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MEMORIE

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MATEMATICA E FISICA

DELLA

SOCIETÀ ITALIANA

TOMO IL VAIATE L

VERONA

PER DIONIGI R A M A N Z I N I

MDCCLXXXIV.

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ELOGIO

DI GIUSEPPE TORELLI

Scritta

Dal Sig. Cavaliere Pindemonte.

SE felice veramente è quel letterato, a cui uno ftudio co- lante delle fcienze aftratte non eftinfe il gufto per 1' ar- ti le più gentili , che le pagine d' Omero ha così fpefTo tra mano come quelle di Newton , e del quale torna proprio u- gualmente e lo fcuoprire la natura d' una curva , e il pro- durre r incanto amabile della poefia, noi diremo che fu fe- lice il Torelli , di cui fcriviarao 1' Elogio , e che pofTedette tutto quel bene, cui lice in terra afpirare, e neceffario anch' cflb a coftituire il carattere d' una vita celebre e rara, qua- le venir fuole dalla favia antichità per modello rapprefenta- ta. Perciocché né mancò a lui la virtù, né l'ofTervanza del- la religion fua , né la cara falute, parte anch' efTa eflenzialif^ fima della umana felicità ; ed ebbe , in giufta equazione de' fuoi dtfiderj, que' due che molto fra gli eflerni beni rifplea-

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dono , le belle ricchezze , e la fama , eh' è certo ancora più bella . Una tal vita ben meritava di venir poflra fuUe carte , ed anche di venir polla fu quelle , che dalla Società Italiana fon pubblicate . Egli era membro di quefta : quindi , appun- to perchè non fu a tempo di affaticarli per effa , crede aver più ragione la Società di lagrimarne la perdita , e lo fa pub- blicamente, amando di premiare anche le ottime volontà de' fuoi membri , e ftimando di onorar nel Torelli fé ftefla . Quan- tunque poi s'occupi folamente delle fcienze gravi, gode fé al- cuno fi diftiufe ancora nelle lettere belle , e vuole che per que- lle eziandio venga qui celebrato , e perchè non fi defraudi alcuno della debita lode, e perchè non rifiuta la compiacen- za di far vedere, che poffiede ne' fuoi quelle ricchezze anco- ra, di cui ella non ufa.

Giufeppe Torelli nacque in Verona li 3. Novembre dell' anno 1721. Luca fu il padre, negoziante di fortuna medio- cre, e la madre Angela Albertini Veneziana , donna di più che mediocre indole, e colta oltre 1' ufanza del izRo a. que' tempi: a lei confeflava il Torelli di dover tutto , rimaflo pri- vo del padre in tenera età ; ella gli diede 1' educazion pri- ma ; e fatto adulto nel Collegio il pofe qui retto allora da' PP. Somafchi , pofcia in cafa de' dotti fratelli Ballerini, e fi- nalmente , fapendo con amor coraggiofo e vero privarfene , air Univerfitìi di Padova lo mandò , Terminati appena fuoi iludj , parve fubito ciò eh' effer dovea , e eh' io qui dichia- ro: dico che moffrò fubito un certo fenfo dell' ottimo in o- gn; cofa , un' anima armonica e veramente geometrica , ma nel tempo ftelTo di finiUìma e dilicatiffima temperatura ; on- de r amor del bello non meno che il bifogao del vero, ed il fior del gufto e la fquifitezza del tatto non men che il fa-; pore della proporzione e del retto ; ciò in fine che mi piace comprendere nelle fole parole fenfo d^W ottimo in ogni cofa a lui naturale, e colia buona difciplina perfezaonato : dal quale

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condotto venne per la difficile carriera delle lettere , e per la più difficile della vita, di cui parlerò dopo, ma breviffi- mamente , perchè non trattali qui che dell' uom letterato . Diffi che quello fenfo di perfezione moftrò lln d' allora , per- chè gli uomini primarj di Padova a quel tempo , i Morga- gni, i Pontedera , i Poleni , i Dandini, i Volpi, ed i Fac- ciolati non Iblamente ammiravano in lui un giovinetto che molto di sé promettea , ma eziandio accarezzavano un confi- gliero fagace , cui potevano negli affari delle lettere interro- gare . Del che fa prova faper che il Morgagni leggeva a lui nella danza quelle orazioni che poi dovea dalla cattedra re- citare ; come fa teflimonio dell' altro veder che il Dandini compiacqueli d'indirizzargli per via d' epiflole una fua opera , chiamandolo pieno di erudizione e di dottrina in una età che gli altri li difpongono ad efferlo ,e per cui vedefi che la buo- na coltura non gli fu men primaticcia del buon giudizio,

Ripatriato, pare che folo delle belle lettere ornafl'e quegli anni primi , ma non già come s' ufa oggidì ; perocché eferci- tavall nel latino fermone , coltivava il greco , amoreggiava r ebraico , avvicendando il fevero e 1' amenità , e nutrendo i fiori del gufto colla foftanza del buon fapere . Frutto pri- miero di quefti ftudj fu la verlione latina , non però mai pubblicata, di quell'aureo libretto greco di morale, più uti- le e grande che trattati molti non fono di tale fcienza , e libretto d' ogni età, d' ogni felTo , d' ogni nazione e d' ogni fecole , gli apologhi di Efopo ; i quali veftire della più carta latinità , e fregiar volle di note opportune e di prefazione erudita , formandone un elegantiflimo volumetto , non mea che riguardo al coftume , profittevole ai giovani rifpetto alla lingua , la quale , non men che quello fecondo i Teologi , vaffi ora più fempre fecondo i Grammatici corrompendo . E del tempo medelìmo , e non meno faporiti e ben profperati fono altri frutti di gentile letteratura, di cui torto ragiono,.

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Tra' greci fcrittori a sé particolarmente Io traffe Luciano', dalla converfaz.ione del quale parti egli dopo averne non pur guffati, ma ia fangue convertiti que'penfamenti , e fatto unai eleganza fua propria di quelle graziofità . Teflimonio ne fo- no tre Dialoghi ed una Efercitazione accademica . Ha que- fta per titolo Sogno di Giacomo P inde monte ; e fi tratta di perfuadere il coltivamento delle lettere ad un giovinetto in- clinato più a quello delle armi , fingendoli che due. donne vegga in dormendo , la Milizia , e la Letteratura, ambedue delìderofe di poflederlo , ed i fuoi comodi e beni vantando ciafcuna : il tutto non che preparato alla maniera de' Greci, ma di fapore , greco veramente , condito .. I Dialoghi poi , latini pur effi , e ftampati fenza nome in Colonia , due por- tano in fronte Del principale incomodo della gola e del fuo~ rimedio^ l'altro è fulla dottrina in generale del Probabili fmo ^ dottrina che allor piì^i che mai facea perdere il tempo ai Teo- logi dell' Italia , Ciafcun fa quanto torni opportuno lo ftile del dialogo , ove piaccia veftir di ridicolo le cofe più gravi ,- o che tali fon riputate: ma quanto anche noa è malagevole il confeguirne la femplice ed iniìeme varia andatura, i mot- ti improvvili e nulla meno naturali, e quella piccante, e no- bile a un tempo ed ingenua giocondità che tutto dee ralle-. grarlo? o io m'inganno, o quelli Dialoghi non fono nel ge- nere loro meno eccellenti delle celebri Lettere Provinciali: pratica fomma di que' cortefi e condifcendenti Cafifti , laviez- za , temperanza e difinvoltura nel farne ufo , le grazie in- nocenti a tempo, a tempo le grazie pungenti, facile tenitu- ra e variata , gemme di lingua le più luftranti , e il garbo per ogni dove e la urbanità . Diede anche pruova del fuo profitto nella ebraica lingua con una Diifertazione latina ìndiritta fotto forma di lettera al Marchefe Maftèi , e con- tenente parecchie comparazioni tra 1' ebraico libro dell" Ei- odo 5 e la greca interpretazion dei Settanta. S'oppofe a que-

fta operetta il P. Carmeli reputato Profeffore a quel tempo in Padova di lingue orientali , foftenendo efTer cofa perico- lerà ed audace e quafi facrilega il por mano fenza neceflità ed autorità nell' ebraico tefto dietro le riprovate traccie di Riccardo Simone , del Clerc , e di Lodovico Capello : ma condannando l'afTunto, l'ingegno per altro del giovine Criti- co commendò . Comunque fia riguardo al primo , ci contente- remo di dire quanto al fecondo , che folo ancora in que' po- chi palli diede a divedere abbaftanza , quanto farebbe nella facra filologia proceduto , ove continuato avelie a darci ope- ra, e quando mancati non gli follerò i libri neceflarj , maf- fime quelli de' Proteftanti, de' quali i paelì cattolici, e maf- lime l'Italia, per non dir che il vero, fcarfeggia. E qui mi piace notare che quefti lavori fon piccioli, è vero, di mole^ ma la finitezza e perfezion loro , come fa onor grande air Autore , così la mia cura giuftifica in ricordarli .

Benché però coltivafle in quegli anni le più dolci arti fin- golarmente e la filologia , tanto è però lungi che trafcurafie k fcienze e le arti piìt gravi , che Tappiamo anzi che addot- torato a Padova in legge , febben non 1' abbia mai profetata, molto vi applicò nondimeno in quella fua giovinezza, e ap- pare da lettere fcritte a lui , che due Difièrrazioni , indarno poi ricercate tra le fue carte , ftefo egli avefie fu propofiti importanti afTai di giurifprudenza . Ma né quefla con tutte le altre fcienze che dette fon rnctafilìche , né la filica ftefla che fpefib, tolta univerf'J'nente -, o ci lafcia anch' ella nelle tenebre, o Jc rlìraJa per lafciarci poi, com' è de' lampi not- turni, in anche maggiore ofcurità, pctea contentare uno fpi- rito di contentatura in tutte le cofe difficiliffima , la qual non nafce che da quel fenfo di perfezione fopraindicato , e dal quale venia propriamente coftretto a non fi appagare che di quel vero fol degno del nome , come non lì acquetava nella poefia ed oratoria che a quel puro beilo e perfetto , che

vin pi\ò dirfi il vero delle buone arti . Quindi abbracciar dovea (.lì iieceffità le matematiche , e quelle lingolarmente che di- conlì pure , le quali poi fempre aggiogò colle belle lettere giudicate per lui non men vere appunto di quelle nell' efler loro , perchè ficure di confeguire ir mano di chi trattarle lappia il lor fine , o con dilettar T intelletto , o con ifvol- gere la volontà. E però egli era folito lodar particolarmen- te quefti due lludj , e raccomandarne il coltivamento ; e per quella opinione , che anch' ei tenea , folle quafi un perder r opera e il tempo in parecchj altri , e per un diletto na- turale di vedere in confiderazione ed in pregio ciò che fi pregia e coniidera, diletto che torna in lode, perchè fol ca- de in coloro che di ofcurare non temono all' altrui luce : molto più che conceflb è a pochi nodrire fotto un medelimo tetto, e congiunti d' amicizia due ftudj non tanto forfè ne- mici di lor natura , quanto creduti tali perchè rare volte , e quindi con maggior vanto di chi gli unifce , infieme con- vengono .

Per la medefima ragione poi , che tra le fcienze avea fcel- to k matematiche , elellè tra quefte 1' antica geometria , e fece poi fempre le delizie fue di quel metodo , che per la di- ligenza a guidarci di paflo in paffo , e per quel lume che fpar- ge fu la via tutta , dovea fingolarmente allettarlo ; e come r anima fua non era meno gentile che geometrica, è il ve- der facile quanto in ciò pur» amar dovelTc gli antichi , di cui fu fempre grandiffimo ofTervator^ , e nelle dimoftrazioni de' quali la precifione ed il rigore vanno a maraviglia del pa- ri colla femplicità ed eleganza . Rivolfe V animo da princi- pio anch' egli a quel metodo che per altri pregi rifplende e tanto tiene ora, veduti eh' egli ebbe quegli elementi di geo- metria , che moftrare fi fogliono nelle fcuole ; ma poi mutò di conlìglio. Perchè avvenutoli in Vicenza con dotto Matema- tico che lo avvifò di volgere addietro per rifar meglio la

ftrada

Arada che corfa avea , e forfè anche ricordatofi di Newton , che ritornò fui Geometri antichi da lui troppo torto per 1' a- mor dell' Algebra abbandonati, prefe a ftudiare di nuovo Eu- clide , ma in Euclide medcfimo , fecondo il detto dello fteflo Newton; e quefto fece cogli altri tutti e Angolarmente con Archimede , di cui tanto invaghì, che gli tenne poi fempre la più irreprenfibile fedeltà. E quanto a Euclide, come rifo avea prima di sé , cosi degli altri era folito ridere che fui moderni libri lo ftudiano , e di quegli Autori che prctefero riordinarlo , rompendo quella catena mirabile di propofizioni che partano neceffariamente dall'una nell'altra, e che forman- do un ordine , di cui non può darfi il più nobile , formano inlìeme la delizia degli amatori del rigor geom.etrico ; rigore, che folo può vincere uno fpirito rifoluto di non li dare che air evidenza . Ma quefto è il vezzo comune ora di agevolare la fcienza debilitandola ; al che non poco contribuifce quella nazione, per altro illuflre e grandiffimajC non mai lodata ab- baftanza che fa di aflicurariì in tal modo la da lei affettata uni- verfale monarchia nelle lettere . e che infegna ad abbandonare le lingue antiche per far parlare alle fcienze la propria folo : mentre la fua rivale afpira tuttavia aduna gloria negli ftudj men rilucente , ma più ferma e più dai favj ammirata ; e le antiche lingue coltiva , ed ancora conferva il gufto della fevera geometria . Primo faggio di quefli ftudj nel noftro Torelli fu 1' inge- gnofo trovato d'una macchina idraulica, fpiegata molto fem- plicemente ed elegantemente con Lettera latina al Marchefe Poleni indiritta; e trattali d'una ruota girante fotto acqua, ed utile in queflro che non riftarebbe, come le altre, fempre che i fiumi o per le pioggie autunnali , o per la neve ingroflano di primavera . E' noto che per due cagioni (farebbe ; o man- cando la forza impulfiva, o la fteffa forza ugualmente in o- gni fua parte operando. Queft' ultimo accade nella ruota fot- to acqua ; perchè quantunque fia vero che le acque correnti Tomo II. b

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non muovano e fopra e fotto d' un corfo eguale , pur non è quella diverlìtà che bafti a rivolgerla . Per far dunque che la forza delle acque non così operi nella fuperior parte del- la ruota come nella inferiore , fpezzò i raggi di quella in due parti, ond'è che gì' inferiori compongon fempre una ret- ta , due rette i fuperiori fatti per una fpecie di contrazione più brevi; e però volgendo la ruota, ciafcun raggio cade pel proprio pefo, e torna dall' una parte intero di rotto, e rot- to d' intero dall' altra, ciafcuno raggio allungandoli o con- traendoli con perpetuo ed equabile avvicendamento .

Dopo quefta Lettera pubblicò egli un tratto geometrico in lingua italiana col titolo Scala de' meriti a capo d' anno; imitando con quefto il Leibnizio , di cui pure lo fcioglimen- to d' un bel problema a mercatura pertinente negli Atti ab- biamo di Lipfia . Merito fi chiam.a preffo i mercatanti quel frutto, che da un capitale ci viene prodotto in un dato tem- po; e merito a capo d'anno quello che febben prodotto equa- bilmente per tutto r anno, pur folo in fine dell' anno fteffo dimandafi intero. Ma fuppongalì, dice 1' Autore , che fé ne dimandi fra I' anno fenza 1' altrui pregiudizio una qualche parte : qual farà ella ? Ora per ifciogliere quefto problema ba- fta confìderare che il diraandarfi per patto intero un tal me- rito folamente in fine dell' anno non altro importa , fé non che nel giro d' un anno nulla oltre lo ftefib può ricavarfi : end' è manifefto che in altro modo dee concepirfi prodotto, dimandandofi in fine dell' anno , ed in altro modo , diman- dandofene fra 1' anno una parte . Nel primo cafo dee conce- pirfi prodotto dal folo capitale , nel fecondo e dal capitale e da quella parte , qualunque fiafi , che fra 1' anno fé ne di- manda. Quella parte adunque, che nel tempo trafcorfo fi vuol fupporre efiere fiata dal capitale prodotta, dee efier tale che unita a quella tale altra , cui può produrre pur colla flefll^a legge nel tempo , che riman da trafcorrere , il predetto ca-

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pitale , della ftefla accrefciuto , adegui precifamente l' intero merito. Le quali parti , o Ila meriti parziali volendo gene- ralmente determinare, ricorre l'Autore ad una curva, le cui dimenlioni e proprietadi a dimoftrar tolfe , e che appunto è la fcala fopraindicata. Il problema è da tenerfì in pregio non lieve e per 1' ufo che nella vita civile fé ne può trarre gran- diflìmo , e perchè fciolto con quella nitidezza e perfpicuità tutte proprie del noflro Geometra .

Ma benché 1' Autor noftro coltivaffe ftudiofamente ed a- cremente foftenedè la finteli degli antichi , meritò per altro affai bene della moderna analilì ; e ciò, tentando di trafpor- tare il rigore e la certezza dell' antica geometria nella più fublime e pili utile parte di quel metodo : dico nel calcolo infiniteiimale . La idea, che delle infinitelìme quantità reca il Wolfio ne' fuoi Elementi, rapprefentandole quali quantità in- comparabili alle più grandi, a quel modo che un granello d'a- rena incomparabil iì dice rifpetto a un monte , come non può certamente alcuno ingegno matematico, per indulgente eh' ei fia , tranquillare , così agitare dovea fommamente colui che alla fana indole dello ingegno aggiungea la rigida educazio- ne dell' antica geometria . Cominciò pertanto a meditare , giufta il penfamento proprio, fulle quantità infinitefime. Le confiderò egli quali differenze che a poco a poco giungono ad annichilarfi , e nell' atto dell' annichilamento fanno che certe relazioni tra d' altre fuffiilenti linee a verificare fi vengano; e confiderò infieme che avendo gli Analifti diftinto due cal- coli, r uno per le quantità pofitive, per le negative V al- tro , effere ci dovea un calcolo ancora pel Niente porto all' une e all' altre di mezzo . Dietro codefte tracce ^vvifò non altro effere il calcolo degl' infinitefimi , che il calcolo del Niente tra le pofitive e le negative quantità collocato , feb- bene con altri riguardi , e di fotto ad altra fembianza da' primi Autori fuoi inftituito . Ma un annientamento traente

xn fico la verità di relazioni che prima non erano , non è già un nulla che meriti d' effer confufo col nulla metafifico ed airoluto ; il perchè trovoffi egli neceflitato a caratterizzarlo col titolo di Nulla geometrico, e quefto titolo a porre in fronte d' una fua opera latina , divifa in due libri , nel pri- mo de' quali fé ne rifchiara la natura , neir altro 1' applica- zione fé ne dimoflra . In quello, come quefto Niente fi for- mi, come a varj ordini flilga , come fopra ciTo adoperare (ì debba vien ragionato , e ia fottigliezza dell' ingegno partico- larmente rifplendevi ; come pompeggia la induftria nel libro fecondo, ove conticnu i' applicazione, ed ove d' ogni fpecie di problemi geometrici foliti ad eflere fciolti dal calcolo in- fìnitellmale fi recano efempj , in cui fciolgonfi felicemente eolla nuova teoria del Nulla- geometrico . Or chi crederebbe che un' opera lavorata con tanto raffinamento di arte , ed a SI utile (ine condotta , come quella che i fondamenti dimo- flra d'una parte tanto importante dell' analitl , qual è il cal- colo differenziale , chi crederebbe che accolta non foffe con applaufo, con gratitudine, con diletto? Eppure non fu così: il titolo di Niente geometrico difguftò molti ; ma quanto a torto, rendelì chiaro abbaflanza dalla nozione di quefto Nien- te poc'anzi efpofta . Era dovere pertanto non ìì arreftare al- ia nuova ifcrizione del tempio, ma entrare, ma efaminare il tutto e le parti, che avrebbono e giuftificato loro quella ifcri- zione , e data infieme baftevole idea della fagacità e del fa- pere deli' architetto . Lo fleffo intervenne al celebre Autore dello Spirito delle leggi ; il qual titolo rivolto fubitamente in ifcherzo dalla non feria nazione fece che la più parte, fcri- vono i pignori Maupertuis e d' Alembert , non fi curafie a principio del libro fiefib, lodatilFimo poi , cioè letto che fu da que' giudici , che la voce del pubblico indirizzarono : e non dubito che letto da giudici buoni il noftro hbro , pò- f^a la debita proporzione tra opera ed opera, non ne ripoi;-

XIII

taflc gli applaufi grandi , e avuto il pefo de' voti , non ne ottenefre il numero ancora.

Vide pertanto 1' Autore che quella opera o ftata non era ben letta , o intefa non bene ; e però a vie più far chiara la folidità e utilità della fua teoria dettò nuovo libro anch' effo latino, e col titolo di Cofe Geometriche pubblicolio : nel quale tre problemi propone e fcioglie prima linteticamente coi principi della greca geometria , poi analiticamente colla dottrina fua del Nulla geometrico. E veramente le prime ri- foluzioni moftrano il fommo vigore di raziocinio , che dall' efercizio della finteli avea ritratto , onde foftenere le più com- pofte e laboriofe dimoftrazioni delle verità più difficili ed av- viluppate ; come le rifoluzioni feconde manifeflano ciò in che r analifì vince la lintefi , cioè la fpcditezza di giungere a meta, per nulla dire ora della fecondità, e ciò in che dalla finteli è vinta , cioè la luce , che illumina e indora tutto il cammino . Buon Critico appare ancora, inferendo tra quelle dimoltrazioni ciò che fulla quadratrice di Dinoftrato nelle collezioni fi riferifce di Pappo, e fervendofi ei primo del ma- nofcritto codice Vaticano per lui emendato accortamente e tradotto, male foddisfacendoli della verfione del Commandi- no . Finalmente elegantiflimo Scrittore veder fi fa ; e in vero due libri di acuta e profonda matematica, annunziati ciafcu- '10 da prefazione e da lettera dedicatoria piene 1' una e l'al- tra di tutte le grazie e le veneri del penfare e dello fcrive- re , parmi cofa rara veramente ed attiflima ad umiliarne e lo Scrittore fuperficiale , ed il rozzo Matematico; ma nel tem- po fi-efib è cofa però da afpettarfi in colui che reca dalla na- tura il fenfo vero dell' ottimo : perchè chi al beljo s' educa folo , giungerà lolo a quello dell' arte che particolarmente coltiva ; ma chi propriamente al bello è nato anche . cofa non vede o tocca che tofto non ve lo fcuopra od infonda, o perchè generale è la difpofizione , o perchè il primo cogji^

b iij

XIV

tale o tale beltà , il fecondo coglie Tempre fotto varie modi- ficazioni la beltà ftefla .

Conofcitore dunque ficuro del vero bello , così nelle arti più dolci come nelle più auOere, caldiflTimo anunte di quel- lo per confeguenza , non potea a meno di non anche eflere artefice in quefta ora , ed ora in quella officina ; e però mi fi permetta , che ficcom' egli paffava da lavoro a lavoro af- fai facilmente , benché diverfo , così faccia io pure parlando di lui, e torni alle belle lettere dalle matematiche, che poi di nuovo riprenderò . L' amor per la madre lo condulfe all' amore per la più bella delle figliuole; dico, che amando la lingua latina , amò anche la italiana molti/fimo , e fcrilTe in quefta con eguale purità, e con leggiadria non comune: ma pure , ragguagliando gli fcritti , vedefi che la madre gli era più familiare e che feco egli ulava liberamente , ove la con- verfazione colla figlia era più alquanto ftudiata , ed elegante sì bene, ma d'una men facile alquanto e men difinvolta ele- ganza . Quattro Lettere abbiamo fiefe in tal lingua ; la prima che ufcì delle quali s' intitola : della drnominaxione del cor- rente anno volgarmente detto 1760; ed è una di quelle fcrit- ture che prodotte vengono da quelle contefe , le quali fé dif- compagnate non fono dalla urbanità , fanno il faporito ed il vivo della civil compagnia . La quiftion veramente era ma- nifefta per sé , e non pare che bilogno ci fofie d' uno fcrit- to per terminarla : perchè quale Aftronomo ne' fuoi calcoli andar non fa, per grazia d' efempio, gli fcorfi mefi di gen- naio , febbrajo ecc. per l'anno 1785^ ma come io penfo che quella converfazione comporta non folle di Aftronomi , e né manco di gente , che delle ufanze loro fapefie , correndo gran differenza tra un ritrovo di Cafic , e quel di una Specola ; così fu neceflàrio il dettar quella Lettera , e fu bello con eru- dizione pari alla gentilezza il dettarla, rilevando l'errore di Seda, cui nialamsnte, in cambio di Dionigi Eiiguo, noi fe^

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guìtiamo . Una confimile origine ebbe quell' altra fua al ce- lebre Autore delle lettere Virgiliane , condita veramente di forti fali e di molto brio illuminata; ma che qui bafta cita- re , ficcome quella , ove non trattali propriamente d' affar let- terario, ma di perfonali e civili cofe , che non fono impor- tanti , fé non quanto fon nuove e calde le circoftanze , onde nacquero , raffreddate le quali , quelle pure raffreddano . Mag- giore confideraxionc fi meritano quelle altre due che verfano fopra Dante, dell' onor del quale non era il noftro Torelli men tenero di quello che foffe della beltà fua innamorato. Gran cura pertanto ei ci pofe dietro , e quantità di paffi ne inter- pretò nuovamente, con animo di comporne una novella edi- zione , di cui gli parca, e non a torto, che faceffe Dante ri- chiefla : e veram.ente i due paffi del Purgatorio , che in una fpiegò di codefte Lettere, fan fofpirare agli amatori del gran Poeta l'abito intero , ond' effer dovea per mano del Torelli ve- flito- Ad un vero amante poi non foffre 1' animo che gli {i oltraggi la cofa amata, anche ove incompetente fembri e da meno chi oltraggia . Uno fcrittore, com'è il Sig. di Voltaire che fpefTo non fai fé dica per dire o per ifcherzare, che mira più al pafTatempo che all' iftruzione , e che o trafcura o difll- raula la verità , non meritava certamente una rifpofl-a feria e adeguata , allorché parla giufla quello ftile del noftro Dante : lafciando eh' ei pure non avea quell' efercizio di lingua italia- na, che per giudicar gli baftafle dell'italiana poefia . Malgrado ciò, non diede il cuore al noftro Torelli di comportare una ingiuria, non autorevole è vero, ma però lanciata da bocca di autorità grande , e meritamente , nelle cofe del Gufto , e però quella nell' altra fua lettera ribattè ; la quale gioverà fcmpre , fé non fofTe per altro, a moftrare vie più, qual con- to fi voglia far de'Francefì nella bella noftra letteratura, uti- le avvertenza in un tempo che molti fludiano eziandio quel- la ne' francelì libri , e non s'accorgono che parecchj di que-

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gli fpiriti,cd anche di que' precetti fon buoni per loro, che a noi o non fervono punto, o pregiudicano , chiaro efiendo che le fcienze fi rimangon le fteffe in ogni nazione , ma che le lettere , diverfamente parlando , fi muovono ancora e fi atteggiano diverfamente .

Ma il noftro Torelli al giudizio accompagnò I' attitudine, e fé fu Critico eccellente , fu anche eccellente Poeta : molto efercitoflì poi nel tradurre , a che portato era naturalmente e dall' amor fuo per gli antichi , e dalla voglia di giovare ai moderni , moftrando loro i ritratti di quelle beltà , che sì crudelmente e non meno a torto abbandonano . E folea di- re tanto eiler lunge che tal meftiero s' abbia a tener per fer- vile, che anzi vi fi occuparono fpeffo gì' ingegni fovrani , e fempre gran conto da' più favj ne venne fatto ; e nominati alcuni Latini ed Italiani , ricordava eziandio qua' due lumi del Parnafo inglefe Drayden , e Pope, al primo de' quali non fece men torto la men che buona verlìon dell' Eneide , ofcu- rata poi afiatto dal lume di quella di Trap, che onor facef- fero le Favole fue e le fue Odi, ed al fecondo la verfion dell' Iliade, cui niuno tentò levare di feggio, non fu men di glo- ria che il poema fulla Critica , e quello full' Uomo . Voltò il noftro Traduttore i due primi libri dell' Eneide , il Pfeu- dolo di Plauto con alcuni Idilj di Teocrito e di Mofco , il Poemetto falle nozze di Peleo e Teti , ed il fecondo Epita- lamio di Catullo, ed altre minori cofe ; e cosi avefTe ripuli- ta come compita avea la traduzione di Teocrito , che però non vuolfi mettere a luce , meno per quello che è , onde o- nore ne avrebbero molti , che per quello che non ha potuto effere , non dovendo del Torelli ufcir cofa non fatta a pen- nello, e da elfo medefimo licenziata. Traduffe ancora per fod- dJsfare a ragguardevole perfonaggio della Inghilterra quella bella Elegia di Tommafo Gray fcritta fopra un cimitero cam- peftre , e degna veramente di efTer tenuta qual cofa antica :

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al qua! propofito non faprei non rilevare una novelia tefti- monianza dell' amor lue verlb il bello neceflariamente origi- nato da quel fuo fenfo in conofcerlo ed in fentirlo. Percioc- ché non fu contento veder molto innanzi nella franzefe e nella inglefe letteratura; ma leggendo un tratto nelle tradu- zioni l'incomparabile Romanzo del Don Chifciotte , parvegli che quegli fpiriti, quel fale , quella forza, e diciam pure quel- la fpecie di bello perdefTe troppo in terra non fua trapianta- to, e pigliandone fdegno, non potè temperarli dall' applicar fubito alla lingua fpagnuola ; e non prima fi tranquillò, che ■guftata non ebbe nell'originale la faporitiflìma opera del Cer- vantes, dal quale pafsò ai poeti di quella nazione, e di Gar- <;ila(ro della Vega fingolarmente invaghì . Non e gran cofa il fapere piU lingue; ma il faperle, non per una certa curioli- •tà, non per far pofcia dell' erudito, ma per un defìderio , e voglio dir anche bifogno di conofcere le varie fembianze che ■dalle varie lingue e nazioni il Bello fempre uno nella fua eflenza ritragge, è indizio certo d' un' anima nata fatta per efTo , ed alla più interna conofccnza di lui naturalmente e da infuperabile impeto traportata . Ma venendo alle tradu- zioni , il noftro Torelli avvifava eflere la traduzione un ri- tratto che non vuoili apprezzare, fé non quanto rapprefenta r originale ; e però non folamente i concetti , ma dover ri- tenerli, quanto altri può e permette eleganza, le forme an- cora, dalle quali dipende il togliere o aggiungere, l'infiorare o sfiorare , il metter luce nell' ombra , che non pare minor peccato che il metter ombra -nella luce ; e va difcorrendo . Se cosi debbalì , o altrimenti , cioè con maggior libertà adope- rare , è quiftion grande , e che probabilmente non farà mai dilHnita , perchè non vedrem mai traduzione probabilmente, che o ne ir un modo camminando o nelT altro affatto ag- giunga fuo tefto, e quindi fervir ci pofTa di modello . Sem- bra però che dir fi potefTe cosi : gli uo:-nini di gufio fottile Tonio IL e

XVII!

in pittura prepongono le buone impieffioni in rame non io- Io alle carte fatte coli' arte , Chi alluminare è chiamata in Parijì , come dice Dante , e molto più alle ftampe colorate del le Blond, tentativo ancor molto dalla lua perfezione lon- tano ; ma eziandio alle copie folite de' pittori le prcferifco- no , veduto che abbiano o non veduto V originale : perchc dair una parte quefte copie mandano troppo altro colorito che quello che io cerco, e dall' altra le femplici ftampe dan meglio il difegno , e 1' occhio in nulla ci offendono . Ora i concetti non fono il difegno , e le forme il colorito d' una poelia? il qual colorito, anche ove nelle verlìoni molto in- erenti non altro più rinianefle che un chiarofcuro, fembra pe- rò che quefto preferir debbafi alle falfe e bugiarde tinte d'una traduzione , che trasforma e fviHi con quelle i concetti anco- ra, e l'indole fempre meno e jl carattere dell'autor fuo rap- prefenta . Ma comunque ila e di queflo confronto , e della ftrada dal noftro Volgarizzatore tenuta, noi ci contenteremo di dire eh' ei fece di ottimi paflì nella via, qualunque la fiafi , da lui fcelta ; il che bacando alla lode fua , baderà , credo , per la ragione medelìma al mio difcorfo.

Non era però egli di coloro , che fan traduzioni , perchè non bene creando verfeggiano , e che per quefto né ben pu- re il più delle volte traducono : ma quando a quando anche di per sé camminava , e de' fonetti particolarmente fi com- piacea, cioè d'un componimento, ove il più timido arbitrio non fi concede , ove non fi perdona una macchia , un neo , e colpa non cade che grave non fia e irremiffibile . Purgatez- za adunque di lingua , atteggiar tutto con grazia o muove- re con robufiezza, melodia accomodata, e quella fua compa- gna men conofciuta , benché indivilìbile , T armonia ; ed in oltre la diligenza, il non temere le cafTature , 1' amor della lima : cofe tutte che non mancavano al noftro Poeta , e che però gli apriv-ano quello campo de'Sonettifti, quanto più an-

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guflo tanto più difficile a farvi dentro fua pruova . Dal che fi vede coni' egli era in punto di ottener quello che fcmbra jI più arduo in poefia, cioè di piacere knza dir nulla; non eh' egli , dotto com'era, non fapefle arricchir di cofe i fuoi verfi , e fatto affai volte non 1' abbia ; e così non dico che generalmente non lìen da eftimarfi fopra tutto que' compo- nimenti che alla lucentezza de' fiori la foftanza contempera- no delle frutta ; ma li dirà però fempre effer uno de' mag- giori sforzi dell' arte 1' adefcar 1' animo fenza occupar 1' in- telletto, cofa fuor di confronto più dilficile ,che quefto il far fenza quello , perchè un penfamento acuto o profondo può cader in mente d' ogni uom bennato , ma ufcir non può ben vedito e canoro che dalla bocca del vero poeta . Di fatti r efporre , diceva il Torelli , folamente in verli ed in rima sì facili a farli ed a trovarli in lingua italiana quello che o- gni colta perfona parlando efpone al bifogno nell'umano con- vitto , o anche quello che nella illuftrata età noflra ciafcun può trarre dal grembo della filofofia , non è egli un compe- rarli a troppo buon prezzo il diploma di cittadinanza in Par- nafo? e per quefto reggiamo in Italia così defolante inonda- mento di poelie , cioè dopo che a trafcurar comincioffi il vez- zo della efpredìone, ed il fiore dell' armonia. Quindi la cor- ruzione, feguitava il Torelli , d' un' arte così difficile e ad un tempo così confidenzialmente trattata , quindi i falfi giudizj , e la lode ed il biafimo ugualmente male rivolto ; e di vero non maraviglia : che per poco che altri tenga uno fpirito gentile e chiaro comprende tofto la forza d' un penfamento; ma quanto pochi non fono , anche tra poeti ftelfi , coloro che intendano la vera poefia e quelle infinite e minute , né però meno importanti , differenze rilevino di ftile e di nu- mero , primo colìitutivo dell'arte, quali non giunge ad an- noverarle tutte il filofofo, e che tanto volentieri fi fan fen- tire dal cuore , quanto mal fotìrono venir difputate dall' in-

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telletto? Perfuafo pertanto il noih'o Poeta, che rarifTìmi an- che tra gli artifti giudicar poflano di queft' arte , della qua- le al contrario non che gli artifti , ma ciafcuno vuol dar giudizio , di pochi lettori , come dee fare con Orazio ogni favio , iì contentava : ed io credo che ma-ncandogli talora i fuor giudici , ei s' immaginaile dover prefentarfi al tribunale di Dante, o del Cafa , e quindi faceffe ogni che, onde par- tirne aflbluto; diffi Dante ed il Cafa, perchè di quefti con> piacevafi il più, ammirando nel fecondo fingolarmente la bel- lezza del numero e pel rompimento de' verfi e per altri ri- fpetti sì grave e forte e variato ; e nel prinio , oltre quefte cofe , la proprietà , e il fugo e nervo del dire , e quella ce- lerità ed evidenza maravigliofa in rapprefentare e dipingere . E qui mi piace di aggiunger quello , che già dalle cofe riferite può comodamente conghietturarli , e che finifce per avventura di bene caratterizzarlo : dico che in quelle facoltà ancora: , ove erudita non fu la mano , erudito però fempre fu r occhio ; intanto che d' ogni liberale arte e meccanica dilicatiflìmamente fentiva ed affai maeftrevolmente difputava . Certo non era pittore tra noftri , che degli ftranieri , non avendo viaggiato, aver non potea gran notizia , di cui egli non fapeffe rilevar fubito il gufto e l'a^iima; e non folamen- te nella fcultura ed architettura, ma in qualfilia fuppelletti- le e arnefe domeftico fubalternato al difegno , era così fer- tile e difficile , che non potea comportare una forma men eh' elegante , ed una efecuzione men che. precifa ; e partico- larmente , com' uom. letterato , delle volgari impreflloni in rame-, e di ciò tutto che l' arte tipografica difonora , grazio- famente fdegnavaii . La quale fcontentezza & difficoltà anche n-elle picciole cofe, tanto è lunge che picciola lia in. fé me- desima , che anzi confiderazion grande il merita , e fempre meglio dimoftra quel fenfo in ogni cofa di perfezione , che a (ormar viene di lui col più vero carattere 1' elogio ancora;

pm belio . E perchè non forte più cofa , eh' ei non avefle , fé non guftata , alfaggiata almeno o lambita , volle fapere al- quanto di malica, imitando per queilo pure i fuoi cari anti- chi, ed il Galilei che gli era caro quanto gli antichi , i qua- li a tutte le difcipline (che le coltivavano tutte) univan pur quefta : e però non contento egli di aver I' orecchio mulico e l'anima, che tale in lui di neceffità efTer dovea, volle aver- ne anche 1' intelletto , e come vago eh' egli era d'ogni beli' arte , ed eziandio come matematico , tra gli ftudj del quale può riporfi la mulica, e fotto il quale afpetto io ritorno an- cora per poco a conliderarlo,

E' noto non eflerci nella filìca teorema più fecondo di quello della compoiì/.ione di due moti , fecondo i lati d' un parallelogrammo , in un fol moto,giufta la diagonale di efTo: nella meccanica particolarmente 1' incontriam fempre , e l' a- ftronomia ftefla certo è che ad alcun altro più non appog già . Initrutti di quefto gli uomini prima dalla efperienza font? , come fcriffe il Poeta fìlofofo , ai rivi di nojlre arti , ed applicata che fu poi la filìca alla matematica , cercoffi d' ornarlo anch' eflo di geometrica drmoftrazione : ma in un vero altronde ficuro dilicati più che tanto non furono i Ma- tematici, e paghi (ì tennero di quelle dimoftrazioni , che d'ef- fere cosi dette non meritavano . Ma non cos'i I' Autor ro- rtro, che non era di tanta condifcendenza . Il perche amico fempre fedele eh' ei fu degli antichi, ad elfi ricorfe, fperan- do riceverne quella riporta, di che i moderni inutilmente pri- ma avea domandato. Ma la fperanza gli andò fallita ; nulla trovando da vantaggio che la propolìzione di Ariftotele , e quella di Gemino , rii'erita da Proclo , ambedue troppo limi- tate, e quella in oltre del primo fopra la baie vizioia d' un inconcludente raziocinio inalzata . Non rimanea dunque che- tentar di per se nuova e rigorofa dimofl-razion geometrica ; e veramente con affai favorevoli aufpicj tentolla in quella orc-

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retta latina fui moto comporto non ha molti anni pubblica- ta , potendo anche fervir di pruova al felice riufcimento l' ef- ferli nel penfare incontrato col celebre Ab. Frili, che li era alla ftelTa ricerca contemporaneamente rivolto . Le dimofìra- zioni dell'uno e dell'altro fono in fondo le ileflè, ma i mo- di di flabilirne i principi , di combinarli , e di dedurne le confeguenze diftinguono i due fapienti ; e forfè rimane in dub- bio , fé quel teorema refti più grato al trattamento fpedito dell' Analifì-a frettolofo , o alle carezze pili lunghe e quindi più lufinganti del ripofato Geometra.

Qiief}-o fu r ultimo lavoro fuo in geometria ; ma prima avea già comporto due opere tuttavia inedite , nell' una del- le quali un fuo Trattato contienll di profpettiva. Così non è vero , che nuovo fia quefto campo dopo le fatiche degli s' Gravefande , dei Tailor , degli Zanotti fuccedute a molte altre più o nien fortunate fecondo i tempi e gl'ingegni, che pare anzi ninno ora mai più deliderarne i trattati ; fé non che nuovo può dirà che fatto è il noftro dalla nuova ma- niera, con cui è condotto, non avendo egli folamente fvol- to colla folita cura il folito filo lìntetico, ma importo erten- dofi ancora di non ferviriì che dei pochi femi gettati fopra un tal campo da Euclide . Querta opera verrà certo prodotta in. luce 5 ma priva anderà di un grande ornamento , di cui l'Autor fuo fregiata l'avrebbe, vivendo. Perciocché avea egli fermo nell' animo di accompagnarvi un ragionamento, in cui rtabilire anche meglio, e con perfetta evidenza, che la profpet- tiva ottimamente dagli antichi fu conofciuta ; fdegnato ei pu- re, com'era ben naturale, contra il maggior nimico agli an- tichi, e nimico fuo proprio per confeguenza, il Sig. Perrault, e non ben contento di quanto in loro favore l'Ab. Sallier e il Conte di Caylus, e poi il Conte Aigarotti e il Sig. Dutcns hanno fu tal materia indicato > E certo che la dirtertazion cri- tica ftata non farebbe raen bella della geometrica trattazio-

xxur ne, potendofi dire di lui, che fu eruditismo tra 1 Matema- tici, e matematico, s' io così poflb fpiegarmi, tra i Critici. Così le difcipline tutte s' unifcono iniieme e s' ajutano , ma però folamente in capo di chi fappia cambiarne le veci di- verfe , e regolare gli uifizj di ciafcheduna , e però tutte le co- nofca bene , ed in oltre dotato Ila d' una iicura e generale fquifitezza di fenfo .

Ma quefta unione in lui e congiura amichevole di facolta- di meglio anche potè dimoitrare coli' altra fua opera, dico colla edizion di Archimede , che vedrà il giorno ella pure , e certo per non più abbandonarlo , e di cui forfè non farà difcaro che intanto qui fi premetta qualche notizia . Rivol- tofi dunque ad emendare 1' intero teflo dell' autor fuo , co- minciò egli dal leggere e ponderare la edizione di Balilea dell' anno 1544 , la quale trafcritta per Tommafo Venatore da un antico codice così fedelmente che intatta ferbò la fcrit- tura anche ove corrotta manifeflamente appariva , può quin- di teneri! in conto di quello fleflb codice antico . Il perchj vedelì fé di mancanienti e di errori ridondar dee , e fé me- flieri v' abbia d' ingegno , e d' opera critica . Ora tutti que- (ìi fupph egli e correffe parte coli' ajuto d' un codice delia Biblioteca di S. Marco , e parte della traduzione fatta da Giovanni Cremonefe per comando del Pontefice Niccolò V. , la quale comechè barbara , pur da codice diverfo da quello ritratta, potea guidarlo, ove quello lo abbandonava. Abban- donato poi dall' uno e dall' altra , come gli accadeva fpelfif- limo , ebbe ricorfo alla conghiettura o fua propria , o de' valentuomini che il precedettero , quali fono il Commandi- no, il Rivalto, il Barovvio , ed il Valiiiìo, a cui egli piìi debbe che a ciafcun altro , maffime nelle opere della mi fura dd cerchio^ e dell" arenario^ mettendo a pie di pagina i paf- fi de' codici, onde fia libero a tutti il giudizio di quelle con- ghietture . Emendato il tefìo , e le opere fecondo il tempo

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della loro nafcita riordinate , ne intraprefe la verfione latina fenduta necellaria dalla iinpcrfcz.ione di quelle del Cremone- le e del Commandino , e compiuta con quella efatta elegan- za eh' era Tua propria , e tanto più bella , quanto a carpirfi difficile e per la materia , e per la lingua d' un popolo che negletto avea quella fcienza , Né qui riftettero le fue liti- che ; ma pofe la flefla cura eziandio intorno ad Eudocio d' Aicalona , che fcriffe un comento fopra i due libri della Sfera e del Cilindro, e d' altre opere d' Archimede, comen- to per altro utile più che neceffario a chi prima letto abbia Euclide ed Apollonio, cioè fatto come fi debbe al parer dei Torelli e de' favj lo fludio della geometria ; e però non fup- plì egli, ove manca il comento di Eudocio, come alcun for- fè potrebbe deiìderare , e dimoilrò folo alcuni teoremi che Archimede propone, e di cui perdute fi fono le dimoftrazioni. E forfè gli coflò più la reftituzione di quello che non di que- fto, perciocché a quello veruna medica mano prima della fua jion s'era accodata. Finalmente fi chiude il lavoro colle opere meccaniche, fecondo che di ciafcuna fanno menzione gli antichi krittori. Precedelo poi una dottiffiraa Prefazione, ove in un colla vita d' Archimede Ci dà contezza delle fue macchine , delle quali intento , come narra Plutarco, alla fola fpeculazio- ne , non degnò di lafciar memoria in ifcritto ; Ci prova efie- re fuoi i due libri delle cofe portate fui fluido , benché folo ne refti , perduto i! greco originale, un' antica verfion lati- na ; ed al contrario lì moflra che male afcrivefi a lui il li- bro dei lemmi confervatoci in arabo, ma che nondimeno a- vrà luogo coi due fopraddetti nella edizione. In oltre più co- fe opportune vi fono fparfe , e belle ricerche vi Ci fanno fpet- tanti ad erudizione , alla greca lingua , ed ?Jla fcienza ma- tematica; come qual fofTe il metodo veramente, onde Archime- de fcoperfe quello che coll'ajuto del calcolo integrale trovafi ora , e fé mai fu colla brevità portato anche la ofcurità dagl'

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indivifibili (icl Cavalieri , che usò di principi per avventura meno che lucidi ; fé ricevute follerò dall' antica feverità le infiiiitelìme quantitatii , ciò che pur vorrebbono alcuni ; fé Archimede ammettefle , ciò che dicono altri , que' fuffidj per r arte analitica , che i moderni Geometri fi procacciarono; quanto nel paffato fecolo per nuovo fi diede che ftabilì Ar- chimede fono due mille e più anni, e quanto a lui debbeu non men riguardo alla fifica che alla geometria ; e conchiude , che gli antichi s' ebbero gli fleffi metodi quafi , che ufiamo noi, fé non quanto fopra di fondamenti più fodi e più ficuri gli fabbricarono. La dotta Inghilterra, che fola mantiene il gu- flo tuttora de' fani fiudj, fembra difpofla a pubblicare quefi-a opera Veroncfe per infinuazione de' Signori Strange,Stanhou- pe , e Storinoat commcndabiliifima : e dalla fiorente Uni- verfità di Oxford , onde già ufcirono 1' Euclide di Davide Gregory , e 1' Apollonio di Edmondo Allejo , 1' Ar<;himede anche di Giufeppe Torelli fperafi che ufcirà , degno certa- mente della immortale compagnia , ed attiflìmo a far vedere che fé r Italia manca talora di buoni infiituti , non manca- no però mai gì' ingegni buoni all' Italia.

Ed ecco le opere tutte , cosi di varia letteratura come di fcienza, lafciateci dal Torelli . Che molto egli abbia opera- to , maffime fé alla linitezza miriam de' lavori , che tanto più vale della lunghezza , non credo poter effere in dubbio ad alcuno : nondimeno mi convien dire che manco operò egli di ciò che avrebbe potuto, il che fé nulla fa veramente all' utilità pu'oblica, fa però molto alla privata fua gloria , e fé non foddisfà il popolo che rozzo non giudica che dagli ef- fetti , può nondimeno il Filofofo che le cagioni ancora difa- mina foddisfare . Or che fi vuole eh' io dica .'' la rettitudine fteffa delia fua mente , la fina tempera ftefia dell' animo fuo fece , convien crederlo , che più innanzi ancora non proce- delTe : tanto gli è vero che fiam f.;mpre uomini , e che le Toyno IL d

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doti eziandio pili alte e divine prendono lempre del baffo e terreftre che proprio è di qucda noftra natura . Qiiel fenlb dell' ottimo in ogni cofa più volte da noi ricordato gli fa- cea toffo comprendere le difficoltà tutte che in ogni cofa s' in- contrano; e quindi la perfezione all' occhio di lui era in af- fai più fublime ed inacceffibil luogo, che all'occhio degli al- tri , riporta . Conformato a tal modo , pigliava tra mano le opere ancora più celebri , e vedeva che quanto più rilevanti e più lunghe , tanto erano ancora più gremite di errori e più tcflitìcanti la umanità , quindi anche per fé fteffo oltra ciò che d'altra parte gli fi conveniva, temea , e però il ve- der più era cagione che ofalTe meno ; ne fi commetteva mai alla fortuna , che pur eiTa ha gran parte nel mar letterario , e falva talora chi per troppo ardire all' incontro meritato s' avrebbe il naufragio . Aggiungafi in oltre che la prefente anarchia nel regno delie lettere , corrotte per confeguenza, cadere gli facea T animo e quindi la penna ; onde mi dicea fpeflb che applicava per erudire e dilettar fé medefimo, e cu- ravafi meno di farfi noto al comune de' letterati , cui fapea non dover piacere i fuoi parti , veggendo approvarfi da loro ciò eh' ei non potea che difapprovare , e quindi la lode più ancor del biafimo paventando . E però folamente o per rega- lare un amico , o per compiacere a qualcuno , o per al- tra cWH convenienza e riguardo alcuna cofa tratto trat- to mandava a flampa , che però non era che un faggio di quel che potea maggiore affai di quel che moffrava , ma che ancor tale palefa ai giudici buoni quel più che fatto a~ vrebbe volendo, perciocché 1' occhio erudito vede il danza- tore da un folo paffo , e del mufico s' accorge in due note r orecchio dotto , E tutto ciò intendafi delle fue profe di bella letteratura e di filologia ; nel che per vedere fé potea più , baffa eziandio confiderare il guffo fuo nello fcrivere , la fua perizia delle lingue antiche e moderne , la ficurezza della

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critica , e T iftancabilità nello ftudio . Riguardo alla poefia, fentiva io fteffo di molti lagnarfi che facea poco, e folamen- te ufcìa a quando a quando con qualche fuo breve componi- mento: lagno Angolare in vero e graziofo 1 quali che I' Ita- lia fcarfeggiaflè di tal merce , e che anzi non fia neceffaria nelle più dolci e fine cofe per appunto una certa economia e fobrietà . Che fé maggior numero di verfi avrebbero dal Torelli deiiderato per una particolare e maggior beltà che in quelli fcorgevano ; quale pili bello elogio poffo io mai far- gli di quefto ? di fatto dicali pure che un tal defiderio è pruova fempre di merito , perche niuno domanda verfi ai Bavj ed ai Mevj , e quefti , per poco eh' e' facciano , il troppo fempre faranno . E per verità fé indubitato è , che ben fare , non il far molto , fia la verace mifura dell'ec- cellenza , indubitatiflimo è quefto poi nella poefìa : e otti- mamente fu fcritto da quel maeftro , che un fonetto fenza mancanze vai più che un lungo poema . Ma forfè quanto al- le matematiche , di cui formò egli lo ftudio fuo più grave ed aflìduo , diraffi con più color di ragione che le fue ftam- pe non rifpofero totalmente all' applicazione di lui ed all'al- trui afpettazione , che potea curar meno le minori cole , e darli maggiormente alle grandi, e che dopo le tante vifite e lunghe agli antichi dovea fiarfi un po' più , che fatto non ha , co' moderni , fuperbi effi pure di bei tentativi ed utilif- fimi ritrovamenti . Quanto al curar meno le minori cofe , e- gli credea veramente che in geometria cos'i , come in poe- iìa, nulla ci foflè di piccolo ed indifferente, e che poi fi po- tefTe attendere a quelle fenza pregiudizio delle maggiori, on- de anzi la maffima lode così nel Letterato , come nel Mini- ftro , o nel Capitano ; e ciò credendo , a me pare che ben credefle . Rifpetto poi alle cofe grandi , io confefib che ben- ché pur quefte trattato egli abbia , potea però trattarle an- cor più, potea masgiormente tentare, ofare, maneggiar più,

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xxviii fenza danno della llu lìntelì , la fola chiave , che abbiamo' adellb , de' tefori novelli , 1' analifi algebraica , ciò tutto è vero; ma io lo ripeto, è il popolo groffo ed ignaro che fola- mente giudica dagli efletti , perchè in fé fteffo non mai con- iìdera 1' uomo . Lafciamo a lui dunque il pefare le cofe e gli uomini fecondo V utile che alla civil compagnia ne deri- \'a, abufo più che mai grande oggidì, ed abufo che porta ol- traesio sraviffimo alla virtù, come non foffe bella e rifpien- dente in sé medefima, ma folo per que' raggi di utilità, che fchizzano d' effolei . Io non dico che da fìimar non fia fopra gli altri quel letterato compagnevole e pubblico , per cosi dir- lo, e accademico, eh' s'argomenta con novelle prove di ren- derne più agiati e meno infelici ; ma perchè ancora non lo- deremo r uom foHtario e privato e lontano da ogni accade- mia, che adorna fé medefimo di tutte le fcienze , e quede col- tiva a quel modo che più gli aggrada , modo però che non efige minore chiarezza, acume, e forza d'intendimento? e ^•e- ramente dietro la falfa regola dell' utilità ciafcun vede che farebbe più da pregiarli il muratore che n' alza la cafa, che non il dipintore che de' fuoi quadri ne 1' orna, come da un gran Savio fu detto , e come di tante altre facoltà ed arti può dirfì . Ma lafciando anche qucflo , io vi dico che un let- terato, come fu il noRro Torelli, è anche di gran giovamen- • to al vero progreffo delle fcienze , febben non appaia così to- fto la parte eh' ei v' ha ; perciocché nel tempo che altri k avanza, è non men neceffario chi fappia regolarne l'avanza- mento 5 e con quel gufto che proprio è della fcienza tenga ■ in caramino quelle dottrine che nel lor corfo potrebbero tra- viare ; ed io lodo quel nlofofo che quali vento forte e pro- pizio la gran nave del fapere fpinge oltra, ma non loderett; voi 1' altro che al timone fta della nave e il diffidi corfo ne regge? ed io fo bene che quefti non opera fenza l'opera- re di quello 3 ma quegli la fpingerebbe al precipizio e alla.

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morte lenza la guida e V avvedimento dell' altro . In oltre fatto e difpofto com'era, non potea neccHariamente altro da quello riufcire . Perciocché ciafcun fa che promovendo una fcienza è neceffario aliai fpeflb di cominciar quello che non fi può compiere , e di lafciare alcune cofe meno perfette ai poderi che le perfezionino poi: ma il Torelli, che quanto di- ligente ed efatto era , tanto , e a ragione , dell' efattezza e diligenza altrui diffidava , non avea cuore di lafciar crefcere neir altrui mano i proprj fuoi parti , e però amava meglio di fabbricare un palagio folo ed ornarlo in ogni fua parte e compirlo, che i fondamenti gittare d'una intera città, e poi al lavoro e alla difcrezione de' poderi abbandonarla . Ed in oltre ancora , non fembra egli che predato abbia utilità e co- modo grande ai matematici col prefentar loro purgato e net- to, e meglio parlante una lingua notilTima , il padre di que' trovati, in promovere i quali, come dice ilWallilìo, gloriali pili 1' età nodra , Archimede ? Ma lo già temo non venga fofpettato di me , quafi m' afiàtichi troppo a cercare gli ar- gomenti della lode in un tempo eh' ei non abbifogna vera- mente di tale anfietà ; e però dico folo e non più , che gli fa elogio eziandio la coftanza fua in non aver punto ceduto al tempo cos'i nella grave come nella gentile letteratura, fer- bando una fanità di gudo nel generale contagio maraviglio- fa ; la qual refìdenza contra il tempo, che i pili forti anche drafcina, non può derivare da altro che da quel fuo natura- le e colla buona difciplina perfezionato fenfo dell'ottimo, da queir armonia e temperatura di animo bene educato ed ot- timamente nodrito , in una parola dal vero gudo , che gli fu fempre guida fedele nella difficil via delle lettere.

Quello che abbiam detto come letterato, dir pofliamo an- che come uomo folamente ; perciocché io crederò fempre che un uomo nato ed allevato alla verità e alla bellezza abbia ad edere neceffariamente virtuofo, e che però quello che bea U>

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guida nel cammin delle lettere , deggia ben anche guidarlo in quel più difficile della vita , ciò che in poche righe a dir re- fla . Né vi faccia ombra il vedere , fpeflb pur troppo , alla fjofoffa ed alle arti la turpitudine congiunta ed il vizio -, per- ciocché rariffimo è quell' amor verace ed univerfale del bello di cui vi parlo , amore così ben veggente , che torto coglie le relazioni tutte ed i vincoli del fìiico col morale, della fa- enza colla lapienza , e così potente , che lega torto con quel- la mirabile e direi più che aurea catena, da cui tanto impof- iibil cofa è fcioglierlì poi, quanto è cofa rara venirne una vol- ta annodati . E come era pari nell' anima del Torelli alla ret- titudine e air armonia , onde il vero gurto per le fcienze gravi , la fina tempera e delicata , onde il fapor vero per r arti belle , così riguardo alla qualità prima fu fempre ni- miciffimo d'ogni difcordanza nella vita, e di quanto anche per poco turbarte T ordine della civil compagnia , e riguardo al- la feconda 5 fu dolce ed umano di affetti, ed ebbe quella gen- tilezza di cuore, che fparfa fulle opere della vita rende nell' uomo più amabile la virtù, come fulle opere fparfa dell'inge- gno rende più amabile la fcienza nel letterato . E veramente come la perfezion letteraria par rifultare dalla colleganza del bello fpirito e del forte intelletto, delle lettere e della fcien- za ; così può dirli che la perfezion civile rifulti dalla colle- ganza de' gentili affetti e degli onerti penfieri , della fenfibi- lità e della virtù.

Fino da' fuoi più verdi anni operò cofa che ben merita di ertère ricordata , e che mortra , che fé premature furono le fue lettere , furono ancor prematuri i cortumi fuoi . Percioc- ché fendo tuttora in Padova a rtudio ,compofe infieme e riu- nì due celebri uomini, il Facciolati ed il Volpi , d' ambo i quali amico era, e tra cui, come pericola è dei correnti al- la ftefla meta , dilfidio e nimirtà vide forta ; egli giovinetto 4ue quali vecchj , egli fcolare due cattedratici . Ed una lode

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di fimil fatta , ma più bella , perchè in occafione aflTai più difficile e dura , riportò egli molti anni dopo nella fua pa- tria, quando contribuì di tanto a fopire quelle difcordie che tra i Nobili di quefta città non aveano si debile e tepida fiam- ma levato .

Quanto alle amicizie, due fole, tra le molte eh' ei n'eb- be, io ricorderò: quella col dotto ed elegante Abate Sibila- ti , amicizia di ben quaranta anni , e nondimeno coltivata fempre, malgrado l'aflenza, coi vivi trafporti del tempo pri- mo; e quella coir ornatiffimo Cavaliere Marchefe Ottavio di CanofTa , amicizia eh' io qui ricordo , non perchè ei foffe imo de' più ragguardevoli Signori d' Italia , ma perchè do- po il giorno della fua morte nacque nel Torelli quella fi- fica indifpofìzione , che a poco a poco cambiata in morbo , Io traflTe finalmente al fepolcro. Ed altro non aggiungo; che i cuor gentili m' intendono, e i rozzi io non curo. Di me non parlo ; tanto più che non fo veramente , s' egli mi foUe o amico, o padre più torto :quefto fo bene che il padre mio vero mi raccomandò poco prima della fua morte al Torelli, e però mi piace notare a debita lode dell' uno e dell'altro, che io certo non potea eflere ad altre migliori e più pater- ne mani raccomandato . Lafcio parecchj altri amici eh' egli ebbe ed enimatori grandiffimi in Italia e fuori, e maffime tra gì' Inglefi , nazione in fingolar pregio e ofTervanza da lui avu- ta ; e due nominerò folamente , anche per una certa analogia tra loro di carattere e n-ato,il Conte di Firmian , e Milord Stormont ,ambidue miniftri ad altre Corti prima, indi predo la propria, ed ambidue Mecenati veri delle arti, perchè diraf- fi di loro che alla munificenza accoppiarono le cognizioni , ed a querte il gurto,fenza cui poco vagliono le cognizioni, e me- no ancora la munificenza . Lafcio anche 1' amor non comune che portò fempre alla madre , e la bontà non ordinaria che fempre tenne ai domeftici : alle quali doti del gentile animo

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quelle a maraviglia unj deli' oneflo , antica feverità ne! co- ftiinie , modcftia nel culto elleiiio , e non minor temperan- za neir interno fuo trattamento, fermezza ne'propolìti buo- ni , giuftizia nelle azioni la più fcrupolofa , filofolia cristia- na in un detto ; la quale unione di tali doti ed alleanza a formar viene quella civil perfezione che abbiamo fopra in- dicato.

Ma eziandio nella ci\-ile fua vita, come l'uomo è fempre Io fteflb, dobbiam condannare ciò che nella vita fua lettera- ria riprefo abbiamo ; perciocché lìccome in quefla non operò tutto quello che avrebbe potuto, cosi Io fteffo fu in quella, ricufati avendo tutti quegl' impieghi che fpontaneamente in patria e fuori gli fi apprefentarono . I! Conte Criftiani Go- vernatore allora di Milano delìderava di averlo prefTo di se 5 e Marcantonio Priuli patrizio Veneto lo voleva prefiden- te degli fi:udj in quefto Militare Collegio , che venne allora giufta i configli del Torelli riordinato, ed a tal carico invi- tato r avrebbe il Senato flefib con afTai largo Stipendio , e col titolo di Colonnello , cofa di cui non può darli fotto a quello cielo la più degna di edere vagheggiata . E da Pado- va ancora, per leggere in quella Univerfità , e da Mantova per edere Segretario di quell' Accademia , invito più volte e richiamo gli venne fatto . Ma ricusò egli ogni cofa : o fode in grazia di quella fua fina e acuta prudenza, che fi può chiamare il gufto delle, opere della Morale, in grazia io dico di quel- la prudenza , per cui vedede le difficoltà tutte , e temed'e non poter quello che avrebbe potuto , come gì' incontrò nel- la letteratura, o fode che allo fplendore dell' oro, e all' in- cantefimo dell' ambizione ei preferide i piaceri puri e co- ftanti dell' ozio letterario, della vita privata, e della liber- tà . E veramente riguardo al primo e le perfone che lo in- vitavano , e più la defterità fua , in altro fperimentata , pro- mettea tutto anche per le cofe maggiori, come fi dide di lui

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xxxiir nel fatto delle lettere, e riguardo al fecondo , fé dall'una par- te non volle più ancora impiegarli a vantaggio degli uomini, feppe dall'altra però vincere l'amabilità delle ricchezze ,e la tirannia della vanità, alla quale fpeD["o,non men che a quelle, vien dato il nome di amore dell' util pubblico. Nondimeno noi condanniamo in quello il noftro Torelli , preferendo le virtù •morali che Hanno tra gli uomini a quelle che vivono nella fo- litudine ,così veramente però che fi conceda non effer quefte men belle in fé fteflè , anzi più edèrlo ancora , perchè foli- tarie confervan meglio quella purezza , che alquanto imbru- na tra gii uomini nel tempo flello ,che a loro è di utilità: come per tale rifpetto il letterato pubblico abbiamo al priva- to antipoflo, benché fembrar pofTa più bella nel bello intel- letto la fcienza folitaria, ficcome quella che lontana dai pre- giudizi delle fcuole e delle accademie . non foggetta alla mo- da ed alla corruzione del gufto , più aliai fiicilmente pura fi conferva ed intatta .

Qiieft' ozio erudito , quefla vita libera e chiufa eran dun- que le fole delizie fue ; non così però che fuggille la conver- fazione , ma non parea dilettarfene , fé non quanto con per- fone ufava di fludio , e di cofe di fiudio s' interteneva . Né sii mancavano di bei motti , maflime ove cadeva iulle rno- derne cofe il difcorfo , contro le quali parve procedere vera- mente alquanto p'ù là che non fi voleva , come procedette forfè anche troppo in favor delle antiche : benché la flelFa conofcenza fua degli antichi tanto profonda vaglia non poco ad efcufarlo . Colui che Archimede intenderà bene , dice il gran Leibnizio , filmerà molto meno le fcoperte de' moder- ni più rinomati: e chi ben conofce , mi ìi permetta l'aggiun- gere, un Omero, un Tucidide, ed un Demoflene ; un Virgi- lio, un Sallu{tio,ed un Tullio; un Longino ed un Quintilia- no jun Dante ed un Machiavello; è forfè condannato, con- vien compatirlo, a non guftar più che tanto i moderni fcrit- Tomo IL e

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tori ; e COSI vien meno forprefo dalla moderna fìlofofia chi fa vederla e riconofcerla in volto all' antica . Che poi un po' troppo a disfavore fentiffe degli oltramontani, e fingolarmen- te de'Francefi in fatto di bella letteratura , è men da ftupir- fene , mirando alla molta fua confuetudine e familiarità col Marchefe Maffei; foftenuto avendo queft' uomo grandiflìmo , ma fpefTo dall' amore, per altro così laudevole , della fua na- zione fignoreggiato troppo, che è meftier noftro la poefia ed oratoria dai Greci e dagli antichi Italiani efclufivamente e- reditato.

Ed eccomi giunto a quel termine colle parole, a cui giun- to era colla vita il Torelli , che già mal difpofto da qual- che tempo, e d' una falute fluttuante ed ambigua, fu in fe- guito prefo da morbo acuto e violento, onde fu tolto di vi- ta li 18. Agofto deir anno 1781. fugli anni 59. dell' età fua . L' amico e parente fuo Signor Alberto Albertini , uo- mo di fapere e d'ingegno, bel monumento con bufto in mar- mo gli ha fatto inalzare nella Chiefa di S. Anaftafia , ove fu fepolto ; quefl' Accademia Filarmonica , di cui era mem- bro , tener gli fece pubblico Elogio e folenne ; e quefto Ca- pitolo , la cui Biblioteca lafciò erede de' libri fuoi, di bella memoria egli pure volle onorarlo : e penfava di far Io flef- fo il Comune di quefta città , alla quale mi do libertà di ricordare in quefte ultime righe fcritte per lei , che nul- la le proccurò mai tanta lode , come 1' aver pofta al Mar- chefe Maflei una n:atua,e che il pofTedimento d'uomini gran- di , de' quali è più copia laddove s' onorano , rende con u- fura queir oro , che la fabbricazione fa fpargere d' un mo- numento , ■

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ELOGIO

DI TOMMASO PERELLI

Scritto Da Monfignor Angelo Fabroni.

NEH' intraprendere l' elogio di Tommafo Perelli Pubblico Profeflbr di Pjf? abbiam creduto di render giuftizia al merito d' un Filofofo , le ceneri del quale non fono ftate ri- fpettate dall' invidia , che non contenta di ferire i vivi , fi compiace egualmente , fecondo che 1' efige il fuo interefle , di lacerare i morti, o di caricarli di foverchie lodi. Il pub- blico ci perdonerà quedo sfogo , che non può difpiacere fé non a quegl' ignoranti , che non conobbero il merito del Pe- relli, o a quei femidotti che ebbero interefle di deprimerlo. Nacque egli in Firenze nel 1704 da Bernardino Girolamo Perelli e da Settimia Cherici di Bibbiena . Il padre di lui, nato in Premalcore piccolo cartello della Romagna , venne in Firenze per efercitarvi la profefTion d' Avvocato, e aveva sì gran reputazione d' uomo dotto ed oneflo , che il Gran

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Duca Cofimo HI. 1' avca desinato a fuccedere all' Auditore Fifcale Girolamo Venuti carico d' anni e di fatiche . Ma una gangrena in un piede lo tolie di vita prima di occupare una SI onorifica ed importante carica . Il giovane Tommafo fece i fuoi primi ftudj prefTo i Gefuiti, poi pafsò a Pifa deftinato dal padre alla giurifprudenza . Frequentò pertanto il celebre Giufeppe Averani, ma non in modo che non attendere con maggiore ardore ad altri ftudj . In quefti non aveva altra guida che il fuo talento, e dal rapido progreflb, eh' ei fece nella geometria degli antichi , ben dette a divedere che era nella flrada,a cui il fuo genio il chiamava. Com^ egli ave- va ricevuto dalla natura quell' attività di fpirito , che non lià ripofo, finche refta qualche eofa a fcoprire , domandò all' Ab. D. Guido Grandi , reputato con ragione uno de' più folenni maeftri in matematica, qual cammino gli rimaneva a fare . Il Grandi indovinò il fuo genio . Gli fervi di padre , ricevendolo ofpite nel fuo Monaftero di S. Michele, e di ma- eftro, comunicandogli i fuoi fcritti d' algebra, e godè di ve- derlo sì rapidamente correre in quella diffidi carriera da l'u- perare , non che uguagliare un giorno i più efperti . Ecco co- me il Grandi medellmo incapace di adulazione , come lo era d' invidia per uno fcolare , che lo precorreva , lì efpreffe in una lettera al fuo. amico Celellino Galliani . Il fuddctto gio~ •vane ì tutto innamorato dell' analijì moderna , ? ne ha un ma- neggio niìrahile , di maniera che /doglie i -problemi più ardui di fifico-matematica da se , ne i/i è cofa ajirtifa negli Atti di hip/ìa , nel Nemon , neW Ermanno , nel Bernoulli , a altri au- tori ^ che egli folamente letta la propofia , fubito non ne trozn la dimoftrax.ione analitica in poche righe di calcolo , dimofiran- da e le leggi delle forze centrali per qualunque curva , e le curve che fodisfanno a diverje leggi delle forz.e centrali , e le catenarie in qualunque [uppo/ìx.ione di gravità variabile , e le velarie j e le elajìiche , e le trajettorie per mex.2.i di varia re-

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fiftenx.a , e a]]ai più facilmente che non farei io , perche non ha il capo diflratto come io in altre cofe . Cinque anni e mez- zo confumò in Pila il Perelli , e poiché dopo il fecondo ab- bandonò interamente la legge, gli piacque di ricever la lau- rea in fìlofofia e medicina .Gliela dette uno fcolar del Belli- ni, che era nominato più per la fama del maeftro che per la propria, e quefti fu il Dott. Antonio Domenico Gotti . Ognun de' fuoi precettori lo defiderava o compagno o fucceffore , e per fino nella notomia fu creduto dallo Zambeccari degno di fuccedergli . La morte del padre e gli affari domeftici , che ne furon la confeguenza, 1' obbligarono di trattenerli da tre anni in circa in Firenze. La matematica però , la botanica, 1' erudizion greca e latina , la ftoria antica e moderna , le ricerche d" antichi monumenti in quel ricco depolito della biblioteca Laurenziana occupavano affai pili il Perelli che le cure domeniche. Viaggiava fpeflb col celebre Micheli, ripu- tato meritamente allora il Tournefort Italiano, ed ebbe qua- fi con lui comune la gloria di molte fcoperte erbarie . La profonda cognizione , che aveva nelle lingue dotte , e fpecial- mente nella greca , il Salvini , 1' acume con cui Filippo Bo- narroti paragonava e illudrava le preziofe reliquie dell' anti- chità, il genio poetico del Buondelmonti e del Crudeli eran per lui tanti diletti di gcnial converfazione e occafioni di ftudio e di profitto. E poiché ebbe nella patria fua foddisfat- to all' infaziabile avidità di fapere, e di faper tutto , fé ciò foffe concedo ad un uomo folo, pafsò a Bologna, nella qual città fiorivano per tal modo le fcienze fifiche e matematiche , e s\ celebri erano in effe i nomi dei Manfredi, dei Beccati, e degli Zanotti , che reputò a fua gran \'entura il vivere do- mefticamente con effi per lo fpazio di quafi quattr' anni . Vol- le anche conolcere i principali luminari dell' Univerlltà di Padova, e negli undici mefi, che pafsò in quella fede fortu- nata delle fcienze, fu intimo del Poleni,dcl Morgagni .e d^

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xxxviri Facciolati. Quefti lo perfuafe d' afpirare alla vacante Catte- dra di lingua greca , gli promifc il fuo favore , e lo lufin- gò di un felice efito,fol che prima deffe al pubblico un fag- gio del fuo fapere in quefta lingua. Non ricusò la condizio- ne il Perelli , e Ci volfe ad Antonio Cocchi fuo amico per ottener da lui la copia di un manofcritto greco di Carite- ne Afrodifeo , in cui fi defcrivono gli amori di Cherea e di Calliroe. Il Cocchi negò al Perelli quel che poi concede al mefchin guadagno di cinquanta zecchini (che tanto pagò l'o- pera il Sig.d'Orville), e ciò fu cagione, che li fcioglieffe fra loro un'' amicizia , che l' amor nelle lettere e una reciproca flima avea conciliata . Tornato il Perelli in Tofcana dopo molte erudite peregrinazioni offerì 1' opera fua a chi prefe- dava air Univerfità di Pifa,e nel!' anno 1739 fu fatto Let- tore d' Aftronomia . Era poco men che nuova quefta Catte- dra, come lo era interamente l' Oflervatorio eretto dalla mu- nificenza di Gio. Gaftone Gran Duca di Tofcana per fervire ai progrefìTi della fcienza e al decoro dell* Univerfità . Doveva far maraviglia , che in quella fcuola , in cui il Galileo ave- va il primo dimoflrato il fiftema del mondo , e annunziato tante fue celefH fcoperte , e 1' ufo mirabile per la geografia e nautica, di quelle dei Satelliti di Giove , tutto lo ftudio del- la aftronomia fi fofTe ridotto a fpiegare il Quadripartito di Tolommeo,che vuol dire ad una pretta aerologia giudiciaria^ ìì Perelli nella fua orazione inauguratoria piena di eleganza latina , d' entufiafmo , d' erudizione e di dottrina fifica, re- citata due anni dopo la fua elezione , provò la neceffith di; reftituire il primiero decoro , efpofe i felici progreffi dell* a- ftronomia fatti fin allora, e quanto largo folle il campo, che ella prefentava per farne de' nuovi , animando se, gli fcola- n, e tutti gli zelanti della gloria d'Italia a batter quella car- riera, in cui SI lodevolmente correvano le due in ogni illu- ftre imprefa fempre emule nazioni , 1' Inglefe e la Francefe.

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I progreffi di quefta fcienza dipendono dal tempo, dalla per- fezione dei metodi matematici, e da quella degl' iftrumenti, i quali poflTon dare un' efattezza tale all' oflervazioni , che quelle di pochi anni vagliano aliai più delle inefatte di mol- ti fecoli . Fu pertanto cura del nuovo Aftronomo di prov- vedere il fuo OfTervatorio di quegl' iftrumenti , che i più ri- nomati artifti Inglefi eran foliti di coftruire - né in ciò gli fu avara l'anima grande di Francefcol. ,che non ricusò mai fpefa alcuna, quando credè che poteflfe fervire alla gloria del- la fua Tofcana.E quanto ai metodi, niuno certamente al pa- ri del Perelli maneggiava gì' inventati fin allora, e niuno più di lui era in iftato di perfezionare ì già noti, e d' inventar- ne de' nuovi . Quanto poi all' oflervazioni , la fua memoria che era una viva biblioteca , e una copiofa raccolta dei più rari libri gliene fomminiftravano tal copia , che fi farebbe detto eflere a lui prefente come in vivo quadro la floria tut- ta dell' antica e della moderna aftronomia . A un sì dovizio- fo corredo nuli' altro mancava , che un' iftancabile pazienza neir oflervare e nel notare , e una certa agilità e deftrezza nel faper fare il miglior ufo degl' iftrumenti . Perchè manca- rono quefte doti al Perelli, il fuo nome non è regiftrato tra quelli , che chiamanfi i maeftri della fcienza , al qual onore poteva con ficurezza afpirare fol che avefle faputo frenare il fuo troppo fervido ingegno , che lo portava in un tempo a più e difparatiflimi ftudj . Qualche oftervazion d' eccliflì , una porzion dell' Almagefto di Tolommeo da lui elegante- mente tradotta in latino , una feconda prefazione fatta per oflervazioni non fue , ma di chi gli doveva fervir d' ajuto , in cui fi fa la ftoria dell' Oflervatorio Pifano , fono i foli fcritti, che ei confacrò ad Urania . Ma non credafi perciò , che la fama di queft' uomo raro fofle riftretta dentro i foli confini dell' Italia. La foluzion di un fol problema Ottico di trovar una curva, in cui i raggi di luce , che vi fi intende

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emanata , ntoniino fempre dopo due rifleffioni ad un punto Iblo prefo nel me?,?,© , nivindata all' Accademia delle Scienze di Francia da chi n'era il Miniftro in Firenze, fu come l'un- ghia del leone , da cui il Clairaut , il Bouguet , ed il de la Lande , nomi illullri nelle fcienze matematiche , giudicarono in effe potere il Perelli gareggiar coi primi . Qiiefla teftimo- nianza lo fé coraggiofo , o per meglio dire ottenne da lui una meno interrotta applicazione alle cofe geometriche , e po- tè cosi fomminiftrare all' Eflcnfore d' un Giornal letterario Tofcajio la foluzione d' alcuni problemi , che un Anonimo Francefe aveva propoflo ai matematici Fiorentini , La mag- gior parte di elfi era di una facilità da. incoraggiare anche i volgari geometri, e alcuni eran giù flati fciolti . Credè per- tanto il Perelli di doverli rendere alquanto più difficili, e di dar loro un' aria di novità , procedendo nella foluzione per via più riflretta , e del tutto differente dalle altre fin allora battutele in ciò non volle fervirli che della geometria line- ars, imitando così il gran Newton , il quale benché benemerito più d' ogni altro delT analifi e dei moderni calcoli, ciò non oftante filmò fempre ed ebbe in venerazione l'opere e i mo- todi degli antichi geometri fino a dolerli amaramente , che dopo l'introduzione fatta dal Cartefio del calcolo nella geo- metria erano a torto quali generalmente trafcurati . Qiianto però il Perelli valefle nella iintefi, non fi può meglio cono- fcere, che dalla foluzione di quel problema , in cui fi cerca il raggio di un cerchio, il quale efternamente tocchi tre al- tri cerchj , di cui fiau cogniti i centri ed i raggi ; problema , che ha meritato un luogo nell' Aritmetica univerfale del Newton, e che, dopo molt' altre antiche e moderne foluzio- ni , è flato fciolto dal noftro Geometra con magiftrale fem- •plicità ed eleganza . Dopo di ciò fi volfe ad alcuni dei più difficili e dei più utili problemi meccanici , che fé folFero {Va- ti pubblicati nel loro tempo, avrebbero afifrettato i progreffi

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della fcienza , a cui appartenevano , e ci farebbero ora cono- fcere a qua! fegno era capace il Perelli di contribuire a que- fti progreffi . In sì fatte fcicnze le cognizioni ogni giorno più s' aumentano, i metodi fi femplicizzano,e ogni età aggiunge qualche cofa alle fcoperte dell' età precedente . Onde è che chi non fu follecito a dar fuori le proprie, merita che i po- fìeri non abbian cura di ricercarle , perchè non poffon più fervire alla loro irruzione , eflendo la foftanza di efie non fol paflata , ma anche crefciuta negli fcritti di coloro , che ai medefimi fuccedettero . Uno fpirito creatore, com'era quel del Pcrelli , non isdegnò di trattare ancora cofe puramente elementari per fervire all' altrui irruzione; e merita fpecial- mente d' elfer ricordato un trattato delle fezioni del cono , che ottenne da lui chi prefedeva in nome di Cefare alla To- fcana per ufo di un fuo figliuolo , il quale desinato a gran fortune pei meriti del padre e pei proprj talenti , credè di non poterli meglio coltivare , che cogli fcritti e colla voce dei Profeffori di Pifa.EIla è ugualmente rara tra dotti l'ar- te di fapere profittare dei lumi degli eguali o dei fuperiori, come è r arte di faper comunicare i proprj agi' inferiori . Se uno ha difficoltà per un certo amor proprio a ricevere , ne ha ancora maggiore a dare con facilità e modefiia , cui rare volte infpira la iicurezza della propria fuperiorità . Qiie- i\s due doti erano pofiedute fovranamente dal Perelli . Egli entrava in quello , che era propoflo dagli altri , come fé non averte faputo che quella tal cofa , ma con una fpecie d' o- maggio, che lungi dall' offendere, lufingava anzi que' pochi che erano in iftato d' ifiruirlo , e rare volte accadeva , che non aggiungefTe qualche cofa all' altrui idee. Quando poi do- veva comunicare le proprie , lo faceva con una chiarezza e naturalezza mirabile, e fenza abufar d' alcuno , non fi negò mai ad alcuno , e coli' iflefib impegno parlava col giovane principiante e coli' uomo confumato . Così la fua cafa fu quali Tomo IL f

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in ogni ora aperta a tutti , e fé non potè mai ottenere da se di predarli ai regolari doveri della pubblica fcuola, com- pensò quefla mancanza con iftruzioni continue , che erano tan- to pia premurofamente ricercate , perche fenza il più picco- lo fafto Accademico fembravano , e realmente lo erano, tan- te familiari converfazioni . Quefla facilità e naturalezza di- pendeva in gran parte dalla femplicità de' fuoi coitumi e dal- la bontà del fuo carattere , cui non poterono mai alterare né il profondo fapere , né il rifpetto , né la lode degli uomini . Ei non voleva che fervire all' utilità di quelli con una ma- niera tutta fua, che non poteva difpiacere fé non a certe a- nime piccole o fuverchiamente fcrupolofe, che pongono i do- veri tutti della focietà nell' ordine e nella regolarità delle occupazioni. Tra le utilità , che apportò il Perelli agli uo- mini , non fu r ultima quella della felice applicazione del fuo profondo faper matematico all' idroftatica . Disgraziata- mente per r Italia ella ha fovente bifogno di chi regoli 1' ab- bondanza delle fue acque, e provvegga alla licurezza di quei popoli , che r abitano , malTime da che il vario interefle dì differenti Principi, che dominano in elfa, e le operazioni dal lor voler prodotte , han cangiato per tal modo il naturai corfo delle medelime , che fenz' arte mal potrebbero conte- nerli dal non fommergere intere provincie . Da quefta necef- lità è nata una fcienza tanto propria degl' Italiani , che non dividono con altri la gloria d' averla creata e promoiTa . Il Perelli formato nella fcuola de! Grandi e del Manfredi , ai quali tanto è debitrice quefta fteffa fcienza , doveva aver la gloria , e 1' ebbe in fatti , di avanzarne i progredì . Si può dire che dopo 1' eftinzion di quei gran lumi non vi fu afta- re di rilievo, in cui egli non folTe o adoperato o confulta- to. Il maggior bene per altro apportato dal Perelli mediante la fua fcienza idroftatica. Io provò la Tofcana, che ricorde- rà fempre con animo grato il Ragionamento [opra la campa-

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gna Pifana, la Relazione /opra ti ìnodo di liberare la campa- gna del Valdarno iyjferiore dall' inondazioni dell' Ufciana , 1' al- tra Relazione della maniera di dare (colo alle acque jìagnann del Pian del Lago, che fanno una parte del volume IX. del- la Raccolta d' Autori , eòe trattano del moto dell acque pub- blicato in Firenze 1' anno 1774. Se Pisa e la fua campagna aveirero fcoli pili facili per le acque e proprie e ftraniere , che vi fon portate dai fiumi Arno e Sercliio, farebbe certa- mente una delle piìi floride e fertili provincie d' Italia* Ma la poca inclinazione del terreno verfo il mare, e lo fcor- rer che fanno quei due fiumi in Ietto o fuperiore o eguale al terreno inedelimo , producono in diverfe parti sì forte o- flacolo al moto delle fue acque naturali, che quefte fono fot- topofte a frequenti ftagnamenti , altri temporali, altri perpe- tui ; oltre di che è sì grande tal volta la copia dell' acque flraniere , che il loro inondamento arreca danni e pericoli graviffimi . Come quefìi muli, poiché il rimoverli è impoffi- bile , fi pollano fcemare , e fi pofia migliorar la condizione della campagna tutta, 1' infegna per tal modo il Perelli, che niuna cofa fembra efiere alla fua avvedutezza sfuggita . Ne folamente efpone il proprio fentimento , ma efamina anche r altrui, riportando ogni propofizione ai principi della fcien- za. Se s' ingannò qualche volta nel calcolar la fomma della fpefa ( imperocché chi può prevedere gli ofl-acoli tutti , cui apporta la natura , o la malizia , o la negligenza degli uo- mini?) come accadde nel taglio d' Arno in vicinanza di Pi- fa , nel foro del monte , per cui dovevano fcolarfi le acque del Pian del Lago, e in altre operazioni; furon però fempre quefie dirette da un faper profondo e da un' illuminata pru- denza , che fa diftinguere nell' incertezza di molte dottrine e nella varietà di molte fperienze il vero dal verifimile. Noi ricordiamo il Ragionamento fopra la campagna Pisana in tem- po, che la Repubblica di Lucca ha confuitato i più abili i-

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droftatici dell' Italia per fapere qual farebbe il modo il più facile e il meno difpendiofo da condur le acque , che fcola- no nel lago di Bientina, al mare; e chi fa che nella difcre- panza dei pareri e nella difScoltà d' efeguirli non lìa final- mente coftretta di abbracciar quello propofto in detto Ragio- namento dal Perelli , che è di far traverfare quelle acque per mezzo di una volta fotterranea 1' Arno , e di fcaricarle nel più bafTo letto del Calambrone ? Sarebbe poi cofa lunga a ri- dire le utilità tutte, che furono una felice confeguenza dell' idee efeguite del Perelli , e che egli efpofe o negli fcritti di fopra ricordati , o in altri , che non videro la pubblica lu- ce * . E fervivagli mirabilmente a ciò la notizia dell' anti- chità per paragonare lo flato prefente col paffato , e per de- durre da quefto paragone i rimedj i più opportuni : ed una prova ne iia la lettera al Senatore Buondelmonti intorno all' inondazioni d' Arno e ai mezzi per ripararvi , in cui fi fa la ftoria di tutte le piene, dalle quali la più bella delle cit- tà d' Italia fu più volte miferamente deformata . Cos'i potè convincere d' errore coloro , che foftenevano rialzarfi di più braccia il letto d' Arno nel corfo di un fecolo , ed ell'ere piì frequenti e più defolanti le inondazioni di queflo fiume nei prefenti , che nei trapafTati tempi ; e potè altresì più aperta- mente provare che farebbe riuscito inutile, e in alcune cir-

* Non farà difcara una nota di quel- Barra , Foffa Nuova , Foffa di Mala- li , che fono a noi pervenuti . ventre ecc. z=r. Sopra la bonificazione

Relazione fopra il fiume Marroccia del padule del Bellino . = Sopra le pel Sig. March. Antonio Niccolini. = oppoiìzioni fatte al fuo progetto intor- Sopra una nuova inalveazione della no all' emiffario del lago Trafimene Girotta. -:= In caufa Silvatici e Nor- flampato in Firenze 1' anno 1771. = ci. = Intorno alla macchia di Pie- Sopra le colmate dell' Ajaccia e del trafanta. = Sopra il follo reale. = piano d'Acquaviva in Valdichiana. zrz Sulla quantit'a dell' acqua della fonte Sopra il taglio d' Arno , e voltata di Donata fotto Treggiaja . r= Sopra il elio in Barbarecina. = Sopra il pro- mantenimento del fofl'o di Ripafratta. getto del canale navigabile da Firenze :=z. Sopra 1' unione dell' acqua della fino allo sbocco di Ombrone.

Ul

XLV

coftanze ancora dannofo il divertimento di una porzion deli' acque nella parte fuperiore alla città . Si farebbe voluto da lui non folamente V efame degli altrui penfieri fopra quefto importante oggetto e ì' erpolìz.ioae dei proprj , il che efegui copioramente , ma ancora una geometrica determinazione di pendenza e larghezza , per le quali un fiume nel fuo letto fi riduce in uno fiato di permanenza inalterabile : ma confef- sò elTer quello un problema tanto difficile , che tutte le dot- trine fin allora acquifiate nella fcienza dell' acque correnti erano infuificienti a rifolverlo . Tra tutte le mutazioni però , che per legge di natura o per opera umana han fofterte i diverfi fiumi dell'Italia , niuna havvene forfè maggiore di quel- la accaduta al Po ed al Reno, per la quale le tre provincie di Bologna, di Ferrara, e di Ravenna, le più amene, le più fertili e forfè le più popolate dello Stato Pontificio han rice- vuto danni gravitimi , e ne temono anche dei maggiori . Le controverlìe poi nate per rimediare a quelli mali fono fiate s\ lunghe, si varie, e sì vive, che poilòn dirfi d' ave-r fervi- lo fé non al follievo di quelle provincie, certamente al pro- grefl'o e perfezione dell' architettura dell' acque . Anche il Perelii ebbe parte in efie , allorché fu prefcelto ad afliftere come matematico il Card. Pietro Paolo Conti, a cui era fia- to commefib di vifitare diligentemente quell'eftefe regioni, e di provvedere alla loro falvezza . La Relazion del Perelii a quefio illuminato vifitatore non Ci diparte mai dai principi univerfalmente ricevuti d'idrometria; e nella neceffità di con- durre il Reno unito col rimanente dei torrenti del Bologne- fe e della Romagna per un fol alveo al mare, reputato uni- co rimedio a tanti mali , propone quella linea , che poi in gran parte felicemente efeguita da un franco domatore dei pubblici mali e pregiudizj ha provato la fingolar prudenza del fuo Autore . Appena meriterebbero d' eder ricordate le oppofizioni fatte alla Relazione del noftro Idrofiatico , pvr-

f iij

XLVI

che dettate più da umane paffioni, che dall'amore del vero, fé la rifpoda , che ei dette alle medefime , non appartenere al corredo della fcienza dell' acque . Alla quale mentre fer- viva viaggiando per diveriì luoghi, che doveva vilitare , da per tutto ricercava monumenti d' antichità , opere d' eccel- lenti artifli , e fpecialmente pittori, fcultori , ed architetti, de' quali conofceva il bello ed il buono , rari manofcritti e libri , facendo di tutte quelle cofe e di altre iimili fua cura e delizia. Né ricufava richiedo d'eternar la memoria di qual- che fatto o perfona con eleganti ifcrizioni Latine , o di fup- plire l'antiche, nel che era di una mirabile fagacità , baftan- doli poche lettere per indovinare o le corrofe o le fmarrite, o d' interpetrare quelle che eran reputate della più diificile intelligenza . Tra quefte ci piace di ricordare la più celebre di tutte per la fua antichità , che fa un fingolar ornamento del ricchiifimo mufeo Nani , e intorno la quale lì fono occu- pati gì' ingegni dei più valenti antiquarj . La infolita forma delle lettere , con cui è fcrirta , ne rende incerto il fenfo, e penfa il Pereili , che efprima il dono di un tripode fab- bricato da Trifone , ed offerto da Ecfante ad Apollo . Alla maniera degli antiquarj rende ragione d' ogni fuo detto , e Io fa con quella copia di Greca erudizione, che ferve unica- mente all' argomento, non alla pompa dello fcrittore . Pro- mette in fine dell' operetta altre fpiegazioni d' ifcrizioni Gre- che ; ma poiché in fue letterarie promefTe era fovente vano Io fperare , non valfe la nojofa importunità di chi lo {limo- lava ad arricchire di quefli doni una fua Mifcellanea a vin- cere la naturale incoftanza del medelìmo . Né tampoco riufci a me di vincerla per ottenere una compita edizione dell" o- pere inedite del Torricelli , 1' autografo delle quali mi era fortunatamente venuto alle mani, né altri lavori, ch'io cre- deva poter fervire alla gloria dell' Univerlìtà di Fifa , a cui con vincolo comune eravamo legati . LTna Memoria fui mo-

XLVIf

<k> di migliorarla, un' altra full' eiezione di una nuova cat- tedra d' idroftatica, e fuUa opportunità dell'agro Pifano per fare in grande l'efperienze appartenenti alla ftefTa, varj eflrat- ti di opere matematiche , e la foluzione di alcuni problemi barometrici propofìi dal P. Fontana, che furono da me infe- riti nel Giornal Pifano , fono i foli fcritti , i quali a fatica impetrai dal medelimo , e di cui il debito di gratitudine ne cfige da me un' onorevol ricordanza . Ma fé è intereffante il conofcere l' opere di un gran genio , come quelle che deter- minano il giudizio, che lì deve formare dei fuoi talenti, non è meno importante lo fpettacolo della fua condotta , dei fuoi coftumi , e per fino delle fue debolezze , dalle quali , come da una fcuola di tìlofofia, lì poiTon cavare utili infegnamen- ti . Già 11 fa, che o la gloria, o I' intereflTe , o tutti e due inlieme fono i due grandi ftimoli , che fanno agire gli uomi- ni; e le perfone di lettere non fono efenri dal pagare quello tributo all' umanità . La femplicità dei collumi , che fu pro- pria del carattere del Perelli, doveva allontanar da lui, co- me lo allontanò , il deliderio d' accumular denari . Egli era povero non oftante un' annua provvilione di fopra 400, feu- di , che ritraeva dall' Univerfità , e una rendita vitalizia di 240 , perchè foddisfatto che egli aveva il deliderio di acqui- fl-ar libri rari in ogni maniera di fcienze , e qualche illru- inentc matematico , ed in fpecie agronomico , che mai non adoperò, nuli' altro curava, e rinunciando fenza avvederfene ai comodi della vita, dava a ciafcun di quelli, che lo fervi- vano, o Io frequentavano , il dritto di partecipare del frut- to delle fue fatiche. Si farebbe detto che non ccnofccva l'ufo e il valore della moneta, fé non allor quando per foverchia generoiità o inconlideratezza mancava del necellario . Se fu il Perelli efente dall' amore dell' intereiTe , non lo fu esual- mente da quel della gloria, che fecondo l'eforeffion di Taci- to è r ultima palTione dei fapienti . Nel foddisfarla era lon-

XLVITI

tano non meno da quella delicatezza d' amor proprio , che è un vero fupplizio per molti dotti , perchè non fofFre la più piccola contraddizione , come da quegli artifizj , che tan- ti e tanti impiegano per ottenere i fuffragj del pubblico , e da quella vii gelolia , che ci fa deprimere il merito altrui per inalzare il proprio . Il Perelli giufto verfo degli altri, domandava per se la medefima equità ^ e perfuafo, che il nu- mero dei buoni giudici in ogni fcienza ed arte è piccolo. Ci contentava dell' approvazione di perfone illuminate , abban- donando tranquillamente il rimanente alla loro ignoranza o invidia . Fu però in lui una forta di contraddizione , di cui con difficoltà li può render ragione , ed è che non efFendo efente dal defiderio di fama , trafcuralTe poi di condurre a fine e di dare al pubblico quelle produzioni che gliene avreb- bero accrefciuto ed eternato il polTedo . Una certa naturai pigrizia , la varietà dei fuoi ftudj , e la fteffa fama , che go- deva in Tofcana di non aver pari nelle fcienze matematiche , e pochi eguali nella varia erudizione e nella cognizione del- la Greca lingua, e che ammorzava, fé pur non toglieva affat- to in lui r operofo fentimento di emulazione , fono a mio credere i motivi, che han privato la pofterità dei frutti, che il (ingoiar talento del Perelli avrebbe potuto produrre. Pien di rifpetto per 1' antichità non fapeva accomodarli ad un cer- to guflo dominante , che -divenendo ogni giorno più ftrava- gante par che annunzi la vicina decadenza delle lettere; on- de fé o per fervire a se medefimo o alle richiede d' amici compofe qualche cofa in propolito d'amena letteratura, proc- curò fempre, e 1' ottenne mirabilmente , che ella avefTe im- prefTo il carattere della grandezza , facilità, ed eleganza anti- ca *. Non deve far maraviglia che avelie il Perelli per gli

altri

* Darem qui un faggio del valore del Perelli in poefia Latina e Greca •

XLIX

altri r Kidifferenza , che aveva per fé medefimo . Lo fpetta- colo vario delle pafTiom , che agitano gli uomini diverte la Tomo li. _

Per rObeUfco, che fi -vok'vu alzare in monte Citjirio da Benedetto XiV.

Ille olim Augufio nnetitus Caefare foies

Niliacus jacuit faecula plura lapis; Praefule nunc idem Benedico furgere jiUTus

Admonet andquos, Roma, redire dies.

Sopra la Signora Sofia N. N.

Dum fpeflat Juno Sophian , auditque loquentem, Vincor, aie, nec de judice viaa queror.

Una trium nequeo junftis cercare duabus. In Sophia Pallas jiingitur acque Veiius.

Per la morte ài lui giouanefto.

Traduzione dal Greco.

Nuntia Perfephores, ales Cyilenia , qualem Ducis ad infernos, triftia regna, lacus !

Sorte mala eripitur luci leptennis Ariflon,

Quem tenet & medium fpeftat uterque parenso

Si te cunfta manent quot funt mortalia , Pluto, Poma quid immiti carpis acerba manu?

Traduzione del Sig. Metafiafio.

O della Dea d' Averne

Mercurio meffaggier , dal cieco mondo

Chi mai conduci al triflo orror profondo!

Di fett' anni Anflone

Dalla barbara Parca al eie! rapito.

Che in mezzo ai genitori e qui l'colpito.

Oh fé d' ognun che nafce

La matura vendemmia a te fi ferba,

Pluto crudel, perchè la cogli in erba?

Sopra un dito del Galileo fiaccato dal fuo cadavere.

Lipfana ne fpernas digiti quo dextera coeli Menla vias, imnquam vifos mortalibus orbes Monflravit parvo fragilis raolimine vitri .

L

maggior parte de' fìlofoh , e come Democrito , molti ne ri- dono , Ma il Perelli non fol non li burlava del ridicolo de' fuoi fimili, ma né pur fi degnava d' oflervarlo ; forta d' in- dulgenza, che fé foffe fì-ata a lui conceda, non fi ricordereb- bero ora con rifo alcuni avvenimenti , che furono 1' effetto di una foverchia credulità unita al defiderio di piacere per fino al bel feffo . Si rammenta ancora la fingolarità delle fue attrazioni . Imperocché penfava ordinariamente nel mezzo di una converfiizione , di una camera piena di gente , e anche in compagnia di Dame . Faceva naturalmente e fenza affet- tazione quello , che per una prova o per una oftentazione delle fue forze era folito di fare un antico filofofo , che fi ri- tirava in un pubblico bagno per meditare. Qiiantunque però alcuni fi burlaffero di quefi-e difi^razioni di mente , non per quefto lo rifpettavano meno , e tutti ricercavano avidamente la fua converfazione , perchè era lontana da burbanza e vani-

Aufa prior facinus, cui non Titania quondam Suffecit pubes congeflis moUibus olim Sydereas fruflra cenata adfcendere in arcos.

Per la Signora Ottavia Pepi,

R«/ «"^V* /^^^ic'ov ^pofrepì't TTf'j'O? Jj'J/ov avffiiy ,

IlavT* «Ve^as T]ccTi'i;i «* X^'^'" 1 f^tf^ffto Tt'xy*,f ^ •Ou'iJ/ yps^i'; yt Tt/irav ìj'/^ìDv luyurott ,

Verfione del Sig. Jih. Guarducd.

Flaventes crines, circlos rofeofque genarum,

Qiiaeque udum vibrant lumina viva jubar; Floribus & ridens vernis os dulcius halans,

Concreta peftus candidiusque nive , Cunftì vides Pepiae, quae fi hic minor, arguito artem;

Nec folem artifìcis pingère dextra queat .

Chi poteva per fé medefimo comporre un' antologia, fappianno efferil anco- ra occupato in tradurre alcuni epigrammi della Greca.

tr

tà anche quando ifiruiva , e perchè era condita fpeflb di fa- li e di opportuni racconti di detti e di fatti , e di una na- turalezza, bontà, e giovialità che feduceva . Nel raccontare una piacevole floria fapendo , che la fine ne è 1" oggetto , iì a/Trettava di giungervi, e produceva l'effetto fenz' averlo pro- meflTo . E' incredibile la. copia di aneddoti galanti , politici , militari, e letterari che eran fcmpre prefenti alla fua memo- ria, e fi farebbe detto, che la ftoria antica e moderna fofTe fiata r unica fua occupazione . Aveva profondamente medita- to quello che grandi Autori , come un Locke , un Monte- fquieu , un Chefterfield, hanno fcritto fopra la metafilica, la politica e la morale, e applicando i loro principi alle circo- ftanze dei tempi giudicava, e prevedeva con una fagacità de- gna di un gran Miniftro. Era foiito di dire , che il farebbe potuto facilmente moltiplicare il numero dei profeti , fé da perfone illuminate il ricercalTe per tal modo 1' origine delle nazioni, delle loro lingue, dei loro coftumi , delle loro opi- nioni, e tutto quello, che appartiene alla ftoria dello fpirito umano, che lì veniffe a fcoprire una fuccelTione ed una cate- na di penlieri , che nafcono nei popoli gli uni dopo gli altri o piuttofto gli uni degli altri. Egli è certo, che uno fpiri- to metafilico , come quello del Perelli,fapeva dallo ftudio del- la ftoria cavare certe generali rifleffioni, che fembravano inal- zarfi fopra la ftoria medefima . Anche la teologia entrava fpelTo ne' fuoi difcorli ; imperocché egli aveva letto molti de- gli antichi SS. Padri , e fpecialmente Greci , e conofceva il forte e il debole di quelle difpute teologiche, che uno fpiri- to di partito ha inlelicemente fulcitare , e che fenza farci migliori hanno- per tanti anni non folo occupare le fcuole,ma. anche agitata con grave fcandalo degli EterodofTì la criftiana repubblica. Egli era affai illuminato per non ifpofarll ad al- cun partito, e perfuafo delle verità di noftra Santa Religio- ne ^ la coltivò eoa culto più interno che efterno , quaiitua-

tjue però non trnfcurafle mai anche quegli efteriori doveri che ella prelcrive ai fuoi feguaci . Ciò non oftante non fono man- cati chi dalla fua coftante tranquillità e dall' aftra^ioni , che 1' accompagnavano anche nell' adempimento di quei doveri retigioiì , che dovrebbero più di tutti efcluderle , han prefo motivo di mettere in dubbio la religiofità di lui ; tanto è vero , che la malignità fa profittar di tutto , e che vi farà fempre una moltitudine di uomini , che li compiace di ab- baffare il merito dei gran genj , e di trovare il più leggier pretefto per difpenfarli dal rendere ad efTì giuftizia. Quantun- que -non folle indifferente alle grazie del bel leflb , non pen- sò mai ad ammogliarli. Sortì dalla natura una forte complef- fione, cui folamente nell' età la più avanzata poterono alte- rare le irregolarità del vivere, la continua meditazione, e r alTiduo fludio. Quefto divorator di libri, per fervirmi dell' efprefllone, con cui Cicerone caratterizzò M. Catone, quan- te volte non folo nella propria , ma anche nell' altrui cafa fu forprefo dal nuovo giorno, allorché evali abbandonato nel- la fera alla lettura di qualche opera per lui intereflante l lEf raramente accadeva, che ne difprezzaffe alcuna, onde faceva maraviglia, che a un mondo di libri mediocri, e quafi aflò- lutameixte fconofciuti a\e(le accordata la grazia di leggerli . Rare volte prendeva la penna per notare , tidandoiì della for- prendente fua memoria, in cui ciafcuna idea occupava il po- ito ;, che le conveniva , e che lo ferviva a fegno , che era pronto a r.ifpondere fopra quali tutte le materie , e a citare i luoghi dei principali Autori che le trattavano . L' abbando- nò poi quafi del tutto per 1' abulb fattone negli ultimi tre unni della vita, che furon quali una morte anticipata, per- chè fu tolto agli amici , ai parenti , alle lue abituali occu- pazioni , e per fino a que' fentimenti , che fon proprj anco- ra dell' uomo animale . Quello triPco fpettacolo lo dette in Arezzo,, che riguardava come fua patria, perchè vi fu afcrit-

-ta tra le nobili la fua lairugliu , nel lèno di cui fi rifugiò r anno 1779- Sentì forfè allora già vacillante, o per meglio dire , gli fu fatto fentire , che l'Univerfità di Pifa non avreb- be potuto più fervirli , come per lo avanti , di gloriofo tea- tro ; onde dimandò di ritirarfene fcnza fcapito d' alTegnamen- ti. L' ottenne dalla clemenza di Pietro Leopoldo na- to alla felicità della Tofcana , e al foUievo de' miferi , per- fuafo che da una paleftra , dove tutto deve edere ftimolo al- la fervida gioventù per correre vigorofamente la difficile e lunga carriera degli ftudj , deve allontanarli la vifta di que- gli oggetti , che ne potrebbero troppo fenlìbilmente palefarc la vanità . Finalmente un' apoplelfia tolfe affatto il Perelli al mondo nel di 5. d' Ottobre dell' anno 1783. E' a noi venu- ta dall'antichità la moda di far paralleli, e chiuderemo queft* elogio col farne uno , che forprenderà a prima vifta , e che ci farà reputare per troppo parziali della memoria del Perel- li- Non dubitiamo di porlo a lato del gran Leibnitz, di quel raro e mirabil genio , che come fcriire graziofamente il Sig. de Fontenelle , limile agli antichi , che avevan 1' abilità di condurre fino a otto cavalli di fronte, conduceva anche edi di fronte tutte le fcienze, e che fcompofto e divifo in tutte le fcienze, che fapeva , di un fol uomo li farebber fatti più dotti di prima sfera . Il Perelli , come Leibnirz , aveva dei gufto e del talento per la poelia , era verfatiffimo nell' anti- chità , era profondo nella ftoria e negl' interelfi dei Princi- pi, che ne fono il refultato , e fapeva il dritto pubblico con una non leggiera tintura di teologia; come -quegli era eccel- lente filofofo e matematico e conofcitore fommo della floria dei penlieri degli uomini , certamente fempre curiofa per lo fpettacolo d' una varietà infinita, e fpeffe volte ancora iftrut- tiva . A fomiglianza di lui non ebbe ne fine, né regola nel- la fua lettura, e divenne per cosi dire tutto quello che ave- va letto; fapeva più lingue morte, e le più cuìte delle vive.

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e da tutto quello che leggeva ed ollervava fapeva trar linee di comunicazione , che approffimavano mirabilmente differen- ti fcienze tra loro. Era ancora comune a tutti e due quello i'pirito metafilico, che fa farli padrone di tutti i principj più fublimi, e i più generali, e una lìngolar difpofìzione a pren- der tutte le forme, e a ricevere tutte le forte d' idee. Con- venivano anche nella facilità di trattare con ogni genere di perfone, cortigiani, artifti , contadini, foldati, ignoranti non men che dotti, perfuall, che da tutti lì può imparar qualche cofa , e niun dei due reputò tempo perduto quello che det- tero alla converfazion delle donne . Se il Leibnitz fuperò il Perelli nell' invenzione di nuovi metodi matematici e nell' illuftrazione. dell' ofcuriffima. ftoria de' baffi tempi , fu anche vinto dal noflro Italiano in un maggior criterio, che quefti portò nelle cofe metafilìche , e nella contemplazione della na- tura, e in un gufto più delicato per tutto ciò che appartie- ne, ad amena letteratura . Ma il Leibnitz lafciò copiofo nu- mero di monumenti del fuo raro ingegno e fapere , fcarllffi- mo il Perelli, onde fi può a ragione temere, che la pofleri- tà, la quale farà eternamente grata al primo, divenga ingiu- ria verfo il fecondo , o mettendone in dubbio il merito for- xraggrands, Q deponeadone la memoria».

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INDICE

DELLE MEMORIE

PRIMA SEZIONE. PARTE L

Introdwi^ioMe a nuovi principi della Teorìa elettrica,

dedotti dall'' analifi de* fenomeni delle elettriche

punte Del P. Carlo Barletti delle Scuole Pie ProfeflTore di

Fidca neir Univerfità di Pavia pag. i

Sopra r equazione d^ una Curva, [opra la falfita dì

due famofl Teoremi , e [opra le ferie armoniche a

termini infinitamente piccioli I^-l P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie , Pubbli- fi iiij

co Profeffore delle Matematiche Superiori nella Regia Uni-

verfità di Pavia 123

Sopra la prejftotie de^ fluidi

Del Medelìmo 142

Indagini nel calcolo integrale

Del Sig. Cavaliere Lorgna . . . . , . . . 177

Delle progrejjìoni reciproche delle poten'^e affette

Del Medefimo 210

B,fpofi%ione Anatomica delle parti relative alV En- cefalo degli Uccelli Del Sig. Vincenzo Malacarne Direttore delle R. Terme Acquefi , e Chirurgo del Real Prefidio di Tori- no . 237

Delle O^erva^ioni folfii%iali , fatte allo Gnomone del- ia Cattedrale Fiorentina ne W Anno 1782 , e de^ loro "Bjfultati paragonandole colle Jìmili Ojferva-

%ioni del 17S6 , 1764, e IJJS» Del Sig: Ab. Leonardo Ximenes Matematico di S. A. R. il Granduca di Tofcana 256

LVII

SECONDA SEZIONE.

Ojfervaxjone della congiurr^one inferiore di Venere col Sole a dì 20. ìsAar%p 1782. con alcune l^i-

flejjioni Del Sig. Ab, Angelo de Cesaris R. Aftronomo all'

Offervatorio di Milano 313

Sopra la forila Centrifuga

Del P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie Pubblico

Profeflbre delle Matematiche Superiori nella R. Univerfità

di Pavia 325

Sopra le Serie

Del Medefimo 3S6

PARTE IL

TSLuova Teoria intorno al movimenta de' navigli a

remi

Del Sig. Cavaliere Lorgna 457

Memoria feconda ed ultima fopra la riproduzione

della tefta nelle Lumache terrejìri Del Sig. Ab. Lazaro Spallanzani Regio Profeflbre di Storia naturale nell' Univerfità di Pavia . . . 506

Lettera Tritila relativa a diverfe prodw^ioni manne

ÌVIU

Del Medefimo

AI Sig. Carlo Bonn et Membro delle più illufiri Ac- cademie d' Europa 6.0 j

Sopra i Fuochi de Terreni e delle Fontane ardenti in generale , e Jopra quelli di Tietra-Mala in par- ticolare

Del Sig. Alessandro Volta Profellòre di Filìca Spe- rimentale nelL' Univerfltà di Pavia .. .. . .. ^ 66z.

TERZA SEZIONE

Saggio di una ISLuova Teoria del movimento delle acque pei Fimni , e \

'N.uovo metodo per trovale colla /perien-^a' la quan- tità delf acqua corrente per un fiume

Del Sig. Teodoro Sonati Matematico di Ferrara 675

jyìmoflra%ione della riducibilità cT ogni quantità im- maginaria algehraica alla forma AHrB\/( — i)j adattata ad un Trattato elementare della natura.

delle equa'^ìoni Jìtì Sig. Sebastiano C a n t e r z a n i Profeflbre di Ma- terastica , e Secretario^ perpetuo dell' Inftituto delle Scien- te di Bologna . .. , . . ,, .. ., .. o. . .. jxo

JLIX

Saggio Ji Ojfeyva^iofii anatomiche intorno agli Or- gani della refpra%ione degli uccelli

Del Sig. Michele Girardi Medico di Camera di S. A. R. di Parma, Prelìdente al Gabinetto di Storia Natu- rale, e Profeflbre primario della medefima e di Notomia

Al Sig. Vincenzo Malacarne Direttore delle R» Terme Acquei! , e Chirurgo Maggiore del Reale Prefidio di Torino .732

Delle formale dijferen'^iali , la cui integrazione di^ pende dalla rettificazione delle Sezioni coniche

Del Sig. Gì A .N-F ranch SCO Malfatti Pubblico Pro- felTore di Matematica nella Pontificia Univerfità di Fer- rara - . , 7^9

Memoria fulf equazioni a differente finite e par- ziali Del Sig. Pietro Paoli Pubblico Profeflbre nella Uni- verfità di Pavia -787

Ojfervazione anatomica fopra un vitello-vacca detto

dagP Inglefi Freemartin Del Sig. Antonio Scarpa Pubblico Profeflbre di No- tomia , ed Operazioni -chirurgiche nella R. Univerfità di Pavia 846

Oppofizione del Nuovo Vianet a ojfervata nel 1781.

Dal Sig. Giuseppe Slop de Cadenberg ProfeflTore

d' Aftronomia nell' Univerlìtà di Fifa 853

Lettera feconda relativa a dìverfi Ometti fojftli e

montani

Del Sig. Ab. Lazako Spallanzani Regio ProfefTore di Storia Naturale nelT Univerfità di Pavia

Al Sig. Carlo Bonnet Membro delle più illuftri Ac- cademie di Europa 861

Appendice alla Memoria /opra i Fuochi de Terre- ni e delle Fontane ardenti in generale , e [opra quelli di Vietra-Mala in particolare

Del Sig. Alessandro Volta ProfefTore di Fifica Spe- rimentale nell' Univerfità di Pavia ...... 900

INTRODUZIONE

INTIiODUZIONE

A nuovi principi della Teoria elettrica dedotti dall' analifi de' fenomeni delle elettriche punte

Del P. Carlo Barletti delle Scuole Pie Profeffoie di Filka neir Univerfità di Pavia.

s

PARTE SECONDA

Orgente di fallace evidenza, e di erronee induzioni fu feni- pre mai in Fifica la prevenzione. Lungi da ilmiii incan- ti , e da ogni illuforio fplendore profeguirò la propofta ana- lifi de' fenomeni delle elettriche punte indipendente da qualfi- voglia ipotetica idea , e con tali combinazioni di fperienze , che ne rendano adblutamente diftinti, e collanti i rifultati in qualunque ipotell . Sia pur quella la Frankliniana d' un folo flui- do efpanfivo nelle due fpecie di elettricità; o la Nollettiana di due materie efluente, ed affluente in una fola fpecie di elet- tricità 5 della quale fpecie non fieno che gradi varj la vitrea , e refinofa ; o la Simmeriana di due oppolle potenze , dalle qua- li vengano le oppolte elettricità vitrea , e refinofa conflitui- te ; o altra, che delle fpecie fteffe determini i caratteri, e le qualità; o in fine qualfivoglia opinione, che con fiftematici , e tecnici nomi definifca in alcun modo , e riduca a principi la \arietà degli elettrici fenomeni. Tutte le confiderò in pari grado poffibili cotefte ipotetiche , e fiftematiche idee ; e non riputerei, che un vano trionfo tanto 1' adottarne , che il ri- pudiarne una a preferenza dell' altra , le tali preferenze non pervertiflèro le vie della fcienza naturale , e non ritardaflero i progrefiì delle utili e vere cognizioni.

Ad oggetto unicamente di oppormi a fifFatti pregiudizj mi perniili in fine della prima Parte alcune rifleffioni contro la i'>w;/e//«/rt»^fuperfiizione;e pel medefimo oggetto fui bel prin- cipio di quella dichiaro apertamente 1' indifferenza mia per

A

1 Memoria

qualfivoglia maniera di llftematica perfuafione , acciò limpido , e prefto s' intenda , quanto fieno diverfì i fiftemi , e le ipoteli dalle teorie, e fi preveda nel tempo fteflb di qual forma , e e tempra fieno que' nuovi teorici principi , ai quali mi pro- pongo di aprir 1' adito con V analilì delle elettriche punte .

Ed efaminando a tenore della propoffa divifione i fenome- ni delle punte oppofte a punte , e delle fuperfìcie oppofte a fuperficie ne dedurrò come nella prima , cosi nella prefente fe- conda Parte i particolari corollarj più immediati per compren- derne indi ne' teoremi la generale , e coftante efpreffione . Por- geranno adunque le diflinte combinazioni delle punte , e del- le fuperficie materia dei primi due capi ; e nel terzo coli' ap- poggio di nuove fperienze ne eftenderò 1' applicazione alle ap- parenze di elettrica luce ; preparando cosi la via alla terza, ed ultima Parte, che il termine comprende e dell' analifi del- le punte , e della Introduzione ai nuovi principi dell' elettri- ca Teoria. ■

CAPO I.

Comhinaz.ioni di punte oppojìe a punte nella rejìnofaj e nella vitrea elettricità.

L' attività della macchina , e la quantità di elettrica po- tenza,che fi eccita ad ogni giro del difco ,6 fi eftende alle varie diftanze, fu per me in tutte le precedenti, ficcome pu- re lo farà nelle feguenti ferie di fperienze , la mifura,e il mo- dulo comune , a cui fi riducono le proporzioni delle elet- triche forze . Niuno , che nuovo afiàtto non fia nelle Fifiche e Matematiche ricerche , ignorar può , che ogni genere di for- ze , e di effètti non fi riconofce egualmente collo ftefTo mo- dulo, oflia unità di mifura. Quanto è neceflaria la riduzione a comune mifura per conofcere elattamente le proporzioni di qualunque termine, ed efletto nelle ferie diverfe , altrettan- to è indifpenlàbile di variar mifura per difcernere tra loro gli effetti diverfi,o gli elementi vari d'un eflètto comporto ; poi- ché fenza fìmili ripieghi , e varietà fi compongono infieme gli effètti diverfi , e gli elementi de' comporti eflètti vie più fi confondono fotto certe mifure .

SOPRA l' elettricità'. J

In due modi li prefentano gli elementi d' una forza, o di un efletto naturale ; o fono quelli già compofti , e confufi in ogni parte, o termine, da cui l'effetto rifulta ; ovvero fi com- pongono , e li unifcono infieme colla fucceffiva addizione di parti, o termini , che compiono , e foggettano ai fenfi 1' ef- fetto medelimo . Nel primo cafo 1' ingrandire , o diminuire la mifura non porta veruna diftinzione in quegli elementi ; anzi fi rendono effi tanto più confuii , e indifcernibili , quanto fi riportano a mifure , ovvero a termini foverchiamente maggio- ri , o minori . Nel fecondo cafo all' oppoffo quanto può ri- durfi più minuta la mifura, tanto più idonea diventa per di- videre , e difcernere que' fucceflìvi elementi , che fi accumula- no per accrefcere , e compiere i termini , e lo fiato vario del propoffo effetto . Talché ficcome nel modo primo prendono in line 1' afpetto di eguaglianza , e fimilitudine le cofe più ineguali, e dirimili , perchè coli' aumento ,o diminuzione non fi rifolvono , né ii diftinguono punto, ma foltanto fi fomma- no, o iì fottraggono confufi come fono in fé fieffi i loro ele- menti; così nel fecondo modo fi fcorgono ne' fucceflìvi termi- ni , e gradi feparatamente i diverfi elementi ; e può indi cia- fcuno paragonarfi con gli altri in ragione , che paflTano efli dal primo fino all' ultimo fiato più comporto, e confufo .

A norma di si giufti principj , che mi bafta qui di accen- nare, non folamente variai le preparazioni, e le combinazio- ni di fperienze,ma in ciai'cuna preparazione , e ferie applicai ordinatamente a tutti i termini la varia attività della mac- china, e la minima, e la maflìma quantità di elettrica poten- za , che ad ogni giro del difco m' ingegnai di eccitare con uniformità di fucceflìone , per ottenere così diftinti non folo i confronti d' ogni termine , ed efletto diverfo colla comu- ne mifura , ma di più i confronti delle mifure diverfe con ogni termine , ed eflètto comune . Poiché in fine le mifure, e i confronti fono le fole vie d' ogni diftinta idea .

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CON ELETTRICITÀ' RESINOSA.

Preparazione.

Un difco affai maggiore del confueto , che ufai nelle ferie precedenti , mi porge ad ogni giro tanto più grande elettri- cità , che quindici foli giri baflano per imprimere nel folita quadro verticale defcritto nella prima ferie viva forza di ca- rica ; e collo fteffo numero di giri s' induce verfo gli ultimi giri del difco a fcarica fpontanea una boccetta , che mi ferve continuamente di confronto , e di prova per i fucceflivi ter- mini d' ogni ferie. Di quefto difco, e di quindeci gin faccio ufo in ogni termine della prefente , e delle feguenti ferie ^ quando non avvifo altrimenti di averne fcemata l'attività, o fatto cambio con alrro minore .

La boccetta poco fa indicata non folo mi porge , fìccome accennai, il confronto per la fucceffiva attività della macchi- na, ma di più nel cavare la fcarica dal quadro mi fommini- flra una mifura della quantità , o grado di ciafcuna carica, che alle varie diftanze corrifponde : della quale nuova manie- ra di mifure parlerò in feguito più diflintamente .

Non ommetterò qui di fpiegare il giuoco , odia la pratica di tale mifura. In vece di cavar dal quadro la fcarica appli- cando prima , come fi ufa , un capo dell' arco alla faccia cite- riore, e appreffando poi con prontezza l'altro capo all'ante- riore armatura, tengo in mano queft' ultimo capo dell' arco, e lo ffringo full' efieriore armatura di quella boccetta , che tengo inlieme impugnata. E prefento poi all' anteriore arma- tura del quadro quel globo , che fa la comunicazione , e il termine dell'interna armatura della boccetta; ficchc non può fé non attraverfo di quefla boccetta trarli dal quadro la fca- rica . Cosi in vece di trarre tutto infieme la fcarica dal qua- dro , fi divide qucfla nella boccetta , che fcarico immediata- mente fervendomi dell' arco fl-eflo. E replicando lo fteffo at- to di prima fui quadro, fi divide nuovamente quel primo re- fiduo di fcarica nella boccetta , che fcarico fìmilmente .1 par- te coir arco. Con tali atti replicati efaurifco in fine 1' inte- ra carica impreffa nel quadro; ed intendo, che quella fi efau-

SOPRA l' elettricità'. 5

rifca , quando più non imprime carica fenfibile nella frappo- fta boccetta. Ed è col numero di tali atH, che io mifuro la carica imprefla nel quadro nelle varie diftanze ; e s' intende- rà Tempre in quefto fenfo, quando dico f ni , o fi efaun la ca- rica in quattordcci , in dieci , in quattro , in una fcarica della boccetta .

L' iibhiinento in quefto apparato è per ogni verfo perfet- to di quattordeci pollici . Nel rimanente replico la prepara- z.ioni della ferie prima collo fleflb tubo, e punta , e quadro fimilmente oppofto, e con refinofa elettricità. Per introdurre ampia comunicazione dell' efleriore armatura col fuolo , ap- plico alla flefla ai fianchi due fili metallici , che col fuolo comunicano . Serve quefta ferie di vincolo , e di mezzo ter- mine delle precedenti colle feguenti ; e comprende in oltre in fé ftefia nuovi fenomeni , ai quali non {\ ebbe verun ri- guardo nella ferie prima , e perciò lì computa in ordine co- me ferie dirtinta .

S E R I E ^. '

1. Dal contatto del quadro colla punta fino alla diftanza d' un pollice s' imprefFe nello fleflTo con quindeci giri carica preifo a poco eguale , che ù. fini con quattordeci fcariche del- ia boccetta .

2. A' pollici due finì in tredeci ; ai quattro in dodeci ; ai pollici otto in nove; ai quattordeci in cinque; ai diciotto in tre ; ai ventiquattro in una fcarica della boccetta : ai trenta pollici tentando la fcarica del quadro non è più capace d'im- primerne veruna parte nella boccetta , e non ne moftra fé non r ultimo grado applicando V arco immediatamente alle oppofte armature del quadro ftefTo ; nel quale alcun fofpetto di luce pungente arriva talvolta a fentirh'fino ai pollici tren- tafei . Se però ai trenta pollici finifce la ferie della fcuotente forza impreffii nel quadro , non finifcono i moti del pendolet- to cadente lungo la fua armatura oppolla alla punta . Hanno que' moti diftinta efpreffione pel confronto delle ferie feguen- ti, e per l'applicazione de' corollari alla generale teoria. Per- ciò ne ripiglieremo 1" oflervazione dal contatto fino alle più rimote diftanze per determinare cosi fenza ambiguità i no-

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5 Memoria

mi , che comunemente fi ufano troppo confufi di elettrica ripulfiom , attraz.iom , e adejìom .

5. Pofta la punta in contatto dell' armatura al primo gi- rar del difco ofcilla , e fi agita rapidamente il filo del pen- doletto intorno alla punta , e s' inalza , e lì eftende un fe- no del filo ftefTo fecondo la lunghezza della punta. Indi fin- ché fi gira il difco tanto il filo , come il globetto fi comba- cia con forza coli' armatura ftefia , e fimilmente fi combacia lungo la punta quel feno , che fporge dal filo.

Abbiamo pertanto nelle parti dello fl-efib filo due adefio- ni contemporanee, una del globetto e della maggior parte del filo coir armatura, l* altra col corpo della punta per quel fe- no del filo, che in fuori lungo la ftefla iì eftende .

4. Per difcernere da qual cofa dipendano , e d' onde na- fcano quefie due adefioni , ofTervo , che finiti i giri ceffano effe immediatamente ; e il filo lì tende , e refia vibrato in fuori dalla faccia del quadro in proporzione della carica im- prefla . Onde Ci conclude, che dipendono, e nafcono dalla a- zione ftefla, che lì eccita coi giri del dilco .

5. Ma per diftiuguere , fé quelle adefioni derivino dalla fola azione della punta , o da altra azione infieme proceden- te, o accumulata dal quadro; e per tentare in oltre qual co- fa abbiano di comune , e quali modi , o caufe diftinte ; men- tre fi gira il difco io tocco infieme colle dita le due oppofte armature del quadro , ficchè da quefto pofia fol tanto proce- dere qualche azione , ma non poffa in eflb accumularfi . E fuccedono quelle ofcillazioni, che notai da principio, del filo intorno al corpo della punta ; anzi crefcono quelle aflai no- tabilmente, e il filo, e il pendolo s' inalza, e fi efiende per fino al tubo lungo la punta , colla quale tutto talvolta fi combacia in certa dofe di elettricità . Talché in quefto ftato del quadro per quanto continuino i giri del difco refta fem- pre qualche adefione del filo , e del globetto colla punta , o col tubo ; e niuna mai del filo , ne del globetto coli' arma- tura del quadro.

Indi concludo, che l' adefione della parte del filo al corpo della punta dipende dall'azione dei giri per la via della pun- ta, o del tubo, e da qualche cofa, che procede dal quadro, ma non da ciò, che fui quadro fi accumula.

SOPRA l' elettricità'. 7

6. E viceverfa 1' adefione del filo , e del pendoletto coli' armatura del quadro , ficcome non fuflifle , che nella fuccelTio- ne dei giri , né mai ha luogo , né fi mantiene fé non lenza quel contatto delle oppofte armature , il qual contatto impe- difce ogni accumulamento di azione , e di carica nel quadro ; perciò r adefione ftefla dipende dall'atto, con cui fi fa quel- la fuccefliva accumulazione nel quadro .

7- Ma non perciò nafce dalla materia flefia nel quadro accumulata. Poiché col finir dei giri, benché quella materia accumulata fuflifta , più non fufllfie con ella né la prima , né quella adefione. Che anzi fi fcofta il pendolo e dalla punta, e dall' armatura, e palla in divergenza dall' armatura , della quale divergenza parleremo più opportunamente nella ferie feguente .

8. Seguiterò in quella ferie a notare gli accidenti delle adefioni , e de' moti nelle fuccelTive dilhinze . Scortando il ..quadro fegue nel cominciar dei giri 1' agitazione , e fegue in- di il combaciamento del filo full' armatura fino oltre la di- ftaiiza di quattro pollici ; e quel feno riftretto , e fporto in fuori fi fa or più , or meno eftefo , e fi dirige quafi che folle un' altra punta fecondo l' alfe della punta del tubo . Ma al di là dei quattro pollici comincia quel feno a gonfiarfi, e fi fi-acca COSI il filo dall' armatura a poco a poco nelle ulte- riori difianze , finché tutto il filo fi gonfia in arco verfo la punta, refl:ando, come è per la fuperior parte, attaccato all' armatura , e rimanendo il pendolino aderente verfo il fondo dell' armatura ftefla , quafi che ivi pure folle attaccato.

g. Oliando però arriva verfo i limiti dell' ilolamento ai quattordeci pollici finifce anche 1' adefione del pendoletto , e quefto infieme col filo fi vibra in fuori dell' armatura verfo il tubo con grande divergenza , finché continuano i giri del difco . Finiti quefti fuccede qui al contrario di fopra al nu- mero quarto. Poiché ivi col finir dei giri pafla dall' adefione ad ampia divergenza; qui cade col finir dei giri, e refta qua- fi inerte foltanto tefo dal proprio pefo ; fé non che ritiene alcuna tenue divergenza in proporzione della carica , che a tale diftanza ancor s' imprime nel quadro .

IO. Nelle fuccelfive difianze poi , ove la carica è minore, e poi oltre i trenta pollici, ove è nulla, continua nell' atto

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dei giri a mantenerfi vibrato ampiamente , ma col finir di effi cade affatto , come inerte .

E' una tal divergenza notabile fino ai pollici trenta fei , in- di fi fa fucceflìvamente minore ; e ai quaranta non oltrepaf- fa più d' un pollice e mezzo la diftanza dall' armatura ; e finalmente ai cinquanta pollici fi riduce lo fcoftamento a po- che linee, e più in là non è d' ordinario fenfibile.

11. E ficcome nelle minori diftanze notate al numero quin- to ha luogo r adelione dei filo alla punta , e al tubo fino

' verfo i limiti dell' ifolamento ; cosi nelle maggiori ha luogo neir atto dei giri 1' inclinazione, o tendenza dello fi:efib filo \'erfo il tubo , anche quando fi toccano in tal atto infieme le oppofie armature del quadro.

12. Né lì debbe lafciare di ben difiinguere quefia tenden- za da quella, di cui parlai al numero quarto, e fettimo . Che quefia non ha verun rapporto a ciò che nel quadro fi accu- mula , mentre fuflìfie nelle maggiori diftanze , quando nulla giammai lì accumula nel quadro , e quando pel contatto del- le armature nulla può accumularfi , e fuflifte Ibltanto infieme ai giri , e colla continuata azione della punta , o del tubo; e perciò fi dice attraz.ione del tubo. QLielIa per oppofto non è le non proporzionata a ciò, che nel quadro fi è accumula- to di carica ; e ficcome fulTifte finiti i giri , non fembra pun- to dipendere dall' azione ,0 prefenza del tubo, e perciò fi di- ce ripidfiom del quadro.

.-Osservazione i.

Ritenendo la fteffà attività della macchina variai in due modi r oppofto quadro. Softituii in vece del primo fottile un altro di eguale grandezza in fuperficie armata , ma di grofiez- za aflai maggiore ; e la carica a diftanze eguali al primo s'im- preftè in quefto notabilmente minore . Indi pofta eguale la groftezza del vetro , variai la grandezza di fuperficie del ve- tro armato ; e trovai , fhe quanto la fuperficie armata fi fa minore tanto più prontamente a diftanze eguali al primo a- fcende a maggior vivacità , e iì accofta al fommo in propor- zione della capacità la carica impreftli . Per oppofto niuna ca- rica s'imprime nei quadri più grandi a tnli diftanze dalla pun- ta,

SOPRA l' elettricità'. 9

ta , alle quali ancor fi carica una bozzetta, o un quadro af- fili piccolo.

Onde ne feguono due corolla rj

1. Nei più fattili quadri ancor s' imprime alcuna carica col- la Jìejj'a elettricità , e alle fleffe diftanz.e , nelle quali niun cen- no fé ne imprime nei più gvojji quadri .

2. £// / quadri di minore armatura ancor ricevono carica con tale forz.a di elettricità , e a tali difianz.e , nelle quali nul- la ne riceuono i quadri di più efiefa armatura.

Osservazione 2.

Dovrebbe in oltre provarfi in fimile ferie la varietà delle pafle , o dofi de' vetri , o criftalli diverfl fotto le medefìme dimenfioni , e diftanze , e dovrebbero ridurli a dimenfioni e- guali altre lamine di varie foftanze atte a ricever la carica, come le refine , i zolfi, e fimili per foggettarle del pari a tal forta di fperienze, e riconofcerne la rifpettiva capacità fra lo- ro, e con le eguali lamine di vetro. Nafcerebbero cosi iniie- me alle due della precedente oflervazione quattro nuove ferie di fperienze, cioè la prima dei quadri variati nella fola grof- fezza del vetro ; la feconda dei medefimi variati nella fola grandezza di fuperficie armata ; la terza delle varie pajìe , o dojì di vetri nella flelFa groflezza , e grandezza: la quarta in fine di fomiglianti lamine di tutte le fojìanze dal 'vetro di- verfe , che atte fono a ricever carica . Ardua per verità , e lunga è la via nella preparazione, e nel compimento di tan- te ferie; ma fuori di queiia altra non ve n' ha , che fi:ia fra i confini del vero .

Osservazione 3.

Oltre alle due prime ferie , che nella prima ofTervazione in- cominciai, e le due altre, che nella feconda non feci che pro- porre da farfi , ne ho cominciata una nuova ferie , che fu tutte le precedenti lì eftende;ed è il cangiamento di attività nella macchina per ridurre cosi gradatamente minore 1' elettrica quantità procedente dal tubo, e dalla punta . Trovai in tal mo- do , che quanto fi fa minore l' elettricità , tanto diventa più

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infufficìsme ad imprimere carica ne' quadri più grandi in pari dijìanz.e ^ che in altri minori ; e in fine pofia certa grandez.z.a del quadro, neppure a contatto piìi non s' imprime iierun cenno di carica collo fiejjo numero di giri , che è fondente per far carica 'notabile in un quadro minore .

Osservazione 4.

Ed a quefta differenza di carica impreffa con la minore elet- tricità corrifpondono le differenze de' moti nella quinta ferie deferirti principalmente ai numeri terzo, ottavo, e feguenti. Poiché quel filo del pendolo , che con forte elettricità fi com- prime full' armatura , e ftende fuori un feno riffretto in for- ma di punta , quel filo fteffo appena nelle minori diffanze fi gonfia, e poi non fa che vibrarfi in fuori, quando l'elettri- cità della punta è affai debole , né è capace d' imprimere fé non tenue , o niuna carica nell' oppofto quadro . Talché ac- cade in proporz.ione con minore elettricità nelle minori dijìanz.e lo fiejp) , che con maggiore elettricità fuccede nelle dijìanz.e maggiori.

Osservazione 5.

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Tentai in queffo ffeffb degradamento di attività della mac- china , fé con minore quantità di eccitamento fi poteffero nel quadro imprimere cariche proporzionali a quelle , che con maggiore s' imprimono ; e fé coli' accrefcere tanto più il nu- mero de' giri, quanto è minore l'eccitamento, fi ragguagliaf- fero al fine le cariche . E qui riconobbi più che mai fallace il ragionar per analogia . Poiché ben lungi da fimili raggua- gli col reciprocare il numero de' giri alla quantità di eccita- mento non incontrai di fatto fé non aberrazioni da tutto ciò, che fembrava più conforme all' analogia, e al raziocinio . Il che m' indufle a diffidare di quelle femplici , e facili ragioni , e leggi , alle quali pur fi vorrebbero ridurre gli elettrici prin- cipi j Simili aberrax-ioni fono prove dirette della falfita , e in- jufficienxa de" principi ■> <^'^^^ fi Suppongono femplici . Non è l' a- nalogia che e' inganni ; ma noi vogliamo ingannarci fogget- tando alla femplicità delle noftre fuppofizioni i complicati fe- nomeni della natura .

SOPRA l' elettricità. II

Preparazione.

Fiflb nell' armatura del quadro una punta verticale di filo d' ottone in groffezza eguale a quella del tubo , e lunga quat- tro pollici, la quale punta mira direttamente l'oppofta fecon- do r ade del tubo . Il filo del pendolino non è piìi attacca- to all' armatura, ma al fondo della punta, ficchè pende ver- ticale difcoflo circa due linee dall' armatura ftefla. E ripiglio nel rimanente colla fiefla preparazione, e attività della mac- china, che ufai nella precedente ferie, la feguente

SERIE 6.

1. Dal contatto delle due punte fino alla diftanza d' un pollice s' imprefle con quindeci giri nel quadro fempre uguale forza di carica , che fi eftinfe con quattordeci fcariche della confueta boccetta .

2. Ai due pollici fini in tredeci ; ai quattro in dieci ; agli otto in otto ; ai quattordeci in tre ; ai diciotto in due fcari- che della boccetta . Ai ventiquattro pollici è ancor fenfibile tra il pollice, e l'indice la fcarica del quadro; ma nulla im- prime nella boccetta . Ai pollici trenta d' ordinario più niun fenfo di fcarica nel quadro , e foltanto alcuna volta qualche cenno di puntura, e di luce.

3. Qui pure i moti hanno particolare efpreffione pel con- trago colla ferie precedente . Dal contatto delle punte fino alle ultime diftanze, nelle quali fono fenfibili que' moti, fuc- cedono eflì blandamente , e progredifcono con uniformità di accidenti fcnza veruna ofcillazione , o agitazione impetuofa- Al primo girar del difco fi fcofta alquanto il pendoletto ,indi fi accorta all'armatura fenza che però il filo rcfti notabilmen- te gonfio in fuori finché continuano i giri ; col finir dei qua- li continua a reftar aderente, né fi fi^acca,nè fi vibra alquan- to in fuori fé non nell' atto , che fi fa per cavar la fcarica dal quadro . Quefti moti non fono più affatto fenfibili al di là dei quaranta due pollici fra le due punte,

4- Quando però nel contatto delle medefime , e nelle mi- nori loro diftanze s' imprime ancor notabile carica nel qua-

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dro 5 precedono nel pendoletto le fteflè vicende , ma in fine lì ftacca da sé nell' atto che continuano i giri del difco , e fi conferva vibrato anche finiti i giri , finché dura tal forza di carica, che fi efiingue con tre, o quattro fcariche della boc- cetta. Talvolta però refta aderente anche finiti i giri, benché nel quadro vi fia maggior forza di carica ; e in tal cafo {i vibra in fuori alla prima fcarica , che la frappofta boccetta cava dal quadro, e fi mantiene vibrato in fuori perfino alle tre, o quattro ultime, ficcome poco fa notai.

5. Pro\ai qui fimihnente a toccare di continuo col pol- lice, ed indice le oppofte armature del quadro nell' atto , che continuano i giri del difco , come feci nella ferie quinta al n. 5. Ma non comparve cosi verun moto nel pendoletto, fic- come neppur un cenno di elettricità fi raccolfe nel quadro.

Quella divergenza adunque del pendolo , che chiamai di at- trazione, e che fuflifte colà tanto notabile in fimil cafo fenza la punta , refia qui tolta affatto per la fola addizione della punta .

6. Siccome pure per quella fola addizione fvani nelP atto dei giri ogni adefione , e combaciamento del filo coli' arma- tura , benché affai forte s' imprimeffe nel quadro la carica ;, né reftò fé non fino a certo limite la blanda adefione del fo- le globetto coir armatura.

7. Air oppofio quella divergenza , che da forza della ca- rica impreffà nel quadro dipende , e che chiamai di riput/ìo- m , comincia qui d' ordinario , e fuffifte dentro i limiti dell' ifolamento,e nelle minori difbaize in proporzione, che crefce la carica anche nell' atto , che continuano i giri , ficcome no- tai al numero quarto .

8. Rimane da cercarfi , fé quefia divergenza di ripulfione nafca realmente da fola forza efpanfiva della carica impreffa , e permanente nel quadro. Dalla precedente ferie già è mani- fello il contrario, mentre finché ivi continuano i giri del di- fco , e vie più fi accumula piena forza fcuotente nel quadro dal contatto fino oltre la diìlanza di quattro pollici , ben lun- gi dal comparire fimile ripulfione reftano il filo , e il globo combaciati , e comprefft full' armatura ifteffa ( Ser. 5. n. 3.8.). Finiti poi i giri fi vibra ivi in fuori il pendolo in proporzio- ne della carica , come qui fi vibra nella fieffa proporzione molto prima, che tìnifcano i giri.

SOPRA l' elettricità'. 15

9. Por accertarmi dunque vie più , che sì fatta ripulfionc non dipende altrimenti da veruna forza efpanfiva della carica impreilà nel quadro , oflervo , ciie continua fin verfo le tre , o quattro ultime fcofTe , che reftano ancor da cavarfi dal qua- dro , e perciò con tale refiduo di carica più non rimane fen- (ìbile quella ripullione. Ofiervo di più, che anche nella pie- na forza della carica fiffatta ripuifione dipende dalla comu- nicazione , che per mezzo dei due fili di ottone ritiene col fuolo r oppofla faccia del quadro . Poiché ritirando que' fili , e rendendo così ifolate ugualmente ambedue le facce armate del quadro , bafta che fi tocchi la faccia , da cui fembra ri- pulfo quel pendolo , perchè efib cada inerte fenza veruna vi- brazione ; e per eccitar nuovamente , e accrefcere affai più, che non era da principio tale vibrazione, bafta che fi tocchi r oppofta armatura .

Onde non dipende da veruna forza efpanfi\'a propria dell' in- tera carica , né di verun refiduo di carica ; ma da certa corri- fpondenza di azione dell' oppofta faccia del quadro .

10. Con quefio quadro così ifolato provo in oltre , che quando il pendolo è vibrato in fuori , ficcome decade acco- ftando il dito all' armatura , e cade poi affatto pel contatto della ffeffa , così quando è vibrato in fuori, fé in vece di ac- collare il dito all' armatura , I' accorto al globetto del filo , io Io inalzo , o lo vibro di più , e lo guido , e lo dirigo in qualunque parte , verfo la quale lo invito con prefentare il dito . Onde ficcome nel precedente numero fi moftrò fuffi- ftere 1' intera carica , e qualunque fuo refiduo fenza veruna forza efpanfiva efl-erna efficiente di quella ripulfione ; così dal- la prefente offervazione rifulta,che nafce da vera azione mu- tua di attrazione fra il dito, e il pendolo quella efterior vi- brazione , e perciò meglio fi riduce ad un cambio di relazio- ne , offia ad attrazione con qualche efterna materia , che non a meccanica forza efpanfiva del corpo, a cui appartiene.

E ciò s' intende non folo dalle facce dei quadri carichi , ma fimilmente fi applica a tutti i moti , che fi dicono di elettrica ripulfions .

11. E per 1' opporta ragione apparifce, perchè colla pun- ta al quadro fi ertenda appena ai quaranta due pollici ( fopra W- 3.) un cenno di que' moti, che fenza punta arrivano aflai

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14 Memoria

notabili fino ai cinquanta {Ser. 5. n. io.). Poiché ficcome fenza punta al quadro la mutua azione colla punta del tubo fi fa principalmente per via del pendolo , che fporge innanzi ali' armatura ; così la punta fpinta affai più innanzi , che non è i! pendolo, raccoglie in fé fteffa , o porta previamente nel quadro quella mutua azione , che più non può eftenderfì né al globetto, né al filo.

12. Per rendere fuperiore ad ogni fcrupolo la prefente in- duzione, replicai col quadro da ambe le parti ifolato, e fen- xa punta le fperienze ora defcritte nei numeri 9 , e io , ne vi fu altra differenza, fé non che fenza punta fuccedono que' moti più continui , e veementi . Onde la punta non fa die dividere , o raccogliere in sé la mutua azione efleriore , che lì fa per la fola via del filo, e del globetto nel quadro fen- za punti .

- ■ ■ • Preparazione.

Ritenendo la ftefla della precedente ferie non altro cangio , fé non la punta di quattro pollici , alla quale altra ne fofti- tuifco in tutto fimilmente pofta, e fimile ,■ fuorché nella lun- ghezza , la q^uale è qui di pollici dodeci .

- •' SERIE 7.

s. Nel contatto s' imprime carica, che fi eftingue in tre- deci della boccetta.

2. Ad un pollice fi eftingue in dodeci ; ai due in dieci ; ai quattro in nove ; agli otto in fette ; ai quattordici in tre ; ai diciotto in una fcarica della boccetta . Ai ventiquattro an- cor carica fenfibile nel folo quadro; e fino ai trenta talvolta, è feniibile la luce, e puntura tentando di cavar la fcarica.

3. I moti di adefione del pendoletto finifcono qui ai pol- lici trentafei ; e fino ai quaranta durò qualche accoftamento i poiché vi fu fcoftamento nel toccare finiti i giri le oppafte facce del quadro ,

SOPRA l' elettricità'. 15

Preparazione.

A quefla punta d' un piede altra ne foftituifco d' ottone funile , del doppio più lunga , cioè di pollici ventiquattro ; e con quindeci giri ad ogni atto rinnovo altra ferie , come la precedente .

S E R I E S.

1. A contatto non è più la carica, fé non capace di fuf- fiftere fino alle dodeci fcanche della boccetta.

2. Ad un pollice finifce in undeci ; ai due in dieci ; ai quattro in nove ; agli otto in fei ; ai quattordeci in tre ; ai diciotto in due; ai ventiquattro nel foio quadro; ai tren- ta vi fu ancor luce pungente toccando le oppofte armature del quadro.

3. I moti non fi eftefero più oltre dei pollici trentafei.

Preparazione.

Volendo in fine meglio difcernere gli effetti di mutua azio- ne delle fole punte fenza verun fofpetto di azione diretta del- la punta del tubo colla oppoffa armatura del quadro ; e vo- lendo vie meglio determinare fino a quanto fi eftenda la di- retta azione della prima punta , che dal tubo procede nell* oppofta punta, che parte dall'armatura, frappofì una lamina di vetro più grande del quadro ben pulita , e fenza veruna, armatura , diflante otto pollici dal quadro ffefTo , fopra la qua- le piegai la punta lunga due piedi , e prefentai quefla al fo- lito a quella prima nelle feguenti diflanze .

SERIE g.

1. Nel contatto con quindici giri di fortiffmia elettricità non oltrepafsò mai le undeci fcariche della boccetta.

2. Ad un pollice finì in dieci; ai due in nove; ai quat- tro in otto ; agli otto in fei ; ai quattordeci in tre ; ai di- ciotto più nulla s' imprime nella boccetta ,6 nel folo quadro

i6 Memoria

è fenlìbile la fcofla . Ai ventiquattro appena è fenfibile la fcin- tilla toccando immediatamente le oppofle armature : ai venti- fei non vi è piìi il minimo indizio di luce .

3. I moti non fi difcernono più in là dei pollici venti- quattro, e fono di tenuiiìimo fcoftamento , e accoramento ;e progredifcono nelle minori diftanze que' moti alfai tenui . Ai pollici otto continua il globo a ftar aderente , né fi fcofta,fe non cavata la prima fcarica della boccetta con divergenza d'ar- co d' un pollice . Ai pollici quattro R fcofta in fine da sé , quando è aflai forte la carica imprefla. Ma tanto qui, come nelle minori diftanze la fua divergenza non è più fenfibile , quando più non reftano nel quadro , che tre fcariche della boccetta . Siccome in tutte le ferie precedenti non comincia mai nell'atto dei giri, né col finir di elfi tal divergenza , quan- do la carica impreH'a non è capace di dar almeno quattro fca- riche della confueta boccetta.

Osservazione 6.

Dopo le prime due, e le due feguenti ferie di fperienze cal- colai nella prima Parte i fenomeni delle elettriche punte in ciafcuna fpecie di elettricità fecondo le femplici ragioni diret- ta delle diftanze , e inverfa degl' ifolamenti ; e con quelle pro- porzioni calcolai fimilmente ne' primi otto teoremi i fenomeni delle punte medefime nelle oppofte fpecie di elettricità. Se in quelle femplici ragioni d' ifolamento , e diftanze fi terminaf- fero le diftèrenze di ogni elettrica azione , profeguirei ora a calcolar fimilmente le cinque ultime ferie . Ma ben altre vie di calcolo forza è d'intraprendere e per determinare precifa- mente gli elementi delle punte , e per internarci cosi nella cognizione delle elettriche potenze . Poiché quanto quelle ra- gioni fono diftinte , e certe in riguardo a que' particolari fe- nomeni, tanto fono limitate, e ipotetiche per l'applicazione loro alia generale teoria . Onde non altro io ne derivai ne' teoremi della prima Parte , fé non i principali elementi delle punte, e ne rifervai le teoriche applicazioni dopo le ultime ri- cerche da farfi nella feconda , e terza Parte .

Ora per entrare ordinatamente in fimili ricerche aggiunge- rò alle precedenti ferie di refinodi elettricità alcune offerva-

zioni ,

SOPRA L' elettricità'. I7

zioni , che le ragioni comprendono di tutti gli elementi , che concorrono a compiere T azione delle punte nella ftefla fpecie di elettricità; ne punto ci occuperemo a calcolarne alcuno fingolarmente .

Due caufe mi muovono a proceder in fimil guifa . Primie- ramente le compofte ragioni , che nelle prefenti offerv azioni raccolgo, mi porgono più adequato, e fpedito confronto con Je corrifpondenti ragioni, che dedurrò dalle cinque ferie feguen- ti di vitrea elettricità ; e tutte quefte inlieme poflòno poi fi- milmente confrontarli colle ragioni , che dedurrò nel capo fe- guente dalle ferie di fuperlkie oppofte a fuperficie non meno nella relinofa, che nella vitrea.

h' altra caufa poi , che mi determina a raccogliere cosi quel- le compofte ragioni , ha principalmente per oggetto di ben di- ftinguere i termini , e le diflerenze tutte , che in qualfivoglia modo concorrono a comporre le ftefl'e ragioni ; ellendo che unitamente con quefta diffinta cognizione, e non altrimenti ci è lecito di calcolare que' termini , e quelle differenze ciafcuna per fé fteila fecondo le diftinte ferie di fperienze , che iìngo- larmente faranno fatte, o propofte da farli. Onde ne rifulte- ranno gli ultimi teoremi, che all' analiil delle punte daranno compimento .

CoROLL. I. Nella ftefla fpezie di refinofa elettricità la pun- ta procedente dal tubo imprime nell' oppofto quadro maggior forza di carica , e ne eftende nello fteflb gli elettrici fegni a maggiori diftanre , quando è fornito d'armatura piana, e fsn- za punta , che quando dall' armatura fteffa parte un' altra pun- ta oppofta alla prima .

CoROLL. 2. E lìmilmente la carica, e gli altri elettrici fe- gni efteli nel quadro dalla ftefla punta di refinofa elettricità {ì lanno minori , quanto più crefce la lunghezza della punta procedente dall' armatura, e oppofta alla prima del tubo.

CoROLL. 3. E in fine la carica , e gli elettrici fegni im- prefll nel quadro dalla fteflli punta di relinofa elettricità fi fan- no ancor minori , fé s' impedifce ogni mutua azione fra la punta del tubo, e 1' oppofta armatura del quadro , benché in- tera fufllfta r azione delle due oppofte punte fra loro.

i8 Memoria

Osservazione. 7,

Per immediata oflervazione delle ultime precedenti ferie ri- fui ta

1. Che la punta procedente dal condottore di refinofa elet- tricità non fa veruno fcoppio di fcintilla contro 1' oppofta ar- matura, e contro l'oppofta punta oltre la difianza di tre li- nee ; indi nelle maggiori diftanze fino ai pollici 24 fegue ad indurre nel quadro la carica fenz' altro ftrepito di fcintilla .

2. Che fé a fianco del tubo fi prefenti una fpranga metal- lica terminante in globo grofTo mezzo pollice , refta per tal modo fcemata l'elettricità del tubo anche a diftanza d'un pol- lice, e mezzo; ma non perciò fcoppia veruna fcintilla tra il tubo , e il globo prefentato neppure alla diftanza di due li- nee .

3. E fckanto quando la punta oppofla, e il quadro fono lontani dalla punta del tubo più d'un piede , fcoppia la fcin- tilla fra ii tubo 5 e il globo prefentato alla diftanza di tre in quattro linee .

Osservazione 8. •-

Or quali fono le differenze , e i modi , che maggiore , o minore ci rendono la carica impreflTa, e gli altri elettrici fe- gni? Poiché in iine in quelle differenze , e in que'modi s'in- volge la comporta ragione, che fì:iamo rintracciando. Tentia- mo prima d' ogni altra indagine di riconofcere ad una ad una partitamente quelle diflerenze e que' modi .

E quanto alla elettricità in fé ilefla foggiace a tre princi- pali differenze.

1. Sotto la fteffd quantità può variare la fpecie,e la qua- lità , che dicemmo ne' precedenti teoremi forza fpecìfica .

2. In ciafcuna fpecie è varia in oltre la quantità ,c]:ìe ad ogni giro del difco fi eccita .

3. E pofta anche la fteffa quantità, e la fpecifica forza può variare fecondo \a ^randez.z.a ^e la figura del condottore , in cui fi raccoglie, e da cui all' oppofto quadro procede.

E quelle tre differenze di [pacifica forTia, di quantità ^Q di

SOPRA l' elettricità'. I9

gi\indt;z.z.a , e fy"ra del co/idotton , ficcome tutte riguardano r interiore ftato della elettrica azione, che indi paffa nel mez- zo ambiente , e nell' oppofto quadro , le comprenderò infieme col comune nome di interne diffeyenz.c .

Alle interne fuccedono le altre, che dal mezzo ambiente di- pendono , il quale per effere frappofto tra il condottore , e il quadro ci dà luogo di efprimerle tutte col nome foto di frap- fojìe^o ambienti differenne . E profeguendo a numerarle dopo le prime appartengono qui , 4. la fpecie , e 1' efienfione dell' ifolamento , odia de' corpi , che il condottore foflengono , e circondano ; 5. le qualità dell' aria , o di altro corpo ambi- ente, fpettante alP ifolamento; e tali qualità particolarmente fi riducono a denfità ,0 rarità; 6. a calore, o freddo; 7. umi- dità, o ficcità;8. purità, o miftura di arie o particelle diver- fe; 9. alla groffezza ftefla dello ftrato frappoflo tra l'eflremi- tà del condottore, e I' eftremità della fuperficie, o di altro, che dalla fuperficie proceda dell' oppofto quadro, la quale grof- fezza fi efprime colle difianze , che in ogni atto di ciafcuna ferie vengano fegnate .

Sono adunque fei le differenze frappofte , come tre da prin- cipio a notarono le interne.

Rimangono le difierenze fpettanti all' oppofto quadro , che perciò fi diranno oppojls. Quando non vi è quadro dipendono le oppofte differenze dai condottori , che naturalmente s' in- contrano negli efteriori limiti del mezzo ambiente, ed i me- defimi unifcono 1' azione loro con quella del quadro , quando quefto a rimuove oltre i limiti dell' ifolamento .E per nume- rar quefte infieme alle precedenti , farà io. la figura varia dell' oppofta armatura, cioè o piana come nella ferie quinta; 11. o fornita di punte di varia lunghezza , come nelle ferie fefta, fettima , ottava, e nona; 12. in oltre fotto la ftefla figura può variarfi la grandezza , o eftenfione della fuperficie del vetro armata, come nella ferie, che in fecondo luogo accennai nel- le ofiervazioni prima, e feconda; 13. e può in fine ridurfi a nulla r armatura , e reftar nuda la faccia del quadro; 14. e ritenendo quefta faccia armata può l'efkriore, e inverfa fac- cia del quadro ftefib effere armata egualmente ; i 5. ovvero ine- gualmente piu,o meno; 16. ovvero ridurfi l'efteriore fola af- fatto nudajcfenza veruna armatura; 17. e poi ritenendo egual-

C ij

20 Memoria

niente armate le due facce del quadro, ora fi toglie I' ifola- mento delle due armature fra loro , ficcome abbiamo fatto nelle ferie quinta , e fefla al n. quinto ; i8. ora fi toglie r ifolamento dell' armatura fola , che guarda il condottore , e fi fa comunicare col fuolo ; 19. ora fimilmente fi toglie il folo ifolamento efleriore dal fuolo con applicare all' efteriore armatura due fili metallici , come ho fatto in tutte le ferie precedenti ; 20. ed ora fi rende anche la ftefla armatura ifo- lata ritirando que' fili ; 21. Reftando in fine uniformi tutte le precedenti differenze , il prefentano le altre , che infieme alla duodecima indicate abbiamo nella offervazione feconda , e fono la diverfa grolfezza del vetro; 22. o le diverfe pafie, o dofi del vetro fi:efib ; 23. e le altre foftanze dal vetro di- verfe , che atte fono a formar lamine refiftenti, o quadri ar- mati fecondo le loro varietà . 24. ed efaurite infine , e refe pari tutte quefte oppofte differenze , che hanno luogo nella ftefla, come nelle diverfe fpecic di elettricità, rimane 1' ulti- ma differenza , che ne' precedenti teoremi indicai col nome di fpecifica mobilità.

Separando quefte dalle tre prime interne, e dalle fei frap- pofte , quindeci rimangono le oppojìe differenze .

Ma la prima delle interne, che è la fpeci/ìca forza ,c l'ul- tima di quefte , che è la fp:cìfica mobilita^ non hanno luogo nella fteffa fpecie , e coftituifcono perciò le fpecifiche diffe- renze della relìnofa , e della vitrea elettricità . Prima dunque di ridurre a calcolo diftinto le differenze delle cinque prece- denti ferie feguiterò ordinatamente le corrifpondenti di vitrea, che le combinazioni efaurifcono di punte oppofte; e ripiglie- rò nel capo fecondo le combinazioni di fuperficie oppofte a fuperficic neir una, e nell'altra fpecie di elettricità, dopo le quali tenterò di ihbilire le vie, e i termini per calcolare tut- te infieme le interne frappofte, e oppofte differenze , che co- muni fono alle due fpecie , acciò portano libere , e fpogliate da fimili differenze riconofcerfi la fpecifica forza , e la fpeci- fica mobilità della refinofa , e della vitrea . Onde concluderò quefte prime ferie di refinofa col feguente

SOFFvA l' elettricità'. 21

Lemma Primo.

D' uopo è calcolare dipintamente le differenze tutte , che ridotte abbiamo ad interne , frappone, ed oppofte nella ftef- fa Ipecie di elettricità, e dedurne con particolari ferie l' efat- ta mifura per farci ftrada a calcolare in fine per fé ftefla la fpecifica forza, e la mobilità delle oppofte elettricità , e fta- bilire così non equivoci principi della nuova Teoria.

CON VITREA ELETTRICITÀ'.

Preparazione.

Rinnovo la preparazione della ferie quinta , e comincio a replicare con vitrea elettricità quelle cinque confecutive ferie già fatte colla refinofa. Non vi è altra difl'erenza,fe non che nella refinofa riduffi tutte le ferie a quantità di elettricità ec- citata prelìochè uguale , ed uniforme con uguale numero di giri . In quefte di vitrea ritengo dal principio al fine di cia- scuna ferie V uguaglianza , ed uniformità di eccitamento , e del numero dei giri ; nelle ferie poi confecutive cangio dall' una all' altra la quantità di eccitamento , e non ferbo per comune mifura , fé non il numero dei giri , che fono quin- deci in ciafcun atto . Con ciò non reftano pili interamente comparabili le ferie fra loro per difetto di uniformità della prima mifura , che alla quantità corrifponde in ciafcun giro eccitata ; fono però tuttavia comparabili per 1' altra mifura, e per le proporzioni corrifpondenti alla varietà della prima mifura , offia alla varia quantità di eccitamento .

SERIE

IO.

1. A contatto fini la carica in t redeci fcariche della con- fueta boccetta .

2. Ad un pollice fini alle undeci ; ai due alle nove ; ai quattro alle fei; agli otto alle tre; ai quattordici ad una; ai diciotto non imprime più il quadro veruna carica nella boc- cetta 3 e foltanto rende per sé una fcofla ancor fenfibile .

C iij

2 2 Memoria

Ai ventiquattro pollici dà il quadro appena un cenno di fcin- tilla pungente ; ai trenta appena un cenno di luce .

3. I moti progredirono qui come nella ferie quinta . Se non che lo fcoftamento del pendolo dall' armatura comincia più prefto , cioè a minori diftanze , e fìnifce poi alquanto più tardi 5 cioè fi rende più notabile alle maggiori diftanze .

Preparazione.

La Jìejfa della ferie fiejja . SERIE II.

1. A contatto fìnifce la carica in tredeci .

2. Ad un pollice arriva alle undeci ; ai due alle dieci; ai quattro alle otto ; agli otto alle quattro ; ai quattordeci ad una . Ai diciotto non ha , che il primo grado di carica , ne imprime neppur un cenno nella boccetta. Ai ventiquattro il primo cenno di fcintilla pungente nel quadro . Ai trenta ap- pena un cenno di luce .

3. I moti qui pure procedono come nella ferie felìa ; fé non che qui finifeono più prefto , che nella corrifpondente re- finofa; cioè alla diftanza di trentafei pollici non vi è che tal- volta un fofpetto di accoftamento , e comincia per oppofto la divergenza anche più prefto, che nelle corrifpondenti di refi- nofa ; cioè fi fcofta il pendolo in proporzione , che crefce la carica nell' atto, che continuano i giri de! difco anche nelle minori diftanze.

. Preparazione.

Come nella ferie fettima .

' SERIE 12.

I. E' tanto minore 1' eccitamento di elettricità , che a contatto delle punte con quindeci giri non imprime nel qua- dro fé non tanta carica , che fìnifce in otto fcariche della confueta boccetta . ■ • . ■■

SOPRA t' elettricità'. 23

2. Ad un pollice finifce in quattro ; ai quattro in due; agli otto in una. Ai quattordici 1' ultimo grado di fcuoten- te nel quadro , che non è capace d' imprimere verun cenno nella boccetta . Ai pollici fedcci apparilce nel quadro l' ultimo cenno di luce .

3. Si fcofta qui pure il pendolo dopo i primi giri in pro- porzione , che crefce la carica fino ai pollici quattro , oltre i quali non vi è più verun moto , ficcome non vi e più for- za di carica maggiorò di due fcariche della boccetta .

Osservazione. 9.

Prcfcelgo in quefla ferie la minor copia di elettricità ecci- tata per la regolarità della fua progrcfTione di carica impref- fa perfino ai limiti dell' ifolamento. La coftante oiTervazione mi dimoflra , che ogni modo di preparazione con tempera i fuoi effetti con certa grandezza di elettricità , la quale cre- fciuta , o fcemata turba, e confonde egualmente la regolarità de''varj termini , che alle fuccefTive diflanze corrifpondono . Onde quefla copia di elettricità eccitata fembra la più con- veniente alla regolare fucceffione de' fuoi termini in quefia pre- parazione.

Preparazione.

Come nella ferie ottava.

SERIE 13.

1. Contrappongo al precedente affai tenue un vivifTìmo eccitamento di elettricità , che fa efplofione fpontanea della confueta boccetta ai dodeci giri; e con quindeci giri confue- ti imprime col contatto delle punte tanta forza di carica nel quadro, che non fi eflingue fé non con quindeci fcariche del- la boccetta .

2. Ad un pollice fini in undeci ; ai due in nove ; ai quat- tro in otto ; agli otto in fei ; ai quattordeci in quattro ; ai diciotto in due ; ai ventiquattro in una ; e perfino ai trenta fu ancor 1' ultimo grado di fcolTa nel quadro .

44 Memoria

3. I moti tanto in quefta , come nella feguente ferie co- minciano ai primi giri in proporzione , che crefce la carica ; e continuano , iinchè dura tanta forza nel quadro , che fia capace d' indurre in circa due fcariche nella boccetta ( vedi Ser. 12. «.3.). Ma oltre la diflanza di ventiquattro pollici in quefta ferie , e oltre i diciotto nella feguente non vi è più verun indizio neppur di accoftamento .

Preparazione.

ha mcdcfima della ferie nona.

SERIE 14. -•

1. A contatto fini in quattordeci fcariche della boccetta .

2. Ad un pollice in nove ; ai due in otto ; ai quattro in fette; agli otto in fei ; ai quattordeci in due; ai diciotto in una . Ai ventiquattro è ancora fcuotente nel folo quadro ; e fino ai trenta lì manifefta nello ftelTo la fcintilla pungente .

Osservazione io.

Dedurrò qui pure a norma della ofTervazione 6 alcuni co- rollarj .

Coroll. I. Nella fteffa fpecie di vitrea elettricità la punta procedente dal condottore imprime a pari diftanze nell' op- poflo quadro alquanto minore forza di carica , quando 1' op- poRa armatura è piana, e fenza punta, che quando dall' ar- matura ftefl'a parte una punta oppofla alla prima .

Coroll. 2. Né la carica imprefla fi fa notabilmente mino- re , quantunque crefca la lunghezza di quella oppofta punta .

Coroll. 3. E comunque in fine fi frapponga fra la prima punta, e I' oppofta armatura del quadro un vetro nudo, che impedifce ogni loro mutua azione , purché al folito fulfifia r azione delle due punte fra loro , fi rende a pari diitanze di poco minore la carica impreffa nel quadro.

Osservazione

sopra l elettricità. 25

Osservazione ii.

Per immediata oHervazione dalle cinque ultime ferie proce- denti rifulta

1. Che la punta procedente dal tubo fa quafi continuo fcoppio di fcintilla contro 1' armatura , o punta oppofta fino oltre la difhmza di nove linee ; indi fegue ad imprimere la carica fenz.a altro ftrepito di fcintilla .

2. Che fé a fianco del tubo fi prefenti una fpranga me- tallica terminante in globo groflb mezzo pollice , non dimi- nuifce quefto notabilmente 1' elettricità del tubo, finché non fi fente fra loro qualche ftridore di fcintilla.

3. E quella fcoppia viva tra il tubo, e il globo prefenta- to fino alla diftanza d'un pollice , quando il quadro , o la pun- ta dallo ffedb procedente fono lontani dalla punta del tubo an- che meno d' un piede .

Osservazione 12.

E donde procede , che in quefii coroUarj la carica fi eften- de alquanto più notabile con punta , ed anche più lunga op- poffa alla prima, che non a pari diftanze colla fola piana ar- matura del quadro f Mentre ne' corollarj dopo la fefl^a oller- vazione il contrario fi notò colla refinofa elettricità . Giove- rà qui trattenerci a rintracciarne la caufa con qualche diilin- zione ; e procederò in quella ricerca a norma della ofrer\azio- ne ottava confiderando più diflintamente quelle differenze in- terne , frappoflc , ed oppofte, che ivi foltanto accennai.

(a) Ed abbiamo occafione d'incominciare dalle oppofle dif- ferenze riflettendo che la decima , e 1' undeci-na appunto ( che tra quelle fono le prime ) efaurite furono nelle ferie preceden- ti , e ci guidarono a quella varietà di corollarj , i quali la refinofa dalla vitrea elettricità fembrano per se foli diftingue- re .

(b) E per le differenze dieflenfione delle armature, e d' ifo- lamento delle medefime , le quali lì comprendono dalla duo- decima fino alla ventefima , troppo mi trafporterei fuori del ti- tolo di quello capo, fé per ciafcuna volefìì intraprenderne fe-

D

26 Memoria

rie dipinte , e perciò ne accennerò foltanto alcuni termini prin- cipali ; e quanto alla eftenlìone , o grandezza della fuperficie armata del vetro , che notai in duodecimo luogo , ci porgereb- be per sé ftelFa argomento di molte ferie , e di iìngolari in- duzioni. Poiché fé la ttdVa. lamina con minore armatura a diftanze maggiori riceve pili notabile carica , la fteffa poi a minori diftanze colla medeiìma elettricità non ne riceve , ne può riceverne fc non minore , che non ne riceverebbe , quan- do avefle armatura più eftefa . Ne in ciò vi è uniformità al- cuna di effetti , che ridur fi poffa a ragione coftante , ma cia- fcuna determinata grandezza di armatura ci prefenta nell'ugua- glianza non meno , che nella varietà dell' altre differenze in- terne, frappofte, ed oppofte una diftanza , o un limite , nel quale è maflima fecondo la capacità di quella grandezza la ca- rica impreffa ; oltre il qual limite con minori diftanze non crefce la carica altrimenti, ma o lì rompe, o fi fcarica fpon- taneamente il quadro , e con diflanze maggiori fi fa fempre minore la carica . E paragonando poi le diverfe grandezze d' armatura fulla fteffa lamina colla quantità varia di elettrici- tà in ciafcun giro procedente dal tubo , vi è tale grandezza d' armatura 5 colla quale neppure a contatto con tenue elettri- cità non s' imprime cenno di carica .

(e) E nelle feguenti combinazioni fino alla decima fefla tutti i cafi , ne' quali manca l'armatura fopra 1' una , o l'al- tra, o fopra ambedue le facce del quadro, rendono qualfivo- glia elettricità procedente dal tubo inetta ad imprimere nel quadro fteffo la carica . Poiché quella foltanto s' imprime con la conveniente elettricità , e diftanza in ragione delle eguali armature, o in ragione della minore, quando fono ineguali. E nella fteffa ragione delle armature può trarfi lo fcoppio, o la fcarica , quantunque il quadro fìa carico ; qualora o l' una o 1' altra , o ambedue le facce fi fpogliano di tutta T arma- tura, o d' alcuna fua parte.

(d) Nelle difièrenze poi notate dal numero diciaffette fino al venti, che le combinazioni riguardano dell' ifolamento del- le fteffe armature , non vi è , che la decima nona , in cui fi raccolga , e refti nel quadro impreffa la forza di carica cor- rifpondente alla elettricità del tubo e alla grandezza , e alla diflanza del quadro . Nelle altre niuna carica fi raccoglie, né

SOPRA l' elettricità'. 27 s" impriine in elio giammai , fé non nel cafo , in cui la ftelTa eftremità del tubo fi faccia fuccelTivamente ne'diverfi punti dif- armati fervire di armatura .

(e) Nulla aggiungerò delle differenze comprefe dal nume- ro ventuno al ventitre , dopo che già offervai precedentemen- te , quanto effe pure influifcano nella varia capacità di rice- vere la carica . Noterò bensì , che tanto in quelle , come nel- le precedenti differenze anche quando niuna s' imprime , né refta la carica nel quadro , comparifcono tuttavia al di là del quadro gli elettrici moti , e fomiglianti fegni di elettricità , dei quali ci occorrerà parlare tra poco (/) .

(/) Anzi per lino nelle differenze frappone , che dal nu- mero quarto fino al nono fi comprendono , ùmilmente fuffifto- no i movimenti , quando niuna pili fuffifle la carica , o la fca- rica,e ciò non folo nella varietà delle diftanze,ma anche fot- to la fleffa diftanza , e vicino al contatto . In vero fé tra il condottore , e 1' armatura del quadro Ci frappone una lamina refiftente, come un vetro nudo, impedifce quello foltanto la carica , ma non i moti ; e viceverfa fé una limile lamina lì frappone tra le oppofle armature di un quadro carico , s' im- pedifce per tal modo lo fcoppio, o la fcarica, ma non s'im- pedifcono i moti. Il che parimenti accade colle differenze in- terne , che notate abbiamo al numero fecondo , e terzo ; poi- ché in molte ferie di quello capo vedemmo fullillere i moti, ove più non fuffilleva la carica , e lo fteffo ci occorrerà d' of- fervare più volte .

(g) Ne la confiderazione dei moti è perciò foftanzialmen- te diverfa dalle cariche , o fcariche . Poiché vedemmo già in alcuni cafi più oltre ellenderfi i moti, che non la carica; ed afcendere quella al fommo,e fuffillere negl' infimi gradi fen- za fcollamento {fer.^^eg). Ed in altri cafi all' oppollo più oltre ellenderlì alcun fegno di fcintilla fcuotente , che non i moti { fer. 6 ^e II ^e figuenti) . E in fomma le punte quanto per un verfo fcemano gì' intervalli, e la facilità, e prontez- za dei moti , tanto crefcono i limiti , e la facilità della ca- rica . Onde gli accidenti dei moti foggiacciono a vicende non diverfe dalle cariche, o fcariche , poiché vi fono del pari nei moti certe combinazioni , e certi limiti per renderli più , o meno fenfibili , e per fargli fvanire in fine, o richiamarli. .

D ij

;8 M E M O R I A

{h) Come dopo i corollari fpettanti alla refinofa elettricità giovò della enumerazione delle differenze dedurne un lemma londamentale per le Tegnenti invefiigazioni ; così gioverà qui r applicazione più diftinta , che fatto abbiamo di quelle dif- ferenze alle corrifpondenti ferie di vitrea elettricità per gui- darci ad un nuovo lemma, che più complete renda le ricer- che dell' una, e dell' altra fpecie , e ci fomminiftri in fine i veri termini pel confronto loro , e per la reciproca elfimazio- re . Tre riHeiiioni aggiunte a quelle, che finora abbiamo ef- poflo , ci porranno in chiara luce il nuovo lemma, che ricer- chiamo .

(/) E primieramente in tutti i capi delle propofte differen- ze notar conviene quale , e in fino a quanto ciafcuna influi- fca in aumento, e quale poi lì rivolti, e influifca all'oppoflo in diminuzione di carica , o di moti , o di altro effetto fen- iibile , e ciò non folo per se fteffe , e nella porzione di ap- parato, che a ciafcuna immediatamente appartiene, ma anche intorno a se, e nella porzione di apparato, che a ciafcuna Ci riierifce . Sembra talvolta fvanire ogni ellerno fegno e nel condottore, e nell' anneffo apparato, come quando (i prefen- ta un grande quadro, o una batteria da caricarfi ; eppure le elettriche potenze agifcono allora vicendevolmente pili che mai , e in vece di fvanire ù raccolgono così nelle oppofte fac- ce del vetro .

All' oppofto I' elettrica azione , che efteriormente non ap- parifce, fi efterna, e fi fa notabile ftaccando, o allontanando l'armatura dallo ffrato refiftente elettrico, a cui flava unita, come nell'epiniano elettroforo. Or quefla elettrica virtù non procede altrimenti dallo ftrato rehftente, ma dall' armatura , ed è realmente di fpecie a quella oppofta , che nello ftrato lì raccoglie . Che fé fi efternano poi in fuori dall' armatura , quando fla unita al quadro, fegni omologhi a quei della faccia refiìtente, non fono mai quefti per elettricità , che alla carica appartie- ne , ma fono effetti di elettricità rifpinta , o frenata per azio- ne della oppofta arnTatura , i quali neceffariamente o fcema- no la carica fteffa , o ne cominciano 1' efplofione . Ond' è , che fimili effetti fi chiamano fecondo le diverfe relazioni or late- rali, or obliqui ^ox inverjì •j'ipirchc febbene procedano da elet- trica potenza , non fono giammai prodotti dal primo ftrato

SOPRA l' elettricità. 29

'attraverfo del quale a vicenda fi frenano, e Ci equilibrano le oppofte fpecie , che conflituifcono la carica. Simili potenze quan- to più per r interiore via dello ftrato reiìftente fi efercitano vicine fra loro, tanto meno fi eflernano ;e viceverfa tanto meno ritengono di mutua azione,e di collilìoiie reciproca quanto più fi fcolbno , e fi eftendono efteriormente a fianco , o in oppofìo .

Quindi nel defcrivere, e valutare tale Torta di azioni trop- po è facile prendere abbaglio , e cadere in contraddittorie il- lazioni.

(k) In oltre ciafcuna delle anzidette differenze non ha d' ordinario andamento uniforme, né precifo in sé ftefla; ma foggiace a vicende , e inverfioni di effetti , o perchè appunto è variabile, o perchè fi compone, e fi collide con altre. Per accennarne qualche efempio comincierò dalle interne differen- ze , nelle quali la punta accrefce 1' idraulico momento qual- ora fi ri\olge contra il corpo, in cui raccogliere fi vuole ta- le azione , per quanto effo ne è capace . Ma fé la punta flef- fa, o altre punte fi rivolgono altrove, fi trasforma l'idrauli- co momento in virtù difperfiva , e non concorre così che a fcemare 1' effetto della prima forza fecondo la capacità , e vi- cinanza degli altri corpi , ai quali le punte fi rivolgono .

Similmente le punte non meno coli' idraulico , che col mec- canico loro momento fpezzano il mezzo frappofio ; e fervono così or a fcemare , or ad accrefcere le confuete vie d' ifola- mento, e di accumulazione.

Il calore poi, che fu tutte quelle diflerenze eftende la fua influenza, fino a certo grado migliora la relìffente virtù; più oltre poi la debilita, e la eftingue affatto riducendo qualfivo- glia refiftente al comune officio di condottore . Il calore fief- fo accrefce la ficcità de' corpi , e difpone in oltre le elettri- che foflanze a più facile fcioglimento ; ma nel tempo fleffo difpone il \-etro , la feta , e l'aria a concepire in feguito più pronta umidità , e inducendo varietà nel mezzo ambiente fa- cilita per quefta via la difperfìone delle elettriche forze.

L' armatura in fine accrefce e la capacità di accumulamen- to, e di mutua azione , ma colla fua fi:e(Ta grandezza rarefa r elettricità movente ; e perciò quando quefta è tenue , diven- ta per la fteffa grandezza dell' armatura inetta altrettanto a imprimer fegni di caricalo di moti in quella maggiore capa- cità ( vedi 0^ i. f 2 ; . D iij

jo Memoria

Qiiindi neir applicare ai particolari cali qualfivoglia fra le propofte differenze , d' uopo è determinarne V andamento , e la collifione , e comporiz.ion fua con le altre , che nei cali fteflì influifcono .

(/) Niuna per fine delle fteffe differenze vi è, che non ria. dì oracolo , e di refìftenza alle elettriche potenze;© non fog- giacela ad oftacoli , e refiftenze . Or chi non fa rariffnni effe- re i cafi , ne' quali pienamente la potenza s' impiega contrcx la refiftenza, talché effendo quella incognita poffa bene valu- tarli colla fola cognizione dell'effetto fuo fulla refiffenza?Chi non fa 1' effetto della potenza comunque accrefciuta per la via delle macchine contro la refiftenza non effere mai , fé non r ecceffo dell' intero momento fopra i frappofti oftacoli ? Che fé queft' ecceffo fcemi , e perfine diventi negativo, allo- ra l'effetto della potenza, e d'ogni fuo momento rintraccia- re ne' frappolH oftacoli fi debbe , e non più nella refiftenza » Chi non fa quanto fpeffo i foli oftacoli fuperano le refiften- ze, e come poi quelli reagifcono del pari contro la potenza » e la refiftenza ? Nel qual cafo fé i momenti di varie poten- ze dall'effetto loro mifurar ti piaccia contro le refiftenze, cadrai in illufioni , e rovefcj non meno nella qualità , che nelle proporzioni di quelle mifure . E quante fiate non fofti- tuirai r oftacolo alla potenza , e tal parte di reazione dell' oftacolo non prenderai per mifura della prima potenza ? Che fé ciò ad ogni tratto interviene nel valutare dagli effetti le potenze , che ci fono più familiari , e che fono in. sé fteffe trattabili , come fono le animate potenze, la gravità, l' acqua, r aria , e altri fluidi : che farà di quelle , che non operano fé non per vie infenfibili , e per accumulazione di particel- le tenuiffime inacceffibiii all'attività de' fenù , e alla perfezio- ne degli ftromenti? Tali fono le azioni tutte di chimica af- finità, che come ampiamente dominano in ciafcun ramo del- la Fifica più delicata , cosi particolarmente reggono le elet- triche potenze. Vi è di più tra le comuni azioni di affinità, e le elettriche il divario, che in quelle fi riconofcono in fi- ne, e fi raccolgono d' ordinario i prodotti feparati , e diftin- ti; in quefta i diftinti prodotti non fi rincontrano, fé non a ondate, a foffj , e quafi a falti , né altrimenti Ci raccolgono, fé non nell' atto di mutua azione, ed in continuo sforzo per

"V

SOPRA l' HLETTRICITa'. gì

coUiclerfi a vicenda, e riunirfi . E quefta fingolare natura, o maniera delle elettriche potenze efige un nuovo genere d' in- vcftigazione, che è rifervato per le particolari Memorie fpet- tanti all'elettrica teoria.

Frattanto raccogliendo infieme le avvertenze fparfe nella prefente ofi'ervazione dedurremo il feguente

Lemma Secondo.

Qualunque fia la fpecifica forza delle elettriche potenze non può eftimarri,nè talvolta difccrnerfi colle confuete vie del lo- ro eccitamento , e confronto ; molto meno può ridurli ad im- mediate mifure di comuni flromenti , o ad effetti uniformi . Ma occorrono ne'diverfi gradi loro tali modi ,6 momenti di au- mento, e vicevcrla tali oflacoli di refiftenze per diminuirne , e rovefciarne la vera loro grandezza , che fé quefti non fono in ogni cafo riconofciuti , e diftinti, confondono le affolute po- tenze coi momenti , e cambiano gli efletti delle potenze col- le refifienze , né ci lafciano veruna forma di efatto , e preci- fo calcolo della fpecifica loro ragione.

Osservazione ij.

A fronte delle moltiplici difficoltà, e combinazioni , che il calcolo ci ritardano e delle fpecifìche forze, e delle altre men- tovate differenze, non v'ha però dubbio, che ciafcuna di ef- fe dalla feconda fino alla ventèlima terza non iia in se fleffa certa 5 e determinata ne'fuoi efic:tti,e nelle fue qualità. E per- chè non dovrà la prima, e 1' ultima di quelle ventiquattro differenze del pari ficuramente conofcerli nella fua eriflenza,e ne' fuoi effetti ? Benché non ci Iia ancor permefTo di calcola- re r una, e l'altra afTolutamente per quelle vie, che non fo- no altrimenti acceffibili, che dopo lunghe , e delicate prepa- razioni . Ne calcolai gli effètti dopo le prime quattro ferie a norma di quelle preparazioni ,e volli a bello ftudio efprimer- le in numeriche proporzioni , e in fenomeni notifTimi per col- pire cosi più vivamente l'immaginazione, e fcuotere con vee- menza le comuni prevenzioni , e le triviali ufanze di fperimen- tare. In vero nulla di aflbluto efprimono quelle proporzioni.

52 Memoria

e non altro fono in sé fteflc, che il primo paffo, ed una in fomma delle molte fpeciali induzioni , colle quali a termine vuole condurfi V analili delle punte . Profeguiamo dunque, co- me nella prima Parte, a raccogliere in teoremi le nuove indu- zioni, che dalle dieci ultime ferie rifultano.

TEOREMA XIV.

In ciafcuna ferie delle punte di refinofa elettricità la pro- greffione della carica imprelTa nell' oppofto quadro eccede in ciafcun termine fucceffivo la corrifpondente progreffione delle punte di vitrea .

E dovrà dunque il Fifico ridurli in fine ad implorar l' at- tenzione di chi legge, o afcolta,come è coftume dell'Orato- re ì' Tutta fi richiede V attenzione de' più penetranti ingegni a ben comprendere il fenfo , e le prove del prefente teorema per la novità e per 1' eftenfione de' termini, che infieme rac- coglie, e confronta. M' ingegnerò di follevarne,e foUenerne lo sforzo efprimendone colla maggiore chiarezza, e coli' ordi- ne pili diftinto le idee .

I. Difiinguo in ciafcuna ferie il primo termine dai fuccef- fivi , che ne formano la progreflione . Quel primo determina la quantità di elettricità , che coftituifce la feconda difierenza notata nell'ofiervazionc S , quantità, che in ciafcun giro fi ec- cita, e in quindici giri fi raccoglie , quando la punta, e l'ar- matura , o le due punte fra loro fono a contatto . E ficcome fi mantiene da quel primo fino all' ultimo termine d' ogni ferie collo {{sffo numero di giri la fteiTa quantità , perciò quel primo termine ferve di bafe,e fifTa l'afibluto valore di ciafcuna ferie .

Ne' di\erfi apparati , e nelle diverfe fpecie di elettricità non fu poffibile di ridurre quel primo termine a ragione di egua- glianza in tutte le difl-inte ferie, mafiìme afcendendo quefte a tanto numero . Sarebbe tale imprefa fuperiore o alla umana con- dizione , o alla qualità itefla della materia, che a tante dif- ferenze , e a tanta incofianza foggiace, ficcome abbiamo più volte oflervato . Avrebbe in vero quella comune uguaglian- za del primo termine fomminifirato più facile , e regolare il confronto e di tutti i primi nelle diverfe elettricità, e de'fuc- cefiivi termini in ogni loro progreffione .

A quefìo

SOPRA h' elettricità'. 33

A quefto eflenziale difetto di facilità , e di regolarità non vi è altro riparo , che foggettarlì a calcolo pili compofto , e rintracciarne le proporzioni fecondo 1' inevitabile varietà di ciafcun termine primo . La femplicità del calcolo è vana qua- lunque volta alla natura delle cofe non corrifponde ; e il Filico del pari , che il Matematico fecondo 1' indole , e la natura de' Ibggetti diverfi è ad ogni palio forzato di variar metodi , e formole di calcolare . A queflo fine riftringiamo in tavole tutti i numeri delle precedenti ferie di refinofa , e di vitrea elettricità fegnando nella prima linea orizzontale i nomi di ciafcun termine dal contatto fino alle ultime diftan- ze , e nelle feguenti linee fottoponendo a ciafcuno di que' nomi il immero delle fcariche , colle quali li efaurì la carica imprella nel quadro in ogni ferie diftinta.

CON RESINOSA ELETTRICITÀ'.

A contatto. Poli. i. Poli. u. Poli. iv. Poli. viii. Poli, xiv. Poli. xvm. Poli. xxiv. Poli. xxx. Poli, xxxvi.

^er. 5 = 14. Ser. 6=14. Ser. 7=13 ÌSer. 8 = 12

É

er. 9 ::= I I

14. 14.

12 ,

1 1

IO ,

^3-

13-

IO .

. IO ,

9-

12 .

IO .

9 • 9

8.

9.

8.

• 7- ,6. .6.

5' 3- 3

3-	. . I . .	. . X. .	. X
2 .	. . X. .	. . X . .	. 0
I .	. . .X. .	X	. 0
I .	. . . X. .	. . X. .	. 0
X.	. . .X. .	. . 0 . .	. 0

Ibtale 64. . . 61 . . . 55 . . .48 . . . 30 .

1 ■

7

2. Abbiamo efpreffo colla X majufcula 1' ultimo gi'?.do di fcofra,che ii fente toccando iinmediatirncnte le oppofte arma- ture del quadro, quando non è più capace cVimpiimere veruna forza fcuotente nella boccetta ; e colla x minore gli ultimi cenni di fcintilla pungente , o di luce fenza eforefTo fenfo di fcofTa .

Sommati abbiamo in oltre fotto ciafcuna colonna i nume- ri pel confronto comporto di tutte le ferie infieme di refino- fa , e di vitrea , ficcome pel femplice confronto di ciafcuna ferie colla fua corrifpondente dovremo riportarle alternamen- te da una tavola alla corrifpondente dell' altra. Dei moti non occorre per ora farne ufo, e perciò non ne cftendiamo ulte- riormente la tavola; e paffiamo all'altra tavola corrifpondente.

34 Memoria

CON VITREA ELETTRICITÀ'.

Acontatto. Poli. I. Poli. ii. Poli. iv. Poli. viii. Poli. xiv. Poli, xviii

Ser. I o =:: 1 3 Ser. 1 1 =; 1 3 Ser. 12:=: 8 Sa: 1 3 =1 1 5 ,

Ser. 14= 14.

. IO

.11.

• 4- II .

9-

9 IO,

2 .

9

8,

.6 .8 . I

.8

•7 ■

3 4 Z 6 6

I I

4

2

o

2 I

Poli. XXIV. Poli. XXX. Poli. XXXVI.

X

X

o

1

X

X X o

X

X

o o o o o

Totale 63.. 45 ... 38.. 30 . . .19

3. Un' occhiata fu quefte tavole, e l'immediato confron- to de' termini corrifpondenti in ciafcuna ferie compie la di- moftrazione del Teorema propofto . Ma per dirigere quefto colpo d'occhio non folo nelle fomme totali, che fono d'im- mediata evidenza , ma nelle corrifpondenti , riduciamo in quel- le tavole alternamente a confronto i termini, che efprimono eguale, o pili proffimo il numero delle fcariche colle rifpet- tive diflanze fino all' ultima fcoffa tratta dal quadro . Quan- do non vi è il numero efatto nella ferie corrifpondente pren- diamo la diftanza di mezzo fra i due termini più proffimi.

Ser. 5. Ser. IO, Ser. 6. Ser. 1 1 . Ser. 7. Ser. 12.

Dalle fcariche 1 3 fino ad una fono poli. . 22

Dalle Dalle Dalle Dalle Dalle

:3 all' ultima poli 14

13

8 8

all' ultima poli.

all' ultima poli.

all' ultima poli.

all' ultima poli.

Totale poli.

19

14

12

53 . . 32 Ed è qui tanto nelle maggiori diflanze di ciafcun termine, come nelle fomme loro evidente la fuperiorità della refinofa- 4. Ed è quefta del pari evidente, fé fi paragonino le fom- me totali corrifpondenti a ciafcun termine in eguali diflanze . Le fomme dei primi termini fono 64 : 63 , e fi fuccedono le corrifpondenti come fegue.

SOPRA L' ELETTRICITÀ. JJ

Refinofa Diftanze comuni Vitrea

6i . . . Poli. I ... 45

55 " ... 38

48 IV ... 30

36 vili ... 19

17 XIV ... 8

7 xviii ... 3

I XXIV ... I

Totale 225 144

5. Riducendo adunque a' fenomeni le ragioni di quefte fomme totali de' numeri corrifpondenti alle uguali diftanze abbiamo la feguente analogia. Se le fomme de' termini primi fìano in numeri profiimamente uguali cioè 64 : 63 ; le fomme de' termini fuccedivi corrifpondenti afcendono alla numerica efpreflione di 225:144. Onde quantunque le forze coftituen- ti i primi termini non abbiano differenza , che d' unità , le fomme de' fucceffivi termini nella refinofa eccedono quelle della vitrea, come il numero 225 eccede il numero 144 , e per efprimere lo fteflb con fenomeni di cariche , la refinofa eccede la vitrea quanto una carica efpreflfa con 225 di quel- le unità eccede altra carica efprefia con 144.

6. Né faccia nella precedente tavola eccezione l'apparen- te uguaglianza degli ultimi termini ai pollici xxiv . Poiché nella ferie 5 non comincia il primo termine che con 14 fca- riche , e nella ferie 13 il primo termine comincia con 15 fcariche ; e con tutto ciò non eflende 1' ultima fcoffa fé non quanto quel termine primo della ferie 5 .

Nafce in oltre quella apparente uguaglianza degli ultimi termini da altra cagione , la quale ci obbligò a interrompere nel numero 3 precedente il confronto fra i termini corri- fpondenti delle due ultime ferie 8 , e 9 di refinofa colle ul- time 13 , e 14 di vitrea . S' interruppe adunque fimile con- fronto , perchè quelle ultime ferie non hanno termini comu- ni , ne pjfibno come le precedenti ragguagliarfi , e ridurfi a.' termini profiimi . Il che acciò chiaramente s' intenda d' uopo è olfervare tra le ferie di refinofa ,e di vitrea elettricità due (ìngolari contrappofizioni , le quali fé collanti fono nelle pri- me ferie , con maggior efprefiìone poi nelle due ultime fi ma- nifeftano. " E ij

36 Memoria

7. Primieramente è infigne la decadenza della vitrea fo- pra la refinofa dall' uno all' altro dei primi termini d' ogni ferie . E per trattenermi foltanto nelle ultime la vitrea nella fer. 13 in un pollice dalle 15 decade alle 1 1 ; ed ai due pollici alle 9, e nella ferie 14 dalle 14 decade in un pollice alle 9. Mentre la relinofa in un pollice nella fer. 8 dalle 12 non decade , che alle 1 1 , ed arriva fino ai quattro pollici prima di cader alle 9 , e nella ferie 9 dalle 1 1 non decade che alle io , ed arriva fino ai due pollici prima di cader alle 9 .

All' oppoflo negli ultimi termini decade più infignemente la refinofa , che non la vitrea . E per riftringermi qui pure alle ultime ferie , la refinofa nella ferie S in quattro pollici decade dalle 3 ad i , e nella ferie 9 nello fteflb termine dal- le 3 a niuna . Mentre la vitrea nella ferie 13 nello ftefib termine decade gradatamente dalle 4 a 2 ; e nel feguente di fei pollici dalle 2 ad i . E nella fer. 14 in quattro pollici non cade che dalle 2 ad i .

Ma quefte contrappofizioni meglio , e immediatamente li fcorgono nelle fomme corrifpondenti dalla tavola del n. 4 precedente . In effe dal contatto ad un pollice la refinofa è = 64:61 , e la vitrea = 63:45 , cosi ne' feguenti fino ai pollici otto la refinofa decade pochiffimo in confronto della vi- trea . Indi comincia la decadenza a farfi preffo poco eguale ; poiché dagli otto ai quattordici pollici la refinofa è = 36 : 17 , e la vitrea=i9:8 . Ma dai pollici quattordeci ai diciotto quella è=ij:j , quella = 8:3 , e in fine dai diciotto ai ventiquattro quella è =: 7 : i , quefta=3 : i , cioè decade la refinofa infignemente più della vitrea.

E ficcome quefte differenze , e contrappofizioni comprendo- no in sé fteffe importanti applicazioni per la teoria , perciò le ridurremo nella feguente tavola efprimendo in frazioni più proffmie le fucceffive differenze de' rifpettivi termini col pre- cedente

SOPRA

Refinofa

Difierenze 64 .

-!-=: 7 = 61 . * I -"

r7= 6 = 55 .

4 = 7 = 48 .

ELETTRICITÀ

37

12

T = 19 =

I o

I 7

IO

36

17

7 I

A contatto Primo termine Poli. I

. . II

• IV

. vili

. XIV

. XVIII

. XXIV

Vitrea 63 Differenze

18 = 4-

45 38 30 19 8

3 I

7 =

8 =

11 =

a =

8. E in propofito noftro 1' ultima contrappofizione quan- to accorcia le dilìanze degli ultimi termini della refinofa, tan- to allunga le ftefTe nei corrifpondenti della vitrea. Onde com- parando nel num. 3 precedente colla ragione delle diftanze la refinofa , e la vitrea elettricità nella maggior forza , che in quella comparifce per le fole diftanze un'altra fé ne inclu- de , che per ora non può calcolarfi . E perciò ragguagliando i termini ultimi della refinofa coi corrifpondenti di vitrea prevediamo, che I' errore cofpira ad accrefcerne la fuperiori- tà più che non apparifce dalle femplici diftanze . Al contra- rio fé ragguagiiadimo i termini primi della refinofa cogli ul- timi della vitrea, cofpirerebbero le femplici ragioni delle di- ftanze a indurci doppiamente in errore, perchè la fuperiorità di que' primi verrebbe in tal modo a confonderfi colla più lenta decadenza degli ultimi di vitrea.

Qi^ialunque lìa pertanto la cagione di fimili contrappofizio- ni , che altrove l\ efplorerà , rimane e col confronto de' ter- mini corrifpondenti alterni, e colle fomme totali de' medefi- mi , e colle fomme de' termini fimili compiuta la dimoftra- zione del teorema propofio .

9. Mal li apporrebbe però chi ne credeffe compiuta egual- mente r intelligenza . Per giungere a quella d' uopo è rico- nofcere dal primo all' ultimo il valore di que' numeri , che ciafcun termine efprimono delle due tavole. Né fi può fenza manifefta petizione di principio aflbmere , che il numero 14,

E ììj

38 Memoria

o 13 del primo termine d' una ferie di refmofa fia eguale a! num. 14 , o 13 del primo termine delia corrifpondente di vitrea, benché fi efprimano con numeri eguali ; il che fimil- mente s' intenda delle fomme loro , e dei fucceffivi termini comunque con eguali numeri efpreffi in ogni loro progreffione.

10. Suflifte foltanto con quella eguaglianza de' numeri r eguaglianza del loro valore ne' termini corrifpondenti del- la ftelTa fpecie di elettricità , ma fotto fiftatta eguaglianza fi mantiene una difuguaglianzagrandiflima di ciafcuna unità com- ponente que' numeri . Poiché per efempio le dieci unità , che il fecondo termine efprimono della ferie decima, non fono al- trimenti omogenee , come niuna lo è di quante altre efpri- mono o i primi , o i fucceffivi termini di quallìvoglia ferie . Anche a folo fenfo manifeftamente il riconofce fempre mag- giore r unità precedente , che non la feguente in tutra la fuc- ceffione di ciafcun numero.

11. Due ricerche adunque fi prefentano da farli per com- piere r intelligenza del teorema , e dei numeri , che lo di- mofìrano . Si debbono nella prima valutare le unità compo- nenti i primi termini delle due fpecie di elettricità ; e fi va- luteranno nella feconda ricerca le unità , che i fucceffivi ter- mini compongono in ciafcuna di quelle ferie . A quelli due oggetti foddisfaremo nel feguente

..TEOREMA XV.

I numeri , che 1' ecceffo efprimono della carica imprefia nel quadro in tutta la progreffione de' termini con punta di refinofa fopra la punta di vitrea elettricità, non s'intendono, né fono comparabili altrimenti , che con nuove induzioni .

I. Or quale induzione ci guiderà a valutare quelle unità , ed a ridurle omogenee , e per tal via chiare , e comparabili ? Non altro che una nuova applicazione , e il compimento di quella fteffa , che ci guidò a ritrovare que' numeri , ed a ri- folverli in quelle unità . Rifolviamo adunque ciafcuna unità neir iftelTo modo , che le cariche abbiamo diflinte , le quali a ciafcuna fpecie, e a ciafcun termine delle loro ferie appar- tengono ; ed avremo cosi que' numeri chiari , e diftinti , e perciò comparabili fra loro , come lo fono fra loro i termi- ni di quelle cariche «

SOPRA l' elettricità'. 39

Qi.ianto però ad immaginarli piana , e facile fembra queftì nuova induzione , tanto e intralciata, e ardua ne' dettagli, che ne compiono I' efecuzione. Ciafcuna unità de' primi ter- mini, e di tutti i iucceflivi di tante ferie vuol edere valuta- ta diiiintamente ; il che altro non lignifica in fine fé non di rifolverla in numeri formati di nuove unità omogenee , e comparabili . Né ciò altrimenti fi ottiene , che con fuddivi- dere la prima mifura in parti minori finché arriviamo ad e- guali elementi primi, e nafcenti, dai quali tutte quelle uni- tà, e quelle cariche fono in se fteflè compofie . Cosi in ogni genere di calcolo ii riduce a minimi termini qualiivoglia va- rietà di numeri , pefi , o mifure .

2. Ritorniamo pertanto al principio di queflo capo , e ripigliamo 1' operazione defcritta nella preparazione della fe- rie quinta. Con una boccetta applicata all' eftremità dell'ar- co l'arte ivi infegnai di efprimere con numeri in tutte le fu- ture ferie dal primo all' ultimo termine le cariche inipreffe nel quadro. Nelle tavole poi del precedente teorema chiamai X quell' ultimo grado di forza fcuotente , che (i trae imme- diatamente dal quadro itelTo , quando più niuna ne imprime nella boccetta. Or fé arriverò ad efprimere ogni unità di que' numeri con altri numeri comporti dell' ultimo grado di forza fcuotente nell' una, e nell' altra fpecie di elettricità, non ci approflimeremo per tal via quanto più è poflibile a quella co- mune, e comparabile mifura, che in tutti que' termini ricer- chiamo i

3. Per tal uopo in ciafcuna unità di que' numeri applico alla boccetta l'operazione rtefla,che replico nel medelimo tem- po, e fimilmente fui quadro procedendo nella feguente forma.

Ho pronte tre boccette limili, ed eguali alla prima .e due archi . Uno di querti archi colla prima boccetta infieme im- pugnata ad una ertremità nella finirtra mano la tiene un com- pagno previamente agguerrito in limili fperienze, mentre io traggo al folito coli' altro arco la prima fcarica tìel quadro nella feconda boccetta . Quefta cosi caricata Ja paflb immedia- tamente nella dertra mano del compagno , il quale la impu- gna come la prima nell' altra ertremità dell' arco; ed appref- fandone il globo a quella prima fubito la fcarica in erta. Subito abbarta il globo di quefta contro l' arco fotte la deftra mano ,

4° Memoria

e per tal via la fcarica interamente . Indi ripete la fleffa operazione di prima , finché la feconda boccetta non fia ridot- ta all' ultimo grado di forza fcuotente , e tien numerate le fcofle , che ne cavò.

Frattanto io foftituendo a quella feconda la terza boccetta neir eftremità del mio arco, numero fimilmente le fcariche , finche li efiurifca al folito la carica imprella nel quadro ; ed ottengo così la prima fuddivilione di quelle unità componen- ti i numeri , nei quali ad ogni termine fu divifa la carica im- prefla nel quadro .

4. Carico nuovamente il quadro in tutti i termini d'ogni fpecie di elettricità , cominciando dalla canea divifa in quin- deci fcariche della boccetta (per elFere quefla la maggiore che occorfa ci lia nelle ferie medeiime a contatto , oflìa nel più al- to loro termine), e numero in ciafcun termine la corrifpondente fuddivilione colla prima , e feconda boccetta , come nella fé- guente tavola , che leggere li vuole dalla colonna di mezzo a dritta 5 e liniftra .

Refinofa. Termini del quadro. Vitrea.

4 15 6

- 4 14 5

4 13 5

4 12 4

4 II 4

3 IO 4

3 9 4

3 8 4

3 7 3

2 6 3

^ 5 3

2 4 3

I 3 2

X

2 I

1 ..... X

39 51

5. Comprendo in un colpo d'occhio nella prefente tavo- la i rifultati di trenta nuove ferie di fperienze , cioè quindi- ci con refinofa , e altrettante con vitrea elettricità . La mag- gior

SOPRA l' elettricità'. 41 glor parte di efTe fono fiate ripetute per fino a fei , e otto volte in tempi diverlì , e ninna mai meno di tre volte; e fe- condo il compleifo di tante ripetizioni ne ho ragguagliati i numeri, che a ciafcun termine corrifpondono . Nei tempi di aria ben fecca ebbi numeri aliai maggiori, ma preflò a poco proporzionali ai precedenti . Ne' tempi più umidi occorrono maggiori irregolarità, maffime nella refinofa, che fcema, e (ì difperde con incredibile prontezza .

6. Ciò , che ho fatto colle tre boccette fu' quadro , forza è ripeterlo nei nuovi numeri in ciafcun termine delle due boccette . Ed a quefto fine non altro ci vuole , che una quar- ta boccetta fimiJe, ed eguale alle prime. Tofto che ho cava- ta colla feconda boccetta la prima fcarica dal quadro , lo ab- bandono ; e fubito colla terza boccetta io cavo iìmilmente da queil-a la prima fcarica . Pallb immediatamente quella terza al- la deflra mano del compagno , che non efaurifce al folito , come qui fopra,il numero delle fcariche nella prima boccetta.

Ed io frattanto foftituendo a quella terza la quarta boccet- ta efaurifco infieme,e fimilmente il numero delle fcariche del- la feconda boccetta ; ed ottengo per tal modo la nuova , ed ultima fuddivifione di que' numeri , come nella feguente tavola .

Refinofa . Termini della feconda boccetta . Vitrea .

3 6 5

3 5 4

2 4 3

I 3 2

X 2......1

o I z.

9 ; : '. ~ ; ; '. . . . '. tt^

7. Riftringo fimilmente nella prefente tavola i rifultati di dodeci nuove ferie di fperienze , cioè fei di refinofa , e fei di vitrea elettricità , ripetute , e ragguagliate fecondo le avver- tenze, che più fopra indicai ( n. 5. )

8. Poteva baftare la prima tavola , fé 1' ultimo grado di forza fcuotente X nel quadro foflè fiato uguale all' ultimo gra- do di forza fcuotente nella boccetta . Ciò per altro farebbe fiato un afiimto arbitrario , e volli perciò ridurre le fcariche fteffe della boccetta all'ultimo grado loro , che chiamerò z..

Tomo II. F

4* Memoria

Ed è così dichiarata, e ridotta in tavole la nuova induzio- ne, che fola guidar ci può alla diftinta comparazione, e in- telligenza di que' numeri , che le proporzioni comprendono ftabilite nel teorema precedente. Palliamo ora ad inveftigarne r efprefllone col feguente

' TEOREMA XVI.

Le tavole di nuova induzione efprimono diftintamente il valore delle parti, ond'è comporta ciafcuna carica in tutti i termini delle precedenti ferie di refinofa , e di vitrea elet- tricità.

1. In tutti i termini delle precedenti ferie fi ridulTe la carica all'ultimo grado di forza fcuotente X per via di fcof- fe fucceffivamente tratte dal quadro ; le quali efpreflero in nu- mero le parti flefle di ciafcuna carica . Se eguali foffero le unità, che quefti numeri compongono , farebbe nella femplice ragione di efli il valore delle parti , onde ciafcuna carica è comporta.

Ma liccome da principio olTervai {teor. xiv. n. g. , e io.) fono quelle unità difuguali in due modi ; 1' uno de' quali ri- guarda la diverfità della fpecie di elettricità, l'altro la diver- fa intenfità d'ogni fuccefliva fcarica della boccetta, il che per fino col femplice fenfo è maniferto .

Per valutare adunque I' una e 1' altra difuguaglianza , due nuo\e fuddivilioni lì richiedevano , una pel confronto delle diverfe fpecie , e 1' altra pel confronto di tutte le fucceffive fcariche tratte dal quadro in ciafcun termine delle fpecie di- verfe di elettricità. Or quelle fuddivifioni efpreffe fono dirtin- tamente nella prima tavola del teorema precedente ( «.4. ) ; nella quale e le unità corrifpondenti di fpecie diverfa , e le fucceffive di ciafcuna fpecie ridotte fono in numeri minori , offia parti di quelle prime unità .

2. Sommando adunque le ferie di tali numeri minori , ov- vero parti ne rifultano le proporzioni di tutti i termini dell'una e dell'altra fpecie, e dei fucceflivi termini di ciafcuna fra loro.

3. Il metodo di valutar quelle cariche non è che di ap- proifimazione per la via di rifoluzione , o efaurimento delle medefime . E liccome in Filica non è quanto in Matematica

SOPR.A L' elettricità'. 43

a<TevoIe il replicare le fuddivilìoni per approOimarne ognora più r erpreffione , e il valore ; perciò foddisfare potrebbe all' intento noftro la fuddivillone comprefa nella precedente tavo- la, trattandoli maflimamente di coHi tanto ardua in se fì-efla, e di vie tanto nuove , nelle quali non fi era fin qui tenta- to, non che fatto un folo pafl'o neppure nelle prime divifio- ni raccolte nel teorema XIV.

Contuttociò volli ben piìi innanzi inoltrarmi per approf- fimare quanto meglio poflibil fofiè il valore di quelle propor- zioni . Conlìderai le difièrenze fra le unità de' nuovi nume- ri, o delle parti minori; e con nuova fuddivifione le diftinfi in altre di ordine ancor minore . Come quelle unità prime efprimenti il numero delle fcariche tratte dal quadro furono divife in altre minori tratte colla feconda boccetta ; cosi fu- rono quelle fimilmente divife in altre ancor minori tratte dal- la Itcìla colla terra boccetta; e fono quefte ordinatamente ef- preflè nella feconda tavola del teorema precedente (n.ó.) in ambedue le fpecie di elettricità .

4. Sommando adunque nuovamente la ferie di quefli nu- meri, o parti minori, che fuddividono le fomme precedenti, rifulterà quanto più prolfimo fperar fi può il valore delle ri- cercate proporzioni .

Cadrebbe però in errore, chi ampliafie incautamente l'ufo di quefie tavole per efi;imare il valore di qualfivoglia carica , e volefle così troppo rapidamente generalizzare . Non fono quefie che particolari induzioni , né fi eftendono forfè più oltre delle prefenti preparazioni , e dei modi loro . Altre ri- cerche , e nuove induzioni a tal uopo i\ richiedono , delle quali alcuna ne accenneremo nel feguente

TEOREMA XVII.

Le proporzioni delle cariche valutate fecondo le tavole pre- cedenti non li eftendono ad altri modi, né generalizzare pof- fono le ragioni d' ogni carica elettrica , fé non col fulfidio di nuove , e moltiplicate induzioni .

Non ripeterò qui le varietà corrifpondenti alle differenze, che numerai nelle oflèrvazioni previe ai due lemmi più fopra ibbiliti. Ci porterebbero quelle a tanta moltiplicità d' indu-

F li

44 Memoria

zioni , quanto opportune per la comprenfìone della teoria , altrettanto dai limiti del prefente capo aliene . Può agevol- mente a ciafcuna di quelle differenze adattare le convenien- ti induzioni , chiunque voglia inoltrarfi in limili ricerche . -Accennerò piuttofto alcuni modi da altri , eh' io fappia , non ollèrvati nel variar le proporzioni delle cariche imprefle .

1. Cercai primieramente, fé, porte le altre cofe pari, fof- fero le cariche proporzionali al femplice numero dei giri, coi quali efle s' imprimono. Non folo tale proporzione variò nel- Je diverfe , ma anche in ciafcuna fpecie di elettricità . Se per efempio con un giro s' imprefle carica equivalente a due fca- riche di boccetta ; con due giri fu quella maggiore di quat- tro , con tre maggiore di fei , con dieci affai maggiore di venti delle fteffe cariche ridotte, e cosi inseguito. Non ho^ tant' oltre promoffa l'induzione da fiffarne fin qui veruna leg- ge ; poffo però accertare , che crefce la carica in proporzione maggiore del femplice numero dei giri .

2. Crefce in oltre la carica fecondo certa proporzione del- la celerità , colla quale fi fuccedono que' giri medelìmi .

3. Onde con elettricità, che minore fia in ciafcun giro, s'imprime, e fi eftende fino a certe diftanze la piena carica, purché fi accrefca il numero , e la rapida fucceffione dei gi- ri . Il che non R ottiene con minor numero di giri , benché fino a certo grado maggiore fia 1' elettricità , e più rapida la fucceffione loro .

4. E viceverfa al di là di certe difianze tra il condotto- re e il quadro, per quanto crefca il numero, e la celere fuc- ceffione , e la quantità di eccitainento di ciafcun giro , non s' imprime giammai piena , ed in fine poi a nulla fi riduce la carica .

5. Siffatte diftanze non fono fin qui ridotte a limiti cer- ti in niffuna Ipecie di elettricità , né Ci è trovato con quale ragione que' limiti corrifpondano o al numero , o alla cele- rità, o alla quantità di eccitamento de'fucceffivi giri del difco .

I tre ultimi numeri rifultano immediatamente dal confron- to della ferie prima colla quinta, e della terza colla decima, e dalle moltiplici combinazioni , che colle precedenti prepa- razioni in vano io cimentai per dedurne qualche lume di ra.- gione Goftante.

SOPRA l' elettricità'. 45

6. Efporrò nel feguente capo altri modi , coi quali l'elet- tricità eccitata nel condottore fi porta al fommo grado; e ciò nonpertanto la carica nell' oppofto quadro non s' imprime in veruna coftante proporzione , che corrifponda alla gran- dezza di eccitamento , o al folo numero , o alla rapidità dei giri, né alla fola grandezza delle fuperficie terminanti il con- dottore, o r oppofta armatura, ne alle fole diftanze .

7. Talché ogni grado maggiore di eccitamento fembra efi- gere una determinata grandezza di fuperficie terminante non meno il condottore, che l'oppofta armatura, acciò quel gra- do o fi mantenga nel condottore , o fi efienda ad imprimere maggior carica nell' oppofto quadro . Onde fenza conofcerc r intera ferie, e fucceflione in ciafcun apparato, poUòno ne' particolari fuoi termini confonderfi quelle diverfe ragioni di eccitamento , o di fuperficie , o di carica .

8. Sembra in oltre, che a ciafcun grado maggiore di elet- tricità eccitata corrifponda certa capacità d' ifolamento, o di refiftenza del mezzo ambiente accrefciuta per frenarla, e rac- coglierla nel proprio condottore , o diminuita per difperder- la, e derivarla altrove. Qiiindi occorrer debbono nelle ferie, che fi fanno con gradi varj di eccitamento , certe diftanze , nelle quali apparifce maflìma 1' elettricità del condottore , e minimo 1' effètto fuo nell' oppofto quadro ; e viceverfa mini- ma nel condottore , e maftìmo 1' effetto fuo nel quadro . E perciò fé in ciafcun grado non fi efaurifce l' intera ferie , e fi giudichino que' gradi , e gli effetti loro con termini partico- lari, e folitarj, a confonderà un grado con l'altro, e li pren- deranno al rovefcio le mifure della intenfità , e degli effetti loro .

9. Qiialunque volta adunque ci proponiamo di confronta- re in parità di apparato la forza delle fpecie diverfe , o ne' diverfi apparati la forza di ciafcuna, è neceffario efaurirne dal primo fino all' ultimo termine le intere ferie non meno in ciafcuna fpecie , che in ciafcun diverfo apparato per dedurne in foinma le particolari loro proporzioni . In vero fé cono- fciute foftéro le ragioni diftinte ,e i limiti filfi di tutte le va- rietà, che fin qui notate abbiamo, anche i fatti ifolati , e i fenomeni folitarj condurci potrebbero a qualche precifa confè- guenza . Poiché fecondo le tavole di quelle cognite ragioai

F iij

46 Memoria

fi ridurrebbero que' fenomeni ad efpreffione, che folTe al ter- mine loro corrifpondente .

IO. Ora finché fomiglianti tavole di riduzione non fono che deiìderate , ne altrimenti cominciate , non che perfette , non avremo giammai per la confueta e triviale maniera di fatti ifoiati comunque coftanti , fé non rifultati affatto inilgni- ficanti , e per fino contraddittori ; né troveremo in eflì altra efpreffione fuori di quella delle nofire prevenzioni. E quindi è che con arbitrarie , e fuppofte leggi per mero fcambio di mezzo termine dedurremo da que' fatti le conclufioni,che dal- le fole fuppofiiioni, e non altrimenti da que' fatti derivano. E perciò nella dovizia di fperienze , e di macchine faremo poveriffimi di giufte idee, perchè non arriveremo mai neppu- re a fofpettare la genuina interprcta.zione di que' fatti , che tutto dì ci paflfano per mano , e molto meno concbuder po- tremo da efiì la proporzione delle incognite forze, e l'anda- mento delle incognite leggi , che incautamente prima di co- minciare a rintracciarle pretendemmo di fi^abilire .

. , , 1, , . .. TEOREMA XVIIL .

Le prime tavole altre ne fomminillrano in fine , e ci por- gono una formola generale per calcolare , e ridurre a con- fronto , e a comune mifura le ferie precedenti con le feguen- ti nuove induzioni .

I. Le fomme 39 , e 51 efprimono il valore d' una cari- ca di quadro equivalente a quindici fcariche della boccetta ( teov. xr. n. 4-), e fi dovrebbe fimilmente fommare ciafcuna carica fucceffiva equivalente , e i fucceffivi termini di fcari- che per efprirnerne il corrifpondente valore . Ma fé dalla pri- ma fomma fi fottragga il numero delle fcariche di boccetta, che al primo termine corrifponde,fi avrà per refiduo la fom- ma corrifpondente al fecondo termine ; e così procedendo col- lo fleflb canone in tutti i fucceffivi termini, 'ì\ efpriraerà di- ftintamente il loro rifpettivo valore, come nella feguente ta- vola, che fi leggerà al pari delle precedenti dalla colonna, di 'Aiezzo a dritta, e finiftra .

s	O F	R	A	L'	E	L E	T T R	I e	I	T A	'• 4
Re/ìnofa		r	remi ini	del	quadro		Vitrea
39	•	•	•	•	•	ij	•	•	•	•	•	51
35		4		39		14	■ :	51		6		45
3'		4		35		'3	- —	45		5		40
i7	■	4		?i		12		40		4	:	36
23	:	4		^7		I I		36		4	:	3i
19		4		^3		10		32		4	■ :	28
i6		3	' —	19		9		28		4	- —	24
»3		3		16		8	:	24		4		2 0
IO		3	—	13		7		20		4		16
7	:	3	—	10		6		16		3		13
5		2		7		5		13	—	3		IO
3		2		5		4		IO		3		7
1		2		3	.	3		7		3		4
				Z		2		4		2,		-»
				o		I		2	—	I	,	I
229	.	.	.	,	,	,	,	,	,	,	, ^	!29

2. Nello fteflb modo fi valuterà ciafcun termine fuccefli- vo della feconda boccetta a norma della tavola premeflTa nel teor. XV. n. 6. dichiarata nel teor. XVI. n. 4.

Refìnofa . Termini della feconda boccetta . Vitrea .

9 6 15 ,,.

6 = 3 — 9 = 5 = 15-— 5= IO 3 = 3 — 6 = 4=10 — 4= 6 1 = 2 — 3 = 3= 6 — 3 = 3 -• . u 2=2= 3 — 2= I

«9 35

3. Il diflinto valore del primo termine efpreflb in quefte tavole fi raccoglie riducendo a norma delle prime tavole ( teor. xr. yj. ^. e 6. ) tutti i termini corrifpondenti del qua- dro, e della feconda boccetta in una tavola comune , che è la feguente.

48

M

M

Tavola ridotta dei termini del quadro , e della feconda boccetta .

Refinofa .								Vitrea .
58	19 -	- 39		15	—	51		35 — 86
38 -	3 -	- 35	—	14		45		IO _ 55
34 —	3 -	- 31	—	13		40		IO 50
30 —	3 -	- i7	—	12		36		6 42
16 —	3 -	- 23	—	1 1	—	32		6 = 38
20 —	1 -	L. 19		IO		28		6 — 34
17 _	I -	L 16		9	—	24		6 30
14 —	I -	- 13	—	8		20		6 — 26
II —	I -	- IO		7	:	16		3 = 19
7 —		• 7	—	6	;	13		3 _ 16
5 =		• 5		5		IO		3 ~ 13
3 —		• 3	—	4		7		3 — 1°
I —		I	—	3		4	+	3 — 7
				2	.	2	, ,	I _ 3
, . 1				I		I
•
2Ó4 =	^t4	-229	, ,	, ,	,	?29	4- 101 — 430

4, Abbiamo qui una tavola dimoftrativa , che tutte in sé comprende le ragioni del più alto termine , che diftinto ab- biamo nelle ferie precedenti. Per trarne le ragioni particola- ri , che ad ogni fucceffivo termine corrifpondono , fi fottragga dall' intera fomma il numero , che il valore efprime di ciafcun termine antecedente ; e que' fucceffivi refidui ci fomminiftre- ranno in fine la generale formola per valutare , e ridurre a confronto tutti i termini delle precedenti , e delle feguenti induzioni .

Tavola

SOPRA L' elettricità'. 49

Tavola ridotta del diftinto valore di ciafcun termine fucceflivo .

Refinofa .	. .	. . Vitrea.
264	15	— 43°
206	14	— 344
168 -^	13	— 289
134 _	12	— ^9
104 _	1 1	— 197
7S	IO	— ^59
5S -	9	= 125
41 _	8	85
27 —	7	— 69
16 —	6	— 50
9 —	5	= 34
4 =	4	: 21
I —	3	II
	2	— 4
	I	T-. T
Ilio . .	, ,	. 2058

5. Sono così dal fommo all'imo rifoluti in diftinte ragio- ni tutti que' termini , che propelli abbiamo .

CAPO II.

Combiiiaz-ioni di fupcrjìcìe a vicenda oppojle neW indune la carica colla refniofa , e 'vitrea elettricità .

Moltiplichiamo le induzioni, ed opponendo a vicenda di- verle forme di fuperiìcie compiamo le gradazioni varie del relativo nome delle punte, e riduciamole perfino al con- trappoflo di maggiori , ed eguali grandezze . Si compie così r oggetto della prima, e feconda Parte in tutte le combina- zioni , e ne' modi , coi quali s' induce ncll' oppoRo quadro , e fi raccoglie ia carica colle due fpecie di elettricità.

Fra tanta varietà di cariche , e fra tante differenze nel comporle , e raccoglierle un modo unico e fempre uniforme Tomo IL G

50 Memoria

( qual è la fucceffiva loro fcarica nella boccetta ) adopriamo per disfarle, olfia per rifolverle, e ridurle a comune mifura . Nella terza Parte procederà la cofa inverfamente ; e nulla cu- rando la varietà dei modi d' indurre le cariche , le raccoglie- remo per qualunque via ci fi prefenterà più fpedita ad accre- fcerle . Ma ci occuperemo all'oppofto delle combinazioni va- rie , che fcemano le cariche , e le fcompongono , rintraccian- do diftintamente di que'modi varj le mifure , e le proporzio- ni . Profeguiamo intanto colla feguente ferie .

CON ELETTRICITÀ' RESINOSA.

Preparazione.

Termina il tubo o condottore nel folito globo fenza veruna punta ; ed a quefto oppongo direttamente il confueto quadro verticale per modo, che quel globo ne guardi l'armatura in mezzo ai due terzi d'altezza. Il rimanente tutto fla come nelle ferie del precedente capo , ed applico qui pure ad ogni ter- mine quindici giri del difco , e di refinofa elettricità .

Alle due bali ifolanti , che foflengono il quadro , fottopon- go in quefta, e in tutte le ferie del prefente capo un' ampia ladra di vetro nudo , e pulito per meglio confervare I' ifo- lamento del quadro , e delle più ampie fuperiicie , che nel- le feguenti ferie terminano 1' oppoflo condottore.

SERIE 15.

1. Col globo a contatto dell' armatura fi fini la carica in cinque fcariche della confueta boccetta; a mezzo pollice in quattro ; ad un pollice in tre; ad un pollice e mezzo in una; a due pollici non vi fu nel quadro fé non luce pungente fen- xa veruna forza fcuotente.

2. Fino alla diftanza d' un pollice ad ogni due in tre gi- ri fcoppiò la fcintilla tra il globo e il quadro , ma ad un pollice e mezzo non vi fu più indizio di fcintilla .

3. Dal principio de' giri fino all' atto, che fcoppia la fcin- tilla, il quadro è tratto al globo, e s' inclina ad eflb nota- bilmente . Ma nello fcoppio della fcintilla refta il quadro in

SOPR.A L' elettricità'. Jl

libertà , e fi refiituifce per sé alla prima fua pofitura ofcillan- do indietro quafichè fode rifpinto . E ciò fi ripete limilmen- te in ciafcuna delle fcintille , che fono tanto più frequenti, quanto è minore la difhmza tra il globo e 1' armatura .

4. Non ha qui luogo tra il globo e 1' armatura del qua- dro il folito pendoletto . Rimane foltanto quel filo, e globet- to , che pende dall' efieriore armatura, e quefto nell'atto dei giri fi vibra alquanto in fuori , benché quell' armatura co- munichi ampiamente col fuolo per mezzo di due fili metalli- ci , fra i quali a diftanza di tre pollici dall' uno e dall' al- tro pende quel filo;

Preparazione.

Non più il condottore termina in globo , ma in una fu- perficie piana di legno grofla dieci linee, tutta coperta di fo- glia di flagno , di figura fimile all' armatura del quadro , e di grandezza un quarto della fiefia , e perciò la chiamo fu- perficie d' un quarto . Sta quefta fifla all' eftremità del globo in modo , che fi prefenta , e fi conferva parallela in mezzo alla oppofta armatura del quadro .

S E R I E 16.

1. A contatto finì la carica in fette fcariche della boccet- ta; a mezzo pollice in cinque; ad un pollice in quattro; ad un pollice e mezzo in due ; a due pollici in una . A due pollici e mezzo vi è fola fcofia nel quadro . A pollici tre più niuna luce affatto.

2. Si fanno qui a pari diftanze più frequenti , che nella precedente ferie , e prendono un tuono più grave le fcintil- le; talché fino a mezzo pollice fcoppiano vive ad ogni giro.

3. Ad ognuna di effe precede 1' accoramento, o inclina- zione ; e neir atto , che fcoppia, fuccede la reftituzione del quadro . Onde quefio fx vede in continue ofcillazioni falla fua bafe .

4. Ad un pollice e mezzo , e fino ai due in vece di fcintilla non fi fentìi , che un certo fpruzzo , e quafi friggi- mento, 0 ftridore cupo continuo. Ed a quello corrifpondono

G ij

51 Memoria

tenuiffirai moti di accoftamento , e reftituzione del quadro, che fembrano tremori .

Preparazione.

Softituifco in fondo del globo una fuperficie fimile , e po- fla fimilmente , che la precedente , ma del doppio più gran- de, e perciò la meta dell' armatura del quadro, alla quale li prefenta nel mezzo affatto parallela.

SERIE 17.

1. A contatto finì la carica in otto fcofle della boccetta; a mezzo pollice in fei ; ad un pollice in quattro; e ciò fino ad un pollice e mezzo ; a due pollici in tre ; a tre pollici in una ; a tre e mezzo , e perfino ai quattro vi e fcoffa nel quadro ; ai quattro e mezzo ancor luce fcintillante ; e vi fu r ultimo cenno di luce perfino ai pollici cinque e mezzo .

2. Segue a farfi pia grave il tuono delle fcintille; ma qui fi fanno più rare , che nella ferie precedente ; cioè a mezzo pollice ad ogni tre giri foltanto fcoppia la fcintilla ; ad un pollice non più che ad ogni quattro in cinque giri . A due pollici più niuna fcintilla , ne fpruzzo , né ftridore .

3. Alle fcintille corrifpondono previamente i moti d' in- clinazione, e inlìeme di refiituzione del quadro.

Preparazione.

Alla fuperficie di metà altra ne foflituifco fimile , e fimil- mente pofta , che è uguale affatto all' armatura del quadro, a cui iì prefenta in eguale altezza , e parallela .

SERIE iS.

t

I. A contatto finì la carica in nove della boccetta ; a mezzo pollice in fei ; ad uno in cinque ; ad uno e mezzo in tre; a due in una; ai tre V ultima fcoffa nel quadro. Ai quattro nello fteffo non altro, che luce, che ai cinque pollici appena diede 1' ultimo cenno ,

s o F R. A l' elettricità'. 55

2. Crefce oltre modo la frequenza, e la forza delle fciii- tille nelle prime diftanze fino ad un pollice ; al di là del qua- le fi fanno più rare , cioè ad un pollice e mezzo appena una o-^ni tre giri ; e a due pollici non altro fi fente , che uno fpruzzo , o firidore cupo .

3. A mezzo pollice s' inclina il quadro fino a contatto col più alto lato dell' armatura , e fino dalla diflanza d' un pollice s' inclina tuttavia quafi a contatto . Siccome ad ogni fcoppio di fcintilla fi rcflitiiifce in dietro con impeto , così previamente fu fempre tratto all'oppofta fuperficie con forza, che fuperò la predone di due diti , coi quali tentai di fer- marlo premendo fopra gli angoli fuperiori del vetro nudo . Ad un pollice e mezzo benché fodero più rare le fcintille, furono tuttavia forti in ciafcuna le ofcillazioni di accoramen- to, e di reftituzione del quadro.

Osservazione i.

Raccolgo qui alcune oflervazioni comuni a tutte quefie ferie.

1. Il pendoletto , che indicato abbiamo nel n. 4 della fe- rie I 5 , fegue nelP atto 3 che continuano i giri, a fcofirarfi an- che oltre le diftanze , nelle quali più non s'imprime nel qua- dro alcun cenno di luce. Tale fcoftamento , o divergenza non è mai molto grande, e ricade col finir dei giri.

2. Nel numero delle fcariche della boccetta, e nei cenni di fcofla , o luce tratti immediatamente dal quadro non ri- conobbi diverfità veruna comunque nel trarre quelle fcariche o fcoflè toglielfi previamente affatto, o lafciaffi intera nel con- dottore , e neir annefl'a fuperficie la loro elettricità , che ivi lungamente fi mantiene. Nel contatto fi traggono le fcariche dalla fuperficie flefl'a applicata full' armatura del quadro ; e nelle fucceflìve difi^anze lì traggono le fcariche al folito dalle oppofie armature fenza toccar quella fuperficie . Ed è indiffe- rente fpogliar quella , e il tubo d' ogni elettricità o prima , o dopo che fi {"carichi il quadro .

3. Le attrazioni tra le fuperficie terminanti il tubo, e il quadro ( le quali nel contatto loro non folo fi combaciano , ma fi comprimono firettamente 1' una full' altra con vera ade- lìone) fulfiftono foltanto fin che durano i giri, e fino al mo-

G iij

54 Memori a

mento della fcintilla , come accade nei comuni combaciamen- ti del filo, e del pendoletto nella fer. 5 ; e col finir dei gi- ri , e collo fcoppiar della fcintilla fvanifcono . Nel contatto però r adefione è continua nel!' atto , che fi gira il difco , poiché non vi fono fcintille .

4. Tanto r adefione in contatto, come le attrazioni nel- le fucceffive difi:anze hanno certa proporzione, e colla quan- tità di elettricità , e colla grandezza di ambe le fuperficie , che, a vicenda il oppongano . Talché come col globo è mi- nima , cosi è mafììma 1' attrazione , e 1' adefione colla intera fuperficie uguale all' oppofia armatura .

5. Non ommetterò le anomalie delle fcintille , che fi pre- fentano ne'fucceffivi aumenti da minore a maggior fuperficie. Poiché col globo le fcintille cefiano dopo la difi-anza d' un pollice (/cT. 15. «.2.), colla fuperficie di quarto ne efiendo- no lo fpruzzo per fino ai due pollici (fer. 16. n. 2.) . Ma colla fuperficie di metà , benché crefca 1' elettrica quantità , fi fanno più rare le fcintille , né più fino ai due pollici fi efiende lo fpruzzo delle medefime (fir. 17. «. 2.) . E colla fuperficie intera crebbe fui principio la vivacità loro, ma non ne efiefero lo ftridore più in là dei due pollici come nella fuperficie di quarto (fir. 18. ». 2.).

6. Paragonando quefl^e diftanze , alle quali fi efiende la fcintilla, che non oltrepafiano mai i due pollici, colle diftan- ze alle quali fegue ad imprimerfi nel quadro elettricità fcuo- tente , che arriva fino ai quattro pollici (fer. 17. '/7. i.); è manifefto, che la refinofa elettricità fi raccoglie nell' oppofto quadro anche quando tra la fuperficie e l'armatura non paf- fa più veruna fcintilla, e ciò fino a diftanze del doppio mag- giori .

7. Prefentai in tutte quefte ferie al condottore, o all' an- neflà fuperficie una fpranga metallica terminante in globo grof- fo mezzo pollice; ed oflervai , che nell' avvicinarfi di quefto globo quantunque fino dalla diftanza di due, o tre pollici fi fcemafle nel tubo 1' elettricità , nonpertanto la fcintilla fra il globo fteflb e il condottore non ifcoppiò mai a diftanza maggiore d' un pollice , anzi d' ordinario afiai minore. E fic- come nel numero precedente Ci vide fprizzar la fcintilla tra il condottore ftefib e il quadro fino alla diftanza di due

'■ 15 H \6

i8

SOPKA l' elettricità'. JJ

rollici, perciò nella refinofa elettricità sbalza tra il condotto- re e r oppofto quadro la fcintilla a diftanze non meno di doppie, che non tra il condottore ftelTo , e tale globo, che efleriorniente lì prelenta.

8. Qiiefto globo per altro comincia a fcemare 1' elettrici- tà del tubo alla diflanza di due, e fino di tre pollici, come fino ai quattro fi fpinge dal tubo fteffo 1' elettricità fcuoten- te nell'oppono quadro fenza apparenza di fcintille (/o/r^w. 6.). E perciò la refinofa elettricità , anche in tal forta di condot- tori fenza punte, fi difperde,o pafi'a fenza fl:repito di fcintil- le nell'oppoflo quadro, o in altro condottore a diftanze dop- pie , e per fino triple di quelle , che alla fcintilla corri- fpondono .

Osservazione 2.

Riduciamo qui pure in tavole a norma del teor. XIV. dal primo all'ultimo i termini delle fcariche , colle quali fi efau- r"i la carica nelle ferie precedenti imprefla con refinofa elet- tricità.

^ contatto. Poli. 1. Poli. I. Poli. i|. Poli. 11. Poli. ii|-. Poli. iii. Poli. \\\\. Poli. iv. Poli. \v\. Poli. v. PoILvl

zrsj.. 4... 3... I...;C...o... 0...O...O...0...0...0

^... X . . . 7. . . . \ . . .X. . . 0...0,..0...0...0...0

= 7 = 8

= 9-

5 6.

4 5-

4' 3-

. 2 . X.

I

X

X

X

X

X

X. X .

X X

.X o

Cjale=: 29 . . 20 , . . 16 . . IO

Osservazione 3.

Confrontando con quefie , che fono proprie delle quattro ultime ferie , le ofTervazioni ,e le tavole delle ferie precedenti di refinofa elettricità , ne rifuitano i più ovvj rapporti del- la fteffa fpecie in tutte le differenti fue preparazioni , come ne' feguenti

55 Memoria

Corollari.

CoROLL. I. Nella ftefla fpecie di refinofa elettricità fé fi conlìderi la femplice ragione delle diftanze nelle forame loro confufe,il condottore terminante in punta imprime la carica neir oppoflo quadro con forza ottupla, che non quando ter- mina in globo, odia sferica, o altra piana fuperlicie .

Nella fomma delle ferie con punta di refinofa elettricità fì. trova fino ai pollici 24 l'ultima fcoffa tratta 'dal quadro (teor. XIV. n. i. ) ; e nella fomma delle ferie del condottore terminante in globo, 0 in piana fuperficie non lì trova l'ul- tima fcofla limile al di là dei pollici ^ (ojf. z.prcc.) .E' dun- que come 24:3.

CoROLL. 2. Se nella ftefTa ragione fi paragonino i termi- ni corrifpondenti nelle fomme delle ferie di punta , e di fu- perficie terminante il condottore non ha la punta di refino- la elettricità fé non forza circa quintupla della sferica,© pia- na fuperficie per imprimere la carica nell' oppofio quadro .

Intendo per termini corrifpondenti i numeri prollimi nelle fomme delle fcariche.Ora nelle ferie di punte (tcor. xiv. n. i.) fotto i pollici otto vi è la fomma ^6 , cioè la pili profiima alla fomma 29 del primo termine delle ferie ultime (0^ 2. ) . Ma dai pollici otto finifce ai 24 1' ultima fcoira,che qui fi- nifce ai pollici 3 . Dunque le difianze fono come 16: 3, le quali ragguagliate per Ja maggiorità del termine 36 fopra il zg , poilono ridurfi circa come 15: 3

CoROLL. 3. Se nello fteflb modo fi paragoni diftintamen- te l' azione della punta con certa grandezza di sferica , e pia- na fuperficie, fi riconofce i. la forza della punta poco meno di fettupla del globo; 2. quintupla della fuperficie di quarto; 3. poco più di quadrupla della fuperficie di metà; 4. e più di fettupla dell' intera fuperficie uguale all' oppofia armatura.

1. Nella ferie 5 (tcor.xir. n.i) il termine di fcofiè cin- que è ai pollici 14; e r ultima fcofia arriva fino ai 24 , e benché nelle ferie feguenti non fi trovi il precifo termine di cinque , pure fé C\ prendano le difianze medie tra il termine proflirao e V ultima fcofla , può con ficurezza afllmierfi di pollici IO la difianza fra il termine di cinque all'ultima fcof-

fa,

SOPRA L* elettricità'. 57

fa . Ma nella ferie 1 5 {oj]'. prec. ) dal termine primo di cin- cue l'cariche fino all'ultima col globo non vi è che la dirtan- za di pollici I 7 ; dunque riduceiido fono le diftanze come 20:3, cioè la prima poco meno di fettupla .

2. Nella ferie 7 il termine di lette fcollé dai pollici 8 arriva fino ai 18 coli' ultima fcoffa ; e ragguagliando gli al- tri termini proflimi fi trova poco più di dieci pollici la diftan- za loro dall'ultima . Ma nella ferie 16 con fuperricie di quar- to dal primo termine di fette fcariche ali' ultima fcofla non vi fono che pollici 2; dunque non è che quintupla in ragio- ne delle diftanze.

3. Nella ferie 6 ai pollici S vi è il termine di otto fcof- fe , che eftende fino ai 21 1' ultima fcoflii ; ed è perciò la diltanza di pollici 13 . Ma nella ferie 17 con fuperficie di metà dal primo termine di otto arriva fino ai pollici 3 l'ul- tima fcoffa; dunque la ragione delie diftanze è come 13: 3, ■cioè poco pili di quadrupla .

4. Nella ferie 7 e 8 ai pollici 4 vi è il termine di no- ve fcariche, e nella ferie 5 è ai pollici 8. Ora come in qtiel- le dai quattro all' ultima fcoft!a vi fono 14 pollici , così in queila dagli otto all' ultima vi fono pollici ió:che per ade- quato lì riducono ai pollici 15 . Ma nella ferie 18 dal pri- mo termine di nove fcoftè fino all' ultima fono pollici 2 . Dun- -que è la ragione delle diftanze come 15 : 2 , cioè piìi di fettupla .

CoROLL. 4. Ma la punta ftefl'a nell' imprimere nell' op- pofto quadro la carica non eftende nel frappofto mezzo lo flrepito di fcintilla fé non a diftanza fubquadrupla, e perfino lubottupla della rotonda, o piana fuperficie.

Poiché colle punte lo ftrepito della fcintilla non oltrepaf- fa la diftanza di tre linee (Ccip. L ojf. 7. ti. i.) . All' oppo- fto col condottore terminante in globo fi eftende tra quefto e il quadro la fcintilla per lo meno ad un pollice, e con pia- na fuperficie per fino ai due pollici (ojj'. i «. 6.). j.. CoROLL. 5. Ed un globo di mezzo pollice , che efterior- mente a fianco li prelenta al condottore terminante in pun- ta , non comincia a fcemarne notabilmente l' elettricità , fé non a diihnza fubdupla , che non quando il condottore imprime nell'oppofto quadro la carica con rotonda, o piana fuperficie. Tomo II H

! 58 Memoria

Finché verfo 1' oppofto quadro vi è punta quel globo, che di fianco fi prefenta , non comincia a fcemar notabilmente r elettricità del condottore fé non a diflanza d'un pollice e mezzo {Cap. I. ojf. 7. ». 2.), e quando al quadro quel con- dottore oppone la rotonda , o piana fuperficie , ne fcema quel globo fteflb r elettricità per fino alla dilbnza di tre pollici ( of I. n. 6. 7. )•

CoROLL. 6. E tra quel globo e il condottore quando ter- mina in punta non ifcoppia la fcintilla , fé non a diftanza fubdupla , e per fino fubtripla , che non quando il condottore fteflb imprime nell' oppofto quadro la carica con rotonda , o piana fuperficie.

Qiiando il condottore oppone all' oppofto quadro la punta non ifcoppia la fcintilla tra il condottore e il globo , che a fianco [\ prefenta , fé non a diftanza di due linee , e al più di quattro ( Cap. l. oJf. 7. «. 2. 3. ) ; e fcoppia la fcintilla fi-efla anche a diftanza maggiore d' un pollice, quando il con- dottore ftefib imprime nell' oppon:o quadro la carica con ro- tonda, 0 piana fuperficie ( oJf, 1. n. j. ) .

CON VITREA ELETTRICITÀ'.

Preparazione. La Jiejfa , che nella ferie 15. SERIE 19.

1, A contatto con quindici giri s'imprefTe tanta carica , che finì in nove fcariche della boccetta ; a mezzo pollice in otto ; ad uno in fette ; ad uno e mezzo in tre ; ad uno e tre quarti più niuna fcofla neppur nel folo quadro . A due pollici non fi ottenne più dal quadro neppure il menomo cenno di luce .

2. Fino a mezzo pollice ad ogni giro fcoppiò viviffima la fcintilla tra il globo ed il quadro . Ad un pollice fu egual- mente forte, e non molto più rara, cioè ogni tre giri fcop- piarono incirca due fcintille . Ad un pollice e mezzo fi fe- ce più grave il tuono, e più raro lo fcoppio della fcintilla.

sopn.A l' elettricità'. 59

talché appena una ne faltò ogni tre , o quattro giri : ad un pollice e tre quarti fvani ogni fcintilla, né vi fu indizio di Ipruzio veruno .

g. Anche qui alle fcintille precede 1' inclinazione , o ac- coramento del quadro , e la lua relHtuzione nell' atto dello fcoppio . Fu r inclinazione , o accoftamento affai più notabi- le, che nella re(inof;i , che a quefKa corrifponde .

4. Il pendoletto , che qui pure fta all' efferiore armatu- ra del quadro in mezzo ai due fili metallici , fi fcoftò nell' atto dei giri , e continuò a fcoffarfi anche al di là di due pollici, quando più non s' impreile nel quadro neppure cen- no di luce . Dalle prime alle ultime diffanze fu qui lo fcofta- mento del pendolo all'ai maggiore , che non fu mai colla re- linofa elettricità; e li mantenne anche finiti i gin del difco.

Prkparazione.

La medefima della fais 16. SERIE 20.

1. A contatto s' impreffe carica, che finì in tredeci fca- riche della boccetta; a mezzo pollice in dieci; ad uno in ot- to ; ad uno e mezzo in lette ; ad uno , e fino ai due e mezzo in cinque ; ai tre in due ; ai tre e un quarto in una ; ai tre e mezzo fola Icoffa nel quadro . Ai tre e tre quar- ti appena un cenno di luce nel quadro . Ai quattro più nulla .

2. Continuo fu Io fcoppio di fcintille viviffìme fino ad un pollice; nelle fucceffive dilìanze iì fecero alquanto più gravi, ma non molto più rare lino ai due pollici , e continuarono a fpruzzo , e a fcoppio ferpeggiante perfino ai pollici tre e mezzo , ma ognora più gravi , e rare .

3. L' inclinazione .0 l' accoftamento del quadro corrifpon- de alla forza delle fcintille fino alla diftanza d' un pollice e mezzo; ma più in là fu l' accoftamento affai minore, che non furono le fcintille, e la carica impreffa nel quadro.

H ij

6o Memoria

Preparazione.

Come nella ferie 17.

SERIE 21.

I.. A contatto finì la carica in tredeci della boccetta ; x mezzo pollice in nove ; ad un pollice , e ad uno e mezze in otto ; ai due in fette , e fino ai tre pollici fi ebbero poco- di meno . Ai tre e mezzo in tre . Ma ai tre e tre quarti appena vi fu fenfo di fcoffa nel folo quadro . Dai quattro poi fino ai cinque pollici appena vi fu un cenno di luce neppur pungente nel folo quadro .

2. Scintille tridenti , e acute fino ad un pollice e mez- zo ; e continuano fimili fino ai tre pollici, fé non che C\ fan- no fucceffivamente di tuono più grave . Dopo i tre fi fanno anche più rare fino ai tre e mezzo . Fino ai quattro fi fen- te lo fpruzzo d' una fcintilluzza; e più in là non refla icnio^ di fpruzzo veruno .

3. L' accoramento del quadro fu ognora più notabile , che nelle ferie precedenti . Ma dopo un pollice e mezzo fu affai indebolito , e s' indebolì vie più nelle fucceffive diftanze , benché continuaffero vive le fcintille , e la carica impreffa ik1 quadro ..

	Preparazione
'( •■■1;	Come nella ferie 18.
[ ;'■■■	SERIE 22;:"

1. A contatto finì la carica in tredeci come fopra ; a mez- zo pollice in nove; ad uno in fei; ad uno e mezzo in cin- que ; ai due in tre ; ai due e mezzo in due ; ai tre in una ; ai tre e mezzo fola fcoffa nel quadro ; ai quattro ancor fcin-- tilla pungente ; e fino ai cinque appena un cenno di luce .

2. Fino a mezzo pollice furono viviffime , e continue le fcintille. Si fecero gravi, e alquanto più rare ad un pollice-

SOPRA l' elettricità'. 6r Indi ad uno e mezzo furono graviliime , e ancor piìi rare, talché ai due poilici una appena ne fcoppiò ogni fei giri . Ai due pollici e mezzo non li fentì , che qualche fpruzzo in- terrotto, e grave; e piii in là dei tre pollici non vi fu nep- pur fenfo di fpruzzo .

3. A mezzo pollice fu tanto forte la mutua attrazione della fuperlìcie , e del quadro , che quella ii fpingeva innan- zi follevando la bafe del condottore, benché lì caricadè d'un grave pefo ; né il quadro li poteva fermare premendone i due angoli fup?eriori con tutta la forza dell' indice di ambedue le mani. Ad un pollice continuò affai forte; e tanto qui come ad un mezzo pollice ad ogni fcoppio di fcintilla fi reftituì al folito la fuperficie , e il quadro ; onde furono continue , e grandi le loro ofcillazioni . Ad un pollice e mezzo fcemaro- no , e così fuccelfivamente in proporzione delle fcintille , e della carica imprefTa nei quadro.

Osservazione 4.

Raccogliendo qui pure alcune oflervazioni comuni alle quat- tro ultime ferie di vitrea elettricità le paragoniamo alle cor- rifpondenti di refinofa .

1. Lo fcoftamento di quel pendoletto , che notato abbia- mo nel n. 4 della fer. 19, fegue in tutte quefte , tinche con- tinuano i giri, a mantenerfi aflai più notabile, che nelle pre- cedenti di refinofa , e molto al di là delle diftanze, nelle qua- li s'imprime carica, o luce nel quadro. Né qui col finir dei giri cade fubito tanto nelle prime, come nelle ultime diftanze .

2. E fimilmente in tutte le diftanze replicai le prove del- le fcariche , e delle fcintille imprelfe nel quadro ; né trovai nel numero, e nella forza loro veruna differenza, comunque toglieffi pre\iamente ogni elettricità al tubo , e alla annefla fuperficie , ovvero ivi lafciafli tutta l' elettricità , che fi con- ferva lungamente .

3. Le attrazioni , e adefioni tra la fuperficie e 1' arma- tura del quadro fuHìftono foltanto , finche durano i giri , e fino allo fcoppio della fcintilla , come accade nei combacia- fnenti del filo nella fer. io. Nel che fi diftinguono dalle ade- sioni , e attrazioni tra V armatura e la nuda fuperficie del

H iij

6i Memoria

quadro, e da ogni genere di adefione tra il cufcinetto, il ve- tro con effo ftroffinato, e tra molte lamine refluenti, o an- che fogli di carta ftroffinati inlìeme uno fopra 1' altro. Nei quali cali, e altri funili fuffifte l'adefione anche finiti i gin, e dopo tratta la fcintilla.

4. Crefcono qui quelle attrazioni con forza forprendente , e all'ai pili che nelle corrifpondenti di relìnofa . Confervano però lìniilmence certa proporzione colla maggior eftenlione delle oppofte fuperficie , e colla, quantità di elettricità pro- cedente dal condottore . Talché non fembrano foflenerfi , che per la viva, e continua permutazigne di foftanze , ovvero dei foggetti della loro mutua azione, die in tal atto, e in con- veniente quantità trapalano da una in altra fuperficie . In vero tanto nel filo della fer. io , come nelle ferie ultime fé debole fi rende T elettricità , tanto meno è notabile V adefio- ne , e in fine diviene infenfibile e nulla.

Sembra impolfibile , che nafcere poflà , o forte nerfi 1' idea di fluido unico , ed efpanfivo in mente di chi veduto abbia da principio, o in fine veder voglia fenomeni tanto infigni , e collanti di mutua azione . Avrei deiiderato di milurare con qualche precifione la forza, corrifpondente alle fuccefllve gran- dezze di fuperficie , e alla quantità di elettricità ; ma non ebbi campo di fare per ciò le opportune preparazioni .

5. Le anomalie , che notate abbiamo nella frequenza , e nella forza delle fcintille tra la fuperficie e '1 quadro nelle fuccefllve diflanze , non cominciano qui dalla fuperficie di me- tà , come nella refinofa , ma dalla ultima fuperficie intera. Poiché nella fer. 20, e 21 fi efiefero le fcintille, e gli fpruz- zi per fino ai quattro pollici ( ivi n. 2.>, e nella fer. 22. n. 2. non arrivano piìi in là dei tre pollici.

6. Paragonando le difianze , nelle quali fcoppiano,o fpruz- zano le fcintille tra la fuperficie e il quadro in tutte le fe- rie di vitrea elettricità, corrifpondono quelle appuntino alle diftanze , nelle quali fegue ad imprimerfi alcuna forza fcuo- tente nello fielTo quadro. Poiché dalla fer. 19 alla 22 n. i, e 2 fvanifce quefta nel momento , che finifcono gli ultimi fpruzzi delle fcintille . Onde la vitrea elettricità non fi rac- coglie qui neir oppoffo quadro, fé non a diftanze, e in co- pia proporzionali al numero, e alla forza delle fcintille.^

SOPRA l' elettricità'. 63

7. Picfentando qui pure al tubo , o all' anneffa fuperiicie una fpranga metallica terminante in 'globo groiTb mezzo pol- lice ne ebbi fcintille vivillime, e veramente Icuotenti, e fer- peggianti fino alla diftanza di tre pollici maffime nell'ultima ferie . Non ho mai altrimenti offerN-ato verun modo di ele- vare al fommo la capacità d' un condottere, quanto nell' ul- tima preparazione , in cui queito prefenta a certa diflanza un' uguale fuperficie all' oppofto quadro . E in qued' ultima ferie la fcintilla dalla fuperiicie al quadro non ifcoppiò notabilmen- te al di là di tre pollici ; onde fembra , che le anomalie di maggiori difianze nella ferie 20 , e 21 notate più fopra al n. 5, lìccome le corrifpondenti , che notate abbiamo al n. 5. della off. I , dipendano da certa grandezza di fuperficie op- pofte , o prefentate . E perciò riflringendoci all' ultima prepa- razione troviamo , che nella vitrea elettricità la fcintilla tra il condottore e 1' oppolio quadro non ifcoppia a diftanze molto maggiori , che non tra il condottore medelimo e tale globo, che efteriormente fi prefenta.

8. Quefto globo però, che al condottore fi prefenta, non fa in edb notabile diminuzione di elettricità nelle maggiori didanze , finché non incomincia a trarre qualche fpruzzo o flridore di fcintilla. Siccome dal condottore fteflo non fi fpin- ge neir oppofto quadro veruna forza di carica, fé non a di- Itanze corrifpondenti allo fcoppio , o fpruzzo delle fcintille ( fopra n. 6. ) . Onde anche in tali forme di condottori la vi- trea elettricità non fi difperde , né pafia tacitamente , come la refinofa , nell' oppofto quadro , o in altro condottore fé non a diftanze proporzionate allo ftrepito , e fcoppio delle fcintille.

Osservazione 5.

Riduciamo fimilmente in una tavola i numeri , che efpri- mono la forza fcuotente nel quadro imprefta con vitrea elet- tricità nelle fuccefllve diftanze.

(54 Memoria

A contatto. Poli, i- Poli. i. Poli. i\. Poli. ... Poli, uf . Poli. m. Poli. .u|-. Poli. .r. Poli, .v -^ Poli. v. Poli, vi- Poli. n. Ser. 19- 9-- 8.. 7.. 3...0...0...0...0...0...0...0...0...0 Ser.20=^i3.. io.. 8.. 7... 5 . . . 5 • • • ^ • - • Z. . . o . . . o ... o ... o ... o Ser.2i = i3-. 9-- 8.- S... 7 . . . 7 • • • 6 • • • 3 • • -^^ • • • '"^ ••• ^ ••• ° •■• °

Ser. 22 = 15.. 9.. 6.. 5---3

I

X . . .X. . . X ... X ... o ... o

Totale = 48.- 3Ó.. 29.. 23.. 15. . . 14- • • 9 ■ ■ ■ 3

Paragonando la ferie 21 colla precedente 20 , e colla fe- euente\2, nelle quali i primi termini a contatto fono egua- li refta evidente, come qui fopra accennai (n. 7. ) , che le diftanze, alle quali s' eftendono le fcintille,e le cariche cor- rifpondenti tra il condottore e l'oppofto quadro, o altro con- dottore, dipendono da certa grandezza, e proporzione delle fuperficie oppofte , e prefentate, e non dalla fola quantità di elettricità.

Osservazione. 6.

E confrontando quefte , che alle quattro ultime ferie ap- partengono , colle tavole, e offervazfoni delle ferie preceden- ti di vitrea elettricità deduciamo i rapporti della iteiia Ipe- cie nelle diverfe preparazioni ne' feguenti

.. Corollari.

■ CoROLL. i. Nella fleffa fpecie di vitrea elettricità fé fi confideri la femplice ragione delle dirtanze nelle fomme loro confufe il condottore terminante in punta imprnne la canea nell' oppofto quadro con forza poco più di quintupla , clie non quando termina in globo , oiìia sferica , o altra piana

'""Ndlf tavola delle ferie con punta di vitrea elettricità fi trova foltanto ai pollici xvm il termine fommato di 3 kan- che tratte dal quadro (U.r.xiK. n. ^. ) . E nella tavola de^ le ferie di fimile elettricità col condottore ternimante in |lo- bo , e in piane foperficie ii trova il termine di tre icanche ai follici IH i ( of,.prec. ) . E' dunque la relativa forza je 1 8 : 3 i , e ridaccado come 36 : 7 ; cioè poco più di q^^"JJ^P|_^^-

SOPRA l' elettricità' 6^

CoROLL. 2. Che fé nella fì-efTa ragione diftintamente fi pa- ragonino i termini corrilpondenti nelle fomme di quelle ta- vole , non hanno le punte di vitrea elettricità fé non forza poco meno di quintupli delle sferiche , o piane fuperficie per imprimerne la carica nell' oppofto quadro .

Prendiamo nelle fteffe tavole i numeri eguali ,0 piùproffimi che nelle fomme dei primi, ed ultimi termini fi corrifpondo- no . Nelle ferie di punte ad un pollice vi è la fomma 45 , che è la più profTima alla fomma 48 del primo termine del- le ferie di fuperficie . Ma in quelle arriva fino ai pollicini 7. Dunque fono Je diftanze pollici i 7 : 5 -^ , le quali ridotte co- me 34: 7 fono in minor ragione di quintupla . Può per al- tro accrefcerfi alquanto tale ragione per la differenza dei ter- mini primi 48 , e 45 , che porterebbe di più una fedicefima d'un pollice nel numero 34, o di meno nel numero 7.

CoROLL. 3. Che fé nello ftefio modo fi paragoni diftin- tamente la forza delle punte con ciafcuna grandezza di sferi- ca , o piana fuperficie , fi riconofce la forza delle punte i. circa quadrupla del globo; 2. e fimilmente quadrupla del- la piana fuperficie di quarto ; 3. più di tripla della fuperficie di metà ; 4. e quintupla dell' intera fuperficie uguale all' op- pofi-a armatura .

1. Nella ferie io il termine di fcofle 9 è ai pollici 11 , e il termine di fcofle 3 ai pollici vin; e benché nelle ferie feguenti non s' incontrino in una fteffa ferie i termini preci- fi di 9 , 63, pure fé lì prendono le diftanze medie tra il primo e l'ultimo dei termini pro(rimÌ5fi trova in circa ade- quata la diftanza di quella prima ferie di pollici vi.

Ma nella ferie 19 col globo tra il primo termine 9 e r ultimo 3 vi e la diftanza di pollici i ^. Dunque ridiicendo fono le diftanze incirca come 12: 3 , ed è perciò circa qua- drupla la ragione loro .

2. Non fi trovano in ne/Tuna delle ferie di punta efatti i termini di 13 fcariche, e 2 in fine, come nella ferie 20 con fuperficie di quarto, fra i quali terminila difranza è di pollici iii.

Ma ragguagliando le ferie io, 11 , e 14, nelle quali fono i termini più profiìmi ai 13,6 2, fi trova tale diftanza tra i pollici vili , e XIV , cioè verfoi pollici xii. Onde rifulta in- circa quadrupla la ragione loro.

Tomo IL i

66 Memoria

3. Nella ferie io fono precifamente i termini 13 , e 3 alla diftanza di pollici viii. Nella ferie 11 tra i pollici viii , e XIV; e nelle ultime fono pure verfo i pollici xiv.Può quin- di prenderli circa di pollici xii 1' adequata diftanz.i di que' termini .

Ma nella ferie 21 con fuperficie di metà tra il primo 13 e r ultimo 3 vi è la diftanza di pollici in \. Dunque ridu- cendo è la ragione loro come fono le diftanze 24 : 7 , cioè più di tripla .

4. Nella ferie io, e 11 in fine fono i termini precifi di 13, e I alla diftanza di xiv pollici . Per le ferie 13, e 14 fembra poteri! eftendere ficuramente di pili oltre i pollici xv.

Ma nella ferie 22 con fuperficie intera eguale all' oppofta armatura non vi fono, che pollici ni fra i termini 13, e i. Dunque in ragione delle diftanze farebbe la relativa loro for- za come 15:3 cioè quintupla.

CoROLL. 4. Ma la ftefta punta nell' imprimere nell' oppo- flo quadro la carica non eftende nel frappofto mezzo lo ftre- pito di fcintilla , fé non a diftanza fubdupla , e perfino fub- quadrupla della rotonda, o piana fuperficie.

Dalla punta del condottore all' oppofta fcoppia la fcintilla fino alla diftanza di linee nove {Cap. 1. off. \i.n.\.)\ e dal condottore fteftb terminante in globo , o in piana fuperficie fcoppia a diftanza d' un pollice e mezzo , colla quale è fub- dupla; e al più di tre pollici, coi quali è fubquadrupla {off. 4. n. 6.).

CoROLL. 5. Ed un globo di mezzo pollice, che efterior- mente fi prefenta a fianco del condottore terminante in pun- ta, comincia a diminuirne l'elettricità a diftanza fubtripla, che quando il condottore fteftb imprime nell' oppofto quadro la carica con rotonda , o piana fuperficie .

Col globo, che a fianco ^\ prefenta, non comincia nel pri- mo cafo a fcemarfi 1' elettricità del condottore , fé non alla diftanza di un pollice {Cap.I.off. 11. «.2.3.) ; e nel fecondo cafo comincia a fcemarfi fino alla diftanza di pollici tre ( off. 4. n. S.) , alla quale diftanza fegue ad imprimerfi la carica ( ivi n. 6.).

CoROLL. 6. E tra quel globo , che fi prefenta, e '1 con- dottore terminante in punta fcoppia la fcintilla a diftanza

SOPRA l' elettricità'. 67

fubtripla , che non quando il condottore fteflb imprime nell' oppoflo quadro la carica con rotonda , o piana fuperficie .

Con punta al condottore fcoppia la fcintilla a diftanza d' un pollice [Cap.l.ojf. ii.n. i-). Ma terminando il condottore in rotonda , o piana fuperficie fcoppia la fcintilla tra quella e il globo, che ii prefenta , oltre la diftanza di pollici tre (o^ 4. ». 7.).

Osservazione 7.

Confrontiamo in fine le ultime tavole di refinofa,e di vi- trea elettricità nelle oppofte fuperficie per compiere le pro- pofte induzioni , e dedurne i generali refultati , e le diftinte loro proporzioni .

TEOREMA XIX.

In tutte le ferie con fuperficie di refinofa elettricità le progrelfioni della carica imprefta nell' oppofto quadro eccedo- no le corrifpondenti progreftioni con fuperficie di vitrea.

I. Riduciamo tutti i primi, ed ultimi termini alle rifpet- tive diftanze nelle tavole di refinofa (0^ 2.) je di vitrea elet- tricità ( ojf. 5. ) .

Gli ultimi cenni di luce fi eftendono colla refinofa fino ai poli. 6

Gli ultimi cenni fimili colla vitrea non ol- trepalFano i poli. • • . y

L' ultimo grado di forza fcuotente X nel quadro colla relìnofa poli. 4

L' ultimo grado fimile colla vitrea non ol- trepaflfa i poli. , . . 3 i

L' ultima fcolTa nella boccetta arriva colla refinofa fino ai poli. 3

L' ultima fcofta fimile colla vitrea {\ ha fi- no ai poli. ... 3 I

Totale poli. 13: 12

I ij

68 Memoria

2. Sarebbe maggiore della vitrea la fomma delle diftanze di refinofa , quando anche i primi termini dell' una e dell' altra foflero uguali . Ma nella refinofa la fomma dei primi termini non t che 29 , e la corrifpondente alla vitrea è 48. Supponendo per ora il valore di quelli numeri proporzionale alle loro unità ( la quale fuppofizione fcema anche pili del giufto i mutui rapporti ) , e calcolandone le proporzioni col- le femplici ragioni delle diftanze, e delle forze fuppofte cor- rifpondenti ai primi loro termini , dobbiamo invertere quefti numeri, e comporli colla ragione delle diftanze. Sarà dunque la relinofa alla vitrea come 13X48:1^X^9 = 624:348 = 52:29.

3. Ed efprimendo quefta ragione con fenomeni di cariche , farà la refinofa alla vitrea come una carica equivalente a 52 di quelle unità ad altra carica equivalente a 29 delle ftelfe unità .

4. Prima di confrontare i termini corrifpondenti , ofier- viamo , che le contrappofizioni tra la relinofa e la vitrea elettricità non concorrono fimilmente , anzi in qualche modo fi oppongono a quelle, che oftervammo nel n. 7. del Teor. XIV. Per rendere ciò più evidente riduciamo in una tavola tutti que' numeri dal contatto fino alle ultime diftanze colle fra- zioni profilmamente indicanti le rifpettive diftèrenze tra i ter- mini , che immediatamente fi fuccedono .

Refinofa A contatto Vitrea

Differenze	29 .	Primo termine	48	Differenze
•7 — 9		20 .	. . Poli.	f a * *	36	:	12 ~
7 — 4		16 .		I . . .	29		7 = T
-, -r- 6		IO .		I-: •	23		6 — •
-, — 6		4 •		II	15	=	S — I.
	—	2 .		ni-.	14		I — in
— — I		I .		Ili .	9		5 = -,
I	=_	X .		IH-;.	• i		6 — -,
0	____'	X .		IV . .	X		2+X

SOPRA l' elettricità'. 6^

Rintraccieremo in feguito la caufa tanto delle prime , che delle nuove contrappolizioni , e anomalie. E frattanto in pro- polito noftro vediamo , che nei fucceffivi termini delle due fpecie è mal ficuro il confronto tanto in ragione del nume'- rico loro valore , che delle di^anxe ; poiché non feguono effi verun andamento collante fecondo quelle femplici ragioni .

5. Contuttociò raccogliendo gli eftremi delle fomme cor- rifpondenti fono nella relinofa dal primo termine all' ultima fcoifa di boccetta pollici tre , e all' ultima di quadro pollici quattro ; e nella vitrea dal termine corrifpondente 29 , che nelle fomme è alla diftanza d' un pollice , fino alle ultime fcofiè tanto di boccetta , che di quadro , fono pollici due e mezzo . Onde riducendo le ragioni fono come .... 6:5 e come 8:5

e nella fomma totale come 14:10

e componendole fono come 48:25.

6. E confrontando nelle ferie diftinte ciafcun termine , o numero corrifpondente fono le diftanze

Ser. 15. Dalle cinque all' ultima pollici i \ Ser. 19. Fra i termini proflimi alle cin- que all' ultima poli o \

Ser. 16. Dalle fette all' ultima poli. . 2

Ser. 20. Dalle fette all' ultima poli. ...14

Ser. 17. Dalle otto all' ultima poli. , 3

Ser. 21. Dalle otto all' ultima poli. ... 27

Ser. 18. Dalle nove all' ultima poli. . 2

Ser. 22. Dalle nove all' ultima poli. . . . 2 {•

Totale . . Poli. 8 f : 7=17:14

E componendole fono come 288 : 75 , proflìmamente =14:1.

7. Onde benché i rapporti delle difìanze , e del numeri- co valore de' termini non comprendano fé non in parte le ve- re proporzioni delle due fpecie di elettricità ; ciò non pertan- to in quallìvoglia calcolo delle loro ragioni riconofciamo la relinofa maggiore della vitrea . Non altro pertanto ci rima- ne, che di raccogliere ne' feguenti teoremi le funzioni di tut- ti i termini , che a compiere quella maggior ragione con- corrono .

I iij

yo Memoria

TEOREMA XX.

Raccogliendo infieme ]e combinazioni di purfte,e di fuper- fìcie a vicenda oppofte rifuitaao le punte, e fuperficit di re- lìnofa elettricità fuperiori alla vitrea i. nelle femplici ragioni delle diftanze ; 2. nel confufo valore della numerica loro ef- predìone ; 3. e nelle complicate funzioni de' fenomeni .

1. Primieramente nelle combinazioni di punte , e di fu- perficie oppofte a punte {teor.xiF.n. i-) fono le difVanze nel- la fomma de' termini corrifpondenti dalla relìnofa alla vitrea elettricità di pollici 53^3^

E nelle combinazioni di fuperficie a vicenda op- pofte fecondo le ragioni degli ultimi cenni di luce , e delle ultime fcofFe della boccetta , e del quadro {tcor. 19. «. I.) fono poli 13:12

E nelle fomme de' termini corrifpondenti ali' ultima fcoffa della boccetta, e del quadro (ivi». 5.) compofte infieme fono 48:25

E fommate (ivi) fono poli 14:10

E nel confronto de' termini corrifpondenti alter- namente fommati infieme ( ivi n. 6. ) fono polL 81:7, oflìa 17:14

Onde nelle femplici ragioni delle diflanze fono le fomme 145 : 93

2. E nuovamente nelle combinazioni di punte fono nel confufo valore della numerica loro efpreinone

{teor. XIV. n. 4. ) come 225 : 144

E nelle combinazioni di fuperficie fono {tcor. prec. n. 2.) come . 52 : 29

E perciò fommate infieme fono . . . totale 277 : 173 Le quali ridotte a minimi termini fono profll- mamente come 27 : 17

3. Ed efprimendone il valore con le complicate funzioni di fenomeni Ci ridufie la refinofa tanto fuperiore alla vitrea nelle combinazioni di punte ( tcor. xiv. n. 5. ) 5 quanto lo è una carica efprefia con 225 ad altra efprefla con 144 di quel- le unità .

SOPRA l' elettricità'. 7I

E fu fìmilmente nelle fuperficie ( teor. prec. n. 3. ) la refino- fa tanto fuperiore alla vitrea , quanto una carica equivalente a 52 lo e ad altra equivalente a 29 di quelle unità.

Quindi fommando e riducendo come fopra a minimi ter- inini fono come 27:17.

4. E lìccome non lì ce/ca qui fé non la complicata fun- zione de' fenomeni, fi combineranno i precedenti numeri in- fieme colla moltiplicazione, invece della femplice fomma ; in- di 11 efprimerà la proporzione loro in fenomeni di cariche equivalenti ai numeri 225X52, e 144X ^9 = 1 17°° •4i7<5 che e più di dupla.

TEOREMA XXI.

Che fé infieme C\ compongono le femplici ragioni delle di- fl-anze col confufo \'alore della numerica efpreflione, e colle complicate funzioni de' fenomeni, rifultano in tutte le prece- denti combinazioni vie più infigni le varie ragioni di fuperio- rità della relìnofa fopra la vitrea elettricità .

1. Per raccogliere infieme le precedenti ragioni fommando farebbero nel precedente Teorema n. i, 2, e 3. . 145: 93

27: 17

27: 17

Totale 199 : 127

2. Ora moltiplicando le femplici ragioni delle diftanze pel confufo valore della numerica efpreflione ridotta farà »45 Xi7: 93 X 17 = 3915 : 158 1 .

Che fé quello il moltiplichi per 1' efpreflione de' fenomeni ridotta iimilmente in numeri 27 : 17; rifultano i prodotti 105705 : 26677 •

I quali fono profllmamente in ragione quadrupla.

5. Se poi quel primo prodotto .... 7840:2697 fi fonimi col prodotto de' fenomeni ( teor. prec.

«•4) 11700:4176

farà la ragione delle fomme 19540:6883

cioè profllmamente tripla.

Onde e fommando , e moltiplicando rifultano vie più in- figni , e varie le indicate ragioni .

1% Memoria

TEOREMA XXIL

Non meno quefte femplici ragioni fommate , che i loro pro- dotti fi approffimano colle corrifpondenti proporzioni , che dedotte abbiamo nella prima Parte , e fi ragguagliano infieme .

1. Se nella prima Parte ( ?eor. /. ) fommiamo le fole prime ragioni delle diftanze di piena carica , di metà, e dell' ulti- ino termine della fcofia fenza veriin riguardo alle feconde ra- gioni dell' ifolamento, colle quali furono compofte, abbiamo le ragioni 4:2

8: 6

Totale 19 : 14

Similmente fé nel Teor. XIV. n. 3., e nel Teor. XIX. n.

1 , 5 , e 6 fi fommino le l'empiici difianze , e fi lafci fuori

la ragion compofla di 48 .-25, abbiamo . . , . 53:32

13 : 12

14 : IO

17=14

Totale 97:68 Sommando colla precedente 19:14

abbiamo l' intera fomma 116:82

la quale divifa per due ci fomminiftra la raggua- gliata ragione . . . , =58:41

e ridotta a minori termini dividendo per tre re{la= 197:13-7. poco diverfa dalla prima.

2. Fu nel Teorema I. colla moltiplicazione delle diftanze per r inverfa degl' ifolamenti dedotta la ragione di que' feno- meni quadrupla.

E fimilmente nel precedente Teorema n. 2, per la mol- tiplicazione delle diftanze colla numerica efprefTione de' feno- meni ridotti fi ebbe la comporta ragione profTimamente qua- drupla ; nel che 'ì\ trovano ragguagliate quelle ragioni .

3. In fine del Teorema III. fi calcolò la ragione loro , fe-- condo diverfi riguardi , meno di quadrupla , e più di dupla .

E nel precedente Teorema n. 3 , ficcome pupe nel Teo- rema

SOPRA t' elettricità'. 73

rema XX. n. 4. fi calcolò fìmilinente in adequato poco meno

di tripla.

Onde tanto nelle fomme,che nei prodotti concordano con quelli della prima i riluttati della feconda Parte , e vengono proHimamcnte a ragguagliarli.

TEOREMA XXIII.

Le confufe ragioni ,che dai fenomeni dedotte abbiamo tanto nella prima , che nella feconda Parte , li rifolvono in ragioni di- ftintc riducendone fecondo le nuove tavole del Teorema XVIII a comune mifura i termini corrifpondenti di tutte le premef- fe induzioni.

TEOREMA XXIV.

E con quefle diftinte ragioni lì ragguagliano le proporzioni tutte corrifpondenti alle diverfe preparazioni in ciafcuna fpe- cie di elettricità

TEOREMA XXV.

E quelle diflinte ragioni, ed il ragguaglio loro con le pro- porzioni di refinofa , e di vitrea elettricità nelle diverfe pre- parazioni di ciafcuna fpecie , e nelle corrifpondenti oppolle , riducono a piena evidenza gli elementi d'ogni elettrica azio- ne , che fra le punte diftinti abbiamo nella prima Parte , e ci porgono prevj lumi, e fondamenti (labili dejla nuova teo- ria , che andiamo rintracciando .

Osservazione 8.

Dei tre ultimi Teoremi non foggiungo veruna dimoftrazio- ne. In due afpetti può concepirli la dimofl-razione loro,© ge- neralmente, o particolarmente ; e nell' uno , e nell' altro a- fpetto giudico meglio di ommctterla. Poiché nel primo, fo- no abbalbnza evidenti per sé flefli come canoni di ampiflìme induzioni diftinte, che tutte comprender debbono, ed efauri- re le ragioni d' ogni elettrico fenomeno . Dalla enumerazio- To/m II. K

74 Memoria

ne, e dal compimento di quelle induzioni verranno que' teo- remi più efficacemente comprovati , che non con generiche cfpreffioni di raziocinio . Ed appunto 1' eflenlione ftefl'a , e la moltiplicità di limili prove non ci lafciano qui luogo d' in- traprendere nel lecondo afpetto a dimoftrarli particolarmente. Sono alla terza Parte rifervate le ragioni delle cariche, e fca- riche elettriche , ed alla flefla fi aggiungono altre Memorie fulle ragioni della adelìone ,e dei moti elettrici, e fopra ogni maniera di eccitamento , e di eftinzione delle elettriche po- tenze. Ma quanto ai fenomeni dell'elettrica luce cercherò di ridurli a diflinte ragioni nel feguenteCapo terzo, con cui fin da principio propofi di por termine alla feconda Parte della prefente Introduzione.

CAPO III.

Dei Fenomeni dell' elettrica luce.

PRima delle luminofe fperienze d'i Hauksbee jCray , Dn-Fay , eBofe non diflinfero comunemente iFifici l'elettrica dal- la fosforica luce ; e reftò tuttavia dopo quelle tanta preven- zione per la fuppofla mancanza di calore nell' elettrica del pari , e nella fosforica luce , che fredde iì credettero perfino le metalliche fufioni fatte con elettrica fcintilla ; né vi andò meno de' nuovi, e palpabili cimenti di Kinnersle/ ,e di Prie- fthy per concludere in fine , che fono elle infuocate , ed ar- denti .

Non isfuggirono a Dit-Faj , e a Bofe quelle differenze di figura, di grandezza, e di colore ne' fiocchi , o raggi lumi- nofi , che brillano nelle tenebre agli fpigoli, o alle eflremità degli elettrici condottori ; e ne trafTero indi argomento per diftinguere le due oppode fpecie di elettricità , che nomina- rono vitrea, e re/inofa; le quali furono da Kinnersley , e da le Rqy , e da Sjmmer con piena evidenza dimoftrate meglio colla reciproca loro eftinzione , e colle leggi dei moti loro , che non colle femplici varietà di luce.

Defcriverò io pertanto 1' imprefTione dell' elettrica luce fe- condo la realità de' fenomeni prefcindendo per quanto fia pof- fibile da qualfivoglia efpreluone di ipotetico linguaggio, o di

SOPRA l' elettricità'. 75

fiftematico criterio . E cominciando a ridurre fotto certi ca- pi le circoftanze , che coftantemente, e generalmente produ- cono, o accompagnano qualunque apparenza di elettrica luce, paflerò indi a diftinguerne ordinatamente la varietà, e le dif- ferenze di figura, di grandezza, e di colore; e dal complef- fo in fine delle generali, e particolari leggi di que' fenomeni tenterò di dedurne alcun lume di teorica applicazione.

ARTICOLO I.

Leg^i de' generali fenomeni della elettrica luce .

Nluno pensò fin ora a diftinguere i generali dai partico- lari fenonieni dell'elettrica luce, non che a fidarne di- ftinte leggi . Spererò io d' incominciarne , e di compierne in un fol tempo l'imprefa? Son certo d' incominciarla ; e fia nel rimanente libero ad altri il giudizio o di riconofcerla compiu- ta, o di compierla più felicemente.

Legge Prima . Non v' ha elettrica luce , fé non in quan- to fudifte , cioè o fi eccita , o fi rinnova il moto della flefla. elettricità.

1. Or quefto moto può farfi in due modi, o feparando l'una dall' altra le onpofte fpecie , che ftanno infieme unite, e fpente, ovvero riunendo infieme l'una coli' altra le due fpe- cie , che furono previamente divife , e fciolte . Sì chiamò quel primo da' Frankliniani turbamento di equilibrio, come l'altro fi appella reJìituz.ione , o ritorno all' equilibrio naturale.

2. E quanto al modo primo a niuno è ignoto , che nei lembi della mano, o del cufcinetto , con cui fi ftroffina il ci- lindro, o il difco dell'elettrica macchina ,apparifce luce, fin- ché colla rotazione di quelli fi mantiene vivo il moto della elettricità eccitata . Sprizzano fimilmente or più , or meno , finche tal moto fulfifle , dagli fpigoH, o dalle punte del con- dottore certe lucide fiammelle . Ma cefia ogni luminofa ap- parenza celiando la rotazione, che quel moto produce.

E nel fecondo modo , fé al condottore elettrico fi prefenta altro corpo capace d' indurre moto in quella elettrica poten- za , fi ha fecondo la proporzione del moto fteflb l' elettrica luce.

K ij . ..

7<5 Memoria

3. Ma qui d'uopo è rilevare un capitale errore, che è co- munemente invalfo per mera illufione del Frankliniano lin- guaggio . Tra quel condottore e un corpo refiftente apprefla- to non vi è luce fecondo i Frankliniani , perche in quelto non può fpanderfi ad equilibrio il fluido condenfato in quel pri- mo ; vi è bensì luce tra quello e un nuovo condottore, che fi appreffi, perchè in quello quel fluido più denfo lì fpande, e fi divide .

4. II fatto nella prima fua parte è ordinariamente vero ^ ma falfa è la ragione, da cui lì ripete . E con quefla fallita appun-to lì adottò per contraria ragione come un fatto la fe- conda parte , mentre quella è falfa in fatto, quanto falfe fo- no e quella prima, e quella contraria ragione, d'onde lì de- rivò. Dico dunque, che una sfera metallica, che non oltre- pafTì il diametro di due pollici , purché be'ne ed efattamente ifolata fi appreflì fino a minima diflanza a quel condottore comunque elettrico, non ammette il menomo cenno di luce, come ritirandola dopo tale approffimamento non ritiene la menoma ombra di elettricità . Io V ho provata più e più vol- te, e ne' tempi propizj alla ingenuità degli elettrici fenome- ni mi è collantemente riufcita la cofa appuntino , come 1' af- ferifco ; e fono certilfimo che non riufcirà mai altrimenti a chi vorrà debitamente convincerfene colla propria efperienza.

5. Troppo mi fcoflerei dal propollo argomento fé profe- guir voledi gli accidenti, che in fimil foggia di fperienze oc- corrono variando l'ifoIamenro,e la grandezza, e la figura de' corpi, che fi prefentano. Saranno quelli più opportunamente diiìinti in altre Memorie; ed avvertirò frattanto , che brilla talvolta manifella luce nel condottore elettrico, o nel corpo ifoIato,che ad elfo fi prefenta.Ma ben lunri che ciò accada come i Frankliniani la difcorrono per femplice trapalTo , ed efpaniione del primo fluido , (ì riconofce all' oppoflo per tal atto nel corpo prefentato T elettricità contraria alla prima del condottore ; quando dovrebbe pur trovarfi I' omologa in proporzione della luce , fé nafceflTe quefta , o fi eccitafle per femplice moto e diflribuzione d' un fluido folo .

Le^ge feconda . Ed è del pari necelTario il moto della elettrica potenza , acci^luce fi manifefti i. ne' condottori j 2. ne'refillenti rifpettivamente fra loro 53. ovvero fra gli unij e gli altri alternamente, ■'>

SOPRA L* ELETTRICITÀ. 77

1. Nella confueta macchina elettrica tra il condottore e il dito, o altro condottore non ifolato,che fi avvicini , bril- la continuo fplendore , o fcintillazion , finche fi gira il difco ; cioè finché la caufa fufTifle di moto dell'elettrica potenza fra r uno e r altro condoctore . Celiando i giri del difco non brilla tra il condottore e il dito altra luce , o fcintilla , le non in proporzione del moto , che nella elettricità refidua s' induce col fucceffivo accolbmento d' un efterno condottore .

Simili fenomeni fi rendono pili compofti , ed infigni , fé a proporzionate diftanze del primo condottore fi collochi una ferie di condottori ifolati di figure diverfe , e s' induca in- di , o lì tolga la capacità , e fucceffione di moto della elet- trica potenza fra tutti , o parte di que' condottori prefentan- do or air ultimo , or agli intermedj la mano . Poiché nell' atto flello , che s' interrompe , o fi apre l' adito al moto del- la loro elettricità, fi rende nullo, o fi manifefta, e fi accrefce ne' medefimi 1' elettrico fplendore.

In quella ferie di macchinette attraverfo delie quali io trag- go la fcarica di qualfivoglia elettrica batteria {Nuove fperien- z.e elettriche ». 43 , e feg-) non comparifce mai luce, fé non in proporzione del moto , che s' induce tra le elettriche po- tenze , che fono previamente frenate a vicenda fulle oppofte facce armate di quella batteria .

2. A rendere poi manifefia la neceffità del moto delle elettriche potenze, acciò luce fi ottenga fra i refiftenti , niua genere di fperienze cade più in acconcio, quanto quelle, che brevemente defcrilfi nell' opera ora citata al capo ultimo Della elettricità né" fogli di carta bianca . Gioverà qui com- binarne fu quel gufto alcune più convincenti .

{a) Prendo due fottili,ed eguali laftre di criftallo arma- te al folito da ambe le facce ; e fovrapponendole in modo , che a adattino egualmente e le laftre,e le interne armature J' una full' altra , le carico in un fol atto prefentandole , co- me fé fodero una fola, al condottore elettrico. E cosi come fono caricate le feparo 1' una dall' altra, e le riunifco fenza vederne la minima luce; purché nel fepararle , e nel riunirle non tocchi I' una, o 1' altra delle loro armature , e per tal modo non rivolga citeriormente alcun moto tra le oppofte elettricità , che a vicenda Ci frenano nelle oppofte facce di

K iij

7^ Memoria

quelle relìftenti lamine , e non hanno perciò tra I' una e r altra fufficiente commercio di moto, quanto fi richiede per renderne fenlìbile la luce .

(h) Frappongo alle fteffe laftre ancor cariche due fogli di carta bianca ; e finché feguo a riunirle , e a fepararle in gui- fa , che non s' introduca notabile moto tra le oppofte loro eJettricità, non apparifce in tali atti veruna luce.

(e) Che fé mentre fono riunite con fogli di carta bianca frappofti io tocco o 1' una , o 1' altra , o ambedue in un fol tempo le oppofl-e armature , come in tal atto fento colla fcof- fa, e vedo nella fcintilla l'efterior imprelTione del moto del- le oppofte elettricità , così nella fucceffiva feparazione d' una ladra dai frappofti fogli apparifcono fegni di luce corrifpon- denti air intcriore moto , che in tal atto fuccede tra le op- pofte potenze ; e feguono fimili fegni nella feparazione del lu- periore foglio dall' inferiore , e poi di quefto dall'ultima laftra^

(d) Spoglio quelle laftre di criftallo d' ogni armatura, e frappongo più fogli di carta bianca tanto larghi , quanto fo- no le intere laftre , e le cuopro efteriormente di fogli egua- li . Indi o fi ecciti collo ftroftlnamento affai viva elettricità tra quelle laftre , e que' fogli , ovvero fi carichino tutti inlie- me alla macchina con applicare al folito efteriormente due oppofte armature , abbiamo in feguito nella feparazione di cia- fcun foglio, e di ciafcuna lamina manifefte ftrifcie di luce ne' fuccedìvi lembi , o limiti , che fi feparano in proporzione del moto, che in tal atto s'induce fra le oppofte elettricità del- le facce, che previamente fono a contatto..

( e ) Cercai fé quel moto femplicemente , e direttamente fi compia attraverfo il mezzo reliftente fra le oppofte poten- ze previamente efiftenti in quelle vicine facce, che fi fepara- no, e perciò il mezzo frappofto non faccia altro officio, che di meccanico impedimento ; ovvero fé ciafcuna di quelle po- tenze eftendo pofta per tale feparazione piuttofto in neceflità di azione coli' aria, che in moto coli' oppofta.per tale nuo- va azione fmuova nella vicina faccia dell'aria altre elettrici- tà , le quali nel riunirfi infieme alle prime raddoppino quel moto come fi raddoppiano le azioni. Imperciocché ( diffi me- co ftefib ) ftando quelle facce a contatto non è fé non fcmpli- cejC immediata l'azione dell'una coU'oppofta potenza ,d'Qa-

SOPRA l' elettricità'. 79

de ne nafce la coefìone . Eirendo quefla vinta per la forza eoa cui li diftriiggono , e lì feparano quelle facce refiftenti , non acquiftano perciò le contrarie potenze maggiore facilità di mo- to , fc non nel calo , che lì frapponeffe un condottore ; ma frapponendoli un mezzo relillente,come l'aria, non altro ac- cade , fé non che ciafcuna fulla vicina faccia dell' aria efer- cita r azione f1:eira,che full' oppofla efercitava . Ora con que- fta raddoppiata azione lì fniove nelle oppofte facce dello (ira- to d'aria la nativa elettricità con doppia direzione, l' una fra le due fpecie rifpettivamentc oppofle verfo le vicine facce fe- parate , 1' altra fra le due limihnente oppofte , che indiretta- mente reftano libere , e s' incontrano nell' interiore groflezza dell' aria frappofhi . iVli parve adunque , che in quefto doppio sforzo diretto, e indiretto delle contrarie potenze dovefle pre- fentariì tale grolfezza del frappollo mezzo , per cui venilTero elle determinate al moto di riunione ; e ciò mafTimamente , perche il mezzo itellò palla fucceffivamente per tutte le mifu- re di groflezza, e per la fomma fua mobilità fi prefta a con- vertire que'moltiplici sforzi in vera azione di moto. E per- ciò concluiì ragionando , che non nel primo , ma nel fecondo modo, che da principio indicai, (ì compiono que' moti, che a certi intervalli di tale feparazione fanno le flrifcie luminofe. (/) Ne dal raziocinio fembrommi difcorde 1' offervazio- ne, e l'efperienza. i. Se nafcefle tal luce per femplice,e di- retto moto delle oppofte potenze , nell' aria più fecca , che a tal moto maggiormente refifte, dovrebbe apparir meno lu- ce , che nell'aria umida, che è meno reliftente : eppure fi ofìer- va tutto r oppofto . 2. Neil' aria fecca , per cui fi fa più vi- va luce , dovrebbero indebolirli tanto più le oppofte elettrici- tà che li fuppongono fole, e direttamente riunite per rifplen- dere ; al contrario nell' aria umida quanto meno vi è luce , tanto dovrebbero trovarfi meno indebolite . Il che nuox^amen- te è contrario all' ollervazione , eftendc incredibilmente più vivi 5 e inlìeme più durevoli que' fenomeni nell* aria fecca , che neir umida . 3. E quanto è più viva la luce , non folo tanto maggiormente, e più prefto dovrebbero indebolirli quel- le contrarie potenze; ma nell' aria ftefià più fecca dovrebbero eftendere a minori diftanze 1' azione loro laterale , e lafciar neir aria minori relidui di elettricità . Poiché quanto più di-

So Memoria

rettamente fi uniffero , tanto meno potrebbero agire lateral- mente , e tanto minor porzione non unita rimarrebbe nell'a- ria . Ora in tali efperienze e i laterali effetti , e le refìdue elettricità divife,e fparle per l'aria fono fenza paragone mag- giori nella fecca , che nell'umida. E ciò bafti per ora, men- tre ci occorrerà di parlarne alquanto più eftefamente nella Legge fella qui appreffo .

( g ) Comunque però immediato fìa , o indiretto Affatto moto non nafce certamente quella luce , fé non pel moto fteffo, e per mutua unione delle oppofle elettricità ne' limiti di feparazione di que' fogli . E di ciò ne abbiamo manifeflo incontro nella riunione de' medefimi ; poiché prefentati nuo- vamente ad uno ad uno fra loro , o alle Aefl'e laftre in pro- porzione, che fi rinnova il moto, o la mutua unione fra le refidue oppofte potenze rendono manifefta luce nei fucceffivi limiti di riunione ; ma non l\ attraggono, né fi comprimono r uno full' altro, fé non tanto meno, quanto minore è il re- fiduo delle oppofte elettricità , che in tal atto non paffano a riunirfi.

(/j) E fé fra quelle facce finitime non fi rinnovi il mo- to delle contrarie potenze (poiché effe come da principio oi- fervai (<?. £'. ) a vicenda fi frenano fralle oppofte facce di cia- fcun foglio, e di ciafcuna laftra,e perciò non poffono far mo- to efteriormente ) come non fi eccita fé non tenue attrazione , così niuna luce fra quelle fi manifefta .

(/) Or mentre que' fogli, e quelle laftre ftanno così fini- time, e fovrappofte con niuna, o con tenue adertone, fé con nuovo ftroffinamento , o col contatto delle oppofte armature, io rinnovo , o rivolgo efteriormente fra le vicine loro facce alcun moto di contrarie potenze , ficcome più fopra accennai (e), fi fpianano e fi ftringono in quell'atto l'une fulle altre, ed in proporzione del moto fteflb ii rinnovano nella loro fe- parazione , o accoftamento quelle ftrifcie, o lembi luminofi .

3. Per dimoftrare in fine, che tra i condottori e i refi- ftenti luce non nafce altrimente fé non per moto , o mutua unione delle elettriche potenze, fono nati fatti que' molti efpe- rimenti , che narrai ne' Dubbj , e penjìeri falla teoria degli elet- trici fenomeni cominciando dal numero 127, e feguenti. Poi- ché in tutti i cali , nei quali fra lo feudo e la fottopofta

faccia

SOPRA l' elettricità'. Si

faccia di criftallo s' introduce colla feparazione , o coli' accora- mento, o col contatto, o collo flroiiinamento alcun notabile moto delle elettricità, lì manifefla in efli proporzionata luce. E niuna fé ne manifelta giammai fenza tale modo, che il fre- no fciolga j e il moto determini delle elettriche potenze .

Legge terz,a. Ne tal moto, che per l'elettrica luce è ne- cefTariOjha luogo mai altrimenti fé non fra le oppofte poten- ze , o contrarie fpecie di elettricità .

1. Benché fembri quefta un immediato corollario delle precedenti, meglio però fia dichiararla con dirette fperienze. E primieramente coli' apparato defcritto nell'opera in ultimo luogo citata al numero 127, come luce fi offerva ogni volta che s' introduce moto fra le contrarie potenze, o ciò fi fac- cia colla feparazione , o colla refiituzione ,0 col contatto del- lo feudo fui criRallo ; COSI niuna luce apparifce qualunque vol- ta Ci fepara lo feudo , o [\ reftituifce full' elettrico criflallo , quando quello è fpogliato di elettricità {ivi n. 133. 13S. ), e quando non è fornito , che di omologa alla fottopofta fac- cia del crifiallo ( ivi n. izi, 136. ) , finché in fomma niun moto ha luogo tra le contrarie potenze .

2. E qui con maggiore diftinzione ripiglierò quell' efperi- mento, che ivi in fine femplicemente come un paradofTo ac- cennai ( ivi n. 16S. ). L' efperimeiito è quefto . Sta fui difco di crillallo uno feudo , che nel fepararlo difpiega la virtù con- traria a quella del difco . Se prima di fepararlo io fcarico ful- lo (lefTo una, o più bocce alFai cariche, e per tal modo ac- crefco altamente la forza efplodente di quel difco , quattro fenomeni in propolito noflro apparifcono principalmente de- gni di olTervazione . i . Lo feudo Iteilb flando a fuo luogo moftra citeriormente elettricità omologa alla faccia ftefTa del difco; 2. ed omologa fegue a dimoftrarla anche dopo che da quefta viene feparato; 3. ma tanta è T adelione tra il difco e lo feudo , che per fepararlo vi vuole forz.i tripla , o qua- drupla , che non ne' cau precedenti ; 4. nò fi fa mai qutdla prima feparazione fenza forte ftridore , e viva luce di fcintil- le tra lo feudo e il difco , da cui fi fiacca .

3. L' analifi di fimile efperimento avrà luogo in altre Memorie, e ci guiderà a reconditi principi della teoria . Sem- bra in vero a prima vifia contrario alla fiefla legge, che ora

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§2 Memoria

dichiariamo dell' elettrica luce . Poiché fé nello feudo e pri- ma , e dopo la feparazione , altro non rilìede , che elettricità omologa alla vicina faccia del difco; d' onde mai nella fepa- razione nafcono quelle ftridenti fcintille per opera delle con- trarie potenze , che a tal uopo lì efìgono ? Ma per poco che fi rifletta anziché contrario lì troverà più che altro mai con- forme alla ftabilita legge . Nafce in quefto , come in ogni altro compleflb di fenomeni, la contraddizione, e il paradofìo dalla incapacità di ben comprenderli , o dalla imperfetta , e tronca forma di efprimerli , non mai dall' ingenuo lùiguaggio della natura .

4. Per verità fé nella feparazione dello feudo 1' ultimo feno- meno di luce e di fcintille non fi riferifca che al primo , e fecondo di omologa elettricità, nafce il paradoiro;ma fvanifce torto che fi fa ragione al terzo fenomeno, e tutto fi compren- de r efperimeiuo nella fua integrità . D'onde tanta adefione , fé non per mutua efficacia delle oppofte potenze? Se dunque tali e tante fono nel difco , e nello feudo , quanto più for- ti fi moftrano colla maggior refifienza nel fepararli ; perchè col moto delle ftefTe , che in tal atto fi determina , non fa- ranno luce , e ftrepito corrifpondente ?

5. Eflendo adunque che coli' efteriore comparfa di virtù omologa a quella del difco , ciò non ofiante acquifl:a lo feudo con elfo maggior adefione , non v' ha dubbio , che nello feudo fìeifo non ve n'abbia tanta copia di contraria, quanta necef- fariamente per la ftelTa adelìone fi richiede . Proverò altrove con ogni genere di fperienze,che fempre e per neceffità l'una infieme all' altra s'incontrano le contrarie elettricità non fo- lo nelle oppofi^e facce degli firati , o lamine refiftenti , ma in ciafcuna faccia di qualfivoglia corpo refifiente , o condottore ; che ove non ha luogo tale fimultaneo incontro , ivi non ha luogo né lo fviluppo, né la raccolta, né verun fegno di elet- tricità ; che qualfivoglia elettrico fegno non è fé non l' im- mediato effetto di tale fimultanea prefenza , ed incontro del- le oppofle potenze . Ma ficeome fiffiitte induzioni ai generali principi appartengono della teoria, perciò rilervandole per al- tre Memorie, mi reftringerò qui a confiderarnefoltanto i mo- di , e le circofianze , che 1' elettrica luce immediatamente ri- guardano .

SOPRA l' elettricità'. S^ Diftiniì lui bel principio ( legg. i. n. i. ) due modi nel moto delle elettriche potenze , che luce producono. Or que' due modi vogliono più intimamente coniìderarfi , e ridurli a più efatta efprelfione . Due fono realmente, e divertì fra loro i modi , e gli atti , che il moto fanno di feparazione , o di riunione delle elettriche potenze, un folo però è il moto che in que' diverlì modi eccita 1' elettrica luce . Non è il moto di feparazione diverfo da! moto di riunione, anzi non è quel- la che la riunione ftelia d' una parte di quelle potenze nell' atto che li fciolgono, e iì di\idono.

6. Imperciocché niuna fpecie può fulTiflere fenza certa , e determinata azione, odia fenza Tefercizio della propria forza. Or quefta finché immetliatamcnte li efercita con proporzionata dofe di contraria fpecie, non dà, né può altrimenti dare efte- riori indizj di azione né fui fenlì noftri , né fu i corpi ambi- enti; eH'endo che quella interiore , ed immediata loro azione non ha altro rapporto né coi fenlì non'ri,né coi corpi ambi- enti , fé non in ragione delle dili'erenze , che tra quelP inte- riore conflitto, e mutua colliiìone direttamente, o indiretta- mente s' introducono . Acciò efleriormente ii manifefti , un at- to vi vuole , che alteri I' oppofizione , o l'eguaglianza di quel- le forze, e ne fcomponga cosi quell' immediata unione; ed in tal atto conlìfte il primo eccitamento dell' elettrica virtù; del quale non é quefio il luogo di far altre parole .

Dirò foltanto , che a fcomporre quella previa , e naturale unione ( dico naturale per effer quella, da cui comincia, e in cui finifce naturalmente ogni fenomeno di elettricità) d'uopo è di concepire un corpo, o il concorfo di più corpi, o di più moti inlìeme , che una di quelle forze traggan fuori dall'al- tra con eccelTo , e predominio di azione. E quelt' eccello , e predominio con una di quelle fpecie fopra 1' oppofla o è co- ftante , ovvero non è che paflaggero , e momentaneo . Nel primo cafo entrerà la fpecie fteffa in nuova compofizione con que' corpi, d'onde tale eccelFo proviene, e indurrà in efli mu- tazione corrifpondente al nuovo acquifto,o modo di unione. Nel fecondo farà quella fpecie pronta a trapafTare in altri corpi, che per poco fuperino quel primo ecceffo : ovvero fce- mando in que' primi in qualiivoglia modo quel comoleflb , d'onde tale ecceffo nacque , ref^erà per naturale virtù la fpecie

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^4 Memoria

fteli'a pronta, e fpinta a riunirli colla fua prima oppofta,e fa- rà perciò fino al compimento di tale unione capace di dar fe- gni , e prove efteriori della fua forza .

7. Né deve trafcurarlì frattanto , né porfi in dimenticanza r oppofta fpecie,da cui fu fcparata , e tratta fuori la prima. Poiché quella difpiega in tal atto efteriormente tutta l' ener- gia delle proprie forze , e ne fa prova o con altri corpi , co- me nel cafo precedente , o immediatamente con altra elettri- cità preeliftente nella naturale fua quiete , e unione , colla qua- le s' incontra . Non farebbe al certo quella capace di fciorre la naturale unione di quefta,fe l'incontro loro non folle, che in eguaglianza di particelle, o di maife le une fciolte, le al- tre fiffe , ed unite . Ma vi é la difiièrenza , che continuando gli atti del primo eccitamento, le particelle, o malie, che in- di fono fciolte , crefcono inceffimtemente con progreifione a quegli atti proporzionata, e in oltre acquiilano momento per la figura de' condottori ; e perciò inv^eitono , e attaccano da ogni parte in un fol tempo ad una ad una le quiete particel- le , e non polTono far meno di non fmoverle , e fepararle . Ed in ciò connlìe il giuoco di continuo fmovimento,e folu- zione di nuova elettricità, che fuccede ad ogni atto del pri- mo eccitam.ento , e che profegue , e crefce , o fcema in pro- porzione , che quello continua , e prende vigore , o fi ral- lenta .

8. Abbiamo dunque in ogni atto, o eccitamento di elet- tricità due ferie, o vie d'azioni; la prima diretta, come nel numero 6 fpiegai ; indiretta 1' altra , ficcome diffi in ultimo luogo. E ciafcuna di quefte ferie diretta, o indiretta, imme- di ata,o mediata prefenta due oppofti andamenti, uno di aumen- to colla fucceffiva, e continua foluzione di quelle fpecie, che coftituifcono per tal via 1' intenfità dell' elettrica potenza ; r altro di decremento colla riduzione delle fpezie ftefie a mu- tua riunione , la quale coftituifce il degradamento de' fegni , of- fia le renitenze , che ad ogni fpecie di elettrica potenza iì oppongono . Talché ficcome non crefcono i fegni, fé non per 1' eccelfo di elettrica virtù, che fi eflerna; cos'i non decrefco- no fé non pel fucceflivo ritorno della virtù ftefia alla interiore direzione:e in fomma come l' intenfità di que' fegni rifui ta dagli cccefil di una fola fpecie , che rimane fciolta , e forzata di

SOPRA l' elettricità'. 85 accumularli inlicme ; così la degradazione, e le reiìftenze , che fi oppongono a quella intenlìtà ,non dipendono , fé non dalla oppoda fpecie,che lìmilmente fciolta,e forzata di accuraularfi refhtuifce gradatamente , e compie in fine la priftina loro ri- unione.

9. E riftringendo quefte confiderazioni all' elettrica luce , dico , che qualiivoglia azione, o moto tanto della prima fo- la, come dell' oppofta fpecie di elettricità colle parti di qual- livoglia genere de' corpi iì riconofce affatto inetto a dar fe- gni di luce; né quefla ha luogo altrimenti, fé non pel moto di riunione d' una fpecie colla fua oppofta , comunque poi fi faccia tal riunione o per la prima diretta , o per la feconda indiretta via ,che più fopra ho divifato . Onde non v'ha lu- ce altrimenti , finché la prima fcorre nella pafTeggera unione de' condottori , e finché la feconda non è in tale ecceflb da fmoverne altra , e indi trarre a sé la contraria ; e finché per fine non n riducono all' atto di vicendevole riunione le par- ti della prima con altre della feconda : nel che confifte 1' uni- tà del moto , che più fopra accennai ( n. 5. ) in mezzo alla varietà dei modi, e delle vie che al moto fteffo difpongono , o conducono .

Legge Quarta. E le contrarie potenze, che nella riunione loro fanno 1' elettrica luce, rifiedono fenza luce infieme non meno ne' condottori , che ne' refiftenti ; e fecondo varj rap- porti or tutte , ora in parte foltanto fi frenano, o fi deter- minano al moto di riunione .

I. In principio a fiffatto moto fi oppone e la pafieggera unione d' una fpecie con altri corpi, e la tenue quantità dell' oppofta , che non è capace di vincere con prevalente forza la naturale unione delle due fpecie fparfe ne' corpi ambienti : co- me per oppofto a fiffatto moto di riunione conduce tutto ciò, che o libera la prima da quella palfeggera unione, o accrefce la fomma della feconda; e rende cosi e 1' una, e 1' altra ca- pace di fmoverne intorno a sé , ed unirfi rifpettivamente all' oppofta ; ovvero di riunirfi a parte a parte direttamente fra loro .

Ma in progreflTo a quefti unicamente non fi riftringono i modi , che o fi oppongono , o riconducono a quel moto di elettrica luce. Ben diverfi, e molti fono altri modi che fre-

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nano le elettriche potenze , comunque accrefciute , e le riten- gono in mero sforzo, e preflìone;e molti che per oppofto le rendono capaci di moto , e di riunione , ficcome altrove dirò più opportunamente .

2. Or come non vi è luce, né altro fegno di elettricità, quando immediataniente ripoflmo nella nativa loro unione le oppofte i^tc\t{legg. ^.n. 6. in principio); COSI quando le fpecie fteffe comunque di\ife li frenano a vicenda per frappofti olla- coli , e non efercitano le forze loro fé non in continuo sfor- zo , o preffione , polfono bensì far moti , e adefione fra i cor- pi, che le ritengono, e le dividono . ma non fanno mai lu- ce, fé non in proporzione dell' effettivo loro moto, e riunio- ne . E qui pili che in altre confiderazioni e indifoenHibile non ordinaria dilìinzione d' idee , e fagacità d' intelletto per ben difcernere i varj rapporti delle potenze , che fi frenano , e degli ortacoli , che le riducono a femplice preliione ; e per ri- conofcere in oltre fecondo que" rapporti le parti , che or fo- litarie , ora inlieme , or con lenta , or con rapida fucceffione paffano a riunirfi . Sono adunque in più modi intralciate , e mifte infiemc le oppofte elettricità , ora faturate a parte a par- te in ciafcuna particella, e fi dicono fpmte , ne danno perciò verun fegno ; ora con tendenza mutua , o prcffìone , e fanno infenfibile unione fra le loro particelle , onde non inducono feniibile luce , ma foltanto manifeftano fenfibili moti, e ade- fione ; ora per fine s' incontrano con notabile moto di riu- nione, e fanno luce, e fcoppio-, ed è ciò appunto , che al pre- fente ftiamo dichiarando .

3. In fatti neir efperimento , che nella precedente legge narrai { n. 2.), fi manifedano per sé fleffe evidentemente tre pdrzioni diftinte , offia tre diverfi rapporti di vicendevole freno, e preffione . II primo fra lo feudo e 1' aria ambiente. Il fecondo tra lo feudo e la vicina faccia del difco . II ter- zo tra le oppofte facce del difco . Quanto al primo fra la potenza dello feudo e dell' aria ambiente fi manifefla nello feudo fleffo e prima, e dopo della fua feparazione con moti, che dimoftrano la fua fpecie omologa alla vicina faccia del difco , e fi conferva in effo finché non fia fpenta . Si fpegne quefta con prefentare un condottore immerfo nell' aria ambi- ente allo feudo ; poiché fra quelli per la condottrice loro na~

SOPR.A l' elettricità'. 87 tura fi iniiovoiio per ogni verfo quelle oppofte potenze , e per- ciò giunti a certa diftanza ne facilitano il moto , e ne coni- piono la riunione con proporzionata luce, e fcintilla.

4. Segue il fecondo rapporto tra 1' altra porzione di elet- tricità dello feudo oppofl-a a quella delia vicina faccia del di- fco ; le quali porzioni finché li frenano fanno 1' adeiione , e colla feparazione del difco lì pongono in moto , e ne danno corrifpondenti fegni di fcintilla, e di luce (le^g. 3. ». 4. 5). Ma per intendere e come lì frenino finché lo feudo e a con- tatto col difco , e come lì pongano in moto , quando lo feu- do vien rimollb a certa dilbnza , fi rifletta , che nel primo cafo ciafcun punto della faccia del difco immediatamente agi- fce contro il fovrappofto punto dello feudo , e perciò 1' azio- ne di quefto refl-ando cosi divifa, e diffufa egualmente non fa. notabile , né prevalente moto contro 1' uno o 1' altro de' fot- topofti punti , benché fieno dotati di contraria elettricità . Rimovendofi poi dal contatto lo feudo , due mutazioni acca- dono nella fua elettricità, le quali debbono qui partitamente efaminarfi . Le mutazioni fono quelle, i. L'elettricità omolo- ga di ciafcun punto nella faccia dello feudo diventa col ri- moverli di quello più vicina fra di sé , che non colla contra- ria de' fottopofli punti del difco ; 2. la faccia fieflà in tale fe- parazione non refta più necellariamente piana , e parallela ful- la faccia del difco, ma prefenta,o prende qualche inclinazio- ne , o prominenza più verfo una , o alcune , che verfo le al- tre parti .

5. E in primo luogo nel rimoverfi lo feudo ciafcun pun- to dell' inferiore fua faccia ritiene la primiera fua poiìzione, e vicinanza per rapporto alla fua fpecie di elettricità , ma quan- to più li rimove , tanto più ciafcuno di que' punti fi allon- tana dai corrifpondenti della faccia del difco, ne' quali rifie- de la contraria . QLiindi tanto quefli della faccia del difco , quanto quelli dello feudo non efercitano piagli uni cogli op- poni immediatamente la loro azione, ma bensì per mezzo dell' aria , che fra loro fubentra . Frattanto però ritenendo la re- lativa loro pofizione per rapporto alle fpecie di elettricità , che in ciafcuna faccia rilìedono, rimane l'azione di quelle nel- la fua integrità ; e perciò quanto più lo feudo fi fcofla dalla faccia del difco, tanto meno l'una coli" altra fi frenano quel-

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le oppofte potenze , e tanto maggior vigore ciafcuna prende per sé ftefla , e lo efercita contro T aria frappofta , e contro i corpi in effa immerfi .

6. E benché ciò (i riconofca apertamente dagli elettrici mo- ti,che in limile apparato altrove dskrìffi (loc. cit.n. i6i. 162.)» mi piace di confermarlo direttamente con fenomeni di elettri- ca luce . Dopo che iì è fpenta nello feudo la omologa virtù coir opportuno accoftamento d' un condottore (». 3.), fiacco lo feudo dal difco , ma con tale avvertenza , che lì fcolVi egual- mente dalla fua faccia appena una linea; e fermandolo in ta- le pofizione , la prima volta che accollo il dito per toccarlo ne ho una fcintilla tenue di luce, ma (tridente, e pungente; e comunque fegua poi a toccarlo , finché fi mantiene a quel- la diftanza non riporto più mai altro fenfo di luce , né di fcintilla . Che fé alzo prontamente di più lo feudo dalla di- ftanza di una linea tino ai quattro o fei pollici, al primo accofta- mento del dito ne riporto una nuova fcintilla più lucida , e meno pungente della prima . Se in un fol atto inalzo da principio lo feudo a queft' altezza , ne riporto col dito una fcin- tilla equivalente per sé fola alle due , nelle quali col prece- dente modo fu divifa .

Nel che è manifelto , che le oppofte potenze fra lo feudo e la vicina faccia del difco , ficcome interamente li frenano col mutuo contatto ,cos'i profeguono a frenarli in parte a cer- ta diftanza ; e in line tanto meglio per sé ftefle fi difpiegano , quanto 1' una dall'altra fi allontana.

7. Palla ciò non oftante tra lo feudo e il difco la diffe- renza , che in quello come condottore ha facile moto per o- gni verfo T elettricità della fua faccia; il che per oppofto non accade nella faccia del difco per elTere di reliftente natura . Quindi è , che combinandofi quefta differenza colla feconda mutazione , che nella feparazione accade ( n. 4..), e confifte in qualfivoglia inclinazione , o prominenza della faccia delio feudo verfo la fottopofta faccia del difco , per quella via Ci toglie r eguaglianza delle diftanze , e del vicendevole freno fra ciafcun punto di contraria potenza nelle oppofte facce ; e perciò quella elettrica forza , che per ragione delle diftanze e per la conducente natura dello feudo fi trova in effo mo- bile, pafTa per quella inclinazione , 0 prominenza coli' ecceffo

fuo

SOPRA l' elettricità'. S9 fuo a riunirli con 1' oppofta ne' fottoporti punti dello feudo, e fa in tal atto luce, e fcintilla.

8. Ciò che direttamente diciamo delie potenze dello feu- do , e delia fottopofta faccia del difco , in lìmil modo s' in- tenda dello Ihato d' aria frappofto nella loro feparazione fe- condo le reciproche , e indirette azioni previamente dichiara- te nella Legge feconda ( ivi n. 2. e. f- ) . Né fra quelle e quelle conliderazioni paffa altra differenza, fé non che tutte ivi fono di reiin-ente natura le facqe feparate , mentre qui già olfervammo ellére lo feudo un condottore . Onde pel raddop- piamento , e r interpolìzione del mezzo , che oltre alle corri- Ipondenti differenze di groffezza , e di figura, e di varia ca- pacità retiftente nelle fue parti, introduce la mobilità fomma delle medellme, ne rifultano indi nuove combinazioni di mo- to fra le oppofte potenze per far luce , e fcintille .

9. Dipende il numero di tali fcintille dal numero de' ca- fì , che nella leparazione introducono qualche eccedo di for- za fra le finitime potenze. La grandezza di ciafcuna fcintilla corrifponde alla quantità , e mobilità di quegli eccedi di for- ze. Ed è in fimili eccelli da notarli una reciproca proporzio- ne colle relifienze del mezzo frappofto . Poiché quanto mag- giore i\ fa la diftanza fra le contrarie forze nelle facce del difco , e dello feudo , tanto crefce la grandezza del frappofto mezzo refiftente . Onde da quefta fteffà reciprocità nafcono al- tre varietà nel numero, e nella grandezza delle fcintille; e in conformità di tali variazioni fono nuovamente varj i reiidui di elettriche potenze, che fi trovano nello feudo, e nel di- fco leparati in fine a prima diftanza.

IO, Che fé quefte colle oflervazioni fi confrontino efpreffe in fine della precedente Legge ( ivi n. 6. 7. 8. 9. ) compren- dian\o univerfalmente il modo d' ogni luce, e fcintilla , che dalla elettricità dipende . Poiché i condottori , che ad un cor- po elettrico fi prefentano , aUbmigliare fi debbono allo feudo or apprellkto , or rimofio dalla faccia dei difco ; e non altri- menti , che quefto le ftefle vicende fubifcono di elettricità omologa , e contraria ; e fimilmente fecondo il diverfo loro llato d' ifolamento, dilianza, e figura contraggono tale moto di contrarie elettricità , quale per l'elettrica luce fi richiede. Troppo mi dipartirei dallo fcopo prefente, fé ciò imprendcffi Tomo IL M

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a dimoftrare più eftelamente , che avrà luogo nell' analifi del premelTo efperimento .

11. Ma per compiere al propofito noftro que' rapporti , che neir efperimento fteflb da principio accennai {n. 3. ) non rimane che 1' ultimo rapporto fra I' elettricità delle oppofle facce del difco. Fra le quali s' introduce moto coli' arco , o con altra fomigliante via , che dall' una all' altra armatura Cx applichi, o fi frapponga . L'arco però è fopra ogni altro mo- do attiffimo per la fua figura a dar cominciamento al moto di vicendevole unione , ed a continuarlo con tale rapidità , che fi manifefta colla fcintilla , e collo fcoppio .

12, Si diftinguono evidentemente T uno dall' altro quefli tre rapporti, e partizioni di elettricità non meno nel prece- dente efperimento, che in ogni altra maniera di elettrica lu- ce, purché in debita figura, e diftanze , e ifolamento ii pre- fentino i corpi ,e fi efplorino le loro vicende con ordine con- veniente . Poiché cjui per efempio , fé cominciate dal terzo rap- porto , confondete con quefto infieme il primo, e non difiin- guete più , fé non il fecondo . Se incominciate dal fecondo , confondete quefto col primo , e indebolite frattanto ad ogni atto vie più anche il terzo . Al contrario riconofciuta la pri- ma porzione nello feudo pofio a fuo luogo , e fpenta quefta col contatto , paflàte colla fcparazione a riconofcere la fecon- da; indi riporto lo feudo, e apprefflindo allo ftelìo l'arco pro- cedente dall' oppofta faccia , riconofcete la terza porzione , ed in tal atto rinnovate il fecondo rapporto nelle faccefiive fepa- razioni .

13. A rendere in fine fenfibile con facilità , e cofianza r elettrica luce due circofianze principalmente concorrono , e fono I. certa quantità di elettriche potenze, 2. e certo inter- vallo fra 1' una e 1' altra . E' neceflària la diftanza, 0 la di-" vifione d' intervallo perchè 1' una, e I' altra (ì ponga in li- bertà di moto , come più fopra fpiegai ( «. i. 6. 7. ) ; ed è neceflària del pari certa quantità , acciò coli' ecceiTo fuo di- rettamente , o indirettamente quel moto determini , che ivi pure dichiarale». 8. 9.) ; ed è pur neceflària in fine tale gran- dezza d' intervalli, e di azioni, che faccia notabile imprelfio- ne fu i noflri fenfi . Poiché le indicate circoftanze nella faci- lità, e coflanza loro a produrre l'elettrica luce foegiacciono

SOPRA l' elettricità. gì a molte vicende non meno per la grandezza, figura, e quali- tà de' corpi , che per le qualità del mezzo refiftente , e per lo flato dei fenfi , onde gioverà confiderarle alquanto più di- ftintamente nelle feguenti Leggi.

Legge Stinta. Né in quallivoglia moto di riunione delle contrarie potenze è vifibile 1' elettrica luce , fé non fra certi intervalli, entro, e oltre de' quali il moto ftefTo fi compie fen- za altro fenfo di luce .

1. Primieramente per le fuperficie de' condottori , come fo- no i tubi , gli archi , e limili , iì riunifcono le contrarie elet- tricità fenza verun fenfo di luce, benché tali fuperficie abbia- no innumerabili pori , che altro non fono , fé non tenui in- tervalli, che ne interrompono la continuità. Si caricano per via di tubi , o archi , che fiano a contatto con le alterne ar- mature, più bocce , o quadri fucceffivije fi fcaricano fimilmen- te fenza luce , ove non s' incontrino le oppofie elettricità a certe difianze fra 1' una e 1' altra eftremità , o finitima fu- perficie di que' condottori , e delle armature .

2. E per dimoftrare , che tanto nelle fuperficie de' condot- tori, come nelle armature de' quadri lì fa tal moto di riunio- ne , il quale non rende fenfibile impreifione di luce per la in- dicata tenuità de' loro pori, o intervalli , abbiamo in pronto alcuni facili artifizj per rendere quegl' intervalli gradatamen- te capaci di porre in vifi-a la luce delle contrarie potenze , che ne' medelìmi fi riunifcono . Soflituite al tubo, o all' arco di unita fuperficie una catena di fottìi filo metallico, la qua- le non (ia punto tefa, e faccia perciò intorno al tenue con- tatto de' fuoi anelli ogni varietà d' intervalli fucceffivamen- te maggiori ; ed ofierverete tra V uno e 1' altro anello in certa grandezza di quegli intervalli manifefta luce. Applicate dopo ciò fucceflìvamente alcuni peli a quella catena, i quali rendendola grado grado pili tefa accrefcano il contatto de' fuoi anelli ,e fcemino il numero, e la grandezza di que' primi in- tervalli, e vedrete nella proporzione flefia fcemarfi , e in fi- ne fparire que' punti luminolì , che tra elfi brillavano.

3. Se poi vi piaccia più vago, e grande fpettacolo di lu- cidi punti, in luogo della foglia di ftagno,di cui fi f;i l'or- dinaria armatura de' quadri , foftituite nella faccia fuperiore uno flrato uniforme ,6 molto raro di limatura metallica , tal- Ai ij

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che vi formi tra que'briccioli un tefllito d'intervalli di ogni grandezza; e nell' atto che fi fcarica il quadro in moltiflimi intervalli di tutta quella faccia comparirà viva luce di riunio- ne. In una fafcia della faccia ftelTa accrefcete lo ftrato di li- matura, ficchè non lafci fé non pochi, e tenuiffimi interval- li; e reitera per la tenuità loro quella foia fafcia priva di lu- ce . Rarefate in un' altra fafcia affai più quella limatura , ficchè tra que' briccioli non refiino , che intervalli vie più grandi de' primi ; e vedrete in quefia fafcia flefia fcemare , e mancar in iine ogni luce per foverchia grandezza di quegli intervalli .

4. Che fé in fine l' intera faccia fi cuopre di tanta lima- tura , che equivalga nella tenuità de' fuoi intervalli ad una ordinaria fuperficie metallica , fi avrà per ella la piena fcarica con tenuiffima, o niuna luce. Che fé all' oppoflo nell'intera faccia fi renda rariflìma quella limatura , ogni volta che fi tenta di aver la fcarica , non fi avrà fé non in parte ; ma a quefe parte rton corrifpondcrà giammai altrettanta luce per elfere quegli intervalli di foverchio grandi per non renderla abbaftanza fenfibile .

5. Ne ci mancano dirette fperienze per confermare queft' ultimo affunto , cioè , che oltre certa mifura d' intervalli iì compie ne' medefimi fenza notabile fenfo di luce la riunione delle contrarie potenze . Qi-ialunque volta tentiate di cavar la fcarica tra le oppofte facce d' una boccia , o d' un quadro ca- rico, prefentando lentamente l'efiremità dell' arco a certa di- fi-anza fuori dei limiti dello fcoppio , s' indebolifce ad ogni atto la forza della carica; ne per tale indebolimento , che pur lì fa colla riunione d' una parte delle contrarie potenze, ap- parile verun indizio di luce, purché tra T effremità dell'ar- co e r armatura refti certa diftanza conveniente alla refidua forza di carica ; talché con fimili atti con qualche pratica replicati refterà in fine efaurita l'intera carica fenza aver da- to fenfo di luce . Ma in tutte le diflanze alquanto minori co- minciano tra r arco e I' armatura a comparire ad ogni atto foffj , e fprizzi di luce , i quali poi a diftanze ancor minori fcoppiano in fine in piena fcintilla.

6. Che fé quefì-e , e fomiglianti fperienze per fé ftefle la necedìtà dimoftrano di certa grandezza d' intervalli, perchè il moto delle elettriche potenze i\ manifefli con fenomeni di

s o r R A l' elettricità'. 93

luce ; fé poi iì compongano colle oflervazioni premefTe nella Legge quarta ( iz'i n. 5. 6. 7. 8. 9. ) ci fanno univerfalmente conofcere con qual legge in que'diverli intervalli il moto ftef- fo lì determina fra le oppofte potenze ,che previamente fi fre- nano a vicenda con mutua tendenza, e preflìone . Impercioc- ché ficcome la prepone fuiiifte , finché tutti i punti d' una fpecie fono più vicini ad altrettanti della fpecie oppofta , che non fono molti infieme d' una fpecie ftefia vicini fra lo- ro ; COSI la prelhone fi cangia in moto toftochè per qualfi- voglia caufa o di mutate diftanze , o di mutate figure molti infieme i punti d' una fpecie fono piìi vicini fra loro , che non con altrettanti dell' oppofta fpecie: onde ne rifulta Tec- ceffo, e preponderanza di forze libere da oftacoli,e per con- feguenza il moto.

7. E fra le indicate differenze richiamiamo qui diftinta- mente quella fra i condottori e i refifienti ; per cui in quel- li ciafcun punto , che per mutate diftanze refla libero dalla contraria potenza, può per la condottrice fofianza muoverfi in ogni verfo infieme agli altri punti fimili , e liberi egual- mente ; ne'refifienti al contrario -benché ciafcun punto refii libero dalla contraria potenza , non ha perciò libertà di mo- to infieme agli altri per la refifiente natura della fofianza, in cui rifiedono , la quale è incapace di condurli , e di racco- glierne infieme 1' azione. Quindi niuno v' è, che non inten- da , come fi abbia più viva e forte luce dai condottori , che dai reliftenti non armati ; e come per la fi-efla ragione in quelli tanto più preflo,che in quefti , fi efiingua la facoltà di dar luce, mentre ne' primi in un fol atto i\ compie ciò che ne' fecondi non C\ efaurifce talvolta neppur con fei , né con dieci .

S. E per la differenza medefima tra le particelle di qual- fivoglia refiftente fia fluido , o folido , e tra le facce di refi- ftenti diverfi a tenuiffime difianze refiano frenate le contrarie potenze, eflendo quefi-e così divife , e feparate per la natura fleOa di quelle foftanze in minimi punti quafi folitarj , e in- capaci di cofpirare in un fol atto , o momento. All' oppofto i condoctori immerfi in quelle fluide particelle , o applicati fu quelle facce refifl:enti ne raccolgono intorno a sé le parti divife , e ne compongono i momenti di maggior azione . On-

M ii;

94

Memoria

y-r — _ - ^ _ -

•de la preponderanza di momento , e perciò il moto tra quel- le contrarie potenze procede d' ordinario, e fi determina per la via de' condottori .

9. Ma per dedurre con qual legge progredifcono que' mo- ti, e come fi compiono or con niuno, or con tenue, or con vivido fenfo di luce , d' uopo è unire infieme varie confiderazioni , I. tanto della attività , e ufo degli occhi , e dello fl^ato di ofcurità previa e prefente in ogni particolare oflervazione ; 2. quanto della quantità Ikfla di elettricità , che in tal atto fi pone in moto; 3. e in fine della qualità , e refiftenza de' mez- zi frappofii . La prima confiderazione farebbe eftranea al no- ftro propofito , appartenendo all' Ottica , e alla teoria della vilìone , onde bafl:erà qui averla accennata , nulla potendofi a^t'iun'^ere alle cautele già defcritte da Newton per la folare , e'' da Beccari per la fosforica luce ; e delle due ultime profe- guiamo a dire nella feguente Legge,

Lepge Sejìa. E gì' intervalli di elettrica luce non dipen- dono infine, che dalla quantità delle contrarie potenze, che per quelli fi muovono , e dalla qualità delle fofl:anze , che que' mezzi coftituifcono .

1. Dal compleflb d'ogni genere di fperienze , che ne' pre- cedenti capi tentate abbiamo per rapporto agli intervalli di elettrica luce , rifulta , che feguono elfi certa diretta propor- zione colla quantità delle elettriche potenze , che per que' me- defimi intervalli prendono moto . Poiché ficcome nelle ferie di que' capi notai diligentemente le diftanze corrifpondenti al- la grandezza delle cariche imprefle ; così del pari oflervai , che colla grandezza flielfa delle cariche progredifcono a mag- f^iori intervalli le apparenze di luce , talché come ne' più gran- di intervalli fi eftendono con accrefcere la fomma, e la mo- bilità delle contrarie potenze , cosi ne' minimi fi rende la lu- ce fi-efia infenfibile con diminuire la fomma , e la mobilità delle medefime .

2. E quanto alla fomma fi riconofce efia , e fi niifura col numero de' giri elevato a certa potenza , e moltiplicato pel valore di ciafcun giro. E la mobilità non meno dipende dal- le fpecie loro , e dalla qualità, e forma de' corpi, ne' quali efle riliedono , che dalla qualità de' mezzi , pei quali fi uni- fcono . Della fpecifica loro mobilità , e della forma de" corpi

SOPRA L' elettricità'. 95

oltre a ciò, che detto ne abbiamo ne' precedenti capi, dire- mo più opportunamente nell' articolo feguente rintracciando le particolaii leggi di que' fenomeni , E circa la qualità dei mezzi li diftinguono quefli comunemente in condottori , e refiflenti , e a tenore di limile partizione fi ftabilifcono gli ultimi unicamente idonei a proccurar elettrica luce, e inetti que' primi . Simili conclufioni però non fembrano dedotte che per illulione di \ocaboli , e per mal concepite fperienze ; af- fumendolì troppo di leggeri , che non nafca elettrica luce , le non per denfità di un tìuido cagionata dagli oflacoli , o per attrito dello fteflb , o per altro fomigliante giuoco contro le renitenze.

3. Pili ragionevole farebbe di ripeter tal luce dalla accen- fione cauliita nell'unione delle contrarie potenze, fecondo che più plaufibilmente a' noflri tempi ii fpiegano fimili apparenze lucide in ogni altro genere di combuftione .Che cosi entrando r elettrica luce nella propria , e più vera teoria della com- buO-ione , rimarrebbe lincerà ogni altra efprellìone di elettrica teoria, né faremmo forzati di moltiplicare in quefia le con- traddizioni , e gli errori cogli a\'anzi di antiche prevenzio- ni erronee dell' altra. E per tal modo confiderando la mutua azione delle elettriche potenze tanto fra di loro, quanto col- le parti de' corpi , ne' quali s'incontrano, ficcome accennato abbiamo a fuo luogo ( l<^^g. i. n. 2. Icgg. 3. n. 6. 7. ) non refl-erebbe altra principale differenza tra i condottori e i re- fiftenti , fé non che in quelli fi fa la femplice , o diretta a- zione delle elettriche potenze già fciolte , e diffufe ; in quefri fi fa doppia per 1' indiretto fmovimento , e foluzione di fi- mili potenze , che ne' medeiimi s' incontrano . Onde ne' pri- mi non re(i(te , né li oppone alla loro riunione , fé non la palleggerà , e parziale combinazione delle flefTe colle parti de' condottori; ne' fecondi al contrario incontrandofi l'elettriche potenze già fciolte invece d' impiegare a vicenda le mutue forze ii trovano forzate ciafcuna dalla fua parte a fmoverne altre, colle quali non fi riunifcono fé non per raddoppiamen- to di quella prima diretta azione .

4. Ed a quello raddoppiamento fi riduce la difiinzione de' refiRenti da' condottori; e nafce indi in que' primi la difficoltà di porgere immediato, ediretto paflaggio alle contrarie potenze.

96 Memoria

nel che confifte la refiftente natura , e la maggior fomma,e rapi- dità di effetto , quando in fine tal paffo il apre con fimile raddop- piamento di azioni , e la capacità di raccogliere , e dividere nelle facce di lamine relìftenti le cariche, liccome più diftin- tamente vedremo nella Teoria delle elettriche fcofle . Ne' condottori all' oppofto vi è pure qualche grado di refiftenza , ma per diverfa ragione , che non tende , fé non a fcemare in parte la mutua diretta azione delle elettriche potenze , né può mai accrefcerla , o raccoglierla con partirne indirettamen- te gli effetti .

5. Quindi fufTifterebbe la diftinzione di gradi varj tanto ne' refiftenti , come ne' condottori ; ma nella varietà de' loro gradi procederebbero effi in ferie contraria . Talché la fteila do- fe di elettriche potenze darebbe tanto meno luce nel riunirli fra la foftanza d'un condottore , quanto quello foffe condot- tor più eccellente ; e per oppollo luce tanto maggiore nel riu- nirfi tra la foftanza d' un refiftente , quanto quefto foffe nel più alto grado di refiftente natura . Il che fi troverà coeren- tiffimo alle fperienze , quando in quelle di propolito ci occu- peremo .

6. Sarebbe poi in manifefta contraddizione coi fatti più in- figni, e collanti, chi non conofcendo altro , che fperienze in- adequate , e confufe perfifteffe tuttavia nell'errore che le elet- triche potenze , quando pel mezzo de' condottori fi riunifco- no ,non facciano in effi veruna luce .Rifplende viviffima l' elet- trica fcintilla attraverfando 1' acqua, e il vapore, corpi con- dottori, come attraverfo dell' olio, e dell'aria, che fono re- fiftenti . E nel rifplendere trasforma fimili foftanze in altre finora non offervate , né conofciute . Nel vapore poi , e neir aria , quando è ridotta a tale rarità , che incapace fia di frenare una carica nafcente, fi riunifcono le oppolle poten- ze a grandi intervalli , ed empicnio di luce tutta la capacità di grandi tubi , o globi di vetro , nei quali l' aria lìa oppor- tunamente rarefatta per preftarfi a quel facile raddoppiamen- to di azione , ed a quefto iì riducono i fenomeni di elettri- ca luce da Canton , e da '^^ilfon deferirti, i quali furono poi chiamati atmosfere, 0 condottori luminofi .

7. Ma ritornando ai condottori delle elettriche potenze con grandi fcariche s'infuocano, e fi fondono, e fi difperdono

in

SOPRA t' ELETTRICITÀ. 97

in fine con viviflìma luce i metallici fili , non altrimenti che i fottili (Irati di relina , o di vetro . Conobbe Priefikj con particolari cimenti, che maggior carica vi vuole ad infuoca- re, e fondere quel metallo , che è più condottore , come mag- gior forza vi vuole per rompere un fottile ftrato di vetro, che non un eguale di refina . Onde accrefcendo con certa leg- ge la fomma delle forze, offia la carica reciprocamente colla condottrice facoltà de' metalli , e direttamente colla reiìfien- te natura delle refine , e de' vetri , avremo luce in tutti i gradi de' condottori del pari, che in tutti i gradi de' refifien- ti pel moto delle contrarie potenze ; e pel folo aumento di quelle li ragguaglieranno i fenomeni di elettrica luce attra- verfo quelle differenti fortanze . E farà per tal modo la diflè- icnza loro ridotta a foli gradi , come la proporzione loro non confifte , che nel diverfo modo di reliftere .

8. Le elettriche potenze adunque e quando fono tenui, e quando fono grandiffime , e quando fciolte , e accumulate fi trovano in condottrici fofl-anze, e quando intralciate refta- no, e divife fra i punti, o ftrati delle fofianze reliftenti , non fanno luce giammai , finché C\ frenano a vicenda o 1' una coir altra , o colle particelle di altre foftanze . Nafce qui na- turalmente la queftione, fé rifplendano ej]'e quando fono foli ta- rie , cioè /' una dall' altra difìinte , e indipendenti /

Prima di entrare in tale queftione più, e pili altre ^i fup- pongono previamente definite, e fono:

(a) Se fia la luce femplice ellètto d' una fola foftanza, ov- vero rifulti da mutua , e compo.'la azione di più ibftanze.

(b) Se pofla l'una, o 1' altra fpccie di elettricità fuffifte- re , o raccoglierfi diftinta, e indipendente dall' altra, e quali fieno i mezzi di ottenere fiflàtta feparazione .

(e) E quanto ai mez.x.i condottori ,{t non concorrano elfi che paffivamente con mera permeabilità meccanica , ofiìa col preftare libero pafTo pei loro pori.

(d) Se concorrano in oltre con mutua azione permanen- te , o momentanea.

( e ) Se la loro prefenza , o figura , o azione concorra a modificare 1' azione delle refiftenti particelle, o foftanze frap- pofte, o ambienti .

</) E quanto ai mez.'Z.i rejìjìcnti ,ìt la loro influenza ful- Tomo IL M

98 Memoria

la elettricità non fia che di meccanica impermeabilità , offia di mero impedimento di trapafTo.

(^) Se in oltre influifcono con mutua azione.

(A) Se quella fi faccia colle particelle fteffe componenti di quelle refiftenti foftanze , ovvero con altre per eflc fparfe .

(;) E per comporre tutte infieme le confiderazioni delle elettricità, e dei mezzi, fé tal forta di azione fi diftingua dall' azione mutua colle condottrici foftanze .

(/e) Quali mutazioni nafcano e nelle condottrici, e nelle refiftenti foftanze per fimili azioni.

(/) Se le mutazioni ftefle non confiftano che in differen- ze de' gradi .

(m) Se quefti gradi fieno principj di trasformazione , tal- ché ogni elettrica azione couiinci a fciorre , e ad alterare le foftanze , colle quali fi efercita ; e perciò tali alterazioni ac- crefciute in fine rifolvano , e diftruggano non meno le con- dottrici, che le refiftenti foftanze. Onde non fia 1' eccitamen- to di elettricità, fé non 1' incominciamento di alterazione, e diftruzione delle foftanze, che a tal atto concorrono.

(/;) Se tali rifoluzioni per elettrica virtù nafcano da mag- giore, o da minore affinità colle prime parti rifolventi, cioè fé più facile fia la rifoluzione , e trasformazione delle refiften- ti, o delle condottrici foftanze.

(0) E per fine fé, e come ciò concorra ad accrefcere , o a fcemare , e fpegnere gli efteriori fegni di elettricità .

9. Ad altre Memorie la difcuftione appartiene di tante queftioni ; e fi riducono in efle a precifa efprelfione que' co- muni termini troppo confufi di dare , e ricevere ; condurre, e refijìere ; condenfare , e rarefare \ frenare e 'muoz'ere ; eccitare , e fpegnere ; terrene rejìituir V equilibrio . Né previamente poffia- mo dir nulla in propofito della queftione da principio accen- nata. E perciò ritenendo la confiderazione della elettrica lu- ce , come un fenomeno , concludiamo dal compleftb de' fatti efprefti nelle precedenti leggi , che non ha effa luogo altri- menti, fé non nell' atto, e pel moto, con cui 1' una all' al- tra fi riunifcono le contrarie elettricità . Comunque poi di- retto, o indiretto, femplice, o duplicato fia quel moto nel- la varia natura , e forma de' mezzi , o intervalli frappofti , non vi è altra differenza per rapporto alla loro quantità , cioè

SOPRA l' elettricità'. 99

quando fono grandi , o raccolte , e quando fono tenui , o in- tralciate, i'e non che nel primo cafo molte inlleme delle op- pofte particelle fi rivolgono, e fi muovono in fuori, o attra- verfo le reliRenze , e gli oracoli , e perciò fanno vivo fenfo di fcintilla; nel fecondo cafo per oppoiito non fono capaci che di moto lento, e divifo, il quale perciò fi compie fenza notabile impreffione di fcintilla, e di luce.

A R T I C O L O IL

Le^gi de particolari fenomeni della elettrica luce .

NEI precedente articolo non incontrai veftigio di altrui pedate ; qui molte Ci prefentano , ma piuttofto a falti , e a palli confuti , che per traccia di previa direzione . Giove- rà pertanto andar circofpetto , e fenza trattenerci di fover- chio in qualche fentieruolo più trito , e fenza paventar V ac- ceflb delle più ardue, ed inofpite vie.

Legge Prima. Occorrono nella flreffa fpecie di vitrea elet- tricità apparenze di luce , che fono varie in grandezza , fi- gura , fuono , e colore .

I. Oltre alle fcintille, che fcoppiano brillanti in pieno e tra gli elèttrici condottori, e tra i limiti delle elettriche fca- riche , iì manifeftano nelle tenebre con maggior diftinzione le diflèrenze di elettrica luce . Benché tra quelle prime non manchino diHèrenze d' ogni genere , ficcome ne' precedenti Capi notai, e dovrò più diftintamente notare nella terza Par- te ; ciò non oflante le ultime fole fembrano proprie del pre- fente articolo si perchè nelle tenebre più compiutamente {\ dilcernono i lucidi fenomeni , sì ancora perchè le ultime , e non le prime d' ordinario s' introducono come prove , e cri- terj delle oppofte fpecie di elettricità , e d producono per delinirne la diverfa natura.

Cominciando adunque dal condottore di vitrea elettricità è certo, che fulla metallica punta da eflo procedente, a cui fi prefenti a certa diftanza altra sferica , o piana fuperficie condottrice, comparifce nelle tenebre un fafcio di lucidi rag- gi I. ampiamente divergenti in forma conica coli' apice alla

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100 Memoria

punta metallica, 2. inftabili con vago ftridore , o crofcio er- rante verfo r efteriore bafe , 3. di colore non candido , ma di varia tinte fra il giallo , roJTo , e violetto .

Al contrario falla metallica punta , che dal fuolo li pre- fenta allo fteffo condottore , fplende una luce i. riftretta di sferoidea figura , 2. coftante nella fua forma con un fibilo, e quali ronzio continuo all'apice della punta fteffa , 3. di candido, vivo colore.

Quel primo fafcio fi chiamò fennf-llo ; quefta feconda luce fi diffe Jìdlctta .

2. Sarà quello adunque il criterio di vitrea ; e quefta il criterio di refinofa elettricità? ed anche ciò fuppofto , fcirà il pennello fufficiente prova di un fluido folo , che efce ; e la ftelletta argomento dello fteffo fluido , che entra per quelle punte r Non lafcierebbe di effere un gran falto dalla prima al- la feconda conclufìone . Ma innanzi di mifurar la conneftione di quefte illazioni, chiederò in ordine alla prima, fé per Af- fare un criterio di fpecie diverfe bafti un fatto ifolato comun- que certo , e coftante ? ovvero fé d' uopo fia di accertare , ed eftendere il fatto fteffo del pari coftante in tutte le varietà di modi, e di circoftanze? Poiché fé ad un folo modo f\ ri- flringe , farà criterio di quel modo , e non mai della fpecie , né degli altri modi . E dovrà perciò rintracciarli tale crite- rio della fpecie , che adequato fia per ifpiegare non meno quel modo , che gli altri quanti fono diverfi , e del pari certi , e coftanti . Altrimenti a quante fpecie non andiamo incontro , fé per ciafcun modo s' induce un criterio di fpecie diverfa? Rintracciamo dunque le principali differenze de' modi prima d' ingolfarci ne' criter;, e nella fpecie.

3. A quella punta, che dal condottore procede, altra ne prefento direttamente in diftanza più di due piedi , e comin- cia a comparir in quella una ftelletta ; indi un tenue pennel- lo non altrimenti , che quando Ci prefentano alla fteffa in mi- nori diftanze le sferiche , o piane fuperficie . Ma appreffando paffo palio la punta prefentata direfte,che la ftelletta di que- lla divora 1' oppofto pennello . Poiché fi contrae effo nota- bilmente , e prefto fi riduce a non moftrar di pennello altro veftigio , che i colori , E la ftelletta coli' avvicinarfi ingroffa j

SOPRA L ELETTRICITÀ. IO!

e toglie infine anche i colori a quell' avanz-o di pennelb , talché li confondono 1' una coli' altra le loro apparenze .

Abbiamo dunque Julia punta procedente da vitreo condottore per lungo tratto un tenue avanz.o di pennello , ed in princi- pio , e in fine la ftelletta in tutto pan all' oppnfta .

4. Tolgo via ogni punta, né altro pongo in opera, che globi di varie grandezze, e piane fuperficie. (a) Prcfento al globo grande terminante il condottore la piana armatura del quadro , come nella preparazione della ferie 19. ne mai da eflb, né dall' oppofta armatura apparifce pennello, (b) Sofli- tuifco al più grande gli altri globi fuccellivamente minori ; e da quelli parte un vero pennello contro T oppofla armatura, (e) Quanto il globo è minore fegue a dar pennello , e ad imprimere carica nelT oppofl-o quadro in diflanza maggiore.

Non nafce pertanto il pennello dalle punte fole, ma anche dai globi terminanti il vitreo condottore . Soltanto dipende da cer- ta grandez.z.a de' globi , e da certe dijìanz.e dell' oppofia fuper- ficie .

5. Collo UefTo apparato ora fcemo , ora accrefco la dofe , odia quantità di eccitamento a ciafcun giro del difco . (a) Scemando cella in tìne il pennello anche ne' globi più pic- cioli ■■, {b) accrefcendo comparifce il pennello ne' globi fuc- ceflìvamente più grandi; (e) e lo fteilb ne' più piccoli fuffi- fte anche rimoflo il quadro a diftanze tanto maggiori .

Onde il pennello ne' globi procedenti dal vitreo condottore non folo da certe grandez.z.e , e difianze dipende , ma in oltre da certa quantità di elettrica potenzia.

6. Prefento or al globo grande , or ai fianchi dello fteflb condottore un globo groflo mezzo pollice (^i) né mai da quel globo grande, né dal condottore vedo pennello: (b) all'op- pofto fu quedo globetto prefentato fplende , e ftride più dell' ordinario fino alla diftanza di due pollici un ampio pennel- lo; (e) ed ho fimile pennello con globi prefentati anche grof- iì due pollici a diftanze minori.

Quindi il pennello non è proprio foltanto de' globi di vitrea elettricità , ma anche de' globi oppofti .

7. Sul giogo dello (tefib condottore fifTo un globo grof- fo mezzo pollice , e prefentando a quello verticalment'é or l'uno, or r altro de' globi precedenti, (a) non folo in que-

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fti , che fi oppongono , ma infieme nel primo , che fui con- dottore fiflai , brillano a certe diftanze arapj , ed oppofti pen- nelli, (^) ne vi è differenza, fé non che nel globo di vitrea fono anzi meno vivaci , e meno (tridenti , e non fcompari- fcono, che a minori diftanze .

E fi raddoppia così in un fol atto ne Uè oppojìe [peci e , ed in eia/cuna injìcme il pennello .

8. Cangiai 1' apparato , e feci terminare il condottore in fuperficie piana coli' armatura di quarto oppofta al quadro verticale , come nella preparazione 20 , e prefentando globi di varia grandezza al tubo, e all'armatura di quarto (^) non mai comparifce pennello né da quefta al quadro,, ne da que- fta , o dal condottore verfo i globi prefentati ; ( ^ ) e sbuffa , e frigge per oppofto ftrepitofamente a difranza fino di tre pollici il pennello dai globi fteffi , che fi prefentano.

Ed e COSI invertita la fede , e /' efprejfione del pennello .

9. Ritorno alle punte non più acute, ma ImulFate , e fca- bre. Per raccoglierne in breve i rifultati , vedo ampj pennel- li non folo in quelle, che dal condottore procedono, ma dal- le flefle prefentate a varie difianze or al globo , or ai fian- chi , or a fimili punte del condottore . Infigni oltre modo fono , e (tridenti i pennelli fuUa punta di uno , o anche di più diti, che difgiunti li prefentano (^) all' armatura di quar- to defcritta nel numero precedente ; (^) ovvero alla piana fu- perficie del difco in quella parte , che girando efce fuori dei cufcini, quando è aflai viva l'elettricità.

Non e in [omma il pennello [oltanto proprio delle punte di vitrea elettricità, ma anche delle oppojìe.

IO. E quanto alla (belletta ben lungi di elTere unicamen- t-e addetta alle punte , che al vitreo condottore fi prefenta- no, riduco io ai caratteri, ed alle apparenze di femplice ftel- lecta ogni luce , che dal vitreo condottore procede , purché opportunamente (^) o fi fcemi la dofe di elettricità ; {b) o fi accrefca il numero , lo fmufTamento , e la fcabrezza delle punte da eflo procedenti ; (f ) o infine or più , or meno fi accoftino i condottori prefentati , e fi variino così i limiti , e la perfezione del mezzo ifolante. c;bL> '■■^■■y. i"''-^ «Y

Ne la fìdletta è altrimenti propria delle [ole punte , 0 fca- hrez.z.e prefentate , ma delle punte ancora , e fcabrez.z,e fpettanti al condottore di vitrea elettricità .

SOPRA l' elettricità IOJ

Le_^^e Seconda . Nella fteflia vitrea elettricità fi tolgono, s' invertono , e fi raddoppiano le apparenze di pennello col variare i. la figura, 2. o la grandezza de' condottori, 3. o la quantità di eccitamento , 4. o gli intervalli , e la perfezione del mezzo ambiente .

In fomma tutto ciò, che fcema la prevalenza del momen- to in qualfivoglia preparazione , e ne accrefce il momento neir oppofta preparazione, o nel mezzo ambiente , tutto co- fpira a trasformare in quella prima la ftelletta in pennello.

Legge Ter z-a . E con fomiglianti modi nella fpecie flefia s' in- vertono, fi tolgono, e fi raddoppiano le apparenze à\ Jlelktta .

1. Qiieffa,e la precedente legge rifultano ad evidenza dal- la dimolh-azione della prima. Ed in ciò che riguarda la va- ria proporzione di elettrica potenza per torre, o raddoppia- re , o invertere le apparenze di pennello, e di ftelletta, lo verificai non folo nella preparazione 465, ma fimilmente in tutte le corrifpondenti .

2. E per rapporto alla perfezione del mezzo ambiente deb- bono qui richiamarfi le ofl'ervazioni premefle nell'Art. i.Legg. 6. n. 5. e 7. Poiché ficcome per la diverfa perfezione dei mezzi variano le generali apparenze di elettrica luce , cosi riconobbi nelle particolari forme della luce ftefTa le mutazioni corril'pon- denti .

3. Onde per trasformare il pennello in flelletta non altro fi richiede, che accrefcere il momento nei refpettivi condot- tori, o diminuirlo nel mezzo ambiente.

Legge Quarta. Né minori fono le varietà dei modi di to- gliere, invertere, e raddoppiare le differenze di luce, per le quali fi vorrebbe difiinguere la refinofa dalla vitrea elettricità.

I. La punta procedente da condottore di refinofa elettri- cità prefcnta nel fuo apice Idi Jìelletta ; o. ■^tr oppoflo la punta al condottore fteilb oppofta efiende innanzi a se il pennello. E quefte differenze , che li oppongono alle prime di vitrea elettricità {legg. i.n.i.) fono al pari di quelle certe, e co- ftanti nel modo loro . Non bafèa però un modo folo per ca- ratterizzare la fpecie , mafTime quando in tutti gli altri mo- di fi tolgono, s' invertono, e i\ raddoppiano le difTerenze del primo. Indicano al certo le differenze di ciafcun modo qual- che differenza nella fpecie , d' onde quel modo procede , e

104 Memoria

ben lungi dall' indebolire quefto canone di fifica inveftiga- zione , ammetto anzi, e ftabilifco generalmente, che per rin- tracciare le fpecifiche differenze delle cofe non ha il Fifico altre vie ficure , fé non per le differenze dei modi loro . Ma dico infine, che per fìff'arne in un fol modo il criterio della fpecie forza è, che quell'unico modo fia tanto coftante , quan- to lo è la fpecie medefima ; e che unico fuffifta in tutte le altre varietà, alle quali la fpecie ffeffa foggiace . Or come ciò non ebbe punto luogo nella vitrea , vediamo qual coftanza ferbi nella relinofa .

2. Alla punta , che dal condottore di refinofa elettricità procede , oppongo un' altra punta procedente dal quadro , co- me nella preparazione della ferie 6. E cominciando dalle più rimote diftanze (a) fuUa punta del quadro , che alla relino- fa lì oppone, non vedo il minimo indizio di luce, non che di pennello , finché non i arriva quella punta a diftanza dell' altra circa d'un piede . C^) Quindi comincia fu quella a com- parire una tenue ftelletta , che va lentamente accrefcendofì mentre più li appreffa , fenza però mai prendere il minimo cenno di pennello appreflandofi perfino al contatto della pri- ma, (e) Al contrario fulla punta di refinofa elettricità bril- la, benché il quadro fia diftantiifimo , una viva ftelletta con libilo già notabile , quando 1' oppofla è ancor più diftante d' un piede , ed imprime così a quella diftanza nell' oppofto quadro notabile carica . (d) Ed apprefffandofi vie più 1' op- pofì^a punta col rinvigorirfi in queffa la ftelletta ,direfl:e , che trae fuori dalla refìnofi un' orditura di pennello , che tale fi manifefta in fine colla figura, benché non tanto grande, col- lo rtridore , e colla varietà de' colori .

Abbiamo dunque la punta oppofia alla rejìnofa fenza veruna apparenz.a di pennello , e colla [ola ftelletta dai primi fino ai minimi intervalli ; e per oppofto nella punta rejìnofa coli' ap- prejfarjì di quella prende vigore /' orditimi di pennello .

3. Tralafcio per brevità altre analoghe combinazioni di punte; e paffb ai globi di varie grandezze, e alle piane fu- perficie . Oppongo al condottore terminante in groifo globo il quadro verticale come nella preparazione della ferie 1 5. (a) Talvolta dal centrale punto oppofto dell' armatura sbuf- fa da principio un pennello verfo il globo ; ma il più delle

volte

SOPRA l' elettricità. I05

volte nel fucceffivo accoftamento dal globo ftefib ftride , e fi eftende dal globo refinofo verfo i'oppofta armatura un ampio pennello . (^)Prefento al globo del tubo un globo groflb due pollici , e poi altri minori ; e da quefti più di raro , e piìi breve , e foltanto a data minor diftanza iprizza il pennello; fprizza all' oppofto piìi frequente , e più continuo , e in mag- giori diltanze dal globo grande refinofo. (e) Adatto fui gio- go del condottore un globetto di mezzo pollice , come nella Legge I. n. 7. , e prefentando a quefto altri globi di varia grandezza non mai in quefti, e fempre in quello a varie di- Itanze apparifce il pennello .

Si ha pertanto il pennello non filo dalle punte , ma dalle piane fuperficie -, e da' globi oppojlì alla rejìnofa elettricità . E lìiceverfa dif globi di rejìnofa elettricità parte c»n piti cojian- TLU , e a maggiori difianz.e il pennello , che non dagli oppojìi . Ma neW imo e nell' altro cafi dipendono quelle apparenze da certa dijìanz.a , e grande-zza di que' globi , e delle [uperficie .

4. Collo fteflb apparato , e nelle ftefle combinazioni fé rendo or più , or meno vivo 1' eccitamento di elettricità in ciafcun giro del difco , riconofco , che non dalle fole grandez- ze, e diltanze di que' globi, ma da certa quantità di elettri- ca potenza il pennello , e la ftelletta dipendono .

Talché tutto ciò , che accrefce momento in una preparazione , co/pira a tener in ejfa la ftelletta .

5. Faccio terminare il condottore in piana fuperficie col- la armatura di quarto oppofta al quadro verticale , come nel- la preparazione della ferie i6, e dal contorno di quella ftri- dono lunghi , e ampj pennelli efteff verfo 1' oppofto quadro anche a diftanza di due pollici ; né mai fi vede orma di pen- nello procedente dall' armatura del quadro .

Ed abbiamo così i pennelli procedenti dalle file rejìnofi fu- perficie^ e non dalle oppofte.

6. In vece d' intertenermi in altre combinazioni di pun- te fmuflate , e di apparenze or di ftelletta , or di pennello , che io induco non meno ne' refinofi , che negli oppofti con- dottori con le cautele , e preparazioni fomiglianti a quelle , che in fine della Legge i. indicai ; raccoglierò alcuni termi- ni più coflanti delle proporzioni di figura, grandezza , diflan- za, e quantità, che infiuifcono in que' modi varj di elettrica

Tomo IL O

io6 Memoria

luce . Poiché in tante varietà non altro , che le giufte pro- porzioni guidar ci poffono a fpecifici criterj , e a diftinte il- lazioni . Dirò adunque nelle feguenti Leggi ordinatamente del- la figura, e delle grandezze de' condottori; indi delle diftan- ze , e delle quantità delle elettriche potenze confrontando nella identità di fpecie diverfe preparazioni , e colla identità di preparazione le fpecie diverfe .

Le^ge §luinta . Nelle diverfe preparazioni di figure, e di grandezza de' condottori colla fteffa fpecie di elettricità pre- vale r azione della punta acuta alla fmulTata , e quefia ai globi minori ; e in genere prevalgono ordinatamente le mi- nori conveffe , o piane fuperficie alle maggiori .

1. Prevale , come in ogni genere di potenze , così nelle elettriche quella, che determina il moto. Ora nella flefl'a fpe- cie la prevalenza di azione non può d' altronde ripeterli , che per momento acquiftato dalla fleflà potenza . E ficcome la lu- ce nafce dal moto iìt(^o delle elettriche potenze , non v' ha dubbio , che ove comincia a manifeflarfi luce , ivi non fia prevalente il momento dell' elettrica potenza.

2. Si diftinguano adunque i condottori di vitrea, e di re- flnofa elettricità, e rifpettivamente gli oppofti a ciafcuna con ordine di punte acute , e fmuflate , e di globi minori , e mag- giori ; e di piane fuperficie fimilmente minori , e maggiori . Comincerà in tutti la luce, e perciò il moto ordinatamente dalla punta acuta prima , che non dalla fmuflata , e cosi in feguito prima dalla minore , che non dalla maggiore convef- fa , o piana fuperficie .

Legge Sejìa . Nella indentiti di preparazione colle diver- fe fpecie di elettricità prevale alla vitrea 1' azione della re- fi nofa.

1. Quefta colla precedente Legge fono corollarj de' Teore- mi della prima , e feconda Parte ; poiché con fimili propor- zioni s' imprimono le cariche a difl^anze tanto maggiori con punte , e coi condottori terminanti in minore convella , o pia- na fuperficie ; e fimilmente più colla refinoUi , che colla vi- trea elettricità (i efiendono le cariche imprefTe .

2. Si provano in oltre direttamente coi fenomeni di lu- ce . E in ordine alla quinta Legge tanto il pennello , come la ftelletta comparifcono a diftanze tanto maggiori dalle pun-

SOPRA L' elettricità'. I07

te acute, che non dalle ihiuil'ate , e da quefte che non dal- le convefFe , o piane fuperficie ; e ciò non meno ne' condot- tori di refinofa, o di vitrea elettricità, che nei condottori a quelte rifpettivamente oppofti .

3. E quanto alla fefta non meno dalle punte , o luperfì- cie refìnofe , che dalle oppoite alla \itrea li hanno i fegni di luce a diftanze ailai maggiori , che non da limili punte , o fuperficie vitree, o rifpettivamente oppofte alla refinofa.

hegge fettima. E nella identità di preparazione, e di fpe- cie prevalgono gli eccefii di eccitamento , o di mafie fopra le fpecifiche forze della refinofa, o della vitrea elettricità.

1. Con minore eccitamento fi hanno fegni di luce nella refinofa elettricità, e nei condottori oppofi:i alla vitrea, che non colle delle preparazioni, ed eguale eccitamento nella vi- trea, e ne' condottori oppolH alla refinofa.

2. Per ottenere fegni di luce a pari difi^anze dai condot- tori di vitrea, o dagli oppofii alla relìnofa elettricità d'uopo è di accrefcere in proporzione 1' eccitamento , ofl^ia la mafia , che a ciafcun giro corrifponde nella rifpettiva fpecie .

3. Ed appunto perchè pili pronti , e vivi comparifcono i fegni di luce colla refinofa , che non colla vitrea elettricità, quella pili prontamente di quefta s' indebolifce , e fi difperde; non altro efi'endo que' fegni , fé non 1' atto fteflb della fua difperfione, ofTia il moto di riunione coli' oppofta.

4. L' eccitamento maggiore , o ecceiro di mafie neceflTa- rio per rendere a pari difianze vilibile la luce con vitrea e- lettricità , che non colla refinofa , compenfa la minore forza fpecifica della vitrea; e l'aumento necellario nella refinofa per rendere a pari difianze vifibile la luce nell' oppofio condot- tore compenfa la minore mobilità dell' oppofta, che da quel- lo procede .

5. E neir uno e nell' altro cafo {\ efige quel maggiore eccitamento per ridurre a riunirfi intorno a que' condottori tanta dofe di elettricità o dall'ambiente, o dall' oppofto mez- zo, quanta è necefiaria per far iiinìo di luce più o meno vi- vo , ed cftefo.

Legge ottava . E confrontando le fpecie fra loro nelle di- verfe preparazioni 1. la punta acuta vitrea corrifponde alla refinofa fmufi'ata ; 2. la punta fmulfata vitrea ad un piccolo

O ij

io8 Memoria

globo refinofo; 3. e il piccolo globo vitreo alle maggiori con- vefle , o piane fuperficie ; e cosi ordinatamente .

1. Quegli ecceflì di eccitamento per rendere in diflianze pari alla refinofa vilibili i fcgni di luce, che nella preceden- te Legge ofTervai necellarj e nella vitrea elettricità in sé flef- fa , e nella refinofa per rapporto agli oppofti condottori , che non nella vitrea per rapporto ai fuoi condottori oppoiH , di- moiTrano direttamente nella identità di preparazione e la maggiore eiEcacia della relinofa, e la maggiore mobilità del- la oppofta alla vitrea. Nella prefen te Legge fi confermano le fteflè verità in tutte le diverfe preparazioni dell' una e dell' altra fpecie, e nei condottori , che a ciafcuna rifpettivamen- te fi oppongono; poiché lì riduce quefta in ciafcuna parte ad evidenza di fatto .

2. E quanto alle femplici apparenze di luce ciò è mani- fefto in due modi. In primo luogo la punta acuta refinofa, e r oppofla alla vitrea come rifplendono a maggiori diftan- ze , che non la vitrea, o I' oppofta alla relinofa, così certo fmuflàmento di quelle prime rende in effe il cominciamento di luce a diftanze eguali delle feconde acute. Quefte adunque hanno bifogno del momento , o prevalenza di punta acuta per corrifpondere alle refinofe fmuffate (le^g. 5.).

3. In fecondo luogo nei globi, e nelle fuperficie vitree non fplende mai luce fé non a diftanze minori (le£^. i. ». 4. 5. 7. 8. ) , che non da fimili globi , o fuperficie relìnofe ( legg. 4. », 3. 4.) ; e per oppofto i globi , e le fuperficie maggio- ri refinofe hanno luce , quando ancor non ne hanno i globi , e le vitree fuperficie affai minori (ivi). Lo fleffo accade ne' globi , e nelle fuperficie rifpettivamente oppofte . Onde vi vuole nella vitrea, e nell' oppofta alla refinofa il momento, o la prevalenza di minore conveffa , o piana fuperficie {Icgg. 5.) per ragguagliarne gli effetti.

4. E quanto alle differenze di lucide forme dalle prece- denti citazioni è del pari manifefto 1' indicato ragguaglio di punte acute colle fmuffate, e delle minori colle maggiori fu- perficie per ottenere eguati fonrte di luce . Così per trasfor- mare il pennello della punta vitrea al fine in vera ftelletta , bafta diminuire il momento del mezzo appreffando in vece di conveffa, o piana fuperficie (legg.i.n. i.) una punta acu- ta (ivi «. 3- ) •

SOPRA l' elettricità'. 109 5. All'oppoflo per avere pennello fu i relìnolì condottori d' uopo è accrefcere la refiftenza del mezzo con dilatare i ter- mini , e le eftremità de' condottori fteffl , e fcemare per tal modo inlìeme il momento e la prevalenza di punte acute, o di minori fuperficie {legg. 4. ». 5. 5.). Ne fulla punta acu- ta refinofa altro Ci vede mai, che una tenue orditura di pen- nello {legg-^- »'!.) perchè in quallivoglia confronto di pun- te acute vitree, e in quallivoglia diminuzione del mezzo rc- fiftente prevale fempre la fpecifica f'^rza della refinofa.

Legge nona . Nella comparazione delle fpecie fra di loro non li deve indiftintamente confrontare la refinofa colla op- pofta alla vitrea , né colla vitrea confondere 1' oppofta alla refinofa; ma e ciafcuna fpecie coli' altra direttamente ,e le op- pone a ciafcuna rifpettivamente fra loro debbono paragonarli nelle particolari preparazioni .

1. Benché in realtà la fpecie oppofta alla vitrea fia refi- nofa, e r oppofta a quefta fia vitrea ; ciò non oftante, quan- do li tratta di proporzioni, non pofTono alla rinfufa compa- rarfi , mentre non è la fpecie , ma la quantità , e il momen- to di ciafcun termine col fuo omologo , e oppofto , che cade in confronto. Ora è manifeflo per la Legge prima, e quar- ta , che di gran lunga prevalgono i termini di vitrea , e di refinofa ai termini, che a ciafcuna fi oppongono in qualfivo- glia preparazione . Ed è ciò coerente alla natura flefia delle cofe ; poiché que' primi riguardano le potenze già fciolte , ec- citate , e raccolte -, e gli ultimi non riguardano fé non le po- tenze ftefle appena fmofle , e nell' iniziale loro eccitamento, e capacità di raccoglierfi . In fomma nei primi termini fi con- fronta r efficacia , e la forza di ciafcuna fpecie , e nei fecon- di la loro mobilità.

2. Somma è 1' importanza di quella Legge non folo per ovviare le vane contraddizioni , e i paradoUi , che nafcer po- trebbero dal confufo paragone di que' termini , ma perchè ci fomminiflra vera, e piana fpiegazione delle contrarietà ofier- vate fra i corollarj del Capo primo, e del diverfo andamen- to di decadenza fra i primi e gli ultimi termini delle cari- che imprefié , che furono calcolate nel Teor. XIV. al n. 7. , e nel Teor. XIX. al n. 4. , ficcome altrove dimoftrerò, mafiima- mente fé con quella i\ aggiungano le confiderazioni della fe- gucnte Legge.

Ilo Menjoria

Legge decima. E in quefte combinazioni d' identità , o diveriità di fpecie , di oppofte a ciafcuna , di preparazione , o eccitamento influifcono le differenze de' mezzi condottori , o relìilenti con tali proporzioni d' intervalli , i quali come per i condottori pili perfetti fi etendono ai limiti indefiniti , co- sì cominciano a rifiringerfi in certi limiti ne' condottori me- no perfetti , e fi fanno que' limiti fempre minori , quanto gradatamente i mezzi frappofti fi fcofiano dalla perfezione di condottori , e pafiano per fuccefiivi gradi a maggior perfezio- ne di refiftenti .

1. Se le elettriche potenze eccitare, e raccogliere C\ po- tefiero indipendenti dalle modificazioni del mezzo , fi ridur- rebbero non meno i fenomeni di luce , che gli altri fegni lo- ro, a ragioni cofianti de'fetnplici elementi di fpecie, di op- pofizione , di quantità , e di preparazione . Ma tanta è nelle cofe elettriche 1' influenza del mezzo , che lungi dal poterfe- ne prefcindere giammai , fembra piuttoffo che ogni elettrica ricerca debba in fine rifolverfi in più intime confiderazioni del mezzo ftefib , e delle fue modificazioni . Nafcono d' ordi- nario le falfe induzioni per errore di relaz.ione , quando da fenomeni , e fatti veriflimi fi conclude il falfo , perchè i\ ri- ferifcono a foggetti , o caufe non vere , o almeno non ade- quate , né folitarie. Ora non vi è inFifica altro capo, quanto r elettrica materia, in cui {i cada più comunemente in fimi- li errori ; perchè appunto fi vuol prefumere femplice ciò , che è compofi-o , e fi vuole introdurre qual mero oftacolo , o re- iìftenza il mezzo , che in mille forme regge le elettriche po- tenze , e 1' azione fua con effe compone .

2. Siccome però del mezzo già molte cofe notai e ne' Capi precedenti , e nell' articolo primo di quefto Capo , per- ciò bafterà qui richiamarne foltanto la memoria . Agifce dun- que il mezzo come veicolo ne' condottori , e come oftacolo nei refiftenti , e fegue nell' azion fua una inverfa ragione del- la perfezione de' primi, e diretta de' fecondi {art. i. kgg. 6. n. 5. e j.).

3. Ma quefie azioni , e quefte ragioni di condottrice , e refiflenre natura non fi prefentano mai ne femplici , né foli- tarie ; ma fi compongono cogli elementi delle elettriche po- tenze , che diftinti abbiamo nella prima Parte . E viceverfa

SOPRA l' elettricità. IH

quefl-i fteffi elementi non debbono precifamente ridringerfì a certe elettriche potenze eccitate , o mode quafichè effe per sé fole compieflero la loro azione ; ma d' uopo è riflettere , che non li compie V azione di quelle fé non componendoli con fimili elementi di nuove porzioni , e potenze elettriche eccitate , e molle nel mezzo ftellb reiìftente . Talché qualii- voglia elettrico fenomeno benché fembri piìi femplice , e pia- no non legue mai la fola ragione o dei condottori , o dei refiftenti , o d' una fpecie , o quantità di elettrica potenza eccitata ; ma rifulta dal compleflb di tutte le ragioni di con- dottori , e reliftenti , e di contrarie , ed omologhe fpecie , e quantità eccitate intorno a quella prima.

4. L'arte di riconofcere ciafcuna di quelle femplici ragio- ni conlifie in renderne 1' azione , quanto più fi può , preva- lente fopra gli altri elementi, licchè per 1' eccedo fuo li co- nofca, giacche non può fola aflblutamente conofcerii.

5. E nel cafo nodro le acute punte condottrici fono la più prevalente via di porre in moto le elettriche potenze , e di render minima l' influenza dei mezzi refidenti fopra di lo- ro, e perciò con fimili punte fi ha luce alle maggiori difianze .

6. All' oppollo le ampie fuperiìcie condottrici prefentano maggior influenza al frappofto mezzo refiftente non folo di femplice oflacolo, ma di nuove foluzioni ; le quali fi frenano a vicenda , finché la prevalente azione dell' una o dell' al- tra fuperficie non ne determini il moto {artic. i. legg. 4.». 4. , e feguenti ).

7. Ed é appunto quefia V influenza de' mezzi , per cui i limiti del moto divengono tanto minori, e all' oppoflo tan- to maggiori divengono le quantità di contrarie potenze a vi- cenda frenate, quanto fono più ampie, ed eguali fra loro le oppofte fuperficie condottrici , e quanto è più perfetto il frap- poflo mezzo refiftente .

Legge undecima . E le apparenze di pennello , e di ftel- letta I. non nafcono da veruna fpecie particolarmente più che dall' altra , 2. ma provengono da certa fomma di azio- ne , o da certo momento di ciafcuna contro le frappofte , ed oppofte refiftenze.

I. La prima parte di quefta e immediata confeguenza del- le precedenti Leggi , e principalmente della prima , quarta,

112 Memoria

fettima, e ottava. Onde non refta che di foggiungere qualche dichiarazione della feconda parte . Per intendere che cofa fia certa fomma di az^ione, o certo momento^ da cui il pennello, o la belletta proviene , d' uopo è formarfì chiara idea dell'uno è dell'altra. La ftelletta fibila labilmente full' apice della pun- ta , in cui fplende ; il pennello ftride inftabilmente verfo la fua bafe, cioè in parte oppofta , e in fuori della punta, o dalla fuperficie , da cui procede {legg. i. ». i.). Ora e il fibilo , e lo ftridore non fono altro, che vibrazioni imprelTe nell' a- ria ambiente in ciafcun punto , ove la riunione , e lo fcop- pio fuccede delle contrarie elettricità; né quel fibilo, e ftri- dore è diflfèrente dallo fcoppio ftrepitofo delle grandi fcariche , fé non in proporzione di quantità. Nella ftelletta adunque fi riunifcono le contrarie potenze ftabilmente, e continuamente full' apice della punta; e nel pennello non fi riunifcono, che vagamente in varj punti più efterni , e nella bafe del me- defimo.

2. Il moto poi fra le contrarie potenze comincia , e fi mantiene dalla parte prevalente (art. i. legg. 5. ». 6.) . E r ordine , e la progreffione delle parti prevalenti già è fifta- to nelle precedenti Leggi quinta , fefta , fettima , e ottava . Quindi quella certa fomma di azione , 0 momento non altro fignifica , fé non il numero de' punti , e la diftanza de' me- defimi dalla eftremità degli oppofti condottori , fra i quali a preferenza fi determina , e fi compie 1' incontro , e la riunio- ne delle contrarie potenze.

3. E perciò non è la ftelletta fé non T effètto di quell' incontro, che fi mantiene raccolto, e riftretto per prevaien- te coftanza di azione full' apice delle punte , e degli fpigoli de' condottori ; e non è il pennello fé non 1' effetto del mo- to fteflb , che comincia , e progredifce incoftantemente divi- fo , e fparfo in più punti , e in varie diftanze dalla eftremi- tà de' condottori , fra i quali di continuo fi mutano i limi- ti di azione prevalente. Il numero de' punti ne dilata la fi- gura ; la continua varietà delle diftanze rende que' punti per la loro celerità fimili a ftrifcie, o raggi lucidi. E perciò non è il pennello , che una partizione di ftelletta in continuo moto.

4. E quanto alle refiftenzc, nell' aria più rara fi fa tan-

to

SOPRA l' elettricità. II?

to minore il (Ibilo , e lo ftridore di que' fegni; e per oppo- llo ii fa ne' mcdefiini tanto pivi eflefa , e divila la luce .

Le^gi duodecima . Ne in tutte quelle ditlerenze ha veru- na inHiienza la fuppofta contrarietà nella feniplice direzione di un Huido folo.

1. In vano tentarono abililiìmi Fifici di fcorgere la dire- zione dell' elettrica luce . Per quanto fia facile di travedere, quando s' immagina prima di oflervare , tanta però è 1' evi- denza del fatto , che niuno portò 1' illulione fino a tal fegno di alFerire deiinita , e vilibile la direzione collantemente più da una, che dall' altra parte. I lucidi pennelli, e i condot- tori luminoli furono foltanto podi in opera per dimoflrarne la prefenza dalla parte di vitrea elettricità ; ma in mezzo al- le prevenzioni, e alle induzioni incautiffime non fi produlle- ro mai come viùbili prove di luce procedente da quella Ucc- idi parte .

2. Ora non rimane più verun dubbio dopo le induzioni didime, che compiute abbiamo nella Legge prima, e quarta, che le ftelle apparenze non fi prefentino del pari dalla parte di elettricità relinofa ; mentre tutto quel giuoco non dipen- de, le non dalla varia combinazione di preparazioni per rag- guagliare i momenti di quelle potenze {legg. S. ) . Onde nul- la in quelle dirièrenze intìuilce né la femplice direzione in- vano ricercata , ne la contraria apparenza fallacemente pro- dotta di un luppoflo fluido folo.

Legge deciinaterz.a . Nella varietà , e incoflanza della fua direzione ha 1' elettrica luce cofiantiflima leg^e di comincia- re dalla parte prevalente .

I. Comincia , come vedemmo nella feconda parte della Legge decimaprima , l'elettrica luce dalia parte prevalente. E perciò fé quella pre\alenza lìa (labile full' una , o full' al- tra metallica punta, o fopra ambedue infieme, fu quelle com- parifce in forma di viva flelletta ; ed ivi [\ mantiene immo- bile , lìnchè non nafce progreliione di quel moto dall' una, o dall' altra parte . Che fé tale prevalenza fi ellende tra i limiti delle metalliche punte, o fuperficie , i\-i fimilmente co- mincia r elettrica luce ; ma per la mobilità del mezzo , e per la varietà, che in que' limiti prevaienti nafce coli' atto llef- fo , che comincia la luce , mutano effi di continuo fede , e Tomo IL P

114 Memoria

alternano con incredibile celerità le diflanze in punti fempre varj or più , or meno difcofti dalle metalliche punte, o fu- perficie , e formano colla loro rapidità , e moltiplicità quella iìmultanea impreflione di luce degradata in tanti colori , ed incollante nella fua grandezza, come è il pennello.

2. Confìfte adunque il pennello nella continua mutazione dei limiti di prevalenza fuori delle metalliche punte , o fu- perficie . E perciò iinchè que' limiti cadono entro le metalli- che punte , o fuperficie ,non può fé non mantenerli immobi- le falle loro eftremità quella impreflione di luce , che alla quantità corrifponde delle elettriche potenze in moto di riu- nione.

5, Ma que' limiti prevalenti vogliono confiderarfi in due modi , liccome diflinti abbiamo due modi nella mutua azio- ne , e nel moto delle elettriche potenze . Primieramente vi è un limite tra la fpecie , che in ciafcuna punta , 0 fuperficie rifiede , e le finitime potenze del mezzo ambiente ; e quindi re rifulta quel moto di contrarie elettricità, che fpiegammo neir articolo i. Legge feconda n. 2. lett. <f, ed ivi Legge ter- za , e fefla . In fecondo luogo poi vi è un limite tra le due fpecie fi-elie , che nelle oppofte punte , o fuperficie rifiedono , le quali per la via fteffa del mezzo , e delle frappone elet- tricità a vicenda tendono a riùnirfi ; e nuovamente in quelle cade altra diftinzione , per la quale ora in parte , ora piena- mente fi determinano al moto di riunione, fecondo che nell' articolo ftelTo dichiarammo nella Legge quarta .

4. Ora tanto il primo di quefti modi , come la prima parte del fecondo non determinano mai la piena unione di quelle contrarie potenze , ne 1' intero fcoppio fra i limiti del- le oppofte punte, o fuperficie, nelle quali elTe rifiedono, ma non producono fé non foflj , o fprizzi luminoii in proporzio- ne o delle parti fmofle nel frappofto mezzo per azione delle oppofte , o delle parti di quefte , che cominciano a riùnirfi. Del pieno fcoppio, e de'fuoi limiti fra quelle oppofte poten- ze diremo più opportunamente nella terza Parte ; e qui pro- feguiremo a confiderare que' modi, che finifcono in foffj , o fprizzi luminofi, e in varie forme di ftelletta , e di pennel- lo fi manifeftano . - 5. Sarà pertanto il foffio uniforme come fibilo, o ronzio,

SOPRA l' elettricità'. II5

e farà la luce ftabile full' eflremità delle punte, o degli fpi- goli de' condottori , iinchè entro quefti fi confervano i li- miti prevalenti , che quel foflio , e quella luce producono . E farà per oppofto in continuo moto a foggia di ftridore , e di luce incoifante , quando que' limiti per eilere eternati in fuori de' condottori foggiacciono a continue mutazioni , lic- come da principio notato abbiamo («. i , e 2).

6. Rimane in oltre da investigare in quale delle due par- ti a preferenza fi efternino fuori de' condottori que' limiti prevalenti , dai quali prende cominciamento V elettrica luce . Poiché fé per eflére que' limiti entro i condottori li mantie- ne alla loro eltremità la ftelletta , cosi non comincerà que- lla a trasformarfi in apparenza di pennello fé non da quella parte , nella quale que' limiti s' inoltrano più prontamente nel frappoflro mezzo fuori de' condottori .

Legge decimaquarta . I limiti prevalenti, che il moto de- terminano della elettrica luce, cominciano prima , e fi man- tengono più coftanti entro le punte, o fuperficie de' condot- tori di refinofa ; cominciano all' oppofio pili tardi , e più prontamente finifcono con efternarfi in fuori a preferenza dal- le punte , o fuperficie de' condottori di vitrea elettricità .

1. Rifulta quefia dai fenomeni defcritti nelle precedenti Leggi fefta , fettima , e ottava . Poiché in parità di preparazio- ni la punta , o fuperficie refinolà è fempre la prima a fplen- dere con luce di ftelletta , ed è poi 1' ultima a prender for- ma, o cominciamento di pennello ; e viceverfa la punta , o fuperficie vitrea comincia più tardi a dar luce di ftelletta, ma più prontamente paflà alle forme di lucidi pennelli. Lo ftedb con proporzione [\ verifica nelle punte, o fuperficie op- pofte alla vitrea, e relinofa elettricità, che a quelle fono cor- rifpondenti .

2. E rapportando quefti fenomeni ai diverfi modi , che diftinti abbiamo nella precedente Legge (;;. 3. e 4.) debbono que' prevalenti limiti conlìderarfi non meno fra le rifpetti\'e potenze di ciafcun condottore , e del mezzo ambiente , che fra le porzioni fpettunti agli oppofti condottori . Talché non fi efterna giammai in fuori di uno di que' condottori 1' ap- parenza di pennello , fé non per diminuito momento nella preparazione, che ai condottore ftedb appartiene, e per ac-

P ij

ii6 Memoria

crefciuto momento o nel mezzo ambiente , o nell' oppofto condottore (leg^. 5. e 7.).

3. E quando quell' oppofto momento crefce a tal fegno da comporli colle frappode potenze , e introdurre pel mezzo ftef- fo un libero , e continuo moto fra quelle degli oppofti con- dottori , allora (1 ha fcintilla piena fra loro e lo fcoppio corrifpondente alle fomme delle intere potenze , che in que' condottori, e nel frappofto mezzo riliedono. Che fé per qua- lunque freno, o reliftenza lia quel momento riftretto o fra i limiti della rifpettiva faccia del mezzo f rapporto, o foltanto in parte determini i moti dell' oppofta , non lì ha mai piena fcintilla , né intero lo fcoppio , ma brillano nei termini delP uno e dell' altro condottore quelle lucide forme , che fin qui abbiamo diftinte.

4. Onde fi può in fine dedurre la progreflìone de' mo- menti, che atti fono a cominciare, e foftenere ne' loro ter- mini 1' elettrica ftelletta ; ed eitenderla poi , e dividerla in forma di pennello oltre i loro termini nel mezzo frappofto, finché arrivino ai limiti dell'intero fcoppio, ed accrefciute per oppoffo le diftanze, o le eftefe fuperficie fi rende quella luce teauiffima e infenlibile alla vifta ; ne altrimenti è notabile, fé non direttamente al tatto pel fenfo di aura, o "venticello, e indirettamente alla vifla pel moto di leggeri corpicelli nel mezzo ftefib immerfi , come efponiamo nella fe^uente , ed ul- tima Legge .

Legge decimaquinta . Nafce la ftelletta ne' termini de' con- dottori per momento prevalente di moto colla contraria elet- tricità del mezzo ambiente ; e in que' termini fi mantiene , finché entro que' condottori s' inchiudono i limiti di quella prevalente azione . Scema quefta gradatamente nelle maggio- ri diftanze, e cefta in fine di far luce. Ma nelle diftanze mi- nori ^\ efterna in varj punti del mezzo frappofto , e fi eften- de , e divide per eflb in apparenza di pennello , finché non arriva ai limiti d'intero fcoppio colla piena unione delle op- pofte potenze .

r. Tutto ciò che crefce i momenti di azione d' un con- dottore, come fono le punte, o gli fpigoli, la fpecifica for- za, o il maggiore eccitamento, o il diminuito momento nel mezzo ambiente tutto cofpira a far comparire, e foftenere ne'

SOPRA L' elettricità'. II7

termini di dio la ftelletta ( le^^. 3. legg. 4. n. 4. legg. S. «. 4, ) . Air oppofto tutto ciò , che fcema il momento di qiiallìvoglia preparazione , e Io accrefce nell' oppofta , o nel mez- zo ambiente, tutto cofpira a trasformare la ftelletta in pen- nello {legg. I. ». 3. e 9. kgg. 2. kgg. 4.». 5. /c^^. 8. «. 5. ).

2. Che la ftelletta (ìa eiiètto di prevalente , e collante momento, lo manifefta la vivacità, e l'integrità della fua lu- ce non mai divila in varietà di colori, come lo è il pennel- lo; in oltre il fibilo , o ronzio continuo full' apice delia pun- ta è fempre più notabile , che non nella corrifpondente bafe del pennello ; di più la maggior forza di carica , che nell' oppodo quadro s' imprime colle apparenze di ftelletta , che non di pennello ; e viceverfa s' indebolifce afl'ai più , qualun- que eccitamento, o ammaftò di elettricità quando la ftellet- ta , che quando il pennello da efla procede . E in iìne per eflère la ftelletta fempre il primo , e 1' ultimo termine d' o- gni elettrica luce , mentre non è il pennello , che un modo inftabile , e d' una intermedia combinazione , ed efpanlione della ftefta.

3. In due modi poi quel prevalente momento di azione va degradandoli nelle fucceflive maggiori , o minori diftanze degli oppofti condottori . E quanto al primo nelle diftanze fucceflìvamente maggiori di condottori oppofti fi rende a grado a grado più tenue la mutua loro azione , e diventa in fine in- capace di fmovere nel frappofto mezzo tanta elettricità da far fenfo di luce . Ed anche nelle minori diftanze , fé molto fi eftenda la fuperficie degli oppofti condottori, e crefca la per- fezione del mezzo frappofto , li frenano le elettriche potenze in proporzione che fi fmuovono ; né perciò fono capaci di fa- re attraverfo lo fteflb tanto moto per dare impreflione di lu- ce {kgg. 7. »• 6. e q.).^

4. Quefte potenze però o fmoflè in tenue quantità, o fre- nate nell'ampiezza delle condottrici fuperficie fecondo la per- fezione del frappofto mezzo , benché non {x manifeftino con lucidi fcgni , producono altri effetti di moto inteftino fra le parti del mezzo ; i quali effètti fecondo la folida, o flui- da , opaca , o trafparente natura dello Iteilb , fi rendono or più, or meno feniibili con ade/ioni., con mutazioni di figura .^ con moti 5 e con vcntiallo , come a fuo luogo diremo .

P iij

1 1 S Memoria

5. Refta che qui diciamo del fecondo modo, e degradamen- to , con cui quei prevalente momento li efterna in fuori de' condottori nel mezzo ambiente -Qualunque volta fi paragona- no due forze in mutua oppofta azione fi trova fra di loro un punto , in cui i loro momenti fi equilibrano , fuori del quale r una o r altra neceflariamente prevale . Ora fé quel punto , ìli cui farebbero equilibrio , fi trovi entro i termini di un condottore , anche i punti , che fuori di quel punto comin- cino a colHtuire i momenti prevalenti dall' una e dall' altra parte ,profeguiran no per maggiori diftanzea trovarfi entro que' termini , e faranno così entro del condottore ifteflb i limiti di prevalente azione . In parità di preparazioni il conferva più coftantemente il prevalente momento entro i termini dei condottori di relìnofa,che non di vitrea e!ettricità(/c?^<f. 14. ) • Onde per ragguagliare que' termini d' uopo è reciprocare gli ecceffi de' momenti nelle rifpettive preparazioni . E perciò qual- ora nel fucceiUvo accoftamento degli oppolti condottori nel- le ftefle , o diverfe preparazioni s' inducono i limiti di preva- lente momento fuori de' termini dell' uno, o dell'altro, o di ambedue i condottori nel mezzo frappofto , fi trasforma cosi ne' modi , che già divifati abbiamo nell' uno, o nell' altro , o in ambedue infieme la fi^elletta in apparenza di pennello; e fi mantiene quefto , finché tutti infieme que' momenti non cofpirano a compiere 1' unione delle oppofie potenze nei li- miti della piena fcintilla, o dello fcoppio fulminante , del qua- le proporlo abbiamo di trattare nella terza Parte .

ARTICOLO III.

Applicazione delle generali e particolari Leggi precedenti alla elettrica Teoria.

Rlducendo a generali , e particolari Leggi diftinte la va- rietà delle apparenze di elettrica luce non altro io fe- ci ne' precedenti articoli , che una continua , e fedele appli- cazione ai fenomeni ftieflì di que' principi , ed elementi d' o- gni elettrica azione, che previamente flabiliti furono ne' Teo- remi della prima, e feconda Parte della prefente Analifi. A- vrei in tal modo per rapporto all' elettrica luce cominciata

SOPRA L elettricità'. 11^

quella dimoftrazione degli ultimi teoremi , che rimandai alle angolari induzioni, e alle ragioni proprie d'ogni capo d'elet- trica dottrina, fé in molti de' più recenti Scrittori delle co- fe elettriche non dominall'cro fulja fignifìcazione di que' luci- di fegni quelle liniflre interpretazioni, e prevenzioni fallaci, che accennate abbiamo , e delle quali ragion vuole che dicia- mo alquanto più diUintamente . Così d'ordinario accade nel- le vie della verità , che fi rendano piane , e iicure non me- no con liflarne la direzione , e ilabilirne i fondamenti , che con troncare i bivj , e fpianare gl'inciampi, che per eflè s'incon- trano.

Gioverà pertanto riandare fedelmente con brevità per la ftoria di que' lucidi fegni , quali a mano a mano il prefenta- rono all'ingenua oflervazione de' pili gravi, e fagaci Maeftri. Conobbe quelle differenze di luce Bofe , e le diftinfe coi no- mi di luce mafchia , e luce femmina , per illufione di aver creduta più debole quella, che anzi più potentemente fi dif- perde , e perciò lafcia minor reliduo ; e più forte 1' altra , appunto perchè meno fi difperde , e indebolire meno 1' ec- citamento , o r ammaflb della rifpettiva potenza. Cadde Nol- kt nella Ikffa illulione ; e indi ftimò quelle diverfe apparen- ze infufficienti a ftabilire le differenze di fpecie, che già era- ro ftate indicate da Gray , e Dii-Faj , e diftinte coi nomi di refinofa , e di vitrea elettricità . Prefe in fine Le Rqy a dimoffrare con ampia difcuilione la differenza di codefte fpe- cie , e defcriffe la ftelletta per criterio della refinofa , come il pennello della vitrea.

Di quanta fede fien degni ùmili criterj ciafcuno lo com- prende dall' analifi de' medefimi riferita nella prima, e quar- ta Legge del precedente articolo . Ma in propofito nofl:ro niuno fra tanti OiIèr\-atori vi fu , che nconofciuto abbia in que' diverfi fegni ragionevole indizio di contrarietà nella di- rezione della materia , onde ibno prodotti . Watfon medetì- mo , che prima , e più d' ogni altro s' inoltrò colla fcorta della efperienza a rintracciare le direzioni delle elettriche po- tenze , non ne riconobbe giammai veruna direzione confor- me o all' uno, o all' altro di que' fegni ; né in conto alcu-^ no gì' indulfe per teffimonj di contra'rietà .

Fu il primo Franklin , che dopo di aver precariamente ad-

I20 Memoria

ottata la fua prima idea di pojìtiva , e di nrgativa natura delle oppofte elettriche potenze, azzardò coerentemente l'al- tro penliero falla efpreffione di que' fegni ; e Ibfpettò , che il pennello procedelle da elìto, o emanazione , e la ftelletta da ingrell'o , o aflbrbimento di quel!' unico fluido , che egli prefuppofto avea qual fola cagione , e bafe d' ogni elettrico effetto. Vero è, che egli non propofe limili idee, che a fog- gia di mere poffibilità , o di femplici fofpetti ; e proteftò ef- prefTamente, che quanto a fior di pelo fono elle luiinghiere, e fembrano a primo lancio plaulibili , altrettanto poi fi tro- vano infide, e difcordi coli' evidenza de' fatti particolari , e ben diftinti , qualora fi ha la pazienza per internarfi di pro- poiito ne' loro confronti (*) . Tale in fomma è di que' luci- di fegni la (lorica deduzione dai primi tempi , che comin- ciarono a coltivarli gli elettrici ftudj , fino all' epoca di Franklin.

Prefero voga le Franiiliniane idee, e diventò Franklin Ca- po fcuola , e duce di liftematica Setta, e tanto baflò perchè tutte le fue congetture , e per fino i fuoi più azzardati fof- petti veniflèro dai Frankliniani Settarj trasformati in dogmi, e propofti , e difeii con linguaggio di fanatica perfualione . Si definì pertanto la luce di partenza , e la luce di ritorno ; fi decide , cì^e il pennello da ., e la ftelletta riceve ; e iì flabilì quello quali prefìdente all' (?/iVo , quefla all' /«/ro/Vo d'ogni elet- trica fofianza. In mezzo però a tante definizioni, e tanti fta- bilimenti non acquiflò 1' elettrica fcienza, che ampie parafra- fì de' primi fatti indicati da Franklin, pronunciate con altret- tanta confidenza , e perfualione , quanta fu la perplefTità , e r incertezza del loro Autore .

Non

( * ) F/ankJin Oeziyes Voi. I. pag. 59. Ces explications du pouvoir , et de l' ope- ration des poinces lo'rfqu'elles le pre- fenterent a moi pour la premiere Ibis , et qu' elles rouloient dansmon eiprit , me parurcnt latisfaire parfaitement a rout. Mais depuis que je les ai mifes par ecrit , et rappellées h un examen plus févere ,et retfechi ,i'avoue de ben- ne toi qu' il me rei! quelques doutes a cet égard . Maisn'ayant rien de mieux pour le prefenc 'a vous offrir a la pla-

ce , je ne les rejette pas abfolument ; car e' eft fouvent utile de lire méme une mauvaile lolution ecc.

Ibid. pag. 150. Ces penfées,mon cher ami , ne lont que hazardées,et ébau- chées pour la plupart ; e fi je n' avais que r ambicion de me faire quelque réputation dans la philofophie , je le garderois par devers moi julqu' a ce qu' elles fuflent perfeftionnées , et rec- tiiìe'es par le tems , et par des nouvelies expèriences. ecc.

SOPRA l' elettricità'. 121

Non farebbe pregio dell'opera d'intertenermi qui nella di- famina di limili prevenzioni . Un errore finché non diventa pubblico, e non turba il libero andamento della verità, non merita di eflere folennemente conteff-ato . Ma quando pubbli- camente lì produce fotto le divife della verità, e ne confon- de le ingenue fembianze , non lì può far meno di non fegnar- lo a dito , e sfatare quegli incanti , coi quali nella ricerca del vero ai meno accorti fa illulione , e 1 incauta moltitu- dine feduce . Non è punto heceflario , né opportuno di affocia- re all' errore i nomi degli Autori, che hanno contribuito a propagarlo ; maffimamente quando i loro nomi non influifco- no nella realità delle cofe ; e tanto meglio quando, come eb- bero efli r ingenuità di confeffare di aver errato nel definir la luce di partenza, cosi è fperabile , che con più matura dif- cuHione de' fatti potellero egualmente riconofcere il loro ab- baglio nella lucc di ritorno, ed in ogni altra fomma d'introi- to, e di ejìto delle elettriche azioni.

Sarebbe un vero morale paradoflb , che illuftri Autori , i quali la vita loro confumano negli ftudj delle fcienze natura- li , fi fcorgelTero in fine dominati piuttofto dall' intrattabile fanatifnio di partito , o di fetta , che animati dal tranquillo , e docile fpirito della verità . Non è mai fenza pericolo , ed è fenza fallo perfettamente inutile intraprender difputa con tefte di partitante , o di fettario . Per nulla d' immifchiarmi intendo con liftatti Difputatori ; e come nulla olfervo , o feri- vo per effi, cosi alle opinioni, e ai giudizj loro io nulla at- tendo . Ai pacifici feguaci del vero , che foli meritano il no- me , e il pregio di Filofofi , prefento di buon grado le pre- cedenti mie rifleffioni per avvertirli nei bivj , e negli inciam- pi , che indur potrebbero traviamento , o ritardo nelle elet- triche ricerche , ed ai medefimi propongo le analitiche mie produzioni per dirigermi infieme con efil a qualche ficuro termine di elettrica Teoria .

Ed in ciò, che i moltiplici fenomeni riguarda dell'elettri- ca luce ne riftringerò per ultimo i rifultati delle precedenti generali, e particolari Leggi nel feguente

Tomo IL Q^

122 Memoria sopra l' elettricità' .

TEOREMA. XXVI.

L' elettrica luce nei comuni rapporti colla generale teoria della luce , e della vifione non ha maggiore efpreflìone delle già note induzioni , e incertezze degli Ottici principi ; e nei generali rapporti cogli elettrici fenomeni nafce al pari degli altri fegni per certa proporzione di moto delle contrarie ele- triche potenze ; e ne' particolari fuói accidenti di figura , gran- dezza, ftrepito, e vivacità, o varietà di colori fi riduce alle combinazioni de' moltiplici elementi, che modificano j e com- piono i momenti d' ogni elettrica azione.

123

SOPBJ L EQUAZIONE

D' UNA CURVA,

Sopra la falfita di dui; famojì Teoremi ; e /opra le ferie armoniche a termini infinitamente piccioli .

Del P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie , Pub- blico ProfeiTore delle Matematiche Superiori nella Regia Univerlità di Pavia .

^ L SIGNOR

ECcomi a mantener la parola . Io le promifi di voler pen- fare ne' momenti , che mi lafciano di libertà le ordina- rie mie occupazioni , alla Curva , di cui ella mi parlò nei Carnovale fcorfo , invitandomi a ricercarne l' equazione ad ef- fetto di poterla in qualche modo defcrivere per una ferie con- tinua di punti quanto lì voglia vicini , e quindi determinare quelle proprietà , che poffono renderla degna della curiofità degl' intendenti , e raccomandabile ai Geometri . E ficcome parvemi , che ella allora mi diceffe , che qualora avefTe in fuo potere 1' equazione di una tal curva , non piccioli van- taggi poteva riprometterli nell' applicazione , che divifava di farne ad alcuni principi della Scienza Armonica efpofti nell' opera, che intorno a queflo argomento da molto tempo ella fla preparando per le ftampe ; perciò tanto più volentieri mi fono fiuto premura di compiacerla , applicandomi con qualche forta d' impegno a quefta difficile e laboriofa ricerca . Io mi polì da principio al lavoro con poca fperanza di riufcita ; maf- fjme dopo avere da lei comprcfo , che molti altri di me più efperti avevano tentato di rompere quello iflmo , ma fempre inutilmente. Pare in fatti falle prime, che le condizioni del Problema efcludano quella ferie continua di punti , la quale collituifce il carattere di ogni linea curva, la di cui equazione,

124 Sopra l' eq.u azione

qualunque ella fia , indica fempre in ogni ramo della Curva o un' atToluta e rigorofa continuità, o per lo meno una tal vicinanza fra due punti qualunque confecutivi , che la loro diftanza fia minore di ogni dato picciolidìmo intervallo . La Curva richiefta all' oppoflo fembra a prima vifta dover am- mettere una vera interruzione nelle fue parti, ed una diftan- za affegnabile da un punto all' altro fucceffivo ; nel qual ca- fo i fuoi punti a maggior ragione fi direbbono punti difcreti , che non iì dicono quelli delle Curve efponenziali rapprefen- tate dall' equazione /=( — a)" , dove una quantità negati- va viene elevata ad un efponente indeterminato e variabile . Ma il fiitto fta che quefta prima apparenza fvanifce poi fubi- to per poco che uno s' interni nell' indole della quiflione , of- frendofi allora allo fpirito del Geometra inveftigatore quella perfetta continuità che da prima non ìi afpettava , e le con- dizioni del Problema non parevano promettere . Ma ella già mi dimanda, qucjìa Curva è ella algebraìca ^oppur trafcenden- te? Io vorrei poterle rifpondere , che la Curva e del genere àcWt algebraich? cy geometriche ^md. fono colìretto a dirle , che efTa appartiene alla fublime famiglia delle hypergeometriche o trascendenti . E' però vero , che in compenio di ciò ella è d' al- tra parte così pellegrina e fingolare,e nel tempo fì-efTo la fua equazione è cosi femplice ed elegante che non li potrebbe de- fiderare di più .

Per altro la cofa per me più inafpettata nel maneggiare un tal foggetto non è già fiata quella di effermi imbattuto in un'equazione tanto femplice e facile, ma bensì di aver rifcon- trato nella forma di tal equazione quella Curva medefima , che io ora fono circa tre anni avea già pubblicata nelle mie Vifquijìtiones Phjjìco-Mathematìcte nel Problema II della Dif- quis . IX , dove cerco la Curva, cui percorre il centro di gravità della circonferenza d'un cerchio, qualora da quefla (1 va levando di mano in mano un arco , e poi 1' altro iino a che non refti più alcun refiduo. Certamente non è fl-ata pic- ciola la mia meraviglia nell' oflervare, che due curve a pri- ma vifta tanto diverfe non fono poi altro in fine che una medefima curva , e nel trovarla dotata della bella proprietà meccanica confiflente nell'effer quella il luogo geometrico de'

d' una Curva ecc. 125

centri di gravita degli archi circolari fininuiti fucceffivamente dall' intera circonferenza fino all' arco evanefcente . Vengliia- mo pertanto al Problema.

PROBLEMA.

In una retta indefinita A^Q^ dato un punto A , e fuori di ejfa un punto qualunque ^ , Jtcciè la retta AB, e l' angolo BAQ_ riefcano noti , fi meni ad AB la perpendicolare BC ; e fi divi- da r angolo BAO^/Jcr meta colla retta AC, la quale incontra in C la detta perpendicolare BC : parimente guidata ad AC la perpendicolare CD , fi divida per meta l' angolo CAQ_ colla retta AD , che fomminifira un altro punto d' interfez.ione D , e così guidata alla AD la normale DE , e dividendo colla A E per mezzo /' angolo DAQ_, fi avrà un terzo punto d' in- terfezione E . Procedendo di quefto tenore all' infinito , fempre con la perpendicolare all' ultiina retta , e bipartizione eguale dell' angolo rimanente , fi avranno infiniti punti fino all' ultimo punto H , che viene a calcare filila retta indefinita MQ^, ed e /' ultima interfezione della perpendicolare , e della bifecante l' an- golo refiduo . Ciò ftante fi dimanda i . ha pofizione di quefto pun- to W fitlla indefinita ÀQ_ , ovvero il modo di fubito determi- narlo. z. L' equazione 0 algehraica , 0 trascendente , qual più ella farà , della Curva , che palfa pe' punti B , C , D , E , F, H.

S O L U Z I O

N E

Un raggio vettore indefinito AD della Curva facciafi = 2: , e r angolo pur indefinito DA^ comprefo da effo e dalla A^ dicafi = » , o piuttofto fia « 1' arco di cerchio defcritto col raggio arbitrario i, e mifurante il detto angolo. Ciò fatto, è manifefto dalle condizioni del Problema , che nel triango- lo DAE rettangolo in Z) , l'angolo AED , che è complemen- to di DAE, è pur complemento di - DA^: onde il cofeno

di - DA^l fta al feno tutto , come DA ad AE , ovvero

Q. iij

126 Sopra l' E Q.U AZIONE

1 21

cof. - « ; I : : z, : = dE . Per fimil modo nel triango-

2 cof. -j u

lo rettangolo AEF fta il cofeno di EAF , ovvero di -EA^^

2

ovvero di - DA^ al feno tutto, come y^£ ad AF , vale a di- 4

I 21 2C.

re cof. -«:i:: ——r-: — —^ ri~ =AF. Cosi il raggio

4 cof { u cof. i li cof - K

vettore confecutivo ad AF troverebbe!!

-^ — , il confecutivo a quefto verrebbe

onde per fine fi ottiene

cof I U cof ^U cof 4 K

2,

cof 4 « cof { ti cof 4 z< cof -p, « r ultimo AHz=:

cefi ?< cof X « cof. - K cof. -^u cof — u

2"

prefo per n un numero infinito .

Ora è noto dalla teoria delle funzioni circolari , che fen. u

= 2 fen. - u cof - u , fen. - z< = 2 fen. - n cof - it , fen. - «

^1 r a 2 2 4 4 4

i I I - I 1 ^

r=: 2 fen. -K cof-«, fen. -« = 2 fen. — n cof. — u , e cosi 8 8 8 \6 i6

difcorrendo : dunque fatta nella primitiva equazione fen. u

= 2fen. -z/ coi. -li la foftituzione del valore di fen. -k , e , a z - 8

così appreflo degli altri j nafcerà fen. «=2" fen. — w cof u

II I ^ I fen. ?^ I

cof - ?/ cof - u cof — z/ cof -• u , ovvero = cof - u

4 8 16 i 12

2" fen. - «

- n

III I

cof - u cof - H cof — li cof - li , dove a indica un nu-

4 8 16 2"

mero qualunque . E di qui lì vede , che il prodotto d' un

d' una Curva ecc. 117

numero qualunque di fattori efprefll da' cofeni di angoli dc- crefcenti in progrellione dupla è uguale al quoziente , che nafce, le il feno dell' angolo primitivo lì divide pel numero ultimo , a cui fi vuol arreflare la progrelTione , moltiplicato pel feno dell' ultimo angolo corrifpondente .

Che fé in vece de' cofeni fi volefTe far ufo delie fecanti ,. allora per edere il cofeno eguale al quadrato del raggio di- vifo per la fecante , li fa manifefto , che fi prefenta

I

2" fen. - u

2»

= kc. - u fec. - u fec. - « (te. — u fec. — u .

fen. M 2 4 8 16 2"

Tornando pertanto al valore del prodotto de' cofeni , cioè fen.«

, e riflettendo, che il feno di un arco infinitefimo

1 2" fen. - tt 2"

non difièrifce dall' arco fé non per una quantità infinitefima rifpetto all' arco medefimo , ne viene in confeguenza , che quando fia » un numero infinito , come lo è nel prefente

Problema, diventa fen. -« = — « , e quindi 2* fen. — tt = «• .

2» 2" ^ 2"

Perlochè farà = cof. - n cof. - u cof. - u cof — u

n 248 16

cof. —u. E poiché fi è trovato il raggio vettore ultimo

AH= , fatta la

1 1 I I I cof. - u cof. - u cof. - u cof, — « cof. - u

2 4 b 16 2"

. fi^n-« .

foitJtuzione di in luogo del denominatore, fi raccoglie

«

AH:=- . Qiiindi è manifefio, che il punto H ricercato

fen. u

fi determina col pigliare da A fopra la indefinita A^ una quarta proporzionale AH dopo il feno dell' arco di cerchio, che mifura 1' angolo comprefo da un raggio vettore qualun- que e dalla A^ , dopo queft' arco iftellb , e dopo il detto

128 Sopra l' eq.u azione

raggio vettore . Se pertanto il dato raggio vettore AC fi fa- rà =0, e r arco, che mifura il dato angolo CA^, lì porrà

= $ , fé ne ritrarrà per AH il valore tutto noto Dal

fen.cf)

che apparifce , che 1' invenzione del punto H dipende dalla rettificazione del cerchio , ma ne dipende in un modo così poco complicato , che non può cagionare a chicheflla il mi- nimo imbarazzo, maflime avendoli alla mano le Tavole cal- colate delle lunghezze di tutti gli archi circolari in parti del raggio , come fono per efempio quelle , che pubblicò ultima- mente il Sig. Schulz.e in Berlino.

Il fecondo punto del Problema , concernente 1' equazione della Curva, non ammette più ora veruna difficoltà. Imper-

ciocché eflendofi trovato generalmente 24H=: ^ , fé fi pren-

fen. u

de la flefl'a AH uguale alla quarta proporzionale dopo le tre

date quantità , come {\ è avvertito , diviene ancor eflà nota

e determinata , e però uguale ad una quantità data , che di-

rafll per efempio a . Laonde 1' equazione polare della Curva

lara . rzza, ovvero 2,=? , equazione di tal lempli-

fen.w u ^

cita ed eleganza , che ben poche curve trafcendenti godono di queflo vantaggio . E quefta equazione è poi quella fl^efia , che io trovai già competere alla Curva, la quale rapprefen- ta il viaggio, che va facendo il centro di gravità della cir- conferenza del cerchio defcritto col raggio ■=^a, quando dal- Ja medefima i\ vanno togliendo fuccefiivamente altri , ed al- tri archi fino a ridurla al nulla, ficcome ho efpofto nel Li- bro citato .

Intanto dalla detta equazione fi raccoglie immediatamen- te, che i raggi vettori della Curva ftanno tra loro nella ra- gione compoiìa della diretta de' feni degli archi , che mifu- rano gli angoli formati da elfi colla retta indefinita data di pofizione , e dell' inverfa degli archi ifteffi . Cosi i due raggi vettori AD , AF flanno tra sé direttamente come i feni de- gli archi mifuranti gli angoli DA^, FA^, ed inverfamente come i detti archi . Si raccoglie pur anco , che fvanendo 1' an- golo del raggio vettore e dell' indefinita A^ , e però diven- tando

d" una Curva ecc. 129

tando k\^.n=:.I! (polche il feno dell' arco evanefcente è fem- pii; uguale air arco , come è noto dalla Geometria Infinite- liinale;; lì otterrà/ = (7, vale a dire il raggio vettore inde- terminato acquiita la polizione della indelinita A'^ cadendo fopra ella, e li cangia nella retta dianzi trovata AH.

La defcrizione di quefta Curva per punti quanto iì voglia vicini Ci effettua ipeditamcnte , concefTa la rettificazione degli archi circolari , la lunghezza de" quali in parti del raggio li trova già calcolata nelle Tavole di Berlino da i fino a 360 gradi . Condotta per cfempio fotto qualunque angolo con A^ una retta indefinita AN , fi determina ili di efia il punto D Spettante alla Curva con prendere AD quarta proporzionale dopo r arco, che milura 1' angolo DA^ , dopo il fuo feno, e dopo la retta già prima determinata AH . In tal modo i\ troveranno quanti altri punti della Curva ci piacerà.

Per poco , che \\ confideri i' equazione , fi vede pur anco , che la Curva farà comporta di due rami perfettamente limi- li ed uguali di qua e di là dalla ^H, la quale li divide per metà. Imperciocché la medefima coftruzione , che fi è fatta alla finiiìra di AH, fi fa parimenti alla defira,dove gli an- goli negativi de' raggi vettori colla AH, e gli archi pur ne- gativi , che ne fono la mifura, non alteran punto nell' equa-

akn.H . . .. ^ .. ..

zione 2: = 1 valori di z, 1 quali lotto anrali uguali

da una parte e dall' altra di AH i\ ritrovano rifpettivamen- te gli ftefii a motivo del valor negativo così dell' arco , co- me del fuo feno alla deltra di AH, il che rende fempre po- fitivo anche da quella parte il valore di z: , e fempre uguale al fuo corrifpoadente fotto il medeiimo angolo dalla parte op- pofta .

La forma di quefta Curva ha una gran fomiglianza alla fi- gura d' un cuore , ed è evidente , che refl-a divifa per metà dall' alfe AH , il quale fcuoprefi elTere il majfimo fra tutti i raggi vettori : in fatti fé il ditTerenziale dell' equazione

aitn.ii X= fi fa uguale a zero, riiulta

, audu cof. u — adii fen. « fen. 11

«~ = :=: o , vale a dire u ■=. — r— =

u- col. y.

Tomo 11. R

13° Sopra l' equazione

tarig. n , dal che è facile I' inferire /<; = o , cioè il raggio vettore allora diviene majjìmo quando cade fopra la retta in- definita A^ .

E' pur facile il vedere, che Falle AH taglia la curva per- pendicolarmente in H ; il che fi fcuopre anche col calcolo

differenziale , giacche fé nella formola -— — per la fottangen-

te delle curve riferite al fuoco i\ fofl:ituifcono i valori op- portuni ricavati dall' equazione della Curva , trovafi la fot-

d P*n. 11^

tangente rr: - — ^~ — , che nel fuppofio di «z=:o diven-

ucoi.u — fcn.7^

o _ •

ta = - ; e fé per evitare quello valore indeterminato fi ufa

il noto ripiego di prendere il dift'erenziale del numeratore , e dividerlo pel differenziale del denominatore , ficchè abbiafi 2 adii coL u icn. u lacoLui^m.ii lacoLu

du coi. u — udu fen. u — du cof u — u fen. u — u '

1 r j- 1 /- — zacoi.u nalce nel calo di kzzzo la lottangente = = co .

u

E però la fottangente , cioè la perpendicolare condotta da A al raggio vettore AH ., ed incontrata dalla tangente, che fi guida da H, rifultando infinita, fi fa manifefto , che la tan- gente in H è parallela alla fottangente , e confeguentemente perpendicolare al raggio vettore AH , che è quanto dire il raggio vettore AH , odia 1' afle della Curva è ad ella nor- male in H.

Sì rende inoltre manifefl:o , che 1' afle ifl-effo AH, che da una parte taglia perpendicolarmente la Curva in H, dall' al- tra riefce tangente di ambedue i rami della Curva in ^,ciò

che apparifce dal valore della fottangente

li cof. u — fen. u

che nel cafo di n eguale alla femicirconferenza del cerchio Ci annulla , e moftra in confeguenza effere AH tangente de' due rami della Curva in A .

La forma della Curva indica fralle ordinate ortogonali all' affé AH doverfene trovare una majfima IO , e queik d determina facilmente nel modo feguente : Effendo ^1 = z, ,

d' una Curva ecc. 13 1

ci fcn. //' IA§. = n , ne viene 70 = 2: fon. /;= , e I' afcifìa AO

akn.iicoiu _, - ., ,._ . , , ,

= z,coi.u= . Prefo pertanto il dmerenziale del

u

valore di /O, ed uguagliato a zero; rifulta

zaudu fen. u cof. u — adu fen. «' . , . fen it

= o , e quindi u= r—

u'- 2 col. ti

= -< t a ng. 7i! . Laonde il punto della Curva, al quale corrilpon-

de l'ordinata mafiiina, refta determinato con guidare un rag- gio vettore AI, il quale faccia coli' alle un tal angolo lAH, che r arco mifuratore di queft' angolo fia uguale alla metà

fen. u

della fua tangente. Che fé il valore di u = — viene fo-

2 cof. u

ftituito ne' valori dell' ordinata 01 del raggio vettore AI, e dell' afcill'a AO , apparifce 01= zakn.u coLu ,AIz= lacof. !{ , A0=2acoCu% valori tutti fempliciflimi e dipendenti dall'ar- co u . Ora il ritrovare un angolo lAH , il di cui arco mi- furatore H lìa la metà della tangente, è un Problema di fa- cile indagine, il quale li fcioglie coli' ordinaria regola di fal- fa polizione nel feguente modo .

Supporto, che non li abbiano alla mano le Tavole di Ber- Jino degli archi ridotti in parti del raggio , lì può fubito fup-

plirvi mediante la formola « = — , nella quale tt indica la

lunghezia della femicirconferenza del cerchio defcritto col raggio = I , H la lunghezza dell' arco propollo , n il nume- ro de' gradi , minuti , ecc. di quert' arco , -y il numero de' gradi , minuti , ecc. della femicirconferenza rr . Imperciocché

nella formola ;/ = — = — dopo a\er ridotti n 1; y in nu-

meri omogenei, cioè ambedue in minuti primi, o in fecon- di 3 o lice, barta fottrarre il logaritmo di tt , cioè o , 4971499 dal logaritmo del numero y , e fottrarre nuo- vamente quefto relìduo dal logaritmo del numero «, e lì ot- tiene il logaritmo della lunghezza dell' arco propofto u. Ciò premelTo, palfo a fare le feguenti ipotelì per giugnere all' e-

R ij

13- òopRA l' e au azione

quazioiie 2//=;tang. //, prefo Tempre n per efprimere il nu- mero di gradi, ecc. dell' arco u:

Ipotesi I.

log. rn =2, 07918 12 ■log. ^

TT

I , 7581226

log. xu =0, 3210580 log. tang. » = o , 2385606

Err.-j- o , 0824980 Ipotesi III.

Ipotesi IL

« = 70° log. in ==: 2 , 1461280

— log. — = I , 75S1226

TT

log. xn =0, 3 S 00 054 log. tang. « = o , 4389341

log, — log.

zìt = 2 , 1 205739

y

— = 1 5 7581226

7r

log

lU = O , 3624513

log. tang. « = o , 3514169

Err. -|- o , 01 10344

Err. — o 5 05092S7 Ipotesi IV.

log.	« — 67° 2n . 2 , 127104
— log.	- =1, 758122

log. 2K =0, 3689822

log. tang. « = o , 372 148 1

Err. — o , 0031659

Facendo adunque come la fomma di quelli due ultimi Er- rori ad uno di effi , così la differenza delle Ipotefi al quarto proporzionale , fi giugne pel valore di n ai due limiti più vicini 66°. 46', e 66*. 47'. Pianto quindi due altre ipotelì :

Ipotesi V,

n = 66°. 46' = 4006'

2«= 80 12'

log. 2;z =3, ^037409

y

log. - =3, 5362739

TT

log. 211 =0 , 3674670

log.tang. « = o, 3672499^ Err, -[-o , 0002171

Ipotesi VI.

n = 66°. 47' = 4007'

2«= 8014'

2« =3, 9038493

log.

y

log. <- =3, 5362739

TT

log. 2M =0, 3675754

log. tang. »-o_2_ 3^759^5 'Err. — o, 0000231

d' una Curva ecc. 153

Laonde facendo come la fomma o, 0002402 degli Errori air Errore o , 00021 71 , così la differenza i' , ovvero 60" delle Ipotefi al quarto proporzionale, quefio fi trova =54", 14", che aggiunto a 66" ^ 46' fa conoscere l'angolo ricerca- to di 66°, 46', 54", 14", e la fua tangente =^2, 3311220, oflia due volte e un terzo il raggio , o feno tutto .

^. , , . a fen. u . . ,

Finalmente 1 equazione x=: efaminata a dovere ci

^ u

fa tofto fcorgere , che la Curva aver dee un numero infini- to di Foglie intorno al punto A , una Tempre minore dell' altra fenza fine , le quali vanno per ultimo a terminare e concentrarfi in un folo punto . Ciò d deduce dagl' infiniti valori dell' arco u , incominciando da zero fino all' infinito tanto dalla parte de' pofitivi , che da quella de' negativi , co- iicchè denominati u gli archi che non forpaflano la prima periferia 27r , i detti valori vengono efprefll dalla ferie ±u , ±^■^±u, ±4T:t«, ±67T±u, ~^S7t±u, ìiott^-z^, ecc. za infinito .

Una Cur\-a, che per la fomiglianza colle figure d'un Cuo- re, viene denoniinata Cardioide, trovafi defcritta nell' Enci- clopedia Inglefe all' articolo Cardioid , ma eilendo effa alge- braica, come la fua equazione lo dà a divedere, dift'erifce ef- fenzialmente dalla noflra .

Defcrivefi quella- con prolungare fuori del cerchio le cor- de , che partono tutte dal medetìmo punto della fua circon- ferenza , e con prendere le parti efterne fempre uguali al dia- metro del cerchio . Le eftremità delle corde con tal legge prolungate colHtuifcono il perimetro della Cardioide. Da una corruzione cosi femplice i\ ricava con eftrema facilità l'equa- zione algebraica di quefVa Curva , la quale afcende al quar- to grado .

Vengo ora all' altra dimanda, che ella mi fa intorno alle due famofe Propofizioni , che nella dottrina delle Serie In- finite , e nel Calcolo Integrale trovanli da molti o femplice- mente enunciate , o anche dimofirate , delle quali io le difli , che ben lungi dall' ammetterle per vere io per l'oppoflo cre- deva di poterne pro\are rigoroiamentc la falfità.

La prima di quefie propofizioni viene efpreflà cosi : Si il numiro , e , chs ha per logaritmo iperbolico l' imita , vie-

R iij

134 S O P R A l' EQ.UAZIONE

ns cl:'vato alla potenza , cA^ ha per efponente la ferie re- ciproca de' numeri primi --j 1 ! — J, 1 U- ecc.

- •,- - -r - -,- , -i y^ + ecc. in inf. , ne najce e eguale all' infinito ar- monico I-] — J 1 1 1 f- ecc.

1 3 4 ' 5 ' 6 ' Si fuole dimollrare una tale proporzione , chiamando A la ferie reciproca de' numeri primi , B la reciproca de' quadrati

,. _. . .,1.1,1,1,1,

di quelti numeri, cioè • 1 h^cc. ,C la

-1 2'^ 3= ' 5' ' 7' II' '

reciproca de' loro cubi, D la reciproca de' loro biquadrati, e

COSI appreflb , e liccome è noto dalla Teoria delle Serie , ef-

fere ^-}- I 5-j- - C+ -D+ ecc. = log. - + log. ^ -f- log. ^ + log. 1 4- log. — -f log. -^ + log. -^ -}- ecc.

4 O IO 12 16

2. 3. 5. 7. 1 1. 1 3. 1 7. ecc.

= log. ■ ; confeguentemente palkindo

I. 2.4. 6. IO. 12. 16. ecc.

.4 -:- -^ 5 + ', e •)■ -7 D 4- ecc.

dai logaritmi ai numeri nafce e

2.3.5.7. II. 13. 17. ecc. a r ■ , , ,

= . Ora quelta trazione , la quale ha

I. 2. 4. 6. IO. 12. 16. ecc.

per numeratore il prodotto infinito di tutti i numeri /^r/w/, e per denominatore il prodotto di tutti quelli , che mancano deli' unità dai numeri primi , è appunto uguale alla ferie re- ciproca" de' numeri naturali i-f---] 1 1 1- ecc. in inf.

/ i 3 4 5

Imperciocché prefa .r=i-j 1 1 [--A 1 — -|-~;

-'34 5 6 7 ^

H 1 ! h i 1- ecc. , farà - .v = - -j [- -

9' 10' 11' 12' 13' ,, 2 2 ' 4 6

I

-|---| ^ 1 -4- ecc. , e fottratta queda feconda dal-

o 1012 14' '■

1- ni 111,1,1,1,

la prima , reità - x= i -\-- -4-- 4 1 h ecc.

2 ' 3 5^^7 9 II ' 13

d' una Curva ecc. 155

dalla quale fono efclufi tutti i denominatori pari , cioè divi'

fibili per 2. Tolgo da quefla il fuo terzo, cioè -. .x=~

23 3

-4---J 1 t-ecc. , ed ho per refto - . - xz=z i-A- -

9'i32i ^ i 5

-4- --j 1 \-ecc. 5 da cui fono efclufi tutti i denomi-

7 11' 13

natori divilibili per 2,63. Da quefta levo il quinto, of-

fia - . - . - x = — -4 -\ j- ecc. , ed ottengo il refiduo

^35 5 ' 25 ' 35 '

-.~ . -x=z i -{-- -] \~ecc. -, dove non s incontra

23 5 ' 7 ' II ' 13 '

più alcun denominatore diviiìbile per 5 . A quefto modo e-

fcludcndo tutti i termini divifibili per 7 , per 11 , per 13 ,

per 17, e per qualunque altro numero primo , lì arriva fìnal-

, I. 2.4.6. 10. II. 16. ecc.

mente ali ugualità ■ x= i , ovvero

2. 3. 5. 7. 1 1. 13. 17. ecc.

Jf = I H 1--4---1 1 hecc.

2.3.5.7. II. 13. 17. ecc. , r 1 .-.^ .

= — . Per la qual cola la quantità tra-

I. 2. 4. 6. IO. I 2. 16. ecc.

v4 + ^ £ -;- i e -i- i z) H- ecc.

fcendente e trovata uguale alla frazio-

ne inlinita farà pur uguale ali infi-

I. 2.4. 6. IO. 12. 16. ecc.

nito armonico i -1 1 [---I ! l-ecc.

' 2 ' 3 ' 4 ' 5 6 ^

Siccome pertanto è già noto dalla dottrina delle Serie , che

la Serie reciproca de' numeri primi , vale a dire A ha un

valore infinito, e la fomma di ~B-4-- C4--D + ecc. in inf.

non ha che un \-alore finito, ed anche aflai piccolo; perciò

trafcurando la fomma - B4-- C4-- D-4- ecc. in confronto

- 3 4

di A , rifpetto a cui efia fvanifce , nafce per ultimo 1' equa-

13(5 Sopra l' equazione

"^ ^ • 7 ■ r -•• ' -• . . -■■ '^<-C- 1,1,1,1

zione e =e =it ^-- -^ h-

i 3 4 5

-)- --[-ecc., che è la propofla'.

Qiiefto fottile ragionamento pecca nell' ultima parte , dove

fìabilifce, poterfi trafcurare la Ibmma — B-I — C -\ — D-t-

2 ' 3 ' 4

- E-\-ecc. in confronto di A, perchè quella finita, e quefl-a

infinita. Il gran principio dell' evanefcenza della quantità fi- nita rifpetto all' infinita non può aver piìi luogo, ed induce infallibilmente in errore , allorché 1' infinito congiunto al fi- nito forma l'efponente d'una data quantità, per efempio e nel cafo prefente . Allora (chiamato n il finito) è tanto lonta- no , che e^-^ + " fia Io ileflb , che e^ , che anzi quello fla a quello nella ragione di e" : i , cioè in una ragione comunque ineguale finattantochè n feguita ad effere un numero finito ancorché piccioliilìmo , non divenendo uguale una tal pro- porzione fé non nel cafo di n = o . Ciò (i vede ancor me- glio dal valore infinito , che ha la differenza delle due pre- dette efpreffioni, la qual difièreiiza c=^e'^ + " — e^'^ =zc^ (e" — i) , valore vifibilmeute infinito fino a che n riman qualche cofa . E' dunque evidentemente falfo il celebre Teo- rema fopra enunciato, e comunemente adottato per vero.

L'altra propofìzione , che io trovo falfa, è il lamofo Teo- rema, che s' incontra ne' trattati piìi eflefi di Calcolo Inre- grale , in quella parte più delicata e profonda, che riguarda r integrazione delle formole differenziali a parziali differen- 'Z.e . Il Teorema fi fuol efporre così:

Se la funzione Z ddk "variabili x , y , u , ecc. è tale , eie debba ejj'er nulla i". neW ipotefi di y eguale ad una coflante

a , tutte le differenze parziali di Z , eccetto — , faranno ne-

dy

ccjfariamcnte nulle nella medefima ipotefì . i°. Se quefta funzio- ne è tale , che ejfa debba ejjer nulla nell' ipotefì di y=a , e

j- , ,.^ . . , ^ dZ àZ

di X =r b , tutte le differenze parziali di Z eccetto -r ^ ^ ^ "" dy dx

■ - faranno

d' una Curva ecc. rj7

faranno necejfariament; nulle nella Jìejj'a ìpotefi . Quindi , fé effendo Mdy un termine del dijferenz.iale e fatto di Z , la for- mala integrale /Mdy (fatta l' integrazione per rapporto ad y folamente ) e nulla nel fuppojlo di y uguale ad una cofìante ,

quefi' altra formola integrale j — dy , che e il coefficiente di

dx nel diferenzJak della prima ^ e neceffarìamente nulla nello fleffo fuppojlo ...

Por incominciare ora a dimoiirare falfa la prima parte del Teorema, io ollèrvo , che non può Ja funzione Z annullarli nella luppolizione di /::=<? fenza avere la forma {y — a'fP^ eHendo P un' altra funzione delle variabili x , y , u , ecc.

5e pertanto fi prendono le differenze parziali j— , —r- , ecc.

dx du

le quali non fono altro che .— {y — a)", -y-ij' — a)", ecc.

dx dii

iì vede chiaro, che tali diilèrenze fi annullano ancor effe in

queir ipotelì di/ = <3i . Ma per 1' oppofto la differenza par-

dZ

ziale — in vece di perlìff-ere ad eflere qualche cofa , come dj

elìge il Teorema, diventa nulla efia pure in infiniti cafi : im-

dZ dP perciocché trovafi -— = —(j' — a y-^-nP ( j' — a )"-' , la

quale è manifcffamente nulla tutte le volte che « fupèra r unità ; il che moffra 1' infuflìllenza della prima parte del Teorema .

Qiuinto alla feconda parte , affinchè la funzione Z attual- mente fvanifca nell' ipoteù dì j' = a, e di x = b, doverà el- la avere la forma feguente Z = (j' — a)"P-\-(x — b)'"^ , dove P e ^ fono funzioni diftinte delle ftefle variabili .v,/,

T, r ^ dZ

u, ecc. Prefa ora la differenza parziale -j , trovafi quefta

dP d^

= - , (/ — ^/ + -i- (.V — ^)"' , che è manifcftamente =o au (tu

nella fuppofizione di / = <? , e di xz=b ; e così ogn' altra

differenza parziale prefa per rapporto a qualunque variabile

diverla da / , e \' , lì troverà lempre nulla in quella fuppo-

To?no IL S

/ •

138 Sopra 1.' E Q.U AZIONE

fiiione. Ma ben lungi, che le differenze parziali —r •> — non

^ dy dx

fi annullino in quel fuppofl-o, come vuole il Teorema , tro-

vafi , che fi annullano realmente ancor effe in infiniti cafi,

^^ . , . dZ dP , „

Ed in fatti — = {y — af ~\-n? {j — aY-' aj dy

d<è dZ dS

^ ^(x — by, e —^-^^(x — by^m^fx — b)"-^ dy dx dx

dP

-h -r (J' — i^T; ^ quefte due efpreffioni fono evidentemente

nulle nell' ipotefi dìy = a, e di x=:b tutte le volte , che gli efponenti m , }j fuperano 1' unità , vale a dire in infi- niti cafi ; contro ciò , che fi afferifce nella feconda parte del Teorema.

Finirò con rifpondere all' ultima fua dimanda di comuni- carle una nuova dimoftrazione del bel Teorema concernente 1' uguaglianza fra il logaritmo iperbolico del numero 2 , e la ferie armonica a termini infinitefimi , non parendole piena- mente foddisfacenti le dimoftrazioni da lei vedute . Ecco dun- que il Teorema ;

E/fendo » = co , dico , eie 1 1 j •

■" n+ 1 ' «-i-z »-+- 3 ' « + 4

-1 h H — = log. 2 . ■ '

Dimostrazione.

Lo fviluppo de' termini della ferie armonica dà le feguert- ti equazioni.

I __^ I , I _ij* Ì4_L_,

»+i n '/i^'~n* n* n^ n^ n^

I I 2,2* 2*. 2* 2' . 2*

•ecc.

» -f- 3 n n^ ^ n' n* ' n' n^ ' n'

^=i-t+i:_i:+i*_i;+i^-ecc.

d' una Curva ecc. 139

6.6' 6' 6* 6^ , 6'

A_ = i_- 4_- _-4-__- 4--— ecc.

ecc. Dunque diftribuiti ordinatamente i termini , che moltipli- cano le potenze reciproche di «, fé ne ritrarrà

»-|-t'»+2'w+3'»-h4'«-h5« + 6' '2»

= _'^ I -{- I -|- I _[_ I ^- I -}- I -j- I -|- ecc. )

— ^,(1 + ^ + 3 + 4+5 + 6 + 7 + ecc.)

+ ^',(i' + 2' + 3'+4=+5' + 6' + 7' + ecc.)

-f^^(i^-f2^ + 3^-1-4*4-5^4- 6*+ 7* -fece.

-^-,( 1^ + 2^4-3^ + 4'+ 5^ + 6' + 7^4-ecc.)

+ ecc.

E poiché è già nota dall' Algebra comune refpreflìone del- la foinma di qualunque ferie comporta delle potenze intere de' numeri naturali continuati quanto fi vuole , perciò fofti- tuendo fifFatte efpreflioni in luogo delle rifpettive ferie pre- cedenti , ritrovafi

■ ■ ' +-^+-'_+_!_+ + -L

= i/,)_i(«:+?)+^._(^+«:+«)_i(^+«j+«:)

+ -(-J ^ )_ /'_J )-fecc....

Ma effendo w infinito , fvanifcono nel fecondo membro di

S ij

140 Sopra l* equazione

queft' equazione le potenze di n inferiori in confronto delle fuperiori . Dunque farà

' ■ ■ ■ ' +.7^+„-^ + +:'

I 1 «' , I w' I »* , I «^ I w* ,

:=:-.« .-4-- • -. • ,■ i- h £CC,

I I I , I I , I I , :

=;= I 1 \- ecc.

Ora la dottrina de' logaritmi infegna effere

log. ( I -X-x )=A,' — -x"- -X-- x' :v*4-- JV' a:*-}- ecc.

^ 2^3 45 6

per modo che fatto :v=i, proviene log. 2 = i ^ j--

2 3

III, — --j_. [-ecc. Per confeguenza la ferie armonica pro-

456

porta farà = log. 2 .

Con queflo ftelTo metodo io arrivo a dimoflrare , che là

ferie armonica — A — - e ugua-

2»+i 2«+2 ' 2»4-3 yn

le a log. -? : e parimente ■-{

° 2 ^ 3»+ 1 ' 3« + 2 ' 3» + 3

3» + 4 4» 3 4« + » 4» + ^

_L_ . _L_ f _i

4/74-3 4« 4- 4 "^ 5^

il offre queft' elegante profpetto.

II 15

4- 1 -1 = log. - ; per modo che ci

' 4« 4- 3 ' 4« 4- 4 ^ 5« ° 4

1 '

r -l'I

I •

4. « ■ 4. •'■ ■:■, \\ ■-,

r

->'- '■:•;. ( ^.-^^

* ,-,

l\ ' ^

( —■

.'. j

1^' ó": j-r;_ , , -^ -, , _• i.|^;j ';'..:. ha:,'

Serie

Somme

Serie Somme

Serie Somme

Serie Somme

D' UNA Curva ecc I

I , 1

+

141 I

2«

log. (M = log. - O

I I I

+ .... + -

2« + I 2« + 2 3?7

log. -

2

log.

3« + I

1 I

,4- .... + —

3« -;■ 2 4»

log. - 3 ■

III

H .... + -

4» + 1 4« + 2 5»

log.- 4

+

6/t+ i 6« + 2

... + — 7/2

log.Z ^ 6

I	I	I
5«+ I	5» + 2 log.-
ecc. ecc.

Da ciò ne deriva , che fé fi prende A eguale ad un nume- ro intero affermativo qualunque, la ferie armonica _

«4-2 «4-3 » + 4 ■

, -1 riefce egua-

' A» ^

M+ 5

2345 le alla fomma de' logaritmi log. - -^ log. - -[- log. - + ^og- -

1234*

+ log. - -}- log. l -|- log. -ZZÌ4- log.

5 " A'— 2

= log,

2. 3. 4. 5. 6 A — I .A

° A- = Io?. A ,

1.2.3.4.5 A — 2. A — I

Altre riflefììoni nuove e interefTaiui potrebbono qui farfi intorno alle proprietà di quefte ferie ; ma per non eflerle te- diofo io le rimetto alla fua fagacità .

iij

141

SOPIiA LA PliESSIONE

DE' FLUIDI

Del P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie , Pub- blico Profeflbre delle Matematiche Superiori nella Regia Univerfità di Pavia.

Esaminando la preffione de' fluidi contro i corpi immerfì, o contro le pareti de' recipienti , mi venne fatto di of- fervare, che nel Cilindro, e nella Sfera ad eflo infcrivibile , fé entrambi 11 fommergono nel fluido fino alla fommità , o fé internamente fcavandoli fi riempie la loro capacità , rifulta nelle preflìoni efercitate dal fluido contro i detti due corpi quella medelìraa proporzione fefquialtera,che Archimede fcoprì così nelle loro folidità , come nelle fuperficie . Qiiindi argo- mentai , non dover efTere inutile o fterile l' idea di ridarre a formole generali la preflione de' fluidi ad effetto di ricavarne fecondo la varia forma de' corpi fommeriì , o de' vafi riempi- ti que' rifultati più o meno curiofi e rimarchevoli , cui il foggetto fembra promettere . Refl:ringendomi prefentemente in queflo breve Scritto ai fluidi omogenei e incomprejjlbili ver- rò efponendo fuccintamente il mio divifamento in quefla im- portante materia fenza alfumere dall' Idroftatica altro princi- pio fuori di quello altronde noto nelle molecole fluide per ef- perienza , vale a dire l'uguaglianza di preffione per ogni ver- fo e fecondo tutte le direzioni.

L f M M A .

Un fluido , che riempie un tubo infinitamente fottile FÉ CD {Fig. I.) o cilindrico o prifmatico avente i Iati perpen- dicolari alla bafe , e tenuto in una pofitura comunque obli- qua air orizzonte AD , preme il fondo o la bafe CD con uno sforzo equivalente al pefo d' un prifma dello fteflb fluido , che

Sopra la pressione de' Fluidi. 143

ha per bafe la ftcHii CD , e per altezza la verticale FA ter- minata dall' orizzontale AD.

Dimostrazione.

Sia M il centro di gravità del filo d' acqua contenuto nel tubo infinitamente fottile FECD , e colla verticale MP con- dotta dal centro di gravità fi rapprefenti il pefo di effo filo, e (i rifolva lo sforzo MP ne' due laterali MR perpendicolare alla bafe CD , ed MN perpendicolare al lato FD . Ciò pofio è manifefto , che il filo d' acqua non preme il fondo CD fé non collo sforzo rapprefcntato da MR, pofciachè 1' altro ef- preflb da MN è tutto impiegato a premere le pareti del tu- bo. Starà dunque il pefo del fluido, cioè il prodotto del fuo volume nella gravità fpecifica ^, alla prefiìone p efercitata fui fondo CD , come fta MP ad MR , ovvero per la fimilitudi- ne de' triangoli PMR , PAD , come FD ad FA , cioè FD : FA::DCxFDy^^ : /; e perciò p = DCxFAXi • Il che era ecc.

Scolio.

E' di per sé chiaro, che qui fi prefcinde da quella qualunque aderenza, che le molecole del fluido aver pofibno colle pareti del tubo , come pure da quella terza , che ne' tubi minimi

0 capillari è già conofciuta , la qual opponendofi ?.lle comuni leggi dell' Idrofl-atica altera e diverfìfica la preffione del fluido quando con diminuirne 1' energia , quando con fofpenderne

1 efercizio .

T E O R E ìM A I.

J» un vafo ADQB di qualunque forma {Fìg. 2. ) pieno dì

acqua fino in BA , la prepone , che f offre qualunque minima

particella , 0 elemento delle fue pareti , equivale al pefo d' un

prifma d' acqua avente per bafe lo ftejfo elemento , e per altez.-

z.a la ftia profondità folto il piano di livello AB .

144 Sopra la pressione

Dimostrazione.

L' elemento DC del vafo può avere tre differenti poilzioni perchè i. un tubo prifmatico perpendicolarmente applicato al detto elemento può incontrare il piano di livello BA fenza paffare pel vafo, come fi vede nel tubo DCEF : z. può effe- re parallelo al pian di livello, come CDIL: 3. può concor- rere col piano di livello , paffando però attraverfo il vafo , lìccome accade nel tubo CDRS .

Cafo i.° Stando l'acqua cosi nel tubo CDFE^ come nel vafo comunicante A^B alla medefima altezza , o allo fleflo livello BAFN, ed effendo tutto equilibrato, ne viene in con- feguenza , che il luogo DC è tanto premuto efteriormente dall'acqua del tubo DCFE, quanto lo è internamente da quel- la del vafo , e che però anche interiormente è premuto con uno sforzo , che vale il pefo d' un prifma d' acqua comprefo fotto la bafe CD e fotto un' altezza uguale alla diftanza ver- ticale di CD' dal pianò di livello.

Cafo 2° Si pieghi il tubo orizzontale C7 in un altro ver- ticale LN che arrivi al piano di livello . Nel tubo ONCD , e ne! vafo comunicante A^B la fuperfìcie fuperiore dell'acqua ilagnante e tranquilla occupa lo fleffo piano orizzontale . Laon- de CD è premuto efteriormente dall' acqua contenuta nel tu- bo ricurvo NOCD colla fleffa energia, ond' è premuto inter- namente dall' acqua del vafo A^B . Ma egli è evidente , che CD è premuto collo fteffo sforzo che LI, ovvero il fuo ugua- le LM , e che LM porta tutto il pefo dell' acqua contenu- ta in MO, che lo preme verticalmente , il qual pefo appar- tiene ad un volume d' acqua = LM X MNz=z CD X MN. Dun- que con queilo iìeffo sforzo è altresì premuto interiormente CD dall' acqua del vafo.

Cafo 3." Si adatti al vafo A^B un altro vafo BCUT di qualunque figura per modo che entrambi li tocchino in CD . L' acqua arriver.\ in ambedue allo fteffo livello , e CD farà premuto egualmente così dall' acqua del primo vaio al di den- tro , come da quella del nuovo al di fuori , ed a quefta fe- conda preffione equivale pel cafo 1°. quella dell'acqua nel tu- bo CDRS. cioè a dire il pefo d'un volume prifmatico d'ac- qua ,

de' Fluidi. 145

qua , che ha CD per bafe , e per altezza la diflanza del pia- no di livello. Il che era ecc.

TEOREMA II.

In un vafo dì qualunque figura ACDB { Fig. 3. e 4. ) la prcjffìone dell' acqua fui fondo orizz-ontale CD vale il pefo d un fri [ma d'acqua avente il fondo Jlej]'o per bafe .^ e la fua profon- dità fatto il pian dì livello per altez.z.a.

Dimostrazione.

Ciafcun elemento del fondo CD è premuto col pefo d' un volume d' acqua, che fi ha moltiplicando 1' elemento per la fua profondità fotto il piano di livello AB , ovvero per la profondità del fondo lleflb fotto quel piano . Dunque tutto il fondo porta una prefiione equivalente al pefo d' una mole di acqua eguale al prodotto del fondo per la fua diiìanza dalla fuperfìcie fuperiore dell'acqua. Il che era ecc.

Di qui i\ comprende come una piccioliUima porzione d'ac- qua polla efercitare una preffione enorme fopra una data fu- perfìcie .

TEOREMA III.

La preffione , che efercìta un fluido omogeneo contro una fu- perficie qualunque, ha per mi fura il pefo d' un volume di flui- do uguale al prodotto di quejìa fuperflcie per la diflanza delfuo centro di gravità dal pian di livello .

Di MOSTRA ZIO NE.

La prefTione totale del fluido fopra una fuperfìcie qualun- que, e comunque fìtuata rifulta dalla fomma di tutte le pref- fìoni fopra le parti infinitelìme , ovvero gli elementi della fteflìi fuperfìcie , che e quarto dire dalla fomma de' prodotti di quefìi elementi , moltiplicati ciafcuno per la fua diltanza dal pian di livello . Ma per la natura del centro di gravità , la fomma de' prodotti di ciafcun eleniento della fuperfìcie per Tomo IL T

i4<5 Sopra la pressione

la fua diftanza da un piano fìfTo s' agguaglia al prodotto del- la fuperfìcie intera moltiplicata per la dillanza del fuo centro di gravità dallo fteflb piano. * Dunque la preffione contro la fuperficie totale è mifurata dal pefo di una mole di fluido pro- dotta dal moltiplicare la luperlìcie per la diftanza del fuo cen- tro di gravità dalla fupertìcie fuperiore del fluido . Il che era ecc.

Qiianto in apprefTo diremo circa la preflfione interna con- tro le pareti de' vali dall' acqua contenutavi vale ugualmen- te, coni' e manifefto, per la predione efterna contro le fiefle pareti ne' vali , o corpi immerfi nell' acqua , fuppofta uguale neir un cafo e nell' altro la rifpettiva diftanza degli elemen- ti delle pareti dal pian di livello . Dunque

Un vafo prifmatico pkno d^ acqua tenuto colla bafe oriz.z.on- tale fojfre nella fuperficie delle f accie laterali una preffione ugua- le al pefo di tanf acqua , quanf e il prodotto della f '.perfide la- terale moltiplicata per la metà dell' alte7jz.a del prifma . Ciò è evidente dall' ellère il centro di gravità della fuperficie del prifma alla metà della fua altezza .

Quindi fi ricava , che la fuperficie laterale d' un vafo cubi- co pieno d' acqua prova una prejfwne , che vale due volte il pejo dell' acqua ; e che aggiuntavi la preffione contro la bafe , la prejfione totale ha per mifura il triplo del pefo dell' acqua .

* Il Teorema della Statica è quello: de' prodotti di ciafcuna malTa molti- fieno più pefi o malie M , M' , M" , plicata per la fua rifj-ettiva diflanza M"' , ecc. , e le rifpettive dilianze dei dal piano fiflo uguale al prodotto dei- centri di gravita di elle mafie da un la fomma di dette mafie moltiplicata piano fiflo fieno D, D' , D, D'" ,ecc. , per la diftanza del comun centro di e finalmente la diflanza del loro co- gravita dal piano medefimo , cioè farà mun centro di gravita dal medefimo MD + M'D-i-M'D" + M"'D"' -i- ecc. piano fu A; farli fempre la fomma :=z{M + M' -^ M" -j-M"' -\- ecc.) ù .

de' Fluidi. 147

III.

In im vafo piramidale pieno d' acqua , tenuto colla bafe oriz.- zontale all' ingiù ^ e colla cima rivolta all' insìi per -modo che il pian di livello fia il piano orizsontale che pajfa per la ci- ma, la preffione contro la fuperjìcie laterale ha per -misura il pefo di tant' acqua , quanta fé ne ha con moltiplicare la detta fupcrficie per due terzi dell' altezza della piramide . In fatti il centro di gravità di quella fupcrficie fta a due terzi dell' al- tezza della piramide, computando dalla cima.

IV.

-Da ciò s' inferifce , che nella flefla piramide fta la prejjto- ne contro la fuperfìcie a quella contro la bafe , come ftanno due terzi della fuperficie alla bafe .

Che fé il vafo piramidale fi tiene colla bafe orizzontale all' insù, e colla cima rivolta all' ingiù , allora la prejjìone con- tro la fuperficie e misurata dal pefo di quel volume d' acqua , che rifulta moltiplicando la fuperjìcie pel terzo dell' altezza del- la piramide .

VI.

Dal che fi deduce , che quejla feconda prej/ìone è la meta delia prima ; e che ejfa Jìa alla preffione fatta contro la bafe nella prima pofizione del vafo , come Jìa un terzo della fuperjì- cie alla bafe.

VII.

Un vafo cilindrico pieno d' acqua fituato con bafe orizzon- tale porta nella fuperjìcie curva tanta preffione , quanto e il pefo d un volume d' acqua rifultante dal moltiplicare quella fuper- jìcie per la metà dell' altezza del cilindro. Dì fatti il centro

T ii

148 Sopra LA PRESSIONE

di gravità della Tuperficie curva del cilindro è nel mezzo del- la fua altezza.

Vili.

Da ciò s' inferifce , che nel cilindro retto equilatero la pref- fione contro la fuperjicìe curva e doppia della preffione contro la bafe; ed aggiunta la prejjione contro la bafe , la prej/ione to- tale contro tutta la fuper/icie vale tre volte il pefo 4eir acqua premente; come appunto nel vafo cubico; e finalmente la pref- fione totale e fefquialtera della preffione contro la fuperficìe curva .

IX.

U acqua , che riempie un vafo conico pò fato fulla fua hafe orix.'z.oyitale , preme la fuperficìe curva con i/no sforno uguale al pefo di tanf acqua , quanf e il prodotto di quefla fuperficie moltiplicata per due terz.i delT altez,z.a del cono: perchè il cen- tro di gravità della fuperficie curva del cono trovali ai due terzi della fua altezza, contando dalla punta.

--. . , . ■ ;.: . . . X. .......

Ma fé il vafo conico fi capovolge , ficchi la bafe orizsonta- le fila fuperiore , allora la preffione contro la fuperficie curva è 4a meta della precedente.

XI.

Se il vafo è un cono retto , tenuto nella prima fiituaxione , fia la preffione contro la fuperficie curva a quella contro la ba- fe, come due terz,i del lato al femidiametro della bafe , e al pefo deir acqua , che contiene , fia come il doppio lato allo- fìeffo femidiametro .

XII.

Capovolto il cono retto , in quefla feconda fituaz.ione fia la prejfione contro la fuperficie curva al pefo dell' acqua , cerne il lato del cono al femidiametro della bafe.

de' Fluidi. i49

XIII.

Cìrcofcritto il cono retto al cilindro retto , fta la prejjiom contro la [uperjìcie curva del cono nella prima fituaz.ione alla preffione contro la j'iiperficie curva del cilindro, come due terz.i del lato del cono al lato del cilindro ; e nella feconda fituaz.io- ne , come un terz.o del lato del cono al lato del cilindro.

XIV.

Suppofìo il cono equilatero , la prejfione contro la [uperficie curva nella prima fituaz^ione "e d' un terz.o piìi grande che la prepone contro la bafe , ed uguaglia quattro volte il pejb dell' acqua .

XV.

La prejftone contro la bafe nella prima fituaz.ione del cono equilatero e fefquialtera della prejfione contro la fuperficie cur- va nella feconda fituax.ione .

XVI.

L' acqua , che riempie una sfera , ne preme la fuperficie con uno sforx.0 , // quale ha per mifura il prodotto della fuperficie moltiplicata pel femidiametro .

XVII.

Li? preffione contro la fuperficie sferica fa tre volte il pefo dell' acqua premente .

XVIII.

Dal n.° Vili, fi raccoglie , che la preffione contro tutta la premìbile fuperficie del cilindro circofcritto alla sfera è fefquial- tera della preffione contro la fuperficie della sfera. E per tal modo quella proporzione fefquialtera, che Archimede con tan-

T iij

15° Soi'RA LA PRESSIONE

ta gloria difcoprì fra le fuperfìcie e le Iblidità del cilindro circofcritto e della sfera , viene ora qui eltefa da noi anche alle preffioni , che foffiono le fuperfìcie di quefti due corpi o riempiuti d' acqua o immerfi nell'acqua fino alla loro foni- mi tà .

Delle Formole Generali delle Preponi .

Paffiamo ora a rintracciare le fortnole generali della pref- fìone de' fluidi contro un piano qualunque immerfo nel flui- do in quallìvoglia politura , come pure contro le fuperfìcie curve de' corpi, o de' vali rotondi generati per rotazione. L' applicazione di quefte formole a qualche eletto efempio ci guiderà alla cognizione di alcune eleganti proprietà, che chia- meremo idrojìatiche , delle figure geometriche , che ci fono più familiari .

. , PROBLEMA I. ^ ,

Determinare la preffìone dell' acqua contro un piano qualun- que , e comunque fituato fatto il fluido premente .

: ■ ■ . Soluzione.

Sia il piano ABDF {Fig. 5.) circofcritto dalla retta oriz- zontale BD , dalla DF perpendicolare alla BD , dall' altra orizzontale FA , e da una linea o retta , o curva AB. Per ritrovare 1' inclinazione del piano all' orizzonte, tirifi da F la retta orizzontale FG perpendicolare alla FA ficchè il pia- no AFG ila orizzontale. Effendo ora alla comune fezione AF dei due piani BAFD, AFG, perpendicolare la FG nel fecon- do piano , e la FD nel primo , firà T angolo GFD V incli- nazione del piano propofto all' orizzonte . Suppongali , che il livello dell' acqua giunga al punto N della retta prodotta DF , e guidifi NO parallela alla FG : e perchè AF è per- pendicolare così alla FD come alla FG , farà anche il piano AFG perpendicolare al piano DFG , ovvero DNO , e però il

D k' F L U I 15 I . 151

piano DNO farà verticale . Se ora dal punto 0 prefo ad ar- bitrio nella retta NO cafca a! bado la verticale OH, fi tro- verà quella nel predetto piano, e taglierà in H la retta DF , in G la FG ■ Guidate le ordinate infinitamente proflime HM -, bm perpendicolari alla FP , e polla T afcillà FH—X, ì' or- dinata HM=ji, BD = a, DF = l^, FN=zc, l'angolo d'in- clinazione GFD=zONH=:(p , farà OHz=(c-\-x){iin. (p , e r elemento Hm del piano , moltiplicato per la fua diftanz,a HO dalla luperficie fuperiore dell' acqua , rapprefenterà la pref- {ìone elementare contro lo flefTo piano , ofiia la preffione con- tro r elemento Hm , la quale in confeguenza fi troverà = ( e -(- ;\: )_ydx fen. cj) = ( cjdx -{-fxdx ) fen. cp . Cercato quin- di 1' integrale di quefla efpreffione per modo che effo fi an- nulli inlìeme colla .r, fi otterrà la preffione contro il piano in- determinato AFHM ; e foflituito b in vece di x nel detto integrale , fi ha 1' intera prelfione contro il dato piano FABD. Il che era ecc.

Efmipio I. Il piano AFBD fia un rettangolo , e però y-=.a. La formola j{cydx -\'yxdx)kr\.(\> diventa f{acdx-\-

axdx ) fen. (f) = (acx 4- - ax^ ) fen. cf) , dove fatto xz=zb , 1' in-

2

tera preffione contro il rettangolo diventa (dr^-j — <?^') fen. cf).

2

Se r acqua non oltrepafia il lato fuperiore del rettango- lo,cioè fé c=:o,Ia detta preffione \\ trasforma in -<?&' fen.(ì; ,

vale a dire nell' area del rettangolo moltiplicata per la me- tà dell' altezza dell' acqua fopra il lato inferiore del rettan- golo.

Efempìo II. Sia il piano propoflo un triangolo rettango- lo AFD (Fig. 6) colla punta rivolta in giù, e col lato fu- periore orizzontale FA. Safà dunque az=.o,t pofia FA-f,

f/y^x) r

nafcerà y^^ . Laonde 1 {c-\-x)ydxit'ii.<^

= j 1 (r-f;^-)fen.(|) = (/r^4-^/x-— —

i$i Sopra la pressione 7 jfen. cj) rapprefenterà la preffione contro 1' area inde- finita AFHM ; e fatta xz=:b , trovafi la prefiìone contro tutto il triangolo = ( -/c^-}- -/i&')fen.cf).

Se il triangolo ha la punta rivolta in fu , e il Iato oriz- zontale all' ingiìi , come nella Fig. 7 , allora fi ha / = — , e

I (e -JrX )ydx fen. cf == / {c-\-x)—dx fen. (^

= f— j — V-)fen. d)= alla preffione contro l'area FMH,

^ zb ^b ^

e quindi pofta x::= b , rifulta la preflione contro tutto il

triangolo = (- Ci7^-} — <7^' ) fen. cp . . ■ ■.

Nella prima fituazione del triangolo, fupponendo c=:o, ovvero che il lato del triangolo arrivi al piano di livello,

la preflione ricercata diventa -fb'^kn.cp , cioè il prodotto

6

del triangolo moltiplicato per un terzo dell' altezza dell' ac- qua fopra la punta inferiore del triangolo .

Nella feconda lìtuazione , fatto lo fteflb fuppoflo di r = o ,

la preflione fi muta in - ab'' fen. (p , cioè nell" area del trian- golo moltiplicata per due terzi dell' altezza dell' acqua fopra il lato orizzontale inferiore.

Efempio III. Cerchifi la prefì^ione contro il femicircolo FMD {Fig. 8) , il di cui diametro FDz=.b , ^=0 ,

yr=L^ (bx — .v'), xdx'=^-hdx-^ydy . Perciò fi ha / {cydx A;-yxdx) fen.cf)= / ('r -]--&) fen. <pyd:4 — • 1 y'dykn.<p =r e -|- - ^ ) . FHM. fen. <p /' fen. <p, e h prefl!ìone totale

contro

de' Fluidi. 153

contro il femlcircolo rifulta =(^c~\- -b^ . FMD . fen. <j) =

( r-| — ^) — ^len.cp, polla i -.ir la ragione del diametro alla

circonferenza ; e il doppio di queflo valore fomminiftra la prellione contro tutto il cerchio FMDR.

Ejempio IV. Sia il piano dato un quadrante GCD , il di cui femidiametro luperiore GC lia orizzontale, ed =i', CH! z=x, HM=j', a = o . Per la natura del cerchio li ha 7'

=^b- — x' , ed j'dy^= — xdx . Dunque / ( cjdx -\-j'xdx ) icn. (p = / cjdx fen. (p — f ydj' fen. <pz=:c fen. (p . GCHM' ^^fen. (p

4-cort. = e. GCHM. fen. cp + e -/'^ j' ) fen. (» = alla pref-

. ^ 3

lìone contro 1' area inderinita GCHM' ; e però la prelfione

contro tutto il quadrante GCD farà = e . GCP . fen. $ -|-

-b' kn. pz=z( ! — ^^Z;' fen. * , e quefla raddoppiata dà la

3 ^43

prelFione contro il femicircolo GKD.

Efempio V. Sia il quadrante GFC , che ha il femidiame- tro inferiore orizzontale GC ; fé ne dimanda la preffione. Si ha CG = CF = b, FHz=x, HM =j , r ^ zbx - ;e= , xdx

= bdx — jfd/ . Adunque / ( c/dx -\-j'xdx ) fen. p =

1 (c-^-b )ydx fen. p — Cydy fen. -;>=:( e -f ^^ ) . FMH. fen. p

— /' fen. (}) = alla prelfione contro lo fpazio indeterminato

3 FMH. Laonde la prelTione totale contro il quadrante diven-

, (c + b)7r I , \ , ta(^ b Jb'.icn.p, e il doppio efprime la prellio- ne contro il femicircolo GFR col diametro inferiore oriz- zontale .

Efempio VI. Sia lo fpazio parabolico FBD (Fig.g) com- prefo dall' ordinata inferiore orizzontale BD=:a, e dall' afcif-

Tonio IL V --

*54 Sopra i.a pressione

fa DF = b . Supporto p il parametro della parabola fi ha /

z=^y px. Dunque / ( cydx -}- yxdx ) fen. (;> = / cp^'x'dx fen. ci>

'{- I p .V* dx fen. (pz=(^- ex y/ px -j- - x* \j px ) fen. (^ =

— cx;'fen. (^-j- - ;v'_;'fen.(}) = alla preffione contro lo fpatio

^ ■ - y

FMH indefinito ; e però la preflione contro tutto Io fpazio

FBD trovafi ( -cba-}-- b^a^kn.(p , e il doppio rapprefenta

Ja preffione contro lo fpario parabolico BOF colla doppia or- dinata inferiore orizzontale BO .

Ejcmpio VII, Vogliali la preffione contro lo fpazio para- bolico ADF {Fig. io) circofcritto fuperiormente dall' ordina- ta orizzontale FAz^a, e dall' afciffia FD=^b. Ellèndo FH s=x, ed HDz=zb — AT, r equazione della parabola trovali ef-

fere ^* = / ( ^ — x). Adunque ji cydx -{-yxdx ) fen. cp = / cdx \/ {pb — px ) fen. <p-\- f >:dx fen. (^yf {pb —px ) . Pon-

gafi ora ^ {pb — px)=^u^ ed è Ccdxitn.cp]/ {pb — px)-\-

/, ^ , "' ■ r icti^dnCcn.(p .--■'— xdxkn.<p\/ {pb—px)r= j

, r 2bii^diikT).(p Piu*dnkn.(p 2CN*kn.(p

+> J- +i^^= ip---

rbu* fen. $ , in^ fen. cf> „ ^{pb -px)' fen. <p \/{pb -px)

— — U — -f- COfi^, =r

ÌP 5P' 5P'

z{c + b){pb-px)kn.(p\/ {pb-px)

— — — -{-coir.

^^ , ■-'•'■• ' ■

= -b{c-\-b) fen. (py pb ~-b^ fen. <p yj pb

3 V 5 :„/,J

i_ 2 {pb-pxy kn.<p\/ {pb-px) ,, - ,.,. . ,. , ,/, ,•-,. ....

db' F il u ! d r. 155

(c-\-b)(pb-px)i'Qn.(p\/ (pb-px)

— , perche fvanilce la

3^ prefllone annullandoli la x. Queflo valore efprime la prefTio-

ne contro Io fpazio indefinito F/IMH , e foftituendo in elfo

b per X rifulta la prellione totale contro Io fpazio paraboli-

( lobc + ^b' ) [ci-i.(p^pb co FAD = ^ , e dal doppio di quefto

valore fi ha la preffione contro Io fpazio FAD^.

Efempio Vili. Cerchili la prellione contro la feniielliUe

FBD { Fig. II- ) lìtuata coli' afTe minore B'^ orizzontale.

Chiamato a \' ade maggiore FD , b 1' alfe minore B^ , la

proprietà dell' ellifl'e fomminiflra l'equazione ay =.b^ (ax — x^),

I (rydy

e quindi xdx=-adx — . Laonde fìirà la preffione con-

z 0

tre lo fpazio indelinito FMH== I {c}'dx-\-yxdx)kr\.(^-=: f(c-i~l a)ydx fen. c^ _prd^^ ^^ ^ i ^y^^^^^_ ^^^_ ^

«:;''fen.cD , r • i — , e quindi la prellione totale contro la femiel-

lifTe r^fc-l-- <7). FDS. fcn.$ = -('c + -^ )7r^^fen. (}) , il di

cui doppio efprime la preffione contro tutta l'elliffie in quella (ìtuazione , cioè coli' ade minore orizzontale .

Efrmpio IX. Sia da trovarli la prellione contro il qua- drante ellittico JBDO, fituato col diametro minore orizzonta- le , e rivolto all' insù . Chiamili - ^ il femialTe minore BO ,

2

~aì\ maggiore OD , x la OH , >' la HM , e fi avrà aY

= t' ( - ^'— .V') 7 . , = — xdx . Perciò / {cydx -^yxdx) fen. <p

— e . OBMH' fen. <p — "^^U^ i coft, = e . OBM'H. kn.<p

-j a-biin.<p — — — = alla preffione contro l'area in-

V ij

15*5 SoFKAI. A PRESSIONE

definita OBM'H . Perlochè la preOione contro tutto il qua- drante EDO farà = e . EDO. fen. (p-\ a^bkn.cp^ — Ticab fen. <p

24 16

H a''l>kn.'p, e il doppio di quello valore darà la preflìo-

ne contro la femielliffe BD^ avente 1' alfe minore orizzon- tale rivolto all' insù .

Efempio X. Se folle da cercarfi la preffione contro il qua- drante ellittico FEO , lituato col femiaife minore orizzontale BO rivolto all' ingiù, bafterebbe nell' equazione (£/£•»?/. Vili. )

/ , I N T_,,^^_. tìi'v' fen. (È ^ „. . 1 , . .

( c-j- - a).FMHitn.<p — - — 1 foftituire ~b in luogo di

, ■ 2 . ^b' 2

7, d'onde nafcerebbe — ( e -X- - a^ irab ^cn. <p <z'^fen.cp=:

16^ 2 : 24

alla preflione contro il quadrante ellittico FEO , e il doppio di queflo valore efprimerebbe la preffione contro la femiellil^ fé FB^ coir ade minore orizzontale rivolto in giù.

Efempio XL Dimandai! la preflione contro la femielliife FED {Fig. 12) lituata col femiafle maggiore EO orizzonta- le, e coir affé minore FD inclinato all' orizzonte. Ritenute le denominazioni di prima , trovali per la natura dell' elliile

by ^ bydy I

• — -z=.bx — -x^ e però xdx=^ --^ 1 — bdx. Dunque

j ( cydx -\-yxdx ) fen. <p t=z (e -\- - b^ . FMH. fen. <p ^ /

= alla preffione contro Io fpazio indefinito FMH, e in con- feguenza la preffione totale contro la femielliffe rifulta

= -(r-j- b'JTrabkn.ip , il qual valore duplicato dà la preP

o 2

fione contro tutta I' elliffe EF^D fituata coli' affé maggiore orizzontale e col minore inclinato all' orizzonte.

Efempio XII. Se vuolfi la preffione contro il quadrante • ellittico EDO col feiniaffe maggiore orizzontale rivolto all'

insù ; pofta OH ::^x , HM'z=zj , fi ha I' equazione — ~ =

I V , . bydy

- b^ — x'^ , e qumdi xdx = , e confeguentemente

/'

de' Fluidi. 157

by^ fen. 0 , ( cydx -}- yxdx ) fen. (\.=zc. OBMH . fen. 0 —

3« I b'y^ien.<p coft. = e . OBM'H'. fèn. c> ^ b'a fen. 0 — — - = alla

preffione contro Io fpaz.io indetìnito OBMH ; e però la pref-

fione totale contro il quadrante EDO farà = -- rcab kn. (p

-| ^'(Tfen. cp, il qual valore duplicato rapprefenta la pref-

24

fione contro la femielliire BD§ lìtuata coli' afle maggiore orizzontale rivolto ali" insù.

Efempio XIII. Se trattali di trovare la preffione contro il quadrante ellittico FBO iituato col femiade maggiore oriz- zontale BO rivolto al balio, allora barta nell'equazione (E/c-w/».

XI.) ( c^- b). FMH. fen. (p -^ — - — , la quale rappre-

^ ' 2 ' sa

fenta la preflione contro lo fpazio indefinito FMH, foftitui- re il quadrante FBO in vece di FMH , ed - df in luogo di

/, ed halli ( c4-- b) .FBOAcn.<p -b'akn.<p =

^ 1 '' 24

— (c-\--b^ Trab fen. <p ab' fen. (p = alla preflione contro

il quadrante ellittico FBO; e il doppio di quefto valore rap- prefenta la preflione contro la femiellifle FB^ lìtuata coli' affé maggiore orizzontale risolto all' ingiù .

Efempio XIV. Sia da trovarli la preflione contro lo fpa- zio Iperbolico FBD {Fig. 13) circofcritto dall'ordinata oriz- zontale inferiormente BD =-&, e dall' afciffa FD = k incli- nata air orizzonte. Nominando a l'affe principale dell' Iper- bola, b il coniugato, li fa, 1' equazione di quefl-a curva effe-

re -,— =ax-\-x' , e qumdi xdxz= — aax . rercio

^> . ^ ' 1 b' 2

/i ^ a'j^ fen. <p

{cydx +jxdx) fen. (p = (e a). FMH. fen. (p + - =

alla preflione contro lo fpazio indefinito FMH. Laonde la

V iij

15S Sopra LA PRESSIONE

preffione totale contro lo fpazio propofto FBD farà =

/ * \ TTDn /• , <?'/6'fen. (p ., ,

[^ e — ~ ^ ) •rsiU.icn.(p~\ j- — ,e il doppio rapprefen-

terà la predone contro il doppio fpazio FBC .

E/empio XV. Sia finalmente da determinarfi la preflTione contro lo fpazio iperbolico inverfo FBD (Fi^. 14) compre- fo fuperiormente dall' ordinata orizzontale F5 = >è , e dall' afciffa FD=:k . Porta pertanto FH = x, HM=zy , la pro-

prietà dell' iperbola fomminiftra l'equazione -^=a(k — x)

+ (fi — xy=:ak-\-k' — ax — zkx-^-x^ , dalla quale lì

ottiene xdx= -^J^(^.a^k)dtc . Adunque

/ ( cjfdx -\-)>xdx ) fen. (j, = ( e +*-«-)- ^ ) . FBMH. fen. <p

, rt>' fen. 0 I .

H ; +coft.=:('r4--^ + /c).f5MH.fen.(i)

a^i' fen. (p ay fen. <p

— ' — 7; -] = alla premone contro lo fpazio

indefinito FBMH . Perlochè la preffione totale contro il da- to fpazio FBD trovafi =.(^c-}-^-a-\- k). FBD. fen. (p

a^h* fen.cj) .... ■" "

— jl — , il doppio di cui efprime la preffione contro il

doppio fpazio BCD fituato colla doppia ordinata orizzontale rivolta all' insù.

>, . P R O B L E M A IL

Nel vafo DAHGFEBC ( Fig. i j ) , eie ha per bafe orizzon- tale il rettangolo ADCB , e per uno de' [mi lati ha il rettan- golo DAHG comunque inclinato all' orizzonte ^ arriva l'acqua fino ad HE; e in un altro vafo DAHGQPRS fituato fulla predetta bafe prolungata ed avente lo fiejjo lato DAHG giugne r acqua fino al punto 0 : cercafi qual farà la prejjtone , che fof- fre quel lato fecondo una fola e medejima direzione.

de' Fluidi. 159

Soluzione.

Tirifi per 0 la verticale MON; e farà (Efimp. I.) la pref- Cone cfercitata dall' acqua del primo vafo X contro il lato

rettangolare DAHGz=DA .AH . - MN ^ e '^ preflìone eferci- tata dall' acqua del fecondo vafo Z contro il lato rettango- lare OTDA hra = D4.A0.-M0, ed efercitandofi quelta fe-

tonda prefiìone in una direzione oppofla alla prima fi avrà ia confeguenza la preffione contro tutto il Iato DAHG verfo una

fola e medelìma direzione = D^. ^H. - MN~DA.AO. - M(?,

2 2

ovvero ( enTendo NM '. MO : : HA : AO ) t=^- MN .DA. AH

iDA.HA.MO' DA. AH ,,,, ,,^ ^ ,, ,

V7T-. = — rTT7-(MN' — •M^')-!' che era ecc.

2 MN iMN

La fuddetta preflione feguita adunque la ragione della difìè-

renza dei quadrati di MN e di MO , cioè delle altezze dell'

acqua ne' due N'ali .

PROBLEMA IIL

Sopra il piano inclinato NMPOfFig. 16.) giace il vafo prif- malico retto pieno d' acqua GADHFECB , del quale le due f accie oppojìc GADH, BFEC fono due trapezj paralleli , y?- niili ed uguali , / di cui lati BF , CE , AG , DH , in quefia giacitura del prifma vengono a riufcire verticali , e co' loro e- Jlremi G , H , F , E , giungono allo fiejfo piano orixx.ontale ; cercajì la prepone contro le due faccie rettangole verticali BA GF , DHEC , e quindi lo sforz-o , col quale il prifma tenderà a difendere pel piano inclinato.

i6o Sopra la pressione

Soluzione.

La preffione contro il rettangolo GABF fi è trovata {Efemp.I.):z -AB.BF% e quella contro il rettangolo DCEH

=z:-DC .CE'r=-AB . CE' ; e quefle nreflìoni efercitandofi in

2 2

direzioni oppofte , rillilta la preflìone , colla quale il prifma viene orizzontalmente Ipinto alla dìkd<i=i- AB (BE' — CE' ).

2

11 che era ecc.

Pongali AB=:a, BF^^b , 1' angolo d' inclinazione MP'H = w , e tirata V orizzontale CK^=^FE^=- f ^ farà 1' angolo £CR=:a), Bil=/.tang. c^ = BF ~ FR = BF - lE , cioè CE z=l> — /. tang. &;. Sarà dunque il trapezio BFECz=z

-FE{ BF-\-CE ) = -/ ( 2(^— /. tang. e.;) , e quindi il volu-

2 2

me del prifma =:- i?/ ( 2^ — /. tang. w). Dicali §i il pefo di

queflo prifma pieno d' acqua ; e poiché abbiamo la preffione orizzontale, tendente a far difcendere il prifma =

-a(b' — {b — /. tang. wf )z=.- af . tang. ic( ib — /. tang. oj ) ,

farà perciò una tal prefTione =^.tang. w.

Chiamato q il pefo del vafo prifmatico vuoto, è noto dal- la Statica, che un pefo §i -\- q lituato fovra il detto piano inclinato viene tenuto in equilibrio fui piano fte^Tò da una forza orizz,ontaIe = (^-r ^) '^^"g- ''^ • ^a per tenere in e- quilibrio il detto prifma pieno d' acqua , non baila una for- za orizzontale , la quale foftenga fui piano inclinato il pelo ^ -\- q d\ quel prifma , richiedendoli inoltre un' altra forza per equilibrare la preffione orizzontale ^ . tang. «.Confeguen- temente il prifma viene foftenuto fui piano inclinato da una forza orizzontale = ( 2 ^-\- q ) tang. w .

Scolio ■

dje' Fluidi. i6i

Scolio,

Avvertafi qui, che non fi è voluto tener conto di quella prefilone orizsontale , che rifulta dalla predìone contro la ba- fe ADCB , la qual preffione orizzontale rifcontrali eguale e contraria alla già ritrovata , ficcome appunto dee fuccedere , eflendo noto, che le preflìoni orizzontali (ì annullano femprc in tutti i vali , o corpi efpofti alla prellione dell' acqua . Rap- prefenti in fatti il trapezio BFEC la fezione verticale fatta. con un piano verticale e perpendicolare alle due faccie GB, HC ; e la preflione contro la bafe BC del trapezio efprefia dalla normale TX fi rifolva nella verticale JT, e nella oriz-

_ TX.BR zontale XT, e (tara TX: XY: : BC : BR , e però Xr= —^zr~ •

Siccome poi la preffione TX = BC.-(BF4-CE) , farà XY^

2

-(BF~{-CE).BR = -(BF']~CE).(BF — CE)=:^-BF'-'

2 2 2

-CE^i e quefia moltiplicata per AB dà la predone orizzon- tale rifultante dalla predìone contro la bafe ADCB , che fi trova appunto uguale, e contraria alla precedente. E' un er- rore di non pochi acclamati Scrittori quello di credere , che 1' acqua a motivo delle predìoni , con cui fpinge ed incalza fecondo tutte le direzioni le pareti de* vafi , che la conten- gono, podà produrre ne' vafi d' una data forma fituati fulle loro bafi orizzontali un rovefciamento, o capitombolo , lad- dove all' oppofto la deda acqua ghiacciata lafcia il vafo rit- to ed immobile fulla fua bafe ; per modo che fia una diffe- renza edènziale in ordine alla fua ftabilità, che il vafo fi tro- vi pieno di acqua fluida , oppure d' acqua ghiacciata . Per to- gliere un tal pregiudizio, e moftrare, che i due dati oppo- ni dell' acqua , cioè di fluidità , e di folidità non podbno cagionare la menoma alterazione o divario nello ftato del va- fo in riguardo al reggerfi fulla fua bafe, o al rovefciarfi , ba- cerà far \'edere che la rifultante di tutte le preflioni eferci- Tonjo IL X

i6i Sopra la pressione

tate dall' acqua fluida contro tutte le pareti del vafo perfet- tamente coincide colia li'/iea di dircz-iom , fecondo la quale agifce tutto il pefo dell' acqua o del ghiaccio . Sia a cagion d' efempio il triangolo verticale BAC (Fig. 25) colla bafe orizzontale BC -, e fuppongafi la fua aja formata d'uno ftrato di acqua premente contro i lati del triangolo . Tirifi dalla punta A del triangolo fulla bafe orizzontale prolungata BC Ja perpendicolare AM . E' noto , che la bafe BC foffre una preffione = BC . AM , che quefta prelfione pafTa pel punto di mezzo N della bafe, e può rapprefentarfi colla retta vertica- le ^N. Parimente il lato AB rifente una preffione =

-AB. MA, la quale pafTa pel centro di preffione S , che e ai 2

due terzi di AB contando da A, come fi deduce dalla Teo- ria del centro di preffione che efporremo più fotto , e può rapprefentarfi colia retta IS normale ad AB. Rifoluta pofcia la preffione IS nella orizzontale IO, e nella verticale OS ten- dente all' insù , trovafi OS = '- — = - BM . MA . Cosi pu-

BA 2 ^

re fé la preffione contro il Iato AC , la quale è= - AC .AM,

fi concepifce applicata al centro di preffione in F ai due ter- zi di AC contando da ^ , e fi efprime colla retta FR per- pendicolare ad AC, e fi rifolve nell'orizzontale RP,e nella verticale FP tendente all' ingiù , fé ne deduce tofto FP =

CM.FR I

— =-CM.MA. Abbiamo dunque tre forze verticali,

AC 2

che agifcono contro i lati del triangolo , cioè

i.°-\-^N=BC.MA, , . _

2.°—0S—^-BM.MA, . ; . t 2

3.°-\-FP = iCM.MA.

■- ■ , 2 . '-^ ■ ■ ,

La diftanza della prima dal punto M è =:MC-j-"C'B; la

de' Fluidi. i6^

diftanza della feconda è = -BM=-CM4~-CB; quella del-

3 3 3

2

la terza c=--—CM. Dunque per la dottrina Statica de' Mo- menti la diftanza della rijiiltante di quefte tre forze dallo ftef- fo punto M farà _m{MC-ir\CB)-^FP.'i;CM-OSi^MC-\-ìCB)

— §lN-\-FP-OS

__ BC . MAjMC^r 4 CB) ■'.- \ CM . MA .^CM~^^BM. MA(i MC ■^- ^CB) ~~ BC.MA + ^CM.MA-^BM.MA ~

__BC(MC + \ CB)+'rCM'~-jBC + CM)(^CM+lCB)

- LBC

2 I

.= -MC-j — BC . Ora quefla diftanza è appunto quella della

linea di direx.ione EG dal detto punto M ; poiché venendo ella condotta verticalmente dal centro di gravità E del trian- golo pofto ai due terzi della AN che biparte la bafe , viene

ad eOere, a motivo di AE^-AN, GM=z~NM = 'MC

3 3 3

2 2 1

'-\~-CN=-MC-\--CB . Dunque la rifultante di tutte le

preffioni contro il perimetro del triangolo coincide colla //- nea dì dinz.ione.

PROBLEMA IV.

Determinare la prejfione dell" acqua contro le pareti curve de" vafi rotondi^ ojfia di yotaz.ione ,

Soluzione.

Rotifi la linea AMP ( Fig. ly- ) intorno all' afle vertica- le ED, e deferiva un vafo rotondo, il quale riempiali d' ac- qua . Si cerca la prefTione fopra la fuperfìcie curva del vafo . Condotte le ordinate ortogonali inlìnitamente vicine MN , mn , e fatta PD z=: a , AB =i b , BD z=: e , BF = x , MF

X ij

i64 Sopra la pressione

= /, AM =f , ed I :7r = al rapporto del diametro alla cir- conferenza del cerchio , farà zwj' = alla circonferenza del cer- chio , che ha MF per raggio; e però l'elemento della fuper- fìcie curva del vafo farà = zttJ^ . Mm =: z-njds , e la preflione contro quefto elemento farà = r-nyxds == zttjx y ( dx' -Jrdj'). Quindi integrata quefta preffione elementare per modo che r integrale li annulli colla at , lì ottiene la predione contro la fuperficie indefinita AMNC ; e pofto poi e per x nelT in- tegrale lì ha la preflione contro tutta la fuperficie curva . II che era ecc.

E/empio I. Vuolfi conofcere la preflione contro la fuper- ficie curva del cono retto troncato . In tal fuppofl:o egli è vilìbile, che la linea AMP è =/(c'-|-(^ — ^)')' cui di- remo i. E altresì manifefl:o, che fi ha. s :b: :x :c , e perciò

s = — , e ds = — . Inoltre egli è vifibile , che fta e e _

( h —~ ci^ OC b — y.x-.-.b — a:c; laonde / = £» — — . Dunque

//, . z(b — a)x^^-nhdx z^yxds^j ( zbx )— =

— ( bx^ — — )= alla preflTìone contro la fuperficfe

e ^ ic '

curva indefinita AMNC . Pofto e in luogo di x fi ricava 2Trèct-b-\--a^= alla preflione contro la fuperficie curva

intera del cono troncato .

II valore di quefta preflione aflegnato da alcuni celebri Idroftatici è palefemente erroneo , e l' errore è nato per aver elfi fuppoflo , che due lati del cono troncato infinitamente vicini rinchiudeflero fra di se fulla fuperficie del cono un ret- tangolo , laddove efli comprendono un trapezio di bafi pa- rallele.

E [empio II. Si cerca la preflione contro la fuperficie cur- va BMILN {Fig. i8) del fegmento sferico generato dalla ro- tazione dell' arco circolare BMI intorno al diametro verti- cale BD . Eflfendo BFz=-x^ MF=jft e il raggio del circo-

de' Fluidi. 165

( Y — X ) dx

lo =r, fi ha7=V C^'^^-^'). e ^^ = ^^^-_— --^; e

quindi dx'^ -\-d}>^ = ds* ■=. — p- , ovvero rfi= ; e quefV

ultimo valore furrogato nella forinola / nrj/xds , ella fi tras- forma in f^irrxdx ■=:nrx^ ■= alla preffione contro la fuper-

ficie indefinita BMN. Siccome poi è zrx^ z=: mrx . " x , cioè

2

= alla fuperficie del fegmento moltiplicata per la metà del- la faetta , o dell' altezza dell' acqua fopra MN , perciò un tal prodotto rapprefenta la preffione fuddetta .

Efimpio III. Se la fuperficie del fegmento sferico fofie PDS colla bafe orizzontale rivolta all' insù ; allora pofta RC7 = .v, UM'=_y, RD = A, e però DUz=h~x, l'equa- zione del circolo dà jf:=z]/(ir{h — x) — {h — xy^ , e

. ,. , —rdx-^(h — x)dx , , , rVx'

quindi dy= — ; ; ^, dy^-\-dx^z= ,

^ ^ y (^zr{h-x)-{h~xyy ^^ r

\ {dj>'^-\-dx^)-=dS'=^ — "• Dunque 1 zTrjxds := 1 zirrxdx

= 7rrx* , vale a dire la preffione contro la fuperficie indefi- nita PM'N'S equivale al prodotto della fuperficie iftefia mol- tiplicata per la metà della fua faetta , o afciffa RU , ovvero per la metà dell' altezza dell' acqua fopra M'N' .

Laonde la fuperficie curva d' un fegmento sferico pieno d' acqua , o fia efib a foggia di cupola , o fia rinchiufo fra due cerchj paralleli foflre una preflione , che ha per mifura la fi^efla fuperficie moltiplicata per la metà della faetta . Of- fervifi qui, che fempre nel mezzo della faetta rrovafi il cen- tro di gravità della fuperficie cur\'a del fegmento .

La formola / ziryxds dà la preffione contro la fuperficie

curva del vafo foltanto nell' ipotefi , che 1' acqua non oltre- palfi Torlo fuperiore del vafo , ed abbia x per altezza fopra

X iij

i<56 Sopra LA PRESSIONE

r elemento della fuperficie : che fé 1" acqua giugnefTe più fa della fuperficie del vafo per modo che l'altezza di quella fo- pra r orlo di quefto foffe ■=.h ^ è chiaro, che in tal cafo la

formola della preffione diverrebbe / riiy (h-^^x^ds^ la qua- le fi tratta con ugual facilità che la prima.

PROBLEMA V.

ì^dV argine , o riparo rettangolare OPMN d" un fiume (Fig. 1 6.) giugne l' acqua da OP fino ad IK ; cercafi lo sforz.0 , con cui /' argine farà fpinto dall' acqua orizx.ontalmente , e quello , con cui farà fpinto dalla medefima all' ingiii verticalmente .

Soluzione..

Chiamato w 1' angolo d' inclinazione M?'§i dell' argine, PK = a, KI~POz=l?, e la verticale KU=h^ rilulta la'prei-

1 bh' fione contro l'argine (Probi. I. Efemp. I) = -ab/j = .

2 2 fen. w

Ma quefta preffione {i efercita in una direzione Ki" perpendi- colare al piano dell' argine ; perciò fé ne faccia la rifoluzione nelle due preflìoni laterali KL, KZ, quella orizzontale, que- fta verticale . Ora è noto dalla Statica , che fta iCi : KL : LS : : 1 : fen w: cof w : : Prefs. perpend. : Prefs. orizz. : Prefs. vertic.

^ ^ . bò' I „

Dunque Prefs. onzz. :=: — fen. w =r - ^^= ; Prefs. vertiCi^

2 fen. w 2

b/j' I

cof. w = - bA' cot. 0). Il che era ecc.

2 fen. w 2

PROBLEMA VL

Una cataratta j offia una tavola rettangolare verticale chiu- de in un canale , o cijìerna all' acqua /' ufcita : cercafi quanta. forz.a fia d' uopo per aizzarla , e dar l' efito all' acqua .

de' Fluidi. 167

Soluzione.

Detta b la bafe della cataratta, a V altezza, e la diftanza del fuo lato fuperiore dal pian di livello, che fi fuppone più. alto , fi fa per le cofe già dimoftrate , che la preffione contro

la cataratta è ■=.ab( -a-\-c^. Con fififatta preffione è dunque

direttamente fpinta la cataratta contro gì' incaftri . Laonde fup- pofto l'attrito una parte n ."''"" della preffione, rifulterà l'at- trito della cataratta cogl' incaftri = — ab (^a-\-zc^, ed ag-

giunto a quefl:o il pefo p della cataratta , ci vorrà una for-

ab(a-\-ic)-^inp .

za = — ^ ^^ • per lar equilibrio colla relilrenza

in '^

della cataratta, e un pò maggiore per follevarla.il che era ecc.

Reca meraviglia il vedere prefTo alcuni celebri moderni Scrit- tori di Meccanica , che per calcolare la forza necefTaria a foUevare la cataratta non folamente fi mette in conto la re- fiftcnza dello sfregamento contro gì' incaftri , ed il pefo della cataratta , ma ben anche la preffione totale efercitata dall' acqua contro il piano della cataratta, e fi ftabilifce in con- feguenza, dover efiere la detta forza un pò maggiore della fomma di quefte tre . Ma efl'endo la preffione dell' acqua con- tro la cataratta perpendicolare alla medefima , ed anche alla direzione della forza, che tende a follevarla , è cofa innega- bile, che l'una non può ne punto né poco impedire l' effèt- to dell' altra e non può quindi la preffione entrare nel calco- lo fé non per quella parte che coftituifce lo sfregamento.

. Se il lato fuperiore della cataratta giugne al pian di livel- lo, ovvero è c=.o, egli è evidente, che a mifura che la ca- taratta d va inalzando una minor parte di elTa reità efpofta alla preflione dell'acqua. Suppongafi inalzata di tanto, che la diftanza del fuo lato inferiore dal pian di livello fia = .v ,

e però la preflione in tal cafo diventi =-bx-, e l'attrito =

— . La forza motrice , colla quale la cataratta tende a di- 2» ' ^

i68 Sopra LA PRESSIONE

fcendere, qualora venga abbandonata, trovali =p , e

bx" r acceleratrice = i . Perciò chiamato t il tempo , in cui

27tp ^

la cataratta difcende per T altezza x, v la. fua velocità nel

bx^ termine del tempo t, fi avrà ( i )dtz::idv, cioè, eflèn-

dx ^ , bx^ V

do dt-=: — , fi otterrà ( i ìdx = vdv , ed integran-

x/ ^ inp^

éo X =-z/', v=\/ ( 2X ), e quindi

dx r dx ,, . ^^'

^'^ fc^' '=/ 'bx^ -^^^^^^Tn'

^ ynp ' ^ inp '

allora la cataratta non difcende , e fa d' uopo d' una forza capace di vincer l'attrito per larla difcendere . Sia quefta for-

za il pefo q , ed avremo q-\-p = alla forza motrice

2»

bx^

della difcefa , e però i — : = alla acceleratrice .

^ rnip^q)

Laonde l i ) <^x = ijdv , x • = - z;'

^ zn{p-\-q)^ 6n(p + q) 2

/ , bx' X /^ dx V=]/(2X -), /= / ■- .

\\ rn{p + q)^' J . __^ bx^ ■

V <. rn{p-\-q)^

Qualora vogliafi follevare la cataratta , dicali / la forza impiegata per follevarla , e fia a — x la di lei falita nel tem- po t colla velocità v • La forza motrice della falita farà dun-

r ^^^ V 2»/— 2/7P — bx" r ■. , r

que / — 'p • , e pero ^^ — farà la forza ac-

2« ^ ^n{f-\-p)

celeratrice . Confeguenteraente fi ottiene

(l'/if—mp — bx' )dx , . ,.

- = vdv , e qvundi • ■ .

2w/4- inp

(znf.

DB* F L U J D I. 169

{inf—rnp)x — ^bx' i , ^ ,

' — 2^ =: -x-'-f coft., ed eflendo v=.o. quan-

znj -\- -2.np 2 ^

<Jo ;v = <7, li ha t/' = —!■ .. cioè

n{J+p)

{^nf-^np){x-a)-^-i-,b{a' -X') . ,

—^ ; : e hnalmente

n{f+p)

dx\/ (njf+p))

yj {{inf-2np){x~a) + ^^b{a'-'X'))'

Del Centro di Frejfionc .

Una cofa degna di confiderazione nella Dottrina della pref- fione dei Fluidi è quella , che riguarda il Centro di Pref- fione . Diceli pertanto Centro di preflìone quel punto della fuperficie premuta , nel quale fi concepifce concentrata e rac- colta l'intera preffione, che e didribuita e difperfa per tutti i punti della fuperficie; ovvero quel punto, al quale applica- ta una forza uguale e contraria all'intera preffione bilancia e diftrugge tutto 1' effetto di quella, per modo che fé la pref- fione tende ad imprimere alla fuperficie un moto qualunque, la forza uguale e contraria applicata al centro della preffio- ne impedilce e diftrugge un tal moto.

PROBLEMA VII.

Kitrovare il Centro di prepone di qualunque fuperficie pia' na BAFG (Fig. 19) divi fa in due pani uguali e firn ili daU la linea delle afcijj'e ÌAI^ ed immcrfa dentro un fluido omoge- neo a qualunque profondità , e fatto qualunque inclinaz.ione al pian di livello , purché le ordinate AM , CE , ecc. Jìano paral- lele al detto piano.

Soluzione.

La comune fezione del pian di livello, e del piano propo- fto GFAB prodotto (ìa la retta 0^, e condotte le due dop- Tomo II. y

17° Sopra la ^ressionb

pie ordinate infinitaniente prolfime CD, ed, lo fpazietro CD^<: farà r dlemento dell* area indefinita ACDB . Ora queflo ele- mento folfre dal fluido , che vi gravita fopra , una preflìone equivalente al pefo d'un volume di fluido che nafce dal mol- tiplicare r elemento per la fua difhinza dal pian di livello, Ja qual diltanza è per ipotelì la ftefla per tutti i punti di detto elemento . Si conduca EO normale ad 0^ , e dal pun- to 0 lì guidi nel pian di livello la OR normale all' iftefla 0^-, e finalmente alla OR s'inalzi dal punto E la perpendi- colare ER: egli è manifefto , che ER farà la mentovata di- ftanza, ed EOR V angolo d' inclinazione del dato piano all' orizzonte ; e confeguentemente l' elemento CDdc moltiplicato per ER rapprefenta la preflìone elementare contro il piano indefinito CABD . Confiderata pertanto quefta preflìone ele- mentare a guifa d'un pefo, il quale Ci riferifce alla retta 0^ come aW affh de' momenti , rifulta per le dottrine della Stati- ca il momento della preflìone elementare con moltiplicare quefta per la diftanza EO dall' afl'e de' momenti. Prefa dunque fuUa linea delle afcifle la ME = x, l'ordinata EC =j , MN r=a, l'angolo delie coordinate ovvero ENOz=:<p, 1' inclina- zione del piano all'orizzonte, offia l'angolo EOR = w, fi ot- tiene EO=^(a-\-x)kn.(p,ER=^(a-]-x)kn.(pkn.a, CDdc rr: zydx. fen. (p. Laonde il momento della preflìone elementare t\-ova.il=^ zydx (a -\-x)' kn.cokn.^ (p; e quindi la fomma de' momenti delle preflioni nell' area indefinita ABDC farà =

/ 2jdx(a-\- x)''kn.cokn.^ (p . Una tal fomma per le dottri- ne della Statica debb'eflere uguale al momento, che ha tut- ta la preflìone efercitata contro l'area medefima ABCD , qual- ora ella preflìone (i concepifca concentrata e raccolta nel cen- tro di preflìone , e riferita all' ifteflò afle 0^. Perciò eflendo tutta la preflìone contra l'area indefinita =

.[ 2j'dx(a-]-x)kn.a)kn.^ (p, fé fi chiama A la diftanza del centro di preflìone dall' afte de' momenti fi avrà 1' ugualtà 1 ijdx (a-^-x) fen. w kn. ' t|) = A / zjdx (a^^x) fen. w fen. ' (p ,

de' Fluidi. 171

fjdx{a^x)'kn.(t> ^. e conleguentemente £i= -— ; — ; — , . Ritrovata per

tal modo la diflan7,a del centro di preffionc dall'ade de' mo- menti , ed elTèndo altronde evidente, che non può il detto centro ufcire dalla linea delle afcid'e MI, la quale divide per ipotelì il dato piano in due parti limili, ed uguali, reitera in confeguenza determinata la polìzione del centro di prellio- ne . Il che era ecc.

Suppone le ordinate ortogonali, cioè (pzz^go" , ed oltrac- ciò rt=o, il valore di A 11 trasforma in quell'altro pili fem- fjx'dx

fjxdx Efcmpio L Cercali il centro di preffione nel parallelogram- mo ABGF {Fig. 20.) neir ipoteli, che il fuo lato fuperiore AB lia nel pian di livello. Dicali ME—x., CE = AM=zyz=.b , Ml-=zc. Si avrà per l'area indeiinita ACDB il valore di A = fLx'-dxkn.0 -l>x^kn.<p 2

lelogrammo FABG Ci avrà Zi = - e fen. cf) , cioè il centro P di

preffione fi trova a due terzi di MI contando da M , pofcia-

chè MP è =-MI. 3 Nel parallelogrammo ^ABR, la di cui bafe pafla per P centro di preffione del dato , trovali del pari il centro di pref- fione in 0 a due terzi di MP, cioè a quattro noni di MI,

eflèndo AJO==-MP = ^.-M/=-MJ. La diftanza OP de' 3 3 3 9

due centri di preffione 0, P e =-MI~

9 Volendoli poi il centro di preffione nel parallelogrammo F^RG, il di cui lato fuperiore ^R palla pel centro di pref- fione del dato FABG, convien ricorrere alla formola

/!( a-{-.x)'dx{cn.<p 2

-;r- — ■ — ,e porre a = MP = -c, donde Ci rac-

f/{a~\-x)dx ^ 3

coalie ^_f^(7^-^'-^)'dx fen. >p _( ^ c\x ,■ 2 ex- -:- f x' ) fen. <p

Y ij

17- Sopra la pressione

= j — ■ . L perciò pofto x =. PIz= - e ,

4C+3X fi ^ >

rifuita A = li^"-^^^'^' +i^lii:Lf! ^ ^ ! ^9'^""-'^ :=

4f-[-c 3* 15

38 ^ — cicn.(p; e in confeguenza il centro U di preffione del pa-

?8 rallelogrammo 6)(; èfituato ai — della retta MI^ contando

45

o

da M. Di qui fi deduce, che PU e = —PI.

15

Stando fempre a queft' efempio , egli è manifeflo , che ef- fendo nel parallelogrammo AG il centro di preffione in P, e però uguali i momenti intorno a P, rimarrà fiffio ed immo- bile il parallelogrammo qualora fia puntellato in P.

Se fi coftruirà una cataratta parallelogramma AG avente i lati AB , FG orizzontali , e quefìa mobile intorno a due adì piantati in ^ ed in R, efiremità della orizzontale ^R, la quale paffa per P ai due terzi MI, la cataratta rimarrà chiu- fa tutte le volte, che l'acqua afcenderà lino al lato fuperio- re AB; il che è manifefto dalle cofe precedenti: per lo con- traria ella fi aprirà rotandofi intorno agli affi g ed R tanto fé l'acqua non arriverà fino in AB, quanto fé oltrepafTerà^B . Imperciocché fé l'acqua refta al di fotto di A^B , per efempio in CD, il centro di preffione del parallelogrammo CG trovali ai due terzi di EI, come P è ai due terzi di MI; e però il predetto centro di preffione cafca al di fotto di P: onde av- viene, che la cataratta per la fpinta dell'acqua è coftretta a rotarfi intorno ai due affi , la parte inferiore §G volgendoli dal di dentro al di fuori, e la fuperiore ^B dal di fuori al di dentro per riguardo al luogo occupato dall' acqua . Che fé l'acqua oltrepaffia AB, e giugne fino in K, allora ricorrendo

,, r , fjia-i-xy dxkn.(p „ ^_,^ ,

alla formola ■- — V~- — ^^ — — , e pollo KM = a,f = b,

fj' (a -\-x)dx ^

fi ottiene A =:— ■ - = ^ -^ ,

f(a-]~x)ax a-\~\x

e fatto xz=^c , fi ha A = — Ì^ — ^t_i — l L_ . Laonde fé

de' Fluidi. 173

0 è il centro di preffionc della cataratta AG in quefla ipo-

a' ^U ac -\- - e' tefi , farà KO=i ■ — ; — ; — '- — , valore manifcitamente minore

di a~\--c^ vale a dire di KP . Dunque il centro di prel-

fìone della cataratta in quefto cafo cafca al di fopra di P, e confeguentemente V urto dell' acqua obbliga la cataratta ad aprirli , e a volgerli intorno agli adi , movendofi in fuori la parte luperiore ^5, e in dentro l'inferiore §IG .

E/empio II. Si vuol fapere il centro di predione nel pia- no triangolare FMG (Fi^. 21) fituato colla bafe oriz.zonta-

l>x le all' ingiù. ElTendo in quefto cafo CE =7 = — , fi fofti-

fjf ( a + xy ilxkn.<p

tuifce quefto valore nella formola • — ;; , e lì

fj(a+x)(ix

f (a + X y xdx Ccn. (p ({ a' + -^ ax -i-^ x^ )krì.'p

ottiene £\ = - , = z ;

f(a + x) xdx T ^ + 7 ^

= — , e fatto xz=::c=.MIi fi ha per

6a + i\,x

(6«'-+ 8^7C 4- 3c') fen. cp tutto il piano triangolare FMG ^ il= — .

Se il pian di livello pafia pel vertice M del triangolo fic-

chè fia MK = ^ = o, rifulta ù,T=Ìckn.<p , il che indica,

4 " che in quello fuppofio il centro di preffione trovafi a tre quarti di Ali contando d' alto in bado ,

Situato il triangolo colla bafe orizzontale rivolta all' insù {Fig. 22.), e fatta KM = a, MA=:b, MI— e, MEz=x ,

_^ b, , n . fy(a-'rxydxkn.(p ,.

£C =/ = _ ( e — x) , la formola " diventa

e jy (a + x)ax

f ( e — X ) ( a -\- xy dx kn. (p

f(c — x)(a + x)dx f(a^c-\- zacx — a-x + ex"" — lax'^ — x' ) dx fen. <p

f(ca + cx — ax — x^)dx

Y iij

174 Sopra la pressione (a-c + acx — 1 a-x + 4 <^x' — - ax^ — - x^ ) fen. 0 ^—^ . . ' . — - = A per 1' area

ca + -cx — ~ax — -^x-

indefinita ACDB . Quindi fatto .v = e , il ha per tutto- il

(6tì!' + 4<ì'c-f- c')fcn.(|) triangolo AIB, A= ; e fé vuoili, che

r acqua non afcenda oltre il lato fuperiore AB , fìcchè fia

I az=o , nafce allora Ù. = -cicn.<p , che è quanto dire, che

il centro di preflTione trovali in tal cafo nei mezzo della ret- ta MT.

Efimpio III. Cercali il centro di prefìlone nella parabola Apolloniana CMD {Fig. 23) lituata dentro il fluido colle ordinate all' affé orizzontali , e col vertice rivolto in alto .. Chiamato p il parametro , / la C£ , x la ME , fi ha y-=.'\l px^ $=;9o°, MK=iii. Laonde la formola

fv(a + X y dx fen. cj) , . f(a']/px + lax \/ px -j- x^KÌ px)dx-

■ — diventa 7 , * •

jy {a-\-x)dx /(aypx + xypxjdx

__ 7 ^'"••^' V^P^ + T g-v' V px + ; X' ]/px __ 7 ^'- + •• ax + 1 x' -, ax \/ px+-^ x'\/ px i <z + -Ì jv

35«=-f 42^x4- 15X' ■■

=: -^^ = A . Nel cafo che 1 acqua non 01—

^ja + ^ix

trepalfi il vertice della parabola, ovvero che fia a = o na--

30 5 . .

fce A= — x=-X', vale a dire il centro di preflione trova-

42 7

fi a cinque fettimi dell' afcifia ME contando dal vertice .

Ma fé il piano parabolico 11 capovolge, e rimanendo col- le ordinate orizzontali fi riduce col vertice in giù (Fig. 24) , allora porta MI=c , ME=:x, CE:=/ , I' equazione della parabola fomminiftra /rr/ (/^c— /'.v ) ; ond' è, che furrogato quello valore nella formola nota, li deduce A =

fdx(a+xy\/ (pc-px) „ , . , .

^ . Per poter efe^uire le integrazio-

fdx(a-\-x)i/(pc-px) ^ _^ ^'

ni richiede , facciafi V pc — pxnzz. , e C\ avrà x = f — — ,

de' Fluidi, 175

dx=z , a -\~ X =:^ a -[- c . Perciò lì ricava ^z=

P \ P

C- zV/;c (a->rc y- ~(a <■ e) z.' - -(a i- cy 2:' --^2:^+ coft.

J ^ P _5P IP

/"X^ I

■■z.^dz,(a-\-c ) _ :c'— l(<j'+f)2:' + cofi-.

Laonde foftituendo in quelì' cfprefnone il valore di z,, fi ot- tiene ù^-=.

f 0 {pc -pxy]/(ì>c -px) - \(a + cy(pc-px)\/(pc -px) - —(pc-pxyy/ipc -px) + cofl-.

— {pc -pxy \/ {pc -px) -'-{a-'.- e) {pc -px) ]/{pc-px) ■'.■ coft.

Pei- determinare le collanti, avvertali, che quando è x=:o fvanifce così 1' integrale del numeratore , cioè la lomma de' momenti , come 1' integrale del denominatore, cioè la fom- ma delle prefTioni . Confeguentemente la coft. del numerato-

re

lìirà —-pc' y pc4— (a4-cy pcJ pc — (a-\-c)pc^\/pc,_ 7 3 5

I , ,.../.

e la coft. del -denominatore farà parimente =- (^-]- Oi''^V-^'^

3

—' - pc"- \J pc . Dunque ì\-z=.

!■ C) {pc -px)'^ - 1 {a -:■ 0'- {pc -px) '-—^(pc -px) * ^- \ pC-y/pc -:- l{a^.- cy pcyj pc - 1(^ + c)pcypc

'ip _^

i z -, — '

-- {f<: -px) ^ -\{a H- 0 {pc-px) ' -:■ L {a -:- c)pc \l pc-\pr\J pc

che dà il centro di preftione per Io fpazio indefinito ACDB .

Se pertanto in quefta efpreflione fi afiiime x=zc per avere

il centro di preffione di tutto lo Ipazio definito AIB • il tro-

. , , , • r ■ ■ Sc' + 35rf^ + zSdtc

va dopo le debite trasformazioni A= .

354+ 14C

Da ciò s' inferifce , che qualora 1' acqua non falga oltre

r ordinata AM , e però ii abbia a = o , il centro di predio-

«5^ Sopra la pressione de' Fluidi.

ne è fituato a quattro Tettimi dell' afciffa definita MI con- tando dall'alto. Confeguentemente ftando in queflo fuppofto di a-=o, il centro di predone nella parabola diritta è d'un quarto piìi diftante dal pian di livello , che nella parabola rivoltata .

•J't

iB^'^-^^m

\n-J:.-

INDAGim

e

«77

INDAGINI

NEL CALCOLO INTEGRALE. Del Sig. Cavaliere Lorgna.

Essendomi propoflo di applicare il metodo mio adoperato nella XIV. Prop. della Mem. fui Calcolo Integrale dell' equazioni diiTerenziali finite, inferita nel I. Voi. della Socie- tà Italiana., all' integrazione dell' equazione differenziale dy ddy d'y d" y

le prime operazioni avendone chiamato fucceflivamente dell' altre , il lavoro di faggio in faggio prefe forma , e quefta u'è poi venuto, qualunque ella fiati, non lunga indagine, che vo' credere non totalmente indegna dell' attenzione de' Geo- metri. Ogni pa{ro,ogni nuova apertura d'integrabilità è fom- mamente pregevole in quella forta di equazioni , che vengo- no SI fovente in campo nelle Scienze Meccaniche , e nell' Agronomia fillca , e che non fenza ragione hanno meritato lo ftudio de' Signori d' Alembert , Eulero , de la Grang; ., de Condorcet , BcTiout , de la Placs , e di altri illuftri Mate- matici .

Trattando quefte materie con nuovi artifizi -, ficcome ho fatto, traluce fempre raggio d' incognita verità, che mena a qualche avanzamento indubitatamente ; del che potrà accer- tarli chi vorrà al progreflb di quefta Memoria attendere con qualche accuratezza .

PROPOSIZIONE I.

§. I. Trasformare /' equazione (A)

^-L.0'5^-l-R

dx~ clx'" dx^ "dx"

<^> ^^=x+4+'i:^r+'^S«c rz

Tomo II.

lyS Indagini

in cui dx è cojìante , M P Q_ R tee. fono fiin-z.ioni qualunqut ddla variabile x , per modo clic la fua rifoluzio/ìs dipenda da dus equazioni dei grado n — i .

Risoluzione.

fzJx -, —fzJx

Si ponga yz=fx / ( udx . fj, ) , efTcndo z. ed u

due nuove variabili , (U il numero di cui l' unità è il loga- ritmo iperbolico . Paflando ai differenziali dell' ordine » , fi «vrà

éy = z^" - ' jdx-]- -^ dz d" - ^jdx ■

+ ^''-\^['-'~U^zd-^jdx -r ■■^'- ' "'^i--!'T

1.2.3

Dunque foftituendo fucceffivamente 1,2,3 ^'^'^- P^^ '^ ^^^^

I. djzz^zjdx-^-udx

II. ddy •=. z.dydx -f- dzydx •\- dudz.

III. d^y = zddy -}- 2 dzdydx -j- ddzvdx 4- </</«^r ecc.

Si foftituifca nel II. differenziale il valore di dy tratto dal I. e fi avrà

( IL ) ddy = z.ydx^ -j- zudz^ -j-ydzdx -\- dudx e fimilmente nel III. differenziale li ponga il valore di dy ricavato dal I. , e il valore di ddy ricavato dal ( II. ) e così fucceffivamente ; ne rifulterà per ordine ( I. ) dy = zydx ~\- udx

( II. ) dy = zydx' -j- zudx' -^ydxdz -j- dudx

( III. ) dy = zydx^ -j- z'udx^ + zdudx"" + ^zydzdx^ + ludzdx'

~\-yd'zdx -}- d'udx ( IV. ) dy = zydx^ -|- z'udx'^ -}- z'dudx' -}- ózydzdx'

-f- zddudx^ -|- ^uzdzdx^ -|" 3/<^^'<^-'^''' + sdudzdx'

NEL Calcolo Integrale. 179

-}- JtTiyddz.clx- -|- ^uddzdx' -^-jd'zdx -|- d'udx ecc. Si foftituifcano tutti quefti valori nell'equazione (A); pren- derà ella la feguente forma

^ ax dx

T \ y-T ~ dx~ dx ^ dx ^ dx' ~dx'^ , - , , -Z/du . 6zydz , zddu ptzdz , Sfdz^

dx dx dx' dx dx'

^dudz ^zyddz 3uddz J'd^z d^u -.

^ ~dx'' '^ dx' "^ dx' '^Ix^'^dx' '

-[-ecc.

Di quefl-a equazione fé ne faccia» due, una delle quali con- tenga in ogni termine la variabile lineare / , e 1' altra ab- bracci il compleffo di tutti gli altri termini , che non la comprendono; e fi avranno le equazioni (5) (C)

(C)....M=Pu^^(^„ + -.J + R(^,.„ + - + — +-)

. - X 3 .z/du zddu 5uzdz sdudz ^uddz "^ ^^""^^^"f""^"^ dx^- "*" dx' "^llx*'

•+^-)4-ecc.

ognuna delle quali farà del grado n — i relativamente all' equazione principale (A) . Ma dalla rifoluzione delle equa- zioni (B) , (C) dipende manifeftamente la rifoluzione dell* equazione {A), Dunque fi è trasformata ecc. Il che ecc.

Z ij

i8o Indagini

Corollario I.

§. II. Che fé nell'equazione (A) fi fupponga la funzione M = o,e fi faccia ^ ^syi.v, l'equazione (C) non ha più luo- go, e ne rifulta la fola equazione (B). Dunque reciproca- mente l'equazione (B) può feniprc trasformarli nell'equazio-

ne (A), in fuppofizione di M = o, con la foflituzione z=-~,

ydx

C O R. O L L A R I O II.

I

§. III. E quanto all'equazione (C) , ella fi riduce agevol- mente alla forma dell'equazione (A). Imperciocché facendo

tutti li coefficienti di u = A, li coefficienti di — n=A', di

dx

ddii ^„ ,. ^' „ A" M

-— =A' ecc. e di poi -— =P', -— = ®' ecc. --=M', e or-

dinando finalmente 1' equazione per u , fi avrà 1' equazione

,C,.....M.=„ + p.- + a^-ecc + r0:

eh' è della forma {A). ..., '

•■ — ■■ Corollario III, - •

f. IV. In confèguenza fé neH'equazfone precedente {C)i\ ponga di( :=z,' Ndx-\-!i' dx, z.' , u' eilèndo due nuove variabi- li, la fi farà dipendere (5-1) dalle due equazioni (B' ) (C) del grado » — 2

(B') o=:i4-P'2:'_}-£'(z'»+-Jo + ecc.

(C) M' = P'»'-|-©'(z'«'-f -j^') + ecc.

E con una fimile introduzione di due nuove variabili z." u" {i farà dipendere l'equazione (C) da due ( B'' ) (C) del grado ^ — 3 •> e cosi fucceffivamente , di modo che fi perverrà ia fine ad un' equazione finita, ficcome è manifefto.

I' NEL Calcolo Integrale. i8i

PROPOSIZIONE II.

§. V. L'integrale completo dell'equazione (A)

(A) M = y-i-P^+w tS

^ ' dx dx

dipende da un integrale particolare di ciafcheduna delle equa- z.ioni fuccefive e della pfa forma (B), (5), (B'j ecc.

Dimostrazione.

Avendo in potere un integrale particolare o incompleto dell'equazione (B) (§. I.) z = X funzione di at , fé ne fac- cia la foitituzione nelle equazioni dj == z.ydx -]- udx

du

(C) M — Pu-{-§i{z.u-\---^tcc.

dx

e manifefio, ctie avendo nello fìeffo tempo un integrale com- pleto ?;=:X' dell' equazione {C) del grado n — i, il quale conterrà neceflariamente n — i coflanti arbitrarie , li avrà

djz=zXjdx-\-Xdx; e fXdx r -fXdx

y=e tA-\-J Xdxe ) farà F integrale completo

dell' equazione {A). Ma fé in vece dell' integrale completo dell'equazione (C) fi avefle un integrale incompleto dell'equa- zione (jB') {§. IV,) z,' = X", foftituendo quefto valore nelle equazioni

du = -z^udx 4- ^l'dx

du'

(C) M' = P'u'^^(z."u'-\-j^)-i- ecc.

baflerebbe che fi avefle l'integrale completo ?<' = X''' del l'equa- zione (C) del grado n — 2, mentre l'equazione duz=zX' udx '\-X"dx fomminiflrerebbe I' integrale u = X"' comprendente « — I coftanti arbitrarie . Soflituendo pertanto qucfto valore nell'equazione dj'z= Xjdx^udx ^ fi avrebbe l'integrale com- pleto dell' equazione (A) come prima

fXdx ^ —fXdx , -.,.,

7 = e (^A-\-J X""dxe ). .,„ ■'.;

Z iij _ . ^

iSi Indagini

Si dimoftrerebbe nello fteflb modo , che avendo un valor par- ticolare dell' equazione (B") {§.IV.)i e I' integrale completo dell'equazione (C") del grado « — 3, il otterrebbe l'integra- le completo dell' equazione (A); e cosi fuccefiivamente . Ma difcendendo alle equazioni fucceffive ( C" } , (C"")ecc. del gra- do n — 4, n — 5 ecc. fi perviene ad un valore finito. Dun- que r integrale completo deli' equazione ( A ) dipende da un integrale particolare di ciafcheduna delle fucceflìve equazioni (B), (F), (F')ecc. II che ecc.

PROPOSIZIONE III.

§. Yl. L' integrale completo dell' equazione (A)

(A) M = y4-P^^+oè^ +T^X'

^ ^ ■^ ^ dx ^ ^dx^ ^ dx"

dipende da un numero n — i di valori particolari di z , cBs

foddi sfacciano alla prima equaz.io/te (B) (§ . 1.)

^ ; Dimostrazione.

Imperciocché foftituendo fuccefiivamente nell' equazione (C) del medefimo § .

(C).... M = P« + Q_(z?^4-^')4-ecc. ■ '

quefti valori particolari di 2:, fi ricaveranno tante equazioni

in u ed X del grado n — i , quante ha unità il numero

n — I . Ma il numero di quelle equazioni effendo uguale al

numero delle quantità

d"-'u d^-Ui

-} r- , —, ecc.

fi potranno quefte difcacciare , e potrà quindi pervenirli ad un' equazione del primo grado di quefta forma

la quale è rifolubile generalmente , e perciò al valore di ti . Porto ciò , fia X funzione di x quello che fi verrà a trovare per SI fatto valore di 7;,la qual efpreffione conterrà in tal ca- io una collante arbitraria , e fieno j3 , /3' ecc. i valori parti-

ecc.

NEi. Calcolo Intborale. iSj

colari di z,. Facendo fucceflìvamente quefte foftituzioni in luo- go di z. neir equazione d/ =:z z.jdx -\~ X dx ^ e integrando, (i avranno gì' integrali

fiidx ... r^, —f(ìdx .

ffi'dx. ., , ,„ . —ffi'dx^.

ecc. e per confegucnza

f,Vdx ^ -fft'dx

+ ^ (A'-irJXdx^a ) +

farà r integrale completo dell' equazione (A). Il che ecc.

PROPOSIZIONE IV.

§ . VII. Ss può imegrarfi completamente f equax.ione diffc- renx.iale (ù)

^ ^ -^ ' dx~^dx' ~ dx"

potrà completamente integrar/i anche /' equaz.ione dijferenz.ia-'

le (A)

^ ' -^ ^ dx~^dx' ~ dx"

Dimostrazione.

Poiché foftituendo nell' equazione (ùi) z.ydx in luogo di dy ., ella fi cangia nell' equazione (B) (§. IL),

(B) o=:i+Pz + £(2:' + ^-=)4-ecc.

fé fi abbia in potere l' integrale completo dell' equazione (^) , fi potrà conchiuderne 1' integrale completo dell' equazione (B), e però lì avrà «— i valori particolari di z. . Ma aven- do « — I valori particolari di z, nell' equazione {B) -, li ha r integrale completo dell' equazione (A) (§. VI.). Per con- fegucnza fé può integrarfi completamente 1' equazione (-i), potrà completamente integrarfi l'equazione (A). Il che ecc.

i84 Indagini ' V

Corollario I,

$. Vili. Si può di qua raccorre , che 1' equazione (A) è tutte le volte integrabile, e ne' medefimi cafi che può efler- lo r equazione (A), eh' è il Teorema del Sig. de la Grange.

Corollario IL

§. IX. Ma non è neppur neceffario il conofcere 1' inte- grale completo dell' equazione ( A ) , fé fieno in poter noftro n — I valori particolari di/ nella medelima equazione, po- tendo ciò badare per 1' integrazione completa delf equazione {A)ì ficcorae è nianifefto. ip^ru .

Corollario III.

J, X. Similmente fé fi conofcano », o n — i valori di z , che foddisfacciano all' equazione (B) , fofiituendoli fuc- ceffivamente nell'equazione {C) (§. I.j, onde ottenere «, o n— 1 equazioni differenziali , fi è veduto al §. VI. che 1' equa- zione generale (A) è completamente integrabile per quella via . Si può dunque difpenfarfi dal rintracciare un integrale .particolare per ciafcheduna di quefte equazioni differenziali , come fembra richiedere il Sig. de la Place (Memorie dell' Accademia R. di Torino Voi. IV. §. III.).

PROPOSIZIONE V.

$. XI. Trovare V integrale completo dell' equaz.ione (A)

(A) M=/ + P^-|-a'ÌZ^_ Tf

^ ^ ^^ dx^^dx'^ dx"

ejfendo P , Q_. T quantità cojìanti , ed M funz.ione di x

qualunque. ;.;;- :;<;_;, ;J. •■:;.,.;; . :; ... •i;;;c.-3 -..'.y-.

Risoluzione .

NEL Calcolo Integrale. i8y

Risoluzione. Si ponga neir equazione di foftituzione ( R) (§. I.)

(R) / = /« / tidx jW

la coftante indeterminata K in luogo di z.. Operando come s' è ivi prefcritto , V equazione {A) fi rifoh'erà nelle due (B'), (C)

(F) 0 = I -]_ Pi< _j- ^i<:' 4- RK' + ecc.

(C')....M=:P« + ^(i<:«-f^) + ecc.

EiTendo ordinata l'equazione {B' ) per rifpetto a K, afcen- de ella al grado, il di cui efponente uguaglia quello dell'or- dine dell'equazione propofta (^). Dunque rifoluta con l'Al- gebra comune l' equazione ( 5' ) , (i mettano per K fucceffiva- mente nell' equazione (C) le radici trovate . Si otterrà un nu- mero di equazioni col mezzo delle quali potranno difcacciarfì i dilièrenziali di w, e fi conleguirà il valore finito di u. Sia X quello valore. Sofiituendo in feguito nell' equazione (K) il valore di ii , e per z, fuccelfivamente tutte le radici , per eiempio a, a' , a" ecc. dell' equazione (B'), fi avrà, prenden- done di mano in mano gì' integrali, 1' eforefllone y = l^"'{A~\-fXdx^J.-'•'' ) + ^"'' ( A-^fXdxfj.-'"' ) -f ecc. che farà l'integrale comnleto dell' equazione (A), contenen- do un numero n di collanti arbitrarie. Il che ecc.

PROPOSIZIONE VI.

§. XII. Integrare /' equazione (T)

CT)...M = Ay4-B(h-]-Kx)^ + C(h + Kx)=-'^^ + ecc.

dx ' ax"

del Sig. de la Grange ( Mifcell. Taurin. V. III. pag. 190) , h , K , A 5 B , C ecc. ejfendo coefficienti cofianti , M funzio- ne di X.

Tomo II . Aa

iS6 Indagini

Risoluzione.

Porto, come nella I. Propofizione , d}' = 7iydx-\-ndx , col metodo ivi adoperato lì trasformerà l'equazione (T) nelle du«

(B')....o=:A-\~B(A^Kx)z-i-C(6+Kxr(z.' + '^)_^Qcc,

(C)...M = B{h-^K.x)u-\-C{h+Kxy{z.u + ^-^)^tcc.

dx '

Si faccia z,= , elfendo r una coftante indeterminata.

h^Kx

Softituendo quefto valore nell' equazione (B') , ella fi ridurrà

a quefta forma (5")

(B '') . . . . o = yi + 5r + Cr (r - K) + Dr (r ^ - 3 Ki- + 2 K') + ecc.

la quale ordinata per r,fomminifl:rerà tante radici r' , r'' , -/" ecc. quante fono le unità nell' ordine dell' equazione (T) . Facen- do la flefTa follituzione nell'equazione (C), vi il foflituifca- no fucceffivamente per r le radici >'',r" ecc. trovate; con che fi avrà un numero di equazioni eguale a quello delle quantità

du ddii , ,. . M n

— ' — tee. , le quali maneggiate, come nelle rropos. pre-

dx dx'

cedenti, ci faranno pervenire al valore di u-=X. Ripiglian- do pertanto 1' equazione di foftituzione

fzdx r — fz.dx

= /^ J t '

7 = |U J iidxii , e pofto X in luogo di », fé tt,

.',.", ecc. rapprefentino i valori ^ , ^^, ^^^ ecc. ,

fi mettano tt, tt' ecc. fucceffivamente per z., e 'ì\ avrà jjidx r — ^-ndx

y=^\i (A~]-J Xdxfx ) ■•

fn'dx , — fz'dx

+ //- (A'-{-J Xdxfx )-l-ecc.

per r integrale completo dell' equazione (T). Il che ecc.

NEL Calcolo Integrale. 187

Scolio.

§. XIII. Ancorché le integrazioni ottenute ne' §. §. XI. XII. lì conlìderino non avere altre difHcoltà fuorché quelle deli' Algebra comune , ridotte come fono a dipendere dalla rifoluzione di equazioni algebraiche determinate ; ciò non oftante il cafo principalmente delle radici eguali, che podb- 110 incontrarli in queflie equazioni , obbliga ad operazioni , che farebbe bene di evitare . Non conofco lìnora alcun me- todo efente dalla necefTità di avervi particolare conliderazio- ne, allorché ha luogo quefto cafo. Eccone uno , che deriva necefl'ariamente da quello che abbiamo adoperato nella rifo- luzione di quefte equazioni differenziali ; e fra poco ne dare- mo un altro ancor piìi femplice . Sì ripigli 1' equazione del $. XI. ponendo A, B, C ecc. in luogo di P , ^, K, ecc.

(^> *='=^+^l+^il+=-

e fieno (B) , (C) le due equazioni nelle quali ella fi traf-

forma

(B)....^o=x^-Aa-}-Ba'4- Ca' + scc.

( C) M^Aii + BianJr- ^'' ) -f- ecc.

con la foftituzione dy^:^aydx-\-ndx^ ellendo a una colante indeterminata. L' equazione (C) ^\ trasforma nell' equazione

M — u -\-Al--^B' —A- tee. dx ' dx"- '

della ftelTa forma di {A) , ma del grado 'ti — i ( ^. 111.) .

Sieno pertanto (B') (C)

(B) 0 = 1-}- Aa'-]-B'a"-\-Ca'' -f ecc.

(C) M^A'ii'-^Btau'A-"^'' )-[- ecc.

^ dx ^

le equazioni nelle quali fi rifolve l'equazione precedente con la foftituzione dHz=audx -\-u'dx , eilendo // una nuova va- riabile , a' una nuova collante indeterminata . E' manifeflo che fi trasformerà fimilmente l'equazione (C) nell'equazione

A a

i88 Indagini

, , du' ddu'

M -=111-4- A - — U B' h ecc. della forma parimente di

dx ^ ,dx^ ' ^

(A)., e del grado n — 2. Inoltrando 1' operazione fucceffiva- mente, lì per\errà alT equazione M" ■= A'^h'" da cui fi potrà avere il valore finito di tf" . Si tragga una radice o un va- lore di a'" dall' equazione prolTima e determinata {B'") , e avendolo fofVituito nell'equazione da'" - ^ = a'" u'" - ' dx -]- u"'dx infieme col valore di u'" , R avrà una prima parte integrale completa

m — I a"'x p m — à!"x

U zzzfji ^COft. -[- / H dXl^ )

Conofcendo il valore di u"'-^z=X, fi ricavi una radice o un valore di a'"-' dall'equazione determinata (B'""'). Soflitui- ti quelli valori nell' equazione -( ' -

du'" - = = a" -' ir-' dx -f- ir - ' dx

fi confeguirà una feconda parte integrale

m—z a'"- 'x ^ — a'" - 'x

u z=ix f coft. -j- / X(i^^ /^ )

Procedendo cosi fijcceffivamente (1 perverrà al valore di ?/ = Z", che comprenderà n — i coftanti arbitrarie. %

Ricav'ando in feguito una radice o un valore di a dall' equazione (5) , fé fi faccia la foftituzione di quelli valori nell' equazione cly=:(iydx-\-udx, fé ne potrà conchiudere fi- nalmente 1' equazione finita

j z= ij."'' ( cod. 4- rX''dx IJ--"")

integrale completo dell' equazione (A) , fenza che 1' anda- mento Ila turbato dalla conliderazione delle radici eguali , che poflbno avervi nell'equazione (B) . E quello metodo può applicarfi anche all' integrazione dell' equazione (T) (§. XII.) ^

PROPOSIZIONE vir.

§. XIV. Integrare V equaz-ione ( A )

(A) M^^-J-X^ + cp.A'^-l-cp'.z'P^' + ecc.

dx ' dx- dx^

NEL Calcolo Integrale. 1S9

in cui M , X fono funz.ioni di x qualunque, $.X,(i)'.X ecc. funzioni di X indeterminate .

R I S O V, U Z I O N E .

Suppongafi per maggior femplicità X=P, (|).Z=^, (|)'.X = il ecc. , e lì faccia (I<) dj>=:ajdx-Ari'dx ., eflendo a una coftante a piacere . Col metodo della prima Prop. iì rifolverà 1' equazione {A) nelle due (jB), {C ) (B)...o = v-\-Pa-^^a'-^Ra'-\-tcc.

{C) ...M=^(P + ^a + R.a' + ecc.) u + {^-\-Ra-^ Sa' + ecc.) — + e R + i'^ ~j- T.i^ + ecc. ) ^' + ecc.

dx Facendo in feguito

A = P -{- ^^ + R.7' + ecc.

ù! = £-1- Rrt 4- J'rt^ + ecc.

ù:' = R-\~Sa-\- Ta- + ecc.

ù! A" M

e-=P', _=i:ecc. ^=M'

r equazione ( G ) del grado « — i prenderà la forma dell' equazione (A) in quefto modo

M. = „ + P'| + ^§+ecc.

Di nuovo ponendo in quell'equazione cosi preparata (K!) duz=budx-\-u'dx , in cui b e un' altra coftante a piacere, u' una nuova variabile , fi rifolverà ella in altre due (£') (C) (£').... o r= i 4- Pi>J- ^'^= + K'i-^ -f ecc.

( C) . . . . M' = ( P' + ^'^H-R'^^ -f ecc.) «'

du' + ( £' + Kb -\-Sb'-Jf~ ecc. ) — + ecc.

la feconda delle quali del grado « — 2 per una preparazione fimile alla precedente diverrà

A a iij

igo Indagini

M"-.' + P"^+rf4 + ecc.

]a quale con la foflituzione (K') du' = cu'dx~\-t("dx , e con la ftefTa preparazione foniniiniftrerà le due equazioni del gra- do n — ^

(B")....o = i~{- PV+ g"c^ -f- RV 4- ecc.

( C" ) . . . Af " = u" 4- F" ^-^ 4- ^'■' '^' -J- ecc.

dx dx^ '

e cosi fucceffivamente . Procedendo in tal modo fi perverrà all'

du" - '

equazione M"~ ' = z/"- ^4- P"- ' coli' ultima foftituzio-

dx

ne ( K" ) -, dall' integrazione della quale fi avrà il valore di n"~'- con una coftante arbitraria. Integrando quindi l'equa- zione ( K." ) li otterrà il valore di ii"-^ , e il giugnerà final- mente con quefl:' ordine a trovare il valore di « . In confe- guenza fi potrà integrare V equazione primitiva di foflituzio- ne (K), ^ confeguire il valore dì j . Ma perchè quefto va- lore lia l'integrale completo dell'equazione (A) bilbgna fod- disfiire alle equazioni (£) . . . o = I 4- Pj 4-^^= -j-K^i-|-ecc.

(S' J . . . o = I -j-P' ^-1- ^7.^4-il';^^ + ecc.

(5")...'o=:i-|-P"r-j-^'c^^-RV'-fecc.

che hanno luogo infieme con le equazioni (C), (C ) ecc. Sì confideri pertanto , che tante fono le funzioni indeterminate P, ^ , R ecc. quante unità contiene il numero n , e che n — • i è il nuinero delle equazioni di relazione tra quefte funzioni che debbono aver luogo . Dunque è manifefto , che una di quefie funzioni può efière tuno quello che fi vuole . Sia P queft-a funzione arbitraria . Maneggiando le altre come inco- gnite , fc ne potrà dedurre il valore in P e cofianti con le folite regole dell'Algebra comune . E poiché P :^X,^-^<P-X, R = <p'.X ecc. fi perverrà a determinare le forme 0, (p' y <p" ecc. dell' equazione (^ ) jeflendo X una funzione di .v qua- lunque, e a,^,c ecc. coftanti a piacere. Egli è viubile , che non la fola P , ma una qualfivoglia delle indeterminate P, ^jRecc può pigliarfi da principio per funzione di arbitrio»

NEL Calcolo Integrale. 191

e le altre fi determineranno col mezzo delle equazioni (5), (.8') ecc. Il che ecc.

Esempio I.

Sia da integrare I' equazione differenziale (A)

(,,...M=.+.r|.+^/|,

elTendo M, X funzioni di a; di qualunque forma.

Facendo Jf=P, = — ^, fi avranno con la foftituzio-

a'

ne (K)d}' = q}'dx-\-udx le due equazioni (B).. .07=1 ~\~Pa4-^i'-

(C)...M = (P^^a)uJr^^

ax

Prendendo 1' integrale completo dell' equazione(C) tt=:K, Ci

foftituifce il valore di u nell' equazione (K), e fi avrà

( L) . . . y = y.'" ( Cofi. -f Cvdx fX-'"

integrale completo dell' equazione (^), purché fi foddisfaccia all' equazione (B). Ma fofiituendo in (B) X in luogo di P ,

— r— in luogo di ^ , r equazione fvanifce . Dunque 1' ef-

preffione (L)è 1' integrale completo dell' equazione (A)

Esempio II.

Sia da integrare 1' equazione differenziale di terzo grado (^)

a-]-l^ + abXs dy

^ a'b' ^ dx' M, X eflendo funzione di x qualunque, «, b collanti a pia- cere. Supponendo per maggior femplicità, che l'equazione fia

fi avrà con la foftituzione (K) ^ = ì7;'ì:>;-|-?<</a: le due equa- zioni

192 Indagini

(£).... o = I + P« + ^rf' .4-11^5

^{^àndo M' = M : (P + ^a + Ra'),P' = (^ + Ra):(P-ì- Ha + Ra') ^' = il: ( P-i-^rt + iltf= ) ; e con la fofHtuzione ( K! ) du :=budx-\-u'dx neir equazione (C) fi avranno le equazioni (£')... .o = i + ?'^4-t'^'

iC)....M'^ti' + P"~

efiendo M"= M: (^ + R('^ + ^) ) , P" — R:(^^ + R{a + h)) Prendendo V integrale completo delP equazione ( C) , fi avrà u' = {/'; e foftituendo quefto valore in (K) il avrà integran- do u = V. In confeguenza foftituendo quello valore per a nell' equazione (K) -, e integrando fi otterrà

/ = e- ( coft. -f- / V'dxfx-'" )

integrale completo dell' equazione ( A) , giacché comprende

tre collanti arbitrarie , purché fi foddisfaccia alle equazioni

(B), (B'). Ma appunto mettendo Z in vece di P,

a'^ + a'b — h' , (a' — b)X . ,. ^ a + b + abX

in vece di ^, e

a'b' 'ab a'b'

in luogo di R entrambe quelle equazioni fvanifcono . Dun- que ecc.

§. XV. ':

Ma fu le tracce della Prop. precedente poffiamo aprirci un campo di fpeculazione più vafto , e poggiare ad una più gran- de generalità coli' ajuto delle funzioni indeterminate . Per quella via prenderemo a fare qualche tentativo generale intor- no air integrazione dell' equazione ( A ) ( § . I. ) allorché i coefficienti P,^r,R ecc. fono funzioni di x, né più né me- no come s' è fatto nella Mera, fopra citata per le equazioni a diflèrenze finite .

Si cominci primieramente dal mettere fotto le forme fe- guenti le equazioni differenziali di grado in grado , negletto il primo, comprefe nell'equazione (^) (§. 1.) in fuppofizio- ne di M ==; o

(D)....o

NEL Calcolo Integrale. i9J

dy ddy

(B')...o=/ + F(^, ., A)|^+F'((^,t.,A)^

d'y + F"(<p,^, A) 4 ax

(B")-'--o=J + F{<p, V, A, A)j^+F((J),i;, ^.^)^

4-F'(<J>, t., A, A)^4-F"(cf), ., A, A)^^

ecc. eflendo cp , u , A , A ecc. funzioni óì x , F(<p ■, u), F'($ , t^ , A) ecc. funzioni di cp , u , di (p, u , A ecc. Il numero delle funzioni cp, d, A ecc. introdotte in ogni equa- zione differenziale è uguale al grado dell' equazione da rifol- vere. Sì concepifca poi, che V equazione (K)

f <fdx ^ f vdx ^ jùidx

(K)....7 = (U (,^+ I ^^^ ( ^' + / ^''^'" ( ^'

/f ydx dxfx (i^"'+ ecc.

ali' infinito rapprefenti V integrale completo dell' equazione { A), eflendo A^ A ^ A' ecc. le coflanti arbitrarie , di mo- do che , richiedendoli \' integrale di un' equazione differen- ziale del grado n , bafta fare la collante 24"+', e tutte le fulleguenti =: o . La ferie allora s' interrompe , e l' equazione finita rifultante comprende n coftanti arbitrarie, e tante fun- zioni (p , 1/ , A ecc. quante unità fono in ». In confeguen- za pigliando la differenza n"". di queft' equazione , dovrà el- la rapprefentare un' equazione (A) del grado n , cioè la for- ma (B) , (B) ecc. corrifoondente a quel grado , si che le forme F((j>,t;), F' {(p^ v, l\) ecc. verranno ad eflere de- terminate .

Sieno pertanto (P), (P') ecc. quelli differenziali fucceffi- vi dell' equazione (K)

(P)....o = (,^(ci,-fO-(D'>-(^'4-^t)J-|-^ Tonio Iir Bb

ip4 Indagini

d<p dip' du „ du'

ecc. ne quah (p' = -~ , $" = _- ecc. ty' = -— , u"z=:—- ecc. flX d.v rfx dx

Quefta diflerenziazione può continuarfi agevolmente , mentre

-/( (p + v + £:i)dx V equazione ( P ) moltiplicata per ^ e diffe-

renziata fomniiniflra l'equazione (P'); T equazione (P') mol-

— f((p + v+ùi + '\)dx tiplicata per /x e differenziata fomminì-

fìrerebbe l'equazione proffiraa fuffeguente (F'); e così all'in- finito . Ciò premeffo è manifefto , che perchè 1' equazione (K) affunta lia 1' integrale completo dell'equazione (A) del grado », quella delle equazioni differenziali (P) , (P'), (P") ecc. eh' è dello fleflb grado , dee identificarfi coli' equazione (A) . In confeguenza tutte le volte , che 1' equazione (A) potrà ridurli alla forma (P), o (P') ecc. 1' efpreHione (K) farà il fuo integrale completo . Non farebbe difficile cola il dimoflrare , che in quelle formule fi contengono tutte le traf- formazioni che poiìbno darfi all' equazione generale ( A) , onde foggettarla ad integrali della forma ( K) . Ora , effen- dou dimoftrato , che 1' equazione (A)ìn fuppofizione di M funzione di x è integrabile tutte le volte e ne'medciimi cafi che può elferlo in fuppofizione di M=o (§. Vili.) , è ben chiaro per se , che il metodo ci conduce a una grandiifima generalità , e abbraccia cafi d' integrabilità fenza confini per r equazione (A) a. coefficienti variabili. Ora mi rilìringo a rifolvere il cafo de' coefficienti collanti per un efempio .

PROPOSIzfONE Vili.

§. XVI. Integrare /' equazione (A)

(A)....M = y^-A^-]-S^+ ecc.

dx dx^

in cui M è funzione di x , A,B,Cecc./c'«o quantità cojìanti .

ecc.

NEL Calcolo Integrale. 195

Risoluzione.

Pongaft M = o ; e poiché i coefficienti de' termini fono quantitìi cofhmti , dov^ranno parimente eilere quantità colan- ti le funzioni indeterminate $ , t; , A ecc.

Dunque la formola rapprefentante l'integrale completo dell' equazione (A), in fuppofizione di M=o, farà

(K)....j = iJ.'^-(A -^fdxfjy" ( A -{-fdxtj^" ( A' -H

Ora nella differenza »"'*. di quella equazione i coefficienti di

tutte le potenze differenziali -r- , -, — , ecc. fono funzioni di '^ dx dx'^

(p, V , ù. ecc. e » di numero , come rifulta da quanto fi è cfpoflo nel §. precedente . Ed è pure n il numero de' coeffi- cienti A, B ecc. dell' equazione (A). Dunque identificando le equazioni differenziali , iì potrà ricavare da' paragoni un numero n di equazioni in <p , v , ù. ecc. A , B , C ecc. col mezzo delle quali Ci potranno determinare i valori delle <p^ V, A ecc. in A, B, C ecc. Se dunque i\ fodituiranno quelli valori nell'equazione (K) -, fi otterrà I' integrale completo dell' equazione differenziale (A) nel cafo di M=:o. Ma da- to 1' integrale di (A) in fuppofizione di M=:o, fi ha pure r integrale di (A) in fuppotizione di M funzione di x qua- lunque ( §. Vili. ) . Dunque ecc.

5. XVII.

Quella rifoluzione dell' equazione {A) non è turbata dal cafo delle radici eguali {§. XIII.) alle quali cogli altri me- todi fa d'uopo avere confiderazione particolare (Veggafi il II. Voi. del Cale. Integr. del Sig. Eulero pag. 429 e fegg. , e il III. Voi. degli atti di Torino nell' eccell. Mem. del Sig. de la Grande).

Bb ii

196 Indagini

Esempio.

Sia da integrarfi 1' equazione differenzio - difFerenziale

(a) M=^_^*+^

adx a dx Sì facciano nell' efprefTione (K) (§■ XV.) le colanti arbi- trarie A'' , A'" ecc. = o , e però V integrale ricercato in fup- polizione di M = o farà della forma feguente

(R) . . . ./ = M*^ ( ^ _[_ rA'dx/T" )

la quale difrerenziata due volte darà I' equazione (S)

(p' + v(p dx <p^ + v(p dx'' Dal fuo paragone pertanto con V equazione ( ^) (1 otterrà

V + 2(p 2 l I

-: = - , — =— , e pero * = — <7, v^=:o .

(P'+v<p _ a (p^ + v(p a' ^

Softituiti quelli valori nell' equazione (R) , 1' integrale

completo dell' equazione (§1), fuppofto M = o, farà

j'==lji-"'(A~j- rAdx)z=z,j.~^''{A^A'x)

I met-odi ordinar] avrebbero fatto dipendere queft' integra- zione dalla rifoluzione dell' equazione

in cui due radici fono eguali . Ma eflTendo noto V integrale in fuppofìzione di M = o , Io farà pure in fuppofuione di M fun- zione di X. Dunque ecc^

§. XVIII. . •

Non efTendonni propoflo in quefta Memoria , che d'indicare alcune vie , che mi fono aperto per 1' integrazione di quefla forta di equazioni diflerenziali coli' intenzione di ripigliar, fé fìa pofTibile , la materia più di propofito , che ora per avven- tura non m' è conceduto di fare , palliamo a fare qualche ri- cerca full' equazione

NEL Calcolo Tntecrale. i<)7

(A).. .. Mdx" = ;c*+' ( « -t- bX)j'dx'' + x*+' (c + eX) djdxT-'

_|_ .v*+' {f-\-g X) dd/dx"-' + ecc. in cui M, X fono funzioni qualunque dì x , <p a b e ecc. coftanti a piacere . Non è ignoto a' Geometri di quanto ufo lia la fola equazione di fecondo grado Mdx"- - x' {a -\- bx")dd_y -\-x{e-\-fx")dxdj'-\-{g-^hx") j/dx^ eh' è un cafo parti- colariHimo dell' equazione (^),e fu cui più di tutti ha dif- fufamente verfato il Sig. Eulero nel X. Voi. de' nuovi Com. di St. Pietroburgo ^t in appreilb nel II. Voi. del fuo Cale. In- tegrale. Ci fermeremo pertanto prima fu quefta , ed eftende- remo poi le nortre indagini full' equazione generale.

PROPOSIZIONE. IX.

§ . XIX. Svolgere infiniti cafi d' integrabilità dell' equa- zione {C\) Mdx' = X' ( a -f- bx" ) ddy _|- x ( e ^ fx" ) dxdy

-,l-(g + hx")ydx^ indipendenti dall' e/ponente n .

Risoluzione.

I. Si fupponffa /=:— , efTendo z, una nuova variabile , e x

fi foftituifca quefto valore nell' equazione ( A ) . Ella prende

queda forma

(B)....(a + bx") (^xddz. - zdxdz. -] )

+ {e +fx") {dz.dx — ) -f (^ + hx") - Mdx^ = o

Di quefla equazione fé ne faccian due nel modo feguente ( a + bx" ) ( e +fx" ) +(^ + ix")- = o

•^ X X

( a + bx'' ) ( xddz — idxdz. ) -\-{ e -f-/V )dz.dx — Mdx' = o le quali fempliticate e ordinate divengono (C) za — ^-j-^-f (2&— /_j_>è);c" = o

Bb iij

19S Indagini

(D) x(a + bx" )dd-z.-\-{e~za-\- (f— ib J.v") dxdz. - Mdx' ~ o- Pofto nel!' equazione (D; ^z.== //^;v , fi pad! all' integrazione ..

' ' .^x 3dx

Si avrà // = - = /. (^A+j-^-fx ) = V

elfendo ^=e — ^^-\-(f — il^)x\, P = x (a-l-bx") . Per

confeguenza z. = A'-\- l Vdx , e però / = A'zr ' -{- x-' 1 Vdx

farà r integrale completo dell' equazione (A) , ognora che (I foddisfaccia alle due equazioni

ia — e-^g-=.o ; ib — f-\-hr=.o , le quali non involgono r efponente n .

II. Di nuovo fi ordini l' equazione ( B ) , e fi fupponga M r= o . Si avrà {B' ) . . . . c=.x' {a-\-bx'')ddz.^ X (^e - za-]^if- '.h)x'')dxdz.

J^(J,a — e^-g^{^b — /+ h )x" )zdx^

Pofto pertanto e — 2a = e' , f — 2^=/, 2^ — e-}-^=^', zb — f-\-hz=ih' ^ V equazione

o = A" ( ^ + bx' ) ddz. + X (e' +fx") dxdz + (g' + h'x") zdx^

con la foftituzione di — in luogo di z, fi cangerà in quaifei

x

x'(a^ bx")ddz' ~{-x(^e' — ia-\~(f—2b)x'') dxdz.' .

+ (2^ — e'-]-^'4-(2^— / — /y),r")z,'^x' = o, cioè in quefia

{B').... X' ( a -}- bx" ) ddz.' 4- X ( ^ — 4^ + (/— 4& )«" )^^^z.'

-\-(6a — ^e-j-g -f-( 6b — 2/-}- ^ )x" )z!dx^ = o Similmente fi troverà che l'equazione (B") con la foftituzio-

ne di — in luogo di z! fi trasformerà in quefta

( B" )....x^{a-^bx" )ddzJ' -f ;c ( f — 6^ + (/— 6h )x'' )dxdz"

+ (12^ — ^e-^g-^(i2b— sf-j- /yjx" 'JzJ'dx' = o

z'" QLiefia poi con la foftituzione di — in luogo di z" diverrà

( B"" )...,x^(a-^ bx" )ddz"' + X ( f - 8^ -f (/- 8^ K )dxdz^'

NEL Calcolo Integrale. 199

-|- ( 2oa — ^e-\-g-\-( 2ob-'^f-\-h)x'' )z."dx' = 0

e COSI fucceflìvamente in modo , che dopo m trasformazioni

fi perverrà all' equazione

(B'") . . . xXa -f- bx'-)ddzJ"-' + x(e — ima -f (/— imb )x" yxdz."-'

J^((m-if-m') b — mf-^h ) x" ) z.™- '«(x* = o Ma di quefta equazione fatte due come nell' articolo pre- cedente , li troverà eh' ella è integrabile qualvolta fi veritì- •chino le due equazioni

m^b ~^m{b — /) -j- ^ = o Dunque in tutti quefti infiniti cafi di relazione tra i coef- ficienti , ove non entra 1' efponente n , efiendo in numero in- tero e pofitivo, e in fuppolìzione di M = o, fi avrà l'inte- grale completo dell' equazione (A); e però {§. Vili.) anche in fuppolizione di M funzione della variabile x .

Ili. Ma di nuovo ancora fi ripigli I' equazione ( 5 ) , e fé ne combinino tre paja come fegue in ipotelì di M = c) \{E).. .x'{a-\- bx")ddz. + x(^e —2a+ (f— 2b)x" ^dxdz.

^ ~\~{2a-\- ibx" ) x.dx'' = o

l{E)...g-eJr{h-f)x'' = o

5( F) . . . ^' (<? -t- bx'')ddz. + x(^e— za + (f— zbjx" ) dxdz. C — (e +fx" ) zdx^ =; o

2(F')...2a + g+'(ìb + è)x''=o

^(G)...x^(a + bx'')ddz. + x(e -^ia-\- (/— ib)x'' ^dxdz.

y -{- ( g + ^x" ) zdx^ = o

2(G')...ia-e + (2b—f)x"z=io

Se nell' equazione (^)fi ponga M=o, e in luogo di ^ , /

in luogo di /? , si che fi foddisfaccia all' equazione (£') , e ne

rifulti r equazione

(:^')....x'(a-\-bx")dd_y^x(e-{-fx")dxdf

']-{e+fx")j'dx' = o

200 Indagini

è certo, che qualvolta s' integri requaz,ione(E) fi potrà in- tegrare l'equazione ( l\' ) . Sì faccia pertanto in (E) e — • la z=ze', f — zb-=f' . Si cangia 1' equazione in quefta (E')....x'{aJÌ^bx'')ddz.-^x{é-^f x'')dxdz.

■\-{ra-\- ibx" ) Tidx^ = o k quale è integrabile ( Art. I. ) ognora che fi verifichino que- fìc due relazioni 6a — e = o;6b — /=o

Dunque in quefti cafi farà pure integrabile l'equazione (A' J.

2,'

Ma foflituendo - in luogo di z, nell' equazione ( E") , ella fi

X

trasforma per la fteffa ragione nell' equazione feguente x'(a-\- bx" ) ddz.' -{-x(e'-2a^b(f-ib) x" ) dxdz!

^- {2a-]- ibx" ) z,'dx'- =: o

cioè nella feguente, facendo e-' — 2rf=r e", /' — '2^=:/",

( E'" )....x'{a^bx'' )ddzJ + X ( e" +/' x" ) dxdz.'

-\-(2a-\- ibx" ) z,' dx' =3 o e cosi fucceflivamente . Dunque dopo n2 trasformazioni fi per- \errà all' equazione ( E" ) x'(a-]-bx" ) ddzJ"-' -f- .r ( e — ima

4- (/— zmb) x" ) dxdz.'"-'

'^(ia~\-zbx'')z:"-'dx' = o della forma di (A') . Ma fatte due equazioni dell' equazione (E'"; col metodo adoperato nel I. Art. , fi troverà eh' ella è integrabile qualvolta fi verifichino quefte equazioni (2m-\-.^)a — e=:o; (2m-\-4)b—e = o

■Dunque generalmente in tutti quefti cafi farà integrabile completamente 1' equazione ( C^' ) , eflendo m numero intero e pofitivo .

Nello ftefib modo mettendo nell' equazione (A) M=o, — 2(7 in luogo di g, — 2b in luogo di ,^,onde foddisfare all' equazione (F' ) , Ci troverà che 1' equazione ( A' ) . . . . x'(a-{-bx'')ddf~\-(e -{-fx" ) dxdj/

— {2a--\-2bx'')}'dx^^=o " ■ ' - ■ con la foftituzione 7 = - li trasforma prima nell' equazione

NEL Calcolo Integrale. 201

(H)....x'(a-\-bx")dd:!i-{-x(^e — 2a-]-(f-2b)x')(ixi{z

— (e -\-fx" ) z.dx^ = o

Z.'

quefta con la foftituiione z. = - nell'equazione (H')...x\a + bx" )ddzJ + ^( .- - 4^ + (/- 4^ )x" )dxdz.'

— ( e +fx" )z.'dx' = o

e COSI fucccdìvamente , fioche dopo m trasformazioni fi per- viene air equazione (H"') ...x'ia + bx" )ddz.'" -{-x(^e- lam + (/- rbm )x" )dxdzr

— ( e +/^" )'2'"'dx' = o

la quale eflTendo integrabile {Art. I.) ognivolta che fi verifi- chino le feguenti equazioni

{m~\-i)a — ez=o ; {m-\- i )b — /=o lo (iirà pure negli fieifi cafi 1' equazione {ùì). E finalmente procedendo nella fl-efia guila lì dedurrà che l'equazione (A") {ùì") . . . x'(a -{- bx'')ddj ^x{2a-\- 2bx" )dxdy +{g-\- hx'')ydx'^ = o e integrabile qualora fi verifichino le due equazioni 2am-\- gz=:o ; 2bni-\-f=o . E quello per ora bafii intorno all' equazione (A). Il che ecc.

PROPOSIZIONE X.

§. XX. Svolgere infiniti cafi d" integrabilità dell' equaz.ione (Q^) . . . . x* + ' ( a-l-bX Jddy -j-x*+ ^ (e-l-fX)dxdy

_j_ X* + ' ( g -f hX )ydx' — Mdx' = o in cui M , X fono funzioni di x qualunque , <p 3. h t i ecc. cofìanti a piacere.

Risoluzione.

I. Suppongafi ^:= ~^-— , Fatta quefta foftituzione nell' equazione (^), ne rifulterà 1' equazione (R) (R) . . . (^ -f bX) (x'ddv — 2(ct) -f i)xdvdx-\-{(p +l){<p-\- 2)vdx') Tomo II. Ce

loa Indagini

-f ( e +fX) ( xdvdx - ( 1) + I )vdx' ) + (^ + hX) vdx'

— Mdx'' = o

dalla quale fé ne combinino due

(R') . . . ;e' (^ + bX)ddv -f .v(c - 2^:f) - 2<7 + (/- 2^^ - zh)X)dvdx

= M^.v*

(R")...^((D+i)(<^ + 2)— ^(c^-f 1)+^

+ (^;($+i)($ + 2)— /((p+i) + ^)X=o Avendo poi fatto dv^=-'z.dx nell' equazione (R) , ella fi riduce all' equazione

X'{a + bX)dz. + .v(e — 2^4) — 2<? + (/— ib:p— ib)X')zdx = AW>;

la quale integrata ci fomminiftra z.=^Z funzione di x con- tenente una collante arbitraria. Ehanque

•V = coft. -f- jZdx ; e però 7 = cof, a;- * - ' + x- * - ' /Z J.v

farà r integrale completo dell' equazione ( ^ ) fempre che fi verifichino le due equazioni

b(<p-{-i)(<p-\-i)—f((p-\-i)-}-/j = o IL Sì ordini l'equazione (R) [Art. preced.) in quefto modo, facendo M=:o, e moltiplicando tutto per ;>c*+' x-* +^(« + bX)ddv -^x'^ + '(e-zaì>-2a + (/- 2^4> - zb)X)dvdx

+ :vr*+'(<7((|)+i)((|)+2) — e((^-f 0+^ ,., >

-f (£- ((j,+ I ) (cp-h 2 )—/($+ I ) + /^)Z>^.v' = o sì che farà ella della forma ( ^) in ipotefi di M = o . Se dunque fi faccia e — za^p — ia-=^e' ^ f — ir^b — rbz=f' ^

<z((j)-j-i)((^-f 2) — e((^+i)4-^=^', ^(ct)+i)(c|) + 2)

— /(4)-f- I )-}->& = /&' , farà ella integrabile (A/, l) qual- volta fi verifichino le due equazioni

^(0)+ I }((r + 2 )—/'((()+ 1 ) + /&' = o e però negli fteffi cafi lo farà pure 1' equazione {§_) fuppo- fio M = o , indi {§. Vili) fuppoflo M funzione di a: . Ma

NEL Calcolo Integrale. 203

1)' ponendo —5-7-, in luogo di Z', 1' equazione

^4> + j ( ^ _|_ bX)ddv + X* + ' ( ^' -^jX)dvdx

+ :v* + ' ( <? ' + h'X)'vdx' = o

fi trasforma come prima in quefta

x'^ + '{a -:■ bX)ddv' ■>.- a;* ^' {e' - zap - za + (/- iZ'^- ib)X)dxdv'

+ (^(^4-i)(ct)4-2) — /' ( cf) -f I ) -[- /5' ) Z ) t;W;c' = o la quale, porto e' — lap — ■za = e", f — zb^ — zb:=:f'

è integrabile ognivolta che abbiano luogo le due equazioni

^((P+iK^ + O — ^"(<t>H-0+^" = o

b{<p~{-i){<p-\-z)—f{(p-\- i)-\-h"=o Dunque negli fteffi cafì lo farà pure 1' equazione {§i) ; e cos'i fucceffivamente . In confeguenza progredendo in quefto modo dopo m trasformazioni, lì conchiuderà, che l'equazio- ne {§1) è generalmente integrabile qualvolta fi verifichino le due equazioni

a{p-\-i){<p-\-z) — s^{<p-\-i)-\-g'^ = o

^((|)+ O (<?>+ 2 ) —/•(<^+ I )-{-/&"• = o Ed è ben facile cofa 1' ottenere le forme e™, /" , g"" -, h"" in ^ì f) ^1 ^ con le foRituzioni fucceflìve, efTendo generalmente e^" = e'"-' — zap—za, /"=/■"-' — zbp — zb

g' = a(<p-^i)(^-\~z)~e''-'(<t>-\-i)-\-g"'-',

6'" = b(<t>-j~i)(<pJi-z)—f"-'(<p-\~i)-{-ò'"-' III. Ma di nuovo a queffi infiniti cali d' integrabilità dell' equazione (^) altri infiniti polTono aggiugnerfi , come fi e fatto neir antecedente Propoiìzione , ricavando tre paja di equazioni dall' equazione (R) , e procedendo in modo a- nalogo a quello del §. XIX. Art. III. , cofa , cui m' aflengo dal fare, non implicando alcuna difficoltà.

Ce ij

204 Indagini

Scolio.

§. XXI. L' equazione (A) della Prop. IX. non è che un cafo ben particolare di quefta, com'è manifeflo, cioè quan- do Z = x", (pz=z — I. Ma lì può eiìendere il metodo , co- me ho accennato di fopra, ad una piì^i grande generalità cioè a tutti i gradi di quefta fpeciale natura di equazioni diffe- renziali .

PROPOSIZIONE XI.

f. XXII. Svolgere infiniti cafi d' integrabilità dell' equa- ■z.ione (A) (A) Mdx" = X'" + ' e a 4- bX jydx" + x'" + = ( e +eX)dydx" - '

4- x"" + ' (f 4- gX)ddydx"-' + x"" + * (h -f KXjd'ydx"-*

; _ 4-x'" + ^(l4-pX)dVdx"-* + ecc.

in cui M , X fono fu-nz.ioni ^/ x , a b e e ecc. m coflanti a

piacere .

Risoluzione.

J>i laccia 7= ,^^ ^ . Softituito quefto valore nell'equazio-

ne (^) prende ella la forma {A) (A')... Mdx" = (a-\- bDvdx"

+ ( e -}- eX) ( xdvdx" -' — ( w 4- I )vdx'' )

-{- (f-\~gX) (x^ddvdx" - ^ — z{nì-\-i )xdvdx'' - '

'\-{m-\-i){m~\-z )z'dx" )

+ ( /& 4- KX) ( x'd'vdx" -' — s(m-j-i )x'ddvdx" - ^

-j- 3(w + i) (m+i)xdvdx''-' -{m -:■ i) {m-.-i) (m-i-i)vdx''^

4- ( / -\-pX) ( x*d^vdx" - 4 — 4 ( w 4- I ) x'd'vdx" - '

4- 6( w -|- I ) ( W 4- 2 )x^ddvdx^ - '

— 4(^ + I )...(m + fjxdvdx""'' + (m + i),..{m + ^)vdx''^

NEL Calcolo Integrale. 205 ^ ( ^ _|_ r J) ( x'd'vdx"- - ' — 5 ( w 4- I ) xU*vdx' - -»

_|_ io(m^i){m-\-r)x'd'vdx"-'

— io{m-\-i ) .. .{m-\- ^ )x^ddvdx" - '

_|_ 5(^rt .. i)...(m -i- jf)xdvdx"-' — (m + i)...(m + 5)Z'^a:")

-\- ecc. Da querta equazione fé ne combinino tre nel feguente mocio (B)...Mdx"=zxdvdx''-' (j:—2f(m+ i) -h 3^(w + i) ( w+ J)

— 4/ (m i-i)(m+ 2) (w + 3) + 5(/ (w H- !)...(/« ^.- 4) - ecc. 4- (e - 2^(w + I ) + 3K(w -i- I ) (r/^ -:- 2) - jfp{m -;- i )...(/«+ 3) ~\-yr(n7+ i)...(w4-4)— ecc. )Z)

+ ;v'</</t;^;v"-'(/— 3/^(^4- i)4-6/(w4-i)(^ + 2)

— I o<7 ( w 4- I ) • • • ( w + 3 ) + ecc. + ( ^ — 3^M ''^ + O

'^6p(m+ i)(m + 2)— ior(m+ i)...(m+ 3J4-ecc.)X)

+ x'd'vd>f-'{h - 4l(m 4- i) + io^(^« 4- i) (w 4- 2) - ecc.

-{- (^ K — ^p ( m +■ i ) + lor (m + 1) (m + z) — ecc. )X)

-{- ecc. (C) . . . <<! — {m-Jr i)c 4- (w + i)(rn + 2)/- (w -:- i) (m + 2) (?w + 3)6

-{-(m+i )... (/w 4- 4)/ — (w 4- I )-(w + 5)? + ecc. = o

(C)...b — (m + i)(f 4- (w -:- i) (w + 2;^ - (m ■{- i) (w + 2) (w + 3)K

-}- (m + 1) .... (m + ^)p — (m + i)....(m + ^)r + ecc. = o E' certo che avendo luogo le equazioni ( C ) , 1' integra- zione dell'equazione (A) dipende dall' integrazione dell' equa- zione (5), cioè dell'equazione (B') (B)... Mdx" - ' = xv'dx" - ' ( e — 2f(rrì-{-i)-\- ecc. )

-\-x'dv'dx"-'(^f—3Ò(m-^ i) + ecc. )

+ x'ddv'dx'-' ( /è — 4/(w -|- I ) + ecc.) + ecc. in cui C\ trasforma 1' equazione ( B ) , polio dv = vdx , e che è inferiore di un' unità all'equazione (A), cioè del gra- do m — I .

uj

20(5 Indagini

Di nuovo l'equazione (B') con la fofl:ituzione u' =. — fi

X

cangia in quefi-a

(B"; . . . Mdx" - ' = v"dx"-' [e - 2/(OT -f I ) + 3/, (m 4- I) (w + 2 )

— 4/( w-j- i). .,(?«+ 3)4. 5^y(?w+ i)... (m + 4)— ecc. -}-((?- 2^(w -f i) A- iKim V i) (;« +2) ~4/'(w -:- i)...(w + 3)

+ jr (W4- i) . . . (W4- 4) — ecc. ) J)4- (/- 3/j (w 4- i) -]- 6/(m 4- 1 ) (m 4- 2) — I Qq{m 4- 1) (w + 2 ) (m + 3) 4- ecc. -f(c? — 3K(w-f- I )4.6/'(?M-f- I )( w-}- 2 )

— I Oriana 4- i)...(w 4-3)4- ecc.) j) {xdv"dx''-^ - v'dx"-') 1 -' ~^i^ — --^l (m^ i )~^ loq (m~{-i)(m-\-2) — ecc.

'- • +(K — ^p(m~\~i)-\~ior(m-\-i)(m+2) — (icc.')Xy

- (^x'ddv"dx"-' — 2xdv"dx'"-'^2v"dx''~^y

H~ecc. dalla quale combinandone fimilmente tre, come fegue, ÌB'') . . . Mdx"-' = xdv'dx"-' (/- 3-5(w 4- 1) 4- 6l(m + i) (m j- 2).

— I o^ (w 4- 1 ) . . . (/J2 4- 3} 4- ecc. — 2/^ 4- 2 . 4/ (m 4- I )

— z.ioq{m-\-i ) {ni -\- 1) -\- Qcc.-\- {g — 3K(w-|- i > -]- 6;'(;'>2 -[- i) (;w _^ 2) — 1 0(7(w -[- I ) . . . (w 4- 3) + ecc.

— 2K4- 2.:ifp{m-\- i)~z.\or{m-\- \){rn-\- 2)4-ecc.)Z)'

4" x^ddv"dx''-^ {h — 4/(/w + 1 ) + I o^(;w + i ) (?w + 2) - ecc.

•\-{K — ^p(m-\- i)-j- ioY{m-{- i)i>n-\- 2) — ecc.)j}

4- ecc. ( C ) . . . £•_ 2/(?w 4- i) 4- 3^5 (w 4- i) (w 4- i) — 4/('^ 4- i)...(w + 3)

+ 5'7(^+ i)..'.(?«4-4)— ecc.— /+3/^(m4- i)

• — 6l(m~\- i)(m-^i)-\- ioq(m'}- i).,.(/»-{-3) — Qcc^

+ 2/^—2.4/(^4- I )4-2.io(7(w4- I )(W4- 2) -ecc. =0

(C') ...£■- 2^(w + i) + ^K(m + 1) (w + 2) - 4/'(m + i) (w + 2) (mi^)

NEL Calcolo Integrale. toj

vf 5r(w-j- I )....(w-j-4) — ecc.— ^-1- iK{m^ i )

— 6p{m-^ i){m-\- 2)-]- \oq(m-^ i)... {m-\~^) — ecc.

-\-zK — 2 .4/^(/»-|~ O-j- ior(w-l- i) (?«4-2) — ecc. = 3 fi può tornar a conchiudere , che ognora che 11 verifichino le relazioni (C), (C), la nfoluzione dell'equazione [A) di- penderà da quella dell' equazione {B"). Ma continuando li- mili trasformazioni , mentre il numero delle relazioni com- binate tra coefficienti crefce , l'equazione da cui dipende luc- celllvamente 1' integrazione dell' equazione {A) va digradan- do , dimodoché dopo n — i trasformazioni V equazione ulti- ma (B^) e di primo grado che iì fa integrare generalmente. Dunque l'equazione {A) e generalmente integrabile ogno- ra che li verifichino n-^i equazioni di relazioni combina-

te (C), (C), (C) (o-n-

II. Ma di nuovo lì polFono moltiplicare i cafi d' integra- bilità dell'equazione {A) all'infinito. Imperciocché vi fi fac- cia M=o ; r equazione (A) {Art. preced.) in queflo cafo, edendo ordinata e moltiplicata per x'"+*, prende la fteffa for- ma di (^) , cioè o = ;if"'+ "(j— (;w4- i)c-\.(rn-\- i)(m+z)f—(m+ i),..(m+sì^

-\-(m~\- i)...(w + 4)/ — (w-f-i )...(?« -j- 5)'?+ ecc.

-j-(b-(m-\-i)e-\'(m-{-i)(m+z)^-(m + i)...(m + s)K 4-(»'-f- i)...(m -{- ^}p — (m -{- i)...(m--\- ^y+ecc.^Xyz'dx"

— 4^(w+ 0...(w+3)-f5^(w-|-i)...(/w + 4) — ecc. 4- (^ — 2^(/^2 + I ) -f 3 K(m 4- I ) («2 + 2) - 4p(m + i)...{m +3) ~\-^r{m-^i )... (W-I-4) — zcc.^X)dvdx''-'

+ .v'" + ' (/— 3^ ( w -|- I ) + 6/( w+ I )( w-1- 2 )

— io^(w-j-i)...(w-|-3)-|- ecc. -|-(^ — 3K(w-f- 1 ) -\- 6p {'/n ■\- 1 ) {m -\- i) — io>-(m-f- 1 ). .. (w-j- 3 )

4- ecc. ) X )ddz'dx'' - ' -j~ ecc. cioè la forma (A")

2o8 Indagini

( ^" ) . . . o = :v'" + • («' 4- b'X)vdx'' + x" + ' (f ' 4- c'X)dvdx "-'

-^x'"+' (f^S'Xydvdx" - ' + ecc. porto a' = a — (n? -{■ i)c ■;- (m ^- i) ( m -i- 2 )/— (m <■ i) ... (m + ^)i -j- ecc.

i''=-^ — (w+ 0^ + ("^-i- 0(w-:- ^)<? — (w+ 0- • -(w + 3 )K + ecc. e' = e — if (m + 1) + ^ò (m -ì- i) (w -.■ z) ~ ^l (m -^r i)...(m + 3) + ecc.

e' = e-- ig{m + i) + iKipi -f i) (/w + 2) — 4/7(/k + i)...(w + 3) + ecc. ecc.

• v' Similmente l'equazione {A') con la foftituzione x;=— — -^

fi trasforma nell' equazione {A")

{É") . . . o = ^v" + ■ ( «" + h'X )v'dx" -^x'"+^ (e" + e"X)dv'dx'' - '

^- ;t"- + ' (/'~f ^"i:y^z;^^;c" - ' -}- ecc. facendo a' = rt' — (:?>2 + i) e' -:- (w -:- i) (m + i)f'—(m + i)...(m + 3) -^' + ecc.

b"=^b' — (jn^ i)e' ^[ni + i)(m -i- i)g' — (m ■!- i)...(m + 3)K' -i-ecc.

e" =3 e'— zf(m + i) -:- 3^'(w + i) (m + 2) - 4/'(/'« + i)...(w + 3) + ecc.

v" e quefta, con la foftituzione z>' = ,„ , , , nell'equazione (^"")

(A'") ...o=x"' + ' («'" + b"'X)v"dx'' 4- .v'"+' (e' ' + e"'X)^z;'Wx"-'

-^x'" + ' (/" +^"'Z )ddv"dx' - ' 4- ecc. facendo a"'=:a'' — (m + i)c" + (m + i) (w + i)f"—(m + i)...(m -:- 3)^'' + ecc.

b'" z=b" — (m^i )e" + (/« + I ) (w + z)g" — (m+i )...(m + 3 )K" + ecc. ecc. e COSI all' infinito.

Se dunque 1' equazione (A) s' integra generalmente per r Articolo preced. ognora che abbia luogo il fiftema di re- lazioni tra' coefficienti (C), (C), (C"""), per la fief-

fa ragione potrà generalmente integrarfi 1' equazione (A") , fempre che il verifichi il feguente fiftema di relazioni

(CC)...a'—(7}7-^i)c'-f(m-j-i)(mJ\-z)f' ' '

— (w-}- I ).. .( w-j-sJ-^' + ecc. = o

(CC)

NEL Calcolo Integrale. 209

— (w4-i)...(w-f-3)K'-|- ecc. =; o

— 4/(w-j-i)...(?w-|~3) + ^^c. = o (CC)...e' — 2i'(m-\^i)~^3K(n2-\-i)(m-^i)

— 4/'(^+i)---(^-h3)-i~ ^cc. = o ecc.

Nello ftefTo modo fi può conchiudere , che l' equazione (A'") potrà integrarfi qualvolta abbia luogo il feguente fiftema di relazioni (CCC)....a" — (m-\-i)c"^(m-\-i)(mJr^)r

— {m-\-i)...(m-\-i )h" -{- ecc. = o

(CCC)....^'" — (W+I>" + (W+0(/K+2)^"

— ( w4- I ) . . . (;>2-f- 3 )K" + ecc. = 0

( CCC ) .... e" - 2/"(w +1)4- ih"{m -^i){m-\~z)- ecc. = q

( CCC )....e'- 2£"(m + I) + sK'Cm 4- 1) (w + 2) - ecc. = o

ecc. E COSI fuccefTivamente per tutte le altre trasformate (A'"), (A") ecc. all' infinito.

Dunque in tutti quelli infiniti fiftemi di relazione tra' coef- ficienti farà fempre integrabile 1' equazione generale Mdx" = ;v'" + • (tf 4- hX )ydx" 4- :v» + ' (e + f Z )djdx' " »

_}_ :c"' + ' (/-}- gX ydjdx" - ' 4- ecc. in fuppofizione di M-=o . Ma efiendolo in quefVa fuppofi- zione, lo farà pure in quella di M funiione di x qualunque (§. Vili). Il che ecc.

To?no IL Dd

i IO

DELLE VTiOGTiESSIOKI I(ECIP7(OCHE

DELLE POTENZE AFFETTE Del Sig. Cavaliere Lorcna.

■*&•

E

Tanto impenetrabile il valore delle progreffioni recipro- che di quella forma

III I

.^::FrT-,.+ :;TT7Tecc.

che r illufl-re Eulero non dubitò di dire nel VI. Voi. de' pri- mi Com. di Pietrob. pag. 97 „ ^iuamvis Vere h(£c methodus tana late pateat , tamen innumere occurrere poffimt progrepones per eam non fummahiks , quarum quidem vd nullo alio modo Jumma ajfignari pojfunt ^ ut hujus , . . , --

II I ' ' "

iH 1- ecc , che è pur un cafo partico-

37 1"— I ^ ^

lare e fempliciflimo della forma precedente . In fatti non fap- piamo finora né trattarle , ne efprimerle per alcun modo . Vo' credere pertanto non difcaro a' Geometri il veder fatto un primo paflb in queflo gineprajo , e fuggettata la fomma di quefla, e d' infinite altre progreflioni di tal indole ad una qualche efprefTione finita. Non è facile per verità V avvifar- II5 che il maneggio di loro i\ riduce al far paflaggio da quan- tità efponenziali reali a' feni e cofeni d' archi immaginar; , fé un' occafione propizia non concorra a mofìrarcelo a dito . E tanto pili che non è in ufo quefto paflaggio come l' altro comune e trito dalle quantità efponenziali immaginarie a' fe- ni e cofeni d' archi reali . Ma reflava ancora un nodo aliai più difficile da fciorfi, dovendo l'analifia rintracciare un me- todo in appreilo , onde fommare le ferie reciproche de' feni e cofeni , che mancava totalmente . Cos\ folTe tra' vivi quel gran Maefiro, cui le Scienze Matematiche , 1' Analili più fi- na e complicata, e il più de' Geometri viventi d' ogni Na- zione debbono i lumi piìi preziofi , 1' avanzamento attuale,

Delle progressioni Reciproche ecc. zìi

e iiiiiumerabili aperture a' nuovi progrefll , come fon certo, che avrebbe onorato queft' indagine di qualche attenzione.

S. l.

Sia la ferie (//)

A A A A

^^^ K-i^iC'-i"'"K'-i K--1

in cui A e una quantità invariabile qualunque , K una quan- tità qualunque maggiore dell' unità, e x l'efponente de' ter- mini . Ellcndo arbitraria la bafe de' logaritmi , farà lecito il prendere per bafe logaritmica la grandezza K , che che ella fiali , e farà fempre /. i = o , /. K = i , l.K^ = z ecc. e farà facile il palfaggio dal fìftema de' logaritmi con la bafe K al fiilema comune delle Tavole. In confeguenza , fé lìa ir la fe- micirconferenza di un cerchio che ha 1' unità per raggio , e

la lettera w rapprefenti la quantità immaginaria y • — ^ i , fa- rà pe' noti Canoni - -- r.

fen. wtt = ( K""" — K- '"'" ) : 2 w , cof wtt = - ( K.""" + K"'"™ ) ; e pollo nnr=: -, rapprefentando x una grandezza reale; farà

Cd

2ct) fen. ;\r : w = K" — K~ " , 2 cof a; : w = K" + K"" , si che ove jielle precedenti formule fi efprimono per quantità eiponen- ziali immaginarie feni e cofeni d' archi reali , in quefie fono efprefli feni e cofeni d' archi immaginar] per quantità efpo- nenziali reali . Ciò premelìb li faccia paflaggio dalle dirette alle efprelfioni reciproche, e farà

I I 1 I I

z'fen.;c:w~K"-K-^~iC^^'' 2 cof x: »"" K"+ i'

^" K^^i=IW^::T)W:^y ^""^"' ^^oK^fen.;.:.

— ' ^"^^ ' ^ <r ^^ '

— r^ ; -- , . = , e pero eiiendo

il termine generale di una ferie , farà quella ferie uguale a quella , che ha x per termine generale , fa-

20 K" fen.AT

Dd ij

212 Delle progressioni

cencio che K rapprefenti la bafe logaritmica . Se dunque il lìmbolo S . T efprimu la fomma della ferie , di cui T è il ter- mine generale ; farà generalmente

'K''±i ' ^ccK" ^kn.x-.ù)' 'K.^x-i'^' ' iwkn.x'.oi' 'Ei^x^i 'zcoLxio)

§. IL Ed ecco intanto la fomma della ferie del Sig. Eulero

I

4-i4.:4_^,

3 7 15 ^ -I

felicemente ridotta alla fomma d' una ferie , che ha per ter-

, 2-+1 I mme generale -— - V p , effendo il 2 la bafe de' lo-

garitmi .

Accignamoci ora a determinare la fomma in gener* delle ferie aventi s\ fatte efpreffioni per termine generale . E' noto che le ferie reciproche de' feni , e cofeni ecc. d' archi pro- cedenti in arimmetica progrefTione non erano fiate tocche da alcuno , e molto meno nel cafo , che involgeflero , come qui accade , moltiplicatori efponenziali . Il primo cimento in que- fì-a materia è quello, che ho fatto pubblico nel I. Voi. del- la Società Italiana nella DiiTertazione intorno alle ferie al Cap. X. pag. 368 , avendo ivi ridotto tali fomme alle leggi del Calcolo Integrale . A quel metodo pertanto foggetteremo anche quefte piìi difficili, ed altre analoghe cosi, facendo ve- dere come da quelle efpreflioni integrali lì paffi non difficil- mente a quantità fviluppate , e finite . Si riprenda da quel luogo la formula

»

Recivroche ecc. 2 1 3

da integrali! da x=o fino a 2.= i , in cui tt è la femicircon- fercnza di un cerchio, che ha 1' unità per raggio . Facendo n=i, mT:-=.x\(à , come nel I. J. , e pofto w7r=:<i per fcm- plicità, fi avrà generalmente

A Z'z," ^ " 4- z.' - " ' àz. A

f/-

I 4-z. 2, len. x: a> In confeguenza ( §. 1.)

A nz^'-YZ?-"-' dz A rz," = * + z.' " " '- ^

2^7 i+z, ' z, laK'J i+z '2,

laj I + z. ' 2: "*" 2<s(y I 4- z, z, 2^KV 1+2. z.

-t / = , pofta K qualunque la baie

de' logaritmi . Ora il richiami il metodo noftro di fommare le ferie citato qui fopra , e però (ì moltiplichi , e lì divida il primo termine per i— z"'", il fecondo per i—zr'" (ot- to il fegno integrale. Sarà

A r zT" dz. A r 2," = " + ■ ^ ' dz.

^ '"'TaJ (i - z.'^') (i -i-z.)' ^ ~ TaJ (i-z'^')(i +z)'"z la forma differenziale del primo ; e la forma differenziale del fecondo farà

^ ^"' ^a) {i-zr'-^){^<.z.)^ T^J (i-zr'-')(i^z)' z. '

Similmente fi moltiplichi , e fi divida il terzo termine per

I "- , il quarto per i ■ — fotto il fegno integrale ;

fi avrà per forma differenziale del terzo la feguente efpref- fione

(S) , ^ r ^"^ ^^

^ ^" 2.?KV (I— z^'-rKìCi+z)* z

A r 2,''-'' + '--' dz

r zr-''

~J (i—z.'-:.

zaK'-^'J (i—z.'-^:K)(i+z) z e la feguente

Dd iij

ROGRESSIONI

z.' -''■'' dz.

dz.

-zr'-':K){i+7iy z. per forma differenziale del quarto. Si faccia x = i ne' primi termini de' primi binarj (^) ( R ) , e riducendo farà i' efpref- fione {D )

A r(z.'^'' + z,'-'-')(i-z.''^') dz

laj (i_z,-^'')(i 4-x) ' z.

Ja fomma generale della ferie avente per termine generale il primo termine della formula (P) . Operando lìmilmente fo- pra i fecondi binarj {S) . (T) , il troverà eflère 1' efprefiio- ne ridotta (E)

A_r( ■2.'-' jK' — z."-') z.'-''-''{K''z.''-'—\)^dz.

^ zaK"] ^ (K- z.''') (I +zj_'^(Kz'--''-i)(i+z) ^'z^'" ^ ' la fomma generale della ferie avente per termine generale il fecondo termine della formula (P). Dunque col mezzo del- le due efpreffioni (D), (E) nel cafo di z.= i dopo l'inte- grazione lì otterrà la fomma generale della ferie di cui e ter-

mine generale -;; ; e porto poi x=co fi avrà la fomma

della ferie all' infinito, eh' è il cafo in quiftione.

. Ora eilendo <? = «t = 7ry — i , e x:a=:x:-!T\/ — i lo

— x\/ I

fleffo che ^ , la formula (D) diverrà

J.lil;

A n{z'--' - ' -\- --•") ( I — 2."^-') dz

A p

zaj

e nel cafo contemplato di .r=oo , effendo z prima dell'in- tegrazione minore dell' unità , tanto z," " quanto z,"-'" farà fotto il fegno quantità infinitamente piccola , e però per le ferie all'infinito 1' efprefTione (D) prenderà la forma

— / (M)

2aJ (i — 2:'^") ri -1-2,) ^ ^

Nello fteflb modo pro\-eremo , che I' efpreffione (E) diverrà

hi'i

RECipr^ocifs ecc. 21 j

Ar x-Vx Ar dj.

2"7J (x-x'--j(i

nel cafo di xz=cc

fi. IV.

Il paffo fatto è quello pertanto di eflere da neffuna imma- ginabile efpreffione finita pervenuti a trovarne una per que- lla forta di progreffioni , che può almeno coftruirfi e ridurli a rettificazione , o quadratura finita di qualche curva , fé fi voleffe , elFendo flranifiìma pretefa il volere, che tutto fi ab- bia a ridurre a funzioni d' archi o d' iperbole comuni, qua- fi tutte le trafcendenze dovefl'ero edere di una fola naturavi Se folfe lecito il trafcurare un refiduo finito nelle divifioni fpinte all' infinito, le formule trovate potrebbero trasformar- fi in funzioni trafcendenti familiari in quello modo . Si fac- cia z'--'=/, e farà

/2,'-''~'dfx r ady r ady

(i-x'-'-jcn-x) '"J (i-7)(i+/-) ~'J I +r -y -r +'

Ma la frazione

\ L 4_ - ^ *_ 4_ Jl e e

y" + ' — y -f- r" -4- I «'»+»"'"*=«+» i/3« +' "■ 1/4*+" ""'

non computando 1' ultimo refiduo - che rifulta inoltrando

all' infinito la divifione . Moltiplicando dunque per adjf , e integrando fi avrà

y—S j,— " y—ì' y-4*

— ■ 1 \- ecc. : foftituendo il valore di y

i ^ ' 3 4

in z. , e ponendo z.z=z i , perchè mefib 2:= o , tutto f\ani- fce , fi avrà (fx) pel valore della formula (D ) nel cafo di x=cr, , e di x=i dopo 1' integrazione, cioè della formu- la (M)

_(i ecc.) (fx) 'I

ii6 Delle progressioni

Ma K e h baie, che abbiamo aiFunto pe' logaritmi iperboli- ci ; ed è noto, che prendendo nelle tavole ordinarie il lo- garitmo iperbolico L di qualunque quantità X, e il logarit- mo pure d' altra quantità quallìvoglia w, fé 11 divida il l.m per L, il quoziente è il logaritmo iperbolico della quantità m con la bafe K . ElTendo dunque

III

t.i=z i -j- ecc. con la bafe ez: 2.718281828459 ecc.

234

/.2 /.2

c L=^l.K con la fleffa bafe e . farà ^^=- — il logaritmo

L l.K

del numero 2 con la bafe K , cioè il valore della ferie nel

.^ A 1.2 Al.2 ., ,

cafo nofrro . E perciò ,^ . — = ==: — farebbe il valo-

l.K 27rv/-i/.-K re per approffimazione dell^efpreflìone integrale (M), eflendo TT la fcmicirconferenza d' un cerchio avente 1' unità per rag- gio. Paffiamo ora dagli efponenti immaginar] agli archi rea- li, e però effendo K la bafe de' logaritmi iperbolici , farà

ZTT]/ — i l.K

K =cof. T-Kl.KJ^-y — I fen. zirl.K

=:(cof. 7r/.X-(-y/ — i fen. tt/.X )" , e però facendo ripaflTaggio ai numeri , farà

■ 27r\/ — i/.Z=2/. (cof. 7r/.X-|-y/ -^fen.Tr/. X) Ma queflo logaritmo iperbolico è con la bafe K ; dunque di- videndolo per \.K riferito alla bafe comune e , li avrà final- mente pel valore dell' efprellìone (D) ne' cali contemplati di Rr = co ,e diz,= i, dopo I' integrazione, la formula (Z)')

(Z)').... AL2LK_ ,

2/. ( cof. Ttl.K 4- y — I fen. irl.K) in cui X è il numero affoluto qualunque delle nofire ferie maggiore dell' unità , e i logaritmi fono tutti gli ordinar; iperbolici riferiti alla bafe e.

Ma procedendo con un fìmile metodo integreremo per ap- profTimazione la formula ( N ) in quefta guilà , trafcurando r ultimo refiduo giunta la divifione all' infinito . Si faccia, come prima, z' ■"=_;' nel primo membro, e fi avrà

Reciproche qcc. 217

—z=,7 ^ hr-T — ■ — 77 — + ecc. ali in-

Kz-' + K -/-/"+' Ky' K/'^^K^^* K/*'

finito. Moltiplicando dunque per ady , integrando, foftituen-

do il valore per / in 2. , e ponendo 2,= i , farà in quello

cafo

/■z^'-'dz. __<2 , I 1 I

4- ecc. ') . Similmente efiendo pel fecondo membro

■4a

I I 1 . I

1 -

ecc.

air infinito , farà moltiplicando per dz. , e integrando da 2: = o [ino a 2:= I

-7T = ( \- ecc.);

(Kz.'''-i)(i..2:) K^KW+« i-;-2«^1v3« ^

dunque / ( -— — J uguaghe-

rà nel cafo di 2, = i dopo I' integrazione

K K^i—a^^i+a i — ia 1 + 25 1—3^ -r + ecc. ; = (

Si ricorra pertanto al metodo noflro di fommare le ferie ( Mem. della Soc. Italiana Voi. I. Probi. XI. ) , e fi tragga pel cafo di due fattori al denominatore 1' integrale per la fomma generale di quefta ferie a fegni alternativi

Tomo IL E e

ii8 Delle progressioni il quale per la fomma all' infinito, effendo fpezzato e ridot- to, fi trasforma in quello

,V rrT.) I + 2.

nq( )

^q n '

da integrarli da z, = o fino a z. = i .

Ora nel cafo noftro , eflTendo nel termine generale I I

(m + nx) (p -]- qx) (i — ax)(i +ax) ^ —r— s — >

q = a , r integrale diverrà / . Ma queft*

^ zaj i+z, ^

integrale nafce dalla differenza de' due feguenti integrali

H / / ; ed e

zaj 1+2- ^aJ I +Z.

— = / ■z?-*-^dz.=:az., z=za, pofto z= i ,

e in fimil cafo di x= i dopo 1' integrazione

\z?-'-^-\-zr^-'')dz. IT y"y ,,

/^

+ z. fen. Tt:a

(Com. nuovi di S. Fietrob. Voi. XIX. pag, 32.). Dunque

1 integrale noftro-

I rjzr^'' —'t}-'')dz, _ -K I

za] i+z ~ 2rffen.7r:« 2 '

In confeguenza quello farà pure il valore della noftra ferie

^-j-ecc.

{\—a){\-\-a) (i — 2<?;(i 4-2</; * (I— ^x)(i +<J'^)

e perciò .;. -^ ■ ;; - : 'i ' (»-.'. ■

fl 2(7 1 T N

( ; 4- ecc. )

K^X '^2^fen.7r:^^2^ J ^(X-z"^^) (1 +2:)

Reciproche ecc. 219 j_ . ), porto x= I dopo r integrazione.

Ma moltiplicando per ± — queft' efpreffione integrale , fi ha

r efpreflione fuperiore (N) , cioè 1' efpreffione (E) nel ca- fo di x^=^^ . Dunque il valore di quell' efpreflione nel ca- fo di x=co , e di 2,= I dopo 1' integrazione farà

2«V -K x^2rtfen.7r:^ 2^/ 2aJCfen.7r:« e porto per a il fuo valore -nXl — i fi avrà A

2^^ — I fen.Tr: y — r

Ma è -K la bafe de' logaritmi per fuppofizione ; dunque panando dagli archi immaginari alle quantità efponenziali rea- li , come nel principio di quefto $. , farà

^ Ak A ^ -_ = T =^ . . . -{E)

e perciò per un' approflimazione farà : . ■ ' ' "' _.' ; '

(i)';^(E')=j'.— — $. V.

Ma contentandoci della riduzione fcoperta al §. III. , e ri- pigliando le fomrae efatte , farà (M)-|-(^) '^ fomma del- la ferie

A . A A , A

H 1- ecc.

K- — I ' X' — i * K' — I ' K" — I

e {D)~\-{E) la fomma generale; sì che porto ^=1, X=2, fi avrà torto la fomma della ferie del Sig. Eulero , e (M) — (N) la fomma della ferie

A , _A A A

K-\- 1 "^ X' 4- 1 "'"^ X' 4- 1 "^ ^^"^ x^+i

e (D) — {E) la fomma generale . Parimenti fommando , e riducendo farà (M) la fomma della ferie

E e jj

220 Delle progressioni

AK , AK' . AK' , AK"

K" — I K* — I ' -K* — I ' K'"— I

e (D) la fomma generale.

E perchè — ; — = — , farà (N) la fom-

^ K"— I ^"+1 K"— I

ma della ferie

A A A A

K'— i^K^— i"''zC — i~^ ^*^^ K"— I

ed (E) la fomma generale. .. , . ,

T-./Y- 1 .A AK." " A

Eflendo poi ~ [-A = :rj , e A — ^^ — i —

AK." ■=■ T7 — j — 5 fi avrà 1' aggregato {T))'\-{E)-\~Ax per fom- Jv" — J— I

ma generale della ferie

AK AK^ AK' - AK^

e l'aggregato Ax — (D) + (£) farà la fomma generale del- la ferie

AK^ AK' AK' AK"

K4-iT-K'+i"T"K^4r7+ ^"^ K^TjTi

In confeguenza Ax~\-(E) farà la fomma generale della ferie

AK' AK' AK' AK'"

K' — i'^K' — i'^KF^^'^^^'^ K"-i

^•^"- . . - wr

Di nuovo efTendo • - i ^^''

r ^(P — X) .TTX

fen. cof. —

zp zp , ,;. ,

fé fi faccia 2/» = ttu = a (§. III. ) , farà

Reciproche ecc. 22 1 I I

fen. ( jc ) : «

COf. X'M

Dunque S. ^=S. -7 , e però moltiplican-

^ rt N col. X-.où

fen. ^ x):w

^ 2 '

do i membri per — farà parimenti

20)

A X , A

J*^ ZI =: - J^.

w? w 2 cof. ;v:a)

zufen. (- — ;>c) : w ,

Ora effendo T efpreffione (D) ($.V. ) la fomma generale del-

, AK" A la ferie , che ha per termme generale -7— = — j

($. I. ), fé fi metta in (D) x in luogo di x si che {D)

z

diventi {D)^ farà

.^ r, A \ ^ A

' a ^. w 2 cof. x:w

loù fen. ( x y.où '■■'.'■

I /JK"

fomma generale della ferie AK AK'_ AK^ AK''^

porta K qualunque la bafe de' logaritmi iperbolici.

§. Vili.

Quindi pofTiamo ricavare il modo di ridurre a legge le fom- me cfi altre innumerabili ferie , che non erano fiate fogget- tate a verun calcolo per 1' innanzi . Potremo pertanto fom- mare la ferie

E e iij

222 Delle PRooREssiONf

in quefto modo, qualunque cofa fieno A e K, purché K ila maggiore dell' unità.

T-, j, , fen. x:où

£-llendo -— — - = tang. x-.u fi fortituifcano pel feno , e co-

feno i valori corrifpondenti efponenziali , pofta K la bafe de' logaritmi iperbolici, e farà

Ma la fomma della ferie

tang. I :w -j_ tang. 2:m -f- tang. y.oo tang. x:co

aj (1 — 21) (1 — zJ-") "

(Mem. della Soc. Italiana pag. 300.) pofla ^=i:«; e fé nel- le due efpreflioni (D), (E) del §. III. iì metta 2X in luogo di .-V, sì che (I)) diventi (D"), (£) di\enti (£";, fi trova:

effere {D") — {E")=^AS. V- • Dunque elTendo

K""' -j- I

tóJ. tang. x-M = J. ; S. , farà-

K" + I K"'' + 1

Ma fi è trovato (5. VI.) Ax — (D)'^(E)=^S. ^^^

dunque mettendo, come qui innanzi, zx in luogo di x, fa- rà parimenti 2Ax—(D'' )-{- (E' ) = S. , '^- =^«(F)

-j-CD") — (E"), e però avrà luogo nel cafo di z=:i dopo. 1' integrazione V equazione feguente

2Ax — Acc{F) — 2(D")-\~2(E")z=zo .. ..j..

Similmente fommeremo la ferie , ■ ii**

AK' AK' AK' AK

ì»

giacché il termine generale iì rifolve ne' due termini gene- rali particolari

Reciproche ecc. 22 j AK" , AK"

(§. VII.) . Nello ftefTo modo confeguiremo la fomma della ìerie AK AK' AK' AK"

K^— i + K« — i"^K"— i" K*" — I

rifolvendofi il termine generale di lei ne' due termini AK" AK"

§. IX.

Ma veggiamo di fpignere più oltre la generalità per altra ria, lenza farlo a parte a parte combinando le efpreirioni ri- trovate . Il faremo fopra alcune forme principali , e refterà cos\ fatta ftrada a chi voleffe iipplicare il metodo a cali par- ticolari fecondo 1' occorrenza. Si ripigli perciò la formula

i;^à7^. = K^ ($• I-) , e porto ;. + ^:. in luogo di X, affinchè gli efponenti poflano procedere in qualunque pro- greffione aritmetica , dando i valori convenienti a /^ , e ^ , ìommeremo generalmente le ferie

Akp + ^ AK'' + '^ AKf + 'i"

x^p + 5) I "i" X' '^f + '^^ — I ^ ^^^ x^TF+i»mr7

Si ricorra dunque alla noftra Memoria nel I. Voi. della So- cietà pag. ^69 ; ed effendoli ivi determinata la fomma della

ferie avente per termine generale ; , vi Ci met-

1

ta - in luogo di <7 , e fi moltiplichi 1' efpreffione per A , Q

la fi divida per ik; farà

r A ^ AKf-^'i"

= S.-

2w fen. (p + qx) : &) ' K^^f + 9"; — i

224 Delle progressioni

~ — — (oc/

=4/

Di nuovo eflèndo (§. I. )

(I— 2.^;(l -1-2.™) Z.

I K"

2 cof. x:w X'" 4- I I rz" " ( I - z'") (21-?-?" 4- z? + ^) i/z _

cof. 0 + ^x)a ^y (i-z.'jCi+z,"^'')

per femplicità di calcolo ( ivi pag. 370 ) , fi metta - in

(m)

luogo di a neir efpreffione (R) sì che diventi (R')ip-{-qx

I K"

in luogo di X nell' efpreffionc ;: •= — , farà

° ^ z cof. x:co X" + 1

A A ARf + 'i"

z=-(K') = S. ; , eh' è la fom-

' ZC0L{p + qx):<^ 2 iC*U> + 3''>4-i

ma delle ferie . ■ - ; .."

AK^ + t , AKf^"' , ^i<:''+?'' u U- ecc ;

5. X.

Inoltre fommeremo con pari generalità le ferie aventi per termini generali le efpreffioni

j^^ cp + 9") _ I K' '-^ + 5*^ 4- 1

j^^ (? + 1") _j. 1 ' j;^' (p + f") _ I

fen. .r:« i i

Imperciocché eflèndo — ; = tang. x-m = -— : ; ,

: ... cof ;c:w col. x:w icn.x-M

I I

farà

cof {p + qx) : o) 20 fen. (f + ^^v) : m

^f + ,» ^p + j" 2<;'Cp+?'<)_i

= « tang. (/^ + ^a;) : « ;= ^..p+^x)^, ' X'Cp+9=<) _ i " K'(f+3'<^ + 1 Ma ripigliando la fomma della ferie tang. (f-j-^^v)^ deter-

minata

Reciproche ecc. 225 minata nelle Mem. fopraccitate alla pag. 3683 e ponendo -

ili

in luogo di a farà

Aù)^ I ; : . —

J (i— z,'')(i— z,'"^'-) Z,

la fomma della ferie

AK'^f + 'i^-A , AK'^f+'^^-A , AK^^P + ^'^-A

jK;» cp + 9) ^ j 1 _K= ^P + '«^ + I K^ ^f + ««J + I

Similmente elfendo

l^p + ì" j[(;p + 9" I I

^^ ip+ì") _ I ■ K' <^P + ^"^ -i- I 2« fen- (P + ^x):(o' 1 cof. (p + qx): &»

= ^, fé nell' efpreffione della fomma di

w tang. (/> 4- ^x) : <a .-.1

(ivi pag. 371) fi metta - in luosro di a, farà

ung.(p + qx)a ^ ^ o 5/ ^ ^ °

/(i—z.i'')(z.P-*-^--z.'"-P-'''') dz. . — nel cafo di z,= i dopo (I — z.?)(i — z"") 2:

r integrazione la fomma generale della ferie

AK'^f + i^ + A , AK' ^f -^ '^^ + A , AK'^^ + ^''^+A

l^^ (.f + 3) — i '^ X_^ (p + ^ì) -^ i ^^ j^-' (.p + ì") — i

Di nuovo poiché -^^^-,--^^4- ^ ^^^.,,, ,,,^ ^^

= r , farà manifeftamente - (^)~\ — (R') la

2^4 cp + 9") — I ' 2 ' 4 ^ '

fomma della ferie

K*^+^5^^^ """ K;"^? + ^9) _ I *+" ^^^ • • • 2<;4Cp + ?")_!

^ A

Nello fteflb modo fi troverà eflere - f^)' (R') la fom-

2 4

ma generale della ferie

AKf + ^ AKT+'i AK^ + i"

fC-tcp + ì)—i 1 2i^4(p + '?) _ I I ^^*^ j^4Cf + 9»; _ £ '

Tcwo //. Ff

ZIO Delle progressioni

$. XI.

Veduto di una natura di potenze reciproche affètte , refta che lì iaccia per occalìone parola di un altro genere di li- mili potenze. In quelle che abbiamo maneggiato linora , af- lunto che fiafi un numero qualunque per K , come bafe de' logaritmi iperbolici, egli è radice coftante delle potenze fuc- celfive d' ogni termine nella ferie propofta. All' oppofuo è d'un' altra natura la ferie, ne' di cui termini è bensì coftan- te l'efponente delle potenze, ma la radice varia in ogni ter- mine rapprefentando ella I' efponente fuccefilvo de' termini , come farebbe per efempio la famiglia delle ferie efpreflè dal-

la formula — - — -. Non abbiamo, eh' io fappia , altri ten-

tativi fu queft' indole di ferie , fuorché alcuni di Leibnitx., di Jacopo Bcrnoullì ^ e di Leonardo Eulero, e niente piìi che oltrepaiiì le feconde potenze . Il primo negli Atti di Liplia in occafione di parlare della quadratura del cerchio fa men- zione di alcune ferie infinite reciproche de' quadrati de' nu- meri naturali fcemati di un' unità, tenendo fecreto il meto- do mifteriofamente . II fecondo trova i valori delle ftellè fe- rie , efTendo fcemati i medefimi quadrati in genere di un co- mune quadrato , e quei pure di ferie reciproche aventi al de- nominatore numeri trigonali diminuiti d' un collante nume- ro trigonale nel Trattato delle ferie infinite porto in calce del Libro che ha per titolo Ars conjiSlandi . L' Eulero final- mente nel L Voi. dell' Analifi degl'Infiniti §.§. i8i. 182.

fomma le ferie aventi per termine venerale , ove

X h V efponente de' termini.

Come da principio avea prefo a credere , che fimili ferie foflèro afirufe , così mi feci a tentare la fomma di loro all' infinito per una via, che mi condufie a farle dipendere dal- le ferie conofciute a fattori fempre crefcenti . Ma tutto ad un tratto riconobbi , che non le fole feconde poteftà maneg- giate da' tre nominati illuftri uomini, ma generalmente tut- ta quefta ClafTe di ferie , qualunque fieno le poteftà , e co-

Reciproche ecc. 217 munque afit;tte, è rediicibile a quelle, di cui lio trattato nel V. Capitolo della Mein. citata intorno alle ferie, e non richieg- gono al più , che le note quadrature dell' iperbola , e del cerchio, qualor non fono algebraicamente fommabili . Quefto fchiaratnento mi fé vedere, che non fempre i più femplici e migliori penlieri fono i primi ad ofièririi , di che fi può ave- re una prova anche in quefto cafo rivedendo attentamente ciò che ne hanno lafciato Leibnitz. , Bernoulli , ed Eulero fuccefllvamente . Ma mi fia conceduto di palfar prima di fu- ga fui primo tentativo , perchè ottenendo altri rifultamenti col metodo più femplice e naturale^ i quali debbono in fon- do coincidere co' primi, fi potrà trarne qualche nuova veri- tà non difpregevole .

Sia primamente da fommarfi la ferie infinita

(A) ~ j \ 1 ] hecc. '

i-}-i'4-|-i'9-j-i' ' x^-\-i

S' inftituifca la continua divifione del termine generale , e fi avrà

X'-\~l~ X'- X* ~^ x' x' "^ ^^^'

Se dunque poteffero averfi le fomme all' iafinito S.—;, S — ecc. e tutte infieme efprefle per una fola quantità finita M , fa- rebbe M=I. , Ricorriamo dunque alla Mem. noftra in-

x'-j-i ^

torno alle ferie citata qui innanzi, e alla pag. 304 trovere- mo elTere nel cafo di z,= i dopo 1' integrazione

X- \J l z,^ z.'

S.

X

r 1.2. sJ I — 2.^ z' I I r dz. , 1 .

-= — / — (^--y

x^ 1.2....^ J l. — z,^ z.^

X

Ff ij

2 28 Delle progressioni

X'" i.2....( — I 4_ zn)J 1 _ X V 2, ^

Porto pertanto I.- = Z per femplicità di calcolo, farà

rdz, Z Z^ Z^ V ^ ^ . I

/ ( -4 ' ^ecc.) = i^. •

J l—Z.^ I 1.2.3 1.2....5 1.2. ...7 ' ^ x^-~{~i

Z' Z^

Ma Z 4 . — ecc = fen. Z in un cerchio

1.2.3 1.2—5

avente I' unità per raggio. Dunque

■ fJ^k„.n.l^^s. -V-

eh' è la fomma ricercata all' infinito della ferie (A)

§. XII. : -I- ; '. . -i.- t

Ma il valore di queda ferie trovato dal Sig. Eulero alla

pag. 143 . pofto — I in luogo dì a , è =,— - .

2 tang. T y' — I " Dunque abbiamo quefto nuovo Teorema , che nel cafo di z,= i dopo r integrazione

/dz. X I \ Tri/ — I I

^-^fen.(/. )= V - ;

^ -^ 2: 2tang. ttV — I 2.

K"'

ma — = — — — (§.I.), porto w = 1/ — i , m quan-

2wfen.m:c<; Js^""'_i ^ ^ -" r ir 5-1

I • K'"

tità reale , K la bafe de' logaritmi : e = ; e

° 2 cof. }ii:co K " + I

• 1 rr , cof m-M I ' \ ^ . ^ W

inoltre, eflendo — : -= , fé facciafi - = 7rw,

ù) fen. m'M w tang. wm w

r ^ TrV/ • I W

farà w=: — ;r , e '' —

2 tang. 77-y — i 2 "^ — 1 tang. m:y ~ì

Reciproche ecc. 229

2 OD tang. w:(a

7r,K:'''+ I

T K -4- I

z=.'-( ì e però di nuovo nel cafo di z.= i dopo l'in-

tegrazione farà

rjl2_fe„.(;.i) = -(|^^)--

quantità efponenziali reali , il che fomminiftra un altro Teo- rema degno di conliderazione

<J. XIII.

Con un firn ile metodo fommeremo pure la ferie avente per termine generale — . Imperciocché effendo

I I II I

= - U_ --4- ecc. , e

X- — I X- x"" ' X X

lafciando fuflifliere

I

1.

Z = /. - , farà

2,

rj^(z+£l-+^l-+=cc.)=^.-^

J I — 2,^ ' 1.2.3 1.2... -5 .^'~~'

Ma, prefa K per bafe de' logaritmi iperbolici,

^Z Z' Z'

K —i=Z~\ 1 1- ecc. '

1.2 1.2.3 • '^fO : —

^~Z „ Z^ , Z^ Z* .

1.2 1.2.3 1.2. ...4

e però fommando

K^—K'^ Z' Z'

= Z-] 1 l-ecc. cioè paflando agli

2 ' 1.2.3 1.2. ...5

archi immaginari, farà la medelima ferie

Z'

Z -1 1- ecc. = M fen. Z : w

1.2.3

e però nel cafo di z, = i dopo 1' integrazione

Ff iij

23° Delle progressioni r dx. , \ ^ I

o / fen.( /. - )w:=.S.'

J \ — 2, ^ z, ' a:' — I

E poiché in quefto cafo il valore della ferie fecondo il Sig.

Eulero è • ; farà integrando da z = o fino a

2 2 tang. TT

2:= I

0 I fen. e /. - ) a = - ■

J I — z ^ z,' 2

nuovo Teorema da non trafcurarfi.

2 tang. TT

<J. XIV.

Ma generalmente

I I I I 1

r='— zp — -4 q; U ecc.

ed è pel noftro metodo ( Mem. della Soc. Italiana pag. 304) 1 r d-z. „ „ I

i.2....(m—i)J I— z x"'

; r / Z""-^ = S. — ecc. Dunque

i.%....{im—i)J I— z X""

r ^^2: , Z'"-' Z""-' Z""-'

/ ( — — :f }- : Tecc.)

J I — z^ i.2....(w— 1} i.i....{zm-i) ' i.2...(3W-ij '^

=^S.—^ . Con che abbiamo 1' efpreflìone generaliflima di

quefte ferie ridotta alle ferie conofciute a fattori crefcenti .

f . XV.

Paffiamo ora al metodo diretto e fempliciflìmo di fomma- re SI fatte ferie con tutta la poffibile generalità > e prendia- mo per gradi la ferie di Leibnitz. I . I I I

~ + oH ^- ecc. air infinito

3 .8 15 '

Si trovi il termine di lei generale , il quale farà manifefta-

mente

Reciproche ecc. 231 1 ,, I I

■. Ma ;=— ; :• Dunque è ella una

zx + x' ix + x"- X(2 + X) '■

ferie algebraica reciproca di fecondo ordine, che lia per fat- tori X , z^~x . Pofto ciò ricorriamo alle formule generali della noftra Memoria, e fi tragga dall' efprcffione della Prop. XI. pag. 294 i due ultimi integrali, cioè

A= i , ;«=o, nz=qz=: i , p = z , quefl' efpreflìone diverrà

e fatto z,= 1 fuori del primo fegno , avremo , nducendo , integrando , e facendo z = i , la formula

4 2(^+0 — , che farà la fomma generale della ferie ; e poflo

2{X-\-z)

xc=co refl-erà - per la fomma all' infinito, come quel gran

4 Geometra ha trovato . Di poi pigliamo a maneggiare un ter- mine generale di quefta forma — , qualunque cofa fiafi

dx' —4— p

a , e b . Torto veggiamo , che

ax^-\-b

r=- . Dunque ripi-

gliando lo flefTo integrale precedente , e ponendo x = 00 , onde cercar toflo la fomma all'infinito, diverrà ■

= , e però dividendolo in due, e riducendolo , pren-

1 ^2,

derà effo quella forma

232 Delle progressioni

I rizT-" — z.f-^)dz.

~~7p rn\J i:f 2: nq( ;

valendo il fegno fuperiore per la ferie

U — 1- -}-ecc.

a-\-b ^a-\-b ga-\~b

e r inferiore per la ferie

I I , I

— — — J ecc.

a-\~b s\a-\-b ga-\-b

Ora effendo nel cafo noftro w = — \/ — b, p = \/ — b,

n=:q = \/li, fé fi faccia \/ = c per femplicità, avremo

a

I r(zr' — z.')dz, I rzr'az. i p

zacj 1^21 zacj 1^2, zacj i

=fz

(A)

I — z, i, '

/

= 1 f- ecc.

1-2: i-c ' 2-c 3 -e ., ^^^

Dunque nel cafo di x=i dopo 1' integrazione

/ = { h ecc. ) —

2acJ I— z Vi_ci2__c'3_f' ^ zac

e però anche . ., -, . - ,

_i_ri::i^:=r-^-4. _'_-]- -4-+ecc.)— ; quindi zacj i—z. \i^c~ z-^-c '3 + ^ ^.^'■^

. C -i--] L_^ J_ -j- ecc. ?

j< I— c'2— c'3— f r

r integrale (A)-=^ — f ->

^ ^ ^ zac \ I I I C

e 1 -\-c z + c 3 — e J

E poiché l'aggregato di quefle due ferie è Io fteffo che

_L(Ì "L— ) (Com. nuovi dell' Accad. di Pietrob. Voi.

zac ^ e tang. cn '

^ XIX

Reciproche ecc. 233 XIX. pag. 30 ) porto «=i neir efpreffione Euleriana farà

ryj —ab^yj —b tang. tt^/ — ^:^ ' a + b~^a + b

ga-j-b ' Se dunque lìa b quantità pofitiva , eflendo a negativa , farà

-^("^l !L_^)^_L_ + _^- + _L + ecc.

2\/ab^\/l; tang. 7r\/ b:a ^-« ^-4« ^'9^

il qual valore farà pure quello della ferie

, -I ^ h — \~ ecc. , cioè eflendo b negativa ,

a — b ja — b ^ ga — b ^

e a pofitiva . E fé forte b porttiva , e a negativa , s\ che il valore della ferie forte efprertb per funzione d' arco immagi- nario , potremo fcmpre avere la medertma ferie efprefla per efponenziali reali come fegue

__L ^.§r!±|:* porto ^=:\/- , e Zv il numero

che ha per logaritmo iperbolico 1' unità .

Che fé folle e quantità razionale intera o rotta , fi potrà Tempre avere il valore dell' efpreffione {A) nel cafo di z.= i particolarmente o algebraico, o trafcendente con facilità. Sia

per efempio « = 4, bz=z — 9, farà cz=.\J = -, e però

\ e I j- V * n^ — 7j)dz. II , ^ ,.

la formula diverrà — / -^^ — = nel cafo di z,= i

izj I — X 6.12

dopo r integrazione , e — / -^ — = - /. 2 — ; sì

127 1 + 3: 6 6.12

che farà

- — = — . _j 1 ! — . _i ecc.

Ó.12 -.5 4.4-9 4-9-9 4-16-9

^ / 5 I 1,1 I ,

- /. : '— z= U ecc.

.6 6.12 -5 4.4-9 4-9-9 4-IÓ-9

To/>io II. G£

234 Delle progressioni Similmente fommeremo la ferie

I 1,1 I , . ., „

, , — - — r-, + — ,— , --r-}-ecc. per cui il noltro

a-j~b j^a-f-b 9a-\~b \6a-\-b

metodo ci dà la formula (B) — / ; da inte-

zacj I -j-z.

grarfi da 2: = o fino a z=i . Operando come qui innanzi troveremo

I . I

•ecc.

\)—J-C ^~'^ -~^ ' ^~~^

2(7Cn I I I <r

^ i-\-c z-{~c 3-{-c '^

'=^( ? ) — (Com. nuovi di St, Pietrob. ivi) pofio

^ fen. ct: c ' zac

n= i , fu cui potremo inftituire le medeiìme operazioni del cafo precedente ,

Ma fenza ricorrere alla convenienza del noftro integrale fvi- luppato con le ferie di Eulero citate qui fopra , polliamo di- rettamente dimoftrare il valore di lui. Imperciocché è certo pe' principi del Calcolo Integrale ( Com. nuovi di St. Pietrob. Voi. XIX. pag. 32.) che

(M) ri^'-' + ^-'ìdz,^ n ■ -= ■

J 1+2. fen. CTT - .' -

■i,.:0.j' ■ .

^N) r(z.'-'-z.-)dz,^ 71

J 1—2 tang. CTr

Si fottragga pertanto dall' integrale (M) V integrale noftro (A) per le ferie alternative, e ii avrà ^z.'-' + z.-')dz _ r{zr'—zf)dz. _ ri^zf - ' + ^')dx. J i+z J i-f2 "7 i+z

/' T^ I TT

2,' - 'tì^S:. = — r=: - pollo 21=1. Dun

que

len. CTI

^(zr* — z.')dz.

I 4-z col nofiro per le ferie pofitive, avremo

I r{zr* — 7j)dz. = / . Steflìunente fommando Y integrale (N)

e J l -\-Z, o V /

Reciproche ecc. 235

j T^^ "^7 i-z. "J

/"Zj I

2,' - '^z. = - = - porto 2: = I ;

2.' I „ V I TT

e pero

e tang. CTT

/f^"' — z-'V^ ,,. ,, ,, ,

^— , come abbiamo per 1 uno e per 1 altro

ftabilito precedentemente .

SJ. XVI.

E pafTando alle terze potenze affette, fia la ferie (C)

J^ ^+-' ^--1-ecc.... -"— ...(C)

(i-\-b b(? + è ija-Jrb óJ^a + b ax^ + b

Se facciali - =/* , il termine generale diventa —

a^-' ' • ° <z ;v'+/'

a (x+f)(x + {(f+f\/ ~3))(i^^ + -Jf-f\/ -3)) Dunque fcorgefi immediatamente , che la fomma della fe- rie (C) fi riduce a integrare da 2.= o fino a z= i la for- mula del Probi. XI. pag. 293 del I. Voi. della Società Ita- Uaria , allorché fieno i tre fattori al denomuiatore della for- ma qui propolìa . Il che non involgendo , che un puro affa- re di calcolo fecondo i valori di ^ , e ^ , non mi vi trat- tengo di pili .

Quindi poffiamo agevolmente conchiudere , che qualunque fia il grado n della potenza affetta, come nella ferie generale

11,1 I

•t —, : H ; 4- QCC.

a + b ai' + b ' af + b " " ax'' + b

V arcano di quefta ferie fta unicamente nel rifolvere in fat- tori femplici il denominatore, che può femprc farti, e ricor- rere al metodo noftro generale di fommare le ferie algebrai- che reciproche nel luogo citato qui innanzi .

In quella guifa , ottenuto il valore della ferie , avremo quello pure dell' efpreffione fingolare

Gg ij

2^6 Delle progressioni

J z. ^ 1.2. ..(;?- I) i.2...(zn-i) ' i.2...(ya~ i) '^

da 2:=:o fino a 2:= i trovata al f. XIII.

i>. XVII.

E dando all' argomento tutta reflenfione, di cui è fufcet- tibile , fi vede, che le ferie frazionali aventi al denominato- re numeri figurati accrefciuti o fcemati d' altro numero iìgu- rato recate dall' illuflre Bcrnoulli , non fono che cali parti- colariffimi del metodo , che abbiamo qui indicato . Impercioc- ché fia per efempio

II I I

Z ± H ± 4- ecc.

b-j-io 69 + 66 224+196 5154-430 ' In quefta ferie non fono altrimenti i numeri del denomina- tore potenze affette , ma sì bene numeri di una ferie alge- braica del terz' ordine aflètta da un' altra dello ftedo ordi- ne. Di fatti i numeri 8 , 69 , 224, 515 ecc. appartengono alla ferie, che ha per termine generale y^v' — ^jv-j- 5^'^ - i , e il termine generale de' numeri io , 66 , 196 ecc. è 5X' + y:^'' — 2 . Il metodo pertanto fi riduce a fommare i due termi- ni , con che fi avrà il termine

(.4) . .. . i2x' -f- i2X' — IX— i\ e rifoluto quefto ne' fatto- ri zx — I, 2.V-J-1, 3X-I-35 non {\ tratta che di fommare

la ferie ; ; ; ; ; , che potrà fempre far-

fi col metodo noftro o algebraicamente , o per funzioni d'ar- chi circolari, o per logaritmi. Di che avendo dato qui fo- pra efempli baftevoli non occorre parlarne pili diffufamente .

237

ESTOSIZIOKE ATSLATOMICA

DELLE PARTI RELATIVE ALL' ENCEFALO

DEGLI UCCELLI.

Del Sig. Vincenzo Malacarne Direttore delle R. Terme Acquelì , e Chirurgo Maggiore del Real Prelidio di Torino .

continuazione

Del primo Tranato * fulle ojfa del Cranio degli Uccelli in generale., e particolarmente delle Oche , e delle Anitre.

PARTE SECONDA.

Pareti interne della cavita del Cranio.

CAPITOLO PRIMO.

Divi/ione generale.

IL celebratifllmo Alberto Allero nella fua per ogni titolo grande opera fulla fabbrica , e l' ufo delle parti (.lei corpo umano ha giufhmente notato , che la cavità del cranio degli uccelli è capace di modo , che il cerebro li trova in propor- zione non folair.ente uguale a quella, che tiene per entro al cranio dell' uomo, nei grandi uccelli, ma eziandio maggiore nei più piccioli . Avea pure indicato quella cavità elTere in- fignemente alta, e rotonda.

Non contenti noi di quelle notizie, infufficienti per ajutar-

G g iij

_^ y

* Mera, della Soc. Italiana Toma I. pag. 747

i^S Encefalo

ci a dar un' enitta,e chiara fpolìzione dell'encefalo, divide- remo la cavità del cranio degli uccelli

1. In volta;, o parte fuperiore concava; in pavimento, o parte inferiore difuguale ; in pareti anteriore , pofteriore , e laterali, tutte fuddivilibili in deftra , e lìniftra.

2. Noteremo inoltre, che tale cavità, conilderata come di- cefi all' ingroHb , è molto angufl-a al davanti , lì allarga per ogni dimenlìone verfo la metà alzandofene la volta, e depri- mendofene il pavimento mentre che fé ne fcoftano le pareti , che dove il pavimento C\ rialza per terminarli ai gran foro occipitale, quefte pareti fé ne accodano per reftrignerla ; che ivi però il diametro verticale fé ne mantiene affai lungo per- chè Ja volta fembra che fé ne elevi .

i?. Vi lì diftinguono molte fojfe circonfcritte da varie emi- nente, t vi C\ ollérvano molti /or/ , delle quali cofe tutte ver- remo qui recando 1' opportuna defcrizione .

C A P I T O L O II.

Fojfe della cavità del cranio degli uccelli.

Vediamo diciotto foffe in quefla cavità , dodeci principali e fei minori. Le principali fono Due Otf attorie , Due Maggiori, Due Superiori di mez.z.o, . • ' La Loggia del cervelletto ,

Due Fojfe laterali di meTjLOy -, Due Foffe dei Talami, e ,., -- r Del Catino ■ • :

Le Foffe minori fono

V Ottica, La Pituitaria, •:

Due Sfondate, Due ovuli.

D2GLI Uccelli. 239

Articolo I.

Fo^e principali .

1. Incomincieremo a defcrivere l'i fojp olfattorie così dette perchè contengono , e danno ulcita dal cranio ai nerz'i olfat- torj . Situate nella eflremità anteriore quali acuta della cavi- tà del cranio degli uccelli, quefk fofl'e fono ftrette , coniche, aperte anteriormente come un imbuto a due cannelle ; ap- poggiate fui lati fupcriori del pariete ofTofo delle orbite , leg- giermente divife in alto , e nella parte loro pofteriore più ampia , mediante un picciolo rifalto oflbfo perpendicolare , cui è aderente la Dura-madre proprio dove fé ne biforca in avanti il Seno longitudinale . Qiiefto rifalto conferva puranco negli uccelli il nome di [pina frontale interna .

2. Non divide le due fofTe olfattorie per tutta 1' eflenfìoii loro , poiché la parte anteriore della X'olta comune, per uno fpazio maggiore di tre linee, non ha nelle oche, e nelle ani- tre verun rifalto .

3. Oltre al paffaggio , che danno ai N. olfattori conten- gono le eftremità anteriori pur coniche ( alla foggia della parte più acuta de' lobi dell' aglio ) degli emisferi del cer- vello , e lafciano aperto il varco al fangue , che fcorre per la biforcazione accennata del Seno longitudinale della D. M. mediante due brevi canaletti , cui ( ad imitazione del Santorini * ) do il nome di Emijfarj perchè fi fcarica per effi ** del fangue onde i feni fuoi fono ripieni, e di emijfarj nafali per il iito dove metton foce .

4. Le folle olfattorie finifcono \'erfo il nafo in due canali diftinti, feparati mediante un tramezzo perpendicolare , che unifce la Tolta al pavimento : indietro , e in baffo poi ter- minano al margine anteriore della Fojfa ottica.

5. Le Fojfe maggiori, che meritano tal nome per la loro

* Jo. Dora. Santorini Obfervatio- la delle oche avere cinque para di E-

num Anatomicaruni cap. ni. mrjfarj , cioè gii EmiJJarj Najaii , i Pi-

*" Vedremo a (uo luogo la D. M. tiiitari , i Laterali ejlerni , i Lata ali

degli uccelli , e più paleienieiue quel- prìfteriori , e gli occipitali.

240 Encefalo

ampiezza , e capacità , fono fcolpite nella faccia interna del- la volta , nella anteriore delle pareti , e del pavimento , an- teriormente, e lateralmente alle dnc fojje fuperiori dì mcx.z.0 ^ dalle quali le fepara un rifalto oflbfo , curvo , ed obbliquo.

6. Le Toffe fuperiori di miz.z.o lì vedono nel centro del- la volta del cranio , feparate foltanto la deifra dalla liniftra mediante la \pi'na longitudinale , che ftendeli per il tratto di 14 linee dal centro della volta delle foile olfattorie ( i ) al margine fuperiore dell' Arco , ond' è circofcritta al davanti la Loggia del cervelletto.

7. La fpina longitudinale , che pur ora mentovammo , è folcata per dar luogo al feno longitudinale della D. M. ; e quello folco , di mediocre ampiezza in a\'anti , fi reftrigne alquanto nel centro delia porzione frontale '" per allargarli di iìuo\o a mifura,che li accorta all' Arco, (6) dove ha circa una linea d' ampiezza ; e qui sbocca nel feno Long, un grof- fo tronco venofo , che palla per un foro già flato defcrit- to ** , e che ha le fue radici nelle foitanze molli , che ve- flono il cranio .

8. Immediatamente dieiro a quel foro il folco fi biforca, e le due porzioni rifultanti da tale biforcazione fi circonflet- tono in bado fimmetricamente , per quel che fpetta al cor- fo ; ma la porzion defira per 1' ordinario fi trova pili larga. Ricevono i Seni laterali della D. M. , continuazioni , o fia biforcamenti del feno longitudinale ( 1 ) .

9. Ne tutta la parte anteriore della fpina longitudinale interna è folcata (1,2), perciocché la porzion della mcde- fima, che pur efifle nella volta della porzion pofleriore delle fofle olfattorie ( i , 2 ) , non è nemmeno accompagnata dal feno longitudinale ; che anzi prima che la fpina ivi H can- celli , la colonna del fangue la quale qui fi trova ne! feno , dividendoli quello, prende una direzione obbliqua verfo le pro- duzioni della D. M. onde i N. olfattorj fono inguainati co- me in due cannelle ( i ) , e viene con effe divergendo per i fori olfattorj guidata fuori del cranio nelle orbite .

IO. La

* Parte I. Gap. II. §. 4. ** Parte I. cap. il. §1. z

DEGLI Uccelli. 241

10. La fettirna fofTa nominata Loggia del cervelletto per- chè i Iati deli' arco (6) , e quelli del gran joro occipitale ne formano i piiaflri , e ne foftengono molto elegantemente la profonda volta , e lituata nella fommità pofteriore della cavità del cranio, ieparata dalle fofTe fuperiori di mtVLO (6) mediante 1' arco fuddetto , munito d' un beli' orlo angolare quali tagliente , limile ad una mezza luna con le corna ri- volte al bado .

11. Lo sfondo della Loggia è confiderabile in tutti gli uccelli, e meglio che in nelì'un altro nelle oche vi fi veggo- no fcolpiti due falchi irregolarmente ferpeggianti , desinari a dar ricetto al fangue , che riempie due feni Subalterni * co- municanti con il principio dei feni Laterali ( S ) dilla Du- ra-madre .

1 2. Tutta la Loggia del cervelletto delle oche è capace della punta del mignolo , efTendo pur tale ordinariamente la groHezza di quefta importante porzione del cerebro nelle me- delìme .

13. La ottava , e la nona lì dicono fojfs Laterali di mez.- 2.0 per il luogo . che occupano in quelH cranj , eiì'endo fcol- pite ai fianchi del pavimento affai più in baffo , che non fono le olfattorie , dalle quali vengono feparate mediante un rifalto obbliquo traverfale , che ii curva allo insù contro le pareti del cranio. La loro profondità è maggiore al davanti, e fulla faccia interna , corrifpondente delle apofili orbitarie pofterio- ri**,fono volte più allo in fuori e contengono il lembo eter- no della faccia inferiore degli emisferi del cervello .

14. Nomino fojfc dei Talami quelle due, che occupano i lati del pavimento del cranio , divife dville laterali di mez- zo (13) per una crejfa ojfofa femihmare aliai tagliente quali orizzontale : dal centro del pavimento del cranio quefte due crefie (i portano in dietro verfo il margine anteriore delle pic- ciole fojfe auditor te .

i$. La profondità delle fofTe de' talami viene accrefciuta

Hh

* Nel Trattato delle Meningi do- ticolazione dell' apofife occipitale con

ve fi favella della D.M. vedremo que- la prima vertebra. IH Seni Subalterni sboccare in due ri- ** Loc. citato Artic. II. §. 6.

cettacoli venoiì podi, ai tianchi dell' ar-

242 Encefalo

da due pieghe falcate della D. M. , le quali attaccandofi al- la menzionata crefta , ne fregiano tutto il tagliente feguendo- ne la concavità . Contengono gran parte dei Talami de" N. Ottici .

16. L' ultima fofla delle maggiori fìtuata nella parte po- fteriore del pavimento , avendo nelle oche , e nelle anitre la figura d' un cati'no quali ovale , ne riceve anche il nome . E' aliai più eftefa in dietro che le precedenti , e contiene la midolla allungata , la quale fui margine pofterior di quefta foflà dolcemente li eleva per giugnere al gran foro occipitale , dove quefto margine ha nelle oche una breve crejla molto ele- vata . Negli uccelli di rapina e fra gli altri nel Nibbio, nel Palchetto, nello Sparviere , e nella Crivella tal crejla fi fien- de per tutta la lunghezza del catino dividendone la parte de- fira dalla finifira .

- ■_ :, A R T I C O L O IL

..-■■: ,,, ■. . ■ ; Delle FoJJe Minori.

1. La prima a fcoprirfi nel cranio degli uccelli è l'Ottica fituata immediatamente dietro 1' angolo , che s' incontra fui margine pofteriore del pavimento delle fofie olfattorie * ver- fo il centro ; angolo che in molte fpecie d' uccelli ivi fa un notabiliflimo rifalto traverfale , tanto per io fuo inoltramen- to allo indietro, quanto per la profondità, e I' ampiezza del- lo sfondo, che viene dall' accennato rifalto limitato in avan- ti, e in parte nafcoflo ** : polleriormente confina con il mar- gine anteriore della foffa Pituitaria .

2. La folla ottica è unica nella cavità del cranio , ma to- fìo degenera in due ampli fori perchè incontra il lembo fupe- rior pofteriore del tramezzo delle orbite *** , il quale la di- vide perpendicolarmente in due mezze lune uguali una deftra , e r altra (iniftra ; ed avendo lo ftelTo tramezzo la porzione di quel margine , che divide la folla ottica , lunata , ciò dà

* Artic. preced. §. 4.

*' Q.uefta cola e più eh' altrove apparente nei Papagalli.

*"* Parte I. cap. 11, art. 11. §. 3. , . .

DEGLI Uccelli. 243

alla fona medelìma profondità maggiore, e maggiore ampiez- za ai due fori obbliqui Attù fori ottici .^ perchè danno palfag- gio al groflb tronco dei N. ottici .

5. Alquanto pia indietro , ed anche nel mezzo del pavi- mento vediamo la fojj'a Pituitaria , V entrata della quale è quali romboidea . E' leparata dall' ottica mediante un rifatto olVofo trav'erfale molto fattile , e fragile .

4. E' pure doppia verfo le orbite , donde permette , che s' introducano nel cranio due notabili tronchi arterioiì * per due fori aflai larghi , che sboccano nel di lei fondo .

5. E' molto eflefa in ballo ; molto pure obbliquamente indietro fotto il pavimento fui margine del tramezzo delle or- bite , le lamine del quale fembra che ivi fi difcoftino per dar ricetto alla porzion principale più baffa e nafcofta della gianduia pituitaria .

6. Sui fianchi di quefla fofla troviamo pure le bocche di quelli due canaletti nei quali s' inlìnuano , e trafcorrono i nervi motori comuni degli occhi : la loro apertura efferiore vedefi nelle orbite una linea circa più addietro , e verfo le tempie, della ufcita dei N. ottici .

7. Nei lati della fofTa Pituitaria mettono foce i due con- dotti delle Carotidi cioè quei due canaletti olTolì , per la boc- ca inferiore dei quali , aperta ai fianchi della tuberolltà ba- fìlare ** , fi cacciano , e portandofi verfo la bafe del cervello i due groflì tronchi di tali arterie pafiano dietro alla gianduia pituitaria per giugnere a diramarfi nella fuddetta vifcera.

8. Qiiefti due condotti , più larghi alla bafe del cranio fuori del medefimo , [\ reftringono a mifura che circonlktten- dofi ne percorrono obbliquamente la fpugnofa fpeflezza del pa- vimento , iìcchè prendono la figura di due corna convergen- ti in alto e allo innanzi , cioè con le punte ridotte in una fola nella folla pituitaria , mentre che le curvità più ?randi ne fono in fuori, e le bafi , come abbiamo detto, indietro e in bafib.

9. La terza e la quarta delle fofle minori fono fimmetri-

Hh ij

* QueRi fono differenti dal tronco principale delle carotidi , che accen- neremo fra breve .

*' Loc. citat. %. 11. artic. IV. §. 4. ; • ' '

1.

44 Encepalo

che , ed io le nomino sfondate perchè in vece di fondo fi aproii 0 alla bafe dei cranio con un' ampia bocca onde efco- rio i groffi tronchi de' N. mafccllari Jupaiori ed inferiori.

10. Le foffe sfondate occupano i lati del pavimento al di dietro della pituitaria (5) tra le foffe dei talami * (3,4ecc.) il catino ** , e le fojfe auditorie ^ che quanto prima defcrive- remo . Danno ricetto ai tronchi de' N. fuddetti , i quali af- fatto le riempiono mediante il groflo ganglio , che quefti nervi fanno qui dopo eflerfene allontanato il N. oftalmico . Danno pure ufcita ad una radice coniiderabile delle vene ju- gulari .

11. Non è raro trovare il margine pofieriore delle fofl'e sfondate aliai profondamente incavato per dare ricetto al gan- glio mentovato , incavature , che il potrebbono confiderare come due foflette lubalterne e ottenere il nome di fojfette dei Gangli .

12. Negli encefali frefchi , ancora tappezzati della D. M. , le fofle sfondate fono in gran parte coperte d' una piega po- co meno che perpendicolare fatta dalla ffeffa meninge , e cosi efattamente riempiute da quei nervi , e dal ganglio, clie rie- fce diincile conofcerne a dovere 1' eftenlione e la capacità fal- vo nelle ofl'a fecche , e ben ripulite si al di fuori , che al di dentro .

13. Le fojfe ovali fono dette cosi dalla loro figura , e fi tro\ano alquanto pili addietro delle sfondate , e piìi alto falle pareti laterali della parte pofteriore della cavità del cra- nio : hanno molta profondità ; 1' orlo ne è molto rilevato , e conveiìb , e n' è quafì verticale il diametro maggiore .

14. Si diftinguono agevolmente da tutte le altre per la figura , e per la folidità del rifallo degli orli , fatto da uno dei canali Semicircolari deftinati alla perfezione dell' udito , in tutti gli uccelli ( e particolarmente nei più piccioli, e nei notturni ) elegantiflimi.

1 5. Le fa diftinguere altresì la profondità loro , occupa- ta da i nervi acufiici avvolti in una grolla appendice dei lati del cervelletto , molle, e cinericcia all' efterno , che parte dai

* Artic. anteced. %. 14. 15. ♦* Ivi §. 16.

DEGLI Uccelli. 145

lati della bafe del cervelletto medelimo ; la quale appendice è contenuta in una borfa della D. M. tappezzante con efat- tezza amendue gli antri, tinta di colore piombino per il mol- to fangue \ enofo , che fcorre ed empie varj feni offervabiii tra le lamine di quefta meninge.

16. Sboccano quefli feni nelle folle sfondate mediante un largo folco fupcriicialmente fcolpito nello fpazio ollofo , che quelle dagli antri divide, e eh' è fede d'un paro di emijjarj detti Laterali cjlcmi , la direzione dei quali è obbliqua al da- vanti , e in ballò .

CAPITOLO III.

Bei Fori ojjervalilì nella cavita del cranio j

degli Uccelli.

Do\endofi ora numerare i fori, che C\ veggono per en- tro al cranio degli uccelli , prenderemo fempre a conlidcrare quello delle anitre , e delle oche per efler cofa piìi facile a' principianti il tener dietro con 1' occhio fu quefle offa alla noftra ckfcrizione . Terremo pure qui 1' ordine , che viene prefcritto dalla iituazion de' fori flelfi cominciando dagli an- teriori verfo il ceppo del becco, e terminando con quei dell' occipite, proccurando di dare ad ognuno d'elfi tal nome, che indichi fé vafo, o nervo vi palfi , e talvolta quale ne fia la capacità , la figura , e la direzione . Sono avvezzo ad ofTervarvene i feguenti

Due Olfattori .

Due Arteriali anteriori.

Due Ottici.

Due Motori comuni.

Due Patetici.

Due Venofi della fojfa pituitaria .

Due Carotidei .

Due Oftalmici.

Due Motori ejìerni .

Due Mafcellari fuperiori .

Due Mafcellari inferiori.

Due Auditori .

Hh iij

24<5 Encefalo

Due Ciccioli Simpatici .

Due Vaghi, o Laceri.

Due Jimdari .

Due Palatini.

Due Ipoglojji, ed

Il ^n7« foro occipitale .

^-l ^i A R T I e O L O I.

Dei Fori Olfattori .

I primi a fcoprirfi nella parte anteriore del cranio d' ogni uccello fono i due fori Olfattori feparati mediante la parte "fu- periore del tramezzo delle orbite , * full- faccie laterali del quale fi prolungano in una doccia di linee tre , che linifce neir ampia fofla nafale occupata in araendue i lati dalla con- ca fuperiore delle narici .

Per quello paro di fori unitamente ai N. Olfattori efce dal cranio il primo paro degli emilTarj della dura madre. **

A R T I e O L o IL

, ' " ■ T)à Fori arteriali.

-■ . ■ '•- '■■-'" ■'■7

$. I. II fecondo paro dà pafTaggio ad una coppia di ra- micelli arteriolì , che va indietro obbliquamente divergendo per diramarli nel centro della faccia inferiore degli emisferi del cervello . Vedefi quafi mez,zo pollice difcofto dal foro ol- fattorio .

2. Le aperture interne dei F. arteriali fon nafcofe in una profonda, e flretta fcanalatura traverfale, alquanto curva nel mezzo della fua lunghezza, che ha le eftremità molto di\'er- genti; è fcolpita fopra una fpecie di creda, e fi continua in un folco pure obbliquo. - ;

3. Le aperture ederiori fono nelle orbite quattro linee

* Par. I. Gap. II. Art. II. §. 9.

** Cap. II. Art. I. §. j. della P.irte feconda.

DEGLI Uccelli. 247

poderiormente all'orlo diretano dei F. olfattori, e due linee anteriormente agli ottici , nel margine fuperiore del tramez- zo delle orbite. *

Articolo III.

Dei Fori ottici.

Qiielìo paro è feparato da quello dei precedenti fori , che vi ita l'opra, mediante una forte , e fpeffa crefla oflbfa traver- fale . Già li conofce la folla dalla quale i fori ottici procedo- no, ** e lì fa che il fondo anteriore ne è divifo dalla parte corrifpondente del tramezzo delle orbite , le faccie delira e li- niera del quale tramezzo ne fodengono le ohblique apertu- re efteriori 5 per le quali sboccan nelle orbite i N. ottici.

Articolo IV.

Fori dei N. motori comuni degli occhi .

1. Una linea -}- i -.2 circa pofteriormente , e fui lati del- la folla ottica *** ii vedono i bislunghi fori , che danno ufci- ta ai N. motori cornimi degli occhi ^ dai quali prendono il no- me. La diftanza del dedro dal lìniftro è lin. 3. circa , e fo- no ai fianchi della fofla pituitaria ,**** dai maigini della quale fono feparati per una tenue lam.inctta ojfofa alquanto piìi in alto fulie pareti del cranio, che fanno le fpalle della folla me- delìma , corrifpondentemente all' iftmo largo più d' una linea che divide la pituitaria dalla ottica.

2. Sono pure feparati da tale iflmo per una larga e fot- tile offola Lajìra ; e la dilfanza loro dai fori oftalmici pofti pili indietro e di tre quarti di linea , tale eflèndo la lar- ghezza dell' ojjofa Lifca che ne divide il margine diretano dall' orlo anteriore àcì fori patetici loro paralleli, ma più proffimi alla foifa pituitaria.

* Par. I. Gap. II. art. II. 5. 9. ** Vedi Gap. preced. art. II. 5. i. ♦'* Ivi. *•" Par. II. Gap. II. Art. II. §. g.

248 Encefalo

3. Meritano d'eflere notati in quefto Tito i Solchi lunghi più di una linea per li quali fcorrono i N. motori comuni prima di arrivare all'apertura interna dei canali ai tronchi lo- ro desinati, che guidano verfo le orbite, dove penetrano per un foro bislungo quaiì nafcofto dalla radice di quelle brevi (pine ojfofc, che ftanno fui fianco efterno dei fori carotidei a livello della radice delle apofìft orbitarie pofteriori. *

Articolo V.

Be' Fori Patetici ,

Sì trovano proprio nella fofTa pituitaria fotte quella olTofa laminetta , che fa 1' interno margine degli ora deferirti fol- chi , e canali , alquanto più fulla parte anteriore dei parieti della fuddetta fofla, e fui fianco efterno dei fori carotidei. Sì aprono il varco obbliquamente nelle orbite fra la apertura del- ia coppia precedente , e quella dei fori carotidei medefimi .

Articolo VI,

Fori Tjenofi della fojfa Pituitaria .

Alla parte anteriore del fondo della foflfa pituitaria fi veg- gono due aperture ovali poco meno larghe d' una linea, per le quali efcono del cranio due emifarj della D. M. fimili a due grofie vene : diedi loro perciò il nome di fori venolì del- la fofla pituitaria, ""•

Articolo VII. -

Fori Carotidei.

I. Alla parte pofteriore della medefima foffa, dove fi va reftringendo , ed abbaflandofi nella foftanza cavernofa della tu-

berofità

Par. I. Cap. II. Art. II. §. 6.

DEGLI UaCELLI. 249

berofiù bafilare * vi è la foce dei due ampli canali oflò- iì circonfleill, la bocca dei quali è già ftata da noi mentova- ta qui fopra , ** ne' fianchi della colorirla ojfofa tra le faccette articolari , e la porzione pili bafla della radice delle apofifl maftoidee. Sono i fori carotidei interni , irregolarmente ova- li, e larghi poco meno d'una linea. Per quelli canali o con- dotti nei cranj delle oche, delle anitre, delle galline, e del- la maggior parte degli uccelli fcorrono i tronchi delle arte- rie carotidi, le quali uniformemente a quello , che fi oflerva neir encefalo umano, vengono a sboccare nei lati della fofTa pituitaria per diramarli nella foftanza del cervello .

2. Danno pur anco pallaggio al paro dei nervi Iritc/co- fiijli , 0 grandi Simpatici.

Articolo Vili.

Fori Oftalmici

1. Situati fui margine inferiore delle fofle dei talami*'''* y quefti fori vengono cosi detti perchè vi palla il tronco di quei nervi , che vedremo ( alfai più manifelìamente ancora , che negli uomini) avere negli uccelli origine dipinta da quel- la dei N. mafcellari fuperiore, ed inferiore.

2. Nei cranj mondi li fcorge il largo e profondo folco , fui quale fcorre il N. oftalmico mentre che, fcioltofi dal gan- glio **** comune ai due mafcellari ora accennati, lì porta ob- bliquamente addentro per imboccare il proprio foro , che è ritondo, aliai largo, e diftante quello del Iato deftro più di lin. 3. dal lìniftro , di maniera che forma T angolo eflerno d' un triangolo immaginabile tra quello, la foffa pituitaria, e il foro del N. motor eilerno degli occhi.

3. L' ufcita del N. oftalmatico nelle orbite fi trova fra Tomo IL lì

Par. I. Cip. II. Arr. II. §. n. E alla Par. I. Gap. II. Art. IV., e §. 4. * Par. II. Cap. II. Art. I. §. §. 14., e ij. '* Gap. antecedente. Are, IL 4. S. i9. , ji., 12

25° Encefalo

quella del patetico , quella del motor comune , e la fafcia in- terna della fpina . *

4. Vi è pure una tenue lamina ofTofa, che ferve di vol- ta al canale del N. oftalmico, e di fondo al folco del motor comune digli occhi.

■'■ ' Articolo IX.

Fori Motori ejìerni .

Quefti fanno la nona coppia , e fono lin. 3-1-1:4 pofte- riormente alla fofTa pituitaria, lontani due linee il deftro dal fuiiftro , e lin. 1-4-1:2 dal margine delle folTe sfondate : ** vi paffano i N. motori ejìerni degli occhi dopo aver fatto un lungo tragitto a traverfo della fpeiTezza della bafe del cranio, al di fotte della fofTa pituitaria , in un canale che sbocca nella parte pofteriore delle orbite ; e qui amendue i nervi H diramano nei mufculi desinati al globo degli occhi , e nelle tuniche dei globi fteffi dal canto delle orecchie .

Articolo X.

Fori majcellari fuperiori , ed inferiori .

1. La decima, e l'undeciina coppia de' fori fono nelle fof- fe sfondate ; e iìccome fervono amendue a dar paiTaggio ad un ramo diftinto del N. mafcellar fuperiore , cosi le comprendia- mo in un folo articolo, febbene il primo più angufto , oc- cupato tutto dal ramo del fuddetto , ne ritenga il nome, ed al fecondo, perchè dà palTaggio al tronco del N. mafcellar in- feriore unitamente ad un' altra branca del mafcellar fuperiore , io dia il nome di mafcellar inferiore .

2. Il foro mafcellar fuperiore adunque fi trova alquanto più innanzi e verfo 1' affé del pavimento della cavità del cranio . Dà paiTaggio ad un grolTo ramo del N. mafcellar fuperiore ,

' Par. I. Gap. II. Art. II. i. 16.

" Par. II. Gap. n. Art. II. §. 3., e io.

©SOLI Uccelli. 251

delle diramazioni del quale favelleremo a lungo quando de- fcriveremo la parte fuperiore del becco.

3. Il mafcellar inferiore poi è aliai più grande avendo due linee di diametro. Si trova alquanto piìi addietro del prece- dente. Si apre nella parte anterior efierna delle folfe sfonda- te per dar palFaggio al tronco principale del N. mafcellar fu- periore nel niedeiimo tempo, che ne efce pure il tronco del mafcellar inferiore , giacch' è appunto in quello fito il gan- glio *, onde negli uccelli fono iniìeme confufi qucfti due tron- chi .

4. Qiiinci efce del pari il terzo paro degli emijfarj** del- la D. M. detti emijfarj latirdi ejìerni .

5. La diftanza dei fori niafcellari inferiori tra di loro è di fette linee .

6. Tra quefli poi , e le folTe ovali *** fi vede un ijìmo oflbfo molto fpeflb largo tre linee .

Articolo XI.

Fori Auditori .

Nelle fofle ovali **** abbiamo indicato infinuarfi una porzion notabile di foftanza dependente dal cervelletto , nella quale dimoftreremo a fuo luogo edere avviluppato il vero nervo auditorio, cioè quello, che negli uomini fuol eflere conofciu- to fotto il nome di porzion molle del nervo auditorio . Il fondo di quefti antri è minutilfimamente crivellato per dar pafiaggio a' rami proporzionati di tal nervo.

li ij

* Cap. precedente Art. II. 5. io., 11., e 11.

" Par. II. Gap. II. Art. II. §. ly.

*" Ivi §. 13.

•"* Cap. precedente Art. II. §. ij.

25Z Encefalo

Articolo XII.

Fori piccioli fimpatici .

1. Tra il margine anteriore delle folle ovali, il pofterio- re delle sfondate, e l'orlo vicino dei fori laceri fi vede una fofficella fuperfìciale , aneli' ella ovale . In quella fi contano divedi forellini ( talora cinque per parte , talora fei , talora quattro, altre volte da un canto ve n' ha più che dall'altro incoftantemente per quello , che riguarda il lato deliro , o finiftro ) e per quefti forellini penetrano nel labirinto , de- fiinato alla perfezione dell'udito negli uccelli, i fili dei ner- vi piccioli lìmpatici .

2. Non meritano nemmeno in qiiefti animali il nome di porzion dura dei N. auditori, ripugnante alla deftinazione lo- ro , perciocché febbene da qucfii nervi la membrana bipartita del timpano, gli ofietti, e le apofifi bizzarre loro ne fono prov\-eduti negli uccelli di qualche filuzzo nervofo , come la fuddetra membrana , e i mufculi del martello e della ftatt'a neir uomo e nei quadrupedi; tuttavia i rami principali van- no a diramarfi nelle parti molli efieriori dei lati della tefia.

3. QLiefl-a dillribuzione ofiervalì anche meglio ne' volatili pia groffi, come fono le oche , le anitre, i barbagianni , le gru, gli aghironi, i galli d' india, gli fparvieri , i nibbj , le gal- line , e può da ognuno vederfi anche nei minori purché vi abbia l'occhio per vedere e la mano per notomizzare avvez- zi ; che altrimenti la fottigliezza di tali diramazioni per entro ad un complefib di parti in apparenza afiai confufa , in fo- ilanza tenere, molli, e minute, può deludere 1' acume d' un ornitotomifia meno efercitato .

Articolo XIII.

Fori laceri . \ ' '

I. Una linea pofteriormente alla fofficella fuperfìciale ora defcritta , ed una linea pure al di fotto delle fofie ovali , \\ trova la coppia dei fori equivalenti ai laceri , o {tracciati

DEGLI Uccelli. 255

del cranio umano , desinata eziandio negli uccelli a dar paffaggio ai tronchi del par vago.

2. Se poteffi uniformarmi all' ufo comune antico di nu- merare i nervi dell' encefalo , quel>o paro farebbe anche qui l'ottavo; nna ficcome debbo confi )rmarmi alla natura, ed ef- porre con tutta la chiarezza pofiibile quello ch'io veramente ci vedo, e che da chiunque ha da vederli, così nella quarta parte dell' Encefalotomia umana ho dimoftrato i nervi nell' encefalo umano efiere quindici para , per quello che rifguarda i principali, e tre para d'acceflòrj; né mi alkrrò a fuo tem- po di far vedere come in quel degli uccelli fé ne difcoprono pure quattordici para , dei quali il par \'ago viene ad elFere il decimo , fenza gli acceflbrj a me iìnora ignoti .

3, La lunghezza di quefti fori fi accorta alle due linee, e la larghezza a poco meno di una , di modo che il pic- ciolo nervo , che vi palTa , non occupandone intieramente l'apertura, per e^Ta sbocca dal cranio un grofib emilFario del- la D. Madre , che fi fa ftrada verfo 1' eftremità diretana in- terna dei fori laceri, dopo d'aver fatto qualche tragitto full' orlo pofteriore delle fofTe ovali .

Articolo XIV.

GoIJì ddle J ligulari .

Nella fpeJìezza delle offa , che fanno il contorno dei fori laceri, fi vede un incavo fimile alla folTa fcolpita nella rupe delle oAa temporali umane atta a dar ricetto ad un gozzo venofo non diverfo dal golfo delle jugu!ari;e in quello met- tono foce non folamente I' emilTario poc' anzi mentovato , ma eziandio una grolla vena, che vi difcende dalla cafTa del timpano ; danno infieme origine alle vene iugulari : e quan- tunque nella cavità del cranio i fori laceri abbiano una fo- la apertura piuttofto fpaziofa, alla bafe del cranio però, cioè efì-eriornicnte , al di dietro delle apofiu maftoidee , * nella

I i iij

Par. I. Cap. II. Art- I. %. 9.

254 Encefalo

fofla , che dà maggiore rifalto a tali apofilì * , il foro è fempre doppio, e per il medelìmo, come nei cranj umani, il nervo pafla per l'apertura anteriore, e per la pofleriore sboc- ca nelle vene iugulari , per il golfo loro , il fangue portato dal fuddetto emiffario , che tien negli uccelli il luogo dei' feni laterali notiffimi nell' uomo , e ne' quadrupedi . QLiefti emìjfarj fono i laterali pofieriori.

Articolo XV.

Fori Palatini . rr :■:, -

La coppia de' fori , che fla immediatamente dietro ai va- ghi, è deftinata al paflaggio di due tronchi nervolì,che van- no a diramarli nella membrana del palato . Il deliro foro è lontano quali due linee dal llniftro, e tre dal gran foro occi- pitale , fui margini laterali del catino ^"^ , e fono come il paro fegucnte paralleli all' affé longitudinale del catino me- delìmo.

Articolo XVI. _,

Fori Ipoglojji .

I veri nervi ipogloffi , che negli uccelli nafcono fempre cort due piatte radici per Iato dai fianchi anteriori della midolla allungata , efcono del cranio per una coppia di fori iltuati nel catino , mezza linea più addietro de' fori palatini . In molti individui però, anche nelle fpecie diverfe , quefti fori, ch'io nomino ipoglojji , lì trovano a due per lato , ilmmetrici , e paralleli all' alfe longitudinale del catino. In amendue i cali i tronchi nervofi , o unite , o divife avendo le piatte radici loro, attraverfano la fpeffezza della bafe del cranio, alquanto obbliquamente inclinando verfo 1' incavatura maftoidea *** ,

Ivi Art. IH. §. a. Gap. precedente Art. I. §. xS. '■ Par. I. Cap. II. Art. III. §. j.

DEGLI Uccelli. 255

ed ufcendo dalla parte anteriore della medefima traforano le parti vicine per diramarfi nella foftanza della lingua .

Articolo XVII.

Gran foro Occipitak .

1. Finalmente vediamo il gran foro occipitale fituato quad nel mezzo della poppa, o faccia pofteriore del cranio. A lin. 4-)- 1:2 di diametro verticale , e lin. 4-1-2:3 di diametro traverfo . E' molto arcato all' orlo fuperiore , ed al margine inferiore porta afìina eileriormente la apoHfe occipitale * , coperta di lifcia cartilagine , cui mediante il capo li articola con la prima vertebra cervicale .

2. Quefto foro dà palHiggio alla fpinal midolla , e a due ampli emifTarj , che formano il quinto paro , detti emijfarj occipitali: contengono molto fangue,che sbocca in due grof- fe vene , cofteggianti nella difcefa loro i lati delle vertebre del collo, ingroflate da altri vali. **

3. A tali vene fono paralleli due mediocri tronchi arte- riolì , che afcendono fu per il collo verfo l'encefalo ; s'intro- ducono nella cavità del cranio per il gran foro occipitale, e fono le arterie vertebrali deftinate ad irrigare la foftanza del cervello .

■^v^-fv^

* Par. L Cap. IL Art. IL §. 14.

*' Vedi 1' Art. XiII., e il XIV. precedenti.

z$6

DELLE OSSEIiVAZIONI

SOLSTIZIALL

Fatte allo Gnomone della Cattedrale Fiorentina nell' Anna 1782, e de" loro Rifultati paragonandole colle fimilì Ojj'er- vazioni del 17563 1764, e 1775.

Del Sig. Ab. Leonardo Ximenes Matematico di S. A. R. il Granduca di Tofcana.

INTRODUZIONE.

LE oflervazioni folfliziali fatte al vafto Gnomone della Cattedrale Fiorentina coi paragone al Marmo folfti- ziale del 1510 fono fiate da me lungamente defcritte nel mio Volume fu quefla materia . ( a )

Le odervazioni del 1764 fono ftate da me racchiufe in un Opufcolo inedito, del quale fomminilìrerò tutto ciò che con- cerne il prefente argomento negli Articoli feguenti.

Le altre ofTervazioni del 1775 fono ftate ftampate a Li- vorno r anno 1776. (b)

Era da me attefo con impazienza il corrente anno 1781, nel quale , eflendo il nodo afcendente lunare preftb il prin- cipio dell' Ariete , mi fomminiftrava il termine di un impor- tante paragone con tutte le altre ofTervazioni dal 1756 iino al prefente.

Poiché due fono gli elementi , che io mi fon propello a verificare con quefto altiflimo , ed immobilillimo Settore , il

cui

(d) Veggafi il Tomo intitolato: (b) Vegga/ì 1' Opufcolo intitolato :

Del Vncchio, e nuovo Gncmone fioyen- Differtazione intorno alle cjjervaziopi

iino ecc. figmpato a Pirenze i' anoo dd 1775 allo Gnomone della Meridia-

■»7J7' , ,' . na Fiorentina ecc. Livorno 177S,

Dellk osservazioni Solstiziali . 2'>7

cui raggio fupera piedi parigini 277, II primo intorno al pe- riodo fecolare dell' obbliquità dell' ecclittica, nel quale la dif- cordia degli Aiironomi era tanto grande, quanto era gran- de r importanza di quefla ricerca, dalla quale, come ciafcun la , dipendono alcuni piccoliflimi movimenti apparenti delle flelle fiilè , della terra , e de' pianeti , i quali hanno tor- mentati gì' ingegni degli Aftronomi moderni . Or quefio pri- mo elemento è ftato da me verificato talmente ne' due Vo- lumi citati , che parte per 1' efattezza delle olfervazioni , e parte per il loro confcntimento con altre fomiglianti oHer- vazioni antiche , e moderne , i più in (Igni Ailronomi a tal nuova mia opinione lì fono accodati (e) recedendo dal periodo di 88', di 47", e di 45" , e tenendoli all' altro pe- riodo affai più riflretto di 34". 42 centefime , da me deter- minato colle olTervazioni del 1756, e 1775.

Stabilito adunque quefto primo elemento, reftava il fecon- do non meno importante de) primo , ma di una indagine af- fai più malagevole, e quefto è il vero valore della nutazio- ne dell' alle terreftre , la quale \a fernpre alterando le me- die obbliquità dell' ecclittica , e non meno le polìzioni appa- renti di tante migliaja di ftelle fifte , i cui piccoliflimi mo- ti , tanto in latitudine , che in longitudine , fono ftati fco- perti dalla moderna Aftronomia , ed in particolare dal rino- mato Inglefe Agronomo il Bradlejo . Egli dal 1727 lino al 1747 con grandilfimo numero di ofTervazioni , che non po- tevano fpiegarù né coli' annua parallafll , né coli' aberrazione della luce , ritrovò , che detti fenomeni godevano di una femplice fpiegazione, fupponendo una nutazione dell' afte ter- reltre, la quale fi manifeftava dipendente dal nodo afcenden- te lunare, il quale quando trovavafi al principio d' Arie- te , la nutazione era maffima boreale nelle ftelle fiffe , che erano prolfime al coluro de' folftizj . E quando al contrario il detto nodo era palTato al principio della Libra ,

Kk

(e) Tra quefli uno è raccuratiffi- nomia ha filTato tal periodo fecolare reo , e chiarilTlmo M: de la Lande il di il'-,-, pochirtimo differente dal mio quale nel Tomo IV. della fua Aflro- di 34" . % centefime .

258 Delle osservazioni

h nutazione cambiava^ in auftrale , ed in tal fenfo era pur maflima .

Il valore di tal nutazione fu giudicato dal medefimo Aftro- nomo di 18" , e così è flato feguitato da altri AUronomi. Io dalle oilervazioni del 1764 , paragonate con quelle del 1756, r ho dedotto maggiore , e come tale I' efpongo nel citato Opufcolo inedito. In ellb mi mancavano le nuove of- fervazioni dell'anno corrente, le quali avendo fatte con par- ticolar diligenza, mi fon ritrovato nel grado di efaminare la flefla ricerca della nutazione , non già con una , ma bensì con quattro combinazioni .

La prima delle offervazioni del 1756 paragonate a quelle del 1704.

La feconda di quefie colle ofTervazioni del 1775.

La terza del 1775 con quelle del corrente anno 1782.

E finalmente la quarta del 1756 con quelle dello flefTo anno 1782.

In quelli anni due volte il nodo afcendente lunare fi è ritrovato prolfimo al principio d' Ariete , cioè nel 1764 , e 1782.

Due volte pure fi è incontrato nelle vicinanze della Li- bra, come nel 1756, e 1775.

Nel primo periodo ci corrono anni 18, e nel fecondo an- ni 19. Il vero periodo del nodo afcendente lunare è di an- tii 18.63 parti centefime. La frazione, che manca, o ecce- de ne' due periodi , è tale , che facilmente riducefi co' foliti metodi .

P«.r la qual. cofa , eflendo io in grado di provare il valo- re della nutazione con quattro combinazioni formate in det- ti due periodi, ho intraprefa quefta fatica, eflendo impazien- tifllmo di verificare quefio fecondo elemento della nutazio- ne dell' aflè terreiìre . Quale fia il rifultato, fi vedrà in que- lla breve Memoria, che è 1' eflratto di una aflai lunga, che io differifco ad altro tempo , non potendo per ora renderla pubblica . Ma non ho voluto difi^erire 1' edizione del prcfen- te riftretto per la fua graviffima importanza nell' Afirono- mia .

Non poflb diflimulare , che fino dal principio dell'opera più oftacoli mi ritardavano, e tacendo degli altri, un grave

SOLSTIZIALI. 259

oftacolo mi prefciirava 1' elemento del Junar perigeo , che doveva certamente influire nella nutazione defiderata ; ma non iì fapeva , fé il fuo influllb folle fenlibile , o no , e di qual valore eflb fi fofTe. Nacque il primo fofpetto nello ftef- fo Bradkjo, ma io non fo , fé egli, o altri Agronomi dopo di lui fi iiano applicati di propoiìto a calcolarlo . Or fé in altre ricerche Aftronomiche è neceflario un tale articolo , nella prefente mia ricerca egli è indifpenfabile . Trattali qui d' indagare, fé la nutazione lia di 18" , di 19", ovvero di 20", parendomi che tali llano i limiti della nutazione . Se adunque 1' equazione del lunar perigeo per aumentare la nutazione folfe di uno , o due fecondi , effo verrebbbe ad al- terare tutta quefla ricerca . Potrebbe apparire la nutazione di 20", quando collocato il lunar perigeo diverfamente , cioè in maniera tale , che correde la diftanza media lunare , eifa nutazione fcemafTe di 2", e così folle di 18', fecondo 1' ipo- teli di Bradkjo. Ed in fenfo contrario , fé la nutazione fof- fé boreale , ed il lunar perigeo fi ritrovaflè ne' fegni auflra- li, e fpecialmente verfo il principio del Capricorno , la nu- tazione attuale fcemando di 2" apparirebbe di 18" , quando elTa folte di 20".

A' primi calcoli da me tefTuti , come efpongo lungamente nella Memoria eflefa , ho ritrovato appunto, che l'equazio- ne mafTima del lunar perigeo , per aumentare , o per dimi- nuire la nutazione , il accoflava a 2" . Potendo efTì adunque far variare i rifultati in una materia cosi fottile , e cosi ge- lofa, mi è conv'enuto tener dietro alla teoria del lunar pe- rigeo, ed alle fue equazioni . Mi è convenuto formare una Tavola, per 1' equazioni dello fìeffo perigeo. Mi è convenu- to ridurre le quattro mie combinazioni non folamente al principio della Libra, o dell' Ariete, ma ancora alla diflan- za media lunare, affinchè la fua azione lìa nulla, e cosi non pofTa né aumentare , né diminuire il vero valore della nu- tazione.

Stabilito così quello fecondo elemento , ho dovuto con ef- fo ricalcolare la Ta\ola,che ho inferita alla pagina 82 del- la DifTertazione del 1775 , introducendo in efTa queflo nuo- vo elemento , cioè dell'equazione per il lunar perigeo. Nel- la detta nuova Tavola fono calcolate le vere obbliquità dell'

Kk ij

26o Delle osservazioni

ecclittica dal 1775 al 1S02 coli' elemento del perigeo lu- nare. In efla pure la nutazione, che facevafi di 20", è ftata corretta fecondo le moderne oflervazioni . In erta finalmente è llato meflb un accordo neli' epoca dell' obbliquità olì'er- vata a Parigi, ed a Firenze . In tal epoca vi era una difle- renza di 6" incirca . Io dunque avendo diminuita la latitu- dine Fiorentina di 6", rifpetto a quella fidata nel 1756 nel mio Gnomone , ho proccurato un accordo tra le due epoche , per andare in avv^enire con tutta 1' uniformità, e corrifpon- denza nelle oflervazioni Parigine, e Fiorentine.

Non fo fu quali oflervazioni la latitudine Fiorentina nel- la Connoijfance des temps di queiH anni li ftabilifca di 43°. 46'. 30", quando efl'a è certamente maggiore.

Nel libro dello Gnomone fono ftate defcritte tutte le of- fervazioni da me fatte nel 1755 , e 1756 fulla ftella pola- re, ed il loro rifultato, che fu della latitudine di 43°. 46', 53" . Avendone ora detratti 6" per le ragioni , che accenne- rò, reflerà tal latitudine alla Cupola della Cattedrale di 43°, 46', 47".

Formate le due Tavole , cioè delle diverfe nutazioni del po- lo terreflre a diverfe pofizioni del nodo afcendente lunare, e delle diverfe equazioni , ora additive , ed ora fottrattive , che corrifpondono alle diverfe longitudini del lunar perigeo, ora altro non refterebbe, fé non che la formazione delle al- tre Tavole , per ben rapprefentare i piccoli apparenti movi- menti delle ftelle fifle , che fi trovano fenlìbilmente lontane dal coluro de' folfl-izj. Ma una tal ricerca è per fé fteflTa af- fai facile , applicandole gli elementi da me ritrovati , ed è eilranea all' oggetto prefente, che confifl-e nel ben rapprefen- tare le ofcillazioni delle obbliquità dell' ecclittica per la com- binazione del fuo moto fecolare periodico, e del moto ofcil- latorio originato da' nodi lunari, e dal tunar perigeo.

Se r elìto di quelle mie ricerche corrifponderà negli anni futuri alle immediate oflervazioni dell' <)bbliquit:i dell' ecclit- tica, e delle pofizioni delle fielle ìì<Xt , vuol rimetterfi alla decifione del tempo , e de' più accurati oflTervatori . Qiiefl-a è la piìa fottile ricerca della moderna Afironomia. Onde fen- za un tempo ben lungo , ed una ferie di fquifitiflìme oflerva- zioni, non potremo ottenere certezza maggiore della prefente.

SoLSTIZTALt. l6l

Articolo I.

Delle ojfervaz.ionì Soljìiziali fatte allo Gnomone della Cattedrale Fiorentina qnejì' anno 1782.

Incomincerò quefla breve Memoria dalle ofTervazioni fol- ftiziali fatte al grande Gnomone della Cattedrale Fiorentina del corrente anno 17S2 , tralafciando per brevità tutte le annotazioni, e ricordi dei regiftro originale.

Per ridurre dette ofTervazioni al momento folfliziale vi va detratta la differenza in declinazione tra '1 di folfliziale, che fu il d'i 21 di Giugno , ed il dì di una data ofTervazione . E come le Tavole folari del Sig. Abb. la Calile fono calcolate al meridiano di Parigi , la detta differenza va ridotta al meridia- no Fiorentino . Con tali riduzioni riporterò le diftanze del centro folare dal vertice, detraendo da effe la differenza in declinaz^ione colla riduzione al meridiano.

La prima offervazione fu fatta il di 1 5 Giugno , ma paf- fando per i trafori del feneftrone aufl-rale del Cupolino de' raggi di una luce fpuria , che alteravano T immagine folare formata da' raggi centrali, effa rcffò tanto dubbiofa,che non potè farfene conto . Indi è che io comincerò il prefente re- giftro dall' olièrvazione del di 17 , che fecondo 1' ordine fa- rebbe la feconda , ma tralafciata la prima , effa occuperà il fuo pofto .

Osservazione I.

Bel dì 17. Giugno.

Gradì Min. Min". Cent.

Diff-anza dell' orlo folare auftrale

dal zenith 20°. 37'. 17"

Diffanza dell' orlo boreale . , 20. 5. 24.

Semidiametro apparente folare in- di dedotto o. 15. 56. 50.

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 21. 20. 50.

Kk iij

2<52 Delle osservazioni

. Gradi Min. Min". CcnU

Riduzione al momento folftiziale, ed al meridiano Fiorentino ... 3. io.

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. 18. io. 50

Osservazione IL

Del dì 1 8. Giugno .

Diflanza dell' orlo folare auftra-

le dal zenith 20". 35'. 59". 50

Diftanza dell' orlo boreale ". . 20. 3. 36

Semidiametro apparente folare in- di dedotto o. 16. II. 50.

Diftanza del centro folare dal ze- cith 20. 19, 47. 50.

Riduzione al momento folftiziale del meridiano Fiorentino . . . o. i. 42. 00

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta . . V 20. 18. 5. 50

! ; : - Osservazione III.

Del di 19. Giugno.

Diftanza dell' orlo folare auftrale

dal zenith 20°. 35'. i8". 50

Diftanza dell' orlo boreale . . 20. 2. ^6.

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 21. 25

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 18. 57. 25.

Riduzione al momento folftiziale del meridiano Fiorentino . . • o- 45-

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta ........ 20. 18. 12. 25

Solstizi ALI. 265

Osservazione IV. Del dì 20. Giugno.

Gradi Min. TAin'. Cent.

Diftanza dell' orlo folare auflrale

dal zeiiith ao°. 34'. 43".

Diftanza dell' orlo boreale , . .20. i , 54.

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 24. 50

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 18. 18. 50

Riduzione al momento folftiziale del meridiano Fiorentino .... io.

Diflanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. iS. 8. 50

Osservazione V. Del dì ZI. Giugno giorno folJìix.iale .

Il folftizio dell' anno corrente è accaduto quali ore 2 prima del mez- zogiorno .

Diftunza dell' orlo auftrale dal ze- nith 20'. 34', 32"

Diftanza dell' orlo boreale . .20. i. 49

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 1(5. 21. 50

Diltanza del centro folare dal ze- nith 20. 18. IO. 50

La riduzione tanto per la decli- nazione , quanto pel meridiano Fio- rentino , quanto pure della diftanza del momento folftiziale dal mezzo- giorno è allatto infenlibile . Onde li tralafi.ia .

^•54 Delle osservazioni

Osservazione VI.

Del dì 2 2. Giugno .

_ . r, ... ^""'i' Mifi- Min". Cent.

Diftanr.a dell' orlo folare auftrale

dal zenith 20°. 34'. 51". 50

Diftanza dell' orlo boreale . . 20. 2. 00. 00

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 25. 75

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. iS. 25. 75

Riduzione al momento folftiziale, ed al meridiano Fiorentino ... 16. 00

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. 18. 9. 75

Osservazione VII.

Del di 24. Giugno .

Diftanza dell' orlo folare auftrale

dal zenith 20». 35'. 28"

Diftanza dell' orlo boreale . . 20, 2. 44

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 21. 75

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 19. 6. 25

Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino ... o. 54. 00

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. 18. 12. 25

Osservazione

SOLSTIZIALI. a5j

Osservazione Vili. Del dì 24. Giugyio.

Gradi Min'. Min". Cent. Difl-an7a dell' orlo folare auflrale

dal zenith 20°. 36'. 30".

Diftanza dell' orlo boreale . . 20. 5. 45

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 22

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 20. 8

Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino ... 2. 00

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. 18. 8

Osservazione IX.

Del dì 25. Giugno.

Diftanza dell' orlo folare auftrale

dal zenith 20. 37. 59.

Diftanza dell' orlo boreale . .20. 5. 14. 50

Semidiametro apparente folare in- di dedotto 16. 12. 25

Diftanza del centro folare dal ze- nith 20. 21. 3^. 75

Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino . . . 3- -9

Diftanza del centro folare dal ze- nith ridotta 20. 18. 7. 75

Tomo IL LI

2<56 Delle osservazioni

Osservazione X,

Del di i6. Giugno.

r^n , ,,, , ^ Gradi Min. Min" Xent.

Diftanza dell' orlo folare auftrale dal ^^"Jth 2c°. 39' 52". 50

Diftanza dell' orlo boreale .... 20. 7. 00, 00

Semidiametro apparente folare indi de- dotto 16. 25. 25

Diftanza del centro folare dal zenith 20. 23, 26. 25

Riduzione al momento folfliziale , ed al meridiano Fiorentino 5. 20. 40

Diftanza del centro folare dal zenith

ridotta 20. 18,

5- 45

Osservazione XI.

Del dì 27. Giugno.

Diftanza deli' orlo folare auftrale dal

zenith 5 20°. 42'. n". 50

Diftanza dell' orlo boreale .... 20. 9, 24. 20

Semidiametro apparente folare indi de- ~~" dotto 16. 23. 65

Diftanza del centro folare dal zenit 20. 25. 47. 95 Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino ...... 7. 38. 06

Diftanza del centro folare dal zenith ridotta 20. iS. 9. 89

SOLSTIZIALI. 267

Osservazione XII.

Del dì 28. Giugno.

Gradi Min'. Min". Cent. Diftanza dell' orlo folare aufìrale dal

zenith 20°. 44'. 48"

Diftanza dell' orlo boreale . . . . 20. 12. 06

Semidiametro apparente folare indi de- dotto 16. 21

Didanza dei centro folare dal zenith 20. 28. 27 Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino io. 19. 68

Diftanza del centro folare dal zenith ridotto 20. iS. 7. 32

Osservazione XIII.

Del di 30. Giugno.

Diftanza dell' orlo folare auftrale dal

zenith 20. 51. 34. 25

Diftanza dell' orlo boreale . . . . 20. 18. 42. 00

Semidiametro folare indi dedotto . .00. 16. 55. 81

Diftanza del centro folare dil zenith 20. 35. 8. 12 Riduzione al momento folftiziale , ed

al meridiano Fiorentino 00. 16. 55. 81

Diftanza del centro folare dal zenith ridotta 20. i8. 12. 31

Osservazione XIV.

Del dì I. Luglio.

Diftanza dell' orlo folare auftrale dal

zenith 20. 55. 24. co

LI ij

26S Delle osservazioni

D-n j 11, , , Gradi Min. Min". Cent.

iftanza dell' orlo boreale .... 20. zi. 38. 00

Semidiametro apparente folare indi de- dotto 00. 16. 23. 00

Didanza del centro folare da! zenith 20. 29. 01. 00

Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino 00. 20. 56. 36

Diftanza del centro folare dal zenith ridotta 20. iS. 4. 64

Osservazione XV.

Del dì 2. h'uglio .

Diftanza dell' orlo folare auftrale dal

zenith . . • 20. 59. 46. 00

Diftanza dell' orlo boreale . . . .20. 26. 56. 00

Simidiametro apparente folare indi de- dotto 00. 16. 25. 0°

Diftanza del centro folare dal zenith 20. 43. 21. 00 Riduzione al momento folftiziale , ed al meridiano Fiorentino 00. 25. 16. 00

Diftanza del centro folare dal zenith ridotta 20. 18. 5. 00

Osservazione XVL

Bd dì 3. Luglio.

Diftanza dell' orlo folare auftrale dal • zenith 21. 4- 32- 5°

Diftanza dell' orlo boreale . . - . 20. 31. 42. 50

Semidiametro apparente folare indi de- dotto 00. 16. 25. 00

Diftanza del centro folare del zenith 20. 48. 7. 50 Riduzione al momento folftiziale , ed

SOLSTIZIALI. 269

Gradi Min. Min'. Cent.

al meridiano Fiorentino oc. jo. o. 00

Diilanza del centro folate dal zenith ridotta 20. 18. 7. 50

Della media dijìanx.a del centro folate dal uertice ridotta al momento folJìi7.iale , ed al meridiano Fiorentino .

EfTendo defcritta , come dubbiofa,la prima oflervazione del d\ 15. Giugno , a motivo de' raggi eftranei folari che tur- bavano la terminazione degli orli folari , dovremo efcluder- la , e prevalerci foltanto delle XVI oH'ervazioni fufleguenti dal dì 17. Giugno fmo al dì 3. Luglio. Recapitolando ad- unque i loro rifultati farà

Gradi Min. Min". Cen,

Per r oflervazione II. diftanza dai ze- nith corretta 20. 18. io. 50

Per la III. 5-5°

Per la IV. 12. 25

Per la V S. 50

Per la VI io, 50

Per la VII 9. 75

Per la VIII 12. 25

Per la IX 8. 00

Per la X. 7-75

Per la XI 5. 45

Per la XII 9. 89

Per la XIII 7. 32

Per la XIV 12. 31

Per la XV 4. 54

Per la XVI y. 00

Per la XVII 7. 50

Eflendo la fomma de' fecondi 137". 11 cen. dividendola per le XVI ollerva- zioni , farà la difìanza media folare dal zenith • 20. 18. 8. 55

LI iij

270 Delle osservazioni

Articolo IL

Kìfieffloni filila diftanz^a media già dedotta , e corri fpondenza delle ojfervaz.ioni tra di loro.

Prima di oltrepafTare alle confeguenxe , che da quefte of- fervazioni f] dedurranno, farà ben fatto di riflettere, che la diflanza folare media al zenith ridotta , come è ftato fatto , concorda cosi bene con un buon numero di offervazioni , clie il fuo divario da elle batte ad i'', o poco più.

Tali fono le oiFervazioni V , VII , IX , X , XII , XIII , e XVII. Onde , come ciifcuno potrà rifcontrare , la media difl-anza già dedotta diff^rilce da quefte VII oiFervazioni pref- fochè di i" , argomento ailai certo della precilione di que- ll:e ofl'ervazioni .

Le più difcordanti dalla media, una per difetto, e V altra per eccelfo, fono la XV , e la XIV. La prima ci prefenta 4". 64 cen. Ond' efla è minore della media di . . 3". 91. cen.

La feconda, che è I' ecceffiva , ci dà . . . 12. 31 cen.

che ditièrifce da 8. 55 cen.

di 3". :^6. cen.

Tutte le altre o eccedono, o fcarfeggiano più di i", e me- no di 3'. 36 cent. Il che pure ci palefii l'efattezza di quefte oilervazioni al vaftifiimo Gnomone della Cattedrale .

Merita però , che alla prima rifleinone li aggiunga la fe- conda , particolarmente per gli Agronomi , che non hanna mai fatte delle oilervazioni alle gran meridiane, e perciò ne hanno un' idea molto confufa , per non dire erronea . Que- fta è che una buona parte di tali differenze hanno un' origi- ne, che non dipende dalla natura delle meridiane, ma bensì dall' indole delle refrazioni , che fono fufcettibili di qualche varietà fecondo i venti , fecondo gli ftati dell' atmosfera , che attraverfano i raggi folari , e fecondo i terreflri vapo- ri, che in fu C\ foliev^ano pafTando a traverfo de' raggi, che lì portano o al corno della meridiana , o ancora a telefcopj i più perfetti . Io parlo di quella ofcillazione , di quel tre- molio , che il oflèrva negli orli folari dell' immagine , che

SOLSTIZIALI. ayf

paffa per una meridiana. Il lìlo della penombra , benché affai diitinto, vacilla lenlibilmente ,fcintillando , per cosi dire, co- me fanno le flelle fi ile , ed è cofa all'ai malagevole nel mez- zo di tal tremolio , che i due ollèrvatori o dell' orlo auftra- le , o del boreale pollano con ogni precilione collocare i lo- ro fili ad ugual didanza dal centro . OiTer\ando io attenta- mente tale ofcillazione , e paragonandola alle divilìoni della meridiana , ho giudicato che pafll i a'' per parte . E licco- me tal tremolio dipende dalle attuali, e momentanee difpoù- zioni della terreflre atmosfera , cosi era da fofpettare che lo flello fenomeno accadere ancora ne' migliori telefcopj .

Ho voluto verificare il mio fofpetto colla immediata of- fervazione folare nel fuo palFaggio al meridiano ne' giorni fulfeguenti al d'i 3 Luglio , in cui furono compite le olìer- vazioni allo Gnomone della Cattedrale.

Ho trafcelto un telefcopio acromatico dollondiano di brac- cio I ^ di foco , che fanno qualche cofa più di piedi 3 Pa- rigini. Ho collocato efattamente il filo orizzontale del fuo micrometro , paragonandolo con alcune fabbriche orizzonta- li . Indi dirigendolo al Sole fui punto del mezzogiorno in tal maniera , che il filo radeva precif;imente I' orlo folare boreale, un tal orlo ancor elio vacillava, ora nafcondendoiì affatto fotto del lilo , ed ora trafparendo fopra il medefimo . La differenza per quanto può giudicarfi non era minore di 2", particolarmente in giornate calide , e vaporofe , che fan- no un cambiamento momentaneo , e continuo nell' atmosfe- ra. Per la qualcofa, fé qualche Alìronomo non verfato nelle offervazioni delle gran meridiane volede avere una riprova della loro efattczza , altro far non dovrebbe , che con un quadrante di fei piedi di raggio fare una quindicina , o venti- na di oll'ervazioni prima, e dopo il folilizio e(Hvo,e poi ritef- fendo i fuoi calcoli dedurre la diflanza media corretta . Ben- ché io non abbia fatta alcuna ferie di tali offervazioni , pu- re ardifco di fofpettare, che detta media dilhinza li fcofrerà, o ugualmente , od ancora più dalle altre diilanze medie ri- dotte coi prefente n?io metodo.

In altra ripro\a potremo dedurre intorno alla corrifponden- za di quelle mie offervazioni, riflettendo a" femidiametri fo- lari offer\ati dal dì 19 Giugno fino al di 3 Luglio. E fta-

z-jr Delle osservazioni

to avvertito nel regiftro delle mie oflervazioni , che paflTava una luce fpuria fulla meridiana, la quale alterava il filo del- le due penembre . Neil' offervazione I. tale alterazione era troppo fenlìbile . Era minore nella II , e nella III , ma non fi potè giugnere ad efcludere ogni raggio eftraneo , le non dopo il dì 18. Onde da quel giorno fino all' ultimo la luce dell' immagine era viviffima,e così il diametro della medefi- ma fu maggiore , come fuol efiere , ma reftando coftante la chiarezza dell' immagine fino al dì 3 Luglio ; veggiamo in detto tempo qual corrifpondenza abbiano i femidiametri folari apparenti. II regiftro di tali femidiametri baila per decidere. Sarà dunque femidiametro folare nell'

Ofiervazione IV, Nella V. Nella VI. Nella VII. Nella Vili. Nella IX. Nella X.

min. miri', cen. miri. miri', cen.

16. 21. 25 Nella XI. . 16. 26. 25

16. 24. 55 Nella XII. . 16. 25. 65

16. 21, 50 Nella XIII. . 16. 21. 00

16. 25. 75 Nella XIV. . 16. 26. 12

16. 21. 75 Nella XV. . 16. 23. 00

16. 22. 00 Nella XVI. . 16. 25. 00

16. 22. 25 Nella XVII. 16. 25. 00

Ora tra quefte XIV ofiervazioni calcolando il femidiame- tro medio eflo i\ troverà di 16' 23", 50 centefime, che dalle ofiervazioni efireme per eccefib , o per difetto non difcorda di ?" , e che i\ accorda con tutte le altre con una difièren- za di i" in 2".

Avvertafi,che il femidiametro folare calcolato con le Ta- vole dal dì 19 Giugno al dì 3 Luglio non difterifce , che di -j di fecondo . Onde può confiderarfi nel cafo noftro , co- me coftante .

Non eflendo cotefte le oflervazioni dell' immagine folare colle correzioni delle penembre , come ho fatto nelle ofler- vazioni del 1755 , e 175Ó, non dee far maraviglia, che l'ap- parente femidiametro della meridiana fia maggiore del giu- fto . Ma adoperando la debita correzione , o col metodo del Sig. Manfredi di fottrarre il femidiametro del foco , o coli' al- tro mio metodo efpofto nel mio Tomo dello Gnomone , eflò fi accoflerà a 15', 47", che è il femidiametro calcolato nelle Tavole .

Ancor

SOLSTIZIALI. 173

Ancor qui ripeterò, che facendo fedici , o più ofTervazio- ni con un telcfcopio acromatico , o con un buon quadrante murale , pigliando ne' giorni foUHziali colP immediata mifu- ra il femidiametro folare , forfè la mifura media difcorderà ugualmente dalle mifure eftreme , che non deducali dalle mie ollèrvazioni meridiane.

La riprova tanto delle medie folari dal vertice , quanto de' femidiametri folari in buon numero di offervazioni flarà fempre in mano degli Adronomi , che non hanno la giiifta idea delle grandi meridiane . Ed io altro non pollo fare , che efortargli alla pazienza neceflaria in fomiglianti lunghe offer- vazioni .

Né fa difficoltà , che o per una luce eftranea , o per la caligine dell' atmosfera i femidiametri folari alle meridiane diminuifcano . Poiché la penombra aufirale , e la boreale il" alterano ugualmente. Indi è, che non per quefto refta alte- rata la diftanza del centro .

Articolo III.

Equazione generale additiva alla media dijìanxa ridotta del centro folare dal vertice delT obbliquità delT ecclittica nell' anno corrente 17S2.

Afllcurata, com'è ftato fatto, la difi-anza media folare dal vertice, ed elicendo ftata indi dedotta la detta diftanza ridot- ta tanto al momento fohliziale, quanto al meridiano, ora altro non refta, fé non che applicare alla medefima 1' equa- zione generale già fìffata all' articolo X, pag. 67 della mia prima Diftertazione.

E' compofta tal' equazione , come potrà vederli , di partite additive , e fottrattive , ed il reliduo rimane additivo , ed è fecondo il citato articolo di 20". 6g centelìme , come alla pag. 6S. Eft'endo però inclufa in tali partite quella, che ap- partiene al nodo afcendente lunare del 1775 , che è additi- va, ed ivi è ftata calcolata di o'. 55 centeùme,eflà va efclu- fa nella prefente ricerca , dovendoli introdurre 1' equazione competente all' anno corrente , come iì farà a fuo luogo .

Tomo IL Mni

i74 Delle osservazioni

Adunque detraendo all'equazione dal- la totale di 20". 69 cent. ,

reitera l' equazione per l'anno corrente di 20. 14 cent.

ElFendo adunque la diiìanza media ri- dotta di : . 20°. 18'. 8". 55 cent.

avremo la diflanza dal vertice aggua- gliata per il di folftiziale di . ■• . . 20°. 18'. 28". 69 cent.

Per ottenere 1' obbliquità attuale dell' ecclittica ne' d'i folftiziali del 1782, con- vien ripigliare la latitudine Fiorentina al punto della Cattedrale, che fu da me dedotta con molte oflervazioni della del- la polare 1' anno 175Ó , e 1757. Elfa fu di 43°. 46'. 5

5 •

come potrà vederli nel Tomo dello Gno- mone Fiorentino.

Onde fottraendo la diflanza dalla la- titudine, ne dedurremo l' obbliquità dell' ecclittica pel dì 21 Giugno 1782 di . 25°. 28'. 24". 31 cent.

Articolo IV.

Paragone di tal obbliquità con quella ojjervata da me allo fleffo Gnomone 'nel 1775.

Nella mia Difiertazioiie Aflronoraica pubblicata in Livor- no nel 1776 fono regiflrate tutte le oflervazioni di quel!' anno, ed applicate le debite equazioni è fiata dedotta 1' ob- bliquità di quell' anno.

Prima di farne il paragone, convien togliere dall' equazion generale quella , che vi è introdotta per la dilTerenza della nutazione per la poiìzione diverfa del nodo lunare del 175Ó, e del 1775 , la qual dilFerenza, come è flato rilevato, è di o"'. 55 centelime .

Indi è, che 1' equazione generale ri- duceli a 20. 14 cent.

La media delle XIII ofTervazioni di

Solstizi A LI. 275

quell'anno fu di ic^iS'. 22". 85 cent.

A cui aggiungendo I' equazion gene- rale di 20, 14

42. gg

otterremo la diflanza del centro fola-

re dal vertice di 20. 18

Ma la latitudine Fiorentina è di 43. 46. 53

Onde fottraendo la disianza dalla lati- ~

tudine, farà 23°. 28'. io". 01 cent.

che e r obbliquità attuale del 1775.

A\-vertalì, che tale obbliquità alla pag. 73 di quella Dif- fertazione è fiata dedotta di 23°. 28'. 9". 46 cent., e ciò per l'equazione de' nodi lunari, che ivi è racchiufa , la quale ef- fendo fi-ata tolta, farà 1' obbliquità fenza tal equazione di . , 23°. 28'. 10". 01 cent.

Ma r obbliquità del corrente anno 1782 e di 23. 28. 24. 31

Onde vi (ì fcorge la differenza addi- tiva di 00. 00. 14". 30 cent.

Or quefia differenza , quando farà ridotta coli' equazione del nodo afcendcnte limare , tanto nel 1775, quanto nel cor- rente anno 17S2 , inlieme coli' altra riduzione del periodo fecolare dell' ecclittica, ci paleferà la nutazione totale dell' affé terreftre.

Articolo V.

Paragoni di tale obbliquità con quella della Conofcenz.a de' tempi di Parigi nell' anno corrente.

A di 21 Giugno è regifirata nella Conofcenza de' tempi , che annualmente li pubblica a Parigi, di 23°. 27' 59" Effendo l' obbliquità da me dedotta di 23. 28. 24. 30,

tra l'unae l'altra vi corre il divario di o. o. 25. 30.

Un tal divario nafce dall'opinione feguitata finora da' Com- pilatori di quella Efemeride, cioè, che il periodo fecolare del- la diminuzione dell' ecclittica fia di 47". Indi è , che inco- minciando dall' epoca del 1750,0 altra, che effi hanno fegui-

Mm ij

ii6 Delle osservazioni

tata, le fottrazioni per il periodo fecolare lono ftate maggio- ri del vero. Qualche differenza vi farà pure nell'epoca. Per tal cagione adunque le obbliquità attuali di quella Efemeride farà Tempre minore della vera . Se fi è feguitata l' ipoteli del periodo lecolare di 88", quelli in anni 32 , dal 1750 al 1781 porterebbero la differenza di 28" , che fono piìi di 25". 30 centeiìme . Comunque iìafi , certo è che l' obbliquità di quel- la efemeride è troppo fcarfa . Efla è ancora tale rifpetto alle offervazioni affronomiche fatte in queft' anno a Parigi dal Sig. de la 'Lande a tenore delle quali 1' obbliquità attuale è di 23°. 28'. 16", come apparifce da cortefe lettera del medelì- mo Aftronomo .

Paragonando tale offervazione alle mie , non altro divario fi trova, che di 8".

Articolo VI.

Paragone di tal obbliquità da me ojfervata con quella del 195 6 regiflrata nel mio Volume dello Gnomone .

Per le prime offervazioni fatte allo Gnomone Fiorentino dopo la coftruzione della prefente meridiana , 1' obbliquità dell' ecclittica del 1756 dedotta con gran numero di offer- vazioni fu di 23°. 28'. 15", 58 cent-

Effendo adunque l' obbliquità dell'an- no corrente di 23. 28. 24. 30

tra P una e l' altra vi corre la differen- za di 00. o. 8. 32 cent.

Conviene avvertire , che nel 1756 il nodo lunare va non lungi dalla Libra, come il calcolerà in appreffo . In oltre da tal tempo lino al prefente anno vi corrono anni 26 , a cui fecondo il periodo fecolare di 34". 42 centehme competono 8". 95 centefime . Si vedrà in appreffo nel calcolo , che lì fa- rà della maffima nutazione , che tutto quedo combina colle leggi di detta nutazione , e col periodo fecolare di 34". 42 centefime.

Solstizi A LI. 2.77

Articolo VII.

Paragone della Jleffa obblìquiù con quella , che e regiftrata nella Tavola della mia prima Dij[fertaz.ione.

Alla pagina 82 della prima DifTertazione pubblicata nel 177Ó fono iiate calcolate tutte le obbliquità dell' ecclittica , incominciando dal 1775 lino al 1801. Confultando in detta Tavola 1' anno prefente 1782 vi lì vede regiftrata i' attuai obbliquità dell' ecclittica di ... . 13°. 28'. 25'. 26 cent.

Eliendo efl'a per le oilèrvazioni di 23. 28. 24. 50

non vi li fcorge altro divario che di . o. o. o. 96 cent.

Ora una si ftretta corrifpondenza tra T offervazione e la Tavola f:i ben comprendere, che le ipotefi , fulle quali effa è fondata, fono affai vicine alla veritìi . Qiìefte ipoteli fono , che la nutazion totale fia, non già di iS", ma bensì di 20".

E che il periodo fecolare della diminuzione dell' obbliqui- tà fia, non già di 47", ma bensì di 34" incirca.

Articolo Vili.

Del vero valore della nutazion totale dell'afe terre/Ire dedotto da pili combinazioni maneggiate colle ojjervazioni foljìiziali del 173-6, 1764, 1775, e 17S2.

L' oggetto principale di quefta differtazione è flato quello di veriticare con tutte quelle combinazioni , che li potrà, qual fia il vero valore della nutazione dell' afte terreftre , mentre il nodo afcendente lunare palTa dal principio della Libra lino al principio d'Ariete con moto retrogrado .Quanto una limil ricerca lia rilevante per la moderna Aftronomia , e per cor- reggere , e ridurre con efTa tutte le oilèrvazioni delie flelle Me, e delle declinazioni folari , li comprende da ognuno , fen- za che io mi metta a comprovarlo .

Il Sig. Bradlejo, come è ftato divifiito nell' art. I. , faceva tal nutazione di iS", e deduceva dalle fue oflTervazioni , fat- te dal 1728 al 1747, che con tale ipotefi felicemente fpiegavan-

M m iij

-yS Delle osservazioni

fi alcune varietà , che foffrivano le ftelle tìfle , che non pote- vano foggettarlì né alla legge delle aberrazioni , né a quella della paralaffi dell'orbe annuo. Egli però non nega , che qual- che divario di 2" in 3" Ci ravvifa in alcune polìzioni delle ftelle fiflè.

Dopo di lui tutti gli Aftronomi hanno feguitata la di lui ipo- teli di !§'•' . Se non che il chiariflimo Sig. de la Lande, of- fervando , che tal ipotelì non corrifpondeva a' fenomeni del- le maree , fecondo i quali le forze folari, e lunari avevano una diverfa proporzione di quella, che nafceva da tal ipote- li , propoie , che detta nutazione lì aumentaiie di i" , facen- dola di 19", invece di 18". Ma egli il ferve di tale ipotelì non appoggiandola ad alcuna oflervazione .

Io ho fatto vedere nell' art. I. della Prop. XV, che la nu- tazione, ancora di 20", corrifpondeva beniffimo a' fenomeni delle maree, e ad altri fenomeni della precefìlone degli equi- nozj .

Inoltre nel 1775 io ho adoperata una tale ipotelì per le oflervazioni folftiziali comparative dal 1756 al 1764 , fe- condo le quali fembra indubitato , che la nutazione Ila di 20", ed ancora di più.

Ripigliando ora da capo quefla fottile, ma importante ri- cerca, io mi sterzerò di elaminarla in alcune combinazioni ; e fono le feguenti

o

Co/nbinaz.ioni formate colle oJ[ervaz.ioni [olftiz.zali del ij'^6 . ijóji., 1775, e 1782 , per dedurne la uera nutaz.'ione dell' affé terre/ire .riducendola al principio di Ariete ,0 della Li- bra, e correggendola coir equax.ione del lunar perigeo.

Combinazione I

Delle offervax.ioni del 1756 con quelle del 1764.

Nel 1756 P obbliquità immediatamente ofTervata e dedot- ta con gran numero di ofTervazioni alla Cattedrale fu di 2^°. 28'. i 5". 5S cent.,

come può rifcontrarfi nel mio Gnomone Fiorentino.

Solstizi A LI. 279

Non giungeva allora il nodo afcendente lunare al princi- pio della Libra, e per ridurvi la nutazione mancava 1". On- de la nutazione auftrale farebbe diminuita di quefto i", che è fottrattivo .

Onde l'obbliquitù ridotta al principio della Libra farà di 23°. 28'. 14". 58 cent.

Il lunar perigeo era ne' fegni auRrali, ne' quali era la nutazione. Onde tende- va ad aumentare tal nutazione di i". 92 cent, fecondo il calcolo . Onde in vece di io' tal nutazione era di 11". 92. E così all' obbliquità dell' ecclittica toglieva i", 92 di più , che non fareb- be alla media lunar diftanza , e perciò conviene aggiungere tale equazione di o. o. i". 92

Cosi farà l' obbliquità doppiamente ri- dotta di 23°. 28'. 16'. 50 cent.

Per le ollervazioni del 1764 era T ob- bliquità di 23°. 28'. 32". 17 cent.

come rilevai! da una mia Memoria inedita comporta in quell' anno . Ma qui è convenuto ridurla fecondo il nuovo metodo.

L' equazione per ridurla al principio d' Ariete è infemibi- le , giacché il nodo lunare era così proffimo al o d'Ariete, che mancavano foli 35', che fanno un' equazione infeniibile, come ciafcuno comprenderà.

L' equazione del perigeo lunare era

additiva di o". 82 cent.

onde aggiungendole a

ci palefa 1' obbliquità ridotta di

Ma elTendo trafcorfi anni 8 dal 1756 al 1764, intanto per il periodo fecola- re è accaduta la diminuzione di . . che va fuppiita con as^iuncerla.

Onde r obbliquità con tal nuova ri- duzione farà di 23. 28. 35. 74

Da cui detraendo l' obbliquità ridotta del 1756 23. 28. 16. 50

23.	28. 32. 17
	28. 32. 99
--"■15

2 8o Delle osservazioni

refterà la nutazione corretta di . . . o. o. 19. 24

Combinazione II Delle ojfervaz.ioni del 1764 con quelle del 1775.

L' obbliquità ofTervata nel 1775 fu di 23°. 28'. 9". 46 cent. come potrà rilevarli dalla mia Difl'erta- zione ftampata in Livorno 1' anno fuf- feguente 1776.

Nel detto anno era auftrale la nuta- zione, e non giungeva a o della Libra, mancandone ancora i". 35 cent, le qua- li avrebbero fatto diminuire di più T ob- bliquità . Sicché fottraendo . . . . o. o. i. 35

farà r obbliquità per la prima ridu- zione di 23°. z 8'. 8". 1 1 cent.

L' equazione del perigeo lunare ad- ditiva di I. 26

Onde per la feconda riduzione farà 23°. 28'. 9". 37cent.

Dal 1764 al 1775 fono fcorfì anni II, in cui r obbliquità è diminuita per il periodo fecolare di 3- 7^

Onde aggiungendole farebbe 1' obbli- quità del 1775 per le tre riduzioni di 23°. 28'. 13". 75 cent.

Ma nel 1764 per le due riduzioni

era di 23. 28. 32. gg

Sicché detraendo dalla medefima . . 23. 28. 13. 15

refterà la nutazione di quefta combi- nazione di 0.0. 19" 84 cent.

Combinazione

SoLSTIZIALI. 281

Combinazione III

Delle ojervaz-ioni del 1775 con (juelle dei corrente anno 1782.

Nel 1782 r obbliquità ofTervata fu di 23°. 28'. 24". 30 cent.

Per ridurla al principio dell' Ariete fi aggiunga o. o. o, 24

E per ridurla alla diflanza media lu- nare fi aggiunga 1' equazione . . . o. o. 1.25

Sarà r obbliquità colla doppia riduzio- ne di 23. 2S. 25. 80

Dal 1775 al 17S2 fono corfì anni 7, in cui il moto periodico porta additivi o. o. 2. 40

Onde r obbliquità del 1782 colle tre riduzioni farà di 23. 28. 28. 20

Ma quella del 1775 per le due ridu- zioni era di 23. 28. 9. 31

E COSI la nutazione per quefta combi- nazione farà di 0.0. 18". 89 cent.

Combinazione IV

Delle ojjerva'z.ioni del 1756 con quelle del 1782.

Obbliquità del 1782 colle due ridu- zioni 23°. 28'. 25". 80 cent.

Obbliquità del 1756 colle due ridu- zioni 23. 28. 16. 50

Loro differenza 0.0. 9''. 30

In anni 26 dal 1756 al 1782 la di- minuzione fecolare è fiata di 8. 95 cent, fecondo la folita ragione di 32". 42 per fecolo. Onde fupplendo o. o. 8. 95

ne rifulterà la media nutazione di o. o. 18". 2 5 cent.

Nn

2S2 Delle osservazioni

Recapitolazione delle nutazioni per le W Combinazioni .

Nutazione ridotta per la Combinazione I. 19". 24 cent. Per la Combinazione II. 19. 84 Per la Combinazione III. 18. 89 Per la Combinazione IV. iS, 25

Somma delle nutazioni 76. 22 cent.

Tra le quali la media è di 19. 05 Icent.

Ora tal media nutazione i\. accorda colle altre pili difcre- panti in meno di i".

La più difcorde per ecceffo è la II di 19". 84, e la dif- ferenza è di o". 78 centefime.

La più difcorde per difetto e la quarta di 18". 25,6 la loro differenza è di o". 80 cent.

L' uniformità di tali rifultati , che dipendono da molti ele- menti , ci fa conofcere la loro preciiìone .

Sarebbe maggiore la difcordanza di una coli' altra, fé non s' introduceffe l'elemento del lunar perigeo. Onde quefto vien comprovato col fatto medefimo .

Forfè quefl-o nuovo elemento combinato colla nutazione, che fenza la frazione di 5 -^ centefime può farli in avvenire di 19", cioè 1" di più del Bradlejo , metteva, un accordo mag- giore , non folo tra le ofTervazioni Braldejane , ma ancora tra le altre affaiffime di altri Aftronomi . Ma per decidere vi vo- gliono nuove efattiffime ofiervazioni delle ftelle iìHe fatte con grandi fettori di 14, e di 16 piedi. Intanto però io fiderò la nutazione di 19", e con elTa continuerò gli altri calcoli, che occorreranno.

'"-'Articolo IX. "

Confeguenze , che fi deducono dal vero valore

della nutazione.

■m:ì. 1 ■•.■■..

Confrontando cos'i bene tra di loro le quattro Combinazio- ni dalle quali è ftata dedotta la nutazione totale , potremo con Ikurezza feguire da ora innanzi la media nutazione già

SOLSTIZIALI. 2S3

dedotta di 19. 05,

giacche efla non differifce da' limiti delle ef>reme,e più dif- cordanti , fé non che di o. 80 cent, che è una aflfai piccola frazione . E per fecondare frazioni più femplici , efla potrà fif- iarii di 19. 00.

Prima di far pafFaggio alle confeguenze della nutazione , già determinata, piacemi di fciogliere una difficoltà, che far li potrebbe contro il metodo delle riduzioni , che è conve- nuto fare per ottenere le intere nutazioni . Poiché potrebbe opporli, che tali riduzioni fuppongono la nutazione totale di 20 , onde erte fuppongono fidato quel valore, che per mez- zo di elle va rintracciandoli. Ma fparirà tal obbietto agli oc- chi di coloro, che riiktteranno intorno al valore di tali ri- duzioni, il quale è cos'i piccolo, che 1' errore , che potreb- be nafcere di i", o nell' ipoteii di 9" fecondo il Bradkjo , o nella mia di io', non può mai generare una diflèrenza fen- iibile.

Sia per primo efempio la Combinazione II, nella quale è ftata calcolata la nutazione auftrale di S". 65 centefime , e cos'i la fua equazione del nodo di i*. 35 cent. Se invece del feno totale efpreH'o per io" valelTe quello di 9" , altro non dee farfi, fé non che diminuire detta equazione nella ragio- ne del 10:9, ed allora l'equazione farebbe di i". 215 mil- leiime, che differifce dalla prima di fole 145 millefime.

Minore farà la diflèrenza nella Combinazione I , in cui l'equazione del nodo per il 1756 è di i '. 00 . Onde dimi- nuendo ancor qui nella ragione del io : 9 otterremo o'. 90 cent. con differenza di un decimo di fecondo.

E molto minore ancora farà la riduzione del nodo per il 1782 nella Combinazione III, in cui l'equazione è fiata di o. 24 centeiime . Onde fatta la riduzione farà di o'. 216 millelime .

Indi è che per tal tenuità delle differenze , che nafcono dalle due ipotelì di io' , e di 9" , e molto più di 9" | , il prefente metodo non può mai dirli difettofo .

Che le , effendo ora più precifamente iilfato il vero valore della nutazione , voleffero con effo rifarli i computi delle quattro Combinazioni , fparirebbero cosi quelle piccole diffe-

Nn ij

284 Dklle osservazioni

reiize , che iì oflervano nel primo calcolo, come lì rileverà dalle confeguenze , che ne rifultano .

Ed appunto la prima farà , che le nutazioni boreali , ed auftrali tanto in declinazione, che in latitudine faranno in avvenire ne' medellmi punti del nodo afcendente lunare al- quanto maggiori dell' ipotelì Bradlejana , e minori della mia adoperata nella Diflertazione del 1775. Eliendo adunque nel- la mia Tavola del 1775 adoperata 1' ipotelì di io" , di nu- tazione boreale, ed auftrale, converrà ridurre tutte le obbli- quità vere dal 1775 al 1801 colla nuova, e più precifa ipo- teli di 9". 50 cent. Sicché lafciando tutte le obbliquità me- die tali quali fono ftate in detta Tavola regiftrate , vi occorre la fola riduzione delle obbliquità vere.

Seconda confeguenza . Dovendoli inoltre introdurre la nuova Teoria del perigeo lunare, l' obbliquità, ridotta per la prima riduzione , va modificata per mezzo della poiizione del lu- nar perigeo, fecondo la legge da me divifata nella Teoria.

Terza confeguenza. Combinando infieme le due riferite ri- duzioni, ne nafce una Tavola delle obbliquità vere corret- te dal 1775 al 1802, ed è la feguente

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28T

NUOVA TAVOLA

DilU obbliquita medi; ^ e vere dell' eccl ìttica dal 1775 Jtno al 1802, calcolata fu!!' epoca del corrente anno 17S2 full' ipotefi della nuta'z.ione de' K)', full' cle,nrn- to del limar perigeo , e della fua maffima equax.ione di 2", e Julia latitudine Iìj~ rcntina di 43°. 4Ó". 47".

I	II	IH	IV V	i ^^	VII
Obbliquita medie	Equazioin	Lone,itiidine del Longitudine del	ì Equazione del	obbliquita vera
dal ZI	dell' ecclttiica .	additiva, <	' nodo afcendente perigeo lunare	perigeo lunare	ridotta dell' ecclit-
Giugno		Jottratttva del nodo lu-	lunare			tica
177^		nare . 1
Gradi M .M''. cent. 23. 28. 11.91	Min". Cent. 8. 13 iott.	Segni Ora. M'.M".	Segni Gra. M'.M". X. 7-2.2.39	Secondi Ceni. i". 26. add.	Gra M.M'Cent.
IV. 27. 41. CO	23. 28. 2. 52
1770	I I. 5Ó	5-9i IV. 8.21.17	XI. 18. 9. 1 1	0. II. add.	5- 52
1777	II. 22	3. 08	III. 19. 1.34	0. 28.49. I	0. 46. fott.	8. 6c
1778	10.87	0.48 add.	II. 21. 41. 51 II. 10.2 2. 8	II. 9.28.52 III. 20. 8.42	1 . 74. add. I. 78. add.	13.09
1779	IO. 53	3.. 8	15.49
1780	10. 19	5.96	I. 21. 2. 25	V. 0.55.14	0. 49. add.	Io. 64
17S1	9.84	8.4Ó	I. 1.42.42	VI. 11.35. 4	0. 09. fott.	iS. 2 1
1782 1783	23. 28. 9.50 9. 15	9.27	0. 12. 2 2. 00	VII.22. 14. 5	I. 25. fott. I. 99. fott.	23.28. 17.52
9. 5i	XI. 23. 3.16	IX. 2.54.45	16. 6S
I7S4	8. 81	S.51	XI. 3.43.33	X. 13.41. 17	i. 07. fott.	16. 2J
I7S5	8. 46	6.64	X. 14.23.50	XI. 24. 21. 7	0, 03. fott.	15.07
I7S6	8. II	4.01	IX. 25. 14. 7	I. 5. 0.58	0. 65. add. [23. 28. 12. 77]

Nn

"J

zS6

Dhllh osservazioni

^nni OUUquità mcdia\	Equazione	'longitudine dei no-\	Longiii	dine del pe-\	Equazione I	Ohbtiqiiità 'Vera
dal li	1-/.'' eccliUica	xJditiiu , 0 do ajccndente luna-\,	■igeo lunate \del perigeo'	■idotta dell" ec-
Giugno		[ottratti'va 0:'y il nodo h<na,e	■e		1	unare	■liitica
	Gra. M'. M'.Cent.	Secondi Cent.'	Segni Gradi M'. M". IX. 25.44.24	Segni Gradi M'. M".' Secondi Cent.^	Gra. M: M'.Cent.
1787	1-11	0. 44 add.	il.	i5.4o.48'o. 99 add.	g'. 9". 70
I7SS	7.42	2.25 fott.	vili. 16.24.41	111.	26. 27. 20	I. 64 fott.	6. Si
I7S9	7. oS	5. 14	VII. 27. 4. 5S	V.	7. 7. IO	c. 33 fott.	2.27
1790 1791	6. 74	7. 50 9. 00	VII. 7.45-15	VI.	17. 4. I	0. 19 add.	23. 27. 59. 05
^■39	VI. 18.25.32	VII.	28. 27. 51	I. 43 add.	55.96
1792	6. 05	9-49	V. 29. 5.49	IX.	9.13.23	I. 96 add.	55.60
1793	5-71	8.91	V. 9. 46. 6	X.	19.53. 13	0.86 add.	55-94
1794	5-37 5.02	7-31	IV. 20. 26. 23 IV. I. 6.40	0. I.	0. 33. 4 II. 12. 54	0.00	23. 27. 58. 06
1795	4-99	0. 86 fott.	23. 28. 0. 89
1796	_ --':lJ, 4.68	1-93	III. 11.46.57	11.	21. 59. 26	1.95 fott.	4. 6ó
1797	• ■ 4-33	0. 27 add.	II. 22. 27. 14	IV.	2.39. 16	I. 43 aJd.	5-93
I79«	3-99 3.65	4-39	II. 3. 7. 3 1	V. vir	13..19. 7	0. 19 add.	23.28. 8.57 IO. 19
1799	6. 84	I. 13- 47- 4'-^	23.58.57	0. 30 fott.
l8co	-- 3-30	8.64	0. 24. 28. 5	vili	• 4-38.47	1 . 6 1 fott	10.33
1801	2. g6	9-45	0. 5. 9. 0	IX.	15. iS. 37	I. 88 fott	10.53
1S02	! 2.62	0. 20	XI. 15.49. 0	X.	25. 58. 28|o. 65 fott. 1 23. 2S. li. 17

Rijìeffìoni falla nuova Tavola dille obblìquita medie, e vere dell' ecclittica.

La Tavola delle obbliquità da me regiftrate alla pag. 28 della Diflertazione del 1775 va ridotta fecondo le nuove offer-. vazioni o rifiiltati del corrente anno 1782.

Per uniformarfi all' epoca di Parigi , nella feconda colon- na vanno fempre detratti 6" dall' obbliquità media , eifendo fhito fibrato di fcemare la latitudine Fiorentina di 6" ed aumentare la Parigina di 2''. Allora tanto in Firenze, che a Parigi 1' epoca dell' anno prefente porterà

r obbliquità di 23°. 28'. 18'

cioè 6' di meno delle mie offervazioni , e 2" di più delle ofTervazioni Parigine , fecondo la quale ella è ftata di 23. 28. 16 ,

come apparifce da lettera a me fcritta dal Sig. eie la Lande .

SOLSTIZIALI. 287

Siccbc iiicoininciando la Tavola , in detto anno 1' obbii- quità media e regiftrata di z^- 28. 17. 91. centefime ; e fatta la riferita detrazione farà di 23. 28. 11. gì. centelìme , e così difcorrendo di tutte le obbliquità medie lino al 1802, dove la Tavola fìnifce.

Nella terza colonna di detta Tavola è regiftrata V equazio- ne o additiva,© fottrattiva della nutazione, la quale ho cal- colato fecondo l' ipotefi ivi adoperata della nutazione fempli- ce di io". Ma è flato dimoftrato nelle recenti ofiervazioni , che detta nutazione dee liimarlì di 9'' i , giacche la nutazio- ne comporta viene di 19' con una tenue frazione ,clie (ì trafcura . Indi è che ritenendo le fteile equazioni , che iblo vanno fcemate nella ragione del 100 : 95 ; così otterremo 1' equa- zione corrifpondente alla nuova ipoteù di 19', o che lia ad- ditiva, o fottrattiva .

Una nuova colonna merita la nuova Tavola per 1' elemen- to del lunar perigeo , introdotto da me nel calcolo delle nuta- zioni. La fua maflima equazione auflrale , o boreale fi fa da me di 2" , e potrà fempre rettilìcarli dagli Ailronomi con nuove, e lunghe olfervazioni .

Per tal nuova equazione bifogna riflettere primieramente , che quando il lunar perigeo ritrovafi o nel principio dell'A- riete , o in quello della Libra , la fua equazione è nulla, giacche allora operano le medie diftanze lunari , che non aumentano, né diminuifcono le nutazioni.

In fecondo luogo, che quando il detto perigeo trovali nel principio del Cancro, allora l'equazione è mallima boreale, giacche alla minima diflanza lunare dalla terra dee corrifpon- dere la maflima fua energia , ed alla maflima diftanza la mi- nima azione .

Che Umilmente, quando il perigeo trovali nel principio del Capricorno, allora la nutazione aullrale è maflima, e la bo- reale è minima . Indi è, che in tali due cali compete l'equa- zione di 2" additiva, o fottratti\-a . Stando il perigeo al prin- cipio del Cancro la nutazione boreale va accrefciuta di z'', e r auftrale va fcemata di 2" .

Stando efl^a al principio del Capricorno la nutazione auflra- le va aumentata di 2 ' , e la boreale va fcemata di 2" , fe- condo che trovali la nutazione.

aSS Delle osservazioni

- In generale quando la nutazione , ed il perigeo fi trovano ne'fegni della medelima fpecie,cioè o boreale o aufirale , amen- due, allora l'equazione del perigeo è additiva all'attuai nuta- zione . Ma quando al contrario la nutazione , ed il perigeo fi combinano in fegni di fpecie diverfa , cioè eiFendo la prima ne' fegni boreali , il fecondo trovali ne' fegni auftrali , e per converfo, allora l'equazione del perigeo è fottrattiva alla nu- tazione attuale.

Tale addizione , o fottrazione va cosi ofTervata , quando trattafi di voler computare la nutazione attuale comporta , cioè la nutazione, che I' Aftronomo deve oflervare . Mutano però i fegni di additivi in fottrattivi, e per converfo, quan- do trattali di dedurre le nutazioni totali dalle nutazioni im- mediatamente oflbrvate, come è fiato praticato nelle mie IV Combinazioni, da cui è fiata dedotta la nutazione del polo.

Oliando il lunar perigeo foiTe lontano da' quattro punti in- dicati, cioè da' due punti equinoziali , e da' due folfiiziali, al- lora le equazioni fono in ragion duplicata de' complementi de' feni di quegli archi, che o a defila, o a finifira li trova- no lontani da' due punti folfiiziali. Cosi fé in un dato tempo il lunar perigeo lì trovaflè a fegni III gradi 20. dell' Ariete, allora efi'o farebbe difcofio gradi 20 dal o del Cancro . Il fuo complemento farà dunque di gradi 70 . Onde facciali , co- me il quadrato del feno totale al quadrato del fèno di gradi 70, così il 2", che è l'equazione maOima , al quarto termi- ne, che farà l'equazione del perigeo lunare.

La (ìeffa equazione farà, fé il perigeo fé ne fcoftafie dalla parte oppofia , come accaderebbe , quando fi trovafl'e a II fe- gni 10% , poiché allora fi fcofterebbe dal Cancro gradi 26, come dianzi, e così dee ricercarfi 1' equazione con gradi 70, come prima. Se tal equazione iì combina colla nutazione bo- reale , che è della fteflk fpecie ,e({a. farà additiva ; ma incon- trandofi colla nutazione aufirale , divien fottrattiva, come è fiato già rilevato .

Tali fono le leggi colie quali è fiata calcolata la colonna IV della nuova Tavola , notando in ella folamente il valore dell' equazione del perigeo . La fpecie di additiva , o fottrat- tiva dipende dalle due fulfeguenti colonne , cioè V , e VI : nella V vien regifirata la longitudine del nodo afcendente lu- nare ,

SoLSTIZIALr. 289

nare , che e la medelìma della Tavola dei 1775, ed aggiun- gendovi pi"»" , deducelì la nutazione . Nella fefta poi fi collo- ca la longitudine del lunar perigeo.

Paragonando inlieme le longitudini della colonna V colla giunta di gradi 90 con quella della VI , fé effe fono della fteìlà fpecie , 1' equaiione del perigeo lì aggiunge all' equazio- ne del nodo, e fé fono di fpecie diverfa, li fottrae .

L' ultima colonna, cioè la VII della nuova Tavola, con- tiene l'<;bbliquità attuale dell' ecclittica totalmente ridotta, tal quale devcii oH'ervare dagli Agronomi nelT anno che corre . Tutti quelli precetti li renderanno più chiari negli efempj , che ne addurrò.

Esempio I

Per r anno 1775.

Effendo quello 1' anno primo della Tavola , in eflb note- remo l'obbliquità media corretta di 2j°. 28'. 11". 91 cent, colla fottrazione di 6".

L' ei.;uazione fottrattiva del nodo è di S". 45 cent, che \a diminuita nella ragione del 100 : 95 . Onde effa farà di 8". 15 centetime. L' apogeo lunare nel Gennaio del 177J era a 3*. iS'. 12'. Onde il fuo perigeo era a 9'. iS". 12'. Il fuo moto lino al 21 Giugno è flato fecondo le Tavole di 19°. 9'. Onde il lunar perigeo il di medelimo era a lo^ 7°. 21'. Cioè eilo era ne' f-gni auflrali; e trovaVali gradi 37'. 21' di- ftante dal Capricorno. Il complemento era dunque a 54°, 49', il cui feno è di 7949 al raggio di loooo. Onde fé facciali , come il quadrato del feno totale al quadrato di 7949, cosi 2' al quarto termine, quello ci darà l'equazione del perigeo , che farà di i". 26 centelime.

La longitudine del nodo in detto anno era di IV. 27.41 ; a cui aggiungendo 3 fegni la nutazione trovali a VII. 27. 41. cioè audrale . Onde eliendo aullrale pure il perigeo , la fua equazione farà additiva .

Onde farà la nutazione auflrale per il nodo 8". 13 cent.

Equazione del perigeo i. 26

Somma la nutazione 9-39

Tomo li. Co

29° Delle osservazioni

che va detratta dalla media obbliquità di 23. 28. 11, 91, Onde verrà l'obbliquità attuale oiTerva-

bile di 23*. 28'. 2". 52 cent.

Eflà era nella Tavola del 1775 di 9". 46 . Ma detratti 6" per la correzione della latitudine, e di più i". 26 per il pe- rigeo , e ridotta 1' equazione diminuendola , come 100 :95, ne viene la nuova obbliquità di . . 28. 28. 2. 52 cent.

Esempio II Per r anno corrente 1782.

Per paragonare le oflervazioni dell' anno corrente al cal- colo della nuova Tavola , avremo 1' obbliquità media di ef-

fo di 23". 28'. 1 5". 50 cent.

come alla pag. 82 della citata DifTerta-

zione, e detratti 6", fono 9-50

In efla 1' equazione del nodo è di 9". 76 cent, che va ^cq- mata nella ragione del 100:95, come è ftato rilevato, per- ciò effa farà di 9". 27 centelìme .

Per pafTare all' equazione del perigeo , la fua longitudine al principio di Gennajo dell' anno cor- rente era a VII. 3". 5'.

Il fuo moto fino al 21 Giugno di . . . 19. 9'.

Onde la fua longitudine a di 21 era . . . VIP. 2 2*. 14'. Si deve cercare il feno di 52°. 14' , dal cui quadrato di- pende l'equazione del perigeo, che larà di 1". 25 centelìme. Effendo adunque la nutazione boreale , e la longitudine del perigeo auflrale,la fua equazione va de- ■,,• , tratta da v , , 9. 27

Onde l'equazione ridotta farà di .

la quale effendo aggiunta all' obbliquità media , .

ci palefa r obbliquità attuale del 1782 di 23. 28. 23. 52 Ma effa è ftata da me offervata di . . 23. 28. 24. 31. Onde la differenza tra'l calcolo e l'of-

		I.	25
		8.	02 ,
23.	28.	15-	505

SOLSTIZIALI. 291

fervazione farà di 0.0". 79 cent.

Colla detrazione folita de' 6'', efla de- ve regiftrarlì nella nuova Tavola di 23. 28. 17, 52 , che dilferifce di i". 31 dall' obLIiquità oficrvata in Parigi.

QLiella della mia prima Tavola di 2 ^•. 28'. 17". 52 cent, riefce alquanto eccelfiva , perchè in efTa manca 1' equazione del perii-^eo , e perche^ 5nc'>:-a in oda iì fuppciie la femplice nutazione di io", e non già di 9" 7 , come nuovamente è ftata dimoftrata .

Articolo X.

Della maniera di far corrifpondere le attuali obbliquita dell' ecclittica oJJ}ruate in Firenz.e colle analoghi ojjervaz.ioni di Parigi.

Fino dalle mie prime ofTervazioni folftiziali del 1756 , il Sig. Ab. la Calile mi refe avvifato, che tra le fue e le mie ofTervazioni full' obbliquità dell' ecclittica vi era una differen- za di 5' in 6'', come rilevafi da una fua corteliffima lettera fcrittami immediatamente dopo 1' edizione del mio Gnomo- ne. Avendolo egli letto, e conliderato , fi compiacque della fua gentile approvazione, come di tutte le oHervazioni,e riful- tati , e foltanto mi accennò , che per far concordare inlieme le ofTervazioni Parigine e Fiorentine ballava detrarre 6" dalla latitudine Fiorentina, tìfiata in quel vo- lume di 43°. 46'. 53"

Se dunque facciali una tal detrazio- ne , efla refl^a di 43. 46. 47

Ora fé da efTa fi detraggano . . . 20°. 18' 28". 69 cent, reflerà 1' obbliquità dell' ecclittica dell' anno corrente di 23". 28'. 18" ,

tralafciando la piccola frazione . Ma è flato già avvertito, che nel folflizio di quell'anno l' obbliquità oflervata dal Sig. de la Lande con ogni maggior diligen-

2a e fiata di 23". 28'. 16".

Onde la difierenza di 2' , che refla , è cos'i tenue , che in avvenire le ofiervazioni Parigine e Fiorentine potranno dir- fi concordi . - -

Oo ij

292 Delle osservazioni

Ma per le nuove oflervazioni , e ririedi fatti dallo fteflo- chiariffiino Agronomo nel fuo quarto volume dell' Aftrono- mia il periodo focolare della diminuzione dell' obbhquità è llato dedotto di 33'' -, , che pochidimo diiTerifce dal mio di 34". 42 centelìme . Dall' uniformità adunque tanto del pe- riodo fecolare , quanto dell' epoca dell' obbliquità del corren- te anno Ì782 ne dovrà nafcere una perfetta corrifpondenza delle future obbliquità tanto medie , che vere , si iiell' Efe- meridi Parigine , che nella mia nuova Tavola . E tal corri- fpondenza farebbe ancora maggiore., fé nelle annuali obbliqui- tà dell' ecclittica delle future Efemeridi Franceli vi ii introdu- cefl'e r elemento del lunar perigeo , che può cagionare una nuova difcrepanza di 2', o additivi, o fottrattivi .

Ed affinchè quefta terza riduzione apparifca ancora nella mia Tavola, in elfa oltre la terza colonna delle obbliquità ve- re ridotte colle prime due riduzioni , vi ho ancora foggiunta la quarta, in cui è introdotta quefta terza riduzione. Dalla terza alla quarta colonna non vi è altro divario, che di foli 6" , che fono flati fottratti dalla terza colonna per la cor- rifpondenza delle oflervazioni Parigine, e Fiorentine.

Articolo XL

Tavole delle nutaz.ioni ^ e degli elementi y che fi fuppongona

Eflèndo flato più precifamente determinato il valore dell» nutazione colle quattro combinazioni difcufle nell' articolo Vili, le nutazioni corrifpondenti a' diverii punti del nodo lunare riefciranno alquanto maggiori delleBradlejane ,e minori delle mie, che fono ftate computate nella DiiTertazione I colla fi- gura dell' analemma . Veramente era alTai comodo il valore di io" ivi adoperato in quella corruzione. Poiché in tale ipo- teli le nutazioni venivano a corrifpondere a'feni de' comple- menti in diverfi quadranti del nodo lunare afcendente ; lad- do\e facendo il raggio di 9" , come il Bradlejo , di 9"- 5^ centeiime, com' è ftato da me dedotto , i feni delle Tavole Trigonometriche non poflbno più rapprefentare le nutazioni fenza una correzione.

SOLSTIZIALI. 295

Vero è , che quefla e fcmplicidìma . Poiché dato il feno dell' arco , che corrifponde ad una data polìzione del nodo j altro non dee farli, fé non che diminuire lo (t-effo feno nella ragione del io : g \ cofa affai facile . Adunque con tal ri- duzione e fiata formata la Tavola I , nella quale , come o- gnuiivede,le nutazioni fono le medelime ne' fegni boreali, e negli auftrali, colla fola differenza , che efTe ne' primi fono additive al polo medio, e ne' fecondi fono fottrattive . Indi è , che ne' titoli della Tavola li mettono inlieme 1' Ariete e la Libra, il Toro e Io Scorpione ecc. Poiché la nutazione è la medelìma , ma per 1' Ariete è additiva , e per la Libra è fottrattiva . E cosi dicali degli altri fegni , come leggeli ne* niedelimi titoli .

Oo iij

294

Delle osservazioni

	T	A V	0 L	A I.
Della nutaz.ions dell' Affé	terrejìre fecondo le	diverfe	longì-
tudir	u del nodo	alcendente lunare ^	«e//' ipotefì .,che la	fem-
pi ice	nutaz.ione	aujlrale ,	0 boreale	fi a di 9'	3 a •	ii Zod.
Gradi le lon Uni d do lui	Sigili Zod. 0. VI.	5f?	ni Zod.	Segni Zod.	Se^ni Zod.	^ Segni Zod.	S^'
1.	VII.	II.	vili.	Ili	IX.	IV	. X.	V.	XI.
1 ^?v^	nor. Jluft.^Bo,	-. .^«y?.	Bor. JluQ.	ylii/ì. Bor.	.Auli. Bor.	.Alti	;. Bo/-.
???r	Nut.		Nut.		Nut.	o"	~^i6l	Nut.	Nut. J
1°.	9". 49 8	8"	141	4'	. 607	4".	S92	8".	303
2	9. 494	8.	056	4-	455	0.	33^	5-	035	8.	3S8
3	9. 487	7-	961	4-	Z'^ì	0.	504	5-	168	8.	464
4	9. 471	7-	87T	4-	161	0.	665	5-	313	8.	53^
5	9. 462	7-	780	4-	000	0. 0.	82Ó	5-	443	8. 8.	637 ór.
6	9- 443	7-	965	3-	866	988	5-	591
7	9. 434	7-	581	3-	yoj		159	5-	7^5		740
8	9. 405	7-	4S5	3-	5 53		310	5-	842	d.	806
9	9. 376	7-	381	3-	401		482	5-	9'/ì	8.	863
IO	9. 34S	7-	277	3-	249		643	6. 67'	ICS	y.	9Ì0 977
1 1	9. 319	7-	163	3-	0S7		S14
12	9. 291	7-	058	2.	935		976	6.	355	9-	034
13	9- 253	6.	945	2.	764	2*	137	6.	479	9-	082
14	9. 215	6.	830	2..	612	2.	299	6.	593	9-	129
IJ	9. 177	6.	717	2. 2,	450	2. 2.	450 612	6.	717	9- 9-	_i77 215
IO	9. 129	6.	593	299	6.	830
17	9. 082	6.	479	2.	137	2.	764	7-	945	9-	^53
i8	9. 034	6.	355		976	2.	935	7-	058	9-	291
19	8. 977	6.	232		814	3-	087	7-	163	9-	319
20	8. 910	6.	loS		643	3^	240 401	7-	277	9-	348
21	8. 863	5-	975		482	7-	381	9-	376
22	S. 806	)-•	842		310	3-	553	7-	486	9-	405
^3	8. 740	5-	719		159	,?•	7° 5	7-	581	9-	434
24	S. 693	5-	591	0.	988	^	866	7-	965	9-	443
i5	8. 637	5-	443	0.	826	4-	009	7-	700	9-	462
26	8. 531	5-	313	0.	665	4-	161	7-	875	9-	47»
^7	8. 464	5-	16S,	0.	504	4-	313	7-	961	9-	487
28	8. 388	5.	035	0.	332	4-	45 5	8.	056	9-	494
29	8. 303	4-	892	0.	161	4-	607	8.	141	9-	498
30	8. 227	4-	750	0.	eoo	4-	7i0	S.	227	9-	JOO

S O L S T 1 7. 1 A L I . 295

Per intelligenza della preferite Tavola convien ridurli a me- moria, che data la longitudine del nodo afcendente lunare, per trovare nel cerchietto delle nutazioni, ovvero ncll' ana- lemma da me defcritto nella Diirertazione del 1775, convie- ne a detta longitudine a<z:ijiungere gradi 90 , o lìano lejni III , ed a tal punto , o punti corrifponde 1' arco , ed il feno della nutazione cercata. Cosi per efempio lìano dati nella Ta- vola fegni VI, gradi io longitudine del nodo lunare colla giunta de' fegni tre, avremo fegni IX. gradi io. Onde la li- nea della nutazione fi troverà a gradi io dopo il Capricorno, il cui complemento è di gradi 80. Diminuendo il feno di detti gradi nella ragione del 100: 95, rinverrallì la nutazione di 9". 34 cent. , e tal nutazione e auftrale , perchè trovali ne' fegni auftrali . Perciò nella Tavola a fegni VI, gradi 10. s' incon- tra la riferita nutazione col titolo di auftrale , come elTer deve .

L' ipotefi , nella quale procede, la prefente Ta\ola , li è che la nuta/.ione comporta lia di 19', come rile\'afi dalle quat- tro Combinazioni. E cos'i la nutazione femplice farà di 9 i- , iicchè il fen totale farà al feno dell'arco dato, come il 100 al 95. E con tal analogia lono Hate conteggiate tutte le nu- tazioni della prefente Ta\ola

Dato che lia il fegno , ed il grado , nel quale trovali il nodo afcendente hinare , altro non dee farli , che pigliare il fegno, o fegni nella colonna orizzontale in tella della Tavo- la, e poi nella prima colonna verticale appuntare il numero de' gradi . Dove le due colonne corrifpondenti s' incontreran- no inlìeme, ivi li troverà regillrata la nutazione, che lì do- manda . Cosi domandili la nutazione competente a fegni V gradi 17. I fegni V fono nell' ultima colonna coli' indica- zione di aujìrali . I gradi 17 s' incontrano nella prima co- lonna verticale ; do\-e la linea del 17" incontrati colla linea de' fegni VI, li troverà la nutazione di 9". 25 centelìme . E quella farà la nutazione aullrale competente alla data longi- tutline del nodo. QLiefta difpoliz.ione di Ta\ola mi fenibra più femplice di altre limili , giacché non occorre qui aver 1' av- vertenza di pigliare ora i leni degli archi, ora i feni de' loro complementi. In quella Tavola tutto è racchiufo, fenza fare una tal diftinzione .

296 Delle osservazioni

Ellcndo uguali le nutazioni auftrali , o boreali ne' punti corrifpondenti ,e(re nutazioni nella Tavola ricorrono due vol- te , e ciò appunto porta il vantaggio di non dover badare a' complementi, o a' feni diretti.

Non mi fon curato di calcolare le nutazioni più minuta- mente , che a gradi , perchè colle proporzionali tra un gra- do all' altro fi giunge a tutta V efattezza , che mai in tal materia deliderali .

Che fé io nelle frazioni delle nutazioni non folo ho ri- guardato le parti centelime , ma vi ho ancora aggiunte le mil- lelime , quefto è ftato appunto per ottenere le parti propor- zionali con tutta la precilione . Sono ftate pur neceflarie le parti millelime per diftuiguere le nutazioni de' primi, e de- gli ultimi gradi del quadrante , le quali dilFerifcono meno di una centelìma , e perciò fenza le parti millelime farebbero tornate uguali tra di loro. Il che non può ftare .

Qi^iefi-a adunque farà la Tavola I , per ottenere le nuta- lioni corrifpondenti alle diverfe longitudini del nodo afcen- dente lunare , fenza la riduzione già accennata del perigeo lunare, il quale nelle minori diltanze lunari aumenta le nu- tazioni, e nelle maggiori le diminuifce di una maniera, che a me fembra feniibile .

Volendo poi introdurne 1' elemento del lunar perigeo , la cui azione non è aliàtto infenlibile , ma fa variare la nuta- zione almeno di 2" per parte , cioè si dalla parte boreale , che dall' auftrale , alla prima Tavola farà bene di aggmnge- re la feconda, per 1' equazione propria del detto perigeo.

La maffima equazione , tanto boreale , che auflrale li fiip- pone di 2", benché elfa podà farli gualche cofa di piìi . Non- dimeno elTendo piccola la frazione , ho giudicato di traiafciar- la, e ciò tanto più, quantochè le azioni momentanee lunari vanno riportate al centro de' momenti, tanto nel femidiame- tro fuperiore dell' equatore , quanto nell' inferiore . Qiiefti due centri fono tra loro lontani un feniidianietro , ed -| <^i elio . Il che fa diminuire 1' azion lunare rifpetto a quella , che folle riferita a' due punti eflremi del diametro dell' equa- tore . Comunque fiafi , io filmo , che 1' equazione mallìma del perigeo pofla edere affai proflìma a 2", e cosi la fuppon- go nella Ta\ola. In effa ancora le diverfe equazioni fono le

medelìme

SOLSTIZIALI. 2gj

TTiedefìme per i fegni boreali, ed auftrali del limar perigeo, e Ibltanto occorre la diHèrenza de' fegni; poiché fé la nuta- zione , ed il perigeo fi trovano ne' fegni della medelìma fpecie, cioè amendue boreali, o amendue auftrali, l'equazio- ne farà additiva. Ma trovandofi la nutazione, ed il perigeo ne' fegni di diverfa fpecie, cioè uno ne' fegni boreali, e 1' al- tro negli aurtrali, ovvero al contrario , allora 1' equazione del perigeo farà fottrattiva dalla nutazione o boreale, od auftrale . Ancora nella prefente Tavola dobbiamo prima determinare il feno del cerchio , che corrifponde alla prefllone del peri- geo , e poi diminuire tal feno nella ragione del 10:2 ; co- si farà

Tomo II Pp

	zgS			D	ELLE		OSSERVAZIONI
1		i	A V	OLA li.
Dell' equazione delle nutax.ioni per	/' elemento del	luna}
	perigeo	, (iipponendo r eqnax.ione majjìma di	2 feco'fidì .
	Segni	Equazione	I. e	VII.	II.	e Vili.	IH.	e IX.	IV.	e X. V.	e XI
	O.eVI.	dd	perigeo	Equazione	Eq	nazione	Equazione	Equazione	Equazione
	Gradi . 0.	Min	■'.Miti.	Miì	".Mi/l.	Min'.MiU.	Min	".Miti.	Min	■'.Min.	Mi	n'.Mill.
	0''.	000
	i	0.	COI	0.	530		530	2-	000	I.	500	0.	499
	2	0.	002	0.	561		559	!•	999	I.	469	0,	470
	3	0.	005	0.	593		5«7	!•	997	I.	438	0.	440
	4	0.	009	0.	625		615	!•	994	I.	406	0.	412
	5 6	0.	015	0. e.	657 690	—	642 669	I-	990	I.	3 74	0.	3«4 357
	0.	02 I	I .	9S4	1 .	34'
	7	0.	029	0.	724		695	I-	978	I.	309	0.	330
	8	0.	03S	0.	757		719	!•	970	!•	275	0.	505
	9	0.	048	0.	791		743	I-	961	I.	24:	0.	280
	IO I I	0.	058	0.	826		765	I-	951		20S	0.	256
	0.	072	0.	860		787	I.	939		173	0.	*> O T
	12	0.	090	0.	«95		809	I.	927	I •	^39	0.	2 l 1
	15	0.	I IO	0.	929		828	I .	913		104	0.	190
	14	0.	117	0.	964		848	I .	896		070	0.	170
	15 16	0.	134	0.	999	—	870 8S3	I-	883		034	0.	151
	0.	151		034	1 .	S70	0.	999	0.	134
	17	0.	170		070		896	I.	848	0.	964	0.	117
	18	0.	190		104		913	I .	S28	0.	929	0.	I IO
	19	0.	21 I		^39		927	I .	809	0.	^9 5	0.	090
	20	0.	233		173		939 951	1-	787	0. 0.	860 826	2. 0.	072 058
	21	0.	256		208	I .	765
	22	0.	280		242 I.	961	I.	743	0.	791	0.	048
	23	0.	305		275		970	I.	719	0.	757	0.	038
	24	0.	330		309		97S	I .	695	0.	724	0.	029
	^5	0.	357		341		984 990		669	0.	Ó90	0.	021
	26	0.	384		374	I,	642	0.	657	0.	015
	27	0.	412		406		994	I .	615	0.	625	0.	009
28	0.	440		438		997	I.	5^7	0.	593	0.	005
29	0.	470		469		999	I.	5->9	0.	561	0.	002
	30 1	0,	409 I.	500	2 ,	eoo	I-	530 0.	530	0,	001

SOLSTIZIALI. 199

La maniera di fervirlì di quefta Tavola è ftata già accen- nata all' arr. IX.

Nondimeno per facilità maggiore, foggiungerò, che all'e- quazioni di quella TaVola non ho aggiunta la circoftanza di aultrale , o boreale , perchè efla defumelì da' medelimi fegni notati in fronte della Tavola , giacché dal fegno O lino a VI, cioè dal principio di Ariete lino al principio della Libra , i fegni fono boreali, e perciò boreale pur farà l'equazione del perigeo . Ed al contrario dal fegno VI al XII il perigeo lì troverà dalla parte auftrale , e così pur farà 1' equazione del mede limo .

Qiiando poi quefta equazione fia additiva , o fottrattiva dalla prima, cioè dalla nutazione del nodo, non può conofcerlì dalla Tavola , ma combinando inlieme la fpecie delle due equazioni; fé elfe liano amendue della ftelTa fpecie, cioè amendue auftrali, o amendue boreali , allora farà fegno, che l'equazione del peri- geo farà additi\a all' equazione del nodo : e quando al con- trario la prima nutazione fia ne' fegni diverlì dalla feconda , allora farà indizio, che l'equazione del perigeo farà fottratti- va a quella del nodo, cioè alla priina , e principal nuta- zione .

Qi^jando poi tal nutazione farà corretta coli' equazione o ad- ditiva o fottrattiva del perigeo, allora ella cosi corretta deve o aggiungerli , o fottrarlì dall' obbliquità media dell' ecclittica .Bi- fogna adunque attentamente conliderare , che I' equazione del perigeo è fatta per ridurre quella del nodo, ma quella così ri- dotta deve avere i foliti titoli di additiva, o fottrattiwa della media obbliquità , Si fa, che è additiva , quando la prima nuta- zione cade ne' fegni boreali, e che è fottrattiva, quando efTa trovali ne' fegni auftrali .

Ancora in queftaequazione vi ho computate le parti millelì- me, non perchè pofla giungerli a tanta fottigliezza , ma per poter diftinguere le equazioni de' gradi prolfimi a fegni III , e IX , i quali gradi fenza le railleiìme farebbero di i. 99 dal primo grado fino al quinto.

Suppongo in quella Tavola la maffima equazione di 2", tan- to auflrale , che boreale. Onde nella lor fomma farebbe un divario di 4" dalla malTima alla minima diftanza lunare. E' flato già avvertito, ma qui convien rammentarlo, che in re-

Pp ^j

Soo Delle osservazioni

alta il calcolo fomminiflra una frazione di più . EfTa però è ftata tralafciata per non eder confiderabile . Vi farà fempre modo di meglio rettificare tal maffima equazione.

Intanto pcvò con eifa li fpiegano akune dillerenze che (i oflTervano nelle ftelle fiffe, alcune delle quali non li foggetta- no accuratamente alle leggi della prima nutazione.

Inoltre non lafcierò di avvertire, che le equazioni fon cal- colate col Teorema della ragion duplicata de' feni delle lon- gitudini del perigeo, e non già nella ragion femplice , perchè cosi è dimoftrato in un particolar Teorema .

Se ho fcelto piuttorto il perigeo, che l'apogeo, ciò ho fat- to per avere fempre piìi in vifta la cagione degl' incrementi della nutazione . Vero è che poteva ancora adoperarli I' apo- geo lunare , mutando i titoli delle addizioni , o fottrazioni.

Merita ancora, che lì aggiunga per facilità delle due Tavo- le, che efTe potrebbono formarli con una fempliciflima corru- zione ^ Poiché lia , nella figura , ADB un mezzo cerchio , il

A 'A

qual fia defcritto con un raggio dì pollici 5.

Col femidiametro CD, e colla proporzione , che paffa trx IO, e 9 -^ fi trovi la quarta proporzionale €E , e collo ftelTo femiaflè maggiore CB, e minore CE defcrivalì V ellilli AE^B .

Similmente facciafi CF = a parti 2 del raggio CD fuppo- flo di parti io, e col femiafle minore CF defcri\afi la feconda elIifTì AFfB, dico, che la prima ellilll farà la fcala delle nu- tazioni , e la feconda farà la fcala delle equazioni del perigeo lunare .

Poiché fia per il nodo lunare il punto d lontano gradi 90

SOLSTIZIALI. 301

dallo ftcfro nodo . Per la natura dell' elliffi farà DC : FC ■=. de : fc . Onde la ec farà uguale al valore della nuta- zione per il nodo lunare.

Per la ftefla ragione laràDC: FC=^dc: fc. Onde farà /e 1* equazione del perigeo . Più efattamente farà fc quadrato .

Edèndo adunque il raggio del mezzo cerchio di pollici 6, le femiordinate ec ^ fc faranno di tal grandezza , che potranno determinarli con precisone , non lolo i fecondi della nutazio- ne, ed equazione del perigeo, ma eziandio le loro parti de- cime, ed ancora ventèlime, che è baftantifUmo per 1' ufo A- fìronomico di quelle due femiordinate . Ma volendole conteg- giare col calcolo, li otterranno le parti centelime , e le mille- lime , quando occorrere .

Oltrepailèrò ora alla terza Tavola degli elementi , la quale agli Aftronomi fpefTo occorrerà. E' fiata sia una lìmil Tavo- la calcolata nel Coroll. IV. Prop. XV. dell'Art. Ili, ma al- lora in elfa fupponevalì la nutazione totale di 20", la quale ora con più combinazioni eflendo fiata ridotta a — - - 19" fi modificano diverfamente tutti quegli elementi , e perciò conviene riconteggiarli fecondo la più certa , e più precifa nutazione . Formato adunque il calcolo farà

TAVOLA III.

De^li elementi della nutaz^ione , e della precejfìone degli equinoz.j dedotti dalla nutaz,ione totale di 1 9" .

Min.Secon. Cent. I. Che la nutazione auflrale, o boreale fìa di . 9. 50 li. Che la precelTione degli equinozj per le fole

forze folari fìa di 16. 09

III. Che la preceffione relativa alle fole forze lu-

nari fìa di 34. 24

IV. Che le forze compofle fanno la media pre-

cefiione degli equinozj di 5°- 33

V. Che la minima preceffione Ila di ... . 40. 83

VI. Che la maffima lia 59-85

VII. Che la proporzione delle forze lunari alle

folari fia come 34 : i6

Pp iij

302 Delle osservazioni

p roffimamente , ovvero, come 342: 160, come certaiiiente fa modrano molti fenomeni delle maree , e come lì fuppone da più Autori .

Veggali fu tal proporzione la mia DinTertazione latina De maris tefiu flampata in Firenze 1' anno 1755.

Detta proporzione in centelìme riduceii , come 100: 46, cioè come 5:24- Ora vi fono degli Autori , che la fanno di -^ , come è flato avvertito . Non par verilimile 1' opinio- ne di quegli Autori , che fanno falir le forze folari a 2z". e 28". Poiché o li fupponga la nutazione del Bradlejo , o la mia, tali forze non arrivano a 17". M. Simpfon la fa di iS",

Ma fupponendo le forze perturbatrici folari di 22". toglien- dole dalla media preceffione di 50", 35 cent. , reftercbbono le forze lunari di 28". 33, e perciò farebbono le forze folari ridotte alle parti centefime delle lunari di 78 centelime,cioè le forze folari tornerebbero preiFochè ^ delle lunari . Ora un tal rifultato è aflblutamente contrario a' fenomeni delle maree ofTervate nelle Zizigie , e. nelle quadrature, fecondo i quali non fi allontana la forza folare da 7 della lunare . E così quella, che il calcola dall' ipoteli di 22", è doppia della, vera, e perciò detta ipoteii non può in alcun conto folle- rie rll .

Le fottiliUime ofTervazioni di Bradlejo fon tali , che la nu- tazione non può difcoftarfi da iS', fé non che di i", o al più z\ fenza far violenza alle medefìme ,

Le mie numerofe oflervazioni folftiziali de^ quattro anni citati, cioè 1756, 1764, 1775, e 17S2 fono di tal natura , che il loro rifultato per le quattro combinazioni calcolate non può difcoflarli dal vero, che di i", ed a mio credere, ancor meno, cioè di \ fecondo. Ora per far tornare le forze per- turbatrici folari di 22", converrebbe ridurre la nutazione a fo- li ly", che troppo difcordano dalla nutazione Bradlejana di 18'^', e dalla mia di 19". Per la qual cola lì terranno gli ele- menti della mia Tavola III. come proffimamente veri , met- tendoli con elfi un accordo tra le oflervazioni Bradlejane , tra le mie, tra' fenomeni delle maree, e tra le nutazioni dell' af- fé terreftre immediatamente olkrvate .

Solstizi A LI. 303

Articolo XII.

Bella teorìa della denfita de' pianeti in ordine al periodo fecolarc dell' obbliqtiità dell' ecclittica .

Con tutte le lunghKfime olTervazioni fatte fui periodo del- le obbiiquità dell' ecclittica , per le quali edòdeduccli molto mi- nore della comune opinione , vi f(;no nondimeno degli Agrono- mi, che fempre oppongono il valore di quel periodo , che è fondato fulla teoria delle forze de' pianeti , che fon quelle, che facendo retrocedere il nodo tendono a diminuire V obblioui-

t

tà . E perche apprefTo di edì più vale la forza della teoria , che la precilìone, il confenfo , ed il merito di tante ofTerNa- zioni , convien finalmente efaminare , fé realmente la teoria fia cosi fondata da attenderne tutta la poffibil certezza in confronto ancora di oflèrvazioni certillime. Dipende tal teo- ria principalmente dalla deniità de' pianeti, che è quella che accrefce,o fcema le forze per far retrocedere il nodo dell'or- bita terreflre. Tal deniità in que' pianeti, che fon circonda- ti da' fatelliti, deduceli dalle diftanze , e tempi periodici de- gli iledi fatelliti- Così noi la deduciamo nel globo terreflre , in Giove , ed in Saturno , i cui fatelliti ci alficurano della loro gravità. Ma non avendo alcun fatellite Marte, Venere, e Mercurio, noi non fappiamo , qual iìa la lor deniità. Si è adunque fuppofto , che la deniità de' pianeti primarj lia in ragion reciproca fudduplicata de' tempi periodici , e ciò per- chè rilevali che la deniità della Terra è maggiore di quella di Giove, e quefl-a è maggiore della deniità di Saturno. In- di e , che lì è immaginato 1' efpofto Teorema . Ma liccome tal Teorema include ancora la proporzione delle deniità , meri- ta di edere efaminato, fé tal proporzione regna realmente ne' corpi planetari , e fé dalle ipoteli alle vere deniità vi lia dilcrepanza notabile, per aflicurarli del Teorema. Non e dif- fìcile un tal efame . avendo noi tre pianeti , le cui deniità ci lon note aliunde , e fenza la efpoda teoria ede li dedu- cono dimoltrativamente da' loro fatelliti . Indi è , che tenen- do ferme le tre deniità della Terra, di Giove, e di Saturno potremo mettere a prova 1' ipotelì , oliervando, fé le deniità detiotte coli' ipoteli iiano almeno prodime alle vere deniità, che lon quelle calcolate coli' ufo eie' fatelliti.

504 Delle osservazioni

Di tre pianeti li poffono efaminare tre combinazioni . Cioè della Terra con Giove, della Terra con Saturno, e di Saturno con Giove . Le denlìtà di tali pianeti io le fuppongo quali fono ftate dedotte , e calcolate dal Sig. de la Lande colla parallalli folare ritrovata di S". 60 coli' ultimo paflaggio di Venere nel 1769 . E benché vi fiano degli Aftronomi , che aumentino un poco pili la parallalfi folare , fino a 8". 80 , pure un tale aumento non porta alcun fenfibile divano nel- la prefente ricerca.

Prima Combinazione

Bella Terra con Giove.

Moto periodico della Terra, giorni ^6^, ore 6, cioè 365. 25 centelìme, la cui radice quadrata è di parti 19, 11 cent.

Moto periodico di Giove giorni 4332. 50 cent.

Radice quadrata farà proflTimamente di 65. 82 cent.

Onde facciafi , come 65.82:19.11 = 1, che è la denfità della Terra al quarto termine, che farà la denfità di Giove per l'ipotefi Euleriana. E tal denfità, fatta la divifione, tor- na di o. 2903. Or la denfità di Giove, che fi calcola dipenden- temente da'fuoi fatelliti , fi la comunemente di o. 2298, co- me nella Connoijfance des temps , ed altri volumi . Quefl-a è aflài prolfima a o. 23. Indi è , che la vera denfità a quella dedotta coli' ipotefi Euleriana fl:a,come il 23: 29, che è una difièrenza non difprezzabile , giacché efiendo efla di parti 5, rifpetto alle parti 23, trovafi tra la parte quarta e la quinta,

Secokda Combinazione

Bella Terra con Saturno.

II moto periodico di Saturno è di giorni 10579. 25 , la cui radice quadra è di parti 102. 85. Onde facciafi , come 102. 85: 19. II =1 al quarto, che farà la denfità di Sa- turno di o. 1858. Tal denfità per mezzo de' fuoi fatelliti fi fa ordinariamente di o. 1045. Onde la differenza della den- fità vera di Saturno dalla calcolata per 1' ipotefi Euleriana è di

SOLSTIZIALI. Joy

c di o. 0813. Cioè (\a. la prima denfità alla feconda , come il 18: IO, con difcrcpanza affai palpabile . Merita di 'effere avvertito, che tanto nella prima Combinazione, che nella fe- conda la denlìtà dell' ipotcfi torna molto maggiore della ve- ra, e nella feconda Combinazione fopra parti io vi Ibno otto parti di ecceflb. Se queflo medefìmo ecceffo fucceda nella den- fità di Venere , effa per ridurla alla vera dovrebbe diminuirli nella ragione del 18: io, ed allora tal denlìtà ridotta farebbe affai proflìma a quella , che efiggerebbe il periodo fecolare dell' ecclittica di 34", e la teoria farebbe d'accordo colle of- fèrvazioni.

Terza Combinaziome

Di Saturno con (jiove.

Benché quefla terza Combinazione di Saturno con Giove 'deducali dalle due prime , con tutto ciò farà bene calcolarla feparatamente per palefar fempre più la difcrepanza dell' ipo- teli dalle vere denfìtà de' pianeti.

Adunque è fiata dedotta la radice quadrata del tempo pe- riodico di Saturno, che è di parti 102. 85.

E' fiata pur dedotta la radice quadrata del tempo periodico di Giove, che è di parti limili 65. 82. Onde a feconda dell' ipotefì fi faccia

Come 182 . 85 : 65 . §2= cosi la denfità di Giove dedotta da' moti periodici de' fuoi fatelliti, la quale fi fa di parti Ì298 , al quarto termine , il quale ci il paleferà di parti 1470 , ovvero avendo riguardo alla denfìtà della Terra , che fi fuppone=i , farà di o . 1470. Ma la denfità del mcdefi- mo pianeta dedotta dal tempo periodico de' fuoi fatelliti , cioè la fua vera denfità è di o. 1045. Onde deducefi in nu- meri femplici , che la denfità ipotetica alla vera fia come il 14 : IO prolfimamente , cioè la denfità dell' ipoteli eccede la vera di 4 parti decime della medefima , difcrepanza che fa vedere la falfità dell' ipotefi

Se poi al contrario dalla denfità vera di Saturno vogliafi coir ufo dell' ipotefì dedurne quella di Giove , allora lì fa- rà , come 65. 82: 102. 85=1045 al quarto termine, che ci fi paleferà di parti 1629.

joó Delle osservazioni

Ma in realtà per il moto de' fatelliti di* Giove la fua denfità è dimoftrata di 2298. Onde tra la vera denlità di Giove e quella che fi calcola coli' ipotefi vi è la differenza di o. 669 , che paragonata alla vera denlità è più , che la parte quarta della inedelìma , ed ancor quella differenza è con- lidorabile

Indi è, che per quefte combinazioni T ipoteil delle denfità in ragion reciproca fudduplicata de' tempi periodici è così di- fcrepante dalla verità , cioè dal paragone de' tre pianeti , che avendo fatelliti, ci fanno conofcere la vera loro denfità, che non folamente non può dirfi proffima alla vera , ma dee dirli lontaniffmia , e perciò incapace di effere adoperata per le den- fità degli altri tre pianeti , che fono privi di fatelliti, cioè di Mercurio, di Venere, e di Marte.

Dalla quantità del periodo fecolare dell' ecclittica , infieme cogli altri elementi del Problema , potremo dedurne la vera denfità di Venere, benché priva di fatelliti. Ma prima veg- giarao qual farebbe la fua denfità dedotta da quella di Satur- no , di Giove , e della Terra .

Se lì alfume la denfità, e tempo periodico di Saturno per rilevarne la denfità di Venere, efla viene più piccola, che non fi fuppone da' moderni Aflrronomi.

Il moto periodico di Venere è di giorni 226, ore 17 prof- fimamente , e riducendo le ore alle parti centefime farà giorni 224 . 71 centefima proffmiamente . Eftraendone la radice, quella tornerà di parti 14. 99 , cioè affai proffimamente 15.00,

La radice del tempo periodico di Saturno è 102. 85,6 la fua denfità vera di 1045. Onde facciafi

Come 1500 : 10285= 1045 al quarto termine, che farà

di parti 7165, cioè o, 7165.

Ma dagli Afironomi tal denfità fi fa di . . . . i. 2750.

Onde la differenza è o. 5505.

Indi è, che la denfità di Venere dedotta ancora coli' ipotefi, ma applicata alla vera denfità di Saturno, vien tanto minore di quella , che gli Afironomi adoperano ne' loro elementi , che non {ì fa , come pofla adoperarfi . Onde deducafi dalla denfità di Giove , e facciafi , come

15 . 00 : 65 . 82 = 2298 al quarto, che farà 100S5.E que- fìa denfità pure è minore di i. 2750 , che fi fegue dagli Agronomi .

SOLSTIZIALI. 307

Deducafi finalmente la ftefla dcnlità dalla denfità della Ter- ra , e perciò dovrà fard

Come I 5 . 00 : 19.11 = 1000 al quarto. E queRo farà di 1274, e confronta beniflimo col calcolo de' moderni , che è di 1275. Il divano di i parte l'ara cagionato dalle frazioni.

Non lì vede per altro per qiial ragione detti Aftronomi invece di affumere per bafe del loro calcolo la vera denfità di Gio\e , o di Saturno dedotta da' loro fatelliti ( come la denfità della l'erra è ftata dedotta dalla Luna ) fi fìano fo- lamente contentati di argomentarla dalla denlità terreOre .

Se r ipotefi della ragion reciproca fudduplicata de' tempi periodici dee fuffilfere in tutto il noflro liffema circumfolare , cioè in tutti fei i pianeti primarj , perchè non conlìderare la denfità di Giove, e di Saturno, per dedurne la denfità di Venere, e foltanto prevalerfi della denfità terrefire?

Deducendofi adunque confeguenze si difparate nella denfità di Venere , cioè deducendofi ella coli' elemento della terre-

Itre denfità fuppofia come i. di parti 1. 2740

deducendofi per la denlità di Giove di .... i. 0085 deducendofi colla denfità di Saturno di . . . . o. 7165

per qual ragione di quefii tre numeri fi prefceglie folamente il primo, e gli altri iì trafcurano;

Potrò io col medefimo diritto , infiftendo ancor full' ipo- tefi erronea, prevalermi del terzo numero , invece del primo; ed allora fapponendo , che colla denfità di Venere di parti I. 2740 fi deduca co' foliti Problemi it periodo fecolare di 47", potrò abbafiar detto periodo nella ragione del 1274: 716. Onde facendo come 1274: 716, così 47' al quarto ter- mine, quefto verrà di 26". 41 centelìma. Sicché colla ftella ipotefi , ma con afilimere per elemento la vera denfità di Sa- turno, il periodo fecolare in vece di 47" tornerà 26". 41, cioè meno del mio periodo .

E fé fi afiuma la denfità di Giove, e Ci faccia, come 12740: 1008 = 47' al quarto, eflo ci tornerà di 37" , cioè poco più del mio periodo, che è prolfimo a 35". Ecco adunque , che coli' iflefla ipotefi delle denfità reciprocamente proporzionali alle radici de' tempi periodici fi deduce quel periodo , che (i vuole, cioè o di 47', o di 27'', o di 37", fecondo la diverla fcelta dell' elemento del calcolo relativo alla denfità de' pianeti for- niti di fatelliti. Qjq ij

308 Delle osservaztcni

Nella mia Memoria del 1764 io ho calcolato , che la den- llt.ì di Venere affunta dall'Eulero alla deniìtà del mio nuovo calcolo fta, come il 535 a 208. Onde ellendo la detta den- lltìi nell'ipotefi, che la terreftre na=i, di parti i. 2740 , facciali come 533 : 208 = 1174 al quarto , que(l:o farà di parti . . . . o. 47S4

Ora eflendomi pervenuto il Tomo IV dell' Aftronomia del chiarillìmo M. de la Lande , oflervo con mio fommo piace- re, che egli avendo ridotto il periodo della diminurion feco- lare dell' ecclittica a 33" e 3 decime , ed avendo ricalcolato fecondo tal elemento la denlità di Venere , la ritro\a di o. 4971 , con particolare uniformità al mio calcolo del 1764. Ma aggiungali , che allora era fiata da me adoperata la va- riazione fecolare dell' ecclittica di 29" , e con eiTa è tefluto tutto il calcolo, il quale ora riducendolo colla diminuzione fecolare deli' ecclittica di 34" , detta denlità farà alquanto aumentata . Ma convien ripigliare tutto quefi-o calcolo cogli elementi di quefta Memoria , cioè colla nuova proporzione tra le forze lunari , e folari rifpetto alla precellìone degli e- quinozj , colla nutazione trovata di 19. 05 cent. , colla pa- rallafli folare di 8". 80 centefime , ed altri elementi.

Riteflcndo adimque tutto quello calcolo rifulta all'ai proffi- mamente la denlità di Venere di o. 5000 , che e la metà della terreftre denfità ,e che cosi bene fi accorda con o. 4971 , denlità altrimente calcolata dal citato Aftronomo.

Dobbiamo adunque concludere , che come non vi è nel!' univerfo una legge, colla quale fiano regolati i diametri , i volumi , le mafie de' pianeti da Mercurio fino a Sattirno ; cosi dee dirfi , che neppure vi fia legge alcuna nelle denfità , le quali non dipendono da' tempi periodici, o dalle loro radi- ci, ma dipendono dalle diverfe materie, colle quali i pianeti fono fl-ati fabbricati . Se le denfità doveflero avere un rap- porto col calor folare, dovendoli quello defumere dall' inten- fità delia luce , clie va ad illuminare , e rifcaldare, i diverfi pianeti , dovrebbono tali denfità ollervarfi in ragion recipro- ca duplicata delle diflanze , e ciò fecondo la legge dell' in- tenfità della luce, che appunto fi regola con quella ragione. Ma noi fiamo ben lontani ancora da tal legge , non meno che dalla ragion reciproca fudduplicata de' tempi periodici -

SOLSTIZIALI. 309

Indi è , che non dobbiamo cercare alcun rapporto tra le di- ftanze e le denlìtà, tra' tempi periodici e le ftefle denfità, ma dobbiamo penfare, che cllendo i pianeti fiati formati con materie di differente fpecifìca gravità , la loro denfità non ab- bia altra legge, che quella delle materie della prima forma- zione .

Co' fatelliti di Saturno, di Giove, e della Terra fapremo la loro denlìtà . Colle oHer'.azioni del periodo dell' obbli- quitìi dell' ecclittica deduiremo la denlìtà di Venere. JMa per Marte , e per Mercurio , non pare che \i fìa modo di de- terminarla .

Dal prefente efame full' ipotefi comunemente ricevuta dob- biamo argomentare, che efla non ha alcuna forza; che è af- folutamente falfa ; e che male alcuni Autori hanno dubitato delle lungiiiliime olfervazioni full' obbliquità dell' ecclittica , perchè eiie non fono uniformi a quella teoria . Non pollone mai efferlo, perchè la ftefia teoria è difcordante da si' mede- fima , ed è contraria alle più certe denfità de' tre pianeti for- niti di fatelliti.

Mi fi dirà, che efTendo la denlirà di Venere quali la metà della terreftre, ed eliendo quella minore di quella di Giove, e di Saturno, non lì fcorge nel lifiema elementario quell'ar- monia, quel la perfetta corrifpondenza delle parti, che è tanto propria dell' onnipotente Fabbricator del liftema . Poiché tal denlità da Venere allaTerra crefce, e dalla Terra a Giove e Saturno va fempre fcemando. Ma chi è mai tra gli uomini, che pofTa a profondo penetrare le vafiiflime mire del fupre- mo Architetto della natura?

Chi fa , che nella fabbrica del noftro fifiema circumfoiare il \fommo Artefice coir accrefcere la terreflre denfità, ed in con- feguenza la gravità , non abbia penfito a ritener così più fortemente la noftraLuna nella fua orbita, e diminuire quelle irregolarità , che pur troppo tormentano gì' ingegni degli Affronomi , quantunque elle fìano minori , che non farebbono con una minor denlìtà i Chi fa, che non vi fiano altri og- getti degni del fupremo Architetto, i quali eliggano tal den- lìtà maggiore di turte le altre?

Contentiamoci di fapere quali fiano le vere denfità in que' pianeti , che ce ne danno un ficuro argomento , e di riie-

3IO Delle osservazioni

vare indi le confeguenze , che nafcono a tenor dell' univer- fal gravità .

Articolo XIIL.

Kifpojla agli Autori ddle Efcmeridi Milane fi Jullo Onomone Fiorentino .

Gli Autori delte Efemeridi Milanefi delTanno 1779 nell' articolo dell' obbliquità dell' ecclittica ragionano intorno al periodo fecolare della, medefìma , e. dopo aver riferite le. opi- nioni di diverlì Aftronomi , che 1' hanno creduto di 88", di 60", di 47", di 45", riportano il mio periodo, dedotto pri- ma dalle oflervazioni folftiziali del 1756 allo Gnomone della Cattedrale , e poi riconfermato , e ridotto colle limili ofTer- vazioni del 1775, per le quali torna di 34". 42 centelime . Sul propofito delle mie offervazioni eflì aflerifcono che nev com- parationum numero , nec infirumenti natura , fic coeteris pr£lìa~ re uidentur , ut rem prorfus definire cenfeantur ecc-

Alquanto diverfa però è ftata 1' idea de' più intigni Aftro- rom.i , che cogli occhi proprj hanno potuto oiTervare la gran- dezza , la precilione , 1' opportunità locale di queflo vado- Gnomone .

Il Sig. de la Condamine fu quello, che lo giudicò di cosi grande im.portanza , che ne proccurò gli ordini Sovrani per riftorarlo .

Il Sig. Bernoulli ,chc fi trovò a più oflervazioni, ne com- mendò pubblicamente il fuo pregio , chiamandolo un iflru- mento Angolare in tal genere .

Il Sig. de la Lande ne prefe cosi alta idea , che ricevendo* poi fucceflivamente le mie oflervazioni folfliziali , cambiò la fua opinione intorno al periodo fecolare dell' obbliquità, ri- ducendolo a 33". 5 decime , come potrà confultarii nel fuo Tomo IV dell' Aflronomia , fegno aflai chiaro , che egli le ha giudicate decifive .

Tralafciando i giudizj di altri Aftronomi, che parte colla locale ifpezione , e parte colla confiderazione delle oflerva- zioni da me pubblicate fi fono aflicurati della verità, mi farò-^^ lecito di avvertire, che le due ragioni riportate dagli Aftro,- nomi Milanefi vanno maturamente efaminate .. ...i..:,'

SOLSTIZIALI. 311

Toccano effi il piccol numero delle combinazioni, e la na- tura di quefto iilrumento.

Va efaminata la prima eccezione , giacché le obbliquità da me in divedi anni conclufe U appoggiano a gran numero di oflervazioni.

Quella dedotta nel 1775 è fondata fopra XV oflervazioni

Quella del 1756 fopra XVI ( a )

Qitella del 1764 fopra V

QLiclla del 1775 fopra XVI {b)

Qiiella del 1782 fopra XVI.

Se poi detti Aftronomi intendono di ragionare delle com- binazioni colle antiche oflervazioni , certo è , che 1' oflTerva- zione fondamentale del 1510 è una fola , ma efla è combi- nata con più e più moderne oflTervazioni . Efla è cosi ben rapprefentata dal marmo folftiziale di quell' anno , che non può eflèrvi error fenlibile

Efla finalmente è riportata ad un lungo periodo di anni 272 , rifpetto air anno corrente , e tal periodo fa fvanire qualunque piccolo errore , che potefle concepirfì nella pofi- zione del marmo folftiziale .

Sulla natura dell' ifl:rumento i due Profeflbri cambierebbono d' opinione , fé follerò fui luogo , come gli altri Aflronomi già citati . Poiché 1' altezza dello Gnomone è di piedi Pari- gini 277.

Con tal altezza fi combina una tal precifione dell' imma- gine folare , che negli appullì dell' orlo boreale , ed auftrale non può errarli di una linea , che in quefl-a vaftità di rag- gio non porta error fenfibile.

Contribuifce a tal efatta terminazione la rifpettiva piccolezza del foro centrale, e l'ofcurità di quel vafliflimo tempio . In fomma trattandoli di tali iftrumenti , bifogna prima Vedere , e poi giudicare.

Tralafcio le confiderazioni delle moderne combinazioni, le quali , benché riflrette ad anni 26, come lo fono quelle del 1756 , paragonate a quelle del 1782 , ovvero ad anni 20,

(a) Veggafi il mio Volume del ih) Veggafi la DiiTertazione Aftro- vecchio, e nuovo Gnomone Fiorenti- notnica del 177^. no, flampato in Firenze nel 1757.

312 Delle osservazioni

come quelle del 1755 a quelle del 1773 ; contuttociò effe deci- dono, che il periodo fecolare non può mai effere della gran- dezza finora giudicata dagli Afhonomi , ma di un valore molto minore . E fé con eflè fole non può prefcriver^ì la fra- zione , lì comprende nondimeno, che il periodo è poco più di 30'. Che fé a tali moderne combinazioni il aggiunga la combinazione fondamentale del 15 io colle moderne oilèrva- zioni , il ftabilifce ancora con preciiione maggiore il periodo di 34", come nella citata Didertazione .

I calcoli, che lì accennano di M. de la Grangia dell' Eu- lero^ e di altri eccellenti Matem;itici , non fono mai da pre- ferirli alle più certe oflervazioni , eflendo e(iì fondati fopra ipotetì incerte , qual' è quella della denlìtà de' pianeti , che fon privi di fatelliti , di cui in confeguenza ignoriamo la denfità. Venere è uno di tali pianeti, che moltilfuno influi- lle nella teoria filìca della obbliquità . Meglio adunque farà il rovefciare il Problema , ed invece di calcolare il moto dell' obbliquità dalle denlìtà ipotetiche de' pianeti , dedurre piuttolto la denlìtà dalle olfervazioni certiifime del moto pro- gredivo della fteifa obbliquità . Allora la denlìtà di Venere tornerà meno della metà di quella , cha viene in confeguen- za dalle ipotelì Euleriane , come ho fatto vedere in una mia Differtazione comporta nel 1764, che è inedita.

Co' nuovi elementi dedotti dalle combinazioni della pre- fente Memoria un tal calcolo va perfezionato, e ridotto. Sem- pre però la denlìtà di Venere torna la metà incirca rifpetto a quella, che deducefi dall' ipotelì Euleriana delle denlìtà in ragion reciproca fudduplicata de' tempi periodici . E quefta ipotelì fé iì efamina col rapporto delle denfità de' tre piane- ti, le quali ci fon note per i fatelliti, che effi godono, cioè della Terra, di Giove, e di Saturno, non folamente dee dirli dubbiofa, ma notabilmente aberrante rifpetto alle denlìtà ve- rificate coir elemento de' fatelliti, come è fiato provato nell' articolo antecedente.

Ma ferve per ora di perfuaderci , che quell' ipotelì va me- glio efaminata, e corretta, e che in vigore de' nfultati teo- rici della medefima non pofibno revocarfi in dubbio le tan- te , e cos'i certe offervazioni del periodo fecolare , che è molto minore , che non elìggerebbe quell' ipotelì .

OSSERVAZIONE

313

O S S E liV A Z I O N E

DELLA CONGIUNZIONE INFERIORE DI VENERE COL SOLE

A dì IO M.arz.0 17S2 CON ALCUNE RIFLESSIONI

Del Sig. Ab. Angelo de Cesaris R. Aftronomo air Offervatorio di Milano.

E' Noto, che le olTervazioni delle oppofizioni col Sole ne' pianeti fuperiori, e ne' pianeti inferiori quelle delle loro congiunzioni col Sole medelimo fono particolarmente pregiate tiagli Aftronomi, come le più opportune ed intereifanti , per le utili confeguenze, che fé ne traggono. In tali circoftanze la longitudine eliocentrica e la geocentrica fono nella fteila direzione efattamente; e quindi dall' immediato confronto di ciò che fi avrebbe pel calcolo delle Tavole , e di ciò che iì è avuto in fatti per la via dell' oHervazione , iì ha un facile mezzo per verificare gli elementi , fopra i quali le Tavole flelle fono coftrutte .

Tra le congiunzioni poi le inferiori fono da anteporfi alle fuperiori , perchè nella più grande vicinanza del Pianeta alla Terra , più grandi comparire ci devono le piccole deviazioni del medelimo , venendo efle olTervate fotto 1' angolo più van- taggiofo . Se lì conlideri il triangolo i"PT f/^. i. ) formato al Sole, al Pianeta ed alla Terra, nel quale l'angolo in S cor- rifponde alla commutazione, o fia alla difièrenza delle longi- tudini eliocentriche del Pianeta e della Terra ; l'angolo in T alla elongazione , o ila alla difièrenza delle longitudini geo- centriche del Pianeta e del Sole; e fé ne prenda 1' efpreOio- ne diiièrenziale , (ì avrà la ragione delle rifpettive variazio- ni , e farà ds :dt::P^: fen.' t — fen. fX^of. tX<^ot. s::TP: SPx col"./'. Quindi intorno alle maffime digrellioni fatto retto l'an- golo in S ed eguale a zero la cotangente s , 1' efpreffione fi

Rr

314 Della congiunzione inferiore

ridurrà n ds : dt : :R: fen.= t::TP' : SP'- :: TS' -\- SP' :SP'; e nelle congiunzioni fvanendo gli angoli T ed J, e diventando eguale al raggio il cofeno dell' angolo P , fi avrà ds :dt:: TP-.SP, o fia nelle congiunzioni fuperiori come TS-\-SP: SP , e nelle inferiori come TS — SP:SP.

Nel calo pertanto di Venere, la cui diflanza SP è alla di- ftanza ST prolfimamente come 0,731 : i , farà predo le maf- lime digreflioni ds:dt::^: i; nelle congiunzioni fuperiori co- me 17 : 7 ; e nelle congiunzioni inferiori come 7:18. dal che è manifefì'O che una deviazione, per efempio, di un mi- nuto primo nella longitudine eliocentrica influifce di foli ven- ti fecondi nella geocentrica ofl'ervara all' occaiione delle maf- fìme digreflioni : influifce di venticinque nelle congiunzioni fuperiori , e di cento cinquanta quattro nel'e congiunzioni inferiori . Allo ftefTo modo determinare li polfono le ragioni delle variazioni di ciafcuno elemento eh' entra nella forma- zione delle Tavole , ed afTegnarne le circoftanze più favorevoli all' oifervazione .

Ma quanto è facile V offervare un pianeta in oppofizione quando pafl'ando eflb al meridiano a mezza notte , prima e dopo è comodamente vifibile ; altrettanto difficili a farfi fono le olTervazioni delle congiunzioni , quando il pianeta è im- merfo e foprafiàtto dalla vivilfima luce del Sole , col quale trovali nella ftefla direzione, e non prefenta, come nelle con- giunzioni inferiori , che una piccoliffima parte della fua fac- cia illuminata. Quindi oltre i pochi cali , nei quali la lati- tudine geocentrica del pianeta eflendo minore del femidiame- tro del Sole , fé ne oflerva l' intereffante paflaggio fopra il Sole fteflb , trovanfi alTai rare nella fioria dell' Aftronomia le oflTer- vazioni delle congiunzioni, per le quali è neceffariodi unire alle più favorevoli circoflanze nella poiizione del pianeta an- che un buono iftromento per 1' Agronomo .

Prima di dare qui 1' oiTervazione da me fatta , premetto r efpoilzione di alcune piccole ricerche relative alla medell- ma,e che fimbranmi potere eflere utili anche in altre circo- ftanze . Qiicde riguardano principalmente 1' inclinazione della fafe di Venere, la quantità della luce , ed il mafllmo efictto prodotto dalla luce della medefima. E primamente avendo io ofTervato il Pianeta per più giorni , avanti e dopo la con-

DI Venere col Sole. 315

giunzione col Sole , ed avendo avuto il piacere di vedere il rivolgimento della fafe formata dal teniiiflimo fegmento lu- cido , il quale in diverfì giorni fuccedivamente fi prefentava al meridiano fotto diverfe inclinazioni , ho cercato di deter- minare la quantità di tali inclina/Joni , determinandone gli angoli col meridiano. Cosi i tempi degli appulliai fili del mi- crometro, ch'erano notati per maggiore ei'attezza e comodo al contatto della prima porzione lucida , che li prelentava , pote- vano con precilìone eflTere ridotti al centro del Pianeta , ai quale tutto dovevali riferire. A tale oggetto io ho determi- nato r angolo formato coli' ecclittica dal diametro, che paflài per r efìremità del fegmento lucido , e mi fono fervito de' feguenti principi, de' quali è dimoRrata ed aliai nota la ve- rità. La fafe lucida de' pianeti è uguale alla porzione della loro fuperficie comprefa tra il circolo , che termina 1' emi- sfero vilibile dalla Terra, ed il circolo che termina l'emisfero illuminato dal Sole : e la larghezza della fafe lucida fta al diametro del Pianeta , come il feno verfo dell' angolo efterno formato al Pianeta dalle linee tiratevi dal Sole e dallaTe'.-ra fta al doppio raggio . L'interfezione del circolo vilibile e del luci- do è un diametro comune ad entrambi , il quale pafl'a per le due eftremità della fafe : e come ogni diametro è fempre per- pendicolare all' affé del fuo circolo; cosi il diametro della fa- fe è fempre perpendicolare alle due linee tirate dal Pianeta alla Terra ed al Sole, le quali fono appunto gli affi de' cir- coli \-ilibile ed illuminato. E' parimente il diametro medefl- nio fempre perpendicolare al piano , nel quale trovanfl gli affi - e il quale pafTa pe' centri del Pianeta, della Terra , e del Sole: e data 1' inclinazione di queflo piano al piano dell' ecclittica, ne (;irà egualmente data per complemento 1' incli- nazione di quel diametro .

Rapprefentino {fig.z.)T la Terra, S il Sole, P il Piane- ta, fuori del piano dell' ecclittica , nel quale fempre fono T ed S. Abballata fui detto piano la nomi ile PP\ e tia:ata P' E normale a TS farà 1' angolo FTP' eguale alla latitudine geocentrica; 1' ansrolo PTE uguale alla elon::^izione de! Pia- neta; l'angolo PHP' eguale alla inclinazione del piano TPS'E al piano dell' ecclittica ; e l' angolo P PE uguale alla ricer- cata inclinazione del diametro della fafe. Quindi farà PP'z=

Rr ij

3l6 DliLLA CONGIUNZIONE INFERIORE

PE

TP' X tang. latit ; P'E = TP' X fen, elong. , e rang. P'P£ = -~=

r r

fen. elong.

tang. latit.

Conofciuta quella inclinazione e combinata coli' angolo di polìzione nel Pianeta, fi avrà l'inclinazione della fafe al me- ridiano: combinata nuovamente coli' angolo così detto paral- lattico, lì avrà l'inclinazione al corrifpondente verticale: e nella circoftanza, in cui Venere fia occultata dalla Luna, lì combinerà colla direzione dell' orbita apparente della medelì- ma , affinchè la fomma de' femidiametri , che ufare ii fuole nel calcolo di limili ollervazioni , lì fminuifca della quantità , che compete al fegmento ofcuro di Venere, o ritenuta la fom- ma de' femidiametri, fi applichi la dovuta equazione al tempo del contatto oflTervato dalla parte ofcura.

Applicando la formola alla Luna, per la quale elUi ha luo- go egualmente , i\ avrà il vantaggio di determinare la con- figurazione della medefima nelle circoflanze di occultazioni di flelle . Inoltre tra le varie confeguenze che rifultano da tale applicazione, merita per la pratica aftronomica di efiere avvertita quella , per cui lì dimoftra , che come non vi ha novilunio , fuori del nodo , in cui non fiavi un piccoliffimo fegmento lucido corrifpondente al mezzo feno verfo della la- titudine della Luna ; così non vi ha plenilunio , in cui pa- rimente non fiavi il fuo fegmento ofcuro. Qiiindi neil' ofièr- vare in fimili circoflanze la Luna farà neceflària la precau- zione di fcegliere quel lembo , che non ne refla alterato ; e nel computarne il diametro , o fi dovrà mifurare nella dire- zione parallela all' ecclittica,o fi dovrà aumentare della quan- tità di cui refta fminuito per la fafe ofcura. Il quale fminui- mento febbene per una parte debba fvanire nelle oppolìzioni, fvanendo 1' angolo di elongazione ; non laicia però di a\ere luogo per r altra cagione di elTere fuori dell' ecciittica ed alla medefima inclinato il piano dell' orbita lunare . E coe- rentemente a tale inclinazione può rifletterfi ancora al peri- odico rivolgimento della fafe ofcura, la quale dal lembo au- ftrale della Luna palfa fucceffivamente al lembo boreale , giù- Ila il periodico movimento in latitudine della Luna mcdell-

DI Venere col Sole. ' 517

ma. Dal che è manifefto coinè alcune parti del difco luna- re vicine al lembo auftrale debbono fcoprirlì , mentre altre parti nel lembo oppodo debbono nafconderli , avvicendandoti cos'i fuccelfivamente il fenomeno , che forma una parte della librazione lunare.

Una feconda ricerca meno necefTaria in vero per 1' ufo e per la riduzione dell' offerwizione, ma pure dalla ofTervazio- ne non aliena, anzi occalìonara dalla medelima,può farli falla intenlità e quantità della luce, che veniva riflettuta dalla te- nue fafe di Venere al tempo della congiunzione col Sole, e che in generale eiler deve ririettuta in ogni altro punto della fua orbita . Qi_ianto all' intenlità del lume del Pianeta è ben mani- fello , che feguendo elfa la ragione inverfa della fomma de' quadrati delle diftanze dal Sole e dalla Terra , doveva ede- re in quella inferiore congiunzione tanto maggiore di quella che fiata (iirebbe nella congiunzione fuperiore profllmamente come 42 : i. La quantità poi del lume medelimo , che cor- rifponde alla quantità della parte illuminata vilibile, elTere do- veva nel tenue fegmento a quella di una piena fafe prolh- mamente come 0,01: i.

Una ulteriore oflervazione può farli ancora in quello argo- mento . La facilità provata nel vedere diflintamente il Piane- ta, che, come R è detto, appena prefentava una centelima par- te del fuo difco illuminato , mi ha fatto richiamare quanto aveva accennato nel fuo Trattato di Ottica il Gel. Bougusr relativamente alla maggior luce, ch'egli credeva mandata dai pianeti nelle parti vicine ai lembi, che nelle parti pofle in- torno al centro , e per lo contrario del più grande fplendo- re del Sole vicino al centro , che prefTo il lembo . Ed a fi- ne di fvolgere alquanto più la cagione di quello curiofo ma incerto fenomeno , non farà inutile il ritìettere , che febbene da ogni punto lucido della fupertìcie planetaria fi diffondono i raggi all' intorno ; non può però ellere uguale la copia de' medelimi in ogni direzione : ed efTere vi deve una ragione, per cui quanto più i raggi fi difcoflano dalla linea perpendi- colare alla fuperficie d'onde efcono , tanto minore fia la for- za ed il numero loro . Imperciocché fé ugualmente fi fpargef- fero in isfera , il difco del pianeta rifplenderebbe tanto più, quanto più le fue parti foffero diflanti dal centro, ed il con-

Rr iij

3iS Della congiunzione inferiore

torno dovrebbe ellère infinitamente piìi illununato de! mezzo.

La verità di tale apparente paradodb fi rende facilmente manifefta nell'ofTervare , che fé ogni femicircolo ADE ( fy. ^ ) nel Pianeta vifto fecondo la direzione CDT è progettato fal- la retta ^CB, le lineette Ccz=zFf=GA faranno le proiezio- ni degli archetti corrifpondenti D^, £c,«.4 : e fé da ogni pun- to fpargelì uguale copia di raggi in ogni direzione , la quan- tità de' raggi medefimi dovrà elFere come il numero de' pun- ti, ed il numero de' punti tanto piìx grande, quanto più gran- di faranno gli archi. Ma gli archi Dd, Ee , aA crefcono re- ciprocamente come i feni degli angoli dDM , eEo , AaG , i quali dall' angolo retto dDM formato dalla linea del centro CDT ( dove diventa cC = dD ) vanno fucceffivamente decre- fcendo fino a fvanire nel lembo . In oltre per la nota pro- prietà del circolo eflendo 2AC: Aa::Aa:AG ,k fia l'arco ^^■ infinitamente piccolo rifnetto ad AC , farà pure il medefimo infinitamente grande rifpetto ad AGzifF- cC = dD:d' onde è manifefl:o,che la quantità di luce riferita in cC farà infini- tamente minore della riferita in AG.

Qiùndi fegue ancora , che fé il Pianeta in ogni parte del- la fua fuperficie ci fembra egualmente rifplendere, la quantità de' raggi fparfi da ciafcun punto fotto diverfe inclinazioni fa- rà direttamente come i feni delle inclinazioni medeiìme , in ragione reciproca dei quali crefcono i piccoli archi : così che quanto Ci fminuifce la luce, fminuendoli i feni delle inclina- zioni , altrettanto crefca la medelìma, crefcendo gli archi. Ma fé la luce del Pianeta ci compare maggiore nel contorno del difco che ne! centro , o al contrario maggiore nel centro e minore nel lembo , la vivezza della luce medefima feguirà net primo cafo una ragione maggiore , e nel fecondo cafo una ra- gione minore di quella dei feni delle inclinazioni .

Le varie fperienze del BoN^uer ci hanno fatto conofcere la legge che proffimamente ofTervafi nella riBeffione della luce fotto diverfi angoli , nei corpi che fembrano i più opportuni a fimili ricerche, quali fono I' argento , la carta , il gellb . Nella feguente Tavola fono i rifultati delle prove fatte fui geflb, che fembra avere più di analogia alla materia de' pia- neti.

DI Venere col Sole. 319

ìnclina'z.ione di' raggi 90°. 75». 60°. 45'. 30». 15°.

Seni delle inclinaz.ioni 1000. g66. Só6. 707. 500. 259.

Luce 1000. 702. 640. 529. 352. 194.

Ma convien pure non diflìmulare , che palTando da que- fti corpi terreflri ai corpi celcfti , la cofa anderebbe a rove- fcio, fé vera forte l' offervaxione del Bouguer rifpetto alla di- verfa luce dei lembi che del centro . Altronde credo di po- ter dire che ne a me, né agli Aftronomi , che ne ho inter- rogato, è ftata generalmente feniibile tale diflereaza di luce; anzi riguardo al Sole oilervato con un buon micrometro ob- biettivo del Dollond ho fatto più lucente ora 1" una ora T al- tra delle due imagini formate dall' iftromento , ottenendo ta- le avvicendamento di luce col piii piccolo movimento , che producete qualche inclinazione rifpettiva nelle due mezze lenti : onde fatto il paragone fra il centro di una imagine ed il lembo dell' altra , come fu praticato dal Bouguer , fi farebbe trovata prima un'apparenza, poi un'altra contraria .

Ritornando ora all'argomento, d'onde fono partito, ed al- la quantità di luce riflettuta dal Pianeta in qualunque punto della fua orbita, il già citato Ch. Bouguer dimoftra , che la porzione di eflà che ci viene da ogni trapezio elementare della fuperiìcie del Pianeta li rapprefenta in generale per

dt. dy. \i'^^r . \l ¥—Y

a

h.dt.dj.{a^—r)^ (a^ — r-)~^ ' (a--—g')

nella quale formola Ci efprime per a il femidiametro del Pia- neta , per t e per / la polizione di un punto C nella fuper- fìcie planetaria , del quale particolarmente fi cerca la luce , per g il feno della metà dell' elongazione 'e della commutazio- ne del Pianeta; per m refponente di una quantità collante b, che, combinata coi feni delle inclinazioni dei raggi alla fu- perficie , mifuri la quantità de' medeiimi corrifpondente alle diverfc inclinazioni .Nel fopraccitato Trattato di Ottica fé ne può vedere la dimoftrazione e 1' integrazione in diverfe ipo- tefi del valore di ni. Intanto deve qui a\vertirfi , che nella riportata formola non s' involge determinatamente la quanti-

320 Della congiunzione inferiore

tà di luce , che il difperde nella fuperfìcie planetaria, lenza ef- fere opportunamente riflettuta , e che perciò è ancora ignota r affoluta ragione tra la luce che manda il Sole , e quella che ci viene dai pianeti. Ben è vero, che come il medelìmo Bouguer ha oiFervato , che il lume lunare in plenilunio è prodimamente una parte trecentomillelìma della ^luce fola- re ; ed il Ch. Baylli ha portato la fagacità delle fue ricerche nella luce de' liitelliti : così fembra che promovere II pofl'a la delicatezza dell' oiìervazione , e raccolta nel foco di un ec- cellente obbiettivo la luce di ciafcun pianeta tentare qualche paragone colla luce della Luna in diverfe fall , o altrimenti efaminarla con qualche tino ftromento per determinarne i rapporti finora fconofciuti .

La terza ricerca tra le propofle di fopra riguarda il maf- limo effetto prodotto dalla luce di Venere , e la determina- zione delle circoUanze , nelle quali deve aver luogo . E feb- bene 1' Halle/ abbia data la foluzione di tale problema , infe- rita nelle Tranfazioni filofofiche e riferita nell' Agronomia del La Lande ; fembra però che fulle tracce di quefti celebri uomini C\ polla tornare fu tale argomento , fenza incorrere la taccia di fare una inutile repetizione . Il fatto egualmente ollervato dagli Alhonomi, che ammirato dal femplice volgo, è, che Venere dentro certo periodo di anni in pieno giorno li può da tutti vedere , come una brillante ftella , fenza al- cuno mezzo di cannocchiale o di altro limile ftromento. Un tale fenomeno manifefla abbaftanza eh' efiere vi deve un maf- fimo dipendente dall' intenhtà inlieme e dalla quantità di lu- me, che viene a noi riflettuto dal Pianeta: ed un tale maf- Hmo fi determinerà, differenziata ed uguagliata a zero la for- mola , che efprima i detti elementi.

Lafciata però quella del Bouguer , che folo rapprefenta la quantità della luce, ed è foverchiamente complicata al bifogno, è bene manifefio altronde che potendoli conllderare rifpettiva- inente coftanti le diftanze dal Sole di Venere e della Terra , l'intenlità della luce di Venere deve dipendere dalla diftanza della medellma dalla Terra ; ed a quefta diftanza ftella avendo una conofciuta ragione anche la quantità della fafe,alla quale corrifponde la quantità della luce , 1' effetto maffimo prodot- to dalle due cagioni combinate iniieme potrà effere determi- nato ,

DI Venere col Sole. 321

rato , determinando la corrifpondente diftanza : col quale ele- mento lì conofcerà anche l'angolo di elongazione, nel quale il fenomeno deve accadere .

Già lì è detto che 1' area planetaria , e la quantità della fafe lucida fono tra loro come il raggio alla metà del feno verfo dell' angolo efterno formato al Pianeta dalle direzioni del Sole e della Terra. Se pertanto nel triangolo J'PT (/^. i ) già fopra conlìderato iìa ST = m,SP=.n,TP = x ^r il raggio, p r angolo SPT , farà per le note formole trigonometri- che

r' n-\-m — x m + x-n ^ i r — cof. p

- X -^ X = fen.^ -p = 1

nx X z 2' 2

= - fen.vers. p. Tal efpreiTione ridotta all' angolo efìerno 2

SP^% colla dovuta mutazione di fcgni diverrà la flefFa , che

la data dall' Hallej , e rapprefenterà la grandezza della fafe ,

e la quantità del lume , del quale parimente lì efprimerà

r intenlità, dividendo la formola per x^ ( * ), e flirà

UT- ->r znx -\- X^ — m^ o A j-a- ■ . • a -1

■ • . Quella dmerenziata e giulta il canone

de' maffimi , e de' minimi fatta eguale a zero , darà

dx

(sm^-S a'X-v-^- 4»x-'-x-^) — = « ' ^ moltiplicando per

-— — , farà 3?w^ — 3«^ — a»x — x' = o ; d' onde ?c = V ^ "^^ '^'*' 4x

m^ — «"4- a-

— 2« = d! ; e COS. elong. :=: .

rum

E' perciò evidente che corrifpondendo x ad un majjìmo qua- lunque Iìa il valore di w e di « , e veriticandoil in fatti tan-

Sf

( ' ) Ad efprimere con più giufia fi fono fuppofìe coflanti le quantità

precilione 1' intenika della luce, lido- »> ed w, la int-nfit'a <'cl lurr.e di Ve-

vrebbe dividere la forniola jer »* nere rilpettivainente alla Terra è ba-

-J- jf^. In tal calo il valore dijf.do- flantemente e più femplic eniente ef- po la differenziazione , li avrebbe per i r i '

una equnzione di quarto grado. Sic- Pre"a pel Iole -j. come però nella lerie dell' operazioni

32 1 Della congiunzione inferiore

to il valore di x , quanto la coi-rifpondente elongazione due volte in ciafcuna rivoluzione di Venere ; altrettante volte do- vrebbe vederli il fenomeno , fé il medeiìmo poteiTe rapprefen- tarlì per qualunque di cotefti maflimi . Ma 1' ofl'ervazione ef- fendo contraria ,con\-errà cercare o il mallìmo fra i minimi, o almeno uno fra i medefimi , che lia de' favorevoli , e foprat- tutto che corrifponda all' attuale offervazione . Il malfimo fra i maffimi fi avrà allora quando il valore di x ila il minimo . Imperciocché la quantità e 1' intenfità del lume è come

(n + x)'-m' ,., r ,,, , . m' — n' + x^

, ed il cofeno della elongazione come

^nx' rmx

Ora ciafcuno di quelli elementi crefce tanto più favorevolmen- te all' uopo, quanto pili decrefce \ x. Il valore poi di .v fa- rà tanto più piccolo , quanto più piccolo farà ?w,e più gran- de farà n : ciò che è man|fefto dalla fola ifpezione della tor-

mola ;*; = y l'm- -\-n' — 2».

Dalla medelima formola , e dalla ragione tra m tà n che in qualunque circoflanza lì poiìà verificare rifulta ancora che nei valori di x influifce più m , che n ; quindi nel formare la ferie delli x fi combinerà prima m minimo , poi m medio, ed in fine m mallimo con n malfimo, medio, minimo : e fi avranno nove valori dal più vantaggiofo decrefcenti fino al meno favorevole . Nella combinazione , per efempio , che Ve- nere e la Terra fiano nelle loro diftanze medie, e iia m=i, farà a; = o , 43036, e l'elongazione iq". 43'. 30". Nella com- binazione meno favorevole che fia Venere nella minima fua diflanza e la Terra nella diftanza fua madima, farà .r = o , 46552, e l'elongazione 39°. 5', 35".E nella combinazione più vantaggiofa che lia Venere nella dÙfanza fua maffima , e la Terra nella diflanza fua minima, flirà x=:o, 39532,6 l'elon- gazione 40°. 11'. 36".

QLiefla ultima combinazione , che corrifponde al malTimo fra i maflimi, non può avere luogo ne' fecoli vicini a noi per r attuale polizione dell' afelio di Venere, e del perihelio della Terra . Trovali quello a dieci fegni e nove gradi di longitudine eliocentrica , e quello a tre fegni e nove gradi; quindi l'elongazione di Venere afelia villa dalla Terra peri- helia deve elFere folamente intorno a tredici gradi, e la rif-

DI Venere col Sole. 323 "

,.- fen. commut. ^ ^

pettiva dilranza x=.n. — ; e prollimamente quattro

fen. elong.

volte maggiore di quella , che viene indicata dalla formola del mafllmo . La bella apparenza di Venere , che nel 1776, come fi legge nelle Trani;izioni Filofoliche , fu ammirata dal popolo di Londra, quafi un prodigio, fi offervò nel Luglio, quando la Terra e Venere erano predo il loro afelio, e per- ciò in una combinazione delle meno vantaggiofe . Qtieflo fat- to ci dimoflra abbaftanza , che nella maggiore o minore fa- cilità di vedere più luminofo il fenomeno , deve particolar- mente influire lo fiato della nofira atmosiera , non folamen- te per ciò che riguarda le fenlìbili nuvole o nebbie, ma per una più occulta cauHi, per cui {\ lafci un più facile o diffìci- le paflliggio ai raggi di luce . La cofa fi conferma ancora dal riflettere che il fenomeno ne ritorna regolarmente dopo ot- to anni , quando pure Venere dentro tale periodo ritorna fenfibilmcnte alla fteflTa combinazione di pofizione : né il me- defimo trovafi ofiervato fui finire o fui cominciare dell'anno quando per una parte hanno luogo le combinazioni più favo- revoli, ma per 1' altra parte trovafi 1' atmosfera in uno fia- to di minore facilità alla trafmilfione della luce: come fi può provare paragonando la luce del Sole al mezzodì di un gior- no ferenifllmo del Decembre , con quella che il Sole medefi- mo manda effendo a zi gradi di altezza fopra l'orizzonte in un giorno fereniflìmo del Giugno .

Vengo ora in fine ad efporre 1' ofiervazione . Efia è fiata fatta ad un quadrante murale di fei piedi di raggio collocato nel meridiano . Le difierenze d' afcenlìone retta tra Venere e la Stella (i del Cane minore, colla quale è fiata paragonata, fono generalmente dedotte da tre appulfi ai fili del micro- metro : le difierenze di declinazione fono corrette per 1' effet- to della piccola differenza di rifrazione, e per la parallafie di Venere. La pofizione vera della Stella prefa dal catalogo del LaCailli e ridotta in apparente colle confuete equazioni dell' aberrazione e della nutazione, era all' epoca dell' ofFervazio- ni in afcenfione retta mS." 50'. S"; in declinazione boreale 8." 43'. 2". Le pofizioni apparenti di Venere dedotte dall' oiTer- vazione e ridotte in vere colle debite equazioni dell' aber- razione e della nutazione , fono paragonate colle corrifpon- denti poiìzioni calcolate fulle Tavole de La Landi .

324 Della congiunzione inferiore ecc.

1782 Mar-

1 1

iS

19 19

20

Tempo nudio dell' o^ervurJo-

O".

o. o.

o.

- :>• ^3-

51'

33-

9-

3-

5 7- 51.

2ó", 7 52 , O

34, 8

25, 8 Io, 4

II , 5

Differenza d' A^cenfwn vetta tra Venere e (ì del Cane

Minore

5' 1 1.

20.

22.

24.

26.

39%

4= 106'. 42'. 9'' 5 = 108. 9. 21 5 = 110. 18. 18 2=110. 51. 32 . 2 = 111. 24. 35 37, 4=111. 57. 26

26, 16.

AJcenJtone retta di Ve- nere

2<

o. 358. 357-

3 57- 356.

. i

40.

31- 38.

25.

52.

•59" 47 50 36

33

42

Differenzia di

declinazione tra Venere e

iS. 51-

4-1-

+ 0.

- o.

■ o. • o.

■ o.

Tempo medio

58 37 45 20. 43

38. 33

57-

:>•

Declinazk di Venert

IO».

9-

8. 8. 8.

7-

1 1

14 iS

19

19

20

o". 51' o. 33. o. 9. o. ::>,

23.

^3-

57- 51-

26", 7 52, o

34, 8

25, 8 18, 4 II , 5!©

Tongitudine di Venere ojfer- vata

oK 5°. 58'. 36"

^7- 57

7- 34

30. 22

52. 42

I.

e. o.

Longitudine \Differenz.a calcolata dalle Tavole

.6=

4- 2. 1.

o.

M'

+ 3'-

o. o.

2

31. 58 1+4.

II- 43 ,-l-4-

36 '-4-4-

3 1+4-

28 14-4.

34-

57- 19.

49" I

9 14 21

25

Latitudine di Venere of- fervata ■.20'. 59"B

8

8. 30.

8. 31.

8. 28.

8. 25.

8. 21.

35 6 48 38 35

16

Latitudine

calcolata dal- le Tavole

S\i9'. 40" B

8. 29.

8. 29.

8. 27.

8. 24.

8. 20.

2' 34- 39-

22.

4- 45-

0 39

4(

14

45

31

22

21

Diffc za

325

SOPKyi L^ FOIiZA

CENTRIFUGA.

Del P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie Pubbli- co Profeii'orc delle Matematiche fuperion nella R. Univer- fità di Pavia.

I. ly Idurre alla mafTima femplicità la dimoilrazione delle _1^_ varie affezioni della Forza Centrifuga , aggiugnervi alcune non inutili oifervazioni , eftenderne 1' applicazione a qualche punto importante della Meccanica, e finalmente ri- cavarne la dimoftrazione de' TeoreuTi Meccanici da me elpofti nel primo Volume di quefle Memorie della Società Italiana., è l'unico oggetto di quello breve Opufcolo . In eflb io fuppon- go nota la dottrina generale delle forze acceleratrici , e par- to dal notilhmo principio , che la mifura della forza centri- fuga , ovvero anche della centripeta ( giacché I' una è Tem- pre uguale all' altra) è il doppio della lineetta, la quale con- giunge r eftremo dell' archetto infinitefìmo defcritto dal cor- po in un idante coli' eflremo di quella porzione della tan- gente di detto arco, cui il corpo defcriverebbe in quello ftef- fo iltante colla velocità quivi acquiflata, e fenza l'azione di alcuna forza, la qual doppia lineetta divifa che lìa pel qua- drato dell' indicato iftante efprime la vera quantità e mifura della forza centrale , cosi centrifuga , come centripeta .

2. Immaginiamoci pertanto un corpo ( la di cui mafTa fìn- geremo fempre concentrata in un fui punto ) attaccato ad un filo ; e quefto fermato per una ell-remità ad un piano oriz- zontale , e diftefo in retta linea dall'uno all'altro eftremo lungo il detto piano . Si prefcincla dall' attrito e da qualun- que altro impedimento , e li dia al corpo un colpo in dire- zione perpendicolare al filo : il corpo incomincierà a del'cri- vere un cerchio avente per femidiametro la lunghezza del fi- lo , e quindi farà forza di ftirare e (fendere il filo , cioè e-

Sf lij

^i6 Sopra la forza

ferciterà una forza centrifuga impiegata in quefto cafo a pro- durre la tenlìone dei medelìmo. Si chiami / la forza centri- fuga , o la tenfione del filo , ddz. la lineetta , che congiun- ge gli eftremi dell' archetto e della tangente del cerchio ( la qual lineetta il fa eflere infinitelima di fecond' ordine ) , r il raggio del cerchio, dt ì' iftanteo tempicciuolo infinitelìmo ,^i r archetto , v la velocità del corpo per 1' archetto ds , 6 r altezza dovuta alia velocità v . Ciò pofto farà

TEOREMA!.

3. f=— = — , vale a din la forz.a centrifuga nel cer~ r r

cbio in quel punto della circonjeremia , dove il corpo fi trova ,

e uguale al quadrato della velocita del corpo in quel punto ,

divido pel femidiamstro , ovvero uguale al doppio dell' altez.z,a

dovuta a tale velocita, e divi/o pel raggio.

Dimostrazione.

E' evidente, che la lineetta ddz, diventa nel cerchio ugua-

,, ds' le al feno verfo dell' archetto ds , e confeguentemente ddz = — .

_, ^ zddz. , . ds^ , ds

Ma f = — — : dunque f = ——- e iiccome v=—- , li ha ■^ dt' ^ -^ rdt' dt

fz=z - . Perchè poi dalle leggi del moto equabilmente accele- rato , porta la gravità terredre acceleratrice = i , lì ricava

0''=: i/j , lì Ottiene pur anco /= — . Il che era ecc.

r

4- Coroll. Poiché nel corpo , che fi rivolge in un cerchio , la forza centrifruga ha dovunque una direzione perpendicola- re all' arco , ella non tende in confeguenza né ad accrefce- re, né a fminuire la velocità del corpo per 1' arco, la quale farà dunque la flefià in tutti i punti della circonferenza, co- me pure la fteffa la forza centrifuga . Dunque il moto è uni- forme , e la forza centrifuga è collante . . \

Centrifuga. 327

TEOREMA II

5. L' arco circolare defcritto dal corpo in un dato tempo è medio proporzionale fra il diametro del cerchio e lo fpazio , che farebbe da ejjo trafcorfo in quel tempo , fé pojìo in liberta venijjè follecitato per tutto quel tempo dalla data forzM. centri- fuga.

Di mostrazione.

Si è già dimoflrato effere zr:ds::ds:ddz. , e chiamato t il tempo propofto fta parimenti i: t::t:t- ; onde moltipli- cate le due analogie nafce zr : tds : . tds : f-ddz. . Ma tds è I' ar- co defcritto dal corpo con moto uniforme nel tempo f, per- chè ds e V archetto fcorfo in un iftante : e t'ddz. è lo fpa- zio fcorfo dal corpo libero nel medelimo tempo con moto u- niformemente accelerato per T azione coftante della forza cen- trifuga , poiché ddz. è lo fpazietto defcritto in un iftante in virtù di tal forza . Dunque ecc. Il che era ecc.

6. CoROLL. La velocità, colla quale il corpo fi rivolge nel cerchio, è quella fteiìà che acquifta fcorrendo liberamente la metà del femidiametro per I' azione coftante della forza cen- trifuga . Imperciocché per le leggi del moto equabilmente accelerato , lo fpazio da defcriverli dal corpo per acquiftare una tale velocità è la metà dell' arco percorfo equabilmente nello fledò tempo . Ma pel Teorema antecedente queft' arco è medio proporzionale fra il diametro e il detto fpazio. Dun- que quattro volte il quadrato di elfo fpazio e uguale al pro- dotto di tale fpazio nel diametro ; e quindi fi ha lo ftelTo fpazio uguale alla metà del femidiametro

TEOREMA III.

7. Le forze centrifughe di z'arj corpi mofji circolarmente come nel §. 2 fono come i quadrati delle loro velocita diretta- mente., e come i femidiametri inv erf amente .

ii8 SOPRALAFORZA

Dimostrazione.

Nominando colle lettere majufcole le quantità dianzi indi-

cate colle minufcole, fi ha non meno/=: — , che F= —

r R

onde /:F:: — : --. II che era ecc. r R

8. CoROLL. I. Se i raggi fono come i quadrati delle ve- locità, le forze cenrrifughe fono eguali, e viceverfa .

9. CoROLL. II. Se le velocità fono come lepoteftà ».'^""'de' raggi, le forze centrifughe fono come le poteftà zn—i!'""* de' raggi medeiimi , e viceversa; e quindi allorché le velocità fono in proporzione de' raggi ; anche le forze centrifughe flan- no in tal proporzione, e viceverfa.

TEOREMA IV.

10. Le forze centrifughe de' corpi , che Jì muovono in un cerchio , forio come i raggi direttamente , ed inverjamente come i quadrati de' tempi periodici , cioè de' tempi delle intere ri- voluzioni ^ .

Dimostrazione.

Nominando T , ? i tempi periodici ^ C ^c le circonferenze ,

C è manifefto per la legge del moto equabile , che F= -- ,

e . ^ . V' v' O e' R' r' R r

f = — ; e pero r : / : : — : — : : ; — : : : — : : — '. — :

* ^ ■^ R r T'R t'r T'R t'r T t'

Il che era ecc.

11. CoROLL. I. Le forze centrifughe fono come le velocità 1 direttamente , e i tempi periodici iriverfamente , perchè efTen-

do K: ty : : - . - : : - : - , ne viene F :/::-:- . I t T t T t

12. CoROLL. II. Se i quadrati de' tempi periodici fono come i raggi, le forze centrifughe fono eguali , e viceverfa : cosi

pure

Centrifuga. 329

pure fé le velocità fono come i tempi periodici, le forze cen- trifughe fono eguali, e uiceverfa .

i^. CoROLL. III. Se i tempi periodici fono come le potefhì n.'f'"" de' raggi, le forze centrifughe fono inverfamente come

le potelta zn — i. de mededmi raggi, e vicevcrja , e le

velocita lono uiverfamente come le potelta n — i. de' rag- gi , e viccTerja .

14. CoROLL. IV. Se i tempi periodici fono in ragione M- quipliCcUa de' raggi ( che è il cafo delle rivoluzioni de' pia- l^neti ) , le forze centrifughe, e però ancora le centripete fo- no in ragione iiiverfa duplicata de' raggi, e viceverfa , e le velocità in ragione inverfa fudduplicata de' raggi , e 'viceverfa .

TEOREMA V.

15. Se la veloci tà del moto circolare è dovuta all' altezza ugnale alla meta del [emidi ametro , cioè è uguale a quella che acquifla un corpo libero cadendo per l' azione della gravita ter- rejlre dall' altezza d' un mezzo femidiametro , allora la forza centrifuga uguaglia la gravita terrejìre , e viceverfa .

Di MOSTRAZIONE.

In quefia ipoteiì diviene 0 = - r ; e confeguentemente

2

zò r

/= — = - = I , che è appunto la gravità terreflre . II che

era ecc.

Scolio.

16. Fino a qui non li è avuto riguardo alla mafia del corpo , e perciò lì è coiifiderata la fola forza centrifuga acce- teratrice , la quale lì cangia in motrice con moltiplicarla per la mafia . Dunque moltiplicando per le rifpettive mafie i ter- mini delle precedenti ugualtà , e analogie lì verrà ad otte- nere i valori alfoluti , e relativi delle forze centrifughe mo- tnci . Cosi per efemp. nel cafo di quefio V. Teorema la forza

Tt

33° Sopra la forza

centrifuga motrice uguaglia il pcfo del corpo , perchè porta la fua mafia = ?w, ed enendo/= i , nafce w/= iy(m, che è appunto il pefo del corpo ; ond' è , che il filo farà tefo e ftirato ne più , né meno che fé il corpo attaccatovi pendefle verticalmente , ed agilFe contro il filo con tutto il fuo pefo.

PROBLEMA I.

1 7. Se il corpo attaccato al fio riceve un tal colpo , che il Juo tempo periodico t fa noto , e ri [ulti nel fio una tenfone uguale a quella che produce il pefo del corpo immobile e -ver- ticalmente pendente ; fi domanda qual fia la lunghez.z.a del fio, 0 il raggio r del cerchio.

Soluzione.

Supporto I : 7r il rapporto del diametro alla circonferenza, farà ^r-^: la circonferenza del cerchio defcritto, e per la kg-

gè del moto uniforme fi ha t-=. — ■=.—. — -. Ora {§. 15.)

V y ih

r=zih; dunque t=:i = 27ryr; e quindi y = — ^. Il che

era ecc.

18. Si noti qui bene , che ficcome I' efprertìone — dee

rapprefentare una quantità lineare , e 4?:* è un numero aftrat- to, non può /' efprimere che una linea, cui diremo /. Per rJeterminare poi querta li rifletta, che nominando 9 il tempo, ed a ì' altezza , da cui cafca un grave in quel tempo , nafce 6' = za nella prefente ipotefi della gravità acceleratrice = i . Laonde fé t farà dato in fecondi , ftarà il numero de' fecon- di in Q' al numero de' fecondi in t' come la Jinea za alla

2t~a linea /, cioè fi avrà / = -^— ; e perchè fatto 0=i' fi tro-

Centrifuga. 331

va d!=t5, I pi.., lì ha quindi / = ?'X3°? ^ pi--> ^ confe-

guentemente r= — ^X3°? ^/''•j efTendo t dato in fecondi.

19. CoROLL. Se il tempo, che mette una palla inerte ma non pefante a defcrivere la circonferenza d' un cerchio, è due volte tanto quanto il tempo d' un' ofcillazione minima d'un pendolo, la di cui lunghezza è uguale al femidiametro r del predetto cerchio, e porta all'cOremità una picciola mafia pe- fante ; la forza centrifuga ajfoluta o motrice della palla iner- te e uguale a! pefo d' una mada grave di egual quantità di materia con detta palla . Imperciocché lì fa dalla dottrina de' pendoli , che il tempo d' un' ofcillazione mìnima fta al tempo della caduta libera per la doppia altezza del pendolo, cioè pel diametro del cerchio defcritto dalla palla inerte, co- me fta la femicirconferenza al diametro , ovvero come ttii; onde efiendo il tempo di tal caduta = V' 4*"= -v/ì^jIt^ viene che il tempo dell' ofcillazione farà z=:r.\/r . Ma il tempo peri-

odico della palla inerte è =-7 — y-, dunque dovendo effer que-

yzo-

fio doppio di quello, nafcerà ~ — - = 27r\/r, e quindi r=2^,

cioè finalmente /=— = i , che è quanto dire la forza cen- trifuga acceleratrice uguale alla gravità terreftre ; dal che de- riva la forza centrifuga ajfoluta o motrice uguale al pefo del- la palla confiderata non folo come inerte , ma anche come grave .

PROBLEMA IL {fig. 1)

20. Sia una curva RA, /a quale rotando/! intorno aW af- fi verticale AC generi una sferoide , di cui tutte le fezioni orizzontali fono tanti cerchj aventi le ordinate HM della cur- va genitrice per raggi . Si collochi in qualunque interno luogo M della sferoide cava un grave , e gli fi dia un colpo , per cui incominci a defcrivere il cerchio corri fpond ente del raggio HM . Si domaiida quanta ejfer debba la velocità imprejfa dal colpo , perchè il corpo non jia cofìretto dalla gravita a calan al baffo , ma feguiti a moverfi nel cerchio incominciato .

Tt ij

331 sopralaforza

Soluzione.

Sia 1' alcifla AH=x , ì' ordinata HM=:J , e V altezza dovuta alla ricercata velocitatila' . Condotta la normale CM alla curva , la verticale MN , e 1' orizzontale MF in dire- zione del raggio HM , iì ponga mente, che la gravità fpin- ge il corpo fecondo MN con uno sforzo = i , e la forza centrifuga rifultante dal moto circolare lo follecita fecondo

MF con una fpinta = — ; e però fia FM:MN:: — : i . Se

•>' , -^ . .

pertanto il corpo ha da perfiftere in M , e così pure in cia- scun punto della circonferenza, che ha HM per raggio, fen- za calare , ne afcenciere , la rifultante MO delle due forze- MF , MN dovrà efiere perpendicolare all'elemento della cur- va in M , ficchè refti interamente elifa . Laonde MO è un prolungamento della normale CM , e i triangoli limili OMF ,

MHC danno 1' analogia MN: MF : : CH: HM , cioè i :- : r

7

— — :/; onci e *=! — - , cioè uguale alla meta della lottan- ax zdy

gente della curva genitrice . Data dunque la curva , la fua

equazione differenziale farà conofcere 1' altezza dovuta alla

velocità ricercata . Il che era ecc.

2 1. CoROLL. I. Se la sferoide è un cono colla punta in

bafTo , cioè fé la linea genitrice AM è retta , iìcchè j' = '/iXy

fi ottiene hz=^- x ,

z

22. CoROLL. ir. Se è una paraboloide, ne viene ^ = a;. doppia della precedente '

PROBLEMA III.

--^

23. Neil' ipotejt precedente che il grave feguiti' a muover- ai dopo l' urto nel cerchio incominciato , fi domanda /' eqnaz.io~

ne della curva genitrice quando la velocita imprejfa al corpo. fta una funx.ione delle coordinate .

Centrifuga. 333

Soluzione.

EfTendo in tal fuppofto h una funzione di a*,/, ed infie-

ydx me = - , , co' metodi conofciuti del calcolo Integrale fi ri- zdy

trova un' equazione fra / ed at. Il che ecc.

24. CoROLL. I. Supporta la velocità proporzionale all' or-

dinata, e però ^ = -, nafce adx:=.zydy , ed integrando in a

ipotefi che fvanifcano infieme y ed x , fi ottiene y'^=ax ,

cioè la parabola conica .

y" _

25. CoROLL. II. Supporto /j=z ^_, , proviene ly" 'dy

2

=:a"~'dx 3 ed integrando - y'^^a"- 'x in ipotefi , che fi

annullino infieme/ ed x, ed n fia un numero pofitivo.

x' zdy

26. CoROLL. III. Se fi fuppone /j = , ne rifulta —

a" - 'dx = ;; — , e coir integrazione proviene

2 log./= 4-cort.

PROBLEMA IV.

27. Determinare la sferoide , nella quale collocato un gra- ve in qualunque punto M della fua cavità , e colpito colla con- veniente velocita^ che lo obblighi a defcrivere il cerchio oriz.- ZMntale fenza difcendere , compia il fuo giro fempre nello jleffo tempo .

Soluzione.

Eflendo /j r altezza dovuta alla velocità , colla quale il grave percorre la circonferenza del raggio HM , oflìa / fen- za ertere cortretto a difcendere per la fua gravità , e Z7:y la

Tt iij

334 Sopra la Forza

circonferenza , proviene il tempo periodico collante

f= Tj—. ; e in confeguenza y- ■= — -^h . Il perchè la curva

genitrice della sferoide è la parabola conica colle ordinate/,

le afcifle h, e il parametro — , e perciò la sferoide cercata

27r è una paraboloide. Il che ecc.

28. C0R.0LL. Col difcorfo del §. 18. fi trova il parame-

t'

tro di quefta parabola =-^X3o> ^ P^-i prendendo il tem- po t efprenb in fecondi.

- ^ '- PROBLEMA V. {fig. II. )

29. Un filo AC fr-mato in A fojìiene neW altro eJlremoC un grave ( la di cui majfia dgs conapirjì concentrata in un punto); guidata la retta verticale AB, e portato il filo nella. Jìtuaxione obliqua AC ^ fi da al grave una percojfa in dire- z.ione perpendicolare al piano BAC , ficchi il grave incomincia: a defcrivere un cerchio normale ad AB , ed il filo AC un co- no retto coir ajfe AB. Si cerca quanta debba ejfere la veloci- ta comunicata al corpo , affinchè continui a defcrivere quefio cerchio , ed il filo a fcorrere /' intiero cono

Soluzione.

Poiché CB normale a BA è raggio del cerchio percorfo , fé fi nomina h I' altezza dovuta alla ricercata velocità , la

torza centrifuga del corpo in direzione di CE farà = — , po-

r

fto r = BC , e la gravità terreftre , che lo follecita fecondo la verticale Ci, è = i . Prefe pertanto le linee CE, CI pro- porzionali a quefte forze , la loro azione non dee punto cam- biare l'angolo BAC ^^'t il filo ha da defcrivere un cono. Per- lochè la rifultante CF di elle forze dee trovarfi nella flelfa direzione del filo per poter efierne interamente difirutta . Ma la fimilitudine de' triangoli ABC , CFE dà X analogia

Centrifuga. 335

zb

CE:EF::CB:BA,cìoc fatta AB = a, nMtn— : 1 •.:r: a; dal

>■'

che Ci raccoglie /j=. — . Il che ecc.

30. CoROLL. I. Il tempo periodico impiegato dal grave

a defcrivere il cerchio , e del filo a trafcorrere il cono è

2 Tir i'^

= -—,■, ed efTendofi trovato /}= — , appare un tal tempo y 2/j za

= in]/ a ; il che moftra , che i coni di egual altezza fono

tutti defcritti nel medeiìmo tempo ; e che ad altezze difuguali

i quadrati de' tempi periodici fono come quefte altezze .

31. CoROLL. II. Se la forza centrifuga di quefto inovi-

mento e uguale alla gravità , il filo fa un angolo femiretto

zb ' colla verticale , e vicevcrfa : imperciocché fuppofto — = i ,

zb nafce r = É7, e fuppoflo r = «, nafce — =:i-

32. CoROLL. III. Chiamato (p l'angolo CAB, ed / la lun- ghezza AC del filo, fi ritrova a=lcoL(p,e perciò t^zzir^a = 27ry^/ cof. (j) , cioè ne' coni, che hanno lo ftefTo angolo alla punta , i quadrati de' tempi periodici fono come le lunghez- ze de' fili , e generalmente come le lunghezze de' fili e i co- feni degli angoli in punta, ovvero come le lunghezze de' fi- li, e i feni delle loro obliquità all'orizzonte.

33. CoROLL. IV. Quefto tempo periodico pel cono fla al tempo della libera caduta d' un grave dalla doppia altezza del cono come la circonferenza del cerchio al diametro ; per- chè il tempo di tal caduta per la dottrina del moto equa- bilmente accelerato Ci fa efiere =y4<7 = 2^/rt, e il tempo periodico fi è trovato z=27r\/a.

34. CoROLL. V. Se il cono è acutiffimo per modo che fia a un diprefib a=:zl , e (p = o , il tempo , in cui viene defcritto , diventando 27ry/ , uguaglia il tempo, in cui refi^a defcritto un cerchio, il di cui raggio fia la lunghezza del fi- lo, e dove la forza centrifuga ( §. 17. ) fia uguale alla gra- vità.

35. CoROLL. VI. Se il tempo periodico del filo per un cono

336 Sopra LA forza

uguaglia il tempo d..'Iia libera caduta d' un grave da un' al- tezza uguale alla lunghezza del filo , il feno dell' obliquità del filo all'orizzonte ita al leno tutto come il quadrato infcrit- to in un cerchio fta al quadrato della circonferenza , e vice- Z'fr/^/ . Imperciocché quel tempo periodico = 27ri/ /cof.(|), e quello delia caduta =:iy ^l ; onde dovendo edere y/2/r= 27r]//cof. $,

cioè I = 27r' cof. $ 5 nafce la proporzione cof. cf) : i::- :7r' ,

2

offia la propofla.

PROBLEMA VI. { fig. L )

36. Muovafi un corpo non libero nella linea RMA da R verfo A , e venga continuamente follecitato da una forza in direzione parallela all' ajfe CA . Si domanda la prejìone , cAs il corpo efercita in ciafcun luogo M della curva

Soluzione.

Si fupponga , che il corpo abbia defcritto 1' arco KM, e fi chiami p la forza , che Io follecita fecondo MP parallela all' afle . Rifoluta quefla nella forx.a tangenziale fecondo la tangente M^ , e nella forza normale fecondo la perpendico-

MP'

MO normale =^ :rj^p ; e fé fi fa AH=^x ,HìA=^y ,AM=zs , è

, ., ., , , M§i ~dx dx ^ MO -dy

facile il conofcere, che ,,^ = — 7- =— ; ed ^7777 = — 7

MP —ds ds MP —ds

dy pdx

= — : laonde la forza tangenziale = -— , e la forza nor- ds ds

male = -— . La prima di quefte non ha alcuna parte nel pre-. ds

mere il corpo contro la curva, la feconda all' oppofio è tut- ta impiegata in produrre queflo effetto . Vi ha inoltre una forza rifultante dal moto curvilineo , !a quale è parimente tutta rivolta a premere il corpo perpendicolarmente contro la curva ; perchè elFendo 1' archetto Mm della curva Io lìdio

che

lare MO alla curva, nafce la forza tangenziale =: -;p^/', e la

Centrifuga. 337

che quello del fuo circolo ofculatore in M , farà anche una tal fona del corpo nel punto M della curva la ftefTa che la centrifuga nel circolo ofculatore percorfo colla velocità in M acquilhita , e però agirà in dire-/.ione di MO , o del raggio ofculatore perpendicolare ad Mm . Il perchè chiamata è V al- tezza dovuta alla velocità in M , r il raggio ofculatore , (1

ottiene quefta forza , ovvero la preflìone contro Mmz=— .

Dunque la preflione totale del corpo contro un luogo inde-

pdy th pdy

terminato M della curva c = ] =^

ds r ds

ih

-j — per effere, come fi fa, il raggio r dell' evo-

ds':dx'd(^-')

ds' luta=: — . Se dunque la forza follecitante p , e 1' al-

dx^d('^-)

^dx'

tezza h dovuta alla velocità in M fono quantità note, o an- che date per le coordinate x , / , l' equazione della curva fomminiftrerà il vero valore della prefilone , che fi cerca , Il che ecc.

37. CoROLL. I. Per ritrovare la velocità del corpo in qua- lunque punto M della curva bafta moltiplicare la forza tan-

pdx ^

genziale ,-per l' archetto — «/j- , ed ottienfi , come e noto ,

dhz=. — pdx ^ hz=z — I pdx -]- coH. , e fuppofto , che il corpo parta da R colla velocità dovuta ad un' altezza nota a , e prefo r integrale 1 pdx per modo che fvanifca allorché x =

AB = h , proviene ^ = <z — / pdx .

3S. CoROLL. II. Sì ritrova il tempo t impiegato a fcorre-

re r arco indefinito RM colla nota formola dt^=.—, — -,

y ih

Vv

338 SOPRALAFORZA

-ds

^, la quale dà .=./^-^^-^^,

\/2(a — fpdx ) prendendo queft' integrale in modo clìe fi annulli allorché sz=r.AMR, ovvero x = a.

39. CoROLL. III. Se un corpo viene lanciato da B in di- rezione di BA con una velocità dovuta alla predetta altezza a , ed agifce in elTo la fteffa forza follecitante p comunque variabile in direzione parimente di BA , e fi chiama i' 1' al- tezza dovuta alla velocità in H, nafce anche in quello cafo

d/j' = — pdx , ed //=^a — jpdx-=^h. In confcguenza acqui- la egli la ftefia velocità cosi difcendendo per 1' altezza ret- tilinea BH , come per la via comunque curvilinea BM ; e lo fteflo accade quand' anche il corpo incominci a moverfi dalla quiete, cioè lenza velocità impreflà.

40. CoROLL. IV. Se il cprpo con una data velocità do- vuta all' altezza a incomincia a moverfi da A verfo M ful- la linea obbligata AM , ed intanto agifce in effb continua- mente la forza p in direzione parallela all' alTe dal baifo all' alto, ficcome in quello cafo la forza tangenziale tende a fmi- nuire la velocità del corpo , fi ritrova j)dx = — d/j , ed ò

■=.a — I pdx ^ prendendo però l'integrale 1 pdx in modo

che fi annulli con x. Perchè poi trovafi quella fiefia formo- la anche pel corpo lanciato da ^ lungo 1' alfe AC colla fief- fa velocità, ed animato dalla fl:efla forza p in direzione op- pofia al fuo moto; quindi ne viene, che o il corpo afcenda per la via rettilinea AM , o per la curvilinea di qualunque forma AM , ad eguali elevazioni in H , ed M fi trova aver

perdute uguali velocità ; coficchè nell' integrale / pdx fé fi

prende x di tal grandezza AB , che il detto integrale diventi = a , fi ellingue tutta la velocità del corpo fia che s' inal- zi direttamente per AB. fia che afcenda ad uguale elevazio- ne per r arco comunque formato AR. Giunto poi in B op- pure in R difcende dalla quiete per BA , ovvero per RMA per 1' azione continua della forza p follecitante dall' alto al bado, ed acquilta in A nell' un cafo e nell' altro la medefi- ma velocità.

Centrifuga. 339

PROBLEMA VII. {Jìg. III. )

41. Dall' ejìremìtà G d' un filo fermato in Q pende un gra- lìe , e follcvandofi il filo difiefo nella fitnaz.ione oriz.z.ontale CA Jt abbandona a Je fieJJ'o ficche il corpo incominci a descrivere V arco AE del cerchio verticale AGBF . Si fa la ricerca quan- to fia premuto dal grave qualunque punto E della circonfcrenz.a del cerchio , ovvero quanto fia tefo il filo in qualunque fitua- "niont .

Soluzione.

Nominate al folito ;v , / lo coordinate G^ , ^E , ed r

il femidiametro , lì ha pel cerchio 1' equazione /'=: irx — X'^

(2rx — x-)dy ,

jdj' = (r — X) dx , ydy = (r — xydx\ -— — — :== dx"- ,

( r X )

T^dy^ rdy

ds' = dy^ -^ dx^ = — , dsz: . Ora, quando il

(r — xy r — X

grave è difcefo per AE , ha acquidato in E una velocità do- vuta air altezza C^=zr — x(§. 39.). Dunque fatte quelle

pdy 2^ „

foftituzioni nella formola della nreflione — — , e polto

^ ds r

p=.i ^ perchè la forza follccitante in queft' ipotefi è la gra-

_ r — x zr — zx vita, fi ottiene la cercata preffione in E= — H

= ^— -, cioè uguale a tre volte I' altezza C§i dell' ar-

r

co defcritto. Il che era ecc.

4:. CoROLL.. I. Nel punto infimo G -, dove x=:o, la pref- fione uguaglia tre volte la gravità ; e moltiplicando per la malfa del corpo , rifulta la preflìone motrice ( che è la pref- fione propriamente detta ) , e quindi la tenfione del filo tre volte maggiore del pefo del corpo .

43. CoROLL. II. RimofTo il filo dalla direzione vertica- le, e portato nella fituazione obliqua C7 , e qui abbandona- to , la preflìone in qualunque punto £ proviene '

Vv ij

34° Sopra la forza

r — x 2a~zx r^ia—sx = = • -, chiamando a 1 altezza

r r V

GN del corpo fopra il punto infimo, ed avuto riguardo alla velocità acquiflata dal corpo in E, la quale è dovuta all' al- tezza N:^=.?-;!C della difcela(^. 39.).La preffione poi nel pun-

■ r ^ r r4-2a

to infimo G nalce = .

r

44. CoROLL. III. Se 1' arco Gì è di 60° , la preffione in G , ovvero la tendone del filo fa due volte il pefo del cor- po, giacché in quello cafo a = -r, onde -^3lj:_ ::^ 2

PROBLEMA VIIL

45. Se un grave pendente da un filo fermato in C viene obbligato a percorrere il cerchio verticale AGBF ; Jt domanda quanto fia tefo il filo da quefio corpo allorché pajja pel punta infimo G .

Soluzione.

Se il corpo trovandoli in A, quando il filo è tenuto nel- la fituazione orizzontale CA^ cafca dalla quiers e dercri\'eil quadrante AG, acquila in G la velocità dovuta all' altezza del femidiametro CG { <^. 39. ) , velocità che interamente lì eftingue con portarfi che fa il corpo ad uguale altezza in B per r airro quadrante GB . E' dunque meflieri al corpo in quiete nel punto A dare un tal urto in direzione della tan- gente , che Io obblighi a falire da G fino ai punto iupremo F, e a tender quivi il filo con una forza per Io meno egua- le al fuo pefo: dico per lo meno, poiché una forza maggiore del pefo del corpo non produrrebbe qui alcun inconveniente fé non forfè quello di allungare il filo , al che rimedia I' i- potefi del filo inefìenfìbile , ma una forza minore del pefo non impedirebbe il corpo di cafcare per FC fenza poter continua- re a percorrere tutto il cerchio. Laonde chiamata h X altez- za dovuta alla velocità del corpo nel pili alto punto F, debb'

Centrifuga. 341

ih

effere la tcnfione del filo, o la forza centrifuga — perlomc-

r

no = I , e quindi h--r. Ma il corpo nel falire per la lèmi-

circonferenza GBF perde ( §. 40, ) tanta velocità quanta è quella che è dovuta all' altezza GF = zr : dunque ritenendo

in F ancora la v^elocità dovuta per lo meno all' altezza -r,

2

dee avere in G la velocità per lo meno dovuta all' al- tezza -r. Confeguentemente la forza centrifuga del corpo in

2

G farà per lo meno = — = 5, cioè cinque volte la gravità,

r

o a meglio dire denominata m la maffa del corpo, la forza

centrifuga riufcirà= =5/», vale a dire a cinque volte

r

il fuo pefo . E ficcome nel punto infimo G il filo vien tefo non folo dalla forza centrifuga , ma ancora da tutto il pefo del corpo pendente, proviene perciò la tenfione in G almeno fei volte maggiore del pefo del corpo . Il che ecc.

46. CoROLL. I. Per trovare ( in queft' ipotell che la ten- fione del filo in G fia fei volte il pefo del corpo) la tenfio- ne di elfo in qualunque punto E de' due quadranti inferiori

pdy rh

AEG, GSB, fi ricorre alla formola f- — , e fi oflerva ,

ds r

che in quello cafo la velocità imprefia al corpo in A colla

percofTa è dovuta all' altezza -r, e confeguentemente in E

2

è dovuta all' altezza -r -{-C^=: -r — x ; dal che fi rac-

2 2

coghe /j=-r — x ; e 2Ìà fi è trovato — = . Perlo-

2 " ds r

pdy zh r — X $r — ix

che la tenfione del filo in E -— -\ =

ds r r r

6r — 3x ...

= . V v :i^

54- Sopra la forza

47 CoROLL. II. Per determinare poi la tenfione del filo in qualfivoglia punto de' due quadranti fuperiori AVF , FHB convien fare attenzione , che in quefto calo la gravità in ve- ce di cofpirare colla forza centrifuga ad accrefcere la tenfio- ne , vi fi oppone anzi e ne fminuifce 1' azione ; onde per que-

• Ita parte il termine -— dovrebbe fottrarfi dall' altro — : ma

ds r

dy

ficcome in quefto fteffo cafo la frazione -— è neceflariamente

ds

negativa, perchè quando il corpo afcende per 1' uno o 1' al- tro de' due quadranti crefce la ^ e fcema la / , e quando di- fcende crefce la/ e fcema la s\ quindi nafce che il termine

t^y .

-j rimane additivo, come lo era nel primo cafo. Sicché an- che pe' due quadranti fuperiori rifulta la tenfione del filo 6r — 3-v . ^

intendendo per x un' afcifl'a maggiore del femi-

5

diametro , come è Gh per riguardo al punto H , q GO per rifpetto al punto V.

PROBLEMA IX.

4S, Tenuto il filo nella Jìtuazione orizzontale CA fi cerca nel raggio verticale CG un tal punto (^, che piantandovi un chiodo e lajciando cadere il corpo liberamente quefio deferiva intorno a Q^ un intero cerchio colla parte GQ_= QN dil filo , attortigliandoji (fenza però accorciar fi) intorno a Q_.

Soluzione.

Giunto il corpo in G acquifia la velocità dovuta all'altez- za r, alzandofi poi fino in N perde tanta velocità quanta è dovuta air altezza G^7, cioè ix, facendo 6^ = .v . Dunque ritiene in N una velocità dovuta all' altezza r — 2.v, ed ha

quivi una forza centrifuga = '- . Ora quefla forza dee

X

.per lo meno efiere uguale alla gravità , fé il corpo ha da fof-

Centrifuga. 243

tcncrfi in N , e profeguire il fuo moto circolare . Per-

2}- -SX ,• . - TI 1 •

ciò fi ricava ^=15 e ài qui x=-r. II che ecc.

X 5

PROBLEMA X. (f^. 1.)

49. Determinare la curva RA funata in un piano verti- cale^ la quale da un grave-, che discende per ejfa e che ha ri- cevuta una velocita primitivamente imprejj'a -, fia premuta ugual- mente in tutti i fuoi punti .

Soluzione.

f

Porta » la maffa del corpo fi è dianzi trovato , che la

ndj/ preffione contro qualunque punto indefinito M è ="7"

2nhdx^d(£)

4 ; '— • e ficcome fi fuppone cofiante ,e però equi- m djf

valente al pefo d' una data mafia w , fi ha quindi - = —

n as

-I ; . Ora efiendo a V altezza dovuta alla veloci- tà impreca al corpo in R, e BH , cioè BA — AH, offia b — X r altezza dovuta alla velocità acquiilata nella difcefa

per RM, proviene h:=:a-^b — x, e confeguentemente

., z(a + h-x)dx'd( f ) 7n dy ^ dx '

— = -- -I '- — . Per facilitare l' inte^ra-

n ds^ ds'

zione di quefia equazione , fupporremo cofiante la ^i-,che dà

dds ^=^ d\/ dx^ -\- dy- z= o , cioè ddx= — 4 — • ^ poiché

dx

344 Sopra la forza

Gdy V .dxddy — djddx ^ - )== ax^ f — j = dxddjf — djfddx , fatta la X £IX

dy \ foftituzione del valore di ddx , apparifce dx^d ( j- }

(dx'+dr)dd/ ds^ddy , , a ■ a-

= ; = — ; — ; onde la noltra equazione diven-

dx dx

m dy ■2.{a-vh — x)ddy . . '^ . , , , ,

ta — = — -j ;— ; , Cioè — dsdx ■=. dydx 4-

n ds dsdx n

I

z{a + b ■— x) ddy . Divido quefta equazione per i(a + b~xy,

ìli 1 — — I ~ -

ed ottengo ~.-(a-i-b — x) * dsdx=^- (a-\-b — x) * dydx

» 2 2

I

'^{a-\-b — xy ddy , il di cui integrale fi trova fubito ef-

m - -

fere — (tìf-j-^ — x)' ds = (a'-\-b — 'Xydy-f-Cds. La co- n

flante C fi determina con fupporre , che 1' angolo formato

dalla tangente della curva colla verticale nel punto R della

dy partenza del corpo fia noto , ed ■=z(^\ allora effendo —

d$

w 4 ^

-{a-^b-xY — Q

n dy

= , e — rapprefentando il feno d' un tal

ds {a-\-b — xy

angolo per un punto indefinito della curva, rifulta pel pun-

m C

to dato R , dove x=zb, fen. (p= r- , e confeguente-

n ya

m V

mente C'=^\. fen. <f)JV/d; . Riguardo ora C come una

quantità determinata, e dall' equazione integrata ricavo

fl

(a + b-xy dy

ds = ' — , cioè

m -

-(a + b-xy~C n

ds' =

Centrifuga. 345

ds' = dx'-X-d/'=: ; -; e quindi

(~(a + b-x)*-Cy

(- (a + b-xy -CYdx' fi

Jy z=: ; , e per ultimo

a + b — x — ( - (a + b — xy —Cy

m

n m

n

(^~(a+b-xy -C)dx dy:=. — - — ~. Per integrare queft'

\ a^b-x-l-{a-^b~xy -Cy n

equazione prendo u^={a'\-b — ;v)*, u^-=(t-\-b — x,

— ^( - u — C^ udu

— iiiduz=.dx, ed ottengo ^ =

m- im

e polto I — — = i<;S ne traggo 4^ =

x/(u^ u^j^ — Cu-O)

2 ( C u^ udii

n

y/{pie-\-—Cu-0') Piglio inoltre y ( K=z<'+ — O; — C ) = K«-|-2: , e però Cu — C^=: iKxK-f-z-N ovvero ?/= —

n ' 2m

— C— 2K2: n

r.m n

z-:Ld-z.('— C- 2K2: ) + iKiz ( C- + 2.^ ) duz^. , —

X X

34<5 -~- Sopii A L A Fo R.Z A

:■ , Ku-f-Z. = l-Z

2(-C — K2:V —C-iKz

■■=\J{K^u^^-"^Cu-0).,

zm ^

— C—iKz.

« ■■., V ■ •. ■ . l

du àz.

. Reira a trovare

:w - m

, ~l" X III

^ ^ n ^ n '

2(^C — r~'0'^ *^^^^ P"''^ per z , e già fi vede effere

- m n n n n

L U==:L — :==: , e quindi

n w . 'm . ^

2(~C-Kz.) 2(~C — K:c)

2(C u)uz=. — , e final-

2(-C — Kz)^

2 ( C ;/ ) «^«

mente

im

V(K'//' + — c« — e) 2(-C — ivzV

Centrifuga. 347

Si faccia

^ n n ^

m

-C — t

— C — K2: = r, 2,= , dz. = — . Laonde la prccc-

n K K

dente efpreflione (ì trasforma in

/m 2m'0 em'Ot 6mCt'- zCt'

' K'» ^ «•* «' »'- « ^ / 2ivf '

la quale è integrabile parte algebraicamente , parte per la

quadratura dell' iperbola. Dunque ecc. Il che ecc.

50. CoROLL. I. Se fi vuole, che la preffione coftante fia^

uguale al pefo iftelfo del corpo, cioè n = m ii ha.

( 1 Cu — zu'^) du ^ / ^ ^, X • V

dy z= -— , Perciò porto y (iCu-O )=p , cioè

''=p\ Cdi

I ^, {p' + c-y- _o-p' (20i-2u^)du__(a-p^

'^\o ~ zO ' \/{iOi-C-)~~ ^o I p^

Laonde l'integrale fdrh/=z-Cp -j-coft.

^ IO C

Xx ij

P' + c

zCu — O —p' , Cdu =pdp , u= , zCu — in' =p

zC

54^ Sopra la porza = — * 4- cofl. = r iCN- rQ{a -;- b - x)

— ^a—^h■\-^x')\J(^zQ{a■\-h — xy~0')^co<^. Sicché annullandoli inlìeme / ed .r, proviene qo'^. ■=: (za -\- "i-h — ^0^

— zC{a-\-hY)\](^zC{a^hy — 0). Dunque iinalmen-

te / = ( 2<? -}- 2^» — zC^ — iC (^ + hy ) \/(2C (^-h^)^ - C')

+ (2C' -!- 2C {a + b-xf- za - zb + 2x) i/(2C(^ -:■ b ~ xf - O) ,

51. CoROLL. II. Qiialora vogliali , che la preliione noa

fìa coftante , ma variabile fecondo una data legge , la quan-

tita — farebbe variabile , e farebbe nota la le^ge della fua

variazione . Se per efempio fi fuppone , che la prefilone fia

m m ogni punto proporzionale alla velocità del corpo , _— di- viene proporzionale a \/(a-}-b — x); onde prefa una quan- tità nota A nafce - z=:?\(a + b~x)^ . Perlochè

rA(a + b-x)~C)dx n , ;

dy =i ,y—~^- ' _> ^^ . e porto a4-b —

•^ \/(a + b-x-(7\(a + b-x)-Cy)' ^ ^

r , (C — 7M)dH _

x:=!/, il trova dyz=.—r- '■ — . Per integra-

y/ {iv — 7\-ii^ 4- 2CAZ/ — C)

re queila equazione bifogna renderla razionale, ed a quell'ef- fetto cerco prima i divifori della quantità radicale , fuppo-

• X (2CA-:- I) C^ nendo xi - A'u' + zCa?; - C " o , cioè u" u-\ = o ,

A A r 2CA4- I ttv/'('4CA4- i) j ^ t

donde fi trae ?<= "^ . Laonde li ha

^ 2CA-i-y74CA^-i). ^^ 2CA-i4-v/(4CAh-i).^^^^^

^ 2A "^^^ zA^ ^^

(2CA4-I) O u-\ ; e moltiplicando per A- , e mutando f

A" A"

fegni apparifce — X'ie -\~ zCKh -j- « — C =

Centrifuga. 545

/ •. I ^_CA+iH- y (4CA + I) . 2CA - I + /(4CA -;- I) .

{ —AH -A — ) ( AH ) .

D ^ K • > 2CA+i+v/(4CA+i) .

rrendo per brevità :=/, e parimente

-2CA- i+/f4CA-M) -v f , ^

. =^ ; CIO tatto la noltra equazione

2A

J ■ . r r ■ ■ , {C — 7s.u)dU

da integrarli fi cangia m dyz=:

y/ (« — A^«^ + 2CAK — O) (C — Ati) du

— ./,-: = ==. Affamo ora /(/— Am X <? + ^'W )

= (/ — A/O z ; ond' è ^ -}- A« r= (/ — T-.u ) z^ , ?m -j- Az^z,'

=fz.' -P, li = , du = ^^-^ -^ —

2A (f+ p ) zdz. = — TT = . Parimente Ci trova (/ — 7\u)z,

^ A + Az,' ^ 1 4- z.' '14-2:^

14-2:' ^ ^(C + ^)(/+^):2:^^+2(C— /)(/4-^)x^^2: ^^^^ ^^

A(i+z^)' ■ ""^"*'

^ 2(C4-^)^z4-2(C— /)2:Wx_2(C+^)^^ ^^

A(i4-2:^)' A ^^ (H-2:=)=

, 2(C— /)^^ 2:'^z • .• • -,

-h ■ X . • Kiduco prima ad integrazione 11

A ( I 4- z,' )' ^ ^

primo termine di quello fecondo membro ricorrendo al no-

/dt

, fi trova quefto

X X iij

550 Sopra LA FORZA

dz,

X. z

z, \ r dz. X ,1

n= h - / — = ; 4- - 'ire. tang

2(1 +2:'-) 27 I 4-21' 2(1+2.0 2

/zj'dz, — col no- ( I +2: ) /t^dt ( a -f ht'" yi — ff-»'+- (0 — w+i) r tP-"'dt

_ \-^'^ ^~-rì r \ — otten-

m{q^i)b{a^br)'i-' ^ (q — i)mbj (a + bty-'

/z/dz — z, i_ W" ^^ „ (i+^'r " 2 ( I + ■^n 'J M^ "" z. I (C+^)2:

— — [-- are. tan!^. z. Dunque rifulta^=-;

2(I+Z,0~2 "^ ^ A(i+2:^)

+ —^ X are. tang. 2: + ~^-^ + ^ X are. tang. z. ^- coft. A ° A(i+z,'_) ' A

f + A«, A -^ "^ V /-Aa

= - V' (^ -:- Ar; X /- A«) ^ X are. tang. V y::^^ • ^oft-

— i,//',?-!-/, — ;c — (AX<24-^ — -V — C)=) ,_

A ^ " '

4- — — "^ — V ire tan'-'. \/ -— — '^ — -h coir..

4- ^ Xaic.tan^. V^_^^^^^__^,^ 1-

_Ì^(<^4_^,-_(AXH=^^ — C)0 ,

A ~ — - X are. tang. 1/ ^^—, ; ;

Centrifuga. 351

52. CoROLL. III. Se fi vuole , che la legge della varia- zione della preflione lìa di eilere in ragione inverfa della

velocità del corpo , allora - fi cangia in —; ; , e

^ ' n = \J {a + b — xy

r r u j {7. — C}dx , .

conleguentemcnte fi ha dy=z—r, ■ -; — r , ed in-

\/{a + b~x~{A-Cyy

tcgrundo j=i{C-'h)]/ai-b-x-{h-Cy- 2(C- A) }J a-\-b- (A - Cy . PROBLEMA XI (fig. IV)

53. Se per la convejfitk della curz'a AMB /cavata in fog- gia di canale , ed avente il fuo ajjé in fituax.ione verticale , difcende un grave partendo da quali<nque punto della curva , fi domanda quel punto , dove il corpo abbandsna la curva , e fi dijlacca dal canale .

Soluzione.

La gravitaci , che tiene il corpo attaccato alla curva,

dy agifce con uno sforzo = — ( §. 36) chiamando/ la NM , x

ds la AN, s r arco AM , e con quefto sforzo il corpo preme il canale . Ma ad un tale sforzo direttamente fi oppone quel- lo della forza centrifuga , che fpinge il corpo lungi dalla cur- va in direzione ad ella perpendicolare , e che li è trovato

= — , prefo r pel raggio del circolo ofculatore della curva r

in quel punto , dove il corpo li trova , ed b per 1' altezza

dovuta alla velocità del corpo in quel punto. Quando adun-

dj' zh dy ih

que farà — = — , ovvero =03 allora il grave ab-

ds r ds r

bandonerà la curva, e Ci diftaccherì dal can:^.le defcrivendo ,

come è manifefio , una parabola conica in virtù dell' impeto

acquifiato nel punto del diltacco , e delle foUicitazioni co^

35^ Soprala FORZA

ftanti della gravità . Pertanto 1' equazione della curva appli-

dy 2/è

cata alla formola — =o farà conofcere 1' afcifTa , o

ds r

V ordinata corrifpondente al punto del diftacco , che fi cer- ca . Il che ecc.

54. CoROLL. I. Se AMB è un arco di cerchio col raggio

r, e parte il corpo dalla quiete dal punto più alto A , già

dy r — X r — x

fi fa eflere — = , zh-=^ 2X ; confeguentemente •

ds r *'

IX I

= o,x = -r. Il che moftra, che il punto del diltac-

r 5

co corrjfponde ad un' afciffa che è la terza parte del raggio ,

e però è 1' eftremità dell' arco di 48°. 12' all' incirca.

55. CoROLL. II. Se il corpo fi muove dalla quiete dal pun-

' dv T X

to M, e fia AN=.a,AG = x,GFz=j', diventa - = ,

ds r

r — X la — IX

2è=zNG=2X — 2(3'; onde ■ -i = o , e quui-

r r

r-j- la r — a i , ^

di x=z , o piuttofto .V. — •az=NG;= =-iVCef-

3 3 3.

fendo Cil centro. Dal che fi vede , che il punto del difiacco è r eftremo dell' arco che ha per altezza la terza parte del co- feno dell' arco AM , dal cui termine comincia il moto.

^6. CoKOLL. III. Di qui apparifce la bella proprietà mec- canica del cerchio verticalmente eretto , che fé per la fua conveffità fcavata in canale nella femicirconferenza fuperiore al diametro orizzontale difcende un grave partendo dalla quie- te da qualunque punto del canale, quefto fi difiacca dal ca- nale dopo aver defcritto un arco , la di cui altezza è fem- pre il terzo dell' altezza di detto arco continuato fino al dia- metro orizzontale .

57. CoROLL. IV. Nella parabola conica col parametro =: 2;? dalla fua equazione 7' = 2f a,' B ìnicrìkc fdjzz^pdx ,

dx^ =-'^^- , ds' =: dr- 4- dx' = .^ +^')^^

ds=z

Centri fuga. 353

//f = • ; onci e — = -; ; = -; ^, .

Si fa inoltre , che il raggio ofculatore di tutte le fezioni coniche è uguale al cubo della normale divilo pel quadrato

del femiparametro , cioè = — ; e ficcome nella parabola

ì<l-=:y{j--\-p^)'=y{p^'\~zex)^ e però il raggio ofculatore

p-irix I = y iP'' -{--P^) ; quindi viene, che fuppoito il grave

partito dal vertice della parabola I' efprelFione — fi cangia

2/'.V p

in -— e quefla uguagliata a -7—- -,

IX

fomminiftra 1' ugualtà = i •> tioè /«rro, che è vifibil-

p-lr^x

mente aflurdo . Dunque il gra\ e difcende per la convenTità del canale parabolico fenza mai diftaccarfene , allorquando la di- fcefa incomincia dal vertice .Altro allurdo parimente s'incon- tra quand' anche il grave incominci a difcendere da un pun- to qualunque inferiore ; e però dovunque incominci il fuo moto, il corpo non abbandona mai il canale.

58. CoROLL. V. Neil' ellifle conica coli' a{re=:2d' , col

parametro = 2/) lì ha 1' equazione 7' = 2/',r — ; ond' è

a

, (pa —px )dx aydy ( la^px—pax' ) dy*

a ' —(pa-pxr~ ipa-pxy

di' = dr A- dx' = (/''^' - ^^p'^ + ^~^'p--< + p'"^^ -^^'•^' ) ^^'

; ' (pa-pxr

dy / (/■'<?' — zap^x + zà'px + p-x"" — apx"- ) ^

ds := — "—^ i i i : confeguente-

pj — px

. '^y pa—px „.

mente -•=. — - . Siccome

di V ( ^'^'' "" -''^P'^ + .^a'-px +p'x- — apx'- )

• 1 , XT yd' {pa—px)ds ^ .. ..

poi la normale N= — = , , fé ne raccoglie u

^ ^.v adj °

Yy

354 Sopra LA FORZA

r . N' (p^a^ - lap^'x + la-px -:- p-x"- - apx'V raggio ofculatore r = — = — ^ i — - .

Dunque fé il corpo incomincia a muoverli dal vertice dell'

ellifle, ficchè fia hz=.x, nafcerà

ih la^p^x

; , la qual efpref-

(p'a'^ — iap'x + ia^px + p^x^ — apx')''

d/ fione uguagliata al valore di — fomminiftra l'equazione 201'^:

ds

= (a — x) (pif — zapx ~\- la'x -j-M"' — ^^'' ) ? che fi riduce

"ìa^p pa^

alla cubica di quefla forma x^ — zax'' .x-\ = o.

a—p a—p

La radice di queft' equazione reperibile co' noti metodi rap- prefenta 1' altezza dell' arco ellittico , defcritto il quale, il corpo abbandona il canale . La fteffa equazione cubica {{ ri- trova anche quando 1' affé verticale dell' elliife è il minore, e il corpo parte dal vertice di queft' affé , col folo divario , che in quefto cafo , a indica il femiaffe minore , p il lemipa- rametro di queft' alfe , x 1' afcifla del medeiimo .

59. CoROLL. VL Per 1' iperbola conica con un procedere

affatto fìmile al precedente s' incontra 1' equazione cubica

^u^px ■ vu^

x^ + ^ax^ -\ 1 — = o , la di cui radice x farà 1' a-

pjra ^ p-\-a

fcifla dell' arco iperbolico , defcritto il quale il corpo , che incomincia a difcendere dal vertice , fi diftacca dalla convef- fità del canale iperbolico . Ma qui un tal diftacco non può mai aver luogo, come pure avviene nella parabola; avvegna- ché effendo politivi tutti i termini della predetta equazione il valor reale di x non può effere che negativo; il che , nell' ipotefi in cui fiamo, è un aflurdo . Dunque il grave , che difcende per la conveilità d' un canale iperbolico , reità fempre unito al canale anche protratto in infinito fenza fcoftarfene mai . Non è mcftieri di far vedere , effendo troppo facile , che ciò accade anche quando il corpo comincia a difcendere da qua- lunque punto più bailo del vertice.

60. C0ROX.L. VIL Sia la cicloide CAD {fi^. V.) la di cui

Centrifuga. 355

/ 2r — X equazione è dy=^dx\J ■, prefo r pel femidiametro del

cerchio generatore AO'bS . Qui i\ ha d$^ ■=. dy^ -^ dx^ r=z . dxUzY — x) irdx ,,1-^4/ ./-'''

ir — x

X X ^ X ds ^ zr

Sì (x di pili , che il raggio dell' evoluta della cicloide per qualunque punto indefinito M è il doppio della corda cor- rifpondente BO del cerchio generatore , cioè

r=iy(irx~^ — '"^ì- Q^iindi, eflendo /i=:x, e però

l/j X T 1 . n •

— = -- — , nlulta pel noltro intento

r \/(-^X2r-x)

'-z=i =/ , e per fine .v:=r . Dunque il

grave, che parte dalla quiete dal vertice della cicloide giù per la fua conveffità fcanalata , fé ne diftacca dopo efiere arriva- to al punto , che refta fotto il vertice un femidiametro del cerchio generatore . Se il grave incomincia a difcendere da

un punto F fotto il vertice, porta AE=::^a, il valore di —

^ ^ 2r — X

fi cangia in =:==, , e dall' equazione l/

X •""" ^

fi raccoglie 2r — x:=zx — a , cioè EM

= NB 5 EN = - EB . Dunque , da quallìvoglia punto del

canale cicloidale incominci il moto, il grave Ci difl:acca fem- pre dopo aver percorfo un arco , la di cui altezza è la me- tà di quella dello fteilo arco continuato fino alla bafe oriz- zontale della cicloide.

61. CoROi.L. Vili. Suppongafi , che la figura del canale fia quella d' una parabola qualunque di genere fuperiore rap- prefentata dall' equazione /"' = ;>? , effendo m un numero in- tero >2. In queft' ipotelì fi ha ds^ = dx^ -\- d_y- =. dj''^

Yy ij

$5^ Sopra la forza

parabole fuperiori il raggio dell' evoluta., ovvero

»"= — -, ; — -„, ,, ,„ . Sicché pofta 1' altezza dovuta njla

velocità, cioè /j = x neiripotefi, che il grave parta dal ver- tice , rilulra — = ~ __ . Laonde dovendo ef-

fere nel cafo del diftacco — = — , farà i~\-m^x'-""-'^""=:.

ds r

i.m{m — \)x C'™-')-'» ; e perciò jc"^"»-'^-'" =

m{m — 2 ) finalmente xz=.( _ V^c^'"-^) . Dunque ne' canali pa-

rabolici di grado fuperiore al fecondo il grave , che fi fpic- ca dal vertjce , e fi rotola giù pel conveflb del perimetro parabolico fi diftacca allorquando ha fcorfo un arco , che ha

per altezza o afcifla la linea ( \m:(^ira-r) j^ quale

altezza nella parabola di terzo grado è =: -j — , in quella di

quarto grado è = - , in quella di quinto è = .-> , e

4 _ _ _ v/759375

cos'i difcorrendo. Che fé il grave, in vece di fpiccarfi dalia fommità del canale , partirà da un punto piìi baflb , lìcchè la diiìanza di quefto punto dalla retta orizzontale, che paf- fa per la fommità, fia =d!, allora per determinare il punto del diftacco converrà rifolvere quella equazione a;'^"""''-'"

lim— \)a I

j^cm_2):m __ = o , Li di cuì radice rap-

m — 2 m[m — 2)

prefenta 1' altezza dell' arco parabolico , dal quale fottratto r arco dell' altezza a refia quello che il grave trafcorre len- za llaccarfene .

62. COROLL. IX. Se la figura del canale e una delle pa- rabole efpreire dall'equazione y^"z=zx'' ancora più generale della precedente, facilmente fi trova

Centrifuga. 357

li raggio d ofculo r= ^^ ^^^_^^^,_„,,„ - Supporto per- tanto, che i! grave incominci a rotolare dalla fommità , fìc- che ha h:=.x^ fi ha — = ■ , , r-— „. ^„. ,„ , -r ; e conk-

zh dy guentcmente dovendo eflere pel cafo del diftacco — = — ,

J" ds

rifulta »' -f- ^rt\v'='" - "^■■'" = 2W {m — n )x'"" - '">■'" , e quindi

per fine x = ( .y.:c--") che è 1' altezza di

queir arco, finito il quale il corpo , che Io ha percorfo di- fcendendo , (i dillacca dal canale . Qualora poi i! grave in- cominci il fuo moto da un altro punto più baffo del verti- ce , e lìa rt la depreffione verticale di quefto luogo , ii ritro- va il punto del diftacco mediante la rifoluzione dell' equa-

zione x^'"'-">'"' ^^ i.x^"'-^">""

m — 1/7 m{m — 2n)

dalla di cui radice fottraendo la quantità a lì ottiene I' al- tezza dell' arco , al termine del quale giunto che lìa il cor- po, quello abbandona il canale.

Ó3. CoROLL. X. Sia OBS (fig. VI.) la logaritmica fitua- ta in un piano verticale , col fuo afmtoto MN al di fopra di effa ed orizzontale . Si fupponga la fottangente coftante = I , e la FB normale ali* aiintoto ed uguale alla fottan- gente fi produca indefinitamente in P, e fi prendano le or- dinate ortogonili B/=.r,Jf=^. La natura di quella curva fomminiftra l'equazione tranfcendente i-j-x = f-^, efl'endo e il numero , il di cui logaritmo iperbolico o naturale è I' u- nità . Da quefla equazione fi ricava fubito dx = e^dy , dx'—.( i-\-xydy\ds'=(^ I 4-( I ^xy)dy\

dsz=dy\U i~l~(i-\-xr), — = --. ^ ^ . Effen-

dx do poi dy = e funpoflo dx coftante , avendoli

i +x

Y y iij

Sicché

358 Sopra la forza

-—dxddj-=- — ■ fé nella formola — ,— -~ del raesio

ofculatore -/ fi foftituifcono quelli valori, fi ritrova

dx\ i+x

nel fuppofto , che il grave incominci a rotolare giù per la conveflìtà della curva dal punto B fino al punto indefinito S ,

onde Ci abbia b=:BI=.x, fi ottiene — = -^ — — j

r ■ dy ^ .

che pareggiato con -- offre per rifultato x^=^y z . Dunque ds '

il corpo che incomincia la fiia dilcefa dal punto B, che chia- meremo vertice , abbandona la curva dopo aver percorfo un arco, la di cui altezza è la diagonale del quadrato defcritto lopra la fottangente . Qtialora poi il corpo parta da un pun- to inferiore a 5 , e la difianza d' un tal punto dalla retta orizzontale menata per B iia.z=a, apparifce h=.x — </, e fi. prefenta l'equazione {zx — 2<?) ( i -j-x) == i -|-(i+- Ar)% cioè x^ — zax — la — 2 = 0, la quale fomminiftra x — a ■=yf{d'~\-za-\-z)r=.)f(^\-\-{a.-\-\y^. Di qui è eviden- te , che dovunque incominci fotto il vertice la difcela del gra- ve lungo la conveffità della logaritmica , eflo li fcofta dalla curva dopo aver percorfo un arco , che ha per altezza 1' ipo- tenufa d' un triangolo rettangolo , un cateto del quale è la fomma di quefia fottangente e della diftanza del principio di detto arco dalla orizzontale menata pel vertice.

64. CoROLL. XI. Se vuol fi {jig. VII.) che il corpo par- tendo dal vertice A difcenda lungo la conveffità fcanalata della cifibide AQO riferita all' affé AM parallelo all' afintoto verticale FN, chiamate al folito x^y \t coordinate AB ^ BC , ed a il femidiametro AP del cerchio generatore , è manife-

fio, che fi ha 1' equazione x:= -,■ , e però

dx^— = . ,

Centrifuga. 359

ay{%a — 3y)dy^- ^^^_<iy" jia — V')" dy

/^i' = ---^ _, , Parimenti efTendo

1

(lay — y^ydx dy= —^ -— , fi avrà

( i^v —y' )

ddy ■= ^ dxdy (^(^a — 3y)( ^ay' —/')/( lay -^y' )

= \ ^'"^^y ( (3« — sj) (3<i —y)

— (6a — 3y)(2a—y)) \/(iay-y') ^ : (sa —yYf-

___1!^^:^!::!1VL-/-Z12. Laonde {za-yYy^

2dx^dya- \/ (lay — y- )

— dxddv = - — ^ ^ ^ -LJ , e foftituendo il valore di

iìa—yyy-

Saydy^ dx"" , nafce — dxddy ■=. ^ . Pertanto il raggio ofcu-

[lay-y^y

latore rr=^ — , , , := ; e poiché u valore di

— dxddy 3(iay — y' y ^

dy 2X

— dee nella nollra ipote(i uguagliare quello di — , fatte le ds y

opportune fonituzioni in quefl" efpreriione fi ritrova

j.ay—y^y-^- 6{2ay—yn'-'- .„j: 6y

ay

—— = . — , e quindi = i

(Ì5«— 3/)'- ay'-\ba — 3//' S4-3/

s

360 Sopra la forza

o

cioè in fine/ = -(7. Dunque il corpo che partendo dal ver- tice difcende per la convetOtà della cilfoide, fé ne diftacca dopo aver trafcorfo un arco , che ha per ordinata otto noni del raggio del cerchio generatore . Qiialora poi il corpo par- te da un punto inferiore al vertice A , e diftante dall' oriz-

2X — ib zontale AF d' una data quantità ^ , fé ne inferifce -

r

dy 6 ( 2(jy f^Y'

-,e fatte le debite fofi-ituzioni , fi ha

ds ay-\?>a — i^y-'

6b(iay—ry {^ay—y^r^ . , 6y

:== , cioè •

ay'-\'èa--iyy ay'-\'èa--iyY-^ ^a—^y

ébyi^ay — y') "'• ~'" , '-— " = i , ovvero 6y^ -.eby (lay —y' )

y{'èa—zy) *

= S<^ — 3/', dalla quale per ultimo fi ricava la fcguente e-

lOa ó^a"" + ^6b\ quazione di terzo graao y' — _ — y' -{-( )y

I — = 0 . La radice di tale equazione dà il valore dell'

9 ordinata appartenente a quel!' arco di ciflbide, dal quale fé lì fottrae T arco comprefo fra il vertice e il principio del mo- to fi ha 1' arco ricercato , al di cui termine giunto «^he fia il corpo , abbandona la ciiToide .

65. CoROLL. XII. Per tutte le ellifll, ed iperbole fuperiori fi ha 1' equazione generalidima /""+ "^/x"'" (<3f^:v }" , dove a rapprefenta T affé trafvcrfo , / una grandezza collante . Quella equazione fi riduce all'altra 7 =z^a;™-^'" + "'(rt ì^.v)"-^"" + "^ met- tendo ^ in luogo di y'-C"' + "), Quindi fi avrà

dy=: px- "■■ ^^ + "^dx (a ^x)" ■■'-'" + "^ ""

m + n

n wpr.7T.\-)" = '^'" + "' ,

n !^x ">■■("• + ") dx m^ia T x)dx T ngxdx

{m + H) {a ^ xj" ■■ ^'" + "> {m + n)x" ' '-"' + "\a q: x)'" ■ '•'" + "^

II

Centrifuga. 361

mgadx ^{m + n) gxdx

(m + njx" •• ^'" + "^ (« ^ xy ■■ ^"' + '•> '

dr = 5s— - — ^ --^ ^-7 ^^ ——^ — , V (df'-irdx^)

I / rìi'g\i' ^ 2m(rrt 4- n)ag'x -\- (m + nyp-x" .

=:dxì/ ( I + — ■ : ^ )

^ ^ {m + n) \\"" • ^"' + "\a ^ xY'" '■ <"" + "' '

^■v/((r/;-^-;7)'.y"'='^'"+"'(fl ^ x)""-^'"-^">+ m^^V;' q^ 2^;,'w + n)ag\x ■:■ (m-.-ny^'x')

= </j . Prendo ora il differenziale di ^ , ed ottengo

— Q'^^a ^(m + n)gx^ (nx - ■" ■■ e™ + «) ^^5, ip xf' = e» + '■)

=^ T {yyi=.nygx {a^x) —{imga^f(m\-n)gx) (n(a^x)Trì^x')C dx" :

= 5 ( T w* ^ 2 w» q^ »' )(«:F.v)^x

"f- ( ± w^^' i ;z^jv — mga)('/ia^nx^mx)C dx" : ""

— mnga'dx' ^

= ; ; — 7- ■ . Sara dunque , fatte

le opportune foftituzioni , il raggio r dell' evoluta , oflìa

-dxddy ~ mn{ m + n) ga'x^" - "> ■ <^'" + "'» (« ^ ^v/"* -'•;:('» + ») '

Laonde fuppofto , che il corpo incominci a difcendere lungo

la conveffità della curva dalla fommità , ficchè fìa hz=x ,

dy zh ....

l' equazione :=: — dopo le debite foftituzioni fi convertirà in ds ir

Zz

362 Sopra la jorza

m^a ^(m + n )gx

2mn(m + n) ga^x^"'^"'^"^ { a ^^ x f"' - "^ ■ ^"' + "^

(J_mvr2yx"'^'''-^"\a^xy"''^'"+"'rm'g'a^-ì-im(fi^v/i)ag'x-^(m+»yg^x'y-'-^

donde fi trae 2mn()v + n)a^x" '■ ^"' + ''^ (a^xy""-"^ ■ ^'* + '')

z=:(^maT{m + n )x )((m + nyx" ■■ ^'" -^ "^ a ^ x y" ■■ C"' + "i

^m'g^a^^2nj(7iì + n)ag'x + (rn-]-nyg^x'^ . La radice di queft' ultima equazione darà 1' altezza dell' arco ellittico , o iperbolico, percorfo il quale, il corpo partito dalla fommità abbandona le conveflità della curva , e prolìegue poi libera- mente il fuo moto in una parabola conica fecondo la nota legge de' projetti .

^66. CoROLL. XIII. Sia l'iperbola equilatera FOM(/?^. Vili.) fra gli alintoti ortogonali AC , AB , de' quali AC iìa verti- cale , AB orizzontale ; e guidata pel vertice 0 la verticale ON parallela all' afintoto AC^iì piglino in efFa le afciffe OH X, e le ordinate normali HE jf , e il ponga il lato della po- • tcnza deli' iperbola OS , ov/ero SA-=:i . Per la nota pro- prietà dell' iperbola fi ha I' equazione ( i + •'<^) ( i —f) = i ;

I dx e però I —7 = ,4}' = , r, 5 ày^ + àx^ = ^^^ =

dx'(i+(i + xy) , dx . V

{i-^xy {i+xy *^ V / /'

dy I T I I, —2dx* ^

•^ . Inoltre ddyz=

2dx' ds\ (n-(i+:v)^)' = »

— dxddy = , r =z — ; — -- = :5^ -^— . Dun-

•^ (i +xy' — dxddj 2{i-i-xy

quc fuppolta * = .V , farà — = , -s—- . Laonde do-

4^20 I 4x(i4--v)'

vendo ellere — = — nalce —

ds r y'(i + (i +xy) (^i -'.(i+xyy-^'

cioè I -j-(i -|--''^-)* = 4-'^('- + ^)' 3 donde fi trae l'equazione

di quarto grado .v^-}"" x^ + '2-X' * = 0. La radice pertan-

Centrifuga. 365

to di quefta equazione darà ciò che lì cerca , vale a dire r altezza dell' arco iperbolico , dopo del quale il grave par- tito dalla fonimità giù per la convedità dell' iperbola fi por- ta fuori di eifa , e proliegue a muoverà ormai liberamente . Ogni qualvolta il grave in vece di fpiccarli dal vertice in- comincia a difcendere da un punto più baflb diftante per r intervallo a dalla orizzontale che pafTa pel vertice, Ci pre- fenta quelt' altra equazione biquadratica da rifolverlì

(8-4^) 2 — .}i7

x*4- - - x^ ~\- {z — Ji,a) X'' — j,ax = 0, la di cui

radice dà 1' altezza di quell' arco iperbolico , dal quale to- gliendofi il primo arco di altezza <7, il refiduo è appunto quel- lo,al di cui termine giunto che lia il corpo fi difimpegna dal- la curva e proliegue il fuo cammino con moto libero .

67. CoROLL. XIV. Avendo ritrovata nel Coroll. IV Li parabola conica dotata della proprietà fingolare , che il grave non 11 dillacca mai dalla medefima nel difcendere per la fua convelTità da qualunque punto incominci il fuo moto qualora ella ha fituata coli' ade verticale ; nafce ora la curiolìtà di fapere cofa fia per accadere al grave fcorrente per la detta conveliità ogni qualvolta la fituazione della parabola giacente in un piano verticale fia coli' afle orizzontale . Tirili adun- que nella parabola ANM {fig. IX) coli' ade orizzontale MO dal punto dato A , da cui il grave incomincia a difcendere , la verticale AB, a cui {\ riferifcono le coordinate ortogonali AF , FN, cioè :><;, / . Sì dimoftra facilmente , che chiamato p il parametro della parabola , b la data BM , e A la BA z^ybp fi ha 1' equazione pj> = i?\x — x- . Quindi

z'Xdx—ixdx , ^ 4A'-8A;c+4X''+/'\

dx , " '

ds = - V ( 4A' — 8A.V -f 4X' -i-p^ ) ,

d_y 2A — 2x zdx* — = -,- — — . Parimente ddy=. :

ds v/(4A^ — SAx + 4.\-'-f-/'') p \

idx' AO

-— dxddy = . Dunque r =

• dxdd/ Z z i]

364 Sopra la Forza

=■ — — ; . Fatta pertanto I ipotefi , che

il grave parta dal punto A , onde fi abbia A-=x , V ugua-

dy 2/& glianza delle due efpreffioni — = — offre 1' equazione

ds

aA — 2X ^p^x

OV'

y (4A' — S?,x + ^x' +p') (4A' — 8Ax-|-4x'-4-/'')3^' ' vero (2A — 2x)(4A' — CAx-j-4;c^ -)-/'' ) = 4jP'x , che fi ri- duce alla cubica x^ — 3AX' -f- ( 3'^' + -/"' )^ — ^^

4 r=:o

4 la di cui radice dà l'altezza dell'arco parabolico ricercato , Ac- che il corpo difcendendo pel conveflb della curva fé ne al- lontana allorché giugne al termine di tal arco . Qualunque volta il grave parte da un punto più bado di ^ , e diftante per r intervallo a dalla retta orizzontale guidata per A Ci

trova r equazione x' — 3AZ.' -j-( ^A^-j--/»') a- — A^

4

•^Lp^a e la radice di quella dà V altezza dell' arco , dal quale fot- tratto r arco di altezza a il refiduo è appunto il ricercato . Se neir ipotefi della gravità collante Ci. vuole collocato il corpo fulla convedità della parabola in un punto infinitamen- te diftante dal vertice , per modo che la verticale A condotta da quel punto ali' affé orizzontale acquifti un valore infini- to , allora fi fa manifefto , che nell' equazione

a;= — 3AA;' + ( 3A' -4- -/-M .V — A'

:> T-^i T-^i ; ^o , il valore della ra-

dice X non può effere che infinito , altrimenti verrebbe 1' af- furdo , che — A'r=o, ovvero A=o , cioè 1' infinito farebbe uguale a zero . Effondo poi infinito il valore così di A come

Centrifuga. 365

di X , fvanifcono al confronto degli altri i due termini -p'x

4

A/>' , e refta x^ — ^Tkx'^ + jA'x - ?.' = o , che è vifibilmen-

4 te (x — A)' = o , e quindi x = X . Perlochè il corpo , che

parte da un punto infinitamente lontano dal vertice nella pa- rabola verticalmente collocata ma coli' alle orizzontale, e di- fcende per la conveflità , defcrive tutto 1' arco infinito fino ^1 menzionato vertice fenza mai diftaccarfi .

PROBLEMA XII. (fg. X. )

§. 68. Ritrovare la lima CMN fitnata in un piano -verti- cale , e riferita all' afj'e verticale AB , (ulla quale collocato un grave in parte oppojla all' affé ^ quejìo dijcenda per effa fenza premerla per effere la prefjione nata dalla gravita uguale dovun- que alla for2.a centrifuga .

Soluzione.

L' ipotefi fomminiftra 1' equazione differenziale della curva

— = — . Pofio pertanto, che il grave incominci a difcende- ds r

re dal punto M pili baffo della Ibmmità A dell' afle per 1' in- tervallo AOz=ia^ per modo che effendo AK^r^x diventi

^ dy zx—za

Az^OR^zx — a, li otterrà — = ; e perchè il rag-

ds r

ds' gio r dell' evoluta fi fa effere = -7 — , nafce quin-

-dx'd('~)

,dy ^

— 2 ( .V — a) dx-d { — )

dx ■ ' '

di ^=: — '— . Prendo ora Vchmcntods,

ds'

■ ^ I, , , , . ^ , , dxddx A- dyddy

cioc y [dx^- -A-dy^) per cofi:ante , ed ho : =Oj

ds

Z z iij

3<5<$ Sopra la forza

ovvero — dxddx = dyddjf , e di qui — djddx=:— — —. Mi.

dx , ,df ^ dxddy — dyddx ^{,~r )^^ 'T~^ " 5 dunque foftituendo per — djddx

., , , , . ,y4y\ (dx- + dy-)ddy

il valore ritrovato , li deduce d( — ) = — - — -

^ dx '^ dx'

I . , , , dx^d ^ — )

, , .dj' . ds^ddy . ^ ^dx^ ddy

ovvero dx^di - )=: — -- , cioè ; =-, ;c quefto

^dx^ dx ds' dx ^

valore follituito nell' efprefTione di d/ , nafce

~ z(x — a) ddj/ . ddj

d/-= . ■ , che fé parate le variabili diventa —

dx dy

dx

== ; ,• Ora ^\ vede chiaro, che l'integrale di queH-a

r{x — a) ^ ^

equazione è log. dy - — log. {x-a) -t- log. cds , eilèndofì prefa per

coftante <^i . Laonde pafTan do da' logaritmi a' numeri (ì trovcrìt

cds , , , c^idx' + dy')

dy:= ' , , , , e- quadrando dv'" = ; onde:

y/{x — a) ^ ■ - x — a

cdx

(x—a)dy^—c^dy'^=:c'dx^, e finalmente ^= 7 — 5-

\/(x-a~c^)

ed integrando/r= 2C y'(Ar — <? — £•') -j-cofl-. Suppongali, che

alla fommità ^.quando x = o , Cm y ^ AC ■= l>, -, e nafcerà

coft.=è — 2cy( — a — c'). Perciò y=:b — icy(~a — c^)

-\~zc'^{x — a — e') . A ritrovare poi la prima coftante e

cds ricorro all' equazione differenziale dyz= —, , dalla qua-

^ ^ \/(x-a)' ^

dy f dy .

le C\ ricava C'=~\/(x — a)\Q ficcome ~ efprime il feno- li " ds

dell' angolo, cui la linea ricercata forma in quallivoglia pun- to colla retta verticale, fé un tal feno pel punto M quando ;v = ^z fi chiama (p , è manifeflo provenire (r=:cj)Xo = o; ^ confeguentemente 1' equazione alla linea cercata hyz=:h, che è quanto dire, che una tal linea è la retta verticale CS . Cho:

Centrifuga. 367

fc il feno (p del predetto angolo lì facede corrifpondere non alla polizione x^=:a, ma bensì ad .v=o , allora nafcerebbe c = <p^^ — a, e però y=zb,-\- z'p\J — a{\l{x — a-\-<5^^a) — V/( ¥^ -a))z=zb {-z^{ \/(a' - a'-'P' - ax) -^(a'- <p'a') ) = ù-\.2^\/(a'{i—p')-ax)-z^\f (rf'(i— cp')); dalla quale equazione li fcorge , che dovendo edere x y> a , oppure = «, il ^■aIore ài j> diventa immaginario, e il Problema im- ponibile fintantoché (p perlifte ad elVere qualche cofii , lìcco- me è altrontle manifelìo -, ma diventando cf = o , I' equazio- ne alla linea cercata li cangia in/==^, cioè a dire la det- ta linea è una retta verticale , come dianzi . Il che ecc.

$. 69. Aggiungo per ultimo il Problema delle forze cen- trali fecondo la Teoria Neuroniana trattato qui in una ma- niera particolare , dove qualche ripiego tenuto per giungere air integrazione delle efprelTioni relati\'e ai tempi potrebbe per avventura non elTère inutile in qualche altra occafione . Dal- Li ibluzione de! Problema ho ricavato fpeditamente in tanti Teoremi tutte le proprietà piùlingolari ed eleganti del moto prodotto in virtìi d'unalbrza acceleratrice variabile in ragio- ne duplicata in\erfa delle diftanze dal centro della forzai . Tut- to ciò è qui ridotto fotto un fol punto di virta , e immedia- tamente inferito dalla fola loiuzione del Problema fondamen- tale.

PROBLEMA.

Ufi mobile gettato da princìpio con una certa Ttelocità di pYO)e7^ione viene obbligato a camminare per una via curvilinea QMT ( fig. XI. ) da una forx.a acceleratrice , la quale lo fpinge di continuo verfo un punto fijfo P con una intenfita re- ciprocamente proporz.ionale al quadrato della dijìanz.a del corpo dal detto punto : fi cerca la curva defcritta QlvIT .

Soluzione.

Sì guidi pel dato punto P una retta PS nel piano della traiettoria, e lia M il luogo del mobile dopo un certo tem- po /, e da M li conduca a PS come alfe l' ordinata perpen- dicolare MN, e r infinitamente prollima mn , fopra cui fi ab-

. féS Sopra la forza

baffi il perpendicolo Mr . Cliiamato al folito ;v ,7 refpcttiva- mentc le coordinate ortogonali PN , MN, u il raggio vet- tore Pisi , cj) r angolo MPS , convien riflettere , che il cor- po, il quale fi muove per la curva ^M e deicrive nell'iftan- te dt r archetto infinitelimo Mm , può confiderariì come a- nimato da due moti , uno parallelo all' aicilTa PYl , 1' altro all' ordinata Ì^M^ percorrendo col primo di quelli due moti nello '^d\o iftante dt la Mr ovvero dx ^ col fecondo la y/K, o <//, cioè i lati del rettangolo, di cui hìm è la diagonale,

dx la velocità del primo moto farà dunque = ,- , la velocità

dy del fecondo = -;-. Ora rifolvendo la forza centrale , che fpin- dt

gè il corpo fecondo ìsYP ^ in due Z, X -, quella parallela alle

afcilTc 5 queiìa alle ordinate, è manifefto , che dalla forza X

dx viene ritardata la velocità ^,e dalla 2" viene fminuita la vc-

dt

locità -- 56 tali diminuzioni iflantanee di velocità ( prefo dt dt

— ddx — ddy T, , , X .,

per coRante ) fono — ; — , e — , — . Perloche il noto pnn- ^ dt dt

cipio Dinamico, che la forza acceleratrice o ritardatrice mol- tiplicata per r iftante è uguale alla variazione iflantanea

. .„ , , . . — ddx „

della velocita, fommmiltra le due equazioni — -, - =:A5

-— ^-=:/. Suppongali in oltre, che la forza centrale in una

data diftanza r dal punto P lia=:R , ficchè rifulti — ^ per

* ■ '.•' ■ ■•■' _ "■ Rr' COS. (j)

la forza in M. Quindi è evidente, eflere X=

— ddx RrMen. <|) —ddy ^ ^ r i> i

= — - — , / = = Se pertanto fi mena 1 al-

dt' u^ dt^ ^

tro raggio vettore Pw,e colP intervallo PM fi defcrive l'ar- chetto circolare Mg-, riefce mg :=. dv , Mg = vd(p , Mm^ = dx"" -j-dy- = dv' -^Z'^dip^ .^V^ = x- -\-y'' ; e quell'ultima equa- zione

, , xddx Ma — r dt

Centrifuga. 3^9

zione due volte diflercnziata diventa z/ddv '{- dv^ ■=■ xddx -\- yddjf -j- dx^ -f- df = xddx -\-yddy -}- dv'- -\- v'dt-^ , cioè xddx

xddx yddy vddz--Z>'dp' J^j'ddj^i.vddv-V'd piovvero '^^r+ ^^.= jp

Ix - Rr' X cof. <p — Rr' cos. <p\ . , ^ x ^

— ~ — ( poiché - = COS. $ ) ;

, yddy Rr'yfen. (j) Rr{'ix\.(i)\ . .^y r .

ed , — = — ( giacché -= fen. $ ) .

dt' V v ° -v

,, xddx-\-yddy — Rr^ vddv — V'df^

ficche jr_^-i= = .- , ovvero

dC^ V dt

= ( A ). Siccome noi fi ha - = tang. (p ,

df^ %/' X

, xdy — ydx d(p ■ s , ,

e differenziando = ■ , cioè xdy — yax

X^ COS. Cp'

=z - , ed è =^Z' , perciò fi ha xdy — ydx=::V'd:p ,ov-

COS.<|;' cos.cp

xdy ydx vero vd'pc::: — = dy COS. (f) — dxfcn.(p,c queftaequazio-

ne differenziata fi cangia in ddy cos. (p — ddxkn.p —

dp {dy fen. $ -\- dx cos. (J> j = fddp -\- dvdp , oflìa ddy cof. (p

— ddxkn. (p~vdd(p -i- dvdp + dp ( dy f^n. <p + dx coL (J) ) , e fé

in queffa fi foftituifce il valore ricavato dal dilferenziare l'e- quazione v^-=-X^ -\-y% vale a dire Z'dv=^ xdx -\-ydy oppu-

xdx ydy

re dv = 1 z=dx coL (p-4-dykn.(p , ne deriva

V 'V

ddy cof. cf — ddx fen. cp = Tdd(p -f- zdv dp • Ora effendofi già

. . ,, —Rr'dt'kn.cp tro\ate le due equazioni ddy-=. ^ ,

— Rr^dt^- co<^.^P ^ ..... , . ^ ,

ddx^=. ^ , fé li moltiplica la prima per col. cf) la

feconda per {<i.\-\.!p, fottraendola dalla prima, fi ottiene ddy cof. (j) — ddx fen. ({:•:= o ; e quindi 'vddv -I- zdz'dp = o , e quefta moltiplicata per 7^, ed integrata diventa z-d4.=:c-dt, ellendo e' una collante arbitraria. Prcfo poi di qui il valore

Aaa

37° Sopra la forza

dt'z=- — ^ , e furrogato nell' equazione { A ) nafce

ddv — Vd<p^ z= = porto b— — . Dun-

que ( bv — v^ ) d<p^=bddv , oppure d(p' = Per in-

vib-v)

tegrale di queft' ultima equazione fi prenda — =:Td<p ,

efTendo T una funzione variabile da definirli ; e il differenzia-

, , , bddv bdv'' bdv'-

le farà -^_- __ .+ 7^ =Tddcp^dTd^. Sic-

V{b~v) V\b-v) V{b — Tjy '

come pertanto fi è trovato 'vdd'p'^idvd(p=xo , cioè

ddcpzz:. , fé fi foltituifce quefto valore nell' equazio-

^ ,. . bddv bdv^ bdv''

ne precedente, efl^a diviene ,-4 _

Z'ib-v) u^{b-v) V{b — vy — zTdvdip

■ -f- dTd^ , ed in quefta foftituendo il valore af-

V

j. ^ , bdv ^ . bddv bdv' bdv^

funto di Td(pz=: ), fi ottiene- -i-

v(b~v v{b — v) z>\b-v) V[b-vy

— zbdv"- bddv , bdv^ bdv'-

= r— - ^-+-dTd(p, ovvero — , --l ; -.-j •

V'(b-v) V[b-v) ' V'(b-v) v{b — vy

bddv b^dv"- ,^ ^ , bddv

= —, ,4— v=dTd<p. Ma fi e trovato

V{b--V) ' v'(b — vy V[b — V)

b^dv^ = dp\ e. z=T'd(b\ Dunque d(b' 4-T'd<p'=^dTd^ ,

v'(b-vy . ^ ;

e quindi </$=—-——; e quefta equazione integrata dà

are. tang. T = (^ 4- /3 , prefo per /3 un angolo coftante da deter- niinarfi. Da queft' integrale fi deduce fubito T = tang. (/3 + <|) )

e id(p = a(p tang. ( /3 -4- * ) = = — ■ -J , e nuo-

v(b — v) V b ~'V

vamente integrando nafce finalmente — log. cos. ((ì-\-(f') = log.v~log.(b — v)-]-log. e, ovveramente log. e -j- ^^s-

Centrijuga. 571

COS. ( a ~j- Iti ) = log. ( b — z>) — log. z; . Dunque per ultimo paflando dai logaritmi ai numeri , rifulta e coC. ( ft -\- rp )

b — V , b ..

= , e conleguentemente v=- ; .Ora

-v I +f COS. (/3-f-(|))

quella equazione al raggio vettore della trajettoria ricercata appartiene notoriamente ad una Sezione Conica di cui il pun- to P è il fuoco , b il femiparametro dell' affé principale, e V eccentricità offia la diftanza tra il centro e il fuoco divifa pel femialle principale , ed e rifpettivamente una parabola , un* ellilfe , o un' iperbola fecondo i tre cali , 1°, di £•= i , 2*. di e < I , 3°. di t? > I . Il che era ecc.

70. Rimane ora a determinare il precifo valore delle co-

Ihuiti arbitrarie e', /3 , e introdotte nelle integrazioni . A tal

efkttOjii chiami ?(- la velocità del mobile nel punto M,e ds

ds r archetto Mm, ficchè fia «= -T-;e fi fupponga,che il cor-

dt

pò da principio fia flato lanciato dal punto dato §i poflo ad una diftanza nota / dal centro P della forza con una velo- cità iniziale o di projezione = ^ , e che quivi l'angolo fatto dal raggio vettore / colla direzione della proiezione, o colla tangente della curva fìa = a . Con ciò è manifeflo , che nel

ri Ci

punto iniziale ^ fi ha -— = fen. « , ds-=z — :— ; ed inol-

ds fen. a

ds fdp dp ^kn.a -_ ^ ,

tre u = ■--=.—: =:^,onde— — = ;; — Ma fi e tro-

dt dtkn.x dt j

vato c'z=~ — ; dunque foflituendo i valori di Z''=/%edi

dp bkn. a .

T = 7; — fi ottiene la ricercata collante c' = rafen.a.

dt f

71. Per ritrovare l'altra cofiante /? , ofTervo, che l'equa- zione differenziale Tdp-= — dàT= ^, dove

V(b-v) V{b — V)dp

'Vd<p .

—j— efprime la tangente dell' angolo fatto dal raggio vettore

coir elemento della curva , ovvero colla fua tangente , ficchè

A a a ij

37^ Sopra la Forza

nel punto iniziale g diviene — — = tang. a,Z'r=/, e confe-

guentemente T= . Laonde are. tang. T

(^-/Jtang.a

/ b

= arc. tang, ( — ^ == /? + (;). Se pertanto nel det-

(y— /Jtang.a ' i ^ ^

to punto ^ r angolo (p diventa uguale ad un angolo noto A ,

ne deriva il valore ricercato di /S = are. tang. ^ r- ì

A e ^ \ , b tati;?. A ^ — £i = are. tang. ( - — -^ tang. /iijtr i +^, — -~ )

= are. tang. ( — — 2 — )

^ \{h ~-f) tang. « -j- ^ tang. l:ì ^

72. Per ciò che riguarda 1' eccentricità e , effendoll tro- vata r equazione della traiettoria v= 7 Que-

b — Tj V

fta fomminiftra e= :: ■ -, e pero , diventando nel

punto iniziale gj. della curva xr^/, (^■=^C\ , nafee e=z(b — /) :(/eof.(/S + ^)). Siccome poi li è trovato /S + A

/ ^ ^

= arc (ee ^ V(^lJl^-m!!^lLf3 ) '-■;>; .'r-^';-:"'^ ' "" ^ (^—/) tang. a ^ *, • ■

= arc.cof.( .,,f ~7 ru""'"" -^)•' ^ ^"^""^^ cof.(/S + A} . .•, ^\/(^' + (^'-/) tang.a-)^ J^, ^ .^ „

= -TTi— - ., V.T-^ TX : nfulta finalmente • i

\/(&' + (£'-/)^tang. «^)

t/(^'-f (^'-/)'tang.«-)

/tang. «

73. Per indagare prefentemente i \'arj accidenti del moto per la traiettoria già ritrovata, incomincio ad ofl'ervare, che la precedente equazione V''dp:=c'dt li riduce alP altra

Centrituga. 373

l _.=:-c' , nella quale efTendo v'eicp uguale ali' ajuoia

dt z i

MPm della curva, fi vede torto il rapporto cofiante dell'ele- mento dell' area all' iftante, in cui e dcfcritto , e ciò fucce- dendo in tutti gì' iftanti d' un dato tempo qualunque , ne di- fcende immediatamente il feguente

TEOREMA I.

he aree compre fé da due raggi vettori e dall' arco della tra- iettoria fono proporzionali al tempo , cui il mobile con fuma a percorrer queir arco.

74. Guidata la tangente MO, e ad efFa la normale PO = /> , è cofa evidente, che 1' ajuoia PMm ha per valore tanto

- V'dp=-c'dt , aurino- pds; e però fi ha c''dtz=.pds . Ma 2 22

ds _ e-

M=- , ovvero udtz=^ds. Dunque c^dtzz-pudt ^ G{fiaz<=:- ,c dt . P

quindi il

T E O R E M A II.

"La 'velocita del mobile in qualunque punto della traiettoria e in ragione inverfa della normale condotta dal fuoco alla tan- gente della curva in quel punto .

75. L' equazione v^d(p = c'dt dà — =-^ . Ora -j— efpri-

at V Oft

me la velocità angolare del mobile ; ne viene adunque il

TEOREMA ITI.

La velocita angolare del corpo nella traiettoria feguita la ragione inverfa del quadrato della fua dijianz.a dal centro del- la forza , ovvero del fuoco .

76. Per determinare poi la mifiira precifa della velocità n del corpo in qualunque punto delia curva, fi confideri , che

A a a iij

374 Sopra LA FORZA

ir A . ^^' dx'^-irdy

eliendo u' = ~-= ; , fi ha per la differenziazione

dt' di'- ^

, dxddx-^djddy . , , ^ . ddx

uau= 3 e poiché fi e trovato ,-

dt' ' ^ dt'

— Rr'cof. $ dd/ — R>-'fen. cp ^ ^ , . ,. ,

= ; 5 7 , =■ ; , le fi moltiphca la pri-

v^ dt^ x;' f r

ma di quede equazioni per dx, la feconda per djf , ne deri-

dxddx 4- dyddj , — Rr^ (dxcoL(^-{-dykn.(ì)\

va ; ■ = ndu •=. ^ ■ — '

df- . , z;'

= ; — . Laonde integrando \\ ottiene u ■=:. f-colr.

V ° x; '

La coftante di queft' integrale fi ritrova con avvertire , che

quando diviene v=f, la velocità u fi cangia nella velocità

iniziale o di proiezione /j , il che dà coft. =/&' ^ — : e

quindi u' = ò' — iRr^ ^ )) . Ed ecco il - :^

TEOREMA IV.

La mifura ajfoluta della velocità del mobile in qualunque- punto della traiettoria e uguale all' ejprejjione

/(/.^-aRr^CJ:-^)).

76. Ritrovata 1' efprefiìone della velocità in qualfivoglia punto della curva , è facile ora il paflaggio a determinare que' punti, ne' quali la velocità del mobile è la majfima , o la minima di tutte le altre. Bafia uguagliare a zero il diffe- renziale della detta efpreflìone , e da ciò deriva

— Rr'dv

d./(^,^-.R.-r l))= T^ =°'^'^-

le a dire — ~z=:d. - =0. Ma già fi è veduto effèrc

Centrifuga. 375

7;:= .Per confeguenza farà<^.-

I -I- e cof. (,3-f!f>) ° V

= ^.(i:tl^^^^f̱^)=_,^,fen.C34-^) = o • Dal che fi deduce tanto (h~\-(pz=o, quanto /3-f-«t> = iSo". Di qui

TEOREMA V,

ha majfima e la minima udociù del mobile nella trajeita- ria da ejjo per cor fa corri fpondono alle due ejiremith dell' aj]e principale , ojjia alle due affidi ima , e [omma .

77. Se un altro corpo follecitato verfo il punto fifTo Pda quella fteila forza , che accompagna il mobile nella traietto- ria , cafca in linea retta verfo P , e giunto ad una diftanza daP , la qual iia uguale al raggio vettore z; , acquilta i\ i una ve-

Iocità = ?/, è manifefto che farà du'z=: , ed eflendo ii'dt

. ^ , —dv ' — Kr^du

=; — dX! ^ cioè rff= 5 nafcerà ti'du' :=^ , il di cui

u' XJ"-

integrale e 7/' = f-cofl. Perciò fuppofto , che ad una

diftanza nota / dal centro della forza la velocità u' diventa

uguale ad una velocità data h\{\ deduce coft. ='/6= — -^— ,

e confeguentemente '//' = '/5' — iRr^ ( ), ed

li -y/ (^h^ - ìKy (^- — -)). Da ciò apparifce u" = u

allorché h' z=:ih, ^•ale a dire il

TEOREMA VI.

Il mobile ha in ogni punto della [uà trajettoria quella t! elo- dia che arerebbe un altro corpo il quale fi trwajje alla flejfia di- ftaiix.a dal centro della forna , verfo cui aifcendejj'e in linea ret- ta , jupponendo femplicemente , che ejfo abbia avuto una volta

J7<5 Sopra LA FORZA

la medeftma velocita del primo ad uguale dijìanna dal centro.

yS. Fingali ora , che il mobile dal punto della traietto- ria , in cui il trova , cafchi lungo il raggio vettore verfo il centro della forza, e venga follecitato dalla fteffa forza cen- tripeta , la quale però rimanga colknte per tutta la caduta : in quello fuppoflo fi fcorge chiaramente che chiamato z, lo fpazio dcfcntto dal corpo nella caduta lungo il raggio vetto- re V verfo il centro,//' la velocità da elTo acquiftata alla fi-

Rr'dz. ns di tale fnazio , lì ricava l'equazione u"du"z=: - — — ,eme-

v'

zRr^z diante l'integrazione — p- — k"' fenza coftantc da aggiunger- li, giacché lì annullano infieme 2,,ed «'.Se pertanto ii fup- pone che la velocità ?/' acquiftata dal mobile nella caduta ti» uguale alla velocità u del medelìmo nella trajettoria , tìcco-

c' e* iBjt'z.

me !{=:-, farà parimente //" =— = , ed efiendo e* = Rr'h ,

P p' V'

2X 6 '-bv' ^. . . ^

ne vjene — =- , ovvero z=; . Di qui m .- ,\-^

V'- p'- p' ^ .

'■ ' - -■' TEOREMA VII. ' ^^'

Cafcando verfo il centro della forx.a da qualunque punto del- la trajettoria il mobile follecitato dalla forz.a centrale corrif- pondente al detto punto , la quale però rimanga cofìante per tut- ta la caduta , acquifìa la velocità , che effo aveva in quel pun- to della curva , dopo efjìr caduto per uno fpax.io , che è quarto proporz^ionale al quadrato della normale condotta dal centro del- la forxa fulla tangente della trajettoria nel mentovato punto , al quadrato del raggio vettore , ed alla quarta parte del para- 7netro dell' ajfe principale.

79. Cada ora lo ftefTo corpo verfo il centro della forza lungo il raggio vettore, e lì fupponga, che la forza non ri- manga più coftante come nel Teor. prec. ; ma vari! durante la caduta in ragione inverfa del quadrato della diftanza dal

centro . In quefta ipotefi efTendo^ -la forza centripeta nel

principio

Centrifuga. 377

principio della caduta , farà e(Ta , fcorfo lo fpazio 2, , ovvero

Rr'

alla diftanza v — 2- dal centro, efprefla da— . Laon-

^ (V — 2:)'

de nominando ?<" la velocità acquiftata nel cadere per lo fpa-

- . Rr'dz, . . 2Rr' ZIO z, il ottiene =:u du\ il di cui integrale e

(V — z.y ° -v-z.

z^iti'"'' ~\~co{\. E poiché li'' e z, fvanifcono inficine, proviene

2 Ry ' II cefi. = ; e confeguenteniente u"^r=z2Rr-( )

iRr^z. e'

. Perlochè fupponcndo u'z=:u-=-, cioè

u

ni 2

v{v — Z.) ^^ p

e' Rr'b . . 22: b

ne deriva- ■■ — — — = — ; e quindi

P p" (V — z,)v p^

bv^ bv

2: = ■ — = ■ Dunque il

2/)" 4- bv 2/)' ^

TEOREMA Vili.

Un corpo , chi da qualunque punto della fua trajettorìa cade lungo il raggio -vettore z'erfo il centro della forza , e ziene follecitato durante la fua caduta dalla fìeffa forza variante in ragione duplicata inverfa della dijìanza dal centro , acquifta la Jiejfa velocità, che compete al detto punto della traiettoria do- po aver tra fcorfo uno fpax.io , il quale fi ha. fé dopo aver pre- fa una terza proporzionale al raggio vettore , e alla normale fi piglia una quarta proporzionale al doppio di quella congiunto col femiparaiiietro , allo ficffo femiparametro ed al raggio vet- tore.

80. Per ciò chefpetta al tempo impiegato dal mobile a cor- rere per un arco qualunque g^M della traiettoria , balìa ricorre-

,, ^ , , v'd^ v'dj> iPMm

re alla formolartr= = =_ , dalla qua-

c' hfkn. X hfkn. x

ì§,PM

le mediante l' integrazione fi ricava t =z —, fenza coftan-

hj- len. X

te perchè fi annullano infieme t, e P§_M .

Bbb

jyS Sopra la forza

8i. Se fi vuole l'efpreflìone del tempo indipendentemente

dall' aja ^PAl,fi foftituifca nell'equazione dtz=^ ^ il valo-

^' d<p

re dianzi trovato di x»' , e fi avrà dt = — .

è' /• d<p

onde integrando nafcerà t= ^ 1 — ; ; r , ^ , Tv;" *

^ c^J (i4-ecor.(/3-}-ct,))^

Per ritrovare il valore di quefta efprcdione integrale io aflu-

^ dp Mkn((ì + (p)

mo quefla equazione / >-— ^r-— — -r; = -r-— — ■ — ■

y ( I + e cof. (iì+^)y I + e cof. (lì -j- <p)

J_ A7 C '■ — , dalla quale mediante la difle-

^ J I-f-fCOf.(|i + <f) ^ .

renziazione ritraggo

]\/Mj)Cof.(/3 4-(|))( i+e coL((i~\-^))-\-Med(f)kn.((ì -]-((>)'

1 -\~e col". ( [i-}-(p) •

= ( riducendo allo fleflb denomi-

' i-^eco(.(ii-{-<p)

natore ) Md-p coi. ( /3 --f- 0 ) 4- Ndp -j- Ned<p cof; ( /3 -[- if ) -|- Med^

— . Laon-

(i+fcof.(/3 + ^);^ •

àc farà . . . !

Mi^ cof. ( /3 -)- (p ) 4- M^(^ ' ■

-.. ■ ' . -|- Ncdp cof. ( (3 -|- (p ) -j- -?^'^<l> = ° ■

1 Di qui fi raccoglie M= — Nf,N — Nc''—i,N=

I— (?'

M = - ■. Con ciò diventa

I — (?'

b'ekiì.((ì + <p)

" c\i—e')(^\'^ecoL{(h + 'p)) 4. , r _L___ .Ridotta per tal modo l'integrazio-

ne a non dipendere fé non dalla formola J __—-——-— ,

Centrifuga. 379

per confcgiiire il valore di quefb pongo cof. ((i-\~(p)

= — ^ — .; e però fen. (Iì + q>)=z= — , d(p coù ( (i + <p )

i-i-x'- i+x'-

zdx(i — XX ) , zdx V , r

— , d(p= — j— .àicchè fi avrà I -}^f col.

(i-\-xxy i~\-xx

I -\~ e-\-( 1 — e) XX

j ; e

I ~\~xx

dp ^ rdx

. I -|- f -}- ( I — e) XX

(/5 -+-'?>) = 1 ; e quindi

I -^-xx ^

I -j-ccof.(/S4->$) ~~ J 1

. Ora

^_^_j-( 1 ~-e)xx

/xdx — ■ — foggiace alle no- I — r- C —r— ( I — (jXX

te regole d' integrazione delle frazioni razionali , e tre fono i cali che poffono occorrere .

Caso I. e < I

zdx

... i

+ e + (i— e)xx-

Sz. In quello cafo diventa / - . ^ r dx 2 ) . I +e s

^ 1 -l-c"^

I 4- f ìxx

^^■+.

f

dxyj{ -)

r -r ( ) XX

are. ta

+ •

^:,v/(LZ:i^-ig±l)):,tang.i(. + cr)=. ^^"-^^^^^ ,

j • t / (i — e)x >. ed inoltre 2.arc. tane, f —, )

' Bbb ij

380 Sopra la Forza

/i(i—e)x:\/(i—e')^ = are. tang. ( -i )Ll ^ )

^ (i—eyxx '

= are. tang. ( — ^-^ : ) = are tang. — J^-^ --'

^i — e' — (i — e^)xx^ i<-e-(i-e)xx

' , 2fen.(/S + (j))\/(i — e) X

= are. tang. { — — ^^ ^ > v ^ . / — ^ \

= are. tang. ( ^-^ — ZL\-1 ^ ) , Dunque fi avrà

<''(!— Oy 'i + e cof. (/9 + (j)) c^(i -e'y-''^

,fen.(/3+(|))/(i-e').

g. ( -r-^ ) e per confeguenza

° ^ e + cof. (/S + O)) J i' . &

are. tan_ .

c'(i — ^')(i +ecof. (/S4-(|>)) c'(i — ^'j^ '

arc.tang.C^^^±.^^±#-^^^^)4-coft. Sicché fuppofto, che

nel punto ^ , da cui fi vuol cominciare a contare il tem-

r ' A- . Z>Vien. (/3+^) pò, ila $=<?, fi avrà per fine / = -r—- — r^

^Vfen.C/3 + $) ^'^

£•'(1— eV(i+ccof.(/3 + cp))~'c^(i — e^)'^ '"^ ^ ,.;•..

are.

fen.(/3+<?)\/(i-.f=).

e + cof. (^4-^) ^ . * V 1

' ^^'0 ' Caso II.. "' •':;.' /\/ • /

f > I : j .

^dx 83. In quedo fecondo cafo fi fcnve

I + e + ( i — e)xx

Centrifuga. 3^1

2dx -icix: ( 1 + g)

^^ i+e-(e—i)xx~~ (e - i)xx

e+i ■ 2dx:(i+e) dx:(i +e)

dx:{ i +e) _ . , ^

-U . Dunque integrando lì avrà

e — I

J i+e + [i-^)xx j/(e'— I) ^^ ' '^e+i'

'.^^lo^.(\^l±2l±^ll^l^.), e fomtuito per x

/i — cof. (/3 + <j)) . /-• i^X'

il fuo valore r/ — , — — — ^^ , nalce / ; ; — =

•^ i-\~QOÌ.{^^<p) J i-\-e-\-{i-e)XX

I j^ v/fc:-i)/(i^cof.(/g^-t)))V(c'-i)V/(i-cof.(;gH-(?)))_

(moltiplicando fopra e fotto pel numeratore)

t , g + cof. ($ + ^)^- fen. (/g f- 0) /(e' - i) p^^^^^

V(e' — 0 i+ecof.(/Sf cp)

^Vfen.(^ + c};) che nalce tz=. -—

b^ e + cof. r^ +({)) + fen. r/S + (i))/(^'-i) ^

' c\i—e'j'-^- I + e cof. (/3 4- (p)

Siccome poi fvanifce t allorché (j)=^, perciò ne deriva

^^^ __ ^'gfen.(/3+^)

*^° "~cXi— ^')(i+^cof-(/S4-^))

^ ^' lo^ ^ + cof. (/g -f ^) 4- fen. ((5 +^) V^Ce' — i )

Bbb iij

3^~ SOPRALAFORZA

Dunque fiirrogato qucfto valore nell' efpreffione di t , nafcc

tìnalmente .= -Ì!^ ( J^^L^^+É. ^"^•^^ + ^> )

c'( 1 - e') I + e cof. (lì + g) i i- e cof. ([i + <p)

_j ^_ _ j^ f + cof. (f3 -i- ({)) + kn.jlì ^- (^)\/fc' - 0

~^ c'(i- e'y-' °^' I + e cof. (,3 + cp)

_ __^1__1 . g + cof. (/3+^) + fen. (/3 +^) /(g' - i) Caso III- , f

84, QLieft' ultimo cafo non può trattarli col metodo pre- cedente , come apparifce dal valore infinito che acquiltano i coefficienti indeterminati M, N. Siccome però

1 -\~ coi ( /3 -{- <p ) = 2 cof -(0-\~(p)\ cosi farà ■ • ■ ' ■

2

- . tacendo pertanto -/S-j-- ^

e perciò 6f:t)=2rfa) , nafcef=: — / , Ma per le note

ic-J cof. W*

regole d' integrazione de' monomj trigonometrici fi ha

du) I fen. w 2 fen. w fen. «(14-2 cof m' ) "" •

/;

- + -.-- =

cof «■* 5 cof «^ 3 cof « 3 cof «'

Dunque foftituendo ne verrà

, _ ^ . ffil^/3:!lÌl( x+_^_^ì(/S+^). , ,oft. La

2C' C0f.4:(^4-cj))'

coftanre fi determina , come dianzi , con ofTervarc che t di- venta zero allorché (p fi cangia in ^; ii che dà cofh

= . ^^ — ^ . Perloche n-

^^' cofi(^+^)' ^ ._..,.„

fulta ;=— ^^"•T(/3 + <t>)(i + 2cof l.(/3 + ^j')

2C'" cof i (|S -f $ j '

Centrifuga. 585

_^ b^ fen.l(/3+^)( M- 2jCof. \ ^ /3^|J^)

85. Si può altrimenti ritrovare il valore di t in quello cafo con far ufo della già praticata foflituzione di

cof. ( jS 4- cf) ) = ; poiché fi avrà dLz=. , ed

i +x^ '■ i-\-xx

i-|-cof.(^ 4- (!>;=: — ; , e perciò ; —^ -r

1 , r r d<p I

=: - dx( 1 +xx) . Laonde / ,■ ^ = - x

^ J (i+cof.(yS-fcp))' 2

I fen.(^-fcf)) fen-C/S + cp)'

-4- - a;' 1= -— ;: r H — v -j- coit.

6 2(i + cof.(/3-f^)) 6(i-|-cof.(/S + (^;)'

_ fen.(a) + /g) fen.(;8-Kp)(i-cof.(/g^-(p)') ^

~2(i +cof. (/9 + '4>;) 6(i +cof. (/S4-(j)))^

fen^/S + cfJ fen.(/3 + 'ì')( i-cof.(/3+cf))

'~2(i+cof.(/3 + $))"'" 6( i+cof. (/S + cf)))^ -t-co .

fen.(/S4-(I>)(2 + cof.(/S-h(|))) ^^ r>, ,- . •

=: — ■ . ^ ^ ^-4- coir. JJa ciò li ricava

3(i + cof (^ + t))' ^ d^

cV l'i ,

'/^-Umì ( ■> -l_ rnf l'/fl .1. tA \

■\~ cefi. ; ed eflendo

(i4-cof.(,3 + cf>))^

__£_ fcn.03 + (|')(2-f cof. (/3-f-:p)) 3<:=' ( I + cof. (/S -+- (f'} )'

-^ft ^'" ^cn.03+^;(2+cof.f/3+^)) ^ ^ , e

coir. = . ; ^^- r <■ , fé ne deduce fi-

b^ fen.f/S-i-(f)(2 + cof.(/3 + (j)) )

nalmente t = — .

3C" (1 +cof.(/e4-.4>) )^

b' fen.(/g+^)(2 + cof.(/S+^)) , , . ^ . ;^ , la qual elpreflione , per

efTere i -f cof. (/3 + ij;) = 2 cof. - ( /3 + $ )' , e fen. (/S 4- (j> )

384 Sopra la forza

= 2 fen. - ( /S -f- $ ) cof. - (/3 -I- (^) , equivale manifeftamente alla

b' fen.^(/S + cD)(n-2cof.i(^ + cp)^) precedente — .

2C' ■ cof. 1 (,<3 +^)^

i Scolio.

D<z ciggìnngafi dopo il $.53 ^/j"//^ Memoria precedente.

Ne' feguenti Corollari vengono dimoftrati i Teoremi da me propofti nel I. Volume degli Atti della noftra Società fopra la difcefct de' Corpi per la conveffìtà delle Curve . Il celebre Sig. Abb. Friji nel fecondo tomo delle lue Opere ftampate in Mi- lano esponendo alcuni di quefti miei Teoremi fa avvertire pag. 115. una difcrepanza notabile fra le formole , che egli ottiene col fuo metodo di dimoftrare , ed i miei rifultati . Ma una tal difcrepanza deriva dal principio da eflb quivi adottato, che la mifura afToluta della forza centrifuga ila una lineetta terza proporzionale al diametro del cerchio ofculato- re , e all' archetto della' curva deferirlo in un dato iftante ; laddove all' oppollo egli è incontraftabile , che per confegui- re la vera mifura della forza centrifuga convien fempre pi- gliare una terza proporzionale , non al diametro del cerchio ofculatore , ma al femidiametro ,e poi all' archetto della cur- va, che è quanto dire una lineetta doppia di quella, che dal Ch. Sig. Abb. Frifi viene propoila. In tatti o vuoili conce- pire la curva come poligona infinitiiatera , e però 1' azione della forza centrifuga non rigorofamente continua , ma inter- rotta da un iftante all' altro ; o lì vuole immaginare la cur- va come rigorofa , e quindi continua 1' azione della forza centrifuga fenza alcuna interruzione neppure iftantanea . Nel primo fuppoffo la mifura della forza centrifuga è 1' im- pulfo iftantaneo, che fa percorrere al corpo la lineetta com- prefa fra V eftremità del latercolo prolungato della curva e r eftremità del latercolo contiguo, e quefta Imeetta nel pre- fente fuppofto è viabilmente terza proporzionale al femidia- metro

Centrifuga. 3S5

metro del cerchio ofculacore , e all' archetto . Nella feconda ipotelì della curva rigorofa , e dell' azione continua della forza centrifuga , la quale in conleguenza non opera per im- pulli iftantanei, ma con matematica continuità, la lineetta com- prefa fra le eftremità della tangente della curva e dell' ar- chetto è bensì terza proporzionale al diametro del cerchio ofculatore , e all' archetto; ma tal lineetta non può pili pren- derli per mifura totale della forza centrifuga . Imperciocché ella viene defcritta in virtìi della forza centrifuga , e della fua azione continua e invariata pel dato ifhmte con moto e- quabilmente accelerato, e perciò non ella linea femplicemen- te,ma il doppio di lei dee rapprefentare l'effetto intero del- la forza centrifuga in quell' iftante , cioè la velocità genera- ta dalla forza nella durata dell' ilhuite . Confeguentemente an- che nel fecondo fuppoflo la mifura totale e allbluta della for- za centrifuga è indubitatamente il doppio di quella, che dal Ch. Sig. Abb. Fvifi viene allegnata.

Dopo ciò farebbe inutile , che io qui annoveraflì a quefto illuftre Geometra i molti e grandi afFurdi , che derivano dal kio principio , effendo perfuafo , che una palleggerà ritìedio- ne full' argomento controverfo baflerà per fargli comprendere gì' inconvenienti del fuo ailunto.

,/ it ^1^ j.~;-' • •■;',ì; Ì!^3--^>

Tomo 11.

Ccc

386

SOPIiA LE SEIilE

Del P. Gregorio Fontana delle Scuole Pie Pubbli- co Profeflbre delle Matematiche fuperiori nella R. Univer- fità di Pavia.

A R T I C O L O I.

Deir ufo del Calcolo Integrale delle equax.ioni lineari per fommare alcune ferie trafcendenti .

I Moderni Analisi fi fono a gara efercitati nel perfeziona- re ed eftendcre la teoria delle equazioni difièrenziali li- neari , proponendo varj metodi più o m.eno femplici e gene- rali per aflegnare i loro integrali completi ; ed è già noto , che uno de' metodi più ingegnolt per confeguir queft' intento è quello di afìùmere un integrale particolare , e di ricavarne pofcia mediante gli artifizi ^ ripieghi , che 1' Analifi fommi- niftra , la vera forma dell' integrale completo. Supponendo io noti pertanto i fondamenti di queflo ramo di Calcolo Inte- grale mi reftringo nel I. Articolo di quefla Memoria a mo- ftrar 1' ufo , che quindi può trarfi per rinvenire la fomma di alcune ferie trafcendenti, alcune delie quali affoggettate agi' ingegnofi metodi di Leon. Eulero , e del Sig. Cav. Lorgna eiig- gerebbero per fommarfi una lunga e tortuofa complicazfone di calcolo , ed ancor dopo queflo prefenterebbero rifultati affai comporti , e bifognofi di nuove riduzioni e di nuovi artifizi per veflire una forma femplice ed elegante: hìddove all' oppo- i\o mercè V applicazione della predetta teoria fi giugne fpe- ditamente e direttamente alla fomma delle ferie propofie , e quefla fempre {i prefenta fenza 1' ajuto di nuovi ripieghi ana- litici fotto il più femplice afpetto , cui la natura della quifiio- ne permetta .

Sopra le Serie. 387

PROBLEMA I.

X* X x"

Sommare la ferie i 4- 1 -4

1.2.3.4 1.2. 3. .-.8 1.2.3....12

x'*

I l-ecc. = S

1.2.3.4....16

Soluzione.

Si prenda il difleren/iale , confiderando x come variabile, e

, , x^dx , x''dx x^^dx

dx coltante , e farà -f- — ■

1.2.3 1.2. 3. ...7 1.2. 3... .11

x"dx

4- \~ecc. = dS . Di nuovo visììCi il fecondo diffe-

1.2. 3. .,.15 ' ^ °

renziale , che farà -J 4- -

1.2 1.2. 3. ...6 1.2. 3... .10

x^'^dx'

-4- ^ + ecc. ^^^j". Si pigli ancora il differenziale ter-

1.2. 3.... 14 ^^

xdx' x'dx' x^dx' , x"dx'

ZO _| L .J ^ -Jr ecc. z=:d'S.¥ i-

I 1.2.3.4.5 I.2.3--9 1.2.3....13

x^dx^ x^dx*

nalmente Ci prenda anche il quarto dx* 4 4-

^ ^ 1.2.3.4 1.2. 3....8

x'^dx'* , ,. , x'^ , x^

+ — — ^ + ecc. = dx' ( I 4 .

1.2.3....12 '^ ' 1.2.3.4 I-2-3-...8

^" ! . ^ecc. )=.Sdx* = d'^S . Ma quefla equazione dif-

1.2. 3. ...12 ^ T -1

ferenziale di quart' ordine , contenendo in ciafcun termine la wiriabile S,q i fuoi diffèrenzia'li alla fola prima dimenfione, è un' equazione lineare , e però un fuo integrale particolare farà Jr^e"'*, effendo m una collante indeterminata, ed e il numero, che ha per logaritmo naturale 1' unità . Per trova- re le quattro collanti arbitarie, che devono entrare nell' in- tegrale completo^ (i dilTerenzj 1" equazione Jr^e'"", e fìa d^ = mdxe'"% e novamente ddS = m'dx'-e"'\d'S^m'dx'e""' ,

C e e ij

33S Sopra le Serie.

d^Sz=m^dx^e""'=-Sdx''z=e'"''dx^ . Dunque m'^=:i , la qual equazione ha per radici , w = i , m' = — i , w" = y — i , m" =. — V "~ ^ ■ Laonde l'integrale completo farà Sz=Ae""' ^_5,^'»'>--_f-Cr"''4-De'"'% effendo ^ , 5 , C , -D , le quattro coftanti da determinarli nella maniera feguente . Ellendo S = /le?" 4- Be-" 4- Ce" *^ - • -j- Z).— " »^ - " = Ae" -{■- Be' " 4- e ( cof. X -f- fen. .V. ^ — i ) -f- D ( cof. x — • fen. x. '^ j- i ) = /^e'' + Bt?-''4-(C+D ) cof.;c-|-(C — D)fen.x. ^ — I ; ed anche dovendo ellere per la natura della propofta ferie j"= I , quand':v = o, ne viene.

1°. /44-B4-(C + D) = i . Inoltre , effendo xr=o , dev' eflere dS-=o, e quindi ^IxAe" — dxBe- " — (C + D)dx fen. x + (C- D)dx cof. x. \/- i ; e dividendo per dx , e fatto x = o, ii ha

2". A — B-^(C — D}\/ -—i=o Parimenti, quando x=^o, dev' effere ddS = o • dunque dif- ferenziando il valore ora ritrovato dì dS , & pofcia dividen- do per dx' , e fatto x = o , il ha

3-° A-}-B—(C~{-D) = o Così anche, dovendo ellère d'S=io , differenziando il valo- re di ddS , e divifo poi per dx' , e fatto x=.o ^ fi ottiene

4.° A — B — (C — D)\/ — 1=0 Da quefle quattro equazioni

i.' A~\-B-\-(C-^D)=i

- 2.' A—B^'iC — D}\/ —i=o

3." A-}-B — (C-^D) = o

4.- ^ — B — (C — D)\/ — 1=0 ; fi ha fubito Ibm- mando la 2." e la 4.'', 2/I — 2^=0 , e quindi A = B ; e fommando la i.** e la 3." fi ottiene 2^4" --^ = ' '> '^"*^^

^=5=-. Dalla 2.' poi fi ha C = D, che foftituito nella 4

I I 1

3.' dà C=zDr=::- . Diuique finalmente S =: - e" ~{- - e- " 4 4 4

-| (^cof. X -j- kn. x\/ — i) 4" " ('-'O^- ^ — ^'^'^- ■''^- V — 0

e" 4-1 I = }--cof. .v. Il che era ecc.

^e" 2

Sopra le Serie. 3S9

PROBLEMA II.

x' X* X*

Sommare la ferie i -l- — -j j

•' ' 1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6

x* x'"

4- ! Uecc. = S.

1.2. 3.. ..8 1,2. 3. ...IO

Soluzione.

„ . ,„ xdx , x^dx x'dx

Pre(ì i difTereniiali fi ottiene dS= : \- ^

I ' 1.2.3 1.2.3.4.5

, x'dx , x'dx x'dx'

4- }-ecc. ; daS = dx^-i

1.2.3.4.5.6.7 ' 1.2.3. ...9 ' 1-2 .

-\ -] [- ecc. = dx' (1-4 H

1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 ^ ' 1.2 ' 1.2.3.4

x^

H 1- ecc. ) = Sdx'' . Sicché farà come dianzi I' in-

' 1.2. 3... 6 ' ^

tegrale particolare dell' equazione lineare di fecond' ordine

ddS = Sdx' efpreflTo da S^Ae'"" ; onde dS = Amdxc^'' ,

ddS=^Am'dx''e'"'=:iAe'"''dx^; e quindi ;w' = i , ed w=: i ,

w' = — I . Laonde S =l Ae" -\- Be- " è l'integrale completo

di detta equazione . Ma quando .t=:o , diventa J' = /i-{-

B=i, — =o=/i — B ; perciò A — Bt=- ; e però </.v 2

1 I e" 4- I

^yz^-f"-] — e^''= . II che era ecc.

2 2 2^' -

PROBLEMA IH.

7' 7' z" z'^

Sommare la ferie i = 1 1 i

•^ 2.3 ' 2. 3. ...7 2.3....11 2.3....15

z"

-1 l-ecc.

2.3....19

C e e iij

39° Sopra le Serie.

Soluzione.

Piglifi il differenziale quattro volte , e farà - -] —

2.3 2. 3. ..7

, ^"dz.* , z.''dz.' ,

H \~ccc. = d*S=Sdz.* . Quindi prefo

2.3... II ' 2. 3. ..15 x^ r '

S = Acm''- per integrale /(zmco/rfr^ dell'equazione lineare d^S = Sdz,*, lì ottiene , diftèrenziando , dS = Amdz.e'"'', ddS=:Am'dz.'e"'-, d'S = Am'dz'e"'^-, d'S=:Am'dz.'e'"^ = Sdz.^ = Adz.'e"'^ . Perlochè dividendo per Adz.'e"'' , fi ha m^=2i , che dà quattro radici m=i , m' = - 1 , m"—\/-i, ^'" = — \/ — I. Avremo pertanto l'integrale completo del- la predetta equazione efpreflo da Ae~ ^Be- "'--{- Ce~V^ - ' -J-D^-"V^-" =:S . Ora, lìccome allorché z, = o , nafce

d^S S = o, dS=o, ddS=:o, - — =1 , quindi rifultano le fe-

dz.^

guenti equazioni

1." A-{~B-^C^Dz=o

2." A— B-\~C]J —i~~D\/ ^i=o- .

3." A+-B — C — D=o

j^^ A — B — C\/ —i~{-D\/^—i=-i Da quefte lì ricavano i valori delle coftanti arbitrarie ; im- perciocché I.''-j-3.-' = 2y4 4-2B = 0 ; 2/-j-4.'' = 2^ iB

= 1, cioè ^=: — 5 = -. Parimenti i."— 3/= 2C-J- 2-D = o;

,4 2."— '4-'' = 2C'/ — I — iD^ — 1= — I, vale a dire

C=: — D=z . Softituiti quefl-i valori nell' integra-

4V/-I

(,- g-x g~Y- ■ ^- - r - «

le 5 ne deriva S z=^ • j-

1

4 4 4/-1 4'/ e'- — e-" ^' I fen.z.. Il che era ecc.

SopraleSerie. 391

Scolio

Si arriva a quefla ferie nello fciogliere il bel Problema Mec- canico, in cui ii cerca di determinare gli accidenti del mo- to di un grave, che difcende per un piano inclinato in tan- to che il piano fi aggira intorno alla linea orizzontale , che ne forma la fommità .

PROBLEMA IV.

Sommare la ferie i -] • -j \-

v'f

1.2.3.4.5 1.2. 3.... IO 1.2. 3.. ..IO

+ 1- ecc. = S .

1.2. 3. .-.20

V

Soluzione.

x^dx

Mediante la differenziazione nafcono le equazioni </!=:

1.2.3.4

, x^dx x"^dx , x^^dx . x^dx^

H -H -+- l-ecc.]ddSr=

1.2.3....9 1.2. 3. ...14 1.2. 3. ...19 1.2.3

x^dx'' x'^dx"^ x^^dx"^ x^dx'

+ ?+ +- -,+ ecc.;^'J =

1.2.3....S 1.2. ...13 ' 1.2.3....1S ' 1.2

, x''dx^ x"dx' , x'''dx^ xdx* x^dx*

H ^-f H -fecc.;^*J' = + — -

1.2,... 7 1.2....12 1.2. .,.17 1 1.2. ...6

, x"dx'^ x''dx* , x'dx' x'°dx'

H h 4-ecc. ■,d'S = dx'^ -:-'

1.2.. ..Il 1.2. ...16 ' 1.2. ,..5 1.2... .10

x"dx' x^ x^° + 4- ^*^<^- = '""^^ ( I 4- -■-

1.2... .15 ' '^ I.2....5 1.2. ...IO

I ^" N - V ■

+ — 4- ecc.) z= Sdx' . L'integrale particolare è al foli-

I.2....15 ' ^ o t

to S = /je""', dal che fi cava, come fopra d'S := Am'dx'e'"" r=Sdx' =:Ae""'dx' ; onde m^-=zi. Ora V equazione w' — 1 = 0

39^ SopraleS e R I E. ha per fattori m — i = o , w' -j JL— 'm-\- i =o ,

2

w* — — ^ m-\- I z=o , che danno mz= i ,m' = *~ —

2 4

+ v/(:^'),."=-^'-V(-'±-^').

— \/(~^"^^-^). Dunque , porto 7 ^ "^ V ^n=-» , 1' inte- grale completo della equazione lineare d'S=S dx^ farà ^f""* + Be'"'" -;■ Ce'""" + De'"'"" + Ee""'"" = ^c-" + Be^' _ v^ j) x:4 + « y^ ». v<- »

-j-EfC-'- »^ j)*:4-v^ «. ,r-. ::= Ae" + Be'^' - y '>•* ( cof .V \/« 4- fen. x\/n.\J —\)-\- Ce'-' - ^ '^"''^ (co{.x\/n — kn.x\/n.\/—i)-^De^-'-y'^''-'^ " ( cof. x\/n-{-kn.x\/».\/—i)-\-Ee^-'-^'^'"'' (cof:xy/n — kiì.xi/n.\/ — i )=Ae'' + (B'-{-C)e^'-^'^''-'X coCx\/n-}-(B — C)e(-'-^'^-'kn.x^n.\/ — i '-{-(D-{-E)e<--'-V n-.^cof.xx/n -\-(D — E )e^- ' - »^ '>■■'* fen. at j/». y' — i , cioè porto B + C = F,B — C = G,r> + E = H,D — £ = J, nafcc S = Ae''~\- Fé ^' - v^0'':4 ^-of. x\/n~[- Ge^' ~ V ^>-^ fen. X yn. y/ — i + H^c- > - v^ ^>-4 cof x yj n -^ le'-- ' - v" '^"'-^ kn.x'^n.y — I. Si ortervi ora, che fatto xz=.o, diventa

dS ddS d'S d\S v3 = i ,-^=:--— = -;— = — =0, donde fi traggono cm- dx dx'- dx' dx' ^^

que

Sovra le Serie. 393

que equazioni per determinare le coftanti arbitrarie y^ , F ,6^ , H,I. In fatti in tal ipotefi di .v = o, 1' equazione J"=idà i'. A~\-F-{~H= i . Così dS z=2 0 dà

■^ -^ / Parimenti ddS = o dà 3°. ^ - - F + C- — \^ ». V — i

/ "^ ^

— h/ ~ '' - — J. - — '~\i-n.\l — 1=0 . Ma lìccome per

4 2.

ottenere le altre due equazioni , che refi-ano , cioè la 4.', e la 5'. il calcolo riefce a(iai lungo e tediolb , parmi pili elpc- ■dientc procedere cos'i : Le cinque radici dell' equazione ,

m' — i=;o fono I ,<?-f/' V/ — i ,rt— i'y — I ,/-|-^ V ■ ' /-^ 1/ - I , onde r integrale completo è Ae" + Bc"" + ''''^~ '

_j_ Q^„ _ u v^ _ . ^j_ p^/v, + g« >^ _ • _j_ £/h + ^» ,^ - . _ Laonde fuppofto .V r=: o , fi avranno le feguenti equazioni

3' Ai- (.?+V - lyB -.(«-V- 0'C+ ''/+V-0'-D+(/-<?V ■'^'■^ = ° '

5". j f (.'7 + y - o's^ (^-^\/-irc-f/+V-o'-D+c/'-V-,i)'-E^=° '

dalle quali li otterranno i valori delle cinque coftanti arbitra- rie. Il che ecc

Sommare la ferie - — 4-

i.z 1.2. 3. ...6 ' 1.2. 3.. ..IO

1.2.3.

Tomo IL DdJ

394 Sopra lb Sjerie.

Soluzione.

-.. ,- ocdx x^dx x'dx x'^dx

Si trova aS= 1 + U — -fece;

I 1.2.3.4.5 1.2.3...9 1.2.3...13

,,^ , , , x'^dx^ , x^dx"" , x'^dx''

ddS = dx 4 . U ecc. :

1.2.3.4 1.2. 3... 8 ' 1.2. 3. ..12 '

, „ x^dx^ , xVx' x"dx^

d'S=: }-- f-ecc; ■•''"'-

1.2.3 1.2. 3.. .7 ' 1.2. 3. ...II '

X'dx'* , AT^^AT* je'°^x*

d'S = H + 1- ecc.

1.2 i.2.3...(5 1.2. 3. ..IO

= dx* (- 1 "—- ~\ \~ ecc. ) = Sdx'' . Ora per

^ 1.2 ' 1.2, 3.. .6 ' 1.2... IO ' ^ ^

r indole dell' equazione differenziale lineare di quart' ordine d*S = Sdx* , lì trova, che un fuo integrale particolare è S = Ae'"-^ ; onde dS=:Amdxe""' , ddS ■= Am'dx'e""' , d'Sz=.Am'dx'c""' , d*S — Am''dx''e'"''z=.Sdx*=:Ae'"''dx*; e per- ciò m'^ — 1 = 0 , ovvero {m^ — i)(m'+i) = o, e confe- guentemente mz=zi , ;«' = — r , w" = ^ — i , ni" =: — j/ — i . Sicché r integrale completo dell' equazione d'*S = Sdx'^ è jie""' 4_ Be'"" 4- Ce™'" + De'"'"" = Ae" -f- Be' " --[- Q" v^ - ' '\-De~'' y^ ~ ^ . Per determinare ora le coftanti arbitrarie A , B , C , D il ofiervi , che quando ,r=o , diventa

dS ddS ^'^ T^ r 1

Sz=o, -— = 0, - — ^=1 , -y- = o . Dunque u avranno le dx dx' dx^

equazioni feguenti

I.' yÌ + 5+C4-D = o

.2.' /4 — B 4- C\/ — I — Z) y/ «— I = o

^* A-\~B — C — D—i

V

4.* A—^B — Cy/ — I -^ D\f — 1 = 0. Sommando la 2.* e la 4." fi ha lA — 2B=:o, cioè A^^B; e fomman-

1 do la prima e la 3." nafce 2A + zB:^ i , ovvero A=^B^=^ .

Sopra lh Serie. 395

Porto quefto valore nella i." fi ha C + I> — ; ma dall'

2 I

ultima fi ottiene C = D ; dunque C = D= . Laonde

II I I , e" -f I

4 4 4 4 4^"

(cof. AT-l-fen.x. \/ — I) (cof.x' — fen. X". ]/ — i )

4 4

= col. X . Il che era ecc.

4e'' 2

PROBLEMA VI.

x' X* '^^

Sommare la ferie i -] \~ - — ■ h

1.2.3.4.5.6 1.2.3...9

+ \~ ecc. =: S.

1.2.?. ..12 '

•3-

; i

Soluzione.

„. ,^ x^dx x'dx x^dx x^'dx

Si trova dS=z \- 4- 4- -;• ecc.;

1.2 1.2.3.4.5 I.2-3..8 1.2.3... II

.,„ xdx' , x^dx'- , x'dx^- , x'^'dx'' , adi =3 \- ecc. ;

I 1.2.3.4 1.2. 3.. .7 ' 1.2. 3. ..IO

j, r j , . ^"'^^' , x^dx^ , at^'^a:^ ,

rf' J = dx^ -\ \- ■ ~\ U ecc. =

1.2.3 1.2. 3... 6 1.2. 3. ..9

dx' ( I + -^- + -^ \- -^ I- ecc. ) = Sdx' . Per-

^ ' 1.2.3 1.2. 3.. 6 i.2.3,..9 ' ^

ciò pigliando Sz=Ae"" per integrale particolare dell' equa- zione lineare d'S=iSdx^ , fi ha dS = Amdxe"'" , ddS^Am'dx'e""', d'S z=2 Am'dx'e""'=: Sdx' =^Ae""'dx^ ; ond'è

5 1 , — '4-V~3 '- — I— /~3 n2^ = I , ed w = I , ??/ =z: 1 ± , m= ^- •

2 2 _

Laonde l' integrale completo farà S = Ae"

Ddd ij

396 Sopra le Serie.

( cor. '- V--^ — ('^n.^-Y .\/^ —i)=^Ae-'-\-{B-{~C)e'-''^--'X

cof,^-|-(£ — Qf^-''^-fen.^'p./--i . Ora, quando .v=;^o diventa S =: i , dS = o, ddS=o, cioè

z.° .;__(-B-fC) , (B-C)^/ 5.V-i___^

3- ^ ;- — ■ ■ — =o . Sottraggo

la 3." dalla 2/, ed ho (B — C) = o. Dalla 2.« poi ottengo ^ = (-^ ); e dalla i." y4=i — (B-fC), ond' è

(■B + Q 21

= 1 — (£ + 0, cioè (B4-0 = -, /i = -. Dunque

- 3 >

J' = -f''-f -e^-'-^^^cof.'^'^-^. Il che era ecc. 3 3 2

v.h 'v. PROBLEMA VII.

. r i . . . '

Sommare la ferie x-f 1 -1

, . . 1.2.3.4 1.2. 3... 7 1.2. 3. ..IO

-j- ccc. = S. •

Soluzione.

Prell i differenziali fi ha dS = dx-\-'- — '- -| '---

1.2.3 1.2. 3... 6

I >:'dx x'dx' x'dx' x'dx'

-|- --f-ecc. ; ddy= 1 \-

^•2.3. ..9 1.2 ' 1.2.3.4.5 1.2. 3... 8

. ,, p xdx' , xUx' , x'dx' ,

4-ecc. ; d'S = _J 1 ecc.

i 1.2.3.4 1.2. 3. ..7 ,1

Sopra le Serie. 397

= dx^ ( xA '- — — A '- -1- ecc. ) = Sdx* . Avutafi ora

V 1.1.^.4 1.2.5...7 ^

r equazione differenziale lineare d^S=:Sdx''' , pongafi

S = Ae'"' , onde dS z=. Amdxc"" ,

ddS = Am'dx'e""' , d'S = Am'dx'e'"' , il qua! valore fonituito

neir equazione d'Sz^Sdx' dà Am'dx'e"" z=:Sdx' =^Ae"''dx'- ,

• ,• , • X « — i+\/ 3.\/ — 1 e quindi m' = i , cioè mzz^.im = r_±_i ^

2

— I — \/ 3. V^ — I »'/== i '^^ . Laonde T integrale completo delT

equazione d'S=zSdx' farà S ^Ae""" -^-Bc"' •' -\-Ce"''"' =zAc^

-\-{B-^Q c'^- "^^ ' cof. ^V^ ^(B — C) c^- ">■■ ' fen. "^^ ./- i .

2

Ora il rifletta, che quando x=:o, S = o; -- -=1 ; ddSc=oi

dx

onde

i.' A^(B-[~C)z=zo.

^.^^ (B-i-Q ^ (B-.C)\/3.\/-i_^^^ -

5.- A ^^ + ^^ (i^-Qv/3.v/-i_^_ 2 2

p, . ... (B — g\/3./— I

JJa queita terza equazione fi ottiene i_»_ji_I

2

=:^ , il qual valore foftituito nella feconda dà

zA — '(B-j-Q^f, ed in quefta furrogando il valore A=: — (B-\-C) cavato dalla prima, li ottiene (B~\-C)z=

— -, A=:-, (B_C)/— 1=-^. Laonde S = -e'

^3 {^3 ■ 3

— -e-'"^'cof.''^^ 4- -^^c--)- fen.''^''^ Il che era eco 3 - V3 2

Ddd iij

39S

+

Sopra le Serie. PROBLEMA Vili.

Sommare la [cric \- J

1.2 1.2.3.4.5 1.2. 3... .8

-j-ecc. = 5.

S o

L U Z 1 O N E

Pigliati i diflerenziali nafcono le equazioni

,„ , , atV.v , x'dx , x^°dx , dS = xdx -}- ] \~ -j- ecc.

1.2.3.4 1.2. 3. ...7 1.2. 3. ...IO

,.. , , xhlx" xUx" x'-dx^

adi = dx^ -A 4- -4- - — j- ecc. ;

1.2.3 I-2-3— .6 1.2. 3.. ..9

x''dx' , x'dx^ , x^dx^ d'S = 1 ■-] r4-ecc.

-|- ecc. ) = Sdx^ . Trattili

ora r equazione differenziale lineare d^S-==.Sdx^ come dianzi ponendo S^-Ae'""-., iicchè rifultera 1' integrale completo

S = Ae- -^(B-Ì-Qe^-"^--' cof.

+ (B_.g^c-'.;-x

fen. .1/ — I . Se pertanto fi confiderà , che quando

2

ddS

xzzzo, diventa S=o ^dS=o , -i 5nafcono le tre ieguen-

dx^

ti equazioni .

i''.A-4-(B-\-C)=:o; '. . ,

z'.A ^^ + ^^ 1 ^^-^)t/'3-\/-^_, '^ '"'T " 2 2

^*.A — • ■ ■ ~ = 1 . Dalla z".

fi ottiene A — — ^^— ==: — ^ L/ -".-L , che farro-

Sopra le Serie. 399

gato nella 3'. dà 2^4 — (B-f- C)= 1 , ed in quefta foftituen- do il valore della prima A = — (B-\~C) , fi trova per fine

(B-l-0=: — -,^ = -,(B — C)v/ — i=— -f-. Dunque 33 V3

5=:-%- — -,c— ^^cof.^^— -! fC--i:'fen.^^ . II che

3 3 2/3 *

era ecc.

PROBLEMA IX.

Trovare la fomma generale dì tutte le ferie della forma ^ I ^ I ^

i.2.3....r i.2.3....(r-i-n) i.2.3....(r + in)

-I Uecc. = S, fupponendo r , n numeri interi

^i.2.3....(r + 3nj^ ' ^ -^^

affermativi .

Soluzione. Crt/o 1". n>r.

Prefo il differenziale ».'/'""' di detta ferie , fi vede facil-

x'dx" x' "*■ "dx"

mente , che nafcerà d"S= f-^ ■ '

1.2.3....?- i.2.^..,.{r + n)

x'+^dx" , , , X' , x'^"

A ■■ • + ecc. =: dx" ( — -A ,

' i.2.3....(r j- 2«) ^ 1.2.3. ...r i.2.3-..(r + n)

X

r 4- in

-1 1- ecc.) = J'^^.v" . Se ora per la nota teoria

' i.2.3....(r+ 2«) ''

delle equazioni differenziali lineari , fi affume ST=:iAe""' per integrale particolare dell' equazione lineare d"S = Sdx'' , è chiaro che fì avrà d''S = Am''e'"''dx''=^Sdx"z=Aem''dx'', d' on- de fi trae m''= i . Prefe pertanto le n radici dell' equazione m"=zi le quali (effendo n pari) fono i, — ij^z-j-i"/— i, a — b]/ — I ,f-{-g \/ — I ,/— i \^ — i ì ecc. fi otterrà 1' in- tegrale completo dell' equazione d''S=^Sdx'' , il quale farà di quefta forma Ae' -^ Be - ' -\- Ce"" ^ ^'K - • 4- De'" ~ ''"V - ' 4- Ee^" + «"v^ - ■ 4- Fé ^'' - •s"»^ - • 4- ecc. = Ae" + Be'"

40 0 Sopra le Sekìe.

4- (C + Dy cof. ^a; -]- (C — D)e''^ fen. ^'a-. / - 1 + ( £ + F)<^ f" CQlg.x-\-{E — F)/ — • I . fen. ^x -j- ecc. Per determinare poi le coftanti arbitrarie A, B,C,D^ ecc. convien rifolve- re le n feguenti equazioni i\yl4-B-4- C4-£> -f£4-F4-ecc. = o ,

2'.A~B-\-(a + b)/ -i)C-\-(a-b\f ~i)D + (f+gy/ -i)E

4- (/--£ ]/ — i)F + ecc. = o ,

^'.A + B + {a + b\/ -ly C \^(a-by/ - ly D ,■ (f+g/ - ly E

, + i/— ^ )/ — 1} F + ecc. = o ,

4\A-B + (a + bi/ -lyC + ia-b^ -iyD^(f+g^ -lyE

+ (/-<?V— OF + ecc. = o, . . _ ecc. . I ._

(r

ly. A±B +(rf + ^v/ - '^'^ + ('' -hsj - lyD -f (/+^ v^-0'£

+ (/'-^V--0'F + ecc..= i

n'A--B-f-(a-{-b\/ — ly-' C-\-(a — hy^ — ly-' D

+ (/+<?/ -i)"-'£ + r/-^/—ir-'F + ecc.=:o. QueRe derivano dall' effere , quando x=zo, ancora ^ = 0,

iiS = o ,({dS z=o ,scc... -- = i i^'-'J' = o, ed il doppio

fegno nella (r+i )' porto al B ferve pel doppio aafo in cui può trovarli r di pari o difpari , cioè e/Tendo r pari vale il fcgno + e vale il fegno -quando rè difpari. Se in luogo d'ei- fere n pari , come abbiamo fuppofto , fofle difpari , allora man- cherà una delle due radici reali , cioè — 1 ; e perciò farà B = o, e tutto il refto farà come fopra , con avvertire però che a, b, f, g, ecc. non faranno più quelli di prima.

a/i

Sopra le Serie. 40 i

Cafo li". n=r.

Si aggiunga alla ferie J" 1' unità, e Ci faccia S' = S-\-i

x' x" x^'

_-: I a_ . i_ ^-ecc.

' i.2.3....r ' 1.2.5....Z/- i.2.3....3r

Di qui fi deduce d'S':=^dx'-A 1 ^ [-Qcc.

^ i.2.3....r 1.2. 3.... ir

x' x^' x^'

•=. dx'' ( i 4- 1 '- 1 ■ + ecc. ) = S'dx\

^ 1.2.3....}" i.2.3....2r 1.2. 3. ...3.'

Sicché prendendo Ai"" per integrale particola. e dell' equazio- ne d'S'^zS'dx"^ , ed eflendo d'S'=:Am'-e""'dx'=:Sdx'z=Ae""'dx', e quindi m' = i , fi trovino le r radici di queft' ultima equa- zione, c.he faranno, nel fuppofto di r pari, i ,- i ,0; -:- ,3y'-i , « — i'i\/~iiy- + S\/ —1 ^y — ^y—i , ecc. Laonde l' integra- le completo dell' equazione differenziale farà Ae" ~\~ Bc ~ "

+ ecc. = ^e''4-B^-"-f (C4-P)e'"'cof./5.v-f7(C — r>) \/ ~ i.e="'X fen. /S.v 4- (E -4- Fy^" cof. ^x-\-{E — F)\/ — 1. e^"-' fcn. Ix + ecc. Siccome per fuppollo x = o , fi ha i' = i , dS' =; o , ddS = o , ... d'~^ S = o^ quindi fi avranno per la determinazione del- le n collanti A., B, C, D, E, F, ecc. le feguenti n equa- zioni i°.^_[-B^C-f-i5-|-£ + F+ecc. = i

i°.A-B + (ot + /5/- OC + fa-^sZ-OD + C^-- J/-i)£ -j-f^v — ^]/ — i)F + ecc. = 0 ' •

3". ^ 4- S + (:^ + /5 /- 0^ C - (« -/S / - i)'- P + (;. -f ^ / - 0= £ >-)-(;• — è/ — i)'F-j-ecc. = 0

4°. ^~£ -:■ (« -:- /S v/- O' C -:- (:( - /S /- i)' D -:- ( j/ -;- è/ - i)' £

.+ (7 — ^ v'' — i)^F-j-ecc. = 0 ecc.

+ (? — ^V — 0"~'^ + ecc. = o.

Eee

40 2 Sopra le Serie.

Dunque la fomma ricercata S = S' — i z^Ae" -{-Be-" — i + (C + Z))r- col". /S.V+ (C — DX'^-' \/ — 1- ien. /3x 4- (E 4- F)£->"' cof. ^x 4- (£ — F) i/ — I . e^" fen. èVv -j- ecc. An- che qui fi avverta , che nel cafo di n difpari farà B = o

+

Alla propella ferie S

Cafo IH. }i<r.

X' X' + "

,+

+

i.2.3....(r+ 2/7) i.2.3....(r + 3??) X'-"

i.2.3...,r 1.2. 3... .(/ + »)

-fece, fi aggiungano tanti

termini iniziali

+

T

i.2.3....(^ — «) i.2.3....(r-2«)

-^ — • fino a che

i.2.3....(r— 3») i.;.3..,..(r — A«)

r efponente r — 7\n di x diventa <» , oppure = », e Ci faccia

J" I ' I _ I .

+ ■

+ '

+

I.2.3....(!^— (A— I>/)

X'

r' — \*

* i-2.3..,.(r- 2«) i.2.3....(r-«) i.2.3....(r — A;?)

_1-

+

i.2.3....(r — m)

i.2.3....(r — «) i.2.3....r i.2.3....(}- + «) i.2.3....(r-:- 2»;

+

X

T + 3n

,+

X'

r + 4»

-j- ecc. = J" .. Se ora fi i.2.3....(r-f 3«) i.2.3....(j"-]-4») prende della ferie J"' il dilferenziale n."""° , fi fcorge facilnien-

X' - ""dxi"

te, per elTere / — A?? < » , che rifulta d"S'=- ; — -

^ I.2.3....(i' — /\>i)

I _i L.

■ ^i.2.3....(r-(A-i j;z)^i.2.3....(r — (A-2)«) x' - "dx" X' - "dx" x'dx"

i.2.3....(r— 2») i.2.3....(r — «) i.2.3,...r

x' + ''dx'' x'+"dx" I , L. _— — ~— _i_ ecc.

Sopra le Serie. 403

y.r — K» ^,r — (\ — i^n Jv" /" , 1- - r -4-

~ *^i.2.3....(r-A«)^ i.2.3....(r-(A— 0«)

J "^ h f + — ^—

i,z.5....(r- 2«) i.2.3....(r— 2») ^ i.2.3....r

J_ '- -|- + ecc.) r Sdx". Confiderata

i.2.3....{r + n) i.i.^...(r+ 2/1)

pertanto 1' equaxione lineare differenziale di ordine /2.'^""' d'S' =:S dx" , e noto dalla teoria di tali equazioni , che un fuo integrale particolare farà della forma S' = Aem" ; d' on- de fi raccoglie d"S' = Am''d'"''dx'' = Sdx" = Ae'"''dx'' , e quin- di m"=i . Trovate le » radici d>i!r equazione m" =. i , le quali, fuppofl:o n pari, faranno i , — 1 , fJ-~\-vy — i , ju — V y — I , <p-\~'x\/ — I , <p — oì\f — 1 , ecc. lì avrà l'in- tegrale completo dell' equazione d"S' = S dx" efpreflTo da ^e- -j- Be- "4- Ce'"' + "" V ~'-\- De''" - "* v^ - • -j- Ee^" -^ ■"• r - '

Ae^" + B _j_ ff *- - ." v^ - - ^ ecc. = }- (C 4- Dje'*" cof. ux

4- (C — I» ) / — I . e"" fen. VX 4- (E -f F) e^" cof. a';v

-j- (E — F)y — i-e*" fen. &j.v -f- ecc. Ora ficcome fi ha

J"' = o, ^J"=:o, ddS' = o, ecc = i i rf"~'i"=o

nel cafo di :\; = o; quindi per determinare le coftanti A, B, C , D , E , F , ecc. li prefentano da rilblvere le n feguenti equazioni . i.o ^ ^s_|_ c 4- D + E-j-F 4- ecc.... = 0

2.° A-B + (u + vi/-i)C + (u-i\/-i)D + ((p + <^\/-i)E

-|-(cp — wy— 1) F-\- ecc.... = o S." A + B + (u + u\/ -lyC + (a - v^-iyD + (p + k/ - i)= E

+ (cj) — w y — 1)'- F-}-ecc = o

4.° A-B + (fj.-rv\/-iyc+(iJi~o\^-iyD+(<p+cc^-iyE

+ (<p — co\/—iyF-{-QCC = 0

E e e ij

404 Sopra le Serie. ,

((r - A«) +iy.A±B + (y. + vy/- i)'-'" C + (iJ.~u\/ -iy-^"D

+ (^ + <à\/ -iy-^"E + (<p-:o\/ -i y-^" F + ecc. = i

\

+ (1' + «V -i)"-'E4-(cf)-o;/-i)"-'F-j-ecc.=;o. Il doppio fegno premeilb al B nella ((r — Am)4- i)". ferve co- me nel I." calo, cioè vale il -\- quando (r — A«) è pari ed il — quando (r — 7\j7) è difpari . Qui pure è da avvertirli, che fé « farà difpari, diverrà 5 = 0 a motivo della mancan- za della radice — • 1 nell' equazione w" = i . Dunque

.y,r — MI „r — (\ — I J »

S-4 - J L-

i.2.:^....(r — 7M) i.2.3....('r — (A— l)«)

x"--'" X'-" , Ae"'-\-B

-j— • -j— ■ = S' = —

i.2.3....(r — m) i.i.^....(r— n) e"

4- (C 4- D) e''" col". VX 4- (C — D)e''-''\/ — ■ i . fen . vx

-f- ( E -l-F ) f*" cof. tó.-v4- ( E — F)\/ — i.e*" fen. w.v -j-ecc.

Ae'" + B Confeguentemente la fomma ricercata S =

e"

■ecc ^

^....(r — A«) 1.2. 5. ...(}• — (A— l)n)

^r — 2» r — n

+ (C -]- D) ev-" cof. vx:

i.z.^....Cr— m) i.2.^....(r — n) 4- (C — D)\/ — I . e''" fen. vx -f (E + F) e^" cof. wx ~\-(E — F) y — i.e^" kn.ojx-i-Qcc. II che era ecc.

A R T I C O L O IL

Della fomma dì alarne Serie di Simpfon , ed altre .

II celebre Tommafo Simpfon ne' fuoi EJftjs on feveral cu- rioHs and ufeful Subjefis i'n Speculative and Mix'd Mathema- ticks facendo ufo del Metodo così detto degl' Incrementi ritro- va la fomma di quelle ferie numeriche, i di cui termini han- no per numeratore 1' unità , e per denominatore un prodot-

Sopra le Sekif. 40 5

to d' un' egual moltitudine di numeri naturali confecutivi , il primo de' quali in ciafcun termine e Tempre il fecondo del termine precedente . Ma un metodo piU generale, per confegui- re lifiatte fomme anche nel cafo che i numeratori dei termi- ni delle ferie fieno le poteftà d' un qualche numero dotate d' un efponente eguale all' ultimo fattore del denominatore di ciafcun termine, e che il primo fattore del denominatore di qualunque termine fia fempre non il fecondo, ma il terzo, o il quarto , o il quinto ecc. fattore del denominatore del ter- mine prollimo precedente , un tal metodo, dilli, ci viene fom- miniftrato dalla comune Teoria degl' Integrali replicati , la quale come troppo ovvia e familiare agli Analifli non ha qui bifogno di elTere poda in maggior luce , baftando folo di mo- flrarne 1' applicazione e 1' ufo ne' feguenti Problemi.

PROBLEMA I.

x" + ' v" + *

Sommare la ferie S = \-

nCn+i ) (n-f i ) ( n -j- 2 )

-\ -1 \- ecc. in inf.

(n + 2)(n + 3)^(n4-3)(n4-4)

Soluzione.

Differenziata due volte 1' equazione nell' ipotefi di dx co- flante, nafce ddS =:idx^ {x"-' -{-x''-^x'' + ' -\-x" + '

X"-' ddS x"-'dx

-j_ x" + ' -{- ecc. ) = dx'X • Perlochc — = ,

I — X dx i—x

dS rx" ~~ 'dx

ed integrando nella detta iootefì , — = / ' •^A^ov-

dx J x—x

/x" ~ 'dx ^ -\-Adx , e nuovamente integrando , I — .V

r rx"-'dx rx"-'dx fi ottiene S = j dx 1 ~\-Ax-\-B~x j

J J l — X J \ —X

/x"dx [~Ax-[-B. Il che era ecc. i—x '

Eee iij

40'5 Sopra le Sekie.

Corollario.

Suppongafì n = i, e fi avrà i = •— a.- log. ( ■. — • .v) -f ,r 4-log. (i —- X) -±- Ax -\- B ; e lìccome dee fvanire S allorché

x=zo , nafcerà B=o . Inoltre elTendo — =: — lo-?, fi — .r)

-f- A — x-\~ -1 J_ecc. : e però annullandofi —

2 ' 3 ' 4 ' ' ^ dx

inlìeme con x, fi otterrà Ar=zo. Laonde la ferie — J- iL

1.2 ' 2.3

+ 1 \~ ecc. in inf. == .r — ;i(r log, {i — x) -j- log.

3-4 4-5

I — X II

(i — x)-~x-\-\o^. ■. Se x= I . nafce 1

{i—xf ' 1,2 ' 2.3.

H 1 4-ecc.= i.

Scolio

Si avverta qui attentamente, che nell' ipoted di «=i il

^^ X^ AT^ DC^

valore della ferie -^^ \~- — -{'- j [-ecc. cioè

1.2 2.3 3.4 4.J

^-j-iog. contiene un logaritmo d' un numero ne?a-

( I — a:)" ^

tivo tutte le volte che x è un intero pari , ovvero una fra- zione fpuria , avente un pari per numeratore e un difpari per denominatore . Si avverta però altresì che la ferie è diver- gente allorché .\-> i .

' P R O B L E M A IL '

x' X* x^ x*" Sommare la ferie S = 1- -f- -^^ -] f ecc.

. . i-2-i 2-3-4 3-4-5 4-?-ó

m inf.

Sopra le Serie. 407

Soluzione. Si differenzi 1' equazione, e fi otterrà

dS = dx( — + -- H h h ecc. ) ; fi torni a differen-

^ 1.2 2.3 3.4 4.S ^

X^ X' x^

x-\- — -j- ~ -h ~ + e'^c. ) . Si

differenzi la terza volta, e rilulterà d^S = dx' (i + x +x' + x'

I d^S dx ^ecc.)=.dx'X ; e quindi 7-;= • L' inte

X dx'' 1 — X

graie

d'S di quefia equazione fomminin:ra - — =:- log. (i-x) lenza coltan-

dx'

te, perchè, porto x = o, fparifce l'uno e l'altro membro del- la ceduazione. MoIiJj->I:cando poi quefia per dx , ficchè venga

d'S

■ — =~-^.vlog. (i — .v) , ed integrando di nuovo , fi ottie-

dx

ds r ^^^^

ne ■•-= — A' log. (i — ^)-|- / = — .vlog. (1 — x)

dx J \—x

/^ d,x + / (^dx '—^^z — x\o^.{x—x)^-x-ir\o%.{\-x) ,

fcnza cofiante per la ragione precedente , Sicché moli-iplic?.n- do per dx nafcerìi dS := xdx + dx log. ( i - x) - xdx log. ( i -x) ,

e prefo nuovamente 1' integrale , fi trova i" = - x'

♦ I

4- X log. (i — ;v-) — X — log. (i — x) x" log. (i — x)

f - X'dx I , , , ^

4-1 — =-A-'4-.\-log. (i — x) — :s:--log. (i — .v)

J I — X 2

— - ;c" log. (i — x) + / e - "dx + - dx — '^ "^ ) = ^' x^ 2 ^ ^ ' J ^ 2 2 l'X^ 4

.V I02. ( I — .v)4-xlog.(i —x) ;i<rMcg. (1 —x)^

11'" 2

fenza cofiante per la detta ragione . Il che era ecc.

4^8 Sopra le Serie.

Corollario.

Supporto x=i , fi ha la fomma della ferie — (- -—

1.2,3 ^^l^A

H 1 H \~ ecc. = .

3-4-5 4-5-6 5-<5.7 1-2.2

PROBLEMA III.

^k" "v 'y

Sommare la ferie S = (- 1

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4-5-6

'-}- — — +ecc.

Soluzione.

^^ oc"^ x^

Il primo differenziale dà dS=.dx( j ]

V 1.2.3 2.3.4 3.4.5

-]- )-ecc. ) , cioè Ja; moltiplicato nella ferie del Pro-

4.5.6 /

lema precedente; ficchè dS = dx(-x' j:— -log. (i— ;»:)

^•4 2 2

-]~xlog.(i — x)^ x'iog. (i — x}), ed integrando provie-

ne St=z-x' — -x' 5clog.(i— ^)4- / —- \- -x'v

4 4 2 ° ^ ' y I — -r ' 2 ^^

log.(i— ;c)-|- /-!^ x'lo2.(i—x)-4- I —-

y I — 'X 2.3 y I — ;«

1 , I I II

:= -^' X' Arlog. (i — ftr)4--;v-|--Iog. (i — x)

4 4 2 ° ^ '^"2 '2 °

* III

-|- - .vMog.( I — ;v) Ar= ;>c log.( I —x)

2 422

Sopra l a StaiE. , 409

I ,1,1 1,1

x' log. Ci — x)-\ x' -\ x'-A x~\~ —

2.5 ° 2.3.3 ^---S 2-3 2-3

log. ( I — a;) = ( - H ).?c^ x'-j- - x-Jr^ log. ( i — ^ ;

^4 2.3.3 ^- ^ 6

Il I

• X log. ( I x)-\ X' log. ( I X) A,-' log. (l X ) . Il

2 z 6

che ecc.

Corollario.

Pofta Arm, fi ha J-^r — ?^ f- *

1.2.3.4 2.3.4.5- 3-4-5-^

+ — ^- + ecc.=:=^ + -i L^l==^tl±lJZlA±_'

4-5-6-7 4 i-3-3 12 6 2.2.3.3 9 4-2 + 6— ij I f

2.2.3.3 "" 1^2.3.3.*

'^^ P R O B L E M A ly.

x' X* x'

Sommare la fcris S = j- -{- -

x«

1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3-4-5-6-7

A „4-ecc. in inf.

4-5-6.7-8

Soluzione.

li differenziale dell' equazione fomminiftra

dS=idx( j 1 '- 1 l-ecc. ), che

^ 1.2.3.4 2-3-4-5 3-4-5-6 4-5-6-7

pel Probi, prec. è z^dx( — x^ —x^-\--x-\-' log- Ci --'<')

^ ^ ^36 12 ^6'6°^'

1 , ,1 I >.

.V log. (I — .v) ~\-- X- log. (i — x) x^ log. ( I ^))'

2 2 6

1 1 5 I

Dunque integrando farà J"= — x^ ■ x^ 4 x"- ,•

36.4 12.3 ^ 6.Z .

Tomo IL Fff

4IO I

6

Sopra le Serie,

x^dx

t ri: xdx i r- x^dx

+ .xlog.(,_.)+/^^--xMcg.(.-.)-/^— ^

t r^~ x^ dx I

+ -x'iog. (I— ;v)4- /-^ a-Mog.(i— x)

^ I — X 4.36 3.12 2.6 6

— - :v= log. (i — a:) -f - ^' log. fi — x) xMog. (i — ;vj

4 6 24

+ l(^Ldx+- — )-4-/ (-^^^^+-^^— --)

J ^ 6 ' I— :v^ ^ ^4 4 i-x'

/-• I I 1-6 dx .

+ / f x'dx — -xdx — -dx-\- )

J ^ 6 6 6 ' i-x^

I

J 1 l ~— rfX V

x^dx A- — ^^'^^ H — ^<^>: + — ^^ — * y =

' 24 24 24 .1— ^..

3.12 I

4.365 .^, i_

2.6

I

2.4

4.24J

4.24.

I

6

+ ìtJ

2.6 :

f!

I <

+ (

2.24-

.^^

+

4 ^

I "5 ^

+

+

^4; I .

log.(

I X) . \ ' "

24J

I . I

25

4-(-x — -a;'-4-^A'' — -xOlog.(i--A;)=: — — x-» a ^V6 46 24 '^ 2.4.6.6

Sopra le Su rie. 411

12 7 I X 1 I "

i- x'-A- X' x4-( 4- -X X'

2.6.6 2.4.6 4.6 ^ 24 ' 6 4

-j — x' x^^ log. (i — x). II che era ecc.

6 24

C0ROLLAR.IO.

I I

Pigliando x=i ne viene la fomma ^ -I '

^ 1-2. 3.4-5 2-3-4-5-6

+ — i_ . ' I ecc. = -^ -^ + -^

3.4.5.6.7 ' 4.5.6.7.8 2.4.6.6 2.6.6 2.4.6

I I

4.6 1.2.3.4.4'

PROBLEMA V.

Sommare la ferie S= 1

1.2.3.4.5.6 2.3.4.5.6.7

x^

H r, -\- ecc.

^ 3.4.5.ó.7.b^

Soluzione.

Dal differenziale dell' equazione fé ne ha queft' altra

dS = dx( '- 1 '- U \- ecc. ) , cioè pel

^ 1.2.3.4.5 ' 2.3.4.5.6 ' 3.4-5-6-7

Probi, prec. dS = dx( — — .v* — ;c'4-— — ^'

^ 2.4.6.6 2.6.6 ' 2.4.6

x)->rdx( {--x x^ + -x' xO log. (i-x).

4-0 ^ 24 6 4 6 24

5 13

Dunque integrando fi ha i" = .v^ x*

2.j^.6.6 z.^.6.6

7 I ,-x i I , I _^

+ — — x' x'-\-(— -\ X' — —x'A- — X*

2.3.4.6 2.4.6 ^24 2.6 3.4 4-6

Fff ìj

411 Sopra le Serie.

x^ ) log. (i — ,v)

5.24

I I I I I

X -\ x^ — — x^ -\- — a;* —

-}- / f/A:(- ;. E poi-

che 1' integrale di queft' ultimo termine è r= — x ^ ^ 24

+ — log. (i —a:) -x^ X log. (I — X)

24 4.6 2.6 2.0

-i AT'H X'4 X-\ log. (l— X) X*

3.3.4 2.3.4 3.4 3-4 4-4-6

j I I I 1

• x^ — ■ x'- X — — log. (i — •'^)-l- ^'

3.4.6 2.4.6 4.6 4.6 5-5-^4

4^ .V'* H x' 4- .r'- 4- — x + Ics. (i-x),

4.5.24 3.5.24 2.5.24 5-24 5-24

fé quefto 11 aggiugue agli altri , rifulta

. 7 7 ^_; i3_? ^ 2.3.4.6<5

j_. 5 ? 2.4.6.6S _j_

I

2.4.6.6^ , I / ■ 3-3-4

;^t _ ^ X*

^4.5.5.65 . i_? 3-4-6 5 .

- . . -, ~ 3-4-5-6S .. ^.r\,

1 T i_7

^~ 4.6 ^ .. _ 4.Ó S '-'■■> .o-j-in .'

4.6 5 1^5 '^ 2.6 S ' '

H — ^ — Ix' -\ — —Zx + -^?iog.(i— ^;

^•3-4 S " 3-4 S 3-4 S

17 17 I ?

2.4.6 I

2.4.6 S 4-'5 S 4-*^

I ^

2.4.5.6!

4- -^l -1-—? +-^? 2.4.5.63 4.5-6-> 4-5-6^

Sopra Liz Serie. 4U

^^ 4.6^2.6 3-4 4-6 4-5-6'

~~ z.4.5. 5. 6.6 3.4-4-5-^ 2-3-3-40--6 2.4.5.6

^4.5.6 ^^ 4-6 i-6 3-4 4-6

II che era ecc.

Corollario.

Aflumendo , come dianzi , x=z i , nafce la fomma della I III

1.2.3.4.5-6 "^2.3-ì-5-6.7 3-4-5-6.7-S 4-5-6-7-8-9

^ __i37 __ 77 , .lii_ ?__j l_

2.4.5.5.6.'6 3.4-4-5-6 2.3.3.4.5-6 2-4-5-6 4-5-6 I

~~ I-2-3-4-5-5'

Ecco pertanto il feguente

Fi-ofpetto delle Serie dì Simpfon.

Serie Somme

1.1,1

1 1 +ecc.

I

1.2 ■ 2.3 • 3-4 ' ■ '-^

I . I . I *

. _j j \- ecc.

1.2.3. ■ 2.3-4 ■ 3-4-5 ^-^-^

1,1.1

I

— I 1- ecc = —

1.2.3.4 2.3.4.5 3-4-5-6 1.2.3.3

1.2.3.4.5^2.3.4.5.6^ 3.4.5.6.7^ 1.2.3.4.4

1,1,1 _!

-J -\- -ir ecc. =

1.2.3.4.5.6 ^2.3.4.5.6.7 ^3.4.5-6-7-5 1-2-3-4-5-5

I I I '

j. i- -:-ecc. =- — ■ --

1.2.3.4.5.6.7 2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9 1.2.3.4.5.6.6

Fff iij

414 Sopra le Serie.

Sene Somme

1.2.3.4.5.6.7.S ~ 2.3.4.5.6.7.8.9 -] ; -|-ecc.

3.4.5.6.7.55.9.10 1.2.3.4.5.6.7.7

ecc. ecc. ecc.

Dal che lì vede , che la fomma di ciafcuna di quefte ferie non è ahro che il primo termine , dove in luogo dell' ulti- mo fattore del denominatore lì ripete il penultimo.

E' cofa per altro affai rimarchevole , e che a primo afpet- to fembra impoffibile , che quefte ferie Simpfoniane poffo- no fommarli con una femplice fottrazione aritmetica della fe- rie propofta da fé medelìma mutilata del fuo primo termine . Un tal modo di operare può vederli ne' Teoremi feguenti .

Teoremi fulle ferie di Simpfon .

Dalla ferie i -| [ 1 1 1 j [-ecc. = y

2 3 ' 4 5 6 7

1 . I I I I I I

togli S — 1= — I r--| ! 1 h""^ ^^'-' ' ^^ avrai

2 3 4 5 6 7 S

T E O R E M A I.

1.1^2.3^3.4^4.5^5.6^0.7^7.8^

ecc.

Dalla ferie J" = — -(- i_ i_ -— i_ 1_ _1_ .— _L- ecc. = r 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6

togli S~- =:l__}--i J^l p 1^ .^- 1_ 4- ecc. = — ,

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 Li-

ed avrai dividendo per 2 ,

^ : ' 1. L_ ' _

TEOREMA IL ^' ' '^'l^ -

1,1,1,1 I I I

1.2.3 ^•3-4 3-4-5 4-5-'5 5.6.7 6.7.S 7.8. 9 1.2.2

Sopra le Serie. 415

I I I I I

Dalla ferie S= \- 1 h f-ecc.= — — ■

1.2.3 ^•3-4 3-4-5 4-5-6 ^-'-^

i III III

toeli S = + f- + ecc. = - — - = ,

1.2.3 2.3.4 3-4-5 4-5-6 4 6 2.2.3

ed hai dividendo per 3

TEOREMA III.

-]- — -\~ -j 4- -:■ ecc. =

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4-5-6 4-5-6-7 5-6-7-S ^-^--S-i

III I

Dalia ferie J'= 4 4- f-ecc =

1.2.3.4 2.3.4.5 3-4-5-6 I-2.3-3

,. „ i I t 1 I

tosh J =: h 4- — — ■ + ecc. = ,

1.2.3.4 2.3.4.5 3-4-5-6 4-5-Ó.7 1.2. 3. 3-4

ed hai dividendo per 4

TEOREMA IV.

/

III I

-] 4- — 4- — ' 4- ecc. :

1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3-4-5.-6-7 4-5-<5-7-8 1.2.3.4.4

i- ',■■<.•'

Dalla ferie J = ! 4- 1- «

1.2.3.4.5 2-3-4-5-6 3-4-5-6-7 4-5-6.7-^

-j-ecc. =

1.2.3.4.4

I II I

togh S' = ]- — +

I-2-3-4-5 2.3.4.5.6 3-4-5-6-7 4-5-6-7-S

-1 1- ecc. =

' . /: ^ e ^ i

I

5.6.7.8.9 1.2.3.4.4.5

ed hai dividendo per 5

. TEOREMA V.

-] ; — \- — - +ecc.

5

1.2.3.4.5.6 2.3.4.5.6.7 3. 4.5.6.7. S 1.2.3.4.5.5

4i6 Sopra le Serie. Dalla ferie S = j — . J-

1.2.3.4.5.6 2.3.4.5.6.7 3.4.5.6.7.8 1

4.5.6.7.8.9 1.2.3.4.5.5 togli S —- = ^ \ +

1.2.3.4.5.6 2.3.4.5.6.7 3.4.5.6.7.8 '4.5.6.7.8.9

>-|-ecc.=

5.6.7.8.9.10 1.2.3.4.5.5.6

ed hai dividendo per 6

TEOREMA VI.

3

, + rvTTTT-o + -r: T-T- 4-

1.2.3.4.5.6.7 2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9 4.5.6.7.S.9.10

-\- ecc.=

1 0....,..: f.^..:.; |..j_.r.'

1.2.3.4.5.6.6

Dalla ferie S=z -\ ^ -f

1.2.3.4.5.6.7 2.3.4.5.6.7.8 3.4.5.6.7.8.9 I

-j-ecc. = — "'

1.2.3.4.5.6.5

togli S = f-

1.2.3.4.5.6.7 2. 3.4.5.6. 7.8 3.4.5.6.7.8.9

I I

4- (- ecc. =-

4.5.6.7.8.9.10 1.2.3.4.5.6.6.7

ed hai dividendo per 7

' - ~ • 1 i:lac. TEOREMA VII. ■•-■^ ^

+ .— . -.-0- + . . ,.,c-.„+g^g^

1.2.3.4.5.6.7.8 2.3.4.5.6.7.8.9 3.4.5.6.7.8.9.10

I

1.2.3.4.5.6.7.7

ecc. ecc. ecc.

PROBLEMA

SOPKA LE SfiKIE. 417

PROBLEMA VI.

Sommare la ferie S = 1 i ! -— + ecc.

1.2.3 3-4-5 5-6.7 7-8.9

Soluzione.

Il primo differenziale dell' equazione fomminiftra

1 1 1 l-ecc. ); il fecondo dà

1.2^3.4" 5.6^7.8~ ^

(^^ \^3 *\/iS M' --j -} 1 l-ecc); il terzo nrefenta 13 5 7

^'i' = <;;f'(i+.v'4-x'»+.-v*-l-ecc. )= . Ond' è

' i — X-

d'S dx idx ^ Idx .^ . ^. .

= = h . Uuindi integrando naice

dx' I — x' I + X I — ,v

,— =;- log. (i -[- x) log. (i — x) , fenza colante perchè

aX' 2 2

fvanifce con a; 1' uno e 1' altro membro dell' equazione . Mol-

j j n

tiplico ora per dx , ed ho -r— =z- dx\oo:.(i -i-x)

dx 2 ' '

dx[og.(i — x) , il di cui integrale è — = -xIog.(i+J<r)

2 dx 2

/7 xdx I , N r- xdx I ,

___ __.v,og.(i_x)-y ^^^=-xiog.(x+^)

.V -}- - log. (i -{- x) X log. (i - .r) ■;--;<• + - log. (i — x)

= (^ - x~] — ) log. (i-j--^) — ( ~ X ) log. ( I — x) , fenza

coftante come dianzi . Moltiplico di nuo\-o per dx , ed ot- tengo Sz=(^- dx->r - xdx ) log. (i + .v) -{- ( - dx — - xdx )

log. (i-x) ; e quindi integrando ritrovo S=.(-x-] — -"vOx

^2 4 '

Jo/170 IL . Ggg

4iS &"opra le Serie.

log.(H-^-)4-(-x Ar')log.(i-x)- / ^ ^ -

, /" '- xdx — 7 ;v Vx ,1 I . .

_j_ / _.v _ ;v= ) log. (i — X) .v-|- i log. (I 4-;>f) — ^;tf'

^ i^_ -Iog.(i -f ,v)_i ;^_Ì log.(i — ;v) + -X^ 4 4 22 0

^-^^_}_- log. (i _^') = (__[- i x+ - ;cO log. (I 4- .V) 4 4 424'

— (' xA — :v') log. ( I — x) X. Il che era ecc.

^424^° 2

Corollario.

Pongafi Ar= I , e farà la fomma della ferie

1.2.3 3-4-5

A 1 ! — \- ecc. = log. 2 ,

PROBLEMA VII.

Sommare la ferie S=- -1 f-

1.2.3.4 3-4-5-6 5-6.7-

H — ^ — - + ^<^<^- ' 7.8.9,10 '

Soluzione.

Il differenziale dell' equazione fomminiftra quefl;' altra

dSr=idx( A h —,. h'^CC. ) , cioè pel

^1.2.3^3.4.5^5.6.7^7.8.9^ ^'

Frobl. prec. dS ■= dx (- ■^- - x -\- - x'^ log. ( i -j- x )

42 4

— ^a; ( .V -}- - •'f' ) log. (i — .V ) xdx . Perlochè inte-

Sopra le Serie. 4^9

grando nafce S = (-x-\--x' -\- ^x') log. ( i 4" '■^" )

J i+x ^4 4 12

log. (i—x) —J

- xdx — ', x''dx 4- ~ x^dx I

I — X

== e _ ;V _|_ _ ;V^ _j_ _ .V' ) log. {l-{-X)—(-X — -X'+—X')

^4 4 ii-^ ^4 4 '2

II 1,1

log. (i — ,v) A;-j--]og. (i 4--^) — ■ -x^- -\--x

4 4 b 4

— - lo2. (i -X- x) -~^- x'-\-~x' — —xA log. (i -^-x)

4 " ' 36 24 12 12

J^ -x-\-l log. (i _ .y) — - A-^ — - a: — log. ( I — .-v ) 44 b 4 4

-] A-'+ Ì-;v^_|_-i.v^---l0g. (l— X) X'

36 24 12 12 4

•4- - X' — — .r^ ) log. (i—x) — — x^ Il che era ecc. 4 12 '^ 12

Corollario.

.1

Da ciò apparifce che la fomma della ferie

1.2.

A \~ -4 V- ecc. = - log. 2 .

^3.4.5.6^5.6.7.8^7.8.9.10^ 3 ° 12

I precedenti Problemi fono più che baftanti per dare un' adequata idea della maniera , che dee tenerli per determina- re la fomma delle ferie analoghe alle premefTe, qualunque ila nel denominatore d'un dato termine quel fattore, che pren- deil per primo nel terniine fuffeguente .

Ggg ij

420 Sopra le Serie.

ARTICOLO III.

Delle ferie infinite delle poten-ze intefe de' numeri naturali co [egni alternanti.

E' proprietà caratteriftica di tutte le ferie infinite diver- genti , i di cui termini vanno vie maggiormente aumentan- doli di valore quanto piìi li fcoftano dal primo , di non am- mettere fomma propriamente detta , non potendo aflegnarli veruna quantità, a cui la ferie divergente propofta lia pre- cifamente eguale , o a cui il valor della ferie tanto più 11 avvicini , e ciò oltre ogni data differenza , quanto più ter- mini Il prendono della ferie . Ma in quella vece fi 'ricorre in quelli cali alla jmima impropria della ferie, vale a dire a quella quantità o funzione , qualunque ella ila , la quale , comunque ineguale al valore della data ferie, genera però e produce col fuo fvolgimento mediante i confueti artifizi ana- litici la ferie medefima . Ad una tal clafle di ferie il riferi- fcono quelle , che vengono formate dalle potenze intere de' numeri naturali , prefe co' fegni alternativi , e generalmente rapprefentate da

1" — 2''-l-3'' — 4"-f- 5" — 6" -4- 7" — S'-J-p" — ecc. in inf. , eflendo n un numero intero allèrmarivo qualunque . L' Eule- ro nel fuo Calcolo Dijferenx.iale con un metodo ingegnofo, ma oltremodo lungo e laboriofo, determina la quantità o fra-' x.ione generatrice di fifFatte ferie , e giugne a confeguire le forinole feguenti :

I

I- I — 2-J-3— 4-1-5 — 6-j-ecc =-

4

II. I' — -' + 3' — 4' 4- 5' — 6'-j- ecc =0

III. i'_2H-3' — 4' + 5' — 6'4-ecc. ^—"^

IV. l4_24_[_^4___^4j^54_64^eCC =0

\6

V. i^_2^-4-3^ — 4^4-5^ — ó'-j-ecc '" ^^T

VI. i<^ — 2«4-3<= — 4*-}-5' — ó'=-|-ecc =0

Sopra le Sekie. 421

VII. i'_2'_}_3'_4'4-5' — 6'4-ecc = — ~

' ' 256

Vili. i« — 2« + 3« — 4'+5* — 6* + ecc = 0

7026

IX. I' — 2*4-3' — 4' + 5' — 6' + ecc = 1^^

' ' ' ■' ' 1024

ecc. ecc. ecc. Ma quefto gran Geometra dopo aver ritrovata l' efprefllone generale della fomma d' un numero qualunque x di termini della ferie propofta , ed aver offervato , che del doppio fe- gno j^ , di cui trovali affetta la detta efpreffione , dee vale- re il primo ne' caiì di x difpari , il fecondo in quelli di x pari, volendo poi farne V applicazione al cafo di x infinito difcorre cosi: §luod fi ergo ( Infl:. Cale. Dift". p. 500) x fue- rit numerus infinitns , quoniam is eft mque par ncque impar , h£c confideratio cejjare debet , ac proinde in fumma termini am- bigui funt rejiciendi : unde fequitur , hujufmodi ferierum in infinitum continuatarum fummam exprimi per folam quantita- tem conflantem adjiciendam . Non pare che un tale ragiona- mento lìa per contentare la corrente de' Geometri , e a più d' uno certamente fembrerà fofpetto e precipitofo . Ecco per- tanto due dilièrenti fempliciffime dimoftrazioni delle formole predette .

Bimofiraz.ione I. delle Formole Euleriane.

Effendo i — x ^4- x- >— x^ -l- ecc. ■= , fi ha differen-

ziando , e dividendo per ^.v , — i -f- 2.v — ^x^-\~4x'

— ^x'*-\- ccc.=:: , e moltiplicando per— .x,

(14-^)'

I ." X — 2.V'- -4- zx' — 4.V* -4- ecc. = '- •(A) .

Si differenzi parimenti queft' ultima equazione , e fi divida per .V ; e nafcerà i — z\v -4- ^'-v' — 4'A:' -f" 5'-'^'* — ^^^' 1 IX I — X

(i^xy (i+xy (i+x)

; e moltiplicando per x Ggg iij

4-2 Sopra leSer

I E.

2." x-2\x' 4- s'x' - 4\x' + ^\x' - 6\x' + ecc. = '-^ . (B) .

òi prenda nuovamente il differenziai di queft' ultima equazio- ne, e dividendo per dx lì lia i — 2^x-|- 3^^:^ — 4^^' 4- 5^^* ,, f , l — IX ^x(i~x) l—J^X-\-XX

— 6Kx' -4- ecc. = ^-^ -' = ^^-^^ — • on-

(i+xy (i+xy ( i+xy

de moltiplicando per x , nafce

x(i — 4a.-4-:va;) ■ 3.° X— 2^x^4-3'^'— 4^A^* 4- ecc. = -^ — ■ -.(C)

Differenzio ora quefta equazione , e divido per dx , ed ot-

I — 4^'' 4- XX — ±x 4- 2XX tengo I — 2''.v4- 3'*x^ — 4'*;v*4-ecc. = ■

4.V (i~j^x-i-xx) (i - Sx -;- ^xx)(i -i- x) - 4X (i - 4^; -!- xx)

(i+xy ~ (14-^)'

I l l x -i- 1 l x' ■— X' , . , •

= • — : e moltiplicando per x,

Xil-llXi-l IX^-X^)

4° x-2'>x'-i-^\x'-4\x*A-^\x'-6'x--:.-icc.- -.(D)

( I -^xy

Prendo all' ifreffo modo il differenziale di queft' ultima equa- zione, e divido per dx , dal che ricavo

I - 1 1 .V -;■ 1 1 X- - x' - iix i- 2 2.r' - ^x' 1-2 '.V -i- 3 ^x^ - A.Kx^ -:-ecc. = —

{i+xy

5,v ( I — I Kr -}- I I x'' — x^ )

{i+xy _ ( I -22.V 4- s^x' — 4x' ) ( i +x) — 'jx 4- 5 5'^' + ? 5^' + J^"'

i — 26x-Jr66x'—i6x'+x' .

■=. . Quindi moltiplicando per.v,

(14-^/ ^

ii trae

5.°.v — 2^v'-|-3^v= — \'x'' -\- 5^.v' — 6'.v^-(-eccc.

.r e I — 26A' 4- 6Ó.V' — 2 6x^ -f .v* ) j-,

_(i+.vr Profieguo a diflèrenziare l'equazione ora ottenuta , e divido per dx , I — 2^x-\' ^J'x'' — 4*;c' -j- 5*.v'* -- ecc.

Sopra le Serie. 413

I _ 26A: 4- eòx"^ — 26:c' 4- ^* — 26y + i32A:' — ySx' -i- 4^^

6x( I — 26x-\-66x' — 26x^ -[-•^*

(14-x)' "^

(i-^ix-Jri9Sx'-io^x^+^x*Xi-'.x)-6x(i-i6x<-66x'-i6x^ i- x* )

~ ' (i+xy

1 — -^JX-^- 702X^ — ^OIX' + ^JX* — X' _ , , . ,.

= ,, . Laonde moltipli-

{i+xy ^

cando per x, fi trova

6° X — 2^x'-{-fx^ — 4*;>c* -|- ecc.

.v'i — 57x4- 302;!^' — 302X' 4- ^JX* — x^)

= (i-\-_xy] ^ ^

Cosi profeguendo fempre lì arriva a ritrovare quante altre fi vogliono equazioni analoghe alle precedenti. Se pertanto nel- le equazioni ritrovate (A), (B) , (Cj , (D) , (E), (F) , ecc. Ci foftituifce r unità in vece di x, elle li trasfonnano nelle fc- guenti -

I. I — 2-1-3— 4 + 5 — 6H-ecc =-

4

II. I' — 2^ + 3^ — 4'+5^ — 6^ + ecc = 0

III. i^ — 2' + 3' — 4' 4- 5^ — 6' 4-ecc =:_^

1 6

IV. I* — 2^ + 3^ — 4^ -|- 5^ — 6^ + ecc = 0

V. 1^ — 2^ + 3^ — 4^4-5^ — 6-' -}-ecc = -

VI. i« _ i'' + 3^ — 4* + 5* — 6' +ecc = o

VII. I'— 2' + 3' — 4' + 5^ — 6' -fece =— ~

VIII i«_2«-j-3* — 4«-|-5« — 6«-f ecc =0

IX. 1 ' — 2' -f 3 ' >— 4' 4- 5 ' — 6" 4- ecc = ^^^

1024

ecc. ecc. ecc. PafTo ora a dimollrar quello fleiTo in una maniera forfè più foddisfacente col mezzo delle ferie infinite de' feni e cofeni degli angoli crefcenti in progredìone aritmetica , e a tal og- getto premetto i due Lemmi feguenti ,

4^4 Sopra le Serie.

LEMMA I.

Effèndo X un arco qualunque di cerchio defcritto col raggio

i, fi ha cof. X 4- cof. 2X4- cof. 3x4- cof. 4X 4- ecc. in inf. =

2

- Dimostrazione.

Pongafi J'^r cof. AT-f-cof. 2Ar-l-cof. 3,v-[-cof. 4A;-|-ecc. , e fi moltiplichi per cof. a-, lìcchè rifulti J" cof. x = cof. x' -|- cof X cof IX -f- cof X cof jAT -j- cof .V cof ^x -\- ccc. . Ma fi fa dalla Trigonometria , che il prodotto de' cofeni di due an- goli è uguale alla metà del cofeno della fomma di detti an- goli più la metà del cofeno della lor differenza . Dunque ri- folvendo ciafcun prodotto della predetta equazione ne' fuoi

due termini equivalenti , nafce J'cof «•= - (cof. 2;v-}- i )

4- - ( cof. z^-\- cof .v ) -j — ( cof. 4X -}- cof ^x)-]- ecc. = - 2 1 2

4- - cof. X 4- cof 2x 4- cof 2X V cof. 4x i- ecc. = • - cof x + S.

2 22

Perlochè farà S (i —coC x) = -cof.X' , cioè S=: .

22 2

Il che era ecc.

LEMMA II.

La ferie infinita S=:fen. x-[-fen. 2X-}~fen- 3x + f-'i- 4X

ievì. x -f-fen. 5x-f-ecc. in inf. e uguale all' efprejfione

2(1 — cof. x) Dimostrazione.

Si moltiplichi per cof x la ferie propofta, e fi avrà S cof X = fcn. .V cof. X -|- fen. ix cof. x ~\- fen. ^x cof x '-}-fen.4A;cof AT-i-fen. 5.rcof AT-f-ecc. . Ora dati due angoli

Sopra le Serie. 425

4) , 0 , per la teoria delle funzioni angolari Ci fa , erferc

fen. (f) cof. 0 = - fen. (<I) + ^) 4" " fen. ((|> — 6); quindi fp ezzando z 2

ciafcun termine della predetta equazione in due , rifulterà

Sco{.x = -(kn. 2X ■{- o) -4- - (fen. sx-ì-- fen. :>^)-}-- (fen, ^x 2 222

-}- fen. 2X )-{--( fen. ^x ~\- fen. ^x) -{- ecc. = - fen. x -\- fen. zx -}- fen. ^x -f- fen. 4^ -j" ^'^"' 5'*^ "4" ^<^c. = 5" fen. ;v . Laon de

trafponendo farà S — J" cof. ;v = - fen. a: , e confeguentemente

2

fen.jc

o = -^ ^ — - . 11 che era ecc.

2(1— cof. X)

Ciò premelfo , il dimoftrano fpeditamente i fopraccennati

Teoremi nel 'modo che fegue .

DìmoJiraz.ione II. delle formole Euleriane .

N." I.

Si difFerenzj la ferie del Lemma II. , e fi divida per — dx ; <la ciò rifulta • — cof. x — 2 cof. 2.?<: — 3 cof. jx — 4cof. 4X

— 5 cof. ^x — 6 cof. 6x — ecc. in inf= r- ^

•^ 2(1— cof. x)

= — -, — ^ (M) . Sicché prendendo per x la femicircon-

fetenza, &rà cof. .v = — i , cof. ax=: i , cof. ^x = — i , cof 4X=: I , cof. 5X = — 1 , Qcc. ; e confeguentemente la fe- rie ritrovata fi converte nella i.'*

» — 2-|-3 — 4+5 — 6-j- ecc = -

Tomo IL Hhh

42 <5 Sopra le Serie.

N.» IL

Si difFerenz-j due volte la ferie del Lemma I., e fi divida, il rifultato per dx'' ; e li ricaverà — cof. .v — z^cof. i.v

— 3' cof. jx— 4'^cof. 4.V — 5^cof. 5X— 6' cof. 6,x — ecc. = 0 (N). Dunque prendendo per 1' arco x la femicirconferenza ne de- riva r equazione II.''

i = -2^4-3^ — 4^+5^ — 6^ + ecc = 0

' ' " ^ ■ ■ -:'■ N'. Ili

Sì prenda dell' equazione ( M ) 'n°. I. il fecondo differen- ziale, e quefto fi divida per — ^x''. Ciò fatto nafcerà l'equa- zione - — cof. X — 2 ' cof IX — 3 ' cof 3.V — 4' cof .\x

—^ [ 2 cof ~ x^

— 5' cof 5X — ecc. = — T^^iO); la

8 fen. v;v*

quale nel fuppofto di x eguale alla femicirconferenz,a fi can- gia nel Teorema III.

I' — 2' + 3'— 4'-i-5' — 6' + ecc =— ^

,:- ..' ., N". IV. :■ .'.

Allo fteffo modo , fi pigli la feconda differenza dell' equa- zione (N) n°. II; e fi divida per — dx' ; il che fornminiftra r equazione — cof x — 2* cof 2X — 3* cof ^x — 4* cof ^x

— 5''cof 5X — 6*cof 6x — ecc = o(P) , e

quella, nella fuppofizione di ,v=i8o', diventa la formola IV, I * — 2* + 3'' — 4"* -f- 5'' — ó'* -j- ecc :== o

N.' V.

Differenziata due volte 1' equazione (0) del n.° Uh e di- vifa per — ^.v' , i\ giugne al rifultato

— QoLx — 2 ' cof zx — 3 ^ cof ^x — 4^ cof a^x — 5 ^ cof 5.V .

Sopra le Serie. 427

2 fen. 1 x^- -:- 1 3 cof. - at' -;- 2 cof. ' :><:♦ -6^cof.6^^ecc = - ^-j— T^,

(^) ; e fé in quefta fi afTume al folito x uguale alla femipe- riferia , ci li prefenta la forinola V.

1^ — 2^ + 3' — 4^4-5' — 6^ + ecc =-

N.' VI

Prendendo la differenza feconda dell' equazione ( P ) del n.IV.,c dividendola per — dx^- , fé ne ricava V equazione

— cof. ;!c— 2* cof 2A,' — 3* cof sx — 4' cof 4;>c — 5' cof 5^:

— ó'^cof 6x — ecc = o(R). Queffa poi mediante

la foflituzione della femicirconferenza in luogo di x lì trasfor- ma nella forinola VI.

i« — 2*-|-3* — 4*4-5^ — 6*4- ecc. e =0

Con tal procedere rertano prontamente dimoftrati tutti i Teoremi Euleriani intorno alle ferie delle potenze afTermati- ve intere de' numeri naturali co' fegni alterni , potendo gene- ralmente ftabilirlì, che le ferie delle potenze pari hanno per giianiità generatrice lo zero , e le ferie delle potenze difpari hanno per grandezza generatrice un numero dato .

Non mi tratterrò qui a far vedere , come con quefto fteffo metodo altri Teoremi analogi agli Euleriani poflbno dimoftrarlì intorno alle ferie delle potenze de' numeri difpari co' fegni alterni 1" — 3"+ 5" — 7"-{-9" — ii"4-ecc. , nelle quali all' oppofto di quelle de' numeri naturali generalmente li trove- rà che le impari fono generate dal z.ero , le pari da un nume- ro determinato.

ARTICOLO IV.

Della Somma delle Serie de" feni e cofeni degli angoli proce- denti in progrejfione aritmetica , e delle loro potejìa intere qualunque .

Le elegantiflime ferie de' feni e cofeni degli angoli crefcen- ti in progreflìone aritmetica , come pure delle poteftà intere

H h h ij

4z8 Sopra le Serie.

omologhe dì que' fé ai e cofeni fono fiate con motto fìudlo» efiniinate ed illuflrate da' celebri Geometri Etdsro , Dan. Ber- noiilli , La Grange^ D' Alembert, Bojfia , Lexell, Lorena, ed altri parecchi ; e ha. i differenti metodi meffi in opera per de- terminarne la loro fomma , ricavati in buona parte dalla teo- ria delle ferie ricorrenti , iì diftingue fopra tutti per la fa- cilità e fpeditezza quello del Sig. Ab. Bojfut pubblicato nelle Memorie dell' Accad. delle Scienze dì Parigi , per 1' anno 1769 , il quale può a giufto titolo chiamarli un capo d'opera di femplicità e d'eleganza. Ma quefto illuftre Geometra non conlìdera la progreffione aritmetica degli angoli fotto la forma più generale , né tampoco ( ciò che più importa ) applica il fuo pregevoliflìmo metodo al cafo più univerfale delle poten- ze de'feni e cofeni affette d'un esponente arbitrario , lafcian- do defiderare la parte più intereilante di quella ricerca , cioè r efpolizione generale della fomma pel cafo mentovato v così pure ne' Supplementi dell' Enciclopedia , dove quefta ma- teria viene ingegnofamente trattata in un diftinto articolo , dopo efferll aflegnata la fomma per le due o tre prime pote- ftà, Il tralafcia il punto più preziofo e difficile , offia il cano- ne per tutte le poteftà affermative ed intere . Non è manca- to per verità chi fi è fludiato di fupplire a quefta mancan- za , ma oltreché il metodo a tal uopo tenuto fi appoggia a principi rimoti, e poco familiari, i quali elìgono una lun- ga efpolizione per efl'er ridotti alla comune portata , la for- ma ffeffa della generale efprelfione della fomma richiefla non fi è prefentata fotto un afpetto abbaflanza luminofo e comodo per non aver nulla a defiderare di più (a) . In viffa di ciò non fembrerà afiatto inutile un ulterior tentativo: e il Let- tore intelligente giudicherà , fé io fia riufcito a porre tutta quefta materia fotto un punto di veduta più effefo e più ge- nerale che finora non ii è fatto, e le la novità de' due ultimi Problemi, e de' quattro Teoremi , che terminano quelV Artico- lo , in un foggetto da tanti altri maneggiato e difcuflò polfa meritare qualche indulgenza .

(a) Si vegga il I. Voi. della Soc. to in tutta la fua generalità queflo- Italiana dalla pag. ?6i alla pag. t,6$ , Problema dal Sig. Cav. Loygna .

ove è flato per la priQ^a voJta rifoiu-

SOFKA LE S il K l l, 429

PROBLEMA I.

Sommare la ferie fen. p -\- fen. ( p -[- q ) -f" fen- ( P -}- -4 ) + fen. ( p-}- 3q ) -j- fen. ( p + nq ) = S

Soluzione.

E' noto, eflere J" =

2\/-i

eCP + ?)V^-' ^-CP + ?)V^-' e'^PH- '3)1^- • _e-(P + »?)l^- "^

"^ 2^/ — I ' Z^-I

eC p + j? ) v^ — > f— ( p + 3? ) v' - »

"^ n/TTi

f(p + "?; v' — • e- cp + '>ì)V — ' et V —^

^^=?v^-'_|_e3jv^ -. ^e"?»^-')

e- p v^ _ t

7 e I -f r-?K'-'4-(?-'5»^-' + e-'5V^-' 4- e-"^v^-0-

2 / — I ^ ^

Ora ficcome le quantità rinchiufe tra le parentefi fono evi- dentemente due progreflìoni geometriche , delle quali confe- guentemente fi ha la fomma con moltiplicare il fecondo ter- mine per r ultimo , fottrarre il quadrato del primo termine , e dividere il reiìduo pel fecondo termine meno il primo ;

perciò farà S = ( — )

z^ — i^e'iy-'—i '

: ( ) ; e riducendo allo fteflb

zj/ — i^ e-iv' -'—1 ^ '

denominatore nafce Sz: ( — )

2|/-i^ z-eiy^-'-e-'iy' -' ^

2y — I ^ 2 — f?»^-' — t-?v^-' ^

H h h iij

43^ Sopra le Serie.

2 1/ — I ^ ^ '

len. (p + nq) — fen. {p -:- (« + i) ^ ) -:- fen. {q —p) -;- fen.;?

2 — 2 cof. ^ . , '

rendo pertanto ai noti Teoremi degli angoli

I. fen.<z + fen. ^=2 fen. -(^4--^)<^o^-"'(^ — ^) '

2 2

Ricor-

II. fen. a — fen. b=zz cof - (a-\-b) fen. - (a — b)

■2. \ 2. .

III. cof ^-f-cof ^-^zcof - (<5:-}-^)cof - (<? — b)

2 2

IV. cof b — cof ^ = 2 fen. -{a-\~b) fen. -{a — b)

2 2

V. I — cof <5! = 2 fen, -«% il otterrà facilmente

2

- 2 cof (p + (» + i.)^) fen. \q + z fen. i -y cof {p-\q)

S =

4 fen- T ?' __cof(/>-|g)-cof (/> + (>? + i)g) - ■

2 fen. j ^

kn.(p + \nq)kn.L(iJ^n)q

= . Il che era ecc.-

fen. i q

PROBLEMA II.

Sommare la ferie cof p -|- cof ( p + q ) -{- cof ( p -)- 2q ) 4-COf (p+3q) -j-cof (p-Ì-nq)=:S.

Sopra LE Serie. 43 i

Soluzione.

La dottrina degli angoli fomminiftra Sz=-ei'V -'

2

^_3 e-(f+ 3? )!/--«

2

U_ i eCP + « ?) 1^ - » _j_ i e- CP + "9) l^ - ' ::::^ i e? V^ - ' ( I + f ? V^ - • 2 2 2

^e=9v^--4_p3,v^-. _|_e"?v^-')_|-le-fv^-'

( I -|_ e- ? v^ - ■ ^ e- '? v^ - ' + e- '? *^ ~ ' + e-'"J^ -")

^iePK-'C _ 1) ,,. .

2 ^ f ' V ' _ I ' . '

I f— C + 'J ? V' — 1 I

-j--'?~''^~'( _ , -) . Fatta pertanto la ri- duzione allo fteflb denominatore fi ottiene fpeditamente J' = -efv<-«( i^ )

4. - e- P »^ - ' r ^ ^ )

'2 ^ 2 e?v^-' — c?-3V^-« ''

^2 2 2.

1 TI

g-(P + (n+ ') q)y - > ^rp _ 5) y^ ~ I ^_ (p _ 9) j^ - r

2 2 2

cof. 0 + ni]) — cof. (/' + (»+ i) q) — cof. (p — q) + cof. />

2 — a cof. q

4Ì2. Sopra le Serie.

__ fen. (p + (n+\)q){Qn.^^- fen. (/> - 7 ^ ) fe"- t ?

2 fen, \ 5'

ifen.itf » •'

cof. 0 + \ nq) fen. '- (i + ») ? ^i u

= • T~, — • Il che era ecc.

fen. -9

CoROLL. La fomma della ferie kn.p-\-kn.(p-\~q)

-{- kn. (p -\- zq) J^ÌQr\.{p-\-nq) fta alla fomma della

ferie cof p -j- cof {pJ^q)~^^coL{p-\^^q) + cof (p + nq),

come fta kn.(p-^ -nq) a cof. ( ;> -j- - «^ ) , cioè come 2 2

Ung. (p -\- - nq) air unità . Da ciò apparifce , che la fomma

de' feni degli angoli crefcenti in proporzione aritmetica , e continuati per quanti termini fi vuole, può efler uguale in in- finiti cali alla fomma de' cofeni corrifpondenti, cioè tutte le

volte che p^-nq^^^" , ii che può veriticarfi in infinite 2

maniere . Anzi quelle due fomme faranno parimenti uguali , allorché, eflèndo tt la femicirconferenza del cerchio col rag- gio I, 1' arco p-\-~nq avrà uno de' feguenti valori 2

~-> + ~ 3 H 3 H 3 ecc. in inf.

4 4 4 4

37r JTT IITT IJTT

5 , , , ecc. in inf.

4444

PROBLEMA III.

Sommare la ferie S = fen. p' + fen. (p -j- q)' 4- fen. (p4- iqY -jr ^en- (P + 3^y -f fen. (p -f nq)^ .

Soluzione .

SoPKA LE Sekie. 433

Soluzione.

Pongali efK-'=tf, e'ì^-' = b; i Teoremi noti degli an-

a — a-\ a'- ^~^ , »

eoli danno kn.p^ = ( — )= = — -U f- -

° ^ 2 y — i ^ -4 — 41

ab — a-'b-' . a'b' , a-'b" , i

s,„.^p+,r=^-— -).=.- + -— +.

ay--a-'b-\ a-b* a^'-b-' , i fen.tf+=,)- = (-^^— p)-=- + ^^ + -

^ 2^ — I ^ -4 -4 -

,ab"''a-'b-\ a'b'" , a-'b-'" i

DunquQ Sz= — la'(i-]-b'-^b*-{-b' 4-^=") - '• '

4

—. L a-' (i -\- b-' + b-'' + b-' + b-'-") 4- ^ ,

4 -

cioè J = rtV ) a-' ( )-\~ .

Perlochè ridotti li due termini binomiali allo fteffo denomi-

i+n I b"' — b'" + ' — b~'+i.

natore, fi avrà J= au t-> } — l ;

1 4^ 2 — b- — b~ '

I s-« \ cof. 2f/'-:-(«-;- 1 )(/)-:■ 7 cof. i[p-q) - \ cof. i{p-'.-nq)- \ cof. 2/» — — j. ^ ,

z 2 — 2 cof. zq

Il che era ecc. '

PROBLEMA IV.

Sommare la ferie S r= cof. p'- -j- cof. (p + q)' + cof. (p 4-2q)' + cof. (p -f 3qj' 4- cof. CpH- nq)'' •

lii

434 Sopra le Serie.

Soluzione

Ritenute le precedenti foftituzioni , fi fa eflTere

^2 4 ' 4 ' 2

cof- (/' + '?)' — ( >= 1 \-- -.A

- 4 42

C0f.f/> + 2(?r = ( V=: 1--

^24 42

C0L{p-}-^qy = { >= h +-

2^4 42

coL(p J^nqy = ( y= 1 U-. Laon-

2 4 42

de fcrivendo ordinatamente i termini fi otterrà S z=i

2

+ -«'(i+^^ + Z'^-j-M 4-^-") -

4

4

2 '4 ^^^ — I ^^2 y b-'—i ^

2 ' 2 — h"" — b

w+ 1 ~ cof. z{pvnq)+ \ cof. i/»- 7 cof. z{p<-{'n+ i)q)- 1 cof. if/»-^)

= 1 : } : • •

2 2 — 2 col. zq . _ .. '

Il che era ecc.

Coroll. Se la fomma trovata fi aggiugne a quella del Problema III. fi ha il rifultato =«-!- i , come appunto ef- fer dee, poiché il quadrato di ciafcun feno aggiunto al qua- drato del cofeno corrifpondente forma il quadrato del raggio, cioè r unità.

Sopra le Serie. 43 5

PROBLEMA V.

Sommare la ferie S=:fen. p' -}-fen. (p-j-q)' 4-fen. ('p + 2q)» + fen. (p -f 3q)' + i"-"n- (P -}- "4)' •

Soluzione.

fen

3'^

a-' .,,!■

' — S ^/ — i — b ^/ — I

aO — a-'b-\ a'b' ^ab

+ _S\/-i -8/-I

ab'—a-'b-' . a'b' Z^b'

^a-'b-' g-'b-^

^g-'b-" a-'b--'" Quindi rifulta J' = — §-r:^ (i J^ b' -}- b' -\- b" + b'")

a-'

I i i ij

4S'5 Sopra le Serie. + §737^'+^+^^ + ^' + ^"^

sv/ - 1 ^ z.^ — I ''+ 8/ - 1 ^ 'j-rzrr )

■+" ^1 ( —. ) — —7 ( ). Riducendo

Sy'— jv b — I ^ sy—i^b-' — I ^

ora allo fteflb denominatore li due primi termini , e così

pure i due altri feparataraente , ricaveremo S =

_ a' b'" - £>"+' -£>-'-;- I , a-' b-'" - b^'"-' - ^' + i n

8^-1^ 2^h'~~b-' ^ ^ 87^1 ^ ^— ^' — b- ' ^ , 3^ b'-b'^'-b-' ■'r i. 3^ - b-"-'b"'-'~b^ i

^ fen. ^f/» -:- (« + £)^) -;• i fen. 7,^P - o' ~ ' C--'. -'P -nq) - '- fen. 3^

2 —2 .01. ^^ 7 fen. {p -:- /;^) -:- '- fen./^ - ^ fen. (/» ^.- i« ^- Q g ) - ^ fen. (/>-?)

z — 2 coi. ^

Il che era ecc. ~ ■ . ^ '

PROBLEMA VI. • - -.'..-Jè

Sommare la ferie S = cof. p' -|- cof. fp + q)' + ^of. (p + zq)' + cof. ( p 4- 3q )^ _[_ cof. ( p + nq )' .

' : . , S O L U Z I O N E . ^ . •, 1. • 13'

cor. (, .,, --("ilfrt' ). = ^-+ f + ^-^' + ^-^

^, ,, .abU-a-'b-' a'b' ^ab'- sa-'b-' , ^'^-*

Sopra l \ì S e r i e. 437

ab'+a-'b-\ a'b' 2ab' , sa-'b'' , cr'b-* cof.tf + 3tf=( --— ). = -- + — 4-—- + -^

ab"ra-'b-\ a'b'" -ìab" ^a-'b'" a-^b-'"

cor.fr + «,). = ( -~ ).=_ + - +^.^-.

Sarà perciò J-= '^•( i +i'+i' + 6' + '")

^_Ì^-3/'i^^-3_|_^-«_|_^,-? +^-'")

8 ^ + f(i+^ + ^' + ^' + ^")

-{-^^{i-^b-'+b-^^b-^ + b-")^

= -a' ( ^ - « V )

8 ^ è'_ i ^S V ^-3__i /

■r>,-r.

I A3n_/,3-.+ 3_^-3^I I ^^-"'_l?'-'"-'-^>'4-lN

3,^ A" — £," + ■_ ^ - - 4. 1 . 3.7 - ■ b-" — b-"-'—b+ 1 N ■^S"^ z^b-b-' ^"'~~8~^ 2-b — b-' '

__ 7 cof. 3 (/> + «?) + T cof. 3/^ - ^ cof. 3 (/>+ (»^ I j^) - ; coL-jip - g)

2 — 2 cof. 39 , j- cof. ip + ;?9) -:• '- cof. /^ - 7 cof. (;> -:- (« + i )^ ) — 7 cof- (p - ?)

2 — 2 cof q Il che era ecc. 1

PROBLEMA VII. ^

Sommare la 'ferie S = fen. p* -j- fen. f p + q)* + ^s"- CP + ^l)* + fen. ( p + 3^ )4 + fen. C p 4- nq )^

I i i iij

43 S Sopra le Serie.

"V Soluzione.

a — a-' y <z* 0,0" 4a~' a-* , 6

2 j/ — I ^ 16 i6 i6 ~^

fu >4 / ab-a-'b-' . a'b'' j,a-b' ^cr'

^2|/ I^ l6 IO I

fen. f/» + ^)'* = ( — >• V = - 3 ^: + + —

[6 1 6 1 6

fen.

ab'—a-'b-'. a'b^ 4a'b* ^ar^b-'^

6 i6 ■ ) i6

, (T-'b-' 6

^ 7k f~~l - *'■■

lo ló

^2(/ — 1 ' i6 i6 10

a-'^b-" 6

,_2«

/ —I ^ Tó ló 16

a-'b-'" 6

-4 ..

' i6 ' l6

Sarà dunque S = -- a' (^i -{-b* -\-b^ ~\-b'^ +^'")

^-^a-'(i-^b-'^^b-^J^b-'' + b-'')

—-a'(^i~{-b'-{-b* + b' + ^") '■"

t , -^ -'1 , fi

— ^- = (^i_[_£,-^_}_^-4_}_^-« 4-^"'") i

+ — — — -' = - aU -— ) J rt- V -— — j

I /,=" + '_ I I , è- =■- - = — I . 6 (« + i) . a ( —, ) «~ ( ) A — ^^

I ^4._^,4-. + 4_^-4 4. j

= rt* ( J

I6 ^ 2_/,4_3-+ -/

Sopra le Serie. 439

I ^ ^-1" _ ^-4"-4 _ £,+ 4- I I Z,»_^'-«+' - &-^ + I .

-;^-^( ■ — ,^(,^-b-^ ''+ ~~T~

__ 1 cof. 4(/' + «?) -i- r cof- 4^- 7 cof.4(/' •■■- (« - i )?) - f ^o^- 4(/' - '7)

2 — 2C0f. 4^

\ cof. iC/j + (« + i)q)i- 1 cof. 2(p-q)-^ cof. x{p\-nq) - \ cof 2/»

2 — 2 cof. iq

*]~ -^~- — - . Il che era ecc.

PROBLEMA Vili.

Sommare la ferie S = cof p* -}- cof (p ~\- q)* -j- cof (p 4- iq )* 4-cof. (p4-3q)* -^-cof (p + nq)*

Soluzione.

Procedendo fempre come dianzi , fi ha , ,

■^ ^ 2 '' ló '^ 16^^ ló ' 16 ' 16

^ 2 ' 16 16 16

+ 16 +16 .. , , . , •

,al,'+a-'b-\ a'b" , 4«'^'« 4^'^'-*

^ 2 ■' 16 ló 16

a-'b-^ 6

coL{p-\-sqy = ( >=-— 4-^ + ^ —

^ 2 '^ 16 ló 16

^ 2 IO 16 lo

V ~ 16 ~ 16

44° Sopra le Serie.

Peiiochè raccolti i termini a dovere , fé ne ricava

S = -a* ( i ^ b' -{- P -{- b'^ + &'" )

-h - d- ■♦ ( I + ^■"' + ^- " + ^~ " -f ^- '"' )

^- a'(iJ^h'-i-b'-{-b' +^")

4

J^la-'(i-^b-'-l-b-' ^b-' + ^~")

4

, 3 ( » + I ) I b'" + ^—i , I ^- t" - 4 _ j

+ 4^."T'^^T"^-+-r ^ ^-^-i ^+ 8"' Dunque riducendo al comune denominatore i due primi ter- mini , non meno che i due fuOèguenti, rifulterà

I b''--b^"+*-b-'^ + i. 1 b-'--b-''"-*-b^ + i.

__ 7 cof. 4(p + «y) H- -i- cof. 4p~i cof. 4C;' -i- (n ■;- Qg) - f cof. ^(p-q)

2 2 cof. 4'/'

i-COf. 20 +K^) + i cof. 2p— [ cof 2f/'v(«+l)^)-7 cof Z(p-q)

2 — 2 cof iq -j- ~ . Il che era ecc.

PROBLEMA IX.

Sommare la ferie ^5"= fen. p'" -|- fen. ( p-l-q)'" 4- fen. ('p4- 2q)"*

-|-fen. (p4- 3q)"' + fen. (p^- rq)'" ; pofto /' efponente m

(guale ad un numero qualunque intero affermativo .

■> --,<;■

V.- -i

Soluzione .

Sopra le Serie. 441

Soluzione.

Cafo I. di m di [pari.

E' noto dalla Trigonometria Analitica, e dalla teoria del- le funzioni circolari , effere

kn.mp m{tn.(rn—z)p m.m^i.Ccn.(m-^)p i.' fen./''" = -t — — — ^ — — i ■

^ l""-' 2'"-' 2'"-'. 1.2

m.m- i.m-z. fen. {m~6)p m.m- i.m-z.m- j.-fen./» a"*-', 1.2.3 2""- '. 1.2.3

Tw.m—i «'"-■* -d*-'" m.m — i .m — 2 <?"^^ - ^'-"' x

2"—. 1.2^ 2/ — I ' 2"'-'.i.2.3 2v/ — I "^

m.m—i.m—z , <? — (t-\ „ ^

-4 — ( - — ; 1; in quella lormola , come

2-"- '.1.2. 3 ^z/ — i^ ^

nelle funeguenti , vagliono i legni fuperiori nell' ipotefi di

jw=4A-|-i , e gì' inferiori nel fuppofto di w = 4A — i,

eflendo A un numero intero qualunque .

2.0 fen.(;.-j-^r^±-;;^(--^_^ )

m .oT-'b'"-^ — a'-^-b'-'"

m.m — I a"'-'*b"'-'* — ^4-"-^?,+ -™

m.m— i.m — z ^^-e^m-s — ^«_,«^«_m

'''~7"-M.2.3"^ r7^=:i ^

yw. w — i.m — 2 <?^ — a~^b~^

^ 2'"-\i.2.3...~ ^ ;i/ — I ^ '

3.' fen.(^ + 2^r=:±-^,(— ^-^— )

T ^;;;^. ( z\l — i ^

Tomo IL Kk^k '

44 i Sopra le Serie.

m.m — I a!" - "b"'" - '♦^ — a'' - '"b"-' - '"^ .

2'"- '.1.2^ z\/ — I ^

m.m —i.m—z, a'" - 'b'^'" -^'> — a^- "'b'^^ - "'

2"'-\l.2.3 ^ 2/ I ''

m.m—i.m—z ab'' — a~^b~^ ^ ^ .,

2'"-'.i.2.3 ^ zyj I ^

I a"b"" — a-'"'b-"''^

•■• ■ ' m a'" - 'b'^'" ~'^ — a'- "'b''-' - '■•> . ■ - v^.. - ^2'"-'^ ^\/ — l ^ •:

m.m —i.m—z a'" - ^b'^^"' -^^ — «* - ""//^^ - '"'> -, ' ^ ( )

2""-'. 1.2. 3 ^ 2^/— I ^

m.m—i.m—z ah' — a-'b-'^ ^

+ ( -. ) . Dunque raccoglien-

2'"- ■.1.2. 3 '^21/ — \ ^

do i termini coirifpondenti fi ha

2'" / — I '

^ (i + b- '" 4- b- ''"' + Z'- ^"^ . .:':'. .':''4- b- "" )

ma"'"'' + (i + b'"-' -\- b<'"-'^ + b'^'"-'^ + b<''"-'^)

2'»y'-I ' I '

+ ^i;«- M";i' /i I ^,«-4 1 ^.r«.-4) I ^3C.»-4) I ^rC».-4)^

2''V-I • ^-^ -T .. ■ V -

Z" \/ -\ . l.Z ' 1

_ rrurn-i.m-z.a'»^ ^^ ^ ^_, ^ ^^^_,^ ^ ^3^_,3 ^ ^.,_.,^

2'"l/ - I.I.2.3

. m.m-\.m-z.a^~"' ^ ,^ , , r< ■, 7rr« ^)\

~ z"'\J - 1.1.2.3

Sopra le Serie- 443

,'^-'^-''^-^ ^(1+^; + ^' + ^- + b')

~ 2"'\/ —1.1.2.3

2"' \/ — I.I.2.3

Dunque i = ±-__^(_^^,,P— — )

2"' / — 1.1.2 ^ ^-'"-'•— I

w./w — La'*-'" ^ e 4 - "■ ) e -■ + ' ) — I

^ a--^/— 1.1.2 ^ ^ 4 -."__!

m.m— i.m—i.a'"-^ /,..•+« k »'-<;;_ i

^ 2-"/ — I. 1.2. 3 '^ ^"'-«_I

w.?M — 1 .wi — z.a^ -'" i> t « - "■ ) e >' + • ) — I

± ( )

2»»y — 1.1.2.3 ^'~'" — I

»2.»2 — I .y» — 2 (? /)' + ' — I

^ 2V— I-I-2.3 ^ b~i

m.m — I.//2 — 1 rt~" ^-'-' — I „..

■; f ) . Riducendo ora

2"'^' — 1.1.2.3 i>-' — I

ciafcuna coppia di termini feparatatnente al comune denomi- natore lì confeguifce

rt'" b"" — b'"' + "' — ^-""4.1 '. ,

j-^-u _ / ! ) V- ' -

2'»y/_l^ 2 — b"" — b-"" '

(j-'" b- "" — b- "" -"' — b'" + I

^ Wy/ _ I ^ 2—.b'"~b-'" ^

'/m"' -' ^^ e >" - o — ^ ( -• + I ) e ^ - j) _ ^« - -» ^ I ±-v-7 r(

2''Y — 1 2—/;"'-'—^=-"'

Kkk ij

444 SopR-ALeSerie.

2'"^/ 1.1.2^ 2 b'"-'> — b^ t*-™

^W.W I .«^ - '" è- ' C" - 4) _ ^-(r + i; (« -4) _ l^n. _ 4 r

^ q; e JUI )

^2"'-^— 1.1.2 ^ 2— ^'"'-'^ ^+-«" "^

?«.?w - I .?w - 2.a'" - ' ^ e '" - * ) — èC' + ■K'» - «) _ ^« - « . j qp _ f-. J_ )

m.m— i.m~ i.a^~'" ^-'-c™- «^ — 5-C'- + 'X'»- «)_^'»-«4. j

-t ( _ _ ^ - )

2™/ — 1.1.2.3 \! • 2 — /&"•-'— /&*-"

;w.?w — i.?w — 2 rf ^'■ — ^''+ ' — 1^- ' + I

2'"y'-I.I.2.3 ^ 2-/^-3-- ^

;».w — i.w — 2 «"' è" '■-5" '"' — 54- I

2"/ — 1.1.2.3 2—/; — 5-*

1 fen. w ;>-:-}-(? , - fen. W('/'+ (r+ 1 ) ^) - fen. m{p~q) + fen. w/' >.

= + — ( " ,: /

2 " ^ 1 — coi. mq

_ m fen. (m-i)(p i-rq)- fen. (m-i) p-i-(r-^.-i)q)- fen. (w-2)(/>-g)+ fen. (m-2)p^

+ ,mV I C0{.(m 2)<?

W3.W-I fen. (m-j^yp^rq)- l'en. (w-4)(p-i-(r-:- 1)^)- fen. (?w-4)(/ì-^)ì- fen. (m-4)p.

"~2^.2^ 1 — coi. {'m — 4)^

_ /72.w-i.m-2 . iin.(m-6yj?i-rq)- fen. (,n-6XpHr+ 1 )^)- fen. (;/j-6)(/>-^y)-i-fen. (?w-6JK

+ ,„;_j_, , V I — cof (r/2 — 6) (/

m.m-i.m-2 . fen. (p'.-rq)-kn.(p + (rH-09)-fen. (p -q)^.-ku. p .

+ ( J5

3'". 1.2. 3 ^ I — col. q

qui vale la regola d.ita da principio in ordine ai fegni . Il

che era ecc.

Cafo IL di m pari. -

La dottrina delle Funzioni circolari ci dà I' equazioni fe- guenti

cof mp m cof {m — z)p I.» fen. />"■ = * X ^ '-^

m.m — I . cof {m — \)p m.m - i.m- 2cof (m - 6)p ± — — -T

2"'-'. 1.2. 3

Sopra le Serie. 445

_m ( —— m

+ -( --— )cof.(w — w)/.=±(' ■ )

2 2"'-"'.I.2.3 2,

2 Z . 1 iZ

4- m.m — i.m — z.( )

^ ^ 2"'.I.2.3

1 m.m — i.m — 2 . „ . ,

-+- - e ) ; in quella lormola , co-

2 z"'~ ' .1.2.3

me nelle fuffeguenti , fi adoprano i fegni fuperiori quando w = 4A , e gì' uifeciori allorché w = 4A — 2 , prefo per A qualfivoglia numero intero affermativo.

col.m(pJr(l)^rnco[.(m — 2)(p-]-q)

, m.m-i. cof. {m-\) (p i-q) _ , mm- i-m-2. cof. (m - 6yp ^- g)

~ 2'"—'. 1.2 ' 2"~ '.1.2.3

1 , m.m — \.m — 2 a"'b'" +cr-'" b~"' ,

4- - ( 11^ )=. -\- ( )

' 2 2"'- '.1.2.3 } — ^ i«

+ w( ■ )

+ ( X _ )

1.2 2"'

m.m— \.m—z , am-%"* -^ -X-a^~'"b^~'" .

+ ( - — ;

1.2.3 2"

, \ , m.'fn— \.m — r.m— 7,

H — \ )•

2 2'"- '.1.2. 3. 4 ^

^•B- 1^ t e "' — = ;-|_^^ -»'3= e ' — '» )

-w( )

2™ m.m—i «•»-■♦/;'( -4) I ^+-«5^(4--^)

+ ( — )

— 1.2 2'"

_ m.m- !.?« — 2 fl"-*^' Cm-< ).L-<?<-'» /in «-m )

+ ^-TZ, — ^ T" ^

Kkk iij

44<5 Sopra le Serie. I Tn.m — 1 .7n — 2 . + - ( -, ""■ ).

2 2 "'~. 1.2. 3

+ W( ^ )

2"»

■ ^-TT-( — ^

m.m~ i.m — -> a-^ -«a^c..,, -<) i ,/ —mui^ — m)

+ ^( ')

1.2.3 ^'"

l'm.m—i.m — z.m—i: -.•■•'•

V -|.-( _ ? ^, .

2 2"^ -' . 1.2. 5.4 . - .- .>■ i -•.

5.' fen. (/- + r^) . = + ( ^-A^l_l_ )

+ r/; ( )

V 2" '

1.2 ^ 2" ^

+ — —^ — ( — — — i;; )•••-

\ /m.m— i.m — ■!.... . _ ,_ ., , •

-i- - ( ) . Dunque diitnbuendo , come

2 V 2" ~ '. 1.2.7...

conviene , i termini delle precedenti equazioni , fi giugne al- la fomma

a" ' ■■."-•■,

J"= + — (i-j-^,'»-]-^,^"' _j-£,f« -^-h"")

±L^ ~- (1 -I- ^-- "» -)- ^- = ' -f- Z'- '" -\-b~ "" )

_ WJ_-_^ Ci _l 5".-' .J_ ^K '-— =J + ^,K^.-0 .... _!_/,<'«-))

Sopra le Serie. 447

— Z'".l.l

-~ 2 '".1.2

m.m-i.m-2.a'^-~^ , , , ^ ,> ,,. <, /^r», «>\

2™.I.2.3 ^

m.m-i.m-i.a^-'»

+

2 '".1.2.3

(i -i- b"-'" -:• ^'-C*-'») -:• ^'(«-«J j- b'i^-m))

. i + r . m.m— i.m — 2 ^

+ C~rK „„-.,,. ' )=

Tw^?"""" ^('■+ OC»»— »j I ma^~"' ^C'' + >x» — OT.) — i

± — ( )

2". 1.2 t-"-* — I

m.m — 1 .^?'' - "■ /, e ■■ + > ) ( 4 - », ) — I

2". 1.2 '^ h*-" — 1 ' m.w — i.m — i.a"" -«AC-^+ocm-*) — j

2"». 1.2. 3 ^ l^-m-e j /

_ m.m — ^i—zM^-"* tcr^- ' K«-w)__ I 2"'. 1.2.3 è*-"» — I ^

4- ( — : Ì.Perloche n-

' 2 ^ :" -'.1.2.3.4

ducendo quefti termini di due in due allo fteflo denomina- tore, lì trova rifuitarn^

'^a'" .b'" — ^ c-^ + o — ^-»»j_i

"" — 2'" ^ 2 b"" b~ "^ '

(fm l-r,n /, - '" C- + O _ ^w _|_ I

— 2'' ^ Z^b^ b~"' ^

_ ma" -"■ .b'^ "•-''> — /,(•• + ' K ,r, - o — ^' - „^ I ' jw V 2 b" ~ ^ b^ ""•

448 S" o p R A LE Serie.

2". 1.2 ^ 2 — b"" * — b*~"' '

+ ( ^ì

2'". 1.2 ^ 2 — b'"~'^ — b'^-m /

+ — ( ^ ' ^

2"'.I.2.3 ^ ^'»-* b^-r» /

_ m.m— \.m— 2.3*" '" è- <'» — *-> — ^C' + "H* — «; — /''"~ ^ 4- 1

2'".!. 2. 3 ^ 2 ■b^~^ b^-"

i +y ^ m.m— \.m — i.m— 3

1 -r » X III. Ili — i. /" — i. /" — ^.... >. -

V. 2 "^^ 2'"-'. 1.2. 3. 4.... '^

I ^ cof. ^wC/» -:- r^) - COL m{p -rfrn- 1 )^) - cof. m{p~q) + cof. mp n

^ 2'" ^ 1 — cof. mq ' ?w , cof. {m-z){pA-rq) ~ (io{.{m-^){lì^{r■^\)q) - coi. (m-2)(p-q)+ cof (m-z)p ^

2'"^ I — cof(m — z)q

, m.m- 1 cof. (m-4)f/'^-r9 ) - cof .(w-4)f/'+('r + 1 )r/)- cof. (^-4)0-9) + cof. (w-4> .

2"". 1.2^ I — cof. (;?w — 4)? '

_ m.m- 1 .r/7-i cof. {m-6){p\-rqy cof. (yw-6)(/'+(r+ 1)^)- cof (m-6)(p-q)+ cof. (w-6> . 2'".i.2.-'. V 1 — cof. (m — 6)q )

• • • . v^^

I -f- r . m.w — \.m — z.m — 3 2 ''v 2"-'. 1.2. 3. 4.

PROBLEMA X. „V J "

^ I 4-r>^ /m.m— i.m—i.m—s a ti u

4-( )( — ). 11 che era ecc.

' V , /V ^m- •. 1.2.3. J. '

Sommare la ferie S = cof. p"* 4- cof (p + q)"" + cof. (p -f 2q)"' + cof.(p-|-3q)'" -[-cof. (p-j-rq)"'.

Soluzione .

Sopra le Serie. 449

Soluzione.

Cafo I. di m di [pari

Dall' Analifi Trigonometrica ci viene fomminiftrato, - ^ cof. mp m cof. (m~-2.)p , m.m - i . coi. (m - 4)/»

J.* col. *•" r= \- — —

2'""' l"'"' z"'"' l.Z.

m.m ~ i.m — z.cof. (m — 6)p H

2»»~'.I.2.3

m.m — i.m — z.m — 3 coup

~r zz:,

«Z"» + ^r-'" , a'"-' + a^-"' . m.m - i

2"" ^ 2"" ^ 2'". 1.2 . _

w.w — i.w— 2 4- (a'"-^ -[-a^-'» )

' 2"». 1.2. 3 VI/

m.m — i.m — 2

' 2-». 1.2. 3 V -r > ^ .^

2.° cof. (/»-}- ^ )"" =

2 .. .'*

W , , ,

W.W I

2"". 1.2 ■.-.'.": ^^

w.w — • i.m 2

' 2"». 1.2. 3 V . I

m.m — i.m — z-m — 2

H ^ (ab-\-a-^b-n-

2"". 2. 3.4 .

a'"b^'" -\-a-'" b-'" ■■: •

S.' C0L(p-\-2q)'"= , ,

2"' ,

m

Tomo II L 1 1

45° Sopra li Serie.

, m.m — I ,

, m.m— i.m~z

, m.m— i.m-i.... , ,

. m

2" v^ l'.'a 5--s\,.-— - ■' —

m m — I

_] (^OT-4 j3Cw-4)_L.rt4-OT/,3(1-»7}\

2"'.1.2

^ , m.m — i.m—2^ ,,,, ,^ , . ,,,, ,,

2"'.I.2.3

, m.m— i.m— 2... . , ,

' 2'». 1.2, 3... ^ ' ^ ..,,;

a'" b"" A-a-'"b-''" - ' " -

^\ col {pJ^rq)'"=z — ....:. - -•.

m 'i ' • ■■! Il ■" '' '

'. \

TYl TYl — I ■ '

^^ 2"». 1.2 ^ '

YYi.'Yyi I m _. i

^ 2'".!. 2. 3 ^ ' - ,

. m.m—i.m — 2.m—j..., , ' '' " e- 1 v j- ■ J- ^ L^(ab'4-a-'b-n . Sicché ordi-

' 2"'.I.2.3.4... '

nando per ferie diftinte i termini corrifpondenti , nafce a

J'zr: — (iJ^b"'-\-b""-^b"" -\-b"")'

4- — (i a. ^'W-}_^- '/» 4.^,-5»» j^h-''")

mei"' ~ *

Sopra le Serie. 451

2'"

2'".I.2

572 ??2 ■ — • I ^^ '^ 4- Hi : (i 4. ^4-;;» ^ l,K^~m) _f. ^J(4-m) .... ^ ^r(4- «) ^

2 .1.2

m YH -^ l 771 — Z U"'~'''

2 '".1.2.3

, m.m-i.m-z.a^-"' A l'i +//-

f

2'".!. 2, 3

— (l +t*-'" + èK«-w; ^.. ^K«-/«).... j. ^'C^-wJ)

, m.m—i.m — 2 a

J^ ( , _j_ t I ^= j_ ^3 I ^r ^

2"'. 1.2, 3 ' '

, m.'/n — i.m — 2 <r" '

+ {i^b-^-\-b-' + b-' ....-\-b-')

2"'.t.2.3 Vili ■ /

2'" V ^'"— I ^ ~^ ^«^ V ^r- ""^^^ )

ma'"-' .b^' + ' Xra-^)_ I ma^~"' , U^'+ 'X>-«) ,

-j- ( — )

2'". 1.2 ^ b '"~ "^ —— I

m.m — 1.^4-»» j,C'-+ I K4 -m ; — j

2"M.2 ^ ^ ^"'— I ^ W.W. I.OT 2.^'''"^^^'^''+' "^"' - ^ ^ I ,.

2"". 1.2.3 ^""^ I

W.W I .W 2.<7* - "» ^C -■ + ' K « - m ) j

a". 1.2.3 i)^-"» — I ^

m.m — \.m — 2 a ^ '- ' + ' ^ — i .

"^ 2'".I.23.... ^ ^— i *

m.m — \.m—z cr^ .h~'~^ — i >.

2™. 1.2. 3 ^ ^-' I ^'

Se ora ciafcuna coppia di tali termini viene portata fotte uà

comune denominatore , ne rifulta

Lll ij

E,

45- Sopra le Seri

J^ = — ( — ! '^, 1 : • I

2'" ^ 2. — •b'" b-"" ^

CT'» b-'" — ^-c-'+O'" — b'"-4-i

"^ 2* '^ 2 b'" b~"' '

J_ / ::: 1 ^ '^ ^ \

"^ 2"' ^ Z^b'"-^ ^' - "» ^

ma'" ""' A-''Cw-0_^(' + iH^-'»)_ l,rn- z _j. j

^ 2« ^ 2— ^'-'-^ b'-" " ^

m.m - I .^"' - '^ ^^ C" - 4 ) £,( ■■ + I K .. - 4 ) £,4 - CT [ I

2"". 1.2 ^ 2 b'"—* b* ~ ""'

m.m ~ i.a'^~"' ^- 'C '»-4)_^c r + ■ ) ( 4_^) ^^_4 _^ j

2"' . I . Z ^ 2 — /^'" - "^ — Z'* - "-' '

m.m- i.m- i.a-"~^ y^'"-^> — b'-' + '^^ .-«)_^«-« 4- i Jj~ / )

m.m- i.m- i..a^ - >-'> ^'•;«-m) _^C' + ■)(« — w)_^w- if _^ j w.m — i,ìn — 2 <7 Z' ■" — ^'' + ' — Z'~ ■ 4- 1 v^

• "^ ^.7 2.y.TTT ^ 2—.b—b-' ^

m.m — i.m — 2 a~' .b-' — b"'-' — i>-{-i

+ ( ~i 7~r ) • Sic-

2 '".1.2.3.... 2 — b — b

che" fatte le debite fofrituzioni, ne viene finalmente

I cof. m(p -:- r^)- cof. m(p + (r + i)q)- cof. m{p-q) + cof. mp .

"" 2 '■- ^ 1 — cof. mq ^

m coL{m-i)(p^.-Tq)-co^7yi-2)(p^-{r^.- 1 )^)-cof. (m-zXp-g):- cof. (m-2)/> .

'^T'^'y i_cof.(w— 2)^ '^

'/;?.^«- I , coi(m-.\)(p-i-rq)-coL (m-.^)(p-'.-(r-<- 1 )q)- cof. fw-4)('/'-y)-:- cof.(«-2-4)/' s

2^. 1.2^ I • — co£ (m — 4}^

^J2.r/7-i.//7-2 cof. (m-6Xp^-rq)- cof (m-6)r/> i-(r-:- i)g)- cof (w-ójf/'- y)-:- cof. {m-6)p^

"'" ~2 '- . r.2^ ^ I CO^- (i^ <5j^

m.m-i.m-z ... cof (/'+r(y')-cof (/;-i-(r+i)(7 )- cof ('p-'?)-- coLp .

■> OT I ■» -> V I rof. Il

2'". 1.2. 3 . . . ^ l cof </

!IJ

Il che era ecc ' '' ' '

SopRaleSerie. 453

Cafo II. di m pi.iri .

In quefla fuppofiz.ione dell' efponente m pari il valore di cof. p" non dillcrifce dal precedente fé non nell' ultimo ter- mine, il quale trovali libero da cof. /» , e velie quella forma

m.m — i.m — z....-^m4-i ^ . . -,

^ 1 , e quello termine rimane inal-

2 .1.2.3 • • • -i ''^^

terabile nell' efprclìione del valore della potenza w di qua- lunque altro cofeno. E' dunque baflantemente chiaro, che il calcolo da farli in quello cafo non è punto diverfo dal già fatto nel cafo di m difpari , avendo fultanto riguardo , che nel precedente valore della fomma S in vece dell' ultimo ter- mine fi dee prendere r -\- i volte la frazione

■ , il che da la ftella fomma già

2"=. 1.2. 3 ^m

trovata J' mutilata dell' ultimo termine, ed accrefciuta di

m.m — i .m — 2 . . . . -^ m-\- i.r-4- i. ,, ,

' ■ ■ . Il che era ecc.

2"». 1.2. 3 . . . . ^m

PROBLEMA XI.

Prefo <p per l' arco di cerchio defcritto col r aggio :=z i , ed m , n due numeri qualunque 0 pojìtiz'i 0 negativi ; cercujì la fomma S = m fen. m (p -(- ( m -}- n ) len. ( m -{- n ) $ -j- (m -{- 2n) fen. ( m -)- 2n ) cp -j- ( m -|- 3n ) fen. ( m -}- 3^ ) $ . . . -j- ( m -|- rn ) fen. ( m -\-vn)(p , ejfendo r qualunque intero affer- mativo .

SOLUZION£.

Dal Probi. II. fi ha cof m <$ -i- cof (m ^ n)(p + cof. (m + zn) <p

-j- cof (m ~\- ^n ) <p ~\- -j- cof ( m -\-rn)(p

cof. (?w-|--^ra)(})fen. i (r-1- 1 )«4) ^ . ,. , , •

:^ ^ L^^ LZ—^ — -J — — 1.J1 . Quuidi prendendo 1

kn.^n<p

difierenziali nafce — md^ fen. mp — (m -\-n) dv fen. {m-\-n)p ~{m ^ zn)d;kn. (m -:■ zT[)(^-{m + yn) dp fen. {m-{- yn)^. . . — ( m -j- r» ) </$ fen. ( m -[-'■») 1> =

Lll iij

454 Sopra lh Serie.

— ((^7 -}- ~ rn) d<t> ka. (m + - m) (p kn. - (r + i ) -/Kp kn. - m

^ Z 2 2 2

— . ( r -|- I ) }id<p coL-(r+ i)n<p cof. ( w + - r» ) cf; fen . - '/j<p

2 2 2 2

4- - }id<p cof. - »4) cof. (m+ - rn)<p fen. - ( r + i} «cp ) : fen. - «({)• ,

2-2- 2 Z ^

e dividendo per — df>, ne proviene mkn.m<p *\-{m'\-n) fen. ( w _[- « ) ^ _j_ ( ^ -j- 2« ) fen. {m-\-rn)<p '\-lm-\-yn)ìc\-\.{m-\-yfi)(p ...-À^{?ìi + rn) fen. ( w ■>, rn)(pz=.

({m~\--rn)kn.{m-^-rn)<pkr\.-{r4-i) «* fen. - np>

^2 2 2 ■ 2

~ _ ( r + I ) » cof. - ( r -|- I ) «(^ cof ( w 4- -m)(pkn.-n(p

2 2 2 2

-j- - » cof. - »>t> cof. (m -|- - r») $ fen. - ( r -f i ) «cp ) : fen. - »cp* ,

2 2 2 2 . . . . 2

Il che era ecc.

• PROBLEMA XII.

Sommare la firie S = m cof. nicp -[- ( m -}- n ) cof ( m -(- n ) (?> -}- ( m -[- zn ) cof ( m -|- 20 ) (|) -|- ( ni -j- 3n ) cof {m+ ■^n) (p ... -]- ( m -j- rn ) cof {m-\-ì:n)(p .

Sol

u z 1 o N E

II Probi. I. foniminiftra l'equazione kn.m(p-\-kn.(m-\-n)p

+ fen. {m-\--in)(p-\-kx\. (m+ ^7ì)(p . . .-{-fen. {m-\-rn)<p=L

kn.{m-\-\rn)<pkn.\{r-\-i)n^p . ,.^ .

^ ; -, la quale difierenziata , e

kn.\n!p ^

divifa per d(p ^ diventa mco(.mp~\~ {-m -\-n)coi.{m -\-n) (p

-}- {m + 2») cof {/n + 2«) cp -:• (/w -i- yn) cof {m-.- in)<p

'-\-\m--\-rn) cof ( w -j- r;? ) c^ =:

/ * r ^ I J ..

( (w + -r«)cof (/"w+ - r;2)cf)fen.- (r-Hi )«(^fen. -«(j) -

2 2 2 2

+ -(''+ O» cof. -(y-j- i;»|)fen. (OT4--^«)!|>fen. -/i|)

Soi-KA L£ Serie. 455

n cof. - n-^ fen. ( w -| — r« ) !|) fen. - ( r -}- i ) «{) ) : fen. - «$' ,

2 2

Il che era ecc.

Corollario.

Applicando il metodo da me efpofto in quefti due ultimi Problemi alle ferie quivi fommate , cioè differenziando le me- delime, egli è manifefto, che lì otterrà la fomma cos'i de' fe- rii come de' cofeni degli angoli aritmeticamente crefcenti , anche quando ciafcuno di effi verrà moltiplicato pel quadrato del numero moltiplice dell'angolo. E cos'i fempre operando, iì giungerà fempre a determinare la fomma di lifiatte ferie quand' anche ciafcun feno e cofeno venga moltiplicato per quallìvogUa poteftà intera del numero moltiplice dell' angolo refpettivo . E perciò faranno fempre fommabili le due ferie 1°. ?>/ fen. W4)-]- (w -]-«)'' fen. (w-]-«) cp

-\-{ni-\- 2«)''fen.(w-|- ■!.7i)<p-\-{m-\-^nY fen. {m-\-i'n)(S;> .. ..-^{mArvnY fen. {mA^rn)^ II*. w^cof. ?W4) -j- ( w -|- «/ cof {m-^n)<s;>

4- (w 4- 2»)" cof. (m + 2») (p + (m + ^n )*■ cof (m + y/i)(p

-{-(m-^r/t)" coi (m-\-ryi) rp\ prefo per A qualunque nu- mero intero affermativo . In fatti chiamata S' la prima di quefte due ferie, S" la feconda , fé fi prende P per indicare la fomma già trovata di fen. w^p-j- fen. (?w-|-«)cf)

-j- fen. (m + zn)c(> fen. {m -\- rn) (p -, e §i per denotare la

fomma nota di coL m(p -\- coi. {m-\-n)<p + coi (m+ 2n)(p . . . -j- cof ( /?2 -[- r« ) (p , fi otterranno i feguenti Teoremi.

Cafo I. di A pari

TEOREMA P. TEOREMA II*.

— dp^ — dP'

K

In quefli due Teoremi i fegni fuperiori vagliono per tutti i numeri pari divijibili per 4 , gì' inferiori per li non divi-

fibili.

4)6 Sopra le wSerie.

Cafi II. di A difpari TEOREMA IIP. TEOREMA IV».

-=*^|

S"= +

Pel Teorema 3°. vale il fegno fuperiore quando il numero A è della forma 4» — 1 , efTendo n qualunque intero a co- minciare dall' unità ; vale poi il fegno inferiore allorché A ha la forma 4» -f- i , efTendo n qualunque intero , ed an- che zero .

Nel Teorema 4°. fi adopra il fegno fuperiore tutte le vol- te che A è = 4«4~* ■> efTendo n un intero qualunque , ed anche zero; e fi ufa il fegno inferiore qualora A h=z^n- i , prefo per n qualunque intero, efclufo il lero.

NUOVA

AfenvdeUa>Socktà^tféjiumxi.TomJIpa^:i2.s FO.VTAA'A Parte I FOJVJyiJVA TTvn // /'

V^tta I

Itemi. LWl- JocieiiL J/àzA'an^ tJorrvJI. pa^: /^ z FONTANA

Parte I

R P CSI O N

.Ztz DE rESARIS V^^ I FONTANA .JÓmJI p.ùp.331

Fur: I A

■■■"1 J^/i^ ^'ccù:iiÙ't2li^uj:-.mJIp.ir-itz DE rE SARIS P." I /".'AT-^AH X-'mJ/ p.1.7 Xil

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s;.-

Ucm: ds/lz SocLsài ■^IzÙari^i^ Jorfz:f//x2.?i-^i FC^TSTTANA

Parte 1 eli

A

si-