HARVARD UNIVERSITY. LIBRAMNT OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY. \b yon LS Ma ER Ve ne ( KL A AUATA C2 A | à CA AU L NE e \ # ti e ! 4 CAR 4 Va r9 1C à PE AU JA LR LT] “ à 1 L (R} j M 4, v RO CAN À - + HE , Gare [\ Dr! [fi KY VA A y 123 “e OYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. Nec temere, nec timide. TROISIÈME SÉRIE. TOME VIN. DÉPOTS : ‘ À K d \ PARIS, BERLIN. É chez Hermann, libraire, chez Friepzänper u. Sohn. . rue de la Sorbonne, 6. Karistrasse, 11. BRUXELLES, | % a SR Rue de Louvain, 142 1909 MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. Nec temere, nec timide. TROISIÈME SÉRIE. TOME VIII. DÉPOTS : LONDRES , PARIS , BKHLIN , chez Wicuams et NongaTe, chez Hermann, libraire, chez Faiepzänper u. Sohn fHlenrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 6. Karistrasse, 11. BRUXELLES, HAYEZ, IMPRIMEUR DES ACADÉMIES ROYALES DE BELGIQUE. Rue de Louvain, 112 1909 { (l HrTET 72, 59 * : Le + ne] “ LU PE 27 À 13. 14. TABLE DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME Vi. . Contribution à l’anatomie des Amarantacées ; par A. GRavis. . Notes de géométrie ; par LUCIEN GODEAUX. . Sur une surface particulière du septième ordre; par JEAN DEGUELDRE. . Éléments d’analytique sphérique ; par G. CESARo. . Sur une poudre brune à aspect gras à odeur de pétrole, pro- venant du charbonnage de La Haye. Étude optique de quelques pholérites belges ; par ARTHUR ABRAHAM. . La pholérite; par G. CESARO. . Note sur les hypocycloïdes tricuspidales inscrites à un triangle fixe; par À. Go. . Sur la transformation d’intégrales à circuit fermé en inté- grales à circuit ouvert; par M. BEAUPAIN. Etudes de géométrie synthétique; par LUCIEN GODEAUX. . Sur quelques générations des coniques et des quadriques ; par J. MALAISE. . Sur quelques lieux géométriques dans l’espace ; par NEUBERG et DEGUELDRE. . Relations entre les volumes de certains tétraèdres; par J. NEUBERG. Sur la variation des latitudes; par HENRY JANNE. Sur l’hypocycloïde de Steiner (4° note); par A. Gos. LISTE MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ (AOÛT 1909). Bureau. Président, MM. J. Neuserc. Vice-Président, A. GRAVIS. Secrétaire général, C. LE PAIGE. Trésorier-Bibliothécaire, J. FarRon. Membres effectifs. 1871 Van Beneven, Éd., professeur à l’université, membre de l'Académie royale de Belgique. 1878 LE Pace, C., administrateur inspecteur de l'université, membre de l’Académie royale de Belgique. 1879 Jorissen, A., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. 1880 Neuserc, J., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. 1881 1884 1885 1887 1890 1897 1598 1900 1902 1906 1909 ( vin ) FraiPonr, J., professeur à l’université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. DeruiTs, J., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. Uracus, P., docteur en sciences, répétiteur à l’université. Gravis, A., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. LonesT, M., professeur à l'université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. De Heen, P., professeur à l’université, membre de l'Académie royale de Belgique. Peaur:1x, J., docteur en sciences, ingénieur en chef au corps des mines. CEsiro, G., professeur à l'université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. Huserr, H., professeur à l'université, ingénieur en chef au corps des mines. Loxay, H., docteur en sciences, chargé de cours à l'École spéciale de commerce annexée à l'université. Denazu, M., docteur en sciences, répétiteur à l'université. Farron, J., docteur en sciences, répétiteur à l'université. ABRAHAM, À., docteur en sciences, répétiteur à l'université. Go8, A., professeur de mathématiques à l'Athénée royal de Liége. 1855 1355 1865 1867 1869 1871 1872 1875 1875 1876 1877 1879 1880 Membres correspondants. I. — Sciences physiques et mathématiques. Père, Em., industriel, à Bruxelles. Liais, ancien directeur de l'Observatoire de Rio de Janeiro. HUGUENY, professeur, à Strasbourg. DaussE, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris. BarNarD, président de l’École des mines, à New-York. Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique de Montsouris. Henry, L., professeur à l’université de Louvain. Masrers, Maxwezz T., membre de la Société royale, à Londres. | GariBALot, professeur à l’université de Gênes. Kanrrz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen- bourg. Dargoux, G., membre de l’Institut, à Paris. Mansion, P., professeur à l’université de Gand. DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain. Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à Londres. TissanDiER, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris. | CzuBER, professeur, à Prague. Van DER MENSBRUGGHE, Gustave, professeur à l’université de Gand. 1881 1835 1885 1887 1888 1898 1893 1902 1904 (x) SéBEerT, colonel d'artillerie de Ia marine française, à Paris. ANGoT, À., directeur du bureau central météorologique de France, à Paris. WiEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig. KoLrauscH, directeur de l’Institut physique de Wurz- bourg. Quincke, professeur à l'université d'Heidelberg. LaISsaANT, C.-A., à Paris. Mirrac-LErFLER, G., professeur à l’université de Stock- holm. GomÈs TEixEiRA, F., ancien professeur à l’université de Coïmbre. ScxuUR, Fréd., professeur à l’université de Dorpat. Picquer, répétiteur à l’École polytechnique, à Paris. VanNECEK, J. S., professeur, à Jicin (Bohème). Wazras, L., professeur à l’Académie de Lausanne. GuccrA, professeur à l'université de Palerme. Wuiiner, professeur à l'Ecole polytechnique d’Aix- la-Chapelle. Paazzow, directeur de l’École technique de Berlin. OcacnE (Maurice D’), professeur à l'Ecole des ponts et chaussées, à Paris. Gorpan, P., professeur à l’université d'Erlangen. KorTEWEG, D.-J., professeur à l’université d'Amsterdam. Lampe, Em., directeur du Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, professeur à Berlin. Marias, Em., professeur à l’université de Toulouse. BrocarD, H., ancien officier du génie, à Bar-le-Duc. Verszuys, W.-A., docteur en sciences, à Delft. LercH, Math., professeur à l’université de Fribourg (Suisse). (x) 190% ScHÔNFLiESs, professeur à l'université de Kœnigsberg. Carezui, Alfr., professeur à l’université de Naples. MEYER, Franz, professeur à l’université de Kænigsberg. W. KaPTEYyN, professeur à l’université d'Utrecht. 1905 TRAUBE, professeur, à Berlin. II. — Sciences naturelles. 1854 Drouër, H., naturaliste, à Dijon. Lucas, H., naturaliste au Museum d'histoire naturelle, à Paris. 1864 Taouson, J., membre de la Société entomologique de France, à Paris. 1866 RopriGuEez, directeur du Musée zoologique de Guaté- mala. 1867 GossELer, J., professeur à la faculté des sciences de Lille. RaDoszkoFrski, président de la Société entomologique de Saint-Pétersbourg. 1870 Mazaise, C., professeur émérite à l’Institut agronomique de Gembloux. 1871 CapELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à l'université de Bologne. 1875 GLaziou, botaniste, à Rio de Janeiro. DE Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine, directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio de Janeiro. Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Avyres. ARESCHOUG, professeur à l’université de Lund. 1874 WaLDEYEr, professeur à l'université de Berlin. 1875 1876 1877 1878 ( xn ) EimEr , professeur à l’université de Tubingue. DE LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l'université de Bonn. Ray-LankesTER, directeur du Britisch Museum (Natural history). PackaRD, professeur à l’université de Salem. PLATEAU, F., professeur à l’université de Gand. Bazrour, 1. B., professeur de botanique à l’université, à Oxford. Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique, à Londres. L) université de Munich. « L HERTwIG, R., professeur à 1 STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn. BronGNiarT, Charles, à Paris. Werrergy, professeur à l’université de Cincinnati. Bozivar, L., professeur, à Madrid. RiTsEmA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Leyde. TaramELLI, professeur à l’université de Pavie. GEsTRrO, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle de Gênes. SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin. Huzz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande. TRINCHESE, professeur à l’université de Naples. AGassiz, Alexandre, à Cambridge (Mass.). BERTRAND, C.-E., professeur de botanique à la Faculté des sciences de Lille. BLancHarD, Raphaël, assistant au Museum d'histoire natu- relle, à Paris 1904 Durano, Th., directeur du Jardin botanique de l'État à Bruxelles, correspondant de l’Académie royale de Belgique. ( x) Barrois, C., professeur à l’université de Lille. Bouze, Marcellin, professeur au Museum, à Paris. OeucerrT, D., conservateur du Musée de Laval (Mayenne). Porris, À , professeur à l’université de Rome. von KOENEN, A., professeur à l’université de Gæœttingen. DE LorioL, P., géologue, à Fontenex. GRrAND’EurY, F., ingénieur, à Saint-Étienne. DE ROUVILLE, P., doyen honoraire, à Montpellier. Coccri, J., directeur du Musée, à Florence. - r. v hi rue _. à Role | LA EL pret | + aie LE MT « tr 4 17 0e Da. A RUETIR 102 retour ce. 4° D noit-ole 4) ruvin | À us LL Dal DEMEA) wii Lo = + 1 AMAQ pe à LR Ho" fh ii Te ÿn 4 ALTTAAC nt Lits, ‘ar | [1 ANG. sa AY: st Chés LISTE DES SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC AVEC LESQUELLES LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÉGE échange ses publications. ee BELGIQUE. Bruxelles. Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Observatoire royal. Société entomologique de Belgique. Société malacologique de Belgique. Société royale belge de géographie. Société belge de microscopie. Musée royal d'histoire naturelle. Société royale belge de botanique. Liége. — Société géologique. Association des élèves des Écoles spéciales. Mons. — Sociélé des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut. Gand. — Maihesis, directeurs : MM. P. Mansion et J. NeEuBERG. ALLEMAGNE. Berlin. — Xôünigliche Akademie der LE Deutsche geologische Gesellschaft. Entomologischer Verein. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, directeur : M. Laure (Kurfürstenstr., 159). 175 Bonn. — Vaturhistorischer Verein der preussischen Rheinlande und Westphalens. Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur. Breslau. Colmar. — Société d'histoire naturelle. Physikalisch-medicinische Societät. Erlangen. Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell- Francfort. schaft. Fribourg. Naturforschende Gesellschaft. Giessenmn. — Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde Gôrlitz. — Vaturforschende Gesellschaft. . Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften. Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschaften und Georg-August-Universilät. Halle. — Vaturforschende Gesellschaft. Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische deutsche Akademie der Naturforscher. Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein. Kônigsherg. Kôünigliche physikalisch-ükonomische Gesell- schaft. Landshut. — Botanischer Verein. Leipzig. — Vaturforschende Gesellschaft. Magdebourg. — Museum für Natur und Heimatkunde Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture. Munich. — Xünigliche bayerische Akudemie der Wissenschaften. Künigliche Sternwarte. Muuster. — West/älischer Provincial-Verein für Wissenschaften und Kunst. Ofenbacln. — Offenbacher Verein für Naturkunde. Stuttgart. — Verein für vaterländische Naturkunde in Wür- temberg. Wiesbaden. — Vassauischer Verein für Naturkunde. Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz- Wurzbourg. burg. Zwickau. — Verein für Naturkunde. ( xvn ) AUTRICHE-HONGRIE. Agram. — Académie Sudo-Slave des sciences. Cracovie. — Académie des sciences. Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen- schaften. Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein. Prague. — Xüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften. Kaiserlich-Künigliche Sternwarte. Ceske Akademie Cisare Frantiska Josepha. Vienne. — Xaiserliche Akademie der Wissenschaften. Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft. Kaiserlich-Kônigliche geologische Reichsanstalt. Monatshefte für Mathematik und Physik, rédacteurs : MM. EscuericH et GEGENBAUER, professeurs à l’université. DANEMARK. Copenhague. — 7idskrift for Mathematik : D'S Juez et Fozo- BERG (Romersgade, 9). Académie royale des sciences. ESPAGNE. Madrid. — Real Academia de Ciencias. FRANCE. Agen. — Société d'agriculture, sciences et arts. Béziers. — Société d'étude des sciences naturelles. Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts. Société linnéenne. Société des sciences physiques et naturelles. Caen. — Société linnéenne de Normandie. Cherbourg. — Société des sciences naturelles. Dijon. — Académie des sciences. ( xvin) Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts. Université. Lyon. — Académie des sciences. Société d'agriculture. Société linnéenne. Universite. Marseille. Faculté des Sciences. Montpellier. — Académie des sciences et lettres. Naney. — Sociélé des sciences (ancienne Société des sciences natu- relles de Strasbourg). Nantes. — Socielé des sciences naturelles de l’Ouest de la France. Paris. — Société philomatique. Muséum d'histoire naturelle. Société mathématique de France. École polytechnique. L'intermédiaire des mathématiciens, M. LaisanT (quai des Augustins, à). Société des amis des sciences naturelles. Académie des sciences. K&ouen. Toulouse. Académie des sciences. Faculté des Sciences. Lroyes. — Sociélé académique de l’Aube. GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE. Dublin. — Royal Irish Academy. Royal Society. Édimbourg. — Geological Society. Mathematical Society. Glasgow. — [Vatural history Society. Philosophical Society. Londres. — Geological Society. Linnean Society. Royal Society. Manchester. — Literary and philosophical Society. (xt) ITALIE, Bologne. — Accademia delle Scienze (classe des sciences physiques et mathématiques). Accademia delle Scienze (classe des sciences morales). Catane. Accademiu gioenia di scienze naturali. Florence, — /nslitut supérieur. Gênes. — Reule Universita. Modène. Societa der naturalisti. Naples. — Societa Reale. Palerme. Societa di scienze naturali e economiche. Circolo matematico. Pise. — Societa di scienze naturali. Nuovo Cimento, rédacteurs : MM. FeLici, BATELLI et VOLTERRA, Rome. — Reale Accademia dei Lincei. Accademia pontificia de” Nuovi Lincei. R. Comitato geologico: d’Italiu. Société italienne pour l’avancement des sciences. Turin. — Reale Academiu delle Scienze. LUXEMBOURG. Luxembourg. — /nstilut royal Grand-Ducal, section des sciences naturelles et mathématiques. Société botanique du grand-duché de Luxembourg. NÉER LANDE. Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen. Société mathématique. Delft. — Académie technique. Harlem. — Société hollandaise des sciences. Musée Teyler. Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke wisbegeerte. (xx ) NORWÈGE. Bergen. — Museum. Christiania. Kongelige Frederiks Universilet. Videnskabs Selskabet. Güteborg. — ÆXongl. Vetenskaps och Vitterhetssamhälle. Stavanger. — Museum. Throndhjem. — À. Vorske Videnskabers Selskabs. PORTUGAL. Lisbonne, — Académie des sciences. Porto. — Académie polytechnique, directeur : M. GouÈs TBIXEIRA RUSSIE. Helsingfors. — Société des sciences de Finlande. Kazan. — Société physico-mathématique. Kharkoff. — Société mathématique. Kischinew. — Sociélé des naturalistes de Bessarubie. Juriew. — Université. Moscou. Société impériale des naturalistes. Saint-Pétershourg. — Académie 1mpériale des sciences. Archives des sciences biologiques. Société d'archéologie et de numismatique. Sociélé entomologique. Varsovie. — Wiadomosci malematyczne. SUÉDE. Stockholm. — Académie royale des sciences. Entomologiska [üreningen, 94, Drottninggatan. Acta mathematica, rédacteur : M. Mirrac-LerFLer. Upsal, — Sociélé royule des Sciences. CIM }) SUISSE. Berne. — Vaturforschende Gesellschaft. Société helvétique des sciences naturelles. Genève. — L'enseignement mathématique, directeurs : MM. FEur et LaisanrT (rue Plantamour, 19). Yeuchâtel. — Societé des sciences naturelles. Zurich. — Vaturforschende Gesellschaft. AMERIQUE. ÉTATS-UNIS. Austin. — Texas Academy of sciences. Baltimore. — American Journal of mathematics. (Johns Hopkins University.) Boston. — American Academy of arts and sciences. Society of nalural History. Cambridge (Mass). — Museum of comparative Zoology. Chicago. — Field Museum of natural history. Cold Spring Harbor (N.Y.). — Carnegie Institution (station [or experimentale evolution ; directeur : M. C. B. Davenport). Colorado. — Colorado College (bureau des publications), Des Moines (lowa). — Geological Survey. Lawrence (Kan). — The Kansas University. Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts. Geological Survey. Nebraska, — University. New-Haven. — Conneclicut Academy of arts and sciences. New-York. — Academy of sciences. Museum of nalural history. American Mathematical Society. Philadelphie. — Academy of natural sciences. American philosophical Society. Wagner free Institule of sciences. ( xx! ) Portland. — Vatural History Society. Rochester. — Academy of sciences. Saint-Louis, Mo. -— Botanical Garden. Salem. — Essex Institute. American Association for advancement of sciences. San-Franceisco. — Californian Academy of sciences. Urbana (11l.). — University of Illinois library. Washington. — Smithsonian Institution. Bureau of ethnology. CANADA. Halifax. — Vova Scotian Institute of natural Science. Ottawa. — Geological Survey of Canada. Commission de géologie et d'histoire naturelle du Canuda. Toronto. — Canadian Institute. CHILI. Santiago. — Société scientifique du Chili. MEXIQUE. Merida. — Observatoire. Mexico. — Société Antonio Alzate. Observatoire météorologique central. Tacubhaya. — Observatoire national. RÉPUBLIQUE ARGENTINE. Buenos-Ayres. — Universidad. URUGUAY. Montevideo. — Museo nucional. ( xxXHI | ASIE. INDES ANGLAISES. Calcutta. — Asiatic Society of Bengal. INDES HOLLANDAISES. Batavia. — Xoninklijke natuurkundige vereeniging in Neder- landsch Indié. SIBÉRIE. Irkutsk. — Ostsibirische Abtheilung der K. Russischen geogra- phischen Gesellschaft. AUSTRALIE. Adelaïde. — Royal Society of South Australia. Melbourne. — Observatoire. _ Sydney. — Australian Association [or advancement of science. Linnean Society. Royal Society of New South Wales. sh: leset j , | A ay NT FT . LIEN 2 0 D de RE. EN at » n Pa as - "= rL Kyr0 CA rue série EE \4à Ne _ _ as dant Le aisé M mi 10% F3 . “ f ré { — D VA b = CS #1 Let CUT SUR mt Lei n' _ FE | x .e nr ME Méga % ft soit AU ‘ou NL “ D 'A { Æ" : : | 4 " di h ‘ 1 À l L PLATINE NPA et DIRES TU RL da? à. EE: l : | usa ut AAA 0 M) Hyatt 24 QG | | | 40) ire) pat 340 TE NOTE: TR 4 UE TE MITA A NI * ATEN | Le Mi CONTRIBUTION L'ANATONIE DES AMARANTACEES PAR A. GRAVIS PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. Avec la collaboration de Mile Constantinesco DOCTEUR EN SCIENCES NATURELLES NT A NENEE è DLUULS, 1! eut L INTRODUCTION La tige des Amarantes est généralement considérée comme anomale à cause du grand nombre et de la disposition de ses faisceaux. Nous nous sommes proposé de rechercher quel est le parcours de ces faisceaux, parce qu'il constitue, semble-t-il, un type non encore déerit. Nous avons reconnu la présence. de faisceaux foliaires, de faisceaux gemmaires et de faisceaux anastomotiques, ainsi que l'existence de massifs libéro-ligneux secondaires. Ces derniers, souvent désignés sous les noms de faisceaux secondaires ou sur- numéraires, prennent naissance d'une façon très spéciale qui a été fort controversée. Nous avons saisi l'occasion qui nous était offerte de reprendre l'examen de ce sujet. Notre travail sera done divisé en deux parties : dans la pre- mière, nous nous occuperons du parcours des faisceaux en cherchant surtout à préeiser la forme des traces foliaires et celle des traces gemmaires; dans la seconde, nous étudierons le mécanisme de l'accroissement diamétral secondaire résultant de la formation des massifs libéro-ligneux secondaires. Les questions relatives à l’histologie proprement dite n'ont pas fixé notre attention : elles n'offrent, dans le cas présent, aucun intérêt particulier. | Nous exposerons d'abord nos recherches, puis nous analyse- rons les travaux de nos devanciers et nous comparerons nos (4) résultats aux leurs. Nous terminerons par un résumé où les per- sonnes qui ne désirent pas nous suivre dans le détail de notre étude trouveront l'énoncé concis de nos observations et de nos conclusions, Les plantes qui ont fourni les matériaux de notre travail étaient dénommées Amarantus flavus L. Cette détermination nous paraissant erronée, nous avons analysé soigneusement nos exemplaires et nous avons cru pouvoir les rattacher à l'Amarantus caudatus L. var. albiflorus. Cette variété est dési- gnée aussi sous les noms d'Amarantus pendulinus ou À. pen- dulus (1). Pour plus de sûreté, nous avons soumis des spécimens de notre plante à M. le D' H. Schinz, le réputé monographe des Amarantacées et des familles voisines. Ce botaniste a bien voulu nous faire savoir qu’il s’agit d’une forme de l’'Amarantus cauda- tus L., mais que la détermination rigoureuse des Amarantes cultivées dans les jardins botaniques est rendue très difficile par le fait des croisements qui s'opèrent entre diverses espèces. Nous adressons nos remerciments à M. le D° H. Schinz pour les renseignements qu'il nous a transmis et qui nous permettent de considérer la plante que nous avons étudiée comme apparte- nant réellement à l’Amarantus caudatus L. Une détermination plus complète n’est pas nécessaire ici, attendu que nous envisa- geons notre sujet au point de vue de l'anatomie générale et non au point de vue de la diagnose anatomique des espèces. (') Moquix dans le Prodrome de de Candolle, Pars XIL, p. 255. CONTRIBUTION À L'ANATOMIE DES AMARANTACÉES CHAPITRE PREMIER PARCOURS DES FAISCEAUX S |. — TYPE. Pour étudier le type structural de l’Amarante, il nous a paru utile de rechercher d'abord quel est le parcours des faisceaux dans la région qui porte les plus grandes feuilles : nous avons choisi à cet effet les segments 8 à 15 d'une tige principale très vigoureuse, complétement développée, qui mesurait 1"40 depuis linsertion des cotylédons jusqu’au sommet de l’inflo- rescence (‘). La divergence foliaire étant égale à 2/; de circonfé- rence dans la région examinée, c'est done un cycle phyllotaxique complet que nous avons minutieusement exploré au moyen de coupes transversales successives dans les nœuds et de coupes transversales échelonnées de distance en distance dans les entre- nœuds. La figure 1 reproduit l'aspect extérieur de cette portion de tige qui mesurait 31 centimètres de longueur. Le nœud ‘# a fourni, en outre, une série de coupes longitu- dinales successives pratiquées parallèlement au plan de symétrie. Le nœud !5 enfin a été débité en coupes longitudinales succes- (*) Par segment, nous entendons un nœud de la tige avec l’entre-nœud précédent. (64) sives faites perpendiculairement au plan de symétrie. Ces deux nœuds avaient une structure comparable à celle des six nœuds précédents. Les coupes mesuraient généralement 15 millimètres de dia- mètre. Elles ont été dessinées, au moyen de l'appareil projecteur d'Edinger, sur des feuillets de papier transparent, afin de per- mettre la comparaison des croquis par superposition. Tous: ces dessins ont été contrôlés en examinant les coupes de nouveau sous le microscope à grand champ de Nachet. L'examen attentif de tous ces matériaux et leur comparaison avec ceux dont il sera question par la suite, nous ont permis de définir le type structural en le dégageant de tous les cas parti- culiers et accidents locaux. Avant de commencer cette description, nous croyons qu'il ne sera pas inutile de préciser certains termes dont nous aurons à faire usage. On peut envisager une tige quelconque comme formée par la décurrence des tissus constituant les feuilles et les rameaux. Dès lors, il est naturel de rechercher dans la tige les traces foliaires et les traces gemmaires, leur composition et leur agencement. Par trace foliaire, il faut entendre l’ensemble des faisceaux qui proviennent d'une même feuille, en ne considérant que ceux qui n'ont encore subi aucune anastomose ; ces faisceaux restés libres sont dits faisceaux foliaires (*). Dans l’Amarante, chaque feuille donne à la tige un faisceau médian (M), deux faisceaux latéraux (L), deux faisceaux intermédiaires (i) et des faisceaux marginaux de divers ordres (m, m/, m'!..….). De même, par trace gemmaire, il faut entendre l’ensemble des faisceaux qui proviennent d’un même bourgeon ou rameau; dans leur portion non encore anastomosée, ces faisceaux sont (*) Il est regrettable que quelques auteurs prennent comme synonymes les termes trace foliaire et faisceau foliaire : c’est établir une confusion fâcheuse entre le tout et la partie! @7) qualifiés de faisceaux gemmaires et indiqués par le symbole G. Les uns viennent de la région centrale du bourgeon, les autres de la périphérie : les premiers sont dits internes (G.:.), les seconds externes (G.e.). Dans leur course descendante, les foliaires et les gemmaires rencontrent des faisceaux auxquels ils s’unissent en se confon- dant avec eux. Ces complexes sont désignés sous le nom de faisceaux anastomotiques et indiqués par le symbole A. Dans l’Amarante, nous aurons à considérer encore les massifs libéro-ligneux secondaires qui apparaissent tardivement à la périphérie des parties les plus âgées de la tige (*). Dans toutes nos descriptions, nous suivrons le trajet des faisceaux de haut en bas : nous commencerons done au nœud 5 pour descendre jusque dans l’entre-nœud $. IL. — TRACE FOLIAIRE. Le nombre des faisceaux contenus dans le pétiole de la feuille est 25, comme l'indique la figure 2. A la base du pétiole, les trois faisceaux intermédiaires, situés de chaque côté du médian, s'unissent en un seul; de même les marginaux se réunissent pour ne constituer que trois faisceaux marginaux de chaque côté. Ces réunions sont indiquées par des accolades dans la figure 2. Les 11 faisceaux ainsi constitués passeront dans la tige; ce sont les faisceaux : m''mm LiMilLmmn!. Dans le nœud 15, une coupe représentée par la figure 5 (?) (") Pour plus de détails sur les catégories de faisceaux et l'historique de la question, voir A. Gravis, Recherches anatomiques et physiologiques sur le Tradescantia virginica (8, pp. 65 et 75), ainsi que l’Anatomie comparée du Chlorophytum et du Tradescantia (9, p. 15). (*) Les niveaux correspondants aux coupes transversales sont indiqués dans le dessin. d'ensemble de la figure 1. (8) montre la pénétration des faisceaux m’ et m/! de chaque côté; une autre (fig.7) permet de constater la pénétration des » Li M à L m. Au milieu de l'entre-nœud 15 (fig. 8), la trace foliaire est complète puisqu'elle se compose encore des 11 faisceaux m'mmLiMilLmmm". Ces faisceaux sont disposés en zigzag, les plus gros (L M L) étant les plus rapprochés du centre de la tige, les autres étant d'autant plus éloignés qu'ils sont plus petits. Cette disposition est caractéristique. Un peu au-dessous de ce niveau, les faisceaux mn! se jettent sur les faisceaux les plus voisins. [l en est de même des m/ vers le milieu de l’entre-nœua ‘* (fig. 9); la trace foliaire, dès lors incomplète, ne comprend que les 7 faisceaux : mLiMilLm. Dans l'étendue de l'entre-nœud 10, les faisceaux » et L s'unissent aux faisceaux anastomotiques les plus proches. Vers le milieu de l’entre-nœud 10 (fig. 10), ces réunions sont déjà faites, sauf celle du faisceau latéral gauche qui est sur le point de s'accomplir. Les foliaires à M à se retrouvent dans l'entre-nœud ° (fig. 11); ils continuent à descendre dans la tige jusque sous le nœud 8 : là, ils s’anastomosent à leur tour (fig. 12). La trace foliaire du nœud ‘5 a donc complètement disparu : elle a fait place à la trace foliaire du nœud #, laquelle ne comprend que 9 faisceaux. Vu ïe grand nombre des faisceaux et leur disposition à des distances très iñégales du centre de la tige, il n'est guère possible de représenter le parcours comme on le fait généralement en supposant la tige déployée dans un plan. Nous avons cependant essayé de donner trois représentations partielles. Dans la première représentation (fig. 13), tous les faisceaux composant la trace foliaire et la trace gemmaire du nœud ‘, ainsi que les faisceaux anastomotiques voisins, sont ramenés dans un plan tangent à la tige; ils ont été espacés de façon à ne pas 97) se confondre dans la figure. Le parcours est vu de face : il comprend six segments superposés (segments 8 à 13), mais il ne correspond qu à l'un des cinq secteurs qui composent la tige. La deuxième représentation (fig. 14) indique, dans le plan radial, le trajet des faisceaux de la moitié droite des mêmes traces foliaire et gemmaire. Le parcours est donc vu de profil, de façon à mettre en évidence le déplacement des faisceaux dans le sens du rayon de la tige. Les faisceaux représentés dans la figure 14 correspondent à ceux que l'on voit dans la portion de coupe transversale dessinée sous la figure. Ce demi-secteur équivaut à la dixième partie de la tige. Dans les figures 15 et 14, les faisceaux foliaires sont indiqués par des traits fins, les gemmaires par des traits interrompus, les anastomotiques par de gros traits. À l'inspection de ces deux figures, on reconnait que les divers faisceaux foliaires effectuent dans la tige un trajet de longueur différente. Partant du nœud 5, on constate que les m#// parcourent la longueur d’un demi-entre- nœud environ; que les #/ parcourent presque deux entre-nœuds; que les » et L descendent la longueur de trois à quatre entre- nœuds; que les ? et M ne s'anastomosent qu'après avoir parcouru librement cinq entre-nœudbs. La troisième représentation du parcours (fig. 15) est une sorte de projection schématique, sur un plan horizontal, des faisceaux de la trace foiiaire (pointillés), des faisceaux de la trace gem- maire (hachurés) et des faisceaux anastomotiques voisins (laissés en blanc). Les flèches indiquent comment les foliaires et Îles gemmaires se terminent en s’unissant aux anastomotiques. Les faisceaux dont le contour est indiqué par quelques points appar- tiennent à d’autres traces foliaires et gemmaires. L'étude qui a été faite des segments 8 à 13, reproduits par la figure 1, nous a permis de suivre dans toute leur longueur non seulement le trajet des faisceaux provenant de la feuille 15, mais encore celui des faisceaux provenant des feuilles 12, 11, 10,9 et 8. Nous pouvons done noter exactement tous les faisceaux ren- contrés au milieu de l’entre-nœud 9 (fig. 11). Cette coupe, vague- (10) ment pentagonale, montre nettement cinq traces foliaires séparées par cinq groupes de faisceaux anastomotiques rayonnants; le tout entouré d'une couronne de petits faisceaux dont il sera fait men- tion ultérieurement. On remarquera d'abord deux traces foliaires complètes com- prenant les 9 faisceaux »/m L à M i L m m/ et correspondant aux feuilles 9 et 10 (lesquelles n’envoient pas de faisceaux #/! dans la tige); ensuite une trace foliaire incomplète formée des fais- ceaux L # M i L et correspondant à la feuille 1; enfin deux traces foliaires très incomplètes, constituées seulement par les trois fais- ceaux © M à des feuilles 12 et 15. Nous trouvons donc côte à côte, dans cette coupe, les trois états dans lesquels se présente une même trace foliaire lorsqu'elle est suivie dans son trajet descendant. Les cinq traces foliaires d'un entre-nœud sont séparées par cinq groupes de faisceaux anastomotiques dont la disposition rayonnante est plus ou moins régulière. Dans chacun de ces groupes, les plus gros faisceaux sont les plus rapprochés du centre, les plus petits les plus éloignés. Les faisceaux d’une trace foliaire ne se placent jamais entre les faisceaux d'une autre trace foliaire ; ils ne s’interposent même pas aux faisceaux anastomotiques, comme on le constate dans un grand nombre de plantes. Dans l'Amarante, la tige est done constituée par des secteurs bien distinets, au nombre de cinq dans la région type envisagée ici. Nous avons constaté que la disposition des faisceaux foliaires est invariable dans tous les segments; aussi avec un peu d’expé- rience peut-on toujours les reconnaitre et les déterminer exacte: ment. La place où ils se terminent en s'anastomosant ne présente pas la même constance. En conséquence, nous ne chercherons pas à préciser le mode de terminaison des foliaires dans chaque cas particulier. Nous nous bornerons à formuler ceci : les faisceaux médians et les faisceaux latéraux se terminent en se jetant sur l'un des gros faisceaux anastomotiques les plus rapprochés du centre de la tige; les faisceaux marginaux se fusionnent aux faisceaux anastomotiques situés d'autant plus loin du centre qu'ils ot LL (11) sont eux-mêmes plus petits; le lieu d’anastomose des faisceaux intermédiaires est plus variable. Habituellement les foliaires s'unissent aux anastomotiques situés -du même côté qu’eux par rapport au plan de symétrie de la feuille. Cependant les foliaires latéraux et les foliaires intermédiaires du côté droit peuvent être rejetés contre les anastomotiques du côté gauche. Le contraire peut aussi s'observer. Ces faits semblent en rapport avec le sens de la spire phyllotaxique et l'augmentation du nombre des faisceaux dans les segments consécutifs (1). Outre les 29 faisceaux foliaires et les 26 faisceaux anastomo- tiques dont nous venons de parler, la coupe représentée par la figure 11 contient 65 faisceaux gemmaires (indiqués par des hachures) et 160 massifs libéro-ligneux secondaires (indiqués en noir). Nous aurons à nous occuper de ces faisceaux gemmaires et de ces massifs libéro-ligneux secondaires dans la suite de notre travail. | II. — TRACE GEMMAIRE. Le bourgeon situé dans laisselle de la feuille 13 s’est développé en un rameau long de 55 centimètres, dont le diamètre mesure 4 à à millimètres à la base. Ce rameau possède une structure assez semblable à celle de la tige principale : il renferme des faisceaux foliaires, des anastomotiques et une couronne de petits faisceaux périphériques. Tous ces faisceaux du rameau pénètrent dans la tige mère : c'est leur trajet descendant que nous allons suivre. La section transversale représentée partiellement par la figure 5 a été pratiquée un peu au-dessus du nœud 15, La section pratiquée quelques millimètres plus bas (fig. 4) a rencontré . insertion du rameau : les faisceaux gemmaires, c'est-à-dire les (*) Ces résultats sont conformes à ceux obtenus dans le Tradescantia : (8, pp. 83 et 84) et le Chlorophytum. Ils confirment également les vues émises par M. O. Lienier (12, 13 ct 14). Il est donc acquis que l’étude des faisceaux foliaires est beaucoup plus importante que celle des faisceaux anastomotiques. (12) faisceaux provenant du rameau, y sont représentés couverts de hachures. On peut distinguer des gemmaires internes (G. i.) et des gemmaires externes (G.e.) On les retrouve dans la figure 5, dans laquelle on voit les gemmaires externes se disposer côte à côte et les gemmaires internes s’enfoncer dans la tige. Au niveau de la rentrée des principaux faisceaux de la feuille 15 (fig. 7), les gemmaires externes (G. e.) sont interposés aux foliaires, tandis que les gemmaires internes (G. i.) se sont disposés parallèlement aux faisceaux anastomotiques (A) de la tige mère. Dès le milieu de l'entre-nœud !5 (fig. 8), les G.e. se sont épar- pillés à la phériphérie de la tige mère, et les G.i. ont été presque entièrement absorbés par les anastomotiques. Plus bas (fig. 9 et 10), la trace gemmaire n’est plus représentée que par les petits faisceaux externes disposés en cercle à la péri- phérie. Ces petits faisceaux descendent parallèlement le long de einq entre-nœuds, puis, refoulés vers l’intérieur, ils sont reçus par les anastomotiques dans la moitié supérieure du nœud 8. En résumé, la trace foliaire et la trace gemmaire correspon- dante sont absorbées par les faisceaux anastomotiques qui encadrent ces deux traces : la première s'observe partiellement au moins dans toute l'étendue de einq entre-nœuds, tandis que la seconde disparait presque entièrement dans l’entre-nœud situé sous le nœud considéré. Seuls, les gemmaires externes persistent dans la tige mère pour y former la couronne de faisceaux péri- phériques. Le parcours des faisceaux gemmaires est nettement reconnais- sable dans nos figures 13 et 14 : les faisceaux descendant du rameau y sont indiqués en traits interrompus. Partant du nœud 15, on voit les gemmaires internes parcourir dans la tige la lon- gueur d'un entre-nœud, puis se jeter sur les anastomotiques. Les gemmaires externes, au contraire, descendent la longueur de cinq entre-nœuds, puis, s'unissant à leur tour à des anastomotiques, ils laissent la place libre aux gemmaires externes du nœud 8. La réalité de cette disposition est mise hors de doute par le contrôle résultant de l'examen d’une série de coupes successives | | (15) pratiquées longitudinalement dans le nœud 14, parallèlement au plan de symétrie de ce segment (fig. 16). Une seule coupe ne peut évidemment fournir un tracé aussi complet que celui de notre figure 16 : celle-ci a été obtenue par la superposition de trois dessins fournis par trois sections successives. Cette méthode permet de suivre un certain nombre de faisceaux en complétant un croquis par le suivant. Toutefois, elle n’est réellement démonstrative que quand elle vient corroborer l’étude attentive d'une série de coupes transversales successives dans une région comparable (série des figures 3 à 12). Dans la figure 15 enfin, les faisceaux gemmaires sont désignés par des hachures ; les flèches montrent où se termineront ces faisceaux en s’unissant aux faisceaux anastomotiques laissés en blanc. | $ II. — VARIATIONS DU TYPE DANS L’ÉTENDUE DE LA TIGE. La variation de la structure dans les diverses régions d’une même tige (indépendamment de la différence d'âge de ces régions) est un fait bien établi, mais trop négligé encore (*). On ne peut cependant se faire une idée suffisamment complète de l'organisation d'une plante, qu'en étudiant toutes ses parties : c'est à ce prix qu’il est possible de définir le type structural qui pourra ultérieurement être comparé à d'autres types structuraux établis de la même manière. Distinguons d'abord les régions reconnaissables extérieure- ment dans la tige de l'amarante étudiée. Caractères extérieurs. Notre Amarante est une plante annuelle à croissance rapide. (*) L’Urtica dioïca et le Tradescantia virginica, étudiés à ce point de vue, peuvent servir d'exemples bien démonstratifs. (14) Sa tige principale, qui dans les forts exemplaires atteint 1"70 de longueur, comprend toujours deux régions hien distinctes : l’une végétative, l’autre florifère. La région végétative de la tige principale est verticale et compte habituellement 24 ou 25 segments. Chacun de ceux-ci porte une feuille pétiolée et un bourgeon axillaire. La taille des feuilles va en augmentant de la feuille ! jusqu’à la feuille # ou *#, puis elle décroit un peu jusqu’à la dernière. Le développement des bourgeons axillaires suit les mêmes fluctuations : les bour- geons des six premiers nœuds donnent naissance à quelques feuilles très chétives ; à partir du nœud T ou 8,le rameau s’allonge un peu, porte quelques feuilles et se termine par une inflores- cence atrophiée; dès le nœud 10 ou ‘*, le développement est plus accentué : il atteint son maximum au nœud ‘# ou ‘>, où le rameau peut mesurer 40 centimètres de longueur, porter une dizaine de feuilles et se terminer en une inflorescence ; du nœud 15 ou 16 jusqu'au nœud ?# ou *?ÿ, le rameau est de moins en moins long, ses feuilles de moins en moins nombreuses; il se réduit finalement à la partie florifère (fig. 6). La région supérieure de la tige principale est recourbée et retombante; elle constitue l'axe d’une grande inflorescence ter- minale qui peut atteindre 40 centimètres de longueur. Elle com- prend une centaine au moins de segments portant chacun une bractée et une ramification axillaire. La première bractée, très aiguë, ne mesure que 8 millimètres de longueur (fig. 58). Elle contraste singulièrement avec la feuille précédente qui se com- pose d’un pétiole assez long et d’un limbe large ordinairement de 4 à 5 centimètres. Les bractées suivantes sont de plus en plus petites (fig. 39). Les bourgeons situés dans l'aisselle des premières bractées donnent naissance à des rameaux florifères ; les autres se déve- loppent en petites cymes compactes, qui ne sont pas représentées dans la figure 6 à cause de leur taille trop exiguë. Tous les appendices de la tige principale (feuilles et bractées) sont rangés suivant une seule et même spire (fig. 17) qui est dextre dans certains individus, sénestre dans les autres. Parmi (15) 100 tiges principales prises au hasard, nous avons compté 49 dextres et 51 sénestres (”). L’angle phyllotaxique, qui mesure presque une demi-circon- férence entre les feuilles 1 et ?, se réduit à ?/; dans la portion moyenne et à 5/4 dans la portion supérieure de la tige principale. Une même tige a été explorée dans toute son étendue, Une entaille bien droite, pratiquée dans toute la longueur de cette tige, a servi de repère pour l'orientation des coupes. Les parties les plus jeunes ont été soumises à l’inclusion dans la celloïdine et débitées au microtome; les autres ont été sectionnées à la main. Il a été fait usage de lagar-agar pour fixer les coupes aux lames de verre (A. Gravis, ‘7); l'éclaircissement a été obtenu par l’eau de Javelle et la coloration par l'hématoxyline après neutralisation par le bicarbonate de potasse (?). En décrivant l’organisation de l'hypocotyle, de la région végé- lative et de l'axe de l’inflorescence de cette tige, nous aurons l'occasion de faire connaitre dans quelles limites varie le type structural décrit précédemment. Nous ne parlerons pas de portions de tiges prélevées dans d’autres plantes dont l'étude a servi à compléter et à contrôler les résultats obtenus. A. — HYPOCOTYLE. L'hypocotyle et ses appendices (cotylédons) constituent une région distincte qui mérite un examen particulier. Bien qu'il soit possible de retrouver l'hypocotyle au bas de la tige principale (‘) Cette constatation est à rapprocher d’autres analogues qui ont été faites à propos du Tradescantia virginica (8, p. 60). (?) Cette partie de notre travail est plus particulièrement l’œuvre de Mie À. Constantineseo, qui a fait de nombreuses séries de coupes successives et exécuté à la chambre claire les dessins nécessaires pour établir le parcours des faisceaux dans toute l’étendue d’une même tige. Je me plais à reconnaître son habileté et sa persévérance; je tiens aussi à la remercier bien vivement de son utile collaboration. A. G. (16) lorsque la plante est adulte, il est préférable de l’étudier dans de jeunes plantules. Celles dont nous nous sommes servi mon- traient, outre les deux cotylédons, les quatre premières feuilles étalées et les deux suivantes en voie d'épanouissement (fig. 18). Les figures 19 à 24 reproduisent quelques coupes choisies dans une série obtenue au microtome. La figure 20 correspond au niveau de l'insertion des cotylédons : Cot. a. désigne les deux faisceaux provenant du cotylédon antérieur; Cot. p., les deux faisceaux venant du cotylédon postérieur; G. les faisceaux gem- maires cotylédonaires; A. les quatre faisceaux anastomotiques; (L M L)t la trace foliaire du premier nœud; (L M L}? celle du deuxième; enfin 1l y a une couronne de petits faisceaux périphé- riques non encore différenciés. Dans une coupe faite un peu au-dessous de la précédente (fig. 21), on voit les foliaires latéraux des nœuds 1 et ? s'unir aux anastomotiques. Au milieu de lhypocotyle (fig. 22), les fais- ceaux À se sont rapprochés deux à deux et ont absorbé les foliaires médians. Dans la figure suivante (fig. 23), les faisceaux cotylédonaires se sont unis aux deux anastomotiques. Enfin, au niveau de la racine principale (fig. 24), on aperçoit la lame ligneuse du faisceau bipolaire flanquée, à droite et à gauche, d’un massif libéro-ligneux secondaire, prolongement inférieur des deux faisceaux anastomotiques constatés au niveau précé- dent. Cette même coupe contient d’autres massifs libéro-ligneux secondaires, prolongements inférieurs des faisceaux périphé- riques de l’hypocotyle. En résumé, l'hypocotyle contient deux traces cotylédonaires et deux traces foliaires séparées par quatre anastomotiques, le tout entouré d'une couronne de faisceaux périphériques (nous négligeons les faisceaux gemmaires cotylédonaires très peu déve- loppés). Les traces cotylédonaires sont réduites, l’une et l’autre, à deux faisceaux latéraux sans faisceau médian. On consultera utilement la figure 25, qui exprime le parcours des principaux faisceaux d’une plantule. Elle montre d'une facon synoptique ce que la série des coupes transversales (fig. 49 à 24) nous a appris. (47) B. — PORTION VÉGÉTATIVE DE LA TIGE. Abstraction faite des changements résultant de l’âge des organes, deux facteurs régissent les modifications que présente la structure de la tige considérée dans toute son étendue : ce sont les variations de l'angle de divergence des feuilles et les variations du nombre des faisceaux foliaires dans les divers segments. Considérons ces deux facteurs successivement. La disposition phyllotaxique des quatre premières feuilles semble indiquer deux paires de feuilles qui auraient été dépla- cées de façon à se ranger le long d’une seule spire : les angles de divergence sont successivement un peu plus petit que 1/0, ‘plus grand que 1/;, et plus petit que 1}, (voir fig. 17). Du seg- ment au segment 2!, l'angle de divergence est égal à ?/; de circonférence. À partir du segment ?!, l'angle est réduit à 5/4 (fig. 17). _ Le nombre des faisceaux qui passent de la feuille dans la tige augmente du segment * aux segments de la portion moyenne, puis il va en diminuant. Dans la tige qui nous sert d’exemple, nous avons constaté : La feuille 1 donne à la tige 3 faisceaux . . . LME Penletemdonne 541.4 01. 4 . 1 LiMiL Les feuilles 5 et 4 en donnent 7. . . . . .mLiMiLm Les feuilles 5 à 42 en donnent 9. . . . .mmLiMiLmm Les feuilles 15 à 145 en donnent 114 . . . m’mmLiMiLmmm" Les feuilles 16 à 2! en donnent9 . . . .mmLiMiLmm Les feuilles 22 à 24 en donnentT . . . . .mLiMiLm La feuille * est la plus petite, la feuille * la plus grande; la feuille 24 est la dernière avant les bractées de l’inflorescence. Nous avons figuré la coupe transversale du pétiole d’un coty- lédon (fig. 26), ainsi que celle du pétiole des feuilles a et © (fig. 27, 28, 29, 35 et 34); ces coupes ont toutes été prati- quées à la base de l'organe. En les comparant, il faudra tenir 2 (18 ) compte de ce que le grossissement des deux dernières est moin- dre que celui des autres (). Le nombre des faiseeaux qui passent d’une feuille dans la tige n'est pas toujours égal au nombre de faisceaux visibles dans la coupe faite à la base du pétiole, parce que certains faisceaux s'unissent avant de pénétrer dans la tige. Dans les figures 27, 35 et 54, les accolades indiquent les faisceaux qui se confondent en un seul pour entrer dans la tige. Traces foliaires. La section transversale au milieu de l’entre-nœud montre quatre traces foliaires séparées par quatre séries de faisceaux anastomotiques (fig. 30). Les traces foliaires 4 et 2? sont com- plètes : la première comprend trois faisceaux, la seconde cinq. Les traces foliaires 5 et # ne se composent ici que des faisceaux Mi. C'est dans l’entre-nœud 5 (fig. 31) qu'apparait une cinquième trace foliaire; celle-ci est réduite, à ce niveau, au seul faisceau M7. Un coup d'œil jeté sur la figure 25 fera immédiatement saisir les relations existant entre les traces foliaires et les faisceaux anastomotiques. Cette figure représente le parcours des princi- paux faisceaux dans l’hypocotyle et les premiers segments cauli- naires de la plantule mentionnée au paragraphe précédent. Elle ne reproduit toutefois que les faisceaux les plus profonds; les autres, échelonnés vers l’extérieur, n’ont pu trouver place dans ce dessin. Dès l’entre-nœud *, les feuilles étant disposées à ?/, de eircon- férence les unes des autres et donnant à la tige chacune 9 fais- ceaux, on trouve la structure représentée par la figure 32 : cinq traces foliaires, dont une complète çn'mLiMiLmm'), (*) M. L. Petit (19, p. 24 et pl. IL, fig. 37) a décrit et figuré la coupe faite au sommet du pétiole de l’Amarantus caudatus. Cette différence de niveau explique la différence d’aspect qu'on reconnaitra en rapprochant son dessin des nôtres. (19) une presque complète (mLiMiLmy, une incomplète (LiMiLy, deux fort incomplètes (Ms et (MY. Cinq séries de faisceaux anastomotiques séparent ces traces foliaires. Le segment ‘* porte la feuille la plus grande à laquelle corres- pond une trace de 11 faisceaux (fig. 55) : m'm'mLiMilLmmm. Les quatre autres traces ont la même composition que dans la figure précédente. C’est dans l’entre-nœud 7, qu’apparaît une sixième trace foliaire réduite au seul faisceau M°* (fig. 36). Les cinq autres traces res- semblent à celles des deux figures qui précèdent. Enfin, dans l’entre-nœud ?° débute la disposition phyllotaxique 5/4 (fig. 37). Les quatre premières traces foliaires, correspondant aux segments 20, 21, 22 et 25, sont complètes; celle du seg- ment ?# est incomplète; les trois dernières (25, 26, 27) corres- pondent à trois bractées et ne possèdent, par conséquent, chacune qu'un seul faisceau (M). Le niveau rencontré par la coupe de la figure 37, appartient d’ailleurs à la portion de transition entre la région végétative de la tige et celle qui constitue l’axe de l’in- florescence. Quelle que soit la disposition phyllotaxique et quel que soit le nombre des faisceaux, on remarquera que les traces foliaires sont toujours plissées et régulièrement séparées les unes des autres par des groupes de faisceaux anastomotiques. Le nombre des traces foliaires visibles dans une coupe trans- versale est de quatre lorsque l’angle de divergence foliaire est de ‘/, circonférence environ (segment ? : fig. 30); il est de cinq lorsque les feuilles sont disposées suivant 2}, (fig. 55); il est de (20) huit quand elles sont disposées suivant 5/4 (fig. 37). On peut observer six ou sept traces foliaires dans la région intermédiaire entre les dispositions phyllotaxiques ?/, et 5/, (fig. 36). Traces gemmaires. Qu'ils soient peu développés comme ceux insérés aux pre- miers nœuds de la tige principale, ou très vigoureux comme ceux portés par la région moyenne de cette tige, les rameaux ont toujours une trace conforme au type que nous avons décrit pré- cédemment. Le nombre et la longueur des faisceaux gemmaires seuls varient. Nous croyons inutile d'insister davantage. C. — AXE DE L’INFLORESCENCE. L'axe de l'inflorescence formé d’une bonne centaine de seg- ments, comprend deux parties : dans la première, constituée de 25 à 50 segments, les bourgeons axillaires se sont développés en rameaux florifères longs d’une dizaine de centimètres. Dans la seconde partie, les bourgeons ne produisent que de petites cymes serrées les unes contre les autres. L'inflorescence qui termine la tige principale est done com- posée d’une partie rameuse-paniculée, et d'une autre spiciforme- compacte (!). Dans la figure 6, schématisée d'après une photo- graphie, les proportions ont été rigoureusement observées, mais (') Dans l’aisselle des bractées de la partie spiciforme, comme dans l’aisselle de chacune des bractées portées par les rameaux de la partie paniculée, se trouve un petit glomérule de fleurs. Quelques coupes prati- quées dans des fragments soumis à l’inelusion nous ont montré que chaque glomérule est une cyme bipare comprenant une cinquantaine de fleurs. Dans les ouvrages de systématique, on attribue à l’Amarantus caudatus et aux espèces voisines, « des fleurs en épis » : il faudrait dire « des cymes dis- posées en épis et ceux-ci formant une panicule ». C2) les cymes n'ont pu être HE parce qu’elles y seraient trop petites. Quant aux appendices, ce sont des bractées uninerviées, de plus en plus petites (fig. 58 et 39), dont la disposition phyllo- taxique est 5/3. Traces foliaires. De chaque bractée descend dans l’axe de l’inflorescence un seul faisceau (M) qui parcourt librement la longueur de 8 entre-nœuds, puis se rapproche de l’un des anastomotiques auquel il se fusionne complètement deux ou trois entre-nœuds plus bas encore. A titre d'exemples, nous figurons deux coupes de l'axe de l'inflorescence. La première a été pratiquée dans l’entre-nœud %5 (fig. 40), c’est- à-dire à la base de la partie rameuse et paniculée de l’inflores- cence. On y remarque 8 traces foliaires composées chacune d’un seul faisceau (M5 à M5?); elles sont séparées par 8 groupes de faisceaux ‘anastomotiques (A). Les faisceaux M55 et M5#4 se rap- prochent du faisceau anastomotique auquel ils doivent s'unir; le faisceau M55 a déjà opéré cette réunion. Tous les faisceaux désignés par des hachures sont gemmaires; nous en parlerons plus loin. La seconde coupe a été faite dans l'entre-nœud 81 (fig. 41), uiveau situé vers le milieu de la partie spiciforme et compacte de l’inflorescence. Cette section présente nettement 8 côtes, dont > principales et 3 plus petites. A ces côtes correspondent 8 traces foliaires réduites chacune au faisceau médian (MS! à M8). Il y à seulement 8 faisceaux anastomotiques qui correspondent aux sinus du contour de la coupe. Les faisceaux M#, M%0 et M9! se rapprochent pour s'unir au faisceau anastomotique le plus voisin. Tous les autres faisceaux sont gemmaires, L'organisation si simple de la partie supérieure & l'inflores- cence contraste avec celle de la région végétative de la tige. Elle peut très aisément s'exprimer sous la forme de la figure 42 qui (22) reproduit le parcours des faisceaux foliaires et anastomotiques dans les segments 81 à 89. Chaque faisceau venant d’une bractée parcourt librement 8 entre-nœuds, puis se rapproche de l’anas- tomotique voisin auquel il s'unit intimement deux ou trois entre- nœuds plus bas. Traces gemmaires. Dans la partie inférieure paniculée de l'inflorescence, les rameaux sont assez développés : ils mesurent presque tous un décimètre de longueur. De ces rameaux descendent des faisceaux gemmaires assez nombreux. Les gemmaires internes pénètrent avec le faisceau M à l'intérieur de la tige ; les gemmaires externes, plus petits, restent à la périphérie (voir G.i. et G.e. dans la fig. 40). Tous se comportent comme les gemmaires de la région végétative, sauf que les internes sont ici notablement plus longs. Dans la partie supérieure spieiforme de l’inflorescence, il n'y a qu'une petite cyme dans l’aisselle de chaque bractée; aussi les faisceaux gemmaires sont-ils ordinairement réduits au nombre de six à chaque nœud : les deux internes, plus gros, accom- pagnent le M dans la tige; les quatre externes, plus petits, restent à la périphérie (fig. 41). Les uns et les autres descendent la lon- gueur de 8 entre-nœuds. L'insertion des cymes florifères appar- tient donc au même type que celle des rameaux feuillés, mais elle se fait par un petit nombre de faisceaux qui demeurent individualisés dans une grande étendue. Eu résumé, la structure de l’axe de l’inflorescence est carac- térisée par l'extrême réduction des traces foliaires composées chacune d'un seul faisceau (M), et par l'importance relativement plus grande des traces gemmaires constituées chacune de plu- sieurs gros faisceaux internes et de plusieurs petits périphé- riques, tous indépendants dans la longueur de plusieurs entre- nœuds (*). (*) Ces caractères ont été signalés dans la hampe du Chlorophytum elatum (9, pp. 25 et suiv.) et se retrouveront probablement dans la plupart des axes d’inflorescence, (25 ) Toutefois cette caractéristique n’est bien établie que dans la portion spiciforme de l'axe de l’inflorescence, la portion pani- culée formant la transition entre la région végétative de la tige _et la région florifère terminale. (24) CHAPITRE II ACCROISSEMENT DIAMÉTRAL SECONDAIRE Aux dépens du méristème qui termine la tige prennent nais- sance des ilots de procambium séparés les uns des autres par du tissu fondamental. En se différenciant, ces îlots de procambium deviennent des faisceaux foliaires, gemmaires ou anastomo- tiques. Dans chacun de ces faisceaux, un arc cambial engendre une petite quantité de bois secondaire et de liber secondaire. En mème temps, les cellules du tissu fondamental s'agrandissent notablement et se cloisonnent dans diverses directions. Il en résulte un certain accroissement du diamètre de la tige. Dans le cas qui nous occupe, cet accroissement est limité parce que le cambium des faisceaux devient bientôt inactif et parce que les cellules du tissu fondamental cessent de grandir et de se diviser. Dans les Amarantacées, comme dans plusieurs familles voi- sines, la partie inférieure de la tige, l'hypocotyle et la racine principale sont le siège d’un développement de tissus secon- daires qui s'opère suivant un mode très particulier. C’est ce développement que nous avons étudié dans notre Amarantus caudatus, en comparant les coupes pratiquées au milieu de l'entre-nœud ! d’un certain nombre de tiges principales de plus en plus âgées. Nous avons choisi ce niveau parce qu'il est facile à préciser et parce que c'est en cet endroit que la tige subit le plus fort accroissement diamétral secondaire. 1. — TIGE. Lorsque la tige d’une plantule mesure 3 centimètres environ de longueur, les quatre premières feuilles étant développées, la section transversale de l’entre-nœud 1 montre les faisceaux (25 ) foliaires et les faisceaux anastomotiques complètement différen- ciés, à la périphérie du cylindre central se trouvent de petits faisceaux procambiaux dans lesquels on reconnaît des cellules libériennes et l'apparition du cambium (fig. 43, pl. X). Ce sont les faisceaux gemmaires externes dont la différenciation est assez tardive. Dans la figure 43, comme dans les suivantes, les cellules du phlæoterme sont marquées d’une petite croix (!). Dans une plante un peu plus âgée, on constate un premier recloisonnement tangentiel des cellules sous-phlæotermiques situées entre les faisceaux gemmaires (fig. 44) (2). Des recloisonnements semblables se produisent plusieurs fois dans les mêmes cellules (fig. 45). Un peu plus tard, le même phénomène se manifeste aussi entre le liber des faisceaux gemmaires et le phlæoterme (fig. 46). Ainsi se constitue une zone génératrice circulaire et continue qui fonctionne comme un cambiforme en produisant vers l'inté- rieur un peu de parenchyme que nous désignerons sous le terme de « tissu for. damental secondaire » (Tf2) (5). Plus tard, certaines cellules du cambiforme se cloisonnent plus fréquemment, deviennent plus petites et plus nombreuses. (:) Sous le nom de phlæoterme, M. Ed. Strasburger (22, p. 484) à désigné l’assise la plus profonde de l’écorce, quels que soient ses caractères histologiques ; il a proposé de réserver le terme endoderme pour les couches cellulaires pourvues de bandes radiales cutinisées, couches qui peuvent provenir de tissus différents au point de vue morphologique. (?) Par assise sous-phlæotermique, nous entendons l’assise la plus exté- rieure du cylindre central de la tige, celle qu’on designe souvent sous le nom de péricycle. Nous n’employons pas ce dernier terme parce qu’il n’est pas démontré que l’assise dont il s’agit soit réellement l’homologue du péri- cycle des racines. (5) Avec M. Eg. Bertrand, nous désignons par le terme cambi/orme, les zones génératrices secondaires dont les éléments se transforment en tissus dépourvus de vaisseaux et de cellules grillagées. Le terme cambium est réservé aux zones génératrices secondaires produisant du bois et du liber secondaires. Pour plus de détails, voir mémoire sur l’Urtica (6, pp. 50 et suiv.). (26 ) Des arcs de cambium prennent ainsi naissance çà et là vers la périphérie du eylindre central de la tige (1), La figure 47 montre du côté gauche un arc cambial (Cb.) intercalé dans la zone cambiforme (Cbf); à droite, au-dessous, on trouve un faisceau gemmaire externe (Ge.). Les ares cambiaux intercalés dans le cambiforme produisent extérieurement du liber secondaire et intérieurement du bois secondaire. Il en résulte des massifs libéro-ligneux secondaires situés un peu en dehors des faisceaux gemmaires externes. La figure 48 montre, à gauche, une portion d’un massif libéro- ligneux secondaire; les faisceaux gemmaires externes ne sont pas visibles dans ce dessin parce qu'ils sont situés plus profon- dément dans la tige. Les massifs libéro-ligneux secondaires ne se développent pas indéfiniment : dès que l’activité de leur cambium se ralentit, des cloisonnements tangentiels se manifestent en dehors de leur liber. La zone cambiforme est ainsi reportée vers l’extérieur; elle pourra, en certains points, former plus tard des arcs cam- biaux producteurs de nouveaux massifs libéro-ligneux secon- daires. Elle produira aussi du tissu fondamental secondaire interposé entre les nouveaux massifs conducteurs secondaires. Le déplacement vers l'extérieur de la zone génératrice se voit clairement dans la figure 49, qui reproduit partiellement deux massifs libéro-ligneux secondaires. Dans celui de gauche, l'arc cambial est en pleine activité (les cloisons nouvelles indiquées en pointillé sont nombreuses); dans celui de droite, l’are cam- bial, au contraire, va bientôt cesser de fonctionner (les cloisons nouvelles sont peu nombreuses). En outre, en dehors du hber à droite, on constate un recloisonnement cambiforme qui n'existe pas encore à gauche. On peut done dire qu'à l'endroit représenté par la figure 49 et au moment où la coupe a été faite, la zone génératrice sautait () L'Urtica dioïica présente aussi de nombreux exemples de la transfor- mation locale du cambiforme en cambium (6, p. 35). (27) en arrière. Si la plante avait été laissée en vie, le même saut se serait produit un peu plus tard derrière le liber situé à gauche dans la figure. Les mêmes phénomènes se répétant à diverses reprises, plusieurs cercles de massifs libéro-ligneux secondaires se mani- festeront. A la vérité, ces cercles ne sont pas bien réguliers ni bien concentriques, parce que la zone génératrice nouvelle n’est pas complète d'emblée : elle n’embrasse d’abord qu'une partie de la circonférence et ne s’étalle que graduellement. C’est en se déplaçant vers l'extérieur par petits sauts successifs que la zone génératrice laisse, en dedans d'elle, des cercles plus ou moins concentriques de massifs libéro-ligneux secondaires dont l'arc cambial est éteint (*). On peut se rendre compte de ce qui vient d’être dit par l'examen de la planche XIII, qui montre trois portions exacte- ment comparables de coupes faites dans l’entre-nœud ? de plantes d'âge différent. Dans l’entre-nœud ‘ d'une tige très jeune encore (fig. 50), on voit les faisceaux foliaires (è M i)5 entre les faisceaux anastomo- tiques A et les faisceaux gemmaires externes Ge; le cambiforme n'existe pas encore. Dans la figure 51 correspondant à une tige presque adulte, on retrouve les mêmes faisceaux, plus une série de massifs libéro-ligneux secondaires issus de la zone génératrice en partie cambiforme, en partie cambiale. Au delà de cette zone généra- (‘) Les auteurs désignent généralement sous les noms de faisceaux secondaires ou de faisceaux surnuméruires, ce que nous avons nommé ici massifs libéro-ligneux secondaires. Il nous a paru nécessaire d'exprimer nettement la différence qui existe entre les faisceaux véritables et les massifs dont il s’agit. Les faisceaux proviennent de la différenciation libéro-ligneuse d’ilots de procambium. Les massifs libéro-ligneux secondaires, au contraire, sont engendrés par des ares de cambium sans état procambial préalable. Dans VAmarante, les arcs cambiaux prennent naissance au sein d’une zone géné- ratrice périphérique cambiforme. ( 28 ) trice, on aperçoit une deuxième zone génératrice qui n'existe qu’en certains endroits seulement. Enfin, dans l’entre-nœud * d'une très vieille tige (fig. 52), il y a trois ou quatre cercles de massifs libéro-ligneux secondaires. On peut, en outre, constater dans la figure 52 que l’accroisse- ment diamétral de la tige de l'Amarante résulte, pour une part notable, de l'agrandissement et du recloisonnement diffus de toutes les cellules du tissu fondamental interfasciculaire, comme nous l'avons dit en commençant ce chapitre. En comparant les trois figures de la planche XIII, on verra que l’espace compris entre les faisceaux (1 M 55 et les faisceaux G. e. augmente consi- dérablement avec l’âge, surtout si l'on tient compte que la figure 50 est reproduite à un grossissement triple de celui des deux autres figures. 2. — HYPOCOTYLE ET RACINE. Dans l'hypocotyle et dans la portion épaissie de la racine principale, les tissus secondaires sont plus développés encore que dans le bas de la tige principale. A l'endroit le plus épais de la racine, il y a souvent cinq ou six cercles assez réguliers de massifs libéro-ligneux secondaires séparés par du tissu fonda- mental secondaire dont les cellules très agrandies et étirées renferment d'abondantes réserves alimentaires (fig. 58). Les figures 53 à 58 représentent au même grossissement six niveaux échelonnés dans une même racine. En comparant ces figures en commençant par la figure 53 (qui correspond au stade le plus jeune), on pourra aisément se rendre compte du mécanisme de la formation des zones génératrices successives et de la production des massifs libéro-ligneux secondaires. Ce mécanisme, chez l'Amarante, est le même dans la tige, l'hypo- cotyle et la racine. La zone cambiforme prend naissance, après la décortication du parenchyme cortical, dans le péricycle recloisonné (Cbf. de la fig. 53). Elle ne tarde pas à produire du tissu fondamental secondaire. Bientôt aussi des arcs cambiaux apparaissent dans la (29) zone cambiforme : il en résulte un premier cercle de massifs libéro-ligneux secondaires (fig. 54). Le déplacement de la zone génératrice en partie cambiforme et en partie cambiale se mani- feste aux stades suivants (fig. 55 à 58). En même temps, les cellules du tissu fondamental secondaire se sont considérable- ment agrandies et ont amené la tubérisation de la racine; en comparant les figures 57 et 58, on remarquera combien les massifs libéro-ligneux secondaires les plus profonds se sont écartés les uns des autres à une époque relativement tardive. 3. — TRAJET DES MASSIFS LIBÉRO-LIGNEUX SECONDAIRES. Il nous reste à indiquer l'extension des massifs libéro-ligneux secondaires et la forme de leur trajet. Lorsque la plante est adulte, la zone génératrice s'étend dans toute la région végétative de la tige et dans les forts rameaux feuillés, mais elle ne pénètre pas dans l'axe de l’inflorescence. Elle règne aussi dans l’hypocotyle, la racine principale et les racines insérées sur celle-ci lorsqu'elles sont suffisamment déve- loppées. Son activité maxima réside dans la partie la plus renflée de la racine, l'hypocotyle et le segment ‘; elle va en diminuant de là jusqu'au segment qui porte la dernière feuille (ordinairement le segment 24 ou 25). Les massifs libéro-ligneux secondaires ont, dans la tige, un trajet presque rectiligne ; ils sont done à peu près parallèles, mais ils échangent entre eux de loin en loin des anastomoses plus ou moins obliques. Ces massifs conducteurs n’ont aucun rapport direct avec les faisceaux foliaires et les faisceaux anasto- motiques, mais nous croyons qu'ils ont d'assez nombreux points de contact avec les faisceaux gemmaires externes. Îls assurent ainsi une circulation facile de l'eau des racines vers les rameaux. (") Dans tous les dessins d'ensemble annexés à ce travail, les massifs libéro-ligneux secondaires sont figurés en noir (pl. I, If, EN, VII, VISE, XII et XIV). On remarquera l'absence complète de ces massifs dans l’axe de l’inflorescence (pl. IX). | HISTORIQUE , Depuis longtemps déjà, la structure de la tige des Amaran- tacées, Chénopédiées, Nyctaginées, etc., est considérée comme anomale tant au point de vue de la disposition et du parcours des faisceaux, qu'à celui de l'accroissement secondaire. 1. — Disposition et parcours des faisceaux. La coupe transversale montre généralement un grand nombre de faisceaux éparpillés de telle sorte que les plus gros sont les plus rapprochés du centre, les plus petits, au contraire, les plus voisins de l'écorce. On y a décrit des faisceaux médullaires et des faisceaux périphériques, ces derniers affectant souvent la disposition de cercles concentriques plus ou moins réguliers. Le parcours des faisccaux a été très peu étudié chez les Amarantacées. Dans l'Amarantus caudatus et l'A. retroflexus, DE Bary (1, p. 259) a vu les faisceaux se séparer les uns des autres en passant du pétiole dans la tige : quelques-uns, dit-il, se disposent en anneau, tandis que les autres pénètrent pro- fondément dans la moelle, le médian de chaque trace foliaire paraissant se rapprocher le plus du centre. Les faisceaux d'une même trace restent rapprochés en un groupe, traversent plu- sieurs entre-nœuds dans leur trajet descendant, puis se réunis- sent. Aucune figure n'accompagne ce court énoncé. de Bary ajoute que de nouvelles recherches devraient être entreprises en vue de mieux connaitre ce parcours. M. Van Tiecaem (24, p. 757) n’est pas plus explicite. Il fait cependant un rapprochement entre l’organisation de la tige des Amarantes et celle des Papaver, Actæa, Cimicifuga, Thalictrum dont la tige présente, en section transversale, deux ou trois (51) cercles concentriques irréguliers. Ce rapprochement ne nous parait pas justifié. Le parcours des faisceaux du Thalictrum flavum, bien élucidé par les recherches de Mansiox (15), appar- tient en effet à un tout autre type : Dans l’Amarantus, chaque trace foliaire forme un groupe distinct, assez étroit, qui se place à côté de groupes analogues sans se mêler à eux; dans le Thalictrum, au contraire, chaque trace foliaire forme un cercle qui embrasse toute la tige et interpose ses faisceaux entre les faisceaux des traces précédentes. M. G. Fnon (4, p. 157) a fait quelques observations relatives au parcours des faisceaux dans plusieurs genres de Chénopo- diées. Malheureusement, il s'est borné aux premiers segments de la tige principale de jeunes plantules en germination, de sorte qu'on ne peut pas se faire une idée du parcours des faisceaux dans la tige des plantes de cette famille. 2. — Accroissement secondaire de la tige et de la racine. L’accroissement diamétral secondaire des axes dans les Ama- rantacées, Chénopodiées, Nyctaginées, etc, résulte, en partie, de la production de massifs libéro-ligneux qui apparaissent successivement, deviennent nombreux et sont habituellement rangés en cercles concentriques plus ou moins réguliers. Le mécanisme de cette production a préoccupé beaucoup d'anato- mistes et a été diversement compris. Les recherches de Unger, Link, Nägeli, Gernet, Regnault, Sanio, Pinger, etc., relatives à cette question, ont conduit DE Bary (1, p. 607) à distinguer quatre cas ainsi caractérisés : Dans le premier (racines de Chénopodiacées et d'Amaran- tacées, tige de Phytolacca, ete.), il se forme successivement et en direction centrifuge plusieurs anneaux de cambium, dont chacun forme un cercle de faisceaux vasculaires distincts (1). — (*) Ii est bien entendu que dans cet exposé historique, nous employons les termes dont les auteurs se sont servis, en conservant à ces termes le sens qu'ils leur donnaient. (32) Dans un deuxième cas (tiges de Nyctaginées, d'Amarantacées et de quelques Chénopodiacées), un anneau de cambium extra- fasciculaire reste continuellement actif et forme, à sa face interne, alternativement un faisceau vasculaire collatéral et du tissu con- jonetif. — Dans le troisième et le quatrième cas (racine de Mirabilis d'une part, tige de quelques Chenopodium d'autre part), se réalisent des dispositions intermédiaires entre les deux premières. M. Van Tiecueu, dans la première édition de son Traité de Botanique, en 1884, ne distingue que deux cas (pp. 721,723 et 797) : 1° Dans la racine des Chénopodiées et notamment dans la Betterave, des méristèmes tertiaires successifs produisent chacun un cercle de faisceaux libéro-ligneux tertiaires séparés par des rayons d’écorce tertiaire; le liber de ces faisceaux est formé en dehors de la zone génératrice, le bois en dedans; 2 Dans la racine du Mirabilis, au contraire, comme dans la tige des Chénopo- diées, Amarantacées, Nyctaginées, etc., une seule assise géné- ratrice donne naissance extérieurement à du parenchyme centripête, et intérieurement à du parenchyme centrifuge entre- mêlé de faisceaux libéro-ligneux secondaires. L'auteur insiste sur ce point, que l'assise génératrice engendre à la fois du liber et du bois sur sa face interne. M. L. Moror (16, pp. 241, 246, 276, 279, 285, etc) établit, le premier, que le développement des faisceaux surnuméraires qui nous occupent ici suit partout une marche uniforme. Dans les racines, comme dans les tiges des plantes appartenant aux familles citées plus haut, plusieurs zones génératrices apparaissent successivement et produisent chacune du bois par leur face interne en même temps que du liber par leur face externe. Ces faisceaux collatéraux sont séparés par des rayons assez étroits de tissu conjonctif. Quant aux différences assez notables que l'on constate à l’état adulte, elles proviennent d'une part de l’agence- ment variable des zones génératrices successives, d'autre part de la selérification plus ou moins rapide et plus ou moins complète du tissu conjonctif. Il est à noter aussi que les méristèmes con- sécutifs peuvent n'être point concentriques, mais anastomosés en (33 ) réseau à mailles plus ou moins étroites suivant que leurs points de contact sont plus ou moins nombreux. Ainsi fut corrigée une grave erreur commise par les anciens anatomistes et consignée dans les Traités généraux de de Bary et de Van Tieghem. Il est maintenant établi que les massifs libéro- ligneux secondaires ne sont jamais engendrés tout entiers à la face interne de la zone génératrice surnuméraire : le bois est formé en dedans et le liber en dehors, comme dans le cas d’un cambium normal. Plusieurs zones génératrices semblables peuvent prendre naissance successivement en ordre centrifuge. D'autres fois les portions de la zone génératrice qui relient entre eux les massifs libéro-ligneux secondaires conservent leur activité, mais les arcs comb'aux entre bois et liber s’éteignent toujours assez rapidement. Des ponts de méristème extralibériens se forment alors et rétablissent la continuité de la zone génératrice. C'est ce phénomène mal compris qui a fait croire à l’existence d'une seule assise génératrice produisant bois et liber à sa face interne. Le texte du mémoire de M. Morot est d’une clarté parfaite, mais on peut regretter que les figures qui l’accompagnent, généralement trop partielles, ne soient pas suffisamment démon- stratives. Incidemmerit, l’auteur a montré aussi qu'il n'y a pas lieu d'attacher grande importance à la distinction entre les faisceaux dit secondaires et les faisceaux qualifiés de tertiaires. Nous parta- geons son avis (!). M. J. Héraiz, dans ses recherches sur l'anatomie comparée de la tige des Dicotylédones (11, p. 245), a fait sur d'autres espèces des constatations qui confirment pleinement les observations de M. Morot. Les résultats remarquables obtenus par MM. Morot et Hérail ont été admis par M. Van Tieghem, qui en a tenu compte dans la deuxième édition de son Traité de Botanique (pp. 728 et 825). (!) Voir plus loin, p. 56 : « Pour la même raison... tissu fondamental primaire ». 3 (54) M. G. Fron, dans son étude de la racine, de l’hypocotyle et de la tige des Chénopodiacées (4), a eu l'occasion de contrôler et d'étendre encore les données nouvelles. Ce mémoire ne s'occu- pant pas des Amarantacées, ne doit pas être analysé ici; nous nous bornerons à signaler un bon dessin montrant clairement le déplacement de l'assise génératriee par rapport au massif libéro-ligneux secondaire déjà formé dans la tige du Chenopodium album (4, pl. 7, fig. 5). Dans ses recherches sur l'appareil conducteur de la tige et de la feuille des Nyctaginées (5), M. F. Gipon a exposé des consi- dérations d'anatomie générale dont nous aurons à nous occuper dans la suite de cet exposé historique. Dans leur cours de Botanique (3, pp. 229, 376, 985), MM. G. Bonnir et Leccerc pu SaBLon consignent également les résultats acquis en prenant comme exemples la tige et la racine de Bette- rave : dans la première, une même assise génératrice se déplace en formant des boucles en dehors des massifs libériens; dans la seconde, plusieurs assises génératrices distinctes se produisent successivement. Entre ces deux types, il existe des intermédiaires chez les Chénopodiées, les Amarantacées et les Nyctaginées. Quelques auteurs allemands conservent trop fidèlement la tradition de l'œuvre vénérable, mais un peu ancienne déjà, de de Bary. C’est ainsi que M. H. Scminz, dans sa monographie des Amarantacées écrite pour les Pflanzenfamilien de A. ENGLer et K. PrawTz (20, p. 92), renseigne l'existence de plusieurs zones concentriques de faisceaux conducteurs plus ou moins régulière- ment rangés. Le mode de formation de ces faisceaux, ajoute-t-il, a été trop peu étudié : d’après de Bary et Volkens, ils se déve- lopperaient comme dans les Chénopodiacées à tiges anomales. M. H. Sozereper, dans son anatomie systématique des Dicoty- lédones (21, p. 734), dit que chez les Amarantacées les faisceaux vasculaires rangés concentriquement sont produits par plusieurs méristèmes secondaires formés successivement, tandis qu’une disposition irrégulière des faisceaux provient de ce que ceux-ei pénètrent en dedans du méristème. M. F. P1x, en 1904, maintient plus nettement encore l'erreur (55) de de Bary : il admet deux cas, celui de plusieurs anneaux de cambium secondaire successifs et celui d’un seul anneau de cambium restant toujours actif; ce dernier produirait vers l’inté- rieur des faisceaux vasculaires collatéraux. Nous nous plaisons à reconnaitre que M. En. STrasBurGER, dans son beau Traité de Botanique (23, p. 115), a supprimé les choses erronées que nous rappelons ici, mais nous regrettons son extrême concision. [l se borne à énoncer que plusieurs anneaux de cambium peuvent prendre naissance successivement el que chacun d'eux produit du bois vers l’intérieur et du liber vers l'extérieur. Dans la dernière édition de son Anatomie physiologique, M. G. HaBerianD a rendu un compte très exact des découvertes de Morot et de Hérail (10, p. 601). 3. — Lieu de formation des zones génératrices surnuméraires. Dans le relevé bibliographique qui précède, nous avons négligé de préciser les tissus dans lesquels s’établissent les zones génératrices successives. Ce point doit maintenant retenir notre attention. C'est à M. L. Moror que l’on doit les premières notions exactes en cette matière. Îl a constaté que la première zone génératrice surnuméraire s'établit soit dans le péricycle, soit dans un paren- chyme secondaire qui en dérive. Les zones génératrices ulté- rieures, tantôt complètes, tantôt réduites à l’état de ponts ou de boucles extralibériennes, apparaissent toujours dans le paren- chyme secondaire ou tertiaire formé à l'extérieur de la zone génératrice surnuméraire précédente, Cette explication a été généralement admise. Seul, à notre connaissance, M. F. Givox (5, pp. 31, 78, 82) l’a rejetée en sou- tenant que les recloisonnements qui aboutissent à la constitution de l'anneau générateur se produisent dans les cellules d’un pseudo-péricycle existant au dos des faisceaux. Ce pseudo-péri- cyele provient : 1° des éléments procambiaux qui peuvent per- sister en dehors des tubes libériens externes; 2 de ces tubes (56) libériens eux-mêmes, lorsqu'ils viennent à perdre leur différen- ciation spécifique. Nous attachons, quant à nous, peu d'importance à la question de la détermination précise des éléments anatomiques qui, dans chaque cas particulier, sont le siège d’un recloisonnement géné- rateur. Tout tissu vivant peut, dans certaines circonstances, manifester une telle activité. Nous pensons que les plantes appartenant à des familles notablement différentes ou à des espèces d’une même famille, mais vivant dans des conditions plus ou moins spécialisées, peuvent présenter à ce point de vue une certaine diversité. Pour la même raison, nous croyons inutile la distinction qu'on voudrait établir entre les tissus secondaires, les tissus tertiaires, les tissus quaternaires, etc. Quel que soit le lieu de leur appa- rition, les arcs cambiaux fonctionnent toujours de la même manière et leurs produits peuvent, par opposition aux faisceaux dérivés du procambium, recevoir partout le nom de massifs libéro-ligneux secondaires. Quant aux portions de zone généra- trice qui n’engendrent ni bois ni liber, mais du parenchyme, ete., nous les nommons cambiformes avec M. Eg. Bertrand. Les tissus produits par le cambiforme appartiennent au tissu fondamental secondaire, par opposition au tissu fondamental primaire. Nous nous refusons ausst à admettre la nomenclature si peu justifiée, nous semble-t-il, que M. F. Gidon emploie dans son mémoire sur la tige et la feuille des Nyctaginées (5, pp. 31, 109, etc.). Pour lui, la zone de recloisonnement périphérique, qui donne naissance aux faisceaux dits surnuméraires, n'est pas une zone génératrice secondaire, mais du « procambium ». Par suite, les faisceaux périphériques surnuméraires ne sont pas des fais- ceaux secondaires, mais des « faisceaux primaires tardifs ». Ce qui a pu, croyons-nous, être pour M. Gidon une cause d'erreur non soupconnée, c'est le fait que chez certaines Dico- tylées le stade procambial est réellement diflicile à saisir, tant est précoce l'apparition de la zone génératrice secondaire nor- male et deszones génératrices surnuméraires. Bien loin d'admettre un grand développement du procambium chez les Nyctaginées (37 ) et les familles voisines, nous croyons que le procambium et le cambium des faisceaux y ont subi une forte réduction et qu'ils sont remplacés physiologiquement par des zones génératrices secondaires très actives apparaissant très tôt. Au surplus, les massifs libéro-ligneux secondaires que M. Gi- don considère comme faisceaux primaires tardifs, sont dépourvus de trachées et dès lors leur caractère secondaire peut être reconnu par un simple examen fait à l’état adulte. Remarquons enfin que le fonctionnement de la prétendue couronne procambiale de M. Gidon, tel qu'il ressort du mémoire que nous analysons, est bien celui d’une zone génératrice secon- daire qui conserve son activité dans les parties conjonctives, mais qui s'éteint dans les parties comprises entre bois et liber, pour réapparaitre en dehors à l'aide d’un pont ou d’une boucle (1). (1) 11 me sera sans doute permis d'exprimer ici le profond étonnement que j'ai éprouvé en lisant le passage suivant, à la page 25 du mémoire de M. Gidon : « Tout récemment encore, M. Gravis, dans son travail sur les Tradescantia, émettait l'opinion que ces faisceaux périphériques étaient peut-être des formations d’une nature toute particulière, et réellement propres à la tige, sans relation avec les feuilles ». Ce que je me suis efforcé de démontrer dans mon mémoire sur le Trades- cantia, c’est précisément tout le contraire ! Le $ 11 de mes conclusions (8, p. 251) ne peut laisser aucun doute à cet égard. Le voici textucllement : « Les faisceaux considérés comme propres à la tige par les auteurs alle- mands sont formés par l’union des extrémités inférieures des faisceaux foliaires externes : ce sont réellement des anastomotiques externes, comme le démontre le parcours dans la tige adulte et surtout dans le sommet végétatif étudié par des coupes transversales successives. » Sans vouloir justifier à nouveau cette affirmation si catégorique, je rappellerai qu’on s'accorde généralement à faire des Commélinées l’un des types principaux de l’organisation des Monocotylées. Falkenberg et de Bary ont caractérisé ce type par l'existence de faisceaux périphériques propres à la tige et, par le fait qu'après avoir pénétré dans la région centrale, les faisceaux foliaires s’y anastomosent sans revenir vers l'extérieur. Je crois avoir montré par des preuves tirées du parcours des faisceaux et du déve- loppement des tissus que les faisceaux périphériques du Tradescantia ne (58) 4. — Comparaison avec les Monocotylées. L'aspect que présente la coupe transversale de la tige chez les Chénopodiées, Amarantacées, Nyctaginées, etc, a suggéré à quelques auteurs l'idée d'un rapprochement à faire entre l’orga- nisation de ces plantes et celle des Monocotylées. La ressem- blance, vaguement signalée d’ailleurs, se résume dans le grand nombre de faisceaux et la disposition éparpillée qui en est la conséquence. On conviendra que ce caractère est bien peu important : si les Dicotylées arborescentes ont généralement peu de faisceaux, il ne faut pas oublier que les Dicotylées herbacées en renferment souvent un nombre assez élevé (certaines Renon- culacées, Ombellifères, Rosacées, Composées, etc.). M. F. Ginon a voulu, semble-t-il, préciser les affinités suppo- sées entre les Cyclospermées et les Monocotylées en cherchant à établir un rapprochement entre la formation des faisceaux péri- phériques des Nyctaginées et l’apparition tardive des faisceaux externes dans la tige de certaines Monocotylées capables de manifester un accroissement diamétral secondaire, « En réalité, dit-il, une tige de Mirabilis diffère peu, en somme, d’une tige de Monocotylée. » (5, p. 21.) Nous ne pouvons partager cette opinion. La zone génératrice périphérique des Dracæna, ete., est un périméristème (!) produi- sant vers l’intérieur des ilots de procambium séparés par du tissu fondamental secondaire; ces ilots se différenciant en bois et - ce sont en réalité des « faisceaux , sont nullement « propres à la tige » anastomotiques externes », c’est-à-dire les sympodes formés par la réunion des parties inférieures des foliaires externes. Au surplus, les faisceaux périphériques du Tradescantia n’ont rien de commun avec les massifs libéro-ligueux secondaires des Chénopodiées, Amarantacées et Nyctaginées. Cela me dispense d’en parler plus longue- ment ici. A. G. (1) Au sujet du méristème, du périméristème et autres tissus générateurs, voir mémoire sur le Tradescantia (8, pp. 120 et surtout 424). (39) liber deviennent de véritables faisceaux. Au contraire, la zone génératrice périphérique des Nyetaginées, etc., est un cambiforme produisant du tissu fondamental secondaire et se transformant localement en arcs cambiaux : ceux-ci engendrent un peu de bois secondaire en dedans et un peu de liber secondaire en dehors. De là la production de massif libéro-ligneux secondaires nullement comparables aux faisceaux tardifs des Dracæna, mais comparables aux tissus conducteurs secondaires normaux des Dicotylées. A d’autres points de vue (agencement des traces foliaires, fonctionnement du cambium intrafasciculaire, insertion des feuilles, etc.), bien des différences seraient à signaler entre les Cyclospermées et les Monocotylées. Nous n'avons pas à nous y arrêter ici. RÉSUMÉ La structure de la tige de l’Amarante et vraisemblablement de beaucoup de genres appartenant aux familles des Armaranta- cées, Chénopodiées, etc., nous semble caractérisée par deux faits principaux : d’une part, la composition, la forme et l'agencement des traces foliaires et des traces gemmaires; d'autre part, le mécanisme de l'accroissement diamétral secondaire. I. — COMPOSITION ET FORME D’UNE TRACE FOLIAIRE. La trace foliaire la plus complète, correspondant à la feuille la plus ample, comprend 11 faisceaux et peut se formuler de la facon suivante : m'mmLiMiLmmm" (Figure 7, coupe dans le nœud ‘5 au niveau de l'insertion de la feuille : les 11 faisceaux qui passent de la feuille dans la tige sont pointillés.) Dès qu’ils ont pénétré dans la tige, les faisceaux foliaires se disposent en zigzag de telle façon que les plus gros (L M L) sont les plus rapprochés du centre de la tige, tandis que les autres en sont d'autant plus éloignés qu'ils sont plus petits (fig. 8 : coupe au milieu de l’entre-nœud 15), Dans leur parcours descendant les foliaires s'unissent les uns après les autres aux faisceaux anastomotiques voisins : la trace foliaire se réduit ainsi graduellement de la manière suivante : mmLiMiLmm' mLiMilLm LiMilL iMi M (Figures 9, 10,11 : coupes dans les entre-nœuds ‘?, !° et °.) L'angle phyllotaxique étant égal à ?/;, cette réduction de la ._ …_ (41) trace foliaire est réalisée dans l'étendue de cinq segments : les faisceaux »/! ont un trajet très court; les faisceaux nv, m, L, à et M ont un trajet de plus en plus long; le faisceau M seul dépasse un peu la longueur de 5 entre-nœuds. (Fig. 13 : parcours des faisceaux d’une trace foliaire vue de face ; fig. 14 : parcours de la moitié d'une trace foliaire vue de profil.) Aux feuilles plus petites situées au-dessous et au-dessus de celle dont nous venons de nous occuper, correspondent des traces foliaires formées d’un nombre moins grand de faisceaux. La feuille ?, qui est la plus petite, ne donne à la tige que 3 fais- ceaux : L M L (fig. 30); les autres feuilles lui en donnent 5, 7,9 ou 11. La longueur des foliaires dans la tige est notablement plus longue quand l'angle phyllotaxique égale °/4 que lorsqu'il mesure °/s. Quel que soit le nombre des faisceaux dont elle est composée, la trace foliaire affecte toujours la forme en zigzag (fig. 30, 31, 92, 95, 36, 37). Les bractées n’ont qu'un seul faisceau très longuement des- cendant dans l'axe de l'inflorescence (fig. 40, 41, 49). IL. — COMPOSITION ET FORME D'UNE TRACE GEMMAIRE. La trace gemmaire la plus complète correspond au rameau inséré dans l’aisselle de la feuille la plus ample. Les faisceaux qui passent de ce rameau dans la tige mère et que nous appe- lons gemmaires, sont les uns internes, les autres externes (fig. 4 et 5 : les faisceaux gemmaires sont hachurés). Les gemmaires internes, plus gros, pénètrent assez profondé- ment dans la tige et forment deux groupes, un de chaque côté du foliaire médian; en descendant, ils se rapprochent des fais- ceaux anastomotiques voisins et se confondent avec eux après avoir parcouru la longueur d’un entre-nœud environ (G. 2. dans les fig. 7 et 8). Les gemmaires externes, plus petits, restent à la périphérie de la tige mère, se disposent en un arc de cercle qui, avec d’autres arcs semblables, constitue un cercle complet (G. e. dans les fig. 7 (4) et 8). Ils ont un trajet libre de la longueur de cinq entre-nœuds; ils se terminent dans la moitié supérieure du nœud situé exacte- ment au-dessous de celui où le rameau est inséré. Ils s'unissent là aux faisceaux anatosmotiques les plus externes (fig. 13 et 14: les gemmaires sont représentés en traits interrompus). Toutes les traces gemmaires ont la même constitution, dans l’axe de l'inflorescence (fig. 40 et 41) aussi bien que dans la por- tion végétative de la tige, mais le nombre et la longueur des faisceaux gemmaires sont variables. Le nombre est en rapport avec le diamètre du rameau : il est maximum dans l’aisselle de la feuille la plus ample, minimum dans l'aisselle des bractées de la partie spiciforme de l'inflorescence. La longueur des gem- maires internes est toujours assez courte, sauf dans la partie spiciforme de l'inflorescence; celle des gemmaires externes dépend de l’angle phyllotaxique, puisque ces faisceaux se termi- rent au nœud situé exactement en dessous du nœud d'entrée : soit 5 entre-nœuds dans le cas d’un angle égal à ?/;, 8 entre- nœuds lorsque l'angle égale 5/4. III. — AGENCEMENT DES TRACES FOLIAIRES ET DES TRACES GEMMAIRES. Les faisceaux foliaires perdent leur individualité en s’unissant à un faisceau voisin : les sympodes ainsi constitués sont les faisceaux anastomotiques. Certains d’entre ces derniers reçoivent aussi les faisceaux gemmaires internes, d'autres les gemmaires externes. Les anastomotiques sont d'autant plus nombreux que les foliaires et les gemmaires sont en plus grand nombre à un niveau donné. (Dans tous nos dessins d'ensemble [fig. 30, 31, 52, 55, 36, 57, 40, 41, etc.] les anastomotiques ont été laissés en blanc; dans les parcours [fig. 15, 14, 42] ils ont été figurés par des traits plus forts.) Les traces foliaires sont juxtaposées et complètement indé- pendantes les unes des autres; elles sont séparées par des fais- ceaux anastomotiques plus ou moins nombreux, disposés en groupes rayonnants. Le nombre des traces foliaires visibles sur (45) ‘une coupe transversale dépend de la phyllotaxie : il y en a 4 quand les feuilles sont écartées de 1} circonférence environ (fig. 30); 5 quand elles sont écartées de ?/; (fig. 35); 8 quand leur écartement égale 5/4 (fig. 37). Dans la région végétative, chaque section transversale montre ordinairement une ou deux traces foliaires complètes, une ou deux presque complètes, les autres réduites aux faisceaux 7 M :. Contrairement aux traces foliaires qui sont manifestes dans toutes les coupes transversales, les traces gemmaires ne se reconnaissent bien qu'un peu en dessous de chaque nœud. Il faut cependant noter que les gemmaires externes sont recon- naissables à tous les niveaux puisqu'ils constituent un cercle qui occupe la périphérie du cylindre central dans toute l'étendue de la portion végétative de la tige et dans toute l'étendue de l’axe de l'inflorescence. (Ce cercle de faisceaux hachurés est visible dans toutes nos figures.) Les massifs teintés en noir que l’on voit souvent en dehors de ce cercle sont les productions secondaires dont nous allons maintenant nous occuper. IV. — MÉCANISME DE L’ACCROISSEMENT DIAMÉTRAL SECONDAIRE, Dans la tige des Amarantes, les faisceaux (foliaires, gemmaires et anastomotiques) sont assez nombreux et bien distinets; ils sont éparpillés et d'autant plus rapprochés du centre qu’ils sont plus gros. Ils s’accroissent peu, leur cambium étant peu actif. Par contre, une zone génératrice cambiforme circulaire et con- tinue s'établit par le recloisonnement tangentiel des cellules de l'assise sous-phlœæotermique (fig. 43, 44, 45). Ce cambiforme produit du tissu fondamental secondaire et se transforme çà et là en petits arcs de cambium (fig. 47). Ceux-ci engendrent du bois secondaire vers l’intérieur et du liber secondaire vers l'exté- rieur (fig. 48). Il en résulte un cercle de massifs libéro-ligneux secondaires séparés les uns des autres par le tissu fondamental secondaire. (Dans tous nos dessins d’ensemble, les massifs libéro- (44) ligneux secondaires sont indiqués en noir : pl. F, II, HE, VIE, VIU, XIII et XIV.) Lorsque le cambium de ces massifs cesse de fonctionner, des cloisonnements tangentiels cambiformes se manifestent en arrière des massifs libéro-ligneux secondaires (fig. 49). La zone généra- trice contournant ainsi les premiers massifs formés saute en arrière et continue à produire du tissu fondamental secondaire en s’éloignant du centre de la tige. De nouveaux arcs cambiaux se montrent bientôt au sein du cambiforme. Ainsi se produi- sent plusieurs cercles plus au moins concentriques de massifs libéro-ligneux secondaires environnés de tissu fondamental secondaire (fig. 50, 51, 52 : entre-nœud { de la tige; fig. 53 à 58 : racine). Cette structure secondaire s'observe dans la partie épaisse de la racine, dans l’hypocotyle, dans toute la région végétative de la tige et des rameaux; elle fait complètement défaut dans l’inflorescence (fig. 40 et 41). L'accroissement du diamètre de la tige résulte en partie aussi de l'accroissement des cellules du parenchyme interfasciculaire et de leur recloisonnement dans diverses directions (fig. 50, 51, 52, qui montrent que l'intervalle entre les faisceaux augmente avec l’âge). Au point de vue fonctionnel, les tissus secondaires de l’Ama- rante sont comparables à ceux des arbres dicotylés, mais ils en diffèrent morphologiquement, c’est-à-dire par leur genèse et leur conformation à l’état adulte. Dans les arbres, en effet, les faisceaux (foliaires, gemmaires et anastomotiques) sont peu nom- breux et disposés côte à côte ; à travers ces faisceaux, il se forme de bonne heure une zone circulaire et continue de cambium qui engendre indéfiniment du bois secondaire en dedans et du liber secondaire en dehors. À l’état adulte, les faisceaux sont difficile- ment reconnaissables dans le tronc et les branches des arbres, tandis que la couronne de tissus conducteurs secondaires est devenue très épaisse. D'autre part, l’accroissement diamétral secondaire des Ama- rantes diffère complètement de celui de certaines Monocotylées (45) (Dracæna, Yucca, etc.) chez lesquelles un périméristème engendre vers l'intérieur du tissu fondamental et des massifs de procambium qui subissent ultérieurement la différenciation libéro-ligneuse (*). A ce propos, il convient de faire remarquer que des tissus totalement différents sont souvent confondus sous des noms trop généraux. Beaucoup d'auteurs se servent du terme « cambium » pour désigner tout tissu générateur secondaire, du terme « faisceau » pour nommer tout massif de bois et de liber, voire même de bois ou de liber. Nous avons cru devoir, comme dans nos travaux antérieurs, réserver le nom de cambium au tissu générateur secondaire pro- duisant du bois secondaire vers l'intérieur et du liber secon- daire vers l'extérieur; nous avons appelé cambiforme un tissu générateur secondaire produisant d’autres tissus (parenchyme, sclérenchyme, etc.) internes et externes dont l’ensemble forme le tissu fondamental secondaire. Par faisceau nous entendons uniquement un groupe d'élé- ments ligneux et libériens provenant de la différenciation d’un ilot de procambium, éléments auxquels s'ajoutent, chez les Dicotylées, les produits d’un cambium intrafasciculaire. L'ilot procambial peut dériver directement du méristème terminal, mais il peut aussi provenir d’un périméristème (Dracæna, Yucca, etc.) (?). Par massif libéro-ligneux secondaire, nous entendons un groupe d'éléments conducteurs engendrés par un arc cambial sans état procambial préalable. Tels sont les massifs existant à la périphérie de la tige de l’'Amarante en dehors des faisceaux gemmaires externes. Ces massifs ne peuvent être confondus ni (:) Voir mémoire sur le Tradescantia (8, pp. 120 et suiv., notamment p. 124). (2) Nous réservons le nom de méristème au tissu générateur qui engendre des faisceaux primaires et du tissu fondamental primaire; le périméristème est un tissu générateur qui engendre des faisceaux secondaires et du tissu fondamental secondaire. (46) avec les faisceaux normaux (foliaires, gemmaires et anastomo- tiques), ni avec les faisceaux tardifs des Dracæna. V. — TIGE VÉGÉTATIVE ET AXE D’'INFLORESCENCE. Terminons ce résumé en considérant deux coupes caractéris- tiques. La coupe pratiquée au milieu de l'entre-nœud ? (fig.11) repré- sente l’état moyen de l'organisation de la tige de l’Amarante dans sa région végétative. Nous y remarquons 5 traces foliaires com- prenant ensemble 29 faisceaux (pointillés) ; 5 groupes anastomo- tiques composés de 26 faisceaux en tout (blancs); un cercle de 65 faisceaux gemmaires (hachurés), et enfin une couronne de 160 massifs libéro-ligueux secondaires (en noir). La coupe pratiquée au milieu de l’entre-nœud $! (fig. #1) nous fera comprendre l'organisation de la tige de l'Amarante dans sa région florifère. Cette coupe contient 8 traces foliaires, réduites chacune à un seul faisceau (pointillé); 8' faisceaux anastomo- tiques (blancs); 16 gemmaires internes et 32 gemmaires externes (hachurés). Il n'y a pas de massifs libéro-ligneux secon- daires (!). L’axe de l’inflorescence diffère donc très notablement de l'axe végétatif tant au point de vue du parcours qu'à celui de l’histo- logie proprement dite. Toutefois, la base de l’inflorescence réalise une structure de transition entre l’organisation de la région végétative et celle de la région purement florifère (fig. 40 : coupe au milieu de l’entre-nœud ?5). () Nous négligeons ici trois foliaires et deux gemmaires internes qui sont sur le point de disparaître en se réunissant à des anastomotiques. CONCLUSIONS Comparant les résultats de notre travail à ceux de nos devan- ciers, nous sommes amené à reconnaitre les points suivants : 1. — Le parcours des faisceaux dans la tige de l’Amarsnte semble avoir été complètement méconnu jusqu'ici. Il constitue cependant un type très spécial caractérisé par la forme repliée en zigzag de la trace foliaire, ainsi que par l'agencement des traces foliaires juxtaposées côte à côte et séparées les unes des autres par des groupes de faisceaux anastomotiques. Les traces foliaires visibles dans une coupe transversale sont normalement au nombre de 5 ou de 8, suivant que l’angle phyllotaxique est égal à ?/; ou à 5/4. On constatera surtout que les faisceaux d'une trace foliaire ne se placent jamais entre les faisceaux d’une autre trace foliaire, et qu'ils ne s’interposent même pas aux anastomotiques, de telle façon que la tige est constituée par 5 ou 8 secteurs bien distincts. Les traces gemmaires sont remarquables par la distinction qu'il y a lieu d’établir entre les gemmaires internes, qui ne sont ordinairement visibles que sous les nœuds, et les gemmaires externes, qui forment un cercle de faisceaux périphériques reconnaissables à tous les niveaux. Le parcours des faisceaux a été bien défini dans un trop petit nombre de plantes pour qu’on puisse, dès maintenant, faire des comparaisons entre l'Amarante et d'autres types. Nous sommes frappé, quant à nous, des grandes différences que manifestent les traces foliaires et les traces gemmaires du Tradescantia, du Chlorophytum, de l’Amarantus, de l'Urtica, du Thalictrum et de plusieurs autres Renonculacées que nous connaissons bien. (48) 2. — L'accroissement diamétral secondaire dans les Amaran- tacées et surtout dans les familles voisines a fait l'objet de nom- breux travaux. Le mécanisme de cet accroissement a été bien élucidé par M. L. Morot, puis par M. J. Hérail, Il est regrettable que leurs découvertes soient méconnues par les auteurs de quelques ouvrages généraux récents. Nos recherches, en confirmant celles de MM. Morot et Hérail, nous ont fourni l’occasion de publier des figures suffisamment complètes et détaillées, prises à différents stades de l’accroisse- ment secondaire; ces figures, nous semble-t-il, faisaient défaut jusqu'ici. Nous avons cherché à attirer de nouveau l'attention des anatomistes sur le mode si curieux du développement secondaire de certains Cyclospermées, développement qui diffère notable- ment de celui des autres Dicotylées et qui diffère surtout com- plètement de celui des Monocotylées. 3. — Ce dernier point, controversé encore par des botanistes contemporains, nous a amené à examiner certaines questions d'anatomie générale rendues obscures par une terminologie défectueuse. Nous serions heureux si nos efforts pouvaient déter- miner enfin l'adoption d'une nomenclature histologique simple et précise, capable de mettre en évidence des caractères anato- miques aujourd'hui bien constatés, mais souvent dissimulés sous des termes mal appropriés. BIBLIOGRAPHIE 1. de Bary, A., Vergleichende Anatomie der vegetationsorgane der Phanerogamen und Farne. (Handbuch der physiolo- gischen Botanik, de W. Hofmeister, Bd IV. Leipzig, 1877.) 2. Bertrand, C. Eg., Théorie du faisceau. (Bull. scientif, du département du Nord, 2° série, 3° année, n°’ 2, 3 et 4, 1880). 3. Bonnier, G., et Leclere du Sablon, Cours de bota- nique. Paris, 1901. 4. Fron, G., Recherches anatomiques sur la racine et la tige des Chénopodiacces. (Ann. sc. natur., botanique, 8° série, t. IX. Paris, 1899.) 5. Gidon, F., Essai sur l’organisation générale et le développe- ment de l’appareil conducteur dans la tige et dans la feuille des Nyctaginées. (Mém. Soc. linnéenne de Normandie, t. XX. Caen, 1890.) 6. Gravis, A., Recherches anatomiques sur les organes végé- tatifs de l’Urtica dioïca. (Mém. in-4° de l’Académie royale des sciences, elc., de Belgique, t. XLVII, 1884.) 7. Gravis, A., Fixation au porte-objet des coupes faites dans la celloïdine. (Archives de l’Institut botanique de l’Université de Liège, vol. 1, 1897.) 8. Gravis, A., Recherches anatomiques et physiologiques sur le Tradescantia virginica. (Mém. in-4° de l’Académie royale des sciences, etc., de Belgique, t. LVIT, 1898.) 9. Gravis, À., et Donceel, P., Anatomie comparée du Chlo- rophytum elatum et du Tradescantia virginica. (Archives de l’Institut botanique de l’Université de Liége, vol. II, 4900.) 10. Haberlandt, G., Physiologische Pflanzenanatomie. Leipzig, 1904. 11. Hérail, J., Recherches sur l'anatomie comparée de la tige des Dicotylédones. (Ann. sc. natur., botanique, T° série, t. IF, 1885.) 4 12. 13. 14. 15. 16. 17: 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. ( 50 ) Lignier, O., De l'importance du système libéro-ligneux foliaire en anatomie végétale. (Comptes rendus Acad. de Paris, 6 août 1888) Lignier, O., De la forme du système libéro-ligneux foliaire chez les Phanérogames. (Bull. Soc. linnéenne de Normandie, 4° série, vol. Il, 1889.) Lignier, O., De l'influence que la symétrie de la tige exerce sur la distribution, le parcours et les contacts de ses faisceaux libéro-ligneux. (Bull. Soc. linnéenne de Normandie, 4° série, vol 11, 1889.) Mansion, A., Contribution à l'anatomie des Renonculacées. Le genre Thalictrum. (Archives de l’Institut botanique de l’Université de Liége, vol. I, 1897) Morot, L., Recherches sur le péricycle., (Ann. sc. natur., botanique, 6° série, t. XX. Paris, 1885.) Nägeli, C., Das Wachsthum des Stammes und der Wurzel bei den Gefässpflanzen und die Anordnung der Gefässstrange im Stengel. (Beiträge zur wissenschuftlichen Botanik, erstcs Ieft. Leipzig, 1858.) Pax, F., Prantl’s Lehrbuch der Botanik. Leipzig, 1904, Petit, L., Le pétiole des Dicotylédones au point de vue de l'anatomie comparée et de la taxinomie. (Thèse présentée à la Faculté des sciences de Paris. Bordeaux, 1887.) Schinz, H., Amarantaceae. (Engler, A., und Prantl, K., Dre natürlichen Pflanzenfamilien, Lief. 79. Leipzig, 1893.) Solereder, H., Systematische Anatomie der Dicotyledonen. Stutigart, 1899. Strasburger, Ed., Ueber den Bau und die Verrichtungen der Leitungsbahnen in den Pflanzen. lena, 1891. Strasburger, Ed., Lehrbuch der Botanik für Hochschulen, Icna, 1894. | Van Tieghem, Ph., Traité de botanique, 2° édit. Paris, 1891. PLANCHES Dans toutes les figures, les faisceaux foliaires sont pointillés, les faisceaux gemmaires hachurés, les faisceaux anastomotiques sont laissés en blanc, les massifs libéro-ligneux secondaires sont noirs. ABRÉVIATIONS EMPLOYÉES DANS LES FIGURES. NIV LT OUR PERANEE ; | Faisceaux : Ep. Épiderme. Fol. Foliaire. Phlt. Phlæoterme. M. Médian. Bt, Bois primaire. k Intermédiaire, B*. Bois secondaire. | L. Latéral. La. Liber primaire. m. Marginal. Le. Liber secondaire. G.e. Gemmaire externe. Cb. Cambium. G.i Gemmaire interne. Cbf. Cambiforme. A. Anastomotique. (LB). Massif libéro-ligneux se- condaire. EP. Tissu fondamental secon- daire. N. B. — Le symbole d’un faisceau foliaire inscrit entre parenthèses indique que ce faisceau vient de se jeter sur le faisceau anastomotique désigné par la flèche. (Exemple : fig, 9 à comparer à la fig. 8, planche Il.) Fi. Fic. Fic. Fic. Fi. (52) EXPLICATION DE LA PLANCHE I. 1. — Portion de tige principale comprenant les segments 8 à 13 (p. 5). 2. — Coupe à la base du pétiole de la feuille #5. 3. — Coupe de la tige un peu au-dessus du-nœud #5. 4. — Coupe dans la partie supérieure du nœud #. 5. — Coupe dans le nœud # au niveau de l'entrée des faisceaux m", mn, m', m"'. (La description de ces coupes a été faite pp. 7 et 11.) PI.I 6: €. : CAC ®, 009900 2% 9 O - #e < à ST FI Ed re 240: Er; Lith. 7. L. Gofart, Bruxelles. A. GRAVIS ad. nat. del. AMARANTUS. Parcours des faisceaux (type). 0000 0e: 6 e9 8e °° NUE ; DU MU LM Lai Lith. F. L. Goffart, Brvxelles. A. GRAVIS ad. nat. del. AMARANTUS. Parcours des faisceaux (type). (55 ) ‘EXPLICATION DE LA PLANCHE II. Fic. 6. — Tige principale comprenant une partie végétative dressée, et une inflorescence pendante. Les 24 premiers nœuds portent chacun une feuille et un bourgeon plus ou moins développés (ils ont été figurés aux segments 1, 4, 9, 14, 19 et 24); à partir du nœud *#, chaque segment porte une bractée et un rameau florifère; à partir du nœud #, chaque segment ne porte qu'une bractée ét une petite cyme qui n’ont pas été figurées (p. 14). F16. 7. — Coupe dans le nœud ‘# au niveau de l'entrée des faisceaux m, L, 5, M, 1, L, m. Fi6. 8, — Coupe au milieu de l’entre-nœud ‘?. Fic. 9. — Coupe au milieu de l’entre-nœud #*. (La description de ces coupes a été faite pp. 8 et 12.) (54) EXPLICATION DE LA PLANCHE HI. Fic. 10. — Coupe au milieu de l’entre-nœud !°. Fig. 11. — Coupe au milieu de l’entre-nœud ?. Fi6. 12. — Coupe au milieu de l’entre-nœud $. (La description de ces coupes a été faite pp. 8 à 11.) 4: ; ROUES LRO 9e 9 een, QE RU OUT x", 2 8%e PO ; ê A. GRAVIS ad. nat. del. Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux (type). ; AE ee en rune PT DE = = : Pr dune ne En ere es es À em me me ù — _— ee me Bruxelles. Lith. Y. L. Goffart, A. GRAVIS ad. nat. del. AMARANTUS. Parcours des faisceaux (type). (55) EXPLICATION DE LA PLANCHE IV. Fic. 143. — Parcours des faisceaux de la trace foliaire ct de la trace gem- maire du segment , ainsi que des faisccaux anastomo- tiques voisins. Ce dessin comprend six seginents super- posés (segments 8 à 13), mais ne correspond qu'à l’un des cinq secteurs qui composent la tige. (Le parcours est vu de face; il est décrit pp. 8 et 12.) Fi. Fic. Fi6. Fi. 15. 16. LAS (56) EXPLICATION DE LA PLANCHE V. Parcours des faisceaux composant la moitié droite de la trace foliaire et de la trace gemmaire du segment !5. (Le parcours est vu de profil, pp. 9 et 12.) Schéma d’une trace foliaire et d’une trace gemmaire avec les faisceaux anastomotiques voisins. Les flèches indiquent comment les faisceaux foliaires et les faisceaux gemmaires s'unissent aux faisceaux anastomotiques (pp. 9 ct 13). Dessin fourni par la superposition de trois coupes radiales successives dans le nœud #{ (p. 15). Spire phyllotaxique d’une tige principale (p. 14). - 8 GeA AAA AM Q M) "À Ty n— # 4, Ce Q ns //, n/) ? Y € Ty 7) y / à à > LOPRINSQNS a y, y 1) h t D at ee - eg" ‘ ST + o + 5 S A 6 Ÿ S S S & : S ZA YU) NN ZANEZ UN IN KG 74, Z > E à E PRD & E LS = = Er Ô A à À dE À AE # A A AE Æ\= == == = | NN Ge L É A. GRAVIS ad. nat. del. Gi A À À Lith. Ÿ. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux (type). DV CONS PEL » L WLAL mL AM LMLA MT L A. CONSTANTINESCO ad. nat. del. Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux dans une plantule. COMM EXPLICATION DE LA PLANCHE VI. Fic. 48. — Plantule qui a fourni les coupes figurées dans cette planche. Fic. 19. — Coupe au milieu de l’entre-nœud 1, Fi. 20. — Coupe au niveau de l'insertion des cotylédons. Fig. 21. — Coupe dans la partie supérieure de l’hypocotyle. Fig. 22. — Coupe au milieu de l’hypocotyle. Fire. 23. — Coupe dans la partie inférieure de l’hypocotyle. Fi6. 24. — Coupe dans la racine principale. (Ces coupes sont décrites pp. 15 et 16.) F16. 25. — Parcours des faisceaux principaux dans l’hypocotyle et la tige principale de la plantule (p.16). 4. (58) EXPLICATION DE LA PLANCHE VIE. ——_— Fi6. 26. — Coupe à la base du pétiole de l’un des cotylédons (p. 17). Fac. 27. — Id. de la feuille ! (p. 17). Fic. 28. — Id. de la feuille 5 (p. 17). Fic. 29. — Id. de la feuille 5 (p. 17). Fi6. 50. — Coupe de la tige au milieu de l’entre-nœud 1 (p. 18). Fic. 51. — Id. id. de l’entre-nœud * (p. 18). Fi6. 32. — Id. au: de l’entre-nœud 5 (p. 18). 0000 -p-- 00 à 3 Fu re er ë VV. 6000-6000 ge $ -9 : 00€ LIRE Au ÿ pe ‘e ©) 2 à 7) 4 4 à NY + ‘ee. . - ER V, ANT EE se 29% 1 A. CONSTANTINESCO ad. nat. del. Lith. . L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux dans la tige adulte. ue ù a". + CSA PEU RS | ,-. 9e e 9% 6 ®.. _ ÿ, O 0 © Oer ?, ;: Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux dans la tige adulte. A. CONSTANTINESCO ad. nat. del. Fi. : Fic. F16. Fi. F16. (59) EXPLICATION DE LEA PLANCHE VII. Coupe à la base du pétiole de la feuille #5 (p. 17). de la feuille 2 {p. 17). Coupe de la tige au milieu de l’entre-nœud # (p. 19). Id, id. Id, id. Id. id. de l’entre-nœud {7 (p. 19). de l’entre-nœud ? (p. 19). ( 60) EXPLICATION DE LA PLANCHE. IX. Fi6. 58. — Première bractée de l’inflorescence (au nœud *#) (p. 14). F16. 39. — Bractée de la partie spiciforme de l’inflorescence (p. 14). Fi6. 40. — Coupe de la tige au milieu de l’entre-nœud ® (pp. 21 et 22). Fic. 41. — Id. id. de l’entre-nœud #! (pp. 21 et 22). Fi6. 42, — Parcours des faisceaux foliaires et des faisceaux anastomotiques dans les segments 81 à 89 (pp. 21 et 22). | 93 96 91 94 89 92 95 go 93 88 8 86 | 85 85 8 83 82 81 HT A. CONSTANTINESCO ad. nat. del. Lith. 3. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Parcours des faisceaux dans la tige adulte. PK S > be WATER (ET UT a: Less Dont RS EE ge Ge: ee. 27) N229518A FD NET Lith. #. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Accroissement secondaire de la tige. À. GRAVIS ad. nat. del. (61) EXPLICATION DE LA PLANCHE X, Les figures 43 à 49 représentent des portions de coupes transversales pratiquées au milieu de l’entre-nœud 1 de tiges principales de plus en plus âgées. Fic. 43. — Différenciation des faisceaux gemmaires externes (p. 28). Fi6. 44. — Premier recloisonnement tangentiel des cellules sous-phlæo- termiques (p. 25). Fic. 45. — Recloisonnements répétés dans les mêmes cellules (p. 25). (62) EXPLICATION DE LA PLANCHE XI. Suite de la série précédente (voir explication de la planche X). Fi6. 46. — Recloisonnements tangentiels des cellules situées entre le liber des faisceaux gemmaires externes et le phlæoterme (p. 2B). Fig. 47. — Apparition d'un arc cambial dans la zone cambiforme (p. 26). . D k k PI.XI ne AE ?» GE. Vins EE Fi ne ES … : ES CA FT RS TF ë LCA TE DES , dr EC RTS 2: CS 2? Das 4 8 46 pa À pee Reis Le . pres s HE on 474 VD pe A. GRAVIS ad. nat. del. Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Accroissement secondaire de la tige. ? Re jm >< lancer dem ans æ Ve gs re SRE TEE CRETE E \7 7 Beer æ, 4 QE & is [[ [) ne JS Se) s-. CRE 7 Ci SS » H £ St ss SRE ” @E ee se AU =— Ê 2e V Ve eu es Massif (LB)? QI TT Le Ve = | { OS RAA IX] 3 | OU DR T SR EMER TE | HO 40 À M: ith. Ÿ. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Accroissement secondaire de la tige. ( 63 ) EXPLICATION DE LA PLANCHE XII. Suite de la série précédente (voir explication des planches X et XI.) Fig. 48. — L’arc cambial a produit un massif libéro-ligueux secondaire (p. 26). Fi6. 49. — Des recloisonnements cambiformes se manifestent en dehors du massif libéro-ligneux secondaire du côté droit (saut de la zone génératrice) (p. 26). (64) EXPLICATION DE LA PLANCHE XHII. Les figures 50, 51 et 82 représentent des portions rigou- reusement comparables de l'entrenœud ! de trois tiges principales d'âge différent. Fic. 50. — Avant l'apparition du cambiforme dans une jeune tige. Fig. 51. — Pendant le fonctionnement de la zone génératrice dans une tige presque adulte. Fig. 52. — Pendant le fonctionnement de la zone génératrice dans une tige vieille. (La description de ces coupes a été faite pp. 27 et 28.) La zone cambiforme (Cbf) est indiquée par un trait interrompu; les arcs cambiaux (Cb) sont représentés en pointillés. PI. XIII À. GRAVIS ad. nat. del. Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Accroissement secondaire de la tige. A.GRAVIS ad. nat. del. Lith. 7. L. Goffart, Bruxelles. AMARANTUS. Accroissement secondaire de la racine. (65) EXPLICATION DE LA PLANCHE XIV, Les figures 55 à 58 représentent six niveaux échelonnés dans une vieille racine principale, pivotante et conique. Fic. 53. — Correspond à la partie grèle, jeune encore, de cette racine, Fig. 58. — Correspond à la partie la plus renflée et la plus âgée. (La description de ces coupes a été faite p. 28.) B! désigne les deux massifs ligneux primaires ; B°? et L£, le bois et le liber secondaires normaux ; Cbf, le cambiforme; Cb, les arcs cambiaux; (LB), les massifs libéro-ligneux secondaires. a À a Le PA 27 vi abnnoist3s Aumn'I EUX 50 pION lo ie gun nn niotiffaniont PE sd ONCE ee OT Ou "p : 149 : s ‘4 91) n RU) LI ee 8h ë noie L | à AR 4 L . . » ra À Fe hoë asile gt 10 Du T MR “eq ul : hs Gr TON URI CINE | > : Le a es 1 ” 1 ne 1. : be pt LL L ; UNE # \ of Hoi Fa _ LA . 1% ta S € ; f: Ja e ATARI #. DU 4 2: a lala: + LL HAN ENTIER MR ROLE FES PEUT D s | * La # Ra , d - NP ŸS RARE 7 MPib 231 ï À PL TELS 0 re +. DELA ITU FAT LATEST (AE FH Es \.: sde n ns creme che y Fe La 3 a sh _ 4. : à : = + ‘4 … Le Ta * = = : Ca ru “1 v | o AT cn né LR" v l n TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION CHAPITRE PREMIER. — Parcours des faisceaux. SI. Tyre I. Trace foliaire . II. Trace gemmaire . $ II. VARIATIONS DU TYPE DANS L'ÉTENDUE DE LA TIGE . Caractères extérieurs . A. Hypocotyle. B. Région végétative de la tige C. Axe de l’inflorescence CHAPITRE II. — Accroissement diamétral secondaire. 1: Tige . 2. Hypocotyle et racine . 5. Trajet des massifs libéro-ligneux secondaires . HISTORIQUE : 4. Disposition et parcours des faisceaux . 2, Accroissement secondaire de la tige et de la racine. 5. Lieu de formation des zones génératrices secondaires , 4. Comparaison avec les Monocotylées RÉSUMÉ . ConcLusions. BIBLIOGRAPHIE . ABRÉVIATIONS EMPLOYÉES DANS LES FIGURES. EXPLICATION DES PLANCHES . Pages. 24 49 n FM + : $ l J js | A! titañth rNINONES ” . à 2 x . { ué Li De … h suit 3 AU u NOTES DE GÉOMÉTRIE PAR Lucien GODEAUX ÉTUDIANT EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES, A LIÉGE, ‘e ri NOTES DE GÉOMÉTRIE I. — Une surface cubique à deux points doubles. 1. Soient A,, A, deux points quelconques de l’espace et B4, B;, B;, B, les points de base d’un faisceau de coniques dans un plan æ ne passant ni par A,, ni par A. _ Proposons-nous de rechercher le lieu des points tels que les droites qui les joignent aux points A,, A, rencontrent le plan « en deux points situés sur une même conique du faisceau. Soient (D;), (Do) deux ponctuelles ayant comme support commun une droite d quelconque. Par D, et A,, menons la droite g1, le point (x, 91) détermine une conique du faisceau. La surface conique qui projette cette conique du point A marque sur d deux points D,. Inversement, à un point D, cor- respondent deux points D,. Entre les ponctuelles (D,), (Do) existe donc une correspondance (2, 2). Une coïncidence des points D,, D, est un point du lieu cherché. D'après le prin- cipe de Chasles, il y a quatre de ces coïncidences sur d, mais l’une est le point (d, x). Donc : Si les côtés d’un angle variable passent par des points fixes et rencontrent un plan en deux points d'une méme conique d'un faisceau donné, le sommet de l'angle décrit une surface du trot- sième ordre. 2. Soit g une droite passant par A,. Les droites passant par A et s'appuyant sur la conique du faisceau déterminée par le point (g, «) et sur la droite g sont au nombre de deux. L'une d'elles passe par le point (g, «); ce dernier ne faisant pas géné- ralement partie de la surface cubique, il en résulte qu’une droite passant par À, ne rencontre plus cette surface qu’en un point, (4) le point A, est donc double. Il en est de même du point A, et la droite a = A,A3 appartient à la surface. 3. Recherchons les autres droites de la surface. La droite b, = A;B,(i = 1,2; j = 1,2,5, 4) appartient évi- demment à la surface. On trouve ainsi huit droites. Désignons par (m4, M9), (n4, n9), (P1 Pa) les couples de côtés opposés (B1Bo, B3B;), (B1B3, BoB), (B1B;, BoB3) du quadrangle complet B,B2B;B, et soient M, N, P les points de concours de deux côtés opposés. Les plans Ajmi, Aom Ont en commun une droite m, passant par M, et comme elle rencontre les quatre droites 0,1, b49, Voy, Lao de la surface, elle y est contenue tout entière. Nous obtenons ainsi six droites, à savoir : (Au, Aou) = my, (Aime, AM) = M3, (Ain, An) = ni, (Aie, Au) =, (AP ; A:P3) = p, ; (A:P2; A:p) = pe . Les droites m,, m, ayant le point commun M, les droites n;, n, le point N et les droites p,, p, le point P; de plus, les plans mims, nn, et Ppip: passant par une même droite, celle-ci doit faire partie de la surface. La surface cubique générale possède vingt-sept droites, mais dans le cas particulier où cette surface a deux points doubles, on sait que la droite a compte pour quatre et chacune des droites b,, pour deux. Nous avons donc déterminé toutes les droites de la surface. 4. On peut démontrer directement que tout plan x mené par la droite A, 4, rencontre la surface cubique suivant une conique. En effet, soit Q l'intersection de la droite A,A, et du plan «, et q la droite commune aux plans x et «. Le faisceau de coniques marque sur q des couples de points (N, N') en involution. Il est clair que les droites A,N et AoN/, A,N/ et AQN se coupent en des points R, $S de la surface cubique. Or A,N et A,N’, AN’ et AQN sont des éléments homologues de deux faisceaux projectifs; donc les points R et S engendrent une conique. La droite RS (5) passe par un point fixe U, conjugué harmonique de Q par rap- port à A,A,; car RS est une diagonale d’un quadrilatère com- plet A,;AoN'N. II. — Sur la cubique gauche. Dans cette note, nous donnons un procédé pour construire la cubique gauche donnée par cinq points et une bisécante. Nous démontrerons d'abord deux propositions qui nous ont conduit à cette construction. 1. Si un triangle ABC se déforme de manière que deux côtés AB, AC tournent autour de deux points fixes C', B' et que les sommets B, C se meuvent dans deux plans donnés B et y, tandis que le troisième côté BC s'appuie constamment sur une droite donnée |, le sommet À décrit une quadrique passant par B, C' et par la droile fy. En effet, un plan quelconque x mené par la droite B’C' ren- contre les plans Ê, y suivant deux droites b, c et la droite l'en un point L. Si dans ce plan on mène par L une droite quel- conque qui rencontre b en B, c en C, les droites BC’, CB’ se coupent en un point À du lieu cherché. D'après le théorème de Maclaurin et Braikenridge, on obtient ainsi dans le plan + une conique passant par B’, C’ et par le point de concours U des droites b, c. Concluons déjà de là que la droite entière fy = g fait partie du lieu. Projetons les différents points d’une droite d, des points B/, C’ respectivement sur les plans Ê, y, et joignons les points d'inter- section correspondants. Les droites ainsi obtenues décriront évi- demment un hyperboloïde à une nappe (*) passant par la droite B'C’. La droite ! rencontre cette quadrique en deux points qui determinent deux génératrices. À ces génératrices correspondent des points de la surface cherchée situés sur la droite d, donc cette surface est bien du second ordre. (*) Comparer J. NEUBERG, Question 1628. (MaTHESIS, 1907, 3e sér., t. VIT, pp. 168 et 254.) (6) Plus simplement, un plan mené par / et tournant autour de cette droite, marque sur les plans f, y deux faisceaux projectifs qui ont pour centres les points de rencontre B,, C,; de la droite / avec Get y. Les plans menés par deux rayons homologues de ces faisceaux et respectivement par les droites C,B, B,C se coupent suivant une droite À dont tous les points appartiennent au lieu (A); or ces plans engendrent deux faisceaux projectifs. 2. Considérons maintenant un triangle variable ABC, dont deux côtés AB, AC tournent autour de deux points fixes C, R/; dont les sommets B, C se meuvent dans deux plans donnés G, y et dont le troisième côté BC doit s'appuyer sur deux droites données }, {4 (et sur la droite B'U = b). | D'après ce qui précède, si BC doit s’appuyer seulement sur / (et sur d), le point A décrit une quadrique; si BC s'appuie sur l\ (et lo), le point À décrit une seconde quadrique. Ces qua- driques ayant une droite commune fy, leur intersection est une cubique gauche passant par B/, C’ et bisécante à la droite Gy. Donc : _ Si un triangle se déforme de telle manière que deux de ses côtés passent par deux points fixes, tandis que les sommets opposes décrivent deux plans donnés, le troisième côté s'appuyant sur deux droiles fixes, le troisième sommet décrira une cubique gauche passant par les points fixes et bisécante à. la droite commune aux deux plans donnés. Voici une démonstration directe de ce théorème. La droite BC qui doit s'appuyer sur /, 4, engendre un hyperboloïde qui rencontre les plans f, y suivant deux coniques K,, K,. L'inter- section des cônes (C/, K£), (B/, K,) décrit le lieu cherché. Ces cônes ont la génératrice commune B'C'; car si la droite BC coupe $ en B//, y en C/!, on peut prendre pour BC la droite menée par B// et s'appuyant sur !, l,; alors À se confondra avec B’, etc. 8. Soient A;,, …, A; cinq points et g une droite. Proposons- nous de construire la cubique gauche passant par ces cinq points et bisécante à la droite. (7) Nous prendrons A3, A pour les points B’, C' et deux plans quelconques menés par g pour É et y. Alors, les droites AA, AA, AA; rencontrent Ê en trois points A;, A, A! et les droites A9A;, A9A;, A9A% rencontrent en A;, A’, A; les droites A;A;, A;A;, A;A; représentent trois positions de la droite BC. Pour ! et 4, il suflira de prendre deux droites s'appuyant à la fois sur A;A;', A;A;", A;A;. On remarquera que d’après la construction, ces trois dernières droites s'appuient sur la droite AA. III. — Un théorème sur les surfaces. 1. Le théorème donnant le nombre de droites d’une surface d'ordre n possédant une droite multiple d'ordre (n — 2) a été démontré par MM. Sturm (*), Murer (*), Fouret (***), Stuy- vaert ("*) et De Vries (*). Dans cette note, nous nous proposons de le démontrer en nous basant sur cette remarque qu’une droite qui rencontre une surface d'ordre n en (n + 1) points appar- tient tout entière à la surface. Cette remarque a déjà été utilisée pour d’autres démonstrations par M. J. De Vries (‘) et par nous (Ÿ"). 2. Soient d la droite multiple et e,, &, e; trois sections planes quelconques de la surface. (*) Ueber die Flächen mit einer endlichen Zahl von (einfachen) geraden, voræugsweise die der vierten und fünften Ordnung. (MATH. ANN., 1871, t. IV, pp. 249-253). (**) Generaxione della superficie d'ordine n con retta (n —) pla. (RENDI- CONTI DI PALERMO, 1888, t. Il, pp. 107-109.) (***) Sur le nombre de plans tangents que l’on peut mener à une surface algébrique par une droite multiple de cette surface. (RENDICONTI DI P ALERMO, 1894, t. VILL, pp. 202-208.) (:") STUYVAERT, Sur quelques surfaces algébriques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre. Dissertation inaugurale. Gand, Hoste, 1902, p. 43. (") J. DE VRIES, Right lines on surfaces with multiple right lines. (Pro- CEEDINGS OF AMSTERDAM, 28 avril 1902, pp. 577-583.) (") Loc. cit., $ 6. () Notes de géométrie synthétique. (MÉM. DE LA SOC. DES SCIENCES DE Mons, 6e sér., t. IX, 1907, p. 10.) (8) Les droites qui s'appuient sur d, &;, & et e; en des points dis- tinets rencontrent la surface en n + 1 points, donc elles appar- tiennent à cette surface. | Considérons la réglée R engendrée par les droites qui s'ap- puient sur d, e4 et €. L'ordre de multiplicité de d sur R est évidemment égal au nombre de droites passant par un point de d et s'appuyant en des points distincts sur e4 et €o. Projetons les courbes e4, & d'un point de d; les cônes ainsi obtenus ont n? génératrices communes, mais e, et & ont n points communs et de plus ont sur d un point multiple d'ordre n — 9, donc de ces n°? droites on doit retrancher n droites et (n — 2}? fois la droite d; donc la droite d est multiple d'ordre no —n—(n —2) — 5n — À, On trouverait de même que chacune des courbes e,, e9 est multiple d'ordre deux. Le plan de &, contient n génératrices de R, donc cette surface est d'ordre 2n + n — 5n. La surface R rencontre &; en 5n? points; ceux de ces points qui ne sont pas sur d, € et & sont au nombre de 5n° —(n — 9)(3n — 4) — 2 .n = 2(3n — 4). Par chacun de ces points passe une droite de la surface don- née. Il est évident que ces droites forment 5n — 4 coniques dégénérées (*). Nous remercions M. Neuberg pour les conseils qu’il a bien voulu nous donner pour la rédaction de ce petit travail. Liége, 24 février 1908. (*) Après coup, nous devons ajouter : H. BATEMAN, The tangent planes which can be drawn to an algebraïic surface from a multiple line. (ARC&Iv DER MATH. UND Pxys., 1908, Bd XIII, pp. 48-51.) —————— #5 hf es —— OUT UNE SURFACE PARTICULIÈRE DU SEPTIÈNE. ORDRE Jean DEGUELDRE PRÉFACE On connait la génération des coniques d’après Maclaurin et Braikenridge : Étant donnés, dans un même plan, trois points À, B, C et deux droites a, b, si une droite mobile passant par C rencontre a en À’ et b en B/, l'intersection des droites AA’, BB’ engendre une conique. Il existe des propositions analogues dans l'espace; nous ne citerons que les suivantes, que nous rencontrons dans la géo- métrie analytique à trois dimensions par Salmon : Les quatre faces d'un tétraèdre passent chacune par un point fixe; trois des arêtes passent chacune par un point fixe ; le sommet par lequel ne passe aucune de ces arêtes décrit une surface cubique. Trois arêtes d’un tétraèdre partant d’un même sommet A passent chacune par un point fixe et la face opposée passe éga- lement par un point fixe; trouver le lieu du sommet A sachant que les autres sommets se meuvent dans des plans fixes. Un plan passe par un point fixe et coupe trois droites fixes; par chacun des points d’intersection et par chacune des trois autres droites fixes, on mène des plans. Trouver le lieu de l'inter- section de ces plans. (4) Le problème que nous allons traiter est du même genre, mais n'est pas compris dans ceux que nous venons de rappeler ni dans quelques autres qui ont été à notre connaissance. Nous consi- dérons ici un tétraèdre variable XA,B,C, dont les faces tournent autour de quatre points fixes S, A, B, C; les sommets A4, B4, Cs glissent sur trois droites données a, b, c; le lieu du sommet X se compose de l’hyperboloïde dont a, b, c sont des génératrices et d’une surface du septième ordre. SU ONE AURPACE PARTICULIÈRE DU SEPTIÈME ORDRE 1. Soient donnés dans l’espace trois droites a, b, c et quatre points À, B, C, S. Par S, on mène un plan © coupant a, b, c en A4, B4, C1; les plans (AB,C;) = «, (BCA,) = B, (CAB) = y se coupent en un point M qui décrit une surface du neuvième ordre lorsque le plan © décrit la gerbe de centre S. En effet, une droite quelconque d a neuf points en commun avec la surface. Car soient A’, B/, C’ les points d’intersection de d avec trois plans homologues «, B, 7. Deux d’entre eux étant fixés, par exemple A’ et B/, cherchons combien il leur corres- pond de points C/. Observons d’abord que « et B sont deux plans tangents aux deux hyperboloïdes (c, AA’, b) et (c, BB/, a) (*). Or les plans tangents communs à ces deux surfaces, qui ont une directrice commune, constituent une développable de la troisième classe, à laquelle on peut mener par S trois plans osculateurs permettant de déterminer trois points C/. Les points A’, B/, C’ (*) Nous désignons un hyperboloïde ou paraboloïde réglés en indiquant trois génératrices de même espèce. (6) sont done des groupes de trois points tels que deux d’entre eux étant donnés, il leur correspond trois positions du troisième. On déduit de là que la droite d coupe la surface en neuf points. Remarquons maintenant que si s est un plan tangent à l’hyper- boloïde (abc) = H, c'est-à-dire un plan rencontrant a, b, c en trois points A4, B4, C4, situés sur une même génératrice de H, il lui correspond trois plans à, G, y se coupant suivant cette droite A,C, qui fait done partie de la surface lieu de M. Lorsque sc roule sur le cône circonserit à H de sommet S, la droite correspondante décrit cette surface H. La surface lieu de M se décompose done en cet hyperboloïde et une surface du septième ordre S>. Il est utile de séparer nettement les deux parties du lieu. Considérons, à cet effet, un point M de H, et soit m la généra- trice qui passe par ce point en s'appuyant sur a, b et c. Pro- posons-nous de retrouver le plan & qui a donné naissance au point M. Nous rechercherons le plan É en supposant que les plans correspondants « et y passent par M. Soient B, un point quelconque de b; (, le point d'intersection de c avec le plan unissant B, à la droite AM et A,, celui de a avec le plan unissant B, à la droite CM. Lorsque le point B, parcourt b, les droites B,C, et B;,A, engendrent les deux surfaces du second ordre (ce, AM, b), (b, CM, a) auxquelles on peut mener par $ quatre plans tangents communs. Le plan c cherché est nécessairement l’un de ces plans. Le plan & = (Sm) convient; mais alors les plans homologues x, 5, y passent non seulement par M, mais contiennent la droite ». Il faut écarter le plan o = (Sb), ear si E et F, G et H sont les points d’intersection de ce plan avec cet AM, CM et a, les droites EF et GH ne concourent pas en un point de 6. Enfin, il faut également rejeter les deux autres plans, qui, étant indépendants de B, déterminent des plans 6 ne passant pas par M. L'hyperboloïde (abc) est donc engendré par l’une de ses génératrices d'une seule façon. Nous ferons constamment usage, dans la suite, de la propo- sition suivante, dont la démonstration n'est qu’une application directe du principe de correspondance de Chasles : Soient a et né, : . (47 b deux droites de l’espace, prises comme supports de deux ponc- tuelles (A), (B) entre les éléments desquelles existe une eorres- pondance (m», n). Le lieu de la droite AB de jonction des points homologues est une surface d'ordre et de classe m + n. On peut observer que la démonstration que nous avons donnée de l’ordre de la surface ne s'applique pas à une droite d de l’hyperboloïde (a, b, c). Nous allons montrer, en modifiant légèrement le procédé employé, qu’une telle droite rencontre la surface S- en sept points. On sait qu’au plan & = (Sd) corres- pond une droite de (abc) qui est l’une des deux génératrices de l’hyperboloïde situées dans le plan (Sd); nous écarterons ce plan des plans o que nous allons considérer. Désignons par A’, B’ et C/ les points d’intersection de d avec trois plans correspondants «, 6 et y. Les points A’ et B’ étant supposés confondus en un point de d, cherchons combien il leur correspond de point C/. Unissons par des plans & et 6 les droites AA et BA’ à un point C, de c; soient B, et A, les points d'inter- section de b avec « et de a avec f. Le plan A,B,C, est un plan tangent commun aux deux hyperboloïdes (c, A A’, b), (c, BB’, a). Or on peut mener par S, indépendamment du plan (Sd), trois plans tangents communs à ces deux surfaces qui permettent de trouver trois points C/. Inversement le point C’ étant fixé sur d, combien de fois les points A’ et B’ coïncideront-ils lorsque 7 déerit le faisceau d'axe CC/? Cherchons la correspondance qui unit les points A’ et B’. On voit facilement que B,C; décrit une surface de la troisième classe; le point A’ étant pris arbitrairement sur d, il suflira de prendre pour « un des deux plans tangents qu'on peut mener à cette surface par AA’, indépendamment du plan (Ad) qui a été écarté, ce qui fera connaître deux points B/. Les points A’ et B/ étant liés par une correspondance (2, 2) ont quatre coincidences. Les points A’ et B’ confondus et le point C/ étant liés par une correspondance (4, 5), coïncideront 7 fois en des points qui appartiennent à la surface S:. Dans la suite nous désignerons par (HS) la surface complète du lieu; lorsque nous n'aurons en vue que la surface du sep- (8) ième ordre, nous la désignerons par S;. Nous pouvons à présent énoncer le théorème : Soit un trièdre dont les faces passent par trois points fixes ; si ses arêtes coupent trois droites fires en trois points tels que leur plan passe constamment par un point fixe, le sommet de ce trièdre décrit une surface du septième ordre. 2. Nous allons établir l'ordre de la surface (HS) par un autre procédé qui nous sera utile dans la recherche des singu- larités de S;. Déterminons le nombre des points du lieu situés sur une droite d passant par un des points A, B, C, par exemple par A. A cet effet menons par d un plan « quelconque, rencon- trant c, b en C;, B, et soit A, le point du plan © correspondant situé sur a. Lorsque à déerit le faisceau d’axe d, la droite B,C, engendre l'hyperboloïde (cd) tandis que B,A, et A,C, engen- drent des surfaces de la troisième classe : car il est facile de voir que les points C;, A4, par exemple, sont liés par une corres- pondance (2, 1); en effet C, étant connu, «, c et par suite A, le sont aussi; mais si A, est donné, il faudra pour déterminer C4, mener par SA, un plan tangent à l'hyperboloïde (b, c, d); or on peut en mener deux. Cela posé, soient B', C’ les points d'intersection de d avec les plans 6 = (BA,C;), y = (CA,B,;). On obtiendra un point de (HS) sur d lorsque B/ et C’ coïnei- deront. Or il est visible que B, C’ sont des couples de points entre lesquels existe une correspondance (3, 5); car B’ étant fixé, on obtiendra le plan 6 en menant par BB/ un plan tangent à la surface de la troisième classe engendrée par A,C,. Les points B/ et C/ ont done six coïncidences qui donnent six points de (HS) sur d. Il reste à voir s’il n’en existe pas d’autres confondus avec À et provenant de plans & ne passant pas par d. On voit facilement que les plans 8 et y passeront par A lorsque A,C, s'appuiera (9) sur AB et A,B, sur AC. Le plan © sera alors un plan tangent commun aux deux hyperboloïdes (a, c, AB), (a, b, AC). Or on peut mener par S, indépendamment du plan (Sa), trois plans tangents communs 64, o,, o;° à ces deux surfaces. A étant un point triple de la surface (HS), la droite d la rencontre en neuf points. Nous désignerons par «,, «;, « les plans de la gerbe de centre À correspondant aux plans c,, o;, 5,. Soient de même 5,, 62, oc, des plans tangents communs aux surfaces (c, b, AB), (a, b, CB) auxquels correspondent triplement le point B et f,, B:, G;', leurs homologues dans la gerbe B; C5 Os Os les trois plans tangents communs à (b, c, CA), (a, c, CB) donnant naissance au point triple C et y;, y:, 7: , leurs homologues dans la gerbe du centre C. 8. Les droites a, b, c sont des droites simples de S;. Prenons en effet un plan o passant par SA et coupant a en AÀ,; les plans «, B, y qui en résultent passent par A,, car « se confond avec o. Lorsque © décrit le faisceau d’axe SA, le point A, déerit la droite a; a et par analogie b et c appartiennent à la surface S-. Prenons pour © la face ASB du trièdre SABC et soient A;, B,, C, ses points d'intersection avec a, b, c. On a dans ce cas a=(ABC)=5, B—=BCA;)=05, = (CA,B,). Les trois plans «, B, y se réduisant à deux se coupent suivant une droite A,B4 = co de S3. Remarquons que les sept points de S; situés sur AB sont les points À et B qui comptent chacun pour trois et le point commun à AB et à C4. On trouve semblablement dans les deux autres faces BSC et CSA du trièdre SABC deux autres droites @; et b,; de S-. En général, un quaterne de plans correspondants à, 6, y, « est déterminé par la connaissance de l’un d’eux, Mais il arrive aussi (10) que l’un de ces plans est tel que sa connaissance n'entraîne pas nécessairement celle des autres. Nous appellerons un tel plan, plan singulier. L'examen des plans singuliers nous fera connaître des singularités de la surface S. Soient Ayo et A,; les points d’intersection de a avee les plans (Be) et (Cb); By et B13 ceux de b avec les plans (Ac) et (Ca); Cy1 et Cyo ceux de c avec les plans (Ab) et (Ba) les droites BinCuus Cod Au3B43 passent respectivement par A, B, C (*). Is Fig. 4. Examinons le plan singulier os = (SB;,4,C,), et soit A, son point d’intersection avec a; les plans correspondants B == (BCuA;), Y = (CA,B;;) se coupent suivant une droite g4 de S; passant par À,, car à est un plan arbitraire passant par B;,,C11. Semblablement les deux plans singuliers © =(SC9449) et oc = (SA,;B;5) font connaître deux autres droites g et g; de S:. (*) La notation que nous employons pour représenter ces points doit s'entendre de la façon suivante : la lettre et le premier indice ont la signi- fication ordinaire; ainsi dans le point A4 la partie A, signifie simplement que le point appartient à a, tandis que le second indice 2 indique que ce point se trouve sur unè droite passant par le second point B. Fa (11) Observons qu'au plan o = (SB44A49) correspondent les plans a —= (Ac), B= (Bc), y = (CA,B,) qui se coupent en un point Cr de c qui est un point double de S-; car il résulte une première fois du plan o = (SCC). De la même façon la considération des plans o = (SA,;C11) et s = (SB,;C49) fait connaitre deux autres points doubles By, À, de S; situés respectivement sur b et a. Soient x, y, z les sécantes communes, menées par S aux couples de droites b et c, cet a, a et b; Y, et Z, les points d'intersection de a avec y et z; Z, et X; ceux de b avec z et x; X, et Ÿ, ceux de c avec x et y. Fig. 2. Examinons le plan singulier & = (Sc). Le plan y correspon- dant est le plan fixe CY,X;, tandis que « et $ sont deux plans joignant les droites AX, et BY, à un point quelconque de c; lorsque ce point parcourt c, l'intersection des plans « et £ décrit l'hyperboloïde (c, AX;, BY,); le plan CY,X; le coupe suivant une courbe du second ordre appartenant à la surface (HS). Cette courbe se décompose en deux droites, dont l’une Y,X, appartient à (a, b, c) et dont l’autre appartient nécessairement à S7. Nous la représenterons par c;; il est visible qu’elle ne s'appuie sur aucune des droites de S; déjà trouvées. On en obtient deux de ses points de la manière suivante : soient C et (12) C'’ les points d'intersection de c avee les plans (AX,C) et (BCY,); les plans (BY,C’) et (AX;C/') coupent respectivement CX, et CY, aux deux points cherchés. Semblablement les deux plans singuliers o = (Sb) et a = (Sa) font connaitre deux autres droites & et a; de $;; elles sont respectivement situées dans les plans (BX,Z,) et AX,Y.. Considérons le plan singulier L = (AX,X,). Le plan o correspondant étant un plan quelconque passant par x, les plans 6 et y sont deux plans unissant les droites BX. et CX; à un point quelconque de a. Lorsque ce point parcourt a, la droite d'intersection des plans 6 et y décrit l’hyperboloïde (BX,, CX;, a), lequel est coupé par le plan x suivant une conique À, appartenant à S;. Z, passe nécessairement par X,;et X.. Il est facile de vérifier que Z, rencontre c; et par analogie b, ; en effet les plans homologues 2 =(AXX), BÆ=(BXY), > =(CXY,) se coupent en un point commun à 2, et €. Semblablement, les plans singuliers 6 = (BY,Y,) et 7 = (CZ,Z;) contiennent deux autres coniques X et 2; de S;; la première passe par Ÿ,, Ÿ, et rencontre c; et a4; la seconde passe par Z,, Z, et s'appuie sur a, et bo. Il est facile de vérifier que deux de ces coniques, par exemple Ÿ, et , ne se rencontrent pas. En effet, les points de ces coniques résultent respectivement de plans s passant par x et y. Si elles avaient un point commun, ce point ne pourrait provenir que du plan o = (Sc) qui passe à la fois par x et y. Or, à ce plan correspond, sur 24, le point d’intersection des plans homologues 4 = (AX.X;) ’ B = (BY,X.) , Y = (CX,Y,) et sur 2, le point d'’intersection des plans a =(AX,Y), B—(BYY), y —=(CX;Y.). (15) Ces points appartiennent à c;, mais ils sont distincts ; car il est visible que ces plans ne passent pas par un même point. Observons encore que l’on connait les sept points communs à S- et aux droites SA, SB, SC; ainsi ceux de SA sont le point A qui compte pour trois, les deux points communs à SA et à la conique À, et les deux points d'intersection de SA avec les droites de la surface c39, b43. Aucun de ces points ne coïncidant avecS, on voit, nous l’avons déjà signalé, que S>; ne passe pas par S. Prenons pour à le plan singulier « = (Ac). Le plan o correspondant est un plan quelconque passant par SB,, et rencontrant a et c en A, et C;. À ce plan «il correspond une infinité de couples de plans G, y. Lorsque 5 décrit le faisceau d’axe SB,4, la droite A,C, engendre une surface réglée du second ordre, à laquelle 6 est constamment tangent. On s'assure facilement que la droite d’intersection des plans homologues B et y engendre une surface réglée du troisième ordre. En effet, soient B’ et C’ leurs points d'intersection avec une droite quel- conque d; 1l suffit de remarquer que ces points décrivent deux ponctuelles superposées, liées par une correspondance (1, 2). Le plan « = (Ac) rencontre cette surface en une courbe du troi- sième ordre appartenant à (HS); elle se décompose en une droite, la seconde génératrice de (a, b, c) passant par B,, et une conique -X:; appartenant à Sz. X; rencontre b en Bj3, point qui correspond au plan c—=(SBB;;).%; étant située dans un plan passant par c rencontre cette droite en deux points, dont l’un est le point double Cyr. Ces deux points résultent des plans « = (SB,,C), « = (SB444 49). X- ne rencontre pas & mais s'appuie sur g4 au point qui correspond au plan o = (SB,,A) ; car on a vu précédemment que les plans Ê et y qui lui correspondent se coupent suivant g,; le plan « = (Ac) coupe cette droite en un point de X. eL; rencontre b; en effet, les plans homologues a« —= (AB,,X,) ou (Ac), B= (BZ,X.), y = (CB,,Z,) se coupent en un point commun à 3; et Vo. (14) \- rencontre Ÿ, en un point de la S; correspondant au plan 5 =(yBy1); c'est le second point d'intersection du plan (Ac) avec X», le premier de ces points étant Y,. Enfin, X; ne rencontre ni Y,, ni Ë;, ni les autres droites de la surface S-. Par analogie, on a comme courbes de la S; : Dans le plan (Ab) une conique X2 s'appuyant sur b, c, &s, gw 23 et passant par le point double B;;; Dans le plan (Ba) une conique Ÿ, s'appuyant sur a, €, cs, go, È, et passant par le point double A;; Dans le plan (Bc) une conique Y>: s'appuyant sur a, €, &, go, Ë, et passant par le point double Cr; Dans le plan (Ca) une conique ®,, S'appuyant sur a, b, bo, gs, X et passant par le point double A;; Dans le plan (C&) une conique ®, s'appuyant sur a, b, a, gs, Y, et passant par le point double By. On voit que les six coniques Xe, Y et D passent deux à deux par le point double portant le même indice. Deux quelconques d’entre elles affectées d'indices différents ne se coupent pas. Considérons d'abord deux coniques X; et Xo représentées par la même lettre. Leurs plans (Ac) et (Ab) se coupent suivant la droite B;,,C,,. X; rencontre d’abord cette droite en B,,, comme on l’a vu, et en un second point résultant du plan y = (CB,,C11), tandis que X la rencontre en C;, et en un point résultant du plan 8 = (BC;,B4:). Soient 5 = (BA,C:) l’homologue du premier de ces plans et y = (CA2B2) l'homo- logue du second. Ces deux plans rencontrent B,,C;,, en deux points différents, car, si l’on imagine que c tourne autour de C;,, le premier de ces plans tourne autour de BA, tandis que le second reste invariable. Considérons à présent deux coniques telles que X; et , représentées par des lettres différentes. On à vu que les points de X; résultent de plans c& passant par SB,,, tandis que ceux de ®, résultent de plans passant par SB,;; si X> et , ont un point commun, il doit correspondre au plan c =(SB;,4B4;) = (Sb); les deux points qu’on obtient de cette façon sont des points différents de bo, PR \ tee L'état rs … dé … Éd CD. sd à RS RS ST SR Ce de ne — té à SOU dé dé dé SE SSD (15) Nous pouvons à présent formuler la remarque suivante : Les neuf coniques £, X, Y, D constituent un groupe tel que chacune d’rlles s'appuie sur deux des autres et sur quatre des douze droites de la surface. Æ. Aux plans o d'un mème faisceau correspondent sur la surface S- les points d’une courbe gauche, C;, du quatrième ordre. En effet, soit d l’axe de ce faisceau. On s’assurera de l’ordre de la courbe correspondante en cherchant le nombre de ses points situés dans un plan x, passant par l’une des droites a, b, c, par exemple c. Nous faisons abstraction des deux plans tangents menés par d à l’hyperboloïde (a, b, c) qui donnent deux droites de cette surface. Fig. 3. Remarquons d’abord que le plan cs = (dC) donne un point situé sur c; c'est évidemment le seul point de la courbe situé sur c. (16 ) On obtiendra un point de la courbe dans le plan + lorsque les plans correspondants e = ABC VE BAR se couperont suivant une droite de 7. Or, lorsque co déerit le faisceau d, les droites B,C, et C,A, engendrent deux hyperbo- loïdes réglés (b, c, d), (c, a, d), tandis que les plans « et 6 roulent sur des cônes cireonserits à ces surfaces. Le plan x coupe ces cônes suivant deux coniques K, et Ka tangentes à c. Comme elles possèdent trois autres tangentes communes, les traces des plans « et Ê coincideront, au plus, trois fois. Si l’on remarque que la trace du plan B homologue du plan 4 = (Ac) n’est pas tangente à K, et que semblablement celle du plan « correspon- dant au plan Ê = (Ac) n'est pas tangente à K,, on peut affirmer que le nombre de ces coïncidences est trois. On trouve donc dans le plan x trois points de la courbe non situés sur c. Cette courbe C,; rencontre une fois chacune des droites a, b, c et chacune des neuf coniques X, Ÿ, ®, 2. Deux de ces courbes n'ont évidemment qu'un seul point commun. La démonstration précédente doit être légèrement modifiée lorsque l'axe d du faisceau rencontre l’une des droites à, b, c, cette dernière, par exemple, en un point C;. Ce point appartient d'abord à la courbe correspondante, car il résulte du plan c = (dC). Le plan singulier « = (Sc) donne naissance à un point de la courbe, situé dans +; c’est le point d’intersection de c; avec r. Pour obtenir les autres, on observe que les traces, sur +, des plans homologues & et B décrivent deux faisceaux projectifs de rayons ayant le point C, comme sommet commun; les deux rayons doubles de ces faisceaux permettent d’obtenir deux points de la courbe situés dans 7. Comme on le voit, la courbe est encore du quatrième ordre, mais elle se décompose en la droite c; et une cubique gauche. Examinons quelques positions particulières de l'axe du faisceau. Si l’on prend pour axe : La droite x : la courbe se décompose en la conique , et les droites bo, C> ; _ ES (17) La droite y : la courbe se décompose en la conique X, et les droites ay, C3; La droite SA : la courbe se décompose en les droites à, cv, bis et 94; La droite SB : la courbe se décompose en les droites b, co, Q9z El go; La droite SC : la courbe se décompose en les droites c, oz, bis et 95; Une droite s'appuyant sur AB : la courbe se décompose en la droite c4, et une cubique gauche; Une droite s'appuyant sur BC : la courbe se décompose en la droite &> et une cubique gauche; Une droite s'appuyant sur CA : la courbe se décompose en la droite b4; et une cubique gauche ; Une droite rencontrant B,4C,4 : la courbe se décompose en la droite g, et une cubique gauche; Une droite rencontrant A49C49 : la courbe se décompose en la droite 4 et une cubique gauche ; Une droite rencontrant A,:B,; : la courbe se décompose en la droite 9; et une cubique gauche ; La droite SC;, : la courbe se décompose en deux droites >, ga et la conique XX; La droite SB,, : la courbe se décompose en deux droites ba et 9, et la conique X; ; | La droite SA,, : la courbe se décompose en deux droites &, g> et la conique Y; ; La droite SC : la courbe se décompose en deux droites C3, ga et la conique Y,; La droite SA,; : la courbe se décompose en deux droites . &, g3 et la conique ®, ; La droite SB,; : la courbe se décompose en deux droites ba, 93 et la conique ®;; La sécante commune menée par S à AB et c : la courbe se décompose en deux droites c,;, c; et une conique (*); , (*) On détermine le plan de cette conique en observant que le lieu de la droite d’intersection des plans «& et $ se compose de deux plans : l’un est le plan ASB, l’autre est celui de la conique. 2 (18) La sécante commune menée par S à AB et b : la courbe se décompose en deux droites C2, et une conique; La sécante commune menée par S à AB et a : la courbe se décompose en deux droites Cy,, &, et une conique; | La sécante commune menée par S à BC et a : la courbe se décompose en deux droites &,3, 4, et une conique ; La sécante commune à AC et a : la courbe se décompose en deux droites b,;, 4, et une conique; | La sécante commune à AC et b : la courbe se décompose en deux droites b,; et à, et une conique; La sécante commune à AC et c : la courbe se décompose en deux droites by3, €; et une conique ; Une droite s'appuyant sur a : la courbe se décompose en la droite a, et une cubique gauche ; Une droite s'appuyant sur b : la courbe se décompose en la droite b, et une cubique gauche ; Une droite s'appuyant sur c : la courbe se décompose en la droite c; et une cubique gauche. Observons que par un point de S;, il passe une infinité de courbes C, et une cubique gauche de chaque espèce. En effet, le point considéré résulte généralement d'un plan unique 5; toute droite de ce plan, passant par S, donne naissance à une C, passant par le point considéré; toutefois les neuf droites joignant S aux neuf points d'intersection de s avec les droites a, b, c, BC, CA, AB, B,3C41 CioAyo> A13B13 donnent neuf cubiques gauches. Par deux points quelconques de S; il passe une seule courbe C;; par un point quelconque et l’un des trois points triples, À par exemple, il en passe trois; leurs axes générateurs sont les droites d'intersection du plan 6, homologue du point donné, avec les trois plans o,, o,, o; définis précédemment. Semblablement par l’un des points doubles et un point quel- conque de la surface, il passe deux de ces courbes. 5. Aux plans x d’un méme faisceau correspondent sur la sur- face S; les points d’une courbe gauche G3 du cinquième ordre. Soit g l'axe du faisceau. Nous montrerons que la courbe qui JL 2 notes à cb TE OR ARR (19) en résulte a cinq de ses points situés dans un plan quelconque x mené par c. Nous écartons les deux plans tangents, menés par 9, à l'hyperboloïde (a, b, c) qui donnent deux droites de cette surface. Observons d’abord que les deux plans tangents, menés par 9, à l’hyperboloïde (b, c, SC) donnent naissance à deux points de la courbe situés sur c. On obtiendra un point de x, non situé sur c, lorsque les traces sur x des plans homologues à et B coïncideront. Or « décrivant une feuillée, sa trace, sur x, décrit un faisceau de rayons ayant pour sommet le point P de percée de g avec x; la droite C;A, engendrant une surface réglée de la troisième classe, le plan 6 engendre un cône circonscrit à cette surface ; x coupe ce cône suivant une courbe de la troisième classe. Les traces des plans « et B auront donc trois coïncidences, à savoir les trois tangentes menées par P à cette courbe. On trouve done trois points dans x non situés sur c. Les droites b et c sont, on vient de le voir, des bisécantes de cette courbe G;; elle ne rencontre a qu'une seule fois en un point situé dans le plan ($Sg). Elle rencontre également une fois les droites gs, ba, C3; elle ne s'appuie ni sur les autres droites, ni sur les neuf coniques X, X, W, ®. L’axe g du faisceau est une quadrisécante de G; ; on sait, en effet, qu’une telle droite rencontre S;, indépendamment du point triple A, en quatre points qui appartiennent nécessairement à G;. On peut, du reste, démontrer la chose sans tenir compte de l’ordre de la surface S;. Un plan quelconque + du faisceau ren- contre G, en cinq points; l’un de ces points est celui qui résulte de ce plan; les autres sont évidemment sur g. On tire de cette remarque une conséquence curieuse : prenons comme axe g du faisceau une droite du plan «,. La courbe G, rencontre alors g en A; g ne rencontrant plus S; qu’en trois points différents de A, est tangente à la surface en ce point. D'où le théorème : Le lieu des droites tangentes à la surface au point triple A se compose des trois plans «,, «, «y ; les arêtes du trièdre formé par ces plans sont des tangentes inflexionnelles à la S; au point A. (20 ) Examinons quelques positions particulières de l'axe g du faisceau. Un faisceau de plans « dont l’axe rencontre b, donne la conique X, et une cubique gauche ; rencontre €, donne la conique X; et une cubique gauche ; rencontre x, donne la conique Ÿ, et une cubique gauche ; est la droite B,,C;,,, donne la droite g, et les deux coniques X, et À; est la droite AS, donne les droites a, c,,, b,; et la conique X,; rencontre BS, donne la droite c,, et une courbe gauche du quatrième ordre; rencontre CS, donne la droite b,; et une courbe gauche du quatrième ordre; est la droite AX,, donne les deux coniques X;, X, et la droite 6, ; est la droite AX,, donne la droite b, et les coniques X, X, ; est la droite AB, donne la droite c;, et une courbe plane du quatrième ordre située dans le plan (Bc) et ayant en B un point triple. En effet, si de la feuillée AB on détache le plan ASB qui donne naissance à la droite c,:, l’intersection des plans homologues x et B décrit le plan (Bc), tandis que celle des plans « et y engendre une surface réglée du quatrième ordre (on démontre facilement que cette surface a quatre de ses points sur une droite quelconque). Cette dernière est coupée par le plan (Bc) suivant la courbe du quatrième ordre dont il s'agit. De même, si l’axe du faisceau est la droite AC, la courbe se décompose en la droite b,; et une courbe plane du quatrième ordre située dans le plan (Cb) et ayant en C un point triple. Remarquons que nous connaissons la section complète de la surface S; par le plan (Bc); elle se compose de la droite c, de la conique Ÿ: et d'une autre courbe du quatrième ordre passant trois fois par B. La section de S; par le plan (Cb) se compose de la droite 6, de la conique ®, et d'une courbe du quatrième ordre passant trois fois par C. Semblablement : Aux plans £ ou y d'un mème faisceau correspondent sur la LACS er, 2 DA) 2 LL (21) S; les points d’une courbe gauche G; ou G;' du cinquième ordre. Le lieu des droites tangentes à la surface au point triple B ou C se compose des trois plans GB, B:, 8; , ou y3, y, 7: ; les arêtes du trièdre formé par ces plans sont des tangentes inflexionnelles à la S; au point triple B ou C. Les faisceaux particuliers donnent des décompositions ana- logues à celles des faisceaux de plans «. Par un point de la S;, il passe une infinité de courbes G,, G, #. Par deux points de la surface, il passe une seule courbe G;, une seule G; et une seule G;'. Par un point quelconque de la surface et l’un des points triples, il passe trois de chacune de ces courbes. Deux courbes, l’une C,, l’autre G,; ou G; ou G; se coupent en deux points. En effet, si d et g sont leurs axes générateurs respectifs, les deux plans tangents o qu'on peut mener par d à l’hyperboloïde (9, b, c) donnent deux points communs aux deux courbes. Deux courbes G; et G;, ou G; et G; , ou G; et G;,, se ren- contrent trois fois. Soient, en effet, 4 et g’ leurs axes générateurs respectifs. Il suffit de remarquer que lorsque « décrit la feuillée 9, le plan Ê correspondant engendre un cône de la troisième classe auquel on peut mener par g/ trois plans tangents qui donnent naissance à trois points communs aux deux courbes. Observons qu'on a pu, sans tenir compte de l’ordre de la sur- face S;, déterminer ses sections par les plans singuliers (Ab), (Ac), (Ba), (Bc), (Ca), (Cb), chacune d'elles se composant d’une droite, d’une conique, et d'une courbe du quatrième ordre. On peut également déterminer celles des plans (Ax), (By), (Cz). Considé- rons à cet effet une droite g passant par À et s'appuyant sur x. Si l’on prend cette droite comme axe d'un faisceau de plan v, il en résulte, sur la S;, une courbe gauche du cinquième ordre se décomposant en la conique Ÿ, et une cubique gauche dont 9 est une bissécante. Lorsque g décrit le plan (Ax), ses deux points d'intersection avec la cubique décrivent une courbe plane du cinquième ordre ayant en À un point triple; on sait, en effet, que si l’on prend comme axes de faisceaux de plans «, les trois (22) droites d'intersection du plan (Ax) avec les trois plans à, «, a on obtient trois eubiques passant par A. Le plan (Ax) coupe done la S, suivant une conique Ÿ, et une courbe du cinquième ordre passant trois fois par A. On obtient d'une façon analogue les sections de la S; par les plans (Aa), (Bb), (Cc). Considérons, à cet effet, une droite g du plan (Aa) passant par À. Si on la prend comme axe d’un fais- ceau de plans «, elle donne naissance à une courbe gauche du cinquième ordre de la surface et rencontrant g en quatre points, l’un d’eux étant le point commun à g et a. Ce dernier, lorsque g décrit le plan (Aa), décrit la droite a, tandis que les trois autres engendrent une courbe du sixième ordre ayant un point triple A. Le plan (Aa) coupe donc la S; suivant une droite a et une courbe du sixième ordre. | 6. Plus généralement : Aux plans © tangents à un cône C, de classe n et de sommetS, correspondent sur la surface S; les points d’une courbe gauche C,, d'ordre 4n. On détermine facilement l'ordre de la courbe correspondante en cherchant le nombre de ses points situés dans le plan (Ac). Nous les classons en trois groupes : 1° Ceux qui sont situés sur c et qui proviennent des x plans tangents « menés à C, par SC; 2° Ceux qui appartiennent à X;; ils répondent aux x plans tangents co menés à C, par SB,1; 3° Ceux qui n’appartiennent ni à c ni à X;; ils résultent de plans f passant par A; ils sont au nombre de 2n provenant des 2n plans tangents & communs à (a, AB, c) et C,. Cette courbe C,, rencontre n fois chacune des neuf coniques X, X, W, et cha- cune des droites a, b, c; elle ne s'appuie pas sur les autres droites. Deux courbes C,, se coupent en n? points répondant aux n°? plans tangents communs à leurs cônes générateurs. Si le cône C, est tangent à p des plans SAB, SBC, SCA, (25) SA4=B45, SBuCur SCiÂy2, (Sa), (Sb), (Sc), la courbe corres- pondante se compose de p des droites, Ci, @93, 033 5» Qi» 92) ai, bo, C3 et d’une courbe d'ordre C,,_, d'ordre 4n—p. On peut donc, à l’aide de ce procédé, obtenir sur la surface S7 des courbes de tous les ordres. Aux plans à tangents à un cone G, de classe n et de sommet A correspondent sur la surface les points d’une courbe G,, d'ordre 5n. On s'assure, comme nous venons de le faire, de l’ordre de la courbe correspondante, en déterminant le nombre de ses points situés dans le plan (Ac). Observons d'abord que les 2n plans tangents « communs à (SC, 6, c) et G, donnent 2x points de la courbe situés sur c. On en obtiendra un autre point, dans le plan (Ac), lorsque le plan B passera par A, car alors les plans homologues se coupe- ront suivant une droite du plan (Ac). Or lorsque Ê déerit le faisceau d'axe BA, la droite B,C, engendre une surface de la troisième classe. Cette dernière et le cône G, ont en commun 3n plans tangents « qui permettent de déterminer 3n points de la courbe situés dans le plan (Ac). La courbe G,,, on vient de le voir, rencontre c et par analo- gie b, 2n fois; elle s'appuie n fois sur chacune des droites 4, gs, c; et &, en des points résultant des x plans tangents « menés au cône G, respectivement par SA, B,,C,,, AX;, AX.. Elle ren- contre de même n fois chacune des coniques X,, X;, W,, D, en des points qui correspondent à des plans « passant par AY,, AZ;, AC, AB,;. Elle s'appuie 2n fois sur les coniques W, et D, ; il suffit de remarquer que les plans « donnant naissance aux points de ces coniques constituent deux cônes de la seconde classe. Enfin elle ne s'appuie ni sur les coniques X>;, Xo, 24, ni sur les droites ay, oz, Os, C19, 99 93: Deux courbes G;, se coupent en n? points qui résultent des n? plans tangents « communs à leurs cônes générateurs. Deux courbes, l'une C,,, l’autre G,,, ont 2n° points communs : il suffit de remarquer que lorsque © déerit C,, la droite B,C, engendre une surface réglée de classe 2n qui possède, en com- mun avec le cône G,, 2n? plans tangents. (2%) Semblablement, aux plans B, ou y, tangents à un cône G:, ou G!', d'ordre n et de sommet B, ou C, correspondent sur la surface S- les points d’une courbe gauche G;,, ou G;, d'ordre 5n. Deux courbes, l’une G,,, l'autre G;,, (ou G:, et G;,), (ou G, et G,;,) se rencontrent 5n? fois. En effet, lorsque « déerit le cône G,, la droite A,C, décrit une surface réglée de classe 3n; cette dernière et le cône G, possèdent en commun 5° plans tangents qui donnent naissance à 3n? points appartenant aux deux courbes Gins Gin Observons encore que, si l'on fait n = 1, c’est-à-dire qu'on remplace les cônes C,, G,, G,, G, par des faisceaux de plans, on retrouve les résultats obtenus précédemment. ‘7. Ce mode de génération de la surface va nous permettre d'obtenir pour des positions particulières des points À, B, C,S, et des droites a, b, c, des surfaces du sixième, du cinquième, du troisième ordre et le plan. 1° Prenons S dans le plan ABC et soient A,, B,, C, les points d'intersection de ce plan avec a, b, c. Au plan c« = (ABO) cor- respondent les plans ‘«={ABC)=0, B=(BCA)=0, (CAB) et l'on voit que ce plan oc fait entièrement partie de la surface. Celle-ci se décompose donc, dans le cas présent, en l’hyper- boloide (a, b, c), le plan ABC et une surface du sixième ordre; les points ABC, A;, Br, Gr, sont six points doubles de cette dernière. 2° Prenons pour S un point quelconque de la sécante com- mune B4,C,, menée par A aux droites b et c. A un plan quel- conque o du faisceau d’axes SA et coupant a en À,, corres- pondent les plans 6 = (BCuA;), y = (CAB) qui se coupent suivant une droite d de la surface, car « est un plan arbitraire passant par SA. Or, lorsque © décrit la feuil- lée SA, les plans 8 et y décrivent deux faisceaux de plans (5) projectifs: et: la droite d’interseetion d' des plans homologues engendre: l'hyperboloïde: (GB;,, BC,, a) qui fait partie de là surface. Celle-ci se décompose done en deux hyperboloïdes (a, b, c); (CBy, BG, a) et une surface du cinquième ordre admettant un point triple À et quatre points. doubles B, CU, Br, Cire 8° Prenons S sur la droite BC : le plan ABC fait. d'abord. partie de la surface. Considérons un plan c& passant par. SB:et rencontrant a, b, c en A,, B,, C, Les plans correspondants: AE (ABC), B —(BC,A) ——0is V— (CA,B,) —10 se coupent suivant une droite B,C, dela surface:s'appuyant sur: b, c, BC. Cette droite, lorsque c décrit la.feuillée SB, engendre l’hyperboloïde. réglé. (b, c,. BC). Actuellement. la. surface se décompose en les deux hyperboloïdes (a, b,,c), (b,.c;, BG), . le. plan ABC et. une, surface-du quatrième:ordre. possédant deux points doubles A et A. 4° Les droites a, b, c et les points S, A étant choisis arbitrai- rement, prenons: B et C sur:les: sécantes communes Aj,C,, et Auy3Bys. menées. par: S aux: couples :de droites a; c'et a, b. Nous détachons : de la surface, indépendamment: de l’hyperboloïde (a, b, c), les deux:surfaces.du second ordre (AB, BA, c) et (AC, CA, b) qui résultent respectivement des deux faisceaux d'axes SC et SB. Le lieu se décompose donc en trois hyperboloïdes et une surface du troisième ordre ayant deux points doubles B et C. La droite BC ayant en commun, avec elle, quatre points, en fait entièrement partie. On peut d’ailleurs s'assurer que les points de BC correspondent aux plans & passant par le point d’inter- section des droites a et RC. 5° Prenons les trois droites a, b, c dans les faces respectives BSC, CSA, ASB du trièdre SABC. Soient A, A,; les points d'intersection de a avec SB, SC; B,;, B,, ceux de b avec SC, SA ; Cu, Cya ceux de c avec SA, SB; À’, B’, C’ ceux de a, b, c avec les côtés du triangle ABC. | (% ) On observera que les trois faisceaux de plans d’axes SA, SB, SC donnent naissance aux trois surfaces de second ordre (BCu, CBu, a), (CA%, AC, 0), (AB, BA, c). Le lieu se compose donc de quatre hyperboloïdes et d’un plan; comme les points A, B, C n'appartiennent qu’à deux de ces hyperboloïdes, on peut conclure que ce plan est celui des trois points À, B, C. Observons encore qu'aux plans & passant respectivement par A’, B’, C’ corrrespondent respectivement les points de BC, CA, AB. Un plan quelconque o = (SA,B,C;) donne donc naissance à un point S, situé dans le plan ABC. Si l’on remarque que A, B, C sont les points de percée des arêtes du trièdre SABC avec les faces du trièdre SA,B,C, et que semblablement A;, B;, C, sont les points de percée des arêtes du trièdre SA,B,C, avec les faces du trièdre SABC, on pourra énoncer le théorème suivant de géométrie élémentaire : Si deux trièdres sont tels que les arêtes de l’un rencontrent les faces de l’autre en trois points dont le plan passe par son sommet, inversement, les arêtes du second rencontrent les faces du premier en trois points dont le plan passe.par son sommet (*). (*) Voir Mathesis, 1906, p. 73. : : SRE EEE SEE > ÉLÉMENTS 1 DANALYTIQUE SPHÉRIQUE PAR A #4 G. CESÂARO MEMBRE DE L’ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. ren 1 DANTE % CE : | Oo cp" Die" LE ÉLÉMENTS D'ANALYTIQUE SPHÉRIQUE Nous exposons dans cette note la formule qui donne, en un point d’une courbe sphérique, l'angle que la tangente sphérique (arc de grand cercle qui la touche en ce point) fait avec le méridien passant par le même point. On peut, à l’aide de cette formule, traiter sur la sphère toutes les questions que l'on traite en analytique plane : normale à une courbe, rayon du cercle osculateur, développée, etc. Nous nous bornerons à donner la démonstration de la formule fondamentale et quelques appiica- tions. THÉORÈME. « L’angle « que la tangente sphérique en un point (x, y) de » la courbe y = f(x), y étant la latitude, x la longitude, fait » avec le méridien qui passe en ce point, est donné par COS y y ig ax — , F » y! étant la valeur de f’(x) au point considéré. » (4) En effet : l'équation d'un grand cercle quelconque est tg y — tg ? sin(x — à), (1) a et ® étant deux paramètres qui déterminent sa position sur la sphère; pour avoir l'équation du grand cerele passant (fig. 1) par P Fig 43 le point A(x, y) et un point voisin B(x + Ax, y + Ay) de la courbe sphérique ABC, il faudrait joindre à l'équation précédente tg (y + Ay) = tg y? sin (x + Az — a) (2) et de ces deux équations tirer + et a en fonction des coordonnées x, y du point A. Pour obtenir l'équation du grand cercle tangent en À à la courbe sphérique, il faut voir ce que devient le grand cercle passant par A et B lorsque ce second point s'approche du premier et vient coïncider avec lui; pour cela, après avoir rem- placé dans l’ensemble (1) (2) la seconde équation par celle que (5) l’on obtient en les retranchant membre à membre, divisé les deux membres de l'équation obtenue par Ax et passé à la limite, il vient LA er no tg ? cos (x — a) (*); (5) l’ensemble (1) (3) donnera l'a et le © du grand cercle tangent en À à la courbe C en fonction des coordonnées de A. En élimi- nant ©, il vient Sin y COS y. t&(æ—a)— ; / Or, le triangle ASD donne tg (x — a) = tg a sin y; d’où ne y. * * x Équation du grand cercle tangent au point (x, y). — Si X, Y sont les coordonnées courantes, l'équation est ty Y = 1g y sin (X — a), (4) dans laquelle il faut remplacer © et a par les valeurs tirées de l’ensemble (1) (3). On arrive à effectuer rapidement l'élimination en écrivant (4) sous la forme & Y —=tgpsin(X — x +x— a) — 1g ÿ sin (X — x) cos (x — à) + tg y cos (X — x) sin (x — a); on obtient ! Mi J sin (X — x) + tg y cos (X — x). oS° y (*) On voit que (3) peut être obtenue en dérivant (4) dans laquelle on suppose y et & constantes. (6) Normale sphérique et sous-normale. — La sous-normale se calcule dans le triangle ADS (fig. 2) : tg n — Cot a sin y = y’ tg y. (5) L'équation de la normale peut être obtenue en éliminant © entre les relations tg Y — tgosin(n + x —X), tg y —=tgosinn; il vient tg Ÿ : ——— — cos (x — X) + sin (x — X) cot », 8y puis 1 te Y= tg y cos (X —x) — — sin (X — x). ‘1 * *x * Rayon du cercle osculateur. — En menant les normales sphé- riques au point fixe A (fig. 3) et au point voisin B, lorsque ce 3) dernier marche vers le premier, le point €, intersection des deux normales, tend vers une position limite qui est le centre du cercle osculateur. Fig. 3. L'équation de la normale en A étant 1: tg Y — tg y cos D EX) (6) pour avoir les coordonnées du centre du cercle osculateur, il faudrait écrire l'équation analogue au point x + Ax, y + Ay, résoudre l’ensemble des deux équations par rapport à X et Y, puis voir ce que deviennent ces coordonnées pour ÀÂx = 0 ; mais on voit facilement, en raisonnant comme dans l'établissement de la formule fondamentale, que cela revient à résoudre l’en- semble de l’équation (6) et de celle que l’on obtient en la déri- (8) vaut, X et Y étant supposées constantes; cette dernière équa- tion est y! y? + cos’ y tu (5 > Xp 7 PS SE ) cosy y”sin y + y” cos y (7) L'équation (7) donnant X, on déduira Y de (6); puis le rayon du cercle osculateur sera donné par cos p = sin y sin Ÿ + cos y cos Y cos (x — X). (8) Mais, pour la facilité du caleul il convient d'éliminer d’abord Y entre (6) et (8), puis de remplacer dans l’équation obtenue tg (x — X) par la valeur (7). Voici la suite des calculs : nous faisons, pour abréger, x — X — o. L'équation (6) étant mise sous la forme to Y COS w 1 = (8 Y + — 180, y on aura successivement : te Y G COS p — COS Ÿ COS w (sin y + COS y) COS « 1 SIN y cos y y’ I V3 up o+(ey +150) y ? puis cos yV/ y"? + cos? y Sp = —— ————— ————— ; sin y COS y + y’ Cot w et enfin 51 (y + cos’ yŸ (9) lo pes ile vis RU GARE dote Een Pr y!" cos y + 2y'* sin y + sin y cos y * * x Ellipse sphérique; son équation; propriété de la normale. — Nous appelons ellipse sphérique « le lieu des points de la (9) » sphère tels que la somme de leurs distances sphériques à deux » points fixes F, F’ de cette surface (fig. 4) est une quantité » constante 2a ». Prenons pour équateur le grand cercle FF’ et pour origine le Fig. 4. point O, milieu de FF’. L'équation polaire s'obtient immédiate- ment en opérant comme il suit : de cos d = COS Tr COS € + sin 7 Sin C COS ©, COS d” == COS r COS € — Sin Tr SIN C COS @, on tire, par addition et soustraction, d + d —d 2 2 MNT SALE 7 kon | — = sin sin € COS w; — COS FT COS C (10) (10) en éliminant HET entre ces deux équations, on obtient l’équa- tion polaire : cos? r cos? c sin? r sin? € COS? « - + ur cos? a sin* a En désignant par b le demi petit axe de la courbe, donné par cos a — Cos b cos c, l'équation polaire peut s’écrire À ,- sina— sin" b Mer Eu SIN? COS? @ e ——— — sin" r sin b. sin? a Si l'on prend d'abord comme coordonnées la latitude y et la perpendiculaire z menée de M sur le méridien principal, on a sin y = Sin r Sin w, Sin z = Sin r COS © sin° r = sin° y + sin” Z, et l'équation de la courbe devient Pour avoir l’équation en fonction de la latitude et de la longi- tude, il suffit de remplacer dans la dernière équation z en fonc- tion de x et y : sin Zz — COS y Sin x; on obtient gb, —— tg y LS VRE V/sin? a — sin? x. (11) sin «a Valeurs de à et d' en fonction de x. — Des équations (10) on déduit 2 — 0 tg ig a = igcigr eos «, ou tg c tg ( — a) = —tgx, ig a (11) ou enfin tg © d = 4 + arc ig | — tg x tg a tg c = u — arctg|—tgx|- ga Sous-normale. — On tire de l'équation (11) 4 sin @& sin b cos b sin x cos x y = — (sin? a — sin° b sin? x) V/sin? a — sin°x la valeur absolue de la sous-normale est done donnée par sin” b sin x cos x tyun—y'tgy— (12) sin? a — sin’ b sin? x Taéorème. La normale menée en un point de lellipse sphérique bissèque l’angle que forment les rayons vecteurs issus de ce point. Pour démontrer la propriété, nous ferons voir que la bissec- trice et la normale rencontrent FF’ au même point : soient d’abord s et s’ les segments déterminés sur FF’ par la bissectrice de l'angle FMF’ : on a | sin $ sin à Æ ——— ) sin $’ sin d’ mis AT EX 2 - ge tga ? d'où He ca = ER 2 tg° a D'autre côté, si MI est la normale et /, l les segments qu'elle détermine sur FF’, on a l=c+a—n, l=c—x+n, l — | (gx —tgn 2 A +tgrtgn (12) ou, d'après (12) lU—1 cos b— co a té c te = 19 Ce © — — 2 sin? «a te? a 5 gx. CG. Q. FD: = RE Propriété de la tangente à la transformée d’une courbe sphe- rique dans la carte de Mercator. — On sait que dans la carte de Mercator les axes étant deux droites rectangulaires représentant l’équateur (x) et le méridien principal (y), un point de la sphère qui a pour longitude x et pour latitude À est représenté par un point ayant pour coordonnées À dx rx et . À cos À 0 L'équation de la courbe sphérique étant à f(x), celle de la transformée Mercator sera Le 77 = f re Le 0 Si l’on désigne par : l'angle que la tangente, en un point de la transformée, fait avec la direction des ordonnées, on a, d'après l’équation ci-dessus, mais l'angle « que fait sur la sphère la tangente sphérique au point correspondant avec le méridien est aussi donné par cos À ve ig a — (*) L’équation de la transformée est donc 4 + sin À 1 cos À (45) Donc : la tangente en un point de la transformée Mereator fait avec la direction de l’ordonnée le même angle que sur la sphère la tangente sphérique au point correspondant de la courbe considérée fait avec le méridien. * * * Seconde démonstration de la formule On suppose tracé l'arc de grand cercle AB (fig. 5) et l'on désigne par à, l’angle variable qui deviendra à lorsque B attein- dra A. Fig. 5. Entre les quatre éléments PB, PA, Ax et 4, se passe la rela- tion ty (y + Ay) cos y — sin y cos Ax + sin Ax cot «, qui se transforme successivement en ? A 0t ty (y + Ay) — tg y + 28 ysin° = sin de ds co S y Ax . Ay LAC ras REA NPRE Pr EM et sin Axz Ax Ay , le second À + 2? * membre devient ! sh ! tandis que le premier membre s'annule. Si l’on reprend le calcul de p, dans le cas où le rayon de la sphère est R, l'équation (6) devenant Y ) LORS De: QUE RULES Barrie pen mn Fini nr on obtient pour l’équation dérivée y 12 os HP R © ) cos À y" sin & + Ry” cos équation qui diffère de (7) non seulement par le remplacement w#X . . = des arcs tels que x par “=, mais aussi par le fait que y/! est (19) remplacée par Ry!'; la troisième équation devant servir à l'éli- mination de X et Ÿ devenant ici y Lu x = X 7 LOTTE LIRE + COS — COS — COS R R R R R R 2 on voit que, pour avoir l'expression de p pour une courbe tracée sur une sphère de rayon R, il suffit d'effectuer dans la formule (9) les changements écrits ci-dessus en italique. On obtient NI ot ” . À FO (y + COS R a y | Ry’’ cos R + 2y"* sin R + sin : cos? a En écrivant cette relation sous la forme tg : (y + COS* s tg . Ry’’ sin e + 2y* sin : ge + sin° _ cos " en y faisant R = , et en observant que pour cette valeur de R 07 R sin Re on obtient la formule habituelle 3 CRT y" * *X _*%X Observation sur l'homogénéité des formules contenant des dérivées. — Lorsqu'on cherche à vérifier si une formule est homogène, il faut tenir compte du degré des différentes dérivées qu’elle renferme. Dans la ligne y = f(x), dans laquelle x et y ( 20 ) expriment des longueurs, y/ est le rapport entre deux longueurs, c'est-à-dire un nombre, donc une quantité de degré 0. Au con- traire, dans la ligne y! = f'(x), les abscisses représentent des longueurs tandis que les ordonnées expriment des nombres; de sorte que y/' est le rapport d'un nombre à une longueur, c'est-à-dire une quantité du degré — 1. On verrait de même que y//’ est du degré — 2, et qu'en général la dérivée n°"° est une quantité du degré — (n — 1). Ainsi, dans la relation 5 : (A + YiP y" qui donne le rayon de courbure d'une courbe plane, le numéra- teur étant du degré 0 et le dénominateur du degré — 1, le quotient sera du degré 1; ce qui doit être. De même, dans la formule sphérique analogue 2 ei É ps Yon Ry” cos À + 2y"° sin 1 + sin Z cos’ 2. R R R R Ki ot la présence de R comme multiplicateur de y/' rend le dénomi- nateur homogène en rendant Ry/' du degré 0; le second membre est donc le quotient de deux nombres, c'est-à-dire du degré 0; ce qui doit être. SUR UNE POUDRE BRUNE À ASPECT GRAS A ODEUR DE PÉTROLE PROVENANT DU CHARBONNAGE DE LA HAYE ÉTUDE OPTIQUE DE QUELQUES PHOLÉRITES BELGES PAR Arthur ABRAHAM RÉPÉTITEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. TL A SUR UNE POUDRE BRUNE A ASPECT GRAS A ODEUR DE PÉTROLE PROVENANT DU CHARBONNAGE DE LA HAYE ÉTUDE OPTIQUE DE QUELQUES PHOLÉRITES BELGES ——#04——— À la séance de la Société géologique de Belgique du 15 novem- bre 1903, M. le Prof" Lohest communiquait une note sur la présence d’un hydrocarbure dans le terrain houiller belge. Ii s'agissait d’une poudre brune à aspect gras, renfermée dans une géode de sidérose magnésifère provenant du charbonnage de La Haye. M. le Prof Cesàro a trouvé que cette substance était consti- tuée de lamelles de pholérite bien développées, englobées dans une matière organique brune à odeur de pétrole. Le présent travail a eu pour but de déterminer la proportion de matière organique contenue dans la pholérite noire; par la (#4) même occasion, nous indiquons les observations microscopiques faites sur quelques pholérites belges. Détermination de la proportion de matière organique. Une partie de la matière organique étant volatile sous l’action de la chaleur, pour pouvoir en faire le dosage par perte de poids, il fallait d’abord s'assurer si l'eau de la pholérite ne se dégage pas en même temps que ces matières organiques volatiles. A cet effet, 15148 de pholérite blanche ordinaire, préalable- ment desséchée sur l'acide sulfurique concentré, ont été soumis dans une étuve à une température augmentant progressivement pour atteindre un maximum de 280°. A cette température, il n’y a aucune perte de poids. En continuant à chauffer au rouge naissant, on constate une perte de poids de 0#1439, ce qui cor- respond à 12.55 °/. Portée au rouge vif, le poids reste constant. La pholérite contient donc 12.55 ©], d’eau qui se dégage à une tempéralure supérieure à 280° (*). En opérant de la même façon avec la pholérite imprégnée de matière organique, on constate qu'en chauffant jusqu'à 90° il n'y a aucune perte de poids. Mais, à partir de cette température, il distille un liquide visqueux qui, clair au début de la distillation, se fonce en couleur au fur et à mesure que la température aug- mente. À 280°, toute distillation est terminée et 15197 de matière expérimentée accusent une perte de poids de 01057, ce qui correspond à 8.45 °/, de matière organique volatile. En continuant à chauffer au rouge naissant jusqu'à poids constant, le résidu organique brûle pour laisser un résidu blanc de pholérite. À ce moment il y a une perte de poids totale de 083396, c'est-à-dire 25.98 °/, représentant la totalité d’eau et de matières organiques. (*) Dana indique, pour des pholérites belges, de 15.35 à 14 49 / d’eau. "TT (5) La composition de la poudre brune du charbonnage de La Haye est donc la suivante : Matières organiques volatiles. . . . . . 8.15 Matières organiques fixes : : . . . . . . 5.28 RER. 4 2 … à - . 00.07 100.00 * SE Examen au microscope de différentes pholérites belges. On peut les grouper en deux classes : a) Celles qui paraissent franchement mais faiblement biré- fringentes ; b) Celles qui paraissent presque isotropes. 1. Pholérite noire du charbonnage de La Haye. —- Petites lamelles hexagonales, parallèles à un clivage, dont les angles ont exactement 120°. Elles sont allongées suivant la direction de deux côtés parallèles. Les dimensions des plus grandes sont de 1 centième de millimètre en largeur pour environ 2 cen- tièmes en longueur. | Ici nous rencontrons les deux types signalés plus haut : des lamelles faiblement mais nettement biréfringentes à côté d’autres presque isotropes. a) Lamelles faiblement mais nettement biréfringentes. — Pré- sentent une teinte de polarisation très basse, à peine du gris clair de 1° ordre. Pour cette raison, la mesure des angles d'extinction ne peut se faire qu'approximativement. Pour la même raison la détermination du signe de ces lames ne peut se faire au moyen du mica quart d'onde, mais on y parvient au moyen d'une lame de gypse teinte sensible. On détermine en même temps les directions d'extinction. La lame de gypse étant introduite dans le microscope avec les axes de son ellipse à 45° des sections des nicols, on fait tourner la platine jusqu'à ce que la lamelle de pholérite donne le rouge à son maximum d'inten- (6) sité. À ce moment on sait que les axes de son ellipse de section sont à 45° des sections principales des nicols, et l'on constate que dans cette position l'allongement de la lamelle est à 38° ou 59° (fig. 1) du fil du réticule parallèle à la section principale de l’analyseur. On en déduit que le grand axe de l'ellipse de section fait 6° à 7° avec la normale à l'allongement (fig. 1). La biréfringence de ces lamelles ne peut être évaluée qu’approximativement, parce que l'épaisseur, étant très faible, est très difficile à apprécier exactement. Après un très grand nombre de mesures sur différentes lamelles donnant sensible- ment le même retard, j'ai trouvé une épaisseur moyenne de { centième de millimètre, et pour la biréfringence, 6 approxima- tivement. b) Lamelles presque isotropes. — Elles présentent entre nicols croisés en lumière parallèle une teinte sombre uniforme. En lumière convergente, elles ne donnent aucune figure d'interfé- rence. Elles paraissent donc isotropes. Mais si l'on introduit dans le microscope, comme en a), la lame de gypse teinte sensible et si l’on fait tourner la platine, on voit les lamelles cristallines prendre des teintes tantôt rou- geâtres, tantôt indigo, suivant la position qu'elles occupent. Il en résulte que ces lamelles sont très faiblement biréfringentes. CT à Comme par addition elles font monter la teinte du gypse presque au bleu, et que par soustraction elles la font descendre à peu près au rouge, on en conclut que leur retard est de 3 à 4. L'emploi de la lame teinte sensible a permis de trouver que ces lamelles ont exactement la même orientation optique que celles décrites en a). | Remarquons ici que la biréfringence 6 que nous avons trouvée est celle des lames hexagonales de clivage, Pour observer des lamelles vues sur leur tranche, j'ai dissé- miné dans du baume de Canada semi-liquide, entre porte-objet et couvre-objet, des lamelles de pholérite qui se sont montrées dans diverses positions. On choisit celles qui représentent une section transversale au clivage : elles sont rectangulaires et pré- sentent les traces du clivage parallèlement à l'allongement. Leur teinte de polarisation est plus haute que celle des lamelles hexagonales. Elles atteignent le gris clair de 1° ordre et s'éteignent exactement suivant l’allongement. Le mica quart d'onde, par soustraction, les éteint complètement; par addition, il les fait monter au jaune. Ici done son emploi est possible et permet la détermination du signe de la lame. Le grand axe de l’ellipse de section est dirigé suivant l’allongement et, par consé- quent, suivant les traces du clivage. Le retard est donc de 14. La biréfringence de ces lamelles transversales ne s'estimera qu'approximativement, car l'épaisseur est aussi difficile à appré- cier. Cette épaisseur varie entre 1 et 1 ‘/, cent. de millimètre. Si nous prenons la plus faible épaisseur, nous obtenons, pour la plus grande valeur de la biréfringence, 14. 2. Pholérite de Fooz. — Est semblable à la précédente à tous les points de vue : forme, dimensions, biréfringence et orienta- tion optique. 3. Pholérite de Rieux du Cœur, à Quaregnon. — Est identique aux précédentes. 4. Pholérite du Grand-Hornu. — Constitue une couche très compacte d'environ un centimètre d'épaisseur, comprise entre GE» deux couches de houille. Elle se présente en lamelles hexago- nales dont la forme et l'orientation optique sont les mêmes que dans les pholérites précédentes. Les dimensions sont réduites approximativement de moitié et la biréfringence est moins forte que celle décrite en a. 5. Pholérite de Marcinelle. — Est identique à celle du Grand-Hornu. 6. Pholérite de la houillère Henri-Guillaume, à Seraing. — Se présente en belles grandes lamelles de même forme et de même orientation optique que les précédentes. Les lamelles sont au moins doubles de celles du charbonnage de La Haye et sont presque isotropes. La biréfringence des sections transver- sales est sensiblement moindre que celle de toutes les précé- dentes. 7. Pholérite de la houillère du Perron, à Ougrée. — Identique à la précédente. 8. Pholérite du Casino du Beau-Mur, à Liège. — Avec des dimensions un peu moindres, elle se présente comme les deux précédentes. 9. Pholérite de la houillère Bois l'Evèque, à Liège. — Avec des dimensions sensiblement les mêmes que celles du 1°, les lamelles sont presque isotropes. Les sections transversales sont très peu biréfringentes. 10, Pholérite de la houillère Saint-Gilles, a Liège. — Se pré- sente en trés petits cristaux assez mal définis, détachés d'une couche compacte. Quelques rares lamelles hexagonales se mon- trent avec une apparence plus isotrope encore que toutes les précédentes. “ SYSTÈME CRISTALLIN, — Rien ne s'oppose à ce que l’on range ces différentes pholérites belges dans le système clinorhombique en s'appuyant sur les considérations suivantes : a) Les lamelles hexagonales de clivage prennent la notation g! et sont limitées périphériquement par les faces h!, p, a!. (9) b) Certaines de ces lamelles présentent, à droite et à gauche de leur direction d’allongement, une face modifiant l’arête d’in- tersection des faces h! et g!. A cette face modifiante, nous pou- vons donner la notation m (fig. 2). c) Les sections g! s'éteignent obliquement à leur direction d’allongement : le grand axe de l'ellipse de section faisant 6° à 7° avec une normale à hf. d) Les faces de la zone M1 p af s’éteignent suivant les traces du clivage 9, dont la direction est positive, e) De ce que, dans la section g!, le grand axe de l'ellipse fait 6° à 7° avec la normale à h! et que les sections transversales ont leur direction d'extinction positive dirigée suivant la trace du clivage, on peut conclure que le plan des axes optiques est per- pendiculaire à g! et fait 6° à 7° avec une normale à Al, et que la bissectrice négative est normale au clivage. Mars 1908. La SU 4 Li x 1 sh el nant ot Sa LLLLS Vol n d Ve É Le Lee Er Fi LA PHOLÉRITE PAR G. CESARO MEMBRE DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE PROFESSEUR A L’UNIVERSITÉ DE LIÉGE L 4 at ce | $ SHMLAAR Ma MIAPON HIMARANE AE 10 TARN + | LS MU, ARENA I /A Meet É ; | 4 . ! LI l # « me “. , A : y AL = LA PHOLÉRITE A l’occasion de la note de M. Abraham sur les pholérites belges, je crois utile de comparer entre elles les propriétés attribuées par les différents auteurs à cette espèce minérale, * *X *X MM. Michel Lévy et Lacroix (*) rapportent dubitativement la pholérite au système anorthique. La direction d'extinction posi- tive de la base (hexagone de clivage) fait un angle de 12° avec la normale à deux côtés opposés. La bissectrice négative est voisine de la normale à la base ; l'angle axial est assez grand. La biré- fringence B serait analogue à celle des mieas, c’est-à-dire d'environ 42. En supposant V compris entre 50° et 45°, la biréfringence X d’une face normale à la bissectrice, donnée par X = B sin° V, serait comprise entre : et +, c'est-à-dire entre 10 et 20; la biré- fringence de la base serait peu différente des nombres ci-dessus et il suffirait que les lamelles aient une épaisseur d'environ 1/, centième de millimètre pour présenter le retard 6 observé par M. Abraham. (*) Les minéraux des roches, p. 253. Dana prend, avec M. Miers (*), l'hexagone de clivage comme base d'un prisme elinorhombique; la normale à cette base fait environ 7° avec la verticale. La bisseetrice obtuse n, est dirigée (fig. 1) suivant l'axe binaire et la bissectrice aiguë n, fait Fig. 1. environ 20° avec la normale à la base (**). L’angle axial est d'environ 90°. Il suit de ce qui précède que les lamelles de clivage S'éteindront suivant la normale à deux côtés opposés de l'hexagone. La biréfringence de la base sera donnée par X, — Bsin°9, — B(1 — cos? V cos? 20); et, pour V = 45, X, — 0,5585.B. (*) Descriptive Mineralogy. Sixth edition, p. 685. — M. Miers a eu à sa disposition des cristaux très nets, qui lui ont permis de déterminer les dimensions du prisme primitif. (**) Dana n'indique pas le sens dans lequel cet angle doit être compté. (9) Si donc on admettait, comme pour les micas, B — 49, il vien- drait X, —= 25,5 . et il faudrait des lamelles épaisses de 1/, de centième de milli- mètre pour obtenir le retard 6. Les biréfringences des faces verticales sont respectivement B Ar B eos V — > X,, — B sin 6 sin 0 — 0,7751.B ou 0,8505.B, suivant que la bissectrice s'incline vers le spectateur ou vers l'arrière ; de toute manière on voit que dans les pholérites de M. Miers on rencontrera dans la zone verticale des faces moins biréfringentes que la base, d'autres plus biréfringentes que la base : les premières, qui sont les faces g!, auront une biréfrin- gence qui sera d'environ les neuf dixièmes de celle de la base ; les secondes, qui sont les faces m, seront environ une fois et demie plus biréfringentes que la base. Dans les pholérites belges, M. Abraham n’a trouvé, dans la zone verticale, que des faces beaucoup plus biréfringentes que ia base. Angle d'extinction des faces de la zone verticale. — Si à est l’angle qu’une face verticale A fait avec hf, l’angle d'extinction x, compté à partir de la verticale, sera donné par formule dans laquelle A est l'angle que font entre eux les grands cercles qui joignent le pôle de la face considérée aux pôles des axes optiques. Comme 2V = 90°, on a cos À — cot 8 cot 8, COS © COS 4 = ———— ) sin 0 |/» (6) 1 COS 6 — —— (sin & + COS « Sin w), V2 COS & = — (sin x —— COS x SIN w). V2 L'angle w est de 27° dans le cas où la bissectrice est inclinée vers le spectateur et de 13° lorsqu'elle est inclinée en arrière (*). En donnant à « différentes valeurs, on obtient les angles d'extinc- tion demandés : x a Éaee Vbei 0° 0° 0° 30° 755 5019 60° 19°7/ 905 90° 27° 13° Il s'ensuit que les faces m des pholérites étudiées par M. Miers s'éteindront à 7°35/ ou à 3°42/ de la verticale suivant le sens d’inclinaison de la bissectrice, tandis que les faces 91 s’étein- dront, dans les cas analogues, à 27° ou à 15°. Dans aucun cas l'angle d’extinction sera nul, la face hf n'existant pas dans les cristaux. Dans les pholérites belges, d'après M. Abraham, l'angle d’extinction serait nul dans toutes les faces de la zone verticule ; mais on peut observer que, dans les conditions où il a opéré, un angle de 5°42/ peut passer inaperçu. LA ü *X Pholérites belges. — D'après ce qui vient d’être dit, M. Abra- ham a été amené à considérer l’axe de la zone verticale comme un L? et à dire que les lamelles de pholérite étudiées sont (*) Dans ce cas, 1l suffit de laisser la figure telle qu’elle est, en plaçant le pôle p en arrière. 18 |} clinorhombiques, mais ont pour plan de symétrie le elivage, qui est la base de la pholérite de M. Miers. La figure 2 montre l'orientation adoptée : on a pris pour h! la Fig. 2. face dont la normale fait 7° avec la bissectrice positive n,,, celle-ci rencontrant la face 100 vers le haut ; les autres faces de l’ancienne zone verticale sont notées p — 001 et a! — 101. Nous venons de dire que la rectitude des extinetions des faces normales au clivage n’est pas tout à fait probante ; d’autres obser- vations plus nombreuses et plus précises nous semblent néces- saires; mais ce qui éloigne les pholérites belges de celles décrites par M. Miers est l'obliquité d'extinction du clivage, obliquité qui parait nettement établie dans les premières. Biréfringence. — En ce qui concerne la biréfringence, qui dans les pholérites belges parait inférieure à celle des micas, les lamelles sont trop minces et les mesures trop peu précises, pour qu'on puisse déduire de celles-ci une valeur, même approxi- mative, de la biréfringence. Cependant, on peut, de la position des axes d’élasticité donnée par M. Abraham, déduire quelques (8) relations qui doivent exister entre les biréfringences des diffé- rentes faces de son eristal de pholérite, relations qu'il serait nécessaire de vérifier expérimentalement : On a X, = B sin° V, Xu = B(1 — sin V cos y), X, = B}1 — sin? V cos*(60° — >), Xu = B}1— sin? V cos (60 + y})f, formules dans lesquelles + — 7°. On en déduit : 1° Rien que par le fait que la bissectrice normale au clivage est la bissectrice aiguë, la biréfringence de la face h sera plus srande que celle du clivage g!. En effet, on a Xy 7 g1{ — cot? V + sin?y; or, si V < 45°, le second membre (*) est plus grand que l'unité. Cette propriété est d'accord avec les observations de M. Abra- ham, mais il est probable que le rapport obtenu pour les deux biréfringences est trop grand, car =. exigerait V — 30°18/, ce qui ne parait pas d'accord avec l'apparence optique du clivage en lumière convergente. 2 Dans ia zone normale au clivage, il doit exister des faces à biréfringences nettement différentes. En effet, on a : X, — Xu = X,, sin 60° sin 46° — 0,62297.X,,, nn = X» == X, sin 60° sin 7 = 0,85248.X,;; on en déduit que Km € Xp € Ka. Si, pour fixer les idées, on admet le nombre X,, = 6 obtenu par M. Abraham, les biréfringences de p et de «1 dépasseront celle de ht respectivement de 3,7 et de 5. our (*) Ceci aura lieu même pour 2V obtus, tant que tg V < V — 45013, les deux biréfringences deviennent égales. of cos 70 ? P (9) Ce fait doit être observable, d'autant plus que l'épaisseur qui donne ici le retard est la largeur de l'hexagone de clivage, largeur qui est certainement de beaucoup supérieure à l'épais- seur de la lamelle. * X * Conczusion. — Les pholérites étudiées par M. Miers diffèrent nettement des autres par la rectitude des extinctions du clivage. Quant aux pholérites de Reusch (*) et celles étudiées par M. Abraham, elles pourraient bien ne représenter qu'un même type, avec de légères divergences, caractérisé par l'obliquité des exunctions du clivage. Il est vrai que Reusch dit que les sections transversales s'éteignent à 20° de la trace du elivage, mais il est probable qu'il s’agit là d'autres sections non normales au clivage; car si la bissectrice est voisine de la normale au clivage, les faces latérales de la lamelle doivent s'éteindre à peu près suivant la trace du clivage, comme dans les pholérites belges. Il paraîtrait donc qu'il existe deux minéraux assez différents comme propriétés physiques et que l’on réunit sous le nom de pholérite : a) Pholérite de M. Miers. — Clinorhombique avec clivage basique peu incliné sur le plan horizontal; bissectrice aiguë négative inclinée à 20° sur la normale au clivage, bissectrice obtusc dirigée suivant l'axe binaire. La direction d’extinction positive du clivage est donc normale à deux côtés opposés de son -Contour hexagonal. Les faces latérales du prisme s’éteignent à 8° et 27° de la verticale, ou à 4° et 13°; b) Pholérite commune. — Caractérisée par l’obliquité d'extinc- tion du clivage, la direction positive faisant 7° à 12° avec la normale à deux côtés opposés du contour. Bissectrice négative normale, ou à peu près normale, au clivage. Faces latérales s éteignant exactement ou approximativement suivant la trace du clivage. (*) MICHEL LEVY et LACROIX, loc. cit. eu Oo au NT Lt ui ALTO QU Azul Qu ue " : Cat 6 111 44 Al à at ni IL ts fl au Al DA ATTL | " SN au otarte , Fr du A s, à # FA TUE) ou {l ITA EUR Le no tt Pr W'ALKR 2 alta LUE ARE # ns re TR MUC TQTTEUR dr | AN iii 12 LUE si w Nr +. nt .* LE } . Ne r Pire | 0 C0 CYIORATE. (1 rit np vie La il li lit fils si fi Us . # F i NON Hô : TITLE: de 59 0 NN 1. . | 4 . DA Ô ' ACTE x + : ' irl il P 4 HE int 11 de [a { | 5 , 4 V'R n ! e | v L à 3 FT J È | PA f (OT: au RP 0e k t ul 4 { LT PE dl NA" hi lt ; à "Te E Lt : : N CHI LEUR 07 ne: AT al sAIDINIA L ME 444 Et CM AE Le: EN ; ne NOTE SUR LES HXPOCYCLOIDES TRICUSPIDALES INSCRITES A UN TRIANGLE FIXE NOTE SUR LES HYPOCYCLOIDES TRICUSPIDALES INSCRITES À UN TRIANGIE FIXE 1. Soient A,, B,, Get A;, B;, C:; les points de rencontre de deux droites quelconques avec les côtés d’un triangle fixe ABC. Si l’on suppose la droite A,B,C, fixe, on peut considérer les segments A,A:, B,B;, CC, comme constituant un système de coordonnées tangentielles de la droite A/B'C;. Nous choisirons comme directions positives de ces segments les directions BC, CA, AB et nous représenterons ces coordonnées par o, fi, y. Entre les coordonnées 4, $, d'une droite il doit exister une certaine relation. Soit lx + my + nz —0o l'équation en coor- données barycentriques de la droite A,B,C, , on aura A,C n — = —— —) BA, m d'où an am A,C ES T9 B 1 —= ; —n m—n et par suite a: an + a(m—n) ,. am +a(m—n). AC—=—————, BA, ————— Mm—n Mm— n eo = Æ — AC an + afm—n) | BA; am + a(m—n) (#9 En exprimant que le produit des trois rapports analogues à AC : BA; est égal à — 1, on obtient la relation cherchée : L(m — n) . (n—1(—m)" @) Easy — be Cette relation est de la forme 1 — Ya : £Az; elle permet done de transformer aisément une équation non homogène en x, 5, yen une équation homogène, mais le degré de cette dernière équation différera en général de celui de l'équation primitive. Si ux + vy + wz — 0 est l'équation en coordonnées bary- centriques de la droite A;B;C;, la relation (1) pourra s'écrire : w_an+ a(m—n) G) v am + a(m—n) d'où MU — NV nu — li lo — mu orne) Den) 7 mur) (4) (5) Ces relations permettent de trouver l'équation d’une courbe en coordonnées tangentielles barycentriques quand on en con- nait l'équation en coordonnées c, É, y. 2. En général, une droite A;B;C, est déterminée quand on connaît des quantités 4, 4, y, proportionnelles à ses coordon- nées «, B, 7. En effet, en remplaçant dans la relation (2) «, 6, y par ka, kB,, ky, on obtient, après suppression de la solution évidente k — 0 : l(m—n) k = Ze ——— à, : Zab,y1. (n—l)(l — m) : Pi Il existe un cas d’indétermination, c’est celui où l'on a simul- tanément Zab,y; — 0, l(m—n) as PRET PT A = 0. Ces équations déterminent deux systèmes de valeurs de 41, By; 71. On trouve en désignant par k un facteur de propor- tionnalité ka kb ke a == ? B 7 Y — , m—n n — | l— m et ka kb kc |, NENSE Rs Es me, l(m—n) F m(n — l) fl n(l — m) En remplaçant dans la relation (3) «, 6, y par les valeurs du premier système, on obtient ZT ms Se ms =— . (6) La droite A; B; C; a done pour équation (+ kx + (m + k)y + (n + kiz—0, ou x + my + nz + k(x + y + 2) = 0. Lorsque k varie, la droite A;B;C; reste parallèle à A,B,C;; il est évident a priori que dans ce cas les coordonnées 4, b, y restent proportionnelles à des quantités constantes. Si l’on opère de même pour le second système de valeurs, on trouve pour l'équation de la droite A;B;C; Sarre es 1 = mn + Æ Lorsque k varie, la droite A'B;C; enveloppe une conique; cette conique est une parabole inserite au triangle ABC et tan- gente à la droite A,B,C,, car si l’on donne à 4 les valeurs 0, —mn, æ , cette droite coïncide avec A,B,C,, BC et la droite de l'infini. Il est encore facile de vérifier que dans ce cas , 6, y varient proportionnellement à des quantités constantes, car si F (*) désigne le foyer de la parabole, les triangles FA,A;, FB,B;, FC,C, c sont semblables et par suite 4, 5, 7 sont proportionnels à FA,, FB,, FC. 3. Une X (**) est complètement déterminée par quatre tan- gentes. Proposons-nous de trouver l'équation en coordonnées 2, B, y de l'hypocycloïde X, déterminée par les quatre tangentes AB, BC, CA, A,B,C,. On peut toujours déterminer sur la cir- conférence ABC un point M tel que les droites MA,, MB,, MC, fassent un mème angle avec les côtés BC, CA, AB du triangle. Si 8 désigne cet angle, la droite A,B,C, est appelée la pédale (*) Ce point n’est pas indiqué sur la figure. — La propriété résulte aussi de ce qu’une tangente mobile marque sur les autres tangentes des ponc- tuelles semblables. (**) Le symbole X représente une hypocycloïde à trois rebroussements. (7) d'angle 8 du point M par rapport au triangle ABC; de même une autre droite A;B;C, sera la pédale d'angle 8 d'un certain point M’ de la circonférence ABC. On sait que si M’ décrit la circonférence ABC, 8’ restant constant, la droite A’B;C; enve- loppe une % inscrite au triangle ABC. Cette 9 coïncidera avec 904 si la droite A;B;C; coïncide avec A,B,C, lorsque M’ vient en M, c'est-à-dire si 0— 0’. Or, dans ce cas, les projetantes M'A;, M'B;, MC, sont parallèles à MA,, MB,, MC, et les segments À,A;, B,B;, CC, c'est-à-dire les coordonnées a, f, y de la droite A;B;C;, sont proportionnels aux distances du point M aux droites M'A,, M'B;, M'C;; les coordonnées , B, y peuvent donc être considérées comme les coordonnées normales du point M par rapport au triangle formé par ces trois droites ; or, ce triangle se réduit à un point et ses angles sont égaux à ceux de ABC; en exprimant que sa surface est nulle, on obtient la relation aa + bB + cy = 0, (5) qui constitue l'équation de 96, en coordonnées «, 6, y. Les for- mules (4) donnent pour l'équation de cette courbe en coordon- nées tangentielles barycentriques a* (mw — nv) — (m—n)(v — w) ni 4. Soient P,P,P, et P,P;P; (*) les triangles formés par les perpendiculaires menées à BC, CA, AB respectivement par les points À,, B;, C, et A1, B;, CG; ces triangles sont semblables au triangle ABC, et par conséquent les demi-sommes de leurs côtés homologues sont proportionnelles à a, b, c; donc les sur- faces des trapèzes P,P,P:P;,, P,P, PP", P,P,P;P’, dont les hau- teurs sont «, B, y, ne diffèrent que par un même facteur des quantités a, bf, cy. L'équation (5) exprime donc que la somme (*) Ces triangles ne sont pas indiqués dans la figure. (8) de ces trapèzes est nulle, c'est-à-dire que les triangles P,P,P, et P'P;,P; sont égaux; par conséquent : Si les perpendiculaires menées aux côtés d’un triangle aux points où ils sont rencontrés par une droite variable forment un triangle de surface constante, cette droite enveloppe une I (*). 5. Désignons par A,, B,, C; et A, B;, C; les angles que forment les droites A,B,C, et A;B:C,; avec les droites BC, CA, AB, et par x, y, z les coordonnées normales du point d'intersection m des droites A,B;C;, A:B;C;. Les triangles mA,A;, mB.B;, mCC,; donnent x sin m y sin m z sin m Y=— . . ? sin À, .sin A” sin B, . sin B;° sin C,.sin C, et, par conséquent, l’équation (5) peut s’écrire ax ZE —— — 0, sin À, . sin À; (6) Les quantités sin A,, sin B,, sin C, sont les coordonnées nor- males du point à l'infini sur la droite A,B,C,; de même, cos A,, cos B,, cos C, seraient les coordonnées du point à l'infini dans une direction perpendiculaire à A,B,C,. On a done les relations Za sin A, — 0, Ya sin A; — 0, . Ya cos A, —0, Êa cos A; = 0. () 6. Si les droites A,B,C,, A;BiC; se déplacent parallèlement à elles-mêmes de façon à rester tangentes à une même 9% variable, inscrite au triangle ABC, la relation (6) sera l'équation en coor- données normales du lieu de leur point d’intersection "=; ce lieu est done une droite 0. 1l est aisé de construire cette droite; en effet, sa transversale réciproque a pour équation Zax sin À, sin A; — 0 (*) Ce théorème a déjà été signalé par M. Neuberg : Mathesis, 1886, p. 116. (9) et les relations (7) montrent que cette équation est vérifiée quand on y remplace x, y, z respectivement par 1 1 1 sin À, "sin B, "sin C, ou par 1 1 1 sin À; "sin B, "sin C; | c’est-à-dire par les coordonnées normales des points N et N' de la circonférence ABC qui sont les inverses triangulaires des points à l'infini dans les directions A,B,C, et A;B;C;. Ainsi : Si à chacune des X inscriles à un triangle fixe on mène deux tangentes de directions constantes, le lieu de leur point d’inter- section est la transversale réciproque de la droite qui joint les points inverses triangulaires des points à l’infini sur ces langentes. Si l’on prolonge la projetante MA, jusqu'à son second point de rencontre M, avec le cercle ABC, la droite AM, est parallèle à la pédale A,B,C, du point M. Cette remarque, qui n’est pas nouvelle, nous sera utile dans la suite; elle permet de simplifier la eonstruction des points N et N’ : en effet, les droites AM, et AN étant isogonales par rapport à l'angle A, la droite M,N est parallèle à BC. ‘7. Lorsque les droites A,B,C, et A;B;C,; sont rectangulaires, les points N et N’ sont diamétralement opposés sur le cercle ABC et la droite d est la transversale réciproque du diamètre NN’ du cercle ABC. Si l’on fait varier les directions rectangulaires ABC, A:B;CG, l'enveloppe de d sera la transformée par trans- versales réciproques du centre O du cercle ABC, e’est-à-dire la conique € inscrite au triangle ABC et ayant pour foyers le point O et l’orthocentre de ABC. Mais le point d’intersection m de deux tangentes rectangulaires A,B,C, et A,B:C; à une 96 appar- tient au cercle tritangent à cette hypocycloïde; si l’on considère deux des % inscrites au triangle ABC, par un des points d’inter- section de leurs cercles tritangents passent deux couples de tan- (10) gentes rectangulaires et, par suite, deux des droites d ; si les 96 coïncident, il en sera de même des cereles tritangents et des deux droites d; par conséquent, l'enveloppe des cercles tritan- gents est la conique £, enveloppe des droites d, Done : L’enveloppe du cercle tritangent à une X variable inscrite à un triangle fixe est la conique inscrite à ce triangle et qui a pour foyers son orthocentre et le centre de son cercle circonserit. Le lieu du sommet d'un angle constant circonserit à un % est une hypotrochoïde %. Par un raisonnement analogue au précé- dent, on démontrerait que l'enveloppe des courbes y correspon- dant aux diverses 2 inscrites au triangle ABC est la transformée par transversales réciproques d'un cercle concentrique au cercle ABC. 8. Si l'on suppose que la droite A;{B;C, se rapproche indéfini- ment de A,B,C, en restant tangente à l’hypocycloïde déterminée par les quatre tangentes AB, BC, CA, A,B;,C,, le point d’intersec- tion # de ces deux droites aura pour limite le point de contact T de ABC avec cette hypocycloïde. Lorsque la droite A,B,C, se déplace parallèlement à elle-même, le lieu de T est la limite de la droite d, c’est-à-dire la droite A représentée par l'équation > RE (8) Dans ce cas, les points N et N' coïneident et A est la transver- sale réciproque de la tangente en N au cercle ABC. Donc : Le lieu du point de contact d’une tangente A,B;C, de direction fixe menée à une 96 variable inscrite à un triangle fixe ABC est une droite À, transversale réciproque de la tangente au cercle ABC au point N inverse triangulaire du point a l'infini sur A,B,Ci. 9. Lorsque la direction de la tangente A,B;C, varie, la droite A enveloppe une courbe 4 du 5° ordre et de la 4° classe, trans- (CH formée par transversales réciproques du cerele ABC. Cette courbe présente un point double isolé et admet pour tangentes d'in- flexion les côtés du triangle ABC. En dérivant l'équation (8) par rapport à AÀ,, on obtient s Las cos À, ds: (9) sin” À, Les relations (7) montrent que les coordonnées sin5 A,, sinÿB,, sin5C, vérifient les équations (8) et (9); ces coordonnées sont donc celles du point de contact de À avec k; on obtiendra donc l'équation de k en remplaçant dans la première des relations (7) sin À,, sin B,, sin C, par Var, Vy, Vz. Cette équation est done Sax = 0. (10) 10. La courbe k étant de la 4° classe, par tout point P du plan passent quatre droites À, et comme à une droite A corres- pond une seule direction de la tangente A,B,C,, par P passent quatre % inscrites au triangle ABC. Lorsque P se trouve sur k, deux des droites À et, par suite, deux des % coïncident; done la courbe fait partie de l'enveloppe des % inscrites au triangle ABC. Mais l'enveloppe complète de ces 96 se compose de l’enve- loppe proprement dite, constituée par les côtés du triangle ABC, de la droite de l'infini et du lieu des points de rebroussement ; ce dernier lieu est donc la courbe 4. Ainsi : Le lieu des points de rebroussement d’une X variable inscrite à un triangle fixe est la transformée par transversales reci- proques du cercle circonscril à ce triangle. 11. Proposons-nous de trouver l'enveloppe des tangentes de rebroussement des 96 inserites au triangle ABC. Soit ux + vy + wz = 0 l'équation en coordonnées normales d'une de ces tangentes. Si A,, B;, CG, désignent les angles qu’elle forme avec (12) les côtés du triangle, les coordonnées de son point de rencontre avec la droite de l'infini sont sin À,, sin B,, sin C, et celles du point de rebroussement correspondant sont sin5 A,, sinÿB,, sin$C, ; de plus, les angles A,, B,, C, vérifient les relations (7). On a donc les relations Zu sin A, —0, Zu sin A, =0, Za sin A, — 0. En éliminant A,, B,, C, entre les relations, on obtient l’équa- tion de l'enveloppe cherchée en coordonnées normales tangen- tielles Zu(cv — bwÿ = 0. Cette équation représente une courbe de la 4° classe, triple- ment tangente à la droite de l'infini, tangente aux côtés et aux bissectrices du triangle ABC. 12. Le théorème énoncé au $ 8 permet de déterminer les points de contact de quatre tangentes AB, BC, CA, A,B,C, avec l'hypocycloïde qu'elles terminent; en effet, pour trouver le point de contact de la tangente A,B,C,, il suffira de construire le point N, inverse triangulaire du point à l'infini sur cette tan- gente par rapport au triangle ABC formé par les trois autres ; la transversale réciproque A de la tangente en N au cercle ABC coupera A,B,C; au point de contact cherché. La construction de la droite À peut être simplifiée; menons par A la parallèle AM, à AB1C, et soient $, et M, les points de rencontre de cette droite avec BC et avec le cercle ABC; proposons-nous de déter- miner le point de contact T, de AM, avec l'hypocycloïde déter- minée par les quatre tangentes AB, BC, CA, AM, : ce point sera situé sur À et les coordonnées normales absolues x/, y/, z! véri- fient donc l'équation (8); on a done la relation a y “4 Q——— + — + c——0 sin” À, sin” B, sin* C, ? (15) ou, en remarquant que les quantités 1 1 1 L = À sin À, sin B, sin C, sont proportionnelles aux coordonnées normales absolues x/, y!!, z!! du point N : x'x'' NT Zlalt LP LR æ — 0. sin À, sin B, sin C, a Mais la droite M,T, fait avec les côtés BC, CA, AB des angles égaux à À,, B;, C1; les rapports x’ Ê y’ z! sin À, 7 sin B, "sin €, sont donc respectivement égaux à T,S,, T,A, T,A; la relation précédente devient donc ax”. TS, + (by + cz’) T,A — 0, ou ax". AS, = — (ax + by" + cz’) T,A — — 2ABC. TA, AS, 2ABC ABC UTIXS. PAU er UT CM, SM. donc T'AS M:: On déduit de là que si par les sommets d’un triangle ABC on mêne à une droite fixe A,B,C, des parallèles rencontrant les côtés en S,, Sp, S et le cercle ABC en M,, M, M, et que sur chacune de ces parallèles on porte des segments AT,, BT,, CT. équipollents aux segments M,S,, M,S,, MeS,, les extrémités T,T,T, de ces segments sont sur une méme droite À. La droite À est la transversale réciproque d’une tangente au cercle ABC et toute parallèle d à A,B,C, est rencontrée par À en son point de rencontre avec l'hypocycloide déterminée par les tangentes AB, BC, CA, d. (14) 13. La construction que nous venons d’indiquer présente une certaine analogie avec celle qui a été donnée par M. Colli- gnon pour déterminer le point de contact d’une droite de Simson avec son enveloppe (*); à un certain point de vue, elle paraît plus pratique que celle de M. Collignon, car elle n’exige pas la connaissance du point dont la tangente A,B,C, est la pédale. Nous allons en déduire la construction de M. Collignon en l'éten- dant aux pédales obliques. Supposons que A,B,C, soit la pédale d'angle à du point M; on a vu ($S 6) que les points M, AÀ,, M, sont en ligne droite. Conservons les notations employées précédemment et menons par le point de contact T de A,B,C, avec l'hypocycloïde la nor- male d’angle « à cette courbe; soient Q, le point où cette nor- male rencontre la projetante MA, et K le point de rencontre de À avec BC; la droite À étant la transversale réciproque de la tangente en N au cercle ABC, et M,N étant parallèle à BC, la droite KM, touche le cerele ABC en M,. Les angles A,TQ, et S,A,M, sont tous deux égaux à « et les angles S,M, A, et TA,Q, sont égaux; les triangles TQ,A, et A,S,M, sont donc semblables; il en est de même des triangles KTA,, KT,S,; on a done les proportions A0, MS IAT:! A, ASF MA ui ST NS d'où AiQ, KA, MS, ST, M, A, KS, (11) Mais les triangles KA,\, et KS,M, donnent KA, sin KM,A, MS, sin K MA sinK KS, sin KMS, d'où KA, é M,S, sin KM,A, sinMAM, M,M MK, KS, sinKM,S, sin AMM, AM, (*) Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1905, vol.-XXIII, pp. 6 et 9. (15) L'égalité (11) devient donc Or ST, = AM,,; done A,Q, = M,M, et par conséquent : Si sur les projetantes d’angle à d’un point M du cercle ABC on porte des segments MQ,, MO, MO. équipollents aux segments M,A,, M,B,, M.C; déterminés sur ces projetantes par le cercle ABC et les côtés correspondants du triangle ABC, les extrémites Q, , Q,, Q. de ces segments appartiennent à la normale d'angle x de lhypocycloïde enveloppe de la pédale A,B,C, au point où elle est touchée par celte pédale. ; 14. Les 9% inscrites au triangle ABC coupent sous le même angle chacune des droites À tangentes à la courbe 4. Il est inté- ressant de déterminer quelles sont, parmi les droites À, celles qui sont coupées sous un angle donné # par les 9 inscrites au triangle ABC. Supposons donc que la pédale A,B,C; fasse l'angle © avec la droite A; menons par N la parallèle NN, à A,B,C, et soit N, le point de rencontre de cette droite avec BC. Les triangles KS;M, et AM,N sont semblables, et par conséquent AM, MN - —_—_——— 0° KS, S,M, Or AM, —=S,T, et MN =S,N,, donc + A A 3% SN, RS: ‘oi, Les triangles S,KT, et S,M,N, sont done semblables et, par conséquent, l'angle S,N,M, est égal à S,T,K, c'est-à-dire à ©. Soit R le second point de rencontre de M,N, avec le cercle ‘ABC; la droite N,N étant parallèle à AM, est ia pédale d'angle du point R ( 6), elle est done tangente à l'hypocycloïde 96;, enveloppe des pédales d'angle + du triangle ABC. D'autre part, (16) lorsque N décrit le cerele ABC, les points N et M, ont sur ce cercle des vitesses égales et de sens contraires et la vitesse de rotation de NN, autour de N est égale à celle de AM, autour de À ; elle est donc égale et de sens contraire à la moitié de la vitesse de N sur le cercle ABC; on déduit de là que NN, est aussi tan- gente à une seconde hypocycloïde X, tritangente au cercle ABC. Il existe donc trois directions des pédales A,B,C, qui font l'angle © avec les droites À correspondantes : ce sont les direc- tions des trois tangentes communes aux hypocycloïdes 96, et ,6. Donc La trajectoire d’angle © d’une % variable inscrite à un triangle fixe se compose de trois droites. En d'autres termes : Si une % est inscrile à un triangle fixe, chacune de ses déve- loppoides est inscrite à un triangle fixe. 15. Le cas où œ — 90° mérite une attention spéciale. Dans ce cas, %, est l’enveloppe des droites de Simson du triangle ABC. Si l'on place le point N en A, B, C, la droite NN, devient successivement la parallèle menée par chaque sommet au côté opposé. Ces trois droites forment un triangle A’B/C’ cireonserit à %%, et comme le cercle ABC est à la fois le cercle d'Euler de ce triangle et le cercle tritangent à 90,, le triangle A’B/C' est un triangle principal de %,, c'est-à-dire que X, est l'enveloppe des droites de Simson de A'B'C’. Il résulte de là que les courbes 96 et 96 sont homothétiques par rapport au centre d’homothétie des triangles ABC et A’B'C, c'est-à-dire par rapport au centre de gravité G& du triangle ABC; par suite leurs tangentes com- munes passent par G. Les trois positions cherchées pour NN, sont done les trois tangentes menées par G à %,; la droite A correspondant à l’une de ces trois positions est normale à %, et est par conséquent tangente à la développée 9%, de X,. Or %, et %, sont homothétiques par rapport au centre w du cercle d’Euler du triangle ABC, et les tangentes menées de G à 90 ont ED pour homologues les tangentes menées à 96, par l’orthocentre H de ABC. Les trois positions cherchées pour À sont donc les tangentes à 9, perpendiculaires aux tangentes menées par H à cette courbe; elles forment done un triangle principal de X; ayant H pour orthocentre. Le centre du cercle d’Euler de ce triangle est w; son centre de gravité est donc aussi le même que celui de ABC. Donc : Si une % variable est inscrite à un triangle fixe ABC, sa déve- loppée est inscrite à un autre triangle fixe afy ayant même ortho- centre et même centre de gravité que le triangle ABC. 16. Réciproquement, si une 96 variable coupe orthogonale- ment les trois côtés d’un triangle fixe afy, elle est inscrite à un autre triangle fixe ABC ayant même orthocentre et même centre de gravité que afy. En effet, le triangle ABC peut ètre tracé quand on connait le triangle «57 défini au paragraphe précédent. Il suffit de con- struire l’hypocycloïde 96, homothétique de l’enveloppe 9; des droites de Simson de 4fy par rapport au centre du cerele d’Euler de ce triangle, le rapport d'homothétie étant — 1 : 3; les tangentes menées à 9, perpendiculairement aux tangentes menées par l’orthocentre de «fy sont les côtés de ABC. 17. L'hypocycloïde qui a pour points de rebroussement les sommets d’une quelconque des 9 inscrites au triangle ABC a cette courbe pour développée ; elle coupe donc orthogonalement les côtés de ABC et, par suite, elle est inscrite à un autre triangle +/6/y. Le lieu de ses points de rebroussement et, par suite, le lieu des sommets d’une % inserite au triangle ABC est done ($ 10) une courbe du 3° ordre et de la 4° classe transformée par transversales réciproques par rapport au triangle «6/7; du cercle «/B'y'. (A) | 1 AL 1 or «dy ‘4 Li SHIR TN TARA au ol 4 on All LA 11 «ag dote it CLR NS CONTE L \ pq qu Aotin QUIL au ut 4 LIL » equal n De rh EN 11 faune : Le ile } (LIL: LUE Ma rt LUCE | | LE EU IH ALU WE ALL | per ondl PEL? W “ant À n,. D! et ju FN chui AE a ti :2 rx ht AVE TN Eh | PASS LU WE RDA NE 14 ATiT s Ant 1 \ AL \k 41 AU j ke N FR | v d “ * a > “ai & dr x PE Cd ES . SNNOL MFUN AT 00 if sv me: ; ne, | fuit. M At t Las \ht AU s'il AU noi n. LE ce Li CHOE À - | D HE LTUTTC AT à \à à UEL ME 1 AAA Ti QUE N a\qEs | ù AA. Que pis ar A 1e | til ? PAST ea +$ DUT (vtr HOTTE » LA sig “as Li: . i | ji j Û < & - 4 TORTtt | NUL (f 101 su fi Me: Lt: RE ( | S 4 l gi Htid (u 1 “bte |, 110 mr La : Ê LE" TT al TUE Eh Ce ONS 8 fe 204 qi 1ië Al EN 2 (l Fe 12 POLE sit L : Shurqu al AUHEMY Ÿ l i à LL on 20) UM à jh : a cl . ] IE 11 #4 Ch À | 1 44 ut NNENIITE: "sd ‘tx + EU | | PO LE HET DAAILEL LOL | 1e (HI 9! Mo LA + 1" \HIU LS nr QE QUI 12 SUR LA TRANSFORMATION D'INTÉGRALES À CIRCUIT FERME EN INTÉGRALES A CIRCUIT OUVERT J. BEAUPAIN \GENIEUR EN CHEF AU CORPS DES MINE SUR LA TRANSFORMATION D'INTÉGRALES A CIRCUIT FERME EN INTÉGRALES A CIRCUIT OUVERT 1. Les intégrales à circuit fermé se présentent dans une foule de recherches. Une intégrale qui a servi à définir une fonction peut perdre toute signification pour certaines valeurs de ses paramètres. Pour conserver à la définition la généralité qu’elle doit comporter, on a recours à la notion d'intégrales à circuit fermé. Nous en trouvons plusieurs exemples dans la théorie des fonctions eulériennes, et Hankel (*), le premier, exprima l’in- verse de la fonction eulérienne de seconde espèce par une inté- grale qui subsiste pour toutes les valeurs de l'argument. De nombreuses applications d’intégrales à circuit fermé se présen- tent encore dans la recherche des solutions des équations diffé- rentielles par des intégrales définies, et la célèbre série de Gauss en fournit des exemples classiques. Le plus souvent, il y aura utilité à remplacer ces intégrales à circuit fermé par des inté- grales à circuit ouvert, et cette transformation est toujours pos- sible sous certaines conditions qu'il est aisé de détermincr dans chaque cas particulier. Dans cette note, nous ne considérons que (*) HANKEL, Die Euler’schen Integrale bei unbeschränkter Variabilität des Arguments. (SCHLÔMILCH’S ZEITSCHRIFT FÜR MATH. UND Puys., 9. Jahrgang, 1864.) (FRA le cas le plus simple, celui d'une fonelion présentant une seule discontinuité sur le chemin d'intégration. Considérons l'intégrale 2(q) f g(u)(u — q)T'du, P que nous désignerons par I. pu) est ue fonction régulière dans le domaine du point q, et le point p n'est pas un point singulier de cette fonction. Le chemin d'intégration se compose de la ligne PNM et d’un lacet entourant le point g. Nous supposons encore que ce lacet ne contient aucune singularité de la fonction e(u). De plus, la ligne PNM peut être quelconque à condition cependant que, dans ses déformations successives, elle ne passe par aucun point sin- gulier de o(u). L'intégrale aura une signification unique, quand nous aurons fixé la valeur de o(u) au point initial, ainsi que celle du fac- teur (u — q). Par définition, (u — ) els —1)log(u—9) Si nous désignons par p, la distance des points P et q et par 8, l'argument que la droite Pq fait avec la partie positive de l'axe des abscisses, nous prendrons, pour le logarithme de u — q, au point P, la détermination principale, c'est-à-dire que nous pose- rons log(p — q) = 108 0 + 9. Quand le point w chemine sur la ligne PNM, en partant du point P, on a, en tout point de la courbe PNM, log(u — q) = log p + 18, p désignant la distance du point décrivant au point q et 0 étant l'angle que cette droite fait avec la partie positive de l’axe des abscisses. Ceci posé, l'intégrale I se décompose en trois autres : n (9) P = f + [ + [ ’ ? ñ n désignant l’affixe du point M. (9) Après un circuit de la variable sur le lacet (q), le facteur (u — q)7" est égal à (u Rs qg)—° [log (9) +270, et l’on a 1 (4) I — (1 — Fay 4 + [ o(u)(u — p} ‘du. P o(u) étant régulière, par hypothèse, dans le domaine du point q, TE + 2 | Len ÿ# um 2 3) + PT gp à le TE . 4 Par suite, æ H=æ _ g\#+3 [— (1 — ei) ne glu)(u — qY-tdu — k) #(q) (4— 9) | = 1:=0 p 24 + [ex Si À est un nombre entier tel que l’on ait R(i+o—1)<0, R(A+ 0) > 0, R(z) désignant la partie réelle de l’affixe z, nous pourrons dis- tinguer dans cette somme deux parties, l’une, p=À1 ( — q)+5 Ÿ 94) (q) # B=0 Fe a. qui augmente indéfiniment, quand le rayon du lacet décroit au delà de toute limite, et l’autre, => — g}#+5 Ÿ (u)( NÉ q) 259 at | pd b + qui tend vers zéro avec ce rayon. En conséquence, si nous négligeons les termes infiniment petits, | A =) LE PE L— (4 — 67°) | 4 o(u)(u— q)—'du — Ÿ 24) (q) | à a=0 2 2) (6) Mais PAC eo q)°+#—1du — CE à tre: € Hal | + 0 p Finalement, on a, en passant à la limite, P 7 b=)1 Lee (1) sf [su — > ET) (u — q)—'du H=0 22 * () | té g(u) (u — q} du = (1 — 67") P : p=)1 2 D +5 + (1 LE di: e?7i5) #1(q) (p y) | A=0 L + 6 Cette expression se simplifie, si le point P s'éloigne indéfini- ment de l’origine; alors (9) 7 g(u) (u — q}—'du = (1 — 7 is) (2) STE RU 1 [xt — > QT.) (u — q) "du. 1:=0 œ 2. Deux applications de cette formule en montreront l'utilité. Considérons l'intégrale cu) 1 f e“(— u)'du. En vertu de nos conventions, log (— u) = log u — ri; nous pourrons écrire | (0) ere f e"“u°—!'du. Ng ou +00 B=)1 ul 1 (0) ED; Jura = Le —u)" "du. 4 | A Étate % sin ro. (pa 0 co En partant de la définition donnée par Hankel pour l'inverse de la fonction eulérienne de seconde espèce, M. Bigler (*) a été conduit à la formule 1 :(0) T = ed CS ST D "4 (__ G—1 (l ù (e) 2: sin = f CE à ou à | . À étant un re entier positif satisfaisant aux deux conditions R(A+o—1)<0, R(A + 5) > 0. Il est facile de vérifier que la fonction définie par l’équa- tion (3) jouit des propriétés de la fonction gamma. Cette for- mule, donnée par Cauchy (**) dans ses Exercices mathématiques, a été retrouvée par M. Saalschütz (***). 3. Comme seconde application, ncus choisirons l'intégrale eulérienne de première espèce. On sait que gti + xË—1 B(x, 6 nf dx. (1 + x) (1 + xÿté +(0) LA x! ae de à Be Gran dx. (*) BIGLER, Ueber Gammafunctionen mit beliebigem Parameter. (CRELLE’S JourNaL, Bd CII, 1887.) (*+) Caucay, Exercices de Mathématiques, 2 année, p. 92, 1827. (F*#) SAALSCHÜTZ, Zeitschrift für Mathematik und Physik, p. 246, 1887. Soit l'intégrale (8) Si les quantités « et 8 ont leur partie réelle positive, les inté- grales suivant le lacet s'évanouiront, et il viendra eTix 2riB gr 1 (x, 6) DE DA À 7 Et +(1—€ fre ES TL Si l'on veut que l'expression I(4, 5) généralise la fonction B(«, 6), on devra poser | »(0) x! I(x, 8) Te — À — e7iz (1 rs ET ui dx 1 (4) | 84 I DRE - hr —— (x 1 — 7 > ( (+ ze ? 1 ei 10) xt I (x, ——— ——— (dr de di sin ra A (4 + x) + 1 e—TiB + (0) xË1 2: sin x. (1 + r}*ff 4 ce qui nous ramène à une expression analogue à celle qui a été considérée par M. Bigler (*). Si m et n désignent deux nombres entiers positifs satisfaisant aux conditions ou encore, (5) Rim+a—1)<0, R(m+a >0, R(n+68—1)<0, R(n + 6) > 0, on aura, en vertu de la formule (1), ai x”! = À | gx+# ere fort cui. 1 x 81 l=n—1 , 4 + 6 eP+A + à dx + Ÿ (—1} . (1 + afté = e J-P+te (*) BIGLER, Loc. cit. gs) £ étant une quantité positive voisine de zéro, et la notation |‘ +- , FE 1+ (x + Bj(xa+B +1)... (x + B+u—1) 1.2:5...p représentant la factorielle Nous négligeons d'ailleurs tous les termes qui s'évanouissent avec €. Or, pour toutes les valeurs de x satisfaisant respectivement aux conditions énoncées ci-dessus, co A2 fl antrar = e xa+u 0 dx c8+4 à xPÊ+A+I se B + Pa : € plus une suite de termes qui s’évanouissent avec &. Finalement, La, 6 ù sa 54 ” «pb f 2 Ua | | x” 0 (1 + x) LL P.=0 LL + Te a +f Î EG ee — A LES a—1 x2+E À, ( ) | 2 (: Es dx. Cette formule a été donné par M. Saalschütz (*). (6) (*) SAALSCHÜTZ, Weitere Bemerkungen über die Gammafunctionen mit negativen Argumenten. (LEITSCHRIFT FÜR MATH. UND Pays., 33. Jahrgang, 1888.) (10) Il est facile de montrer que la fonction I(x, fi) jouit de la pro- priété suivante : Ité 6) ne — Era 0) Ecrivons la relation (5) sous la forme : \ er Tix ea x! : D = ————— ———————— (D k 2 sin ra (à + mr 1 e Ti : (0) xP eTiB +(0) x! ENS PRRERRES ———— À + —— mm ( 2 sin r6 (1 + x) TÉ+ 2 sinrb. (1 + ce tÉr 1 1 L'intégration par parties donne, respectivement, 2 (0) x"! d je e?Tix a = (0) x*dx NT en (1 x 1 + xÿ | (O) xË dx 1 —e27iê B (0) xË—! UN Cat en ——— — dx 4 A+ x) (+ x) a20+8 , (+ x)+8H 7 . 1 done, TE Lu + 1,8). Ia, 6) = De cette égalité, on déduit celle-ci : I(x, 6) — (x + B)(x + RE DER EM ERNESES b+n) OT ae tee m DEEE —1) Ha Les arguments à + m et ( + n ayant leur partie réelle posi- tive, T(x+mM)T(B+n L(z + m, 6 + PRE Ta+6+m+n) par suite, r (a) (8) RPRES (x + B) Liége, le 45 mars 1906. ÉTUDES GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE PAR Lucien GODEAUX LA OU DU re pr : 270 « ' e . 1 ( 5 ÉTUDES DE GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE 1. — Sur la génération d’une surface algébrique particulière. Dans ce travail, nous exposons un procédé de génération d'une surface algébrique particulière dont certains cas spéciaux con- .duisent à des résultats intéressants que nous espérons pouvoir publier plus tard. 1. Soient dans l’espace deux surfaces S, d'ordre m,, S2 d'ordre m, et deux congruences G, d'ordre », et de classe n;, G, d'ordre n, et de classe mn. Par un point M de l'espace, menons les droites g,, go appar- tenant aux congruences G;, Go. Au point M, nous faisons cor- respondre les mimonin, droites en joignant les points (g,, Si) aux points (go, Sa). Aux œ5 points de l'espace correspondent les droites d’un com- plexe ® dont nous allons rechercher l'ordre. Soit (P, x) un faisceau-plan de sommet P et de plan 7. Entre certains rayons p, de ce faisceau et d’autres rayons po, nous établissons la correspondance suivante : un rayon de G, mené par un point (p,, S,) rencontre un rayon de G; mené par un (#) point (p2, S). Une coïncidence des rayons p,, p, est évidem- ment une droite du complexe. Menons un rayon p,. Par les », points (p,, S,;) menons les min, rayons de la congruence G;. Les droites de la congruence G, qui s'appuient sur un de ces rayons et sur la courbe (S,, x) sont au nombre de 2m,mn(n; + n:). Par les points de rencontre de ces droites avec la surface S,, menons les rayons p,. Inversement, à un rayon », correspondent ImynnÂn + N;) rayons p,. D'après le principe de Chasles, il y a 2m,m,(2nins + nn + nf) coincidences. Remarquons qu'une droite appartenant au fais- ceau (P, +) et qui s'appuie sur la courbe (S,S,) absorbe n, + #, coïncidences. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant : St un triangle se déforme de telle facon que deux de ses côtes appartiennent a des congruences (n,, n;), (n,, nm), tandis que les sommets opposés décrivent des surfaces respectivement d'ordre m;,, M,, le troisieme côté décrira un complexe d'ordre m,m,(40,0, + 2n,n; + 2n,n, — n, — n;). Nous avons déjà rencontré quelques cas particuliers de ce théorème (*). 2. Soit Ÿ un complexe d'ordre p. Les points correspondants aux droites communes aux complexes ® et Y décrivent une surface dont nous allons rechercher l'ordre. Soient (x,) et (r,) deux ponctuelles superposées. Par un point x, de la première, menons les n, droites g, de G,. Par les nm, *) Notes de Géométrie synthétique. (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES, LETTRES ET ARTS DE Mons. 1907, 3e sér., t. IX.) (5) points (9,, S1) menons les droites appartenant au complexe W, elles forment nym, cônes d'ordre p. Ces cônes marquent sur la surface S;, min, courbes d'ordre »,p. Les droites de G3 qui s'appuient sur ces courbes engendrent m,n, surfaces d'ordre MP (Na + 1e). Ces surfaces marquent sur la ponctuelle (r,) un nombre mIMNP(N3 + N3) de points. Inversement, à un point x, correspondent MaMNP(N; + Ni) points x,. D'après le principe de Chasles, il y a MiMP(2NIN> + Nins + Ni) coïncidences. Les droites qui correspondent à une de ces coïn- cidences appartiennent au complexe d d’après la définition même de ce complexe, donc les coïneidences sont des points de la sur- face cherchée et on a le théorème suivant : Si un triangle se déforme de telle manière que deux de ses côtés décrivent des congruences (n,, n;), (n,, n;), les sommets opposés décrivant des surfaces respectivement d'ordre m,, n», tandis que le troisième coté décrit un complexe (p, p), le troi- sième sommet décrira une surface S d'ordre m,Mmp(2nin; + Nin; + Nnyn3). Nous avons déjà rencontré quelques cas particuliers de ce théorème (*). 3. Soit P un point par lequel passent œ! droites de G,, ces droites étant les génératrices d'un cône d'ordre y. Par le point P, menons les n, droites g, de la congruence G2 (*) Notes de Géométrie, loc. cit. Sur une surface du quatrièine ordre. (NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMA- TIQUES, 1907, 4e sér., t. VII.) (6) et par les points (g,, S2) menons les droites appartenant au com- plexe Ÿ. Les cônes engendrés rencontrent S, suivant m,n, courbes d'ordre pm,. Ces courbes déterminent mymsn,py, génératrices du cône de sommet P par leur intersection avec ce cône, done : Le point P est multiple d’ordre mimenapy, sur la sur face S. Æ. Soit Q un point de l'intersection des surfaces S,, S. Ce point Q peut être considéré comme le sommet de nyn,p triangles dégénérés en un point et dont les côtés appartiennent respectivement à Gi, G2, Ÿ; done : La ligne d'intersection des surfaces S,, S3 est multiple d’ordre nyn,p sur la surface S. 5. Soit / une droite du complexe ® qui est multiple d’ordre À pour le complexe Ÿ (*). Il lui correspond au moins un point de la surface S; désignons par L ce point. Soient (x,), (x) deux ponctuelles de même support x, cette droite passant par L. Nous avons vu qu'à un point x, corres- pondent des points x, en nombre mumenip(ns + n:), mais si le point æ, coïncide avec le point L, À points x, viennent aussi coincider avec L; donc : Le point L est multiple d'ordre À sur la surface S. 6. Pour terminer, nous signalerons le cas particulier suivant : Si un triangle se déforme de telle manière qu’un de ses côtés passe par un point donne, un second côté décrivant une con- gruence linéaire, tandis que les sommets opposés décrivent des plans donnés et que le troisième côté appartient à un complexe linéaire, le troisième sommet décrira une surface cubique. (*) Nous entendons par là que la droite L est multiple d'ordre À pour tout cône du complexe dont le sommet est sur /, ou pour toute courbe du com- plexe dont le plan passe par L. TS CA | sr Il. — Sur quelques surfaces algébriques engendrées par le sommet d’un angle variable. Si les côtés d’un angle de grandeur variable décrivent des congruences données et rencontrent un plan donné en des points d'une même courbe d’un faisceau donné dans ce plan, le sommet de l'angle pourra occuper æ? positions et par conséquent engen- drera une surface. Dans cette note, nous nous proposons d’étu- dier quelques surfaces obtenues par ce procédé. 1. Soient G,,, G,, deux congruences linéaires de droites res- pectivement de classe m,n; « un plan fixe et ® un faisceau ponctuel de courbes d'ordre x dans ce plan. Considérons un angle de sommet P dont les côtés appar- tiennent respectivement aux congruences G,,,, G;,, et rencontrent le plan « en des couples de points d'une même courbe du fais- ceau D. Recherchons l’ordre du lieu de P au moyen du prin- cipe de Chasles. Soit x une droite quelconque support de deux ponctuelles (X;), (X2). Par un point de (X;,) menons la droite appartenant à la congruenrce G,,, et par le point de rencontre de cette droite avec le plan x la courbe du faisceau ®. Les droites de G,, qui s'appuient sur cette courbe engendrent une surface d'ordre u(l +n) qui marque, sur la ponctuelle (X9), &(1 + n) points. Inversement, à un point X, correspondent u(1 +m) points X4. Les ponctuelles (X,), (X2) sont donc liées par une correspon- dance [u(1 + m), p(1 + n)]; donc, d'après le principe de Chasles, il y a u(m + n + 2) coïncidences. Si nous remarquons que l’une de celles-ci tombe dans le plan +, nous pourrons énoncer le théo- rème suivant : Si un angle varie de telle sorte que ses côtès décrivent deux congruences linéaires respectivement de classes m, n, et rencon- (8) trent un plan fixe en des points d’une même courbe d'ordre w d'un faisceau ponctuel, son sommet décrira une surface M d'ordre u(m + n +2) — 1. 2. Une droite commune aux congruences G,,,, G,, appartient évidemment à la surface M, car alors l'angle est nul et les points de rencontre de ses côtés avec le plan & sont confondus. Par un des points de base du faisceau ® menons la droite appartenant à la congruence G,,.. Par un point de cette droite menons le rayon appartenant à G,;,; ce rayon détermine une courbe du faisceau Œ qui passe nécessairement par le point de base considéré ; done les droites des congruences G,,, G,, pas- sant par les points de base du faisceau ® appartiennent à la sur- face M. En résumé : La surface M contient 1 + mn + 24°? droites simples. 8. Soit x une droite de la congruence G,,. Cette droite déter- mine une courbe du faisceau ® passant par le point (x, a). Les droites de la congruence G,, qui s'appuient sur cette courbe engendrent une surface qui rencontre x en (1 +n)—1 points non situés sur &. On en conclut que la surface M est rencontrée par une droite de G,, en w(1 + n) — 1 points non singuliers pour cette congruence. Nous pouvons donc énoncer les théo- rèmes euIvants : 1° m—0. Si l’une des congruences est une gerbe de rayons, le centre de la gerbe est un point multiple d’ordre p. sur la sur- face M; de m— 1. Si l’une des congruences est bilinéaire, ses direc- trices sont multiples d'ordre v. pour la surface M ; 5° m— 53. Si l’une des congruences est formée par les bise- cantes d'une cubique gauche, celle courbe est multiple d'ordre 2y sur la surface M. 4. Supposons que la congruence G,, est le lieu des droites qui s'appuient sur une droite d et sur une courbe d'ordre » rencontiant m — 1 fois d. (9) Soit À un point de d et x une droite passant par ce point. En faisant le même raisonnement qu'au numéro 1, nous pouvons établir entre deux ponctuelles (X;,), (X2) de support commun x une correspondance [u, (1 + n)], à condition d'exclure le point A. Le principe de Chasles nous permet maintenant de conclure que la droite x rencontre encore la surface M en u(n + 2) points et que par conséquent le point A est multiple d'ordre um — 1. Si nous retournons au numéro 3, nous voyons que la courbe directrice d'ordre » est multiple d'ordre 2u. Si l’une des congruences possède deux lignes directrices, savoir une droile et une courbe, la droite est multiple d'ordre pm — 1 et la courbe d'ordre 2u sur la surface M. La surface générale que nous venons d'étudier contient comme cas particulier une surface cubique à deux points doubles que nous avons étudiée précédemment (*). (*) Notes de Géométrie. (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LiËGE, 1908, 3° sér., t, VIIL.) (40) 111. — Le théorème de Grassmann sur une surface algébrique. 1. Soient F une surface algébrique dépourvue de singularités, et sur cette surface un réseau |C| de degré n, formé par des courbes C de genre p et dépourvu de points de base et de courbes fondamentales. Choisissons sur la surface F trois groupes de » points situés à la fois sur œ' courbes C, ne se trouvant pas sur une même courbe C, et désignons-les par P,, P:, P;. Soient de plus trois autres courbes C,;, C,, C; choisies d’une manière quelconque « dans |C|, c'est-à-dire n'appartenant pas toutes trois à un même faisceau. Un point quelconque X de F détermine une courbe C; de |C] passant par le groupe de n points P;. Cette courbe C; marque sur la courbe C; un groupe de n points P; situé sur œ! courbes C. Donnant à à les valeurs 1, 2, 5, nous obtenons trois groupes de points P;, P;, P:; si ces trois groupes sont sur une même courbe C, le point X décrit une courbe G. Dans le cas où F est un plan et où les courbes C sont les droites de ce plan, on retrouve un théorème bien connu de Grassmann. 2. Soit K une courbe tracée sur la surface F et rencontrant une courbe C en k points. Recherchons le nombre de points communs aux courbes G et K. Par un point X, de K, menons une courbe C passant par le groupe P,. Cette courbe détermine sur C, un groupe de points P;. Entre des points X:, X; de K, établissons une correspondance telle que le groupe de points P: marqué sur C, par la courbe C passant par X: et P,, et le groupe P; obtenu sur C; au moyen (ti de X; et P; de la même manière, déterminent une C contenant le groupe P;. Comme on le voit facilement, les points X,, X; sont liés par une correspondance (k, £) et la valeur (*) de cette cor- respondance est nulle, car quand X, varie, les k points X; qui lui correspondent forment une série linéaire. D'après le principe de Cayley-Brill, il y a done 24 coïneidences. Par un raisonnement analogue, on voit que les séries de points X,, X:, X; présentent 54 coïncidences. Les courbes G et K ont 5k points communs. En particulier, si la courbe K est une courbe C quelconque, on voit que les courbes C et G ont 5n points communs. Une courbe C rencontre la jacobienne J du réseau |C| en 2(p+n— 1) points, donc les courbes J et G ont 6(p+n— 1) points communs. En se rapportant à la définition du caractère d'immersion (**), on peut écrire : Le caractère d'immersion 0 de la courbe G est 8—= 5(2p + n — 9). La courbe G passe évidemment par les points des groupes P,,P,,P; et par les points communs aux couples de courbes Ci, C5 Go, C5: C5, Ci. 3. Représentons projectivement le réseau |C| par les droites d'un plan F*, la surface F sera représentée par le plan n“" F* et la courbe G aura pour correspondante dans ce plan une cubique elliptique G*. La courbe de diramation du plan F* est d'ordre 2(n + p — 1); done sur G* se trouvent 6(n + p — 1) points de diramation. Les courbes G, G* se trouvant liées par une corres- (*) Valenza, Werthigkeit. (**) F. SEVERI, 1! genere aritmetico ed il generc lineare... (Artr pr ToRINO, 4902, t. XXXVIL, 1.) (12) pondance (n, 1), on a, d'après une formule classique de M. Zeu- then (*), à l p = Ôn + 5p — 92, o étant le genre de la courbe G. Le genre d'une courbe de Grassmann d'un réseau de degré n et de genre p est p= 5n + 5p — 2, le réseau élant privé de base et de courbes fondamentales. Liége, 25 novembre 1908. (*) SEGRE, Introduxione alla geometria sopra un ente algebrico semplice- mente infinito. (ANNALI DI MATEMATICA, 1894, 2e sér., t. XXII, $ 10.) QUELQUES GENERATIONS DES COMIQUEX DES QUADRIQUES J. MALAISE (Liége) De Dern LI mr, no Se EL fe ANR. SUR QUELQUES GÉNERATIONS DES CONIQUES ET DES QUADRIQUES Les propositions qui suivent présentent une certaine analogie avec la génération des coniques d’après Maclaurin et Braiken- ridge ; elles sont peut-être nouvelles. Tuéonène L — Un triangle ABC se déforme de manière que le côté CA pivote dans un plan donné x autour d’un point fixe Q ; le côté AB tourne autour d'un point fire P ; le sommet B se meut dans un plan donné B; enfin, le côté BC s'appuie constamment sur deux droites données d, d’ non situées dans un méme plan. Dans ces conditions, le point C décrit une conique. En effet, le côté BC s'appuyant constamment sur les trois droites d, d', QP, engendre une quadrique dont l'intersection avec le plan & donne le lieu du point C. Ce lieu passe évidemment par Q et par les points de rencontre de « avec les droites d, d'. Si ces trois points étaient en ligne droite, il se composerait de deux droites. Les points B et A décrivent également des coniques. Tueorène 1. — Un triangle ABC se déforme de maniere que le côté AB picote dans un plan donné x autour d'un point fixe Q ; Le Poe = A le point B décrit une droite donnée d du plan x; le côté BC tourne autour d’un point donné P ; le point C se meut dans un plan donné B; enfin, le côté AC doit rencontrer une droite donnée d’. Dans ces conditions, le point À décrit une conique. Pour obtenir un point du lieu (A), il suffit de mener le plan Pd, qui coupe G suivant la droite d’’; alors un plan quel- conque mené par la droite QP rencontre d en un point B, d’ en un point D et d’’ en un point C, et la droite CD coupera & en un point À. Le triangle ABC satisfait aux conditions de la question. La droite AC qui s'appuie sur les droites QP, d’ et d! engendre une quadrique dont l'intersection avec le plan & con- stitue le lieu cherché. TaéORÈME DIE — Un triangle ABC se déforme de manière que les côtés AB, AC passent constamment par deux points donnés P, Q; les sommets B, C se déplacent dans deux plans donnés Ë, y; enfin, le côté BC s’appuie toujours sur une droite donnée d. Le sommet À décrit alors une quadrique. En effet, un plan quelconque 4 mené par la droite PQ rencontre les plans 6, y suivant deux droites b, c et la droite d en un point D. Ce plan contient une infinité de triangles ABC qu'on obtient en menant dans ce plan par D une droite quel- conque qui coupe b en B, c en C, et en traçanit les droites BP, CQ qui se rencontrent en A. Donc, d'après le théorème de Maclaurin et Braikenridge, le point A décrit dans le plan « une conique ; lorsque « tourne autour de PQ, la conique engendre une qua- drique. TuéorÈème IV. — Un triangle ABC se déforme de maniere que les côtes AB, BC passent constamment par deux points donnés P, Q; les sommets B, C se meuvent dans deux plans donnés Ë, y, et le côté AC s’appuie sur une droite fixe d. Le sommet À décrit alors une quadrique. En effet, menons par la droite PQ un plan queleonque 2, qui (5) coupe les plans 6, y suivant les droites b, c et la droite d en D; alors une droite quelconque tracée par Q dans le plan & coupe b, c en des points B, C et les droites BP, CD se ren- contrent en un point A. Le triangle ABC satisfait aux conditions de la question. En appliquant le théorème de Maclaurin et Brai- kenridge, on voit immédiatement que le lieu du point À dans le plan & est une conique; par suite, lorsque tourne autour de PQ, le point À engendre une quadrique. VIN, » 4 rt eo. CO à titan Fe SUR QUELQUES LIBUX GÉOMÉTRIQUES DANS L'ESPACE NEUBERG et DEGUELDRE ui Li ft cên CASE SUR QUELQUES LIEUX GÉOMETRIQUES DANS L'ESPACE Les livraisons de mars et d'avril 1908 de Mathesis ont pro- posé, sous les n° 1668 et 1664, les questions suivantes : ProgzÈème A. — Le lieu des projections d’un point fixe sur les génératrices d’un même système d’une quadrique réglée est une biquadratique gauche. (DecuELore.) ProëèmMe B. — On considère deux droites à, b et deux points P, Q quelconques dans l’espace. Un plan variable mene par la droite PQ rencontre a en À et b en B. Les droites PA et QB se coupent en un point C. 1° Le lieu de l'intersection des plans menés par les sommets du triangle ABC perpendiculairement aux côtés opposés est une surface du quatrième ordre à plan directeur ; 2° Les hauteurs AA’, BB! du triangle ABC engendrent des surfaces du troisième ordre, landis que la hauteur CC engendre une surface du cinquième ordre. (DEGüELDRE.) Faute d’avoir examiné l'espèce de la biquadratique et d’avoir -envisagé le cas où le point fixe est sur la quadrique, on n'avait pas tenu compte d'une diminution que devait subir l’ordre de la (5) surface engendrée par CC’. Une étude plus approfondie de ces questions nous à donné d'autres résultats très intéressants que nous publions dans la présente note, avec la solution complète des deux problèmes ci-dessus. 1. La solution du problème A peut se déduire de la question suivante : Étant donnés une conique È, un point P et une droite quel- conque b, soit D le point de rencontre de b avec le plan perpen- diculaire en © à la droite qui joint P à un point quelconque C de Ÿ, trouver l’ordre de la surface U engendrée par la droite CD = «. Appelons x le plan de E, et B le point xb. Par tout point de EX, il passe, en général, une seule droite w (*). Mais par un point quelconque D de 6, il passe quatre droites w unissant D aux quatre points communs à È et à la sphère de diamètre PD'; b est donc une droite quadruple de U. Un plan quelconque À mené par b coupe U suivant six droites dont quatre coïncident avec b et dont deux autres passent par Îles points de rencontre de Y avec À. La surface U est donc du 6° ordre. Cette conclusion résulte aussi de ce que le plan x coupe U suivant la conique X et suivant quatre droites w joignant B aux points d'intersection de Y avec la sphère de diamètre PB. La surface U n'est plus que du einquième ordre lorsque l’un des points B ou P est situé sur Z. En effet, si b rencontre Y, un plan À mené par b contient la droite quadruple b et une scule droite u passant par le second point de rencontre de À avee Z. Si P est situé sur À, 1l ne passe plus par un point quelconque D de b que trois droites uw aboutissant aux trois points d'inter- sections autres que P, de È avec la sphère de diamètre PD ; b est maintenant une droîle triple de U. (*) Il y a exception pour les seconds points de rencontre de Z avec les droites w passant par B. 7 Ce sr Lorsque les deux points P et B sont sur X, la surface U est du quatrième ordre. 2. Considérons maintenant le lieu des projections d'un point fixe P sur les génératrices d’un même système d’un hyperboloïde réglé V. Désignons cette courbe par F et appelons-la podaire de P par rapport à \. Pour en trouver l’ordre, cherchons le nombre des points où elle rencontre un plan quelconque + mené par-P. Soient X la conique, À et B les points où x coupe V et deux génératrices fixes a et b du second système de V. En un point quelconque C de X élevons un plan perpendiculaire à la droite PC et rencon- trant b en D; la droite CD = w engendrera une surface U du cinquième ordre. Par chacun des points d'intersection de a avec U, 1l passe une génératrice de U, qui est en même temps génératrice de V comme ayant avec V trois points communs sur b, a et Ÿ; toutefois, il faut excepter la génératrice de U qui passe par À. On obtient ainsi dans le plan x quatre points de l'; done cette courbe est du quatrième ordre. La même conclusion subsiste encorc lorsque P est situé sur V, bien que la surface U ne soit plus que du quatrième ordre; car le point P appartient à une génératrice de UÜ qui ne s’appuie pas nécessairement sur a. Un plan tangent à V contient une génératrice g du premier système et une génératrice du second système; il rencontre F en quatre points dont un seul appartient à g; les trois autres sont donc situés sur h. 11 résulte de là que F est une biquadra- tique de seconde espèce. 3. Voici un autre procédé pour reconnaitre l’ordre de F. Les notations restant les mêmes, menons en C un plan per- pendiculaire à la génératrice du premier système de V qui y passe ; soient qg sa trace sur 7, p la droite PC, r la parallèle à q par P. Lorsque C parcourt la conique X, p et r engendrent deux faisceaux superposés qui sont liés par une correspondance (2, 2). (6) En effet, un rayon p coupe Ÿ en deux points à chacun desquels il correspond une droite r. De même, à une droite r corres- pondent deux droites g et par suite deux droites p. Car les plans menés par P perpendiculairement aux génératrices de V enve- loppent un cône W, supplémentaire du cône directeur de V; par r, on peut mener à W deux plans tangents; les génératrices du premier système de V perpendiculaires à ces plans ren- contrent Ÿ en des points que l’on joindra à P. Cela posé, les coïncidences de la correspondance (2, 2) déterminent quatre génératrices de V telles que les projections de P sur ces droites appartiennent à ÈŸ, Done F est du quatrième ordre. Lorsque P est situé sur Ë, p et r sont liés par une correspon- dance (2, 1) dont les trois coïncidences déterminent trois points de Ÿ appartenant à l'; mais P est un quatrième point de F qui ne se rapporte pas à une coïncidence. Remplaçons l’hyperboloïde V par un paraboloïde V’. Les plans menés en P perpendieulairement aux génératrices du premier système de V’ forment un faisceau W/ dont l'axe est perpendiculaire au premier plan directeur. A une droite r correspond une seule génératrice de V’ perpendiculaire au plan de W' mené par r. La correspondance entre p et r ne possède plus que trois coïncidences et le lieu F est une cubique gauche. (Reve, (eom. der Lage, 1. II, exercice 128.) La même conclusion subsiste lorsque P est situé sur V/, bien que p et r soient liès par une correspondance (1, 1); car le point P appartient à F sans se rapporter à une coïncidence. 4. On peut déterminer directement l'ordre du cône A engendré par la perpendiculaire { abaissée de P sur une géné- ratrice quelconque g d'une quadrique réglée. En effet, désignons par 2 le plan Pg, par y le plan mené par P perpendiculairement à g. Lorsque g engendre l'hyperboloïde V, le plan + enveloppe un cône © circonserit à V, et le plan y enveloppe un cône W. Les plans z et y rencontrent un plan quelconque + mené par P suivant deux droites a et c qui sont liées par une correspondance (2, 2). En effet, par une droite TS 1 Le donnée a, on peut mener deux plans tangents au cône +; les plans tangents correspondants du cône W coupent x suivant deux droites dont chacune peut être considérée comme l'homo- logue de a. On verrait de même qu’à une droite donnée c, on peut associer deux droites a. Les quatre coïneidences de la correspon- dance (2, 2) sont des génératrices de À. Done tout plan + mené par P contient quatre génératrices de À. Cependant, si le point P est situé sur V à l'intersection de la génératrice g/ du premier système avec la génératrice k' du second système, le cône + est remplacé par un faisceau de plans d’axe h’, et le cône À est seulement du troisième ordre; h/ est une génératrice double de À, car elle est perpendiculaire à deux génératrices du premier système de V. Si l'hyperboloïde V est remplacé par un paraboloïde V’, le cône W est remplacé par un faisceau de plans, et le cône À n’est plus que du troisième ordre; il devient même du second ordre lorsque P est situé sur V’. (REYE, loc. cit.) 5. On sait qu’une biquadratique gauche de seconde espèce se présente souvent comme intersection partielle d’une quadrique avec une surface cubique qui a deux droites communes avec la quadrique. Voici comment on trouve des surfaces eubiques passant par la courbe F. Soient g une génératrice variable du premier système d'un hyperboloïide V, «a une génératrice fixe du second système, y le plan mené par P perpendiculairement à qg, f l'intersection des plans ag et y. La droite f engendre une surface cubique F passant par F. En effet, désignons par I, J les points de rencontre des plans ag, y avec une droite quelconque p; il est facile de voir que ces points sont liés par une correspondance (2, 4) dont les trois coineidences sont des points où une droite f rencontre p. La droite a est une droite double de la surface F. Car par un point quelconque A de a, on peut mener deux plans y (tangents au cône W); les génératrices du premier système de V perpen- (8) diculaires à ces plans déterminent avec a deux plans qui coupent les deux plans - menés par A suivant deux droites f passant par A. On peut done dire que la surface F a deux droites com- munes avec V. L'ordre de la surface F résulte aussi de ce que tout plan mené par a contient la droite double a et une droite simple f. Une génératrice de F passe par P, car le plan aP contient une génératrice du premier système de V. Les raisonnements précédents sont encore applicables lorsque P est situé sur l'hyperboloïde V. Si l'on substitue à V un paraboloïde V', les points I et J sont liés par une correspondance (1, 1); la surface F est mainte- nant une quadrique réglée qui passe par a. De là, on peut con- elure de nouveau que la courbe F est une cubique gauche, G. Pour traiter le problème A par le calcul, considérons une quadrique réglée comme le lieu d'une droite g qui joint les points homologues A, B de deux ponetuelles projectives ayant pour supports les droites a, b. | Soient (xs, UE Z4) (æo, UEE Z2); (X5, V5» Z;) les coordonnées rectangulaires de deux points fixes A,, A, et du point variable A 4 de a, et soient (x, y;, Zi), (22, ye, %), (Zs, Ys, zs) celles des points homologues B,, B:, B de b. Nous pouvons poser Xy + ÀÂTe Yi + ÀÂYe Zi + ÀZ l'z == —————— VE == : Zs = À + À 4 + 2 1 + 2 x, + AMIS , Yi + AMY _ Zi + AMZ Le ——— VERRE ere Zs = ——— e 1 + am 1 + 1m 1 + am où » est une constante et À un paramètre variable. Désignons par «, 6, y les coordonnées de P et par x, y, z celles de la projection M de P sur g; ces dernières sont de la forme Ts + PTs Ys + pY3 z EI = U = ——— ; = 3 1+se 1 +: 1 e (1) 0 étant un facteur imconnu. (9) Exprimons que les droites PM et AB sont rectangulaires ; il vient (x —&)(xs— 23) + (y —B\(ys— ys) + (z—7)(z5— 25) = 0. (2) En remplaçant x, y, z par les valeurs (1), on trouve ÊLxs — à + p(xs — a)](xs — 5) — 0, d'où l’on tire Z(x; — 2)(X3 — %X;) (3) EE Das — a) — 2) Si l’on porte cette valeur de p dans les formules (1), on obtient le signe sommatoire X s'étendant aux lettres x, 7, z. Enfin, remplaçons 3, Ys, 23, 25, Y:, z3 par leurs valeurs; nous aurons des expressions de la forme OÙ @, 4, &, w3 Sont des polynomes du quatrième degré en 1. Toutefois, si m— 1, ces fonctions ne sont plus que du troisième degré. Il résulte de là que la courbe F est du quatrième ordre lors- qu'il s'agit d'un hyperboloïde, et qu’elle est une cubique gauche dans le cas d'un paraboloïde. 7. Cherchons encore l’équation du cône À engendré par la projetante PM. Cette droite est représentée par l'équation (2) du plan mené par P perpendiculairement à AB et par celle du plan PAB, qui est L œ Li + ÀÂX2 LXy, + AME, 2 EE RE US CURL QOU UP UNE 2 y Zi + À2 z, + AM 1 1 À + À 1 + 1m (10) Ordonnons les équations (2) (après remplacement des valeurs de 3, ÿs, .…) et (4) par rapport à À; nous aurons respectivement PmX + (Qm + R)à1 + S — 0, (5) P'mX + (Q'm + R')àa + S' —0, (6) Les équations P’ = 0, Q/ — 0, R' — 0, $' = 6 représentent les plans PA9B9, PA4Bo, PA9oB1, PA,B,; les équations P — 0, Q—0, R—0, S—0 représentent les plans menés par le point P perpendiculairement aux droites A9oBo, A1Bo, A9B4, A:B:. L'élimination de À entre les équations (5) et (6) conduit à l’équation du cône À, à savoir : [m(PQ' — P'Q) + (PR —P'R)][m(QS' — Q'S) + (RS’ —R'S)] — m(PS’ — P'S}. Ce cône est done généralement du quatrième ordre. Cependant, lorsque m = 1, l'équation (2) est Ex — a)[x, — 2, + A(xe — x2)] = 0, ou Pa + S— 0, et À n'est plus que du troisième ordre (*). Lorsque P est situé sur l'hyperboloïde V, on peut le supposer en À,; alors, en retranchant la deuxième colonne de (4) de la troisième et divisant ensuite par À, on réduit l'équation (4) au (*) L’abaissement de l’ordre de À peut s'expliquer ainsi : Lorsque m2, on passe de (2) à (5) en multipliant par (1 + À) (1 + Am); mais dans l’hypo- thèse m—1, on chasse les dénominateurs de (1) en multipliant simplement par {1 + À), de sorte que l’équation (5) doit renfermer en trop le facteur À + À. L'hypothèse À — — 1 réduit l’équation (4) à celle du plan mené par P parallèlement aux droites A,B,, AB. Géométriquement, la perpendiculaire abaïissée de P sur la génératrice à l'infini du premier système du paraboloïde se trouve dans le plan mené par P parallèlement au premier plan directeur, mais sa direction est indéter- minée. CALE ) premicr degré en À. Il résulte de là que dans ce cas le cône À est du troisième ordre. Enfin, lorsqu'il s’agit d'un paraboloïde passant par P, les deux équations (5) et (6) se réduisent au premier degré en À, et A n’est plus que du second ordre. 8. 11 est encore facile de trouver l'équation de la surface F. Le plan ag a pour équation x %4 Lo A4 + AMX, ! 4 y y: Y2 eat 2 4, CON 0 (7) z Z, Ze z, + AMZe 4 1 Î 1 + Am Elle est du premier degré en À. Donc en éliminant À entre (5) et (7), on obtient pour F une équation du troisième degré ou du second suivant que m 2 4 ou — 1. 9. Revenons au cône À engendré par la perpendiculaire PM abaissée d’un point fixe P sur une génératrice quelconque g du premier système d'un hyperboloïde V. La droite PM rencontre V en un second point M’ dont le lieu géométrique est également une biquadrique de seconde espèce F’; car l'intersection complète de À et V est du huitième ordre, et une génératrice du second système de V rencontre À en quatre points dont trois appartiennent à F et le quatrième nécessaire- ment à [’. Les tangentes à V passant par P sont les génératrices d’un cône quadratique À; soit PX une génératrice commune à A et À. Le point de contact X de cette droite avee V est commun aux deux courbes F', F”. Il est facile de voir que A et À s’y touchent. Il résalte de là que A et À se touchent suivant quatre génératrices et que F et T/ ont quatre points communs. Lorsque P est sur V, le cône À est seulement du troisième ordre et son intersection complète avec V se compose de la biquadratique F et d’une droite double qui est la génératrice du second mode de V passant par P. (12) Dans le cas d'un paraboloïde V’, le cône A est du troisième ordre et son intersection complète avec V/ se compose de deux cubiques gauches. Cependant, lorsque P est situé sur V’, A n’est plus que du second ordre et son intersection complète avee V se compose d'une cubique gauche et de la génératriee du second mode de V’ passant par P. 11. Appelons A, le cône des perpendiculaires abaissées de P sur les génératrices du second système de l'hyperboloïde V, r, et F, les biquadratiques suivant lesquelles il coupe V. Soit M le pied d'une normale abaissée de P sur V; la droite PM étant perpendiculaire aux deux génératrices de V qui passent par M, ce point appartient aux deux podaires F, F,; le second point de rencontre de PM avec V est commun aux courbes F’, F\. Les six normales menées de P à V donnent donc six points communs à F et F, et six points communs à F’ et FT. On peut trouver deux cordes NN’ de V qui passent par P et rencontrent normalement en N une génératrice g du premier système de V et en N’ une génératrice k du second système. Car les droites g et k étant dans un même plan et perpendicu- laires à une même droite sont parallèles entre elles; par suite, le plan gh touche le cône asymptote de V. Menons done par P les deux plans tangents à ce cône et abaissons de P des perpen- diculaires sur les génératrices de contact. Nous obtenons ainsi deux points communs à F et F, et deux autres points communs à F'et F4. Si l’on considère un paraboloïde V', les cônes À, A, sont du troisième ordre et rencontrent V’ suivant des eubiques gauches Fr et F’, T, et F;. Les pieds des cinq normales menées de P à V! sont des points communs aux deux podaires F et F,. Il est facile de voir qu’il n'existe pas de corde passant par P et rencontrant normalement en l’une de ses extrémités une génératrice du pre- mier système de V’ et en l’autre extrémité une génératrice du second système. (459 Les développements qui vont suivre se rapportent d’abord au problème B, ensuite à des questions plus générales, Nous y. ferons usage du principe suivant: Étant données sur deux droites gauches à, b deux ponctuelles [A], [B] qui sont liées par une correspondance (m, n), la droite qui joint deux points homologues A, B engendre une surface d'ordre m + n. Pour le démontrer, soient E, E les points de rencontre d'une droite quelconque p avec les plans aB, bA ; si E coïncidait avec E’, ce serait un point de la surface. Or, si l'on se donne le point E, le point B sera déterminé et il y aura m points corres- pondants À et aussi » points correspondants E/. On verrait de même qu'à un point E’ correspondent n points E. Il existe donc entre les points E, E’ une correspondance (n, m) qui présente m + n coincidences. D'après le nombre de génératrices partant d'un point de a ou b, nous dirons que ces droites sont d'ordre n ou m par rapport à la surface. 12. Dans le problème B, le point C décrit l'intersection c des plans aP, 6Q et engendre une ponctuelle [C] perspective avec les ponetuelles [A], [B]. La droite AB engendre généralement un hyperboloïde V. Il existe entre le point C et le point de rencontre K de la droite PQ avec la hauteur CC’ une correspondance (3, 4) En effet, à un point C de c correspond un seul point K; mais lors- qu'on se donne K, la droite CC’ est une génératrice du cône des perpendiculaires abaissées sur les génératrices d’un même système de V. Comme PQ appartient à V, ce cône, qui est du troisième ordre (5), est coupé par le plau Kc suivant trois droites que l’on peut prendre pour la hauteur CC’. Il en résulte que CC’ engen- dre une surface du quatrième ordre dont c est une droite simple et PQ une droite triple. Si les droites a, b, PQ étaient parallèles à un même plan, la droite AB engendrerait un paraboloïde V'’ et les perpendicu- (14) laires abaissées du point K de V’ sur les génératrices d’un même système appartiendraient à un cône du second ordre; la surface [CC'| ne serait plus que du troisième ordre et aurait une droite double PQ. Nous supposerons dans la suite que AB engendre un hyper- boloïde V. 13. Appelons &, 6, 7 les plans menés par les points A, B, C perpendiculairement aux droites BC, CA, AB, et désignons par R, S les points ac, bc. Pour trouver la hauteur AA’, on peut projeter A en A, sur le plan bQ, et A, en A’ sur BC; le point A, déerit une ponc- tuelle qui est semblable à la ponctuelle [A] et par suite projec- tive avec le faisceau engendré par la droite BC. La ponctuelle [A,] est donc également projective avec la ponctuelle marquée sur la droite de l'infini par la droite A, A’ perpendiculaire à BC. On en conclut que la droite A, A’ enveloppe une parabole 7, qui touche la droite RA, et la perpendiculaire élevée en R sur la droite RQ dans le plan bQ. Le plan AAA’ = & enveloppe le cylindre dont les généra- trices sont perpendiculaires sur le plan bQ et s'appuient sur la parabole r,,. Le point A’ décrit la podaire 7, de Q par rapport à r,. Cette courbe est une cubique qui a un point double en Q, avec deux tangentes perpendiculaires aux tangentes menées par Q à la para- bole +, ; elle passe par le point KR. 14. La droite AA engendre une surface du troisième ordre. Car un plan À mené par a contient la droite simple a de cette surface et deux génératrices rectilignes menées par les deux points autres que R où le plan À rencontre la courbe 7,;. Pour trouver l’ordre de la surface [AA/], on pourrait aussi observer que a en est une droite simple et PQ une droite double : par un point quelconque F de la droite PQ, on peut mener deux droites AA’, A! étant l'un des points où la ligne (15) d’intersection des plans Fa, Qb rencontre la sphère de dia- mètre QF. Les raisonnements précédents s'appliquent également à la hauteur BB’. 15. Le point C' engendre une ligne du cinquième ordre. En effet, la droite PQ contient quatre points C’. Car, soient K, K' les points où cette droite rencontre la hauteur CC’ et le côté AB d’un triangle ABC de la question; ces points sont liés par une correspondance (1, 3) : si l’on se donne K’, la droite AB est l'intersection des plans K’/a, K/b; si l'on donne K, il existe trois droites CC passant par K et par suite trois droites corres- pondantes AB. Les quatre coïncidences de cette correspondance donnent quatre points du lieu [C/], et comme un plan quelconque mené par PQ donne un cinquième point non situé sur PQ, le lieu est du cinquième ordre. 16. Les plans y, en nombre simplement infini, enveloppent une développable de la troisième classe. En effet, on a vu que par un point quelconque K de la droite PQ, il passe trois lignes CC/ et par suite trois plans +. On peut aussi observer qu'il passe par la droite c deux plans y; car la droite € est perpendiculaire à deux génératrices du cône directeur de V, situées dans le plan mené par le sommet de ce cône perpendieulairement à c, et les plans menés par c norma- lement à ces génératrices du cône sont normaux aux positions correspondantes de la droite AB. Il résulte de là que par un point quelconque de c, il passe trois plans . 17. La ligne d'intersection HH/' des plans &, 6, y étant per- pendiculaire à PQ engendre une surface à plan directeur. Cette sur face est du quatrième ordre. Car entre les plans x, 6 qui enveloppent deux eylindres du second degré, il existe une correspondance (1, 1); ces plans rencontrent une droite quelconque p en deux points liés par une (16) correspondance (2, 2) dont les quatre coïncidences sont les points de rencontre de p avec la surface [HH/]. Les plans « et y rencontrent p en deux points liés par une correspondance (5, 2), ce qui ferait supposer que la surface [(HH'} est du cinquième ordre. Mais au point R de c, les points A et € coïneident, et les plans & et y sont tous deux perpendicu- laires à la droite RQ, de manière qu'il se détache de la surface (HH'} un plan. 18. Cherchons le lieu de l'orthocentre H du triangle ABC. D'abord, la droite PQ contient quatre points H; car entre les points de rencontre h, h! de PQ avec les droites AA/, BB, il existe une correspondance (2, 2), puisque de chaque point de PQ il part deux droites AA/ et deux droites BB' (14). Les quatre coïncidences de cette correspondance sont des points H. Un plan quelconque mené par PQ contient donc quatre points H sur PQ et un cinquième extérieur à PQ. Par suite, le point H engendre une courbe du cinquième ordre. Nous allons maintenant traiter les mêmes questions en consi- dérant sur trois droites gauches quelconques a, b, c trois ponc- tuelles projectives quelconques [A], [B], [C]. Conservant les notations précédentes, nous désignerons par AA’, BB’, CC’, H les hauteurs et l'orthocentre du triangle ABC, par «, $, y les plans menés par À, B, C perpendiculairement aux droites BC, CA, AB; enfin, par V l'hyperboloïde engendré par la droite AB. Pour abréger, nous représenterons par g la droite AB et par à Île plan ABC. | 19. Le plan ABC enveloppe une développable de la troisième classe (théorème connu). En effet, il passe par un point quelconque P trois plans ô. Car si par une position quelconque de AB, on mène le plan corres- pondant à et le plan ABP qui coupe c en C4, les points G et GC; (17) sont liés par une correspondance (2, 1) : Le point C déter- mine AB et ensuite C,;; mais le point C, détermine deux plans ABP qui sont les deux plans tangents menés par la droite PC, à l'hyperboloïde V, de sorte que C, est l'homologue de deux points C. Les trois coïncidences de la correspon- dance (2, 1) sont trois points de C tels que les plans correspon- dants à passent par P. 20. Le plan y enveloppe une développable de la troisième classe. Car soit C, le point de rencontre de c avec le plan mené par un point donné P et normal au côté AB d’un triangle ABC. Si l'on se donne C, le point C, s'en suit; si l’on donne C3, on peut prendre pour le plan PAB l’un des deux plans tangents menés par PC au cône de sommet P et supplémentaire du cône directeur de V. Il existe done entre C et C4 une correspon- dance (2, 1), dont les trois coïncidences déterminent trois plans à tels que les plans correspondants + passent par P. 21. La hauteur CC' engendre une surface du sixième ordre. Pour démontrer cette proposition, menons en chaque point C de c les plans à et y et soient h, k' leurs points de rencontre _avec une droite donnée p. Par un point k de p passent trois plans à (19) à chacun desquels correspond un plan y; de même par un point »/ de p passent trois plans y (20) auxquels correspondent trois plans ©. Il résulte de là qu’il existe entre À et h! une correspondance (5, 5) dont les six coïncidences sont les points de rencontre de p avec la surface [CC]. 22. Le lieu du point C'est une courbe du cinquième ordre. Il est d’abord évident qu'aucun point du lieu ne se trouve sur c. Un plan quelconque À mené par c coupe la surface {CC}, qui est du sixième ordre, suivant la droite c et cinq droites CC’, sur chacune desquelles il y a un point C’. Done C’ déerit une quintique. (18 ) 4 Soit / une génératrice de V du même système que a et b. Le plan mené par f et une génératrice AB = g du premier système contient cinq points de la courbe [C/]; un seul de ces points appartenant à AB, les quatre autres appartiennent à f. La surface [GC’] est coupée par l'hyperboloïde V suivant une courbe du douzième ordre. Le second point de rencontre de la droite CC’ avec V décrit done une courbe du septième ordre. Comme les droites f et 4 coupent la surface [CC’T en six points, la courbe du septième ordre a deux points sur f et cinq points sur 4. On peut done énoncer la proposition suivante : Étant donnée une ponctuelle rectiligne projective avec un système de génératrices d’un hyperboloïde NV, la projection C' d'un point C de la ponctuelle sur la génératrice correspondante de V décrit une courbe du cinquième ordre dont les génératrices du second système de V sont des quadrisécantes. La proje- tante CC' engendre une surface du sixième ordre; le lieu de son second point de rencontre avec V est une courbe du septième ordre qui a cing points sur chaque génératrice du premier système de V et deux points sur chaque génératrice du second système. On peut encore établir l’ordre de la courbe [C’] en cherchant directement le nombre de ses points situés sur a; cela revient à déterminer le nombre des triangles ABC qui sont rectangles en A. ou dont l'orthocentre est sur a. A cet effet, A, B, C étant trois points homologues quelconques de a, b, c, appelons A, l’un des points dintersection de a avec la sphère de diamètre BC. Le triangle A,BC sera rectangle en A; et les extrémités de l'hypoténuse sont des points homologues de b et c. À un point À correspondent deux points A,. A un point À, correspondent également deux points A. Car le plan perpendiculaire en A, à la droite joignant A, à un point quel- conque de la ponctuelle [B] engendre un faisceau projectif avec cette ponctuelle et, par suite, marque sur e une ponctuelle [C;] projective avec la ponctuelle [C]. Les deux points doubles des ponctuelles projectives [C] et [C;] sont des positions de C telles (19) qu'avec leurs homologues de la ponctuelle [B] et le point A4, elles déterminent deux triangles rectangles en A, (*) et dont les extrémités de l’hypoténuse se correspondent dans les ponctuelles projectives [B], [C]. 11 résulte de là que les points A et A, sont liés par une correspondance (2, 2) dont les quatre coïneidences appartiennent à la courbe [C/]. Cela posé, un plan quelconque mené par a contient quatre points de cette courbe sur a et un cinquième sur la génératrice AB de V située dans ce plan. Par analogie, chacune des droites b et c contient quatre ortho- centres (**). 23. L’'orthocentre H du triangle ABC décrit une courbe du neuvième orure. En effet, un plan passant par c contient cinq droites CC’ et par suite cinq orthocentres en dehors des quatre situés sur c. (*) La droite BC; engendre un hyperboloïde et le plan de l’angle droit BA,C, enveloppe un cône quadratique (théorème connu). (**) La droite c rencontre la surface (AA’) en six points dont quatre sont des orthocentres et dont les deux autres sont obtenus en menant les généra- trices AB de V qui passent par les points d’intersection de c avec V; dans les deux triangles ABC correspondants, les hauteurs AA’ et BB’ ren- contrent c. ee En ——————— | li n SAR RENE ae «! % du & ÿb. ‘TE QUUEE” Fu fan re tes ES pi Eu y . L } A : RELATIONS ENTRE LES VOLUMES CERTAINS TÉTRAËDRES par J. NEUBERG RELATIONS ENTRE LES VOLUMES DE CERTAINS TÉTRAËEDRES Il m'a paru intéressant de chercher, dans l’espace, les ana- logues des propositions suivantes qui ont été traitées dans les Wiskundige Opgaven (Deel IX, p. 285) et dans Mathesis (1907, p. 17): Sotent A, By, C1 les points de rencontre des côtés d’un triangle ABC avec une transversale quelconque. On mène par un point quelconque O les droites OA’, OB/, OC’ équipollentes aux droites AA,, BB,, CC;. Démontrer que l’aire A/B/C! est double de l’aire ABC. (H. Van AugeL.) Si A1, By, C4 sont truis points quelconques pris sur les côtés du triangle ABC, on a A'B'C’ — 2ABC + ABC. (J. Van DE GRIEND } Je considère deux tétraèdres A,A04:A,, B.BB;B, et je désigne par %;, yr, z les coordonnées de A, par rapport à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, et par a, B,, y. celles de B,. Soient OC, OC, OC;, OC; des droites équipollentes aux droites A4B,, AoBo, A:B;, A1B;,; les coordonnées de C, seront Gr — Cry Êr — Yrs Yr — Zr. Par suite, si A, B, C représentent Ca les volumes des tétraèdres AyAoÀ;A3, B,BoB;B;, CriCoC3C, soumis à la règle des signes, on a 6A= l'r Ya Zi 1 És : . ET . . CE . (1) 6B=—= la fi pal, . 12-001 MESSE EC = | Ts CA mr à Re V DS «08 7) L | Te MEL : (5) en convenant de n'écrire que la première ligne d'un déter- minant lorsque les autres s'en déduisent par le changement de l'indice des lettres. Le déterminant (3) peut se décomposer en huit autres; en désignant par D et E les sommes | | c Ya Zi 1|+lx Ba RE TEU NRTE à | Ga Ba Pa 1 + loi y mi | + le Bi 2%, he on peut écrire 6C— 6B2264 LD 2 EME Appelons X,, Y,, Z;, U, les mineurs de | x y4 4 1 | relatifs aux éléments de la re ligne; alors | 41 Ya Z,  | = aX, + aeX 9 + as X 3 Cu me ax, | Li Bi za 1] = BY, + BY + E5Ys + GiYs, | Xi Ya Va À | = Vas + Vols + 955 + Val. D'où l’on conclut D = (aiXs + BY + as) + (aaks + B2Ye + Vale) + <> Supposons maintenant les points B,, Bo, B;, B, situés respec- tivement dans les plans AoA;A,, A:A,A1, A,AyAo, AyAoÀ>; nous aurons, par exemple, &y B APE Les Ua iEot ne, Lz VYs. 25 À DRNUYr ii 14 ou ei X4 = BY: 2 Ya24 = U, — (). (5) Il en résulte D — — (U, + U, + U, + U,) = -- 64. FIN Dee (4) Donc 6C— 6B— 124 —E. . 0, (5) Les hypothèses suivantes donnent des résuliats remarquables. a) Le tétraèdre A,AQA;A, est inscrit au tétraèdre B,B,B;B; ; alors par analogie avec l'égalité (4), on a E — — 6B. Donc, si les deux tétraèdres A,A94-A;, B,B9B;B, sont, chacun, inserits à l’autre (Tétraèdres de Môbius), l'égalité (5) devient CH9p— A). Ainsi, étant donnés deux tétraèdres de Môbius A,A9A;A;, B,B9B;B;, si l’on mène les droites OC;, OC, OC;, OC; équi- pollentes aux droites A,B1, A9Bo, A:B;, A,B;, le volume du tétraëdre CC9C:C; est double de la différence des volumes des télraëdres donnes. b) B4, Bo, B;, B, sont les points de rencontre des faces du tétraèdre A4/A9A-;A, avec une même transversale. Dans ce cas, on a B— 0, E — 0; en effet, le déterminant | «1, B4, z4, 1 |, par exemple, représente six fois le volume d’un tétraèdre dont les sommets se projettent sur le plan xy aux mêmes points que B;, Bo, B3, B;, et ces projections sont en ligne droite. On a donc C — — 2A, c) Les droites A,B,, AB, A;B;, A,B; concourent en un même point O dont les coordonnées barycentriques par rapport au tétraèdre A,A9A;AÀ; Sont M4, Mo, Ms, My. Pour simplifier, supposons 4 + mo + m>; + m, — 1. Alors OC; C;C, A,B; AB; A,B, Î 1 1 OA,A;A, CL: O1, OA; OA, id | D | Ma | rs m;z 1 PT. ms = Mi, A (6) done ms + ( :: OC CC, = À —— (1 — m,)(1 — m3) (1 — m;) Par conséquent C m, A (HU m)(t —m)({ —m) Par exemple, si B;, Bo, B;, B, sont les centres de gravité des faces du tétraèdre A,A9A;A,,0ona SUR LA VARIATION DES LATITUDEN PAR Henry JANNE DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES INGÉNIEUR CIVIL LES MINES RÉPÉTITEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE | e LEAMMAN NU * » VUE 4 Lin | | A US VAL . AL un “>, LEE $ + HIT JER DA | If vou ! ; | ET - AMAR en , | | 8. L OM A MNITT AN RAT éd QU HALLE LU bte API, NAS $ L . x V' IU VIA AM nv PA ñ L i La : F £ k 4 LP e n { L ï 7 “ , : é .. al Ce Re) I AVERTISSEMENT Dans le Travail que nous livrons aujourd’hui à la publi- cité, 1l a toujours été très loin de notre pensée de vouloir donner une étude synthétique complète de tout ce qui a été écrit, tant au point de vue de la théorie que de l’obser- vation, au sujet du phénomène si intéressant de la variation des latitudes, encore moins de prétendre apporter à son explication une contribution de quelque importance. Notre seul but a été de fournir aux lecteurs qui voudront bien prendre connaissance de ces pages et désireront approfondir ce sujet, un aperçu synthétique qui leur donne le moyen de se mettre rapidement au courant de la littérature si abondante relative à cette question. Nous espérons avoir présenté ce dernier aperçu d’une facon originale, sous un Jour nouveau, de manière que cette étude ne fasse pas double emploi avec les analyses déjà publiées sur ce problème si important de la Mécanique céleste. Il est juste cependant de faire observer que nous avons souvent suivi l'exposé lumineux du professeur allemand À. Sommerfeld (dans l'ouvrage célèbre : Ueber die Theorie des Kreisels), spécialement pour ce qui regarde l'influence (89 de l'élasticité de la Terre, et que nous nous sommes maintes fois renseigné aux excellentes publications : Astro- nomische Nachrichten, Monthly Notices, Bulletin astrono- mique, Astronomical Journal, ete., pour les quelques ouvrages que nous n'avons pu consulter directement. Voici la manière dont nous avons divisé notre Travail : Une courte Ixrropucriox apprend au lecteur ce qu'on entend par mouvement eulérien du pôle de rotation. La contradiction qui existe entre ce mouvement, déduit d’une hypothèse trop simpliste, et les résultats d'observation est mise en relief dans la PREMIÈRE partie. Ces derniers résultats ont montré que le mouvement du pôle à la surface de la Terre est sensiblement épicyeloïidal et se compose de deux mouvements périodiques : la période de l’un (circulaire) est de quatorze mois au lieu de dix mois (cyele eulérien) ; la période de l’autre (elliptique) est sensiblement d'un an. Comment expliquer ce désaccord ? La Dreuxièue parte montre que, si l’on fait entrer en ligne de compte l’élasticité du globe, la période de dix mois peut être portée à quatorze mois (période chandlé- rienne). L'explication des oscillations annuelles et des petites irrégularités apériodiques est fournie dans la Troisième PARTIE. L'étude n'aurait pas été complète si nous n'avions dit un mot, dans une QuarTRiëmME PARTIE, des influences qui peuvent, au moins à la longue, diminuer l'amplitude des oscillations du pôle de rotation. | Un Ap»rexnice donne quelques explications au sujet d’un terme annuel, intervenant dans l'expression de la variation de latitude, qui ne dépend pas de la position du pôle. D ns (5) Enfin une Nore complète quelques considérations théo- riques de la troisième partie. À la fin de notre Travail, nous avons placé la Biblio- graphie relative aux explications des variations de latitude. Nous espérons que cette étude excitera la curiosité des esprits épris de science et les poussera à approfondir cette question. Henry JANNE. Liége, janvier 1909. LAS Wa | Me: Lo Dir it KE ; 2 dire jt non eAeng) Lean 0 eu 4 : de ii (Ne LM ul He é th vat À A A TE TUE. * trs Nr e! Le #58 #' + BR Ci sub on dires A LE es HA K + } 3, eo UV ef: Pa sk 2LE ne thoustas uerit re d'la Tous fx entre spé FU Ko . 3 Lun LR | : 1. € La} + ù LA Î \ : tit CRE LhEI . A T7 ce Li It 7 > a, | n T h nc a: , : r } OR 7 ' é 1 i 1 & PE f . 1 es 0 + L3 LA Cu ‘ 4 n Fe f SUR LA VARIATION DES LATITUDES INTRODUCTION Parmi les problèmes de la Dynamique qui intéressent les géologues et géographes au même point que les géodésiens et les astronomes, se place au premier rang celui de la rotation de la Terre autour de son centre de gravité. Si l’on considère le globe comme un corps parfaitement rigide, ce problème n'est autre que celui de la rotation d'un corps solide autour d’un point fixe. On sait que c'est à d’Alembert que revient l’honneur d’avoir mis, pour la première fois, ce problème en équations (*); tour à tour Euler, Lagrange, Laplace, Poisson, Jacobi, Liouville, Poinsot, Serret, Mathieu, Puiseux, M°”° Kowalewska, Hermite, etc., l'ont repris et envisagé à divers points de vue (**). Mais l'hypothèse d’une Terre parfaitement rigide est, au point de vue théorique, purement gratuite, et, au point de vue expé= (*) Voyez, par exemple, P. APPELL, Traité de mécanique rationnelle, % éd., t. II, 1904, chap. XX, p. 140, et aussi notre opuseule : Mouvement de rotation d’un corps de forme variable. Liége, janvier 1908, Impr. liégeoise, p. 1. (**) Pour plus de détails, consultez le beau mémoire de GILBERT sur cette question. (ANNALES DE LA SOC. SC. DE BRUXELLES, 1878.) (8) rimental, absolument contraire aux faits observés; nous le montrerons plus loin. Cette remarque faite, revenons au problème de la rotation du globe, en supposant ce dernier absolument rigide, et examinons les conséquences de cette hypothèse. Euler, qui a donné aux équations différentielles la forme que nous connaissons, est celui qui a étudié le premier le mouvement du globe (*) autour de son centre de gravité : il le suppose parfaitement rigide et ayant des moments d'inertie équatoriaux égaux ; il imagine de plus que les forces extérieures se ramènent à une résultante unique passant par le centre de gravité (cas que nous appelons rotation naturelle). * à x Avant de retrouver les résultats auxquels il est parvenu, rappelons brièvement la méthode qu'il emploie pour l'étude générale du mouvement de rotation d’un corps solide autour d'un point fixe (**). Imaginons deux trièdres trirectangles, l’un fixe Ox,y,z,, l'autre mobile Oxyz, ayant pour origine commune le point fixe O et de plus même orientation. Faisons l’hypothèse que, dans les deux trièdres, une rotation de 90° dans le sens positif autour de l’axe des z, (ou des z) amène l'axe des x, (ou des x) sur l'axe des y; (ou des y) : pour fixer les idées, nous choisirons pour sens positif celui des aiguilles d'une montre, en supposant l'observateur couché le long de l’axe des z, (ou des z), les pieds en O, la tête vers les z, (ou z) positifs. Prenons arbitrairement, sur l'intersection du plan xOy avec le plan x,0y,, une direction positive OÙ, et désignons par d (*) L. EULER, Mechanica sive motus scientia. Saint-Pétersbourg, 1736, 3e partie, chap. XVI, par. 839 et suiv.; Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un point fixe (MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DE BERLIN, 1158, pp. 154193); Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. Greifswald, 4765, chap. XII, par. 711, 717-132. (**) Voyez encore notre opuscule, pp. 2 et suiv. (9) l'angle de cette direction avec Ox;, cet angle étant compté posi- tivement autour de Oz,. La droite OÙ est perpendiculaire au plan z0Oz,. Appelons @ l'angle que forment les deux axes Oz, et Oz, compté positivement de Oz, vers Oz dans le sens des rotations positives autour de OÙ. Désignons par 9 l’angle dont il faut faire tourner la droite OU autour de Oz (car Oz est perpendiculaire au plan UOx) dans le sens positif pour la faire coincider avec Ox. Les trois angles , 8, © sont évidemment indépendants l’un de l’autre et peuvent être choisis arbitrairement. A chaque système de valeurs (d,, 0,, v,) de ces angles cor- respond une position, et une seule, du trièdre mobile Oxyz : ce trièdre peut passer de la position Ox4y17, à sa position actuelle au moyen des trois rotations successives : Ÿ, autour de Oz,, 8, autour de OÙ, +, autour de Oz. On emploie souvent les expressions suivantes, empruntées à la Mécanique céleste : Ÿ est appelé l’angle de précession, 0 l'angle de nutation, o l'angle de rotation propre, OÙ la ligne des nœuds. On sait que si l’on désigne par p, q, r les composantes, suivant les axes mobiles Ox, Oy, Oz, de la rotation instantanée o du trièdre Oxyz et par 4’, 0’, ' les dérivées Das on (É repré- sentant le temps), on a les relations (*) : p = Y’ sin 8 sin & + 0’ cos», _ (A) © q —=# sin ücos s — #9 sin», » r = ÿ/ cos 8 + 9’. | Si l’on prend pour trièdre trirectangle mobile Oxyz celui formé par les axes principaux d'inertie du corps solide dont on (*) Pour les obtenir, on n’a qu’à projeter l'égalité vectorielle P+I+T—0—Ÿ +0 + % sur chacun des axes 0x, Oy, Oz. (10 ) étudie le mouvement, si l'on désigne par 4, B, C les moments principaux d'inertie du corps et si l’on représente par L, M, N les moments résultants des forces extérieures par rapport à ces axes, On a, pour déterminer le mouvement, les équations d'Euler : PRE L CR 7 )rq — ; dq (B) B + (4—C)pr = M, HAE ee 7 alé — A)qp=N. L, M, N sont en général fonctions de +, 8, o, D, 0', w!, € (si les forces dépendent du temps et des vitesses), ou, à cause des relations (A), fonctions de 4, 6, ©, p, q, r, t; de plus 4, B, C sont des constantes. Pour résoudre le problème, il s'agit d'intégrer les équations différentielles (B) du mouvement. Le système (A), (B) est formé de six équations différentielles du premier ordre contenant les six variables à, 6, ©, p, q, r à déterminer en fonction de t; il s'introduira six constantes dans l'intégration, constantes qui seront déterminées si l’on connait par exemple les valeurs initiales Lo, do; os Por Los ro: On peut aussi, si l’on veut, substituer les valeurs (A) dans les équations (B); on obtiendra ainsi trois équations différentielles du second ordre en +, 8, ©. Leur résolution fera connaitre les valeurs de 4, , 8, et par conséquent aussi la position du trièdre mobile qui fixe la position du corps. * * * À présent étudions (*) le mouvement de rotation naturelle EC — : — N — 0) de la Terre autour de son centre de gravité (c’est-à-dire négligeons les actions luni-solaire et planétaires). Supposons que le globe soit parfaitement rigide et de révo- *) Vovez encore notre opuscule, p. 18. À P | (11) lution. Prenons (fig. 1) pour Oz, l'axe OG, fixe dans l'espace (rotation naturelle), du moment résultant des quantités de mouvement, et pour Oxy, Oy, deux axes rectangulaires quel- Rice. 4 conques choisis dans le plan invariable passant par O, centre de gravité de la Terre. Assujettissons les axes Oxyz à être invaria- blement liés au globe. Choisissons pour axe Oz l'axe OC principal d'inertie coïincidant avec l’axe de révolution; dans le plan de l'équateur, perpendiculaire à OC, menons deux axes rectangu- laires Ox, Oy (fixés par rapport à la Terre) (*); comme le globe est supposé être un ellipsoide de révolution homogène, ces axes Ox, Oy seront deux axes principaux d'inertie, et les moments d'inertie correspondants sont égaux (**) : A — B. (*) Nous supposons encore que les trièdres Ox,y,2,, Oxyx ont la même orientation que plus haut. (**) Si l’on supposait exister une légère différence entre À et B, les résultats suivants seraient évidemment un peu modifiés. Voyez, à ce sujet, F.-R. HELMERT, Die mathematischen und physikalischen Theorien der hüheren Geodäsie. Leipzig, t. II, 1884, p. 400. (12) Nous aurons done, pour équations différentielles du mouve- ment, ces équations d'Euler très simples : a rire 4 0 | er dl — À)rq = 0, (C) (AT + (4 — Cipr = 0 | dr ae ou encore di A dqg C—A 0 ——_—. œe mamans r — dt ani A ) dr EM | De la troisième équation nous tirons l —— \ | si LE de 0, (D) « r —= constante = n. Les deux premières deviennent, si l’on pose C— A HU: A l + 7—0, E D gi nt FM Les intégrales (*) sont évidemment : p = d cos (st + 7), (F) | qg—=dsin(#i+r) (*) Pour les trouver, on peut éliminer g entre les deux équations (E) en (13) Les relations (A) entre p, q, r et 4, 0, © deviennent ici : dy : —= — sin 6, Sin 1 di 0 ?s d (G) { g — = sin 6, COS?, ? n — Er Pia Me AT di car Cr Cn COS 9 = — — —/{te, G désignant le moment résultant (constant) des quantités de mouvement par rapport à O, ou bien 0 — constante = 46,. En divisant la première relation (G) par la deuxième, on a, en tenant compte de (F), Bo 2 cotg (it + +). q dérivant la première et en lui ajoutant la seconde multipliée par v; on obtient de la sorte dont l'intégrale est p = cos (vi +); puis on détermine g par l’une des deux équations (E). Un procédé plus élégant consiste à ajouter les deux équations après les avoir multipliées respectivement par 1 et t; on obtient ainsi d(p + iq) ne —1(p +1) =0, dont l'intégrale est p + ig—= constante x ei”*—(’ cos t + 19’ sin t) ei” — À Cos (vf + T) + 10 sin (V{ +7"); d'où, en séparant la partie réelle de l'imaginaire, les deux intégrales (F). san Ceci nous donne : T e = Kr + ge Par nr + T', (H) K désignant un nombre entier et +’ une nouvelle constante. Enfin la troisième relation (G) nous permet d'écrire : dy = 1 C— A | : C ; — = (NN — — — + à = — : dt dt} cos % d A han: p| FES d’où A MR HE LD T// étant encore une constante. L'observation (*) nous montre que @,, c’est-à-dire COG, est très petit et reste inférieur à 0,5; par suite sec 6, est très voisin de 1 et sin 6, très petit. En appelant o la vitesse angulaire constante de rotation de la Terre autour de son axe, on a : [ol — 2r par jour sidéral, ++ n—0, n—00c0$9 n Sec 4, — 0 p q —= 0, | = 0 0, up Q—= 0° — n°— 0°sin? 6, d — 05in 05 A9 pui: ; Avec l'orientation d’axes choisie et le sens positif de rotation adopté, o est négatif, De plus, le globe est aplati. Par suite et — À C— A 0 cos 8, est négatif. (*) Voyez par exemple C.-A.-F. PETERS, Resultate aus den Beobach- tungen des Polarsterns. (ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN, t. XXII, 1844, no 519, col. 119.) (15) 0, étant très petit et pouvant par conséquent être traité comme une quantité du premier ordre, on peut écrire aux termes du second ordre près, et par suite n—=0=—=-- 97 par jour sidéral. Le rapport positif £ 4 peut être déduit de la théorie de la précession luni-solaire; # a été trouvé égal (*) à C— A 1 — —= — environ. À 505 Par conséquent 27 SE LA jour sidérai. L'expression (H) de « devient : 2r { : «a = — —- , | RUB ULL à pour que © augmente de 27, il faut que { augmente de 305 jours sidéraux ; ainsi © croit proportionnellement au temps et augmente de 27 en 305 jours. Pour 4 nous avons d’après (F) : C —— nSeC.1+T7 —=—0.t+ = ——Q0r——— +7"; (F7 #Ti4 AR CAE” j 305 ” 1j.sid. 0 pour que d diminue de 27, il faut que t augmente de © he 5 dej jour sidéral; ainsi d décroit proportionnellement au temps et diminue de 2x en un peu moins d’un jour sidéral. (*) Voyez, par exemple, TH. voN Oproizer, Lehrbuch der Bahnbestim- mung, 1882, t. Ier; traduetion française de E. PAsQuIER, 1886, t. Ier. (16) 9, ©, à étant déterminés en fonction du temps, voyons ce que leurs valeurs nous apprennent relativement au mouvement. Remarquons d’abord que les trois axes OC d'inertie, OI de rotation, OG du moment résultant des quantités de mouvement sont toujours situés dans un même plan; en effet l'identité CAN NE 0 DAC Ap: Ag Cr | —=0 PRE NE RARE LES montre que les trois droites issues de O, ayant pour cosinus directeurs P q F 0 0 0 AD: A0 CCR G ? G J or 0, 0, 1, (par rapport aux axes Ox, Oy, Oz), possèdent cette propriété; et ces trois droites ne sont autres que les axes OT, OG, OC. De plus, pour la Terre, l’axe OG (fig. 1) se trouve toujours entre OI et OC (*) et est fixe dans l’espace absolu. Ainsi le plan OIGC tourne dans l’espace autour de OG et les axes OI, oc sont situés de part et d'autre de OG. On sait, par l'observation, que l’angle COG =:0 est inférieur à 0,3 et que l'angle I0G = à est encore beaucoup plus petit. (*) Voyez PonsorT. Précession des équinoxes, Addition à la Connaissance des Temps pour 1858, p. 14. (13) Pour obtenir leurs grandeurs relatives, nous pourrons done éerire sans erreur sensible : 7 CUOCG sin 106: VE 10G ZE —————_—————_—_ 4 GOC sin GOC 4 — cos* GOC APE A Ni Ge nl Govo G o G o CR TRE! DR G: Vrac — RE SE WE Si (A 2° eh A°Q° + Cr? — Cn£) 0° RENTE Ab Sd) C— An C—A _ : = — -— cos 0, — A°( (D Le 4 400 A 4 3 CNviron. 3 CRE 2 INTRE À . Ainsi l’angle 10G est inférieur au ; de l'angle CO]; donc | puisque angle COI < 03, | 03 OCZ oncle COL € 7 = 0001. | Dan ene 0e Ca peut donc pratiquement considérer OH et OG comme deux droites coïncidentes. Néanmoins, pour la clarté de l'explication, nous les distinguerons l’une de l'autre. Cela dit, cherchons le lieu géométrique de l'extrémité du vecteur de rotation o par rapport aux axes Oxyz; il sera donné par les équations (F) : p = 0 cos (vt + 7), E) q = 9 sin (y + <), | D — 72, et sera par suite une circonférence, située dans le plan z = n, ayant OC pour axe et 0 pour rayon, (18) L'intersection EI de l'axe de rotation OI avec la surface du globe aura pour équations paramétriques de son mouvement : | x —=R-—R sin 6 .cos(vt + Tr), | 0 es RÉ L'héoin 85. Sin (xt + +), \ 0 R étant une longueur très voisine du rayon polaire terrestre. Ainsi le pôle | décrit, à la surface du globe, autour du pole d'inertie C, une circonférence de très petit rayon; il parcourt celle circonférence dans le sens direct (rotation négative) d’un n 3—=R-—R cos 4, 0 mouvement uniforme {*). La vitesse angulaire est 27 FE T'es par jour sidéral (On le voit encore en' remarquant que la position de OÙ et, par- tant, celle de Of sont déterminées par la valeur de l'angle — +). La période de son mouvement est de trois cent et cinq jours sidéraux environ, soit à peu près dix mois. Cette période a été nommée période eulérienne ou cycle eulérien. Il est clair que le pôle G (**) décrit, à la surface du globe, autour de C, une circonférence très voisine de celle de LE, et que le sens de sa rotation et sa vitesse angulaire sont les mêmes que ceux de I. Or ce pôle G est immobile dans l'espace. Donc OC doit se mouvoir dans l'espace, avec toute la Terre, pour que G puisse décrire à sa surface une circonférence. C'est ce qui a lieu. Remarquons d’abord que la position de OC dans l'espace est fixée par celle de l'intersection OU du plan de l'équateur x0y (*) Voyez, par exemple, F.-R. HELMERT, 0p. cit, t. IE, chap. V, p. 391. (**) Intersection de l’axe 0G avec la surface du globe. (19) avec le plan invariable x,0y,, car OÙ est perpendiculaire au plan COG et OG est fixe. La position de OÙ est déterminée par la valeur de l'angle L. Nous avons trouvé ci-dessus : 306, t 2 eff r LICE ARRETE Me ana sr à où tu L décroit proportionnellement au temps et diminue de 27 en de jour sidéral. Ainsi OÙ et, partant, OC se meuvent uniformément dans le sens direct (rotation négative); en d’autres termes, OC décrit, dans le sens direct, un cône circulaire autour de OG, et cela d’un mouvement uniforme : seulement, 1l accom- plit sa révolution ee de jour avant que la Terre ait accompli la sienne autour de son axe OI de rotation; c'est cette diffé- rence qui produit le mouvement de [ et de G à la surface du globe. * k x La méthode cinématique de Poinsot (*) donne encore une idée plus nette des lois du mouvement. Nous savons d'après ce géomètre que le mouvement de la Terre autour de son centre de gravité O peut être figuré par le roulement sans glissement de son ellipsoïde d'inertie (qui est de révolution), tournant autour de O (supposé fixe) sur un plan invariable [I (**). Appelons 1, G, C les intersections de ce plan IL avec l'axe instantané de rotation, l'axe invariable du couple des quantités de mouvement et l'axe de révolution. Le plan IT étant, comme on le sait, tangent en I à l’ellipsoide d'inertie, est perpendieu- laire au méridien COI de l'ellipsoïde passant par 1; done la perpendiculaire OG à ce plan sera contenue dans le méri- dien COI : en d’autres termes, les axes OC, OG, Of sont à (*) Journal de mathématiques pures et appliquées, 1e série, t. XVI, 1851. et Connaissance des Temps pour 1854, 1851. (**) Plan invariable de LaAPLACE, plan du maximum des aires. (20 ) chaque instant situés dans un même plan, ou encore €, G, | sont continuellement en ligne droite. Comme la distance OG du centre O au plan invariable [I doit rester constante et que les ellipses méridiennes sont toutes égales, le point [ ne peut décrire, à la surface de l’ellipsoïde, qu'un parallèle de pôle C' (*) : cette polhodie n'est autre que le cercle eulérien (sur l'ellipsoïde d'inertie). Il en est de mème pour G’, intersection de OG avec lellipsoïde. La figure OIGC est invariable, c'est-à-dire la même pour tous les méridiens. L'herpolhodie sur le plan IT est également une circonférence de centre G et de rayon GI — V5 — 0G° = constante. GC étant aussi constant, C décrira sur le plan fixe IT une circonférence de centre G et de rayon GC. Le mouvement de Let C (à la surface de IT) autour de G aura lieu dans le même sens. Enfin la rotation de la Terre 0, étant proportionnelle à la distance OT, sera constante. Pour la Terre G se trouve toujours entre let C, et GI vaut environ D GC, car les ares qu'ils mesurent (en tangentes) sont dans ce rapport (**). Si l’on veut figurer le mouvement par le roulement sans glissement d'un cône-roulette (ayant pour sommet O et pour directrice la polhodie tracée sur l’ellipsoïde d’inertie) sur un cône fixe (ayant pour sommet O et pour directrice l'herpolhodie tracée sur le plan invariable Il), on voit (fig. 2) que ce mouve- ment de rotation naturelle de la Terre autour de son centre O est représenté par le roulement péricycloïdal (sans glissement) du cône-roulette d'ouverture CI sur le cône fixe d'ouverture (beau- coup plus petite) GI. Enfin, par la seule considération de la (*) C’ est l'intersection de OC avec la surface de la Terre. (**) Voyez plus haut. Nous avons, puisque à — 106 et 6, — COG sont très petits, GI tgi sint C—A 1 — == — EE ——— — COS ) —=—\—— en 1 12 B GE Ans Sn ds PNA TE SOS (21) disposition de I, G, C, on se convainc sans peine que le mouve- ment de I sur la polhodie et sur l’herpolhodie et le mouvement de C (autour de G) dans l’espace sont directs, c'est-à-dire de même sens que la rotation o de la Terre sur elle-même. thodie Pic, Z Désignons, comme plus haut, par 4, 9, + les angles eulériens : Oz est choisi dirigé suivant OC et Ox, Oy sont dans l'équateur; OG est pris pour axe Oz,, et deux axes perpendiculaires situés dans le plan invariable (perp. à OG passant par O) pour axes Ox,, Oy; ; de plus les deux trièdres Oxyz, Ox:y171 ont la même orientation que ci-dessus. La figure OIGC étant invariable (fig. 1), les angles : — 10G, QT GOC, à + 8 — IOC opl constants. Done les composantes Ÿ dg _. | 7. suivant OG (ou Oz;,) et + suivant OC (ou Oz) de la rotation constante 0 (dirigée elle-même suivant Of) sont constantes : { dy \ — — constante, dt do — — constante. _ dt De plus, comme pour la Terre : + 0 < = et que O[ tombe à l'extérieur de l'angle GOC (du eôté de UG), la composante . (22) est de mème sens que 0, c’est-à-dire negative avec l'orientation d ; | : adoptée, tandis que = est de signe contraire, c’est-à-dire positive. En désignant par } et y deux constantes négatives, nous avons done : dy THE | dy \ —— == —— LA dt ] en laissant provisoirement indéterminées ces constantes. Nous en tirons : be ut FFFEAN e = —Yl+ Te; \ ainsi y croit proportionnellement au temps, tandis que Ÿ décroît proportionnellement au temps. L'angle Ÿ détermine la position de l'intersection OÙ de l’équa- teur xOy et du plan invariable x,0Oy,, et par conséquent aussi la position du plan IGCO, tournant dans l'espace absolu autour de l’axe fixe OG. Aïnsi T'et C ont la vitesse angulaire négative constante x, dans leur mouvement sur le plan fixe Il (autour de G). L'angle — o détermine la position de OÙ relativement à l’axe Ox fixe dans l'ellipsoide d’inertie, et par conséquent celle du plan 1GCO, tournant autour de l'axe OC fixe dans l’ellipsoide. Donc I et G tournent autour de C, à la surface de l’ellipsoïde d'inertie, avec la vitesse angulaire négative constante ». On voit done que tous ces mouvements sont directs. Il reste maintenant à faire voir que ces vitesses angulaires y, s ont bien les valeurs indiquées plus haut : 27 IE par jour sidéral, 305 D —= —— (a) u———— 927 par jour sidéral. 305 (25 ) Le point C., situé à la distance 1 de O sur OC (et du même côté que C du point O) (fig. 1), se meut avec l'axe OC dans l’espace d’une seule et unique façon. Or son mouvement peut être regardé comme résultant soit de la rotation o de la Terre autour de OL, soit de la rotation x autour de OG; sa vitesse linéaire devant être la même (dans les deux manières d'envisager le mouvement), nous avons Me, Oo = vitesse linéaire de C, dans l’espace — NEco pee [les indices affectant le signe des moments indiquent le point par rapport auquel on les prend, tandis que ceux affectant les rotations désignent l'axe suivant lequel elles sont dirigées], ou explicitement - 0 sin (? + 4) — w sin 6, d'où S xp de Hs dr (b) Le point G, situé à la distance 1 de O sur OG (et du même côté que G du point O) reste immobile dans l'espace. Cependant on peut le considérer comme participant à deux rotations simultanées, autour d’axes différents, produisant des effets con- traires : à la rotation de la Terre o autour de OI et à la rotation (eulérienne) y de G autour de OC. Sa vitesse linéaire résultante devant être nulle, nous aurons vitesse linéaire de G, dans l'espace — M4, Où + Me, oc — 0 Sin ? — y sin 8 — 0, d'où sin ? = (c) — 0 SIn 4 Reste à calculer les rapports : sin(i+ 4) sine LÉO : SIN 4 Sin 4 (24) Pour cela exprimons que la projection du moment résultant OG des quantités de mouvement sur la perpendiculaire OH à OG dans le plan OIGC est nulle. Nous pouvons écrire à cette fin que la somme algébrique des projections sur OH des com- posantes g,, 9, de UG; suivant les axes principaux OC, OA (OA est l'axe équatorial contenu dans le plan OIGC) est nulle, soit ge Sin8+g,cos8 —0. (d) Si nous désignons par r,, r, les distances d’une masse élémen- taire »m aux axes OA, OC, nous aurons évidemment ge = ZMoc Mo = È mr.0 cos (i + 6) = C cos (à + #).0, = 2 Mo m0 = E mr [— 0 sin (i + 06)]—— À Sin (i + 6). 0. La relation (4) s'écrit alors : C cos (i + 9) sin 8 — À sin (2 + 9) cos 8 = 0, d'où sin(è+6) Ceos(i + 0) | ——————————————— — — ———————— e sin 4 A cos ou tg (à + 8) cotg 7. (f) À En combinant (b) et (e) nous obtenons Quant à (c), nous l'écrivons sous la forme sin © sin (4 + 4— 6 À - QE EE) let © Sin à sin 6 En introduisant dans cette expression la valeur (/f), nous avons À cos (à + 8) 0. (h) (25) i et 9 étant très petits, nous pouvons, sans grande erreur, poser 208 (à + 8 ; à +9 1 et même cos (i + 0) —1. IA | en C—A 1 Comme 0 — — 2x par jour sidéral et —— = =, on obtient 303 bien les valeurs (a) annoncées pour u et ». * k * La latitude d’un lieu géographique, qu'on détermine par les observations d'étoiles, se rapporte à l’axe de rotation OI de la Terre; or cet axe peut se mouvoir dans le globe; on conçoit donc bien que le mouvement du pôle instantané I de rotation à la surface du globe doit entrainer une variation de latitude géographique. Remarquons cependant que nous n'avons pas démontré que, pour un globe parfaitement rigide de révolution, ce mouvement doit exister, mais seulement qu'il peut exister. En effet, si OI coïncide originairement avec OC, il ne cessera pas de coïncider avec cet axe pendant tout le mouvement. Il faut donc vérifier expérimentalement si un écart entre ces deux axes existe. La variation de latitude se laisse voir encore plus nettement si on définit la latitude : le complément de l’angle que forme l'axe de rotation de la Terre soit avec la verticale du lieu d’obser- vation (latitude géographique), soit avec la droite qui joint le lieu d'observation au centre de la Terre (latitude géocentrique); dans les deux cas il s’agit d’un angle que forme une droite fixe dans la Terre avec l'axe de rotation (mobile dans la Terre). Suivant que cet axe se rapproche ou s'éloigne du lieu d'observation, la latitude de ce lieu augmente ou diminue. Il est clair que d’autres coordonnées astronomiques, telles que la déclinaison, l'angle horaire, l'ascension droite, etc., seront aussi affectées par le mouvement du pôle de rotation sur la sphère céleste (*). Mais nous nous bornerons à envisager ici celles (*) On peut consulter à ce sujet notamment : E. FERGOLA, Sulla Posixione dell’Asse di Rotazione della Terra rispetto al’Asse di figura, Naples, 1874; Vierteljahrschrift der Astr. Gesellsch. Leipzig, 1876, pp. 94-103. — (26 ) des latitudes. Nous avons à examiner dans le présent Travail : 1° Si les observations ont montré l'existence d’une variation dans les latitudes; 2 Si, cette existence étant prouvée, ces variations sont celles que prévoit la théorie eulérienne; 5° Sinon, de quelle manière on doit modifier l'hypothèse trop simpliste d'un globe rigide, et quelle peut être l'influence sur le mouvement du pôle de phénomènes perturbateurs géolo- giques, météorologiques, etc. PREMIÈRE PARTIE. Comparaison des résultats d'observation avec ceux de la théorie eulérienne. S 1. — Historique des observations. La première question qui se pose est celle-ci : se produit-il réellement des fluctuations dans la latitude d'un lieu? Les astronomes du XVIII siècle, si l’on en excepte deux ou trois, ne paraissent pas s’être préoccupés de telles fluctuations, ni même d’en avoir soupçonné l'existence. La variation de latitude, si elle existe, doit donc être très faible. [Effectivement les observa- tions postérieures ont montré qu'elle ne devait pas excéder deux ou trois dixièmes de seconde.] On comprend done pourquoi elle n'a été décelée qu'’assez tard. F.-R. HELMERT, op. cit., t. 11, 1884, p. 393. — G.-H. DARWIN, The Eulerian nutation of the Earths axis. (BULL. ACAD. DES SC. DE BELGIQUE, 1903, ne 1, p. 147.) — GC. LE PAIGE, Note (Bull. Acad. des sc. de Belgique, 1903, n° 1, p. 17), et les articles innombrables de F. FoutE (Bull. Acad. des sc. de Bel- gique), etc. (27) Pendant longtemps cette variation a été de l’ordre des erreurs d'observation. Mais les méthodes d'observation se perfectionnant sans cesse, il est arrivé un moment où l'on a pu dégager des chiffres la preuve de fluetuations; dans la suite, on est parvenu à préciser ces fluctuations et à déterminer la loi qu’elles suivent, x , » Bessel, Brioschi, Pond avaient déjà cru reconnaitre certaines variations dans les latitudes de Greenwich et de Naples. Brioschi parlait même (1820) d'une variation périodique et séculaire. Plus tard (1856-1860), Airy (*), en employant les valeurs de la réfraction donnée par Bradley, obtenait pour la latitude de Greenwich LOIS US ii 1421 . 0409838483 1942-4848. ne, 4 0.1. : 5199283847 1601-18600us vu. 02 010928/37 92 il attribuait la variation de latitude à des changements survenus dans la manière d'opérer. De plus, comme M. Nyrén l’a rapporté (**), Bessel avait aussi tenté de constater les variations de latitude au moyen d'observa- tions de la Polaire (combinées avec des lectures à une mire placee dans le méridien). Si l’on fait abstraction de ces quelques recherches, on peut dire que c'est à C -A.-F. Peters (**) qu’est due la première indication précise des oscillations périodiques des latitudes. Il a montré où en était la question de l'existence d’une période de (*) Memoirs of the Astronomical Society, t. XXXIL. (**) Beshimmung der Nutationsconstante. (BULL. Ac Sc. SAINT-PÉTERS- BOURG, t. XIX, 1871.) — Die Polhôhe von Pulkowa. (BuLL. Ac. SC. SAINT- PÉTERSBOURG., t. XXI, 1873.) (**) Resultate aus den Beobachtungen des Polarsterns. (BuzL. Ac. Sc. SAINT-PÉTERSBOURG, 1844, et ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN, t. XXII, 4844, n° 912.) — Recherches sur la parallaxe des étoiles fixes. (M£M. OBS. SAINT- PÉTERSBOURG, t. I, 1853) (28 ) dix mois (*) et a aussi recherché une solution pratique du pro- blème au moyen d'observations de la Polaire. Dans le mémoire de 1844, il a discuté 279 observations de cette étoile qu'il avait effectuées lui-même, pendant les années 1842-1843, au fameux cerele vertical d’Ertel de l’Observatoire de Poulkowa. IL a conclu que les variations pouvaient être déduites de la formule A? = r cos(E + 432071 t), où æ représente la latitude de Poulkowa, r = 0//079, £ — 541°6 et où { est évalué en années tropiques comptées à partir de 1842,0. On voit ainsi que le résultat des observations de Peters sem- blait réellement prouver que la latitude possédait une périodicité voisine de celle de dix mois. Cependant, à cette époque, on pouvait encore croire que les variations étaient dues à l'influence des saisons. Environ dix ans plus tard, J. Clerk Maxwell a publié (**) les résultats d'une longue série d'observations de la Polaire, faites, dans le même but, à Greenwich pendant les années 1851-1854. Il a conclu qu'il ne s'était produit, pendant ce laps de temps, aucun écart (compté à partir de la valeur moyenne) qui dépassât une demi-seconde d'arc, mais que ses résultats n'étaient nulle- ment en contradiction avec la théorie eulérienne, que,au contraire, ils semblaient indiquer une faible trace de minimum de latitude dans chacune des quatre années. A ces premières conclusions se rattachent de plus récentes énoncées par M. Nyrén, qui sont d'ailleurs contradictoires avec celles-là. Cet astronome a repris et développé les recherches de Peters dans deux célèbres mémoires (***). Là sont discutées (*) Cf. F.-R. HELMERT. op. cit., 1. IL, p. 394. (**) On a dynamical Top. (EDINBURGH Roy. Soc. TRans., 1857, t. XXXIT, p. 299.) (#**) Bestimmung der Nutationsconstante et Die Polhôhe von Pulkowa. (BuLL. Ac. Sc. SAINT-PÉTERSBOURG, 1871, t. XIX; 1873, t. XXI.) — Cf. HEL- MERT, 0p. et lib. cit., p. 396. (29) 762 observations faites à l'instrument des passages et au cercle vertical de Poulkowa par W. Struve, C.-A-F. Peters, H. Gyldén et M. Nyrén. Citons en passant les observations de S. Newcomb à l'Obser- vatoire naval de Washington de 1862 à 1867 (*), celles de A. Gaillot à l'Observatoire de Paris de 1856 à 1861 (**) et celles de Y. Villarceau au même Observatoire (***). Downing, à son tour, a publié (") les résultats d'une longue série d'observations de distances zénithales de la Polaire faites à Greenwich pendant les années 1868-1877. Ses conclusions se rapprochent beaucoup de celles de Peters, tant au point de vue de l'importance de la variation qu'au point de vue de l’époque du maximum de cette variation. Mais les trois séries d'observations de Poulkowa (faites par les astronomes russes cités et rapportées par Nyrén) viennent Jeter une note discordante. Ces dernières sembleraient permettre de conclure qu'aucune constance n'existe dans l'amplitude et la phase de la variation : ce qui est opposé aux conclusions de la théorie eulérienne. Nyrén pensait que la période de dix mois devait être très probablement affectée de perturbations irrégulières, sur les causes desquelles il était d’ailleurs très loin d’être fixé. (*) Ces observations ont été communiquées par W. THoMsoN à la fin de son célébre discours présidentiel de Glascow. Voyez Report of Meeting of the British Ass. for the Av. of Sc. Londres, 1876, p. 11, American Journal of Sc.. 1876, t. XII, et Arch. de Genève (2), 1876, t. LVIT. (**) GAILLOT à discuté 1077 déterminations de la latitude de l’Observa- toire de Paris, faites au cercle mural de Gambey. Voyez Comptes rendus, novembre 18178, et Annales de l'Obs. de Paris, 1869, t. VIII, p. 319. Il a trouvé que la moyenne mensuelle de la latitude montre une variation bien marquée qui dépend des saisons. (***) Voyez Annales de l’Obs. de Paris, t. VII, p. 350. VILLARCEAU, pour l'explication des écarts, s’est tenu dans une réserve prudente. On peut consulter aussi BOURLOT, Esquisse d’une étude sur les variations de latitude et déclinaison dans la région française. Paris et Colmar, et PÉRI- GAUD, Sur une triple détermination de la latitude du cercle de Gambey. (COMPTES RENDUS, novembre 1888, t. GVI.) (iv) The possible ten month period of variation in latitude. (MoNTHLY NOriCES OF THE R. AsTR. Soc. Londres, 1880, t. XL.) (50 ) Pour appuyer l'hypothèse de la variation, on pouvait déjà citer le fait que les latitudes de plusieurs observatoires impor- tants semblaient être soumises à des oscillations. Plusieurs exemples de telles oscillations ont été réunis par Fergola (*). C'est ainsi qu'on a trouvé : PesT Avant 1895 48050'13"0 1851-1854. 48030"11"2 1895-1896. 31°98/38/59 RSR EEE | 1837-1841. 510928/38/43 1849-1848. 31098"38/17 1851-1860. 31098/37/99 ÉERN TE | 1811 43097/60"7 1874 45027'39"19 a | 1807-1812. 41°53/54"96 | 1866 . 41033'54/09 A pe En a 40051'46/63 . Vo 40051/45/41 AURAS de 1845-1846. 38033/39/35 | 1861-1864. 38033'38"78 Cependant bon nombre de ces variations pourraient très bien ètre attribuées à des erreurs instrumentales. De plus des causes d'erreurs périodiques (**), telles que l'emploi d'une constante de réfraction entachée d'inexactitude, pourraient avoir une influence sur les résultats. * x + La question n'était pas encore Lirée au clair, lorsque Fergola @) Determinazione novella della latitudine del R. Osservatorio di Capo- dimonte, 1872. (**) Les mêmes remarques s'appliquent aux valeurs de la latitude de Poulkowa, données par 99056'18727. 9905618 "654. 9905618501. PETERS, en 1845. GYLDEN, en 1866. NYREN, en 1879-5 (31) proposa, au Congrès de Rome (*) (1888), de charger une com- mission spéciale qui procédàt à l'observation méthodique des variations de latitude; malheureusement on ne donna alors aucune suite à ce projet, qui devait d'ailleurs être réalisé plus tard et produire de si beaux fruits (**). Le problème aurait probablement encore attendu longtemps une solution si F. Küstner n'avait prouvé la réalité de variations dans les latitudes au moyen d'observations extrêmement précises. Dans un mémoire (***), il a publié les résultats des pointés qu'il avait faits lui-même à l'instrument des passages de l'Obser- vatoire de Berlin de 1884 à 1886. Ces résultats lui donnaient, pour la correction du nombre de Struve, une moyenne de — 0//,132, avec une erreur probable de 0//,01 à 0/’,02, valeur inattendue, puisque Nyrén avait trouvé à Poulkowa une correc- tion positive de + 0//,05. Aussi, pour expliquer cette anomalie, Küstner n'a vu d'autre moyen que de supposer qu'une variation se produisait dans la latitude : il lui semblait démontré que la latitude de Berlin avait été au printemps 1885 de 0//,20 plus faible qu'au printemps 1834 (1). (*) A ce même Congrès, J.-V. SCHIAPARELLI fit un rapport très intéressant. Il fit notamment remarquer que le problème de la variation des latitudes revient à déterminer les déplacements du pôle d'inertie G, puisque ceux du pôle de rotation I les suivent de très près. Il montra que ces déplacements exigeralent, pour atteindre une seconde d’arc, des transports énormes de masses à la surface du globe, mais que. si l’on fait entrer en ligne de compte une plasticité (du globe) suffisante, des actions géologiques actuelies peuvent très bien produire des effets appréciables. (Voyez Variazione dell’ Asse di Rotaxzione, Club Alpino, 1883). SCHIAPARELLI devait d’ailleurs reprendre et développer ces idées un peu plus tard, dans un beau mémoire : De la rotation de la Terre sous l'influence des actions géologiques. Saint-Pétersbourg, 1889. (**) Voyez les nombreux rapports du Service international des latitudes. (Internationaler Breitendienst.) (***) Neue Methode zur Bestimmung der Aberrationsconstante, nebst Untersuchungen über die Veränderlichkeit der Polhôhe. Berlin, 1888. Voyez aussi Astron. Journal, nos 431, 479. (iv) Ces résultats ont été communiqués au Congrès de Salzbourg (1888) et de Paris (1889). On peut du reste en avoir une analyse détaillée en consultant le Bulletin astronomique, t. V, décembre 1888, pp. 541 et suiv. (32) A. Nobile a traité aussi ce sujet si important dans trois mémoires. | Dans le premier (*), il a trouvé pour Naples une latitude sensiblement la même que celle que Fergola avait donnée : ce résultat exclurait done l'hypothèse d’une diminution séculaire. Dans les deux derniers (**), il a discuté ses propres observations ainsi que celles d’autres astronomes (Brioschi, Celoria, Rajna, etc.) faites à Naples, Poulkowa, Greenwich, Oxford, Washington. II semble ressortir de sa discussion que la latitude d’un lieu est sujette à une variation annuelle et possède un minimum au mois de mai (au moins pour l'Europe occidentale). L. de Ball s’est occupé aussi de cette question. Trois séries d'observations qu'il a effectuées ont montré un maximum de latitude au printemps, ce qui est contradietoire avec la conclusion de Nobile : en effet, douze années (1865-1876) d'observations faites à Oxford ont paru, d'après ce dernier, présenter un maxi- mum de latitude en automne. Il est cependant nécessaire de dire que ces résultats ne sont pas parfaitement nets et que quelques étoiles, entre autres la Polaire, sembleraient plutôt montrer un minimum en automne (***). Ces conclusions, bien qu’assez contradictoires, étaient déjà importantes : elles permettaient d'affirmer que la latitude d’un lieu n’était plus consiante, comme on l'avait admis pendant longtemps, mais bien variable, et que ses variations présentaient une certaine périodicité (voisine d’un an) ("\). (*) Terza determinazione della latitudine geografica del R. Osservatorio di Capodimonte. Naples, 1883. (**) En deux parties : Ricerche numeriche sulla latitudine del R. Osserv. di Capodimonte. Naples, 1885 et 1888. (***) Voyez encore Bulletin astronomique, tome V, décembre 1888. av) F. KüSTNER pensait à attribuer les variations de latitude à un dépla- cement angulaire de la Terre par rapport à son axe OI de rotation, qui reste sensiblement fixe dans l’espace, mais qui ne coïncide pas toujours avec le même diamètre terrestre. Selon lui, les phénomènes météorologiques ou souterrains provoqueraient des oscillations plus ou moins irrégulières de l'axe d'inertie principal OC autour de l’axe de rotation OI. Au reste, F.-R. HELMERT a parfaitement admis que ces fluctuations pouvaient exister, (55) x LR À cette époque ont commencé des observations systématiques. Au début de 1889 les Observatoires de Berlin, de Potsdam, de Prague et de Strasbourg se sont entendus pour entreprendre en commun une étude des petites oscillations des latitudes. Les résultats, très satisfaisants, ont été communiqués aux Congrès de Paris (1889) et de Fribourg (1890) : à ce dernier, notamment, on remarquait deux Notes fort intéressantes : l’une de Th. Al- brecht (*), l'autre de Mareuse (**). Dans la première étaient analysées et discutées les observations effectuées (de janvier 1889 à avril 1890) simultanément par Mareuse à Berlin, Schnauder à Potsdam, Weiniek et Gruss à Prague, Kobolïld à Strasbourg. On avait tracé les diagrammes de la valeur de la latitude pour chaque observatoire. L'allure des courbes de variation était très sensiblement la même, la concordance vraiment frappante (***). Pour Berlin, Marcuse obtenait : Janvier 1889. . : . . 52301720 ROMAIN, ee Lt: 5909094755 Février 1890. . . . . 52030'17' 05 mais estimait cependant qu’elles ne devaient pas excéder quelques centièmes de seconde, contrairement à l’opinion de W. THomson. Ce dernier (voyez son discours de Glascow) croyait qu’elles pouvaient atteindre une demi- seconde; cette opinion a été reproduite dans un mémoire de H. GYLDÉN [Ueber den Eïinfluss, welchen Aenderungen der Rotationsaxe der Erde auf das Meeresniveau ausüben künnen (BuLL. Ac. Sc. SAINT -PÉTERSBOURG, t. XVI, 1871)] et dans un travail de G.-H. DaRwIN {Influence of geological changes on the Earth's axis of rotation {PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS, Londres, t. CLXVII, 1877)|; cependant nous ferons observer que les calculs de THOMSON n’ont jamais été. à notre connaissance, publiés en détail et qu’on est donc en droit de mettre un peu en doute ce chiffre de 0”5. (*) Resultate der Beobachtungsreihen betreffend die Veränderlichkeit der Polhühen, 1890. . (**) Resultate der fortgesetzten Berliner Beobachtungsreihen betrefjend die Ver änderlichkeit der Polhôühen, 1890. (***) Voyez le numéro de septembre 1890 du Bulletin astronomique (t. VI) et les Astronomische Nachrichten, 1890, t. CXXV. 0) ©) (54) Dans la seconde Note, Mareuse rendait compte des observa- tions qu'il avait continuées lui-même à Berlin du 15 avril au 90 août 1890. Ces observations, comme les premières, conjir- maient nettement l'existence de la variation de la latitude. Ainsi pour Berlin on avait : Avril 1890 . . . . . . 52301744 | Août 4890 + à 4 {UNI ) 0ibB80 MT SAN * XX) 7% En 1890, l’astronome américain, S-C. Chandler (**), en faisant l'analyse harmonique des mouvements du pôle I indiqués par les observations, a découvert que ce pôle I de rotation décrit autour d’un point fixe C, de la surface de la Terre une courbe qui, rigoureusement, n'est pas fermée, mais que cependant le mouvement de 1 possède sensiblement une double périodicité : l’une des périodes est de douze mois (annuelle), l’autre de quatorze mois (et non pas de dix mois). Ce résultat était extrêmement important, et Chandier a continué pendant longtemps ses études (***) pour affermir et compléter ses conclusions. A cette époque, R. Radau (1) et F.-R. Helmert (Y) ont émis des consi- dérations théoriques très intéressantes, qui montrent comment les oscillations du pôle d'inertie C peuvent se retrouver consi- dérablement amplifiées dans celles du pôle de rotation. Nous aurons l’occasion d’y revenir plus loin. En 1891, on s’est résolu à envoyer une expéition à Honolulu (*) Voyez aussi une note de F. TISSERAND, dans le Bulletin astronomique, septembre 1890, t. VIT, p. 350, et quelques réflexions de A. GAILLOT : Sur les variations observées dans la latitude d’un même lieu. (COMPTES RENDUS, octobre 1890.) (**) Astronomical Journal, n°s 248-249, t. XI, 1891. (#*) Astronomical Journal, t. XI, XII, XV, XIX, XXI, XXII..., 4891, 1892... Voyez aussi Science, mai 1895. av) Bulletin astronomique, t. VII, p. 352; Comptes rendus, t. CE, p. 598; Méc. céleste de F. TISSERAND, t. II, p. 536. | (v) Astronomische Nachrichten, 1891, t. CXXVI, n° 3014. (55) pour y faire des déterminations de latitudes qu'on voulait com- parer ensuite à celles faites à Berlin pendant le même temps. [On a choisi Honolulu parce qu'il se trouve assez près du méri- dien opposé à celui de Berlin (171° ouest).] Si les variations des latitudes avaient leur cause dans le mouvement de l’axe instan- tané de rotation par rapport au globe, ces variations devaient se produire, à Berlin et à Honolulu, dans des sens opposés : un maximum de latitude à Berlin devait correspondre à un mini- mum à Honolulu, et réciproquement. Les résultats de cette expédition furent absolument conformes aux prévisions. L’amplitude «de l’oscillation des deux latitudes était comprise entre 0/'2 et 0/5; mais ce qu'il y avait de plus remarquable, c'était que les phases de la variation étaient pré- cisément opposées pour les deux stations (*). Ce fait confirmait nettement l'hypothèse déja plusieurs fois émise, à savoir que la variation des latitudes était causée (ou du moins trouvait son explication) par l'oscillation de l'axe instantané dans le globe. *x *X *X S. Newcomb a expliqué, dans une Note devenue célèbre (**), comment un certain degré d'élasticité de la Terre peut porter la période eulérienne de dix mois à la période chandlérienne de quatorze mois. Nous en reparlerons plus bas. Il a eu pour conti- nuateurs dans cette voie : S. Hough, I. Newton, Th. Sloudsky, V. Volterra, A. Sommerfeld, comme nous le verrons dans la partie théorique de ce mémoire. * *X _* À partir de cette époque, les publications traitant la question (*) Voyez Verhandlungen der 1895 in Berlin abgehaltenen Konferenx der internationalen Erdmessung, Berlin, 1896, et le diagramme reproduit (p.674) dans le 3e fascicule du bel ouvrage : F. KLEIN et A. SOMMERFELD : Ueber die Theorie des Kreisels. Leipzig, 1908. (**) On the Dynamics of the Eurth's Rotation, with respect to the Periodic Variations of Latitude. (Monraiy Norices, t. LIT, mars 1899, n°5, pp. 336 et suiv.) ( 56 ) de la variation des latitudes deviennent si nombreuses, qu'il est absolument impossible de les analyser ou même de les citer toutes. Nous nous bornerons seulement à mentionner les plus importantes d'entre elles. F. Gonnessiat, outre quelques remarques (*) sur les déter- minations de latitude effectuées par Périgaud (*), a publié un mémoire (***) où il analysait et diseutait ses propres observations. Ces observations confirmaient l'existence des deux oscillations du pôle terrestre indiquées par Chandler : l’une, de quatorze mois de période, a pour amplitude maxima 0/14; l’autre, annuelle, a presque la même amplitude (0155); de plus, Gonnessiat trouvait qu'on devait ajouter deux termes nouveaux ayant respectivement 1 an 8 et 9 ans 5 pour périodes, 0//04 et 0//10 pour coefficients. La formule qu'il a donnée est la suivante : ny À ge — 9 = — 014 cos É — [1890,00 — =) n — 0155 cos [O + à — 330] — (004 cos £ cs: [1889,00 sC 2) PE — 040 cos L “ L1888,: + 2) 7 n, où t désigne le temps, © la longitude du soleil, À la longitude terrestre rapportée au méridien de Lyon, et où les vitesses angu- laires ont pour valeurs : ln, = 807° à laquelle correspond 7, — 1 an 173, ns = 360° id. 7 — 14 an 00, | n; = 200° id. so 1a6 dl NN OT id, T = 9 ans (*) Bulletin astronomique, t. XV, mai 1898, p. 161. (**) Comptes rendus, novembre 1888, t. CVI. ***) Mém. Ac. Sc. Paris, 1898; et analyses dans les Comptes rendus, t. CXXIV, 1897, p. 938 et t. CXXVI, 1898, p. 710. 160 Les deux premiers termes sont ceux de Chandler ; le quatrième se rapporte probablement au déplacement des nœuds de l'orbite lunaire (*). Th. Albrecht a tenu le monde scientifique au courant des observations récentes des variations de latitudes par une grande quantité d'articles (**). IT formait des moyennes mensuelles de la latitude du lieu, qui, comparées à une certaine valeur moyenne, fournissaient les variations A+ de cette latitude. Après avoir compensé les Av par des tracés graphiques, il déterminait les coordonnées x, y du pôle de rotation [ au moyen des relations A? = x cos À + y Sin À, | | (où 2,4’, désignent les longitudes des stations à l’ouest de Green- wich) indiquées par Kostinsky (**). Il obtenait de la sorte pour polhodie une courbe très compliquée, dont l'allure générale était celle d’une spirale lévogyre. E.-F. Van de Sande Bakhuyzen s'est également beaucoup occupé de la question (*). Il trouve pour équations du mou- Ag'= x cos à + y sin À, 1 FAT 18 ans 2/3 - . : (*) En effet, sa période est de == environ et l’oscillation corres- pondante se propage de l’est à l’ouest. Le troisième terme a son coefli- cient n; vérifiant très sensiblement la relation de commensurabilité : Ns = AN, — ne. (**) Bericht über den Stand der Erforschung der Breitenvariationen, Berlin, 1896, 1897, 1898... ; Bericht über die Vorbereitungen für den inter- nationalen Polhôühendienst, Berlin, 1898 (AsTR. NaACHR., n° 3532); Bahn des Nordpoles der Erdaxe von 1895,1 bis 1899,8 (Asrr. NacHR., n° 3633), etc. (F**) Variation de la latitude de Poulkowa, 1893. Qv) On the motion of the Pole of the Earth according to the observations of the years 1890-1896 (BULL. Ac. Sc. AMSTERDAM, juin 1898); Some remarks upon the 14-monthly motion of the pole of the Earth upon the length of its period (In., octobre 1898); Sur le mouvement du pôle terrestre d’après les observations des années 1890-1897... [ARCH. NÉERLANDAISES (2), t. II, 1899]; The motion of the pole of the Earth according to the observations of the last years (BULL. Ac. Sc. AMSTERDAM, août 4900 :. (58) vement du pôle instantané [ (x, y) à la surface du globe : 360° 360° | xæ— 0”121 cos 365 (t— 271) + 0 15108 (! — 2412439), | 360° 360° Si = 1 Er Rey tv, EL ie == 6 y 0’’057 sin 365 (t— 271) —0/143 sin 132 (t — 2412438), où £ est la date julienne de l'observation [par exemple 2412464 — 1895,0, etc.]. Continuant ses études, S.-C. Chandler a publié, en 1897 et 1898, deux Notes (*) résumant l’ensemble des formules dorit il faisait usage. Il a conclu que la période nouvellement proposée était variable et que sa valeur moyenne de 1890 à 1897 était de 427 jours. Il a adopté finalement, après beaucoup de discussions, les équations x = 0/10 sin (86 — 308°) + r, sin 92(t —T,), y =0"11 cos(8 — 3) + r,cosa(t —T,), où les paramètres ont les valeurs suivantes : © T, = 24192646 + 427,0 E — 0,08 E*, 9 — 00843 + (000316 E, r, = 0195 + 0/05 sin (2414363 — 1) 0045; E désigne un nombre entier et @ la longitude du soleil moyen (**). (*) Synthetical statement of the theory of the polar motions (AsSTR. JourNaL, n° 406, 1897); Comparison of the observed and predicted motions of the pole {1890-1898) and determination of revisei elements (ASTR. JOURNAL, no 446, 1898). (**) Pour plus de détails, consultez Bulletin astronomique, t. XVI, février 1899, pp. 70 et suiv. Il faut remarquer que CHANDLER désigne par + x, +y ce qu'ALBRECHT représente par + y, —æx, en sorte que la variation de latitude est donnée, avec les notations de CHANDLER, par À ® = x Sin } — y COS À. ( 39 ) En 1902, Chandler revenait encore sur ce sujet (*). I] mon- trait que, pour l’ellipse de période annuelle représentée par les premiers termes des seconds membres de ses formules, la ligne des apsides tournait de l'est à l'ouest de 6° par an, dans le sens contraire à celui du pôle I sur la pollhodie; la période variait peu et ne différait jamais de l’année que de quelques jours en plus ou en moins. En outre, Chandler introduisait un nouveau terme, assez petit, ayant un coefficient de 0//09 et une période de 456 jours, qui représentait une composante du mouvement jumelle de la principale (sensiblement de même période) (**). Deux ans plus tard, H. Kimura, dans une série d'articles (**), disait que la période de quatorze mois devait être portée à quatorze mois et demi et, de plus, qu'il existait, dans la variation de latitude Av, un terme annuel 7, indépendant de la longitude À, qui devait être ajouté aux termes ordinaires, en sorte que Ag = x cos À + y Sin À + Z. On a essayé d'expliquer la provenance de ce terme (terme de Kimura) de plusieurs façons. (Voyez l’Appendice.) En 1900, avait déjà commencé à fonctionner le Service inter- nalional des latitudes, organisé par le Bureau central de l’Asso- ciation géodésique, sur les observations duquel s'appuyaient Chandler et Kimura. Ce Service avait six postes échelonnés le long du 39° parallèle : Mizusawa, Tehardjui, Carloforte, Gaithersburg, Cincinnati, Ukiah ; ces six postes, ayant des longi- (*) Astronomical Journal, nos 489, 490, 494, 495, 513, 519, 917, 524, 530, etc. (**) Voyez encore : S. NEWCOMB, Astronomical Journal, n° 452; REES, JACOBY et DARWIN, Astronomical Journal, n° 401; Boccarpi, Bulletin astro: nomique, avril 1900, t. XVII; KüsSTNER, Astronomical Journal, 1900 ; WEELER, Bulletin de l’Académie des Sciences, Amsterdam, avril 1900, etc. (**#) On the existence of a new annual term...(ASTR. NACHRICHTEN, n° 3783, t. CLVIIT;, On the six years cycle of the polar motion during the interval 1891-1902 (IBi., n° 3932, février 1904) ; On the period of the 14 ‘Je months term (EBip., n° 3981, novembre 1904); Results of the latitude determinations.…. (IBin., nos 4040-4041, août 1905 ; ASTRONOMICAL JOURNAL, n° 546, etc.) ( 40 ) tudes différentes, permettaient de déterminer avec exactitude (*) les deux composantes du mouvement du pôle. Pour plus de détails, consulter les nombreux comptes rendus des travaux exécutés par le Service, publiés par Th. Albrecht (*). En 1904, H.-G. Van de Sande Bakhuyzen (***) a encore émis des considérations théoriques sur ce sujet (voir plus bas), ainsi que L. Courvoisier (1*), A. Pannekoek (*) et P. Harzer ("). Enfin, parmi les travaux les plus récents citons encore ceux de R. Schumann ("), E. Grossmann (1), Th. Albrecht et B. Wa- nach (x), Faisons remarquer, pour terminer ce résumé d'observations, que les variations de position de l’axe instantané dans le globe peuvent encore se déceler expérimentalement d'une autre manière. Définissons la colatitude (géographique) d’un lieu par l'angle de la direction de la pesanteur en ce lieu avee l’axe de rotation de la Terre. Si nous supposons qu'il se produise un déplacement de cet axe, sans changement dans la direction de la verticale, il en résultera une variation de l'angle en question et, par conséquent, de la latitude géographique du lieu. On pourra done constater les variations de latitude au moyen des dévialions du fil à plomb par rapport à l’axe de rotation. Mais on doit observer que d'autres causes peuvent produire aussi des dévia- tions de la verticale. (*) Voyez, par exemple, Astronomische Nachrichten, n° 3808. (**) Provisorische Resultate des internationulen Breitendienstes in der Zeit von 1902,0 bis 1903,0 ; 1903,0 bis 1904,0, etc. (AsTR. NacHR., n°5 3945, 4017, 4191, etc.), et aussi : G. FÔRSTER, Ueber die Gewichte der Beobachtungen.…, ASTR. NACHR., n° 4045 ; R. RADAU, Bulletin astronomique, t. XIII, 1896, p.275; t. XVI, 1899, pp. 70 et 249 ; t. XVIIT, 1901, p. 280 ; t. XX, 1903, p. 259 t. XXIIL, 1906, p. 208. (***) Einige Bemerkungen über die Aenderungen der Polhühe.(AstR. NACEHR., 1904, n° 3937.) {v) Astronomische Nachrichten, 1904 et 1905, nos 3990, 3991, 4019, 4031. (v) Astronomische Nachrichten, 1905, nos 4008, 4024. (vi) Astronomische Nachrichten, 1905, no 4098. (vu) Astronomische Nachrichten, 1903, no 3877 ; 1907, nos 4149, 4143. (in) Astronomische Nachrichten, 1907, n° 4159. ax) Astronomische Nachrichten, 1907, n° 4167. C4) Ainsi G.-H. Darwin a recherché (*) quelles étaient les dévia- tions du fil à plomb produites par l'effet mécanique des pressions barométriques sur la croûte élastique de la Terre; il a déterminé aussi quelles étaient les variations de la verticale, au voisinage des mers, causées par le flux et le reflux. On voit, par des consi- dérations théoriques, que ces déviations peuvent être sensibles. Il est impossible de citer ici toutes les expériences faites dans ce but ; il suffit de faire remarquer qu'il y a possibilité expérimen- tale de les déceler de cette façon (**). *k % * Enfin, parmi les modes opératoires imaginés pour constater la variation de position de l'axe de rotation, l'un des plus originaux est la mesure précise (simultanée en plusieurs en- droits) de la hauteur de la marée. Il est clair qu'un déplace- ment de l’axe instantané doit influer sur les mouvements de l'océan en modifiant les phénomènes centrifuges ; un déplace- ment périodique entrainerait aussi une variation périodique dans le niveau moyen des mers. La difficulté réside dans l’apprécia- tion exacte de celui-ci. Cependant Van de Sande Bakhuyzen (***) (*) On variations in the vertical due to elasticity of the Earth surface. (PHILOSOPHICAL MAGAZINE, de série, t. XIV, 1882.) (**) Citons seulement au point de vue expérimental et théorique : L. HENGLER, Die astronomische Pendelwage. (DINGLERS POLYT. JOURNAL. Stuttgart, 1832.) — C.-A.-F. PETERS, Die kleinen Ablenkungen der Lothlinie. (BuLL. Ac. Sc. SAINT-PÉTERSBOURG, t. III, 1844; ASTR. NacHR., n° 507, 1845.) F. ZÔLLNER, Zur Geschichte des Horixontalpendels. (VERH. DER SAECHS. GESELLS. DER Wiss., Leipzig, 4872.) - A. D'ABBADIE, Études sur la verticale. (Assoc. FR., Bordeaux, 1872.) — Recherches sur la verticale. (ANN. Soc. Sc., Bruxelles, t. V, 1881.) — G.-H. DARWIN, Small displacements of the plumb line. (BRITISH Assoc. REPORT et MonTaLy Norices, 1881 et 1889.) — J.-G. HAGEN, Déviation du fil à plomb. (AStTR. Nacxr., 1884, t. CVII, no 2568.) — W. THomson et P.-G. Tair, Treatise on Natural Philosophy, t. II, 1883, p. 390.) - von REBEUR PASCHWITZ, Anwendung des Horixontalpendels (ASTR. NacHR., 1889, n° 2874; Buzc. ASTR., t. IV, 1887, p.541, ett. VI, 1889, p.183); Beobachtungen am Horizontalpendel (ASTR. NacHR., 1900, nos 3001-3009) ; et les travaux de PERROT, HENRY, ELLIS, DARWIN, FôRSTER, etc. (***) Astronomische Nachrichten, n° 3261. (42) et A.-S. Christie (*) prétendent avoir reconnu, dans le mouve- ment des marées sur les côtes hollandaises et américaines, une variation de quelques centimètres ayant une période de quatorze mois (**) : leurs résultats confirmeraient donc l'existence de la période chandlérienne. $ 2. — Conclusion à tirer des observations. Que conclure de tous ces résultats? En élaguant tout ce qui est douteux ou mal établi, on peut assez bien les résumer en disant : Le mouvement du pôle de rotation 1 à la surface du globe se compose de deux autres uniformes :° l’un, circulaire, d’une périodicité de quatorze mois; l'autre, elliptique, d'une periodicité de douze mois,en sorte que les équations du mouvement deÏ sont : 27 27 UT ({— 7) + B cos (1 — +2) (1) AT Fr: PR où À, B, B', +3, r, sont des constantes convenablement choisies et où { désigne l'époque. Par exemple, S.-C. Chandler avait indiqué avant 1898 (*"*) : LE. — 0/16, B— 015, B' — 0//04, Tr, =D oct. 1892 + Vi X wx7) Jours = = D octobre, en choisissant pour axes coordonnés : Direction 45° longitude Est de Greenwich pour axe Ox, ( Ido Hop id. id. id. Oy. (Orientation inverse de celle que nous avons adoptée.) (*) Bulletin of the Phil. Soc. of Washington, t. XII, 1895, p. 103; Astr. Journal, n° 351, 1896. (**) Voir également sur ce sujet : H. GYLDÉN, Mélanges Ac. Saini- Pétersbourg, t. IV, 1870. - W. THomsoN, Collected Papers, 1. I, p. 332. — J. LaARMOR, Proceedings of Cambridge Philosophical Society, t IX, mai 1896. (***) Valeurs d’ailleurs rapportées par L. GRABOWSkI. [Eïnige Bemer- kungen zur Erklürung der Polbewegungen. (SITZUNGSBERICHTE DER K. Ak. DER Wiss., Vienne, 1898, t. CVII, p. 507.)] ( 43: ) De plus la variation de la latitude peut être représentée par A? =xsinÀ—ycosA +z, (2) À étant la longitude de la station (comptée dans un sens conve- nable à partir d’un certain méridien) : z désigne le terme annuel de Kimura, indépendant de À. Cependant si l’on s'en tenait aux formules (1), on pourrait croire que la polhodie se ferma (épicycle) au bout de sept ans (plus petit muitiple des périodes de douze et de quatorze mois), ce qui serait contraire à la réalité : en fait, il se produit des oscil- lations du pôle d’un troisième genre qui ne semblent pas être périodiques. Dorénavant nous appellerons oscillations de première espèce, les oscillations du pôle qui ont la période chandlérienne de quatorze mois; oscillations de deuxième espèce, les oscillations qui ont la période annuelle (douze mois); el oscillations de troisième espèce, les petites oscillations qui ne semblent suivre aucune règle. Nous allons maintenant montrer, par une analyse élémentaire due à A. Sommerfeld (*}, comment du chemin du pôle (tracé d'après les observations) on a pu déduire que ses oscillations présentent la double périodicité annoncée. Nous extrayons la figure ci-après (fig. 3) du Rapport de la Commission des latitudes fait à Berlin en 1900, d’ailleurs repro- duite dans l'excellent ouvrage de Sommerfeld (**). Cette figure montre le chemin qu'a suivi le pôle de rotation de 1890 à 1899,8. Les nombres inscrits désignent les dates (années et dixièmes d'année) pour lesquelles on a fait la réduction de l’ensemble des observations des diverses stations. (*) Voyez F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Üeber die Theorie des Kreisels, 3° fascicule, 1903, pp. 677 et suiv. Le procédé n’est applicable que sous certaines restrictions (0p. cit., p. 129). (**) Op. cit., 3e fascicule. p. 675. (44) A cause du grand nombre d'observations, l'erreur moyenne de chacune des coordonnées n’est que de 0//03. L'origine des coordonnées a été choisie à la position moyenne du pôle de rotation. ,30 : 200 +0,20" +210 0*00 -0r0 -0;20 0;30 Me A première vue, le mouvement du pôle ne semble obéir à aucune loi simple. On est bien loin du simple mouvement cireu- laire d'Euler : à peine, de 1890,0 à 1891,5, la trajectoire a-t-elle quelque analogie avee une circonférence. Cependant ce qui doit nous frapper, c’est que le mouvement du pôle de rotation est direct, c'est-à-dire qu’il a le sens que la théorie eulérienne indique : à part toutefois pendant le laps 1895,0 à 1895,6 (où ont agi probablement des influences perturbatrices antagonistes, ou bien se sont produites des erreurs d'observation plus consi- dérables). L'amplitude de l’oscillation du pôle est toujours inférieure, en module, à 0//3 et même à 0//29; elle reste, en moyenne, égale à 0/25, au moins pendant 1890,0 à 1892,0; vers 1895,3 (046)) l'amplitude est devenue presque nulle, probablement encore sous l'influence de phénomènes accidentels, car, peu après, elle est redevenue égale à 0/"20 (*). La valeur moyenne de l'amplitude peut être prise égale à 0//195, soit un huitième de seconde, ce qui correspond à un écart du pôle (compté à partir de sa position moyenne) de 4 mètres environ à la surface du globe. Cette valeur moyenne est encore inférieure au chiffre 0//2 de Peters. Mais ce qui nous intéresse surtout, c'est le point de savoir si ces oscillations du pôle sont périodiques ou non. Pour tirer cette question au clair, nous allons procéder de la manière suivante (méthode assez grossière, mais suffisante pour notre objet) : Faisons abstraction de la boucle rétrograde de sept mois (durant de 1895,0 à 1895,6), en la supposant donc parcourue dans le sens direct comme les autres spires. Nous constatons alors que, dans l'intervalle de neuf ans cinq mois (1890,0-1899,4), le rayon vecteur (unissant l'origine à la position instantanée de 1) a accompli huit révolutions : on voit donc déjà que le mouvement du pôle a une période 7, de 9,4 9,4 T4 = Fous SOIT Ty — X 192—14,1 mois : Le c'est la période chandlérienne. [Évidemment notre grossière évaluation n’a rien de commun avec les procédés très précis de Chandler, mais, encore une fois, nous voulons seulement donner ici une idée de la découverte.] Supposons que le mouvement du pôle ait plusieurs périodes Ty, To. …. Si nous désignons par z— x + ?y le pôle I (ajjixe), (*) L’amplitude a décru régulièrement de 1890 à 1895, puis a augmenté jusque 1898; à partir de cette époque, elle a de nouveau diminué, puis recommencé à croître, etc. [Voyez Astronomische Nachrichten, n° 3808.] (46 ) nous pourrons alors écrire cette quantité complexe sous la forme : : t N Ti r ,—27i À (*) + 090" 7 + deb Te 5 —- Ainsi nous supposons a priori que le mouvement du pôle I peut être réalisé par la combinaison de plusieurs mouvements elliptiques (*) : z = de7i + de-?7##, de périodes +4, to, … Nous venons de déterminer la période +, (= 14 mois environ); pour l’éliminer de la figure représentant les oscillations du pôle, nous ferons { = t et { — t + 71, et nous soustrairons les deux valeurs de z correspondantes l'une de l’autre : Lin — = (En — e27i a) ce (etre — e=27i =) + . . o « . - . C2 > . . . . . . - . . = = ,. TA 9 di ù TA .ÿe à NC L)e?r _ à A Con LD Lan) 0 t t Her Ne Res vi + . = = Û # ; 4 x - : - ‘ , R, R’,... désignant de nouvelles constantes complexes. Ainsi l’une quelconque des périodes restantes +9, t3, … joue, vis-à-vis de la différence z,,., -- z,, le même rôle analytique que r, joue vis-à-vis de z,. Il suffit done, pour éliminer r,, de construire une nouvelle courbe dont le point générateur (pôle fictif) soit l’affixe de l’ima- ginaire z, = Z,,., — Z,. Nous joindrons par des vecteurs tous les (*) 4 désigne ici l’imaginaire V—1, et les 7 représentent des constantes (complexes pour plus de généralité). (**) Ce ne serait pas le cas pour des oscillations dont l’amplitude décroîtrait suivant une exponentielle du temps, telles que celles envisagées dans la Quatrième partie. CAT) points de la vraie trajectoire du pôle à leurs homologues sur la même courbe (*) (xomologues signifiant ici positions du pôle au commencement et à la fin de l'intervalle constant 14 mois — 1,17 an); et à partir d’un point quelconque 0’, nous mènerons des rayons vecteurs équipollents aux vecteurs de la première figure. Nous obtiendrons de la sorte une nouvelle figure, encore plus complexe que la première, mais débarrassée de la période de quatorze mois. L'inspection de cette figure (**) nous montre que l'amplitude est généralement de moitié moindre, c'est-à-dire inférieure à 0//15. Nous pouvons conclure de [à qu'il existe, en réalité, une période de quatorze mois et que la moitié de l’am- plitude est due à des oscillations de première espèce; et, comme la nouvelle figure est plus compliquée que la première, que les oscillations de deuxième espèce sont moins régulières et moins simples que celles de première espece. Ces oscillations de deuxième espèce sont-elles bien celles que nous avons désignées sous ce nom ci-dessus ? En d’autres termes, possèdent-elles une période annuelle ? Pour le voir, nous procé- derons comme nous venons de le faire, Nous remarquerons que les positions du pôle fictif correspondant aux millésimes exacts (1890, 1891, 1892, 1893, 1894, 1895, 1896, 1897, 1898) tombent toutes, à très peu de chose près, dans le même quadrant de la nouvelle figure, et nous verrons ainsi que se dessine très sensiblement une période annuelle (en faisant toujours abstraction des boucles rétrogrades) (périodicité +, = 12 mois). En utilisant de nouveau notre procédé graphique pour rechercher s'il n'existe pas une troisième période r;,, nous (*) Par exemple nous joindrons par un vecteur les positions du pôle pour 1890,0 et 1891,17; l’affixe du vecteur équipollent de la nouvelle figure sera marqué 1890.0 et ainsi de suite Pour découvrir les périodes cachées, voyez aussi H. BURKHARDT, Entwicke- lungen nach oscillierenden Funktionen. (JAHRESBERICHT DER DEUTS. MATH. VEREINIGUNG, t. X, 1901, pp. 319-333); A. ScHusTER, Nature, t. LXVI, 1909, pp. 614-618. (**) Voyez F. KLEIN et A. SOMMERFELD, op. cit. 3° fascicule, pp. 680, 681. ( 48 ) obtenons une figure (*) qui rappelle un peu la forme d’un huit, dans laquelle aucune périodicité ne se laisse deviner. Il s’agirait donc iei d'oscillations de troisième espèce non périodiques, mais présentant plutôt un caractère de variations dues à des phéno- mènes perturbateurs agissant apparemment sans loi simple. La grandeur de ces oscillations est à peu près de l’ordre de celle des oscillations de deuxième espèce. Nous avons résumé ici le raisonnement de Sommerfeld, vrai chef-d'œuvre de clarté (**). Condensons encore davantage notre résumé. Le mouvement du pôle se compose : 1° d’oscillations de première espèce, périodiques de quatorze mois, ayant une amplitude moyenne de 0//,15; 2° d'oscillations de deuxième espèce, périodiques de douze mois, ayant une amplitude moyenne inférieure à celle des oscillations de première espèce; 3° d'oscillations de troisième espèce irrégulières d’une ampli- tude à peu près égale à celle des oscillations précédentes. Enfin dans la variation de la latitude intervient un terme (***), pas encore bien expliqué, indépendant des coordonnées x, y du pôle. $ 3. — Comparaison entire la théorie eulérienne et l'observation. Raisons de la différence entre leurs résultats. Il n’est pas nécessaire de réfléchir longtemps pour apercevoir la grande différence qui existe entre les résultats (pour le mouvement du pôle) de la théorie eulérienne de ceux de l'obser- vation. Alors que la première exige un mouvement régulier périodique de dix mois, l’autre montre un mouvement très complexe, composé d’oscillations périodiques de quatorze mois et de douze mois et d'oscillations irrégulières. (*) Voyez F. KLEIN et A. SOMMERFELD, op. cit., 3° fascicule, p. 683. (**) Pour plus de détails consulter son ouvrage, 3° fascicule, chapitre VII, Section B. (***) Terme de KIMURA. (49 ) D'où provient cette différence ? Elle provient de ce que la théorie eulérienne pari d'une hypothèse trop simple : elle suppose que la Lerre est parfaitement rigide, c'est-à-dire qu’elle ne se déforme pas sous l’action de sa propre rotation et que ses parties ne changent pas de position les unes vis-à-vis des autres, et enfin elle fait abstraction des phénomènes perturbateurs qui peuvent se produire en son inté- rieur ou à sa surface. Li # * Il faut du reste remarquer que la théorie eulérienne n'envisage pas l’action des forces extérieures (principalement l’action luni- solaire). Sans vouloir traiter ici le problème de la rotation d’un corps (solide ou non) sous l'action des forces extérieures, nous ferons seulement observer que ces dernières introduisent de petites perturbations dans le mouvement de l'axe instantané dans le globe. E. Mathieu a fait une étude très pénétrante (*) de cette question, en supposant la Terre parfaitement rigide. Il a montré d’une manière rigoureuse que les forces extérieures peuvent produire de petites oscillations périodiques dans la période de dix mois, qui doivent jouer le rôle de variations d’un second genre : ces oscillations sont d’ailleurs très petites. Au reste R. Radau a fait observer (**) que les forces extérieures compliquent un peu le phénomène du déplacement eulérien : le mécanisme connu de la précession et de la nutation luni-solaire produit une faible variation diurne (***), dont le coefficient oscille entre 0 et 0//02 (ce qui fournit un écart maximum de 0’/04, dont il ne semble pas qu'on se soit préoccupé dans la détermination des constantes du cycle eulérien). Cependant nous ne ferons pas cas des forces extérieures, car (*) Journal de mathématiques pures et appliquées, 8e série, 1876, t. IL. Nous ne citons pas les travaux classiques de LAPLACE, POISSON et SERRET. (**, Bulletin astronomique, septembre 1890, t. VIL. p. 359. (***) Voir à ce sujet des explications plus complètes dans la Mécanique céleste de F. TISSERAND. t. 11, 1891, pp. 490 et 496. 4 ( 90 ) leur considération nous mènerait trop loin; au reste l'oscilla- tion qu'elles produisent est de l'ordre de lerreur moyenne (0/03) des observations les plus précises. Il est bon de rappeler que les recherches de F. Gonnessiat (*) semblent montrer, dans la variation de latitude, un terme dépendant de la position des nœuds de l'orbite lunaire. L'hypothèse d'un globe parfaitement rigide ne peut d’ailleurs se justifier. Tout d'abord les considérations cosmogoniques, les consta- tations géologiques semblent montrer que l’intérieur de la Terre est, au moins en partie, fluide (**). De ce chef le problème de la rotation du globe devient beaucoup plus compliqué, et les équations d'Euler ne suffisent évidemment plus pour déterminer les lois du mouvement. De plus, l'écorce [ou la Terre elle- même tout entière, si on la suppose à l’état solide (**)] ne possède qu'une rigidité relative et doit se déformer sous l’action de sa propre rotation : cette déformation (bourrelet équatorial) ne suit elle-même les variations de position de l’axe instantané qu'avec une vitesse d'adaptation plus ou moins grande. Enfin les frottements du noyau fluide sur l'écorce [ou tout au moins d'une couche visqueuse sous-jacente (!*)] doivent également introduire des perturbations dans les lois de la rotation. Les changements géologiques que nous invoquons pour expli- quer certains accidents de la croûte terrestre, ou que nous voyons actuellement s'opérer sous nos yeux, ont eu ou ont (*) Cf. Comptes rendus, t. CXXIV, 1597, p. 938. A un autre point de vue, W. DE SITTER trouve que l’action luni-solaire pourrait donner lieu à une petite influence qui, en se combinant avec celle de la parallaxe (002) de KAPTEYN, fournirait la moitié du terme complémentaire + de KimuRA entrant dans l’expression de la variation Av de latitude. (Voyez l’Appendice.) (**) Hypothèse de la plupart des géologues. (***) Hypothèse de W. THOMSON. (iv) Hypothèse de E. WIECHERT. (51) encore une répercussion sur la rotation de la Terre. A cette catégorie de phénomènes appartiennent les éruptions volca- niques, le soulèvement ou l’abaissement séculaire de certaines contrées, la formation de nouveaux continents ou de nouvelles montagnes, etc. Nous devons également tenir compte de l'existence des océans : les protubérances qu'ils forment sous l'action combinée de l’attraction du Soleil, de la Lune et de la force centrifuge, le frottement des marées sur la surface du globe influent eux aussi sur la rotation de ce dernier. Les courants marins, même s'ils ne changent guère la répar- tition des masses à la surface du globe, introduisent dans les équations différentielles du problème des quantités de mouve- ment relatif et modifient de ce chef les circonstances du mouvement de la Terre. Nous en dirons autant des perturbations atmosphériques, qui, cependant, peuvent produire en outre des inégalités plus sensibles dans la répartition des masses. La fonte des glaces polaires, le déplacement, la formation ou la disparition des glaciers sont encore autant de causes capables d'amener des perturbations dans le mouvement du globe. Le ruissellement des fleuves, l’arrachement et la désagrégation de roches ou de terrains déjà formés, le dépôt des alluvions aux embouchures des cours d’eau, le desséchement de lacs ou de mers intérieures, l’action chimique des eaux, etc., peuvent aussi apporter des fluctuations dans ce mouvement. Enfin, comme causes extérieures, on a même songé à invoquer un couple magnétique en rapport avec les taches du Soleil (*) (*) Sans vouloir discuter iei cette influence. nous mentionnerons cepen- dant quelques articles qui s'y rapportent J. HALM a montré [On a peculiar connection. (ASTR. NACHR., n° 3619)], par la comparaison de diagrammes que les mouvements du pôle terrestre semblent assez bien être affectés de la période de onze ans des taches solaires et de la période de cinquante à soixante ans de ces taches et des aurores boréales. Après que W. THACKERAY eut contesté (ASTR. NACHR., n° 3635) cette affirmation, il a répondu [Latitude variation, Earth magnetisma and Solar activity (ASTR. NacR., n° 3649) (52) et aussi les chutes de météorites qui introduisent des nouvelles masses dans l'écorce du globe. Nous n'avons pas l'intention de citer ici toutes les causes perturbatrices : ce que nous venons de dire suffit pour faire comprendre combien est complexe le problème de la rotation de la Terre. Seulement une question se pose : Ces phénomènes ont une influence sur la rotation de la Terre; mais leur influence est-elle sensible et parvient-elle à expliquer les grands écarts qui existent entre la théorie eulérienne et l'observation ? En d'autres termes, au point de vue qualificatif cette influence est incontestable; mais l’est-elle aussi au point de vue quantitatif? Pour expliquer telle ou telle de leurs anomalies, la cosmogonie, la géologie, la climatologie, la paléontologie peuvent réclamer des mouvements considérables de masses à la surface ou à l'intérieur du globe qui se seraient produits dans les temps préhistoriques. Elles ont beau jeu d’invoquer l’existence de changements énormes qui auraient eu lieu dans l'écorce terrestre, à la surface de la Terre, dans l'atmosphère pendant l’époque de la genèse de notre monde. Les hypothèses peuvent être avancées du moment qu'elles expliquent, d'une manière satisfaisante et suffisamment rigoureuse, les faits constatés (*). Sans vouloir contester en aucune façon l'exactitude de leurs assertions, nous citerons, dans cet ordre d'idées, quelques opi- nions d’auteurs. en produisant les diagrammes qui représentaient, d’une part, la fréquence des aurores et perturbations magnétiques et des taches solaires, et, d’autre part, les variations de l’obliquité de l’écliptique, des latitudes et des ascen- sions droites du Soleil : d’après lui, la similitude des deux courbes prou- verait l’action du Soleil sur l’axe magnétique du globe (distant d'environ 19° de l’axe géométrique de la Terre). (*) C'est ainsi que les discussions qui ont surgi surtout entre les géologues anglais ont montré la faiblesse et l'insuffisance de théories regardées jusque- là comme très solides. (58) J. Evans (*) pensait que la présence d’une riche flore crétacée et tertiaire sous le 80° parallèle ne pouvait trouver d'autre expli- cation que dans un changement notable de la position des pôles. E. J. Stone (**) croyait que primitivement l'axe de rotation de la Terre avait été assez écarté de son axe géométrique; mais que, par suite de phénomènes de frottement (tels que celui des marées), l’axe de rotation s'était graduellement rapproché de l’autre. Dans un de ses Mémoires (***), H. Gyldén émettait l'avis que la différence C— À entre les moments d'inertie polaire et équatorial du globe avait pu être originairement très petite, mais qu'elle aurait augmenté par suite des érosions que l’action continuelle des eaux produit sur les continents ; cette hypothèse pourrait fournir une explication de la période glaciaire, car cette augmen- tation aurait eu pour conséquence de rapprocher l'axe de rotation de l’axe géométrique et de faire décrire ainsi au pôle de rotation Ï une spirale autour du pôle géométrique C, (qui l'aurait graduellement rapproché de ce dernier). G.-H. Darwin (") et S. Haughton (*) ont déterminé les mouvements du pôle causés par les soulèvements des con- tinents actuels et l’affaissement des vallées océaniques, etc. Ces divers résultats sont très intéressants. Mais nous voulons examiner Ici si les phénomènes que nous voyons s’opérer sous nos yeux peuvent avoir une influence notable sur les mouvements du (*) Quarterly Journal of the geological Society, t. AXXII, 1866; Procee- dings of the R. Soc., Londres, 1866. (**) On the possibility of a change in the position of the Earth's axis. (MonrLy Norices, Londres, t. XXVII, mars 1867.) (***) Rotationslagarne fôr en fast kropp, hvars yta är betäckt af ett flytande ämne. (Buzz. Ac. Sc., Stockholm, 1878, n° 7.) Voyez aussi KLEE, Der Urzustand der Erde und die Hypothese von einer Aenderung der Pole, 1843. (iv) Influence of the geological changes... (Paiz. TRANS., Londres, 1877, t. CLXVII.) (v) Notes on physical Geology. (PRoCEED. OF THE R. Soc., Londres, 1878, t. XXVL.) (54) pôle et, notamment, s'ils peuvent être la cause des différences existant entre la théorie eulérienne et les observations. Nous montrerons : 1° Que les oscillations du pôle de première espèce peuvent voir leur période de dix mois devenir celle de quatorze mois, si l'on fait entrer en ligne de compte l'élasticité de la Terre (Deuxième partie) ; 2° Que les oscillations de deuxième espèce (de période annuelle) peuvent être causées par des phénomènes géologiques et météorologiques (notamment les déplacements atmosphé- riques), si l'on observe que l'influence de ces derniers peut être notablement amplifiée par une sorte d’interférence qui se produit entre les périodes de quatorze et de douze mois (*) (Troisième partie) ; 3° Que les oscillations de troisième espèce peuvent également être produites par des phénomènes accidentels (géologiques et surtout météorologiques) (Troisième partie). [Pour l'explication des 2° et 3°, nous aurons besoin d'exposer la Théorie du mouvement de rotation d'un corps de forme variable.] Enfin nous donnercens quelques opinions d'auteurs sur Ja cause du terme de Kimura entrant dans l'expression de la varia- tion de latitude (Appendice); mais auparavant nous montrerons que quelques phénomènes (**) peuvent diminuer l'amplitude des oscillations du pôle au lieu de l’'augmenter (Quatrième partie). D'où les dernières divisions de notre Travail : DEUXIÈME PARTIE. — Explication de la période chandlérienne au moyen de l'élasticité de la Terre. T&OISIÈME PARTIE. — Explication des oscillations annuelles et apériodiques. (*) Multiplication de Ravau et HELMERT. (Op. cit.) (**) Tels que le frottement des marées, l’existence d’une couche visqueuse non élastique à l’intérieur du globe, ete. (55) A. Théorie du mouvement de rotation d'un corps de forme variable. B. Influence des mouvements internes sur le déplacement du pôle : a) Influence directe des phénomènes ; b) Influence indirecte des phénomènes. QUATRIÈME PARTIE. — Influence de phénomènes jouant le rôle de résistances passives. APPENDICE. — Quelques mots d'explication sur le terme de Kimura. NoTe. — Complément de la section À de la Troisième partie. DEUXIÈME PARTIE. Explication de la période chandlérienne au moyen de l’élasticité de la Terre. $S 1. — Résumé très succinct des théories émises sur la composition du globe. Nous ne ferons pas ici une analyse détaillée de tout ce qui à été écrit sur ce sujet (*); nous nous bornerons à citer les principaux travaux qui ont un rapport assez étroit avec la variation des latitudes. W. Hopkins est le premier qui se soit occupé de la question. Dans trois Mémoires (**) il a cherché s’il était légitime de sup- (*} G.-H. DARWIN, The Tides, Londres, 1898, et Sw. ARRHENIUS, Kosmische Physik, Leipzig, 1908. (*#) Philosophical Transactions, Londres, 1839, 1840 et 1842. (56 ) poser, comme le faisaient beaucoup de géologues, que la Terre se composàt d'une masse fluide recouverte d’une mince croûte solide. En se basant sur les mouvements de précession et nutation luni-solaires, il a conelu que la Terre devait posséder une écorce solide, d'épaisseur au moins égale au cinquième de son rayon. La conelusion de Hopkins a donné lieu à de vives contro- verses ; on lui reprochait de négliger le frottement et d'admettre implicitement que, pendant la solidification de la surface du fluide incandescent qui devait former la croûte, les molécules n'éprouvassent aucune modification de position relative. H. Hen- nessyÿ (*) prétendait qu'un globe, composé d’un noyau fluide et d'une mince écorce rigide, devrait avoir le même mouvement qu’une Terre rigide (**); Delaunay défendait la même opinion (***) en s'appuyant sur une expérience de laboratoire : en sorte que, d'après eux, l'étude des circonstances du mouvement du globe ne pouvait rien nous apprendre de contraire à l'hypothèse prémen- tionnée. Airy (1%), H. Faye (*), A. Ritter () ont plaidé aussi en faveur de cette opinion en s’appuyant principalement sur des considérations cosmogoniques. Les résultats de Hopkins, ou plutôt ses hypothèses et ses considérations mécaniques ont été attaquées, à un autre point de vue, par J.-G. Barnard (v) et W. Thomson (v"). (*) Philosophical Transactions, Londres, 1851; Comptes rendus, Paris, mars 1871; Nature, Paris, 1872. (**) Voyez aussi PLANA, Astronomische Nachrichten, nos 860 et 861, mai 1853. (***) Comptes rendus, juillet 1868. av) The Interior of the Earth. (An. CAMBRIDGE Assoc., 1878, et NATURE, t. XVIII, 1878.) (v) Comptes rendus, passim. (vi) Ann. de Wiedemann, 1879. (vu) Problems of rotary motions. (SuirHs. CONTRIB. TO KNOWLEDGE, t. XIX, 1874.) Gin) On the rigidity of the Earth. (PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS, Londres, 1865.) 6°979) Cependant ce dernier affirmait (*) que, bien que les raison- nements de Hopkins ne fussent pas coneluants, on ne pouvait pas supposer qu'il existât à l’intérieur de la Terre une masse liquide continue sphéroïdale possédant au moins 5 kilomètres de rayon, sans qu'il en résultät des modifications sensibles dans certains phénomènes. | Il faut du reste observer que Hopkins admettait que la croûte terrestre restait entièrement rigide et invariable de forme, ce qui est physiquement impossible. En effet aucune substance ne possède une rigidité parfaite, comme l’ont montré les expé- riences de Tresca (**), de Saint-Venant et de Kohlrausch. Il s'ensuit que l'écorce, même épaisse, doit être de toute nécessité flexible et doit, par conséquent, céder, dans une certaine mesure, aux marées que l'attraction luni-solaire ne manquera pas de provoquer en agissant sur l'intérieur fluide. Reste à savoir si ces marées terrestres (bodily tides) sont sensibles (***). La croûte terrestre et la mer, qui la recouvre partiellement, se soulèvent- elles ensemble de quantités du même ordre? Nous ne nous apercevrions alors que du soulèvement relatif de l'Océan, c’est-à- dire d'une marée « différencielle » peu sensible, puisque nous subirions les mouvements de la croûte. A ce sujet, W.Thomson (1°) donne les indications suivantes : si la Terre était une sphère de verre massive, son élasticité ferait que la marée océanique actuelle serait réduite aux deux cinquièmes de sa valeur; si elle était en acier, cette marée serait réduite aux deux tiers. [l montre ainsi que la Terre est beaucoup plus rigide, dans son ensemble, que le verre, que l'acier, qu’une roche quelconque : selon son avis, l'hypothèse d’après laquelle le globe se composerait d’une (*) Idem. Voyez aussi Math. and phys. Papers, t. IL, art. 45, et Popular Lectures, 1. II, p. 238. (°*) Mémoires des savants étrangers, Paris, t. XVIII. (***) Voyez à ce sujet M. LÉvVY, Théorie des marées, t. II. (v) Op. cit. En outre Treatise on natural Philosophy, t. II, 1883, art. 843. (58) masse liquide de roches et métaux fondus, recouverte d'une écorce mince, serait absolument à rejeter (*). Cette opinion est aussi celle de G.-H. Darwin, qui s'est attaché à développer les considérations de Thomson dans une série de Mémoires. Dans le premier (**) de ces Mémoires, il a déterminé les hauteurs que peuvent atteindre les marées océaniques, au cas où l’on suppose le globe se composer d'un liquide élastique et incompressible. Il est arrivé aux mêmes conclusions que Thomson, à savoir que les marées océaniques ne pourraient atteindre, dans ce cas, qu'une fraction de ce qu’elles atteindraient dans l'hypothèse d'un intérieur rigide; cette fraction serait d'autant plus petite que le frottement et la viscosité seraient plus faibles (***). Au contraire, H. Hennessy (") continuait à défendre l'hypo- thèse d'un intérieur fluide, adoptée d’ailleurs par la plupart des géologues. Selon lui, la Terre aurait un noyau fluide visqueux compressible; cela pourrait expliquer les petites anomalies des marées océaniques et serait du reste conforme à l'accroissement de la densité en profondeur. Dans un Mémoire postérieur (*) G.-H, Darwin a étudié la rotation d'un sphéroïde visqueux et complètement élastique sous l'influence de forces extérieures. Six ans plus tard, S. Oppen- heim (") s'est placé aussi à ce point de vue. (*) W. Taomsox critiquait encore les vues de Hopkins au moyen de la théorie de la précession et de la nutation; mais, en 1876, il a déclaré lur- même qu'il retirait l'argument basé sur cette théorie, argument qui avait du reste été combattu par DELAUNAY. et en à invoqué un autre reposant sur l'existence de frottements dus à des mouvements tourbillonnaires du fluide. (**) On the bodily tides of viscous and semielastic spheroits.(P Hu. TRANS., Londres, 1879, part L.) (***) Voyez à ce sujet K. ZôPPRITZ, Der gegenwärtige Standpunkt der Geo- physik. (GEOGRAPHISCHES JAHRBUCH, 4880, Gotha.) av) Philosophical Magazine, 5° série, t. VI, Londres. 1878. v) On the precession of a viscous spheroid and on the remote hi:tory of the Earth. (PHILOSOPH CAL TRANSACTIONS, Londres, 1879, part. I.) (wr) Sitzungsberichte der K. Ak der Wiss., Vienne, 1885, part. Il: Astr. Nach., 1885, n° 2781. (59) Parmi les Mémoires (*) de G.-H. Darwin, citons spéciale- ment celui de 1882 (**), où il attaquait l'hypothèse d’une mince écorce en s'appuyant sur la théorie de la résistance des maté- riaux : à une profondeur de 1600 kilomètres la croûte solide devrait avoir une rigidité semblable à celle du granit pour pouvoir résister aux efforts. Plusieurs géologues ont avancé une hypothèse, en quelque sorte intermédiaire entre les deux extrêmes : fluidité complète, rigidité absolue ; ils supposaient que le globe se composait d’un noyau solide séparé de la croûte externe par une couche plus au moins épaisse d'un liquide visqueux ou d’une matière pâteuse (***). La croûte et le noyau pourraient ainsi avoir des mouvements quelque peu distinets (). E. Ronkar a étudié dans un Mémoire (*) le problème de la rotation de la Terre, en la supposant composée de cette façon. Dans son étude, il tenait compte du frottement du noyau et de l’écorce sur la couche intermédiaire : il est arrivé ainsi à des théorèmes inté- ressants sur le détail desquels nous ne pouvons pas entrer ici. L'hypothèse en question a été surtout étudiée par E. Wie- chert ("); celui-ci, en coordonnant et combinant les données astronomiques, géodésiques et physiques, proposait de regarder (*) The determination of the secular effects of tidal frirtions. (PROCEED. 0F R S.. Londres, t. XXIX.) — The det of the sec effects of the orbits. Bin, t. XXX.) — Problems connected with the tides of a viscous spheroid. (Prix. TRAN<., Londres, 1880), etc. (**) On the stresses caused in the interior of the Earth. (PH. TRANS., Londres, 1882 ) (***) Voyez à ce sujet les polémiques de F. FoutE relatives à la nutation diurne. (1) Voyez, par exemple, F. Four, Bull. Acad. Roy. Sc., Bruxelles, 3e série, t. IL, 1881, et FISHER, Geological Magazine, Londres, 1878; Cambridge Transactions, 1878, et Philosophical Magazine. Londres, 1889 (v) Sur l'influence du frottement et des actions mutuelles…, Bruxelles, 1888. Voyez aussi Bull. astr., t. VIT, avril 1890, p. 165. (vn Ueber die Massenverteilung im Innern der Erde. (NACHRICHTEN DER K. GESELLSCH., Gottingue, 1897. 3e fasc., p. 221.) Voyez aussi G. H. DARwWIN Monthly Notices, Londres, 1899, t. LX, n° 2, et F.-R. HELMERT, Sitzb. der K. Ak d. Wiss , Berlin, 1901. p. 398. ( 60 ) la Terre comme hétérogène et composée d’un noyau en fer, d'une couche plastique sus-jacente et d'une écorce peu dense (de 1400 kilomètres d'épaisseur environ) entourant ce noyau et cette couche. Cette hypothèse satisferait, semble-t-il, aux exi- gences des arguments de Thomson, tout en empêchant les critiques d’autres savants. [Nous verrons, dans l'Appendice, qu'en 1903 R. Schumann a invoqué cette théorie pour expliquer la provenance du terme de Kimura, intervenant dans la variation de latitude.] * f * Il n'est pas nécessaire de faire observer que ces divers résultats concernent bien plus la géophysique (*), prise dans son acception la plus générale, que la variation des latitudes. Il est temps maintenant d'indiquer ceux qui regardent plus directement cette dernière. Dans un beau Travail (**), adressé à l'Observatoire de Poul- kowa à l’occasion de son cinquantenaire, J.-V. Schiaparelli a envisagé l'influence d'actions perturbatrices (telles que celles dont nous voulons parler dans la Troisième partie), par exemple géologiques, sur la position des pôles d'un sphéroïde supposé successivement rigide, plus ou moins plastique et parfaitement plastique. Ce dernier état de choses est représenté avec une certaine approximation par l'hypothèse de la plupart des géo- logues, d'après laquelle la Terre serait entièrement fluide et seulement recouverte d’une croûte solide très mince; le cas d’un noyau solide séparé de la croûte par une couche liquide et pâteuse peut aussi, jusqu’à un certain point, être rangé dans cette subdivision de l'étude, Schiaparelli trouve que, dans l'hypothèse (+) Voyez à ce sujet l’excellente thèse de P. SCHWAHN : Ueber Aenderungen der Laye der Figur- und der Rotationsaxe der Érde, sowie einige mit dem Rotationsproblem in Bexiehung stehende geophysische Probleme, Berlin, juin 1887, S 12. (**) De la rotation de la Terre sous l'influence des actions géologiques, Saint-Pétersbourg, 1889; IL Nuo:o Cimento, 1891, 3e série, t. XXX. (61) de la parfaite plasticité, des phénomènes accidentels peuvent très bien imprimer aux pôles de grands mouvements irréguliers d'une amplitude quelconque. Relativement à l'étude de la rotation d’un globe doué d’une plasticité relative, ce savant obtient aussi des résultats très intéressants d’après lesquels les mouvements des pôles pourraient encore avoir une grande amplitude si l’on supposait que la viscosité du globe füt assez faible. Dans sa célèbre Note de 1892 (*), déjà citée, S. Newcomb a montré que, si l’on fait entrer en ligne de compte l'élasticité de la Terre et la mobilité de l'Océan (**), là contradiction entre la théorie eulérienne et l'observation (au moins celle qui existe entre les périodes de dix et de quatorze mois) peut très bien dis- paraître. En reprenant les considérations de W. Thomson (**), il a conclu que la Terre devait céder un peu moins à l’action de la force centrifuge que si elle possédait la rigidité de l’acier et que, par conséquent, considérée dans son ensemble, elle doit être un peu plus rigide que l'acier. Cette conclusion est d’ailleurs en plein accord avec les déductions des sismologistes ("). Elle a été commentée et expliquée par S. Hough, J. Larmor et A. Sommerfeld. Dans deux Mémoires (‘), Th. Sloudsky a repris les considéra- tions de W. Hopkins en s'inspirant des nouvelles théories de l'Hydrodynamique, et en a donné un beau complément. Voici l'hypothèse dans laquelle il s'est placé : il supposait que la Terre était constituée d'une masse liquide incompressible et homogène, entourée d'une écorce parfaitement rigide, et que, de plus, les centres de gravité et les axes principaux de la masse (*) On the Dynamics of the Eurth’s Rotation (Moxraiy Notices, Londres, t. LIT, 1899.) (**) La mobilité de l’océan expliquerait le quart de la différence. (**) Treatise on natural Philosophy, t. I, 1883. uv) Voyez MiinE : On Earthquake Phenomena. (BRITISH Assoc. REPORT, 1896.) (v) Bulletin de la Société Impériale des Naturalistes de Moscou, 1895, n° 2. et 1896, ne 1. (62) liquide et de l’ensemble (masse liquide et écorce) coïncidaient. Il a trouvé que, dans ce cas, le mouvement du pôle devait avoir deux périodes : l'une un peu plus courte que le jour sidéral, l’autre d'un nombre N de jours donné par LÉSSNES N::. A, + ge”, où A, — B, et C, sont les moments principaux d'inertie de la Ma? de) } 1e SALE croûte solide, 4 = -—— et e désigne l’excentricité du noyau liquide; dans l'expression He M désigne la masse du liquide et d le demi-grand axe de la cavité interne de la croûte. Sloudsky n’a pas cherché à appliquer ses formules à des exemples numériques, car il pensait avoir soumis son problème à des conditions trop restrictives pour qu'il füt légitime d'en appliquer la solution à la Terre (*). Dans son second Mémoire, il a fait voir que, si les axes principaux du noyau restent parallèles à ceux de l'ensemble, les conclusions de son premier Mémoire peuvent encore tenir debout lorsque les deux centres de gravité ne coin- cident pas. Il a montré, en outre, qu'aucun effet sensible ne peut être produit par une légère inclinaison de l'axe polaire de la cavité sur l’axe d'inertie principal. Enfin Sloudsky s'est occupé aussi de l'effet des mers; en supposant qu'un liquide homogène recouvrit entièrement la croûte rigide, 1l a prouvé encore que ce liquide ne pouvait produire d'effet sensible que si l'axe de rotation était fortement incliné sur l’axe principal polaire. S.-S. Hough a publié plusieurs Mémoires (**) sur la rotation (*) Cependant L. PicaRT, en s'appuyant sur les formules du savant russe, a montré (Bulletin astronomique, t. XVII, juin 1900, p. 222) que l’existence de la période chandlérienne de quatre cent vingt-sept jours s'oppose à l'hypothèse d’un noyau fluide peu considérable et d’une excentricité très faible. Toutefois cette conclusion ne peut s'appliquer au cas où l’on suppose ie noyau suffisamment aplati. (**) On the oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. (PaiL TRANS , Londres, 4895, t. CLXXXVI, part. A.) Voyez aussi Math. Soc. Proceedings, Londres, t. XXVII, 1897; On the rotation of an elastic spheroid. Phil. Trans., Londres, 1896, t. CLXXXVII, part. 4. Voyez aussi Monthly Notices, Londres, 1897. (65) des sphéroïdes élastiques. Dans le premier, il a traité le même problème que Sloudsky et est arrivé à cette conclusion que, si l'on veut supposer la Terre en partie fluide au lieu de la consi- dérer comme entièrement solide, la période du cycle eulérien doit être diminuée, ce qui est contraire aux résultats de l’obser- vation (quatorze mois au lieu de dix mois). Dans son second Travail, qu'il a d’ailleurs publié avec I. Newton, Hough a repris et complété les considérations de Newcomb en leur donnant une forme plus mathématique et en corrigeant une erreur dont elles étaient affectées. En supposant la Terre entièrement solide, mais formée d'une substance plus ou moins élastique, il a conclu, d'accord avec le célèbre astro- nome américain, que l'augmentation de la période eulérienne peut être attribuée à l’élasticité de la Terre et que l'on peut pro- visoirement expliquer l'existence de la période chandlérienne en admettant que la Terre soit un peu plus rigide que l'acier. Enfin Hough pensait que les résultats obtenus seraient peu altérés si l'on faisait entrer en ligne de compte la mobilité de l'Océan et de l’atmosphère. En 1896, S. Woodward (*) (outre un aperçu sur les travaux de ses devanciers) a montré que, si la différence B— À entre les moments d'inertie équatoriaux de la Terre est suffisamment grande, le cycle eulérien peut être diminué; il a également étudié l'influence des mers sur la durée du cyele. La même année, J. Larmor a fait plusieurs remarques inté- ressantes (**) et intuitives sur la rotation des sphéroïdes élas- tiques. Il a montré que la période du mouvement du pôle instantané d’un tel sphéroïde est sensiblement la même que celle d’un sphéroïde rigide dont la forme est celle que prendrait le premier sphéroïde si sa rotation devenait nulle (**). Outre plusieurs remarques sur le moyen de déduire, des données (*) Astronomical Journal, 1896, t. XV, no 345. (**) On the Free Eulerian Procession. (PROCEEDINGS OF CAMBRIDGE PHIL. SOCIETY, t. IX, mai 1896.) (***) Voir le S 3 de cette deuxième parte. ( 64) d'observation, des indications sur la constitution interne du globe, il a fait voir que la déformation que la Terre devrait subir pour expliquer certaines anomalies, doit être en grande partie élastique plutôt que visqueuse. Quant à l'influence des mers, Larmor a calculé que, si l'Océan recouvrait entièrement une Terre rigide, la période eulérienne augmenterait de 14 °/, : c'est une limite supérieure évidemment, car les mers ne couvrent pas entièrement le globe; de plus, ces 14 °/, doivent être réduits à 8 °}, voire à 6 °/,, parce que la déformation élastique de la Terre a pour conséquence de diminuer l'effet dü à l’ellipticité de l'Océan. Enfin le savant anglais pensait qu’une certaine hétéro- généité de la Terre ne devait pas infirmer la conclusion de Necomb et de Hough, à savoir que le globe doit posséder, dans son ensemble, une rigidité comparable à celle de l'acier. Dans la seconde partie d’un superbe Mémoire (*) consacré à l'étude de l’influence de mouvements cycliques sur la rotation de la Terre, V. Volterra a traité analytiquement les considérations de G.-H. Darwin et de J.-V. Schiaparelli sur la plasticité de la Terre, en supposant que, par suite d’un certain état physique du A globe, le pôle d'inertie tende à se rapprocher du pôle de rota- tion avec une vitesse proportionnelle à la distance qui les sépare (**) et en imaginant qu’aient lieu en même temps des mouvements cycliques à l’intérieur de la Terre; il a déduit plusieurs théorèmes intéressants que nous ne pouvons rapporter ici. Enfin A. Sommerfeld, dans un Ouvrage (***) devenu célébre, a étudié d’une façon complète l'influence de l’élasticité de la Terre sur la période eulérienne; nous ne développons pas ici ses raisonnements ni ses conclusions, car nous suivrons, dans (*) Sur la théorie des variations des latitudes.(ACTA MATHEMATICA, t. XXII. 1898, chap. VI.) (**) Voyez G.-H. DAR WIN, Influence of the geological changes .(Puix. TRANS., Londres, 1877. t. CLXVII, p. 281); voyez aussi J.-V. SCHIAPARELLI, De la rotation de la Terre..., Saint-Pétersbourg, 1889, art. 3. (***) Ueber die Theorie des Kreisels, 3° fase., 1903, chap VII, section B. (65 ) les paragraphes suivants, sa méthode, qui résume d’ailleurs les travaux de ses devanciers d’une manière très nette. S 2. Influence de l’élasticité de la Terre sur la position de son axe de figure et sur son ellipticitée. Dans ce qui suit nous supposons que la Terre, sans rotation, affecte la forme d'un ellipsoide de révolution très peu aplati et que Îla matière homogène qui la compose soit solide, mais possède cependant un certain degré d’élasticité. Il appert dès maintenant que, si la Terre se met à tourner uniformément et lentement autour de son axe de révolution, la force centrifuge qui nait de ce mouvement luttera contre l’élasticité de la substance et fera prendre au globe une autre figure d'équilibre, qui sera un ellipsoïde de révolution un peu plus aplati que l'ellipsoide originaire (*). * *X * Désignons par a, a, c les demi-axes de l’ellipsoide de révo- lution aplati, qui est la forme supposée de la Terre lorsqu'elle n'a pas de rotation o autour de l’axe 2c. Les moments principaux d'inertie sont : où M désigne la masse -ra?cp de l’ellipsoïde, supposé homogène (*) Au moins aux termes du second ordre près. (Tout ce que nous allons développer dans ce paragraphe et le suivant n’est vrai qu’à cette approximation.) C’est un lemme que nous demandons d'admettre pour tout ce qui va suivre. b) ( 66 ) de densité p. L'excentricité est par définition la quantité positive e donnée par tandis qu'on réserve le nom d'aplatissement à la quantité positive Nous appelons, avec Sommerfeld, elhipticité la quantité positive Cette ellipticité e est liée à l'excentricité par la relation : À —4 . ! da" . a — € L+e l+re—l+e de == ——— = ————————_———— = ————————————————— — , a? a° A+ 2e ou e = , ee: mais elle ne diffère de l’aplatissement p que par des termes du second ordre en p : Comme nous supposons l'ellipsoide terrestre très peu aplati, p peut être considéré comme une quantité très petite du 1°" ordre, et les termes d'ordres supérieurs du premier peuvent être négligés; par suite nous écrirons avec ce degré d’approxi- mation : ep. Nous négligeons aussi les termes en € d'ordres supérieurs au premier. (67) Prenons pour axe Oz le petit axe (axe de révolution) 2c et pour axes Ox, Oy deux axes rectangulaires quelconques situés dans l'équateur de l'ellipsoïde : O est le centre de figure et de gravité de ce dernier. L'équation cartésienne de l’ellipsoïde est Soient un méridien zPU de l'ellipsoïde coupant le plan de l'équateur suivant OÙ, et un point P (x, y, z) pris sur ce méridien. Les coordonnées polaires du point P sont : la distance r de O à P, la latitude 5 — angle UOP, ;(A désigne l’extrémité de l’axe Ox), la longitude À — angle AOÛ. Nous avons évidemment les formules de transformation de coordonnées : ZX = Tr COS S COS À, +Yy +2 = 1", | y = Tr cos S sin À, d’où Leu —= 7 cos à, 3=rsin®, 2° —= #9 sin" 9. L'équation polaire de l'ellipsoïde est par suite : 12608 2: reins ee sn ou | cr” cos s + ar (1 — cos” s) — a°c? ou a°c? a°c° RE cos ss + a*(1—cos*s) a — (a? — c*) cos’s c? 2 1 — e? cos’s ( 68 ) d’où = C0 28] 2 cf + scoss) (1), — ci — rem .0l ; en se limitant au terme du premier ordre en €. Cette équation est aussi l'équation polaire (dans le plan) de la section méridienne. Pour s = 0, on a : a—=0c(i +e) (2). Appelons à présent rayon moyen R de l'ellipsoïde le rayon d'une sphère ayant même volume que lui ; alors : R = ae = CU + sc = (1 + 2e), d'où à 2 R= ec + 2%) — cc + :) (3), ou inversement 4 o 1 c—R( + 2e) R(1 =. (4). Introduisons dans (1) la valeur (4) du demi-petit axe c en fonction du rayon moyen R, nous obtiendrons l’équation polaire de la section méridienne sous la forme : 2 2 r = .R(1 pl + ecos° 5) —R | + «(costs —?)] (D). * *X _*% Supposons maintenant que la Terre soit animée de la rotation uniforme o autour de son petit axe Oz; nous avons admis que la nouvelle forme d'équilibre que lellipsoïde terrestre T prendra est encore un ellipsoïde de révolution L'un peu plus aplati que lui- même (c'est-à-dire que a augmentera, c diminuera, p = 1 — > augmentera aussi, et il en sera de même pour € = p). Désignons ( 69 ) par ©R’/’), force centripète F", résultante des forces élastiques. (*) On peut supposer que les propriétés élastiques de la sphère n’appa- raissent que postérieurement à sa formation. ( 84) Pour passer de l'état 3 à l'état 4, nous devons appliquer à chacune de ses molécules la forec centrifuge F", la force centripète R" — R’”, la force centripète E". Ainsi, pour donner à la sphère primitive l’ellipticité e;, nous devons appliquer à chacune de ses molécules les forces de : la rotation (effort centrifuge F'), | l'attraction différentielle (effort centripète R° — K’’), l’élasticité (effort centripète E"). D'après le principe de la superposition des petites déforma- tions (*), nous pouvons supposer que, d'une manière approchée, Par suite, les forces qui doivent agir sur l’ellipsoide II pour augmenter son ellipticité e de :°” = e’ sont bien celles qui doivent agir sur la sphère pour lui communiquer lellipticité es. En d’autres termes, ces deux quantités, e/ — e// et e;, sont égales (**), et notre théorème se trouve démontré. x* *X _* Tout revient donc à calculer l’ellipticité ; que prendrait une (*) C'est-à-dire de l’indépendance de la grandeur et de l'effet des forces vis-à-vis des déformations précédemment acquises. (**) Toujours d’après le principe de la superposition des petites déforma- tions. (85) sphère sous l’action combinée de l'attraction de ses molécules entre elles, de la force centrifuge due à la rotation o et de la ré- sistance élastique qu’elle présente à l’action combinée des deux premières forces. Nous allons calculer séparément, dans le paragraphe sui- vant (*) : 4° l’ellipticité e, que prendrait la sphère sous l’action combinée de la force centrifuge et de l'attraction, si l’on supposait qu'elle n’offrit aucune résistance élastique; 2 l'ellipticité & qu’elle prendrait sous l’action combinée de la force centrifuge et de l’élasticité, si l'on supposait que ses molé- cules ne s’attirassent pas; puis nous montrerons, avec W. Thom- son (**), que l’ellipticité cherchée e; est reliée aux deux ellip- ticités fictives &,, >, par la relation I | | _— —=— + — A Es Ey E2 E41£e €1 + £9 On voit, aussi bien par (21) que par les conditions du pro- blème, que Ex LE et 63 LE, puisque les forces résistant à l’action centrifuge de la rotation sont plus considérables, dans le problème actuel que dans le 4° et le 2°. Nous concluons déjà que et puis, d'après (20) : £1€a = EE ailes enr a —y=a—e—=e = €) —$5, — 2 Canties (*) Il est clair que, dans ces deux problèmes, nous admettrons que les formes d'équilibre sont encore deux ellipsoïdes de révolution aplatis. (**) Treatise on natural Philosophy, 1883, t. Il, art 840. Voyez aussi SOMMERFELD, 0p. et lib. cit., p. 697. ( 86) E1€e e? EL . (22) Es) Fife £y rés Connaissant les valeurs numériques de £,,&,nous obtiendrons celle de € par (22), et ensuite la valeur de la période eulérienne modifiée T' — = jours. Nous verrons qu'on peut expliquer ia différence qui existe entre la période chandlérienne (eulérienne modifiée) et la période eulérienne au moyen de l'élasticité du globe; et qu'il suffit, pour cela, de supposer que la Terre possède seule- ment une élasticité comparable à celle de l'acier (*). $ 4. — Calcul de &, et &o. Théorème de W. Thomson et conclusion. PREMIER PROBLÈME. — Nous considérons le globe comme une masse sphérique fluide homogène, incompressible, n'offrant aucune résistance élastique à la déformation : ses molécules s’attirent en raison directe de leurs masses et en raison inverse du carré de leurs distances. De plus nous supposons que ce lobe est animé de la rotation o autour d'un de ces axes, ce qui lui donne la forme d’un ellipsoïde de révolution aplati (*). Il s’agit de déterminer l’ellipticité , qui résulte de cette rotation. Nous pourrions, à vrai dire, nous passer de démonstration en renvoyant à la valeur bien connue, donnée par Clairaut : R° où R désigne le rayon de la sphère, M sa masse, f le coefficient (*) Voyez NEWCOMB, HOUGH, LARMOR, SOMMERFELD,| op. cit. (**) Ellipsoïde de Mac-LauRIN. Comme on le sait, pour la Terre il ne peut être question d’un ellipsoïde à trois axes inégaux de JAcoBI. (Voyez 0. MEYER, Journal de Crelle, t. XXIV; et surtout KosTKka, Monats- berichte der K. Ak. d. Wiss., Berlin, février 1870 ; H. BucHHoLz, Das mecha- nische Potential…, t. 1, Leipzig, 1908, p. 396.) (87) d’attraetion et g l'accélération gravitique à la surface. Mais nous préférons, pour ce qui suit, opérer de la façon suivante. Après que la rotation a déformé la sphère, la masse à pris la forme d’un ellipsoïde de révolution aplati. Pour établir la valeur approchée du potentiel attractif de cet ellipsoïde, qui va nous servir à l'instant, nous pourrions nous servir du développement bien connu de Laplace. Mais nous éta- blirons cette expression directement en remarquant, avec Sommerfeld, que le potentiel de l'attraction de cet ellipsoïde est égal, aux quantités du troisième ordre près, à celui de l’ensemble formé par la sphère de rayon R et par un bourrelet (de masse m et de rayon moyen R) choisi de telle façon que les moments d'inertie polaire et équatorial de cet ensemble soient égaux à ceux C, À de l’ellipsoïde de révolution. Supposons le bourrelet concentré sur la circonférence de rayon R située dans le plan équatorial : l’unité de longueur de cette circonférence porte alors une masse qui est la densité linéaire : | m [3 7 JR Ê Le moment d'inertie de cette circonférence matérielle par rapport à l'axe polaire, perpendiculaire à son plan, est 27R 7 2 2 re — D NE se 0 tandis que par rapport à une droite OA de son plan : 1 1 oi == 9 == 9 mR°. Comme le moment d'inertie de la sphère est pour tous ses axes 2x ; I — de : (88) nous devons avoir 27 1 + lo = . MR? + mR°=C, Le 27 x | É Il + lon" MR L ae = 215 d'où, en soustrayant la seconde condition üe la première, 1 _mR= C— pie C— À, puis 2AC— A) 24AC—A 2A M = © = — —_—_——— — — 6, R° R?,: A 144 à ou, en introduisant la valeur approchée, 27 À = 5 MR, 1 (1) M —= — Mes, 5 1 Désignons par P(x, y, z) le point potentié extérieur à la masse; soit r sa distance au centre O de l’ellipsoïde. Prenons OC pour axe Oz et deux axes rectangulaires situés dans le plan équatorial pour axes Ox, Oy; supposons de plus que le plan z0x passe par P. Si s désigne l'angle xOP, nous aurons x—=TrCoSS, y—=0, z—rsins. Soient M(x’, y’, z/) un point de la cireonférence où est con- densé le bourrelet, du l'élément de masse qui y est situé, R sa distance au centre O, « l’angle xOM. Le potentiel de la cireonfé- rence matérielle au point P est évidemment (89) L'élément de masse est aussi m md PR Es nds — f 27 La distance MP est égale à V/OP* + ON° — 20N . UP. cos (OM, OP) en désignant par K le cosinus XX’ + yy' + 22 rR de l'angle POM. Le potentiel du bourrelet en P sera donc En développant la racine carrée suivant les puissances crois- R santes de = » NOUS AVONS : (90 ) puis en multipliant par dy et en intégrant de 0 à 2x, 27 de 27 Pass à +, fire; (),/88 R VA + | 2K r Or le triangle sphérique rectangle découpé par le trièdre OxPM sur la sphère de rayon 1 nous donne K — cos POM — cos XOP . cos XOM — cos 5, cos ». Donc 27 227 fx — COS = f/cos pd? =0, 6 0 “ui 2 71 + cos 2 K°d? = cos s } cos dy — cos s EE 1 ? 9 ? ? 0 Ô 0 Le développement précédent devient 27 de | È | R\? —— —Qñxr|1 +|- cos 5 ——- É +. |, R\? R 4 2, \r V1 _ ) — 2K ) : r' r et, en l’introduisant dans l'expression (2) de v, nous obtenons pour le potentiel en P du bourrelet : pe fue-D(.] As] Le potentiel de l’ensemble formé par la sphère et le bourrelet, (91 ) qui est égal, aux quantités du troisième ordre près, à celui de l’ellipsoïde de révolution, sera donc, moyennant (1) : fM fM f4 5 (HS 2. V=—+0u—— + --Mel1 + -|-) [cos s ——]) + r r ri 4 \r 6) 1 4 & 5 R° 2 ACL EC RÉ RSE TE (4) r nr Dr Telle est la valeur du potentiel développé en fonction des R | puissances de — : les coellicients du développement forment ce qu'on appelle les fonctions sphériques (*). Si nous supposons que le point potentié extérieur à la masse se rapproche de plus en plus de la surface de l'ellipsoïde de révolution qui limite cette masse, r tendra vers le rayon vecteur r/ de sphéroïde d'ellipticité e, (**) 2 FR É LUE, [costs — à)| ie rayon moyen étant pris égal au rayon de la sphère. Sur la surface, le rayon vecteur étant la distance r, nous aurons, en remarquant que l'on peut écrire ir NE IE MUSET OL RE. AA à a (costs — Ÿ da 7 1 — 3e, sir 7 la valeur suivante pour le potentiel : fM > 4 2 NV = — 1 (ess — ©) + La ft — a feosts — 2) R 3 L'EQN 9 3 9 9 + —e | cos 3 —- 4 — 5e, [costs — < + ee 5 5 5 MF 4 # 2 ( 3 | — — — 6, — £ —— — Ç =. == © ... R M our BAT DA À 9 * en négligeant toujours les termes du second ordre en &4. (*) Voyez les traités classiques, par exemple F. TiSsERAND, Mécanique céleste, t. 1I, 1891, chap. XVI et suivants. (**) Voyez l'équation (5) du paragraphe 2 de cette Deuxième partie. (92) Ayant déterminé le potentiel V de l'attraction en un point de la surface du sphéroïde, passons au calcul du potentiel U au même point de la force centrifuge due à la rotation o autour de OC. Ce potentiel s'obtient inimédiatement, car sl 1 U— 5 0° (2° + y°) = 3 0°r° cos 3 ; de plus on peut remplacer, dans son expression, r par le rayon moyen R du sphéroïde (*) : done 1 1 1 2 U= = 0°R° cos — = 0°R° + — 0°R° [eos à ee » (6) 2 5 2 3 en faisant apparaître la fonction sphérique cos ?s —< Pour que la surface de l'ellipsoïde soit une surface d'équilibre, il est nécessaire que le potentiel total, somme du potentiel V de l'attraction et de celui U de la force centrifuge, soit constant en tous les points de la surface; c'est-à-dire constant en tous les points d’un méridien (condition suffisante), puisque l’ellipsoïde est de révolution. Il faut donc que V + U soit indépendant de la latitude s du point considéré. Or 4 1 1 2 2 V+U— — £ en + — 0°R°+ Ë 0°R°— —fM = [cos s — :| : 5 5 2 pion 5 Pour que cette somme soit indépendante de 5, il faut que le coefficient de cos®s — - soit nul, c'est-à-dire que (*) Car, o étant très petit, on peut négliger le terme en o? «y. (95) d’où nous tirons 50°R 50°'R —-——-—— (8) LM 479 £y ce qui est bien la valeur indiquée par Clairaut. Nous pouvons encore, avec Sommerfeld, écrire l’équation de condition (7) sous la forme — Ve V, = U, (9), en désignant par U, et V, — — €, V, les deux termes des déve- loppements de U et V qui contiennent la fonction sphérique du Day second ordre cos?3 — =; V, et U, ont les valeurs : . Lt 14 3 *: — — — |cos®s — -}), Di R 5 de À € Us = LR! [eos s ee (11) Remarquons que €, n'intervient pas dans UÜ,, parce que nous avons remplacé, dans la valeur de U, 1 U = = 0°r° cos? 9, 2 r par R, sachant que ce potentiel est faible à cause de la petitesse de o : en sorte que l'ellipticité intervient seulement dans le potentiel dü à l'attraction. Passons maintenant à la détermination numérique de €, pour la Terre. Nous prenons pour unités le mètre et la secondes alors . 27 92r 7 24 X 60 X 60 86400 D 0, 20/1 =, ——— - 107 mètres, g — 9,81"/sec?, 27 T par seconde, R Donc o?R 97 és Ra 1 1 g \86400/ © x * 9,81 — 289’ puis 5 4 1 D'après cela, si le globe avait été primitivement à l’état fluide incandescent et s'était solidifié sous cet état, et si cette solidifi- cation s'était faite d’une manière parfaite, en ce sens que la Terre serait aujourd'hui absolument rigide et aucunement élas- tique, la période eulérienne serait de 1 T = - jours — 231 jours (*). E Ce résultat est surprenant au premier abord, car la théorie eulérienne nous apprend que cette période devrait être de 505 jours. Mais il ne faut pas oublier que le rapport ee — ss intervenant dans cette théorie a été déterminé par les observations de la précession luni-solaire. Le désaccord qui existe ici est done celui qui se produit entre la théorie de Mac Laurin et l'observation de la précession. Il peut être mis sur le compte de l’hétérogénéité de la Terre, car la théorie de Mac Laurin suppose que la Terre est homogène, ce qui est manifeste- ment inexact (**), Cependant, par approximation, nous continuerons à regarder le globe comme homogène. Les résultats que nous obtiendrons seront peut-être douteux au point de vue numérique, mais ils devront cependant être regardés comme qualitativement vrais. = (*) Voyez H. LamB, Hydrodynamics, Cambridge, 1895, chap. XIT et autres traités, et pour la bibliographie A. E. H. Love, Encyclopädie der math. Wiss., t. IV, 1904, art. 16, n° 4, pp. 195 et suiv. (**) Comparez ce que nous avons dit au paragraphe 1 de cette Deuxième partie. (95) La seule exception que nous ferons à cette règle est de partir de la valeur 1 — — jours — 505 jours, 4 e, étant déterminé par l'observation de la précession (au lieu de l'être par l'hypothèse précédente de l’homogénéité), et de voir comment cette valeur peut être portée à la valeur T’ = 427 jours que lui assignent les observations directes de Chandler. SECOND PROBLÈME. — Nous supposons à présent que le globe se compose d'une masse élastique, homogène et isotrope, incom- pressible, de densité p, dont les molécules ne s’attirent plus, que ce globe primitivement sphérique est animé d’une rotation uni- forme o et que l'effet de cette rotation est de transformer la sphère en un ellipsoïde de révolution aplati ayant & pour ellip- ticité. Le problème consiste à déterminer cette ellipticité eo. L’élasticité de la matière est déterminée par le fait qu’on suppose cette dernière incompressible et qu’on se donne son module d’élasticité E /cm2 : alors on aura, si 8 désigne le coefi- cient de compression cubique, 8= 0; la constante uw de Lamé sera prise égale à = PL Thomson et Hough ont traité cette question, mais Sommerfeld a beaucoup simplifié leurs solutions : aussi c’est sa méthode que nous suivrons dans les développements suivants. Prenons encore l'axe de rotation pour Oz et deux axes rectan- (*) Voyez THomsoN ET Tair, Treatise on natural Philosophy, t. II, 1883, art. 837. Cette constante est souvent appelée rigidité (rigidity) par les auteurs anglais et coefficient de frottement (Reibungskoeffizient) par les auteurs allemands. (96) gulaires (tournant avec la vitesse o autour de Oz), situés dans le plan équatorial, pour axes Ox, Oy. Désignons par æ, y, z les coordonnées d’une molécule M et par u, v, w les composantes suivant Ox, Oy, Oz du déplace- ment de M. Si l’on exprime que chacune des molécules M est en équilibre sous l'action de la force Fodt agissant sur sa masse pdt (F étant une force rapportée à l'unité de masse) et de la force Tdo agissant sur sa surface ds (T étant une force rapportée à l'unité de surface), on obtient six équations : les trois équations de moments montrent que les neuf tensions X4, Xo, X3, Yy, Yo, V3; Z4, Zo, Z; (intervenant dans les expressions des composantes T,, T,, T, de l'effort superficiel) se ramènent à six distinctes seulement | X,— N,, Ys= LT, | Ya No, Zi, = X; —T;, (1) e Z: = N;, X: Fa ÿ: = T;, Ni, No, Ns Ty, To, T3 étant les six éléments de Lamé (*), tandis que, moyennant cette observation, les équations de forces s’écrivent de la façon suivante (**) : N, OT, OT, Pi ete APN. dx dy dz PÉ FE dx dy dz où X, Ÿ, Z désignent les composantes de F. (*) Voyez LAMÉ, Théorie mathématique de l'élasticité des corps solides, Paris, 1852 (**) Voyez par exemple P. APpEeLL, Traité de Méc. rationnelle, t. II, chap. XXX, no 615, ou bien E. MATHIEU, Théorie de l’élasticité des corps solides, Paris, 1890, 1re partie, nos 4-5. (97) X1=Ny, Yi= T3, ZT, sont les composantes de l'effort qui s'exerce sur la face négative de do,, rapporté à l’unité de surface, etc., dos, dos, ds; désignant les faces parallèles à yOz, z0x, x0y du tétraëdre élémentaire de masse o dx. Ces composantes ont pour expressions (*) : / N 9 LE 2 E ou : on F Je 29 N 9 >v 2 PV Q—=— hp — Æ: —= p 3 TÉ N >: dW 2 RW + | og =: p 3 2 é | dW DA E /iw d V / (5) nn pu na \ dt oz 9 \ dy dZ É ai = (2 LEE AN 6e te oi en RE dz dx à \oZ dx hA'4 Ju E /ov du STANC RTE dx dy 9 \x 1 p désignant la pression hydrostatique qui règne à l’intérieur du sphéroïde. En introduisant ces valeurs dans les équations (2) et en remarquant que les seuls forces X, Y, Z qui interviennent sont QU DUz DU Us DU Us £ les OAPOSARLSS ne dr 7 — oi la res ni fuge (qui doivent être introduites pour l'équilibre relatif vis-à-vis ge (q | q des axes tournants Oxyz), nous obtenons : Ef fu ou du do fou dv dw op ds \ 5L\dx* dy oz dx \0x Dy oz dx dx (*) Voyez, par exemple, S. S. HouGx, On the Rotation of un elastic Spheroid (PHiz. TRANS., 1896, partie À, p. 129), ou A. E. H. Love, Encyclopädie der math. Wissenschaften, t. IV, 1901, art. 15, n° 19, p. 69. 1 (98 ) ou, puisque la matière est supposée incompressible, . du dV d W = — + — + ——0, (4) dx dy dZ la forme condensée : | )p dU: ) dx dx E dp dU, - Av pere LOUE D, (à) 6) dy dy E à dU NE p — — 1), \ à dZ dZz ET NÉ A AE di. le signe À désignant l'opérateur SE us nn Telles sont les équations différentielles qu'il s’agit d'intégrer. Elles feront connaître par leur résolution | u —»#, (x, Ys z)), | V nd (x, VE z), ME 95 (x, VE z), ce qui nous permettra de déterminer l'ellipticité eo. Mais il faut remarquer que le système (4), (5) du second ordre en ü, V, W doit être complété par les équations de condition à la surface du sphéroïde (conditions aux limites). Ces équations expriment que cette surface est d’équilibre; pour cela les composantes T,, T,, T, (de l'effort qui s'exerce sur un de ses éléments) doivent être nulles. Or les expressions de ces tensions sont, comme on sait (*), | EN cos (n, x) + T; cos (n, y T, = T; cos (n, x) + N, cos (n, y) + T,cos(n,z), ; T,=T, cos (n, x) + T, cos (n, y) + N, cos (n, 2). el ) + T, cos (n, z 1 (*) Voyez, par exemple, APPELL, op. et lib. cit., n° 8092, p. 514. n désigne la normale positive à l'élément de surface. (99) Donc les équations de condition seront, en introduisant les valeurs (5) des six tensions, Ë E Le ] COS (n, x) EE — + , SD dx P < L (= — + _ cos (n, z) = 0. (6) | 3 \y dx 5 \oz dx Il s’agit maintenant de résoudre le système des sept équations (5, (8), (6). a Nous nous proposons, avec Sommerfeld (*), de satisfaire à ces équations par les solutions : à (r° Un) , JU: : JU, U =. + A. 1 — + Q3R°. —; dx dX dx à (r'U,) dU dU V4 CRT +R. | — ;: (7) dy dy dy | d (r°U)) U, JU W = d,. oi + 2 it Ca, dZ dZ dZ dy, @9, az étant des constantes convenablement choisies, R le rayon moyen et Ua la fonction sphérique du second ordre SEM? 2 I U, — à 0°T° [costs — :| — (x + y — 23) (8) Ainsi nous n intégrons pas les équations différentielles du pro- blème, mais nous nous bornons à vérifier la solution indiquée par le savant allemand (**). Cette vérification prouvera que cette (*) Op. et lib. cit., 1903, p. 694. (**) THomson et HouGx ‘op. cit.) ont indiqué des solutions plus générales; mais nous nous bornons à exposer ici la méthode la plus simple et la plus directe. Pour ce qui concerne ce problème, voyez Encyclopädie der math. Wissenschaften, t. 1V, art. 25, nos 3 et 4. (100 \ solution satisfait à ces équations et servira en même temps à déterminer les valeurs des constantes &j, @o, @z. La condition d'incompressibilité nous donne soit ù dU a. A(r°U:) + &. Ÿ 7 ( — + a:R°. AU = 0. La fonction U3 étant une fonction sphérique du second ordre (homogène du second degré), nous avons [ AU, —— 0, \ dr” oU, dx dx ArU)== r' 4 AU, IT, Art Ÿ ù ù ù à _ dr” >U: ANT Ps EX te, 7 D (r dx Lt dE REP dx ù ù ù = 2 x +y— + = [Ue] + r* AU, —4Us. dy dZ Î dx Par suite, ou dA'4 W — + — + — —(l4a, + 4a) U = 0, dx dy dZ . ce qui exige ô 7 l4a; + 4a3—0, soit U = — >: (9) 22 Examinons à présent la premiére des équations différen- tielles (5). Elle nous donne DT D Or D : dU; | ù Au = a,.—A(r'U) + a. Ar —]) + a;R°.— AU,; dx DT dx ou, comme | AU, = VU, A (TU) == 14U:, dU dU dr”. d'U A (re) = at + re AU, BD ès dr dx Dax? dU ù dÙ doU 64 3(re) =. Pr": ! dX dx dx oU oU dU Au = l4a, nt {0 V4 ERNST ee dx dX ù nous obtenons de ù oU E dU D, art: dx dx 3 ou vu # — — (7Ea, — +) , et de même dx dp oU: — — (7Ea, — p) — , ” (10 dy ( 1 p) y / ( ) dp PUs: | Éa. | d2 D ous UE") | Ces équations nous donnent immédiatement p = (7Ea — p) U:, (1) si nous faisons abstraction de la constante d'intégration. Les conditions aux limites s’écrivent: ( E jou 2) +2 eye ET z =0 3 \ DZ dx ( 102) puisque l'on a pour la sphère cos(n,x) cos(n,y) cos(n,z) y z Ces conditions deviennent, par l'introduction de la valeur (11) de p, ( du ov JW \ 5 ++ +3) EU « e)U,x (12) Or, d’après la solution (7) proposée, du du du ù ù d\f0 (r°Un) La ENS TERMINER œ dx ” dy dZ dx ù ù d\ [roU,. = Ati SE y = SR dx ” dy dZ dx ù ù ù DU + QR [x — + y— + z—)] | —]|.: dX 0 dz dX Le coefficient de a,, si l'on tient compte de l'identité ù (r°U, dU ) _ Us + 2x U,, dX dx peut s'écrire d ù ) Us ) ù ù x—+y—+z—| | —| + 2{x— + y—+2z—)[rxl] dx dy dZz dX dy dZz : U2 U En remarquant maintenant que r? = xU;, + sont des fonc- tions homogènes respectivement du 3”°, du 3”° et du 1° degré, on voit que ce coeflicient et ceux de a, a; R? deviennent 2 D: dU . OÙ Sr SGEN SR dx dX dx ? * ( 103 ) et l’on obtient ou vu, ou dÙ dU . dU X—+Yy— +7 — = [or + 6x0, ose RE, 2: (x) dx dy dZ dx dx dx _ De même, à Ju ov )W | ANT ESET VERS y — + 2 ——u«,. Ÿ LR dx dx dx æ dx di | à | _. à ol à ) EME PETER IT | — dx dx dx dy dX dz Les coefficients de a, eta; R? sont les mêmes que les précédents. Quant à celui de a, il peut s’écrire: dU doU ù oÙ Dares) 3f)|S) dx dy dy / dx dx pate +27. E a [U,] — y! + 4xU, et alors Si l’on tient compte de (x) et (B), la première équation (12) s'écrit : dU (12a, + 4a) xU, + (6Ga,r° + 4asr° + 2a;R?) + — — 5 (Ta — a xD, 4 ( 104 ) ou bien, en introduisant la valeur (9) de @&, 3 doU £ a, — +) x U, + (2a3R° — 8a,r°) “ — 0, et de même x 3 dU [9 — #) yUs + (2a;R°— Sa,r°) = = 0, (13) y 3p : dU, | 1 Ja, D re: à zU; Le (2a;R° — 8a,r') de 0. E dz Il est clair que les deux premières équations ne diffèrent pas, puisque x, y jouent le même rôle; cela se voit du reste immé- diatement en introduisant la valeur (8) de Us. Ces équations . A] Q À deviennent, après suppression du facteur + 0?, / 9 2(2a;:R°—8ar°)+ (: 9a, — Le (x? + y*—927*)—0; et la troisième (14) — k(2a;R°— Sa,r*°) + [1% — . (x°+ y — 27) —=0. Il ne faut pas perdre de vue que ces équations (14) sont les équations à la surface : elles doivent être satisfaites en tous les points de la surface sphérique r = R, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de la latitude s. Il faut donc que le coefficient de la fonc- tion sphérique x? + y? — 27? et que le terme indépendant soient séparément nuls, ce qui donne 5p Lis Later do \ 2a;R° CE 8a, R° — 0; d'où le) 19 \ ET ne E 49 E ) ( 105 ) Telles sont les valeurs que doivent avoir les constantes a, ao, a;. La vérification précédente prouve aussi, comme nous l'avons déjà fait remarquer, que les solutions des équations différentielles sont données par (7). | En substituant les valeurs (15) dans les solutions (7), nous obtenons : SAR ELITE \ 19E dx D. dx DE d(r° ù dU 4 FAP MEN Et CNE HE ne , (16) | 19E | dy 2 dy dy | LL LENS ROSE TRE L9E {27 2 dz DE Cela posé, calculons le déplacement ÔR que subit un point de la surface sphérique par suite de la plasticité élastique de la matière soumise à la rotation ; il est la projection, sur la direction radiale (de cosinus directeurs =, +; +), du déplacement (ur, ve, WBR) à la surface ; par suite, X 1 F4 RUE + VE + Wir 8 pl] à . à 7 à nt) RUE lp. TQU 19ER 7 Sr 2 al d:} ) Le id 2h”. L: — U, ) “RU, 7R°.2U, 4R*.2U, ) 24 — 2,4 ) 3 p els 2 R ; AT LA 2 © Ê(4R TR + SRIU, = RU, (17 15€! M D'autre part, cette augmentation de R est, d'après l'équation polaire du sphéroïde, : 0R—=r—R—Rea (costs =}. ou ou, comme Telle est la valeur de lellipticité cherchée. Nous pouvons écrire (18) sous la forme € Wa — U:, (20) en posant { 2 | U, — = 0°R° Éeos 3 — “) - 1122) & n'intervient pas dans U, (voyez pius haut). Quelle est la valeur de & pour la Terre? Sa densité p (moyenne) nous est connue; elle est en unités C.G.S. : p = 5,5 grammes-masse par centimètre cube. Mais son module d'élasticité nous est complètement inconnu. Remarquons seulement que si elle possédait l’élasticité de l’acier, E — 2200000 kilogrammes par centimètre carré, soit en unités C. G. S : 2,2 x 105 X 10° X 981 dynes par centimètre carré, alors -0°R? 27 jee 1 1 = 5,5. a — RO E 360 X 60 X 60 T 2,2X10°xX 981 184 puis 15 1 re PSS ET NES * *%X * Tuéorème DE W. Taowson (**). — Enfin, supposons que la Terre soit un globe sphérique dont toutes les molécules s’attirent suivant la loi newtonnienne et réagissent l’une sur l’autre en vertu d'une élasticité bien déterminée (par exemple si l’on suppose la matière incompressible et possédant le module d'élasticité E); imaginons aussi qu'elle soit animée de la rotation uniforme o et que l'action de cette rotation soit encore de lui donner la forme d'un ellipsoïde aplati. Nous nous proposons de déterminer lellip- ticité e; de cet ellipsoïde en fonction des ellipticités que nous avons désignées par €, et €. Observons tout d'abord qu'ici les tensions élastiques et les résultantes des forces attractives sont des forces centripètes et luttent contre la force centrifuge de rotation : il est clair que l'ellipticité €; sera moindre que e, et que &, puisque la résistance centripète est plus forte que dans le premier et le second problème. Si les résultantes des forces attractives s'opposaient seules à la force centrifuge de rotation, nous aurions l'équation d'équilibre &V: = U,. [Équation (9) du premier problème.] Si les tensions élastiques luttaient seules contre cette force centrifuge, l'équation d'équilibre serait &W, = U,. [Équation (20) du second problème.] Mais, par hypothèse, ces forces attractives et ces tensions élas- (*) Voyez à ce sujet W. THoMsoN, Treatise on natural Philosophy, t. II, 1883, spéc. art. 834; Math. and physical Papers, t. III, 1890, art. 45. — À. E. H. Love, Elasticity, Cambridge, 1899, 1. I, chap. X. (**) W. THomson et P. G. TAIT, Treatise on natural Philosophy, t. I, 1883, art. 840. ( 108 ) tiques réagissent ensemble et simultanément contre la force centrifuge ; aussi, pour écrire que cette dernière leur fait équi- libre sur l'ellipsoïde d'ellipticité &;, devons-nous exprimer que la partie Ua (variable avec 5, mais cependant indépendante des elliptieités) du potentiel U de la force centrifuge est égale à la somme du terme €&,V, du potentiel V des forces attractives et du terme €; WA caractérisant l’action des forces élastiques ; donc € (Va be W:) a U;, ou, en divisant par e3U, d'après les équations précédent:s. Tel est le théorème de Thomson Nous tirons de (4) APPLICATION A LA TERRE. -- Nous avons montré, à la fin du $ 5 de cette Deuxième Partie, que l’ellipticité € qui intervient dans l'expression Fe T' = -— jours € de la période eulérienne modifiée est (*) (3) E = 4 —Ee = & — E3— , Cite (*) Remarquons qu'on peut encore montrer, au moyen des considérations £ ; 3 L PAM précédentes, que € — TR (Voyez $ 3.) En effet, à l’état 1 (ellipticité €,, et ( 109 ) en sorte que L'Age 1 € T'=—— jours ——|1 +—-}jours. (4) € € “1 €, Si, comme plus haut, nous supposons que la Terre a été pri- mitivement à l’état fluide incandescent et qu'elle s'est solidifiée sous cet état (ellipticité &), nous avons, en la supposant aujourd'hui absolument rigide, pour période eulérienne 1 T = — jours, Es tandis que, si nous faisons l'hypothèse qu’elle possède une cer- taine élasticité, nous obtenons L'allongement relatif de la période pren (dù à l’élasticité) est donc mesuré par le multiplicateur 1 + = pe” 1. Reste à voir si ce multiplicateur a de l importance. Supposons, comme le font d’ailleurs les sismologistes (*}, que la Terre possède la rigidité de l'acier, alors forces attractives contrebalançant l’action centrifuge) nous avons a V, = Us, tandis qu'à l’état 2 (plus de rotation : ellipticité &, et tensions; élastiques luttant contre les forces attractives) d’où U, 1] Us Ee k 1 *) MILNE, op, cit., British Assoc. Report, 1896. et 231 Done 1 + #— 4,5 environ. Ainsi l'élasticité de la Terre pourrail allonger la période eulérienne de 50 °/,, même si l’on imaginait qu'elle possédat la rigidité tres considérable de l’acier. Comme nous l'avons fait remarquer à la fin du premier pro- blème, la période eulérienne véritable (conforme aux observa- tions de la précession) devrait être de — 505 jours au lieu de T — 251 jours : cette différence proviendrait de l'hétérogénéite de la Terre. Ainsi, si nous partons de T = 505 jours, nous supposons implicitement que la Terre n’est pas homogène, et n'est pas légitime d'appliquer la conclusion énoncée ci-dessus. Si on le fait cependant, on trouve T'= 3505 X 1,5 — 457 jours, période qui dépasse d’un mois celle de Chandler : T'— 427 jours. D'après cela, la Terre devrait étre encore plus rigide que l'acier. On pourrait parur de & 14 mois & 10 mois (111) et en tirer la valeur de © : tel serait le degré d'élasticité de la Terre; et en prenant de nouveau | con — ) 231 on obtiendrait / 1 . Eg == ? RTL en sorte que, les ellipticités &, & d'un globe d'acier et de la Terre réelle étantinversement proportionnelles aux modules E, E’ d’élasticité, on aurait pour ce dernier module €g 78 E' —E-—E — —1,24E, 465 LA E9 c'est-à-dire que la Terre serait encore plus rigide que l'acier et que son module d'élasticité E’ serait supérieur à celui E de l'acier presque de 25 2}. On voit done que, pour expliquer la transformation de la période d’Euler en celle de Chandler, il suffit de supposer que la Terre cède très peu aux actions centrifuges, c’est-à-dire de la considérer comme très peu élastique (*). Evidemment notre raisonnement ne satisfait pas complètement l'esprit. Mais il faut observer que nous n'avons en vue ici que d'expliquer les choses au point de vue qualitatifetnon quantitatif. Il est permis de supposer qu’une certaine hétérogénéité ne détruit pas entièrement les conclusions étayées (**). Nous ne nous attarderons pas davantage sur ce sujet et nous (*) Voyez SOMMERFELD, op. et lib. cit., p. 101. (**) Voyez par exemple HouGH, LARMOR, op. cit. (112) renverrons, pour des éclaireissements et détails, aux onvrages qui traitent spécialement cette question (*). *k * * Examinons quel peut être l'écart entre l’axe de figure OC? de la forme instantanée de l'ellipsoïde élastique et l'axe primitif de figure OC (qu’il aurait si la rotation avait lieu autour de ce dernier). Cet écart, que nous avons nommé précédemment s, ($ 2), avait pour valeur approchée £/ Sd, — x angle COI. e HE Les axes OC, OC’, OI sont dans un même plan et ils coupent le plan tangent en C à la sphère de rayon 1 suivant une droite CIC’. Nous pouvons prendre pour mesures des angles très petits que ces axes font entre eux, les segments qu'ils interceptent sur cette droite. Par suite CC’ “ CI dos Or L E —#, —— €. Donc PET I] FA TRUE € EN ER ne Me C! on €, (*) F. TissERAND, Mécanique céleste, t. Il, 1891, pp. 221 et suiv.; E. WIE- CHERT, Die Massenverteilung im Innern der Erde (Gôttinger Nachr., 1897, p. 291 ;) G. H. DARWIN, Monthly Notices, Londres, t. LX, 1899, n°9 ; F. R. HEL- MERT, Sitsungsberichte der K. Ak., Berlin, 1901, p. 328 ; F. KLEIN ET A. SOM- MERFELD, Ueber die Theorie des Kreisels, Leipzig, fase. 3, 1903, pp. 702-703. et aussi CE a TT AE C1 € — (& — €) € € Or =— 427 et = — — 505, d’après les observations directes des latitudes et de la récession. Donc Fe 10h CE ONE TRE AD 2 7 puis : CC ie x° CE el Cie co x 1-00. fi 2 ELA à) D'après les observations, à la surface de la Terre, CI est, en moyenne, de 4 mètres; done CC/ est, en moyenne, de 1"10. Le pôle instantané de figure C' décrirait à la surface du globe un cercle de 1"10 de rayon avec la vitesse angulaire chand- lérienne >> Il n'est pas inutile de faire remarquer que S. Newcomb, le savant américain qui a le premier signalé l’élasticité de la Terre comme cause capable d'augmenter la période eulérienne, s’est mépris tout d'abord sur l’explication (*). D’après nos calculs, 2 En C’ ' | EP _— — = — = — 9 ] € € € € E + Eo (*) Voyez S.S. Houcx, On {he Rotation of an elastic Spheroid. (Pniz. TRANS., 1896, partie À, pp. 341-342 ) (#*) On the Dynamics of the Earth’s Rotation .. (Monrazy Notices, t. LXIL, mars 4892, n° 5, pp. 338-339). 8 ( 114) La raison de cet écart réside dans ce que Newcomb supposait que l’ellipticité e; = e/ (que la rotation du sphéroïde introduit) devait se superposer à l’ellipticité e, de l’état { au lieu de Pellip- ticité e de l’état 2 (*); il trouvait alors C’ Es FR. au lieu de E1€0 CO 8 a +& Che Ne ie Ej + € * * # Pour finir, disons un mot du déplacement (soulèvement ou abaissement) d'un point de la surface du globe élastique et de la déviation de la verticale qui peuvent résulter du mouvement angulaire s, = angle COC/ de l’axe de figure (**). Il est clair que, si ces pelits mouvements sont sensibles, leur mesure directe, ne devra pas étre en désaccord avec les valeurs exigées par l’élas- ticité du globe : autrement cette dernière hypothèse serait à rejeter. Nous allons voir qu'elles ne sont guère décelables par l'observation. A cette fin, rappelons les expressions (6) et (9) du para- graphe IT de cette Deuxième Partie : D 9 rh É + (es +’) [costs —À)| ; (6) 2 Te = R [ + E& COS? S + €” COS’ FoNneie ‘|: (9) dans ces expressions s désigne la colatitude du lieu d'obser- (*) Ou encore que l’on devait, pour obtenir l’ellipticité e résultante (qui intervient dans l'expression T’ — = de {a periode chandlérienne), ajouter €’ à €, au lieu de l’en retrancher. (**) Voyez encore SOMMERFELD, op et lib. cit., p. 705. (115) vation (comptée à partir de la même droite OA dans les deux formules), r, et r, ses distances au centre de gravité O de la Terre suivant que la rotation de l'ellipsoïde élastique terrestre à lieu autour de l’axe OC ou de l'axe OI (faisant avec OC langle très petit À); s est l'ellipticité primitive, e/ l'augmentation d’ellip- ticité due à la rotation. Le soulèvement (ou l’abaissement) d’un point de la surface, résultant de la rotation autour d’un axe OI faisant avec OC l'angle À et par conséquent du déplacement s, de l’axe de figure, sera Va — Ti = Re’ [cos* (3 — à) — cos ss] — Re’à sin 95, aux termes en À? près. Ce soulèvement est maximum pour + — 45°, puisque alors sin 23 = 1. Le coefficient Re’ est toujours très petit. RA n’est autre chose que la distance d qui sépare les pôles 1, C à la surface du globe ; cette distance est, comme nous l'avons vu, en moyenne de 4 mètres et toujours inférieure à 10 mètres (*). Le soulèvement maximum sera alors € 1 ù Re ed = «|! —<)a = — £ —;:) d € 305 7 2 d d _ 40m —_——— € = < 001 7 305 1067,5 _ 1067,5 à à ce qui n'est guère sensible. Passons ensuite à la déviation du fil à plomb. L’angle que forme la normale en un point (au méridien du sphéroïde) avec le rayon vecteur est, en coordonnées polaires, dr to d — a Ë r d>” (*) Voyez Première partie, K 2. (116) cet angle est évidemment très petit; on peut done écrire Ces angles sont donc dans les deux cas, d'après (6) et (9), d—=—(s + e/)sin 25, de = — e sin 23 — £’ sin 2 (5 — à), d’où l'expression de la déviation i— d—0— 6€ [sin 25 — sin 2(5 — À)] — 2e’à cos 25. CP SRE Nous venons de voir que & =; < 0,001, donc la déviation maxima 2e/À est inférieure au 5go de la déviation À < 0//3 de l’axe de rotation, soit à 0/’0006, ce qui est insensible. Pour terminer ce que nous avons à dire sur ce sujet, nous mentionnerons l'influence que peut avoir l'eau répandue à la surface du globe. Il est clair que les océans s’adapteront très rapidement. aux déplacements de l'axe de rotation, car leur viscosité est presque nulle : en sorte qu'on peut considérer la figure d'équilibre qu'ils affectent comme un ellipsoïde aplati ayant OI pour axe de figure. Mais le globe, étant supposé élas- tique, prendra, en dessous de la couverture liquide, la forme d'un ellipsoïde aplati ayant OC’ pour axe de figure (OC faisant avec OC l'angle 3, — — x angle COÏ). Nous avons affaire alors à deux surfaces ellipsoïdales n’ayant pas le même axe de figure. L'influence des mers a encore pour effet d'allonger la période eulérienne; en sorte qu'une partie de l'écart qui existe entre les périodes eulérienne et chandlérienne pourrait avoir sa raison dans l’ellipticité que prendraient les océans. Cette influence est très complexe et, par conséquent, très difficile à estimer. (117) S. Newcomb pensait qu'elle pouvait rendre compte du quart de la différence (*) ; mais il est probable que cette estimation est exagérée et que les continents ont pour effet de réduire les mouvements des mers. Cependant S. Woodward (**), au contraire, a prétendu que écart tout entier pouvait être attribué à ces derniers. Il est bon de rappeler encore ici les expériences de Van de Sande Bakhuyzen (***) et de Christie (1) sur la mesure précise des marées. TROISIÈME PARTIE Explication des oscillations annuelles et apériodiques (oscillations de deuxième et troisième espèces) Nous allons montrer dans cette partie de notre Travail que les oscillations de deuxième et de troisième espèces du pôle de ro- tation peuvent être dues à des phénomènes de transport de masses sur la surface de la Terre (ou même en son intérieur) ou dans l'atmosphère. Mais il est nécessaire d’exposer tout d’abord une théorie qui est généralement peu connue : nous voulons parler de Ja théorie du mouvement de rotation d'un corps variable. (POpACE., 1592. : (**) Astronomical Journal, 1896, t. XV, n° 345. (***) Astronomische Nachrichten, n° 3261. (uv) Bull. Phil. Soc. Washington, t. XIE, 1895. p. 103; Astr. Journal, 1896, n° 391. (118) A. — Théorie du mouvement de rotation d’un corps variable. $ 1. — Etablissement des equations différentielles du mouvement. Voici la manière dont on peut concevoir donné le prorlème (*). Soient Ox, Os, OZ, trois axes rectangulaires absolument fixes (**) ayant pour origine un point O autour duquel nous disons que le corps (variable de forme et de répartition interne) effectue sa rotation. Soit un second système d'axes rectangulaires Ox, Oy, Oz ayant même origine et même orientation (pour fixer les idées) que le premier système ; nous supposons le trièdre Oxyz mobile et nous l'appelons trièdre de référence. Imaginons que l’on connaisse le mouvement de chaque point M du corps par rapport aux axes mobiles Oxyz, soit Le Ur \ y= ft, 2 — f; (0), et que l’on connaisse également les forces extérieures absolues agissant sur chaque point du corps. Le problème consiste à déterminer la rotation instantanée o du trièdre Oxyz autour de O; alors, si l'on parvient à déterminer cette rotation instantanée et si l’on connait la position initiale Or, yo z0 du trièdre de référence Oxyz, on connaîtra le mouvement absolu de chaque point M du corps par rapport aux axes absolus Oxy121. Pour résoudre le problème, il s'agit donc d'intégrer les équa- (*) Voyez notre opuscule : Mouvement de rotation d’un corps de forme variable,. Liége, janvier 1908, p 5. (**) Dans l’acception connue [voyez p. ex. P. PAINLEVÉ, Leçons sur l’Inté- gration des Équations de la Mécanique. Hermann, Paris, 4897, 1re leçon]. (119 ) tions différentielles contenant comme fonctions à déterminer les composantes p, suivant Ox, 4 suivant Oy4, r, suivant Oz, de la rotation 0, ou encore les équations différentielles des composantes p. q,r de cette rotation suivant les axes mobiles de référence Ox, Oy, Oz [ce sont ces dernières qui constituent les équations d'Euler au cas où chaque point M du système est en repos rela- tivement aux axes Oxyz, c'est-à-dire où l’on a pour chaque point : fi (0 = C*, Re (0 = C*, fs (0 = C*]. Telle est la manière la plus simple de présenter la question, mais non la plus complète. Nous voulons actuellement établir des équations différentielles de mouvement assez générales pour pouvoir y faire rentrer, comme cas particuliers, celles employées par les différents géo- mètres qui se sont occupés de la question. A cette fin nous ferons choix de {rois systèmes d’axes rectan- gulaires de même origine O et de même orientation : 1° Un système Ox, y4 z, absolument fixe ; 2° Un système Oxyz mobile dit de référence ; 3° Un système OËn£ mobile également. Nous supposons données les forces extérieures absolues agissant sur le corps et connu le mouvement de chaque point M du corps par rapport aux axes mobiles OËnt ; nous nous imposons en outre une certaine relation entre les positions des deux trièdres mobiles Oxyz, OËn£, de manière que la position de l’un d’eux suffise à déterminer celle de l’autre : la façon la plus simple dont on puisse concevoir donnée cette rela- tion est d'imaginer que l’on connaisse à chaque instant la valeur Ÿ ai P, (£), 0 — Da (L), (2) PP (t), (12 ) des angles d'Euler dont il faut faire tourner successivement, de la manière connue, le trièdre Oxyz pour le faire coïncider avec Ont. Remarquons que cette nouvelle manière d’envisager le pro- blème revient absolument à se donner comme plus haut | «= 11, | y = F; (0), (3) ne F; (4), car si ‘x, 8,7 sont les cosinus directeurs de Ox par rapport à OË, Oy Ok, | a',B',y’ » » Oy » » ( CAS + AP dE » » Oz » » on a les formules de transformation de coordonnées x — aËë + Py + y, y=sE+ pure, (4) Z = a'’E ee 6"’y de y''8, | et de plus les relations connues æ = COS @ COS Ÿ — sin © sin Ÿ cos 8, B —= — sin o cos d — cos y sin Ÿ cos 8, (5) Ces dernières relations font connaître les neuf cosinus «, fi, y,. a/, 8’, y. a/’,8",+"" en fonction du temps, et, par les formules (4), on obtiendra x, y, z en fonetion du temps. Il est clair que, généralement, on ne donnera pas la liaison entre les deux trièdres mobiles sous la forme explicite (2); mais il suffit ici de faire voir à quelles conditions le problème est dé- terminé. Le choix de trois systèmes d’axes semble de prime abord compliquer la question : mais on peut voir dans les travaux de plusieurs géomètres qu’il est souvent avantageux de traiter le (121 ) problème de cette manière et qu'on peut généralement simplifier ainsi, dans une notable mesure, l'intégration des équations diffé- rentielles du mouvement. On comprendra mieux la portée de cette observation plus bas. Appelons o la rotation instantanée du trièdre Oxyz autour de O, et p, q, r ses composantes suivant les positions instantanées de ces axes Ox, Oy, Oz. Soit w la rotation instantanée du trièdre OËn£ autour de O; soient w,, ®,, ©, Ses Composantes suivant les positions instan- tanées des axes de l’autre système mobile. Enfin appelons A, B, C, D, E, F les moments et produits d'inertie du corps par rapport aux axes Ox, Oy, Oz: A=Zm(y +2), D— Zmyz, B— ÈZm(z + x), E— Zmzx,) (6) C— Zmix + y), F— may. En premier lieu, déterminons les composantes suivant Ox, Oy, Oz de la vitesse absolue v d'un point quelconque M du corps. Cette vitesse absolue est la somme géométrique de deux autres vitesses : la vitesse w relative de M par rapport aux axes mobiles OËrn et la vitesse d'entrainement v, de ce point due à la rotation instantanée de ce trièdre OËnÇ. Ainsi Ut Le Pour traduire analytiquement cette égalité, nous écrirons sé- parément que la projection de v sur chacun des axes Ox, Oy, Oz de référence est égale à la somme algébrique des projections des vitesses w et v,. La vitesse d'entrainement du point M a évidem- ment pour composantes suivant Ox, Oy, Oz: Ver — O7 — ©, Vy = 0,7 — 0,2, l (7) ey Ves — DQY — GX, | si l’on désigne par x, y, z les coordonnées de M par rapport à ces axes. (12) En appelant v,, v,, v. et w,, w,, w, les composantes de » et de w suivant ces axes, nous aurons done V, = W, + O7 — 0,1, Vy = W, + ©,X — &,Z, (8) VU, = W, + DY — OT; il est done bien entendu que w,, w,, w, représentent les compo- santes suivant Ox, Oy, Oz de la vitesse relative w de M par rapport aux axes OËnt (c’est-à-dire correspondant au déplacement élémentaire de composantes dË, dn, d& qui se produit dans l’in- tervalle de temps dt). Ces composantes v,, v,, v, étant calculées, déterminons le moment résultant OG des quantités de mouvement absolu des divers points M du corps par rapport au point fixe O. Ce sera évidemment un vecteur ayant pour projections sur les axes de référence Ox, Oy, Oz : [= Em(v,y — v,2), | g — Èm (v,z — v,x), (9) Oh Emiv,x — v,y); ces quantités sont également les moments résultants, par rapport aux axes de référence Ox, Oy, Oz, des quantités de mouvement absolu. Si nous introduisons dans (9) les valeurs (8) de v,, »,, v,, nous aurons f— Em (uw, + 0,y — o,t)y — (w, + ax — w,z)z] — Em(w,y — w,2)+ 0,. Zm(y* + 2°) — o,. Èmxy — ©,. ÈMIx — En(w,.y —w,z) + Ac, —Fo,— Eo,, et de même: g = Zm(w,z — w,x) — Fo, + Bo, — De., oh Em(w,x — w,y) — Eo, — Do, + Co.. (1% ) Les quantités dx —= ZM (W,y — W,2). 9, = Zm(w,z — w,x), } (11) 6, = Èm(&,x — w,y) sont évidemment les projections, sur les axes de référence Ox, Oy, Oz, du moment résultant Oo, pris par rapport à O, des quan- tités de mouvement relatif des divers points du corps vis-à-vis des axes OËn£ (c'est-à-dire correspondant au déplacement élémentaire de composantes d£, dn, dé qui se produit dans l'intervalle du temps dt). Nous écrirons alors les expressions (10) sous la forme abrégée (*) : = 6, + Ac, — Fo, — Ec,, | g = 04 — Fw, + Bo, — Do,, (12) | h= 0, — Ex, — Do, + Co. Telles sont les expressions cherchées de la projection du moment résultant OG des quantités de mouvement absolu sur les axes mobiles de référence Ox, Oy, Oz. Ces préliminaires posés, cherchons les équations du mouve- ment. La méthode d'Euler, élégante entre toutes, convient encore à ce problème général (**) ; elle consiste, comme on sait, à em- ployer une représentation cinématique basée sur le théorème des moments des quantités de mouvement. Ce théorème nous apprend que le vecteur OW, moment résultant par rapport à O des forces extérieures absolues, est équipollent à la vitesse du point G (extrémité du vecteur OG représentant le moment résultant des quantités de mouvement absolu des divers points du corps) sur Pindicatrice du moment résultant des quantités de mouvement. (*) Cf. F. TISSERAND, Mécanique céleste, t. 1, 1891, p. 507. (**) C£. P. APPELL, Mécanique rationnelle, t. 11, 2ve éd., 1904. pp. 149 et 203. Voyez aussi F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ueber die Theorie des Kreisels, cr fascicule, 1897. p. 141. (12%) Pour traduire ce théorème, nous projetterons OW et la vitesse absolue de G sur les axes mobiles Ox, Oy, Oz de référence, et nous écrirons que leurs projections sont égales. Nous désignons les projections de OW par L, M, N': ce sont donc aussi les moments résultants des forces extérieures par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. La vitesse v; de G se compose de la vitesse relative r,ç par rapport aux axes Oxyz et de la vitesse d'entraînement v,ç due à la rotation o de ces axes : — — — Ve —= Ve + Ve. En projetant sur les axes Oxyz, nous avons V6 = Ve + Vo) VE = Vie + Ve: (15) \ VE —= Vic + | Or le point G, ayant pour coordonnées f, g, h par rapport aux axes Oxyz, a évidemment pour projections (sur ces axes) de sa vitesse relative par rapport à ces axes : en rG dt dg Ve = — » 14 C'ÉPPÉNRE 1e (14) Ve = — PRÉC La vitesse d'entrainement a aussi pour projections sur ces axes Ox, Oy, Oz : ec = qh Per: rg; ve —=Trf — ph, (15) Vée = P9 — qf. Par conséquent la vitesse absolue vg de G a, d’après (14) et (125) (15), pour composantes suivant les axes mobiles Oxyz de référence, les vitesses v£ af h—7r = — Maui CET OR 3 d Li— + rf — ph, _dh = + png —qf, | D'après le théorème rappelé (relatif au moment des quantités de mouvement), ces vitesses doivent être égales à L,M, N. On a donc ET L — — — Ad J 1 LL — ph —M (16) dt la - ; dh N # So Es at, gf Telles sont les équations générales du mouvement que nous avions en vue d'établir: f, g, k y ont les valeurs (12) que nous venons de déterminer. x *k + Pour de plus amples développements sur ee sujet, voir la Note placée à la fin de ce Travail. $2. — Emploi des équations différentielles établies ; leur application à la solution du problème. Choix des systèmes d’axes mobiles. Examinons maintenant comment nous pouvons appliquer les équations d Le qh—rg— 1, LAURE TEE à (16) dt dh FH RCC | Moni (1% ) = Èm (w,y — w,7) + Ac, — Fo, — Eo,, q = Êm (w,z — 10,7) — Fo, + Bo, — De,, (10) h = Em (wyx — w,y) — Eco, — Do, + Co z9 à la solution de notre problème. Nous supposons données les équations de mouvement 4 —= fa (£), (1) = f; (t), | et de plus | Y= it}, | | 8 = qu(t), (2) D = G%(t); | dans ces équations £, n. £ représentent les coordonnées carté- siennes rectangulaires d'un point M du corps variable par rapport au trièdre mobile Off, et 4, 6, © désignent les angles dont il faut faire tourner le trièdre Oxyz, respectivement et successi- vement autour de Oz, de l'intersection OÙ des plans xOy et £0n, et de OÙ, pour le faire coïncider avec le trièdre Ont. Comme nous l'avons fait remarquer au commencement du paragraphe précédent, des relations (1) et (2) on déduit immé- diatement les valeurs des coordonnées x, y,z en fonction du temps: | = F, (L), | — F;, (£), (3) _z=F, (+1), et par conséquent aussi celles des moments et produits d'inertie A—Em(y + 7), D= Emyz, B=Zm(z + x), E= Zmzx, l (6) C = Em(x*+ y), F = my, | en fonction du temps £. (127 ) Les valeurs de w,, w,, w,, savoir (*) / dE dy [20 Rp — — — + ; AU dt fr dt Lf dt d£ dy dé ln Es LEE Po. 17 MU 0dé di Ki) dy dé sont aussi, d'après (1), (2) et (5), exprimables en fonction de {. Il résulte done qu'en vertu de (10), (17), (1) et (6), f, g, k pour- ront s'exprimer en fonction du temps f et des composantes w,,, w,, w, de la rotation w du trièdre OËn£. Cette rotation se compose de la rotation o du trièdre Oxyz et de la rotation 0’ qui aménerait Oxyz en coïncidence avec OËrnE. © = 0 + 0’. Cette dernière rotation o/ se compose, à son tour, des trois ro tations eulériennes (**) | d’ autour de Oz, 8’ autour de l’intersection OÙ des plans x0y et 50, g’ autour de 92, soit 0 = FT Er o’. En projetant l'égalité vectorielle 7 72 nr w©— 0—0 —Ù" + 6 + o’ (*) Voyez notre opuscule, p. 13. Une légère erreur s’y est glissée : ce sont les valeurs de w,, w,, w., données ici, qui sont correctes. dy d0 dy (**) Ÿ’, 8”, w’ désignent ici les dérivées —, —, À. ù : di dé ( 128 ) sur les trois axes Ox, Oy, Oz, nous aurons done @, — p — 6" cos b + ’ sin Ÿ sin 8, @, — q = 8" sin Y — op cos y sin 6, (18) @, —r—=4" + cos 8. Au moyen de ces relations nous pourrons exprimer w,. w,. w- en fonction de p, q, r et det. [,9, hse mettront alors sous forme de fonctions de p, q,retdet: pe [=F(p,qr;t), ÿ G (p, q, Tr; t), (19) A = Hp, q, r, t). Cela posé, désignons par d,, 6,, ©, les angles eulériens dont il faut faire tourner le trièdre Ox, y4 z,, respectivement et successi- vement autour de Oz, de l'intersection OÙ, des plans x, Oy, et x0Oy, et de Oz, pour l’amener en coïncidence avec le trièdre Oxyz. Les moments résultants L, M, N des forces extérieures absolues par rapport aux axes de référence Ox, Oy, Oz peuvent être fonctions des positions des points, de leurs vitesses et du temps t; en d’autres termes, dans le cas général L, M, N sont fonctions des angles eulériens d,, 04, ©,, de leurs dérivées 4/,, 6/,, 1 et du temps { (car si les coordonnées relatives interviennent dans leurs expressions, on peut supposer qu'elles sont remplacées par leurs valeurs en fonction du temps). Nous pourrons donc écrire L —= , (ds, ê4, Du ds, CE Dis t), | M — ; (Us, 03, Dis i, 64, Di L), N — 9; (di, 01, qu, Vi, 0, oi, 1) ou encore, puisque p — Ÿ, sin 0, sin @, + 6, cos qu, q — Ÿ, sin 4, cos @, — 6, sin qi, | (20) r = Vi cos 8, + q4, (129 ) sous la forme L = L(p,6,q,p,qr;t), M—M(h,0,o,p,qr,t), | (21) | = N (44,6,,@,, p,q,r, !). En introduisant les valeurs (19) et (21) dans les équations (16), nous obtenons : dF(p,q,r,t re * * L'intégration rigoureuse des équations (16) ou (22) est évidemment irréalisable dans le cas général, Si l’on se borne à l'étude du mouvement de rotation naturelle (L—M—N—0) d'un système variable, dont on suppose les moments d'inertie principaux égaux à chaque instant (4 = B— C), cetle intégration se ramène à la résolution d’une équation de Riccati; si cette dernière est effectuée, le calcul des neuf cosinus 9 (130 ) (des angles formés par les axes principaux avec les axes fixes Ox, Ya 1) peut s'obtenir par l'intégration d'une équation du même genre (*). Mais ceei ne regarde pas directement notre objet, car les moments principaux polaire C et équatorial À de la Terre sont nécessairement inégaux, quels que soient les changements que l'on suppose s'effectuer en elle. Lorsqu'on se place dans l'hypothèse que les composantes p, q sont suffisamment petites pour qu’on puisse négliger leurs carrés et leurs produits, et qu'on suppose quer ne diffère d’une constante n que d’une quantité n/ du même ordre que p et q (**) : T=n+#, le calcul des cosinus peut être effectué de la façon suivante, indiquée par H. Gyldén dans son Mémoire de 1871 (***). Nous pouvons écrire les équations (20) sous la forme d . = (n + n’) —(p sin p, + q cos e,) cotg 4, « db, / PE CE AL ML OU ie (20’) € mien Soda pau LC IL EC" Ü (*) Voyez L. PicarT, Sur la rotation d'un corps variable. (ANN. Os. BorDEAUXx, t. VII, 1897, $7.) Consultez aussi G. DARBoOUXx, Théorie des Surfaces, chap. IL, et les recherches de V. VoLTERRA [Cf. Bulletin astronomique, t. XIII, 1896]. (**) C'est ce qui se présente notamment pour la Terre, quand on suppose qu'il se produit des petits déplacements de masse en son intérieur ou à sa surface. (***) Recherches sur la rotation de la Terre. (Nova Acra Soc. REG. UPsa- LIENSIS, 32e série, t. VIII, 1871, 4er fascicule, S 2). (13) Alors nous avons immédiatement, au degré d’approximation voulu, qi=n eme fn ER Sr puis 8, —= 62 + fe cos n (£— 1°) — q sin n(t —t°)] dt, (25)  24 (= + —— f[psinn(t—t)+qcosn(t —t)] dt, sin 6. 10 d, 04° et 44° étant les valeurs initiales de #, 6, et d1. Si nous supposons d,° = 0 et si nous posons at \ fa, | ” et [p sinn(t—{) + q cos n(t—1°)] dt = », 40 ,t [pcosn(t—1)— qsinn(t—t)]dt = p, æ nous aurons, en ne conservant que les premières puissances de ce À, > sin @ — sin n (£— {°) + () 1) cos n (t — 1°), COS @,— cos n (t — 1°) — (y — À cotg 6;) cos n (1 — t°), sin 6, —= sin 0 + ge COS 67, COS 0, == COS 4 — pe Sin 64, (24) sin “e sin pÿ” cos M, — 1. En introduisant ces valeurs dans les expressions connues (*) (*) Analogues aux relations (5). (132) des cosinus directeurs, nous obtiendrons, si nous négligeons encore les puissances de y, À, x supérieures à la première, j a—Cosn(t—1{°)— y sin n(t — 1°), b— cos &, sin n (f— 1°) — y sin 4. sin n (t — 1°) + x cos 05. cos n (t — 1°), c— sin ®4. sin n (t— 1°) + p cos 4. sin n (t — {°) + (x sin 4 — À cos 4). cos n (t — L°), d'=—sinn(t—1°)— % cos n(t — 1°), Ÿ D cos #. cos n (t— 1°) — w sin 6. cos n(t—4) } (25) x cos #. sin n (t — {°), c'— sin #, cos n (t— 1°) + p cos À, cos n (t — 1°) — (x sin # — à cos 4). sin n(t — 1°), b'' — sin & — x cos à, | c'—= cos & — wsin 4. | Occupons-nous à présent des différents cas particuliers qui peuvent se présenter pour la forme des équations différentielles du mouvement, lorsqu'on adopte tels ou tels systèmes d’axes mobiles. Ce choix est généralement assez délicat (*). A. — SYSTÈME RIGIDE. 1. D'une manière générale, pour un système rigide, le plus simple est de prendre pour axes Oxyz et OËnt deux systèmes d'axes rectangulaires fixés dans ce système; ces deux systèmes d’axes peuvent coïncider ou non (**). Les moments relatifs sont évidemment nuls: 5, = 5,=6,= 0. Deplusp —w,.q = w,, r =w, (*) Voyez notre opuseule, p. 14. (**) Il est clair que, dans ce cas, il est absolument inutile d'introduire deux systèmes Oxyx, OËné différents. (133 ) et A, B, C, D, E, F sont constants. Les équations du mouvement prennent alors la forme : / 2. Si de plus nous choisissons pour axes Oxyz, fixes dans le corps, les axes principaux d'inertie, nous avons À — À, B — B, C—C, D—E— F = 0, et les équations s'écrivent alors : RU het FA ra = EL, (B) où À, B, C désignent les moments principaux d'inertie constants du corps rigide par rapport au point O. Nous retrouvons ainsi les équations d'Euler que nous avons employées dans l’Intro- duction. 3. Il n’est pas toujours plus simple de choisir les axes mobiles fixés invariablement au corps rigide. On peut prendre pour axes de référence Oxyz, des axes mobiles aussi par rapport au corps, et conserver pour axes OËnt des axes liés invariablement à ce dernier. On a alors simplement : 5, = ©, = os, = 0, et les équa- tions du mouvement sont : d D enr eur las) + q (— Ew, — Do, + Co,) —T(— Fo, + Bo, — Do.) = L, (C) Wy Wys W, représentent ici les composantes suivant les axes (154) mobiles Ox, Oy, Oz de la rotation w du solide. À, B, C, D, E, F ne sont plus des constantes. Ces équations ont été employées par Slesser (*), par Routh (*, par Puiseux (***), par Résal ("), par Appell (*), etc. En particulier on peut les utiliser pour simplifier le calcul de la précession solaire ("). B. — SYSTÈME VARIABLE. C'est surtout ici que le choix des axes mobiles devient une chose délicate. 1. Dans le cas où le corps a une partie rigide, on peut, si l’on veut, y fixer d’une manière invariable l'un ou l’autre (ou même tous les deux) système d’axes Oxyz, Oint. On remarquera que x, y, z ne sont pas en général des constantes; par conséquent, À, B, C, D, E, F ne le sont pas non plus. Nous donnerons plus loin des applications de ce cas particulier. Helmert () et Sommerfeld ("") l'ont traité fort heureusement. 2. Si l’on choisit pour axes Oxyz les axes principaux énstan- tanés du corps et pour OËnC des axes rectangulaires (fixés au trièdre d’axes principaux) coïncidant par exemple avec eux, on a à chaque instant : 6, —=9p, w,=9Q, vw, =7r, D—Ez=F— 0, A == A,B=— B, C = C, mais les moments principaux 4, B, C (*) Cambridge Quarterly Journal, t. 1I, 1861. (**) Rigid Dynamics, t II, 1884. (***) Théorie du mouvement de la Terre autour de son centre. (iv) Traité élémentaire de Mécanique céleste, 1884, p. 383. ( Traité de Mécanique rationnelle, 1. II, 2me éd., 1904, p. 204. () RouTH, op. et lib. cit., p. 213. Voyez aussi F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 510. (vu) Die mathematischen und physikalischen Theorien der hôüheren Geodäsie, t. II, 1884, chap. V. (vi) Op. cit., 3me fasc., 1903, chap. VIIL, section B, p. 716. Voyez section B, litt. b, S 2 de cette Partie. (155) sont variables avec le temps f. Les équations du mouvement s'écrivent alors d pra) PTE A?) + q(o, + Cr)—r(o, + Bq)= L, » (D) Liouville (*) s’est servi de ces équations pour étudier le mou- vement de rotation naturelle (L = M = N — 0) d'un corps qui se déforme en restant constamment symétrique par rapport à ses plans principaux (par exemple dans une dilatation, si le corps est homogène). On a évidemment alors ©, —c,—0,—0, et les équations (D) deviennent simplement d — (4p) + (C— Bjrqjq—=L=0, # (E) On peut aussi, avec Volterra (**) et Sommerfeld (**), étudier le mouvement d’un corps dont les moments principaux d'inertie restent constants, les seuls mouvements internes étant cycliques. Alors c,, c,, s, ne sont plus nuls, mais 4, B, C restent inva- riables, et les équations (D) s'écrivent \ + A+ (go, — ro) + (C— B)rq =L, | , je (*) Journal de Math. pures et appliquées, me série, t. III, 1858; Add. à la Connaissance des Temps pour 1859. Voyez aussi SCHWAHN, HELMERT, TISSE- RAND, PICART, 0p. ci. (**) Acta mathematica, t. XXII, 1898. (**) Op. et lib. cit., p. 712. Voyez aussi section B, litt. a de cette Troisième partie. ( 136 ) 3. On peut encore prendre pour axes Oxyz les axes principaux d'inertie instantanés et pour axes OËn£ des axes rectangulaires supposés fixes dans le corps, figé lui-même dans la configuration qu'il a à un instant bien déterminé. C’est ce qu'a fait Darwin (*). Alors D—E—F = 0, et les équations du mouvement s’écri- vent: d at + 4e) + qe + Co) —r(o, + Ba) =L, (G) Dans son célèbre Mémoire de 1877, le savant anglais a calculé Tys Cys 7: dans quelques cas particuliers ; mais dans ces cas (rela- ufs à de petits changements qui peuvent se produire dans ou sur la Terre), ces quantités ont été toujours très petites ; par suite il est, en fait, arrivé à poser 5, — 0, — oc, — 0 et est rentré ainsi (**) dans le cas que nous allons traiter immédiatement. AXxEs MOYENS. — Nous avons obtenu précédemment les expres- sions Η= 0, + Ao, — Fw, — Eo,, g = 0, — Fo, + Bo, — Do,, (12) h= ©, — Ew, — Do, + Co, des composantes du moment résultant des quantités de mouve- ment absolu suivant les axes Ox, Oy, Oz. On voit immédiatement que ce moment résultant OÜG est la somme géométrique de deux autres moments résultants de quan- tités de mouvement : l'un OUG/ de composantes f— Au, — Fo, — Eo,, g' = — Fo, + Bu, — Do. (12) | h' = — Eo,— Do, + Co., (*) Influence of the geological changes. (Pair. TRANS., 1877, t. CLX VII.) (**) Voyez HELMERT, Vierteljahrschrift der ast. Ges., Leipzig, 1878, p. 312 et op. cit., t. II, 1884, p. 410; SCHWAHN, op. cit., S 4. (137) est dû au mouvement de rotation du trièdre OËn£ ; l’autre Oc de composantes ( d, = Zm (W,y — w,2), | o, — ÈMm(Ww,z — w,x), (11) 0, = 2M(W,T — w,y), | est dù au mouvement relatif des différentes parties du corps par rapport à ce trièdre. Ainsi OG — O0G’ + O5. Il résulte d'une remarque faite par Poinsot que, étant donnéun système quelconque en mouvement autour d'un point fixe, on peut déterminer une rotation autour d’un axe passant par ce point telle que, si cette rotation est communiquée au système supposé solidifié, l'axe du moment résultant des quantités de mouvement qui en proviennent soit égal en grandeur, direction et sens à l'axe du moment analogue se rapportant au mouvement réel; en d’autres termes, on peut déterminer une rotation, autour d'un axe passant par O, qui, communiquée au corps supposé solidifié, rende l'axe OG’ géométriquement égal à l'axe OG du moment résultant des quantités de mouvement, provenant des mouvements véritables des différents points du corps. En effet, nous pouvons choisir pour axes OËn£ trois axes rec- tangulaires pour lesquels, à chaque instant, on ait (=D, ,—0, } (41/) O3 — UV, c'est-à-dire Oc — 0; alors 0G' — 0G Dans ce cas, le moment résultant Oo des quantités de mouve- ( 138 ) ment relatif est nul; on peut dire qu'il y a absence de courants pour les axes OEnt choisis de cette façon: en effet, la rotation du trièdre O£né se produit de manière que les courants (déplacements relatifs) se compensent, se neutralisent, se détruisent (*). Il est donc naturel d'appeler, avec Helmert et Radau, cette rotation la ‘rotation moyenne,, du corps variable (qui devient évidem- ment la rotation actuelle du corps, si ce dernier est rigide), Mais, comme le font remarquer avec beaucoup de justesse ces deux géomètres, les trois conditions (14/) ne déterminent que la rotation moyenne sans fixer la position des axes OËn£ par rapport au corps. Pour que celle-ei soit complètement déterminée, il est nécessaire d’assigner à ces axes une position initiale donnée, par exemple de les faire coïncider avec les axes principaux au temps { — 0. [C'est analogue à ce fait que les conditions dE = dn = dE = 0, dans le cas d’un corps rigide, définissent des axes fixes dans le corps, sans que la position de chaque axe OË, On, OÙ soit précisée.] Des axes définis de cette façon seront désormais appelés axes moyens. Cette notion une fois introduite, nous pouvons encore simplifier la forme (G) des équations différentielles du mouvement. En effet, si nous prenons pour axes Oxyz les axes principaux instantanés du corps et pour axes Ont les axes moyens (qui coincident par exemple avec Oxyz à l'époque initiale), nous aurons précisé, d’après les indications de Helmert (**), la position des axes choisis par Darwin. Dans ce cas, o, = 0, —0,=— 0, A—A,B—B,C—(C,;,D—E—F— 0, et les équations du mouvement prennent la forme très simple : d — (4o,) + q(Co,) — r(Ba,) — L, d É (H) (*) F. TISSERAND, Mécanique céleste, t. IL, 1891, p. 506. (**) Die mathematischen undphysikalischen Theorien der hôüheren Geodäsie, t Il, 1884, p. 410. (139 ) Nous développerons plus loin une application très importante de ces équations (*). 4. Enfin, on peut encore prendre pour axes Oxyz et OËnt (coïncidents) les axes moyens à chaque instant. C’est ce qu'a fait Gyldén dans ses Recherches sur la rotation de la Terre (**). On a alors :0, —0, —=0, = 0, p = 0,,q == w,,r — w,, et pour équa- tions différentielles du mouvement : d a (BP Fa — Er) + q(— Ep — Dg + Cr) —r(— Fp + Bg — Dr) — L, (LD) Faisons remarquer, pour terminer, que la manière de poser et de résoudre le problème, telle que nous l'avons exposée au commencement de ce paragraphe, n'a été donnée que dans un seul but : montrer que la question est bien déterminée et que la solution en est possible. Dans la plupart des cas particuliers, le problème ne sera pas posé de cette façon. Voici encore une manière d'envisager la question. Choisissons les axes principaux instantanés du corps pour axes Oxyz et les axes moyens pour axes OËrnt ; les équations du mouvement prennent alors la forme (H). Au lieu de donner le mouvement E— ©, (1). Ÿ #=—H;(t), (1’) Lol (où à — 1,2, ..., n) (*) Voyez Troisième partie, section B, litt. b, 2. (**) Nova Acta Soc. Reg. Upsaliensis, 3me série, t. VIII, 1°r fascicule, 1871. ( 140 ) de chacun des x points du corps par rapport aux axes moyens (*), on peut astreindre ces points à satisfaire à 3n — 3 équations de liaison (**), que nous supposons, pour fixer les idées, pouvoir s'exprimer par Li (Eutis Gas Enr Mar Casier cn En st) = Ou (0) (où sig 1, 2, …. on — 3), et aux trois équations (11/) qui définissent la rotation moyenne, savoir __ En désignant par u,, un, y les projections du moment relatif Oc sur OË, On, OÙ, nous avons Tale + Bu, Nas y = ab + Guy + V'k (41/’) 6, — au 14] Be, LES ve Les équations (14/) équivalent à (*) (Voyez aussi HELMERT, op. et lib. cit., p. 408). Ce qui ne se présente évidemment presque jamais. (**) Le système est supposé ne pouvoir se déformer que d’une seule manière ; en d’autres termes, il est à liaisons complètes. (1H) Le système formé des 5n — 5 équations ({) et des 3 équations (11/7) permet d'obtenir les 3n équations (1’). Au lieu de donner à, 6, en fonction du temps par des équa- tions telles que Ÿ — (£), 0 — De (£), (2) P— Ps (L), nous n'avons qu'à exprimer que les axes Oxyz sont principaux d'inertie à chaque instant, soit D — Zm;y,z, — 0, E ne 2m;z,x, — 0, (2) F—= Em; —0. En remplaçant dans ces équations x;, y;, z; en fonction de Es, ni Gi @ By; «, PB, y', a”, fV', y’! et en désignant par A’, B’, C', D’, E/, F’ les moments et produits d'inertie du corps par rapport aux axes O6, On, OÙ A = Lmi(si + €), — Êmtitis | B’ —= 2m, (c AUX A vi = mis / C' = Êm,iËi + #i), F'— mé, nous obtenons : D — Zm,iD(a'E). D(a/”E,) \ = Zyja'a/!. Limit + EX: ane + By"). Ziminitit = — 2 (BP +97). EmEit+ Er +67"). Eiminiil = — Djua A + HE + 897) D 0, (p) et de même E—— 2, jee. A} + D, (By + By) D — 0, F=—D,jau A+ E, (89 + By) D —0. (142 ) Comme nous venons de déterminer E;, n;, G en fonction du temps et, par conséquent, les valeurs de A’, B’, C!, D’, E’, F’ en fonction du temps, nous avons actuellement un système de 9 équations, formé des 5 équations (p) et des 6 relations de condi- tion : 2 OA © AT | 2 f° + B? E pr La 1, y° rs y"? se y'#—1, 28 + By +ya—0, a'B + By + y'a —0, œ!!B!! A By"! E. y!!a/! bé 0, qui nous permettra de trouver les valeurs des 9 cosinus a, 6, d, a’, 88", y’, a, 8/7, +! en fonction du temps et, par conséquent, aussi les valeurs des coordonnées X; = 0Ë + Br +76, ne Q'E, + By +6, | 2, — dE, Æ B''" = y en fonction du temps. Nous voyons ainsi que le problème est posé de la même façon que précédemment. Il est clair que, dans les applications relatives à la rotation de la Terre, les choses ne se présentent pas avec un tel degré de complication. $ 5. — Remarques relatives à l'application de la théorie a la rotation de la Terre. Dans ce paragraphe nous supposerons que la Terre se compose d’une charpente rigide par rapport à laquellese déplacent quelques masses très petites (*)}, et nous nous bornerons au cas de la rota- (*) Vis-à-vis de la masse M de la charpente rigide. (145) tion naturelle (L=— M = N — 0) [dans lequel les forces exté- rieures se ramènent à une résultante unique, qui peut être nulle, passant par le centre de gravité G de la Terre, autour duquel cette dernière effectue sa rotation]. Soient : G le centre de gravité de l’ensemble (charpente rigide + petites masses mobiles); Gx, Gy, Gz les axes principaux d'inertie de cet ensemble par rapport à G (*), M la masse de la charpente rigide, M + Ym celle de l’ensemble; O le centre de gravité de la charpente; Ox’, Oy/, Oz! les axes principaux de cette charpente par rapport à O ; À, u, y les coordonnées de O par rapport aux axes Gx, Gy, Gz ; o la rotation instantanée du trièdre Gxyz autour de G et p, q, r ses projections sur Gx, Gy, Gz; 0! la rotation instantanée du trièdre Ox/y'z! autour de O et p', q’, r! ses projections sur Ox', Oy’, Oz! (fig. 5). Fc. 5. Nous allons démontrer, avec L. Picart (**), que, dans la re- cherche de la position des axes de référence Gxyz à un instant quelconque, on peut négliger le déplacement OG du centre de gravité du à l’intervention des petites masses ; que, en d’autres termes, on peul toujours prendre, sans erreur sensible, pour (*) I n’est pas nécessaire ici de faire choix de deux systèmes différents Gæyz, Gén£ d’axes mobiles de même origine G; aussi supposons-nous Gx1y#, Génc coïncidents. (#) Op: cit, 1897, S 12. ( 144 ) point fixe (autour duquel on suppose le mouvement se produire) le centre de gravité O de la partie solide. Pour cela nous comparerons le mouvement de deux trièdres de référence : d’une part le trièdre Gxyz que nous venons de définir, d'autre part le trièdre Ox''y//2/' formé par les parallèles, menées par O, aux positions instantanées des axes Gx, Gy, Gz. Si nous désignons par f, g, k et f!’, g'!, h"' les moments résul- tants, par rapport aux axes Gx, Gy, Gz et Ox/!, Oy", Oz/!, des quantités de mouvement absolu de l’ensemble et si nous re- marquons que la rotation instantanée de Ox’'y/'z/! autour de O est encore o (de composantes p, q, r suivant Ox/’, Oy"', Oz!'), les équations du mouvement seront, d'après les équations générales (16) du K 1, " \ df'' À + qh — rg —0, Th ROC TIR (4 | os ! dg 11 1! , RE (16’), ou ie — ph'=0, (416) \ dh dh'' su + dl TPS al rar SL LE pg" en. qf = 0, suivant que nous cherchons le mouvement du trièdre Gxyz ou du trièdre Ox//y!'3/!. Notre démonstration consistera à prouver que {es différences f— f,g—2g/',h — h/' sont négligeables, en sorte que l'on puisse remplacer les équations (16/) par les équations (16//). Pour cela il convient d'introduire le trièdre auxiliaire Ox'y'z! défini précédemment. Soient Ox' Oy' O2’ GX Ba V1 Gus et FA [44 44 !/ Gz 1 Yi les cosinus directeurs des axes Ox’, Oy’, Oz! par rapport aux (145) axes Gx, Gy, Gz. et 4,, B,, C, les moments d'inertie principaux (par rapport à Ox’,0y/,0z') de la charpente solide. Le moment résultant / (des quantités de mouvement) par rapport à l’axe Gx est la somme f, + , : PROD des moments résultants /4 et fo, par rapport au même axe, des quantités de mouvement de la charpente rigide et des petites masses. | Caleulons f, et fo. Le moment /, par rapport à Gx est égal au moment f;/ de la même quantité de mouvement par rapport à l’axe parallèle Ox//, augmenté de celui F, (par rapport à Gx) de la quantité de mouve- ment de la masse totale M de la charpente supposée concentrée au point O (*) : hi = fs + Fe Or le moment f,! lui-même est égal à la projection sur Ox/! du moment résultant géométrique des quantités de mouvement de la charpente, et ce dernier a évidemment pour composantes suivant Ox’, Oy', Oz! les moments A\p", B, q", er. Donc = 2.400 + Bi. Bq! + v1. Cor’. De plus F M (e® #| == are de (*) D’après un théorème bien connu. Voyez, par exemple, P. APPELL, Méca- nique rationnelle, t. II, 2me éd., 1904, p. 36. 10 ( 146 ) Par suite fi = A. A5p' ce 1 Ba . B:q' né? 4 AC 4 à dy du + Mlu ——7 en , dt dt et de même Ï =. AD + Bi. Bq+yi. Cor’ PT di hi = «x. Aop' + 84. B,q! + y. Cor’ 7 se) MIA —— 4 — |}, A d Fa pour les axes Gy, Gz. Le moment résultant {, des petites masses sera fa = 2m v.y — v,2), v,. v, désignant les projections sur Gy, Gz de la vitesse absolue v de l’une des petites masses m. Ces projections sont évidemment dy U,—=— + TI — pZ, QE dz PER PS RE Donc l d fe = 2m Ce: + p.Zm(x* + y° + 2°) \ — Emx(px + qy + r2), et de même dx dz { ga —=Èm|z-— 7 = + q. Em(x* + y° + 2°) — Emy(px + qy + rz2), + | — Emz(px + qy + re). (147) Par suite / dy du Eh + fa. Aop' +. Boy! +71 . Ga + Ml a — ee) — Emax(px + qy + r2), Caleulons d'autre part le moment résultant f/’ des quantités de mouvement de l’ensemble par rapport à Ox//. Ce moment est la somme f'=fi+ fi du moment f,/ que nous venons de définir et du moment résul- tant f,/! des quantités de mouvement des petites masses par rapport à l'axe Ox’’. Ce dernier est = Em(viy" — vyz"'), y, z''et v/', v./! désignant les coordonnées et les composantes de la vitesse absolue v d’une des petites masses suivant les axes Oy!', Oz/!. Or y"—=y—K4, DE D y Par suite /,// aura la mème expression que f,, avec cette différence cependant que x, y et z seront remplacées par x — À, Y — be Z — y, C'est-à-dire dt dt + p. Em — à) + (y — we) + (z —2ÿ] — Dm (a — À)[p(x — À) + qiy — &) + r(z —»)], Le 23 | de = 2m Lu — 4) = nr et de même 4%//, h,/!. (148) Done f= fi fi = a Aop' + Bi. Bag! + va. Cor” d(z — » | d(y — + 2m 9 — File — (z — NE | / + p. me — à} + (y —pY + (z— 1] (8) = Em(x — à) [px — 2) + q(y — &) + r(z —»)], g" = | h!! G étant, par définition, le centre de gravité de l’ensemble et ayant » P , 8 y par rapport aux axes Ox/', Oy”, Oz/! les coordonnées — À, — u, — y, nous aurons les relations de condition : - (M + ma = Emx” = En(x — À), soit : Ma + Emx=0, | et de même : Mu + Emy=0, | (y) M> + 2mz—0, Si nous formons maintenant les différences f/ — f, 9" — g, h'! — h au moyen des expressions (a) et (8) et si nous tenons compte des relations (y), nous obtenons, après quelques réduc- tions, d: l | f!—f= (M + 2m) Ge 2) EM + En) p O8 4 pe + 5 — (2M + Zm)2(pà + qu + rv), g"—gqg=. h!'—h—. . . vie . 3 A Puisque la somme Zm des masses mobiles est très petite vis-à-vis de la masse M de la partie solide, les coordonnées À, u, y du centre de gravité O de cette dernière par rapport aux axes Gzx, Gy, Gz sont évidemment très petites. On peut done négliger les carrés et les produits deux à deux de ces quantités. Par suite les différences f!! — f, g'! — q, h'! — h sont elles-mêmes négli- geables, et dans les équations (16/) du mouvement, on pourra prendre f —f",g=—g/, h = h/, c'est-à-dire écrire les équations ( 149 ) (46//): en d’autres termes, on pourra supposer que le centre de gravité réel G de l'ensemble coïncide avec le centre de gravité O de la partie solide, ce qu'il s'agissait précisément d'établir. Dans ce qui suit, nous prendrons toujours pour point fixe (origine des axes) le centre de gravité O de la partie rigide du globe (si ce dernier est supposé en posséder une). *X Ayant pris ce centre Ô pour origine des axes, choisissons pour axes Oxyz, OËnt (coïncidents) les axes principaux d'inertie de l'ensemble formé par la charpente rigide et les petites masses. Nous aurons à poser dans les équations (D) du paragraphe pré- cédent HD MEN es 0: ce qui nous donne pour équations du mouvement (*) : d (es + Ap) + qe, + Cr) — rs, + Bq)= 0, (D) A, B, C désignant comme d'habitude les moments principaux d'inertie instantanés de l'ensemble et 5,, o,, 5, les projections du moment résultant Os des quantités de mouvement relatif des petites masses 7”. Représentons par 4,, B5,CQ les moments principaux (constants) de la charpente rigide, et supposons que l'on puisse écrire (**) : À = À + K4,, B = B, + KB, OV EC Moule À PRE NET DU DNA AND CC D=E F0. pz=u,,q=u,, 7 =. (**) Il est clair que les conclusions qui vont suivre sont encore valides si le globe ne posssède pas une partie rigide, au sens propre du mot, pourvu que sa déformation reste petite et qu’on puisse toujours lui appliquer les conditions (h). ( 450 ) Ai, By, Ci, 51, 5e, 3 étant des fonctions du temps périodiques admettant la mème période et K une quantité trés petite du même ordre que les masses mobiles m. Nous nous proposons de montrer que, dans cette hypothèse, l’axe de rotation OI de la Terre ne peut pas, en restant au voisi- nage de l’axe principal OC (ou Oz), tourner périodiquement autour de lui (*), à moins que 4,, B3, C1, 54, 59, os; ne possèdent simultanément la période eulérienne. Remarquons tout d'abord que l'extrémité du vecteur « rotation 0 » a pour coordonnées, vis-à-vis de Oxyz, les composantes p, q, r. Les équations (D’) deviennent, si l'on introduit l'hypothèse (h), d Ao— + (Co — Bo)rg | l 1A d 2 { 2 Ra (GB org pags ren + Te ] 0 (D’’) D'après cela, si les six fonctions 44, PB, C1, 54, co, ox sont HR = admettent aussi cette période. Supposons done qu’il en soit ainsi. Les équations (D//) possèdent alors une solution périodique (de période =) pour une valeur de K bien déterminée ; mais la période # est évidemment indépendante de la valeur de K. Nous allons montrer que, si p, g,r admettent une période, cette période ne peut être que >, et cela en nous basant sur les célèbres recherches de H. Poincaré relatives aux solutions périodiques (**). Soient Po; Go, # + r, les valeurs initiales des composantes p, q, r correspondant à la solution périodique : x est une constante (*) L. PICART, op. cit, S 10. Il s’agit de montrer ici que le mouvement de OI autour de OCne peut plus être simplement périodique, et non pas de prouver qu'il ne peut pas être la résultante de plusieurs mouvements composants ayant des périodes différentes. [Voyez Troisième partie]. (**) Voyez Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, 1899, chap. II et IL. (151) donnée à l'avance et ps, Qo; 0 Sont des constantes très petites (ce qui est le cas pour la Terre). Soient aussi pp + €1, Qo + €, n + ro + 6 les valeurs que prennent p, q, r pour t= z. Les fonctions £,, &, €; de py qo ro et K étant holomorphes par rapport à ces quantités, on traduira que la solution est périodique en écrivant (*) a = 0, &— 0; ex = 0 Pour chaque valeur de K, il y aura une solution périodique et une seule, à condition que le déterminant fonctionnel ù (£&, €2, £z) A a d(Pos 0» ro) [ ne soit pas nul (**). Or il est clair que ce déterminant A est holo- morphe en K : alors, s'il n'est pas nul pour K = 0, il ne sera pas nul pour des valeurs très petites de K. Par conséquent la solution périodique, qui correspond à une valeur très petite de K, devra, si l’on fait décroitre K vers zéro, tendre à s'identifier avec la solution périodique qui correspond à K — 0. Mais nous venons de dire que la période de la solution périodique, correspondant à une valeur de K bien déterminée, est indépendante de K. Par conséquent la période de la solution périodique pour K très petit n’est autre que celle correspondant à K — 0. Or nous avons vu dans l'Introduction que pour le cas d’un globe solide (K— 0) de révolution (4,=— B5. Co) (***, la période de p, gest T— adiae 505 jours sidéraux. Donc la période de p, q, pour K très petit et non nul, ne peut être que la période eulérienne T. (*) H PoINcaRÉ, op. et Lib. cit., p. 82. (**) H. PoINcaRE, op. et lib. cit., p 83 (***) Seul cas qui nous intéresse 101. (152) Par hypothèse 4,, B4, Ci, 6, 62, o; admettent la période >, et il s'ensuit que p, q admettent aussi cette période az. Par suite il est nécessaire que les périodes >, T soient identiques. Ainsi il ne peut exister de solution périodique que si la période des moments d'inertie et des moments des quantités de mouvement relatif admettent la période eulérienne. Remarque. — Nous avons supposé que A n'était pas nul quand on faisait K — 0, Calculons l'expression de ce déterminant, lors- qu’on annule non seulementK, mais encore les constantes p,, go, ro Si nous écrivons les équations {D/') sous la forme d LES dt dq 7 FA F7 Q, ? (D ) di | RATE de dt et si nous désignons par Ô,, d, à; les racine de l'équation en à : dP : dP dP dp dq or d 2 ) 20; a ET 100 TOM dp dq ùr )R R )R = dp - dq dr dans laquelle nous avons fait K = 0, p = q = 0, r — n pour le calcul des dérivées partielles, cette expression sera (*) A = (eù® — 4) (eè® 4) (e°sS 4). (*) H. PoincaRÉ, op. et lib. cit., pp. 157 et 158. Pour la démonstration, voir E. PicarD, Traité d'Analyse, t. III, 1896, p. 181. (153 ) L'équation en à est iei C, — À Re In 0 40 24 L=Q Co Un — Ô 0 45 0 0 — Ô Par suite ses racines sont : d — 0, Cy — À = de — + ? à y, 4, C, — À — — À £ 0. À, Comme A est supposé nul, A = 0, la valeur de % est donnée par 090 = dr, d,© —— 271, ) ou encore par 2r Co —4o, 49 D — 2 ce qui est précisément l'expression de T donnée ci-dessus. Ainsi donc il est démontré que, dans l'hypothèse (h), i/ ne peut exister de solution périodique que si À, B,C, 5,. 5,, s,, admeltent la période eulérienne, c'est-à-dire si les petites masses m se (154) déplacent de telle façon que les moments principaux d'inertie et les moments relatifs possèdent cette période (*). Il est clair que les déplacements de masses qui se produisent dans ou sur la Terre ne possèdent pas tous cette période. L'exis- tence de tels mouvements non périodiques ou périodiques non eulériens (**) a pour effet d'empêcher la simple périodicité de p, q, c'est-à-dire d'empêcher que le pôle de rotation I ne décrive autour du pôle d'inertie C une courbe fermée monopériodique. Cette conclusion est conforme aux résultats d'observation (***). Il nous reste à montrer que, si les équations (D/') n'admettent pas en général de solution simplement périodique où p, q demeurent très petites, ces composantes p, q restent cependant minimes, el que r ne s’écarle que très peu de sa valeur iniliale n + ro =", pourvu que les valeurs initiales po, Qo Soient aussi très petites. En effet la solution générale des équations (D’/) est p = Fi (Po o Ts K:t), q = F2 (Po Qo To K: t), (a) = F; (Po: os To K, t), avec K très petit; F,,F9,F, sont des fonctions holomorphes de K. Si l’on développe ces fonctions, au moyen de la série de Mac Laurin, suivant les puissances croissantes de K, on aura : & Re ee K? ei = r +K.|— 7 ot\3c) 20 1 (Pos Yo l'os Us Ki 2" \3K 7, Tr =, (b) Remarquons que les fonctions F; (ps go rw 0, t}, Fo (Po o (*) On pourrait encore discuter l’existence d’une solution périodique, mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet. (**) C'est-à-dire n’admettant pas la période eulérienne. (***) Voyez la Première partie. ( 155 ) rh, 0,1), F3 (Po do To 0, !) sont précisément les solutions des équations d'Euler : + (Co — Bo)rqg — 0, (B”) [obtenues en faisant K — 0 dans les équations (D/') | correspon- dant aux valeurs initiales pp, Q0 7% de p, q, r. De plus on sait (*) que, si les valeurs initiales p,, go des équations (B/) sont très petites (**), les composantes p, q restent très petites et que r demeure très voisin de r;, puisque la rotation autour d'un axe très voisin de Oz est stable. Par conséquent, on est certain que les quantités F; (po do ro 0, t), Fa (Pop Go To 0, ?) resteront aussi très petites et que F; (p4; Qo; To 0, t) ne s’écartera que très peu de r;. Comme K est lui-même supposé très petit, on pourra enfin conclure, d’après les développements (b), que p, q demeureront très petits et que r restera toujours très voisin de sa valeur ini- tiale r;. Ainsi nous sommes assurés que le pôle de rotation I restera toujours très proche du pôle d’inertie (z ou) © de l’ensemble. Les théorèmes que nous venons de démontrer sont encore dus ob: Pieare (°*. (*) Voyez par exemple BouR, Dynamique, p. 165 ; P. APPELL, op. et lib. cüt, p. 178. (**) Ce qui est Le cas pour la Terre. (***) Op. cit., 1897, $S 10 et 11. Les conclusions seraient encore valides pour un globe pourvu d’une certaine élasticité, au sens indiqué dans la Deuxième partie. Au lieu de période eulérienne il serait question alors de période chandlérienne. (456) B. — Infiuence des mouvements internes sur le déplacement du pôle. Supposons encore que la Terre se compose d’une charpente rigide et de petites masses »m se déplaçant par rapport à cette charpente. Quelle sera l'influence du mouvement relatif de ces petites masses sur la rotation de la charpente, qui entraine du reste ces masses avec elle ? Nous pouvons distinguer deux espèces de conséquences. Tout d'abord le moment résultant total OG des quantités de mouve- ment absolu doit être constant, puisqu'il s'agit ici de rotation naturelle; donc O0G — const. géom. = G. Or ce moment se compose de celui OG’ de la charpente rigide et du moment résultant 0 G// des quantités de mouvement absolu des petites masses 7 : Si nous désignons par A5, Bo, Co les moments principaux d'inertie de la charpente solide, si nous prenons les axes corres- pondants pour axes Oxyz, OEn£ (coïncidents), OG? aura pour composantes suivant Ox, Oy, Oz : ( 7= A5p, | g= Bo. (1) | 0" p, q, r représentant toujours les composantes de la rotation o du trièdre Oxyz, suivant les arêtes-axes Ox, Oy, Oz de ce trièdre. La vitesse absolue d’une particule m a pour composantes : | UV, = W, + 97 — Ty, Vy = WÙ, + TX — PZ, U, = W, + Py — QX, (157 ) où w,, wy, w, représentent les composantes de la vitesse relative et x, y, z les coordonnées de m. Le moment résultant OG// des quantités de mouvement absolu des différentes particules aura pour projections sur Ox, Oy, Oz : [= Eml(w, + py — qx)y--(w + rx — pr] = Dm(w,y — w,:) + p. Zm(y* + 2°) — q.Ëmyz—r.Emzrx, 14 D en als mai it nuiiuhls 44 h ST 0 . . . . . . . . - . - , ou, en désignant par À, = Em(y? + 2°), D, = Zmyz, B, = Zmi(z° + x?) E, — Zmzx, Ci == Em(a? + y'), F, = Zmxy, 5, = DM(W,y — W,z), 5, = ÈM(W,Z — W,T), 6, = Èm(w,x — w,y), les moments d'inertie, produits d'inertie et moments des quan- tités de mouvement relatif des petites masses : { f= 0, + Ayp —F;q — Er, et de même +4 ; (2) g" = 0y— Fip + Biq — Dir, h' = 6, — Ep — D;g + Cr. En combinant (1) et (2), nous aurons pour composantes suivant Ox, Oy, Oz du moment résultant total OG constant des quantités de mouvement absolu : É=fpræf= 0, +: (A0 + A) p — Fig — E;r, Java, = Fp +. (Bi+B)q— Dir, (5) | —\ AN HET Pa E,p — D;q + (Co + Car. (138) Imaginons que le mouvement des petites masses ait lieu de telle manière que les moments et produits d'inertie restent constants : cela se produit quand les mouvements sont cycliques, c'est-à-dire quand une particule », quittant une position, est remplacée immédiatement par une autre de même masse. Alors | A, == ce. B, — ue, CG— c'e De, E=0". Fr et si nous désignons par les moments et produits d'inertie de l'ensemble, les expressions (3) de f, g, h deviennent : elles expriment que OG = Os + OG;, OG:; étant le moment de la quantité de mouvement d'entraine- ment de l'ensemble (charpente + masse). On a donc Ainsi la seule influence des mouvements cycliques est d'intro- duire un moment de quantité de mouvement relatif Os, et de diminuer ainsi le moment de la quantité de mouvement d'entrai- nement OG; — G — Os. (459 ) Mais des mouvements internes qui introduisent des variations dans les moments et produits d'inertie de l’ensemble, ont en outre un autre effet : le moment OG: qui a pour composantes Pi (A0 + Au) p — Fig — Er, g= — Fip + (Bo + B)q— Dir, | (5) hi= — Ep — D,q + (Co + C}r, est encore modifié en lui-même par les variations de A4 B,. C4, D,, E;, F,. Les axes principaux de l’ensemble à linstant & + At ne coïncident plus avec ceux de l'instant {. On conçoit que la position de l'axe instantané en subira le contrecoup. Nous dresserons donc le Tableau suivant : CAUSES | EFFETS Mouvements de masses ne chan- geant pas les moments ni les produits d'inertie. Mouvements de masses introdui- sant des variations dans les moments et produits d'inertie. Introduction d’un moment relatif Os qui change les lois du mouve- ment. 4) Introduction d’un moment rela- tif Oo. 2) Variation des axes principaux d'inertie, qui changent toutes deux les lois du mouvement. La première influence (introduction de Os) sera nommée influence directe; la seconde influence indirecte, suivant les dési- gnations de Sommerfeld (*). Nous calculerons leurs effets. Pour l'influence directe, nous étudierons les mouvements cycliques (lit. a). Dans l'examen des cas de seconde espèce, nous considérerons (*) Op. et lib. cit., pp. 707, 708. Nous ne voulons pas discuter ici le point de savoir si ces appellations conviennent parfaitement aux influences qu’elles veulent désigner. ( 160 ) d'abord l'influence indirecte ; nous apprendrons à calculer le déplacement des axes principaux d'inertie et nous étudierons les rapports qui relient la position de l'axe instantané de rotation à ces axes d'inertie: nous pourrons alors déterminer l'influence indirecte des transports de masses sur la position du pôle à la surface de la Terre. Nous montrerons, pour terminer, que l'in- fluence directe de ces transports de masses est négligeable vis-à-vis de leur influence indirecte (litt. b). Enfin, dans une dernière division du même littera b, nous étudierons quelques cas parti- culiers assez simples au moyen desquels nous déterminerons le genre des phénomènes qui peuvent avoir une influence indirecte sensible. a) Influence directe. Comme nous venons de le dire, nous n’examinerons ici que celle des mouvements cycliques. Soit donc le système formé par la charpente rigide du globe ei par certains anneaux de matière tournants, situés à l'extérieur ou à l’intérieur de cette charpente. Appelons À, B, C les moments principaux d'inertie constants de l’ensemble. Prenons pour axes de référence Oxyz, OËn£ (coïncidents) les axes principaux de l'ensemble, fixes par rapport à la charpente. Nous aurons alors : A=A =c"*,B=B=ct",C—C—=ce"",D=E—F—0, p=c,,q=0@,,r—=0, et les équations différentielles du mouvement prendront la forme (F) indiquée ci-dessus : d l = = AT + (go, — ro) + (C— B) rg = L=I0; d d < Fes + PTE eue +(4— Chpr=M = 0, (F”) di dt | do lr in C—+ (pay — 96.) +(B— À)jqgp = N = 0. (161 ) Supposons encore que l’ellipsoïde d'inertie de l'ensemble au point O soit de révolution; alors B = À, et il vient : 1 D Ce À (ar ; | = ———— — + 90, —7T0,| — NU ON d = ACTRICES dr 1 /do. FA HZ PTE po, q.) = 0 Sy Sy S; Sont des fonctions continues du temps connues, par hypothèse, et contenant les petites masses au premier degré. Si nous admettons a priori que p, q doivent être très petits, du même ordre que les m, le terme à (p 5, — q 54) est du second ordre ; on peut le négliger et il vient pour la troisième équation : dr 1 do, — + —— = 0, En Cdt d'où n étant une constante finie (*). Si nous substituons cette valeur dans les deux premières équations et si nous négligeons encore les termes du second ordre en m, nous obtenons dp C—A À do, | — + ——— nq +— | — n3,] = 0, dt A A \dt dg C—A 1 (e | à — — ——— —|— + n0,] — Act 0 | Posons — n — y et désignons les fonctions du temps (*) Ce serait la valeur de 7 s’il ne se produisait pas de mouvements cycliques. 11 (162 ) | dox 4 do . 2 (en sy) 2 (T +n 5x) par Pet Q. En additionnant les équations après avoir multiplié la seconde par 1, il vient d(p + iq) TE i(p + ig) + (P += 0. (2 L'intégrale de cette équation pour P — Q — 0 est p+ig=kKe”", (3) K désignant une constante. On peutobtenir l'intégrale de l'équation complète en employant la méthode de la variation des constantes arbitraires, c’est-à-dire en supposant que K est une véritable fonction du temps. Alors en substituant la valeur (3) dans l'équation différentielle (2), il vient dK | de + (P + iQ) — 0, d'où K — — ré (P + iQ)e- "dt + K’, K’ étant une véritable constante. La solution prend alors la forme p + iq _ K'’e°”! hrs et (e Le iQ )e- "dt, (4) d’où on tire la valeur de p, q en séparant la partie réelle de l'imaginaire. Supposons par exemple qu'il s'agisse du mouvement eyelique uniforme (autour d’un axe fixe dans le globe) d’un anneau de masse #” ; alors T, — Jo COS «, 6, = Io cos 6. 6, — lo cos y, I représentant le moment d'inertie de l'anneau par rapport à son axe de révolution, © sa vitesse angulaire de rotation, cos «, cos É, cos 7 les cosinus directeurs de l'axe de révolution par rapport aux axes d'inertie. Alors aussi lo cos8—c"= P,, A À do, n Q——|— + no, Fi rec =——= [1 La valeur de K devient P : K—K' + + +) et K' —=(Pe ee iQ)e-*, 19 (22 et la solution est, par suite, i iP } à iqg = K'e°' — —(P, + 1Q;) = K’ (cos y + sin 1) Le D. y 2 y P, et Q, étant des constantes réelles ; nous en déduisons : ALT ANNE | ” Po q = Ksm si ——— X y Pour r, nous avons R, étant une constante réelle. Ainsi l'influence du mouvement de l’anneau est d'introduire des termes constants dans chaque composante. D'une façon plus générale, nous pouvons supposer, si o,, © y? s, sont des fonctions périodiques du temps (de période 1) : P + 2Q — Met + M'e 7, (M et M’ étant des constantes) alors | M M’ K = K — | Qi EE |, |" cer ra CIE d'où la solution p + iq = K'e = M et + - M e-lt ie — ») i(u + ») 1. Po MT = K'e°! + et — en". BE=Y LU au td K’eit se rapporte évidemment au mouvement eulérien (ou chandlérien, si l’on suppose le globe légèrement élastique). Les deux derniers termes introduisent, dans les expressions de p, q, des parties périodiques ayant la même période w que les mouvements cycliques M M’ À p = K' cos st + | — — —— | sin wi, —Y m+y ; M MA) g = K’ sin st + | + —— COS ut, MY + )y ou encore : M'{u— 1) + M{u +») . | R—4 PE Ta DO | » Mu + 2) — M'(ux — >») = K’sin + SENS NREERSS | pt — y / On voit immédiatement qu’il peut se présenter ici un phéno- mène, analogue à certains phénomènes de résonance, dans lequel les oscillations de période y aient de grandes amplitudes. Si u est très voisin de », les coefficients de sin pt et cos |2t deviennent très grands, et les perturbations de p et q dues aux mouvements cycliques peuventavoir une valeur notable. Nous aurons l'occasion de revenir plus loin sur ce genre de phénomènes lorsque nous parlerons de la multiptication de Radau. Qu'il nous suffise de dire ici que si l’on suppose ZT — 566 jours, = — 427 jours, l’ampli- tude des oscillations peut devenir sextuple de celle correspondant à un phénomène séculaire (y. = 0) (*). (*) Voyez A. SOMMERFELD, 0p. et lib. cite, p. 714. (165) Dans un beau Mémoire (*) V. Volterra a traité à fond l’étude de l'influence de tels mouvements sur les déplacements du pôle, Il faut observer que, jusqu'à présent, on n’a pas encore décou- vert de phénomènes météorologiques ou géologiques de ce genre qui possèdent une intensité suffisante pour pouvoir produire les oscillations que l’on observe dans le mouvement du pôle. A vrai dire, les courants marins peuvent assez bien être rangés dans la catégorie des phénomènes eyeliques; mais leur influence n'est pas. suffisante pour amener des oscillations du pôle de quelques centièmes de seconde. Les recherches de Volterra ont donc plus d’intérét au point de vue de l'Analyse pure que de la Géophysique. En outre nous ferons voir, sous le litt. b, que, pour les phéno- mènes non cycliques, l'influence indirecte est de beaucoup supérieure à l'influence directe : les moments de quantités de mouvement relatif sont toujours trop faibles pour amener des per- turbations appréciables dans les circonstances du mouvement. Outre les nombreux travaux de Volterra (*) sur la question des mouvements cyeliques, qu'il a résumés dans le Mémoire en question, citons également ceux de A. Wangerin (**) et E. Jahnke ("”). b) Influence indirecte. S 1. — Variation des axes principaux d'inertie due aux deplacements de masses. Pour évaluer l'influence des déplacements (non eycliques) de masses sur le mouvement du pôle de rotation, nous caleulerons d'abord, dans ce paragraphe, la variation des axes principaux d'inertie qui résulte de ces déplacements. Dans le paragraphe a — (*) Sur la théorie des variations des latitudes. (AcTA MATHEMATICA. t. XXI, 1898.) (**) Voyez la Bibliographie. (*#*) Universitätschrift, Halle, 1899. (iv) Journal de mathématiques pures et appliquées, 5me série, t. V, 1899. ( 166 ) suivant nous verrons quelle relation de position existe entre ces axes et l’axe instantané de rotation. Avant de calculer la variation de position des axes principaux d’inertie (spécialement de l'axe polaire OC d'inertie), montrons, par un exemple, qu'il est absolument superflu de chercher une variation quelconque dans la position du centre de gravité. Pour prouver la légitimité de cette assertion, supposons, avec J.-V. Schiaparelli (*), que le grand plateau central de l'Asie, dont la masse est environ la cent-millième partie de celle du globe, se soulève tout entier d’une centaine de mètres: le centre de gravité de la Terre se déplacera d’une quantité cent mille fois plus petite, c'est-à-dire d’un millimètre ! Nous négligerons donc dorénavant les déviations éventuelles du centre de gravité et nous ne nous occuperons que du changement de position des axes principaux. Considérons le trièdre trirectangle formé par les axes prinei- paux Ox, Oy, Oz de l’ensemble au temps t; nous appelons À, B, C les moments principaux d'inertie qui y correspondent. A l'instant suivant t + At, les petites masses étant déplacées par rapport à la charpente rigide, les axes prineipaux d'inertie de l’ensemble ne sont plus Ox, Oy, Oz, mais bien des axes Ox', Oy', Oz’ formant encore un trièdre trirectangle; nous nommons A', B',C' les moments principaux de l’ensemble au temps & + At. Relativement au système primitif Ox, Oy, Oz, la nouvelle configuration aura les moments d'inertie À + A, B + dB, C + ÔC, et les produits d'inertie ÔD, dE, dF. Appelons U la rotation angulaire qui peut faire coïncider Oxyz avec Ox'y'z', et U,, U,, U, ses composantes suivant Ox, Oy, Oz (fig. 6). (*) De la rotation de la Terre sous l'influence des actions géologiques. Saint-Pétersbourg, 1889, problème II (exemple). Voyez aussi F. TISSERAND, Mécanique céleste. t. II, 1891, no 206. (167) Considérons une droite fixe À passant par O (* ; elle fait avec Ox, Oy, Oz des angles dont nous désignons les cosinus par a, b, c, et avec les axes (principaux à l'instant suivant) Ox’, Oy', Oz’ des angles dont nous appelons les cosinus a + da, b + Ôb, c + Ôc : Sa, db, dc désignent alors les variations des cosinus des angles que fait une droite quelconque fixe A avec les axes principaux de l’ensemble. CNT Ces variations sont celles des coordonnées a, b, c du point À, (situé sur la partie positive de À, à la distance + 1 de O); par suite elles sont exprimées par du = U,b — Uc, | 0 = U,c — Ua, (1) de = U,a — U,b; | en effet tout se passe comme si le trièdre des axes principaux restait fixe et que le point À, subissait la rotation — U. Evaluons de deux façons le moment d'inertie I de l’ensemble au temps £{ + At par rapport à l'axe A. Si nous le calculons au moyen des moments et produits d’inertie pris par rapport aux axes primitifs Ox, Oy, Oz, nous obtenons [= (4 + dA)a° + (B + 9B)b° + (C + 9C)c° —2.0D.bc—2.0E.ca—2.0F.ub, (2) (*) Voyez G.-H. DARWIN, 0p. cit., 1877, $ 11, et P. SCHWAHN op. cit., 1887, $ 6. ( 168 ) tandis que si nous le déterminons au moyen de ses moments principaux À’, B', C', nous avons, en négligeant les termes du second ordre, 1— A'(a + da) + B'(b + db + C'(c + dc) — A'aù + B'b? + C'c° + 24’. ada + 2B'.609b + 2C'. coc. (3) Cette dernière expression devient, si l’on introduit les valeurs(1) de Ôa, db, dc, 1— A'a° + B'b° + C'e — 9(C' — B'hbe. U, — 2(4' — C'jca. U, — 2(B' — A')ab. U.. (4) Les valeurs (2) et (4) de I doivent être identiques quels que soient les cosinus a, b, c, c’est-à-dire quelle que soit la position initiale de À par rapport aux axes principaux. Cela exige que, aux termes du second ordre près, on ait (LAS AE, B'—B +9B, (b) ES puis p. PP +, 410 l'E NehqNenMpres botCE-Aoe BOE or AO OMG NES A'—C (A—C)+(d4—dC) | ENCME: F BA" (BAPE MA (169 ) Lorsqu'on peut négliger les différences àC —àB,..., les for- mules (6) s’écrivent simplement : HN A C 1 B’ dE Ü—= =, , 6’ F = : . B—A Pour la Terre on pourra toujours supposer qu'on puisse écrire A = B au moins à un certain degré d'approximation. Dans ce cas la valeur de U, devient illusoire (*. Mais il est clair qu'on peut prendre alors SF = 0, ear tous les axes situés dans le plan xOy sont principaux d'inertie; cela donne = 0, 2 Le déplacement angulaire des axes principaux a donc pour composantes : / d U, — D ) C— A dE 6’’ jee ARE AENRE C C— À L Hi==0: | (*) Pour plus de détails sur les variations de position des axes prinei- paux et sur l’ordredes différences C— A, C — B, B— A, consultez le Traité de mécanique céleste, de F. TisSERAND, t. If, 1891, no 207, et Die mathematischen und physikalischen Theorien der hüheren Geodäsie, de F.-R. HELMERT, t. II, 1884. chap. V, pp. 419 et suiv. Voyez aussi SOMMERFELD, 0p. et lib. cit., p.710. (170 ) par la déformation (mouvement des petites masses) du système, le nouvel axe polaire Oz’ d'inertie s’écarte donc de l’ancien Oz de l'angle RE d D? ! s—V/T + pr VON EP nn Er dans la direction qui a pour longitude, comptée dans le sens positif à partir de zOx, celle L donnée par Dans ce qui suit nous supposerons que la Terre est un ellip- soïde de révolution dont l’ellipticité est E = _ — 0,0033439, valeur déduite par le géodésien anglais A. R. Clarke (*) des mesures directes des arcs de méridien, et que sur cet ellipsoïde (rigide ou faiblement élastique) se produisent certains déplace- ments de masses m très petites (ne faisant pas partie de l’ellipsoïde). Imaginons d'abord qu’en un point M d'un méridien quelconque, situé oui où non à la surface de la Terre, vienne se placer une masse additionnelle »#, que nous supposerons en premier lieu provenir de l'extérieur. Un exemple de ce cas serait donné par la chute d’un aëérolithe à la surface du globe. Désignons par À, R la latitude et la distance (au centre OÔ de gravité de la Terre) du point M. Si, pour simplifier, nous prenons le méridien comme plan des æz, nous aurons pour les coordonnées de M : x — R cos À, | LR an z = R sin À (*) Voyez sa Geodesy, Oxford, 1880, p. 316. Pour la valeur de l’ellipticité terrestre, voyez F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 368. (171) Les produits d'inertie sont D = myz = 0, dE = mzx = mR° sin À cos À = ER: sin 2, dF= mxy = 0, tandis que les nouveaux moments principaux ont pour valeurs A'= A + 04 — A + m(y° + 2°) — À + mR°sin° À, B—=B+0B=A + m(z + x°)— À + mR, C'=C+dC—=C + m(x + y) =C + mR'cos À. D'après les formules (6), les composantes suivant Ox, Oy, Oz du déplacement angulaire des axes principaux sont 0 PRNTT nn ne , 4 71 (EC — À) + mR° cos 2 4m: Far 4 + ms cos 24 C— A \ U =0 | Ainsi l'axe d'inertie OC se déplace suivant le méridien Ozx passant par M, du côté opposé à m, de l’angle mE° 1 2C—A sin 2À IS = U, = — À + cos 2 D'après un théorème dü à Clairaut, 2 p C—A—3(e—;) mr" 3 2 (172) où M désigne la ar du globe, & son ellipticité, R’ son rayon équatorial et ? — nue le rapport de la force centrifuge à l’inten- sité de la pesanteur à l'équateur. On peut en déduire mR'"° os 4 927 C—A 27 vo nn E — — 2 puis mR° m ER MR” m [R\° ha DE eq nc "> 0 ec Kim PS C— A MR°C—A M \R’ Supposons qu'il s'agisse d’un déplacement à la surface du globe ; en toute rigueur on à R = R’(1 — &sin° À), mais on peut très bien prendre R = R'. On obtient alors pour la valeur de s 463,5 — Une m g — U Rp Ole PREMIER et à sin 24 m M À + JAI 00 m\° | € (465,535) sin 4 — M Si l'on néglige les puissances supérieures à la première du m . . x . rapport &, qui est toujours très faible, on peut prendre avec une exactitude suffisante (*) | s—U,—— 463,5 sin2x; (9) d M cela revient à employer les formules (6/) au lieu des formules (6). (*) Pour le coefficient numérique HELMERT et SOMMERFELD indiquent 456, Rapau 460, tandis que SCHIAPARELLI, se bornant à une évaluation assez grossière, donne 506. Le nombre que nous adoptons est celui de SCHWAHN. (175 ) La dernière valeur de s montre que l’adjonction de la masse m a pour conséquence de déplacer le pôle d'inertie C suivant le méridien, du côté opposé à m; cette adjonction produit son effet maximum lorsqu'elle a lieu sous une latitude À de 45° boréale ou australe. On peut obtenir l'effet du départ d’une masse m (au lieu d' une adjonction) en affectant » du signe moins (*) dans les formules précédentes. Si l’on a affaire à plusieurs adjonctions ou départs de masses isolées m, m/, m/!,..., on pourra composer Îles déplacements partiels .du pôle d'inertie C en un seul d’après la règle de la composition des pelits déplacements. Ainsi l'influence du déplacement, suivant le PTE d'une masse » passant de la latitude À à la latitude ’, peut s’obtenir en imaginant qu'une masse »# soit enlevée au point M de latitude et qu’une masse égale m soit ajoutée au point M’ de latitude }’. Par suite le déplacement correspondant du pôle C sera : | — m U, = — 465,5 sin 2 — 465, Re 7 sin 21 — 465,5 " (sin 2à — sin 24) m . 02 m sin (A — À) cos (À + À’). (10) On tire cette conclusion : Si l’une des latitudes est boréale et l’autre australe, l'influence du transport de la masse m suivant le méridien peut devenir notable : le maximum de la déviation se produit pour À = 45° N et }’ — 45° $S (ou inversement), et cette = m valeur maxina est 927 TL * * * On peut calculer de la même façon le déplacement du pôle d'inertie C dû au transport d'une masse "» le long d'un parallèle. Si À désigne la latitude de ce parallèle et /, l’ les longitudes (**) (*) Voyez SCHIAPARELLI, 0p. cit., 1889, problème I (remarque). : (*) Nous comptons les longitudes dans le sens des rotations positives. (174) respectives des positions initiale et finale de »: (dont nous repré- sentons les coordonnées par x, y, z et x/, y’, z!), nous aurons : x = R cos ) cos !, M to à y = R cos à sin /, .y’=R cos ) sin ”, TR sin À; _g'=Rasin); R représente encore la distance de m au centre O de gravité. Par l'application des formules (6//), nous obtenons : = D (— m)R° sin à cos x sin { + (+ m)R*sin à eos à sin /’ * C—A C— A nl ( m . À _ sin 2} (sin {’— sin l)— 463,5 EL 2} (sin {’ — sin l), N : dE (— m)R sin à cos à cos +(+1)R°sin à cos à cos /’ JAN ee 7e C— A 1 mR° m —; — sin 21 (cos {— cos l’)— 463,5 mm sin 2) (cos { — cos l’), | pour les composantes de la déviation, soit | 3 = VU? + Uy— 997 sin 2) sin al, (11) et U, 1 tg L — — TR dE A l'), (12) U, d'où L=-(!+l)—90. (12) 19] — pour la valeur absolue s de la déviation et pour l'angle L que forme son plan avec le plan z0x. Ainsi le déplacement du pôle d’inertie C se fait dans un méri- dien perpendiculaire au méridien moyen [de longitude > (L+ l)] ec dans le sens opposé à celui du mouvement de m. (175) * *X * Pour déterminer le déplacement du pôle d'inertie résultant d’un transport radial d’une masse #, suivant la verticale géocen- trique du point M (où m se trouve avant le transport) de latitude À, écrivons encore l'expression donnée ci-dessus pour l’adjonction de la même masse au même point M : AUCHMRE ee sin 21 2 C— À 1 mkR° ; nn à be, sin 2) À + cos 2) Cris Supposer qu'une masse m” située en un point interne du globe soit soulevée en M’ de la hauteur ÔR (mesurée suivant la verticale OM) revient à imaginer qu'il se produit en M un départ de m et en M’ une adjonction de m. Nous avons : mR° m /R° MR’ ca Re miR+0R? m /R+0R\° MR’° HW TÜ 2 =< | R’ Era R' représentant le rayon équatorial de la Terre et M sa masse totale ; a —— 927, comme nous l'avons vu ci-dessus. Si nous nous bornons, dans le développement précédent, au terme du premier ordre en = sy nous obüendrons pour valeur de la compo- sante U, : 1(+ m) e 1(+ m) Ê + 0R 2 y=—=—— à 997 sin 21 — — 2 M R' 2" M R’ | Am RE 1h) R° = ——— 9927 [——— sin 2) miROÔR + L0R] = — 997 — | | sin 2), M R’° 2 | 927 sin 2: (176 ) ou, en négligeant la seconde puissance de ÔR, mROR. S$ = U, = — 927 — — — sin A1; MR’ R’ Si l’on suppose que le soulèvement de m# se fasse près de la : R surface, on peut prendre = = 1 ; alors l'expression de s devient = 927 À in2)1. (15 = —921;,;sn2. (15) 4 On voit donc que l'effet du à l'exhaussement vertical R de la ôR . R’ l'addition de cette masse au même endroit (*). On peut ainsi remarquer que des soulèvements ou affaisse- ments locaux ont beaucoup moins d'influence, toutes choses égales, que des déplacements à la surface. masse in s'obtient en multipliant par 2 celui que produirait Les expressions que nous venons d'établir pour les composantes du déplacement du pôle d'inertie C se rapportent à différents cas particuliers de transports de masses isolées. Pour pouvoir appliquer ces formules au cas de soulèvements ou affaissements séculaires de continents ou de mers, nous devons les généraliser de manière à ce qu’elles puissent être encore valables pour des changements de position de masses distribuées d'une manière continue à la surface (ou à l’intérieur) du globe. Désignons par R le rayon moyen terrestre, par L et À la longi- tude et la latitude d’un élément de masse dm, par à la densité de la Terre près de son écorce ("*), et par K. f ({, À) la hauteur du soulèvement (ou la profondeur de l’affaissement) de dm en (*) F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 486. (**) Nous nous bornerons ici à étudier les soulèvements ou affaissements des parties voisines de la surface de la Terre. à esi supposée constante sur toute la surface du globe. (177) fonction des coordonnées géographiques /, À de cet élément (*). Le volume élémentaire d=, contenant l'élément dm de masse, s'exprime en coordonnées polaires par dr =RdàxReos1.dlxK./f{1,x)=R°K. f(l; 1) cos 1d)dl; l'élément dm est alors : dm = 9, dr = R°K9. f(l, à) cos 1d2dl. Les produits d'inertie qui naitront du déplacement de toutes les masses élémentaires analogues seront fournis par 1 0D = Zyzdm — 3 R°. Ko JS FE, x) sin 2} cos à sin ddl, \ I . . 1 dE — Ezxdm — 5 R®. Ko [JF 1) sin 2) cos à cos {d)dl, puisque x = R cos } cos L, y = R cos à sin /, #= Rsin:1, sont les coordonnées de dm. D'après la formule de Clairaut rappelée ci-dessus, MR* 47 CRT 7 sport Ris 15 927, 3927 ù) à, désignant la densité moyenne du globe et R’ le rayon équa- torial. Les formules (6//) (*) K est considérée ici comme une grandeur linéaire; f (4, À) est la loi de variation en question, se chiffrant en nombre abstrait. 12 (178) combinées aux valeurs (14) et (45), permettent de déterminer les composantes U,, U, du déplacement du pôle d'inertie C. La difficulté d'appliquer ces formules à des cas particuliers provient du fait qu'il n'est pas commode, en général, de spécifier la fonction f ({, À). Les émergences et les dépressions terrestres ont des contours très irréguliers; et, à l'intérieur de ces contours, la loi de variation de l'intensité du mouvement avec la longitude et la latitude du lieu ne peut guère être fixée d’une manière certaine. Pour ces causes la fonction f (l, À) ne peut être déterminée commodément. | Cependant il est possible, si l’on se borne aux grandes lignes, de faire quelques hypothèses approchées (plus ou moins gros- sières) sur cette fonction; c’est ce qu'a fait G.-H. Darwin dans son célèbre Mémoire de 1877 (*). On peut comparer alors les résultats correspondant à ces hypothèses avec ceux üe l’observa- tion, et tirer de la comparaison quelques conclusions relatives à la répartition des creux et des reliefs de l'écorce de notre globe. *k * * Le moyen de calculer les déviations du pôle d'inertie C ayant été indiqué, examinons très brièvement quelle est l'importance numérique des changements que nous voyons s'opérer sous nos yeux (**). Éruptions volcaniques. N ne semble pas que le centre d'ébran- lement des tremblements de terre, précédant ou accompagnant (*) Philosophical Transactions, t. CLXVITI, 1877, p. 290, $ 14 : Forms of continents and seas produce the maximum deflection of the polar axis. Voyez aussi P. SCHWAEN, op. cit., 88. (**) Pour les renseignements numériques, on peut consulter l’excellent article du Dr K. Zôpprirz : Der gegenwäürtige Standpunkt der Geophysik. (GEOGRAPHISCHES JAHRBUCH, t. VIII, Gotha, 1880.) (179) des éruptions volcaniques, ait jamais été situé à une profondeur supérieure à Dr". Admettons qu'un volcan, comparable au Tambora de l’ile de Soumbava (*), soit situé sous la latitude de 45° (boréale ou aus- trale) et qu'il rejette, dans une de ses éruptions, un volume de 44km55 de cendres parti de la profondeur 5:°5. Nous nous plaçons dans une hypothèse fort avantageuse, comme on le voit; car c’est sous la latitude de 45° qu’un transport radial de masse a le plus d'influence, et le volume de 1455 est, d'après Zolikofer, celui que le Tambora a vomi dans son éruption si violente de 1815. En employant la formule (13) donnée ci-dessus, nous trouvons (**) 14,5 d, 5,5 dite "907 cree. : M 63170 soit à la surface du globe 9R’ — — Om01, R’' représentant le rayon polaire. Si, toutes choses égales, on admettait que ce volcan rejetàt un volume de cendres égal à eelui que le Vésuve a vomi dans son éruption la plus violente (connue depuis 1631), on trouverait seulement SR’ —= — 02000 000 6, Si le volcan en activité est supposé placé sous l'équateur, 1 = 0, sin 2 = 0, et SR —=0: ——— (*) Petite ile de la Sonde, voisine de celle de Java. Le Tambora a, en réalité, une latitude voisine de 8e (australe). (**) Dans cette formule à représente la densité des cendres évaluée en kilogrammes par kilomètre cube et M le poids du globe (environ 6 X 1024 kilogrammes). (180 ) l'éruption, n’a alors aucune influence sur la position du pôle d'inertie, mais on peut voir que la durée du jour subit une très légère fluctuation (*) On constate done que les éruptions volcaniques actuelles (isolées) ne peuvent guêre apporter de changement appréciable dans la position du pôle d'inertie C à la surface du globe. Cepen- dant il est possible que, dans le cours des siècles, l’action répétée d'éruptions voie ses effets s'accumuler jusqu’à produire une dévia- tion de ce pôle de quelque importance; cette remarque est surtout à noter pour un globe non rigide, mais plastique (**). Soulèvements et affjaissements séculaires de continents. — G.-H. Darwin s'est demandé (**) quelle aurait dü être la répartition des intumescences et des affaissements (qui déter- mineraient la configuration des terres et des mers) capable de produire le maximum de déviation du pôle C. La solution (que nous ne pouvons reproduire ici), basée sur le calcul des variations, indique que la ligne de séparation entre les continents et les océans aurait dû être l'intersection d'une surface conique avec la surface du sphéroïde terrestre (1). Ce savant calcule aussi le déplacement de C qui résulterait d'un soulèvement actuel d'un continent, accompagné d'un affaissement correspondant, dans les conditions- qui assurent le maximum d'effet. En employant les formules (6/’), (14), (15) avec ces conditions (*) Voyez L. PIcART, op. cit., 1897, $ 15. (**) Voyez G.-H. DARWIN, op. cit., 1877, $ 4, et J.-V. SCHIAPARELLI, op. cit, 4889, articles II et III. (*##) Op. ci, S A4. av) Voyez aussi P. SCHWAHN, op. cit., K 8. ("#84 )) de maximum, on trouverait avec lui ces résultats pour une hau- teur de soulèvement de 100 mètres (*) : Aire de soulèvement, en fraction Déviation en secondes du pôle de la surface totale du globe. d'inertie C. 0.001 4,4 0.005 22 0.010 44 0.050 210 0.100 387 0.200 660 0.500 980 Ainsi, si le continent africain (représentant environ les 0,059 de la surface totale du globe) était soulevé de 100 mètres, le pôle C ne serait encore dévié que de 4 minutes d'arc. Un soulèvement de 1 mètre par siècle d’un continent représen- tant les 0,025 de la surface totale, accompagné d’une dépression équivalente, ne produirait qu'une déviation de 1// en un siècle, soit en moyenne de 0//,01 par an. Il est clair qu'on ne constate actuellement aucun soulèvement de cette importance. S. Haughton (*) a appliqué aussi les formules (14) que nous avons données ci-dessus au calcul du déplacement du pôle qui résulterait du soulèvement continu de grands continents. En prenant pour surface de comparaison celle de l’ellipsoïde, homo- thétique à celui des mers, possédant le même volume que la masse totale solide du globe, il supposait que la hauteur moyenne (*) Voyez F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 531. RADAU a réduit les chiffres de DARWIN, donnés pour un soulèvement de 10 000 pieds, à ceux corres- pondant à une élévation de 100 mètres. (**) Proceedings of the Royal Society, Londres, t. XXVI, 1878. ( 182 ) des continents au-dessus de cette surface était de 2 660 mètres. Il a obtenu de la sorte pour composantes du déplacement polaire dü au soulèvement des continents et à l’affaissement des vallées océaniques, les résultats suivants, exprimés en kilomètres (*) : Composantes du déplacement du pôle Nord d'inertie suivant les méridiens de CONTINENTS ET MERS. : | SV ë | |2r| | Europe et Asie. . . . .| — — | 31.5 |106.9 AU LT 4.7 | 145 | — Soulèvements ( Amérique du Nord . . .{] 8.2 | 56.6 | — == Amérique du Sud. . . .}] 10.7 | — — | 18.8 Australie et Océanie . . .} — | 162 | 146.2 | — Océan pacifique septentrional | — — |1344 | 18 Affaissements Océan pacifique méridional . [127.8 | 83.8 Ces chiffres ne peuvent se rapporter qu'aux cataclysmes qui se seraient produits avant la venue de l’homme sur la Terre. Si l’on calcule la déviation du pôle d'inertie qui résulterait de l'élévation de 10 centimètres de chaque continent, on obtient : Europe et Asie . Afrique. ::.4 : Amérique du Nord . . . Amérique du Sud Pme COS au Australie 0... + _.. =: +flévialion de A8 0.55 2.15 0.81 . 086; (*) Voyez aussi P. SCHWAEN, op. cit., $ 9. Pour l’altitude moyenne pro- bable de la terre ferme, consultez aussi les travaux de KRUMMEL, PENCK, SUPANT, MURRAY, DE TILLO, DE LAPPARENT, etc. (183 ) d’après cela, un soulèvement de 1 centimètre de l’Europe et l’Asie pourrait seul produire une déviation du pôle décelable par l’ob- servation ; pour les autres continents un tel soulèvement n'aurait pas de répereussion sensible sur la position de ce pôle. On peut encore montrer, en se servant toujours des formules (6//), (14) et (15), que si la Suède et la Norwège se soulevaient (ou s’affaissaient) de 2 mètres, le pôle se déplacerait de 1 mètre environ. Si l’on a constaté effectivement un soulèvement de ces con- trées (*), la valeur numérique que Humboldt a indiquée, soit 100 mètres en 8000 ans, ne permet pas d'attribuer à ce phéno- mène une influence actuelle sensible sur le déplacement du pôle. Dans son Mémoire de 1839, J.-V. Schiaparelli s’est livré aussi à des calculs de ce genre. [l a trouvé que le soulèvement du grand plateau central de l’Asie (du niveau de comparaison à son alti- tude moyenne) aurait eu pour conséquence de rapprocher le pôle d'inertie de l’Amérique d’une vingtaine de mètres. Comme conclusion de ce qui précède, nous dirons que les soulé- vements ou affaissements actuels des continents ou des vallées océaniques ne semblent pas suffisants pour pouvoir déplacer le pôle d'inertie de quelques centièmes de seconde. Influence des mers : marées océaniques, courants marins, elc. — Indépendamment de l'influence que peuvent avoir l'existence et le frottement des marées océaniques sur la durée du jour sidéral et le mouvement de la Lune (**), ces marées peuvent encore exercer une action sur la position du pôle d'inertie C à la surface de la Terre. Ces marées sont produites par l’action com- binée de la Lune et du Soleil; l’action de ce dernier n'étant qu'environ la moitié de celle de la Lune, on peut supposer, pour simplifier, que c'est ce satellite qui produit à lui seul le gonfle- ment des mers. Nous avons admis que les moments d'inertie de (*) Voyez les œuvres de CELSsIUS, LINNÉ, L. V. Bucx. (**) Voyez les nombreux travaux relatifs à l'accélération séculaire du mouvement de la Lune (Cf. Bibliographie). (184 ) la Terre par rapport à deux axes équatoriaux rectangulaires sont égaux À = B, si l’on fait abstraction des mers. Mais l'intumescence liquide, due à l’action lunaire, détruit cette égalité, et le pôle d'inertie C est dévié en C/ : le pôle C/ tourne autour de son ancienne position à mesure que le flux se déplace en faisant le tour de la Terre. Soient m, M les masses de la protubérance liquide et du globe solide sous-jacent, s la base du volume (sensiblement) conique de cette protubérance, S la surface de la Terre, À la hauteur de la marée, R le rayon moyen terrestre. En prenant pour densité moyenne de la Terre 5,56 (par rapport à celle de l'eau prise pour unité), nous aurons (*) 1 — h.s X À m 5 h ae M 1 -_ 53 400 000 S . Sx 5,5 Si nous supposons que le centre de la protubérance soit situé sur le parallèle de 20°, si nous composons les résultats dus aux deux protubérances opposées et aux deux dépressions opposées, nous obtiendrons, en appliquant la formule (9) Ls prmètres 4m . 9 —— 465,5 — sin 40° ven 1"72 M S À mètre £ 1:72h, h désignant la hauteur de la marée exprimée en mètres. Si l’on adopte À — 0,6, le déplacement du pôle C est encore inférieur à une seconde d'arc. Nous exposerons plus loin une application de ce résultat due à Radau : nous verrons que, quoique cette déviation du pôle (*) F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 539. (185 ) d'inertie soit très sensible, sa répereussion sur la position du pôle de rotation est presque nulle à eause de la brièveté de la période de la marée. Relativement aux courants marins, nous serons très concis. Outre l'influence directe qu'ils exercent sur la rotation de la Terre, ils peuvent encore amener certaines variations dans la répartition des masses. D'après la remarque de J. Lamp (*), il semble ressortir de l'étude des courants océaniques que l'hémisphère boréal est chargé pendant l’été d’un excédent d’eau, et que cet excédent se transporte en hiver sur l'hémisphère austral; cette variation dans la distribution des masses pourrait expliquer jusqu’à un certain point le déplacement observé du pôle d’inertie. Fonte ou déplacement des glaciers. — Dans son discours présidentiel de Glascow (*), W. Thomson a émis l'avis que (les mouvements des vents et des mers et surtout) la fonte d’une calotte de glace au pôle pourrait amener un déplacement polaire de 0//,5, résultat qui a été contesté par S. Newcomb (**) et F. R. Helmert (1). D'après A. Waters (*), la fonte d'une telle calotte aurait pour effet, vu la configuration des terres et des mers, de déplacer le pôle Nord d'inertie sur le méridien de 45°44/ (Est Greenwich), par la surévélation du niveau des mers à laquelle elle donnerait lieu. [Cette surévélation serait de 8",7 si on sup- posait qu'elle füt causée par la fonte d’un amas circulaire de 1000 pieds (315,8) limité par le parallèle de 7O0°N ; évidemment cette hypothèse est de beaucoup exagérée|. (*) Ueber Niveauschwankungen der Oxeune als eine môügliche Ursache der Veränderlichkeit der Polhôühe. (ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN, t. CXXVI, 1891, n° 3014). (**) Voyez Report of Meeting of the British Assoc. for the adv. of Sc, Londres, 1876, p. 11. (%)) Op. cit., 1892. (iv) Op. et lib. cit., 1884 (v) Table of effect of mouvement of the surface of the globe. (MANCHESTER Lir. AND PHi. Sociery, 1877.) Voyez aussi les travaux du géologue anglais BELT. ( 186 ) S. Neweomnb fait observer qu'un tel phénomène doit avoir un effet d'autant moindre qu'il se produit plus près du pôle : ce qui est le cas ici. Les glaciers isolés, bien que plus éloignés du pôle, ne peu- vent amener des variations sensibles dans la position de ce pôle à cause de leurs faibles masses. Il est done superflu de se livrer iei à une estimation quelconque. Chutes de neige et de pluie. — Comme nous venons de le dire, W. Thomson a invoqué les phénomènes météorologiques comme cause pouvant produire les déviations très sensibles du pôle. En se plaçant dans les conditions les plus avantageuses, S. Newcomb (*) a trouvé que ces déviations ne pouvaient guère atteindre 0/’,05; cependant il pensait que, grâce à la multiplication indiquée par Radau (voyez paragraphe suivant), le pôle de rotation pourrait subir des déplacements atteignant quelques dixièmes de seconde. Il allait même jusqu'à dire que les mouvements observés du pôle de rotation pourraient être attribués à des chutes annuelles de neige, si l'hiver en Sibérie et l'hiver dans l'Amérique du Nord se produisaient alternative- ment : Ce qui est, du reste, contraire à la réalité. Les données sur les quantités d’eau annuelles moyennes tombées sous forme de pluie sont très divergentes. Si nous admettons que les pluies peuvent recouvrir en un an la surface du globe d'une couche d’eau de 0®73 (**), si nous supposons qu'une masse de hauteur h, recouvrant uniformément cette surface, soit concentrée à 45° de latitude, la grandeur du dépla- cement du pôle C est exprimée, d’après la formule (9), en secondes d'arc par 3—— 81.h, (*) Op. cit., 1892. (**) P. SCHWAHN, op. cit., S 1. (187 ) A , ] . . 4 où À est mesuré en mètres. Si nous admettons aussi que le l’eau tombée n’est pas évaporée, nous obtenons : = — 0//059 puisque alors À — 0,0075. Mais ce résultat doit ètre notablement réduit, car il ne se produit pas d’accumulation d’eau en un point; la masse d’eau se répartit sous des latitudes diverses. L'influence immédiate des pluies est done insignifiante. Ruissellement, formation des alluvions. — Le mécanisme connu ile l’évaporation de l’eau et de la chute de cette dernière sous forme de pluie a pour conséquence de produire le ruissel- lement de l'eau à la surface de la Terre, la formation des rivières et des fleuves. Indépendamment de l'influence directe des cours d’eau, il peut encore se produire des déplacements du pôle d'inertie dus à des transports de masses (changeant leur distribution). Ces cours d'eau enlèvent continuellement des particules de roches, de terrains déjà sédimentaires et les laissent se déposer à leur embouchure sous forme d'alluvions. Les fleuves et les rivières ne sont pas seuls à produire des érosions : la mer elle-même ronge les rives qui l'entourent ; seulement, d'après J. Murray (*), son action serait environ dix-sept fois moindre que celle des eaux courantes; d'après A. de Lapparent (**), elle ne serait que dix fois moindre. Si l’on considère la répartition actuelle des cours d’eau, on voit immédiatement que l'effet résultant de leurs actions sur la posi- uüon du pôle d'inertie C ne peut pas s'obtenir en additionnant les actions respectives de chaque fleuve, mais bien en détermi- nant leur résullante géométrique. Si les grands fleuves de Sibérie (*) Scottish Geographical Magazine, 1887-1889. , (*) La destinée de la terre ferme, Paris, Bloud, 1904. (Collection SCIENCE ET RELIGION). (188 ) montrent une tendance à déplacer le pôle Nord d'inertie dans le méridien de longitude 100°E (Est de Greenwich}, le Missis- sipi semble solliciter le même pôle à se déplacer dans le méri- dien de longitude 90°0 (de Greenwich). Le Daiéper, le Don, le Volga contrebalancent de la même façon l'influence du Nil, de l'Amour, du Fleuve Bleu, du Fleuve Jaune, etc. Seul l'Amazone, à l’action duquel ne s'oppose aucune autre de même intensité, peut avoir une influence sensible sur le déplacement du pôle, car son cours est voisin de l'équateur. Enfin il faut remarquer que l'Indus, le Gange et le Bramapoutre ont une tendance à renforcer l'action des fleuves de Sibérie. Pour déterminer l'action de chaque fleuve, il faut aussi con- naître son débit et la proportion de limon qu'il charrie. Nous ne pouvons évidemment pas nous livrer ici à des estimations de ce genre; Contentons-nous de dire que les chiffres varient dans de grandes limites. La proportion moyenne la plus probable des matières solides entrainées par les eaux serait, d'après J. Murray (*), de 58 parties pour 100 000, ce qui est à peu près le chiffre indiqué par Geikie, de Lapparent, Reclus. Pour A. Waters (**), l'apport total des fleuves est distribué par les courants marins de manière que l'hémisphère Sud reçoive chaque année un excédent de 3 250 millions de tonnes. En employant la formule (9) donnée plus haut et en supposant la masse concentrée à 45° de latitude (correspondant à l'effet maximum), on trouve = — 0/015 par siècle; mais cette opinion semble exagérée. En appliquant la formule (10) précédente relative au trans- (*) Op. cit. (**) Inguires concerning a change. (MANCHESTER LiT. AND PHIL. SOCIETY, t. VI, 1879.) ( 189 ) port d’une masse », Lloyd Morgan (*) a donné les chiffres sui- vants : ; Déplacement en mètres FLEUVES. du pôle d'inertie en une durée de Mississipl . . . . 0.152 6 000 ans COMENT << : 0.109 2358 » EMauDe:®. : .'. 0.110 6842 » Enfin, selon Twisden (**), par l’action des fleuves, il se produi- rait actuellement une tendance du pôle Nord à se déplacer dans le méridien 90° E (de Greenwich). J. V. Schiaparelli (***) a fait l'hypothèse suivante. Il supposait que le grand plateau central de l'Asie püt être charrié en entier, mais petit à petit, par les fleuves de l'Inde jusqu’au fond de l'Océan et que le centre du nouveau dépôt ainsi formé se trouvât préeisément sur l'équateur. Alors le pôle d'inertie descendrait le long du méridien moyen du haut plateau et s'approcherait de son centre d’une grande quantité, soit 30km5. [| va sans dire que nous ne pouvons tirer aucune conclusion de là pour estimer l'ordre de grandeur des déplacements du pôle produits par l'érosion continentale actuelle : en effet, nous n’avons aucune idée du temps que devrait durer ce charriage. Comme résumé de ce qui vient d'être dit, l’action fluviale ne peut produire que des actions séculaires de faible intensité. Action chimique des eaux. — A l'action mécanique des eaux (*) On geological time. (GEOL. MAGAZINE, Londres, 1878.) (**) The deplacement of the Earth’'s axis. (MANCHESTER LIT. AND Pic. Soc., 1878; QUARTERLY JOURNAL OF THE GEOLOGICAL SocteTy, Londres, 1878.) Voir également les estimations de LYELL. (***) Op. cit., 1889, probl. IIT. ( 190 ) vient s’adjoindre leur action chimique, beaucoup plus efficace qu'on ne pourrait le croire : en effet, elles contiennent une pro- portion assez notable d'acide carbonique, soit qu’elles l'emprun- tent à l'atmosphère, soit qu'elles en trouvent la source dans la décomposition des matières organiques du sol. Cet acide carbo- nique, dissous dans l’eau, corrode les calcaires et attaque à la longue le feldspath des granits. T. Mellard Reade (*) évalue à 12900 ans le temps que mettrait l'action chimique seule pour enlever un pied anglais, soit 0305, à la surface de l’Angleterre ; si ce chiffre est exact, il se produira, pendant ce laps, un déplacement polaire de SR — (m141. En 1885, dans son discours présidentiel de la Société Géolo- gique de Liverpool, il admet que, pour le Mississipi, le Danube et le Nil, les matières dissoutes doivent être aux sédiments charriés mécaniquement comme 7 est à 5, c’est-à-dire que l’action chi- inique de ces fleuves est plus que double de l'action mécanique. Selon A. L. Ewing (*), dans la région des A palaches les terrains calcaires doivent perdre 500 mètres en un million d'années. Mais ces chiffres paraissent exagérés. Il est plus prudent de s’en tenir à l'estimation de J. Murray (***) d’après laquelle l'action chimique ne serait, au contraire, que la moitié de l'action méca- nique. Selon ce savant, les eaux fluviales contiennent par kilo- mètre cube environ 182 tonnes de substances dissoutes (dans ce total les carbonates entreraient pour 100 tonnes, la silice pour 18, les sulfates pour 20). A ce taux, l'ensemble des fleuves apporterait chaque année à la mer près de 5 kilomètres cubes de matières dissoutes qui y seraient fixées par les organismes marins, tels que les globigérines, les diatomées, les coraux, etc. (”). (*) American Journal of Science, (3), t. XII. (**) American Journal of Science, (3), t. XXIX. (***) Scottish Geographical Magazine, 1887. (iv) Voyez aussi les travaux de DAUBRÉE, BISCHOF, BREITENLOHNER. (19) On peut s'assurer, en appliquant les formules précédentes, que cette influence chimique est, à elle seule, insuffisante pour provo- quer des changements sensibles de la position du pôle d'inertie. Evaporation de lacs ou de mers intérieures. — Pour donner une idée de l’ordre de grandeur que peut atteindre le déplace- ment du pôle dû à une telle cause, nous nous placerons dans des circonstances idéales propres à déterminer un maximum de déplacement. Supposons, avec A. Waters (*), qu'une mer, de même pro- fondeur moyenne que la Caspienne (61) et de surface double (2 x 21 000 kilomètres carrés), placée sous la latitude de 40°, s’évapore sous l’action d’une cause quelconque. Il en résultera un déplacement du pôle donné par la formule (9) : s = 0,/’88, soit en mètres SR 9702 s’effectuant dans la direction de la Mer Blanche. Ce dernier chiffre est très appréciable; mais il est clair que l'hypothèse est de beaucoup exagérée. Les phénomènes que nous venons d'étudier peuvent donc amener des déplacements séculaires du pôle d'inertie, mais sont incapables de lui communiquer des oscillations sensibles dans un court intervalle de temps. Enfin il reste à examiner une classe de phénomènes annuels qui peuvent amener des changements appréciables dans la répartition des masses, changements qui semblent d'ailleurs avoir pour période l’année. Comme nous le verrons plus bas, la périodicité des déplacements du pôle d'inertie se retrouve dans ceux du pôle de rotation; de plus si cette période (12 mois) est voisine de la période naturelle d'oscillation de ce dernier pôle (14 mois),ce qui est le cas ici, ces déplacements du pôle d'inertie peuvent avoir pour conséquence des perturbations fortement amplifiées dans le mouvement du pôle de rotation (**) ; cette amplification peut être sextuple. Si donc (*) Op. cit., 1879. (**) C’est cette amplification qui constitue la multiplication de RADAU. (192) nous montrons qu'il existe une classe de phénomènes météoro- logiques annuels pouvant produire des oscillations du pôle d'iner- tie atteignant quelques centièmes de seconde, nous aurons prouvé que les oscillations de seconde espèce (annuelles) du pôle de rotation, qui atteignent à peine 0”’,5 = 0//,05 X 6, peuvent être mises sur le compte de ces phénomènes; ces derniers sont les perturbations atmosphériques (*). Perturbations atmosphériques. — Comme on le sait, la pres- sion barométrique est, en moyenne, plus forte en hiver qu'en été: la différence de pression sera donc positive dans l'hémisphère Nord et négative dans l'hémisphère Sud de janvier à juillet. Cette différence n'est évidemment pas la même pour un continent que pour une mer, car l’existence en un endroit d’une grande quan- tité d’eau a pour effet d’affaiblir les oscillations barométriques en cetendroit. L'étude des cartes à lignes isobares a semblé montrer à R. Spitaler (*) qu'il se produit en janvier un excès de pression barométrique sur l’Europe, l'Asie et l'Amérique du Nord équi- valant à 1 010 kilomètres cubes de mercure, et qu'en juillet au contraire ce sont l'Afrique, l'Australie et l'Amérique du Sud qui supportent l'excès de pression (un peu moindre, soit 736 kilo- mètres cubes de mercure). Comme conséquence, le pôle d'inertie C se déplacerait environ de 0,//21 suivant le méridien de 75°; et, à cause de la relation de position qui existe entre ce pôle et le pôle de rotation I, ce déplacement aurait sa répercussion sur la loi du mouvement de [ à la surface du globe (***). L. Grabowski (1) a montré que Spitaler, en comparant ses résultats avec ceux de l'observation, se contentait d’un accord plus (*) On pourrait peut-être aussi invoquer les changements dans la répar- tition des eaux océaniques que J. LaMp a indiqués (voir plus haut). (**) Die Ursache der Breitenschwankungen. (DENKSCHRIFTEN DER Kals. AKAD. D. Wiss., Vienne, 1897.) (***) Voyez le paragraphe suivant. (av) Einige Bemerkungen zur Erklärung der Polbewegungen. (SITzuNGs- BERICHTE DER Kais. AKaADb. D. Wiss., Vienne, 1898.) (193 ) apparent que réel; que les variations atmosphériques envisagées par ce dernier jouaient un rôle important dans les mouvements du pôle d'inertie C, mais que, à ce qu’il paraissait, il était néces- saire d’en faire intervenir d'autres qui leur fussent comparables et qui produisissent une déviation de C du même ordre (dans une direction perpendiculaire à celle de la première). R. Spitaler (*) a repris plus récemment ces considérations en se basant encore sur l'étude des lignes isobares. Il lui semblait démontré que l’excès de pression se concentrait de janvier en juillet, dans l'hémisphère Nord, sur le continent asiatique, tandis qu’il se manifestait de Juillet en janvier, dans l’hémisphère Sud, en trois endroits séparés : l'Afrique du Sud, l'Amérique du Sud et l'Australie. Ainsi en janvier régnerait sur l’hémisphère Nord, entre les parallèles de 0° et 80°, un excès d’air équivalant à 192,5 kmÿ de mercure; en juillet, sur l'hémisphère Sud se pro- duirait, par contre (entre 0° et 50°), un excès de 402,2 kmÿ de mercure. Ces inégalités dans la répartition donneraient, d’après la formule (9), en Janv. un écart de 0055 dans la direction 100° Ouest ) de en juill. » 0’’041 » GS Est | Greenwich. Le pôle d'inertie C oscillerait, d’après cela, dans deux directions sensiblement opposées et de quantités de même ordre. Pour avril et octobre, on n’a pas déterminé directement les valeurs des am- plitudes, mais on eroit pouvoir affirmer qu’elles restent inférieures aux valeurs indiquées ci-dessus. Le pôle d'inertie C tournerait ainsi dans le sens Est-Ouest (rétrograde) à la surface du globe. Cependant on ne peut rien dire de certain sur la trajectoire de ce pôle, au moins d’après des estimations de ce genre, On peut, comme L. Grabowski (**) et dans la suite A. Sommer- (*) Die periodischen Luftmassenverschiebungen und ihr Einfluss auf die Lagenänderungen der Erdachse. (PETERMANN’S MITTEILUNGEN. 1901, n° 137 ) (**) Op. cit., 1898, $ 4. (19%) feld (*) l'ont conseillé, déduire le mouvement de C de celui (observé) du pôle de rotation I, et le comparer à ces résultats d'expérience. Ce qu'il est important de remarquer ici, c'est que les oscilla- tions du pôle d'inertie peuvent déjà atteindre quelques centièmes de seconde, si l'on a égard seulement à ces perturbations atmo- sphériques. $ 2. Relation de position entre le pôle d’inertie C et le pôle de rotation I. Après avoir déterminé, dans le paragraphe précédent, les oscil- lations du pôle d'inertie C dues aux transports de masses, nous devons chercher actuellement quelle relation de position existe entre ce pôle et le pôle de rotation TL: nous connaïtrons par là la manière dont ces transports influent sur le mouvement de ce dernier pôle à la surface de la Terre. Voici la méthode proposée par W. Thomson (**). Prenons pour 0 le centre de gravité de la partie rigide du globe (***); choisissons pour axes de référence Oxyz les axes prin- cipaux de l’ensemble à chaque instant et pour axes Ori les axes moyens (qui coincident, par exemple, à l'époque initiale avec Oxyz). Les équations du mouvement prennent alors la forme simple () : | | l — (4e) + q(Ca,) — r(Ba,)=L = 0, d a (8%) + r(40,) — p(Co,) = M = 0, (H) L (Ce) + p(Ba,) — q(4c,) = N = 0. (*) Op. et lib. cit., 1903, p. 723. Voyez aussi le $ 3 de ce litt. b. (**) Appendice C du Mémoire de G-H. Darwin : /nfluence of the geolo- gical changes... (PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS, Londres, 1877, t. CLXVII, p. 308). Voyez aussi HELMERT, SCHWAHN, TISSERAND, op. cit., et notre opuscule. (***) Voyez troisième Partie, section À, S 3. {v) Voyez troisième Partie, section À, S 2. (195 ) Dans ces équations p, q, r représentent les composantes, suivant Ox, Oy. Oz, de la rotation o du trièdre Oxyz formé par ces axes ; Wy Wy. &, les Composantes, suivant ces mêmes axes, de la rotation w du trièdre OËn£ (rotation moyenne du globe) (*); 4, B, C les moments principaux d'inertie instantanés de la Terre par rapport au centre de gravité O de sa partie rigide. Si nous supposons que les axes moyens restent sensiblement fixes dans la charpente rigide du globe (**), la rotation moyenne w sera la rotation instantanée de cette charpente. W. Thomson introduit à la place de &,. w,, «, les cosinus directeurs A0, Bo, Co, | Ci = , CQ—= ——rs C3 —= ) G G G 2 __ 422 2,2 2 4 GC = A0 + Bo, + Ci, de l'axe invariable OG du moment résultant des quantités de mouvement absolu de l'ensemble, par rapport aux axes prinei- paux instantanés Ox, Oy, Oz. Alors Ge: Ge; Ge ’ QD, = » A Th He 51 (a) Cy> Ce, C3 représentent aussi les coordonnées de l'intersection G, de l’axe OG avec une sphère de centre O et de rayon 1 ; ce sont encore, très sensiblement, les coordonnées de l'intersection I, de l'axe OI avec la sphère. (*) En fait, comme nous l'avons déjà dit, ni W. Thomson, ni G.-H. Darwin ne parle de rotation moyenne. Mais comme ils négligent pratiquement les moments o,, o,, os. des quantités de mouvement relatif, ils emploient au fond les axes moyens, tout en supposant que ces axes restent fixes dans la carcasse rigide du globe. On peut admettre cette hypo- thèse si l’on suppose que les petites masses sont isolées ou se neutralisent sensiblement. (**) Voyez note précédente; cf. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 531: P. SCHWAHN, op. cit., $ 4, et HELMERT, op. cit., 1878, p. 312. ( 196 ) La rotation o du trièdre formé par les axes principaux instan- tanés est différente de celle © de la charpente rigide. Nous écrivons pP=0, + u., TE ns DAT | = &; FOU,S (b) Us y. U, représentent alors les composantes, suivant Ox, Oy, Oz, de la rotation «différencielle » — 41—=z0—Q qui mesure l'avance des axes principaux sur les axes moyens ; on peut les appeler vitesses angulaires de déviation ; cette déviation résulte du déplacement des petites masses. Introduisant les valeurs (a) dans les expressions (b), nous obtenons =— +, = —— + y B sé r — + U, C _ — de, 1 Î 0 | “és lee ue — di \B }e 3 z3°2 u,Cs ? d'a Î À = | — — — C4 — U,C 20 —= 0 4” De 2e LC Se C U;C3 + UC: ’ ( ) des ah 1] Re + Ga == BJ + U,C2 — 0; ces dernières équations admettent l'intégrale des aires ++ = 1, (197 ) équation qui peut remplacer l’une d'elles, la troisième par exemple. Les deux premières peuvent s'écrire (*) : dc, pr 5 = Pc, ut, (H/”’) dc | TI px 6.5 U;Css | si l’on pose Nous allons montrer que les quantités P, Q sont très sensible- ment constantes. Tout d’abord l'angle z0G atteint à peine quelques dixièmes de seconde (**) ; par suite, nous pouvons poser sans erreur sensible : et aussi w désignant la rotation moyenne de la Terre. Les expressions de P, Q s'écrivent alors (*) Voyez HELMERT, Die Math. und phys. Th. der hôh. Geodäsie, 1884, t IL, p. M4. (**) Voyez l’Introduction. ( 198) et les équations différentielles (H//") : de, Pr —+ Pc, = — Uy, { \ (H dc: ) rer + Us | Les cosinus €, ©, peuvent être considérés comme des petites quantités du premier ordre; dans les produits Pc, Qc, nous négligerons les quantités du second ordre, ce qui revient à faire abstraction des termes du premier ordre entrant dans P et Q. Nous supposons que les moments d'inertie équatoriaux 4,, B,; de la charpente rigide de la Terre sont égaux : À, = Bo. Les moments d'inertie principaux À, B de l'ensemble sont variables ; mais nous pouvons écrire au degré d'approximation voulu C A C—AÀ AUS A En effet, en désignant par d04,, 0C, les différences À — À C— C,, nous avons Co — À C—A (Co — Ao) + (0Cy — 240) À Co — 4, m FRET Do CA À ee) po | 200 — 240 _ Co — do À) As À) | Ao +04) A0 en négligeant les termes du premier ordre (*). (*) Les différences 640, 0Bo, sont du même ordre que les petites masses m et celles-ci sont supposées être du premier ordre. CL 1990) De la même facon, Nous pouvons alors écrire — À in ls chu À y étant la vitesse de rotation eulérienne (*). Les équations du mouvement se mettent alors sous la forme : de, | NN NA ER Ce US, dt = $ (1) des ——y—u jo —= + u.. dt 6 “he En général, les vitesses de déviation u,, u,,, u., et par suite le coefficient P = Q — y — u,, sont des fonctions du temps. Cependant, dans la plupart des cas relatifs à la Terre, on peut les supposer constantes : toutes les trois très petites s’il s'agit de déplacements séculaires (**); les deux premières très petites et la troisième de grandeur finie s’il s'agit de déplacements relati- vement rapides (comme ceux des marées) (***). Dans cette hypo- thèse PQ —1—u, —c"—=x (*) Voyez l’Introduction. (**) Voyez TISSERAND, op. et lib. cit., pp. 927 et 530, et SCHWAHN, op. cit., $ 5. | (***) Voyez Rapau, Bull. astr., t. VIX, 1890, p. 354, et HELMERT, op. et lib. cit., p. 415. ( 200 ) et les équations différentielles (1) s'écrivent simplement de, d + Ule = — UPF ra (2) Fe. Aie Hu = + U, Additionnons ces deux équations après les avoir multipliées respectivement par À et î; nous obtenons, en introduisant la variable complexe : 6 = €, + ico, de, + ice) dt — fn + ic) = —U, + TU, ou dé ——iuw.C——U,+iu,;. (3) dt Si le second membre était nul, l'intégrale générale serait c— Ke“, (4) K étant une constante arbitraire. Pour obtenir celle de l'équation complète, considérons K comme une fonction et substituons l'expression (4) dans (3); alors il vient ju K PNEU ail dK — — (— u, + iu,)e dt rte Cie û A 7 Fe —u,.0 ‘+ K’ — ip — in K’ étant une véritable constante. Alors | iu u c= Keïwt — K'eirt — 7 7, ANT ( 201 ) et, en séparant les parties réelles des imaginaires pures, U> —S cos (at + 7) — —; 172 (5) u, Ce = S sin (gel + +) — —; 72 dans ces équations S et + sont constants et choisis de manière à satisfaire à la relation Di tout en étant réels. C4, Ca représentent les coordonnées [par rapport aux axes C,x, Cyy menés parallèlement à Ox, Oy par le pôle d'inertie C, (*)] du pôle G, et sensiblement aussi celles du pôle 1;, intersection de l’axe de rotation OI avec la sphère ayant O pour centre et l'unité de longueur pour rayon. Les équations (5) prouvent que le pôle de rotation I, décrit une circonférence, d'un mouvement uniforme ayant pour vitesse angulaire a, une circonférence avant pour centre le point I de coordonnées — Fa — “+. Ce point est fixe par rapport aux axes Cox, Coy parallèles aux axes principaux Ox, Oy : sa distance à C, est : Vu + u, et son argument arctg (#); son déplacement est done lié à celui du pôle d'inertie C,. Nous avons appris, dans le paragraphe précédent, à calculer le déplacement de ce dernier pôle dû à telle ou telle influence; par suite nous connaîtrons l'action qu'une action géologique, hydrologique ou météorologique exerce sur le mouvement du pôle de rotation. Si nous supposons que les axes d'inertie coïncident avec les axes moyens à l'instant { — 0, leurs déplacements seront donnés (*) Co est l’intersection de OG avec la sphère de rayon 1. ( 202 ) par les formules (6) du paragraphe 1, et leurs vitesses de dévia- tion seront alors : U, U, = —: At U, U, = — A (ie U, = —: At Dans ce qui précède nous avons supposé u, — C'°, u, — C". u, = C', c’est-à-dire que nous avons admis que les axes prinei- .paux d'inertie Oxyz se déplaçaient simplement d’une manière uniforme par rapport aux axes moyens OErn£ fixes dans le globe. Ainsi, dans cette hypothèse, le point 1 décrit un arc de grand cercle à la surface de la sphère, et par conséquent le point I, décrit une cycloïde proprement dite, allongée ou raccourcie (*). Il est clair que le mouvement de I, autour de 1} n'est autre chose que le mouvement eulérien, comme on le voit immédiate- ment en rapportant le mouvement de 1, à des axes Lx’, loy’ parallèles à chaque instant aux axes Cox, Coy (tournant unifor- mément avec la vitesse de rotation constante w,) * PR Si, au lieu de changements séculaires dans la position des petites masses m, il se produit des déplacements brusques, les composantes w,, 4, n'auront plus des valeurs constantes. On pourra considérer leurs valeurs comme nulles, excepté pendant l'instant très court À/, que durent ces déplacements, durant lequel elles auront des valeurs très grandes (**). (*) Ou plutôt la projection d’une telle courbe, à partir de 0, sur la sphère. F. TISSERAND, op. et lib. cit., p. 531; P. SCHWARBN, op. cit., S à; J.-V. SCHIAPARELLI, F.-R. HELMERT, etc., op. cit, et aussi E. Hiz, Elemen- tary discussion on the influence of the geological changes on the Earth's axis of rotation. {PROCEELINGS OF THE R. Soc., Cambridge, t. IT. 4878, pp. 161 et suiv.: NATURE, Paris. 1878). (**) Voyez HELMERT, op. et lib. cit., pp. M6-417; SCHWAHN, op. cil., $ 5; TISSERAND, 0p. et lib. cit , p.932. ( 203 ) Si nous désignons par K, la valeur que possède la fonction K jusqu’à ce qu'ait lieu, à l'instant t,, le phénomène brusque (durant At,), nous aurons à l'instant /, + A, et aux suivants, s’il ne se produit plus d'autre perturbation de même genre, to + Ato K=K, + fE H,aule dt, : (6) te l’intégration ne s'étendant évidemment qu'à la durée du phéno- mène; cette expression peut encore s'écrire : to + At | QE OS CN fT u, + iu,) dt, Lo t, désignant une valeur de £ comprise entre {, et tj + A, : nous le voyons en appliquant le théorème de la moyenne à (6) [en supposant w,, u, continus dans l'intervalle (14, {9 + Ato)]: Comme At, est très court, nous pouvons écrire sans erreur sensible to + dt K=K, +e- te | (—u, + iu,) dt. to Ainsi le seul effet que peut produire un déplacement brusque de masse est de modifier la valeur de la constante eulérienne K : sitôt que le déplacement a cessé, le mouvement eulérien du pôle de rotation [ autour du pôle d'inertie C continue avec la même vitesse de rotation : /a seule chose qui ait changé est l'angle d'ouverture COI du cône eulérien. Ainsi les déplacements brusques se distinguent surtout des changements séculaires en ce qu'ils apportent des variations dans l’angle que font entre eux l'axe d'inertie polaire avec l'axe de rotation (*. Le pôle de rotation |, ne s’écarte pas du pôle G, de l’axe du couple des quantités de mouvement (**). (*) CÉ. SCHWAHN. op. cit., $ 5. (**) Voyez TISSERAND, op. et lib. cit., p. 532; HELMERT, op. et lib. cit., p. 416. ( 204 ) Comme on a pu s’en apercevoir dans ce qui précède, le choix d'axes de référence Oxyz mobiles dans le globe complique la question. Îl est bien plus simple de rapporter le mouvement des pôles à des axes fixes dans la Terre. Prenons, comme F.-R. Helmert (*) et A. Sommerfeld (**), pour axes de référence, fixes dans le globe, Oxyz et OËn (coïn- cidents) le système trirectangle formé par les axes principaux d'inertie au temps initial £,; aux instants suivants ces axes ne seront évidemment plus les axes principaux du système formé par la charpente rigide et les petites masses mobiles. Nous avons alors à poser p=@,, q—=«,, D à A = À, + A, | | D = D,, B' =," EE, Le Sata lobe 40: Co désignant les moments d'inertie principaux de la char- pente; A4, By, CG, D4, E4, F, représentant les moments et produits d'inertie (variables) des petites masses. Les équations différentielles du mouvement prennent alors la forme : , d 7 [os + (40 + A)p — F,q — Er] + q[o — Ep — Dig + (CG + Ci)r] (7) — r[o, — Fp + (45 + B;)q — Dr] = 0, ’ ST me” (*) Op. et lib. cit., 1884, pp. 493 et suiv. Voyez aussi Astronomische Nachr., 1891, n° 3014. (**) Op. et lib. cit., 1903, pp. 716 et suiv. ( 205 ) Nous pouvons simplifier les expressions de f, g, h entrant dans ces équations; en effet, À,, B;, C;, D,, E;, F, sont du premier ordre (même ordre que m), et p, q peuvent être supposés a priori du même ordre qu'eux. Il est permis alors de négliger les produits et carrés de ces quantités. Les équations (7) s'écrivent alors : d Cy — À À {d LE L one + qu ro) di 4, A,\dt [D dr ) 0 = Dr — — Tr — ), mie di dt d Co — 4 {d ed LI 0 LUE ie +- OR ps.) dt À, Ao\di _— dt dt dr 1 ee ——— + — dt C, l dr dC, Les derniers termes des premiers membres de ces équations sont ceux introduits par l'influence indirecte des transports de masses (*);5,, 05, 5, sont encore du premier ordre, en sorte que la troisième équation (8) donne, en négligeant les termes du ]=0 second ordre,’ + —| + — 58) RAA ou encore dr ! dC, 1 > dt Co + C, dt Co + C, dr £ &) Î e 1 A pe P — dt dt 1 1 dr dD, + _e E,r* — D, — — —0, ‘dt + pas — 4) do, de , (*) Comparez les équations (8) aux équations (F’’) du litt. a. ( 206 ) dont l'intégrale est T=n, si l’on néglige les termes du premier ordre, ce qui est permis au moins pour la substitution de la valeur de r dans les deux premières équations, puisque r n'y entre que multiplié par des quantités du premier ordre au moins. Co — A0 40 En posant encore n — y, nous aurons pour ces deux premières équations : dp | do, \ l (D , dE, | 0 — + YO + —|— — — — — == HE re ne) PRVE UIRS d 1 /d l dD | Te er) + — — Ent —n = 0. . dt Ao\dt À) dt Ces deux équations tiennent compte en même temps de l'influence directe (troisièmes termes) et de l'influence indirecte (quatrièmes termes). Nous allons voir, par un exemple, que pour la Terre l'influence directe de transports de masse est tout à fait insignifiante vis-à-vis de leur influence indirecte (*). A cette fin nous n'avons qu'à montrer que c,, c, sont négligeables vis-à-vis de nE,, nD,. Un mouvement elliptique simplement périodique d’une petite masse m autour de Oz peut être donné par x=— R,cos ui, | ZT = CA . R,, R:, / et & étant constants. Alors D, = myz = mRil sin xt, E, = mzx = mR,l cos ut, dz dy Cx = M Ce == dl = — mRilp cos ul, dx dz ? | aq —=m (ae =) — — mR,lu sin ut, (*) Voyez A. SOMMERFELD, 0p. et lib cit., p. 718. ( 207 ) puis Comme nous l'avons dit plus haut (*), les seuls transports qui puissent avoir une influence directe notable sont ceux dont la période est voisine de la période eulérienne ; tels sont par exemple les déplacements annueis de cause météorologique. Dans ce cas = vaut environ = [ou = (**)], par exemple pour les phénomènes annuels. Si R, et R, sont de même ordre, on voit que ©, 5, Sont tout à fait négligeables devant nE,, nD.. On verrait facilement que si x, y, z étaient données par des séries de Fourier, la même conclusion subsisterait : pour les transports lents, tels que ceux dont il vient d’être question, l'influence directe serait insignifiante a côté de l'influence indi- recle; tandis que pour les transports rapides, les deux influences seraient insensibles ; l'influence directe ne pourrait devenir notable que si les déplacements de masses s’effectuaient d’une façon brusque (***). Nous négligerons donc dorénavant l'influence directe, qui ne semble pas, au moins pour les phénomènes actuels, être capable d'introduire des perturbations sensibles dans la rotation de la Terre. En conséquence, nous écrirons les équations différen- tielles du mouvement sous la forme dp H dE, — + :q + — D,n° — — = 0, dt | dt ? (10) dg I dD, — — 9p — —|E,n + —n |] = 0, dt À) dt (*) Voyez hitt. a. (**) Il est bien clair que les conclusions sont encore valides pour le cas d’un globe faiblement élastique. (Cf. SOMMERFELD. op. et lib. cit , p. 713). (***) Voyez SOMMERFELD, 0p. et lb. cit., p.719. ( 208 ) dE, dD tu En caleulant =: -" dans un cas particulier, par exemple dans le cas envisagé ci-dessus, nous verrions encore que les rapports de ces quantités à nD,, nE, sont encore de l’ordre de ë, c'est-à- dire très petits; en d’autres termes, nous pouvons encore négliger 1 vis-à-vis de nD, et 2: BE Loin équations (10) s'éeriront alors sous la forme très simple: vis-à-vis de nE,. Nos dp 2 — + q + — D, — 0, dt 0 | (41) | dq ne — — y —— —— = TÉL Li Remarquons encore que L 2 sont les coordonnées x, y, par rapport aux axes Cox, Coy (menés par le pôle fixe C; (*) parallèle- ment aux axes fixes Ox, Oy), du pôle de rotation I. Si nous voulons introduire dans (11) les coordonnées X, Y du pôle d'inertie C instantané, nous n'avons qu'à faire usage des for- mules (6’’) du paragraphe 1 en remplaçant U, par — Y, U, par X (*), 2D par D,, dE par E, et en supposant € — À sensible- ment égal à C;, — À,; alors E, Per à de: | D AU nt | Co FT À, | et en remplaçant, dans les équations (11), D,, E, par leurs valeurs tirées de (12), nous obtenons ER, ra [— (Co — Ao)Y]= — (y — Y), (13) n (*) Intersection de l'axe 0 fixe dans le globe avec la sphère de centre 0 et de rayon 1. (**+) Car la rotation U, autour de Oy produit le déplacement X suivant 0x, et la rotation U; autour de Üx détermine le déplacement — Y suivant Oy. ( 209 ) Ces équations expriment simplement que le pôle de rotation I (x, y) tourne à chaque instant aulour du pôle d'inertie C (X, Y) avec la vitesse angulaire eulérienne y (*). $ 5. — Applications diverses ; « multiplication » de R. Radau. Les équations (2) de W. Thomson ont été appliquées par R. Radau; les autres géomètres ont préféré se servir des équa- tions (13), qui sont au fond plus intuitives. Il sont arrivés, le premier aussi bien que les autres, à des conclusions fort intéres- santes, dont nous expliquerons ici les principales. Tout d’abord R. Radau, reprenant dans plusieurs articles (**) certaines considérations de Helmert, suppose que sous l’action d’un phénomène (tel que celui des marées) le pôle d'inertie € se trouve écarté de sa position initiale C, d'une quantité C= Cp Sin ml, c) et m étant deux constantes, suivant le méridien opposé à celui passant par l’axe principal d'inertie variable Oy (***). En premier lieu, il imagine que les axes principaux Ox, Oy tournent autour du troisième Oz avec la vitesse constante uw. : alors le pôle d'inertie C tourne uniformément autour de C,. Il est aisé de voir, par une simple construction géométrique, (*) Voyez HELMERT, op. et lb. cit., chap. V, et SOMMERFELD, op. et lib. cit., p. 719. Consultez aussi Astronomische Nachr., 1891, n° 3014, et Bul- letin astr., t. VIII, 1891, p. 92. (*+) F. TisserAND, Traité de mécanique céleste, t. Il, 1891, p. 536; Bulletin astronomique, t. VIT, septerabre 1890, p. 352; Comptes rendus, Paris, t CI, octobre 1890, p. 558. Nous avons changé l'orientation de ses axes pour nous rapprocher de ce qui précède. (***) Dirigé vers la Lune dans le cas des marées. 14 (210 ) que les autres vitesses de déviation w,, u, sont liées à c par les relations (*) Uy = — CU,, de Un —= — ue c'est-à-dire U; = — MC) COS Mi, Uy = —U,. Co Sin ml. } Les équations (2) de W. Thomson deviennent alors ici des 1 + He = U,. Co SIN Mb, dE des — —- Ut = — MC) COS M dt Û ? où w=y—u.. Les solutions (5) ne sont plus applicables, car u; et u, sont variables. En multipliant ces équations par 1 eti et en les additionnant, nous obtenons d(c; + ic:) * ; : om ——— — duc + 10) = U,00 (sin mt — à — cos mt). dt u, La solution de l'équation, si le second membre était nul, serait Ci + 10e = Ke'F!; en employant la méthode de la variation des constantes arbi- traires, on a pour déterminer la fonction K : dK ; .m — = U,0, (sin mi— i— cos mt)e-#", di a, (*) À vrai dire RADAU, en suivant HELMERT (op. et lib. cit., p. 424), avait d’abord posé : #, — 0; mais il est plus juste de faire ux = — … comme il l’a reconnu dans la suite. (21 ) d’où l’on üre m K = K’ + u.c eT"t sin mt dt—1i— f et cos mt dit ! : 2-0 7 À qui E puis en effectuant, en substituant dans Q + 10 —= Keïl! et en séparant les parties réelles des imaginaires, on obtient mu + u,) x = S COS (ul + T) + — 0, cos mi, um — m ; (1) l M° + uu, y =S sin (ut + +) + — — Co Sin ml, pu? — im où l’on a remplacé les lettres c, et ©, par x et y. Telles sont les équations du mouvement du pôle instantané br, y). Si nous désignons par mu + u,) | 0 | >? — m° 6 : (2) 2 ” M° + uu, < s Vo CN SIN Vo LE m° 0 ? les coordonnées d’un point Ï;, que nous pouvons appeler pôle moyen de rotation, nous voyons que le mouvement de [autour du pôle d'inertie C est épicycloïdal et se compose de deux autres mouvements : 1° Mouvement circulaire eulérien (ou chandlérien) de I autour du pôle moyen 1, ; 2% Mouvement elliptique de 1, autour de C. On voit immédiatement que, si m est voisin de u, les coefñ- cients des valeurs de x, et y, peuvent prendre des valeurs nota- bles, beaucoup supérieures à l'amplitude maxima c, du pôle d'inertie. C'est en cela que consiste la «multiplication » trouvée (212) par Radau (*) (phénomène analogue à ceux des résonances en Acoustique). Si m—y, les formules (1) et (2) deviennent illusoires ; mais il est facile de voir que les solutions ne se présentent plus sous la même forme, mais contiennent des termes t sin wt, { cos gl; le déplacement est alors séculaire (**). Si l'on veut, avec Radau, étudier l'influence de la marée lunaire sur le déplacement du pôle, on devra faire évidemment n=0©—=— 27 par jour sidéral, @ M = —) 2 39 Tr 0; 31 @ ” 305 9181 kE=V—U, = —— 0. \ 9455 / Le mouvement du pôle moyen 1, est alors { xo — 0,00016 c, cos mt, | Yo = — 0,995 c, sin mt. Nous avons vu,au paragraphe 1, que le déplacement maximum co du pôle d'inertie C est toujours inférieur, en valeur absolue, à une seconde d'arc; l'écart entre C et 1, est alors tout à fait né- (*) Voyez RADpau, NEWCOMB, HELMERT, SPITALER. GRABOWSKI, SOMMERFELD, op. cit. (**#) C£2L. PicaRT, op. cit., 1897, $ 16, et A. SOMMERFELD, op. et lib. cit., p. 722. (25) gligeable (*); ce qui se comprend aisément puisque la période du phénomène est très différente de la période eulérienne Si, au contraire, il s’agit d’un phénomène local et annuel ue —0, | [A] =Y— ——) É 30 c 5 Mers 2 566 6 ] pH\2 J —_ y? | () 25 Y= RQ Sin ml = Fr 6 et l'écartentre I, et C est 0 sin mé, : | — y 6 T= 2. Co COS Mi = _ Co COS M, È il À 9 — Fe 7 : \ / 30 To —X = rt ti mt — 2,7 c, cos mt Yo — Ÿ = Ar sin mé — (— co sin mt) = 5,5 €, sin mt Ainsi le pôle moyen de rotation I, décrit autour de C une ellipse dont les axes sont respectivement égaux à 2,7 et 3,3 fois la dévia- tion maxima de C. La plus grande élongation entre deux positions du pôle de rotation [ se composera du grand axe 6,6 || de l’ellipse aug- (*) Puisque les coordonnées de C sont A0 —=—C——60sinnl. Voyez R. RADAU, op. cit. (214) menté de deux fois le rayon S du cercle eulérien, soit 2S+6,6|c0|. Pour que cette distance püt atteindre 0/5 il suffirait, si S=— 0//,15, de supposer |cy| — 0//,03, ce qui pourrait très bien être produit par un phénomène actuel, par exemple par le transport d’une masse d'eau ou d'air d'un point du globe à un autre. La distance pourrait ensuite descendre jusqu’à 0//,50 — (0/’,03 x 5,4) — 0//,14. F. R. Helmert, continuant l'étude de Radau, la développe et la complète (*) Il emploie des axes fixes dans le globe et obtient ainsi les équations différentielles (15) du paragraphe précédent : où x, y désignent les coordonnées du pôle de rotation I, tandis que X, Ÿ représentent celles du pôle d'inertie C. En supposant que le pôle d'inertie C se déplace encore suivant Oy (axes fixes dans le globe), on a x | Y—cosin mt, }) puis pour équations du mouvement de Ï, | dx | we + vy = YCo SIN Ml, d = — vx = (0. | (*) Zur Erklärung der beobachteten Breitenänderungen. (ASTR. NACHk., t. CXXVI, 4891, n° 3014.) (25) En intégrant ces équations par le moyen connu, on trouve { | my x = S cos (vi + +) + : Co COS 14, va 4 1 y L y =S sin (tt ++) + = :Co Sin mt. | Dal ] Le mouvement de I est encore épicycloïdal et se compose des deux mouvements simples : 1° Mouvement cireulaire eulérien de I autour d'un pôle moyen I, de rotation; 2 Mouvement elliptique du pôle moyen 1, autour du pôle d'inertie moyen (fixe dans le globe) C;, donné par my Lo —= 5; Co COS Mi, ÿ — m Yo =, Co Sin mt. ÿ — m° | Les mêmes remarques que plus haut peuvent être faites ici relativement à la multiplication desoscillations du pôle d'inertie C. Helmert ne se borne pas, dans son Mémoire, à analyser et dis- cuter ces résultats, analogues à ceux de Radau; mais il envisage aussi le cas où le mouvement du pôle d'inertie C n’est plus rec- ligne, mais circulaire, elliptique ou composé de tels mouve- ments : X = ŸYC, cos imt + ZS;,sinemt, | î î Y = 2C; cos imt + 2S,sin imt. Les conclusions auxquelles il parvient montrent que la multi- plication des mouvements du pôle C, qui se retrouvent dans ceux de I, peut aussi bien se produire dans ces derniers cas que dans celui envisagé par Radau ; en d’autres termes, qu'une telle multi- plication n’est pas caractéristique d'un déplacement rectiligne du pôle d’inertie, mais peut aussi avoir lieu quand ce dernier décrit (216) toutes les variélés d'ellipses comprises entre la droite (cas limite où l’un des axes est nul) et la circonférence (cas limite où les deux axes sont égaux). Ainsi, si le mouvement du pôle d'inertie C est elliptique, X = a cos (mt + n), Y—bsin(mt+n), | nous obtenons, en suivant la marche indiquée plusieurs fois, pour mouvement du pôle moyen I, de rotation, | ,°a + ymb La = ——— cos(m+n ] 0 y? re m°? ? \ Pb + ma . Yo = ———- sin (mt + n). ÿ — m Ce pôle décrit donc d'un mouvement uniforme, de même période = que celui de C (*), une ellipse homocentrique à celle de C, de mêmes directions axiales, mais de longueurs d’axes généralement différentes. Si nous supposons par exemple, avec R. Spitaler (**), que ce mouvement elliptique du pôle d'inertie soit causé par un phéno- mène de période annuelle (tel que pourrait être la variation des pressions barométriques), nous devrons faire et la multiplication pourra aller jusque 6 (en ce sens que le demi-grand axe de l’ellipse de I, est 6 fois aussi grand que l’os- es (*) Nous renvoyons au dernier article de HELMERT pour l'étude des cas particuliers, notamment pour la discussion du sens (direct ou rétrograde) du mouvement de I autour de Co. (**) Die Ursache der Breitenschwankungen. (DENKSCHRIFTEN DER K. AKAD. D. Wiss., Vienne, t. LXIV, 1897.) (247) cillation inaxima du pôle d'inertie), puisque les équations de mouvement du pôle moyen Î, deviennent : 6a + 5b 11 6b + 5 JA EE “ sin (mt + n). To = cos (mt + n), | Si b == 0, on a, a cos (mt + n)—=5,5 a cos (mt + n), | s | IS =IS a sin (mt + n) = 2,7 a sin (mt + n). | S I 1 Si b — a, on obtient : x) —6a cos m+Nn), | Yo — 6a sin(mt + n). La multiplication est alors très considérable. Si, au lieu de la vitesse eulérienne @ 7 505 nous considérons la vitesse chandlérienne nous aurons pour un phénomène annuel, puis page 8 To = — 6 ——— cos (n 0 15 cos (m + n), 6b + 7a . Yo = — 6 ——— sin (mt + n). 13 (218 ) La multiplication peut encore atteindre 6. Le pôle moyen I, se trouve alors toujours du côté opposé au pôle d'inertie C, tandis que, dans le premier cas, il est du même côté. C'est une loi géné- rale des phénomènes oscillatoires : suivant que m < y ou m > y», on a l’un ou l’autre cas (*). R. Spitaler a étudié (**}, au moyen des cartes à lignes isobares, les déplacements du pôle d'inertie qui peuvent résulter des perturbations atmosphériques (***). En combinant géométri- quement les déplacements du pôle C produits par 7 variations atmosphériques isolées, il a obtenu un éeart de C de 0//,212 (dans la direction 75° de longitude) entre les positions de janvier et de juillet. Pour examiner si le mouvement de ce pôle est pro- duit uniquement par les transports de masses d'air ou bien seulement en partie par eux, on peut suivre deux voiles inverses : 1° La première, suivie par Spitaler, essaie de connaitre direc- tement, par les données d'observation, la trajectoire du pôle d'inertie C à la surface du globe, et calcule par les formules précédentes le mouvement du pôle de rotation I; elle compare ensuite ce dernier avec celui déduit des observations astrono- miques. Cette méthode a le défaut d'exiger la connaissance entière de la trajectoire de C au moyen d'estimations forcément grossières (vu l’absence de lignes isobares mensuelles sur les cartes). 2 La seconde, proposée par L. Grabowski ("), prend pour mouvement du pôle de rotation I le mouvement observé, et déduit par le renversement des formules : [ Sa + »mb (me To = ——cos(m +n è — m° £ ÿb + ma . Yo= — sin (mt + n), D —— (*) Voyez SOMMERFIELD, 0p. et lb. cit., p. 721. (**) Op. cit., 1897. (°F Vover ls 84 av) Eïinige Bemerkungen zur Erklärung der Polbewegungen. (SiTzuNGs- BERICHTE DER K. AKapD. D. Wiss., Vienne, 1898, t. CVII.) (219 ) soit, si l'on pose À a + mb Zu ——————— 9 P — m° D + ma B—— 2 PP — m les expressions y m X = (A —— B) cos (mt + n), | m DEEE SN (mr + n). | Elle compare alors les positions du pôle d'inertie C, déduites de ces formules (pour certaines époques), à celles qu’on a pu déterminer directement. En reprenant les nombres de Spitaler et supposant A) [o) : M —= —) Y = —) soit M = — y 506 427 616 Grabowski pense que, pour expliquer les variations observées dans la position des pôles, il est nécessaire de considérer des déplacements autres que ceux de masses d'air, agissant simul- tanément avec ces derniers, mais perpendiculairement à leur ligne d'action (*). Quoi qu'il en soit, R. Spitaler a repris la question (*) et a modifié ses chiffres. Comme nous l'avons dit au paragraphe précédent, il a trouvé pour le pôle d'inertie C les écarts sui- vants : En janvier 0,055 dans la direction 100° Ouest de G ich. En juillet 0041 » 68e Est NTFROE (On: cr. .1898, S 5. (*) Die periodischen Luftmassenverschiebungen und ihr Eïnfluss auf die Lagenänderungen der Erdachse. {(PETERMANNS MITTEILUNGEN, 1901, n° 137.) ( 220 ) | Le pôle d'inertie oscillerait donc à peu près dans des direc- tions opposées et de grandeurs de même ordre; à ce qu’on peut supposer, le pôle C tournerait dans le sens rétrograde à la surface du globe; mais on n’est pas en état de déterminer sa trajectoire avec précision. Le procédé de Grabowski est applicable ici. D'après les résul- tats de l'analyse harmonique des mouvements du pôle de rota- tion [I [voyez par exemple ceux indiqués par Van de Sande Bakhuyzen en 1900 (*)], le pôle moyen 1 décrirait une ellipse dont le demi grand axe serait A = 0,104, et le demi petit axe B — 0,044; le grand axe étant dirigé vers le méridien de 19° Est. En pre- nant l’axe des x dirigé suivant ce grand axe et l’axe des y dirigé vers le méridien de 71° Ouest, nous obtiendrons pour le mou- vement du pôle d'inertie \ | 7 AU NC RE 7 Y = (0,044 — E X 0:104) sin (mt + n), | soit X = 0,055 cos (mt + n), Y = — (077 sin (mi + n). Le pôle d'inertie décrirait donc dans le sens inverse une ellipse dont le grand et le petit axe coïncident en direction respectivement avec le petit et le grand axe de l’ellipse de 1 (*). (*) The motion of the Pole of the Earth according to the observations of the last years. [AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN, Amsterdam, août 1900.] (**) Voyez la figure dans SOMMERFELD, 0p. et lib. cit., p. 723. (221 ) En comparant les positions de C pour janvier et juillet avec celles exigées par les chiffres (donnés en dernier lieu par Spitaler), on reconnait une assez grande concordance. Les diffé- rences qui existent entre ces positions peuvent provenir soit de l'ignorance où nous sommes de ce qui se passe pour les régions arctiques, soit du fait que peut-être d’autres phénomènes météorologiques agissent simultanément avec les premiers. Ainsi les perturbations ou plutôt les variations annuelles dans la répartition des masses ailmosphériques peuvent très bien expliquer les oscillations (du pôle I) de seconde espèce, c'est-à-dire les oscillations de période annuelle. Les oscillations de troisième espèce, ne présentant pas appa- remment de période, sont plus difficiles à expliquer. Il y a lieu de croire cependant qu'elles sont dues à des phénomènes courts, agissant quelque temps dans une direction, puis changeant rapi- dement de sens. Au reste, nous avons vu que les phénomènes brusques peuvent avoir une influence directe sensible. QUATRIÈME PARTIE. Influence de phénomènes jouant le rôle de résistances passives. Après avoir mentionné, dans ce qui précède, les influences qui peuvent écarter le pôle de rotation I du pôle principal d'inertie C, il nous reste à dire un mot au sujet de certains phénomènes qui, en jouant le rôle de résistances passives, sont capables, au moins à la longue, de rapprocher 1 de C (actions centripeles). Prenons des axes de référence Oxyz fixes dans la partie rigide du globe. Soient encore f, g, h les moments résultants, 299 ) par rapport à ces axes, des quantités de mouvement absolu de l'ensemble. Si aucune force extérieure n'agit sur le globe, P+g+l=6, (1) intégrale des aires. L'expression de la force vive totale absolue de l'ensemble est 2T— Ap°+ Ag'+ Cr’, (Ÿ) A, B— A, C désignant les moments principaux, p, q, r les composantes de la rotation instantanée 0 de l’ensemble; à condi- tion toutefois que les déplacements de masses ne soient pas capables d'amener des variations sensibles dans les moments d'inertie. Puisque nous supposons notre ensemble assimilable à un corps rigide, nous pouvons encore écrire : [= Ap, | k— Cr. L'expression de la force vive devient : [, 9, h sont les coordonnées du point G, extrémité du moment résultant (fixe dans l'espace) des quantités de mouvement absolu. Si nous nous plaçons à l'instant initial, G et 2T sont donnés : par suite le point G (f, g, h) doit se trouver sur l'inter- section de la sphère F+g+h=G (1) et de l’ellipsoïde allongé (puisque € > À): 2 2 h? f TE + be (3) ( 225 ) si 2T est suffisamment grand, l'ellipsoïde de révolution faible- ment allongé (3) coupe la sphère en un parallèle d’un certain rayon ayant le pôle GC pour centre. Ainsi le point G, à la surface du globe, se mouvra sur une circonférence. Mais il existe des phénomènes dissipateurs d'énergie méca- nique (*); au bout d’un certain temps 2T aura diminué d'une quantité notable : l’ellipsoïde (3), tout en restant homothétique à lui-même, sera devenu plus petit, et le rayon du cercle de G aura aussi diminué. Lorsque 2T sera devenue égale à = » le pôle G devra coïncider avec le pôle d'inertie €, et il en sera de même pour le pôle de rotation L (**). Ainsi, il est montré que pour un corps assimilable à un corps rigide, l'influence de frottements internes est de tendre à rappro- cher le pôle de rotation [ du pôle d'inertie C. Mais existe-t-il des frottements internes? Sans aucun doute. Dans toutes les hypothèses géophysiques, on admet qu'au moins une partie du globe se trouve à l’état plastique (c'est-à-dire non parfaitement rigide), élastique ou non, et n'ayant pas une fluidité parfaite. Il s'ensuit que cette partie, ne se comportant pas comme un corps parfaitement rigide, suivra, avec une vitesse d’adapta- tion plus ou moins grande, les déplacements de l’axe de rotation dans le globe : or, cette adaptation ne se fera pas sans évoquer des frottements entre les particules, qui, forcément, absorberont de l'énergie mécanique et la transformeront en chaleur. Notre raisonnement précédent, tout en n'étant pas d'une rigueur absolue pour ce cas, nous montre cependant assez bien ce qui doit se passer. Dans son célèbre Mémoire de 1877 (***), G.-H. Darwin a étudié (*) Voyez Encyclopädie der mathematischen Wisssenschaften, 1. IV, art. 45, n° 14. (**) Voyez SOMMERFELD, 0p. et lib. cit., p. 730. (***) Influence of the geological changes. (PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS, t CLXVIL 1877, $$ 4 et 5, pp. 280 et suiv.) ( 224 ) les relations de position qui existent entre les pôles d'inertie et de rotation, lorsqu'on suppose la Terre douée d'une certaine viscosité, au moins dans l’une de ses parties. . J.-V. Schiaparelli a également traité ce sujet dans son étude de l'influence des actions géologiques sur la rotation de la Terre (*). Enfin, V. Volterra (*) a cherché ce que devenait, dans cette hypothèse, l'influence des mouvements cycliques. Nous nous bornerons ici à traiter, par voie purement géomé- trique, les considérations de Darwin. Nous supposerons que la vitesse d'écoulement des matières à l'intérieur du globe est très petite, de manière que nous puissions négliger l'influence directe de cet écoulement. Darwin imagine que, sous l'influence d'actions géologiques, le pôle d'inertie C, qui coincidait primitivement avec le pôle de rotation F, se déplace uniformément suivant un méridien CC avec la vitesse constante w. Si la Terre était rigide, le pôle de rotation 1 décrirait une cycloïde proprement dite (***), dont la base de roulement serait le méridien C;C : I tournerait avec la vitesse de rotation constante eulérienne y autour de son centre instantané C. Mais comme par hypothèse le globe est doué d’une certaine plasticité (non élastique), les tensions provoquées par une rotation autour d’un axe OI ne coincidant plus avec l’axe OC d'inertie, auront pour effet de faire fluer la matière visqueuse, de manière que l’axe OC se rapproche de l'axe OI. Cette tendance se manifestera d'autant mieux que l'écart CI sera plus grand ; en d'autres termes, la vitesse qui sera communiquée de ce chef au pôle d'inertie C sera une fonction croissante de cet écart à — CI. (*) De la rotation de la Terre sous l'influence des actions géologiques, Saint-Pétersbourg, 1889, $$ 2 et 3. (**) Sur la théorie des variations de latitude. (ACTA MATHEMATICA, t. XXII, 1898, chap. VI.) (***) Voyez section B, litt. b, $ 3 de la troisième partie. I] s’agit d’une vraie cycloïde, puisque C et I coïncidaient primitivement. ( 225 ) Admettons, avec Darwin (*) et Volterra (**), que cette vitesse soit simplement proportionnelle à à, soit égale à kd, k étant une constante de même espèce qu’une vitesse angulaire. Voici quelles sont alors les données du problème : [ est animé de la vitesse linéaire eulérienne 9 (autour de son centre instan- tané C), qui est perpendiculaire à CI; le pôle C possède une vitesse de déviation w suivant le méridien C,C/(***), et une vitesse d'adaptation 49 dirigée suivant CI. Il s’agit de déterminer le mouvement des deux pôles I et C. De prime abord la question parait compliquée. Mais on peut la simplifier en la transformant en un problème de mouvement relatif. Pour cela nous communiquons, par la pensée, aux deux pôles C, Î une vitesse — uw dirigée suivant la parallèle à C/C, menée par chacun des pôles, et une vitesse — Ad dirigée suivant 1C : le mouvement relatif de [ par rapport à C ne sera pas altéré; quant à C, il sera en repos absolu. Le problème revient alors à celui-ci : déterminer le mouve- ment d’un point Î animé de trois vitesses : yà suivant une perpendiculaire à IC (sens direct), 42 suivant IC (centripète), «u suivant IN (parallèle à C/C; menée par 1). Dans ces expres- sions y, k, u sont des constantes, tandis que d varie (fig. 7). Remarquons tout d’abord qu’en composant les deux premières vitesses, on obtient une vitesse partielle ÎW = w dont la grandeur numérique est 1? + 4? . 9 et dont l'inclinaison a = WIC sur IC est constante; car à = aretg En combinant, par la règle du parallélogramme, cette vitesse partielle w avec la vitesse constante IN — w, nous obtiendrons la vitesse totale (*) Op. cit., 1871, p. 982. (#*) Op. cit., 1898, p. 347. (***) G est la position primitive de C. C’ est la position vers laquelle C ten- drait si le mouvement de I ne réagissait pas sur lui. 15 ( 226 ) Menons par C une semi-droite CA faisant avec la parallèle CC/’ (menée par C parallèlement à C/C;) l'angle «; prenons sur sa direction un segment méridien de devialion _ LE EEE ni G Remarquons que les deux angles VWI{, ACT sont égaux. En effet, si nous menons WR parallèlement à IC, nous aurons la suite d'égalités : Angle VWI=VWR—IWR = NIC—(180°— WIC) —= (180°— 1CC/’) — (180° — WIC) — WIC — ICC” — ACC/’ — ICC/”’ = ACI. Cela posé, on voit immédiatement que les deux triangles VWI, ACI sont semblables comme ayant un angle égal VWI — ACI compris entre côtés proportionnels VW u Va + ko WI — = VER AC u d CI V4 + kb par suite ils sont équiangles, et il vient WIV = CIA = LIM. (227 ) Évaluons l'angle œ que fait la direction de la vitesse totale v avec IL : = LV = LIM + MIV = WIV + VIM— WIM — 180° — x — constante. Ainsi la direction de la vitesse v, qui est celle de la tangente à la trajectoire relative de TI, fait un angle constant avec le rayon vecteur AÏL : en d’autres termes, [ décrit une spirale logarith- mique dont À est le point asymptote (*). Comme « reste toujours compris entre 0 et 90°, quel que soit le degré de plasticité de la Terre, & est compris entre 90° et 180°, c'est-à-dire que [ parcourt la spirale de manière que les rayons vecteurs aillent en décroissant : c’est-à-dire que [ tourne indéfiniment autour de À en s'en rapprochant de plus en plus, mais sans pouvoir jamais l'alteindre. Il faut observer encore que le rayon vecteur 5 — AI tourne autour de À avec une vilesse angulaire constante. En effet, cette vitesse y/ est mesurée, si on désigne par P la projection de V sur la perpendiculaire IP à AT en I, par Vus La () y — -sin (80° — x) = -sin a = - ——— HART ? P PVR IP v Sin » Comme dans les triangles semblables [VW, [AC on a v IV VW uw = —— —— —————V Sr + FR. BTE AC u V2: + on obtient NV + k — ; — constante. POE TT de (*) C£. DARWIN, op. cit., 1877, p. 282. ( 298 }) Tel est le mouvement relatif de L autour de C, c'est-à-dire le mouvement que | prendrait dans un plan emporté par le pôle C dans son déplacement. On peut remarquer que la spirale a des rayons vecteurs o — AI décroissant d'autant plus rapidement que k est plus grand, c’est- à-dire que la matière du globe est plus fluide (puisque « est d'autant plus petit). Si, au contraire, on suppose k — 0, on a a 00 (re UP: la spirale devient une circonférence, et l’on rentre dans le cas du globe rigide. | Si l'on suppose uw — 0, les constructions précédentes deviennent illusoires (*) : mais on sait que, si les pôles 1, C coïncident à l'instant initial et qu'aucune cause étrangère ne vienne déplacer G (u — 0), les deux pôles restent perpétuelle- ment confondus. Pour déterminer la trajectoire absolue du pôle I, il faut d’abord chercher celle du pôle d'inertie C. On trouvera cette dernière en exprimant que le pôle C est animé de deux vitesses simultanées : l’une w, constante en gran- deur et direction, parallèle au méridien C,C’ de déviation, l’autre w — CW, — ko (fig. 8) dirigée suivant CI et propor- tionnelle à la distance variable d'; la loi de variation {en grandeur et direction) de cette vitesse nous est connue, puisque nous venons de déterminer le mouvement relatif de 1 par rapport à C. Comme Ci — CA + AL, c’est-à-dire PNR 6, la vitesse partielle w — }9 sera égale à ù = kl + p. (*) Voyez cependant l'application pour « = o (des raisonnements précé- dents) un peu plus bas. ( 229 ) La combinaison des deux vitesses (constantes en grandeur et direction) « suivant CU et a — CQ — k donnera la partie constante en grandeur et direction 1=C de la vitesse absolue du pôle C. La partie variable b — QW, = CWi = bp de la vitesse absolue de v de C tourne uniformément autour de C et sa longueur, proportionnelle au rayon vecteur d'une spirale logarithmique, décroit proportionnellement à une exponentielle négative du temps. Al rs Past 00! 6.7 2) Le a + TON OR CP, DAT RL L nn Ada Rogue jun, Jimeiue oO 672 DCE CC - 0% meridien de déviation OO :caNolRtioÙ siens 2 Co FiG. 8 Si cette dernière longueur était constante, soit p,, la vitesse absolue » de C se composerait de la vitesse £ uniforme de trans- lation et de la vitesse £p, (constante en grandeur et tournant uniformément autour de C), et par suite le mouvement de C serait cycloïdal. Comme cette longueur décroît avec le temps suivant la loi indiquée, on peut dire que la trajectoire de C est ( 230 ) une cycloide dont la circonférence génératrice a un rayon décrois- sant exponentiellement avec le temps (*). Le mouvement absolu de I à la surface du globe résultera de la combinaison des deux suivants : 1° Mouvement relatif spiraloïdal de I autour de C; 2° Mouvement absolu eycloïdal de C. Nous n'avons donné cet exemple qu’à titre de curiosité. On voit encore que l'écart entre C et [I oscille entre certaines limites, mais tend à s’annuler. La viscosité supposée (au moins d’une partie de la Terre) amortit les oscillations. Si nous supposons que le mouvement de T autour de C soit primitivement eulérien, c’est-à-dire qu’à l’instant initial la Terre soit rigide, puis, qu’à un certain moment entre en jeu l’action perturbatrice d’une viscosité au moins partielle, le raisonne- ment précédent tient encore (**). À coïncide avec C et l’on voit que la trajectoire relative de [ autour de C est encore une spirale logarithmique ayant C pour point asymptote. I la par- court uniformément (en ce sens que le rayon vecteur p = à = CI tourne avec une vitesse angulaire constante autour de C). Pour déterminer le mouvement absolu de C, nous remarquerons que la vitesse ko dont C est animé, tourne uniformément autour de C et décroit suivant une exponentielle négative du temps; donc la trajectoire absolue de GC est aussi une spirale loga- rithmique. Le mouvement absolu de I résulte de la combinaison de ces deux mouvements spiraloïdaux. On doit remarquer que I tend à s’approcher de C. Il y a encore une tendance à l'amor- tissement des oscillations. (*) C£. DARWIN, op. cit., p. 283. Voyez aussi S. NEwcomB, op. cit., 1892, p. 339, Comparez aussi H. GYLDÉN, op. cit. (BuLL. Ac., Stockholm, 1878, n° 7.) (**) Nous supposons qu'aucune action géologique étrangère n’intervienne, c’est-à-dire 4 — 0. (251) Outre l'existence de couches visqueuses (*), on peut encore citer comme actions passives le frottement des marées : marée luni-solaire ou marée eulérienne (c'est-à-dire celle causée par le déplacement eulérien du pôle EF (**)]. Considérons d’abord l’action de la marée luni-solaire (***). Aux extrémités d’un diamètre de la Terre se produisent deux protubérances liquides, qui restent immobiles tandis que Îa Terre tourne sous elles; plus exactement ces protubérances se déplacent lentement avec la Lune. Par suite de la viscosité de l’eau il se produit un couple qui s’oppose à celui de rotation de la Terre. Si la Lune était rigoureusement dans le plan de l'équa- teur, l'axe du couple résistant coïnciderait avec celui de rotation et sa grandeur serait sensiblement proportionnelle à cette rota- tion. Nous supposerons que la résistance qu'offrent ces protubé- rances (vrais sabots de frein) à la rotation de la Terre est proportionnelle à la vitesse de rotation instantanée o (1). Nous poserons donc : L = — Kp, M=— Kg, | N——kKr, | K étant un coefficient constant positif, p, q, r les composantes de o suivant les trois axes principaux Ox, Oy, Oz fixes dans le globe, et L, M, N les moments résultants des actions frottantes par rapport à ces axes. Si nous pouvons encore assimiler le globe à un corps (*) Voyez par exemple l'hypothèse de E. WIECHERT. (**) Voyez SOMMERFELD, op. et lib. cit., pp. 726 et suiv., et aussi E.-J. STONE, On the possibility of a change in the position of the Earth's axis. (Monrazy Notices, Londres, mars 1867); et Encycl. der math. Wissen- schaften, t. IV, art. 16. (***) Il est clair que nous n'avons plus affaire à des frottements internes, mais à des actions extérieures (au globe proprement dit). Pour tout ce qui concerne le frottement des marées, consulter Encycl. des math. Wissen- schaften, t. VI-A-B, art. 1, litt. E, pp. 68-88. (1Y) Voyez SOMMERFELD, 0p. et lib. cit., p. 586. ( 232 ) parfaitement rigide de révolution (A — B) (*), les équations. d'Euler donnent dp C—A K PAS VE UE MH Lun v dt À FE dr K dt US La dernière équation fournit immédiatement 3, r = rpe €, (1) r, étant la valeur initiale de r (correspondant à t = t, = 0). En additionnant les deux premières après les avoir multipliées respectivement par 1 et à, il vient A LP 9 Pl + dt | À 1 ou d(p + iq) TOTALE (pe qd EAU en? ou, en introduisant la valeur (1) de r, d log (p + iq) .C— À a ———————— dt A d'où en intégrant C—41C — 1 Hier (i-e c') ? p + ig = (po + go). Eat (2) Po go étant les valeurs initiales de p, q. Si nous désignons par À l’angle que fait, à l'instant £, l'axe de rotation OI avec l’axe OC (Oz), nous avons ET mA r tg À (3) (*) Ce qui n’est évidemment qu’une approximation. ( 233 ) En séparant la partie réelle de l’imaginaire, dans l'équation (2), nous obtenons K — 673 (p, cos ® — q, sin | (p ti P—o Sin) a) qg—=e"4"(p, Sin ® + q, COS p), | © désignant l'angle variable En élevant les expressions (4) au carré et en les additionnant, il vient p+qg=(pi+qhe si. () La valeur (3) de tg À devient, si l’on remplace V/p° +q er par leurs expressions (1) et (5), mi t _k,, » NON A lent ec, (6) e désignant Panpueis du globe, soit e — 25 mules de précession luni-solaire. K est essentiellement positif. On voit que l’axe OI tend encore à se rapprocher de l’axe d’inertie OC. En tenant compte de (1) on peut encore écrire (6) sous la forme tg À (2; m 5 À, d’après les for- Pour que À devint la moitié de À, (sa valeur primitive), il faudrait, puisque À, est toujours très petit pour la Terre, soit ( 234 ) c'est-à-dire que r devrait être réduit à une fraetion infime de sa valeur primitive (— 2x par j. sid.). En d'autres termes, la Terre devrait être actuellement presque immobile pour qu’on püt avoir une diminution de 50°], dans l'angle COI — À. | Le frottement de la marée solaire ne peut donc avoir aucun effet sensible sur la valeur de cet angle, c’est-à-dire sur la distance qui sépare le pôle de rotation I du pôle d'inertie C. Mais il existe encore un autre genre de marée. Le pôle I se déplaçant à la surface de la Terre, le bourrelet équatorial que forment les mers change avec lui; ce bourrelet, en se transportant à la surface du globe, exerce aussi un frottement sur ce dernier. Ce frottement s'oppose au déplacement du pôle de rotation, et l'axe de son couple est normal à l’axe de rotation OI et à la position (voisine) Of’ de cet axe à l'instant suivant. Les cosinus directeurs de OT sont proportionnels à Le plan OI ‘a donc pour équation Ar + By + Cz=0 avec les valeurs suivantes pour ses coefficients d d dg dr\ A — EC “il at) — ar + Tu) | Fa gd, | dr … à 5 — — — Ÿ — dt (pT : + Mi à ( 255 ) Les cosinus directeurs de l'axe du couple résistant, perpendi- culaire au plan OI’, seront donc proportionnels à dq dr dr dp dp dq T— — Y—s D——T—0 Q— — p —: de Ta de dt Tdi dt Les composantes du couple résultant (supposé constant) des acuons frottantes seront encore proportionnelles à ces quantités, soit égales à dq dr | x n fus - | d dt dt | dr dp\ M = — K NN œ dt) (| 1 | N = — K (qe — #3 \ dt di Pour la Terre p, q sont très petits, ainsi que les dérivées p’, g', r/; aussi pourrons-nous négliger les termes du second ordre en ces quantités et poser r=n—=— 2r par jour sidéral. Alors dp M = : K: 3 + Mn di N= Ù, à ce degré d'approximation, Introduisons ces valeurs dans les équations d’Euler ; il vient | dp C—A Kn dq * RARE PPRIR R à] dt A À dt. dq C—A Kn dp ER) Tr, PD—= _—_—_—— di À P A dt dr — = ( 256 }) Nous retrouvons en intégrant la derniére, r=nm, (1) et si nous introduisons cette valeur dans les deux premières, nous obtenons dp C—A Kn dq D à UT en D dt A A dl dg C—A Kn dp — — n == — — dt 4 À dt En posant encore puis en multipliant ces deux équations la première par 1, la seconde par #, et en les additionnant, nous avons d(p+iqg) . 7". FF — i(p + 1 malt p + 1q), ou d log (p + 19) Re ER (A — iu) = à, d'où, en intégrant, p+iq = (po + qe (2) u doit être toujours petit vis-à-vis de 1 : autrement les oscillations périodiques du pôle ne pourraient pas se produire. On peut alors écrire — À +0%, 1 —iu ( 257 ) puis Dig (p, + iq er (nd jee, ou, en séparant la partie réelle de l'imaginaire, p=e *"(p, cos 21 — q, sin ”t), G) Ü q—=e""{p, sin st + q, cos vt). La période eulérienne n'est pas altérée; elle est toujours — —- Mais l'amplitude }/p? + q? de l'écart du pôle de rotation va décroissant suivant une exponentielle négative du temps (car p et y sont négatifs) : elle se dissipe (gedämpft, comme disent les auteurs allemands). L’in- fluence de la résistance passive est encore d'amortir les oscillations (*). Nous ne continuerons pas davantage l'étude de ces cas parti- culiers. Ce que nous avons dit doit suffire pour donner une idée du rôle que jouent les résistances passives dans les mouvements du pôle de rotation. APPENDICE. Quelques mots d'explication sur le terme de H. Kimura. Nous savons que S. Kostinsky (**) a indiqué l'expression sui- vante de la variation Ac de la latitude © d'un lieu géogra- phique M : À? = x COS À + y Sin À, où x, y désignent les coordonnées du pôle de rotation [ par (*) Voyez SOMMERFELD, op. et lib. cit., p. 129. (**) Variation de la latitude de Poulkowa, 1893. rapport à deux axes rectangulaires Ox, Oy et où À représente la longitude de M. Supposons encore que les axes Ox, Oy aient l'orientation positive (sens des aiguilles d'une montre) et que leur origine O soit la position moyenne de I (fixe à la surface de la Terre). Prenons Ox dirigé suivant le méridien de Greenwich et comptons les longitudes positivement vers l'Ouest : Oy a alors la longitude + 90°. Joignons O à M par un are de grand cercle OM, et de [ (x, y) abaissons l’are de grand cercle perpendiculaire à OM, qui coupe ce dernier en K. L’angle IMO est très petit parce que I reste toujours très voisin de O. L’angle xOM est la longitude À de M. Nous pouvons done écrire (*) : A? = OM —IM = OM — KM = OK = x cos à + y sin 1. Mais, comme nous l'avons dit dans la première partie, H. Kimura a montré (**) que cette expression devait être com- plétée par un terme annuel z indépendant de la longitude 1 : A? = x C0S 1 + y Sin 1 + Z. D'où peut provenir ce terme 2? Nous donnerons seulement ici quelques opinions. KR. Schumann (**), dans un article intitulé : Ueber die Polhohenschwankungen, reprend l'hypothèse de E. Wiechert d'après laquelle la Terre serait constituée de la façon suivante : une écorce peu dense (densité 2,7 environ) de 1 400 kilomètres (environ) d'épaisseur, une couche plastique très mince sous- jacente, et, à l'intérieur de celles-ci, un noyau en fer de 5 000 kilomètres de rayon. Le déplacement de l'écorce par rapport au noyau dépend de six variables : {° trois translations (*) Pour un calcul plus rigoureux, voir par exemple LE PAIGE, Note, Bull. Acad. des sc. de Belgique, 1903, n° 1, pp. 17 et suivantes. (*) On the existence of a new annual term . . . (ASTRONOMISCHE NACH- RICHTEN, t. CL VIII, n° 3783.) (**) Astronomische Nachrichten, 1903, no 3871. ( 239 ) a, b, c (variations des coordonnées du centre de gravité de la croûte par rapport à un système rectangulaire ayant pour origine le centre de gravité O de l'ensemble), qui donnent la variation de latitude a pe ; € À,» = — K É* cos à + — Sin ) sin + + K-cos», r r Fr À et © désignant respectivement la longitude et la latitude du lieu d’observation, r sa distance au centre de gravité O de l’ensemble (fixe), K une constante ; 2 trois rotations w, v, w autour de Ox, Oy, Oz produisanæ variation As? — u sin 1 — v Cos À. La variation Aœ observée dans la latitude sera alors A5 = A9 + Ayo = — (v + K sin ?) COs À r b + (u — K -sin +) sin 1 ës (A + K - cos ». r En comparant cette dernière expression à A? = x cos À + y sin À + z, on obtient , 4 = x = —v—kK-sin», r y=+u—K-sins, ) r C z = + K -cos »?. r Si le déplacement c du centre de gravité de la croûte suivant ( 240 ) l'axe polaire a une période annuelle, il en sera de même de z, el ce dernier pourrait constituer le terme annuel de Kimura (*). W. de Sitter se place à un autre point de vue (**). On sait que Kapteyn a indiqué la valeur 07/02 pour la parallaxe annuelle apparente des étoiles avec lesquelles on détermine habituelle- ment les latitudes. L'influence de cette parallaxe, combinée à la petite action luni-solaire dont nous avons déjà parlé, pourrait, d'après de Sitter, expliquer la moitié du terme annuel de Kimura. Nous ne pouvons développer ses considérations ici, car il s'agit d’une question d'astronomie pure. Pour la même raison, nous ne ferons que citer l’opinion de L. Courvoisier (**). Selon ce dernier, l'hypothèse de 3. M. Schae- berle, d’après laquelle il pourrait exister dans les régions cireum- polaires un milieu matériel, ou une condensation de l’éther, aurait pour conséquence une réfraction annuelle analogue à la parallaxe : cette réfraction pourrait réduire la valeur 0’/13 de la parallaxe indiquée par $.-C. Chandler [pour expliquer le terme z de Kimura (")] à la valeur apparente 0//02 donnée par Kapteyn. Il est nécessaire de dire que A. Pannekoek a contesté cette conclusion ("). Enfin P. Harzer a touché aussi ce genre de question (vi). (*) Voyez encore les recherches numériques de R. SCHUMANN, Astr. Nachr., nos 4149-4143. (**) Astronomische Nachrichten, n° 3981, 1904. (***) Astronomische Nachrichten, t. CLXV, nos 3990-3991. av) Astronomical Journal, t. XXII et XXIIT, nos 517, 524, 530, etc. (x) Astronomische Nachrichten, t. CLXV, nos 4008, 40192, 4024, 4031. (mi) Astronomische Nachrichten, t. CLXV, no 4098. (24) NOTE Complément de la section À de la Troisième partie. (Suite du $ 1.) R. Radau a fait remarquer (*) que Lagrange avait déjà établi les équations (16) dans le deuxième et le troisième fragment annexés au second volume de sa Mécanique analytique (**); seulement ces équations sont tombées dans l'oubli et ont été retrouvées dans la suite par d’autres géomètres, qui ont d’ailleurs suivi des voies différentes pour les obtenir. Radau a adopté les notations usuelles aux formules du grand géomètre et nous à fait admirer, une fois de plus, son génial talent. La méthode que Lagrange emploie dans le deuxième fragment (*"*) est entièrement analytique et revient à employer le principe de d’Alembert. Dans le troisième fragment (") il établit plus directement les équations (16), mais seulement dans le cas de la rotation naturelle (L = M = N = 0). Radau fait observer qu’il suffirait d'appliquer le principe d’Hamilton, au lieu de celui des travaux virtuels, pour obtenir par cette méthode les équations générales. Cette remarque nous a suggéré une démonstration directe, au moyen du principe d’'Hamilton, des équations (16) où f, g, h ont les expressions (12), plus (*) Voyez F. TissERAND, Mécanique céleste, t. 11, 1891, chap. XXX, p. 500, et Bulletin astronomique, t. VII, février 1890, p. 63. (**) On sait en effet que la Mécanique analytique ne fut terminée qu’en 1815, deux ans après la mort de Lagrange, et que les éditeurs du tome IT ont renvoyé à la fin du volume plusieurs fragments relatifs aux équations générales du mouvement de rotation d’un corps de forme quel- conque et qui leur avaient paru « trop incomplets pour entrer dans le texte ». (Voyez Méc. Anal., t. II, p. 229). (***) Mécanique analytique, t. IT, section IX, p. 212 et 2% fragment, p. 357. (iv) Mécanique analytique, t. IL, 3e fragment, p. 366. 16 ( 249 ) générales que celles de Lagrange (*)}. Nous en reparlerons plus bas. J. Liouville, repreuant les idées de Poisson, a établi (**) à nouveau les équations (16), sans faire aucunement mention des travaux de Lagrange sur la question. E.-J. Routh les a reproduites dans sa Rigid Dynamics (4° édit., t. [, p. 356) et les attribue à Liouville. H. Gyldén, dans son célèbre Mémoire de 1871 : Recherches sur la rotation de la Terre (***), les a établies directement. Au contraire ce même savant dans un autre travail ("), G.-H. Darwin dans son étude magistrale (*), et S. Oppen- heim ("') les attribuent encore à Liouville. On peut également consulter à ce sujet : R. B. HaywaRD, On a direct method of estimating velocities with respect to axes moveable in space. (Cambridge Phil. Trans, 1854, t. X.) P. G. Tair, On the rotation of a boay about a fixed point. (Edinburgh R. S. Transactions, 1869, t. XXV, p. 279.) H. SCHULTZ, Vierteljahrschrift des astronomischen Gesellschaft. Leipzig, 4874, p. 119. (*) En effet, ces dernières se déduisent des expressions (12), en suppo- sant les deux trièdres mobiles liés invariablement l’un à l’autre, c’est-à-dire en faisant D = w:,Q = Wy, Ÿ = W.. (**) Développement sur un chapitre de la Mécanique de Poisson. (JOURNAL DE MATH. PURES ET APPL., 2% série, L. IIL, 1858, et ADD. A LA CONNAISSANCE DES TEMPS POUR 1859, 1857.) (***) Nova Acta Soc. Reg. Upsaliensis, 3° série, t VIII, 1874, 1er fascicule. (iv) Ueber die Rotation eines festen Kerns... (ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN, 1878, t. XCIIL, n° 2226.) (v) On the influence of the geological changes... ;PHiL. TRANSACTIONS, Londres, 1877, t. CLXVII, p. 272.) (vr) Rotation und Präcession eines flüssigen Sphäroids. (SITZUNGSBERICHTE D. K. AKAD. D. Wiss., Vienne, t. XCII, 1885. et ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN, 4885, no 2781.) (243 ) F.-R. HELMERT, Vierteljahrschrift der astronomischen Gesellschaft. Leipzig, 1878, p. 309. — Die mathematischen und physikalischen Theorien der hôheren Geodäsie. Leipzig, 1884, t. II, chap. V. P. ScHwAEHN, Ueber Aenderungen der Lage der Figur- und der Rotations axe des Erde.. Berlin, juin 1887. F. TissERAND, Mécanique céleste, t. II, 1891, chap. XXX, p. 500. L. PicaRT, Sur la rotation d’un corps variable. (Ann. Observ., Bordeaux, tMI 4897" p.44) V. VOLTERRA, Sur la théorie des variations des latitudes. (Acta mathematica, 1898, t. XXII, p. 201.) F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ueber die Theorie des Kreïsels. Leipzig, 1er fasc., 1897, p. 138 et 3e fasc., 1903, p. 711. Etc. On peut encore obtenir les équations différentielles (16) par l'emploi du principe de d’Alembert; cette méthode ne diffère pas essentiellement, avons-nous dit, de celle employée par Lagrange. Les trois équations de moments relatives à l’équilibre d’un système, combinées avec le principe de d'Alembert, nous permettent d'écrire : CL = Zm(S,y — 1,2), l M— Zm(J,z — Jr), } (17) N= Dm(J,x — J,y), où L, M, N représentent les moments résultants des forces extérieures par rapport aux axes de référence Ox, Oy, Oz, où x, y, z désignent les coordonnées, relatives aux mêmes axes, d'un point M du corps (de masse "”), et où J,, J,, J, repré- sentent les composantes, suivant ces axes, de l’accélération absoluë JS du point M; la somme Y doit s'étendre à tous les points M du corps. Si nous désignons, comme plus haut, par v,, v,, v, les com- posantes de la vitesse absolue v de M suivant les axes Ox, Oy, Oz, et par p, q, r les composantes, suivant les mêmes axes, de la ( 244 ) rotation instantanée o du trièdre Oxyz qu'ils forment, nous aurons pour composantes de J suivant ces axes : dv, L— di “M 18 Tles + TU, — PU,, (18) es dv, z Uy — QU; ; per EE Pts tr en effet, l'accélération absolue J est la vitesse absolue de l’extré- mité du vecteur vitesse absolue de M mené par O, et se compose dv: duy, dvz par conséquent de la vitesse relative (T D T:| de cette extré- mité par rapport à Oxyz et de la vitesse ” d'entraînement (QU, — T0, Toy — PVx Pvy — V4) de ce même point due à la rotation instantanée 0 (p, q, r) de ce trièdre Oxyz. En substituant les valeurs (18) dans les expressions (17), nous obtenons : Le 2m (SE + U, — .) (in, o.) = APTE M de a TIR. de —2m (y z)+ Em(pu, — qu;)y — Em(rv, — pv,)z dt dt … dv, dv, = 2m (Te ni 2)+p.Em(o,y +02) moy —r Emvs, En remarquant que dv, dv, d \ dy # | y = guy — 0,2) —|\0. SR ORER FRET AN Le | ir: ( 245 ) nous pouvons écrire les dernières équations sous la forme Ÿ ne Ft + p.Zm(v,y + v,2) — q.Ëmu,y —r.Zmu,z, \ (19) d da L —< Zm(v,y — v,7) — 2m Fr. Fe — <) | Mais les projections sur Ox, Oy, Oz de la vitesse relative d'un 3 . dx dy à point M par rapport à ces axes, savoir —> > —: ont les valeurs dt” dd dx Pc 0, — (gz — ry), dy Ne MT (rx — pz), } (20) dz es ve—(py — qx), puisque cette vitesse relative est la différence géométrique entre la vitesse absolue (v,, v,, v.) et la vitesse d'entrainement (Qz — ry, rx — pz, py — gx). En substituant les valeurs (20) dans les équations (19), nous obtenons : d L— rl (u.y —V,t) — 2m v.[v, — (rx —p2)]—v,[v,—(py—qx)} + p. Zm(v,y + v,z) — q. Zmv,y —r. >mu,z, ou, en effectuant les réductions, | d L=— a 2m (v.y — V2) + q.Zmiv,r —v,y) —r.Smi(v,z —v,x), (21) ( 246 ) Or lesquantités Em (v,y — v,2), 2m (v,z — v,x), Em(v,x —v,y) sont les moments résultants, par rapport à Ox, Oy, Oz, des quantités de mouvement absolu, que nous avons désignés précé- demment par /, 4, h. Les équations (21) peuvent donc s'écrire df , cette forme est bien celle (16) que nous nous proposions d'établir. * * * On peut encore mettre les équations différentielles (16) du mouvement sous une autre forme (*). Soit 2T la force vive totale absolue du corps : 27 = ZEm(vi rs +58). (22) Substituons dans son expression les valeurs (3) de 7, ty, v:, nous aurons 2T — Eml(w, + ©,7 — &,y) + (w, + o,x — 0,7) _ + (0, + ©,y — w,x)]. (23) Prenons les dérivées partielles de T par rapport aux compo- santes w,, ©), &,; de la rotation © du trièdre OËn£, nous obte- nons : \ — = Ém(w,y —w,7)+0,. 2m(y* +2) —0,. may —w,.2mzx | do, = 6, + Ac, — Fu, — Ew, — f, et de même où (24) 4 9: oT AE h. _ (#) Voyez notre opuscule, p. 11. ( 247 ) Les équations (16) du mouvement pourront done s’écrire d oT oT oT + M 1 — r—-—=L dt do, d®, do, s d dT dT oT M (25) — ._— TT — — — == di do, do, P d®, : d oT oT dT a D — — QU ——N. de d@ Dans le cas particulier où les axes Oxyz, OÛné sont liés inva- riablement P = &,; q—=©,, r—=o@,, et les équations (25) deviennent : —— Are M dt op Tor 2q d oT oT oT Pr n—.M: |: (96) dt dg dp r d doT oT ù dt dr q )p C’est sous cette forme que Lagrange avait écrit d’abord les équations du mouvement de rotation d’un corps solide (*). G. Kirchhoff les a déduites, pour ce eas particulier, du prin- cipe d'Hamilton, mais sa démonstration ne s'étend pas au cas général (**). Enfin V. Volterra les démontre aussi à l'aide de ce prin- cipe (***), au cas où il existe des mouvements polycycliques. (*) Mécanique analytique, t 11, 1815, section IX. (**) Vorlesungen über mathematische Physik : Mechanik; 3° éd., 1883, 6: lecon. (***) Sur la theorie des variations des latitudes. (ACTA MATHEMATICA, t. XXII, 1898, p. 286.) ( 248 ) Essayons maintenant de déduire directement les équations tout à fait générales (25) du principe d'Hamilton. Soient Or, Ow Oz, OË£ O7 Où Ox a b c æ 8 y Du, Fr CHA eu PRE 5 '.00, p étant la distance de M au vecteur © (passant par O) et M’ dési- gnant la nouvelle position de M. Fig. 9. En affectant le signe 4 (des moments) d’indices représentant les points par rapport auxquels on les prend, et les vecteurs d'indices signifiant les points où on les suppose appliqués, nous pouvons écrire qe ——— MN — >. 00 — MOD, — — oO. Donc le déplacement virtuel absolu Ôs du point M a pour expression 85 — 0W — Mo, puisqu'il est la somme géométrique du déplacement relatif et du déplacement d'entrainement. (*) C£. LAGRANGE, Mécanique analytique, t. II, 1815, section IX, p. 298. ( 250 ) Si nous désignons par x, y, z les coordonnées du point M par rapport aux axes de référence Oxyz, nous obtenons, en projetant sur chacun de ces axes l'expression vectorielle précédente, dx = 93W,+9Q,.z—0Q .7y, dy=0W,+0Q,.x—dQ .3, l (27) 93 = 0W,+ 00, .y—0Q .x. | La somme ÔG des travaux virtuels des forces extérieures est évidemment Ye) ZT Z(X;dx + Y dy, —+ ZLi02:). Comme on a les relations X,— aX + a'Y + a”Z, Ya = 0X + D'Y + DZ, À Zi = cX + c'X + c’'Z, et en même temps dx — ax, +bdys + coz, | d'y = u'dty + b'dy + c'oz, l d'z = a''dxr, + b''dy, + c''dz,, | cette somme peut encore s'écrire 26 = E[(aX + a'Y + a”Zhon, +. . . .] = Z[X(adx, + boy, + cz) +. . . .] —= L(X9"x + Yo'y + Z9'z), (28) ce qu'on pouvait d’ailleurs écrire directement, puisque la mesure du travail est indépendante des axes sur lesquels on projette les forces et les déplacements. Si nous substituons, dans l'expression (28), les valeurs (27) de Ô'x, d1y, d'z, nous aurons 8G—= EX W, + YOW, + ZOW.) + 00. Z(Zy — Yz) + = E(XIW, + YOW, + ZOW.) + LIQ, + M3Q, + N9Q.. (29) ( 251 ) Remarquons que, dans cette dernière expression, la somme Z(X0W, + CAPES ZOW,), travail correspondant au déplacement relatif, est absolument indépendante des composantes dQ,, 0Q,,, 0Q., qui jouent elles- mêmes le rôle de variables absolument indépendantes entre elles. Maintenant établissons des expressions remarquables des composantes dw,, dw,, do, (de la variation virtuelle &w de la vitesse « de rotation instantanée du trièdre OEnt). Soient doz,, 0wy,, 067, €t dr, 0wy, dw, les Composantes sui- vant Oxy, Oys, Oz, et Ox, Oy, Oz de cette rotation virtuelle üw. Nous pouvons écrire dQ | «= 0, | dt dl do, d { do, = Re —=—00Q,, (30) dQ, d Ô LÉ à —— — —JQ, ; PT |] Has + en d'autres termes, les caractéristiques d et à peuvent se permuter, car elles se rapportent à des projections des déplacements angu- laires absolus ÔQ, dQ sur des axes absolument fixes, ce qui signifie que dQ,,,..., 0Q;,... sont des différentielles et variations totales exactes (*). D'autre part, | 9Q, = adQ, + a 0Q, + a)0., | 0Q,= b0Q, + b'0Q, + hp0Q,. | (31) yA 0Q,, = c0Q, + c'0Q, + c''0Q,, (*) Voyez LAGRANGE, op. et lib. cit., p. 298. 5Q,,, 8Q,:, Qi désignent les composantes de 8Q suivant Oxy, Oys, Oz. ( 2592 ) en sorte que En substituant ces valeurs dans ( Jo, —= Uda,, + bdo,, + Che, |) | (53) nous aurons Mais comme a, b, c, a/, b', c’, a/!, b'', c'! sont les cosinus direc- teurs d’axes rectangulaires, nous avons les relations connues : d? + b? + © — 1, aa + bb’ + cc! = 0, a 2-0 CN, aa. +. bb + c'e —=10, a!'? 2 b'’? us cl? — 1, a/a/’ us b'b'' LE c'c’! = 0, et par suite db’ de’ , da” é db" de’! es AD CE a Re dt dt dt dt dt dt ( 253 ) p, q, r étant, comme plus haut, les composantes suivant Ox, Oy, Oz de la rotation instantanée o du trièdre Oxyz que ces axes forment (*). Il s'ensuit alors que les formules (34) se réduisent à d do, = —0Q,+q.0Q—r.0Q,, dit d de, = 90, +r.0Q,—p.0Q, ) (35) d : LL rer Q, + p.0Q,— q 20. Ces premiers résultats acquis, caleulons la force vive totale absolue 2T du corps en mouvement. Si nous désignons par v,, v, v, les composantes suivant Ox, Oy, Oz de la vitesse absolue v d'un point M de masse m, cette force vive sera exprimée par 2T = Zm(r; + v, + vi). (22) En introduisant dans cette valeur les expressions (4) de v,, v., v, (**), nous aurons, comme plus haut, 2T = Em(w, + 0,3 — w,y) + (w, + ©,x — 0,2) 23 + (W, + ©,y — a,x)]. (ei Calculons la variation de la demi-force vive ÔT qui résulte d’un mouvement virtuel tel que chaque point subisse un déplacement virtuel absolu ôs dans le temps ô. Elle est oT oT oT DD= 00, + — 00, + —de, do, do, d&, a à oT oT — À + — dy, + — va i—1 VOX; dY: dZ; CALE oT d VW mn — y: Si mi dWz; , (36) 1 VW: dUy; dWz; (*) Les dernières formules sont classiques. Voyez, par exemple, LAGRANGE, op. et Mb. cit., p. 221. (**) Expressions qui peuvent se déduire des relations (27), si l’on remplace la caractérisque Ô1 par d et si l’on divise par dt. ( 254 ) où n est le nombre de points du corps et où les Ôx;, Ôy;, àz; ne représentent pas les projections Ôlæ, ôty, Ô1z du déplacement virtuel absolu Ôs, mais bien les variations des coordonnées relatives x;, y;, z;. Remarquons que, dans cette expression, les variations vir- tuelles de ces coordonnées et des composantes w,;, w,;, w.,; des vitesses relatives sont supposées connues (elles doivent salisfas aux liaisons telles qu'elles existent à l'instant considéré) et par conséquent ne dépendent nullement des composantes ÔQ,,, 0Q,, 5Q. de la variation dQ — «f, composantes qui jouent le rôle de variables absolument indépendantes. Au contraire, les composantes üw,, dw,, dw, en dépendent, d’après les expressions (55). Si nous substituons ces expressions dans la valeur (36) de ÔT, nous obtenons oT /d.0Q OT — | à. ‘+50, —r.00,) d: vQ, | +r.0Q, —p. 30.) de, dt oT /d .0Q, w | de + pD. 5Q, — q.20,) + OR, (37) où oR désigne la somme des termes qui ne dépendent pas des composantes dQ,. 0Q,, 00... Si nous remarquons que Q: oT d dT SES PS | 50) bre), d®, dt dt \dc dt zx ( 233 ) nous pourrons écrire (57) sous la forme d {dT oT DT \ = | SOMMES por iQ.) dt \do, do, ©, d'oT T oT 0Q,|—— +q——7— dt do, do, do, d oT oT oT 1 4e di do do, d®, ’ d oT oT OT — dQ, É —) OR. (58 dt do, a do, “A We) Cela posé, appliquons le principe d’Hamilton. Ce principe nous dit que, si T représente la demi-somme des forces vives des diffe- rents points du corps en mouvement et dG l’expression du travail virtuel des forces extérieures, on a GE (OT + 9G)dt—0, (59) to t et 1, désignant deux époques données, pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons du corps, pourvu que l’on donne les posilions iniliale et finale du corps, ou que l'on suppose nuls les déplacements virtuels relatifs aux époques t, et tu. Remplaçons, dans l'expression (39) de ce principe, ÔT et © par leurs valeurs (59) et (29); nous obtiendrons : l FE LL e 1Q, + se + cd s0.) | dt dt do, do, d dT oT oT 1e SERRES 1Q, dt do, dc, do, de DRE QE LOUE à + M—-{——+r——p—)|19Q, dt 4 dl do, do, d®, N Ë oT oT = 50 + — | —— + p— — q — dt do, LEE re ; h + f (XSW, + YIW, + ZOW, + 5Rjdt—0. (40) to ( 256 ) Le premier terme est nul, car il vaut oT oT oT 4 [20 a D —0Q, DE sn. | , d@, dy d&, to et, par hypothèse, 0Q,, 0Q, 90, sont nulles aux époques t, et 4. Le troisième terme est indépendant de 3Q,, 0Q,, 0Q,, comme nous l'avons montré. Il faut donc, pour que cette égalité (40) puisse avoir lieu quelles que soient 0Q,, 5Q,. 5Q., que les coefficients de ces dernières variations sous le second signe f soient nuls séparé- ment, soit ee — —Ÿ — —= À did, d®, do, d oT dT oT SSP SEE ES dc, do, do, | d'oT dT oT N _—_— + D— —— j——= did, p do, ET À ce qui est bien le système (25) que nous avons obtenu plus haut. Remarque. Notre raisonnement sur l'indépendance des varia- tions revient à prendre seulement, comme le fait Lagrange (*), la variation de T relative aux (rotations élémentaires pôt, qôt, rt remplacées ici par les) composantes «,, «,, w, de la rotation instantanée © du second trièdre mobile OËnt. *k * x On peut encore arriver aux équations (17) L = Cmis.y — 3,2), M — Zm(I,z — J,x), N—= Em(J,x — J,y), (*) Mécanique analytique, t. 11, 1815, 3e fragment, p. 366. ( 257 ) qui traduisent le principe de d'Alembert et qui conduisent aux équations différentielles (16) du mouvement, au moyen du théorème bien connu sur l'énergie d’accélération (*). Si l’on considère l'énergie d’accélération absolue 2S — Zm(J? + dJ, + J?) et si on l'exprime de facon qu’elle ne contienne plus d’autres dérivées deuxièmes que celles des k paramètres indépen- dants 44, 4a,.…., Qi (dont les variations sont arbitraires et déter- minent le mouvement élémentaire du système), on oblient les équations du mouvement en écrivant OÙ Guy» Q:5-.., qu représentent les dérivées deuxièmes des para- mètres q4, 42... qu par rapport au temps £, et où Q4, Qo,..., Q, désignent les coefficients des variations 094, Ôg2,..., 04, dans l'expression du travail élémentaire du système DC = Q19qù + Q:dgs + . . . . + Qiôgx (42) Nous voulons montrer ici que nos équations (17), et par conséquent aussi nos équations (16), sont bien les équations (41) relatives aux paramètres qi = 32 | a — Q Mi Q,, | absolument indépendants, fixant, à chaque instant, la position de chaque point M du système; Q,, Q,, Q. sont les composantes, suivant Ox, Oy, Oz, de la rotation angulaire oi (*) Voyez P. APPELL, Comptes rendus, août 1899; Journal de Crelle, t. CXXI ; Journal de Jordan, 1. VI, 1900; Traité de méc. rat., t. II, %e éd., 1904; A. DE SAINT-GERMAIN, Comptes rendus, t. CXXX, 1901. fl ( 258 ) En substituant les valeurs (8) des composantes v,, v,, v, de la vitesse absolue v dans les expressions (18) de celles des compo- santes J,, J,, J, de l'accélération absolue j, nous obtenons F = = > Lots Ca z TE: (re dt TT a _? dt + QÜw, + o,y — 0x] — rw, + o,x — o,7 |, (43) dw, dz =) da, do, — + (57 | Rs _— Remarquons que les dérivées deuxièmes de nos paramètres sont D. CON EEQUN MS: Le Noqet | dQ, da, . san nur rie AL ) 40: da, \ VE — Dr = —° di dt Par suite, en dérivant les valeurs (43), nous avons it € dd, dJ, | UT: = ’ Te à ei Z, Er SE y, qi da VE dJ dJ dJ € — = — ; * — 0, = +Z, (45) 24; UE )gz dd, dd, dE, io FSNINTS -— (0, dg: ÙQe dq3 Si nous calculons l'énergie d'accélération absolue 2S = Zm(Ji + JF + Ji) au moyen des expressions (43), nous voyons qu'elle ne contient, comme dérivées deuxièmes, que celles des paramètres q, = Q,, ga = Q,, 93 = Q,. De plus, d’après l'expression (29) du travail ( 239 ) virtuel des forces extérieures, nous apercevons immédiatement que QE, Q.— M, Ÿ (46) lo En écrivant donc les équations (41), nous aurons 0) — . — 2m F + d, no + J, = ) gi dqi dg — 2m (Jy — 3,2), et de même M = Zm(J,z — J,x), N = Em(J,x — J,y), “en vertu des valeurs (45). Ces dernières équations ne sont autre chose que celles (17) qui traduisent le principe de d'Alembert. En appliquant le même mode de transformation, nous obtiendrons encore pour équations du mouvement de qh— rg —L, El +rf—ph=M, ) (16) dt dh a + pg — qf = N. Enfin remarquons encore, avec P. Appell (*), que le théorème sur l'énergie d'accélération ne fait que traduire le principe de la moindre contrainte de Gauss (**). (*) Mécanique rationnelle, t. II, 2e éd., 1904, pp. 384 et 469. (**) Journal de Crelle, t. IV. Voyez aussi LAGRANGE, Mécanique analytique publiée par J. Bertrand, t. Il, note 9, p. 357. tr 4 seutbltnrr 170) | ARE D HE | , n. T ET vo t : TC a F0 S" PCUS p 214 A : + je CAT ès 3 LE c'e ne PORTER A PTE . x 27 Eine bel tn 4 pet tn à _ e " > D Le un ) . LU . Ï æ : : . tan : Ô 1 L ‘ A ” « > . LA 4 MA ! 3 e Lt À “7 | | \ | L | 1 *) haie | carre traie BIBLIOGRAPHIE. Voici la liste la plus complète des ouvrages et mémoires que nous ayons pu dresser : ces travaux regardent non seulement la variation des latitudes, mais aussi les problèmes géophysiques qui y touchent et les théories méca- niques et physiques que nous avons eu à employer dans ce qui précède. Citons d’abord les ouvrages classiques : LAPLACE, Traité de Mécanique céleste, 1. V. S.-D. Poisson, Mémoire sur le mouvement de rotation de la Terre. (Journal de l'École polytechnique, 15e cahier.) IneM, Mémoire sur le mouvement de la Terre autour de son centre de gra- vité. (Mémoires de l'Institut, t. VII et IX.) PomsoT, Précession des équinoxes. (Addition à la Connaissance des Temps pour 1858.) J.-A. SERRET. Théorie du mouvement de la Terre autour de son centre de gravité. (Annales de l'Observatoire de Paris, t. V, 1859.) IDEM, Mémoire sur l’emploi de la méthode de la variation des arbitraires dans la théorie des mouvements de rotation. (Mémoires de l'Institut, AAA.) Ces travaux n’envisagent que la théorie du mouvement de rotation d’un globe rigide. Viennent ensuite les mémoires qui concernent notre problème et tout ce qui y touche. On remarquera que nous suivons l’ordre chronologique suivant lequel les auteurs sont intervenus dans la question, mais que nous ne séparons pas cependant les ouvrages d’un même auteur parus à des dates très éloignées. E. KanT. Untersuchung der Frage, ob die Erde eine Veränderung ihrer Axenlage erlitten habe? 1754. (Voyez OEuvres de Kant, édition Hartenstein, Leipzig, 1838, et Moniteur scientifique, 1866, pp. 224 et 321.) (C£. R. Mayer. Beiträge zur Dynamik des Himmels, Heil- bronn, 1848.) ( 262 ) LAGRANGE, Mécanique analytique, t. IT, 4815, section IX, et fragments II et TI. BEssEL, Einfluss der Veränderungen des Erdkôrpers auf die Polhühen. (Zeitschrift für Astr., 1818, t. V, p. %5: Abhandlungen, t. II, p 304; Correspondance avec Olbers, 1814 et 1817.) W. Horxins, Researches in physical Geolcgy. (Philosophical Transactions, Londres, 1839, 1840 et 1842.) IDEM, Intern. temp. and thickness of the crust.. (R. S. Proceedings, t. II, 1858-1862.) KLEE, Der Urzustand der Erde und die Hypothese von einer Aenderung der Pole, 1843. D’ARCHIAC, Histoire des progrès de la géologie, t. 1, 1847. R. Mayer, Beiträge zur Dynamik des Himmels, Heïlbronn, 1848. BELLI, Pensieri sulla consistenza e sulla densità della crosta solida terrestre. (Giornale dell. I. R. Ist, Lombard. di Sc., nouvelle série, t. X, Milan, 1851.) H. HENNESSY, Researches in terrestrial Physics. (Phil. Trans., Londres, 1851.) Inem, Remarques à propos d’une communication de M. Delaunay. (Comptes rendus, Paris, 6 mars 1871; Nature, 1872.) InEM, On the limits of hypotheses… (Philosophical Magazine [5], t. VI, 1878, pp. 263-267.) HAEDENKAMP, Veränderungen der Rotationsaxe der Erde. (Poggendorffs Annalen,1. XC, 1853.) PLANA, Astronomische Nachrichten, nos 860 et 861, mai 1853. W. FERREL, Effect of the Sun and Moon upon the rotatory motion of the Earth. (Astronomical Journal, t. II, 1853.) Ipem, Influence of the tides in causing an app. sec. accel., 1864. IE», Influence of the rot. veloc. of the Moon on the length of the year. 1865. (Proceed. of Am. Ac., t. VI, 1866.) J. LiouviLe, Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson. (Addition à la Connaissance des Temps pour 1859, 1857; Journal de mathématiques pures et appliquées, 2° série, t. III, 1858.) W. THomsow, On the rigidity of the Earth. (Phil. Trans., Londres, 1863 ) InEm, Dynamical problems regarding elastic spheroidal shells. (Jbid., Londres, 1863.) InE», On the free oscillat. of fluid spheres. (1bid., Londres, 1863.) ( 265 ) W. THomson. Report of the British Assoc. for the Advancement of Science. Londres, 14878. (American Journal of Science, t. XII, 1876; Arch. de Genève [2]. t. LVII, 1876.) IneM, Appendice C du mémoire de G. H. Darwin : Influence of the Geological changes. (Phil. Trans., Londres, 1871.) InEm, Mathematical and physical Papers, Londres, t. III, 1890. Ipem, Popular Lectures and Addresses, t. YIT. IpEm avec P. G. Tair, Treatise on natural Philosophy, t. II, 1883. J. CROLL, Influence of the tidal Wave on the Earth’s rotation. (Philosophical Magazine, t. XXVII, 1864.) InEmM, On the hypothesis of a change of climate trough changes in the obliquity of the ecliptic. ‘Geological Magazine, Londres, 1878.) InEM, American Journal of Science (3), t. XVI, 1878. J. BERTRAND, Sur l'accélération du moyen mouvement de la Lune. (Comptes rendus, Paris, 22 janvier 1866.) DELAUNAY, Sur l'existence d’une cause nouvelle... (Comptes rendus, Paris, 11 décembre 1865 et 29 janvier 1866.) IneM, Sur l'hypothèse de la fluidité interne du globe terrestre. (Comptes rendus, Paris, 43 juillet 1868.) CH. Durour, Sur l’accél. séc. du mouvement de la Lune. (Comptes rendus, Paris, 9 avril 1866.) J. Evans, On a poss. geol. cause of changes in the position of the Earth’s axis. (Geological Magazine, 1866; Proceedings of the Royal Society, Londres, 1867; Quarterly Journal of R. S., 1876, t. XXXIL.) E. J. STONE, On the poss. of a change. (Monthly Notices, Londres, t. XXVII, mars 1867.) Y. VILLARCEAU, Comptes rendus, Paris, 23 décembre 1867; Annales de l’Obser- vatoire de Paris, t. VIII. J. H. PRaTT, À Treatise on attractions. and the figure of the Earth, 4e édition, 1871. H. GYLDÉN, Ueber den Einfluss, welchen Aenderungen der Rotationsaxe der Erde... (Bull. Ac. Sc., Saint-Pétersbourg, t. IV, 1870.) InEm, Recherches sur la rotation de la Terre. (Nova Acta Soc. Reg. Upsaliensis, 3e série, t. VIII, 4er fascicule, 1871.) InEM, Ueber die Rotation eines festen Kerns.. (Astr. Nachr., 1878, n° 2226.) Inem, Rotationslagarne fôr en fast kropp, hvars yta är betäckt af ett flytande ämne. (Bull. Ac., Stockholm, 1878, n° 7 et 1879, n° 3.) ( 264 }) H. RÉsaL, Mouvement d’un corps solide relié à un système matériel. (Annales de l'Ecole normale, 1872.) IDEM, Traité élémentaire de Mécanique céleste, 1884. J. G. BARNARD, Problems of rotary motion. (Smithsonian Contributions of Knowledge, t. XIX, 1874 et t. XXIII, 1881.) H. ScuLTZ, Vierteljahrschrift der astronomischen Gesellschaft, Leipzig, 1874, pp. 199-213. T. MELLARD READE, American Journal of Science (3, t. XIII, 4875, p. 314. SraRk, Ueber die Môglichkeit einer Axenänderung der Erde, Munich, 1875. E. MATHIEU, Mouvement de rotation de la Terre autour de son centre de gravité. (Journal de mathématiques pures et appliquées, 3e série, t. II, 1876.) J. CARRET, Le déplacement polaire: preuves des variations de l’axe terrestre. Paris, 1876. (Bull. de la Soc. géogr., Paris, 6e série, t. XII, 1876.) A. WATERS, Influence of the position of land and sea upon a shifting of the Earth’s axis. (British Assoc. Report, 1871.) InEM, Table of effect of movement of the surface of the globe. (Manchester Lit. and Phil. Soc , 18717, t. IV.) IneM, Inquires concerning a change in the position of the Earth’s axis. (Manchester Lit. and Phil. Soc., 1879, t. VI.) G. H. DARWIN, Influence of geological changes on the Earth’s axis of rotation, (Phil. Trans., Londres, 1877, t. CLXVII.) IDEM, On Prof. Haughton estimate of geological time. (Proceed.R.S., Londres, t. XXVII, 1878; Nature, t. XVIII, 1878.) (Cf. Astr. Nachr., n° 2994 : Lur Geschichte des Mondes und der Erde.) IDEM, On the bodily tides of viscous and semielastic spheroids. (Philosophi- cal Transactions, Londres, 1879, part. À.) IDEM, Problems connected with the tides of a viscous spheroïid. (Jbid., Londres, 1880.) InEM, Precession of a viscous spheroid. (/bid., Londres, 1880.) Inem, The forced oscillations of a fluid spheroid. (Jbid., Londres, 1880.) Ie, Tidal friction of a planet... (Jbid., Londres, 1881.) IpEm, Stresses in the interior of the Earth. (/bid., Londres, 1882.) InEm, The Tides, Londres, 1898. InemM, Monthly Notices, Londres, 1899, t. LX, n° 2. InEM, Encyclopädie der math. Wiss., t. VI, {re partie, section B, art. 1. ( 265 ) Amy, The interior of the Earth. (Add. Cambridge Assoc., 1878; Nature, t. XVIII, 1878.) LLoyp MorGaAN, On geological time. (Geological Magazine, Londres, 1878.) TwispEN, The deplacement of the Earth’s axis. (Manchester Lit. and Phil. Soc., 1878; Quarterly Journal of Geol. Soc., Londres, 1878) S. HAUGHTON, Notes on physical Geology (Proceed. of R. Soc., Londres, 1878, t. XXVI) : On the amount of shifting of the Earth’s axis; On a new method of finding limite. FISHER, On the effect upon the ocean tides of a liquid substratum beneath the Earth’s erust. (Philosophical Magazine, 1882; Geol. Magazine, 1818; Cambridge Trans., 1878.) F.-R. HELMERT, Vierteljahrschrift der astr. Gesellschaft, Leipzig, 1878, pp. 309-316. Inem, Die mathematischen und physikalischen Theorien der hôheren Geo- däsie, Leipzig, t. II, 1884, chap. V. Inem, Zur Erklärung der beobachteten Breitenänderungen. (Astronomische Nachrichten, n° 3014, 1891.) InEM, Sitzungsber. der K. A. d. Wiss., Berlin, 1901, p. 398. E. Hizz, Elementary discussion of the influence of geological changes. (Proceed. Phil. Soc. Cambridge, t. II, 1868; Nature, 1878.) InEM, On the possibility of changes in the Earth’s axis.…. (Geological Magazine, Londres, 1878.) F. FouE, Bulletin de l’Académie royale des sciences de Belgique (3), t. TI-XXXIT, passim; Mémoires de l’Académie royale des sciences de Belgique, 1884 et 1898; Comptes rendus, Paris, 1882 et 1893; Annales de l'Observatoire royal de Belgique, 1886-1893; Cosmos, mai 1895; Acta mathematica, t. XVI, 1899, etc. A. RITTER, Wiedemanns Annulen (mémoires), Hanovre, 1879. K. ZôPprirz, Der gegenwärtige Standpunkt der Geophysik. (Geographisches Jahrbuch, Gotha, 1880, p. 1.) IDEM, Mittel und Wege zur besserer Kenntniss vom inneren Zustand der Erde. (Verh. des I. deustch. Geogr., Berlin, 1882.) LAGRANGE, Bulletin de l’Académie royale des sciences de Belgique (3), t. XXVIT, XXVIIE, passim. RocHE, Mémoire sur l’état interne du globe terrestre, Paris, 1881. C. Rozé, Des termes à courte période. (Comptes rendus, Paris, août 1882.) TH. VON OPPOLZER, Lehrbuch der Bahnbestimmung, 1. 1, 1882. (Édition fran- çaise par E. Pasquier, t. [, 1886.) ( 266 ) Inem, Ueber eine Ursache welche den Untersehied.. (Astr. Nach., n° 2573; | Bull. astr., t. 1, 1883, pp. 109 et 212.) S. NEwcomB, On the possible variability of the Earth’s axial rotation. (Ame- rican Journal of Science, 1874; Astronomical Papers, t. I, 18892.) Inem, On the Dynamics of the Earth's rotation with respect to the periodic Variation of Latitude. (Monthly Notices, mars 1899, t. LIT, no 5.) InEm, Statement of the theoretical laws of the polar motion. (Astronomical Journal, 1900, n° 452.) In, Remarks on Mr. Chandlers Law... (Astron. Journal, t. XI, XII, XIX, passim.) LasauLx, Das Erdball als Ganzes. (Handwôrterbuch. der Min. Geol. und Paleont., 1889-1887.) J.-V. SCHIAPARELLI, Variazione dell’ asse di rotazione. (Club Alpino, 1883.) IneM, De la rotation de la terre sous l’influence des actions géologiques, Saint Pétersbourg, 1889. (1! Nuovo Cimento (3), t. XXX, 1891.) E.-J. Rourx, Dynamics of a system of rigid bodies, 4e édition, 1884, t. IL. S. OPPENHEIM, Rotation und Präcession eines flussigen Sphäroids. (Sitzungs- ber. der K. Ak. d. Wiss., Vienne, t. XCII, 1885; Astr. Nachr., 1885, n° 2701.) P. ScHWABN, Ueber Aenderungen der Lage der Figur- und der Rotationsaxe der Erde..., Berlin, juin 1887 (thèse de doctorat), E. Ronkar, Sur l'influence du frottement et des actions mutuelles... Bruxelles, 1888. IneM, Sur l'entrainement mutuel de l'écorce et du noyau terrestres, Bruxelles, 1889. (Voyez aussi Bull. de l’Acad. roy. de Belgique (3), t. XIV, 4887 et t. XVIII, 14889.) C. CHREE, Quarterly Journal, 1888, t. XXIIT, p. 11. BRYAN, Philosophical Transactions, 1889, part. A, p. 208. F. TisseRAND, Traité de Mécanique céleste, t. II, 1891, chap. XXIX et XXX. (Notes dans le Bulletin astronomique, passim.) R. Rapau, Notes et analyses dans le Bulletin astronomique, passim ; chapitre XXIX et XXX du tome II du Traité de Mécanique céleste de F. Tisserand. Ivem, Note sur le mouvement de rotation d’un système de forme variable. (Bull. astron., t. VII, février 1890, p. 63.) Inem, Note au sujet de la variation des latitudes. (Bull. astron., t. VIL., septembre 1890, p. 352; Comptes rendus, Paris, t. CI, octobre 1890, p: 998.) ( 267 ) J. LAmp, Ueber Niveauschwankungen der Ozeane, als eine môgliche Ursache der Veränderlichkeit der Polhôhe. (Astr. Nachr., n° 3014, 1891.) A. E. H. Love, À Treatise on Élasticity, Cambridge, 1892. Inem, Encyclopädie der math. Wissenschaften, t. IV, art. 15 et 16, 1901. V. VoLTERRA, Divers mémoires dans le tome XXX des Afti della R. Accad. d. Sc. de Turin, 1895 (passim); dans les tomes XXIIL et XXIV des Annali di Matematica pura ed applicata, 1895 et 1896; dans les Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, septembre 1893; dans les Astronomische Nachrichten (nos 3291-3299), 1895. Ces mémoires sont réunis dans le travail : Sur la théorie des variations des latitudes. (Acta mathematica, t. XXII, 1898 et 1899.) H. LamB, Hydrodynamics, Cambridge, 1895. S. S. HouGH, On the oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. (Phil. Trans., Londres, 1895, part. A, p. 469.) (Voyez aussi Phil. Trans., 1897.) Inem avec I. NEWTON, On the rotation of an elastic spheroïd. (Phil. Trans., Londres, 1896. part. À, p. 319.) Ines, Recherches sur la loi de périodicité. (Monthly Notices, 1897.) R. S. Woopwarp, Mechanical Interpretation of Variations of Latitude. (Astronomical Journal, t. XV, 1896, no 345, pp. 61-72.) J. LARMOR, On the Free Eulerian Precession. (Proceed. Cambridge Phil. Soc., t. IX [3], p. 183. mai 1896). L. PicarT, Notes et analyses dans le Bulletin astronomique, passim. IDEM, Sur la rotation d’un corps variable. (Ann. de l'Observ. de Bordeaux, t. VII, 1897, p. 1.) R. SPiTALER, Die Ursache der Breitenschwankungen. (Denkschriften des K. Ak. d. Wiss., Vienne, t. LXIV, 1897.) InEem, Die periodischen Luftmassenverschiebungen und ïhr Einfluss auf die Lagenänderungen der Erdachse. (Petermanns Mitteilungen |cahier complémentaire], n° 137, 1901.) E. WiecHeRT, Ueber die Massenverteilung im Innern der Erde. (Nachr. der K. Gesellsch., Gottingue [classe des sciences], 1897, 3° fascicule, p. 221.) F. GONNESSIAT, Comptes rendus, Paris, t. CXXIV, 1897, p. 938. L. GRaABowsxi, Einige Bemerkungen zur Erklärung der Polbewegungen. (Sitszungsber. der K. Ak. d. Wiss., Vienne, 1898, t. CVIL.) J. HaLM, On a pecular connection. (Astr. Nachr., n° 3619, 1900.) ( 268 ) Ipem, Latitude variation, Earth magnetism and Solar activity. (/bid., no 3649, 1900.) W. G. THACKERAY, Note on Dr J. Halm’s paper : On a peculiar connection. (Ibid., n° 3635, 1900.) SW. ARRHENIUS, Kosmische Physik, Leipzig, 1903. F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ueber die Theorie des Kreisels, Leipzig, 4er fasc., 4897. chap. ILL, et 3e fase., 1903, chap. VII, section B. R. SCHUMANN, Ueber die Polhühenschwankung. (Astr. Nachr., 1903, n° 3877.) S. C. CHANDLER, Astronomical Journal, Boston, t. XI-XXIII. H. G. VAN DE SANDE BAKHUYZEN. Einige Bemerkungen über die Aenderun- gen der Polhôühen. (Astr. Nachr., 1905, n° 3937.) W. DE SITTER, Astronomische Nachrichten, 1905, no 3981. L. Courvoisier, Ibid., 1905, no° 3990-3991, 4019, 4031. A. PANNEKOEK, Ibid., 1905, nes 4008, 4024. P. HarzER, Ueber die kosmische Strahlenberechung. (Astr. Nachr., 1905, n° 4095.) Erc. Comme analyses nous citerons : H. ScauLrz, Vierteljahrschrift der astr. Gesellsch., Leipzig, 1874, p. 199. F. R. HELMERT, Jbid., Leipzig, 1878. p. 309; Die math. und phys. Th. der hôüh. Geodäsie, 1884, 1. IL. chap. V. P. ScHWAHN, Thèse : Ueber die Aenderungen.. Berlin, 1887. R. Rapau, Chapitre XXIX et XXX du tome Il de la Mécanique céleste de F. Tisserand, 1891. R. S. WoopwaRD, Astronomical Journal, Boston, 1896, t. XV, n° 345, p. 61. F. KLEIN et A. SOMMERFELD, Ueber die Theorie des Kreïisels, 1903, 3° fasc., chap. VIIT, section B. Nombreuses notes dans le Bulletin astronomique (passim). Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften, t. IV, art. 15, 16, 25; t. VI, {re partie, section B, art. 1 et 2. TABLE DES MATIÈRES. AVERTISSEMENT . .« . . . . . INTRODUCTION. PREMIÈRE PARTIE. Comparaison des résultats d'observation avec ceux de la théorie eulérienne . $ 1. Historique des observations . $ 2. Conclusion à tirer des observations. $ 3. Comparaison entre la théorie eulérienne et becrtiton Raisons de la différence entre leurs résultats DEUXIÈME PARTIE. Explication de la période chandlérienne au moyen de l’élasticité de la Terre $ 1. Résumé très succinct des théories émises sur la jo ich du globe . ë $ 2. Influence de l’élasticité de la Tor sur h to ie son axe de figure et sur son ellipticité. $ 3. Variation de la période eulérienne due à Péliicis de la Terre . $ 4. Caleul de e, et €. More ie W. re a ao TROISIÈME PARTIE. Explication des oscillations annuelles et apériodiques (oscillations de deuxième et troisième espèces) . . . . 26 26 49 48 DO DD 65 75 86 117 ( 270 ) SECTION À.— Théorie du mouvement de rotation d’un corps variable. $ 1. Établissement des équations différentielles du mouvement. $ 2. Emploi des équations différentielles établies; leur appli- cation à la solution du problème. Choix des systèmes d’axes mobiles . . . . ? $ 3. Remarques relatives à l'application de la nee à la rota tion de la Terre +480 0m ie SE SECTION B. — Influence des mouvements internes sur le déplacement MupÜle . 5. CSD EEE ie date AUTRE Lrrréha eo. — influence direnies os) es MON LEE LTITERA bd. — Influence indirectes. 1. LME. S 4. Variation des axes ÉTAT d'inertie due aux déplace- ments de masses . a $ 2. Relation de position entre Ë pôle nee Get 4 te de POLAUOMAES" Pen RS $ 3. Applications diverses; « SA » de R. Éd QUATRIÉÈME PARTIE. Influence des phénomènes jouant le rôle de résistances passives . APPENDICE. Quelques mots Fe sur le terme de H. Ki- AT PRE OR TUE hits na A ET SNS EUR NOTE. Complément à la section À de la Troisième partie . . BIBLIOGRAPHIE 544 enbe del el CRIS ON 118 118 129 142 156 160 165 165 194 209 221 237 241 261 ERRATA. Pour rendre la figure 1 (page 11) plus claire, il convient de supposer l'arc de grand cercle IGC tracé en trait plein, ainsi que les extrémités des vecteurs 0, 0G jusque I, G. Pages. Lignes. Au lieu de Lire 14 9 et 10 c'est-à-dire COG, est c'est-à-dire COG, et très petit et reste infé- même ? + 0, — COI sont rieur. .…. très petits et restent in- férieurs. . . 44 10,41,14, 15, 20 6 i+0 15 4,3 6 +0 15 4en remontant } C cos(i + 6;) : o.t ÿ GE ŒE 17 6 0 i +0, 18 3,4,9 6 i + 0 20 note 9, ligne 2 cos 6, cos (à + 05) 26 note, ligne 3 Belgigue Belgique 97 10 donnée données 39 6) pollhodie polhodie 43 7 ferma ferme 48 Sen remontant de ceux et ceux J1 note, dern. ligne magnetisma magnetism D2 19 qualificatif qualitatif 99 4en remontant sur le détail dans le détail 63 note Ÿ, ligne 1 Procession Precession 66 6 en remontant du premier au premier 69 fig. 4 1 l’ 79 75 89 87 88 104 107 114 193 197 198 133 134 146 146. 156 157 163 191 193 198 198 219 947 A8 294 231 3 5 en remontant 5 en remontant 1 8 6 en remontant b) 4 en remontant 9 2 40 en remontant 3 note », ligne À 2 11 1 pi) 8 10 en remontant note 1, ligne 2 6 en remontant 9 en remontant 7 en remontant 5) note 1, ligne 1 note 3, ligne 1 9 _ (27% ) 4 considérables, gravitique approchée, P newtonnienne colatitude intervalle du dE Yi m v:y Infiuence w réelles; annuels PETERMANN'S CA SOMMERFIELD S3 actions passives S4 9r CEA considérables gravifique approchée 3p E newtonienne latitude intervalle de dE dt soient (r) Ya - Go”! m(v:y Influence Wy réelles, météorologiques PETERMANNS SOMMERFELD résistance passive ADDENDA. Page 16, note. Ajouter : On voit facilement que l’angle ?: — GOI reste constant; en effet À COS 1 — — Lu = — çte G ” G j Go S IQ F En n° G ‘o H? désignant la constante des forces vives. Page 57, note 3. Ajouter : onsultez aussi Encycl. der math. Wissenschaften, t. VI-1-B, art. 1. Page 61, note 4. Ajouter : Cependant les dernières mesures de la vitesse de propagation des ondes sismiques semblent indiquer, pour la Terre, une rigidité notablement supérieure à celle de l'acier. (Cf. Encycl. der math. Wiss., t. VI-i-B, art. 1, n° 37, p. 65.) SUR L'HXPOCYCLOIDE DE STEINER (4 NOTE) M. A. GOB OFESSEUR A L'ATHÉNÉE ROYAL DE LIÉGE SUR L'HYPOCYCLOIDE DE STEINER 1. — Depuis que Steiner a énoncé (*) ses célèbres théorèmes sur l’hypocycloïde à trois rebroussements, on a donné de nom- breuses démonstrations des propriétés de cette courbe remar- quable. Mais il semble qu'on n'ait pas encore tenté de faire une théorie complète de 96 (**) par les procédés de la géométrie élémentaire; cette étude ne parait pas sans intérêt, car si les procédés analytiques sont plus généraux et font voir le lien qui unit les propriétés de la courbe en les faisant dériver, comme l’a fait Cremona (**), de théories générales, les méthodes géométriques sont souvent plus rapides et permettent d'examiner de plus près les questions de détail. Dans trois notes présentées à la Socièté royale des sciences de Liége (1*), nous avons établi . (*) CRELLE, t. LIIL, pp. 231-237. (**) Le symbole 96 remplacera, dans la suite, les mots : hypocycloïde à trois rebroussements. (***) CREMONA, Sur l'hypocycloïde à trois rebroussements. (GRELLE, t. LXIIT, fase. 2, pp. 101-120.) (iv) Note sur l’hypocycloïide à trois rebroussements, 3e série, t. 1V, 1902. — Sur l’hypocycloïide à trois rebroussements, 3 série, t. VI, 1966. — Note sur les . hypocycloïdes tricuspidales inscrites à un triangle fixe, 3° série, t. VIII, 1909. (A9 géométriquement un grand nombre de propriétés de 96; nous nous proposons, dans la note actuelle, de compléter cette étude en établissant géométriquement les propriétés de deux groupes de coniques déjà signalées par Cremonu (loc. cit.); nous démon- trerons en outre plusieurs propositions qui nous paraissent nouvelles. 2. — Les deux points de rencontre M et M’ d’une tangente mobile à une 96 avec le cercle tritangent à cette courbe se déplacent sur ce cercle avec des vitesses angulaires w et w/ telles que w/ — — 2w. Comme précédemment ("), ces points seront appelés le point primaire et le point secondaire de la tangente, et si S et w représentent un sommet de et le centre de son cercle tritangent, l'angle SM sera l'angle directeur de la tangente MM; le point de contact de MM/ avec % est symétrique de M’ par rapport à M. Si par un point D (fig. 1) on mène à 9 trois tangentes h,,, M, h, et que l’on mène ensuite les tangentes a, b, c perpendiculaires à hs hp h,, les droites a, b, c forment un triangle ABC dont h,; y, h, sont les hauteurs. Les points primaires et les points secondaires des tangentes a, b, c sont respectivement les milieux des côtés et les pieds H,, H;, H, des hauteurs du triangle ABC. Les points de contact de a, b, c avec X sont les symétriques de H,,, H;, H, par rapport aux milieux des côtés, et les normales en ces points se coupent en un point N symétrique de l'ortho- centre D par rapport au centre O du cercle ABC. On peut circonserire à une 96 une infinité de triangles analogues à ABC; nous les appelons les triangles principaux de 96. Une 9% est l'enveloppe des droites de Simson de l’un quelconque de ces triangles principaux, 8. — Supposons que le point D se déplace sur la droite AH, ; les tangentes AH, et BC restent fixes, tandis que les tangentes AB et AC se déplacent de telle façon que le milieu de BC, qui est le point primaire de BC, reste fixe; le centre O du cercle ABC se *. 655) déplace donc sur une parallèle à AH, ; le rayon du cerele ABC reste d’ailleurs constant et égal au diamètre du cercle tritangent à 96, donc : si le centre O d’un cercle de rayon constant se déplace parallèlement à l'un des côtés H,A d'un angle droit CH, A, les droites qui joignent l'un des points de rencontre À de ce cercle avec le côté AH, aux deux points de rencontre B et C du cercle avec le second côté envelopnent une 9. On démontrerait sans difficulté que les droites qui joignent les points B et C au second point de rencontre du cerele mobile avec le côté AH, enveloppent une 9 symétrique de la première par rapport à BC. 4. — Deux droites rectangulaires et transversales réciproques l'une de l’autre par rapport au triangle ABC sont les asymptotes d’une hyperbole équilatère circonscrite à ce triangle. Ces droites sont aussi les droites de Simson de deux points diamétralement opposés sur le cercle ABC; elles sont donc tangentes à 9; par conséquent, une 9 est sa propre transformée par transversales réciproques par rapport à l'un quelconque de ses triangles prin- cipaux ; c’est une anallagmatique dans ladite transformation. Si l'on mène à 96 trois tangentes passant par un même point D’ et les trois tangentes perpendiculaires, on obtiendra un quadrangle orthogonal A'B’C'D’ circonserit à 96 et dont les côtés opposés sont des transversales réciproques par rapport à ABC. Donc : Etant donné un quadrangle orthogonal ABCD, on peut construire une infinité de quadrangles orthogonaux A’B'C'D/ dont les côtés opposés soient des transversales réciproques par rapport à chacun des triangles ABC, ABD, ACD,BCD. Récipro- quement, les côtés opposés de ABCD sont des transversales réci- proques dans les triangles A'B'C/, A’C'D/, A'B'D/, A'C'D'; tous ces quadrangles sont circonscrits à une même X et le rayon du cercle A/B'C est constant. 5. — Soient ABC et A/B/C' (fig. 1) deux triangles principaux (6) quelconques (*) et D, D’ leurs orthocentres, Lorsqu'une droite à tourne autour de D’, sa transversale réciproque par rapport à ABC enveloppe une conique F inscrite au triangle ABC; or les côtés du triangle A’B/C/ sont les transversales réciproques des droites D’A’, D'B’, D’C' (4); ces côtés sont donc tangents à F. Ainsi deux triangles principaux quelconques ABC, A’B/C' sont toujours circonscrits à une même conique. Le centre K de F (fig. 1) est le point complémentaire de D, c'est-à-dire que le centre de gravité G de ABC divise KD/ dans le rapport 1 à 2. Soient O et O’ les centres des cercles ABC et A'B'C'; les droites DO et D’O/ ont pour milieu commun le centre w du cercle d'Euler des triangles ABC, A’B/C’ qui est Fe. 4. aussi le cercle tritangent à 96; le point G divise la droite Ow dans le rapport 2 : 1, et comme vw est le milieu de O’D’, G est le centre de gravité du triangle OU’D'; or on a D'G’ = 2GK, par conséquent K est le milieu de OO’. Donc : Deux triangles principaux d'une même % sont circonscrits à une même conique dont le centre est au milieu de la droite qui joint les centres des cercles circonscrils à ces triangles. (*) Les points À’, B’, C’ ne sont pas indiqués sur la figure. Gt) Lorsque D et D’ coïncident, les triangles ABC, A’B’C' coïn- cident aussi et la conique [ est tritangente à 96; son centre coïncide alors avec O. 6. — Les triangles ABC, A’B’C' étant circonserits à une même conique | sont inscrits à une autre conique (H); on peut engendrer cette conique de la façon suivante. Soit À une tangente à l; ses transversales réciproques à et d’ par rapport à ABC et à A’B’C' se correspondent homographiquement et passent respec- tivement par D' et par D. Leur point d'intersection décrit donc une conique (H) qui passe par D et par D’; lorsque A coïncide avec BC, à coïncide avec D’A et Ô’ avec DA, car (4) AD et BC sont des transversales réciproques par rapport à A’B/C'; la conique (H) est donc circonserite aux quadrangles orthogonaux ABCD, A'B’C'D' et est par conséquent une hyperbole équilatère. Donc : Deux triangles principaux de 9% sont inscrits à une même hyperbole équilatère (H) (*. ‘7. — Les hyperboles (H) satisfont à trois conditions. En effet, lorsque D est donné, les points A, B, C sont déterminés et les hyperboles H forment un faisceau ; une hyperbole (H) est déterminée quand on en donne deux points D et D’. Nous convenons de dire que ces hyperboles forment un réseau hypo- cycloïdal. Le centre d’une hyperbole quelconque du réseau se trouve sur le cercle tritangent à 96 et ses asymptotes sont deux tangentes rectangulaires de 9C. Inversement, à toute hyperbole du réseau, on peut inscrire une infinité de triangles principaux. En effet, si D se déplace sur une hyperbole (H,) du réseau, les sommets A, B, C du triangle principal dont D est l'orthocentre se déplacent aussi sur (H;), car on a vu précédemment que toute hyperbole du réseau qui passe par D passe aussi par A, B, C. On conclut aussi de là que deux hyperboles (H,) et (H2} du réseau se coupent en (*) CREMONA, loc. cit. (8) quatre points À, B, C, D qui sont les sommets d’un quadrangle orthogonal circonserit à 96 (*). 8. — Le réseau hypocyeloïdal peut encore être considéré comme engendré par toutes les hyperboles dont les asymptotes sont deux tangentes rectangulaires de 96; c'est ainsi qu'il a été défini par Cremona. Une 96 est déterminée par quatre tangentes; si l'on prend pour ‘déterminer 96 deux couples de tangentes rectangulaires, deux hyperboles équilatères ayant pour asymptotes chacun de ces deux couples de droites seront des hyperboles du réseau hypocycloïdal déterminé par 96 et se couperont en quatre points À, B, C, D formant un quadrangle orthogonal circonscrit à 96. D'où une génération de X : Si deux hyperboles équilaières varient de façon que leurs asymploles supposées distinctes restent fixes, leurs six cordes d'interseclion enveloppent une X. 9. — Le milieu de B/C/ est le point primaire de cette tan- sente (2); done une hyperbole quelconque du réseau rencontre une tangente quelconque à 96 en des points symétriques par rapport à son point primaire. Il résulte de là que toute hyper- bole du réseau rencontre les côlés d’un triangle principal quel- conque en des points isotomiques. Réciproquement, toute hyperbole équilatère qui coupe les côtés d'un triangle principal quelconque en des points isotomiques appartient ou réseau. Considérons en effet une hyperbole équi- latère À coupant les côtés de ABC en des points isotomiques « et /, Bet f', yet y’; il existe une hyperbole du réseau qui passe par «et 6; en vertu du théorème précédent, elle passera par «’ et f/ et coïncidera avec h. 10. — Soient Pet Q,RetS (**) les points d’intersection de deux droites transversales réciproques par rapport au triangle (*) CREMONA, loc. cit. (**) Le lecteur est prié de tracer la figure. (9) ABC avec un cercle c concentrique au cercle ABC. Considérons l'hyperbole équilatère h, qui passe par P, Q, R, S; le côté BC est coupé par 4, par c et par le couple de droites PQ et RS en six points qui sont en involution. Or les deux derniers couples de points sont isotomiques sur BC, il en est donc de même du premier; l’hyperbole k, coupe done les côtés de ABC en des points isotomiques et appartient par conséquent au réseau hypo- cycloïdal. Donc : Le réseau hypocycloïdal est formé par toutes les hyperboles équi- latères qui passent par les points d’intersection d'un cercle quel- conque concentrique au cercle ABC avec deux droites variables, transversales réciproques par rapport au triangle ABC. 11. — Soit L (fig. 1) le centre d'une hyperbole (H,) du réseau passant par À, B, C, D. L'orthocentre D est le centre d’homothétie du cercle ABC et du cercle d’Euler w du triangle ABC, qui est aussi le cercle tritangent à 96. Le point L/, diamé- tralement opposé à D sur (H,) est donc le quatrième point de rencontre de (H,) avec le cercle ABC. Le rayon OL’ du cercle ABC est parallèle au rayon wL du cercle d'Euler et est double de ce rayon; si l’on suppose donc que (H,) reste fixe et que L’ décrive (H,), la droite L'O restera constante en grandeur et en direction ; le point D décrira aussi (H,) et, par conséquent (7), le triangle ABC variera en restant inscrit à (H,); les points A, B, C, seront donc les points d’intersection de {H,) avec le cercle décrit de O comme centre avec OL’ comme rayon. On a donc cette nouvelle génération de % : Une extrémité L' d’une droite L/O équipollente à une droite donnée décrit une hyperbole équilutère (H,) ; le cercle décrit de O comme centre avec OL’ comme rayon coupe (H;) en trois nou- veaux points À, B, GC. Les côtés du triangle ABC enveloppent une x. 12. — Lorsque le triangle principal ABC est rectangle en À (fig. 2), toutes les hyperboles du réseau qui sont circon- (10) serites à ABC touchent en A la hauteur AH du triangle, Or le point A appartient alors au cercle tritangent à 96; donc : le cercle trilangent est le lieu des points de contact des hyperboles du réseau (*). Dans le cas où ABC est rectangle, le point A est le point primaire de la tangente AH perpendiculaire à BC et le point secondaire des tangentes AB et AC; les points B et C sont les points de contact de ces tangentes et la droite BC touche 96 au Fic: 2: point K symétrique de H par rapport au milieu O de BC (2). Toute hyperbole (H,) du réseau qui passe par À touche AH en À et passe par B et C (7); les points B et C sont donc deux des huit points de rencontre de 96 et (H,), et À est l’un des points d’intersection de (H;) avec le cercle tritangent. On conelut de là que les huit points d'intersection de 96 avec une hyperbole quelconque du réseau sont situés deux à deux sur quatre tangentes 04, d>, ds, d4 de 96 et que les quatre points d'interseetion de cette hyperbole avec le cercle tritangent sont les points primaires des tangentes perpendiculaires à Ô4, de, Ôs, d4. (*) CREMONA, loc. cit. (11) On peut démontrer que les points de contact des tangerites. Ô4; dx 03 Ô4 Sont en ligne droite. Supposons que BC soit la tangente 04, et soient (fig. 2) R le centre de (H,) et M le point: du cercle ABC qui est symétrique de A par rapport à R. Si l’on porte sur AH des longueurs Ac, As/ égales à AR, les asymptotes: de (H,) seront les droites Ra et Ra/, car ces droites sont rectan- gulaires et rencontrent la tangente AH à (H;,) en des points symétriques par rapport au point de contact À; la puissance p de (H,) est égale à la moitié de la surface du triangle Raa/; si on abaisse RM’ perpendieulaire sur AH, on aura done l Po Me RNDÉ AR Er o Soient S le point diamétralement opposé à M sur le cercle ABC et T le symétrique de S par rapport à BC, La pédale # du point S est parallèle à AT et l’angle qu’elle forme avec BC a par sel pour PRE la demi-différence des arcs AB'et CT, ou - : (AB — BM) ou ; SAM: cet angle est donc égal à l’angle ASM, rs si P désigne la RTE de K sur £, les triangles ASM et KPL sont semblables; on a donc ne. AM : MS — KP : KL, ou AM .KL—är.KP, r désignant le rayon du cercle tritangent. Or AM est double de AR et KL est égal à NH ou à 2RM’; donc 2p 2p=r.KP ou NES Pr Lorsque l'hyperbole (H,) est donnée, la tangente { est déter- minée; son point primaire est le point R’ diamétralement opposé sur le cercle tritangent au centre R de (H,). Si K’, K’, K// sont les points de contact des trois autres tangentes à,, d;, d, obtenues en joignant deux à deux les six autres points de (12) rencontre de (H,) avec 9%, la distance de chacun de ces points à la droite { sera égale à Æ; donc les points K, K’, K/, K’” sont situés sur une même droite d parallèle à £. Ainsi : Si par les points de rencontre d’une droite avec une X on mène les tangentes Ô1, do, ds à à celte courbe, ces tangentes rencontrent de nouveau l’hypocycloïde en huil points qui sont sur une hyperbole équilatère (H,). La puissance de celle hyper- bole est égale à Re Ô désignant la distance de la droite d à la tangente à X qui lui est parallèle; l’hyperbole (H,) touche les tangentes perpendiculaires à à, do, ds, à, sur le cercle trilangent, en leurs points primaires. Lorsque d se déplace, (H,) engendre un réseau hypocycluidal. 13. — Si la puissance p reste constante, la distance à ne variera pas, donc : l’enveloppe des droites d correspondant aux hyperboles du réseau qui sont égales à une hyperbole équilatère donnée est une courbe parallèle à X. 14. — Prenons comme axe de x (*) le diamètre du cercle tritangent qui passe par un sommet 5 de 96 et pour axe des y le diamètre perpendiculaire. Soit « l'angle directeur de la tangente primaire menée par le centre R de (H,); les angles directeurs des deux tangentes secondaires menées par ce point seront —5 el Tr — De Les équations de ces trois tangentes seront donc a LE 9x «) _ —— — —ŸY COS —» X COS = y sin 2 2 a a 34 Li in—-—7rcos —: (2 a ET n (2) œ œ 3a SN — — = — Y Sin —: 3 sin TRE 1 n (3) (*) Le lecteur est prié de tracer la figure. (15) Or (H;) a pour asymptotes les deux tangentes secondaires menées par R; son équation est done x (M = | Ta a Na : 0 X COS — + y SIN — — r COS — } | X SIN — — y COS — + Tr Sin — |] — p — n ys z co i S i y ni F p ou (x° CRE œ 9 œ 9 : a . — — — Ixy cos — + 2r| x sin — + y cos— x ir xy 9 y , 34 Apr inf eg: r ES p La tangente t est perpendiculaire à la tangente primaire menée par R; son équation s'obtiendra donc en remplaçant dans l'équation (1) « par x + « : , a . 2% DSID—= + Y COS——— 7 SIN —- 2 , 2 L'équation de la droite d est donc x : œ , 04 2p Œ SIND — + Y COS — == — # SIN — — —:. 2 2 2 r Si cette droite passe par un point fixe H (x/, y'), on aura r° si “ée 9 sin — + 2 P 4 a x’ SIN — + y COS = = — —— —, 2 2 r et l'équation de (H,) peut alors s’écrire (x? — y*)sin à = 2xy cos 2 + Qrx sin = + 2ry cos a 2 2 2 2 Ox’ si a , œ + 2x ne + ry us ou 2 — y — r(2x + x’) — [2ry — r (2y + y!) cogS = 0. (14) Lorsque « varie, cette hyperbole engendre un faisceau ; donc : Lorsque d tourne autour d'un point fixe P, l'hyperbole (H;) passe par quatre points fixes P,, Po, P>, P,. 15. — Le quadrangle P,P,P-P, par les sommets duquel passent une infinité d'hyperboles du réseau est nécessairement un quadrangle orthogonal circonscrit à 96 La situation de P par rapport.à ce quadrangle peut se définir assez simplement. Supposons que d coïncide avec l'une des trois tangentes menées de P à 96. Les huit points de rencontre de l'hyperbole (H;) avec 96 sont alors : 1° les deux points de rencontre x et x! de d avec 96, chacun de ces points devant être pris deux fois; 2° les quatre points de rencontre des tangentes en y et x avec 96 ; l'hyperbole (H,) se réduit à ces deux tangentes qui coïn- cident donc avec deux côtés opposés P,P, et P,P; du qua- drangle P,P,P;P,. On conclut de là que Les droites qui joignent les points de contact des couples de côtés opposés du quadrangle P,P,P;P, passent par P. Soient Q4, Qo, Q; (fig. 5) les points de rencontre des côtés FrG. 3. (15) opposés du quadrangle P,P,P;P,; les points x et u’ sont les symétriques de Q, par rapport aux milieux à et « de P,P; et P,H, (2). Mais ax est perpendiculaire à Q9Q; et passe par le centre w du cercle Q;QQ;, c'est-à-dire du cercle tritangent à 96; la parallèle menée par Q, à xu/ est done une hauteur du triangle Q;QQ; et est symétrique de py/ par rapport à w. Donc le point P est le symétrique de l’orthocentre du triangle Q:1Q0Q; par rapport au centre du cercle trilangent à IC. 16. — La première polaire d'une droite d par rapport à 96 est une conique tangente à la tangente double de %, c’est-à-dire à la droite de l’infini; c'est done une parabole. Cette parabole est tangente aux quatre droites Ô4, 09, ds, 0 qui touchent l'hypocycloïde aux points où elle est rencontrée par la droite d. Nous allons donner des démonstrations élémentaires de quel- ques propriétés déjà connues (*) de cette courbe; nous démon- trerons aussi quelques propriétés qui ne semblent pas avoir déjà été rencontrées. Soient B/ et C/ (fig. 4) deux des points d'intersection de d et %, AB, AC les tangentes en ces points et BC la tangente perpendiculaire à la troisième tangente AD menée par A; le triangle ABC sera principal et les points B’ et C/ seront les symétriques des pieds de hauteur BH, et CH, par rapport aux milieux des côtés AB et AC; le point de rencontre N des nor- males en B/ et C est done le symétrique de l’orthocentre D par rapport au centre O du cercle ABC. Soit M le point de rencontre de AN avec le cercle ABC et soit PQ la pédale de M; cette droite est la tangente à 96 qui est parallèle à la droite d; on sait que le point primaire de PQ est le milieu R de DM. Soient w le centre du cercle tritangent et F le point de rencontre de wR avec AN; si l'on considère le triangle DoR coupé par la transversale NMF, on a ND Fo MR | NOR MDI (*) CREMONA, loc. cit. PAINvIN, Note sur l’hypocycloïide à trois rebrousse- ments. (NOUVELLES ANNALES, 1870, p. 75.) (16) Mais ND : No = 4:53 et MR :MD=— 1:92, on a donc Fo: FR—5:9 ou @©F = 30R. (4) De même si l'on considère le triangle DMN coupé par la transversale &RF, on a FM, ,oN, RD, EN Nan CRM OP? FEN—53FM. (5) Considérons la parabole p qui a pour foyer F et qui est tangente aux droites AB et AC. L'égalité (4) permet de construire le point F quand on connait le point primaire R de la tangente { parallèle à d; la position de la tangente au sommet J de la parabole p est aussi connue quand on donne la droite d; en effet, elle est parallèle aux droites d et € et l'égalité (5) montre qu’elle divise extérieurement la distance de ces droites dans le rapport 3 : 1. La parabole p est done déterminée quand (672) on connait la droite d qui joint les points de contact B’ et C des tangentes AB et AC; il résulte de là qu'elle touche égale- ment les deux autres tangentes menées à 96 aux points où cette courbe rencontre encore d. On conclut de légalité (4) que le foyer F se trouve sur le cercle passant par les points de rebroussement de X, c’est-à-dire sur le cercle tritangent à la développée %/ de 96. Ce point est le point primaire de la tangente à 90’ qui est perpendiculaire à t; l'axe de p passant par F et étant perpendiculaire à d est done normal à 96. Donc : L’axe de la parabole p qui touche les quatre tangentes menées à une C en ses points de rencontre avec une droile d est normal à cette courbe et perpendiculaire à la droite d; le foyer de celte parabole appartient au cercle tritangent à la développée de l'hypo- cycloide. Ce foyer et l’axe de p restent fixes lorsque la droite d se déplace parallèlement à elle-même (*). 17. — Soient (fig. 5) s le sommet de p, k, r les points de rencontre de l'axe Fs de p avec les droites dei t, et K, S, L les points de rencontre de wF avec la droite d et avec la tangente au sommet et la directrice de p. Nous avons vu au paragraphe précédent que l’on a ©F—30R, RK—9RS. Or SES donc eS + oL—o — 28, d’où @©L — of — 208$ — 3%R — 208, (*) CREMONA, Loc. cit. PAINVIN, ibid. (18) Or K divise RS dans le rapport — 2 :5, done 30R — 2w$ — wK et, par conséquent, wL = ©K. Done : La directrice de la parabole p est symétrique de la droite d par rapport au centre du cercle tritangent. FIG. à. 18. — La deuxième polaire de d par rapport à % se réduit à un point P; ce point est aussi le pôle de d par rapport à la première polaire de d, c'est-à-dire par rapport à la parabole p; or d étant perpendiculaire à l'axe de p, son pôle est le symétrique de k par rapport au sommet s. De l'égalité sP — sk on déduit rP— rs —=7rs + rk, ou rP = rs + rk = 2rk. Or r est le point de contact de t avec 96. Donc : la deuxième polaire d’une droite d par rapport à X est un point P qui se trouve sur la normale perpendiculaire à d et à une distance du (19) point d'incidence r de celte normale égalé au double de la distance de ce point à d. Réciproquement, il existe trois droîtes d, d’, d’ dont les secondes polaires coïncident avec un point donné P. Ces droiles sont les lignes homothétiques, par rapport à P, des tangentes menées à 9 par les points d’incidence des irois normales menées de P à cette courbe, le rapport d'homothétie étant 3 : 2. 19. — Lorsque d tourne autour d’un point fixe Q, la directrice L! passe par le point Q/ symétrique de Q par rapport à © et la tangente au sommet Ss enveloppe une courbe homo- thétique de 96 par rapport à Q; nous allons chercher quel est, dans ce cas, le lieu de P. Soit (fig. 5) X le second point de ren- contre de l'axe Fs de p avec le cercle tritangent à la développée de 96. Des égalités Fs — sl, Ps — sk, on déduit d'où Pl = Fk. Or les points k et ! sont symétriques par rapport au milieu de FX et, par conséquent, F4 est égal à XL. On a donc Pl = xl et ! est le milieu de XP. Lorsque d tourne autour de Q, L! tourne autour de Q’ ; or on sait que si l'on construit le symétrique P du point secondaire X d'une tangente variable à une 96 par rapport à la projection d’un point fixe Q/ sur cette tangente, le lieu de P est une ellipse tritangente à cette 96 (*). Donc : Lorsqu'une droite d tourne autour d’un point fixe Q, le point P qui est sa seconde polaire par rapport à une % fixe décrit une ellipse trilangente à la développée de cette X. (*) Voir notre note : Sur l’hypocycloïde à trois rebroussements. (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE, 3e série, t. VI, 1906.) (20 ) En transformant cette propriété par voie de dualité, on obtient la proposition suivante : Si un point parcourt une droite fixe q, sa droite polaire par rapport à une cubique nodale fixe enveloppe une conique. Lorsque la droite q se déplace, cette conique r'este trilangente à une cubique nodale fixe ayant même point double et mémes tangentes en ce point que la cubique donnée. 20. — Supposons que P décrive une droite d, et proposons- nous de chercher géométriquement l'enveloppe de la droite d. Soit F,X, (fig. 5) la tangente à la développée de 96 qui est parallèle à d,; l’are XX, esi double de FP,, et si Ÿ est son milieu, la droite EY est parallèle à F,X, et à d,. Soit Z le point de rencontre de F,Y avec d,, la figure FPZY est un parallélo- gramme et ŸYZ — FP; les triangles FPF, et XYZ sont donc égaux, par suite le trapèze F,PXZ est isoscèle et la directrice LI de p, qui par le milieu de PX, passe aussi par le milieu de F,Z. Ainsi : le symétrique Z de F, par rapport à L/ se trouve sur ds, donc, lorsque P décrit d4, la droite L/ enveloppe une parabole ayant F, pour foyer et d, pour directrice. Or d est symétrique de L! par rapport à w, donc l'envelopse de d est la parabole p, ayant pour foyer et pour directrice le point F; et la droite d;, symé- triques de F, et de d, par rapport à &. Cette nb est donc la première polaire de d;. 21. — Soit ABC (fig. 6) le triangle formé par les tangentes menées à 96 par les points d'incidence A;,, B;, C, des normales menées à 96 par un point P, et soit A’B/C' le triangle homothé- tique de ABC par rapport à P, le rapport d'homothétie étant 3 : 2. Nous avons vu que les droites B/C/, C/A’, AB’ admettent toutes trois comme seconde polaire le point P. Lorsque P décrit une droite d;, les côtés du triangle A’B/C' enveloppent donc une même parabole p, première polaire de d,. Donc, si l’on prolonge la normale PA, menée d’un point P à une 9 d’une longueur A,4; égale à la moitié de PA,, la perpendiculaire élevée en A, sur PA; enveloppe une parabole lorsque P décrit une droite fixe. (21) 22 — Soient D l’orthocentre du triangle ABC et O le centre du cercle ABC (fig. 6) ; O est le milieu de PD. Le triangle ABC est principal, donc le centre © du cercle tritangent à 96 est au milieu de DO; on conclut de là que le triangle A/B/C' est inscrit au cercle tritangent à la développée X’ üe %, et lorsque P se déplace sur d,, ce triangle varie en restant inscrit à ce cercle et circonscrit à la parabole »,. Le triangle A’B/C' est homothétique par rapport à &, au triangle aÿy qui a pour sommets les milieux des côtés de ABC ; la hauteur Oc du triangle 4fy est la symé- trique par rapport à © de la hauteur AD de ABC; donc, lorsque P décrit d,, les hauteurs de 4£y et celles de A’B'C’ enveloppent des 9. Il en est de même des parallèles menées par les sommets de A/B/C' aux côtés opposés, car ces droites sont les lignes homothétiques de BC, CA, AB par rapport à w. Donc : Si un cercle passe par le foyer d’une parabole, on peut inscrire à ce cercle une infinile de triangles circonscrits à la parabole; les hauteurs de ces triangles et les parallèles menées par les sommets aux côlés opposés enveloppent deux K. Li 4 UC A É ab eu M méga: our LIRE mu ssl # [® Tv À LeË T4 1% L ve % mi (CO AM # 3 14 4 A 1177 p A EL] ; ’ : | : : ' LE } 12 a ñ { * ru G ) j xt ir L d 4 4 V À Ar Ve GE EN) UUu Ti CE RC de pri "en ? Rec e n | | LV | T2 1 DUR _ 3 2044 128 439