\. y g.iioi'2. /i MEMORIE DELL' ISTITUTO NAZIONALE ITALIANO C L A S S E- DI FISICA E MATEMATICA TomoSecondo. Parte Second a BOLOGNA. 1810 PRESSO I FR\TELLI MASl E COMPAGNO rtroGXjrj dlll' istjtpto )("0( DTSCORSO E OSSERVAZrONI INTORNO I RECENTI PROGRESSI DOVUTI AQL" ITALIAN! D.ELLE SCIENZE MATEMATICHE E FISICHE. Vincet amor patriae Virg. G. Aen. D, ella specie nostra si avvera die per istituzio" ne provida delta iVatura di non lieve moniento e so- jira di essa in pii'i incontri e sopra ogni particolare iii- dividuo I' influsso delta cmutazione. A giud/zio de sa- vii scorgesi palesernente die nelte vediue subtiini della gran Madre andie questo principio avvedatamente da essa inserito nella costituzione delT uomo concorrer do- veva a scuoterne e sferzarne /' industria ; onde rigunr- do alto sviluppamento di (piesta tuito non rimanesse affidato atte mere voci e alio stiniolo comecdie acuto sopra ogni attro ed effi;gi' , c aus'enturundosi a scosrarse/ie^ iniarriiebbc agn'ot/iienre iw/r anipio nutre it pjlo e il conisgitt. Ciiiii in fittti a que' popoli die non S€nro~ nn queifa focc Tticr con essa lo spirito nazionule , fon- te precipito dtUe belle e memorabili i/nprese. JVe riguar- do a cid diusi rcnn a una nial intesa fHantrop'a , c/ie vorrebbe spento I' aniore della propria nazione , iin- wnginundo die ne approjitterebbe qudlo dd gencre umuno. Ell die le cost futte sottigliezzc, o con pi a vera nonie grosserie metajisiche non voglionsi ascoLr.are a f route (Idle disposizioni sovrane ddla Natura. Bendie I' fsperienza ne amniaestra eziandio, die per un feno'ucno dcgno di osservazione I' injlisso del mentovato priucipio giugne a tale die andie le diver- se eta nianijestano un anibizione con forme, e i secoll net succedersi e sospingersi nspirano a priineggiare gli uiii su gli iiltri ; e gli uoniini die ci vivono, si annun- ziaii persuasi di possedere qualdie maggioranza su i trtipussdti. At quid proposito vuolsi confessare die le lodi , ddlc quuli ogni eta e liberate a se stessa, nort vnnno per soliro diigiunte da qunldie eccesso; di es- sa non di rudo niignifica oltre il dovere i proprii van- toggi; r/e- qtiuli per alrro non minca quasi niai qual- die nielanconico die iilT oppasto ne opina bassamente , e ccrca quanta e i/i lui di cstenuargli e iiivilirgU. Ill' )(v)( torno a che , n fine di uxcire omai (hi proemii ^ non ct Mil i/isdcffo til (tircsfiiiii a/fjitnnto sii i (einj)i presen- ti , ne (jiKill ci si off re occusioiie c materia ad afcuiie osscnaziiini dc/lu specie di quel/e die gli. etpii e di" screr'i letiori non ci biasimeranno di aver poste alia testa di quest o volume. J)e' nostri tempi e Iccito il dire che si farehbe ad essi 1 1 torto grunde clu ri/iutasse loro il diritto alia gratitudine de' posteri , presso de' quuli parleranno a loro favore le scoperte di cui s' illustiano in alcuni no- hUlssimi rami dello studio delta Natura. Cons'iunta- mente per grande ventura di questo studio, paralleli , per cosi dire, e proporzionati ai suoi incrementi sono sfati quelli che pur a' di nostri, merce le fatiche e con- quiste de' sonimi geonietri del seco/o, ha ottenuti I' ana- lisi sublime; nella quale non ha dubbio die non con- venga riporrc lo strumento richiesto a compiere ed esau- rire le spiegnzioni qualunque d' ogni naturale fenome- no ; giacche di queste spiegazioni e d' uopo confessare che rimangonsi nello stato di nieri schizzi ed abbozzi finche non riesca di applicur loro i calcoli e le misu' re. Congratuliumoci dunque co' nostri tempi; e se ta- luno per avveniura nelT encomiarneli trascorresse a qualche esagerazione., non si usl verso di esso soverchia teveritii. In vecc , diasi il debito tributo di ammirazio- ne e riconoscenza a quella gran Mente, die conosce le inolle tiute del cuore umano , e tutte pure tratta e )( VI )( manemxia mirabilmcnte, donde masse V ordine all' /- stituto iWtiziofiate di Francia dl presentare un Quadro e prospctro dello stato nrtimlc dcllc Sclenze fisiche e lUiitemuticlie e de' progrcssi loro nel periodo compre- so fra il jySc) e il j8o^. Al cenno satis fcce prontaaien- te quel ras^uardcvole Corpo, affidaadone V incarico a due suoi chiarlssiini menihri c degnissiini di rappresea-' tarlo ; e ipiesll nicnwri che i Dotti d' ogui nazione formano siccome una repubblicn , qual costumasi di ap-' pcflarla, recarono alt' esecuziune il snjjere, la diligi'ii- za c /' inipaFziuLifit necessaria . Peru alia tnancaiiza soltaiito rcnduKi prohabilnicnte incvitabile dalle circo" stanze in cul tnwavajisi, delle notizie. nchlcste all' uopo attribiiir viiolsi che il rugguaglio o.piu vcnimente il compendio uscico/ie in luce scmbri, riguardo alle fari~ che dcgl" Italinni, scarso anziche no e bisognoso di sup- plcmcnto. Mirano a qucsto scopo Ic poche osservazioni seguenti ; /<; qunli (junnd' anche movesser so^peno che a dcitarle fosse concorso un sentimenro sovcrchio cenero dcW oiior n-izionale , chi sard di animo si alpescre che voglia rimpnnerarnctc? TuttO sta che in esse non.si ojjc/idiino i diritli i/iviolabili della giuscizia. Or (piesia iic cosrrmge appunto ad osservare prl" via dl tuiio , che il chiurissimo Ruffini nun a torto si lusinga d' csscr riuscito a dimostrare che nan e possi- bilc dl oticncrc la liioluzion genciale delle cquazimu algcbraichc determinate j tostu che esse so/passano il )(vii)( quarto gmdo. I suoi tentatlvi vengono per vero dire mentovat't alia sftiggita nel compendia; ma senza the vi s' incontri motto dell' esito: donde vuolsi inferire die r esimio Relutore per un infortunio iion raro ad intervenire al lavori italiani , non conoscendo /' opera del nostra grande Analista che pel can ale de' giarnall, o essendog/i mancato il tempo e V agio di consultary la, ha creduto di non dovere su di essa interporre ve~ run giudizia. II fatto e eke Ruffini premendo le orme dell' i I lustre Lagrangia die aveva fatte le prime spese , e spingendosi oltre /. cnnfini entro de' quali questi ar-~ restossi, ne ha tolto, pud dirsi, ogni lusinga di vede- re sciolte generalmente per una resoluzione , a cui coni- petano i caratteri di algebraica, le equazioni determi- nate. A ccssare gli scrupali, se n ha mestieri , potrebbe fra gli altri addursi il suffragio del celebre Paoli, da cui dirhiarcui gimtn. in Ogni sua parte e rigorosa la di- mostrazione del nostra collega; e che, sconfortando gli analisti dull' occuparsi piu oltre di una soluzione im- possibile ad ottenersi , aggiugne riguardo alia storia del problema una riflessione affiicciatasi congiuntamen- te ad un alrro scrittore , che si compiace assai d' esse- re in do d' accordo con un uomo tale. Os%ervano en- trambi che in Italia nel secolo deciniosesto fra le ma- ni dei Ferri, dei Tartaglia, dei Ferrari, dei Bombel- li f Algebra finita riuscl a sciogliere compiutamente le equazioni del terzo e quarto grado. Qui essa arrestos- )(VIII)( si , e incontro iino sco^//i) a cut nippcro gU sforzi som- fiii dciiH anaiisfi. Aiiche a nostra menioria I' acuro Van II g I'/te siil/e prime iinmagiiiava di aw re scinlte general iiicntc le c(piazioiii del quinto grado si avvide , senza c/i' idcri ne f aninionisse, dell' ahbaglio , e si af- fretto a confcssar/o. Fiiialineiite Lagrangia e Ruffiiii , it priino, conic d detio , addiiando la strada, I' aliro battendola c raggiangcndonc il lerininc felicrinente , ne hanno obhlignii a rinunziare omai a ogni speranza. Cost deir algebra finira pud dirsi esser dessa una scien- za dagh ingegtii italiaiii aperia e chiuaa. Poiclie ci e occorso di far menzione dell' illustre Lagrangia, di cui i' Italia si pregia d' es%ergH parria, niun torto noii si farebbe a veruno, e nulto nieno al- ia gloriosa Nazione chc lo possiede attualinente ed e d' alrronde si ricca chc non ha niescieri di crescere del' le spoglie alfrui, cfii inectessc fra gli ar.qiii d^h/igundo i rag- gi a fi/trarsi anraverso di piu corpi diafani e vario" tinti , riusci a tergcrli dogni eterogeneitd e ad ottene- re colori pun, mondi , scevri di qualunque mesdiianza. GuiddCo dalle sue esperienze , a lie origini del colora- mento conosciute in addietro tre in nuniero, per rifles- sione, per n frazione , e per accoppminento e avvicen-' damcnto ddla riflessione e dclla trasinissionc, ne ag- giugne una quarca da niuno non avvernta, nella qua- le nc riflessione , ne ri frazione non ha luogo , ma sib- bene la semplice rrasmissione . E perdie forse e scnza forse frequenii e numcrosi sopra gli nltri sono i colo- ratnenri di questa ultima origine, si coniprende agevol- mente come tra manl si esperte debba projitiarne ed csserne per un insigne aumento promossa questa nobil parte delle teorie ottidie; e come al vantaggio parteci- pi ogni Arte, die manipola e mesce colori . Bciiche rl- guardo andie ai colori di origin diversa I' (fj)era e ric- ca per ogni dove di osservazioni nuove, acute, projon- de ; come la dove difendendosi Neuton, dene convinto di crrore il franzese du-Tour , die scostandosi d.il graa Britanno interpctrava nati da ri frazione i colori, de' quail la riflessione e la trasniissione ahernando adonia- )( XXIX )( no h sottili trasparentl lamlnetre ; e la dove con pro- ve apcrinientali si mostra non cssere I'occhio uno stru^ jTiento acromatico; e (juando recansi congetture soprain- modo pldusibili appoggiatc ancli' esse a prove sperimen- tcdi sti la forniazione di alcune mcteore enfaticlie; e quando si rende rogione d(dle time e cadenze diverse dvW azzurro atinosferico. Bastano cjuesti pochi ceiini a fame credere die all' cgregio relacore, come in lui la cortesia udegua d raro stipere, dispiacerd di non ave^ re rammeniorata ua' opera tale. L'autore di essa per al- tro potrebbe anclie querelarsi die net listrctto per la parte matematica vengano oniesse in tutto te sue Hi- cerclie spcriinentoli sulla coniunicazione laterale del inovimento de' fliiidi , le rjindi pure furon Ictte alia presenza dcW htituto nazionale di Francia, e ne ot- tenner gli a/iplousi, die non potevano in farti man- care a an lavoro, da ciii deriva all' Idrodinanuca teo- rica e pratica iin rea/e incremento. Dopo cid vend egli conceditto di prender posto fra nonii si illustri all' autore di an opuscolo piibbli- cato da prima in i tali an o, poi rccato in franzese snir u- so dclle Anastoniosi nc' va'ii delle macdiina viventi? A prendersi qnesta siciirid lo conforta /' iniportanza del soaiietro. Cnn/ida egli di avere sdolto an problema ardno nsfioi d' Jdraulica antmale, e ove abbia raggian- to lo scopo , come ne fiene lusinga, di aver pure reca- to qualdie servigio alia dottrina del circolo del san- S )( XXX )( giic; del qual ciicolo , chi non tolga dl mezzo uno scO" glio die del use gl'i sforzi de' p'tii solenni Fisiologi , non si comprende come si cjfettui e sussista. Ma i vincoli strettissimi , pe' cpmli I' autor del I' opuscolo forma un tutto con fpiello del presence discorsoj non perniettono di aggiiigner altro. In I'cce , per (pielli die fosser dlsposd per avven- tura a chicder ragione alio scrittore del suo silenzio, sulle uTili loro fan'che c scopene, a qualche sua scusa e difesa vaglia V ingenua e apena protesca ch' ei gict non si e proposto di render con to di tutto; die gliene mancavano i mezzi; ch' ei non, ha inteso die di ad- ditare, recandone un semplice saggio, i luoghi bisogno- SI di supplemento nello scritto franzese; die in somma ei nspcrta i diritti di ognuno, i quali riniangonsi in- tattiy e servir ponno a mettere in salvo ognora meglio quelli del la P atria . Di questa per altro pud dirsi che ri- fiuta le cosiffatte difese, ne vuole averne bisogno. Jl qual proposito il celebre David Hume nella sua eccel- lente Storia d' Inghilterra osserva che I' Italia e si ric- ca e sazia di gloria letteraria ant'ica e moderna , che non tien cura, ne mostra di accorgersi che altri prenda il passo sopra dl lei. A quelli, che ne mettesscro in dubbio i vanti , forse il profondo e imparziale Storlco e Fdosofo risponderebbe = Ch' ella k si glor'Cosa cha non ode = . )(XXXI )( ANNOTAZIONI (Pag. XXI. Lin. 12) Nel compendio die si esami- na leggonsi le seguenti notabili parole = Borda e Cas- ilni , recando alle osservazloni una precisione in tutto nuova, misurarono la lunghezza del pendolo , <:he bat- te i secondi a Pan'gi ; onde ottenere il rappono esatto di (juesto pendolo al metro =. Non ci si dice che alle fatiche corrispondesse I' esito. Pur senibra che si; nel qual case e d' uopo convenire che nel pendolo ci si of- fre una niisuraj la quale j ove nel corso degli anni sor^ ga sospetto die qualche alterazione sia sopravvenuta ai Campioni del metro , pub servire acconcianiente a veri- ficarlo; giacche non si tratta piu che di assicurarsi , impiegando le Industrie e diligenze praticate da Borda e Cassini , se fra la lunghezza del mentovato pendolo e quella de' campioni su cui cade il dubbio, sussiste il rappono scoperto. Questa operazione e senza confron- to meno faticosa di quella di misurare di nuovo un arco del Meridiano. Piu: poiche della lunghezza del pendolo a secondi in Parigi, come in qualunquc altro parallelo , non ha dubbio che non sia stabile; e ch'es- sa inoltre conseguenteniente al rappono suo colla lun- ghezza del metro, ^ nota , a taluno purer potrebbe die fosse stato da prima miglior partita di assumerla co-^ me modulo e unita di ogni sorta misure. Cost, preteu- )( XXXII )( dcra esso, si sorcbbcro evitnte le ipotesi, deUe qunVi ri- mane un tal poco infctta la scclta a quest' uso del me- tro ; alia deterin'inazione del quale si e giunto /m/«a- ginando e supponendo die i gradi del Meridiano ter^ restre nel procedere dull' E(piatore nl Polo, crescaao con una certa legge ; menire d'altra pane senibra cer- to sollanto ck' essi crescono , ma nan si sa con qual legge; anzi i niigliori al presence conscnrono die il Glo^ bo non debba riporsi fra le figure die appellansi di ri- voluzione. Ma a die proposito, diranno alcuni, muo- vere quesd scrupoli? Pel modvo unico die recandosi co- muneniente a quest' oggcito rnolta importanza , senibra die non sia dispregevole in tutto qualunque osservazio^ ne, la quale ad esso si riferisca. (Pag. XXI. Lin. 24) Malgrado la drcospezione e la nniiditd quasi, con ciii I' autore del discorso espri— nicsi in questo luogo, ci non pertanto nel lasciarsi ca- dcr (Iidia penna le nuove nomenclature , punto non isttipirvbbe die alcuno fra i Neodiiniici sorgesse a sgii- darnelo, e ad ammonirlo severamente die non dcbbe un pro fun o arrognrsi di stendere la niano all' Area. Talc presso di essi e la nuova nomendatura , in cid al pin al piii e conccduto ai conoscitori e agli Adepti d introiliirre qualdie innovazione. E pure, poichd il nuovo linguaggio s' inilirizza al Pubblico^ pare die anche a lih iioni del popolo non. debba essere in tutto )( XXXIII )( disdetto dl proporre qualche sua osservazione . E per la prima, eld ne assicura , die conforrne-' mente ad una riflessione recata poco dopo net discorso i nuovi mezzl offertici dai Pillere di Volta, dl decom- porre i corpi, non cosiringano i Cldinici a riformare in piu luoghi il loro linguaggio? A buon conto del pri/icipio dichiarnto comuneniente generators drgli aci- di un valoroso Chiniico inglese pretende die concorra alia formazione degli alcali. Ove la novita si amniet- ta, converra die i Chiniid risolvnno di cangiar nome alia sostanza poco nota per vero dire , intanto die noa manca chi si ostina a dichiararla ipotetica, alia cpia- le si affrettarono d' imporre il nome di Ossigeno. Poi- die le conipeterebbe egualmente quello di Alcali geno , e probabUe di' essi ammonid daW esempio de' perico- li , a cui espone la J ret ta, si porranno in cerca di cpial- che altra proprictd del principio megUo opportuna ul- V intento. Ben vuolsi credere die rifiuteranno V offerta seriamente forse, ma furse andie per ischerzo lor fac- ta della denominazione di Pantogeno. In secondo luo- go non ha nome per quanto sembra, di cui gli autorl darsi in un giornale nieritamente si rcputato; giacchc di simili lavori e lecito il dire ch'es- si radunano notizie , onde fra gli altri fini a cui nii- rano, servire acconciamente alia storia delle scienze e de' lore coltivatori. 3Ia tornnndo alle aggiunte , net primo tomo di esse, terzo deW opera intera , s' incon- tra un tratto onorifico per gli Ttnliani. Di essi non senza encomii ci si narra che in alcune ricerche astru- se assai ban no cold vo to egrcgianiente il metodo dcgli An- tichi ; intorno al quale giova osservar di passaggio, che mal a prnposito viene nppellato sintetico da quclli , che arresfandosi alia coriecria , poiche il calcolo non e in esse impiegaro, sbngliano miseraniente lo strumento pel metodo. Dupo gl'/iuUani vengon gl'Inglesi, che non a )( XXXIX )( torto commcndansl siniilniente. Pol dnW /nahilrerra si torna sal Continente, dove I' aiuore e chiamnto da M^. Casidion , di cui si scorge palesemente die gli e igiio- la la puma. Senza do d gti avrebhe dato htogo fra gli Italiatii , ne avrchbe lasdafo incerto a qiial nazio- ne npparrenga; e ci avrehbe i/iforniati die il sua co- gnome di famiglia e Salveniini, da lui per un certo vezzo , o piuttosto per certi suoi spedali motivi, can- gmto in cjiu'llo di Castiglione sua patria , terra nobi- le posta nel cuor dell' Italia fra Arezzo e Cortona. ( Pag. XXV. Lin. i ) Bitenendo la protesta fatta nel Discorso e didiiarando di nuovo die s' intende di mettere in tutto da banda la Chimica, diiedesi nan per tanto licenza di collocare nella Nota preaente una o due rijlessioni , che ci si fanno incontro spontanea" mente , suggerite dull' impresa lodevolissima a cui al~ cuni Valentuomini sonosi accinti , di applicare all'ana- lisi de corpi il Piliera di Folta. Delia Chimica seni- hra Iccito il dire, dii ne scorra di volo la storia^ die ogni f/ual volta si e arricchita di fpudche ingegno e ar" tijicio a deconiporre i corpi dianzi nan conosciutOj nan solo ha prosperato imniantincnte , ma si e pur ve^ duta sorgere in essa una specie di rivoluzione . Come son gli uomini disposti sempre a vagheggiare la perfe- zione, e a sognare ngevolniente d' essere omai vicini a raggiugnerla , non e improbobile che si aprisse V ani~ )(XL)( mo a grandi speranze aflorche per I' invenzione de* Iambi cclii e (Idle stone riuscirono i Ch'iniici ad impri" gionare e raccog/iere le soscanze, che senza cid dile- guercbbero in forma di vapore. Ma comunque di cid si opini , c cerio che in niiui epoca si accesero essi di lusi/ig/ie pin vive tjuanto a" nostri tempi in seguito del- la reccnte scoperta degli apparnti pneiunato-chimici , vale a dire de' mezzi, onde afferrare e padroneggiare que' JIuidi sottili e f/igaci die in piii incontri, eonse- guentcniente al conjlitto reciproco e ai nuovi accoppia^ menti de' principii de' corpi condotti ad agire gli uni su gli altri, se ne svincolano e ne prorompono in fol- ia, assumendo congiuntamente la forma aerea. Non ha dubbio che questi Jliudi non abbiano in ogni teni-" po fatta frequente mostra di se, ed e a gran torto che gli operatori intenti per I' addietro ad opporsi ai dan- ni che daW impetuosa loro energia per awentura so-^ prastavauo ai vasi, entro de quali sorgevano , costu- mavano di aprire ad essi uno sfogo, ne curavansi di esaminarli. Debbonsi all' opposro i maggiori encomii a que' prodi, die a di nostri coliivando feliceuiente que~ sto nuovo ranio di Chimica sonosi procacciati un vera diritto alia riconoscenza della postericd, die ne sard, loro tenutu; quand'andie non ritenga tutte le idee si- stematiche , per le quali si annunzian persuasi di ave- re omai solid ata Z' Arte al grado e alia dignitd di Scienza, traendola daW abbiezione , in cui dianzi a lo' ro avviso giacevasi, di un ignobde empirisnio. )( XLI )( E a proposito delle idee sistematlc/ie comunemente adottate non si repitta inutile di osservare cite a (jiiesco carattcre parted pa d notne stesso di Chiinica pneuma- tica posto in fronte alia nuova dottrina. E^ desso un nome die a rigore e per propria significato compete al- ia raccolta delle norizic intorno alia costituzione delle arie. Ma nelV opinione de' Neochimici gli si da un senso piu largo assai. Sono eglino persuasi d' esse re per grande ventura della Scienza giunti a scoprire nelle a- rie i prindpii piu semplici e piu universali d^ogni ma- niera di Corpi, di cui son di purere die in esse annidino nella loro quasi assoluta ed elenientare purezza , asso^ ciati soltanto al principio igrieo. In cid e riposto sic- eome il perno , intorno a cui raggirasi la nuova dot- trina, ed e riguardo alia ferinezza e soUdita di questo die propongonsi essi di consultare il Piliere di Folta noti senza lusinga di ottenerne risposte die tronchino le dispute. Ben nell' iinpiego di questo nuovo strumen^ to attivissinio, per cui con armi dianzi ignote vengono assaliti i cor pi , e all' oggetto di svelarne I' intima com- posizinne rivolta V efficacia sovrnggrande dell' a gen te e- lettrico, converra ch' essi procedano con piu ritegno, che non forse in nddietro. I Fisici , co' quali pregiansi di avere contratta lega , gli ammoniranno dell' obbligo di aver presente che non a torto fu dagli antichi Sapien- ti simboleggiata la Antura net Proteo della Favola ; ch' eisa sotto i lor occhi e fra le lor mani e pronta a & )(XLII)( vestir m'lUe forme e senihianze diverse, e a prender Va- sjjcrto or d' aria, or d' acqua, or di fuoco; mentre di essi fjuo tenicrsi fondaramente che non
  • .' tang(p' Sara per conseguenza tang ( = ; - ^' — . •i " COS/, tang

    cos[, -^y) Pongasi ora z: -^ 7 = u; e sia o- = * « , avremo 1' equa- zione o=ar — u -i- u dalla quale ricaveremo (§§ 48, 44) a. a u 2,.6au avvertendo di mettere nel second© membro di quest' e- quazione =1 in luogo di u dopo tutte le differenziazio- . , . . dJ'i'uY rr(t>uY ni . 1 termini — -j—^ ■> ' , , ■> ec 2.au 2,.o a ti si otterranno facilmente, poiche sara in generale e dalla preccdente equazione cot ^ sen u ■+■ sen /.' cos u = cos a' tang $• si ha (IK -r—=senK cos ^ cot u — sen t^ sen A' a u TKIGONOMETUIA SFEIIOIDICJA. Uunque tanto \ '■ quanto — , / » — , , ,ec. si potranno sempre determinare colla sempllce differen- ziazione, giacclie sono fuiizioni delle variabili ^, ?i e delle costanti /', 4>'. Dal valore poi di a si dedurra 1' aii- golo ^ inediante 1' equazione tang ^ = cos a' tang cp' — sen a' cos u io5. Propongasi, per esempio, di trovare I'angolo ^ per mezzo dei tre elementi a', ^', w , negligentando la sesta e le piu alte poteuze dell'eccentricita. Avreino te* e* ~\ e"' — -H — {i-¥-senp>^) [V—V')senp'-^ — senp' cosp'^-^il {^ ^du a^^ ^ ^ ^du\scnp' d <^ d^ J. JMa si e gia trovaro (§ 70) d.senp' , ,^ d(V—V') r ', ^ r=^senp cotZ •■> -^ '- =tang p'^ cot ^ {tang T —tang V) tang p-'' cot Z sen ( V— V) . cos V cos V mettendo pertanto ss in luogo di a, e supponendo Tan- golo H tale, die si abbia tangH=z ; '— . ; fatto inokre per brevita cos A tung ^ r— sen /■. cos v * O U I A N I A=^-r-=- -7— 1 sara a a a ar a./« a* ^ ' ^ L °^ cosy cos y J ed il calcolo tleirangolo ^ si potra dispone come segue sen or I ) tang 11= . C05 a' tang (p' — sen /.' cos or a ) A = senll { cos H cot w ^-' sen H sen ;/) 3 ) senp' = sen II cos a' 4) senV'=^J!LL cosp' 5 ) senV = 21 cos p' L^.1. (i ^senp'^) \{F—V')senp'-^L^senp'cosp'\[i'\ H-l! A{F-F')cotHsenp'' \v^ F'^tangp''"'"^J^'~^')'\ • a L tosFcosF'J 7 ) tang Z = je/T « co^ a' tang . , b = r-T^— ' ^ = f—f — ' ^^- etr in oltre a Ti a V * ^ =: a . «• -f- 1 — -4- ec, avremo 1 ennazione o = tang H — tang C -+- * ^ Quindi facendo come sopra (§ 90) otterrenio -+■ ee. ^ = H-^^H. COS H -^1-21 H^ — — a 2.0 avvertendo di niettere in (*'^)% (*"C)' ? ec. dopo le dif- ferenziazioni II in vece di ^. 107. Limitandoci all'esempio precedente in cui om- mettonsi le potenze dell'eccentricita superiori alia quar- ta, avremo ^ = a . s- H — '—, vale a dire * 4" = [^ -i- -^(i -H senjj'')! a {V— V)senp' -»-—<» 5e«/;'coi/?''.[i] -H __ h {V—V'Y sen p''- W= iUl? )!£££« =- 1' a. (F- rr s,np- sen f c« f — a [y — y ]senp' cose I -'__< i -' I a ' ' ^ Lsenu' d: dl J 5 O n I A K I d.senp' d{V—V') sostituenJo i valori (§ loo) cli — jy— ' j^^ ' dH „ dd H .,, ,,•• e faceiulo A^-j- ; B = -T-r, cosicche abbiasi il 31 lb W A , B -\- 2. J^ tans, H i, o= — ttt; l^ = ,,, „a ° ^ 1 equazione COi ii COS H tz=zH-^^H.cosH -^^ — ^ • nsultera a, ^= //-4- f- -H — (I -t- JC/i/?'')! A{ V— V')senp' -+- -^Asenp'cosp'\[i\ L a a" J a ii a \ • tangp ,2SeniF-V') cos y cos v] le quantiia H , A , p' , V , F si avranno dalle cinque foriiiole precedend (§ io5), e B dalla ibrmola i __ ,. sen 2 H Bz=.A (cos 2 H cot :iT -~ sen a H sen /) 1 • io8.Teno;hiamocontosolaiuentc del quadrato dell'ec- ; centriciui; sara j ^ = H^€A{F-F')senp' j i Volendo poi rendere quest' espressione indipendente dal- i la slera luscritta, si prenderii uii angolo A tale die sia ; « 1 tans h = ^!^-^^ Ora h diventa H quan- '■■ cos A tan^ ^ — sen / cos a? j < TUIOONOMETUIA SrEUOIDIGA. 7 do ill It si mettono a', (p' in luogo di /, (p; ed essen- do (§ 33) .a },'— ;^ — ^^sen2,>.;(p'= I cos/-^{v—v'){cotzu'—sen?tangIi)senh I 109. Facendo uso deU'eqiiazione pritnitiva (§§ 25, 27), la quale, negligentando la quarta e le piii ake po- tenze deireccentricita, e ritenendo il valore di - (§ 101,) si ridiue a sj-+-s=s — s', otterremmo un' altra espres- sioue di ^ indipendente dalla si'era inschtta, cioe d vs' ossja ^ T e* J , , ,,r , seniv — v)cos\>~\ ^=-n-^ —senhsemhcosMcotm — senxtans.h)\ y— i^'-t- ^ I 4 L cosu J o O II I A N I o e si potrebbe agcvolniente mostrare 1' identita di qu e- sto valore di ^ col precedente (§ lOo). r 11 O U L E ]\[ A VIII HO. Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre ele- meiui

    ^ i ^ trovare la latitudiiie a. SOLUZIONE 3 Dicansi $' , a' le latitudini nella sfera inscritta cor- rispondenti a cp , a , e ritongasi il valore di o- come nel problema VI, si avra 1' ecjuazioiie (§ qS) coi ^ sen{i: -i- t)= tang p'cos a' — cos{x -+- nY . It ne termini ——r- » — t— r^ , ec. Avremo in seguito J , , — sen '^ cos (p' cos u±\/ {sen t" — cosii'^senu') . sen ^ sea (p' -+- cos ^ cos tp' sen u e finalmente alia latitudine a' si troYcra (§ 33; la sua corrispondcnte a uello sleroide. TniCOXOMTITiaA SFEIIOIDICA III. Propongasi, per eserapio, dl tietermlnare ;.' co' tre elementl r-cos u) Siipponendo pertanto che a' diventi L' quando si met- d U te w in luogo di a, e facendo per brevita ^ = -j — » ne risulteranno le seguend formole per calcolare la la- titudine a' : V , ,, — sen ^cosrCck sen ^ cos $' cos u r±= \/ {sen ^' — cos (p'"' sen u') 7) tan^.A^ sen ^ sen cp' -+- cos ^ cos cp' sen u S O L U Z I O N E 2 1 1 2. Conservancio i yalori di o- ; iang i L' ; tang I a' stabiliti nella soluzione priaia, pongasi d . tans: i L' , d\ tang h L' d\ tang i. L' dss d w d TS^ ee. e di pii lU * 3 ' $ /,' = a . (T -i- b . ^ c . — 3 ■+- ec. a a.D avremo 1' equazione o = tang ^ L' — tang i a' h- * a' , la quale ci dara (§ 8i) a>'A')\coj'L'' sl' i" ?.')'. cos iL'^ A'=Z'-t-a?.'=a.ir-^h. — , vale a dire ^ — asenp' cos p'\ [i] -+- — b {V — Vf sen p'^ (« Ay= -^ a' {V— V')\ sen p'' (!^tanq,\>!) ——a'(F—F!)tangp'^cosbA''tangx'{senp''^tangF-^-coiF') Ponghiamo ora L' in luogo di /', e facciamo A^^^^' . n ^^^' 1' 1 • 1 ^ . •^=:7— > -0= j~«~i a onde si ha a = r-irn ' i r-* *' = r-/ z — -; 1 equazione ^'= L' -i- a 4> L' , cos 1 L ^a.^i'f'yy.coshL'^ SI cangera in I a O u 1 A N I — -»-^ (i -*-senp-') Ll(F—F')senj?'-^i-^Asenj?'cosp'\[i] -^fL{V—V'ysenp'' (5 - a A^ang L') 1 ^' [V—V) tang p'^ tang L' {sen p'^ tang V-^cot V) Le quantita Z', A,p\ V , V sono state sopra (§ iir) deienninate, e ^ si avra dalla formola J5 _, ^fl^g- $' -4- a ^ 5e^ a- — .^' (M^g ') J jeny; per esscr qiieste sen a {tang L tang ^ -h coi s) gia moltiplicate in f\ la stessa equazione diventera T e' r r r (" — v') seii^{sen L — tang:)cosLcos^) — taiis.Zsen-5s~\ ,s=:L-^- — I sen L COS L-^- ■ ; f— ^— I a L sen m [tang L tang 4) -+- cos s) J nella quale sara p r sen ^ , sen L sen p = sen ^ cos L ; sen u = ; sen i/' = . cos p cos p 1 1 5. Possiamo ottenere per mezzo dell' equazione primitiva (§§ 25, 27) uri akro valore della huitudine a indipendente dalla sfera inscriita, poiclie negligentando la qiiarta potenza dell' eccentricita, e supponeudo ^ — -senp .Iv — u H i '- ), la delta equazio- a \ cos u I ^ ne diventa (§ ioj), ar-t-s=z~s', dalla quale ne ri- sulta (§ 1 10) sen ^ sen ;p -t- cos ^ cos i|? sen ( s -t- I) Facendo pertanto tang i L = — -^g" K sen j) co^ sr =b v/(jc/z C'— cos cp' jgra ar') 5t;« ^ jtf« (p -I- coi- 1, cos ^ sen s ' 3i 2.yrxtangl,=tang\L-^Z.(il^3r^>^^ ossia '^ = ^-<- - -(j^), vale a dire ^ ^_»_l! ■ •'"^^^{senL— tang 0 cos Leo s") I A Jew w (^ per mezzo dei tre elementi (p , w , ^ = go" non ommettendo die 1' ottava e le piu alte potenze dell' eccentricita. Facciamo per brevita ») = Z? . i|/ -+- 27 . sen a d/ -^ B . sen 4 4'-^ 6c. 01 * ' I'eqnazione (XIII) sara 3=90" — ^ — », da cui si con- chiutle (§ 102) tans; d) _,. , , seni) cos(Pcos(js-}-k) tang}, = — ■—— Si ha ancora coi4/= = — ^^ -9 cos[:b -i-ij) sen A cos A ovvero sen I = cos :^ sen {is -^- if) . Pongasi ora w-+-ij = w-) ed K = t>u, lie verra T equazione 0 = 37 — M -+- *?/:, la quale ci dark (§§ 43 , 44) tt=ar-f- u = *i = B .>!'-<- ^ • sen a J/ -♦- B . sen 4 4' 01 3 k>!.Y= B' .V-^ 2B B ^l.sen2 4^ o 01 (* uy = B'^. 4' 3 TllICONOMETRIA SFEKOJDIOA l5 Avremo quindl H- (^) .[b' .i^-^D B {sen 2 vj. -t- a | coj a i{.)l ^d u' L. o o » J d*(<\>uY r dB d^~\' I „, ,^f,ddB^ d u d u o^ diir^A e siccome dall' equazione precedence sen cp = cos 4^ sen. ^ si ha (^—) = co^ / CO* v{/ j similmente dall' equazione tang(p=iang>.cosii si ha (-= — )^=^sen^cos^. tang u=sen?. tang 4^; d u otterremo pertanto ( Ji^) = ( J") ( 51,) = '^^•^ ^ '• ■ ^ = — sen A^ tang 4^- Ixioltre abbianio (§ 70) o ^ a 2.4 ' 5 = -L (A:' Jew a' -4- /T" je« A*) coj A 1 a B = -^ . K" sen A* coj A Quindi sara I 6 O II I A N I = — A sen > H- - K' (2 — 3 sen ?^) sen A _ =• -; A ' (i — 3 sen a') sen A d A a \ ~j~^= (~r-^) (~)= — sen >' tang 4,1 K—- K' (n-^3 sen ^') ( d u ^ d A ^ d u' L a, J J 5. ,d B J y , ' = (_^) (^/) = _L A'' (i - 3 sen >') sen a^ tang 4^ d u d A d u ix ddD^ ■ - = — A sen A cos >. {i -h 3 fang v|>') . Sostituciido questi valoii, avremo '—. — =• — ysenf^cosytanai'] .')~\ \ -+- -^ KK'-^sen 2 v|/ tang ^ (a — 3 sen A^)senA^ cos?\-\-K'li cos a ^ .[K-\-K'senx*) H — 5- KK' sen A* coj a' (^en a i^ -t- a vf/ coi a »|^) = A'\ J/ C05 A (co* a' — ^ tang ^ sen a') KK' H J- . 4/ /a/7g i|' ('1' ■+- sen ^ cos i^) sen A sen 4 a KFC H (a ij/ -H vf' coj a 4^ -»- J«« v|/ coj vf/) J^n a' co^ a' ■A d* ( nV r'» , / , , . ,v, J-J—i = A . 4- CO^ A (CO^ a'— 4/ ?fl/?g 4/ 5e« A*)* . v{/- jea a' co^ a' 1 3 tang 4, -♦_ 4, (r n- 3 tang 'V) \ 'I TKIOONOBrr.TRIA SrEKOlDICA. I 7 Laonde, chiamando Z Tangolo ^, e q I'angolo ^ quan- do si incite m in Inogo di u, si avranno le seguenti equazioni per determinare la cercata latitudine a. i)tangL = t5!lS^ cos ar a ) sen q = sen tss cos ^ 1.3 3 ) u=: w -H q{K-i- ' K'senL'-i- — K" sen V) cosL a a.4 -^-^sen^q[K'-\-K"senU)senUcosL-¥---K"ten^qsenVcosL a a -^ K' . q cos L {cos U — q tang q sen U) H — 1 KK' q tang q sen L sen 4 L {q -{-sen q cos q) "+- - KK' sen Ucos U [^.q -\- q cos 2, q -i~ sen q cos q) -*- K^ . q cos L {cos U — q tang q sen L'Y — - K^q'senUcosU {%tangq-^q{i -^Ztangq^) ) cos u avvertendo clie si ha (§ 70) J, I J r.i I-I-3 « . ^,_i.3 »-3^. . rr„_ 1.3.5 , a a.4 a.4.0 a.4 4-^ a.4.0 117. Rappresentiarno con ijl la somma di tutti i termini di u affetti dall' eccentricita, si avra «=37 -+-/*• Ora, siccome L diventa a quaado si mette u in luo- 3 ■ec. ' I 1 8 O K I A N I go di or, ne risukera (§ 76) d s'' a d js ' a. 3 ^rf w*^ Supponghianio che si oinmetta ancora la sesta potenza deir eccentricita, essendo _ tane. 4> • I- tang L = — 5 — 5 sen q = sen m cos cp , e quinax cos ar T ^ d^ L T T , 1\ -— = sen L tang q ; - — - = sen LcosL [i -^ si tang q) (t H Ct '3d e* M* = — q^ cos U ; otterremo i y-^L-^qtangqsen^Ly— ^t-{'i,^lsenU)\^'L.e'' senq"- senV sen'xL \ e* •< ' ■^ — q tangqsen2 L{cos L^—qtangq sen r)-{-- q'scn2.LcosV{i-^-!itangq^) \ a a'' I j Problem aIX i i 118. Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre an ; goli ^ , 9 , s; , irovare la latitudine a . I SOLUZIONEI i Siipposta a' la latitudine sulla sfera inscritta cor- j rispondente a ', e ritenuto il valore di s come nel pro- J blema VI, 1' equazione (XVI) diventera i V -^ s = Z — Z' . Essendo poi (§ 88) tang V= \/A^'~^enp'^) . ^, ^ tang x' ^ sen ^ cos ,.' cos 6 " cos ^ TUIGONOMETUIA SFEROIDICA. 1 9 nc yerra / \ ^ irj rf,\ senp' (tang F— tang V') tang (a; -H j) = tang IZ—Z') = LA — -5 -—s ^, ^ ^ ' ^ ^ ^ I -H senp-' tang Vtang V vale a dire , . — senlsenx'cos^-^cost\/{sen^^ — senp'^) tang{m-k- — sen t sen >.' cos $ -t- cos ^ x/ (sen d"^ — sen p'^) JCAj ( sr -H 0- ) = :;: ——^ — — ■ cosp' I y, cos t COS ^-i-sent sen a' v/ (sen i* — senp''') cosp''' Eliminando i radicali da queste ultima espressioni, ot- terrerao , cos Z cos {■ST -^ a) — cos d sen Z sen [m -\- a) Ora facendo t? -i- «• = «, ed in oltre n ^ avremo r equazione 0 = nr — U -¥■ ^ II donde ricaveremo (§§ 48 , 44) M = w -+- OT -»- — i '- -+. ^ '— -+■ ec. ^ d u a. 3 d II avveitendo di mettere dopo le differenziazioni w in luo- go di u ne termini , ■ - , — \ , , , ec. Si avra in se- ■iO O K I A N I COS t COS u — COS 9 . • r 1 giiito sen A' = — ^ ; e Si trovera iinalmente sen ^ sen u (§ 33) la latituuine ?. siillo sferoide corrispondente a /'. 119. A rischiarare la soluzione del problema pren- dianio I'eseinpio in cui si trascmano la sesta e le piu ake poteiize dcU' eccentritita. Avieino (§ 67) <^u = y=\-^t^^{i^senp<')\{V—V')senp'-^\senp'cosp>\[\\ a.du a'^ ' ^ \senp' d a' d a' r d u^ ... cos ^ cos a' Avendosi poi cosV=ztan^p'cot^\ cosV'= ; — j ne verra (§89) a a' cos p' cos p' senyseny si avra in seguito ' , = — senp' tang /'. Inoltre dall'e- quazione precedence sen /' sen ^ sen u = cos Z cos u — cos 9 d x' — cot Z — sen a' cot u t 1 ..1 SI ottiene -r-= ^^- • Laonde, mettendo d U cos a' V in luogo di u e supponendo che in questo caso a di- d L' veniiZ/': facendo ancora per brevita ^^='^r~-> ne risuUera TRICONOTIETKIA SILUOIDIOA 31 ml u J. \ cosp' senyseny I e le seguenti forniole serviranno a determinare la la^- titucliiie a' cos ^ cos TB — cos i I ) sen L' = a) ^ = fen t^ sen v cnt C — sen. V cot » cus L' 3 ) sen p' = sen ^ cos L' , V .7, sen L' 4 ) seny ' = cosp 5 ) sen V ^ tang p' cot J t'' e* 1 e* H- (i -i-senp'^) \{V'—V')senp'-+-—senp'cosp'*.[i] -.'l,AiV~F')tansL'senp''{F-V'^ '"".^^~/'\,) a \ cosp' senyseny / . , cos t cos II — cos d 7 ) sen a' =3= — . SoLUZIONE 2 120. l^itenute dalla prima soluzione le due equa- r, cos ^ cos -^ COS^ . cost COS (:j! -i- x' =1 a . (T -\ 1 5- -+- ec. avremo 1 equazione a a. 3 ^ 0 = sen L' — sen a' h- <^ A' la quale confrontata coU' equazione (§ 43) o = « — X -\- <^ X ci da sen L' = ct ; sen y = x; * a' = * a; . Quindi se si vuol avere rinimediato valore di a', si fara Yx = ?v' ^ cosicche y d'Y X , d A I T^ sara —, — =W x=-r-'= , . Uunque posto a X a X cos A I tr d {^i^""\ d r^^^n d [{^:::3n Lcosa' J Lcoja' J „ Lcos a' J , ~dv- =("' '')> a.' =('^"^') ' -~dir- ={*"'^'r; ec. avremo A'=Z,'H ^,-H-5^ '■j-,-\ 4 ^, H- ec. COS L a cos L a . o cos L e si metteru. ne' termini (*'a')S (*" a')S ec. dopo le diflerenziazioni L' in luogo di a'. 121. Applichiamo questa seconda soluzione all' e- sempio precedence, in cui non si tien conto della sesta e delle piu ajte potenze dell' eccentricita . Sara in que* sto caso (px'=a.::-^ , OVVerO a * '*^' == I ^ — i-—^{f-i-senp'^)\{F—F')asenp-^t^asenp'cosp'\li] ■+-^lb{F—Vfsenp'' TRICONOMETRIA SFEROIDICA. a3 {<» A'y =:^l^a' {V-Vf sen p'' I tang a' o d k' a cos a' a cos a' \ je«/'' T I . 13 t(l"^ L' I COS W* \ Inoltre sara^ = -^«"gL co^-J ^= "W (' "^ ^^77?) ' Facendo pertanto le dovute riduzioni , ed avvertendo che ruliiino termine _ !! A' (V-V) tangjr' tang L 'IliS^ZlE^ diventa a' * ' ° sen y sen y — -, ^' Y' co^ L' /►ang Y'= - ^ -v' cos L' , otterremo a 2. e* =', trovare la latitudine a. SOLUZIONE I. Posta >' la latitudine nella sfera inscritta corri- spondente a ^ , si sostituisca iiellVquazione (XVI) in vece di V \\ siio valore trovato soj)ra (§§ 46 , 5i). Per age- volare la sostituzione , si noii (§ 44) die si ha aft O u I A N I P O' tita a' , a" , «'" ec. sono le stesse die «, ; «a ' *3 5 ^c. (§ 66).; , quindi facendo per brevita ! »• s= — tt P -\- a. sen a ^' -t- jf jen AV-^- a sen 6 F' -4- ec. 1 e I a ' 3 ] -\-a'Asen'x{V'-^P—a P)-\-a" BsenAlV'-^P—rj P)^ec. j o o ' I -^a'A'sen^[^V'-h-P—ct P)-^-a"B'sen2{3V'-i-!iP—!ix P)-+-ec. j O O H-a'j'''j«raa(P-« P)-Ha"2?'''ie/ia(F'^-aP— a« P)-t-ec. ; * c I I \ -+- ec. i avremo r= P -+- P -+- j- . Ora nell' equazione (XVI) ' vr=zZ — Z' — fiJF—F') — 2fi -[i] — a/3 .[a] — ec. . ( si ha , Z = Ang.tang[senp'tangF] = Jng.tangisenp'tang{F'-*~P-^T)]i \ Z'=Ang.tang{senp'tangV'], e supponendo per brevita ' x-=V'-^P; y = Ang.tang[senp'tangx], ed in oltre • n dy t' rr y t* d^ y dx a dx a. 3 ^ji^ secondo il teorema di Taylor si avra Z = y -¥- R, e sara d y sen p' d X I — cos p' ' sen x^ d' y sen p' cos /?'* sen a x dx' (i — cosp^senx^y TIlIGONOME'l'lUA SrEUOIDiCl 27 d* y A sen p' COS p'* sen a, x^ o, sen p' cos p'^ cos a x d X* {i — cosp'^senx^y (i — cos p'^ sen x'^f ec. Rimettendo in vece di x , j i loro valoii, ne risultera Z — Z'=Jng.tang\senp'tang[V'-\-P)'\ — ^ng.tang[senp'tangV]-^R Sara inoltre generalmente [i]=scni{P-i-T)cosi{2,F'-i-P-\-T); vale a dire [i]=seniPcosi{iF'^F)-^-(2iT-^^^ -+. ^^^J -ec.) cos2i{V'-^P) s.\ % a.iJ.4 a.3.4.5.6 / ^ ' Dunque supponendo ff=— i?-H/? (PH-T)-t-ai3 .filH-aS ra]-t-a/3 rSl-i-ec. la stessa equazione (XVI) diventera w -4- «• = Ang. tang \senp' tang ( V '-hP)] — ^«g. tang [senp'tang F'] da cui ricaviamo tang (i>^A = '_f!Ltl±"A {^"-^ P)- senp'tang P 1 H- je«/?'' tang[V' -+- P) ^a«g F' sen p' tang P cos V''' ->>~ sen F'^senp''' — cosp'^sen V cosV tangP sen ^ tang P cos a' — sen /' cos ^ tang P Reciprocamente sara a8 O u I A N I , sen^senPcosPcos{--^T)±cos::senP\/(i''n{--\--Y—sen!:'senF-) cos > = — — jT^. -. ^ ■ — ( I —sen (,' sen P ) sen (^j -i- a) Pongasi final iiiente M = w-+-r = ti^-^-<^Mdi maniera die sia U la quale ci dara (§ 45 , 44) . d{uY d'it^uY u = m -<- ?/)" lu du' , ec. u saranno pure funzioni di a , a' e delle cosranti P,^ fa- cilmente determinabili colla sempiice differenziazione. TUIGONOMETIUA SFP.KOIDIOA. 2^ II trovato valore di u sostituito nella formola precedents , senP\ sen^cos Pcosjizt:cos^\/(seni/ — senCsen P')'\ cos/.= 5^—^ — (i — sen ^'^ sen P') sen u ci dara la latitudine a', a cui si trovera (§ 33) la cor- risj)Oiidente latitudine a sullo sferoide elittico. 125. Sia, per esempio, da trovarsi la latitudine a' per mezzo dei tre dati elementi ^ , P , m nei caso che si trascurino la sesta e le piii alte potenze dell' eccen- tricita. Facendo per brevita [i] = sen P cos (a P-h P) ; [a] = sen a P cos 2 (a V -¥■ P) , avremo in primo luogo (§§ 5i , 124) r=r'H-P-t-r=r'-HP— « P — a* seniP—^^ P)cos[iV'-^P~x P) • 1 ^ o ' \ o ' — a* .[a]-+-4a* .[i]cos . A" T- . cos p'^ sen ^ (V -^ P) ne verra /? = a r -1 L ^ : , a sen p' Essendo poi (§ 67) 3o O R I A N I C .(P^r)-Ha/3 .\i]=[-^^{^-^cosjf')'\Ps€np'-^-'-L^enycosp'\[i] se ponghiamo ancora n = (P — [i]) coj/?' H i- avremo a* a. \ senp' ^6senp'[P{^-*-cosp'')'-'[i]cosp-^]j ^^Acosp''Up{Z-^iisen{F'-^Py)-8[i](i-^2'Sen(F'-i-Py)-^[o.]J ^ ' a^ e sara £.^=,_A_ . ±f^-^^A^cotp'sen{V'-^PYt^^^cosp'cot{V^P). ^) .'^{Pcos2{F'-¥-P) — [i])senp''—cotF'{Psen2{F'^P) — senP sen (a V -+- P) )\ Supponendo pertanto che a' diventi L' quando si met- te m in luogo di w, e facendo ^=2 — Jl calcolo del- la latitudine a' si potra ordinare nella mauiera seguente I \ cot L' ^^" Pjsen^ cos P COST ±cns^\/{sen:ii^—sen^^ sen P^)] ( 1 — se?i ^' sen P') sen m a) ^ — sen ^ tang P sen 57* {sen L' ■+■ cos V cos ^ tang P') 3 ) senp' = sen Z cos L' 4\ 77, sen L' ) sen V'= 5) A = COS p sen p' I — cos jr' sen (V ^ Pf 6) n =(/>-[,]) CO. />''-f-^Z£!^' A -\ ^ , r, i^\^cosp''sen2(V'-^P) ,„ , tu 7) ii=ar-t-— .An -> i- 5 1 lp—\l^f ' a a*' senp' ^ ^ ^' -^d sen p'[P{%-y- cos p'^) — {i'\cos p'^'\ \ — — Acoj/?'" j 2/>(3-t-8.e«(P-t-Pn— 8[i](r -+-aje;z(r'-*-/')')-»-[2] ^ ^-,AA^n^tangL'\,-^Asen{V'-^PY\senp'^'JiI^'S^-S^'\ \ ^ ' L sen p' J ' 3a O a I A N I ^AA'ntangL'\{Pcos2{r-^P)-[i])^enp''-'CotV'{Psen!i{V'-^P) '-senPsen{iV'-k-P))\ avvertendo che si ha li] = senP cos (a F'-»- P) ; [a] — sen^P cos a (a V'-^ P) . Finalmente sara , senP[sen^cos Pcosu±cos^\/{senu'—sen(:^senP^)] 8 ) cos A' ( I — sen ^* sen /*') sen u SOLUZIONE 2 126. Colle sostituzioni e denoiniiiazioni della pri- ma soluzione si arrivera all' equazione , senP[sen ^ cosP cos{w-i-t)±cosZ \/{sen{ii ■+■ y)^ — sen j^* sen P^)] (i — sen (J^ sen P') sen (» -♦- a) Facendo quindi senP \sen ^ cos Pcos:s± cos^ \/(sen ©' — sen ^* sen P')} cos L = 7 1 =r- ( I — sen <; sen r ) sen m d.cosL' , d'.cosL' cP rosL' , . , a = — 1 ; ^= — r-i— ' '^^ — J— T- ' ^■^' ed inoltre a 37 as ii a <^ A' = a.a- H 1 r- -H ec. a 2.0 lie verra V equazione o = cos L' — cos >.' -+- 1> a' Onde se noi pongliiamo come sopra (§ 74) TRICOXOMLTRIA SrEUOIDICA 35 otterremo x'=L' r,-^- — h Q T'~^ ^^• sen L a sen L a . o sen L purclie cloj)o le differenziazioni si rnetta nel secondo membro di quest' equazione L' in liiogo di /'. 127. L' esenqiio precedente (§ i25), in ciii si om- inettono le potenze dell'eccentricita snperiori alia quar- la, puo servire a rischiarare ancora questa seconda so- liizione. Avremo pertanto * a' = o . a- h- Z* . «■% ossia rite- nendo le denominazioni di a , n , [t] , [a] gia stabilice senp .,, A* A* VA^COSp'* SenO.(V'-^-P) ,r, r -,\z r ,,r,, ,» ♦ A=-,.aAn-pa[ —7^ ^ {P-[y]y^Gsenp\P{^^cosp'') -[.]coj/;'')j — iJaAcovr''(aP(3-i-8^e«(PH-P)^)-8[i](i-+-2je«(r'-H/Y)-+-[2]) a.' b \'n' a* K/r = _k^£^=i;«'An.(an^H-2A^-Anc.n') ' d K' u' sen^K dx' d a' / Sostituendo i trovati valori di -, -, » -y—, , e facendo d A' d a' 34 O R I A N I dV (V L' A = -r^ ; B = —, — ~ , cosicche abbiasi a= — A sen L' ; dm dm h = — B sen L' — A"* cos L' , avremo ^ ^ ' sen J)' -[i]cosp'')], a c a" -^^A\A'ntangL'!>[Pcos:i{V'-^P) — [i'\)senp'^ — cotV{Psen2.{V'-^P) sen Psen (a V -\-P) ) I nella qual equazione le quantita L' , A , p\ F' , a , n si otterranno colle precedenti (§ laS) sei formole, q B si avra dalla forrnola ■B = — J cot zn {a. -^ A" sen ts') 138. Possiamo dall' una o clall' altra sohizlone di questo problenia ricavare la latitudine cercara sullo sfe- roide elittico indipendenternente dalla sfera inscritta, poiche I'arco L', e le quantita p', F', A , n , J , ^ che da esso dipendono, rimangono le inedesime tanto sul- la sfera inscritta quanto sullo sferoide; onde, stando neir esempio della seconda soluzione, bastera sostituire (§ 33) in vece di a' il suo valore a ^^e/zaA-t- a 1.^ TllIGONOMETKIA. SFEROIDICA. 35 ^5e«aA (a-+-coja/), e col metodo sopra (§ 92) usato, si trovera facilmente la cercata latiturline sullo sferoide, vale a dire, posta per brevita =1- la somma de' ter- mini mokiplicati in A"* nel precedence (§ 127) valore di a', si avra — {sen a L' -H ^ . A n) -H _ a* a A = L' -4- — {sen a,L'-^ A. AH) -{-Z- A .An cos 2 L' A* . sen a L' (a — • cos a £')-+- ^ a-* * ' Ommettendo ancora la quarta potenza dell' eccentrici- ta, avremo , T> «T r. A ,1 T, PsenPcos{2V'-^P) ^^,„,A1 a^L ^V i~^cosp''sen{V'-^P)' /J e le quaiitita L' , A , p\ F'si calcolano colle prime quat- tro formole sopra (§ i25) esposte. 129. Dalle due equazioni (§§ 27, 40) „ „, e* /n sen P cos v'\ vs =:z — z' — — sen y ( P -h I a ^\ cos{u'-^P)/ „ e*r,„ „ „ , _, , , a.cosu'senp'~i , = ,'^P^^^^(^P_SsenPcos{^v'^P))cos/-^^^j^^^j si ottiene un' altra espressione della latitudine a indi- pendente dalla sfera inscritta,' nelT ipotesi die si ne- gligeiitino la quarta e le piu alte potenze dell' eccen- tricita . Col metodo usato nella soluzione prima (§ 124), facendo per brevita 36 O K 1 A N I senp COSJ)'s€ll{o'-^P)- L -' ^ COs\y'-^P) J ? \ cos(y-+-Pj/» a jera 'si ha '^ -t-- = -^/?g. /ang^ [^e«/?^fl/7g(u'-+-P)] — y^ng. tang[senptangv'] , da cui si ricava cos A — sen a cos ^ tang P e per conseguenza sara . __ senP{sent,cosP cos{-^->^^.)±i cos ^ \/[sen ( -^-t-i- )'— sen 'Csen P*)] cos (i — sen ^^ sen P) sen (37 -h I) Dunque prendendo Y arco Z' in maniera che sia cos L' = ^^" ^ [-^^^^ ^ go-y P coj ?T ± co.f f \/{sen •n'-—sen Csen P')] { 1 — sen ^ ^ sen P') sen a SI avra a = L' h- s . -^— , vale a dire ^—L'^-,A\ ~\ , . co5y/(P_3je«Pcoi(au'-i-P)). 2 jen P ( P je/z P C05 t co7(7IhP) ;)f nella qual espressione e senp =. sent, cos L'\sen\)^r=z- ; 2 sen p^ sen Peas 'A 'cos(y'^P) sen L' A — sen ^ tang P sen m"- (sen L' -+- cos L' cos ( tang P) m TniCO>'0]\IETKIA SrlLKOIDICA Zj \^o. Se r angolo dato C e reito, si potra ottene- re la latitucline ^ sostituendo nelT ecjuazione (Xlli) il valore delT angolo 4^ = 90" — u determinato precedeu- temeiite (§ 55), e seguendo le stesse tracce delle due da- te soliizioiii (§^ 124 e seg:). Ma noi dedurremo piti brevenieme la laiitudine / daH'ultima eqnaziotie (§ 128). Essendo in cpirsto caso F' =: 90" ; /^' = 90° — L' , avre- mo le seguenti fonnole per calcolare la laiitudine / sui tre dati elementi ^ = 9o''.P,x, cjnalora non si tenga con- to delle potenze dell' eccentricita supcriori alia quarta cos L'= tang P cot m , cos L' A = sen X cos u cot L \ cos a / B = - sen Si P' = P —[\] = P -^ sen P cos P cos L' sen 1 m 1 — sen Z,'* cos P^ sen 2 P sen P^ A = n . = P' senL'^ -^2.P sen m* a=I,'h--, {seniL'-^A.Ar.)-\-^A.M-lcos2.L'~-jen2.L'{^—costi.L') 2 a a"* — ~AcosL'Up-^lP'senL''—P'senL'UangL'''^^!:-C^^,\ ax sen P cos P J ^t. A. A sen L' [P' (3 -^10 cos F') — ^Pcos P'] -.A'n\B-^A'tansL'cosi:c)-i--^A\A*asenL''tansL'{P'-'!iPcosP') a' 38 O R I A. N I Pkoblema XI 1 3 1 . Dati nel triangolo sferoidico elittico i tre de- menti, A , P , m, trovare 1' angplo ^. SOLUZIONE I Conservando le denominazioni di r , 7? , b- stabili- te nella soluzione prima del problema X, avremo I'e- quazione t^^„.^ , ,)- senQangP ^ a tang P tang l^ °^ ' COS),' —sen a' tang P cos ^ cos{a' ->t-P)-^cos{h'—P)tanghC Keciprocamente sara , sen P cos {-^ ■+- a) dr\/ [sea P* — cos A'* 5era(-ir-Ho-)*] tang -iZ— cos {>.' — P) sen [:!! -^ nY d'{i>ny a, a u 2..0 a u e si mettera nel secondo membro di quest' equazione ^ in luogo di u dopo tutte le differenziazioni. Essendo poi general mente — i '■— = m (<^ 11) ( ) ( — 1 ) e dair equazione precedence TUIGONOJTKTRIA SrEKOIDIOA. 3() sen t tans P , . tang K = ; —r^^ 7i avendosi C05A — sen/i cos ^ tang r d^_ I d u cot ^ sen u cos u — sen a' sen u'' ., , . . . . di'Vur d' {fur e evidente clie tutti i termini —^, — —^ — , ,'-, au a u d^ (twr r • • 1- o 1 II — , ,^— >ec. saranno iiinzioni di a,^ e delle costanti a u y ^ P le quali si determineranno colla semplice diffe- renziazioiie. Quindi I'angolo cercato ^ si otterra sosti- tuendo il trovato valore di u nell' equazione J sen P cos u zt.\/ {sen P* — cos A'" sen u^) ° ^ cos (a' — F) sen u 1 32. Si cerchi per eseinpio T angolo ^ per mez- zo dei tre elementi /' , /* , w nel caso clie si trascuri- no le potenze dell' eccentricita superiori alia qiiarta. Riteuute le denominazioni di [«] , [a] , a , n adotiate sopra (§ 125), si avra A* ^* /\''cosp^'sen2(F'-^-P) ,r, r n\t •+■ 6 o-e/z/>' [P (a -^ cosp" *) — [ i ] cosp''^] j 40 O R I A N I e sara i d C Jert/v' ^/^ -TV ' \ d Z ^ "^ d U '■^ = 2{Pcos2{P-^-P)-[i])cosp\'!::^f^-'2cosp''[Psen^{V'-^P) 1 dV —senPsen{%F'-^P)j{-^) c • ^ • • /<- A 1 • T ^ .sen p' bostituendo pertanto i trovati (§ 70) valori di — -7-p — ; d.cosp' dV , ^-=:Acot^—^A^senjycot<:sen{V'-^Py[i — tangV'cot{V'-^P)) d Z d n = A [cot ^ — a A cosp' sen P sen [V -+- P) ] ~~^!i.senp'^cotK\Pcos^{V'-^P)-[\^-^tangr{Psen^{P-^P) — sen P sen {a, T-hF)) | = — 2 sen p' cosp' [P cos{F'-+- a P) — sen P cos {F'-\- P)] Qiiindi se noi supponiamo die C divcnti // allorche ...... ^ ^fi SI meite u in luogo di u, e sia jn questo caso A = -j— » avjemo le seguenti forraole per determinare T angolo cercato ^ : TRIGONOMETIUA. SFEUOIIHGA. 4 1 ., I rr sen P COS m ± \/ (sen P^ — ens y^ sen m^) cos (a' — P) sen w a) ^ =. sen ST ( cos m cot H — sen w sen A') 3 ) sen p' = Je/i // cos a' jert a' 4) senV 5) A = cosp sen p' 6) n =(P— [i]) co^/?'^-+- £- A \ ^ .r. i^* r^ cosp'' sen o-il ' -^ P) ,r, r ^.z 7) « = ar -♦- — .An J •' {P—U\) ' ' a 2.'\_ senp' ^ *- ^' '+-6senp'[p{2,-t-cosp'*) — [i]cosp'^] I ^^^.Acosp''Up{3^8sen{V'-i-Py)—8[i]{i-^!isen{F-i-Py)-\-[a,]\ -t- — , //.A^n' [cof H—nA cosp' sen P sen (P-f-P)] — ^ /4.A'n5era/?'coj/?'[Pcoi(F'-t-aP)— w/zPcoj{r'H-P)] nella qual formola e [i]=senF cos (2 r'-+- P) ; [2] =sen2P cos a (aF'-t- P) 8 ) /flWg 7 t =: ^^" P ^Q-^ « ± y/ (.yg/z P' — coj A'' sen ^^') C05 (a' — P) 5e« tt 42 O R I A N I SOLUZIONE 2 i33. Dalla soluzione pmna si hanno le due equa- sen Pcos ( x -i- - ) -±z\/\sen P' — cof y'sen (n:-*- o-)*] zioni tang'_.^ cos ( '.' — F) sen {ss -i- a) , __ sen P cos w rt \/(.fe« P' — f05 >'* je« ro*) fang i // == , / p, -' . Onde se ponghiamo _cLtanglH d\tanglH _d\tanglH a J ; y — -J — a ; c — - ^ ; a la am a a ec. ec. e di pill * C = O..S . . ne verra I'equazione o = tang i H — tang ^ 4" h- 4> ^ Quindi facendo avremo (§ 8i) d^ = {\>"T ; ec. ^=H-^2.t>H.coshH -i '- 1 5 — li_^ — :^ — -+-ec. a. a. 3 avvertendo di porre nel secondo membro H in luogo di ^ dopo le ditlerenziazioni. I 34. Stando nel precedente esempio, in cui si om- mettono la sesta e le piii alie potenze dell' eccentrici- TRIGONOIVIETKIA. SFCIIOIDICA. 43 h * ta, si avra semplicemente j^ > mettendo H in luogo di ^, e facendo A = -j— ,B=-, — r» J. . , . J , B-\-A'tanghH di maniera che sja a = tj. ; b = — ^^ — ;. 2.C0S :, H a. COS iH V • o rr rr T rra tlH<\>' tX -COS ^. H' 1 equazione ^ = // -h a 1> i? .co5 J //" h ^-—^ diventera ?=f/^^U.An--^^(-^'^^^^''""-^i^I:^^(F--[.]r-i-6.e;./>'[P(a^co./>-') 44 O R I A N I ,, ., ^^ A. A cosp"* (2 P{3-^8seJi{P -^ Py)-8[i]{i -¥-asen{V'^PY)^[a.]\ .A'n'[B-\-2A'{cotrr—2Acosp'senPs€n{F'-^-P))] a* — ^ /<• . A' n senj/cosp' [ Pcos (P -na P) — sen Pcos {V -t- P)] Delia qual espressione le quantita H , A ,p\V' , a ,n si calcoleranno coile sei prime formole precedenti (§ i 32), e jff si avra dalla forniola B = A'\ senm cos m ( asen a -h 777 ) — cos zm cot H I L sen n J i35. Tenendo conto solaiueme del quadrate dell'ec- centricita, si avra e' Z=H-^-,A.An a Volendo poi rendere quest'espressione indipendente dal- la sfera inscritia, bisogiiera prendere un angolo h tale die si abbia ,, sen P cos vr ztz \/(sen P^ — cos /^ sen w') tang :' h = ^— ^ '- cos (a — F) sen w ed essendo (§ 33), quando si ommettono le potenzc deir eccentricita superiori al quadrate, /' = a ^ je/za ;i , ne verra H= h ^ ^en a a . ( _ ) . Ma I'equazione (§ 1 3 1 ) senh tangP , • • « i 1 *. tang:!:= " , da cui si e dedotto cos A — sen A cos n tang F TflTGONOlMETlllA SFEUOIDICA. 46 il valore precedente di tang Wi , ci da d A sen /. sen h — cos h "> ^ avremo ^ = /i — - (/J/ 5fn a A — ^ . A n) ; r angolo k si calcolera coUa formola precedente che da il valore di tana i A, ed M col valore trovuto di ^— ; it A , . . , ,^, sen A sara in seffuito senp = senhcosx;senV' = > o * cos p . I sen p sen -a [cos m cot h — sen w sen /) ^ 1 — cosp' sen ( F ' -i- py ' n = {P-senP cos (a V'-^-P) ) cosp" -t- ^^^^"^ . 1 36. Anche dalle due equazioni esprimenti i valori di t; e di ar (^§ 27,40) si puo avere T angolo ^ seiiza passare per le laiitudini sulla sfera inscritta. Imper- ciocclje, ritenendo il valore di 2 sopra (§ 139) stabili- to, nel ca?o che si negligentiuo le potenze dell' eccen- tricita superiofi al quadrato, si avra C = ^-»-S.( — ) , d ra' vale a dire K^h^'l^AU \cosf{P-lsenPcos{^J^P\\^ o^enp^ senPcosxTx . „ r„ senP cos i/' ~\ \ 46 O n I A N I nella qnal espressione le quantita h , p , A si cakole- ranno coUe tbrmole ora (§ i35) acceniiate, e saia iiioltre sen A sen p sen I/' = i A = ;: i -- ^Tj • cos/f i—'Cosp sen{u' -+- F) P U O B L E M A XII 1.37. Dati nel triangolo sferoidico ellttico i tre ele- menti ^,0,/, trovare la laiitudine cp. SOLUZIONE La soUizione di questo problema e facilissima , poiclie cliiamando a' , cp' le latitndini sulla sfera inscrit- ta corrispondenti a ^ , «P, V equazioae (XIV) ci da im- mediatamente sen t I COS (P' = : COS A' sen 9 e dal valore di ^ $ dal II; w J 9 dal I 6 c?) , fl , P A come 5*°mutando in A, 9 in 180" — ("e viceversa 7 A , cf) , F ^ dal III ; ar , 9 dal I 8 45 , ^, ^ A dal IV ; 0 , 9 dal I 9 A , 9 , P

    > ■> K •> P , si trova in primo luogo (|) col projjlema II, in seguito dagli elementi >^ ■> K i

    : sen iP — r) , , cot 9 = — :! i '- -2. 1 L , col metodo sen ^ iisato nelle precedenti soluzioni si otterranno le spguen- ti Ibrmole per caicolare 1' angolo fl su i dati elementi ^' i K ■> I' allorche si negligentano la sesta e le piii alte poienze dell' eccentricita (*) \ X ri COS Z cos P — tanii, /' sen P I ) cot G = ^= 5 sen ^ » . ('^G sen C {cos ^ sen P -^- tang x' cos P) 3) B =C^AS) — ^enGcosG{i-+-a.A') 4) sen p' = sen ^ cos \' (*) In vccc della formola i ) si possono usaie le due &eguenii tang ? = CO. ^cot a' ; coi H= ^^tlscn(i-P) _ icn I So 0 11 I A N I sen A' 5 ) sen F= : 6 ) cos V = tangp' cot G ; oppure V = V -^- P 7) fl = G--l^co5/7''(/'-[!])-+-^^co5/''''('4^-^6[i]^-[a]) A* „ . /r, r TM A* .i/n r T.senv'cosD'^cosQ.V avvertendo che si Iia [\]=senP cos (a F' -<- P) ; [a] = 5en a P coj a (a F'h- P) 140. Nella citata equazione costcosiP — t) — tansysenlP — r) . . , cot^= — ^ ^ ^ pongasi d>' in luo- sen ^ r D go di a' , ? in luogo di i8o* — 9, e viceversa, avremo cos^cosiP — T)-*-tane(p'sen(P — r) , ... cot^= ^ —^-^ , da cui SI ricava sen 9 ,. — cos(^cos(p' dt\/ [cos(p'^—sen(:^sen(P — t)*1 tans i 9 = ^ ^-— t — .: 5 LJ. . ^ "■ sen ^ cos ((p' -i- P — r ) Si potra pertanto nel caso 8.''° dedurre 1' angolo 9 dai tre dati elementi cp' , ^ , P colle seguenti forniole, qua- lora non si tenga conto della sesta e delle piii alte po- tenze dell' eccentricita (*) (*) Per r uso de' logaritmi in luogo della formola i ) saranno piii c«« mode le due seguenti « - „ tang P sen f tang i^z= cos P tang ^i jcre(C — {)= — - • TllIGONOMETUlA SFEROIDICA 5 1 ^cos?:cos(i>'z^\/{cos(p>^—sen^^senF) ' ) f^"SiG= sen^cos{ si potia ottenere T angolo fl dai tre dati elementi $' , ^ , sj usando le formole seouenri qiiaiido si tralasciano le poteiize dell' ecceiitricita supe- nori alia qiiarta (*) (*) L aiigolo C si calroleiii piu I'acilincnte co" lojjaiitmi sostiiueiido alia foriuola i ) ie due segiienti tang 5 = sen p' tang u ; cos{C-^)=, £2lL^2L^ . CO.* a TRIGONOMETRIA Sl^EROIDICA. 5$ .^ .„ setKP' Sin w ± \/ {sen ^* — COS (p* sen w^) cos C -*- cos 37 , . dG sen $' — tang w co^ G a ) A s= - — = 1 S—- aw I — /flrtg ar cot G sen (J) „. „ ddG i — /isenKi^' invece di F \ H, L. (§ 97) . . . . tangl^sen>nang^ ; tangF' =^^^ll^I^!^±^ sen ^ (S io5) . . . tang i=cos^ cot $' ; tangH= -"J ^ ^^" ' COs{a'-^-^) (Sin)... tang^=cos =r cot^ ; cos{L'-^^)=*^!l^LlJf!!J tangZ ■30 O R I A N I Mettendo nelle seguenti formole a in luogo di w, si a- vranno a' , ? invece di L\ H. (S iiS) .... tangk^cosKtangP\ cos{L' ^^)=^.^!lll^^ ,« «. . I. ITT ,\ cot f^' sen ^ (5 182) tang^^—senx'tangis ; sen{tI-i-^)= -- Nel tempo stesso die si calcola sopra queste regole la prima Ibrinola di ciascnn eseinpio, si potra aumuMuare P ovvero ^ successivarnente di nno e poi di due miiiu- ti prinii, donde si ricavera facilmeiue la variazioiie ri- suliante neli'angolo //, o L' , o F\ e rpiindi se ne de- duira J, die esprime il rapporto del la vanazloue di P, o di ar a quella di //, o di L', o di F ;. e dalla differenza di A si otterra ancora il valore di B. 146. Per chi vorra esercitaisi in qnesti calcoll ac- cenneremo tutti gli elementi d' uii dato triaagolo sfe- roidico. Ritenendo pertanto le diniensioni ddio sferoide tcrrestre sopra (§ i5) stabilite, suppongasi die il trian- golo sferoidico venga formato dal meridiano di Cadice, dal meridiano di Pietroburgo, e dall' arco terrestre die misura la via brevissima fra queste due dtta, avrexno A : = 36" 3a' i" > // = 36" 27' 6" ,

    4 TIUCONOMETRIA SFER0ID1C\ 5? e = 61" 33' 58" , 5 P= 33 8 a6 , 5. Via brevissima = 1886465'"% 3 Onde immaginando che sieno dati tre di questi elemert- ti, sara facile il verificare coUe date soluzioiu i tre al- tri elementi. 1 47. AUorche si suppone 1' eccentricita eguale a zero, lo sferoide elittico diventa una sfera , e non ri- mangono per la soluzione de' propnsti problemi , che le formole indipendenti dall'ecceiuricita, cioe quelle stes- se die servono alle soluzioni de' triangoli sterici. Per conseguenza la trigonomeiria sferica non e che un ca- so particolare della trigonometria sferoidica. Le tre e- quazioni fondamentali nel caso di e = o, souo (§§22,27) ,.„ A cos A ^ sen 6 = sen ^ cos

    cos P cos A sen P la quale, chiamando i tre angoli d'un triangolo sferico A^ B, C corrispondenti a ?, 180° — fl,ar, ed 1 tre lati rispeitivamente opposri a,b,c corrispondenti ago" — , 90° ~ / , P , si cangia in T. IL P. IL 8 58 O R I A N 1 -«. A COS a — COS b CCS c cos A = sen U sen c ' questa sola forinola ci puo dare la prima sen B = sen A e tutte le altre della trisonometria stn u o sferica, come ha elegantemente diraostrato il sommo geometra Lagrange. •" N>- q ui N^ -Q- 59 CONTINU AZIONE Delle osservazioni e sperienze sopra la teoiia della resistenza de Jluidi del sig. Juan Di GiustrPE AvANziNi riccvuta il di priiuo d'ottobre. i3o8 38. J_ja teoria della resistenza de'fluidi del si'g. Juan non si restriuge alia sola ipotesi finora consideraia {aj che il solido sia totalinente, e indefinitameqte iinmer- So riel fluido. £ssa si estende anche al caso che il so- lido non sia tutto immerso, e che la porzione ch'esce dal Huido non sia minora dell' altezza, alia quale in tale circostanza deve il tluido innalzarsi davanti al so- lido. L' esame di questa seconda parte della teoria di Juan, tanto importante per 1' applicazione che ne fe- ce alia scienza del moto dei bastimenti, forma il sub- bietto delle seguenti osservazioni e sperienze. In es- se noi fareino uso del metodo seguito nelle preceden- ti rivogliendole alia discussione tamo dei principj teo- (a) 1st. Naz. Tgrn. 2. di Fis. c Mat. P. 1. 60 A V A N Z 1 N I retici, qiianto degli sperimenti ai quali I'illustre Geo- metra appoggia la sua leoria. ^ 39. Egli iiicomincia dalla supposizione che il so- lido sia un parallelepifjedo rettangolare che si muova orizzoiitalmeiue, e in direzioiie nonuale alle facce aii- teriore e posteriore, e con velocita o iiguale, o niinore dclla lungliezza del parallelepipedo inedesinio. In qne- sta ipotesi egli trova che chiarnata u la velocita del parallelepi|)edo, b la Innghezza, « V altezza a cui tro- vasi imtnerso, la resisteuza ad esso solido opposta dal lluido debba essere ^_^ m b , , — u* , TJX 40. Questa formola e dedotta immediatamente da due supposizioni; cioe che la pressione esercitata dal fluido contro la faccia anteriore sia mbi-i'-^ !^t -«- — «'' f H -) . . . . (t), ed a b ^ 64 0.04"' ^ " a ^ 04 0.64" ' ^ ' quella contro la faccia posteriore. Di fatto essendo la resistenza, siccome abbiamo altrove noiato (§2), la ditl'erenza delle due sopraddette pressioni, sottraendo la seconda (t') dalla prima (t) si ottiene appnnto Tes- pressione . . . . {/?). JNoi ci faremo quindi ad esami- nare i principii coi quali Juan dimostra le formole 41. Supposto gc (fig. 1*) il profilo del parallele- pipedo, XZ \\ livello del fluido, e percio ^ c la por- 6ULLATE0U.DELLA RESIST.DE'fLUIDI DI JuaN 6 1 zione immersa del parallelepipedo stesso, PF 1' altez- z.i dell' intiimescenza del iliiido, le ipotesi sulle quali e foiidaia la forinola (t) sono i*. che la pressione con- tro uii rettangoletto b d t della faccia anteriore Pc sia mbde{^ e^lu)\ ovvero m h d i {^~7 -\- ^liY supposta /i r altezza dovuta alia velocita u. 2*. che il fluido s' innalzi di tiuta la P F = r- u \ V. che la 64 pressione contro un rettangoletto di P F d\ altezza / c' -i--iiY che ritrova o "»*('— — ~*'\/''-+-^''"' ), e sopra tutta la PF^ mb(ILEl^'.u,PF^'FF^± PFu'}-m3L per la 2\ 6a AvANziNi ipotesi P F = j-ru" , dunque sostituendo si ottiene -7 — -— per la pressione contro PF; e percib la pres- sione contro tutta la cF sara mb{i-^"'^ !^i^^_JL_) cheeappunto la for- inola (t) . 42. Quanto alia prima ipotesi, cioe die la pres- sione contro un rettanKoletto b de sia ,— I mb d e {y/ e-i--uY si osservera ch' essa ne contiene o altre due. 1'. che il fluido non abbia altra velocita, se non quella clie nasce dalla pressione della colonna so- Traincombente , e la velocita u del parallelepipedo. 2\ che la pressione sia uguale al quadrato di v^ * -♦- 5 "* Ora vedremo che tali ipotesi non sono conformi ne alia ragione, ne all' esperienza. Per cio che spetta alia prima, considerando atten- tamente il moto che concepisce il fluido innanzi al pa- rallelepipedo ac (fig. 2') si osserva i"- che un filo flui- do, per esempio Y*, a qualche distanza dalla faccia «c, come in V, si divide nei due fili v «a',vT'c, lascian- do lo spazio a ^ t' ripieno di fluido stagnante. 2"* che gli altri fili si piegano per aa' ec. S' S ec. t' e ec. Don- de apparisce che il solo fluido davanti alia a t' avra le due velocita sopraddette, ina che il fluido davanti SULLA teor.dellaresist.dl'fluidi di Juan 63 alle porzioni aa',TC oltre quelle velocita viituali ne avra una di reale e parallela alia faccia a c. Rij^uardo alia 2" ipotesi, dai ragionamenti del § 3i rimane evidentemente dimostrato che la pressione con- tro un diderenzio-dinereuziale si della porzioiie a t', come della aa\ e t'g non deve gia essere espressa iudistintaniente come vuole Juan da una funzione del- la sole £,M, e che questa funzione non puo essere il quadrato della somma di \/ 6-^^u. Nulladimeno a to- gliere anche il sospetto, che malgrado cio potesse pu- re essere ainieno prossimamente vera la formola di Juan perche essa avesse pochissimo a differire dal va- lore delle sopraddette funzioni qudunque sieno, ho voluto consultar gli speriuienti. Prima pero di espor- ne i risultati, e fame il confronto con la formola, fa d' uopo conoscere gli artifizj coi quali s' istituirono. 43. gc fig. 3*. e una (assetta rettangolare di le- gno forte e bene stagionato, e si fortemente coniiessa che, rimanendo nel tluido non abbia a sortrire sensibile alierazione nella figura. E e, Ee, (fig. 4'.) sono due pez- zi di ottone terminanti in due lamine rettangolari FF^ ff^FF,//, e normali ad essi pezzi £e,Ee. La casset- ta e stretta fra le due lamine//,/"/, col mezzo di quat- tro viti, come lo dimostra la fig. 5." Le altre F F^FF sono utjite ai due parallelepipedi G H,G If (fig. 2.' ta- vola 2. mem*. 1'. Nuove ricerche ec. ), scorrevoli tra le due liste fc.f'c', (fig. i'.) immerse a tale profondita nelVacqua da lasciare fuor d'essa quella porzione del- la cassetta che piu piacesse. ' Mediante i due pesi motori P,P (fig- i'- c^f^e 64 A V A N Z I N I sopra) moventi i paiallelepipedi G H,G H ^ lungo le sopiatldette liste si fece correre la cassetta per I'acqua del canale descritto al § 10. e seguenti della mento- vata memoria. 44. A renderml certo che la cassetta si avesse o- rizzontalmente ebbi 1' avvertenza di assicurarrni ben bene che le liste, sicconie pure la faccia superiore ga della cassetta medesima (fig. 3'.) fossero orizzontali, os- sia parallele alia siiperficie dell' acqua perfettaniente tranquilla. Essendo poi le lamine FF^FF, nonnali ad e E , e E, (fig. 4'.) ed e E^e E a squadra colle fac- ce laterali g c, nm (fig. 3'.) e fuor di dubbio che anche le facce ac^no^ anteriore e posteriore, dovran- no essere normali alia direzione del loro moto. 4.5. A muovere la cassetta con velocita uniformi e differenti tra loro, feci uso del metodo descritto ai §§ 14 ec. della citata memoria. 46. Assicurato che in tal modo il parallelepipedo moveasi come lo ricliiedeva il caso considerato da Juan, non mi rimaneva se non di rinvenire V artifizio per mi- surare le pressioni dell' acqua contro i diflerenzio-diffe- renziali, ossia porzioni piccolissime della faccia anterio- re a c. A quest' uopo riputai convenieniissimo 1' ordi- gno gia accennato (§5) del sig. cav. Dubuat; facendo nella faccia anteriore del parallelepipedo un foro lun- go la linea che la dimezzava verticalmente, del dia- metro di due linee, ed apy^licando ad esso un tubo ri- curvo mno (fig. 5\) aperto in tutte e due I'estremita. Scorgesi chiaramente, che se la cassetta tuffata nell'a- cqua tranquilla fosse ferma, I'acqua salirebbe nel brac- cio mil lino al proprio livello, ma che movendosi la SULLA TEOR. DHLLA RESIST. De'fLUIDI Dl Ju\N 65 cassetta, I'acqua contenuta nell'altro braccio no urte- ra continuaiuente Tacqua esteriore, o cio die torna al- io stesso, r acqua esieriore preinera in o V acqua del braccio on, e iara salire quella del braccio n m ad una tale altezza sopra il deito livello, die il peso del- la colonna d' acqua di quesc^ altezza, e di base ujua- le alTarea del foro o, eqnivalga all'indicaia pressione deH'accjna esteriore contro o. 47. Posto cio e manifesto die per trovare le j)res- sioni conveiiiva misurare esattamente V altezza a < ui doveva salire 1' acqua nel tubo. A quest' og2;etto mi servii di un piccolo cilindro a (iig. 6".) di sugbero gal- leggianie sull' acqua, e portanie un fusto ac di paglia, il quale passando per un foro aperto in un coperchio, die diiudeva I'estremita m del tubo, dovesse ascen- dendo 1' accjua salire verticalmente senza inclinarsi or verso una parte, or verso 1' alt ra del tubo. A I coj)er- diio si uni una laminetta es divisa in qnarti di Imea. Giunto il parallelepipedo al moto uniforme si no- tava r altezza a cui era salita I'estremita c della paglia, indi fermavasi la cassetta, e riacquistata dall accpia la sua perfetta quiete notavasi lo spazio per cui la stes- sa estremita c era discesa. JNiuno potra certamente du- bitare die un tale spazio non sia precisainente 1' al- tezza alia quale il fluido s'innalza sopra il proprio li- vello a cagione, come si disse, della pressione del llui- 5o 68 , 96 ■^ 2^ , 46 1 24 32 , 60 52 , 20 ■+- 19 , 60 70 A V A N Z I N I Una si grande disparlta tra le due presslonl sopra ognuna delle dieci porzioncelle della faccia anteriore del parallelepipedo , deve al certo convincerci che la formola di Juan e ben lontana dall' esprimere la fun- zione che rappresemi le vera pressioni del tluido. 5o. Passiaino ora all' esame della seconda ipotesi; cioe che 1' altezza P F (fig. i". ) del fluido sia eguale ad j-.u- La pressione, dice il sig. Juan, sopra un rettafi- goletto b d i preso alia distanza f sotto il livello XZ del fluido e m b d e {y/ e -i- -uy o Nel colmo F la pressione dovra esser zero, e percio mb d £ (\/ i -i — uV =iO 8 quindi \/ £= — - m espressione , soggiunge egli , riella quale il segno negative indica che il pnnto al quale cor- rieponde il valore di e e al di sopra, di P origine di e. Quadrando 1' equazione v't = — ru, si ottiene e=—-u' altezza di P F. fa) Sopra tale ragionamento si osservera 1°. che la pres- sione sopra un rettangoletto bds della superficie imtner-i (iy § 5i;4 deir opera citata. SULLA TEOR.DELLA RESIST. De'fLUIDI 1)1 JuAN 7 I sa e ben diflerente (^§43, 49) da mbcU ( v/^-t-- a)'. 2^ clie se la pressione sopra il detto rettangoletto fos- se anche (piale vieiie siipposta da Juan, da cib non se- guirebbe tlie nel colmo del lluido dovesse essere V'« = ~ o II. Per dimostrarlo bastera che ci ricordiamo o clip, secoiido Juan, y/l esprime la radice dell' altezza del lluido sopra il rettangoletto bd^, ossia la veloci- ta con la quale il llmdo clie e al contatto del suddet- to rettangoletto penetrerebbe a traverso di esso a cau- sa della pressione del fluido che gli sovrasta. Ora al colmo del fluido essendo zero quest' altezza c, ed ivi il fluido essendo pure urtato, o premuto dal parallelepi- pedo con velocita a, che e quanto dire, die dove c zero la f,a continua a ritenere un valore finito, non si potra giaminai suj)porre clie nel colmo del fluido possa essere N/t=— -m, poiche allora una quantita picciolissima , o zero dovrebbe essere uguale ad una quantita finita. IVIa si obbiettera forseda taluno essere pure verissimo che supposta w 6 1/ . ( \/ * ^- - m)' la pres- sione sopra un rettangoletto della parte iininersa P c , la qnal pressione nel colmo dr^bba essere zero, a ren- derla tale sia di uecessita che \/~ divenga uguale a -'-u. La risposta e facilissima. Secondo i principj di Juan neir equazioiie v/~= — 5 u il segno — deve signiGca- o 72 A V A N Z I N I " -"1 re soltanto, die a rendere zero la pressione m b d e (^y/ e -i- - u)' conviene che le due velocita, cioe quella dovuta alia pressione della colonna dell' akez- za £ del fluido, e 1' alcra - a, in luogo di avere dire- zioni opposte cospirino entrambe ad uno stesso scopo, ed una delle due sia uguale aU'altra. In fatti egli e in- dubitato die allora la velocita y/ ^ -^ - u di urto di- verrebbeY/T— 5 u, ed essendo, per ipotesi, y/T=o ^* la pressione sarebbe zero. Ora una tale cospirazione ed uguaglianza si verifica bensi, come vedremo, die- tro al parallelepipedo, ma non giammai nel fluido in- nanzi ad esso. 3°. finalmente che supposto pure che nel colmo del fluido sia, come vuole Juan,y/T= — «"» il segno — annesso alia x a ben lontano dal dover in- dicare che il punto F sia sopra P, dimostra all' op- posto che esso punto dovrebbe essere di sotto. In fat- ti perclie \/ ' = — ■« w potesse provare che il valore di f deve essere negativo cioe sopra P , non e egli evi- dente che dovrebbe essere negativo non gia il valore di v^ < , ma bensi qnello di -»- ^ a)* della pressione con- tro un rettangoletto bd^ della parte immprsa Pc; e che qiiindi la pressione coiitro un rettangoletto b d -' della PF sara m b d ^ ( — \^ s' -^ ~ u)' . Cib premesso, non essendo giusta (§ 42,49) la formola mbd^ {\/ e ■+■ « ")*» da cui Juan fa nascere iaimediatamente ]& y/ t = — - iiy e ne tampoco essendo vero (§ 5o) che il segno — ab- bia il sigiuficato da esso supposto, si dovra necessaria- meute coucluudere che ueppur vera, ne giusta potra essere V espressione m b d t' { — \/ s' -^ -^ii)' . ' 64. Con tutto cio ripntai importantissimo il con- sultare anche so[)ra di cio l' esperienza investigamfo con gli artifizj dei §§43 — 48 le pressioni sopra caique porzioncelle della parte P F. La seguente tavola presenta i risultati, ed il loro confronto con quelli della formola m dbd i' {— y/ e -^^-u)\ sullateok.dellaresist.de'fluididi Juan -"i Immersione 12 poll. Velocita 8 piedi in 4" Altezza dovuta alia velocita 9 lin. 64 Aliezza P F dell' Ii)tumescenza i5 li nee Aucizc — i Linee I , 5o a , 5o 3 , 5o 7 , 5o 1 1 , 5o Fiessioni dello spcriincnto L inee 12 , 33 9 , 83 8 , 33 4 , 33 I , 5o Frcssioni delta formola di Juan Linee 3 , 60 2 , 28 I , 48 I , 04 O , 10 Diffcrenze Linee — 8 , 73 — 7 ' 55 — 6 , 85 — 3 , 29 — o , 40 Da questa tavola si scorge cliiaramente die I'espe- rienza concorda peilWtameute nel dimostrare die an- che la formola per le pressioiii contro P F h e^^ual- meute erroiiea della formola delle pressioni contro P c. 55. Passando poi allVsaine della formola (t) (§ /40) per la pressione contro la parte posteriore Qo ((ig. T.) rilletteremo prima di tntio die le ipoiesi, dalle quali essa e dedotta sono: 1°. die la [)ressiorie contro um rec- taiigoletto mbdi ddla o ^ disiante dal livello Q di f sia m 6 c/ ^ ( >/ . - 1 M )' : 2^ die il fluido si abbassi -S AVANZINI di tutta la Q E= j- it' . E in fatti integrando si avra a 6 04 La costante deve esser tale che fatto 1 = E Q che, co- me si disse, secondo Juan e = — u' , la pressione di- venga zero. Percio supposta nell' equazione preceden- I a ,. m b . li* , , te « = — a essa diventa 7 — F"5"' dimque la costan- m b . u* • 1- 1 1 IP te = — - V — ^-j- e quindi la pressione sopra la o £- =zmb { — _«cy/j_4_5j^»_ — u* ) , conforme a 6 " 64 6 . 64 perfettaniente alia formula (t'). 56. Per cio che risgnarda la i' ipotesi si consi- derera che la pressione contro il rettangoletto bd^ non potra certamente essere misurata da mbcU{y/ ^ — -u)' a meno che non fosse vero 1". che dietro al paralle- lepipedo il fluido non avesse altra velocita se non quel- la di tendenza contro la faccia posteriore cagionata dalla pressione del fluido sopraincombente, e che in oltre la funzione esprimente la pressione mentovata avesse ad essere il quadratoJi \/7— ^ u piuttosto che SULLA TEOK.DnLT.A RESIST. DE'fLTJI DID I JuAN 79 qnalche altra funzione. Ora ponendo attenzione al mo- to che coricepisce il lluido dietro al parallelepipedo si osserva ch' esso e ben diderente dal rriDto iminagina- to da Juan; conchiudtreino quindi che ben diHerente dalla vera dovra essere aiiclie la foraiola ch' egli ne porge della pressione. 57. Intorno a questa importaiiiissima conseguenza vpgglamo ora cosa ne dica lo speriinento. Posto il si- foiie iir tanti forami aperti nella faccia posteriore del- la cassetta gc, (fig. 5'), lutigo la linea che diinezzava la faccia stessa verticalmente, e mossa la casseita co- me iiegli speriinenti del § ^i^ si trovo che il galleg- giante ac (fig. 6'.), in luogo di salire discendeva ri- nmnendo pure costantemente senza oscillare alia stes- sa altezza in tutto il tempo in cui la cassetta percor- reva uniformeinente i 20 piedi. Applicando a questo caso il ragionamento del § ^6, si raccogliera che la pressione contro una porzioiicella della faccia posterio- re della cassetta uguale a qiiella dell' area o del sifoue deve essere misurata dal peso d'una colonna di lluido che ha per base 1' area sopraddetta, e per altezza T al- tezza a cui si sostiene il lluido nel braccio n m. Mi- surata con r artifizio del § 47 una tale altezza si eb- bero per le pressioni contro dieci porzioncelle della faccia posteriore i valori espressi nelle tavole feeguenti, le quali offrono pure i valori della formula di Juan. 8o A V A K Z I N I Imrnersione Velocita Altezza dovuta alia 12 poll. 1^ piedi in i" velocita. 2 lin. 17 Altezzc t Pressioni Pressioni Dijferenze dello della formula speninento di Juan Linee Linee Linee Linee 1 3a 1 3 1 ,90 100 , 40 — 3i , 5o 1 20 119 , 84 89 , 93 — 29 , 91 108 107 , 84 79.57 - 28 , 27 96 95 , 84 69,17 — 26 , 67 84 83 , 84 58,17 — 25 , 67 72 71 ,84 49' 17 — 22 , 67 60 59, 86 59,37 — 20 , 49 48 47,88 29.77 — 18 , 11 36 35 , 90 20 ,57 - i5,33 24 23 , 95 II .77 - 12 , 18 SULLA TEOU.DELLAIlESIST.DE'rLUIDl DjJtJAN 8l II Immersione Velocita Altezza dovuta alia 12 poll. ! piedi in i" velocita 4 ] in., 40 Akezza e Pressioni dello sperimemo Pressioni della formola Differenze di Juan Linee Linee Linee Linee l32 i3i , 10 88 , 24 — 42 , 86 120 118 , 80 78 , 40 — 40 , 40 ic8 ix)6 , 80 68 ,80 — S8 , 00 96 94 ' 80 59 , 20 — 35 , 60 84 8i2 , 5o 5o , 00 — 32 , 5c 72 70 , 5o 40 , 80 — 29 , 7c 60 59 , 00 32 , 00 — 27 , CO 48 47 •> 10 23 , 20 — 23 , 90 36 35 , 5o i5 , 20 — 20 , 3o 24 23 , 60 7,80 _ i5 , 80 T. II. P. II 11 82 A V A N K I N 1 III Imrnersione 12 poll. Velocita t: piedi in i" Altezza dovuta alia veluciia. 5 lin. 36 Alcezza e Li nee 1 5:2 I20 io8 96 8| 72 60 48 56 24 Prcssione dello sperinicnto Li nee i3i , 20 119, 10 107 , 10 95 , 10 82 , 90 70 , 90 59 , 00 47 .CO 35 , 10 23 , 60 Press! one dcUa fonnula di Juan Linee 84 ,21 74 ■> 16 65,56 55 , 96 46 ,96 38 ,06 29 , 5o 21 , 36 1 3 , 5o 6 , 70 Dif erenze Linee • 46 , 99 ■ 44 ■> 94 ■41 , 5^ ■ 39 , 14 ■ 35 , 9+ - 33 , 84 ■ 29 , 5o ; - 25 , 64 -21 ,60 • 1 6 , 90 SULLA TEOR.DELLA RESIST. Ul' FLU 11)1 Dl JuAN 83 Facendo considerazione alle differenze tanto sen- sibili tra le pressioiii dello sperimento, e della formu- la di Juan, dovra ognuno rimaiiere convinto ch' essa € ugualmente inesatta e inammissibile come quella dal- le pressioni anteriori. 58. JNiente meno viziosa ritroveremo la seconda ipotesi, cioe che il Uuido si abbassi di tutta la Siipposto vero cbe la pressione contro un rettan- goletto bde di oE sisi mb d^ {>/ e —-u)' e indubi- tato cbe il fluido dovrebbe abbassarsi di tutta 1' akezza Q E = — u ^ o piu* esattarnente che il fluido dovreb- be rinianere staccato dalla faccia posteriore di tutto il tratto Q E = -r- .u. Imperciocche in vigore della for* mull niedesiina, e del significato di \/ e die espriine la velocita dovuta all' akezza f ^ e manifesto dovervi esse- re nn punto E talmente distante dal livello Q, che la "velocita dovuta alia pressione della colotina dell'altezza Q E sla = - u. Ma non potendosi assolutamente ara- mettere (§57) che la pressione contro il sopraddetto retiangoleito sia quale la crede Juan, non potreuio iiep- pure esser sicuri che sia Q E = ■-- u'. «4 A V A N Z I N I 59. A persiiadersene anche col fitto si esamini nella seuuente tavola il coiitronto ira l' abbassainento del llnulo rinveuuro con e?aiti e ri[)ftiiti sperimenii su- pra la cassrtta (fig. 5\) e rabbassauieiiio ricbiesio dal- ]a formula di Juan . Iniinersione della cassetta 12 poll. ydocicti ossia spazj pcrcorsi in i" Abbassarnrnti corrispondcnti Abbiissamcnd secondo la formula di Juan Differcnze Picdi Linee Linee Linee 3 4 ' 37 9 ^54 -+- 5, 17 I i 3 , 5o 5 ,36 -^ I ,86 60. Se le pressloni elementari coniro le due fac- ce anteriore e posteriore d«'l parallelepipedo di tanto si scostano dalle vere, coine tiuto il fin qui detto con- corre a porlo fuor d' 02;rji dnbbio, anrlie le pressioni totali ( f ) , (t') che il si*. Juan ne dedus^e dovranno indubitatamente tenersi per tn)ppo inesaite, e perrio imperfetta, e pericolosa antbe la formula (i?) della resistenza (§ 39) . 61. Ma potrebbe a taluno insorgere il dnbbio che gli errori delle due forniule ( -), { ■^' ) potessero, sot- traendo 1' una dalT altri per otteuere (§40) la resi- stenza, compensarsi a vicencrcorrcrc 72 piedi 72 , 00 Rcsistenza lello speriiuenco Libbre I 10 -4- 2 , 5 Besistcnza delta Jhnuula di Juan Libbre 241 Dijferenza Libbre i3i 63. Dalla snpposlzione delle facce anteriore e po- steriore del parallelepipedo perpendicolari alia sua ba- se passando a considerarle inclinate alia base medesi- ma d' uii angolo qualunque S vuole il sig. Juan fa J, che la resistenza che incontrerebbe allora il parallele- pipedo immerso nel fluido fino alKaltezza s,e moven- tesi con la velocita u orizzontalrnente, e in direzione parallela alia base ed alle facce laterali, sia espressa dalla formola - m b ( u sin 6 . s \/ e — u* sin* i 04' ) {R') Sebbene non sia difficile a comprendere die non reg- gendo in conto alcuno la formola ch' egli adotta nel priino caso, non debba regf^ere neppur quella del se- cond©, traendola egli imrnediatamente dai principj foil- (a) § 640 Examen Maritime ec. STTLLATEOlLUIiLLA RESIST. 1>l'j?LUII)1 Dl JlTaN 89 tlamentali della prima, tuttavia non sara inutile 1' ag- giungere aiiche sopra tal foruiola alcune osservazioni, e sperieiize. 64. La formula (/?') come la (7?) e pure fondata sopra cincpie supposizioiii La i\ c the la pressione sopra un dififerenzio-differen- ziale (/ b . d i della faccia immersa anteriore sia mdb.de ( y/ t -f- - « 5i« 9 )* . 8 La 2*. che il fluido s'inalzi davanti al parallelepipedo della quantita * = 7^ "' "^'^' ^ • La 3". che la pressione sopra im diff'erenzlo-differen- ziale della faccia col pita dal Huido che s' inalza si«i mdb.de {-*-\/e-^-ux'm^)'. 8 La 4". che la pressione sopra un diflferenzio-differen- ziale della faccia posteriore sia VI d b . d i [y/ i — -usin^y, o La S*. fmalmente che dietro al parallelepipedo il fluido si abhassi sotio il h'vello di « = 7- ^ s'm" 9 . Li fatti eseguite le necessarie integrazioni di tali formule, e sottratio dairii>tegrale compleio delle pressioni elemen- tari anteriori 1' integrale completo delle pressioni ele- mentari posteriori, si trova che la resistenza del fluido e per aj)punto espressa dalla formola (./?'). 05. Quanto alia prima ipotesi si osservera, che il fluido davdnti al parallelepipedo a faccie inclinate, ron- cepisce \^x\ moto simile a quello del fluido davanti ai T. IL p. IL 12 C}G A V A N Z I N I parallolepipedo a faccie perppiidicolari, e descritto al § 42, vale a dire the siif)j)c)sto gc (fig. 11") il pro- lllo del parallelepipedo, xz i\ livello del lluiilo, il llui- do itmanzi alia taccia «c movesi per le curve ►«', i^ c, ec, die la velocita per e c cresce in parita di circo- stanze quanto e piii acuto I' angolo delle facce arite- riori, e a misiira che il (Inido si accosta all' estreiuita inferiore c, il che e del pari conforme ai princlpj teo- retici acceiinati al § 10 del la Mem'. ■2\ Nuove ricer- che ec. Dnnque il (luido iiinaozi al parallelepipedo avra, okre le velocita virtuali ^/T, a, anthe la veloci- ta reale per le curve suddette, e percio la pressione non potra essere giustatnente determiuata dalla formola m d b . d i ( v/ £ H — u sin hV . 66. Che la formola sressa dissenta moltissimo dalla vera, e compiutamente dimo>trato anche dalla sperienza. Eseguiie cogli artifizj dei §§ 4^.... 48 sopra le tre cassette (fig. 7'. 8'. 9".) delle quali la prima avea la faccia anteriore e posteriore inclinata alia base oc pro- lungata, o alia direzione del mo to, sotto Tangolo dcZ di 67°., la 2*. di 45°., la l\ di 23". A rendere piu sicuro il moto orizzontale di tali cassette,© parallelepi[)edi, ritrovai giovevolissimo, ch'es- se foss'TO unite ai sostegiii C Fe (fig. 10'.) dop[»j dei sostegui cF (fig. 4'.) della cassetta eg (fig. 5'.) a fac- ce normali alia base. Irisultati di tali sperienze, siccome pure i corrispon- denti. calcolati con la formola m d b . d f {\/ e -{- - u sinh )" o 80110 registrati nelle quattro seguenti Tavole. SULLA TEOU.DELLA RESIsT.DeVlUIDI DI JuaN 9I IiiiriKMsione ■12. pollici Aiigolo 9 07°. V("locitu 8 j)i<'ELLAI<£SIST.»E'rLUiI)IDjJrjAN 99 III ZK>- cl.fferenz,ah della facda posteriore del parallele pipecJo elalsa, non sara nernmen vero (§58) die il fluido debba abbassarsi ddia quandta e = Lu^sin^s 64 74- La grande imperfezione anche di questa ipo- tesi e penamente dimostrata dalle differenze che non- go sou occh.o tra i yeri abbassamenti, e qudli che oitre la jpotesi stessa. 100 AvANriNi Angolo fi 67°. Inimeisioiie 12 ])ollici Altczzc dovitte alle i'clocita Abhassnmcnci osscnuti Ahbassnmcnri sccoudo la jonnola Diffcixnzc Linee Linee Linee Linee i3 ,74 4 » 00 I I , 64 -H 7,64 8,45 I , 5o 7 ■> 01 -H 5 , 5i II Angolo 6 — ^5°. Immersione 12 pollici AUezze dovuie alia velocica Abbasianicnli Oiservaci Abba.isamenti secondo la Jonnola Diffcrcnze Linee Linee Linee Linee 10 , 86 4 ' 5o 5 , 45 -4- 0 , 93 6,11 2 , 17 3 , o5 H- 0 , 88 Sulla teou. della ke sist. de' fluidi di Juan i o i HI Angolo 9 — 23°. Immersione 12 pollici Jllnzze dovuCc alia vclocilix Liiiee 14 , 45 9 ' ^4 Jbbassamcnti osservati Linec i3 , 33 6 , 5o Abbassamcnti secondo la /ormolu Linee 2 , 20 I , 45 ■DiJfcreiiLe Linee — 11 , l3 — 5 , o5 75. Ora se tutte le ipotesi fin qui esamlnate sono manlfestamente contradeue da giusti e sicuri ragioiia- meiiti non meno che da esatte e ripetute sperienze, e manifesto che dovra essere per \o meno nial sioura la conseguenza che se ne trae, che vale quanto dire la forniola (7?) della resisieiiza. Per assicurarci poi ch'essa e pure realmente assai lontana dalla vera, bastera dare un' occhiata alle spe- rienze esegnite sopra parallelepii)edi a prore e poppe obhhque dagli alire volte menzionati matematici pari- gini, e alT articolo 353 degli eleaienti d'Idraulica del sig. Prof. Venturoli . 76. Cosi noi potremo conchiudere con siciirezza che le leggi tanto della resistenza diretta che ob!)li- qua di paralielepipedi immersi in parte riel lluido rin- 1 02 A V A N Z I N I vemite con la teoria di Juan sono assolntamente da rl- fiiitarsi del tutto e cio principalinente perclie le pres- sioni elemeiuari sulla faccia anteriore e posteriore dei detti sol id i noii voglionsi esprimere con le forinole m d b . d e (v/Tdrlw)', mdb . de { v/"^— lusinby . o 8 77. In una delle mie susseguenti memorie Nuove ricerche ec. vedremo quali sieno le formula delle pres- sioni elementari piu consentanee ai veri principj idro- dinamici ed alia sperienza; intanto ci giovera T osser- vare die quand' anche potesse omettersi, come si fa da Juan, la velocita del iluido moventesi lungo le due facce del parallelepipedo, le fonnole md b . d i [e ±h), m db . d e {e ±h siri" 6 ) , cir egli faj riprova, sono ben piu conformi al fatto delle sue propria m d b . d £ { y/TzL y/li ) % mdb . d e { y/~ =t \/~^ ^'^^ ^ )*• A persuadersene piu agevolmente, e con raaggiore e- videnza bastera che si confrontino col mezzo delle se- guenti tavole le differenze tra le pressioni ottenute dalle sperienze de' paragrafi precedenti, e quelle che porgono le forraule sopraccennate . (a) § O44. Examen maritime ec. SULLA TEOR. DELL A RESIST. DeVlUIDI DI JuAN I o3 Differ en ze fra le pressioni sperimentall , e delle formole ( s -t- /O » ( \/~-^- ^ " )• Immersione 12 pollici h — 2 ? 17 linee Jltezze Differenze tra lo spe- Differenze tra lo spe- e r'un., e [e -t- h) rim"., e (^Th-v/'A)' Linee Linee Linee 24 - I , 63 -H 12 , 77 36 - I , 58 -*- 16 , 02 48 - I , 43 H- 18 , 97 60 - I , 33 -H 21 , 47 72 - I , 33 -H 23 , 73 84 - I , 33 -♦- 25 , 67 96 - I , 33 H- 27 , 67 108 - I , 33 H- 29 , 07 120 - I , 16 -+- 3i , 24 l32 — 0 , 63 -t- 33 , 24 104 A Y A N Z I N I II Imniersione 12 pollici h — 4 » 40 linee Altezze Dijfcrenze tra lo spe- Differenze tra lo spe- t nm".j e ( « -+- A ) riin.3 € (y/7-H\/7i)' Linee Linee Linee 24 ■— 2 , 10 -+■ 18 , 5o 36 — 2 , 00 H- 23 , 20 48 _ I , 93 -4- 27 , 27 60 - I , 85 -H 3o , 65 72 - I , 85 H- 33 , 75 84 - I , 85 -H 36 , 55 96 - I , 85 -4- 39 , 35 198 - I , 85 -t- 41 , 75 120 — I J 60 H- 44 , 40 I 32 - 0 , 85 -t- 47 , i5 SULLA TEOIl. BELLA RESIST. DE* TLUIDI DI JuAN 1 o5 III Immersione 12 pollici h — 5 , 36 linee Ahczze Differenze tra lo spe- ^Differenze tra lo spe- 6 rirn'.j e ( f -j- A ) rim'^.j e iV ^ -*-\/ ^Y Linee Linee Linee 24 - 3 , 24 -t- 19 , 60 36 — 3 , 14 -»- 24 , 46 48 - 2 , 97 -H 29 , o3 60 - 2 , 97 -4- 33 , o3 7- - 2 ' 97 -4- 36 , 25 84 - 2 , 97 -^- 39 , 43 96 - 2 , 97 -+- 42 , 43 108 — 2 , 89 H- 44 , 87 120 - 2 , 64 -♦- 48 , o5 l32 — 0 , 64 -+- 52 , 96 T. 11. P. I J. 14 J io6' AVA-NZINl Diffcre?ize tra le pressionl spcrinieruall e delle formole {e-h), (v/T-i^r Idimersione 12 pollici h — 2 , 17 linee"" Altezze Differcnze Differenze e tra lo sperinf.^ e la tra lo spcrini". , e la • formola {e — h) formola {^yy~e —y/Tif Linee Linee Linee 24 - 2 , 12 — 12 , 18 36 — 2 , 17 - i5 , 33 48 — 2 , o5 _ 18 , II 60 — 2 , o3 — • 20 , 49 72 — 2 , 01 — 22 , 67 84 •— 2 , 01 — 25 , 67 96 •— 2 , 01 — 26 , 67 108 — 2 , 01 — 28 , 27 120 — 2 , 01 - 29 , 91 l32 - 2 , 07 - 3i , So SULLA TEOR. BELLA RESIST. DeVlUIDI D1 JuAN I07 II Immersione 12 poUici /i = 4 , 40 linee Altezze Linee 24 36 48 60 72 84 96 108 120 l32 Differenze tra lo sperlni". , e la formola [e — h) Linee — 4 , 00 — 3 , 90 — 3 , 5o — 3 , 40 — 2 , 90 — 2 , 90 — 3 , 20 — 3 , 20 — B , 20 — 3 , 5o Differenze tra lo sperim'^.j e la formola (y/7—^l^Y Linee — i5 , 80 — 20 , 3o — 23 , 90 — 27 , 00 — 29 , 70 — 32 , 5o — 35 , 60 •— 38 , 00 — 40 , 40 — 42 , 86 io8 A V A N Z I N » III Inimersione 12 poUici /i =r 5 , 36 linee Altezze Linee 34 36 48 60 72 84 96 108 120 l33 Differenze tra lo sperim^. , e la Jormola {e — h) Linee 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 96 46 36 36 a6 26 46 46 46 56 Differenze tra lo sperbif., e Linee — 16 , 90 — 21 ,60 — 25 , 64 29 32 35 39 5o 84 94 14 41 , 54 44 ■> 94 46 , 99 i^ SULLA TEOK. DELL A RESIST.De'fLUIDI DI JuAN 1 09 Differenze tra le pressionl dello speriniento , c delle formole md h .dt [t -^ h sirC 4 ) , mdb .de [\/ e -^ -u sin^Y 0 = 67°. h — i3 , 74 AUczze i Di^L-rcnzc tra to sperim''. Differenze tra to spertm*. e Id f ormolu (t -t-h siii^ 9 ) e la /ormolu (^ i ■*■ '^ u sin 6)* Linee Linee Linee 10 - a , 36 ■+■ 9 , 22 39 — 0 , 86 -*- 41 ' 7^ 9« — 0 , 36 -4- 64 , 74 100 -♦- 1 , 64 -+- 69 , 8« i3o -♦- 5 , 64 -*- 83 , ^5 II 6 r 0 /l _ 9 , 54 Altczzc ( Differenze tra lo sperim. Di ffcrenze tra lo spertni. c la /ormolu ( t + /i sin' 6 ) e la /ormolu (■>/ t ^ j^ u sin i). Linee Linee Linee 24 - I , 73 -+- 19 , 66 54 — 0 , 98 -+- 3 1 , II 78 -+- 0 , 27 -*- 38 , 84 108 ■+■ 1 , 02 -+- ^6 , -^l 113 -+- 4 , 87 -+- D^ , 24 '"■■' ^— - "*-^^— — — T no AVANZINI III 6 = 23". h — 9 » 54 linee AUeMze i Linee 26 57 84 I 12 129 Differcnze tra lo sperim. e la formola {t—h sin' 6 ) Linee - 0 ' 77 -»- 0 , 53 -t- I , 23 H- I , 98 -t- 3 , 39 Differcnze tra lo sperim. e (V~ — 1 " sin 6)' Linee •+■ 11 1 72 -H 19 , 12 -t- 23 , 83 - 2 8 , 11 — 3i , 45 SULLA TEOIl. DELLA RESIST. De' FLUIDI DI JuAN I I I Differenze tra le pressloni dello sperimento e delle formole mdb.di{e-~hsin'^), mdb.de {\/~7— - u sin 6)' 8 fl - 67'. h — 1 3 , 74 AUezze i Linee to 39 91 100 i3o Dijferenzc tra lo sperini. e ( I — A sin' « ) Linee - 8 , 64 - 8 , 65 -7,65 - 6 , 90 - 7 ^ 98 Diffcrcnze tra lo spcrim. « ( V~ — 5 « sin % y Linee - 6 , 94 - 27 , 98 - 49 . 45 - 5i , 85 - 62 , 5o II d - 45". /i — 9 , 54 AUezze I Diffcrcnze tra lo spcrim. c ( t — /j siii^ i ) Diffcrcnze era lo spcrim. e ( V t — g u sin 6 )= Linee Linee Linee 24 -+- 0 , 23 - II , 63 54 -+- 0 , 23 - 22 , 33 78 — 0 , 52 — 29 , 56 108 — I , 44 •— 37 , 3o ii3 — 1 » 27 — 42 , 21 113 A V A N Z I N I III 9 - 23°. h — 9 , 54 linee Alcezzc ( Diffcrcnzc tra lo speiiin'. Diffcrenzc tra lo spcriiu''. c {( — h sin' e ) c ( ^/ t — i u ija 9 )* Liiiee Linee Linee 26 -H 6 , 54 — 2 , 85 ^7 -+- 6 , 54 - 8 , 77 84 -+- 3 , 54 — i5 , 67 1 12 -H 3 , 34 — 23 , 09 129 -t- I , 54 — 22 , 96 78. Un'akra prova die la formula mdb.cle[edzh) esser dee molto nieno inesatta della forraola m d b'. d t (\/ e dz-u)" si e questa: che la resistenza a otteiiuta dalla prima s' accosta assai piu a quella of- fertaci dagli sperimenti che non fa la resistenza dedot- ta dalla seconda. Per la. m db.de {(± ^u)\3i resisten- za. dovrebbe essere ^ mb a a (a)^ ossia 2. mb ah., e per la m db . di{\/ i±: -uY ., ^ {ui\/ e -^ ^ ), (a) § 644. Opera citata. SULLA tlor.dellauesist.de'fluididt Juan I IJ m h (§ 39)1 ossia "^ {?, a >y ah-i-h^) siipposta It I'akezza dovuta alia velocita u. Dal confronto di queste resi- steiize con quelle degli sperimenti del § 62 risiiltaiio le diderenze notate nelle segueiiti tavole , 1 b^f, p.ed. a — 1% piedi i Mezzi 1" spesi Differcnze tra Ic rcsistcnze Difficrcnze tra le resistenze a pcrcorrere 5o piedi sperimcntali , e 2 ni b a h spcr'unentali , e Marchi Marchi 41 , 75 37 , 80 34, 75 32 , 5o 8 10 II 10 72 76 80 81 29 , 90 1 1 8 + II r 3^ piedi a = n P'efJ' Mczzi 1" spesi Diffcrcnze tra le resistenze a percorrere So piedi 52 , 00 46 , o5 42 , 07 37 , 25 35 ,^ T, 11. spcrimentali , e a rah h Marcbi 8 II i3 18 »9 P. 11. Differenze tra le resistenze spcrimentali , e I '6 a y/ ah + hi) 3 Marchi 119 i33 144 1 59 i65 lb 114 A V A N Z I N I HI b = : 4 piedi 1 a = ^ piedi Mczzi i" spcsi a I'd comic So piedi Diffcrcnze tra Ic icsistcnzc spcriniciitali , e •2 a in b h Diffcicnzc tra le rcsisicnze , spciiinciitdli , c Marchi ]\hn 111 5o , 75 46 , 5o i3 i5 181 196 ^1 , 00 36 , 5o 33 , 69 19 24 27 2.7 ■ a 5. 3 79. Per cio the risguarda gli speriineiiti ai rpiali il sig. Juan ap[)oggia la sua leona in gent-rale abbianio gia d»-tto al § 6 che iiitti resiringonsi ai cinqne accennati nel paragrafo stesso. Ora ve} (a) g 6.1.4. Opera citaca . SULLA TEOU. DELLA RESIST. Dl' FLUIDI 1)1 JuAN 1 I 7 mersi nella corrente, si volessero posporre agli speri- menti de' piani medesinii , quand'anche quelli provas- sero pur qualche cosa in favore di Juan. 81. Quanto al 3° speriinenio di questo geometra consistence nella velocita delle navi la quale, calcolata con la sua formola, trovo convenire con la velocita os- servata, dico clie neppur esso come i due prinii puo comprovare la giustezza della sua teoria nella parte che risguarda il caso clie presentemente consideriarno . Quando parlero della teoria di questo geometra re- lativa ai solidi dotati di una figura simile a quella de* bastimenti, vedremo che neppure la corrispondenza tra la velocita delle navi calcolata con la sua formula, e la velocita osservata , e sufficiente a dimostrare ch' essa fornmla possa adottarsi come vera almeno in questa circostanza, che sarehbe delle piu importanti. Ma una tal prova sia pur anche se si vuole favore- vole alia teoria spettante alia resistenza incontrata da* bastimenti, dico ch'essa poi non puo esserlo in alcun modo alia teoria medesima applicata al caso de' paralle- lepipedi. Tn f'aiti non potrebb'essere ch'essa teoria fosse falsa in riguardo ai parallelepipedi e che gli errori ch'es- sa contiene venissero a distruggersi quando si applica alia resistenza incontrata dalle navi dotate di una figu- ra ben dilTerente da quella de' parallelepipedi ? 82. Finalmente per cio che spetta al quarto e quin- to sperimetito di Juan e manifesto ch'essi appartengono a due casi tropj^o diversi da quello che si e finora di- scusso, e che quindi non ponno assolutamente addursi in prova della veriia della formola spettante al caso medesimo. ii8 A V A N Z I N I CORREZIONI E NOTE ad alcuni paragrafi delle memorie precedenu ( I ) Le due ultime tavole del § 5 {Osseivazioni , e sperienze sopra la teoria della resistenza de' Jluidi del slg. Juan) si cangino nelle segueuti. Pressioni Pressioni Diffcrenze dcllo della sperimento formola Linee Linee Linee 201 3 18 , 07 ri7 , 07 202 319 , 24 117 ' H 204 828 , 96 124 , 96 205 332 , 52 127 , 53 222 387 , 64 1 65 , 64 225 599 , 29 174 , 29 23o 414 , 75 184 , 75 232 4'9 ' 74 187 , 7^ SULLA THOU. DELLA RESIST. DJe'fLUIDI D1 JuAN 1 1 9 Prcssinnl ddlo spcriniento Pressionl delta formola Differcnze Linee Linee Linee 171 , 00 82 , 84 - 88 , j6 170 ,95 80 , 97 - 89 , 98 i63 , 95 59 , 89 — J 04 , 06 i5i , 00 40 , 26 — no , 74 I So , 00 38 , 71 _ III ,29 (2) Nel § 36 della stessa meiuoria in luogo del' la espressione (i-*-5) (a;-Hjtt-4-A) : — I z dz . u 7 -^ — {h' -4- 5') (x -H « -H 1^'- A) -H ti^ fz' dz' .u' si legga (J-+-B)(a?-+-A)-f-^.jot : — ? I z d z . u ^\h'-^B') {x-i-ci — h)^b'.^' a . 22 fz' dz' .u' e invece della formola . . (aj si ponga A {2 h — c() -i- b . lA — 6'./*'—- ~ ' ^^ ( / z d z . u — /z' d z' . u') 120 A V A N Z 1 N I (3) L' eqiiilil)rio delle lamine clie servlrono agli sperimeiui della memoria i." Nuove ricerche ec. si ot- tenne (come puo rilevarsi dal § 19 di essa memoria, e dai §§ precedenti, e successivi) quando esse lamine trovavansi gia del tutto immerse nel tliiido. Di modo die il cosi da me deito centra di gravita dellc lamine era il ceiuro comune della loro gravita as'soluta, e della spinta verticale del lluido. Da cio, e da quanto io fe- ci osservare nella suddetta memoria rendesi manifesto che nei sopraccennati sperimenti la spinta verticale del fliiido non poteva in alcun modo distrarre daH' asse deir eqnihbrio delle lamine il centro di resistenza ad esse opposta dal tluido, e che il principio da me as- snnto , che il centro di detta resistenza dovea cadere su I'asse medesimo d'equilibrio e rigorosamente e ge- neralmente vero. (4) Gli sperimenti del § 28 {Osservaziont , e spe- rienze sopra la teorui di Juan) si fecero in un gran vaso d' acqua alto piii di cinque piedi, e largo quattro incirca, cosi che si scorgevano benissimo i moti del pendolo descritti nel medesimo § 28. 121 IVr E ]M O R I A SOPRAICRITERJ chc cUstinguono i Massimi dal Minimi clelle Fortnole Jntegrali do p pie. Dl ViNGENZIO BllUNACCI ricevuta il di 8 di Aprile 1801) I .0 non so die alcuno siasi avvisato di spingere le dottrine sopra i criterj che distinguono il inassiino dal miniino, siiio alle lormole iutegrali doppie. Egli e ve- ro che tal ricerca e una delle piii scabrose iiel per- fezioiiamento dtiranalisi; ma e altresi indubitato che essa e iinportantissima per la determinazioue di quel- le siiperticie, le quali goder debboiio di una certa proprieta di massiuio e di iniiiiuio. Per cio che riguarda le t'ormole inregrali sem- plici Legeudre il primo ne asseguo i criterj (i). lli- prese a tratcare ([uesta dottriua il Lagrange ed al- cune condi/ioni aggiunse alle tbrmole del primo (2). In seguito (3) io niosirai come Legeudre, ira- (1) Alii dcir Ace. R. di Fiaiicia del 1780. (2) Teoria delle Funz. Aiuilii. (3) Atii dcir 1st. Naz Ft^l. Toui. I. i\ II. Tom. J I. P. IL 16 122 B U U N A C C I sciiraiulo alcnnl termini dilVerenziali del secondo or- diiie, clie ei doveva apprezzare, si era iiigaiinato in una certa classe di casi, e corressi le di lui formole. Ora mi propongo in questa memoria d' indagare i crircrj per distinguere il massimo dal minimo delle formole integrali doppie, cioc di J f"^ d x d y, e co- si di portare un cjualche avanzamento nella dottrina generale dei massimi e dei minimi, (i) Onde poi riesca pin semplice la lettura'di que- Pto scritto, incominciero a trattare di nuovo le teo- rie soj)ra i cricerj degli integrali semplici, per cosi tar- mi straila a qnelle, clie sono Toggeito della memoria. §. I. Essendo ^ una fnnzione di x , y, si diman- di qnal relazione esister debbe tra quelle due varia- bili, onde f^vdx riceva un valor massimo o minimo estendendo T integrale da x = a siao ad x = 6; e quale debbe essere il criterio per distinguere il mas- simo dal minimo. Se noi iudicbiamo per w una qnantita qualun- que indeterminata fnnzione di .«,/, le leorie spiegate nel cap. 16. del mio corso di cal. sublime ci danno r equazione (y— ) = o per stabilire quella relazione tra X ed y. Le stesse poi ci dicono che per distinguere il massimo dal minimo coaviene esaminare se Tintegra- w' ( -7— t) d X esteso tra i limiti x = a, x = b e a r ' (i) Questa dottrina generale di massimi e (niniiiii h auche cotiosciuta sotto jl titolo di Calcolo delle Variazloni. MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOPI'J 123 una qunntlti positiva o negatlva: se e positlva la for- mola f'i'dx e minima; e iiel caso diverso e massima. Ora nel liiogo citato si dimostra questo Teorema „ L' integrale f f (x) d x esteso tra i liiniti x = a, „ x = b, essendo b > a ii seinpre una qiiantita posi- „ tiva se tale sempre si conserva / (r) per tutti i va- „ lori possibili die ponno darsi ad x compresi tra „ X = n , X = 6, purche pero nessuno di qiiesti va- „ lori renda infiniti alcuiii dei coeflicieriti differen- „ ziali (7-) 1 (7-4)? ec; ovvero e negativa se quei „ valori sono tutti negativi. 0)' ( -J— J ) d X esteso tra i limiti .r = a , X = 6 e positive, se la quantita (7—1 ) e positiva per tutti i valori di x tra i limiti a , b; e negativo se quella quantita c negativa per gli stessi valori; dunque la relazione tra x,y condurra al mas- simo o minimo se la quantita (7— r) e negativa o po- sitiva per tutti i valori di x compresi tra x = n,x = b ■ A questa condizione conviene aggiungere clie d T rappresentando (7-1) per F (x), non sia infinita al- d F d^ F cuna delfe funzioni /"(x), (-7- ) , (7— i)-) ec. per qual- (t X CL 90 cheduno di quei valori di x. (J y , 124 B R t; N A C C I §. 2. Essencio "¥ una fiuizione di x,y, {''-)=p, il Cap. citato nel § ant. ci insegna clie la relazione dv r/T, dataci (Jall'eqiiazione ( -^ ) -- - d ( j—) =0, ren- dy d X dera I'integrale f ^ d x massiino o rninimo tra i liniiti dati X =: a , X = 6; e che pt^r distingnere il niassiuio dal niininio conviene esaniiiiare se iiKlipeiideutenieu-« te dal valore di a, \ iiiteo;rale /; "^-rz^)-^''''^!-)^ 1—1-) -^ -7- b- ' \'^''' d y dx dydp dx dp e una qnantita negativa o positiva, esteso tra i liini- li X = fl , X = 6 . Indicliianio per L , M ^ N qnei roefficienti dif- ferenziaii, e I'integrale preadera la tbrina A ■ji L ^.(i:f)M^Cl^yN\dx. d X d X ' Sia (? -H y f* quella porzione sbavazzata dal se- gno sonunatorio, die [)no ottenersi [)t'r mezzo delTrf- fettiva integrazione, ove C e supposto costaiiit , e ^ iuu- zione di x. Avreino allora /*L'L-H3c-(4^')3/-H(l:')Wj^a;=C-H-.«'-H/7a-'(Z-(^-''))-H J *■ dx dx ' y t dx .{^){3i^u)^{pyN}d^ d X d X MASSfMI E MINIMI DEGl' IXTEGR\LI DOPPJ 125 Dovra clunque essere questo secondo membro una cjiiaiuita lu'gativa nel inassimo, positiva nel minimo, ebtesa I' inteo,razione tra i liiniti x = n ^ x = b . Ptr (io (he riguarda la quanfiLa adeita dal se- gno integrate, sara cjuesta una quaniita positiva, o negaiiva se tale e la qnauiiui ax ax ax per tiirti i valori di x compresi rra a e 6. Ora dalla onlinaria teoria dei massimi e dei mi- nimi si sa clie una quantita di qnesta forma ax ax e positiva indipendentemente dai valori di w e di ( .— ) se le due quantita A,C j sono quantita po- sitive; e negativa se quelle sono negative; dunque qiielP integrale sara una qnantita positiva tra i li- niiii X = a , X = b, se le quantita dx' , N saranno positive per tiuti i valori possibili di x da a- = (I sino ad x = b; e sara la snddetta quantita in- tegrale una qnantita negativa, se tali saranno qneste due idtime qnantita. Prr soddi^fare alia condizione che rende positiva, 0 negativa la secoadd di quelle due quantita, uoi po- 126 BuUNACGI tremo disporre dell' arbitraria y, la quale potrebbe anche determinarsi ia modo cbe si aiimillasse la me- desima quaniita. AUora il mdssimo, o miuliuo ci sa- rebbe dato dall' essere negativa, o positiva la quan- tita N, cioe ( -r-r ) per tutti i valori di x da x = a, ^ dp ' *■ sino X = b. Riguardo poi alia porzione sbarazzata dal segno iiitegrale, cioe C -t- u w\ estesa qiiesta tra i limiti X = a , X = b, o dcbbe esser nulla tanto pel niassi- mo cbe pel minimo, ovvero positiva ntl minimo, e negativa nel inassiino. Indicbiamo per ("«')" il valo- re di vu' al principio dell'integrale, cioe quaudo x = a, ed avremo C -♦- (y «')'' = o, quindi C = — {" ^^f ^ ed u 0)*— (t/ (j')° sara allora quella quantita. Estendiamo r integrale sino ad x = 6, e sigiiificbianio per {o, Zi>o,^>o, per le condizioni che stabiliscono l' essere positiva quella quantita sotto il segno integrale; e le inverse per T essere negativa. d'v. Se dunriue sara 5>o, ovvero {-,— ^)>o ^ a q , avre- I 3IASSnrT E MIXIMJ DEOL INTECRALI DOPTJ 1 29 ino il mliiimo, piirclie nello stesso tempo possano aver luoji^t) le altre clue cotulizioiii Z/ > o , X> o. VI sa- ra poi il massiino se S < o , purclie possano nello sresso tempo aver luogo aaclie le altre due concUziuiii Z«, daudo ad x tutti i valori possibili da „ X ■= a ad X = b. Sia in fatti /F {x , y) d y = f{x , }')• ^^ ^^ P*^^ teorema citato clie sara f {x , ' x conside- randosi x come lui valorc lisso e costante . Sia MASsnn E MINIMI degl' in tegrali doppj i3i ^x=f{x,cp'x)— f{x,ili da x = a slno ad x = 6 . iNIa y x ovvero /"( x , =^'x, (livciiga massiino o ininiino, eel i criterj per clistinr>;nere il inassimo dal nilnimo. Supponiamo die z clivensimo. Per (jiiesta supposizioiie la nostra formola diverra yy^ d X d'y±ijy^{ 'II) . dx.'C ad y ■= (fi' .T, combinati con quel di x da r = a ?ino ad X- = 6; sara poi inas^imo per tutta la suddeita (V' f esteiisione se la quaiitita ( v^) avra un valore ne- gativo . A (]u«"s(a coiidizione aggiiignlamo che per alciino di quel valori della y e della x non debbe la quan- tiia ( -j) essere infinita; e questa avvertenza inten- diamo che si al)I)ia anrora in tutti i criterj , i qiiali daremo nel seguito per quanto non ne faremo piii parol a . Se dando ad x e ad y tutti i valori che essi pon- . cV^ no ricevere entro i prescriiti limiti, i valori di (^— 1) dair esser positivi passeranno all' esser negativi , e viceversa , allora in <[u;'lla porzione di snperficie da noi cercata, avra hiago ed il massimo ed il niininio: vi sara il massimo per la p )rzione di superficie per cui 1 valori di (-7— r) sono negativi, ed il miiiimo. qnan- d z ° do quei valori sono positivi . 1 34 B U U N A C C I Si dlinandi per esempio 1' equazione della super- licie ciirva per la quale la lorniola w* / / ■ -— ^ d X d y e uii massinio o un mini- mo, siipponendo che la superficle passi per un coiv toriio disegnato nello spazio, e die quella proprieta debba regiiare per tiitta 1' estensioiie della superficie conipresa tra quel contoriio, che equivale a dire, clie r iiitegrale debba estendersi tra i limiti a: = a , x = 6, y = $ a: , ^ = 1$' X esseudo questi dati dai massimi e mmimi valori, che ricevouo le coordinate x , y nella projezione del contorno sul piano di quelle stesse co- ordinate. Sara in questo caso (tralasciando m* che resti- tuiremo alia line) 5 \ -I— ) 1 J [ - — I ) 1 — • xyz dz xyz dz xyz Ora r equazione che ci da la cercata relazione e ( .-) = o; avrenio percio nel nostro caso z^ ~ x^ — y* = o , ovvero s = \/ (-^^ -t- y*)- La superficie che gode di questa proprieta e dunque una superficie co- nica, il cui vertice e nell' origine delle coordinate; il cui asse e lo stesso asse degli z\ ed il cui lato fa un angolo di 4-5 gradi con I'asse. Siccotne nell' e([uaziont; trovata non vi sono ar- Litrarie, cosi non la possianio assoggettare a passarc per un dato contorno nello spazio, quando questo non sia tale, che le equazioni da cui e detenninato abbia- WASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGKALI DOPPJ I 35 no necessariamente liiogo insieme con I'equazlone del- la supeiTicie; cosi se quel coatorno p. e. fosse un cir- colo j)aralIelo al piano degli x,y, di un ragglo ugna- le alia sua distanza dal piano orizzontale, allora la superficie conica estesa quanto bisogna passera per quel circolo, Suppoiuamo die non sia prescritto il passaggio della superficie per quel contorno, nia sia data la di lui projezione sul piano degli x , y; siano dati cioe i limiti tra i qiiali estender si debbe 1" integrale; al- lora la porzione della superficie conica la quale go- de della voluta proprieta sara quella, die sarebbe in- tercettata da una superficie cilindrica, il cui asse fos. se paralldo a quello degli s, e la cui base fosse la stessa projezione. 11 criterio oude distinguere il massimo dal mini- mo consiste nell'esaminare se la quantita (-7—1) c po- sitiva o negativa tra i limiti dell' integrale, Ora ( -r-. ) = -r—. 5-, . Se dunque suppo- d z ' xy v ( ^ -t- / ) niamo clie la projezione sul piano degli x , y sia un triangolo rettangolo die abbia un angolo acuto nell'o- rigine delle coordinate, un lato sopra T asse degli x, la cui lungliezza sia ^, e la tangente di queir ango- lo egnale ad a, saranno j=o^y = ax i limiti re- lativauienie ad y, ed .1; = o , x = 6 quei relativamcn- te ad X. Ma quel criterio e sempre positivo per tut- ti i valori di y compresi tra y = o, ed y = aa\, dan- i36 J3 U U N A C C I do ad X' un valor qualunnuo ira x = o sine ad xrzrb, dan(|ue qufllu supeiljcie gode di una j)ropneta di iniiiimo. Se pol noi sostituiaino ii\ quell' integrale dopplo il valore di :; dato per x e per j, cioc j3 = \/(x' -^ y'' )} axreiuo la quaniita / / 5:— ^^-^dxdy la quale integrata, ed este- se le iiuegrazioni tra quei prescrltti liiniti, sara uii niiiiirno. Ill generale il criterio essendo sempre una quan- tita positiva, qualmique valori diaino ad x e ad y, purche sieiio aiuhi posiiivi o ainbi negaiivi, ue segue clie ipialuuque porzioiie di quella superlicie conica godera di ([uelia proprieta di miniiuo, se pel coutor- no della di lei projezioue sul piano degli x , y, que- ste coordinate saranuo positive nello stesso tenij)o, o nello stesso negative. Quando poi la porzione della superficie couica sara tale die delle coordinate del coiitorno della sua projezioue una sara positiva e Tal- tra negativa, allora essa godra della proprieta del niassiino. dz % 6. Sia Y una funzioue di x , y , s, e (— - ) = p, ax e vogliasi la relazione tra x,y,s onde f f ^v d x d y esteso tra i linuti come e detto sopra , sia massinio o uHuinio, ed i criterj per distinguere il massinio dal inininio. Se uoi pouiamo z :±. I <>> in vece di ;; la nostra furiiiola divcrra MASSIMI E MIXIMI DEGl' INTEGRA LI DOl'I'J ] 3 -7 Dovra dunque csscre tra quei limiti; e tra quei medesimi I'integrale doppio dovra essere negativo nel massimo e positive nel mi- ll iino. Ora dunque a z d X dp sara \ ecpiazioiie die ci determinera la relazione cer- caca tra le variahili x , y , c. L'lntegrale poi/^(~)(/y, (il quale dee ri- T. IL P. 1 1. ^' i8 lV3 B U IT N A C C I giiartlarsi come una fuiizione di x,y, giacche vi dob- l)iamo sostituire il valore di z dato per x,y) esieso tra i liiniti prescritti, debbe esser nullo aiicora esso indipendeiiteinente dal valore di w; cio che otterre- nio per mezzo delle indeterminate contenute nel va- lore di z, avendo pero prima riguardo alle xondizio- ni particolari del problema nei bmiti dell'integrale. Per r altra condizione sia fi^' ^ d y la qnantita che puo ottenersi facendo un' integrazione riguardo ad X, ed avrenio, indicando per P , Q , R le quantita a z a 'z a p a p ff> -JP-^ 2 u,{'L^^)Q^{'^^YR J dxdy = f<.' CL dy -H J J i d X d X d X ] Ora I'ordinaria teoria dei massimi e minimi c'in- segna che la quantita d X ax ax e positiva o negativa se positive o negative sono le quantita R , P — { —) — ' ' ; dunque vi sara il massimo se /? < o; r. I da.. (Q — ^X ^ 1-1 •• P — ( -7— ) — -^^-= — - < o ; ed il mmimo se dx R il>o-, P--( )-iX__l >0. dx ii MASSIMI E MINIMI DKGl'iXTEGUM.I DOI'l'J 1 ^Q II niassimo ed il miniino sara iudicato dul coef- ficiente (• -), e la quantita ^ dovra detcrminarsi in dp modo che la scconda concii/Jone combiiii con la pri- ma nello stabilire il massiiDo od il iiiiiiimo. Qiieste due coiidizioiii debbono aver luogo per tutti i valori possihili delle variabili x , y compresi tra i lirnici ad esse assegnati dal problema. Potrebbe ancbe deterininarsi « onde fosse d X R ed allora il solo criterio /?>o, ovvero i? < o ci di- stiiiguera il niassimo dal minimo. A riguardo della cpiantita / w' « rZ y, quest' in- tegrate esteso tra i limiii prescritti dovra indipenden- teiiiente dal valore di w essere nullo, ovvero nega- tive nel massiino, e positivo nel minimo, cio che suc- cedera se sara ^ una quantita negativa , o positiva per tntti i valori posbibili di y tra i suoi liiniti. An- zi indicando per (aw")' — ( j; w* )" quella funzione di y cbe nasce dalP estendere V integrale o* u da uii li- inite air altro dei valori di x dato per y^ se awi il minimo, dovra f \ ( i: a-* )' — ( ^ w" )° \ d y esser nullo, o una quantita positiva, estendendo 1' integrale da an limite all' altro della y; questo avverra se ( ^ "^^ )' — (a j' )" = o, ovvero una quantita positiva per tntti i valori di y presi tra i suoi limiti: cpiando poi vi fos- se il niassimo d()vra essere (* w^ )' — (» u' f = o, ov- vero una quantita negativa. 140 Brunacci Qnesta condizione debbe verificarsl indipendente- nieiite dal valore di f, aveiido pero riguardo ai da- ti nei limiti dell' integrale. Per es. Sia t = y/ ( i -*- p" )i ed avremo (7-) = ^ , (— )= ^^—- d z dp V ( 1 -+-/' ) J. ./{1I)=_Z d X dp ( I ^_ y/ ) : d'z. e la cercata relazioue sani allora facendo d'Y relazione tra lie variabili. la quale porta il massimo o minimo del- fla forinola fj'i' d x d 3-, sara 1^3 BnUNACCI N- -L (IP a X —dp' d y D'^vni poi la qiiantita fuPdy-\-fi'i P' d x esser nulla tra i limiti delie variabili a: , y iiulipendente- mente dal valore di w. Iiioltre vi sara il massinu) od il mini mo se la qnantita J J I dz dx dzdp dy dzdp dx dp dx dy dp dp dy dp' ) e negatlva o positiva, estendendo T integrale tra i li- miti prescritti. Ora io osservo che dalla quantita f a'^ x d x -t- f ui^ ^ d y (differenziaiido la prima parte rapporto ad y, e la seconda rapporto ad x) si ha /I' « ^/ .c -t- /^' /3 J/ = AA^ ^'( 'i^ ) -t-a « ( 'ij^ ) « -t- e.^ ( ^ ) -f. / J J J i dy dy dx •^ 2. u {^ 'f.) 12\ d x dy ; d X ' dunque indicando per Q , R , ec. quei coefficienti dif- fereiiziali (-7— 1),( /_,-)? ec, e supponendo die iL z iiz tip f u>^ 01 d X -^ f u^ & d y sieiio le due quantita, che pon- no aversi scevre di un segno integrale, sara MASSIMI E MINIMI DEGL INTI'GIl.VLI DOPPJ I4J JJ \ dx "7 dx dx dy H-(i±')' ]• Y^^ "'t-i- a« rtj «.r dx dy ^[^)^Y\dxdy. d y ) A qnesto integrale doppio del secondo membro diamo la forma seguente 2. B'l~)<^-hC^'ldxdy dx > e r ordinaria teorla dei massiml e dei minimi ci di- ra die quel coellicieiite di d x d y e positive indi- pendentemente dai valori di «, i j~)A-j—)^ se facte /t'" A' A" A"' L = B-— , L' == B' ~ d-A- , 31 — C —±- , A ' A A /f = iJ/-^; sara ^ > o; L > o , // > o. Dunque queir integrale doppio esteso tra i prescritti limiti sara positive se J>o,L>o,/f>o, cioc se 1^4 B U TJ N A C C I a y ax r >0i T- r sara poi negative se tutte quelle tre qnantita saran- no negative per tiitti i valoii dell' a-, e dell' y compre- si tia quei limiti. 11 massinio dunque o il ininimo ci sara dato dall' essere qnantita negative o positive. Dovremo poi prendere per -z , /3 tai funzioni di x , y, che conq)iaiio T altra condizione // > o ; o die rendano H=o. Una per- tanto delle due indeterminate restera arbitraria. La qnantita f ^^ x d x ■+- f ^^ ^ d y estesa tra i ]ire- scritti limiti dovra in oltre esser positiva nel niinimo, negativa nel massimo, indipendentementc dal valore di w, ovvero nulla nei due casi. Prendiamo a determinare la superficie per cui la qnantita e un massimo o un minimo. dz. Avremo in questo caso t = (^)»_ a'( — )% c * qunidi (^^- )=o, (^) = - 2 a'p , (;7^,) = ^p'; avre l\lASSIl\tI £ MINIMI DEGl.'iNTEGUALI UOPI'J \ ^^) nio aJum|ne ])er deterinifjaie il inassiaio, o iniiiimo (]iieste due eqiiazioni il/ dx /% (i {~)d X — / a a' w ( — ) J J m o . d/ J d X L' inregrale della prima e 2 = $(x-<-a j) -*- /"(.r — r/ j), esseiulo <^ ^ F due I'unzionl arl)itrarie: tale sara 1' e- qua/.ione della supeificie cercata. Suppoiiiaino che questa siiperficie debba passare per uii contorno ovale coiidotto nello spazio, le cui equazioui siuuo y = in x -*- a, z = \/ {r — x' ). Con- verra detenuinare queste fuuzioiii onde sia compita quella coiidizione e ci basiera la deterini\iazioiie di una sola. Deceruiiiiata op[)ortuiiainente la prima fuiv- zioiie si avra s = \/ { 3I-{-N{x-^a/) -hL(j; -^-a/Y i -^ F{x-~ay) essendo jrj- r' ( I -4- g m y — a^ n* ( I •+- a mf N= 2, a n { I -i- a my x = — I ( I -^ a my Considerando il contorno per cui passar debbe la superficie, vedremo clie i limiti tra i qnali esten- der si debbe quel donpio iiiteiirale sono T.jj. Ail ^^ ^ 19 146 Brunacci Esaminiarao ora il ciiterio del massimo e del minimo. biccome ( -7—1 ) = a , ( —— ) =z — a, a , dp' dp (.^.) { ) — i £ = — a a 5 \ip''' qiialnnqiie valore si dia ad x; dunque dl qiieste due quantita titia essendo positiva, 1' altra negativa, noii saranno adempite le condizioni del massimo ne del minimo; non vi sara dunque ne massimo, ne minimo in qnella superficie. Clie la cosa debba essere in questa gulsa si ri- levera ancora dall' osservare che quella relazione tra le variabili, da ^ = o, quindi //"¥ d X d y = ffo d x dy—fdxfo c? y = J a; = o, se estenderemo 1' integrale tra quei limiti x = — r, X = r . Di tutte le superficie curve, le quali si terminano ad uno stesso contorno disegnato nello spazio, e dato di posizione, trovare quella della minima estensione. « MA.SSIMI E MINIMI DEGL* INTEGRALI DOPPJ 147 L' iiitegrale doppio ci esprinie restensione cli qualunque porzione di su- perficie, qiiando estendasi tra i liiniti die si conven- gono a quella porzione. avrerno dunque , d z •. , I d z y. (d^ Zs. , /d^ z X {^-r—,) = a z' dp ' a [J ' cei'cata sara data dall' equazione MASSniI E MINIMI DEGL INTEGRALI DOPl'J I49 ax ax l.dP'-^-J-- d X dx dy d'Q' ^=0 d y , d'Q' Dovra poi la quantita /{ ,i"+(?''(£^)-.('^')-»(^') 1''^ d y d y ax' esser nulla tra i limiti delle variabili x , y indipen- deiitemeiue dal valore di u e dei suoi ditTerenziali, avuto riguardo alle coiidizioni del problema nei limi- ti deir inttgrale. 11 criterio poi per distinguere il massimo dal mi- nimo si desuinera dall' essere il seguente integrale doppio una quantita negativa, o positiva, m-'^i estpso tra i Ora SI juantita d avremo SI A S S I M I E MINIMI D E G l' I N T E G R A L I D O P P I i5i JJ \ ^dz^' \lx' Uzdp' \ly'\lzdp'' ^dx^'^dzdq' dxdy dzdq'' \iy'^d>/-dz' ^/ « dp dy dp dp i y d pf .dui.,d'a., d'r .^„,d-^\i d' a ,, d'r \ . „ /'^"^/'/'i'v, d'Y , dx dq dx dxdy dqdq dx dy il q o , il/> o , /o, 5>o, X > o , Y > o ; ed il massimo se A < o, M < o, K < 0 , 5, F divcnga F — i 6'. Se noi indichiamo ancbe per '^{z^j)^p\F) (p [z , p , p\ F,g) le funzioni 'i', , avremo j^. dV, (£.^)^(^)-,-i«(F). MASSIMI E MINIMI DECL INTEGRALI DOPPJ I 5<) Da questa equazione si ricava (.) (7^)-»(^)-(^>-(^') = »' clz dz cLx ay <'» 'S'-r^ ..riA ../l/^\ .o(i^)5(^^_«,Y')_a('i^)(ii_V/?•-^-()^(O-«O0-29r-).5' 'dy ^(ilfccTldxdy 1 ec. Per r altra serie (e') facciamo * JJ\ ^Tz^^^dJ^TjJ^dy'^dp'^^UV^ f = - /"^ « 6' -+- /3 0, I dy—r\ *'«'-+- /3^' } J X ^T dy -^p dx -(f)»-(f)('L")-(i-';)('5-')-(^)»-=-.d^)- dz dp dx dp dy dv ax tn d u dPj d w \/.t \lx' ^dx' ^dx dy' »6'(^')-M^^V/3'(y-)-^(^')- dy d y dy d y' Ora r equazione 1 MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOI'PJ l6l ( i_ ) = (p (::,/; ,y ,/% y ) ci da a X a X a z a x a p up ay dv -(^)(f^')-Hi(F')-^ec. a q ay 2, indicando per (/"') la stessa espressione indicata per (/") nella quale si scrive S' in vece di 6; avreuio dunque -(!^).-(^^)('|-")-(i-^)('L")-{i;)«=-j.(^)- a z dp dx dp dy dV I dz -•-(7-) p-jM7^)-t-«'M7-)^-(:r^'*" a y ^ I d q ) dy d x -*-(-—) -f- - «( P ) • d y a E di qui ricavianio le medesime cinque equazioni che noi alibiamo novate sopra, quindi la stessa equazio- ne della superficie, e gli stessi valori per «,«',^,/^'. La sesia equazione poi sara dx d y 2, Troveremo pertanto per (e') quest' espressione i6a Brunacci (e') = — i /") a 6' -H^w \dy — ir\ «' fl' -h /3' w I Ja; -t- -/ / I la stessa quantita clie era in (e) mutandovi §11. Facciamo per semplicita di espressione (c) = j y I «9-4-/3w J J/-+-Z /*i «' d -H ^' « I c?x -t- ( C ) =— /y > « fl' -+- /3 w J <^7 — i /*! «' fl' -*- /3' w I J a; -H -»- -/7^1 / ^' }^/xv//-t-ec. I termini ove si contiene un solo segno somma- torio, estese le integrazioni tra i litniti delle variabi- li a; , y, debbono annullarsi indipenflentemente dal valore di «, di fl, e di 9', nei due valori di (e), (e'), CIO clie si conseguira per mezzo dell' indeterminnzio- ne che resta nei valori di « , a' , ^ , /3', avendo ri- guardo alle condizioni speciali del problema nei li- miti deir integrale. I termini poi ove si trovano due segni somma- ton, debbono essere positivi nei minimo: negativi nei massimo indipendentemente dai valori di w , 5 , 6'^ e dei loro dilFerenziali parziali. MASSIMI E MINIMI DEGl' INTEGRALI DOPl'J l63 Ora snpponiamo die eseguendo una delle inte- grazioiii, ])03sano toglicrsi di sotto al doppio segno le duf (jiiaiitita /{g«- a /« 9 01 -H 71 H. iy^f\&'^" -J- a7?r 5 w -t- 7i' 6') J:c \' DilT'erenzianio la prima di d (p d z dy ' ^ (ly ^ d ij ) T. II. P. II. 21 164 B R t; N A C C I 2 ( — ) ^\ m -\- n d X ('i*)jH-V{(4:')-^.„(l|) dp 5 dx dV ( ) -»- 2( __ 9 > w -t-ji{-Jl) C ^ a 6 — |/i d 7 ' dy I ^ dp' ' - dy d y ec. Indichiamo per E" , i^" , C" , //" ; /" , K" , L" , M",N", i coefiicienti di «% 2 =. ('4^), a « (1^), ec. ed avremo ar A S S I M I E H I N I M I D £ G l' I X T E G II A L I r. 0 I' P I 1O5 \ff[f'^ ) d X dy =lf{s'J + ^ m .«-»-« 5' } dy -*- i/'^j g' <^' -^ ^ "^' '^ ^ -*- ^' ''' } d -v d X " •*■ " > " x (/ X ay ■+■ ( ^ )\M - « ilf ) -t- a ( '4-" ) 3 (^ - « ^V' - BI") -H 2 ( '^." ) ( '^.' )(-«/?') «/ dy dy dy -i- (I' {0 - ccO' — L")-i- 2.t{~) (- u S' — N") dy ^{ilyi-«T')\dxdy dy ' •+■ ec. E qiicsto secoiido mennbro dovra es sere negative nel massimo, e positive nel minimo. All' integrale doppio, che in csso si tro- va, diaiiio la scgiiciite lurina. 2,/ y '■\lx' ^dx'^dy ^dx' dy' dx' ^dx' ^dy' ^dy' dy' dy' \ly' dy dy dy -^aE\dxdy MASSIMl E MINIMI DECL' INTEGRALI DOl'I'J 167 Ove sara A = l—I'x A' = K-xK' A" = — cc Q' A'" = L~uL'~ K" A'" = F-ccF'-F" B = 3I—uM' B' = -uR' B'" = G~aG'-G" C = — uT' C'=.~uS'- N" C = - « P' - T" D=0-xO' -L" D' = n~u H' - II" E = E — »E'-E" a jj i 1 68 Brtjnacci iji> , Am > I . , dm » // = H_ „2 ( ) ^ ;j ( -H ) a X dv a z dy I =m -^m[ — !- ) d tj dp d . , ^ , d (b ^ , dn s dp at" ' . I d (^ s d (j § 12. Ora secondo cio die abbiamo cletto alia fi- ne del § 8 con i coefficieiiti A^A^ ec, B^B\ ec. ec. ( 1 ) formando le quaiuita M ^ K , S ^ X ^ quest' ulti- mo integrale doppio sara positive, o iiegativo, este- so tra i prescritti liiniti, se per tutti i valori di x e di y conipresi tra i liiniti dati, avremo J>o; iM>o; K> O; 5 > o ; X > c ; ovvero J < o ; i)/ < o ; A" < o ; »S < c; X <: o. E siccome si trovano le medesime condizioni per- clie sia positiva la quantita - / / {f^' ) d x d y con- tenuta nel valore della eeconda difl'erenza (e), quin- ( I ) Si avverta di non confondeic tia loio i si^nilirati (Jelle lettere M , K , I , ec- dei tre §§ antecedenti con quel delle stesse lettere de'. § i> , die qui si riportaoo . MASSnri E MINIMI DECI,'lNTEGRALI DOPPJ 1 69 di concluderenio , die la cercata superficie godera della proprieta del massimo se J o, M > o, Kyo. Alle akre due condizioni soddisfarenio per mezzo delle quantita ni , n , g , in , a , ^'; delle qua- li quattro rimarraniio sempre al nostro arbicrio. ^ ■ ■^fM'^^ SLLLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE Di Francesco Venini Continuazione drdla parte II. riceviita il di 1 1 di Aprile 1809 DEI METODI COMUNEMENTE CHIAiMATI INDIRETTI, O DEI CALCOLI D' ALCUNE OSSERVAZIONI CAROMETRICHE . S E Z J o >r E I Dellc misurc gcometriche delle altezze A u T I c o L o I Metodi per misiiror le altezze apparenti per mezzo dcir ani^olo d' elevazione. $2. X utti i Flsici, die han data qualclie regola per misiirar le altezze col barometro han procurato di confermarla per mezzo delle misure geometritlie o delle livellazioiii ordinarie fatte cou esattezza. JMa, noil essendo difricde di cader in errori non dispre- gevoli nel calcolo delle misure geonietriche , come avreino occasion di vedere in appresso; lio ciednto di far cosa utile ai leggitori trattando anclie questo ar- gomento con qualche estensione, tanto piii, die al- tri, cli' io sajipia, non 1' ha fatto ancora. 11 Sig. C'assini nel trattato della grandezza e fi- gnra ddla 'jcira dice con rjigicne, che per calcolar r akezza d' un moate sopra ii livello del mare sa- »7^ V E N I N I pendo di qiianto e superior al marc 11 luogo, in cui si inisura 1' anLiolo d' elevazioiie del mome, coiivien risolvere il tiiaiigolo CAB ( liji. I), nel 337,. S. L' altezza assegiiata dal Cassiiii e duii- que minor della vera poco meno di due tese; ma for- se per error di stampa si e posto 336 in luogo di 338. Calcolo dcW altezza del montc Cani2;ou nc' Plrenei. o I (nota. Al/a pag. 56 I'm. jo della prima parte si sostUiiisca Coracon a Canigou ) . Tn quest' esempio fn ^^a=i,5; CA=:?)2-ji^2i,S; A B= 2lii6-i; ed E A B = 2° 37' o". Fu dunqne C A'=^ A ^ = 33ooi88,5; C J - /I ^ = 3242664,5; B -y- C e = 43^^ 41' 3o". Da questi dati viene il cal- colo seguente 1-6 V E N I N I P -t- c Ltan. 1 = 9 . 9801591 L{CJ —A B) =: 6 . 510900707 16 . 49'o590o7 L{CA-^AB)= 6 . 5i85388a6 L tan. = 9 . 9712520981 ; = 43* 11' 18", 88 a 2. B = 86° 52' 48" , 88 ; C = 0° 3o' 1 1" , la 11 calcolo deirakezza e dunque come qui sotto. L COS. E A B = 9 . 9995469 LC A = 6 . 514736597 16 . 514283497 L sen. B = 9 . 9993558708 LC B = 6 . 5149^76202 6'5= 3272861,05 te.;Z>2J = 1439, 55 A qiiesto valore aggiungo una tesa e mezzo; e n' ho r altezza del Caiugou sopra il Irvello del mare di te. 1441,00. Questa, secondo il Cassiiii e di 1+41; onde la differenza fra i nostri risukati e di — di te- sa su 1441- SULLE LIVELLAZIONI BAIlOMETIUCHE 17-7 Calcolo pel monte San Banolomco Dati C A = 3271421 , 5 ; A D = 524ao C A -¥- A B = 3^23841 ,5; C A — AB— SaiQoor ,5 EAB = o° 5o'o"; ^'^^= 44" 35' o" a, II calcolo per gli angoli e dunqiie qiiesto L tan. ?-±S'' = 9 . 993683a a L{CA'-JB)= 6 . 507721 198 16 . 501404398 L{CA-i-AB)= 6.521640296 L tan. = 9 . 97976410a - a B -C = 43" 39' 56", 29 a 2? = 88' 14' 56", 29; 0 = 0" 55' 3", 71 Queste preniesse dan no il seguente calcolo dell'al- tezza. L COS. E A B = 9 . 9999541 LC-A = 6 . 5^4736597 16 . 514690697 L sen. B = 9 . 999797 '774 LCB — 6 . 5148935196 Ci? = 3272604, 66; Z>^== ii83, 16. l-B V E N I N I Tal e Taltezza del monte sopra il Itiogo dell'os- servazione; alia quale aggiungendo una tesa e mezzo si ha r altezza sopra il maie di tese 1184 , 66. Giu- sta il Cassini ella c di 1184, 5; onde la differeaza riducesi a di tesa. 100 53. Dopo d' aver trovato nel triangolo CAB i valori degli angoli B e C^ T altezza B V puo calco- latsi anche col triangolo AB D. A questo fine si cercliera il valore di AD corda dell' angolo al cen- tro. Ora la corda di qualunque arco A in uu cer- cliio, il cui ragglo sia R e = ::^ .jw. — esprimendo per r il raggio delle tavole . Nel caso nostro sara dunque A D = 'L.sen.--^ ovvero, cliiamaado « Tan- ^ r a 2;olo al centro sen.~ . Deterniinato il valore di o 7- a AD SI avra quello eziandio di B D per mezzo delVa- ualogia sen. B : sen. B A D == A D : B D . In questa r angolo BAD e ugnale alia somma delT osservato EAB^ e di EAD fonnato dalla tangeute e dulla corda, e per conseguente ugiiale alia ineta dell' an- golo al centro. E' dunque BAD=:EAB-^ — . Anche I'esprcssione delVangolo B c d'uiia forma simile a quel- la di BAD; poiche, essendo B = \'6o°—C A B — w, STILLE LIVELLAZIONI BAROMETUIGIIE 179 e C A B = 1)0^ ^ E A B sara B = go" - £ A ~ <,. Cio posto avremo sen. B A D = sen. {E A B -¥-- ); e sen. B = COS. { E A B -*- u ) . Sostitulti in fine questi \alori nella piecedenie analogia ne trarreino JBsen.iLAB-^--) DB= ^ e_ . COS. ( E J />' -H w ) NeH'osservazione della torre clella IMatelotte si ebbe EAB — 8''z'7' 10"; co = o' 2' 18", 94; e Cyi = 8271430 . Dunque, per calcolare la corcla AD, avremo X 2 =: o . 3oit/3oo LCA= = 6 . 5.47877 L sen. - = 6 . 5278609 Somina =13. 8431286 L r = 10 . LAD= 8 . 3431286; y:/D=22o3,68. Dopo d' aver trovato il valore di A D calcole- remo anche quello di B D iiel modo seguente. Lsen.{EJB-^'^ = 9 . 1682884 LAD = 3 . 3481286 12 . 5i 14120 Lcos.(EAB-^u) = 9 , 9902149 LDB= a . 5161971 ; Z)i?= 828 ,244 loO V E N I N I !Nel primo esemplo, calcolando qiiest'altezza me- desima col triangolo C AB^ rabbiam trovata di 828, 43 te.; cosicche la difl'erenza iVa i due risultati non giugne ad un quiiito di tesa . Pel moiite Canigoii Taiigolo al ceiitio e 3o' i i",i2; E AB -H^ = 2''52'5",56; ed £ A B -i-^ = y f ii",^2. Fatto il calcolo con (jviesti dati e col valor di C A si trova D B = i^^Sq , 489 valor niinore del tro- vato col calcolo del triangolo CAB di 6 ceiitesinii di tesa. ^ Pel monte San Bartolomeo Y angolo al centro c 55' 3", -ji; E A B ^-= i°i7' 3i", 85; ed E A B -^ w= i°45'3", yr. Facciasi il calcolo con questi da- ti; e si trovera D B =: ii82,i5-^ valor miiiore d'una tesa di qiiello, clie ci ha dato \\ calcolo del trian- golo CAB. 54. Quando la visnale A B non eccede la lun- ghezza d' un grado di latitudine, 1' angolo al centro e r aliezza D B potranno detenninarsi nel mo !o se- guente anclie per mezzo del triangolo AB F. In (pie- sti casi la retta A F piio senz' alcnn sensibil errore sostituirsi alia tan«;ente A d. Ora AF e =s A B COS. E A B , 1- I . . 11 ; vale a dir, cli essa e nota quando la visnale A B ., e l' angolo d' elevazione son noti . Tl valor cognito di ^ Z' e dunqne l' espressione della tangeiite dell' angolo al centro iii un circolo; il cui SULLE LIVELLAZIONI BAKOMETRICHE l3l raggio ^ C A; e per consegucnza -., e V espres- sione della tangeiite deU'angolo anzidetto nel cerchio del raggio r, die e quel delle tavole. Per mezzo di qiieste troverassi diuique 1' angolo C, ed il coseno e la secaute, die gU convengono. ^ ^ r-. . ^ fi COS. E A B , n r? ^ Come A F c = , cosi /j i' c = r A B sen. E A B r\ • • i • .• v • -r . Or SI osservi, die pci triangoU simili CacU.BF d e B cl = ^'l:^^ . Ma nd triangolo C A d e C A : C d = r : sec. C. Sara dunque C d ^^ C A sec. C „ , B E sec. C ^ ; e per conscgueiite U d = — = A B sen. E A B sec.C A B sen. E A B ^ i n / < T = . In oltre JJ d e r COS. C = Cd-C A = ^f^'^'-^ ^CA = CA( £f£:£:Z.' ). Sa- , , r, ,^ A B sen. E A B r, a i C . ra dunque B Dz= -; ^ C A { sec. - — i ) . ^ COS. C ^ r ' Per la torre della IMatelotte abhiamo C A = 3271430; A B = 2228; td E A B = 1^" 27' 10". Con questi dati il valor di A F si cal.cola nel modo se- guente T. II. P. II. 23 iSa V E N I N I L COS. E J B = () . 9g5i566 LAB = 3 . 3479 1 5a com.LCA = 3 . 485a,6a3 L tan. C = 6 . 8284341 ; C = a' 18" , gS. Neir esempio F calcolanilo col triangolo CAB abbiam trovato lo stess' angolo = 1' 18", 94: onde la difterenza dei due risultati si riduce ad uii centesi- mo di secondo. Detcrminato cosi 1' angolo al centro si passa a calcolar 1' altezza B d come qui sotto L sen. E A B z= 9 . 1673008 LAB = 3 . .3479 r5a la . 5i5ai55 L COS. C = 9 . 9999999 LB d =■ a . 5ioai56 ; B ^/ = 327 , 5o3. Resta da trovarsi il valore di clD; al qual fine supporremo il raggio delle tavole uguale all' unita. In questa supposizione avremo dD = CA{sec.C—i); e nel caso presence = C A { sec. 2' 18", 9.5 ~ i )• Ora egli e noto, clie le porzioni delle secanri comprese fra la tangente e la periferia sono nei piccoli ango- li ad un di presso in ragion duplicata degli angoli medesimi. Sendo dunque sec. a' — i = o , 0000002, r analogia ( 120" )* : ( i38" , 9$ )* = o , 0000002 : x ci dara il valor di d' x col calcolo seguence SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIt l83 Z(i38 ,95)' = 4 . 285717a 1/ 0,0000002 =: 3 . 3oio3oo 7 . 506747a Z-(iao)* — 4 . 1583624 Lx = 3 . 4283848; a; = 0,000000268'. Qiiesta frazione mokiplicata per 3271430 valor di C A ne dara finalmente d D = o , 8772; e quindi B D = B d-^d Z>= 328,3802 valoie minor di qiiel- lo die da il calcolo del trian3;olo CAB di — di o 100 tesa • Pel Canigou fu C ^ = 3271421 ,5; J5 = 28767; ed E A B =2° 37' o". Fu dunque LAF=LAB^ L COS. EAB — LCA = i. 9437038 ; al qual loga- ritino dcUa tangente corrisponde nelle tavole 1' an- golo 0° 3o' 11", 83. Con questi dati calcolo 1' altez- Tt J A B sen. EAB , 000 za Bd=i ; e lo trovo = i3i3 , 37 te. COS. C - ' Or per aver anche il valore di d D mi valgo dell'a- nalogia ( 3o')* : (3o' , 197)' = o , oooo38i : x; en' ho X =: o , oooo38574; e da questo valore moltiplicato per quel di CA mi risvdta 126, 38; onde viene BD = B d -*- d D = 1439 , 65; valore che supera d4 un de- cinio di tesa quello del triangolo CAB. Facendo aifnie pel monte San Bartolomeo un cal- colo simile ai precedeud si trova B d =i 762 , 4888 ; i84 1^ N I N I fZ 79 = ^19 , 8[ ; e i? Z) = 1182 , 298B; vale a dire; die ([iiesto risiiltato c iniiiore di qucUo del triangolo CAB di 86 centesimi di tesa. II valor mcdesimo di d D puo determinarsi an- clic ill tjiicst' akra maniera piu spedita. Qiialunque sia ran;>;olo al centro il valor di t/Z> e riaorosarneii- tc — Ad all-^dD esprimendo per R il raggio terrestre. jiMa nelle livellazioni ordinarie e nelle misiire geome- triclie doUe altezze l' angolo al centro e semprc cosi picciolo, che senza pericolo d'alcun sensibil errore si puo sostitiiire AF ad Ad, e ridurre i! deiioininatore — _i a 2/?. Cio fatto sara dD= '--^ ; e LdD = i LAF~ Z 2 /?; ovvero 2 L A F -^ com. L 1 R pe' cast della differenza neaiativa. Per la torre della IMatelotte abblamo 2LAF= 6 . 686:3436, e com. L 2 R = ?j . 1842320 ; e quiiidi L d D = c) . 8705709; e d D = o J 74229. Pel Canigou e 2 L A F =S.()\6S\i'^o, e L2R — 6 . 815766597; onde viene L d D = 2 . 10116400; e fZ Z> = 126 , 21. Finalmente pel monte San Bartolorneo si ha :i L A F = () . 4389022 ; L 2 R come pel Canigou; L d D = 2 . 623i356o3; e tZ Z> = 419 , 89. Le dilTerenze tra questi valori e quelli, che qui sopra al)]jiam trovati sono — o , 1249 1 ; — o , 07 ; e -t- o , 08. 55. !Ma, poiche nel modo comune si e determi- SULLE LIVELLAZIOXI BxVROMETKICIIE l85 nata la Imigliezza clella \isaale J B e niisnrato 1' an- golo £ A JS , put) determinarsi 1' altezza D B senza calcolaie alcuii altro triangolo. A questo fine si pro- ](in2;lii entro al circolo la visuale J3 A fino a die ne tagli la circoiiferenza in qnalcli' altro panto B\ e lo stesso si faccia del raggio R. Consta dagli elemcnti geometrici, esser B a\b A -^-A B') = B D{BB ^ 2R). Or r angolo osservato EAB c uguale ad eAB' op- posto al vertice; e questo, essendo formato dalla cor- A C B' da e dalla tangente e = . Dnnque la corda /i C R' A B', la qual h = 2 R sen. dev' esser iiguale anclie a 2 R sen. E A B. Sia A B = a; £AB=:(p; A D = x; ed avrenio 1' equazione a: ( a* h- 2 i? ) = a {a -*- 2 R sen. ?)'; dalla qual si deduce x = — R-t-\/{R'-^a{a-i-2R sen. 2-]i^'io tese. Ma egli e ora fuor d' ogtii dubbio, esser la Terra una sferoide com- pressa ai poli ed enfiata aU'equatore; in cui pero as- sai piccola e la differenza degli assi in confronto del- la lungliezza loro. II misiirar I'altezza d'un punto al di sopra d' una sferoide consiste nel trovar la lun- gliezza della perpendicolarc;, che va da quel punto alia superficie sferoidica. Ma si fatte perpendicolari non concorron nel centro della sferoide come con- corrono in quello della sfera, e questa diversita ren- de la misura delle altezze piii difficile nella sferoide che nella sfera. Nondimeno, quando gli archi cV un ineridiano sferoidico son piccioli, essi confondonsi co- gli archetti di quel circolo, che i Geometri cliiama- no osculatore ■, il che facilita di molto la misura delle altezze auche nella sferoide. Imperciocche, per niisn- rar un' altczza ad una data latitndine snlia Terra, che si suppone una sferoide elittica, si cerchera di quanta tese, giusta le piu esatte misure in questi ultimi tem- pi esegiiite, sia il grado del meridiano a quella lati- tudine: e sen conchiudera la lunsihezza del ra2;Q:io osculatore di cjuel grado; ossia il valore di C a nella fig. r. Ora si avverta che, volendo sulla sferoide ter-» restre misurar le altezze con precisione, cio dee farsi in quelle soltanto, per le quali I'angolo al centro del- la sfera generata dalla rivoluzione del circolo oscula- tore e molto picciolo, ed al piu poco maggiore d' un grado. Allora si puo supporre senza pericolo d' al-r cun sensibil errore, die la perpendicolare ccndotta da l88 V E N I N I B alia superficie terrestre sia perpeiulicolare anche alia slera osculatrice del punto A\ e si confonda per consegiiente colla retta, die coiigumge i puiiti C^B perpendicolare anch' essa alia superficie della sfera osculatrice. 11 calcolo delle altezze si fara duiiv-jue co- me se la Terra fosse sferica e d' uii raggio uguale a quelle del circolo osculatore della data latitudine. Per dichiarare in qiial inodo s' abbia a calcolar questo raggio io prendero.i dati da lui' eccelleute nicinoria del Sig. Abate Oriani impressa nelle Efl'eme- i-idi astronomicbe di Milano per 1' anno 1807 col ti- tolo Fojwole per calcolare la latitudine c la longitu- dinc sullo sfcroide elittico . „ Faccndo, dice egli, il semiasse della Terra =1; „ il semidiametro maggiore, ossia il raggio dell'equa- tore = a ; r eccentricita del meridiano = e = \/(«'-^M. • „ ^ -A ,.. .. ^ si avra il rapporto - = y/ ( i — e^). In a ^ '- a 5» oltre, posto nella latitudine >• il grado del meridia- no = G, sara G = -^ • ~ — ; — — — 7; nella qual formola t= 3,14159265 esprime la scmicirconfe- renza del circolo, il cui raggio e = i. Siiuilmente nella latitudine }' sara il grado del meridiano O =s T a{\ — e' ) 180° (i _e^^e/i. /.'')i sen. >.'"■ ~{-^,)' sea. A* onde ne risulta SULLE LIVELLAZIONI BAllOMLTliICIIE 189 „ Sotto r eqiiatore ahbianio /=o; G = „ tese iVancesi; e nella latitudiiie media del grand'ar „ CO inisurato idtiniamcnte in Francia 5, A' = 46" 11' 58" , C'= 57018 tese: si oitiene quindi 5, e* = o J 00596148 a 181 56753 3271209 tese T I — e „ l^ = a\/{i--c^) = 8261443 tese Le osservazioni del Cassini furon fatte a Collioii- re, e presso lo stagiio di Leucate alia latitudine di quasi .a3 2;radi. Nella fonnola C=-7r-s • ■ —z iV7 T , 148'' , 5; e quindi - ^ o , c6o5 = tt^. II valor me- ^ 11 -^ 14^38 Til ^ 1 c , cSni -Je- o , o6q5 ^ „ aio del due sara dunque — 2_=o,o6^.3= I i5 , 55 " 194 V £ X I N I Se avessiino un biiou numero di simili osserva- zioni fatte a que' diversi angoli al centro, ai qiiali senza peiicolo d' errore posson inisurarsi le altezze del monti, ed a varle densita dell' aria indicate dal baro- jnetro e dal termometro, noi potreinmo foise dcduriie qualche regola non affatto incetta per le niisiire del- le rilVazioni tcrrestri. Ma si avverta bene, non dover le osservazioui csser fatte ne alle prime ne alle idti- me due ore del giorno; pcrche allora la gran qnaii- titu dci vapori iueguabncnte sparsi nelTatmiosfera al- tera di troppo le rifrazioni, c le rende aflatto irre- golari . ]Ma nn' altr' avvertenza e non men necessaria del- la prccedciite; cioe che la misiira dogli aiigoli dell'al- tezza e -della deprossione apparente sia fatta contein- porancamente da due diversi osservatori: perciocche se la misura sara latta da uii solo in tempi diversi, an- che la densita dell'aria, e per conseguente la rifra- zione sara probabilmeute diversa; e reudera falsa la supposizioae, cli' ella accresca di tanto I'angolo d'al- tezza, di quanto diminuisce quel di depressione. Dc- termlnato con queste precauzioui il vero valore del- la rifrazione r, saran noti anchc gli augoli deirakez- za vera a — /•, e della vera depressione d ~ u -^ r. Cio iatto ancbe nu solo osservatore, misurando da nna delle stazioni in ienq:)i diversi ed a varie altezze deo;li striuncnti meteorolo^'ici p-H au£2:oli d' altezza o di depressione apparente, potra vedere quanta sia la diversita delle rifrazioni inauifestata dalla diversita, die passa fra gU angoli apparenti ed il vero a lui gia noto. SULLE LIVELLAZIOXI BAnOMETUICItE IQD Eccone mi eseinplo. Dalle grandi operazloni tri- gonometriclie fatte dai iiostri astroiiomi dell' osserva- torio di Milano, supponendo il raggio tcrrestre di te- se 3270000, risidta una distaiiza orizontale di tese 10' iT) tra la sala dell' osservatorio ed il castel JJara- dello di Como. La limgbezza di iin grade pel rag- gio 3270000 e di tese 07072 ,29; e l' angolo al ccii- tro pei due liioghi iiidicati si determina roll' analo- gia 57072,20 a 191 i5 come 60 al quarto; il qiial trovasi = 0° 20' 5" , 4. Per mezzo delle osservazloni contemporanee fac- te dai Sig. De Gesaris ed Oriani si e trovato, che il vero angolo d' elevazione della sommita della torre del castel Baradello sopra la sala dell' osservatorio e = 0° 19' i3" , 6; ed io lo cliiamero (p. Cio posto, se in tempi diversi e con molta varieta nelle altezze del barometro e del termometro si misureranno 2;li anoio- li deir altezza apparente della cima della torre sopra la sala dell' osservatorio, e chiameransi ", cp'" ec, le rifrazioni saranno cp' zt. cp; (p" dz ''1 BAROMKTHICHE 1 99 I lo credo, che questi valori di — appartengauo al- ia temperatura del ghiaccio; onde altro non resta che di ridurli alia costante altezza barometrica di 28 pol- lici; il che si ottiene inoltiplicandoli per la frazione A -7: ; nella quale A esprime le altezze del baroraetro registrate nella tavola, Fatta la riduzione i valori di m — saranno come qui sotto. n * Tavola III. Peru o , 059537 Inghilterra o , 0735o3 Italia o Lapponia o Austria Capo 069650 066394 o , 066999 o , 073616 Francia Med 10 o , 101710 o , 071687 Con questo medio, e colla dilatazione di 0,0049 al grado trovansi per - i seguenti valori . 200 V E N I 5J I T A V O L A IV. — 10 o , 075200 o o , 071687 -H 10 O , 068174 H- 20 O , 064661 Ma io son d' avviso, die nelle misure geometri- che delle altezze eseguite in diversi paesi convenga far uso dei valori di — dati dalla tavola III per que' paesi medesimi o per quelli, che ne son meno distan- ti, anziche del medio posto appie della tavola. Con queste precauzioni si puo sperare di trar dalla tavo- la un valore di — , che si avvicini quanto pin puossi a quello, che avra veramente avuto luogo in ciaJcun caso particolare. Dico cfie si avvieini quanto piu puos- si; perche tra il valor medio dato dalla tavola per im paese particolare e quelh, che nello stesso paese lealmente esistono in tempi e circostanze diverse e de- terminate si trova senipre una maggiore o minor dif- ferenza. Della qual cosa la ragion principale a me sembra consistere nella tacita supposizione, che fas- si nel calcolar le tavole, cioe che la forza rifrattiva dell'aria sia sempre ed uuicamente proporzionale al- ia sua densita indicata dal harometro e dal termo- metro; la qual supposizione e non di rado smentita StJLLE LIVELLAZIONI BAROMETKICHE 201 dair esperienza. E quindl e, die nclle misiire geome- triche delle altezze, ed in quelle specialmente, in cui graiide e 1' angolo al centre, restera sempre qualche incertezza. Imperciocche il solo mezzo, die noi ab- biam di correggerla calcolandone la rifrazione quello e di prendere il valore di — , die nella tavola III cor risponde al dato paese; e di renderlo proporzionale alia temperatura ed alTaltezza barometrica date dall'os- servazione. Ma se nelle circostanze particolari di que- sta sara stata assai diversa la forza rifiattiva dell' a- ria, la quantita della rifrazione calcolata colla tavola riuscira sensibilniente o maggiore o minor dt^lla vera. Eccone un esempio . Nelle osservazioni dell' Austria ne ha una tra Miskolg e Obelef; nella quale il ba- rometro fu a pollici 26 , 6; — = o , 098; e 1' angolo al centro =26', 81. Per 1' Austria il valor medio di — e nella tavola III = o , 066999 a 28 pol. cV altez- za barometrica. Dunque per pol. 26 , 6 si ridiice a o , 063649, laddove per 1' osservazione f u a o , 093. La diflierenza e 0,02935 1; la quale, mohiplicata per r angolo al centro 26' , 8 1 , e = o' , 76840 = -j.6" ,11. Vedrem fra poco die, se una differenza simile a qnesta avesse avuto luogo nella misura del monte Ro- sa, ne sarebbe nata nell'altezza calcolata coU'uso del- la tavola III una diminuzione di tese 10,7 su 233 i , 1 1; die e quasi an mezzo per cento. 202 V It N I N I 11 Slg. Delambre, dopo aver clctto alia pag. 99 de' siioi Metodi analitici per la deterininazioae d' u« arco del ineridiano, die il valore di — varia col va- ra riar dello stato dell' atmosfera, soggiunge; noii esser siio discgno d' entrare in un esposizion uiinuta delle proprie osservazioni; ma bastaigli il dire, che — gU e parso in estate =0 , oyS; in primavera ed autun- no = o , 08; ed in inverno da o , 09 a o , 10. Giu- sta la tavola HI lo stesso valore e per la Francia = 0, 103 alia teniperatura zero; e, fatto il sollto cal- colo per la temperatura 10'' = 0,096; e per la tem- peratura 2o'' = o,092; cosicche le difterenze sono 0,02; 0,016; 0,017. Ma i risukati del Sig. Delambre, es- sendo dedotti da un gran numero d' osservazioni , ch' egli dovette fare per la misura del meridiano, a me sembra, che meritin giustamente la preferenza. Articolo III. Misura delle altezze vere per mezzo dell' angolo d' elevaziune . 59. Determinata ad un di presso la quantita del- la rifrazione, per determinare anche 1' altezza vera D b, osservo che nel triangolo JBb e noto l' an- golo -ff; e che r angolo B Ab effetto della rifrazione SULLE LIVELLAZIONI BAROMETIUCHE 2o3 e = — . Dunque nel triangolo CJb avrem Vangolo C Ab = CA B-"^; e rangolo AbC = B-i-'^- Cio preniesso ognun vede, che sara CAcos.{EJB-.!!L^) (E) Cb = n sen. [D -t- ) n SuppongasI col Lambert — = — , e neU'esempio I cioe in quel della torre della Matelotte V angolo EAB-"^ sara =8-27' 10"-^' ^^"- ^4^ ^o , ^„ ^3^ n ' 14 < ' ' e r angolo ^ -h ^= 81" 3o' 3i" , 06 -h ^-^^^^^^^ = 8i°3o'4o",98. In quest' esempio il calcolo sara dunque L COS. {EJB — "—)= 9 . 996259675^ n LCA = 6 . 5147877 16 . 5099978753 I,(^-«-^) = 9 . 995ai6ii36 n LCb = 6 . 5i478ia6i6 C* = 8171758 ,358; Z?^ = 3a8,358 204 Y li N I N I Nel primo esempio 1' altezza apparente D B si e trovata = 328 , 43; di che segue, la rifrazione aver in qiiesto caso accresciuta 1' altezza di 73 millesimi di tesa giusta 1' ipotesi del Lambert. Egli peio non corregge le akezze quando 1' ell'etto della rifrazione c minor d' una tesa. Per I'esempio del Canigou abbianio w = 3o' 1 1", 12; _ = 2' o" , 37; e per conseguente E A B 7 == 3* 14 "^ ' ' o j4 34' 5o", 63; e j5 H- - = 86" 54' 58", 25. Fatto con questi dati il solito calcolo si trova (76 = 3272843,81; e /> 6 =1422,31. Ma senza considerar la rifrazione si e trovato D B = 1439 ,55. La rifrazione ha dun- que in questo caso accresciuta T altezza di tese 17,24. II Lambert, fatto il calcolo colle sue formole, ha tro- vato Taccrescimento di 18 tese. Alfine pel monte San Bartolomeo e w= 55' 3"7ii ed4 = 3'55",98. Quindi viene ^^^--^=46' 4", 02; 14 j4 G B^^ — ^ = 88° 18' 52", 27. E calcolando con questi dati nel modo solito si trova C 6 = 3272543, 91; ^ Db = 1 122 ,41. L'effetto della rifrazione e dunque in que- sto caso di tese 60 , 75. 11 Lambert lo fece di 60. L' angolo al centro e comune ai due triangoli C A B , C A b; onde segue, che cjuest' angolo deter- minato per T altezza apparente D B serve anche per la reale JDO. A\ num. 52 bo spiegato il modo di cal- SUI.LE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE 2o5 colarlo quanclo nel triangolo CABg noto C A eel incognito CB; ma se CB sara noto ed incognito C Ay V angolo C determinerassi colla seguente analogia C B A B = COS. E A B : sen. C. JNeirequazione {£) posta qui sopra si ha il va- lor &i C b qiiando son noti C A, 1' angolo apparente d' akezza EAB. e la frazione -. Ma se saran noti r angolo, la frazione c Cb; alloia sara CA = C b sen. ( B H ) " . Finalmente anche la frazione — cos.(EAB-"l£) '' n si determinera nel modo seguente quando sian noti C A , C b, e r angolo E A B. Nell equazione {E) sostiiuisco 2L B \\ sue valore 90° — E A B — C; ela CAcos.{EJB—'±^) cangio in C 6 = _— ^^ — . Per sempli- cos.(EAB~— ^C\ n cita niaggiore sostituisco 4) ad E A B — ^^ ; e n ho lit C b = ^- • e ^— = — - . Sara dun- ^ COS.

    ^= 126 ,69 tese. II Sig. Bouguer ha scritto in pin luoghi, clie que- st' altezza e di circa 126 tese. Anche la Condaniine r ha detta di 126 tese; ma nel suo profilo della ba- se si vede, ch' egh ha sempre neghgentate le frazioiii. Facendo il calcolo colla formola del num. 58 AD sen. {EAB-^-~r) Db^ . ^ cos. {E A B -*- u — r) troveremo LAD=Lsen. (0° 3' 1 8",888) ^L:l^L C A^ 3. 7974559; LZ)6 = L JZ>-^-Z5e/^(l°8'56", iiSSj- Zz COS. (1° 12' i5", 221) = 2.0997135; e Z^6=i25,8r. Finalmente col calcolo del triangolo AB F i\ tro- va 6fZ = 120, 104; fZZ) = 5, 9567; e per conseguente Db= 126, 0607; cioe il valor medesimo, che fu as- segnato dai due accademici; poiche la differenza e mi- nore di 61 millesimi di tesa. Anche la media delle tre altezze poste qui sopra, cioe 126, 1869 e ben poco diversa. Neir esempio presente, e piu generalmente ogni SULLE LIVELLAZIONI BAIIOMETRICHE ai5 voka che 1' angolo al centre e quelli cV altezza e dl depressione son noti, il valore dell' angolo d' altezza corretto dalla rifrazione , cioe E A b e U2;uale ad a — . Imperciocche, chiamati a\d' gli angoli non apparent! ma veri d' altezza , e di depressione, sara a' = a ~ r\ e cl = d ~ u -*- t-; e quindi a' -^~ d' ==: a ->r- d — w; e perche d' non e diverso da a' quando le inisure sono esatte , 2 a' = a -+-(/ — « , ed a' = a -¥- d — ' 0) a * Si sostituiscano in questa formola i valorl di a, d, u posti qui sopra; e si trovera a' = 1° 5' 48", 7780, cioe il valor medesimo di EAb, che abbiani trovato cal- colando la rifrazione. 6r. Ho parlato piu volte delle correzioni^ che il ,, Sig. Lambert ha fatte per coiito delle rifrazioni alle altezze dei monti calcolate dal Sig. Cassini. Siffatte correzioni son fondate sal teorema xxxiii, e sul pro- blema xiv dell' opera gia citata del Lambert sul sen- tiero della luce nell' aria. Nel teorema dimostrasi per approssimazione che (supposta circolare presso la Ter- I ra la curva di rifrazione, chiamato R il raggio del cer- chio di rifrazione; cui Tautore da il nome di raggio orizonia/e, ed espresso coll' unita il raggio terrestre ) gli oggtiti, che nella livellazione si veggon nella tan- gente o retta orizontale sono alzati dalla rifrazione della quaatita ^^' " ~ esprimendo al solito per w 2l6 V E N I N I Tangolo al centre. Nel problema stabilisce che, se dalla ilistanza apparente della sonimita d' un monte dal centre terrestre si sottrae il prodotto della qnanti- ta precedente nella cosecante della distanza apparente della cima del monte dal zetn't, nel residuo hassi la di- stanza vera, cioc corretta dalla rifrazione. Egli aggiu- gne poi neir osservazion prima, die nelle misure del monti quella cosecante e quasi sempre vicinissima all'unita; onde segue, che le altezze calcolate senza riguardo alia rifrazione si correggono diminuendole sec. u — r della quantita Se la rifrazione e espressa da — il raggio ori- zontale diviene — ; e quindi la correzion si riduce aw * ^ zm(sec.u — i) ,. ,. , ., a i; o megho, chiamando r il raggio 3,mr{ sec. u — r ) terrestre, ■ ' . n Nella fig. 1 la quantita r (sec. w— i) e = d D. Si aggiunga, che, come abbiain veduto alia fine del num. 54, a (ID si puo sostituire . Ora^ calcolando col triangolo A B F, questo valore di d D fa trovare I'al- tezza non corretta dalla rifrazione. Dunque, ponendo A F ■ . . in iiso la correzione del Lambert, ad si sostitui- a r t 9UI,LE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 2I7 ■ ■- a a K A F ^ m A F . rr ■,, ra — — ■ . Ainn d avere un espression pm sem- pllce io suppongo questo ])inomio = ; e ne for- . . . Amr mo un equazione; per cui mezzo trovo x = — i * n — a/Ti . II valore di d Z>, dal qual dipende la correzion del- Uc ■ < 1 AF tn — zm)AF ritrazione, e dunque ; •= . ^ a r -h- ^m r a n r n—am Se la rifrazione fosse un decimo dell' angolo al centre, essendo alloia w = i , « ^ lo, ne verrebbe a~f' d D = formola data dal celebre astronomo a r -H a r "4 Maskelyne per la suddetta ipotesi di rifrazione. IMa per quella del Lambert cioe d' un quattordicesimo deir angolo al centre sarebbe d D = — a AF 2,r "6~ 62. Oltre alia correzion della rifrazione dovrebbe talvolta farsi ancbe quella della deviazione della ret- ta orizontale apparente dalla vera prodotta daH'atcra- zione dei monti quando appie di questi si misura 1' an- golo d' elevazione. Ma come determinare la quantita di questa deviazione? Rarissimi sarebbero i casi, ne' 2l3 V E N I N I quail cio potesse ottenersl con un' osservazion attuale, e non senza difficoka nell' esecuzione. Ne da quelle, clie Bouguer e la Condamine fecero al Peru, e Maske- lyne in Iscozia si puo dedurre alcuna regola da ap- plicarsi ai casi particolari. Quando il Cassini, per esempio, da CoUioure pre- se r angolo d' altezza della torre della Matelotte egli aveva alle spalle il mare ed a fronte i Pirenei; 1' at- trazioii de' quali deve superar quella delle acque del Mediterraneo, e puo aver un rapporto sensibile al- ia totale attrazion della Terra. Ma la quantita del- la deviazione, che quest' attrazione puo cagionare e affatto incerta. II Sig. Maskelyne 1' ha trovata di 5", 8 al monte Scheallien. Supponeudo (ma sol per dare un esempio della correzione, che dovrebbe farsi all' an- golo d' elevazione, non perche la supposizion sia pro- babile ) che l' attrazione de' Pirenei a Collioure fossfe doppia di quella del monte di Scozia, mettiamola di 12 secondi. In tal caso 1' angolo d' altezza osserva- to debb' essere accresciuto di 12", e portato ad S^ 27' ji .^- C 22". Da questo cangiamento viene =40^46' 19"; e ^ = 81° 3o' 19". Calcolata con questi dati 1' altez- za si trova (7^ = 3271759, 17; e DB=: 629, 17 in luogo di 328,43; cosicche alia supposta deviazione di 12" corrisponde uell' altezza un accrescimento di I di tesa. Fatte le supposizioni medesime pel monti Cani- gou e S. Bartolomeo, e con queste calcolate le altez- ze loro , troverebbesi quella del primo accresciuta di SULLE LIVELLAZIONI BAROMETKICHE 21 Cj tese 3 , 98; e quella del seconclo di 3 , 09. Qiiesti eseni- pj, ne' quail ho supposta V attrazione de' Pirenei, die poco a poco s' iiinalzano allontanandosl dal mare, cer- tamente assai magglore del vero, bastario per dimo- strare, clie nei casi ordinarii assai piccolo e 1' effetto deir attrazione del nionti; e clie dilFicilissiino, per non dir impossibile riuscirebbe il determinarlo in ogni case particolare. Nei risultati dei calcoli delle altezze re- stera dunque qualche piccola incertezza ogni volta che abbiasi alcun fondameiito di credere, che 1' angolo osservato d'altezza possa esser dall' attrazione dei mon- ti vicini sensibilmente alterato. Artigolo IV. Misura delle altezze vere per mezzo dcgli angoU di depressione. 63. I metodi fni qui esposti siippongono, che le altezze si misurin dal basso all' alto prendendo gli angoli d' elevazione. Ma la misura puo esegnirsi an- che dair alto al basso per mezzo degli angoli di de- pressione. Sia A ( fig. II ) un luogo plu alto di B; AD la tangente del circolo osculatore del punto A; e DJb V angolo di depressione, sotto il quale il punto B al- zato dalla rifrazione si vede in A. Sia in oltre C il centro del circolo osculatore; ed esprimasi al solito per — r angolo di rifrazione B Ab. Cliiamato $ lan- golo osservato di depressione D A b avremo 220 V E N I N I n ' n 90°— C; e Cj5y4 = 90°-t-(p-C-+- — . Ora nel trlan- golo CAB e C B :CA = sen. CAB: sen. C B A = , 7nC . , ^ mC . 1 ^>» COS. (cj) H ) : COS. (O) — C -i );eaa quest ana- n ' n logia deduces! 1' equazion seguente CBcos.{ , il quale;, sostituito con quelli di C ed — = — nell'equazione (E) la riduce a 6*^ = 3271421 ,5 (a° 34'5o",635) 0020 ' a' "^^•k:{¥''"5^,^5]=^^7^^-^^\^^' e qmndi, presa C/}'=CB; Taltezza A'A e =C^-Ci?= 1422,31 te., quale appunto I'abbiam trovata al num. 59. Applichiam ora la formola ad un caso, in cui r angolo di depressione fu veramente osservato; ma, [come vedremo, con poca esattezza. Dalla sommita del INlonbianco; ove il barometro era a linee 192, 9; ed il termometro a gradi di Reaumur — 2, 3; il Sig. de Saussure disse d' aver misurato l' angolo della depres- sione apparente del monte llosa, e trovatolo di 3o mi- nuti. L' angolo al centro per la sommita dei due moiiti ^si determina per mezzo della lor situazione geograli- T. 11. P. IL 28 222 V i; N r N I ca in longituiliiie e latitudine. II Sig. Abate Oriaiii lia calcolata Tuna e T ahiu per la sominitu del momc Rosa; ed l\a trovata la longitudine = 25° 32' 17", i; c la latitudine = 40" 55' 56", i. 11 siio calcolo e nel giornale del Sig. Zacli, Giugno 179H, e tradotto in nostra lingua nel vol. XX degli Opuscoli scelti di Mi- lan© pag. 379, 3 80. Nel vol. X degli stessi Opuscoli scehi pag. 242 leggesi la seguente nota.,, In un fo- „ glietto recentemente stainpato dal Sig. Bourrit so- „ pra un siio viaggio nelle alpi si trova la seguente „ notizia. 11 Sig. Baufoix inglese Astronomo e Fisi- „ CO nel giorno 9 Agosto dell' anno corrente perven- „ ne alia cima del Monbianco, ne misuro la latitndi- „ ne, e la deterinino a 45° 5o' 11". „ iNella carca del Sig. Pictet pubblicata nel secondo vol. dci Viaggi del Sig. de Saussure il Monbianco e posto presso a poco alia stessa latitudine, ed alia longitudine 45' all' est di Ginevra; la cui longitudine e 23" 49'. Quella del Monbianco sara dnnc[ue 24° 34'. L' arco del chiesto angolo al centro e per conseguenza il terzo huo d' un triangolo sferico; di cui son noli due lati col T ango- lo intercetto. 1 lati sono 44° 9' 49"; ij.4" .:j.' 4" distan- ze dal polo; e T angolo 58' 17" dillerenza delle lon- gitudini. Con qnesti dati faremo il seguf'nte calcolo. Sia P il jiolo (fig. HI), ^ ed /? le cime dei monti Bianco e Ilosa. Sara dunque P/? = 44°4'4"; PB = 44" 9' 49"-, e r angolo intercetto

    • 1 D 75 COS. S B COS. P R bara in okre cos. B R=. — r— ^ ; e per conse- COS. P b ^ guente L COS. S B-=: 9 . 9999993 Lcos.PR= 9 .85643788 19 . 85643668 Lcos.PS= 9 . 8564676 Lcos.B R= 9 . 99996908; 5 7? = o''4i". Alio stesso risultato si giugne calcolando il va- lore (\'\ B R colla formola seguente. Sia P B = A ., P JR = a, e r angolo intercetto 4*- Chiamato x V ar- co B R sara X / f . t (h I A — a\ sen. - = y/ ( sen. A sen. a sen . - -t- sen ) . 2 2 a Ecco il calcolo di questa formola, di jcui daro la di- •221 V £ N I N I inostrazione nella nota (a) posta in fine di quest'ar- ticulo . Lsen.A= 9 . 843o5i83 L sen. a= 9 . 84a3oo6a X sen\^=: 1 5 . 8578706 a 5 . 543aa3o5 Nuniero corrispondente Lsen*. — III— = i3 . 844724a 0 , 0000349320 Numero corrispondente o , 0000006994 o , oooo3563i4 Somrna iOjOooo3563(4= i5 . SSiBSag Sua meta = 7 . 7759 1 64 = X sen. - ; - = 20' 3 1 " ; a: = 41' 2". Questo valore supera dunque quelle del calcolo precedenie di 2 soli secondly o di 8 millesi- rai di 41'. Per I'ottima osservazione dell' Abate Oriani da me calcolata al num. 59 la cima del moiite Rosa e su- periore alia sala dell' osservatorio di Milano di tese 235i ,11; alle quali aggiunte altre 77 , i ne risulta- no 2400 , 21 per T altezza sopra il iivello del mare. Gia si c visto nel numero citato, f he il raggio oscula- tore per la sala deH'osservatorio e di tese 3^66536,09; SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRTCIIE 225 di che spgue, esser C B ^= 3268944, 3. JNel presente caso abbiaiii cliinque (3o'-H^4i'-4i') Cy/ = 32C8944 , 3 cos 1 C05. { 3o' -f-— 41') n In quest' equazione il valor Ai C A non puo es- ser noto finche qiiello della frazione — resta incogni- to. Ora il valore di questa frazione dipende da due elementi, cioe dalla ternperatiira , ch' ebbe T aria al- ia cima del monie Kosa quaudo fu osservato V an- golo di depressione, e dall' altezza, che c|uivi avreb- be avuta il barometro se stato ci fosse. Ma, poichc la diflerenza d'altezza in questi due nionti e certanien- te d' un picciol nuuiero di tese, io supporro senz'al- cun pericolo d'errore, che uguali presso a poco fos- sero in ambo i monti la temperatura e T altezza ])a- rometrica, e che aiirbe alia sommita del monte Ro- sa il termometro sarebbe stato a — 2°, ed il barome- tro a lin. 191 ,9. 11 RTonte Rosa e presso a poco al confini d' Ita- lia e di Francia; ond' io nella terza tavola delle rifra- zioni prendero per — un valor medio fra quegli de- gli anzidetti paesi , cioe o,o8ii8i,e per — 2 gradi 0,081976. Duiique per lin. 191 ,9 d' altezza baro- , 101^0(0,081076) ,,, T-v metrica sara — — -^o-^? — -^— = o , 046819. Da. que- 226 V E N 1 N I sto valore vieii poi — 4i'=i'54"; e quindi I'equazio- ne si canpjia in CA=?>26Saii,o'^^^'\. 5^_ ,„!=326qo73,3i; ° COS. (oi' 54 ) onde viene C A— C B ^= 129, 01 tese. La cima del Monbiaiico sarebbe dunque siiperiore a quella del nioute Rosa di tese 129; il che noii puo in verun coiito accordarsi colle altezze dal medesitno Sig. de Saiissure assegnate ai due monti, sopra il livello del mare, le qnali sono 2460 pel Bianco, e 2430 pel Ro- sa; cosicche la dillerenza e di 20 tese in luogo di 129. Dalle niisure del Monbianco de' Signori Sbuck- burg e Pictet risulta come vedremo nella sezion II articolo II un' altezza media di tese 2420 , 26 sopra il livello del mare; per la quale il monte Bianco vie- ne ad esser piii alto del Rosa nulla pin che di 12 tese. Ora, supposte esatte queste misure, sara CA = C B -^ 12 = 3268906 , 3. Partendo da questo dato, e chiamato x V angolo incognito di depressione, egU potra determinarsi colla forinola [x -t- — C) _, CA n • . 1 mC __-= cos ; e, sostituito y ad x h , COS. (X-+- ) 71 CA (y — C) COS. y cos.C -¥• sen. y sen. C — : COS ' — -^ ~^- CB cos.y cos.y cos.C-^sen.Ctan.y; dalla qual equazione deduces! f tan.y ■=■ SUI.LE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 227 CA .' — — COS- C „ . CB 1,00000367 — cos.^v scn.C sen. ^i' Ecco il calcolo di quest' equazione L COS. 4^' = 9 • 9999(^9' Numero corrispondeiite o , 99992884 Numeratore della frazione o , 00007488 io , 00007483 = 5 . 8740757 comple. Lsen.J\i' ■=^ i . 9235oo3 Ltan.y=. 7 . 7976760; 7=:ai'34". Ma X e =r '■> ed = 1' 64" . Sara dunque •' ri, n ^ ^ x= 19*40" non 3o' come disse d' averlo trovato il Sig. de Saussure. (a) (a) La lormola sen. — r= 1/ ( sen. A sen. a sen.' — -f- sen.- ) ser- ve , come abljiatn veduto a calcolare iin triangolo, di cui sian noti due lati coir aiii^olo da essi coiiipreso ; e fra poco diinostieru , clie sen dedii- cono anche le formole , die esprimon i tre anguli cpiando son noti i tre lati . lo so bene , die i calcoli di tiitte cpieste roiiiioie son piu lunghi di qiidli delle antiche regole della trigonometria sfeiica , e piu ancora di qiiclli dellc foiniole elegantissinie dell' Eidcro ; e non ignoio , dift non sa- rcbbero in pratica di veinn use . Ho trediito non pertanto di far cosa grata al leggitore conuinicandogli una forniola , die lia la singolarita d'es- ser fondata sulla consiileiazione dci circoli parallcli all' eijuatore , e nclla tTigonomptrla sfeiica non usitaii . Eccone la diiiiostra^ione . Nel triangolo sferico PQO {'fig. IV); ncl quale considero P come il polo , e P Q , P O come due arcLi di meridiauo , sla. 2' QzzA , P 0=za , 228 V E N I N I A 11 T 1 C O L O V. Delia depressione dell' orlzonte inatino. 64. Se la visuale Ab h perpendicolare a C 6, i due triangoli CAD, D Ab son siinili, e gli angoli C, e D Ab eguali tra loro; vale a dire, clie C in questo caso e = I N I 2J0 VI rifrazione, ossia del valore di — ; per ciii deve molti- n "■ plicarsi Tangolo al centre, die in qnesto caso e iigua- le a quel di depressionc. Ma noi gia abbiam osservaio quatito incerta e variabile sia la legge delle rifrazioni terrestri, e se tale non fosse ueU'aria del continente, potrebbe ancora esser dubbiosa in quella, che sta so- pra ad un vasto spazio di mare. Per determinar la legge (se alcuna ve n'ba, di qiieste rifrazioni, cb'io cbiamerei marittime, converrebbe da varii luoglii, de' quali fosser note le altezze sopra il livello dt-l mare fra loro assai diverse, fare un gran numero d'osserva- zioni suir abbassamento dell' orizonte marine; e col- ^ c , ,m a — b I sen.'- — = icn. a sen. b sen. 1- sen.'' 2 ■ a 2 a , . n b — c II sen.- — =; sen. b sen. c sen.' 1- sen.' 3 a ^ b p a —c III sen.' — =: sen. a sen. c sen.' k sen.' — -— . 2 a 2 E da queste tre forrnole se ne dedncoii facilmente tre altre , che ilaa- no gli angoli per mezzo dei lati ; le qnali sono c a — b sen.' — -» sen.' m 2 ^ IV sen.' — zz 2, sen. a sen. b a h — c sen.' — — sen.' V sen.' — = 'J- sen. b sen. c b a — e sen.' sen.' ——- VI sen.* L — 2 sen. a sen. c SULLE LIVELLAZIOKI BAUOMETRICHE 23 t la formola precedente, in cui sarebber noti i valori di C A^ di C By e d'l 0, determinar quelli di - . Ora col ^ n solico inetodo troveremo, che dalla formola si deduce COS. = So' 20". Da questi dati ri- sulta poi /, tan. — — = 7 . 0749829 ; ed — = 4' 5 . oa bara dunque — = r-^- — ■ = 0 , c8 1 1 a = ^ n 5o' ao" la , Questa e una delle due osservazloni delle quali il Lambert si e servlto per calcolare il raggjo orizon, tale; che gli e risultato = 7 , c6; onde segue, esser — = — in luoQio di r-. Ma I'esattezza del mio TV 14 , Ja *-^ 12, , 6-2, valore dimostrasi ancbe in quest' altra maniera. Sen- za la rifrazione I'angolo di depressione, cbe cbianie- ro X sarebbe espresso dalla formola A' A = r tan . x Nel presente caso sarebbe dunque, 408 , 5 = 8471420 ^a«\ a? , „ 1 • 1 1 r o — —^ ; dalla qual si deduce L tan. x =■ o . 1987429; ed X = 54' 19". Ora, poicbe I'angolo os- servato fu 5o' 20", nella differenza di questi due an- i, cioe in 3' 59" avremo 1' effetto della rifrazione. Cio posto sara - ( 5o' 20") = 3' 59"; ed -- = ^^, = * n ^ ' ^ - « 5o 20" 234 V E N I N I — ~ = o , 07914 = rrr valore ben poco diverse dal 3oao iiiio Da questi clue esempj chiaramente apparlsce quanto incerto sia il valore della rifrazione dedotto dalla depressione dell' orizonte niarino. Ma le os- servazioni dallo stesso Sig. Cassini fatte a Colliou- re lo diinostrano ancor piu apertamente. Da un luo- go superiore al liA^ello del mare di tese 1 1 k egli os- servo ai 26 e 28 Febbrajo, ed al primo e i3 Mar- zo la depressione; e la trovo ne' prinii due giorui di 8' 5o"; nel terzo di 8' 35"; e nel quarto di 8' 5". Senza la rifrazione per 1' altezza di tese 1 1 i col rag- gio osculatore della latitudiue 43 la depressione sa- rebbe stata = 9' 8". Le differenze fra questa e le de- pression! osservate furon dunque 18"; 18" ; 33" ; ed i' 3"; alle quali corrispondon per — i valori o , o34; o , 034; o , 064; 0 , i3; ovvero a(j , 41 29 , 41 j5 , 63 7,69 Queste variazioni tanto grandi nelle rifrazioni del- 1' aria marittinia, c quelle anche niaggiori, che da aitri furon posteriornieute osservate rendon troppo iiicerti i risultati del calcolo delle altezze fondate sulla depres- sione deir orizonte apparente del mare, cosa iiicomo- da per verita; poiche quel calcolo sarebbe piu sem- plice e spedito d' ogni altro. 8ULLE Ln'ELLAZlONI BAUOMLTKICIIE 235 A U 'r I 0 O L O VI Delle livellazioni coniuni, 65. Ho detto al piincipio cli questa sezione, die alcuni Fisici coiiferniano le lor regole delle livellazio- ni l)aroinetriche inostiandone i risultati confornii a qut'lli dt'Ue livellazioni coinuni. Or duncjiie aggiuiige- ro alcune avverteiize necessarie per l' esattezza anche di (jucstp. Sia // ( fig. V ) il luogo, in cui e posto 1' oc- chio deir osservatore; Ae un arco del cerchio oscula- tore del punto J, os!?ia il siio orizonte vero; A£ la tan- geiite dello stesso pnnto, ossia il siio orizonte apparen- te. Sia m iin punto della superficie terrestre, di cui cer- casi la distanza nid dalT orizonte vero; md' la lungliez- za deir asta; alia cui estrernita e posto il segnale, die per r innalzamento della ritVazione si vede nel punto D della tangente. Si diianiino al solito /• il raggio del cir- colo osculatore di J; « 1' angolo al centre AC D; — r angolo di rifrazione DAd'; ed esprinia I la lunghez- za deir asta md' . Cio premesso egli e chiaro, die la distanza md dalF orizonte vero sara = md' — dd' =L - dd'. Ma dd' h=dD -Dd"; edn = r {sec. « — i). Avrem dunque m d = I — r sec. ( w _ i )-+-/) t/'. E siniilniente se per un altro punto m' sara 1' angolo al centro w' la lunghezza dell' asta /', el' angolo di rifra- xioue sara la distanza in d dall' orizonte vero = n 236 V E N I N I I' — r { sec. u'-~i)-^D d' . Ognun vedc qiiincli , che la differenza di questi due valori da la differenza di li- vello dei piinti m ed m'. Restaii pero da dcterminar- si i valori di D cV corrispondenti agli angoli di ri- 77? « m. u' /> • lit v III w •! I > r" • 11 irazione — > — ; il che puo tarsi nella seo;uente ma- re t* ^ ° niera . Si osservi, che 1' angolo A D cV e = 90° — w; — ; onde sara Ad D ■= go -h w n -^ n 00° -t- ( ) „. Avvertasi in oltre, che AD k = r tan. u. II valore di Dd' sara dunque dato dalla se- guente analogia sen. Ad' D : sen. D A d' =, A D : D d' ; ovvero COS. ( ) w : sen. — = ;• tan. w : B d . Sia per esempio la distanza A rn = 260 tese; al- ia qnal sara egiiale anche 1' arco Ad; e siippoiigasi il raggio ;• = 3267000 tese. In questo caso sara w = i5", 78; e quindi, snpponendo col Lambert — =— , j avremo— = 1", 127; ('ill^)a. = 14", 65; eDd' = sen. i" , \2,Y I S167C00 tan. i5" ,78) -, . , . . ■ 777— TE —^ • Tatto cox logaritmi COS. 14 5 ^5 ° 8ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHR 2?) f il calcolo til fjuesta frazione si trova L D d' =^ 7. 13148.^3; e D d' = o , 0013228 tese corrispondeiiti a linee i , 1428992. Se i puiul m , m' son posti ad egiiali distanze dairocchio deH'osservatore, la diflerenza de' lor livelli e data irnmediatamente dalla diflerenza delle akezze dei segnali veduii nella tatigente; poiche allora, sen- do le quantiia e della curvatura e della rifrazione 11- giiall dall'mia e dall'altra parte, tiitte si disrriiggono iiel prender la ditTerenza de' livelli apparent!. Ottimo consiglio c dnnqne qnello di livellare, per quanto e possi!)ile, a distanze uguali, come ben sovente puo larsi nelle vaste pianure. Da non cm'arsi pur sono, perche quasi insensibi- li, gli eftctti della curvatura e della rifrazione allorchc le distanze non passano 120 tese. A 25o I'elletto della curvatura per la latitudine 45" e di linee 8,49. In que- sto caso da una piccola rifrazione, come di — dell'an- golo al ceniro, nascerebbe un alzamento del segna- le di lin. i, 06; e da una grande, come di -^^ dello stess' angolo di lin. i, 69. lo non livellerei a distan- ze maggiori e perche in queste e difficile di ben con- certare le altezze del segnale e perche la menoma de- viazione della visuale dalla tangente produce nell' al- tezza del segnale qualche frazion di pollice di diffe- renza. L' inclinazione di 2 soli secondi ben difficile ad osservarsi anche ne' migliori strumenti produce neir altezza del segnale una dilVerenza di j>olHci o, 20944 ^'^^ distanza di 3oo tese, e ch j)ol. 0,27926 a quella di 400. Or queste lievi dillerenze accumulate in una Innga livellazioue potrebbero nell' ultimo ri- T. 11. P. II. 3o 238 V E N I N I sultato introdurre alcuni pollici cll errore, quantita per sc piccola, ina clie, potendo, si debbe evitare. Alia distanza di 120 te. I'elTetto della curvatura, come bo detto, e quasi insensil^ile. Iinpercioccbe nel- la laticiidine 45" 1' aico di 120 to. e di 7", 58; e I'in- tercetta fra la tangente ed il circolo osculatore di lin. I , 94. Nei terreni inclinati all' orizoute di gradi 2° 52' r alzamento del terreno e d' un ventesimo della luiigbezza. Or se in una pendenza sifVaita si avesse a livellare un' altezza di 5oo te.; e se, per abbreviare 1' opera diminuendo il numero delle stazioni, si ado- perasse un'asta assai lunga, di 6 tese per esempio, le distanze sarebbero venti voice niaggiori, cioe di 120 te. Ad ogni stazione avrebbesi dunque per la curva- tura della parte inferiore lin. 1, 94; la qual pero do- vrebbe diminuirsi alcun poco; perche V altezza del livello ad un di presso di 4 piedi fa, che il terreno, su cui posa, e superiore non di 6 tese, ma di 5 ^ al punto inferiore della stazione; e riduce la distanza a tese 106 f; cui corrisponde un effetto della curvatura di lin. I, 54. II settimo di questo, cioe o, 22 e, se— condo il Lambert;, 1' effetto della rifrazione; e per con- seguente il punto inferiore della stazione e in quest' i- potesi distante dall' orizonte vero di tese 6 — lin. i , '62. Per la parte superiore della stazione la lungbez- za deir asta sarebbe zero; 1' effetto della curvatura lin. o, 024, quel della rifrazione o, go3, e la distan- za del punto superiore dall' orizonte vero tese o — lin. o, 021. Dair altezza di 6 tese converrebbe dunque sot- trarre in ogui stazione lin. i, 299; o piii semplicemen- te I, 3. Si avverta clie per livellare 5oo te. d' altez- SULLE LIVKLLAZIONI BAROMETRICHE 289 za a 6 per ogiii stazione sen richiedono 83; e si con- cliiuda, che la somma di tutti gU efFetti di curvatu- ra e rifrazione sara 83 ( lin. 1 , 3 ) = lin. 107 , 9 =* pol. 8, lin. 1 1. Nelle montagne la pendenza del terreno suol es- sere almen doppia della precedente; il che rende piii corte le stazioni; e diminuisce per conseguenza gli efietti di curvatura e rifrazione, che in quelle livel- lazioni posson quasi sempre negligeutarsi . 241 SULL' APPARECCHIO LATERALE Con niiove mocUficazioni clegli Strumentl descritti nclla precedence Memorla inscrita nella prima parte di questo tomo. D I Giuseppe A t t i presentata il di i5 di febbraio i8ic. esperienza sovrana maestra d'ogni arte sicco- me conduce agli utili ritrovamenti, cosi le tante vol- te ne discopre i difetti di quelli die da prima ci par- vero giovevolissimi, e che poscia a replicate prove non ressero, o almeno lasciaroiio desiderio di idterio- re raffinamento. Cio veggiamo accadere tutto giorno in quelle scienze, che non si fermano nell' astratta speculazione, ina discendono ai bisogni ed agli usi della Pratica. Era queste la Chirurgia operativa piii spesso forse e meglio d' ogni altra Arte ci fa senti- re la necessita dell' esperienza degli utili ritrovati ri- formatrice . Poiche non avvi operazione chirurgica [nel process© della qtiale non si faccia sovente qual- [che innovazione talvolta inspirata dalla particolariia Idelle circostanze, talora mossa da fondata ragione , talora anche da una capricciosa curiosita. E qnesti cambiamenti, quantunque non sempre giovino all' o- 243 A T T I perazione a cui fiirono diretti, giovano pero sempre ai progress! deirArte; la quale poiiendo in obblio le innovazioni sfortuivate ed irragionevoli, e quelle rac- cogliciulo die dalT esperienza c dal tempo ottennero liivorevole sufYragio, va tutto giorno accrescendo il tesoro de' suoi strunienti, e conciliando a' suoi me- todi semplicita e sicurezza. Fu a questo intendimen- to die altra volta io esposi i cambiamenti die m'oc- corsero di fare sul process© operativo deila Litotomia, o piuttosto sulla forma e figura degristrumenti, che credetti piu opportuni al compimento dell' operazio- iie, sembrandomi aver dimostrato die al semplice me- todo die io seguiva nella pratica della Litotomia, era- si coiigiunta colla uuova figura degli strumenti la mas- sima sicurezza. Per essi in fatti evitavansi i piu peri- colosi scogli deH'operazione, quand'erasi assicurata la strada al coltello in modo, die ne deviar potesse dal- la scanalatura del sciringone, ne passar oltre I'estre- mita di questo, per cui nessun pericolo ci fosse nel- la direzione, e nell' estensione del taglio. Benclie pe- ro per il punto interessantissimo della sicurezza con- tento dovessi cssere delle modificazioni degli strumen- ti immaginate, eseguite, sperimentate, non potea tut- tavia cbiamarmi soddisfatto sul riguardo della sem- plicita del processo operativo. Nel primo metodo un sol coltello puntuto e tagliente d'ambi i lati serviva e all'incisione degl'integumenti, ed al consecutivo ta- glio deir uretra, e della vescica; ma dopo le modifi- cazioni non potendo il coltello con estremita bottonata e triangolare servire al taglio degl' integumenti, ed alia prima incisione dell' uretra, era costretto preva- sulk' ai'Parecciiio laterale 243 lerml d' altro istnimento per efTettuare quest! primi tagli, die preceder debbono Tuso del litotomo botto- nato. Dalla necessita di canibiare il coltello non e dillicilc ravvisare Timbarazzo in cui puo trovarsi I'o- peratore allorche coll' ultitno incontrar deve 1' aper- tura deir uretra, clie sulla scaiialatura del sciringone fu formata dal primo. Quindi deve soflVire la sein- pliciti deir operazione, quale riesce tanto pin facile e sernplice, quanto niinore e il numero degli strumen- ti, e quanto meno divisa , meno imbarazzata e piu sollecita si e 1' azione dell' operatore. AUe quali co- se riflettendo io attentamente feci costruire un nuovo coltello, il quale a diflereuza di qiiest'ultimo non ha gia Testremiia bottonata ne acuta come il primo, ma ottiisa e tagliente, clie serve a dividere gl' integumen- ti e r uretra onde scoprire la scanalatura del scirin- gone; lia poscia un bottone clie ne abbraccia il prin- cipio del dorso, il quale coll' alzare il coltello si fa entrare sulla parte piu larga dtlla scanalatura del sciringone (luogo appunto che corrisponde al taglio gia fatto deir uretra) di modo che con due semplici movimenti dello stesso strumento, che seguansi 1' un r altro senza interruzione, il taglio puo compiersi in pochi second! con tutta sicurezza. Immaginata tale modificazione, fu mia cura che lo strumento fosse ese- guito colla rnassima esattezza; e nelle ultime opera- zioni di pietra per le quali ne volli far prova, fu co- si sicuro e sollecito il taglio, che nulla ora mi resta a desiderare per lo scopo ch* io m' era prefisso della semplicita, e sicurezza. Cosi io non dubito che la Li- lotomia, la quale fu per si luugo teaipo considerata 244 A T T I fra le operazioni cliiriirgiche la piu difficile ed az- zardosa, tale die per essa mettevasi a prova Tabili- ta d' un operatore, non dubito, dissi, die ove singo- lari coni])inazioni non ne rendaiK) complicata 1' ese- cuzione divenvita per se cosi semplice, e cosi facile, non possa da qualunqiie allievo coa coraggio iiitra- prendersi. INon c percio die alcuna volta appiiiito per strane ed inaspettate combiiiaziovu non deb!)asi mettere a profitto quanto siiggerisce TingegnOj e coii pronti ed appropriati ripiegbi far fronte agli ostaco- li, die alia comune inaniera d'operare s' oppongono. Allora si e che costretti a deviare dal retto camnii- no ci e forza di scegliere nuove strade, e d'immagi- nare nuovi mezzi per condiirre a biion terniine la proposta operazione. Tali dillicili c criticbe circostan- ze ho io pure incontrate piu volte, c mi sono trova- to costretto sul momento a diiamar in soccorso com- pensi affatto nuovi per I'arte, volendo superare quel- le difficoka, die alia comune maniera di operare si opponevano. Una fra le altre parnii possa meritare qualche considerazione, come quella che piu delle altre m' impegno a mettere tutto lo studio e la dili- genza per riuscirci; e che lino al [)resente ha costret- to gli operatori ad abbaudonare in simil caso V Ap- parecchio laterale come assolutamente ineseguibile. Ad ognuno e noto che serve di scorta al taglio nella litotomia un sciringone scanalato, e che quan- do questo per qualche organico ristriugimento dell'u- retra non possa per essa introdursi in vescica, manca air operatore sicura scorta per il taglio; e quindi non puo egli azzardarlo senza incontrare gravissimi peri- SULL APPAllECCHIO LATERALE 2^3 coli. In tale circostanza appigliavansi gli opeiatoii air alto apparecchio, vedendo chiusa ogni altra stra- da air estrazione della pictra . Per due volte mi e accaduto di non poter peiietrare col sciriiigone in ve- scica, ed essere obbligato ad immaginare altro coin- penso . In nn Soggetto molto avanzato in eta, e pronto ad assoggettarsi aH'operazlone della pietra perche af- flitto da Inngo tempo da atrocissimi cd intoUerahili dolori, mi riesci impossibile T introdnzione del scirin- gone malorado i tentativi ripetuti pid volte per sor- tire neir intento. Indeciso allora a qual partito appi- gliarmi onde liberare quest' infelice, non seppi deter- minarmi sulT esempio d' altri operatori all' alto appa- recchio, temendone ragionevolmente le pericolose con- sesiuenze si ri2;uard() alTinoltrata eta del soooetto, co- me ancora per la dilficolta e fors'ancbe I'injpossibi- lita d' esegniilo; ma fermo egli nella risolnzione di volere r operazione a costo d' incontrare la morte, preferibde certamente a vita si tormentosa, la di lui fermezza e coraggio mi aninio e decise a tentare qna- lunqne mezzo per sortirne 1' effetto coll' appareccbio Luerale, ad onta mi fosse toko d' introdiuTe il sci- ringone in vescica. Costruir feci un sciringone meno enrvo dell' ordinario, ed aperto nell' estremita della sua scanalatura; pensai d'introdurlo e portarlo nell' u- retra fino al puuto in cui fosse trattenuto dall' osta- colo, il quale il pin delle volte s' incontra nella par- te membranosa dell' iiretra vicino al collo della ve- scica. Sn questa scanalatura protninente e sensibile al perineo, io ideava di fare un' incisione dell' iire- T. IL P. II. 3 1 2^6 A T T I tra , die la mettcsse a scoperto per introdurvl una sortilissiina sciringlietta. Con essa scorrendo sulla sca- nalatiira fino all'ostacolo, io m'avvisava die non sa- ria stato clilllcile il siiperarlo, ed entrare in vescica. Era pronta una sonda scanalata parimenre aperta nel suo estremo, e die peifottamente coaibaciava col dor- so ddla sciringhctta di mode che questa avria servi- to di scorta alia sonda per essere introdotta in ve- scica. Hitirando allora la sciringa, e portando la son- da in alio contro V angolo di^l pidje colla scanalatu- ra in basso, e rivolta ohliqnaniente verso il lato si- nistro, sn d'essa io poteva strisciare il litotomo, e fa- re il taglio laterale nel modo stesso che 1' avrei ese- gnito dietro la scanalatura del sciringone. Che se ri- gnardo alia ohhliqnita dtl taglio si fosse desiderata una sicurezza niaggiore^ si avrebbe potnto introdur- re in vcsrica lungo la sonda scanalata il condntto- re di Poutean armato del sno moderatore a livdlo, che serve di norma al Chirnrgo per la necessaria ob- bliqnita del taglio, e Io assicura dalle pericolose con- seguenze d'un taglio o perpendicolare, o orizzontale. Tale fn I'apparecchio ch' io credetti di disporre traen- done r idea dal metodo il quale ho dovuto segnirc pill volte nel trattamento di quelle fistole al perineo, che chindevano alTatto la strada per penetrare in ve- scica. Prima pero d'accingernii ad operazione si com- plicata e dillicoltosa, tentar volli di nuovo nel giorno fissato per la medesima 1' introdnzione del sciringone, per risparmiare, se pur era possihile, la lunga e dolorosa manovra di questo nuovo processo operativo. II ten- tativo fu favorevole nientre senza grandi sforzi balzo SULL APrAKECCHIO LATEKALE 247 il sciringone in -vescica; ml trovai in istato di operare nel niodo orclinario , e V operazione riuscimmi per r eseciizione e per V esito felicissima . Quantinujue quest' incontro fortnnato mi togliessc ropportunita di mettere a prova (juesta nuova maniera di operare, che io m' era proposta ; ne era pero cosi contento dell'invenzione, e cosi persuaso del successo, che non dubitando di rimancrne soddisfatto allorchc T avessi sperinicntata, mi proposi di fare fm d'allora il tenta- tivo qiiando nuova occaslone mi si fosse presentata . Essa non tardo guari, e non sono clie pocbi mesi clie ne feci 1' azzardoso ma indispensabile tentativo, se- guendo presso a poco il process© operaiivo gia de- scritto. L' operazione ebbe a farsi su di un uomo di fresca eta da alcuni aiuii tormentato da dolorose re- tenzioni d' urina. Non sospettando per modo alcuno r infcnno di corpo estraneo esistente in vescica attri- buiva il suo incomodo ad organici ristringimenti dcH'u- retra, dei cpiali egli Ijcu ne conosceva la causa, e ne confermava 1' esistenza 1' esplorazione colle candclet- te, e coi cordoni elastici. Ad onta ])cr6 di una ca- gione assai sufiiciente a spiegare la suddetta riienzio- ne d' urina furono rilevati dal Chirurgo cbe ne ave- va la cura, alcuni sintomi particolari, i quali lo fece- ro sospettare cbe esistcsse pietra in vescica. L' assog- geito peicio all' esplorazione, cbe dovette ripeiersi piu volte per la diflicolta di superare le angu^tie del condotto, ma cbe ]>oscia riuscita mise fuor di dub- bio la presenza della pietra. Fummi allora conscgna- to r infermo per V operazione, e tosto previdi, atte- sa la difficolta pel passaggio della sciringa, V miba- 248 A T T I rnzzo ill cui dovea trovariiii per V introdiizlone del sciiingone, che riesce sempre pin stentata e laborio- sa. Si avvero il sospetto, ed uu'ora e piii clie io iin- piegai in inutili tentativi non basto a superaie gl'ia- toppi clie s' incontravano iiell' uretra vicino alia ve- scica . Conosciuta rimpossibilita di portarci il scirin- gone c' iiitrodussi una sottilissima sciringa, determi- nato d' operailo nel modo sopra descritto. Commisi air Assisteijte la sottile scirinoa, che fii da liii soste- niita coiitro il pube dirigendone obbliqiiamente ver- so il lato sinistro la convessita . Tagliaii gl' integu- menti nella comune rnaniera azzardai il taglio delTii- retra sulla rotonda convessiia della sciringa, per cui scoperta una porzione del suo dorso c'insinuai la son- da scanalata, c lungli' essa la portai fino in vescica. Qnesta, come gia ho descritto, servi al compimento del taglio, mentre su d' essa feci scorrere il litotonio bottonuto. Colla scorta dell'indice introdussi la tana- glia colla qnale rinvenui ed alTerrai tosto la pietra. Per sfortiina r operazione, che per tante conibinazio- ni era stata si lunga e tormentosa, lo divenne assdi pin per la roctura della pietra che a pezzi dovette estrarsi cutta. Un travaglio cosi penoso pareva che dovesse destar nell' infenno sintoini pericolosi, e far temere funeste conseguenze; pure quanto questo gio- vane provo avversa la fortuna e prima e nel tempo della operazione, altrettanto favorevole I'incontro do- po la medesima. Nulla turbo la calma, che I'estra- zione della pietra gli procuro, e dopo quattordici giorni le urine ripresero il cainniino naturale, 1' ul- cero si restrinse, e nel vigesimo quinto era gia to • SULl' APPARECCniO LATERALE 249 talmente cicatrizzato. Cosi ebbi il contento di veder coronato di favorevol successo un nuovo tentativo in circostaiiza tanto critica e diiricokosa. Sc stretio a' priiicipii ed alle regole dell' arte o avessi riciisato d' opera re quest' infelice, o 1' avessi sottoposto all' al- to apparecchio, egli o proverebbe ancora gli effetti di vita cosi tormentosa, o saria rimasto vittima di un processo operativo cosi pericoloso, e di nialattia co- si micidiale. 1 compensi dell' arte nori possono stabi- lirsi per regole; d'uopo e die I'ingegno gli formi sul punto, e gli applicbi alle circostanze ed a' partico- lari bisogin'. La pratica chirurgica ba questo di su- periore alio studio teorico^ die mentre questo dirige i regolari passi dell' operatore, 1' altra gl' insegna il cammino, die tener deve quando imperiose circo- staaze lo deviano dal retto sentiero. 25l DELLA SIMIGLIANZA MECGANICA M E M O R I A Di Pa.olo Delanges ricevuta il di 20 di marzo 1810 i3e il modello d' una fabbrica, o d' una mac- china serve a fame comprendere la struttnra senza aflaticare la fantasia, in confronto del disegno, pre- sentando esso la materiale configurazione, e la posi- zione respectiva dalle parti e tiitte raccogliendole in coniplesso sotto rocchio: egli e altresi vero che il co- strnirlo osservando puratnente Tegnaglianza degli an- goli , e la proporzionalita nelle dimensioni, cioe di si- iniglianza geometrica col propostosi lavoro in grande, se e in tal gnisa sufficiente per le considerazioni da farsi sngli utHzj ed nsi della massima parte dclle fab- bnche appartenenti alle arcliitetture civile e niilitare, iion lo e, come dimostrereino, ne' casi in cui dal mo- dflio vogliano dedursi residtati proporzionali, rignar- do a resistenze ed a equilibrj, a quelli della mac- china che ralligura. Qnindi e d'nopo conoscere un'al- tra sorta di siiniglianza, ch'io denomino Sitnigtianza weccanica 1 e su cui intendo ora di ragionare. 252 Delances § I Che la simigliaiiza geometrica non sia valevole ad assicurarci degli effetti d' una niaccliina e della sua riuscita all'intento divisato, da quelli del suo mo- deller cio e comuneinente note a grado tale, che noa di rado la scienza ineccanica va soogetta alia deri- sione del volgo, come se dubbj ed incerti ne fossero i suoi principj : anzi che sapendosi per esperienza die ove si tratti di equilihrio, la potenza nel modello co- struito semplicemente di simiglianza geometrica, e sen- sibilmente minore di quella che occorre in fatto nella macchina che rappresenta, venne da' pratici ammesso I'arbitrario canone o regola, che la potenza per 1' e- quilibrio concrete nella stessa debba computarsi una terza parte maggiore di quella che al suo equilihrio niatematico competerebbe, facendo cioc astrazione del- le naturali resistenze. sn Qualora non abbiasi per oggetto che cV investi- gare dalla resistenza alia rottura, oppure dalla quan- tita del carico di cui e capace, vale a dire dalla ro- bustezza del modello quella dell' opera che vuol co- struirsi, la sola simiglianza geometrica ci conduce al desiderato fine, e ne troviamo additata la via nella Memoria del celebre L. Eulero.,, Regnla facdis pro diiutllcanda firmitate pontis aliusve corporis similis ex cognita firmitate moduli,, ( Novi Comm. Acad. Scien- DELL.V SIMIGLIANZA MECCANICA 255 tiar. Imperialis Petropolitanac. Tom. XX; anno 17-5 ), in cul due sono i probliMni the da su questo partico- lare. Nel |)riino dererfiiina il peso occorrente che puo portare \ma corcia fiiio ai puiuo di spezzarsi , dall'es- sere per cs^pcricnza cognito qiiello che puo portare una cordicella siniihiirnte piegata. JNel secondo poscia , supponendo che la robustezza d' uu ponte dipender deJjIja dalla resistenza alia rottura di travi iiguali di cui fosse architettato, e dato per esperienza il peso, computato il proprio, che puo portare un travicello di siniili diniensioni, cioe la sua resistenza respettiva, determina quella del proposto ponte, ossia il peso che potrel)be sostenere prima di rompersi; e cjuiudi coa uno de' soliti artifizj usaii da si somino algebrista tro- Ya la grossezza di cui dovrchhero essere dotate le tra- vi per renderlo alto ad una pvescritta forza premente. § III Ma parlando de' modelli di macchine immaglna- te a vantaggio delle arti e delT agricoltura, nelle cjua- li debbonsi valutare, e noa reputarle di un' entita trascurai/ile, le resistenze degli attriti, per non rima- nere delusi nel conseo-uire la bramata riuscita ; e manifesto, che supposto eseguito il niodello con si- migliauza geometrica, stando i pesi de' soli

  • etiivamente della stessa materia e con superlicie egualmente preparate a quelli della maccbinaj daro qui un' applicazione delT enunciara regola, oude ne comparisca i\ grado di sua utilita praticamente. S V Preso per modulo delle dimensioni, il pollice per un piede, e per quello de' pesi, I'oncia per una libbra; un picciol legno lungo pollici 12 di figura parallele- ])ipeda, di cui I'akezza e largbezza e un pollice, sia il modello di una trave di dimensioni conformi al mo- dulo indicato, cbe dee sostenersi in equilibrio intor- no ad un perno immobile, che V attraversa in dire- zione perpendicolare alia sua lungbezza in guisa cbe il di lui asse giace nella sua base, da una potenza cbe agir deve ad una sua estremita, essendo attacca- to air ultra il peso di libbre 12. Stante il modulo prescelto per le dimensioni siano nel nostro modello respettivamente a ((uelle determinate per la matcbi- na, la lungbezza del jjraccio dalla parte del peso da attaccarsi, cbe sara riguardo al predotto modulo de' pe- si di Oiice 12, pollici 3, e ipiella del braccio dalla 256 D T. L A X O E S parte tlolla potenza pollici 9, il raggio del perno J di pull ice; e per esperienza sia noto essere once 6 il pe- so del travicello. E" ciiiaro die per V eqiiilibrio ma- teniatlco, prcscindendo cioe deila resistenza di attri- to, dovrel)he essere la potenza once 4; ma per ot- tenere requililirio concreto occorra ad essa V anmen- to di il d'oncia, da ciii si ricavera che i^ d' oncia , quarto proporzionale al rnggio del perno, al braccio della potenza, ed all' ainiiento predetio, e la resi- stenza di attrito sul perno; e die in conseguenza per essere once 22, che sono la somma della potenza per I'equilibrio asiraito e del p<^so da sostenersi con quel- lo del travicello insieme , la pressione sullo stesso perno; sara la ragione della pressione all' attrito quel- la di 5 ad i . § VI Ora essendo nota siffatta proporzione, agevolmen- te si scopre, che dell' auinento suddetto ^^ di oncia, i/^ appartengono all' attrito relative alia pressione sul perno della somma del peso da sostenersi, con quel- lo che rappresenta la potenza; e che -- e la parte di aumento nella potenza rispetto all' attrito prodot- to sul perno stesso dal peso di once 6 del travicel- lo'. Siccome poscia il peso del travicello a quello del trave ha la ragione triplicata delle omologhe dimen- sioni, cioe quella di i' a 12', ovvero di i a 1728; cosi scorgesi in fatto, come s' e detto superiormente, che r attrito sul perno per conto del travicello nel modcllo risulta assai minore respettivamente all' asse- DELLA SIMIOLIANZA MECCANICA 257 gnato modulo de' pesi, di quello die reca il peso del trave nel suo; ])olche essendo il peso del trave lib- bre 864, dovrcbbe essere quello del travicello-once 864 compreso il proprio di ouce 6: si dovra dunque caricare qucsto di once 858, cioe di libbre 71 i per- che risulti il modello di siiniglianza meccanica verso la macchina che rappresenta, e qnindi nella soprac- ceunata ragione della pressione all' attri(o, si trovera ciie la potenza nel modello verra aurnentata, oltre agli ~ di oncia, di once 4^; sicche la proporzione per r equilibrio concreto in csso tra il peso da soste- nersi e la potenza j, sara di J2 a oj;; e tale appunto sara la pro[)orzione die si sperinientera nella macchi- na medesima . § VII Dal riferlto esempio sulla macchina fra le piii semplici che possano idearsi si raccoglie, che mentre la potenza niatematica nel costruito modello con si- miglianza gcometrica e once 4, diventa once 4 ^ com- putando l' attrito sul perno dovuto alia pressione di detta potenza e del peso o resisteuza con cui dee equilibrarsi , e die diventa, supposto conformato il modello in simiglianza meccanica, di once 8 ^, cioe pin die doppia della potenza matematica; da I die apparisce di quanta importanza sia la correzione, che dee farsi nel calcolo de' modelli riguardo al peso de memhri die concorrono ad aumentare G;li attriti, va le a dire di costituirji-li in simi2;lianza meccanica colle niacchiue che rassomigliano. E poichc nel nostro esem- 258 D E L A N. C E S pio r oncia nel modello indica la libbra nella mac- chini, ne segue die la potenza pel suo equilibrio mec- canico dovra essere di llbbre o y, conrie esattainente da il calcolo diretto sulla stessa, usando della raoiiotie tra la pressione e 1' attrlto, clie si ottenne dal rno- dello, e valutando il peso della trave dedotto come s' e fatto. § VIII Trattandosi d' una macchinazione per far asceu- dere o discendere uu corpo lungo un piano inclina- to, come abbisogna, a cagion d' esempio per far di- scendere in acqua o tirare a terra i navigli , il mo- dello di simi^lianza 2;eometrica e bastante a dimos- trare cio che succeder deve nella macchina in gran- de, avvegnache la ragione per V ec[nilibrio tra la po- tenza c la resistenza sara la stessa si nell' uno die nell' altra, semj:)re che sia osservata I'eguaglianza ne- gli angoli cV inclinazione, e le superficie che devono strofinarsi sieno egualmente condizionate. Sono pero oggidi talmente conosciute le leggi delle resistenze d' ogni genere, e singolarmente quelle degli attriti, e reso si comune il calcolo di esse, che non v' ha d'uo- po rintracciare dal modello la capacita o I' efficacia della macchina per il fine a cui si vuole applicare, purche non si trascurino soprattntto i pesi de' mem- bri che deggiono porsi in movimento, come s' e di- mostrato essere necessario nel definire la simiglianza meccanica. Sara non percio il modello geometrico utile, si per comprendere in alcuni casi con facilita DELL\ SIMIGLIANZA. MECCANICA. 25^ la struttura della macchina ideata, che per iscoprire in altri i canoni o le proporzioni tra le pressioni e gli attriti pel calcolo di essa. I 1 ' 'l/ 1 /I'll // (^ ^f/ir/// ' r/ c"/^' ,/,. ,)/r.v.o;o ''.■/■ //"/" ■>'^'' ■ '"^""' //.^//y^/l-M, ./,;„.,,„ .,U.,„X„'yri> >/-/,:,i,Ki/i/r il . !(,'/'■ ' ?r/i, .^^ , ///,'///,/■ ' '■"'^' •" i"li' ■ "I iiii'i ,ii Kl.iumii (>i( (cf ,.■ ... .... / .f,- .-■ ^6i DELLA INCLINAZIONE DELLE SPONDE negll alvei de' fiuml Di SiMONE Stratico ricevuta il dl i di maggio 1810. I. VTli alvei de' fiumi, dove questi scorrono so- pra 111! suolo composto di parti facilmente arnovibili, come di terra o di sabbia, hanno il fondo inclinato verso la loro foce, e le sponde inclinate dalle ripe verso il mezzo della larghezza dell'alveo, o similmen- te, ciocche e piii raro, o disugualmente, ciocche e [piu frequente; oppure rimane tra le sponde uno spa- Izio, che si puo riguardare come orizzontale nel ver- so della larghezza dello stesso alveo. Le sponde e il fondo formano la sezione del fiume. 2. Nell' inclinazione del fiume pel verso della lunghezza, si distingue quella del fondo, e quella del- la superficie dell'acqua corrente. La prima e costan- Ite in ogni stato del fiume, e puo variare in corso di [tempo, per I'introduzione di nuove acque, o per di- strazione di quelle che gH erano proprie. La secon- T. II. F. II. 33 202 S T K A T I C O da e divcrsa ncgli stati di magra e di plena. Cosi mentre 1' arqna de' fuiini in plena s' inalza a moUi pledi in puiiti lontaiii dalla foce in mare, viciao al- ia stessa s' inalza assai meno. 3. La cadente de' fminl, cioe rinclinazione all'o- rizzonte della lliiea del loro fondo^ dlpende dall' in- cllnazione, e dalT indole del suolo die attraversano, e dalla mole e akezza delle loro acquc in istato or- dinarlo. L'incllnazione del suolo e varla e non in una sola direzione, e V indole del suolo, presentando re- sistenze dlssimili, fa si clie la linea del corso d'acrjua acquisti varie tortuoslta, per le quail la cadente si fa minore. Non si puo generalmente asserire clie le pianure attraversate dal corso cTe' finmi, slano prodot- te dalla espansione delle loro acque, e dalle niate- rle clie vi hanno deposte. Le ghiaie die trovansi a certe profondlta in alcune pianure, ancorche siniili a quelle die si osservano in qualclie non loutano fiu- me, lasciano in dubbio, se il fiume ve le abbia in altro tempo portate, o se abbia solranto scoperte quel- le che veggonsi nell'alveo snudandole dalla terra sot- to la quale giacevano : ed e almeno incerto, se la produzione delle ghiaje si debba ai fiumi , al mare, o ad altra origine. Tuttavolta gli strati di anticbe val- li, e di aggallati, che trovansi a diverse profondita, coperti di creta, di sabbia, di terra, e gli strati di corpi marini in situazioni ben lontane dal mare, non lasciano dubitare, die que' piani, dove s' incontrano tali sostanze, non siano stati colmati e formati dalla espansione de' fiumi: lo die si conferma ancora dal prolungamento in mare degli alvei di molti iiumi , DELLE SPONDE NEGLl ALVEI De' FIUMI 263 per ciii evidentemente si e aggiiioto terreoo alle an- titlie spiaggie. 4. Conviene pero distingiierc gli alvei
  • ortd insieme la mole d' acqua necessaria a pro- durre la velocita, che si richiede per mantenere so- spesa la materia delle torbide, sicche non si depon- 2O4 S T R A T I C O ga sul fondo , e non lo interrisca. I torrenti poi, o fiumi tein[>oranei haniio la pendenza del loro fon- do, proporzionata bensi inversamente ad una fiinzio- ne delTaltezza delle loro acquc nel breve tempo del- le lore pietie, e se coiifluiscono nello stesso alveo con- tenipoianeameiue, determinano la pendenza di cjuesto come i fiumi, ma non cosi se non sono contempora- nei; e quindi puo succedere 1' interramento e alza- niento di fondo dell' alveo comune. Perciocche se la mole d'acqua contemporanea e niinore, e conseguen- te che la niateria della torbida non possa restare so- spcsa, e si deponga sul fondo, e cio si no a tanto che venga a formarsi con le posature tin' inclinazione di letto, atta ad impedire con la velocita del corso ogni ulteriore interramento. 6. Per ispiegare con)e 1' alveo di un fiume , il quale porti della torbida, e sia scavato in un suolo composto di parti facilmente amovibili, la cui sezio- ne fosse in origine rettangolare , e proporzionata al volume delle sue acque, e alia sua pendenza di fon- do, si conformi dopo qualche tempo con le sponde inclinate e convergent! verso im qualche punto del- la sua larghezza , si adduce che V acqua la quale scorre lungo le sponde e le ripe si ritarda per il sof- fregamento con esse;, e per la sua velocita con cio diminuita depone qualche parte della sua torba; che si diminuisce ancora la velocita in qualche distanza dalla ripa, ma in grado progressivamente minore da questa verso il mezzo della larghezza; quindi che la posatura della torba e minore verso il mezzo, e vi si mantiene maggior fondo, e il maggior corso, che I>ELLE PI'ONDE N£GLI ALVEI De' FIUMI 265 si chiama il filone, o splrito del fmme. Che per que- ste posature lateral! la sezione si diminuisce, e che r ac(jna dovendo progredire per una sezione minora di quella clie le compete, o s' inalza e si espande nel piano aggiacente, o se e contenuta da argini dirnna, e fa smottare le ripe, le quali formate di terra, o sab- bia, non possono sostenersi vertically ma si dispon2;o- no a certa inclinazione. Quindi la sezione si fa piii capace, pin larga in alto, piii stretta abbasso: oppu- re insieme Talveo si profonda, e si scava nella linea del maggior fondo, e progressivamente meno da que- sto verso le ripe. Tutto questo avviene sino a tanto clie si pareggi l' azione delT acqua con la resistenza e tenacita della materia del suolo. Dove poi il fiume porta delle torl)ide, e ne portano tutti piu o meno, particolarmente nelle piene, se puo espanclersi ne' ter- reni aggiacenti, si va egli forinando con successivi al- zamenti i confi4ii della sua largbezza, e la base de- gli argini die gli convengono, e che gli uomiiii poi, clove loro giova, portano a maggiori altezze, a misu- ra che la capacita della sezione si trova minore di quella clie compete alia mole delT acqna, prevenen- do cosi r opera piu lenta della natura. Si osserva ge- neralmente che i terreni vicini alia linea de' fiumi so- kno piu alti di quelli che trovansi a qualche distanza idalla stessa linea, sicche le terra comprese tra due iumi, i quali progrediscano con direzioni simili ver- so le loro foci sono avvallata nell' intervallo che li Idisgiunge. Qnesta, per cos\ dire, naturale disposi- done ne' fiumi di arginarsi da per se Insingo qual- ;heduno sino a persuadersi, che fosse miglior consi- 266 S T II A T I C O glio qiiello dl non costringere il loro corso. con argi- ni manufatti, ma di lasciarli espandere liberamente le loro acque, sino a taiito che alzando i viciiii ter- reni s'incassassero nelle stesse loro deposizioni. E' pe- ro evidence si rinuncierebbe con cio al copioso frut- to che si ritrae dai terreni difesi coU' arte per mezzo degli argini, in espettazione dell' opera della natura, tarda al paragone della sollecitndine degli uomini a raccoglierlo. JNon pertanto s' imita quest' opera della natura con le colmate o bonificazioni per riempimen- to, con molta iitilita. 7. Che se si supponga libera da torbide e chiara r acqua corrente in un alveo, qiiella che scorre vi- cina alle ripe e ritardata dal solhegamento, non e atta a corrodere il fondo; bens'i quella che scorre piu distante dalle stesse e piu vicina all' asse: percio I'al- veo si conforma con maggiore profondita verso il mez- zo della sua larghezza, e le sponde riescono inclina- te, e verso lo stesso mezzo convergenti, qualora il terreno sia composto di parti amovibili. 8. Qualunquc pero sia la cagione per cui la con- formazione degli alvei de' fiumi risulta quale in fatto si osserva, si presenta naturalmente la ricerca, se, e come questa modifichi il corso delle loro acque, aven- do particolarmente riguardo ai fiumi grandi e di mol- ta larghezza, ne' quali le pendenze delle sponde op- poste sono notabilmente disuguali. Ho quiudi notato nella Tav. 1 le larghezze e le inclinazioni delle spon- de date dallo scandaglio delle altezze dell' acqua so- pra il fondo in varie sezioni del Po nelle situazioni indicate nella stessa Tavola, le quali sono prese alle I DELLE SPONDE NEOLI ALVEI DL' FItJMI 267 segtiate distaiize tra di loro. Dai niimerl degli scan- dagli rilevatisi prossinianiente, anche senza il presidio delle figure, gli angoli d' iiicliiiazione , e riscaiitransi ancora i solclii pin profoiidi disgiuiiti da rialzi di ter- ra proluiigati , die dividono nello stesso alveo un cor- so d'ac(]ua daU'aUro nel fondo. Nelia Tavola II so- no rappresentate in figura alcune sezioni dello stesso fiume iielle quali si riniarca la proporzione della pro- fondita alia largliezza. Nella Tav. Ill; Fig. I sono delineate ai loro luoglii le sezioni di un ramo curvi- lineo di Po, e sono <[uelle stesse clie si rappresenta- 110 nella Tavola I con i nunieri degli scandagli alia leitera (». Queste tavole rappresentano il fatto fisico del quale si tratta in questa memoria; e diinostrano quanto sia grande la pendenza laterale delle spoiide, nieiitre quella del fondo nel verso della sua lunghez- za non arriva ad un piede per niiglio ragguagliata- tnente. L' esempio e preso da un fuune grande, per- che sebbene la stessa legge abbla luogo auclie ne' fiu- ini minori , tuttavolta gli elfetti non possono essere cosi cospicui, come lo sono dove V azione e di gran- di masse di fluido e in grandi largbezze. Gli autori della scienza delle acque correnti non hanno trascu- rato questa ricerca, ma mi e sembrato che vi sia luo- go ad ulreriori considerazioni. 9. Per figura d' un alveo intendo quella che ri- sulta dalle sue sezioni, ed e compresa tra le due op- foste ripe, o quali le da il terreno in cui V acqua resta sempre incassata, o quali risultano dalle argi- nature che s' iualzano sopra le stesse ripe, dove l' al- tezza delle piene supera l' altezza delle terre aggia- 268 S T R A. T I C O centi. Dove poi gli argini SQno posti a qualche di- stanza dalle ripe, e rimaiie tra queste e il piede del- le arginatiire una larghezza di golene, oppure dove trovaiisi negli alvei isole, gretti, renaj alternamente scoperti, e coperti dall' acqua per le vicende delle pieiie e delle magre, ivi il fiume si dee riguardare co- me corrente in due o piii alvei di figura e proprieta diverse, atteso che le direzioni del corso trovansi di- versamente nello stato di piena, di acqua ordinaria, e di magra. Egli e percio che conviene e prudente- mente si suol fare molto conto delle osservazioui lo- cali , e de' particolari fenoineni die presentaiio gli stessi fiumi ne' varj pund del loro corso, dipendenti bensi dalle leggi generali del moto delle acque, nia in mille guise variati dalle particolari circostanze, e che noa si possono conoscere se non che dal fatto e dair immediata osservazione. 10. Barattieri uno de' piii utili scrittori intorno ai fenomeni, e ripari delle acque correnti, osserva che negli alvei de' fiumi vi spuo due pendenze sopra le quali scorrono le acque. Una, die' egli, e naturale dal principio del movimento loro, sino dove hanno termine in mare: 1' altra e accideutale da dove 1' al- veo e meno profondo sino dove egli e piu profondo, cioe dalla piaggia opposta a quella in cui si fa la cor- rosione, verso questa stessa. Tale pendenza, soggiun- ge, si puo chiamare accidentale^ perche resta muta- bile, secondo che si vanno rautando gli effetti de' fiu- mi, che si alzano o si abbassano con la superficie de' loro fondi. Questo e per il lodato autore come un principio, al quale egli sempre si riferisce, quan- DELLE SPuNDE KECLI AM'EI Dk' FIUMI 269 do ragiona delle corrosioiii de' fiumi maggiorl, e par- dcolairneiite dell' Adda e del Po, sopra i quali ebbe raolte occasioni di medicare e di operare, faceiido sem^ pre osservare le direzioiii obblique, o diagoiiali, com'E- gli le chiama, cagionate dalla pendenza del foiido da una sponda verso Topposta, alia quale percjo si av- vicina il maggior corso . II. Micbelini considcro con qualcbe applicazlo- ne di studio 1' elf'etto delT acqna corrente in un al- veo, il cui foiido oltre T essere inclinato all' orizzon- te nel verso della sua lunghezza, lo e anche per il ver- so della largbezza;, sicclie la ripa, considerandone I'al- tezza sua verticale sotto la superficie dell'acqua, sia piu elevata da una parte ^ clie dair opposta del fiu- me. Premeite Egli una proposizione, ed e, die se vi sia un vaso di pareti verticali e col fondo inclinato all'orizzonte da una parete all' opposta clie le sia pa- rallela, quella parete clie e piu alta sopra detto fon- do sostiene una pressione dall' ac([ua contenuta nel vaso, la quale alia cotale pressione dell' acqua stessa, ba la ragione del seno dell' angolo d' inclinazione del fondo alia secante dello stesso angolo . Indi applica air alveo del liume sopra indicate questa dottrina, c stabilisce clie la ripa piu alta sopra il fondo sostiene dull' acqua una pressione nella ragione anzidetta, la quale combinata con la velocita del corso parallel© alia sponda viene a produrre un moto obbli<]no die percuote la ripa e la corrode, lo clie noa avvieiie al- ia sponda opposta , perclie il moto obbliquo teste in- dicate, ba una direzione divcrgente dalla stessa. Mi- cbelini s'inganno nel valutare la pressione cbe I'acqua T. //. P. IL 34 270 S T R A T I C O stagnantc esercita nclla parcte piii alta del vaso il ciii foiulo e iiiclinato. La misura cU questa pressione noil ha veiuii rapporto all' iiiclinazione del fondo ne air ampiezza di questo, ma soltanto aH'altezza e al- ia larghcz/a dclla parete del vaso che e al coatatto deir acqna. Egli ha iiurodotto nel siio discorso inu- tihnente questo elemento fallace, ma non s' inganno neir asserire, che la niassa d' acqua messa in moto dove ha inaggiore altezza dalla parte del niaggior fondo acquista una direzione obbliqua, percuote la lipa con maggiore energia , e la corrode o la fa smottare. 12. Guglielmini considera come avvenga che I'al- veo di un funne conformato da princlpio con le spon- de regolarmeute convergent! verso il mezzo della lar- ghezza si escavi piu da un lato che dalP altro, e in consegnenza il maggior fondo o filone si avvicini piu a luia ripa, e si allontani dalTaltra. Spiega egli que- sto effetto per la disnguale resistenza del fondo. Per- ciocclie posta la medesima velocita in tutta la sezio- nc deir alvro, se avviene che la tenacita del suolo non sia iiiiift)rme, si escavera egli di piii dove e me- no resistente, e quindi si fara ivi maggiore la velo- cita; e cio succedendo in vicinanza ad una delle ri- pe, la velocita si fara minore vicino alia ripa oppo- sta : conseguentemente sopra il fondo di questa si de- ])orra della torbida, e s' inalzera la sua superficie . Cosi, e per escmpio, escavandosi 1' alveo a sinistra, si alzera il fondo alia destra, il filone si accostera al- a sinistra, e vi produrra una corrosione, o un seno. Ma se il suolo sia di materia uniformemente resisten- DELLE SrwNDE NEGLI ALVEI DE FIUMI 2" I te in tiitt^ la larghezza dell' alveo, se la direzione drl siio corso sia rettilinea, iic per iiitoppi, o iulles- sioiii si muti, T alveo si conservera regolare, e le spori- de riusciraniio egualrnente incliiiate verso il mezzo della larghezza. Qiiindi Egli avverte, come per il tra- sporto del liloiie, e per il suo avvicinaniento ad una delle ripe, nieiure dalV akra parte il fondo s' inalza, avviene che tiel liiogo, dove per qiiesto inotivo si fa la corrosione, I'accpia s' inalza, e il filone nelle piene si maritiene piu sollevato. E da cio ricava un precet- to, ed e che nella forniazione degli argini si abhia ri- gnardo a qnesta circostanza, e tengansi piu alti gli ar- gini nel Venice della corrosioue, di quello che sopra, o sotto questo luogo, e facciansi anche piu robusti, pill larghi, e della migliore costruzione. 1 3. Zendrini discorrendo delle corrosioni, impu- gna direttainente la dottrina di Barattieri. Che la spiaggia, die' Egli, rivolti V acqua, o tutta , o parte a caricare il filone e la ripa che da qnesto e posta in corrosione, ancorche possS verificarsi in qualcbe caso, non pno seguire in riguardo alia natnra dell' a- cqua corrente, ma solamente rispetto ad alcune cir- costanze, che possono alterare il moto dell' acqua dal- la sua origine sino alia fine. Ne tampoco pno succc" dcre, secondo le leggi della Statica, avvegnache man- tenendosi di livello la superficie trasversa da ripa a ripa, ne mai 1' acqua dalla destra alia sinistra passan- do, non puo realmente asserirsi, che nella medcslma seziotie camminar possa 1' acqua, parte per il suo fine, e parte con direzione verso la ripa opposta; onde la proposizione di Barattieri per questo capo, non si ac- T U A T ICO coicla con le leggi del inoto delle acqnc. Soggiun- ge pero , che il sentimento cli Barattieri si verifica, se non in tutto, alineno in parte, piendendo la cosa dai suoi piincipj, e ben discernendo quegli accident!, per i quali succede un tale fenomeno di moto acc'i- de/imle, come Egli lo chiama. Cio die fa resistenza al corso delle acque, dice Zendiini, oltre gli acciden- tali impedimenti di gombiate, e d' altri ostacoli, si c il perpetuo soflieganiento, ( he 1' acqua e obbligata di fiire contro le ripe, e contrn il fondo, dal che nasce, che r acqua progredisce pin con le sue parti alte, di quello che con le parti vicine al fondo, di modo che r acqua non sostenuta per difetto di qnella che piii tarda la segue, cade e stramazza dalT alto sulT aci^ua della spiagiiia . 14. La prima di queste riflessioni riguarda gli ostacoli che possono trovarsi nel f )ndo, o nelle ripe, per i quali la direzione del corso si rivolga verso Tuna o verso 1' altra sponda. Possono quir.di annoverarsi fra tali ostacoli anche le alluvioni contigne alle spon- de, le quali si protraggono dalle ripe iAire la meta della larghezza dell' alveo, e sino alia spon,0l2 0,08c 0,144 0,279 0,354 o,43i DELLE SPONOE NEGH AI.VEI BE* FIUMI 2oC) Se i panconi oltre V essere stati immoUati erano im- bratiati tli fango, o altro sucidiiine , la resistenza riusciva maggiore di quella che provavano essendo tersi. E' pertaiito evidence, che le resistenze derivan-« ti dal sofTregainento, crescono con la velocitii accre^ Bciuta, e la ragione degli accrescinienii si avvicina ►•.a quella de' quadrati delle velocita, alia quale pero non giunge mai. 2 5. Gli elTetti, i quali si comprendono col no- me di sofTregamento dell' acqua con i corpi solidi, ^ 6ono relativi alia scabrosita degli stessi solidi, all' at- trazione dell' acqua con essi , e all' aderenza delle parti deir acqua tra di loro, cui si da il nome di viscosita. La scabrosita de' solidi significa che vi so- i\o delle particelle sporgenti, e delle altre avvalla- te nella loro superficie. Quando dunque il solido si muove neir acqua, le particelle sporgenti urtano la massa del Ouido, e diminuiscono la velocita del 80~ lido, che comunica coU'urto a1 fluido una parte del- la sua forza, o quantita di moto. La sperienza del soffreganiento maggiore osservato ne' panconi iminol- lati, a confronto dei non immollatl vi consente; giac- che dair essere stati immollati deriva, che la loro superficie sia divenuta piu scabra , gonfiandosi le fi- bre del legno, e risalendo dalla superficie. Si ha di cio un' evidenza in grande nelle navi, le quali, es- sendo pari tutte le altre circostanze, sono di graa lunga piu spedite e veloci , quando la loro opera viva e ripulita dal musco, dalle chiocciole, dal fan- go che la imbratti, di quello che se sia da simili corpi coperta. La fodera che si fa alle navi coa fo- 290 S T K A T I C O gll di rame, tirati a cilindro, e levigatl, olcreche le garantisce dai danni delle teredini marine, giova gran- demente alia velocita del loro corso. Gorrisponde percio niolto bene la sperienza, la quale dimostra ciie il soffregamento dell' acqua con i solidi, segue la ragione di una qualche funzione della velocita, e non e lo stesso in qualunque ipotesi di veloci- ta attril)uita al solido che si muova nelT acqua, o deir acqua che strisci contro il solido. Per lo die si puo inferire, che la teoria del raggio medio noa comprende tutte le circostanze del moto dell' acqua neoili alvei, e sinq-olarniente Y elemento della vc- locita . 26. L' aderenza delle parti dell' acqua alia su- perficie de' solidi e assai comprovata dalla volgare osservazione, che quasi tutti i corpi posti al contat- to deir acqua, restano piu o meno bagnati, e molli. Anche i corpi, i quali non hanno una forza di ca- pillarita rispetto all' acqua, pure esercitano con essa un' attrazione. Le sperienze le quali dimostrano, che deschi simili in grandezza, e ligura , di metallo, di piefra, di legno o d'altre sostanze posti orizzontalmen- tc al contatto dell' acqua, richiedono una forza di- versa per esserne distaccati per soUevameuto verticale, comprovano questa asserzione. 27. Si aggiunge la viscosita dell' acqua, per cui le sue particelle fanno qualche resistenza a distaccarsi Tu- na daU'altra. Or come questa contribuir possa a ritar- dare il moto del solido immerso nell' acqua, o il moto deir acqua che striscia un solido, si puo intendere in questo modo. Le parti dell' acqua spiute e promosse DELLE SPONDE NEGLI ALVEI DE FIU3II 29 1 da iin solido che per essa si muova tendono ad equili- Lrarsi, e ad occiipare il luogo ahbandoiiato all' indie- tro dal mobile. Se la velocita del mobile sia maggio- re di quella con cui le parti delP acqua possono por- tarsi al luogo abbaiidonato dal mobile, qiieste si rac- colgono alia parte anteriore dello stesso, ed accresco- no la resisteivza al suo moto progressive. In fatti se il solido emerge in parte dairacqua, questa raccolta d' acqua si rende manifesta dinanzi al solido, ed e tanto niaggiore quanto e piii veloce il moto del so- lido. Se r aderenza delle parti dell' acqua tra di lo- ro e col mobile fosse nulla, e certo che non si fa- rebbe questo adunamento di acqua dinanzi al mobi- le, ne questo strascinerebbe una quantita di acqua a lui aderente. Tale effeito dee anche succedere nel mobile, che si muove sott' acqua, cioe che strascini seco una mole di acqua a se aderente, e tanto mag- giore quanto e maggiore la sua velocita. Ce ne som- ministra una prova la macchina funicolare, con la qua- le s'inalza T acqua per mezzo di una fune che si met- te in moto tra due ruote, una bassa ed immersa nel- r acqua, 1' altra contenuta in nn recipiente chiuso. La lune nel passare per T acqua si veste tutta all'in- torno di uno strato di Huido di osservabile grossez- za, il quale vi sta aderente sino alia ruota superiore, ed ivi dalla fune stessa si (li>tacca per il moto cen- trifugo die la ruota gl' imprime, cade nel recipien- te, e da questo per ima apertura esce all' uso che si vui)le . L' aderenza dell' acqua alia fune dipende maiifestamente dalla forza capillare delia corda , e dalla viscosita dell' acqua. Una certa velocita nel mo- 292 Stratico to (lella fune produce maggiore grossezza dello stra- to d' acqiia che la riveste, e fa si che se ne raccol- ga in un dato tempo maggiore quantita nel recipieii- te, non solamente perche nello stesso tempo arriva alia niota siiperiore un raaggior tratto di fune vesti- to di acqua, nia perche il vestimento e piu grosso, lasciando un tempo minora alia discesa dell' acqua per la fune. 28. La pressione non accresce il sofFregamento delle parti dell' acqua tra di loro, e con i solidi al contatto de' quali essa scorre. Perche 1' acqua o e alTiiito incompressibile, o e compressibile al minimo grado, e da riconoscersi soltanto, quando sia premu- ta da forza molto grande, e chiusa in un recipiente di pareti robustissime : quindi la compressione non accresce i puiiti di contatto tra le parti dell' acqua. Galileo faceva osservare al P. Castelli, clle non e ne- cessario che 1' acqua premuta si condeiisi per scap- pare con maggior impeto; siccome ?1 nocciolo di ci- fi •a;ia preinuto scappa con vclocita senza condensar- 'oi. In questo fenomeno di paragone e da osservar^i, e da far cofito della elasticita de' polpastrelli delle dita, e di qnella ancora del nocciolo di ciriegia. Ma neir acqua la condizione di ciascuno strato e la stes- sa, ne per la pressione degli strati superiori auccede condensazione negl' inferiori. La resistenza che. dee superare un corpo, come anche 02;ni particella d' a- cqua (he per essa si fa.strada^ «lipende dalla reazio- ne delle parti alle quali si comunica nn moto, e dal- la viscosiia delle parti dell' acqne. Questa e indipen- dente dall' azione della massa sovrapposta. Non cosi BELLE SrONDE NECLI ALVEI DE* FIUMI 29^ pare clella reazione, la quale sembra dover essere pro- porzioiiata al mimero delle parti insistent! sopra quel- la che si rnuove. Perciocclie siccome ogni corpo ce- devole iminerso nell' acqua a varie profondita, in ra- gioiie di qoesie si diminuisce di volume e acquista gravira specifica maggiore, cosi pare che un corpo il quale sia sott' acqua e in essa si muova per qualclie direzione incontrar debba una maggiore resistenza a misura che si trova ad una maggiore profondita: pro- posizione assunta da un celebre matematico, e corri- &poiideiite a qnalche esperimento fatto in piccole mi- sure , ma che importerebbe molto di fare con uii grande appareechio, e simile a cjuello di cui si fece cenno al § 24, tenendo il solido che si fa correre sott' a. cqna a profondita notabllmente diverse: cio( che non si fece a compimento di quella altronde bellissima serie d' esperienze. 29. Considerando pero il sofTregamento dell' a- cqua col fondo, o con le sponde di un alveo, com- posto di parti amovibili, e che presenta all'acqna cor- reiitc, come altrt-ttanti piccoli ostacoli nelle scabrez- ze dclla sua snperficie; avvertendo ancora che la mag- gior pressione derivante dall' aliezza dell' acqua, fa si ch'pssa penetri piu addentro nella materia dell' al- veo, si puo facilmente iniendere, come col sue mo- vimento nelle piene distacchi delle parti, e le traspor- ti seco, e facciasi torbida. Qiiesta specie di sofTrega- mento, se cosi vuolsi chiamare, in fondi di parti amo- vibili, e atta a purgare gh alvei dalle posature re- ceiui. Ma se 1' acqna stessa artifizialmenie, e coti mezzi esteriori sia intorbidaia, sommoveudo il fondo, T. II. P. IL 37 294 S T R A. T I C O e facenilo sollevare dallo stesso la materia terrestre o sabbiosa, come fii talvoka proposto, per difftto di riflessione, coiroggetto di scavare gli alvei de' fiiirai, la torbida resta sospesa per breve tratto, e ricade, ne si ottiene 1' immaginato efletto. Si riferiscorio aii- ciie delle sperleiize fatte in caiiali artefatti di fondo piano e posto a varie inclinazioni, ne' qnali erano sparse varie niaterie, onde esplorare quale velocita di acqua si ricbiedesse per promoverle. In questi I'acqua con la velocita di due migiia e mezzo alTora, promosse e trasporto Targilla, la sabbia grossa, e la minuta gbiaja: con la velocita di mezzo miglio all' o- ra, trasporto la terra, ma non la piii grossa sabbia. ]Non si possono pero, a mio parere, applicare al cor- 60 de' fiumi si fatte esperienze, ne' quali 1' altezza e mole del!' acqua, e i moti obbliqui, tanto nel ver- so della lungliezza, quanto in quello della largbez- za, quanto verso il fondo, dipendenti dalle penden- ze laterali, fanno degli urti, per i quali si solleva della torbida, e I'acqua non corre, soltanto striscian- do sopra la materia del fondo e delle sponde. 3o. in qiiesto argomento degli efletti delle pen- denze laterali puo insorgere una difficolta, ed e, che la massa dell' acqua, la quale si move nel fiume per il verso della lungliezza, trova sempre luogo da oc- cupare, percb^ la precedente si allontana a misura die discende, laddove nel verso della larghezza, poi- clie ciascuna delle due parti dell' alveo destra e sini- stra e occupata dall' acqua non resta luogo al moto da un lato al mezzo della larghezza. La diflicoka pe- ro si toglie rifletteado, che trattasi bensi di moti dai PELLE SPONDE NEGLI ALVEI DE' FIUMI 2C)S lati verso il mezzo, o anche talvolta da im lato ver- so r opposta ripa, ma die questi componeiidosi col nioto per il verso della lunghezza, soiio di direzione obbliqua, e convergenti verso il filone che vanno a formare. Non discoiiviene a questo proposito il para- goiie di due fiumi confluenti in ini tronco comune, i quali arrivando con quantita di aequa diverse, e con direzioni convergenti, si uniscono ni un solo corpo, acquistano una velocita coinune, e si adattano ad una nuova, comune, e minore pendenza. La disuguaglian- za pero de' confluenti induce nel tronco recipiente una direzione di corso piii vicina ad una sponda che all'al- tra, secondo la ragione delle masse, c delle veloci- ta, e secondo la disposizione del fondo nel tronco, ft)rmando un solo filone coll' incontro delle loro mas- se da prima distinte. 3 1. E' relaiivo a questa considerazione il consl- glio di dirigere le confluenze de' fiumi, che voglionsi fare coll' arte, ad angolo acnto con la linea del cor- so nel tronco recipiente. JNon gia che s' ignorino glL esenipj somministrati dalla natura , di confluenze a qnalunque angolo, ixon solamente acuto e retto, ma anche ottuso; ma gli uoniini i quali non possono met- tere a calcolo tutti gli element i, che entrano nelle operazioni della natura, dt'bbono tener conto di quel- le che possono in qnalche modo apprezzare. Per al- tro dove si tratta della couflnenza di fiumi grandi , torhidi nelle piene, arginati, soggetti ad escrescfuze non sempre contemporanee, qut-l consiglio non si puo segnire, e il luogo e modo drila couflnenza e dispo- 8to dalla natura ben ampio, e tale si dee disporre 29^ S T R A T I C O dair arte, sicclie il corso dfU' acqiia possa fjirsi per varj angoli iielle diverse circostanze de' (iuini stessi. La resistenza, clie la mole e la velocita delT acqua del recipieiire, oppone alia mole e velocita delT iiilluen- te, secondo i varj stati di piena, e di magra di cia- schedimo: la posatuia della torbida, e raduiuimento di materia in quella parte, ove la velocita per il con- corso delle acqne si diminuisce, la qual parte non ha situazione costante: la disposizione e pendenza late- rale delle sponde del recipiente, per cui il maggior corso si fa piuttosto alia ripa dalla quale esce 1' in- fluente, di qnello die all' oppo^ta, o inversamente: la proporzione delle portaie de' fumii in piena con- temporanea, o in piena non contemporanea: i rigur- giti del recipiente nell' influente promossi a varie di- stanze, secondo la velocita varia di questo, e V al- tezza delle piene di quello: I'urto dell'acqua nel so- lido di angolo acuto compreso tra i due alvei nel luo- go dclla confluenza, qualora cost vogliasi dirigere la confluenza, violento alternaraente da una parte o dal- I'altra, secondo che e alternamente in piena o I'uno o I'altro fiume: la resistenza del suolo varia, disuguale, o uniforme ne' dintorni del hiogo della conlluenza; questi ed altri ancora sono gli elementi che si com- pongono nel determinare la direzione da darsi all' in- fluente, che non e mai quella prefinita dall'arte, a meno che non si tratti di piccoli canali, regolati, di acque chiare, oppure che 1' alveo non sia solcato in un suolo ben saldo, ma un'altra la quale si couosce soltanto dal fatto. Per la qual cosa il partito piu sa- ne, ove si tratti di fare una nuova inalveazione e con- DELLK SPOMDE NEGLI ALVEI DP.' FIU5II 297 fluenza di un fiume torbido, o torrente in un altro maggiore e peremie, e di dirigere la prima linea del flume da iminettersi ad angolo retto con la linea del corso del recipience, preparando a quello con spon- de o arginature bene disposte uno spazio abbastanza ampio, aflinclic tra ({nelle stabilisca da se cpiella dire- zione, die vuole il temperamenio delle niemorate cir- costanze. Qualunque angolo fuori del retto sara casu- almente stabilito; le declinazioni dal retto saranno determinate dal complesso delle cagioni operant! so- pra ri cord ate. 32. Non potendosi dnbitare, che dove si ha pen- denza di fondo la forza di gravita non modifichi il cor- so dell' arqua sopra di esso fluente, ed osservando in molto numero di sezioni del Po, che V inclinazione delle sponde trovasi di lo**, 14°, 1 5", 20° da una par- te, e di 2", 4°, 5° dalTaltra, e che queste eccedono di gran lunga le pendenze del fondo nel verso della lunghezza, non resta luogo a dubitare della modifi- cazione del corso dell' acqua dipendentemente dalle medesime. Tanto piii riconoscendosi col fatto, che r acqua discendente dalla sponda piu estesa sulla lar- ghezza dell'alveo carica la sponda opposta, vi si rin- serra e vi corrode il fondo e la base della ripa: e do- ve le sponde sono egualmente inclinate verso il mez- zo, restano salve entrambe dalle corrosioni. Dagli ef- fetti grandi e discernevoli debbonsi arguire i meno discernevoli, prodotti bensi dalle stesse cagioni, ma opera nti con minore energia: e I'impulso dannoso clie deteriora visibilmente una sponda per la troppo pro- tratta inclinazione dell' altra dee convincere che la 298 Stratigo pendenza laterale modifica il corso dell' acqua negli alvei de' fiumi. 33. Si puo ricercare, se dallo scavarsl il fondo vicino ad una ripa piii che all' opposta, derivi l" al- zaniento di questa, oppure iiiversainente dall' alza- mento di fondo da una parte dipenda la miggiore profondita che si trova, o si forma nell'altra. 11 prin- cipio delle pendenze laterali dipendenti dalla dispo- sizione topografica de' terreni puo in moke occasioni soddisfare alia ricerca. Ma perclie» non ostante q)ie- sta disposizione, osservansi delle corrosioni e delle hotte nello stesso Hume, tanto a destra, qnanto a si- nistra, e in punti non molto lontani, conviene rico- Doscere, che lo sviamento della corrente prodoito da nuovi ostacoli, i qnali si formino da una parte del- r alveo, e non siano distrutti dal corso dell' acqua, puo portarla a scoprire un fondo cedevole dall' altra e produrvi una maggiore profondita. Seconclo il pa- rere di Viviani, la formazione delle lunate dijjende da un prirno intoppo, in cui s' incontra la corrente, di quella grossa materia, che per qualche accidente di smottamento, o frana d' argini, o di ripe si de- ponga piu da una parte che dall' altra, creandone quel rialto, che gretto, piaggione, o renajo si doman- da, il quale poi con la naiurale sua Scarpa, carica la medesima corrente ad off'esa della opposta ripa. Giudica Egli ancora, che vi abbia gran parte la pen- denza del fondo, se sia molto grande, ciocche bea corrisponde alle nostre conghietture, giacche posta la medesima pendenza laterale, se si accresca la pen- denza. uel verso della luughezza, tanto e maggiore DELLE SPONDE NEGLT AI.VEI T)E FIUMI 299 r energia «on cui 1' acqua batte la sponda, e si pro- duce la corrosione e la lunata, la quale si va iiiter- nando, o si allunga sino a die V inqiulso dell' acqua si equilihra con la tenacita e lesistenza del suolo, op|)ure siiio a die con qualche presidio dell' arte sia arrestato questo efletto. 34. Vi sono in fatti delle svolte ne' fiumi, le qua- li si possono riguardare come srabilite, cioe tali die si inantengono senza alterazione o deirimento dell' al- veo, come per lo contrario ve ne sono di quelle die continnamente si aumentano, e inducono gravi minac. cie e danni. Alle prime non vi e motivo di fare al- cuna alterazione, e, probabilmente, e per lo meno superflna al sistema del fiume 1' operazione di rad- drizzarle col taglio de' terreni. Ma alle svolte pro- gressive, cioe a quelle che per continuata corrosione insenano sempre [)iu nelle terre il maggior corso, se non bastano i lavori, de' quali si dira tra poco, con- viene provvedere coll' apertura di un nuovo tratto d' alveo . Nel divisare una tale operazione, conviene ^esplorare diligentemente la direzione della linea del nuovo alveo da aprirsi nel verso della lunghezza, on- de non faccia angoli sensibili con le direzioni supe- riore ed inferiore; studiosamente investigare le pen- denze laterali de' fondi e sponde superiori ed infe- riori all' alveo da escavarsi; e l' indole del suolo per lb cui questo passar deve. Non basta la pianta comun- que esatta del corso del fiume: ma ricliiedonsi le sc- zioni, o profili di qualdie tratto d' alveo superiore ed inferiore a quello da escavarsi, onde scegliere i punti del principio e del fine del nuovo, ne'quaii la 300 S T U A T I C O inegiiaglianza delle pendenze delle sponde non sia mol- to graiide, seiiza di che puo avvenire facilmente, chc dopo fatto il miovo alveo, si produca una nuova svol- ta . Si troveia non di rado doversi principiare e ter- miiiare il rettililo in punti diversi da qnelli che la so- la ispezioiie dcUa pianta siiggerirebbe. E finalmente la cognizione della narura del suolo sara di tutta im- portanza, giacche convieue aver sempre presente, che r acqua di un fiume non segue la direzione derivata dalla sola gravira, comunqne modificata dalle penden- ze laterali, ma insieine qnella che le e prescritta dal- le varie resistenze del suolo che ella dee solcare. Non ripetero qui la nota dottrina, la quale pero richiede attente osservazioni, che alcune corrosioni e nascend svoke si possono lasciar progredire, se non minaccia- no situazioni gelose per altri rapporti , perche gia trovano da se il loro limice a misura, die la loro lunghezza, o ampiezza di giro si aumenta. 35. Ne' tratti dove 1' alveo del fiume e piii pro- fondo da un lato che dall' altro con dilTerenza con- siderabile, e percio il fondo discende da una ripa air altra con molta inclinazione, la sponda corrispon- dente alia maggiore profondita, non e solamente pre- muta, ma anche percossa con maggior forza, e sic- come si avverti dietro il sentimento di Cuglielmini dee farsi 1' argine piii elevato di quello che alia par- te opposta. Giovi a questo passo di ricordare la di- stinzioiie degli argini, che fa Barattieri, dipendeiue dalla osservazioiie delle pendenze laterali. Gii argini giusta il di lui parere, sono o soprastauti, o laterali, o soggiaceuti. Soprastauti sono quelli che seryono a DELLE SPONDE NEGLI ALVEI DI.' FIUMI 3o I liniitare le espansioni de' fmnii nelle piene. Tali so- no quelli, die si formaiio nelle campjigrie, clistanti dair ordinario corso del fiuine, e che lasciano uii anipio spazio alle acque da espandersi nelle piene. Laterali sono ({uelli posti lungo lo stesso alveo, asse- condanti il corso del liume, ne' quali 1' acqua noii esercita alcun impeto, nia li preme sokaiito, e vi pro- duce qualclie soHVegainento. Finalmente soggiacenti so- no quelli eretti dalla parte dove il fuiine ha maggior fondo, nientre dalla parte opposta e elevato, e 1' acqua discende con tnoto ol)l)liquo alia ripa di maggior fon- do. Quesre arginature sono esposte al niaggiore peri- colo, perche 1' acqua le investe obbliquaineute, tanto nella direzione del corso, quanto anclie con niovimen- to di caduta dalla superficie verso il fondo. Percioc- che e ben vero, che 1' acqua corrente, con la picco- la declivita di fondo, che hanno i fiumi in pianura nel verso della lunghezza, preme il fondo e le spon- de con forza poco ininore di c[uella con cui preme- rebbe se fosse stagnante, e quindi che gli argini di tutte e tre le suddette denominazioni restano sogget- ti alia pressione tnedesiina per quanto itnporta 1' al- tezza deir acqua che ad eisi si appoggia; ma sicco- me la sola pressione senza energia di moto, e senza direzione. di iirto, si equilibra con sicurezza median- te la mole di terra configurata in argifie, cosi non induce alcuu pericolo, se la massa delT argine sia be- ne calcolata rispetto alia misnra della pressione, cioc- che facilmente si sa dalla pratica; o facendo riparo alle tra[)elazioni e alle maggiori vie d' accpia che si aprissero. iVJa negli argini soggiacenti, la massa mag- T II. P. IL :3a 3o2 Stratico giore deir acqiia, che ad essi s' appoggia non e sol— tanto preinente; essa e combinata con una foiza d'im- pulso diretta alia loro base, e a tutia la loro super- ficie. 36. Ho detto, che la pressione delTacqua e pres- so che fguale ne' fiumi correnti, a qnella che si avreb- be se fosse stagnaiue. Perclie considerando l' acqua fluente come \\n grave che discende per un piano in- clinato, e certo che la forza accelerarrice per cui e soUecitata a discendere e alia totale della gravita, co- me il seno d' inclinazione al raggio. Ora questo se- no d' inclinazione e cosi piccolo a confronto del rag- gio, attesa la teniie pendenza che hanno i letti de' fiu- mi in pianura, la quale per lo piu non arriva a un grado, che la massima parte della forza di gravita s' impiega a premere. Al contrario la forza accelera- trice della discesa si puo aumentare in modo che la forza premente si annulli del tutto. L' acqua che in molto volume cade da un' alta soglia si dispone in una curva non sostenuta da veruna parte: alia qua- le percio se si applicasse un letto con fondo convesso della stessa curvatura, e con le sponde della stessa figura di quelle che ha 1' acqua cadente dalla soglia, e certo che la stessa continuerebbe a fluire, senza eser- citare in quel fondo e sponde veruna pressione; pre- scindendo ora dagli effetti del soffregamento, e dal- r aderenza delle parti dell' acqua con le superficie, al contatto delle qnali sarebbe. 37. E* un paradosso comprovato dall' esperienza, che la pressione esercitata dall' acqna stagnante nelle pareti di un vaso, si puo fare quante volte si vuole DELLE SPONDE NEGLl ALVEI De' FIUMI 3o3 maggiore del sno peso, bastando per cio aumentare la superficie delle pareti del vaso, senza \ariare I'al- tezza delTacqua, e senza mutariie la capacita in piii o in meno. In un vaso cuhico dell' altezza eguale air uniia, la pressione clie V acqua esercita nella ba- se e nelle j)areti e eguale al triple suo peso. Se cjue- sto vaso si trasformi in un vaso parallelepipedo lungo quaitrOj alto uno, largo uiv quarto, la sua capacita e eguale a quella del vaso cubico, la base e eguale a quella dello stesso vaso, e la pressione che esercita r aoqua e eguale a cinque volte e un quarto il peso deir acqua stessa. Questa proprieta del fluido non si perde, nelle sue varie circostanze di moto, se non quaudo la veiocita che gli si attribuisce lo riduce ad una massa figurata, come avviene in urja caduta o in un gerto, perche le sue parti non sono piii sciol- te, ma riteuute in una figura costante dalle forze clie loro vengono iinpresse. La pressione delP acqua in un fiume e equilibrata dalla resistenza degli argini, e (juindi r acqua di un aiigustissimo rivolo, poste eguali le alti zze con quelle dell' acqua in un largo fiunie, e posta in entrambi veiocita eguale, fa egual forza di pressione in entrambi. Ma s' ingannerebbe in (juesto confronto quello che non tenesse a calcolo i moti obbliqui, che I' acqua acquista negli alvei lar- ighi, per i quali esercita un' impuUione nelle sponde |e negli argini. Poche zolie di terra rivolie col solco [.di un aratro bastaiio a coutenere nell' alvf'O le acque I che niinac(iano di traciiuare, quaudo non esercitano altra forza (he di pressione; uoti cosi Sf le acque ianche superficial] prendono per cjualsivoglia cagione 3o4 S T H A T 1 G O un rorso obhliqiio contro fjuesti ripari del momento. 38. Non si flisoernono con la vista, per lo pivi, le (lirezioni parricolari delle parti e delle masse ini- Tiori deir acqna , allorche seguono insieme e si coiii- poiigoiio con la direzione della niassa totale. Nella superficie de' fiuini in istato ordinario o di raagra, nori si scorge il moto clie deriva dalle pendenze lateral!; essa apparisce uniiurme, piana, e si giudica anche oriz- zontale da una ripa aU'altra. Richiedoiisi o grandi masse di iliiido aggiunted'un tratto, o gradi di velo- cita iiisigiiemente accresciiita o dirainuita, -come avvie- ne per una rotta d' argini, per iscorgere anche nella superficie i moti obbliqui. Cosi se da un vaso ri pie- no si faccia uscire V acqua per uno o pin fori aper- ti nel fondo e nelle pareti, e certo die si producono nella massa contenuta nel vaso moti di direzioni di- verse, e non pertanto la superficie discende nel va- so, conservando apparentemente la sua posizione oriz- zontale, ma che non e tale, come si fa evidence se i fori si facciano maggiori, o se si osservi la superfi- cie abbassata a certo segno nel vaso, mentre allora si scorge piu bassa nel mezzo che ai lati. Queste dif- ferenze di livello, e questi moti nelle masse d' acqua che formano un continuo, ancorche non si discerna- no con la vista , pero si deducono con la ragione. 1 moti delle acque nella laguna e canali della Ghtk di Venezia presentano un fatto che fa a questo pro- posito. Un argine ben hingo fatto dalla natura e cor- roborato dalP arte, separa la grande vasca della La- guna dal mare, Nel restante del suo perimetro ^ con- tornata da terre. In questo argiue vi sono delle aper r DELLR SPONDE NEGLI ALVEI PL* FIUMI 3o5 ture, die diconsi i porti. Entra 1' acqua per ciascn- no di questi col (lusso del mare, e a inisiira della quantita die entra essa si esteiide sino a certi coiifi- ni, giunta ai quali s' incontra colT acqua die entra dai porii pin viciiii. Da questi confini, che chiarnan- si partiacqua, nel riflusso discende V acqua cd esce per i porti. Le direzioni di questi moii si rilevano bene dai coiidoitieri delle barche per le resistenze o facilita nel progredire, ad occhio noii si rilevano, e diinostrano, come nella stessa continua massa di llui- do si prodncano mori di diversa direzione. Ma anco- ra la corrente cosrante del mare adriatico per cni ra- dendo i lidi della Dalmazia e dell'Istria, si volge poi segnendo i lidi della Roniagna senza mancare nella cal- ma, e senza essere turbata dalla marea, ne dai ven- ti, dimosrra che vi sono dei moti particolari nelle a- cque, e diversi da quelli della massa generale. 39. Ci guida questo argomento a digredire per poco, sopra un fatto che puo essere sorgente d' er- rore, qnalora si presnma di giiidicare con la sola vi- 8ta dei moti ddle arcpie. Quando 1' alveo di un fiu- me e attraversato da una o pin pescaje po?te a cer- ta distanza tra di loro, e il letto sia di uniforme in- clinazione dall' una all' altra, ma dopo ciascuna pe- Bcaja sia pin basso quanto e T altezza della pescaja, r acqua magra, o ordinaria, che per esso scorre, ma- nifesta col salto, o raduta da ogni pescaja la dille- rente profondita del letto, raggnagliata ad una data orizzontale. Se le |)escaje sono ben alie, questo salto 61 vede nelle magre e nelle piene: ma se le pescaje eiano poco ahe a coufronto dell' altezza delle piene, 3o6 S T K A. T I G O come aU'incirca un decimo di queste, quel salro nel- le piene non si discerne pin, e pare die la superfi- cie del fiume sia parallela ad un letto di unifornie pendenza, perdeiidosi ogni indizio deH'ostacolb delle pescaje. Questa osservazioiie ha iiidotto alcuni a giu- dicare, che in questi casi le pescaje non solamenre non portiiio V abhassamento del fiume nel tratto ad esse inferiore ed effetiivamente piu basso, nia lo tea- gano a quell' altezza che avrehbe, se scorresse per una linea di fondo, la quale fosse condotta per i ci- gli di tutte quelle pescaje. Che questo sia un crro- pe, facihnente si dimosira. Perciocche, supposto che tutte le pescaje riducansi ad una sola eguale per al- tezza alia somma loro, e il letto sia abbassato come sarebbe dopo 1' ultTma pescaja, e certo che 1' acqua dopo la caduta si ridurrebbe all' altezza che le com- pete per il suo volume, e per le condizioni dell' al- veo, la quale sara tanto inferiore, rispetto ad una da- ta orizzontale all' altezza dell' acqua sopra la pescaja, quanto e 1' altezza della stessa pescaja. Ora non vi e alcuna ragione, perche un eftetto cosi essenzialmente di verso si debba avere dalla caduta che segue per pill pescaje tra loro distant! , o ridotte ad una sola eguale alia somma delle altezze di quelle. Si sa, che ogni pescaja, la quale attraversa un fiume si dee ri- guardare come il termine di quel fiiuue, e il princi- pio di un nuovo fiume, nel quale 1' ac(fua accpiista quella velocita e altezza, che sono relative alia sua mole, e alle circostanze del nuovo alveo. Quindi po- sta la stessa mole d' acqua, e le medesime circostan- ze di pendenza, larghezza, e conformazione deli' al- DELLE SPONDE JJEGU AI.YEl DE* FICMI 3o7 veo, non piio cader tliihbio die 1' altezza dell' acqua non si stabilisca nel tronco inferiore alia pescaia, co- me e siabiliia iiel superiore, e percio sara tanto piu bassa rolaiivamonie ad una data orizzoiiiale, qnatuo e pill basso I'alveo nel quale essa cade. £' uu equi- voco qufllo che si prende giudicando a vista V anda- niento del Hume in piena sopia le pescaje, nel qua- le e soppresso il salio dell' acqua . L' equivoeo e si maiiifesta coll' esperienza istituendo la livellaziooe, e si toglie con la ragione. L' acqua che cade dalla pe- scaja perde per un nionuMito il suo moto progressivo, e si alza a maggiore altezza di quella a cui si dispo- ne in progresso. Questo adunamento e altezza mag- giore deir acqua caduta e maggiore se il fiume sia in piena, e quiudi apparentemente ma non realmente si sopprime il salto che si vede, quando il fiume ha poca acqua . 40. Kitornando al nostro argomento delle pen- denze laterali, si puo avvertire che la pratica ha sa- puto profittare de' Aioti obhhqui che dalle stesse de- rivaiio. Le pescaje che si costruiscouo attraverso de' fiumi, obblique alia direzioiie del loro corso, e col ci- glio incliuato all'orizzonte verso una delle loro estre- niita, servono per aumenfare I' erogazione disposta e aperta da quella parte, dove il ciglio e piu basso; op- pure a rerjdere piii attiva qualchc niacchina piautata alia stessa parte. Le serre ricordate da Viviani nel canale d' Amo. con la cresta tanto depressa nel mez- zo, che per la lunghezza di 40 braccia non si si'lle- vasse punto sopra il piano o fondo naturale del let- to, ma fuori di questo tratto andassero soavemente 3o8 S T R A T 1 C O slzandosi dalle parti con poca si, ma egiiale salita sl- no alle sponde laterali , non solamente manifestano coll' esperienza I' elfetto delle laterali pendenze, ma introducono ancora a ragionare iiitorno ai ripari che si i'aiiiio, o far si possono ai fiumi per procurare una difesa piu permanente contro i damii che derivano dalla percossa delle acque correriti tielle sponde. 41. La cnstodia e governo de' fiumi per la mas- sima parte consiste nel prevenire le corrosioni, nel iVenarle, nel sanarle. Ne' fiumi arginati un modo di provvedere a questo danno e di scaricare e riburtare 1' argine, lo che sigiiilica ricagliare una parte della sua laro;hezza dal laco del fiiime, coininciando da una linea lontana alcuni piedi dal ciglio, e ad esso pa- rallela, o a un dipresso tale, sicche V argine acqui- sti una Scarpa inclinata, e la terra che si move ser- va ad iiigrossare l' argine verso la campagna. Con cio non si fa un rimedio radicale, ma si obbedisce aH'an- diirnento del finme, cedendogli a poco a poco il ter- reno, sino a che la corrosione col prolungarsi trovi un limite^ e cessi di per se, o qualche fortunata coni- binazione di materia raccolta di niiovo in qualche parte dell' alveo allontani il corso dalla linea corro- sa, o se cio non accade ed insiste il danno, vi si opponga coir arte un o«tacolo piu robnsto. Questo metodo giova assai volte, e si combina sempre con le vedute economiche. 42. Un altro modo e di cedere alia bella prima il terreno al fiume, e di costruire un argine all' in- dentro a certa distanza, rhe suole chiainarsi argine di ritiro, o corouella, sulla lusinga che la corrosio- I DELLE Sl'ONDE NEOH ALVEI DE' FIUMI 3of) ne trovi iin limite prima di giungere al piede dell'ar- gine. Questo ripiego g piu dispeiidioso e piii sicmo, nia noil piu radicale del prccederite: cgli e soltanto diretto ad ottonere una dilazione peti- dioso partite, e di esito incerio de' tagli e raddrizza- menti dt'U'alveo. Dico d'iiicerto esito, perclie, come ho di sopra avvertito, tiou basta cl»e il rcttifllo com- Lini bene in pianta con la direzione del tronco sii- periore e inferiore, ma im porta die le pendenze la- terali delle sponde delT alveo superiore ed iniVriore corrispondano, senza di clie la dispendiosa opera del- r inalveazione nel rettifdo escavato, non riesce con- forme alle speraie conseguenze, posto ancora clie I'in- dole del suolo non opponga ostacoli. Cosi a cagione d' esempio,'^e si trattasse di provvedere radical men- te alia corrosione e svolta di Po alle Saline, dove e insigne la profondita verso la ripa sinistra, e dove senza il dispendiosissimo riparo del molo di sasso ivi formato, avrebbe gia cpiel gran fmme portata la de- solazione alia Provincia aggiacente, f'acdmenie si con- clnuderebbe dalla pianta, clie con un taglio di meno clie un miglio di Itmgliezza, si potrebbe raddrizzare il corso e rogliere il pericolo di (juella corrosione, la quale e frenata soltanto con la lurza. Ma se esami- nando V alveo di Po, supenormente al principio del miovo tag'io rettilineo si irova?se, die la pendeuza laterale del suo alveo fosse dalla destra alia sinistra, e cosi anche al termine dell' idcato taglio, conver- rebbe allungare la linea delT inalveazione, o anclie abbreviarla , perdendo piuttosto ni (|ualcbe parLc la 1 . n. p. 11. 39 3io T n A T ICO direzione rcttilinea, di quello clie lasciargli Tintrinse- co difetto di piegare col corso alia sinistra. Oltreccio in quesd casi conviene avvertire quale sia V indole del suoloj mentre se questo e formato -da colmate del- lo stesso fiume sopra fondi di antiche valli, e mal fermi, la velocita accresciuta con i rettifili, puo snu- dare la base degli argini, die ne costituisce la loro maggiore sicurezza. 4.3. Un' altra classe di lavori per difendere gli argini e le ripe dalle corrosioni, comprende le ope- re die diconsi mniiienti, e consistono in rinforzi die si fanno alia base dell' argine nell' alveo con mate- riali immersi, resistenti piu o raeno all' azione del- r acqua corrente. Ogni paese, per cosi dire, ha so- praccio le particolari sue pratiche, relativamente ai fiumi die per esso scorrono, additate dall' esperienza, dair indole delle niaterie piu facili ad ammannirsi, e specialmente dalle mire al risparmio, rtstando sem- pre la lusinga, che possa il fiume da se abbandonare jl corso danuoso. I buzzoni, i fagotti, i fassoni, i gabbio" 111, i volparoiii, le volpare, i cantoni di sasso, il sasso sciolto, sono i materiali die si profondano alia base degli argini, e delle sponde corrose, per non cedere al fiume. JNessun materiale pero e piu atto del sasso per tali ripari, perclie ne si strugge, ne e trasporta- to dal corso dell' acqua, come succede degli altri, formati con la terra, e legname, andie se la terra che s' impiega sia cretosa e lenace, come d'ordinario si prescrive die sia. 11 sasso tutto al piu per debo- lezza del fondo puo abbassarsi, e discostarsi alquan- 10 dalla ripa, ma serve sempre di base a quello che yi si sovrappoue. PELLE SPONDE NEGLI ALVEI De' FIUMI 3i1 44- Un altro riparo muniente che si pratica coa ottimo eHetto, e di vestire le ripe e gli argini dalla parte del fiuine di piante vegftanti e pieghevoli, le qiiali rintuzzano ahjuanto la forza della correiue vi- ciiio alia siiperficie die si vuol difendere dalla corro- sione, e soflermaiio della torbida, che se e soverchia si scarica coll' opera degli uornini. JNon si pu6 abba- stanza commendare questa maniera di difesa, parti- colarmente dove qiieste piante felicemente vegetano, e con le loro radici rendono il terreao delT argine piu resistente alle corrosioni. Per altro non sono piu che nninienii, e mal si avviserebbe chi giudicasse che potessero resistere all' urto diretto della corren- te. 45. Ma ne' fiumi maggiori, e dove Y inclinazio- ne laterale dell' alveo per liuiglii tratti fa si che la corrente percuota le ripe, e niinacci piii gravi peri- coli, debbono aver luogo le difese dette propriamen- te respingenti, che si conoscono con i nomi di pi- gnoni, speroni, moli, pennelli, traverse. Sebliene que- sto argomento sia ampio, ne io rai avvisi qui di trat- tarne in tutta la sua estensione, tuttavolta non e fuo- ri deir argomento di questa ineinoria lo spiegare il rapporto clV esso ha coll' osservazione delle penden- ze laterali . Le piii pericolose corrosioni succedono sempre, dove la sponda si estende da una parte nel- r alveo, e dall' opposta parte e ripida, con fondo maggiore, e il corso pin forte. Quindi il provedimen- to piii diretto dee esser quello che puo diininnire la profondita, e allontatiare il corso determinandulo a farsi per una liuea piii lontana dalla sponda, e \€v- 3ia S T 11 A T I C o so il mezzo lUlla larghezza deiralveo. Ora il corso deir acqiia in mi fiiune si pao considerare nella di- rezione dimostrata dalla sua pianta, e nella direzio- ne pill occulta, e noti meno ellicace dipendente dalla ligura delle sue sezioui, dalla quale nou si dee giain- mai jiresciudere. Perciocclie se le tortuosita deli' al- veo dimostrate dalla pianta non sono coinbinate con la molto disuguale iuclinazione delle sponde, esse so- gliono essere inuocue e indifl'erenti, e ogni artifizio e lavoro per toglierle, e^ se non , dannoso, alineno vano e inutile al huon sistema del fiume. In fatti non po^souo non aver o?servato i pratici, die vi sono delle svolte e storte stabilite e peiinaiienri ne' fiuini, le quali ne si aumentano ne indiicono pericoii: come per lo couirario che vi sono dei diizzagni, ne' quali si hanno minaccie e danui di corrosioni, e che tut- to dipende dalla disposizione del fondo e delle spon- de. Per la qual cosa si dee compreiidere, che V ef- fetto degli ostacoli respingenti non dipende soltanto dalla direzione della corrente nel verso della luti- gliezza, ma principalmente da quello stesso compo- sto col moLo nel verso della larghezza, per cui sono percossi gli argiiii e le ripe secondo l' angolo d'iuci- denza, e iusieme cou direzione obbliqna all' orizzoii- te verso la loro hase. Giovi raflermare questa propo- sizioiie osservando, che si costruiscono lalvolta de' nioli, o pennelli per auimare il corso di un fiuuie, per uno de' due rami, ne' quali si divide e va a cir- condare un' isola, e che ne e abbandouato: oppure per determinare la corrente in un alveo di rettilica- zioae escavato di nuovo, onde resii abbandouato quel- J)ELI.E SPONDE NEGLI ALVEI DE' FIUMI 3i3 lo per cui da prima scorieva, e the si vuol soppri- mere. 11 desiderato efletto in amendiie questi casi si ottiene piu o ineno, noii gia in ragione dflla dire- zione piii o ineno coiiservata della liiiea di lunghez- za, ma esseiizialinente, secondo che il maggior foiido del tronco c dalla ])atte dell' alveo che si vuol ani- mare, oppure dalT opposta: ferma restando sempre la massima di hen osservare V indole del suolo, dal- la quale dipende ciie la direzione del corso sehbene dipenda dalla foiza sollecitante della gravita, si mo- difica pero dalle varie resistenze del suolo. La sab- bia, la ghiaja, la terra sciolta sono superate e rimos- se dal corso delle acque, e per c[neste materie essa si la strada: I'argilla, la creta,il terreno tenace del foiido dflle valli non si snpera dal solo corso, e ha- sta Cjuesta sola dilferenza di suolo a rendere vane le operazioni di qualche rettifilo. 46. Se nel caso di grande disparita di pendenza delle due sponde, fosse possibile di riempiere lo spa- zio del maggior fondo in niodo, clie da questa stes- sa parte si vcnisse a formare mia sponda inolto ine- no ripida, anzi inclinata a modo sicche andasse ad incontrare il letto del fiume in un pnnto della lar- ghezza notahilnienre distance dalla ripa, e verso il mezzo: e che questo riempimento fosse di tale mate- ria, sicche la corrente non valesse a distruggerlo o a sovvertirlo; e cerio (he si otterrebbe un alveo abba- stan/a regolare, e che le sue lipe e le sue arginatu- re riuscircbbero difese, e anche iminuni dalle botte, e dalle pericolose corrosioni. Questo riempimento a- vrebbe la figura di un solido prismaiico triangolare, 3i4 Stratico un angolo tlcl quale occupcrel)l)e il maggior fondo, una facciata dello stesso sarehbe applicata al letto del inline dalla sponda verso il mezzo, im'altra fac- cia sarebbe applicata alia sponda, e la terza faccia fornierebbe il nuovo fondo del fiume, sul quale scor- rcrebbe Tacqua con la tendenza verso il mezzo del- la lars>;liezza. INIa in fiume 2;rande, e di molto fon- do, un tale riempimento continuato per la lunghez- za di una lunga svolta e corrosione, e opera da im- maginarsi piuttosto clie da proporsi per eseguirla, non essendo le forze de' paesi bastanti a lavori di si grande importanza. Quindi e derivato lo studio per iscoprire, o tentare almeno, se dividendo la massa totale del solido di riempimento in varie paiti, distan- ti tra di loro a certi intervalli^ si possa ottenere dal- la posizione successiva delle stesse;, die la corrente si porti pill lontana dalla sponda, e quindi si pro- curi una piu efficace difesa dalle corrosioni. General- mente parlando, e questo il fine per cui si costruis- cono i moli, i pennelli, i pignoni, 1' efTetto de' qua- li dee risultare tanto dalla deviazione del corso nel solo verso della lunghezza dell' alveo, quanto dalla deviazione nel verso della larghezza, trasportaudolo dalla vicinanza della sponda verso il mezzo dell' al- veo. Conviene percio considerare la figura, e le di- mensioni di tali parti del riempimento, T intervallo dair una all'altra, 1' angolo al quale debbono dispor- si con la sponda, e il materiale per costruirle. Non e gia che il fiume talvolta non abbandoni di per se cjualche dannosa tendenza, particolarmente dove I'al- vpo e moltp largo, dove nelle piene si forniano d© BELLE SPONDE NEGLI ALVEI VL FIUMI 3l5 filoni secondarj, e si trasporta per avventura della materia in situazioni utili, senza clie vi contribuisca- 110 piinto le operazioni fatte dagli uomini; ma sopra qaeste casualita fortunate, non si dee prudentemente operaiido, fondare veruna lusiiiga. 47. La figura di tali parti del riernpimento poc'an- zi coiisiderato e quella di un solido cuiieif'orme , il cui asse di lunghezza e ad angoli retti con la direzione della riva, o della sponda. Le sue facciate laterali so- no a Scarpa, con base quanto si puo, maggiore dell'al- tezza. Quella facciata laterale cbe e opposta alia cor- rente comprende con la sua linea di direzione un an- golo retto con la direzione della sponda: I'akra facciata laterale comprende con la sponda un angolo ottuso. L'altezza del solido alia riva e di una misura media tra I'altezza delTiicqua ordinaria del fiume, e Taltezza del- le sue piene. Questa altezza va decrescendo, per I'in- clinazione della facciata superiore dalla sponda verso il mezzo dell'alveo. La figura del solido si va stringen- do dalla sponda verso il mezzo, attesa la direzione che si indico delle due facciate laterali. Essendo ogni fiume piu lungo tempo in istato di acqua ordinaria o di magra, cbe in istato di piena, V elfetto di tale ostacolo sara contiinio, per deternnnare il corso verso un punto piu distante dalla ripa . Con tale disposi- zione di ripari si moderano, se non si scbivano del tutto due gravi inconvenienti, che s'incontrano nella costruzione de' })ennelli tenuti ad eguale altezza in tutta la loro lunghezza, e con le facciate verticali. Uno di questi inconvenienti e quello de' moti vorti- [cosi che prende 1' acqua, superata che abbia I'estre- 3l6 S T R A T I C 0 mita de' pennelli, nello spazio che e ad essi imme- diatainente inferiore : T altro e qiiello della caduta deir acijua dall' altezza del peiuiello, quaiido la ple- na lo supera. 11 primo di questi inconveiiienti e dl- uiinuito , perclie 1' acqua non si volge con tutta la sua massa sostenuta dal pennello soltanto all'estremi- ta del rnedesimo, ma da ogiii panto della sua lun- ghezza e quindi da aitezze diverse, e a diverse di- stanze dalla ripa, ne puo unire le sue forze a fbr- niare il vortice, come succede, qnando superato un ostacolo verticale discende da tutta la sua altezza, e si volge verso lo spazio inferiore al pignone . U se- condo inconveniente e in gran parte diuiinnito dalla Scarpa laterale del pignone opposta al corso, la qua- le nou solamente scema 1' elTeito nocivo della cadu- ta, ma per la sua posizione relativanieute alia I'ipa, volge il corso non verso la stessa ripa , ma verso il mezzo deir alveo, combinandosi con quella direzione che r acqua puo prenderc disceudendo dalla l\iccia iuclinata superiore del pignone. 48. la lunghezza da darsi al solido cunei forme, e la distauza dall' uno all' altro nella linea della ri- pa, hauno tra di loro nno stretto ri[)porto. Siccome lino solo di questi ostacoli non [)u6 provvedere ad un tratto assai linigo, cosi h necessario combinare I'azio- ne successiva di parecchi simili ostacoli , osservando qual tlletto prodnca la lunghezza a tiascuno di es- si attribuita ])er accrescerla poi secoudo che risiilta dair osservazione. Per gV iutervalli tra questi ostacoli, conviene dipendere tlall' o^^servazione dell' andamento della corrosione. Perciocche o questa segue a un di- DELLE SPONDE NEGLl AI.VEI DI,' FlUMI SlJ presso la linea della ripa, producendo bonsl un frol- do, ma senza notabile insciiatura, oppure al contra- rio s' interna nella rii)a, e vi produce qualche Inna- ta. Nel prinio caso i pignoni potranno essere a distan- ze maggiori: nel secondo dovranno essere piii vicini. E la misiira poi di tali distanze si dee desurnere dal- le particolari circostanze particolarniente delle pro- fondita, le cpiali si dovranno superare dalla lunghez- za de' plgnoni. 49. 11 primo pigtione e da costrulrsi al principio della corrosione; e qnesto si deterniina con lo scan- daglio, il quale addita il fondo maggiore. La larghez- za e la massa di questi pignoni dee essere tale, on- de resistere aH'urto dell' acqua, sicche ne la rovesci, ne la disciolga . I pignoni di sasso sono da prefcrirsi, dove la difesa sia di grande momento, o dove il sasso non porti ad un grave dispendio. ]\la questa secon- da coi.dizione e cosi rara, die la composizione de' pignoiii si suol fare di buzzoni, o fascinoni, disposti a strati ed assicurati con pali fitti nel fondo per gl' in- feriori, e in questi per i soprapposti, ripieni di creta, e qualche qnantita di sasso, legati fortemente all'in- torno: e coperti di sasso, particolarniente alia loro estremita, dove per la figura cnneiforme riescono piii estenuati . Ma il quanto di tuite queste niisure e sempre oggetto dclle particolari circostanze, dalle qua- li risulta la piii giusta estimativa. II mio divisanien- to e di mostrare, come a combinare i moti dipenden- ti dair inclinazione laterale delle sponde, col moto delle acqiie di un liume nel verso della sua lunghez- za, la figura descritta e la costruzione de' pignoni T. il. p. II. 40 3ia s T U A T I C O indicata sia per riiiscire utile ed cfTicace ad arresta- re il pro2;resso delle corrosloni . 5o. Dopo cio non e da tacersi il sentiinento di Barartitri , il 5-<'.7'^.*-o.9.8. j 8.5,J4.^,3».u y.4.30-*.3»-o.3»-" ».^-'%%%^-%%;^^^^,^^^^, Pag. 320. Taij. 1. f " "iiiento del Basso Po, lungu secondo la ii[>a desira pertiche 3o2: secoiido la ripa sinistra pertiche 282. Le pertiche sonoVeneie di sei piedi I'una; i piedi di once dodici. % M 0 dine discen-\ tie a fior d' acaua or- f 0. ihttte d'maria ^faggior fondo delh sezione ''■"•'■--■' -I'l "■nes.or D,,,„,„ j^.^< del maggior l)iilan2a delta sezio- ne sii>sfgiiente dalla prccedente presa lun- go la rij>a deiira Distaiza della sez'to- Atigolo d' inclinazione Angola d' incliiii'zione ne siissegucnte dalla preccdtntf presa tan- go la npu iiriisira all' orizzonte della sponda destra all' orizzonte della sponda sinistra 2.19 4.4 Peniclie ii^ Pertiche i ^.o t-t 26" . 34' rjo it maggior Jon- Profondita progressive dalla ripa sinistra verso il maggior fon~j I rofonaitti pro^re i iia ripa dcsi.-, vn.ju >i, .,„,^^iir, ^i.rj,-* ...^u.nnn. ^.i.^.tjjiuo uuim tijii* immra verso ii rnageior ton~^ dii SLU'tdagtiiite a dutunze egualt netta tmea delta sezione . do , scandagliate a dislanze eguali nella Itnea della sezione .% Ciascuna profondita e espresso con due ci/re numeriche ; tit Ciascuna profondtt^ « espressa con due cifre numeriche ■ la9 prima sisnijica piedi ne' tronclii A , B , e braccia net tron CO Gi ed i: disgiunta con un punto dalla secoiida eke signi pea once . GU seandagli iono distinti una dull' altro con una virgola Ciascuna profondttd. e espressa con doe prima signijica piedi ne' tronc/ti A. , B, e Iraccia net tron-J^ CO C , ed e disgiunta con un punto dalla cijra seconda che^ lignifica once. Gli scandagU sono distinti una da W altro ^ con una virgola , 5 i.io,5,8/i.3,C,9,5.4.S.*,9.7,icj.9,ii.o,ii.B,i3,o,ij.(,,i3.9,i4,4,i6.i, i7.3,ia.iiao.n,»i.Oj»*«ti|>3.a i.io,».o,».a,>.4.'J'='*S-J'fi->.Ii.o,j.t,j.0.4.o,4.li,5.3,S.8i7->,'-o.9.* I4.0,i6.a.i8.0,as.-i.i9.4,jo.6,ja.o,3a.ii . I), 19,0,8.5,6, 11,1 1. 8, a 1. 4, a a. 10, a j.i l\ 33 P'. 3i P«. Sii . 32' 14". 3' 37.7.39.000-0.50.1 I.J.(l,l,9,J.l,J.ll,^.5,5.^,,(i,8,l5.l,l•^.(.,Ji,Cl,J^.o, 1^.3,17.(1,39.11 2". 33' .7°. .5' 3V 21' 2". So' 37.0,37,10,33.1 i,&,i,S,J,J,S-8,iy-*i,'*,7.34,5,"S.J,37,j, .,1.0,3.9,6.0,10.8,14.4,17.10,15. 0,30, 0,30, 0,30, 9, 30, ''■,33. 6 4.6. 7. 10, 10. 0,1 1.0, 13.0,1 3. .3, 1 J. 10, M 3, 14. 7, IS. 9. 16. 4, 17. 4, '9-6, 30.0 i ' ^' ""^ * Uipartimento del Basso Po, lungo secoiiilo la ripa destra pt-riii lie 4.36: secoiidu la ripa sinistra p,i.i,i.4,i.ii.a.o.*.6,j.3,j.9,s.7.n.9.i5-'Jti9-6.:»i.8.a3.1.aj.6, a5-^i»5.'i>a7-3iay-V.3'-7 ■ . 24' ,,S''.7' g" . 26' 0.io,i.c.ia.S.ai.i.iS,0,aH.j,i4.5,a5.4,a0.o,i6.6,a6.i* 6.ic,8,5,io.i,.ii..i,i3.7,i6,o,i6,7,iS.4,iH.io,iy.9,ao.7,ao.4,ai,: i.+,3.o,4.o,5.i,5.7,6.+,6.4,6.7,9.o,9,7,ii.i,U.4)'a.'Oi'i'4."3'''.'3-7: 13.7,13-11,1.1-5."* 7 -U.T. '4-7. is. 3-'3.».' 5-7 i.o,a6.4,a5,ti,a6.a if-.i) i 1 ■I ^fC) Troiico di Po a Pole 0 e Crote nel Dipa t". del Mincio, hingo secoudo la ripa (!<■ -tra pertiche 5 i-: secondo la ripa sinistra pertiche 407. Le pertiche sono ^Alantovane d braccia 6 I'una; il braccio e di once 12. ; ; I 0- — . Braccia 578 B'. 35 . 0 B» 446 W. l32 ^" . 28' 14° . 5o' B». a.a.■o.:l.■..3.8.a,0.a,(,.a,4.a.<^.a.(,,a,C..3,d.a,6.J.0.i..Q.,.4■4.4.a. 3. iiS-fiiS. 10,6.4,6. 8,7, 6,7 .8,8. 6,8. a, |>.6, 10.4,13. 10, 13.0. 16. o,i«.t.,a2.o 37.0, j», 0.35.0 i,6,l,6,a.[i,a.8,3,6,s.6,6.g.U,0,8.6,y.6,ic.(j,ia.o,i7,u 3>.o,3J.o>35-o * B». 407 B». 27 . 0 B^ 359 B". i38 Pertiche -(> Pert idle 54 11". 4' 4 . 1 0 a.a,3.ii .a. S,a.4,3.8,3.3,3.6,3.6.^.4,4,5,S,B,6.6,8.o,Jo.6, .3.6,14,0,14. 5.0,a.o,ic.o,ia.t„i7.c,ao.6,33.(.,3S.f .35.(..a5.&.a7.o ^ 0, 17, c, 19.0, 15. 6, 30.0,33. 0,a>. 6,35.0,36.0,37 .0,a7.o 1 t \ - B». 478 B-. 17.0 B". 345 B». i33 P^ 76 P». 62 7°. -7' 2'^ 49' I. a, I, c, a. 8, 3. a, s. 7, 7. 0,7. 6,8,9 ,9.0, 1 a.o, 13.0, 13.0,1). 6, 14.0,1, 1.6, i5.t., 1 3.0, 15. 6, 15.0, 17, 0,17,0, 17.0,17, 0,16. 6, 16. 6, 16. 6, 16. 1,17.6,17.6 3. i..3.«, 17.0. 16.0. it..o,i6.t„it-.6. 17.0, 17.0, >7-<. , I IV C". 5.3o B". 24 . 0 B>. 418 B=. 112 P". 78 W 62 13" , 38' 3". 6' 3.6,6,o,0.j,7.o,7.3i7.s.8.io,g.3.9.y.io.o,io.4,io,C,ii.o,ii.H,ia.o,ii. O.ii,0,ia,o,ia.o,i3.o,i3,o,i3,o,ii.'»,i3.6,i3. . 20' 5.6,8.9,8.6,8.6 7.0,9.'. 10. 6,1 1.0,13.6,13.0,13.0,13.0, 14.0.15.0,16.6 17,0, 18, c,ig. 6, ig.6,ai.6,as. 6. 35.6,35.6,36.0 4.3-'3-6.»4 o.3S.«,»S.6,>C-0 321 SUPPLE MENTO Mle osservazloni sopra la teoria del la 'esiscenza de' Fluidi del sig. Ciorgio Juan. Di Giuseppe Avanzini ricevuto il (U i5 d'Agosto, 1810 I 83. XL/lla e opinlone di non poclii ragguardevo- li Fisici e Matematici che la Teoiia della resisten- za, e percussione de' fluidi immaginata dal Slg. Gior- gio Juan sia meritevole di molta cotisideiazioae tan- to per le sperienze alle quali venne da esso appog- giaca, quanto pei nuovi elementi che v'introdusse. Non si reputera qnindi inutile che alle precedenti (a) io aggiunga poche altre osservazloni valevoli, s'io non m'inganno, a liberare da qualsivoglia dubbio e diili- coltk quanto io scrissi contro le une e gli altri. Delle sperienze 84. Le sperienze consistono, come si disse al- trove, in quelle dei Piani esposti all' nrto d' acque (a) Istituto Nazionale. Tom. II ; parte I e II. 322 A V A N Z I N I correnti, della Riiota di Smeaton, dei Cervi volan- ti^ e delle JNavi mosse dal vento. Sperienze del Pianl e della Buota 85. Sia iin piano rettangolare imrnerso vertical- mente, ma solo in parte, e nel senso dei due lati loiigitiulinali, in una correiue d' acqua orizzontale, e di egiiale e costaute velocita dalla superficie verso il fondo, a la porzione sommersa dei lati medesimi, ossia la distanza del lato inferiore trasversale dal li- vello deir acqua, b il lato trasversale, m la gravita specifica dell' acqua . Le sperienze dei piani e della ruota vuolsi che provino: die 1' urto esercitato dalla corrente contro il piano debba esprimersi, come vuo- le Juan, con la formola -- mbau\/ a (a), e non gia con la 111 b a u* comunemente adottata , per la ragio- ne che gli urti sostenuti cosi dai piani come dalle pale della ruota sono quanto basta conformi agli urti che ncgli stessi casi ne porgerebbe la formula J m b a u \/ a e troppo discordi da quelli della for- mula m b a 11^. In fatti da tali sperienze si raccoglie 1.° che im piano rettangolare di lunghezza qua- drupla della larghezza , esposto perpendicolarmente air azione d' una corrente d' acqua prima col lato (aj E\aineii Maritime . Toai. I. § C-H SECUn 0 DELl'eSAME nEI,L\ TEOIIIA DI JUAN 323 maggiore verticale, pol col minore sostenne degli ur- ti in ragione di 2: i (a), come appunto si ottieue dalla formula ~ m b a a \/ a ^ quando per la formula m h a u la delta ragione sarebbe =^ i : i , cioe del doppio maggiore della vera. 2." che un piano della forma di nn parallelogrammo rettangolo, laigo un piede, e immerso dun piede giu- sto in una corrente die percorreva due piedi al secon- do, incontro un urto equivalence a 25 ^ /( fbj', il qua- le per la formula - m b a u \/ a esser dovrebbe di 6 zOif; e per la mbau^ d'l 3 5? e 14 once solamente. 3.° che il medesimo piano immerso due piedi in altra corrente die percorreva * di piede al secondo soflerse un urto di 26 i ^ (cj; e questo pure per la formula j m b a 11 \/~7t dovrebbe essere di 39 4 , e per la m b a u d'l 3 1 ^. 4.*' finalmente che la velocita permanente della ruota si trovo poco minore, e qualche volta anclie eguale della velocita della corrente (dj, e tale alTin- circa e appunto quclla che si rinviene calcolando Tur- to deir acqua nelle pale colla formula - m 6a m v/ti» (n) Ibidem. Prefazione ; pa'j;. lii. (b) Ibidem . § 6+4; pag. 266. (c) Ibidem . § 644; pag. 266. (d) Appeadic* seconda ; pag. 395- 324 A V A N Z I N I quando per la m b a ii la detta velocita esser do- vrebbe all' incirca un terzo della velocita della cor- rerite. 86. Osservazione I.' L'esperienze dei Pianl e del- la Ruota se pure concordassero con la formula J m b a u \/ a quanto discordano con la formula mbau^, non potrebbero decidere ne in favore di quel- la ne contro questa. II Juan in ciascuna delle correnti clie serviro- no alle sopraccennate sperienze, suppose, come do- vea (§ 83) la velocita egnale in tiitti gli strati, di- niodoche per la velocita, die egli cbiamo della Cor^ rente, non devesi intendere se non la velocita dei lo- re strati superficiali. Pongasi ora che, in luogo di essere in tutti egua- le, crescesse dalla superficie verso il fondo cosi, che I.'' la velocita media degli strati urtanti il piano aven- te il lato maggior verticale fosse alia velocita media degli strati urtanti il piano avente il lato minor ver- ticale : : v/ 2 : \/ 1 . 2.*^ che la velocita media degli strati che colpivano il piano immerso un piede, fos- se di 5 piedi al secondo. 3." di 3 f piedi al secon- do la velocita media degli strati che percuotevano il piano immerso due piedi . 4." finalniente H della velocita superficiale la velocita media dell' acqua ur- tante le pale della Ruota. Calcolati gli urti relativa- mente a ciascuna delle quattro sperienze, assumendo per le velocita delle correnti, non gia , come fece Juan, la velocita superficiale, ma le medie sopra in- SECUITO DELl'ESAME DELLA TEORIA DI JUAN 325 dicate, si trovera che la formula ^r m b a u \/~a noa 0 somminlstra piu valori conformi ai veri, ma li por- ge in vece, e precisamente eguali ai veri la formu- la w? 6 a «*. Da uessuno poi si vorra dubitare che le velocity delle suddette correnti non potessero crescere, e nel- le supposte ragioni. Imperciocche per assicurarci che doveano essere eguali, sebbene di tale eguaglianza il Juan non ci abbia recata prova alcuna, ne fotto al- cun cenno delle qualita e circostanze locali di quel- le correnti, bisognerebbe che fosse dimoscrato che ta- li esser dovessero in ogni corrente, e in qualunque tratto di essa, e in qual si sia circostanza. Ora egli e ben vero che in alcune non variano, almeno sensi- bilmente, le velocita degli strati; ma egli e poi egual- mente certo che in altre, e di non picciol numero, le velocita crescoiio (|u;ili in una ragione, quali in um' altra, dal pelo delle correnti fino al fondo, o al- meno fino ad una certa distanza dal fondo. (a) (a) Vejrgaiisi le Sperienze fatte col Pendolo in 17 pcrpendicolari sul Vo dal Zpiiilriiii . Lepiii e fVnonieni delle acque correnti . Dal Lec( lii col quadraiite in 9 perpcndicoiari sul finme CLiese . Suo Trattato d' Idrostati<.a. Dai Sig. Lorgna co] pendolo a rjiiadiante in dicci perpendicolari nei Canali rlel Veronese . Sna Disserta^ione sulla distribuzione delle velocita iielle Sezioni dei I'iuini, IT71. Dal Sig. Miclielotii col quadrante e col Tubo di Pitot. SdJ Sperien- ze Idraidirhe . Dai Saladini coi corpiccinoli naranti. Sua leltera Idrostatica al Citta« dino Giu*ti . Bologna; s. lonima^o d'Acpiino. Anno 9.* £ f'liialmpiue I' esnerienze deila fisica Idiometrica. T. J J. F. 11. 41 326 A V A N Z 1 N I 87. OsstTviizioiie 2.' L'esperienze dei piani e del- la mora insiituite in niodo da potere defiiiitivamen- te decidere deir una o dellaltra forniola, decidereb- l)ero per la ni b a u\ e coniro la ni b a u \/ a. Dal § precederue risulta che ad oitenere che 1' esperien- ze dei cervi e dt-lla ruofa avessero a decidere vera- ineiite la cjuestioue, bisognerebbe che fossero fatte iti correnti di costante velocita dalla loro superficie a4 fondo. Ora vedremo che instituite in tal modo deci- derebbero in favore della formola m b a u. 11 Mariotte (a) espose perpendicolarmente alia corrente della Senna una tavola di uti mezzo piede quadrate, e con una corrente che avea la velociui di tre piedi e mezzo per secondo. La tavola sosteiinu un urto equivalente a 3 J * il quale non diBerisce dal- la formula m b a u^ se non di 6 d oncie in meno, e secondo la formula 7 nib a u y/ a V urto avrebbe do- o vuto essere di 8 ^ in circa. In una seconda sperienza egli assicura, che la tavola sostenne un peso di 9 oncie, la velocita del- la Corrente essendo di i ^ piede per secondo. II qua- le per la formola m b a u avrebbe dovuto essere di 8 oncie, ( di un' oncia solamente minore del ve- ro ) e pec quella di Juan di 104 oncie. In queste sperienze essendo picciolo il piano e percio piccolo lo sprofondamento, e il lato superio- re presso che a fior d'acqua, nessuno potra dubitare (a) Discours troisiemc. Tiait6 du tnouvement des eaux . SEGUITO DELL ES\ME DELLA TEORIA DI JUAN ^27 che la velocita di tutti gli strati acqiiei urtanti il pia- no non si potessero supporre eguali alia velocita del- lo strato superiore, e pernio necessariameiue eguali tra loro. Ma vogliasi pur procedere con tutto il rigore ri- chiesto dairimportanza della qtiestione, e quindi non si adottino, per cio che risguarda 1' eguaglianza del- le velocita, come abbastanza sicure le sperienze det Mariotte. Won si porra certamente in dubbio che non sie- no esatte per ogni rapporto quelle del Cav. Borda (a), e le numerosissime e istituite piu in grande dei tre grandi Geometri Dalembert, Condorcet, e Bossut {b); e che da queste non risulti che le resistenze di- rette incontrate da piani e da parallelepipedi rettan- goli e immersi in parte nelTacqua tranquilla corris- pondano benissimo alia formula m b a u . Se dun- que, come ne coiivengono tutti gl'Idraulici e con es- si lo stesso Juan (c), e la stessa cosa che una corren- te d' acqua orizzontale e di costante velocita dalla superficie al fondo urti un piano immobile, o che il piano si muova orizzontalmente e con la velocita del- la corrente per 1' acqua tranquilla, chi non dovra per- suadersi che anche le sperienze dei piani e della rnota come quelle dei Geometri francesi non doves- sero conformarsi colla teoria del XNlewton qualora fos- sero istituite come vorrebbero essere, o come lo sup- (a) Wtiuoiies de T Academic Royale ties Sciences; anuces i7C3, 1767 (h) Nouvelles exp^rieaccs 6ur la r^sisiauce dea fluides, 1777; e Hydiodynarnique de Bos'Siit . (c) Examen inariciioe . Tom. I. § ji>o 3a3 A V A jf K I N 1 pone il Juan in correnti animate ad ogni altezza da eguali vclocita? Sperienze dei Cervi 88. Nel caso che il piano ( § 85 ) sia tiitto im- merso, e clie il lato longitudinale possa considerarsi picciolissinio in confroiito drila distanza del trasver- sale superiore dal pelo della corrciite, chiamata A qnesta distanza, a il lato longitudinale, secondo Juau r urto diretto che sosterra il pjano sara espresso da -mbau\/A, e non da m b a u^ ^ e 1' obbliquo dal prodotto del diretto -mhaus/A nel semplice se- no deir angolo

    ires de I'Acad^mie Boyale de» Sciences: aiiDce 1763 33a AvANziNi che si muova per un fluido incompressibile tutto, e ad una qualunque profondita iminerso, e supposta d b la larghezza, dt I'altezza del piano, t la distan- za della superficie del fluido dal lato orizzontal su- periore del piano medesimo , u la velocita ; secon- do Juan la resistenza diretta dovrebbe esprimersi con ^ m d b . d e . u \/ e, e non gia con m b a ii (a) , e la obbliqua dal prodotto della diretta -mdb.diu.\/e nel semplice seno dell' angolo (p d' incidenza, e non dal prodotto della diretta m b a u^ nel quadrato del medesimo seno . L' esperienze delle navi vuolsi che comprovino ambedue le forniole del Juan, e mostrino 1' insussi- stenza delle ordinarie, perche i fenomeni che ci offro- no le navi niosse dal vento corrispondono alia formula ■^ rii d b . d f u y/ 1 sin tp , e discordano da m b au*^ sin,^

    ;nardo al i". non porro gia in dubbio che non si debba computare. Faro soltanto riflettere non po- tersi asserire, come si fa ) Oiservazioni e sperienze sopia la Teoria della resistenza de' fluidi.; del sig. Juaii •• § ^iV. SEGUITO DELL'eSAME DELLA TEOUIA. T>I JUAN 3^9 fiinzione alcnna dello sprofDiiclameiito; il secondo sa- ra una fmizione delTarea^ o dimensioni dell' area, e deir altezza a cui il lliiido s' innalza. Iinperciocchc in questo caso solo sarebbe soddisfatta la comlizione, clie fatta zero la sudderta akezza , cio che riniane noii contenga funzione alcuna dell' altezza niedesinia; si potra quindi conchiudere foiidatamente, clxe ne pure il secondo elemento potra computarsi, o si dovra coin- putare in un modo diverso da quello die vuole il Juan. Con un discorso simile si dimosrra la stessa co- sa anche per cio che spetta agli elementi calcolati dal Juan nelle formule che risguardano gli altri casi. Conclusione. 97. Da questi brevi cenni parmi che si possa con molto fondaniento raccogliere, che anche i nuovi ele- menti rnessi a calcolo dal Juan, ben lontani dal po- tersi ammettere, come si avvisa, per giustamente ed utilmente calcolati, debbansi per lo contrario consi- derare per una delle cause principal! che rendono falsa e pericolosa la sua teoria , se pure a rigore puo dirsi sua. (a) (a) Considerando attentamente tiitta intfira la Teoria del Jiian si cora- prendera ad evidenza non essere die uno svihippo ed appiicazione di una formola , che 26 anni prima pul>blic6 1' Eulero come bisognosa dei- ]' appoejjio dcir esperienza : veCL'ansi i nouveaux principes rV Artillerit de M Benjamin Robiiis commences par M. Leonard Eider , e£ traduits *ie I' uUemund par M. Lombard, k Dijoii. 17^3. pag. 3^0. . 1 341 SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE Di Fkancesco Yenini Altra Continuazione delta pane II. ricevuta il di 23 d'Agosto, 1810 S E Z I O N II. Delle regole date da alcuni fislci per le llvellazioni haronietriche. I. Articolo I. Begola del sig. De Luc. 66. J.1 celebre de Luc, avendo attentamente esa- minati i raetodi dei Fisici, che lo precedettero, tro- v6 in essi tre principali sorgenti di errori. La prima e r imperfezion dei baroinetri ; che quasi nessuno aveva purgati scacciandoiie T aria coll' ebollizioue : la secouda I' incertezza della vera lunghezza della co- louna mercuriale; che niuno aveva aucor immagina- to di ridurre ad una temperatura o costante o ngna- le nei due barometri inferiore e superiore: la terza linalmente nelTuso generale de' suoi predecessori d'ap- plicare senza correzion veruna le regole loro a qiia- lunque temperatura dell' aria, come se questa non si condensasse pel Ire-ddo, e [)el calore non si dilatasse. Al che si deve aggiugnerc, che ncssun dei barometri T. II. P. II. ^^ 343 V E N 1 N I fino a' suoi di conosciuti poteva con sicurezza traspor- tarsi a clistaiize considerabili, o alnieno senza perico- lo d' alterazione. La prima ciira dell' accurate fisico di Ginevia quella fu dunqiie di costruire uii biion barometro por- tatile; di cui egli da im' ampia e miniita descrizioiie iiella sua grand' opera delle modificazioiii dell' atnio- sfera al capo 1°. della terza parte . La scala del suo barometro e divisa in pollici ed in linee con rette di color nero; e ciascuna linea e sottodivisa in quattro con rette di color rosso. Egli lascia poi , che I'osser- vatore sottodivida ad occhio ciascun quarto di linea in altre quattro parti; onde possa aver Taltezza ap- parente del barometro in sedicesimi di linea. A cor- regger gli effetti del calore sulla lungliezza della co- lonna mercuriale sostenuta dalla pression dell' aria e destinato un termometro incastrato nel corpo del ba- rometro siesso verso la sua meta. Questo termome- tro e di mercurio come quello di Farlieneit, ma con una scala diversa. ll De Luc graduava i suoi termo- nietri sotto una pressione atmosferica di 27 pollici po- nendo lo zero al ghiaccio in fusione, ed il grado 80 air acqua bollente. Con questi terniometri egli tro- vo, come ho gia detto al num. 9; che la colonna di 27 pollici si dilata di sei linee passando dalla tem- peratura zero a quella di 80 gradi. La dilatazion del mercurio, da lui supposta uniforme, e dunque di -^ di linea per ogni grado: ma troppo incomodo sarebbe r uso di questa frazione nel ridurre le altezze baro- metriche ad una temperatura costante. Quest' incon- vcniente determino l' autore a divider 1' intervallo po. SULLE LIVELLAZIONI BAUOMETKICHE 843 8to fia il ghiaccio e V acqua bolletite non ia 80 ma in 96 gradi; per ognuii de' quali la dilatazione ve- niva ad essere di ^ o di 73 di linea, cioe della quau- tita stessa, in cui e divisa la scala del suo barome- tro. II grado dodicesimo di questa divisione f"u scel- to dair autore per temperatiira costante: egli pose a questo lo zero d'una nuova scala; nella quale la tem- peratura dell' acqua bollente fu ad 84 gradi, e quel- la del ghiaccio in fusione a — 12. „ II mio scopo principale in quest' opera, di- „ ce il sig. De Luc, e quello di paragonare delle „ altezze note cogli abbassameuti del mercurio ncl J, barometro osservati a queste medesime altezze j af- „ fin di trarne una regola generale, per mezzo di cui „ si possano in avvenire misurar le aliezze accessibi- „ li, e dappertuito e in ogni tempo conoscere la den- „ sita ed il peso assoluto dell' aria. Ho esposte fin qui „ tutte le precauzioni, che ho prese per non esser in- „ gannato dal barometro; trattasi ora di quelle, che „ ho impiegate nel n)isurar le altezze dei luoghi, ove „ ho futte le mie spei'ienze. Egh misuro dunque sul ghiaccio d'un fosso una base di tese 566 e ?, e servendosi d' un buon qua- drante di 3 piedi di raggio, trovo la distanza d' una delle estremita della base dalla cima del monte Sa- leve di te. 4727, 5. Dice, che il risuitato della misu- ra geometrica, non computata ne la curvatura della Terra ne la rifrazione, fu di 486 tese. Ora applicando questi dati al triangolo A B F (fig. I') ne \\o A D =i 4727, 5; e B I F ^ 486. Cio posto chiumo y 1° angolo apparente d'akezza LAB-^ 344 V E N 1 N I e ne formo T equazione (4727,5) sen. y = 486; e da questa traggo y = 5° 64' 2", 12. Questo fu clunqiie il valore dell' angolo appareate d' akezza osservato dal sig. De Luc. lo lo suppoiigo esatto; e cerco per mezzo suo il valore dellangolo al centro «^. Nel triangolo CAB abbiam 1' angolo C A B = gS° 64' a", 12; e per con- seguente = 42" 2' 53" ,94. La base, come dice I'autore al paragrafo 648 delle sue Ricerche, fu su- perior al mare di te. 211 , 67; e queste aggiunte al raggio osculatore della latitudine di Ginevra daimo il valor di C^. Ora la latitudine di Ginevra e 46" la' 17"; e supera di soli 19 secondi la latitudin media del grand' arco misurato in Francia dai signori Me- chain e De Lambre. La lunghezza del grado a que- sta latitudine si e trovata di tese 57018,4; cni cor- risponde il raggio osculatore 3266914,29. E' dunque C A = 3267126 ; e per conseguente C A ■— A B = 3262398,5; e C^ -H J ^ = 3271853,5. Fatto con questi dati il solito calcolo trovasi =4i*'58'2", 18 ; e quindi C = w = 0° 4' 56" , 76. Cerco ora l' efFetto della rifrazione; ed osservo , che fra i valori di — posti nella tavola III' del num. 58 niuno ve n' ba per la Svizzera; ma die ci sono quei i deir Italia e della Francia, tra le quali essa e situata. |, lo prendero dunque il lor medio cioe 0,081181; e 'i SULLE LIVELLAZIONI B.VROMETRICIIE Z^S r applichero a Ginevra. vVvendo il De Luc misurata la base sni gliiaccio;, si puo credere, clie anche I'an- golo d'elevazione sia stato da lui misurato in tempo che r aria era alia temperaiuia del ghiaccio. lo non so c(uale sia stata Taltezza del barometro nel tempo deir osservazione, e non potendo far meglio, la sup- porro di 27 pollici altezza media per Ginevra. Nelle circostanze della misura dell' angolo d' elevazione sa- , J m (o , 081 181 ) _ „ ra dunque stato — = 27 - — - — ^ = o , 078282 , e •* n ' 2.0 ' /-I per conseguente — = 296", 76 (0^,078282) = 23", 23. TV Con questo valore della rifrazione si faccia il calco- lo deir altezza vera, e troverassi B d = 488 , 94 te. = 2933 pie. e ~. L' altezza medesima misurata dal sig. De Luc colla livellazione fu di piedi 2926 ^, cioe minore di 7 piedi. Qnesta differenza puo nascere dalTer- rore d' un mezzo minuto nell' angolo dell' altezza ap- parente, se si suppone d'un'estrema esattezza il ri- sultato della livellazione. Che se questo fosse di qual- clie piede minor del vero, V error dell' angolo si ri- durrebbe a pocbi secondi. Ma lo stesso non puo dirsi dell'altra misura geo- metrica, di cui parla I'autore. In questa per la distan- za di tese 2026 | egli ebbe un risultato di 432,5 d'al- tezza, non computata la curvatura e la rifrazione: on- de segue, che il suo angolo d' elevazione apparente fu = 12" 19' 33", 09. Fatto il calcolo con questi va- lori A\ E A B e ^v A B trovo l' angolo al centro = 2' 4" , 67 . Calcolata poi la rifrazione col valore di 346 V E N I N I — posto qui sopra, ella risulta =9", 76; e quindi I'al- tezza vera insensibilmeiite diversa dall'apparente e di tese 433 o di piedi 2598. La livellazione ne die soltan- to 2584; onde la differenza fu di piedi 14. Affirtche la misura geometrica fosse d' accordo colla livellazione, Tangolo dell'akezza apparente dovrebb'essere = 12° iS' 40" in luogo di 12" 19' 33", 09, cioe minore di 3' 53". II De LnC;, non avendo alcun dubbio intorno all'esat- tezza deir angolo osservato, attribuisce l' eccesso del- la misura geometrica alia rifrazion sola. Ma, se cio fosse, la rifrazione avrebbe dovuto accrescer 1' angolo deir altezza vera di 233 secondi, cioe quasi del dop- pio deir angolo al centro, che fu di 124", 67. Tanta rifrazione, essendo assolutarnente contraria a tutte le osservazioni, io credo, che I'errore stia pressoche in- teramente nella misura delT angolo d' elevazione. La diversita de' risukati delle misure geometriche e delle livellazioni determine il sig. De Luc a rinno- vare quest'ultime. „ Noi trovammo, dic'egli, alcune „ diflerenze {tra le due livellazioni) nelle stazioni in- „ termedie, il che solo bastava a render utile la se- „ conda operazione. Ma ne fummo piu largamente „ ricompensati quando trovammo nella sonmia totale „ la sola differenza di dieci pollici e mezzo. Tutte le altezze, alle quali io ho osservato il barometro pos- son dunque considerarsi come determinate con tut- ta la possibil precisione. Se la precisione nella misura di queste altezze sia tale quale il sig. De Luc la suppone e cosa in- certa ancora; ed io avro altrove occasion di parlar- SUIXn LIVELLAZIONI BAROMLTUICHE 34? ne . Per ora le supporro esatte ; ed aggiungero, die negli anni lySS, 56, 58, 59, e 60 1' istancabile fisi- co di Ginevra fece in i5 stazioni del monte Saleve un numero grarulissimo d'osservazloni. In ognuna di que- ste egli noto I'alcezza apparente del barometro, i gradi del termonietro attaccato per fame la correzione, e quelli del termometro distaccato esposto at Sole, dic'e- gli , quanto piu alto fu possibile; il che parmi voglia dire a circa cinque piedi d'akezza. Mentr' egli osser- vava sul monte, suo padre faceva ad ogni quarto d'ora le osservazioni corrispondenti nel pian terreno d'una casa distante tre quarti di lega ad un di presso dal- la prima stazione. 11 termometro destiiiato ad indica- re il calor dell' aria era sospeso fuor della casa sopra una piccola eminenza. 67. Prima di proceder piu oltre stimo opportu- no di riferire cio die il Cav. Shuckburg ha osserva- to intorno all' altezza diversa dei termometri o espo- sti al Sole o tenuti allornbra, e di rapportare altresi la serie delle belle osservazioni fatte dal sig. Pictet sulla corrispondenza di due termometri a diverse ore del giorno; de' quali uno era posto alia distanza di cinque piedi, e T aitro a quella di 75 da terra. II primo in una nota della pag. 526 del volume LXVII parte II* delJe Transazioni filosoficlie si espri- me a questo modo. „ lo bo preferito di sospender i „ termometri all' ombra ; e ne adduco la seguente „ ragione. Ogni riflessione di calor locale e spurio „ schivasi piu facilniente: niun concentrato e falso ca- „ lore e acquistato dalT incastratura del termometro, „ e quindi comunicato al tubo anche quando la pal- 348 V E N I N I „ la e isolata: e finalniente perche io sospetto, chela „ real temperatiira dell' atmosfera al Sole ed aU'om- „ bra sia la stessa o almeno insensibilmente diversa. „ La mia proposizione piio senibrare esagerata ; ina „ per confermarla io ho fatto non meno di 80 osser- „ vazioni con quattro diversi terniometri d' incastra- „ ture dilTereiiti appesi alternainente ed esposti ai „ raggi del Sole, o da questi difesi dall' ombra d'un „ albero in un' aperta pianura a qualche distanza „ - TILF'.IL 44 35o V E N I N I „ to pill caldo del giorno, e di circa due gradi del- „ la divisione in 80 parti; de' quali il termometro in- „ feriore e pin alto del snperiore. „ Passato qiiesto massimo di difTerenza i due ter- „ mometri si riaccostaiio; e qualche tempo prima del „ trainontar del Sole si raggiungon nuovainente; poi „ si sorpassano in senso coiitrario: il termometro in- „ feriore sta piii basso dell' altro : caduto il Sole la „ diflerenza cresce velocemente ; e verso la fin del „ crepuscolo giunge a due gradi, e talora aiiche piu. „ Questa diflerenza segue ad esser la stessa durante „ la notte ed il crepuscolo del mattino; e solo alcun „ tempo dopo il nascer del Sole i termometri comin- „ ciano a riaccostarsi per raggiungersi di nuovo e at- „ traversarsi circa due ore dopo. V Tal e il movimento costante dei due termometri „ distant! cinque e yS piedi da terra ogni volta che „ il tempo e tranquillo e sereno: egli e lo stesso nel- „ le varie stagioni dell' anno, e non ostanti i venti „ e le nubi, sebben meno sensibihnente in quest' ul- „ timo caso: e ne' soli giorni compiutainente e uni- „ forniemente nuvolosi, e quando regna un vento for- „ tissimo o una densa nebbia i due termometri di- „ sianti -Q piedi son presso a poco d' accordo in „ tutco il corso del giorno. „ Da questo ragguaglio dell'autore 10 non posso raccoglier la legge, con cui il termometro inferiore \a, in confronto del superiore, innalzandosi dopo il na- scer del Sole per lo spazio di due gradi nelT inter- vallo di circa due ore e mezzo; e di altri due gradi dal momento, in cui ha raggiunto il superiore Quo a SULLE LlVrXLAZlONI BAnOMETUlCIIE 35 I tre ore di sera: e lo stesso dicasi del suo abbassainen- to dalle 3 ore fino a quella del Sol cadente, e poi della flue del crepuscolo vespertiiio. Per iiscir di qiie- sta incertezza e diinque d' uopo ricorrere a qnalciie supposizione; e la piii naturale a nie par quella del- ruiiiformitii nella progressione delle dillerenze dei due termometri . Di quesca mi serviro dunque allorche avro occasione di ridurre le altezze osservate ad una data ora d' iin dato giorno in un termonietro distaute cinque piedi da terra alTakezza, che nello stesso mo- mento avrebhe avuta un altro terinometro alia distan- za di piedi yS. 69. II celebre Bouguer aveva detto che negli al- ti monti del Peru, se dalle prime quattro cifre del- la differenza dei logaritmi delle altezze barometriche osservate al piede ed alia sommita d'un monte si sot- trae un trentesimo, il residuo da la vera altezza del monte in tese di Francia; ma aveva anche soggiun- to, che quesra regola si verifica soltanto nelle parti dclia Cordeliera, che stan sopra la valle di Quito. II sig. De Luc osservo, che in que<;ta regola non fas- si menzion veruna della tempeiatura dell' aria, seb- bene al variar di questa debba variar la Innghezza della colonna aerea, che corrisponde ad un'egual dif- ferenza dei logaritmi. Egli vide pero che, se per la temperatura poco variabile nelle osservazioni barome- triche degli accademici francesi convien sottrarre nn trentesimo della differenza logaritmica per aver V al- tezza del monte, la sottrazione sarebbe stata minore ad una pin alra tem[)eratura ; e che questa cresriura ad un certo grado avrebbe resa nulla la sottrazione. 352 E N I N I e data 1' altezza in tese francesi coUa sola differenza logarirmica. Ma questo (io credo avra egli detto se- co niedesimo) perche non dovra verificarsi nelle nu- merose osservazioni da me facte sul monte Saleve a tante diverse temperature? Esamiiiiamole dunque at- tentanieiite; e vediamo a quale altezza media dei ter- niometri esposti all' aria nelle due stazioni iuferiore e superiore corrisponda una dilTerenza logaritmica e- guale alia vertical distanza delle stazioni. Egli fece r esame, e trovo^ come dice al num. 588: „ die cal- „ colate tutte le osservazioni coi logaritmi; e combi- „ nando tutte quelle, nelle quali la difl'erenza dei lo- „ garitmi dava presso a poco T altezza dei luoghi in „ niillesimi di tesa, il calor medio nel tempo delle „ osservazioni era stato corrispondente a i6° i del ter- V mometro di mercurio diviso in 8o parti fra i due „ termini fissi. „ L' autore, dopo aver dato questo seinplice cen- no, nulla ha detto del modo, con cui trovo il suo risultato: ond' io mi son determinato a verificarlo. A tal fine ho avvertito primieramente, che le osservazio- ni facte alle tre prime stazioni; nelle quali per le lo- cali circostauze indicate dall' autore la temperatura media e troppo incerta, debbon esser escluse. Ho se- parate le osservazioni fatte al nascer del Sole, per- che dan risultati troppo diversi da tutte 1' altre. Fi- nalmente ho distinte le osservazioni fatte al Sole dal- le fatte a ciel coperto, o in di sereni, ma a Sol tra- montaro. Affiu d' ottenere con qualche precisione la cer- cata temperatura mi son ristretto a quelle osservazio- 6ULLE LIVELLAZIONI BAKOMETUICIIE 353 ni sole, nelle qiiali la differenza tra 1' altezza vera ed il risultato loj>;aritmico non e sensibilmente maii;- giore di 4 piedi, differenza, che puo esser attribuita air incertezza d' un ventesimo di linea nella niisura delle altezze barometriche. Questa condizioii si vt*ri- fica in 16 osservazioiii fatte in giorni sereiii; in 8 di ciel coperto; ed in quattro del nascer del Sole. Cal- colaie senz' alcuna correzion dei termometri le osser- vazioni fatte in giorni sereni, e chiamate T, f le al- tezze dei termometri , ho trovati i seguenti vaiori del- la temperatura media 16 , io5 16 , io5 16 , 965 17 , a3 17 , 39S 16 , 535 16 , 75 17 , 825 18 ,47 16 , 535 17 ^ 717 16 , 965 16 , 75 17 , 395 16 , 3a 16 , 64.H Somma 271 , 7o5 35.i V E N I N I La somma e 271 , 70$; la qual divisa per 16 d^ 16,982 per valor medio. I valori di perto furono T nelle osservazioni di ciel co- 16 16 16 17 16 16 16 16 , 535 » 7S , 965 , 395 , 96S , 965 , 535 , 4a8 Qui la somma e i34 , 538, e la temperatura me- dia 16,817. La differenza di questi due medii e di i65 miliesimi di grado . Unendole poi tutte insieme, come soleva fare il De Luc, si trova la somma 406,243; ed ii medio 16 , 927; la cui differenza da 16 , 78 e di 177 mil- iesimi di grado; quantita, che senza iucouveuieute si puo negligfiitare. 70. Per le sperienze del sig. Pictet nelle osserva- zioni fatte a ciel coperto le aitezze d' un termome- tro distanie 75 piedi da terra sarebbero state uguali a quelle del termometro distance cinque piedi. Ma lo stesso non puo dirsi delle osservazioni fiitte al Sole in ore diverse da quelle, in cui 1 due tenuometri son 9ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 355 d'accordo. Nelle altre ore per aver la corrisponden- za dei due termometri convien primieramente dimi- nuir di due gradi Far. tutti i valori di T , t; affia d' avere le altezze, a cui si sarebber tenuti all' om- bra. A 2 gra. Far. corrispondon o » Re:, cui per mag- gior semplicita si puo senz'inconveniente sostituire un grado intero. D' un grado ho io quindi sminuite tuc- te le altezze T ,t dei termometri esposti al Sole. Ora dichiarero in qual maniera da queste altezze dei ter- mometri supposti air ombra e distanti cinque piedi da terra ho dedotte le altezze corrispondenti dei ter- mometri esposti al Sole alia distanza di piedi yS. Le osservazioni del sig. De Luc furon fatte pres- so a Ginevra per la cui latitudine ho calcolate le ore del nascere e cader del Sole, e della fine del crepu- scolo vespertino pei mesi e pe' giorni delle osserva- zioni. Cio premesso suppongo, die per un dato gior- no deir anno il Sol nasca a minuti A^ del mattino ; nel qual momento il termometro superiore e di due gradi piu alto dell'inferiore. Or, dovendo per le spe- rienze del sig. Pictet questa diflferenza esser nulla due ore e mezzo dopo all' incirca , cio avverra a minuti iV H- i5o. Sia T r altezza del termometro inferiore osservata a minuti n del mattino; e si chiami T' I'al- tezza corrispoiidente del superiore. Se fosse iV=:n. sa- rebbe Z" = 7' -1- 2; ma quando // e = A' -+- i5o, T' e = T. Affin di trovare il valor di T' nelle ore in- termedie; nelle quali io suppongo, come ho gia det- to, le variazioni uniformi; avrem dunque V analogia i5o : rt — JV = 2 : j^—: il cui quarto terroine indi- 75 A 356 E N I N I ca dl qiianto nei due termometri e diminuita la dif- fcrenza. JNel tempo dell* 03servazione e dunque T' = 75 Nella seconda osservazlone della stazlon IV, a cagion d' esempio; clie si fece nel giorno 12 Febbra- jo ad ore 9 I del mattino fu N = ^\^\ n, = 555 • /i-iV= 141-, ed^-=-^= I ,88. Dunque T'=^T-^ 75 2 — I , 88 = Z" -4- o , 12. Le temperature osservate al Sole furono 7" = -»- 3 , 85; t = o , 84; e, fatta la ri- duzione per 1' esposizione all' ombra, 7"= -h 2 , 85; f = — o , 16. Or quindi viene J" = -t- 2 , 97; e t' = — 0,4. La correzione in questo caso e piccolissima, perclie 1' osservazion si fece a due ore e quasi mez- zo dopo il nascer del Sole. Se r osservazione e fatta tra T ora, in cui i ter- mometri son d'accordo e le tre della st^ra, V interval- lo di tempo, cui corrisponde 1' alzamento di due gra- di nel termometro inferiore in confronto del superio- re e di minuti 720 •+■ 180 — A' — i5o = 700 — N , e qnello, die sta fra 1' ora suddetta e 1' osservazione n — iV— i5o. Sara dunque 750 — iV:« - A^— i5o = 2: a ( ra — • N — i5o) rp, rp _ a (re — JV— iSo ) 750 — iV ' ~" 700 — A^ NelV osservazion \V della stazion IV fatra il di 7 Agosto ad ore 8 | del mattino fu yV=2o8; n = h2.b\, SULLE LlVELLAZIONl BAKOMtTRICHE 357 75o-iV=46a; n-N-i^o^^i; ^ M^-iV- i5c) ^ 75o — JS ^^^ = o , 38. Cio posto e 7" = T - o , 38. Le altez- ze osservate colla solita diminuzione d' un grado fu- rono 16,29; ^3,92; e per conseguenza fu !r'= j5,9i; r s= 1 3 , 54 . Dopo 3 ore di sera il termornetro inferiore s'ab- bassa; e raggiunge il superiore verso il cader del Sole. Se questo tramonta ad TV minuti della sera, Tin- tervallo per la dimiiiuziou di due gradi sara A'— i8c; c quindi, se T osservazione fassi a minuti n della se- >»r o r. a(« — 180) ra , SI avra N ~ 1 80 : n — 180 = 2: —^ jr— . N — loo lo posto sara i ' = T ->. 2 -f. — -— i Nell' osservazion i5* stazion IV del giorno 12 Apri- le, ore 3 | della sera fu iV=44i; /i = 225; e qum- di — — 5— '= -4- =0,345; r' = r— 2-+-o,345 = N — j8o a6x ' ^ ' ' ^ 7^ — T , 655. Le altezze osservate dei termometri col- la solita diminuzione furono 17,685; 14,782; e per conseguente fu jT' = 16 , o3; f' = i3 , 127. final mente dal cader del Sole fi;io al crepusco- lo vespertino il termornetro inferiore scende sotto il superiore di altri due gradi. Siano TV i minuti del cader del Sole; N' quei del crepuscolo; ed n quelli T. II. P. IL 45 358 V E N I N I deH'osservazione; saraiV' — A^:/i — A^=2: -—■ — j~ ; e T' = T •*- —~ j^. In questi casi, non essendo i terraometri esposti al Sole non dee farsi alle altez- ze loro la solita diminuzione d' un grado . L' osservazion i5" della stazion V fu fatta nel giorno 7 Settembre a 6 ore e mezzo della sera . In essa fa dunque iV' = 492; A' = ^87; n = 890; e per ^ a (re — N) 6 . Ti, rr ^ conseguente -^rr:^^ = -^ = 0, 057 ; e T' — T-*- 0,067. Le osservazioni diedero T=i6,9i5; f=i6» io5; onde risulta 7" = 16 , 972; e t' = 16 , 162. Con questo metodo io ho calcolate tutte le tem- perature delle 16 osservazioni fatte in giorni sereni; . . T' -^- t' e n' ho avuti i seguenti valori di 16 , 705 14 , 735 1 5 , 6o5 14 . 64» i5 J 225 i5 , 4i5 14 3 161 i5 , 655 17 , 099 SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE l5 > 4'9 ^4 > 909 i5 , 871 i5 , 533 i6 » "7 i3 , 6ia ]5 , 5a2 359 La somma e 246 , 224; e questa divlsa per 16 da il valor medio i5 , 389. Se noii avessi fatta la ridii- zione delle temperature dal Sole airombra,il medio sarebbe j6 , 889 minore del termine fisso di De Luc un po' meno di f di grado. Ma questa differenza gia per se stessa assai piccola pao anche in gran parte attribuirsi all' incertezza dei calcoli alquanto ipoteti- ci . iSloi possiam duiique ritenere il termine fisso 16, 75 del sig. De Luc pei termometri esposti al Sole a cinque piedi da terra; e ridurlo a i5,75 pei termo- metri egualmente esposti al Sole; ma alia distanza di piedi 75. In quattro delle osservazloni fatte al nascer del Sole la differenza non oltrepasso i quattro piedi; ma la lor media temperatura fu solo di gradi 11 , 59 . Per mancanza di esperienze fatte al nascer del Sole io non so di qiiaiito il termoiiietro debba in quell'ora esser piu alto al Sole cbe all' ombra; ma non credo, che la differenza possa esser maggiore d' un mezzo grado. D' un mezzo grado avrebbe dunque a dimi- nuirsi l' altezza osservata; poi, come voglioii gli spe- 36o V E N I N I limeiui del slg. Pictet, si dovrebbe accrescer di due: il cbe la ridurrebbe ad 1 1 , Sc; -<- i , 5 = i3 , 09 an- cor troppo piccola. Le osservazioni fatte al nascer del Sole, non potendo combinarsi coll'altre assai piu nu- merose io son d'avviso, die si debbano escludere. E COS! ha fatto il sig. De Luc; il quale ha procurato eziandio di spiegar quest' anornalia per mezzo del ven- to orientale, che spira per 1' ordinario al nascer del Sole . 71. Trovato il termine fisso, cioe la temperatura media della colonna aerea, posra la quale la ditferen- za logaritniica n'esprime immediatamente Taltezza in millesimi di tesa, resta ancora a determinarsi di qiian- to qufsta hinghezza sia accresciuta per ogiii grado di calore sopra il terrain suddetto, di quanto dimiuuita per ogni grado al di sotto. 11 sig. De Luc avrebbe potuto liberarsi da quest' indagine Jaboriosa prenden- do un medio fra i risuUati delle sperienze manome- triche fatte dai Fisici, e note ai tempi , in cui egli scriveva. Ma a lui probabihnente non parve ben si- cura la supposizione; clie il calore operi egualmente neir aria aperia dell' atmosfera e nelle piccole masse d'aria -chiuse in un manometro. Determinossi adunqne a cercar la legge delle ddatazioni e condensazioni deir aria con un attento esame delle osservazioni da lui fatte al monte Saleve; nella qual risoluzione non so se piu sia da lodarsi la prudenza di lui, o il co- raggio e la pazienza. Ma 1' irregolarita delle osserva- zioni fatte al nascer del Sole rendeva inntili i suoi tentativi ; e sol dopo averle separate dalle altre ed escluse, egli pote giugnere al fine desiderate. 8ULLE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE 36 1 „ In tutte le inie stazioni (dic'egli al num 607) „ io cercai qual era il rapporto fra I'altezza del liiogo „ ed il nuinero medio dei piedi da aggiungersi o da sot- „ trarsi per ogni grado del termometro presso al punto „ fisso, e qual legge seguivano i cangiameiiti di que- „ sti rapporti neirallontanarsi da una parte o dall'al- „ tra di questo punto deterininato. Finita quest' ope- „ razione vidi tanta conformita fra i rapporti trovati „ in ogni stazione, e cosi poca regolarita nelle lor „ piccole differeuze; che mi determinai a comhinar „ tutte le frazioni, ch' esprimevano questi rapporti. „ Trovai per tal mezzo , che presso la temperatura „ fissa la correzione per ogni grado del termome- „ tro era all' altezza del luogo come i a 2i5; e che „ gli accrescimeiiti o diminuzioni da farsi a questo „ rapporto per la dififerenza dei pesi degli stessi vo- „ lumi d' aria diversamente scaldata erano con suffi- „ ciente esattezza proporzionali agli eccessi o ai di- „ fetti deir altezza trovata coi logaritmi in confron- „ to deir altezza del luogo. O piu generalmente: che „ la correzione da farsi in piu o in meno per ogni „ srado del termometro era all' altezza data dai lo" „ garitmi come i a 2i5„. Anche qui I'autore s'e contentato di comunicar ai lettori il suo risultato senza dimostrarne ahneno con qualch'esempio la verita e 1' esattezza. lo procu- rero dunque di supplire a questa mancanza; ed a tal fine comincero a calcolare per mezzo delle osserva- zioui fatte alle due ultime stazioni, che son le piii alte, di quanto 1' aria si dilati e condensi ad ogni grado del termometro diviso in 80 frai due termini v. 362 Y E N I N I fissi. Tutte le regole conducenti a trovar I'akezza dei luoghi per mezzo delle ditt'erenze logaritmiche, non ommessa la correzion del calore, son contenuce pel num. 39 in questa formola generale: X = 1 0000 ( I -♦- :^-^ ) L —\ n a nella quale T' espiime la temperatura o il termine fisso; cui corrisponde x = loooo L - ; la tem- peratura media della colonna aerea per qualunque ca- se particolare; ed - la dilatazione o condensazione * n deir aria per ogni grado del termometro sopra o sot- to il termine fisso. Fongasi ^ in luogo di -; e la for- mola diverra X — looco ( I -»- ( ^-^^-~ T')E)L-. II valor di T' determinato colle osservazioni del sig. De Luc e 16 , 76. Per mezzo delle stesse osservazio- ni resta dunque da trovarsi anche il valore di E\ lo che facilmente si ottiene nella seguente maniera. Sia D la distanza verticale dei due barometri posti in osservazione, e sostituendo D ad x la formola sara D = loooo ( I -H ( ^-^^ -T')E) L-; nella quale E sara incognita. Or questa equivale a SULLE LIVLLLAZIONI BAROMETRICHE 363 F) D = loooo /y — -t- 1 0000 { \6.ih)EL— ; e pel sue mezzo si trova E A D — roooo L — a a a Se e = i6 , 75 = J"' la formola /"si riduce a A a Z> = 1 0000 L — e piu non serve a trovare il valor T -^ t di E. Ma se e magglor o minore di 16,75 po- tra talvoka avvenire, che nella frazion precedente il numeratore ed il denoininatore sian di segno contra- rio; onde risuki per E un valor negativo . Or cio T -f- t vuol dire che, se in sifFatti casi supera il ternil ne fisso, la correzione in luogo d' esser additiva di- vien negntiva, e vice versa; la qiial cosa, supposta I'e- sattezza del termine fisso e manifestainente contrad- dittoria. L' osservazion che conduce ad un risukato di tal natura non puo esser esatta; e per i' iinper- fezion sua dev' essere rigettata. Tal e la sedicesiina della stazion iV; in cui fu i) = 121 , 444 tese; A = rri , 5 1 55 sedicesimi di linea; a =5oii ; = '7 •> -^P^*' 364 V E N I N I a — i6 , 7.5 = o , 645. Con questi dati trovasi A A 1 0000 Z/ - = 1 23 , 043 ; /> — 1 0000 Z/ — = — I J 5qq ; a a ^ ^ e o , 645 ( 1 0000 Z/ — ) = -»- 79 , 263. Sarebbe dunque E = — — ' ^^- = — o , 020148. Per una temperatu- -t- 79 , 363 ^ ^ ra, che supera il termine fisso di 0,648 invece d'ac- crescer il risultato logaritinico dovrebbesi aduiique di- minuirlo; o per isfuggir questo assurdo converrebbe accrescer il termine fisso, e renderlo maggiore di 17, 395. Suppongasi, per esempio, = 20; e sara 17,39$ — 20 = — 2 , 6o5 . Avrem dunque — 2 , 6o5 ( loooo Z,-) = -.32o,53; ed E== rLL.'j99 ^ o , 0049887 . Questo -valor di E non contien piii alcun assurdo; e lascia, che la correzione tal si faccia qual e richie- 9ta dalla difFerenza della temperatura media e del supposto termine fisso, cioe diminuendo I'altezza lo- garitmica. Ma questa necessita di cangiare il termi- ne fisso legittimamente dedotto da un gran numero d' altre osservazioni e un certo indizio dell' inesattez- za di questa. |^ Applichiam ora la forraola alle due ultime sta- zioni per trarne il valore di E. L'ultima contiene 11 osservazioni; delle quali 6 a temperatura minore del termine fisso, e cinque a maggiore. In questa stazio- SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 365 ne Z) e = 487 , 778 te. Per le sei prime osserva- zioni le altezze medie dei barometri sonO/^=520i, T -^- t 33; a = 4635; e 16 , 75 = — 5 , 5oi . Con questi dati troYO D — loooo L — = — 12 , 869; ( 16 , 75) 1 0000 Z — ■= — 2754,066; e quia- 0046727 = 3754 ,066 ^ ' • ai4 ) 01 Per le altre cinque fu /4 = 6184 , 6; a = 4641 , T-+- ^ 2; e 16 , 75 = -t- 2 , 924. La forinola calco- lata con questi dati mi conduce ad i7= 0,0049274 = r • II valor medio di E vien dunque ad essere 202 , 95 1 o , 0048 = ,/ -^ . ao8 , 33 JNella penultima stazione; (in cui D e =457,08) sei osservazioni fnron fatte a temperature minori del termine fisso; ma la temperatura della sesta e taiito viciiia al detto termine, die si deve aver per ugua- le; e non puo servire a determinar il valore di E. Le altre cinque osservazioni danno i segueuti valori raedii ^ = 5214,2; a = 4683, 2; e 16,75 = — 4, 33225. T II. 1\ II "* 46 366 V E N I N I Calcolo con questi dati la formola; e trovo Zi" = o , 0046368 = ai5 , 665 * Per le 4 osservazloni di temperatura superlore al tennine fisso e J = 5i85 , 5 ; a = 467.5 , 5 ; e — 16 , 75 = -4- 2 , 5499; e quindi risulta E o , 0048609 = / „, . ■^ ao5 ;, 735 II medio dei quattro valori di E dcdotti dai cal- coli precedenti e o , 0047744$ = aoy , 4-5 * La differenza tra qiipsto valore e quello del sig. De Luc e 0,00012326 quantita cosi piccola , che nel calcolo delle osservazloni del monte Saleve non puo mtrodurre alcuna sensibile differenza. Ed invero nel- la prima osservazione della stazion VII, la tempera- tura essendo stata alia massima distanzu dal termine fisso, da questa deve nascer la massima differenza fra i risiiltati dellc altezze calcolate coi due valori di E. II calcolo si fa col la formola X = 1 0000 ( I -+- ( i6,75)ii')Z/-; enel pre- Si Q0 sente caso A e = 52 1 1 ; a = 49 1 6 ; — i5 , 695. Sara dunque T-t- t — 16,75^ SULLE LIVELLAZIOKI BAROMETKICIIE 867 X = 1 0000 ( I - ( i5 , 695 ) E) L -^ . Sostituendo in quest' equazione i due valori di E si otterranno i due risultati in lese x = 2.34 , i3 per la supposizio- ne ^\ E = -; ed x= 2?)4,6i6 per qutlla di E 3,09 ,45 ^ * A = — r'-, cosicche la differenza dei due risultati non e;iu- gtie a 3 piedi per un' altezza di 1420 ; ed e poco maggiore di % per 100. 72. E qui non credo inutil cosa il dimostrare in qual modo dalle osservazioni delT ultima stazione pos- son immediatamente dedursi i valori cosi del terinine fisso come dell' espansione o condensazione dell' aria quasi eguali a quelli del lisico di Ginevra. Nelle i- potesi delle espansioni dell'aria uiiiformi, e della teni- peratura della colonna aerea espressa dal medio ari- tmetico delle due osservate alle sue estremita, la tor- mola generale pel calcolo delle altezze e X =z B I 10 (1 -t- T E) L —; nella quale A , a son le altezze corrette dei barometri, e 7" la temperatu- ra media dei termometri. Se in essa sostituiremo ad X la distanza vertical dei barometri data dalla mi- sura geometrica o dalla livellazione, ed espressa da />, potremo considerar come incogniri i valori di E, e di £ t 10; e determinarli nel modo seguente. Per un certo numero d'osservazioni siano /i,a le altezze raedie dei barometri, T la temperatura media, 368 V E N I N I e per nn numero similmente dato d' akre osservazio- ni A' , a , T' le quanrita corrispondenti . Da queste supposizioui nascon le due equazioiii seguenii D = B I io( I -t- T £) L- ^ 'a D = B I 10 ( I -i- T' £) L~; ovvero B I 10 = D (i -H TE)L a Bl 10 = D A' Col mezzo di questi due valori dl B I \o si for- mera dunque una nuova equazione ; dalla quale si dedurra E^ a a T' L— ~ T id a' a Nella stazion XV fu Z) = 487 , 778 te.; ed i va- lori medii per le prime 6 osservazioni A = Saoi , 33 ; a = 4635 ; X - = o , 0500647 ; ^ = 1 1 » 2149 • Qiielli delle altre cinque fnrono J' = 6184 , 6; a' = 4641 , A' a; L —=0,0480850; e T' = 19,674. Ora per mea- a SULLE LIVELLAZIONI BAKOMETRICIIE 869 A A' zo di questi valori si trova L Z, — =0,0019797; T'L-,-TL- = o, 38284; e quindi J. 0,0019797 - E = _i-— ^^-^i = o , 0051711 . o , 38io4 Sostitiiisco qnesto valor dl E in un di quelli di B I \o; e mi risuka B t 10 = 9207 , 37. Determinate cosi le due iiicognite ne sostituisco i va- lori nella formola generale; e mi viene T -*- 1 X = 9207 ,37(1 -»- ( o , oo5 1711) ) L A a Per dare anche a questa una forma simile a quel- la del sig. De Luc la paragono colla formola gene- rale {F) del num. 39, cioe X = loooo ( r — - ) ( 1 -+- —. ^. ) E-; e mi vengon queste due equazioni 7" t 10000 ( I ) = 9207,37 ; — = o , 0081711 ; ^ n ^ n — 1 ovvero, sostituendo ^ ad - , n 10000(1 - r'i:) = 9207,37; --—^^ = 0,0051711. E per mezzo di queste si troveranno i valori di E^ e di T'. Fatto il calcolo ne risulta £" = o , 0047612 = 370 V E N I N I x; e 2"' = 16 , 648; i quali valori sostituiti nel- la forniola (F) del num. 89 danno , T-f-^— 16 ,648 , , ^ a; = loooo ( 1 h , '-~p~ ) L-. a ( aio , o3) ' a I valori di T' e di n sono in questa formola tan- to vicini a quelli del sig. De Luc; clie nel calcolo delle akezze non possoji condurre a risultati sensibil- mente diversi . In fatti nel caso di 7" -h r = o , che ben di rado puo aver luogo nelle akezze alquanto grandi, la differenza sarebbe una delle maggiori; ma non passerebbe 1' uno e mezzo per mille. 7-3. Per determinare il valor di E colle osserva- zioni facte a ciel coperto 10 bo calcolate separata- mente tutte quelle, che il sig. De Luc ha registrate nelle sue tavole cominciaudo dalla stazion V. Sedici di queste furon fatte a temperatura inferiore al ter- mine fisso, e nove a temperatura superiore. Le pri- me ora son maggiori or minori di o ,0046512 = — : espansione del sig. De Luc; e la lor media e = o , 0046.348. La differenza tra questo valore e quel- lo del fisico di Ginevra e = o , 0000164; e questa moltiplicata anche per 16 gradi, ai quah nelle os- servazioni del monte Saleve non e mai giunto il va- • T" -4- ^ lore di — 16 , 76, porterebbe nei risultati dei calcoli la dilTerenza d' un quarto per mille nell' al- w»- SULLE I.IVELLAZIOXl B.VllOMETKICHE 07! tezza clella stazione. In tutte le os«ervazionl fatte a ciel coperto, etJ a temperatura iiiferiore al terniine fisso parmi dimque, die si possa con sicnrezza a- doitare il valor di E asse<>;nato dal siu;. De Luc. Welle osservazioni di teujperatura superiore al tennine fisso una sola, cioe I'ultima della stazion IX da ad E un valor superiore a o , 0046.512. tutte Tal- tre lo dan minore, ed alcune d'assai. L' osservazion decima drlla stazion XII conduce ad .£"=0,0016996 minore del valor di De Luc di o , 0029516. Or que- sta diff'erenza moltiplicata per 2 , 2576 valore di 16 , 75 nella detta osservazione produce un eccesso di 6 millesimi e f delT altezza totale, o al- quanto pin di 17 piedi. £ tale appunto e in questo caso r errore della regola, come si vede nella tavo- la di questa stazione. 11 valor di E per 1' ultima os- servazione della stazion IX e o , 0055714 superiore al sopra indicato della stazion XIE di o,oo387i3. Qual possa esser la cagione di tanta irregolarita nel- le espansioni dell'aria corrispondenti alle osservazioni fatte a ciel coperto ed a temperatura superiore al termine fisso io non saprei: so pero, che una irre- golarita cosi fatta rende molto incerti i risultati del- le livellazioni baronietriche fatte in tali circostanze di temperatura e di cielo; e clie miglior consiglio e r astenersi allora dal farle. 74. Ma quali saranno i valori di E nelle osser- vazioni fatte a ciel sereno ma in ore non distanti pill di 3o minuti dalle tre pomeridiane? Per qucste la 372 V K N I N I correzione tledotta dalle sperienze del sig. Pictet di- niinuisce quasi di due gradi la tcinperatura osserva- ta . ]Ma si avverta, clie la correzion deve farsi anclie alia temperatura del termine fisso; la quale nell' os- servaziou 4* della stazione XIII fatta a due ore 48 minuti di sera fu di gradi i3,6ii pei termometri aH'ombra. Con questo valore del termine fisso , e non con 16 , 75 si avran dunque a calcolare i valori di E nelle osservazioni fatte alle ore anzidette; volen- do a quelle applicar la correzione. Eccone alcuni e- sempj Stazione VI, osservazion 9^ Aprile 19, sera 2 "45'. i) = 2o3^iii; J = 5i56; a = 491^; tempera- tura media dei termometri al Sole = 12 , 665 ; air ombra 11 , 665. T\T 9 nor T -^ t a(« — iV— l5o) ,, f f-r iV = 3io; ;i=885; ^ — r ~ — i=ii,665— ' - 750 — iV I , 93 = 9 , y35 = a, T' -^ t' Sara dunque i3 , 612 = — 3 , 877 . Senza la correzione si ha 16 , 75 = — 4 , o85 . Fatti i calcoli con questi dati trovo per E i se- guenti valori 8ULLE LIVELLAZIONI BAROMETRIC HE SyS senza correzione colla correzione jF = o , oo5632o JE = o , 005934a Stazion YI, osservazion 17^; Agosto 29, sera 3°' i5'. D = 2o3 ,111; ^ = 5196; a =1 4960 ; = 17,825; iV=4ci; n=i95; i3 , 612 = -♦- I , 349. Valori di E senza correzione colla correzione o , 0057001 o , 0045423. Stazione VIII, osservazion i5s Agosto 7, sera 3 «' 3o' Z) = 3oo , o83 ; ,4 =5189; n = 485o; =21,48 N = 432 ; 71 = 2 1 o ; i3, 612 = 5,1 06. a, Valori di E senza correzione colla correzione o , 0048008 0,0044474 lo ho calcolate per simil guisa le altre osserva- zioni delle tavole del si^. De Luc, fatte alle ore an- zidette ( fccetinaiidone per le ragioai da me gia la- T. II. P. LL 47 374 V E N I N I dicate quelle di temperatura troppo vicina al terrai- ne fisso) e u' lio avuti i segueiui nsultati Valori di E per le temperature inferior! al tennine fisso. senza correzione o , oo563ao 45301 60281 6o83o 51662 colla correzione o , 005934a 49959 64301 6296a S4959 0 , 0274349 0 J o29i5a3 per le temperature superiori al termine fisso 0 , ooS^ooi 0 , 0045428 48008 44474 45881 42192 48^81 47.98 45415 42586 39303 37839 6o5o4 4970* 78338 6764a 4891 1 46 ICO o , 047164a o , o4a3i56 SULLE LIVELLAZIONI BAUOMETRICIIE SyS I valori rnedii dei quattordici sono senza correzione colla correzlone o , 0053285 0^,0051048. Sostituendo questi valori di £", e qnelli dl 7", cioe 16,75; e i3-,6i2 nella formola X — 10000 ( 1 -^ ( T') E)L- trovansi risul- tati quasi eguali fra loro, e per 1' ordinario assai vi- cini a quelli della regola del sig. De Luc. Prendiamoiie per esempio 1' osservazioiie 14' del- la stazion IX; nella quale fu Z> = 32 7, 5^1 ; ^^=5190; T -^ t T' -*- t' 0 = 4820; 16,75 = 4,3; e i3 , 612 = a a 4,676. II valor di £" senza correzione e =o,oo53285; e colla correzione = o , 0051048. Calcolando 1' altezza senza correzione la formola diviene X — loooo (1 -♦-4,3(0, 0053285 ) ) L — ^ ; ed in ' 4oao questo caso il risultato del calcolo e di tese 328,56. J\Ia per calcolar I'aliezza colla correzione e d'uo- po supporre , che i barometri sian trasportati a 75 piedi d' altezza sopra le due stazioni; per la qual supposizione 1' altezza del barometro inferiore diini- nuira presso a poco di i5 sedicesimi di linea, e qutl- la del superiore di 14. Sara dunque J=5j75; ed 376 V E N I N I a 5= 4806. Per queste supposizioni la formola vien ad essere X= ICOOO ( I -+-4,676 (0,0051048) ) L —rr-T == 327 ' 9^' La dilTerenza* trai due risultati e dunqne di | di tesa su 3^7,5:^.1 , cio^ alquanto ineno di due per mil- le. Per la regola del sig. De Luc £" e = o ,0046512; e calcolaudo la formola con questo valore trovasi x = 327 , 63 maggiore dell' alcezza llvellata di o , 089 di tesa o poco piu d' un mezzo piede. Degli altri due risultati uno supera 1' altezza livellata di te. 1 ,019; r altro di o , 369. In genere calcolaudo le 14 osservazioui coi valo- ri assegiiati dal sig. De Luc al termiue fisso ed all'e- spausiou delTaria si liau uove risultati o eguali a quel della livellazioue o minori tutto al piii di 4 piedi ; nelle altre cinque i risultati sono quattro volte mag- giori di piedi 5,6, 12, e 16; ma uno e minore di 12; il che iiidica per mio avviso, doversi le diff'eren- ze attribuire ad altre circostauze che a quella dell' o- ra» in cui furon fatte le osservazioni. Da tutte le cose dette parmi di poter finalmen- te concliiudere F die il valore — r dal sis;. De Luc ai5 ° assegnato all' espansioni e condensazioni dell' aria e legittiniamente dedoito dal complesso di tutte le sue osservazioni: 11" die la sua regola puo sicuramente applicarsi auche alle osservazioni fatte in ore assai vi- cine a1le tre pomeridiane; per le quali le sperienze del sua dotto concittadino potevan farla temer difet- tosu. SULLE L1VELLAZIONI BAKOMLTRICIIE 877 75. II calcolo del la forrnola a; = 1 0000 ( 1 H ^^ ', -^ ) L - ha clue in- convenient!: il primo di dover in ogni caso particola- re sottrane il termine fisso 16,75 dalla temj)eratura media osservata: il secondo di aver sempre a calcolar •1 1 V s (T-f- ?) — 16 , 75 . , , 11 valore di i -h — ^ . -^ : per cui deve mol- tiplicarsi il risultato logaritmico affin d' avere la cor- rezion del calore. Ognun vede, che il primo incon- veniente si puo facilraente schivare trasportando al termine fisso 16,75 il cominciamento o zero della sea- la; nel qual caso i gradi superiori al detto termine son positivi; negativi gVinferiori. II grado deiracc[ua bollente e in questa scala -♦-63,25; quelle del ghiac- cio in fusione — 16 , 75. Cliiamando Z", t' 1 gradi osservati su questa scala sara Z" = 7" — 16 , 75; t' = t — 16 , 75; e le altezze si calcoleran colla forniola X = 1 0000 L — »- . ( 10000 L — ) . a a . a 1 5 ^ a ' Piu difficile era il liberarsi dal secondo inconve- niente; ma il sig. De Luc ci pervenne coll' ingegno- so ripiego di dare alia scala del tennometro una nuo- va graduazione. Ecco in cosa consiste questo felice ed utilissimo ritrovamento. Sieno T" c" i gradi d' un termometro diviso in maniera , che equivalga J 000 378 V E N I N I a r. In tal caso il moltiplicatore del risultato logaritmico si riduce ad un millesimo della somma dei due gradi indicati dalla nuova scala del terinome- tro. Or dalla siipposizione di rpii t' diice immediatamente T" h- f" 1000 a.2ii5 ai 5 side- Si osservi, die i gradi T\t' son presi in un ter- mometro, il cui intervallo frai due termini fissi e di- viso in 80 gradi. Dividasi ora lo stesso intervallo in un nuraero di gradi, clie sia ad 80 nel rapporto di 5oo a 21 5 cioe in 186 numero intero dato dalT analogia. I gradi di questa nuova divisione saran dunque Z"' = ]86 T 80 ' 5co ( T 00 i86(r'-t- t') n ; e per conseguente 80 T" -4- t' a.ai5 ai5 ' *■ ^ 1000 Al grade 16 , 75 della scala divisa in 80 parri cor- risponde il grado 88,944, opiu sempliceniente 3q nel- la scala divisa in 186. Alia temperatura dell' acqua bollente corrisponde adnnque in c[nesta nuova divisio- ne il grado •+■ 147; ed il grado — 89 a quella del ghiaccio in fusione. Con questa nuova dfvision del termometro la re- gola del fisico di Ginevra e espressa da questa for- mola semplicissima t") .X = 1 0000 Z/ — -t- i- a. icoo I GOOD L — a SULLE LiVELLAZIONI BMIOMLTRICIIE 679 Per verier di ciuatuo essa reiula piu agevole il calcolo ne serva d' esempio 1' osservaziou prima della stazioii XV; in cui fu J= 6209; a = 46.32; = 7 , 5o5 nel termometro di Go gradi; e quiiidi — 16 , 75 = — 9 , 245. In questo caso abbiam duiique f 9 , 245 , , 5 ioq ^ 9 , a4'> , X = loooo ( I — - — — ) L ~ . Ora ^ ^ e = ^ ai5 ' 463i ai5 , 0 , 245 r T" 1 r -^ < o , 042099; ed I— 7- = o , 067 . 1 inalmente jL — e = o , o5o9858; e da tutti quest! dati viene il calcolo se« guente L loooo = 4 ■ 0000000 X{L^) = 8 . 707449a a Lo,()5'j = g . 9809119 X a: = a . 68836i i ; a; = 4O7 , 984 . Nel termometro del sig. De Luc e T" = — 14, 5; f" = — 28 , 5 ; e T" -i- t" = — 4:5 . Dunque per la sua regola e x = 509 , 838 — ( 609 , 858 ) = 487 , 934. I due risultati sono esattamente uguali; ma il calco- lo della regola di De Luc e senza paragone piii spe- dito di quello dell' altra formola. 38o V E N I N I 76. Ma il Professore Hennert nella sua disserta- zione da me piii volte menzionata sulLa mi sura delle ahezze per mezzo del barometro disapprova aperta- mente questa regola, ed il metodo, con cui fu tro- vata come quelle, ch'e secondo lui troppo empirico, o fondato unicamente sopra una spezie di giuoco e fortuita combinazione dei niimeri. Dice, die il ter- mine fisso ha luogo soltanto iiella formola X = { ) B L — prossimamente vera, non gia nel- Q, C c A Vesatta x = (7^ ) B L — : che aiiclie nella prima il C -i-c a termitie fisso non e costante, ma varia col variar del coefliciente B di verso in Inghilterra ed a Ginevra. iVfferma, che tra le osservazioni di Ginevra sette so- le ne ha trovate vicine al calor medio 69°, 7 F. (cor- rispondenti a 16", 76 i?. ); ma che due di queste e non piu son esatte; le altre, coiitenendo errori d'ol- tre a cinque piedi , non posson aversi per accurate. E qui non linisce la guerra da lui fatta al termine fisso.,, Questo, die' egli, e meramente precario, o al_ „ meno empirico; poiche e fondato su d' un' ipoiesi „ non provara dalTautor suo con alcuna ragione, cioe „ che s' abbia a prender il calor medio fra il supe- „ riore e V inferiore. Ma qual puo essere la ragioa „ di cio fare? Non altra che quella triviale usanza „ aritmeiica; per cui tra varii eventi non molto iue- „ guali, prendendone il medio, si determina 1' even- „ to prossinio al vero. Or da questa supposizione del SULT.E LlVnLLAZIONI BAROMKTRICIIE 38 I „ calor medio il chiarissimo De la Grange ha dimo „ strato spgiiirne; che il calore e presso a poco in „ progrt-ssioiie aiitmetica , cosa ripugnante alle osser- „ vazioni di iiitti ,. . Finalmente T auror disapprova anclie il modo con ciii il sig. De Luc ha fissata 1' e- spansione e coiidensazion dell' aria sopra e sotto ii suo termine fisso ad — ^ ; e ciia a questo proposito il sig. Damen , che aveva gia fatto lo stesso nella sua dis- seria^ione intirolata De montium altitudine dimeilen^ da &c. Hagae Comiturn 170.3. Alia congerie di tante obbiezioni pafnii, che il celebre fisico di Giiievra avrehbe ad un di presso potuto rispondere a questo modo. Voi m' opponete, che d«'lle sette osservazioni vicine al termine fisso due sole son esatie; le altre, conteneiido errori maggiori di cinque piedi non posson aversi per accurate. Ma la mia fissazione del grado 16,75 /f = 69,69 F. non e traita da sette osservazioni: essa e dedotta da tut- te quelle, in cui la dilTerenza tra il risultato logari- tmico e la vertical distanza delle stazioni non e mag- giore di quaitro piedi. In queste prendete i valori di ; uniteli tutti in una somma; dividetela pel nu- mero delle osservazioni; e giungerete ad un risultato ben vicino a 16 , 76 . Ma il mio metodo, dite voi,^troppo empirico: esso e unicamente fondato sopra una specie di gino- co, e fortuiia coinbiiiaziune dei nuuicri. Sia pure. Ma T. II. P. II. ^« in tutti i metofll pii'i diretti la deterniiiiazione del coef- ficinite costume, e qiirlla d< iresjiansion dell' aria per ojriii grado del termouutro sopra una data temptto a dirlo del mio sotto il nome d' einpirico da voi disprezzaro. Ali op|)oiiete, ch' io suppongo il calor decrescen- tp presso a poro in progressione aritmetica; e date per certo, esser (|uest' ipotesi contraria all' osserva- zioiie universale. Ma quali sou diuique le osservazio- ni, che provin la falsita delT ipotesi della progressio- ne aritmetica; e che di quella dell' armonica stabdi- scano la verita e 1' esattezza? Le osservazioni termo- metriehe fatte contemporaneamente a varie distanze verticali servon a deterininare la quantita dell'abhas- samento del liquore nel terrnometro per un dato in- nalzaniento di questo nelPatmosfera. Ma cio non ba- sta per conthiuderne di quanto il liquor s'abbassi per ogiii tesa a cagion d'esempio, di cui s'inualza il ter- rnometro. Convien sapere di piii qual sia la legge del- la diminuzion del calore ascendei)tt ; e per iscoprirla dovrebbe farsi un gran numero d' osservazioni a di- stanze uniformemente crescenti, come sarebbe di lOO in 100 tese; alBii di vedere coU' ajuto di qnesto me- todo empirico da voi spregiato ma necessario in t|ual ragione si corrispondano gl' innalzanienti del terrno- metro, e le depressioni del sue liquore. Ma queste SULLE LIVELLAZIONI BAROMETUICIIE 383 ofiservazloni ne si son fatte, ne sarebbero agcvoli ad esfgiiirsi. Lo stesso sig. De la Grange da voi citato, dopo d' aver diinostrato, die la inia regula conduce IP . Tn- -1 ^ y d X I \(i all equazion dilierenziale — -^ = : ove t esi)ri- me il numero dei gradi del terniometro sopra 16,78 soggiunge cjiieste pit cise parole : „ qui non si dovra „ far altro die avt're il valor di r in x o in y; ma „ qnesto non e facile: poiche, sebben sia costante „ che, crescendo le altez^e delT atmosfera colTallon- „ tanarsi dalla superficie terrestre, il calor dinnuui- „ see, non si e ancor potuto deterininar la legge di „ questa diminuzione ne per teoria ne per esperien- „ za „. £ notate, che lo stesso egli avrcbbe deito del- la formola generale -= jr-r.\ ^ioe che I'espressio- ne della fnnzione X in x o in y non s' e ottenuta ancora ne per troria, ne per esperienza. Kgli par la in appresso dell' ipotesi della diminnzion del calore in progressione arinonira proposta dal sig. Enlero; ina non ne fa nso verimo per detenn'oar la leggf delle rilVaz'Oiii asironomithe; al (pial fine si serve della nna re2;()la, che snppone i decreincnti del calore in una progression*' assai vicina all' ariiniecica. lo non so dunqne con qual fondaniento voi ab- Liate afTerinato, esser la formola x=(^ )BL — 3O4 V E N I N I esclusivainciite vera ed esatta ; il die suppone, chela tliminuzioii del calore ascendente in prOji,ressione ar- nionica sia la vera ed unica legge della natura. Ma quando qiiesto aiicor fosse vero, ne seguirebbe egli per cio; che i risultati della vostra formola dovesser essere seiisibMmente diversi da quel della mia? Ve- diamo. La sola dilTerenza delle due forinole sta nelle due frazioni ; ; delle quali la prima e il 2 C -t- c * medio aritmetico, la seconda 1' armonico frai calori delle due stazioni. La prima e alquanto maggiore della secouda; e la differenza loro si riduce a (C-cY ...... , , — rp; r quantita piccolissima anche per ie massime distanze verricali delle stazioni; cui corrisponde ancbe la difrerenza massima dei calori . Chiamata E Y e- spansion dell' aria per ogui grado del termometro detto di Reaumur comiiiciaiido dalla temperatura del ghiaccio la differenza diviene — X^ — „ — ^=-7- H va- ° a (a -t- ( r-*-t) E) lor di E per la mia regola e =0,0046512 facendo cominciar le espansioni dal grado 16,75; ma traspor- taiidone il comin< iamento al grado zero e =0,0050441; e di questo valore mi serviro per determinare una differenza cosi grande, che non puo aver luogo nel- le altezze dei nionti accessibili, ma in quelle soltan- to, cui giiiDgono qualche volta i giobi aerostatici cou osscrvatori provveduti di strumenti metcor(jlogici. Sia STJLLE LlVELLAZiONI BAKOME I'RICIIE 385 T =i 25; ^ = — 5; il the suppone un'altezza di cir- ca 3ooo tese. Sara chuupu; ( ( /' — ^) /^ )'= 0,022899; e 2(2-+-(7'-+-f)£') = 4,20i 764 . La diflerenza sara quindi = ^—^^ — o ' 000^498; cioe poco piu de mezzo per cento; cui corrispondereb])ero circa i 5 te- se su 3ooo. Neir osservazion del Moribianco fu T = 22 , 6; e t = — 2 , S . Calcolate con questi dati la differenza ; e la troverete =0,0036187; la quale per 2200 tese d' altezza e di te. 7,7. JNelle mie osservazioni del monte Saleve il valor massimo di T — t iioii giunse mai a 9° R. Ma aiiche per 9 gradi, supponendo 7"= 10; f = i, avremo —. ^ — —r-= o , ooo5; val a dire, clie la differenza de' a (G -«- c) risultati per le due formole sara d'un mezzo per mil- le. E per 5oo tese d'alrezza, alia qual noii giugne alcuna delle mie stazioni sarebbe d" un quarto di te- sa. Si calcoli coUe due formole la prima osservazio- ne della stazion XV; cd i due risultati sarauno di te. 487 , 93; 487 , 83; oude lutta la differenza ridu- cesi ad un decimo di tesa. 11 calrolo della mia for- mola e cert^inento a-^sai piii spedito cbe quel del- la vostia . Perche duuque, a risultati uguali, dovra darsi alia vostra la preft-reuza? Al paragrafo 20 voi preudfte a dimostrare clie, eupposti esatti i risultati dt-lla vostra formola X = ( -^ — ) B L — calcolati coUe dilatazioui tlelf a- C -»- c ' a 386 V K N I N I ria della vostra tavola I* iiiun termine fisso piio aver luogo (juaiitlo assai diversi sono i calori delle due sca- zioiii; il qiial termiae peio si verifica sempie uell al- tra formola x = { ) D L A Per non allungarmi di troppo io non entrero in un niimito esame della vostra dunostrazioiie; alia qua- le non poche cose avrei da opporre, e per mio av- viso non lievi. Diro soltanto, che, se pel nome di termine fisso s" intende il caso, in cui la differeuza lo- garitinica uiohipiicata per 6cooo da iuunediataineute r akezza in piedi francesi, esso lia luogo egualinen- te nelle due ipotesi della diininuzioii del calore : in quello della progressione armonica quando aCc 600C0 B : in quella della progressione aritmetica quando e C -¥- c 60000 T.^ • C '• ^ 1 -1 - — = — -— . Ma se per termine nsso s intende 11 nu- mero dei gradi corrispondeiite alia temperatura media della colouna aerea nei casi anzidetti, esso conviene e- sclusivameute alia progressione aritmetica: ed eccoiie la ragioue. Per 1' ipotesi della progressione aritmetica le C -t- c A altezze son date dalla formola xz=B lie { ) ^ — ? e dal complesso di tutte le mie osservazioni si dedu- ce, che per averla in piedi di Francia dee p^rsi B I \o=- 55325 , 5S; C = i n- (o , 0000441 )T\ e c = JV 6ULLE LIVELLAZIONI BAKOME TKICIIE 807 1 -+- ( o , 0060441 ) t\ i qiiall valori la riducono ad X = 553a5 , 58 ( i m- ( o , 008044 1 \ --— ) L - . Ora, afliiiciie qu'^sta formola dia le aUezze in piedi franctsi per intzzo dtlla sola dirteretiza lo<»aiiiiuica niuliiplicaia per 60000, egli e mestieri, che Oocoo sia = 55j25 ,.58 ( i -«- (o , 0060441 ) ): e quindi i-H(o,ooo044»)-- = ,33^3 33= i ,0845. la quest' cquazione prendo per incognita la temperatura I- T" -+- ^ o , 0845 mtuia ; e trove, esser questa = -:r-- = a ^ o , C00C441 16 , 761 . INell' ipotesi deila progressione aritmetica le al- t^zze son dunque date in piedi dalla dillerenza lo- garitmica inoltiplicata per 60000 quando la tempera- tura media aritmetica della colonoa d'aria e = 16", 75. La formola per la progressione armonica e X == B I 10 ( ) Z — ; e questa, chiamando E I'e- C -t- c a ^ spansion delT aria supposta uniforme, diviene P . {2(1 -^rE)(i -*- t E)) r -4 A I X = B I 10^ — ^ yJ ^ — , „ — '-^ L - . Anche que- a -t- ( T -¥■ t) E a ^ sta dara x = 60000 L — quando sia a ^ 388 V E N I N I -A^^il^'lI^JHIlA^^J^. Ma da quest' e- quazione non si piio dednrre alcnn valor fisso dl . a Tt T-^t media temperatura armonica della colonna aerea da misurarsi . Voi osservate, the anche per la formola a; = ( ) B L \\ terniine fisso non e costante, ma a ' a ■varia col variar di B diverso in Inghilterra ed a Gi- nevra. Ed io ne condiiudo, die, se le osservazioni del General Roy soiio esatte, e dan nondimeno un coefliciente diverso dal mio, cio vuol dire, die ad egual temperatura non corrisponde in Inghilterra ed a Ginevra lo stesso rapporto frai pesi specifici del- r aria e del mercurio sorto un' egual pressione at- mosferica; e die nei due luoghi diverso debh' essere anche il termine fisgo. Ma questa diversita non to- ghe, die il mio non sia esatto |>el luogo delle mie osservazioni , e probabilmente per tutti quelli, ai qua- li non giugne 1' aria manttima per la sua maggior umidita piii dilatabile della terrestre ad un' egual temperatura. Voi nii rimproverate d' aver senza veruna plau- sibil ragioiie sosiituito it caior medio costante al ca- lor variabde della colonna aerea da misurarsi; ed a questo io rispondo, che parmi d'avf^rlo fatto con fon- damento. Se ndia diniiimzion drl calore dal basso air alto ha luogo qualche legge costante, quella del- SULLE I.IVELLAZIONI BAKOAJ ETKICIIK ^09 la progressione ariimctica e la piii senij>lice e na- tuiale; ed io per cio V ho atlotcata. F/ vero, die sosfiuH-tido al calor variabile tli (piesta ipotesi il calor oostante e medio aritmetico fra qnelli delle due stazioni, non si hau precisaniente i incde'imi ri- snltati; ma la dillerenza tra (juesti e quasi iuseiisi- Lile il) tutte le mie stazioni; eJ aiiclie per le massi- me alrezze dei moiiii, ove si puo salir col harome- irn , non e maggiore di 2 o 3 tese . Quindi il sig. De la Grange alia pag. 264 del la sua AJemoria non ha avuto difficoha d'affemiare, che„ frattanrlosi sol- „ tanto di misurar le altezze dei monti col harome- „ tro si potra senza error sensibile riguardare la quan- „ tita t come costante, e per maggior esattezza potra „ prendersi per t il grado medio fra gli osservati al- „ le due estremita dell' alfezza da misurarsi. faj Vengo fmalmente alT ultima delle vostre obhie- zioni ; in cui si tratta della correzion da farsi all' al- tezza logaritmica per ogni grado di calore sopra o (a) II si>;. Dc l.i Grange rliiama t il valor varialiile dei gradi del ter- mometro sopra o sotto il lermine fisso 16,75. Quindi io credo, ch' epli abbia intpso di diie; die per f potra preiidi-rsi la ilifferenza tra il grado medio dcgli ossetvati al|p due stazioni ed il terniine lisso . Auche nella foruiola del big. Laplace rjurlla paite del coefEciente, che spetta al calore h espressa da ( ) ( 0,00875 ); dove t , t' sono le altezze del termometro a srala centpnaria sopra la temperatura del gliidcrio in fusione, o sotto pe h.inno un valor negative. Oiimiii vede adiinqup , che an' he in quella loruiola irovasi il medio aiiiinetico tiai calori deile due stazioni; contro il quale il sig. Hennert ha tauto dccla- mato. T 11. P. II 49 390 V E N I N I sotio il termine fisso 16,75, e da me fissata ad --= III quest' obbiezione voi dice:,, non ha egli dunque „ arbitrariainente stahilito, die i gradi di calore cres- „ cauo o deirescaiio colla diHereuza delle aliezze? „ Questo inet(3do e gia stato ceusuiato dal doitissi- „ mo Dameii nella Dissertazione sulTakezza dei mon- ,, ti ecc. alle pagiiie 34 , 35 „. Rdeggete con qualche attenzione il paragrafo 6o5 della mia opera; e tro- verete, c!ie io nulla ho stabilito arbitiariamente; tro- verete auzi, die lio dedotto da un laborioso confron- to delle osservaziotii questa conseguenza : che lecces- 80 ed il difetto delTaltezza logaritmica sopra e sotto la vera e proporzionale al iiumero dei gradi del ter- mometro sopra e sotto il termine fisso con piccolissi- me dilVerenze da un caso all' altro. Ed io non credo, che della verita di questa pro- posizioiie si possa ragionevolmente aver alcun dubbio. Imperciocclie anche nei metodi, die si chiaman diret- ti, dopo di aver determiuato coH'esperienza il coefficien- te costante B corrispondente ad una determinata al- tezza del barometro, e ad una data temperatura T' deir aria e del niercurio, se ne conchmde la formola x= B I 10 ( '• ) L - ; la quale, nella supposizio- ne delle espansioni E delT aria unifonni, si cangia in x = Bl \o {i ^ { ^^ ~T' )E)L^ equi- valente a quest' alira SULLE LIVELLAZIONl BAROMETIUCHE 89! la quale il primo termine espriine V altezza per la temperatura T\ ed il secondo I'eccesso o il dil'eito di queir altezza sopra la vera. Or quest' eccesso o difetto e manifestameiue proporzionale alia dinereu- za delle temperature e T' . La proporzionalita avra dunque luogo anche nel caso di J"' = 16 , 76; pel quale Bl 10 e = 10000, che eappunto il caso inio. Voi terminate le obbiezioni vostre dicendo, die il mio metodo di determinar la quantita della corre- zioue da farsi al risultato logaritmico e stata censu- rata dal sig. Damen. Ma la sua ceusura a che si riduce? Or ora il vedremo. Egli calcolo separata- ineiue quattro dtlle mie osservazioni; e trovo queste correzioni — ; - — : — ; — . La secouda a dir ve- aix doa 214 Ai^ ro s' allontana sensibilmente dalla mia; la prima le si accosta assai piu. Ma si avverta, die queste osser- vazioni furon faite uella secouda e terza stazioue rim- petto ad uuo scoglio, che col suo riverbero reude irregolare la temperatura della colouna aerea da mi- surarsi. Quest' irregolarita fu picciola uelT osser- vazion prima fatta ad una bassa temperatura; per cui lo scoglio uou pote guari scaldarsi; ma ben piii grande fu neila secouda fatta al 7 d' Agosto a ciiujue ore di sera, e ad una temperatura media di gradi 39a V E N 1 N I 22 , -jS R. AW opposto le altre duo osservazioni fat- te ill circostaiize iion soggette ad eccezioiii dan le correzioiii cjuasi eguali alia mia. II sig. Daint^ii ag- giunge d' aver calcolate altre osservazioni fiite in tempo caldo ed a piccole' altezze, e d' aver trovato, che in quelle circostanze la correzione — : era per il>0 lo pin troppo picriola. Ed io rispondo; die in quel- le circostanze appnnto troppo grande fu Tirregolari- ta del calore; prr cui furon piii o nieno erronei i ri- sultati della correzione. Ascoltiani ora la general conchiu^ione del sig. Damen.,, Ma poiche, dic'egli, le dill'erenze trovate „ sono assai piccole, il valor della correzione — ras- „ segnato dal sig. De Luc sembra, che sicnrament^ „ si possa ammettere come un valor medio; quantun- „ que io creda^ ch' egli avrebbe pin esattarnente o- „ perato calcolando separata niente tutte le sne osser- „ vazioiii.,, Io non m' oppongo a qnesta conchinsio- ne per me favorevole. Dico soltanto, die, calcolando ad una ad una tutte le mie osservazioni avrei dovu- to faticare assai piu per giunger finaimente al mede- simo risultato. Ed io qui terminero questa specie d' apologia, con cui mi sono arrischiato di flir parlare il celebre fisico di Ginevra. Essa potra sembrare ad alcnno trop- po prolissa; ina non a chi pensera , che un autore tanto esatto e laborioso, e di questa parte ddla fi- SULLE LIVLLLAZIONI BAUOMETIUC Illi 5-+- ^^ esprnnen- do per R il raggio osculatore del luogo dell' osser- vazioue . Suppongasi nota la discanza vertical dei barome- tri, cbe si cbiami D, ed incognito il valor di B. Sa- ra dunque D = B lio{ ^^^ ) L - -i- ; dalla qual si deduce 394 V B N I N 1 {R-D)D a a Chianiando T la temperatura media, ed ^ 1' e- . C -*- c spansione dell' aria sara = I -t- T E, e per con- seguente £ = {R~D)D {Rl loL- ^Q.D){i-^TE) a ■ ; ove A ,aj e T esprimon le altezze medie dei barometrl e del termometri per un dato numero d' osservazioni. Sian ora A\ a' , T' le altezze medie corrispon- denti per un altro numero d' osservazioni ; e queste daran similmente j5 = (R~ D) D (RlxcL-,-i-iiD){i-^T'E) Da quest! due valorl di B risuka quest' altra e- quazione { R I \o L-, -^ o. D ) { \ -^ T' E ) ^ {Rl 10 L^ -^- 2 D){i -i-TE); dallaqual si deduce E= - Rl io( L-~L~) a a' T'{Rl\oL- -k-s.D)~T{Rl\oL--^% D) a' a Nel case della stazion XV abbiamo pel num. 73 4 D = 487 , 778; Z/ - = o , 0600647 ; T = 1 1 , 249 ; 6ULLF. LIVKLLAZIONI BAKOMLTIUCIIE 39.5 Z — = o , 0480860; e T' = 19 , 674. Finalmeiite il valore di R pel num. 67 e = ^2669 14 , 29. Facta neir equazioii precedence la sostitiizione di tutti questi valori trovasi E =. ' ^"^ = o , oo5i36. Sostituisco qnesto valor di E in uno di quei di B; e trovo B = 3988 , 405. Sara dunque B I 10 = 9183 , <625. La formola generale vien quindi ad essere a: = 9183 , 625 ( I -+- ( o , oo5i56 ) ) Z — -*- -^ i ' ' a 7976,8.(1 -(-I1:^(o,oo5i56))£>-hD* r— 7 . ; nella quale Z? 0^60914 J ag ^ esprime il valor dell' incognita x calcolato col primo termine solo. Applicando per esempio questa formola alia pri- ma osservazione della stazion XV si trova Z? = 486, 354; raccrescimento corrispondente al secondo termnie 5= I , 3o6: e per conseguente 1' vdiimo risultato e di tese 487 , 66. Calcolando colla formola della gravita costante posta al num. 72, si trova 487 ,611; e col- la regola del sig. De Luc 487, 9^. Le dilTerenze di questi risultati son piccolissimci e tutti sou (jiiasi e- guali air altezza della livellazione 487 , 778. Calcoliam ora la massima altezza, per la rpiale siensi fiitte col baroinetro esatte osservazioui ( voglio di rquella del Monbiauco sopra il Lemaiio ) cosi col- 3y6 V E N I N I la regola di De Luc come colla formola precedente della gravita variabile affin di vedere quanta sia la tli(Tereuza dei risultaii. Si avverta pero, die in (jueste osservazioui i termomeiri furono alTonibra; on- de per applicarle alia regola, che li suppone espo- sti al Sole, ne accrescero le altezze d'ua grado di Re- a\imur quasi eguale a 3 di Far. Per calcolar le os- servazioui abbiam duuque i dati seguenti J = 326 , 6 liu.; a = 192 , 9 ; T= 23 , 6; e f = — i ,5. A queste altezze dei termometri corrispondou quest'al- tre neila scala del sig. De Luc T = -^ j5 , 892; t = — 42,48; e 7' -H f = _ 26 , 588. Da questi dati, risul- ta Z - = o , 2287903; e per conseguenza 1' altezza cercata e second© la regola = 2287 , 9o3 '- — ^ ' -^ 1000 ( 2287 , 903 ) = 2227 , 072 . Per far il calcolo colla formola della gravita de- crescente abbiamo =: 11 , o5. Sara duuque J -H ( ) (o , oo5i56) = I , 056972; e da questi dati risulra il valore del primo termlne Z) = 222o,83 tese. L' accrescimento dato dal secoudo terrniue e ^= 7,242; e per conseguenza I'altezza totale e =2228, 072; e la dilTerenza dei due risultati si riduce ad una tesa quauiiia, per un' altezza tanto graude assoiuia- meute uegligeutabile. Coiichiudiam duuque, die la regola del sig. De SULLE LIVELLAZIONI BAUOMLTRICHE 897 Luc d' un calcolo semplicissimo si puo nolle livella- zioni barometriclie senza alcuii sensibil erroie appli- care anclie alle massime altezze. Articolo II Correzione del/a rcgola del sig- De Luc projxista dal Cavalier S/iuckburg, ed.esnine delle misure Qeometriche , sulle quali k fondata. 70. II Cavalier Sliuekhiirg, trovaiidosi a Ginevra con una copiosa suppellettile di buorii struinenti astro- nomici e fisici, voile verificar la resiola del si". De iuc nel luogo niedesimo, in cui Y autore avea fatte tante osservazioni |H^r istahilirla. A qiiesto fine egli niisuro geoinetricaniente 1' altezza della sominita del iiionte Sale\'e sopra una stazion i'lferiore; e trovo, dopo aver fatte con somina diligenza le osservazioni barometriclie contemj)oranee alia cima del monte ed alia stazion inferiore, die cjneste calcolate coUa re- gola di De Luc davano un' altezza niinore della geo- metrira di 2 e quasi un terzo ])er loc. lo non dubito dell' esattezza delle sue osserva- zioni barometriclie; dubitando pero , ch' egli abbia potuto ingannarsi nei calcoli della niisura geonieiri- ca, ho voluto verificarli; e non senza maraviglia gli ho trovati erronei per modo, che la vera altezza cal- colata esattamente suHe sue misnre della base e de- j^li angoli e qa;Hi perf«"ttamente conforme alia rego- la del sig. De Luc: poiche ne snpera il risultato d'un sol terzo di tesa su 4-3^ , 72, o di 8 j)er dieciaiila. T II. P n. 5o SqS V e n I n I Ora, alTiiu'Iic il lettore possa giudicarne con fonda- niento, riferiio in priino luogo le osservazioni geome- triclie del fisioo inglese; esporro in appresso i miei calcoli unicaniente appoggiati alle sue misure della base e degli angoli; e inostrero in fine qnanto il ri- 8ultato, cui questi conducono, sia diverso da quello del Cavalier Shnckburg, e ([uanto per lo contrario s accosti a quel della regola dell' accuratissinio fisico di Ginevra. Sir SUuckburg ( com' egli dice nella II' parte del volume LXVIl delle Transazi^ni filosofiche, pag. 5i8 ) misuro appie del monte Saleve la base A' B' (fig. VI) d'un triangolo, il cui vertice C era la som- mita del nionte; e trovolla di piedi inglesi 2760 , 8. JVlisuro poi gli angoli A\ B\ C'; e n' ebbe A' = 58* 28' 49", 25; B' = III" 52' 16"; e C = 9" 35' 54", yS. Finalmente, calcolato il triangolo ne conchiuse A' C = 15286 , 4 pie. ing. : e B' C' = 14041 , 7. Verifica- ti i calcoli io gli ho trovati esatti colla sola differen- za d'un decimo di piede in amendue le lunghezze. L' inclinazione delle visnali A' C , B' C alia retta orizontale fu dall' osservatore determinata nel modo seguente. SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE Altezza di C sopra A' Inclinazione 6\ A' C lo" 33' Correzion della parte osservata del segnale — l' Correzion per la linea di collima- zione Correzion per la rifrazione 399 • • » 33" 59" 27" Vera altezza di C sopra A' . . . . \o° 29' Depressione Depressione di A' sotto C 10" 29' 'pel segnale Correzion sper la collimazione , (per la rifrazione . Vera depressione di A' sotto C . . 10° 3i' Arco intermedio o curvatura ... — a' 58" 18" 16" 59" 27" o" 3o" Vera altezza di C sopra A' per Tos- servazione in C" 10* 28' So" Altezza media di C sopra A'. . . 10° 29' 14" 400 V E N I N 1 Altezza di C sopra B' Inclinazione di ^' C n" ao' 26" (pel segnale — 1' 33" Correzione j per la collimazione . . — 59" 'per la rifrazione .... — 26" Vera altezza di C sopra ^'. ... 11° 17' a3" Depressione Depressione di B' sotto C 11° 19' 47" rpel segnale — $9" Correzione jper la collimazione . . -»- 59" 'per la rifrazione .... ^_ 26" Vera depressione di B' sotto C . . 11" 20' i8"{a) Arco intermedio — 2' 18" Vera altezza di C sopra B per I'os- servazione in C ij" i8' e" Altezza media di C sopra B' . . . w" 17' 41", 5 (n) Qui h scorso qnalch' errors di stampa o nella sonirna o iiella cor- |K rezion del segnale. lo siipporrik esatta la 80Qima , e che la ccrrczion del f>| segoale debba esser — 5+" . SULLE LIVF.LLAZIONI BAROMETIIICIIE 40 1 Altezza di B' sopra A' Angolo d' inclinazione della ba- se J' i?' o* 27' o" Error della coUimazione _ $9" Altezza di B' sopra A' ...... . d° 26' i" Depressione Depressione di A' sotto B' 0° 27' 4" Error della coUimazione h- 59" Depressione di A' sotto B' 0° 28' 3" Arco intermedio — 27" Altezza di B' sopra A' per 1' osser- vazione in i5' 0° 27' 36" Altezza media di B' sopra A' . . . 0° 26' 49" Prima di esporre i miei calcoli io faro su que- sti dati alcune osservazioni. E primieramente io non 80 vedere per qual ragione il fisico inglese, volendo determinar 1' altezza di C sopra A' per mezzo dtl- r angolo medio frai due d' altezza e di depressione, abbia posta frai dati aiiche la rifrazioue; poiche que- 8ta nel far la somiua, di cui prendesi poi la meta, ^02 V E N I N I deve per la contrarirta de' segni necessariamenre sva- nire. In oltre perche ha egli supposto uell' osser- vazlone fatta in A' 1' angolo al centro di 2'3o'» e la ri(Va/ione di 27 secondi? Agevol cosa e il dimo- strare, die, se gli angoli d' alcezza e di dt-pressione appareiue sono esatti, le due supposizioni son con- traddittorie tra lore Imperocche nella formola di ri- frazione a -^ r = f- 264 , 81 esprimendo per R il raggio osculatore della latitudine di Ginevra; il quale pel num. 67 k = 32669 14,29. Sara dunque CA = 8267 1 79 (a) In fine della meuioria di Sir Sliiirkhurg liavvi una tavula; in i-ui fra molt' altre ^ registrata un' osservazione facta al pnnto A' della I)ase ed al tPtto della el niio ris-iltato di 7S , 72 te. Al par. 648 delle ricerche del sig. De Luc leggesi , che la sua base fu snperiore al lago di 2+ te. La dibtanza verticale delle due basi sarebbe dniupie per queste misure di 49 , 72 te. in luogo di S^ , 14; lo rlie porterebbc una dilTerenza di te. 3 , 42 quantity del tutto negligentabile nei calcoli, che iiieaio in appres$o> 404 V n N I N I negligentando iin decimo di tesa. Vediam ora qual sia Tangolo al centro nel triangolo CAB, uel qua- le il laio A D corrispoiide alia visuale A' C \ che si c trovata di pie. ing. i5286 , 4 = 2S90 , 55 te. fran. L'angolo d' altezza di C sopra A' noa corretto dal- la rifrazione f u = 10' 3o' tio '. Quiiidi per far il cal- colo abbianio C J = 3267179; y4 ^ = 2^90 , 55; e l'angolo intermedio = ico" So' 25". La meta della sonima dtgli akri doe angoli k per consegiiente 39'' 44' 47", 5. Ahbiamo in oltre CA — y^Z? = 3264788,45; C A-^ A B = 3269569 ,55; e da tutti questi dad viene il calcolo seguente L tang ^ "*" = 9 • 9'99^86 L[CA — AB)= 6 . 5i38549i97 16 . 4337635197 L[CA-^AB)= 6.5144905787 L tang -' = 9 . 919172946 ; a ^^ = 39" 42' 19" , 12 C = 2* 28" , 38 . L'angolo di depressioiie di A' sotto C' non cor- retto dalla rifrazione fu 10° 3o' 33". Nella forinola di rifrazione r = ^-^'^^^^ pongo i valori preceden- ti; e mi risulta SULLE LIVELLAZIOWI BAROMETKKMIL 4o5 lo" 3o' a5" -H a' a8" , 38 — lo' 3c' 33" = r lo" , 19, Se la inisura degli angoli d' altezza e di depresslone fosse esatta, la rilVazione sarelibe diinque piesso die la meta dell' angolo al centro, rosa inaiiirestameiite impossibile : e quindi non si piio diibitare, die le misure degli angoli noii siaii fallaci. Ora per vedcre a quaiito possa ascender presso a poco 1' errore, io osservo, che pel num. 67 11 valore di - sara stato * n = 0,081181 per una pressione armosferica di 28 pel. e per la tenqieratura zero. JNon mi e noto a qnali akezze fossero il haromeiro ed il termometio quando furon misurati gli angoli d' aliezza alle due estremita della base. Nou potendo far megiio io le supporro dunque uguali a quelle, cb' ebber luogo alia stazioa iiiferiore nella prima osservazion barometrica del li- eico inglese, epoca piii d' ogn' altra vicina a quella della misura degli angoli. Or questa supposizione mi da il barometro a pollici francesi 26 , 64^; ed il ter- mometro a gradi 18,6 /?. Per questa temperatura il valore di — si riduce a o , 073782. Nelle circoscan- ze della misura degli angoli sara dunque stato m 36,643 (0,073782) f _ = — '—-1 — !-'__£_£ — i = o , 070206; e per conse- n a8 guente — = (0,070206) 148", 38 = 10", ^17. Quin- T IL P. JI 5i 4o6 V E N I N I di avremo il vcTO angolo d' elevazione = io° 3o' 25" — lo" , 417 = TO° 3o' 14'' , 583; ed il vero di d'l-pres- sione= 10" 3o' 33" =2' 28", 33 -+• 10", 41 7= 10° 28 i5", 037. Ora, supposte le misiire esatte, qiiesti angoli do- vrebbon esser uguali; e cio posto la differeiiza loro, cioe i' 59", 546 viciiiissinia a due miniiti e una con- seguenza del valor inesatto degli angoli. Agli errori comniessi nelle inisure degli angoli credotce 1' antore di poter rirnediare coll' nsitato espe- diente di prender mi medio fra gli angoli osservati d' altezza e di depiessione diininuito pero questo del- r angolo al centro; ch' egli snppone = 2' 3o" : ma non osseivo, clie nel triangolo AB F, dati i due la- ti A B , J F^ e dato anche T angolo F J B; il quale in questo caso sarebbe diversissinio e dall' angolo 05- servato e dal medio. Infatti il lato A F, il quale pel num. 54 si confonde colla tangente dell' angolo al centro moltiplicata pel raggio, 6=3267179 tang. 2' 3o". Ma lo stesso lato A F d anche = A B cos. FAB. Da questi due valori nasce dunque T equazione J-, J r, 30,67170 tans;, a' 3o" , ,, ■, ■ ■, cos FAB = ^— K- ^- ; dalla qual si de- aoyo , 55 * duce L cos FAB^=g 9973412; cui corrisponde I'an- golo 6" 20' minor del medio piu clie di 4 gradi. Concbiudiam dunqne, clie, essendo tutto il cal- colo trigonometrico appoggiato all' angolo osservato d' altezza, ed alle lungbezze della visuale e del rag- gio osculatore, qnando 1' angolo osservato e troppo incerto, la prndeuza vuole, die 1' osservazion si ri- getti; percbe 1' incertezza dell' angolo si spande su 6ULLK LlVELLAZIONl BAKOMIi'l'RIC Hli 1:^.07 tutti gli elemt'titi e risultati del calcolo. 79. Facciain ora lo stesso 'jsame degli angoli nii- surati ai due estremi dell'altra visuale B' C'. Per a- ver il valor esattissiiiio del raggio osciilatore del pun- to B' convien prima determinare di quanto B' sia stato superiore ad A' \ il che s' ottiene per mezzo degli angoli d'altezza e di deprcssione dei punti me- desmii, e del valore di A' />'. Ma anche nelle niisu- re di questi angoli souo scorsi alcuni errori; la cui somma passa un minuto e mezzo. Cio non ostante r altezza puo ancor calcolarsi per approssimazione; e si trova, che B' fu superiore ad A' di tese i , 4 valor quasi eguale all' assegnato da sir Shuckburg, che lo dice di pie. ing. 22 , 18 eqnivalenti a,3 , ^69 tese di Francia. AU'estremita B' della base fu diiiique C A (fig. I*) = 3. '6 7 1 82 negligeiitando 4 decimi di tesa. La visuale JB lu di pie. ing. 14041,7 = 2193,9 te. Iran.; Tan- golo apparente d'altezza EAB nou corretto dalla rifrazione = 11'' 17' 49"; e quindi = 39°2i' 5", -S, Fatto con quesd dati il solito calcolo si giugne al risultato :£-Il? = 3(/ ,8' 49" , 57; e C= 2' i5" , 93. L' angolo di depressioue non corretto dalla ri- frazione tu = 11° 19' 52". Sostituisco i valori di a , d i u = C nella formula di rifrazione; e mi risulta 4o8 V E N I N I Qii(*sta rifiazione sembrera forse a taluno im po' piccola; ma ptTo non e guari di versa da qiiella, che si troverebl)e colla regola del sig. Mayer; ed ecco iu qual inodo. Abbiam veduto poc'anzi che nel tem- po della misura degli angoli il barometro fu a pol. 26 , 643; ed il termometro a gradi 18,6/?. A que- sto grado di calore la rifrazioiie sarebbe per la del- ta regola = ( o , 06777 ) ^ st^ 1 altezza del baro- metro fosse di 28 pol. ( vedi il num. 5j ); ma si ri- duce a ( o , 00497 ) C per 1' altezza di 26 , 643. Nel caso nostro C e = i36"; e questi moltiplicati per o , 06497 tlaniio 7" , 476 rifrazione d' un solo secon- do maggior della nostra. Facendo uso ancbe in questo caso del valore di m n medio fra quelli d' Italia e di Francia, ed appli- candolo alle circostanze della misura degli angoli avrem di nuovo == o , 070266; ed — =(0,070266) 1 35" , 93 = 9'' , 54. I veri angoli d' altezza e di de- pressione dovetter dunque essere 11^ 17' 39', 46; ed 11° 17' i^5" , 61 ; la cui diUVrenza si ridnce a 6" , 1 5. Questa e cosi piccola, che gli angoli si posson consi- derar come esatti, o almeno non abbiam motivo di crederli erronei . Cio posto si i^no passare al calcolo dell' altezza; al qual fine si ha CA = ^2Gi\S2; EAB= 1 1" i7'49"' ^ = 2' i5" , 93 ; e 5 = 78° 39' 55" , 07 . Con questi da- ti fassi il calcolo se2;uente. SULLE LIVEIXAZIONI BAUOMETKICHE 409 L COS E A D = 9 . 9((i5o3oa LC A = 6 . 51417827 16 . 50867639 L sen B = 9 . 9914457294 LC B — 6 . 5i4.i3o56o6 C B = 3267612 , 49; D B =■ 480 , 49. Vegglarn ora qiianto quest'altezza possa esser alte- rata dalla rifrazione. Qui sopra abbiatn trovato, che questa e = 6" , 465. Sara tlunque E Ab = E A B — 6", 465= 11" 17' 42'' ,535; ed AbC = B -*- G'^^SS = 78" 40' 1" , 535. Replico il calcolo con questi nuovi valori dt-gli angoli; e n' ho per risultato L C b = 6.5i423o56o6 valore perfettadiente ugualc a (juello di L C B; onde segue, esser in quesio caso iusensi- bile i' eiietto del la ritrazione. Prendeudo un medio fra Vangolo apparente d'al- tezza e quello di depressione diuiiuuito deli' angolo al ceutro si trovera E A b =^ 11" 17' 42" , 533; e per conseguence J /> C = 78" 40' 1" , 535, cioe i valori medesimi trovati pur ora. E qtiindi si vede, die il calcolo dell' altezza fatto coil' angolo medio conduce agli sressi valori di Cb^Db posti qui sopra. Col inetodo del num. 53 si deiermuia \ altezza D B per mezzo del triaugolo A B Z), e colia formo- sen {E A B -^ - ) U DB = J D -—- - — ^; . La corda J Z) e = cos {L A h -^- u) 410 V E N I N I 2 C A sen - ; e, sostituiti i valori di C A, sen — , a a = 2l53 , 12. L' altezza D B e data dal calcolo seguente. L sen {EAB •*--)=: 9. 29278654 LAD = 3 . 333o68a7 I a . 6a58o48f L cos {EAB -*- u) =: 9 . 99144573 LDB = a . 63435908 ; D Z? = 430 , 88 . Questo rlsultato supera il precedente calcolato col triangolo CAB di 4 decimi di tesa. Calcoliamo alfiae T altezza inedesima anche per mezzo del triangolo A B F. Se vuolsi determinar il Yalore deH'aiigolo al centro C supponendo y^/'ugua- le alia tangente di C presa in uu circolo del raggio r> A • 'r /o A B cos E A B ^ n o ic L A SI avra L tang C = j^—z = 6.81894235; cui corrlsponde C= 2' 1 5", 946. Questo valore debb'es- ser alquanto niaggior del vero, com' e in fatti; ma la diflerenza e di soli 16 millesimi di secoiido; poi- che il calcolo rigoroso del triangolo C A B ha. date C = 2' i5",93.^ r» 1 n 1 A B sen E A B , , , s Uovendo essere B d = ^ ( num. 54 ) cos L) SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 4I 1 per determliiarue il valore si calcolera a quesio inodo L sen E A B =. 9 . agaoao^G LAD = 3 . 34i6ia6 la . 03363336 LcosC =2 9 . 9999999 LBd= a . 63363346; 5^ = 430, 1 63. II valore di d D pel num. 54 e dato dal calco- lo seguente ( 120'' )' : ( 1 35 , 93 )" = O . 0000002 : X L X = d . 4o9a98a LC A = 6 . 51417337 LdD = 9 . 9a347f47; JD = o,838; 2?D = 43i,ooi. Qiiesto risukato supera di 5ii milleaimi di tesa quello del triangolo CAB. Le differenze dei ire risultaii sono assai piccolcj e prendeiidone un medio si potrebbe fissar 1' altezza dt'lla sommita del Saleve sopra 1' occliio deir osser- vatore aU'estreniita piu elevata della base a tese 430, 79. Supposta r altezza deli" occbio di cinque piedi o tese o , 83, 1' altezza media sarebbe 4^1 , 62; e so- pra r altra estremita della base (infcriore di 3 , 4 te. ) di 435,02. Ma io credo, die il calcolo del triango- lo C A B dia le altezze piii esatte; e cio posto m'at- 4ia V n N I N 1 terro al risultaio del ealcolo di ([iiel triangolo, il qnal da per 1" akez/.a di C sopra rocchio 4^0,49; sopra ^' 4^1 , 32; e sopra A' 4X4 , 72. II Cavalirr Shiickburg, Sftiz'indlcare in qual mo- do abhia calcolata Taltezza di C sopra B\ dice seiu- plicenieiue, ch' essa fii di 2806 , 27 pie. iiig. = 4S8 , 8566 te. fran. maggior del inio risultaio alquanto piu di te. 7 f. Ma per aver 1111' altezza presso a poco egiiale alia sua converrebbe supporre 1' aiigolo d'ele- vazione maggior deH'osservato di 12' 3o" alio iucirca, Infatti se E A B fosse = 1 T 3o' 20", il ealcolo del triangolo AB F darebbe C = 1' 1 5 " , 847 ; 5 f/ = 438; d D = o ^ 6v6\ e D B = 438 , 616 minore delT altez- za assegnata dal calcolator inglese d' un quarto di tesa; ma maggiore alquanto piu di mezza tesa aggiun- gendo al risultato 1' altezza dell' occbio sopra B . 80. Se co' suoi dati, cbe sono ^ i5 = 219.3 , 9; angolo medio d' elevazione = 11° 17' 41" , 5; ed f = C = 1' 18" egli avesse calcolata 1' altezza per mezzo del triangolo A B F ^ avrebbe trovato r, J 219.5^9 je« ( 1 1" 17' 4i",5 ) _ T ^ ^^= cosi.-J) =430,09 te. Inoltre, essendo probabile (come spieghero qui sotto), cb'egli abbia supposta la sua base distante dal centro della Terra di tese 3269297; egli avrebbe poiuto determi- nar il valore di d D con questo ealcolo ( 120" )* : ( l38" y = O , 0000002 : X SULLE I,IVELL\ZIONI BVUOMETRICUE 4l3 Z/ a; = 3 . 4aM-i58 LC A = G . 51445443 LdD = () . 98088023 ; c? /> = o , G65 ; Z> i? = 43o , 965 te. Questo valore puo dirsi eguale a fjiiello, ch' io ho trovato pur ora calcolando iiello stesso modo; poi- che la diH'erenza loro e di 3 pollici soli . Ho detto, esser proljabile, che il calcolator iii- glese abbia supposta la sua base distatite dal ceutro della terra di te. 3269297; ed eccone la ragione. So- gliono alcuni per soverchio amore di breviia ( clie soverchio dee dirsi quaudo sensibilmente pregiudirhi air esaitezza ) calcolar T angolo al centro nella se- giiente maniera. E' suppongouo in primo luogo col Pi- card e col Cassini il raggio terrestre di te. 3269297, e per couseguenza ogni ininuto primo della circonfe- reuza di te. 951. Suppougon poi, che Tarco AD mi- sura deir angolo al centro sia, come debb' essere, al- quanto minore della visuale J B , e, ditniuuita que- st a di quel numero di tese, die lor setnbra piu coii- venevole, la dividon per o'ii; ed harmo cosi nel qno- ziente 1' arco intermedio A D espresso in minuti. Che cosi abbia fatto auche sir Shuclcbiug io lo cougf*ttu- ro dal valore 2' 18" per lui assegnato all' angolo al centro. Imperocche, se diminuiremo d'uiia do/.zina di tese la visuale AB riducendola a 2184: iudi la divideremo per 951, ne avremo il quozieute 2' , 20'> = 2' 17", 76 valor vicinissimo a qiiello di Shuckburg; T. II. P. IL 5a 4T4 V E I? I N I cui poco importava il tener conto di 24 centesimi di secoudo . Vediarn ora a qual risultato ei sarebbe giunto se coi medesiini datl avesse fdtto il calcolo per mez- zo del triangolo C A B. \ dati son quesii angolo medio d' elevazione j£' y^ ^ = 1 1° [7' 41" , 5; angolo al centro C = 1' 18"; angolo B = 78° 40' o", S; C A = 3269297. II calcolo e dunque il seguente. L cos E A B = 9 . 99 1 5o6 1 7 LC A = 6 . 51445443 16 . 50596060 L sen B = C) . 99 14480 1 LC B =: 6 . 51451259 C B = 3269735 , 26 ; Z) i? = 438 , 26 te. (a) Suppongasi, che il Cavalier Shuckburg abbia co- si calcolata Takezza di C' sopra I'occhio, ed aggiun- d al risultaio 83 centesimi di tesa altezza dell' oc- (a) II risultato del triangolo CAB siipera quello del triangolo A B F di te. 7 , 3o5 ; e questa considerabil dilFerenza nasce d-il valor troppo graiide attribuito all' angolo al centro; il quale infliiisce pochissimo nel calcolo del secondo triangolo; ma altera assai seniibilmente qnello del primo ■ In fatti , se i calcoli si faranno, noii supponondo arbitrarianiente un talio valine dell' angolo al centro, ma dediicendolo dai dati; che so- no E A B zz 11* 17' n\" , 5 ; A B =^ 2195 , y; C A ~ iib'^)i<)-] ; si troveri C = i.' 1 5" , !;6 j)el triangolo A B F, e 2.' i5" , 83 per CAB: ed i risiil- tati dei doe calcoli sarauuo 4J0 , 817 ; 43[ ,1^2.; la cui diU'erenxa passa tli poco una mezza tesa . SULLE LIVELLAZIONI BA.KOMETUICHE 4l5 chio sopra B., vedrassi clie I'altezza di C' sopra B' gli sara riuscita di te. 4^9 , 09 quasi precisaiuente uguale a quella, ch' egli ha assegiiata. J\Ja i dati, ai quail il oalcolo e appoogiato, so- no, come lio gia detio, contraddittoiii. In latti per la supposizione, che l' augolo al centro sia 2' 18" il logariimo della sua taugeute e C. 8254540, ed a que- sto aggiunto il logaritmo di Cy) = 6.5i44544'^ si lia il logaritino di ^f/= 3.53990843; cui corrispoude il nu- mero 2187,3. Ma per la supposizioue dell'angolo EAB = i I ° 1 7' 4 1 " , 5 ; il valore di J F= A B cos E A B e = 2 1 53 , 37: vale a dire, che Ad in luogo d' esser minore di A F , come necessariameute dev' essere, e anzi niaggiore di quasi 34 tese. Manifesta cosa e duuque, che nei calcoli conducenti a quest' assurdo e coutenuta qualche coutraddizione. Ed essa ci e di fatti ; poiche, essendo A B = i\()\i ,9, se snppousi ^ J )9 = I i" 17' 41" , 5, r aiigolo al centro debb' es- sere al<|uanto minore di 2' i5",9; ma, supponendo- lo = 2' 18", I'augolo EAB vien ad essere = o^ 4' 22" non 11° 17' 41" , 5. fli tutte le contraddizioni nascoii dalla falsa supposizione; che l' arco iniermedio A D sia minore della visuale A B non piii che d' una dozzina di tese laddove io con un calcolo esatto 1' ho trovato minore quasi di 43. Ed invero, diminuendo di 43 tese il valor di AB\ il che lo riduce a 21 53; poi dividendo questo numero per 901, si trova il quoto di minuti 2 , 264 = 2' i5" ,84 non 2' 18". Conchiudiam finalmi-'nte, essere da' miei calcoli posto fuor d'ogni dubbio, che T altezza di C' sopra' B assegnata dal calcolator inglese supera la vera al- 4i6 Venini nieno di tese 7 v; cd aggiiingiamo, che le preceden- ti osservazioni indicano, per qiianto anoi pare, d' 011- de possa esser nato il siio sbaglio. Ho detto alia fine del num. 78, che qiiando I'an- golo osservato d'altezza e rnolto incerto, la pruden- za vuole, che V osservazion si rigetti: ma I'ho detto siipponendo, che nella misura delle altezze non vo- glian tollerarsi gli errori, che giungano ad una tesa o la passino. Ma, se non cureremo iin errore di po- co maggior d'una tesa, potremo calcolar Taltezza di C sopra A' anche coU' osservazione fatta in A'. In essa Tangolo deU'elevazione apparente fii 10° 3o' 35"; C A = 3267179; r angolo al centro, come gia ho mo- strato = 2' 28" , 37 ; e per conseguente B — 79° 27 6", 63 . 11 calcolo deir altezza si fara dunque cosi LcosE^ B = 9 . 99a65635 L C A = C . 5141727 16 . 5c68a9o5 L sen B = 9 . 99^5982857 LC B — 6 . 5142807643 C B = 3267614 ,02; D B = 435 , 02. Tal sarebbe 1' altezza di C sopra I'occhlo. Si ag- glungano o , 83; e 1' altezza di C' sopra A' sara di tese 435 , 85; la qual supera quella, che si e dedot- ta dair osservazione fatta in Z? di i , 16 te. Chi vo- lesse preiider un medio fra quesii due risultati lo iro- SULLE LIVELLAZIONl MAROMETllICHE 417 verrblje di 435 , 280 te. ; ma correggendo per tal mo- do il risuliato d' un'osservazione prolj.djilineiue buo- na per quello cV uri' altra certameiite meno esatta , egli sempre piu si alloutanerel)l)e dal vero. 11 Cav. Shuckhurg dice, esser C superiore ad A' di pie. ing. 28'^5,07 corrispondenti a te. fran. 443,36. II risidtato del suo calcolo supera dunque quello del mio di te. 7 , 5i. Secoudo lui 1' angolo al centro fu in quest' osservazione =: 2' 3o"; il die mi fa credere, cir egli ahbia supposto 1' arco J D di i3 te. minor della visuale ^^ = 2390,55. In fatti, dividendo 2377 per 961 si trova il quoziente 2' , S'. Anche in questo caso, s'egli avesse co'suoi dati calcolata 1' akezza per mezzo del triangolo A B F^ \ avrebbe trovata seusi- bilmente minore. I suoi dati sono C y/ = 3269297 . ^^=r 2390, 55: r angolo medio d'altezza =10'' 29' 14"; e r angolo al centro C = 2' 3o"; dai quali risulta J5 tZ = ^ , ,„ „■ — -^— =435,12 te. Per mez- coj ( 2' 3o') zo deir analogia ( 120" )* : ( i5o" )' = o , 0000C02 : x si ottiene L.t = 3 . 4948502; e LdD = Lx-*-LCA=: O . 00930^6; cui corrisponde d D = \ , 02. L'altezza D B= B d-^ d D e dunque = 435 , 12 -^- i , 02 = 436 ,14, non 443 , 36: per lo cbe la ditlerenza e di te. 6 . 29. Che se egli avesse calcolato col triangolo CAB^ lo avrebbe faito nel modo seguente, avvertenJo, die r angolo B & =-(f 28' 16" 41 8 V E N I N I L COS E A B = 9 . 99168404 LCA=i 6 . 51445443 16 • 50713347 L sen B = 9 . 99262544 LCB = 6 . 5i45i3o3 C B = 3269738 ,57; D B == 441 , 57 te. S' pgli avesse aggiunto T accrescimento di o , 83 r altezza di C sopra A' risulterebbe tlunque di te. 442 , 4 ininore dell' assegnata dal calcolator inglese di 96 ceiitesimi di tesa. Cliecche ne sia, avendo egli supposto r angolo al cent 10 maggior del vero, non e da stupire, che sia stato condotto ad un' altezza trop- po graiide, e di te. 7 d maggior della mia. Concliiudiani final mente che, dovendo a quest'os- servazione preferirsi quella dell' altro estremo della base B' ^ la vera altezza di C sopra A' e probabil- mente di te. 434 , 72. \o ho gia detto; che le tre osservazioni barome- triche fatte dal fisico inglese e calcolate colla regola del sig. De Luc danno per T altezza di C' sopra A* te. 43^ , 36 minore della precedence di 35 centesimi, ossia d' un terzo di tesa: cosicchc il difetto della re- gola e in questo caso di 8 diecinidlesimi dell' altezza geometrica . Ma ben diversa e la conchiusione del Cav. Sliuckbiirg, il quale ingannato da' snoi calcoli delle altezze geometriche assicura, che il difetto del- la regola e di 23 1 per diecimila, cioe quasi di 2 ^ per 100. Ma io non so come 1' autor medesimo non. SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICIIE 4I9 abbia duljitato d'niia sifTatta asserzione quaiido scris- se la nota dclla pag. 5^2 del sopra citato volume del- le Transazioiii lilosoficlie. „ 11 risultato medio, dic'e- „ gli, di tre osservazioiii da me fatte e Tuna dalTal- „ tra indipeudenti sulTaltezza della sominita dt-l Sa- „ lece sopra il lago di Giiievra s'accoi\laiio col risul- „ tato medio delle due misure prese dal sig. De Luc „ col livello e col quadraute, dal qual dilleriscon me- „ no di iiu piede „ . Ora questo accordo e in una niauifesta contrad- dizione col supposto difetto della regola del lisico di Cinevra. Imperciocche la media delle due indicate misure di quest' ultimo fa la cima del Saleve supe- riore alia sua stazion iuferiore o base di tutte le os- servazioni barometriche di piedi 29^1, come si vede al par. 5i3 delle sue Ricercbe. Leggesi iu olrre al par. 648, cbe la base fu piu alta dell' appartameuto deir autore circa 94 piedi, e 1' appartameuto superio- re al lago d' altri 5o. L' altezza della base sopra il lago fu diinque di piedi 144, i quali aggiuuti agli al- tri 2931 fauno ascendere r altezza della cima del mon- te sopra il lago a piedi 307.'); e quest'altezza s'accor- da, come dice sir Sliuckburg, colla sua misura a me- no d' un piede di differenza. Ma cio come puo es- sere se la reoola del sig. De Luc da le altezze mino- ri di 23 1 diecimillesimi? Le undici osservazioni della stazion XV, cioe della sommita del moute calcolate con questa regola dauno \in' altezza media di 2925 pie.; e questa coll' accrescimeuto, cbe dovrebbe farsi per supplire al difetto della regola di salircbbe 420 V r. N I N I a 2992 , 57. S' aggiiingano pie. 144, de' quali la ba- se e superiore al lago; e ne risulteranno ^6\?>6,dj in liidgo cli 3075. La regola con quest' accresciineoto pec- cherebbe duiique in eccesso di piedi 61 ,67. All'op- posto r altezza calcolata colla regola senz' alcun can- giamenro e di pie. 2925 ■+■ 144 = 0069 minor della iTiisiira del fisico inglese di 5 piedi o 6. Jn an luogo superiore di pie. ing. 2,8 ad A' sir Shuckbiirg lia fatte 4 altre osservazioni barome- triche; le tpiali calcolaie colla regola senza vernn ac- crescimento gli ban dato un'akezza di pie ing. 2753,oS equivalenti a te. fran. 480 , 53. lo ho rifntto il oal- colo dopo aver accresciuto di 2 gradi F. V altezza dei termonietri distaccati da lui tenuti all' ombra; e son giuiito al risultato di te. fran. 432 , 8i65. I 2 , 86 pie. ing.; de' quali la stazion pin bassa fu superiore ad /i' corrispondono a o , 4473 di te. fraii.; oiide segue, cbe per (pieste osservazioni 1' altezza di C sopra A' fu di te. fran. 433 , 2638. 11 medio fra questo risul- tato e qnello delle altre 3 osservazioni e 433,81 mi- nore dell' altezza geometrica di 91 centesimi di tesa o pie. fran. 5 , 46; per la qual tenue differenza non credo debba farsi alia regola alcun cambiamento. In fatti nel gran numero delle osservazioni; dalle qnaU il sig. De Luc ba dedotta la sua regola inolte sen trovano; per le quali la differenza fra il risultato ba- rometrico e quel della livellazione e assai maggiore di questa. E si aggiunga, cbe, se nel calcolo io aves- si avuto riguardo alia diversa pressione atniosferica, colla quale son graduati i termonietri a Londra ed a Ginevra, aviei trovata un' altezza alquanto mag- SULLn LlVELLAZIONl IJAROMLTRICUE 42 1 giore, ed una rlinVrenza piii picrola di tre o quattro de- cimi di tesa; il die la ridurieh})e a poco piii di 3 piedi. 8 1. 11 Cav. Shuckburg non conteiuo del suo pri- me risultato al Saieve voile esaininar la regola anche al Mole akro inoiue non guari distante di Ginevra. Quivi egli determiiio geontetricarnente I'altezza della soinmita del monte sopra il ptinto inferior d' una base niisurata a tal uopo; e fece sei osservazioui ha- rometriche, die calcolo colla regola del sig. De Luc. I risultati delle due inisure furono secondo kii di pie. ing.' 4212 , 4 per la geometrica, e di 4121 , 14 per la barometrica: cosicche la differenza e di 92,26 pie. L' error della regola sarebbe dunque di o , 0224 in difetto quasi eguale a quel, che gli diede il calcolo delle sue osservazioni al Saieve. Ma se i dati, dai quali dipende la misura geo- metrica fossero esatti, io trovo, cbe la regola pecclie- rebbe in eccesso non in difetto; e cbe 1' errore passerebbe il cinque per cento. Aflln di metter il let- tore in istato di giudicarne io debbo in primo luogo esporre le osservazioni del fisico inglese; poi calco- lar rigorosamente le altezze, cbe ne dipendono, e per levare ogni dubbio dare i miei calcoli per esteso. Sir Sbuckburg dice, die con replicate misure determine la liuig4iezza d'una base A' B' in pie. ing. laSo , 325; ed aggiunge che, calcolate le visnali per mezzo di questa e degli angoli A' = gG" Sy' 28 '; B' = 77° 48' 53 '; e = 6° 33' 49", trovo le visuali A' C =: 10691 , 9 pie. ing.; e B' C = 10886 , 7. Verificati t calcoli trovo anch'io; che qnesti valori delle visuali son giusti. Ben e vero, che la somma dei tre angoli T IL P. IL 53 422 V E N I N 1 siipera i due retti di lo second! ; e che clascuno do- vrebbe esser diininuito di 3", 33; ma le liinghezze delle visuali non sarfbber da questa correzione can- giate sensibiWneiite. Ora riduceiido le misure inglesi alia autiche fraiicesi ne risulta A' B' = 196 , 53 te.; ^' C = 1 672 , o5 ; e i?' C" = 1 702 , 5 1 . Per determinar P altezza della base sopra il li- vello del mare abbiamo i dati seguenti. La soininita del moiite, per cio che ne dice V autore, e superio- re al Lemano di pie. ing. 4885; ed alia sua base di 4211 , 3. L'akezza della base sopra il lago e duiique di pie. ing. 673 , 7 corrispondenti a io5 , 35 te. fran. Se quest' altezza non e esatta, com' io ho ragiou di credere, essa e di poche diecine di tese lontana dal vero; e non puo per conseguente introdurre nel cal- colo delle alcezze alcun sensii^ile errore. Giusta il De Luc I'altezza del lago sopra il mare e di te. 187,67. Quella della base sopra il mare fu dunque di te. 393, 02 , o a questo numero ben vicina. Ora una tale al- tezza aggiunta al raggio osculatore della latitudine di Ginevra da pel valor di C A (fig. P) tese 3267207 , 3i; o per raaggior semplicita 3267207. L'autor non ha dato per queste osservazioni co- me per quelle del Saleve tutti gli angoli d' altezza e di depressione; ma ha detto soltanto, che gli ango- li medii d' elevazione furono per C sopra y^' = 21° 29' 84" per C sopr-a B' — 21° 3' 41" per B' sopra A' =■ 0° 47' 24". SULLE LIVELLAZIOM BAUOMETRICIIE 42^ Quest'incertczza non ci lascia sapere quanto esatte o diffttose siano state le misure drgli aiigoli; e non ci permette di calcolar direttamente gli angoli al centro. Ben e vero, clie le lunjibezze delle visuali dimostra- no per se sole; che gli angoli al centro cosi per A' come per B' furon miiiori di due miniiti. Impercioc- che, dividendo 1' arco AD misura dell'angolo al cen- tro per 9504 cioe pel numero delle tese coutenute in un nnniuo [)nmo del circolo, il cui raggio e di 3267207 te. si trova il valor dell' arco in minuti primi. Ora, supponendo, clie I'arco A D (certamente minore del- la visuale A B) sia egnale alia medesima, avrenio r arco anzidetto per la visuale del punto A' dividen- do 167a , o5 per 960 ,4; e ci risultera = 1' , 759. E dividendo per lo stesso numero 1702 , 5i visuale del pimto B' troveremo i' , 791 . Cio posto la difterenza tra la perpendicolare BF^ e la vera altezza D B sara certamente minore di una tesa; poiche Bd h = ^; e bD = {secC- i) C A. * cos C Ora i due valori di C posti qui sopra , e maggiori del vero danno = i , ocooooi ; il che significa, che i cos C due valori di Bd superan i due d'l B F d'un dieci- milionesimo. E, poiche B F non puo, come vedre- mo, arrivare a 700 te.; le dlfTereuze tra B d^ e BF saran minori di sette centomillesimi d'uiia tesa. Le se- canti degli archi minori di due minuti duiiinuite del- r unita non giungono a due diecnndionesimi ; e per 424 V E N I N I consecvuente {sec C — 1) C J non puo arrivare a 66 centesiini d' onde viene il calcolo po- cos ( 1' , 759) * sto qui sotto L A B = 3 . aa3a494 LsenEAB = 9 . 5689364 la . 7871858 LcosC = 9 . 9999999 LBd~ a . 7871859 ; jBJ=6ia, 61 . Dunque, polcli^ d D e < o , 66, il valor vero Ax B D non giugnera a 61 3 , 27 te. Per calcolar I'altezza di B' sopra A' abbiamo AB=^ 195 , 53 te.; E A B = ^f 24"; e per conseguente SULLE LIVELLAZIONI BAROMETRICHE 42$ L sen E A D = ^ . 1 394907 LAD = a . 2912134 o . 4307041 In questo caso Tanpiolo al centre e =-^-^ — =o°o',2; ySo, 4 ' ' cioe di due soli decimi di minuto, o di 12". e quin- di opera perduca sarebbe il farlo entrare nel calcolo; non essendo ne il coseno ne la secance d' un angolo cosi piccolo diversi dall' unita. 11 logaritnio dell' al- tezza di B' sopra A' e diinque o . 4307041 ; ed a que- sto corrisponde il numero 2 , 696 te, Finalmente i dati per calcolar 1' altezza di C' sopra B' sono ^i^= 1702,51 te. ; E A B = 2\^ Z' ^i", e C = 1', 791 . Cio posto abbiamo L sen E A B = 9 . 55553946 LAB = 3 . 2310897 12 . 78662916 L COS C = 9 . 99999994 L B d = a . 78662922 ; B d= 611 , 83 . La secante di i' , 791 diniiiuiita dell' unita non giunge ancir essa a due diecimilionesinii; e quiudi c, die in questo caso eziandio il valor di d D c mino- ra di c , 60 te. L' altezza di C sopra B' e dunque 426 V E N I N I alquaiito minore di te. 612,49. Si aggiuiiga a questa TaJtezza di B' sopra A\ cioe 2,696; e si avra un'al- tr' altezza di C sopra A' alqiianto minore di te. 6i5, I06. La media delle due akezze di C sopra A' e 614,228 alquanto maggior del vero . (a) Ma il Cav. Shuckburg, avendo fatti i suoi cal- coli coi dati medesimi e giunto a risiiltati beii diver- si da' miei. Imperocclie egli afterma., che le due al- tezze di C' sopra A' sono di pie. ing. 4212 , 8; e 4212; onde risulta la media 4212 , 4. Ora a questa corrispon- dono 658 , 75 anticlie te. fran.; cosicche la sua altez- za media supera la mia scrupolosamente calcolata so- pra i suoi dati di te. 44,622 sopra 614 , 228, cioe un poco pi LI del sette per 100 dell'altezza da me calcolata. Che il risultato del calcolator inglese sia erroneo si dimostra facilmente in questa maniera. Sia 1' ango- lo d' altezza di C sopra A' = 23° 12' 16" in luogo di 21" 29' 34". Torniamo a fare il calcolo col cangia- niento solo di questo dato; ed avremo L sen E A B :=: g . SgSS 1 076 L A B z= 3 . 2i3a494 la . 81876016 Lcos C = g . 9999999 LBd=z a . 81876026; i?^= 658, 81. (a) Quaiulo ii calcclo si fa colT angolo medio noii si deve teiicr ron- to dell' altezza dell' occliio superioie iigiialmente alia due esireiniti della visuale A B ; cosirdie 1' angolo medio sartbbc lo stesso se 1' occliio t'osse situate nelle estremita medesirue /4 e B. Quando I'ho agfiuinta ai risiilta- ti dei calcoli , die ho attribuiti a sir Shuckburg , io ho dunque supjjosto, ch' ei siasi ingannato anche in quesio . SULLE LIVLLLAZIONI UAROaiETlUGIIE 427 Essenclo D d < o , 66, sara anche 1' altezza di C' sopra J' alquanto miiiore di 669 , 47. Ma 1' altezza media di sir Sliuckburg e 658 , 76 minor della pre- cedence di sette deciini soli di tesa . Dunque, allin- che il SLio risukato fosse esatto, 1' altezza angolare di C sopra J' dovrebb' essere stata 23" 12' 16", cioe maggiore dell' altezza media da lui assegnata di 1' 42' 42". Ma per conferniare i miei risultati io calcolero le due altezze di C sopra J' e Ji' anche col trian- golo CAB senza far cangiaraento veruno ai valori delle visuali, e delle altezze medie angolari. Comin- ciando dall'estremo A' della base ho A£ = 1672 , o5; £"^^ = 2i"29'34";^^-:^'= 34" i5' i3" ; e CA = 3267207 . Queste premesse conducono a determinar gli angoli B e C nel modo seguente . L tang — ^^^^— = 9 . 833ia669 a KCA-^AB) = 6 . 5189543567 16 . 3470810467 L{CA-t-AB)= 6.5143988067 L tang i^-TL? = 9 . 83a682a4 2, -^^ = 34° i3' 34" , 81 ; ^ = 68° 28' 47" , 81 ; e C= i'38", 19. 4^8 V E N I N I Qui si vede , clie V angolo al centro e, come debb' essere , minor di qiiello , che si deduce dalla supposizioue erronea dell' arco A D eguale alia vi- suale A B . La vera altezza D B s\ detcrminera dunque a questo niodo LcosEAB = 9 . 9686994B LC A = 6 . 51417663 16 . 482S7611 L sen B = 9 . 9686 [79823 LC B = 6 . 5i42<58i277 CB = 8267819 , 76 i jD 5 = 61a , 76 . Col calcolo del triangolo A B F abbiam trovata la medesima altezza alquanto nvinore di 613,27. La difl'erenza tra i due risuUati non giuiige aduiique a 5 1 centesimi di tesa; ma quelle del presente calcolo e probabihnente il piu esatto. Per I'estremita B' abbiamo C A = 3267207 ■+■ 2, 696= 3267209 , 696; A B = 1702 , 5i; E A B = 21" 3' 4,"; e^^^=34°28'9",5. Fatto con questi dati il calcolo degli angoU, si trova ^^^ =34° 26' 29", 22; B = 60" 64' 38" , 72; e C= r 40", 28. L' altezza D B si determine ra dunque calcolando a questo modo. SULLE LIVCLLAZIOXI BAllOMETRICIlE 429 L COS E A B ^= 9 . 96997279 LCA = 6 . 5141771C8 16 . 484(49898 L sen B = 9 . 9698914682 LCB = 6 . 5 1 42584348 0^=3267822,066; Z> 5 = 61 2, 37. Aggiunte 2 , 696 te. abbiamo una second' altezza di C sopra A' = 6\5 , 066: e presa la media delle due 61 3 , 913 minor della media del Cav. Shuckburg di te. 44 , 837; o pill semplicemente 45. Se i miei calcoli sono esatti, come ho ragion di credere, il ri- sultato del fisico inglese supera il vero di 46 te. su 614, cioe quasi di 7 j per 100. lo credo, die qiiesta dilTerenza de' nostri risul- tati debba come quelia del Sale^e atiribuirsi al me- todo, con cui sir Shuckburg puo aver fatti i suoi cal- coli; ed ecco in qual rnodo. AH' estremita inferior del- la base la visuale fu di te. 1672,00; ed io suppon- go, che il calcolatore 1' abbia creduta maggiore del- r arco AD d' una dozzina di tese . Cio posto, per trovar i minuti dell' angolo al centro, supponendo il raggio terrestre = 8269297, egli avra diviso 1660 per 951; e n' avra avuto il quoziente i' , 748 = i' 44" , 7; cui per maggior semplicita avra sostituito 1' 45". I da- ti per calcolar 1' altezza col triangolo CAB son dun- que i seguenti. ZT/i ^ = 21" 29' 34"; C^i = 8269297; ei? = 68''""28'4i". Fatto il calcolo trovo 0^=3269953, T. II. P. IL 54 4^0 V n N I N I 23; e D B = 6r)6 , 23 altezza supposta di C sopra r occhio. Aggiinua V altezza di qut'sto o , 83 ne ri- sulta C superiore ad A di te. 667 , 06. Colle stesse supposizioiii e con uii calcolo simile trovo Talttzza di C sopra ^' = 654,21 te., e sopra A' = 656 , 906. La media tra questa e la precedtnte C 656 , 983 minor della media del calcolator inglese d'lma tesa e %. Questa piccola ditlerenza piio nasne- re da qiialche diversita tra le mie supposizioni del- I'angolo al centro, e quelle del Cav. Shuckhurg, die ho cercato d' indovinare. 82. Vengo era alle osservazioni barometriche da lui fatte al punto inferior della base ed alia sonmii- ta del monte. Queste fnron le seguenti; ma si avver- ta, die i termometri furon tenuti alTombra. I- ^' = 28 , 1253 poll, ing.; a = 24 , i525 T = 6i% 9 A' = 38 , 12 58 T = 6i% 8 A' ^'^^— 28, 12 78 T — 63" A' 28 , i3 18 T 63° '9 f = 5i o IV III- IV' a' = 24 , i5i I t = 56' a' = 24 , 1797 ^=56" a' = 24 , 1899 t = 56" SULLE LIVLLLAZIONI BAUOMETRIG HE 481 v ^' = 28 , i3o8 a' = 24 , 1913 T = 6^° t = 57° y^' = 28 , 1268 a' = 24 , 194P Le akezze medie del barometri furon dunque ^' = 28,1 2805 ; a' = 24 , 1 7643 ; e quelle dei termo- metri J':=63 ^; f = 55° ;. Volendo calcolar l' altez- za coUa r^gola del sig. De Luc fatta pei termoinetri esposti al sole, i gradi precedeuti si debbou accre- scer di 2; e quest'accrescimento li porta a 65 s; 57" ». Ora a questi gradi della scala di Far. corrispondoa in quella di De Luc — 4 -j; e — 12 ^; la cui somma e — 17. Cio premesso ecco il calcolo dell' altezza. L A' = \ . 44913967 ha' z=i \ . 33339214 657 , 47^3 Per la regola del sig. De Luc 1' altezza sara duuque = 657 , 4753 ~ (657 , 4753 ) = 646 , 2983 te. La media delle due altezze geometriche di C sopra A' da Qie calcolate col iriangolo CAB e di te. 61 3 > 432 V E N I N I 9i3 minore della barometrica di 3a, 5853. La rego- la pt'ccherebbe dunque in eccesso di Say per dieci- mila, cioe di 5 + per loo fjuantita senza dubbio ec- cessiva . Ed invero nelle osservazioni delle i5 stazioni di De Luc i massimi errori iu eccesso sono i seoiuenti secondo Tordiue delle stazioni. 0,12; 0,044; o,o3i; o,oi9;o, 009; o , 009; o,oo3; 0,004; 0,001; o,oo3; o,oo5; 0,007; 0,006; o , 002; o , 002. Qui si vede, che gli errori in eccesso sono assai piccoii fuorcbe nelle tre prime stazioni; nelle quali ebbe luogo la circostanza particolare d'u* no scoglio verticale scaldato direttamente dal sole. Veggasi il num. 621 delle Ricerche del sig. De Luc; ov'egli ne da anclie la spiegazione. Ma la medesima circostanza non essendosi, per quanto io ne so, veri- ficata in qiieste osservazioni del monte Mole, io cre- derei, che la gran differenza tra i risultati delle due iriisure geometrica e barometrica dovesse attribiiirsi a qualcbe sbaglio occorso nella misura degli angoli d'al- tezza ; o almeno non saprei indovinarne la cagione per altro modo. 83. Nella tavola posta in fine della memoria del Cav. Shuckburg son registrate le niisure trigonome- triche delle altezze relative di varii monti posti intor- no a Giiievra: ed io qui n' esporro i calcoli dai dati della sua tavola dedotti esattamente; e ne confron- tero i risultati con quelli delle osservazioni barome- triche calcolate colla regola del fisico di Ginevra. SULLE LIVELLAZIONI BAROMETKICIIE 433 Saleve e Mole . La distanza delle due sommita dei monti in pie- ing. fu 7091 3 , 7 = 12497 ' 2^ ^^' ^'*^"- Ai)golo dVlevazione del Mole sopra il Saleve = 1*2' 6" Semisomma degli angoH B c C nel tiiangolo C AB=: 44° 28' 57" Altezza del Saleve sopra il Lemano per le livellazio- ni di De Luc := 5 1 1 ,78 te. Altezza del Lemano sopra il mare 187 , 67 Kaggio osculatore per la latitudine diGinevra 3266914, £9. Dunque la somma = C A = 3267613 , 74. n (J Da questi dati risulta =44" J^' 28",o5;e per conseguente C= i3',8",95; e i? = 88° 44'45", o5. D^ r, 3267613 ^ 74 C05 ( 1° a' 6") r> /■ or r> ""1"^ '^^= 1(88- 44' 4", 05) ' = ^'M6^-93. Q D B =^ 249 , 19 te. altezza sopra 1' occhio. A que- ste aggiungo V altezza deir occhio o , 83; e mi risul- ta quella del Mole sopra il Saleve di te. 260 :, 02. Nella tavola di sir Shuckburg quest' altezza e di pie. ing. 1596 = 249, 69 te. fran. minor della prece- dente di 43 centesimi di tesa; onde apparisce, non aver lui tenuto conto della rifrazione, die io pure ho nel calcolo prectdente iiegligentata . Ora per calcolarne V ellctto suppongo primiera- mente come al num. 66; che il valore di - sia stato n 43+ V E N 1 N I 0,o8ii8i. Osservo poi, die quando sir Sluukburg ando per la prima voha alia ciina del Saleve, egli ron prevedeva d' averci a tornare; ond'e assai proba- bile, ch' egli abbia allora tnisurati gli angoli d' ele- vazione o di depressione apparente dei monti ; de' quali voleva determinar le altezze relative. L'altezza media del barometro fu allora di pol. fran. 24 , ti3; e quella del termoinetro 14" R. A questa tempera- tura il valore di —si ridiice a o , 075612. Nel luogo n e nel tempo delT osservazione sara dunque stato in a4 , I i3 ( o , 075612 ) rr r . .. m C ~ = ~ —„ — ' = o , o65 1 1 5 ; e quiiidi — = 788", oS (o,o63ii5) = 5i", 37. Dunque Z:^6=ri'i4",63,eC:6//=88''45'S6",42. Ripetuto coil questi angoli il calcolo dell' altezza si trova C b = 3267860 , 09; e D b = 246 , 35 altezza del Mole sopra Tocchio; cui aggiungendo o,83 si ha quella del Mole sopra il Saleve = 247 , 18 te. E quin- di r altezza del Mole sopra il Lemano vien ad esse- re di tese 247 , 18 h- 5i i , 78 = 758 , 96. Al num. 756 delle Ricerche il sig. De Luc dice; che colla livellazion barometrica trovo la sommita del Alole superiore al Lemano di te. 760. Per un' altra osservazion barometrica fatta dal suo fratello e dal sig. de Saussure calcolata anch'essa colla solita regola Tai- tezza dello stesso monte sopra il lago fu di ■jh2 , 83. II medio dei due risultati e dunque 756,416 minore del geometrico di te. a , 645 . SULLE HVELLAZIOXI BAROAIETIIICHE 4^5 il/o/e e la Dole . Essendo il Mole, ove I'osservazione fu fatta, piu zhn della Dole io calcolero la depression delia Dole coUa forinola del num. 6i, cioe CJcos{(P-^"L£) C B = -^ (vedi la fig. IP) cos{(p-^'!l^-C) n Per far il calcolo abbiamo i dati seguenti Altezza del Mole sopra il lago 708 , 96 te. Altezza del lago sopra il mare 187 , 67 Raggio osculatore 8266914 , 29 C J = 3267860 , 92. Distanza A b= 146656 pie. ing. = 22984 ,71 te. fran. Angolo di depressione cp = 25' i3". Da questo valor di cp si deduce =45*'i2'36",5: e, fatto il solito calcolo si trova — = 44''44'3o"; e per conseguente C = 28' 6" , 5. Se si prescinde dalla rifrazioue, la formola si ri- 436 V E N I N I 1 ^n C A COS (p 8267860 J qa co^ (a5' 1 3") dace a C -o = — ; ^. = 7 r-r^. — =-t = cos[p — C) coj- ( — i' 53", 5) 326-7774,45. Sara dunque C J — ^^ = 86,47 te. de- pressione apparente della Dole sotto Y occhio; dalla quale sottraendo o , 83 altezza dell' occliio sopra la cima del Mole resta la depression della Dole sotto il IMole di tese 85 , 64. Questa nella tavola di sir Shuckbiirg e notata di pie. ing. 562 , 5 equivalenti ad 87 , 97 te. frail. Egli e dunqiie chiaro, aver lui anche in questo caso negligentata la rifrazlone; ma il sue calcolo avergli dato te. 2 , 33 piu del mio. Facciam ora entrar nel calcolo anche la rifrazio- ne, la quale per un angolo al centro niaggiore di 28 minuti non puo ragionevolmente essere ommessa. Poi- che la depression apparente della Dole e di te. 85,64; ]a depression vera sara assai vicina alle cento. lo cre- do adunque, che non mi allontanero molto dal vero supponendo, che nel tempo, in cui dal Mole si mi- suro r angolo di depression della Dole, il barometro ed il termometro avrebber dovuto essere piu alti al- ia Dole che al Mole, il primo d' un mezzo pollice incirca, ed il secondo d'un grado. Ora le altezze me- dic delle 6 osservazioni fatte sul Mole furono pel ba- rometro di poUici francesi 22 , 685; e pel termometro gradi 10, 5 11. Questi strumenti sarebbero dunque stati sulla Dole a pol. 23, i85; e gra. 11 , 5. 11 va- lore di — alia temperatura del ghiaccio e come diaa- zi = o , 08 1 1 8 1 , e per gra. 1 1 , 5 si riduce a o , 07660O5 SULLE LIVELLAZIONI CAROMETKICIIE 4^7 Nflle circostaiize dclT osservazione sara diiiujiie stato m a3 , I as (o ,0766065) ,, ,, t -= « ^=0,06.3433. In (jucsto caso essciulo C= a8 6", 5; sara "— = i6{{6",5(o,o03433) n • = 1 06', 98= i'^6",()(i; e cio posto, la foniiola divieiie ^ jy 3:^67860 , qa co^ ( a6' So" , 98 ) , . ^ , Ci? = ^-y_^„^^^^_^' = 3267760, 47^; e C A — C B — ICO, 447 tlepressionc della Dole sot- to r occhio . Ne detraggo o , 83 ; e mi resta la ve- ra depression della Dole sotto il Mole di te. 99,617 inaggior di qiiella del calcolator inglese di te. I r , 647. Sottratte 99 , 617 da 758 , 96 te. altezzi del Mole so- pra il Lemaiio ne resta no 6.59 , 343 altezza dclla Do- le sopra \\ niedesimo. II sig. De Luc niisuro 1' altezza del Venice del- la Dole sopra il lugo per mezzo di due osservazioni barometrielie. La prima gli diede 394+ pie., e la se- coiida 39.')2; la cui media e di 3948 pie. =658 te. \}v\ altra osservazion baromerrica iatta da lui e dal sig. De Saiissure ebbe per risultato 39.54 pie.; mi in qnesta il barometro snperiore fu alquanto piii basso della vera sommita del monte. II De Ltic dice, die lo fu di poco ; ond' io supporro , die all' altezza pre- cedente dehbano aggiugiiersi tre altri piedi portando- la COS! a 3957. Aggiunta questa alle altre due, e di- visa la sonima per tre si trova T altezza media di 3931 pie. =68,5 te. miuore della niisura geometrica di O , 843 di tesa. T. IL P. IL 55 433 V E N I N 1 Salcve e Buct. La distanza JB delle due sommii^ fu dl pie. ing. 182446 = 285.31 , 7 te. fran. L' aiigolo d' elevuzioiie £JB (fig. 1') = 1" 3o' 46"; C A = 3267613 ,74; e da , B -t- C B C questi dati conchiudesi =44° ^4 ^7 5 = 43° 44' 37"; C=3o'; e ^ = 87° 69' 1 4". Fatto il so- lito calcolo deir altezza appareiite si trovd C B = 3268491 ' 'i^' ^ D B = Sji ,3-b; e coll' aggiunta di o , 83 = 878 , 2o5 altezza del Buec sopra il Saleve . Nella tavola di Shiickburg quest' altezza e di pie. ing. 56 1 5, 6 = 878, 19 te. frati. cioe quasi eguale alia mia. m C Per calcolar r altezza vera ho — = 3o' (o,o65ii5) = i'57",2: onde mi viene £"^6= 1° 28' 48", 8; ed AbCz=z 88° r 1 1", 2. Ripetuto con questi angoli il calcolo, tro- vo C 6 = 3268474 , 99; e D b = S6i ,25. Aggiungo 0,83; e mi risulta 862,08 altezza corretta dalla rifra- zione; la qual fa in questo caso di te. 16 , 120. Aggiunte 5ii ,78 te.; delle quali il Saleve e su- periore al lago, ne risultano i373 , 86 altezza vera del Buet sopra il Lemano. II sig. De Luc per mezzo d' un' osservazion barometrica calcolara colia sua re- gola trovo quest' altezza di te. 1371 ,5 miuore della geonietnca di 2 , 36* SULLE LIVELLAZIOM BAUOMLTR.'CIIR ^?>() «> Saleve e Moubianco . Distanza A B = 206B60 pie. ing. = Jii'Voo , ?i?> te- frail, aiigolo d' elevazione = 1" ^7' Sy". Dimque ^^=^3° 36' I", 5; ^^^^ =43 "2' 2", 88; C = 33' 58", 62; e 7? = 86° 38' 4" , 38. Fatto con questi dati il calcolo senza consldcrar Ja rifrazione si giunge a C /?= 3269-552 , 8S; D B — 1739,11; e col solito accrescimento per I' altezza del- V occliio I 739 , 94. II Cav. Shuckbiiro; nella sua tavola fa il Mon- bianco snpcriore al Saleve di pie. ing. i 1 124 corri- spondenti a te. fran. 1739,6 altezza minor dclla pre- cedence dun solo terzo di tesa . iSelle circostaiize delle misure degli angoli alia cima del Saleve ho gia osservaio, clie — f u = o , o65i i5. Qui abbiamo (?= 33' 58" , 62 : onde viene = i32", n 74 = 2' 12", 74. Neir osservazione fu dunque EAb=: 2%5'44'' ,26; ed J6C=86''4i'' 17", 12. Ripeto il calcolo con (|uesti veri valori degli angoli; e trovo C^ = 326933 1 ,93; /)6=i7i8, 19; ed agginnta 1' al- tezza dell' occhio 1719 , 02. Quesra e dun(pie I'altez- za vera del JMonbianco sopra il Saleve; e per conse- guenza I' eftetto della rifrazione c di te. 20,92. L'al- tezza vera del Monbianco sopra il I^eniano sara dun. que = 1719 , 02 -♦- 5i I , 78 = 223o , 8. 44^ V E N I N I Mole e Monhianco. Dlsfanza A B — 1436.32 pie. ing. =32461 . 8 te. fran. aiigolo cl' elevazione = 3° Sy' 7": e quiudi ^-^=43° ir26",5. Alia sommita del Mole ho gia mostrato esser 0^ = 3-467860,92; ed or conchiudo; clie da tutti R — C questi dati risulta col solito calcolo = 42" 27' 52", 2; C = 23' 34", 3; e ^ = 85" 59' 18", 7. Cio premesso, il calcolo del triangolo CAB con- duce a 0^=3269355,697; e per conseguente a B D = \^c^^ ^ 111 altezza apparente del Monbianco sopra r occhio; e sopra il Mole 1495,607. JNella ta- vola di sir Shuckbiirg quest' altezza e di pi<^. ing. 9570, 6 = 1496 , 7 te fran. inaggior della mia di te. 1 , 093. Qui pure e manifesto; non aver il calcolatore ingle- se tenuto conto della rifrazione. Per calcolar 1' effietto anche di questa abbiamo, come qui sopra ho spiegato, - = o , 081 181 per la temperatura del ghiaccio; 1' altezza del barometro in pollici francesi =22,685; e quella del termotnetro = 10° , 5 R. A questa temperatura il valore di — si ri 8ULLE LIVELT.AZIONI BAROMETRICHE 44 1 duce a o , 0770042. Quando si misuro I'aiigolo d' e- 1 • , 1 m aa ,, 685 ( o , 077004.4 \ levazione sara duiuiiie state = ■ — ~ — — — ^^—l ^ n ao m C = 0,062387. ^'' quindi viene — '=i4i4",3(o,o62387)= TV 88", 234 = i' 28'' , 234. I veri angoli fiiron dunqtie E A b = r 35' 38", 766; ed AbC = '6(i'' o' 46" , 934 . Fatto con questi dati il calcolo del triaiigolo C A b si trova C b =3269345,948; I'altezza vera sopra \ oc- chio D b = 1485 ; 028; e sopra il Mole 1485 , 858. L' effetto della rifrazione fu duuqiie in qaesto case di te. 9 ,749. Essendo il Mole superior al Lemano di te. 708, 96 abbiamo un' altr'altezza del Monbianco sopra quel lag,o; la qual e di tese 2244 ,818. IIo gia detto al num. 22; cbe una inisura geonietrica del sig. Fictet fa la cima del Monbianco supcriore al Lemano di 2238 te. Supposto , com' e verisimile, cb' egli non abbia negligentata la rifrazione, la media delle tre altezze sara di te. 2237 , 873 quasi egnale a qnella del sig. Picter, perclie ancbe la media di sir Sbuckburg e di 2237 , 809. lio gia detto alia fine del num. 26, cbe contem- poraneamente alle osservazioni del Monbianco e di Ginevra il figlio del sig. De Saussure ne fece un' al- tra al Priorato diCbamonni. In qnesta I'altezza ctir- reua del barometro fu di linee 3o3 , 36; e quella flel termometro all' ombra di gradi 18,4 K Accresciuta d' un grado la temperatura, e fatto il calcolo colla ftgola di De Luc, trovo laliczza del barometro del 44- V E N I N I jMonbianco sopra ([uello di Clianionin di te. 1894, 853; e Tahczza del baroinetio di Chainouiii sopra quel di Giiievra di 327 , 32,4. La soiuina delle due altezze e duuque di tese 2222 , 177 niiuore di 4 , 896 di quel- la, die abbiaiu trovato al uuui. 77 calcolauilo nello stesso modo le osservazioui del ]Moubiaiico e di Gi- nevra. 11 medio dei due risulcati e 2224,625 te II barometro di Giuevra fu superiore al lago di te. i3,5; e quel del Moubiauco inferiore alia ciina di tre pie- di. La vera altezza della soininita del uionte sopra il lago fu duuque per le osservazioui barometriche cal- colate colla regola di De Luc di te. 2238 , 625 mag- gior della media geometrica di f di tesa^ conformita veramenie singolare, ma da attribuirsi a qualclie ac- cidental compeuso di errori piu che Jail' esatiezza de' risultati cosi della regola couie delle misiure trigouo- metricbe . Le differenze tra i risultati della regola del sig. De Luc, e le altezze vere delle raisure geometriche luroa duuque pel Mole ~,V ^f = - o , 003353 ^ 758 , 96 per la Dole — — ^"^ = — o , 0012785 * 6^9 , 343 ' pel Buetr-^^|=- 0,0017178 pel Moubiauco — -^ --l-n = -+- o , ooo336o3 . *^ 4287 , 873 Tutte queste differenze son cosi piccole, die non 8UI.I.E LIVELLAZIOXI BMlOMl.TUICUn 4^3 pure alia rcgola non s'oppongono; ma puo cliisi, die la cont'cnniiio inirabilmeme. li, (jiiindi io sfinpre piii mi coiilcriiio nell' opinione ; che il grand' errore cli pill del cinque per lOO in eccesso, di rui ho parla- to alia fine del num. prec. dtljlia attr bnir92 su 642.708, cioe poro piii del mezzo per 100. Se tali fossero stati gli anuoli d'e- levazione qnali io gli ho siipposti, la ret;ola del fi^i- co di Gine\ra pec( herebbe ancora in erc« sso, ma po- co piu del mezzo per loo, ed a time he la supposi/iiui mia si verifichi basta, che sia seguito Io si aglio di leg- gere o di scrivere nn' uniia di men(j nei gradi degli angoli d' elevazione. JMa terminiam finalmente qnesta discussione di- venuta ormai troppo lunga, e conchiudiamo : 1" che tutte le osservazioni barometrirhe fafte inrorno a Ginevra sui monti jMole , la Dole, Buet e Bianco da' signori De Luc, de Saussure , e Senebier cal- colate colla regola di De Luc danno risultati che s' accordano assai bene con quelli delle misiire tri- gonometriche corrette, come conviene, dalla rifrazio- ue; ir che Io stesso e da dire delle os!?ervazioni del -t^^. V E K I N 1 Cav. Shuckbiirg al nionte Saleve; poiclie anche que- ste calcolate colla regolu medesima couducoiio ad un risiiltato; la ciii diileienza da qntllo della inisura geo- nietrica calcolata esattameiue e di i6 centesimi di te- sa ill ditVtco su ^34 ,72, o di B dieciinillesimi delTal- tezza totale, non gia di 2.3i come alciini lisici haii cre- duto ingannati dai c.ilcoli erroiiel del Cav. Sluickbiirg: III" chf le osservazioni barometriche di questo fisico al nionte Mole contraddicoii sole la reijola facendola peccare in eccesso d' oltre al cinqne per 100; ma che Terror si riduce a poco pin d' un mezzo per 100 se per isbaglio fu scritco un grado di nieno negli ango- li d' elevazione. Mil nel seguente articolo si vedra, che la regola del fisico di Ginevra applicara alle nuinerose ed esat- te osservazioni del General Roy da le altezze minori delle trigonoinetriche di 0,0134.5 per la temperatn- ra di 10'' R. cioc alquanro pin di i ' per 100. lo Tho applicata all' osservazione del sig. Ramond al Pic du 7uidi, ed a quella del sig. d'Aubnisson al nionte Gre- gorio; ed ho trovato, che anche per cpieste essa pec- ca in difetto: nella prima di o,oi66<} a 9° i R : nel- la seconda di o,gi35i5 ad 1 1° 2 R. Fnialmente i risultati della stessa regola son minori di qnelli della ionnola pnbblicata dal sig. Pictet in nno degli ultimi giornali britannici di o , 01 705 a 10° R. La media e 0,014924, o quasi i 2 per 100 per la temperatura di circa 10'' h R. Ma della piu precisa quantita di questo difetto, e della causa da cui puo dipendere, parlero alirove piu distesamente. 4^5 ]M E ]\I O R I 7V in ciil si espone un metodo nc i diiisuri di quaUivoglia data nutnero. Di Sebastiano Canterzaki presentata a' 20 di gennajo 181 1. I. lSu( iccede in molti problemi di Algebra iiule- terminaia, clie la soluzion loro esiga che si trovino i divisori di un dato numero, ne qnesti divisori trov.ir si possano^ se non si trovino cjuei valori di una quan- tita indeterminata, die fanno riuscir ecjuale a un nu- mero intiero vma forniola frazionaria data per (juella ind<'t(Mininata; qualora poi si passa a cercare questi tall valori co' metodi, che coinuneinente si dauno per trovarli. si ricada nel bisogno di ritrovare i divisori del numero dato. 11. Uno di tali problemi si e il seguente : Troca- re un numero intiero, che posco in luogo di x nella for- mola \/.TX=ti^, dove A e un numero intiero dato, faccia che la fornwla si conveita in un numero rnzio- na/e. Senza cercare con quale de' metodi proposti da- gli Autori si possa sciorre questo problema, io mi fo a sciorlo nella maniera, die verro subito csponeudo dopo di aver notato, che dclle due formole v/t-c-*- J, T. II. P. IL 56 44^ C A N T E tt Z A N I \/ X X — A riJotta clie sia a razionalita 1' una viene ad esser ridotta anche I'altra; poiche se y/x-x-H// = y, sara x x = y y — J, cioe x =\/ y y — A, e vice versa : or .T, e y gia si suppongono jiurneri iiitieri, e razionali. HI. Sia primierainente A nuiiiero pari, e \/xx-^.A la forinola da ridiirre a razionalita in nnnit^ri iutieri. La serie dei quadraci dei niimeri iiaturali ha pt^r se- rie delle prime dillerenze la serie dei nnineri dispa- ri. Preso un nnmero pari di queste dilTerenze, e som- niatele insienie si fonnera sempre un nuinrro pari; e se le dilFerenze, die si saran prese, non sieno sparse qua e la nella loro serie, ma sieno consecutive, la Icjro somina sara sempre la dilFerenza d'uno dei qua- drati della serie de' quadrati da un altro quadrato, e pero aggiuntala dei due qn;idrati a! minore si avra il uiaggiore. Snppongo dunque ciie 2 h -*- i sia la minore delle dillerenze consecutive, die si saranao s xnniite; la seguente dilTerenza sara 2 A -»- :5, e la loro soin- ma 4 /t -+- 4; quella, die vien dopo queste due, sara 2 h -*- S, e la sonima delle tre 6 /i -»- 9, e cosi via discorrendo, di modo die ben si scorge die general- mente se il numero pari di dillerenze consecutive, die si saran sonmiate, sia 2 f, la soinma loro sara ^ f h -^ 4 f f- Posto pt^rtanto che il numero pari A sia que- 8ta somma, si avra 4 f k -+- ^ f f ^= A; dove tosto ap- parisce, che I'equazione non pno sussistere in numeri intieri, se A non sia parimente pari: onde si di-e con- chiudere, che la ridnzione della formola ^ x x -^ A a razionalita in luimeri iiuieri, quando A e pari, e im- possibile, se ji non bia divisibile per 4. STj' DIVISORI DI QUALSlVOGLI.\ NUMERO 447 IV. Sia dunque A divisibile per 4. Sostitueiulo 4 ^ ad A requazione ricsce hf -^ f f = /?, the da h = - ~ f; e la difFicolta e ridotta a trovare i diviso- J ri del niimero B. Per la qiial cosa se 13 e un nu- mero primo, il probleiiia non avia clie una sola so- luzione , cioe quella, che si ottiene preudendo f=i, la quale non manca mai: se poi B non sia nuinero prime , qnante saranno le nianiere diverse di risol- verlo in due fattori, tante saranno le altre solnzioni, che il ])rol)lema avra; e cio perche risoluto che sia B in due fattori , e indilTerente valersi dell' uno di essi, o deir altro, poiche aniendue somniiuistrauo la stessa soluzione. Trovato poi il valor di h e trovato insieme quel- le di x, perche x = /i . In fatti se nella forniola \/ X X -t-A si nu'ita il valor di ^ = 4 f /i -+- >^ f [{fll) si ottiene \/ x x -»- 4 / // -^ n ff , che non diventa razionale, se non poueudo h/i in luogo di x x. Quin- di e, che trovato che si sia il valor di f, e ricava- tone quelle di /t, sara Jl -^ 2 f \\ razionale, in cui la fermola \/ x x -*- A si converte. V. Sia ora A numero dispari, che non sia I'uni- ta [esseudo chiara 1' impossibdita della riduzione a razionalita in numeri iniieri della formola v^ i .rzti], e sia \/xx—A la formola da ridurre a razionalita in numeri intieri. Per fare il numero A col sommare le differeuze j)rime drlla serie dei (juadrati cousecu- tivameute prese e manifesto doversene prendere uii 44^ Canteuzani iiiimtMO disparj. Chiamata, come prima, 2 /t _4_ i la piu piccola di tali diflereuze, la somma delle tre pri- me sara 6/t-»-9, la somma delle prime cinque ioA.-»-25, e generalmente se il numero delle dilTereiize, die si somniano, sia 2^-*- 1, la loro somma sara 2(2/-H l)/i -^.(2/^ i)' = (2/h- 1)(2A-H2/^- I). Faccio dunque {2 f •+■ \) {2 h -k- 2 f -*- \) = J, e su- bito in' accorgo, che la soliizione del problcma esige che si trovino i divisori del numero A. Se in quest' e- quazione separo h , trovo die lacendo A— i = 2 B riesce ti = • -/-^ = — - — /, e che per conse- 2/ -♦- I 2j -i- I -^ ' guenza si troveranno i divisori del numero A, se si determinera / in modo che la forinola frazionaria O f — > risulti ef»;uale a un numero intiero. Trovato poi 2/-1- I o I die fosse /", gia si sarebbe trovato il fattore del nu- mero A rappresentato da 2 f-*- 1. II valore poscia di X sarebbe x = —^/ "^ ^ -*- /• 1 11 fa"i con questo va- lor di .T si avrebbe x — h = 2f-+-i, x-*-h= — ^ , oiide X x~ hh = 2 B -^ \: ma 2B-+-i=:A. Dun- que xx — hh = A, e pero xx — A = hh^ e quiiiJi y/ X X — A =^ h, cioe la formola proposra ridorta a razionalita in numeri intieri. Dove vedesi, die trova- to d valor di h e gia trovato il razionale, in cui la proposta formola si coaverte. SU' DIVISOR! DI QIJArSlVOGI.IA NUMERO 449 VI. Ora e cliiaro clic /=o rencle la forinola -> eguale aU'iiitiero B. Per la qiial cosa e&li e certo, clie il prohlema lia seinjue aluuMio una solu- zione: rna oltre qiiesta ne avra altre, se il miinero j4 oltre r uiiita avra altri fa i tori , e taiite ne avra, quanti saraniio i modi diversi di risolvere A in due fattori. VII. Se a trovare i fattori, o dir vogliamo i di- visori del numero J prendo a cercare i numeri, che B — f posti in luogo di / rendono la formola -~. — — egua- le a un intiero, e a quest'effetto nietto B ~ f = m^ e 1 -H 2 f= n. (che e forse 1' unico meiodo, onde ot- tenere in numeri intieri la risoluzione deirec[nazione 2j r z = — ;: — -— ) ed eliminato f dalle due equazioni ri- a/-+- I ' ■' ^ cavo I'equazione 2 B~2m = ii — i , e quindi 2 ^-»_ r , cioe J = 2 m ■+■ n, non posso nnvenire — , che rap- presenta la formola , la quale dev' essere un intiero, senza aver — — - =-, cioc senza esser da ca- a n ^ n po, e dover trovare i divisori del nuinero A, i qua- li doveado essere numeri dispari, perche dispari e A, 45o Canterzani faranno die — liesca del la forma , cosi die 3, n — - sia appunto =6 numero irjtiero. Da cio apparisce, die il problenia: Dato II numero intiero dispaii A trovare ijuel numeii inticrl , die postl in luogo di X nella formola \/ x x — A rendono (juesta fonnola razionule, e iino di quei, die ho acceniiati da piinci- pio (/). Poiche alia di lui soluzione si richiede, die si trovino i divisori del numero A, e a trovare que- sti divisori convien deteriniiiare / in niodo die la formola ^ riesca eo;uale a un intiero; qualora poi a/n- I ° mi accingo a determinare f ritorno alia necessita di ritrovare i divisori del numero A. Ylll. Pare adunque, die il problema : Dato it numero dispari A, che non comincl per 5, trovare se sia, o no numero prinio , e se no trovnrne i fattori, ove per sciorlo non s'abbia in pronto la tavola, o il numero A sia al di sopra di quelli, ai quali la tavo- la si estende, non possa sciorsi se non tentando. In tal caso non sara inutile I'avere qualdie scorta ;, on- de regolare il tentativo. Finora tra le diverse strade, per cui mi sono incamminato verso la soluzione di questo problema, la meno tortuosa e scomoda mi e riuscita quella, die in seguito verro additando. Pri- ma convien uotare le seguenti cose. Se il numero A sia risolvibile in due fattori di- scguali, egli e evidente, die uno di essi sara sempre SU' D1VI50KI DI QU.VLSIVOGLIA NUMEIIO 4^1 minore, e i'altro inaggiore della raclice del piu gran quadrate conteiuito in A. Se la fijijLira iniziale del nnmeio J sla i, V uno dei supposti due fattori avra per figura iniziale 7, e I'altro 3, o avranno aniendue per fi^uia ini/iale i, op pure 9. Se la figura iniziale del nuniero A sia 3, 1' u- no dei supposti due laitori avra per figura iniziale 3, e I'altro 1, oppure 1' uno g, e I'altro 7. Se la figura iniziale del nuniero A sia 7, 1' uno dei supposti due fattori avra per figura iniziale 7, e r altro I, oppure 1' uno 9, e T altro 3. Finalmente se la figura iniziale del nuniero A sia 9, I'uno dei supposti due fattori avra per figura iniziale 9, e 1' altro i, o avranno amendue per figu- ra iniziale 7, o|)[)nre 3. ]X. Sicconie V ordine da tenersi nella serie delle operazioni, die occorreranno, e senipre il niedesimo, o coininei A per i , o eoninici per 3, o per 7, o per 9, cosi mi limito a iudicarle in un caso solo. Sia dnnqne A = iioooi \ . Se qn^-sto nninero possa risol- ver*i in due fattori, egli e certo^ clie dovru verificar- gi una delle tre equazioni ( lo/rt-t- 7)( ion-+-3) = 820001 1 ( 10 m -*- I ) ( 10 « -+- I ) = Satooi I ( 10 m H- 9 ) { ic n -¥- i)) = 3aooci 1 Nella prima, che ha i due flittori di diversa for- ma, separo I'mia. e I'altra indeterniinata , perclie non 61 ba a quale delle due forme sia rifenbde il fattor I 403 C A N T E U Z A N I minore: nelle altre clue equazioni, ciasciina delle q\ia- li ha i clue lattori della stessa forma, basta separar una sola delle due indeterminate. Si ricavano quin- di quattro formole frazionarie 3 1 9999 — 3m I o m -t- 7 3 '9999- 7'i. : — fji 10 ft 4- 3 3aooor — n 10 rt •+- I 319993 — 9 n = m 10 ?l m ognuna delle quali il denominatore rappresenta uno dei supposii due fattori, il minor de' quali de- ve esser minore di 1780 radice del piii gran (juadra- to coiiienuto nel numero 32000ii, e pero dovra es- sere 10/2 -h 3, come pure \oin -«- 7^ e ion -+- i^ e io;i -♦- 9 < 1788, cioe /i, come anche in non maggiore di 178. Dovrebbersi per tanto in ciascuna delle f[uattro formole provare in luogo deirindeterminata uno do- pe r aliro tutti i nuineri cominciando da o fino a 178 per vedere se alcuna di esse si converta in nu- mero intiero. Ma questo sarebbe forse un lavoro al- cjuanto molesto. ]Mi limito percio a provare solamente o , i , 2 , 3 , 4,5,6,7,8,9,6 trovo, cbe nissuna formota riesce eguale a un iiliiero. Cosi mi sono assicurato, che se il numero proposto si puo risolvere in due fattori, il minore di essi non e esprimibile per meno di tre figure. Passo dunque a vedere, se puo esservi un fat- ture, che si espruna con tre figure; cioe dalle quat- 8U DIVISOUI DI QUAT.SIVOGLIA NUMF.ItO ^SS tro formole precedent i, clie possono chlamarsi le pri- me, passo alle secoiitle, the si trovano mlla segiien- te maniera. Al 7, per cui si snppone che possa coiniiiciare lino tlei due I'attori, scrivo apprt-sso, cioe in secondo posto, una dopo P altra le dieci figure ariuneticlie , come si vede in yl/, e scrittele pure ap|>resso 3, per cui dovrebl:)e cominciar 1' altro fattore, noto in A di- rimpetto a ciascun numero scritto in M (]uello di questi altri nunieri, che niohi[)hcato ]>el suo torri- spondente scritto in M produce un nuujero, che co- mincia per 11, come per 11 comincia il numero pro- posto. E' facile trovar raccoppiameuto di cjnesti nu- nieri, poiche trovatolo per li primi due, o ire si scor- ge suhito r ordine, col quale si seguono I'un T altro i tuimeri scritti in IV: in questo caso il seguente si ottiene aggiungendo 10 al precedente, e trascuraiido nella sonuna la terza fignra, dove la sornina la por- ti. Con queste dieci coppie di numeri formo i tlieci prodotti, a ciascun de' quali metto eguale il numero proposto . M N 07 .... 78 ( 100 m -H 7 ) ( 100 re -f- 78 ) = SaooDii 17 .... 83 ( 1 00 772 -»- 1 7 ) ( I oc /i -4- 83 ) = 3acoc I I 37 .... 98 ( 100 W -•- 27 ) ( 100 re -♦- 98 ) = 32COOI I 87 . . . . o3 ( ICO rez -»- 87 ) ( ICO re -H 3 ) = 8acooi i 47 .... 1 3 ( r 00 /n -»- 4? ) ( ' 00 re ->- 1 3 ) = 8aoco 1 1 57.... a8(ico?72-4-57)(ioore-4-a3) = Sarcoi i T. II. P. IL 57 454 Ca.nterz,\ni 67 .... 33 ( ICO wz -H 67 ) { 100 /?. -4- 33 ) = 320O0II 77 .... 43 ( 100 w -»- 77 ) ( 100 7i -«- 43 ) = Sioooir 87 .... 53 ( roo TO -t- 87 ) ( roo re -t- 53 ) = Sicooj i 97 . . . . 63 ( 100 w -H 97 ) { 100 n -+- 63 ) = Saoooii Lo stesso faccio per rigiiardo ai due fattori, che si suppone che possano cominciare amendue per i . Se noil che aveiido questi due fattori la stessa forma, i prodotti saranno nieno di dieci, e nel nostro case solamente cinque: e cinque saranno pure quei, che soggiungero per riguardo ai due fattori, che si sup- pongono cominciare per 9. Anche negh accoppiainen- ti tanto dei numeri, che cominciano per i, (juanto dei numeri, che cominciano per 9, regna un ordine; poiche ne' primi la somma dei due accoppiati comin- cia costantemente per 12, e nei secondi per 88, co- me mostrano le parentesi in X , e in Y. • 11)=: 3aooor r 91 ) = 3aoooi r 81 )= 3iocoi I 71 )= 3aoooi I 61 )= 32000I I 79 ) = 3aoooi I • 69 ) = 3aoooi I 59 ) = 3aoooi I 49 ) = 3aoooi I 99 ) = 3aooo 1 1 X Y 01 ^ 09 ' ( too m -H I )( 100 71 ( I CO TO -♦- a I ) ( 1 00 re A i 19 ai > ^9 ( 100 rez -H 3i ) ( loore 3i 4' ) 39 ( 100 w -4- 4' ) { 100 re ( ICO w -+- 5i ) ( 100 re 5i 59 ' ( 100 /re -4- 9 )( 100 re 61 69 ( 100 w -+- 19 ) ( 100 re ( loom -+- a9) ( loore 7' 79 81 89 \ ( ICO /re -H 39 )( 100 re 91 99 \ ( roo/re-«-89)( 100 re SU' DIVISORI 1)1 QUALSIVOGLIA NU3IEU0 455 Separo amendue le indeterminate in ognuna del- le venti equazioni, e ottengo venti coppie di foruiule frazionarie, cioe -- 3ifiq5 — yn 81995 — 7^ w 1. m , — n 100 « -»- 7^ 100 m -t- Y 31986— 17/1 _ 31986 — 83 w 12« -:- — — - 77Z J ■ — ms 7t 100 «. -«- o3 ICO w -»- 17 3 31975 — a7rt_^^ 3(975— 93 m_^ 100 /i -H 93 100 m -t- 27 4. 31999 — 37n_^^ 31999— 3m_^ ioo«-i- 3 100 TO -4- 37 5. 3 1 994 — 47 re _ ^ ^ 31994— '3to_^ 1 00 /i -H 1 3 1 00 m -H 4? , 31987 — 57 n 31087 — 2.3 m 6. — i-i L— =TOj — ^^— i -— =re 100 re -t- 23 100 TO -t- 57 31978 — 67 re 31978 — 33 TO 100 re -»- 33 100 TO -H 67 g 31967- 77re__^^ 31967 — 43to_^ icore-»-43 ICOTO-+-77 31954 — 87 re 31954 — 53 TO 9. — TO, — • — n 100 re -»- 53 100 TO •+- 87 10. 31989 — 97 re 31989 — 63 TO ^-^ ZJ-_=TO, — .^LJ. =/t J 00 re -H 63 loo TO -t- 97 Saooo — n 3aooo — 1 1 to II. = TOj =n 100 re H- 1 1 100 TO -♦- I 12. 81981 — aire 3iq8i — 91TO 1 =772, -? ^< =71 100 71 -H 91 lOOTOH-ai 456 Canterzani , 81975 — 3r re 31970 — Sj m 1 00 /i H- 8 1 ICO ni -i- 61 , 3i97r — 4' n, 3i97t — 71 m 1 00 « -»- 7 1 1 00 m -t- 4 1 r 3 1 969 — 5i n 3 1 069 — (yi m 10. = Tre , _ — = A 1 00 At -I- 6 1 1 CO /« -»- 5 1 16. 31993— 9ra_^^ 31993 — 79 m _^ 100 /I -t- 79 100 /» -t- 9 31987—19^ 3r987 — 69W 1 7. — 2_f _i — = m , — ^—i- — = n. 100 /I -»- 69 100 /» -H 19 g 31983 2971 31983 59 W ICO /i -t- 59 100 /?i -t- 29 ,^ 3.981 — 3n re 31981 — 4Q w 1 9 . — I i — = m , — ^ ±1 — = n J 00 re -K 49 100 w -I- ^9 „^ 3 1 9 1 a — 89 re 3 1 9 r a — 9() 7?i ao. — ^ i — = m, — — — =» 1 00 re -V- 99 1 00 m -H 89 In ciascheduna di queste formole frazionarie in luogo deir iiiJetermiiiata provo una dopo 1' altra le nove figure aritmetiche significaiui (e inutile provare il zero, perche si e gia veduto che 11 uuinero propo- sto non ha nissuu fattore espresso per meno di ere figure). Ma solamenie giunio alia deciinaquinta cop- pia trovo, che al mettere 7 in luogo di m nella se- conda fornaola ottengo ' "^- = 42 = n . Duuque un fattore del numero proposto Saoooii e ySi: T akro €ara 100 /i -t- 61, cioe 100 . 42 -«- 61 «= 4261 , il qua- SU' DIVISORI DI QUALSIVOGI.IA NUMtRO 457 le sara certainente niiniero primo, perclie la radice del piu gran qnadrato in esso {oiitennto non ha the due figure, e pero il ininore dei dtie fatiori, 111 ciii fosse esso risolvibile, non potrehhe aver piu di due figure; or se vi fosse un tal fattore, siccome dovreb- be egh esser coniune andie al numero proposto, cosi si sarel)be gia trovato mediante le quaitro forniole prime, hssendo per tanto e il factor ininore ySi , e il maggiore 4261 numero primo, egli e certo, die il proposto numero oltre cpiesti due non puo avere al- tri fattori. X. Quando il numero proposto sia espresso per un numero grande di figure, converra tame volte dal- le seconde formole passar alle terze , e fors' anche dalle terze alle quarte, ec; il qual passaggio si fa sempre alia maniera stessa, nella quale si e veduto, che dalle prime si passa alle seconde . Egli e vero che in questo modo il numero delle formoh:, in cui si ha da operare, cresce grandemente, massime se per avveutnra il proposto numero sia numero priiuo. Ma non e piccolo vantaggio quello di non dover mai ten- tare in luogo delle indeterminate che i numeri scrit- ti con una sola figura. Cio che puo maggiormente rincrescere in quesfa specie di operazioni, e la divisione, che a formola per formola convien fare per vedere se si faccia, o no senza avanzo. Ma appunto perche altro non si cercd se non di conoscere se la divisione si ottenaa con avanzo, o senza, si agevolera molto cjuest' ope- razione (giacche il divisore e sempre dispari) iacendo la divisione a rovescio, cioe non da sinistra verso la 458 C A N 1' h R Z A N 1 destra , come ordinariamente si pratica, ma da de- stra verso la siiiistia; la ([ual oj^erazioiie riesce spe- ditissima nou aveiidosi a far altro che soitrarre suc- cessivaineiite i midtipli del divisore dal dividendo, e dai diversi avaiizi, die di mano in mano si ottengo- no, trasciiraiido in qnesti il zero, che seinpre risulta a destra, finche si giunga ad avere per avanzo zero, o uii niunero ininore del divisore, o del multiplo, die dovrebbe sottrarsi . In questo secondo caso e certo , die la divisione non ha luogo senza avanzo : nel pri- nio caso e cliiaro, die si e ottenuto un quoziente in- tiero, il quale c il numero forniato di quelle figure scritte una dietro 1' altra da destra verso la sinistra, per le quali si e successivameute molciplicato il divi- sore per averne il conveniente multiplo, cioe quel multiplo, la cui prima figura e qnella stessa, che e priuia nel dividendo, o nell' avanzo, da cui dovette sottrarsi: dove e da avvertire, che se in alcuno degli avanzi, die han preceduto V avanzo zero, sia risul- tato a destra pin di un zero, allora bisogna nel quo- ziente porre tanti zeri, quanti ne sono in quell' avan- zo oltre il prinio, i quali stiauo in luogo di quelle figure significanti, che sarebber venute nel quozien- te, se in vece dei zeri, che nelV avanzo si trovano oltre il primo, vi fossero state altrettante figure si- gnificanti. Ahre avvertenze pratiche, che sul fatto non isfuggono mai all'esperto calcolatore, possono sce- niar non poco la gran mole d'operazioni, die a pri- ma vista si prescntano alia raente come necessarie ad oitenere 1' intento. XI. A buon conto tutte le volte che chi calcola 8U' DIVISORI DI QUALSIVOGLIV NLMERO 4,59 s'accorge, clie il denoininatore d'una formola riesce un numeio coinposto, cioe non primo, egli deve ira- scuiailo, e non fare la divisione; poiclu' rappres-intan- do sernpre ( IX) il denominatore uno dei siipposii fjt- tori del nuinero proposto, non puo esso esser com- yjosto, giacchc se potesse esser numero coinposto, i suoi fattori, che dovrebber esscre auclie fattori del numero jiroposto , si sarebber gia trovati nolle for- mole precedenti; or non essendosi trovati, e eviden- te, che non debbono aver luogo . Questa ritlessione risparinia un numero ben grande di operazioni . Trattandosi di un metodo, che nella pratica am- mette dei compendj , giovera soggiungere qualche esempio. XII. Sia il nxnnero 2^ -»- i =4294967297, che secondo un teorema di Fermat avrebbe doviito es- ser numero primo, ma dal celebre Leonardo Euler fu poscia accideiualmente scoperto esser benissimo numero composto. I due prodotti (iom-+- i)(ion-+-7),(tom-4-3) (iOrt-+-9) eguagliati al numero proposto sonnnini- strano le quattro formole prime 4g94()67a() — n _ ^^ 429496729 — 7 m _ ^^ 10 rt H- 7 ' 10 W -I- I 429496727 — Zn _ ^ 429496727 ~qm __ ^^ 10 rt -♦- 9 ' 10 m -+- 3 nissuna delle quali al mettervi in Inogo dell' indeter- minata una dopo 1' altra le dieci figure aritmetiche o , I , 2 . . . . 9 SL converte in numero intiero. Dun- 4^0 C .\ N T R R Z A N I que il ininore dfi due siipposti fattori iion puo esse- re scritto con n\eno di tre figure. Percio passo alle formole secoiule: cioe dictro al 7, per cui puo co- niiiioiare V uno dei due fattori, scrivo in AI le dieci figure aritineticlie, e le scrivo pure dietro i , per cui dee coininciar Taltro, e accoppio in JV a ciascuii dei prin\i numeri queHo di questi secondi, clie moltipli- cato pel suo corrispondeute da un prodotto, die co- niincia per 97, come per 97 comincia il numero pro- posto. Lo stesso faccio in /*, e in Q per riguardo ai due fattori, uno de' quali cominci per 9, e I'altro per 3. Se si aggiunge 70 al precedente dei numeri IV, e ^o al precedente dei numeri Q, si ha il seguen- te tralasciaudo la terza figura , ove la somma la porti. Con queste veuti coppie di numeri formo i venti pro- dotti notati accanto ai numeri medesimi. M N p Q 07. ...71 (locwH- 7)(ioo«-4-7i) 09. ...33 (ioow-4- 9)(ioo;i-+-33) 17. ...41 (icow-»-i7)(ioo»-»-4i) 19. ...63 (ioom-Hi9)(ioo/i-t-6.3) 37. ...II (ioow-t-a7)(ioo«-t-ii) 39. ...93 (ioom-4-a9)(ioo«-«-93) 37. ...8r (ioom-«-37){ioo«H-8i) 89. ...aS (ioow-H39)(ioo«-f-23) 47-. ..5 1 (ioow-h47)(ioo/i-i-5i) 49. ...53 {iccm-^4q){iocn-*-53) 5j..^.3.i (ioo/?z-H57)(ioo/i-+-ai) 59....83 (ioom-4-59)(ioora-4-83) 67... .91 (ioow-»-67)(i iore-4-9i) 69.. ..i3 (ioo»2-t-69)(ioo«-»-i3) 77. ...61 (ioom-i-77)(ioo«-»-6i) 79. ...43 (ioom-»-79){ioori-t-43) 87..,.3i {ioo/«-H87)(ioort-t-3i) 89. ...73 (ioo»2-i-89)(ioo«-*-73) 97. ...01 (ioo//?-t-97)(ioo«-t- i) 99. ...o3 (ioo/«H-99)(ioo/i-»- 3) SU' DIVI50UI IJI QUALSIVOGLIA. NUMEKO 46 1 A ciasclieduno dei vend notati prodotti metto fgiiale il niimero proposto, e separaiido in ogniuia delle venti eqiiazionl, die nascono, taiito 1' una in- determinata m, qnanto I'ahra /i, ottengo le vcnii se- gueuti coppie di forniole Irazionarie. 42949668 — 7 re .42949668 — 71 rn 100 /i -I- 71 100 W 4- 7 42949666 — \1 n _^ 42949666 —41 /?i_ 1^ • — — _^____-__^____ __ ffi J «__ ji 100 n -»- 4' 100 //I -4- 17 3_ 42949670 — a? ^ _ ^ 42949670— II w_^ 100 7Z -H I I 100 7« H- 27 ^^ 42940643 — 37 7Z _ ^ ^ 42949643 — 81 W_^ ICO re -H 81 ICO /re -H 37 5. 4^949649 — 47 " — ^ ^ 42949640 — J I w _ ^^ J 00 re -H 5 1 I CO w -t- 47 /- 4a94')^6' — 57 re 4^949^^' — ^' '^ joo Ai -t- ai 100 7re -»- 57 429496 1 a — 67 re _ ^ ^ 42949612 — 91 ^«_^ 100 re -f- 91 100 7re -+- 67 ^ 42949626 — 77 re_^ 42949626 — 61 w_^ ICO re -»- 61 IOC w -♦- 77 ^^ 42949646 — 87 re _ ^ 42949646 — 3 r re^ _ ^^ 100 re -t- 3 1 ICO /« -+- 87 10. 4=^949672 - 97 ^ ^ ^ 4294967a — rn_^ 100 re H- 1 ICO m H- 97 ^j 42949670— ^n_^ 42949670 — 33 m ^ ^ 100 re -»- 33 IOC /« -t- 9 r. //. p. //. 58 4^^ Canter zANi I a. 4^^949661 — '9/^-,^ 4^94966 1_-^63^_ 100 /I -H 63 100 m -«- 19 J 3 42949646 — 39 ra _ ^ 42949646 — 93 TO _ ioo«H-93 100 w -»- 39 , 42949664 —3qn 42949664— a3w 100 « -t- a3 IOC /n ■+- 6t) r 4^949647 — 49 rt _ ^ 42949647 — 53 m ''*• — r-3 "* J — — :^ = n 100 n -t- bo 100 m -t- ^9 ,6 4=^949^^^ ~ 5o '^ _ ^ 42949624 — 83 m 100 n -i- 6i 100 m -t- 5g 42949'>64 - 69 n _ 42949664 — 1 3 m »/• -— *• — m, — : _ =zn ICC n -t- i5 100 w -I- 69 o 42949639 — 79 n_ 40949639 - 43 TO _ 1 u . — — f/i ^ — __ n 100 ra -t- 43 100 TO -t- 79 42949608 — 89 ra 4294q6o8 — 73 TO 19. 1-ZZZ = m, T-ZZ.! i =:;i 100 ra -I- 73 100 TO -t- 89 42949670 — 99 re 4?94o67>') — 3 to 100 /I -H 3 1 CO TO -t- 99 Intra prendendo la sostitiizione successiva delle nove figure aritmrtiche sigmfic ami in luogo deiriudetermi- nata giunto alia forraola prima della seconda coppia trovo che la sostituziotie dc;l nuinero 6 fa riuscire 42949564 J I J- • • , ; = m, dove tatta la divisione a rovescio, co- 041 me SU' DIVISORI m QUALSIVOCLIA NUMEUO 463 qui si mostra 4'^^W''^ c a5»>4 **7oo4 4acj47^^o 44^' 7 3»40o 3846 si ottiene m iiitiero =67004. Duiique dei clue fat- tori, ill cui si risolve il luiniero proposto, il niinore e 641. L' altro sara loo nx -^ y-j =^ loo. 67004. -♦- 17 = 6700417. Ma non potrebb' egli ancor questo maggior fat- tore avere due fattori uno di tre, 1' altro di quattro, o cinque figure, i quali sarebber pure fattori del nu- mero proposto^ Certo cbe si, prrcbe esseudo 2 583 la radice del piii gran quadrato in esso couteuuto . po- trcbbe ancbe averue due amcudue di quattro iigu- re. Duufpie poicbe questo uumero 6700417 coniincia ancli egli, come il nurnero da prima proposto, per 7, toruo alle seconde forniole gia ricavate, e seguito in esse la sosiituzione delle nove fn2;ure si";iiifit-anii , e trovo il lavoro assai ineuo peuoso di quel che par- rebbe consideraudo, cbe le form^le souo treutasftte , e che ill ognuua si dovrebbero fare nove sostituzio- ni, e altrettaiite divisioni. II graudissiino nuinero di volte che il deuominatore riesce uii numero, che j>er cosi dire a colpo d' bccliio si vede, die e divisibile j)pr 3, o per 7, o prr ir, o per i3, o per 17, o per 19, fa che non 9' abbiano da eseguire die assai poche divisioui. Ma siccome niuna di qiieste si fa sen- za avanzo, cosi si puo conchiudere, che il luiinero 464 C A N T E R Z A N I 6700417 non puo avere im fattore scritto con sole tre figure, quaiido per avventura il numero proposto 2' ■+■ 1 non avesse due volte il fattore 641, che si e gia trovato, del die tni accorgero col sostituire anclie il zero in cpiella delle terze formole, a cui dovro passa- re, la quale avra per denominatore 1000 n-t- 641. Vediani dunque se possa risolversi in due fatto- ri amendne di quattro figure, Supposto che possa, siccome il minor di essi uon puo esser maggiore di 2588, cosi nelle terze formole non si avranno da nietter alia prova die due numeri, cioe 1, e 2. Qui dunque il lavoro piu gravoso parra quello di prepa- rare i numeri, die hanno da servire a formar i |)ro- dotti da mettersi eguali al numero 6700417 per ca- varne le terze formole: ma questo aiicora si rendera facile avvertendo che, come ne' numeri scritti gia in iV, e in Q, cosi anclie in quesii regna una legge neir ordine loro. In fatti a ciascuno dei numeri stes- si notati in AI metto dietro in terzo luogo una dopo r altra le dieci figure aritmetiche, e forino le dieci colonne 7? . Dirimpetto ai numeri della prima colon- na R noto quel numero, die avendo per figura iui- ziale I , e mi)ltiplicato pel corrispondente numero R da un prodotto, die comiiicia per 417, come comin- cia il numero proposto, e formo cosi la prima colon- na S. Non e difficile trovare questi tali numeri, co- me neppure quello da scriversi dirimpetto al primo della secouda colonna /?, trovato il quale m'accorgo, che le segnenti colonne 5 si formano col seinplice aggiungere 700 al corrispondente numero della colon- ni S precedeiue sopprimendo nella somma la quarta SU' DIVISOUI DI QU\L?IVOCLIA XUMERO 465 figiira, quando la somnia sorpassa 999. Nella stessa maniera valenclomi del nuineri scrit- ti di sopra in P forino le dieci colonne T, e dirim- petto ai tuiineri della prima, come pure dirimpetto al |>rinio della secoiida colomia scrivo il iiiiinero, die aveiido per fignra iniziale S, e moltipluato pel eor- rispotulente nuinero T produce uii miinero, (lie co- niincia per 417,6 cosi formo la prima coloniia F, e dal paragone del primo nurnero della seconda colon- na V col primo della prima colonna V rilevo, die per avere le susseguetiti colonne V basta aggiuiigere 3oo al numero corrispondente della colonna V prece- dente sopprimendo la quarta figura della somma, qua- lora questa sorpassa 999. R 5 R 5 R 5 R 5 R S 007.. ..63i 107.. ..33i 207.. ..o3i 307.. ..731 407.. ..431 017.. ..aoi 117.. ..901 217.. ..601 3,7.. ..3oi 417.. ..cor 027.. ..571 127.. ..271 227.. ..971 327.. ..671 427.. ..371 087.. ..741 137.. ..441 287.. ..14. 337.. ..841 457.. ..541 047.. ..711 147.. ..4.1 247.. ..1 1 1 347.. ..811 447" ..5ir 057.. ..481 ,57.. ..i8r 257.. ..881 357.. ..58r 457. ..281 067.. ..o5i 167.. ..751 267.. ..451 367.. ..i5i 467. ..85 1 077.. ..42. •77" ..I 21 277.. ..821 377" ..521 477" ..221 087., ..591 187. ..291 287. ..991 887. ..691 4fi7- ..3qi C97.. ..56i 197.. ..261 297.. ..961 397- ..661 497" ..':56i 466 R 507... 517... 527... 537... 547... 557... 567... 577... 587... Canterzani S .i3 .70 .07 M .21 .98 .55 597. T 009... Ofg... 029... 039... 049... cSg... 069... 079... 089... 099... .9 a ,09 06 R 607. 617. 6^7. 637. 647. 657. 667. 677. 687. 697. F T .7t3 109., .443 '19 .773 129. .703 139. .a33 149 .363 159. .093 169. .4i3 179. .353 189. .883 199. S .83 .40 •77 •94 .91 .68 .25 .6a •79 .76 F R 707.. 717.. 727.. 737.. 747^^ 757.. 767.. 777^^ 787.. 797^^ T S .53 .10 •47 .64 ,.6i ,.38 .95 ..32 -49 ..46 F R 807. 817. 827. 837. 847. 857. 867. 877. 887. 897. T .oi3 209.. .743 at 9.. .073 229.. .oo3 289.. .533 249 • ..663 259.. .393 269. .723 279 .653 289 .i83 299 ..3i3 309. ..043 819. ..373 329. ..3o3 339. .833 349. .963 359. ..693 369. ,..023 379. .953 389, ,..483 399. S R S ...23i 907. ...981 ,..801 917. ...Soi ..171 927... 871 ...341 937. ...041 ...3ii 947. ...01 1 ...081 957. ...781 ...65i 967. ...35i ,..021 977. ...721 ...191 987. ...891 ..161 997... .861 F T F ...61 3 ^o^....giS ...343 419. ...643 ...673 429-- 973 ...6o3 4^9 ■••9o3 ...i33 449. ...433 ...263 459. ...563 ,..993 ^6()....2C)S ...323 479--^23 ...253 489. ...553 ...783 499. ...o83 SD' DIVISORI Dl QUALSIVOGLIA KUMtUO 467 T V T F T F T V T y 509.. ..ai3 609 . ...Si 3 709. .,8i3 809.. .ii3 909.. .413 519.. ..943 619.. ..243 719. ..^43 819.. .843 9'9 .143 5.49.. ..173 629.. ..573 7=»9 ..873 829.. ..73 929.. ..473 539.. ..ao3 6.39.. ..5o3 7^■■ ..8o3 839.. .io3 989.. .403 549- ..733 649.. ..o33 749 .333 849.. .633 949 ■ .933 559.. ..863 659.. . i63 759. ..463 859.. .763 959.. ..o63 S69.. ..593 669.. .893 769. ..,93 869.. .493 969.. 793 579. ..gaS 679.. ..aa3 779- ..5a3 879.. 8a3 979 .123 589.. .853 689.. ..i53 789. ...453 889.. .753 989.. ..o53 S99. ..383 699.. ..683 799- ..983 899.. .283 999- ..583 Con queste dugeuto coppie di muneri fonno i du- geiito prodotti { 1000 m -^- 7 ) ( 1000 n -\- bit ) ( 1000 m -4- 17 ) ( 1000 n -H 201 ) &c. &c. e messo ad ognuno eguale il nuinero 6700417 sepa- ro in ciascuna eqnazione 1' una e Y altra indft«"riui- nata m , n, e ricavo dugento coppie di forinole iVa- zionuiic 6696 — 7 « m 66n6 — 63 1 m — I = n 2. 1000 n -f- ()3i 1000 m -i- Y 6697 — 17 ra : i = m, 1000 a ■+■ aoi 6697 — an m louo m -♦- 17 &c. &c. n 468 C A N T 1. 11 Z A N I ill ognuiia dclle tjuali si devono sostituire uri dopo r altro ill liiogo delT iiideteriniuata, die coiitiene, i lunncti i ^ e 2 per vedeie se t|iialcuiia si couveite in nuinero iiuiero, noii dimeiiticaudo di sostituire aiiche il zero nella prima lorinola della settantesima quarta coppia a fine di vedere se il nurnero da prima pro- posto avesse mai due volte il fattore 641; la qual indagine, clie parrebbe sommamente vasia, riesce sul fatto assai spedita; perciocelie faciliiieute m'accorgo, a cagion d' esempio, clie la prima fonnola metteudo 1 in luogo di n porta il denominatore i63i divisibi- le per 7, e metteudovi 2 porta 263 1 divisibile per 3; onde la omeito {XI). IMa quand' anclie noii mi Ibssi di cio accorto, egli e cbiaro, che iu questa, co- me in ogui alira delle quattrocento formole, o si met- ta 1,0 si metta 2 in luogo dclT indeterminata, tan- to il numeratore, quatito il denominatore riesce . iiii iiumero di cjuattro figure, e pero ancbe setiza aver la penna in mano veggo che il numeratore di quella prima formola al mettere i in luogo di ri comincie- ra per 9, e per conseguenza non potra aver luogo la divisione senza avanzo, perche facendola a rovescio converrebbe da quel numeratore sottrarre il nonuplo del denominatore, il quale e certamente maggiore del- lo stesso numeratore; mettendo poi 2 in luogo di a veggo, che il numefatore cominciera per 2, e sottra- endone il doppio del denominatore ne viene un avan- zo, che trascurato il zero a destra e di tre figure, dal •juale non si potra certamente sottrarre il denomina- tore di quattro fig«re, e molto meno un di lui mnl- liplo: sicche non puo mai riuscire la divisione senza SU' DIVISORI ni QUALSIVOGLIA NUMEKO 469 avanzo In soinina ben presto scopro, die nissuna del- le quattrocento forinole iVazionarie si converte in in- tiero, e concliiudo, die il numero 6700417 e nunie- ro primo, e quindi die il numero a* ■+■ 1 non ha al- tri lattori oltre 641, e 6700417. Xlll. Jltro esempio. I nnmeri compresi nell' es- pressione 3**^ ■+- 2 sono nunieri priini linche si mette /= I ,r=2jr=3. Si cerca se sia numero primo anche 3" -h 2 = 43046723. I due prodottij ne' quali si possono rappresen- tare due fattori, in cui si risolva questo numero, sono { io m -t- 3 ) { 10 n -i- 1 ) (10 w -^9) (lO«-H7) e questi eguagliati al numero medesinio somministra- no le due equazioni, donde si cavano le quattro Ibr- mole prime 430467a — S n 430467a — rn xo /i H- I 10 m -+- 3 4304666 — c) « 4304666 ~ 1 "i __ \o n -\- 1 10 /n -*- t) Mettendo o , i , a 9 in luogo deH'indetermina- ta, le prime tre formole uon danno mai iin intiero; ma la quarta al jnettcr die si fa m = i si converte neir intiero 226061 =n. Dunque il numero 3' -+- 2 ron e primo, ed il minore de' suoi lattori e 19: il maggiore sara 10.226561 -+-7 = 2260617. Seguitando a nietter in luogo di ni in qudla quarta formola gli T. Il F. II. 59 470 Canterzani akri numeii 2 , 3 9 piii non si converte essa in numero intiero, e pero noii ha il numero proposto alcro fattore di sole due figure oltre 19. Se il numero 3' -*- 2 oltre questi due gla tro- vad avesse altri fattori, sarebbero essi fattori anche del maggiore di questi due, cioe del numero 2265617, e sarebbero rappresentati in uno dei due seguenti prodotti ( 10 /W -4- 7 ) ( IG rt -4- I ) (10/71-4-9) (ion.-f-3) Ora questi due prodotti messi eguali al numero <22656i7 somministrano le quattro formole 22656 I — 7 n i — =z m , 10 n -i- I 22656r — m _ 10 m -t- 7 226559 — 9 ."■ 10 ra -H 3 226559 — ^ ^ lo rn -*- q n n nelle quali e inutile fare la sostituzione dei numeri 1,2,3 — 9, perche si e gia veduto, che il nume- ro proposto non ha fuori del 19 verun altro fattore scritto con meno di tre figure: solamente nella quar- ta sostituisco in luogo di in 1' unita per vedere se vi fosse due volte il fattor 19. In fatti risulta 1 1924 = n. Dnnque il numero 3* -t- 2 ha due volte il fattore 19, e per consegueuza un altro fattore di esso sara 19 . 19 = 36i: un altro fattore poi sara 10 . 1 1924 -h 3 = 1 19243. Per sottoporre all'esanie anche questo nuovo fat- tore II 9243, il quale poti:ebbe esser ancor esso nu- SU' DIVISORI DI QUALSIVOOLIA NUMERO 4- 1 mero non priino, si avranno le quattro formole prime 1 1024 — 3 n 1 1 024 — "i — i_i ■=. m. , — r = n : lo/i-t-i 10 m -^ 6 II c) 18 — on 1191^ — y'" — ^ — m , — ■ — = «■ 10 rt -t- 7 10 m e qui pure noii fo altra sostituzione che quella di i in luogo di m nella qiiarta formola a fine di vedere se il numero proposto avesse niai tre volte il fatto- re 19; ma trovando che no, passo a preparare le venti coppie di numeri a due figure, ognuna delle quali coppie sia formata in modo, che mokiplicati insieme i due numeri si abbia un prodotto, che co- minci, come il numero ora proposto, per 43. Le ven- ti coppie sono o3....8i 09. ...ay i3....ii 19. ...97 23. ...41 29. ...67 33. ...71 39.. ..37 43. ...01 49'-'°7 53. ...3i 59... .77 63. ...6i 69. ...47 73. ...91 79--«7 83....ai 89. ...87 93. ...5i 99... .57 dalle quali nascono al solito venti prodotii , che egua- 472 Canterzani gliati al numero 119243 sommlnistrano venti coppie di formole, die sono le seguenti a. 3. 6. 7- 8. 10. II. la- II 90 — 3 n 100 n 81 m I loi — i3 re — 1 =: m , 100 re -t- II 1 183 — a3 re 1190 — 8r m 100 m -+- 3 1 191 — ri m 100 m i3 re re 100 re 4' =.m , ii83 — 4i w J. =re 100 /re -H a3 1 1 6g — 71 m . 1 169 — 33 re 4. z = m , 100 re -♦- 71 100 /re -t- 33 e 1192—43 re 119a — /re 43 ;re J 00 re -t- I 1 176 — 53 re 100 re -»- 3i I r54 — 63 re m Joo m 1 1 76 — 3 1 in 100 re iia6 - bi /re ^ 100 /re -t- 53 1 1 54 — 61 /re = re 100 /re 03 re 73 re 100 re -t- 91 1 1 75 — 83 re 100 re -H ai 1 145 — 93 re 100 re -♦- 5i 1 1 go — 9 re 100 re -I- 27 n 74 — 1 9 re /re /re , /re I ia6 — or /re i- — =re ICO //z -t- 73 I I 75 — a I m 1 00 m -t- 83 1 145 — 5 1 m :/J 100 m 93 re 100 re 97 = m , 1 190 — 27 /re JOO in ■+- 9 1 1 74 — 97 w. = re re ICO //z '9 SU' DlVISOni 1)1 QTTALSIVOGT.IA NU.MEUO 478 i3. ^'73-^9"_,„ 1173-67 »^_„ xoo n -H 67 100 m -I- 49 ,4. llj!Lz^=m, "78-37^^^ 100 « -«- 37 100 m -I- ^9 1 5. ^'^9 — 49".,„, 1189 — 7 r?i__ 16. w , ^ '. — = n 1 00 « -t- 7 1 00 m -t- 49 1 r47 - 5() n _ ^ ^ 1147 -77 m __ ^ ICO /i -H 77 ' 100 m -H 59 J 1 60 — 6q n 1 1 60 — 4? w ICO /I -»- 47 100 m -t- 69 ,8. "79-79^^^^ ii79-i7m^^ 100 ;j -+- 17 100 /» -4- 79 lllS — 80 n Iil5 — 87 TO 19. L_ = TO J 1 — =;t 100 71 -♦- 87 100 TO -f- 89 ao. i'36-99;^_^^ ii36-57to_„ 100 « -t- 57 100 TO -+- 99 Siccome il fattor, che si cerca se vl sia, dee esser minora di 845 radice del piu gran quadrate conte- nuto nel numero 1 19243, cosi in ciascuna di que- ste formole basta in luogo dell' indeterminata sosti- tuire i soli tre numeri i , 2 , 3. Ma con somnia facilita usando le avvertenze notate alia fine del pa- ragrafo XII trovo che nissuno di questi numeri con- vene formola alouna in numero intiero. II numero adunque 1 19343 e primo, e il numero 3* -t- 2 non ha akri divisori oltre quelli, che si sono gia trovati, cioe J 9 due volte, 36 1 , 119243 , 2265617. 474 C A N T i: K Z A N I XIV. In qucpto secondo esemplo subito che si arrivo mediante le prime (juattro formole a scoprire, che il nuinero proposto 3"^ -♦- 2 non puo aver f'uori di 19 aliro fattore scritto con meno di tre figure, si poteva iminediatamente per esso intraprendere la di- visione deH'altro fattore 2265617, e vedendo che rie- sce senza avanzo, ma che il quoziente 1 19243 non e poi divisibile per 19, conchiudere che il numero 3' H- 2 ha due volte e non piu questo divisore 19, e quindi passar senz' altro a trovar le venti coppie di formole seconde per metter alia prova il numero 119243. Cosi si sarebbe avuto un risparmio di for- mole; il quale si potra in pratica sempre avere, quan- do dopo trovato un fattore si vuol conoscere, se egli divida piu di una volta un numero proposto. XV. Non dee recar maraviglia, che in questo stesso secondo esempio cercando se vi fosse un fatto- re scritto con tre figure si sia trovato che no, quan- do per altro si e veduto, che il numero proposto 3* -»- 2 e divisibile per 19. 19 = 36i , che e pur scrit- to con tre figure. Ben si vede, che il metodo di ten- tativo, che si e esposto, e tale, che quando ha da- to una volta un divisore, non puo tornar a darlo un' ultra volta , se per avventura il numero proposto non lo contenga piu d' una volta. Ora il metodo, che ha gia dato due volte il divisore 19, viene cosi ad aver dato auche il divisore 19 . 19 = 36i, e quindi noa poteva tornar a dare questo divisore 36 1, il quale una sola volta puo dividere il numero proposto. XVI. Forse si dira, che 1' esposto metodo in som- ma si riduce a dover provare come possibili divisori SU' DIVISORI DI QUALSIVOCLIA NUMEKO 476 del proposto numero A tuttl i nuineri dispari, che non comifjciano per 5, e die sono mlnori della ra- dice del piii gran quadrato contt^mito in A. Cio e \'ero; ma e vero ahresi, die per lutti cjuesii nuuieri si hanno da dlvidere, non gia il nnniero A, ma Hu- meri piu piccoli, e seinpre piu piccoli di A^ e cosi le divisioni si eseguiscono tanto [)iu lacilmente, di modo die alT ultimo, anche senza scrivere, si scorge se possano, o no riuscir senza avanzo, massime se , come e stato notato {X) facdansi a rovcscio. Ne questo, in maiicanza massimamente della tavola dei numeri primi, e piccolo vantaggio in una ricerca , in cui pare certamente, che non possa procedersi che tentando. Per poco poi che il calcolatore abbia la pratica del conteggiare, facilmente s'accorge egli quan- do il denominatore d'una formola rit-sce divisibile per uno anche dei soli sei numeri molto semplici 3,7, II , i3, 17, 19, nel qual caso si omette {XI) di di- videre per esso il numeratore: ed e ben grande il numero delle operazioni, che vengono cosi a rispar- miarsi . XVIT. Nonostanteche si usino queste avvertenze, c tutte le altre, che di sopra si sono all' occasione notate, e quelle, che sul fatto ofterir si possono al- I'abile calcolatore, le quali tutte danno luogo a mol- ti e molti compendj, non si puo negare, che I'espo- sto metodo non ricliieda una gran serie d'opfrazioni , qualora il numero proposto sia molto gramle. Pure trattandosi di un problema, che forse non pno scior- si che tentando, saro contento, se avro indicato il tentativo piu sicuro, e meno al parer mio faiicoso; 476 Canterzani e molto maogiormeiite lo saro, se abbia cosl dato oc- casione ai valeiui Aiialisd, clie o.iorano la nostra Ita- lia, di scopriie una via per giunger aU'iateuto affat- to cUreua, o almeno piu coiupendiosa . I N D I C E D iscnrso e OssPrvazioni intorno i reccnti progress! dovutl agl' Ita- Jiaiii delle scieiize mateiuaticlie c lisicLc pag. Ill I. Fine dpgli elementi di trigonometria sferoidica . Di Barnuba Oriatn . . . . , pag. i a. Continnazione delle nsscrvazioni e spcrienze sopra la teoria della resisieiiia de' fluidi del sig. Giorgio Juan . Di Giuseppe Avan- zini 59 3. Sopra i Criterj clie distingiiono i Massimi dai Minimi delle for- mole iniegrali doppie. Di Fincciizto Brunacci Ill 4. Continnazione della parte a*, snllc livellazioni barometriche . Di Francesco Vcnini 171 5. Suir apparecrhio laterale ; con nuove modificazioni degli strumcnti desniiti in alira memoria inserita nella prima parte di (juesto toQio . Di Ciuscppc Ant 241 6. Delia siiniglianza meccanica . Di Paolo Dclangcs aSt 'J- Delia inrfinazione delle sponde negli alvei de' fiuaii . Di Simone Straiico 261 8. Supplememo alle osservaaioni sopra la teoria della resistenza de' fluiili del sig. Tiian . L)i Giuseppe Avanzini 3ai 9. Altra Cnnrinuazione della parte a*, sulle livellazioni barometriche. Di Francesco Vcnini 341 lo< Metodn d' indapare i divisori di qualsivoglia dato nuroero. Di 5e- basdano Canterzani 44^ .*' ./ II 1