"

(23.) SO erhält man

(24.) ^(0 = ± «„r+S

»1 = 0

WO die Coefficienten a„ identisch sind mit den in der obigen Gleichung (8.)

»1 = 0

vorkommenden, welche also aus den ß^ berechnet werden können und ebenso wie diese sämmtlich positive rationale Zahlen sind. Lässt man t der Grenze 1 sich nähern, so ergiebt sich

(25.)

-log 16 + 2 ß„

Die Function <^{t) ist demnach durch die Gleichung (24.) für jeden der Be- dingung

entsprechenden Werth der Veränderlichen t definirt. Für t = 1 ist (J^(i) = 1, dagegen für jeden anderen Werth von t

|4-(0I<1.

Nun besteht nach dem Obigen die Gleichung

(26.) q = Hi),

34*

268 ZUE THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

wenn man

_ p.(o,g)V

setzt, sicher für die einem gewissen Intervall {0...q^) angehörigen reellen Werthe von q. Für alle diesen Werthen von q entsprechenden Werthe von t gilt also die Gleichung

(27.) (i + 2^it) + 2<^*(t) + 2<!f'{t) + .-y.t = le^i^ (0(1 + 'j-'(0 + 'l''(0 + •••).

Es sind aber, wenn man t als eine unabhängige Veränderliche betrachtet tind auf den durch die Bedingung

definirten Bereich beschränkt, den Werth t = l jedoch ausschliesst, beide Seiten der vorstehenden Gleichung eindeutige und continuirliche analytische Functionen von t, weil für jeden der betrachteten Werthe dieser Grösse

l<KOI<i

ist. Nach einem bekannten Satze besteht also die Gleichung für jeden dem angegebenen Bereiche angehörigen Werth von t. Es lässt sich ferner zeigen, dass ^3(0, q) auch für einen complexen Werth von q nicht verschwinden kann, und zwar in derselben Weise, wie oben unter der Voraussetzung, dass q eine positive Grösse sei, für die Function ^(0, q) bewiesen worden ist, dass sie nicht gleich Null werden kann.

Hiermit ist nun bewiesen:

Ist t eine (reelle oder complexe) Grösse, deren absoluter Be- trag die Einheit nicht übersteigt, und die auch nicht gleich 1 ist, so wird die Gleichung

befriedigt, wenn man

n = 0

setzt.

Wenn also der Modul {k) der elliptischen Functionen seinem absoluten Betrage nach die Einheit nicht übersteigt und sein Quadrat nicht gleich 1

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 269

ist, SO gelten die unter (3.) aufgestellten Ausdrücke von

siiiain(M, Ä), C03 a,m (u , Je) , Aa,m.{u,]c), wenn man

q = ± «„/;-+»

M = 0

nimmt. Da ferner die elliptisclien Functionen eines beliebigen Moduls auf solche, deren Modul den eben angegebenen Bedingungen entspricht, zurück- geführt werden können, so genügt das Vorstehende zu dem Nachweise, dass jede der genannten Functionen als Quotient zweier Thetareihen darstellbar ist. Weiter unten werde ich aber zeigen, wie man die Reihe

in eine für jeden Werth von t convergirende umgestalten kann, und zugleich nachweisen, wie sich mit den hier angewandten Hülfsmitteln auch die Auf- gabe lösen lässt, aus einem die Gleichung

befriedigenden Werthe von q alle übrigen abzuleiten.

n.

Nach dem, was im Vorhergehenden über den Convergenzbezirk der Reihe

n = i

und die Beschaffenheit der Zahlen ß^ festgestellt worden ist, besteht die Gleichung (L, (13.)), welche sich in der Form

iog^-iogi6+l: ßj" = |jiog('~^'~^^*)-iogi6+|: 4'"!'"^!!) 1

schreiben lässt, sicher für jeden reellen, in dem Intervall (0...1) enthalte- nen Werth von t, indem die Gleichung (I.,(10.)), aus welcher sie abgeleitet wurde, nach dem Vorangehenden für jeden der Bedingung 0<5'<1 ent- sprechenden reellen Werth von q gilt, und für t = \ in Folge der

270 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Gleichungen

\ßn\ = ßn, ^ßn = log 16

n = i

beide Seiten gleich Null werden. Setzt man also

-i- log 16+1 i ß„t-

n = l

n = o

= S rJ",

wo dann die Coefficienten y„ gleich den a^ sämmtlich positive rationale Zahlen

CD

sind und 2 7 =1 ist, so hat man

« = 0 "

(1.) m = t{tYj']'

und zugleich

i+(i-^)' «=« \i + {i-ty/

Die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung ist aber für jeden (reellen oder complexen) Werth der Grösse t convergent und stellt eine ana- lytische Function derselben dar, wenn man von den vier Werthen, die man für jeden bestimmten Werth von t der Potenz (i — t) beilegen kann, einen so, wie folgt, fixirt.

Schliesst man von dem Gebiet einer unbeschränkt veränderlichen Grösse X die negativen reellen Werthe derselben, sowie auch die Stellen 0, oo aus, so giebt es unter den unendlich vielen Werthen, die der natürliche Logarith- mus von X für einen bestimmten Werth dieser Grösse annehmen kann, immer einen, dessen zweite Coordtnate zwischen

— TC und + 7t

liegt. Dieser Werth des Logarithmus soll im Folgenden überall unter log» verstanden werden; er ist innerhalb des definirten Bereichs der Veränderlichen X eine eindeutige analytische Function derselben, indem sich, wenn x' irgend eine bestimmte Stelle des Bereichs ist, eine Umgebung derselben angeben lässt, innerhalb welcher die Reihe

f^\ 1 , -^ (-1)"-' (x-x'\'

L ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 271

einen solchen Werth des natürlichen Logarithmus von x darstellt, dessen zweite Coordinate gleich der von logrc' zwischen — it und % liegt. Daraus ergiebt sich insbesondere, dass

(4.) log^ = 2^^(^-l)"

ist, wenn man die Grösse x auf den durch die Bedingung

|a;-l|<:l

definirten Bereich beschränkt. Denn innerhalb dieses Bereichs sind die ein- ander gleich gesetzten Ausdrücke beide eindeutige analytische Functionen von o;; die Gleichung gilt daher für den ganzen Bereich, da sie nach dem eben Bemerkten für eine gewisse Umgebung der Stelle 1 besteht.

Wenn ferner x^ eine bestimmte negative Grösse ist, so ist für die einer gewissen Umgebung der Stelle x^ angehörigen Werthe von x die zweite Coor- dinate der Grösse

« (-1)"-' (x-xS

m

negativ oder positiv, je nachdem die zweite Coordinate von x—x^ positiv oder negativ ist; man hat daher im ersten Falle

(5.) logx = log(-a:J + T:i + i-fcl^(^)"

im zweiten dagegen « (6.) log X = log (- X,) - « + 2 -^=^ (^^)"

Hiernach kommt, wenn x der Stelle x^ sich nähert, je nachdem dies von der positiven oder der negativen Seite der Strecke (— 00...O) her geschieht, loga; der Grenze log(— jcJ + to oder der Grenze log(— rrj — to unendlich nahe. Be- zeichnet man die durch die Formeln

log{-x^)-\--szi, \og{-x^)-m

gegebenen Werthe von loga;„ beziehlich mit

log^o und logij, wo dann

(7.) log 4 = logäo+27ti

272 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

ist, SO hat man also nach dem Vorstehenden für die einer gewissen Um- gebimg der Stelle x^ angehörigen Werthe von x

(8.) log X = log 4 + J^ -^-^ (^)",

wo das obere oder untere Zeichen über x^ gilt, je nachdem die zweite Coor- dinate von x — x^ positiv oder negativ ist.

Aus der Definition von log^,,, log5„ erhellt übrigens, dass beide Grössen innerhalb der Strecke (— oo . . . 0) stetige Functionen von x^ sind.

Definirt man ferner, für die betrachteten Werthe von x und für einen beliebigen Exponenten m, die Potenz ic" durch die Gleichung

(9.) af* = e"*'"«^,

so ergeben sich aus den Gleichungen (3.), (4.) beziehlich die folgenden:

(10.) X- = X .J W4^r-) , [{m\ = -^TTTlr )'

(11.) x"^ = ±{mU^-ir;

es ist also auch x"" eine eindeutige analytische Function von x.

Aus den Gleichungen (7.), (8.) aber erhält man, wenn man für eine negative Grösse x^

( {KT = e'^'^'i-xX setzt,

(13.) (4r = e'"""(5„r,

(14.) «•" = (4r.|;Wn(^)",

wo das obere oder das untere Zeichen über x^ gilt, je nachdem die zweite Coordinate von x — x^ positiv oder negativ ist. Der Bereich von x, innerhalb dessen die Gleichungen (10.), (11.), (14.) gelten, ist derselbe wie bei den ent- sprechenden Gleichungen (3.), (4.), (8.).

Endlich erhellt aus der Definition der Grössen

(12.)

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 273

lass beide innerhalb der Strecke (—00 ... 0) stetige Functionen von ' x^ sind.

Nach dem Vorstehenden ist, wenn man jetzt unter t eine unbeschränkt veränderliche Grösse versteht,

eine Function, welche für jeden der Strecke (l — hoo) nicht angehörigen I Werth von t eindeutig definirt ist, während sie zwei Werthe hat, wenn t in der genannten Strecke angenommen wird. Setzt man, die Werthe t = 1 und t := 00 ausschliessend und mit p, 0 reelle Grössen bezeichnend,

log (1-0 = Q + ai, 80 hat man

(1-0* = e*^(cos|o + isinio)

und daher, da 0 in dem Intervall (— tt — \-iz) liegt,

\l + (l-t)^f-\i-(i-t)^\' = 4e*%osio>0. Daraus folgt, dass der absolute Betrag von

i-(i-0* i + (i-0*

stets kleiner als 1, und demgemäss die Reihe auf der Rechten der Gleichung (2.) für jeden Werth von t unbedingt convergent ist. Das Letztere gilt selbst noch, wenn man der Grösse t einen der aus-

[. geschlossenen Werthe giebt, indem ~ ~ für t = 1 den Werth 1, und für i l^^(l-0*

t = 00 den Werth — 1 hat.

Hiemach ist, wenn man nunmehr ^(t) durch die Gleichung

,(„ = i=(lri)i.iJi=(ir£)ir n-(i-0* "=" \i+(i-o*/

definirt, ^{t) eine Function, welche ebenso wie ~' ~ ' nur für die zwischen

! + (!-<)*

1 und +00 liegenden reellen Werthe von t zwei Werthe hat, für jeden andern Werth von t aber eindeutig bestimmt ist. Dabei ist zu beachten, dass die n. 35

274 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

beiden Werthe von (J'CO) ^^® ^^ einem zwischen 1 und + oo liegenden reellen Werthe von t gehören, conjugirte complexe Grössen sind, wie sich aus den Gleichungen (12.) unmittelbar ergiebt.

Aus dem eben in BetreiF der Function — - "" . Bewiesenen ergiebt sich

i+(i-0* femer, dass ^»(l) = 1, '^{oo) = — 1, für jeden von 1, oo verschiedenen Werth

der Grösse t aber

l<KOI<l:y».

also

I4'(0l<i ist.

Schüesst man vom Gebiete der Veränderlichen f die der Strecke (l — hoo)

angehörigen Stellen aus, so ist nach dem Vorstehenden nicht nur (1 — 0 ßii^e

eindeutige analytische Function, sondern dasselbe gilt auch von den Functionen

^-^^^, 4,(0, ^,\o,^it)), S,\o,m), i + (i-0*

und es besteht also die Gleichung (I., (27.))

deren Richtigkeit für die zwischen 0 und 1 enthaltenen reellen Werthe von t nachgewiesen worden ist, für jeden der jetzt betrachteten Werthe dieser Grösse.

Ist ferner t^ ein zwischen 1 und +oo liegender reeller Werth von t und setzt man, unter x eine positive Veränderliche verstehend,

<^{l) = Um^(t, + y.i), ^(Ö = Lira-X^.-«),

SO sind <j^(^j), (J'IO ^^^ beiden Werthe von ^(t) für i = t^. Da nun ^(t^ + y.i), '^(t^—y.i) sich stetig mit x ändern, und die absoluten Beträge von <^{tj, <li\tj beide kleiner als 1 sind, so erhellt, dass die vorstehende Gleichung auch noch für t = t^ gilt, welchen von ihren beiden Werthen man auch der Grösse <j>(^,) geben mag.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 275

Damit ist nun bewiesen:

Wird die Function ^{t) so, wie im Vorstehenden angegeben worden, definirt, so erhält man für jeden Werth der Veränder- lichen t, mit Ausschluss von t = \ und ^ = 00, einen die Gleichung

■4(0. 9) V.

4(o.g)V -^3(0,2)/

t

befriedigenden Werth der Grösse q, wenn man

i + (i-ty "=" \n-(i-<) /

setzt, wobei man, wenn t einen zwischen 1 und +00 enthaltenen reellen Werth hat, sowohl den einen als den andern der zuge- hörigen Werthe von '^(t) nehmen kann.

Die Coefficienten y^ können entweder auf die im Vorhergehenden ange- gebene Weise oder auch durch folgendes Verfahren berechnet werden.

Nach dem eben bewiesenen Satze ist, wenn man

r == I, -HO" = n

setzt,

2t) (1 + ±^ 7i"'^+'>) = % (\ + i 27)"')

oder

^ »=1

Femer ist nach der oben unter (1 .) gegebenen Formel für die dort betrach- teten Werthe von t

m = o

Hieraus ergiebt sich y„ = j- und, wenn man

^„ = i n.1""*' («=0,1,... CO)

m:=0

setzt,

f ^B+i — Zi LS'/» ~ In Jsin+B I

» = i "

wobei von der Summe nur diejenigen Glieder in Betracht kommen, in denen

276 ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

v' ^ n + 1 ist. Mittels dieser Formel erhält man

2 15 150

Vx =2*' ^' ^ "2»"' ^» ~ 'W "■ ^' ^ >

m.

Es soll jetzt gezeigt werden, wie man sämmtliche Werthe von q findet, die für einen und denselben Werth von t die Gleichung

'■S,(0,3)V_,

(1 ) /^(Miy

befriedigen. Dazu ist erforderlich, dass man für jede ^-Function alle Werthe des Arguments kenne, für welche dieselbe bei einem gegebenen Werth von q verschwindet. Diese Werthe lassen sich sowohl durch Umwandlung der ^-Reihen in unendliche Producte (wozu die in den »Fund, nov.« hergeleitete identische Gleichung ,

dient) als auch, wenn man nur die von Jacobi in der mehrgenannten Ab- handlung entwickelten Sätze benutzen will, auf folgende Weise finden. Aus der Gleichung**)

^{y) "^ 2 dx '°S ^,{x + y) ^{y) ^,{x + y) ^,{x-y) '

welche sich im ersten Bande der Jacobi' sehen Werke auf S. 536 unter ((I.),'(4.))

*) Die Formel

habe ich seit vielen Jahren in meinen Vorlesungen über die elliptischen Functionen gegeben , aber auf eine andere Art wie hier abgeleitet. Wendet man von ihr nur die r ersten Glieder an, so ist der Fehler, den man begeht, dem absoluten Betrage nach kleiner als

\ n = o /

l_(l_i2)i

Vgl. die »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen« von H. A. Schwarz, S. 66. **) Bei den folgenden Formeln ist vorausgesetzt, dass in allen vorkommenden fl' - Functionen die Grösse q denselben Werth habe.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

277

findet, ergiebt sich, wenn man beide Seiten nach Potenzen von y entwickelt, durch Vergleichung der Anfangsglieder

(2.)

A'(0)^»(0)^,(0)-^'(^)

Ist nun (0 irgend ein Werth, für den -^^(tt)) = 0 ist, so folgt aus der vor- stehenden Gleichung, dass der Quotient -~~- für x == w jedenfalls verschwindet, während aus den Gleichungen (2.), (4.) auf S. 511 a. a. O. erhellt, dass -SJ:, ■~l für X = (o von Null verschiedene, endliche Werthe haben. Aus der Formel für ^tt.^] (S. 513 a. a. O.) ergiebt sich hiernach

und man hat also

woraus (3.)

d^ log ^j{x + co) d' log ■&! (x)

dx'

A (« + '")

dx^

Ce-^'"'h,{x)

folgt, wo C, V von X unabhängige Grössen bezeichnen.

Aus den Gleichungen (2.) und (3.) auf S. 502 a. a. O. erhält man

(4.) ^,{x + ^) = -^M, ^,{x-ilogq) = -q-'e-^'^hM;

setzt man also in (3.) x + tz, x — ilogq, und in (4.) x + u> für x, so ergeben sich die Gleichixngen

CL / . . \ — Srw --, —2vxi a. / \

■j^{x + m + Tz) = — e .Ce AW)

5.(« + u) + 7t) = -Ce'^^'^^.ix),

^.(^+«.-il0gs) - -e-2'''°82_2-.c,-2('' + l)«^»>^(a;),

Es muss also sein

— 2vni

1,

-2ioi

-2vlog3

und somit (5.)

o) = (iTz — vilogq,

278 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

WO (i, V ganze Zahlen bedeuten. Umgekehrt ist, wie aus den Gleichungen (4.) leicht abgeleitet werden kann, stets

-5,(ft7t-ivlogg) = 0,

wenn jt, v beliebige ganze Zahlen sind. Aus der Gleichung

ist ersichtlich, dass ^^'(u)) nicht gleich Null ist, die Gleichung 5,(a;) = 0 also nur einfache Wurzeln hat. Da ferner

so werden sämmtliche Wurzeln der Gleichungen

\(x) = 0, ^{x) = 0, ^,{x) = 0 beziehlich durch die Formeln

[t^ + jj'^-ivlogq, ftit-Jv + -jlogg, U + jj-^-iiv + jjlogq

gegeben, und es hat jede dieser Gleichungen ebenfalls nur einfache Wurzeln. Der Werth von log^' kann in den vorstehenden Formeln beliebig fixirt werden.

Setzt man nun

f(u a) - -^»(^'g) ^'('^' g) f(u o) - -^^"'g^ A(a^,g) f(u 0) - -^(^'g) -^»(^'g)

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

279

so sind f{u,q),f^(u,q), f^(u,q) eindeutige Functionen der Grössen u und q, und es bestehen für dieselben, wenn man

setzt, nach den Formeln (18.), (23.) auf S. 515, 517 a.a.O. die folgenden Gleichungen :

(7.) j^- = ^'("'«)^>'^)' ^^ = -f(-'^)f^(-'^)' ^^ = -nu,,)f^M, I fiO,q) = 0, f,{0,q) = 1, f,{0,q) = 1.

Beschränkt man die Veränderliche u auf eine gewisse Umgebung der Stelle 0, so können fiu,q), f^{u,q), f^(u,q) in der Form gewöhnlicher Potenz- reihen dargestellt werden. Die Coefficienten dieser Reihen ergeben sich aus den Gleichungen (7.), und zwar als ganze rationale Functionen der Grösse t, in denen die Coefficienten rationale Zahlen sind. Wenn es daher zwei t Grössen q, q^ giebt, zu denen derselbe Werth von t gehört, so erhält man für f{u,qj,f^{u,q^),f^(u,qj dieselben Eeihen wie für f{u,q),f^{u,q),f^{u,q\ woraus sich in bekannter Weise folgern lässt, dass für jeden endlichen Werth von u die Gleichungen

(8-) /■(«,?!) = /■(",«), fM,ai) = /",(«, 2), /;(«,?.) = Uu,q) \ gelten.

Nun wird nach dem Vorhergehenden

f{u,q) = 0 für M =: (fnr-wlogg)-53'(0,g)

/-,(«, 2) = 0 für M -: ((fi + -^)Tr-Wloggj^/(0,g)

(9-) ( 1 / / 1\ \

j^—^ =, 0 für M = ^;*Tr-^v + -ji]og2J4'(0,g)

f,{u,q) = 0 für M = ^(ft + l),:_(j, + ljiloggj^3»(0,g),

wenn unter ji, v beliebig anzunehmende ganze Zahlen verstanden werden. Zugleich gilt, dass jede der vorstehenden vier Functionen nur für die ange- gebenen Werthe von u verschwindet.

In Folge der Gleichungen /■^(m, g-) = /',(w, ^J, /"(m, 5) = /"(«, g-J wird nun

/•.(«, g) = 0 auch für u = j^,\0,qj

280 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

und

1 i

■77— y = 0 auch für u = - y -3-/(0, g-J logg.;

es müssen sich also vier ganze Zahlen a, ß, y, d so bestimmen lassen, dass

^^^-^ 1 -i^:{0,q,)\ogq, = S,\0,q).(2yiz-i2d + l)ilogq)

ist. Aber ebenso muss es vier ganze Zahlen «', ß\ y', S' geben, für welche die Gleichungen

7r^/(0,g) = S^\0,q,).{i2a'+l)n-2ß'ilogq,)

^^^■^ ( -i^:iO,q)logq = d:iO,q,).i2y'u-i2d'+l)ilogq,)

gelten. Aus diesen vier Gleichungen ergiebt sich, wenn man

£ = (2tt+l){2d'+l)-iß'y' setzt,

5:i0,q).{(2a + l-^^).-[2ß + ^)ilogq) = 0,

^a'(0,2).((2y + ^)u-(2d + l-^^)ilogg) = 0;

diese Gleichungen können aber, da ^(0, g') und der reelle Theil von log^» stets von Null verschiedene Werthe haben, nur bestehen, wenn

2^+1 = ^^:±i

2« + l=^'^'+\ s '	^/---T. ^r --':'.
ist; folglich muss
	(2a + l){2S+l)-ißy = -,
also

e = ±l, (2a + l)(2d + l)-4|3y = ±1 sein.

Aus (11.) ergiebt sich nun

(12.)

Damit q, q^ dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 seien, ist erforder- lich, dass die zweite Coordinate von ^logg^ sowohl als von ■-^logg', positiv

™^°S«' =	2y + —-r—logq •Kt
2a + l + -tlogq

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 281

ist, und das Letztere findet in Folge des Ersteren nur statt, wenn

(2« + l)(2d+l)-4^j/ einen positiven Werth hat. Es muss also

(13.) (2« + 1) (2^ + 1) -4/3}/ = 1

sein.

Nimmt man nun q = <^{t), so ist durch das Vorstehende bewiesen: Bedeuten a, ß, y, S ganze Zahlen, unter denen die Relation (13.) besteht,

so sind alle für einen gegebenen Werth von t die Gleichung

U.(o,3)j-^

befriedigenden Werthe von q in der Formel

2yTO + (2^+1) log i^C«) (2a + l)irf+2^1og <];(*)

T%

enthalten. Dabei sind jedoch die Werthe ^ = 0, 1, oo auszuschliessen.

Es bleibt aber noch zu untersuchen, ob man durch diese Formel, wenn man in ihr für a, ß, y, S beliebige, der angegebenen Bedingung genügende ganze Zahlen setzt, stets einen die in Rede stehende Gleichung befriedigenden Werth von q erhält. Dass dies wirklich der Fall ist, lässt sich leicht durch die Theorie der sogenannten linearen Transformation der ^-Functionen be- gründen, kann aber auch bloss mit Heranziehung der Formeln, mittels welcher sich die elliptischen Functionen des Arguments ui und des Moduls k auf die Functionen des Arguments u und des Moduls k' = y/i — F zurückführen lassen, nachgewiesen werden. Dies will ich im Folgenden ausführen.

IV.

Mit Zuhülfenahme der aus den Gleichungen (III., (6.)) und aus den in der Jacobi' sehen Abhandlung auf S. 511 unter (D.) zusammengestellten Formeln sich ergebenden Relationen

/■?(«,«)+/■'(«, 2) = 1,

n. 36

282 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

leitet man aus den Gleichungen (III. , (7.)) die folgenden ab:

du f,iu,q) fl{u,q) '

_a___l__ ^ f(u,q)f,{u,q) ÖM f,{tt,q) fl{u,q) '

du f^{u,q) fl{u,q)

Setzt man in diesen Gleichungen ui für u, q für q und bestimmt q so, dass

1 _ P.(o.g)V, p.(o,g')V

U3(0,3)j^U(0,«')i ist, so ergiebt sich

■^ f(ui,q') ^ 1 fii^i,^')

du if\{ui,q') f\{ui,q') ' t\{ui,q) '

du f,(ui, q) it\{ui, q') ' f^(ui, q') '

d f,{ui,q') ^ t fiui,q')

du f^{ui, q') f,{ui, q) ' if\{ui, q') '

wo die Grösse t dieselbe Bedeutung hat, wie in den Gleichungen (III., (7.)), so dass also diese bestehen bleiben, wenn man in ihnen an die Stelle von

f{u,q), f,{u,q), f,{u,q)

beziehlich

fiui,q') 1 fA^i,q')

ifiiui,ä)' fi(ui,q')' fii^hi')

setzt. Daraus folgt, wenn man die Schlüsse wiederholt, mittels welcher im Vorhergehenden die Gleichungen (III., (8.)) begründet worden sind, dass die letzteren Functionen mit den ersteren identisch sind. Man hat also

(1.) \ fi{u,q) =

h{^,q) =

if[{ui,q')

1 f,{ui,q')

f,iui,q') '

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

283

wenn die Grössen q^ q durch die Gleichung

(2-)

= 1

mit einander verbunden sind.

Es möge jetzt unter t wieder eine unabhängige Veränderliche ver- standen, und die Function, in welche ^'{0,q) durch die Substitution q = <^(t) übergeht, mit F(t) bezeichnet werden. Dann ist, wie aus den Formeln (lU. , (9.)) erhellt, wenn man der Grösse t irgend einen reellen, zwischen 0 und 1 enthaltenen Werth giebt und q = ^(t), q' == (\i(i — t) nimmt, der kleinste positive Werth der Grösse u, für den f{u,q) =0 ist, gleich %F(t), und der kleinste positive Werth derselben Grösse, für den f(m,q') verschwindet, gleich — i^(l — ^)logcj>(l — ^); und es besteht also in Folge der Relationen (1.) die Gleichung

(3.) ■KF{t) = -F{l-t)log<^{l-t),

aus der dann, wenn man l — t für t setzt,

(4.) ^F{l-t) = -F{t)los<^it),

(5.) log<K01og<Kl-0 = ^'

folgt.

Jetzt bedeute t eine Grösse, welcher nur solche complexe Werthe, deren zweite Coordinate positiv ist, beigelegt werden sollen. Femer mögen (wie es in den »Formeln und Lehrsätzen« geschehen ist) die Functionen, in welche

^i^,Q), ^i{x,<l), 4(^,?)» ^,(^,2) durch die Substitutionen

n = e*

X = VTZ,

q = e

übergehen, beziehlich mit

^„(Ht), A(H^), -^.(H^), -^aCH^)

bezeichnet werden. Dann ist jede der letzteren Functionen eine eindeutige analytische Function der von einander unabhängigen Veränderlichen v, t, wofern man das Gebiet von t so, wie angegeben worden, beschränkt, während V jeden Werth, mit Ausnahme von oo, annehmen kann.

36*

284 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Man gebe nun der Grösse x zunächst irgend einen Werth, dessen erste Coordinate gleich Null ist, so dass -^ einen reellen, zwischen 0 und +00 ent- haltenen Werth hat und somit, wenn man

setzt, t, q beide reell und zwischen 0 und 1 gelegen sind. Daraus folgt TTO = log «l* (0) "^ßil einem reellen, zwischen 0 und 1 enthaltenen Werthe von t, wie in (I.) gezeigt worden ist, nur ein demselben Intervall angehöriger Werth q und diesem nur ein Werth von x, für den ^ reell ist, entspricht. Setzt man nun xto = log 41(1 — ^), so ist nach Gleichung (5.) tx' = — 1 und nach Gleichung (4.)

Ferner hat man

= 1-

4^(o|t) _ -^;(o|t)

also

^o(o|.)^(4J^/(ol-l),

und somit auch

wi.) = (4)>(«i-|)-

Da nun ^, ^„(0|x), ■^o(ö|— -j u. s. w. sämmtlich positive Grössen sind, so ergiebt sich

( s.«'i')=(i)*4i-7)

(6.) 5,(O|,) = (i)S.(0i-l)

( 3.(01,)=. (i)**.(o|-i).

Diese Gleichungen sind hergeleitet unter der Voraussetzung, dass ^ einen zwischen 0 und +00 enthaltenen reellen Werth habe. Da aber alle vor- kommenden Functionen eindeutige analytische Functionen von x sind, wenn

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

285

.1.

der Werth von (-) so, wie in (II.) angegeben worden, fixirt wird, so ist durch das Vorstehende die Richtigkeit der Gleichung für jeden Werth, den T annehmen kann, bewiesen.

Aus den Ausdrücken der ^-Functionen ergeben sich femer unmittelbar die folgenden Relationen:

j 4(o|t)= 4(o!t+i) (7.) 4(0!^) = r*^,(o|T + i)

( 4(0 1 1) = -^o(oh + i)-

Aus (7.) erhält man nun weiter:

j A,(Oi^)- A(0^+2) (8.) A(Oh) = -^^(0 1^+2)

( 4(0|t)= A(0h+2).

Ferner aus (6.), wenn man die ^-Functionen auf der rechten Seite zunächst in Functionen von (— — — 2j und diese dann in Functionen von

■ \ verwandelt,

^.(oh) = ^ (3^)^0(01-^)

Setzt man für t in (8.) t-2 und in (9.) -jz^, so ergiebt sich weiter:

(10.)

(11.)

4(0 |t) = 4(0 I T-2) 4(0 |t) = i4(0|T-2)

4(0 |T) = 4(0 1^-2);

4(o|x) = -i(-^y4(o|^)

^Äo\r)= (^/4(o|^)

286

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Aus diesen Gleichungen (7.) bis (11.) leitet man nun die folgenden ab, in denen g^ h beliebige ganze Zahlen bedeuten:

(12.)

4(0|t) 4(0 |x) 4(0 |r)

4(0 JT) 4(0 |t)

4(0 ix)

4(0ix + 2,9)'

4(o_liI _ 4(o|T + 2ff)

4(0 JT) ^3(0|T+2^)'

5/01 ^9 + ^

4(0 K) _ .. ^°r' i + 2fa) 4(o|x) ~ \^L^ - y

^^r' 1 + 2ÄTJ

4(0 it) _ ,, °r' 1 + 4^Ä + 2AtJ

4(0 |x)

»\ ' l + igh + 2hT)

Angenommen jetzt, es seien a, t, c, «? vier gegebene ganze Zahlen, unter denen die Relation ad — bc = \ besteht; b und c seien grade, a und rf also ungrade. Man setze in den beiden letzten der vorstehenden Gleichungen

T, = j— für T , und —g, —h für a , h:

1 a + bz ^ Uli

dadurch erhält man, wenn man

c, := c—iga, d^ = d—2gb, a^ = a—2hc^, &j = b — iM^,

setzt.

4(0 |tj _ ,, 4(0 |xj 4(0 hJ ■4(o|t,)' 4(0 |tJ

4(0 |tj

= i'

4(0 |t,) 4(0 hj

Es ist aber, wenn man mit e diejenige der Zahlen 1, —1 bezeichnet, welcher a mod. 4 congruent ist.

ec eCi

^^r (mod. 4),

ferner, in Folge der Gleichung ad — bc = l, d^a (mod. 4) und somit d^^d^e,

sb sb.

: h (mod. 4).

Folglich hat man

(13.)

¥ 4(0 |x.) _ .-f- 4(0 |t,) .t 4(0 |x.) _ .V 4(0 |t,) 4(0 |xj ■4(o|tJ' ■4(o|xJ~' ■4(o|x,)

^m Zugleich besteht unter den Zahlen a,, i,, c^, d^ die Gleichung a^d^ — b^c^= 1,

^Hmd es ist

^B, a, ^; a ^ s (mod. 4).

Hp Hieraus folgt nun sofort weiter:

" Setzt man, unter ff, h, g^, h^, g^, \ u. s.w. beliebig anzunehmende ganze

Zahlen verstehend,

c, = c -2^a, dj = (? -25-6, a^ =^ a —2Jic^, b^ = b -2M,,

f, ^ C.-2^i«., <^2 = (l,-2g^b„ «, = a,-2Ä,c„ 6, = b^-2h,d„

c, = c,-2g,a„ d, = d,-2g^b„ a, = a,-2Ä,c„ b, = b,-2h,d,,

u. s. w. und

_ c, + d,z c, + d,z _ e,+ d,T ^

~, — — T I ^, = ; , T, = ; Tl. S. W. ,

• a, + 6,T ' a,+ b,T' * a^ + b,T:

so sind b^, c^, b^, c^, b^, c, ... grade, a^, d^, a^, d^, a^, d^ ... ungrade Zahlen, unter denen die Gleichungen

a^d,-b^c, = 1, a^d^-h^c^ = 1, a^d^-b^c, = 1,...

bestehen, und es ist

EC S,d S/* £&■

■""2- A(o|^J _ -"T- A(o|^J _ -"^ ^.(Ql^s) _ r^ A(o|tJ _

■«^s(01t.)-* 'A-COlTj-' '-^aCOlTs)" 'ACOItJ '

•V ^0(0 |t.) _ V ^0(0 |t,) _ rf ^o(0|t,) _ V -^0(0 |tJ _

■■».(0hJ~ "AColtJ-* '-^sCOIt,)-* '-^aCoiTj ••••

Ist nun b nicht gleich Null, so bestimme man, was immer angeht, die Zahlen g^h so, dass | <^, | <| ^|i | ^,| < i<^J und somit

|M<|6|

wird. Ist dann auch 6, von Null verschieden, so bestimme man weiter g^, \ so, dass

\h\<\K\,

femer, wenn auch 5, von Null verschieden ist, 5^,, \ so, dass

\K\<\h\

wird, u. s. f. Auf diese Weise verfahrend gelangt man nothwendig zu einem Aus- druck T^, in welchem 6^_j = 0 ist. In Folge der Gleichung «,_,«?,_,— 6,_,c,_j = 1,

288 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

und weil a, a^, a^, .. a._^ sämmtlich = e (mod. 4) sind, ist dann a^_^ = e, i _ = e T^^£c^_j+T, folglich (nach (12.))

-^ ^,(o|t,) _ 4(o|^) rr^ -Wir) _ ^o(o|t) 4(0 |Tr) ^3(0 |t)' "-^aCoiT,) - ^;(öt^-

So ergiebt sich schliesslich

ec e6

^ '' 4(o|^J ~ 4(0Ix)' ^3(o|rO - '^M^

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, wenn man

^ = :;--log'l'(0 nimmt,

/4(AK)V - / U(o|TjV -*'

oder

^^^•^ v4(o,g); -^'

wenn ,

ci:i + dlog<]i(t) (16) _ _ e'^i"*^ ^ am + & log 4/(0""^*

gesetzt wird. Damit ist das am Schlüsse des § III Behauptete bewiesen, und kann nunmehr der dort aufgestellte Satz bestimmter folgendermassen aus- gesprochen werden:

Für jeden gegebenen Werth der Veränderlichen t giebt es unendlich viele Werthe der Grösse q, die der Gleichung

, _ /4(o,g)V l4(o,?)J

genügen; dieselben werden sämmtlich durch die Formel

2yre+(2d+l)log4'(0 .

geliefert, in welcher a,ß,y,d ganze Zahlen bedeuten, die der Be- dingung

(2a + l)(2d + l)-ißy = 1

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 289

genügen müssen, einer weiteren Beschränkung aber nicht unter- worfen sind. (Der Werth des Logarithmus von (j;(i) in der vorstehenden Formel kann beliebig fixirt werden.)

V. Giebt man nun der Grösse q irgend einen der Werthe, die sie nach der vorstehenden Formel annehmen kann, wenn man t = V setzt — wobei die singulären Werthe Ä;''= 0, l,oo auszuschliessen sind — , so hat man

sin am r?* h^ - P^^^-lll ^i^lll

i-,\ 1 / 7x -^(0,3) ^Ax,q)

lO,q) ^{x,q)

WO

(2.)

4' (0.2)

In dieser Form dargestellt erscheinen sin am (m, ä;), cos am (u, k), A am (u, Je) als eindeutige Functionen von u und q, indem die in -^^(a?, q), 3^{x, q), 3^{0, q)

vorkommende Wurzelgrösse \/q sich weghebt. Drückt man aber J [q ^ , '»(liY durch Ä' aus, so wird

, ,, 1 ^i(x,q)

sinamfM,«) = ^zp^'-qt — ^-

(3.) < coaa-m{u,k) = -^4^= „, i

Aam(«,Ä)=C'l3^.|||-,

es bleibt jedoch noch zu ermitteln, welche Werthe man den Wurzelgrössen \f¥, v'l — Ä', ^q beizulegen hat. Dazu sind noch einige, die Functionen (J^(<), log(}*(^) betreffende Erörterungen erforderlich.

Scheidet man von dem Gebiete der Veränderlichen t die der Strecke (l-"+oo) angehörigen reellen Werthe aus, so ist ^(t) eine eindeutige und continuirliche Function von t, welche ausserdem, dass ihr absoluter Betrag beständig kleiner als 1 ist, die folgenden Eigenschaften besitzt: IL 87

290 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

1. Sie hat einen reellen oder imaginären Werth, je nachdem t reell oder imaginär ist.

2. Im ersteren Falle stimmt ihr Zeichen mit dem Zeichen von t überein.

3. Für jeden imaginären Werth von t hat ihre zweite Coordinate das- selbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t.

Das Erste ergiebt sich unmittelbar aus den Gleichungen

l + (l-0 '

U,(0,^(0)J ~ ^^^ U + 2^(0 + 2^(0 + -/'

von denen die erste zeigt, dass if{t) für die der Strecke (— oo ... 1) angehörigen reellen Werthe von t ebenfalls reell ist, die andere aber lehrt, dass um- gekehrt, wenn i^{t) einen reellen Werth hat, auch t reell ist und somit, unter der gemachten Annahme, zwischen — oo und 1 liegt. Aus der zweiten Gleichung erhellt ferner die Eichtigkeit des unter No. 2 Angegebenen. Das Dritte aber wird so bewiesen.

Für ^ = 1 + i ist log (i — ^) — — ^ «, also

— -?r«

l-(l-0* 1-e ® ., TT

1 + e

und somit, da die y„ sämmtlich positive Zahlen sind, i^{t) gleich dem Pro- ducte aus i und einer positiven Grösse. Von dem Werthe 1 + i aus kann aber t stetig sich ändernd zu jedem anderen complexen Werthe t^^ dessen zweite Coordinate positiv ist, übergehen, ohne dabei einen reellen AVerth an- zunehmen; die zweite Coordinate von 'j<(i) ändert sich bei diesem Übergange stetig mit t, ohne den Werth Null anzunehmen (No. 1) und ist also für t = t^ ebenso wie für t ^ \ + i positiv. In ganz ähnlicher Weise wird gezeigt, dass ^(^) für t == 1 — i gleich dem Producte aus i und einer negativen Grösse ist, und daraus die Übereinstimmung des Zeichens der zweiten Coordinate von ^(t) mit dem Zeichen der zweiten Coordinate von t auch in dem Falle, wo die letztere negativ ist, gefolgert. Übrigens ergiebt sich aus der oben festgesetzten Bedeutung von (1 — 0 ^^^ aus No. 1, dass conjugirten complexen

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 291

Werthen von t auch conjugirte complexe Werthe von (i — t) und von ^(t) entsprechen, und es daher genügt, die unter No. 3 angegebene Eigenschaft der Function ^(t) für Werthe von t, deren zweite Coordinate positiv ist, nachzuweisen.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken:

Setzt man

l-(l-0^

i + (i-0*

so ist

/i-?(OV

■t =

und es lässt sich mit Hülfe dieser beiden Gleichungen zeigen, dass der Function cp(i) die unter No. 1 bis 3 angegebenen Eigenschaften ebenfalls zu- kommen; es braucht dazu in der vorstehenden Beweisführung nur überall ff(t) statt ^(t) gesetzt zu werden.

Nach dem Vorstehenden sind nun, wenn man von dem Gebiete der Ver- änderlichen t auch die der Strecke (— oo . . . 0) angehörigen reellen Werthe ausscheidet, nicht nur cp(i), <\i(t), sondern auch

logcp(0, log<j;(0

eindeutig definirte und continuirliche Functionen von t. Aus der obigen Gleichung (H.)

_iog2+il; ^„f

«=0

ergiebt sich aber, wenn man (f*(t) für t setzt,

1 i 2 ßnf^^Xt)

und hieraus

m-=j9{t)e"'-

log^CO = log(|T(0) + |J^/3„?*''(0 + 2»»iri,

wo m eine ganze Zahl bedeutet, die innerhalb des jetzt der Grösse t an- gewiesenen Gebietes, der Stetigkeit der Functionen <f{t), log(|'f(i)), log^(^) wegen, nicht verschiedene Werthe haben kann. Für jeden zwischen 0 und 1

37»

292 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

enthaltenen reellen Werth von t sind aber die genannten Functionen alle drei reell und somit w := 0; es gilt also die Gleichung

(4.) log«<) = log(i i=^) + | 2 ßJ^^^'

für jeden der nicht ausgeschlossenen Werthe von t, unter der Bedingung, dass die Werthe der Logarithmen so, wie in (II.) festgesetzt worden ist, bestimmt werden.

Giebt man ferner der Grösse t einen zwischen 1 und + oo enthaltenen reeEen Werth, so bleibt die vorstehende Gleichung gültig, wenn man der Potenz (1 — 0 den einen oder den andern der beiden Werthe, die sie alsdann annehmen kann, und zugleich der Function ^(t) den entsprechenden Werth beilegt.

Für einen negativen reellen Werth von t endlich hat man

Limlogtp(^±rx) = log(—<\i{t))±i:i, Lim log <p (< ± ix) == log(— cp(i))±M (wo X eine positive Grösse bedeutet), und somit

(5.) log(-«,)) = ,.g(-i wi^Vii^.(i^(i^T-

Dies vorausgeschickt, definire man nun die Werthe der Potenzen

so, wie in (IL) festgesetzt worden ist; dann ergiebt sich, zunächst unter der Voraussetzung, dass weder /c" noch l—k' einen der Strecke (— 00...O) an- gehörigen reellen Werth habe, aus den Gleichungen

wenn man der in -^^(O, (p(Ä;'')) vorkommenden Wurzelgrösse \/<]>{k*) den Werth ^{k'f beüegt,

^■^ ^*^ ~ 4(0, ^{k^)) ' ^'"^^ -^Jö;W))'

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

293

Denn diese Gleichungen bestehen, wenn k^ eine zwischen 0 und 1 ent- haltene Grösse ist; sie gelten also, da (ky, (l-k')^^ d^{0, ']>{¥)), 5^(0, '3^{K')), ^(0, <}^(Ä;')) sämmtlich eindeutige analytische Functionen von k^ sind, wenn vom Gebiete dieser Grösse die den Strecken (— oo---0) und (1 — f-oo) angehörigen reellen Werthe ausgeschlossen werden, auch für jeden complexen Werth von k^.

Da ferner die zweite Coordinate von t}'(^') nach dem Obigen dasselbe Zeichen hat wie die zweite Coordinate von k'', so nähert sich

wenn k' einem reellen negativen Werthe unendlich nahe kommt, einer reellen, und somit

einer positiven Grenze; die erste der Gleichungen (6.) bleibt daher auch für einen negativen Werth von k^ gültig, unter der Bedingung, dass man nach Fixirung des Werthes von (k'y der Wurzelgrösse \f^^(¥) denjenigen ihrer Werthe gebe, für den

ßr

eine positive Grösse ist. Die zweite der Gleichungen (6.) behält ebenfalls für einen negativen Werth von k" ihre Gültigkeit, indem für einen solchen Werth i^(r) reeU und daher -^(0, (^ä;")), ^,(0, (1;(ä;')) ebenso wie {l-k'f positive Grössen sind.

Für einen zwischen 1 und +oo liegenden reellen Werth von Ä' endlich bleiben die in Rede stehenden Gleichungen gültig, wenn man nach Fixirung des Werthes von (i — k^) den zu diesem gehörigen Werth von ^{k^) nimmt.

Hiernach bestehen die obigen Gleichungen (3.), wenn man lie Werthe der Wurzelgrössen y'F, y'i-A* so fixirt, dass in jeder Fvon ihnen die erste Coordinate positiv und ihrem absoluten Be-

294 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

trage nach nicht kleiner als die zweite ist,*) ferner

setzt und endlich auch den Werth von \jq so bestimmt, dass seine erste Coordinate positiv und ihrem absoluten Betrage nach nicht kleiner als die zweite ist, wobei in dem Falle, wo ä;' und somit auch q einen negativen Werth hat, die Bedingung zu erfüllen ist, dass

\li . ... ^ ..

-i7=r eine positive Grosse sein muss.

Vfc'

Man setze ferner, unter Beibehaltung der im Vorstehenden bestimmten Werthe der Grössen y'F, \ll — ¥^ ^(^'') uii<i nach Annahme von vier, der Be- dingung

(2a + l)(2(J+l)-4/Jy = 1 entsprechenden ganzen Zahlen a, j3, y, d,

^1 ^rl*^ 2y+(25+l)T

wobei in dem Falle, dass Z;' eine negative Grösse ist, dem log'|;(Ä;') derjenige Werth beigelegt werden muss, für welchen e' °^ gleich dem im Vorher-

gehenden bestimmten Werth von \ß^{¥) wird. Dann ist, den Gleichungen (14.) des vorhergehenden Paragraphen zufolge, wenn unter e diejenige der Zahlen 1,-1 verstanden wird, der 2a + lmod. 4 congruent ist,

-^.(Oj^.) _ ,-ey A(0|^) 4(0 IQ _ i-^P A.(Ob)

4(0 |tj 4(0 |t)' 4(0 !tJ -' '4(01^)'

Man hat daher

^'•^ 4(0,2) -* v^' .^,(0,2) -' v^ *'

*) Dass nach dieser Bestimmung y^, yl— *" dieselben Werthe erhalten wie die Potenzen (fc')*, (1-A;')*, folgt unmittelbar aus der in (II.) gegebenen Definition der letzteren.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

295

und die Gleichungen (1.) gestalten sich folgendermassen:

(9.)

sin am(M, Je) =

cosam(M,Ä) =

A am (m, k) =

-£/

A(^.«)

:>{x,q)

2y7n + (2J + l)log>i<(fc') 7:i 4r- {2a+l)T.i + 2ßloe'h(_k^)' 4:

Hiermit ist die Aufgabe, welche zur Vervollständigung der von Jacobi in der mehlgenannten Abhandlung entwickelten Theorie der elliptischen Functionen noch zu lösen war, im Wesentlichen erledigt. Es bleibt aber noch Eines auszuführen.

Die unendliche Reihe, durch welche die Function ^(t) ausgedrückt ist, convergirt nur schwach, wenn der absolute Betrag der Grösse l — t klein, also t einen wenig von 1 verschiedenen Werth hat. Es ist daher von we- sentlicher Bedeutung, dass sich, wie jetzt gezeigt werden soll, aus der in Rede stehenden Reihe andere Ausdrücke von ^{t) herleiten lassen, von denen, welchen Werth auch t haben möge, immer einer wenigstens zur Berechnung von (j^CO ^^^^ wohl sich eignet.

VI.

Unter der Bedingung, dass vom Gebiete der Veränderlichen t die der Strecke (l--- + oo) angehörigen reellen Werthe ausgeschlossen werden, ist <\i{t) nicht nur, wie im vorhergehenden Paragraphen gezeigt worden, eine eindeutig definirte und continuirHche , sondern auch eine überall regulär sich ver- haltende Function.*) Dies erhellt sofort, wenn man beachtet, dass in dem Bereiche, auf den durch die angegebene Bedingung die Veränderlichkeit

*) Ich sage von einer eindeutig definirten Function einer Veränderlichen t, dass sie sich in der Nähe eines bestimmten Werthes <„ der letzteren regulär verhalte, wenn sie sich für alle einer gewissen Um- gebung der Stelle t^ angehörigen Werthe von t in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe von t—t^ dar- stellen lässt.

296 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

von t beschiänkt wird, cp(i) = — '— eine eindeutig definirte und reguläre

Function ist, und dass die Potenzreihe von cp(^), durch welche ^^(t) dargestellt wird, in der Nähe jedes bestimmten Werthes von t gleichmässig convergirt.

Scheidet man ferner von dem Gebiete der Grösse t auch die negativen reellen Werthe aus, so kann in dem Bereiche, auf den dann die Veränder- lichkeit von t beschränkt ist — derselbe möge mit T' bezeichnet werden — , i^{t) weder verschwinden noch einen negativen reellen Werth erhalten; es ist also in diesem Bereiche auch log(j;(^) eine eindeutig definirte und reguläre Function.

Aus dieser Eigenschaft von log(j;(i) ergiebt sich nun, dass die in (IV.) unter der Voraussetzung, dass t eine zwischen 0 und 1 liegende reelle Grösse sei, begründete Gleichung

(1.) log -KO log ^(1-0 -- ^'

für jeden dem Bereiche T' angehörigen Werth von t Gültig- keit hat.

Da nämlich nicht nur \o^if{t)^ sondern auch log(j;(l — i5) in T' überall regulär sich verhält, so lässt sich, wenn t^ irgend ein bestimmter Werth von t ist, in einer bestimmten Umgebung von t^ der Ausdruck

log^COiog^Ci-O-'t'

in der Form einer Potenzreihe von t — t^ darstellen. Nimmt man t^ in der Strecke (0...1) an, so sind die Coefficienten dieser Reihe, weil es dann in jeder Nähe von t^ Werthe der Grösse t giebt, für welche der vorstehende Ausdruck verschwindet, nothwendig alle gleich Null; dies muss also, da der Bereich T' ein Continuum ist, nach einem bekannten functionentheoretischen Satze auch für jeden anderen Werth von t^ der Fall sein, und somit die Gleichung (1.) an jeder Stelle von T' bestehen.

Es ist ferner, da die zweite Coordinate von (p(^) dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t hat,

log4;(0 = log(-<KO)±iir, wo das obere oder das untere Zeichen vor i gilt, je nachdem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist. Da nun log(— ({»(O) in der Nähe eines jeden negativen reellen Werthes von t sich regulär verhält, so er-

giebt sich (2.)

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 297

für jeden negativen reellen Werth von t.

Mit Hülfe dieser Formeln erhält man aus Gleichung (1.) für einen reellen Werth von t, der > 1,

(3.)

logC^it)

log (-4(1-0) + ««

Man nehme jetzt an, es habe die Grösse t einen imaginären Werth, und verstehe unter e die Zahl 1 oder —1, je nachdem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist. Dann verwandelt sich

l-(l-0^^

i + (i-0*'

wenn man l — t für t setzt, in

i'-^j

man hat also

(4.) i.(l-0 = -'l'(^),

woraus

(5.) logi-(l-0 = loS'^(V-)-

•etTT.

Die Gleichung (1.) ferner verwandelt sich, wenn man in ihr ^-r- für t setzt, in

(6.) log^(iz±)log^(l) = ^..

Setzt man dann in (5.) -j- für t und beachtet, dass die zweite Coordinate von -^ dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t hat, so kommt

(7.) log^^d) = log<p(^)-

n. 38

298

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Endlich ergiebt sich aus (l.), wenn man j— - für t setzt,

(8.) i°sHt^)^°^Kt:^)=^^'-

Die Gleichungen (1.), (5.), (6.), (7.), (8.) führen nun zu den folgenden, in denen auf der Rechten vor i das obere oder das untere Zeichen gilt, je nach- dem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist:

log^(0

(9.)

log ^(1-0

log^(0

log^it)

1tl0g<];^yj ^T + ilog.Myj

-<-tir

log^CO =

Die Modificationen, welche diese Gleichungen erfahren, wenn die zweite Coordinate von t verschwindet, sind nach dem Vorhergehenden leicht zu er- mitteln.

Jetzt denke man sich in der Ebene der Veränderlichen t einen Kreis (ZyJ mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt 0, einen zweiten Kreis {LJ mit demselben Radius und dem Mittelpunkt 1 beschrieben und durch die

TT! 7C»

Durchschnittspunkte von (ij, {LJ, in denen t die Werthe e " , e * hat, eine unbegrenzte Gerade (ij gelegt. Dann wird durch diese drei Linien die Ebene in sechs Stücke (r„, T^, ... TJ zerlegt, in der Art, dass die Strecken

(o-4). (|-l)' (1-2), (2- + C«), (-00...-1), (-1...0)

beziehlich in liegen.

ZUK THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

/TT /TT rrt rji rji /TT

■*0J •'-ly -^a' -^SJ •'^4? -^5

299

Ordnet man jedem Werthe von t zwei andere {, f zu mittels der Gleichungen

t + t' = 1, tt" = 1, so entsprechen Werthen von t in

rji rri rp rp rp rp

■'■01 -^11 -^») ■'■it ■'■il -^6

Werthe von t' beziehlich in

m Y' /TT rp rp rp

-^1> 0) 6) -^41 -'^SI -'•81

und Werthe von f beziehlich in

rp q, rp rp rp rp

-*^S' ■'•8> -^l» 0> -^»I ■^«*

Daraus ergiebt sich dann leicht der folgende Satz: Liegt t in

rp rp rp rp rp

■'■it -'ji -'«i -^4' -'^ei

80 liegen beziehlich

t-l 1 1 <

1-^

t ' t ' 1-t ' t-l

in T.

38'

300

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Nach den unter (9.) zusammengestellten Formeln lässt sich also die Be- rechnung von '\i{t) für jeden gegebenen Werth von t zurückführen auf die Berechnung derselben Function für ein dem Bereiche T^ angehöriges Ar- gument.

Für reelle Werthe von t kommen dann die folgenden Formeln zur An- wendung :

(10.)

t = J-h

log^(0 =

log^(l-0

t =

1...2, log^(0- ,,_ , log1>(0-

log -> (^ ^ j - «Tt log <!< ( — ^ ) + f

U log <{.(-) _ Ttl0g.j;(y)

2... + <x,, log^(0 = M^, log^-CO- ^^

7t-ilog<j-fjj

■K + ilog'\'(jj

+ TT —

t = -oo 1, log<>(!!) = , ^ .+ii^, log<];(0 =

— ITC

t =

■1...0, log<t(?) = log4-(-^) + iTc, log']>(Ö=log<j.(-^)-i7t.

Es bleibt nun noch zu untersuchen, welches der grösste Werth ist, den der absolute Betrag von

9(0

i-(i-0* i + (i-0*

annehmen kann, wenn die Grösse t auf den Bereich T^ beschränkt wird.

Wie bekannt, gehört dieser grösste Werth zu einem an der Grenze von Tj liegenden Werthe von t. Die Grenze von T"^ aber wird gebildet von der

"3" IT

zwischen den Punkten e , e liegenden Strecke der Geraden L^ und dem von denselben Punkten begrenzten und durch den Punkt 0 gehenden Bogen

des Kreises L .

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Setzt man, unter w eine reelle Grösse verstehend,

301

1 i to

1

wi , ^

e +1

so durchläuft t die Gerade i,, wenn w die Strecke (— it — i-t:) durchläuft. Dann ist — ^|^^^ gleich dem reellen Bestandtheil von

also, da

dw

(j(i-o-'4(i-<)-')

^\ d log t dw '

\-t

2 cos

w

d\o%i

dw

ite"" = -iil-t),

djMQj

dw

— 4- —

-|<p(0!-((2cos-) sin- + (2cos^) sm— j

Innerhalb der Strecke (w = —ir — i-u) wird \^{t)\ weder gleich Null noch unendlich gross; es verschwindet also —^~ für w = 0 und ist positiv, wenn w zwischen 0 und tc, negativ, wenn w zwischen 0 und — tc liegt. Der ab- solute Betrag von cp(<) ist also ein Minimum für w = 0 und nimmt beständig pzu, wenn t stetig wachsend die Strecke (0 . . . tc) oder stetig abnehmend die Strecke (0 tt) durchläuft.

Für t

3 8 3»

e hat man, da 1 — e = e ist,

und für t = e

T

?(0 =

1-e

12

1 + e

12

itg

24'

?(0 = -**s^-

Der grösste Werth, den der absolute Betrag von cp(f) in der die Punkte e , e ' verbindenden Geraden annehmen kann, ist also gleich tg^-

Setzt man ferner

1-e

302 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN

SO durchläuft t den Kreis L^^ wenn %v die Strecke (— tt — i-tc) durchläuft. Dann hat man

wi ~T

, 1 — e w

'PW = Z^ = **ST'

und der absolute Betrag von cp (i) ist ein Minimum an der Stelle i/; = 0, f = 0 und ein Maximum an der Stelle w = + tt, t = 1. Den grössten Werth, welchen derselbe in dem einen Theil der BegTenzung von T^ bildenden Kreis-

bogen annehmen kann, en-eicht er also in den Punkten e % e \ Damit ist bewiesen :

Der absolute Betrag von cp(^) hat in dem Bereiche T^ seinen

Tri Tri

grössten Werth an den Stellen i = e '^ und ^ = e %und es ist derselbe gleich tg^-

Hiernach convergirt für jeden dem Bereiche T^ angehörigen Werth von t die Reihe

so rasch, dass in der Praxis der Regel nach schon die drei ersten Glieder, in manchen Fällen sogar die zwei ersten den Werth der Function <^{^^ in hinlänglicher Annäherung geben.

VII.

Setzt man in den Reihen, durch welche die Functionen ^„(v |t), 5,(v|t) U.S.W, definirt werden, unter e eine der Zahlen 1,-1 verstehend, e + T für X, so ergiebt sich, dass die Functionen

^„(t>|T), .3;(t;|r), \{v\x), \{v\i)

beziehlich den Functionen

-— -i-

gleich sind.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Setzt man ferner in den Gleichungen (IV., (l.))

303

\R

TTTt

u

IM

n = !ö^{0,q).VTz, ui = ^^{0,q').v'Tz,

drückt [mittels der Formeln (III., (6.))] /"(«, 5'), /*,(«*, y), /",(«*, ?) durch die Functionen ^{vK,q), ^^{vK,q), ..., f{ui,q'), f^(ui,q'), fj(ui,q') durch ■^(v''K,q'), .^(»'tc, 5»'), ... aus, und bemerkt, dass nach den Formeln (IV., (6.))

^,(0, g) _ ^3(0, g') -^(Q,g) _ PJMI -^(o.g) _ -3»(o,g')

4(0, g) ^(0,2')' AlO,g) ^{0,q)' 4(0,2) 4(0,2')'

\md somit

4(0,2) = 74(o,g')

T

ist, so gelangt man zu dem folgenden Satze:

Der Quotient je zweier der Functionen

4(t;|T), 4(Ht), 4(^h), 4(«h)

ändert seinen Werth nicht, wenn man an Stelle dieser Functio- nen beziehlich die folgenden:

5.(-^|-j), IM-t1-{). M-tI-I). M-tI-4)

setzt.

Jetzt setze man, wie oben (V.)

(1-)

und

2yw + (2(? + 1) log 'KA;') (2a + l)ui+ 2^ log <{-(&')

(2.)

(3.)

= e + T, =

e

l-er.

1

l-et^'

l-er, '

-e + 1^1,

V. =

V. =

u4(01tJ'

v„ = —■

ZV. =

v» = v, = -^, '■1

304 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

oder, da nach den Formeln (IV., (6.), (7.))

■A,^(o|t.)

'l'.

■^/(0|rJ

tl

4 '3

^.^(OitJ

— e

A,^(OlTe)

ist,

ui

Ul

(4-)

u

U^^(OiTj'

V, =

Dann erhält man, indem man in den Gleichungen (V.,(9.)) die Functionen ^(rr, g-), ^^{x, q), ... beziehlich in

verwandelt und diese mittels wiederholter Anwendung der beiden vorstehenden Sätze durch 5^-Functionen der Argumente

ersetzt, die nachstehenden Darstellungen der elliptischen Functionen sin am («, fc), cosam(««, Ä;), Aam(«*, Ä;), in denen e, /3, y, y'F» \l^.—k'' dieselbe Bedeutung haben wie in den citirten Gleichungen (9.):

_ AKl

(5.) i^¥ .s,m&m{u,h)

AK

AK

(6.)

— Tj ^ COS am (m , A") = -^^-

v^^^ AK

,■2 A(^,

(7.) ^ipL=..Aam(M,Ä;) = t^M"'

fi::^ ^ ^ AKh.

A(^, _ AMii

•2 Al«'.

Ak

1 AKI'a) ^ l.AKJjii

i AKI^J * AKh.) i"' AKM _ ,-^ AKjj

AKhs)

aki

_ AKIt^J ^ ^2 AKh.) AKh.) AK ha)

^•2 AKh«)

AKh.)'

^ AKhJ ^ ,-2 AKh.) AKl^J "AKh,)

jO ^ AKh.) ^ AKh.) ^4) AKI^J AK!^,)'

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. 305

^ Dabei ist zu bemerken, dass

ist.

Die Grössen x , ... t,, durcb x^ ausgedrückt, haben die Gestalt

C + btj

a + b-^

wo jede der Zahlen a, b, c, b einen der Werthe 0, 1,-1 hat und die Relation ab — bc = 1 besteht. Durch x = -^log^{k^) ausgedrückt erhalten sie also

die Form

c + d-z a + b-z '

WO a, b, c, d ganze, durch die Gleichung

ad — hc := 1

mit einander verbundene Zahlen sind. Es ist zugleich leicht zu zeigen, dass umgekehrt, wenn a, b, c, d irgend vier, der vorstehenden Bedingungsgleichung genügende ganze Zahlen sind, der Ausdruck " ,Z stets auf eine der 6 Formen

1 1 — CT, t, e _

gebracht werden kann, wo x^ die Gestalt

^' (2« + 1) + 2^T

hat und «, /3, y, d ganze, durch die Gleichung

(2a + l)(2(J+l)-4/3y = 1

mit einander verbundene Zahlen sind. Dabei kann e nach Belieben gleich 1 oder gleich —1 gesetzt werden.

Nimmt man insbesondere «, ß, y, d gleich 0 an, also

n. 39

306 ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

und bestimmt, zunächst unter der Voraussetzung, dass ¥ eine imaginäre Grösse und, wie oben, e gleich 1 oder gleich —1 sei, je nachdem die zweite Coor- dinate von ¥ positiv oder negativ ist, mittels der Formeln (2.) die Grössen T,, ... Tj, so ergiebt sich aus den Gleichungen (VI., (1.), (5.), (6.), (7.), (8.))

!/ Ä' — 1 \ ¥

Man hat ferner

log {¥) = log (- ¥) + eui , log (1 - ¥) = log {¥ - 1) - e« ,

und daher

.2 *i 7« *IZ Ti ■ 2 *r

(9.) \f¥ = t\P¥, \Jl-¥ = i '\f¥^^.

Man erhält also aus den Gleichungen (5.), (6.), (7.), wenn man jetzt wieder die Jacobi' sehen Bezeichnungen einführt und

(10.)

(11.)

V

M ui ui

u ui u

setzt — wo dann

(12.) J

ist — , sechs specielle Formel-Systeme, die in der nachstehenden Tabelle zu- sammengestellt sind.

In den drei ersten Colonnen stehen ujiter sinam(««, fc), cosam(«, ifc), A am {u, k) die Zähler, und in der vierten Colonne der gemeinschaftliche Nenner der Brüche, durch welche diese Functionen in den sechs angegebenen Fällen ausgedrückt werden.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

307

	sin ara(M, k)	cos am (m , Je)	A am (u , k)
	^•A(^,.)	\/l-k' „, ,
1.	^/l-k^.^,ix,q)	l^{x,q)
2.	i^V-^'^""^^^	\/l-k' ^, ,	^1-F.^,{x„q,)	/A(^.,3J
3.	iW^'^^-''^	\/k'-l ^, ,	^k^-l.^{x,,q,)	/A(^.,?.)
4.	^^,-A(-3,^,)		\/k^-l-^,{x„q,)	/-^(^s.ffa)
5.	i(^-^'^"-^*)		\/l-F-^,ix,,q,)	/ 4 (^4,^4)
6.	^_^,-A(^.?J	\/l-k' .,	^l-¥-^{x„q,)	/^s{x„Q,)

Diese Ausdrücke der elliptischen Functionen gelten nun auch für reelle Werthe von k^, wenn die vorkommenden Wurzelgrössen richtig bestimmt werden, worüber ich Folgendes bemerke.

Es ist oben angegeben worden, wie man für einen gegebenen reellen Werth von k^ die Wurzelgrösse \/l-k^, von welcher der Werth von q =: <\i{F) abhängt, sowie die Werthe von y/ÄT, \f^ zu bestimmen habe, damit die Gleichungen

^3(0,2) ~^^' 4(0,2) -vi *

[bestehen. Auf dieselbe Weise fixire man, wenn an die Stelle von F die

39»

308

Grössen

(13.) K

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

1-Ä'

F-1

1.» J_

'"2 j^J ! "'S yj.« )

treten, für v = 1, 2, 3, 4, 5 die Werthe von

"* - 1-

— Tr'

so dass man (14.)

^.(o,g.)

V^,

^(0, q^)

V^i^

(1-= 1,2,3,4,5)

hat. Setzt man andererseits in den Formeln der vorstehenden Tabelle u ^= 0 und bestimmt sodann die Werthe, welche ',v|'^''; , f^,"' ^'l nach diesen Formeln haben müssen, so ergiebt sich

(15.)

^-v^ =W'

VÄ5- Vi_fc. - ^^— yr'

1

Durch diese Gleichungen werden also die Werthe gegeben, die in den Formeln (1.), (2.) der Tabelle die Grössen y/F, \/l — k', in den Formeln (3.), (4.) femer \/k'-i, \/¥, und in den Formeln (5.), (6.) \f^^% v^H^ haben müssen, wobei es nun keinen Unterschied macht, ob k' imaginär oder reell ist.

Gehört die Grösse ^ = A;" dem oben (VI.) mit T^ bezeichneten Bereiche an, so wird man von den vorstehenden Ausdrücken der elliptischen Functio- nen am zweckmässigsten die unter (1.) aufgestellten anwenden, weil dann der absolute Betrag von q niemals die Grenze

Überschreitet und deshalb die ^-Reihen sehr rasch convergiren.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

309

Gehört aber t = k' dem Bereiche T^ an (v — 1, 2, 3, 4, 5), so liegt ä;' im Bereiche T^, und man gebraucht dann zur Berechnung der elliptischen Functio- nen am zweckmässigsten die 4n der (v + l)'*" Horizontalreihe der Tabelle an- gegebenen Ausdrücke.

Ist k* reell und liegt im Bereiche T^ (v = 0, ... 5), so sind in den unter No. (v + 1) aufgestellten Formeln q^ und die vorkommenden Wurzelgrössen sämmtlich reelle und positive Grössen.

Es ist noch zu bemerken, dass aus den Gleichungen

m,.) = 3.(o,,;,^4(«,^), ||§ = |^

sich die folgenden Ausdrücke von ^(0, 9^), ^(0, 5-^), ^^(O) 5'») ergeben:

l + \/l- kl l + \/l- kl

(16.) ( ^(„„., = ^!l|3^.4(«,,:) = Ja.(i+.,Hv+-)

Man erhält also insbesondere für die in den Gleichimgen (l 1 .) vor- kommenden Grössen ^,{0,q), ... ^(0,^,):

2

(17.)

4(0. g) =

.(H-2g*+22»+...)

l + V'l-yl'' 4(0, gj = -^,^.(l+2gt+2g;'+...)

^(0,g.) = -^,^.(i + 23;+23j'+...) 5(0, S.) = j~==(l + 2gi+2,:^+-).

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN

COMPLEXEN GRÖSSEN.

(Auszug aus einem an H. A. Schwarz gerichteten Briefe, der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gröttingen mitgetheilt am 1. December 1883.)

Berlin, 19.— 27. Juni 1883.

Ich komme jetzt zur Beantwortung Ihres Briefes vom 9. d. M.

Die Fragen, die derselbe enthält, lassen sich, wie ich glaube, in vöUig be- friedigender Weise erledigen.

In der Selbstanzeige seiner zweiten Abhandlung über die biquadratischen Reste schliesst Gauss, nachdem er seine AufFassungsweise des Begriifes und der Theorie der aus zwei Haupteinheiten (1, i) gebildeten complexen Grössen dargelegt hat, mit folgender Bemerkung:

»Der Verfasser hat sich vorbehalten, den Gegenstand, welcher in der vorliegenden Abhandlung eigentlich nur gelegentlich berührt ist, künftig voll- ständiger zu bearbeiten, wo dann auch die Frage, warum die Relatio- len zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr als iwei Dimensionen darbieten, nicht noch andere in der allgemei- len Arithmetik zulässige Arten von Grössen liefern können, ihre leantwortung finden wird.« (Gauss Werke, Band II. S. 178.)

Aus dieser Bemerkung scheint mir hervorzugehen, dass Gauss Unter- Isuchungen darüber angestellt habe, ob sich für complexe Grössen mit n Haupt- [einheiten die Grundoperationen, Addition, Multiplication , Subtraction und )ivision so definiren lassen, dass die im Gebiete der sogenannten reellen IZahlgrössen (der Grössen mit einer Haupteinheit) bestehenden arithmetischen

312 ZUR THEOHIE DER AUS « HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Gesetze ihre Gültigkeit behalten, und dass er dabei zu der Überzeugung gekommen sei, es werde dies unmöglich, sobald w > 2.

Um über diesen Punkt ins Klare zu kommen, habe ich bereits vor Jahren*) folgende Betrachtungen angestellt.

Nach Aufstellung des Begriffes einer aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grösse ist zunächst zu untersuchen, ob und wie sich für ein Ge- biet solcher Grössen, d. h. für die Gesammtheit der aus denselben Haupt- einheiten (e-j, gj, . . . e^ gebildeten Grössen die arithmetischen Grundoperationen so definiren lassen, dass erstens, wenn a,b, c, ... beliebige Grössen des Ge- bietes sind,

a + b, a — b, ab, -r

ebenfalls dem Gebiete angehören, und dass zweitens die in den folgenden Gleichungen ausgesprochenen Gesetze gelten:

(1.)

Es mögen im Folgenden mit den griechischen Buchstaben Zahlgrössen bezeichnet werden, die aus einer unbenannten Haupteinheit gebildet sind, so kann jede Grösse des betrachteten Gebietes in der Form

dargestellt werden, wenn man unter |^e^ die Grösse versteht, die man dadurch erhält, dass man e^ an die Stelle der unbenannten Haupteinheit von ^^ setzt. Die Zahlgrössen |^ sollen die Coordinaten der betrachteten complexen Grösse genannt werden. Dies vorausgeschickt, sei

a = '^u^e^, 6 = S/3„ea. (a = l,2,...M)

a 0

so ergiebt sich aus den Gleichungen (1.), dass a+b, a — b zu definiren sind durch die Formeln

(3.) a + 6 = S(«a+^a)ea> ' «"* = 2 («a" ^«)e„ (a = 1, 2, . . . n).

		' ab = ha
a + b = b + a		{ah)c = (ac)b
{a + b) + c = {a+c) + b	(2.)	1 a(b + c) =: ab + ac
{a — b)+h = a,		— b = a. i 0

*) Im Wintersemester 1861 — 62 habe ich zum ersten Male über diesen Gegenstand etwas vorgetragen.

ZXJR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 313

Ferner folgt aus (2.)

(4.) ab = 'Zi«bßc)iebe,), (b,c = 1,2, ...n)

oder, da e^e^ die Form

a

haben soll:

(6-) oft = S (\a,c«b^c)ea-

a,b,c

Aus den Gleichungen

(7.) e^e, = e^e^, (e^eje;, = (e6e,,)e, (h,c,b = 1,2, ...n)

ergiebt sich nun eine Anzahl von Bedingungsgleichungen, denen die Grössen ^abc genügen müssen, welche hinzuschreiben für das Folgende jedoch nicht erforderlich ist. Man überzeugt sich aber leicht, dass denselben durch un- endlich viele Werthsysteme der Grössen e^ ^ Genüge geschehen kann. Wählt man irgend eins dieser Werthsysteme aus, so wird durch die Gleichung (6.) das Product ab stets so definirt, dass die Gleichungen

ab = ba, {ab)c = (ac)b, a{b + c) = ab + ac

bestehen. Um dann -^ zu definiren, setze man

X ^ Syae,; (a=l,2,...n)

dann sind y^, y^, ... y^ so zu bestimmen, dass die Gleichungen

(B.) «a = S^o.b.c/SbT'c (a = l,2,...«)

b,c

bestehen.

Hat nun die Determinante

e = \'E^a.b.cßi\ (a,b,c=l,2,...n)

b

einen von Null verschiedenen Werth, so sind durch die vorstehenden Glei- chungen die Coordinaten y,, y,, ••• y„ eindeutig bestimmt, und es ist demnach die Division von a durch b möglich. Ist aber s = 0, so ist die Division nur dann ausführbar, wenn unter den Grössen a^, a^, ...«^ eine bestimmte Re- lation stattfindet; es hat aber dann der Quotient j unendlich viele Werthe. II. 40

314 ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Hiernach ist die Wahl der Grössen e^, ^ ^ der Beschränkung zu unter- werfen, dass die in Rede stehende Determinante nicht identisch, d. h. für beliebige Werthe von ß^, ß^, ... ß^ verschwinden darf. Aber, wenn diese Be- dingung erfüllt ist, kann es doch specielle Grössen b geben, für welche die zugehörige Determinante verschwindet — eine genauere Untersuchung zeigt sogar, dass solche Grössen stets existiren, sobald ri > 2 ist — ,*) worauf jedoch hier noch nicht eingegangen zu werden braucht. Eine derartige Grösse b ist dadurch charakterisirt , dass sich ihr, und zwar auf unendlich viele Arten, eine andere Grösse c, die nicht gleich Null ist, so zugesellen lässt, dass

bc = 0

ist; ich will sie deshalb einen »Th eiler der Nvill« nennen, und diese Be- nennung auch auf den Fall ausdehnen, wo sie selbst den Werth Null hat. Es ist klar, dass ein Theiler der Null wieder einen solchen giebt, wenn er mit einer beliebigen Grösse multiplicirt wird. Hiernach wird die Gleichung

a + bx =: 0

durch unendlich viele Werthe von x befriedigt, wenn a,b die Form

a = Jca', l = Jcb'

haben und k ein Theiler der Null ist, b' aber nicht. Denn dann kann man, wenn l irgend ein solcher Theiler der Null ist, der mit k multiplicirt das Product 0 giebt, x so bestimmen, dass a'+b'x = l ist, und hat dann

k{a+b'x) = M = 0.

Ebenso kann eine algebraische Gleichung beliebigen Grades

a + bx + \-Jix'" = 0

unendlich viele Wurzeln besitzen, wenn ihre Coefficienten (a,b,...h) die Form

a =: Jia, b = kb', ... h = kh'

haben und k ein Theiler der Null ist. Dazu brauchen bloss die Grössen

*) Auch in dem Falle , wo n = 2 , kann es solche Grössen geben , wenn man bei der Definition der Multiplication die Grössen C(, (, <; den angegebenen Bedingungen entsprechend, im Übrigen aber nach Will- kür annimmt.

ZUR THEORIE DER AUS H HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 315

d, b', ... h' SO beschaffen zu sein, dass sich die Gleichung

a'+b'x+--- + h'x"' = l

für unendlich viele Werthe von /, für welche kl = d ist, lösen lässt.

Die Existenz der »Theiler der Null«, welche nicht gleich Null sind, scheint also einen wesentlichen Unterschied zwischen der Arithmetik der aus mehreren Haupteinheiten gebildeten Grössen und der gewöhnlichen Arith- metik zu begründen. Indessen, da es im Gebiete der aus einer Haupt- einheit gebildeten Grössen keinen anderen Theiler der Null giebt, als diese selbst, so ist der Satz, dass in der Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen eine algebraische Gleichung von der angegebenen Beschaffenheit un- endlich viele Wurzeln haben könne, eine naturgemäss begründete Analogie zu dem in der gewöhnlichen Arithmetik geltenden, dass eine algebraische Gleichung unendlich viele Wurzeln hat, wenn alle ihre Coefficienten gleich Null sind. Und diese Analogie würde eine vollkommene sein, und die Arith- metik der allgemeinen complexen Grössen mit der Arithmetik der aus einer Haupteinheit gebildeten, so weit als es überhaupt möglich ist, in Einklang gebracht werden, wenn es sich herausstellte, dass im Allgemeinen, d. h. wenn bei der Festsetzung des Multiplicationsverfahrens nur specielle — bestimmt anzugebende — Werthsysteme der Grössen e jj ausgeschlossen werden, eine algebraische Gleichung nur in dem Falle, wo alle ihre Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication desselben mit beliebigen Grössen hervorgehen, unendlich viele Wurzeln haben könne.

Dies verhält sich aber in der That so. —

Angenommen wird also zunächst, dass die vorhin mit e bezeichnete Determinante nicht identisch gleich Null sei. Daraus ergiebt sich die Existenz einer Grösse e^ von der Eigenschaft, dass e^a =^ ae^ ^ a ist für jeden Werth von a. *)

Nun sei

eine Grösse des betrachteten Gebietes mit unbestimmten Coordinaten (1^, |,, . . . | ),

*) Siehe die Anmerkungen auf Seite 332.

40'

316 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

und es werde o^ auf die Form

(9.) ^" = rex+ire.+-+ce„ (r = i,2,...n)

gebracht. Angenommen nun, es sei die Determinante

|^"| (,^,r=l,2,...«)

identisch gleich Null, so lässt sich aus den Gleichungen (9.) eine andere von der Form

ableiten, wo ?w < w und die Coefficienten X ganze Functionen von | ,| ,... | sind, von denen X^ nicht identisch gleich Null ist.

Man lege nun den Grössen 1^, |^, ... §^ bestimmte Werthe 1^, |^, ... |' bei, wodurch X den Werth X' erhalte. Dann existiren, wenn man von particulären Werthsystemen der Grössen |^ absieht, unendlich viele Werthsysteme (1^,1^,...!^), für welche die Gleichungen

	X. _ x;	x„	x;
	X„ X[ '	Xo "	x;
bestehen.*)	Setzt man daher
	a^ =	= x;e„,

(fi = 0,l,2,...»i)

SO hat die Gleichung

unendlich viele Wurzeln, ohne dass ihre Coefficienten sämmtlich Theiler der Null sind.

Die Determinante

Hn (^,v = l,2,...n)

ist eine homogene ganze Function der Grössen 1^, 1^, . . . |^ und im Allgemeinen nicht identisch gleich Null, wie man leicht nachweisen kann.**) Ihre Coeffi- cienten können mithin nur für specielle Werthsysteme der Grössen e„ ^ ^ ver- schwinden, und diese müssen also ausgeschlossen werden, wenn der Forderung, dass eine algebraische Gleichung nur in dem besprochenen Falle solle un- endlich viele Wurzeln haben können, genügt werden soll.

*) Siehe die Anmerkung auf Seite 332. **) Siehe die Anmerkung auf Seite 337.

ZUR THEORIE DER AUS tl HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 317

Dies vorausgesetzt, gebe man den Coordinaten |^ irgend welche be- stimmten Werthe, für welche die in Rede stehende Determinante einen von Null verschiedenen Werth und zugleich x einen Werth g erhält, der nicht ein Theiler der Null ist. Dann lassen sich die Grössen e^, e^, ... e^ in der Form

(10.) e„ = S«a,6 5''' (6 = l,2,...n)

b

darstellen, und man erhält, wenn man auch ^"'^' bildet, eine Gleichung

(11.) ^'.+>+e,^"+e,^''-+... + e„i/ - 0

oder

(IIa.) ^"+s.5'"~'+s,;7''"'+ ••• + £„«„ = 0.

Setzt man nun, unter n irgend eine ganze positive Zahl verstehend,

(12.) ffn = 9\ 9o = e„

so lässt sich jede Grösse a des betrachteten Gebietes in der Form

(13.) a = ^aaSfa (a = 0,l,...n-l)

a

darstellen. Dann ist

(14.) (S«a^a)(S^a5'«) = 2(«6^c)^b+c, (6, C = 0, 1, . . . ^-1)

a a 6,c

und mittels der aus (IIa.) sich ergebenden Gleichungen

ö'n+n + ei^fn+n-i + ^.Un+xi-i + " " " + ^n^'n = 0 (n = 0, 1, ... cd)

kann dann das Product auf die Form

Sn^a (a = 0,l,...«-l)

a

gebracht werden. Wk, Führt man nun die Grössen /7^, .<7,, ... ^„_j statt der Grössen e,, e^, ...e^

als Haupteinheiten ein, so erhält man ein vereinfachtes Multiplications- verfahren, bei welchem jede der Grössen z^^^ eine ganze Function der Grössen e^, e^, ... e^ ist, oder auch einen der Werthe 0, 1 hat. Dasselbe lässt sich nun auch folgendermassen formuliren.

Man verstehe unter l eine unbestimmte Grösse mit einer unbenannten Haupteinheit und setze

318 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Ferner werde, wenn

a = S«o5'a (a = 0,l,...M-l)

ist, die Function

a

als die zu a gehörige Function von | bezeichnet, sowie umgekehrt a die zu dieser Function gehörige Grösse genannt. Dann lässt sich das Multiplications- verfahren kurz so ausdrücken:

Es seien cp(|), <\i{^) die zu zwei gegebenen Grössen a, b gehörigen Functio- nen, i(^) der Rest, welcher bei der Division des Productes cc(|).^j;(|) durch /■(l) bleibt, so dass man

hat — wo -&(§), x(l) ganze Functionen der Grösse | von nicht höherem als be-

ziehlich dem (w — 2)'™ und (w — 1)*"" Grade sind — , und c die zu i{^) gehörige

Grösse, so ist

ab = c.

Umgekehrt lässt sich leicht zeigen, dass die in den Gleichungen

ah ^ ha, {ab)c = (ac)&, a{h + c) = ab + ac

ausgesprochenen Gesetze der Multiplication bestehen, wenn man nach will- kürlicher Annahme der Grössen e^, e^, ...£„ das angegebene Multiplications- verfahren anwendet. Dasselbe lässt sich übrigens unverändert auch auf ein Product von mehr als zwei Factoren anwenden.

Die Function /"(|) werde in Factoren ersten oder zweiten Grades mit reellen Coefficienten zerlegt; diese seien /"^(l), /■,(!),... /^^(|), und in jedem derselben sei der Coefficient der höchsten Potenz von | gleich Eins.

Angenommen nun, es seien unter diesen Factoren gleiche vorhanden und es komme z. B. der Factor /j(|) A-mal vor, so setze man

cp(l) .= /•,(!). F(|).cp,(g),

unter ^^(1) eine ganze Function mit willkürlich anzunehmenden reellen Coeffi- cienten verstehend, deren Grad kleiner ist als der von fi"'(l) — wo dann, wenn k — 2 und /j(|) vom ersten Grade ist, cpj(|) auf eine Constante sich

ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 319

reducirt — , so ist

cp^(l) durch m

theilbar. Es ergiebt sich aber aus dem angegebenen Multiplicationsver- fahi-en, dass ein Product beliebig vieler Factor en den Werth Null hat, wenn das Product der zugehörigen Functionen durch /"(!) theilbar ist. Folglich hat man, wenn x die zu cp(|) gehörige complexe Grösse ist,

x^ = 0.

Diese Gleichung besteht also für unendlich viele Werthe von x.

AVenn also für die Arithmetik der aus n Haupteinheiten gebildeten Grössen gelten soll, dass ausschliesslich algebraische Gleichungen von der oben angegebenen Beschaffenheit möglicherweise unendlich viele Wurzeln haben, so müssen von den Werthsystemen der Grössen £„ ^ ^ ' welche den aus den Gleichungen (7.) sich ergebenden Bedingungsgleichungen genügen, ausser den bereits angegebenen noch alle diejenigen ausgeschlossen werden, bei denen für irgend eine Grösse g die Grössen e^, s^, . .. e^ solche Werthe erhalten, dass die Discriminante der Gleichung

verschwindet.

Es lässt sich aber nachweisen, dass die in Rede stehende Forderu.ng stets befriedigt wird, wenn für ein bestimmtes Werthsystem der Grössen e^j^. die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

Aus den Gleichungen (9.) erhält man für jede Grösse

^ = S^a^« (0 = 1,2,...»)

a

eine Gleichung

X„x''+'+X,x'' + --- + X„x = 0, WO

^0 = li;^M (f.,.. = 1,2,...«)

tind die Coefficienten X^, ■ ■■ X^ ebenso wie X^ homogene ganze Functionen von Ij, Ij, ... |„ sind. Dann sind von den fraglichen Werthsystemen der Ij Grössen s.^^^ nur diejenigen auszuschliessen , für welche entweder die oben mit £ bezeichnete Determinante, oder X„, oder endlich die Discriminante der Gleichung

x„r+x,r-'+... + x„ = 0

identisch verschwindet.

320 ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Denn man wähle aus den übrigen Systemen irgend eins aus und gebe den Coordinaten 1^, 1^^, ... |^ bestimmte Werthe, der Art dass weder s, noch X^,, noch die genannte Discriminante gleich Null wird, setze

(15.) g = Sta^a, 0-0 = ^- 9n= f, ^a == -^ ,

und definire die Multiplication auf die vorhin angegebene Weise mit Hülfe der Function

Den Functionen, welche zu den mit einander zu multiplicirenden Grössen gehören, gebe man aber eine andere Form. Unter den vorhin mit /^j(|), /■^(l), ... f^(|) bezeichneten Factoren giebt es jetzt weder gleiche, noch solche, die einen gemeinschaftlichen Theiler haben; man kann also dem Quotienten y^y, wenn 9(1) eine beliebige ganze Function von nicht höherem als dem (w — 1)*"° Grade mit reellen Coefficienten ist, die Gestalt

geben, in der Art, dass 9 (|) eine reelle Constante oder eine ganze lineare Function von | mit reellen Coefficienten ist, jenachdem ^(|) vom ersten oder zweiten Grade ist. In dieser Form wollen wir uns fortan <p(5) dargestellt denken. Die Gesammtheit der Grössen, für welche die zugehörige Function von l die Form

hat, und die mit ® bezeichnet werde, bildet nun eine Mannigfaltigkeit von einer oder von zwei Dimensionen, jenachdem f (^) vom ersten oder zweiten Grade ist, indem alle in ihr enthaltenen Grössen im ersten Falle aus der zu ~~r gehörigen Grösse, im anderen aber aus den zu 7-7!^) 1^ gehörigen zwei Grössen abgeleitet werden können. Demnach lehrt die Gleichung (16.), dass jede dem betrachteten Gebiete angehörige Grösse a dargestellt werden kann als Summe von r anderen (a^^, ... a,.), die beziehlich den Theilgebieten ®j, ... @, angehören und die Componenten von a genannt werden mögen. Dabei ist noch zu bemerken: Nach (16.) ist cp(5) nur dann identisch gleich Null, wenn sämmtliche tc (|) es sind. Eine Grösse a hat also nur dann den Werth

ZUR THEORIE DER AUS n HAXJPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 321

Null, wenn ihre Componenten (a^, ... aj sämmtlich verschwinden; woraus noch folgt, dass a nur auf eine einzige Art als Summe von r den Gebieten ®j, . . . ®^ angehörigen Grössen dargestellt werden kann.

Dies vorausgeschickt, seien nun a , h^ zwei Grössen, die den Theilgebieten ® und @ angehören, und

die zu ihnen gehörigen Functionen. Dann ist, wenn ft ^ v, 9 (|) . <{/ (|) durch /■(l) theilbar, also

(17.) «^.6, = 0.

Wenn aber v =^ ^, so ist aus der Gleichung

cp(|).<|.(|) = .&(|)./-(|) + x(|)

ersichtlich, dass x(l) den Theiler j^, also die Form jj^x^i^) ^^t, wo /^(l) eine Constante oder eine ganze lineare J'unction von | ist, jenachdem /^(|) vom ersten oder zweiten Grade ist.. Es ist also a ,.&, eine Grösse, die dem- selben Theilgebiete angehört, wie a , h .

Es ist ferner ersichtlich, dass das Product

nur dann durch /^(|) theilbar sein kann, wenn eine der Functionen cp (|), (j; (|) identisch gleich Null ist. Denn da f (|) und jj^ keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so muss, wenn

eine ganze Function sein soll, cp (l).^* (|) durch ^(|) theilbar sein, wozu er- forderlich ist, dass ^^©.l'^CS) identisch gleich Null sei, was in dem Falle, wo /" (I) vom ersten Grade ist, unmittelbar erhellt, in dem andern Falle aber daraus folgt, dass /■,(!) nicht ein Product zweier linearen Functionen von | mit reellen Coefficienten ist.

Hiemach wird das Product zweier demselben Theilgebiete angehörenden Grössen nur in dem Falle gleich Null, wo einer seiner Factoren verschwindet.

n. 41

322 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Nun seien g\ g" , . . . g'''^ die Componenten der Grösse g^, so folgt, wenn a^ irgend eine dem Gebiet (^^^ angehörige Grösse ist, aus den Gleichungen

(18.) g, = g'+g"+... + g''\ g^a^ = g^.-^a^, go%-% = 0,

dass

(19-) 9'''% = %

ist.

Wenn nun ^(|) vom ersten Grade ist, so kann jede dem Gebiete ® an- gehörige Grösse in der Form «//'"' dargestellt werden, und es ist

(20.) WnW) = {^ß)9"''-

Wenn dagegen /^(|) vom zweiten Grade ist, so sei /»''" irgend eine nicht aus ^'"* ableitbare Grösse des Gebietes ®^, so kann jede andere Grösse des Gebietes aus (7''" und Ä''" abgeleitet werden; es ist also auch

/,<'"/i'f" = yÄ"" + /£?"", oder

(21.) (A<^>_|y^<^0),_(y-+ >.y.)^(a,^<„ _ o_

Die Grösse y'+iy' ist nothwendig negativ. Denn wäre sie positiv oder gleich Null, so würde das Product der beiden dem Gebiete ® angehörigen Grössen

gleich Null, ohne dass einer seiner Factoren verschwände. Setzt man also

(22.) Ä"" = ^ Ä"*' - 4 , ■ ^ fl""

so ist /c*'" eine Grösse des Gebietes @ , für welche die Gleichung

(23.) /c""Ä;'^' = -^'f'

besteht. Man kann dann jede Grösse des Gebietes in der Form

darstellen, und es ist

(24.) («(/"« +«'A<f")(^^<''> + ^7c'^') = {aß-aß')g'^''+{uß + aß')¥''\

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 323

Es lassen sich also statt der ursprünglichen Haupteinheiten (e^, e^, .. . e^) n andere, aus denen alle Grössen des betrachteten Gebietes ebenfalls abge- leitet werden können, dergestalt einführen, dass erstens in jedem der Theil- gebiete @ alle Grössen, jenachdem der Grad der zugehörigen Function f (|) 1 oder 2 ist, aus einer dieser neuen Einheiten oder aus zweien sich ab- leiten lassen, und dass zweitens die Multiplication zweier diesem Theil- gebiete angehörigen Grössen im ersten Fall so wie bei den aus 1 abgeleiteten (sogenannten reellen) Grössen (Gleichung (20.)), im andern Falle aber nach der für die Multiplication der gewöhnlichen complexen, aus zwei Haupt- einheiten (1 und i = s/^) abgeleiteten Grössen geltenden Kegel (Gleichung (24.)) ausgeführt werden kann.*)

Sind dann a, b zwei beliebige Grössen des Gebietes, und a^, a^, ... a^ die Componenten von a, 6^, 6^, ... b^. die Componenten von 6, so ist

(25.) ah = «j&j + fljJ^H Vci^h,.]

d. h. man findet für jedes der Gebiete @ die ihm angehörige Componente des Products ob., wenn man die entsprechenden Componenten der Factoren mit einander multiplicirt , was nach einer der Formeln (20.), (24.) auszuführen ist.

Soll das Product ab gleich Null sein, so müssen die sämmtlichen Pro- ducta a 6 es sein, also in jedem derselben einer der Factoren verschwinden. Ist also keine der Componenten von b gleich Null, so kann ah nur ver- schwinden, wenn a gleich Null ist. Sind dagegen einige Componenten von b gleich Null, so ist, damit ah verschwinde, nothwendig und hinreichend, dass die den übrigen Componenten von b entsprechenden Componenten von a sämmtlich gleich Null sind. Theiler der Null sind also sämmtliche Grössen 6, deren Componenten nicht sämmtlich von Null verschiedene Werthe haben.

Ist h nicht ein Theiler von Null, so ergiebt sich aus (25.)

(26.)	a J	a, a.
und aus (20.), (24.)
(27.)

*) Zu demselben Resultate ist, wie Ihnen bekannt, auf einem anderen Wege auch Herr Hazzi- dakis gekommen.

41*

324 ZUK THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

wenn ® eine einfache Mannigfaltigkeit,

«g'^'+«'fc'^' _ ccß + aß' a'ß-aß'

^ ^^ |3p"" + ß'Mi"' ßß + ß'ß' ^ ßß + ß'ß' '

wenn @ eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen ist.

Nimmt man zu den vorstehenden Formeln für die Multiplication und Division noch folgende hinzu

( a + b =^ {a, + b,) + {a, + h,) + .-- + {a,+ b,) I a — b = (a,-&x) + K-&a) + --- + (öy-&,),

so erkennt man die Richtigkeit des nachstehenden Satzes:

Sind beliebig viele Grössen a, b, c, d, .. . des betrachteten Ge- bietes gegeben und es soll aus denselben durch eine bestimmte Rechnung, bei der nur die elementaren Rechnungsoperationen (Addition, Subtraction, Multiplication und Division) in Anwen- dung kommen, eine andere Grösse abgeleitet werden; so erhält man die Componente der letzteren für jedes Theilgebiet ® , wenn man die vorgeschriebene Rechnung mit den diesem Gebiete an- gehörenden Componenten der Grössen a, b, c, d, .. . ausführt.

Angenommen nun, es seien a,b, ... l gegebene Grössen, und es sei eine unbekannte Grösse x so zu bestimmen, dass die Gleichung

a + bx + iJx'- — 0

bestehe.

Die Coefficienten einer solchen Gleichung können auch (ö ausgenommen) unbenannte, aus einer Haupteinheit gebildete Grössen sein. Dann kann man aber, wenn z. B. in der Gleichung das Glied ax'" vorkommt, dafür (ag^)x"' setzen; man braucht also nur den Fall zu betrachten, wo alle Coeffi- cienten complexe Grössen des betrachteten Gebietes sind.

Es seien ic, a, &^, ...^ die dem Gebiete ® angehörigen Componenten von X, a, b, ... l, so hat der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung nach dem Vorstehenden im Gebiete @ die Componente

es zerfällt also die vorgelegte Gleichung in die folgenden r Gleichungen

% + bf,X^+--- + lf,X^ = 0 (^ = l,2,...r).

ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 325

Eine Gleichung von dieser Form, in der die Coefficienten und ebenso die zu bestimmende Grösse Grössen mit einer oder mit zwei Haupteinheiten sind, kann aber — wenn für sie die Definition der Multiplication wie im Vorhergehenden (Gleichungen (20.), (24.)) gegeben wird — nur dann unend- lich viele Wurzeln haben, wenn alle ihre Coefficienten gleich Null sind.

Die vorgelegte Gleichung kann also nur in dem Falle durch unendlich viele Werthe von x befriedigt werden, wenn wenigstens für einen Werth von ft

%> "ui • • • ''u

sämmtlich gleich Null sind.

Nehmen wir an, es finde dies statt für (r — Q) Werthe von (i, und diese seien p + 1, ... r, so dass man

hat. Nimmt man dann eine Grösse

^ = ^^<:^c, {(1 = 1, 2, ...q)

wo Je eine von Null verschiedene Grösse des Gebietes © bedeutet, will- kürlich an, so kann man die Grössen a\ b', ... l' so bestimmen, dass

a = ha', h = W, ... l = M'

wird. Denn es sei a die Componente von a' in @^^, so ist

es muss also a' = -^ sein für ft == 1, 2, .. . p, während a für (i = q + 1, ... r willkürlich angenommen werden kann. Ebenso werden b', ... V bestimmt. (Nimmt man für sämmtliche o^, fc^, ... ^^, wenn ^>q ist, von Null verschie- dene Grössen an, so sind die Grössen a\b\...l' nicht mehr so beschaffen, wie die a,b,...l, nämlich es findet nicht mehr statt, dass für einen be- stimmten Werth von ;t die Componenten o^, b'^, ... l'^ sämmtlich verschwinden.) Hiermit ist nun bewiesen:

Wenn die arithmetischen Grundoperationen so definirt wer- fden, wie im Vorhergehenden geschehen, so findet in der That iBtatt, was oben als Forderung hingestellt worden ist: eine alge-

326 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

braische Gleichung

a + bx + --- + lx'- — 0

kann nur in dem Falle durch unendlich viele Werthe von x be- friedigt werden, wenn alle ihre Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication mit anderen Grössen hervorgehen.

Sie sehen, lieber College, aus der vorstehenden Darlegung, dass bei meiner Untersuchung über die Möglichkeit einer Arithmetik der complexen Grössen mit beliebig vielen Haupteinheiten zwei Gesichtspunkte als mass- gebend im Auge gehalten worden sind: es sollen nicht nur für das Addiren, Multipliciren u. s. w. complexer Grössen die in den obigen Gleichungen (1.), (2.) ausgesprochenen formalen Gesetze gelten, sondern es sollen zugleich zwischen der Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen und der Arith- metik der aus einer Haupteinheit gebildeten Grössen nur solche Unterschiede bestehen, die in der Natur der Sache begründet sind, d. h. welche sich her- ausstellen, wie man auch unter Aufrechterhaltung der ersten i'orderung die arithmetischen Operationen definiren möge. In der gewöhnlichen Arithmetik gilt nun, dass eine Grösse, welche algebraisch von andern gegebenen abhängt, im Allgemeinen, d. h. wenn specielle, bestimmt charakterisirbare Werthsysteme der gegebenen Grössen ausgeschlossen werden, stets nur eine endliche An- zahl von Werthen haben kann. Dies ist von solch wesentlicher Bedeutung, dass eine Arithmetik complexer Grössen, für die nicht dasselbe gälte, eine von der gewöhnlichen ganz verschiedene sein und nicht als eine naturgemässe Verallgemeinerung der letzteren betrachtet werden könnte.

Wie man nun aber auch die Multiplication — auf die es allein an- kommt — der ersten Forderung entsprechend definiren mag, es zeigt sich, dass es stets algebraische Gleichungen giebt, welche unendlich viele Wurzeln haben. Als Gleichungen dieser Art geben sich zunächst diejenigen zu er- kennen, deren Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication desselben mit anderen Grössen hervorgehen. Da es immer Theiler der Null giebt (wenn man nämlich in dem Falle, wo n = 1 oder 2 ist, die Null selbst als solchen aufi"asst), so ist die Existenz solcher Glei- chungen in der Natur der Sache begi-ündet. Zugleich hat sich aber gezeigt,

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 327

dass es andere Gleichungen mit unendlich vielen Wurzeln nur giebt, wenn unter den das Multiplicationsverfahren bestimmenden Grössen e , sewisse, nicht durch die Multiplicationsgesetze bedingte Relationen stattfinden. Solche Werthsysteme der Grössen s^,,^ mussten also ausgeschlossen werden, wenn die Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen soweit, als überhaupt möglich, mit der gewöhnlichen in Übereinstimmung gebracht werden sollte. Dass aber dies auch genüge, um den gestellten Forderungen gerecht zu werden, ist im Vorhergehenden streng bewiesen.

Aus dem Obigen geht noch hervor, dass die Gleichung

a + 6a; + • • • + te^ = 0

durch keinen Werth von x befriedigt werden kann, wenn für irgend einen Werth von /* die Grössen b,...l sämmtlich verschwinden, a aber nicht. Will man nun die weitere l'orderung stellen, dass in jedem andern Falle die Gleichung wirklich Wurzeln haben solle, die dem betrachteten Grössengebiete angehören — mit anderen Worten, will man die Vorstellung imaginärer Wurzeln beseitigen — , so ist dazu nothwendig und hinreichend, dass jedes der Theilgebiete ® eine zweifache Mannigfaltigkeit sei — d. h. man hat bei der Festsetzung des Multiplicationsverfahrens die Grössen t^j^^ so anzunehmen, dass die Gleichung

keine reelle Wurzel hat, so dass also n gerade sein muss. Dann hat die Gleichung

a + hx + — \-Ix'- — 0

Ä*** Wurzeln, wofern l nicht ein Theiler der Null ist — die Modificationen, die eintreten, wenn l ein solcher Theiler ist, sind leicht festzustellen — , ein Satz, der dem für n = 2 geltenden nicht widerspricht, sondern als eine Ver- allgemeinerung desselben zu betrachten ist.

Wenn ich nun mit dem Ergebniss der vorstehenden Untersuchung die im Anfang angeführte Gaussische Bemerkung, dass complexe Grössen mit mehr als zwei Haupteinheiten in der allgemeinen Arithmetik unzulässig seien, zusammenhalte, so scheint es mir, dass Gauss diese Unzulässigkeit als dadurch begründet angesehen habe, dass das Product zweier Grössen, sobald « > 2,

328 ZUK THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

verschwinden kann, ohne dass einer seiner Factoren den Werth Null hat. Denn hätte er diesen Umstand nicht als ein unübersteigliches Hinderniss für die Einführung der allgemeinen complexen Grössen in die Arithmetik be- trachtet, so würde es ihm schwerlich entgangen sein, dass sich eine Arith- metik dieser Grössen begründen lässt, in welcher alle Sätze entweder mit denen der Arithmetik der gewöhnlichen complexen Grössen identisch sind oder doch in der letzteren ihr Analogen finden. Er würde dann auch ohne Zweifel seinen Ausspruch dahin modificirt haben, dass die Einführung der allgemeinen complexen Grössen in der Arithmetik zwar nicht unstatthaft, wohl aber überflüssig sei. In der That geht aus dem oben (Seite 324) ausgesprochenen Satze hervor, dass die Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen zu keinem Resultate führen kann, das nicht aus Ergebnissen der Theorie der complexen Grössen mit einer oder mit zwei Haupteinheiten ohne Weiteres ableitbar wäre.

Gestatten Sie mir nunmehr auf die in Ihrem Briefe enthaltenen, auf den besprochenen Gegenstand sich beziehenden Bemerkungen einzugehen.

Wenn in dem betrachteten Gebiete nach Fixirung der Grössen e^ ^ ^ eine Reihe von Grössen ff^, ff^, g^ u. s. w. existiren soll, für welche die obigen For- meln (14.), (15.) gelten, und dui-ch die sich jede andere Grösse des Gebietes in der Form

«o5'o+«i5'i+--- + ««-i6'„-i

ausdrücken lässt, so darf (ausser e) die im Vorstehenden mit X^ bezeichnete Function der unbestimmten Grössen 1^ , ... |^ nicht identisch verschwinden. Dass dies an sich nicht unmöglich sei, geht aus dem mir von Ihnen mit- getheilten Beispiele des Herrn Kyparissos Stephanos evident hervor — mir war es aber durch Erwägungen bekannt, die geeignet sind, auf die Frage betreffend die Einführung allgemeiner complexer Grössen und die möglichen Verallgemeinerungen der gebräuchlichen arithmetischen Algorithmen noch von einer anderen Seite her Licht zu werfen, und über die ich noch einiges sagen möchte. Vorher will ich nur noch erwähnen, dass ich mich in frühe- ren Vorträgen auf die Möglichkeit des identischen Verschwindens der Function X„ gar nicht eingelassen, sondern nur bewiesen habe, dass dieselbe im All- gemeinen nicht identisch gleich Null sei. Wahrscheinlicherweise habe ich

ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 329

mich dabei nicht deutlich genug ausgedrückt. Im vergangenen Semester,*) wo ich über den Gegenstand abermals im Seminar vorgetragen, habe ich aber ausdrücklich gesagt, ich werde mich zunächst auf den Fall beschränken, in welchem die Grössen e ^ ^ solche Werthe haben, dass weder e, noch X^^, noch die Discriminante der Gleichung

identisch verschwinde. Unter dieser Annahme wurde der soeben angeführte Satz (Seite 324) bewiesen, was mir diesmal die Hauptsache war. Am Schlüsse sollten dann die Erörterungen folgen, die mir jene in Betreff der Grössen e^ ^ ^ gemachte Annahme als nothwendig erscheinen lassen. Leider reichte zu dem Letzteren die Zeit nicht aus, ich werde in diesem Semester darauf zurück- kommen.

Für Grössen, die aus einer Haupteinheit gebildet sind, lassen sich die Multiplicationsgesetze auch aus den folgenden Grundgleichungen ableiten:

a{b + c) = ab + ac, (A.) {a + b)c = ac + bc,

a{bc) = {db)c.

Die beiden ersten begründen das sogenannte distributive, die dritte das associative Gesetz. Das commutative Gesetz ah = ha ist dann eine Folge der genannten. Bei complexen Grössen gilt dies nicht mehr allgemein; man kommt vielmehr bei Zugrundelegung der Gleichungen (A.) auch zu Algorithmen, bei denen ah nicht gleich ha ist. Unter diesen Algorithmen ist z. B. Hamilton's Quaternionencalcul enthalten, in welchem das commutative Gesetz nicht gilt.

Aus den beiden ersten Gleichungen ergiebt sich ebenso wie oben

(ß-) (S«aea)(S^ae«) = SSa.b,c«l,^cea, (a, b,C = 1 , 2, . . .n)

a a a,b,c

wenn

*) Winter-Semester 1882—83. II. 42

330 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

gesetzt wird. Unter den Grössen s. ^ ^ müssen dann die aus den Gleichungen sich ergebenden Relationen stattfinden, während man aber e ^ und e , nicht

*-' ' fl, 0, C Q, f, 0

als gleich annehmen darf.

Nimmt man an, was nothwendig ist, dass, wenn der Werth eines Pro- ducts und einer seiner Factoren gegeben ist, dadurch im Allgemeinen auch der andere Factor eindeutig bestimmt sei, so lässt sich mittels der dritten der Gleichungen (A.) die Existenz einer Grösse g^ beweisen, für welche

9u^ = ^90 = i ist, bei beliebiger Annahme der Grösse h. Ferner folgt aus derselben Gleichung, dass

ist. Setzt man nun wie oben

so ergiebt sich wieder eine Gleichung

in der die Coefficienten X^, Xj, ••• X^ homogene ganze Functionen der Grössen I sind. Ist nun X^ nicht identisch gleich Null, so kann man ganz dieselben Schlüsse machen wie oben; es muss sich eine Reihe von Grössen g^, g^, g^ u. s. w. so bestimmen lassen, dass man

(E.) g,a9n = 9m+n

hat, und dass sich jede Grösse a des Gebietes in der Form

a = «o9o + «. $'i + • • • + «„-lö'»-! darstellen lasse. Dann hat man

(S«af/a)(S^a5'a) = SK^b)?o+b (a,B = 0, 1, .. .n-1).

0 a (),b

Hiemach gilt für das Product zweier beliebigen Grössen a, b das Gesetz

ab ^ ha, sobald die Function X„ nicht identisch verschwindet.

ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 331

Da nun z. B. für die Quaternionen dieses Gesetz nicht gilt, so muss man schliessen, dass die Function X, auch identisch verschwinden kann. Man ist also auch nicht berechtigt, in dem Falle, wo man von den Glei- chungen (2.) ausgeht, von der Function X,, auf die man alsdann kommt, anzunehmen, dass sie nicht identisch verschwinden könne, was ja, wie das Beispiel des Herrn Stephanos lehrt, in der That der Fall sein kann.

Das von Herrn Stephanos gefundene Multiplicationsverfahren ist ent- halten in der Formel

= «0 ßo ^0 + («0 ^1 + «1 ^o) «1 + • • • + («0^«-! + «»-I ßo) e»-i •

Für eine beliebige Grösse

X = «0^0 + «1^1 + ••• + ««-:««-! gilt dann die Gleichung

■ x*—2u„x + ale^ = 0,

die bei gegebenem Werthe von «^ also durch unendlich viele Werthe von x befriedigt wird. Nach den im Vorstehenden entwickelten Grundsätzen würde also ein solches Multiplicationsverfahren zu den unzulässigen gehören.

Ich bemerke noch, dass bei Adoptirung desselben auch für ein gerades n die Lösung der Gleichung

x" = a ^ a„e„+ a, e, + ••• + «„_! e„_i

nicht immer möglich sein würde, nämlich dann nicht, wenn a^ negativ ist.

Indem ich diesen langen Brief überlese, finde ich, dass sich an ihm sehr bemerkbar macht, dass er in Folge mancherlei Störungen mit vielen Unterbrechungen geschrieben worden ist. Wollen Sie es also mit Nachsicht aufnehmen, wenn Sie darin manche Wiederholungen, manche zu umständliche Darstellung finden. Es lag mir daran, Ihnen einmal eine authentische Dar- stellung meiner Theorie der complexen Grössen zu geben; die Aufzeichnungen auch der besten Zuhörer enthalten doch manches unrichtig Aufgefasste — mit oder ohne Schuld des Docenten — , namentlich, wo es sich nicht bloss um Wiedergabe von Rechnungen handelt.

42*

332 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Wollen Sie von dem Mitgetheilten für Ihre Vorträge Gebrauch machen, so habe ich selbstverständlich nichts dagegen. Auch wenn Sie Einwendungen zu machen haben, so enthalten Sie mir dieselben nicht vor.

(Geschlossen den 27. Juni 1883.)

Zusätzliche Bemerkungen zu dem vorstehenden Briefe. (Von Herrn H. A. Schwarz.)

1.

Seite 315. »Daraus ergiebt sich die Existenz einer Grösse e^ von der Eigenschaft, dass e^a =^ ae^ = a ist für jeden Werth von a.«

Ist nämlich a eine Grösse, für welche s nicht gleich Null ist, so ist

— eine Grösse, mit der multiplicirt jede andere Grösse unverändert bleibt.

Diese Grösse — = e„ hat aber für jeden Werth von a einunddenselben Werth:

es ist nämlich, wenn a eine andere Grösse bezeichnet, für welche e ebenfalls

nicht verschwindet,

a a'

a a' '

indem diese beiden Grössen mit a multiplicirt einander gleich werden.

2.

Seite 316. »Dann existiren, wenn man von particulären Werthsystemen der Grössen |^ absieht, unendlich viele Werthsysteme (1,? Ij, •.• i„), für welche die Gleichungen

■^1 __ .^ , , _ ^m __ ^'m

bestehen.«

Die Richtigkeit dieser Behauptung kann folgendermassen dargethan werden.

Die rationalen Functionen -^ der n von einander unabhängigen Ver- änderlichen Ij, gj, ... |„ mögen mit

f^(l.,l„...y (^ = 1,2,...«)

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 333

bezeichnet werden. Die Coefficienten dieser rationalen Functionen haben aus- schliesslich reelle Werthe, und die Anzahl n der unabhängigen Variablen, von welchen dieselben abhängen, ist grösser als die Anzahl m der betrachteten Functionen.

Nun besteht ganz allgemein der Satz:

Wenn m rationale Functionen f,, f,, ••• f„ mit ausschliesslich reellen Coef- ficienten von mehr als m veränderlichen Grössen 1^, 1^, ... | gegeben sind, so kann man den letzteren stets unendlich \iele Systeme solcher reellen Werthe beilegen, dass für alle diese Werthsysteme jede der gegebenen Functionen denselben Werth erhält.

Um diesen Satz zu beweisen, denke man sich für die Umgebung einer nicht singulären Stelle (1^,1^,...!^) im Gebiete der reellen Werthe der un- abhängigen Variablen die Differenzen

f^(i,l,,...l„)-f^(i;,i;,...i;) (^ = 1,2,...«)

in Reihen entwickelt, welche nach Potenzen der Grössen |^— |^ (v = 1, 2, ... w) mit ganzen positiven Exponenten fortschreiten.

Es ergeben sich also m Gleichungen von der Form

(1.) ug.,i,,...i»)-9,. = *^(ii-i;,i,-g;,...i„-i;),

in welchen g den Werth f (1'^, |^, . . . 1^ bezeichnet.

Die Grössen q und die Coefficienten der einzelnen Glieder der Potenz- reihen ^,^ haben reelle Werthe.

Wenn nun die Potenzreihen ^^ auf die in denselben enthaltenen line- aren Glieder reducirt werden, und es ist unter den Determinanten m*" Ord- nung, welche aus den Systemen der m.n Coefficienten dieser linearen Glieder gebildet werden können, für ein nicht singuläres System von Argumentwerthen (l'j, 5'j, ... 1^) mindestens eine von Null verschieden, so möge angenommen werden — da es auf die Reihenfolge, in welcher die n Argumente mit Ij, Ij, ... 1^ bezeichnet werden, nicht ankommt — , dass die Determinante

(2.)

(ti,v = 1,2, ...m)

öS,

für das betrachtete System von Argumentwerthen {^[, i,[, . . . |^) einen von Null verschiedenen Werth habe.

334 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Unter dieser Voraussetzung können bekanntlich die Gleichungen

(3.) 5j5^(i,-i;,?,-i;,...l„-i;) = 0 (^ = 1,2,...».)

in Bezug auf die Grössen 1^ — 1'^, |^— S^, .. . |^^^ — |^^ als Unbekannte durch Reihenentwickelungen aufgelöst werden, welche nach Potenzen der Grössen ^m+i~C+i' • •• ^n~C ^^ ganzen positiven Exponenten fortschreiten und für alle der Stelle (1^^.,, ••• C) hinreichend nahe liegenden Werthsysteme (l„^,, •••!„) convergü'en. Diese Potenzreihen haben reelle Coefficienten, und das constante Glied derselben hat den Werth Null.

Hieraus ergiebt sich aber, da das System der Werthe (^ +o ■■ ■ ^n) ^^ ^^^ Umgebung der Stelle (1^^^^, ... |^) willkürlich gewählt werden kann, die Rich- tigkeit des angeführten Lehrsatzes.

Es kann aber auch der Fall eintreten, dass für das System der Functi- onen fj(|,, Ij, . . . |„), . . . f„(li, Ij, • • • l„) jede Functionaldeterminante »w**' Ordnung den Werth Null hat; dann sind die Werthe der Potenzreihen ^^ nicht mehr, wie in dem ersten Falle, von einander unabhängig, sondern die Werthe einiger derselben sind durch die Werthe der übrigen bereits bestimmt.

In diesem Falle kann man annehmen, dass, während alle Functional- subdeterminanten des Systemes der Functionen f(g^, 1^, ... g^), deren Ordnungs- zahl gleich r oder grösser als r ist, den Werth Null haben, mindestens eine der Functionalsubdeterminanten (r — 1)*" Ordnung für das Werthsystem (?j, 1^, ... 1^) der unabhängigen Variablen einen- von Null verschiedenen Werth habe.

Da es bei dieser Annahme weder auf die Reihenfolge, in der die Func- tionen f mit fj, f,, ... f^, noch auf die Reihenfolge, in der die Argiimente |^ mit Ij, Ij, ... |„ bezeichnet werden, ankommt, so kann man von der Voraus- setzung ausgehen, es habe die Determinante

(4.)

(^,i.= l,2,...r-l)

öS.

für das betrachtete nicht singulare Werthsystem (1'^, 1^, . . . |^) der Argumente einen von Null verschiedenen Werth.

Zu dem Systeme der Functionen f^ (^ = 1, 2, .. . r — 1) füge man eine von diesen Functionen unabhängige rationale Function f^ derselben Argumente

ZUK THEORIE DER AUS 11 HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 335

Ij, i^, ... 1^ hinzu und wähle zugleich aus der Gesammtheit der übrigen Functionen f , für welche also f*>?- — 1 ist, eine beliebige aus, etwa f^.

Die Function f^ möge der Bedingung gemäss gewählt werden, dass die Functionaldeterminante

(5.)

öf„

ög.

(fi = 0,l,...r-l; v=l,2,...r)

für das betrachtete Werthsystem (1^, g^, . .. |^) einen von Null verschiedenen "Werth hat, was auf unendlich viele Arten geschehen kann. Es ergiebt sich dann, wenn zur Abkürzung

TuVSl) 62) • • • 5»,' ^^^ Tu' VV91> *2' • ■ • Snj ^^^^ 9u

gesetzt wird, ein System von r Gleichungen

(6.) f^-9, - %a-|;,l2-l2,---ln-i;), (P = 0,l,...r-I)

welches bei Beschränkung der Veränderlichkeit der Grössen

To > T» ) • • • Tr-i ; Sr+i I • • • »n

auf eine gewisse Umgebung der Stelle

v9o ' 9i ' • • • 9)--i ! «r+i ) ■ • • 6n/

in Bezug auf die Grössen |j-|[, g^-l^, . .. |^-?^ als Unbekannte durch con- vergente Potenzreihen

(7.) i-i: = ^,(fo-9o.f.-9u---fr-i-9r-.; u.-s;+.,..-s„-s;) {v=\,2,...r)

aufgelöst werden kann.

Es giebt also unendlich viele der Umgebung der nicht singulären SteUe ($^, 1^, ... 1^) angehörende Systeme von reellen Werthen (I,, ?j,.--0' welche die Gleichungen

f^(S„ ?„•••§„) = % (^ = l,2,...r-l)

befriedigen.

Für die Differenz

Ul.,1 l„)-9? = %{%-%[X-l'..-'U-i'n)

ergiebt sich nun ebenfalls in Folge der Gleichungen (7.) eine convergente

336 ZUR THEORIE DER AUS tl HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Potenzreihe

(8.) fr(SxJs>,---y-9,- = l,(fo-9o.fi-9x,---f,-i-9.-.; t+i-K+i,---L-K)-

Aus dem Umstände aber, dass für das System der von den n Argu- menten 1^,1^,... |„ abhängenden Functionen f^ (ji. = 1, 2, ... r) der Voraus- setzung zufolge alle Functionaldeterminanten r'" Ordnung den Werth Null haben, wird gefolgert, dass die partiellen Ableitungen

-^ und —^ (v = r+l,r+2,...n)

identisch gleich Null sind; es kommen also in der Potenzreihe ^^ Glieder, welche von den Grössen f„, 1,^,, 1^^^, . . . |„ unmittelbar abhängen, nicht vor. Ein ganz analoger Schluss gilt für jede der Differenzen

fudi,!»,---?»)-^ (ft = r+l,r+2,...OT).

Unter den angegebenen Voraussetzungen besteht also, wenn dem Index ft irgend einer der Werthe r, r+1, ... m beigelegt wird, jedesmal eine Gleichung von der Form

(9-) liii,^u---L)-St. = f^(fi-9i,f.-93,---fr-i-9,-i) (f* = r,r+l,...w).

Werden daher den Grössen Ij, 1,, ... |„ solche, einer gewissen Umgebung der Stelle (![, 1^, . . . |^) angehörenden Werthe beigelegt, für welche die Glei- chungen

f^(l.,l„...U - 9^ (^=l,2,...r-l)

erfüllt sind, so befriedigen diese Werthe auch die Gleichungen

Uk,^r---L) ^ %, ii. = r,r+l,...m)

da in allen hier mit ^, ^, ^ bezeichneten Potenzreihen das constante Glied den Werth Null hat.

Hiermit ist die allgemeine Richtigkeit des angeführten Lehrsatzes dar- gethan.

ZUR THEORIE DER AUS U HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 337

3.

Seite 316. »Die Determinante ll^''!| ist ... . im Allgemeinen nicht identisch gleich Null, wie man leicht nachweisen kann.«

Dieser Nachweis kann dadurch geführt werden, dass man ein specielles Multiplicationsverfahren aufstellt, bei dessen Zugrundelegung die Gleichungen (7.) auf Seite 313 erfüllt sind und für welches die in Rede stehende Deter- minante sich als im Allgemeinen von Null verschieden erweist.

Ein solches Multiplicationsverfahren ist durch die Gleichungen

^a^o = ^at ^a^b = ^ wenn b^a, (a,b = 1,2,... w) bestimmt.

Bei Zugrundelegung dieses Multiplicationsverfahrens geht die Deter- minante |S™| in die Determinante ||^| (ft, v = 1, 2, .. . n) über; die letztere aber hat, wenn je zwei der Grössen |^ von einander verschieden sind und keine dieser Grössen gleich NuU ist, einen von Null verschiedenen Werth.

4,

Seite 320 — 324. Man kann die Frage aufwerfen, ob die in Rede ste- henden Theilgebiete von der Wahl der Grösse g abhängig sind oder nicht. Es lässt sich zeigen, dass das Letztere der Fall ist — vorausgesetzt, dass g kein Theiler der Null sei und dass die Determinante 1 1^*^' | = X^ sowohl als auch die Discriminante der Gleichung /"(!) =: 0 einen von Null verschiedenen Werth habe.

Es sei bei Zugrundelegung einer bestimmten Grösse

a

r' die Anzahl der Theilgebiete @ , welche Mannigfaltigkeiten einer Dimen- sion, r" die Anzahl der Theügebiete ®g, welche Mannigfaltigkeiten zweier Dimensionen sind, so dass r = r'+r", w = ?•'+ 2r" ist, während die Indices p, a zwei ganze Zahlen bezeichnen, von denen die erste »•', die zweite r" von einander verschiedene Werthe annehmen kann.

Denkt man sich nun die Grössen ^'^' und die Grössenpaare g^°\ W^ zu neuen Haupteinheiten gewählt, so ist die Grösse e^ bestimmt durch die

Gleichung

Co = 21^'^' + S^"" [Siehe Seite 322 (18.)].

IL 43

338 ZUR THEORIE DER AUS W HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN.

Es bezeichne jetzt x eine beliebige Grösse des betrachteten Gebietes, es sei also

so ergiebt sich, wenn festgesetzt wird, dass die Bezeichnungen

7i^«"+C/i;"" und (vi + Ci)^'" (i = v/^)

gleichbedeutend sein sollen, aus der Gleichung

durch Erhebung beider Seiten in die v*° Potenz die Gleichung

Denkt man sich nun n aus einer unbenannten Haupteinheit gebildete Grössen e,, e^, ... e^ bestimmt, welche der Bedingung genügen, dass die Gleichung

a;»+s,a;''-' + £ja;"-' + -.- + e„e„ = 0

besteht, was stets möglich ist, so ergiebt sich, dass die algebraische Gleichung

aj"+£.a;"-' + £ja;"-'+ ••• + £„ = 0

im Gebiete der aus den Haupteinheiten 1 und i = \f^ gebildeten gewöhn- lichen complexen Grössen die Wurzeln "']„, ^15+ Cg«, v^^— C^i besitzt.' Es ergiebt sich hieraus, wenn mit | eine veränderliche aus einer unbenannten Haupt- einheit gebildete Grösse bezeichnet wird, die Identität

/■(i) = r+£.r-'+£,r-'+... + £„ = n(i-^,)n(r-2Ti,i+7i',+c',),

durch welche die Grössen s^, s^, ... s^ als ganze homogene Functionen der Grössen tj , yj^, Cj bestimmt sind.

"Wenn die Coordinaten der betrachteten complexen Grösse x bezogen auf die früheren Haupteinheiten e^, e^, ... e^ mit 1^, 1,, ... S„ bezeichnet werden, so ist klar, dass die neuen Coordinaten yj , yj^, Cg der Grösse a; ganze homogene Functionen ersten Grades der Grössen 1^, | , ... |^ sind.

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN COMPLEXEN GRÖSSEN. 339

Aus dem Umstände, dass die im Vorstehenden mit /'(|) bezeichnete Function und die von Herrn Weierstrass ebenso bezeichnete mit einander übereinstimmen, ergeben sich folgende Sätze:

1. Die mit X^, JX^, ...X„ bezeichneten ganzen Fimctionen der Grössen 5j, Ij, ... 1^ sind in Folge der Bedingungen, welchen die Grössen ^^^^ unter- worfen sind, durch die Function X^ theilbar.

2. Jede Wurzel der Gleichung /"(§) = 0 im Gebiete der aus 1 und ^/I^I gebildeten gewöhnlichen complexen Grössen ist eine ganze homogene Function ersten Grades der Grössen g^, 1^, ... |^.

3. Die Grössen

f^{x) = x-r^^e,, f^{x) = (x-Ti^eJ+Cle,

sind Th eiler der Null, und zwar hat im Theilgebiete @ die Componente von f (x), im Theilgebiete ©^ die Componente von f^{x) den Werth Null. Wenn die Discriminante der Gleichung /"(!) = 0 einen von Null verschiedenen Werth hat, mit anderen Worten, wenn die Grössen fl„, fl^+^J, fl^ — ^^i sämmtlich von einander verschieden sind, so hat keine andere Componente der Grössen fÄx),fg{x) den Werth Null. Hieraus folgt aber, dass, wenn in dem Producte der r Factoren

Uff^ix) (^ = l,2,...r)

ein beliebiger l'actor f^{x) weggelassen wird, das Product der übrigen Factoren unter der angegebenen Voraussetzung eine von Null verschiedene dem Theil- gebiete @^ angehörende Grösse ist.

Hiermit ist bewiesen, dass die erklärten Theilgebiete ©,, ©,, ... ©^ sich nicht ändern, wenn an die Stelle der ihrer Definition zu Grunde liegenden Grösse g = S^l^o ^^^^ beliebige andere Grösse x = S^a^a tritt, für welche

a a

die gestellten Bedingungen erfüllt sind.

Die zu Anfang dieser Bemerkung aufgeworfene Frage ist hiermit be- antwortet.

43'

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

(Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 3. December 1885.)

Für die Ergebnisse der in der genannten Abhandlung*) mitgetheilten Untersuchungen des Herrn Lindemann, namentlich für den darin ent- haltenen, bis dahin vergebens erstrebten Beweis, dass die Zahl tc keine alge- braische Zahl und somit die Quadratur des Kreises auf constructivem Wege unausführbar ist, hat sich in den weitesten Kreisen ein so lebhaftes Interesse kundgegeben, dass ich glaube, es werde eine möglichst elementar gehaltene, nur auf allbekannte Sätze sich stützende Begründung der Lindemann' sehen Theoreme, wie ich sie im Nachstehenden zu geben versuche, zahlreichen Mathematikern willkommen sein.**)

*) Diese Abhandlung, deren Inhalt durch die Überschrift nur unvollständig angegeben wird, ist von mir am 22. Juni 1882 der Akademie vorgelegt worden und bald darauf etwas weiter ausgeführt auch in den >Mathematischen Annalen« (Bd, XX) erschienen.

**) Ich bemerke ausdrücklich, dass die Veröffentlichung dieses im Sommer 1882 entstandenen und seinem wesentlichen Inhalte nach am 26. October desselben Jahres in der Akademie vorgetragenen Auf- satzes im Einverständnisse mit Herrn Lindemann erfolgt, und dass ich damit nur bezwecke, die von demselben gegebenen oder angedeuteten Beweise seiner Sätze ohne wesentliche Modification der leitenden Grundgedanken zu vereinfachen und zu vervollständigen. Das erstere erreiche ich hauptsächlich dadurch, dass ich nicht, wie Herr Lindemann es thut, bei dem Leser die vollständige Kenntniss des Inhalts der berühmten Hermite' sehen Abhandlung »Sur la fonction exponentieUe« (Compt, rend. t. 77, 1873) voraus- setze , sondern aus derselben nur die Methode zur Herleitung des in § 1 unter Nr. VI aufgestellten Hülfs- satzes entnehme.

Der Aufsatz ist übrigens im Manuscript mehreren befreundeten Mathematikern mitgetheilt und dann unter Benutzung der Bemerkungen, die mir einige von ihnen haben zukommen lassen, umgearbeitet worden. Namentlich hat mir Herr H. A. Schwarz verschiedene redactionelle Änderungen vorgeschlagen, auf die ich gern eingegangen bin. Besonderen Dank schulde ich ferner Herrn Dedekind für eine auf den Be- weis des im Anfange des § 3 aufgestellten Hülfssatzes sich beziehende Mittheilung , durch welche es mir möglich geworden ist, diesen Beweis wesentlich zu vereinfachen.

342 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

§ 1. Hülfssätze aus der Theorie der Exponentialfunction. I. Es bedeute [^, A] für jeden ganzzahligen, nicht negativen Werth von A die durch die Gleichung

^ ^^ A! ".-i-ox!

definirte ganze Function A^" Grades des Arguments 0, ferner sei

(2.) g(s) = 2 by

eine beliebige ganze Function von 0, und es werde gesetzt:

(3.) G(^) = J:h[^,X];

dann besteht die Gleichung

(4.) g{z)e-'d2 = di-G(;^)e-'),

und es ist G{2) eine ganze Function der Veränderlichen z von demselben Grade wie die Function g{z).

Dabei ist zu bemerken, dass durch die vorstehende Gleichung die Func- tion G{2) eindeutig definirt wird.

n. Es seien

(5.) '="

zwei ganze Functionen von z, beziehlich vom (« + !)**" und vom n'™ Grade; die Coefficienten der zweiten sollen willkürlich anzunehmende Grössen und die Coefficienten der ersten nur der Beschränkung unterworfen sein, dass a nicht gleich Null sein und die Function f{2) mit ihrer ersten Ableitung f'(z) keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen darf. Man bestimme, unter m eine beliebig anzunehmende positive ganze Zahl verstehend, auf die in I. angegebene Weise eine Reihe von ganzen Functionen

(6-) ' B,{z),H,{z), ...EM,

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 343

welche den Gleichungen

h{z)e-'ds = d{-H„{z)e-')

^^■•^ ( f\z)H^.Me"dz = d{-H^{e)e-') (^=l,2,...m)

genügen; dann hat man, wenn

(8.) \{,) = h{z), \X^) = f'{z) H^_,{s) (^ = 1,2,...«,)

gesetzt wird, für ^ = 0, 1, ... m — 1

lind (für II ^ m)

(10.) d{-H„X^)e-') = K{^)e-'dz.

Aus diesen (jw + 1 ) Gleichungen ergiebt sich , wenn man sie durch Addition mit einander vereinigt:

<"■) ^«^)'-^' = ml-(^«'^''i-

Die Coefficienten der Functionen [^, A] sind, wie aus der Formel (1.) unmittelbar erhellt, ganze Zahlen; die Coefficienten der durch die Gleichung (3.) definirten Function G{z) also ganze lineare Functionen der Grössen 5,6,... hl mit ganzzahligen Coefficienten. Demgemäss lehren die Formeln (7.), dass jede der Functionen H^{z)^ H^{z)., ... H^{z) eine ganze Function der Grössen

z, ttd, a, , ... a„+,, Cj, c,, ... c„

mit ganzzahligen Coefficienten ist.

III. Die im Vorstehenden definirte Function H (z) ist niemals durch die Function f{z) theilbar, ausgenommen in dem Falle, wo die Grössen c^, c^, ... c^ sämmtlich den Werth Null haben und somit jede der Functionen H^{z)^ H^{z)^ ... H^^{z) sich für jeden Werth von z auf Null reducirt.

Es werde gesetzt:

m / TT (a\ m—^

344 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

SO ist (nach Gleichung (11.))

Wenn daher die Coefficienten der Function Ä(^') nicht sämmtlich den Werth Null haben, so ist H^{z) eine ganze Function von z, die nicht für jeden Werth dieser Grösse verschwindet und deren Grad (nach I.) nicht grösser ist als »w(w + l) + w = (m + l)(w + l) — 1. Bezeichnet man also mit p + l

die kleinste positive ganze Zahl, für vv^elche H^,X^) nicht durch f{z) theilbar ist, und setzt

so ist Ä'*(^) eine ganze Function von z, die nicht für jeden Werth dieser Grösse verschwindet , und g .< m. Man hat dann

dz

ml

und es ist daher QHl{z)f\z) durch f(z) theilbar. Dies aber ist, da die ^Functionen f{z), f\z) keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen und die Function H^{z) nicht durch f{z) theilbar ist, nur der Fall für p = 0; es ist also f{z) kein Theiler von H^{z) und somit, der Gleichung (12.) zufolge, auch kein Theiler der Function H (z').

IV. Bezeichnet man (unter der Annahme, dass n> 1 sei) mit z', z" irgend zwei derjenigen Werthe von z, für welche /(^) = 0 wird, so ergiebt sich aus der Gleichung (11.) die folgende:

(13.) H„{z")e-"'-H,„{z')e- = - C" hMlfye-'dz.

Je' *"'

Aus den Gleichungen (7.) und (1.) bis (4.) erhellt, dass die Function H^{z), bei unbestimmten Werthen der Grössen c^,c^,...c^, vom (ww + «)**" Grade ist und dass in derselben die Coefficienten von

„mn+n „mn+n-i _rnn+n-(m-l)

Z ,2 , . . . 2

beziehlich durch

theilbar sind. Daraus folgt, dass die Function a"'"~"ir„(^) sich auf die

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 345

Form

(14.) ar="-"-Ef,„(^) = G{:s,m)f{e)+g{z, m)

bringen lässt, in der Art, dass G{z^m), g[2,m) beide ganze Functionen der

Grössen ^, a^^ a^, ... a^^^, c^, c^, ... c„ mit ganzzahligen Coefficienten werden und

g(2j m) in Beziehung auf 2 von nicht höherem als dem w'^" Grade ist. Die Gleichung (13.) kann also in die folgende verwandelt werden:

(lo.) 9{e ,m)e ' -g{z,m)e = - \ °^^, e '(?^r.

Die Coefficienten der Functionen H^{z), G{z,m), g{3,m) sind, wie für die erste aus ihrer oben angegebenen Bildungsweise, für die beiden anderen aber aus der vorstehenden Definition derselben hervorgeht, homogene ganze lineare Functionen der willkürlich anzunehmenden Grössen c^, c^, ... c^. Wenn man daher, unter v irgend eine der Zahlen 0, 1, ... w verstehend, mit g^(2,m) die Function bezeichnet, in welche g(z,m) dadurch übergeht, dass man c^ = 1 und die übrigen der Grössen c^, c^, ... c^ sämmtlich gleich Null annimmt, so hat man

(16.) g{z,m) = '^c,g,(e,m),

und es gehen aus der Gleichung (15.) die folgenden (w + l) Gleichungen hervor:

(17.) g,{z",m)e-'"-g,(z',m)e-'' = - f" ^'«^[(^))"' e-'dz (v = 0, 1, ...«).

Die Functionen ^^(^;, jw) sind ganze Functionen der Grössen 2, a,, a^, ... a^^^ mit ganzzahligen Coefficienten. Bezeichnet man femer mit G^{z, m) die Func- tion, in welche G{3, m) durch die Annahme

h{e) = 2" übergeht, so ist

!n G{z,m) = '^c,G^{z,m) '=° ar-"H„,{z) = f\z) 2 c,G,{z, w) +S c,.g,{2, m) , V = 0 r = 0

und es ergiebt sich aus der letzten Gleichung, da -ff ,(^) (^^^ch III.) nur dann durch f(z) theübar ist, wenn die Grössen c^ sämmtlich verschwinden, dass II. 44

346 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

der Ausdruck

H

2c,5r,(;er,w)

nur dann für jeden Werth von z gleich Null ist, wenn jede der Grössen ^o' ^i' ••• ^n '^^^ Werth Null hat — mit anderen Worten, dass unter den in den Gleichungen (17.) vorkommenden (w+1) ganzen Functionen von z

für keinen Werth von m eine lineare Abhängigkeit stattfindet. Aus dieser Eigenschaft der Functionen g^{z^m) ergiebt sich ferner: Giebt man der Grösse z irgend (w + 1) bestimmte Werthe

unter denen keine zwei gleiche .sich finden, so hat die Deter- minante

\gy{zi,m)\ (X,v = o,l,...w)

stets einen von Null verschiedenen Werth.

Wäre nämlich diese Determinante gleich Null, so würden sich (w + 1) Grössen c^, c^, ... c^ so bestimmen lassen, dass die (w + 1) Gleichungen

2 c,g,{zi, m) = 0 (X = 0, 1, . . . »)

beständen, ohne dass sämmtliche Grössen c^, c. ... c den Werth Null hätten. Dann würde aber der Ausdruck

n

— r=:0

der eine ganze Function der Veränderlichen z von nicht höherem als dem w*"" Grade ist, für jeden Werth von z verschwinden, was nach dem Vorher- gehenden nicht stattfinden kann. V. Da

ml

■e

eine (transcendente) ganze Function von z ist, so hat das Integral auf der Rechten der Gleichung (17.) bei gegebenen Werthen von m^v^z\z' einen von dem Integrationswege unabhängigen, eindeutig bestimmten Werth, den

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 347

man, unter x eine auf das Intervall (0...1) beschränkte reelle Veränderliche verstehend, in der Form

/

1 iz"-,')(0'+ (^"-,'),y[a^-^f{,'+ (,"-,'),)]"' ^_.,_(.„_„),

l\

e-''-^'"-"^'dT

darstellen kann. Es lässt sich aber, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, eine ganze Zahl M so bestimmen, dass für jeden Werth von m, der grösser als M ist, und für jeden der betrachteten Werthe von x

(^"-z')(0'+ (^"-/)ry K-/-(^'+ (^"-^Qt)]'" ^_.,_(,„_„), ml

und somit auch, nach einem bekannten Satze, der absolute Betrag des Integrals

r^Miimie-'d.

kleiner als S ist. Aus der Gleichung (17.) ergiebt sich also, wenn man beide Seiten derselben mit

e'"*''

multiplicirt,

(19.) Ura\g,{z',m)e'"-g,(2",m)e''} = 0 (v = o,l,...n).

VI. Bis jetzt sind die Coefficienten der Function f{2) keiner anderen Beschränkung als der oben (unter II.) angegebenen unterworfen worden. Setzt man aber nunmehr noch fest, dass dieselben sämmtlich gegebene ganze Zahlen sein sollen, so werden, nach dem oben (IV.) Bemerkten, für jeden Werth der Zahl m auch die Coefficienten der Functionen g^{3, m) sämmtlich ganze Zahlen. Man kann ferner, wenn 2^, g^, ... s^ die Wurzeln der Gleichung /■(^•) = 0 sind, den Gleichungen (19.) gemäss m so gross annehmen, dass jede der Differenzen

ihrem absoluten Betrage nach kleiner ist, als eine beliebig klein angenommene positive Grösse d. Zugleich hat dann die Determinante

|sr,(^i,m)| H,v = o,i,...n)

44*

348 zu lindemann's Abhandlung: »über die ludolph'sche zahl«.

einen von Null verschiedenen Werth, indem unter den Grössen z,s,...z keine zwei gleiche sich finden.

Damit ist ein Satz bewiesen, der im Folgenden hauptsächlich zur Be- gründung der Lindemann' sehen Theoreme dienen wird und sich so aus- sprechen lässt:

»Es sei f{z) eine ganze Function (w + l)''" Grades der Veränderlichen z mit gegebenen ganzzahligen Coefficienten, die so beschaffen sind, dass die Gleichung

m = 0

(w + l) von einander verschiedene "Wurzeln hat, welche mit

bezeichnet werden mögen. Alsdann lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse S, auf mannigfaltige Weise ein System von (w + l) ganzen Functionen

des Arguments z von nicht höherem als dem n'"" Grade, deren Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen sind, so bestimmen, dass erstens jede der Diffe- renzen

/ \ z-i / \ Zo /l = 0,1, ...n\

gM,)e^-g,i.,)e' U^o,!....«)

ihrem absoluten Betrage nach kleiner als S ist, und zweitens die De- terminante

\9M)\ a,r = 0,l,...n)

einen von Null verschiedenen Werth hat.«

§2. Beweis, dass die Ludolph'sche Zahl tt eine transcendente Zahl ist. Da e"* = — 1 ist und die Function e' nur für solche Werthe ihres Argu- ments, welche (ungrade) Vielfache von to sind, den Werth —1 annimmt, so kann dem zu beweisenden Satze der folgende substituirt werden:

»Die Grösse e'^+l hat, wenn x eine algebraische Zahl ist, stets einen von Null verschiedenen Werth.«

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 349

Es bedeute x^ irgend eine gegebene algebraische Zahl. Dieselbe sei Wurzel einer Gleichung r*'" Grades

x''+c,x'-' + --- + c^ = 0,

deren Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind — wobei angenommen werden darf, dass r > 1 sei, weil für r = i e ^ = e '^ und somit eine positive Grösse ist. Die vorstehende Gleichung hat dann ausser x^ noch (>" — 1) andere Wurzeln; werden diese mit x^, ... x^ bezeichnet, so ist es, damit der auf- gestellte Satz bestehe, nothwendig und hinreichend, dass die Grösse

einen von Null verschiedenen Werth habe. Dies aber lässt sich folgender- maassen zeigen:

Es seien 1^, g^, ... |^ von einander unabhängige Veränderliche, so hat man

U(e^^+1)= S e='^« + ^^' + - + ^'-^ (e.,e„...e, = 0,l)

oder, wenn man 2' = p setzt und die p Functionen

e.l. + e2li+--- + erlr» (£„E,,...er = 0,l)

in irgend einer Ordnung genommen, mit C„, C,, ... Cp_, bezeichnet,

r t p~i ►

Sind also die Werthe, welche

'0) 'iJ • • • Sp-J

dadurch annehmen, dass man

Si = 2;, , 5, = rTj , ... 5r = a;, setzt, so ist

Die Anzahl der von einander verschiedenen Werthe, welche in der Reihe z^,g^,... z^_^ vorhanden sind, sei (m + 1), und es mögen die Aus-

\

350 zu lindemann's Abhandlung: »über die ludolph'sche zahl«.

drücke C,, C,, ••• C,_, so geordnet sein, dass unter den (w + 1) Grössen ^^, ^^, ... ^f^ keine zwei gleiche sich finden, und ^„ = 0 ist; wobei zu bemerken, dass w + l>l ist, weil in der Reihe ^o, ^j, ... ^j,_, auch die Grössen a;^, ... x^ ent- halten sind. Dann kann man, unter z eine unbestimmte Grösse verstehend, eine ganze Function f{z) vom Grade (w + l) herstellen, welche nur ganzzahlige Coefficienten hat und für z ^^ z^^ z^^ ... z^ verschwindet. Es kann nämlich das Product

/ll=0

dargestellt werden als ganze Function der Grössen z., 1^, |^, ... |^ mit ganz- zahligen Coefficienten, welche sich nicht ändert, wenn die Grössen g^, 1^, ... §^ in beliebiger Weise permutirt werden, und sich somit, wenn man für 1,1^, ...|^ die "Wurzeln einer Gleichung r*™ Grades mit lauter rationalen Zahlcoefficienten einsetzt, in eine ganze Function y*° Grades von z mit eben solchen Coefficienten verwandelt. Es lässt sich also IT (^ — ^ ) als ganze Function von z mit lauter rationalen Zahlcoefficienten darstellen; dividirt man diese Function dann durch den grössten Theiler, den sie mit ihrer ersten Ableitung gemein hat, so ist der Quotient eine ganze Function (m + 1)*°° Grades von ^;, aus der man, indem man sie mit einer passenden ganzen Zahl multiplicirt, eine Function

f{z) = a„^r»+' + a,Ä;"+--- + i

"n+i

erhält, welche lauter ganzzahlige Coefficienten hat und für z = z^^ z^^ ... z^ verschwindet.

Nachdem diese Function f{z) hergestellt worden, kann man aus ihr, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse ^, ein System von (m + 1) ganzen Functionen

von der im Schlusssatz (VI.) des vorigen Paragraphen angegebenen Beschaffen- heit ableiten, so dass, wenn man

9Me'^-9M) = ^.,.s C=;:;;::;:)

setzt, jede der Grössen t^^ ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist.

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 351

Die Grössen g^^j) sind sämmtlich algebraische Zahlen; multiplicirt man jede derselben mit a", so verwandeln sie sich alle in ganze algebraische Zahlen. *)

Nimmt man nun 8 so klein an, dass |(j9 — l)a"d| < 1 ist, so ergiebt sich aus der vorstehenden Gleichung

<9M S e^" = 2 <^v(.^m) + Ev , (V = 0, 1 , . . . n)

WO jede der Grössen e^ dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist. Es ist aber

für jeden Werth von v eine symmetrische ganze Function der Grössen Ij, Ij, ... g^ mit ganzzahligen Coefficienten; also ist die ganze algebraische Zahl

zugleich eine rationale Zahl, d. h. sie ist eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne. Femer lässt sich zeigen, dass die (« + !) Zahlen

p-i

S«oVr(^^) (»- = 0,1,...».)

nicht sämmtlich den Werth Null haben. Man hat nämlich

*) Nach der von Herrn Kronecker eingeführten Terminologie heisst eine Grösse x eine alge- braische Zahl, wenn sie einer algebraischen Gleichung von der Form

x''+ÄiX-'-^+- + Ay = 0,

in der die Coefficienten Ai,...Ay sämmtlich rationale Zahlen sind, genügt. Sind insbesondere diese Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen, so wird x eine ganze algebraische Zahl genannt, und es ist in diesem Falle auch jede ganze rationale Function von x mit lauter ganzzahligen Coefficienten eine ganze algebraische Zahl.

Hiernach sind, da

aUi^) = (ao2)"+' + a,(ao'5)"+-" + a„aS-'(ao«) + On+jO? ist, a,«o,aj«„... a^z„ sämmtlich ganze algebraische Zahlen, und dasselbe gilt also auch, da der Grad der Function gy{z) nicht grösser als n ist, von jeder der Grössen oJ^v(«^).

352 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

WO -ZVj,, iV,, . . . iV„ sämmtlicli positive ganze Zahlen sind; es müsste also,

wenn die in Rede stehenden Zahlen alle den Werth Null haben sollten, die

Determinante

\9y{^n)\ (X,r = 0,l,...n)

gleich Null sein, was nicht der Fall ist.

Es giebt also mindestens einen bestimmten Werth von v, für welchen

fl = 0

eine von Null verschiedene ganze rationale Zahl, und somit

s <9ri^,) + ^ = <9M s «'" = <^.(o) n (e^^ + 1)

nicht gleich Null ist.

Daraus folgt unmittelbar, dass das Product

n(e^Hi)

und somit auch jeder einzelne Factor desselben einen von Null verschiedenen Werth hat; w. z. b. w.

Damit ist, dem oben Bemerkten gemäss, dargethan, dass die Zahl izi und daher auch ir selbst eine transcendente Zahl ist.

Als ein CoroUar zu diesem Satze ergiebt sich, dass die »Quadratur des Kreises« eine unlösbare Aufgabe ist, wenn verlangt wird, dass sie durch eine geometrische Construction, bei der nur alge- braische Curven und Flächen zur Anwendung kommen, bewerk- stelligt werde. (Vergl. den Schlusssatz des §3.)

§ 3. Allgemeinere, auf die Exponentialfunction sich

beziehende Sätze. I. Zunächst ist der folgende Hülfssatz zu beweisen. Es seien gegeben (Ä + l) Reihen von je r Grössen:

(1) A[, Aj, ... Af

(2) A':, A'i, ...A':

(Ä+l) X^, Xf, . . , Xf,

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 353

wobei angenommen werde, dass in jeder der k ersten Reihen wenigstens eine Grösse vorkomme, die einen von Null verschiedenen Werth hat, und in der letzten Reihe keine zwei gleiche Grössen sich finden. Man bilde das Product

0 = 1 6 = » 1 = 1

und bring' dasselbe, welches mit P bezeichnet werde, auf die Form*)

P^S A',Al...Afe''^-^''^-^--^''^ (a,B,...t=l,...r).

0,6,. ..I

Aus der Gesammtheit der Werthe, welche die aus h Gliedern bestehende Summe

annimmt, wenn man für o, b, ... I alle möglichen Systeme von k der Reihe 1, 2,...r entnommenen Zahlen setzt, hebe man die von einander ver- schiedenen, deren Anzahl (w + l) sein möge, heraus; bezeichnet man dieselben mit ^^j, 5^,, ... ^„, so ergiebt sich

wo für jeden bestimmten Werth von X

w

C, = ^' A',A-i...A\

a,b,...t

ist, unter der Bedingung, dass die Summation sich über diejenigen Werth- systeme a,b, ...f, für welche Xa + oo^ + — ha;, = ^^ ist, erstrecke. Es ist nun zu beweisen, dass unter den so definirten Grössen Cj. mindestens eine sich findet, die nicht gleich Null ist.

Die Grössen x^^ ... x^ können sowohl imaginäre als reelle Werthe haben. Man betrachte eine complexe Grösse t + t'i (wo t, t' reelle Grössen bezeichnen) als positiv, wenn t>0 oder auch i = 0, i'>0, dagegen als negativ, wenn

♦) Es ist nothwendig, dass bei dieser Umformung von P das Argument der Exponentialgrosse, durch welche das Product aus den Factoren

e^», e^*, ... e'^

dargestellt wird, gleich x^+Xy^-^ t-xj genommen werde, und nicht etwa, was an sich gestattet wäre,

gleich dieser Summe plus einem Vielfachen von 2rt. Ohne diese Festsetzung würden die im Folgenden einzuführenden Grössen Cx nicht gehörig bestimmt sein.

n. 45

354 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

t<:0 oder auch t=0, t'^O ist; dann darf man, da das Product P seinen Werth nicht ändert, wenn in dem gegebenen Grössensysteme irgend zwei Colonnen unter einander vertauscht werden, voraussetzen, es seien die Grössen X , X , ... x^ so geordnet, dass die Differenzen

a;, — a;, , x^ x^, ... Xf_^ jc^

sämmtlich positive Grössen sind.

Dies vorausgesetzt, nehme man aus jeder der obigen Reihen (l), (2), ... (Je) die erste Grösse, welche nicht den "Werth Null hat, heraus; diese sei Ä^ in der ersten Eeihe, Ä" in der zweiten, ...,^^*' in der Ä;**°, so ist

Ä' Ä" , ,. ^(*)e'^«+*/«+""+^''

eines der Glieder, aus denen P zusammengesetzt wird. Irgend ein anderes Glied, dessen Coefficient nicht den Werth Null hat, sei

so ist

a>a, i>ß, ... f>x,

und es giebt unter den Zahlen o, B, ... I mindestens eine, welche grösser ist als die entsprechende der Zahlen a, /3, ... x. Folglich ist

ix„+Xß+--- + X^)-(x^+Xi + --- + Xt) = ix^-Xa) + (Xj,-x^)+ — + (x,-Xt)

eine positive Grösse und somit {x^ + x^-\ — + x^) nicht gleich {x^ + Xp+--- + xJ. Es findet sich also unter den Gliedern

keines, in welchem das Argument der Exponentialgrösse denselben Werth hätte, wie in dem Gliede

der Coefficient des letzteren ist also eine der Grössen C^, unter denen sich hiernach unter allen Umständen eine findet, welche nicht gleich Null ist.*)

*) Dass man in der Eeihe der Grössen Co, C„ ... C„ eine, die nicht gleich Null ist, ohne Weiteres auf die angegebene Weise ermitteln könne, wenn man die Grössen a;,, ... a;,. so auf einander folgen lässt, dass die Differenzen aji—Xj, a;,—a;8, ... Xr-i—rCf sämmtlich positive Werthe (in dem festgesetzten Sinne) erhalten, ist eine Bemerkung, die ich Herrn Dedekind verdanke.

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 355

II. Nunmehr seien, wie in § 2, x^, x^, ... x^ die Wurzeln einer Gleichung

r*»" Grades

x^' + c^x'-^-i — + c^ = 0,

deren Coefficienten sämmtlich gegebene rationale Zahlen sind, und deren Discriminante einen von Null verschiedenen Werth hat. Ferner seien iVj, iVjj, ... iV. gegebene ganze Zahlen, unter denen wenigstens eine nicht gleich Null ist. Dann lässt sich beweisen, dass die Summe

niemals den Werth Null hat.

Man bezeichne die Grössen, welche aus der vorstehenden Summe dadurch hervorgehen, dass man in derselben die Grössen x^,...x^ auf jede mögliche

Weise permutirt, mit

X', X", ... X^*\

wo k ^ r\ ist, so hat, wenn n irgend eine der Zahlen 1,2,... 1c bedeutet, X'"^ die Form

11 = 1

wo die Reihe der Zahlen iV.^"\ iV^"', ... iVf aus der Reihe N^, N„ ... N^ durch eine bestimmte Permutation der Glieder der letzteren hervorgeht. Setzt man dann

n=>

SO ist

(1.) P=S JVi^J'...<^e"''' + "^'' + "' + '", (a,6,...l=l,2,...r)

n,6,...!

woraus sich, wenn man die von einander verschiedenen Werthe der

Grössen

«a + ^i+'-' + ^f) (a,'6,...t= l,2,...r)

wie in I., mit ^o, ^,, ••• ^„ bezeichnet,

(2.) P = S C,c^^

ergiebt, wo jetzt die Grössen C^ sämmtlich ganze Zahlen sind, von denen, dem in I. Bewiesenen gemäss, wenigstens eine nicht gleich Null ist.

45«

356 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

Mittels der gegebenen Gleichung, deren Wurzeln x^^x^^ ... x^ sind, kann man nun eine Gleichung (w+l)*"" Grades mit lauter ganzzahligen Coefficienten herstellen, deren Wurzeln die Grössen ^(,, ^j, •■■ '^„ sind. Bildet man nämlich, unter ^r, |^, |^, . .. |^. von einander unabhängige Veränderliche verstehend, aus den durch die Formel

■S'-(l.+ ll,+ -" + §l) (Q,b,...f=l,2,...»-)

repräsentirten Grössen ein Product, so ist dasselbe eine ganze Function von ^, Ij, ... 1^ mit lauter ganzzahligen Coefficienten, und zugleich eine symmetri- sche Function von ^j, 1^, ... |^, verwandelt sich also, wenn man 1^ = 3;,, I =a;, ... I = x^ setzt, in eine ganze Function von s mit lauter rationalen Zahlcoefficienten, welche für z = 0^, z^, . . . z^, und zwar nur für diese Werthe von m, verschwindet. Di\idirt man dann diese Function durch den grössten Theiler, den sie mit ihrer ersten Ableitung gemein hat, so ist der Quotient eine ganze Function (w + l)'™ Grades, aus der man, indem man sie mit einer passenden ganzen Zahl multiplicirt, eine ganze Function

(3.) /•(«) = a„^"+' + a^^"+... + a„+,

erhält, welche lauter ganzzahlige Coefficienten hat und für s = s^, z^, ... z^ verschwindet.

Aus dieser Function f(z) kann man nun, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, ein System von (w + l) ganzen Functionen

von der im Schlusssatze (VI.) des § 1 angegebenen Beschaffenheit ableiten, so dass, wenn

(4.) 9.Me'^-9,i^.)e'^ = s,,d i^.Zllt'.'.tj

gesetzt wird, jede der Grössen &^^ ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist. Dann ergiebt sich aus dem obigen Ausdrucke der Grösse P

(5.) <ff.Me~''P^±C,a:g,{0,) + ay-''>d±^,^,C, (* = 0,l,...n).

Hier ist nun jede der Grössen a" g^{zj eine ganze algebraische Zahl; es lässt sich aber zeigen, dass jede der (w + 1) Summen

i=0

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 357

eine ganze rationale Zahl, d. h. also eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne ist.

Versteht man wieder unter ^, 1^, 1^, ... |^ von einander unabhängige Ver- änderliche, so ist das Product

S-N-ae^'-S^'e^'-'-S-^f e^'

tt = l 6 = 1 t = i

und somit auch die Summe

S iV.'i\^;...iV,'*'e^'' + ^' + - + ^' (a,B,...f=l,2,...r)

o,6,...l

eine symmetrische Function von |,, S,, ... |^. Entwickelt man dieselbe in eine Potenzreihe von 1^, 1^, ... |^, so ist die Summe der Glieder m*" Dimension dieser Reihe, nämlich

~ 2 iV^a'iV,",..i\f'(g.+ g^+... + |,r, (a,6,...! = l,2,...r) l"' 0,677. .(

und daher auch, wenn g(g) eine beliebige ganze Function von s ist,

2 -N-aiS^6"-"<Vaa+l6+-" + lt) (a, B, • • . ! = 1. 2, .. . r)

eine symmetrische ganze rationale Function der Grössen 1^, |^, ...|^. Die letztere erhält also, wenn man (für v = 0,1, ... n) g{z) = g^{z) annimmt und Ij = ajj, I, = a;,, ... %^=^x^ setzt, einen rationalen AVerth, der sich durch Multiplication mit a" in eine ganze Zahl verwandelt. Es ist aber nach dem Obigen für jeden bestimmten Werth von A

(6.) c, = ^' n',n;...ii\'\

0,6,. ..t

wenn die Summation über diejenigen Zahlensysteme, für welche

ist, erstreckt wird, und daher

(7.) %Cx<9.{h) = S KN;;...Ni''a:gX^, + x,+ .: + Xt),

i = o a,b,...f

n

also auch "^ C^a'gX'Six) eine ganze rationale Zahl.

i= 0

358 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

Es lässt sich aber auch zeigen, dass diese Zahl wenigstens für einen Werth von v einen von Null verschiedenen Werth hat. Da nämlich die Grössen C^ nach I. nicht sämmtlich gleich Null sind, so müsste, wenn alle (w + 1) Zahlen

SCi«o"^v(^J (v = 0,l,...n}

den Werth NuU hätten, die Determinante

\g,{zx)\ (l,v = 0,l,...n)

gleich Null sein, was nicht der Fall ist.

Nimmt man also die Grösse S so klein an, dass jede der Grössen

»y'^'ä^B^^^C, (v = 0,l,...n)

dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist, so findet sich unter den Grössen auf der Rechten der Gleichungen (5.) wenigstens eine, die nicht gleich Null ist; woraus sich unmittelbar ergiebt, dass das Product P, und somit auch die Grösse

11=1

welche ein Factor dieses Productes ist, einen von Null ver- schiedenen Werth hat; was zu beweisen war.

Selbstverständlich gilt dieser Satz auch, wenn unter iV,, iV^^, ... iV ratio- nale Zahlen verstanden werden.

Nimmt man für aJj, ic^, ...x^ irgend r von einander verschiedene ganze Zahlen an, so ergiebt sich als ein besonderer Fall des vorstehenden Theorems der von Hermite bewiesene Satz, dass die Zahl e keine algebraische Zahl ist.

Eine naheliegende Verallgemeinerung des Theorems ergiebt sich folgender- maassen :

Sind x^,x^,...x^ irgend r gegebene, von einander verschiedene alge- braische Zahlen, so lässt sich stets eine algebraische Gleichung — im All- gemeinen von höherem als dem r*'" Grade — mit lauter rationalen Zahl- coefficienten und nicht verschwindender Discriminante herstellen, unter deren Wurzeln die gegebenen Grössen x^, x^, ... x^ sich finden. Ist der Grad dieser

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 359

Gleichung gleich r, so sind ic,, a?^, ... a;,. solche r Grössen, für welche das be- wiesene Theorem unmittelbar gilt. Hat die Gleichung aber ausser x^,x^, ... x^ noch l andere Wurzeln

•''«•+1! • • • •^r+li

und werden unter iV^, iV„ ... iV^^j rationale Zahlen verstanden, so ist

r + l

S N^e-^'

nur in dem Falle gleich Null, wo iV^, iV,, ... iV^^, sämmtlich den Werth Null haben. Nimmt man also für jeden Werth von q, der grösser als r ist, N == 0 an, so ergiebt sich:

Werden unter a;^, aj^, ... a;^ irgend r von einander verschiedene algebraische Zahlen, unter N^,N^,...N^. aber beliebige rationale Zahlen verstanden, so kann die Gleichung

2 iV e^« = 0 ?=>

nur dadurch befriedigt werden, dass man jeder der Zahlen N. den Werth Null giebt. in. Jetzt seien

Aj, Xj, ... Xf,

X^, X^, , . . Xf

zwei Systeme von je r gegebenen algebraischen Zahlen, wobei angenommen werde, dass die Grössen X^, X^, ...X^ nicht sämmtlich gleich Null seien, und unter den a;^, x^, ... x^ keine zwei gleiche sich finden.

Die Grössen X^, X^,, ... X^ lassen sich durch eine Grösse ^, welche eine der Wurzeln einer bestimmten irreductiblen algebraischen Gleichung mit lauter rationalen Zahlcoefficienten ist, in der Form

Z. = ^,(1), X, = ö,(|), ... X, = G,.(|)

ausdrücken, wo G^,(l), G*,(|), ... ö^(|) ganze Functionen von |, deren Coeffi- cienten sämmtlich rationale Zahlen sind, bedeuten. Bezeichnet man mit |' irgend eine andere Wurzel der genannten Gleichung, so sind die Grössen

360 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBEK DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

nicht alle gleich Null, weil der bekannten Eigenschaft einer in-eductiblen Gleichung gemäss G (|') nicht gleich Null sein kann, wenn nicht (für denselben Werth von q) auch G {l) = 0 ist. Nun seien |, |', ... |^*"" sämmtliche Wurzeln der in Rede stehenden Gleichung, so bringe man das Product

P = S ö„(l)e''''.S &,{%')«"'... ±G^{f-'^)e'''

(1 = 1 b = i 1 = 1

auf die in I. beschriebene Weise, indem man für die dort mit

A'„, A;, ... 4*^ (e = l,2,...r)

bezeichneten unbestimmten Grössen beziehlich

G^{1), G^il'), ... G^'-^') substituirt, auf die Form

i = 0

wo die Grössen z ^ z , ... s^ also von einander verschiedene algebraische Zahlen sind, die C , C , ... C aber zunächst als symmetrische ganze Functionen von I, g', ... l'*"'' mit lauter rationalen Zahlcoefficienten und sodann sämmtlich als rationale Zahlen dargestellt werden können. Da nun C„, C^, ...(7, nicht sämmtlich gleich Null sind, so hat nach dem Schlusssatze von 11. die Grösse

unter den in Betreff der Grössen X,, X^, ... X,, x^,x^, ... x^ gemachten Vor- aussetzungen einen von NuU verschiedenen Werth. Dasselbe gilt also auch von dem Producte P und somit auch von dem Ausdrucke

e=i "^ g=i

der ein Factor des Productes ist.

Damit ist bewiesen:

»Werden unter x^, x^, ... x^ irgend r von einander verschiedene, unter X„ X,, ... X^ aber beliebige algebraische Zahlen verstanden,

zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«. 361

SO kann die Gleichung

nur in dem Falle, wo X^, X,, ...X^ sämmtlich den Werth Null haben, bestehen.«

In diesem von Lindemann ohne ausgeführten Beweis aufgestellten all- gemeinen Satze finden die von Hermite begonnenen Untersuchungen über die Exponentialfunction ihren Abschluss.

IV. Schliesslich mögen noch einige, aus dem vorstehenden Theorem unmittelbar sich ergebende specielle Sätze angeführt werden.

Nimmt man r — 2, X = — 1 , a?, = 0 an und setzt x für x , X für X , so ergiebt sich, dass die Gleichung e'' — X nicht bestehen kann, wenn x, X beide algebraische Zahlen sind und zugleich x einen' von Null verschiedenen Werth hat. Daraus folgt:

»Die Exponentialgrösse e' ist stets eine transcendente Zahl, wenn x eine von Null verschiedene algebraische Zahl ist.«

»Der natürliche Logarithmus einer algebraischen Zahl X ist immer eine transcendente Zahl, wenn X nicht den Werth 1 hat.«

Diese beiden, von Lindemann besonders hervorgehobenen Sätze scheinen mir zu den schönsten Sätzen der Arithmetik zu gehören.

Nimmt man femer

r = 3, X, = i, X, = -i, x^ = -x,, x, = 0 an und setzt ^ für x^, X für X^, so ergiebt sich, dass die Gleichung

2 sin — = X

nicht bestehen kann, wenn a;, X beide algebraische Zahlen sind und x einen von Null verschiedenen Werth hat. Daraus folgt:

Ein Kreisbogen, dessen Sehne, durch den Halbmesser des Kreises gemessen, eine algebraisch ausdrückbare Länge hat, kann nicht durch eine geometrische Construction, bei der nur algebraische Curven und Flächen zur Anwendung kommen, recti- ficirt werden; ebensowenig ist der zu einem solchen Bogen ge- hörige Kreissector durch eine derartige Construction quadrirbar. II. 46

362 zu LINDEMANN'S ABHANDLUNG: »ÜBER DIE LUDOLPH'SCHE ZAHL«.

Hat nämlich in einem Kreise, dessen Halbmesser als Längeneinheit an- genommen wird, ein Bogen die Länge x, seine Sehne also die Länge 2sin-|- Tind der zugehörige Kreissector den Inhalt \x, so würde, wenn durch eine Construction der angegebenen Art der Bogen rectificirbar oder der Sector quadrirbar wäre , daraus eine algebraische Gleichung zwischen x und 2 sin y sich ergeben. Eine solche Gleichung existirt aber nicht, wenn 2sinY, wie angenommen, eine algebraische Zahl ist.

Fast alle in diesem Bande abgedruckten Abhandlungen sind einer sachlichen Durchsicht unterworfen worden, und zwar durch die Herren G. Frobenius (Nr. 7), K. Hensel (Nr.2), G. Hettner (Nr. 1,4), H. V. Mangoldt (Nr. 8 bis 15,17), R. Rothe (Nr. 5,6). Jeder dieser Herren hat auch mindestens eine Correctur des von ihm durchgesehenen Textes gelesen. Die erste Correctur aller Bogen bis auf drei ist durch Herrn R. Rothe, die Revision vom 18. Bogen an durch Herrn A. Gutzmer besorgt worden. Herr C. Bar ich hat sämmtliche Bogen in typographischer Hinsicht revidirt.

Göttingen, Druck der Dieterich'schen Univ. -Buchdruckerei (W. Fr. Kästner).

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Bd. 2

Physical flt Applied Sei.

Weierstrass, Karl Theolor Wilhelm

Mathematische Werke

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