im; ^. MEMORIE D I MA TEMA T I C A E DI FÌSICA DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE • TOMO XV PARTE I CONTENENTE LE MEMORIE DI MATEMATICA . VERONA DALL\ TIPOGRAFIA DI LUIGI MAINARCI MDCCCKI STATUTO DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE . 1811. I. J-ia Società Italiana delle Scienze è composta di qua- ranta Socj attuali, tutti Italiani, di merito maturo, e per Opere date in luce ed applaudite riconosciuto . II. La scienza della natura è il grande oggetto , che la Società medesima si propone. Pubblicherà pertanto, sotto il titolo di Memorie di Matematica e di Fisica , le produzioni di chiunque de' Socj vorrà render -pubblico negli Atti Sociali il frutto de' proprj studj . III. De' quaranta Membri, uno sarà Presidente della So- cietà , e la presidenza durerà sei anni . IV. Avrà la Società un Segretario, ed un Vicesegretario amministratore . Il primo sarà partecipe di tutte le facoltà dei (juaiaiiiit, kcnoliò non fcoov^ «no <1' cssi , cd avrà diritto, non obbligo, di presentar Memorie da inserirsi negli Atti. Il se- condo terrà il maneggio economico . V. 5- I- Altra Classe vi avrà di Socj Emeriti in numero indeterminato. Essa è preparata a chiunque dei Quaranta, o per età avanzata , o per abituale mancanza di salute , o per altro motivo, non producesse verun suo lavoro in quattro consecutivi tomi delle Memorie sociali . §. a. Ma se un Socio attuale passasse negli Emeriti do- po aver posto otto Memorie ne' tomi sociali , in tal caso se- guiterà a godere , quantunque Emerito , tutte le prerogative di Attuale . §. 3. Che se un Socio Emerito ponga Memorie in tre tomi consecutivi , sarà restituito nel ruolo degli Attuali . (4) Statuto VI. Un'altra Classe, parimente indeterminata, compren- derà i Socj Onorar) . A questa saranno ascritti, previo l'as- senso di ventuno almeno dei Quaranta, i Compilatori, eletti dal Presidente, degli elogj de' Socj attuali defunti. Inoltre, «sso Presidente potrà aggregare a questa classe , nel suo ses- sennio, due Soggetti, non piìi, che avessero operato cosa a prò della Società, onde meritassero d'esserne onorati parti- colarmente . VII. Ed altra Classe avrà finalmente il titolo di Socj stra- nieri, stabilita per distinguere ed onorare il merito nelle Scien- ze in qualunque parte fuori d'Italia. Sarà composta di dodici Soggetti, a ciascun de' quali verrà esibito in dono un esem- plare d'ogni Volume, che uscirà in luce, delle Memorie Sociali. Vili. Le aggregazioni alle classi de' Socj attuali e degli stranieri si faranno nel modo seguente . Per ogni posto che rimanga vacante, dovrà iU Presidente, col mezzo del Segreta- rio proporre sei nomi a ciascuno de' Socj attuali , il qual farà scelta d'uno, e lo indicherà per lettera al Segretario. Quel de' sei, che, entro il termine di due mesi dalla pi-oposta, avrà più suffragi, s'intenderà aggregato, e la Compagnia sarà fatta opportunamente consapevole dell' acquistato Cooperatore . IX. All'elezione del ProsUoutc; oaranno invitati li SoCJ attuali con una lettera circolare del Segretario, al quale ognu- no di essi farà tenere in iscritto la nomina del Socio da sé eletto a Presidente : e la pluralità de' voti, che arriveranno al Segretario , dentro il termine di due mesi dopo la data del circolare invito, determinerà l'elezione, che dovrà esser dal Segretario annunziata ai Membri votanti . X. Ciascheduno dei Quaranta ha facoltà d'inserire negli Atti una scoperta utile, un'importante produzione , anche di persona non aggregata ma Italiana, purché tal produzione, o scoperta sia giudicata degna degli Atti stessi anche da un altro Socio, il qual venga destinato segretamente dal Presidente di volta in volta all'esame della cosa presentata, ed il suo no- me ( quando approvi ) si stampi insieme con quello del pre- sentatore . DELLA Società'. (5) XI. Di questi Autori non Socj dovrà il Presidente aggiun- gere i nomi , segnati con asterisco, ai sei che presenta, a te- ner dell'articolo Vili, per l'elezione d'un Socio attuale. Bensì questa nomina cesserà, dopo fatta sei volte, contate dalla pubblicazione d'ogni Memoria. XII. Le Dissertazioni o Memorie da pubblicarsi ne' Volu- mi della Società, debbon essere scritte in lingua Italiana e in carattere chiaro . Il Segretario dovrà apporvi la data del re- capito , acciocché siano stampate con essa in fronte e per or- dine di tempo. Che se l'opera sia voluminosa, può l'Auto- re distribuirla in due o piìi parti pe' tomi susseguenti . XIII. Tutto ciò che è destinato pegli Atti dev' esser nuo- vo , inedito, importante, ed analogo all'indole scientifica di questi Volumi , che non ammette sfoggio d' erudizione , né moltitudine di note e di citazioni. XIV. I fogli stampati di ciascun Volume non dovranno eccedere il numero di cento. Le Memorie sopi'abbondanti re- steranno in deposito pel tomo susseguente^ o saranno restitui- te agli Autori che le dimandassero. Bensì, nel caso di soprab- bondanza, le Dissertazioni degli Autori non Socj dovranno ce- dere il luogo a quelle de' Socj . XV . La Snr'if'+à non oi fa riepoiisabile delle Opere pub- blicate negli Atti . Ogni Autore dev' esser mallevadore delle cose proprie, come se le pubblicasse appartatamente. XVI. Non permette peraltro la Società le invettive per- sonali, e né anche le critiche non misurate: sopra di che ve- glierà il Segretario, e ne farà inteso il Presidente per un ac- concio provvedimento. XVII. Il Socio attuale. Autore d'una Memoria o d'un Elogio, avrà in dono cinquanta esemplari della sua produ- zione, con frontispizio apposito, e con la numerazion delle pagine ed il registro ricominciati . Ad ogni altro Autore sa- ranno corrisposte dodici copie . Qualunque Autore ne deside- rasse di più, non sarà aggravato d'alcuna spesa per conto della composizion tipografica. XVIII. Neil' atto di queste spedizioni sarà trasmessa ai So- (6) Statuto cj, che avranno mandato il voto per le elezioni, la dimostrazio- ne stampata del numero de' suffragi toccati ad ogni Candidato, senza il nome però de' votanti, e così ancora i conti stampati dell'amministrazione tenuta dal Vicesegretario amministratore . XIX . Alle principali Accademie estere sarà offerto in do- no un esemplare d'ogni Volume delle Memorie sociali, che andrà successivamente uscendo alla luce . XX. I doveri del Presidente, oltre i già mentovati, so- no: mantener l'osservanza dello Statuto; eleggere il Segreta- rio ed il Vicesegretario, qualunque volta sia di bisogno; ave- re in governo e cura ogn' interesse della Società; rivedere, almeno una volta all'anno, i conti dell'amministrazione del Vicesegretario, alla validità de' quali fa d'uopo l'approvazio- ne e sottoscrizione di mano propria del Presidente : e rag- guagliar finalmente il Successore dello stato degli affari nell' atto di rinunziargli l' Uffizio . XXI. Dopo il Presidente, il Segretario è la Persona pro- priamente deputata a mantener corrispondenza con tutti i Membri della Società, e quasi centro, ove debbono metter capo tutte le relazioni Sociali. Egli invia le patenti d'aggre- gazione; presiede alla stampa, ai Correttori di quella, ed all' incision delle tavole; picnJo o«x-£x doli» epoclieionì, e d'ogni altro interesse della Società, sempre però con l'approvazione del Presidente. Egli deve pure tener registro d'ogni atto che importi ; custodire i voti de' Socj per le elezioni , mani- festandoli al Presidente ad ogni richiesta ; e finalmente ese- guir tutto ciò, che ne' precedenti articoli gli è addossato. XXII. §. I. Ad esempio delle principali Accademie, la Società Italiana delle Scienze avrà Membri pensionar] : e la pensione sarà d'annui zecchini ventiquattro, pagabili per me- tà allo spirare d'ogni semestre; non computate in verun ca- so, sia di morte, o di rinunzia, odi transito negli Emeriti, le frazioni di semestre. 5. a. Saranno capaci della pensione li tre più anziani, e di permanenza non interrotta, nel ruolo de' Socj attuali; sin a tanto però che rimangano nel ruolo medesimo. dellaSocieta'. (7) 5. 3. Qualunque volta l'eguaglianza d'età accademica renda ambigua la scelta d'uno o più Pensionar], sarà tolta r ambiguità concedendo la preferenza alla maggior età natu- rale. Nel qual caso, il Segretario chiederà a ciascun de'coe- tanei come sopra, documento legale dell'epoca di sua nasci- ta; e chi non lo faccia a lui pervenire entro mesi tre dopo la domanda, s'intenderà che rinunzj alla pensione. §. 4- Due Socj ( sia ciascun d'essi attuale o emerito ) potranno inoltre goder la pensione, loro vita naturale duran- te, quando siano autori ciascuno di dieci o più Memorie stampate ne' Tomi Sociali, il valor delle quali venga giudi- cato degno di tal premio dalla pluralità assoluta de' Socj at- tuali, a proposizione del Presidente; ovvero dalla pluralità relativa, quando si tratti di giudicare del merito relativo fra più Candidati . §. 5. In ambi questi partiti le opinioni de' Socj reste- ranno sempre segrete , ed a sola notizia del Presidente e del Segretario : si pubblicherà unicamente il numero de' sufFragj a favore di ciascun Candidato, siccome è prescritto per le elezioni nell'articolo XVIII. §. 6. Avranno titolo di Pensionar] anziani li tre del §. a; di Pensionar] giubilati li due del §. 4- §. 7. Fotià il Pensionano anziano passare a goder la pen- sione come giubilato, sotto le condizioni prescritte dal 5. 4» e quando l' un de' due posti sia vacuo . XXIII. A compensazion delle spese, che incontrano i Quaranta ne' porti di lettere per cagion della Società , ogni anno , nel mese di Gennajo , sarà fatto l' esame , onde rico- noscere i Membri attuali, che avranno corrisposto a tutte le lettere del Presidente e del Segretario nel corso dell'anno antecedente , e dentro li rispettivi termini di tempo in esse specificati ; ciascuno de' quali Socj avrà diritto di esigere zec- chini tre dalla cassa della Compagnia . XXIV. §. I. Ogni volta, che la forza pecuniaria della stessa Società lo consenta , si esporranno programmi al con- corso pubblico . Risoluto ciò dal Presidente , il Segretario in- (8) Statuto viterà li Socj attuali a propone argomenti . Questi esser do- vranno , o Fisici 5 o Matematici , o Fisico-Matematici , o in qualunque modo giovevoli a queste scienze , e sempre appli- cabili ad utile general dell' Italia . Il Segretario li manderà stampati a ciascun Socio , pretermettendo quelli che uscisse- ro dalle condizioni era prescritte . Ogni Socio spedirà al Se- gretario il proprio suffragio per la scelta dell' argomento , e dichiarerà insieme qual premio reputi conveniente e qual tem- po alla facitura ed alla presentazione delle Memorie . Quel tema che avrà piìi suffragi , sarà adottato : nel caso di paiità di voti , deciderà la sorte . §. a. Tosto si comunicherà alla Compagnia l'argomento coronato, ed il numero de' suffragi riscossi da ogni argomen- to . Neil' atto stesso sarà richiesto ciaschedun Socio attuale di nominarne tre ( di qualunque Classe , purché Italiani , e di- moranti attualmente in Italia ) ■, quelli cioè, che ciascuno , os- servato il quesito , stimerà più adattati a giudicar le Memorie che compariranno al concorso . Quei tre , ne' quali concorre- rà maggior numero di suffragi ( l'uguaglianza rimovasi con la sorte ) , s' intenderanno destinati a pronunziare il giudizio . §. 3. Nelle occasioni statuite sopra, saranno come non fat- te le risposte de' Socj , qualora non giungano al Segretario den- tro quaranta giorni dalla data della rispettiva Circolare di Lui . §. 4- Il nome de' Giudici eletti rimarrà a sola notizia del Presidente e del Segretario : se non che ciascun di quelli sa- rà fatto consapevole della propria destinazione , con divieto di concorrere al programma e di manifestarla a chicchessia : niun di loro saprà i suoi Colleghi. Se qualcun ricusasse, sa- rà sostituito il prossimo inferiore in quantità di voti . Ogni Giudice riceverà , dopo pronunziato il giudizio , un decente compenso dell' esclusion dal concorso . §. 5. Il Presidente , considerati i pareri de' Socj , lo stato economico della Società, e l'importanza di moltiplicare i pro- stabilirà la grandezza del premio , ed il termine da asse- dellaSocieta'. (9) assegnarsi al concorso . Sarà tosto promulgato il problema per tutta Italia . Ogni Italiano, anche Socio, potrà concorrere: ri- mangono esclusi li soli tre Giudici . Le Memorie dovranno es- sere inedite, scritte in lingua Italiana, e peivenute nelle ma- ni del Segretario entro il termine prescritto dal programma: il nome degli Autori sarà occulto : ogni Memoria porterà in fronte un motto, e sarà accompagnata da un biglietto suggel- lato, contrassegnato al di fuori dal medesimo motto, e con- tenente, al di dentro in maniera occultissima, nome, cogno- me, patria, domicilio e profession dell'Autore. Il mancare a qualunque delle antecedenti condizioni fa perdere il premio. 5. 6. Tosto che il concorso sia chiuso, il Presidente, ve- duto il numero e l' estension delle Memorie , definirà il tem- po , entro il quale ogni Giudice dovrà pronunziare il giudi- zio. Allora il Segretario trasmetterà le Memorie, tutte unite, ad uno de' Giudici : da cui restituite che siano , e notificato il proprio giudizio al Segretario , saranno da questo fatte per- venire ad altro Giudice; quindi con le regole stesse al terzo . Ogni Memoria coronata da un Giudice, sarà stampata col no- me dell' Autore . Il premio sarà dato a quella Memoria , che venga coronata da tre , o da due Giudici . Se tutti e tre li giudizj fossero discoi-di , si dividerà il premio fra le tre Me- morie coronate . Lo stesso si farà tra due coronate , qualora un Giudice neghi il premio a tutte le Memorie , e gli altri due non siano concordi . Che se fossero due li giudizj di ne- gativa generale del premio , in tal caso il terzo giudizio non sarà di alcun valore : si notificherà alla Compagnia l'esito del giudizio e si passerà alla pubblicazione di nuovo programma, coi metodi stabiliti sopra • 5. 7. Ma quando sia conferito il premio, il Segretario an- nunzierà prontamente ai Socj ed a tutta l'Italia il nome de- gli Autori delle Memorie coronate, indicando quello cui spetta il premio . Esse Memorie saranno stampate senza indugio; se ne spedirà un esemplare ad ogni Socio, 12, della propria a ciascun degli Autori coronati , 38 di più al premiato : i ri- manenti si esporranno a vendita pubblica . b (ro) CATALOGO DE' MEMBRI COMPONENTI LA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE. GAGNOLI ( Gav. Antonio) Pensionano giubilato. Verona. Socj Attuali . ALDINI (Gav. Giovanni) Consigliere di Stato degli Uditori . Blilano . AMORETTI ( Gav. Ab. Carlo ) Bibliotecario nell'Ambrosiana. 3Iilano . ARALDI ( Gav. Michele ) Segretario del R. Istituto Italiano. Bologna . BONATI { Gav. Teodoro ) Pensionano Anziano .> Ispettor Ge- nerale onorario alle acque, e strade, e Professore Speciale d' Idrostatica . Ferrara . BRERA { Valeriane Luigi ) Professor di Clinica Medica nella R. Università . Padova . BRUNACCI ( Cav. Vincenzo ) Professor di Matematica subli- me nella R. Università. Pavia. CALDANI ( Floriano ) Professor di Anotomia umana nella R. Università . Padova . CALDANI ( Leopoldo Maria ) Professore emerito nella R. Uni- versità . Padova . GALUSO ( Cav. Ab. Tommaso Valperga ) Professor di Lingue Orientali nell'Imper. Università. Torino. CANTERZANI ( Gav. Sebastiano ) Pensionario Anziano, e Professore di Fisica generale nella R. Università. Bologna. GESAPJS ( Cav. Ab. Angelo ) Astronomo nel R. Osservatorio di Brera . Blìlano . CHIMINELLO ( Ab. Vincenzo ) Direttore del R. Osservato^ rio . Padova . de'Socj. (il) GOSSALI ( D. Pietro ) Professore di Matematica sublime nel- la R. Università . Padova . DANDOLO ( Cav. Vincenzo ) Senatore . Milano . FABBRONI ( Cav. Giovanni ) Direttor Generale dell' Imper. Zecca . Firenze . FERRONI ( Pietro ) Matematico Imperiale . Firenze . FOSSOMBRONI ( Co. Vittorio) Senatore dell'Impero Fran- cese . Firenze . GALLINI ( Stefano ) Professore di Fisiologia , ed Anatomia comparata nella R. Università . Padova . GIOBERT ( Giannantonio ) Professore di Chimica generale , e Miqeralogia nell'Imperiale Università. Torino. GIOVENE (Giuseppe) Presidente della Società Agraria. Lecce. MAGISTRINI ( Gio: Battista ) Professore di Matematica subli- me nella R. Università. Bologna. MAIRONI ( Giovanni Daponte ) Professore di Storia Naturale nel R. Liceo . Bergamo . MALACARNE ( Vincenzo ) Pensionarlo giubilato. Professore d'Istituzioni Chirurgiche, e d'Ostetricia nella R. Univer- sità . Padova . MASCAGNI (Paolo) Professore d'Anatomia nell'Arcispedale. Firenze . MOSCATI ( Co. Pietro ) Pensionario Anziano, Pretore del Senato . Milano . PAOLI ( Pietro ) Professore di Matematica sublime nell'Im- periale Università . Pisa . PARADISI ( Co. Giovanni ) Senatore . Milano . PESSUTI ( Gioacchino ) Professore di Matematica sublime nell' Archiginnasio della Sapienza . Roma . PEZZI ( Francesco ) Tenente Colonello nel Corpo Imperiale del Genio Francese . Genova . PIAZZI ( D . Giuseppe ) Professore d' Astronomia . Palermo . PINI ( Cav. Ermenegildo ) Professore di Storia Naturale, Is- pettor Generale delia Pubblica Istruzione . Milano , RACAGNI ( D. Giuseppe Maria ) Professore di Fisica nel R. Liceo . Milano . RE ( Cav. Filippo ) Professore d'Agricoltura nella R. Univer- sità . Bologna . RUBINI ( Pietro ) Professore di Medicina nella Imperiale Uni- versità . Parma . (la) Catalogo RUFFINI ( Cav. Paolo ) Professore di Matematica sublime nel- la R. Scuola Militare . Modena . SALADINI ( Cav. Girolamo ) Professore emerito nella R. Uni- versità . Bologna . TARGIONI TOZZETTI ( Ottaviano ) Professore d'Agricoltura, e di Botanica . Firenze . VASSALLI EANDI ( Cav. Antonio Maria ) Professore di Fisi- ca , e Segretario dell' Accademia Imperiale . Torino . VENTUROLI ( Giuseppe ) Professore di Matematica applicata nella R. Università . Bologna . Divisione de' Socj Attuali in due Classi E INDICAZIONE de' Tomi, in cui hanno Memorie . Classe Matematica . Sonati a. 5. 8. 8. ii. i5. Brunacci 14. i5. Gagnoli 3.4.4.5.5.5.6.6.6. 7. 7.8.8.8.9. IO. II. 14. Caluso 9. la. 14. Canterzani a. 5. 8. 11. i4- Cesaris a. io. ( pag. x ) 11. ( pag. 176. ) 14. Chiminello 7. 8. 8. 9.9. io. io. 11. 11. 11. la. la. la. i3. i3. 14. i4- i4- i5. Cessali 9. IO. i3, iS. i5. Ferroni 5. 7. 9. io. io. 11. la. 14. i5. Fossombroni 3. 7. 9. la. i3. Magistrini Paoli a. 4- 4- ^•6- 8. 9.9. IO. i3. Paradisi . . Pessuti II. i3. i3. 14. i5. Pezzi 4- 5. 6. 8. 1 1. II. i3. Piazzi II. la. 12. i3. Racagni io. i3, Ruffini 9.9. 10. la. la. i3. Saladini 9. io. ii. la. Venturoli la. i4- n e' S o e j . {i3) Classe Fisica . Aldini i4- Aiuorelti (i. io. la. i3. i5. Araldi io. ii. 12. i3. i5. Brera i4- i5. Caldani Floriaìio 7. 8. 12. i3. Caldani Leopoldo 4- 7> 8. 9. io. 12. 12. i3. 14. i4' i5. Dandolo Fab])roni io. 11. 12. i3. 14. Gallini j4- ^^^ Giobert io. i3. Giovene 8. 9. io. 11. la. i3. 14. i4- ^A- ^^• Maiioni D,i[)unte 4- 9- 9- i'- '3. i4- i5. Malacarne i . 2. 3. 3. 4- 4- ^- 6. 7. 8. 8. g. 9. ro. i r. 12. 12. i3. 14. i5. Mascagni 8. 11. i5. Moscati I. 5. IO. 1 3. Pini 3. 5. 6.6. 9. IO. 12. i3. i3. i4- i5. Re la. 14. Rnbini 14. i5. Targioni Tozzetti 11. i3. i3. i4- Vassalli Eandi 4- ^- "^- ^^- i3. 14. SocJ Emeriti . BRUGNATELLI ( Luigi ) Professore di Chimica nella R. Uni- versità . Pavia . LAGRANGE ( Co. Lodovico ) . Parigi . 0RL\N1 ( Cav. Ab. Barnaba ) Astronomo nel R. Osservatorio di Brera , e Senatore . Blilano -. POLI ( Giuseppe Saverio ) Direttore del R. Museo di Storia Naturale . Napoli . ROSA ( Cav. Michele ) . Pumi ni . SALUZZO ( Giuseppe Angelo ) . Torino . SCARPA (Cav. Antonio) Professore nella R. Università. Pavia. STRATICO ( Cav. Simone ) Senatore . Milano . VENTURI ( Cav. Gio: Battista ) . Berna . VOLTA ( Cav. Alessandro ) Professore nella R. Università, e Senatore . Pavia . (i*4) Catalogo SocJ Onorar/ . BRAMBILLA ( Paolo ) Professore di Matematica nel R. Liceo. Milano . DELBENE ( Benedetto ) Segretario perpetuo dell' Accademia d'Agricoltura, Commercio, ed Arti. Verona. LANDI ( Ferdinando ) . Piacenza . LOMBARDI ( Antonio ) Bibliotecario publico . Modena . PINDEMONTE ( Ippolito ) . Venezia . POZZETTI (D.Pompilio) Prefetto della R. Biblioteca. Bologna. ROSSI ( Cav. Luigi ) Segretario generale alla Direzion gene- rale della Pubblica Istruzione . Milano . VIVORIO ( Ab. Agostino ) Ispettor generale onorario d' ac(jue e strade . Vicenza . SocJ Stranieri , ACHARD . Berlino . Co. LAPLACE . Parigi . BANCKS . Londra . MASKELINE . Londra . Co. CHAPTAL . Parigi . OLBERS . Brema . DELAMBRE . Parigi . GAUSS . Gottinga . HERSCHEL . Londra . ZACH . Gota . HAUY . Parigi . BODE . Berlino . Segretario . Vice Segretario Amministratore OTTAVIO GAGNOLI . '. 1. (iS) ANNALI DELLA SOCIETÀ ITALL\NA DELLE SCIENZE DaW Aprile mdcccix all' Aprile mdcccxi Continuati dal Sic. Ottavio Caqnoli Viceseghetario Amministratore della medesima . i5a. JL re giorni prima che incominciasse Aprile fu resa pub- blica la Carta intitolata Risposta de' Reggenti dell' Accaderìiia d'Agricoltura ec. alla Lettera circolare del Sig. Cav. Antonio Gagnoli ec. senza data, e senza sottoscrizione d'alcuno, nella quale si oppugnava la detta Lettera Cagnoli con osservazioni meramente gratuite , e con citazioni di carte mutilate , alla quale contrappose il Sig. Cav. Presidente lo schiarimento, che per amor della pace si contentò di render noto a pochissimi degli Accademici , e col quale credè egli sgravarsi sufficien- temente dalle taccie impostegli . i53. Intanto il bimestre assegnato ebbe fine ai a3 Mag- gio per l'elezione del nuovo Presidente ; e col primo ordina- rio la diligenza dell'egregio Sig. Pozzetti trasmise alla Segre- teria il risultato delle votazioni , per le quali a gran plura- lità rimaneva eletto per un terzo sessennio il Sig. Cav. An- tonio Gagnoli: e confermata fu tal notizia dall'altro Deputa- to Sig. Lombardi . i54- Comunicata tal novella riprova dell'attaccamento dei Quaranta al Presidente riconfermato nell'esercizio delle sue funzioni, egli ascoltando gli impulsi del proprio cuore, e i sentimenti di vera gratitudine ai Colleghi , più del debo- lissimo stato di sua salute , rispose sottomettendosi al peso della Presidenza, nominando Vicesegretario Amministratore coir incombenze provvisorie di Segretario 1' attuai Prosegreta- rio, e chiamando il medesimo ad invitare i Socj a presentar problemi sugli oggetti spettanti alla Società, onde esporre un Prooiamma per le soluzioni d'un problema Fisico, e d'un Matematico . (i6) Ausali i55. Essendosi soltanto alla metà del mese di Maggio, in conseguenza dello turbolenze guenesclie, dato fine alTe- dizione del Tomo XIV , e fatta la relativa sj)edizione all'Au- torità Governativa ed ai Socj, S. E. il Sig. Ministro dell'In- terno sotto il a5 di Maggio accusò la ricevuta del detto To- mo con frasi lusinghiere per la Società . i56. Fu iu questo turno di tempo, che pervennero le risposte Sociali alla circolare 4 Febbrajo ( i5i ), e la plura- lità, approvando l'operato del Sig. Presidente, dissenti da ([uello dell'Accademia d'Agricoltura, Commercio, ed Arti. iSj. Col di 2C) Maggio l'enciclica del Vicesegretario Am- ministratore , notiilcò ciò tutto che fu esposto dal Sig. Pre- sidente { 1S4 ), e fu dichiarato il numero di voti ottenuto da ciascun Candidato . In questo incontro stesso fu invitato il fervore de' Socj ad allestire nuove Memorie pel Tomo XV. i58. Nel termine prefisso i Socj risposero alla detta cir- colare , e il loro voto fé' nascere la lettera del Vicesegreta- rio a5 Luglio 1809 colla quale furono essi invitati a trasce- glier un Problema di Matematica, tra gli 11 proposti, ed uno di Fisica tra i 1 3 , facendo pervenir la risposta entro i 40 giorni successivi, ed additando il tempo da prescriver al con- corso, e il premio da assegnar ad ognun de' problemi da es- porsi . iSg. Sotto lo stesso giorno il Big. Cav. Presidente in- vitò pure i Soci ^^ esprimere il loro voto suU' argomento im- portante delle Memorie /presentate di Autori non Socj, a ciò spronato dalla proposizione di un Membro, che tali Blenio- rìe dovessero stamparsi in Tomi separati . Assoggettò quindi il prefato Sig. Cav. Presidente alla Compagnia il nuovo arti- colo X dello Statuto concepito in questi termini ^Ciascheduno dei Quaranta ha facoltà d' inserire negli Atti una scoperta utile, uii importante produzione , anco di Persona non aggre- gata^ ma Italiana, purché tal produzione , o scoperta sia giu- dicata degna degli Atti stessi, anche da un altro Socio, il quale venga destinato segretamente dal Presidente di volta in ' Molta all'esame della cosa presentata^ ed il suo nome (quan- do approvi ) si stampi con quello del presentatore . 160. Colla Circolare del Vicesegretario r r Settembre lOcQ furono resi consapevoli i Socj , che la pluralità assoluta avea deciso sull'accettazione del nuovo Articolo Statutario suddet- to , Del Sic. Ottavio Gagnoli. (17) to , che si vedrebbe impresso nello Statuto premesso al Tomo XV : fu notificata la scelta del problema Fisico , e del Mate- matico , la maggioranza dei voti avendo prescelto l' Vili di Matematica cioè " Vili. Presentare un esatto e definitivo esame e confronto delle due teorie del Newton e dell' Euleio sulla luce „ e rXI di Fisica, cioè " XI. Determinar col mezzo di ac- curati esperimenti, se vi abbia una differenza positiva tra l'a- zione, che esercita sul corpo umano la Pila di Volta, e quel- la che vi esercita la macchina elettrica comune : indicando in che questa differenza consista ; e quali deduzioni possano trarsi da questi principj per servirsi dell'uno o dell'altro mez- zo di prefeienza nella cura delie malattie „. Venne spedito il programma a stampa a ciascun dei Mem- bri, e fu publicato nei Giornali d'Italia; e finalmente furo- no invitati i Socj a sceglier dal loio novero tre Giudici per l'argomento di Matematica, e tre per quello di Fisica, non senza partecipar loro che il premio d'Italiane L. 600, e il tempo d'un anno erano stati assegnati dalla pluralità alle so- luzioni di ciascun dei detti Problemi . 161. Gompiti i 40 giorni prefissi nella suddetta encicli- ca, fu scrupolosamente osservato dal Vicesegretario quali Socj resultavano eletti Giudici , e si fece sollecito di comunicar a ciascuno la relativa nomina , alla qual lettera tutti risposero con queir attaccamento al Corpo , che caratterizza la bontà di questo , e l' ottima concordia che regna in esso . i6a. Scadendo nel Gennajo 1810 l'esecuzione dell'Art. XXIII dello Statuto pel 1809, fu nelli primi giorni di quel- lo che il Sig. Gav. Presidente col Vicesegretario fece l'esa- me della corrispondenza Sociale relativa alle circolari 4 Feb- brajo, 0.5 Luglio per le due sotto tale data, e 11 Settembre, escludendo la circolare 2,3 Marzo 1809 riguardante la nomina del Presidente , mentre le risposte dei Socj a quella , tutto- ra occulte alla Segreteria, furono dirette ai Socj Onorar] Poz- zetti e Lombardi . Si rinvennero capaci della compensazione per la spesa delle lettere i Signori Brera, Gav. Brunacci , Gav. Ganterzani, Ghiminello, Delanges, Ferroni, Pessuti, Gav. Ruffini , Venturoli, Galdani Leopoldo, e Floriano^ Giovene, Maironi , e Gav. Re . i63. Golia enciclica poi 9 Gennajo il Vicesegretario par- tecipò la data esecuzione al detto articolo , ed invitò i Mem- (i8) Annali bri a surrogare nella classe dei Socj Stranieri, per l'accaduta morte del celebre Fourcroy, altro individuo tra i sei, che il Sig. Cav. Presidente proponeva . 164. La pluralità relativa volle prescelto il Sig. Gauss, e di ciò ne fu reso avvertito il Corpo colla circolare q Mar- zo, e l'eletto in questa: vennero inoltre invitati i Membri ad elegger altro Socio straniero per riempiere il vacuo lascia- to dal defunto Saussure, e il Sig. Cav. Presidente assogget- tò alla scelta il nome di sei soggetti . i65. Avendo S. M. I. R. disposto che il Sig. Consigliere dì Stato Scopoli fosse Direttor Generale della Pubblica Istru- zione nel Regno, il Sig. Cav. Presidente offrì allo stesso gli Annali della Società , da questi potendo la prefata Autorità rilevar facilmente lo Stato di un Corpo, che incessantemente dimostrò al pubblico la propria attività a decoro dell'Italia, e del Governo benefico che lo riguardò sempre con ispezial protezione. Gradi il Sig. Consigliere di Stato l'offerta come Io dichiara esuberantemente il di lui foglio N.° 181 1. 166. Trascorso il bimestre dalla data g Marzo dell'ulti- ma circolare , i Socj espressero il loro voto in modo che i più scelsero il Sig. Bode , il quale contemporaneamente ai Quaranta fu i-eso consapevole della sua nomina . 167. Col giorno 11 Settembre 1810 avendo termine l'an- no assegnato al pubblico concorso nel programma 1 1 Settem- bre i8og per le soluzioni d'un problema in materia Fisica, e m/u .,^1 . ("/•//'. ■ //>^r-'7Z./i/rj/iw .XJoni/i^?à '^^ ELOGIO DEL SIGNOR PIETRO ANTONIO BONDIOLI I PROFESSORE ec. ec. Scritto dal Sig. Mario Pieri Ricevuto il primo Febbrajo 1810. M, .enti-e tutta Europa è fornita, anzi abbonda, di Univer- sità, di Licei, di Accademie, di luoghi insomma d'ogni ma- niera , che destinati sono a diffondere la dottrina per ogni dove; mentre non vi ha forse né castello, né villaggio, che non vanti qualche pubblico stabilimento per istituzione del- la gioventù , e non v' ha nessuno , sol che il voglia , che raccor non possa a pochissime spese tutto il tesoro dello sci- bile umano; vi sono qua e là di quegl' infelici paesi, dai governi o dalla fortuna dimenticati^ che nella oscura notte del medio-evo ravvolti ancora ed oppressi sembran giacere . Tale , non per vizio di lei , ma per malignità di politici in- flussi , era non ha guari Corfù mia patria , cui più non re- stava che una sterile memoria delle sue prische virtudi . In un paese dunque , che non offeriva né Università, né Licei, né Collegi , né ( pare incredibile , ma è vero pur troppo ! ) una Scuola Normale , in un paese per lungo tratto di mare e di terra da tutto il culto Mondo diviso , in un paese da barbavi confinanti circondato , che non contava un librajo , né una tipografia, anneghittiva la misera gioventù nell'ozio e neir effemminatezza , e quell'attività d'ingegno, che dai gloriosi Antenati e dal clima ricevuto avea , a frivole e me- II Elogio del Sic. P. A. Bon digli schine occupazioni vedeasi rivolgere . Quindi in chi tali cir- costanze considera meraviglia somma dee ridestare colui, che, superate queste quasi insuperabili difficoltà , giunse a far qualche passo nella carrieia delle lettere . Che direni poi di colui , che potè acquistarsi in tal carriera un gran nome , ijuale s'acquistò certamente Pietro Antonio Bondioli ? Egli nacque in Corfù l'anno 1765, di Giacomo Bondio- li, e di Cliiara Marsilli . Spiegò per tempo inclinazione alle lettere . Era tenero giovanetto quando i suoi lo smairivano talora per un' intera giornata , cercandolo qua e là non sen- za inquietudine , ed egli intanto nel fondo della Biblioteca d'un Monastero, ch'era un buon miglio dalla cittade lonta- no , appiattato si stava . Applicatosi allo studio delle Umane Lettere sotto la disciplina di Luigi de' Rossi, il solo che ivi desse qualche sana lezione di Logica e di Rettorica, non tardò luolto a dar prove de' suoi talenti , e della sua attitu- dine alla Poesia Italiana. Si strinse tosto d'amicizia con al- cuni giovani del paese, cultori de' medesimi studj , i quali, tolta a pigione una stanza, venivano a formare quasi un'Ac- cademia , nella quale il Bondioli avea il primo luogo ; Acca- demia , che si rendette alquanto famosa nella città, per cer- te mascherate carnovalesche principalmente , nelle quali ciò che dovea non poco sorprendere in giovani di sì tenera età e di greca nazione , si recitavano cicalate e versi secondo r uso della Toscana . Ma queste cose non poteano occupare , che ne' primi suoi anni, l'uomo, di cui parliamo, e ch'entrò sin d'allora in pensiero di abbandonare le belle lettere per le scienze più utili , quasi sdegnando di divertire e solazzare i suoi si- mili , dove potea sovvenirli e soccorrerli . Quindi , imbarca- tosi tutto acceso di questo desiderio , e con la permissione de' suoi genitori, approdò in Venezia, ma non fece altro quasi che passare per quella incantatrice metropoli , volan- do subito a Padova , dove , impetrato un posto nel Collegio Greco , fermò sua stanza : non perchè egli pensasse di fare Scritto dal Sic. Mario Pieri. ur in quel Collegio i suoi studj , ma perchè quella Scuola, da persona pia instituita , gli offeriva mensa ed abitazione sen- za dispendio , e riparava così ini poco alla sua non troppo larea fortuna . Le Scienze Fisico-Mediche erano il suo sco- pò . Per queste ei si fece ascrivere tosto nel ruolo degli alun- ni di quella celebre Università, e con tanta furia intorno ad esse si pose, ch'egli solea tenere stretta in mano, come piìi volte un nostro comune amico narrommi, una palla di fer- ro , per essere risvegliato dal cadere o dall' ui-to di questa ^ nel caso che il sonno venisse a sorprenderlo . La sua singo- iare applicazione allo studio, la sodezza de' suoi costumi, e la soavità delle sue maniere , gli ottennero in breve la be- nevolenza degli uomini più chiari di quella dotta città , e dei Professori di quel celebre Studio. E già nulla tanto stan- dogli a cuore , quanto la maniera di corrispondere alla favo- revole opinione, che di lui sì tosto foi'mata s'era, scrisse, anche prima di ottenere la laurea, tre dotte Memorie, da lui lette successivamente negli anni 1787. 88. 89 all'Acca- demia di Scienze Lettere ed Arti di Padova , alla quale già come Alunno egli appartenea . La prima è «uU'uso medico delle fregagioni. L'influen- za di queste sopra le più importanti funzioni del corpo ani- male, la corrispondenza del loro uso con l'uso dell'elettri- cismo , le varie specie di fregagioni addattate alle malattie particolari , e i metodi da osservarsi per ciascheduna , tutto è ivi discusso con accuratezza e dottrina . Sarebbe desidera- bile, che tutti gli specifici della Scienza Medica si riduces- sero ad una tale semplicità . Le persone a noi più care di- verrebbero forse in tal caso i nostri più abili medici, ed il misero infermo vedrebbe sopra il suo letto, in luogo delle ciglia aggrottate e delle facce seriose di tanti mediconi im- postori , gli affettuosi sembianti di una madre , di un fratel- lo, di un amico, che col loro aspetto accrescerebbero sem- pre più l'efficacia del rimedio. Non so se questo sia per ac- cadere giammai ; ma è certo , che que' medici , i quali colla ìv Elogio del Sic. P. A. Bondioli loro dottrina , e colle loro esperienze a questo segno tenta- no di condur l' arte loro , più ancora per la loro generosa umanità, che per la loro medica valentia si fanno ammirare. La seconda Memoria, che tratta dell'elettricismo pro- dotto dalle fregagioni mediche, si può dire un'appendice della prima. Questa parte del suo argomento sembrò all'autore degna di una dissertazion separata, in cui potesse per tutte le particolarità e per tutte le teorie del tanto applaudito e com- battuto elettricismo, quanto ampiamente faceasi mestieri, sen- za ceppi spaziare. Bollivano in quel tempo più che mai le con- troversie sopra r utilità dell' elettricismo nella Medicina : chi lo bandiva capitalmente da tutte le provincie di quella Scien- za ; e chi a cielo esaltavalo come la panacèa universale di qualunque specie d' infermità . I soli Medici filosofi tenevansi entro i limiti di un' illuminata moderazione, non credendolo né r unico , né il più vano ed inutile dei rimedj . Il nostro giovane fisico , persuaso della salutare influenza del fluido elettrico sul corpo umano, ma non pago abbastanza delle ra- gioni finora addotte per dimostrarla, si fa a rintracciarne di nuove , dopo aver posto nel vaglio tutt' i sistemi , che in questa nuova Scienza Medica venner formati . Il Sonno , fenomeno singolarissimo, che costò invano fi- nora tante veglie ai più accreditati fisiologi, è l'argomento della terza Memoria . In questa il Bondioli tenta di piantare una nuova teoria del Sonno , fondata sopra i fatti compro- vati e più semplici , e dipendente soltanto dalla struttura fisica dei vasi del cerebro , e dalle leggi costanti della cir- colazione del sangue nel detto viscere . Stabilisce egli , che la forza impressa nel sangue , il quale scorre nel cervello , soffia una vicenda regolare d' aumento , e di degradazione , e che la velocità e quindi la massa di questo fluido debba esser maggiore nell'ingresso che nell'uscita; dal che ne se- gue, che in capo ad alcune ore debba farsi nel cervello una pletora parziale, che comprimendolo, produca il sonno con un periodo infallibile , e che poi questa pletora medesima .j Scritto dal Sig. Mario Pieri. v sforzando a più viva contrazione l'arterie di esso, in grazia della maggior distensione delle loro pareti , risospinga di nuovo il sangue colà in soverchia copia raccolto , e quindi si termini la compressione rinnovandosi regolarmente la ve- glia . Una tal teoria , non discordando colle altre più sensa- te e più celebri^ come osserva l'autore, anzi contenendole in sé quasi tutte, merita la considerazione di tutt'i fisiolo- gi, e se non è ancora sufficiente a sciogliere uno de' più complicati problemi della fisica animale, pviò nondimeno pro- cacciare un grido d' applauso al giovane fisiologo, trattandosi in ispezieltà di un argomento , nel quale né anche i più ve- terani giunsero a soddisfar pienamente . Compiuti i suoi studj , ed ottenuta la laurea nel sacro Collegio de' Filosofi e Medici di Padova il dì primo Luglio 1789, ecco farglisi incontro un campione, che lo disfida a battaglia . Aveva poco prima il Bondioli indirizzato una let- tera al eh. D."" Aglietti^ pubblicata con questo titolo: Let- tera sulle Vaginali del Testicolo, e siili' epoca di alcune sco- perte Anatomiche. Vicenza 1789. Egli dassi a difendere in essa , con tutto l' ardore della più viva gratitudine , e con somma perizia anatomica , il suo celebre Maestro Professore Caldani , contro il quale era uscito in campo il Piofessore Girardi Anatomico di Parma , che negava l' esistenza della vaginale comune del Testicolo , ammessa dal Professore Cal- dani . La gratitudine e l' amicizia , che al suo Maestro stri- gnevalo, non arrivarono per altro a far dimenticare al Bon- dioli il rispetto dovuto al di lui illustre avversario . Tanto non bastò al Sig. Enrico Calane, alunno del Girardi^ che volle provarsi di rompere una lancia in difesa del suo Mae- stro , stampando una lettera in risposta a quella del Bondio- li . Bellissima e generosa gara poteva esser questa di due giovani campioni, mossi da una causa nobile del paro e ge- nerosa, se il Sig. Gallane entrato fosse nella tenzone con modi più urbani , e più cavallereschi . La lettera di questo rimise in mano la penna a quello, e fu cagione dell' opusco- TI Elogio del Sic. P. A. Bondioli lo intitolato : Sul mimerò delle Vaginali del Testicolo Esame Anatomico del D/ P. A. Bondioli relativo alla Dottrina sullo stesso argomento del Sig. Michele Girardi Professor di Notomia e di Storia Naturale in Parma — Paelova 1790. Né il Bondioli imitò il tuono scortese del suo avversario , ma osservò una moderazione veramente filosofica , e propria dei vemci ed ingenui indagatori del vero ; come ad ogni passo il dimostra il suo Esame Anatomico , dove , in vece di giu- rare in verba magistri , e di lasciarsi incantare dalle autori- tà di un Mailer^ di un Neùbauer, di un Wrisberg, ec. spie- ga un corredo di osservazioni proprie , di esperienze , e di prove dedotte da un gran numero di cadaveri incisi colle sue mani . Un fenomeno , che la notte più fitta quasi in un rilu- cente giorno trasmuta, un fertomeno che ne' campi del cielo presenta or globi or colonne di fuoco , ed oi"a mille lumino- se figure in mille singolari guise conformate, ora scaglia ra- pidissimi fulmini di luce purpurea, ora in un istante tutto l'orizzonte raggiorna; questo fenomeno singolarissimo, che tanto affaticò la penna e l'ingegno de' Fisici, non potea non suscitare la fantasia naturalmente poetica, e dimandare le indagini del nostro Bondioli . Egli vi si accinse con sommo genio e fervore, e l'esito dimostrò, che tutte quante le pro- vinole del Fisico regno avea ne' suoi studj ben corse e viag- giate . Difatti , r opera , che fu a lui più feconda d' incorag- giamenti e d' applausi , e che lo mise in corrispondenza co' più insigni Fisici dell'Italia, si è la Memoria sopra V Auro- ra Boreale , letta all'Accademia di Padova il dì i5 Decembre 1790 j ed ecco il giudizio ;, che ne ])ortò l'Accademia per mezzo de' suoi illustri Censori Giuseppe Toaldo , e Simone Stratìco . „ La Memoria , ella dice , del Sig. D / Pietro An- tonio Bondioli sopra V Aurora Boreale, letta nella Sessione de' iS Decembre 1790 della nostra Accademia, contiene una di quelle felici vedute , che si presentano agi' ingegni ferti- li, pronti, ed esercitati nelle fisiche cognizioni, e medita- SCHITTO DAL SiG. MaRIO PiERI. VII zionl per la spiegazione di qualche difficile fenomeno. Quel- lo dell'Aurora Boreale diede esercizio ad illustri Fisici, ed il Sig. Bondioli riferisce tre delle più recenti opinioni , che furono proposte , indicando le difficoltà a cui soggiacciono . Indi presenta la sua Teoria fondata sulle più dilicate espe- rienze elettriche , e corredata di ragionamenti dedotti dalle più recenti scopeii:e fisiche e chimiche. Consiste questa Teo- ria nella combinazione di due verità di fatto , cioè , che i vapori si caricano di fluido elettrico nell'atto di formarsi, e di sollevarsi dai corpi , e lo conservano , e che qualora sie- no addensati dal freddo lo depongono negli spazi! e corpi vicini, nel qual caso il fluido stesso sprigionato si manifesta con lo splendore e la luce colorata , che sparge con moto rapido ed irregolare, atto per conseguenza a formare varie apparenze , quali sono quelle , che accompagnano le Aurore Boreali , e nelle regioni polari , e nelle altre ancora , dove le vicende atmosferiche portano questa aggregazione di va- pori ridondanti di fluido elettrico, e trovasi il grado di fred- do, che si richiede per separare dai vapori il fluido stesso. Lo stile animato da molta dottrina rende interessante la let- tura di questa Memoria , e la pubblicazione della medesima non può che riuscire graditissima ai cultori della Fisica , e di somma lode all'autore „. Fin qui l'Accademia di Pado- va : né tacerò di un altro giudizio , che vai per quello di un' intera Accademia, quello cioè del celebre Alessandro Vol- ta, cui piacque molto questa Memoria, che fu da lui illustra- ta di NotCj ed inserita per opera sua nel Tomo I del Gior- nale Fisico-Medico del Ch. Professore Brugnatelli, anno 1792; onore , che il Bondioli con somma compiacenza già rammen- tando , onore tanto più segnalato , che il Volta mostrò po- scia di dissentire dall'opinione di lui, non restando per al- tro mai dall' applaudire al suo scritto. Ritornò dopo varj anni il Bondioli sopra lo stesso argo- mento, ma con qualche diversità, e fece presentare il dì 19 ottobre 1801 alla Società Italiana la sua Memoria sopra vili Elogio del Sic. P. A. Bondioli le Aurore Boreali Locali , che quella illustre Società si piac- que d'inserire nel Tomo IX de' suoi Atti. Accennati di vo- lo e in compendio i principj su i quali è fondata la Teoria sviir Aurora Boreale, esposta nella precedente Memoria, pas- sa il nostro Autore a stabilire , che questa Meteora non è propria soltanto delle regioni Polari, ma che può aver luo- go altresì ne' climi più temperati, solchè un freddo improvvi- so condensi di subito una gran massa di vapori pregni di elettricità . È vero che tali accidenti più di frequente in- contrandosi ne' climi freddissimi del Polo, più frequenti e più estese ivi comparir debbono sì fatte aurore, ma ciò non toglie , dice l' Autore , che in qualunque parte del cielo af- facciarsi non possano, proprie soltanto del luogo dove ri- splendono, che non possano esservi, vale a dire, delle Au- rore Boreali Locali. rili^irji tocca di vo- XIV Elogio del Sic. P. A. Bondioli lo gli errori dove altri può inciampare in tali operazioni; do- po di che egli passa a segnare le norme, che seguir dee chi non ama di smarrirsi nelle ricerche di Materia Medica, e chiude il suo discorso coli' esporre hrevemente i sommi van- taggi , che dal suo metodo lo studio della Materia Medica può raccogliere . Su tali fondamenti non è malagevole il conghiet- turare quale e quanto edifizio egli abbia innalzato . E incre- dibile il concorso e l'applauso, che le sue lezioni otteneva- no. Oltre i giovani suoi scolari, che per dovere io ascolta- vano, vi avea quasi tutt'i giorni un numero di Medici ripu- tati, e di dotte persone, che alle sue lezioni assistevano, e con tale entusiasmo, che spesso con grida di applauso e con batter di palme fino alla sua casa amavano di accompagnai'- lo : entusiasmo tanto più straordinario, e da farne gran con- to , quanto che la dotta Bologna passa per ischifiltosa anzi che no nel donar la sua stima , e le sue lodi ai Professori stranieri . In questo mezzo egli fu decorato d'un fregio luminosis- simo , venendo eletto uno dei quaranta Socj attuali della piiJi famosa Accademia d'Italia, cioè della Società Italiana. Untai posto, cui sempre anelano i dotti più illustri d'Italia, come una ratificazione necessaria del loro merito , era un onore ancor più segnalato per lui , che avea nel concorso competi- tori di tal fatta , da cui sarebbe , direi quasi , un onore il rimaner vinto . Egli giustificò pienamente la scelta de' suoi dotti elettori , non mancando mai di pagare il tributo , che il suo nuovo posto imponeagli . Varie Memorie di lui si tro- vano inserite negli Atti di quella illustre Società, ed a qual- cuna già da noi mentovata si può aggiugnere quella intito- lata Ricerche sopra le Forme partìcohiri delle Malattìe Uni- versali, e l'altra swW Azione Irritativa. Delle quali Memorie noi non diremo più oltre , perciocché essendo queste stampa- te negli Atti della Società , che sono in mano di tutti , ed in tutte le Biblioteche , ognuno può , sol che il vogha , la sua dotta curiosità soddisfare; diremo bensì, che in tutte ri- Scritto dal Sig. Mario Pieri . xr levansi cjuelle mire profonde ed originali, quella forza e fe- condità d'ingegno, e que'semi di nuove ed utili dottrine, ch'egli solca spargere per tutto, e ch'erano i fondamenti d'un sodo e cospicuo edilìzio, a cui da qualche tempo il no- stro Autore attendeva. Egli studiava d'innalzare la Medici- na al titolo ed al grado di Scienza , grado che molti , forse non a torto , le hanno finora niegato . Nel mentre oh' egli salìa con tanto successo la cattedra di Bologna , la munificenza Sovrana andò a visitarlo di nuo- vo , recandogli la decorazione del Regal Ordine della Corona di Ferro tosto che fu instituito ; e questa visita non fu l' ul- tima . Correano parecchi anni che l'Università di Padova, per le politiche e per le naturali vicende , che varj valenti Pro- fessori le aveano rapito, andava ogni giorno più illanguiden- do ; quando per volere Sovrano fu chiamato il BondioU ad occupar in essa la cattedra di Medicina Clinica j, dappoiché mancò il celebre Comparettì rimasta vacante : elezione ancor più onorevole al BondioU come quella , che fu il primo se- gnale della rigenerazione di quella celebre Università; imper- ciocché d'allora in poi nuove cattedre, nuovi Professori crea- ronsi, e nuova vita a quello studio s'infuse, e cogli altri del Regno si afFrattellò . Ma quantunque la sua nuova destinazio- ne, e per la sua importanza, e per lo lucro maggiore, e per- chè l'aria di Padova più si affaceva al suo fisico, e perchè in mezzo riconducealo agli antichi suoi amici, ed a' suoi Mae- stri de' quali era bello il sedere collega, più lusinghiera, più onorata, più cara dovesse parergli, ciò non pertanto con non picciolo dispiacere egli da Bologna si distaccò, né a Bologna increbbe meno il vederlo partire : che un uomo di gentile e grato animo come il BondioU abbandonar non sa tranquilla- mente un soggiorno, in cui le persone più chiare per dottri- na e per nascita ( e tutti sanno se queste scarseggiano in una Bologna) gareggiavano nell' accoglierlo e nel bramarlo, dove la sua riputazione sempre più rassodando si venne , e dove a cercarlo andarono le più solenni onorificenze . XM- Elogio del Sig. F. A. Uo.nuioli L'argomento del suo nuovo discorso inaugurole è Dell' Istituzione Clinica più atta a formar veri Medici . V ha una Scienza Medica, dice l'Autore, ma imperfetta. Oli elementi di questa sono le dottrine ed i fotti esistenti, ma questi so- no una massa informe , un caos . Il Professore Clinico , che non è lo storico delle opinioni altrui, né ad alcuno sistema sposato, dee migliorar di per sé la sua Scienza, prima d'in- segnarla, dee sviluppare quella gran massa , raffrontar le dot- trine ed i fatti tra di loro , e con quelli osservati da lui , discomporli in fatti semplici , e recarsi a (juesta operazione con quel metodo, che fece progredire tutte le altre scienze, col metodo dell'osservazione e dell'analisi. Le opinioni al- trui , per imperfette che sieno , studiate ed esaminate in tal guisa, possono offrirci de' materiali utilissimi; e molto più lo studio dei fatti, il quale ci darà più esatte idee sulle malat- tie, e sui rimedj . Il Clinico sceverar dee dalla somma delle dottrine mediche quelle, che più appartengono alla pratica., ed insegnarle, ampliate e perfezionate ^ a' suoi alunni; dee formare in loro e coltivare il tatto medico, e suscitar l'amo- re e sviluppare il genio dell'arte, l'attitudine cioè di ragio- nare, e di computare con esattezza, e di prevedere il futu- ro . Ecco un saggio delle principali idee , e la storia delle giornaliere operazioni del nostro Bondioli . • -i La cattedra di Clinica parca per verità la più confacente di tutte al Bondioli, come colui, ch'era versatissimo nelle più profonde cognizioni teoriche, che da' lunghi suoi studi potè raccogliere , avvalorate , rettificate , ed aumentate dalle cognizioni pratiche, che dall' uso quasi continuo degli Spe- dali ehhe campo di procacciarsi . Ma dall'altro canto a cui non s'appaga di rimanere ripetitore delle assei"ZÌoni altrui, spesso mal fondate e vacillanti , le difficoltà in gran folla si presentavano. Imperciocché i testi mal tessuti, e male ordi- nati, e spesso anche inesatti e mancanti, volevano esser sem- pre rettificati e con"etti,ed il i>'ora^ioZi, scrivendo ogni glor- ilo per intero le sue lezioni , tanto li correggeva, rettificava, . -j^.; ••.'.'li ; ' ■ iU'T y^ 'iii^'p •ic.o ' rou- y ScniTTO DAL Sic. Mario Pieri . xvii lonfutavaj, e tanto vi aggiugneva del suo, che veniva egli a comporre di pianta un testo novello : dei che coloro, ohe udi- to lo hanno, ed il corso M.S. di Clinica da lui lasciato, far fede potrebbono . Ne' due anni, ch'egli occupò quella cattedra , trattò com- piutamente delle Febbri, delle Infiammazioni, degli Esante- mi febbrili, non che di parecchie malattie non febbrili, che per la loro forma particolare serbavano grande analogia con alcune inalattie infiammatorie . ■fi' lungo ed esteso esercizio negli Spedali militari gli a- vea dato campo di fare uno studio profondo sulle febbri di contagio, alle quali dava esclusivamente il nome di Tifo, qualunque fosse l'apparenza, o la complicazione loro. Il Si- noco stesso veniva da lui riguardato come un vero Tifo, con- giunto a valida reazione del sistema sanguigno . Ricordava come una prova di questo fatto tutto ciò che del Sinoco fu scritto dagli Autori di Medicina , e faceva singolarmente ri- flettere essergli occorso in molti casi di veder sorgere il così detto Sinoco in persone , che preso aveano il contagio feb- brile da altre afflitte da un tifo lento , ed accompagnato da Èoli fenomeni nervosi . Ammetteva pure il possibile sviluppo tra noi del contagio tifico iti ammalati, che non l' aveano be- vuto da altri . Le petecchie non erano , a suo credere , un esantema necessario nel tifo, ma dovunque esistevano doveansi tenere come una prova certissima della presenza di quel con- tagio . Considerava stenica necessariamente la diatesi primiti- va del tifo, attribuendo il potere stimolante al principio con- tagioso, il quale essendo d'altronde dotato, a detta del Bon- dioli , della facoltà irritativa , turbava le funzioni tutte del sistema, alterava l'indole delle secrezioni, privava Y organismo degli stimoli naturali, facendo loro acquistare caratteri diversi da quelli dello stato di salute, e preparava cosi indirettamen- te, e più o meno lentamente, il passaggio della diatesi iper- stenica nell' opposta . Simile cambiamento nella diatesi non avea però, secondo Bondioli , sempre luogo, potendo il tifo ^ 3 XVIII Elogio del Sic. P. A. Bondioli perseverare nello stato stenico sino al suo termine, e ciò sin- golarmente ne' casi meno gravi, e nelle persone ben nodrite e robuste . La cura era semplicissima, e consisteva nell'amministra- zione degli antimoniali , e singolarmente del Kermes , mine- rale stimato come la sostanza deprimente la più atta, pel suo modo particolare di agire, ad indurre quelle mutazioni, che doveano causar la salute , ricomponendo l' eccessivo eccitamen- to , e favorendo l' eliminazion del contagio . La Clinica offrì spesso r occasione di applicare alla pratica questa dottrina , e le cure furono felicissime. Il Kermes, di conosciuta atti- vità, era portato in alcuni casi ad alte dosi, ed assai bene sostenuto dagli ammalati, che ne aveano scarichi ^ orine, e sudori abbondanti e salutari . Nella primavera dell'anno 1808 sette giovani, che intei'veuivano alla Clinica come studenti, incontrarono il tifo, che fu in tutti molto grave, con petec- chie sino da' primi giorni della malattia , e tutti guarii'ono con questo metodo . Due di questi arrivarono a prendere ol- tre a trenta grani di Kermes nelle ventiquattr' ore per molti giorni di seguito. Quando occorreva di passare ali' uso degli stimolanti co- minciava sempre da picciolissime dosi , ed eia assai cauto nell* aumentarle , onde non ridestare appena spenta la diatesi iper- Stenica . Non amava di prescrivere in simile malattia le pre- parazioni oppiate , perchè capaci di opporsi alla più facile eliminazione del contagio , chiudendo le vie dell' alvo . Facea gran conto de' vescicatorj , in tutt'i casi massima- mente in cui era attaccato qualche viscere, ed attribuiva ad essi il potere di arrestare i progressi dell'interna irritazione, suscitandone esternamente una nuova , non ripetendo mai i loro salutari effetti da una valida e persistente mutazione , indotta per essi nell'eccitamento universale. i^; n:- ;!■ La Teoria della diatesi, quella del controstimolo, e le particolari sue idee sul modo di azione , proprio delle varie potenze nocive, come de'varj rimedj , sulla maniera di esi- Scritto dal Sic. Mario Pieri. xix stere della diatesi nelle diverse forme particolari delle malat- tie, e sul carattere irritativo di alcuni agenti morbosi, con- siderati come causa di parecchie malattie , o di molti feno- meni di esse, servirono sempre di guida alle sue dotte lezio- ni, a' suoi discorsi, ed alle sue prescrizioni al letto degli am- malati, ove spiegava ad ogni tratto sapere profondo, ingegno sublime, e gran felicità nell' esprimere le sue idee. A questi principj erano appoggiate le tanto applaudite sue lezioni di materia Medica, le quali, insieme con tutte le altre sue carte, l'Autore, morendo, raccomandò caldamente che fosser gittate al fuoco , forse perchè non potea dar loro l'ultima mano. Tristo incarico, ch'egli affidò al suo antico e caro amico e benefattore il eh. Professore Stefano Gallino, destinato da lui commissario delle ultime sue volontà . Egli aveva inoltre preparati molti materiali per estendere una Memoria rivolta ad illustrare la teorìa delle Malattie in- fiammatorie . Nelle sue lezioni preliminari al Trattato delle Infiammazioni le considerò sotto il triplice aspetto di Stetti' che 3 Asteniche , Irritative . Nelle Steniche egli riguardava la piressia, e la infiammazione come il prodotto immediato del- le medesime cause stimolanti , e come due elementi patolo- gici, che concorrevano necessariamente a costituire quella composta malattia , che chiamasi Febbre infiammatoria , o Flemassia . Rifletteva , che l' infiammazione stenica si desta in una data parte solamente, quando essendo in essa più va- lida l'azione stimolante, il suo eccitamento è portato ad un punto così eccessivo, che ne rimane lesa la sua organizzazio- ne, e viene minacciata finanche la sua distruzione. L'infiam- mazione stenica dunque, considerata nella sua località, in- comincia, seguendo le tracce di Bondioli, per un soverchio eccitamento locale, ma sviluppata che sia è una vera altera- zione organica del tessuto membranoso, fibroso, vascolare, o parenchimatoso della parte infiammata, alterazione, che progredisce con leggi sue proprie , e persiste talora anche mi- norata , o cangiata la diatesi . Traeva egli quindi motivo di XX Elogio del Sic. P. A. Bondioli far sentire quanto sia impropria l'espressione dì malattìe in- fiammatorie ove vogliasi significare unicamente le malattie di diatesi stenica , perciocché in queste l'eccitamento universa- le eccede bensì i confini della salute, ma non è in esse, co- me nelle infiammatorie, minacciata la disorganizzazione di qualche parte del sistema . Le infiammazioni di diatesi astenica^ sono, secondo lui, o la conseguenza di una infiammazione stenica degenerata , o il prodotto di potenze irritative, che agendo fisico-chimica- mente sopra individui astenici risvegliano in una data parte il processo infiammatorio, il quale, lungi dal cospirare a mu- tar la diatesi dominante , non fa che risentirne la fatale in- fluenza. Le ferite negli astenici, i gravi accidenti a cui van- no soggetti gl'idropici per la soverchia distensione passiva di alcune loro parti, gli effetti locali di alcuni contagi sopra in- dividui deboli, ec. offrono altrettanti esempj di simili infiam- mazioni asteniche , che sogliono terminare con una suppura- zione di cattivo carattere, e spesso finanche passar assai pre- sto in cangrena. Che se le infiammazioni destate dalle poten- ze irritative succedono senza veruna precedente condizione stenica od astenica, allora esse sono vere infiammazioni irri- tative, perchè non esiste nelle cause che le produssero il po- tere di diffondere alcuna azione stimolante oltre il luogo do- ve sono applicate . In simili infiammazioni manca originaria- mente ogni fenomeno di diatesi , e la febbre , che le accom- pagna è, a differenza degli altri casi d'infiammazione, nn puro effetto consensuale della infiammazione destata per irritazio- ne . I molesti accidenti infiammatoi-j , che accompagnano pron- tamente l'introduzione di una spina in una mano,o di qual- che grano di arena negli occhi, ec. e che prontamente si di- leguano , tolti in breve questi corpi estranei , appartengono alle infiammazioni irritative. Questi pochi cenni, raccolti dal- le sue lezioni , provano senza dubbio quanta luce filosofica avrebbe sparso anche su questo punto di Medicina colla Me- moria, ch'egli stava apparecchiando. Scritto dal Sic. Mario Pieri. xxr Aveva scritta, varj anni sono, e comunicata a varj dotti suoi amici , anche una Memoria sulla Distensione Organica , che giace ancora inedita, e che mira a provare, che gli es- seri organici , e singolarmente gli animali , hanno tutte le loro fibre dotate nello stato di vita della proprietà di disten- dersi per una forza inerente all' organizzazione medesima . Questa forza , considerata da lui come propria della fibra or- ganica, è ben diversa da quella turgenza , che per l'azione degli stimoli manifestasi in certe parti, e sopra tutto nel si- stema cellulare, fenomeno di cui parlò Hebenstreit nella ce- lebre sua Dissertazione De turgore vitali . Il rapido accresci- mento del feto, e del fanciullo, l'aumento del volume dell' utero anche nelle gravidanze estrauterine, il pronto sviluppo di alcune parti de' vegetabili, gli accidenti che accompagna- no le infiammazioni de' varj organi, i fenomeni che osservansi ne' diversi stadj delle febbri, ec. ottengono, mercè la teoria del Bondioli , una plausibile spiegazione. In pronto era già da gran tempo un altro suo scritto sul- la natura dell' aria , e sulle malattie , che regnano più gene- ralmente nell'Istria, frutto delle osservazioni da lui fatte quan- do ivi trovavasi in figura di Medico pubblico . Queste, e cento altre opere aveva il nostro Bondioli idea- te^ o cominciate, o compiute, le quali, invece di andare al- la stampa, e girar per l'Europa in varie lingue tradotte, co- me le loro sorelle più anziane, diverranno, pur troppo! pa- scolo delle fiamme. E veramente d'una molto più ferma sa- lute, e d'una vita molto più lunga abbisognava per compiere tutto ciò che aveva intrapreso. Egli era sempre minacciato, e talora anche attaccato nel petto, ed affannato da un'asma continua, e da una pinguedine straordinaria, e viziosa . I suoi fluidi per ogni poco si sbilanciavano , e non tanto di rado, dopo un lungo camminare , andava soggetto a qualche sputo sanguigno . Conosceva egli assai bene il suo temperamento , e più volte l'udimmo presagire a sé stesso una breve esisten- za . E pure egli non si restava dall' accorciarla ancor più con XXII Elogio del Sic. P. A. Bondioli la soverchia applicazione, logorando cosi, e consiirnanflo que' 'pochi e deholi fili, che a questo mondo il legavano. Per al- tro , né egli di lasciarci , né alcuno di noi di perdei'io cosi tosto s' imaginava . Recatosi in Bologna il ag' Agosto 1808, come elettore del Collegio dei Dotti, che ivi per ordine Sovrano si racco- glieva, preso da una malattia infiammatoria, dopo aver sod- disfatto a tutt' i doveri della pietà, il giorno 16 Settembre alle 7 ore della sera mancò . I suoi antichi Colleghi in quel- la Università gli posero una bella Iscrizione , che sì troverà qui sotto, e eh' è opera del dottissimo Ab. Schiassi. Impareggiali erano il suo fervore, e l'assiduità sua nel- lo studio . Abborriva oltre ogni credere le distrazioni tutte , e gli costava sempre qualche rimorso tutto quel tempo, che in compagnia della cara sua scienza non era da lui consuma- to. Dai conviti, quando eravi dentro, si lasciava talvolta ten- tare, ma non li cercava. Dallo Spedale alla casa, e dalla ca- sa allo Spedale, e rade volte alla bottega da caffé, e queste per vedere i colleghi e gli amici , che ivi solean ragunarsi , ecco la vita eh' egli in Padova conducea . Ed erasi talmente alla medicina donato , che sentendo molto avanti nelle Belle Lettere, prime cure della sua gioventù, e che poscia offerir- gli poteano alquanto di sollievo, si facea coscienza di lasciar loro anche un minuto di tempo , per non rubarlo alla sua occupazion prediletta; e così di Medicina erano i suoi studj, e le sue distrazioni di Medicina . Quando volea studiare , pen- sava e scrivea sopra la Medicina ; quando volea divertirsi , leggea libri medici. Tanto era l'amore, ch'egli alla sua Scien- za portava ! Né la sua Scienza ingannollo . Anzi alta riputa- zione guadagnato gli avea tra gli Italiani , e tra' più illustri forestieri , che spesso di lui dimandavano o per conoscerlo , o per consultarlo nelle lor malattie . Una volta , trovandosi in Venezia , guari sua Madre , che si trovava in Corfù , e mentre ch'ei pure giacca nel letto ammalato . Di questi con- sulti a voce e in iscritto qua e là , richiesto , ne mandava . Scritto dal Sic. Mario Pieri. xxiit Come prima giugneva in una città la sua abitazione s'empiea di gente , che a consultarlo accorrevano . Di senso squisito per le cose della bella Letteratura, ed autore nella sua prima gioventù di non pochi versi, ultima- mente ei rigettava gli ornamenti dello stile, come tanti bel- letti , che avrebbono deturpato la faccia di una grave e sag- gia mati'ona qua) è la sua Scienza . Il suo stile per altro non ha tutta quella rusticità , che avevan le sue paiole . ; Sanguigno di temperamento, era divenuto melanconico per riflessione ; e forse anche per le vicende della fortuna , da cui fu spesso travagliato; e per la sua mal ferma salute. Comechè assai pronto allo sdegno, facendo forza all'indole sua, di rado assai si sdegnava. Aveva acquistato, forse a sue spese , una cognizione profonda degli uomini , eh' erasi con- vertita in ura somma prudenza . La quale per altro non gli impedì mai di por sua fiducia in chi n' era degno , e di strin- gere varie amicizie , delle quali era osservator fedelissimo . Aveva una dolcezza , una insinuazione di tratto , che si facea strada per tutto . Umanità grande . Quando trovavasi alla coKe dell'Ambasciatore, ei medicava con la stessa pie- mura il più infimo de' di lui famigli, che l'Ambasciatore me- desimo Nel soccorrere gli amici bisognosi, ad onta delle sue scarse brtune, più che in ogni altra cosa, sollecito. Non è dunque meraviglia s'egli nelle sue sventure trovò più volte negli anici soccorso . Titta questa dolcezza, tutta questa umanità, mista con una gravità decorosa, egli alla sua scuola portava. Amavanlo quindi qual padre i suoi discepoli, lo adoravano, lo idolatra- vano ; ed egli quai figli li riguardava , e dai loro progressi somma compiacenza traeva . A chi ottenne la stima e l' affet- to di una persona più non riesce difficile d' indurre in essa le proprie inclinazioni , ed il proprio entusiasmo raccendere . L'ardore per lo studio, che il Professore Bondioli a'suoi alun- ni inspirava, farà epoca nei fasti della Clinica di Padova; ardore, ch'era ben mantenuto ed alimentato dal suo valoroso J.X1V Elogio oel Sic. P. A. Bondioli ripetitore il Sig. Dott. Giuseppe Montesanto di Mantova, cui debbo in gran parte le notizie mediciie , die in questo Elo- gio si trovano, e a cui non farò che render giustizia s'io di- co, che per dottrina, per ingegno, per candidi costumi, e gentili, ben meritava quell'alta stima, e quella viva amici- zia , che per lui nudriva il Bondioli . Con un corredo di tante gode, luminose, ed ama])ili qua- lità ognun s'avvede, che il Bondioli non può aver mancato di estimatori, e di amici; e grande infatti erane il numero, di ogni età, di ogni sesso, di ogni condizione. Basterebbe nomiliar per tutti il gran Cesarotti, che onorarlo solea del titolo di suo figlio, e figlio suo primogenito, e che nella ul- tima sua infermità parca temere, più che per sé medesimo, per lui, ch'era infermo in Bologna di quel male, che il tras- se al sepolcro. E mi si permetta ancora di dire, che uno di coloro , che amollo , e ne fu amato , e che ne pianse forse più di tutti amaramente la perdita, e ne serberà eterna la memoria, fu chi scrisse questo Elogio: né senza qualche ri- morso lo scrisse , temendo che questo non venga a defraudar l'amico delle più degne laudi, che una penna più N'^alorosa gli avrebbe invece tessute . Che dove qui fessegli pt^rmesso di parlar più a lungo di sé , e di sfogare alquanto il suo a- iiiino , chi sa che le lagrime dell' amicizia, e della riconoscen- za , non facesser le veci di un più magnifico Elogio ? JSenon- cbè sembrerà forse anche troppo questo breve sfogo, ch'io prego il lettore di perdonare ad un uomo, il quale, comechè giovane ancora, fu più volte dalla fortuna in simil guisa colpito . A . P .0 I XXV PETRO . ANT . BONDIOLIO DOMO . CORCYRA EQVITI . CORONAE . FERREAE COOPTATO . IN . COLLEGIVM . CG . VIRORVM ELECTORVM . REGNI . DOCTORVM PHILOSOPHO . ET . MEDICO QVI THERAPEVTICEN . IN . ARCHIGYMN . BONONIENSI CLINICEN . IN . ARCHIGYMN . PATAVINO EXPLANAVIT VIR . INGENIO . ET . ERVDITIONE . PRAECELLENS EDITIS . OPERIBVS . CLARVS AVDITORIBVS . ACCEPTISSIMVS GRAVITATE . ET . CONSTANTIA . NEMINI . SECVNDVS BONONIAE QVO . AD . COMITIA . COLLEGII . SVI CONVENERAT OBIIT . A. D. XVT . K. OCT. A. MDCCGVIlf NATVS . ANN. XXXXIII DOCTORES . ARCHIGYMNASII . BONONIENSIS COLLEGAE . VETERI . PRAESTANTISSIMO F. C. M XXVl ELOGIO DEL SIC. GIAN-FRANCESCO MALFATTI Scritto dal Sic. Giuseppe Vgnturoli. Ricevuto li a6 Febbrajo 1810. G, ' ian-Francesco Malfatti nato del 1781 in Ala di Roveredo di nobile e titolata famiglia, aspirò di buon'ora ad un titolo che non retaggio degli avi , ma fosse premio di sua propria virtìi . Di che diede non fallace presagio l'età sua giovanile, apparendo nel giovanetto tal felicità di natura , e tanta fer- mezza di volontà, che dovea scorgerlo ad alta meta, a qua- lunque parte della letteratura gli fosse piaciuto avviarsi . Studiò belle lettere in Trento, e in Verona; indi voglioso delle più gravi discipline si recò a Bologna, sede in ogni tem- po celebratissima delle scienze. Fioriva allora quella città più che mai per concorso di chiari ingegni ; e d' ogni maniera di dottrina avresti potuto trovarvi ed insegnamenti ed esempj . Quivi nella scuola dell'immortale Francesco Maria Zanotti la filosofia gli si presentò sotto gentili sembianze , ornata di tutte le grazie , che non si disdicono al suo nativo decoro . Né meno schietta eleganza trovò dappoi presso la celebre Laura Bassi, allorché preso dagli allettamenti della fisica, a lei si diede discepolo . Così per piano e piacevol cammino fu il Malfatti introdotto agli studj della filosofia ; né gli toccò , come a molti di quel tempo, d'avvolgersi fra il bujo della vecchia scuola , e sostenerne la disgustosa barbarie . Sebbene non era l'animo suo di tal tempra, che l'au- sterità degli studj lo spaventasse; e la verità seppe piacergli, comeché incolta e disadorna . E ben ne fece la prova , allor- ché sotto la severa disciplina del P. Vincenzo Riccati tutto s' internò e si nascose nelle scienze matematiche . Soleva que- ,/////rrrif//rfM'y' ' l/at^ir^ry^^ Scritto DAL SiG. Giuseppe VeNTUROLi . xxvn sto celebre geometra condurre i suoi più cari e più ingegnosi allievi per via non guari dissimile a quella per cui Giovanni Bernulli educò già a tanta gloria il giovane Eulero. Appena delibati i primi l'udimenti , proponevasi tosto al giovanetto alcun problema , su cui dovesse far prova delle sue forze . Ascendeasi di grado in grado a quistioni più ardue ; e a ma- no a mano che s' invigoriva la mente , gli si opponeano più duri contrasti a superare ; e quando per avventura perduta si fosse la traccia , appena concedeasi allo smarrito intelletto l'ajuto d'un lieve cenno, onde rimettersi sul sentiero. Era così quella scuola un difficile esperimento non meno che un utilissima esercitazione d' ingegno . Dopo alquanti anni di siffatta istituzione , uscì il Mal- fatti dalla scuola di Riccati ^ già degno di stare a paro co' primi geometri dell'Italia. I suoi maestri spargevano larga- mente la fama del suo sapere , ed il Marchese Cristino Be- vilacqua si tenne lieto d' invitarlo presso di sé a Ferrara con assai larghe proferte . Avea questo Signore raccolto in sua casa una scelta biblioteca, e un bel gabinetto di fisica; con- fidò l'una e l'altro a Malfatti, ed accordogli una pension vitalizia, nobile alloggio e trattamento, con libertà intera di darsi tutto a' geniali suoi studj : condizion liberale sopra d'o- gni altra , senza la quale egli avrebbe avuto a vile tutt' al- tro dono , siccome prezzo di schiavitù . La liberalità del Marchese Bevilacqua è degna di lode tanto maggiore quanto a più alto scopo mirava che non era la sua privata soddisfazione : poiché alla patria non meno che alla sua famiglia ei volle coli' opera di sì preclaro ingegno procacciare ornamento ed utilità . Quindi confortoUo ad apri- re scuola in sua casa , ed istruire nelle scienze fisiche e ma- tematiche la gioventù Ferrarese : il qual consiglio volontero- samente abbracciato da Malfatti die nuova vita in Ferrara a questi studj che per lo innanzi vi erano in poca stima, e che poscia per opera di lui e del suo egregio collega Teodoro Bonati prosperarono lietamente . Era il Malfatti non meno xxviii Elogio del Sic. Gìan-Fkangesco Malfatti . valente maestro, che sagace e profondo coltivator della scien- za ; le sue lezioni tessute con esatto metodo , esposte con singolare chiarezza , sparse di soave facondia erano tanto più ad istruire efficaci , quanto più ad udir dilettevoli . E questi pregi con maggior lustro comparvero, quando nel 1771 la ristaurazione dell'Università di Ferrara accaduta per opera del Cardinale RiminalcU tolse il Malfatti all'ombra della do- mestica scuola , e nella pubblica luce lo collocò . Fregiato allora d' un titolo ragguardevole , sedendogli compagni al fianco gli uomini più riputati e più scelti in ogni maniera di lettere, conobbe Malfatti essere omai tempo di sormontare quella modestia che sino allora lo avea ritenuto dall' esporre al pubblico i frutti delle sue veglie : chiedere ed aspettarsi da lui che con durevoli monumenti del suo sapere accrescesse fama alla nuova Università, ed a quella città ren- desse onore che egli oggimai riguardar doveva come sua pa- tria . Non tardo a rispondere all'onorevole aspettazione, egli segnò il primo anno della nuova carriera colla pubblicazione del suo tentativo per la risoluzione delle equazioni di quinto grado . A commendazione della quale opera non sarà poco il dire che egli gareggiò in quella ricerca coli' immortale La- Grange , e in qualche parte gli precorse . Poiché mentre que- sti inteso a perfezionare i metodi di Eulero e di Bezout giun- ge a scoprire come la trasformata da quelli proposta possa dal ventesimo quarto grado abbassarsi al sesto , ecco nello stesso tempo Malfatti per una via tutta nuova e tutta sua perviene dirittamente a quella stessa equazione di sesto gra- do , e non solo il primo coefficiente , come La-Grange avea fatto, ma l'intera trasformata ne pone sotto gli occhi. E pro- cedendo più innanzi, accenna come da quella del sesto gra- do una seconda trasformata derivi del grado decimo , e da questa una terza, e così si proceda oltre ogni limite. Il quale infinito progresso perpetua per dir cosi, la speranza di con- seguire in ultimo la bramata risoluzione; bastando a ciò che fra le infinite trasformate che di mano in mano si derivano, Scritto dal Sic. Giuseppe Venturoli, xxix una s'incontri divisibile per alcun fattore di grado inferiore al quinto. Confortato da questa lusinga, egli non tenne mai per disperata la riduzione delle equazioni del quinto grado: né volea consentire al chiarissimo Ruffini che di ottenerne la risoluzion generale ci togliesse la speranza . Intorno a quel tempo avvenne cosa al nostro Malfatti tanto cai'a , quanto preziose sono le amicizie conciliate dalla conformità dell'ingegno, e de'costumi. Gli sopravvenne com- pagno il Veneziano esgesuita Alessandro Zorzi , giovane di candida indole, di vasto e celere ingegno, cui il Marchese Bevilacqua quanto generoso altrettanto giusto apprezzatore degli uomini avea confidata l'educazione di due giovanetti nipoti . Strettissima fu la famigliarità di Malfatti con questo giovane ne' pochi anni che passarono insieme. Egli aveva ispi- rato al suo amico il genio degli studj matematici, e si pren- dea diletto nel coltivarlo ; ed a vicenda la conversazione del Zorzi piena d'ingegno, d'amenità, di dottrina, era piacevol sollievo alla severità delle sue meditazioni . La società dei due dotti amici fu desideratissima a quanti in Ferrara avean fa- ma di sapere; e pressoché ogni sera in casa. Bevilacqua ^ co- me nell'albergo delle Muse raccolti D. Alfonso di Varano, e l'Abate Baratti, sublime il primo, l'altro grazioso poeta e puro scrittore, e l'eloquente Minzoni, e il dotto esgesui- ta Valentino D. Tommaso Serrano, e più altri nobili inge- gni passavano lunghe ore con iscambievole giocondità , po- nendo in comune i frutti di loro non volgare dottrina . Il ce- lebre dementino Vanetti Roveredano cugino del nostro Mal- fatti, e a tutti questi per genio e per amistà congiuntissimo, prendea parte per lettere agli eruditi loro trattenimenti, e godea di dar moto ed eccitamento alle quistioni che tra loro di sovente s'agitavano con pari urbanità e sottigliezza . Più volte ho inteso dal mio egregio Collega il Signor Professore Antonio Giuseppe Testa ricordar con diletto e con desiderio quella invidiabile compagnia . Egli ancor giovanetto e scola- re di Malfatti eravi sovente introdotto , e dai ragionamenti XXX Elogio del Sic. Gian-Francesco Malfatti . di tali uomini sentiva sorgersi in cuore i primi germi della virtù e il nobile desio della gloria . Un prezioso frutto di quella dotta adunanza avrebbe rac- colto il pubblico , se poteasi compiere il progetto che pur in essa nacque, di riformare, anzi di tutto rifondere l'immen- so lavoro della Francese Enciclopedia . Quel fervido ingegno del Zorzi , primo autor del Progetto , non risparmiò a tanta impresa né sé stesso , né altrui . Egli seppe così fortemente eccitare gli studj de' letterati Italiani , e tanti ajuti procac- ciarne , quanto ne fa fede il Prodromo che usci alla luce fra il comune applauso: e se l'immatura morte di lui non aves- se interrotto il disegno , a grande onor dell'Italia ne sarebbe tornata l' esecuzione . In quella occasione non mancò Malfatti all' amico ;, ed ornò quel Prodromo della soluzion d'un pro- blema sulla partizione de' numeri . Quest' articolo è uno de* più profondi ed estesi che adornino quel libro. E forse una cotanto lunga e spiegata analisi d'un particolare problema potrebbe parere meno acconcia ad un articolo enciclopedico*, ma non è per questo di meno onore al Malfatti . Il qual po- scia sempre più invaghito di quella quistione la ritrattò più volte , ed a maggiore ampiezza la estese . E veramente ancora dappoiché il chiarissimo Sig. Paoli additò nel calcolo delle differenze finite la via diretta a sciogliere le questioni risguar- xlanti la partizione de' numeri, il problema di Malfatti non lascia di meritare particolar trattazione per le difficoltà cui soggiace , e pe' sottili artificj onde conviene ajutarsi . Volle poco appresso il Malfatti mostrare a' suoi discepoli coli' esempio quello che spesse volte inculcava loro col di- scorso dell'eccellenza del metodo sintetico nella Geometria, e quant' oltre possa con esso procedersi eziandio nelle più difficili ed intricate ricerche . Però prese a svolgere in una elegantissima operetta le proprietà dell'Ellisse Cassiniana . Quest'ellisse nelle piccole eccentricità di poco si allontana dalla forma della notissima ellisse di Apollonio ; se non che il Cassini la credette più acconcia a rappresentare le orbite Scritto dal Sic. Giuseppe Venturoli. xxxi de' piane ti . Ma il pensiero del Cassini andò fallito , e la sua ellisse proscritta dal Cielo si rifugiò negli studj de' geome- tri, ai quali per affannarsi intorno a una curva non è d'uopo che la natura o ne' celesti spazj, o quaggiù in terra ne figuri la traccia . Spiaron essi curiosamente come ella cangi d'aspet- to, e in altre ed altre forme si muti, a misura che l'eccen- tricità va crescendo . A grado a grado il suo colmo si viene schiacciando, a tal che comincia a ripiegarsi in dentro, smi- nuendosi ognora più l' ordinata del centro . Giungesi al segno che questa ordinata sparisce del tutto , e la curva allora ti si presenta composta di due ovali annodate nel centro . Se si procede più avanti, le due ovali si staccano, e vanno sem- pre più scostandosi fra loro, e tuttavia impiccolendo; sinché all' ultimo la curva si raccoglie e si ristringe tutta in due soli punti posti di qua e di là dal centro ad infinita lontananza . Queste metamorfosi onde una curva può sfigurarsi per modo che agli occhi del volgo non rassembri più quella, non sogliono già ingannare i Geometri, usi a riconoscer le curve ' da ben altri caratteri che dalla loro visibile apparenza . Di che tanto più dobbiamo maravigliarci che la nostra ellisse anche agli occhi loro potesse talvolta mascherarsi cosi , che più non sapessero raffigurarla . Pure allor quando i due fratelli Bernulli intesi a costrui- re l'isocrona paracentrica di Leibnizio delinearono quella cur- va , cui dalla forma d'un nastro diedero nome di Lemnisca- ta, quanto non andaron lontani dal riconoscere in questa lo- ro lemniscata una delle forme si varie della ellisse Gassi- niana ? Nobilitarono poscia la lemniscata gli studj sublimi del Conte Giulio Fagnani, il quale insegnò a rettificarla cogli ar- chi delle sezioni coniche , e con questo pose i fondamenti della nobilissima teoria delle trascendenti ellittiche, cotanto promossa a' nostri giorni. Né questa pure, né molt'altre par- ticolarità che vi discopri il Fagnani , non bastarono a fare accorti i geometri della identità delle due curve . Questa non che ad altri, potè nascondersi a D' Alembert , il quale nella xxxii Elogio del Sic. Gian-Francesco Malfatti . Enciclopedia così ragiona della Cassinoide e della Lemnisca- ta , come se fossero due curve differenti . Una singolare proprietà meccanica della nostra curva do- vea finalmente porgerne indizio . Venne in mente al nostro Socio Sig. Teodoro Boriati di ricercare per via d'analisi quel- la linea , lungo la cpiale scorrendo un grave spenderebbe egual tempo nella caduta, o scendesse per l'arco, o per la corda ad esso arco sottesa. Trovata l'equazione della curva, piac- quegli imporle il nome di Curva isocrona . Ora eccoti che il nostro Malfatti neil' indagare sinteticamente le affezioni del- la curva Cassiniana, vi ravvisa appunto questa proprietà stessa. E questo fu., s'io non eiTO , il primo sentore a riconoscer per ultimo che l'Ellisse del Ca^wzi , e la Lemniscata de^Ber- nulli, e r Isocrona di 5o«fl^/ altro poi non sono che una so- la e medesima curva, cui sotto diverso nome vagheggiarono diversi geometri , rivali senza avvedersene . A questo Trattato sull'Ellisse Cassiniana tenner dietro altri ed altri lavori del nostro Malfatti . Lungo sarebbe il dar di tutti contezza. Per tutto vedi il degno allievo di i?/c- cati premer le orme del Maestro, e di là dov'egli fermossi,' sovente prender le mosse a più alte investigazioni . Il vedi presciegliere que' soggetti che erano stati argomento degli studj del Riccati , e dar compimento e lume alle ricerche di lui e sulle serie ricorrenti, e sulle integrazioni per archi d'el- lisse o d' iperbola . Il vedi giovarsi sovente nella risoluzione de' problemi geometrici o della pura sintesi, o d'un industrio- so accoppiamento di quella coli' analisi; metodo che fu fami- gliare al Riccati , stnAìoso riceicatore dell'eleganza geometiù- ca . Fu anche al par di Riccati sottilissimo indagatore di que* paralogismi ne' quali inciampano non rade volte anche i più svegliati ingegni : né credette far onta a molti insigni geo- metri, né poco onore a sé stesso, quando col supplire alcu- ne teorie difettose, quando collo svelar qualche equivoco, quando col richiamare al rigor geometrico alcune dimostra- zioni meno severe . Fu Scritto dal Sic. Giuseppe Venturoli . xxxai Fu pure una conformità del suo genio con quello del Riccati il tenersi eh' ci fece nella piena luce della geometria e dell'algebra pura, e raro o non mai discendere alle appli- cazioni fisiche. Que' problemi che trattò di Meccanica, essi pure appartengono alla scienza speculativa, e si fermano nell' astratta nozione dell'equilibrio. Di tal maniera è l'ingegnoso suo tentativo di sciogliere quel si famoso problema del come si comparta la pressione d'un peso fra gli appoggi che lo sostentano . Questo problema diventa indeterminato tostochè gli appoggi sono in più numero di tre , ed ella è forse im' ostinazione d'alcuni geometri il tenere che esso debba pur essere determinato nella realtà delle cose . Certo è che la na- tura non offrendo mai punti d'appoggio d'eguale ed invinci- bil fermezza , non ha mai d' uopo di scioglierlo . Privi di sal- do fondamento, si rivolsero alle conghietture ed alle ipotesi, la varietà delle quali portò varietà e discordanza nelle diver- se soluzioni che ne fnron prodotte . Accadde ad Eulero che la sua ipotesi fosse trovata non pure precaria , ma assurda ; di che meno debbono dolersi Lorgna e Delanges che anche nelle ipotesi o ne' calcoli loro alcuna fallacia si discoprisse. Non isconfortato da tali naufragi il nostro Malfatti volle egli pure affacciarsi al guado periglioso , ed è forse il solo che ne sia uscito senza rimprovero . La sua divinazione ebbe lode d'ingegnosa, di verisimile, di conforme alle leggi dell' equi- librio ^ ed all'analogia di que' casi ne' quali il comparto delle pressioni può assegnarsi con sicurezza . Ella è, se vogliamo, una divinazione e nulla più . Ma chi vorrà di questo accu- sarla , quando e la natura dell' argomento non può ad altro piegarsi , ed egli stesso d' averla per tale si dichiarò schiet- tamente ? Questo suo lavoro non men degli altri che o prima o dopo di questo il tennero occupato , erano quasi tributi de' quali egli si credeva obbligato alle molte ed illustri Accade- mie che si pregiarono di annoverarlo fra suoi . Dee sopra tut- te la Società Italiana serbar grata memoria della preferenza >i. 5 xxxtv Elogio del Sic. Gian-Fhancesco Malfatti. che egli parve accordarle ; poiché i più copiosi frutti delle sue fatiche furono ad essa consecrati. Eravi stato ascritto fra' primi dal henemerito Autor della Società Cavalier Lorgna\ e non v'è per avventura Volume di queste Memorie che or- nato di qualche dotto e profondo suo scritto non attesti l'at- tività non mai stanca di quella mente. Quindi non più per l'età che per il sostenuto travaglio egli ben meritò la pen- sione decretata dalla Società ai veterani ed operosi colleghi . Tra questi studj e tra i doveri puntualissimamente adem- piuti della scuola partiva egli il suo tempo . Una scelta ed erudita società , della quale egli era delizia ed ornamento ^ porgea dolce sollievo alla mente affaticata, né gli lasciava de- siderare i romorosi sollazzi . La tranquillità domestica e la pubblica stima appagano i modesti voti d'un letterato non ambizioso. Cosi egli vivea felice; e la sua felicità sarebbe stata perpetua, se sul declinar de' suol giorni , le vicende po- litiche dell'Italia non avessero portato sino ne' più solitarj recessi il turbamento, e l'inquietudine. Pur se umano con- siglio potea bastare a dirigersi in mezzo a tanta procella , egli non trascurò 'e misure della più accorta prudenza. Seb- bene io gli fo ingiuria ascrivendo ad accortezza quello che fu modeiazion di natura, educata dalla filosofia e dalla reli- gione. Egli non alterò d'un punto l'equabil tenore di sua vita; punto non si frammischiò ne' pubblici affari; la sua men- te non concepì un pensiero ambizioso , non fuggì dal suo lab- bro una parola imprudente. La sommissione alle leggi, il ri- spetto ai magistrati furono le invariabili norme d'ogni suo atto; e quelle stesse dichiarazioni che si vollero da lui, fu- rono per suo antivedimento scorte dal consiglio di personag- gi autorevoli, invocati da lui quai testimonj e garanti di sua condotta . Tanta moderazione congiunta a tanta prudenza non val- sero a fargli schermo da' colpi dell'ingiustizia. Appena invasa Ferrara dagli Austro-Russi , eccoti il venerabile vecchio con- dannato senza difesa, preso il suo antivedimento a ludibrio. Scritto dal Sic. Giuseppe Venturolt. xxxv eccolo spogliato d'ogni incarico, d'ogni onore , d'ogni ricom- pensa . La folgore clie colpi molti, parve che sopra lui prin- cipalmente piombasse; ed egli ebbe per suo affanno maggiore, chiusa la bocca a scolparsi , ed oppresse a forza sul labbro le più giuste querele . Ora qual dura tempra di cuore avria potuto così rinfor- zarlo, che a tanta ingiuria si rimanesse insensibile? Ben più che il proprio danno Io ferì altamente il vile ritrarsi di co- loro che consapevoli e mallevadori di sua incolpabile condot- ta ^ non avrebber dovuto negargliene in cosi grave occasione libera e leale testimonianza . Tale ei ne risentì , non so s' io dica sdegno . o dolore , che non pure la sua robusta salute ne ricevè detrimento, ma parve ancora ne rimanesse infievo- lito il vigor della mente, insino allora vegeta e giovanile. Ridotto nella solitudine del suo gabinetto , l' amore de' geniali studj temprò l'acerbità del rammarico, e fecegli a poco a poco dimenticare l'iniquità de' tempi e degli uomini. Né molto andò che col risorgere del governo Cisalpino riebbe quanto aveva perduto , e fra breve intervallo ottenne anche il riposo meritato con tanti anni di utile ed onorato servigio. Sciolto dell'obbligo della scuola, si diede interamente allo studio non interrotto giammai né dalle malattie che di tratto in tratto lo afflissero, né dalla cecità pure che negli ultimi anni gli sopravvenne . A toglier la quale si restituì a Bolo- gna 5 ove depresse le cateratte per mano dello spertissimo Professore Giuseppe Atti , racquistò facoltà di leggere , seb- bene con ajuto di opportune lenti, e non senza stento. Ma non volle già die questo disagio lo ritraesse dalle fatiche usa- te , rammentando quel che avea fatto il grande Eulero già cieco , e quello che nella piena cecità avea potuto egli stes- so . Si rimise adunque nel consueto tenor di vita , fattogli ornai per lunga abitudine necessario . E fu appunto nel più forte d'un difficile lavoro analitico, che il soprapprese il pri- mo attacco d'una ritenzione d'orina, che in pochi giorni lo condusse agli estremi . L' appressar della morte né gli tolse XXXVI Elogio del Sic. Gian-Fuancesco Malfatti . l'uso de' sensi, né sbigotti il suo coraggio; e la religione di cui fu sincero cultore, siccome avea raddolcito i travagliosi momenti della vita , cosi sparse di consolazione gli estremi giorni . Fini di vivere il di g di Ottobre del 1807 avendo toccato r anno settantesimo settimo di sua età . Qual fosse la dignità del suo aspetto, appare dall'effigie prefissa a queste carte, delineata dall'amica e celebre mano di dementino Vanettì . Cosi potessero queste carte medesi- me degnamente ritrarre l' immagine del suo ingegno , e delle sue virtù . Ma la memoria di queste vivrà lungamente nell' amore e nel desiderio di quanti il conobbero : le prove del suo sapere ne' molti suoi scritti , e singolarmente ne' Fasti della Società Italiana dureranno immortali . '■^.-^ ,.«„j„„. j.i ■-'* '•'': Qùifn^zjér'ay/m? 2lé^^/^^m^ XXXVII ELOGIO DEL SIG. GIOVANNI VERARDO ZEVIANI MEDICO E FILOSOFO Scritto dal Sic. Antonio Guarienti veronese . Rìcei>uto il primo Gennajo i8i i . Oe ad ogni Consolo vittorioso, se a qualunque poco più che ordinario oratore, se a' comuni maestrati tutti, e a' mezzani filosofanti si fosse prodigalizzato l' onor del trionfo , le epi- grafi , i pubblici funerali , o le statue , meno illustri poscia ne sarebbono pervenuti gli Emilj ^ i Demosteni^ gli Agrippi, e' Demetrj; e per assai meno sagge,e meno assai giuste ora avremmo le Romane , e le Greche ordinanze . Da sì chiaris- simi esempli manifestamente apparisce , quanto errino quelle Città , ed Accademie , che le laudi loro ordinar sogliono in- distintamente , pur anche a coloro , i quali poco piìi là de' confini della nativa lor terra abbiano fatto sibilar il suo no- me , che senza di esse ignoto passeria bene spesso ai meno tardi nepoti . Per la quale irregolarità e soverchianza di elogj addiviene, che se per ventura sia poi da esse Accademie e Città messo in non cale un qualche nobile personaggio, il quale per opere di mano, o d'ingegno abbia la vita sua se- gnalata, di tanto minor fregio ne defraudano la memoria di lui, quanto maggiore si è il disonoramento, ch'elle con ciò procacciano a sé medesime . Ma a riparare si fatti sconcj egli non è solo in pronto l'esempio autorevole della Greca, e Ro- mana Repubblica-, ma sì ancora il consiglio provvidentissimo di alcune Letterarie Adunanze, dalle quali, conosciutosi il disordine , che ne viene , abbandonando le costumanze della veneranda Antichità , fu sapientemente ordinato , che soltaa» xxxviri Elogio del Sic. Gian-Vehaudo Zevl\ni . to a' sovrani ingegni si dovessero le solennità degli onori tri- butare pubblicamente . Ed una infra l'altre di sì fatte Adu- nanze ne viene indicando questo, qualunque siasi, mio scritto ; e dessa è la Società Italiana , la quale , fondata a sostegno delle Scienze, e ad onore del bel paese, cui'i mar circonda e l'Alpe, ha per costume di tramandare a' posteri la memoria solo de' grandi; perchè solo de' grandi fra gl'Italiani ingegni Ella intreccia sempre a sé stessa la sua corona. Perciò, lo stile suo seguitando, patir non può che si taccia di quel per- spicace filosofo, e medico sagacissimo ^ che, non ha guari, disciolto dal terreno suo carcere , rinnovellò alla mia patria l'epoca dei Montani^ e de' Fracastori ; e la gloria de' suoi più celebri sozj ritornò ai Letterarj Consessi , cui era ascrit- to. Con che, senza aggiugner più innanzi, già il mio leggi- tor mi previene eh' io intendo dire Giovanverardo Zet^iani . Le pregiate scritture , che di questo egregio suo membro pur ne' volumi della Società stessa già pubblicaronsi , bastano ad appalesarlo per grande, ed a perpetuarne il suo nome: ma a disbramare non bastano lo intendimento, ch'ella ha conce- puto di onorarlo, volendo essa pur anche ogni più bella azio- ne e virtù di lui particolarmente encomiata, e ad altrui sti- molo e norma nelle sue Memorie descritta . A si difficile ese- guimento invitata dal Veronese Galilei , Presidente di quali' insigne Istituto, l'inesperta mia penna, datomi tosto divisa- tamente a considerare , e conoscere quanto di più singolare e pregevole v' ha intorno di lui , io non ne avvisai appena la vastità di sue cognizioni, la profondità del sapere, e l'ec- cellenza dell'Opere, che maravigliar ne dovetti altamente, e credere di lui ben degni e dovuti i diversi onori, che gliene vennero, a tale che n'ebbi a sclamare: Quanto lo miro pili , tanto più luce . Che se altrettanto non avvenga a chi questi fogli avrà a leg- gere, ella è per altro sì fattamente universale la celebrità di Verardo , che mestieri già non sarebbe di fare altrui per- suaso ciò provenire dalla giovanile insufficienza dello scritto- Scritto dal Sic. Antonio Guarienti . xxxix re , anziché da imperfezion del subbietto . La quale insuffi- cienza mia, se mal per ventura saprà reggere alla gravezza di tanto peso, io spero che mi sarà fatto almeu buono lo aver tentato , e voluto . E nel dar mano al lavoro, volendo l'ordin proposto, che dall'origine di lui s' incominci , n'andrà taluno forse sconten- to, assai corrucciandosi con T ingiusta fortuna, dovendo io dire qui in su le prime che un sì ragguardevole personaggio abbia avuto a patria San Michele , contado un miglio da Ve- rona, ed a genitori (i) Vincenzo, e Maddalena Sandri, di progenie amendue, la quale, quanto proba ed onesta, difet- tava altrettanto di cospicue aderenze, e d'illustri maggiori, e per mediocrità di patrimonio, se non ignota del tutto, non però mai certo distinta . Cotale scontentezza io già avvisava dovere in alcuno avvenire ; ma insieme avvisando di qual maniera questi , ed altrettali fortuiti beni sogliano sovente ganza merito di chi li possiede , il conseguimento ottenere della celebrità, e degli onori, cominciò quindi a piacermi un tal difetto in Verardo ; avvertendo che a maggior sua nobil- tà , ed a più vera tornava il non dover riconoscere , che da sé stesso i bei progressi della sua gloria . Questa , come ve- drassi, a grado così elevato innaìzollo, che a chi non sa farsi bello , se non di fregi non proprj , avria egli potuto rinfac- ciare le argute risposte (a) da IJìcrate , e da Anacarsi date a quegli altezzosi , che l' ignobiltà del casato e della patria . loro rimproveravano ; ed una non inferior chiarezza pur an- che potuto avrìa contrapporre al vivo lume di quelli , che co' loro proprj gli aviti ornamenti avessero e conservati e ac- cresciuti . E a pronosticare ch'ei divenir non dovesse di pic- ciol conto, aspettar non convenne che nel ginnasio de' Padri (i) Da essi nacque Verardo il di 29 M.igglo I ya') . {^) Lo Scita Anacarsi , oltraggiato da un Ateniese per l'oscurità della Patria , rispose. : mihi Patria prohro , tu Patria; . Ed Ificrate ad Armadio , che l' ignobil- tà del sangue rimproveravagli , disse : la nobiltà mia incomincia da me^ e in te finisce la tua . XL Elogio del Sic. Gian-Veiiardo Zevianx . Gesuiti In Verona il corso della scolastica istituzion terminas- se con esso l'ammirazione dei Precettori: conciossiacliè fin dagli anni più giovanili e l'ottima indole, e più assai l' allc- zion per lo studio ciò manifestava oltremodo . La quale sua iiobil passione non impedi però mai ch'egli non si assogget- tasse del miglior buon volere alle disposizioni de' suoi Geni- tori pur ad essa contrarie . Dal che manifestò egli vieppiù quel rispetto j che inverso loro si aveva. E vaglia il vero; di cinque fratelli, tutti di sommo ingegno ( tra' quali Agostino sarà per sempre di tenera rimembranza alla Repubblica delle Lettere) destinato egli all' Uficio delle Ragioni Pubbliche, Cfomecchè per sua inclinazione tendesse alle mediche e filo- sofiche discipline, pur vi si acconciò con tanta docilità, quant' era l'avversion ch'ei ci avea . Per la quale avvisando il Pa- dre che ogni sforzo del figliuolo tornava inutile per riuscir- vi, deliberò alla perfine di secondare la tendenza di lui', an- che perchè insistendo a volerlo applicato a quell'esercizio, a cui la naturale inabilità contrastava, come avvenne di ^/?(?- rìandro ^ non avesse pur egli a meritare in qualche parte il rimprovero, che questo cattivo poeta n'ebbe da Archidamo . Perciò seuza più niandollo all'Università di Padova, alla qua- le di que' giorni per lo valore de' suoi Professori traevano, più che ad ogni altra , da tutte parti gli alunni . E qui sì , che il Zevìani sé stesso in lui medesimo riconosce , né più v'è riconosciuto da quelli, che Ragioniere il conobbero! Ele- vatezza di mente, profondità d'intelletto, facilità somma d'ap- prendere , arder di sapere dispiegano tutte a un tempo per lui le qualità pili singolari e più rare : e gli avanzamenti di esso nella scienza sono sì maravigliosi, e sì rapidi, che, ag- giunti a quella saviezza di costumi , che il tenne mai sem- pre guardato dai folli vaneggiamenti di gioventù, divenne egli non solo la delizia , e lo stupore de' suoi compagni , ma si ancora di Padova tutta, e de' medesimi Professori, i quali più presto che scolaro, amavano tenerlosi per loro amico. Corsa egli così la carriera prescritta, venne il di, che dell'acqui- stata Scritto dal Sic. Antonio Guarienti . xli stata scienza testimonio gli dovea far quella laurea (i), di cui com'ebbe ornate le tempia, stette in dubbio il comune giu- dizio, se ella da lui, o piuttosto egli da lei maggior onor ri- cevesse . Ricco pertanto di Filosofia la lingua e il petto si porta egli a Verona, la quale, elettasi a suo stabil soggior- no, superba di tanto acquisto, affettuosa l'accoglie fra le sue mura, ed il rammarico suo per non aver tutta la parte alla naturale origine di lui va confortando colle speranze di mag- gior lustro , che a lei da' suoi frutti venirgliene s' impromet- te . Né male di fatto ella in suo pensiero si appone . Con- ciossiachè non appena ebbe compiuto Verardo l'esercizio suo pratico sotto la direzione del nostro Protomedico Girolamo Gaspari , che adoperò egli guarigioni così difficili con tanta parcità , e semplicità di rimedj , che , se fosse vissuto alla stagion di Galeno, forse, come lui, si sarebbe d'arte magi- ca accagionato . A ciò fiancheggiavanlo le indefesse , e non mai intenotte sue osservazioni e meditazioni , alle quali fa- cea sempre servire di guida i piìi accreditati maestri, e sopra tutti il suo Ippocrate-, di cui non avea minore stima e venerazio- ne, di quello che di Omero s' avesse Alessandro . Che se leggesì di questo Principe che chiamar solesse l'Iliade la sua provvigioii d' arte militare , e i dettati di quel primo testore delle anti- che memorie custodii-e nella cassetta di Dario , la più pre- ziosa ( diceva egli ) del mondo : non altrimenti Verardo tenea gli scritti di quel primo lume de' medicanti per sua provvi- gion d' arte medica , e nella parte più nobile di sé stesso ri- posti serbavali , tutti , dirò così , di già a mente sapendoli . Alla qual cosa ajutollo ad assai la straordinaria felicità, ch'e- gli aveva di ricordare. In questo modo venne egli l'altrui considerazione acquistando, sì che parecchi infermi, alle al- trui ciu'agioni raccomandati , non si credeva poter di lor gua- rigione assicurare bastevolmente, senza ch'egli vi avesse parte. (i) Questa venne lui data nell'anno vigesimo terzo di sua età. * 6 XLii Elogio del Sic. Gian-Verardo Zeviani. Per questo accadeva che da assai medici era la sua opinione consultata e apprezzata; della quale non potendo egli essere più liberale e cortese, facea sorprendere la franchezza, con cui tutti disnodava que' punti , che al sottile e perspicace suo ingegno a discior s'offerivano. Ma se al riportar vittorie de' morbi, ed allo agevolar quelle di chi'l consultava , lo studio e 'l valore di lui ristretto si fosse al letto soltanto degli ara- malati, senza aver ricorso alla penna, molti fallaci e mal con- ceputi sistemi farebbono pur mo' traviare i più cauti , e di assai utili e rare dottrine saremmo noi privi, senza dire che alla medica scienza sarebbe rallentato non poco il maggior suo ingrandimento . A questa obbietto di soccorrere la scien- za, e la pratica , e' professori di essa avendo mai sempre vol- to lo intendimento e lo affetto; e diliberato perciò di reca- re in mezzo sani ammaestramenti ed eletti , uno accidente avvenuto in questa nostra Città nel vigesimo ottavo anno dell' età sua venne a fargli determinare , donde ciò incominciare ei dovesse . Ammalato a que' giorni il veneto General Sco~ lemhurgo , per medico ordinamento prese un vomitivo , cui non appena s'era ingollato, che fra il comune stupor si mori. Di cosi fatta disavventura , alla medicina sopravvenuta , non fu poca , a dir vero , la gramezza , e , direi quasi , vergogna , che ne provò quest'arte infelice; ma non fu piccolo uè an- che il guadagno , che da questa sciagura ella ne trasse per mezzo del suo Verardo ^ il quale, a servirmi dell' espression - di Plutarco :, operò come l'Ape, che dall'amarezza del timo sa trarre il miele . Imperciocché conosciuto egli un tal dan- no da quel vomitivo procedere , di presente e' si colse que- sta occasione per tor di mezzo Io abuso dei purgativi , che o fuor del bisogno , o innanzi tempo adoprati menavan stra- ge per tutto , ove men s' attendea . E quindi il 3Ietodo circa fuso della Purga e del Salasso fu il primaticcio frutto del- le sue applicazioni, che a luce egli diede. In questo, stabi- lita prima per vera, ed assai più facilmente possibile, l'esi- stenza di una pletora , da isporcamento delle vie prime di- Scritto dal Sic. Antonio Guahienti . XLin sgiunta , passa quindi a far conoscere gli effetti delle purga- gioni funestissimi sempre , e non mai nocevoli quelli della emissione del sangue . Tutto ciò poi vi si mostra con prove avvalorate dalla ragione, dall'esperienza, e dalla autorità de- gli scrittori per modo , eh' ogni avversario del salasso , e fa- voreggiatore dei purgativi è forzato non più essere alieno dal primo , e la precedenza di esso , ove dei secondi sia luogo , ai correttivi sixstituire , i quali parve più proprio al Zeinani scorrettivi (i) appellare. Comparso in pubblico questo scritto pose termine di fatto alle svariate quistioni , che per lo di- sastro dello Scolemburgo n' erano insorte : né da tal lavorio guiderdon più gradito di questo potea certo avvenire al bel!" animo del mio Verardo , si fattamente alle contese nemico. che pur anche il nome ne detestava . E se alcuna fiata non si potè egli torre di questo impaccio, almeno e' non v'entrò mai , se non che obbligato a conoscere , o vie più a metter in chiaro la verità : nel che fare si portò egli sempre con tale temperatezza, che merita d'esser dato per modello a co- loro, i quali nel contraddire del proprio orgoglio soltanto fan mostra ; o come egli stesso meglio ne scrisse (a) trattenuti vi sono da liti provenienti da una discrepanza di voleri più tosto che di opinioni . Di cosi raro contegno fu Verardo mai sempre osservator rigidissimo, sì, che il cavamelo dai ter- mini più ciicoscritti era quel tutto, che da lui si ottenesse ogni più caldo disdegno. Era tale però sua natura, che gran forza non avea egli ad usare per tenersi da questo lontano; pur tuttavolta mal poteva guardarsene allora , che un qual- cheduno o condannato avesse a torto gli antichi , o le cose di loro a spacciare si fosse dato per proprie. Tanto era l'a- more e la venerazione, che bene a ragion esso avea inverso que' primi padri delle scienze e dell'arti. Di qua venne, che volendo il Vetere (3) dar per nuovo il metodo di trattare le (i) Metodo circa l'uso della Purga e del Salasso , Part. I , pag. 2.8. (ii) Nuovo Fonte da cavar Pronostici nelle malattie. Introduzione , pagina 9. (3) Giornale di medicina AòiV AiUet~ ti . T. IX , pag. 89. xuv Elogio del Stg. Gian-Verardo Zeviani . oppilazioni del ventre interiore con le percosse di una taglien- te scnre , non potè frenarsi dal non iscrivere (i) contra co- stui ; questo metodo non è nuovo , ma prodotto dal Carda- no nel i55o : e vituperato dall' Acquapendente come si leg- ge nel Sennerto . Ed allora che mise in dubbio il botanico Seguier [2) avervi veleno nel nasso contro l'opinion degli an- tichi , non potè contenersi dal non rimbrottarlo , scrivendo : (3) il poco rispetto che si ha della sempre veneranda antichi- tà mette a pericolo di rendersi ridicoli con danno del prossimo : sentenza , che , bene impressa in alcuni bizzarri cervelli , il guasto alla repubblica letteraria, e ad essi il biasimo dimi- nuirebbe non poco. Or chi da ciò ne inferisse eh' egli tenes- se a vile i moderni , troppo ne andrebbe errato ; poiché , la- sciando egli si mal talento a chi volesse un eguale disprezzo alle scritture sue procacciare , si dava anzi pensiero di veder tutto quello , che alla giornata sulla medica scienza veniva in luce. Che se poi fu di tanto buon senno, che avesse più a capitale quelli d' infra i moderni, che sulle tracce degli an- tichi dirigeano i lor passi, non è perciò che né anche i medesi- mi novatori si potessero scontentare di lui . E qui far mi può fede quel novello sistema (4) •> che negli ultimi anni del viver suo , mossosi fin là d' oltramare , discorse in breve per tutto Europa , cercando la medica repubblica porre in ogni banda a soqquadro. Avvegnaché se noi sostenne il Zeviani all'en- trar suo neir Italia , e' non vi diede né anche a traverso ; e rimettendolo al tempo, eh' è il sagginolo infallibile d'ogni scrittore , saviamente ebbe a dire a lui solo essere riservato il diritto di giudicare. Questo riguardo, ch'aveva per tutti, era così proprio di lui , quanto il non sapere invidiar chic- chessia, della qual vile passione era egli scevro egualmente, che dello immaginamento di poterla eccitare in altrui . E co- mecché da tal peste , vitupero e rovina degli uomini , quasi (1) In una miscea di suoi MSS. 1 (3) In una miscea di suoi MSS. (a) Botan. pag. a6a. J (4) Di Giovanni Broivn . Scritto dal Sic. Antonio Guarienti ' xlv tutti sien consumati, come dalla ruggine il ferro, secondo il dire di Antistene^ pur non hassi a durar gran fatica in cre- derne esente il Zeviani , quando in ispezieltà si voglia por mente a quel suo basso sentimento di sé medesimo, il quale con Socratica moderazione sovente gli facea replicare , che quanto più logorava su i libri , e più confirmavasi eh' egli niente sapea . Ma se l'umiltà vuol ch'esso ignori, quanto ab- bia di sue più belle dovizie a lui la sapienza dischiuso; le continove inchieste de' suoi consigli , e la pace arrecata col primo suo scritto non lascian però ch'ei non conosca la pub- blica confidenza, eh' è in lui riposta. Anzi in guisa n'è as- sicurato , che comprendendo , da quel filosofo eh' egli era , quanto essa ajuti il vantaggio, cui possono gli ammaestramen- ti apportare , lavora e pubblica di ventinove anni il suo Nuovo Fonte da cavare Pronostici nelle malattìe ; per lo quale quest' arte dimenticata ravviva, l'utilità e il valor ne magnifica, e di osservazioni novelle e accurate ne la arricchisce . Mentre questo secondo parto dell'ingegno pellegrin di Verardo fra le belle accoglienze dei dotti si aggira, e' non va un anno, che le si vede più che dimezzate da un parto novello, il quale, sebben minore di età, a lui nulladimeno va innanzi e per grandezza , e per iscienza . Vien esso per istruire ad armeg- giar contro il Flato Ipocondrico , non ben conosciuto prima dal Combalu siero.) che dall'altre specie di flati non lo distin- se , e mal fino a questo termine riuscite a distruggerlo l' ar- mi apprestate dal Fieno. E ad assicurarne l'impresa, scoper- to la qualità, la possanza, e la sua sede nella parte superio- re e sinistra dell' addomine , quindi le sole armi atte a su- perarlo ne addita, non altramente che Filottete,\\ quale in- dicò quelle d' Ercole , senza cui invan dagli Achei si sudava per trionfare di Troja . Alla persecuzione di quell' ipocondri- co travagliamento andò pur soggetto Verardo^ ed a ciò noi dobbiam forse in parte la maggior perfezione di un' Opera sì vantaggiosa . I primi insulti di quel malore cominciato aveva egli a jirovare già sin dagli anni ve nzette ; i quali tiratisi ad= XLVi Elogio del Sic. Gian-Verardo Zeviani . dosso per le troppo serie continuate applicazioni , eh' egli fa- ceva, onde condurre a termine tante sue difficilissime cufa- gioni , ne avveniva perciò che ogni volta che l'assalivano, avriano potuto in lui risvegliar la memoria di sue vittorie sui morbi , se il suo spirito sentito avesse di sé , come sentiva quello di Coclite, il quale vantava di risovvenirsi del suo tri- onfo ad ogni passo , che movea zoppicante . Con tutta però cotale moderazion del suo spirito non potea non saper la ca- gione di quel suo morbo essere state le notti vegliate in su i libri ; ma non perciò se n' ebbe egli a distorre ; che anzi accrebbe vie più quel lungo studio e'I grande amore, che'l faceva cercare e svolgere i più scelti volumi, per li quali ve- niva messo dentro alle più scerete cose della Chimica, della Notomia , della Botanica , e della Clinica principalmente , a cui sovra ogni altra intendeva l' animo suo . E se oltra le mediche occupazioni , il tempo , necessario a rinfrancare lo spirito, lo toglie alcun poco dalla sua stanza, noi toglie pe- rò giammai dallo apprendere, o ammaesti'are; comecché a far- ne credere contrariamente di lui s'argomentino alcuni di quel- la tempra, che mettendo in ridicolo chi ad esso loro sta so- pra, con ciò vorrebbono la propria inferiorità minorare. Re- cano in mezzo costoro eh' egli stesse talor baloccando fra basse cose, e leggieri, di mente maschia indignissime ; e per pro- va ne vanno spargendo, oltra il dovere schiamazzatori, di averlo veduto essi stessi tener conto, fra l'altre piccole co- se , e maneggiare alcuni suoi panni lini . Con che a mio cre- dere, o m'inganno, in vece di svilirlo, dipingono in lui ini vero filosofo , inteso a riconoscer sé stesso , ed i bisogni , a' quali pur dee assoggettarsi, per quantunque eminente ella sia, la sempre umana circoscritta sapienza e grandezza . Che se tuttavia lor venga fatto di far credere secondo suo modo, otterranno forse per questo che sieno men veri i suoi inse- gnamenti , e men chiare le sue produzioni , e meno ancora ammirabili ? S' ella è così , non più si raramentin le imprese del discepolo di Chirone^ né più s'accordi il primato ad Alcide Scritto dal Sic. Antonio Guariehti . xlvu fra gli antichi eroi della Grecia, poiché oscurati ambedue da assai maggiori bassezze , misto già il primo , e confuso con femminili ornamenti fra le regie donzelle di Sciro , e cambia- ta il secondo per Onfale la poderosa sua clava in vii conoc- chia e in \\\i fuso . Che se per avventura altri credesse mal questi esempli confarsi alle bassezze, che si vogliono del no- stro Zeviani , essendo quelle de' mentovati eroi in essi avve- nute per colpa di vilissimi affetti, non si ramraentin dunque più mai le imprese e la grandezza di Agesilao^ né la saviez- za di Socrate, se spesse volte si vider troppo pargoleggiar co' fanciulli . Ed avvegnaché siemi caduto per mano lo accennar quelle azioni àe\ Zeviani , che a' loschi ingegni sogliono sem- brar minuzie , o bassezze , intralasciar non voglio di raccon- tare eziandio com'egli solca non di rado fra quella turba vul- gar mescolarsi, che trae a'montambanchi ; e come, questi medesimi chiamando in sua casa, cercava alcuna volta con r argento da essi ottenere la spiegazion de' loro specifici . Con- ciossiaché credea egli dalla osservazion delle cose di minor conto le prime tracce scoprire de' più maravigliosi secreti del- la natura : nel che veniva accordandosi col sentimento, e con- siglio de' più grandi uomini, che abbiano mai fiorito in ogni maniera di scienze . Ed in fatti se il Galilei non avesse fer- mato l'occhio e la riflessione su la oscillazion di una lampa- de; se sulla caduta di un pome il Newton-, se Ruggiero Ba^ cane sopra un eventuale accendimento e scoppio di poca pol- vere di carbone, con zolfo mista e con nitro , ci sarebbe ancor forse ignoto l' isocronismo de' pendoli , il gran sistema dell* Universo , e la polver tonante , cui , per l' uso suo ferocissi- mo pentir dovrebbesi d'aver formato Natura. Ogni pensier del Zeviani , anche per le vie meno intese, e men luminose, mirava sempre all'eccellenza, ed al grande; e tuttociò che da questo segno vedea dilungarsi , ognor dispregiava , e fug- giva . Ove non ispargea semi la virtù e la sapienza , ivi né pur egli s' interteneva ; e per questo indarno la persona di lui si cercava alla scuola della licenza infra le rappresenta- XLViii Elogio del Sic. G'.Àn-Verardo Zeviani . zioni sceniche e spettacolose; indarno ai crocclij deijU slac- cendati , laddove noja , depravazion , miscredenza fra l'Indi- che tazze e bevande nuovi alunni crescono , ed avvalorano ognora; indarno a certe clamorose raunanze , raccolte, non a nutricamento di amicizia, o di non disutili ragionamenti e sollazzi , ma bene spesso a sola costumanza di moda , ed a magnificenza di gale. Per lo contrario agevole cosa ti sareb- be stato lo avvenirti in lui per le strade meno frequenti, e fra le men numerose brigate, e più colte . Tra queste, se la persona alta e scarna , se le fattezze né gentili , né grosso- lane, se l'aria del suo viso ilare, ed espressiva tu ne avessi igno- rata, altro non ne avevi a fare per raffigurarlo, se non che dal labbro di chi elle pendessero solo un poco osservare . Le sue vestimenta, quanto semplici e schiette, s'allontanavano altrettanto da quella mentita vanità, cui dal fesso del man- tello d' Antistene pur seppe un di ravvisare l'acutissimo sguar- do di Socrate . Nel portamento e negli atti avvilimento non mostrava mai , né abbiezione ; ma la burbanza né anco vi compariva di que' nuovi Parrasj, che né pur sospicando aver- vi un Zelisi , e un Timantc ., con l'alterezza dell'aspetto, e colla posatezza del passo esigono, e promettono quel molto, che loro manca per esser grandi ; grandi solo nel fatto di spregiare , d' insolentire , di soverchiare . Naturali e trascura- te avea le maniere; scortesi non mai. Ed il parlar suo, pie» no sovente di una arguta festività, era senza stucchevolezza una continua scuola di chi l'udiva : e tale dovea riuscir sen- za dubbio , tuttodì non ad altro mai inteso , che a transric- chir di dottrine , e ad estendere sempre più i confini del suo sapere . Per esso quanto nelle più difficili cose a penetrare ei valesse , diello a diveder chiaramente in molte sue Disser- tazioni, e Trattati ; ma con nessuno a diveder lo die meglio, quanto con quello sulla Rachitide, cui se il chiamar sopran- naturale si opponga alla condizione dell'umano intelletto, al sentimento non già sì oppone de' più illuminati maestri di medicina, i quali la malagevolezza di discoprir la vera radi- ce Scritto dal Sic. Antonio Guarienti. xhx ce di cotal malattia teneano affatto per invincibile . E vaglia il vero : se questo ingegno sommo e sovrano non compariva in mezzo di noi , dopo i vani ricercaraenti del Glissonio, del Boozio, del Majou, del Valdschmidio , del Doleo , del Side- namio , del Benevoli , e di più altri valorosissimi uomini , la medica repubblica pur ancor sentirebbe con avvilimento, e contusione indicevole risonarsi all'orecchio, che lo spiegarla cagione di questo male è da mente altro che umana ; sicco- me ebbe un giorno a gridar altamente il Boeravio (i), scon- tento del suo sistema , non altrimenti , che ogni altro scrit- tore di cosi fatta materia . Ma non sì tosto si accinge Verardo al difficile intraprendimento di scoprirne l'anzidetta cagione, che un'insolita agrezza, proceduta agli umori dalla corruzio- ne del latte per la verace ed unica ei ne disvela . Qui per altro le scoperte non finiscono di Verardo . Si fa egli ad esa- minare da che derivino le innumerevoli morie de' bambini, e con ribrezzo rinviene come il portar i nati alla chiesa per lo Battesimo nella stagione del verno accresca poco meno del doppio il novero de' frutti ricisi in ei-ba da morte , messo a paraggi© con quello, di cui ella in altri tempi dell' anno pur la sua preda . Prima che ciò scrivesse il Zeviani , teneansi dal Boeravio per le più micidiali cagioni il latte troppo crasso , vischioso , semi-putrido , sieroso o di soverchio dato , il me- conio non ben discevrato, i vermini intestinali, lo spuntare dei denti , e la pingue muccosità , che lo interno rimpalma dello stomaco e della bocca. Baìì' Hallero poi, e da molti altri si riputavano primarie cagioni di tanta desolazione pa- recchi sconci, neghgenze, e malori, cui l'annoverare qui tutti troppo lungo e forse anche inutil sarebbe . Ma dopo le dili- genti e faticose osservazioni del nostro autore si conobbe quan- to (jueste cagioni fossero di meno maggior rilevanza di quel- (i) Quid proprie hoc sit , quod in cor- pare facit Rachitidem , nemo explicare poten ctc, Frax. Med. sive C9mm. in aph. Boer. par. 5, p. 374. Cosi citato dal Zeviani T. Radi. p. 55. X- 7 t Elogio del Sic. Gian-Vérardo Zeviaiuti . lo che si credeva; e s'imparò vie meglio a riparare alla per- dita di tante vite , che formano la più cara speranza delle famiglie, e delle nazioni. E giacché de' ritrovamenti del Zo l'iani io fo qui parola, dove mai lascio quel morbo, che ret- tamente insegnò egli alla Pleuritide susseguire? I più valenti scrittori , che sulle successioni delle malattie lunghi trattati hanno steso, nuli' altro fanno alla pleuritide venir dietro, se non che peripneumonie, tisichezze, ed empiemi. Ma Ferardo, datosi su di ciò a più mature considerazioni e più esatte , giunse da quel fine conoscitore ch'egli era a scoprire, che un'appendice della pleuritide non più avvertita da nessun al- tro s'appiattava per entro i muscoli del costato, e nella pleu- ra . Conosciuta perfettamente cli'ei l'ebbe, manifestolla tan- tosto al pubblico, lavorandone un particolare Trattato, e per distingiierla dagli altri morbi controssegnolla col nome di Parapleuritide, che è quanto dire , come egli stesso ne scrive (i) una Pleuritide resasi cronica e di minor intensione, ov- vero un morbo che sta presso e vicino alla pleuritide , o fi- nalmente un morbo che vien dietro e succede alla pleuritide . Questo si fatto malore suol mostrar falsamente all'aspetto una somiglianza con altri mali, co' quali non ha egli parentela, o comunanza di sorte alcuna . Dalla qual cosa potendo restar parecchi ingannati, gl'indizj più sicuri di lui mette in mo- stra, e quindi il polso duro e ristretto, il dolore di costa, la febbre dopo il pranzo aumentata e senza sudor declinan- te, lo stentato parlare ^ il decubito impedito nel lato offeso dal dolore, e finalmente il sangue tratto dalle vene duro e resistente al taglio e per lo più coperto di una crosta gela- tinosa, per li sintomi più ordinarj,nè da nessun altro giam- mai conosciuti con osservazione accurata ne determina e sta- bilisce . Ma se di quest'uomo, grande cotanto, e avveduto, nulla più si sapesse che queste e molt' altre maravigliose sco- (i) Parapleur. cap. a, pag. i6 . Scritto dal Sic. Antonio Guarienti. li perte , o schiarimenti; se nulla più che l'estesa cognizioii ch'egli avea della storia naturale, e della sacra, e profana, non che della poesia , come ne fa certa fede alcun suo poe- tico componimento, se nulla piìi che lo studio e la perfetta conoscenza di quattro idiomi stranieri (i), cifra il Latino ed il Greco , e il vivo amor , eh' egli avea innanzi ogni altro , del proprio suo nazionale, amore manifestato co' suoi scritti, in esso pressoché tutti con proprietà ed evidenza dettati, e che a di nostri ha mestieri d'essere in non pochi Italiani petti riacceso ; se nulla più , dissi , si sapesse che questo , e quanto egli ha conosciuto, e parlato, e insegnato, e scritto, molto più si saprebbe di quello ch'abbia cercato il Zevìani che si sapesse . Pur ad onta di tanto non poco ancora ne re- sta di ciò , che vuol far saper quella gloria la quale portan- do il nome di lui fuor delle patrie contrade gli procacciò ri- nomanza ed onori non ordinar] e comuni. Al che parendomi oramai tempo di rivolger lo stile, io non avrò a far altro che darmi a tesser la storia dell' onorevole ingrandimento e cele- brità ch'egli ottenne per eccitare nell'animo di chiunque lo stupore . e la maraviglia . La gloria, ristoratrice d'ogni onorata fatica, che tanti animi rinvigorisce, assottiglia cotanti ingegni, che disasprisca ogni arduità, e trionfa insino di morte, la gloria, io dissi, rinnovar volle inverso di lui i suoi largheggiamenti più so- lenni, e più rari. Solo un suo accarezzamento, agli aflFezio- nati suoi conceduto, tien essa il più delle volte per grande compenso; ma del Zeviani trattandosi, tenne, direi quasi, per lieve dono il farlo participare d'ogni sua grazia migliore . Pri- ma che un raggio favorevole della sua luce balenar faccia a coloro , che avidamente ne la rintracciano infra gli studj dì Palla, o in mezzo ai campi di Marte, lunghissime e dure pro- ve ella esige , e talor anche ne aspetta lo incanutir della chio- di) La Franzese , la Spagniiula , la Teilesca , l'Inglese, Lii Elogio del Sic. Gian-Verardo Zeviani . ma ; pur del Zeviani non ne sentì appena il nome , che tut- ta invaghissi di lui, e il mento, lanuginoso ancora, a vez- zeggiarne si diede . E se licito mi fosse i colori della dipln- trice fantasia assecondare, pur anche direi , che sollecita del- lo ingrandimento di lui , non aspettò valore di curagioni , o di penna per divulgamelo, e che dalla maniera e qualità de' suoi stud) , e dal profitto istraordinario procacciatosi per la pratica sotto la direzione del Qaspari , potè dirittamente ar- gomentare anzi tempo , che bastava solo , eh' ei si mettesse a qualche intrapresa , perchè felicemente vi riuscisse : con- ciossiachè videsi il nome di Verardo volare di assai pochi lu- stri famoso fuori del natio cielo . Padova tra le città vicine prima di ogni altra il grido ne sentì della sua virtù , e del- la grandissima espettazione , eh' egli avea di sé messa. Il per- chè sentitosi ridestar dentro al seno più vivamente la dilet- tanza di averlo avuto suo allievo , tornò ad invidiare più for- te un sì ricco possedimento a Verona . Studiò quindi modo a privamela onde appropriare sì gran tesoro a sé stessa. Al qual fine, usate quante mai pratiche sapesse migliori, tentò persuaderlo , tuttoché di soli anni venzette e' si fosse , ad esser uno del bel numero di que' Professori , che la chiarez- za e maggioranza dell' antica sua Università sostenevano , e rabbellivano . Con questi teneva egli mai sempre amichevole ed erudito carteggio ; il quale per altro era più famigliare e frequente con chi primeggiava a quel tempo infra loro , di- co Gìovambatìsta Morgagni . Questo principe degli anatomici de' suoi giorni ebbe sì a capitale il Zeviani^ e le produzioni di lui , che richiesto a permettergli d'intitolare ad esso il suo libro Del Flato, non solamente vi acconsentì di buon grado senza riguardo alle negative , più volte fatte a parecchi va- lentuomini, amici suoi; ma con sua lettera (i) , rimastane ancora , manifestò inoltre che questo recato sarebbesi a suo (i) Questa lettera, die con altri ma- 1 mente il Sig. Bott. Giacomo Guarienti , Moscritti del Zeviani comunicò gentil- I è la seguente : LUI Scritto dal Sic. Antonio Guarienti." altissimo pregio. Dopo quest'atto sì luminoso altro non fa- rebbe luogo , a mio credere, per assicurar chicchessia del fa- vorevol giudizio di quel personaggio , tanto segnalatissimo , intorno a questa eccellente scrittura; ma v'ha ancor più d'as- sai . Imperciocché letta ch'ei l'ebbe, non potè ritenersi dal confessare pubblicamente (i), che, quanto in somigliante la- voro sfuggì alla sua mente , tutto avea raccolto , e conside- rato pienamente il Zevianì \ e che nel Trattato di questo tut- to quel ritrovarsi, che nel suo proprio restavasi ancora a de- siderare . Se al solo Morgagni ristretto si fosse il numero de- gli ammiratori di Verardo^ sarebbe stato a lui certo bastevole per vincere l'obblivione , essendo quel valentuomo uno di que' pochi, cui soltanto, giusta lo insegnamento di Tullio e di Fiacco , cercar dee d' ottenere a suoi giudici , e leggitori approvanti chiunque a vivere dopo il sepolcro abbia il suo pensiero rivolto. Ma passa ben poco tempo, che l'estimazion del Morgagni non è più il primo vanto del nostro encomia- to , e che alla fama di lui Padova diviene troppo angusto con- fine . Per conoscere quanto questo sia vero, girisi primamente lo sguardo al sollecito divulgamento di sue produzioni , ed III rito Sig. Sig. Pad. Colmo Riconosco uìiicamente dalla singoiar di lei cortesia il pensiere di onorarmi , indirizzando a mio nome la nuova sua opera del Flato a favore degl' Ippocon- driaci , e che però sin, da ora incomincio a ringraziamela come pure fo della ri- cerca del mio consentimento ■ Questo co- me potrei io negare a lei , che tanto giu- stamente ed amo e stimo ? È bensì vero che essendomi io sottratto dall' accordar- lo ad altri , cosi che tutte le dedicatorie eh' è parato alla bontà degli amici, e tra questi dei Signori Heistcro, ed Mailer di farmi, le ho prima vedute e sapute, con- vien la preghi di non significare a veru- no di avermi alla prima scritto , ma di lasciar credere, che come hanno fatto gli altri miei amici, così pur ella abbia fat- to . In questa maniera non potrà alcuno dì me dolersi , ed io sarò tanto più colmo di obbligazioni verso di lei che divota~ mente riverisco neW atto di rassegnarmi Di V. S. Illnia Padova 21 Agosto 1755. Divotmo ed obbligmo Servitore Giambatista Morgagni . (i) Sed de hoc, et de universo curaiio- ìiis genere in tympanite , et de una ah altera specie per conjecturas , quo ai ejus licet internoscenda et de morbi hu- jus natura et causis fac legas , quce eru- dite , ingeniose j periteque scripsit Cla- rissimus Zevianus, qui si ut prò suo erga me singulari amore scripta illa in meo quale i'dcumque est nomine apparare vo- luit , sic antequam hanc ad ta cpistolam darem , mittere potuisset , POnnulla quce me fugeriiìit in hac miìiime desiderares . Apuli illnm igitur rtpcries . Morg, Ep. 38, §. 25. riv Elogio del Sic. Gian-Verardo Zgviani . all'universale apprezzamento, ch'esse acquistarono. Nessuna di loro comparve alla pubblica luce , che scorso non abbia subitamente l'Italia tutta, o, dirò meglio, l'Europa; di qua ottenendo l'approvazion dei Borsìerì, dei Ptuhini, dei Pasta^ degli ScardoJii , degli A zzo guidi , dei Valcarenghi ; di là ra- scuotendo gli applausi dei Bertier, degli Eisteri, degli Haller, dei Saufages j, degli Svieteni ^ e d'infiniti altri rinomatissimi ingegni, senza dir de' viventi; oltre lo avere in molte parti occupato l'attenzione degli stessi Governi . La più grave d'an- ni fra le mancate Repubbliche vede appena venire a luce l'importante Dissertazione Sulle Numerose Morti dei Bambini^ che tosto ne vuole alcuni esemplari per sé , onde stabiHre saggi ed utili provvedimenti, che le cagioni mortifere, se non a toglier del tutto, a diminuire in gran parte almeno vales- sero . Questo libro pur giugne nel regno di Danimarca ; ed istrutto per esso quel Principe della strage , che fa degl' in- fanti il portarli pur mo' nati al fonte battesimale , senza ri- guardo a' crudi rigori del freddo, vi provvede ben tosto, con pubblico sovrano editto facendo permettere a' padri il battez- zare in ogni tempo fra le domestiche mura i loro figliuoli . L' esempio di quel Monarca , per quanto dal clima nostro com- portisi, vedemmo, non ha gran tempo, rinnovato anche infra noi dal precorso Austriaco Governo, il quale con particolare Decreto (i) ordinò che dovessero i Parrochi nelle stagioni di autunno , e d' inverno dare il Battesimo nelle case dei nati , protraendo all' altre due le solite sacre cirimonie . Che poi del gran Trattato su la Rachitide ? Noi vide appena la graa Bretagna , che tosto inarcò maravigliando le ciglia ; e al vi- vo fiammeggiar di sua luce , con cui dirada le folte tenebre, in eh' era avvolta la vera cagion di quel morbo , scorse il- languidire il chiarore de' suoi piìi illuminati maestri. Per lo che, vedendosi pur tolta dinanzi da un giovane Italiano quel- (j) Del giorno ai Settembre i8c3 . LV Scritto dal Sic. Antonio Guarienti . k palma, a cui ella credea aver più d'altri diritto (i), poi- che per essa sudato aveano tanti suoi ingegni, e tante sue penne s'erano già bancate, sforzossi invano celar l'invidia, e il suo non lieve rammarico ; poiché eccitato e scosso da indi a poco Io stile d'uno (a) de' suoi più illustri scrittori, bandi per tutto che la verdezza delle fecce de' bambini dal- la sola bile procedere, opponendosi per questa guisa a quan- to ne ave ascritto il Zevìani nel suo Trattato, che quell'effetto dall' acida corruzione del latte pur vuol prodotto . Sì fatto ar- dimento però son d'avviso che né anco immaginato sarebbesi quello straniero , se per poco la franchezza e il valore pre- veduto avesse di quel chiarissimo Elvetico (3), il quale usci- to a difesa del nostro Zei>iani , ebbe a contrapporre tantosto (4) che un Italiano di gran lunga più perspicace fa sapere che lo sterco perciò si fa verde , perchè dimorando troppo al- la lunga negli intestini^ acquista un'indole acida e corrosi- va, per cui la stessa bile si fa vedere , come se le venisse fram- misto dello spirito di nitro . Ma se tutti annoverare io volessi i nobili avvenimenti de' suoi dettati diverrei ben più lungo di quello, che ad una breve laudazion si convenga, siccome questa esser dee; nella quale quanto vien detto, vuoisi tut- to da chi legge tenuto soltanto per indicazion di quel mol- to , che annobilisce il Zeviani ; non altramente che da una verde canna ondeggiante , e da un picciolo ramoscello coro- nato di freschissime coccole trasse argomento Colombo di quel vasto e ricco paese , eh' egli moveva a scoprire . Taccio per questo i molti errori, ch'egli saviamente emendò, le notizie, e gli schiarimenti da esso lui virtuosamente arrecati : taccio le auree medaglie , con cui si premiarono le sue risposte a (0 Oltre i moltissimi scrittori di que- sta Nazione, elle versarono su cotal mor- bo, scrive il Zeviani medesimo ^ che ver- so il i65o otto diligenti Medici del Col- legio di Londra soleifano privatamente adunarsi, e scamhievolmente in iscritto co municarsi i loro studj , e le loro osser- vazi orli ■ Radi. cap. a , pag- i5 . (a) Vedi neir Esper. Med. di Gian- giorgio Zimmermann . (3) GiangioTgio Zimmermann . (4) Esperien/,. Med. Lvi Elogio del Sic. Gian-Verardo Zeviani . difficili Programmi (i) scientifici; taccio i poetici coniponi- menti pubblicati in onore di alcun suo scritto, e di alcun altro le replicate edizioni : taccio infine le onorifiche testi- monianze di que' sapienti , che vanno per la maggiore regi- strate intorno alle dottrine di lui . E in luogo di queste te- stimonianze io mi appello al giudizio, che ne diedero i più nobili letterari I^stitiiti nello aggregare il Zeviani, con ciò avendo cercato a gara procacciar da' suoi scritti onore a sé stessi, tacendoli per questo mezzo in qualche parte di lor ra- gion divenire . In cosi fatto gareggiamento per altro nessun luogo valse a prevenire e vantaggiar la nostra città, la quale prima di tutti lo aggregò alla famiglia degli Aletofili, e sino dai diciannove Maggio dell'anno 1769 ne registrò il suo no- me fra '1 senno di quelli, che l'Accademia d'Agricoltura, Commercio, ed Arti compongono. Il Lorgna nell' istituire la sua Società Italiana propostosi di formarla de' quaranta più addottrinati personaggi del bel paese , dove il sì suona , cre- dette di affatto dilungarsi dal conceputo suo obbietto, se uno de' primarj posti al nome del Zeviani non avesse assegnato . E la Regia Accademia di Storia in Madrid (a) non si tenne per abbastanza ragguardevole e chiara, s'ella pur messo a parte del Corpo suo non avesse quest' uomo . Con esso lei concor- dano la Medica Società di Venezia, l'Accademia riapertasi di Toscana (3), e la Reale di Mantova (4) 5 di quella Mantova, che per alto savere , e per l' opera di Verardo mostra ancor le (i) Rispose anche ad un Programma dell'Accademia di Vicenza, ed avendo posto nel sno scritto in vece del suo no- me l'Anagramma Vidio Verzanera fu ca- gione, ch'egli perdesse il premio di venti zecchini . Perciocché dopo lunghe e vane ricerche di quell'Accademia per rintrac- ciare un tal nome venuta finalmente in deliberazione di ricorrere perciò al Ze- viani 5 siccome quello che de' più dotti iiomini avea conoscenza , rispose esser egli qual desso in tempo che l'Accade- mia cessò . (2) Questa Accademia lo aggregò il di 29 Giugno 1775 . (3) Da questa venne ricercato il suo nome , mentre il Zeviani era già ottua- genario, e perciò fece si che noi si scri- vesse in fra quei Sozj , offerendo però ad essa tutto il servigio suo . (4) Ba questa venne aggregato il dì ao Dicembre 1769. Scritto dal Sig. Antonio Guarienti. lvii le sue vìe popolose , e conservati ancora e fiorenti molti suoi cospicui Casati . Una micidiale Mìgliaria la dominava per tut- to , e recava per le sue ampie contrade lo squallore, la de- solazione , la morte . Ogni mezzo praticato per liberarsene era tornato già vano, e le osservazioni e le cure de' migliori suoi medicanti valute non erano ad impedirne giammai i suoi sol- leciti procedimenti . Vien ella perciò in deliberazione di ri- correre altrove; e passata sott' occhio tutta la medica repub- blica di quel tempo , in nessun altro meglio ferma le sue spe- ranze , in nessuno più s' assicura , che nel Zeviani . Esso non è sì tosto richiesto , che di presente a lei vola per confor- tamela. Esamina attentamente quel morbo, né v'ha sintomo dubbio e fallace, oh' ei non distingua; non insidia eh' ei non prevegga ; non complicazione di cause , eh' ei non discopra : rileva tutto a uno sguardo ; e con medicatura , opposta a quel- la infino allor praticata , fu una medesima cosa il minacciar- lo e il distruggerlo . Per tal fatto e' si rendette simigliante al suo Ippocrate , chiamato a libei-are la regione Illirica da mi male pestilenzioso , il quale non si tosto v' accorse , che il vide già mirabilmente all' uso de' suoi rimedj cedere e scom- parire . A questa guarigion portentosa tanto al Zeviani felice e gloriosamente riuscita , gir veggo di pari quell' altra , che operò dappoi in un grosso nostro Villaggio (i), i cui terraz- zani, presi da fiero male di petto, gravemente ammalavano, e in pochi di si morivano miseramente . Or queste due cu- ragioni mi richiamano alla mente quel tempo (a), in cui in- nalzato esso al grado di Protomedico vide tutta la Veronese provincia giacersi abbandonata allo smarrimento e al dolore, molestata da cento parti, ed afflitta da mortalissima epide- mia , che faceva ne' Buoi orrenda strage , e crudele . Egli è vero però che di questa, come dell'altre, non si può dire, che cessasse tantosto, ch'egli a trattarla v'accorse: avve- (i) Bovolone . (a) Ciò fu l'anno 1796. » 8 Lviii Elogio del Sic. Gian-Verardo Zeviani . gnaccliè il male si fosse soverchiamente inoltrato . Ma pur tutta volta , se rallentaronsi i suoi progressi , rallentolli il Zeviani: se rinverdirono alla Agricoltura le sue speranze, rinverdille il Zeviani: se il campo, che temeasi , non restas- se incolto , apparve pure in quell'anno di biondeggiante mes- se arricchito, arricchillo il Zeviani: se la provincia intera alla fine fu passo passo condotta alla sicurezza, alla tranquil- lità, ed alla gioja , non altri fu che il Zeviani, che la vi scorse, e condusse. Ma poichò de'guarimenti da lui maravi- gliosamente operati io fo menzione , dove lascio que' molti sì varj e si grandi , eh' egli operò solo con le scritte consulta- zioni , delle quali veniva da ogni banda ricerco , e per le quali , se tutte conservate le avesse , aver si potrebbe , se- condo il giudizio de' più intelligenti , uno de' suoi più dotti e vantaggiosi lavori ? Per non dipartirmi dalla prescrittami brevità vorrei pure di questi notare almeno i più singolari e ammirevoli , se a sufficienza e più chiaramente non ne par- lassero la Germania , la Francia , la Spagna , che a lui ricor- sero ne' casi più malagevoli , pur anche de' loro stessi Monar- chi, non che sin là dall'America il Perù , che il risanamen- to del figliuolo di un suo Viceré ebbe alla dottrina di lui con buon consiglio affidata . Tutte coteste cose ammirande ecci- taron ne' dotti la brama o di averlo , altri amico , altri leg- gitore, e giudice dell'opere loro, o di carteggiare letteraria- mente con lui ; in tutti poi di conoscerlo e ravvisarlo ogni volta , che favorevole occasione loro offisrta si fosse . Per que- sto avveniva ohe scienziati uomini, o d'alto affare quasi mai non giugneano a Verona dalla Senna , dall' Istro , e dal Vol- ga, che di vedere, e di usar col Zeviani non si fossero data prima d' ogni altra cosa pensiero . Divenuto poi egli cagione- vole della persona, dagli studj logorata, e dagli anni, chi strigner a parole mai puote le premurose e spesse ricerche, le quali da loro , che virtù e sapere estimavano , sul conto suo venian fatte ? È intorno a ciò memorabile quello , che occorse non ha già moli' anni , in Pavia . Un celebratissirao Scritto dal Sic. Antonio GuarientiT lix Professore di quella Università in una sua lezione pronunzian- do il nome di Verarclo Zeinani , si ristette incontanente da essa , e senza dire più oltre voltosi a' suoi scolari , ne li ri- chiese , se tra loro v'avesse alcun Veronese . A tale doman- da e' non sì tosto uno vide levatosi da sedere , che interro- gollo come del suo Zevìani l'andasse: ma dimostro quel gio- vane di non sapere punto di lui , né di suo nome , più che l'amarezza del non averne notizia, il cruccio e l'indignazio- ne di quel Professore fu grande per si vituperosa ignoranza, onde non si trattenne dal soggiugnere essere bene vergogno- sissima cosa , che ad un Veronese ogni notizia mancasse del savio Nestore dei medici Veronesi . Il che mi fa in qualche modo ricordar di Alcibiade , che non potè trattenersi dal non dare uno schiaffo ad un retore, perchè sfornito era delle scrit- ture dì quel gran vate , eh' è il primo onor della Grecia . A tanta altezza di estimazione era salito il Zeviani . Ma ora chi voglia più oltie sapere di lui , non più aspetti parole , ma pianto. Giri la vista ai grandi per dottrina, e per arte, e dalle calde stille , che lor traboccali dagli occhi , quella contezza se n'abbia, la quale mette fine all'altre tutte, che si ponno aver di un vivente . Una malattia di vescica , che il maltrattò per undici anni continuo , e che per più di un mese il fé' trambasciare e spasimare in un letto fra gli atti della più esemplar sofferenza, il dì 7 Maggio 1808 di 83 an- ni , meno aa giorni , dopo l' esercizio delle più belle virtù cristiane il diede in preda alla morte. Passò egli di questa vita , e al suo passaggio vidersi spogliate di un forte soste- nitore la Medicina e le Scienze , di un ottimo ed onorevole Cittadin la mia Patria , e di un modello di specchiata inte- rezza la Religione . Da questa non torse egli mai né anche per poco i suoi passi ; anzi ne seguitò scrupolosamente i det- tami di lei per tal forma , che , grande com' era e per inge- gno e per scienza , non solo somministrò esempi di rara vir- tù ai dotti d'ogni maniera, ma eziandio assai motivi di con- fusione a tutti i moderni filosofanti . Insegnò a costoro , col T,x Elogio del Sic. Gian-Veraudo Zeviani . santo stile del viver suo , che aver non pnossi per segno di vile animo, né di stolida pecoraggine, nessuna, comechè mi- nuta e rigorosa, osservanza dell'evangelica legislazione, e ninna più pura e docile sommessione alle norme arcane di Colili , lo cui saver tutto trascende senza far mostra della più vera e vergognosa debolezza nel- la vantata lor fortezza di spirito , e nella lor caparbia alte- rezza della più manifesta empietà . Ad ogni lor maligno si- stema era sì fattamente avvei'so il Zeviani , che né pur for- za di uman riguardo , jier cui parecchi dal diitto sentier si dilungano 5 potè ritrarlo giammai dal dileggiare pubblicamen- te i loro vani folleggiamenti . Con che egli ammaestra ora me a pormi dopo le spalle il disprezzamento , e le beffe di quell'anime di bel genio, che questo cenno sulle cristiane .virtù di lui, che pur dalla storica esattezza della sua vita ri- chiedesi , tener potessero forse per lieve indicazione e super- flua , e per intempestivo e soverchio moralizzare . Per Io che io non lascierò di riputare il maggiore degli encomj sin qui fatti di lui il poter dire, che della filosofia, ch'ei conosceva profondamente , e che ognor con guadagno mirabile coltiva- va, non se ne valse giammai , che come di scala al Fattore, e come mezzo efficacissimo per accrescere sempre più inverso quello sua venerazione , ed affetto . Di qua procedeano que- gli umili , e fervidi atti di devozione , e d' amore si dagli spiriti forti derisi, che ognindi protraeva egli a più ore nei sacri Templi dinanzi a quello , a cui Venendo in terra a illuminar le carte , Ch' avean molt' anni già celato il vero , sovra ogni stato U/niltate esaltar sempre gli piacque . Di qua quel suo basso sentimento di sé medesimo . Di qua quella sua, veramente angelica purità di costumi, che man- tenere egli seppe sin dagli anni suoi più fiorenti, ed in mez- zo anche ai perigli più minaccevoli . Di qua finalmente que- gli spessi 5 e pronti sovvenimenti ai necessitosi languenti per Scritto dal Sic. Antonio Guarienti. lxi infermità e per inopia da esso recati, non solo con l'arte sua, ma con la mano ad un'ora generosissima, ai quali mal sapca metter confine non la filosofica compassione , ma quella di- l'itta sua carità, della quale bella fede ce ne rimase nel lar- gimento di sessanta mila lire italiane col suo testamento or- dinato a profitto di questo nostro Spedale . Per lo qual be- nefico disponimento volendo la Congregazione di Carità dare della gratitudine sua degna e onorevole testimonianza , fece il sepolcro di lui di scolpita inscrizione in lapida c.overchia- re , e sta pure tenendone in pronto un'altra da collocarsi al più presto appiè d'un busto di marmo, dettate si questa, che quella (i) dal dottissimo Abate Luigi Trevisani, Prefetto vi- gilantissimo degli studj nel nostro Vescovil Seminario, splen- dor di questa mia patria, e della più purgata e nobile poe- sia, e delle lettere sommo ornamento, e sostegno. Né la (i) Le iscrizioni sono del tener seguente: SEPVLCRVM IOANNIS . VERARDI . ZEVIANI VERONENSIS CONDVNTVR . ZEVIANI . OSSA . HOC . LAPIDE . OCCVPAT . OMNEM EVROPAM . TANTI . BIENS . PHYSICI . ET . MEDICI GB . NONIS . MAI . ANNO . CHRIST . M . DCCC . VIII. AETATIS . SVAE . LXXXII. X.VIRI . CARITATIS . CIVICAE . M. P. C. IOANNES . VERARDVS . ZEVIANVS MEDICVS . ET . PHYSICVS . VERONENSIS SCIENTIAM . NATVRAE . PRAESERTIM . HVMANAE PRAECIPVAM . ET . CELEBERRIMAM CVM . PIETATE . EGREGIA . COELEBS . CONIVNXIT PROBVS . POPVLARIS . BENEFICVS DE . PATRIA . OPTIME . MERITVS . VIVENS . ARTE . SVA MORIENS . LEGATIS . NOSOCOMIO . PVBL. LIB. ITAL. AD . SEXAGINTA . MILLIA CESSIT . VITA . ANNO . CHRIST. M. DCCC. VIII. AETATIS . SVAE . LXXXII. X . VIRI . CARITATIS . CIVICAE IMAGINEM . TANTO . VIRO . P. C. Lxii Elogio del Sic. Gian-Verardo Zevxani . Congregazione di Carità fu la sola , che alla memoria del Ze- viani abbia pubblico onor tributato ; che la cura pur si vide a quest'obbietto sollecitarsi di un suo ammiratore (r), che dal cadavere suo trarre ne fece l' effigie , e l' opera di una ma- no gentile (a), che maestrevolmente quindi delineolla, intesi r uno e r altra più a rinfrescare appo quelli , Che questo tempo chiameranno antico la propria venerazione verso di sì grand' uomo , che la fama del nome di lui , il quale per vivere oltre il sepolcro nella memoria degli uomini , di sì fatti onori non abbisogna . Im- perciochè non mancano monumenti e preclari e veridici , i quali vagliano a ricordai'lo. Il ricordano molti ancor per lui sani , e lieti Neir aer dolce che dal Sol *' allegra . E quando vengan meno pur essi , lo ricorderanno i volumi ed i fasti dei piìi rinomati letterarj Istituti, fra' quali sovra- sta r Italiana Società , a cui sacrati son questi fogli : lo ri- corderanno gli scritti d'un Borsieri , d'un Morgagni, d'un Van-Swieten , d' un Zimmermann , e di altri infiniti accredi- tati Scrittori . Più di tutti lo ricorderanno però le medesime sue produzioni , per le quali non cesserà mai la gloria di far in lui riverire uno de' primi padri delle mediche facoltà, l' Ippocrate Veronese , ed uno dei miglior vanti della nazio- ne Italiana (*) . (i) Il Sig. Giacomo Guarìcnii Medico Veronese . (a) La Signora Clarina Mosconi Mosconi . ScRHTO DAL Sic. Antonio Guarienti .' lxiii (*) // presente Elogio è stato trasmesso dall' Autore al Presidente della Società colla lettera che segue Eccole finalmente quel mio Elogio , o che altro si volesse chiamare , condotto al suo termine ad onta delle replicate mie infermità , e specialmente della perdita del- la vista . Se non è conforme al suo desiderio , di grazia ne incolpi la sua autorità , alla quale non saprei negare cosa del mondo . Questa sola potè ajutarmi nel corso , se non a vincere , almeno a scemarmi in qualche parte la molta malagevolezza , che mi si multiplicava , quanto più conosceva farmisi la materia aliena dalla instituzion mia. Quindi nel mio lavoro non apparirà il Zeviani quel gran Medico , ch'egli fu; e indarno vi si cercherebbe esso da alcuni , avendone io per questa parte sposto il suo valore , secondochè saper ne potei per qualche pochi letterarj monumenti . Per- ciò aperto ne resta ancora a discorrere sì largo campo , che un Elogio novello sul- la grandezza della scienza medica avrebbe da potergli tessere chi per instituto , e per dottrina su questo obbietto commendar lo volesse . Cos'i pure altro argomento e' lasciò di sé stesso nella serie raaravigliosa delle sue Virtù Cristiane , da me non tocche , se non quanto servito avessero al mio proposto . Cotanta è la materia delle sue laudi : Chi questo imprendesse a fare , onor fa- rebbe a sé stesso , e anziché accusare il difetto mio , verrebbe a confermare l'esten- gion de' suoi meriti, e ad arricchire quel poco^ ch'io pur volli, e seppi di lui pub- blicare , per render pago ad un'ora l'altrui, e '1 mio desiderio. Di questo doveva io prevenirla , pregiatissimo Signor Cavaliere , per guarentire l' Opera mia , e per contestarle quell'osservanza, con cui, nell'atto, ch'io le auguro felicissimo il vi- cino 1811 con molti altri appresso , per maggior consolazione, ed onore di nostra Patria , ho il pregio di dichiararmele Di Ca«a il dì 3i Dicembre 1810. Suo Devotissimo Servitore Antonio Guarienti , LXIV Opere stampate di Gìovan-Verardo Zevianl 1 Metodo circa V uso della Purga e del Salasso. Verona, presso Antonio An- (Ireoni i^Sa. a NitOi>o Fonte da cavar Pronostici il elle malattie. Veronaj presso Antonio Andreoni Librajo 1764 . Ivi , Moroni , 1781 in 4- 3 Del Flato a favore degli Ippocon- driaci , Libri due . Verona _, per Anto- nio Andreoni LLIjrajo lySS. Ivi, Moroni 1761 , in 4- 4 Emhryulcia . Verona , Moroni 1756 e 1770 , in 4- 5 Della Cara de' Bambini attaccati dalla Rachitide . Verona , per Marco Moroni 1761 , in 4- 6 Della Parapleuritide. Verona, nel- la Stamperia di Marco Moroni 1763. 7 Dei Morbi Purulenti del Corpo Umano , Trattato Medico Chirurgico . Verona , nella Stamperia Moroni 177 r , e Napoli . 8 Su le Numerose Morti dei Bambini, Dissertazione Accademica. Verona, nel- la Stamperia Moroni 1775, in 4- 9 Della Mnltìplicazione delle Legne nel Territorio Veronese , con V Arte di far il Carbone, Dissertazione, nelle INIe- morie dell' Acc. d'Agr. Comm. ed Arti di Verona , Voi. I , pag. 53. 10 II Riso, ed il Giavone , Disserta- zione, nelle Mem. dell' Acc. d'Agric. Comm. ed Arti di Ver. , Voi. II , p. i53. 11 Dissertazione sopra lo Scorbuto. Verona, Moroni 1771 , in 4 > e Man- tova, T. I Race. Dissert. e Mera, della R. Acc. di Mantova , da essa premiata l'anno 1769. la Nuovo Uso della Chinachina nel Vajuolo ^ T. I , Memorie della Società It.iliana , pag. 8i5. i3 Sopra il Veleno de' Funghi . Ivi T. III , pag. 465. 14 Guarigione mirabile di un Tisico disperato con l'uso della Cicuta . Ivi, Tom. IV , pag. 278. i5 Sezione d' un Cadavero . Ivi , Tom. V, pag. 391. i6 Sopra un Vomito Urinoso . Ivi , Tom. VI , pag. 93. 17 Sopra una Tosse degli Alimenti . Ivi, Tom. VII, pag. 124. 18 Lettera in risposta a Leopoldo Marco Antonio Caldani ( contiene un discorso del Zevìani sopra un mostro umano monocetalo , bifaccia , semi dop- pio , nato vivo , e maturo nel distretto di Verona nel Giugno dell'anno 1789 )■ Ivi, Tom. VIII, Par. II, pag. 5ai. 19 Sopra due Idropici fortunatamen- te guariti per una caduta dall' alto . Ivi Tom. IX , pag. 274. 20 Cura felice di un Uomo morso da un Cane certamente rabbioso . Ivi, Tom. X , Par. I , pag. 233. ai Sul Catarro Epidemico . Ivi , Tom. XI, pag. 476. 22 SuW Epilessia , e suo Rimedio. Ivi, Tom. XII , pag. 179. 23 Sulla Gonorrea nel Sonno , e suo Rimedio . Ivi, Tom. XIII , Par. II , p. i53. 24 Se nel caso di sicurezza del Medi- co, die vi sia raccolta di marcie in qual- clie parte del corpo convenga l' uso della Chinachina , Dissertazione , presentata l'anno 1777 , e premiata dalla Reale Ac- cademia di Mantova l'anno 1779 . Race. Dis9. e Mem. dell'Acc. R. di Mant.' T.IV. 25 Osservazioni Med'iche dall' anno 179G s'mo a tutto il 1807 , per commis- sione dell' Accad. d'Agr. Comm. ed Arti di Verona , presso il Ramanzini . Seguono le Opere inedite Sulla Semiterzana , Dissertazione . Di un Sonno Soffocante, Dissertaz. Sul Quesito : Onde nasca che alle per- cosse del capo succedano male ailezioni nel fegato , Dissertazione , recitata nell' Accademia degli Aletofili . Due Pomi , Ragionamento , scritto in risposta ad una lettera recatagli insieme- mente a due pomi di diversa specie in sur un stesso ramo , che 'I richiedeva della spiegazione di cosi fatto fenomeno . Vita LXV VITA DEL SIGNOR CARLO LUDOVICO MOROZZO Scritta dal Sic . Prospero Balbo • Ricevuta li ig Gennajo 1811. aut virtus nomen inane est , Aut decus et pretium rer.te petit experiens vir , HoR. Epist. Ij xtii j 41. C/fl 'urlo Ludovico Morozzo nacque in Torino il cinque d'ago- sto dell'anno mille settecento quarantatre, di famiglia illustre per più generi di gloria , ed anche per quella purissima che deriva da' buoni studj , e dalla coltura delle lettere e delle scienze; la qual sorta di gloria, a paragone d'ogni altra do- mestica laude , pare che più sovente si serbi e si rinnovelli passando da' genitori a' figliuoli . Per tacer degli antichi, il Marchese Giuseppe , padre del nostro , riformatore della Uni- versità di Torino, fu letterato, e poeta, e scrittore d'inediti opuscoli sopra gravissimi argomenti di letteratura e di poli- tica (1)3 ^ protettore magnanimo di uomini egregj quali fu- rono fra gli altri Giambatista Beccaria , Giacinto Cerruti , Angiolo Carena . Non è dunque meraviglia se destinando il secondogenito alla carriera militare gliela facesse intraprende- re a modo d'istituzione scientifica, donde ne avvenne che in età di sedici anni, con esempio troppo raro fra' primarj si- gnori del Piemonte , il Conte Carlo Ludovico fu ascritto alle scuole d'artiglieria . Ciò che noi abbiamo detto di queste scuo- le nella vita del D' Antoni (2) ci dispensa dal mostrare di nuovo com' esse erano veramente un perfettissimo Liceo non (i) V. l'indice in fine di questa vita . (3) Acc. di Torino . Letteratura II , i8o5. LXVI Vi FA DEL SlC. CaRLO LuDOVIGO MoROZZO pure di art! militari , ma di scienze fisiche e matematiche . Noteremo soltanto che il ilforozzo ebbe fra' suoi maesti-i l'im- mortale Lagrangia, il quale allora in età giovanile insegnava la meccanica , e in quell' insegnamento gittava i primi semi delle sublimi teorie , per cui tanti anni dappoi diede alla scienza novello aspetto , e più sode fondamenta . Dopo qnattr' anni di tirocinio passò il Morozzo nel reg- gimento delle Guardie, e militovvi sino all' ottantasei : for- mandosi a quel tempo nuovi reggimenti provinciali egli fu scelto per uno degli uffiziali superioii in quello di Susa . Nel iiovantatre ebbe il comando di quello di Torino , nel novan- tasei fu nominato Brigadiere de' Reali eserciti , e nel novan- totto Ispettor Generale di tutta l' Infanteria Provinciale . Neil' ottocento fu Membro del Consiglio supremo di Governo , e questa fu l'ultima delle cariche non senza lode da lui soste- nute e in pace e in guerra . Ma noi dobbiamo assai più trattenerci in quella parte delia sua vita che riguarda le scienze da lui coltivate . Fu- rono queste principalmente le fisiche , e più particolarmente quelle che alla chimica appartengono . Fin dalla sua prima adolescenza , non pago d'impararle teorie, egli erasi esercitato nelle pratiche della meccanica e dell'ottica, fabbricando insieme col Carena, e lenti, e spec- chi , e microscopi , e canocchiali , e telescopi . E come a fi- sico appartiensi , si avvezzò per tempo ad operare non solo col senno, ma coli' occhio e con la mano. Avanzando nella giovinezza , ogni volta che i suoi doveri militari lo chiama- vano a presidio in Torino , o gli permettevano di venirvi al- trimenti , in vece di passar il tempo a non far nulla , o a far peggio che nulla, egli trattenevasi il più che potea col Bec- caria, col Saluzzo, col Cigna, col Brezé , Dal Cigna soprat- tutto trasse i precetti e la pratica della buona e soda fisica, e dell'arte di osservare e di sperimentare. L'amicizia del Saluzzo e Ael Cigna gli aperse l'adito al- la Società Reale di Torino , e il primo saggio eh' ei diede de' Scritta dal Sic. Prospero Balbo . lxvii suol lavori comparve nell'ultimo volume della Società mede- sima , col titolo di Esame fisico-chimico del colore de' fiori , e di alcune altre sostanze vegetabili . Continuò poi sempre in- defessamente per tutto il corso della vita le sue dotte ricei- che , delle quali noi qui daremo una brevissima indicazione . Trattò in particolare di certa sostanza nera che a modo di fuligiae vide egli il primo appicciarsi alla superficie inferior delle foglie allorché in sugli alberi stanno esposte all'aria viziata delle paludi , o di quelle nostre campagne che messe a riso sono anch'esse per gran parte dell'anno altrettante paludi . Quindi passò ad esaminare con egual dottrina i co- lori animali . Istituì una novella analisi delia rugiada e de' prodotti aeriformi che se ne possono ricavare . Discoprì l' as- sorbimento prodotto dal carbone ardente nell'aria atmosferi- ca o ne' fluidi che a lei somigliano, e non pago de' primi la- vori tornò di nuovo negli ultimi anni del viver suo a questo importante argomento . Esaminò altresì con molta esattezza la costituzione dell' aria che respiriamo , e gli effetti della respirazione in quell'aere che allor chiamavasi deflogisticato , e l'azione del ferro e dello zinco incandescenti sopra varie sorta di fluidi aeriformi, e i fenomeni dei' fosfori Bolognesi, in que' fluidi immersi, e quelli dell'aere idrogeno conservato molti anni rinchiuso, e il miglioramento dell'aria atmosferi- ca prodotto dalla vegetazione , e la porpora minerale che si precipita per mezzo dell'aere ricavato dallo stagno o dall'os- sido dello stesso metallo . Toccò qualche volta al Morozzo di combattere le recenti opinioni de' chimici Franzesi , alcune delle quali divennero poi verità dimostrate : né di ciò dobbiam dargli colpa , che mal si conviene ad un filosofo il volgere di leggieri ad ogni aura di novella dottrina : ed anzi il volersi fedelmente atte- nere agli antichi sistemi , finché non sia affatto evidente la verità de' nuovi, è argomento di sodo ingegno e di animo ben formato . Meglio è durare alcun tempo in vecchio ingan- no che correr rischio col soverchio affrettarsi di cadere in- Lxviii Vita del Sìq. Carlo Ludovico Mouozzo consideratamente in novello errore . E senza nulla detrarre al merito sommo del sapientissimo Lavoisier e de' suoi degni cooperatori , e senza voler oggimai ricondurre in campo sott' altro nome il flogisto o rinnovare la setta Staliana , quante non sono le modificazioni o le aggiunte 3 che ogni giorno si vanno facendo alle ultime teorie, e quante scoperte del Priest- ley o del Kìrvan o del Saluzzo o del Morozzo non si vedo- no ogni giorno più confermate malgrado le contraddizioni di quelli che volevano ogni anteriore dottrina combattere ed annientare ? Trattò pure il Morozzo altre parti della fisica , che al- quanto meno alla chimica appartengono , e scrisse sopra i cu- riosi fenomeni della fiala Bolognese , sopra un violento scop- pio accaduto in un ripostiglio di farina, sopra la terapei'atu- ra de' laghi e de' fiumi , sopra la luce fosforica di certe pie- tre, e sopra l'elettricità positiva o negativa delle medesime. Fu anche accurato osservatore di rare meteore e particolar- mente delle aurore boreali , le quali a' suoi tempi furono tra di noi più frequenti che noi siano oggidì . I molti suoi viaggi e militari e scientifici nelle diverse parti del Piemonte gli fecero acquistare pienissima conoscen- za della nostra geografia fisica e mineralogica . E siccome del- la geografia astronomica era stato creatore in Piemonte il Beccaria, e della mineralogica il Robilante, cosi lo fu della fisica il Morozzo pubblicando le altezze di molti luoghi da lui misurati . Della scienza mineralogica per ciò che spetta alla litologia ei diede un saggio trattando di una pietra al- trove assai rara , e qui frequente , vale a dire la variolite . Ma in altro modo egli arrecò un grandissimo vantaggio alla scienza mineralogica in generale , e a quella in particolare del Piemonte, coli' aver ottenuto dal Sovrano, che il Cavalier Napione già mandato in Sassonia onde perfezionarsi nell' arti metallurgiche, potesse prolungare i suoi viaggi andando in Svezia , in Inghilterra ed in Francia . Fu pure il Morozzo assai dotto in zoologia . Descrisse Scritta dal Sic. Prospero Baleoì lxix alcuni uccelli stranieri, che in rigido inverno pervennero fi- no a queste regioni; osservò la propagazione in Roma d'al- tri uccelli de' climi più caldi, diede notizia dello scheletro di un grosso quadrupede trovato nelle vicinanze di Roma , e di un icneumone portato d' Egitto . Anche in alcune dell'arti che dalla fisica traggono fon- damento impiegò utilmente il suo lavoro . Scrisse sulle famo- se cave d'allume della Tolfa, sulle nitraje di Roma, di Na- poli, di Malta e di Sardigna, e si occupò con altri deputati dell' Accademia di Torino suU' arte della lana e della seta , e sopra la tintoria , e sulla illuminazione della Città . Né fu ignaro dell'arti belle, e ne fece prova coli' impie- gare e favorire il tedesco pittore Gothenbrunn e più i nostri meritamente celebri Galliari e Piazzuola . In questa parte , come in altre molte , trasse profitto da' suoi viaggi in varie Provincie d' Italia , fatti i primi per istruzione e diporto , r uno neir ottantacinque e l'altro nel novantuno, e fatto l'ul- timo nell'ottocento per cagioni dipendenti dalle vicende de' tempi . Il secondo fu in compagnia della nipote Baronessa P errane ^ bellissima e coltissima Dama, e tutti gli procura- rono la soddisfazione di passar qualche tempo con un amato fratello Governatore di Civitavecchia, Vicelegato di Bologna, e Segretario della Congregazione de' Vescovi e Regolari . E nel ritorno del Morozzo dall'ultimo viaggio, cioè nell'ottocento e due, l'autore di questa sua vita ebbe il piacere di accom- pagnarlo, per qualche tratto, onde si accrebbe l'amicizia e la stima che già da gran tempo gli professava . Nel primo di questi viaggi si trattenne qualche mese in Bologna, e già essendo ascritto all'Accademia delle Scienze di quel nobilissimo istituto v'intervenne soventi, e vi lasciò memorie della sua dottrina . Avanti quell' epoca egli era stato uno de' membri della Società Italiana, fin dal suo nascere, onore che a buon dritto noi teniamo per distintissimo, e ch'e- gli divise con due altri Piemontesi il Saluzzo. e il Blalacarne . E nella rinnovazione dell'Accademia di Padova a questa pu<» re fu aggregato . Lxx Vita del Sic. Carlo Ludovico Morozzo Tra' primi scrittori d' aritmetica politica in Piemonte ei dee tenere segnalato luogo , avendo messe insieme con dili- genza ed esattezza molte belle osservazioni sopra la mortalità de' soldati e de' cai-cerati , ed avendone tratte molte utili con- seguenze ; il qual lavoro , intrapreso , per ciò che riguarda i soldati, nell'anno mille settecento settanta cinque, e conti- nuato ogni anno fino al novantuno , fu singolarmente gradi- to dal Re Vittorio Amedeo terzo. E si giovò dell'opera sua in somiglianti materie e in cose d'economìa politica e di arti e mestieri il suo amico Conte Petiti , prima Presidente del Consiglio di Commercio , e poi Controlore generale delle Fi- nanze . Tutto ciò che detto abbiamo del Morozzo già dimostra a sufficienza quanto vantaggio e quanto splendore da lui traes- se r Accademia di Torino. Eppur molto ci resta a dire so- pra questo particolare . Ammesso egli nella Società Reale quando per difetto di mezzi cominciava essa a languire, sei-- vi di ajuto potentissimo allo zelo del Saluzzo principal crea- tore di quella prima Società . E a questi due più che ad ogni altro si dee l'erezione dell'Accademia con sufficiente assegno, e con bella e comoda stanza . Piofittò il Morozzo del facile accesso cb'egli avea presso Vittorio Amedeo dotto e genei'O- so Principe , e dopo que' primi favori ne ottenne ancor altri molti, di maniera che con fondi straordinarj potè dar comin- ciamento alla splendida sala, alla libreria, alla specola ed al museo , anzi alle due prime di queste opere in breve tempo ebbe modo di dar intero compimento . E fu anche da lui terminata la fabbrica assai dispendiosa della soda ed elevata specola insieme colle pittiire e cogli stucchi che le fanno va-, go adornamento, ma la guerra che sopraggiunse impedì di provvedere gli stromenti astronomici, e soltanto si poterono incominciare le osservazioni meteoriche, che d'allora in poi non furono più intermesse . Alla libreria ed al museo giovò pure in altra maniera, regolando più volte e libri e cose d'i- storia naturale , e adoprandosi ad ogni potere con vivissimo Scritta dal Sic. Prospero Balbo . lxxi impegno per accrescere ed abbellire queste due collezioni ^ Sicché possiamo dire con verità che dopo que' primi fonda- tori, il Saluzzo^ il LagraJTgia, il Cigna, a ninno pili che al Morozzo sia debitrice l'Accademia delle Scienze di Torino. Nella erezione dell' ottantatre essendo Presidente il Saluzzo ei fu Vice Presidente . Ed allorquando nell' ottantotto il Sa- luzzo volle lasciare la presidenza, gli fu sostituito il Morozzo che la tenne fino all'ottocento. In tal qualità sparlò sovente nelle adunanze pubbliche , fra le quali la più solenne fu quel- la che fu onorata dalla presenza del Re e de' reali Principi. Noi non diremo ch'ei fosse per natura o per arte elegante scrittore o parlatore eloquente, ma ben diremo che nelle im- portanti occasioni ei disse sempre le cose più convenienti al- lo scopo che r Accademia dovea proporsi , e le disse in mo- do da non dar luogo a giusta censura , perchè volontieri ei prendea consiglio, e correggeva facilmente i suoi primi ab- bozzi. Tornato in patria nell'ottocento e due, l'Accademia, che nell'intervallo della sua assenza era stata rinovellata de- siderò di vederlo rientrar nel suo seno , il che fu fatto sul principio dell'ottocento quattro. E tosto ebbe altra prova della stima e della confidenza che nell'animo de' suoi colle- ghi antichi e nuovi non era cessata mai , essendo stato elet- to tesoriere dell'Accademia, nel qual ufficio egli diede ad un tratto ordine e forma a tutto ciò che riguarda l'econo- mica amministrazione. Ma pochi mesi dopo, mentre la costi- tuzione atletica del Biorozzo prometteva molti e molti anni di vita , e il suo ardore per le scienze facea sperare da lui molti nuovi lavori , indebolitasi subitamente la sua salute , mori di apoplessia addì la di luglio in età di sessantun an- no presso a Torino nella terra di Colegno dov' erasi recato a villeggiare . Negli ultimi tempi del viver suo egli era occupatissimo ad esaminar l' effetto della luce solare in sul carbone per far- lo proprio ad assorbir l'ossigeno, e stava sperimentando le virtù medicali che appunto per siffatta proprietà pare che al Lxxir Vita del Sic. Carlo Ludovico Morozzo carbone appartengano, onde si crede ch'esser possa de'can- Gri e di altri tali disperati morbi efficace rimedio . Sicché al Biorozzo come ad altri valenti fisici accadde che quasi per farne vendetta il colse morte mentre ei cercava di prolunga- re od addolcire altrui la vita da terribili mali minacciata ed afflitta . OPERE INEDITE Del Marchese Giuseppe Morozzo. Riflessioni intorno all'educazione del Prìncipe di Piemon- te dirette al Cavaliere di Sanpeire ajo di sua Altezza Reale . Riflessioni intorno all'educazione delle nobili Zitelle ne' Monasteri . Elogio storico del Marchese di Sangermano Cavaliere dell' Ordine della Nunziata , e Ministro di Stato per gli affari esterni . Lettera sopra la soverchia premura della perfezione del governo . Lettera intorno agli studi convenienti a' Ministri piesso le corti straniere, e spezialmente intorno agli studi delle ma- terie ecclesiastiche , indirizzata al Conte Lascaris quando fu nominato Inviato Straordinario alla Corte di Napoli . Lettera al Conte Lascaris intorno alla dissertazione teo- logica de! Padre Capece intitolata De varìolaruin insitione, con osservazioni intorno ad essa dissertazione . Lettera al Padre Agnesi Professore di Teologìa sulla ma- niera conveniente a Gentiluomo di studiare la storia . Lettera al Conte Alfieri di Sammartiiio sullo stesso ar- gomento . Lettera al Conte di Prìocca sopra lo stato passato e pre- sente della Nobiltà del Piemonte . Ragionamento intorno alla comune opinione che siasi scemato nella Nobiltà Torinese l'ardore pel servizio militare. Di- Scritta dal Sic. Pxiospero Balbo . lxxiii Discorso intorno all'utilità del viaggiare i Ministri per le Provincie dello Stato . Riflessioni intorno alla vacanza degli impieghi . Osservazioni intorno alla popolazione. Osservazioni intorno alla milizia ed alle armi da fuoco . Riflessioni intorno allo stabilimento di un'accademia le- gale per la gioventù . Ragionamento intorno alla riforma degli studi. Osservazioni intorno alla riforma degli studi . Relazione dello stato degli studi al Magistrato della ri- forma . Motivi dell'aver cercato la dismessione della carica di riformatore . Memoria intorno a' mendicanti . Discorso intorno ai fanciulli esposti , scritto in occasione che r Autore fu eletto uno de' Rettori dello Spedale di San Giovanni . Alcuni dubbi circa la pratica che si osserva comunemen- te in Torino nello allattare i bambini , al Dottor Badia Pro- fessore di Medicina pratica . Lettera ad un amico intorno al tempo di tener a balia i fanciulli . Pensieri sopra una storia naturale del Piemonte col pia- no della medesima . Istruzione sullo studio della Storia Naturale patria . Lettera al Padre Beccaria intorno al calore delle camere in tempo d' inverno . Lettera al Professor Battoli intorno alla raccolta e con- servazione de' monumenti antichi effigiati o scritti . Osservazioni intorno al libro di Tobia . Lettera intorno al poetare . Altra lettera sopra lo stesso argomento in occasione di poesia a lui trasmessa . Poemetto sopra sé stesso . Epistola in versi sciolti al March . di Sangermano sopra il viaggiare. * io Lxxiv Vita del Sic. Carlo Ludovico Morozzo Lettera ad un amico indirizzandogli il poemetto sul viaggi. Sei componimenti poetici . Ricordi a' figliuoli sopra le memorie storiche e genealo- giche della famiglia . Notizia del proprio palazzo in Torino e degli accresci- menti ad esso fatti dopo l'anno 1748. Memorie della vita sua . Ricordi a' figli intorno ad alcuni monumenti della fami- glia fatti e da farsi . OPERE STAMPATE Del Sic. Carlo Ludovico Morozzo. Examen physico-chimique sur la couleur des fleurs et de quelques autres substances végetales . Misceli. Taurin. V. II -5i , 1770-73 . ' Sperienze sopra il precipitato porpora ottenuto dal gaz ricavato dallo stagno e dalla sua calce. Soc. Ital. I. 43i-44^ ( st. 1782, ). Expériences sur le ponrpre minerai obtenu par le moyen du gaz tire de l'étain et de sa chaux; traduites de l'Italieii par M. Bst , de Dijon . Journ. de phys. { 1785 oct. ) xxvii, ' %òf\ -a49' Lettre à Monsleur l' Abbé Mongez auteur du Journal de physique , sur les expériences de Monsieur Acliard sur la couleur des végétaux . Journ. de phys. ( 1782 nov. ) xxi, 385-389. Expériences et observations sur l'absorption operée par le charbon ardent dans l'air atmosphérique et dans les dif- ferens gaz. Journ. de phys. ( 1783 avr.) xxii, 294- 3oo. Second mémoire sur l'absorption du charbon dans les dlfFerens gaz et fluides aeriformes. Journ. de phys. ( 1783 nov.) XXIII, 362,-378. Expériences sur la respiration animale dans le gaz de- Scritta dal Sic. Prospero Balbo. lxxv phlogìstiqiie . Journ. de phys. ( 1784 aoùt ) xxv , ioa-iag. Sur la rosee et sur les produits aériformes que l'on en obtient . Ac. roy. des Se. de Turiti ( 1784-85, i ^^ partie impr. en 1786 ) , 3o5- 3ia. Expériences eudiometriques sur l'air pur, vicié par la respiratiou animale. Ac. roy. des Se. de Turiri ( 1784-85, I /' partie impr^ en 1 786 ) 3 1 3 - 3ao . Sur une aurore boreale extraordinaire, observée à Turin le ag février 1780. Ac. roy. des Se. de Turin ( 1784-85, a. "^ partie impr. en 1786) II. 328-338. Lu le 3 mars 1780. Questo seritto contiene due lettere dell' Autore al Padre BeC' caria in data di Pìnerolo 18 Giugno e 11 Agosto 1780. Sopra alcuni fenomeni de' fosfori Bolognesi ne' differenti fluidi aeriformi. Soc. Ital. Ili, 4^0-4^8 ( st. nel. 1786). Sur la couleur noire des feuilles exposées à l' air inflam- mable des marais. Ac. roy. des Se. de Turin ( 1786-87, impr. en 1788) III 5 1-6. Lu le 8 janvier 1786. Examen pbysico-chimique des couleurs animales. Ac. roy. des Se. de Turiti ( 1786-87, impr. en 1788 ) III, 275 -3oa. Lu le 4 février 1786. Expériences sur la fiole de Bologne . Ac. roy. des Se. de Turin ( 1786-87 impr.en 1788) III, 449-464- Lu le 5 mai 1786. Relation d'une violente détonation arrivée à Turin, le 14 décembre i8o5, dan un magasin de farine, suivie d'une note sur les inflammations spontanées . Ac. roy. des Se. de Turin ( 1786-87 impr. en 1788 ) III, 478-488 , Lu le 19 fé- vrier 1786. Discours adressé au Roi dans la séance publique du a8 juin 1789 . Ae. roy. des Se. de Turin ( 1788-89 impr, en 1790 ) IV, XX -XXVI. Sur la mesure des principaux points des états du Roi , et de leur véritable élevation au dessus du niveau de la mer. Ac. roy. des Se. de Turin ( 1788-89 impr. en 90 ) IV, 1-17. Lu le i5 juin 1788 . Description d' un cygne sauvage , pris en Piémont le 29 I.XXVI Vita del Sic. Carlo Ludovico Morozzo . décembre 1788, suivie d'une notice de quelques autres oì- seaux étrangers qui ont paru dans l'hiver de 1788-89. Ac. roy. desSc.de Turin ( 1788-89 impr. en 1790 ) IV, 99-107. Lu le 8 février 1789. Sur la temperature de l'eau de quelques lacs et de quel- ques rivieres à differentes profondeurs . Ac. roy. des Se. de Turin { 1788-89 impr. en 1790 ) IV, 809-317. Lu à l'as- semblée publique du 3o novembre 1789. Vegetabilia ad aerem vitiatum repurgandum quid et quo- modo valeant . Bonon. Instit. VII, aiS-aaa ( impr. 1791 ). Questa dissertazione fu letta dall'Autore all'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna nel 1785, come risulta da' commentar] del citato volume pag. 84. Sur la variolite du Piémont . Ac. roy. des Se. de Turin. ( 1790-91 impr. en 1793) V, 1 65 -172,. Le le 17 novembre De l'action du fer et du zinc incandescens sur l'air et les autres fluides aeriformes. Ac. roy. des Se. de Turin ( 1790-91 impr. en 1798) V, 199-2,08. Lu le 4 mars 1792. Observations sur la constitution de l' air atmospherique extrait . Jourti. de phys. ( fructidor VI ) xlvii , ao3-ac5. De la lumiere phosphorique que quelques pierres don- nent en les frottant aveo une piume ou avec une épingle de laiton , et particulierement sur la pbosphorescence de la tre- molile , et de la cyante , suivie de quelques observations sur r électricité positive ou negative de differentes pierres . Ac. roy. des Se. de Turiti ( 1792- 1800 impr. en 1801 ) VI, i4o-i49- Approuvé le ao mai 1798. Examen d' un gaz hydrogene qui a été conserve deux années dans un flacon . Ac. roy. des Se. de Turin ( 1792-1800 impr. en 1801 ) VI, i5o-i54. Approuvé le ao mai 1798. Lettre au C. Laeépede . Histoire d'un perroquet né à Rome, suivie de quelques observations sur la durée de la vie des oiseaux . Journ. de phys. ( vent. X , i8oa ) LIV , 180-193. Notice sur un squelette d'un gros animai trouvé aux Scritta dal Sic. Pìiospero Balbo. lxxvii envìrons de Rome. Journ. de phys. ( prair. X, 1802 ) LIV , 441 -44a. Lettre au G. Lacépede sur un ichneuraon apportò d'Egy- pte . Journ. de phys. ( messid. X , i8oa ) LV, 5-g . Relation de deux fétus produits par les mémes perroquets qui dans l'année 1801 ont donne un petit, à Rome. Journ. de phys. ( fior. XI, i8o3 ) LVI, 847 -35o . Turin le 5 vende- miaire an II. Suite des expériences sur l' absorption du charbon . Jour. de phys. ( frira. XII, i8o3 ) LVII , 465-471. Sopra i denti fossili di un elefante trovato nelle vicinan- ze di Roma . Memoria ricevuta il di 19 Agosto 1802 . Soc. Ital. i8o3 X, 162-171 . Vi è inserita l'Analisi chimica del dente fossile fatta dal Dottor Monchini . Lettre sur les jumars , à Monsieur Charles Bonnet , ir janvier 1806. Inserita nella Memoria sulla pretesa esistenza di alcuni quadrupedi detti Giumerri o Qiumarri \ di Leopoldo Marcantonio Caldani. Soc. Ital. i8o3 X, 2o3. Notizie sulle Nitraje di Roma , di Napoli , di Malta , e di Sardigna . Torino 16 Novembre i8oa. Bonvicino Chimica st. nell'anno XII, 214-2,17. Nouvelles expériences sur l'absorption du charbon, faites au moyen d'une nouvelle machine. Journ. de phys. ( fior. XII ) LVIII, 374-390. Sopra il gaz molto ossigenato che si ottiene dal carbone messo nell'acqua esposta ai raggi del sole, con alcune altre sperienze . Memoria di Carlo Lodovico Morozzo , ricevuta il di IO del 1804. Soc. Ital. 1804, XI, 33i-336. txxvm INDICE DELLE COSE CONTENUTE IN QUESTA PRIMA PARTE . Otatuto della Società Pag. ( 3 ) Catalogo de'Socj (io) Annali della Società, continuati da OTTAVIO GAGNOLI Vice-Segretario Amministratore della medesima (r5) Elogio del fu Sig. Cav. Pierantonio Bondioli scritto dal Sig. MARIO PIERI I Elogio del fu Sig. Gianfrancesco Malfatti scritto dal Socio Sig. GIUSEPPE VENTUROLI xxvi Elogio del fu Sig. Gian-Verardo Zeviani scritto dal Sig. ANTONIO GUARIENTI Veronese xxxvii Vita del fu Sig. Carlo Ludovico Morozzo scritta dal Sig. PROSPERO BALBO lxv Indagini per sottomettere a calcolo il barometro nelle diverse sue forme, nelle sue dipendenze, ne' suoi usi, Memoria I del Sig. D. PIETRO COSSALI pag. i Fenomeno de' Barometri nel loro scuotimento o tra- sporto da luogo a luogo. Memoria del Sig. Ab. VINCENZO CHIMINELLO 5o Supplemento alla Dottrina Torricelliana sopra le Coclee, Memoria del Sig. PIETRO FERRONI 60 Analisi e Soluzione sperimentale del Problema delle Pressioni, del Sig. PAOLO DELANGES ii4 Descrizione , ed uso di uno stratimetro , cioè di un nuo- vo stromento diretto a facilitare la determinazione sì della comune sezione di due Strati , o Filoni , LXXIX o Piani qualunque , come di altri oggetti di Geo- metria sotterranea, Memoria del Sig. Gav. ERME- NEGILDO PINI Pag. iS5 Nuovo metodo per la Trigonometria sferica, del Sig. GIOACHINO FESSOTI 197 Alcune riflessioni critiche sui nuovi principi d'Idraulica di M / Bernard publicati in Parigi nel MDCcxxcvir , del Sig. Cav. TEODORO SONATI 126 Su la Formola di Douvves per ritrovare in Mare la la- titudine con due altezze del Sole prese fuori del Meridiano , Riflessioni del fu Sig. Ab. GIUSEPPE CASSELLA, presentate dal Sig. Ab. Chiminello , ed approvate dal Sig. D. Cassali a54 Congiunzione inferiore di Venere dell' anno mdcccvii osservata in Pisa, Memoria del Sig. GIUSEPPE PIAZZINI, presentata dal Sig. Cav. Brunacci,ed approvata dal Sig. Cav. Cesar is 276 Opposizione di Giovo dell' armo mdcccvii osservata in Pisa dal MEDESIMO 282 Osservazioni dell'Ecclisse di Sole del xvi Giugno mdcccvi calcolate dal MEDESIMO ago Osservazioni dell'occultazione di t del Toro sotto la Luna accaduta il a Ottobre mdcccvi calcolate dal MEDESIMO 296 Nuovo rapporto tra la Teoria del Centro di gravità , e quella della composizione delle Forze, Memoria del Sig. ANTONIO BORDONI, presentata dal Sig. Cav. Bru7iacci, ed approvata dal Sig. Paolo De' langes 3 01 Ricerche per conoscere i rapporti delle velocità delle acque in andamenti nei quali s'incontrino diffe- renti attriti. Memoria del Sig. Dottor FRANCE- SCO FOCACCI, presentata dal Sig. Targioni Toz- zetti, ed approvata dal Sig. Venturoli Sao Osservazioni e calcoli di alcune opposizioni de' Pianeti XXG superiori. Memoria del Sig. GIOVANNI SANTINI, presentata dal Sig. Ga^v . Cesaris , ad approvata dal • Sig. D. Cossali Pag. 335 j Sulla teoria dell' attrazione degli sferoidi elittici , Me- moria del Sig. GIOVANNI PLANA, presentata dal Sig. Senatore Oriani , ed approvata dal Sig. Cav. Cesaris 370 Errata corrige di questa prima parte 3gi MEMORIE DI MATEMATICA I INDAGINI PER SOTTOMETTERE A CALCOLO IL BAROMETRO NELLE DIVERSE SUE FORME , NELLE SUE DIPENDENZE, NE' SUOI USI MEMORIA I Del Sic. D. Pietro Cossali G. R. Rìce<.nita li aS Agosto 1809. 1 Barometro , del quale non si può contrastare a Torricelli l'invenzione, è una delle glorie certe dell'Italia, e tanto lu- minosa, ed insigne, che sola basterebbele per attribuirsi a ragione il primo vanto nella generazione della vera Fisica . Il Barometro è stato il raggio , che ha svegliato le menti a riconoscere quale chimera vota di senno, e di senso l'orrore della natura per il vóto , a rigettare dietro ad essa le oscu- rità delle occulte virtù, a scuotere il giogo dell'autorità di Aristotele, e de' suoi interpreti, ed a voler camminare su i passi sicuri e splendenti della Esperienza, e della Geometria. Di molti secoli preceduta era all' invenzione del Barometro , quella della Tromba Aspirante . L' ascendimento dell' acqua in essa era un fatto , col quale la natura parlava abbastanza chiaro della gravità, e pressione dell'aria. Invece però d'in- Tomo XV. I a Indagini del Barometro ec. tendere il meccanico operare della natura, o confessare di. non intenderlo, si esco£,itò in lei un morale sentimento, un orrore per il vóto . Reclamò essa medesima contro questo at- tributo , dimostrando , che l' acqua non saliva nella tromba , che a certa altezza, «jiial è quella di 3a piedi di Parigi, e che alzato più oltre T embolo, lo spazio sopra i 3a piedi restava vóto . Ecco in solenne maniera smentito il sognato orrore ; ecco i Filosofi costretti a riconoscere la vera causa del feno- meno, o a dichiarare d'ignorarla. Nulla meno. Non si fa che temperare, limitare l'orrore alla natura appesto; si vuo- le a forza che lo abbia, ma solo sino a certo segno, sino all' altezza di Sa piedi . Qual cosa più assurda che questa distin- zione , che questo limite privilegiato ? Sarebbe certamente incredibile, che un ingegno sì sagace, sì fino, quale ([uello di un Galileo , abbia potuto lasciarsi acciecare da tali inetti sutterfugi dell'ignoranza, se troppo evidentemente non con- stasse da' scritti suoi. Non vi ha prova più grande di questa della potenza dei pregiudizj . Galileo valse a vincere la forza di molti , ma non a liberarsi da tutti ; o forse non volle su quelli articoli, intorno a' quali giunto non era a discoprire le vere cagioni, partire dal comune linguaggio. Glie che ne sia, il suo discepolo Torricelli^ sostituendo all'acqua il mercurio, e facendo vedere , che non si alzava che a pollici a8 entro una canna di vetro , della quale lunga parte superiormente rimaneva vota, spogliò l'altezza di òo. piedi della concedutale prerogativa di misurare all'uman occhio l'estensione dell'or- rore della natura per il vóto, pose fine ai cavilli, cangiò in risa degli uomini quel chimerico orrore della natura , diede l'urto a tutto il tenebroso edifìcio della ^sica peripatetica, ed apri un nuovo orizzonte di cognizioni , scoprendo la gra- vità e la elasticità dell'aria. Non andò guari, che guardan- do con meraviglia il barometro qual delatore del peso, e della pressione della impalpabile, ed invisibil aria, si avvertì, che costante non era, ma varia, l'altezza, a cui il mercurio te- nevasi sospeso; onde si dedusse che la pressione dell'aria va- Del P. PiETRO Cussau/ 3 riava . Continuando le osservazioni, si comprese che le varia- zioni dell'altezza del mercurio nel tubo avevano una relazio- ne con le variazioni dello stato dell'atmosfera, con i cangia- menti dal sereno al nuvolo, alla pioggia, o reciprocamente. Laonde si stimò di potere riguardarlo come un nunzio delle mutazioni del tempo. Si riflettè di più in seguito, clie l'al- tezza del mercurio doveva farsi minore portato il Barometro Sul monte, e corrispondendo l'evento, se ne inferi di poter anche adoperarlo qual misura dell'altezza delle montagne. Pronostici del buono, e cattivo tempo, rilievi dell'elevazioni de' luoghi erano utilità grandemente interessanti. Si accesero i Fisici, e quinci lo studio per rendere più perfetta la co- struzione del Barometro, più comoda ed atta al trasporto la forma, paragonabili le osservazioni, più esatti gli usi; e lo studio si affinò, poiché gli Astronomi si avvisarono dell'uti- lità del Barometro nel computo della Rifrazione Astronomica. Con questi sforzi uniti di molti ingegni, industri in esperi- mentare , sottili in dedurre , emendati si sono molti difetti , accresciuti i lumi, tolti alcuni inganni, e se non si è giun- to ad ottenere in tutti i punti la desiderata certezza, e pre- cisione , si sono senza dubbio fatti onorevoli e vantaggiosi progressi . Io sarò contento se con le mie indagini riuscirò ad aggiunger loro qualche lume ed estensione . ARTICOLO I Calcolo Generale dei movimenti del Barometro dipendenti sì da variata pressione atmosferica^ e sì da variato calore^ e giusta le diverse sue forme diversi . Il calore dell'atmosfera si comunica a tutti i corpi; tutti per un accrescimento di calore si dilatano, altri più, altri meno, altri con maggiore, altri con minore prestezza; e tut- ti con le stesse differenze si condensano per un diminuimen- to di calore . Il mercurio , che con molta prestezza sente il 4 Indagini sul Barometro ec. variare del calore nel termometro, non può non essere ugual- mente sensibile nel barometro . Osservisi , che il barometro cangerebbesi in semplice termometro a mercurio, otturata perfettamente alla cima la vaschetta, o l'ampolla dopo aver- la riempita di mercurio sì esattamente, che tra la superficie del mercurio, ed il turacciolo non rimanesse un menomo ve- lo, un menomo atomo d'aria. Chiuso così il mercurio entro il vetro , garantito dal sentire la pressione atmosferica , e d' esser mosso dal variare di essa, non sentirebbe, che il variar del calore nell'aria d'intorno valevole a penetrare il vetro stesso, ed i suoi movimenti non sarebbero più di barometro, ma di termometro . Dunque essendo la cima della vaschetta , o dell'ampolla aperta, quello, che dicesi barometro, è in- sieme barometro, e termometro, od a meglio dire, non è né r uno , né l' altro , ma una macchina composta , sensibile ad un tempo al variare del peso , ed al variare del calore dell' atmosfera , e che appunto per la complicazione non ci addi- ta la misura né delie une, né delle altre variazioni, se non viene in ajuto l' arte a scomporre il concorso delle cause , e separare dal composto movimento la parte dovuta alla varia- zione del calore per riconoscere libera da essa la parte di- pendente dalla diversa pressione atmosferica. Questo scompo- nimento è stato il soggetto degli studj di molti Fisici . Cio- nonostante mi lusingo, che non sia per essere del tutto inu- tile il mio , dando le formule generali dei movimenti del barometro . I ." Per variazione di pressione atmosferica . a." Per variazione di calore . Per la costruzione precisa , e limpida di tali formole è d'uopo rendersi in animo esatte, e lucidissime alcune idee, al che serviranno le seguenti definizioni , ed i seguenti teo- remi . Definizione i ." Altezza assoluta della superiore superficie del mercurio nel barometro è la sua perpendicolare distanza dal punto infimo del barometro . Del P. Pietro Costali. 5 Definizione h.'^ Altezza relativa della superiore superficie del mercurio nel barometro è la perpendicolare distanza del piano suo dal piano della superficie del mercurio inferiore ; e la variazione di tal distanza è la variazione dell'altezza re- lativa . • Definizione 3.* La colonna barometrica è quella colonna mercuriale , la cui pressione si equilibra con la pressione del- la colonna atmosferica. La sua altezza è l'altezza relativa della superiore superficie del mercurio . E la variazione di tal altezza è la variazione della vera colonna barometrica . Teorema i .° Variando la pressione atmosferica, varia la quantità , rimanendo la stessa la densità del mercurio della colonna barometrica; all'incontro variando il calore varia la densità rimanendo la medesima quantità . E evidente la prima parte ; e rispetto alla seconda rì- llettasi , che supponendosi il tubo di perfetto calibro, o sia di vano esattamente uguale nella sua lunghezza, al diminui- re o crescere della densità, e della gravità specifica del mer- curio deve sempre proporzionarsi l'allungamento, o l'accor- ciamento della colonna barometrica ; onde compensando la variazione della lunghezza la variazione della gravità specifi- ca , la stessa quantità di mercurio varrà a costituirla tale , che ritenga l'equilibrio con la pressione atmosferica supposta ri- manere invariata . Teorema a.° Movendosi una delle superficie del mercu- rio , sia che il moto venga da variare di pressione atmosferi- ca , sia che venga da variazione di calore , si muove anche r altra ; ma nel primo caso i movimenti delle due superficie si fanno in direzione contraria, nel secondo caso nella stessa direzione . Crescendo la pressione atmosferica , si abbassa la super- ficie del mercurio inferiore , e si alza la superiore ; e per 1 opposto , diminuendosi la pressione atmosferica , si alza la superficie inferiore, e si abbassa la superiore: dunque i mo- vimenti delle due superficie a qualunque variare della prcs- 6 Indagini del Barometro ec. sione atmosferica si fanno in direzione contraria. Non è cosi al variar del calore . Crescendo il calore , la dilatazione in tutto il mercurio alza ad un tempo la superficie del mercu- rio inferiore, e la superiore; e diminuendosi il calore, il con- densamento del mercurio tutto abbassa l'una, e l'altra: per lo che sempre al variar del calore i movimenti delle due su- perficie del mercurio riescono nella direzione medesima . Teorema 3." La variazione della colonna barometrica per variare di pressione atmosferica è uguale alla somma dei mo- vimenti contrari ^flle due superficie, inferiore, e superiore, del mercurio. All'opposto la variazione della colonna baro- metrica per variare di calore è uguale alla differenza dei mo- vimenti nella stessa direzione delle dette due superficie. La variazione della colonna barometrica è la variazione della perpendicolare distanza tra i piani delle due superficie del mercurio per le Definizioni a.", e 3.°. Movendosi le due superficie in contraria direzione , la distanza loro varia per la somma dei due moti ; e movendosi le due superficie nella direzione stessa , la loro distanza non varia , che per la dif- ferenza dei due moti. Quindi se generalmente denoti t i\ mo- vimento della superficie superiore del mercurio ; :: il movi- mento della superficie sua inferiore, «> la variazione della lun- ghezza della colonna barometrica . Sarà Per il solo variare della pressione atmosferica v = t -^ z . Per il solo variare del calore v=t — z. Procediamo alle promesse formole generali . Problema i ." Determinare i movimenti delle superficie del mercurio, e la variazione della lunghezza della colonna barometrica per variamento della pressione atmosferica in un Barometro diritto Torricelliano qualunque sia il vase , o di co- stante ampiezza, od all'in su divergente, ovvero convergen- te ( Fig. i." e a.« ) . Sia it il generale rapporto della periferìa circolare al diametro ; r il raggio interno del tubo ; / il suo raggio compresa la grossezza del vetro ; :t/^ conseguentemente l'area di ogni se- Dn;L P. Pietro Cossali, 7 zione oiizzontale del vóto; nr'^ l'area di ogni orizzontale se- zione, compreso l'anello di vetro. B l'altezza assoluta della superficie superiore del mercurio, cioè , secondo la Definizione i ." la sua altezza dal fondo del vase prima del variare della pressione atmosferica . n l'altezza del mercurio nel vase avanti Io stesso variare. B — n per conseguenza l'altezza barometrica avanti il va- riare medesimo ; m la lunghezza del pezzo del tubo avanti di esso variare immerso nel mercurio del vase, la quale lunghezza sarà = « , se la estremità del tubo , come più si suole , toc- chi il fondo del vase . :+: f il movimento della superiore superficie del mercurio. ±. z \\ movimento della sua superficie inferiore . B =H i^ conseguentemente l'altezza assoluta della superiore superficie del mercurio dopo il variamento . ndzz l'altezza, dopo di esso, del mercurio nel vase. B^zt — (nzizz) l'altezza barometrica conseguente il varia- mento stesso . (p .n \a funzione di n dalia figura del vase dedotta ad es- primere il volume del mercurio nel vase all'altezza n. (p .{n±z) la simile funzione di ndzz esprimente il volu- me del mercurio nel vase all'altezza n±z . G la gravità specifica del mercurio al calore regnante nell' atmosfera avanti e dopo il variamento della pressione atmo- sferica . :^u la variazione della lunghezza della colonna barometrica. Tir'^vG il variamento della pressione della colonna atmosfe- rica sopra una base ;rr^, espresso per il variamento della pres- sione della colonna barometrica di detta base . Poste queste dinotazioni osservisi, che il volume del mer- curio componente il barometro, ricevendo al variare della pres- sione atmosferica movimento e distribuzione diversa, rimane però in totalità il medesimo, non ricevendo né dilatamento, né condensamento , poiché il calore supponesi restare lo stes- so . 8 Indagini sul Barometro ec. Or l'espi-essione del total volume è avanti la variazione della pressione atmosferica 7rr^l'B — {n — m))-hip.n — nr'^m; dopo la variazione }tr^{B:^:t — {n — tn)-^(p .{n±iz) — }tr'^{m±:z) . Dovendo queste espressioni riferirsi allo stesso total vo- lume si ha l'equazione jrr*(B — (re— ra))-t-7».re — ;rr'»OT=:^r»(B:pf— (re— TO))-»-i^(n±z) — »r'*(TO±z) che si riduce alla più semplice (p .n:i=. itr^t = (p .{n±z)z^ jrr'^z . Dal Teorema 3° si ha l'altra equazione V = t -i- z . Per mezzo di queste due equazioni, data una delle tre variazioni t,z,v, si troveranno le altre due, data insieme la figura del vase che determini la funzione (p . Se il vase sia un prisma quadrangolare di base rettan- gola, i cui lati sìeno p , q , e per conseguenza l'area di essa base, e di qualunque superiore orizzontale strato =y7^, sarà ^ . n =pq}i , (p{n±.z) =j)qn ■±zpqz ; e perciò la prima equa- zione generale vestirà la particolar forma ±iir'^t-=d!zpqz'^inr'^z^ ovvero 7tr^t:=:{pq — 7ir'^)z restando la seconda W = ^ -4-2 . Quindi si ricava )tr*t Jlr^v pq — jir"' pq—Ji(r"- — r'')' Se il vase sia cilindrico, e del raggio R , sarà la sua base, ed ogni superiore strato orizzontale ^;rR^; onde (^./7=;rR^«; ^ { « liz z ) = :;rR^« zt :7:R^z , e le due equazioni r''t=.{K'' — r'')z v = t-^z dalle quali tH r'^v ^ R» — r'» R»_(r" — r") ' Si ha di qui in precisa misura quanto 1' ampiezza del vase nel Torricelliano barometro favorir possa il diminuimento di s. Del P. Pietro CossAT.r: 9 di s, cioè dell' alzamento , od abbassamento della superficie del mercurio nel vase , e se una data ampiezza favorire il possa a segno di poter con ragione ommettere di tenerne con- to rispetto a qualunque variazione della colonna barometrica, anche la massima , che accader soglia nel dato luogo. Essen- do la massima nelle nostre contrade di un pollice e mezzo , facciasi u= linee 18, e pongasi il raggio r dell'interno del tubo = lin. \ \\ il raggio r' compresa la grossezza del vetro := lin. a , ed il raggio del vase R = linee fìì, si avrà nella massima variazione barometrica supposta (i.SrXiS 40, 5o z = — — r— — - — 77r\= -J r = 0 5a»47i di hnea 12» — (a" — (i,5)") 142,25 T^' E per ogni linea di variazione barometrica sarebbe z=:o,o58i7 di linea generalmente poi per numero N di linee di variazione baro- metrica z=:NXo,o58i7 di linea quantità non sempre trascurabile , massimamente in osserva- zioni richiedf liti dilicatezza, quali quelle dell'esame dell'azio- ne della Luna sul barometro per via dell'attrazione esercita- ta sull' atmosfera . Sia il vase, non uniformemente dal fondo alla cima am- pio, ma divergente; ed in primo luogo sia una piramide qua- drangolare, di base rettangola posta all'in su, ed aperta ad ufficio di bocca, e con fondo similmente rettangolo, e paral- lelo troncata all'in giù. Sieno i lati della base H,K, i lati del fondo /H,/K, intendendo per / una frazione, e sia l'al- tezza , cioè la perpendicolare dal centro del fondo al centro delia boccata. Sia poi questa altezza nella y?g. 2." rappre- sentata dalla retta MS, e sia ADEG la sezione perpendicola- re del vase per il centro della bocca S, e per centro del fon- do M tradotta nella direzione della linea DE parallela ed ugua- le al lato H, e tagliante il fondo nella linea AC parallela, ed uguale al suo lato/H. Si prenda da M l'altezza indeter- minata a; , e si tiri l' orizzontale QP , e dal punto estremo A Tomo XV, a IO Indagini sul BAROMErr.o ec. del fondo si alzi la perpendicolare AF , che oltre a tagliare la DE in F, taglierà la PQ in L. Sarà DS =^H, FS=:AM = l/H,DFi=iH( i~/), AF=:SM = a,AL = MQ = a.-. Per la similitudine dei triangoli ADF, APL, si lia AF : DF : : AL : PL, cioè a : é H ( I — /) : : or : PL . Dunque PL =ì H ( i — /) . J . E quinci PQ = QLM-LP=i;/H-hÌH(i--/)J, e PT =/H H '■' *" X . Ora in luogo della sezione sin qui considerata concepiscasi quella ad essa perpendicolare e parallela al Iato K : si troverà allo stesso modo { contrassegnando per P' T' r orizzontale per il punto Q in quel verso ) P'T' = / K H ^ '~-^-: X. Dunque l'area orizzontale passante per il pun- to indeterminato Q alto l'altezza x da M,è = (/H-i — ''-l~flx\ -t- ^"f x'^ ì : moltiplicando quest'area per %^x sarà HK (f^%,x-¥- ^-^^'^"^^ jr^arH-^ ' ~P' x^ ) il volumetto conte- nuto nel vase dal punto Q all'altezza da esso '^x; ed inte- grando si avrà HK lf'^X'\-^^^~f^x*-¥-^^'70*x^ \ ad espressione del volu- me nel vase contenuto dal fondo all'altezza x. Facendo quin- ci :i:=ra, poi:=n±:s avremo Del P. Pietro Cossali . i i (1-/)» ■ ^)--^^t Per lo che l'equazione prima generale si cangia nella particolare o' / da* conservandosi la seconda Se nella stessa figura a.» si ponga la linea QS = m, sarà .r=:MQ = a — u, e sostituendo nelle trovate espressioni delle orizzontali rette PT, P'T', a — m in luogo di x, si avrà PT=/H -^^(«-«)=H(i-i^«),PT=/K-^H^(a-a) = K ^ I — '-^ u \ cioè le due orizzontali PT , P'T' passanti per il punto indeterminato Q della perpendicolare MS, che prima erano espresse per la loro distanza QM dal fondo, saranno espres- se per la distanza loro QS dal piano della bocca , ed il simi- le sarà dell' area orizzontale per lo stesso punto Q passante , che avendo per lati rette alle due PT P'T' uguali sarà =HK (i— lr2'«)^=:HK(i— ^i:^«-H^-^=^«^). E moltiplicando quest'area per la infinitesima parte di «, cioè per ^«, ed integrando sarà HK lu — — ^ m* -h Z J u^ ) la capacità , od il volume contenibile nel vase dal piano orizzontale per Q passante sino alla bocca . Rovesciando la figura , e concepen* do la bocca divenuta fondo , ed il fondo divenuto bocca , si passerà dal caso del vase piramidale divergente alTin su al caso contrario del vase allo in su convergente, e si avrà per tal caso in pronto la formola delle funzioni (p.n, ip{nztzz) facendo u = n, u = n±.z , Sarà dunque : per il caso del vase a piramide quadran- -/ la Inpagini sul Barometro ec. gelare troncata convergente allo in su, posti i lati del fondo rettangolare H , K , i lati della bocca yHjyK, intendendo per y una frazione, e posta l'altezza del vase =a = (^ . «-hHK I (=t I :+: lp^a« ir ^^ «^) s — ( - e le due equazioni del problema saranno zìznrH— (qinT'^-t-HK (zt i qP ^ ^niiz ~^') ) z — HK (^ v=.t -\-z . È facile trasportare le dimostrazioni , e le formole dal vase piramidale al conico . Sia R il raggio maggiore del va- ge a cono troncato ; yR il raggio minore , intendendo per f una frazione ; a l' altezza del vase ; / il raggio del cerchio orizzontale ad una indeterminata altezza dal fondo . Sarà nel vase conico divergente all'in su, denominando x la indetermi- nata altezza dal fondo , j = R ( / -»- ' ~ ' ar ) ; ;r 7^ T area del cerchio all'altezza x\ iiy'^'^x il volumetto elementare avente tal area per base , e la particella %x per altezza . la capacità dal fondo all'altezza x E quindi (^ . n = ;r R» ( /^ » -^-^ii^) «» -H ^i=^ «3 ) Del P. Pietro Cossali . i3 E le due equazioni del Problema Nel caso del vase conico allo in su convergente, chiamata u la indeterminata altezza dal fondo, sarà La capacità dal fondo sino all'altezza M=/;r^*^a; = E perciò E le due equazioni del Problema Apparisce dalle esposte equazioni relative alle diverse forme del vase , che , essendo il vase di uniforme ampiezza dal fon- do alla bocca , la determinazione di z per t dipende da una semplice equazione di i° grado; ma richiede lo sciogliment© di una equazione di 3" grado, qualunque il vase sia o diver- gente , o convergente allo in su . S' intende in genere facil- mente , che in un vase divergente all' in su il movimento s i4 Indagini sul Barometro ec. della superfìcie del mercurio deve essere minore, che in un vase allo in su convergente risultare maggiore . La difFeren- 2?a dipenderà dal grado della divergenza , e convergenza , e la risoluzione sola dell'equazione cubica rispettiva potrà de- terminarla con precisione, o con una approssimazione a pia- cere . Probità a" . Determinare i movimenti della superficie superiore ed inferiore del merci?» io, e la variazione della lun- ghezza della colonna barometrica per variamento della pres- sione atmosferica in un barometro inflesso munito di ampol- la , qualunque sia di questa la forma . Fig. 3* ■. Si tiri la corda orizzontale CD dell' arco d' inflessione , e la sua saetta FL , e si dica n , come sopra , il rapporto della periferia circolare al dia- metro . T il raggio interno del tubo . nr^ V area della sezione interna perpendicolare alla parete del tubo in qualunque suo luogo, anche nell'arco d'inflessione . P l'altezza della superficie superiore del mercurio sopra la corda orizzontale CD avanti la variazione . S la saetta FL dell' arco . P -+- S conseguentemente 1' altezza assoluta della superficie superiore del mercurio avanti la variazione ( Defin. i^ ) . E una linea retta uguale all'arco CFD. p il pezzo del tubo T)h susseguente l' arco , e sostenente l'ampolla . n l'altezza del mercurio nell'ampolla avanti la variazione. P-hS — (S-t-/?-f-«) = P — {p -^ n)V altezza della colon- na barometrica avanti la variazione stessa. rifZ ^ il movimento della superiore superficie del fnercurio . zt 2 il movimento della superficie sua inferiore. ¥ Z+: t per conseguenza l' altezza della superficie superiore del mercurio sull'orizzontale corda CD dopo la variazione . P -♦- S z^i t la sua altezza assoluta . n^z l'altezza del mercurio nell'ampolla dopo la variazio- ne medesima . I Del P. Pietro Cossali . i5 p±:i — (p ~h n±zz) l'altezza barometrica in seguito della variazione . ^ . ra la funzione di n secondo la figura dell'ampolla espri- mente il volume del mercurio in essa all'altezza n. (p.{nztzz) la simile funzione di «.ctz esprimente il volu- me del mercurio nell'ampolla all'altezza n ± z . G la gravità specifica del mercurio invariata nella variazione della pressione atmosferica . ^z V ìa variazione della lunghezza della colonna barometrica . arr* f G il variamento della pressione della colonna atmosfe- rica sopra una base ;rr* espresso per il variamento della pres- sione della colonna barometrica di detta base . Il volume totale del mercurio viene espresso avanti il variare della pressione atmosferica per n:r*(P-+-E-»-/?)-4-(^.Ai dopo la variazione per flr r» ( P i;: ^ -j- E -4-/? ) -i-

= t -i- z La forma dell'ampolla suol essere quella di una Ellis- soide. Sia fig. 4^* ABRT la ellisse generatrice, e si faccia il suo asse maggiore AR =:: aH-, il suo asse minore = aA, l'al- tezza indeterminata AM sopra il punto infimo A =: x, il rag- gio corrispondente NM = 7 : sarà per natura dell' ellissi 7=^ = -g ( a H :*: - a:» ) ity^ ■=■ ^p- ( 2 H :r — x"^) r area del cerchio al punto M ffy* \x-=.%^ ( a H J7 ^a? — X* ^a: ) l'elemento del volume con- tenuto nell'ellissoide dal punto infimo A sino al piano cir- colare passante per M ^ i6 Ind-toini sol BAROMÈrRo ec. I n y^ ^x = -fp- f H .r* — \ x^ j il volume stesso intero Dunque (p . n = ^jp- (Un* — | «^ ) -4- 1)5 . re— :t 7-'* w ] G= [n:r* ^ B H= f — ( ?i— w )^ -^(p^ìii^z) — nr'^[m-^z)\g. 11 primo membro, essendo il prodotto del volume del mercu- rio avanti il variar del calore nella gravità specifica parimenti avanti lo stesso variare, esibisce il peso assoluto di esso mer- curio avanti tal variare di calore ; ed il secondo membro es- sendo il prodotto del volume del mercurio dopo la variazio- ne del calore nella sua specifica gravità istessamente dopo esprime il peso assoluto del mercurio dopo la variazione del calore: e perciò la trovata equazione ci presenta l'assoluto peso del mercurio uguale ed identico , avanti e dopo il va- riamento del calore . Questa uguaglianza ed identità è da sé stessa evidente, poiché il variar del volume, e corrisponden- temente della gravità specifica, non può variare l'assoluto peso , e da tale principio potevasi immediatamente dedurre l'equazione . A formare la seconda equazione basta riflettere, che ri- Tomo XV. 3 5 3 Indagini jul Barometro ec. manendo la stessa la pressione atmosferica, la stessa rimaner deve la pressione della colonna barometrica, e che per ri- manere la stessa tale pressione fa di mestieri , che l' altezza della colonna sia in ragione inversa della gravità specifica del mercurio, e quindi l'altezza della colonna barometrica avanti la variazione del calore, all'altezza dopo, come reci- procamente la gravità specifica del nierturio dopo, alla gra- vità specifica di esso avanti . Or l'altezza barometrica avanti la variazione del calore = B — il ^ l'altezza barometrica dopo = B^/^ — [nz^z) Dunque B — nlBr;:^? — («:?:2:)::g;G d'onde l'equazione (B — «)G=:[B=pZ^ — (n=ps)]g Il teorema 3.° ci somministra la 3.» equazione Avendo tre equazioni^ se ddle quattro quantità f^z^v,— ima data ne sia , e sappiasi la forma del vase per determi- nare la funzione (p , potremo sempre conoscere le altre tre . Né m'estenderò di nuovo a distinguere le diverse forme del vase stesso, ed assegnare le rispettive funzioni (p .jì .,(p{n^:z) , poiché ognuno al caso particolare potrà prenderle dall'espo- sizione soggiunta per disteso nel i.° Problema con la sola avvertenza di rivoltare il doppio segno ai coelficenti di z^z^. Ma non voglio ommettere di far vedere la differenza delle leggi, con le quali varia z al variare dell'altezza barometri- ca per variazione di pression atmosferica , e per variazione di calore , essendo il vase di uniforme ampiezza dal fondo alla cima. Si è già trovato sopra nel Problema i .** , posto il vase cilindi'ico , per variamento di pressione atmosferica ri- sultare Dalla equazione i .^ di questo Problema si ha nel sup- posto stesso del vase cilindrico di raggio R G :;rr'[Bq:f — (ra — m)]-4-KR'(»=pz)— ffr"(TOqFz) g ;tr*[B — (n — m)]-t-;tR'n — ;tr'*ra Del SiG. D. Pietro Gossali. 19 e dalla a.* si ha — = ——-77 — -^ — S a — n d'onde si deduce /■"[U — (« — ra)]-t-R^«.— r'^TO B — n che si riduce alla seguente e per la equazione S.'^ si trasforma in :p r^ (ij-f-2 )5:R' ziir'* z __ _^JL. r'[B — (n — m)]-*-R^« — r"ni li — « dalla quale finalmente si trae ^ '"[R'ra — "»('•" — '-'')] ^ — [ R»— (r'^ — r»)](B — n) Si vede a primo confronto la differenza di questa espres- sione di z relativa al variamento del calore dalla superiore relativa al variamento della pressione atmosferica . Ma per comprenderla meglio si supponga m = n cioè che , toccando l'estremità del tubo il fondo del vase, il pezzo di esso tubo immerso nel mercurio del vase sia a tutta l'altezza del mer- curio stesso nel vase uguale, che è il caso più ordinario: in tal caso la testé ritrovata espiessione di z si riduce alla semplice z= ^J_ ■ nella quale non entra per nulla il raggio del vase , e dimo- stra per conseguenza , che il valore di z non dipende dalla sua ampiezza , e niente per essa quanto si voglia grande è diminuito; laddove al contrario lo è benissimo, e prossima- mente in ragione di essa ampiezza nell'altra espressione re- lativa al variamento della pressione atmosferica. E facilmen- te s' intende la ragione fisica della differenza richiamando alla memoria ciò , che ho dimostrato nel Teorema i ° Va- riando la pressione atmosferica , varia nella colonna barome- trica la quantità del mercurio. Se diminuendosi la pressione atmosferica per il conseguente abbassamento della colonna 2,0 Indagini sul Barometho ec. barometrica passi una porzione del mercurio dai tubo nel va- se, egli è ben chiaro, che questa espandendosi per l'ampiez- za del vase vi cagionerà un innalzamento z del mercurio tanto minore, quanto l'ampiezza del vase sarà maggiore. E sareb- be a giusta porzione l' abbassamento della colonna barometri- ca col tubo all'innalzamento del mercurio nel vase come in- versamente il quadrato R* del raggio del vase al quadrato r^ del raggio del tubo, se all'ampiezza del vase non toglies- se qualche cosa la grossezza del vetro del pezzo immerso del tubo , e per tale ragione da R* sottrarre non si dovesse r'^ — 7-^. Il simile si dica accrescendosi la pressione atmosfe- rica , e passar dovendo alcuna porzioncella di mercurio dall' ampiezza del vase alla ristretta area del tubo ad accrescere la colonna barometrica . Laonde a piena luce resta spiegata la espressione del valore di z in quanto dipendente da va- riamento di pressione a^'mosferica . Ugual lume acquisterà la espressione del suo valore dipendente da variamento di ca- lore, se si rifletta, che per tale variamento rimane nella colonna barometrica la stessa quantità di mercurio, e non fa , che variarne la densità ; né diversamente accade nel re- sto del tubo , e nel vase qualora sia cilindrico, o di qualun- que altra figura dal fondo alla cima di costante ampiezza . La prima parte è dimostrata nel teorema a.°, ed indi ne se- ,— e sia l'ampolla una ellissoide. Dalla I .a equazione si ha G 7Cr''(?::pt-*-F,-t-p)-f(p. (nz^z) :^7Tr^ t — rfi. n-^(fi{n^z) "^ — !ir'(V-t-E-^-2^)-t-(p.n ' "*~ jT;r"(P-HK-*-/))-+-ijS.« Dalla a. a laonde ne segue ;rr»(P-+-E-+-/>)-l-(^.K V — (p-^-n) . e facendo (p .{nz^z)-^(p .n-^¥ .z^iz risulterà zpnr'' ^-i-F.=Fz zjn±:z d' onde = — {'P — {p-^n).Y.^z:ìz(Ttr^{?-k-'E.-^p)-^(p.n)]z Dal caso nel Problema a." trattato dell'ampolla a forma di Ellissoide si vede essere ^. . = i^ (h«^->3 ) introducendo questi valori delle funzioni nella trovata equa- zione, e distinguendo a maggiore chiarezza, e sicurezza i due casi di aumento di calore, e di decremento, si avrà Per il caso di aumento di calore 3_3(H-;o^--('::rp'^'r.f"'n^-^y^f^> Per il caso di decremento di calore z Del Sic. D. Pietro Gossali . a5 (3r'H' 3r'H'(P-<-E ->-/') 3Hn'-wH _ /,. — Anp-(/'-+-«n p-ip-^n)) — ^ di modo che non vi ha fra i due casi altra difFarenza uell* equazione tra z,t che nel segno del a.° termine. A particolarizzare l' esempio, e vedere quanto giovare pos- sa la grandezza dell'ampolla: supponiamola assai grande, e sia Raggio r del tubo = lin. i ^ Semi-asse minore ed orizzontale dell'ampolla A = linee 17 Semi-asse maggiore e perpendicolare H = linee ao n altezza del mercurio nell'ampolla avanti il variar del ca- lore ^ linee 19 p lunghezza del pezzo di tulx) sostenente l' ampolla = lin. io, Arco CFD ( fig. 3.^ ) un semicerchio E la sua rettificazione = linee 3i , che importa la corda, o diametro CD = lin. poco meno di ao, ed è conveniente es- sendo il semi-asse orizzontale dell'ampolla di linee 17 P — {p — 11) altezza barometrica avanti il variare del calore = Pol. a8 = lin. 336 P conseguentemente = lin. 336 -H la -l- 19 = 867 Si troverà calcolando z^^ziz'' — 1141 ,5982-1-^(46, 1095 ) = o Onde, se facciasi ? = lin.6,75 come vedremo aver un Fisico insegnato, che avvenga nel passaggio del barometro dal ghiac- «;io fondentesi all' acqua bollente , si avrà z^ — 82^ — I a5a , 4 s -t- 3 j I , a3g = o Prossimo valore di z è o,a4839 di linea: ci servirà que- sto valore nell' Articolo seguente . Tal valore di z sottratto per la 3.* equazione dal supposto valore di t, si deduce la variazione della barometrica altezza p = 6 , 76 — ^ o , a4839 = 6 ,5oi6i . E per l'equazione a.» s'inferisce -r =^ r -t-p_(p'.^_„) = i 6,5ci6i ^ . -^ 366 -=1,017764. Tomo XV. 4 20 Indagini sul Barometro ec. ARTICOLOII Calcolo di esame delle esperienze sulla variazione del Barometro per variazione di calore; con esperienze nuove . §. I .° In due classi distinguere si possono , e distinguo le esperienze fatte per determinare la variaziou dei barome- tro dalla temperatura della fusione del ghiaccio alla tempe- ratura del bollimento dell'acqua. Le une fatte sul barome- tro medesimo immerso nel ghiaccio fondentesi , poi nell' ac- qua bollente, o ad un dato calore esposto, le chiamerò espe- rienze immediate; e chiamerò rimote le altre con le quali si è , senza barometro , e per mezzo di un vetro termometrico, cercato il dilatamento , ed il minoramento della gravità spe- cifica dal mercurio sofferto nel passaggio da una all'altra temperatura . Giova da queste incominciare . Esperienze Rimote . §. a." Il metodo migliore di tali esperienze si è questo. Preso un vetro termometrico, il cui cannello sia di esatto calibro, cioè d'interno vano perfettamente uniforme, si pesi con dilicatissima bilancia una quantità di purissimo mercurio maggiore di quella , che si richiegga per empirne la palla , e piccola parte del cannello. Empita la palla, e la parte del cannello , si pesi la quantità del mercurio rimasta , il peso della quale sottratto dal peso totale si scoprirà il peso del mercurio impiegato , che indicherò per p . Si ponga il ter- mometro nel ghiaccio fondentesi, e si segni sul cannello con sottilissimo filo di seta la superficie del mercurio. Conserva- to questo segno, il termometro immergasi nell'acqua bollen- te ( scegliendo a ciò giorno in cui il barometro sia a pollici 27 , o molto vicino ) , e si segni con sottilissimo filo pari- Del Sic. D. PfETRO Cossali. 27 mente , e ron tutta accuratezza il luogo , al quale la super- ficie dc'l mercurio è salita . Estraggasi poscia dal cannello una piccola porzione di mercurio, e si pesi; indi si rimetta il termometro all'acqua bollente, e si segni il nuovo luogo, più basso che prima , a cui ascende la superfìcie del mercu- rio. Si misurino con fino compasso l'intervallo tra il filo della superficie del mercurio alla temperatura del ghiaccio tbnden- tesi, ed il filo della superficie del mercurio alla temperatura dell'acqua bollente la prima volta, e l'intervallo da questo medesimo filo a quello della superficie del mercurio alla tem- peratura dell'acqua bollente la volta seconda. Si chiami H quell'intervallo grande tra i fili della superficie del mercurio alla temperatura del ghiaccio, ed alla temperatura dell'ac- qua bollente la prima volta; e si appelli h il piccolo inter- vallo tra i due fili della superficie del mereiaio alla tempe- ratura medesima dell'acqua bollente nelle due volte, cioè avanti di estrarre, e dopo estratta la piccola porzione di mer- curio. Si denoti finalmente per p essa pìccola porzione di mercurio estratta . Si rifletta , che h è lo spazio , che occu- pava il peso p di mercurio nello stato di dilatazione . Insti- tuendo la proporzione h\p\'.}\ al quarto termine, sarà que- sto quarto termine il peso di mercurio richiesto a riempiere in istato di dilatazione l'intervallo H; e denotando tal peso di mercurio per ;r, sarà per regola della proporzione ;r=^' Se si sottragga questo peso it da tutto il peso P del mercu- rio , che la prima volta in istato di dilatazione occupava la palla, ed il pezzo di cannello sino al filo segnante l'effetto della temperatura del ghiaccio fondentesi , e di più l' inter- vallo H , sarà il residuo peso P — :n: il peso del mercurio , che in istato di dilatazione occupava la palla , ed il pezzo di cannello sino al filo dell'effetto della temperatura del ghiac- cio tondentesi solamente. Ma all'incontro nel condensamento del mercurio a questa temperatura nello spazio di essa palla, e di esso pezzo di cannello stava ritirato tutto il peso di 2,8 Indagini sur. Barometro eo. mercurio P . Dunque i due pesi di mercurio nei due stati , uno di condensamento alla temperatura del ghiaccio, l'altro di dilatamento alla temperatura dell'acqua bollente contenuti nello stesso spazio sono P, P — ;r, e nella ragione loro sono le densità del mercurio ne' due stati, e parimente le gravità specifiche; ed il minoramento della densità, e della gravità specifica nel mercurio dalla temperatura del ghiaccio fonden- tesi alla temperatura dell' acqua bollente è da P a P — ;r , come a rovescio il crescimento del volume da P — jt a P. Con tale processo di operazioni, e di computi, e con trarre da varie esperienze il risultato medio ricavò da prima il Lor- gna ( Graduaz, de Termometri ec. 6a3 ) tra il volume del mercurio al ghiaccio fondentesi , ed il suo volume all'acqua bollente, il rapporto di loooo^ioiSg 350000 ^ *^'*^ ^^ riduco all'espressione di loooo ; loiSg . 5. 3.° Il P. Giambatista da S. Martino, ripetendone per ben otto volte la prova, trovò a ragione media locoo ; loiSg ^^ { Maniera di correggere il Barometro ) : la quale ragione con- frontata con quella al Signor Lorgna provenuta, non presen- ta altra differenza, che dal dilatamento i5q^ — 2i- al dilata- mento iSg -^-i in un volume di looco . Il Lorgna pose il vetro termometrico all'acqua bollente, essendo il barometro a poi. 27 ^ ; il P . da 5. Martino essendo l'altezza del ba- rometro poi. a8. Io ho prescritto di scegliere giorno, in cui il barometro sia a pollici 27 od assaissimo vicino , per atte- nermi all'altezza barometrica, che è base della teorìa del Signor De-Luc intorno al vario calore dell'acqua bollente di- pendentemente dalla varia pressione dell' atmosfera , come pure della dottrina tutta sul perfezionamento del barometix) per mezzo del termometro. L'operetta della Graduazione de' Termometri a Mercurio , e della Rettificazione de' Barometri semplici del Signor Lorgna data in luce l'anno 1765 prece-' Dkl Sic. D. Pietro Cossali . 119 dette di anni 7 la grand' opera Recìierches sur les Modifica- tions de V Atmosphere del Signor De-Luc , non uscita che l'anno ^11^, ma V Articolo intorno alla maniera di correg- gere il Barometro per mezzo del Termometro di Reatimur del P. da S. Martino , inserito nel nuovo Giornale Enciclopedi- co d'Italia, fu ad essa posteriore di anni 18 essendo stato l'inserimento l'anno 17P0. Bisogna però dire, che altre oc- cupazioni ed altri studii avessero al P. da S. Martino impe- dito di leggere, ed apprendere le nuove esperienze e le nuo- ve regole del De-Luc . Poiché nella nota alla pagina 5 di quel suo Articolo egli scrive , che generalmente parlando un ^pollice di più , o di meno nel Barometro porta la differenza di un grado nel calore dell' acqua bollente. E conformemen- te a ciò nella nota a pagine 9 dall' aver trovato, che posto nell'acqua bollente a tumulto sotto a pollici 28 del Barome- tro un Termometro che pervenuto gli era d'Inghilterra co- struito dal celebre Dollond ., fissato si era a gradi 79 ^, ne trae indizio che pel termine superiore quel celebre artefice aveva adoperata dell'acqua bollente a poli, a? Un. 6. Ed alla pagina poi 14 esposto il piccolo eccesso di dilatamento medio , dai suoi esperimenti risultante , sopra il medio al Si- gnor Lorgna risultato nel volume del mercurio dal ghiaccio fondentesì all'acqua bollente, scrive che a sì fatto eccesso avrà forse contribuito l'avere il Lorgna presa l'acqua bollen- te all' altezza di pollici 2.J ^ ed egli a quella di pollici 28. 5- 4° I^ De~Luc a ragione distingue i gradi reali del calore dell'acqua bollente per una data altezza di barometro dai gradi, che in un Termometro in essa immerso segna il mercurio con le sue dilatazioni , non corrispondendo esatta- mente le dilatazioni del mercurio ai reali accrescimenti del calore . Rappresentando per a V altezza barometrica compu- tata in linee di Parigi, e per l il suo logaritmo, computan- dola in parti sedicesime di linea, per y il grado del calor reale dell'acqua bollente, per y l'altezza sopra o nel Ter- mometro in essa immerso sarà 3o Indagini sul Barometro ec. ^ = 78, ia8 -H- o ,033836 a — ''^ . De-Luc 5- n^i y'=i^^__^o3870oo^ Z>e-Z«c S. 961 .965 100000 evvero /'-s: 78 -4-0 ,03542, a ^-^^^ De-Luc ^ 1088 Siccome nella rettificazione del Barometro per mezzo del Termometro basta sapere la dilatazione del mercurio, così la quantità da attendersi è y' , al computo della quale or gio- verà valersi dell'una delle due sue formolo ed or dell'altra. Ambedue hanno per base l'altezza barometrica di poli. 2,7, o di linee 3a4 , o di 5 184 parti 16.""^ di linea, così che, posto nella logaritmica il logaritmo di 5 184, e nella non lo- garitmica fatto « = 3245 ^d eseguite le debite operazioni, dall'una, e dall'altra risulta y' = 8o gradi. §. 5.° A vedere quanto dal vero si allontani, che gene- ralmente parlando un pollice di piìi, o di meno nel Barome- tro porti la differenza di un grado nel calore dell'acqua bol- lente giusta l'asserzione del P. da S. Martino: denotata per Y l'altezza termometrica nell'acqua bollente sotto l'altezza barometrica «, si denoti per y" l'altezza termometrica nell' acqua bollente sotto l'altezza barometrica a-t-ia linee. Sarà la differenza delle altezze sul Termometro /' — y' = 78-i-c,o3642(fl-Hia) — ^i^— (78-Ho,o364aa 3i75,a\ oc/, v^ iaX3i75,a —^ | = o,o364aX I2.H , ' \ Preso a = Pol.27 = lin.3i4 si ha per differenza delle al- tezze termometriche nell'acqua bollente sotto questa altezza barometrica, e sotto quella di Poli. a8 = linee 336 /• -/ = o , o364a X i^ -+- 'gy^tsó' = ^ ' 43704 -H o , 35 = o , 78704 di grado . Non dunque un grado come pensa- va il P. Giarabatista da S. Martino. Del Sic. D. Pietro Cossali . 3r E poi evidente , che se per ( y ) si rappresenti la diffe- renza delle altezze del termometro nell'acqua bollente all' altezze barometriche a , ed « -h 6 linee , si avrà { y ) = o , 08642. X 6 -4- -~-x77 ■■, e fatto « = linee 33o, sarà ( y ) = o ., aiSSa, -t- o , 17182 = o , 89034 di grado Si osservi qui di passaggio , che non essendo o , 89084 la giusta metà di o , 78704 appalesasi , che la differenza delle altezze termometriche nell' acqua bollente è maggiore dal passaggio da poli. 27 del barometro a poli. 27 ^, che nel passaggio da poli. 27 ^ a poli. 28. Ma ciò, che più importa al proposito nostro si è , che scelta a fondamentale , e per 80 espressa quella altezza del termometro sopra e, che si ha nell'acqua bollente essendo il barometro a poli. 27, l'altez- za del termometro nell'acqua bollente, essendo il barometro a poli. 28 viene espressa per 80,78704, ed essendo il baro- metro a poli. 27 ^ per 80,78704 — 0,89034 = 80,89670. Ma tali altezze del termometro sopra o nell'acqua bollente sono le dilatazioni del mercurio dalla temperatura del ghiac- cio londentesi alla temperatura dell'acqua bollente; dunque nella stessa ragione di 80 , 78704 '. 80 , 89670 doveano risulta- re i dilatamenti medj del mercurio dalle esperienze del P. da S. Martino fatte trovandosi il barometro a poli. 28, e da quel- le del Signor Lorgna essendo il barometro a poli. 27 4. Ora instituendo la proporzione 80 , 89670 ; 80,787041 .* iSg '^^44 lOOOOO al quarto termine j trovasi iSq iU_ in luoeo di i5q -ili? ^ ^ lococo o y jpop che per risultato medio è sortito al P. da S. Martino. La differenza dunque anche sola da poli. 27 ^ a poli. 28 nel barometro avrebbe dovuto cagionare una differenza di l??Ii in vece di -^^^ cioè una differenza 67 volte maggiore di quella al P. da S. Martino provenuta. Quanto per ciò è lun- gi, che ad essa piccola differenza al P. da S. Martino resul- tata abbia potuto la differenza barometrica da poli. 27 ^ a 3^ Indaci>:i sul Barometro ec. poli. 28 meramente in parte, come pensò egli, contribuire? Peggio sarebbe , se giusta la sua estimazione , | pollice di pili in altezza barometrica portasse ^ grado di più di calore nell'acqua bollente, poiché l'accrescimento della dilatazione del mercurio avrebbe dovuto risultare maggiore di quello, che dalla teorìa del De-Luc io ho ricavato . Laonde , a con- chiudere, il giudicio del P. da S. Martino su la differenza del risultato medio delle sue esperienze a confronto di quello delle esperienze del Lopgna male sta co)i i principii del De- Liic . e peggio con i suoi supposti; ed in luogo di credere the con la differenza delle altezze barometriche o sia delle pressioni dell'atmosfera diversificanti il calore dell'acqua bol- lente siasi combinata qualche altra circostanza aumentante la differenza del dilatamento del mercurio, bisogna all'incontro dedurre, che combinato siasi qualche accidente atto a dimi- luiirla , qual sarebbe la poca purezza del mercurio ; se pure troppo grande piuttosto per contrario complesso di cause non riuscì il risultato delle esperienze del Lorgna . 5. ó."' Dopo aver confrontati tra loro i risultati delle e- sperienze del Lorgna, e del P. da S. Martino, giova per i confronti da farsi in seguito il ridurli per mezzo della dot- trina del §. 4" dalle altezze barometriche di poli. 47 ^ e a8 all' altezza barometrica di poli. 27 . liistituite pertanto le proporzioni 80,39670:80:: iSo-i^Bi;^ ' J ^ ' ^ locooo 80,78704:80:: i59-^:j Si trova x = 1S8 i— , e )■== iS? — I — 2. lOOOCO ' lOOOOO cioè per le esperienze del Lorgna il dilatamento di nn voln- nìe di mercurio espresso per 10000 dal ghiaccio fondentesi all'acqua bollente sotto la pressione atmosferica di poli. ^7 sarebbe di i58 : e per le esperienze del P. da S. Mar- tino di 61637 ,- 01037 ' ICPCCO ^. 7. Del Sic. D. Pietro Costali. 33 §. 7.° Lo Shuckburg stabilisce, che il dilatamento del mercurio dal ghiaccio fondentesi all' acqua bollente sia di ■jj— -; onde espresso come prima il volume del mercurio al ghiaccio fondentesi per loooo, il dilatamento viene ad es- sere = — ^ = 1 58 — — - . Ma non determinando Shuckbure: 10119 lOOOOO o l'altezza del barometro alla quale riportar si deve il bolli- mento dell' acqua , io non posso calcolare quanto il dilata- mento del mercurio da lui stabilito sia prossimo , o distante da quelli risultanti dalle esperienze del Lorgna, e del P. da S. Martino. Lo stesso è del dilatamento i4o, che nel 5- i563 assegna il Musschenbroek ; della ragione ii8ia; iacea, che tra i volumi del mercurio al ghiaccio, ed all'acqua bol- lente pone il Martine, e che si risolve in lOooo; loiSa ; r ' • looooo ' della ragione looool loiSo adoperata nei termometri di de- L'isle; di quella, al narrare dell'autore delle Memorie sur la Réforme des Thermometres pag. i53 data da Christin di 66 ' 67 che si trasforma in loooo : ioi56 -7^; delle tre già esibite, giusta lo stesso autore, dal Boerrhave di io8x4 ! 10994, di iii56: iiaaó, di 1 1452 : ii63a che si cangiano in quelle di loooo ; 10166 ±-2_i. di lOooo : icoóa ^^ °,di • lOOOOO ICOOOO loooo \ ioiSt, -I2Zi_ . Mi reca tanta maiavifflia si grande ' 1 00000 ° ° differenza di ragioni in Boerrhave , che fortemente dubito di qualche errore di stampa nei numeri delle due prime, e massiniameiite nella seconda. Quello, che io leggo nell'arti- colo De igne^ Esp. Vili si è che avendogli l'ingegnosissimo, come egli lo chiama , artefice Gabriele Fahrenheit costrutto un elegantissimo termometro secondo tutti i suoi voti , quel mercurio, che al segno o occupava Iia4 spazietti, all'acqua bollente ne occupava 11 336. Ma per la grande Tavola di iVan-Svinden il segno o del termometro di Fahrenheit cader Tomo XV. 5 34 Indagini sul Barometro ec. trovasi a gradi — 1^,2,2,2. del termometro del De-Luc . Dun- que argomentando q4 ' ^22 ; 80 ; I aia, al quarto termine, ri- sulta questo = 180, e perciò la ragione dei volumi del mer- curio dal gìiiaccio fondentesi all'acqua bollente, che dal ci- tato esperimento di Boerrhave si trarrebbe, supposto allora il barometro al poli. 27, è di iiia4; ri3o4, che convertesi in loooo ; 10161 — i2£L . Ma non è da perdere più tempo I 00000 111 intorno a tali ragioni dedotte da esperimenti, ne' quali non 8Ì attese all'altezza del barometro, né si usò l'artificio dal Lorgna , e dal P. da S. Martino adoperato della doppia im- mersione nell'acqua bollente, estratta tra l'una, e l'altra una porzioncella di mercurio. Le esperienze pertanto di que- sti due Fisici sono nel genere delle esperienze rimote, delle quali sin qui è stata parola, le uniche, delle quali si iiblna a tener conto . Ma a poter confrontarle con quelle dell' altro genere ci rimane ancora un passo da fare con il seguente PROBLEMA.^ 5. 8." Dato il dilatamento del mercurio dalla tempera- tura del ghiaccio fondentesi a quella dell'acqua bollente sot- to la pressione atmosferica rappresentata nel barometro dall' altezza di poli. •2'j , determinare l' allungamento di questa stessa colonna barometrica dalla temperatura del ghiaccio fondentesi alla temperatura dell'acqua bollente sotto la pres- sione atmosferica medesima per essa altezza di poli. 2,7 rap- presentata . Si espiima per i il volume del mercurio al ghiaccio fon- dentesi, per I -*- ^ il suo volume al calore dell'acqua sotto i poli. 27 di altezza barometrica bollente; sia questa mede- sima l'altezza di un barometro posto nel ghiaccio fondente- si , e dicasi A ; e sia poi a il suo allungamento nel suo pas- saggio dalla temperatura del ghiaccio fondentesi alla tempe- ratura dell'acqua sotto la pressione della stessa altezza di Dei. Sic. D. Pietro Costali . 3,') pollici 27 bollente . Dovendo le lunghezze della colonna ba- rometrica per equilibrarsi con la stessa pressione atmosferica essere in ragione inversa delle densità, o gravità specifiche del mercurio nei due stati , ed essendo le densità o gravità specificlie in ragione inversa dei volumi, saranno le lunghez- ze della colonna barometrica in ragione diretta dei volumi , per conseguenza sarà A : A -^ a '. : ì : 1 -i- d onde a = A d = 3^4 X d esprimendo i pollici 27 in linee , per aver a in linee. Ho dimostrato, che riducendo le espe- rienze del Lorgna all'acqua bollente sotto l'altezza barome- trica dì poli. 27, si ha in un volume di mercurio come loooo il dilatamento di i58 — : e con simile riduzione delle esperienze del P. da S. Martino il dilatamento di iSy — — ^. * ' lOOOOO Passando a considerare il volume del mercurio =1, sarà per le esperienze ridotte r. 1 T 7 i58368i3 Uel Lorgna a = ° looooooooo Del P. da S. Martino d = -LMi^!?. looooooooo Dunque per le esperienze ridotte r» 1 T i58368i3X3a4 ,■ r- o / Del Lorgna a = ,,,,,,^^^^ ^ = hn . 5 , i3i 1274111 Del P. da S. Martino a = 'SróiSS? x 824 ^ jj^ ^ 105767148 looooooooo l i ^ E tempo di procedere alle esperienze del secondo genere Esperienze Immediate . 5. 9.° Pose il De-Luc in un gabinetto molti barometri, gli uni appresso gli altri , e tra di loro sospese tre termo- metri uno all'alto loro, l'altro al mezzo, il terzo al basso; ed al momento , che questi segnavano alle tre diverse situa- zioni lo stesso grado di calore , notò e questo , e l' altezza dei barometri . Riscaldato avendo poscia , quanto più gli fu possibile, la stanza, all'istante, che i termometri indicarono Dt) Indagini sul Barometro ec. essersi il calore per tutto lo spazio da essi, e dai barometri occupato ugualmente distribuito , registrò il nuovo grado de' termometri , e la nuova altezza dei barometri , tenendo con- to di qualunque cangiamento nella pressione atmosferica in» tanto avvenuto. Reiterata più volte l'operazione, ed osser- vato nei barometri un cammino sensibilmente equabile , e proporzionato alle variazioni del termometro , raccogliendo i fatti j ed istituendo le convenienti proporzioni, venne ad in- ferire, ciie un barometro alto poli. 27, per un aumento di calore dal ghiaccio fondentesi all' acqua bollente crescerebbe di 6 linee precisamente . Recherches sur les Modifications de l' At.mosphère 5- 36a e 490- Ne seguirebbe di qui, che il volume del mercurio al ghiaccio fondentesi starebbe al volume di esso all'acqua bol- lente , sotto la pressione di poli. 2,7 , I I 27 : ay | ; I 54 I 55 . Ma questa i-agione non concorda con quella, che al §. 4^^, trattando il problema di determinare il diametro della palla di un termometro, essendo dati il diametro del tubo, e la grandezza de' gradi su di esso desiderata, egli stesso addotta, di 64 : 65 . A vederne la differenza tra loro, e da quelle del Lorgna, e del P. da S. Martino, basta ridurle ad avere l'an- tecedente loooo, e si trova 54 I 55 := loooo ; ioi85 ' ^ lOOOOO 64 '. 65 = loooo ; IDI 56 — — ' 1000 Si scorge non essere piccola la differenza , e la seconda si accosta a quella che io ho dedotta dalle esperienze del P. da S. Martino; ma ne rimane notabilmente distante la pri- ma . Le stesse differenze si renderanno manifeste per la via del Problema poco fa sciolto, determinando cioè in linee l'allungamento a, che nella colonna barometrica di linee 32,4 per il passaggio dal ghiaccio fondentesi all'acqua bollente porterebbe la ragione 64l65. Essendo per tal ragione d= r: Dì.L Sic. D. Pietro Cossali . 87 = _i^«^ , sarà a = ^"^^'^^'^^ = linee 5 , oóaS 1000000 lOOOOOO L'allungamento di linee 6 per il Signor De-Luc dedotto dalle sue esperienze supera questo di poco meno, che di una linea cioè di -2!zL laddove quello per me tirato dalle espe- lOOOO * A ^ rienze del P. da S. Martino non lo supera, che di ^^^ di linea, e quello dalle esperienze del Lorgna per me parimenti /-QO calcolato di di linea . lOOOO Io sospetto che nel gabinetto, nel quale il De-Luc fece caldo, l'aria non avendo sufficiente libertà di espandersi, ab- bia con l'elaterio per il calore acquistato, aumentata la pressio- ne sulla superficie del mercurio, e quinci cagionato nell'al- tezza barometrica un aumento maggiore di quello, che avreb- be dovuto nascere per la sola dilatazione del mercurio . 5. 10. Mi sono preso la cura di ripetere due volte le esperienze del De-Luc , ma in una sala grande , e con le fi- nestre tutte aperte, cosicché l'aria avesse facilità a dilatarsi. La prima volta salendo il termometro da gradi 14 ai 58, la colonna barometrica di poli. 2,8, linee 2 ossia di linee 338, crebbe di linee 3; onde essendo l' aumento del calore di gra- di 44 fatta proporzione 44 gradi ; 3 linee ; ; 80 gradi ; x li- nee , risulta JT = linee —^-^ = linee 5 , 4'5454'5 • ^^^ P^^ V d\- tezza barometrica di linee 338, instituendo quest'altra pro- porzione 338 '. 3a4 I I 5 , 454^45 al quarto termine , trovasi linee 5 ,2278 per l'allungamento di una colonna barometri- ca di linee 824 , o di poli. 27 dal ghiaccio fondentesi al ca- lore dell'acqua bollente sotto la pressione atmosferica di poli. 28 , linee 2 . Procedendo a cercare per la formola sopra al §. 4 recata del De-Luc il rapporto dei dilatamenti del mercu- rio all'acqua bollente sotto le pressioni di poli. 28 linee 2, e di soli poli. 27, siccome questo trovasi essere di 80,81647! 80, così facendo una terza proporzione 80,81647 *. 80 :; 5,2278 38 Indagini sul Barometro ec. al quarto termine, risultano linee 5 , 17458 per allnngamento della colonna barometrica di poli. 27 dal ghiaccio fondeiitesi al calore dell'acqua sotto la pressione di essa bollente. Nel- la seconda delle mie esperienze il termometro ascese dai gra- di 12, 2 ai 44' ^^ i' barometro dai pollici 2,8 ai 2,8 e linee a. Quindi per prima proporzione si ha; gradi 3i ^^ linee a ^ : : gradi 80 : linee -~ = linee 5 , 896809 . Per propor- zione seconda 336 : 824 ! '. 5,896809 : 5,2o4o655. Per terza proporzione 80,78712, ; 80 ; ; 5,2o4o655 ' 5, 1 53362. Il me- dio di questo, e del risultato della prima mia esperienza 5,17498 è linee 5,164171, che non supera quello compu- tato dalle esperienze del Lorgna , che di '^~^ di linea, e quello computato dalle esperienze del P. da S. Martino di — ^ di linea. Ma la magoior libertà all'aria calda procura- ta di espandersi con la grandezza della sala, e con l'aper- tura delle fenestre potè onninamente togliere ogni intendi- mento di pressione sulla superficie del mercurio ? 5. II." Semplicissima, ed interamente immediata è l'e- sperienza istituita da Rocheblave ( Journal de Physique an. 1781 Tom. XVII ); poiché avendo saldata sopra la fiasca del barometro una lunrra canna, lo immerse a dirittura prima nel ghiaccio, poi nell'acqua bollente. Ma che! Essendo il diametro del tubo internamente di 3 linee , ed essendo la fiasca , che sopra il braccio vi avea fatto soffiare, del diame- tro di pollici 2, linee io, ossia di linee 34, e perciò la ra- gione dei diametri quella di 3 : 34 , e la ragione delle su- perficie g: II 56, si credette in diritto di trascurare come minima la elevazione del mercurio nella fiasca , come fareb- besi nell'abbassamento del barometro per diminuimento di pressione atmosferica, e di notar solo i'ascendimento della colonna mercuriale nel braccio lungo del barometro. Quanto però diverso sia il caso, e quanto ingannato siasi il nomina- Del Sic. D. Pietro Cossai.i .' 89 to Fisico, apparisce a luce di meriggio da ciò che al i .° Ar- ticolo fu dimostrato. Essendo al ghiaccio fondentesi l'altezza barometrica poli. 28 egli trovò, che passando all'acqua bol- lente, la superficie del mercurio salita era linee 6 |j d'onde deduce per l'altezza barometrica di poli. 2,7 l'accrescimento di linee 6 ^; ma più prossimamente sarebbe di linee 6,5o8. Questo risultato supera di -^ quello del De-Luc , e troppo pili quelli delle esperienze del Lorgna , del P. da S. Marti- no, dello S/ìuckburg , e delle mie. Ma già s'intende, che l'avere trascurato di diffalcare dall' ascendimento della super- ficie mercuriale nel braccio lungo del barometro l'elevamen- to del mercurio nella fiasca deve aver prodotto un eccesso . Facciamo un calcolo, e cerchiamo se, e quanto questa espe- rienza approssimare si possa alle altre . Avea la fiasca per diametro nel suo maggior largo linee 34, ed attesa la figura dall'autore esibita vedesi , che era, come al solito, ovale, ed alquanto più lunga , che grossa . Perciò sembra, che sup- porre si possa, che la metà della sua lunghezza, ed il pezzo di tubo, che la sosteneva, fi)rmassero una lunghezza di 3 in 4 pollici. Supponiamo per facilità di calcolo \ì 4-> ^he sem- pre si potrà diminuire il risultato , se parrà di doverlo fare. Essendo pertanto l'altezza del mercurio nel braccio corto del barometro al giiiaccio fondentesi all'altezza del mercurio nel braccio lungo ! ! 4 • '^^ • • ^ • ^ ' avrà in questa stessa ragio- ne dovuto essere la salita del mercurio nel braccio corto en- tro la fiasca, e la salita della colonna mercuriale nel braccio lungo. Se quella chiamisi x, sarà questa stata 8 x . Rochebla- ve la notò di linee 6 |, onde ne viene 8 x = lin. 6 |; ma per avere il vero aumento della colonna barometrica bisogna sottrarne la salita x del mercurio nel braccio corto . Dall' e- quazione 8 x = || = o , 84371 di linea , la qual quanti- tà sottratta da linee 6,75, rimangono linee 5 , goftaS per accrescimento della colonna barometrica di 2.8 pollici . Quin- di poi deducesi l'accrescimento della colonna barometrica di 4o Indagini sul Barometro ec. poli. 27 = U2<È£2È^— linee 5,09^31 sarebbe qui finita la riduzione dell'esperienza di B.ocheblave ^ se all'istante che ftce bollir l'acqua, il barometro all'aria fosse stato alto pol- lici 27 . Ma poiché al riferir dello stesso Rocheblave il baro- metro era a pollici a8 nel ghiaccio fondentesi , e per conse- guenza a qualche linea di più di altezza all'aria, e sotto tale altezza considerar si deve bollente l'acqua nella quale poi lo trasferi , fa perciò di mestieri, per ridurre l'esperi- mento di Rocheblave al confronto con gli altri, diminuire, giusta la regola prescritta al N." 4 '^ linee 5,6953i in ra- gione di ^ — 3 — - almeno . Diminuendola in questa ragione ri- sulterebbero linee 5, 641. Non si può diminuire nella ragio- ne di -g — , che giusta il §. 4 importerebbe che il ba- rometro all'aria fosse a poli. 2,8 , a , e perciò la differenza di linee a tra il barometro all'aria, e lo stesso nel ghiaccio fondentesi; a supporre la qual differenza bisognerebbe imma- ginare un calore di presso a gradi 3a . Si potrebbe di qual- che cosa diminuire l'altezza di poli. 4 data al mercurio nel braccio corto, ma non si diminuirebbe abbastanza . Onde non veggo mezzo di ravvicinare agli altri il risultato dell'espe- rienza di Rocheblave . Chi volesse facilmente , ed esattamen- te insieme rifare l'esperienza di esso Roclieblave si serva di un baiometro a sifone, e sul braccio corto saldi col fuoco ima canna, die lo allunghi a più di a8 pollici, ed in que- sta insinui una verghetta di duro legno , od anche di ferro, contro cui il mercurio non ha azione , ben diritta , e di dia- metix) poco meno di quello del vano della canna , e di tale lunghezza, che posando sul mercurio, sopravanzi per qual- che pollice sopra la canna. Essa salirà, e discenderà col sa- lire , e discendere della superficie del mercurio . Innnerso lo strumento nel ghiaccio, e nell'acqua bollente, oltre segnare i punti della superficie della colonna mercuriale sul tubo del baro- Del SiG. D. Pietro Cossali. 4' harometio , si segnino sulla verghetta gli anelli, o punti ra- sente la bocca della canna. L'intervallo di questi anelli o punti mostrerà la elevazione della superficie del mercurio nel braccio corto del barometro, che sottratta dall'intervallo dei punti segnati sul tubo barometrico , darà la elevazione rela- tiva delle due superficie mercuriali , cioè il vero aumento della barometrica altezza . E notata di questa la lunghezza al ghiaccio , e su di un altro barometro all' aria l' altezza rappresentante la pressione atmosferica sotto la quale l'ac- qua ha bollito , si avrà tutto ciò , che si richiede ad una base certa delle variazioni barometriche per il calore . §. 12,.° Narra il P. Cotte nel tomo i.° 3Iémoires sur la Meteorologìe pag. .5i8, che il P. Carbois Benedettino avendo parimente sepolto il barometro nel ghiaccio fondentesi , e nell'acqua bollente, trovò la dilatazione di linee 5. Non di- ce per quale altezza barometrica , siccome ommette pure di dirlo naiTando immediatamente avanti le esperienze del De- Luc , e la dilatazione da esso inferitane di linee 6 . Ma sa- pendosi, che tale dilatazione presso il De-Liic risguarda l'al- tezza barometrica di pollici 2,7 al ghiaccio, per giusto seguito di discorso, e contrapposizione dal Cotte intesa de' risultati , si vuol dedurre , che anche la dilatazione di linee 5 osser- vata dal Carbois debbasi riportare all'altezze barometriche di pollici 27 nella fusione del ghiaccio. Nulla poi esponendo il P. Cotte della forma del barometro dal Carbois usato; nul- la dell'altezza del barometro all'aria rappresentante la pres- sione atmosferica, sotto la quale l'acqua bollito aveva; nul- la del modo dell' esperienza ; non posso farne esame a veder la causa dello scarso risultato . Rifletterò solo , che si può peccare in più , confondendo colla elevazione relativa della superficie della colonna barometrica la elevazione assoluta di essa, e prendendo questa in luogo di quella; e si può pec- care altresì in meno non immergendo nel ghiaccio fondente- si , e nell'acqua bollente il barometro abbastanza, sino cioè alla sommità della colonna mercuriale . Tomo XV. 6 4^ Indagini sul Barometro ec. §. i3.' Cita eziandìo il P. Cotte a pie della medesima pagina un'esperienza di M. Le-Gaux , ma non ne reca nep- pure il risultato . Ed ivi stesso riferisce , che su la base di linee 5 di dilatazione per l'altezza barometrica di poli. a8 Buissart ha steso una tavola per le diverse altezze da quella di 3 sino a quella di 4° pollici dì 6 in 6 linee , e per cia- schedun grado di calore dallo zero di Reaumur ai gradi 8o, dividendo lo spazio di 5 linee in 5oo parti di linea; tavola cui egli riferisce al fine del volume citato sotto titolo Table Baro - Thermometrique Universelle . Ma il fatto sta , che in questa tavola all'altezza barometrica di poli. a8 per il pas- saggio dallo zero detto alla temperatura di gradi 8o è asse- gnata la dilatazione di line 5 ^ . Ho creduto di dover ciò notare per prevenire l' imbarazzo , in cui taluno potrebbe trovarsi . §. 14.° A coglier frutto dal calcoli e riducinienti fatti gioverà mettere sotto vma occhiata in una tavola i risultati provenuti . Intendendo adunque per lo zero termometrico quello del Signor De-Luc fissato al punto del ghiaccio fon- dentesi ; per i gradi 80 termometrici quelli, ai quali secondo lo stesso autore s' innalza il termometro nell' acqua bollente sotto la pressione atmosferica rappresentata dall'altezza ba- rometrica di pollici 27 La variazione, che chiamerò V dell'altezza barometrica di poli. 27 dallo zero ai gradi 8c si ha V = lin. 5,1 3i 12,7 per deduzione dalle esperienze del Lorgna V = lin. 5,105767 da quelle del P. di S. Martino V = lin.6 da quelle del De-Luc V = lin.5,o6a5 dall' g'j talora da esso usata V = lin. 5,17498 dalla esperienza mia prima V = lin. 5, 16417 dalla seconda Prendendo il medio di tutti risulterebbe V = lin. 5 ,2,73 Non contando il V=lin.6 proverrebbe a medio degli altri V = 5,i236 Del Sic. D. Pietro Cossau . 4^ Io lasclerò ad ognuno lo sciegliere come plix gli piace . Desidero che alcuno esperimenti secondo il metodo al fine del §. 1 1 .° prescritto . ARTICOLO III Confronto delle altezze Barometriche liberandole dall' effetto della diversa temperatura . Teorema i .° Detta V quella variazione , che adottata si avrà, della colonna barometrica di pollici 27, o sia di linee 3a4 corrispondente alla differenza termometrica di gradi 80 dal ghiaccio fondentesi all'acqua bollente sotto la pressione atmosferica rappresentata da pollici 27 , sarà la variazione V di un'altra colonna barometrica R qualunque, maggiore, o minore di linee 824 per la medesima differenza termome- trica = ^ . V Teorema 2.° E se dicasi V" la variazione della medesima barometrica colonna di linee 824 per gradi termometrici nu»» mero G di quelli 8c , o sopra , o sotto lo zero , vale a dire o sopra o sotto la temperatura del ghiaccio fondentesi , sarà V" — -2- V ~ 80 • * Teorema 3.° E quindi denotando per V" la variazione di una colonna barometrica qualunque R per la differenza dei gradi termometrici G, sarà componendo V" = -pj . g- . V La verità del Teorema i ." è per sé evidente . E quella dei Teoremi 2.°, e 3.° si renderà a chiunque chiara, sol che avverta , che si sono da me poste in corrispondenza , e pro- porzione , variazione di colonna barometrica , e differenza di gradi termometrici , non già di gradi di caler reale . Per le esperienze del De-Luc l'andamento del mercurio in dilatar- si , o condensarsi non segue con esatta legge l' andamento 44 Indagini sur. Barometiiu ec. dei gradi del calor reale ; e quinci non può esservi esatta proporzione tra le differenze di calor reale, e le variazioni di una colonna barometrica per cagion loro . Ma essendo il termometro a mercurio , siccome io suppongo, agli effetti di dilatamento, o di condensamento che gli accrescimenti, o diminuzioni di calor reale produrranno sul termometro, cor- risponderanno in esatta proporzione li decrescimenti , od au- menti della gravità specifica del mercurio in una colonna ba- rometrica, e perciò le variazioni di questa seguiranno in giu- sta proporzione le differenze termometriche . Teorema 4-° Essendo R una qualunque colonna barome- trica nel ghiaccio fondentesi , ossia alla temperatura di esso, e si denoti per A l'altezza a cui si allungherà, o si contrar- rà alla temperatura di gradi G sopra o sotto lo zero , sarà R ± -s— r • 5- • V = A ; con che data R si conoscerà A . sa4 8o ' A Teorema 5." Viceversa data A, si conoscerà R= _^_v_ G_ * — 324 ■ 80 Quindi se A sia una qualunque altezza barometrica os- servata , che chiamerò apparente , sarà R quella alla quale ridurrebbesi alla temperatura del ghiaccio fondentesi , e che perciò appellerò la sua Ridotta . Per tal modo riducendo tutte le altezze barometriche alla temperatura del ghiaccio fondentesi si condurranno a confronto, liberandole dall'effet- to del calore diverso , e non lasciando in esse altra differen- za che della diversa pressione atmosfeiùca . A Scolio . Per mezzo dell' equazione R = _,_ V "g è faci- — 3a4 ■ 80 le formare una tavola , quanto si voglia estesa , di altezze ri- dotte R corrispondenti alle apparenti A . Si scriva in colon- na verticale a sinistra della tavola la serie dei numeri -f-3o, -f-29 0, — I, — a... — 20 esprimenti i gradi termome- trici G da 3o sopra zero sino a ao sotto di esso . In linea orizzontale all'alto della tavola si stenda la serie delle ap- parenti barometriche altezze A, cominciando da pollici 13, Del Sic. D. Pìetro Cossali. 4'5 altezza di 3 linee minore di quella del barometro sul Chim- boraco, e continuando sino a pollici 3o con crescere di li- nea in linea . Si fissi la grandezza , che si giudica la più provata dalla variazione V della colonna barometrica di linee 3a4 dalla temperatura del ghiaccio fondentesi a quella dell' acqua bollente sotto la pressione atmosferica di pollici 27 . Si computi in frazione decimale di figure almeno 5 il valore I del coefficiente G v" per li So gradi termometrici -+-G 80 824 I da 3o sopra lo zero sino ad esso , ed il valore di G_ v_ 80 ■ 3a4 per li gradi ao , — G sotto zero. Si moltiplichi ciascheduna delle altezze barometriche apparenti A per le cinquanta fra- zioni decimali , e sotto di ciascheduna si ordini la rispettiva colonna verticale de' prodotti . Sarà composta la tavola , e riuscirà comodissima. Osservata sul barometro l'altezza A, e sul termometro, che lo accompagna sospeso a fianco, e verso il mezzo della baiometrica colonna , la temperatura rt G; rimpetto a questa, e sotto di A troverà subito l'al- tezza barometrica ridotta R . Problema i ." Invece di ridurre l' altezza apparente A alla temperatura zero del De-Luc , ridurla a qualunque altro gra- do g di quella scala . Si denoti per R' l' altezza apparente A cosi ridotta , e siccome nel Teorema 4° si è dimostrata A = Ri; j^ • g- . V, ■n in simil modo è evidente, che risulterà R' =Rzt: ^-^ . / . V ^ R I 1 ±: ^ . 5— I . Sia un' altra altezza barometrica apparen- te a , e denotata per r la sua ridotta allo zero , si denoti per r la ridotta sua al grado g; sarà similmente r'=r/i±X.JL\ E quinci ^ = ; ~ g° ^y V = T- D'onde ne segue '' V ' — sS ■ 3S4 ^ 46 Indagini sul Barometro ec. Teorema 6.° Le altezze barometriche apparenti A di diversi luoghi , in diversi tempi , a differenti temperatnre se ridu- cansi ad un quahinque stesso grado g della scala del De-Luc, avranno così ridotte la medesima geometrica ragione tra lo- ro , che se ridotte fossero alla temperatura del ghiaccio fon- dentesi . E se dalla riduzione al grado g si trasportino all' altro comune grado g' , le nuove ridotte pure conserveranno la stessa ragione . Problema a.° Esprimere R' per A Neil' equazione R' = R i i it: ^ . j— \ si sostituisca l' espres- Sione di R = _^ g^ _v_ , e si otterrà R = -^ — -^ ^ — 80 ' 324 I et e- • ò-r dove si badi bene, che G è la temperatura particolare dell' altezza barometrica apparente A , e g la comune delle ridu- zioni R' . Problema 3.° Ridurre le altezze barometriche apparenti A allo zero di qualsivoglia scala data . Sebbene paja dover importare qualche difficoltà questo problema , pure facile via ad esso apre il Problema 1 .° . Si è trovato R' = R (i— ^-s^)- Si denoti per R" la ridot- ta allo zero della data scala , ed osservisi , che esso zero sa- rà un qualche grado g della scala del De-Luc . Tutto dun- que consiste in determinare g per le proprietà costitutive della data scala. Sia N il numero de' gradi che su di essa sì conta , o calcolando trovasi doversi contare dal ghiaccio fon- dentesi all'acqua bollente sotto la pressione atmosferica di poli. ay. Ogni grado di essa scala sarà =—^ di un grado della scala del De-Luc . Abbia poi essa scala il suo zero, numero n de' suoi gradi sotto , o sopra della temperatura del ghiaccio fondentesi; sarà la distanza di esso zero dallo zero del De-Luc = -j^ . n gradi della scala del De-Luc . Si faccia pertanto Del Sic. D. Pietro GossALr. 4? — "ir-'^ = — ^' ® ^^ conseguirà R = R ^ i rlr -jP . g^-j^e quindi il Teorema 7.° Le ridotte R" allo zero di qualsivoglia sca- la data avranno fra loro la ragione geometrica stessa che le ridotte R allo zero della scala del De-Luc . Problema 4-" Esprimere R" per A Sostituito il valore di R proverrà R" = q -^—^ Ma G è sulla scala del De-Luc . Or la temperatura di A sia sulla scala data a gradi ?n sopra o sotto lo zero di essa sca- la; questi gradi m equivaleranno in grandezza a gradi -^X m della scala del De-Luc . Ed essendo , come si è ricavato nel Problema 3.°, lo zero della data scala dallo zero del De- Luc gradi -^ . n della scala del De-Luc; la distanza dei gradi rìi della scala data dallo zero del De-Luc sarà. :=~{n±m) gradi della scala del De-Luc; dunque facendo G = tj { re :± m ) si avrà Problema 5.° Ridurre le apparenti barometriche altezze A a qualunque grado j? di qualunque data scala . Si rappresenti per R'" la cercata ridotta ; e per le cose sopra ricavate è manifesto , che al grado p della data scala corrisponderà sulla scala del De-Luc il grado -^ . (nzizjf) : laonde fatto g = -^ ( « :^z /? ) si avrà R"' = R(i±!i^._^),eperciòil Teorema 8.° Le ridotte R'" a qualunque grado p di qua- lunque data scala serberanno fra loro la ragione stessa, che le ridotte R allo zero della scala del De-Luc . I -t- n N V 3a4 ■)* I ± N n) v 324 {■^"-^- ^)-^ _^ Il ± m V I — j^ 324 48 Indagini sul Barometro ec. Problema 6." Esprimere R'" per A Sarà R'" Ecco pertanto un Teorema Generale. Siano quante, e quanto si voglia di- verse scale termometriche , e sia qualunque il grado su di ciascuna scelto a comune riduzione delle barometriche altez- ze apparenti , le ragioni delle ridotte in una scala qualun- que saranno le medesime, che le ragioni delle ridotte in al- tra qualunque scala . Si è dunostrata questa generale verità col calcolo . La l'agione fìsica si è , che ridurre le altezze barometriche ap- parenti da varie temperature affette ad una comune tempe- ratura altro non è , che ridurre il mercurio delle barometri- che colonne ad una medesima comune densità, e gravità specifica , sempre che la gravità specifica del mercurio sia la medesima , e comunque si varii si renda a tutte le barome- triche colonne comune , le ragioni tra le altezze loro rimar- ranno le stesse ricevendo proporzionali cangiamenti . Quindi spontanei ne fluiscono i seguenti corollarj . Corollario i .° Qualora dunque delle altezze barometri- che ad una stessa temperatura ridotte non si cerchi , e ad impiegare non abbiasi che la geometrica loro ragione, ogni riduzione è buona , ed è cosa indifferente appigliarsi ad una, o ad altra . Corollario a.° La tavola di una riduzione, come quella della riduzione alla temperatura del ghiaccio fondentesi, for- nisce ad un tempo le ragioni geometriche di qualunque altra riduzione, non solo a qualunque giade dell'ordinaria scala del De-Luc , ma eziandio allo zero , o qualsiasi grado di al- tra scala qualunque . Corollario 3.° Per trovare le ridotte di una riduzione qualunque e fijrmarne la tavola , basta moltiplicare le ridot- te R della riduzione alla temperatura del ghiaccio fonden- tesi , E MA.TEM-a.TICA Jic ~!ftaM.T.X^.f>.4i TcLV-J" PARTE ^^A-TE^LA.TICA Del Sic. D. Pietro Cossali . 49 tesi , per una quantità costante somministrata dalla rispetti- va forinola . La formola R'" = R / i ±: ^^-2 . _L. | le comprende tut- te, essendo la generale del Problema 5.°, e restringendosi a quella del Problema 3." con fare /? = o , ed a quella del Problema i ." con fare N=zQo,n:=o,p = g. vjNarjr,^\»' \ Tomo Xf' 5o FENOMENO DE' BAROMETRI NEL LORO SCUOTIMENTO O TRASPORTO DA LUOGO A LUOGO . MEMORIA Del Sic. Ab. Vincenzo Chiminello . Ricevuta li 0,7 Ottobre 1809. .,G (omunemente credevasi, che un Barometro traspor- tato senza scuotimenti da luogo a luogo , o senza muoverlo di sito, percosso leggermente, od agitato nella solita sua so- spensione, lasciato poi quieto immediatamente segnasse come prima la vera altezza , ma io trovai che ciò non è vero , se non dopo un intervallo di tempo . Un Barometro trasportato da un luogo ad un altro nello stesso piano subito dopo appeso segna un' altezza di una linea e più maggiore della vera , e poscia impiega un' ora e mezzo , e talor due a rimettersi a livello d'un altro Barometro col quale prima si accordava perfettamente ; un Barometro scosso od agitato , quando è in istato di ascesa segna immediatamente le altezze piìx gran- di delle vere di a5, di ^o, g talor di 80 cento sessantesime di linea ( secondo la capacità del Tubo ) ; e quando è in istato di discesa le segna più grandi di io, di ao, di 3o soltanto; e il tempo per rimettersi a livello col Barometro di comparazione e nell' uno , e nell' altro caso è di un' ora pò più, pò meno. E questo un Fenomeno, che ho scoperto nell'anno 1778 in occasione di altre mie osservazioni, del quale ne feci un semplice cenno in una mia memoria inse- rita nel giornale di Rozier del mese di Luglio 1779 senza produrre allora le osservazioni , che me lo hanno fatto co- noscere . Del Sic. Vincenzo Chibiinello . Si a. Ma dopo la pubblicazione di quella Memoria si destò della curiosità presso alcuni , e vi fu chi pose attenzione a verificare il medesimo fenomeno ; alcuno lo riconobbe vero senza muovere alcuna difficoltà, alcuno ne dubitò, ( avendo fatta la sperienza come penso con qualche cattivo Barome- tro ) , alcuno finalmente non negando il fatto assolutamente trovò da contraddire sulla spiegazione della sua causa, e tra questi ultimi vi fu l'immortale P. Beccaria, il quale al- lora mi scrisse che si vorrebbe { queste sono le sue precise parole ) fare l'esperienza in stagione secchissima colla can- na del Barometro che non toccasse nulla e fosse politissima . 3. Io avevo adottata la spiegazione, che la causa del Fe- nomeno fosse l'elettrizzamento del Mercurio contro le pareti del Tubo, e il P. Beccaria invece pensava, che l'elettrizza- mento dovesse produrre l'effetto contrario . Io feci già subito l' esperienza richiesta dal Beccaria , e r effetto fu ancora tale , quale lo avevo osservato nelle altre mie numerose sperienze , come vedremo piìi sotto , ed ero contento di questa chiara conferma , che fu eseguita alla presenza di molti Dotti . Ma ora considerando, che un fatto fisico j qualunque sia, bene stabilito e conosciuto in tutte le circostanze può sempre fare iscoprire dei rapporti alle gene- rali Leggi della Natura , e delle regole in pratica ; sebbene più cose dappoi rapporto a' fenomeni del Barometro siano state prodotte , riputai non inutile , benché dopo 3o anni , di raccogliere ed ordinare tutte le sperienze da me allora fatte in questo proposito , con le circostanze loro , affinchè meglio si conosca il fenomeno , e si possa giudicare della sua causa . 4- L'eccitamento, che allora m'indusse a far l'esperien- za che or metto alla luce, fu l'avvertenza del Signor De Lue ( Annot. a, b del § 4^6 Cap. I Parte II delle modific. dell'Atmosfera ), che prima di osservare il Barometro biso- gna percuoterne un pochino il tubo per rompere l'adesione del mercurio , onde questo si livelli alla vera altezza ; e in 5a Fenomeno de' Barometri ec. conse2;uenza dì tal avvertimento mi venne la curiosità di esplo- rare, qual sia la quantità di quest'adesione, e mi parve che ciò si potesse facilmente rilevare con due Barometri di tubo e recipiente di pari dimensioni indicanti sempre un'altezza comune , o due altezze di costante differenza , lasciandone uno quieto, e percuotendo od agitando l'altro, e così feci, ed ecco tra molte alcune delle osservazioni dell'anno 1778. Avverto , che i Tubi dei due Barometri , con recipiente inferiore a figura d'ampolla largo linee 10, erano per tutta la lunghezza della canna d'una linea di diametro, ed erano le canne ugualmente lunghe. Li chiamo A, B. Erano appesi nella medesima stanza, onde non fu bisogno di correzione per il calore . Mercurio Ascendente . Ora A. Quieto B. Quieto B. Percosso. 1778. a Giugno 4 7 9 IO 6* 0' . m 6 45 • ni 7 ao . m 8 0 .in 9 o.m 37 . IO , ioa 27 . IO , 102 27 . IO , io5 27 . IO , 1 12 27 . IO , 1 19 27 . IO, io5 27 . IO , 100 27 . IO , 102 27 . IO , I IO 27 . IO , lai 27 . IO , lag 27 . IO , 127 27 . IO , i3a 27 . IO , i34 a7 . IO 5 145 Mercurio Discendente . Ora A. Quieto B. Quieto B. Percosso. 1778. 3 Giugno 0 6 8 i'' 0'. s a i5 . s 3 3o . s 4 4^» • s 27 . 10,070 27 . 10,061 27 . 10,048 27 . IO ,034 27 . IO ,068 27 . io,o63 27 . IO ,o5o 27 . IO ,o34 27 . IO ,080 27 . 10,070 27 . IO ,o5g 27 . IO ,046 5. Da queste osservazioni apparisce, che l'alzamento del Barometro percosso , quando il Mercurio ascende è di 2$ centosessantesime di linea, e di 10 centosessantesiine quan- do discende, mentre da me si aspettava secondo l'avverti- mento di De-Luc di vedere un'ascesa nel primo caso, e una discesa nel secondo . Si vede peraltro , che l' adesione vi ha una buona parte, perchè nel primo caso l'effetto è maggiore- Del Sig. ViiNfCENZo Chiminello . 53 6. In quell'anno poi medesimo facendo io dei tentativi per rilevare la differenza barometrica dal piano alle cime di alcune montagne, mi accorsi dell'altro effetto consimile assai maggiore 5 cioè dell'alzamento barometrico che segue per il trasporto da luogo a luogo. Varie discrepanze mi è accaduto di osservare per una elevazione stessa dal medesimo piano , benché praticate fossero le debite correzioni col Termome- tro , né cangiamento d' atmosfera fosse nato in piano , o in rima dei monti; ma l'effetto veduto per le osservazioni pre- cedenti m' insinuò l' avvertenza di lasciare in riposo per un' ora e mezzo, o due il Barometro portato sulla montagna, e così dopo in ogni tempo ritrovai la differenza Barometrica tra il basso e l'alto a un di presso la medesima, similmente come lo mostrano queste osservazioni . 1778. 28 Giugno :0re4 mat.Bar. A quieto 2.7 . io, o35 B quieto 27,10,037 A in quiete B portato e riposto. Óre4*ic'mat. 27.10,085 := 27.11,085 4 20 27 . IO , o36 =27 .11, 000 5 o 27.10,037 =27.10,145 5 3o 27.10,040 =27.10,042 Il Barometro B adunque per il trasporto si alzò una li- nea e un terzo, e dopo un'ora e mezzo dalla prima osser- vazione si é rimesso d'accordo col Barometro A . 7. Ma dopo queste sperienze , trascorso qualche tempo, mi venne sospetto che il Fenomeno fosse stato particolare degli strumenti che adoperai , e perciò risolsi di fare delle nuove osservazioni con attenzione più rigorosa , adoperando Barometri di varie figure, e Tubi di varie dimensioni; e so- no questi i risultati . Un Barometro con tubo immerso in tazza larga linee 18 di cui la canna larga due linee j , e la distanza vacua dalla 54 Fenomeno de' Barometri ec. superficie superiore del Mercurio al fornice linee 76 , ad al- tezza media di pollici 28 percosso , Ascendente si elevò centosessantesime di lin. = 53 Stazionario = ^7 Discendente = ao Bai'ometro con recipiente ad ampolla il cui diametro della canna linee i ^ percosso in istato di ascesa si elevò ^ 4° Stazionario = 3o Discendente = 7 Barometro a Tubo comunicante avente la canna di diametro di a linee percosso in istato ascendente si elevò lóo."" :^ 4^ Stazionario = 17 Discendente = 5 Barometro a Tubo comunicante avente la canna di diametro di linee i ^ percosso in istato ascendente si elevò 160."" = 36 Stazionario = i5 Discendente = 6 A queste aggiungerò altre osservazioni fatte due an- ni dopo, cioè in Gennajo 1781 , con due Barometri portati- vi di recipiente ad ampolla; l'un Barometro avea la canna di diametro di linee 3, e il recipiente nella maggior larghez- za linee 18; l'altro Barometro avea la canna larga linee a | con recipiente nella maggior larghezza di linee i3 ^. Il pri- mo percosso che fu si elevò Ascendente 160.'"* . = yS Stazionario . . . = 48 Discendente . . . = a8 Il secondo poi si elevò , Ascendente . . . == 67 Stazionario . . . := 40 Discendente . . . = 17 8. Ma vengo all'esperienza suggerita dal Beccaria. Tre condizioni vnole il sagacissimo Fisico per far bene queste prove : Stagione secchissima : canna del Barometro che non Del Sic. Vincenzo Chimi nello . 55 toccasse nulla : e canna politissima . La terza condizione vi era per quanto potè procurarla una cura diligente nella co- struzione dell' Istrumento. Il tubo di questo Barometro avea un diametro di linee a f, il recipiente inferiore ad ampolla un diametro di linee i3 ^. Per la seconda condizione io pen- sai di sospendere una canna staccata dalla tavoletta con un filo forte di seta legandola con un tale artificio, ch'essa te- nesse invariabilmente la direzione perpendicolare , e così fe- ci. Per cogliere poi un tempo certo di stagione secchissima, eh' era la prima condizione , non mi era così facile perchè allora mi mancava l'Igrometro, e perciò mi convenne aspet- tarla molto per avere altri segni meteorologici che me la in- dicassero; ma finalmente addì 3i Agosto 1780 di mattina mi parve la temperatura dell' aria opportuna per l' esperienza . Spirava il vento Greco-Levante asciuttissimo a senso della cute , le carte su' tavolini erano elasticissime , le funi rila- sciatissime , una polvere ardentissima ingombrava l' aria , e ciascun ben si accorgeva senza riflettervi della estraordinaria siccità in quelle ore . Ma volli avere dei testimonj oculari che vedessero l' esperienza ; e uscito di casa con fretta , tro- vai quattro de' nostri Signori Socj Ab. Costa, Arduini , Ab. Marinelli, e Ab. Cerato, che gentilmente subito mi favori- rono, e de' quali il primo vive ancora; ed ecco l'esperienza con le circostanze, e li risultati . GÌ' istrumenti adoperati furono un Barometro con tubo immerso in tazza larga linee 18, di cui la canna larga due linee e un quarto , che nominerò A ; un Barometro ad am- polla il di cui diametro nella maggior larghezza linee i3 |, e la canna d' un diametro linee a f , che nominerò B ; due Termometri Reaumuriani concordi; il vento fu sempre EN E in tutto il tempo dell' esperienza . Ore i0.3omat. ^i . lOmat. Termom. all'aria 17 18 Termom. in camera IO IO Baromet. A quieto 28.5 , 00 a8.4,i5o Baromet. B quieto 28.5 ,080 Barom. B. percosso suo alzamento 28.5 , 120 I 0 .0 5 040 38 .5 ,07o| 56 Fenomeno de' Barometri ec. Il Barometro B dunque, percosso che fu, segnò un quar- to di linea più che prima in istato di quiete , e dopo 4^ minuti dall'osservazione si trovò d'accordo col Barometro A a cui si era comparato . Nel giorno seguente poi i Settembre , essendovi ancora siccità d'aria, replicai l'esperienza alla presenza del chiaris- simo Toaldo , e di cospicui personaggi veneti, e l'effetto fu ancora di un quarto di linea . Volli di più vedere stando la canna barometiica ancora cosi sospesa, se in giornata d'aria umida segue l'effetto medesimo; e addi 4 Settembre essendo molto umido, e piovendo, ed abbassandosi il Barometro, alle ore 2.40 della sera toccata la canna, essendo l'altezza ba- rometrica 28 . I , o4c, dopo il tocco la trovai subito a8 . i , 070, cioè cresciuta di un quinto di linea , effetto in vero un po- co minore, ma tale forse, perchè il Barometro era in istato di abbassamento . 9. Ma qual è mai la causa intrinseca di tal fenomeno? In principio ebbi timore , clie la causa del prolungamento della colonna del Mercurio fosse l'ingresso di qualche por- zione d'aria, e che per lo scuotimento successivo insensibil- mente si venisse a disordinare il Barometro ; ma questo ti- more poi mi svanì ponendo attenzione al fatto . Io vidi sem- pre nei buoni Barometri , che allungata la colonna del Mer- curio per li primi piccoli colpi , e di poi seguitando a per- cuotere non si allungava maggiormente, e vidi che il Barome- tro percosso, trascorso qualche tempo, tornava d'accordo con altro Barometro lasciato in quiete; e perciò ho creduto, e cre- derei, che questo sospetto fosse da escludersi assolutamente . 10. Dopo dunque molte comparazioni, ed esclusioni di pensieri , che io feci in questa ricerca, finalmente mi è par- so , che la causa del fenomeno altro non possa essere che i;n moto meccanico^ o fisico^ o misto di tutti e due^ imme- diatamente e necessariamente derivante dallo scuotimento medesimo , che si dà all' istrumento . Per moto meccanico io intendo il dislogamento delle particelle mobilissime del Mer- curio , Del Sic. Vincenzo Chiminello . 5j curio, per moto fisico l' elettrizzazione della massa del Mer- curio medesimo. Il dislogamento delle particelle del Mercurio può considerarsi in due sensi . Si può r .° immaginare , che fatti maggiori gì' intervalli di strato in strato dal basso alla cima della colonna del Mercurio senza intei-no disordine di luogo delle particelle stesse che formano gli strati medesimi, <{uindi segua un' allungazione simile a quella di una corda sonora fortissimamente tesa. La corda cosi tesa, toccata che sia , oscilla per qualche tempo; e sino a che durano le oscil- lazioni essa è più lunga di quello era prima . Così il Mercu- rio nella canna del Barometro, essendo in equilibrio coli' at- mosfera, egli è come se fosse una corda tesa, perciò toccata la canna, si mette in oscillazione, le oscillazioni durano qualche tempo , bencliè non si scorgano ad occhio nudo , e frattanto la colonna del Mercurio comparisce piìi lunga . Ma a questa spiegazione elegante data da un uomo dottissimo , qual era il Professore Nicolai , la quale mi piaceva , ho una difficoltà da opporre che nasce da una circostanza del fatto rimarcata di poi . Dopo i colpi dati al Barometro si vedono anche immediatamente , e quasi instantaneamente delle mi- nime oscillazioni , ma queste cessano anche subito a vista d'occhio e di lente, e sussiste per qualche tempo lo stesso allungamento della colonna del Mercurio . II. a.° Piuttosto adunque, che sì fatta spiegazione, po- trebbe considerarsi il dislogamento delle particelle del Mer- curio come una totale sovversione dell'ordine che tenevano tra sé stesse, e degl'intervalli dei loro strati; similmente quasi come succede nella formazione del ghiaccio per la sovversio- ne, e l'increspamento di tutte le molecule dell'acqua, sic- come spiega il Signor de Mairan . In cotale disordine di tut- ta la simmetria, dirò così, del volume del Mercurio, cia- scuna particella passando da luogo a luogo lascia, e produce attorno di sé degl' interstizj maggiori di quei di prima, e CIÒ è anche fisicamente necessario per una facilità , e pron- tezza sì grande di movimento . Quindi la colonna del Mer- Tomo XV. 8 58 Fenomeno de'Barometbi ec. curio non potendosi dilatare interiormente, ed ai lati, la sua espansione si spiega all'alto. L'equilibrio poi della colonna del Mercurio coli' Atmosfera non alterandosi punto, perchè il peso premente di quel volume resta il medesimo , perciò l'inerzia concilia alle particelle una temporanea indifferenza a rimettersi ai primi luoghi, onde seguita a vedersi per qual- che mezzora e più l'altezza del Barometro alquanto maggio- re della vera ; e in questa spiegazione mi trovai d' accordo con uomini intelligentissimi delle cose fisiche, tra' quali poi lo stesso Nicolai . la. Io dissi poi, che la causa del fenomeno potrebbe es- sere anche un moto fisico, e sarebbe questo l' elettrizzamen- to del Mercurio suscitato mediante la scossa od agitazione del Barometro , e questa è la spiegazione che altrove ho da- ta . Tutti i fluidi elettrizzati diventano più scorrevoli , e va- porosi, in conseguenza sono più dilatati, e vi sono anche dell'esperienze che un Barometro elettrizzato si alza due li- nee, circa, e perciò è naturale, che un Barometro venendo scosso od agitato , il Mercurio si abbia ad elettrizzare me- diante lo sfregamento contro il tubo . i3. Ma all'opposto, che per la sola percussione del Ba- rometro debba la colonna del Mercurio allungarsi qualche poco, ciò è in qualche contraddizione coli' esperienze allora recenti del Beccaria : inferisce il Beccaria, che in quell' elet- trizzamento li pori del vetro dovendosi dilatare, il mercurio per cagione dell' uscita laterale del fuoco elettrico , invece di ascendere , piuttosto dovrebbe discendere ; e ciò , posto vero l'allungamento della colonna del Mercurio, non sareb- be che la differenza degli effetti delle due cause meccanica, e fisica . Ma salva la verità dell' esperienze del Beccaria , sen- za perdere un momento di stima a sì grande Fisico, io direi, che in questa quistione le sue esperienze non lo provano, perchè il fuoco elettrico prima di perdersi per li pori del vetro , che gli è resistente , deve propagarsi per tutta la co- lonna del Mercurio, eh' è un perfetto conduttore; il momen- Del Sic. Vincenzo Ciuminello 59 to di questa propagazione , per infinitesimo che sia , è sem- pre diverso dal momento dell'uscita interiore del fuoco per li pori del vetro ; perciò sono due azioni separate . Quando adunque il fuoco elettrico abbandona il Mercurio, la colon- na nel Tubo ormai dilatata non può subito per forza d'iner- zia restringersi al suo primo volume , perchè la tendenza delle particelle del Mercurio a restituirsi non è così pronta in quello stato d'inerzia, (a) 14. Io penso dunque, che abbiasi a concludere, essere la causa dell'aumento dell'altezza del Barometro consecutivo alla scossa od agitazione di esso una causa mista, cioè il di- slogamento delle particelle del Mercurio insieme coli' elettriz- zazione del medesimo fluido . Tutte e due queste azioni so- no conseguenze immediate di quei piccoli colpi. Che poi nei Barometri volgari di Mercurio non bollito non si veda effet- to , la ragione è chiara : il Mercurio essendo impuro , non hanno le sue particelle quella mobilità , così pronta come quelle del Mercurio bollito , e depurato , né può ricevere una elettrizzazione così forte, perchè misto di bolle d'aria, di vapori umidi, e di particelle eterogenee, e se qualche minimo aumento della colonna sta per ispiegarsi, questo vie- ne represso tosto dall'elaterio della porzione d'aria scappa- ta nel vacuo del Mercurio non defecato . i5. Resta a dire una parola dell'allungamento, che si osserva della colonna dopo il trasporto dei Barometri da luo- go a luogo; ma ciò si spedisce coli' applicazione di quanto si è detto; altra differenza non v'è se non che l'effetto è mag- giore. Il trasporto è un'agitazione più forte, e dura più lun- go tempo; dunque la sovversione delle particelle del Mercu- rio, e l'elettrizzazione in questo caso sarà più forte, e produr- ra necessariamente un effetto più grande , qual lo si vede . (<*) J'ai fait communiquer plu- •levirs fois mon grand Conducteur pen- dant l'orage avec le Mercure de mon Barometre; des l' instant de la communi- cation, il sautoit aussitòt d'un (piart de lignei lorsfiue la ccmmunicationétoit in- terrorapue il raettoit une heure à rede- scendre au point où il étoit auparavant. 11 P. Cotte Estratto delle osservazioni Meteorologiche del mese di Giugno 1780 fatte a MontmoTency , Journal dcs Scavans , Oct. 1780 . 6o SUPPLEMENTO ALLA DOTTRINA TORRIGELLIANA SOPRA LE COCLEE MEMORIA Del S I G. I E T R O E R R O N I Ricevuta li ag del 1810. orricelll il primo di tutti sino dairanno M.DC.XLIV adoperando gli indivisibili curvi estese con elegantissima sintesi l'applicazione della Geometria alla ricerca della mi- sura dei solidi cocleari , eh' ei mostrò essere eguali a' solidi annulari rotondi , i quali poi si riducono facilmente a solidi pieni ^ come le armille a circoli interi (i)* . I fili o elementi delle coclee^ cioè l' elici ossiano spirali cilindriche^ meritarono la considerazione geometrica nelle prime età della Scienza delle grandezze continue^ come può riscontrarsi nel commen- tario di Proclo Diadoco dove egli nomina specialmente tra gli Autori, che ne fecer parola, Gemino di Rodi ed Apollo- nio Pergéo (2,) . E hen a ragione , perchè diversamente dalla spirale piana o voluta di Conone (3), dalla sferica rammen- tata da Pappo (4) , dalle spiriche di Perseo (5) , dall' elica d'Archita (6), o altre curve così dagli antichi appellate, la cilindrica è tale, che quantunque dotata di doppia curvatu- ra, ha la proprietà d'essere uniforme in ogni sua parte, si- (*) La moltiplicità delle Note ha indotto il Signor Cavalier Presidente a senso dall' Art. XIII dello Statuto a sopprimerle, di concerto anco coll'egr»- gio Autore: siccome però questo ha mo- strato desiderio di averle nelle 5o co- pie , che la Società distribuisce ai Socj attuali, COSI si lasciano sussistere li nu- meri che le chiamano . n Vice-Segretario . Del Sic . Pietro Fehroni . 6 r mile per questo lato alla retta ed alla periferìa circolare , dalla combinazione o mescolanza delle quali due linee resul- ta . Fuori però di quest'unica prerogativa, che collocandola nella terna delle linee dette similari la fece da tutte l'altre distinguere (7) , i Geometri Greci non attesero a contempla- re siffatta spira sennonché a riguardo della meccanica com' elemento della vite (8) , annoverata la quinta tra le macchi- ne semplici (9) quantunque volte alla coclea maschia o in rilievo s'univa la femmina scalpita in incavo congenere, o quando il verme della m-dschìa. perpetua s'incastrava nei denti tagliati in iscorcio d'una ruota dentata nei così detti pan- crazj (io). I monumenti dell'antichità manifestano che Ar- chimede ( forse dietro alle tracce degli Egiziani ) adattasse la stessa coclea, ma tabulata., anco all'elevazione dell'acqua (11), destando meraviglia grandissima in tutti coloro, che n'osservavano l'andamento, né sapean mai concepire come l'acqua, sempre scendendo per archi idrofori, disgiunti o isolati, di giro in giro salisse difatto dalla bocca inferiore alla superiore , che a guisa di fontana intermittente la ver- sava alla fine nel ricettacolo destinatole (12). Né malgrado i suoi inconvenienti lasciò di sorprendere i Fisici sperimen- tatori l'istessa elice tubiforme avvolta nell'età nostra attorno al tamburo o timpano d'una ruota, qual'è quella della mac- china ingegnosissima di Veltman o Wirtz, che chiamata in soccorso anco la forza centrifuga alza parimente l'acqua da un sei-batojo o canale ( forse più del recentissimo Ariete idra- ulico ) , e la porta dentro d' una conserva a riprese ( 1 3) . Ma ommettendo di trattenermi su tutto quanto appar- tiene alla coclea dipendentemente dalla Dinamica e Idrodi- namica, né tampoco fermandomi a rilevare la falsità della statica della vite, che si legge nel libro Vili." ossia ultimo delle collezioni di Pappo (i4), e la mancata o smarrita teoria della vite idraulica, che dopo l'opera postuma di Guidubal- do Del Monte venuta alla luce nel M.DC.XV a vicenda il- lustrarono durante il secolo scorso superiormente agli altri 6i S U 1' P L E M E N T O eC . Parerit (i5), Phot (ló), Eultr (17), e Daniello Benioulli (18), la specie che alcuni dei molti encomiatori del Torricelli , la più parte de' di lui biografi (19), e segnatamente gli enci- clopedisti e lo Storico universal delle matematiche Montucla (ac) [ per non dire la breve Cronica di Bossut (21) ], mal- grado la lode fattane amplissima da Roberval (22), 0 abbiano affatto taciuta, o mal enunciata la maniera facile e nuova di conseguire la dimensione della solidità delle coclee . Quel Toscano geometra ingegnosissimo e sommo pe' tempi suoi, nato ne' monti dell'Emilia, istruitosi in Faenza ed in Roma, e morto assai giovine cinque anni dopo di Galileo, col qua- le a commendazion del Castelli avea convivuto familiarmente i tre mesi estremi nella suburbana villa d'Arcetri (aS), e- spose con tutta chiarezza e semplicità il suo ritrovato insiem con altre bellissime proposizioni geometriche , e verso il M.DC.XL, o in quel torno, per mezzo dei Minimi Nicerou e Mersenno, con cui era in carteggio, partecipollo ai più in- signi matematici della Francia (^4) , d'onde presto pervenne alla Gran Brettagna (a5) . Lo arricchì poscia di poche , ma pregevoli giunte , che per la morte immatura del Cavalieri (26), la noncui'anza del Ricci (27), e quinci la gelosia del Viviani (28), ad onta delle premure incessanti di Ferdinando II." e Leopoldo de' Medici rimasero sempre inedite nel MS.° Codice originale , che dalla Libreria Palatina passò a quella dell'Imperiai Museo di Firenze, ove tuttavia si conserva (29). Nulla però in questo Codice vi s'incontra, che risguardi o afl'ezioni particolari dell' e//c/ avvolte attorno un Cilindro, o misura dell'aree di Zone elicoidi, o delle superficie spiral- mente contorte terminanti le Coclee . Havvi solo spiegato il modo di rintracciare il valor della superficie, che circoscriva un anello ( chiuso od aperto ), le cui sezioni sono le spiri- che antiche, e perciò sia generato dalla rotazione d'un cir- colo intorno a un asse posto nel medesimo piano (3o) ; dal che si rileva che Torricelli prevenne su tal proposito il Ta- cquet, cui Pascal sembra dare il primato della scoperta (3i), Del Sio. Pietro Ferroni . 63 pubblicata nel libro o parte IV." e V." Cylìndrìcorum et An- nularium del M.DC.LI e LIX (Sa) , vale a dire almeno quattr'anni in circa dopo mancato il primo di vita (33). Die- tro all'autorità di quel Codice ( noterò di passaggio ), e dei MSS.» del Lorenzini, parte esistenti nella Fiorentina Biblio- teca pubblica Magliabecana (34) , e parte tra gli altri del Grandi in quella dello Studio di Pisa (35) , sarebbe agevole impresa rivendicare ai Geometri della Toscana pareccbie sintetiche invenzioni sublimi sopra le Curve , e loro varie attenenze; invenzioni finissime, che si credono esotiche, ma doverebbero ad ogni buon dritto servir d'appendice alla cor- ta Lettera di Timauro Alitiate, ossia Carlo Dati, concernente soltanto il Barometro, e la Cicloide (36), non meno che alla manchevole Storia letteraria d'Italia del Tiraboschi (3?) . Procedendo il secolo XVII.° , ad eccezione dei piani al- lora àettì flessuosi^ mentovati altresì da Pappo (38), poco o niente fu aggiunto dal Gesuata De-Angelis al già discoperto dal Torricelli in materia della cubatura o solidità delle Co- clee, e delle qualificazioni centrobariche alle medesime com- petenti (39) ; né altro Italiano , eh' io sappia , prese a tratta- re di siffatto argomento . Pascal tra i Francesi presso al M. DC.LIX considerando meno generalmente del Torricelli i Triangoli cilindrici (4o) , assai più semplici delli sferici , per- chè svolgibili in piano, e se terminati àaW' Elìca rettilinei, immaginò e ricubò un Solido nuovo da lui chiamato Escalier (40 o solidum scalare da Wallis {4":ì), colla base però circola- re, colle altezze progressive in eguaglianza cogli archi sottopo- sti, e solamente colla superior superficie in qualche sorte a- nalogo al Cocleare: il prenominato Wallis (43) e Wren (44) si distinsero quasi contemporaneamente nell'Inghilterra o ripe- tendo o di poco avanzando gì' insegnamenti Torricelliani ; sennonché l'ultimo, noto eziandio nella Storia delle Belle Arti per essere stato l'Architetto e Ornatista del Tempio di S. Paolo di Londra emulo della Basilica Vaticana (4-5), spin- se le sue ricerche geometriche ( presone quasi dalla coclea , 64 Supplemento ec. xox^la (46)5 limaqon del laberiiito dell'orecchio umano il iiiodelio ) anco sopr'una Coclide piramidata , e spiralmente ritorta intorno ad un Cono (47). In questa foggia la Geome- tria s'accostava semprepiìi alla Natura, come quella che, osservandolo tra i primi speculatori ex professo Sulzer (4^^) , e Hogarth (49)5 nelle immense specie e varietà delle chioc- ciole, testacei, conchighe, sì viventi che fossili, e massima- mente dei corni d' ammone^ de' quali è stata cotanto prodiga quanto dei grani d'arena, sino al segno di mostrarne all'oc- chio dogli Orittografi in un pugno di terra millioni di mi- croscopici (5o) , e nelle vaghissime strie o scannellature po- listrofe delle lor valve affetta soprattutto spirali rastremate o affusate (5i), come gli antichi copiarono nelle colonne degli ordini piìi delicati (Sa) e Dante nello spartimento fantastico dell'Inferno, ed a differenza delle vitalbe e trachèe delle piante perfino le affaccia nei vortici acquei o turbinosi atmo- sferici , nel moto apparente del Sole , nel serpeggiar delle folgori , nel tipo istesso della bellezza delle forme animali , ed in somma nell'universalità dei tre regni del Mondo fisico tende più al tortuoso che al retto , né manca d' esservi di- sgraziatamente proclive eziandio nel morale. Comunque però inoltrata si fosse la considerazione dei corpi geometrici co- cleìformi , niun matematico di detta età mai cimentossi ad as- segnarne le supeificie . Aveva l' Huygens di già compianati , senza comunicarne la prova , i contorni o perimetri dei Co- noidi e Sferoidi (53) , alla qual misura non era giunto colla mirabile sua perspicacia il gran Geometra di Siracusa (54); e dcesi poscia a Barrow (55), Fermat (56), e Parent (57) il perfezionamento non solo , ma olti'acciò il metodo generale per conseguire la dimension delle superficie di tutti i solidi generati dalla circonvoluzione di qualunque linea di semplice curvatura attorno una retta (58) . Anzi , siccome Archimede, oltre a non aver fatto parola del Solido Iperbolico-acuto Tor- ricelliano (59), lasciò parimente d'attendere tra i corpi ro- tondi nati dal girar delle Coniche al Cilindroide, o Timpano iper- Del Sic. Pietro Ferroni . 65 ipeil)ollco cosi nominato, e malgrado l' autorità di Fontcnel- le (()(j) avanti di Wallis descritto dal Cavalieri (6i), e taciu- to nulladimeuo dall' Huygens , la superficie di quest'ultimo Solido misuratasi da Parent (6a) aprì in virtù d'un sottile ritrovamento di Wren (63) la nuova strada , che conduceva a sottoporre alla Sintesi perlomen le più semplici tra le su- perficie formate in guisa di tele , o in altri termini assomi- gliantisi ad un tessuto di rette linee . Tali eran forse , stan- dosi all'etimologìa del lor nome, le Plectotides dei Geo- metri Greci , rammentate da Pappo dietro all' opere oi'a perdute di Filone da Tyane e Demetrio Alessandrino (64) ; né son tampoco dissimili la superficie ideata per descri- vere la Quadratrice (65).^ quella del Prismale immaginato dal Grandi (66), l'altra della nuova Trattoria, e sua generatrice insieme , considerate nel Tomo V degli Atti antichi dell* Accademia R. di Berlino (67) , le superficie che proverreb- bero conducendosi dal perimetro delle sezioni-coniche de' Ci- lindri , Coni , e Conoidi le normali agli assi di siffatti corpi rotondi (68), e tutte in generale dei corpi gauches ed amorfia rispetto ai quali , e definitivamente alle superficie loro , ap- pellate sviluppabili , o con isvolgerle compianabili, sul decli- nare del secolo scorso Euler (69), Tinseau (70), Monge (71), Bossut (72), ec. si diedero ad applicarvi l'Analisi degli In- finiti . Ben è vero che con 1 mezzi possenti somministrati per avventura dal Calcolo Infinitesimale, o sivvero delle funzio' ni analitiche derivate e primitive ( che concesso lo sviluppo d'ogni qualunquesiasi funzione in serie procede immediata- mente dalla regola del binomio di Newton ), data in genere V equazione alla superficie se ne deduce immantinente il va- lore , sciogliendola in elementi di secondo ordine , e doppia- mente integrandoli . Così operaron difatto sin dalla nascita della nuova Analisi Leibnitz (78) e i due Bernoulli seniori (74) quando appigliaronsi a decifrare l'Enimma Fiorentino della Volta-a-vela quadrabìle\ così in processo di tempo l'A- Tomo XV. 9 66 Supplemento ec. nonimo nei Supplementi agli Atti degli Eruditi di Lipsia (yj) e Bezout nel suo Corso (76), con tutti quelli che poi segui- rono , o Elenientografi o Trattatisti moderni , i precetti det- tati dall' Euler tostochè prese a generalizzare il Problema di Firenze usando del doppio segno d'integrazione (77). Conse- guenza di queste formule universali sarebbe subito il caso particolare della dimensiou delle superficie di tutte le Coeli- ti , e infra i moderni il primo a specificarle è stato il Frisi nel suo Trattato d' Algebra e Geometria-analitica (78) ; con- ciossiachè Caraccioli avanti di lui nel M.DCC.LV (79) nuli' alti'o avea fatto se non se inutilmente ed erroneamente sag- giare il Calcolo per investigarne la sola di loro solidità, 01- mai dopo più d'un secolo conosciuta. Racconta l'istesso Frisi nel precitato volume (80), e più diffusamente in una lettera posteriore diretta a Fabroni (81), che tra le speculazioni inedite del Perelli eravi ancora quella d'essersi applicato a cercare per via sintetica , cora' avea in uso, alcune delle più ovvie tra le superficie elicoidi , ricavandone preziosissimi re- sultati . Io dunque, che largo estimatore di Torricelli e Perelli, sagacissimi entrambi nel magistero della più forbita e recon- dita Geometria ( il primo de' quali proverbiavasi ancora vi- vente colla versione di Evangelista Torricellius nell'anagram- ma Eìi virescit Galilceus alter , il secondo anuniravasi come raro e valente ingegno per ricondurre l'antica semplicità ed eleganza delle geometriche dimostrazioni nelle più difficili e astruse teorie ) , non ho altro divisamente fuori di quello di compiere una dottrina cominciata con sì favorevoli auspicj in Toscana , passo adesso a satisfare all' assunto propostomi con indicarne i sommi-capi soltanto, e tacerne, mentre sian facili e pronte , le prove . Già dal mio Opuscolo intitolato Oda Perelliana (82) dietro alle indicazioni del Frisi e alle proprie ho trascritte e pubblicate in diversi tempi parecchie Proposizioni di Perelli, uniformandomi al di lui gusto nel di- mostrarle . Giova citare tra l'altre la vera indole della Logì- Del Sic. Piktro Ferroni . 6 stìca (83) od Emiperbola (84) , onde ricavasi la spiegazione d'un paradosso di Boscovicli (85), la specie di Lemniscata non avvertita come terza projezione ortografica del perime- tro della vela celebre del Viviani (86), V Ipocìloìde non rav- visata dal Radicati (87) , le singolari prerogative d' un' ele- gantissima varietà delle Spiriche (88) , lo scompartimento o riunione di due o più movimenti rotatorj simile a quella de^ progressivi (89) ^ la vera curva in cui si piegano gli archi del ponte di Firenze disegnato dall' Animannati (90), e nella soggetta materia la spirale iperbolica projezion stereografica della cilindrica (91), come stereografia della conica l'elice sempre analoga all' Apolloniana Iperbola referita agli asinto- ti, ed icnografia la spirale aritmetica o Archimedèa, che do- vrebb' essere per avventura, in cambio d'un complesso di- scontinuo d'archi circolari a più centri, la voluta grande del Capitello Jonico insieme coli' altre piccole imitanti i vìticcj de' vegetabili , le quali adornano i Corintj e Compositi nell' Architettura Gi-eco-Romana (92) . Intendo parlare d' elici co^ niche e cilindriche regolari , in cui cioè si verifichi in gene- re uniformità o equabilità di moto nel generarle sì circolare che rettilineo, o si combinino i due movimenti sempre ac- celerati o ritardati insieme colla medesima legge; il che non s'avvererebbe se Velici sopraccennate, per esempio , pren- desser norma dalla geometrica o conchiliforme di Wren (98), che per icnografia n'avrebbe una simil di nome altrimenti detta Torricelliana (94) , che piacque poi di chiamare Spirai logaritmica, ed Halley mostrò (9$) essere ancora la projezion stereografica sul piano dell'Equatore della Loxodromia nau- tica sopra la sfera, traguardandola dal polo opposto. Né im- porta , facendo parola di quelle Coclee , distinguere se sian monostrofe, distrofe, tri strofe , tetrastrofe , peni a strofe , ec. imperocché, attesa la similarità loro, un sol giro o porzione di giro, senz'anche scioglierle in lìneole o trapezioli o pri- smetti , conduce alle dimensioni intere che vogliansi , o a sembianze del Canone Guldiniano , per vaghezza d'analogìa '•"^ S u p F L E M i: N T o ec. qualche volta velate sott' altro aspetto o larvate, come av- verrebbe di chi dicesse esser il contorno della Cicloide pri- maria alla base nella ragione stessa dell'area d'un i|uadrato a quella del suo circolo iscritto . SEZIONE I Degli Elementi o Indivisibili delle Coclee . Son questi V Eliche ^ ovvero spirali cilindriche^ delle quali, oltre ad essere le più brevi o minime di lunghezza tra due jiunti estremi segnati sulla superficie del Cilindro , verifìcansi i seguenti principali attributi . I ." Ciasciieduna di loro è ima vera Loxoclromia sul Ci- lindro , analoga alla sferica di Nunez (96) , o recentissima sferoidale, ed in piano alla spirai logaritmica. Oltre di ciò dessa ha per projezione ortografica sul rettangolo, che passa per r asse del suo Cilindro , la curva anguiforme de' seni , cioè il contorno àeW Ellissi , od Ungula espansa, ossia la compagna della Cicloide nella sua integrità [ non come piac- que di mutilarla a Montucla (97) ], e questa comune, con- tratta, o protratta secondochè l'angolo della spirale colla periferia della base sia semiretto, minore, o maggiore. Dun- que Y Elica prenominata è una linea, che non solo si può tracciare anche sulla superficie d'un Cono retto a base di spirale iperbolica, ma di più sopra quella d'altro Cilindro retto a base d' Ungula espansa , che son due casi tra innu- merevoli rimanenti di superficie men semplici . a." Cresce e si fa più stretto il rapporto colla Cicloide primaria e secondarie aggiungendo che mentre le tangenti dell'Ungula o dell'Ellissi incontrano il pian della base se- gnandovi una retta infinita due volte calcata, cioè diretta e retrograda, quelle per il contrario d'ogni Elica segnano ne! piano del cerchio, base del loro Cilindro, la spirale evoluta del circolo, 0 comune o allungata o scorciata , ( di cui. Dkl Sic;. Pir.TRO Frrromt . 69 percliè dlversisslnia dalla Lumaca Rohervalliana (98), Vari- gnon e Diderot specialmeiit»' (<)()) rilevarono le particolarità più distinte ), come avviene nei medesimi casi degl'incontri delle tangenti della Cicloide e Circolo-genitore, a seconda di ciò che avanti di tutti discoperse in Italia il Viviani (100). Queste relazioni patenti tra la Cicloide e la Coclea fecero forse equivocare Fabroni allorché rendendo di ragion pubbli- ca ed illustrando alcune lettere inedite d' Uomini illustri pre- se l'una per l'altra (101); mancamento di maggior conto di quello del Traduttore Italiano della Storia Ecclesiastica di Racine , il quale parlando di Pascal , deluso dal nome Fran- cese roulette, convertì la Cìclode in troclea o girella (102). 3." I fili del verme d'una Coclea { come sarebbero quei del guscio spirale di Bernardo-l'-eremita e della Conchiglia^ vite ossia Turbo duplicatus del Sy stema Naturae di Linneo ), a proporzione che restano più o meno distanti dall'asse del loro Cilindro, sono spirali dissimili, perchè diversamente in- clinate rispetto al pian della base. Difatti se s'inclinasse il Cilindro sull'orizzonte, i punti più bassi degli archi idrofori di ciascun filo del verme verrebbero ad esser disposti non sopra una retta orizzontale , ma piuttosto sopr' una curva . Quindi è che la Vite non può né dee dai Meccanici consi- derarsi come profilo d'un solo piano inclinato, -ma più pre- sto come l'unione d'innumerevoli profili di piani differente- mente declivi . Se una Coclea suppongasi traforata da una retta, la quale si parta dall'asse del suo Cilindro e gli sia perpendicolare, le inclinazioni dei fili scemano sempre quan- to più si discostan dall'asse medesimo; di modo che i due limiti estremi , quando la Coclea fosse piena , o si stringesse sull'asse, e la base del Cilindro diventasse infinita, sarebbe- ro l'angolo retto ed il nullo . La legge, che unisce insieme le varie inclinazioni dei fili ^ si è che le tangenti dei pre- detti diversi angoli d' inclinazione stanno tra loro in ragion reciproca delle distanze dall'asse, o come appunto grafica- mente dimostra la I.'"* Figura, postochè ad una data distanza '•■o Supplemento ec. BC dall' asse ( o sua proporzionale ) corrisponda l'angolo d'inclinazione ACB ; dalla qua! Figura o Scala, indefinita dalla parte di D , e segnata in guisa che AB denoti la di- stanza o raggio dove il cammino di rotazione agguaglisi al progressivo , si ricavano ancora gli angoli complementari dei fili coi lati del Cilindro , cui danno regola le cotangenti dei primi e respettive tangenti degli ultimi in ragion diretta delle distanze. Di qui sorge un'altra analogia vistosissima colla spirale iperbolica , i cui angoli al centro o foco , for- mati dai raggi polari colla paralella aW asintoto , son pari- mente in ragione inversa dei raggi stessi o distanze centrali (ic3) . Una cognazione men ovvia affacciasi ancora colla ca- tenaria o funicularìa semplice o volgata , nella quale si sa che le tangenti segnate sulla medesima scala, correspettive alle inclinazioni degli elementi di quella linea trascendente sopra la base ( e viceversa le cotangenti ) riesconvi diretta- mente proporzionali alle distanze contate sugli aichi di quel- la curva , dall' imo suo punto venendo verso del sommo (io4) . 4.° Malgrado che tutte ciueW Elici innumerabili e varia- mente inclinate non sian paralelle tra loro, perchè poste in diversi piani considerandone eziandio gli elementi infilati da due medesime rette normali all'asse del loro Cilindi'o, sono contuttociò equidistanti , e perpendicolari ciascuna alle frap- poste rette suddivisate . Paralellismo , equidistanza, norma' lità duplice delle interposte rette non istanno perciò sempre insieme , né costituiscono una perfetta ed universale geome- trica sinonimia . Passando difatti dalla generalità delle vere paralelle , che nelle linee di curvatura scempia , oltre delle rette illustrate da Legendre (io5) e delle concentriche peri- ferie circolari, prendon origine AaW evoluzione d'una mede- sima curva, come avvisò Leibnitz il primo (106), seguitato da Gio: Bernoulli (107) e Varignon (108), ed in ultimo da Gagnazzi (109) e Lottèri (no), a ragionar sulle linee di dop- pia curvatura , e generalizzando la dottrina Leibnitziana per Del Sic. Pietro Ferroni . 71 mezzo della bella teoria delle infinite Evolute data da Mon- ge nel M.DCC.LXXI (iii), d'onde nascono le superficie del- le tangenti o cosi dette sviluppabili, s' incontra subito il caso di linee equidistanti ad un tempo e non paralelle . 5° Le spirali cilindriche semiortogonie ( Num.° 3.° ), in cui cioè il viaggio rotatorio del punto , che le descriva , precisamente pareggi il cammin progressivo , sviluppate che sieno , come le curve in piano, generano egualmente che la sviluppata circonferenza della base del Cilindro, sulla super- ficie del quale son disegnate , la stessa evoluta del circolo . Quelle stesse spirali ( a forma del Num.° i ." ) appellano all' ungula cilindrica parimente semiretta, cioè alla sferocilindri- ca primaria di Roberval (112) o circolo cosi detto cilindrico, da cui deriva la spirale sferica Vivianéa ( 1 1 3) ; cosicché le rammentate tre curve di doppia curvatura , mediante il con- torno à&W ungula di curvatura semplice, sono in tale stret- tissima corrispondenza tra loro, non meno che le secondarie delle specie prenominate , che somministrano la vera chiave per risolvere colla massima semplicità geometrica ed eviden- za tutti i Problemi più ardui concernenti il ritrovamento delle porzioni quadrabili di superficie sopra una sfera; chia- ve, di cui, se v'è luogo a criticamente congetturarlo, crasi forse servito Perelli {ii4)- 6.° Dipende dalla similarità AelV elica del Cilindro la dimostrazione [ non soluzione, come scriveva Fabroni (ii5) ] del Teorema insigne lasciatoci senza prova da Gemino (116), e vale a dire che da un punto qualunque condotte all' elica stessa due rette d'egual lunghezza fanno sempre colla me- desima angoli eguali , come accade nella linea retta e nel circolo , altre due sim.ilari . E difatto , se il punto si prenda nella retta normale all'asse, dentro o fuor del Cilindro, su cui è la spirale, stando quella ad angolo retto su questa, e pigliandone pari porzioni dell'ultima a destra e sinistra, si vede chiaro che rivoltando un Triangolo sovra l'altro, come ho suggerito il pi-imo in proposito dei Triangoli sferici (i 17), ^1 Supplemento ec. perfettamente conibaciaiiti . Ora la medesima coincidenza e per conseguente le stesse attribuzioni de' Triangoli isosceli o equicruri si verifican parimente tenendo ferma la perpen- dicolarità della retta intermedia, e supponendola più o me- no allungata o abbreviata nel rivolgersi della Figura per una completa revoluzione . 7.° Ha un giro intero della spirale cilindrica il suo cen- tro di gravità ossia delle medie distanze nel punto , che bi- seca la porzione dell'asse del suo retto Cilindro, la quale determina il viaggio progressivo dall' imo al sommo , e corri- sponde all' altezza del medesimo giro . Il centro di gravità d'una parte à^ elìca minore del giro intero è poi collocato nel punto medio dell'altezza, normale alla base del Cilin- dro, la quale si parta dal centro di gravità del correspettivo arco di circolo , su cui riposa . Manifestissimo è ciò in virtù, della similarità della curva ; ne può tampoco arrecare veru- na difficoltà la determinazione del centro di gravità d'un corso èì elice più che monostrofa ^ conoscendosi ormai i cen- tri de' giri interi e delle lor parti, non meno che le relazio- ni delle lunghezze di queste parti col tutto . 8.° Nella terna delle similari manca di curvatura \a sola retta , e la curvatura di tutte le linee, che giacciono in pia- no , misurasi dai Geometri mediante quella della seconda si- milare, o sivvero della circonferenza del circolo osculatore. Non sarebb'egli perciò convenevole misurare altresì le cur- vature delle linee non giacenti nel medesimo piano per mez- zo dei contatti di vario grado dei diversi piani osculanti ed elici cilindriche osculatrìci di questa o quella inclinazione e apertura (118), essendo l'ultime le semplicissime di tutte le curve di cotal genere , e tra le innnense famiglie di queste l'uniche similari? SE- Del Sic. Pietro FfiaRowi . 78 SEZIONE II Delle Armille o Zone Cocleari o a Lumaca (119) . Hanno tre differenti maniere d'essere siffatte Armille., o fasce piegate e contorte che dir si vogliano, V ordito delle quali è composto A'' elici cilindriche, e la trama o ripieno di linee rette d'egual lunghezza. Difatti i." o son nastri ac- conciamente avvolti sulla superficie convessa d'un Cilindro retto , accartocciati tai quali sarebbero intorno il suo ma- schio , anima , o forma le laminette o liste d' acciaro , onde si fabbricano canne da schioppi nelle officine di Spagna; a." o sono zone spiralmente condotte sul modello dell' Escalier di Pascal, cioè in rassomiglianza all' andamento o sdrajo d' u- na rampa continua non cordonata e senza gradini , o volta o piano inclinato ritorto a chiocciola , la cui pianta sia o una circolare armilla o un circolo intero, come per esempio la scala a lumaca ( tranne i gradini ) della Farnesina rurale o palazzo di Capraròla nei dintorni di Ronciglione o di Ca- stro, l'altra del palazzo Barberini nella piazza Grimana di Roma, e quella del palazzo Cavalieri al Quirinale ossia Mon- te Cavallo; 3." o finalmente sono corone a sdrucciolo più o meno declivi in foggia di zone o corolle coniche, ma stirate di modo da collocarsi in linea spirale lungo una retta, fuso, asse, ec, o come dicesi a pozzo attorno il vacuo conforma- to a cilindro . Rispetto all'ultime, la dimensione della cui superficie immantinente apre il campo a rintracciar la misura di quel- le , che circoscrivono i solidi cocleari^ non diversamente dall' area degli anelli conici conducenti ad assegnare la superficie di tutti i corpi rotondi., mi riservo a parlarne nella Sezione che segue . Ed in proposito delle prime , che convengono appieno cogli indivisibili curvi introdotti da Torricelli, e co- piati dipoi da Pascal (lao), la misura dell'aree de* quali è Tomo XV. IO 74 S U P P L E M E N T O eC. conseguenza immediata di Triangoli cilindrici in generale , eguali sempre e simili a un tempo ( e come ho già detto , se contornati dall' elica , rettilinei ) ., che sovrapposti coinci- dono senza ninna diversità dalla Proposizione XXV del Li- bro I degli Elementi d'Euclide, gioverà d'aggiunger soltan- to che i Triangoli conici insistenti sopra due simili archi , superiore e inferiore, d'un' ar77z/7/a conica retta, compresi tra due lati del Cono , ed aventi per terzo lato due archi simili di simili curve coniche, i cui piani perciò sian paralelli tra loro, 0 sivvero egualmente inclinati rispetto a quei delle ba- si, non appresentano zone come sul Cilindro tessute di rette eguali, ma pel contrario decrescenti sempre dal basso all'al- to , non altrimenti che scemano in proporzione scambievole gli archi conici e circolari, e scemano l'aree triangolari, che stan come quelle dei loro arbèli icnografici (lai). Restano dunque unicamente -Je seconde delle tre specie d' armille per argomento di questa parte del mio discorso, cioè quelle appunto conformate in guisa di montata andante di scala elicoide , di cui fa menzione recente anco il Ciornal Politecnico (laa), e sono o chiuse .^ perchè senza vuoto in- terno né solido appoggio centrale, ch'io chiamo circoli co- cleari , od aperte , perchè a pozzo o nucleo concentrico che lo riempia, rapporto alle quali conservando l'analogia nomi- nale non sarà improprio appellarle armille cocleari , siccom' è uso anco invalso presso il comune degli Architetti d'indi- viduar qualche volta le rette col titolo à" Jrchipiani (ia3) , Essendo porzioni l'ultime delle prime, le superficie loro mi- suransi scambievolmente , come avviene dei circoli ed armil- le ordinarie , né fa di mestieri perciò di ricorrere a diffe- renti principi . Propoi SIZIONE FONDAMENTALE . La superficie , concava sopra , e sotto convessa , d' un circolo cocleare di qualunque raggio sta nel tutto e nelle Del Sic . Pietro Ferrosi .' 75 parti all'area intera e porzioni omologhe del circolo piano, sua pianta o projezione ortografica , come la superficie del complemento o quadrilineo d' un' iperbole equilatera Apollo- niana referita al suo asse secondario sta all'area e porzioni corrispondenti del sottoposto triangolo equicrure-rettangolo- asintotale . Tutte le iperbole equilatere sono simili; laonde di qua- lunque grandezza si scelga una infra loro, la relazione dei due spazj indicati riman sempre l' istessa . Oltrediciò attesa la similarità di composizione d'ogni spicchio o settore conta- to dall'asse o centro del circolo cocleare, e la similarità di cia- scuna altresì delle parti à'un' armil/a o zona cocleare , il rap- porto cercato , che valga per una porzione ( o commensurabile o incommensurabile rispetto all'intero) del giro totale, varrà egualmente per questo, e a vicenda. Or supponendo che V elici sieno fuor d'ogni limite assegnabile una all'altra vicine, e si decomponga così il circolo cocleare o suo settore in zonu- le intere o parziali concentriche , vien ad essere ognuno di questi elementi superficiarj eguale al rettangolo dell' eZice o sua porzione nell'elemento del raggio o distanza dall'asse o centro ( Sez.* I.""^ N." 4 )' ® l'elemento correspettivo della sua icnografia eguale al rettangolo del sottoposto arco di cir- colo neir istcsso elemento del raggio , cioè come l' elice all' arco suddetto. Ma V Elici di giro intero o parte di giro ( 5e3.* cit." N." 3 ) stanno alle Circonferenze sottoposte o loro por- zioni icnografiche come AC a BG , AM a MB, ec. della i ."i* figura . Dunque ripetendola come scala e colle medesime let- tere e modulo AB e spartimento nella a .«^a , e d'altronde sa- pendosi che neW Iperbola equilatera ogni ordinata CE, MP, ec. normale all'asse secondario o conjiigato BD s'agguaglia ad AC, AM, ec, come CF , MT , ec. tagliate àaW asintoto se- miortogonale BG pareggiano respettivamente BG, BM, ec, si conclude che la somma dei primi elementi stia a quella de' secondi nella proporzionalità accennata dall'enunciato. 76 Supplemento ec. Corollario I Supposta perciò la quadratura del Circolo piano e delle sue parti, dipende la dimensione assoluta dell'area del Cìr- colo cocleare e sue porzioni omologhe dalla quadratura dell' Iperbola d'Apollonio, e vale a dire dai logaritmi, o piutto- sto dalla rettificazione della Parabola ordinaria, o sivvero del- la Spirale aritmetica (12,4), non diversamente dal modo di costruire la Catenaria { Sez.* I." l. e.) (laS), e di descriver col mezzo della teoria di Wright e Percks (ia6) ossia delle latitudini crescenti o somme delle secanti le Carte ridotte o loxodromiche ( ivi N.° i ) per la determinazione del lato me- codìnaniico ad uso della Marina : nuova e riguardevole affinità tra le nominate Curve e la Coclea . II La misura poi relativa o compianazione del Circolo cocleare e di lui porzioni si conseguisce mediante la sola dottrina dei Logaritmi ; di tal maniera che se sulla medesima scala o mo- dulo sia BH il raggio estremo del Circolo cocleare e sua Pian- ta , ed assegnisi il Quadrato eguale al doppio del Quadrilineo ABHI, sarà il lato di quel Quadrato eguale al raggio di quel Circolo piano, che agguagli il Circolo cocleare. Si dica l'istes- so dei settori o altre parti respettivamente «wi/j de' due Cir- co// ; e riguardo alla specialità delle armille omologhe o loro porzioni simili, la riduzione d'una cocleare, per esempio^ della larghezza LM , ad una circolare eguale ( o per gli Ele- menti aà un C\tco\o pieno) nasce dall' assegnar due Quadra- ti, eguali ciascuno al doppio de'Quadrilinei ABMP, ABLN, i lati de' quali saranno i raggi de' circoli piani concentrici, che racchiudono V armilla cercata, la lor differenza ne darà la larghezza, ed il lato del Quadrato d'area eguale alla dif- ferenza degli altri due somministrerebbe il raggio dell' egual Circolo intero . Del Sic. Pietro Fbrroni . 77 III Mentre lo spazio triangolare BHK fa vedere palpabilmente con qual proporzione vadano a grado crescendo l'aree dei Circoli icnografici , e lo spazio iperbolico ABHI rappresenta il progredimento di quelle dei Circoli cocleari , cominciando da AB ossia da B centro comune Tuno e l'altro procedere, manifestissimo ancora si è che le differenze di questi rappor- ti , comunque crescendo aritmeticamente i raggi sempre di- minuiscano, pur tuttavia accumulandosi abbian per /inzzYe una differenza totale infinita', che tal è appunto lo spazio intero asintotale iperbolico . Ma questo spazio AIGKB richiama a quella specie singoiar d' Infinito , che appellasi logaritmico (inferiore di grado a paragone AeW aritmetico stando ai ter- mini della controversia famosa dei più che Infiniti ) ; laonde i due limiti di relazione sono i.° all'origine o centro l'Infi- nito a«o/?/^o , che passa tra la retta AB ed il suo punto estre- mo B; 2,.° l'eguaglianza o quasi-eguaglianza quando arrivasse- ro le due grandezze ad ingolfarsi nell'Infinito . E quel primo rapporto d'una linea finita ad un punto farebbe rivivere il paradosso , che si legge nei Dialoghi di Galileo , e che non appropriasi solamente all'orlo à^una. scodella scavata nell'emi- sfero , ma si verifica di tutti gli orli o tagli consimili Ae* ciati o scodelle scavate nei Conoidi o Sferoidi , come avvertì Tor- ricelli (137) . IV Per dividere mediante una o più Elìci concentriche in qualunque date ragioni, o in parti eguali, o comunque pro- porzionali il Circolo cocleare ( che pel digià detto può esser Volta ad un tempo e Montata di scala ) o un di lui Settore, basterebbe saper tagliare nelle ragioni medesime, o in parti simili il preciuto Quadrilineo Iperbolico . Né per avventura 78 Supplemento ecJ s' incontrerebbe difficoltà ognivoltachè passar si volesse clal Circolo cocleare nionostrofo a più d'un giro o rivoluzione di Coclea ; conciossiachè i multipli respettivi della trovata mi- sura inslem colla giunta delle parti aliquote od aliquante del- la medesima soddisfarebbei-o tosto a siffatto Quesito . In cambio di determinare il confronto d' un Settor di Circolo cocleare con quello della sua Icnografia^ non meno che la comparazione delle lor parti omologhe, potrebbe fors* esser gradevole paragonarlo all'area del Rettangolo ( che per comodo dirò verticale in contrapposto alla pianta ) formato dal raggio, o sua parte, come base :, e dalla porzione corri- spondente dell'asse del Cilindro, che ne costituisce V altez- za . Ma le aree di questi rettangoli disegnati nella ^M figu- ra tengono la proporzione istessa dei raggi , e lor parti , ed in quei tali punti, ne' quali il movimento rotatorio pareggi A progressivo lungo dell'asse predetto, l'aree dei divisati ret- tangoli son doppie de' respettivi settori del Circolo piano . Se dunque dal vertice A della già descritta equilatera Iperbola conducasi la tangente indefinita AR, l'area del Circolo coclea' re, o suo settore, sarà a quella del rettangolo corrisponden- te come , per esempio nella distanza dal centro BQ , l' area del solito Quadrilìneo iperbolico ABQO a quella del sottoposto rettangolo ABQS ; ragione , che non varia perciò il suo ca- rattere trascendente.^ ed è collegata coi digià fissati principi e rilievi . VI Posto che il Prismale Grandiano ( Fig.'^ 3 ) (ii8) sia ret- to, e retto l'angolo MtìY, affaccia allora nel suo primo ele- mento contiguo al taglio supremo, e lungo quanto il mede- simo, l'immagine schietta dell' elemento-settore (}C vlw Circolo DtL Sic. Pietro FeeroiNi - 79 cocleare. Imperciocché comparando il detto elemento, segna- to colle medesime lettere, al settor cocleare della Fig.^ 2,.^, non ha dubbio che questi due non siano esattamente gl'istessi. Sono difatti tessuti jier un verso , come gli elementi delle superficie di tutti i Corps gaiiches, di rette Bb,Cc,Ll, Mw, ec. eguali ad una ad una e similmente disposte; né lo sarebbero meno tutte l'altre innumerevoli , che tagliassero sempre pro- porzionalmente le direttrici BM , bm , e quelle eziandio per il verso opposto , che incrociasser le prime congiungendo i punti di proporzionai divisione di B^, Ce, LZ, Mot, ec. nomi- nate di sopra . Ma appunto perchè queste ultime rette sono nella a."^* Figura elementi dcW Elici ossia delle loro tangen- ti , dopo di MBZ'OT il Circolo cocleare non combina più ne' suoi seguenti settori col rimanente della Superficie ( Plain gauche ) del Prismale MtìYXB , che col piano-tangente MSTi staccasi dal Cilindro . Egli è però qui da notarsi che anco tagliando l' elemento-settore MBìot come il Prismale trasver- salmente per via di piani secanti s'ingenererebbero sulla di lui superficie elementi di Parabole convesse e concave e d' Iper- bole Apolloniane . Né sarà discaro sapeze che per quanto sia curva la superficie MBXY del Prismale, pur tuttavolta il di lui volume agguaghsi alla metà di quello del Prisma trian- golare, da cui è stato reciso; poiché gli elementi j^mma^ici di prim' ordine , nei quali risolverebbe»3Ì mediante i triangoli Lnr,C92,ec., paralelli e non simili alla base MQY, aven- do r altezza comune BX , procedono come le distanze XIl , X0 , ec, e perciò la lor somma equivale all'area d'un tri- angolo mentre l'altra del Prisma verrebbe ad essere rappre- sentata dall' area del paralellogrammo , suo doppio * VII D' un intero Circolo cocleare ( supposto omogeneo ) , o zona intera , apertamente si vede essere collocato il centro di gravità nel punto di mezzo della porzione dell'asse del 8o Supplemento ec. Cilindro distesa dall'imo punto al supremo della completa ri- voluzione spirale . Manifestissima cosa ella è parimente che il centro di gra\)ità d' un Settor cocleare prende regola da quel- lo del Quadrilineo iperbolico della Figura 2,. da, cosicché se il raggio di questo Settore fosse BL sul citato modulo o scala quel centro sarebbe a tanta distanza dall'asse AB del Cilin- dro quant'è la distanza nota del centro di gravità Ae\ Quadri- lineo o area ABLN dall'asse medesimo, e perciò nel raggio medio del Settore tagliata questa distanza dall' asse , il suo termine estremo vi determinerebbe quel punto o centro, che si ricerca. Chiedendosi poi il centro di gravità d'una sola par- te di zona o settore bisogna notare sul modulo stesso i due raggi estremi , per esempio BQ , BM , tra i quali la zona è compresa; quindi assegnare il conosciuto centro di gravità àeV Quadrilineo parziario OQMP; e diportarsi nel resto come per r intero Settore . Determinato il centro di gravità d' un sol giro e d'una parte quantunque di giro, non ha più veruna difficoltà determinarlo di due, tre, ec. giri.j o interi, 0 colla giunta d'altra porzione di giro. Giova riflettere contuttociò che rispetto al C/r- colo cocleare e sue parti non ha luogo l'applicazione della Dot- trina eentrobarica delle Figure rotonde [ Amphismata (lag) ] motivata da Pappo nella Prefazione al VII." Libro, amplificata dopo Kepler nella Stereometrìa (i3o) dal Guidino (i3i), e dimo- strata prima di tutti dal Cavalieri insieme e dal Roccha (i3a). Imperocché stando ai termini di questa Teorica, anco renduta pili generale, col mutarsi i centri o assi di rotazione, da Vari- gnon sul principio del Secolo scorso (i33), la superficie d'un Circolo cocleare, o d'un suo Settore ( e l'istesso dicasi delle zone ) generata , per esempio , ( Fig.'* a."^" ) dal moto rotatorio e progressivo insieme della retta BL verrebbe ad esser eguale all' area del Rettangolo , che avesse per base la medesima retta, e per altezza quell' f/Zce sempre ad essa normale, che fosse descritta dal punto medio A , la quale in virtù della i .* e 2,.<^* Figura e dei Num.> 3." e 4-° della \ ."^^ Sezione ha il saputo rapporto di AA a AB comparandola all' icnografica Periferìa circolare Del Sig. Pietro Ferroni . 8r circolare del raggio BA ; il che torna a dire eguale alla su- perfìcie convessa o concava d'un Cilindro retto, la cui base fosse il Circolo del raggio AA e l'altezza BA, o ad una par- te di lei proporzionale al Settore , o sivvero eguale all' area d'un Circolo (o suo Settore ) di raggio pari alla media pro- j)orzionale geometrica tra BA e 2AA , siccome abbiamo dagli Elementi. Ora, quanto ciò s'allontani dalla vera misura ( che in questa ipotesi supporrebbe la sola quadratura del Cerchio ) riguardo all' area del Circolo costa dalla Proposizione premes- sa, e rispetto alla Superficie cilindrica si farà chiaro dalla seguente . Frattanto sarà perri.esso dedurre come con tutta ragione secondando il titolo istesso dell'Opuscolo inedito del Torricelli concernente l'abuso, che della Teoria degli Indivi- sibili o atomica potrebbe farsi nelle cose geometriche (i34), non sarebbe scevro d'utilità compilare anco un breve Trat- tato, arricchito d'esempli scelti a proposito, intitolandolo De Doctrina centrobarjfca temere non iisurpanda. Proposizione derivata. Dato qualunque Circolo cocleare v'ha sempre ( sul me- desimo modulo ) un Emi cilindroide Iperbolico , la cui conca- va superficie rotonda non solamente è analoga e proporzio- nale in genere, come in altri Emicilindroidi ^ nelle parti e nel tutto alla superficie del primo , ma gli è ancora eguale , o , conforme con piìi chiara espressione i moderni Geometri dicono, equi^'alente . Mercè l'ispezione della 4* Figura cesserà tosto la mera- viglia àeW analogia tra due Superficie, che al primo aspetto rassembrano tanto difformi , quanto sono difatti una rivolta in elice., l'altra in sembianza di tìmpano aftìisato e rotondo, o sivvero in foggia di capitello., o vaso di Callimaco, della colonna Corintia . Ed il vero , la superficie dell' Emicilijidroide, generato dalla rivoluzion del perimetro del ramo d' Iperbola Apolloniana AO'I'G' intorno all'asse suo secondario o conju- Tomo XV. 1 1 8a Supplemento ce. gato BD , può considerarsi ancor dessa come tessuta di linee rette indefinite, fuori di piano una l'altra, non paralelle tra loro, e collegate per mezzo di circolari Circonferenze, che o intere o nelle respettive porzioni ed elementi simili proce- dono colla medesima legge deìV Elici , le quali legano i rag- gi del Circolo cocleare. Imperciocché tutti i Geometri sanno che cominciando da segnar suW Emicilitidroide quella linea retta, la quale sovrasta a un asintoto BF'T'K', e si confon- de in pianta con esso , e gli è paralella e distante quanto importa il semiasse conj'ugato della Curva generatrice , se si taglino quindi per la medesima direzione archi simili sulle circonferenze de' Circoli, che hanno i lor raggi eguali alle ordinate BA , CE', LN' , QO' , MP', HI', ec. , come chiaro apparisce dalla Figura , i punti estremi di detti archi vengo- no ad essere distribuiti o collocati sempre sopra una retta . Queste rette innumerevoli , disposte sulla superficie concava ^ìeAV Emi cilindroide ., e non mai situate nell' istesso piano, né paralelle tra loro, potrebbero ancora disegnarsi per altro ver- so della superficie medesima andando a seconda dell' altr'«««- totO', cosicché in ogni Emicilindroide vi son sempre due se- rie d'infinite rette giacenti sulla di lui superficie, d'onde n'ha tratto il suo nome, armonizzate con identifica simetria, e due a due nello stesso piano e paralelle ai due asintoti e fa- cienti un angolo a\V asintotico eguale . Di qui é che mentre si ponga sulle punte d'un tornio B, D una massa corporea capa- ce di ricevere e mantenere forma rotonda girandola e consu- jnandola a poco a poco per via di ferro tagliente, ogni vol- ta che il taglio sia situato e si tenga ben fermo in iscorcio o in direzione obliqua rispetto all'asse di rotazione BD , sot- to qualunque angolo DBG.', purché il detto taglio conservi il paralellismo a BG', n'escirà sempre tornito un Emicilin- droide iperbolico, concavo nel senso della generatrice., conves- so in quello della rotondità procacciatagli in virtù dell'asse immobile di rotazione , che congiunge i due centri , su cui resta stabilmente imperniato. Così d'agevol maniera operau- 1 I Del Sic. PiEmo Fkiiroìs'i . 83 do venivano a fabbricarsi in addietro le forme metalliche ( moules ) delle lenti oggettive iperboliche di vetro o cristal- lo ; quando cioè riputavansi da Descartes ed altri Fisici egregi acconce e valevoli a correggere l' aberrazion di figura nei Te- lescopj poco dopo dd nasciniento della Diottrica (i35). E quel Cilindroide ( giacché vale del doppio l'istesso discorso che del suo mezzo ) si fa più o meno aperto, meno o più con- cavo a proporzione che scemi o cresca l'obliquità del taglio per rapporto all'asse BD; di tal maniera che diventato nullo quest'angolo, il Cilindroide convertesi in Cilindro re«o, che rimane intermedio ai due tagli simetrici opposti, perde Li %W3i concavità ^t, la di lui superficie resta tessuta d'una serie sola di linee rette, ma tutte paralelle tra loro ed all'asse. Ora tornando alla considerazioae delle rette eguali, che sono i lati deW Emicilindroide , ognuno di questi in totalità e nel- le parti finite ed elementari è proporzionale al raggio e sua omologa parte finita ed elementare, che si contasse sopra BD nel Circolo cocleare , e come in esso , gli archi od archetti simili ( qui circolari , là elicoidi proporzionali ) frapposti ai lati seguono la proporzione dei raggi delle circolari Circonfe- renze , cioè quella delle normali-ordinate del Quadrilineo Iper- bolico, proporzionali i/i genere non in ispecie all'altre or^ma- te consimili d' un' Iperbola equilatera , che avesse il semiasse medesimo AB , conforme si sa dalla Teorìa delle Coniche . Dunque supposta la superficie à^W Emicilindroide àWisdt. in liste finite od elementari , ciascuna di queste liste , o sua parte , è contesta per lungo e per largo come un settore o parte omologa del Circolo cocleare ; ogni zona o parte di zona tra quelle liste è formata nella medesima guisa d' una zona o parte omologa di zona del Circolo cocleare ; ed ognuna di dette liste nel tutto e nelle parti venendo ad essere di superficie egua- le a quella tal lista iy Emicilindroide , che comprenda gli stessi archi simili circolari, e sia terminata dagli archi dell' Iperbo- la generatrice { perchè o dividendo nelle prime o nelle secon- de liste la superficie dell' Emicilindroide costa del medesimo 84 S 'J P P t E M E N T 0 ce! numero di partì eguali o respettivamente proporzionali ) re- stan concluse V analogia e proporzionalità in genere, ch'era- no prima da dimostrarsi a' termini dell'enunciato . Se poi con- servando , come sopra , il medesimo modulo o scala V Emici- lindroide nascesse dalla circonvoluzione di tale Iperbola , il cui semiasse trasverso essendo AB avesse per semi-parametro principale una retta di tanta lunghezza quanta occorresse per- chè divisa in estrema e media ragione ossìa proporzione divi- na contasse l' istessa AB come sua parte nnrggiore, la super- ficie del detto Emicilindroide , o\tre aW analogìa piìi eminen- te e proporzionalità in specie, pareggerebbe dipiù nel tutto e nelle parti quella del Circolo cocleare, conforme restava a concludere . Conciossiacliè tutte le normali alla Curva ge?ie- ratrice distese sino all'asse secondario BD, e quinci poste nella direzione delle ordinate terminerebbonsi a quella stessa equilatera Iperbola AENOPIG , eh' è la coìnpianatrice del Cir- colo cocleare ( Goroll.° II." della Proposizion precedente ), ed or la sarebbe deìV Emicilindroide Iperbolico, siccome ho con facilissima sintesi dimostrato in una corta appendice a questo Scritto geometrico , onde provare i già citati Teoremi Ugeniant del M.DC.LVII e LVIII, prodotti a notizia del pubbhco nel M.DC.LXXIII mancanti di prova (i3b) egualmente che gli altri sulla Logistica e sulle Forze centrali (iSy). Corollario I D'ogni lista o spicchio tra due rette, o di lui porzione, concernente V Emicilindroide essendo V equivalente in super- ficie un altro spicchio dell' istesso Solido colle due medesimft basi ab , mn , ed, op .) ciò ha risparmiata l'investigazion delie altezze de' minimi trapezioli abcd di quelle Uste, nei quali bisognava d'altronde risolverla secondò il metodo comunemen- te adottato anco dalla sublime Analisi, che a tal effetto si serve del doppio segno d' integrazione . Somministrerebbe poi quelle altezze minime, sebbene inutili all'uopo, la sola Fi- j Del Sic. Pietro Ferboni ." 85 gura senz'altro ragionamento o apparato, perchè sono appun- to gli archetti mo ovvero np-, e per le porzioni finite di que- ste liste gli archi finiti dell' Iperbola generatrice rappresentan le somme di tutte l' altezze degli elementi , in cui si scio- gliessero . Corollario II Ricavasi altresì apertamente che il centro di gravità d'un Circolo cocleare, e sue porzioni, dipende dalla notizia di quel- lo della Superficie d'un Solido di rivoluzione, qual è V Emi- cilindroide ìpf,rho\ico , e dMe sue omologhe parti . Parve nell* epoca della prima scoperta ai Matematici transalpini ammi- rabile che un Solido 5/!7/>fl!/e s'agguagliasse a un ro^o/ii/o (i 38), Or quantopiù Torricelli sarebbe cresciuto di fama se avesse potuto nell'età sua dimostrare che una Superficie girata in Elice e pel suo valore e per le proprietà centrobariche fiasse la stessa cosa d'un' altra girata in Cerchio? Corollario III Anzi la Superficie d'un Circolo cocleare nel tutto e nelle parti, zona per zona, settor per settore, ec, riesce eguale eziandio a quella d'una metà di Sferoide o Ellissoide obiata o compressa , cioè dell' iscritta dentro un concentrico Cilin- droide iperbolico, godente AeW ìsta^* asse trasverso e dei due medesimi vertici principali , e coi conjugati talmente diversi che ne derivi la stessa Iperbola compianatrice . Fu questo sino dal M.DC.XCVIII il ritrovato perspicacissimo di Parent (iSg), la cui prova ho renduta ancora più semplice combinandola colla dottrina Ugeniana nella prenunciata Appendice ; ed è da stimarsi tantopiù commendevole quel ritrovato geometrico quantochè desso contiene come caso particolarissimo ed uni- co l'eguaglianza di superficie del Cilindro circoscritto alla Sfera iscritta , quando cioè il Cilindroide si converta nel primo , 86 S u 1' p L £ 31 1; N T o ec. fattosi V asse conjugato infinito, e Y Ellissoide nella seconda venendo a farsi eguali i due assi, e la compianatrice comu- ne diventando allora una re^^a paralella all'a^^e di rotazione. In conseguenza di che con molto maggior ragione sulla tom- ba del Francese Geometra si sarebbe dovuto incidere quel Cilindroide speciale coW Ellissoide iscrittavi, come dei Sira- cusani antichi raccontasi che sul monumento d'Archimede incidessero il Cilitidro e la Sfera , e dei moderni Elvetici sul sepolcro eretto a perpetua memoria di Giacomo Bernoulli di Basilea la Sjnral Logaritmica coli' epigrafe enfaticamente pre- «a dalla favola della Fenice — Eadem mutata resurgo — (i4*^)- SEZIONE III Delle Armille o Corone elico-coniche . Mentre la retta , che già descrisse un Circolo cocleare , mantenuto l' istesso modulo , in cambio d' essere paralella al- la base o normale all' asse del Cilindro , vi fosse stata sotto qualunque angolo e sempre egualmente inclinata in tutto il giro uniforme spirale , o come i Pratici dicono a lavatojo , sorgerebbe allora un Coreo cocleare, o sua corona od armilla . Vediamo in qual modo possa misurarsene la Superficie , e se abbia relazione ancor essa con altra d' un Corpo geometrico tra i conosciuti , dietro all' esempio procuratoci dalla passata Sezione , in cui sortì rintracciarla nel Cilindroide ; Solido più dovizioso del Coreo, poiché, oltre a generarsi sulla superficie del primo per mezzo di piani secanti tutte le specie di Cur- ve coniche, e le Rette disposte in angolo, vi si generan an- co le Paralelle . Proposizione unica. Determinare la relazione tra la Superficie d'un Coreo co- cleare di qualunque lato ed inclinazione all' asse , non meno Del Sic. Pietro Ferromi . 87 che de' di lei sp'icchj o settori , zone , ed altrettali porzioni , e la Superficie intera "e parti omologhe del Cono retto ( sua proiezione spuria in figura di nappa conica ), die abbia ri- stesse asse e lato sotto l'inclinazione medesima, il qual Cono verrebbe descritto se mancando il moto progressivo vi fosse stato sol luogo a quello di rotazione . Atteso il solito movimento supposto equabile sì rotatorio che progressivo \a composizione d'una so^a concentrica e d'un settore è similare in tutte le parti o grandi o piccole di det- ta zonn , e respettivamente simile alla tessitura di quella d'o- gni altro settore nelle sue porzioni correlative . Basta adun- que considerare uno spicchio di Cono cocleare contenuto tra lati, che si discostino menomamente uno dall'altro, e para- gonarlo al sottoposto corrispondente nel Cono retto, ove per conseguenza i lati formino un angolo d' inassegnabile picco- lezza. La superficie del primo è per traverso tessuta d'ele- menti o lineole di Spirali cilindriche, mentre l'altra è pari- mente tessuta d'archetti minimi circolari , che hanno tutti il centrale comune nel vertice o sommità dello spicchio o settore . Ma nel tempo che questi archetti son perpendicolari ai lati del Cono retto, non Io son già pel contrario le particelle d'' Elici ai lati del cocleare . In ciò unicamente consiste , se pur me- riti dirsi tale, la difiicoltà dell'assunto. Affine di convertire )a trama degli ultimi elementi obliqui in altra di lineette normali ai lati del settor conìco-cocleare , come fa di mestieri per indagare il valore della superficie cercata , ho espresso il caso nella 5.* Figura con quella maggior chiarezza, che com- portano i segni o delineamenti di Prospettiva . Sia dunque lo spicchio o settore ABDO di Cozzo cocleare \ EF il viaggio rotatorio; GO = go = ec. = BA il progressivo contemporaneo; DO, do, ec, ed altre innumerevoli, le li- neole oblique ( rispetto al lato AO ) , interposte tra AO e BD, o le particelle delle Spirali cilindriche , le quali vanno a ter- mmare nell'ultima oZ'//^w tra aQZ eguale a QA e QU in forza del Coroll." II.° sciogliereb- be il Problema; perchè aABQ = aQZ.BQ sta a aBQU = QU.BQ come aQZ a QU , ossia come il Quadrato della media a quel- lo di QU 5 che rappresenta il raggio del Circolo piano . Corollario IV Del rimanente il Corollario I.°, l'ultima parte del II.", il IV .°, ed il VI.° ( mutato il Prismale retto in obliquo ) della Proposizione fondamentale si verifican anche nel caso delle superficie di Coni cocleari , e segnatamente le stesse ana- logie colle nominatevi Curve trascendenti^ e la dipendenza medesima dall'Iperbola e Parabola Apolloniane. Non ha però luogo il Corollario III.", che verte intorno all'Infinito loga- ritmico , se non quando si parla del Cono cocleare paragona- to al Cono retto; poiché in vece dell'ultimo ponendo, come nel Corollario II .° , il Circolo piano ^ non si prende più rego- la às.\V asintoto BKG , ma dalla retta BVX , la quale da lui e dall'Iperbola sempre maggiormente discostasi dopo passato il punto della tangente paralella a BX, facilissimo a rintrac- ciarsi dietro la teoria delle Coniche . E finalmente in propo- sito del Corollario VII.", oltre della disapplicazione anche al Del Sic. Pietro Ferron'T . gì Cono, come al Circolo cocleare, dell'ordinarla Regola centro- barica per indagarne la dimension della Superficie , vale pre- cisamente l'istessa dottrina conducente alla ricerca de' Ce«f ri di gravità del Cono cocleare intero e sue parti, giacché quelli della Superficie del Cono retto e porzioni seguono la stessa legge e si determinano nella maniera medesima delle Icno- grafie circolari . Gioverà nuUameno notare alcune leggieri di- sparità tra il Cono ed il Circolo cocleare . Primieramente la jjro/ezione , che per comodo dirò verticale ( Coroll." V,° ), eia nell'ultimo un rettangolo, ma diventa nel primo romboidale GgoO , eguale d' area all' altro rettangolo GgcC . In secondo luogo , quantunque ancor qui i lati della Nappa conica so- vrapposta sien due a due paralelli a quei della sottoposta ( co- me BD a HE, AO a HF, ec. in infinito), tuttavia gli ele- menti DC , de, ec. non appartengono più a Spirali cilindri- che , ma piuttosto a Linee di doppia curvatura ancor esse , che si succedono a stacchi od ammorsature in guisa di Prismi circoscritti ed iscritti col metodo d'esaustion degli Antichi (146) attorno e dentro V Escalier celehre di Pascal (147) • Gli an- goli CDO, cdo , ec. dei detti elementi con quei AeW Elici sul Cilindro procedono colla medesima legge come ODG , odg , ec, ovvero CDG , cdg , ec. ; havvi un punto facilmente de- terminabile , in cui uno degli ultimi angoli si fa semiretto , cioè rispetto a cui si combina il viaggio assoluto di rotazio- ne eguale al progressivo perpendicolare alla retta generatrice del Cono elicoide. Quest'angolo singolare corrisponde mira- bilmente a quella parte del lato generatore contata dal ver- tice, che sia eguale al raggio AB della Fig.a i .« considerato nel Num." 3.° della I.'"'» Sezione: imperocché dovendo esser rfg = gc = GC nel Cono cocleare, e DG = GO nel Circolo co- cleare , sarà il raggio nel primo caso al raggio nel secondo , cioè bg a /G come CG a GO , ovvero KF a FH , ossia bg a gB, d'onde nasce appunto/G = gB = AB d' amendue le 5<:a/e della I .a e a.» Figura. Qualora poi il lato o la retta genera- trice medesima viapiù s'avvicini al paralellismo rispetto all' 92, S ti r r L E M E N T 0 ce? asse AK , diminuendosi a proporzione gli angoli BAI, goc^ GOC , ec, cdg, CDG , ec, dessi divengono alfine nulli to- stochè il Cono cocleare prende l'aspetto d'una Fascia spirai le, e fa sì che confondendosi allora CD con DG, ed con dg, ec, e questi diventando tutti eguali infra loro, la misura della di lei superficie unicamente dipenda dalla rettificazione o qua- dratura del Circolo . Si conferma ciò riflettendo al sottoposto Cono HFEK , che si converte allora in Cilindro , ed al lato BD, il quale sul modulo o scala dee prendersi di lunghezza infinita, ed a motivo àtW Infinito logarìtmico ( Coroll." III." della Prop."' fiondi^ ) fa conoscere la ragione d'egualità tra l'area della Fascia spirale di qualunque larghezza, e la cir- colar soito^o?,tdi , entraiinhe descritte sulla superficie dell' istes- so Cilindro . Corollario V Ma qual sarà mai il rapporto di superficie tra il Cono cocleare ed un' altra di lui Projezione , che parrebbe appi'o- priarsegli meglio, come della sua stessa specie, (\nd\ è la po- rietà già chiamata Circolo cocleare! Bisogna ripigliai'e la cosa un poco più da lontano . Costante si è la ragione di "Dd a T)k, perchè uguale all'altra invariabile di FH a FK; non così quella di DG a DO , cioè del lato all' ipotenusa d' un Trian- golo ortogonio , che ha CO secondo lato sempre costante per tutti i punti di AO . Non può dunque esser costante la ra- gion composta delle due soprespresse , eh' è quella degli ele- menti ( o corone intere ) delle Superficie del Cono e Circolo cocleari DOod , DOlk; laonde viapiù s'avvalora il principio oramai stabilito da tutti i Geometri che le pochissime Super- ficie curve, le cui projezioni nella totalità e nelle parti ab- hiano sempre alle projettate, o viceversa, un rapporto dato, e segnatamente quello, diretto, od inverso, del coseno dell' angolo d'inclinazione al seno-tutto, sieno del genere delle sole sQolgìbili o distendibili in piano ( développables ) , cioè Del Sic. Pietro Fekroni . 9! tessute dì linee-rette che vicinissime incontrlnsi , o sian pa- ralelle ; il che non si verifica né del Cono né del Circolo co- cleare per le premesse. E le distendibili sopraddette e ad un tempo dotate della singolarità divisata non sono altro in so- stanza se non che le distribuzioni degli elementi triangolari d'una Superficie conica più o meno allungati , e disposti coi loro vertici su d' un' Elice cilindrica tra le infinite considerate nella l.^ Sezione; di tal maniera che questa proprietà singo- lare sia originaria del Cono retto , e si trasfonda e comuni- chi unicamente al primo e naturai suo derivato . Ed a qnest' ultimo difatti, come al Co/zo, competerebbe quella stessa pre- rogativa , che quasi un secolo dopo parve nuova a Tinseau ed air Estrattista della sua Memoria citata (148), di circoscri- ver cioè sulla di lui superficie degli spazj geometricamente quadrabili in guisa dei Tabernacoli Camaldolensi ^ o per dire anco meglio Tende o Padiglioni a finestre, motivati sotto il primo nome speciale dal Monaco Grandi (149) • Come poi deggia esprimersi quel rapporto dimostrato variabile, agevol- mente si conseguisce osservando che mercè del Corollario an- tecedente essendo precisamente della grandezza medesima le Iperbole equilatere modulari delle Fig.^ a.^ e 5.* , ed essendo perciò il semiasse Ao della seconda eguale ad AB della pri- ma , se BQ rappresenti BD , e BIT rappresenti D/", cioè si divida sempre nella ragione data di HF a FK, staranno tra loro i due elementi considerati, 0 piuttosto le zonule intere, di cui son parti simili , come la retta o raggio tangenziale AQ air altro raggio Ali , e vale a dire come le due ordinate all'Iperbola QP, 110, e le parti finite o gl'interi nella ra- gione dei Spazj quadrìlineari iperbolici BQFA , BIIGA , sem- pre variabile Y una e l' altra variando ascissa . Corollario VI Insegnasi dal Cordi .' III." la compìanazione facile della Superficie d'un Cono coc/eare, qualunque esso sia purché de- r)4 S u p p L E M E N T o ec. scritto con movimento uniforme, o sivvero la riduzione ad un Circolo equivalente , cioè d' area eguale ; e l' istesso si dica delle respettive lor parti , come corone , armille , settori in- teri o troncati . Ma ricorrendo dietro alla traccia medesima del Corollario III.° della Proposizione derivata la Geometria non può suggerire anco il modo d' assegnare un Emicilindroide iperbolico o un Emisferoide ellittico oblato , la cui Superficie nel tutto e nelle parti a quella à^ nn dato Cono cocleare s' ag- guagli . Per ottener quest' intento necessario in primo luogo sarebbe che la Superficie del Cono cocleare stasse a quella AgW Emicilindroide affacciato dalla 4-^ Figura nella ragione data del lato del Cono al raggio della sua base, e vale a di- re come ( Fig." 5." ) BQ a QU, BH a HV , ec. Se dunque le ordinate BA , II©, Qr , HA, ec. dell' Iperbola equilatera si prolungassero in quella data ragione , proverrebbe allora un' altra Iperbola ma scalena, che sarebbe la compianatrice dell' Emicilindroide cercato ; cosicché l'Iperbola ge«e/-a^rice di que- sto dovrebb' avere [ in virtù del Teorema noto di Barrow (i5o) ] le sue normali , condotte dal di lei perimetro sino all' asse se- condario , eguali a ciascuna delle già protratte ordinate . SEZIONE IV Della Superficie dei Solidi cocleari. Tutte le Superficie curve delle Coclee uniformi risolvonsi in corone d'inassegnabilmente piccola altezza di Superficie di Coni cocleari parimente uniformi , come quelle dei Corpi ro- tondi in corone minime di Superficie di Coni retti . Si è dun- que fatto nella Sezione precorsa il passo più grande per giun- gere adesso alla determinazione sintetica del valor della Su- perficie di qualunque Coclea generata dall' equabile rivoluzio- ne spirale d'ogni Linea algebrica o trascendente. Spetta ora soltanto alla Geometrìa delle Curve rintracciare le Quadratrìci di siffatte Superficie elicoidi com'ella adopera per quelle dei Del Sic. Pietro Ferroni . gS Corpi rotondi, subitochè il principio, da cui derivarle , è se- gnatamente r istesso , delle due corone cioè di relazione co- nosciuta tra loro . Egli è questo il pregio maggiore in pro- posito della presente ricerca, che non ammetterebbe ridursi ai medesimi termini semplici casochè in generale il movimen- to si fosse supposto difforme ed espresso da una funzione va- riabile'■) imperocché non potrebbesi allora a meno di non isclo- gliere ogni corona in trapezioli distinti, tali che DOod della 5.^ Fig.* e chiamar poscia in soccorso il Calcolo sommatorio . Sennonché anco nei casi del moto difforme sopra una Spirale cilindrica variamente inclinata s'è assai guadagnato per la Teorìa luìiversale , che ne dipende , colla notizia geometrica del rapporto di quel trapeziolo al conico EFw/r , ed al cir- colare icnografico EF/j , che son gli elementi primi delle re- spettive corone , e secondi delle Superficie curve e piane , al- le quali separatamente appartengono . L'argomento della Sezione attuale essendosi dunque in. genere quasi appieno esaurito nella passata , gioverà solo ad- ditarne Ì7i ispecie l'applicazione ad alcuni Esempj particolari . Escludo da questi quella tal Coclea, che prenda origine dal- la rotazione e progressione allo stesso tempo d'un Paralello- grammo rettangolo od obliquangolo . Imperciocché nell'un ca- so e nel!' altro le Superficie in un sol giro descritte ( interna ed esterna) dai due lati, ch'io dirò verticali, son quelle d'un Cilindro vuoto ossm Tubo cilindrico d'eguale altezza ( CoroZ/." IV .° precedente verso la fine ), e stanno tra loro come le distanze dall' asse comune ; laddovecchè le descritte dai ri- manenti due lati son della classe di quelle misurate nella II.* e III." Sezione, essendo per avventura superficie eguali di Coni o Circoli cocleari . Quando il Rettangolo generator del- la Coclea fosse specialmente un Quadrato , la superficie ester- na insiem coli' /«ferna delle àue fasce spirali agguaglierebbon- si alle due armìlle circolari icnografiche ; e perciò ciaschedu- no dei due Circoli cocleari ( o basi eguali della Coclea ) sta- rebbe alla semi-somma di quelle due Superficie come l'area 96 Supplemento ec'. del Quadrilineo iperbolico ( Fig.'* 2,." ) OQMP ali* altra del Trapezio rettilineo VQMT ( Sez.' 11.'^ Propos.fond. ) postochè le distanze dall' asse si rappresentassero da BQ , e BM sulla scala di proporzione . Quesiti simili ed anche più complicati visolverebbersi di leggieri dietro alle dottrine premesse , e quello nominatamente tra gli altri , in cui si cercasse per ri- guardo a una Coclea generata dalla revoluzion d'un Rettan- golo la ragione dei lati rispetto ad una data distanza dall' asse ^ onde la Superficie interna od esterna riescisse eguale a quella della sua base o Circolo cocleare . Esempio I." Determinare 11 valore della Superficie d'una Coc/ea pro- dotta dal rivolgersi di qualunque Triangolo rettilineo spiral- mente attorno a un Cilindro . Sia ABC nella Fig.'» 6.» il Triangolo generatore; CDEF il Cilindro d'indefinita lunghezza; G,!,!! i tre punti d'in- contro dei tre lati del Triangolo stesso j prolungati quanto bisogna , e dell' asse del detto Cilindro , su cui si rivolge i ON finalmente la distanza dall' asse di quel punto N , che riguardo alla Coclea supposta moverebbesi con una velocità j}rogressiva eguale all' altra di rotazione . Intendo qui sempre, come negli EsempJ seguenti, di par- lare d' un giro solo del verme , o sue parti , poiché non sa- rebbe che replica della misura medesima l'estensione della ricerca oltre a un giro , nelle ripetizioni dei quali giri i lati generatori corrispondenti si mantengono paralelli . Or tutto è disposto nella precedente Sezione all'effetto di confrontare la Superficie di questa FzYe triangolare, sì nell' intero che nelle parti, a quella d'un Solido rotondo, e no- minatamente d' un tronco annulare di Cono retto . E quando ( ammesse sempre secondo l'uso le quadrature ) sia trovata la relazione delie Superficie dei Solidi cocleari a quelle dei Corpi rotondi , il Problema dee dirsi sciolto , perocché gli ultimi Del Sic. Pietro Fbrroni , 97 ultimi hanno le lor Supeificie determinate da regole classiche e formule generali . Col modulo o semiasse proporzionale ON descrivasi dun- que l'indefinita equilatera Iperbola Apollonìana OPQ unita- mente al suo asintoto. Prendansi quinci suU'aj^e secondario le ascisse NR , NS respettivamente eguali a GA,GB, ed al- zate le perpendicolari RTP, SVX , la Superficie della corona di Cono elicoide desciitta da AB starà a quella della corona di Cono retto generata dalla medesima AB come l'area del Quadrilineo iperbolico PRSX alla corrispondente del rettili- neo Trapezio TRSV ; e così coli' istesso metodo grafico trove- rebbesi la ragione delle parti proporzionali , né giova perciò replicarlo in appresso . Parimente tagliate V ascisse NR', NS' eguali ad IC , IB, ed elevatesi le ordinate dai loro estremi, il Quadrilineo iper- ])olico P'R'S'X' starà al rettilineo T'R'S'V nella ragione della Superficie della corona di Cono cocleare generata da CB alla corona conica retta nata dalla circolare revoluzione della me- desima linea . Né diverso é il discorso relativamente alla corona inver- sa prodotta dal moto spirale della rimanente retta AG, terzo lato dell' istesso Triangolo . Imperciocché segnate del pari sull' asse conjugato le ascisse NR", NS" eguali a H'C, H'A, ed innal- zate le respettive normali , la relazione che passa tra la co- rona elicoide prodotta da CA e la conica retta , eh' abbia il medesimo lato, è determinata da quella dell'aree dei due Quadrilinei P"R"S"X" , T"R"S"V" iperbolico e rettilineo . Che se piacesse piuttosto referir le misure di tutte tre le ridette cocleari corone coniche alle circolari armille icno- grafiche delle larghezze BM , BK , AL, ovvero MK ( e vale a dire anco ai di loro eguali Circoli interi ) satisfarebbesi a ciò con altre rette che si staccassero dal centro N dell' Iper- bola, a senso del Corollario II." delia Proposizione unica del- la IH. ^ Sezione , la quale, oltre a contenere il fondamento di tutto, parimente provvede nel Corollario IV ." al caso che il Tomo XV. i3 98 Supplemento ec. lato CA si posasse sul lato del Cilindro, o AB gli fosse pa- ralello, mentre la Sezione II.* risolve l'altro, in cui il lato GB si disponesse ad angolo retto sopra V asse di rotazione. Esempio II." Venga adesso generata la Coclea da una Semi-parabola d'Apollonio ABC ( o semi-segmento contato dal vertice prin- cipale ), e si cerchi la dimensione della di \ei Superficie sen- za la base . Avvertasi che se più fossero i giri , e la Semi-parabola si prolungasse a piacere, i perimetri, ch'io direi verticali, della Curva generatrice non s' incontrerebber giammai, perchè tra loro asintotici . Suppongo pel comodo della Figura fisso il modulo ON, non dando ansa a difficoltà nuova il cambiarlo come piìi piaccia. Si sa che la Superficie àe.W Anello Parabolico nata dalla circonvoluzione del perimetro APB della Semi-parabola data è uguale all'area del Rettangolo, le cui due dimensioni in generale siano il perimetro stesso e la circolare circonferenza, che abbia per raggio la perpendicolare condotta dal centro di gravità di detto perimetro swW asse del Cilindro, intorno al quale s'avvolge la Vite. Ciò presupposto, è sempre agevol cosa conoscere parti- tamente il rapporto di superficie tra un'intera corona mini- ma parabolica cocleare e la parabolica tonda , o la circolare armilla, ch'è projezione or^ogra/zca d'ambedue. Condotta di- fatti la tangente PR della Parabola sino all'incontro coU'a^fj^, e riportata sulla Scala solita modulare da N in T"" , quelle due corone staranno tra loro come OT"" a T""N, e la prima all' armilla ortografica , che ha il centro in S e l' inassegna- bil larghezza PV , come OT"" a PS , dalla cognizione de' quali elementari rapporti, per mezzo delle Quadrature delle Curve ricavasi tosto la relazione delle lor somme . Accaderebbe il medesimo adoperando le tangenti rovesce in proposito dell' 1 Del Sic. Pietro Ferroki . 09 altro semi-segmento della Parabola, la superficie curva del di cui Anello sta a quella del primo nella ragione delle due di- stanze dello stesso centro di gravità del diretto ed inverso perimetro dal citato asse di rotazione . Se l' arco AB della Pa- rabola generatrice facesse parte di UB, ed U fosse il princi- pal vertice della Curva, sappiamo dai Teoremi Ugeniani [iSi) e da' più generali inediti del Lorenzini (iSa) che ]& Superficie deìV Annulo Parabolico ridurrebbesi allora a quella d^ù ri Cir- colo , e perciò vi si ridurrebbe egualmente, previe le solite Quadrature, la Superficie dell' Annulo cocleare . Né può a me- no di non comparire meraviglioso che in tutte le possibili posizioni e diversità delle Linee generatrici la Scala Iperbolica si mantenga sempre invariabile , come la Logistica conducen- te alia costruzione armonica de' Tubi fonici nel Gamma mu- sicale usitato (i53),in virtù della quale Sca/a si venga a de- terminar sempre il rapporto AeXle flussioni per passar quindi a quel Ae' fluenti. Uno dei casi più semplici sarebbe per av- ventura quando V Anello si convertisse ìr\ Conoide parabolico , di superficie eguale ad un Circolo facilmente determinabile (i 54), e la Coclea, in cambio d'essere aperta, si tenesse stretta suU' asse . Allora 1' equazione diventa 7" = apx ; la sottangente a.»r= — ; la relazione tra i due elementi ««««/«ri delle Super- ficie , cocleare e rotonda , eguale a quella tra le semplicissi- me due funzioni j/j^-t-r*/?^ e /=* ( posto r il raggio-modulo); e la Superficie della Coclea chiusa , sì nel tutto che nelle par- ti , ha per Quadratrice la Linea di quarto grado , facilissima a costruirsi per fwnti, y'^—p^x^-\-ry^ = o, e vale a dire ( con- tata y qualunque sulla Semi-parabola genitrice ) agguagliasi a ts moltiplicato per Varca della medesima Linea referita all' asse delle j, dove ct rappresenta il numero trascendente, co- gnito e fisso , della circolare Circonferenza , che abbia i per raggio . Dalla Quadratrice o Compianatrice oror divisata si conseguisce eziandio la collocazione del centro di gravità o d equilibrio della Superficie paraboloido-cocleare descritta, co- ICO Supplemento ec* me analoga all'area della medesima, e nel tutto e nelle par- ti proporzionale . Esempio III. Chiedasi finalmente il valore della Superficie d'una Co- clea serrata , la quale proceda dalla rotazione e progressione d'un Semicircolo A'B'H , il cui raggio C'B' eguaglisi al modulo, e dia perciò la velocità massima rotatoria , eh' è quella del punto B', eguale aWsi progressiva uniforme lungo AeW asse . Trovata che sia la Superficie cocleare generata dal solo Quadrante superiore A'B'C , raddoppiandola s'ottiene l'intera generata dalla Semi-circonferenza, a motivo dell'eguaglianza e similitudine dei due Quadranti . Tanto nell'ipotesi scelta della Vite chiusa, quanto nell* alti'a della Vite aperta che si scegliesse , anco prodotta dalla circonvoluzione spirale d' un Circolo intero , si verifica il ca- so della tangente infinita nel punto di congiunzione dei due Quadranti B', B", B'"; ma tuttavia la dottrina proposta ( come l'Infinito logaritmico venne a proposito nelle Sezioni ante- riori ) non abbandona il Geometra , che faccia uso della me- desima solita Scala, il punto T"" andando allora a distanza infinita dal centro N, e le due rette OT'"', T""N facendosi eguali per dimostrare che la fascia minima a chiocciola s'u- guaglia alla sferica od annulare , che in tutti quei punti si confonde colla cilindrica . Avendo nominata per incidenza la Coclea aperta si tor- na a dire che le due distanze de^ centri di gravità delle Se- mi-periferìe circolari dalV asse del Cilindro stabiliscono la ra- gione, che passa tra la Superficie annulare esterna ed inter- na, ma che questa regola diventa fallace nella comparazion delle cocleari, come quella che già s'è dimostrata non sussi- stente parlando dei loro elementi ( CoroU." Vili." Sez.« JI.^ e Coroll.** IV .° Sez.« IH.» ), che sono le minime superficie de' tronchi conici cocleari . Del Sic. Pietro Ferroni .' loi Condotta adesso da qualunquesiasi punto X del Quadran- te generatore la tangente XZ, ed insiememente la normale XY sopra l' asse , ed il raggio G'X , e sapendosi esser C'Z a , ZX come C'X a XY , cioè come C'X per l'archetto minimo a XY pel medesimo archetto , cioè come «r per C'B' per l' ar- chetto a or per XY per l'archetto, o alla corona minima dei- Idi Superficie emisferica , l' elemento della cocleare corrispon- dente resulta eguale a n pel raggio C'B' per l' archetto , e cosi la cocleare emisferica eguale a vf pel rettangolo del Qua- drante A'XB' nel raggio C'B' , laddove la rotonda emisferica eguagliasi a or pel quadrato del raggio C'B' suddescritto . Mentr' adunque la Superficie del Cilindro cocleare circo- scritto conservasi eguale a quella del Cilindro circoscritto al- la Sfera ( Sez.» III.» Goroll." IV .° in calce ) , all'incontro la Su' perfide della Vite generata dal Semicircolo sta a quella della Sfera dal medesimo nata come un Quadrante di Periferìa cir- colare al suo Raggio , o come la Semi-circonferenza al Dia- metro , che è quanto dire dipende a pari della seconda la prima dalla sola rettificazione o quadratura del Cerchio; im- perocché bisogna moltiplicare per -, coefficiente costante, la Superficie sferica affine di conseguire la misura o compiana- zion della cocleare; e l'istesso ha luogo AaW emisferica T^ns^ar volendo a conoscere la dimensione dell'ultima configurata in guisa di Volta spirale rampante sul cattivo gusto Borromine- sco della lanterna della Cupola della Sapienza di Roma (i55). E se in virtù del Teorema bellissimo d'Archimede la Super- ficie di tutta la Sfera sta a quella d' una sua zona o callotta qualunque , e queste zone o callotte stanno tra loro a vicen- da, come Vasse intero all'altezza corrispondente , o come le respettive altezze;* se per dividere in parti eguali o in qua- lunque data ragione la Superficie sferica , o una delle parti sunnominate, basta dividere in questa ragione o in parti eguali tutto r/nca , che provenisse dalla sezion Ae\V Anello ge- nerato dalla circonvoluzione del Semicircolo stesso attorno ad EL , tagliando V Anello per mezzo d'un piano, che passasse pel diametro del Semicircolo , e fosse a questo normale . E dal- le sezioni degli altri Anelli in una direzione qualunque deri- verebbero l'altre ^/ricAe più o meno intrecciate, annodate, Del Sic. Pietro FKRRowr . iii clipeiformi, ec, ma rientranti sempre in sé stesse , e trasceri' denti allor quando, come in tutte le Coclee, il piano segan- te o tagliasse difatto o incontrar potesse le influite di nume- ro rivoluzioni o giri d'una Fite ■, che di sua indole non ha fine (i86). 5." Dato che il Semisegmento P generator della Coclea appartenesse ad una Parabola d'Apollonio referita all'a^^e suo o diametro principale , e che avesse il proprio vertice tanto distante quanto lo è per appunto dalla medesima parte Vasse EL del Cilindro, il volume della Vite farebbesi eguale a quel d'un Paraboloide dell' istessa altezza di P, e dello stesso pa- rametro (187) . Rendesi più generale il Teorema osservando che poste le medesime condizioni , qualora il Semisegmento fosse d'Ellissi od Iperbola , la Spira o Fite di prima revolu- zione sarebbe , per la teorìa delle Coniche eguale sempre al volume d' uno Sferoide o Conoide . Nel caso poi che P , R fossero i due Semi-segmenti d'una stessa Parabola situati a destra e sinistra del comune primario lor vertice., la Fite na- ta dalla circonvoluzione di P a quella prodotta da R stareb- be, per riguardo ai volumi, in una ragione assegnabile anco indipendentemente dalla ricerca del centro dì gravità dell'uno o dell'altro Semi-segmento. Torricelli la dà senza prova, e la deduce da un principio più universale, parimente non di- mostrato da lui, ma suscettibile d'elegantissima e non diflB- cile dimostrazione (188). Qualunquesiasi Figura piana ( egli scrisse ) divisa da un asse AD in due parti simili e uguali ( Fig.' IO.") P, R, che colla rotazione intorno a BF descriva un Anello, darà sempre il volume di quella parte generata dalla mezza-figura P al volume dell'altra generata dalla re- stante mezza-figura R come due Rettangoli per Vasse DACE più tutta l'area della Figura generatrice ai due stessi Rettan- goli meno la genitrice medesima; e l' istessa proporzione varrà in conseguenza rispetto alle due parti di Coclea . Difatti il Solido P si risolve in tubetti cilindrici aventi per basi armille circolari rappresentate dai rettangoli di 01 in IS, mentre quelle iia Supplemento ec' del Solido R si rappresentano da' rettangoli di IQ in QN ov- vero 01 in QN , e stanno i primi ai secondi come IS a QN, o come IN-i-NS a IN — NS , o sivvero come alN -t- aNS a 2IN — 2,NS , eh' è la ragione appunto indicata. Applicandola adesso al singoiar caso della Parabola, in cui l'area della Fi- gura s'uguaglia al rettangolo di due terzi della l'etta LM nel- la medesima altezza AD , o BF , la general ragione suddetta diventa particolare , e si cambia in quella di aED -H f LM a aED — fLM, cioè di 4FD-HfLM a 4FD — |LM, ossia 4FD -H I DL a 4FD — I DL , cioè aFD-i-FD h- DL a aFD ■+- FD — DL, ovvero aFD-nFL a aFD-t-FM, nella qual semplicis- sima proporzione saranno perciò i due Solidi annulari e co- cleari ^ respettivamente esteriore e interiore (189). Annuncia oltrediciò Torricelli (190) che se P s' invertesse in maniera che LD stando ferma prendesse D il posto di L, e vicever- sa , ed il Semi-segmento si ripetesse capovoltato col vertice in Y, e DL si tagliasse egualmente in X,V nella posizione R', il volume deW Anello parabolico o Fite P a quel deW Anello o Vite R' starebbe nella ragione di FX a FV ; poiché coli* istesso discorso delle armìlle si proverebbe che il primo al secondo Anello ( e cosi delle Coclee ) sta come aFD -4- f DL a aP'D ->t- f DL , cioè , prendendone le metà respettive , nella ragione predetta; laonde, per avere i due Solidi eguali, con- verrebbe disporre l' inferiore Semiparabola facendo scorrere in avanti il punto L sino a V , e situandola quale apparisce dalla Figura . Scolio generale. Ciò che non fece e dovea fare il Viviani circa un secolo e mezzo indietro a perpetuo decoro della gran mente del Torricelli (191), non sarà discaro che siasi oggi intrapreso in Toscana per aggiunta e corredo {pendant ) delle Opere edite ida questo valente Geometra ed a molti titoli irrefragabili ve- ramente immortale . Non è già retrocedere , ma progredire in R-T E IVr A T E M A T re A ^ocJlgl.T.JCK;^. U2 — -^ ' V \ / // X T « x^- z \r A /,"v' V R O TI Q H D 7 « r ■ *c TT^ hW o ^ M X >• 4-^ -^ 'E MATEMATICA J'cc JtaLTXK^.112 Tau.m. PARTE M A T E M A T I C -^\ J'^c Sfai. 1XK„UI 2 G< H tc; 8 T S D/v-' Del Sic. Pietro Fekroni . li3 in applicando la pura Geometria elementare a Problemi , eh' essa non avea tentato risolvere, e massimamente sulla misu- ra di Superficie^ la cui equazìon generale non può mai esse- re algebrica. Di quanta sublimità, sottigliezza, e nitore ad un tempo sia capace la Sintesi figurata o lineare che debba dirsi ( et quod palmarium est., come s'espressero gli Eruditi di Lipsia {ig2,)^ ad Feterum methodum), oltre alle più delle superbe dimostrazioni, che sono sparse nei Principi di Newton, havvene una luminosa conferma nelle ricerche ammirabili di Maclaurin (igS), commendate a ragione da Lagrange (iq4) e Lacroix (igS), sull'attrazione delle Sferoidi. Platone e Teon d'Alessandria, volgarizzati dal nostro Marsilio Ficint) (i(j6), nel contrapporre alla Sintesi V Analisi lineare., si ben circo- scritta da Pappo (197), non ebbero altra mira che quella d'aprire coli' ultima una via nien diretta per arrivare alla Verità , casochè questa nelle più spinose quistioni si rifiutas- se di cedere all'ordin solito e naturale del raziocinio geo- metrico . Tomo XV. i5 ii4 ANALISI E SOLUZIONE SPERIMENTALE DEL PROBLEMA DELLE PRES3I0N I Del Signor Paolo Delances . Ricevuta li 8 Marzo 1810. INTRODUZIONE . chiunque legge gli Atti di questa scientifica Società , sem- brerà certamente, che l' Italia siasi determinata di dare la solu- zione, o di mostrarne l'impossibilità, d'una tra le più ardue questioni che alla statica de' solidi appartengono, e cui può in questi termini enunciarsi . " Giacendo un corpo con piedi ad 5, esso annessi sul piano soggetto, o sopra sostegni di cui le „ estremità sieno nello stesso piano; trovare la pressione, os- „ sia la parte del peso di detto corpo che gravita sopra ciascu- „ no de' punti nel primo caso, o degli appoggi nel secon- „ do „ . Ognun poi intende che l' essenza del problema consiste nelle due supposizioni " 1° che la sodezza degli appoggi de- „ ve esser tale da sostenere almeno ciascuno da per sé anche „ l'intei'o peso del corpo. II." e che esser deve la sua rigi- „ dezza tale che inflessibili rimangano le sue parti che spor- „ gesserò fuori degli appoggi per T azione del peso ad esse „ spettante „ . Qualunque però sia il risultato delle serie applicazioni fatte si da' passati che da' presenti Geometri in- torno a cosi interessante e famoso problema, convenir è duo- po , che quantunque non fossero compiutamente riusciti nell' intento loro,, le immaginate ipotesi ed i lumi sparsi da essi, inutili non debbono reputarsi per chi di nuovo ne volesse tentare l' impresa . Innanzi pertanto di esporre ora gli studj che su questo particolare io ripigliai colla scorta dell'espe- rienza , in quanto può esserne esso sottoposto , mi credei in Del Sic. Paolo Delanges . Ii5 dovere di richiamare qui le obbiezioni che sono state fatte a quelli che ho già pubblicati , manifestando con ingenuità la mia persuasione per quelle che mi convinsero; e di rappre- sentare nello stesso tempo pure succintamente i metodi pro- posti e le opinioni degli illustri Autori che sull'argomento stesso trattarono , il che feci osservando per ogni riguardo r epoca de' loro scritti , onde trarre e i-accogliere tutte quel- le nozioni che mi comparvero utili a maggiormente diluci- darlo . §•1 Dal primo istante ch'io rivolsi la mente a siffatta que- stione , ho pensato , come tuttavia sono di parere che se *' sieno quanti si vogliano i piedi co' quali un corpo giace „ sopra un piano immobile ed orizzontale, o sostenuto ven- ,, ga da appoggi di cui le estremità situate sieno nello stes- „ so piano , la pressione sofferta da ciascun punto dipender „ deggia dalla posizione respettiva che ha verso gli altri, e „ verso il centro di gravità del corpo; come appunto avvie- „ ne se è sostenuto in equilibrio da un solo sottoposto al „ detto centro , ovvero combinato coli' azione d'ima potenza „ che agisca in direzione contraria a quella della gravità; o „ da due appoggi ad esso sottoposti ( Tom. V Società Italia- „ na delle Scienze ) ,, ; e quindi seguendo questa massima condussi rette linee dai punti d'appoggio al centro di gravi- tà del corpo . riducendo il problema a quello d' un vette di tre 5 quattro ec. braccia o rami , ed avendo otteimto un rl- sultamento determinato pel caso dei tre appoggi in triango- lo , col supporre tre istantanee rotazioni intorno al tre assi menati perpendicolarmente ai tre rami, e coll'Instituire le tre equazioni proprie del principio meccanico de' momenti o delle minime azioni ; passai alla soluzione del caso dei quat- tro appoggi , come si vede nella citata mia Memoria al pro- blema II , in cui, chiamando qui quella figura IX col numero I, 1 16 Analisi delle Pressioni. essendo G il centro di gravità del corpo che riposa con quat- tro piedi ne' punti A B C M sul piano soggetto, trasformai il problema in quello del vette a quattro braccia che deno- minai AG=:a, BG = Z', CG = c, MG = d , alle cui estre- mità condotti ad angoli retti gli assi RAI, DBE, FCP, ZMQ, calai ad essi le perpendicolari, nominandole come segue, AD=/, AH = g, AQ = ^, BI = /i, BF = /, BZ = À,CE = m, CL = n, CS = y, MR=jj, MN = ^, MP = o . Fatto ciò in- stituii le quattro equazioni (i) (a) (3) (4) (i) . . . . Ag-f- B/-+-Mo = Gc {•2) . . . . Ad -h BÀ -¥■ Cy = Gd (3) .... A/-t- Gm -^Mq = Gb (4) . . . . Bh -+-Gn-^Mp = Ga convenienti ai detti quattro assi di rotazione, dalle quali de- dussi le formole esprimenti le pressioni sentite da ciascuno de' quattro appoggi . Gotali formole aveano per comune de- nominatoi'e ( hò"(.) ■+■ gpÀ — Ipd ) {m-i-g)-i-fo{nZ — hy) -\-flpy ed il numeratore per esempio della frazione che deffiniva la pressione in A , era ( dho -H cpX — aoX — Ipd )\^m-^q)-\-h(a{nX — hy^ -t- hlpy . Non riferisco le altre tre formole, perchè ciò non abbisogna. §. II Nel successivo Tomo VI trattò il Sig. Paoli da grande Geometra questo problema, e convertendolo in quello di cer- care le forze necessarie a rattenere un piano orizzontale in equilibrio aggravato in un dato punto da un dato peso, me- diante tre, quattro forze ec, applicate a tre, quattro punti ec. dati di posizione sul piano stesso, e che agiscano in direzio- ne opposta a quella della gravità , stabilisce , che una delle equazioni per la soluzione del problema sia quella che dà il principio meccanico delle velocità virtuali o istantanee , per impedire al piano suddetto il movimento di discesa, cioè, che Del Sic. Paolo Delanges . 117 la somma delle forze sostenenti , eguagliar deve il peso che lo aggrava nel fissato puntole col supporre poscia due istan- tanee rotazioni del dato sistema intorno a due arbitrar] assi, deduce pel principio de' momenti altre due equazioni con- chiudendo ( pag. 538, Tom. cit. ) che se tali tre equazioni soltanto " avranno luogo , sarà impedito al piano qualunque „ moto progressivo e di rotazione, e quindi egli sarà in equi- „ librio „ . Siccome poi, com'ei dice ( pag. 53g , Tom. cit. ) „ i principi della meccanica non ci danno per determinare „ le pressioni esercitate da varj appoggi di un corpo che le „ tre suddette equazioni , ne segue che il problema si potrà „ risolvere quando tre sono gli appoggi , ma resterà indeter- „ minato , quando il numero degli appoggi è maggiore „ . 0 per meglio dire , concliiude il prelodato Autore ( pagine 536, 537, Tom. cit. ), che il problema " è indeterminato 5, quando gli appoggi sono più di tre , o quando gli appoggi „ sono in linea retta ; e nel caso dei tre appoggi non in di- „ ritto che le soluzioni de' Signori Euler, Bossut, e Delanges „ sono esatte , e son comprese tra le infinite soluzioni che „ si possono dare di questo problema differenti di aspetto , „ ma in sostanza conformi „ . S- ni Ma avendo io considerato in seguito nella seconda mia Memoria ( Tom. Vili, P. I ), che coll'ipotesi del Sig. Paoli trasmutasi il problema degli appoggi nell' inverso problema di trovare, cioè, dato il centro di gravità, e la somma d'un sistema di corpi, il peso di ciascuno di essi, oppure, data la resultante d'un sistema di forze verticali , il valore di cia- scuna di esse, data già essendo si nel primo, che nel secon- do caso, la posizione respettiva de' corpi, o delle forze com- ponenti il proposto sistema : e fermo io altronde che nel pro- blema degli appoggi devesi riguardare il corpo non già so- stenuto, ma con piedi ad esso annessi poggiato sopra un piano 1 1 8 Analisi d£lle Pressiomi immobile ed orizzontale , ovvero giacente sulle sommità esi- stenti in un piano orizzontale di sostegni inconcussi che sor- gono dai piano sottoposto ; intrapresi nella summentovata Memoria a trattare l' enunciato statico problema inverso , e mi lusingo di avere geometricamente dimostrato , che nell' unico caso della ricerca delle tre forze in triangolo, data la resultante , il detto problema è determinato , non differendo perciò da quello degli appoggi; e che appunto a questa com- binazione voluta, dirò così, dalla natura, è da attribuirsi l'i- dentità de' resultati della soluzione Euleriana , nella quale ammette esser sufficiente, per ottenere l'equilibrio nel dato Sistema , l' istituzione di due equazioni dipendenti da due ro- tazioni di esso intorno a due arbiti-arj assi , dovendosi assu- mere per terza quella della somma delle pressioni; e dell'al- tra proposta dal sommo Geometra Sig. Bossut fondata sulla teoria del centro di gravità , con quelli che dalla mia si ri- cavano , senza introdurre l' equazione della somma predetta , dando spontaneamente la teoria de' momenti , applicata nel modo da me indicato , le tre equazioni necessarie alla solu- zione determinata del problema . S- IV Non ostante ciò giudicai opportuno per confermare il mio metodo d'imprendere un'applicazione pratica delle for- mole che avea trovate pel caso dei quattro appoggi agli an- goli d' un trapezio , come riscontrasi nella sunnominata Me- moria , ed essendomi comparsi valori determinati per le pres- sioni su i quattro appoggi, e che insieme presi eguagliavano il peso totale del corpo supposto , mi parve in tal guisa di avere compiutamente sciolta l' agitata questione ; quando ec- co, che nel Tom. IX il Sig. Pao/i, immutabile nella già spie- gata sua massima ripete, che " in luogo di cercar le pressio- 5, ni esercitate sopra i punti di appoggio da un corpo soste- „ nuto sopra un piano immobile „ possano sostituirsi " alle Del Sic. Paolo Delanoe? . irg „ pressioni ne' punti d'appoggio delle forze attive in senso „ contrario ,. e cercare " l'equilibrio di un piano mobile spin- „ to da una parte da queste forze attive, e dall'altra dal „ peso del corpo „ né trovando errore nel calcolo dell' assun- to a)io esempio, prese il lodevole partito di esaminare la ri- duzione delle quattro equazioni primitive dalla mia ipotesi somministrate, e quindi conobbe; che a me " era occorso uno sbaglio nelle formole generali „ danti i valori delle ri- cercate pressioni, nella prima mia Memoria (Tom.V), cioè *' che il denominatore comune ai valori delle quattro pres- ,, sioni , è il seguente {hdo-i-gpZ — Ipd) m-¥- [ghy-^lnd — gnÀ) q-\rfa{nX — hy) -\-flp*i „ e che il numeratore ., per esempio , della formola che as- „ segna la pressione sul punto A , deve essere ( dho -¥■ cpX — aXa — dlp ) m -i- ( din -f- cA» — cnX — aU ) q -^bo{nA — ^K ) -H blp'i . E così è certamente . Le variazioni che passano tra queste e le espressioni date da me al 5- I si rilevano con il semplice confronto . S- V Il palesato errore in cui io sono incorso , avvertiti ci ren- de di non doversi fidare , che esatto sia il calcolo da cui una formola viene dedotta , quantunque presenti essa risultati ra- gionevoli in alcune sue particolari applicazioni . In fatti è forse irragionevole il risultato che dà le mie formole , che eguali sieno le pressioni sopra i quattro appoggi nella circo- stanza che sieno disposti agli angoli d'un quadrato, o d'un parallelogrammo qualunque , nel di cui centro cada il centro di gravità del corpo ? Poteva io dubitare della verità di esse quando in una data posizione irregolare degli appoggi , mi presentarono quattro valori distinti, determinati, e di cui la somma pareggiava il peso intero del corpo ? È osservabile pe- rò , che se le formole in questione corrette , come trovò il 12,0 Analisi delle Pkessiomi . Sig. Paoli, ne' due casi indicati, danno valori della forma ^, cioè indeterminati, concorrono nuilameno colle surrogazioni di a = i ( A -H 7i -(-/>' ) , é = i{/-4-w-+-7), e =i(g-HZ-l-o), e d=z\{d -\- X-^y) convenienti al noto teorema Guldiniano , a. comprovare il teorema II, che dimostrai nella già accennata prima mia Memoria ( Tom. V ) , cioè , che " Qualunque sia il „ numero de' punti di appoggio, se il punto in cui cade nel „ piano di essi la verticale che passa pel centro di gravità „ del corpo, è centro di gravità di supposti pesi uguali col- „ locati ne' punti medesimi, gli appoggi sono aggravati ugual- „ mente „ . Riservandomi di parlare sul caso degli appoggi situati in direzione rettilinea , ricorderò qui , come menta d'essere ricordato, che dopo l'esame che fece il Sig. Paoli de' miei e degli studj altrui, come si vedrà in seguito, con- venne pure col parere de' sommi Geometri Euler , d'Alem- bert^ e 5o5iM*, esprimendosi così "dopo i varj tentativi che , sono stati fatti per risolvere il problema degli appoggi mi confermo sempre più nella mia opinione; che, finché non sarà scoperto qualche nuovo principio di statica, quelli che , finora si conoscono, saranno insufficienti a determinare le pressioni sofferte da più di tre appoggi , a meno che non si unisca ad essi qualche particolare supposizione „ . S- VI Nel Tomo VII havvi la Memoria col titolo Dell'azione d'un corpo retto da un piano ec. del Sig. Cav. Lorgna . Con- chiusi io ( Tom. Vili P. I ), che siccome il metodo da questo Autore proposto, tirate a cagion d'esempio le diagonali AC, BM ( Fig. II ) nel trapezio ABCM " ai di cui angoli stanno „ disposti quattro appoggi A, B, G, M, e supposto cadere „ il centro di gravità G del corpo dentro i due triangoli „ ABM , ACM „ conduce al concreto risultato " che l'appog- „ gio B soffre la metà della pressione, che soffrirebbe se so- „ stenuto fosse il corpo dai tre soli appoggi A, B, M; l'ap- » poggio Del Sig. Paolo Delangks. laT „ poggio C la metà di quella, se sostenuto fosse dai tre soli „ A , C , M ; e che la pressione sull'appoggio A è la metà „ delle due pressioni che porterebbe negli accennati due ca- „ si , e così quella dell'appoggio M „ conchiusi dico " che ,, per non giudicare arbitraria l' enunciata distribuzione del „ peso del corpo su i quattro appoggi, bisogna dimostrare „ il teorema, oche l'ipotesi da cui esso immediatamente ne „ deriva, convenga al problema da risolversi „. Il S\g. Paoli non esitò di dire ( Tom. IX ) che " la soluzione del Cavalier 5, Lorgna è appoggiata ad una ipotesi così capricciosa , che „ sembra impossibile sia per essere da alcuno abbracciata „. Nel suddetto Tomo Vili , P. II si legge la Memoria del Sig. Malfatti " Tentativo sul problema delle pressioni ec. ,, . Sono degne d'un eccellente Geometra le osservazioni che fe- ce lo stesso Sig. Paoli anche sul metodo immaginato da que- sto Autore , dimostrando come può vedersi nel sopra citato Tomo IX , che si ottiene con esso una soluzione " che non oltrepassa di molto i confini di una ipotesi ingegnosa „ . S- VII È decorato il Tomo X, P. II della pregevole, non dirò Memoria, ma Opera, e che giustamente porta il titolo " I prin- cipj della ^Meccanica richiamati alla massima semplicità ed evidenza „ del chiarissimo Collega Sig. Ferroni in cui riluce e il suo genio veramente geometrico nell' agitare le più subli- mi questioni fisico-matematiche, ed insieme la vastissima sua scientifica erudizione. In siffatta Opera pertanto nell' appli- care il prelodato Autore x suoi principi a parecchi difficili problemi meccanici, non dimentica anche quello degli appog- gi, ed è suo sentimento , che per arrivare alla completa ed esatta soluzione di esso , necessario sia il soddisfare alle con- dizioni " pag. 574, I ."^ che la somma delle pressioni di tut- „ ti insieme gli appoggi equivalga precisamente alla forza 5, unica da sostenersi j 2.,°- che rimanga ad un tempo elinii- Tomo XV. 16 122 Analisi delle Pressioni. „ nata e distrutta ogni tendenza del sistema alla rotazione ; „ 3." che dal centro delle inedie distanze d'un sistema qua- „ lunque di punti si propaghi sopra i medesimi con eguale „ scompartimento la forza che in esso risieda ec.„. Quindi inammissìbile riguarda " la maniera ideata da Lorgna de' due „ sistemi attivo eò. inoperante d'ogni ternario d'appoggi per „ la falsità del principio „ " che gli appoggi medesimi „ tutti insieme sostengano una forza maggiore della premen- „ te , e che poi con un' ipotetica regola di proporzione deb- „ ha ridursi alla rigorosa eguaglianza „ . Dimostra redargui- bile il piano Malfatti perchè " dipendente da un'analogia „ non abbastanza provata, e piìi pel motivo ch'esso repu- „ gna „ alla terza delle riferite condizioni; il che conferma coir esaminare i risultati singolarmente del caso in cui esi- stano gli appoggi agli angoli del Romboide , o del Rombo ; ed è consona la di lui conclusione sopra tale metodo a quel- la del Sig. Paoli ( §• VI ), vale a dire " che incerto egli sia „ il cammino retrogrado per via di vetti, aperto in sequela „ della nuda analogìa del triangolo „ pag. 576. Così stessa- mente conviene che il Sig. Paoli abbia (Tom. VI) " vitto- „ riosamente provata insussistente, e scevra d'incongruenza 5, nel caso unico del tre appoggi in triangolo „ l' ipotesi Eu- leriana ec; e lodando in ultimo assai più di quello meri- tano i miei studj intorno , com' egli con fondamento dice " a quest'oscuro ed astruso problema ,, è persuaso, eh' io debba convenire " giusta i rilievi esatti di Paoli, 1 ." che „ il problema del quale si tratta, altro non sia che un' equi- „ librazione di forze; 2..° che in conto di queste forze deb- „ bano annoverarsi le reazioni degli appoggi „ da me " con- „ cesse in principio, e dipoi ritrattate; 3." che due soli as- „ si di rotazione s'abbiano da contemplare a piacimento in „ un piano per l' egualità dei momenti , poiché introducendo- „ ne altri , l' equazioni nuove che si ottenessero per satisfare „ alle condizioni dell' equilibrio ;, non sarebbero indipendenti, „ ma identiche colle prime, siccom'è teorìa già fissata, non Del Sic. Paolo Delanges . 12,3 „ che dalla Statica , dalla Geometrìa elementare „ . Io non ho giammai dubitato che il problema degli appoggi non sia, parlando in senso astratto , un problema di equilibrazione di forze , ma ho sostenuto , che la di lui condizione è ben di- versa da quella del problema notissimo di un sistema di for- ze agenti in direzione verticale, cui è di natura sua indeter- minato , eccettuato il caso dei tre appoggi in triangolo ( 5- IH ). Confesso pure che nell'occasione di trattare nuovamente la soluzione del caso degli appoggi in linea retta (Tom. Vili, P.I), conobbi , che per convenientemente usare il principio de' momenti , o delle minime azioni , onde mantenere il proble- ma generale degli appoggi nella sua naturale condizione (5-111) essere duopo piuttosto , che supporre le istantanee rotazioni provenienti dalle rotazioni istantanee degli appoggi , il sup- porlo relativamente all'istantanea cessione del centro di gra- vità del corpo , considerando sempre che ogn' uno di essi fac- cia a vicenda la funzione di centro del moto . Per reputare poscia certo il terzo su rapportato precetto, bisognerebbe che assurda riuscita fosse la mia soluzione per i tre appoggi in triangolo , perchè fondata sopra tre , e non due soli assi di rotazione ; ma essendo essa difesa da geometrica dimostrazio- ne, non può perciò asserirsi che la comune accennata teorìa, che vale per V equilibrazione d'un sistema di forze verticali, valga insieme per determinare le pressioni in un sistema di appoggi generalmente , §. Vili Sugli esami fatti degli studj altrui , e da me ora cora- pendiosamente raccolti, propone il Sig. Ferronì un metodo molto ingegnoso per la soluzione del problema in controver- sia , e di cui per lo scopo prefissomi in questo mio lavoro , conviene che ne produca qui l'esposizione sua propria. " Ma „ veramente non havvi egli mezzo di risolvere questo pro- ,. blema difficoltoso relativo agli appagali senz'analogìa di furi' ifi4 Analisi delle Pressioni . 5, zioni ■, salve tutte le regole della statica, e d'avei'ne sem- „ pie una soluzione determinata ? Io sono andato meco me- ,, desimo divisando, che potrebbe pur essere infra i tanti ,, possibili il modo speciale di distribuire una forza sopra gli „ appoggi , che si realizzi in natura . (jiielio di cui vado a „ darne un brevissimo saggio . Siano quanti mai si vogliano „ appoggi (Fig.III) A, B, C, D, E, ec. , la forza P pre- „ mente in I , ed O centro solito delle medie distanze dei „ punti dati. Congiungasi I con 0 mediante la retta IO, e ,, questa si prolunghi dalla parte o]iposta a quella del centro „ suddetto , rapporto ad I , fino all' incontro in M col lato „ DC, o col vertice dell'angolo C quando occorra. Spartita „ la forza premente come porta la leva OIM in due forze 5, parziali, una F .— che agisca in 0, l'altra F . ■— che sol- „ leciti in M la leva CD , o il punto solo C, la prima si sud- „ divide egualmente pei priucipj premessi su tutti gli appoggi 5, assegnati ; mentre la seconda o preme unicamente C , o si „ ripartisce tra C e D a motivo della frapposta leva GMD, „ in due giunte di nuove forze , cioè quanto a C espressa j p 01 DM T^ j TH 01 CM , , " ^^ ^MÓ • D^' ^ P^'' ^ ^^ ^ -MO • 5C' "^^ 'l"^* '^^P^'- „ to di forze ognun vede, che se gli appoggi A, B, C, D, „ E, ec, sono a di numero, ciascheduno di loro ( rae- • J n n\ 4- ì ■ FMI.. „ no 1 due L , D ) sopporterà !a pressione — . j^ , i rima- „ nenti C , D respettivamente — . — - -+ ^ n MO „ -H F . — . — — , salvandosi insieme tutte e tre le sopraenun- „ ciate fondamentali Regole dell' equilibrio . E nel caso che ,, M cada in C , questo unico appoggio sofiViià il carico equiva- , ^ F MI T^ 01 _ /MI-FU. 0I\ ^ ^. ,. ,^ . „ lente a — . r^Tr-t-F . — - =F I ^777- h ^ tutti gh altri n MO MO \ " ■ MO / ° T-. / MI \ . ^ . 55 a t I I per ciascuno „ . Successivamente lu compro- n MO ' 01 DM MO ■ DC ' F n MI • MO Del SiG. Paolo Delanges. laS vazione di tale suo metodo fa vedere il Sig. Ferroni che ap- plicato ai tre appoggi in triangolo dà quel risultato " elle volontieri si presta a tutti i metodi sin qui adoperati dagli Analisti ,, : risultati poscia egualmente ragionevoli dimostra che esso somministra applicandolo al Bomisco , ponendo ec~ centrica la forza premente in un punto qualunque del suo asse che taglia per mezzo i due lati opposti paralleli , come eziandio supponendo gli appoggi situati agli angoli d'un po- ligono regolare . Nullan)eno sembra che di tale soluzione non ne sia rimasto esso interamente convinto , mentre opina in fine che "Pochi esperimenti d'abili Operatori, e su pochi punti d'appoggio sarebber valevoli a decifrare il mistero ec. „. S- IX L'illustre Collega il Sig. Cav. Araldi diede col titolo di Esame di alcuni tentativi di soluzione di un famoso proble- ma di Meccanica Statica^ una Memoria nel Tomo XIII P. I, in cui dà nuove pi'uove dell'acutezza sua d'ingegno, e dell' esteso e profondo suo sapere . II di lui assunto pertanto si è di mostrare che il problema degli appoggi sia " non già re- „ lativamente ai principj meccanici fin ora impiegati , ma per „ propria indole ed essenzialmente indeterminato (pag. ioi)„. Quindi sostiene con nuove lagioni, convenendo col Sig. Pao/ì ( Tom. VI ) , che illusoria si è l'ipotesi Euleriana^ eccettua- to il caso dei tre appoggi in triangolo per cui dà " quella 5, stessa determinata soluzione a cui guidano i principi ordi- „ narj della Meccanica ( pag. 77 ) „ e che cosi pure difettose ed insussistenti , fuori , che in detto caso , riescono le solu- zioni proposte da me ( Tomi V, Vili, P. I ); dal Lorgna { Tom. VII ), dal Malfatti ( Tom. Vili, P. II ), né fa cenno venmo di quella del Collega Sig. Ferroni inserita nel Tom. X, P. II , e di cui ne ho fatta la succinta esposizione nell'ante- cedente paragrafo. Estimabile ed utile è l'enunciato lavoro del prelodato Sig. Cav. Araldi e singolarmente pegli schia- ia6 Analisi delle Pressioni rirnenti che porta sulla metafisica de' principi statici. Lonta- no però io dal pretendere di proferir parere su le obbiezio- ni che fa agli studj degli altri Autori, siami concesso per ciò che dice riguardo al mio, di manifestare ch'io non posso con- vincermi che dedurre debbasi dall'osservazione che un corpo è sostenuto egualmente in equilibrio da una forza che equi- valga al suo peso applicata ad un filo verticale che passa pel suo centro di gravità , come da un sostegno che collocato sia sotto il corpo nella direzione medesima, che il problema del- le pressioni d'un corpo sugli appoggi sia "identico a quel- lo dttUa ricerca „ delle forze parallele data la resultante . Alle considerazioni che ho già fatte e rammemorate ne' su- periori paragrafi contro la stessa proposizione per cui altri Autori pure si dichiararono in qualche guisa fautori , trovo opportuno aggiugnere le seguenti , onde si conoscano maggior- mente le ragioni tutte sulle quali io ho stabilita cotale mia disuasione . S- X Rappresentino le quattro sfere disuguali A , B , C , M (Fig. IV) poste agli angoli del trapezio ABCM quattro for- ze verticali : è manifesto , per la teorìa del centro di gravi- tà delle due sfere B , C , ed E quello delle due A , M , con- giunta la retta DE e divisa in G , sì che DG a GÈ abbia la ragione della somma delle due A , M , alla somma delle due B , C ; sarà G il centro di gravità comune alle quattro sfere o forze verticali A,B,C,M. Ora immaginandosi che il da- to sistema rattenuto sia dalle verghe rigide e non pesanti AG, BG, CG, MG unite nel comune punto G, è indubita- to , che una forza verticale applicata in G equivalente alla semina di dette sfere o forze manterrà in equilibrio il propo- sto sistema : all' opposto è altresì chiaro , che data essendo detta forza, che dicesi resultante, all'infinito si possono va- riare le forze da situarsi ne' punti A, B, C,M, sempre pa- Del Sic. Paolo Delanges . 12,7 regglando la somma loro la stessa resultante , che si equili- brino con essa, come infiniti sono gli assi che possono con- dursi pel punto G tra i lati opposti AM , BG del trapezio ABGM; e quindi resta dimostrato che mentre il problema delle forze parallele è determinato qualora sono esse date, e si cerca la resultante, è essenzialmente indeterminato il pro- blema inverso , cioè che data essendo la resultante si cerchi- no le forze da situarsi agli angoli del dato sistema capaci ad equilibrarsi con essa . Concependo poscia giacente col suo centro di gravità sul punto G una sfera eguale alla somma delle quattro A , B , C , M , e che le estremità A , B , G , M delle verghe poggiassero sopra sostegni inconcussi , si passa in tal maniera dal problema delle forze a quello delle pres- sioni , e se questo potesse considerarsi sotto lo stesso aspet- to di quello , ognuno evidentemente comprende che non ri- marrebbe più ragion veruna di contendere sull'argomento, e che il problema delle pressioni sarebbe per condizione pro- pria indeterminato, come s'è mostrato esser quello della sem- plice ricerca delle forze verticali, data la resultante; e per- ciò o inutili estimare dovrebbonsi tutti gli sforzi fatti da Eu- lero e da altri Geometri poscia , per risolvere generalmente il problema degli appoggi , oppure confessar devesi che non sono , com' è di fatti , io il solo che mi abbia formato un con- cetto singolare di tale problema , cioè che la di lui soluzione dipender debba da una teorìa diversa da quella del centro di gravità , e tale che conduca alla determinazione delle pres- sioni sugli appoggi A, B, C, M dipendentemente dalle po- sizioni loro respettive riguardo al centro di gravità del cor- po ; posizioni deffinite dalla lunghezza e dalla mutua inclina- zione de' rami GA , GB , GG , GM . Siccome poi le pressioni debbono per legge di natura eguagliare nella loro somma il peso del corpo dagli appoggi sostenuto , e supponendosi ad esse sostituite forze verticali rappresentanti le reazioni degli stessi appoggi , e congiunte ai punti del corpo con cui sopra essi riposa, verrebbe esso egualmente sostenuto in equilibrio^ IjB Analisi d:ìlle Pp.essioni. COSÌ ne segue che a simiglianza del problema delle forze ver- ticali, nel problema delle pressioni, il centro pure di gravi- tà del corpo esser dee centro di gravità delle pressioni . S- XI Che la teoria delle forze parallele valga per la soluzione dei tre appoggi in triangolo, ne ho già io data la dimostra- zione geometrica che superiormente ricordai ( §. Ili ) . Dalle formole generali però della mia soluzione deduconsi risultati , che finora non sono stati dimostrati assurdi , adattandole a diverse particolari posizioni dei tre appoggi , e sopratutto al caso che situati fossero in linea retta, in cui fanno conosce- re che i due soli A, G ( Fig. V) tra quali consiste la dire- zione del centro di gravità del corpo lo sostengono intera- mente in reciproca ragione delle distanze AG , GG , e che nulla è la pressione sul terzo B posto più lontano dalla par- te del C . NuUameno per confermare questo risultato da nes- suno per l' innanzi presunto , eccitato dopo i primi studj in- seriti nel Tomo V a rintracciare nuove dimostrazioni intorno ad esso, diedi nel Tomo Vili, P. I la soluzione di questo ca- so particolare assoggettandolo direttamente al mio metodo, e ciò coir ammettere , come avvisai ( 5- VII ), le momentanee rotazioni Kcb sull'appoggio A, cedendo col peso G gli ap- poggi C, B; la Bc'fl sull'appoggio B, cedendo col peso G gli appoggi A,C; e la b'Ca intorno all'appoggio G, in cui per cedere il peso G non cede che l'appoggio A , e diventa iner- te o inutile l'appoggio B: chiamate così AG=tt, GB = ^, GC = e ; scopersi che posto G il peso del corpo , è la pres- sione in A=:G I 1, la pressione in C = Gì ^1, e la pressione in B = Gl 7-) = o, risultamento conforme a quello che diedero le formole generali per i tre appoggi in triangolo modificate alla circostanza d'essere situati in dire- zione I Del 6ìc . Paulo Dllajxges. lag leìone rettilinea, come s'è superiormente detto. Similmente procedendo trovai eziandio che essendo quattro gli appoggi in linea retta, i due più vicini, e lìa i (juali sta la direzio- ne del centro di gravità del corpo, soli lo sostengono, com- parendo nulle le pressioni sugli altri due laterali, che nomi- nerò d'ora in poi eccentrici . Nello stesso tempo feci vedere come essenzialmente riesce al contrario indeterminato il pre- sente problema nella supposizione di poter sostituire in luo- go delle pressioni sugli appoggi delle forze verticali, cioè vo- lendo impiegare per la sua soluzione il principio statico eh' è confacente al problema delle forze parallele in un dato siste- ma collegate ; ed è forse che sotto la predetta supposizione sentenziarono Eulero^ Bossut , e d'Alembert il caso perfino di soli tre appoggi in linea retta insolubile ; il che da un al- tro canto fa arguire che sicuramente questi celebri Geometri riguardassero in generale di condizione determinata il pro- blema degli appoggi . S- XII Mette in dubbio il Sig. Paoli tale mia soluzione dei tre appoggi in linea retta ( Tom. IX ), dicendo " Ma io non so, „ se i Geometri troveranno buone le ragioni ; per le quali „ esclude { parlando di me ) dalla terza equazione il momen- „ to di rotazione dell'appoggio B ( Fig^. V); anzi mi sembra „ che escludere questo momento sia lo stesso che supporre in principio nulla la pressione in B. Poiché se questa pres- sione ha qualche valore , la di lei reazione sul vette AB deve necessariamente produrre un momento di rotazione , e qualora questo si trascuri , si viene a supporre ciò che volevasi dimostrare, cioè che la pressione in B è nulla. „ Tutto ciò si oppone alla regola generale di sopra rammen- „ tata, per la quale alle pressioni si possono sostituire eguali „ lorze attive in senso contrario „ . Le tre equazioni che nascono dal mio metodo sono Torno XV. i^» 1 3o Analisi delle Pressioni . (i) C{a-hc)-hB{a-hb) = aG (a) A{a-hb)-^C{b — c) = bG ^ (3) A(fl-Hc) =cG Frattanto che da altri Geometri vengano dimostrate erronee queste equazioni, o non bastantemente difese e tutelate dal principio stesso de' momenti, a me sembra poter salvarle dal- le ora riferite obbiezioni del Sig. Paoli. Per poter asserire, che per non essere intruso nell' equazione (3) il momento dell' appoggio B " sia lo stesso che supporre in principio nulla la pressione in B „ io sono d' avviso che bisognerebbe eh' esso non si trovasse aggregato neppure nell'equazione (i): cosi la detta asserzione non ha luogo pel caso dei quattro , poiché se distribuiti sono due da una, e due dall'altra parte, ogn' uno dei due eccentrici comparisce in due equazioni delle quattro^ e se i due eccentrici esistono dalla stessa banda, il più vicino entra in due equazioni , ed il più lontano in una sola, come osservasi nella sopraccennata mia Memoria. Quan- to alla voluta regola di poter sostituire alle pressioni sugli appoggi le equivalenti reazioni , oltre all'avere io geometri- camente dimostrato (Tom. Vili, P. II), che cangiasi in tal guisa il problema in altro di essenza sua indeterminato, con- fermerò presentemente anche in via analitica la proposizione medesima. Le verticali Aa , Ce, Bb (Fig.FI) sugli appog- gi A , C , B proporzionali alle pressioni , che suppongonsi da essi sofferte, indichino le reazioni loro; è chiaio che riguar- do alla rotazione sull'appoggio A, si avrà l'equazione (i) co- me prima , e così pure riguardo alla rotazione suU' appoggio B, avrà luogo l'equazione (a); ma riflettendo alla rotazione sull'appoggio C si scorge che questa non può immaginarsi se non colla cessione istantanea dell'appoggio B, diventando perciò negativo il suo momento di rotazione , e che in con- seguenza la su descritta equazione (3) si riduce alla seguente A(a-^c) — B{b — c) = cG la quale combinata colle (i), (a) somministra i valori A:=:8, B =c S , e 0 = 8 indeterminati e ripugnanti come s' è detto . Del Sic. Paolo Delanges. i3l Valori pure inconcludenti si presentano , tenendo come con- venevoli le equazioni (i), (a) ad impedire ogni moto di rota- zione nel vette ( §. II ) , ed alla terza si sostituisca l'equa- zione della somma delle ti-e ricercate pressioni eguagliata al peso totale . S- XIII Quantunque la mia soluzione intorno agli appoggi dispo- sti in un vette retto induca ad ammettere , che sia legge na- turale , che il peso di cui è aggravato venga distribuito su i soli due che stanno a canto dall' una e dall' altra parte del centro di gravità, impedendo essi, per così dire, che la sua azione si diffonda sugli eccentrici , io non sono per aderire col Sig. Malfatti che sia lecito assumere detta legge preven- tivamente per la soluzione del problema , avvegnaché allora con ragione potrebbe opporsi da' Geometri che supporrebbesi concesso ciò che devesi ritrovare e dimostrare . Il Sig. Fer~ ronì ( Tom. X, P. II ) finalmente osservando che dal suo me- todo ( §. VIII ) , modificate le foimole per i tre appoggi in triangolo al caso di essere situati in linea retta , risulta che l'appoggio eccentrico non risente pressione veruna , come pa- lesano le mie formole e quelle del Sig. Malfatti in detto ca- so , conchiude da profondo Geometra "• Conseguentemente a „ ciò inclino a credere, con Ga/i/eo , dov' esamina l'acciden- „ te della rottura d' una colonna sdrajata , e con Delanges e „ Malfatti , che l' economia della natura determini in modo „ le pressioni sopra più appoggi situati nella medesima di- „ rezione da caricarne soltanto quei due , tra i quali è im- „ mediatamente la forza premente, quando non. sia cedevole ,, nessuno di loro; laonde non abbiavi luogo per questo par- 5, ticolare di ricorrere a qualche altro principio ignoto di „ statica, come sospettò Dalembert ec. „ . Ragionamento in CUI è da notarsi singolarmente la vera concezione che indica l'Autore doversi fare del problema, ricordando la sua condir 102 AjSALISt DELLE PRESSIONI. zione principale, cioè che gli appoggi suppor si devono im- mobili , o della convenevole sodezza dotati . S- XIV Qualunque sia la forza però delle addotte ragioni in fa- vore e conferma della soluzione eh' io proposi pel caso degli appoggi collocati in direzione rettilinea, nullameno l'estima- zione che dee aversi, e ch'io altamente professo pegli studj fatti da parecchi sommi Geometri , come s'è veduto, su que- sto grave soggetto, mi spinse a rintracciare delle nozioni con- crete intorno allo stesso, tentando la via sperimentale in quan- to ho creduto potersi ad essa assoggettare, non alterando le condizioni sue naturali ed inseparabili. Il Sig. Paoli (Tom. VI) sagacemente riflette che le immersioni degli appoggi in una materia molle, sieno questi annessi al corpo , o spuntanti dal- ia superficie della stessa materia , non rappresentano le isola- te pressioni da essi sofferte, ed anzi direi io di più, che non accertano se tutti in ogni combinazione sieno o no a carico soggetti , poiché dovendosi riguardare il corpo di qualità ri- gido ed inflessibile per sé stesso ( Introduzione ) una parte di esso ceder non può senza trascinar seco le altre, e quin- di gli appoggi vengono gli uni dagli altri forzati ad immer- gersi più o meno di quello che alla loro respettiva pressione comporterebbe . Questa osservazione che decise il dubbio che mi si affacciò ( Tom. V ) nel considerare la teoria Euleriana , cioè che incerto fosse, che le estremità delle perpendicolari su gli appoggi proporzionali alle pressioni da essi sostenute " esister dovessero, anche se di maggior numero di tre in uno stesso piano „ questa osservazione dico fa escludere per sempre siffatta sorta di sperimenti , onde acquistare pratiche nozioni sicure nella recondita questione degli appoggi, come inutili sarebbero quelle che trarre si cercassero dalie depres- sioni di elastri che ad essi si sottoponessero : perciò trascu- rando gli artifizi accennati descriverò quella maniera di spe- Del SiG. Paolo Delanges. i33 rimenti che m'è riuscito di esercitare, e che giudicai adat- tati air indagine . $■ XV Poggiata co'suoi piedi A«, Ce, BM'assicellaACB(F/g.r//) sul piano soggetto PS, l'ho caricata nel suo centro di gra- vità G de' pesi M, m, m' , ec, e cosi facendo, osservai che trovandosi aggravata in fine, a segno di ridursi concava, ri- manendo affrontati i due piedi Aa , Ce contro il piano sog- getto , il terzo piede eccentrico Bb da esso si distaccava in- nalzandosi . Dimostrando questo sperimento che non soffre pressione il terzo piede Bb, dacché l'assicella è nell'atto d'in- curvarsi , pare certo che non ne dehba soffrire nemmeno quan- do è caricata di peso che non la costrigne all'incurvamento; di maniera che il peso totale sopportato venga dai soH due piedi Aa, Ce fra quali è compreso il suo centro di gravità, venendo reso inutile ed inerte il piede eccentrico Bb dalla presenza dell'anteriore piede Ce, il quale insieme coli' altro Aa dall'opposta parte situato, trovano già la sodezza neces- saria nel piano soggetto per resistere o reagire a' carichi che ad essi competerebbero se soli esistessero . Lo stesso fenome- no succedendo se l'assicella BAGCD { Fig. FUI ) è fornita di quattro piedi Bb , Aa, Ce, Dd , alzandosi i due estremi Bb , DfZ, e restando affrontati al piano soggetto i due Aa , Ce, sforzandola con pesi M. , m , m' all'incurvamento: così non esiterei a conchiudere , che in generale dalla proposta sperienza debbasi arguire, che nel vette rettilineo, i due pie- di immediatamente laterali al centro di gravità del peso lo sostengano interamente, e che gli eccentrici inerti rimango- no ed inutili. Ma qui si para dinanzi l'obbiezione che le parti estreme ABK , CDO ( Fig. IX ) del corpo KBAGCDO potreb- bero essere costrette a piegarsi caricando gli estremi piedi Bè , Tid , o per la soverchia loro estensione, o per la ragio- ne di pesi estranei ad esse soprapposti , o per qualche altra l34 Analisi delle Pressioni. causa, e che perciò dovrebbero necessariamente premere non solo i piedi A<2, Ce, ma eziandio i detti piedi eccentrici con- tro il piano soggetto. L'esposto fatto, che può di sovente avverarsi, se servir deve di precauzione per non trascurare, secondo le circostanze, d'impiegare nelle pratiche anche de' sostegni eccentrici per lo scopo a cui si mirasse , non vale però per istabilire veruna regola intorno alla teorìa degli ap- poggi, in cui, come s'è altre volte detto, non può farsi a meno dell'astratta supposizione, che il corpo sia rigido e per sé stesso inflessibile . $. XVI Corredato il prisma rettangolare AB [Flg. X) ò.\ legno con tre uguali piedi A o per ultimo le ro- tazioni nella direzione de' rami AG, GB, GC, GM (sperim. 5). Quindi imprenderemo ad analizzare i resultati proprj alle ap- plicazioni accennate , e ciò alla bella prima in via concreta , come sembra dover essere trattato questo problema , in cui i resultati aver devono un'immediata relazione non solo alla pi-escritta scambievole posizione degli appoggi , ma eziandio a quella che hanno verso il centro di gravità del corpo , da cui emanano le pressioni sopra di essi . Suppongasi pertanto che il trapezio ABCM ( Fig. XIII ) sia simile a quello usato nell'apparecchio sperimentale ( §. XVIII ) , onde sia BG = GD = 3, AD = 4, DM = 8, CE =3; e sarà AG = 5 , la diago- nale BM=io, la diagonale AC = j/iTTTI ! [/ 5 • Sia poscia a il punto in cui il ramo AG prodotto sega la diagonale BM, e d quello in cui la BD sega la diagonale AC, e facilmente si troverà che Gci= — , B«= — ,flM= — ,Gd= — , Ad =■ 2, IO 10 ^g so i/'3ii.3 ,^ aql/Sii.a • t ì- j ì.- • ì — .- — =— , e dC= -• — =— ; e quindi con questi dati si tro- 49 1/5 ' 49 l/5 ' ' ^ vera , per la già nota , e comunemente adottata soluzione di tre appoggi in triangolo , che rappresentato il peso del corpo , di cui G è il centro di gravità, dal numero 36; le pressio- ni su gli appoggi A , B , M , chiamate collo stesso nome di essi , come sempre faremo , supposto non esistente il quarto C, saranno nel triangolo ABM, A= li , B=: i8 , ed M = 6; e le pressioni su gli appoggi A., B, C nel triangolo ABC, supposto non esistente il (juarto M, saranno A = i*>r'5 S- XX Premessi i riferiti calcoli passiamo ad esaminare i resul- tati che ottengonsi coli' ammettere primieramente, che la so- Del SiG. Paolo Djìlanges. i3g luzione del problema di determinare le pressioni sofferte da' quattro appoggi A,B,C,M dipenda dalle due rotazioni in- torno agli assi BM , AG . È manifesto che pel principio mec- canico de' momenti, la rotazione sull'asse BM fa riguardare AGa come un vette in cui nell' estremità a sta il centro del moto , e che perciò debba essere la pressione sull' appoggio A = ia; e che similmente l'istantanea rotazione sull'altro as- se AC fa considerare BGd come un vette di cui il centro del moto è air estremità = 33,5191 BF=Z =25,3864 MN = ^ = 39,8614 BZ = -^ = 38,0982 MP= 0 = 15,0229 Giova inoltre per i confronti, che faremo, avere preparati an- che i valori delle pressioni su gli appoggi A, B, M del tri- angolo ABM nella supposizione che il corpo sopra di essi so- lamente giacesse ; e così quelli delle pressioni su gli appog- gi A, B, C nel triangolo ABC. Eseguiti gli opportuni cal- coli, notando col numero 36 il peso del corpo, si trova che le pressioni nel triangolo ABM, sono A=i3,a8, B=9,63, ed M=i3,9; e nel triangolo ABC, A = ao,86, B =12,20, e C= 12,94. Poste queste cose avremo pel principio meccani- co de' momenti applicato al problema colla predetta regola le quattro equazioni (i) Ag-hBl = Gc (2) Ad-hBÀ = Gd (3) Af-^Mq-ì-Cm=iGb (4) Bh-i-Cn-^Mp = Ga Le due (i) (a) danno i valori delle pressioni sugli appoggi A , e B , cioè che in concreto nel sistema ABCMG che abbiamo scelto, so- no A = -%l!Z2. . G, B = -2Ii^2Z!_ . G . Dalle due equazioni io5a,27aa 1053,2723 '■ poi (3) (4) , cognite essendo le pressioni A , B , si ricavano i valori delle pressioni sopra gli altri due appoggi C ed M , che sono c=(^^iz^W, m=P-^^^=^)g \ nq—pm f \ nq—pm f i5o Analisi delle Pressioni. in cui chiamati (p e Ji ì prodotti delle frazioni che determi- nano i valori delle pressioni A, B per / ed h, si sono fatte le sostituzioni di b' = b — (p , e di a' = a — ti . Posti in tali for- mole i valori numerici, si trova la pressione C= ]. — . G , "■ 1053,2722 e la pressione M = — . G ; ed essendo il peso G = 36 , 1003 , 2722 ' i prossimi valori delle quattro pressioni sono A = ao,4i, B = 3,ii, C = 11,74-) ed M = 0,97 , le quali sommate ecce- dono il peso 36 di 2.^ centesime circa , eccesso , che come ognun vede, deriva dall'imperfezione dei valori delle distan- ze degli appoggi agli assi adoperati nel calcolo . §. XXVIII Trovo a proposito di manifestare qui i tentativi che mi diressero alle considerazioni esposte nel superiore §. XXVI valendo essi a convalidare l' instituzione delle equazioni, che si è fatta nell'antecedente, per la soluzione del problema. Il primo tentativo pertanto fu quello di riguardare operosi nelle rotazioni su gli assi DBE , RAI i momenti delle pres- sioni su gli appoggi Aj M, e B, C, ed inutili i momenti del- le pressioni sugli eccentrici G ed M , come quelli che tirati fuori ad uno ad uno del piano soggetto , resta tuttavia im- mobile il corpo su i tre restanti; per il che, date essendole pressioni sugli appoggi A, B dalle due equazioni (1) (a), ri- cavar si dovessero quelle dei M , C dalle due (5) (6) (5) Af-^Mq = Gb (6) Bh-^Cn = Ga Il secondo tentativo poscia è stato di valutare nelle predette rotazioni i momenti soli delle pressioni su gli appoggi A, G, e B, M, per la ragione che anche in questa ipotesi il cor- po rimane immobile cadendo fuori del piano soggetto ad uno ad uno i due rimanenti M , e C ; e che perciò le pressioni sugli appoggi G ed M dedurre si dovessero dalle due equa- zioni (7) (8) Del Sig. Pacco Delanoe?. i5r (7) A/-t-Cw = G/y (8) Bh-^Mp = Ga É per ultimo di computare nelle stesse rotazioni i soli mo- menti delle pressioni M, G tanto riguardo all'asse DBE che allo RAI , considerando inoperosi i momenti delle pressioni A , B , come sonosi considerati gli stessi delle M , G nelle rotazioni sugli assi PCF, QMS, quantunque col cadere fuori del piano soggetto ad uno ad uno gli appoggi A , B non ri- manga immobile il corpo , come succede per gli altri due M , G ; e quindi che fossero a desuraei'si le pressioni M , C dalle due equazioni (9) (io) (9) Mq-\-Crn = Gb (10) M/p-hCn = Ga Ghiaramente però riconosconsi assurde le tre immaginate sup- posizioni : imperocché nella prima la somma delle quattro pres- sioni su gli appoggi A, B, G, ed M risulta prossimamente un quinto maggiore del peso del corpo , nella seconda , la metà , e nella terza più assurda di tutte , oltre al riuscire la somma delle pressioni maggiore della terza parte circa del peso del corpo, si presenta negativa la pressione suU' appog- gio c . S. XXIX Secondo il metodo Lorena ( §. VI ) dalle pressioni supe- riormente calcolate ( §• XXVII ) convenienti ai due triangoli ABM, ABC { Fig. XVII ), supposti isolatamente aggravati del peso del corpo , si deduce che esser dovrebbero con appros- simazione le pressioni sugli appoggi nel proposto sistema ABGMG, seguendo l'ordine A, B, G, M 17,7 , 5,92 , 6,47 , 6,54 essendo esse per la nostra soluzione ao,4i , 3,11 , 11,74, c,97 Come differiscano in quantità queste respettivàmente a quel- le non v' ha duopo che dell' oculare ispezione . Quanto poscia • \ 1 5i Analisi delle Pkessioni . lontani sieno i risultati nostri da quelli che otterrebonsi dall' altro ideato metodo del Sig. Ferroni (§. Vili), basta consi- derare, che essendo il punto O centro delle medie distanze, il quale nel dato sistema cade tra la retta BGA e la diago- nale BM , e che congiunta le retta OGj se questa prolunga- ta passa per l'appoggio A devono essere ugualmente caricati i tre B , C , ed M , se sega il lato AB lo devono essere so- lamente i due C, ed M, e cosi se sega il lato AM i soli due B,C; mentre le pressioni da noi scoperte, per esempio, su- gli appoggi B,C,M, sono 3,ii, 11,745 0,97. E poiché in- oltre, parlando della nostra soluzione, nelle date lunghezze ed inclinazioni de' rami (§. XXV), sono i prossimi valori di AM = 38,34,e di BC = 36,63; divisa la AM in reciproca ra- gione delle pressioni ao,4i, 0,97 su gli appoggi A ed M, sa- rà A(2 = 1,55, ed Ma = 36, 79. Congiunta quindi la retta Ga, si prolunghi e seghi l'opposta BC in e; e si troverà nel trian- golo GMfl, Ga=: 18,67, ^ "^1 triangolo BGc, Gc = 2,6,8a, e Bc = a9,47 5 e perciò sarà Ce = 7,16. Ciò fatto si rileva con quella approssimazione che è peimessa dall'usato calcolo, che le pressioni 3,ii, 11,74 su gli appoggi B,C hanno la ragio- ne reciproca de' segamenti Bc, Ce; e che la somma ai, 38 del- le pressioni in A ed M, alla somma 14^85 delle pressioni in B e C sta in ragione reciproca delle Ga , Gc ; in guisa che praticamente si conosce, che il centro di gravità G del cor- po , è centro anche di gravità delle pressioni che porta sugli appoggi A, B, C, M che lo sostengono, come s'è dimostrato dover essere (5-X). Atte poi sono a dare l'esatta dimostra- zione di questo non meno specioso che interessante teorema, le equazioni (i) (2) (3) (4) ( $. XXVII ), trovandosi per avven- tura il detto centro di gravità O ( Fìg. XVII ) situato den- tro i triangoli ABM , ABC ; avvegnaché sostituendosi per a , b ,c,d i valori che competono alla fatta supposizione ( §• V ), risultano le pressioni A, B, C, D eguali ogn'una alla quar- ta parte del peso del corpo . §. XXX Del Sic. Paolo Delanges. i53 5. XXX Osservando semplicemente che le due nominate soluzio- ni e la nostra adempiono ugualmente le due condizioni prin- cipali del problema , cioè , che la somma delle pressioni su- gli appoggi pareggia il peso totale del corpo , e che il cen- tro di gravità di esso è centro eziandio di gravità delle pres- sioni medesime, potrebbe taluno conchiudere, che siccome tutte e tre vere esser non possono, dando ciascuna resultati diversi , così , che nessuna di esse , o che indeciso restasse quale fosse da dichiararsi per l' esatta e legittima ricercata soluzione del problema . Ma per poco che attentamente si ponderino i metodi con cui si procede nelle due prime solu- zioni in confronto del metodo da me proposto , si compren- de ad evidenza , che la prima condizione necessariamente dee verificarsi in esse, dacché si è introdotta come un dato nell' indagare le ricercate pressioni; e che la seconda doveva pu- re necessariamente comparire come propria della teoria del centro di gravità per cui si pervenne alle soluzioni medesi- me ( §§. XXI, XXII ), le quali in conseguenza sono puramen- te da classificarsi tra le infinite che si possono assegnare del- l'inverso indeterminato problema sull'equilibrio in un dato sistema di forze verticali . Ciò nulla ostante non sarà disuti- le il far vedere die dall'applicazione del nostro metodo al caso che il centro di gravità G del corpo { Fig. XFIII) di- retto fosse nel punto x in cui il ramo BG prodotto incontra la diagonale AC, risultano nuove pruove, oltre alle già espo- ste , in confermazione delle fondamentali equazioni ch'esso somministra per la soluzione del problema negli altri casi . Nella detta supposizione si trovino i nuovi rami A.r , Bx , Cx', Mar, e gli angoli della mutua loro inclinazione, sulle già date lunghezze ed inclinazioni de' primi rami; e quindi si tro- vino ancora le lunghezze delle distanze degli appoggi agli assi perpendicolari a' detti nuovi rami . Ora siccome mancando nel caso supposto il piano soggetto ad ambedue gli appoggi B, M Tomo XV. 2,0 1 54 Analisi delle Phessioni . nello stesso tempo, rimane tuttavia il corpo immobile, cosi, pel nostro metodo, non debbono computarsi nelle due rota- zioni che succedono secondo la direzione AG intorno agli as- si condotti per gli altri due appoggi G ed A , trascinati ad uno ad uno fuori del piano soggetto, insieme già con i det- ti due B ed M, se non che il momento di A nella prima, e di C nella seconda , e perciò il corpo verrà sostenuto dai soli due appoggi A , G in reciproca ragione de' segamenti Ax, Cx . Che se il centro di gravità del corpo cadesse nel punto x' in cui scambievolmente s'intersecano le diagonali AG, BM, valendo lo stesso ragionamento fatto per gli appoggi A , C anche per gli B , ed M , bisognerebbe dividere il peso del corpo in quattro parti proporzionali a' segamenti Ax' , Cx\ Bx' , Mx' , e la parte del peso rappresentata da Cx sarà la pressione sull'appoggio A , e da Ax' la pressione in G , e cosi la parte del. peso rappresentata da Mx' la pressione in B , e da Bx la pressione in M . Seguendo i metodi Lorgna e Fer- roni , non solo sono sottoposti a pressione tutti e quattro gli appoggi A , B , G , M essendo in x il centro di gravità del corpo , ma lo sono pure se sia in x . Ritornando però al no- stro assunto , determinate le parti del peso poitate dagli ap- poggi A , C nel vette retto AxG , si scoprirà , fatte le debi- te sostituzioni, che le due equazioni (i) (2) del caso genera- le trattato nel superiore paragrafo XXVII , modificate alla par- ticolare circostanza che cada il punto G in x, cioè che sia la pressione in B = o, dà non solamente la prima , come non può non essere, ma eziandio la seconda, egualmente che la pressione in A è quella che appartiene al detto vette retto AxG . Sostituendo inoltre nell' equazione (3) i valori delle pres- sioni competenti agli appoggi A , G nel vette retto AaG , si trova, come esser deve, che nulla è la pressione sull'appog- gio M ; e dall' equazione (4) risulta col supporre nulla la pres- sione in M , e che la pressione in G sia quella che conviene al vette retto AxG, che nulla è la pressione in B : oppure che poste nulle le pressioni in B , ed M , che la pressione in G è appunto quella che spetta al caso del vette retto A:i;C . 'v R T E MATE M A T ICA Joc.JtaL.T.Xrp.f £JJ_ Tuf.II'. PARTE M A T E M A T I C A Joc- JtaL. T. Xi: io. I ^ | lo B J3 A _>JJ^ :/ .S C> ^ P 1 I ! / ile I ié_S D, c/ S foi. Jtuyl T y^r p. '54. Te fi/. K P A B T R Mx\ TEMATICA Jic JraA T Xr »j. l'i 4 J-fjjlJ C B p R 1. 1 S J II. V ( ( ' / ! 1% 1 \ ■ 1 A B C 4^ D ^ 7 ^ i5S DESCRIZIONE, ED USO DI UNO STRATIMETRO, CIOÈ DI UN NUOVO STROMENTO DIRETTO A FACILITARE LA DETERMINAZIONE SI' DELLA COMUNE SEZIONE DI DUE STRATI, O FILONI, O PIANI QUALUNQUE, COME DI ALTRI OGGETTI DI GEOMETRIA SOTTER- RANEA . MEMORIA Del Sic. Gav. Ermenegildo Pini. Ricevuta li i6 Marzo 1810. JLia Geometrìa Sotterranea ha per oggetto la soluzione di diversi problemi , i quali massimamente dipendono dalla de- terminazione dell'inclinazione, e direzione di certe linee, e di certi piani risultanti dalla posizione dei filoni , o strati minerali. Per conoscere facilmente, ed esattamente l'incli- nazione , e direzione di un piano qualunque io già pubblicai uno Stromento col nome di Gonimetro. Ma nella Geometria Sotterranea spesso interviene di dover determinare l'inclina- zione , e la direzione della comune Sezione di due piani r la qual determinazione richiede l' uso della Trigonometrìa Sferi- ca, e la soluzione di equazioni, le quali contengono quanti- tà da prendersi ora positive , ed ora negative secondo i di- versi casi; epperò lasciano facilmente luogo ad ambiguità, ed a considerabili sviste (*) . Affine di poter prescindere dall' uso della Trigonometrìa sferica nell' accennato caso, ed in altri analoghi al medesi- mo , come anche per prevedere i casi ambigui , quando si voglia far uso del calcolo da essa dipendenti , ho immagina- (') Veggasi r eccellente trattato di 1 tolato Grùndliche anleitung zur Mark- Geometria Sotterranea del Lempe inti- j scheidekunst . i56 Desgriziome di umo Stuatimetro ec. to uno Stromento, che chiamo Stratìmetro come misuratore della relativa posizione di diversi Strati, prendendo il nome di Strati in senso più largo dell'usato, cioè compiendendo anche i filoni minerali , o un piano qualunque . SEZIONE I Descrizione dello Stratìmetro . r . Consiste lo Stratìmetro in due telaj di legno bene sta- gionato abdc, feyg ( Fig. i ) connessi da quattro eguali colon- ne h alte circa due decimetri . Su uno di essi si applicano perpendicolarmente due aste EF , E'F' di ottone, alla som- mità delle quali sono connesse a cerniera due piatine di ot- tone quadrate ABCD, A'B'D'C . Una di tali aste è situata in un lato fisso jE del telaj o , nel quale è una fessura r, lun- go la quale si può fare scorrere l'asta, l'altra è su di una traversa RR' mobile , che è fornita parimenti di una simile fessura, e che può scorrere sulla lungliezza del telajo, e col- la staffa G a vite può fermarsi in qualunque punto del me- desimo . L' asta FX può parimenti collocarsi sulla traversa mobile ut , in cui è una simile fessura r . a. Ciascun' asta si può girare oi'izzontalmente , e ferma- re con vite in qualunque situazione ; parimenti ciascuna pia- tina per mezzo della cerniera può avere un movimento ver- ticale per l'ampiezza di un semicircolo, e si può fermare in qualunque posizione colla vite annessa K ( Fig. i ^ a ) . 3. Su ciascuna platina sono apposti due regoli d'ottone PA,P'B, SM,ZM', terminati in punta, i quali si possono girare , e con vite fermare in ogni direzione rimanendo sem- pre nel rispettivo loro piano ; e quando la macchina è mon- tata nel modo, che verrò esponendo, l'incontro delle punte dei regoli nei punti O , N presenta le estremità di una ret- ta ON , la quale è la comune sezione dei due piani delle pia- tine corrispondente alla posizione ad essi data • Del Sic. Ermenegildo Pini. l57 4. Questa è in sostanza la struttura dello Stratimetro ; ma gioverà spiegarne alquanto più le sue parti . La Fig. a rappresenta quasi in metà della grandezza reale una delle piatine ABCD connessa coli' asta EF , la quale è perpendico- larmente unita ad una base circolare mnu di ottone, pel cen- tro della quale passa il verme di una vite P, che s'insinua in un lato del telajo, e che può essere fermata in modo, che la piatina si muova intorno l'asse KI in un piano, che sia perpendicolare al piano dell' asta EF : e col gaietto della vi- te K si può fissare a qualunque grado d' inclinazione . 5. Nella piatina sono varj fori a vite a, a per fermarvi colle viti corrispondenti i regoli in quella situazione , che si vuole . La forma di uno dei regoli è rappresentata dalla Fig. 3 , N.° I , in cui è disegnata in grandezza , che è la metà della reale . Consiste essa in una lastra di ottone, in cui so- no due fessure longitudinali RS , TV . La pi-ima fessura RS ò fatta per ricevere il verme di una vite , la quale può en- trare in ciascuno dei fori sopraccennati, e fermare il regolo in qualunque situazione ; e questo può raggirarsi intorno al- la vite come asse, e correre per tutta la lunghezza della fes- sura RS . 6. L'altra fessura TV è coperta alle due estremità da una lastrina di ottone, nel mezzo della quale al di sotto è un incavatura atta a lasciarvi scorrere un filo di ferro ben di- ritto, il quale può essere fermato dalla piccola vite a {Fig. a). Il motivo di questa struttura è , perchè l' incontro dei rego- li , dal quale dipende la determinazione della comune sezio- ne dei due piani rappresentati dalle due piatine, è molto va- rio secondo la diversa inclinazione , e direzione dei piani stes- si : onde quelli devono potersi allungare , ed accorciare , e dirigere in qualunque verso . 7. Oltre ai quattro regoli simili al descritto deve esser- vene uno fatto a squadra , come è indicato dalla Fig. 3 , N. 2. , e ciò pel fine , che a suo luogo sarà indicato . 8. Siene parimenti apprestati alcuni fili di ferro ben di- io8 DesgriziOì\e di un Stratimetro ec. ritti, ed alcuni abbiano una pìccola porzione, che formi uu angolo retto coli' altra maggiore . 9. Deve parimenti essere in pronto una tavoletta ben piana, la quale sostenuta dalla traversa ut ( Flg. 1 ) si dispor- rà sul telajo nello spazio, che rimane tra le due aste EF , E'F', e sarà mantenuta in quella situazione, che sarà oppor- tuna da due staffe a vite , che a tal fine si appresteranno . Su questa tavoletta, che potrà anche applicarsi sul bordo del telajo , e fermarvela con una staffa a vite , quando bisogni , si avranno a determinare le quantità, che si cercano coli' uso dello Stratimetro . 10. Siccome la determinazione delle indicate quantità ri- chiede alcune misure di linee verticali dipendenti dalla posi- zione dei piani rappresentati dalle due piatine, perciò si ap- presterà una specie di compasso a verga , che io chiamerò Cateto Istromentale . Questo è rappresentato in grandezza rea- le dalla Fig. 4 5 f^d è diviso in centimetri , e millimetri . La sua base è un pezzo di ottone quadrato bene spianato AOPC , ed alto un centimetro, dalla cui superficie inferiore sporge una punta d'acciajo CD, la quale al di sotto è spia- nata sì che sia nello stesso piano col piano inferiore della base stessa . Perpendicolarmente a questa base sorge dal suo mezzo un' asta rettangolare EF , sulla quale è investita una staffa di ottone LGHM scorrevole , e che colla vite X può fermarsi a qualunque punto dell' asta : da tale staffa sporge una punta d'acciajo MN spianata al di sotto sì che sia sullo stesso piano col piano inferiore della staffa, e situata in mo- do , che la retta intercetta tra le due punte N , D sia per- pendicolare alla base ACD ; epperò sia una verticale , quan- do la base ACD sia orizzontale . 1 1 . Per fissare sulla tavoletta i punti occorrenti si avran- no pure in pronto alcuni aghi muniti di una larga testa . 12,. Per fare uso dello Stratimetro conviene primamente orizzontare il telajo, in cui sono situate le piatine: il che si può fare in due modi . Il primo è di situarlo su di una ta- Del Sig. Ermenegildo Pini. iSg vola , e rli metterlo quindi a livello col mez;zo delle viti h ( Fig. I ) , al qual fine può servire il Gonimetro per rispar- miare un livello a bolla d'aria. Ma in tal modo difficilmen- te si ottiene l'intento. Per ottenerlo facilmente, e compiu- tamente conviene collocare lo stratimetro su di un trepiede, la cui testa sia fornita del movimento teodolitico . A tal fine si appresti una tavoletta solida, e bene spianata, nel cui mez- zo sporga al di sotto un tubo di ottone , il quale si possa in- vestire nel cono , che sorge dall' indicata testa , e fissarvelo con vite . Su di questa tavoletta si fermerà colle viti lo Stra- timetro, e quindi si orizzonterà, come si fa nel Teodolite. Siccome chi esercita la Geometrìa sotterranea suole essere fornito di un Teodolite , così il trepiede di questo potrà ser- vire anche per lo Stratimetro . 1.3. Allorché si vuol trovare la comune sezione di due piani, dei quali sia data l'inclinazione, e la direzione, si co- mincia ad orizzontare lo Stratimetro. Quindi a ciascuna pia- tina si dà la proposta inclinazione, e direzione: il che si ot- tiene col Gonimetro, istromento già da me proposto fino dall' anno 1780, e più distintamente descritto, e disegnato nelle Memorie dell'Istituto Nazionale dell'anno 1806. Per dare con questo stromento ad una platina l' inclinazione proposta , si comincia a darvi una piccola inclinazione , quindi vi si ap- plica la tavoletta annessa al Gonimetro in modo , che la me- ridiana istromentale sia paralella ad uno dei bordi laterali della platina, epperò sia in un piano verticale: inoltre il nord istromentale deve essere rivolto verso la parte ascendente della platina : per potere applicare alla platina la tavoletta del Gonimetro , nel mezzo della parte superiore di questa è un foro, al quale ne corrisponde un altro a vite nel mezzo delTa parte superiore della platina : onde con una vite si pos- sa fissare quella su questa . i4- Essendo lo Stratimetro orizzontato., il movimento del- la platina intorno alla sua cerniera si fa in un piano verti- cale, ossia in un piano, che passa per la meridiana istromen- i6o Descrizione di uno Sxratimetro ec. tale del Gonlinetro; onde il filo del piombino del Gonimetro trovasi in un piano ad essa paralello, cioè rade i! quadrante, dal cui centro pende; quindi per dare alla piatina T inclina- zione di un dato numei'o di gradi per esempio di i5, basta inclinarla , finché il filo venga a segnare sul quadrante un tal numero . Allora colla vite si ferma la piatina . i5. Data cosi alla piatina la proposta inclinazione , si pas- sa a darvi una determinata direzione, la quale supporremo che sia l'ascendente, e di gradi 3o orientali. A tal fine si gira l'asta, che porta la piatina col Gonimetro soprapposto- vi , finché il Nord magnetico venga a segnare il proposto grado 3o . Allora si fissa colla corrispondente vite l'asta; e così il piano rappresentato dalla superficie della piatina ha la proposta inclinazione, e direzione. i6. Si trasporta quindi il Gonimetro sull'altra piatina, alla quale si dà nello stesso modo una data inclinazione , e direzione . 17. Ciò fatto si ritira il Gonimetro, ed a ciascuna pia- tina si comincia ad applicare uno dei regoli sopradescritti , e girandoli si vedrà verso qual parte vadino ad incontrarsi; ed allora avanzandoli, o ritirandoli si ridurranno a contatto le due loro punte ; e questo punto sarà nella comune sezione . Ciò fatto si fermano colla vite corrispondente i due regoli nel trovato incontro delle loro punte . 18. Uno dei punti, che deve essere nella comune sezio- ne dei due piani potrà anche essere determinato dalla punta di uno dei regoli , la quale vada ad incontrare la superficie della piatina opposta, oppure il lato della superficie inferio- re del regolo applicato a questa stessa piatina . ig. Determinato così uno dei punti della comune sezio- ne, si applica un altro regolo a ciascuna delle due piatine, e nello stesso modo descritto si determina un altro punto della comune sezione ; e nella situazione trovata si fermano colla vite i regoli . . ,) 20. Che i due punti determinati nel modo indicato deb- bano Del ?ig. Ermenegildo Pini.' i6i bano essere nella comune sezione dei due piani rappresenta- ti dalla superficie della piatina è chiaro ; perciocché un piano è prolungabile per ogni verso ; e poiché una parte della su- perficie inferiore di ciascun regolo coincide col piano della piatina , ed essi sono esattamente spianati , perciò anche la loro parte, che^ji stende fuori del piano delle piatine, è co- me una prolungazione del piano delle medesime . Quindi i due punti, come sono O, N ( Fig. i ) segnati dall'incontro delle punte dei regoli saranno nell'intersezione del prolun- gamento dei piani delle piatine, cioè saranno nella comune sezione , la quale parimenti deve intendersi prolungabile in- definitamente . SEZIONE II Uso dello Stratimetro . ai. L'esposizione degli usi dello Stratimetro richiede, elle si premettano diverse cognizioni relative alla Geometrìa sotterranea , alla pratica della quale questo Stromento è di- retto . Suppongo però quelle, che sono analoghe all'uso del Gonimetro, che già esposi in altra Memoria, inserita nel Voi. a degli Atti dell'Istituto Nazionale: onde qui mi ridurrò sol- tanto ad esporre alcuni Lemmi , che hanno una più prossi- ma connessione al Problema principale sopraccennato , alla soluzione del quale serve lo Stratimetro , il cui uso non ri- cliiede , che la cognizione della Trigonometrìa piana . aa. Per l'intelligenza di questa mia Memoria sono pari- menti da premettere alcune definizioni di nomi usati nella Geometrìa sotterranea . Suppongansi ( Fig. 6 ) in un monte due piani HNF, KLM tra loro paralelli, i quali traversino i banchi abc delle masse , o roccie costituenti il monte . Se lo spazio esistente tra i due piani è vuoto chiamasi Fessura ; se è pieno di materia diversa dalla roccia, dicesi Filone. a3. Se i due piani hanno una stessa posizione coi ban- Tomo XV. ai i6a Descrizione di uno Stratimetro ec. chi della roccia , e lo spazio è pur pieno di materia diversa dalla roccia stessa, questo solido chiamasi strato, o banco. a4- I due indicati piani sono le pareti del filone o del- lo strato , le quali ne formano la così detta Cassa : quella parete, che con un piano orizzontale condotto per essa e per l'altra forma internamente un angolo acut^dicesi cadente: tale è la parete KLM nella Fig.6, in cui supponesi, che il piano QRVO sia verticale , e formi con un piano orizzontale la sezione KO , e col piano della parete la sezione KL , la quale con KO forma l'angolo acuto LKO. L'altra parete NH, che internamente forma con KO un angolo ottuso KHN, di- cesi Riposo . Il cadente chiamasi anche tnuro , ed il riposo pavimento . Il solido contenuto tra le pareti ha una certa grossezza, che è varia , e quella vuoisi estimare dalla pei'pendicolai'e condotta sulle pareti . Essendosi supposti i piani delle pareti paralelli tra loro, è chiaro, che quando sia determinata la posizione, cioè l'in- clinazione, e direzione di un piano, sarà determinata anche la posizione del filone , o dello strato tra que' piani contenu- to : e nella inclinazione si avrà riguardo se per rapporto ad un dato livello, essa sia ascendente o discendente, cioè po- sitiva, o negativa, come pure nella direzione se sia orienta- le, ovvero occidentale, cioè positiva, o negativa per rappor- to alla parte settentrionale della meridiana o astronomica , o magnetica . Nei Problemi, che prenderemo a sciogliere, supporremo sì i filoni , che gli strati rappresentati da piani geometrici ; e col nome di filone intenderemo anche gli sti'ati . Siccome però nelle montagne non esistono piani esatti , né esattamen- te paralelli, perciò le nostre soluzioni dei problemi dovransi intendere applicabili soltanto a quei casi , che non si disco- stano sensibilmente dalle supposizioni che assumeremo. E poi- ché i filoni spesso mutano direzione, ed inclinazione, perciò devesi sopra luogo riconoscere il reale loro stato; e la solu- Del Sic. Ermenegildo Pini . l63 zione dei problemi sarà da intendersi di que' filoni, o di quel- le loro parti , che mantengono la posizione assunta . Lemma I a5. Data la direzione di due rette orizzontali concorrenti in un punto , trovare l'angolo, che esse formano tra loro. Per la soluzione conviene osservare se le direzioni delle due rette sieno della stessa, oppure di diversa denominazio- ne, cioè se le rette abbiano ambedue la direzione orientale, o r occidentale , oppure se una abbia la direzione orientale , e r altra l' occidentale . Se sono della stessa denominazione , l'ano-olo formato dalle due rette si conoscerà, sottraendo la direzione minore dalla maggiore . Se sono di diversa denominazione si aggiungano gradi i8o alla direzione minore, e dalla somma si sottragga la maggio- re ; ed il residuo sarà il numero di gradi dell'angolo forma- to dalle due rette . Per dimostrare la regola nel primo caso, sia SN l'Ago magnetico ( Fig. 5 ), la cui direzione supponesi costante; ed intendasi , che la sua posizione coincida colla meridiana istro- mentale . Suppongasi inoltre , che il circolo della Bussola , che rappresenta l'orizzonte istromentale, sia diviso dalla me- ridiana stessa in due semicircoli NES, SON , e che in quel- lo che è a destra della parte settentrionale della meridiana, sieno segnati i8o° cominciando dal Nord N , e passando pel punto E; nell'altro sieno pure segnati i8o° cominciando dal punto S , e proseguendo pel punto O sino in N . Poste tali supposizioni, i diversi raggi CA, GB , ec. del circolo espri- meranno le direzioni di diverse linee , le quali direzioni si cominciano a computare dal Nord N , e diconsi orientali , fmchè sono nel seraicircolo che è alla destra della parte set- tentrionale della meridiana; quindi ricominciano al punto S, e diconsi occidentali quelle che sono nell' altro semicircolo . Se dunque sono date le direzioni orientali di due linee CA, i64 Descrizione di uno Stratimetro ec. CE, Ja direzione di CA sarà misurata dall'arco NA, e quel- la di CE dall'arco NE; ed essendo supposta la direzione di CA , l'angolo formato dalle due rette CA,CE sarà misurato dalla differenza AE dei due archi NA, NE, cioè dalla diffe- renza del numero dei gradi esprimente le due direzioni date . Se le due direzioni date sono occidentali, come sono quel- le delle due linee CD,CG, la direzione di CG sarà misura- ta dall' arco SDG , e quella di CD dall' arco SD : ed essendo supposto SDG maggiore di SD, la loro differenza DG sarà la misura dell'angolo DCG formato dalle due date direzioni. Allorché una direzione CA è orientale , e 1' altra CG oc- cidentale , e questa è maggiore , cosi che l' angolo SCG sia maggiore di NCA , si osservi, che l'arco GN è eguale a tut- ta la semicirconferenza SON, ossia a i8o°, meno l'arco SOG, cioè a dire è GN=i8o° — SOG: onde sarà l'angolo GCN = i8o° — SCG. Ma è GCA = GCN -+- NCA ; epperò sarà GCA = i8o° — SCG-+-NCA= i8o°-+-NCA — SCG; cioè a dire l'an- golo GCA formato dalle direzioni di CG , e CA di diversa denominazione , delle quali la prima è occidentale , e mag- giore della seconda supposta orientale, si ha aggiugnendo 180° alla minore , e sottraendo dalla somma la maggiore . Una simile dimostrazione vale nel caso che la direzione orientale sia maggiore della occidentale . a6. Quando le due direzioni di diversa denominazione siino eguali , la loro differenza sarà zero , ossia l' angolo for- mato su tali direzioni , o linee sarà misurato dalla semicir- conferenza, ossia da 180'^, epperò esse saranno in una stes- sa linea retta . 27. Poiché l'angolo, che formano due piani verticali con- correnti tra loro è misurato da due rette orizzontali , l' una delle quali è in uno di que' piani , e l'altra nell'altro; e le direzioni di due piani verticali si riducono alle direzioni di cjueste due linee , perciò dalle direzioni di tali piani si potrà conoscere l' angolo , che essi formano tra loro . Quello che si è detto computando le direzioni dalla me- Del Sic. Ermenegildo Pini . i65 ridiana magnetica vale anche quando si computano dalla me- ridiana astronomica : poiché la dimostrazione dipende dalla supposta costanza della meridiana magnetica; e l'astronomi- ca è pur essa costante in una data situazione. Lemma II ii8. Sia MNN'/« ( Fig. 7 ) un piano obbliquo, di cui sia data l'inclinazione, e direzione . Per un punto posto nel pia- no stesso passi un piano orizzontale VIE, che supporremo es- sere quello della carta , e nel quale sarà la retta AN come sezione comune del piano obbliquo coli' orizzontale , epperò rappresenterà la direzione laterale dello stesso piano obbliquo . Dal punto A si alzi la verticale AB , e per essa si conduca- no due piani, l'uno ABDE, che passi per una retta A E per- pendicolare ad AN , il quale perciò determinerà la direzione ascendente AD del piano obbliquo; l'altro ABCF, che passi per un' altra direzione AF , il quale perciò formerà col pia- no obbliquo un' altra sezione AG . Per un punto B della ver- ticale AB si conduca un piano orizzontale BCD , il quale ta- glierà il piano obbliquo nella direzione BD paralella ad AN, il piano ABDE nella direzione BD paralella ad AE , ed il piano ABCD nella direzione BG paralella ad AF . Finalmen- te dai punti G , D determinati dall' intersecazione del piano BCD colle rette AC, AD esistenti nel piano obbliquo NM/«N', si conducano le verticali FG , ED . 2,(). Da tale costruzione sono manifeste le seguenti cose: Primo. Le rette CF, DE, AB saranno eguali, siccome quelle che sono verticali, e tra due piani paralelli tra loro BCD, AFE. 3o. Secondo . AE sarà la projezione di AD; AF la proie- zione di AC; FÉ la projezione di CD, ed eguale alla stessa CD. 3i. Terzo. Supposta la costruzione precedente { Fig. 8 , N. I ) , se per un altro punto P dell' altezza AB si conduce un altro piano POL paralello all' orizzonte . che formi colle l66 Descrizione di uno Stratimetro ec. rette AO , AL le sezioni analoghe a quelle formate dal pia- no BCD, e si conducano le verticali OH , LK , e si congiun- gano le rette KH , AH , saranno tra loro simili i .° i trian- goli ADE, ALK; a." ACD, AOL; 3." ABC, APO; 4." ABD , APL; B." ACF, AOH; 6." AFE, AHK . 3a. Essendo AE perpendicolare ad AN , ossia ad EF, che è. paralella ad AN ; perciò per esprimere tale projezione nell'icnografia ortografica si conduca ( Fig. 8, N."-' 2, ) una ret- ta AE', ed a questa la perpendicolare F'E'. Che se sarà da- ta la lunghezza AF {Fig.8, N." ì), e l'angolo FAE, o l'al- tro AFE , si conoscerà nel triangolo rettangolo AF'E' ( Fig. o, iV. a ) la lunghezza della retta AE' . 33. Allorché una Galleria espressa da BO ( Fig. 8, N.° i ), che parte da un punto B posto ad una certa elevazione AB, perviene con una data inclinazione ad un filone espresso dal piano obhliquo MNN'w, ed è nello stesso piano colla verti- cale AB , essa si può esprimere con una linea orizzontale egua- le alla sua projezione, applicandola a quella altezza, che cor- risponde al livello del punto finale O , cioè aggiungendo , o sottraendo alla elevazione AB il cateto dell' inclinazione del- la Galleria : cosi essendo il punto O più elevato del punto B, e supponendo che BP sia il cateto dell' inclinazione di BO , si applicherà al punto P una retta PO orizzontale eguale al- la projezione AH' di BO . 34. Se il punto finale 0 sarà inferiore di livello al pun- to B , si sottrarrà il cateto Bp da AB . 35. In tal modo il livello del punto finale 0 è riportato ad un piano orizzontale POL , ossia AHK simile al piano oriz- zontale BCD , che è al livello del punto iniziale B : onde il rapporto geometrico delle rette AH , HK , KA è lo stesso col rapporto delle rette AF , FÉ , AE . Del SiG. Ermenegildo Pini . 167 EMMA HI 36 . Data la lunghezza di due pozzi , e la loro posìzio' ne, trovare la distanza sotterranea del termine di uno dal termine dell' altro , e la inclinazione , e direzione della distan- za medesima . Sieno primamente due pozzi verticali ( Fig. 9 ) MZ, OT, uno de' quali abbia la sua bocca O piìi elevata dell' altra M , Livellando si misuri l' elevazione verticale ON , e la di- stanza orizzontale MN dei due punti M , O ; e si conducano le orizzontali MN, ZS ., che saranno eguali. Si sottraggano da OT le quantità ON , e NS , la quale è cognita per essere egua- le a ZM , e si avrà ST . Congiungendo ZT si avrà un trian- golo rettangolo, in cui sono noti i lati ST, ZS ; onde si co- noscerà ZT , che è la distanza richiesta. L'inclinazione sarà misurata dall' angolo SZT , che si conoscerà dal triangolo stes- so rettangolo ZST ; e la direzione sarà quella, che ha il pia- no verticale ZMNS , la quale si conoscerà per osservazione . 3?. Se le bocche dei pozzi fossero allo stesso livello, come M , N , si avrebbe a sottrarre da NT soltanto SN per avei-e ST . 38. Suppongasi ora, che uno dei pozzi sia obbliquo, com'è VK , ma posto nello stesso piano coli' altro verticale condot- to per la retta MZ , e di cui sia misurata la inclinazione. Per avere la distanza VZ si cominci a trovare colla li- vellazione r elevazione KL del punto K sul punto M , e la sua distanza orizzontale ML dal punto stesso M . Essendo no- to l'angolo d'inclinazione NIS , ossia LIK , e conoscendosi nel triangolo rettangolo IKL l'altezza KL si conoscerà IK . Parimenti nel triangolo rettangolo NIS essendo nota NS co- me eguale a MZ , si conoscerà IS ; quindi sarà SV = VK — Kl — IS : onde nel triangolo ZSV saranno noti i lati SV, SZ, ed inoltre l' angolo ZSV , che è eguale all' inclinazione della retta SV . Perlocchè si conoscerà la distanza richiesta VZ . Essendo VK nello stesso piano col piano verticale ZMNS, i68 Descrizione di uno Stratimetro ec. l'inclinazione della retta ZV sarà misurata dall'angolo VZS, e la sua direzione sarà quella del piano medesimo. 3g. Se anche l'altro pozzo fosse obbliquo com'è RZ , ma nello stesso piano MNSZ , si ridurrà questo caso al pri- mo nel seguente modo ; cioè a dire essendo nota la direzio- ne, ed inclinazione di RZ, e la sua lunghezza, si conoscerà r orizzontale RM . Gonducendo pertanto nella direzione del piano RMZ una retta RM eguale alla trovata, e dal punto Z ima verticale , che s' incontri con RM , si conoscerà dal tri- angolo ZRM il valore di ZM , onde al pozzo obbliquo RZ si potrà sostituire il verticale ZM ; ed al punto M si faranno le opei-azioni prescritte per trovare ZV . 40. Potrebbe accadere, che a cagione dell'ineguaglianza del terreno nel misurare orizzontalmente RM , il punto finale M non riescisse a livello del punto iniziale R, ma in un pun- to più basso come m , ovvero più elevato come m! . In tal caso il cateto M/?z , ovvero Mm' si aggiungerà a ZM, ovvero si sottrarrà, e si avrà l'altezza Z/« , ovvero Zm\ colla quale si avrà ad operare invece di ZM . 41. Poniamo ora ( Fig. lo^ N" 1 ), che stante un pozzo MZ verticale, l'altro sia obbliquo, come KV , ma in modo che il piano verticale MKL , da cui si misura la differenza della elevazione della bocca dei due pozzi , sia in una dire- zione diversa da quella, che ha il piano verticale VKA', che misura l'inclinazione del pozzo obbliquo VK . In tale suppo- sizione si troverà ZV nel seguente modo . Dal punto K del pozzo obbliquo si conduca una verticale K/i', e dal punto V im' orizzontale VA concorrente con K/i nel punto h' . Essen- do tal piano verticale, l'angolo KYh' sarà l'inclinazione del pozzo , e la retta VA' sarà la direzione del piano medesimo . Dal punto Z si conduca un piano orizzontale ZSO , il quale taglierà la retta KV in un punto S , e nel piano ver- ticale VK/i formerà una sezione orizzontale SO . Dal punto S si alzi una verticale SN, e dal punto M un piano orizzontale , il quale taglierà la verticale SN nel punto Del S;(;. Ermenegildo Pint . 169 punto N; e nel piano NSOL formerà la sezione NL paralel- la a SO , tagliando la retta VK nel punto I , dal quale si con- durrà la verticale \h . Da tale costruzione appare, che sarà SN=MZ=:IH = LO, come pure SZ = MN, ed OS = LN ; e l'angolo ZSO = MNL. Quindi conducendo le rette ZO , ML , i due triangoli ZSO, MNL saranno in tutto eguali, epperò sarà ZO = ML . 4^. Ora per giugnere alla soluzione del Problema convie- ne primamente livellare dal punto M al punto K per avere l'elevazione KL , e la lunghezza, e direzione dell'orizzonta- le ML . Essendo KA' una verticale condotta dallo stesso pun- to K , dal quale è condotta la verticale KL , quella sarà nel- la stessa retta con KO : dippiù il punto L sarà nello stesso piano orizzontale MNL , in cui è il punto M ; onde per mi- sura sarà cognito il lato ML del triangolo orizzontale MNL . Essendo KL perpendicolare al piano MLN sarà perpen- dicolare anche alla retta LI: onde nel triangolo rettangolo KLI, in cui è noto l'angolo KIL, che è l'inclinazione del pozzo, ed inoltre il lato KL , si conoscerà anche KI . Nel triangolo NIS essendo retto l'angolo SNI, ed essen- do noto l'angolo NIS dell'inclinazione del pozzo, e di piìi essendo noto NS , come eguale a MZ , si conoscerà SI . Quindi sottraendo da VK le rette KI , IS si avrà SV . Inoltre nel triangolo rettangolo SKO conoscendosi l'an- golo d'inclinazione OSK , ed il lato KS come eguale a KI-+-IS, si conoscerà anche SO . 43. Si prolunghi ora l'orizzontale OS verso R , e si alzi dal punto V una verticale VR , Ja quale incontrerà OS pro- lungata in un punto R, atteso che le rette VS , SO, VR so- no nello stesso piano verticale . Si avrà quindi il triangolo rettangolo VRS , nel quale è noto il lato VS , e l' angolo RSV come eguale all' inclinazione del pozzo , onde si conosceran- no i lati RS , RV . Nel triangolo ZOS è nota la direzione sì della retta SO, che della retta OZ , che è paralella a ML , la cui direzione , Tomo XV. uà. i^o Descrizione di uno Stratimetro ec. e lunghezza supponesi misuiata nella livellazione dal puntò M al punto K; quindi si dedurrà l'angolo ZOS ; onde nel triangolo ZOS , essendo noto anche OS , oltre ZO , si cono- scerà ZS , e l' angolo ZSO . 44- Quindi nel triangolo ZSR sarà noto l'angolo ZSR , come supplemento dell' angolo ZSO , e di più saranno noti i lati ZS j SR : onde si conoscerà il lato ZR . 45. Parimenti nel triangolo ZRV , che ha l'angolo ZRV retto, ed in cui sono noti i lati ZR, RV, si conoscerà la ri- chiesta distanza VZ . Di più si conoscerà 1' angolo VZR , che è l' inclinazione della retta VZ , essendo ZR orizzontale . Finalmente si conosceià la direzione di RZ dall'angolo noto ZRO , in cui è nota la direzione di RO , ossia RS ; ed essendo RVZ un piano verticale, la direzione di ZV sarà la stessa colla direzione di ZR . 46. Si osservi, che pei termini di due pozzi si possono in questi intendere due punti qualunque, la cui distanza dal- la bocca del rispettivo pozzo sia nota . 47- Se anche l'altro pozzo avesse una obbliquità qualun- que, com'è QZ, si ridurrà al caso di un pozzo verticale nel seguente modo . Suppongasi dal punto Z elevata una vertica- le ZM', e che per essa e per il pozzo QZ passi un piano ver- ticale, in cui sarà la misura dell'elevazione del pozzo, che si sarà osservata conducendo dal punto Q un'orizzontale QM ( Fig. io,N.^ I ) : si avrà un triangolo rettangolo, in cui sa- rà cognito il lato QZ , e l'angolo d'inclinazione MQZ ; onde si conoscerà MZ , e QM . Livellando quindi sopraluogo dal punto Q nella direzione nota di QM ; e misurando orizzontal- mente una lunghezza QM eguale alla calcolata, si avrà il pun- to M, che sarà nella verticale ZM' . 48. Se il terreno , su cui si fece la misura di QM sarà orizzontale, si assumerà la verticale ZM invece del pozzo ob- bliquo ZQ : che se misurando orizzontalmente la retta calco- lata QM, questa termina in un punto m^che sia meno eie- Del Sic. Ermenegildo Pini . 171 vato di M , e la differenza di livello sarà mM , sì sottrarrà da ZM la quantità Mm , e sarà Zm la retta da assumersi in- vece di ZQ , e quando il punto M' sia più elevato di M, si aggiungerà alla retta ZM la maggior elevazione trovata M'M, e si assumerà M'Z invece di QZ ; e quindi si faranno le ope- razioni prescritte per trovare ZV, assumendo come pozzo ver- ticale la retta MZ , ovvero mZ , o M'Z , secondo i varj casi indicati . 49. Essendo ZRV un piano verticale, e ZR perpendico- lare alla verticale RV , sarà la stessa ZR eguale alla proje- zione della retta ZV : la qual projezione nella pianta sarà m'/i ( Fig. IO, N° a ) . EMMA IV 5o. Data l' inclinazione , e direzione di un filone, e la sua posizione per rapporto ad una Galleria osservata ad un dato livello, ridurre V osservazione come se fosse fatta ad un altro livello dato . Rappresenti HZ un pozzo (Fig. ii, N.° 1^2), che ora supporremo verticale , in cui alla distanza misurata HM dal punto H sia una Galleria MX , che supporremo orizzontale , la cui projezione perciò sarà la stessa MX . All' estremità X della Galleria suppongasi , che siasi os- servato un filone XQ con ima certa inclinazione , e direzione . Essendo nota la direzione , e grandezza di MX per os- servazione , come pure la direzione laterale del filone rappre- sentata dalla retta XQ ( Fig. 11, N° 2, ) , si conoscerà dalle direzioni stesse l'angolo MXQ formato dalle medesime: con- ducendo pertanto dal punto X la retta XQ che formi l'an- golo trovato , ed al punto M una retta MQ perpendicolare a XQ , si avrà un triangolo rettangolo MQX , in cui essendo noto il lato MX ,6 1' angolo MXQ , si conosceranno i lati MQ , QX , e l'angolo XMQ : e poiché alla direzione laterale è sempre perpendicolare la direzione ascendente j perciò il 17* Descrizione di uno Stratimetro ec. piano verticale , che passerà per la retta MQ , passerà per la direzione ascendente del filone dato , il quale passa per la retta QX , che è la sua direzione laterale . Facendo pertanto i' elevazione ortografica della cava sul- la retta MQ si avrà un profilo, che passerà per la direzione ascendente FL del filone ( Fig. 1 1 , N ." i ) . Conducendo quin- di dal punto M la retta MN perpendicolare ad HM, ed egua- le ad MQ , e pel punto N una retta LF , che formi l' ango- lo MNF eguale alla trovata inclinazione del filone , si avrà un triangolo rettangolo FMN, in cui essendo noti gli angoli ed un lato MN , si troverà il valore di FM . Ora se cercasi di ridurre al livello del punto K , ossia all'elevazione FK l'osservazione fatta al livello del punto M, ciò si troverà a norma del Lemma II. Si cominci pertanto ( Fig. 1 1 , N.° I ) a trovare il valore di FK , che sarà HM-H MF — HK ; si faccia quindi FM : MN = FK al quarto , che sarà — ^TTf — ; e questo sarà il valore della retta KL paralella ad MN condotta dal punto K , al livello del quale intendesi di fare la riduzione dell' osservazione . Facendo quindi nella Icnografia ossia Pianta ( Fig. ii, N.° a ) la retta MP = KL , e conducendo dal punto P la ret- ta PR perpendicolare a MP , e concorrente con MX in R sa- rà MR la projezione della Galleria corrispondente all'altezza HK (Fig. ii.iV." I ). Così dunque ( Fig. i r , N." 1,2,) le quantità MX , MQ , QX risultanti dalF ossei'vazione fatta al Livello MN divengo- no MR , MP , PR per la riduzione dell'osservazione ad un altro livello KL . 5i. Nella proposta costruzione abbiamo supposto, che la direzione ascendente del filone prolungata vada a concorrere col pozzo al di sotto del livello M . Ma potrebbe essere che andasse a concorrere col pozzo al disopra di M , come sareb- be ni . Allora si opererà bensì come nel primo caso ; ma in- terverrà qualche diversità di determinazione delle quantitìc Del SiG. Ermenegildo Pini. 17.3 analoghe . Si trovi pertanto primamente il valore di M^ co- me si fece per determinare MQ : quindi si faccia M/z = M^, e perpendicolare ad HF . Pel punto ii si conduca una retta n/, che formi l'angolo M«y eguale alla trovata inclinazione del filone; si avrà un triangolo rettangolo fMn, in cui es- sendo noti gli angoli , ed il lato Mn , si troverà /M . Ora per determinare il valore diyK,al cui punto K in- tendesi di ridurre l'osservazione, si noti che è/^H^HM — fM, e che è/K = HK— /H: onde sarà /K=:HK — HM-+-/M = HK-H-/M — HM, ed essendo HM minore di HK-t-/M, sarà fK positiva . Si faccia quindi /M : M« =/K al quarto, che sarà K/=: M n y fK. — — — ; e questo sarà il valore della retta K/ paralella ad MN condotta dal punto K . Facendo quindi nell'Icnografia la retta Mp = lil, e con- ducendo dal punto p la retta pr perpendicolare ad Mp , e concorrente con M.*: nel punto r sarà Mr la projezione della Galleria corrispondente all' altezza HK . 52. Se la Galleria sarà obbliqua, si assumerà la sua pro- iezione 5 applicandola al livello del punto finale della Galle- ria stessa, e si opererà in questa projezione così situata, co- me si operò sulla galleria orizzontale . Sia per esempio HZ il pozzo verticale ( Fig. id, N.° i e a ), dal cui punto M parta una galleria ascendente MX' , il cui termine X' perviene alla sezione AX' , che sul filone è for- mata dal piano verticale , che passa per le rette HM , MX' . Questa figura rappresenterà l'elevazione ortografica del pia- no stesso , a cui corrisponde nella pianta la projezione MX . Essendo nota la lunghezza , ed inclinazione della galle- ria MX' , si calcoli il suo cateto, e sia XX', ossia MM' come pure la sua projezione MX . Conducendo dal punto X' la ret- ta X'M' perpendicolare a ZH , sarà X'M' la projezione di MX' applicata al livello del punto finale X' della galleria . Si calcoli quindi secondo il Lemma II nella pianta ( Fig. 174 Descrizione di uno Sthatimetro ec. i3, N." 2. ) la retta MQ corrispondente alla projezione MX ; poi si conduca { Fig. i3, N." 3 ) una verticale Um eguale ad HM'. Si applichi al punto m' una retta m'W = MQ , e per- pendicolare ad HM . Si faccia finalmente la riduzione al li- vello del punto fissato K , e si troverà KL . Facendo nella pianta MP = KL , e conducendo RP per- pendicolare a MP , si avrà dal prolungamento di MX la ret- ta MR per il valore della projezione della galleria obbliqua riportata al punto K . Conducendo pertanto KL' = MR sarà KL' la projezione della galleria ridotta . Se quindi dal punto L' si conduce h'ni' paralella a MX' si avrà la pendenza della galleria ridotta . 53. Allorché la galleria è discendente, cioè al disotto della orizzontale che passa per il suo punto iniziale , la sua projezione applicata al suo punto finale sarà al disotto dell' orizzontale stessa , e su tale projezione si avrà ad operare ])er fare la richiesta riduzione . 54. Se i! pozzo fosse obbliquo, com'è hZ' {Fig. 1 1 , N." i ) e la galleria MX orizzontale, e nello stesso piano verticale, che misura l' inclinazione del pozzo , allora per fare la pro- posta riduzione si alzi dal punto M la verticale ZH, e si cal- coli il valore di MH , che si troverà , conoscendosi per os- servazione nel triangolo rettangolo la lunghezza AM , e l'an- golo d' inclinazione MAH del pozzo . Ciò fatto si opererà co- me se la verticale AZ fosse il pozzo dato , determinando le rette MN , KL , come sopra si è fatto . 55. Allorché il pozzo è obbliquo., e la galleria è obbli- qua, si aggiugnerà, o si sottrarrà dai valore di MH il cate- to dell'inclinazione, secondo che il punto finale della galle- ria sarà inferiore o superiore di livello al punto M : onde si avrà r altezza Uni , ovvero HM' , a cui dee applicarsi la ret- ta MN per fare la richiesta riduzione . 56. Quindi nel triangolo KMS, in cui è noto il lato KM come eguale a HM — HK , e l'angolo KSM , si potrà cono- scere KS , e SM . onde si conoscerà SL = KL — KS , e SA = Mh — MS , Del Sic. Ermenegildo Pini. 17.5 57. Suppongasi ora ( Fig. io, N.° 1,2.) che il pozzo, come VI, sia obbliquo, e che la galleria, che parte dal pun- to V abbia una direzione VF' diversa da quella, che ha l'in- clinazione del pozzo. In questo caso, se non altro si cerca, che la riduzione della galleria ad un altro livello, si opererà come si è fatto al N.° 55 : giacché la diversità di direzione nella galleria non influisce sulla proposta riduzione , doven- dosi essa anche in questo caso fare in un piano verticale che passa pel punto V . 58. Ma se inoltre si vuol sapere la distanza orizzontale, che il termine della galleria ridotta avrà dal punto della ret- ta IV posto allo stesso livello della galleria medesima, con- verrà fare altre operazioni, che nella soluzione del seguente Problema saranno esposte . Data l'osservazione ( Fig. io, NP r , a ) fatta di un filo- ne Gr posto al termine di una galleria che da un punto V di un pozzo obbliquo VI parte con una direzione VF' diver- sa da quella, che ha l'inclinazione del pozzo; trovare la di- stanza , che i due punti estremi della stessa galleria ridotta ad un altro livello dato avranno da quel punto del pozzo, che sarà al livello medesimo . Per la soluzione si cominci a fare la pianta delle osser- vazioni fatte dal punto V , cioè a dire si calcoli la projezio- ne Yh del pozzo VI , e prendendo nl-=:\h intendasi , che ni sia nella direzione nota dell'inclinazione del pozzo. 6i calcoli ])arimenti la projezione della galleria , se è ob- bliqua ; e sia «F, e questa si applichi al punto n colla di- rezione nota della galleria . Finalmente al punto F , si applichi una retta Gr nella direzione laterale del filone . Passando all'elevazione, intendasi che al punto V {Fig. io, iV.° 3 ) sia applicata una retta orizzontale V/t eguale alla pro- jezione ni del pozzo ( Fig. io, iV.° 2, ) , ed un'altra VF' nella direzione della galleria . Dal punto h ( Fig. io, N.° 3 ) si alzi una verticale hi 1^6 Descrizione di uno Spratimetro eC. eguale al cateto del pozzo, e dai punti V,F' le verticali F'T, Vra eguali ad AI. Per le rette nY , Yh si conduca un piano verticale YnVi , nel quale è la retta VI rappresentante il poz- zo ; e per le rette raV, VF' un altro piano verticale reVF'T. Pei punti re , V si conducano i piani «TI , VF'A , che sieno orizzontali . Supponendo , che il livello dato , a cui si vuol traspor- tare r osservazione j sia al punto R, si conduca per tal pun- to un altro piano orizzontale R^O , il quale taglierà la retta VI in un punto S . Sg. Ciò fatto suppongasi primamente , che la galleria VF' sia orizzontale . In tale ipotesi essa si trasporterà al punto R colla regola esposta al N. 5o, e sia R/^' la lunghezza, che si troverà per la galleria ridotta al punto R . 60. Conducendo dal punto f al punto S la retta /'S , questa sarà la distanza orizzontale del punto S dal punto fi- nale della galleria ridotta al livello RS , e sarà RS la distan- za del punto iniziale della medesima dallo stesso punto S . Ora nel triangolo VSR l'angolo VRS è retto, e l'ango- lo RSV è r inclinazione cognita del pozzo , e il lato RV è noto dalle altezze date «V , ?zR : onde si conoscerà RS . Nel triangolo R/'S è noto oltre il lato RS anche R/"' ; e l'angolo intercetto SR/' si conoscerà dalle direzioni note della galleria, e dell'inclinazione del pozzo, onde si conosce- rà S/' , che è la richiesta distanza . 61. Abbiamo supposto, che il punto R fosse superiore al livello del punto V ; se fosse inferiore, com'è R', si con- duca per R' il piano orizzontale R'mh' , che prolungato ta- glierà in 8' la retta SV prolungata . Conducendo quindi mS' si conoscerà S'Pv' , e jnS' nel modo poc'anzi accennato. 62. Suppongasi ora, che la galleria osservata dal punto V sia obbliqua com'è VQ , la cui projezione applicata al suo punto finale Q sarà VF' = Rf, ed il cui cateto VR sarà no- to dalla sua inclinazione . In tal caso sarà l'altezza ?zR:=NV — VR, e la riduzione di Rt sarà da farsi dal punto R al pun- to dato X . Il che si farà come al N.° 55. Del Sic. Ermenegildo Pini. rry 63. Supponendo clie la projezione Rt ridotta sia T oriz- zontale XY, se conducesi per essa un piano orizzontale XYK esso taglierà la retta VI nel punto P , e conducendo YP si conoscerà XP, e YP nel modo sopra esposto ( N.° 60 ) . 64- Da ciò , che ora abbiamo esposto nel caso clie la galleria obbliqua sia ascendente facilmente comprendesi quel- lo , che dee farsi per ridurre ad un dato livello una galleria discendente come VQ' . 65. Le operazioni esposte per trovai-e le quantità divi- sate nel Problema si possono espiimere in disegni misurabili con una data scala . A tal fine si calcoli primamente nella pianta {Fig. io,N.° 2,) la retta nr perpendicolare alla dire- zione laterale Fr del filone; quindi ( Fig. io, N." 3 , 4 ) si alzi una verticale «Z , e prendendo nu eguale al cateto nV del pozzo obbliquo si conduca dal punto u una orizzontale iir =nr perpendicolare alla retta nu , e supponendo, che la galleria u¥ sia orizzontale ( Fig. io, N." 3 ), e perciò nello stesso piano con nr ^ ossia ur si alzi un'altra verticale 7iZ'=7?Z ( Fig. IO j iV." 5 ) . Quindi prendendo «V eguale al cateto del pozzo, si conduca VF' = 7zF ( Fig. ic, N.° 2 ) . 66. Per ridurre la galleria VF' ( Fig. 10, N." 5 ) al livel- lo del punto R' si trasporti a questo livello la retta ur { Fis- 10, N." 4) colla regola esposta al N." So, e sia Rg la retta trasportata . Si trasporti questa retta Rg sulla pianta ( Fig. 10, N." a ) nella direzione di «r, e sia ?ig = Rg. Quindi conducendo gf paralella a Gr, risulterà nf per la lunghezza della galle- ria trasportata al punto R' della Fig. io, N.° 5. Prendasi ora Rf = nf e si applichi al livello stesso di R perpendicolar- mente alla retta nZ , e così si avrà la galleria VF' ridotta al livello di R' , ed in misura della scala assunta . 67. Questa retta Rf corrisponde alla retta R/' , disegna- ta in prospettiva nella Fig. \o,N." 3 , ed è ora da esprime- re nella pianta la distanza { Fig. io, N ." 3 ) del punto/' dal punto S , nel quale il piano orizzontale condotto per la gal- Tomò XV. a3 TjS DESCRIZIONE DI UNO StRATIMETRO CC. lena R/' taglia il pozzo IV . A tal fine si calcoli RS nel tri- angolo rettangolo VRS , e poiché si è presa Yh^=?il ( Fig. IO, N° a ) ed è R0 = VA , perciò sulla retta ni si prenda una porzione raS=RS, e conducendo dal punto/' la retta /'S sulla retta ?il , si avrà la distanza che dal punto S avrà si il punto Iniziale re, che II finale /' della galleria ridotta al pun- to R . 68. D.ille precedenti cose appare che, quando siasi os- servata l' Inclinazione , e direzione di due filoni posti a di- verso livello cognito, si potranno indurre le osservazioni co- me fatte allo stesso livello : cioè a dli'e le osservazioni fatte al livello più basso potranno ridursi al livello più elevato, e viceversa . 69. Due pozzi obbliqui si possono riguardare come due gallerie molto pendenti : onde il Problema proposto , suppo- nendo due pozzi , si può applicare a due gallerie di qualun- que pendenza . Avvi però questa diversità tra i pozzi , e le gallerie , che quelli hanno alla superficie del terreno la loro bocca, che sono come I punti Iniziali delle linee, che li rap- presentano : onde si può Immediatamente osservare la loro differenza di livello, la loro distanza orizzontale, e la dire- zione della distanza stessa . Laddove nelle galleiùe essendo generalmente sotterranei I loro punti iniziali , conviene de- durre da altre misure la diffeienza di livello del punti me~ desimi, la distanza loro orizzontale, e la direzione della me- desima . Date però tali quantità In due gallerie , e data la lunghezza, l'inclinazione, e direzione delle medesime, si tro- verà la lunghezza, r inclinazione, e direzione della retta, che congiunge I loro due punti finali , operando nel modo espo- sto per due pozzi . La soluzione di tali Problemi serve a determinare l' esca- vazione da farsi per glugnere da nn punto sotterraneo ad un altro o per dare scolo alle acque , o per introdurre una co- municazione d' aria , e per altri oggetti occorrenti nel lavoro delle miniere. . ,. ■ .■ Del Sic. Ermenegildo Pini. 179 I E M M A 70. Dal termine Y , Z di due pozzi obbliqui KV, ( Fig. IO , N. ij a ) QZ j dei quali si conosce per misura la lunghez- za, V inclinazione , e la direzione, partano due gallerie, di cui si conosca la direzione VF' , ZG , la lunghezza , e V in- clinazione ; ed al termine loro F', C siasi osservata l' inclina- zione, e direzione laterale GF, HC di due filoni: cercasi, die r osservazione fatta al livello più basso V si riduca ad essere come fatta al livello più elevato Z . Per chiarezza delle operazioni si cominci a disegnare la pianta delle osservazioni fatte, e primamente della posizione dei pozzi: al qual fine gioverà l'elevazione fatta nella Fig. io, N° I . Si calcoli pertanto l'orizzontale corrispondente all'in- clinazione del pozzo QZ, la cui bocca Q è meno elevata dell' altra K, e sia questa l' orizzontale ^w' , che si disegnerà con una certa scala, la quale serva per tutta la pianta, ed anche per r elevazione ortografica . Essendo nota per misura la lunghezza , e direzione dell' orizzontale ML corrispondente all' elevazione della bocca K sulla bocca Q dei due pozzi , si prenda una retta m'I eguale alla trovata lunghezza , e si applichi al punto ni colla dire- zione trovata, cosicché l'angolo qm!l sia eguale all'angolo QML. Essendo parimenti nota la lunghezza, l'inclinazione, e direzione del pozzo KV si calcoli la sua projezione orizzon- tale V/i', e prendendo nl=s.Nìi' si apponga ni al punto l col- la direzione del pozzo stesso , così che sia l' angolo nlm! = MLN. In tal modo sarà disegnata la posizione dei pozzi . Quan- to alle gallerie essendo nota in ciascuna la lunghezza , l' in- clinazione , e direzione si calcoli il loro cateto : si calcoli pa- rimenti la projezione di ciascuna , e supponendo che sia nF la projezione della prima si applichi al punto n colla rispet- tiva direzione trovata j come pure supponendo , che ìtìC sia i8o Descrizione di uno Stratimetro ec. la projezione dell'altra galleria, essa si applichi al punto ni rolla direzione osservata . Finalmente supponendo che le rette FG , CH sieno le direzioni laterali dei filoni osservati , si appongano ai rispet- tivi punti C, F delle gallerie colla direzione in essi trovata. Volendo ora ridurre al livello del punto Z l' osservazio- ne fatta sul filone GF al punto V , si conduca dal punto n la retta nr perpendicolare a GF , e intendasi apposto al pun- to V il triangolo N¥r colla posizione dovuta alle osservate direzioni . Ciò fiitto , suppongasi primamente , che le due gallerie sieno orizzontali . Richiamando la costruzione fatta superior- mente al N." 4^, vedesi,che per ridurre al livello del pun- to Z l'osservazione fatta al punto V conviene conoscere l'al- tezza VR , e r altezza R/z , ovvero IH . Ora queste quantità dai dati si conoscono ( N." 36, 4^ )• Perlocchè si conoscerà ( N." 5o ) la lunghezza nf della galleria VF' ridotta allo stes- so livello della galleria w'C ossia ZC . Quindi si avrà la distanza perpendicolare del punto R dalla direzione laterale del filone ridotta all' altezza VR , la qual distanza sarà eguale ad ng ( N.° 5o ) . 71. Se la galleria ZG fosse obbliqua { Fig. \^, N." 1 ), si calcoli il suo cateto Z'Z 5 e se essa sarà ascendente , il pun- to iniziale Z' della sua projezione CZ' sarà superiore al pun- to Z . Quindi il punto , al quale sarà da ridurre l' altra gal- leria VF , sarà il punto R' ; per trovare il quale sarà da de- terminare la verticale VR' , che sarà eguale a VR -h RR', cioè all' altezza VR trovata nel caso che la galleria sia oriz- zontale più il cateto dell' obbliquità della medesima. Che se la galleria fosse ascendente il cateto sarebbe da sottrarsi da VR , ed allora sarebbe R" il punto , a livello del quale sa- rebbe da ridurre l' altra galleria . 72,. Se anche l'altra galleria nF ( Fig. lo^ N.° 2, ) è ob- bliqua, si calcoli il suo cateto, e supponendo che sia ascen- dente, sia VV il cateto ( Fig. 14, N° a ). Allora l'altezza Del SiG. Ermenegildo Pìni . i8i dalla quale si avrà a fare la riduzione, sarà raV, e fatta che sia la riduzione al livello dell' altra si segnerà nella pianta il valore ng della galleria ridotta . Quindi vedesi ciò che deve farsi per la riduzione, quan- do ambedue le gallerie sono discendenti , ovvero quando una è ascendente , e l' altra discendente . Lemma VI 78. Data V osseri>azione fatta su due filoni da due date gallerìe orizzontali , die partono da due punti sotterranei dì due pozzi, ridurla come fosse fatta da due gallerie diramate orizzontalmente da uno stesso punto di un altro pozzo ( Fig. IO, N. 1 , 2) . Se i pozzi sono obbliqui come KV , QZ , ed i punti da cui partono le gallerie sono a diverso livello, come sono V, Z , si cominci a ridurre questo caso a quello di due pozzi verticali MZ , nY ( N.° 47 ) . Quindi si riducano le due gallerie allo stesso livello, e se ne faccia la pianta a norma della fatta riduzione . In quel- la le gallerie ridotte allo stesso livello saranno nf , m'G . Tali gallerie essendo orizzontali, ed allo stesso livello, potranno concorrere in un punto . Si pi-olunghino pertanto finché concorrano in un punto B . In tal modo si avrà un triangolo, nel quale sarà cognito il lato m'n (N.''49)5 inol- tre dalle direzioni note delle due gallerie Cm' , f'n si cono- scerà r angolo nBm' , e dalle direzioni note nf , ni della gal- leria stessa, e delf inclinazione del pozzo si conoscerà l'an- golo Inf , dal quale si conoscerà l' angolo Bnm' come supple- mento dell'angolo Inf . Perlocchè si conosceranno i lati Bw', B/i. Se dunque si supporrà, che l'osservazione sui due filo- ni sia stata fatta da due gallerie BG , B/"' , essa equivalerà all'osservazione fatta dai due punti m' , n andando per le due gallerie m'C , ^if . Da questa riduzione segue , che nella pianta debbansi i{>i Descrizione di uno Stratimetro ec. segnare le rette Bc , Bh condotte dal punto B perpendicolar- mente alle direzioni laterali He, /'è, le quali invece delle perpendicolari 772'E , ng servir devono per fare altre operazioni . 74- Da queste perpendicolari appare la ragione per cui si possa fare la proposta riduzione; pei'cioccliè per esse i tri- angoli Bf'b, nf'g sono simili tra loro, epperò i lati sono tra loro proporzionali : e lo stesso è nei triangoli m^G , BcC : da elle ne segue che alla perpendicolare ng risponde la gal- leria nf come alla perpendicolare Bb corrisponde in lunghez- za Bf della galleria stessa ridotta , e nello stesso modo alla perpendicolare 7;ì'E corrisponde la galleria w'C , come alla per- pendicolare Bc corrisponde la lunghezza BG della galleria ri- dotta . 75. Allorché le gallerie non sono orizzontali, si assume- ranno le loro proiezioni per fare la proposta riduzione, cioè a dire si applicheranno le projezioui all'altezza dovuta; quin- di si ridurranno allo stesso livello, e finalmente si farà l'o- perazione per ridurre l'osservazione come fatta da uno stes- so punto situato nel piano orizzontale, che passa pel livello comune alle due projezioni : il che si farà a norma dei Lem- mi antecedenti . ! ••' PROBLEMA i." 76. Data V inclinazione , e direzione di due filoni espres- si da due piani, determinare collo Stratimetro V inclinazione , e direzione della loro comune sezione ( Fig. i5 ) . -< Sieno rappresentate dai due piani EKQK', MÌHnm le due piatine dello Stratimetro espresse nella Fig. 1 5, e sia E'R, AH il piano orizzontato del telajo , su cui sono montate le pia- tine , ed è situata la tavoletta : il qual piano supporremo es- sere quello della carta , su cui è disegnata la figura . Si dia a ciascuna platina l'inclinazione, e direzione, che si è os- servata nel corrispondente filone ; e per fissare una posizio- ne , suppongasi che da tale disposizione il cadente di una Del Sig. Ek.uenegildo Pini. i83 platina , o di un filone riesca rivolto verso il cadente dell' altra. Inoltie suppongasi, che le punte di due dei regoli rap- presentati da dì , bl concorrano nel punto I , e le due altre dei regoli fX , aX concorrano nel punto X . Se si congiun- gono i due punti I, X colla retta IX, questa sarà la comu- ne sezione dei due piani . 77. Per determinare la sua inclinazione, e direzione si conduca dal punto I sulla tavoletta rappresentata dal piano orizzontale RE'HA una verticale II' , e si segni sulla tavolet- ta il punto r . Questo punto si determinerà per mezzo del cateto istromentale , facendo venire in contatto col punto I la punta superiore del cateto medesimo; poiché allora l'altra punta inferiore sarà nella verticale II'. Il punto I si segni, ovvero ad esso si punti un ago . In simile modo si fissi il punto Y , che sarà nella verticale condotta dal punto X . 78. Ora se dal punto I si conduce una retta lY' paralel- la all' orizzontale YI' , sarà l'Y = Y'I , e l'angolo XIY' sarà l'in- clinazione della retta XI. Quest'angolo si determinerà facil- mente nel seguente modo . Allorché col cateto istromentale si determina la verticale II' si osservi su di esso quanti cen- timetri vengano indicati: lo stesso si faccia, allorché si de- termina la verticale XY . Si noti quindi la differenza di que- ste due altezze che sarà XY' . Si misuri dippoi colla stessa scala del cateto la lunghezza YI' che sarà eguale ad Y'I, e cosi si avrà un triangolo rettangolo nel quale saranno noti i lati XY' , ed lY' , ed inoltre l' angolo retto XY'I ; onde si co- noscerà l'angolo XIY', che è l'inclinazione della retta XI. Determinata così l'inclinazione della comune sezione, si conoscerà da qual parte sia ascendente, che è quella, in cui l'altezza XY è maggiore di II' . Quindi col gonimetro si de- terminerà la sua direzione : il che si farà collocandone la me- ridiana istromentale , o una sua paralella sulla linea YI' in modo che il Nord istromentale sia verso la parte ascenden- te ; ed allora il Nord magnetico indicherà quale sia la dire- zione ascendente della comune sezione . IÒ54 Descrieione di uno Stuatimetro ec. 79. Il motivo, per cui cercasi di deteraiinare l' inclina- zione , e direzione di due filoni si è per potere sopra luogo giugnere coli' escavazione alla stessa comune sezione : giacché dove essi s'intersecano sogliono essere più ricchi. Il conse- guimento di questo fine richiede altre operazioni , le quali per complemento della soluzione del Problema verrò espo- nendo . 8c. L'inclinazione, e direzione della comune sezione di due filoni , dipendendo unicamente dalla inclinazione , e di- rezione dei medesimi , rimane la stessa , qualunque sia la lo- ro distanza relativa , nella quale si fece l' osservazione della loro inclinazione, e direzione. Ma secondo la diversità di ta- le distanza la comune sezione riesce in diverso luogo . Oi'a per potere col sussidio dello Stratimetro determinare il luo- go preciso della comune sezione dei due filoni corrisponden- te alla loro locale posizione , conviene primamente formare una scala , colla quale venga rappresentata in proporzione la reale posizione dei filoni, e quindi servirsi di essa per tro- vare sopraluogo i diversi punti della comune sezione : a che soddisfaranno le soluzioni dei due seguenti Problemi . PROBLEMA 2." 81. Formare una scala, colla quale lo Stratimetro ven- ga disposto ìli modo , che con essa si possano rilei'are le ini- sure reali relative alla determinazione locale della comune sezione di due dati filoni ( Fig. 16 , iV.° 1,2,). Sia B la projezione di un pozzo verticale, di cui sia da- ta l'altezza; e da tal punto partano due gallerie note BF , BG,le quali sieno allo stesso livello. A questo caso si ridu- cano i dati , quando sieno diversi : il che si farà come fu esposto nei precedenti Lemmi. All'estremità di una galleria siasi osservata la direzione laterale AG, e l'inclinazione di un filone TS, ed all'estremità dell'altra siasi osservata la di- rezione laterale RF , e l' inclinazione di un altro filone VF . Sia \ Del Sic. Ermenegildo Pini. i8j Sia pure misurata la lunghezza delle gallerie BF , BC , e la loxo direzione . 8-2,. Le osservazioni fatte si esprimano in disegno. A tal fine si fissi una scala di metri , se per le misure reali si usò il metro . Quindi si conduca una retta BC , a cui si diano tanti metri della scala ,, quanti se ne osservarono . Essendo cognita la direzione delle gallerie, si conoscerà l'angolo CBF, il quale altronde può essersi misurato sopraluogo . Dal pun- to B pertanto si conduca un' altra retta BF , la quale colla retta BC formi un angolo eguale al trovato ; ed alla stessa retta BF si dia colla scala la lunghezza osservata dalla gal- leria . 83. Parimenti essendo note le direzioni BC , CA si co- noscerà l'angolo BCA , il quale pure può essere stato misu- rato sopraluogo . Per lo che conducendo dal punto C una ret- ta CA , che formi con BC l' angolo trovato , sarà AC la di- rezione laterale di un filone . Nello stesso modo dalle dire- zioni BF , FR si conoscerà l' angolo BFR : onde conducendo la retta VR , ossia VF la quale con FB formi l'angolo tro- vato, sarà VF la direzione laterale dell'altro filone, e cosi saranno disegnate le gallerie, e le direzioni laterali dei filo- ni in proporzione delle misure reali . Si conducano ora dal punto B la retta BA perpendico- lare a TG, e la retta BR perpendicolare a VF, e si calcoli la loro lunghezza: il che si potrà fare agevolmente; perciocché nel triangolo rettangolo ABC, essendo noti il lato AC, e r angolo BCA , si conoscerà BA , come pure nel triangolo ret- tangolo RBF, essendo noti il lato BF , e l'angolo BFR, si conoscerà BR . 84- Si calcoli parimenti l'angolo RBF, e l'angolo ABC, come pure l' angolo ABR , che sarà la somma dei tre angoli noti RBF , ABC , FBC . Delle due rette BA , BR si assuma Tuna, o l'altra per formare la scala per lo Stratimetro , ma primamente si dia ( Fig. i6, N.° a ) alla piatina EKQK' l'inclinazione, e dire- Tomo XV. a4 1t^G Descrizione ni uno Stratimetro ec. zione del filone TC , ed all'altra NHwM l'inclinazione, e di- rezione dell'altro filone VF, e suppongasi , che dalla loro po- sizione risulti quella disposizione , che è rappresentata nella Fig. i6, N." a. 85. Sulle due piatine si segnino due rette orizzontali, che sieno allo stesso livello; e per facilità si assuma per una di queste rette il bordo inferiore di quella platina , che rie- sce più elevata dell' altro ; come nel caso presente è il bor- do EK . Per segnare sull' altra piatina NH«zM la retta GO allo stesso livello cosi EK servirà il cateto istromentale : cioè a dire con questo si prenda l' altezza dei punti E , K , e si segnino sulla tavoletta le projezioni E', h dei punti medesi- mi E, K, fissando, se bisogna, un ago a ciascuno. Si porti col cateto l' altezza EE' ai punti G , O dei bordi laterali del- la piatina NHwM , e vi si segnino con matita , segnando pa- rimenti sulla tavoletta le loro projezioni verticali G' , O' . Congiugnendo i punti K , O , ed i punti E , G colle rette KO , EG , il piano orizzontale EKOG passerà per le direzio- ni laterali dei due filoni dati , e potrà rappresentare il piano della cava , su cui si è fatta l' osservazione , e poiché la ta- voletta è orizzontale , perciò congiungendo i punti A, E', G', O' colle rette hE\ G'E', G'O', O'h, il piano hE'G'O' sarà egua- le al piano KEGO , e potrà parimenti rappresentare il piano della cava , su cui si è fatta l' osservazione . 86. Per formare la scala ( che chiameremo dello Strati- metro ) si assuma la retta BA {Fig. \ò, N° i ) che fu cal- colata ; e supponendo che siasi trovata eguale ad un certo numero di metri per esempio a 5 metri, si divida BA in al- trettante parti eguali. Quindi da un punto A della retta hE' ( Fig. ì6, N." a ) si conduca sulla tavoletta una retta BA per- pendicolare alla stessa /zE' : questa retta si potrà assumere più , o meno grande , purché si ritenga come divisa nell' in- dicato numero di parti ; ma poiché lo spazio della tavoletta è limitato, e su di essa deve potersi disegnare colla stessa scala anche l'altra galleria BF ( Fig. i6, N.° i ), perciò si Del Sic. Ermenegildo Pini . 187 dovrà prendere BA di tale grandezza , clie possa ottenersi questo fine : nel che si avrà riguardo a fare la scala più gran- de che sia possibile dentro l'indicato limite: poiché quanto più è grande la scala, tanto meno le misure si discostaiio dall'esattezza . 87. Formata la scala , e data alla perpendicolare BA ( Fìg. 16, N." i,a ) la lunghezza conveniente , si conduca dal pun- to B un'altra retta BR perpendicolare alla retta G'O', e si dia a BR cpiel numero di metri , che si sarà trovato , misu- randoli sulla scala dello Stratimetro . Quindi siccome nella prima disposizione dello Stratimetro la retta G'O' poteva riu- scire più, o meno lontana dall'altra kE' , ovvero dal punto B ; perciò determinata che sia la lunghezza BR si farà scor- rere con moto paralello a sé stessa l' asta , che sostiene la platina NHwM , finché la projezione G'O' della retta G'O' venga a corrispondere al punto R : il che si riconoscerà per mezzo del cateto istromentale . La Figura x6j N." 2, rappre- senta tale corrispondenza come già ottenuta ; onde sulla ta- voletta la posizione delle direzioni dei due filoni per rappor- to alle perpendicolari riesce disegnata in proporzione delle grandezze reali misurate . 88. Ciò fatto si appongano alla piatina i regoli per tro- vare la comune sezione dei due filoni, e suppongasi, che le punte s'incontrino nei punti I, X; sarà IX la comune sezio- ne , di cui si determinerà l' inclinazione , e direzione nel mo- do sopraindicato ( N.° 76 ) . 8g. Prolungando la comune sezione XI, ossia ZI, e sup- ponendo , che per essa passi un piano verticale ZII'Z' , esso formerà col piano orizzontale della tavoletta una comune se- zione Zr, e col piano verticale ZOO'Z' un'altra comune se- zione ZZ' , la quale sarà verticale . Inoltre la comune sezione ZI dei due filoni concorrerà colla retta oiizzontale OG , che è la direzione laterale del filone NHwM . 9© . La retta ZT sarà tagliata dall' orizzontale BR nel pun- to jf , onde , risultando le rette orizzontali Z'R ^ Rp , Z'p da l88 Descrizione di uno Stratimetro ec. una disposizione dei filoni simile alla reale , esse potranno misurarsi colla scala dello Stratimetro, e da esse si conosce- rà nel triangolo rettangolo RZ'p l'angolo RZ/?, il quale al- tronde potrà conoscersi dalle direzioni note delle rette Z'p, Z'R.. 91. Se dal punto p per la retta BR intendesi passare un piano verticale , esso formerà coli' altro piano verticale ZII'Z' la sezione verticale P/;; e si potrà nel seguente modo cono- scere la retta ZP , che concorre coli' orizzontale OG nel pun- to Z . Essendo ciascuno dei due punti X , I della comune sezione determinato dal concorso di due regoli ( Fig. iG , N.° 1,2.), perciò vi si potrà soprapporre un filo di ferro sot- tile , e ben diritto , il quale rappresenterà la comune sezio- ne XI . Quindi si ponga la punta inferiore del cateto istro- mentale al punto /?, e si faccia venire l'altra ad incontrare la linea ZI , il qual incontro sarà nel punto P; e così si avrà misurabile colla scala la retta ZP, la di cui determinazione è necessaria per la soluzione del seguente Problema . PROBLEMA 3." ga. Determinare coli' uso dello Stratimetro Vescavazìone più vantaggiosa per giugnere dalla superficie di un Monte alla comune sezione in esso esistente di due filoni, di cui si conosce V inclinazione , e direzione , e la relativa loro posizione . Posta l'antecedente costruzione si faccia sulla carta la pianta delle quantità segnate sulla tavoletta , servendosi del- la scala dello Stratimetro , o anche di altra più grande : cioè a dire ( Fig. 17, N° ij a ) primamente si conduca una retta BR , la cui lunghezza sia eguale al numero di metri superior- mente trovato, misurandoli sulla scala, che si sarà fissata. Dal punto R si conduca una retta Z'R perpendicolare a BR , a cui si darà la lunghezza trovata, misurandola sulla scala stessa , su cui si misurò BR . Si prenda Bp :=■ BR — Kp , la quale R/? è pota ( N .° 90 ) ; e si congiungano i punti p , 71 colla retta pZ' . Del Sic. EnjiENEGiLno Pini . 189 98. Per la retta pL\ che rappresenta l'Icnografia, o la projezione della comune sezione dei due filoni dati, intendasi ( F/g. \iiNP%) passare un piano verticale, nel quale sarà la stessa comune sezione, che sarà la retta ZP \ e supponendo, che questo piano sia condotto per la montagna passando per la reale comune sezione, esso prolungato presenterà il profilo della montagna stessa espresso dalla curva 0'MNTY« . 94. Per il punto Z dell'Icnografia intendasi nel profilo alzata la verticale Z"Z \ e supponendo che il punto Z sia nel piano orizzontale, in cui fu fatta l'osservazione, e che la sua reale elevazione sia determinata nel modo, che or ora si di- rà , si conduca da tal punto Z un piano orizzontale ZR/?, il quale col piano Z/?P'Z" verticale , che passa per la comune sezione , formerà la sezione orizzontale Z/7 . Dallo stesso pun- to Z si conduca un altro piano verticale , il quale passi per la retta Z'R dell'Icnografia, ossia formi col piano orizzonta- le TaKp r angolo R'Z/? eguale all' angolo formato dalla comu- ne sezione dei due dati filoni colla projezione della direzione laterale ZR' del filone wM'M'Z, il quale nella Fìg. iq , N.° a è espresso dal piano ZM"M'm . Questo piano orizzontale ZR/> è disegnato in iscorcio, e deve intendersi come situato die- tro il piano della carta ^ che rappresenta quello del profilo della montagna. La retta però Zjj, che è orizzontale, è nel- lo stesso piano con quello, che passa per la comune sezione ZP dei due filoni dati : onde l' angolo PZjj è la misura dell' inclinazione della stessa comune sezione . 9.5. Prendendo quindi ZR' = Z'R ( Fig. 17, iV." i^ a ), e tirando dal punto R' la retta pR' perpendicolare a ZR' , con- ducasi per la retta />R' un piano verticale pK'RP' , il quale col piano ZpP'Z" , che passa per la comune sezione dei filoni dati , formerà una sezione jpP intercetta tra l' orizzontale Zp e la stessa comune sezione ZP . Questa retta pP deve deter- minarsi siccome quella che è necessaria per la soluzione del Problema ; e la determinazione è facde , poiché per costru- 3Ìone è retto l'angolo ?pZ , il lato ZP è noto ( N.°9i ), e igo Descrizione di uno Stkatimetro ec. l'angolo PZ/? è parimenti noto , essendo eguale all' inclinazio- ne della comune sezione , onde si conoscerà anche p? . 96. Se si prende un'altra distanza ZZ, e si conduce hi paralella a Py? , si potrà parimenti conoscere il valore di ZL, poiché nel triangolo rettangolo Z/L , essendo noto l' angolo LZ/ , e la distanza assunta ZI , si conoscerà LZ , come anche ZZ . 97. Prolungando le rette R'Z , /^Z , PZ oltre il [imito Z , il piano Zp'r sarà orizzontale , e la comune sezione ZP" sarà ascendente sopra lo stesso piano, che è quello , in cui fu fat- ta r osservazione : laddove ZP è discendente al di sotto del- lo stesso piano . Conducendo le verticali ¥"p , Z'L' dai punti p' , V esse si conosceranno , quando sieno date le distanze Zp\ Z'L', come si è determinato ZL nel triangolo ZZL , mentre l'an- golo L'ZZ' essendo eguale all' angolo LZZ , è noto . 98. Preparato cosi il disegno colla scala assunta , si vada sopraluogo, e cominciando { Fìg. 17, iV.° i ), dalla bocca del pozzo B , si alzi una palinata esprimente un piano verticale nella direzione trovata alla retta BPt , e si livelli dal punto B al punto p . 99. Supponendo che la bocca del pozzo sia indicata in elevazione dal punto B ( Fig. 17, N." a ), questo deve in- tendersi sul monte in un piano diverso dal piano , in cui è il profilo MNYrt , ed allora la palinata potrà essere espressa dalla retta BY , supponendo cioè che la verticale pY condot- ta dal punto p alla superficie del monte sia maggiore dell' altezza nota BB' del pozzo al disopra del piano orizzontale ZRy^B' . Se supponesi per esempio che il punto Y siasi tro- vato 2, metri più elevato della bocca B del pozzo, è che l'e- levazione del pozzo sul piano orizzontale ZR^B' di osserva- zione sia di ic metri, ed espressa da BB', ossia /?C, sarkpY un' elevazione di 1 2, metri . l-oo. Questa elevazione essendo nel piano verticale, che passa per la comune sezione ZP dei filoni dati si assumerà come la fondamentale per determinare le elevazioni dei di- versi punti del profilo del monte, in cui è la stessa comune Del Sic. Ermenegildo Pini. iqi sezione. Quindi per riconoscere meglio l'andamento gioverà nel disegno condurre dal punto Y una retta YY' orizzontale , cioè paralella alla retta Z/?, che è nel piano orizzontale ZR^, e nel piano , per cui passa la comune sezione . loi. Dal punto p ( Fig, ij, N.° i ) si alzi un'altra pali- nata /'Z' nella direzione della comune sezione trovata; e li- vellando si misuri orizzontalmente una lunghezza Z'p eguale alla trovata superiormente , e si fissi nel punto Z' un altro pichetto , il quale nel profilo sarà da porsi nel punto T . ioa. Siccome la determinazione di questo punto influi- sce di molto sulle altre determinazioni , perciò gioverà veri- ficarla : il che si farà nel seguente modo . Si pi'olunghi la pa- linata da B sino in R dando a BR la lunghezza trovata . Dal punto R si alzi un'altra palinata in una direzione perpendi- colare a BR , e con un piombino si osservi se il suo filo ri- dotto nel piano verticale , che passa per la palinata va ad incontrare il punto Z' , ossia Z; e quando ciò si osservi, sa- rà segno di esatta determinazione . Più esattamente , e spe- ditamente ciò si otterrà col Teodolite . io3. Si continui nella stessa direzione Z'p' la palinata, la livellazione , e la misura orizzontale facendo stazione nei siti più bassi, giacché in alcuno di questi deve essere il pina- to, da cui colla più breve escavazione si giugnerà sulla co- mune sezione . In tali siti si fisserà un pichetto, e si noterà la distanza di ciascimo dalla verticale che passa pel punto Z', la quale in disegno è indicata dalla retta TZ ; come pure si noterà il livello di ciascun di questi punti per rapporto all' orizzontale jY . 104. Le distanze , che si prenderanno sulla direzione /?Z/?' essendo orizzontali corrispondono a quelle , che nel disegno sono misurabili sulla retta /?'Z/? , che è orizzontale, e nel pia- no verticale che passa per la comune sezione dei filoni dati; onde come sono calcolate le verticali Pp , LI , che sono nel- la parte discendente della stessa comune sezione, così sono calcolabili le verticali p'?" , L'I' che sono nella parte ascen- iqa Descrizione di uno Stratimetro ce. dente della stessa comune sezione, e che dipendono dalle di- stanze orizzontali ZZ' , 'Lp' , che si misurano sopraluogo . io5. Quindi fatte che sieno le indicate operazioni sopra- luogo si calcolerà quale ne sia V altezza dei punti fissati so- pra la comune sezione , onde appaja quale sia quello , che dia la minima distanza verticale dalla sezione stessa . ic6. Supponendo che dalla livellazione risulti quel pro- filo 9he è indicato dalla Fìg. ij, N° a, i punti M, N sareb- Lero quelli , la cui elevazione sarebbe da calcolare . Si chia- mi pertanto a l'elevazione del punto Y sul piano orizzonta- le. Sia e la distanza NY" del punto N al di sotto dell'oriz- zontale jY . Sia finalmente d la verticale L7' intercetta tra Z7, e ZI.' la quale si calcolerà dipendentemente dalla distan- za orizzontale ZI' , che si sarà misurata , è chiaro che la di- stanza NL' del punto N dal punto L' sarà a — e — d. 107. Chiamando e' la distanza MY' della verticale P"p' , sarà MP" = a — c' — d'. 108. Dando alle lettere il valore numerico, che si sarà trovato, apparirà quale sia la minore tra le due rette NL' , e MP" , e la minore sarà quella, su cui si dovrà fare l' esca- vazione soddisfacente al Problema . Nel proposto profilo tal retta sarebbe MP" , abbenchè l'elevazione di M sul piano oriz- zontale di osservazione sia maggiore dell'osservazione del pun- to L'. Cosà sarà sciolto il proposto Problema, che è uno dei più difficili della Geometrìa Sotterranea . 109. Il Problema relativo alla determinazione della co- mune sezione di due piani fu esposto in tutta la sua gene- ralità ; e da essa si potranno rilevai'C i varj casi , nei quali tale determinazione si potrà ottenere più facilmente. Questi casi si riducono ai seguenti Teoremi . no. I." Se un piano è verticale, e l'altro orizzontale, la comune loro sezione è orizzontale, e la sua direzione è quella del piano verticale . ITI. II." Quando un piano è verticale, e l'altro obbli- quo, Del Sic. Ermenegildo Pini. 198 quo, la comune sezione ha l'inclinazione del piano obbliquo, e la direzione del verticale . Ila. III." Due piani verticali, che hanno diversa dire- zione concorrono in una comune sezione verticale ; e la di- stanza di essa da certi punti dati si può facilmente determi- nare dalla Fig. 16, N.° i , nella quale sieno supposti verti- cali i due filoni VF , TC , e prolungati sino al concorso S . ii3. IV .° Allorché un piano è orizzontale, e l'altro ob- bliquo , la comune sezione è orizzontale , ed ha la direzione del piano obbliquo . xi4- V." Due piani paralelli non mai s'intersecano. 11 5. VI.° Due piani obbliqui formano una comune sezio- ne, la cui determinazione teorica dipende dalla Trigonome- trìa sferica , e meccanicamente si ottiene coli' uso dello Stra- timetro . OSSERVAZIONI Al PRECEDENTI PrOBLEMI, 116. Nei precedenti problemi noi ne abbiamo presentati i dati con una figura, in cui si potesse riconoscere la regola per la soluzione dei medesimi. Ma dalle diverse posiziona lo- cali, che nelle escavazioni di miniere hanno le gallerie, i pozzi, ed i filoni minerali, spesso risulteranno figure molto diverse, nelle quali certe quantità dovranno prendersi ora positive ora negative. Per riconoscere queste varietà, e for- marne quindi una corrispondente figura, su cui si possa fa- cilmente, e chiaramente formare il calcolo per la soluzione dei Problemi, gioverà fare uso dello Stratimetro, avvertendo sempre di orizzontarlo esattamente . 117. Allorché si tratta della disposizione di due piani, già abbiamo veduto , come serva l' indicato stromento . Que- sto però serve egualmente per dare una certa posizione an- che a linee rappresentanti o pozzi , o gallerie . Siccome le Tomo XV. 25 194 Descrizione di uno Stratimetro ec. due piatine hanno i loro lati contigui tra loro perpendicola- ri, cosi uno de' Iati, che sempre riesce in un piano vertica- le, ovvero una linea paralella al lato medesimo condotta sul- la piatina , può rappresentare una linea , a cui si può dare lina inclinazione, e direzione qualunque. A tal fine basta dare alla piatina stessa l'inclinazione, e direzione, che in- tendesl di dare alla linea, perciocché il lato di ciascuna pia- tina , ovvero una linea formata da ciascun regolo , e paralel- la al lato medesimo , presenta per costruzione la direzione ascendente del piano della piatina medesima , e questa linea ha r inclinazione stessa del piano , la quale , essendo in un piano verticale , ha la direzione ascendente del piano mede- simo . ii8. Quindi si possono facilmente sciogliere diversi Pro- hlemi : tra questi uno sia il seguente : Formare collo Strati- metro un dato angolo con, due linee, le quali abbiano una data inclinazione . Essendo dato l'angolo {Fig. 19) si prenda sui due lati AB, AC un'eguale misura, che potrà bastare di 5 centimetri. Si conduca dalle estremità dei lati misurati una retta GB, che chiameremo seno dell'angolo dato, e si calcoli, o anche si misuri , avendo prima formata su uno dei lati la scala ; ed ad una distanza eguale a questa misura si dispongano le pun- te del cateto istronientale , o anche di un compasso qualunque . 119. Si dispongano le piatine STK , GHM dello Strati- metro ( Fig. 18 ) colla data inclinazione delle due linee: quin- di ad un bordo laterale di ciascuna piatina si applichi un re- golo AL AI munito di un filo di ferro ben diritto, in cui si segni una lunghezza AB, AC, di 5 metri ; ed essi si dispon- gano in modo, che sporgano fuori del bordo inferiore TS , GH delle piatine e sieno perpendicolari al medesimo. Porta- le disposizione i due fili essendo situati nella direzione ascen- dente delle due piatine, rappresenteranno due rette ,• che hanno la data inclinazione ; e in tale posizione si fissino . 120. Ciò fatto si muovano le aste in modo, che le due tforn'/cì Jfa/ra/ur Y'ojìio Jit^ vii^ .Ji)4 3.^)<^. 8/ Jif.s.^r.l. s N,r z H S V-=ilL, z a T Vi le Ta.,.V[ JM^ernoTyr t/r ^TLifer/iufycct Ui'Ctcfyi J^i/jarui ^Tojno JST^ /'ut/ ./,)4 ,^./, xIliM E = 1S ^iy.3.^1<^. ,^f.3. ^f.l. BZ "\m. O B -B '{,:/,„„,/,.,, ,unf,i l/,i/ Tom Xì' /,„,/ tp4- T.„ ni J 1,111 •^rir ,// ^ /f,j/,iii,7hr,, (',Hii-hi' Ihil Tom Xì /','// '■> illilllil/lCil ^.h'rivhi Ihif 'finn \J '^ />,/,/ j,^ 4 T^uVin ^ItcmoìK- ili ^ll'ilriiuificj • l'.'richi ih,l T.nn XV />,!,/ i,/^ J^,y.J2..i^J S^iy .jó'.^A'Tji. k=. Il ii/,tiiii/i( ,1 ■ >.ic/„- If.i/ Jlni.Xr. />,i,/.j,, T.rr. IX ^iLiiwii,- /ti ^11 fifrni.iht a ■ '■■.uf,, //„/ j:.,„.xr. /'.!./. /.u w ?;.. A- -k_A Del SiG. Ermenegildo Pini . lyj piante dei fili vengano a toccarsi , e col cateto si misuri se la distanza delle altre due estremità dei fili sia eguale al se- no dell'angolo dato; e quando lo sia, le due rette avranno le direzioni proposte, e l'angolo sarà formato, com'era ri- chiesto . Che se non avvi tale eguaglianza, si muovano le aste XY, VR facendole scorrere per la fessura dei traversi , su cui sorgono , ed avvicinando tra loro , o discostando i traversi medesimi , finché essendo le due punte dei fili in contatto , le altre due estremità C, B dei medesimi abbian la distan- za eguale al seno dell'angolo. lai. Tale incontro delle punte si può ottenere da innu- merevoli posizioni tra loro diverse delle aste , e conseguen- temente delle piatine , e dei fili . 122. Un altro Problema analogo al precedente è quello in cui si cerca di determinare l'angolo, che tra loro forma- no due lìnee .j che hanno una data inclinazione . Per scioglier- lo conviene disporre le linee coli' inclinazione data, in modo che formino l' angolo dato , il che collo Stratimetro si ottie- ne nel modo indicato . Quindi si misurano parti eguali delle due linee, ed il seno condotto dalle estremità delle parti mi- surate . Quindi si misura il seno stesso sulla stessa scala, con cui furono misurate le parti eguali , e da questo triangolo isoscele si conoscerà l'angolo richiesto. 12,3. Se si cercasse l'angolo che è formato dalle proje- zioni di due linee, delle quali è data l'inclinazione, e la grandezza dell'angolo, che esse formano fra loro, si trove- rebbe, determinando primamente come al N.° ii8 il seno GB dell'angolo CAB, e quindi conducendo sulla tavoletta dai punti A, B, C i cateti Aa,B^,Cc, i quali segneranno sul- la tavoletta i punti a , ^ , e ; onde le rette ab , ac saranno le projezioni delle linee obblique AB, AC, e l'angolo da es- se formato sarà cab . Questo dippoi si determinerà dal trian- golo cab ^ misurandone i lati, e calcolandone gli angoli. 124. La necessità di uno stromento meccanico diretto a presentare all' occhio la moltiplice varietà delle posizioni dei 196 Descrizione di uno Stratimetro ec. filoni, delle gallerie, e dei pozzi, che nelle cave si rilevano con certe misure, ed atto a facilitare i calcoli richiesti per dirigere il travaglio delle miniere, fu già riconosciuta da di- versi Scrittori di Geometrìa sotterranea. Il Sig. Duhamel (a) uno già ne imm.aginò per trovare il solido risultante dalla intersecazione di due filoni . Tale stroraento però è molto complicato , ed altronde non sembra adattabile generalmente ai vaij casi; end' è che lo stesso Inventore riconobbe, che quello ben poteva essere perfezionato . 12.5. Recentemente il Sig. Lòscher (b) pubblicò uno stru- mento montanistico , con cui intende di rappresentare esat- tamente la vera inclinazione e direzione delle traverse dei fi- loni per gallerie , e del profondamento dei medesimi in poz^ zi . Questa rappresentazione però è limitata a certe inclina- zioni, e direzioni, né è sufficiente al conseguimento dei fini sopraindicati, come non lo è il descritto dal Sig. Duhamel. 12.6. Non essendo a mia notizia verun altro stroraento, che abbia qualche rapporto ai divisati oggetti , mi lusingo che quello da me immaginato , possa avere per la geometrìa sotterranea i richiesti vantaggi . (a) Duhamel . Geometrie Souterraiiie . Paris . (h) Lòscher . Erfindung eines liergmdn- nisclien Instrumerits , woduroh , beim Uelierfaliren der Gange auf StòUn , und Streclien , und beim durckainken der- selbcn in Scliàchten niclit allein ihr wahres Streichen , sondern auch ihr recht , und widersinniges Fallen genau bestimmt werdeu kanii . Leipzig i8o3. 197 NUOVO METODO PER LA TRIGONOMETRIA SFERICA Del Sic. Gioacchino Pessuti. Ricevuto li 7 Giugno 1810. Oin dalla mia prima geometrica infanzia ( che qualcuno for- se dirà durare in me tuttavia , o almeno essersi rinnovata ) mi venne in pensiero e coraggiosamente mi accinsi all' impre- sa di simplicizzare l' una , e l'altra Trigonometrìa, e massime la Sferica, e conservo ancora un mio scritto di que' remoti tempi su di quest' oggetto , che mostrai allora a qualche mio Amico, siccome qualcuno di essi tuttora vivente potrebbe renderne autorevole testimonianza . Se le circostanze della mia vita posteriore non mi permisero di pubblicare questi ed altri tali miei parti od aborti che vogllan chiamarsi di quel- la mia prima età, ne dimisi poscia intieramente il pensiero, allorché andai a mano a mano ritrovando alcune di queste mie idee nelle Opere, e ne' libri giuntimi alle mani, o ve- nuti dopo di queir epoca alla luce . Contuttociò non credo tuttavìa affatto indegne dell'attenzione de' Geometri, né af- fatto prive di novità , alcune mie considerazioni sulla Trigo- nometrìa Sferica , che intendo esporre in questa Memoria , e che si connettono e deilvano da quelle mie prime puerili meditazioni . Non sapeva io approvare in quelle mie puerili medita- zioni che la risoluzione de' triangoli obbliquangoll si dovesse dedurre, siccome comunemente si usa, da quella de' triango- li rettangoli , sembrandomi molto plìi naturale di doversi con- siderare quest' ultima come un caso particolare della prima; e molto meno potea poi soffrire che ogni caso particolare de' triangoli obbliquangoll esigesse un nuovo metodo e un nuo- 1(^8 TlUGOXOMETRlA SfeRICA vo raziocÌMÌo per essere risoluto , e che tutti supponessero , oltre alla risoluzione de' triangoli rettangoli , la cognizione di tanti Teoremi relativi alle proprietà de' triangoli sferici, e di tanti Lemmi , che si doveano andare a mano a mano pre- mettendo,, e dimostrando. A liberar pertanto la Trigonome- tria Sferica da quest'incomodi, e da questa complicazione, mi venne in pensiero di risalire all'origine primitiva della Trigonometrìa Sferica, di rappresentare cioè i tre lati e i tre angoli di qualsisia triangolo sferico, quelli coi tre angoli piani, questi cogli angoli di reciproca inclinazione delle tre faccie di una piramide triangolare avente per base il proposto tri- angolo sferico , e per vertice il centro della sfera . E così rap- presentando le sei parti di qualsiasi triangolo sferico, mi riu- scì assai facile con una sola ed unica figura di risolvere qua- hjnque caso, di vedere cioè e di esprimere con una conve- niente formola la connessione che v' ha fra tre quali si vo- gliano parti date , ed una qualunque delle altre tre che per mezzo di quelle si cerchi. Da questa risoluzione generale poi de' triangoli obbliquanguli ne nascevano come facili Corollarj , e con ordine che a me sembrava più naturale , le risoluzio- ni di tutti i casi de' triangoli rettangoli, e l'istessa Regola Neperiana , che tutti li comprende in una generale enuncia- zione . ' Un altro vantaggio di questa mia maniera di considera- re la Trigonometrìa sferica si era che mi presentava in molti casi una costruzione ovvia e facile in piano della risoluzione del caso proposto, la quale poteva esser utile a quei che non hanno gran destrezza nel maneggio delle formole e del cal- colo trigonometrico , e poteva anche riescir comoda ai Geo- metri stessi in qualche circostanza . Ma sapendo io che gli antichi Astrolabj aveano in varie guise e completamente esau- rita questa costruzione in piano della Trigonometrìa Sferica, e non credendola d'altronde di grandissimo uso, mi conten- tava perciò in quel mio primo ed antico scritto di accennar- la di volo, e quasi per una superflua digressione. Mi richia- DcL Sic. Gioacchino Pessuti . 199 mò però molti anni dopo a considerarla di nuovo una Me- moria dell' ingegnoso Geometra Sig. Ah. Boscosi k inserita nel III Tomo delle sue voluminose Opere stampate a Bassano , e che ha appunto questa costruzione in piano della Trigono- metrìa Sferica per unico suo argomento. Mi venne pertanto allora in pensiero di far servire questa costruzione in piano come di base , e fondamento a un Trattato elementare di Trigonometrìa Sferica , derivando dalla medesima la dimostra- zione delle formole piìi generali , e da' Geometri più usitate . E così mi sembrava che questa costruzione in piano de' Pro- blemi di Trigonometrìa Sferica ., alla quale si era fermato il Boscovik, potesse divenire interessante ed utile, quando che da sé sola sarebbe stata da' Geometri trascurata e dimenticata. Questo adunque sarà il soggetto di questa mia breve Memoria, in cui invertendo l'ordine delle mie antiche idee su di questo articolo , invece di dedurre la costruzione in piano dalla dimostrazione delle formole, come prima faceva, farò per lo contrario nascer queste da quella . Premetterò pertanto sulle mie antiche idee, molto analoghe a quelle del Boscovik una costruzione generale in piano della Trigonome- trìa Sferica, e deducendone quindi in altrettanti Problemi le costruzioni particolari de' diversi casi, andrò passo passo de- livando da queste le formole corrispondenti . Uno de' pregi di questo nuovo metodo che propongo , mi sembra esser quel- lo di conciliare alle dimostrazioni delle anzidette formole una singoiar facilità, e semplicità, e di renderle poi affatto indi- pendenti r una dall' altra , benché derivino tutte dal medesi- mo fonte . COSTRUZIONE GENERALE IN PIANO DE' PROBLEMI DELLA TRIGONOMETRIA SFERICA. Sopra di un circolo qualunque prendansi successivamen- te gli archi AB, AC, CB' eguali ai tre lati ab, ac , eh del triangolo sferico abc. Per ottenere sul piano del circolo qua- \ aOO TllIGONOMETRIA SfEKICA . lunque degli angoli del triangolo per es. «, avendo condotte Je corde BB" , B'M normali ai raggi AF , CF , figuriamoci , che gli archi AB, GB' si stacchino dal piano del circolo, e rotino attorno i raggi AF , CF , finché i punti B, e B' s'in- contrino in un sol punto , onde fijrmare il triangolo sferico identico col proposto abc . Sarà allora l' angolo a eguale all' inclinazione del piano AB col piano AC, cioè all'angolo che faranno allora tra loro le BD , ED tutte due perpendicolari alla comune intersezione de' due piani AF . Per aver quest' angolo si rifletta che in questa rotazione degli archi AB , CB' le perpendicolari calate dai punti B , B' sopia il piano del circolo BACB' , debbono sempre cadere , la prima su qualche punto della BB" , e la seconda su qualche punto della B'iM,' onde quando i punti B , B' si riuniscono in un solo , questa comune perpendicolare dovrà cadere sull' intersezione E delle corde BB" , B'M . Quando dunque i punti B , B' si saranno riuniti, l'angolo che tra loro faranno le BD,ED, sarà l'an- golo in D di un triangolo rettangolo avente ED per base, e BD per ipotenusa . Quindi descritto sopra di BB" un semicir- colo, ed alzata dal punto E la normale EH, sarà HDE l'an- golo a che si cerca . Egli è evidente che se si fossero presi invece gli archi AB, AC, C'B' respettivamente eguali ad ab, bc , ac ^ con- dotta la corda B'M' normale a CF , che taglia la BB" in E'.» ed alzata la normale E'H' si avrebbe in piano allo stesso mo- do l'angolo H'DE' eguale allo sferico b. Ma la costruzione di quest'angolo b può derivarsi anche più comodamente da quel- la del primo già trovato a : imperocché essendo AC = ac := B'C=:CM', e CM = B'C:=Z'c = AC', sarà AC — CM = C'M' — AC , cioè AM = AM' . Quindi condotta la corda B'M per la costruzione dell'angolo a, se sì prenderà AM' = AM , e si condurrà la corda BM' , si avrà il punto E' , da cui dipende la costruzione dell' altro angolo b . Si potrà anche avere il terz' angolo e per mezzo della stessa costruzione che ha servito a trovare il primo a . Im- perocché Del Sjg. Gioacchino Pessuti . 20 r perocché rotandosi come prima gli archi AB , GB' attorno di AF, CF, sincliè i punti B, B' si riuniscono in un solo, l'an- golo e, ossia l'angolo d'inclinazione del piano in cui trovasi GB' con quello in cui trovasi AG, usando dello stesso razio- cinio , che si è tenuto per l' angolo a ^ si farà vedere esser l'angolo in G di un triangolo rettangolo in E avente EG , EH per lati, e GB' per ijiotenusa. Quindi prendendo EL = EG , e conducendo HL , sarà l' angolo HLE eguale al terzo angolo cercato e . Che se si considereranno invece gli archi AB,AC',G'B' rispettivamente eguali ad ab, bc , ac , l'angolo r sarà allora eguale all'inclinazione del piano C'B' col piano AB, allorché rotando attorno di G'F ed AF questi due piani i punti B' e B si uniranno in un sol punto; e l'inclinazione di questi due pia- ni sarà allora, come prima, eguale all'angolo in G' del tri- angolo rettangolo avente per lati G'E' , H'E',e B'G' per ipo- tenusa . Quindi come prima si potrà anche mettere in piano l'angolo e, prendendo E'L' = E'G', e condiicendo HL' , poi- ché si avrà come prima H'L'E' = c. Si avrà quindi HLE = HL'E' = c, ed essendo perciò si- mili i triangoli HLE , H'L'E' sarà HL : HL' = HE : HE' Ma HL , H'L' ossia B'G , B'G' sono come ì seni degli archi B'G, BG', ossia bc , ac , ed HE, H'E' sono come i seni de- gli angoli HDE , H'DE' , ossia degli angoli a , e b . Si avrà dunque sen. bc '. sen. acz=sen. a \ sen. b cioè i seni de' lati di qualunque triangolo sferico proporzio- nali ai seni degli angoli opposti, ch'é uno de' principali e fondamentali Teoremi della Sferica Trigonometrìa . Ma non più di questa Costruzione generale^ e de'Gorol- larj che se ne possono immediatamente dedui-re , poiché sì quella che questi meglio e piìi ampiamente si svolgeranno nelle costruzioni particolari de'seguenti Problemi, e nella dimo- strazione delle formole, che nasceranno da queste costruzioni . Tomo XV. a6 2ca Trigonometria Sferica PROBLEMA I Dati i tre lati ah, ac^ bc di un qualunque triangolo sferico Lac , trovare qualunque de' suoi angoli , per es. a. Costruzione . Si prendano sopra di un circolo descritto con qualunque raggio gli archi AB , AC , GB' rispettivamente eguali ai lati dati ab,ac^bc del triangolo ahc . Fatto AB" = AB, e CM = GB', si conducano le coi-de BB" , B'M le quali si taglino in E. Sopra di BB" si descriva im semicircolo , e dal punto E ora trovato s' innalzi sopra di BB" la normale EH . Condotto il raggio HD , dalla costruzione generale immediatamente risul- ta che l'angolo HDE sarà eguale all'angolo richiesto a. Una costruzione analoga farà eii,ual mente trovare gli an- goli b , e. e; ed inoltre si è veduto nella medesima costru- zione generale come questi due angoli possono anche più spe- ditamente determinarsi per mezzo della medesima costruzio- ne , che ha servito pel primo a . Cos. a = F 0 R M O L A COS. he — oos. ali . C05. ac sen. ah . sen. ac Dimostrazione . • ^ 1 II "^ Sarà .dunque in virtù della costruzione cos. a = -^ DE DE DB Ora fatto il raggio AF=i , si ha DB = sen. AB = sen.fl/^; e condotte le normali DI, DK , nel quadrilatero birettangolo DI DI DI _ DI _FG-FK_ EDFG SI ha DE= ^^n pEI — een.DFK^sen.AC^sen.ac sen. «e cos.B'C-DF.cos.AC^ cos. hc-co.. ah .co., ac _ jj ^ cOS.«= "^ = sen. ac sen. ac '■ ^'^ , , : Hi; 'I:»'- m, COS. bc— COS. al> .COS. ac r^ p Ti Ti ten.ab . sen.ac •■ Del Sic. Gioacchino Pessuti . aoS Si avranno, com'è evidente, due formole analoghe e si- mili a quesla per gli altri due angoli è , e e , e da dimostrarsi nel medesimo modo , cioè COS. flc— COS. ab . cos. eh COS. b = cos. e = sen. ab . sen.ci COS. ai — COS. ac . cos. bc sen.acr . sen. ba PROBLEMA II Dati due lati e l'angolo compreso , per es. ah, ac, ed a, trovare il resto . Costruzione . Si prendano sopra di un qualunque circolo gli archi AB, AG eguali ai lati dati ab , ac . Fatta quindi AB" = AB , e condotta la corda BB" , si descriva sopra di questa il semi- circolo BHB" , ed in esso si prenda l'arco B"H ovvero l'an- golo B"DH eguale all' angolo dato a . Si conduca la normale HE, e da E l'altra normale EGB' sopra di CF ; in virtù del- la costruzione generale sarà GB' il valore del terzo lato cb . Sopra di BB" prolungata, s'è necessario, si prenda EL = EG , e condotta la HL , l' angolo HLE , in virtù della costru- zione generale sarà il valore dell' angolo e . Che se si mutino i luoghi degli archi AB, AC, cosicché l'uno cada dalla parte ove prima cadea l'altro, egli è evi- dente che colla medesima costruzione con cui si trovò e si troverebbe b, il quale d'altronde, avendosi ora i tre lati AB, ACjCB', e l'arco AM, potrà anche più speditamente deter- minarsi , come s' insegnò nella costruzione generale . FORMOLA PER IL LATO Cb Cos . cb ■= cos . ah . cos . ac -+- cos .a , sen. ab . sen . ac . ao4 Thigonometria Sferica Dimostrazione. Questa formola nasce immediatamente dall'altra dimo- strata nel Problema precedente . cos.cb — COS. ab .COS. ac COS. a = ; sen. ab . sen. ac Volendo però per abbondanza tornare a dimostrarla , si os- servi che facendosi, come prima, il raggio AF=i, si avrà COS. f^ = cos. CB' = FG . Ora FG = FK h- DI , ed FK, come nel Problema precedente =: FD . cos. AC =cos. AB .cos. AC = COS. ab .cos. ac, DI = DE . sen. DEI = DE .sen. AC = DEX , , DE DE DE DE tti-wt-. sen.tìEC, ed essendo --=-=——= — = r=cos.HDE = HD DB sen. AB sen. ab f cos. a, sarà DE = cos. a . sen. ab . Quindi COS. cb=FK-i-Dl=:cos. ab . cos. ac-f- cos. a .sen. «è . sen. ac. Formola per l'angolo c sen. a Tanjf. e = ° ' cot. ab , sen. ac — • cos. ac . coi. a ' . '\ f'f'i :■'■/ Dimostrazione. Dalla premessa costruzione risulta tang. c = tang.HLE = HE HE „ j HE HE HE HE „^_, "Fr="??r- ^'"^ essendo ■7^7=775"= T^= r=sen.HDE= £L EG HD Uà sen. AB sen. a* sen. a , sarà HE=:sen.aè . sen.a . Si ha poi EG = DK — EI=: FD . sen. DFK — DE . cos. DEI = cos. AB . sen. AC — DE X cos. AC^cos.aZ» .sen.ac — DE . cos.ac, e si è trovato nella di- mostrazione della formola antecedente DE = cos. a .sen.a^. Dunque •. ' .; . • HE sen. aJ. sen. a &' EG COS. aé . sen, ac — cos. a . sen. ai . COS. ac ossia dividendo sopra e sotto per sen. aè ■ •■ tang.c= r '-^^ G.G.D.D. ° cot. «P . sen. ac— COS.» .COS. ae Del Sic. Gioacchino Pessuti. ao5 Mutando i luoghi degli archi AB , AC , cosicché l'uno si prenda dalla parte ove prima si prendea l'altro, si avrà per l'angolo b una forinola simile a quella che si è trovata per e , cioè sen.o tang. è = cot. ac . sen. ab — cos. a . cos. ab Corollario. Se r angolo a sarà retto , le formole del Problema , fa- cendo in esse sen.a= i , cos.a = o , serviranno per risolvere il caso in cui essendo dati in un triangolo rettangolo bac i due lati ab , ac attorno l' angolo retto , si cerchino le altre tre parti rimanenti . Si avrà pertanto per la prima forinola cos. Ipot. Z'c=:cos.aè . COS. ac. Dalla seconda si avrà tang. e = cot. aà . sen. ac ovvero sen.ac = — — r— = tang. ab . cot. e . cot. ab . tang. e " E similmente dalla terza tang. è = ° cot. ac . sen. ab ossia sen. ab = — r = tang. ac . cot. è . cot. ae . tang. b ° PROBLEMA III Dati i tre angoli a^ b, e trovare qualunque de' tre lati per es. bc opposto all'angolo a. Cos T RV Z I O N E . Invertendo l'ordine della costruzione generale, invece d'incominciare dal circolo BACB' in cui si prendono i lati, 2o6 Trigonometria Sferica per passare all'altro BHB" in cui si prendono gli angoli, s'incominci al contrario da questo per passare a quello. So- pra un diametro qualunque BB" si descriva pertanto un se- micircolo 5 ed in esso primieramente si prendano gli archi B'H, B"H' , ovvero gli angoli al centro B"DH , B"DH' eguali rispet- tivamente agli angoli dati « , e è ; e conducendo quindi le normali HE , H'E' , si conducano le parallele HL , H'L' che facciano con esse gli angoli LHE , L'H'E' eguali al comple- mento del terz' angolo dato e, cosicché ne risulti HLE =: H'L'E' = e . Siegue dalla costruzione generale che EG , E'G' saranno rispettivamente eguali ad EL , E'L' , e B'G , B'G' ad HL , H'L' , cosicché portando HL , H'L' da L ed L' in P , e P', si avranno le EB'^ E'B' rispettivamente eguali ad EP, E'P'. Se dunque dai dati punti E ed E' come centri coi dati intervalli EP, E'P' si descriveranno due archi di circolo, que- sti intersecandosi daranno il punto B' . Si avranno dunque tre punti B , B ' , B' , per i quali dovrà passare e descriversi il circolo ABB'GB " , e ciò fatto , e condotte dal centro F le nor- mali FA , FC sopra le BB" , EB' , saranno in virtù della co- struzione generale gli archi AB , AC , GB' i valori de' tre ri- chiesti lati ab:, o,c , eh. FoRMOLA PER IL LATO ch ' , COS. a-t-cos. J • ros. e ' COS. co ■=. ; . sen.o.sen.c i ; ; ì . - ' • ) Dimostrazione. ■ ^ Facciasi il raggio DB del semicircolo = i , onde sia HE = sen.a, H'E' = sen.è , DE = cos.«, DE':=:cos. h , epperò EE'= 7 ri \ • T HE sen.a ..^ f-, cos . a — cos . o . bara quindi -j-- =r := sen . HLH. = sen . e , onde HL = BG =: ; e similmente {7777 = „,,, = aen. e ri L. n ìj sen. H'L'E' = sen. c, epperò H'L' = B'G' = -j^ . Si avrà an- Del Sic. Gioacchino Pessuti . 5107 EL EL.sen.c TTT r' < t^t rri/-i ocra = -= cos.HLE = cos.c , eppero li,L = EG = UL sen. a ^ j. i sen. a . cos. e n . j E'L' E'L' . sen. e ,,,t ,_,, : e allo stesso moao;r77=: ; — =cos.HLE = sen. e il li sen. b cos.c, e quindi E'L' = E'G' = '"" ^' " '"'• ' ■ Dunque EB'=B'G-t- ' ^ Ben. e '■ EG = ^""•"•^"^'^"^•'^^ , ed E'B' = B'G' -h E'G' = ^^"•^"-*"'°^-^^ . sen. e sen. e Si conosceranno dunque tutti tre i lati del triangolo ret- tilineo EE'B' , epperò per le note formole si potrà ottenere il coseno di qualunque de' suoi angoli, per es. dell'angolo EE'B' , ossia ( perchè essendo AB = AB " , ed AM = AM' in virtù della costruzione generale le corde BB" , M'M sono tra loro parallele ) dell'angolo MM'B' , la di cui misura è la me- tà dell'arco MCB' , ossia CB' = c^. Sarà dunque per le anzi- dette note formole di Trigonometrìa piana „_,„, , E'B'- — EB'»H-EE'» cos.EEB =cos.ci = „r, ■,,.,, aEE . E B cioè sostituendo i poc'anzi trovati valori di EE' , EB' , E'B' (sen. i* — sen.fl^ ).( I -H cos.c)* -^ (cos. a — cos,. u) sen. e COS . cb = — — — sen. i . ( I -t-cos.c) a ( COS. a — COS. // ) . — sen. e ossia ponendo nel primo termine del numeratore cos. a^ COS. è* invece di sen.Z*'' — sen.a^", moltiplicando quindi tanto il numeratore che il denominatore per sen.c^ ovvero i — cos.c^, e dividendo finalmente numeratore e denominatore per ( cos . a — cos . Z» ) . ( I -f- cos . e ) , (cos. fl-i-cos. h) .( I -f-cos.c)-t-(cos.a — cos.i) . ( i — cos.c ) COS . co = : ■ — i- a sen. b . san. e cioè finalmente , COS. a -H COS. ?'. cos.c *-< i~i -rv ■r^ C0S.C6= ; . C.C.D.D. sen. b . sen. e Egli è poi evidente che se gli angoli h e e prenderan- no il luogo dell' angolo a , si avranno col medesimo discorso ao8 Trigonometria Sferica due formole analoghe e simili alla ritrovata per determinare i lati opposti «e , ab , cioè COS. J -f- COS. a . COS. e cos.ac: COS. ai = sen. a . seri, e COS. c-*-cos. a . C08. b sen. a . een.b Corollario. Se l'angolo a sarà retto, le tre formole del Problema, facendo in esse sen.a=:i , cos.a=:o, serviranno a risolvere il caso di un triangolo rettangolo in cui essendo dati gli al- tri due angoli b , e si cerchi per mezzo di essi qualunque de' tre lati . Si avrà infatti dalla prima T , 7 cos.ft.cos.c , COS. Ipot. cy=: 7 ==.cot.b .cot. c . ^ sen. i». sen. e Dalla seconda COS. h ■ j COS. ac = , ossia cos . ac . sen . e = cos . e» sen. e e dalla terza finalmente , COS. e . , j COS. ab =i r ■> ossia cos.ay .sen. o = cos.c . sen. o • -, ■ PROBLE MA IV Essendo dati due angoli e il lato frapposto per es. a, b ed ab ', trovare il resto . C OS T RU Z I O N E . Sopra di un circolo descritto con qualunque raggio si prenda 1' arco AB = AB" eguale al lato dato ab . Condotta quindi la corda BB" sopra di questa come diametro si descri- va un semicircolo, nel quale si prendano gli archi BH, B"H' ovvero gli angoli B"DH , B"DH' eguali rispettivamente ai da- ti angoli a e i , e si conducano le normali HE , HE' . Dalla Dgl Sic. Gioacchino Pessuti . aoQ Dalla costruzione generale risulta che se AC, CB' sieno gli altri due lati cercati ac , cb , condotte le B'EM , B'E'M' , si avrà AM = AM', onde essendo anche AB" = AB ^ sarà MM' parallela a B"B , epperò B'E : B'E' = EM : E'M', e quindi B'E X EM:B'E' .E'M', cioè per proprietà del circolo B"E.EB:B"E'.E'B ossia HE^ : H'E'^ =B'E^ : B'E'^ . Ma per l'angolo MB'M' diviso in mezzo dalla retta BA si ha ancora B'E : BE' = EQ : E'Q, e quindi B'E^ : B'E'^ = EQ^ ; E'Q^ . Sarà dunque HE= : H'E'^ = EQ^:E'Q% ed HE : H'E' = EQ : E'Q , cioè per determinare il punto Q , si dovrà dividere la data EE' nella data ragione de' seni HE, H'E' de' dati angoli a e. b . Trovato poi il punto Q facilmente si compirà la deside- rata costruzione; poiché condotta per A e Q la AQB' si avrà il punto B' , e da questo per il dato punto E condotta la BEM , e sopra questa dal centro F calata la perpendicolare FG, saranno, in virtù della costruzione generale^ AC, GB' i valori de' cercati lati . ( sen. a . cos. b -t- sen. 0 . cos. a ) ed infine dividendo attualmente i due termini del numerato- re per il fattore sen. a . cos. b ■+- sen . b . cos. a del denominatore sen.n.ros. i cos. a. cos. a5 sen. a. cot. 5 , ^ r^ t->. -r^ COI. ac=z ; -H 7 — = Hcos.a .ccyt. ab .C.C.D.D. sen.i» .sen. ab sen. ab seiv. ab Egli è evidente che mettendo a ove sta b e viceversa, si tro- verebbe col medesimo discorso una lormola analoga e simile per il Info bc , cioè . , ten. b . cot. a » . t- cot.^c= -, — H-cos.i .cot. «5 . ten. ao F0RM0L.\ FER l' ANGOLO C COS. c = cos. ab . sen. a . sen. b — cos. a . CQs,h, aii TjaiGONO-METniA Sfjìiuoa . Dimostrazione . Dopo di aver diraostrat* come nel Problema anteceden- te che ■ COS. C-+-COS. a . COS. J cos . ab = ; sen.a . seii. b facilmente se ne dedurrà cos . e = cos . fis^ .sen.a .sen.è — cos. a .cos.^*. Corollario . Volendo applicare queste formole ad un triangolo rettan- golo in a , ed in cui essendo dati il lato ah ^ e l' angolo a- djacente h , si cerchino le altre parti , bisognerà nelle anzidet- te formole fare sen. « = i , cos. a = o , e si avrà cosi dalla prima ' •■ - -■ cot. h 7 cot. h , I . cot.ac= ;, ovvero sen.ao = — : — = cot. t* .tane. ac . sen. ah ' cot. «e ° Dalla seconda cot.Z'C = cos.^ .CQt.ah , ovvero cos. h = — -T=cot.Z'C.tang.flè. „ Dalla terza ■ ■ cos. e = cos. ab . sen. b . <,>.-■■ -i!..iu' : jr: . =.: ,ì!PROBLEMAV Essendo dati due lati, ed un angolo opposto a uno di questi lati 3 per es. ab, bc , ed a, trovare il resto. COST RU Z J ONE. Sopra di un circolo descritto con qualunque raggio AF si porti al solito il lato dato ab da A in B ed in B" ; e con- dotta quindi la corda BB" e sopra di essa descritto il solito Del Sic. Gioacchino Pessuti I 2x3 semìcircolo, si faccia nel centro di esso l'angolo B"DH egua- le all'angolo dato a , e si conduca la normale HE. Risulta dalla costruzione generale eh' essendo AC, GB' gli altri due lati ac, cb del proposto tiùangolo, e l'angolo HLE eguale all'angolo e del medesimo, si avrà EL = EG, ed HL = LP = B'G = sen. B'G = sen. bc relativamente al raggio AF . Se dunque si condurrà un diametro qualunque AU , e preso poi l'arco UX eguale al dato lato bc si condurrà la normale XZ , portando questa dal punto dato H in L , e quindi da L in P, si avrà EP =EB', onde dal dato punto E preso per centro colla data apertura EP si potrà determinare il punto B' sul circolo ABUB" . Trovati i punti L e B' si potranno aver subito in virtù della Costruzione generale tutte tre le parti incognite del tri- angolo abc , cioè gli angoli e , e è e il terzo lato ac . Impe- rocché primieramente l'angolo HLE sarà l'angolo e. Condot- ta quindi la nonnaie FGC, sarà AG il terzo lato ac\ e final- mente prolungata la B'E in M , presa AM' = AM , condotta la B'M' che tagli la B"B in E', ed alzata la normale EH', sarà B "H' ovvero 1' angolo B"DH' il valore dell' anjjolo b . FoRMOLA PER IL TERZO LATO tì!C ^ ±cos.aJ . ros. he — sen. al .cos.a .l/'sen. //e* — sen. ah^ . sen. a» GOS. ce = — -i^ : , I —sen. ai . sen. u Dimostrazione . Fatto al solito il raggio AF=i , si avrà FD = cos.AB = COS. ab, DB=:HD = sen.AB=sen.a<^, FG = cos. B'C=:cos.Z'r, e B'G := HL = sen . B'G =: sen . Z»*: . Inoltre essendo HE il seno, ed ED il Coseno dell'angolo HDL, cioè dell'angolo a relati- vamente al raggio HD = sen. «Z*, si avrà HE = sen. «Z* .sen. a, ED = sen. ab . cos. a . Quindi EL = EC = j/ HL^ — HE^ = i/sen.Z>c=_sen.rtZ;-.sen.a%EI = DE.cos.DEI=DE.cos.AG = DE . cos. ac = san. ab . cos. a . cos. ac^ e Gì = EG -+- EI = 2l4 TlUCJONOMEIRIA SfEUICA 1/ seu.Z'c'' — scn.ab^ .sen.a^-i- sen. ab .cos.a . cos.ac. Ma GI=r DK = FD .sen. AG = cos.aè .sen.oc . Si avrà dunque l'equa- zione cos . ab . sen.ac=\/$eiì . ^c^— sen . a^^ . se n . a'^-*-sen . ab . cos .a .cos.ac. Per maneggiarla più comodamente , scriviamo quest' equazio- ne in quest'altro modo equivalente FD . sen. ac = EG -t- DE . cos. ac ed innalzandola al quadrato, mettendo poscia nel primo mem- bro I — cos.ac^ invece di sen. «e*, ed ordinando secondo le potenze di cos.ac, si avrà „ aEG.DE FD»— EG» . ,. C0S.flC = EG . DE . / £G» . DE» FU» — EG» /EG» ■ DE» (DE»-hFD»)» DE»-»-FD» — 1/ (DE»-hFD»)» DE»-+-FD» EG . DEd=t/DE» . FD»-t- FD'» — EG' . FD» DE» ■+• FD» EG ■ DEzfcFD t/^DE»^ FD» — EG» DE» -1- FD» ( perchè nel quadrilatero birettangolo EDFG si ha DE* -t- FD^ = EG^ -+- FG% cioè DE' -+- FD^ — EG* = FG* ) — EG.DE±FD.FG ■ - • 4^ i i i • 1 • j- * .• j- — ;-— — jn— — , cioè nstabiienuo 1 valori di sopra trovati di DE» ■+■ FD» * EG , DE , FD , FG -^ sen. ah . co;, al/ sen. ic» — sen. a/y» . sen. rt»d:cos. aS . coi. he cos.ac: sen. oé» . cos. «» -»- eoa. ai» ossia perchè sen. ai* . cos . a* h- cos . aé* =: i — sen. ai* .sen. a* i: COS. aJ .ros. Jc— -sen.aJ .ros.nt^'^sen.Ac''— sen.ai» .sen.a» y~, /-. t-» r» cos.ac= — 7^ 1 Ka.Kj.u.U' I — len, ab . sen. a» FoRMOLA PER l' ANGOLO COMPRESO b y cos.a .COS he .ien.abd^cos.alt/^ sen bc^^sen.a' . sen. o^» sen . o = • — 7 — ; — :; — ~. nr sen. a . sen. he . (cot.a -+-C03. ar) Dimostrazione. Dalla formola dimostrata nel Problema II } / Del Sic. Gioacchino PessUti . ai-j sen. b o" coi. cb . ioa. ab — CQs. ab .COS. b si deduce immediatamente {tang.rt . cot . ^c . sen. ab — sen.i)*=tang.a^ . cos.ab^.^i — sen.è^') d'onde risolvendo un'equazione del secondo grado risulta , tang.a . cot.^c . sen.a/;d:tang.a . r,os,.ah\/ i-t- taiig-a-* . coi, ah^ — tang. «'.seri . ab^. col. bc^ I -f- tang. a . cos. ali .. COS. ir ossia dividendo sopra e sotto per tang.cr, e mettendo ^^^ ^^ invece di cot. bc j cos. a .COS. bc .sen. ah cos.aW^sen.bc^ .cot.a'-t-cos.ab^ .sen. be'— sen.ab' .coi./ic * "■ sen.a.sen.ic:.(cot.a»-(-cos.ai*) sen. te . ( cot. a' -vcos. «i" ) cioè riducendo allo stesso denominatore , cos. a. COS. bc. sen. ab:±: ros. nbVsKiì.bc'. COS. a'-t-sen. a'. cos. ab'. sen.bc^ — ien.a' .sen.ab' .cos.br sen ./'= ; — • — : — ; ,^. sen. a . sen. oc . ( cot. a •*• cos. ab ) ossia perchè la quantità sotto il segno radicale, ponendo I — sen. a" in luogo di cos. a", si riduce a sen.^c^ — sen.«^X sen. ab^ COS. a . COS. he . sen. ab d: cos. ahi/" san. he' — sen. a* . sen. ai* _ _, _- _^ sen.»=^ — — ; — ; — : — i tt-. L.d.U.D. sen. a . sen. oc . ( cot. a ■+■ cos. ab ) FoRJIOLA PER l'altro ANGOLO OPPOSTO C sen. ah sen . e = — — . sen . a sen. bc DlMOSftlAZIOtfE. Essendo , secondo che si è già più volte dimostrato , ì seni de' lati proporzionali ai seni degli angoli opposti , si avrà sen . bc C sen . ab = sen . a ; sen . e , epperò sen . e = — -r . sen . a . C . C . D . D . sen. bc Corollario. Se l'angolo dato a sarà retto, epperò sen.a=: i,cos.a=o, cot.fl = o, le tre formole del Problema risolveranno il caso ^'(^ TllIGONOMEilUA SkeKICA di un triangolo rettangolo, in cui essendo dati un lato ab, e. l'ipotenusa bc , si cerchi qualunque delle altre tre parti.' Darà pertanto la prima formola QOZ.ac^''^''^'' '''"^'^'^ eoe -nh .COS. he rog . he i~sen. ab" ~ cos. ab' ~ cos. ai ' °^®'* cos.flc .cos.ai?» = cos.^c . Sì avrà dalla seconda icn. bc. COS. ab' — ^^n. bc .cos. ab ' ^"" 8 COS. b = [/ [ .,rr\ h'^ _ 1^ ^'^"- l"=' ■ ■^Q^- »A- - se... he' ^ s.m,. ah' __ soli, he . COS. ab l/ ien. ah '—sen. he' .sen. ab' l/^ros.bc' .sen.ah' ros.hc .sen.ab idi. bc .COS. ab sen. 4c .COS. fl^ sen.hc .cos- ab cot. bc . tang. ab . E finalmente dalla terza si otterrà , ■ sen. ab , sen . c := — — 7- , ossia sen. e .sen./^c^sen.ay . /' PROBLEMA VI Essendo dati due angoli, ed nn lato opposto ad uno di questi angoli , per es. a, e, ed ab, trovare il resto. Costruzione. Sopra di un circolo di un qualunque raggio AF si pren- derà, come prima, l'arco AB = AB"=flZ', e sopra la corda BB" descritto un seraicircolo , si prenderà in questo l'angolo B"DH = a , e si calerà la normale HE . Formato quindi in H l'angolo EHL eguale al comple- mento di e, cosicciiè sia HLE = c, e portata la HL da L in P , l' intersezione latta dal centro E coli' intervallo EP , darà il punto B' sul circolo ABUB" , come nel Problema precedente . Condotta pertanto la B'EM , e sopra di questa la normale FGC, gli archi AG, B'G saranno i valori di ac,bc. Si troverà infi- ne l'angolo ^, come nella Costruzione del Problema precedente . FoR- Del Sic. Gioacchino Pessuti . ai 7 FoRMOLA PER IL LATO «C — sen. 2,a . cos. e . sen. al^s, . cot. nh . j/sen. e* — sen. al/' . sen. o* «.US. e a sen. e . sen. «è .( COS. «^ -t- cot. ai') Dimostrazione . Si dimostrerà primieramente ^ come nella prima foi'mola del Problema precedente l'Equazione FD . sen. ac = EG -+- DE . cos. ac e da questa se ne dedurrà allo stesso modo l'altra — EG . DE ± FD t/DE'-t-FD'— EG' cos.ac = de'-hFD' • Ora si avrà pure , come nella citata formola del Problema precedente FD = cos.aè, DE = sen.a^ .cos.a, HE = sen.aèX . - HE sen. ai . sen. a sen. e ^ ■r^T sen. a. Si avrà inoltre ~^^= gj] = , epperoEL = __, sen. aJ .sen. a . COS. e e, ... j . , ■• i ■ EG = . oostituendo pertanto questi valori ne sen. e ^ * risulterà -sen.ai'.sen.a.cos.a.cos.c±cos.aJl/ sen.ai'.ros.a'.sen c*-t-cos.ai'.sen.c'-sen.a//".sen.«'.cc COS . ac= ■ Yi 1 -r- sen. e . ( sen. ai . cos. a ■+■ cos. ai' ) cioè dividendo sopra e sotto per sen. ab, e ponendo ^sen.aa invece di sen. a. cos. « nel primo termine del numeratore -sen.2(i.ros.c.sen.ai±2i.ot.alr/'seii.ai'.cos.a'.6en.c'-t-co3.ai'.sen.c'-sen.ai'.si'n a' cos c" cos ac ^ — .— "-^^— ^^^™— ^^-^^— ■^.^.^.M»— 2 sen. è . sen. ai . ( COS. a' -«- cot. oà' ) Ora la quantità sotto il segno radicale, ponendo i — sen.a^ in luogo di cos. «*, facilmente si riduce a sen.c^ — sen.aè^X sen.a^. Dunque finalmente -sen. 2a . cos. e sen. «i±acot.ail/^eii. e'- sen. ai' . sen. a' ^ ^ .., COS. ac= 7—, — ^ rr: . C.C.D.D. asen.c.sen. ai.(cos.a -t-cot. ai ) Formola per il terzo angolo b Q j cos. ai . cos. c ± cos. a (/( ut. a' -+- cos. oi' "~" cot. a' -f- COS. ai' Tomo XV. ag 2.1 8 TiUCONOMETRIA SfERICA Dimostrazione . Dalla formola dimostrata nel Probleuia III , COS. C-t-COS. O . COS. J COS. ab = ; sen.a . sen. p si deduce immediatamente (cos.a^ .sen. a .sen. è — cos.c)^=:cos.a^( i — sen.b~), e quindi 7, — 3,coB. ab .sen. a. COS. c , cos.a* — cos.c^ ,, , sen.o* ^— n r • sen.o^ -; d onde COS. o' -4- COS. ai* . sen. «^ cos.a" -Hcos. ai' . sen. o' ' I , COS. ai . sen. a . cos. e d:cos. «t/cos. o' -t-rns. «/'■" . t-.n. ii' sen . * = 1 '-ri ; COS. a' -t-cos. aO^ . sen. a ossia dividendo sopra e sotto per sen. a , COS. ai . COS. e d: cot. ol/ ont. a" -4- COS. a//^ /-, y-, »-.. r^ sen.è = T—TT 1T\ • G.C.D.D. , ,^ sen.a.(cot. a -i-cos.ai ) FoRMOLA PER l' ALTRO LATO OPPOSTO bc , sen. a , san. OC = . sen. et» sen. e Dimostrazione. La formola nasce dalla proporzione già più volte dimo- strata tra i seni degli angoli, e i seni de' lati opposti, cioè sen . e ; sen . a. = sen . ab '. sen .bc; d' onde sen . bc = '■ — . sen .ab.C.G.D.D. sen. e Corollario I ' ' Se l' angolo a sarà i^tto , facendo nelle precedenti for- niole sen.a= I , sen.aa = o, cos.a=:o, cot.a = o, si avran- no le formole per risolvere il caso di un triangolo rettango- lo, in cui essendo dato un angolo e , e il lato opposto ab, si cerchi qualunque delle tre altre parti rimanenti . Del Sic. Gioacchino Pessuti . a 19 Si avrà pertanto dalla prima cot. aJl/ sen. e* — seii. «A* 1/ sen. e' -^ sen. aA' . ,. cos.«c= ; : — 71 — = ; — , e quindi seii. e .sen. ab .cot. al/ sen.c.cos.ai» '■ / ; Y sen. c^ . COS. ab^ — seti, e" -»- sen. oZ»* sen. ac = i/ i — cos. ac"' = ; sen. e . COS. ab J/'sen.oi* — sen. e" . sen. «A* l/sen. «A* . cos. e'' sen. ab . cos. e sen. e . cos. ab sen. e . cos. ab cos. «A . sen. e tang.ai .cot.c . La seconda forinola poi darà , cos.aA . COS. e cos. e . , , sen. o = rr — = r, ossia sen.o . cos.«o = cos. e, COS. ab" COS. ab E dalla terza finalmente si otterrà , sen. ab . _ _ sen.i'c= , ossia sen.ay =:sen.c .sen.oc. CoROLLARIoII Che se invece di a si supporrà retto l'angolo e, si avrà il caso di un triangolo rettangolo, in cui essendo data l'ipo- tenusa ab e un angolo adjacente a, si cerchi qualunque del- le altre tre parti , e le formole per questo caso nasceranno da quelle del Problema, facendo in esse sen.c=i, cos.c=o. La prima pertanto darà cot.aAt/i — sen. ai' . sen. a=' cos.ac= ; — - e quindi sen. ai . ( cos. « -f- cot. oA ) ^ „ ,/; T |/sen.aA^(cos.a^-(-cot.aA").(cos.a''-»-cot.«A'')-cot.aA''.(i-sen.aA*.sen.a*) sen.ac==i/ i — cos.tóc= ^ ^ — ■■ '-: sen.aA . ( COS. a' -t-cot. aA^ ) V ( I — sen. ab-' . sen. a' ) . ( cos. a' -t- cot. ab' ) — cot. oA' . ( i — sen. ab^ . sen. a' ) sen. aA . (eos. a^-H cot. aA^ ) COS. al/ I — sen. oA' . sen. a* i, , 7— r~~ TT" '•> d onde sen. «A. ( cos. a -«-cot. o) -— — : =tang.ac= — '—- , ossia cos.a = tane;. ac .cot. aè . cos. ac e" (.Qf ^ ab ^ La seconda formola dei Problema si convertirà poi in que- st' altra ^2-0 TillCONOMETfllA SfERICA sen. l> = -r====== ; e quindi cos. b = \/ i — sen. ^»» = y cot. a' -*• COS. ab'' '^ ' COS. ah ./ ■ .; epperò V cot.a^ -i-cos. ab' '■ ' ^rxt 7. cos.b cos.nl *^^*-* — mi=T^rT' ^^*'^ cos.«Z; = cot.«.cot.^.. Filialmente dalla terza formola del Problema nascerà imme- diatamente sen. bc = sen. a . sen. ab . Benché le formola dimostrate per i casi esaminati ne' due ultimi Problemi sieno alquanto complicate e d' incomodo maneggio, sono però altrettanto semplici quelle che se ne sono dedotte per i triangoli rettangoli ne' casi analoghi e si- miglianti . Se si vorrà far uso di queste piuttosto che di quel- le , anche ne' triangoli obbliquangoli , bisognerà ricorrere al consueto artificio di risolvere questi triangoli in due rettan- goli con un arco normale condotto da un' estremità di un da- to lato sopra il lato opposto , ed adjacente ad un angolo da- to . Cosi nel Problema V in cui eran dati i lati ab , bc ^ e un angolo opposto «, s'intenderà condotto l'arco normale è3 Quindi per mezzo di questo triangolo supplementar'io ^ i sei casi considerati ne' sei precedenti Problemi , possono ridursi a soli tre, ognun de'quali colle medesime forinole potrà ri- solverne due. Così per es. se saran dati i tre angoli a^b,c, e si cerchino i lati bc , ac , ab ^ come nel Problema III ^sen- za cercai'e nuove formole per questo caso^ basterà risolvere colle formole dei Problema I il triangolo supplementario a^y in cui son dati i lati , e si cercan gli angoli , poiché queste formole daranno immediatamente quelle de' cercati lati bc, ac, ab^ solo che in luogo de' lati /?y, ay, a/3 si surroghino gli angoli a, b^ e, e viceversa in hiogo degli angoli a,/?, y si mettano i lati bc,ac,ab^ mutando il segno ai coseni, e la- sciando tal quale quello de' seni . Allo stesso modo il caso esaminato nel Problema IV in cui essendo dati gli angoli a e Z» e il lato intercetto ab si cercano le altre parti, si potrà trasportarlo al triangolo supplementario a/?y,incui saran da- ti a/,/?/ e l'angolo compreso y^e risolverlo perciò colle for- mole del Problema II \ e finalmente il caso del Problema VI in cui essendo dati due angoli a, e e un lato opposto ab si cerca il resto, si potrà risolvere colle stesse formole del Pro- blema V considerandolo nei triangolo supplementario, in cui, come nel Problema V, saran dati i lati (Jy , a^ e un angolo opposto y . Teorema II. la qualunque Triangolo Sferico rettangolo si ha la proporzione : Il raggio al seno dell'Ipotenusa, come il seno di uno de' due angoli al seno del lato opposto. DiMOsrn.-tztONE . Discende immediatamente la dimostra- zione di questo Teorema da quella proporzione che abbia ni più volte dimostrata nel corso de' precedenti Problemi tra i seni degli angoli, e i seni degli opposti lati. La medesima dimostrazione ci viene anche esibita dalla terza formola del Coroll. /, e dalla terza formola del Caroli. II del Problema VI^ nel primo de'quali si sopponea retto l'angolo a^ e nella se- conda l'angolo e; poiché la prima dava sen. ^a = sen.c .sen.^c, cioè i : sen.èc = sen.c : sen.aè 2^4 Trigonometria Sferica e la seconda sen.^c = sen.fl .seii.a^ , cioè i ; sen.flZ» = sen.a ; sen. &c che rinchiudono appunto la proporzione enunciata nel Teo- rema . G . G . D . D . Teorema III. In, ogni Triangolo Sferico rettangolo si ha la proporzione : Il raggio al seno di uno de' due lati attorno l'angolo retto , come la tangente dell' angolo adjacente a que- sto lato alla tangente del lato opposto . Dimostrazione . Rinchiudono appunto l'enunciata pro- porzione le ultime due formole del Corali, del Problema II in cui supponeasi retto l' angolo a , cioè sen.ac = tang.flè .cot.c, ovvero sen. ac . tang.c = tang.aZ» sen.ffè=tang.ac.cot.è, ossia sen.aé.tang.è=tang.ac.G.G.D.D. I due precedenti Teoremi sono d'altronde, com'è mani- festo 5 compresi nella generale enunciazione della Regola Ne- periana . Teorema IV. In ogni Triangolo Sferico rettangolo gli al- tri due angoli sono della medesima specie dei lati opposti, e viceversa , cioè o entrambi insieme maggiori _, o entrambi in- sieme minori di 90" . Dimostrazione . Supponendosi retto l'angolo «, dalle due ultime formole del Corollario del Problema III si ha cos.rtc . sen. e = COS. è ; co?,, ab . sen.Z* =:cos.c onde essendo necessariamente positivi sen. e e sen. è, cos.b e COS. e saranno positivi , o negativi, cioè b e e saranno mi- nori, o maggiori di 90°, secondo che saranno positivi, o ne- .gativi COS. «e, COS. ab, cioè minori, o maggiori di 90° i lati opposti ac , a^ . C . C . D . D . Teorema V. In un Triangolo Sferico rettangolo se i due lati che f Orman r angolo retto saranno della medesima specie, cioè 0 entrambi maggiori o entrambi minori di 90° , /' ipote- nusa sarà minore di 90° , e sarà questa maggiore di 90° se i due lati che forman l'angolo retto saranno di specie diversa, cioè uno maggiore e V altro minore di 90° ; e viceversa . DlMO" Ite matematica Uoc.Jcair.XJ^/y.ii^ Tac'.JC. PARTE MATEMATICA docJcalT.XJ^.p.rià, Del Sic. Gioacchino Pessuti . aaS Dimostrazione . Supponendo al solito retto l'angolo a, la prima forinola del Corollario del Problema II dà COS. bc = COS. ab . cos. ac onde se cos. ab , cos. ac saran tutti due positivi o tutti due negativi, cioè se ab, ac saran tutti due minori o tutti due maggiori di 90°, cos. bc sarà sempre positivo, cioè bc sarà minore di 90°; ma se cos. ab , cos. ac saranno uno positivo e l'altro negativo, cioè ab , ac uno minore e l'altro maggio- re di 90", cos. ^c sarà sempre negativo, cioè bc maggiore di 90°. Allo stesso modo si dimostrerà la proposizione inversa. C.G.D.D. Ma ponghiam qui fine, giacché in un argomento elemen- tare , come questo , slam già stati forse soverchiamente lun- ghi . Tomo XV. 29 b aa6 ALCUNE RIFLESSIONI CRITICHE SUI NUOVI PRINCIPI D' IDRAULICA DI M.-^ BERNARD PUBBLICATI IN PARIGI NEL MDCCXXCVII Del Sic. Cav. Teodoro Bona ti. Ricevute li 6 Settembre 1810. Teorìa di M. Bernard intorno alla velocità dell' acqua per un foro fatto nel fondo di un vaso cilindrico mantenuto sempre pieno d' acqua . l i.° Il vaso sia ABHN { Fig.I) col foro PQ nel fondo HE da mantenersi pieno aggiungendo acqua in AN . a. Alle prime pagine l'Autore prescrive , che le aggiun- te in AN si facciano con acqua priva di velocità . 3. Nomìm fondo assoluto il fondo intiero EH del vaso; e chiama fondo reale ciò , che resta del fondo assoluto fatto che sia il foro PQ . 4. A foro chiuso, e vaso pieno egli è manifesto, che il fondo reale sostiene il peso di quella parte dell' acqua nel vaso, che insiste verticalmente sullo stesso fondo. 5. E tiene per cosa certa, che il fondo reale sostenga lo stesso peso , anche a foro aperto . 6. Suppone, che a foro aperto ogni strato orizzontale dell'acqua dentro il vaso discenda mantenendosi orizzontale, e piano . 7. Per trovare la velocità dell'acqua pel foro cerca pri- ma la velocità, colla quale discendono tali strati dell'acqua nel vaso nel primo tempo ( dopo l'apilmento del foro ) eguale al tempo della caduta libera di un grave dall' altezza AB del Del SiG. Teodoro Bonati . 2^7 vaso , ed a tal fine ricorre al caso di un corpo , clie partito dalla quiete in A discenda lungo un piano inclinato AC . L' inclinazione deve essere tale , che come sta il fondo asso- luto al fondo reale , cosi stia la AC all' orizzontale BC . 8. Da un punto F del piano inclinato alza una verticale FD, e fatto il rettangolo EG nota, che rappresentando FD ia forza della gravità del corpo, tal forza equivale ad altre due forze dello stesso genere, cioè acceleratrici uniformemen- te , una espressa dalla-GF, che preme normalmente in F il piano inclinato , e che viene distrutta dalla resistenza del piano; e l'altra espressa dalla EF , che accelera il corpo lun- go il piano AC . 9. Cosi abbiamo DF : GF I : AC : BC , come il fondo as- soluto al fondo reale (7). Ma come il fondo assoluto al rea- le , così il peso di tutta l' acqua nel vaso al peso sostenuto dal fondo reale (5) . Perciò ne viene, che la DF alla GF sta come il peso di tutta l' acqua nel vaso al peso sostenuto dal fondo reale . Dunque ( dice M. Bernard ) come nel caso del piano inclinato la forza totale DF della gi-avità sta alla for- za GF distrutta dalla resistenza del piano inclinato, così nell' altro caso il peso di tutta l'acqua nel vaso sta al peso dell' acqua sostenuto , e distrutto dal fondo reale . 10. Quindi ha creduto l'Autore di ravvisare ( Discorso crìtico pag. IX ) , che in ambi i casi la gravità sia similmen- te ìuodificata ^ & di poter dire, che anche la gravità EF, che resta al corpo sul piano inclinato per accelerare il suo moto lungo il piano sia proporzionale alla parte di gravità , che resta all'acqua nel vaso per accelerare la discesa d'ogni stra- to, come se mancando il fondo fosse quell'acqua animata da una gravità diminuita , e minore della comune nella ragione della EF alla DF ( pag. 5 ) . 11. Tira indi l'Autore la BO normale al piano inclinato AC, e nota_, che il corpo partito da A arriverà in O nel tem- po stesso, che un altro corpo sarebbe caduto liberamente da A in B. aiS Sui nuovi principj d'Idraulica di Bernard la. Pel punto O si conduca l'orizzontale OIM, e questa si prolunghi verso T finché sia OT := IM , e si faccia il pa- rallelogrammo AOTS , che esprima un cilindro obbliquo AOTS di acqua ( che io supporrò gelata ) appoggiato sul plano AC della base del diametro OT = IM, e dell'altezza AI. Sarà questo cilindro eguale all'altro ANMI dell'acqua nel vaso perchè della medesima altezza AI, e di basi eguali. i3. E siccome il diametro degli strati dei due cilindri è il medesimo, tiene in sostanza M. Bernard come conseguenza evidente ( pag. 6, 7 ) che se all'aprire il foro PQ, e mentre in conseguenza comincieranno a discendere tutti gli strati dell' acqua nel vaso , e perciò anche lo strato superiore AN , se dissi, si lascierà libero alla discesa lungo il piano inclinato AC il cilindro gelato AT , questo scorrerà uno spazio AO, ed arriverà colla sommità AS in OT , mentre lo strato AN arriverà in IM , e mentre un grave partito anch' esso da A all'aprire del foro, arriverà in B. i4- Intanto pel foro PQ sarà uscito un volume di acqua eguale al cilindro AIMN . Intendendo questo volume di ac- qua uscita conformato in un cilindro della base eguale al fo- ro PQ, la sua altezza secondo l'Autore sarà la cercata velo- cità pel foro . i5. Per esprimere codest' altezza di una maniera generale denomina M. Bernard a l'altezza AB del vaso, 7 il fondo as- soluto, b il fondo reale, cosicché l'aj a del foro riesce/ — b; e denomina v l'altezza del detto cilindro di acqua uscita pel foro PQ nel tempo della caduta di un grave per AB. Calco- lando alle pag. 7 , 8 trova l' A. v = a -^ — . Al calcolo dell'Autore sostituisco il seguente più spe- dito. 16. Dev'essere (7) AC alla BC come il fondo assoluto y AP h al fondo reale b-, donde si ha BC= — '— , e perciò BC* = Del Sic. Teodouo Bonati . aag 17. Poicliè nel triangolo ABC rettangolo in B la BO è normale alla AG abbiamo AC : BC : : BG : 00 = -nr = (i6) = AC .h" AC . /<» 18. Inoltre AC : OG : : AB : IB . Ma OC =^^^(17), ed AB = a(i5). Dunque AC :^%^:: a: IB=^. Ma AI = AB — IB . Dunciue AI =: « —■=. . ig. Moltiplicando quest'altezza AI nella sezione del va- SO, ossia nel fondo assoluto j, avremo a X volume ci- lindrico ANMI di acqua nel vaso eguale all'acqua uscita pel foro PQ mentre lo strato AN è passato in IM . Questo volu- me di acqua diviso pel foro PQ lascia la cercata altezza y-t-b ah v=a . =.a-\ — . I y 20. Ella è questa la formola , che dà M. Bernard alla pag. 7 come formola generale per la velocità dell'acqua per un foro nel fondo di un vaso cilindrico mantenuto sempre pieno ; essendo l' altezza v lo spazio , che può scorrere un corpo uniformemente colla velocità dell'acqua pel detto foro nel tempo della caduta libera di un grave dall'altezza AB del vaso ( pag. 47 ) • 21. Quanto la esposta teorìa sia bene stabilita, e quan- to sia fondata la lusinga dell'Autore, che la sua formola sia conforme alla sperienza , ed in massima parte conforme ai ri- sultati della Teorìa del Newton^ Io indagheremo nelle seguen- ti riflessioni . 2,3o Sui NUOVI rRiNCiPj d'Idraulica di Bernard. RIFLESSIONE I aa. M. Bernard trova la formola v ■= a -\ supponen- do, che aperto il foro lo strato AN arrivar debba in IM njel tempo, che un grave caderebbe per AB (i3) . aS. Qui l'Autore pecca d'incoerenza ne' suoi principi, perchè avendo egli prima stabilito ( pag. 5 ), che Io strato AN , aperto che sia il foro PQ , discenderà come animato da una gravità , che stia alla comune , come EF alla DF, io tro- vo , che in questa ipotesi nel tempo della caduta di un gra- ve per AB lo sti-ato AN deve arrivare oltre IM , come in nio . 2.4. Io la discorro così. Egli è principio noto, che se due corpi partiti dalla quiete siano animati da forze costan- ti, ma diverse, gli spazj scorsi in capo a tempi eguali saran- no come le forze . 2.5. Nel caso nostro le forze stanno come EF alla DF . Lo spazio da scorrersi dallo strato AN nel tempo della cadu- ta del grave per AB sia Km , e lo spazio da scorrersi dal grave è la AB . Perciò avremo EF ; DF : : km : AB , onde . AB . EF A/« = — 5^r-. a6. Abbiamo poi ancora DF : EF : : AC ; AB : : AB : AO, onde anclie AU = — — — . 2.7. Duntjue Aw = AO, ed AO è sempre maggiore della AI ; dunque ec. 2.8. Fatta pertanto Am = AO , l'Autore per non essere incoerente doveva dire, che nel tempo della caduta del gra- ve per AB lo strato AN deve arrivare in mo . 2.9. Cerchiamo la km. Abbiamo AB : AO : : AO : AI; onde AO^=AB.AI. Ma AB=fi, ed al n.° 18 ho trovato AI=a.-^-^. Dunque AO^ = a .a 7 ^ , ed A0=«^^ ■= km Del SiG. Teodoro Donati. a3i 3o. Moltiplicando questa altezza km nella sezione y del vaso si ha a\/y'^ — b^ volume del cilindro AwoN eguale al volume dell'acqua uscita pel foro nel tempo della caduta del gl'ave per AB . 3i. E dividendo per j — Z* , aja del foro, si trova altezza del cilindro di acqua della base eguale al foro, e del volume dell'acqua uscita pel foro in capo al primo tempo della caduta libera di un grave dall'altezza AB del vaso do- «S/j-f-è po l'aprimento del /oro , e perciò v=i"-—=: è la formola , che doveva dare l'Autore invece della data v =. a -\ ben y diversa . Sa. Infatti mettendo il fondo assoluto 7 = 80, ed il rea- le Z» = 2,9 , cosicché il foro sia = i , la formola esibita dall' Autore dà -r^ ^ a ( i , 96 ) , e la formola qui riformata dà 1) = a ( 7 , 68 ) . 33. E mettendo h quasi eguale ad y la formola esibita non arriva a dare u = 2«, e la qui riformata dà v quasi in- finita : affatto contro la sperienza . Questo solo mostra , che / nuovi princìpi li Idraulica di M. Bernard hanno un qualche vizio ., o dei vizj molto gravi . RIFLESSIONE II 34. Ma vi è di più . Anche accordando che lo strato AN fosse per arrivare in IM nel tempo voluto da M. Bernard ■, mostrerò, che tuttavia la formola vr=.a-A non regge per- chè dedotta male . Infatti giusta l'Autore, aperto il foro, lo strato superiore AN deve discendere fino in IM nel tempo, che un grave può Cadere dall' altezzi del vaso, e tale discesa deve seguire co- me se lo strato fosse animato da una gravità , cioè con moto aSa Sui nuovi ^RINCIl'J d' Idraulica di Bernard . iinirormeinente accelerato : e staiulo al principio notissimo , (fio pure si vede adottato dall'Autore alla pag. 29, §.45 la velocità dello strato giunto in IM dev'essere quella, colla quale un corpo nel tempo di tale discesa potrebbe scorrere uniformemente uno spazio doppio della discesa AI. 35. Al n." 18 colle denominazioni dell'Autore ho trova- r^ — !>'■ to AI = a. — — — . Dunipie la velocità dello strato AN giun- to con moto accelerato in IM dovrebb' esser quella di un cor- po , che nel tempo della detta discesa per AI, l'altezza AI scorresse unitormemente uno spazio :2AI=aa.-' — z. — • 36. E perchè come il foro VQ=y — h alla sezione/ del vaso, cosi deve stare la velocità di ogni strato dell' acqua nel vaso alla velocità dell'acqua pel foro, si trova, che all'arri- vo del detto strato AN in IM la velocità pel foro dovrebb'es- sere di scorrere imo spazio u =: aa -t- — — uniformemente in r y un tempo eguale al tempo della discesa dello strato AN per AI, che qui coli' Autore si suppone eguale al tempo della caduta di un grave dall'altezza a = AB del vaso. 37. Dunque anche accordando all'Autore ciò, che non gli si avrebbe dovuto accordare , risulta sempre una velocità pel foro diversa da quella dell' x\utore . In questo caso è dop- pia ; e si scosta troppo dal vero , giacché quando il foro è piccolo , rapporto al fondo , dà il doppio della sperienza . 38. E perchè come il foro y — b alla sezione / del vaso, cosi deve stare la velocità dello strato in IM alla velocità pel foro, si trova, che allora la velocità pel foro PQ dovreb- be essere v ■= 2.a -+- , cioè doppia di quella, che l'A. as- segna pel foro all'arrivo dello strato AN in IM , nel qual caso i Nuovi Principi dell'Autore si scosterebbero troppo dalla sperienza . • 39. Merita poi una singolare riflessione la ipotesi dell'Au- tore Del Sic. Teodoro Bonati . a33 tore , che giunto lo strato AN con moto accelerato in IM deb- ba sul momento cessare l'accelerazione onninamente, e che in appresso debba lo strato continuare bensì la sua discesa, però con movimento affatto uniforme . Di un fenomeno di tal natura ognuno mi accorderà, che all'Autore correva l'obbli- go di addurne una qualche causa: ma questa dall'Autore si aspetta invano . 4o. Egli è quindi, che io metto una tale ipotesi fra le arbitrarie . Anzi perchè un effetto senza causa in natura non si dà 5 io la metto fra le assurde . RIFLESSIONE HI 4i. Farmi, che queste, ed altre eccezioni che poti-ei ag- giugnere, sieno state presentite dall'Autore, giacché alla pag.8 non lo vedo molto lontano dall'essere contento nel caso, che la sua formola v=.a-\ venisse riguardata almeno come una semplice ipotesi, però da valutarsi per la ragione, che ha il merito ( pag. 8 ) d'essere conforme alla sperienza nei due ca- si estremi del foro infinitamente piccolo , e del foro eguale al fondo assoluto . 42,. A che servirebbe ciò se poi in tutti i casi intermedj la formola recedesse dalla sperienza ? 43. Finché il foro è piccolissimo egli é vero, che il fon- do reale b può considerarsi come eguale al fondo assoluto/, e la formola diviene v=a-\ — = 2a, ed in tal caso conven- y go , che la formola viene confermata dalla sperienza, la qua- le allora dà , che la velocità pel foro contratto sia quella di un corpo, che nel tempo della caduta libera di un grave dall' altezza a del vaso scorre uniformemente uno spazio presso- ché = Ha . 44- Ma io mostrerò , che in tutti gli altri casi la formo- la inganna , e che arriva a scostarsi dal vero fuor di modo . Tomo XV. 3o ii34 Sui nuovi pkincipj d'Idraulica di Bernard. 45. Per ora verrò soltanto al confronto della formola col- la sperienza nell'altro caso estremo del loro eguale al fondo. 46. Sia il vaso cilindrico ABGD ( Fig. Il ) pieno d'acqua, e da mantenersi sempre pieno allorché gli venga aperto uti foro nel fondo, e si dica anche qui a l'altezza AD del vaso. Si levi a un tratto il fondo DG , e saremo nel caso del foro eguale al fondo assoluto. Tutti gli strati dell'acqua nel vaso libei'ati dall'ostacolo n])bidiraiuio alla gravità completamente,, e discenderanno colla legge dei gravi; e lo strato, che al mancare del fondo DC si trovava in AB , arrivato in DC giu- sta le regole note avrà una velocità di potere con essa cor- rere uniformemente uno spazio i2AD = aa nel tempo della ca- duta libera di un grave per AD . 47- Ma la formola v=a-\ — per essere in questo caso estremo Z' = odàw = fl, cioè dà, che lo strato AB giunto in DC abbia la sola velocità di scorrere sul detto tempo lo spa- zio a . Dunque le regole note, e la sperienza danno, che in capo al primo tempo della caduta di un grave per AD dopo la mancanza del fondo la velocità pel foro eguale al fondo DC sia doppia di quella, che dà la formola. 48. AndJiamo avanti. Giunto il contemplato strato AB in DC sarà uscito per DC un cilindro ABGD di acqua . 4g. Ma intanto il vaso deve essere stato mantenuto tut- to pieno d'acqua, e l'acqua introdotta dev'essere tutta af- fetta della stessa velocità, che abbiamo trovato avere lo stra- to DC disceso da AB , perchè se un qualunque altro strato mn avesse una velocità minore egli è manifesto, che tra i due strati vi sarebbe un qualche vóto contro il supposto. 5o. E qui è pure da dirsi, che questo secondo cilindi'O d' acqua perchè non impedito ubbidirà completamente alla gravità accelerando vieppiù la sua discesa secondo la legge dei gravi, e che al suo ultimo uscire per DC si avrà pel fo- ro DG una velocità maggiore di quella , che vi si ebbe all' ultimo uscire del primo cilindro, cioè più che doppia della velocità della formola . Del Sic. Teodoro Bonati a35 5r. Crmfinuantìo questo discorso si trova, che la veloci- t;\ per DC non si ridurrà mai a una uniformità, ma che si farà sempre maggiore, ed in modo, che nel primo tempo eguale a quello della caduta di un grave per AD uscii'à dal vaso un cilindro ABCD di acqua: nel successivo tempo egua- le al primo ne usciranno tre ; nel terzo cinque ec.,e clie in conseguenza la velocità pel foro si scosterà dalla velocità del- la formola sempre , e sempre più finché il vaso verrà man- tenuto pieno . Sa. Altrove mostrerò , che la formola si scosta dalla spe- rienza anche nei casi intermedj . RIFLESSIONE IV 53. Intende M. Bernard di appoggiare la sua formola di- cendola ( pag. g ) conforme ai risultati della Teoria del Newton . Ecco come egli scrive " denominando a l'altezza del vaso, ,, y il fondo assoluto, b il fondo reale, y — b il foro, trova „ il Newton ( pag. 292, 298 del Tomo II con cementi stampata „ in Ginevra ) che nel tempo, che un grave cade liberamen- „ te dall'altezza del vaso uscirebbe pel foro un cilindro d'ac- 5, qua , che avendo per base questo foro contratto sarebbe „ dall'altezza v = 2.aX^~rzj'= ^73^ • 0''a in questa formo- „ la supponendo il foro eguale al fondo assoluto, il fondo „ reale diviene = o , ed anche b = c; e v= ■2^=a.Oue- „ sto è il caso nel quale l'acqua cade liberamente . Quando „ il foro è infinitamente piccolo, b=/; dunque v = ^"-^ = „ 2.a; ciò che è conforme alla sperienza „ fin qui M. Ber- nardin quale, perchè la da esso esibita formola àe\ Newton fuori dei detti due casi estremi non combina colla sua, ri- pi-ende il Newton per la ragione, che non ha impiegato dei pnncipj cogniti, come, conviene nella soluzione dei Problemi. 2,36 Sui nuovi princip; d'Idraulica di Bernard. 54- Qi'i l'Autore ha equivocato gravemente; non ha in- teso il Newton . 55. Per determinare la velocità dell'acqua pel foro nel fondo di un vaso mantenuto sempre pieno d'acqua immagi- na il Newton ( Prop. 36 di quel Tomo II ) il caso di un cilin- dro PABQ ( Fig. Ili ) di ghiaccio dell' asse HR , verticale , di una altezza indefinita, che discenda perpetuamente con velocità uniforme , ed eguale a quella di un grave caduto li- beramente da un'altezza IH da determinarsi dalle misure del vaso, e del foro; e finge, che all'arrivo del cilindro in AB ( bocca superiore del vaso cilindrico ABDG ) si squagli , e suppone, che da AB in giìi l'acqua divenuta fluida continui la discesa colla legge dei gravi formando una cateratta , o colonna ABNEFM, la quale secondo, che cresce la velocità, diminuisce di sezione, e che esca pel foro EF . Sulle prime finge Io spazio ACEM , BDFN pieno di ghiaccio . In queste ipotesi determina il Newton la sua legge della velocità dell' acqua pel foro EF ; ed intende , che la medesima velocità si abbia anche essendo l' acqua nel vaso divenuta tutta fluida . 56. Venendo poi alle citate pagine aga , 298 non si tro- va, che il Newton ivi parli punto del tempo della caduta di «n grave dall' altezza del vaso , come falsamente ci asserisce M. Bernard . 57. In quel sito citato sta il Corollario terzo della pro- posizione 36 , col quale il Newton non fa , che dimostrare sinteticamente , che come sta la somma dei circoli AB , ed EF al doppio del circolo minore EF^ così sta l'acqua tutta nel vaso all' acqua componente la cateratta ABNFEM . Mi giova il dimostrare qui lo stesso analiticamente . 58. Poiché in AB l'acqua ha la velocità di un grave ca- duto dall' altezza IH , e continua la sua discesa colla legge dei gravi cadenti liberamente (i 4) 5 la velocità dell'acqua per ogni altra sezione MN sarà quella di un grave caduto dall' altezza IO, onde le velocità per AB e per MN saranno :;i/ihVIo. Del Sic. Teodoro Donati. 2^7 59. E perchè il movimento dell'acqua della cateratta è uniforme , giacché uniforme è la discesa del cilindro AQ di ghiaccio (55) , si vede , che in tempi eguali passano per le due sezioni AB^ MN quantità eguali di acqua, e perciò le due sezioni saranno in ragione inversa della velocità dell'ac- qua , ossia delle radici delle altezze IH , IO , cosicché avre- mo ; sezione AB: sezione MN : : |/I0 ; j/IH . Ritenendo le denominazioni al n." 53 avremo qui AC = a = HG, la sezio- ne AB = j, la sezione EF:=/ — b. Si dica inoltre IH = Zj H0 = ^, ed una sezione MN = m. Sarà IO = ^ -H ^ ; IG = s-+- a . 60. Perciò sezione AB=7: sezione W^-=u\'.\/ I0=:2-+-x : (/IN =:;; onde y\/ z=.U[/z-\-x (N) . 61. Quando x crescendo diviene = HG = a la sezione MN = M diviene sezione EF = / — b^ e l'equazione (N) di- viene y\/ z=i y — b\/ z-^a^di onde si ricava z-^a ^^- =:IH . 6a. E dalla stessa equazione (N) si ha x-=^-^ — z. 63. E siccome qui le y , z sono costanti, differenziando sarà ^x-= ''' 3 ■ Condotta una m» infinitamente prossima alla MN sarà Oo = '^x , e l' elemento ANnm della cateratta sarà uAx = r — . 64- Ed integrando per modo, che quando u^y l'inte- grale sia = o sì avrà fu^^x = ^^ — 2,yz , volume del tronco ABNM della cateratta . 65. Passando poi dalla sezione MN al foro EF avremo u=y — b, e sostituendo in luogo della z il trovato suo va- lore ■ ^. _^^ (61) si troverà '^ _^ volume della cateratta intiera ABNFEM , quarto termine proporzionale ai tre a/ — b, a ( 7 — b), ay , essendo 2,y — b =zy -i-y — b somma dei due circoli AB, EF; e 2.{y — b) il doppio del circolo EF ; ed «7 23S Sui nuovi principj d'Idraulica pi Beunaud . l'acqua tutta nel vaso, appunto come mostra il Newton nel Corollario citato ( 17) . 6b. Questo volume della cateratta intiera diviso pel foro y — b lascia — '—r altezza di un cilindro dolla base eguale al foro , e del volume eguale alla cateratta , e non ( come ha equivocato M. Bernard) eguale al volume dell' :ic([na uscito pel foro in un tempo, die impiegarebbe un grave cadendo dall' altezza del vaso ; che è bea diverso dal volume della ca- teratta . 67. Infatti alla citata pag. aqa W Newton àice^ che; l'ac- qua uscita per un loro EF nel tempo, che un grave potreb- be cadere non dall'altezza HG del vaso, ma dall'altezza IG, è del volume di un cilindro della base eguale al foro, e dell' altezza = alG . Ho trovato (bi) IH=r = a ^'~ '][ , e la HG si è detta =a (53), con che si ha IH -h-11G = IG= "^ ■■ ; e alG = —r—T-'-, e moltiplicando in r — 1>= foro, avremo -^ — '^-rr- ■2,l>r — o ■* a/y — i* volume dell'acqua uscita giusta il Newton per EF nel tem- po , che vai grave cade per IG . 68. Ma la velocità dell'acqua per EF è uniforme. Dun- que per avere l'acqua uscita pel foro nel tempo dell'Auto- re; cioè nel tempo della caduta per AG, basterà dire come il tempo della caduta di un grave da I in G al tempo della caduta da H in G , ossia I : j/lG : |/ HG , cosi l'acqua usci- ta nel tempo del Nentofi all'acqua uscita nel tempo di M. Bernard. Quindi y-^^zj^ \\/~a\: ^a/" [l~Jl , che è il volume dell' accpia uscita nel tempo, che un grave cade per HG ; il (Tual volume diviso per y — h =z toro lascia . , altezza del cilindro della base eguale al foro EF , e del vo- lume dell'acqua uscita (stando al Newton) nel tempo, che un grave cade dall'altezza del vaso. Del Sia. Tììodoro Bokati. al') 69. Questa è l'altezza di un cilindro, che ci doveva da- re M. Bernard alla pag. 9, invece della «juale, per non ave- re inteso il NetA)ton. ci ha dato l'aUezza — '—, -, ia (lualc non è altro, che l'altezza del cilindro della base bensì eguale al foro , ma del volume della cateratta . 70. Confrontando le due formole v^a-\ di M. Ber- nard ^ e l'altra ?) ^= — — , clic è del Newton, si trova [/ -j-by — l^ bensì, che nel caso estremo del foro Infinitesimo posto ^=j si accordano dando ambedue w = 2a. Ma in tutti gli altri casi discordano sostanzialmente , perche al crescere del foro , os- sia al calare del fondo reale è, la Jbrmola dell' A. dà delle velocità vieppiù minori, e quella del Newton le dà sempre maggiori . 71. Notabilissima e poi la discrepanza delle due formole nell'altro caso estremo del foro eguale al fondo, nel «juale essendo h =.0 la forinola di M. Bernard diviene ^ = « , e quella del Newton diviene v=ico. RIFLESSIONE V 72. Dopo di avere redarguito il Newton alla pag. io, perchè non ha impiegato dei principj cogniti, passa M. Ber- nard nella stessa pagina ad attaccare ì celebri Geometri 3Tac- Laurin , Daniele DernouUi , Giovanni BernoulU , Eulero , D'Alembert ec. Per dare un giudizio della loro Teoria crede, che basti il prendere in esame la formola di Giovanni Ber- noulU, alla quale si accostano tutte quelle degli altri. 73. La formola è z=:— ;: essendo z l'altezza dalla h—tn, quale un grave cadendo può acquistare la velocità dell'acqua pel foro; h è la sezione del vaso, ed rn è faja del foro nel fondo. Fa riflettere, che secondo questa formola, crescendo i>4o Sui nuovz pniNCirj d'Idraulica di Bernard .' il foro w, cresce ancora la velocità dell'acqua pel foro . Ora ( egli dice alla pag. i3 ) questo è assolutamente contro la spericuza . 74- 111 prova di un' asserzione sì franca io stavo in atten- zione di sperienze immediate con un vaso cilindrico , col fo- ro m nel fondo, ora piccolo, ora grande; ma mi sono ingan- nato. Le sperienze addotte dall'Autore non sono, che alcu- ne sperienze indirette, quali sono quelle dei getti all' insù delle fontane artificiali ; sperienze in parte non vere , ed in parte non applicabili al caso nostro, che è di getti all' ingiù. 75. Ecco gli argomenti di M. Bernard. La formola vuo- le, che crescendo il foro nel fondo del vaso cilindrico cresca la velocità dall'acqua pel foro; dove che la spei lenza dà, che i getti, crescendo il foro, si alzino meno, indizio di una ve- locità diminuita per lo stesso foro . 76. Inoltre se la formola fosse vera, la velocità, pel fo- ro, di \\v\ getto sarebbe sempre maggiore di quella di un gra- ve caduto dalTaltezza del vaso; ed in conseguenza di questo il getto si alzarebbe sempre sopra il livello della conserva, dove che i getti restano sempre al disotto di quel livello. 77. Prima piacerai di notare di passaggio, che nella tac- cia, che qui l'Autore intenderebbe di dare ai Bernonlll, ed ai da esso nominati rispettabili Geometri, cade anche il Newton, dalla cui teoria deriva la stessa formola Bernoulliana in que- stione . ■■" 78. Di questo se ne veda in fine la prova segnata A . . 79. Vengo ora alla prima difficoltà di M. Bernard, che i eetti crescendo il foro si alzino meno. Fa veramente caso, che M. Bernard, il quale mostra pure di aver veduta la Idrodinamica del Sig. Abb. Bossut , non siasi incontrato nel- le sperienze I , II , IH nel Tomo secondo ( 589 ) . 8c. La carica, ossia l'altezza dell'acqua nella conserva sopra il foro era in tutte tre di piedi 1 1 . 81. Nella prima col foro largo a linee , il getto verticale si alzò piedi io. e. io. - ; 82. Del Sic. Teodoro Bonati . 241 8a. Nella seconda col foro largo 4 linee il getto verti- cale si alzò piedi io. 5. JO. 83. Nella terza essendo il foro largo 8 linee, il getto si elevò piedi to. 6. 6. 84. Il Sig. Ahh. Bossut nella riflessione (586) adduce la ragione dicendo: i getti grossi s' alzano più dei piccoli, per- chè di due getti , che escono dai loro zampilli con velocità «guali , il più grosso ha piti materia , ed in conseguenza ha più forza per vincere gli ostacoli opposti , che i più piccoli . 85. Anche Mariotte aveva trovato, che i getti grossi si alzano più , e ne aveva addotto una ragione consimile nelle sue Regole per i Getti d'Acqua . Avendo egli dato una Tavo- la delie altezze delle conserve per ottenere dai getti delle altezze dai 5 ai ice piedi, soggiunge. "Lo sfregamento dei ,, zampilli scema un poco di questa proporzione nelle grandi „ altezze : per questo egli è necessario, che in queste gran- „ di altezze i zampilli abbino un foro di io , o la linee; ,, perchè se n'avessero di due, o di tre linee, l'acqua si al- ,, zarebbe molto meno di ciò , che dà questa Tavola ; oltre „ di che l'aria resiste molto più a un piccolo corpo, che a „ un più grande, come se ne vede l'esempio nelle armi a „ fuoco, che portano più lontano una palla grossa, che una „ piccolissima, come la munizione, o la polvere di piombo „ » 86. Conviene bensì, che al foro possa arrivare l'acqua in una copia proporzionata . Potrebbe essere , che il tubo E ( Fig. IV) di condotta non fosse di una tale larghezza, che bastasse per mantenere la massima altezza del getto essendo il foro F di 6 linee , ma che bastasse per un getto di 4 li- nee . Allora sì, che il getto più sottile salirebbe più alto, che il getto più grosso . Ma ciò accaderebbe per difetto di afflusso di ac(]ua . Ma quando il tubo E di condotta sia di un diametro sufficiente, accaderà sempre, che il getto si eleve- rà più col foro di 6 linee , che col foro di a linee . 87. Non sussistendo perciò generalmente il supposto di M. Bernard , che. i getti delle fontane crescendo il foro s'al- Tomo XV. 3i o^.a Sui nuovi rniNCiPj d'Idraulica di Bernard. rino meno , non sussisterà neppure la deduzione dell'Antore dal suo supposto , la quale è , che crescen sarà questo la nuova aja del foro F , la quale tolta dal fondo assoluto y lascia il fondo reale b=^^ . onde — = •3-|- = lìnee 108 , velocità di M. Bernard^ dovechè la sperien- za ha dato linee 888 | ( ia6). iSa. E se nella sperienza IX 11 vaso superiore fosse sta- to alto abbastanza , si vedrebbe la velocità di M. Bernard sempre più lontana dalla velocità della sperienza (127). i33. Il nominato Si\^. Gozzi col comodo del conedo del- la mia Scuola d' Idraulica , veduto il successo delle descritte spertenze VII, Vili, IX, me ne ha fatto altre quattro con- simili j le quali anche perchè eseguite con un vaso più largo servir possono per una buona conferma delle precedenti . 134. In luogo del vaso cilindrico NQ ( Fig. VI) del dia- metro di linee 5 (ii5) qui abbiamo il vaso cilindrico PQSR ( Fig. VII) del diametro di linee 17 . i35. Il vaso superiore ABCD ha la bocca del diametro AB di pollici 3o, ed il fondo del diametro DG di pollici 25 1. i36. AED è un cannello comunicante col vaso, ed es- Tomo XV. 3a 25o Sui NUOVI l'RTNCirj d' IDRAULICA DI BerNARD . sendo colla parte Ain di vetro serve per indicare le altezze della superficie dell'acqua dentro il vaso superiore V. 137. Nel mezzo del fondo DG havvi un foro HI del dia- metro di linee 17, cioè eguale al diametro del vaso cilindri- co sottoposto PQSR . Lo stesso foro HI è armato di un tubo addizionale HILM , ed inoltre è armato di un imbuto inter- no FHIO per ottenere l'uscita dell'acqua per ML a bocca piena . i38. Le altre misure sono AE = pollici So HM = linee 35 TH = linee 17 PR = pollici, sei , Sperienza X iSg. Essendo il diametro del foro ab di linee i5^ furo- no empiti con acqua i due vasi V, Z . Poi aperti i due fori ML , ab ^ l'acqua da principio empiva il vaso inferiore, ed anzi traboccava dall' orlo NO , però sempre meno . Al cessa- re del trabocco la superficie dell' acqua nel vaso superiore si trovava a pollici 6^ sopra il fondo DC . Coli' aggiungere nuo- va acqua fu mantenuta la superficie a quell'altezza costante- mente per 55 minuti secondi , nel qual tempo uscirono pel foro ab pollici cubi 5488 di acqua . 140. Mettendo con Archimede^ che il quadrato del dia- metro all'aja del circolo stia come 14 a 11 , trovo l'aja del foro ab di linee quadrate 188, 767, ossia (dividendo per li- nee quadrate i44 componenti un pollice quadrato ) di polli- ci quadrati i , 3io8 . 141. Dividendo poi i pollici cubi 5488(139) pei 55 mi- nuti secondi, si hanno pollici cubi gg , 781 d'acqua uscita pel foro ab in un minuto secondo con velocità uniforme . E questi , divisi per la trovata aja del foro , danno pollici 76, laa, altezza del cilindro di acqua uscito per c^ della ba-» Del Sic. Teodoro Bonati . a5i se eguale al foro in ognuno dei detti 55 minuti secondi , che sono lo spazio da scorreisi in un minuto secondo uniforme- mente da un corpo , che si muova colla velocità dell' acqua pel foro ab ^ ridotta all'uniformità. 142. Il quadrato del detto spazio di pollici 76,, laa, di- viso per 724(122) dà pollici 8, altezza dalla quale im gra- ve cadendo liberamente acquista la velocità, ch'ebbe l'acqua pel foro ah nel fondo del vaso cilindrico PQSR mantenuto pieno aggiungendovi acqua affetta della velocità stessa dell' acqua nel vaso (112), del quale l'altezza era di soli pollici 6, (i38). Sperienza XI 143. Il diametro del foro ab era di linee 16 . Il rèsto era come qui sopra. Empiti i due vasi V, Z con acqua, ed aperti i fori, l'acqua, che da principio sormontava l'oi'lo NO, cessò di traboccare quando la superficie dell'acqua nel vaso superiore V si trovò sopra il fondo DG pollici io. 4 • Aggiun- gendo nuova acqua fu mantenuta quella superficie alla me- desima altezza 55 minuti secondi; in ognuno de' quali usci- rono per ab pollici cubi di acqua 121 , 769 . Questi divisi per l'aja del foro ab , ( che era di pollici i , 896 ) danno pollici 87,222 altezza di un cilindro d'acqua uscita uniformemente per ab in un minuto secondo. Il quadrato di quest'altezza diviso per 724 dà pollici io. 5, altezza, dalla quale un gra- ve cadendo acquista la velocità dell' acqua per ab ridotta al-» la uniformità ( 122) . Speri ENZA XII i44- Essendo il foro ab largo linee 16 ^ furono riempiti i vasi con acqua. Aperti i fori, l'acqua cessò di traboccare allorché la superficie nel vaso superiore fu a pollici i3^ so- pra il fondo IX . Mantenuta con tale altezza per 55 minuti aSa Sui Nuovr principj d' Idìiaulica di Bernard . secondi si ebbero dal foro ah pollici cubi di acqua 143,344 iu ogni secondo ; i quali divisi per l' aja del foro ( che era di pollici I ,485 ) danno pollici 96, 5^8, altezza del cilindro di acqua uscita per ah in un minuto secondo . Quadrando , e dividendo per 724(12,2) si hanno pollici 12,8 altezza com- petente alla velocità dell' acqua per ab in questa sperienza . Speriejvz^ XIII 145. Il diametro del foro ab era di linee 16 |. Operan- do come sopra, il trabocco cessò quando la superficie nel va- so V fu a pollici 16,4 sul fondo. Mantenuta tale altezza du- rante il tempo di 55 minuti secondi, in ognuno di questi uscirono per ab pollici cubi i56, 58i di acqua. Dividendo per pollici 1 , 53o (aja del foro) si hanno pollici 102,28 al- tezza del cilindro di acqua uscito per ab in un minuto se- condo . Quadrando , e dividendo per 724 (12,2) avremo pollici 14, 4' altezza d'onde un grave acquista la velocità dell'ac- qua di questa sperienza pel foro ab . Conseguenze. 146. L'altezza del vaso di queste quattro sperienza era di soli 6 pollici (i38)j ed intanto nella sperienza X essen- do il foro largo linee i5^, si è avuta per esso la velocità competente all'altezza di pollici 8 (142); cioè quella, ohe può acquistare un grave cadendo dall'altezza di pollici 8; nella sperienza XI essendo il foro largo linee 16 la velocità per esso è stata la competente all'altezza di pollici 10, 5 (143); nella sperienza XII essendo il foro largo linee 16 |, la velocità è stata quella, che compete all'altezza dì pol- lici 12,8 (i44); ^ "^"^ sperienza XIII essendo il foro lar- go linee 16 3 si è avuta la velocità competente all'altezza di pollici 14,4 ( 145), il che conferma più che abbastanza: i.° Che per un foro nel fondo di un vaso cilindrico, N PARTE ^ìATEU. \, Il il3 x v// .i (1/ < f t/r/t/t '/' f//:/,v/7. j ^'^ '^^«/'r.^/'.n.iM, ■i:,f A'/. PARTE >rATENfATICA r.\f. I. Jyll H A, S I \o \.. /\ I ) / ^\ / . / F Il P 0 11 A. ^ ^IS u D L NO — I r^~ D i. I'\l ''1 V T';!:-^G X z kl "E Jc 'ceti// r/,' in,u/i 2. ,1, .'ll/r/t/i iirr Lji'I J'/I. I ' I I I I I I 6 Del Sic. Teodoro Bonati . a53 mantenuto sempre pieno di acqua, si jiossono avere benissi- mo delle velocità sensibilmente maggiori di quella di un gra- ve caduto liberamente dall'altezza dello stesso vaso. a." Che crescendo il foro, la velocità cresce; con che resta provato colla stessa sperienza la totale insussistenza del- la formola v = a -i risultante dai nuovi principj d'Idrauli- ca dì M. Bernard; cosa, che non recherà meraviglia a chi avrà veduto le mie riflessioni I , e II , colle quali mostro, che tai principj sono assai male stabiliti , e che anzi sono da dirsi assurdi . Dimostrazione promessa al N.° 77. La z del BernouUi è l'altezza d'onde un grave cadendo liberamente acquista la velocità dell' acqua per un foro EF {Fig. Ili) nel fondo di un vaso cilindrico AB dell'altezza =a mantenuto sempre pieno. La stessa altezza z giusta il iVeffio/i è l'altezza IG trovata al n." 67 = ■ /■^\, . Mettendo in luo- go della y sezione del vaso , la h del BernouUi , e mettendo in luogo di y — è, aja del foro, la m pure del BernouUi, si trova che anche giusta il Newton deve essere z 3 ■■,,_",:.■ . SU LA FORMOLA DI DOUWES PER RITROVARE IN MARE LA LATITUDINE CON DUE ALTEZZE DEL SOLE PRESE FUORI DEL MERIDIANO RIFLESSIONI Del fu Sic. Ab. Giuseppe Cassella Presentate dal Sic. Ab, Chiminello li iS Dicembre 1807 Ed esaminate dal Socio Sic. Cossali . I. JLia formola di Douwes per ritrovare in Mare la latitu- dine per mezzo di due altezze del Sole fuori del Meridiano, d'uso frequentissimo in Navigazione lia attirato a sé l'atten- zione degli Astronomi, e di più uomini di mei'ito, a cercare il più vantaggioso sviluppo della medesima . Troppo lungo sarebbe l'annoverare le particolari vedute, sparse qua, e là ne' libri Astronomici , onde ciascuno s'è ingegnato , ora in un modo, ora in un altro, o di perfezionare il metodo proposto dal Douwes , o di facilitarne la pratica in mare . Da alcuni s' è data la dimostrazione della formola seguendo differenti tracce , da quelle che io propongo in questo Opuscolo . La dimostrazione che mi s'è presentata , maneggiando con indu- stria, e con profitto le formole Trigonometriche, merita con- siderazione per un doppio vantaggio : I." perchè essendo tutt' analitica, non ha bisogno di figura alcuna per seguirne il filo: II." perchè modificando diversamente gli stessi metodi anali- tici, de' quali mi valgo, sono giunto ad avere una seconda formola , da quella di Douwes differente , ed insieme alcune Utilissime pratiche per gli usi Nautici . 2,. Indichi A la maggior altezza del Sole^ cui corrispon- da il minore angolo orario h : a V altezza minore , cui corri~ Del Sic. Aiì. Giuseppe Cassella . a55 sponda l'angolo orario maggiore H; e chiamando L. la lati- tudine stimata del vascello ; ci la distanza del Sole al Polo ; e D. la declinazione #; e facendo finalmente L.-i- ^ 2 { - -^ — ) = 49° ■ 37' 5a"; e Log. cos. "** =: 9 .98i85i3 ; onde "*" ' i6°.a6'5o". Coir altra soluzione n.° 11 s'è trovato a tì-fh 2, i8°.54'o". Proseguendo innanzi l'operazione, si ha — = sen.*— cos.L.cos.D 5°.49'ao". E sostituendo nella formola sen. = : — 5 a6a Su LA FoiiMOLA DI DouwEs ec . si avrà, supposto # = (54°. ii'), ^^ = io' io"; e #' = 54" • 9' -*- ^^' 2.0" = 54° • ag' 2,0" . Nella seconda operazione si rinviene #" = 54° . ag' 2,4" ; e non si arriverà che lentissima- mente alla richiesta altezza meridiana del Sole . Dal che per conseguenza ricavo., che giova nel caso del nostro esempio, di servirsi del metodo spiegato al n.°a, e 3, a preferenza dell'altro spiegato al n.^S, e 6. i5. Esempio II. Sia la latitudine del vascello stimata sul mare Si" . 5o' Nord : la declinazione del Sole D.= 14° . o' Bor. : siasi trovata l'altezza a dal centro del Sole corretta 41° -33' a q'"'- . 3o' o" su la mostra ; e l' altra altezza corretta dal centro del Sole A siasi trovata 5o°.i'a io"''.o'o", su la medesima mostra . Si cerca la vera latitudine del vascello . Pel n.° 3 fatte le opportune sostituzioni, si avrà Log.sen. =g .6483559, cui corrisponde l'arco 2,6°.a5'aG". Quindi (S^)-/:Si:pÌ) = A = a6°.a5'ao"—ii°.i5'=i5°. io'; e -=7°. 35'. 16. Si supponga ora l'altezza meridiana del Sole 5l°.3o' maggiore di A = 5o°.i', e si avià pel n.° 9 a.Log. sen. — = 7° 35' 8.a4o9376 -t- Log. cos. L.= 5a" 5o' 9. 78 11 344 -4- Log. COS. D.::= 14° o' 9.986904! Log. costante 8 . 0089761 Comp. arit. Log. cos.^^=5o''45'3o" o . 19887S8 Log. sen. ^^=55° ag' 8.ao785i9 Quìndi^lzf = 55°a9';e#'— A=i°5o'58";e#'=5i°5i'58", perciò l'altezza meridiana del Soie dedotta dal calcolo è 5i° 5a'. Del SiG. Ab. Giuseppe Cassella . a63 Ma si è supposta Si^So'; quindi essendovi differenza, si fac- cia la seconda ipotesi dell'altezza meridiana del Sole di 5i°5a,'. 17. Essendo nella seconda ipotesi 0=5i°Ba,\ sarà- = . = 5o° 56' 3o" . Facendo un secondo calcolo , si avrà Log. costante n.°j6 8.0089761 Comp. arit. Log. cos. ' "*" = 5o° 56' 3o" o . aooSBay Log. 8en.^^^ = 55'.4i" 8 . acgSSBB Per conseguenza ^^^ = 55' 4a", e #" — A = 1° 5i' a8"; e ^" = 5i°S2'28" che conviene colla supposta #' = 5i°52,', ch'è la vera. Da quest'altezza meridiana si deduce la latitudine vera del vascello 5a°8' minore della stimata di ^2/. 18. Si risolva l' istesso problema colla formola al n." 6. Facendo A =5f°i'; a = 4i°33'; D. =ri4<^ Bor. ; L. = 52°5o'; sarà d = C)o°^D. = go°— ( 14° o' ) = 76°o'; e N = L.-4- J = 128° 5o' : ^^^ = 85° 1 1' 3o" ; ^l^l^ = 43° 38' 3o" 1 ^-^ = a ^ 2, ^ ^ a, 89°ii5'3o"; — ^ =39''24'3o". Quindi per essere cos. — =: cos.L. cos "d" X 1/ COS. —^ X sen. —^ X cos. — j— X seii. N — A n. 5, sarà Log. cos. — ^8 . 8162451 ; e per conseguenza — = 86''i4'4o". Si avrà poi (essendo T = aa°.3o' ) i f ^ — 1-\ = H86''i4'4o"_i,oi5'); i(^-4--j)=i(86°.4'4o"H-ii°i5'), cioèx(l-I)=l£^=370 29'5o";ex(L.-I).. = 40° 44 5o . E poi pel n. 6 cos. = a X (Y — T \ y I T — ^ 1 X sen.^ — ^ . Quindi , applicando i Log. alla solu- sen 2,64 Su LA FoRMOLA DI DoUWES . H -4- h rr 7 zione, Log.cos. — -^ — =9 .961464-5; e per conseguenza ■ ^ .' = o3°46'5o". Al n." 1 5, si è trovato ^^^ = 26° a5'ao" . Quindi iÌJ±_/^jz=A = ii3°46'5o"-ii''i5'=ia<'3i'5o"; e| = 6°i5'55". 19. Supposta ora come al n," 16 l'altezza meridiana del Sole 5i° 3o' , si avrà a Log. sen.- =6° i5'55" 8.0759086 Log. COS. L.=:52,° 5o' 9. 78 II 344 Log. COS. D.= i4°o' 9.9869041 Log. costante 7.8439421 Comp. arit. cos. "^^ = So<'45' 3o" o . 1988758 Log. sen.'^^ = 37'56" 8.0428179 Quindi = 37' 56", e per conseguenza %' — A= i" i5'5a", o sia #' = 5o° l'-H 1° i5' 5a"; cioè 1' altezza meridiana del Sole dedotta dal calcolo 5i°i6'5a". Ma si è supposta 51" 3o'; es- sendovi differenza , si deve fare una seconda ipotesi . ao. Si supponga perciò l'altezza meridiana del Sole 5i°X7', si avrà Log. costante n.° 19 7.8439421 Comp. arit. Log.cos. =: = 5o 39 0.1978724 Log. sen.^^ = 37'5i" 8.0418145 Cioè ^^ = 37'5i"; e #"- A= 1° iS'4a"; e #"= 1° i5'42"-»- 5o° i' = 5i° i6'42" , di alcuni secondi minore della supposta. Dal che si ricava, che l'ipotesi dell'altezza meridiana rica- vata Del Sic. Ab. Giuseppe CaSSELLa T a65 rata dal calcolo è più piccola del dovere, e si deve anzi ac- crescere , per poterci accostare alla vera . Questo stesso ci dimostra la preferenza , che si deve dare alla prima formola su la seconda , per ritrovare la quantità . ai. Gonvien fare qualche riflessione su le due passate so- luzioni . E prima di tutto il nostro metodo non dà che la so- luzione del Problema con molta approssimazione solamente , e con molta facilità ancora; lo che basta per la pratica. Se- condo: l'esattezza, e la precisione dell'altezza meridiana del Sole dipendendo immediatamente dall' esattezza dell' angolo orario h, o K; mai questo può aversi esatto coli' ipotesi del- la latitudine stimata. Di fatti ne' nostri secondi calcoli, si ti-ascura la modificazione dell'angolo orario, che si dovrebbe rettificare colla latitudine già corretta nel primo calcolo, per averne uno più esatto . Questa stessa ragione ci dovrà indur- re a servirci , per ritrovare la quantità , piuttosto della formola esposta al n.° 3, che dell'altra sviluppata al n.° 6; dandoci cioè la prima con più esattezza , che la secon- da ; al che si aggiunga il merito d' una maggiore semplicità . Che se finalmente ad onta di tutto questo volesse uno valersi della formola al n.°6, bisognerà sostituire agli esempj nella fine de' numeri ( i4,e ai ), i logaritmi presi a rigore, e te- ner conto anche de' secondi ne' risultati del calcolo . Gosi len- tissimamente si giungerà a ritrovare l'altezza meridiana ri- chiesta. E nel caso che le quantità, che risultano dal calco- lo , si allontanassero dalle supposte , l' istesso calcolo ci av- vertirà della ipotesi da farsi , o maggiore , o minore , come s'è notato al fine del n.° 14. aa. Esempio III. 5;// mare in una latitudine a stima 'f i^o* Nord, a 7""^ a 5' 40" di mattina su la mostra s'è trovata l'al- tezza vera dal centro del Sole di fia**3o', e a io"""- 3i'48", la seconda altezza del medesimo centro di 63° ^o' . La declina- Tomo XV. 34 a66 Su LA FoRMOLA DI DoUWES cc. eione del Sole si è calcolata di a.2.° /^j' Boy. , si cerca la lati- tudine vera del Vascello . Essendo A = 63" 40' ; a = aa" 3o'; L . = 7" 4o'; D = aa" 47'; -= ^—^ ^= — - — =i'"^-33'4"; e m parti dell' Equatore — =a3°i6'o". Fatte le opportune sostituzioni nel- la formola al n.° 3, si troverà Log. sen. — ^^ =g.852iaoo , H-+-A cui corrisponde nelle tavole l'angolo = 45° ai'. Per con- seguenza si avrà A=45''ai' — 23° i6'=a2''5', ed — = ii''2'3o". a3. Seguendo le stesse tracce, che ai n.' 11, e 16 a .Log. sen. — ^ ii^a' 3o" 8.56444io -t-Log. cos.L.= 7°4*^' 9.9961004 H-Log. cos.D.=:2a*'47' 9.9647195 Log. costante 8.525a6o9 Supposta l'altezza meridiana del Sole' 74° o', sarà "** 68° 5o'; sostituendo nella formola al n.° 9 i valori rispettivi 3. SI avrà Log. costante 8 . SaSaócg Comp. arit. Log. cos. ^^ = 68° 5o' o . 4423940 Log.sen.^-=-^=5°i9'3o"= 8.9676.549 Onde *l=-^=5° i9'3o"5 e ^'-A=io°39'c"; e #'=io°39'o"h^ 63°4<5' = 74'' 19'^ maggiore della supposta 74° o' . 24. Fatta la seconda ipotesi dell'altezza meridiana 74° 19% si avrà t^ = 74°'^'"-^^°^°' = i^ll^ = 68° Sg' 3o" . Per cui a a a -^ Del Sic. Ab. Giuseppe Cassella ." 267 Log. costante n.° a3 8 . SaSaGog Comp. arit. Log. cos. 68° 5g' 3o" o . 4455o63 Log. sen. = 5°ai'5o" 8.9707672 Cioè *!^ = 5°ai'5o", o sia #"— A= io°43'4o"; e fiaalmente W = 1 0° 43' 40" -t- 63" 40'= 74° a3' 40" . La quale altezza meri- diana differendo di circa 5' dalla supposta può prendersi per la vera. La latitudine dedotta da quest'altezza meridiana è di 7° II'; che differisce dalla stimata di 29'. a5. È chiaro che il metodo di trovare la latitudine del vascello per mezzo di due altezze del Sole , osservate fuori del Meridiano , poggia su F artificio di conchiudere l' altezza me- ridiana del Sole coll'ajuto della maggiore altezza del mede- simo , e col più piccolo angolo orario ; ovvero colla più pic- cola altezza , e col più grande angolo orario . La formola al n.° 3 dandoci il valore dell'angolo orario medio , sono pervenuto con artificj consimili a quei adoperati in quest'Opu- scolo a due altre formole da non trascurarsi , le quali mi dan- no egualmente la soluzione del problema; profittando però del vantaggio dell'angolo medio, ch'entra necessariamente nel calcolo, e dell'altezza del Sole, che si trova aver rap- porto , o di corrispondere a quest' angolo medio . a6. Facendo — — = M; e per R (*) indicando una quan- tità, che si trova col calcolo di aver relazione coli' angolo orario medio M ; e per # l'altezza meridiana del Sole, che si cerca j si avranno le tre formole A — a A-t- a sen. . COS. — — "LSen.M= — n." 3 . COS. L. COS. D. sen. 5 T (•) Questa quantità R rilevasi d&l n.* 27 dover significare un' altezza poco raag- giore di ■ . Così il Soci» Esaminatore . a68 Su LA For.MOLA DI DouwES ec. M M , ^ sen. — . sen. — . cos. L. cos. D. II. Sen. = a — R-»-A COS. 3, M-*-h M — k T _ sen. . sen. . cos.Ij. cos. i». III. Sen. t^ = Rh-O COS. Colla prima formola si trova l' angolo orario medio . Colla se- conda si viene in cognizione della quantità R , che ha rap- porto coir angolo orarlo stesso. Colla terza finalmente si li- trova l'altezza meridiana del Sole, scopo finale del Problema . 27. Si applichino le formole ai superiori eserapj . Nel I. esempio n.° 11, essendo A = 54°9' j a=:4^° 5S' ; D. = 11° 17'; A = 46''5o'; ^ = io''37'3o"; si è di già trovato ^^ =M = 18° 54'. Si trovi ora il valore di R, coU'ajuto della seconda formola n.°a6, supponendo R un poco maggiore, come de- ve essere di , cioè maggiore di -^-^ — : cioè R per esempio = 5i° i'; si avrà M a.Log. sen.— = 9° 2,7' 8.4306768 Log. COS. L.= 46''5o' 9.835i35o Log. cos. D.= II" 17' 9.9915240 Log. costante 8.a573358 Comp. arit.Log.cos. — ^^:= ' '**" '^ ^ =5a°35' o .2168773 Log. sen.Sl_i=io4a'ao" 8.4737131 Quindi ^^=i°42' 20"; e R'— A=3«24'4c"; e R'=3oa4'4o"-4- 54" 9' = 57° 3 3' 40"; differente dalla supposta SiT. Si supponga R" = 57''34'5 e si avrà ,1 , Del Sic. Ab. Giuseppe Cassella . aGg Log. costante 8 , a573358 Comp. arit. Log. cos. = S5°5i'3o" o .a5o85o6 Log. sen.:^^=i''5o'47" 8.5o8i864 Quindi^^ = i°5o'47";e R"— A=3<'4i'34";e R"=3°4i'34"-H 54" 9' = 57° So' 34" ; diversa da 67° 34' . Finalmente fatta R" = 57° 5o', si avrà Log. costante S.aSySSSS Comp. arit. Log. cos. — ili— =-1 — 2J!1Ì_2.=55°59'3o" o.a523447 Log. sen. =i°5i'ii" S.SogóSoS Onde ^llzi = i<'5i' II", e R"— A=3°4iì'aa"; e R"=57°5i'aa", poco diversa dalla supposta $7° So', che perciò sarà la vera . a8. Con questo ultimo dato R" = S7°5i', si troverà fa- cilmente l'altezza meridiana del Sole colla IIL^ forraola n.° a6. Di fatti sarà Log.sen.^1^ =i3°35'iS"= 9.3709385 Log.sen.iil=^= 5°i8'45"= 8.9065538 Log. cos. L. =46° So' = 9.835i35o Log. cos. D. =3=11° 17' = 9.99i5a4o Log. costante 8.i64i5i3 Ed essendosi trovata R=57''5i'5 si avrà supponendo C^=54°ii'9 come altra volta Log. costante 8.i64i5i3 Comp. arit. Log. cos. R-f-# = 56° i' e . aSa6a57 Log. sen. ^^'=1° 39' 46" 8.4167770 a^O Su LA FoRMOLA DI DoUWES CC. QLiindi?-^=i°a9'46", e R — #' = a° Sg'Sa"; e #'=R — a''59'3a"=57° 5r'— a" Sg' 3a"=54'' 5i'a8"i diversa dk 54° ii'. Si faccia la seconda volta Log. costante 8.i64i5i3 Comp. aiit. Log.cos. ^- — =5o ai G.aooogyo Log.sen.^^' = i°3o'33" 8.4205489 Quindi ^-f- = 1° 3c' 33"; e R— #" = 3° i'6"; e #" = 57* 5i'— 3° i'=:54° 5o'; altezza meridiana del Sole, la stessa che s'è trovata altrove n.° i3 . Si gingnerà alla risoluzione del Pro- blema, applicando nello stesso modo le formolo del n.° a6 agli altri due esempj . 29. Evvi anche un altro modo differente di pervenire al- la determinazione dell'altezza meridiana del Sole coU'ajuto di due altre formole , ritrovate cogli stessi principj , che le passate , le quali potranno avere il loro vantaggio , e perciò da non trascurarsi. Col loro ajuto trovandosi l'angolo orario medio, e l'altezza media del Sole, che gli compete, si de- termina facilmente l' altezza medesima meridiana . Se oltre al- le determinazioni date agli archi nel corso di questo Opusco- lo , si chiami V l' altezza del Sole conveniente all' angolo ora- rio medio M ^ si avranno le tre formole seguenti . A — a A -♦- a sen. . COS. I.a San. M = -^ — ^— . COS. L. COS. U. sen. ^ I M-*-h M — A sen. ■- ■ sen. .cos.L. cos.D II .a Sen. = I A- cos. — M M . - sen. — . sen. — . cos. L. cos. D Ill.a Sen. ^—1 s= — T—r . a 0->- V COS. a Colla prima si determina M^ 0 l'angolo orario medio : colla Del Sic. Ab. Giuseppe Cassella . aji II.3 si determina l'altezza del Sole V, corrispondente a quell* angolo orario medio. Colia III.^ si viene a capo dell'altezza meridiana del Sole , scopo finale del Problema . 3o. Qualche esempio metterà in chiaro l'applicazione delle formole . Coi dati esposti nell' Esempio I , si avrà M^io°54 ; Log. sen. . sen. . cos. L. cos. D. = A-4-(l a 8 . i64i5i3 n° a8 ; e supponendo V = ^ .^."'''^ — :_: 5o° 3a' , altezza meridiana per approssimazione , si avrà Log. costante 8.i64i5i3 n -A. r A-4-V 54''9'-+-5o°3a' eoi»" o oo Comp.ant.Log.cos. =-2-2 =5a°ao 3o o .2139933 Log. sen. :^^^ =10 22' 7" 8.3781446 Quindi ^^-=^= i°aa'7", e A — V = a<'44' i4" , e V = A — a"44'i4" = 54<'9' — a°44'i4"=5i°a5'46", diversa dalla sup- posta 5o° 3a' . Fatto in seguito V' = 5i°a6'j si avrà Log. costante 8.i64i5i3 A -(- V Comp. arit. Log. cos. — - — :=5a°47'3o" o .ai84493 Log. sen.i:^ = 1° aa' 58" 8 . 38a6oc6 Quindi ^^^ = i°aa'58"; e A — V" = a°46'; e V"=A — a''46'=: 54° 9' — a*'46' = oi°a3', altezza del Sole corrispondente all'an- golo orario medio M=i8°54'. 3i. Per trovare ora l'altezza meridiana del Sole, si so- stituiscano nella III.^ formola n." 29 i numeri corrispondenti, e si avrà prima , M 18^ 54' -, o io r co a.Log. sen. — = =9°a7= 8. 4300700 Log.cos. L. = 46°5o'= 9.835i35o Log. cos. D.=: 1 1° 17'= 9.99i5a4o Log. costante 8.a573358 2.72, Su LA FoRMOLA DI DoUWES . Supponendo poi l'altezza meridiana del Sole 54° n', come altra volta , si avrà Log. costante 8 . 2573358 Comp. arit. Log. cos, «-t-V = 5a°44' ^ .2178676 Log . sen . "^-^ = i ° 42' 4a" o'-v 8 . 4752034 Quindi ^-1:^=1 042' 42"; e #' — V = 3°a5', e #'=3°25'-4- 5 1° 23' = 54° 4^' ' diversa dalla supposta 54" 11'. SI faccia per la seconda volta Log. costante 8.2573358 Comp.arit.Log.cos.^^^=^Ìli^-^±:l^=53°5'3c" ©.2214606 Log. Sen. ^^=i°43'3a" 8.4787964 Onde 0"-V :i''43'32";e#"— V = 3°27'4";e#"=3"27'4". 5i°23' =: 54*^ 5o', altezza vera meridiana del Sole ricercata, eh' è la stessa ritrovata altrove . 32. Applicando le formole del n." 29 all'esempio IIL, lì." 20, essendo A=:63''4oi a = 22°3o'; L. = 7°4o'; D. = 22° 47', 1=23" 16'; si è trovato M=45°ai'; e A = 22°5'- Quindi si troverà V colla 4* formola . M-t-h 45''3l'-+-22°5' Log. sen. = 33° 43' = Lo2:.sen. ==- = 1 1° 38 = Log.cos.L. =: 7°4o' Log. COS. D. = 22" 4?' 9 . 744'^6o6 9 . 3045934 9 .9961064» 9.9647195 Log. costante Supponendo V = 53°2a'5o", e conseguentemente = 43° 5', sarà 9.0097799 A-4-V 63° 40' -H 43° 5' Log. Dbl Sic. Ab. Giuseppe Cassella . 278 Log. costante 9.0097799 A-t- V Comp. arit. Log. cos. = S3°2a'3o" o .22,43349 \ V' Log. sen.'— - — =9° Si' 20" 9.234114^ Quindi izZ = 9° 52' 20" ; e A — V'= i9o44'4o"; e V'=A — 19° 44' 40" = 63° 40'— 19° 44' 40" = 43° 55, diversa dalla sup- posta 43" 5' . Fatta perciò Y = ^^° 55' ; si avrà per la secon- da volta Log. costante 9.0097799 ^ -^ T A^-V 63 0 40' -H 43° 55' t-Qo/ ' e Qc ^ Conip.arit.Log.cos. = — ^ =53°47 v5 0.2286161 Log. sen. ^^=9° 58' io" 9.2383960 ^ Y" E per conseguenza =9°S8'ie"; e A — ¥"=19° 56'; o sia V" = A — 1 9° 56' = 63° 40' — 1 9° 56' = 43° 44' , diversa dalla supposta 43° 55' . Si faccia finalmente Log. costante 9.0097799 ^ • T A-t-V" 63° 40' -+-43° 44' -o^ / , ^rr.^ Comp. ant. Log. COS.— ^ = — !L_Z_ZL=53°42 o .2276686 Log. sen.:^^ = 9°56'5o" 9.2374485 Quindi à-^ = 9°56'5o", o sia A — V" = 19° 53' 40", cioè V" = A — 1 9° 53' 40" = 63° 40' ~ 1 9° 53' 40" = 43° 46' 20" , la quale essendo poco differente dalla supposta, può prendersi per la vera. Perciò si avrà V = 43°46'- 33. L'altezza meridiana in fine si determina per la IIL forniola n." 29 . 2 . Log. sen. — = - — ^ = 22°4o'5g" 9 . 1720566 Log. COS. L. = 7°4^' 9,9961064 Log. cos. D. =22" 4?' 9 ■9^4-7^9^ Log. costante 9 . 1 328825 Tomo XF. 35 a74 ^^ LA FoRMOLA DI DoUWES CC . Supponendo #=74 o , come altrove, sarà =— ^ :.. =: 58° 53'. Quindi Log. costante g.iSaSSaS Comp. arit. Log. cos. "^ = 58° 53' o . 2866928 Log. sen. =15" i4' 9 -419574^ Quindi ^^-=1^=15'' i4', e #' — V = 3o°a8', e #' = So" a8' -f- V= 3o°2o'-h43°46' = 74'' i4':i diversa dalla supposta altezza meridiana 74^0' . Supposta perciò #' = 74° 14% si avrà " "^ = ^4"'^'*^'°^^ = 59"o'.Onde 2, Log. costante g . 182882,5 Comp. arit. Log. cos. = 59°o' 0.2881607 Log. sen. =15" 17' io" 9.4^10482 Perciò ^^ =i5"i7'io", e #" — V = 80° 34'2o" ; e %" = So" 34 20" -+-43" 46' = 74" 20' 20", diversa da 74° 4' . Si faccia #" = 74° 2,0' , e sarà Log. costante . . 9.1828825 n V T g 6 o . 2887920 Log. sen.tl=y=i5«i8'3o" ;-.;.■. :, , ,v/i . 9.4216745 Quindi #'" - V = 3o" 37' o" , e #" = 3o° 87' h- 48" 46' = 74'' a3' , altezza meridiana , poco diversa dalla supposta 74° 20' , che si può prendere per la vei'a . Al n.° 24 si è trovata la stessa altezza meridiana con altro metodo 74" 28' 40". 34. Il fin qui detto è sufficientissimo per la pratica, al quale oggetto specialmente ho formato il presente breve Opu- Del Sic. Ab. Giuseppe Casselia T 275 scolo. In una lunga Memoria, che ho stabilito di pubblicare sullo stesso argomento, esaminerò parte per parte tutto ciò;, che può contribuire alla soluzione del Problema di ti'ovare la latitudine in Mare . Ivi m' ingegnerò di far conoscere , come si possa collo stesso metodo risolvere il Problema a teiera , colle necessarie precauzioni , e colla scelta delle osservazioni più conducenti : dando anche di tutto le opportune dimostra- zioni . Ma siccome in questo breve scritto non si è fatta pa- rola alcuna degli espedienti da prendere , quando in tempo delle Osservazioni delle altezze del Sole il vascello abbia mu- tata Latitudine, e Longitudine : così rimetto a quella Memo- ria la discussione di tutto questo . In somma niente sai'à tra- lasciato , che possa condurre a una completa , ed esatta so- luzione del Problema . 276 CONGIUNZIONE INFERIORE DI VENERE DELL'ANNO MDCCGVII OSSERVATA IN PISA MEMORIA Del Sic. Giuseppe Piazzini • Presentata li S Febbraio 1810 dal Sig. Cav. Brunacci ED APPROVATA DAL SlG. CaV. Ab. CeSARIS . J_Je osservazioni furono fatte al quadrante murale ; il piane- ta venne paragonato colle stelle y , d del Capricorno , e i dell' Aquario : le posizioni di queste desunte dal Catalogo del celebre Piazzi hanno dato i seguenti luoghi apparenti calco- lati per l' epoca della congiunzione : y del Capricorno; Ascensione retta io*.a2°.ai'.38",6 Declinazione australe 17.31. io, a d del Capricorno; Ascensione retta io .^4. 6. 3 1,6 Declinazione australe 16 .$9.14^9 L dell'Aquario; Ascensione retta io .29. o.5i,a Declinazione australe 14 . 4? • ^^g 5 8 Il dì II Ottobre a aS*. 55'.4", 7 tempo medio astronomico : Differenza osservata in ascensione retta fra il centro di Venere e y del Capricorno fra il centro di Venere e d del Capricorno fra il centro di Venere e i dell' Acquario Ascensione retta di Venere dedotta da y del Capricorno da è del Capricorno '. da t dell'Aquario 4- 3 a9 ai, 7 4 5 •14 . la , I 4- IO 8 29, a 6 18 5a 16,9 6 18 .5a .19,5 6 18 .5a . aa ,0 I .18, .40,1 o •46 .48,3 I , ,a5. 1,4 i6 .i3 . 0,2, i6 . 12 .56,7 i6 .i3 . 1,3 Del Sic. Giuseppe Piazzini . ' 277 Differenza osservata in declinazione fra il lembo superiore vero di Venere e y del Capricorno — i". 18'. 4",6 fra il detto lembo e d del Capricorno — o .46 . iS , i fra il detto lembo e i dell' Aquario -+- i . aS . 26 , 3 La stessa , corretta dalla parallasse e dalla refrazìone { tenuto conto dell' altezza del barometro e del termometro ) fra il lem- bo superiore di Venere e y del Capricorno fra il detto lembo e d del Capricorno fra il detto lembo e i dell' Aquario Declinazione australe di Venere , posto il semidiametro 3o" , i , dedotta da y del Capricorno da d del Capricorno da i dell' Aquario Preso un medio fra le tre osservazioni , si ottiene il luogo apparente osservato di Venere : Ascensione retta 6 . i§ . 5a . 19 , 5 Declinazione australe 16 . la . Sg ,4 E quindi, essendo l'obliquità dell'eclitti- ca a3° .27'. 48", 8, si ha Longitudine di Venere 6 . a3 . 33 . 1 7 , i Latitudine australe 7 . 36 . 53 , a Adì i5 Ottobre a a3^ . 3o' . Sg" , a tem- po medio astronomico . Differenza osservata in ascensione retta fra il centro di Venere e y del Capricorno — 4 • 5 . 35 . la , o fra il centro di Venere e d del Capricorno — 4 • 7 • ^o • ^ 5 7 fra il centro di Venere e i dell' Aquario — 4-i^-i4-'95^ Ascensione retta di Venere dedotta da y del Capricorno 6.16.46.26,6 da d del Capricorno 6 . 16 .46 . a8 , 9 da i dell' Aquario 6 . 1 6 . 46 . 3 1 , 4 — 2," 4o'. 28", o 2, . 8 39,9 -+- O . 3 1,9 — a •41 . 8, a 2, 9 17,8 -4- O 2, .32,4 i4 .So .32,4 i4 .So .27,5 i4 .So . 32 , 6 278 Congiunzione infeuiore di Venerk . Differenzi osservata in declinazione fra il lembo superiore di Venere , e y del Capricorno fra il detto lembo e d del Capricorno fra il detto lembo e t dell'Aquario La stessa corretta dalla refrazione e dalla parallasse fra il lembo superiore di Ve- nere e y del Capricorno fra il detto lembo e d del Capricorno fra il detto lembo e i dell'Aquario Declinazione australe di Venere , posto il semidiametro 3g" , 4 ? dedotta da y del Capricorno da § del Capricorno da i dell'Aquario Preso un medio fra le tre osservazioni, si avrà il luogo apparente osservato di Venere : . ■ •; Ascensione retta 0.16.46.29,0 Declinazione australe i4 -50.30, 8 Longitudine 6. ai. 8. 3 1,6 Latitudine australe 7. 7. o,3 Il dì 19 Ottobre a 23^.7'.23"o, tempo medio astronomico . Differenza osservata in ascensione retta fra il centro di Venere e y del Capricorno — 4 • 7 • 33 . 38 , 5 fra il centro di Venere e d del Capricorno — 4 • 9 • 18 . 29 , 5 fra il centro di Venere e i dell' Aquario — 4 • ^4 • '2. . 46 ? 6 Ascensione retta di Venere dedotta da y del Capricorno 6.i4-4^- *^ ' ' da d del Capricorno 6 . i4 • 4^ • ^ ' ' da i dell'Aquario 6. 14 •4^- 4->^ Differenza osservata in declinazione fra il lembo superiore di Venere , e y del Capricorno . t — 4- '4- 9'^ Del Sic. Giuseppe Piazzimi. 279 fra il detto lembo e d del Capricorno — 3°.4a'. 2.1", g fra il detto lembo e i dell' Aquario — i . 3o . 40 , i La stessa , corretta dalia refrazione e dalla parallasse, fra il lembo superiore di Ve- nere e y del Capricorno — ^ . 1/^ -^^ ,<) fra il detto lembo e d del Capricorno — 3 .43 . 4 5 ® fra il detto lembo e i dell'Aquario — i .3i .i3,7 Declinazione australe di Venere , posto il semidiametro So", a, dedotta da y del Capricorno 1 3 . 1 6 . 46 , 5 da d del Capricorno 1 3. 16. 4 1,1 da i dell' Aquario 1 3 . 1 6 . 46 , 3 Preso un medio fra le tre osservazioni , si avrà il luogo apparente osservato di Venere : Ascensione retta 6. 14. 4^* ^5^ Declinazione australe 1 3. 16. 44?^ Longitudine 6.18.45.2x^2, Latitudine australe 6 . 24 . 49 5 4 Applicando alle longitudini apparenti le correzioni — 15", 3, e — 3", 4 per la mutazione lunisolare e l'aberrazione, ed al- le latitudini apparenti la correzione — o" , 8 per l'aberrazio- ne , si otterranno i seguenti luogbi veri di Venere dedotti dall' osservazione per i tre istanti sopraindicati : Longitudine dall' equinozio medio Latitudine australe 6^. 23^. 32'. 58", 4 7°. 36'. Sa", 4 6.21.8.12,9 7.6.59,5 6 . 18 .45 . 2,5 6 .24.48,6 Dalle tavole di Venere dell' illustre Z/aZa«^/e inserite nel- la terza edizione della sua Astronomia si hanno i luoghi geo- centrici veri del pianeta, per gli istanti medesimi, come segue : Longitudine dall'equinozio medio Latitudine australe 6' . 23° . 32' . 26" ,2 7° . 36' . 54" , 9 6. 21. 7. 36, 5 7.7.5,2 6 . 18 .44 -28 ,2 6 .24 .5o , a aSo Congiunzione inferiore di Venere . Nel dedurre tali luoghi geocentrici dagli eliocentrici è stato fatto uso delle tavole solari del celebre Sig. De Lambre pubblicate dal Bureau delle longitudini di Francia , e si è adoprato per l'elongazione la forinola tang. E = — — , ove COS. e T E rappresenta l'elongazione, C la commutazione, R il raggio vettore della terra , ed r il raggio vettore del pianeta ridot- to all'eclittica . Le longitudini dedotte dalle tavole differiscono dalle cor- rispondenti osservate delle quantità . — 3a",2 . . . — 36", 4 • • - — 34' 5 3 ; e perciò la correzione media determinata dalle osser- vazioni da applicarsi alle longitudini calcolate è -t- 34' •> 3 . Parimente le latitudini date dalle tavole differiscono dalle os- servate respettivamente delle quantità -+- £2," , 5 . . . -h 5" , 7 . . . -t- l",6; onde la correzione media applicabile alle prime è :-3",3. Attesa l'irregolarità dei moti geocentrici di Venere, mi sono servito delle seconde differenze, sì per deteiminare l'i- stante della congiunzione vera , che per calcolare la latitudi- ne geocentrica del pianeta nel momento medesimo . E noto che esprimendo a la differenza costante fra gli indici X dei termini y^ d'una serie, ed essendo ^ un nume- ro minore di a. L'equazione generale per l'interpolazione è — C--I ) 6 \ «Va '*„ y «■=Y •+- — Ay -+- A y -f- ec. Siccome la congiunzione accadde nelle 2,4 ore preceden- ti l'osservazione del i5 Ottobre tempo astronomico, ho de- dotto dalle tavole i luoghi veri geocentrici di Venere per i due istanti anteriori, l'uno di la ore, l'altro di 24, a quel- lo dell' osservazione predetta ; le corrispondenti elongazioni aumentate della correzione media 34" , 3 ( per ridurle a ciò che sarebbero state, se le avesse offerte l'osservazione) e le loro differenze sono come appresso : 14 i4 0ttob.a3\3o'.59",a i5 Ottob. II .3o .59 , a i5 Ottob. a3 .3o .59 , a — 48'.ia", I — 48. 8 ,1 ■4",o Del Sic. Giuseppe Piazzimi . a8i 35'. 6", 7 — i3. 5 ,4 61 . i3 ,5 Nell'esposta equazione facendo pertanto il primo membro uguale a zero, (poiché nel momento della congiunzione l'e- longazione è nulla) ponendo a= 12,'', yj:^:=35' .G" .j , Ayx^= — 48'. ia",i, A''/;c = 4'50, e non curando le differenze supe- riori alla seconda , si trova il valore di /? soddisfacente al ca- so nostro = 8* .44' • ^2," ^4' quindi si deduce che la congiun- zione vera avvenne il 1 5 Ottobre a 8'' . i5' .ai" ,6 tempo me- glio astronomico . La longitudine del Sole calcolata colle mentovate tavole «ra per il momento stesso di 6' . ai° . 3i' . 3a", 5; onde se ne ricava la longitudine eliocentrica vera di Venere in con- giunzione o' . ai" . 3i' . 3a" , 5 ; e siccome le tavole la danno allora o* . ai° . 3i'.44''^'' l'errore di queste in longitudine eliocentrica per la detta epoca è -1- la", 3 . Le latitudini geocentriche di Venere calcolate per i tem- pi sopraindicati, e le loro differenze sono le seguenti: 14 Ottob. a3\.3o'.59",a i5 Ottob. II .3o .59 ,a i5 Ottob. a3 .3o .S9 ,a -4'. 7" — 4.a8 7M5'.4i",6 7 .11 .34 ,0 7 . 7. 5, a E perciò nella solita equazione facendo a=:ia\/?=8*. 44' -aa", 4, y. = 7''. i5'.4i",6, A>-, z=-4'.7",6, A^/, = — ai",a e trascurando le differenze più alte, si trova jarn-if = 7°. ia'.43",4; tale è dunque la latitudine geocentrica data dalle tavole per l'istante della congiunzione; ed applicandovi la correzione media — 3", 3 si ha la latitudine geocentrica 7°. la' . 40", i quale sarebbe stata offerta dall" osservazione . Da questa si deduce la corrispondente latitudine eliocentrica a^.^S. ag", o la quale paragonata coli' altra a^ . 43' . 3o" , 7 data dalle tavo- le, mostra che l'errore di queste in latitudine eliocentrica per l'epoca della congiunzione è -1- i",7. Tomo XF. 36 £>82, OPPOSIZIONE DI GIOVE DELL'ANNO MDCCGVII OSSERVATA A PISA MEMORIA Del Sic. Giuseppe Piazzini . Presentata li 5 Febbraio i8io dal Sic. Cav. Brunacci SD APPROVATA DAL SiG. CaV. Ab. CeSARIS . JTer mezzo del quadrante murale fu il pianeta confrontato colle Stelle /> , u ed ^ del Capricorno : le posizioni di queste prese dal Catalogo del celebre Piazzi , ridotte all' epoca dell' opposizione e convertite in apparenti , sono come appresso : p del Capricorno : Ascensione retta i o* Declinazione australe V del Capricorno : Ascensione retta io Declinazione australe 12 del Capricorno: Ascensione retta io Declinazione australe Il dì a7 Luglio a i a* . 2,2,' .2,3" ,4 tem- po medio astronomico : DifFei-enza osservata in ascensione retta fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella y fra Giove e la Stella r^ Ascensione retta di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella t^ Differenza osservata in declinazione ^', fra Giove e la Stella p 40 .28'. 38", 3 18 .26. 8,7 7 .16, ■43,7 18 .48. , 7,5 i3 . 22 . 7,8 2,0 .36, , 6,5 -4- 5°. 5o'. ,26", 4 ■+■ 3 . 2 . 14,4 — 3 . 3 . 6,9 IO'. . IO", .19' • 4", 7 IO . IO . 18, .58, 1 IO . IO .19 . e, 5 ■+- 0 •41 . 0,0 Del Sic. Giuseppe Piazzini I a83 fra Giove e la Stella v ■+■ o . i<) . ^, o fra Giove e la Stella 97 — i . a8 . 47 5 0 La stessa , corretta dalla refrazione e dalla parallasse, fra Giove e la Stella p -+- o .41 • i 5 4 fra Giove e la Stella v •+- 0.19.3,7 fra Giove e la Stella ip — i .28.56,3 Declinazione australe di Giove dedotta dalla Stella p 19.7.10,1 dalla Stella v 19.7.11,2, dalla Stella t^ 19.7.10,2 Preso un medio fra le tre osservazioni si avrà Ascensione retta di Giove io. io. 19. 1,1 Declinazione australe 19 . 7.10,5 Donde , coli' obliquità dell' eclittica 23° . 27' . 49" 5 2 si ottiene il luogo apparente del pianeta . Longitudine io. 7.41-2,2,0 Latitudine australe o .46.4756 Il dì 29 Luglio a 12''. i3'.28",6 t. m. astronomico . Differenza osservata in ascensione retta fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella ij Ascensione retta di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella t^ Differenza osservata in declinazione fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella >/ La stessa , corretta dalla refrazione e dalla parallasse, fra Giove e la Stella p ■+- o .45 . 17 5 8 -t- 5 .34 38,9 -H 2 •46 26,9 — 3 .18 54,6 IO IO . 3 17,2 IO . IO . 3 IO , 6 IO . IO 3. i3 , 2 ■+■ 0 •45 . 16, 0 -+- 0 .23 .18,0 — I .24 29,0 a84 Opposizione di Giove . fra Giove e la Stella v -h fra Giove e la Stella »; — Declinazione australe di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella ■^ Preso un medio fra le tre osservazioni si avrà Ascensione retta di Giove io Declinazione australe Longitudine io Latitudine australe Il dì 3o Luglio a 12.^ . 9' . i" , I t. m. astronomico . Differenza osservata in ascensione retta fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella jp Ascensione retta di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella 1^ Differenza osservata in declinazione fra Giove e la Stella p fra Giove e la stella v fra Giove e la Stella ì^ La stessa, corretta dalla refrazione e dalla parallasse, fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella t^ Declinazione australe di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella ì^ Il medio fra le tre osservazioni dà 0 23. 18, I I . 24. 37, 9 '9 . 1 1 .26, 5 19 . 1 1 25, 6 19 . 1 1 28, 6 IO . 3 .i3, 7 9 . 1 1 .26. 9 7 .25 .5i I 0 •47 . 5. 4 -f- 5 . 2 3 26 . 45 :, a .38.33,0 .26.48,3 10 . IO . JO . 9 9 9 .55 .23, 5 .55.16,7 . 55 . 19^ 5 0 0 .47.23,0 . 25 . 27 , 0 — I . 22 . 21 , 0 0 0 .47.24,9 .25 .27 , 2 — I ,22 .29, 8 19 19 19 .i3.33,6 , 13.34, 7 .i3.36,7 a85 9 . 55 . 19 , 9 '9 . i3 .35 5 0 7 .18. 5,7 o •47-45 7 Del Sic. Giuseppe Pj azzini . Ascensione retta di Giove io Declinazione australe Longitudine io Latitudine australe II di Si Luglio a i;i'' .4' . 33",8 t. m. astronomico Differenza osservata in ascensione.retta fra Giove e la stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella ^ Ascensione retta di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella t^ Differenza osservata in declinazione fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella ?p La stessa , corretta dalla refrazione e dalla parallasse, fra Giove e la Stella p fra Giove e la Stella v fra Giove e la Stella »/ Declinazione australe di Giove dedotta dalla Stella p dalla Stella v dalla Stella 7? Prendendo il medio fra le tre osservazioni si ha Ascensione retta di Giove Declinazione australe Longitudine Latitudine australe Alle longitudini apparenti osservate applicando l'aberra- zione — io", 9 e la nutazione — 17", 5, ed applicando pure r aberrazione -+- o" , a alle latitudini ajiparenti osservate ., si -f- 5 .18. 5r, 3 •+■ a . 3o . 39 , 3 — 3 .34.4a,r 10 . ■ 9 . 47 . 29 , 6 IO . 9 .47 .23,0 IO , • 9 .47.25,7 -H 0 . 49 • 3o , 0 -t- 0 . 27 . 3a, 0 — I . ao . i5 , 0 -<- 0 . 49 • 3a 5 0 •+■ 0 . 27 . 3a 5 3 — I . ao . a3 , 7 19 .15.40, 7 19 . 15.39,8 19 . i5.4a,8 IO . • 9 .47.26, I 19 .15.41,1 10 , ■ 7 . IO .ai , 0 0 .47 .22, 5 0 .46 47.8 0 •47 5,6 o •47 . i4,9 o •47 aa , 7 a86 Opposizione di Giove . hanno per i momenti indicati le seguenti posizioni geocentri- che vere di Giove ricavate dall'osservazione . Longitudine dall'equinozio medio . Latitudine australe . IO . 7 . 4o . 53 , 6 IO . 7 . aS . aa , 7 IO . 7 . 17 . 3? , 3 IO . 7 . 9 . 5a ^ 6 Dalle tavole di Giove del celebre Sig. De Lami re annes- se alla terza edizione dell'Astronomia di Lalande^ ho dedot- to per l'epoche stesse le seguenti posizioni geocentriche ve- re del pianeta : Longitudine.dall' equinozio medio Latitudine australe io . 7 . 40 , So ^ a o . 46 . 54 5 I IO. 7. a5. 18, 9 o. 47 -10,9 10.7.17.31,6 o . 47 • 1 9 j> o I o . 7 . 9 . 44 5 6 o , 47 • a6 , 8 Onde le longitudini calcolate differiscono dalle corrisponden- ti osservate di — 3" , 4 ... — 3" , 8 ... — 5" , 7 ... — 8", o; e le latitudini calcolate differiscono dalle corrispondenti os- servate di -(- 6" , 3 . . . -+- 5" , 3 . . . -H 4" , I . . . H- 4' , I . L'er- ror medio delle dette tavole è in longitudine geocentrica — 5" , a ed è -4- 4" 5 9 in latitudine geocentrica . L'opposizione accadde fra gli istanti delle osservazioni del 3o e 3 1 Luglio lontani fra loro di a3'' . 55' . 3a" , 7 : in tale intervallo il moto del Sole dedotto dalle ultime tavole del celebre Sig. De Lambre è -4- 57' . i5", 7 , ed il moto di Gio- ve calcolato, come sopra si è esposto, è — 'j' .^'j'^c, e per- ciò il moto relativo di Giove raj)porto al Sole è i''.5'.a",7. L' elongazione del pianeta calcolata per il momento dell' osservazione del 3o , e corretta dall' error medio delle tavole in longitudine è 3o'.So",45 •' tempo che Giove impiega a percorrere quest'arco col moto relativo è di 1 1'* . ao' . 38" ,4' quindi l'opposizione vera accadde il 3o Luglio a a3'* . a9' . 39", 5 tempo medio astronomico . In tale istante la longitudine del Sole era 4'-7° • x3' .55", a, Del Sic. Giuseppe Piazzini . 207 e perciò la longitudine eliocentrica di Giove era ro'.7''.i3'.55",a; e sicrome ]>• predette tavole danno allora tal longitudine di IO* . 7° . i 3' . 5i" , a , il loro errore in longitudine eliocentri- ca pel momento dell'opposizione è — ^" , o . La latitudine geocentrica di Giove calcolata per l' epoca stessa, e corretta dall' error medio delle tavole è o°.47'- 17" v^ ; da questa se ne deduce la corrispondente eliocentrica o°37'5i "5; le tavole mentovate la danno di 0° . 37' . 55" , 4; onde il lo- ro errore in latitudine eliocentrica è -t-3",9 per il momen- to dell'opposizione. Nel i8oi il celebre Sig. 3Iaskellne s'accorse, che l'ascen- sione retta di a dell' Aquila , fondamento dei più recenti ca- taloghi di fisse, doveva essere aumentata di circa 4" 5 e seco dovevano esserlo le ascensioni rette delle Stelle tutte . Era dell'estrema importanza il verificare se la posizione fino al- lora ricevuta del punto equinoziale fosse o nò esatta, dipen- dendo dalla medesima le epoche della longitudine media dei pianeti , ed i loro moti medj . Il rinomato Professor Piazzi si accinse a quest'impresa; e prima nell' effemeridi di Vienna pel 1806, poscia nel Libro VI del R. Ossei'vatorio di Paler- mo ha pubblicato il resultato delle sue osservazioni, compro- vanti la necessità di ammettere una correzione alle ascensio- ni rette delle fisse; in quest'ultima opera ne ha determina- to la quantità, ed ha inoltre esposto le rettificazioni da farsi al suo gran catalogo in conseguenza della più rigorosa de- terminazione del punto equinoziale^ e della latitudine di Pa- lermo . Per paragonare le soprariferite osservazioni di Giove col- le recentissime tavole di questo pianeta dell' illustre Sig. Bou- vard pubblicate nel 1808 dal Bureau delle longitudini di Fran- cia , ho applicato alle Stelle di confronto le indicate corre- zioni , ed ho ottenuto i seguenti luoghi apparenti osservati di Giove : Il di -27 Luglio a la'' . 22' . .t,3" ,4 t. m. astronomico : aS8 Opposizione di Giove . Ascensione retta io\ lo'^. 19'. 6", i Declinazione australe 19. 7.12,0 Longitudine io . 7 .41 •^5 i Latitudine australe o . 46 . 5o , 3 Il dì 29 Luglio a la'' . i3' .a8",6 t. m. astronomico : Ascensione retta io . 10 . 3 . 18, 7 Declinazione australe 19 .11 . 28 , 4 Longitudine io. 7.25.55,3 Latitudine australe o .47 • 75 5 Il dì 3o Luglio a 12''. 9'. i", 1 t. m. astronomico ; Ascensione retta io . 9 . 55 .24, 9 Declinazione australe 19 .i3.36,5 Longitudine io . 7.18.9,9 Latitudine australe c.47.1754 Il dì 3i Luglio a 12'' .4' . 33" ,8 t. m, astronomico : Ascensione retta io . 9 .47 -31 , i Declinazione australe 19 . i5 .4^, 6 Longitudine io . 7 . io . a5 , i Latitudine australe o . 47 • 2,5 , a Detraendone l' effetto dell'aberrazione e della nutazione, si hanno i luoghi geocentrici veri osservati come segue : Longitudine dall'equinozio medio Latitudine australe io-'.7°.4o'.57",7 o°.46'.5o",5 I o . 7 . 25 . 26 , 9 o . 47 • 7 5 7 IO. 7. 17. 41 55 0.47 •17-) 6 IO . 7 . 9 . 56 , 7 o . 47 . 25 , 4 Le posizioni geocentriche vere del pianeta date dalle ta- vole del prelodato Sìg. Boueard sono come appresso : Longitudine dall'equinozio medio Latitudine australe I IO •7 •41 . 4,1 IO •7 .25 . 33 , 8 IO • 7 • 17 .47,6 IO •7 . IO .1,1 0 •46 .58,7 0 •47 i5,3 0 •47 23,4 0 •47 . 3i , a Del Sic. Giuseppe Piazzini . 289 Le longitudini calcolate differiscono dalle corrispondenti osservate di -1- 6" , 4 •••"♦" 6" 1 9 •••-<- 6" , i . . . -¥- 4' ■> 4- ^^ latitudini calcolate differiscono dalle osservate di -+-8", a... -f- 7" , 6 . . . -t- 5" , 8 . . . -H 5" , 8 . Pertanto l' error medio del- le tavole è -h 6', o in longitudine geocentrica, e •+- 6", 8 in latitudine geocentrica . Al momento dell'osservazione del 3o , l'elongazione di Giove ricavata dalle tavole e corrette dall'errore medio di queste, è 3o'.55",2,: il pianeta col moto relativo impiegava 1 1* . aa' . 29" , 6 a percorrere quest' arco ; perciò l' opposizione vera accadde il 3o Luglio a a3* . 3i' . 3o" , 7 t. m. astr. La longitudine del Sole era allora 4^ • 7° • ^^' • ^9" 5 ^' onde la longitudine eliocentrica di Giove era io*. 7°. i3. S9"8 : le prefate tavole la danno di io'. 7°* i4'-4'i^'-> quindi il loro errore in longitudine eliocentrica è -4- 4" 5 8 pel momen- to dell' opposizione . La latitudine geocentrica di Giove calcolata per l'epoca stessa, e corretta dall'errore medio delle tavole è c°.47'-2o", 3; la corrispondente eliocentrica è c° . 37' . 53" , 6 ; le tavole la danno di 0° . 37' . 69" , 0 ; perciò il loro errore in latitudine eliocentrica pel momento dell' opposizione è -+- 5" , 4 • Tomo XV. 37 ago OSSERVAZIONI DEL L' ECLISSE DI SOLE DEL XVI GIUGNO MDCCCVI Calcolate dal Sic. Giuseppe Piazzini Presentate li S Febbrjjo i8io dal Sic. Cav. Brunacci ED APPROVATE DAL SiG. CaV . Ab. CeSARIS . I 1 celebre Sig. De Cesaris con un cannocchiale acromatico di 8 piedi osservò il principio dell' eclisse a 5'* . a5' . 49" •> ^ » ed il fine a 6'' .^2,' .^c", 1 tempo vero astronomico a Milano. Il chiarissimo Sig. Chiminello con un acromatico di pie- di 3 ^ osservò il principio a 5'' . 38' . 26" , 8, ed il fine a 6'' . 5i' . 3o" , 9 tempo vero a Padova . Con un telescopio di Short di 5 piedi osservai il principio a S^.Sa'. i3", 9 , ed il fine a 6* . 5o' . la", 7 tempo vero a Pisa. Nel calcolare queste osservazioni mediante il metodo del nonagesimo ho adoprato le tavole del Sole dell'illustre Sig. De Lambre , e quelle della Luna del rinomato Sig. Burg pub- blicate nel 1806 dal Bureau delle longitudini di Francia . Per trovare le differenze delle parallassi in longitudine ed in la- titudine, e l'aumento del semidiametro della Luna a cagioii dell'altezza, mi sono servito delle formole seguenti: _, sen.P' COS. ^ sen. ( L — N) tane. 11 = —. ■ — rr- , o sen. A — sen.P' COS. ^ cos.(L — N) ' ( COS. A — sen. P' seti, l) cos. IT cotanor. A' = "" sen. A — sen. P' COS. / COS. (L — N)' aumento del semidiametro =2 ci sen. P cos. l cos. (L — N)sen. A , ove P esprime la parallasse oi'izzontale della Luna nello sfe- roide , P' la stessa parallasse diminuita della parallasse oriz- Del Sic. Giuseppe Piazzini . 29 i zontale del Sole, L la longitudine vera della Luna, N quel- la del nonagesimo, l la distanza del nonagesimo dal zenit, A la distanza vera della Luna dal polo boreale dell'eclittica, d il diametro orizzontale della Luna , FI la differenza delle parallassi di longitudine, e A' la distanza della Luna dal po- lo boreale dell'eclittica affetta dalla differenza delle parallassi di latitudine . Il semidiametro del Sole è stato diminuito di 3" , 5 per l'effetto dell'irradiazione: quello della Luna, es- sendo determinato per mezzo d'occultazioni, non abbisogna di veruna correzione : il rapporto degli assi terrestri è stato supposto di 299 ; 3oo . CALCOLO DELL'OSSERVAZIONE DI MILANO. Parallasse equatoriale della Luna Parallasse orizzontale nello sferoide Differenza della medesima e della pa- rallasse solare Differenza delle parallassi di longitu- dine Differenza delle parallassi di latitudine 35 . Somma corretta dei semidiametri del Sole e della Luna Moto vero della Luna sull' eclittica nel tempo dell'e- clisse 47'. i",8 Moto apparente 47 -^ 7 5 9 Moto del Sole 3 . 3 , a Moto apparente relativo del- la Luna in longitudine 44-^457 Moto apparente in latitudine 9 . 56 , 5 Distanza apparente della Lu- na dalla congiunzione 27. 11, 3 17. 3,4 Distanza vera 16.10,9 60. 9,5 Principio . 60'. 16", 6 60 . IO ,5 Fine. 60'. 17", 8 60 . II ,7 60 . 1,8 60. 3,0 43 . aa , a 35 . 5,9 43. 6,1 40.41 ,3 3a . 16 ,a 3a . 12 58 ags Osservazioni dell' Eclisse di Sole . La stessa ridotta in tempo per mezzo del moto rela- tivo vero o''.a8'. i6",7 i*.45'. 6",7 Istante della congiunzione vera, tempo vero 4\57'.33",4 4*.57'.33",4 Longitudine del Sole 2^ a4".45'.46",8 a'a4''48' 5o",o Longitudine apparente della Luna dedotta dall' osserva- zione 2, .a4 . i8 .35 ,5 2 aS 5 53,4 Longitudine vera della Luna dedotta dall'osservazione a .aS . i . 57 , 7 a aS 48 Sg ,5 Longitudine vera della Luna data dalle tavole a .a5 . a.i3,4 a a5 49 i5,a Errore delle tavole in longi- tudine _H i5 ,7 -+-15,7 Latitudine australe apparen- te della Luna dedotta dall' osservazione I7.aa,9 a7.i9,6 Latitudine boreale vera della Luna dedotta dall'osserva- zione 17.43,0 13.31,7 Latitudine boreale vera della Luna data dalle tavole 17.4^,3 i3.ai,a Errore delle tavole in lati- tudine — 0,7 — 0,5 CALCOLO DELL'OSSERVAZIONE DI PADOVA. Principio . Fine . Parallasse equatoriale della Luna 60.16,6 60.17,8 Parallasse orizzontale nello sferoide 60. 10, 5 60.11,7 Differenza della medesima e della pa- rallasse solare 60 . i . 8 60 . 3 ,0 Differenza delle parallassi di longitu- dine 43 • 42' 5 8 1^2. .5i ,0 Del Sic. Giuseppe Pi azzini . agS Differenza delle parallassi di latitudine 35.56,g 4i'i6,9 Somma corretta dei semidia- metri del Sole e della Luna 3a.i5,6 32>.i2,5 Moto vero della Luna sull' eclittica nel tempo dell' e- clisse 44'. 43", 3 Moto apparente 4^ • ^^ ; ' Moto del Sole a . 54 , 3 Moto apparente relativo del- la Luna in longitudine 4^ •4^5^ Moto apparente in latitudine 9 .a8 ,2 Distanza apparente della Lu- na dalla congiunzione a6.3o,5 16. io, 3 Distanza vera 17.1253 Sg . i,3 La stessa ridotta in tempo per mezzo del moto rela- tivo vero o''.3o'. 3", 7 1^43'. 7", 9 Istante della congiunzione vera Longitudine del Sole a* Longitudine apparente della Luna dedotta dall'osserva- zione a Longitudine vera della Luna dedotta dall'osservazione a Longitudine vera della Luna data dalle tavole a Errore delle tavole in lon- gitudine Latitudme australe apparen- te della Luna dedotta dall' osservazione Latitudine boreale vera della Luna dedotta dall'osserva- zione 17.33,9 i3.a5j6 5*. 8'.a3",o 5\ 8'.a3",o a4°.45'.5i",o a'a4°48'45",3 a4 • 19 .ac ,5 a a5 4 ^^ !i 6 a5 . 3 . 3,3 a aS 47 46 5 6 2.5 . 3 . 19,0 a a5 48 a , 3 H-i5,7 ■+■ i5,7 18 .a3 ,0 a7 .5i ,3 ag4 Osservazioni dell' Eclisse di Sole . Latitudine boreale vera del- la Luna dedotta dalle tavole 17.36^2 1 3. 2,8,0 Errore delle tavole in lati- tudine -+- 2, , 3 -t- 2 , 4 CALCOLO DELL'OSSERVAZIONE DI PISA. Principio . Fine . Parallasse equatoriale della Luna 60'. 16", 6 60'. 17". 9 Parallasse orizzontale nello sferoide 60 . io ,9 6c . la ,2, Differenza della medesima e della pa- rallasse solare 60 . a , a 60 . 3 ,5 Differenza delle parallassi di longitu- dine 44 • 4'5 ' 7 44 • 3,8 Differenza delle parallassi di latitu- dine 34. 14 52. 40 • 5,4 Somma corretta dei semidiametri del Sole, e della Luna 3a,i5,7 32.ia,3 Moto vero della Luna suU' eclittica nel tempo dell' eclisse 4? • 43 ' 7 Moto apparente 4^ • ^5 , 6 Moto del Sole 3 . 6,0 Moto apparente relativo del- la Luna in longitudine 45-1956 Moto apparente in latitu- dine 10.16,1 Distanza apparente della Lu- na dalla congiunzione 27. 38, a 17.41 ? 4 Distanza vera 17 . 7 ,5 61 .4-5 , a La stessa ridotta in tempo per mezzo del moto rela- tivo vero o*. a9'. 55", 4 i''. 47'. 54", -j, Istante della congiunzione vera 5*. a'. 18", 5 5^ a'. 18", 5 Del Sic. Giuseppe Piazzini . agS Longitudine del Sole a^a4''.45'. 5o", 7 a' 24° 48' 56",7 Longitudine apparente della Luna dedotta dall' osser- vazione a .a4 . 18 . ra ,5 a aS 6 38 , i Longitudine vera della Lu- na dedotta dall' osserva- zione a . aS . a . 58 , a a a5 5o 41 5 9 Longitudine vera della Luna data dalle tavole a . a5 . 3 . i3 ,7 a a5 5o 67 ,4 Errore delle tavole in lon- gitudine H- i5 ,5 -f- i5 ,5 Latitudine australe appa- rente della Luna dedotta dall' osservazione 16 . 38 , 6 a6 . 54 , 7 Latitudine boreale vera del- la Luna dedotta dall' os- servazione 17.35,6 i3.io,7 Latitudine boreale vera del- la Luna data dalle tavole 17. 36, 7 i3.ii,8 i7' ,35 ,6 17- 36 >7 -f- I . »r Errore delle tavole in lati- tudine Paragonando gli istanti della congiunzione , si trova la differenza de'meridiani io'.49'56 fra Milano e Padova, 4' •4^"» ^ fra Milano e Pisa . Nel volume della Connoìssance des Tems per l'anno 1808, e nel Tomo VII delle Memorie della Classe di matematica , e fìsica dell' Instituto di Francia, l'illustre Lalande pubbli- cò varie osservazioni di questa eclisse da lui calcolata : egli ti'ovava che le medesime andavano poco d' accordo fra loro , e perciò ne resultavano troppo grandi gli errori delle tavole . Le osservazioni sopra esposte , essendo molto concordi , po- tranno per avventura esser reputate soddisfacienti ; e confron- tate colle altre riferite dal prelodato Astronomo, indicheran- no quali di esse siano esatte , e quali difettose . 296 OSSERVAZIONI DELL'OCCULTAZIONE DI x DEL TORO SOTTO LA LUNA ACCADUTA IL a OTTOBRE MDCCCVI Calcolate dal Sic. Giuseppe Piazzini Presentate li 5 Feubrajo 18 io dal Sic. Cav. Brunacci ED APPROVATE DAL SiG. CaV. Ab. CeSARIS . A Milano il celebre Signor Oriani osservò l' immersione a IO* . 36' . 53" 5 3, e l'emersione a 1 1^ . i5' . 37" , o tempo medio . A Pisa osservai l'immersione a ic^ . 36' . aa" , 4 5 6 l'e- mersione a 1 1'' . ai' . a4'' , 7 tempo medio . Ho calcolato queste osservazioni coli' elegante e comodo metodo dall'abilissimo S\g. Carlini pubblicato nell'Appendice all'Efemeridi milanesi pel 1809. In esso chiamando l la lon- gitudine della Stella, X la latitudine,/? la parallasse orizzon- tale della Luna nello sferoide, h l'altezza del nonagesimo, d la longitudine della Stella meno quella del nonagesimo pel momento dell'immersione. Il la parallasse in longitudine, e ;r quella in latitudine del punto della Luna ove la Stella s'oc- culta , e chiamando pure p , h' ,d' ,U' , 7Ì le medesime quan- tità pel momento dell'emersione, si comincia dal cercare i valori delle parallassi in longitudine e in latitudine colle for- ra ole : j-j /?sen. h sen. à COS. (A — ;r ) if^ — p cos . h cos . X -+-/> sen . A sen . >?. cos . ( A' . La latitudine sia della Stella , sia della Lu- na , si consideia positiva se è boreale , negativa se australe . La longitudine vera osservata della Luna per l'immersione resulta = Z — Il — L££i_ — fL e la latitudine vera osservata COS. (À — 71) = À — 7t ■+- r sen. {fi — a), donde si deduce l'eiTor delle ta- vole . Per confrontare osservazioni fatte in due luoghi diversi, espi'imendo A la differenza de' tempi delle due immersioni, B la differenza delle due longitudini corrispondenti osserva- te della Luna , q il moto orario in longitudine , ed x la dil^ fetenza de' meridiani in tempo , si ha x ^= A . Quando però occoire di paragonare molte osservazioni fatte in paesi differenti , torna più conto dedurre l' istante della congiun- zione vera , dalla longitudine osservata della Luna . La posizione della Stella presa dal Catalogo dell'illustre Professore Piazzi , corretta secondo ciò che egli avvisa nel Tomo Xr. 38 2q3 Dell'occultazione di t del Toao ec. Libro VI del R. Osservatorio di Palermo, e ridotta in appa- rente per l'epoca dell'occultazione dà Z = 69° . ay' . 48" , 3 , e /l = -H 0° . 41' . 2,7", a . CALCOLO DELL'OSSERVAZIONE DI MILANO. Immersione . Emersione . Altezza del nonagesimo A = 45°. 35'. 58", a /i' = 49^ 16'. 3o",i Longitudine del nona- gesimo 1 3. 58.1 1,1 ai .47 -^.t ,3 Longitudine della Stel- la meno quella del nonagesimo c?= 55 . 29 . 87 , a ^' = 47 -40 • 2.7 ,0 Parallasse orizzontale nello sferoide p-=. 57.16,5 /?'= 57.17,4 Prima parte della paral- lasse di latitudine — 4° • 4 ' ^ — 37 . aa , 5 Parallasse di longitudine n^ 33.43,9 11'= 3a . 6,4 Seconda parte della pa- rallasse di latitudine -H 0.16,9 "•" o.ai,3 Parallasse di latitudine n ■=■ — 39 .47 5 4 ^'= — ^7 . i ,a Le tavole danno to = -h ai' . a3" , 6 , re = — i' . 5o" , 6 _, r=i5'.39",6, A=i°.8'.4o", e quindi si ha A'= i°.9'. io"; onde si trova a =-Ha° . 41' • 4" e /? = — 5o° . 49' • 16" e per- • . /i ro/i o f M r COS. ( S — a) , „ CIO & — OC = — 53° . 3o . ao , j-. = — o . 19 ' o , ' COS. (/i — ;r) -' ■' ^ ' r sen. ( /3 — a ) = — la' . 35" , 4 • La longitudine vera osservata della Luna nell' istante dell' immersione era dunque = 69° . 27' . 48 ' ,3 — 33' . 43" , 9 — 9' . 19" , e = 68° . 44' • 4'^' ' 4 5 ^ '^ corrispondente latitudi- ne osservata era -4- 0° .41' • 27", a -»- 89' .47" 5 4 — ^^ .35", 4 = i« .8' . 39", a boreale. Le tavole lunari del eh. Burg pubblicate dal Bureau del- le longitudini di Francia danno per tale istante la longitudi- ne 68'' . 44 . 44' , q e la latitudine boreale 1° .8' . 37" . 6 , pren- t)EL Sic. Giuseppe Piazzini '. ^99 dendo 27' . a5" per differenza in tempo de' meridiani di Pari- gi e di Milano; l'errore di esse in longitudine è pertanto — o", 5 , ed in latitudine — i", 6 . CALCOLO DELL'OSSERVAZIONE DI PISA. Immersione . Emersione . Altezza del nonagesimo A = 47°. o'.5a",3 /i' = 5i°. 18'. 16", 8 Longitudine del nona- gesimo ia.3a.57,9 21,45.57,6 Longitudine della Stel- la meno quella del nonagesimo c? = 56 .54 -So ,4 d' = 47 -4^ -^ci ■>7 Parallasse orizzontale nello sferoide jj= 57.16,7 p' = 57.17,7 Prima parte della paral- lasse di latitudine — 39 . 3 , i — 35 .49^0 Parallasse di longitudine 11= 35. 7,0 11'= 33. 4^9 Seconda parte della pa- rallasse di latitudine -j- e. 16, 7 -4- o.ai.9 Parallasse di latitudine jt = — 38 .46 ,4 Jt' = — 35 .27, i Dalie tavole si ha m = -t- a4' • 5a" , 7 , n = — 2," . 8" , 6 , r = i5'.39",6, A=i°.8'.5o", e cosi trovasi A'= 1° .9' . 3o". Perciò si ottiene a = -H a° . 87' . i3" , ^ = — 43" . 5' . 54" , 0 — a = — 46° .3.7, — f-, = — IO . Sa, .3,6 ^ ' COS. { A, — n ) 7-sen. (/? — «) = — Il' . 16", 5 . Quindi la longitudine vera osservata della Luna per l'i- stante dell' immersione resulta := 69° . 27' . 48 " , 3 — 35' . 7" , o — io' . 5a" , 3 = 68° ■ 4^' • 49" ■> ^ ì ^ '^ latitudine osservata = -4- o" . 4 1' . a7" , a -H 38' . 46" , 4 — 1 1 ' . 1 6" , 5 = i ° . 8' . 57" , i boreale . Pel confronto delle due osservazioni abbiamo A = 3o"9, B = a' . 56", 4? 9 = 33' . 8", 7 , e la differenza in tempo de' meridiani di Milano e di Pisa resulta uguale a 4.4^ !>4- 3oo Dell'occultazione di r del Toro ec. Laonde prendendo 3a' . i3" per la differenza in tempo de' meridiani di Parigi e di Pisa , la longitudine della Luna per r istante dell' immersione osservata a Pisa trovasi colle citate tavole del eh. Burg , 68° . 41' • 4^" 5 6 , e la latitudine boreale i°.8'.53",8; ossia l'errore delle tavole in longitu- dine è — 0" 5 4 » ^^ ^" latitudine — 3" , 3 , I 3oi NUOVO RAPPORTO TRA LA TEORIA DEL CENTRO DI GRAVITÀ E QUELLA DELLA COMPOSIZIONE DELLE FORZE . MEMORIA Del Sic. Antonio Bordoni. Presentata li a Aprile i8io dal Sig. Cav. Brunacci ED esaminata dal Sig. Paolo Delanges . I^e si rappresentino colle rette AA', BB', CC , ... le dire- zioni e grandezze delle forze F , F' , F" , ... applicate ai pun- ti A , B , G , . . . invariabilmente uniti ossia formanti un siste- ma rigido, e che si unisca il centro di gravità G delle prime loro estremità A , B , C , . . . ( supponendo in tutte queste estremità collocati pesi eguali } coli' altro g delle seconde A' , B' , C . . . , la direzione e la lunghezza della retta Gg ( Fig. I ) hanno alcuni rapporti utili ed eleganti colla dire- zione e grandezza della risultante di tutte le forze. L'espo- sizione di questi rapporti con alcune conseguenze , che si ri- cavano naturalmente da essi , tra le quali è rimarcabile l' e- legante Teorema sulla composizione del moto di Leibnizio , formeranno il soggetto di questa piccola Memoria . Quantunque si potrebbero esporre immediatamente i rap- porti suddetti per un sistema rigido qualunque , sollecitato da forze dirette nello spazio , e poscia dedurli per un siste- ma disposto unitamente alle forze sullo stesso piano , come caso particolare , non ostante , per maggior chiarezza inco- minciaremo dall' esporli e dimostrarli per questo caso parti- colare , indi passeremo ad abbracciare tutta la generalità del soggetto , cioè esponendoli e dimostrandoli per un sistema rigido qualunque , sollecitato da forze dirette nello spazio , ossia in diversi piani . 3oa Sulla Teohia del centro di chavita' ec. OSSERVAZIONE I Per evitare un dubbio che potrebbe nascere intorno all' esattezza dei rapporti, che si esporranno, atteso il modo usa- to nella Meccanica di rappresentare indifferentemente colla stessa retta A A' ( Fig. i ) la forza F sia essa positiva o ne- gativa , si previene, che chiameremo A prima estremità e A' seconda della forza AA', quando agirà da A verso A', e all' opposto A' prima e A seconda, quando agirà da A' verso A; cioè il punto M ( Fig. a ) di applicazione della forza MM' si chiamerà prima estremità della stessa forza , quando sarà ti- rato da M verso M' , e seconda quando sarà spinto da M' verso M . Cosi , se tutte le forze A A' , BB' , CC , . . . ( Fig. i ) ossia F,F',F",... agiranno da A,B,C,... verso A', B', C, ... come abbiamo supposto nell'enunciato antecedente , le prime estremità saranno A , B , C , . . . e le seconde A' , B' , C , ... ; e viceversa A' , B' , C , . . . le prime , e A , B , C , ... le se- conde , se agiranno in senso contrario : che se la forza F' agirà da B' verso B , e le altre dai punti A , C , . . . verso gli altri A' , C , . . . le prime estremità saranno A5B',C, ... e le seconde A' , B , C , . . . Proposizione I. Teorema. Trovato il centro di gravità G delle prime estremità del- le forze F , F' , F" , ... applicate ai punti di un sistema rigi- do, e quello delle seconde g, ed indicata colla 8 la distan- za di questi due centri, colla R la grand-^zza della risultan- te, e colla n il numero delle forze, si avrà R = n3'; cioè la risultante di un numero qualunque di forze applicate ai pun- ti di un sistema rigido, ossia invariabile, è sempre eguale alla distanza tra il centro di gravità delle prime estremità, e quello delle seconde, ma ripetuta questa distanza tante volte , quante sono le forze . Del Sic. Antonio Bordoni. 3o3 Dimostrazione. Indicando colle « , a' , a" , . . . le ascisse , e colle b ^b\b" ... le ordinate delle prime estremità delle forze , supposte rife- rite a due assi ortogonali , ed indicato il peso collocato in ciascuno di queste estremità colla m, saranno am^ dm^ d'm^... i momenti degli stessi punti riportati all'asse delle ordinate; e perciò la distanza A' da questo asse al centro di gravità G- delle prime estremità delle forze, ossia l'ascissa, sarà eguale alla somma dei momenti aw -f- a'/« -t- «"w -+- ec. , divisa per quella dei pesi m-Hw-Hw-l- ec . ; cioè A'=:(am-Ha'/7z-t-a"OT-l-ec.): (/n-Hw-H/?zH-ec.) = 772(a-t-a'-t-a"-4-ec.) : m[ i-f-i-f-n-ec.) ; ovvero A' = (a-i-a'-f-a"-Hec.) I « . Similmente saranno bm, b'm , b"m , . . . i momenti delle stesse estremità , riferite ali* asse delle ascisse , per cui la distanza B' tra il centro sud- detto e l'asse delle ascisse, ovvero l'ordinata, sarà eguale al- la son\mA bm-^b' m-^b" m-^ec . ^ divisa per l'altra m-i-m-i-m-t-ec . ^ cioè a dire B' =:: { bm -h b'm -^ b"m -+- ec .) '. {m-¥-m'-i-m" -i-ec.)j ossia B' = {b-i-b'-^b"-\-ec.) : n. Facendo dei simili ragionamenti per le seconde estremi- tà delle forze, e chiamando x,x',x'\... le ascisse, ed /,/',7", .•• le ordinate di queste estremità riferite ai medesimi assi a cui si sono riferite le prime, si troveranno le coordinate X', Y' del centro g di gravità delle seconde estremità eguali ad ( mx-^mx'-i-mx"-¥- ec . ) ; ( ìn-¥-m-^m-\- ec . ) , {my-^my-¥-my"-^ ec .) : {m->t-m-{-m->i-ec.); cioè X' ^ ( ;i: -t- .r' -+- x" -H ec . ) : « , ed Y' = ( 7 -H y -(- j" -(- ec . ) : n . Ora la distanza d dei due centri G , g di gravità essen- do l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cui un cateto è la differenza delle ascisse A',X', e l'altro la differenza delle ordinate B' , Y' , per essere A',X',B',Y' le coordinate delle sue estremità , sarà ^ = |/| ( A'— X')^-h( B'— Y')^ | ; vale a dire ^ /\la-^a'-^a"-*-ec. x-i-x'-t-ir"-t-ec.y //,-^b'-t-b"-t-ec. r-*-y-^-y'-f-ec V / .Tc4 Sulla Teoria del centoo di gravita' ec. ossia eguale ad7ri/|(A — X)^-h(B — Y)^'!, supposto a-+-a'-ha"-hec. =A, b-^-b' -i-b" ■+-ec. ='B, x-^x -^-x" -¥-ec. — X, j-t-yH-y'H-ec. =Y. Supponendo a , a' , a" , . . . gli angoli che fanno coli' as- se delle ascisse le forze F,F',F",..., e decomponendo cia- scuna di esse in due parallele ai due assi ortogonali , saran- no F COS. a , F' cos. a' , F" cos. a" . . . le componenti parallele all'asse delle ascisse , e F sen. a , F' sen. a' , F" sen. a", . . . quelle parallele all'asse delle ordinate; cioè la risultante di tutte le componenti parallele all'asse delle ascisse sarà egua- le ad F cos. a -*- F' cos. a' ■+- F" cos. a" -<- ec. , e quella delle parallele all'asse delle ordinate eguale ad F sèn. a -i-F' sen.a' -4- F" sen. a" -4- ec. ; e perciò la risultante R di tutte le for- ze applicate al sistema , sarà eguale a i/;(Fcos.n-4-F'cos.a'-i-F"cos.a"-+-ec.)^-4-(Fsen.a-t-F'sen.a'-i-F"sen.a"-(-ec.)"! ; perchè le due forze F cos. a -f- F' cos. a -+- F" cos. a" -i- ec. , F sen. a -t- F' sen. a' -4- F" sen. a" -i- ec. ad esse equivalenti si tagliano ad angolo retto , essendo parallele ai due assi orto- gonali . Ma le componenti Fcos.«, Fsen.a, F'cos.a', F'sen.a', F"cos. a", F'sen.a.",... parallele ai due assi ortogonali so- no eguali alle projezioni a — x,b — jK, a' — x',b' — y' , a" — x" , b" — /",... delle forze F F' F" . . . sugli assi stessi ; cioè F cos . a := a — x , F sen . a = h — J ? F' cos . a' = a — ar' , F' sen.a =b' —y ,F" cos.a" = a" — x\ F" sen.a" = b" —y" ,...; sarà adunque F cos.a-t-F' cos.a'-HF"cos.a"-f-ec.:=a — x-\-a' — x' -4-a" — a"-+-ec., ed Fsen.a-t-F'sen.a-+-F'sen.a'-j-F"sen.a"-t-ec. = Z» — y -^ b' — y' -h- b" — j" -H ec. ossia F cos. a -+- F' cos. a,' H-F"cos.a"-i-ec.=:A — X, ed Fsen.a-(-F'sen.a'-i-F"sen.a" -t-ec. =B— Y; e perciò la risultante R=i/j(A— X)^-+-(B— Yj^j- Quindi sostituendo questo valore dal radicale i/|(A-X)^-i-{B-Y)^( nella equazione superiormente trovata , avrassi ^ = — R , ov- vero R = nd . Ciò che ec. Pro- i Del Sic. Antonio Bordóni . 3o5 Proposizione II Teorema . La linea d che unisce i due centri di gravità G,g delle estremità delle forze applicate ad un sistema rigido è paral- lela alla loro risultante R . Dimostrazione. Per dimostrare questo Teorema e nello stesso tempo pre- parare dei risultati ai seguenti onde facilitarne le loro dimo- strazioni , troveremo le equazioni delle rette di cui le ò' , R ne sono porzioni; cioè ricercheremo la equazione della linea, che passa pei centri G,g di gravità, e di quella sulla quale trovasi la risultante . Dell' equazione della retta che passa pei centri G , g . Riferita la linea che passa pei due centri g, G ai mede- simi assi ortogonali fissati nella soluzione del teorema ante- cedente, ed indicato colla z/ = T?-(-D la sua equazione ; cioè colle « , i le sue coordinate, e colle T , D le quantità da cui ne dipende la posizione , la difllcoltà è ridotta a trovare i valori di queste due ultime quantità . Per le condizioni a cui dee soddisfare la posizione di questa linea , cioè di passare pei due centri di gravità , ai quali corrispondono le coordinate A' = — A, B'= — B, X':=— X, ■^ '■ n n n y'= — Y, dovrà essere la sua equazione m = T^-»-D soddisfat- ta tanto dai valori m = — B,;f= — A, quanto dagli altri M= — Yj ^= — X; vale a dire si avranno le due equazioni i-B = -LtA-hD,-^Y=- TX -4- D, le quali daranno T = ^, n n ' n n '1 A— X ' Tomo XV. 39 3o6 Sulla Teoria del cestro di gravita' ec. D= — . . _,," valori cercati delle T^ D ; perchè le due equa- zioni B = TA -|-«D , Y=:TX-i-«D sono soildisfatte, quando si pongono p«r le T , D i veri loro valori, o li danno, quando siano incogniti . Quindi sostituendo i valori trovati delle T, D nella equazione supposta della retta, che passa per i centri G,g, si avrà la sua equazione tutta conosciuta u=^t . -. — A "— A T AY-BX n A — X ■ Dell' equazione della retta sulla quale trovasi la risultante delle forze . Riferita anch'essa agli stessi assi ortogonali ed indicata colla u! = mt' -+- D' la sua equazione , cioè colle u , t' le co- ordinate , e colle T , D' i coefficenti da cui ne dipende la sua posizione , la difficoltà è ridotta , come nel caso antece- dente , a trovare i valori delle quantità T' , D' . Sebbene si potrebbero determinare i valori delle quantità T', D' trovan- do prima le coordinate di due punti per cui dee passare la retta, e poscia procedere come nel caso antecedente, nondi- meno , le determineremo colle condizioni, che la retta passi per un solo di quei punti , e che facci un dato angolo coli' asse delle ascisse, giacché coll'ajuto della cose esposte, piìi facilmente si può determinare la tangente di questo angolo, che le coordinate di un altro suo punto . Essendo le componenti F cos. a , F' cos. a' , F" cos. a", . . . parallele all'asse delle ascisse, e di più applicate ai punti corrispondenti alle coordinate a , a! , a!\ . . . b ^ b\ b'\ . . . , sarà la loro risultante sopra di una retta parallela allo stes- so asse delle ascisse, e distante da questo asse dell'ordinata eguale a ( Z'F cos. a -f- b'¥' cos. a' -H b"F' cos. a" -f- ec. ) : ( F cos. a -H F' cos. a -\- F" cos. a" ■+- ec. ) ; ossia a {^h{a—x)^b\a'—x')-^b"{a:'-x")-^ec .) : {a—x-^a—x'^d'—x"^ec .) Del Sic. Antonio Bordoni. 807 i={ah -h a'h' -+- a:'b" ^ ec. — hx — b'x' — b"x" — ec. ): ( a H- a -+- a" -H ec. — x — x — x" — ec. ) ; cioè supponendo ab -t- ab' ■+- ab" -f- ec. = M , e bx -+- b'x' -h b"x" -1- ec. = N , ]yj N . . sarà la distanza suddetta eguale ad _ . Similmente la ri- sultante delle componenti F sen. a, F' sen. a' , F" sen. a" , ... si troverà sopra di una retta parallela all'asse delle ordina- te e distante da quello delle ascisse di ( «F sen. a -h a'F sen. a -+- a"F" sen. a" -+- ec. ) : ( F sen. a H- F' sen. a' ■+- F" sen. a" -h ec. ) ; ovvero di [a { b — y ) -^ a' { b' - y ) -^ a {b" — y" ) -f- ec. ) I ( b — y -^ b' — y -^ b" — y" -H ec. ) =: ( ab ■+■ ab' -1- a!'b" -4- ec. — ay — a'y — ay" — ec. ) : { b -^ b' -\- b" ->t- ec . — y — y — y" — ec. ) ; cioè sopra di una retta parallela all' asse d^^lle ordinate a cui corrisponderà l' a- scissa eguale ad • , supposto ay -t- ay ■+-a!'y" -f- ec. = P . Ma la risultante di tutte le forze F , F' , F" , . . . non è che la risultante delle due F cos. a-i-F'cos. a'-(-F"cos. a"-t-ec., F sen. ot H- F' sen. a' -1- F" sen. a" -(- ec. delle quali qui sopra abbiamo determinate le posizioni ; e la risultante di queste due passa pel punto di loro intersezione , al quale corrispon- j\/[ N IVI P dono le coordinate , „_ trovate dianzi; dunque la ret- ta di cui cercasi la equazione, passerà per il punto corrispon- j ^ • 1 • - M — N , M — P . , . , dente ai valori u ■=. , t = „__ ; cioè avrassi la equa- M-N _,, M-P _., • -r^r M-N t,, M - P più la stessa risultante è la diagonale di un rettangolo, i di cui lati adiacenti e paralleli agli assi ortogonali sono Fcos.a-H F' cos. a. -+- F" cos.a"-+- ec. ^a — x -\- a — a;' -t- a" — x"-f- ec. = A — X, ed Fsen.a-t-F' sen.a'-i-F" sen. a"-+- ec. =B — Y, per cui fa col lato di questo rettangolo parallelo all'asse del- le ascisse, ossia collo stesso asse un angolo, la cui tangente 3o8 Solla Teoria del centro di gravita' ec." è eguale al Iato opposto B — Y , diviso per l' altro A — X ; B Y P — N e perciò sarà T'= ^__^ ; e D' = X3x ' g'^<^<^hè T' esprime la tangente di questo angolo. Vale a dire, la equazione del- R — Y la retta sulla quale si trova la risultante, sarà lì := . t' P-N -4- ' T, 111 • • B — Y I AY — BX Paragonando ora le due ecruazioni uz=.- 1 H — . -: — z—-> " '- A — X re A — X B — Y , P — N . li- Il ^ a"ZX ^ ~*~ A_x t^'ovate , si comprende , che esprimono due linee parallele , perchè sono eguali i coefficentl delle ascisse t , t' , i quali rappresentano le tangenti trigonometri- che degli angoli , che le due linee fanno dalla medesima par- te coli' asse delle ascisse; cioè la linea che passa pei due cen- tri di gravità G,g, e quella sulla quale trovasi la risultan- te , sono parallele ; e perciò anche le ^ , R loro porzioni . Ciò ec. Dalle due Proposizioni dimostrate , ricavasi questo ele- gantissimo ed utile Teorema " La risultante R di un nume- ro qualsiasi di forze disposte sullo stesso piano ed applicate ai punti di un sistema rigido , è sempre eguale a tante vol- te quante sono le forze la distanza § dei centri di gravità G,g delle prime e seconde estremità di esse; e di più pa- rallela a questa distanza „ . i Le relazioni dimostrate, naturalmente ci ispirano il de- siderio di scoprire in quali casi la risultante R coinciderà col- la linea d di unione dei centri g, G, e quali saranno le con- dizioni a cui dovranno soddisfare le grandezze e direzioni del- le forze F,F',F", . . . affinchè ciò accada; ossia, acciocché la risultante passi pei due centri di gravità suddetti . Del Sic. Antonio Bordoni. So-^ab'-^-a"b"-i-ec. = M, ce -4- fl'c' -+- o"c" -t- ec . = P, ex -t- ex -+■ c"x" -f- ec . = Q , l?c-\- b'c' ■+- b"e" -4- ec . = R , cy -t- c'y ■+- e"f -H ec. = S , bz-^ b'z -t- b"z>' -+- ec. = T, az -H àz -H az' -4- ec . = U , ay -4- a/' -h a"j" -4- ec . = V . Ma la risultante dee passare pel punto d'incontro delle tre forze suddette, passerà adunque pel punto corrispondente M — N R — T M — V P — U z alle coordinate y = ^__^ = ^^_^ , x = -qHY = "cIT P — « O p Q = ( si possono prendere tanto i primi quanto i secondi di questi valori delle coordinate , perchè le forze han- no una sola risultante ) ; cioè rappresentate colle equazioni y = T V -H D', s' ^ Z V -4- H' le projezioni sui piani z/, x^ del- la retta di cui si parla, avrassi =:T -4-D , . __ = i „ P-U „, . _, M — N rr.M-V „, P-Q „ P-U ^ ^3^-^H,oss.aD=^^^-T-^^,H=^33^-^'-^3j: di più la sua projezione sul piano xy , cioè la retta avente per equazione y' = Tx' ~h D' fa coli' asse delle x un angolo eguale a quello che fa la diagonale del rettangolo , che ser- ve di base al parallelepipedo rettangolo {Prop. IV):^ cioè un 1 . B— Y angolo avente per tangente trigonometrica __„ ; sarà per- B — Y tanto T' che rappresenta questa tangente eguale a rUx ? ^ per la stessa ragione Z' = ~ ■ . Vale a dire T' = , t = C-Z _., V-N „, U-Q •« 1 J • • ■ _„ , D = . _x •, H = A_x ' ® perciò le due equazioni B-Y , V-N , C-Z , U-Q . cercate saranno y = . _„ . x -4- t~z •> z = ^_ x -<- > _x • ■e j 11 1 • • B-Y I AY-BX Essendo nelle due equazioni 7 = -73^ a: -4- — . . _y , y = ^_^ .r'-4- -~ i coefficenti delle ^,0;' eguali, e rap- Del Sic. Antonio Bordoni 7 3i5 presentando essi le tangenti degli angoli, che le due proje- zioni sul piano xy fanno coli' asse delle x, saranno queste ■proiezioni parallele; per cui le due linee ^,R porzioni di quelle rette, si troveranno sopra due piani perpendicolari a quello delle a:,/, e tra loro paralleli. Per la medesima ra- gione le stesse rette troveransi su di due piani che saranno similmente paralleli, e perpendicolari al piano ortogonale a;^ ; giacché i coefficenti delle x ^ x' nelle equazioni g = ■ x-\- I AZ-CX , C-Z , U-Q j ,, , ..... — . — — r- , z = -T — — X -I- - — — delle loro proiezioni sulla stesso piano sono pure eguali. Ma l'intersezione dei piani es- B — Y 1 A Y — BX C — Z pressi dalle equazioni y = __ x-^ . ■ » _x •> "^^^^TnTx ^ H . . _^ è la retta che passa pei due centri g , G , e quella degli espressi dalle due altre /' = [^y *' -^ àEx" » z'= -j—^ x' -¥- , _y è la retta sulla quale trovasi la risultan- te delle forze ; saranno adunque queste due linee parallele j quindi ancora le loro porzioni ^,R. Ciò ec. Adunque , la risultante unica di un numero qualsiasi di forze applicate ai punti di un sistema rigido qualunque è sempre parallela alla retta , che passa pel centro di gravità delle prime estremità di esse e per quello delle seconde, ed è eguale a tante volte la distanza di questi due centri, quan- te sono le forze stesse . Proposizione VI Problema . In quali casi la R risultante si troverà sulla retta ^, che unisce i due centri g , G ? 3i6 StfLtA Teoria del centro di graa'itO ec. òOLiJZJONE. Sappiamo, che due rette coincidono nello spazio, quan- do abbiano le stesse equazioni ; dunque la R coinciderà col- \- la ^ semprecchè le grandezze, le direzioni, ed il numero delle forze ridurranno alla stessa equazione, tanto le due / = ■ _„ x 1 AY — BX , B — Y , V — N ,11 m C — Z I AZ— ex , C — Z , U — Q . , 1 , ^ = lZrx^--^i: • T^T' ^ = a::Y^-*-a3^' ''''"' accadrà la suddetta coincidenza tutte le volte, che saranno soddisfat- te le due equazioni «(V— N)=AY— BX, 7i(U— Q)=AZ— CX risultanti dall' uguagliare tra loro i termini ; — r- , - . -- — -- , ° ° A — A ' n A — X U — Q I AZ— ex . ,. • 1- 11 • • 1 1 e - — - , — . —. — r— , 1 quali sono 1 soli nelle equazioni del- le projezioni in generale disuguali . Eliminando la n dalle equazioni trovate, si avrà la (U — Q) (AY — BX) = (V — N) (AZ — GX ) esplicitamente indipendente dal numero delle for- ze, la quale potrà rimpiazzare una delle stesse equazioni. OSSERVAZIONE II Senza alterare l'ordine tenuto nelle Proposizioni espres- se , si poteva supporre a ciascun dei punti ABC... del si- stema applicato un numero qualunque di forze , e poi rica- vare dalle loro dimostrazioni quelle delle Proposizioni dimo- strate , come casi particolari ; ma con ciò si sarebbe sacrifi- cata la semplicità ed in parte ancora la chiarezza delle di- mostrazioni , e nulla sarebbesi acquistato rapporto alla gene- ralità ; giacché si possono ricavare quelle Proposizioni dalle dimostrate , egualmente come corollari . Infatti , se al punto A del sistema vi fossero applicate tutte le forze F5F'jF"3...F('), Del Sic. Antonio Bordoni. 817 basterebbe supporre nelle dimostrazioni date a=a'=a"=:...«(''). b = b' = b" = ...l'(') , c=:c' = c":= ...c(') ; ciò che per nulla l» altererebbe, perchè esse si sono fatte indipendentemente da tutte le relazioni delle coordinate a ^ a' , a" , . . . b , b' ^ b" , . . . c,c',c".^... . Vale a dire, se al punto A del sistema vi sa- ranno applicate tutte le forze F , F', F", . ..FW, le dimostra- zioni date delle Proposizioni abbraccieranno il caso di cui si parla , senza nessuna alterazione , nominando questo punto , A per la forza F , B per la F' , e cosi delle altre . OSSERVAZIONE III Quantunque le supposizioni di a=:a'=...a('),b-=b':=...b('), c=:c' = ...c(') non alterino le Proposizioni sciolte, nulladime- no in forza di esse si potranno sostituire alle quantità am-h a'm-ì-...a(-')m, a-t-a' -+-... «(0, bm-+-b'm-^ ...bi')/n, b-^-b' -^ . . M') j £m -+- c'm -(- c"m -H . . . é-')m , e -t- e' -t- . . . c(') le altre a . sm , sa , b . sin , sb , e . sm , se \ cioè si potranvia abbreviare le dimostra- zioni, supponendo collocato il peso sm al punto A al quale sono applicate s forze \ vale a dire , basterà supporre in ge- nerale le estremità A, B, C, ... caricate di pesi proporzionai si numero dell« forze ad esse concorrenti . Simili riflession fi faranno, se più delle forze F,F',F",. .. applicate ai di versi punti A , B , C , ... del sistema, termineranno agli stes 6Ì ; ossia se diverse delle seconde estremità A' , B' , C , . coincideranno . Da queste riflessioni si ricava la elegantissima ed. utile Proposizione seguente : " Trovati separatamente i centri di gravità delle prime e delle seconde estremità delle forze , va- lutandole in ragione del numero delle forze ad esse concor- renti, ed uniti questi due centri, avrassl una retta parallela alla risultante di tutte le forze ( si suppone sempre sola ) e che ripetuta tante volte quante saranno le forze, darà la grandezza della stessa risultante „ . 3i8 SurxA. Teoria del cEJjrno di gravita' ec.' Conseguenze. I ." Alle forze F , F' , F" , . . . F("-') applicate ai punti di un sistema rigido sia che si faccino o no equilibrio , se ne potranno sostituire delle altre/,/',/", .../("—■), e non si altererà né la grandezza né la direzione della loro risultante, purché la direzione e lunghezza della d rimanga la stessa. Così, se le forze AB', BC, CA' , . . . avranno una sola risul- tante, come supponghiamo che l'abbiano le altre AA' , BB' , ce , . . . sarà essa eguale e parallela a quella di queste ulti- me ; perchè i centri di gravità delle estremità A , B , C , . . . A',B',C',... sono gli stessi di quelli delle altre A,B,C,... B',G',A',... a.'* Se tutte le forze F,F',F", ... concorreranno, cioè se sarà a=a'=a"=: , b-=b'=ib"-==. , od x=x'-=x'= ...., 7=7'=/"=..., s = 2' = s"i= . . . , la risultante R non solo passerà per il punto a cui concorrono tutte le forze F, F'jF", ..., come è naturale, ma coinciderà colla ^; imperciocché, la prima supposizione dà A = «(Z, B=7iZ», C = ?zc, M = «ai , 3>f = Z'X,P = nac,Q = cX,R = n^«c,S = cY,T = èZ,U = aZ, V = aY , e la seconda X' = ti^ , Y = rey , Z = rea , N = :«;B , Q=:xC , S=/C , U = sA , ■T = zB , V=7A , i primi dei quali valori sostituiti nelle equazioni delle condizioni espresse noli' ultima Proposizione danno (aZ — cX ) [ndX — «èX) = (^ --'D~~ — ____^^ / ^ ~CJ L \ G / ■M JV %. w.XU. PARTE MATEMATICA JocJta/.T.XKp.3lS •,d' ■ ^^ \f"' ■y^ -— r ~~c/ / ^ ^ R / L 1 ^ ^ \ kI \ li^ ^ ^^"^^ B\ -^^ M^ ^./. b' ^;... Del Sic. Antonio Bordoni . 3ig Proposizione IV. Così tutte le volte che si avrà ^ = o , avrassi pure R = o . 4." Se tutte le forze F , F' , F" , . . . applicate allo stesso punto si faranno equilibrio, il centro di gravità delle secon- de estremità A' , B' , C , ... cadrà nel punto di comune ap- plicazione . Questo risultato, il quale è un caso particolare della ter- za conseguenza , si dee anch' esso a Leibnizio ( veggasi l' au- rea Meccanica di Lagrange ) . '32,0 RICERCHE PER CONOSCERE I RAPPORTI DELLE VELOCITÀ DELLE ACQUE IN ANDAMENTI NEI QUALI S'INCONTRINO DIFFERENTI ATTRITI. MEMORIA Del' SiG. Dottor Francesco Focacci. Presentata LI 0.6 Aprile i8ro dal Sig. Ottaviano Targioni Tozzetti ED esaminata dal Socio Sig. Venturoli . ^. I. J.^ eli' adiacenza dell'Arno In Casentino ed in luogo contiguo air acquedotto di un mulino , feci scavare 4 canali regolari e rettangoli AB, CD , EF , GH ( Fig. I ) destinati a ricever le acque da deviarsi dal Berignale PQRS . ^. II. Questi canali sono di egualissima capacità : lunghi piedi 8o , larghi piedi i ^, alti piedi 2,^ (i). 5. III. Il primo canale AB, la di cui sezione per larghez- za, o sia spaccato o taglio MNPQ ( Fig. Il ), ha i laterali murati , ed II fondo mattonato . I laterali del secondo CD sono di terra, ed il di lui fon- do coperto di arena . li terzo EF ha i laterali slmili al secondo, ed è coperto di minuta ghiaja nel fondo . II quarto GH è coperto nel fondo con ghiaja più grossa . §. IV. Questi canali oltre all'avere eguali le capacità e pendenze, hanno ancora i loro fondi disposti all' istesso livel- lo 5 o sia determinati dalla medesima linea orizzontale . ( I ) Tal misura si riferisce al piede 1 sistema di misure corrisponde a Chilio- antico reale di Francia , che nel nuovo | metri o , 824839 . DriL Sic. D.* Francesco Fogacci . 3ai 5. V. Si fatte disposizioni han per oggetto il conoscere la velocità con cui un medesimo volume d'acqua contenuta suc- cessivamente nei predetti canali AB , CD , EF , GH scorra per la lunghezza dei medesimi . L'inclinazione o pendenza di questi canali è di pollici 3 i per la lunghezza dei piedi 80, la quale ragguaglia a mez- za linea per piede . 5. VI. Le testate superiori, o sìeno imboccature A, B, C , D dei condotti che corrispondono al recipiente MM , so- no armate di cateratte per regolar l'ingresso delle acque ri- tenute nel recipiente medesimo . §. VIL E armato pure di cateratta il principal canale PQRS nella situazione XZ per introdurre le acque nel reci- piente MM , nella quantità che possono esigere i varj espe- rimenti . 5. VIIL Le acque intromesse negli andamenti AB, CD, EF, GH si versan poi in ampio scavo KNO , per il quale sgorgano nel fiume in sito alquanto inferiore al luogo degli Esperimenti . 5. IX. Disposte in tal guisa le cose, chiusi le cateratte dei tre canali CD , EF , GH , lasciando aperta quella del ca- nale murato AB . Regolai in seguito la cateratta del principal canale PQRS in modo da far debordare nel recipiente MM quella porzio- ne dell'acqua atta a riempirne la capacità. Successivamente lasciai che quel medesimo volume d' ac- qua scorresse nei canali CD, EF , GH, aprendo con ordine una cateratta , e chiudendo quella del canale in cui aveva decorso . Avendo posto un galleggiante con ordine successivo nei quattro canali , feci le seguenti osservazioni sopra la veloci- tà delle acque che in quelli decorsero . Tomo XV. 4» 3i2, Delle velocita delle Acque ec. I.a Canale Murato . La celerità dell' acqua scorrente per il canale murato AB trasportò il galleggiante per il Tratto di piedi 80 in a6 mi- nuti secondi . Canale CD con fondo arenoso . La celerità dell' acqua scorrente per CD trasportò il gal- leggiante per lo spazio di piedi 80 in 3a secondi . m.a Canale EF con fondo coperto di minuta ghìaja . La celerità dell'acqua per questo canale EF fece scor- rere al galleggiante li piedi 80 in 38 secondi . IV.a f'' ■ . .,:- •.jlli Ji . Il Canale GH confondo coperto di ghia/a di mezzana grossezza. La celerità dell'acqua nell'ultimo canale GH fece che il galleggiante trapassasse piedi 80 in 44 secondi . §. X. Tali osservazioni evidentemente mostrano L° Che le celerità del medesimo volume d'acqua decor- so successivamente dal canale murato AB negli altri canali CD , EF , GH , saranno in ragione inversa dei numeri a6 , 3a , 38 , 44 , i quali rappresentano i tempi , che il galleggiante ha spesi nello scorrere li 80 piedi per ciascun canale . Del Sic. D." Francesco Focacci. 3a3 II.° die in conseguenza gli attriti , o impedimenti ritar- danti il muovimento di quella massa d' acqua per i quattro differenti andamenti, saranno proporzionali ai medesimi nu- meri 26 , 3a , 38 , 44 , come che questi seguono la proporzione inversa delle veloci- tà , e diretta dei tempi spesi dal galleggiante nel percorrere spazj eguali . III.° Che l'ordine degli attriti seguendo quello della se- rie dei numeri 26 , 32 , 38 , 44 progrediente in proporzione aritmetica ^ seguono certamente per i canali CD , EF , GH l' ordine delle scabrosità dei loro fondi , le quali furon da me disposte con tale analogìa . La continuazione di quest'istessa analogia ancora per rapporto al canale murato AB, è cosa affatto casuale, non avendoci io cooperato neppur con la più piccola diligenza . Si vede che la qualità del suolo piuttosto arenoso, su cui i canali si aper- sero fu causa che l'acqua incontrasse tanta difficoltà nello scorrere dal primo nel secondo canale , quanta ne incontrò nel passare dal secondo nel terzo ec. IV." Che confrontando il muovimento dell'acqua per il canale murato AB, ordinatamente al muovimento della me- desima per gli altri canali CD,EF,GH, si hanno i seguen- ti rapporti 16 19 23 Ti ' Ts ' ^ Ts indicanti le differenze degli attriti che l'acqua incontra per essi. Confrontando il canale CD con gli altri EF^ GH , si hanno le frazioni 19 aa Te ' *^ 76 esprimenti le diversità degli attriti, che l'acqua incontra, scorrendo in sabbia oppure in ghiaja ec. §. XI. Con l'indicazione di questi Esperimenti si mostra 3^4 Delle velocita delle Acque ec. ove tendono le mie ricerche ed i miei desiderj . Mentre co- nosco quante differenze sianvi fra gli esperimenti fatti in pic- colo, e quelli da farsi in grande, tento pure di osservare le diverse resistenze che l'acqua incontra mentre scorre per dif- ferenti andamenti: tento d'investigare le maniere onde ri- trarre utili conseguenze per rimediare ai danni, e per argi- nare i fiumi che scorrono in ghiaja , e per far le necessarie operazioni con buon successo . §. XII. Allorquando col mezzo d'esperienze si pervenis- se a stabilire con la sicurezza di cui son suscettibili tali ri- cerche, il differente muovimento di eguali masse d' acqua che scorrono per un alveo regolare , e per altri irregolari , non sarebbe diffìcile agi' Idraulici , i quali già conoscono i lavori e ritegni occorrenti per contener l'acque nel primo letto, lo stabilire i lavori necessarj per contenerle in altro andamento . §. XIII. Ed in vero ben si posson tra loro confrontare le velocità delle acque che scorrono in due diversi alvei . Al- lorquando si conosce hi pendenza dei medesimi, si può sem- pre conoscere essendo le altre cose eguali, la diversa celeri- tà che una medesima massa d' acqua acquisterebbe scorrendo per r uno , o per 1' altro . Dal conoscere il carattere di due fiumi, si viene ancora in cognizione delle diverse masse d'acqua, e delle diverse escrescenze dei medesimi . Così , mentre sappiamo che le velocità delle acque dei fiumi sono in ragion composta delle pendenze e altezze ri- spettive ( supposte eguali le capacità e attriti dei loro alvei ), noi conosceremo in tal guisa prossimamente il rapporto dei muovimenti delle medesime . Ora se a tal rapporto vi si unis- se quello delle scabrosità dei due alvei , che potrebbe cono- scersi col mezzo di osservazioni simili a quelle del 5- XII, noi saremmo in grado di conoscere altresì la differenza dell' impeto delle due correnti. ' '■ §. XIV. Dietro tali avvertenze il perito che può forma- re i ripari nei fiumi di corso regolare secondo la pratica usuale Del Sic. D.^ Francesco Focacci . 3:2,5 desunta dai Precetti dei Cnlilei , Viviani , GugUelmini , Ca- stelli, Zendrini ec, potrebbe con savio discernimento esten- derli ancora ai fiumi, che scorrono irregolarmente. Esso po- trà tenere a calcolo il maggior impeto dei secondi, onde ac- crescerne proporzionatamente la stabilità e sicurezza, sia con l'aumentare le dimensioni,© sia con l'esporli all'azione del- la corrente sotto un angolo più acuto . 5. XV. Tutte le volte che io mi son trovato nel caso dì ordinar lavori nei fiumi, mi son sempre prevalso dei risultati delle passate osservazioni con ottimo successo ( §• IX ) . Con l'ajiito di quelli, e con le avvertenze coerentemente al §. XIII, ho procurato di acquistar adequata idea dell' impeto delle lo- ro acque in comparazione dei fiumi , su i quali essendo stati fatti dei lavori con le i-egole dell' arte j, avean prodotti i più salutari effetti . Così ho avuto il piacere di conoscere 1' utilità delle spe- se occorse, e di veder riparati quei mali che furon l'ogget- to delle medesime . §. XVI. E vero che per istituire il confronto dell' impe- to delle acque di due fiumi , o almeno delle sezioni in cui sono o devon formarsi dei ripari , si rende necessario il co- noscere il muovimento delle acque per essi . Ma è altresì vero che trattandosi di fiumi di corso rego- lare, è agevole il determinare il muovimento della corrente, mentre potrebbe conoscersi la media velocità della medesima col mezzo delle due macchine da me proposte nel Tomo XIII degli Atti della Società Italiana delle Scienze . Vedremo in seguito come ci possiamo servire di quelli istrumenti per giun- gere a tale scopo . §. XVII. Questi sono i mezzi che mi han servito di scor- ta in simili operazioni , e questi son quelli cui ho sempre riferito la stabilità e sicurezza dei lavori , che ho fatti ese- guire tanto su i fiumi che nei torrenti . Saó Delle velocita'' delle Acque ec. Tentativi per conoscere i cambiamenti che han luogo rLelLe altezze e velocità delle Acque correnti , in correspettività dell'aumento e decremento delle masse delle medesime . 5. XVIII. Avendo tolta la glnaja e sabbia poste nei ca- nali CD 5 EF , GH {Fig.I) per eseguire l' esperienze già in- dicate , ridussi questi della medesima forma del canale mu- rato AB „ conservando loro l'eguaglianza delle capacità e pen- denze, che abbiamo osservate ai 5S- H , e IV . §. XIX. Chiusi le cateratte dei canali CD, EF , GH , e lasciai aperta l'imboccatura dell'altro AB. Disposi in segui- to la cateratta XZ in tal modo, che dal bordo A/? si versas- se nel recipiente MM l'acqua bastante a riempire perfetta- mente la capacità del canale aperto AB . 5. XX. Scorrendovi poi l'acqua, notai la di lei altezza unitamente allo spazio percorso da un galleggiante in un tempo dato T . Aprii in seguito la cateratta del secondo canale CD, dan- do luogo alla totalità dell' acqua di scorrere ancora per quest' altro, ed alla divisione perciò in due parti eguali della me- desima ( 5- XVIII ) . Decorrendo in tal guisa il fluido riparti- to per i due canali AB, CD, osservai l'altezza, e lo spazio che il galleggiante scorreva per essi nel medesimo tempo T. Successivamente alzando le cateratte dei canali EF, GH, e ridncendo l'acqua del canale AB alla terza, e quarta par- te della massa primiera , continuai ad osservare ordinatamen- te le altezze, e li spazj respettivi, che il galleggiante passa- va neir istesso tempo T . I risultati di queste Osservazioni vedonsi raccolti nella seguente Del Sic. D.» Francesco Focacgi 3^7 TAVOLA Stato dell'Acqua nel canale AB Altezze corritpet- tive espresse in pollici e linee . Spazi percorsi dal galleg- giante nel tempo espresso da T eguale a i6 minuti secondi . 1 Cilici Linee Piedi Pollici Lince Totalità dell'acqua 0 sia canale pieno . ■2^ ^i 5o — — Metà dell'acqua. ■2.1 3 2f) I 6 Terza parte . 21 — i8 6 6 Quarta parte . i8 — i6 I — §. XXI. Dalla presente Tavola chiaramente apparisce : I.° Che calando la massa o volume dell'acqua nella pro- porzione della metà, terza, e quarta parte , la velocità re- spettivamente considerata dovendo esser proporzionale alli spazj percorsi dal galleggiante in tempi eguali , sarà propor- zionale alle lunghezze espresse da P , Q , R , S ; qualora sia P = Piedi 5o Q = ( Piedi a6 , Poli, i , e Lin. 6 ) R = ( Piedi ]8, Poli. 6, e Lin. 6) S =( Piedi i6, e Poli, i ), eguali cioè alli spazj che il galleggiante ha percorsi durante il tempo T, equivalente a ib minuti secondi. E se riducia- mo tutto in linee., il rapporto piìi approssimato di quelle ve- locità sarà indicato dai numeri 36co , i88i , i33S , e ii.58 . n.° che alla diminuzione del volume dell' acqua nella proporzione di 3a8 Delle velocita' delle Acque ec. 1 i 3 2 ' S 5 4 ' ec. le altezze della medesima seguono ordinatamente la propor- zione dei numeri a3 5^ , aa i , ai , i8 , ec. E per maggior semplicità se supponghiamo che l'altezza dell' acqua del canale sia divisa in 278 parti eguali , alla prima divisione si deprimerà il livello di 1 1 delle suddette parti : alla seconda divisione, o sia quando 1' acqua è scemata per |, la di lei altezza si è abbassata di a6 parti: e quando l'iu- tiera mossa si è residuata alla quarta parte soltanto, la sua altezza si è depressa per 6a delle parti in cui fu divisa l'al- tezza segnata dalla totalità dell'acqua, e conforme si vede notato nella Fig. II ^ in cui è accennata la sezione per lun- ghezza BADC di tutta la massa dell'acqua scorrente. 5. XXII. Tali sono i risultati delle mie esjierienze, i quali ho ancora verificati ripetendo le medesime con ordine inver- so , e con r esattezza possibile . 5. XXIII. È agevole a riguardo dei miei canali, il cal- colare li abbassamenti, o elevazioni del livello dell'acqua, ancor nel caso che questa scemasse o crescesse in qualunque altro rapporto , oltre quello su cui si è formata la descritta Tavola . In vero osservando la legge delle depressioni ivi indica- te, si rileva esser quelle proporzionali alle ordinate AH, FI, GO della parabola AFGL normali a quel diametro LH che accenna il livello dell'ultima depressione dell'intiera massa dell'acqua, e la di cui lunghezza HL è § della massima or- dinata AH. Per esser di ciò pienamente convinti, basta get- tar gli occhi sulla Fig. II, in cui la curva si vede tracciata. 5. XXIV. Procurai estendere ai canali assai più grandi le mie osservazioni, e costantemente trovai verificarsi ancora in questi l' istessa legge . 5. XXV. Per quanto sempre abbia pensato ad estender- le almeno ai fiumi di corso regolare, e di stabilire in tal for- ma con la possibile esattezza le leggi , ciie le acque osser- vano Del Sic. D.'* Francesco Focacci . Sag vano comunque scorrenti, mi son dovuto per ora contentare di ciò che ho fatto , mancandomi i mezzi per progredire co- me desidero . 5. XXVI. Diverse volte mi son portato allo sbocco in Arno di varj influenti in tempo di grandi escrescenze, all' oggetto di fare osservazioni in conformità della Tavola de- scritta . Ivi ho usate varie diligenze onde acquistare adequa- ta idea delle rispettive masse d'acqua prima della scambie- vole unione : mi sono assicurato della loro velocità superfi- ciale col mezzo dei galleggianti , ed ho veduto costantemen- te che le ac([ue di volume presso che eguali, e scorrenti con egual velocità , dopo la riunione non decorrono con la som- ma delle velocità rispettive ," come rilevasi dagli Esperimenti del Sig. Gennetè {i) , ma con velocità notabilmente minore delle due insieme unite. L'altezza di livello nel recipiente si accresce proporzionatamente alla differenza che passa tra la velocità dopo la riunione, alla somma delle velocità rispet- tive avanti la i-iunione , come presso a poco viene indicato dalla Tavola supeiùormente osservata . 5. XXVII. Potei ripetere tali Osservazioni allo sbocco in Arno del Fiume Era allorché questo aveva una piena due volte maggiore di quella che avesse l' Arno in cui sgorga . In tal circostanza dopo avere attentamente esaminate le velocità dei due fiumi avanti la scambievole riunione, trovai con r ajuto della mia Tavola , che la velocità dell' Arno do- po ricevuta l'acqua dell'Era, doveva essere accresciuta di un piede e mezzo per secondo . Fattone poi il riscontro col mezzo del galleggiante, trovai ciò esattamente verificato; co- me ebbi luogo di verificare ancora l'aumento dell'altezza di livello egualmente dalia Tavola rilevata . 5- XXVIII. Dopo questi e altri molti confronti che ho Tomo XV. 4a (i) Esperimenti sopra il corso dei Filimi esposti in una Lettera diretta ad un Rappresentante , o sia Maestrato Olandese. 33o Della velocita delle Acque ec. avuto luogo di fare in rapporto ai risultati delle mie Espe- rienze con le acque scorrenti in cauaii e fiumi naturali, par certo che la differenza dei risultati che presenta la Tavola ^ con quelli che si otterrehbero esperimentando nei gran fiu- mi , debba essere di piccolissimo rilievo , e ])erciò trascura- bile : tanto più poi si accresce la considerazione vantaggiosa per tali esperienze , quanto che per il loro oggetto oltre al potersi riguardare come superflua la rigorosa esattezza , ancora un eriore piccolissimo in cose nelle quali è impossibile otte- ner la prova della precisione rigorosamente e matematicamen- te concepita , si può non curare come presso che di niuna importanza . 5. XXIX. Le molte esperienze fatte in- Leyden dal Sig. Geiinetè, e dettagliate nella Lettera indicata ( §. XXVI ), pre- sentano presso a poco li stessi risultati . Egli nella sua casa fece li esperimenti : ivi aveva fatti costruire 1 canali, cui die- de il nome di fiumi : questi essendo alquanto più piccoli de' miei , è cosa facile che ad esso sfuggissero alcuni riflessi che formano certe differenze fra i di lui , ed ì miei risultati . Comincia a trovare un aumento di livello nel recipiente allorquando la massa delle di lui acque sia divenuta tre vol- te maggiore : io osservo la variazione di altezza subito che il recipiente riceva dei confluenti, i quali apportino dell'acqua ancora al di sotto della metà , conforme rilevasi da quanto osservai ne' §5. XX e XXIII . 5. XXX. Il Sig. Geniietè in relazione del suo Esperimen- to II, Pari. /, crede, che raddoppiandosi le acque del suo fiume si raddoppi la velocità della corrente, e per questo non si alteri il primiero livello . Ecco le sue parole ^ Dimostra- no i miei Esperimenti che un gran fiume può assorbire tutte le acque di un altro egualmente considerabile, senza che tale accrescimento faccia punto alzare il predetto fiume , la lar- ghezza del di cui alveo resti la medesima di prima . Succede questo ( continua egli ) , perchè l'influente aven- do raddoppiata la quantità dell'acqua del fiume, ha parimente Del Sic. D.s Francesco Focacci . 33? raddoppiata la velocita del suo corso . In tal guisa non ha potuto alzarsi . =: Questo è quello che non ho mai potuto verificare non solo ne' miei canali, ma nemmeno nei fiumi naturali • Prosegue poi = Se mai si rigettassero li sperimenti del mio fiume artefatto, perchè sono in piccolo, aiiderò sul Da- nubio e farò osservare che V Imi ^ il quale entra in questo fiume a Passavia , è un ijifluente quasi grande egualmente che il Danubio stesso . Pure il letto di questo influente , cioè tra Passavìa e Lìntz , non è niente più largo del letto dell' Inn, che in esso sbocca; ma l'acqua vi scorre più ve- locemente = . Continua a riportare varie altre osservazioni fatte sul Reno quando riceve le acque del Meno , e della Mosella presso Magofiza e Coblentz , e ne conclude che per tali aumenti d'acque il Danubio, ed il Reno non crescono di altezza né di larghezza. 5. XXXI. A niuno può cader dubbio su tal proposito , qualora l'osservazione si ristringa soltanto al luogo della con- fluenza . Ma per esser sicuri di non prendere sbaglio in tal ricerca a me sembra necessario : I." Che allorquando un fiume entra in un altro, già ha luogo per legge Idraulica un rigonfiamento reciproco di acque nella loro unione, per il quale riducendosi per necessità il confluente ed il recipiente all'istesso livello, si rende im- possibile di conoscere ivi le veie ed assolute altezze respet- tive. E siccome tal rigonfiamento è sensibile per una esten- sione più o meno lunga , secondo che la pendenza degli alvei è maggiore o minore; così sarebbe essenzialmente necessario di conoscere ancor questa pendenza , all' oggetto di sapere quanto al di sopra della confluenza fosse necessario rimon- tare per scandagliarne le altezze naturali . Non parlando il Sig. Genneté, come pure verun alti'O che siasi in ciò occu- pato , di questa osservazione essenzialmente necessaria per conoscere in grande gli effetti delle acque riunite, pare o che 33a Dell.\. velocita delle Acque ec. egli l'abbia creduta di poco rilievo, oppure che non siasi punto affacciata alla di lui mente . II." Che trattandosi di raddoppiamento di acque ( e molto più poi se gl'influenti ne portassero in minor copia del re- cipiente ) l'aumento di livello è così piccolo essendo pros- simamente la ventesima terza parte dell'altezza, che non può conoscei'si senza porvi molta attenzione, e senza riflet- tere al regurgito, che ha luogo superiormente alla confluenza medesima . 5. XXXII. Quando le acque nel fiume di Leyda eran divenute tre volte maggiori , l'altezza primiera si era accre- sciuta soltanto di una quarantottesima parte di quell'altezza medesima ( Part. II. Esperimento II. ) . Nel mio canale si è alzata dell' undecima parte e mezza : ciò che apporta una differenza quasi di un quarto . Tal differenza maggiormente divien vistosa facendo il confronto dei risultati relativi al quadruplo o quintuplo aumento del volume primiero. §. XXXIII. Le osservazioni che ho fatte su i fiumi, e specialmente sull'Arno, mi assicurano che i risultati della tavola (5- XX.) restano presso che comprovati in tutta la loro estensione . Ognuno può facilmente ripeterle e riscon- trai-le ancor col solo ajuto dei galleggianti , purché si usi la necessaria circospezione per conoscere le diverse capacità e pendenze degli alvei dei confluenti;, e delle alterazioni di eorso che han luogo per la diseguaglianza di quelle . Usate tali diligenze si conosce, che quanto la velocità delle acque riu- nite sarà minore della velocità, che esigerebbe V aumentata massa nel recipiente onde fluire sotto V istesso livello , tanto prossimamente , poste le altre cose eguali, si rialzerà il livello del fiume in cui scorrono riunite . Se ciò non fosse , non po- trebber passare eguali quantità d'acqua in tempi eguali nei confluenti e nel recipiente , ciò che sarebbe contrario all' ordin della natura . 5. XXXIV. Da quanto fin ora abbiamo avvertito si de- duce : . /oc.JtaLTJ(V_jo_yit_ PARTE MATEMATICA ./,.. Jfn.l.T XV.p-^Ò2_ 4. ///.//. y: XK'/j:ò:>>% S /„,«// X/J' Cr .'//„/. V: .\7y...).V'. — "'" III' ■ , |!i;r[]ii,ij.-.-. I I I, .1.. .11 I — ■• 1 . 1 1, Il ■-, I ; ■ ■■ . Il' |.i .r.' , Il ■ I'. ■ ' Del Sic. D." Fkaxcesco Focacci. 333 I." Che col mezzo del galleggiante siamo avvertiti dell' aumento di velocità accaduto in un liume , il f[uale riceve le acque di un altro (i). II. ° Che questa velocità non si aumenta nella propor- zione che si aumenta la massa dell'acqua nel fiume princl7 pale, o sia recipiente, dentro ancora quelli stessi limiti, nei quali dovrebhe accadere secondo le osservazioni del Sig. Genneté , ma si accresce secondo quello che indica la tavola menzionata . IH." Che l'aumento d'altezza in un fiume in cui ne sbocca un altro di eguali condizioni , è proporzionale alla differenza che passa tra la celerità del recipiente, e la som- ma delle celerità dei due confluenti . Qualora poi le condi- zioni sieno divei'se , si rende necessario tenerle a calcolo coerentemente a quanto sopra abbiamo avvertito ( J. XXXI. ) . IV .° Che finalmente ci potremmo accostare tanto più da vicino alla cognizione degli efi'etti relativi alla riunione e sud- divisione dei fiumi , quanto più da vicino si pervenisse a co- noscere ( e ciò appartiene non tanto a' miei che agli esperi- menti del Sig. Genneté ) il muovimento di quelle per essi, onde dedurne la proporzione delle masse o volumi , che si compongono, o che devono insieme comporsi e riunirsi. §. XXXV. La determinazione della portata dei fiumi dipende dal conoscere il muovimento delle loro acque , il quale deriva dalla conoscenza della media velocità con cui scorrono . Nel seguito di questa memoria accennerò la ma- niera per conoscere tal celerità , mediante le considerazioni da fiirsi a riguardo dei risultati che si ottengono dall'uso delle mie due macchine sopra accennate nel 5- XVI. (i) E (juesto deve intendersi soltanto di quei fiumi che hanno gli alvei rego- lari , e per i quali le ca)ise acceleranti e ritardanti il muovimento delle acque Sieno eguali . Giacché in tal caso non si vede ragione per cui i rapporti delle velocità superficiali di essi , debban es- ser diversi da quelli delle velocità me- die ^ a cui rigorosamente è necessari» riferirsi per conoscere non solo le masse e volumi aquei che si uniscono , ma ancora la velocità di ciaschedun fiume al punto della confluenza scambievole : questo rillesso è necessario per genera- lizzare maggiormente i risultati della tavola sopra descritta . 334 Della velocita' delle Acque ec. ^. XXXVI. Per ora avvertirò soltanto che con somma intelligenza sono stati tolti ai gran fiumi quei diversivi ^ cXv, nei trascorsi tempi furono ordinati per rimuovere il pericolo delle inondazioni . Questi eran più dannosi che utili, mentre per mezzo loro diminuendosi assai più la velocità che l'al- tezza delle acque , contribuivano al maggiore e più sollecito rialzamento del fondo degli alvei , ed in conseguenza a dar fomento ad una delle cause delle inondazioni . 335 OSSERVAZIONI E CALCOLI DI ALCUNE OPPOSIZIONI DE' PIANETI SUPERIORI MEMORIA Del Sic. Giovanni Santini Presentata dal Sio. Cav. Ab. Cesaris li a Maggio 1810 ED APPROVATA DAL SiG. D. PlETRO CosSALI. /.* Opposizione di Urano osservata nella Regia Specola di Padova al Quadrante Murale di Ramsden di 8 piedi nelV Aprile^ e Maggio 1807. cesto Pianeta fu da me osservato in compagnia del Sig. Professor Chiminello, e confrontato alle stelle e,' della Libra , ed a della Vergine. Lo stato del Cielo non ci permise di po- terlo osservare ne' giorni contigui all'opposizione. Vi ho sup- plito applicando alle tavole del Sig. De Lambre inserite nel- la terza edizione dell'Astronomia del Sig. La-Lande Ferror medio delle medesime , e paragonando le posizioni di Urano cosi corrette a quelle del Sole prese dalle nuove tavole del Rureau delle Longitudini di Parigi , ho dedotto l'instante dell' opposizione . Le posizioni apparenti delle Stelle sono le se- guenti . i' della Libra AR appar. =: aao" 5q' 3i", 6 ) j -i i r. t» • ri I » 1 ^ l secondo il eh. Sig. negl'io. JJeclin. aust.:= ii. 0.19 ,9 ) ° °° ergine ,. ~ '9 \ ^t ' J J secondo il eh. Sig. Maskeline. JJeclm. aust.zz io. 9.10,0 ) ° Ciò premesso passo ad esporre le osservazioni originali , avendo ridotto gli appulsi ai 5 fili del Micrometro al terzo filo mediante le distanze già determinate coi passaggi di mol- te stelle , e ridotte in tavole per ciascun grado di distanza al Zenit . Il pendolo è di Le-Paute a compensazione , rego- 336 Opposizione di Urano . lato sul tempo medio, ed il suo andamento potrà ricavarsi dai passaggi delle Stelle di confronto . 1807. Aprile . a n Gior. Pi ss delle Steli" D;,t^i 1/. . a l Zoii. t-i ss. di Lraiio Dist. al Zenit =:... 13 i3'' 17' 35", 6 56° . 38' . i8" 2* 20' 47" 3o 55°. 41'. Il":; 33 II 31 46, IO 55 3i 7 zz I 52 g , 06 55 40 3 33 II 17 i3 5i , 90 = 55 3i 9 — I 48 5,30 55 39 IO H 1 1 57,36 55 3i 1 1 ■:^ I 44 0,94 I 35 5i,54 55 38 24 26 II 6 7,34 55 3i i5 zzz 55 36 II 27 1 1 3 13 , 37 55 3i i5 — I 3 1 47, 18 55 35 46 38 IO 58 16 , 00 55 3i '4 — I 37 40, 80 55 34 48 :: 3o IO 5c 34, i8 55 3i 16 ^ I 19 3o , o5 55 33 20 — I IO 46 37 , 75 = 55 3i 17 zz I I 5 34,90 55 32 18 3 IO 4^ 3i ,92 = 55 3i •9 ^ I II 19,93 55 3i 20 Maggio . — Da queste osservazioni ho dedotto le AR , e le declina- zioni apparenti di Urano , e di qui le longitudini , e latitu- dini, come sono esposte nella seguente tavoletta. Si osservi, che le longitudini, e latitudini sono ridotte all'equinozio medio . 1807. Gior. Tempo AR app. Deci. Long, osserv. Lat.Bor.oss.E'--'l<^'l« Tavole) Med. di Urano . Australe . dall' Eq. Med. 2o8''.36'.2i",8 dall'Eq. M. inlonf;- in lat- Aprile 13 12*26' io" 3o6'>.47'.4i",8 io''37'.i.3",5 o°.34'.33",i - 7".9 — i7",o 32 II 45 i5 2C6 .33.31 ,7 IO 18 9 ,8 208 . IO .46 ,0 0 .34.35,4 — 0,1 —19 ,4 23 114110 2c6 . 20 .56 ,6 IO 17 14,9 208. 8.i3 ,8 0 . 34 . 3 1 , 1 — 0,6 —16,5 24 II 37 5 2c6 . 18 .29 ,6 IO 16 36 , 9 208 . 5 . 42 , 8 0 .34.29 , I — 2,1 — 14 lO 26 II 38 54 306 . i3 .39 ,3 IO 14 39 ,8 208 . 0 .35 , 9 0 .34.27 ,2 -f- I ,1 — 13 , 9 27 II 24 49 3o6 . II . 17 ,9 IO i3 44,7 307 . 57. 16 ,6 0 .34.24,5 — 10,7 — IO ,3 28 1 1 30 43 206 . 8 .47 , 1 IO 13 57 , 7 307 . 55 .33 ,0 0 .,34.19,7 -t- 2,3 — 6,6 3o II 12 Sa ao6 . 4- 3,3 IO 1 1 57 ,6 207 . 5o.33 ,0 0 . 34 .33 , 6 -4-3,1 — IO , a Magg. I II 8 26 3c6 . 1 .5i ,4 le IO 14 ;^ 207 .45. 1,3 0 .34.34,8 - 3,3 -.3,4 2 II 4 ^' 3o5 . 59 .27 ,9 IO 9 14 ; 6 207.45.37 ,7 0 .34.35,4:: -f-io ,3 -24,8 Medio - o",8 -i5",6 Si conchiude di qui, che l'error medio eliocentrico in longitudine fu =: — in latitudine — i3",8. L'opposizione ebbe luogo il 18 Aprile 1807 a ao'' .49' .9" t. medio al meridiano di Padova, momento, in cui la longi- tudine Del Sic. Giovanni Santint . 887 tufline eliocentrica di ft, e della § erano = 2,08° iq'42" •, i ; la hititudine geocentrica Boreale =34'32,",8i l'eliocentrica corretta dell' error medio = 02,' . 4^" , i . IlJ^ Opposizione di Saturno assennata nell'anno 1807 al Quadrante Murale . Fu paragonato questo Pianeta colla stessa Stella , a cui fu riferito Urano; cioè con a Vergine, le cui osservazioni, se qui nuovamente trasferisco , ciò è per comodo dei con- fronti . 1807. Aprile . Maggio . a8 3o I a 3 App. di a Vergine al III." tìlo. Distanza al Zenit . 10^ 58' i5", co IO 5o 24 > i^ IO 46 27 , 65 IO 4^ 3i , 92 IO 38 35 , 66 55° 3i' 14" 55 3r 16 3. .7 55 55 3 t 19 55 3 1 20 Appulfo di Satur. al IH." filo. la* 5' 36'', 62 II 57 9 , 36 II 5a 55 , 46 II 48 4^ j 8^ II 44 !28 , 90 Distanza l'I lemlio infer 56°. 44'. o" 56 . 41 . 5 56 . 39 . 3a 56 . 38. 16 56 . 36 . 53 Per ridurre queste osservazioni ho adoperato la stessa posizione della Stella, che ci abbiamo sopra assegnata per Urano . Per calcolare il semidiametro di Saturno , mi sono servito delle determinazioni riferite dal Sig. La-Lande nella sua Astronomia fondate sulle osservazioni di Pound-, così mi risulta il semidiametro di Saturno veduto in quel tempo dal- la terra = 9" , 7 ; la sua paralasse = o" , 8 . Di più , nel cal- colo delle longitudini, e latitudini mi sono servito dell' ob- bliquità apparente 2.3° 27' 49 % i datami dalle nuove tavole del Sig. De-Lambre , e per ridurle all'equinozio medio, le ho applicato l'aberrazione — i3", 5, e la nutazione in sen- so contrario — 17", a ; con ciò ho ottenuto i seguenti re- sultati . Tomo XF. 43 Oi■^osIZlo^E r* ?>TL'y:i . Tempo Medio . .VR app. del centro di ì) Deci. Au»t. del cèntro. Loiigic. ddU' E.|. Med. Lat. Bor. C£tUfl in in la tir:. ^3 3c I 3. 3 II' 5o'4r II DO l3 II 43 5o " f ^i II 37 o3 .110' 39' 39 -i 3i5 3Ó 36 ,c ai5 a6 14 .9 2i3 aa e .5 2t5 1- 35 .2 ii-ar5i".S II 18 Sa . 3 Il 1 7 20 , e II 16 2.2 II i43« .2 ;'i7'. 6'.i3",6 j 1 6 . -St . 1,1 ai6 .aa .28 . I ii6 .48 -7-1 ai6 .43 .Sa .5 2=4^1 ó8". 4 2 40 3-5 .1 i 41 2,3 2 40 33 .3 2 4^ 49 i - -I-.3Ì .4 H-33 .9 -Ka3 .8 -t-27 ,3 -!- -5' .e -^4,3 — 3 . I -0,8 Medio -Ha8 :6 -f- I .t Le ultime due colonne indicano le differenze fra l'os- servazione, e le tavole di Saturno del Sig. De-Lambre inse- rite nella terza edizione dell' Astronomia del Sig. La-Lande. Affine di dedurre da queste osservazioni l' istante dell' oppo- sizione, si applichi alla longitudine di Saturno calcolata col- le tavole per il i8 Aprile Y error medio , con che si otterrà la longitudijie osservata = -^ . 7° . 6' . 9 , 4? la longitudine del- la terra nello stesso giorno fu = 7* . - . 41 - 4^ » 7 ^ 1* diffe- renza 35' 3g", 3 dovè esser in i3* . 37' . 5?" di tempo medio, supponendo il moto del Sole in i3' 55' 4^" = 58 3", 4; e «piello di Saturno = 4 3i'- 8 : orde risulta il moto relativo = Ó2' 35 ' . 2 . Da questi dati rÌ3ul::a , che l' opposizione ebbe luogo il 2- Aprile a ai'' . ao' . 44 ^^ t.m.. tempo in cui la longitudine di Saturno . e della Terra contate dall' equinozio medio era = 7". -"^ .o'44 ? ^ 5 '^ latitudine geocentrica calco- lata colle tavole, e corretta coli' error fu =zo.'^ ^i' 3 ' , 6 . L'er- ror delle tavole nella longitudine eliocentrica di I) =-i-i5". 7; nella latitudine -+- e . 9 . III.' Opposizione di Gioee osservata al Quadrante Plurale nell'anno i8c-. Neil' osservare questo pianeta, ho notato i suoi appulsi ai primo, ed al secondo filo, le sortite dal 3, e 4 filo del micrometro; giacche riducendo al terzo filo le osservazioni di tali istanti , la loro differenza dà il diametro apparente di Giove : la loro semisomma somministra il passaggio del cen- tro . Ecco le osservazioni di auesto Pianeta . Det, Sic. G iovanki Paxtiki 3nq Giorni fi del Capro G love ■>; del Capro Diam. osser. 1807. ,pp. al in." filn . distanza il r^nit . ]).136. del 1 eiitio . dist. del lembo Slip pass, al III." filo. distanza .)1 Zenif- . Luglio ilgosto 25 26 ti 3i I 2 3 4 12* 4'5o",8 12 0 54 , I 1 1 49 7,3 1 1 45 1 1 , I II Ài i5,7 1! 37 20 ,5 63°.47'4;" 63 47 40 63 47 42 63 47 38d: 63 47 40 63 47 39 I2*29'll",4 1 2 24 43 -2 12 1121,5 12 6 54,4 12 2 27 , G II 57 59 , 8 1 1 53 32 , 7 II 49 7,4 II 4437,4 64-23'56" 64 26 8 64 32 3i 64 34 3o (4 36 37 64 38 48 64 4° 5o 64 43 c± 64 45 32 i2'.4o'.i8",465°57'24" 12 24 .34 ,8 65 57 23 12 20 39 , 0 55 57 25 12 16 43 ,465 57 25^ 12 12 48 , 0 65 57 29 12 8 .12 , 5 65 57 29 12 4 56 , 5 65 07 23 12 I 0 ,7 65 57 29 3", . 3, 5 3, 5 3, I 3,25 3, 3 Medio diam. di IfJ in Arco . . 3", 20 48": 9 Le posizioni apparenti delle stelle di confronto mi risul- tano ( partendo dalle posizioni medie assegnate loro dal sopra lodato Sig. Reggio ), come segue. p Capro AR app. = 3c4° a8' 3^" , 6 . . . Deci. Australe = 18" 26' 17" , 5 1/ del Capro ....=: 3 13 22 3 ,1 =20 36 i3 , o . Con questi dati ho trovato le posizioni di Giove esposte nel- la seguente tavoletta. Le colonne chiamate errori in AK , ed in declinazione, indicano la differenza fr£( l' AR calcolata col- le tavole di De-Lambre , e l' osservata , e ciò in modo , che il segno — indichi una posizione calcolata minore dell' osser- vata , e viceversa . 18C7. Luglio Agosto Gior. Tempo medili AR app. 06S. di V Errore in AR Deci. Austr. App. 03S. EiT, in Deci. 25 12* 3i' 18" 310" 34' 48", 7 -2",7 19° 2' 55", I -1-8", 2 26 12 26 52 3 IO 26 54 , 6 -1,4 19 5 5,6 -t-3 ,4 29 12 i3 39 3io 3 9,2 -*-9 . 3 19 II 34 , I -t-o ,8 3o 12 8 57 3og 55 21 ,3 -t-2 ,7 19 I 3 34 5 I -h5 ,9 3i 12 4 35 3o9 i.'] 24 ' ' -0,4 19 i5 4' ) I 19 17 So ,2 -1-5 ,2 i 12 0 7 3o9 39 21 ,7 -f-2 ,4 -t-3 ,8 2 I I 55 40 309 3i 29 , 8 + 3,2 19 19 49 ,7 -t-9 ,3 3 II 5i 14 3c9 24 8,3 19 22 16 ± 4 li 46 48 309 16 33 , I 19 24 32 ,2 M edio degli errori -+-2", 3 -h5",2 Per dedurre da queste osservazioni l'opposizione di Giove, 34o Opposizione di Giove . ho calcolato l'errore in longitudine, ed in latitudine median- te le formule segnanti £?y?,=(cos.£.cos.D-H-sen.£.sen.D .sen.A. — sen.e.cos.DX « COS. A, . dK , X COS. A . sen. D .dD-4-cos. D . sen. A .(ÌA _. COS. A . ; a .L= ^ ] ; ove s,u, cos./i sen. J-1 .COS. /(. A,L,/l, esprimono rispettivamente l'obbliquità dell' ecclit- tica , la declinazione , l' ascensione retta , la longitudine , e la latitudine . Nel caso presente , essendo s = a3" a8' ; D = — 19° i5' ; A = 309° . 5o' ; L = 307° i4' , À = — o° 47' ; dA = -h a", 3 ; r/D = — 5", a , trovo dÀ = — 5",6 e JL = -t- i ",o . Converrà pertanto diminuire la longitudine calcolata colle tavole di i",o, e la latitudine Australe di 5" ,6 , per avere le posizioni vere osservate . In tal guisa correggendo le po- sizioni dei giorni 3o , e 3i Luglio, trovansi le posizioni se- guenti Long, dall' Eq.M. Lat. Aust. di'iP Long, di $— nut.-t-a«" 1807. 3o LugHo = ia*.'8'.57"...=3o7°.i7'.39",8= o°.47'.i2",4=.3o6'>46'3o",2 3i Luglio = ia . 4.35 =.307. 9.49,8=0.47.19,4=3074347,4 Differenze =a3. 55. 38 = 0.7.50,0= 7",o 0.57.17,2 Onde risulta il moto composto = 65' 7" , a ; la differenza del- le longitudini il dì 3o Luglio fu = 3i'9",6. Quindi Toppo- sizione dovè aver luogo il 3o Luglio a la'* 8' 57" -H ^^, „'^ ( a3* . 55' . 38" ) = a3* . 35' . -54" t. m. di Padova , epoca in cui la longitudine di Giove , e della Terra contate dall'equinozio medio erano coincidenti, ed eguali a 307° i3' 54", 9; la lati- tudine geocentrica del Pianeta era = 0°. 47'. 1 5", 7 . Australe. JF." Opposizione di Urano accaduta in Aprile del 1808. Nel fine del 1807 fu trasportato in faccia al quadrante murale un buon pendolo di Grani a compensazione , ed il pendolo di Le-Paute , di cui ci siamo fin qui serviti , fu de- stinato ad altri usi dell' osservatorio . Il pendolo di Grani è Del Sic. Giovanni Santini 341 esso pure regolato sul tempo medio ^ ed il suo andamento facilmente potrà esplorarsi dai passaggio delle Stelle . Le se- guenti osservazioni sono secondo il solito ridotte al III.'* filo mediante le distanze de' fili del micrometro già note . Aprile . Giorni Nomi (li Stelle. Pass, al III.o ilio in temp. del pend. Distanze al Zenit osserv. 1 1 a della »S Urano Il'' 54' 35", 44 12 4'5 4-7° 55° 3 1' 6" 57 33 5± 12 Urano fi ■^ C I ^ 12 4' 6 , 56 i3 14 i5 , 78 i3 19 26 , I : 57 32 21 58 42 0 56 28 0 14 Urano fi -^ 12 33 7 , 41 i3 6 36 , i3 i3 II 45 5 75 57 3o 46 58 4^ o5 56 28 20 i5 Urano ,1 "H = 1 2 29 8 , 3 r 12 3a 47 • ■'J-^ 57 29 45 57 5o 26 16 Urano ^ /l OR = (1 li; =: la aS 7 , 14 12. 28 56 , 94 12 58 55 ,91 57 28 58 57 5o 26 58 42 I 26 Urano !IZ II 45 24 , 20 II So 5i , 06 57 20 18 57 5o 24 Ho tratto le posizioni delle Stelle dal Catalogo del cele- bre Sig. P. Piazzi, che ridotte all'equinozio apparente, ed applicatavi l'aberrazione mi risultano, come segue: a «R . . . AR app. = 198° 47' 2",o . . . Deci. Aust. app. = 10° g'aS",^ jtiic = 219 4^ 53 , I ^ i3 ao 35 , 8 ^i ^ = aai 020,8 ^11 629,6 AoR = aia 11 43 ) 7 = la 28 56 , 5 Dietro questi dati ho trovato le ascensioni rette , e declina- nazioni di Urano,, come sono esposte nella seguente tavoletta. Tempo Long osserv. Rrrori | 1808. Giorni IVTt'dio . AR app. Deci. Austr. dall' Eq. M. Latit. Bor. inLoii^. in l.dt. Lprile 1 1 12* 45' 62" 21I°26'26",0 12° II' 28", 4± 12 IO 53 ,5 7' 30 28' 56", 3 o°3i'.56"± - 2",0 12 12 41 35 -! I I 24 4 ' *' 7 3 26 34 , I 0 3i 4' — 5,8 -16" '4 12 33 26 211 19 i5 , 4 12 9 17 ,3 7 3 21 36 , 2 0 3i 35 -6.9 — IO A 12 29 20 211 16 46 5 4 12 8 14,3 73 18 57 ,6 0 3i 45 -*- i , I —20 16 13 25 14 211 14 12 , I 12 7 28 , 0 73 16 20 , e 0 3i 38 "*"?'' — 13 26 II 4+ 18 210 49 47 ■ 5 II 58 48 , 8 7 2 .5c 56 , 6 0 3i 37 -»-i5 . 2 — 17 Medio = ■*■ »"!4 -l5",a 34^1 Opposizione di Uramo . Per calcolare le longitudini , e latitudini geocentriche di Urano qui sopra esposte tni sono servito dell' obbliqiiità ap- parente a3° 2,7' 47 "5 3 , come mi è risultata dalle nuove tavo- le del Sig. De-Lambre^e per ridurre le longitudini apparen- ti all'equinozio medio vi ho applicato in senso contrario la nutazione — 14", 6, e l'aberrazione — i4",S- L'ultime due colonne rappresentano il confronto delle osservazioni fatto colle tavole del Sig. De-Latnbre inserite nella III edizione dell'Astronomia del Sig. La-Lande; il segno -(- indica una posizione calcolata maggiore , e viceversa . Si rileva di qui , che l'errore eliocentrico delle tavole in longitudine fu in quel punto dell'orbita -4- i", 3; in latitudine — i4"!) a, non mol- to differente da quelli, che si sono trovati nell'opposizione dello scorso anno. Riguardo poi alla latitudine, credo oppor- tuno di notare, che io la presi sempre, come dalla tavola mi risultò senza tener conto della variazione secolare dell' inclinazione . Correggendo col sopranotato errore la longitu- dine eliocentrica delle tavole di Urano, e paragonandola alle posizioni del Sole del Bureau delle longitudini di Parigi, mi risulta l'instante dell'opposizione di Urano il aa Aprile a ai* 4'' 56" t. m-, mentre, che la longitudine della Terra, e di ft si trovavano d'accordo, essendo ciascuna :=7^7°.o'.I i",8. VJ^ Opposizione di Saturno del 1808 accaduta nel Maggio di detto anno . Come tutte le precedenti osservazioni ; si fecero queste al quadrante Murale, e per determinare il diametro apparen- te del Globo di Saturno , si osservò l' appulso del lembo al primo, e secondo filo, e la sortita dal quarto, e quinto. La differenza di questi instanti ridotti al terzo filo dava il diametro apparente, la loro semlsomma il passaggio del centro. Dopo ciò passiamo ad esporre le osservazioni originali . Del Sic. Giovanni Santini ilioS. M,i Sg'O- 343 Giorni Nomi delle Stelle. Tempo del Pendolo. D al istanze Zenit. Uiam. di Satur. in tempo . 2 12^ o'29",56 la i5 6,28 60° 60 60 .35'.32" 5t 3i 34 40 3 (*■* della ^ Saturno 11 56 40 ) 32 12 II 17 ,56 12 25 46 ,86 60 60 60 35 33 5i 33 i 33 27 ■ i", 35 4 a* della ^^ v della ii? Saturno 11 5i 5i ,3c 12 7 28 ,18 12 21 4" . 65 60 60 60 35 3i i 5i 3o,5 32 i5 i", 45 5 a- della ^ »' della ^- Saturno ::: 11 48 0,85 12 3 37 ,92 12 17 32 , 5l 60 60 60 35 32,8 5i 32,5 3i 3 i", 55 6 a^ della -.i. v della •à^ Saturno =: 11 44 i*^ >S° n 59 47 ,90 12 i3 24 , 14 60 60 60 35 3i,5 5i 33,5 29 52 I , 45 9 tt* della ^ j- della -^ ì; della ^i; Saturno 11 32 40 , 03 12 17 5 , o5 12 25 32 ,64 12 0 69 , 78 60 60 35 33 29 44 24 18 26 19,5 I , 75 1 1 r' della ^- j della -J^ Satui'HO 11 4^ 36 , i5 12 9 a3 , 55 11 62 4^ , 90 60 59 60 5i 35 29 45 24 3 i , 40 i3 v' della ^ j' della ^ Saturno 11 82 54 , 20 12 a 41 , 63 1 1 44 ^5 , 35 60 59 60 5i 32,5 29 44 21 36,5 r , IO Medio = i",436 Lembo superiore di h In tutte le precedenti osservazioni è da notarsi , che la distanza dal Zenit di Saturno è sempre quella del lembo su- periore . Per dedurre le ascensioni rette, e le declinazioni del centro di Saturno , ho calcolato le posizioni apparenti delle Stelle di confronto mediante il Catalogo del celebre Profess. Piazzi, e mi risultano come segue AR apparente di a' >à< := 220° 4' ^3", 3 Deci. Australe app. := iS" 14' i?"»» di »>' «if := 223 59 48 , 5 := i5 3o i5 , 3 di y «i; =1 a3i la 49 ) 6 ^ '4 8 24 , 3 di »? ^ := 233 ao 8,0 ^i5 3 6,0. Aggiungendo alle declinazioni osservate del lembo superiore di Saturno il semidiametro osservato io", 77, e togliendola paralasse d'altezza o",84s ho ottenuto i risultati esposti nel- la seguente tavoletta . 344 Opposizione ni S\TunNO.' 1808. Maggio . Giorni Tempo Medio . AR app. di ì) Deci. Aust. Long. oss. didl'Eq. M. Lat. Bor. Err. delln Tavole !•■ ^nritrit Errori in l.it. 3 iii'-3'47":a27''37'43",o i5°i2'i8",8 229"'22'44"i' i''28'47",0 H-.6",7 -H2,5 t 1:1 19 39 327 33 27 , 2 i5 II 11,5 229 18 28 ,C i 2I! 45 , 4 -H 5,1 12 i5 5o 227 28 59 , 1 1 5 9 65 , 7 229 i3 53 , 2 1 28 49 -1-6,3 — 2.0 6 12 1 1 7 227 24 24 , 0 i5 8 44,7 i5 5 i5 , i 229 9 23 , e 2 28 45 , 4 -H I I , 7 H-o ,5 9 i 1 57 aS 227 IO 55 , I 228 55 53 ,4 2 28 36 ,3 -f-i6 ,7 -*-4 '4 II 1 1 49 57 227 I 59 ,4 l5 2 52,0 228 46 5? , 0 2 28 32 , 8 -♦- i3 ,9 -H2 ,7 i3 II 4' 3o 226 53 3,5 i5 0 28 ,9 228 37 5<) , I 2 28 3o , 5 -1- i3 ,5 — 1,2 Medio = ■+■ ia",o ^«",= Per calcolare le sopra esposte longitudini , e latitudini di Saturno, mi sono servito dell' obbliquità apparente dell' ec- clitica = 2 3° 37' 46' i 6 calcolata colle tavole del Sig. De-Lam~ hve -, delle quali pure ci siamo serviti per calcolare i luoghi di Sole {*) . Le ultime due colonne rappresentano gli errori delle tavole del medesimo Sig. De-Lambre esposte nella III edizione dell'Astronomia del più volte lodato Sig. La-Lande. Siccome l'opposizione ebbe luogo il 9 Maggio , per trovare il vero momento della medesima ho preso la differenza fra le longitudini del Sole, e di Saturno, che erano così espresse 9 Maggio . 11^ 67' aS" longit. calcoL di Saturno ZZ aaS" 56' io" , i Errore medio .... — la , o Longitudine vera Geocent. aaS* 55' 58" , i Longitudine di Terra . . . . -t- ao" := 229 458,9 Differenza — 9' 0" , 8 Col moto orario del Sole a' ù,^' ,77,6 col moto orario di Sa- turno II", 29 formo il moto orario relativo 2'3b",o6,e quin- di deduco, che l'istante dell'opposizione ebbe luogo il 9 Maggio a 8* ag' 29", essendo allora la longitudine vera di Saturno , e della Terra = 2,28° 56' 87" , 2 contata dall' equi- nozio (*) Calcolando i luoglii del Sole con le accennate Tavole, mi è avvenuto di notare il seguente error d'impressione, elle non trovo segnato né sull' errata corrige premessa alle tavole , né sulla raccolta degli errori, che ha dato il cel. Sig. Z/ich nella edizione delle sue ta- vole Lunari fatta dai Sigg. Molìni, Lau- di .. . Tav. XXII , 4.' 5° . . . rag. vett. 1 ^ 1,0067 . . . Leggi 1,0097 • Del Sic. Giovanni Santini . 345 nozio medio; e la latitudine boreale a° a8' 89", 7. L'errore eliocentrico delle tavole in longitudine era = •+■ 11", a ; in latitudine poi = -»- i", i . L'aberrazione della Luce di Satur- no applicata alle longitudini osservate fu =r — i3",8 La nutazione in senso contrario — 14" , a . VI.'^ Opposizione del nuovo Pianeta Cerere osservata nell'anno 1808. Avendo io dovuto in quest'estate allontanarmi dall' Os-' servatorio non potei principiare ad osservare i nuovi Pianeti, se non che tardi, de' quali i soli Cerere, e Vesta furono da me riconosciuti . Le osservazioni originali di Cerere fatte al quadrante Murale sono esposte nella seguente tavoletta . Il pendolo è al solito quello Ai Grani regolato sul tempo medio , ed il suo andamento potrà rilevarsi dal passaggio delle Stelle di con- fronto . 1808. Giorni JVomi di Stelle. Tempo del Pendolo . Distanza al Zenit . Barom. Term. Agosto . 3 Cerere = 12^ 23' 55", i5 740 9' 0" 28? . 3' 18°, 0 4 Cerere =; e K Australe f K = 12 19 ì , 64 la 35 22 , 69 i3 28 48 , 27 74 i5 48 77 6 I 73 22 29 28 . 3 •9 A t 5 Cerere =: e V. = la 14 II , 5o 12 3 1 22 . girz i3 24 48 ; 84= 74 21 36 77 6 5,5 73 22 3o 28 . 3 ■j.a , 0 6 Cerere . . . =: « K = 12 9 18 , 86 = i3 20 49 ,33 = 74 27 21 7-3 22 3o 28 . 3 20 , 3 7 Cerere . . . =: et = la 4 25 , 47 = 12 2,3 22 , 86=: 77'5'5V 9 0 Microscopi Cerere. . . =r 0 V. = n 36 33 , 0 : 11 54 37 , 69 12 1.5 22 , 87 74 34 13 74 43 3i 77 6 7 27 . II 21 , 0 1 10 Cerere . . . = ^ K 1 1 49 43 , 92 12 II 22 , 75 74 49 5 77 6 7 . 28 . 0 20 ,4 IO Cerere .... 6 -A li 25 18 , 5o II 5i 23 , 5t 75 1 1 45 , 2 77 6 5 28 . I 19 ,5 ai Cerere .... e )S. 10 56 19 , 64 11 27 3o , 92 75 34 3 77 6 6,5 a8 . I 17,8 26 Cerere. . . := « y 10 Sa 26 , 28 11 7 35 , 28 7547 0 77 6 a 28 . 0 18 ,6 Settemb. 26 Cerere 0 Capricorno 8 17 44 ,90 8 9 41 , 80 7547 4 72 .^7 57 28 . 2 II ,5 Tomo XV. 44 346 Opposizione di Cerere. Per detlurre da queste osservazioni le posizioni apparenti di Cerere , ho calcolato le AR , e declinazioni apparenti del- le Stelle partendo dai dati del più volte nominato Catalogo del Sig. Prof. Piazzi^ ed ho ottenuto i seguenti risultati. o Microscopio asc. retta ^pp. 5;: 3j4° a3' la", o Deci. Aust. =: 29" i3' ^b" , 7 e del Pesce Australe = 824 781,3 =:3i 46 '9;7 e del Pesce Australe S= 337 3 1 0,3 =: 28 i 56 , 5 Ho confrontato queste osservazioni con gli XI elementi del cel. Astronomo Dott. Gauss, calcolando nell'ipotesi d'un or- l)ita ellittica le ascensioni rette , e declinazioni apparenti al- fine di poterle confrontare con l'osservate, e trovansi nell' ultime due colonnette della sottoposta tavola i risultati di tali confronti , ove al solito il segno — indica una posizione calcolata minore dell' osservata , e viceversa . Soggiungeremo gli XI elementi già menzionati per comodo di que' Lettori , che non gli avessero avuti sott' occhio, poi passeremo all'es- posizione delle osservazioni ridotte . Epoca 1806 al meridiano di Seeherg . . . 108° 19' 84" , 7 Afelio 180C 826 87 59 , o Nodo ascendente 1806 80 53 aS Inclinazione io 87 33 , 7 Moto annuo tropico 78 9 28 , 3 Moto diurno . . . .%~T:Z- '. 13 5o , 8584 Eccentricità = o, 0788486 Legai', semiasse maggiore := o, 44^7^^ Giorni Temp.Med. Ali app. oss. di 2 Soa Deci. Aust. Err. in AR Err. m deci. Maggio . 3 12' 23' 17" 320'' 14' 59", 7 28'^43'29", I -II' 9", 3 -h4' 14", 6 ^ 12 26 43 320 2 0^7 28 55 26 , I — II 18 , 6 -t-4 11,8 5 12 21 54 3i9 48 5o ,8 29 111,6 - Il 26 , 6 -h4 i3 ,4 6 12 17 4 819 35 24 ,5 29 6 5g j 5 — 11 19 , 1 -t-4 5,2 n 12 12 17 3 19 22 a3 , 0: — II 34 :: 9 12 2 87 5i8 55 14 ,6 29 28 6,8 - 1 1 34 , 3 -t-4 i3 , 7 IO II 57 47 33 43 3 18 41 54 ,7 29 28 41 ^ 3 — II 4^' ; 0 -h3 48,9 i5 1 1 817 35 IO ,3 29 5i 29 , I — II II ,8 -h4 i3 , 0 21 II IO 6 2 41 24 816 18 27 ,8 8i5 18 48 .9 3o i3 53 ,i 3o 26 59 , 2 ' — ri 21 , 4 -t-3 59 , 7 Settemb. 26 8 26 48 812 7 12 , 6 80 26 55 , 8 , t Mqdio , . . -ii'a^",, -h4' 7", 5 fv Del Sic. GrovANNr SAJsmm'. 347 Da questi errori , col mezzo delle formule differenziali già sopra riferite, ho dedotto l'enor nella longitudine geo- centrica — 1 1' i" , a , e nella latitudine = -+- 49" 5 3 . Correg- gendo quindi con questi errori le longitudini calcolate per i giorni 45^5 Agosto , si avranno i seguenti risultati AlJOStn . Tempo Mcd. Long. Geoc. dall' £q, M. Latit. Aust. di 3 Long, di 0-t-6'-t-2o" dalle tavole di De-Lamhre . 4 5 la 26 4?" la ili 54 3i3°26' 19", 6 3i3 i3 7 ,8 12041' 5i", 8 .a 4? 4& , 3 3i2°i8' 8".o 3i3 1.5 :i6 , 6 Di qui si deduce , che l' opposizione ha avuto luogo il 5 Ago- sto ali* 34' 4^ ' ■> '5 momento , in cui le longitudini di Cere- re , e della Terra erano le stesse ed uguali a 3i3° i3' 3^^", 8 ; la latitudine geocentrica Australe di Cerere fu =ia°43 4' "'6- L'errore degli elementi ellittici ridotto al Sole in longitudine fu = — 7' i3" , 6 i in latitudine -\- o' 32," , 3 . Se per l'istante dell'opposizione si calcolano le pertur- bazioni in longitudine, e latitudine colle tavole del Sig. D/ Gauss, applicandole al luogo ellittico calcolato, e confron- tandolo coir osservato , si trova che l'errore eliocentrico ii* lougitudiue fu 1= — r 2" , 8 ; in latitudine — 5" , 7 . (*) (*) Ho riferito qui cpiest' opposizione di Cerere, quantunque già si trovi espo- sta nell'eccellente Giornale del celebre Baron di Zach per il mese di Febbrajo 1809 , perchè avendone riassunto il cal- colo ho trovato qualche piccola differen- za, e sopra tutto nelle perturba/ioni pre- se dalle tavole dol sullodato Sig. Gauss. 34S Opposizione di Giove . VII.'^ Opposizione di Giove osservata nell'anno 1808. Osservazioni originali ridotte al III.° filo del Quadrante Murale col metodo già superiormente espo&to .. i8c8. Agosto Sett. Gio 3o 3i I Tempo di Grant . .a»» 7'4o'S7' la 341,47 II 59 4^ n 47 43 , 76 II 4345/-- II 3548,73 Distanza al Zenit. 3^ Sa 35 5 5a<>58'5" Sa 58 a 58 a Sa 58 o a 58 0,5 5a 58 1,5 Balena Tempo di Grant. ia*33' 6",Si la ag 7,61 la aS 8 , i5 la i3 9,47 la 911, 17 ra ^ = 57 Distanza al Zenit . 57<'5i'5i" 57 5i 5i 57 5i53 57 Si 49 ,5 57 Si 46 jO 57 5 1 5o,8 Centro di 'l|/ Tempo di Grant . ia*i7'36",78 la i3 9 ,00 la 84°} 3a Il 55 i3 , 74 ir So 45 , 85 Il 46 18 ,oa Il 4' 5i ,02 Distanza di Lembo Superiore , 53° 6' I 53 9 36,5 53 la 44)0 53 aa 4>5 53 aS 10,0 53 a8 ai ,5 53 3 1 23,0 Diamet osserv. 3",o3 3,88 a, 88 3,18 .3 ', 08 a, 83 Nuvolus» Medio . . =a",9a Nel ridurre qTieste osservazioni non ho tenuto conto del- la Stella Balena quanto all'ascensione retta, poiciiè essendo troppo forte la differenza di declinazione, la deviazione del- lo strumento rendesi troppo sensibile . La posizione apparente delle Stelle del Catalogo più vol- te citato si ottiene , come segue 8a •» AR app. = 343» 9' 09" , o Deci. Aust. = 7° 35' 47" , 7 Balena . . . := =:ia.a9.59 , i Per aver la declinazione del centro di Giove oltre di aver aggiunto alle declinazioni osservate del bordo superiore il semidiametro aa",5, ne ho tolto i",7 per conto della pa- ratasse d'altezza. Ho quindi calcolate le longitudini, e lati- tudini del Pianeta servendomi dell' obbliquità dell' ecclittica a3° ay' 4?" :> 6 , e riducendole all' equinozio medio coli' appli- car l'aberrazione della luce — io", 8, e la nutazione — 13", i alle longitudini osservate. Ho paragonato quest'ultime alle solite tavole , ed ho ritrovato i seguenti risultati . Del Sic. Giovanni Santini 349 1808. Agosto Sett. Gio 3o 3. Ternjjo Med. 12," 27 I 12 22 17 12 17 5o 12 5 36 12 I IO II 55 45 II 5 I 20 AR app. ilei centro di 'l|? 345<'.38'.54",(j 345.31.45 ,6 ^45.24.20,4 345 . 2.17,2 344.54.51 ,n 344.47.29 ,7 344.40.18 ,3 Deci. Auitrule . 7'=43' Sa" ,9 7 47 29 j 7 - 37, à o , 3 5,3 17 ,6 7 00 8 o 8 3 3 6 8 9 Lori». Media, .343'',47'.4o",7 343 . 39 . 4& 5 o 34-J .31.46 ,6 ,343. 7.59 ,7 343 . o . 1,1 342.52. 3 ,4 .343 .44.19 ,0 Latitudine Aust. I°.28' I .28 I .28 I .28 I . 29 I . 29 39",. 42 , 3 07 ,0 53,1 7 A 9,5 Medio Kr. delle Tavoli' ili lon^ 4' '<^ 7 ,0 i5 , 5 16 ,8 19 ,6 -f-2 1,3 i3,8 -16" ,8 in lat. -IO ,7 -i3 , 1 -i5, -16. -IO ,0 -IO . 5 177^3 Applicando questi errori ai Inoglii geocentrici del pia- neta calcolati per i giorni 4 •> « 5 Settembre, e prendendo i luoghi del Sole dalle tavole di De-Lambre , aggiungendovi 6* o** o' ao" , si trovano le seguenti posizioni . Terap. Medio Long, vera di ip Long, di 5 Lat. Aust. di 'Ij; 4 1 12* 5' 36". . II' 13° 7' 59", 7 .. ii'i2° 10' 23", 2 .. i''a8'58",o 5 I 12 I IO . . II i3 o 3 , 9 . . 1 1 i3 8 a6 , 5 . . I 29' 2", I Quindi risulta il moto diurno composto 65' Sg", i; l'elonga- zione della Terra da Giove il dì 5 era = 8' aa" , 6 , quindi 1' instante dell' opposizione ebbe luogo il 5 Settembre a ia*i'!o" — /5^^rf-^) .(a3*. 55'. 34") = 8* 58' 55", alla qual epoca le longitudini di Giove .^ e della terra erano coinciden- ti, ed uguali = ii' i3° i' ^" , 3 ; la latitudine geocentrica di Giove fu = 1° ag' i", 6 A. L'errore eliocentrico delle tavole in longitudine fu = -t- i3",43 i" latitudine =-+-9", 8. F///." Ojiposìzìone del nuovo Pianeta Vesta osservata nell'anno 1808. Al quadrante Murale cercai questo nuovo Pianeta sco- perto, com'è noto, nel decorso anno 1807,6 lo trovai mol- to vicino alla posizione assegnatagli dall'effemeride del Dott. Gauss stabilita sui suoi III elementi {M. C. September 1807). Unirò qui le osservazioni originali di questo Pianeta, che il tempo mi ha permesso di poter fare , affinchè ciascuno possa secondo il suo sistema verificarne le posizioni . Il se- gno £ è stato adottato dagli Astronomi per indicare il Pianeta Vesta, e di questo ci serviremo per brevità. dSo Opposizione di V£STa . 1808. Agosto . Settemb. Giorni Nomi di Stelle T . del pendolo di Grant . Distanze al Zenit . 4 b =.-» i3'' 4 >4 19'. 21" 7 ¥■ 6 53 , i3 52 16 57° i' 6", 5 56 i 14 , 0 56 33 16,5 5 b ww i3 ■4 ■4 i5 21 , 3 43 42 39 98 61 66 57 I 5,5 56 I i5 j 0 56 3q 54 . 0 6 i3 i3 ■ 4 II 22 59 43 38 23 63 36 81 57 I 5,0 56 I i5 56 46 43 10 Ceti 35 i3 i3 4 43 43 5a 48 2t I ,53 91 56 5i i5 57 5i 58 ,5 57 i5 19 , 0 i5 Ceti Ceti S = i3 i3 i3 32 49 36 36 58 41 ,66 ,29 .91 57 5i 54,5 58 22 1,8 57 53 29 , 2 21 Ceti Ceti 3? = i3 i3 i3 8 57 lii 43 3i 9 . 17 65 ,84 57 5i 53 , 0 58 21 1,0 58 41 5i ,8 27 Ceti = a = 12 12 i3 6 29 45 3 2 5o , i3 47 ,29. 59 67 45 , 2 57 52 : : 59 3i 21 , 5 28 s = 12 58 3 >94 59 39 20 29 Ceti = Ceti = 12 12 12 12 37 5 40 52 46 23 53 i5 ,40 = 19 , eo , 5i 57 52 0 ± 58 22 a 59 45 28 59 47 42 3o Ceti Ceti s = II 13 12 12 54 i- Si} 0 42 40 48 26 > 19 ,5i ,66 ,08 59 57 41 , 5 57 5i 5i 59 28 5i , 5 5q 55 4° 3i Ceti = Ceti = S = II 12 12 12 5o 33 29 7 . 38 42 43 37 ,39 61 = ,38 = ,40 .S9 57 41 , 2 57 5i 5i 59 28 49 60 3 34 , 5 I Ceti = Ceti = I I 12 12 12 46 33 25 8 34 42 38 46 , i5 ,49 48 59 57 41 , 0 57 5i 53 59 a8 54 60 1 1 38 , 2 3 Ceti =r Ceti = X = 12 12 12 17 8 26 43 2f) 2 61 26 = 54 = 57 5i 5o , 8 59 28 52 , 0 60 27 14 , ^ 4 Ceti = II 12 12 34 35 i3 9 24 IO i5 = 59 Ó7 39 , 0 57 5i 49 , 5 60 34 52 , 2 5 Ceti = s = 0 r WS = II 12 12 12 3o 37 9 " : 19 18 , 20 52 3:: '7 '7= 57 57 39 , 5 57 5i 46 60 4^ 3o 1 60 38 18 1 Del Sic. Giovanni Santini 3r>i Giorni Nomi di Stelle T. del pendolo di Grant . Distanze al Zenit . Sottemb. 7 Ceti = 12''. i'. 14", 57ZZ 12 9 33 , 5or3 13 13 SS , 38 = 57»5i'5o",8 60 57 1 1 60 38 23 17 S ^ = 10 48 2 , 76 11 20 5i , 16 II 3o 35 , 45 62 II 86 63 I Sa , 5 59 58 58 18 20 ff ^ = 10 44 5,61 11 16 I . 44 62 II 36 62 6 48 X ■ • = II I 16,01 II 6 28 . 70 Il3 1 1 3 62 16 57 ai 8 «= IO 82 i5 , 25 10 S7 19 ^ 60 11 I 36 , 20 62 II 41 , 5 62 II 7,5' 63 31 4' 1 "^ 23 =: IO 53 2,4 62 3o 3o 26 Ceti . = Ceti . = IO 12 29 , 94 IO 87 49 ) ^° 10 Sa 45 , 80 11 7 29 , 84 62 II 36 63 41 44 63 38 6 63 16 So 39 ò = 2^ Ceti = IO a3 46 ) ^4 10 55 39 , 6a 11 9 54 ,43 6a 5i 5 62 16 54 63 45 28 Ottobre . 3 Ceti . . . ■ig Ceti rr 9 44 55 , 12 IO 5 34 , 13 IO 25 IO , 78 IO 3o IO , 13 IO 54 IO , 00 63 II 87 , 5 62 S9 So 61 89 aS 60 38 20 63 45 29 4 ó = Ceti = 0* a» 3: 2^ Ceti = 10 0 Sa , 12 IO 21 l5 , 20 IO 26 14 , 54 IO So 14 , 4*^ 63 I 81 61 89 35 , 5 60 38 24 63 45 37 '4 X 9 23 58 ,3i 9 39 II ,93 61 II 44 63 4 4 24 ì; . . . . 99 =« 2^ Ceti 8 57 4^ , 12 9 i5 17 ,44 9 3o 89 , SS 9 53 87 , 36 62 45 ^4 67 3 34 ón 38 35 63 45 35 3i 56 -■« S >» 5 = 7 Sa 21 , 58 8 16 45 , 67 8 3o 34 , 33 60 SS 16 62 II 4^ 6a 20 17 Fra le nubi . *.i Per ridurre le precedenti osservazioni , ho calcolato le posizioni apparenti delle Stelle partendo dai dati del Catalo- go del celebre P . Piazzi . Ho paragonato in seguito alcune di queste osse rvazioni intorno all' opposizione ai III elementi del rinomatissimo Astro- 3 5 il Opposizione di Vesta . nomo, e Geometra D. Gauss, ai quali ho applicate le loro variazioni secolari da me calcolate per esercizio dietro la teo- ria del celebre Senator La-Grange . Gli elementi accennati sono i seguenti Epoca . 3i Marzo 1807 Mezzodì . Medio a Bremen . 192° a3' 3o",i Moto diurno tropico 981", 8459 Afelio 69<'5o'3i",9 Longitudine del Nodo Ascendente. . . io3 18 a8 Inclinazione =7 810, 7 Eccentricità . . = o,o855o5o Logarit. distanza Media =0,3720160 Variazioni annue di questi elementi , come a me risultarono dal sopralodato metodo del Sig. La-Grange ridotte all'equi- nozio vero, ed all'ecclittlca vera Moto annuo dell'Afelio -1-71", 3a Moto annuo del Nodo H- 3 1 , 43 Variazione dell' inclinazione o , oa Variazione annua dell'eccentricità -t-o,oococaof2,3a64 Facendo agli accennati elementi le precedenti correzioni, l'equazione del centro per il Settembre del 1808 si trova colle formule del celebi-e Or'iani espressa per E = — 35a4a" , 35 sen. p H- 1880 , 1 1 sen. 2,p — 139 , 07 sen. "ip -4- II , 7.5 sen. 4/^ — I 1 07 sen. 5/» -)- 0,10 sen. dp — e , 01 sen. IP ove p rappresenta l'anomalia media del Pianeta . Il logaritmo «lei raggio vettore si calcola col mezzo della formula 0,3688291 — Log. {t ^ e COS. v) , ove v rappresenta l'anomalia vera di Vesta, e la sua eccentricità il cui logaritmo è =8,9320068. Per calcolare le ascensioni rette , e le declinazioni , si ponga l'anomalia vera = t> ; la longitudine della J =: /l com- putata dall'equinozio medio. L'obbliquità media dell'eclit- tica = e ; Del Sic. Giovanni Santini. 353 tìca = £ ; la distanza della Terra al Sole = R , e finalmente sia r la distanza del Pianeta al Sole . Si calcolino le seguen- ti formule a' = r .sen.a .sen.( A-f-u) . . . X = R.cos./l j = r .8en.^ .sen.{ B-<-y ) . . . Y = R .cos.e .sen./l z = r .sen. e .san. (C-t-u) . . . Z = R .sen.£ . sen./l ove a ,b , e ^ A , B , G sono costanti almeno per un corto in- tervallo di tempo , e tali , che Log. sen.a = 9 ,9968031 . . . A= iSg" 58' i5", 5 Log. sen.^ =9 ,9682456 . . . 6= 72, 44 ^■7 ? 2, Log. sen. e =9 ,5889954 . . . C= 53 94959 (i) Se ora si chiama a l' ascension retta del Pianeta ; ^ la sua declinazione sarà cotang. a =— — y- \ tang. b = — — ^ • ^®"* * » distanza alla Terra = z — Z . Dai precedenti elementi ho de- dotto i seguenti risultati . Tomo XV. 45 (i) Queste formule sono quelle stesse , che furono date dal sopralodato Dottor Gauss neir opera periodica pur citata ( M. Corresp. May 1804 ) . Esse possono dedursi analiticamente dalla permutazio- ne delle coordinate nel modo seguente . Siano r , y , z le coordinate del Pianeta riportate al centro del Sole, in modo, che la prima x sia diretta verso l'equinozio di primavera ; la seconda y sia a questa perpendicolare nella superfìcie dell'equa- tore , e la terza z sia a tutte due perpen- dicolare , e diretta verso il polo Boreale . Se tenendo fisso l' asse delle .r , si riferi- sce il corpo a tre coordinate simili prese nella superficie dell' ecclittica inclinata sopra quella dell'equatore di un angolo e, chiamando x',/', z' le nuove coordinate , sarà evidentemente x'^x' ; y^Zy' . cos. fi — 2' .sen.e; zzz.y' sen.e-»-z' .cos.£ . Sia ora n la longitudine del nodo ascendente dell' orbita del Pianeta , o chiamando i",_y" , e' le coordinate del punto in questione relativamente alla li- nea de' nodi , ed alla sua perpendicolare nell 'ecclittica, sarà x'=:.t". cos./i — yx sen.w; >'' = x".sen.n-t-j".cos.«; z'^z" . Finalmente siano x'" , y'" le coordinato del Pianeta nella sua orbita riferite alla linea de'nodij i l'inclinazione dell'orbi- ta del Pianeta ; r il suo raggio vettore , e t la sua distanza al nodo , o sia la longi- tudine del Pianeta nell'orbita meno quel- la del nodo; sarà x"^x"''=lr.cos.t; y" = y"' . cos. i z=. T cos. i . sen. t ; z" =/'" . sen. i = r . gen. ì . sen. t . 354 Opposizione di Vesta . i3o8. Giorni Tempo Medio . AR app. di ^ Deci. aust. app. Err.in AB Errori in Deci. Agosto . i 14' 54' 29", 8 iól" 4' 38",8 II" II' 5",6 -6' i",9 -i-a' i",5 4 5o 18 , 8 357 I 1,6 11 1 7 43 , 0 — 6 a,o -4-2 0 ,3 6 4 46 6,8 356 57 0,5 II 24 Sa , 6 -6 4,0 -t- 2 14 , a IO 4 29 7,6 356 36 3i , 7 II 5o 12,5 - 6 40 , 8 -1-2 2,1 i5 21 14 7 2,5 i3 39 53 , 9 i3 i6 29 , 6 i3 1 1 48 , 4 356 i 20 , ozz 355 6 ao , 4 354 I I 33 , 6 353 59 42 , 6 12 3i 21 , 3 i3 19 47 , 6 4 I 4.3 14 9 8,6 26 27 — 6 19,6 -1-257, I 29 i3 2 17 ^ 7 353 35 a5 , 0 14 25 37 , 7 — 6 a3 , 7 -t-a Sa, 5 3o 12 57 3i , a 353 aa 47 , 0 14 33 43,4 — 6 16,7 -1-2 53 , 0 3i la 5a 45 j 5 la 47 59 , 8 353 9 47 , I 4 4i 39 , 6 - 5 59 . 5 -H 2 59 , 4 Settemb. I 35a 57 25 , 0 4 40 ¥ '^ i5 5 19 , 4 — 6 3o jO -t- 2 56 , I 3 12 is aS , 8 35a 3i IO , 9 -6 29,8 -(- 2 59 , I 4 13 33 34 , I 352 17 56 , 0 i5 13 58,8 -6 35,3 -(-3 2,0 5 la a8 44 , 0 35a 4 24 , 1= i5 20 38 , 0 -6 33,8 -♦- 2 59 , 0 7 13 19 l3 , 0 35 1 37 27 , I i5 35 i5 , 2 -6 37,8 -1- a 54 , 3 17 II 3o 41 5 i^ 34921 3,4 16 39 43, 8 -6 53,4 -t-3 i5 , I 18 II 25 53 , 6= 349 7 5a , 9 16 44 58, 6 — 7 7 ,0 -t- a 34 , 8 20 II 16 16 ^ 6 348 41 5i, 8 16 55 6,6 — 7 10,3 -1- 3 24 . 9 21 II 1 1 3o , 3 348 29 6,7 16 5q 46 , 4 17 8 40 23 II 3 : : 26 IO 47 48 , 8 IO 33 56 , 0 IO i5 27 , a IO IO 4^ j 5 9 a6 58 , e 8 45 44 . 7 8 18 3i , 6 347 28 a8 , 6 ' 346 55 3c , I 346 i5 38 , 2 346 6 41 , 6 344 56 5o , 3 344 28 i3 , 1 344 32 52 , 5 17 19 56,8 17 ^9 17-9 17 38 3,5 17 39 45,7 17 42 10, 9 17 a3 39 , 4 16 58 ai , 0 29 4 14 24 3i Ottulire - Dalle precedenti equazioni si ricavano con facili eliminazioni le seguenti equazioni xzzr . coi.n .COS. t — r. sen. j .sen.ra .sen. f^r .sen.a . sen.( A' -)- i) j-^''.(cos.jcos.7j .cos.£ — sen.Jsen.£).sen.t-*-r.ros.f.sen.?i.cos.f^r.sen.i.sen.(B'-«-f) z^r.(cos.J.cos.?z .sen.«-t-sen.J.cos.f)sen.f-Hr.sen.e.sen.?i .cos.i^r.sen.c .sen.(C'-Hf) . Per determinare le costanti a,^,c, A' , B' , C si avranno le seguenti equazioni (^) (3) (4) (5) (6) cos . ?2 :^ sen . a . sen . A' — cos.i .sen. ?2=:sen.a .cos. A' ros. i .cos.;z .cos. E — sen.i .sen.e^sen. J .cos.B' ; . cos. s .sen.nzr sen. J .sen.B' cos.i . cos. re . sen. f-t- sen.i . cos. £1^ sen. e .cos.C sen. e . sen. re zz sen. e .sen.C Da qtieste equazioni mediante la divisione si ricava subito Del Sic. Giovanni Santini . 355 cot. A= — COS. i . tano;. n , cot. B = ■ : ^, cos.re . (^os. j-(-sen. i cot. s n , i- t » cot. G = . rer trovare gli angoli a, b , e si sommino insieme i quadrati della (i)e(i); della (3) e (4); della (5) , e (ò) equazione ,, e con facili riduzioni si otterrà cos.«=sen.7z .sen.z ,cos.Z'=cos.£ .cos.7? .sen.i-t-sen.£ .cos.j; e COS. e = cos. i . cos. e — sen. i . sen. e . cos. n\, nelle quali formole riguardando i valori di sen. a, sen.^, sen. e, come positivi , si conoscerà facilmente a qual quadrante apparten- gano gli angoli A', B' , C . Nelle formole di Vesta abbiamo scritto in luogo dei costanti A'^ B' , C' calcolati colle formo- le precedenti i medesimi aumentati della distanza dell'Afe- lio al nodo . Trovate le coordinate del Pianeta , il resto è evidente per sé , e non lia alcuna difficoltà . Per dedurre dalle osservazioni precedenti l'opposizione di Vesta-, prendo il medio degli errori degli elementi dal i Set- tembre fino ai 17; un tal medio in ascensione retta è =-6'36",7; in declinazione -t- 3' o", 9 . Correggendo con tal medio le posi- zioni calcolate per i giorni 7 , e 8 Settembre fra quali cade r opposizione , e quindi derivandone le longitudini , e latitu- dini dell'equinozio medio ho trovato i seguenti risultati Long, di Vesta Long, di J Lat.Aust.di^ 7 Sett. T. medio = la* i9':3",o 346° 6' Sa.", g 345''5'46",7 io''59'i9",6 8 Settembre ^ la 19 i3 , o 345 5i 3 , o 846 4 7 i7 n o 87 , 9 Differenze 1=34* o' o", ih' 2,<)" ,0 0.68.21 , o i'.i8",3 Donde si deduce , che l' opposizione eljbe luogo il di 8 Set- tembre a 8* 4 S tempo medio ; che la longitudine di Vesta fu = 345°53'47"55 e la sua latitudine geocentrica = i i°o'ù,^\i. IX. " Opposizione di Marte osservata nell'Aprile del 1809. Le osservazioni di Marte furono fatte al solito quadran- te Murale ; ma il tempo fu osservato ad un pendolo regolato sul tempo sidereo , fabbricato dal Signor Giuseppe Meghele , 356 Opposizione di Marte . Non era esso a compensazione, e siccome la verga metallica risentiva molto le alterazioni dell'atmosfera, il Sig. Profess. Chiminello vi ha fatto sostituire una verga di legno . Ciò pre- supposto passo ad esporre le poche osservazioni , che per l' in- costanza della stagione si poterono fare . Si osservi , che le distanze al Zenit di Marte sono quelle del lemljo superiore. 1809. Marzo . Aprile . Giorni Nomi di Stelle . T. del Pendolo . Distanza al Zenit . 3o Vergine ii'4i'39", 19 1 1 46 3 , 42 13 i3 42 , 58 12 32 27 , 65 i3 25 49 , 84 49'= 39' 3 1" 49 27 27 5i 37 28 5 1 5o I 5i 32 47 aS della Vergine Marte =r 7 532 Vergine :z Vergine =: 6 Vergine := Marte r= 12 37 54 ,99 12 45 46 , : : i3 0 17 , 74 i3 14 38 , 35 5o 38 26 48 5r 3o 49 54 6 00 39 IO II Vergine =: 6 Vergine := Marte = 12 45 39 , 65 i3 0 IO , 34 i3 8 40 , 73 48 5i 25 49 54 ., 50 1 1 4.5 i3 Vergine d Vergine := Marte =: 13 45 36 , 81 i3 0 7 , 28 i3 5 42 , 5o 48 5i 25 49 54 6 49 58 i3 Per ridurre le precedenti osservazioni , ho calcolato le posizioni apparenti delle Stelle di confronto partendo dalle determinazioni medie del Catalogo del Sig. Piazzi^ ed ho ot- tenuto i seguenti risultati . Nomi AR app. in Tempo . Deci. Aust. Vergine . 28 Vergine 53a Vergine 6 Vergine Il'* 41' 18", 74 11 45 42 , 69 12 i3 22 , 17 la 3a 7 , 97 12 37 43 , 88 12 45 36 , 14 i3 0 6 , 60 4° 16' 32", 4 4 4 33 , 0 6 14 34 , 2 6 27 4,7 5 i5 27 , 3 3 28 20 , 8 4 3i 9,0 Dalle ascensioni rette , e dalle declinazioni del centro di Del Sic. Giovanni Santini . 357 Marte ricavate dalle precedenti osservazioni , correggendo quest'ultime dall'effetto della paratasse d'altezza — io", 8, ed aggiungendoli il semidiametro ricavato dalle medesime os- servazioni -4- 8", 6, ho dedotto le longitudini, e latitudini del Pianeta, servendomi dell' obbliquità apparente 2.0° o.'j' 4-4-' ^7 • Ho ridotto le posizioni all'equinozio medio applicando alle longitudini osservate l' aberrazione — 4" 5 7 5 ^ ^^ nutazione — io", I . Dietro ciò ho ottenuto i seguenti risultati, ove le colonne = errori in longitudine , e latitudine = indicano la differenza fra il luogo calcolato colle tavole del chiarissimo Triestneker (Yienna. 1804), e il luogo osservato, il segno -t- indicando un luogo calcolato maggiore, e viceversa. Gior. Tempo Medio . AR app. osser. di Marte. Deci. Austr. del centro . Long, media. Latitudine Boreale . Errori in Long, in Lat. Marzo Aprile 3o 7 II i3 i2''53'4i",5 12 II i3 ,7 II 49 4° ' 9 Il 38 54,3 201 "22' 24" -.2 198 36 48 , 7 197 916,8 196 25 37 , 4 6" 9'5i"/|-^- 5 16 8,1 4 48 43 , 5 4 35 II , i 6'23<' 3'io",i 6 19 IO 6^3 6 17 38 57 ,3 6 16 53 27 ,6 2» 37' 22":± 2 20 29 , 1 2 17 46,5 2 i3 36 , 7 ->-H"A -Hi3 , 9 -t-27 , 7 -1-18 ,2 -1-5" ,0: -3,5 -5,5 Medio -t-ai", I -4",o Si osservi , che nel prendere il medio degli errori in la- titudine , ho esclusa la prima osservazione , giacché avevo qualche sospetto sulla declinazione osservata . Con un calcolo d'approssimazione trovo, che l'opposizione ebbe luogo il dì 8 Aprile a i3*4i'4^ 5 epoca per la quale calcolando i luo- ghi della Terra, e di Marte, e correggendo quest' ultimo dall' errore eliocentrico delle tavole, che in longitudine è =-f-8",c in latitudine — i", 5 si ottengono i seguenti risultati . 8 Aprile i3*4i'4o" Longit. elice, di d" = 6' i8°45'45",6 Moto orario di0 = a'27",i4 Longitudine di 5 =:6 18 4^ 35 , i di d" := i 9,5 Differ. := io",5 Moto relativo := 1 17", 6 Ho dedotto di qui, che il vero momento dell'opposizio- ne ebbe luogo il medesimo giorno a i3*5o'35". La longitu- dine vera eliocentrica di Marte era allora = 6' i8°45'54"5 9 ; la latitudine eliocentrica Boreale =: 0° 54' aS", 5 . 358 Opposizione di Urano ► X.°- Opposizione di Urano osservata V anno 1009. Non mi riuscì di fare per l'incostanza del tempo, che le tre seguenti osservazioni, dalle quali col soccorso delle tavo- le del Sig. De-Lambre sopra citate ho ricavato il vero mo- mento dell' opposizione . 1809. Aprile . Maggio Giorni Nomi (li Stelle . Tempo del pend. di Megliele. Distanza dal Zenit. 2,6 «a = 53a Mayer Urano ^ i3'' 53'25", 5o 14 8 5 ,91 4 14 16 , 34 14 21 17 , 16 59° 25' 29" 57 5i 54 57 5i 35 59 I 56± 29 OR = A °S = Urano rz i3 53 17,11 14 7 57 ,36 14 20 39 , 36 59 a5 3o 57 5i 52 ,5 58 58 39,0 1 "R = X «9. = 572 Mayer i= Urano =: i3 53 IO 5 01 14 7 5o , o5 14 14 0 ,44 14 20 la , 3o 59 a5 3o j 0 57 5i 48 57 5i 36 58 57 18 Per calcolare le posizioni di Urano, mi sono servito delle se- guenti posizioni apparenti delle Stelle dedotte dal Catalogo sopra citato . Vergine . . . AR app. = i3*54' io", 24 Deci. Austr. =: 14° 2' 5a", a X Vergine := i4 8 49 j 97 = 12 29 12 , o 572 Mayer =: la i5 o , 78 ^ 12 29 5,1 Di qui mi risultano le seguenti posizioni osservate j a lato delle longitudini e latitudini si troveranno al solito gli errori delle tavole del Sig. De-Lambre . Gior. Aprile Magg. 26 29 Tempo Medio . 12 » 3' 35" II 5: 33 1 1 43 26 AR app. oss 7'5<'3o'28",8 7 5 23 4 5 5 7 5 18 7.5 Deci. Aust. i3''39'24".4± i3 36 24, 5 Longit. Media osservata , 7'7°42'35",id: 773448,2 7 7 39 43 , 7 Latit. B. o°2a' : : o 28 26,0 o 28 24^2 Medio =: Errori n imi. ili lat. -I" -o , o -ia",5 -12 , 3 ^^^i^ Long, di Terra -.-20" 9 e-'iS'Ag",! 9 59,t 5 36,3 Del Src. Giovanni Santini . 35g Si deduce dai dati precedenti, che l'opposizione ebbe luogo il giorno 2,7 Aprile a aa'' 14' i4" t. m.; mentre la longitudine di Urano, e della Terra erano =7^7° 38' 47") 2, j la latitudi- ne geocentrica 0° 28' 26", 5 . XI. '^ Opposizione di Pullade assennata nell'anno 1809. E questa la j^rima opposizione di Pallade,clie abbia po- tuto osservare . Nello scorso anno lo cercai lungo tempo inu- tilmente al quadrante murale . L'essere stato egli di luce mol- to debole, e confuso fra infinite altre Stelle piccole nella via lattea, fu causa, che non lo potei riconoscere. In quest'an- no, sebbene di luce molto languida, pure soffriva una debole illuminazione nel cannocchiale. In tal guisa ne potei fare le seguenti osservazioni intorno alla sua opposizione. Avrei de- siderato di continuar la serie delle osservazioni ; ma il suo indebolimento, e lo stato dell'Atmosfera, che si caricò di va- pori densi, da non togliere in vero, la vista delle Stelle di 6.^ in 7.=" grandezza, ma bensì quella del Pianeta, mi fecero perder la speranza di più rivederlo in quest'anno. 1809. Setteml Giorni Nomi di Stelle. Temp. del peud di Megli, regol. su! temp. sidereo Distanze al Zenit . 8 i Balena =: Pallide = 0* io' 14", 7 021 3 , 2± .55° i5' 7" 48 43 40 i3 29 K i Balena =: Pallad'e' ' ' = a3 Sa aS , 80 0 IO 4 ) 69 0 14 37 ,89 0 17 3G ,93 49 27 47 55 i5 7 49 54 3o 49 S7 3o '4 K 971 Mayer 29 K . . . = i Balena =r Pallade = 23 22 0,61 23 Sa a3 , 78 010 2 , 35 0 16 Sa , 3q 5o 3o 5 49 37 49 55 i5 18 50 13 14 17 K 971 Mayer 29 K . . . = Pallade a3 ai 57^31 a3 Sa ao , 18 0 14 4*' 5 2 0 14 46 7 So 3o IO 49 27 54 50 58 y ho 56 0 18 K 971 Mayer 983 «= 19 )f 23 21 55,85 a3 38 59 , 29 a3 52 18 , 87 So 3o 3 Sa 48 44 49 27 53 5i 12 20 Pallade = 0 i3 55 . 00 36o Opposizione di Pallade 1809. Giorni Nomi di Strile. Temp. del peiid. di Megli, regol. sul temp. sidereo Distanze al Zenit . Setteml). 21 K 971 Mayer^ 983 =« = 3o « Pallade = 23* ai' 48" ,49 s3 38 Si ,80 23 52 18,34 0 II Sa , 7 : So" 3o I , 5 Sa 48 38 Sa 26 45 Si 58 i5 aa K 971 Mayer = 983 «a 3o K Pallade = 23 31 4S , i3 a3 38 48 , 64 a3 Sa 14,86 0 IO 4'^ - 34 So 3o 7 Sa 48 33 Sa 26 5o Sa i3 iS aS i K 971 Mayer 983 =« 3o K Pallade 23 21 4^ 5 a3 23 38 46 , a : 23 Sa 1 1 , So 0 9 56 ,73 So 3o 1 1 Sa 48 45 Sa 26 57 Sa 28 aa 24 ' 983 «» 3o K Pallade 23 38 4a , 66 a3 Sa 8,74 0 9 7 , 56 Sa 48 4a Sa 26 49 52 43 i3 25 3o K Pallade aS Sa S ,3i 0 8 18 .35 5a a6 Sa Sa 58 49 Per dedurre da queste osservazioni le posizioni di Pallade ho adoperato i seguenti elementi . ì della Balena AR app. = a" a6' ia",3 Deci. Auet. g" 5a'3i",9 29 de' Pesci = 3S8° i 19 , i =4 4 55 , o X 971 del Mayer . . . . = 35o aS 39 ^ 6 =5 7 i3 , 6 30 de'Pesci .:..... = 358 3 6,3 =7 3 58 , 3 983 dell'Aquario . . . . = 354 4' 3' ; 7 = 7 aS 56 , 5 Per ridurre le ascensioni rette di Pallade , e le declinazioni all' equinozio medio , e renderle comparabili alle ascensioni rette, e declinazioni calcolate ho applicato alle AR osserva- te r aberrazione in AR = — 7" , 5 , e la nutazione — 7" , 6 ; alle declinazioni vi ho aggiunto -4- io",o per l'aberrazione, -Ha", 5 per la nutazione, e — 3", 7 per conto della paralas- se d' altezza . Ho paragonato le osservazioni agli elementi del Sig. Carlini adoperando i seguenti costanti . A' = 263°. 47'. 58" ,8 .... Log. sen. « = 9,9987957 B' = 173 58 37 , o . . . . Log. sen. t = 9 ,9920953 C = 14 5i 48 , 7 ... . Log. sen. e =9,3078573. In tal guisa ho ottenuti i seguenti risultati . 1809. Del Sic. CioxAxisì Santini . 36 1 819. Gior. I™P° AR Media j^^ ^^,^^j Diffcr. Deci. Aust. Berlin, ralcol. Differ. Medio . osserv. osserv. lett. 8 i3''io' e" ,7 5° 8' 4",7 4 18 55 ,9 5° 8' o",a - 4" ,5 3° 20' 56".2 3° 24' 54" ,6 -f-3'58"4 i3 12 47 0,4 4 1743,2 — 7a,7 4 3449.8 4 39 3 , e -+-4 j3 ,2 >4 12 42 27 , I 4 8 20 , 7 4 75', 8 — 28 ,9 4 49 28,8 4 53 47, e -1-4 i3,a •7 18 3 36 4.7 3 25 9,0 3 35 38 , 1 — 26 ,6 12 23 5i ,0 3 24 38 , 7 -3o,3 5 49 46 , 5 5 53 53,7 -»-4 7,2 21 12 949,0 3 5i 28,3 2 5i 6,7 — ar ,6 6 35 38,4 6 89 27 , 8 :itr,t 22 12 5 9,1 2 40 27 , 7 2 39 46 , 8 — 40,9 6 5o 35,8 6 54 32 , 3 23 12 0 28 , 0 2 29 5,8 3 28 23 , 3 — 42,5 7 5 37 ,7 7 934,8 7 24 35 , 1 -t- 3 57 , 1 .5 1 1 5Ó 46 , 0 a 17 3i , 8 a 16 56 ,7 — 35,1 7 20 34 , 0 -+-4 1,1 1 1 5 1 4 ' <^ 2 6 6,8 2 5 3o,7 — 36, I 7 36 5,6 7 39 35 , 1 -t- 3 29 . 5 Medio = -33,9 Medio = -(-3 58 ,9 Per dedurre l' opposizione da queste osservazioni ho applica- to i qui riferiti errori medi alle ascensioni rette , e declina- zioni calcolate per i giorni aa , e 2,3 Settembre , e quindi coU'obbliquità media dell' ecclittica a3° 27' 5a", o ho calcola- to le longitudini e latitudini medie di Pallade, e la longits- dine eliocentrica della Terra colle tavole del Sig. De-Lambre , onde ho ottenuto i seiiuenti risultati . Giorni T. Medio Longit. media di 5 osserv. Longit. di 5 -f- 20" Latit. Aust. di i 22 23 12* 5' 9",i 12 0 28 , C 359° 42' 45", 2 359 26 i3 , 5 359° 29' 45",o 36c 28 21 ,8 7''2o'i7",4 7 29 3 1 , 8 Settemb. Si deduce da questi dati, che l'opposizione ebbe luogo il giorno aa Settembre a i6*i3'3i', 9 essendo allora la sua lon- gitudine contata dall'equinozio medio := 359° ^9' 53", 6 . I^a sua latitudine australe geocentrica = 7° ai' 53", 3 . XTI.'^ Osservazione del nuovo Pianeta Cerere intorno . alla sua opposizione nell'anno 1809. Le osservazioni di quest'anno sono state fatte al solito quadrante murale , servendosi del pendolo di Meghele rego- lato sul tempo sidereo, e riducendole tutte al terzo sito del quadrante Murale mediante le già note distanze degli altri . Tomo XV. 46 6:i OU:i Opposizione di Cerere . Esporremo nella seguente tabella quelle , che lo stato dell* atmosfera ci ha permesso di fare . 1809. jiorni Nomi di Stelle T. del pendolo Distanze al Zenit . Gran. Salena 7.8 2'' 3' 0", 90 41° 16' a" 18 » Balena 4-5 a 25 21 ,38 40 37 49 Ottobre . Balena 6.7 a 29 41 , 72 40 6 4 Cerere =: 2 58 5o , 66 39 55 17 V Balena a aS 9)4" 40 37 4? 2a Balena 2 39 29 , 88 40 6 I Cerere 2 55 a6 , 08 40 4 55 balena zr 2 3 4^ 5 '"^ 41 16 1,5 24 V Balena rz a 25 a , 68 40 37 46 Balena =r a 29 23 , la 40 b 3 Cerere = 2 53 38 , 16 40 9 34 Balena zz a a 38 , 46 41 16 I a5 V Balena zr a 24 58 , 90 40 37 46 Balena = a 29 19 , 26 40 6 0 Cerere zz 2 52 4^ , 44 40 I r 46 Balena :^ 2 2 34 , 60 41 16 3 26 V Balena =: 2 24 55 , 12 40 37 49 Balena =1 a 29 i5 , 80 40 6 a Cerere ^ 3 5i ^6 , 3.1=1 40 14 0 Balena zz a 2 1 1 , 6f) 41 ib 4 Novemb. ì! Balena 2 24 3 1 , 48 40 37 46 Balena =: 2 28 52 , 24 40 6 3 Cerere :^ 3 45 58 , 76 40 25 45 5 Balena 2 I ói , 16 41 ib 3 8 V Balena 2 24 11,4? 40 37 46 Cerere zz 2 39 9 ^ 5^7 40 35 45 Balena rz a I 47 , 09 41 16 2 9 V Balena a 24 7 , 84 40 37 45 Balena a a8 38 , 02 40 6 0 Cerere a 38 9 , 93 40 36 44 . Balena a I 4.3 , 69 41 ib 2 V Balena a 34 4 , 19 40 37 46 Balena a 28 34 , 54 40 6 2 Cerere a 37 IO , 1 : 40 37 43 Balena a I 28 , 77 41 ib 2 22 V Balena 3 23 49 , 3a 40 37 45 Cerere 3 26 36 , 70 40 39 0 Balena 2 I 27 , i5 41 16 0 23 V Balena 2 a3 4? ) 5° 40 37 46 '■ Cerere 3 25 48 , 53 40 38 19 >iK, Servendomi delle posizioni apparenti delle Stelle calcolate me- diante le posizioni medie del Catalogo del Sig. Piazzi, ho Del SiG. Giovanni Santi NI 36; ottenuto per Cerere i seguenti risultati., facendo uso, per ridurre al centro della Terra le declinazioni , della paratasse d'altezza -H 3" , o . 1809. Ottob. Nov. Gior. Tempo AR Deci. Long, rli 2 Latitudine Errore | Medio . apparente . Boreale . dell' Eq. Med. Auét. • ^■••»— .^-^^-^ J in lonff. in lat. 18 iS'ii' 2", 8 44°5i' i2",o 5" 28' 7",i 44° '' »"=' 11° 4'3l",3 -^i6"y[ -(-23",a 22 12 52 14 5 2 44 3 2,7 5 18 27 , 0 43 II 24,7 IO 5g 54 ,0 -t-28 , 9 -t-a7,c 24 12 42 4' 5 5 43 37 44,5 5 i3 47,7 43 45 28,8 IO .56 58,7 -t-a8 , 7 -1-26,5 25 12 37 53 , 7 43 24 4Ó , 6 5 II 34 , 9 4^ 32 i3 ,9 IO 55 14 ; 7 -H29,4 -t-32 ,3 26 12 33 5 , 5 43 11 37 ,7 5 g 23 , 0 42 1 8 5 1 j e IO 53 0:1 , 0 -t-3i ,7 -i-3o , 2 I 12 4 6,7 41 5o 34,6 4 57 37,3 4o 56 So , 0 IO 40 38 ,5 -4-29 , 2 -(-28,3 8 1 1 3o 7,4 40 i3 20 ,0 4 47 35 , 0 39 19 53 , 1 IO 20 35 ,4 -♦-27,2 -(-28,7 9 II a5 16 , 5 39 59 26,7 4 46 36 , 0 39 6 r I . 4 IO 17 10,4 -t-29 ,4 -t-3i,4 10 II 20 24 5 ' 39 45 22, 8d: 4 45 37,9 38 52 20 ,9 IO i3 40 j 5 -H45:: -♦-42 : : 22 IO 22 56 j 4 37 IO 45 ? 5 4 44 20 , 4 4 45 1,0 36 23 34 , 6 9 26 18 ,3 -1-36,9 -H29,9 23 IO i3 14 - 0 36 59 8.7 36 12 41 ,5 9 21 56 . 3 -4-i5,3 -t-25 , 4 Medio . . ■^-7" A -1-29" ,3 Nel prendere il medio da'" precedenti errori ho escluso le os- servazioni del 18 Ottobre, io e 2,3 di Novembre , perchè un poco troppo lontane dall'altre, massime per rapporto alla lon- gitudine . Gli elementi , ai quali ho paragonate le precedenti osservazioni sono i XIII del Sig. Dott. Gauss riferiti anche dal Sig. Carlini nelle sue Etemeridi per il 1810. Ho corret- to poi i luoghi ellittici colle tavole di perturbazioni del me- desimo Sig. Gauss date nel VII volume della corrispondenza niensuale del cel. Baron di Zach . Conviene di più notare, che per il calcolo delle longitudini mi sono servito dell' ob- bliquità apparente a3° 2,7' 43",4'' ^ P^^ ridurle all'equinozio medio ho applicato alle longitudini la nutazione — 7" , 2 , e l'aberrazione — 8",4i dalle latitudini jjoi ho sottratto per conto dell'aberrazione della luce i",2. L'opposizione del Pianeta col Sole avendo avuto luogo fra il a e 3 di Novembre, ho calcolato per questi due gior- ni a mezzo giorno medio i Inoghi del Sole colle più volte citate tavole del Sig. De-Lambre, e correggendo coi surrife- riti errori le posizioni calcolate di Cerere, ho ottenuto i se- guenti risultati . 364 Opposizioxe di Cerehe . Novembre Giorni Ttrnpo Med. Loiigit. Med. di Cerere . Loiigit. di 5 -t-20" Latit. Aust. di Cerere . 2 3 o» o' o" eoo 4o'>49'5i",i 40 36 20 , 8 39° 39' 8",7 40 89 20 ^ I 10° 40' 8",7 IO 36 54,9 Di qui mi risulta, che l'opposizione ebbe luogo il 2, Novem- bre a 23^ i' 36", 5 t. m. La longitudine di Cerere, e della Terra dall'equinozio medio essendo =40° 36' 53", 6. La sua latitudine australe geocentrica = 10° 37' a" , 8 . XIII. " Opposizione del nuovo Pianeta Vesta deW anno 181 o osservata al quadrante murale di Ramsden . 1809. Dicembre Il > Gennajo Febbrajo Giorni Nomi di Stelle Tempo Sidereo del pendolo . Dist. al Zenit nello strumento. 27 D K 9 « = 6'' 36' 7", 38 6 47 6 , 14 7 4 43 , 74 23°a5'3o" 28 II 37 23 441,5 29 D 9 = 6 7 16 , 64 6 35 59 , 40 6 44 44 , 80 7 4 35 , 76 22 47 59 23 25 3 I 28 3 22 23 4 40 , 5 00 D = 6 7 i3 , 72 6 35 55 , 20 6 43 33 , qo 7 4 3i , 5o 22 47 58 28 25 3o 22 59 14 i 5 28 4 33 3i D = 6 7 9 , 82 6 35 5i , 3o 6 42' 22 , 56 7 4 27 ,44 22 47 58 28 25 3i 22 55 8 28 442 I ~~" 6 35 46 • 90 6 4' '° 5 3o 7 4 ^3 , io 28 a5 3i 22 5 1 3 23 4 4' ' S 2 D è' = 6 35 42 , 64 6 39 58 , 32 7 4 18 ,88 28 25 82 22 47 4 28 4 4^ 5 25 è' = 6 36 21 ± 7 4 3 22 35 27 28 4 44 9 £ X — . 6 II 58 ,59 6 3i 8 , IO 20 45 58 20 5 85 IO e = 6 II 36 , 52 6 3i 3 ,24 20 43 5o 20 5 86 Del Sic. Giovanni Santini . 565 Giorni Tempo Medio . AR app. di J Deci. Bor. Dicemb. 27 12'' 27' 3" ,4 io2''47'28",6 22''l2'ia",I 29 12 16 58 ,t) 102 14 8,7 22 20 26 , 5 3o 12 II 56 , 1 loi 57 26 ,8 22 24 32 ,4 3i 12 6 53 , 0 = loi 4^ 36 , I 22 28 4° 5 8 Gennaio I 12 I 49 > fi^^^jioi 23 38 , 6 22 32 4? , I a II 56 45 ) 8 ^1 IO I 6 4^ 3 5 22 36 46 , 8 & II 41 37 : = 100 16 J 23 48 23 : Febbrajo 9 8 56 6 93 16 35 ,2 24 37 5q , 8 IO 8 5i 53 93 12 17 . 1 24 40 3 . R Le A R , e declinazioni delle Stelle sonosi prese dalle Efemeridi di Milano del 1810, eccettuata D de' Gemini, la quale non ritrovandosi in quel Catalogo si è desunta dal gran Catalogo di Piazzi aggiungendo 4 ' •> p all' AH* , e togliendo 1", 5 alla declinazione . Ecco le posizioni apparenti delle Stelle , per il i Gen- naro 1810. ^ Gemini =ARapp.= 9a<'5o,'ii",8Decl. = aa°35'46",i8 D Gemini = =100 a.^^^() =2,1 58 19, 3 d Gemini = :=io7 11 53,4 =2,a 19 3, i IO Febbrajo 18 io. £ Gemini = = 98 3 58,2, =a5 18 16, 9 Alle declinazioni osservate del Pianeta lio aggiunto a", i per la paralasse d^altezza nelle osservazioni di Decembre e Genna- joj ed i",7 nell'osservazioni di Febbrajo. Ho calcolato le longitudini , e latitudini osservate con l'obbliquità apparente a3°a7'4a%4 togliendo dalle longitudi- ni — 7", 4 per conto dell'aberrazione, — 6", 4 per conto del- la nutazione; e dalle latitudini — i",5 per l'aberrazione. Ho confrontate alcune di queste osservazioni ai IV Ele- menti del celebre Dott. Gauss ridotti al i Gennajo col mezzo delle variazioni secolari, calcolando l'equazione del centro colla formula seguente , ( che mi risultò adottando l' eccen» tricità o ,0887897 ) . 366 OPPOSIZIONE DI Vesta . E = — SóSga", 34 sen. 2 -+- 2,02,6 ,88 sen. ù.z — i55 ,66 sen. Sa -4- i3 ,67 sen. 42 /— I 5 ag sen. oz -4- o , 1 3 sen . 6z — 0,01 sen. 72 Prendendo i luoghi del Sole dalle tavole del Sig. De-Lambre ., ho ottenuti i risultati qui esposti . Giorni Longit. osserv. dall' Eq.M. Longitudine calcolata . Errori degli Latitudine Australe Latitudine calcolata . Errori Longit. di Sole! degli -t-6'o°c'2o" j Elementi osservata . Elemen. — JNutazione . Decemb. 27 101°. 49' .32" ,3 101 .57.34,4 -k8' 2",I o«44' i",6 o°.44'.i8",o -t-i6",4 3^ 5»54'2o",8 29 loi . 18 . 5 j 6 loi . 26 . 6,8 -♦-8 1,2 0 38 28 , 8 0 . 38 . 42 , 7 -H l3,q 3 7 56 14 , 7 3o IO! . a .22 , e loi . IO .26 ,4 -1-8 4,4 0 35 4' , 0 0. 35 . 53 , 7 H- Ì2 , 7 3 85711,4 3 9 58 9,5 3i 100 .46 .3o j 5 100 . 3o . 34 , e 100 . 54 -36 ,8 -+•8 6,3 0 32 49 , 6 0 . 33. 4 j ' -H.4,5 Gennaio I 100 . 38 .44 5^ -1-8 IO ,2, e 29 58 , 9 0 .3o . 14, 1 -Hl5,2 3 10 69 7,6 a 100 . t4-4'^ ' '^ 100 . 22 . 52 , 1 -1-8 12 , I 0 27 i3 , I 0 . 27 . 28 , 2 -1- IO . 1 3 i 2 0 5,7 Medio -t-8 6,1 -H i3,, 8 L'opposizione cadendo fra i giorni 3i Decerabre , e i Gen- najo , correggo le posizioni calcolate per questi due giorni mediante l'error medio, e confrontandoli colle longitudini del Sole, deduco l'instante dell'opposizione, come segue." T. Medio Long.Geoc.di55 Longit. di $ Lat. Aust. di'S 1809. = 3i Decemb. = 12'' 6' 53",o = 100° 46' 3o",6 = 99058' 9",5 = o . 32 . 5o ,3 1810. ^ I Genuajo =r 12 i 49 ■ 6 ^= ico 3o 38 , o ^100 69 7 , 6^0 . 3o . o , 3 Differenze =23.54.56, 6 = i5.52",6^ 6o.58",i= 2.5o,o Si deduce di qui, che l'opposizione ebbe luogo il i Gennajo a 3'' 9' 45" 7 5 mentre la longitudine di K era ^ 100° 36' 3 1 ",2. La latitudine Australe = o 3i 3,3 Errore eliocentrico in longitudine -+- 5 0,6 Errore eliocentrico in latitudine -t- o Jji •; 8,5 Del Sic. Giovanni Santini . àbj APPENDICE. Contenente le formule numeriche delle perturbazioni del nuovo Pianeta Vesta calcolate dietro la Teorìa del Sig. Se- natore La-Place, supposta l'eccentricità di Vesta, e gli altri elementi ellittici, come sono rappresentati dai III Elementi del celebre Dott. Gauss, e la sola massa perturbatrice esser quella di Giove ^ non avendo di più riguardo, che alle pri- me potenze dell'eccentricità. Si è eseguito il calcolo in due differenti Ipotesi del moto medio per poter più facilmente applicare le medesime formule ad un altro sistema del moto medio. La l'ipotesi suppone il moto medio, come è rappre- sentato dai suddetti elementi ; nella seconda si è fatto au- mentare il moto annuo di 20' . Perturbazioni in loii(^itiuiine. I. Ipotesi . II. Ipotesi. -ii3",8a sen. -i3i , o3 sen. - i3 , 66 sen. !ì , 84 sen . - o , 77 sen. - o , 23 sen. - ai",75 sen. - i4j 4' ^'^"• -i37 , o3 sen. - 24/ '3 sen. -143 , o3 sen. 1-165 , 4° sen. - S , Q.àèen. h 6 , oi sen. H i3 , 4? s^" - o , 88 sen - i5 , 3() sen - o , 35 sen - I ^ 92 sen - o, i3 sen D aD 3D 4D 5D 6D (D- A' (sD (D- (3D ( aD (4D ,(3D .(D-^ . ( aD .(aD .(3D .(3D .(4D A) -A) ■A') -A) -A') -A) -A'), A) 4- A') +-A) t-A') *-A) t-A') — ii2",8q -+-129 , 58 -H i3,49 ■+■ 2, 81 ■+■ o , 65 -»- e , aa — 2," ,67 — 14 , 40 -f-iS4, 17 — 23 , 63 -139 , 43 -t-i53 ,93 -4,93 -t- 5,58 ■+■ la ,33 — 0,88 — i5 , 19 — o , 35 — 1.9^ — o j i3 Perturbazioni nel raggio vettore , I. Ipotesi . II. Ipotesi • 0,000044 • 0,000481 COS. • 0,000919 COS. • 0,000117 COS. • 0,000027 COS. ■ 0,000008 COS. ■ o,ooooo3 COS. - o,ooooa3 COS. - o,oococa COS. - 0,000082 COS. - 0,00002.5 COS. - 0,000292 COS. - 0, 000062 COS. - 0,000871 COS. - 0,000999 COS. - 0,000044 COS. - 0.000048 COS. - 0,000070 COS. h 0,000007 COS. - 0,000076 COS. h C,OOOOo3 COS. - 0,000011 COS. I- 0,060001 COS. D 2D 3D 4D 5D 6D A ( D -t- A' ) (D-A) A' (aD — A) (D-A') (3D — A) (aD — A') (4D-A) ( 3 D — A' ) (Dh-A) (2D-4-A') (2D-4-A) (3DH-A') (3D-t-A) ( 41' -^ 'V ) — 0,000044 -I- 0,000475 — 0,000905 — 0,0001 15 — 0,000026 — o,ooooc5 — o,oooooa ■+■ OjOocoa4 -t- o,ooooo3 — o,oooo8r -t- 0,000026 — 0,000287 -t- e, 000061 -f- o,ooo85i — 0,000980 ■+■ 0,000041 — 0,000045 -t- 0,000060 ■+■ 0,000007 — 0,000076 -f- o,ooooo3 — 0,00001 1 ■+• CjOOOCCI 368 A p I' e N n I e li Le peiiurbazloni in latitudine sono state calcolate nella sola prima Ipotesi , giacché esse non ricevono un sensibile aumento per la variazione supposta del moto medio. Essemi jisultano, come segue. Disuguaglianze di Vesta in latitudine ~ -h- 3",oo sen. ( Tp — ;r ) — 5 , oa sen. (25 — aìp-+-;r) -f- i3 , ©3 sen. ( 2 S — 3 TP -+- ;r ) -I- o ,56 sen. (335 — 4Ì|; -t- ;r ) — I ,25 sen. ( 2^5 — "Ip — x) — o,26sen.(3S — TP— ;r). Convien rimarcare , che nelle formole precedenti si è supposto 'ip = alla longitudine media di Giove S = alla longitudine media di Vesta "' D = S — T A = Anomalia media di Vesta A' = Anomalia media di Giove 71 = a84° 2,4' = Nodo ascendente dell' orbita di Giove so- pra quella di Vesta . Quando i calcoli precedenti furono da me eseguiti, non m'erano ancora venuti alle mani i IV Elementi del più vol- te lodato S'ìs^. Gauss ^'\ quali soddisfano mirabilmente alle os- servazioni, che si hanno, di Vesta . Credo pertanto cosa non ino[)portuna aggiungere le inuguaglianze dipendenti dai IV Elementi medesimi, che si possono vedere esposti nell'Efe- meridi di Milano per il 1810 . Si ricavano facilmente dalle 2, ipotesi surriferite, aumen- tando i coefficienti nella I ipotesi di ima quantità convenien- te alla diminuzione del moto medio annuo, che nel caso no- stro è di 2.6' 19"; e moltiplicando i coefficienti dipendenti da A per il rapporto delle due eccentricità, che è di i : i -H jg incirca . Sommando i termini dipendenti da un medesimo an- golo variabile nell' ipotesi de' III , e IV elementi , ottengo i due seguenti sistemi di inuguaglianze . j Equa- Del SiG. Giovanni Santini . 369 Eijuazioni di Vesta in longituc ine Le stesse calcolate nell'Ipotesi dipendentemente da Giove de' IV elementi . ne' IH elementi . — ii3",83sen. D — 114" ,78 sen. D -t-i3i ,o3 sen. a D -»-i32 ,52 sen. aD -H i3,66sen.3D -1- i3,85sen. 3D -»- 2,84 sen. 4 B H- 0,77 sen. 5 D -+- 2,87 sen. 4D -1- 0 ,89 sen. 5 D •+■ 0 ,23 sen. 6 D -f- 0 ,24 sen. 6 D ^ 3i ,75 sen. ( TP -^. 3 12° 57') -1- 32,61 sen. ( TPH-3ia»i7') .4-i5i ,02 sen. ( i — 2TP-1- 62" 0' -t-i59",57sen.( £ — 2T/;-(. 62» 18') ^269 ,25 sen. ( 2S — 31ÌJ-t-2i8° i3' -♦-287, 66 sen. (2 a — 3 Ti; -1-2 18° 8') -*- 9,83 sen. (3i-4Ti;-t-2i8° 21' -t- 10,71 sen.(3A — 4U;-f-2i8°43') -+- i3 ,96 sen. ( aS— %-t-!l<)3° 12' -+- i5,68sen.(2i-— T|;-4-2y2'' 5i' ) -t- i5 ,21 sen. ( 3 J^ — aip-Hiog" 2' -f- i5,62sen.(3;i; — 2l|;-f-io9<' 3') -»- i,8a8en.(4S — 3Tf;^io6° 35 H- i,86sen.(4^ — 3TP-t-io6°33') Equazioni del raggio vettore espresse in raillionesime parti. ■ 0,000044 -481 COS. D • 919 COS. 2 D - 117 COS. 3 D - 27 COS. àJ) ■ 8 COS. SD 3 COS. 6 D - 22 COS. ( ¥ ■+■ 285° 44' ) . 97 COS. ( TP-+-122 49) - 329 COS. { Ì, — 3.%-t- 299° a5' ) -i63a COS. ( 2 T — 3 TP -H 38 . ai ) - 80 COS. (3S— 411;-+- 39. 9) - 67 COS. ( a 2 — %-t- 285° o' I ) - 78 COS. ( 3 5 — 2 TP -<- 1 12° . 3' ) - n COS. (4£ — SIP-^ ii6«.34') — 1 ,000044 487 COS. D sD 3D 936 COS I 19 COS a8 COS. 4 ^ 9 COS. 5 D 3 COS. 6 D 24 COS. ( S -+- 286° 56' ) 100 COS. ( 1p -t- 121 . 57 ) 346 COS. ( ^ — 2.%-t. 299» 5') 1742 COS. ( 2 S -t- 38° . 14' ) 85 COS. ( 3 S — 4 Tf -t- 370.49 ) 80 COS. (25— Tf; -4- 285°. 57') 8a COS. ( 3 5^ — a1j;-(- 112°. 11') li C08. (4S — sip-t- 116.34) Tomo XV. 47 3.70 SULLA TEORIA DELL'ATTRAZIONE DEGLI SFEROIDI ELITTIGI MEMORIA Del Sic. Giovanni Plana. Phesentata dal SiG. Senatore Ori ani li ^4 Novembre 1810 ED approvata dal SlG. CaV. CeSARIS . ■ (Hit -+- ,iv I, "> i ;, .,ijB Od; t. -►- Il ■' 'ti-; "-^i44.Z3-^ec.) J l/a^-+-A*-t-c' \ ^ a. 4 a. 4. 6 / ponendo „ aar -f- ahy ■+■ acs — j' — y^ — 2' Essendo finora arbitraria la posizione dell'origine delle ordi- nate , nulla impedisce di supporla al centro di gravità dello sferoide , d' onde risultano le equazioni e per conseguenza y ^ ^ f^ ^"^ /x <£!±z!:^_i_iZ^_il4z3_ec.V |/a'.^-A'-+-c* jf l/a^-t-A'-t-c" Y «"-^^'t-c' 2-4 24.6 / Si concepisca a- ac sen. p sen. q — u\ «lalle quali si ottiene % j 3 / ù,acos. p-t-zh sen. p COS. tj-^ac sen. p sen. q—'uy'' ì — — rr • i . I . u^ Xu %p %q sen.»X (aa cos.p-t- ai sen.p cos.-z-t-ac sen./j sen. 7 — « \ (aa COS. p-i-ah sen. p cos. y-t-ac sen./> sen. q — u \'^ (a'^.é'_Hc')3 ^ — ec. Sviluppando le potenze della funzione sottoposta al segno in- tegrale , facilmente si scorge , che questo valore di V può venire espresso sotto la forma V = t/. J,.^,, - Cr:~, fff ^' 9n» V ^? sen.^^.X -:ì ( G -4- G'm -H G'V •+- ec. ) ; -! \^ ove le lettere G,G',G",ec. rappresentano delle funzioni ra- zionali e intere di sen./7, cos./?, sen.^, cos. ^ . Occupiamoci ora dell'integrazione della precedente serie . In primo luogo osservo , che chiamando U il raggio u con- l ( , ^ dotto dal centro fino alla superficie da una parte dello sfe- V" " roide, e U' quello, che va alla superficie dalla parte diame- tralmente opposta, si dovrà integrare da m = — U' fino a m=U; ma negli sferoidi dittici si ha U' = U , dunque -. j . A/U^ '^p %q sen.pX v=- ^' (G G" „^ G"" ,,. \ 579 / Prima di procedere alle ulteriori integrazioni si osservi, che essendo , ' A r Del Sic. Giovanni Plana.. SyS _, j , I i,acos. p-i-^b sen.p cos )f-i-:tc sen. p sen.q \^ _,„ , T 3 5 r, f za e OS. p-^2.b seri, p COS. q-i-2.c sen.p sen.qV^ ^^ 5 • a»-+-i'-4-c^ 2.4.6 ■ \ (a^H-i^^-c»)» / 3.5.7 / aa oos./i-*- ai sen.^ cos.y-+-ac sen. p spn. 9 jt' ce- le funzioni G, G", G"", ec. sono omogenee per rapporto alle quantità « ., Z» , e , di un grado rispettivamente eguale a o , — a , — 4 5 ^*^- ^ ^^^^ come tali hanno la propi-ietà di sod- disfare alle equazioni ec. Si vedrà in seguito l'utilità di quest'osservazione . Ritorniamo ora all'integrazione del valore di V , ohe an- cora dobbiamo eseguire per rapporto agli angoli j», e ^ i quali hanno entrambi per limiti o° , e 180°. Sia a:* ■+■ my'^ ■+- nz^ = K^ 1' equazione , che appartiene alla superficie dell' elissoide . Facendo in questa x = \J cos.p ,y = U sen.j» cos.^, 2 = U sen.j;; sen. q , ne risulterà K» U^= ; ;. 1— sen. "/» .1 ( I — m) cos. 'q-*-( i—n) sen. ^q ! Siccome questo valore di U non permette l'integrazione, è necessario di svolgerlo in una serie ordinata secondo le po- tenze di I — m, e I — n; allora il termìntt ff'^p'^q sen. p.^OV^, che appartiene al valore di V, darà una sene composta di termini facili ad integrarsi; supponendo adunque le due in- tegrazioni fatte , si avrà I ff.^P^q sen. pG\]' = K^K, indicando R una serie ordinata secondo le potenze di i — m^ e I — n . Invece delle quantità i — ni, i — n sarà più oppor- 3^4 Dell'attrazione degli Sferoidi Elittici . tuno di far uso delle eccentricità dell' elissoide . A questo uo- po osservisi, che chiamando d , u i quadrati delie eccentrici- tà sì ha 6 = K-.-i^=^, CT = K» '■" , W i»- • „ ? e per conseguenza __ e e_ 6^ £» I— w — j^,_^^— ^, — j^4 -i-j^j — ec, CT ZI V^ o' Sostituendo questi valori in quello della serie rappresentata da R, si otterrà una nuòva serie ordinata secondo le poten- ze di —, e — , che chiameremo R' . Avremo adunque f//-V^^sen./.GU^ = K5R', ovvero osservando , che SÌ potrà per conseguenza ridurre r^ — — ■ in una serie ordi- "o" 1/ mn nata secondo le potenze di — , e ^ j chiamando S questa se- rie , si avrà finalmente §//^» hsq sen.p GU^ = MK'S . Collo stesso raziocinio si dimostrerà, che il termine seguen- te ^ff%^p %^q sen.p G"U7 del valore ili V potrà essere espres- so da una quantità della forma MIC^S', indicando parimenti con S' un'altfa serie ordinata secondo le potenze di jt; , e ^. Resta adunque dimostrato , che il valore di V può essere messo sotto la forma — 1 . (a*-4-^<»-f-c^ — K^S — K^S' — K«S"— ec.ì V = ( a» -+-J» -*-«») Del Sic. Giovanni Plana. 87$ ove bisogna ritenere, die K^'S , K+S' , IC'S", ec. sono funzio- ni omogenee riguardo alle quantità a, b, e delle quali le ri- spettive dimensioni sono o, — a, — 4? ^^• Sia U la somma di tutti i termini della serie ( a'' -H A^ •+- c^ )- i . ( a- -+- Z*= -t^ c= — K-S — K4S' — K^S" — ec . ) , che sono indipendenti dalla lettera K . Egli è chiaro , che questi termini si trovano prendendo nella serie S quelli sol- tanto moltiplicati per ^i ? e ^ ; e prendendo parimenti nel- le serie S' , S" , ec. quelli moltiplicati per le potenze di K egua- li a — 4 5 — 6,ec. Tra i termini dipendenti dalla lettera K, prendiamo solamente quelli moltiplicati per la piìi piccola potenza di —5 che noi chiameremo r; tra questi si conside- rino soltanto quelli moltipllcati per la più piccola potenza di — che noi chiameremo r' ; e finalmente fra i coefficienti di -^p- . -^ conserviamo solamente quelli , che sono molti- plicati per la piìi piccola potenza di K^ , che noi chiamere- mo i . La somma di tutti questi termini dati dalla serie — [a'^b^^c^)-l{ K^S -4- I0S' -4- ec. ) , potrà adunque essere espressa da una funzione della forma K^' . YIT ■ x^ • P ' indicando P una funzione delle ordinate a , b ^ e indipendente dalle quantità K , 6 ^ e jsr . Ciò posto si avrà V = M . j U-4-K" . ^ . ;g;r P -t- ec. j , i essendo eguale o superiore all'unità, e r , r' indicando dei numeri interi, e positivi. Il valore di V posto sotto questa forma ci sarà utile in seguito , e prima di andare più oltre osserviamo j che P deve essere la somma di parecchie fun- zioni omogenee per rapporto alle quantità a, b, e delie quali S^ó Dell' attrazione degli Sferoidi Elittici . la più piccola in dimensione è di un ordine eguale a — 3 , giacché la frazione — K'S — K4?'— K^S" — ec. {a''-*-b'-^-c')i è composta di funzioni omogenee le dimensioni delle quali procedono secondo la serie — 3 , — 5 , — 7 , ec. 3. Col precedente metodo si può soltanto arrivare ad un valore approssimato di V ; ma le cognizioni, che noi n' ab- biamo tratto sulla forma di questa funzione serviranno per farci giungere al bellissimo teorema del Sig. Legendre median- te il quale, l'attrazione di un elissoide sopra un punto este- riore alia sua superficie dipende in ogni caso da quella dei punti situati sulla superficie . Secondo ciò , clie trovasi dimostrato al Capitolo primo del Tomo secondo della Meccanica Celeste si hanno le seguenti equazioni A = 2. / / .^p ^.q sen.pcos.p. B = a /J . ^p "^q sen. y cos. q C = a / / .^p '^q sen.^'/» sen. q L ' L 1 := a cos.p -i-mb sen./? cos.^-i-«c sen.p sen.q , L = COS. ^p-\-m sen.^p cos.^q -+-11 sen.^p sen.^q , - R = P -t- ( K^ — a^ — wZ** — nc-')L . I limiti delle integrali sono determinati dall'equazione R=o. Le quantità A , e V essendo fra loro legate per via dell' equazione A •+- | -^ ) = ^i ne risulta , che se fosse possibile di formare tra le medesime un' altra equazione , si potrebbe allora eliminarne A, ed avere un'equazione fra le differenze parziali di V prese per rapporto alle sei costanti a,b,c,m, », K di cui è funzione . La ricerca del valore di V sarebbe in Del Sic. Giovanni Plana. 877 in questo modo ridotta all' integrazione di un' equazione a differenze parziali , e siccome trattasi qui di aver soltanto un valore particolare della variabile principale , la forma stessa dell'equazione potrebbe servire a determinarlo. Non sarebbe facile, a mio avviso, il dimostrare a priori l'esistenza di una simile equazione; ma egli è certo, che se ella esiste deve essere del secondo ordine, poiché non v'han- no, che le equazioni di questo ordine cui si possa soddisfare per via di doppie integrali definite, siccome trovasi dimo- strato dal Sig. La-Place ( Académie de Paris année 1779 ) . Questa considerazione ci porta a combinare le differenze parziali del primo ordine delle quantità A , e V . Al cui fine vuoisi dimostrare, che per differenziare A per rapporto a qual- sivoglia delle sei costanti di cui è funzione, basterà diff'eren- ziare per rapporto alle stesse costanti la funzione sottoposta al segno integrale , e considerare in seguito la doppia inte- groKÌone fra li stessi limiti assegnati alla funzione A. Quindi si avrà, per esempio ( "Ir ) = - ff^P ^'^ ^^"^-P ^^^-J' • ^ • ^ i limiti di jy , e q essendo sempre quelli, che danno R==o. Per dimostrare l'equazione precedente è necessario fare alcune osservazioni sul principio conosciuto della differenzia- zione delle funzioni sottoposte al segno integrale . Allorché si ha y= /'X\x , e che X rappresenta una funzione qualun- <|ue di X, e di una costante a, si sa, che in generale, ~r- ■=^ j -^ — ^x'i ma importa molto di osservare , che quest' equazione cessa d'essere vera ove i limiti di x sono funzioni di a. Per darne un esempio semplicissimo, sia X=a^j;'* — ax-^b\ si otterrà 7 = ft^ ~ — a~-^bx-\- costante , e prendendo per i limiti di x\ x = o , x=p, si avrà Tomo Vr. 48 378 Dell' attrazione degli Sferoidi Elittici . 3 ^^=^a„3_^, e per conseguenza Ìf=3«r ossia -^— = / —- \x entro gli stessi limiti. Supponiamo ora, che i limiti di x siano ^ = o , x ■= a\ in questa ipotesi risultato molto diverso da quello, che si avrebbe prendendo -r— \x da X = o fino a x ■=^ a . Per dimostrare la stessa cosa in generale, sia U il valo- re indefinito di f\%x^ e siano x\ :x:' i valori di .r corrispon- denti ai limiti dell'integrale; noi avremo / = U" — U' (chia- mando U' , U" i valori di U corrispondenti ai limiti dati ) . Ciò posto , se si considerano le quantità x x" come funzioni di a, egli è manifesto, che si avrà Ora si comprende senza difficoltà , che | -^-^ ) è eguale a ciò, che diventa X quando si sostituisce x" in luogo di x; dunque chiamando X", X' i valori di X corrispondenti a X = x" , e X ^= x' , si avrà |r _/ àJJl\ / ML\ _<_x" -^ _X' . -^ : Ma ( Y~ ) — ( %~ ) ^ evidentemente eguale al valore di / Y~ 'Ò\X preso da ^ = x' fino a x = x" , dunque — =: / -r — ax -t- A . rv — iv • "K • Del Sic. Giovanni Plana. 879 Questo risultato ci mostra chiaramente , che l' equazione non può sussistere, se non nei due casi seguenti; r.° allor- che -r — = 0, -r— = o , la qua! cosa accade quando i limiti sono indipendenti dalla costante a; a." allorché X" = o , X'=c, il che ha luogo quando i limiti dell' integrale riducono a zero uno dei fattori della funzione X , ed è appunto quello , che accade alle quantità V , A , B , C . Infatti riprendiamo il va- lore di A = 2. . f^q f^p sen.p COS. p .^ , e chiamisi Q il valore di /^/> sen.ji? cos./» .'^^ preso entro i limiti che danno R = o; noi avremo A = 2,fQ'^q. Se ora si considera , che Q rappresenta l' attrazione di una porzione qualunque dell' elissoide compresa fra due piani infinitamente vicini , che passano pel punto attratto , si vedrà senza diffi- coltà , che i valori di q corrispondenti ai limiti dell' integra- le debbono rendere nulla la funzione Q, come quella, che dà la forza attrattiva di una porzione nulla verso i limiti di q . In vigore del principio dimostrato si avrà adunque 1-^-— j = a / -^— '^q ; ma i limiti di p sono tali, che R^o , per con- seguenza -^ =/^P sen./7 COS.;? • ^ • ^ » e finalmente y^) = ^f/^P^^5^»-P^os.p.^.^ . Stabilito in questo modo il principio della differenziazione sotto il doppio segno integrale, avremo 38o Dell' attrazione degli Sferoidi Elittici \^) ~ ^ 'ff'^P ^'^ ^^"'^ COS./? . v- aL^/R ~ ^ 'ff'^^P ^^ sen.;7cos./?R|^ — a • fj \P \q sen./?cos./»R ^ Sostituendo in luogo di -^ , -r— , -^ i loro yrr\ =2.m / / .^p^gsen.pcos.p.{lseiì.pcoi.g—bh):L]/R, l-~l = ara 1 I .'^p^qsen.pcos.p.{lsen.psen.q — eh)'. Lj/r (1^) ~ ^^^ff'^P ^^ ^^""-^ '^^^'^ ' "^^ ■ Osservisi adesso , che essendo L = cos.*/?-+-?;e sen.^/» cos.='^-t-« sen. ^p sen.*^ , ne risulta aLj/R aLi/l" aL[/R aL^/R i loro valori si otterrà 8vL IL — „ =sen.*o cos.*tfr, -^rsrsen.^iSsen.V, e per conseguenza TO . IL IL — sen .7? , n . -V— = L — COS. '/> Sottraendo queste due equazioni l'una dall'altra, si avrà iir- ( — ')^^(«-^)f- = L-i Del Sic. Giovanni Plana. 38 i Col soccorso di questa equazione, se si moltiplica ("ÓT"1 pei I—m, (-|t) P^'' I — ^^5 si otterrà -(".-'"■). (|^)-(»-.).(|^) = ossia _(„,_, ,(|^)-(.-.)(f)-A = -^//.^/' V'-^SÌtT .((".-.) 1^ *("-.) -^j R — a//.V^^sen./;cos./7.£;j^ (a) ricordandosi , che A = ^ff%p ^^ sen./; cos.77 . '^ . Ora abbiamo Y-=2lZ'sen.^cos.<7 — h^'L-\-{¥j' — a^ — ìnb"" — rtc^)sen.^yPC03.^^, -^=alcsen./7sen.^ — c='L-i-(K* — a* — mb'^ — rac'')sen.*/;sen.='y, e sostituendo questi valori nell'equazione (a) si avrà sen.p COS./; . jjp^ -^ffÒsP ì^q l[/k X j(w-i)Iisen,/?cos.5'-»-(7z-i)Icsen.jE7sen.(7 — l^^U^L— I^^Jc^L [ + ^ ( K> _ ^^ _ ,nb^ _ nc^ )ff.^P \q ^^^^ - a ( K- - a- - nai- - ne- ) // ^/; ^y sen.p.cos.p aLt/R 33ii Dell'attrazione degli Sferoidi Elittici . Paragonando il secondo membro di quest'equazione con i va- lori precedenti di (■^ì , ('It)-) i^x) facilmente si trova la secuente equazione -(»-.).(^)-(»-.)(|^)-A.-(^)..(|f) =/J%p ^^qsen.jj COS. p.^^ "Vt/S:""' f—^ff-'^P^'ì^^^-P^^^-P-U^- la quale , per essere R = P -H ( K" — a^ — mb^ — nc^ ) L si riduce a _,„_.,.(|^)_(„_„.(ii)_.^(==.),.(^) -^-(— ;'^^ir;-^v — ^ — lyi^ì = — //^/^^N^sen./? cos./^.^-l^p:^ (/3) Per togliere il segno d'integrazione dal secondo membro di quest'equazione osservisi, che i, (-ff) =a .y/V 3\'7 sen.;? cos.p. g^ —^affÌ,p^q ^^":^ IPT e per conseguenza / / ,, i / i.i Questo risultato essendp sostituito nell'equazione {^)j si avrà Tale è T equazione fra le funzioni A , e V , che si trat- tava di rinvenire in un modo diretto . Egli è attualmente Del Sic. Giovanni Plana. 383 chiaro , che per via di un calcolo affatto simile al preceden- te si debbono ottenere due altre equazioni analoghe a que- sta, delle quali una esisterà fra le funzioni B e V, e l'altra fra le funzioni C e V , di modo che si avrà o=-('«-.)(©-("-.)(f)-BH-(^).(fM"-?).(M) ~^\ 2K / V ^K / "*~ ara • V ^i / "^ aK V ^K / ' —(™-.)(|^)-(«-.)(^)-c^(^).(f )*(•-?). (f) -*-i IH ) \j^) -^ ~ \i7) -^ 1k y'w) • Eliminando A , B , G col soccorso delle equazioni ne risulterà -(-)(^)-(.-»)(S;)-i-(f)-^(|^)^ 0) Per dedurre da queste equazioni il valore di V ricordiamoci ora, che alla fine del N." a abbiamo trovato V = m|u^-K-.-|:; .;grP-Hec. |, e che per conseguenza è permesso di supporre V = Ma = 7"^= • "^ j 384 Dell'attuazione degli Si'EnoiDi Elittici. facendo ;r; = U -+- K- . ;^ . ^ P -+- ec. Trattasi adunque di trovare il valore di o; ma questo es- sendo espresso in funzione delle ecentricità bisognerà intro- durre le medesime nelle equazioni (i), (i), (o) . Al cui uopo riprendiamo le equazioni e facilmente ne conchiuderemo le seguenti equazioni \ »,K }— K ' \ ^ni } — m- ' V V / K(|l)=M.j..(^)..»(l^)*K(|^)^3„|, (l^)=-«-|^(ÌT)*iri. (l^)=-»'-|^-(l^)-^S per via delle quali le equazioni (i), (a), (3) vengono trasfor- mate nelle seguenti (:*^{^y\ l(«--i-+c-)-4-i9H-4» j(^)+is-i ■ ■ -(4). -^'T-(lr)-^ ■i!<'""-^*"-^<^")-*-''-^i»ì(Ìr)+J*»-. (" Del Sic. Giovanni Plana! 3(35 Per poco, che si riffletta su queste equazioni facilmente si scorge, che si può ad esse soddisfare prendendo per v una funzione delle quantità a ,b , e , 6 , -m indipendente dalla let- tera K , come quella , che per sé stessa fa svanire tutti i ter- mini moltiplicati per K . Ciò posto vuoisi dimostrare , che questo particolar modo di risolvere le tie precedenti equazio- ni è il solo, che possa convenire alla funzione, che deve da- re l'attrazione dell' elissoide . Riprendiamo la formola 7; = U-kK- . — . ^P-+-ec. ed osserviamo , che sostituendo questo valore di v nell'equa- zione (4) si ottiene un risultato composto di due parti distin- te ; la prima dipendente da U sarà senza K, e dovrà essere nulla per sé stessa; la seconda dipendente da K (se si con- Or _,r' sidera il solo termine K^' . -— - . --— P del valore di v ) darà _ K.( i-r-r' )(|f )-H((„.-4-i.-Hc-)(-|i-)+.r) (,:- Chi provasse difficoltà nell' ammettere quest'equazione, tìr ^jt a cagione dei termini , che seguono K''' -rj^ . -—y nel valore di V , potrà distruggerla , ricordandosi , che almeno uno dei tre numeri i, r, r deve, per ipotesi, essere più grande in quei termini, clie in questo, d'onde ne deriva, che la loro Tomo XV. 49 -i) s 386 Dell'attrazione degli Sferoidi Elittici . sostituzione non potrà mai far nascere un termine molti pli- cato per K^^ . -^ . -^ . Dovendo la precedente equazione essere vera per via di identità ne risulta , che la funzione deve, da sé stessa, essere nulla, come quella, che non può essere distmtta dagli altri termini . Dunque si avrà Lo stesso raziocinio fatto sulle equazioni (5) e (6) ci sommi- nistrerà le due seguenti o = ( a» -4- ^.^ -t- c^ ) (■^\ ■+- b? , o = { a" -H ^^ -4- c^ ) (^\ -H cP . Integrando la prima di queste equazioni si ottiene P= " 1/ tt» H- /-" -t- e' indicando H una funzione di ^ e e . Sostituendo questo valore di P nelle altre due si hanno le equazioni (^) = -(f) = " le quali provano , che H deve essere una quantità costante indipendente dalle ordinate del punto attratto . ( Ciò posto avremo . v = M.ju*K-.^.^.p.=^====-^ec. Ma abbiamo dimostrato N.° a, che la piìi piccola dimensione delle funzioni omogenee per rapporto alle quantità a^ b, e, che possa entrare nel termine K^' . r— 7 . -^ P, è dell' ordi- ti ne — 3; e siccome la funzione / , ,^ -; è dell'ordine — i. Del Sic. Giovanni Plana . 887 ne segue , che si deve avere H = o . Ricordiamoci ora , che 0' v'' . ... K" .-^ • 1717 P è il termine, in cui gli esponenti i, r, r' sono i più piccoli , dunque giacché questo termine è eguale a zero, tutti gli altri debbono parimenti essere nulli. Si avrà per conseguenza V = MU. Per trovare attualmente la forma della funzione U , ripren- diamo la formola M V = r (a^^b^-i-c^ — K^S — K4S' — K^S" — ec. ) dimostrata nel N.° a, ed osservisi, che dovendo in essa sva- nire la quantità K , è necessario , che abbiano luogo le se- guenti equazioni S = A . YT •+■ A' . -^ , ec. nelle quali A , A' rappresentano delle funzioni omogenee per rappoito alle quantità a, b, e dell'ordine zero; B, B' , B", deW ordine — a ; C , C , G" , G'" dell' ordine — 4 , e così del- le altre . Avremo dunque (d) ... IJ=V= , — r(A^-f-A'w-t-B^»-t-B'6'ir-i-B"s='-H-ec.) Egli è chiaro, che questo valore di v sarà lo stesso per tutti quelli elissoidi , che hanno lo stesso centro , la stessa posi- zione degli assi, e le medesime ecentricità \/~d -, \/~v'-> dunque, se, senza cambiare questi dati, si fa passare la superficie di un elissoide per il punto attratto, e che chiamisi V il valo- re di V corrispondente a questo nuovo elissoide, di cui sup- porremo la massa eguale a M', si avrà V'=M'U, ma V=MU, 3So Dell'attuazione degli Sfeuoidi Elittici . dunque Quest'equazione degna di attenzione fa dipendere la ricerca del valore di V da quello di V ; e si sa, che questo si può ottenere per via delle funzioni ordinarie ove l'elissoide sia di rivoluzione , oppure colle trascendenti elittiche quando tutte le sezioni dell' elissoide sono di figura elittica . 4. Abbencliè si possa, mediante l'equazione (Z»), ottene- re il valore di V sotto una forma finita, sarà Lene di calco- lare i coefficienti della serie (J) cui daremo la forma w = U(°)-t-U(')-HUW . . . .-4-U(0-HU('*')-Hec. ponendo U(°) = { a^ -i- b^ -i- c^ )-ì , U(') = _ ( a- H- i- -4- c^- )-l .( A^-hAW ) , U(^) = — ( «^ H- Z.- -H c^ )-i .(B0='^B'^CT-t-B"CT^), ec. Essendo v indipendente da K , le equazioni (4) , (5) , (6) tro- vate nel numero 3." si riducono a queste Si moltiplichi ora la prima di queste equazioni per a, la se- conda per b, la tei za per e, e se ne faccia l'addizione do])0 averle così moltiplicate ; ponendo ^^-m-om-^t) Del Sjg. Giovanni Plana. 889 si troverà Per rendere più semplice questa equazione osservisi, che U(°) è una funzione omogenea dell'ordine — i, per rapporto alle quantità a,b^c; che U(') è una funzione omogenea dell'or- dine — 3 riguardo alle medesime quantità, e dell'ordine 2. relativamente a [/T n \/~ù ', e che per conseguenza U(') è una funzione omogenea dell'ordine — i , relativamente alle quan- tità a, Z» , e, i/T, i/~ù ' Si proverà nello stesso modo, che tK"*), IK-*) ec. sono funzioni omogenee dell'ordine — i , rispet- to alle medesime quantità . In conseguenza del noto teorema riguardo a queste funzioni si avrà l' equazione ossia Per lo stesso principio sarà Si potrà adunque trasformare nella seguente l'equazione (A); c=(a.^*--..-,j„-.iO-i(»(f)H-*(M)^.(ll)j^«,(M) *--e)-5«'-)0-*''(f)--(^)-i*«(Ìf)-i-(t)- Facciasi ora in questa equazione la sostitnzione della serie UMH_U(')-f-U^) -hU(O^U('-^') in luogo di V. Chiaminsi s, s' le dimensioni di U('), tK'"**') riguardo alle ecentricità \/T, i/~ai si avrà — (^-+-1), — (•^H-i) pt;l valore delle dimensioni di queste funzioni rispetto alle 3f)o Dell'attrazione degli Sferoidi Elittici. ordinate a , b , e; osservando poscia , che per la natura del- le funzioni omogenee si hanno le equazioni si otterrà '■(^)(- •e") Per mezzo di questa equazione si ha il valore di U( '"♦■') co- noscendo quello di U('); ma noi abbiamo dunque si conoscerà U('), e per conseguenza tutti i termini della serie , che rappresenta il valore Ai v . La precedente formola è suscettibile di riduzione , se si osserva, che le dimensioni di U(°), U('), U(^), ec. crescono di due in due unità riguardo a \/'d ■, \/'è, d'onde ne segue, che ponendo s = 2,1 si avrà ^ = ai -f- a . Si ha inoltre , per via della omogeneità .{^«)=.u«-«.(r') dunque (zH- i ) (ai-4-^) (a*-t-è^-+-c^) Tale è la formola, che dà il termine generale della serie, che rappresenta il valore di v, ed è chiaro, ch'essa sarà convergente se le ecentrìcità [/T ■> [/'^ sono molto piccole, e nel caso in cui la distanza ^/a^-t-ì^-nc* del punto attratto al centro dell'elissoide -sarà molto grande riguardo alle dimensioni del corpo attraente . Sgi ERRORI OCCORSI NELLA PARTE MATEMATICA Del Tomo XIV della Società' Italiana delle Scienze . PAGINA Linea (5) IO 17 5 44 9 Errori Giannantonio Cielo ( en ticis ) Correzioni Gìanverardo gelo { en biais ) ERRORI CONTENUTI fN QUESTA PRIMA PARTE e variazioni posteriormente introdotte dagli autori . Pagina Linea Errori Correzioni XXII 12, Impareggiali Impareggiabili IO 8, 9 al lato K all'altro lato della bocca K — i5 ":P' ^%^ ir ^7 per lati rette per lati due rètte i3 9 fny%x fn/%u 14 I, 2 che in un vase allo che in un vase del- insù convergente risul- lo stesso fondo ed uni- tare ì maggiore formemente ampio al- l' insù ; ed all' incon- tro deve z in un vase convergente risulta- re maggiore i5 I Prti P^t — IO xr^'vQr Ttr^vQ 18 33 7iR^(;irpz) 7TR^{n — z) ao 4 sarebbe a giusta starebbe a giusta porzione proporzione — 6 col tubo nel tubo ••■ a8 un altro equ ilibrio un altro pcculiar equilibrio Sga Pagina Linea Erroiìì Correzioni ai I, a e le attorniate e le attornianti •ISb 18 dal tubo del tubo a8 54 P- 623 P. $. ^3 3o a ICO I 7 Il ^' -^ 100 38 17 di pressione di elasticità e di aumento di pressione — a4 braccio vi avea braccio corto vi avea 39 3i 3a Bx = 6 — , ricava- SI X = zr^ = Ò2, 41 i3, a3, a5 Carbois Casbois a3 all'altezze baronie air altezza barome- • triche trica 4a 29 •i"''à della frazione rr 64 45 2 Chimboraco Cbimboraro — 17 di A troverà di A si troverà 48 56 iS specifica , dunque , SO che fu sempre percos- specifica . Sempie dunque , che fu quello dell' esperienza suggerita dal Beccaria , percosso che fu 119 12, i5, 16 a y 12,6 22 delle due sfere die seD è 11 centro di gravità delle due sfere , i85 II dalla della 279 21 mutazione nutazione 289 8 corrette corretta 317 21 pili delle forze le più delle forze 36 1 penul. sito ^0^ filo ^ Wv hB v,^xj