5. ni: MEMORIE DI MATEMATICA E DI FISICA DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE TOMO XVII PARTE CONTENENTE LE MEMORIE DI MATEMATICA V E R O N A DALLA TIPOGRAFIA DI LUIGI MAINARDi MDCCCXVI. STATUTO DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE RESIDENTE IN MODENA . 1816. I. J-Ja Società Italiana delle Scienze residente in Modena è composta di Quaranta Socj attuali , tutti Italiani , di me- rito maturo , e per Opere date in luce ed applaudite rico- nosciuto . II. La scienza della natura è il grande oggetto, che la Società medesima si propone. Pubblicherà pertanto, sotto il titolo di Memorie di Matematica e di Fisica , le produzioni di chiunque de' Socj vorrà render pubblico negli Atti Sociali il frutto de' proprj studj . III. De' quaranta Membri, uno sarà Presidente della So- cietà, e la presidenza durerà sei anni. Questi può eleggersi e risiedere in una qualunque Città dell'Italia, ma in Mode- na esister deve sempre sotto gli ordini del Presidente una rap- presentanza, e in Modena sempre si publicheranno gli atti della Società . IV. Avrà la Società un Segretario, ed un Vicesegretario amministratore residenti in Modena . Il primo sarà parteci- pe di tutte le facoltà dei Quaranta , benché non fosse uno d'essi, ed avrà diritto, non obbligo, di presentar Memorie da inserirsi negli Atti . Il secondo terrà il maneggio eco- nomico . V. 5- !• Altra Classe vi avrà di Socj Emeriti in numero indeterminato . Essa è preparata a chiunque dei Quaranta, o per età avanzata , o per abituale mancanza di salute , o per altro motivo , non producesse verun suo lavoro in quattro consecutivi tomi delle Memorie sociali . IV Statuto §. 2. Ma se un Socio attuale passasse negli Emeriti do- po aver posto otto Memorie ne' tomi sociali, in tal caso se- guiterà a godere, quantunque Emerito, tutte le prerogative di Attuale . 5. 3. Che se un Socio Emerito ponga Memorie in tre tomi consecutivi , sarà restituito nel ruolo degli Attuali . VI. Un'altra Classe, parimente indeterminata, compren- derà i Socj Ouorarj . A questa saranno ascritti, previo l'as- senso di ventuno» almeno dei Quaranta, i Compilatori, eletti dal Presidente, degli elogj de' Socj attuali defunti. Inoltre, esso Presidente potrà aggregare a questa classe , nel suo ses- sennio^ due Soggetti, non più, che avessero operato cosa a pio della Società, onde meritassero d'esserne onorati parti- colarmente . VII. Ed altra Classe avrà finalmente il titolo di Socj Stra- nieri, stabilita per distinguere ed onorare il merito delle Scien- ze in qualunque parte fuori d'Italia. Sarà composta di dodici Soggetti, a ciascun de' quali verrà esibito in dono un esem- plare d'ogni Volume, che uscirà in luce, delle Memorie Sociali. Vili. Le aggregazioni alle classi de' Socj attuali e degli stranieri si faranno nel modo seguente . Per ogni posto che rimanga vacante, dovrà il Presidente, col mezzo del Segreta- rio proporre sei nomi a ciascuno de' Socj attuali , il qual farà scelta d'uno, e lo indicherà per lettera al Segretario. Quel de' sei, che, entro il termine di due mesi dalla proposta, avrà più suffragj, s'intenderà aggregato, e la Compagnia sarà fatta opportunamente consapevole dell'acquistato Cooperatore. IX. All'elezione del Presidente saranno invitati li Socj attuali con una lettera circolare del Segretario, al quale ognu- no di essi farà tenere in iscritto la nomina del Socio da sé eletto a Presidente: e la pluralità de' voti, che arriveranno al Segretario, dentro il termine di due mesi dopo la data del circolare invito, determinerà l'elezione, che dovrà esser dal Segretario annunziata ai Membri votanti . della Società . v J. Ciascheduno dei Quaranta ha facoltà d'inserire negli Atti tuia scoperta utile, un' importante produzione, anche di persona non aggregata ma Italiana, purché tal produzione, o scoperta sia giudicata degna degli Atti stessi anche da un altro Socio, il qual venga destinato segretamente dal Presidente di volta in volta all'esame della cosa presentata, ed il suo no- me ( quando approvi ) si stampi insieme con quello del pre- sentatore . XI. Di questi Autori non Socj dovrà il Presidente aggiun- gere i nomi, segnati con asterisco^ ai sei che presenta, a te- nor dell'articolo Vili, per l'elezione d'un Socio attuale . Bensì questa nomina cesserà, dopo fatta sei volte, contate dalla pubblicazione d'ogni Memoria. XII. Le Dissertazioni o Memorie da pubblicarsi ne'Volu- nii della Società, debbon essere scritte in lingua Italiana e in carattere chiaro. Il Segretario dovrà apporvi la data del re- capito, acciocché sieno stampate con essa in fronte e per or- dine di tempo. Che se l'opera sia voluminosa, può l'Auto- re distribuirla in due o più parti pe'tomi susseguenti. XIII. Tutto ciò che è destinato pegli Atti dev' esser nuo- vo, inedito 3 importante, ed analogo all'indole scientifica di questi Volumi, che non ammette sfoggio d'erudizione, né moltitudine di note e di citazioni . XIV. I fogli stampati di ciascun Volume non dovranno eccedere il numero di cento . Le Memorie soprabbondanti re- steranno in deposito pel tomo susseguente, o saranno restitui- te agli Autori che le dimandassero . Bensì, nel caso di soprab- bondanza, le Dissertazioni degli Autori non Socj dovranno ce- dere il luogo a quelle de' Socj . XV. La Società non si fa risponsabile delle Opere pub- blicate negli Atti. Ogni Autore dev'esser mallevadore delle cose proprie, come se le pubblicasse appartatamente. XVI. Non permette peraltro la Società le invettive per- sonali, e né anche le critiche non misurate: sopra di che ve- glierà il Segretario, e ne farà inteso il Presidente per un ac- concio provvedimento . vi Statuto XVII. II Socio attuale, Autore d'una Memoria o d'un Elogio, avrà in dono cinquanta esemplari della sua produ- zione, con frontispizio apposito, e con la numerazion delle pagine ed il registro ricominciati . Ad ogni altro Autore sa- ranno corrisposte dodici copie . Qualunque Autore ne deside- rasse di più, non sarà aggravato d'alcuna spesa per conto della composizion tipografica . XVIII. Nell'atto di queste spedizioni sarà trasmessa ai So- cj, che avranno mandato il voto per le elezioni, la dimostrazio- ne stampata del numero de' suffragi toccati ad ogni Candidato, senza il nome però de' votanti, e così ancora i conti stampati dell'amministrazione tenuta dal Vicesegretario amministratore. XIX. Alle principali Accademie estere sarà offerto in do- no un esemplare d' ogni Volume delle Memorie sociali , che andrà successivamente uscendo alla luce . XX. I doveri del Presidente, oltre i già mentovati, so- no: mantener l'osservanza dello Statuto; eleggere il Segreta- rio ed il Vicesegretario, qualunque volta sia di bisogno; ave- re in governo e cura ogn' interesse della Società; rivedere, almeno una volta all'anno, i conti dell'amministrazione del Vicesegretario, alla validità de' quali fa d'uopo l'approvazio- ne e sottoscrizione di mano propria del Presidente: e rag- guagliar finalmente il Successore dello stato degli affari nel- l'atto di rinunziargli l'Uffizio. XXI. Dopo il Presidente, il Segretario è la Persona pro- priamente deputata a mantener corrispondenza con tutti i Membri della Società, e quasi centro, ove debbono metter capo tutte le relazioni Sociali . Egli invia le patenti d'aggre- gazione; presiede alla stampa, ai Correttori di quella, ed al- l'incision delle tavole; prende cura delle spedizioni, e d'ogni altro interesse della Società, sempre però con l'approvazione del Presidente . Egli deve pure tener registro d' ogni atto che importi; custodire i voti de'Socj per le elezioni, mani- festandoli al Presidente ad ogni richiesta; e finalmente ese- guir tutto ciò, che ne' precedenti articoli gli è addossato. della Società'. vii XXII. §. !• Ad esempio delle principali Accademie, la Società Italiana delle Scienze avrà Membri pensionar] : e la pensione sarà d'annui zecchini ventiquattro, pagabili per me- tà allo spirare d'ogni semestre; non computate in verun ca- so, sia di morte, o di rinunzia, o di transito negli Emeriti, le frazioni di semestre . §. 2,. Saranno capaci della pensione li tre più anziani, e di permanenza non interrotta , nel ruolo de' Socj attuali ; sin a tanto però che rimangano nel ruolo medesimo . §. 3. Qualunque volta 1' eguaglianza d' età accademica renda ambigua la scelta d'uno o più Pensionar] ; sarà tolta l'ambiguità concedendo la preferenza alla maggior età natu- rale . Nel qual caso, il Segretario chiederà a ciascun de' coe- tanei come sopra, documento legale dell'epoca di sua nasci- ta; e chi non Io faccia a lui pervenire entro mesi tre dopo la domanda, s'intenderà che rinunzj alla pensione. 5. 4- Due Socj ( sia ciascun d' essi attuale o emerito ) potranno inoltre goder la pensione, loro vita naturale duran- te , quando siano autori ciascuno di dieci o più Memorie stampate ne' Tomi Sociali, il valor delle quali venga giudi- cato degno di tal premio dalla pluralità assoluta de' Socj at- tuali , a proposizione del Presidente; ovvero dalla pluralità relativa , quando si tratti di giudicare del merito relativo fra più Candidati . §. 5. In ambi questi partiti le opinioni de'-Socj reste- ranno sempre segrete, ed a sola notizia del Presidente e del Segretario: si pubblicherà unicamente il numero de' suffragj a favore di ciascun Candidato, siccome è prescritto per le elezioni nell'articolo XVIII. 5- 6. Avranno titolo di Pensionarj anziani li tre del §. 2; di Pensionar] giubilati li due del 5- 4- §. 7. Potrà il Pensionarlo anziano passare a goder la pen- sione come giubilato, sotto le condizioni prescritte dal 5- 4 -, e quando l'un de' due posti sia vacuo. XXIII. A compensazion delle spese, che incontrano i Vili STATUTO Quaranta ne' porti di lettere per cagion della Società, ogni anno, nel mese di Gennajo, sarà fatto l'esame, onde rico- noscere i Membri attuali, che avranno corrisposto a tutte le lettere del Presidente e del Segretario nel corso dell'anno antecedente, e dentro li rispettivi termini di tempo in esse specificati; ciascuno de' quali Socj avrà diritto di esigere zec- chini tre dalla cassa della Compagnia . XXIV. §. i. Ogni volta, che la forza pecuniaria della stessa Società Io consenta , si esporranno programmi al con- corso pubblico. Risoluto ciò dal Presidente, il Segretario in- viterà li Socj attuali a proporre argomenti . Questi esser do- vranno, o Fisici, o Matematici, o Fisico-Matematici, o in qualunque modo giovevoli a queste scienze, e sempre appli- cabili ad utile general dell' Italia . Il Segretario li manderà stampati a ciaschedun Socio, pretermettendo quelli che uscis- seVo dalle condizioni ora prescritte . Ogni Socio spedirà al Se- gretario il proprio suffragio per ia scelta dell'argomento, e dichiarerà insieme qual premio reputi conveniente e qual tem- po alla facitura ed alla presentazione delle Memorie . Quel tema che avrà più suffragi, sarà adottato : nel caso di parità di voti , deciderà la sorte . 5. a. Tosto si comunicherà alla Compagnia l'argomento coronato, ed il numero de'suffragj riscossi da ogni argomen- to. Nell'atto stesso sarà richiesto ciaschedun Socio attuale di nominarne tre ( di qualunque Glasse, purché Italiani, e di- moranti attualmente in Italia ); quelli cioè, che ciascuno, os- servato il quesito, stimerà più adattati a giudicar le Memorie che compariranno al concorso. Quei tre, ne' quali concorre- rà maggior numero di suffragi ( l'uguaglianza rimovasi con la sorte), s'intenderanno destinati a pronunziare il giudizio. 5. 3. Nelle occasioni statuite sopra, saranno come non fatte le risposte de' Socj , qualora non giungano al Segreta- rio dentro quaranta giorni dalla data della rispettiva Circo- lare di Lui . §. 4- Il nome de' Giudici eletti rimarrà a sola notizia del della Società' . ix Presidente e del Segretario : se non che ciascun di quelli sa- rà fatto consapevole della propria destinazione, con divieto di concorrere al programma e di manifestarla a chicchessia: ninn di loro saprà i suoi Colleghi . Se qualcuno ricusasse , sa- rà sostituito il prossimo inferiore in quantità di voti . Ogni Giudice riceverà, dopo pronunziato il giudizio, un decente compenso dell' esclusion dal concorso . §. 5. Il Presidente, considerati i pareri de'Socj,lo stato economico della Società, e l' importanza di moltiplicare i pro- grammi , stabilirà la grandezza del premio, ed il termine da assegnarsi al concorso . Sarà tosto promulgato il problema per tutta Italia. Ogni Italiano, anche Socio, potrà concorrere: ri- mangono esclusi li soli tre Giudici. Le Memorie dovranno es- sere inedite, scritte in lingua Italiana , e pervenute nelle ma- ni del Segretario entro il termine prescritto dal programma: il nome degli Autori sarà occulto: ogni Memoria porterà in fronte un motto, e sarà accompagnata da un biglietto suggel- lato, contrassegnato al di fuori dal medesimo motto, e con- tenente, al di dentro in maniera occultisima, nome, cogno- me, patria, domicilio e profession dell'Autore. Il mancare a qualunque delle antecedenti condizioni fa perdere il premio. §. 6. Tosto che il concorso sia chiuso, il Presidente, ve- duto il numero e l'estensione delle Memorie , definirà il tem- po, entro il quale ogni Giudice dovrà pronunziare il giudi- zio. Allora il Segretario trasmetterà le Memorie, tutte unite, ad uno de' Giudici: da cui restituite che siano, e notificato il proprio giudizio a! Segretario, saranno da questo fatte per- venire ad altro Giudice; quindi con le regole stesse al terzo. Ogni Memoria coronata da un Giudice , sarà stampata col no- me dell' Autore . Il premio sarà dato a quella Memoria, che venga coronata da tre, o da due Giudici . Se tutti e tre li giudizj fossero discordi , si dividerà il premio fra le tre Me- morie coronate. Lo stesso si farà tra due coronate, qualora un Giudice neghi il premio a tutte le Memorie, e gli altri due non siano concordi . Che se fossero due li giudizj di ne- b x. Statuto gativa generale del premio, in tal caso il terzo giudizio non sarà di alcun valore : si notificherà alla Compagnia l'esito del giudizio e si passerà alla pubblicazione di nuovo programma , coi metodi stabiliti sopra . §. 7. Ma quando sia conferito il premio, il Segretario an- nunzierà prontamente ai Socj ed a tutta l'Italia il nome de- gli Autori delle Memorie coronate, indicando quello cui spetta il premio. Esse Memorie saranno stampate senza indugio; se ne spedirà un esemplare ad ogni Socio, 12 della propria a ciascun degli Autori coronati , 38 di più al premiato : i ri- manenti si esporranno a vendita pubblica . XI CATALOGO DE' MEMBRI COMPONENTI LA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE . RUFFINI ( Dottor Paolo) Presidente. Professore di Clinica, Medicina pratica e di Matematica applicata nella R. Uni- versità . Modena . Socj Attuali . ALDINI ( Cav. Giovanni ) Milano. AVANZINI ( Ab. Giuseppe ) Professore di Fisica Teorie? nella I. R. Università . Padova. BONATI ( Cav. Teodoro ) Pensionano Anziano, Professo: d' Idrostatica . Ferrara . BORDONI ( Antonio Maria ) Professor emerito di Matema- tica nella R. Scuola Militare . Pavia . BRERA ( Cav. Valeriano Luigi ) Consigliere Attuale di S. M. I. R. Direttore della Facoltà Medica e Professor di Cli- nica Medica nella I. R. Università . Padova . BRUNACCI ( Cav. Vincenzo ) Professore di Matematica nel- l'Università. Pavia. CALDANI ( Floriano) Professor di Anatomia umana nella R. Università . Padova . CANTERZANI ( Cav. Sebastiano ) Pensionano Anziano, e Professore emerito di Fisica Generale nella Pontificia Uni- versità . Bologna . CARLINI ( Francesco ) Astronomo in Brera . Milano . CARRADORI ( Giovacchino ). Prato. CESAPJS ( Cav. Ab. Angelo ) Pensiona/io Anziano, Astro- nomo R. alla Specola di Brera . Milano . COLLALTO ( Antonio ) . Padova . xii Catalogo CONFIGLIACCHI ( Pietro ) . Pavia . DANDOLO ( Co. Vincenzo ). Milano. FABBRONI ( Cav. Giovanni ) Direttore e Amministratore della I. II. Zecca . Firenze . FERRONI ( Pietro j Professore di Matematica Della I. R. Università . Pisa . FOSSOMBRONI ( Cav. Vittorio ) Segretario di Stato e Mi- nistro degli affari esteri in Toscana. Firenze. GALLINI ( Stefano ) Professore di Fisiologia , ed Anatomia comparata nella R. Università. Padova. GIOVENE ( Cav. D. Giuseppe ) Presidente delia Società Agraria . Lecce . MAGISTRINI ( Gio. Battista ) Professore di Matematica su- blime nella R. Università . Bologna . MAIRONI ( Daponte Giovanni ) Reggente e Professore di C Ili mica e Storia Naturale nel R. Liceo . Bergamo . MALACARNE (Gaetano) Professore di Fisica animale. Padova. MANZONI ( Antonio ) Professore di Ostetricia nelle Scuole Speciali della Provincia . Verona . MORICHINI ( Dottor Domenico ) Professore di Chimica . Poma . MENGOTTI ( Co. Francesco ) Consigliere Attuale di S. M. I. R. Venezia . MOSCATI ( Co. Pietro ) Pensionano giubilato . Milano . PAOLI (Pietro) Pensionano giubilato Provveditore dell'Uni- versità . Pisa . PARADISI ( Co. Giovanni ) . Reggio . PLANA ( Giovanni ) . PIAZZI ( D. Giuseppe ) Astronomo Regio . Palermo . PINI ( Cav. Ermenegildo ) Ispettore generale di pubblica Istruzione . Milano . RACAGNI ( D. Giuseppe Maria ) Professore emerito di Fi- sica nel R. Liceo . Milano . RADDI ( Giuseppe ) Conservatore dell'I. R. Museo di Fisi- ca e Storia Naturale . Firenze . de' S O G J . XIII HE ( Cav. Filippo ) Professore di Agricoltura e Botanica nel- la Ducale Università . Modena . RUBINI ( Pietro ) Professore di Medicina Clinica, Protome- dico ec. Panna . SANTINI ( Giovanni ) Astronomo R. alla Specola. Padova, TARGIONI TOZZETTI ( Ottaviano ) Professor di Botanica. Agricoltura e Materia Medica . Firenze . VASSALLI EANDI ( Cav. Antonio Maria ) Segretario per- petuo della R. Accademia di Scienze ecc. Torino . VENTUROLI ( Giuseppe ) Professore di Matematica applica- ta nella R. Università . Bologna . Divisione de'Socj Attuali in due Classi e indicazione de' Tomi, in cui hanno Memorie. Classe Matematica Avanzini I7- Bonati a. 5. 8. 1 1. i5. Bordoni 17- Brunacci 14. i5. 16. 17. Carlini Canterzani a. 5. 8. 11. 14. 17. Cesaris a. IO. ( pag. x ) 11. ( pa Collalto . Ferroni 5. 7. 9. IO. IO. II. li. ] Fossombroni 3. 7. 9. ia. i3. 17. Magistrini 16. 17. Mengotti , Paoli a: 4. 4. 6. 6. 8. 9. 9. 10 Paradisi • • • Piazzi 11. 12. 1 a . 1 3 . Plana I7- Racagni io. i3. 16. Ruffini 9. 9. io . ia. ìa. i3. 16. Santini 17- Venturoli ia. 1-1. la. 14. i5. 16. 17. i3. 14. 17. 17. 17. 17. xtfv Catalogo Classe Fisica . Aldini i^. Brera 14. i5. 16. 17. 17. Caldani Floriano 7. 8. 12. i3. 16. Carradori Configliacchi Dandolo 17. Fabbroni io. 11. 12. i3. 14. 16. 17. Gallini 14. i5. 16. 17. Giovene 8. g. io. 11. 12. i3. 14. i4- *4- i5 16. Maironi Daponte 4- 9- 9. n. i3. i4- i5. 16. 17. Malacarne Manzoni 17. Monchini 17. Moscati 1. 5. io. i3. 17. Pini 3. 5. 6. 6. 9. io. 12. i3. i3. 14. i5. Raddi Re 12. 14. 17. Rubini 14. i5. Targioni Tozzetti 11. i3. i3. i4- Vassalli Eandi 4- 8. io. io. i3. 14. 17.. Socj emeriti . BRUGNATELLI ( Luigi ) Professore di Chimica nella R. Uni- versità . Pavia . GIOBERT ( Cav. Giannantonio ) Torino . ORIANI ( Cav. Ab. Barnaba ) Astronomo nel R. Osservato- rio di Brera . Milano . POLI ( Giuseppe Saverio ) Direttore del R. Museo di Storia Naturale . Napoli . SCARPA ( Cav. Antonio) Professore nella R.Università.P^wa. STRATICO ( Cav. Simone ) . Milano . VENTURI ( Cav. Gio: Batista ) Membro del R. Istituto Ita- liano . Reggio . VOLTA ( Cav. Alessandro ) Professore nella R. Università . Pavia . D E S O C J . vx SocJ Onorar/ . BALBO ( Prospero ) Ambasciadore di S. M. il Re di Pie- monte . Madrid . BRAMBILLA ( Paolo ) Professore di Matematica nel R. Li- ceo . Milano . CAGNOLI ( Ottavio ) Verona . DELBENE ( Benedetto ) Membro del R. Istituto Italiano . DELRICCO (P.Gaetano) delle Scuole Pie, Astronomo. Firenze. LANDI ( Cav. Ferdinando ) Piacenza . LOMBARDI ( Antonio ) Primo Bibliotecario di S. A. R. il Duca di Modena . Modena . PINDEMONTE (Cav. Ippolito) Membro del R. Istituto Ita- liano . Venezia . ROSSI ( Cav. Luigi ) . Milano . VIVORIO ( Ab. Agostino ) . Vicenza . Socj Stranieri . ACHARD . Berlino . GAUSS . Gottinga . BANCKS . Londra . HAUY . Parigi . BODE . Berlino . HERSCHEL . Londra . BURG . Vienna . Co. LAPLACE . Parigi . Co. CHAPTAL . Parigi . OLBERS . Brema . DELAMBRE . Parigi . ZACH . Gota . Segretario . FATTORI ( Dottor Santo ) Professore di Anatomia nella R. Università . Modena . Vice Segretario Amministratore . LOMBARDI ( Antonio ) Primo Bibliotecario di S. A. R. il Duca di Modena . Modena . AVVISO Gli Annali della Società Italiana dall'epoca 3o Giugno l3i3 a tutto il ioió in continuazione a quelli premessi al Tomo XVI della Società stessa vedranno la luce col 1 .° Fa- scicolo del Tomo XVIII. La figura chiamata dalla Memoria Cossali alla pagina 2,3f e seguenti del presente Tomo si trova alla successiva pagi- na 460 insieme a quelle relative alia Memoria Magistrali . MEMORIE D I MATEMATICA APPENDICE ALLA MEMORIA SOPRA UN NUOVO METODO GENERALE DI ESTRARRE LE RADICI NUMERICHE Del Signor Paolo Ruffini. Ricevuta li 3o Settembre i8ia. I . V->lllÌ£ iamato P , come nella Memoria ( N.° i5 ) (*) un dato nu- mero intiero , ed m il grado della radice , che se ne vuole estrarre, sappiamo, che per ottenere il valore di J/¥ , con- viene da prima dividere, cominciando dalla destra esso P di m in m cifre, e formare così dei membri. Denominato poi, come nel citato ( N.° i5 ), G il primo di essi, conviene de- terminare la massima potenza mesima esatta, che contiensi in G, ed a tal fine abbiamo indicato di servirci della Tavola delle potenze; ma come faremo noi, se questa Tavola non si avesse in pronto, oppure se il grado m della radice fosse tanto alto, che le potenze corrispondenti non vi si contenessero? La presente Appendice esporrà alcune forinole , e alcune rifles- sioni, mediante le quali potremo indipendentemente dalla Ta- vola agevolare la determinazione della potenza che si richiede . a. Poiché la massima potenza mesima domandata non è che quella di uno dei numeri i, a, 3, ec. 9, si potrebbe Tom. XVII. 1 O Vedasi nel Tomo XVI alla pag. 3y3 Parte I. a Metodo di estrakre le Radici Numeriche . elevare attualmente ciascuno di tai numeri alla podestà me- sima, osservare tra quali due di queste potenze esso G fosse prossimamente contenuto, e la minore tra le accennate due sarebbe la massima potenza mesima domandata: trovando per esempio 6m7m, direi che 6m è la potenza richiesta. Ma potremo abbreviare questa operazione col trovare a principio la potenza 5"1 ; poiché se si vede G<5m, potrem tralasciare la considerazione delle potenze de' numeri 6, 7, 8, 9, e ve- dendosi G>5"ì, si tralasceranno le potenze degli altri 1, a, 3, 4. 3. In conseguenza di quello, che si è ora detto ( N.° a ), apparisce, che sarà vantaggiosa al nostro intento la pronta, e Tacile determinazione di una potenza esatta qualunque del 5. Egli è perciò, che sonosi costruite le annesse forinole (LXX), ( LXXI ) ; poiché per mezzo della prima di esse trovasi una qualunque potenza dispari del 5, e per mezzo della seconda se ne ritrova una qualunque pnri. Tali formule sono costrui- te in modo, che suppongonsi note le prime potenze 5° = 1 , 5' = 5, 52 = a5, 53=ia5, 54 = 6;i5; ponesi quindi m nume- ro intero positivo, e tale che renda ara — 1 >3, ara>4:> on- de essere deve ni > a ; l'andamento iti fine delle due serie costituenti le forinole , per poco che si riguardi , è assai fa- cile a riconoscersi, e potrà perciò ognuno prolungarle, e tron- carle opportunamente giusta i diversi valori di m , avendo sempre l'avvertenza, che non si debbano conservare se non se i termini, i quali risultano positivi. L'andamento costante delle due serie comincia soltanto dai termini, che sono mol- tiplicati per io5; e le espressioni ( LXXII ) , ( LXXIII ) rap- presentano le forinole generali de' termini, che nelle serie (LXX), (LXXI) vanno soggetti all'andamento indicato. Si rifletta, che la lettera 11 nella forni 'a ( LXXII ) esprime un intiero > o , e <-, e nella ( LXXIII ) un intiero > o , ., 771 -t- I e <-^r-. Del Sig. Paolo Ruffini . 3 i .* Vogliasi per esempio la potenza ioa del 5. Serven- domi perciò della forinola ( LXX ), faccio 2m — i = iS, e traendo da ciò m — 8, pongo nella serie questo numero 8 in vece di m . Da tale sostituzione verrà 5i5=53-i-3(50-i-52-+-4.54)io3-i-32(3.5i-i-3.53)io6-{-33.50.io9. Ora determiniamo i valori 33 . 5° = 27 . 1 =2.7, 3a(3.5I-4-3.53) = 9(3.5-H3.ia5) = 35io, 3 ( 5° -w 5a -j- 4 . 54 ) = 3 ( 1 -+- a5 -i- 4 . 6a5 ) = 7S78 , 53=ia5. Sostituisco, e per la natura delle potenze del io avremo 5l5 = 27000000000 35iooooooo „ „ - 0 - ., _ = 00017570125 . 7570000 ' ' iaS Poiché nelle nostre formule gli esponenti del io vanno sem- pre crescendo di 3 in 3, potremo, sopprimendo gli zeri, che determinano le potenze del io, agevolare il calcolo, con lo scrivere, come nell'esempio supposto i numeri trovati 27, 35 io, 7578, 6a5 nel modo qui sotto accennato, cioè in ma- niera che , posto nella prima linea orizzontale il primo nu- mero 27, nella seconda si ponga il secondo 35io, e le tre ultime cifre 5io di questo rimangano senz'averne alcun' al- tra di sopra , il terzo 7578 si scriva nella linea terza , e le ultime sue tre cifre 578 non abbiano alcun' altra cifra di so- pra ; e così in progresso : poscia si sommino tutti questi nu- meri così scritti, e il risultato che se ne ottiene, sarà la po- tenza richiesta, nel caso nostro il valore di 5l5 . 27 35io 7578 625 5lS = 3o5i7578625. 2.0 Sia per secondo esempio domandata la potenza 2.6a del 5 . Fatto perciò 2/?i = 26, e quindi m=i3, dalla formo 4 Metodo di estrarre le Radici Numeriche . la ( LXXI ) otterremo 5a6= 6a5-i-3 (5-f- io . ia5) io3h~9X (9-H8 . 25-»-a8 . 6a5) io6-)- 27 (ai . 5-+-35 . ia5) io9-h8i X (ao-f- io . a5-i-S .6a5) io,a-4-a43 .5 . io'5; ma effettuando le moltiplicazioni , e riduzioni , si ricava a43 . 5 = iai5 , 81 ( ao -+- io . a5 -+- 5 . 6a5 ) = a7499,5 , 27 ( ai . 5 -+- 35 . ia5 ) = iao96o, 9 ( 9 -4- 8 . a5 -+- a8 . 6a-5 ) = i5938i , 3 ( 5 -t- io . ia5 ) = 3765 6a5. Dunque scrivendo questi risultati con la regola sovraesposta , e poi sommandoli otterremo nella somma, che risulta, il chie- sto valore di 5a6 . iai5 a74995 laogóo i5938r 3765 6a5 5a6= i49on6ii93847ò56a5 . 3.° Supposto %m ■=■ 36 si domanda quali siano gli ultimi termini nella corrispondente serie ( LXXI ) . Presa perciò la forinola (LXXIII), siccome deve essere l'intiero ?ì<— r — , e però nel caso nostro 54) I0 g3/(w— 6)(w— 7) ., (ro — 6)(m— 7)(ot — 8)^3\ 9 (LXXI) ) o a-3 ' V /3A/(m-7)(m-8)(m-9)5o | (ra-8) (w-9) (m-io)ga [ (m-8) .. .. (w-n)- A , \ a. 3 a. 3 2.3.4 / 35/(m-9)...(m-ra) g (ni-9)....(m-lS) p\lolS \ a. 3. 4 a. 3. 4. 5 / 06 /(m~ io)--(w— 14) ,Q (m— ii)....(m— 15) - 6n— ii)....(7ra— 16) g A [8 \ a. 3. 4. 5 " 2.3.4.5 a. 3. 4. 5. 6 / ec. 3an/[m~(3re'<-a)] (w— 5ra)-, 1>— ( 3re-t-a)] .... [re— ( 5re-t-r ) ] ^A fin V 3 . 3 .4 • • ■ • (an— x ) a . 3 . 4 • • • 2» / (LXXII)3a^'([w-(5W3: ri— (3/z-t-3)] ....[to— (5n-t-a)] -0 [nt— (3hh-4)] ....[ni— (5b-h3)] . 3 . 4 • • • ara a . 3 . 4 • • . ara ll-t-à 6 Metodo di estrarre le Radici Numeriche. [re-(3»H-4i] ...■[m-(5/t-t-4)l ^\ ioCnH_3 a.3.4.--(ara-t-i) / 3a>i+i/[""|3l'+')l-['"~f5"+l)1 Co [m— (3re-+-a)]....(ra— 5re) - \ a . 3 . . . . ( 2» — i ) a . 3 . . . . ( are — i ) (LXXIII) ["-(3"-.»)]--['"-(5»-hi)] 54\ io6,^_ a . 3 . 4 ... are / 5m+i/["1~'3"","3"--["1"I5'1+s)] gt , l"»— (3n-t-3)]....[m— (5re-t-3)] -3\ 6 O I — — — — — — ^ ^— — o — r— — ~" — * 0 1 1 o \ a . 3 . 4 • • • 2'i a . 3 . 4 ■ • • • are / 4- Vogliasi la potenza pesima del numero 9 . Essendo o/ — ( io — 1 )*" , mediante la forinola Newtoniana otterremo c/=( 1 e- 1 )p= 1 cP-p . 1 cP->-*.p(inl 1 0P-*-p{p~l){p~*) 1 o^-3 -Hec.J (LXXIV) (iv+p^io^^p ^-.)(j>-^)(/»-3) I0,_4H_ec \ j V a. 3 7 a. 3. 4. 5 / In conseguenza di ciò, determino da prima i coefficien- .• (p—l) ( P— l)(p— 2) - i> ti i0p,p— 5 y _l i 9 ec; e siccome gli uni 1, a a .3 p ■ , ec. presi alternativamente sono moltiplicati rispet- tivamente per le potenze 10^, io*1-1, ec. decrescenti di ioa in io2, e così gli altri, p, p — — ec. sono rispettiva- mente moltiplicati per le potenze io^— ' , ioP~ 3, ec. decre- scenti esse pure di io2 in io2; e siccome, sottratta la som- ma di questi secondi termini dalla somma dei primi , il ri- sultato, che ne viene, è il valore di 9^, come apparisce in (LXXIV); scrivo in una linea orizzontale il primo coefficien- te 1 , poscia in una linea seconda il coefficiente p — in modo, che le ultime sue due cifre a destra rimangano senz' averne alcun' altra di sopra, come si è praticato negli esem- pj 1 .° , a.°, del ( N.* 3 ); scrivo quindi in una terza linea il m(p — i)(p—2)(ij — 3) ,. ciente p w ■■ ' nella stessa maniera, in aio- H a. 3. 4 Del Sic Paolo Ruffini . 7 do cioè, che le ultime sue due cifre a destra non ne abbia- no alcun' altra di sopra, e così di seguito; e ciò fatto, ese- guisco la somma di tutti questi numeri . Nella stessa guisa scrivo , e sommo gli altri coerhcienti p , p - - , 2 . 3 (p— 1) (p — a)(»— 3)(p — 4) r. , p y-i- — li il. — IL 5 ec. finalmente, aggiunto uno ze- 2.3.4.5 ro alla destra di quella fra queste due somme, che contiene il penultimo coefficiente, sottraggo l'ultima dalla prima, e il residuo, che ne viene, sarà il chiesto valore di g? . 1 .° Sia per esempio p = 12 : i corrispondenti coefficienti Newtoniani essendo 1, 12, 66, 220 , 49^» 79a •> 9a4? 79a •> 495, 220, 66, 12, 1 , li scrivo qui sotto, e li sommo nelia maniera sovraindicata ; alla seconda somma 142799942012 , che contiene il penultimo coefficiente 12, unisco alla destra uno zero , e fatta la sovra esposta sottrazione , sarà il resi- duo 282429.536481 = 912. 66 12 495 220 924 495 66 792 792 220 01 12 I7IC42895660I I42799942O 12 IiÌ2 7QQ0420I20 2.0 Se p sia tale, che i corrispondenti coefficienti New- toniani siano composti di un numero di cifre non >• 2 , il che succede nella ipotesi di ^? Metodo di estrarre le Radici Numeriche . poscia alla destra di quello tra questi due risultati, che con- tiene il penultimo termine, collocando un zero; e finalmente sottraendo il risultato secondo dal primo . Sia per esempio y? = 8. I coefficienti Newtoniani diventano i, 8, 2,8, 56, 70, 56, 28, 8, 1 , quindi i due risultati per la regola ora accen- nata saranno 128702801,8565608, e aggiunto alla destra del secondo di essi., che contiene il penultimo termine 8, uno ze- ro, e quindi sottratto questo dal primo, ci verrà 4304672 1 = 98. 3.° Poiché si ha iiP = ( io -+- 1 )p , e per conseguenza 11'= 10*-+-» . icp-* -k-p (lZllicP-i-+-p(p-,)(p~*}lcp-3->-ec., vedesi, che, se sommeremo insieme quelle quantità, le quali sottratte l'una dall'altra ci somministrano il valore di g-P, otterremo il valore di 11^. Però negli esempj de' ( prec. 1 .°, a.° ) sommando i risultati avuti dalle somme ricaveremo n8 = 1 2870280 i-t-85656o8o = ai435888i, 1 iia = 3138428376721. 5. 1.* Determinati, come nel ( 3.° N.° 3 ) in una delle due serie (LXX), ( LXXI ) i termini ultimi, ossia quelli, che contengono la più alta, o le due più alte potenze del io, e conosciuto così il numero delle cifre, che si contengono nel- la loro somma, potremo conoscere il numero delle cifre, che si contengono nella corrispondente potenza del 5, senzacchè tal potenza venga determinata attualmente. Così nell'Esem- pio 1 .8 ( N.° 3 ) contenendosi undici cifre nel termine 27000000000 , e altrettante nella somma di esso col termine susseguente 35roooooooo, dirò che anche undici cifre esisto- no nel valore sviluppato di 5'5, come di fatti si vede nel cit. (i.°N.*3). Così nell'Esempio a.°(N.°3) essendo 19 le cifre dell'ultimo termine i2i5XiolS, e 19 le cifre esistenti nella somma di questo col termine susseguente 274«M)5xioIa, dirò che nella potenza 5a6 esistono 19 cifre . Finalmente poi- ché 26 è il numero delle cifre che nell'Esempio (3.° N.° 3) esistono nel termine ultimo 1093DX1021? e nella somma 16078824X1018 degli ultimi due, dirò, che ancora la poten- za 5a6 conterrà 26 cifre . In tutti e tre questi casi bastava osser- Del Sic Paolo Ruffini . 9 osservare il numero delle cifre solamente dell'ultimo termi- ne , per determinare il numero delle cifre , che si contengo- no nella rispettiva potenza del 5 . a.0 Dicasi a il numero delle cifre, che esistono nella po- tenza $p , e siano di numero x le cifre esistenti in a?; si avrà x=p — a+i . Di fatti avendosi 5^>ioa— ' , ed insieme io1-1, ed insieme ioa-*-x— % ed insieme < io/? log. A-+- i . Ma contenendosi in iox un numero di cifre x-hi , abbiamo iox>hP, e prendendo quindi i logaritmi, ottiensi x >/? log. h . Dun- que, dovendo x essere un numero intero, uguaglierà quell' intero , che supera immediatamente il valore p log. h . Que- sto valore di x altro evidentemente non è che la caratteri- stica di log. hP accresciuta di i . i.° Sia per esempio A = 5, e /? = 26, oppure /z=u, e p= 12, . Nel primo di questi casi abbiamo p log. A = a6 log. 5 = a6X°5 099? non tenendo conto nell'espressione logarit- mica che di tre decimali per maggiore semplicità, e perchè non ne abbisogna nel caso presente un maggior numero . Del Sic Paolo Ruffini . il Dunque risultando/; log.A=i8, 174, il numero delle cifre esistenti nella potenza 5a6 sarà 19, come appunto si vede nell'Esempio n.° del ( N.° 3 ) . Nel caso secondo avendosi p log. h = 12 log. 1 1 = ia X 1 ■> 04 1 = 12,, 49a ■> saI"à i3 il nu- mero delle cifre esistenti in uia come di fatti si vede nel (3.°N.°4). a.0 Poiché , ritenendo come di sopra tre sole cifre deci- mali, nelle espressioni logaritmiche abhiamo log. 1 = o log. a =1 o , 3oi log. 3 = 0, 477 log. 4 = 0, 6os (LXXV) log. 5 = 0,699 log. 6 = o , 778 log. 7 = 0,84-5 log. 8 = 0, 903 log. 9 = 0, 954, potremo agevolmente col mezzo di questi numeri determina- re quante cifre si contengono in ciascuna delle potenze \p , 2.P, 3p, ec. 9^, estendendosi il valore dell'intero p dallo zero fino inclusivamente al 100. 7. Conservate le denominazioni del (N.°prec), e sup- posto di più, che q rappresenti un intiero positivo ?~*~I ,/?> — - — . Dun- 1 — log. A 1 — log./t que, dovendo/? essere numero intiero, avrà tanti valori quan- ti sono gl'intieri, che sono al di sopra del valore — f — -, e 0 l 1 — log. h non superano l' altro — — L_ . 1 —log. h J 2 Metodo di estrarre le Radici Numeriche. 8. Pongasi h successivamente = i , 2, 3, ec. 9 . Col ri- tenere per maggiore semplicità tre soli decimali nelle espres- sioni logaritmiche , poiché si hanno le Equazioni ( LXXV ) ; i valori di p , corrispondentemente ai quali le potenze pesime dei primi nove numeri intieri contengono/? — q cifre, ver- ranno determinati dai limiti, che in conseguenza del (N.°prec.) sonosi ritrovati, e vengono esposti qui sotto in (LXXVI) 1 IO, 699 O , 699 O , 522 O , 522 (LXXVI) _1_-4?,XÌL; -L-5*, Sii; -J-6^ 1 e , 398 o , 398 o , 3oi o , 3oi o , 222 e , 222 -4-7i»,lÌÌ5 -X_8?,lii; -J-gp,£ÌL. o , i55 o , i55 o , 097 o , 097 o , 046 o , 046 i.° Sia q = o . In questa ipotesi tutti i primi limiti di- ventando zero , ed i secondi divenendo rispettivamente 1 1 3oi 1 478 1 204 I O , 699 699 O , 522 522 O , 398 398 (LXXVII) _L- = 3^-; _l_ = 4i^; _i_ = 6-ZL; _1_ = I0^. o, 3oi 3oi o, 223 -j.-2.-i. o, i55 i55 o, 097 07 o , 046 46 ne segue , essere solo la prima potenza di ciascuno dei nu- meri 1 , 2 , 3 , quella che contiene tante cifre , quanto è il grado della potenza medesima; che riguardo al numero 4 tanto la prima che la seconda delle sue podestà contiene tan- te cifre , quanto è il grado rispettivo della potenza ; che rap- porto al numero 5 gode di questa proprietà soltanto ciasche- duna delle sue prime tre potenze ; che relativamente al 6 go- dono tale proprietà solamente le sue quattro podestà prime; e che la godono egualmente , e solamente, riguardo al 7, le sue sei potenze prime ; rapporto allo 8 le sue prime dieci 9 e riguardo al 9 le sue prime ventitre . a.° Si faccia q=i . In questo caso dei limiti (LXXVI) i primi diverranno gli esposti in (LXXVII), ed i secondi di- venteranno Del s 1G. P, iOLO R.UFFIN1 . r3 2 I 2 - a 602 699 e, 0, 5^2 3 434 . - '-> 5 022 2 5 IO 398*' o, 699 0 , 398 3 3oi 2 :9 a ■ 5 2 140 :I2 — — ; i55 0 2 = 20 60 . o ^-3x11 0 ; 1 322 0 , i55 j °97 5 97 2 o , 046 , 38 '■47 — ■ n'46 Dunque delle potenze , le ffuali contengano una cifra di meno di quel che sia il grado delle potenze stesse, i nume- ri 1 , a ne hanno una sola, cioè la seconda, il 3 ne ha due, cioè la seconda , e la terza ; il 4 ne contiene tre , cioè la terza, la cpiarta , e la quinta; il 5 ne contiene tre, cioè la quarta, la quinta, e la sesta; cinque ne contiene il 6, che sono la quinta, la sesta, ec. la nona; sei se ne contengono dal 7, tali essendo le potenze, settima, ottava, ec. duodeci- ma ; dieci ne contiene lo 8 , essendo tali le podestà undeci- ma, duodecima, ec. vigesima ; e ventiquattro se ne conten- gono dal g, le quali sono la ventiquattresima, la venticin- quesima, ec. la quarantasettesima . 3.° Col fare ^ = 2, potremo, come nei ( prec. i.°,a.°) determinare quante, e quali potenze dei numeri i,a, 3,ec. 9 contengono due cifre di meno del numero p esprimente il grado delle potenze medesime . Così in progresso . 9. Venga dato il valore del primo membro G, il grado m della potenza , che vuole estraersi ; e venga richiesta in- dipendentemente dalla Tavola delle potenze la massima po- tenza mesima esatta , che si contiene in G . Denominato r il numero delle cifre in G, determino qua- le, o quali tra i logaritmi (I.XXV) moltiplicati per m dan- no una caratteristica =r — 1 . Chiamati a, b, e, ec. i nu- meri corrispondenti a questi logaritmi, e supposto a>#>c> ec, truovo attualmente il valore amv e lo paragono con G: se veggo am non >G, dirò che am è la massima potenza mesima domandata: che se sia ara>G, determino Z>m, e pa- ragonato questo valore con G , dirò essere bm la massima po- tenza richiesta , mentre risulti bm non > G ; ma se risulta 14 Metodo di estrarle le Radici Numeriche. //"■^G, passo innanzi, trovando successivamente le potenze cn , ec, finché ottiensi quella, che sia non > G , dicendo poi essere questa la domandata . Che se niuno dei numeri a, b, e, ec. determinati di sopra somministri potenza mesi- ma non >G; prenderò allora l'intiero prossimamente ad essi inferiore, e la mesirna di questo sarà non > G , e sarà la richiesta . i .° Supposto per esempio ra=io, sia G = 35438o,56 . Essendo in questo il numero delle cifre r = 8, cerco in (LXXV) quali tra i logaritmi ivi esistenti sono quelli che moltiplicati per io somministrano la caratteristica 7; trovo agevolmente non esservi fornito di tale propiietà che il logaritmo 0,778, il cui numero corrispondente è 6 . Dunque per la regola sta- hilita di sopra non dovrò che cercare il valore di 610; ma per l'attuale operazione truovasi 610 = 13810176, ed è 1 38ioi 76 < 35438956 : dirò dunque essere 610 la massima po- tenza decima , che si contiene in 35438q56 . Che se fosse G = 1 io,35686 ; allora avendosi i38ioi76> ng35686, direi non essere già 6'°, ma bensì 510 la massima potestà decima esatta, che contiensi nel dato 1 1930686. 2.0 Abbiasi ;?z = 5, e G = 25468. In questo caso tutti e tre i logaritmi 0,954; o , go3 ; 0,845 (LXXV) moltiplicati per 5 somministrano la caratteristica 4- Dunque converrà, che ritenghiamo tutti e tre i numeri 9,8,7, e, fattene succes- sivamente le potestà quinte, che successivamente le parago- niamo col dato a5468 , come si è indicato di sopra relativa- mente alle potenze am , bm , cm , ec. con la G. Ora si trova 95 = 59c49, 85 = 32768, 75= 16807 • Dunque essendo fra que- ste solamente la potestà 7 J <. 25468, ne segue, che sarà es- sa 7S la massima potenza quinta esatta che si contiene nel dato numero 25468 . 3.° Sia G = 356o4384g5, ed m = 25. In questa ipotesi, non esiste alcuno dei numeri a, b, e, ec. il quale elevato alla potenza 25."'ma contenga tante cifre, quante ne contie- ne il dato 356o438495 cioè io, perchè in (LXXV) non esi- Del Sic. Paolo Ruffini . i5 ste alcun logaritmo, il quale moltiplicato per 2,5 producala caratteristica 9; ma il logaritmo del a cioè o, 3oi moltipli- cato per a5 dà il prodotto 7 , 5a5 , e però la caratteristica 7 ; ed il logaritmo del 3 , cioè o , 477 moltiplicato parimenti per 2.5 somministra la caratteristica 1 1 , somministrando il prodotto 11, 925. Dunque essendo 3a5 fornito di 12 cifre, e aa5 di 8, sarà a25 la massima potenza 2.0 esima esatta, che condensi in 356c4-38495 . io. Quanto minore è il numero delle quantità a, b , e, ec. del ( N.° prec. ), tanto più semplice riescila la soluzione del Problema ivi proposto. Ora quanto è maggiore l'espo- nente m ; dal valore dei logaritmi esistenti in ( LXXV ) , e dai tre esempj del ( N.° prec. ) apparisce, tanto essere mino- re l'indicato numero delle a, b , e, ec, il quale ben presto riducesi assai ristretto . Dunque , mentre abbiansi presenti i logaritmi ( LXXV ) , potremo assai agevolmente risolvere il citato Problema del ( N.° 9 ) , il quale è quello, che forma il soggetto principale della presente Appendice, ed esso anzi diventerà sempre tanto più facile , quanto è più alto il va- lore di m . Glie se gli accennati logaritmi non si abbiano pre- senti, allora il numero delle cifre, che formano la potenza richiesta , potrà ricercarsi dipendentemente dalle proprietà esposte nel ( N.° 5 ), avvertendo che il numero e nel ( 5.° N.° 5 ) è sempre = m ogniqualvolta sia m un intiero non > 23 ( i.° N.° 8 ); esso e uguaglia ni — 1 , mentre m sia > 23 , e < 48 ( a.0 N.° 8 ) : uguaglia m — a , allorché m superi 47 ■> e sia <66. Così di seguito. Che se non si conoscono neppure queste proprietà, allora conviene per isciogliere il Problema, ricorrere al metodo proposto nel ( N.° 2 ) , ed alle forinole (LXX), (LXX1), (LXX1V). l6 DEL MOVIMENTO DI UN FLUIDO ELASTICO CHE SORTE DA UN VASE E DELLA PRESSIONE CHE FA SULLE PARETI DELLO STESSO. MEMORIA Del Sic Ottaviano Fabrizio Mossotti Preh:ntata dal Sic. Cav. Brunacci li a5 Giugno 1814 E APPROVATA DAL SlG. AVANZINI . N.° 1. v /uesta Memoria fu composta per applicare il calco- lo alla spiegazione dei fenomeni , che il Professor Brunacci osservò in alcune esperienze riferite in un discorso accade- mico il quale trovasi stampato nel secondo bimestre del 1814 del Giornale del Professor Brugnatelli . Pensò questo valente Geometra che la resistenza dell'aria alla quale comunemente dai Fisici si attribuisce il retrocedimento che lo scappare dei fluidi produce nei vasi che li contengono fosse una causa im- potente, e manchevole a produrre un tanto effetto , ma che invece il giuoco tutto fosse riposto nella dilatazione istessa del fluido. Richiamato quindi questo suo divisamento all'o- nor delle prove ebbe il piacere di vederlo pienamente con- fermato da una serie di ripetuti esperimenti . I risultamene di queste esperienze sono esposti nel sunnominato discorso la lettura del quale io suppongo premessa a quella di questo mio scrìtto . In esso è provato come le pressioni crescano ac- costandosi verso il fondo del vase , come le velocità invece siano maggiori verso lo sbocco, in una parola nulla si lascia a desiderare per la cognizione del fatto . Tutto era quindi ridotto ad assegnare da quali principii meccanici conosciuti discendesse la causa di quei fenomeni , tutto era ridotto a sta- Del Sic Fabrizio Mossotti . 17 «iotteBs^tauilire una più esatta teorica. E questa seconda intra- presa sarebbe forse stata assunta un giorno dal prelodato mio Maestro quando la minoranza delle occupazioni glielo avesse permesso, se io approffittaudo e dei lumi coi quali nell'assiste- re alle sue sperienze m' aveva egli schiarito , e del poco ozio che mi resta non gli avessi per così dire carpito il lavoro di mano. L'amorevolezza però e l'interessamento che nutre pe' suoi discepoli questo mio Precettore fecero che un tale at- to fosse presso di lui non solo in buona parte accolto , ma che anzi riuscisse all'animo suo gradito. Siccome nell' appli- care i principj di meccanica alla valutazione degli effetti nei fenomeni del retrocedimento dei vasi io dovetti stabilire le equazioni fondamentali del moto dei fluidi elastici che ne scappano fuori , così fui naturalmente condotto a formare una teorica sul movimento dei medesimi . È per questo che alla presente memoria le si conviene il titolo che io le ho pre- messo perchè appunto una teorica del movimento dei fluidi elastici che sortono dai vasi è ciò che fa l'oggetto della me- desima . N.° 2. Prima però d' incominciale ad esporre quanto nelP indagine del movimento di un fluido elastico che esce da un vaso e della pressione che fa sulle pareti dello stesso mi ven- ne fatto di ritrovare, piacemi di qui premettere la soluzio- ne di un Problema col quale il sommo Eulero si propose di ricercare la velocità che ha nell' uscire il fluido elastico pro- dotto dall'accensione della polvere nello sparo del cannone. Questa elegante soluzione mostra ad un dipresso lo stato in cui trovasi la teorìa del movimento dei fluidi elastici che sortono dai vasi, né per quanto io sappia alcuno mai pensò a ricercare se questi fluidi nel sortire premano sui vasi ove sono contenuti né con qual regola e gagliardìa vi premano . Essa è tratta dalle note die il suddetto geometra fece all'o- pera di Robins intitolata = Nonveaux principe* d' Artillerie . Ecco com'egli si esprime „ La materia sottile ed elastica prodotta dall' accensione Tom. XVII. 3 18 Del movimento di un Fluido Elastico ec. „ della polvere potendo essere considerata come un'aria estre- ,, marcente compressa noi supporremo, che al primo istante „ dell'espulsione della polvere nel cilindro cavo AABB (ftg. i ) „ quest'aria riempisca lo spazio AACG . Sia adunque la lun- „ ghezza di questo cilindro = a , il cerchio della sua base ,, = ce, ed AC = A. Sia altresì l'aria compressa nello spazio ,, AG m volte più densa dell'aria naturale; m sarà giusta le regole più comuni il rapporto della sua elasticità a quel- la dell'aria naturale, e se si supponga che il mercurio sia sostenuto nel barometro ad un'altezza = h, il peso di qué- „ sta colonna di mercurio sarà eguale all'elasticità dell'aria, ,, e se i : 12000 sia il rapporto del peso specifico dell'aria a „ quello del mercurio quest' elasticità sarà espressa dal peso „ di una colonna d'aria la cui altezza sia = iacoom/i . Sup- poniamo ora che dopo un certo tempo quest' aria si sia estesa sino in MM e nominiamo x la lunghezza AM , la densità dell'aria dilatata in questo spazio sarà alla pri- ma densità dell'aria rinchiusa in AG come AC è ad AM cioè come b \ x , e per conseguenza volte più gran- de che la densità dell'aria naturale, e la sua elasticità po- trà essere espressa dal peso di una colonna d'aria la cui altezza sia = — — — - . h . Se adunque quest'aria si dilata X liberamente colla sua propria forza , e non abbia né palla né borra avanti a sé si determinerà nella maniera seguente la velocità dell' espulsione . Sia \/v la velocità progressi- va della lamina anteriore MM in maniera che questa ve- locità sia dovuta all'altezza w, poiché noi supponiamo che quest'aria compressa si dilati uniformemente la velocità in ogni altra lamina ZZ sarà d' altrettanto minore che questa lamina è più vicina al fondo AA . Se si chiami dun- que z la distanza AZ la velocità in ZZ sarà eguale a — \/v e nel mentre che la lamina anteriore avanzerà di una quan- Del Sic Fabrizio JVìossotti . in „ tità infinitamente piccola Mra = ^.r , ZZ percorrerà uno „ spazio — $\X . E siccome la velocità va aumentando noi X „ possiamo supporre secondo le regole del calcolo differen- ,, ziale , che nel mentre che MM percorre Mm, l'altezza v ,, sia accresciuta di ^v , e la velocità t/v di -1—. L'accre- ,, scimento della velocità della lamina ZZ nel medesimo „ istante sarà — , e quella dell'altezza ^- per acquista- sti/^ xx „ re questa velocità sarà — — . Diamo %lla lamina ZZ uno XX „ spessore Zz = ^z di modo che il suo volume sia eguale „ a cc\z\ siccome in questa sezione 1 aria e — volte più „ densa dell'aria naturale la lamina ZZzz avrà una massa ,, eguale di un cilindro d'aria naturale della medesima base, „ e di un'altezza = — — . Il movimento di questa lamina „ essendo accelerato bisognerà necessariamente che vi sia una „ forza che produca quest'accelerazione: noi supporremo a- „ dunque che questa forza sia eguale al peso di una colon- „ na d'aria naturale della medesima base della lamina e di ,, un'altezza = \2.cocp. Ora sappiamo, che nel mentre che „ questa lamina percorre lo spazio —, l'altezza — s' ac- X XX „ cresce di ^-?; bisogna adunque che secondo i principj „ della meccanica questo accrescimento ^^ sia allo spazio XX 55 — -5 come la forza iioooc^ che accelera il moto di que- „ sta lamina, è al peso ^-^-\z della stessa, cioè z— \ —\\ x XX X „ iaoooc3/? : — %^z dalla quale si ricava iaooo» = mbecs^=^° " t— z$\z per Ja lorza acceleratnce dell'aria contenuta 55 55 55 no Del movimento di un Fluido Elastico re. „ nella lamina ZZzz : integrando si avrà ■"' cc*° — per V es- xxfo a. „ pressione della forza necessaria all'accelerazione dell'aria „ contenuta nello spazio AAZZ, e se si f a z = x si avrà mhccXv ir i •• •• „ — - — per la iorza acceleratnce di tutta lana contenuta nello spazio AAMM. Ma questa forza allorché non vi è ostacolo a vincere non è altra cosa che la forza elastica dell'aria compressa che è eguale al peso di una colonna „ d'aria naturale la cui altezza eguaglia ."?c m e ]a base X s j • ., . %,v laooombh ~ „ =cc: si avrà dunque quest equazione = e Q^o H&.V X ,, = il cui integrale e v = 2,Acccmn log. — e se si x ° ° b „ mette AB = a per x si avrà l'altezza dalla quale il corpo „ dovrà cadere per acquistare la velocità colla quale l'aria „ scappa dall' apertura BB e quest' altezza sarà eguale a „ 24000772 A . log. — . N.8 3. Esposta così la dottrina dell'Eulero su tale og- getto dalla quale molto lume ricevetti per sottoporre a cal- colo il movimento di un fluido elastico in circostanze simili, darò principio alle mie considerazioni . E per progredire con più ordine richiamerò le difinizioni di alcuni termini , non che alcune nozioni delle quali come di cose vere e note pos- sa servirmi nel seguito a' miei propositi . I. E primieramente intenderò per fluido elastico quello, che senza cangiar la sua massa può ridursi ad un minor vo- lume allorché viene compresso, e che cessando la compres- sione si ristahilisce nel suo primiero stato per una virtù o forza chiamata elasticità, la quale in lui risiede. II. La forza elastica in ogni stato di compressione si mi- sura dalla forza che sarebbe atta a ridurre, e conservare il fluido in quello stato di compressione . III. Essendo poco ciò che finora ci ha mostrato l'espe- rienza sulla misura, e sulla varietà di questa forza nei diversi Del Sic Fabrizio Mossotti. 21 fluidi elastici io sceglierò l'aria, e sulle proprietà di questo siccome del fluido più conosciuto s'aggireranno i miei ragio- namenti, farile essendo a chicchessia l'applicarli a qualun- que altro fluido purché del medesimo se ne conoscano egual- mente le proprietà. Assumerò quindi ciò che l'esperienza ha comprovato sull'aria, che essendo costante la temperatura, una stessa massa di fluido elastico venendo ridotta ad occu- pare successivamente diversi volumi, le forze che lo compri- mono e perciò le differenti forze elastiche sieguono la ragio- ne inversa dei volumi , o la diretta delle densità . Così sup- ponendo uno la densità dell'aria naturale, la sua elasticità essendo misurata come è noto dal peso di una colonna di mercurio dell'altezza media del Barometro, o di metri 0,76 = ^, quella di un'aria A volte più densa sarà misurata dal peso di una colonna di mercurio alta Ah ; e volendo ridurre que- ste colonne di mercurio ad altre equivalenti in peso della stessa aria, essendo il peso specifico dell'aria a quello del mercurio come uno a undecimila e trentacinque (a), una co- lonna d'aria dello stesso peso di una di mercurio dovrà es- sere iio35 volte più alta, per lo che le due nominate co- lonne di mercurio ridotte ad altre equi ponderanti d'aria do- vranno avere altezze la prima eguale a iro35/j, la seconda eguale a 1 io35AA . IV. Per altezza dovuta ad una velocità, intenderò quel- la altezza dalla quale cader dovrehbe un corpo grave per ac- quistare quella velocità medesima; ed egualmente velocità do- vuta ad un'altezza significherà la velocità che acquisterebbe un corpo grave liberamente cadendo da quell'altezza mede- sima . V. Finalmente assumerò, ciò che è dimostrato in tutti (a) Il peso specifico del mercurio è a quello dell'acqua come 13,50,0,5 : 1,0000 ( Ved. i?iof annot. alla Fisica Meccanica di Fischer) ma quello dell'acqua è a quello dell'aria come 10000 : lì, 3a33 ( Ved. Brugnatelli Trattato elementare di Chimica generale T. I ) componendo le proporzioni si troverà l'enunciato rap- porto del peso specifico dell'aria a quel- lo del mercurio . •-L2 Del movimento di un Fluido Elastico ec. gli autori d'Idraulica, che la velocità colla quale da un pie- col foro zampillerebbe un fluido compresso in un vase è do- vuta ad un'altezza eguale a quella di una colonna dello stes- so fluido che sia atta a produrre la medesima pressione, che soffre il fluido nel luogo ove zampillerebbe . N.° 4> Questi principj e definizioni premesse io mi fa- rò ora per mezzo di semplici raziocini ad investigare più addentro la natura del movimento di un fluido elastico , ciò che spianerà viemeglio la strada all'argomento che imprendo a trattare . Perciò supporrò come ha fatto l' Eulero , e come è provato dalle osservazioni, che i fluidi che sono perfetta- mente elastici, o che almeno si accostano ad esser tali con- servano nel dilatarsi la medesima densità in tutta l'estensio- ne del loro volume. Immaginiamo quindi che la figura AABB ( fig. 2. ) rappresenti lo spaccato di un cilindro nel quale debba stendersi un fluido elastico compresso nello spazio AACC del fondo, che per comodo dei ragionamenti suppor- remo diviso in tre porzioni eguali AADD , DDEE , EECG . Messo in libertà il fluido la colonna AACC dello stesso co- mincierà ad allungarsi; sia tale l'allungamento seguito nel primo istante di tempo che la prima falda esterna CG sia passata in ce ( la porzione di retta Ce si è fatta di grandez- za finita per rappresentarla all'occhio ) anche delle due altie porzioni le falde più esterne EE, DD saranno progredite Pu- na in ee, l'altra in dd. Siccome le porzioni AADD, DDEE, EECG erano eguali in densità e lunghezza prima che comin- ciasse il moto , e Io devono essere anche dopo , perchè la massa fluida si trova ancora disposta in una densità unifor- me, così converrà che l'avanzamento della prima porzione Ce sia triplo dell'avanzamento Dd dell'ultima, ed Ee doppio dello stesso Dd , per lo che considerando soltanto il moto del- le tre falde CG EE DD s'intenderà che in questo istante es- se sono progredite di quantità proporzionali alla loro distan- za dal fondo , ossia che si son mosse con velocità proporzio- nali a queste distanze istesse. Dopo questo istante ritornando Del Sic. Fabrizio Mossoiti . a3 cól pensiero alla porzione Kh.cc la concepiremo dilatarsi per un altro momento, e quindi ripeteremo come nel primo il ragionamento sul modo di agire e di dilatarsi delle altre due, indi passeremo ad un terzo, e poi ad un quarto, e così per indefiniti istanti , onde ci accorgeremo che , la massa fluida trovandosi continuamente disposta in una densità uniforme, la velocità colla quale si muove una falda qualunque in cia- scun tempo è a quella di un'altra nel medesimo istante nel- la ragione diretta della distanza della prima alla distanza del- la seconda dal fondo . N.° 5. Veduta la legge delle velocità colle quali si muo- ve il fluido nelle diverse sezioni dilatandosi in un cilindro, passiamo a ricercare qual sia la forza motrice che s'impiega a produrre ed accelerare il movimento di una porzione qua- lunque della colonna fluida . Poiché ho dimostrato che la ve- locità , che in un istante acquista il fluido in ciascuna se- zione, è nella ragione della distanza sua dal fondo del cilin- dro, le forze acceleratrici nelle diverse sezioni saranno anch' esse proporzionali alle distanze loro . Rappresento colla retta AB { fig. 3 ) eguale in lunghezza alla colonna fluida che si dilata la massa della medesima, e colla BD posta ad an- golo retto alla AB la forza acceleiatrice nella sezione ultima BB , e congiungo AD. Se nel triangolo ABD prendo del la- to AB una parte qualunque AC, ed innalzo la CE parallela alla BD , mentre la porzione AC corrisponderà alla massa flui- da compresa tra il fondo del cilindro ed una sezione CC alla stessa distanza AC , la CE equivarrà alla forza acceleratrice nella detta falda. L'area dunque dell'intero triangolo ABD sarà proporzionale alla forza motrice che s'accingerà a dar movimento all'intera colonna fluida rappresentata da AB, e l'area della porzione ACE del triangolo corrisponderà alla for- za motrice della parte di colonna fluida rappresentata da AC. Essendo poi le superficie dei due triangoli simili ABD, ACE nella ragione dei quadrati dei lati AB, AC, sarà la forza mo- trice che agisce su tutta l'intiera colonna fluida AB, a quella 2.J. Dei, movimento di un Fluido Elastico ec. che muove la porzione AC come il quadrato della AB al qua- drato della AC . Ma il fluido totale non tende a muoversi che con una forza equivalente alla sua elasticità, la quale secondo i principj esposti al N.° 3, III, II è rappresenta- ta dal peso di una colonna dello stesso fluido che abbia per base la superficie della sezione BB ed un'altezza che la ren- da atta ad equilibrarla. Dunque rappresentando la forza dal- v la quale riceve il suo movimento la porzione espressa da AC col peso di una colonna di fluido della stessa base, e la cui altezza corrisponda ad un'elasticità che a questa forza equi- valga, sarà il peso dell'intera colonna che misura l'elastici- tà nella sezione BB la quale di movimento a tutto il fluido al peso di quella parte che può concepirsi essere impiegata iielf accelerare il moto nella porzione AC, come il quadrato della AB, al quadrato della AC; o ciò che è lo stesso sarà l'altezza dell'intiera colonna all'altezza della porzione gene- rante il moto nella massa AC , come il quadrato della lun- ghezza della colonna fluida che si dilata, al quadrato della lunghezza della porzione di colonna fluida la cui massa è rap- presentata da AC. Dalla quale proporzione risulta, che l'al- tezza della colonna dal cui peso può credersi mossa una por- zione qualunque della colonna fluida che si dilata , è eguale al prodotto dell'altezza della colonna che misura nella sezio- ne BB la totale elasticità del fluido nel quoziente del qua- drato della lunghezza della parte della colonna che si consi- dera dilatarsi diviso pel quadrato della lunghezza dell'intiera colonna mossa . Il ragionamento col quale io ho dedotta la misura o l'al- tezza della colonna dal cui peso può valutarsi la forza che genera il movimento in una porzione qualunque della colon- na, non che per lo primo istante è buono a qualunque tem- po della dilatazione voglia applicarsi: perchè essendo sempre gli aumenti di velocità che acquista il fluido nelle diverse se- zioni in ragione della distanza di cjueste dal fondo (N.°4), potremo sempre ripetere in ciascun istante la stessa consi- dera- Del Sic. Fabrizio Mossotix. a.) derazione, onde necessariamente la forza elastica nella sezio- ne BJ3 con cui tende il fluido in questo stesso istante a dila- tarsi, e che s'adopera nel produrre l'accelerazione dovrà colla stessa legge distribuirsi nell'estensione della colonna fluida. N.° 6. Veniamo ora alla pressione. Siccome la dilatazio- ne del fluido succede in modo che prima incomincia a dila- tarsi dalla parte esteriore e va continuamente ristabilendosi l'equilibrio di densità, e di elasticità in tutto il rimanente del fluido in un modo però continuo, e senza intervalli finiti di tempo, prendiamo perciò ad esaminare il moto del fluido in un istante nel quale la prima porzione CCBB (fig. 3 ) fac- cia per dilatarsi , e la seconda AACC quasi contemporanea- mente pigia per porsi in equilibrio di densità e di elaterio con essa. E chiaro che se la seconda porzione AACC invece di premere in quest'istante fosse in un tratto annichilata, tosto la porzione CCBB si dilaterebbe da amendue le parti, e se ciò non avviene si è, perchè anche la seconda porzione cerca di distendersi da questa stessa parte onde, nella sezio- ne CC siegue un contrasto fra la porzione anteriore CCBB , e la posteriore AACC. Viceversa se immaginiamo, che si an- nienti la porzione anteriore CCBB, è facile il vedere che l'al- tra porzione AACC tenderebbe a dilatarsi con una forza cor- rispondente alla forza elastica nella sezione CC, ossia con una forza eguale al peso di una colonna di fluido avente per ba- se la sezione CC = BB, ed un'altezza atta ad equilibrare l'elasti- cità stessa. Se adunque non si dilata, o non è mossa che con una forza la quale come abbiamo veduto ( N.° 5 ) è a quella che misura l'elasticità del fluido, come il quadrato della to- tale lunghezza della colonna fluida AB, al quadrato della lun- ghezza sua propria AC, forz'è che in questa sezione CC sia cosi contrastata , che nel conflitto perda una quantità di for- za che sarà la differenza tra il peso della colonna che mi- sura l'elasticità del fluido, e il peso di quella parte di co- lonna che corrisponde a quella forza che muove effettivamen- te la porzione AACC, ossia il peso di una colonna la cui al- Tom. XVII. 4 ofi UCL MOVIMENTO DI UN FLUIDO ELASTICO eC . tezza sia la differenza di quelle delle due dette. Il fluido quin- di nella sezione GC si troverà compresso dal peso di mia co- lonna di quest'altezza, in modo che schizzerebbe fuori dalla massa totale se non fosse trattenuto dalla parete CC, premerà quindi sulla medesima, e se in un punto di essa si facesse un foro piccolissimo o come suol dirsi infinitesimo, sfuggireb- be da questo con una velocità, che come ho detto al N.° 2, V, sarebbe quella dovuta all'altezza di questa colonna com- primente . Sarà perciò seguendo la nozione data da Eulero della pressione ( il quale assegna per misura della pressione di un fluido su di un punto qualunque delle pareti, il peso di una colonna dello stesso dalla quale bisognerebbe che fos- se compresso per uscire colla stessa velocità con cui zampil- lerebbe da un piccol foro nello stesso luogo ) il peso della detta colonna la misura della pressione nella sezione CC . Sot- traendo adunque dall'intera altezza della colonna che misura l'elasticità del fluido l'altezza della parte di quella che ge- nera il movimento nella massa AACC di già determinata, troveremo che l'altezza della colonna fluida il cui peso equi- vale alla pressione nella sezione CC, è quella che risulta mol- tiplicando l'altezza dell'intiera colonna nell'unità diminuita del quoziente del quadrato della AG diviso per lo quadrato della AB. Noi intraprendendo ora a risolvere col mezzo del calco- lo differenziale il Problema col quale più compiutamente de- termineremo le circostanze che accompagnano il movimento di un fluido elastico che si sprigiona da un vaso nel quale era in uno stato di compressione, giungeremo per altra via ad uno stesso risultamento per la misura della pressione. Ciò non ostante ho amato meglio di dedurla anche con un sem? plice geometrico raziocinio si perchè questo metodo può dar mano all'analitico, come perchè trattandosi di cose nuove e fìsiche è bene di renderle facili ed intelligibili anche a quelli che trovandosi meno istrutti nelle matematiche non possono tener dietro nella via del calcolo . 55 55 Del Sic Fabrizio Mossotti . 27 Problema I .° N.° 7. „ Siavi un cannello AABB tutto ripieno di un' aria condensata, ed ivi tenuta compressa, se in un tratto aprasi il cannello dalla parte BB l'aria, o il fluido conte- „ mito immediatamente dilatandosi si sbanderà fuori: cercan- „ si le relazioni tra gli elementi del moto di questa espul- „ sione . Sia a2 l' area di una sezione del cannello . I la sua lunghezza . m la densità del fluido al principio del movimento . t il tempo scorso dopo l'istante in cui incomincia il mo- vimento . A la densità del fluido alla fine di questo tempo . v la velocità nell'ultima sezione o bocca BB del cannello in questo tempo . Di più presa in considerazione nell'interno del cannello una porzione o strato indeterminato di fluido ZZzz sia z l'ascissa AZ o la distanza dello strato dal fondo del ci- lindro . I — I sarà come è noto la velocità al principio ZZ dello strato I yt) 'a f°rza acceleratrice nello stesso luogo . Indicando ora con (p(z,t) la somma di tutte le forze ac- celeratrici che agiscono sulla massa AAZZ del fluido, e fa- cendo l'altezza dello strato Zz = w, poniamo in questa per s, z-f-o, deve esser zero sarà C = s ' ' Io35/t (a) Alla ricerca dell' espressione di quest' integrale servono anche facilissi- mamente , in quel modo di cui si è già latto uso per la quadratura, e rettifica- zione delle curve, e in molti altri casi, il principio di Lagrange , o quello di Bruniteci . Ved. Istituto Naz. Italiano Tom. I. 32, Del movimento di un Fluido Elastico ec. l'equazione diverrà togliendo i logaritmi (io) A = in l i y \ 3,g . i io35 .h / e questa ci farà conoscere la densità per mezzo delle veloci- tà : se si volesse la densità data pel tempo non si avrebbe a far altro, die sostituire in quest'equazione invece della velocità il valore sopra ritrovato in funzione del tempo, e fatta qualche riduzione si troverebbe (n) A = m {OS*5 • "o35& -^^.11035/J (e -t-e ; espressione che si sarebbe egualmente ottenuta sostituendo nel- l'equazione (9) invece della v il suo valore già ritrovato in funzio- ne della t, ed integrandola col moltiplicar prima il numeratore — tv Hg . lio'65/l l ed il denominatore del secondo membro per e L' equazione testé ritrovata ci fa vedere che la densità non può mai divenir nulla che a tempo infinito . Problema 1 1 .° N.° io. „ Supposto che il fluido si sbandi fuori dal can- „ nello AABB come si è detto nel Problema precedente, si „ dimanda qual è la pressione che in un dato istante eser- ,, citerà su qualunque punto del cannello ? Per risolvere questo Problema abbiamo già al principio del Problema primo preparata l'equazione (3) in questa sostituisco per (-r-7-) il valore dato dall' equazione (4) avremo . -«(fc)-*{fla^l la quale integrata nella supposizione della t costante , darà — sp Del Sic Fabrizio Mossotti . 33 — EP per determinare la costante faccio z — l, ed allora la pressio- ne dovrà essere quella sulla faccia anteriore, o sullo sbocco, la quale se si suppone , che il fluido sorta nel vuoto dovrà essere nulla , onde avremo -£i|féK}-ò e quindi per questo valore della costante si otterrà e quest' equazione ci farà conoscere la pressione in ogni sito della lunghezza del cannello per mezzo della velocità, e del- la densità; pongo in questa invece dell'espressione 1 aì - il suo valore tratto dall'equazione (6) diverrà (13) gp = g.iio35.k.AÌl—^) se in questa facciamo z = o , avremo la pressione sul fondo che sarà (14) gp = g . i io35 . h . A la quale ci mostra che essa equivale a tante volte la pressio- ne dell'atmosfera quante volte il fluido che è nel cannello è più denso in confronto della medesima, e l'equazione (i3) poi ci fa conoscere la legge colla quale questa pressione de- cresce trasferendosi in una sezione qualunque verso lo sboc- co; equazione la quale altro non è che l'espressione analiti- ca di quanto abbiamo dimostrato al N.° 5 . Vi è adunque una pressione sulle pareti del vaso la quale può essere grandissi- ma anche quando il fluido sbocca nel vuoto, e da quanto di- mostreremo in appresso si potrà dedurre, che essendo egua- le la densità del fluido nel cannello la pressione sul fondo è tanta, quanta sarebbe se il fluido uscisse nell'atmosfera. Se per A poniamo in queste due equazioni il valore ri- Tom. XVII. 5 34 Del movimento di un Fluido Elastico ec. cavato da quella segnata ( 1 1 ) avremo la pressione data dal tempo, che per una sezione qualunque sarà t\Zng- i ro35.A — t\/ ig . iio35.ài " l i (i5) gp=g-i io3o.h.rn< e pel fondo (r6) g^=g.iio3S .ti. m\ *?£*****■* -n/*g.iio3s.h) le ■+> e ) Esaminato il Problema nel caso ipotetico che il fluido sorta nel vuoto , passiamo ora a considerare quello che in natura succede, cioè che sbocchi nell'atmosfera. Problema III.0 N.° 1 1 . .„ Supposto il cannello ripieno di un'aria con- ,, densata come nel Problema I.°, ma che invece di sortire „ nel vuoto, debba ora sbandarsi nell'atmosfera, si diman- „ dano pure le relazioni fra gli elementi del moto in quest' „ espulsione " . Poiché questo caso in nuli' altro differisce dal primo che, mentre in quello il fluido non incontrava resistenza nell'u- scire, in questo sente l'azione dell'aria atmosferica, gli stessi ragionamenti che abbiamo fatti per trovare la forza accelera- trice nel caso antecedente sono buoni adesso, e ci condur- ranno ad avere le stesse equazioni (i), (a), (3), (4), (5). Ri- prendo perciò l'equazione (5) rf) esprime la forza totale colla quale si sbanda la massa flui- da la quale è propriamente la forza del fluido nella sezione dello sbocco; ora allorché il fluido sorte nell'atmosfera, que- sta nella sezione dello sbocco premendo tutto allo intorno della colonna fluida produce su di essa una forza ritardatrice Del Sic. Fabrizio Mossotti . 35 eguale al peso dell'atmosfera ( proveremo nel seguito più par- ticolarmente quanto si asserisce ) onde dalla forza totale ela- stica che dà movimento all'aria compressa nel cannello espres- sa da ga2. i io35 .h. A, converrà sottrarre questa ritardatrioe equivalente a ga* . i io35 . h , ed allora avremo il valore della forza (p, che messo nell'equazione antecedente ci darà (17) «2AHi^ - j=g.«a.iio35.A(A — 1) a questa aggiungasi quella segnata (8) ritrovata al N.° 9 che esprime la densità . ma*ll— a'fAv^t aH o la sua differenziale Av l > per eliminare la t fra queste due equazioni, osservo che nel- la prima la differenziale [ — — I può cangiarsi in questa (-r— ) I — I, ed essendo I- — 1=: potrò sostituire per I— — I, Av ( &v \ . ,., . • i . 7~lTT/' e Per fIuesta sostituzione quell equazione ridot- ta diverrà Av l^—\ — Av* =g . 32070 . h ( 1 — A ) la quale ha per integrale ~ =ag . 22070 . h \ *— ■+■ — } -4- C .A' b ' l 3A3 2A1 { ora rifletto , che quando v = o si ha A = m dunque dovrà, essere C = 2£ . 22070 . h \ — ^- — > 6 ' \ 3m3 m' ) e quindi otterremo la seguente equazione / \ a _ ng . 02070 . fi ( ( 2— 3»i ) A3 -+- 3ni3 A — sto3 ) ^9' ° ' 6^* | A | 36 Del movimento ni un Fluido Elastico ec. la quale ci farà conoscere in ogni istante la velocità, quan- do si conoscerà |>er ogni istante il valore di A . N.° 12. Corol. I. Se poniamo questo valore di v* iteli' equazione (17) avremo questa nella quale fatto /-—l =0, avremo la densità allorché la velocità è massima data dall'equazione ( 2 — Sm ) A3 -t- m? = o che sarà (ai) *=-r= \/'im — a e questo valore di A posto nell'equazione (19) ci farà cono- scere la velocità massima , che sarà / \ a «£.11035/* ( *yS ) (22) t)a = -5 ) m _ y/àm _ a I . N. i3. Cor.ol. II. Per conoscere la relazione tra la den- sità, ed il tempo moltiplico un membro, e l'altro dell'equa- zione (19) per A2, ed ho A>v> = *g-*»°7°& j / a _ 3m ) A4 _h 3w3Aa - 2m3A | ora essendo /(A_) = — At> sarà anche V 8»* / faccio in questa A r= , si troverà 1 -t-mz" ossia permutando la differenziale, estraendo la radice, ed in- tegrando i = l/2,.aao7o.,/l/3p-i^3(^)^: Del Sic Fabrizio Mo»?otti . ?jh in quest'equazione l'integrale del secondo membro si può ridurre alla forma della prima delle trascendenti, cbe il Sig. Legendre ha così bene considerate in questi ultimi tempi, e che ha chiamate trascendenti ellitiche . Per ridurre quest'integrale alla forma della prima delle trascendenti nominate osservo, che la quantità \ ma / \ ara / risulta dal prodotto dei due fattori iS(m_2).)./à(^)Vli(6m"^5) ^ ) i _2 -3(m-a)-t-t/3i,w-a)'-H8(6ro-5) \ " 4m i l 4™ dunque facendo per semplicità di calcolo 3 ( m — a)-t-|/3(m — a )" -t- 8 ( Gm — 5 ) a 4"i — 3(m — 2)-i-l/3(m — a)' + 8(6w — 5) a - ^r m e supponendo za-4-^a = x2, e ^2 h- t-2 =^2 , ne verrà l'equa- zione ^_ i\/Tz f %x 22070 hj | facciasi p ~?- = ca, ed x3 = ? risulterà ,pa I— e1 sin.1/; / _ /t/TI /• si calcolerà i — b c° = — •£- = tanghi ^ e poi si farà c° = sin.^°, ed operando similmente si otterrà c00=-^ = tan2.a!'/x°=sin.i!i00, c000=^^ = tang.a* #°° ec. sino che si arriverà ad un valore di e trascurabile . Indi si calcoleranno gli angoli (p° , <^°0 , <^000 ec. colle forinole ( tang. ( (^° — (p) = b tang. a perchè riesca ca>g, si fa- rà & = sin./l c = cos.A, indi si cercherà il valore di U colla formola £*= — = tang .a 4 A I-t-C si supporrà in seguito &' = sin.A', c' = cos./T, e così via via, e si avrà — =tang.a^' = sin.r, b'" = ^ I+C 1-4- C e poi si calcoleranno gli angoli, o le amplitudini l'ultima di queste amplitudini corrispon- dente ad un valore b^ piccolo , si avrà (aS) t = F{c,(p)—:ìl/c'-c"-c'"-ec- log. tang.( 45° -+-£$) in questo modo le due equazioni (2,4), (aS) ci daranno il tem- po corrispondente a qualunque grado di densità per cui passa il fluido nel farsi l'espulsione, qualunque sia il valore di m. N.° i4- ConoL. III. Facciamo nell'equazione (19) v = o risolvendo quest'equazione troveremo che essa risulta dai due fattori A — m = o Aa -t- mA h- -^— — o a-=-3ra il primo dei quali dà A = m, cioè che la velocità è zero quan- do la densità è m9 ossia al principio del moto, il secondo dà e questo sarà il valore della densità in un altro istante in cui la velocità è zero , ossia alla fine del moto . N.° i5. Corol.IV. Se questo valore di A ripongasi nelF equazione A = , troverassi Z2, _ 3 (m— a) -4- \/i( m — a )* ■+■ 8 ( 6ro — 5 ) e questo valore di sa è quella quantità che noi abbiamo in- dicata con ra e quindi sarà za = ra, ed essendo s3-H^a = .ra, sarà .ra = ra ■+■ tf —p* onde si troverà sin.a<^=i, e quindi ^= — = 90°. Se facciamo perciò <^ = — nelle equazioni (a3) gli angoli 2, converrà eseguire il calcolo degli angoli i deve essere A 2TO àm-+- m% — i come lo è realmente per tutti i valori di m maggiori dell* unità . Ciò ci fa conoscere che il fluido nel sortire nell'atmo- sfera seguita a farlo sino che arriva ad una densità minore Tom. XVII. 6 4-a Del movimento di un Fluido Elastico ec. di quella; e questo è facile il comprenderlo anche col razio- cinio considerando, che quando la densità del fluido, e quin- di la sua elasticità è eguale a quella dell'atmosfera, essendo esso dotato di una velocità, questa dovrà impiegare un dato tempo nelT estinguerla, nella durata del quale il fluido si ren- derà minore in densità . Ma dopo che la velocità del fluido verrà annientata non essendo fornito di un elaterio sufficen- te ad ostare alla pressione dell'aria esterna, perchè ha una densità minore, questa a guisa di uno stantuffo comprimerà l'aria contenuta nel cannello, e l'obbligherà a condensarsi. Vediamo quindi, quali sieno la natura, e le circostanze del moto di questa condensazione . Problema V. N.° 18. ,, Essendo alla fine della sua espulsione il fluì— „ do rimasto nel cannello meno denso dell'atmosfera nella „ quale esce, non potrà più colla sua forza elastica equili- „ brare la pressione di quella, quindi verrà in seguito dalla ,, medesima costipato; si dimanda la relazione tra gli elemen- ,, ti del moto di questa costipazione ? „ Per poco che sì rifletta sul metodo col quale abbiamo dedotto le equazioni (i), (2.) , (3) si conoscerà che esse sono valevoli anche per questo Problema . Conservate adunque que- ste equazioni , e le denominazioni dei numeri antecedenti , chiamo di più x la distanza dal fondo del cannello alla fine di un tempo qualunque della superficie più esteriore del flui- do che è compressa dall'atmosfera: essendo le velocità nelle diverse sezioni, o falde, come abbiamo esposto al N.° 4? m ragione delle distanze loro dal fondo, sarà la velocità di una falda qualunque alla distanza z espressa da I— — )= — ( ). In questo Problema x rappresenta la distanza dell'ultima fal- da, o della superficie del fluido in contatto coli' atmosfera la quale passa continuamente per diverse sezioni, quindi diver- Del Sic. F\biuzio Mossottl 4^ samente da ciò che al N.° 8 abbiamo osservato della 7, la quale era sempre la distanza della sezione dello sbocco dal fondo , o la lunghezza del cannello che rimaneva costante col tempo, x sarà variabile, e perciò in questo caso tutte le quantità della sovrascritta equazione saranno variabili col tem- po, e differenziando si avrà ma x[— I è eguale a z l-^—) , sostituendo si troverà che quest'equazione si riduce alla seguente sostituisco questo valore della differenziale (-— ) neh' equa- zione segnata (j) sarà integrando relativamente alla z, e completando in modo che (p sia zero quando z = o , si avrà faccio ora z = x , sarà e

A±(0) = a*g.iic35.h.(A-i) ora essendo m la densità alla fine dell'espulsione, o al prin- 44 Del movimento di un Fluido Elastico ec. cipio di questo movimento, ed essendo costante la quantità di fluido compresso si ha l' equazione (35) aaAx = a*ml dalla quale si deduce (36) A = -2L X sostituendo questo valore di A nell'equazione (34) avremo ossia permuto la differenziale , sarà integrando si troverà ì^ty = S • a207° • h | ^g. a>— -^-i -4-G ossia permutando di nuovo la variabile nella differenziale (39)(^)a=ag-aa07°-/i{Iog-a;-^r}^G ora al principio del movimento quando la velocità |-^-J = o, si ha x — l, dunque sarà C = ag . 22070A I log. I 1 sostituendo questo valore della costante nella (39) avremo e quest'equazione ci farà conoscere la velocità corrisponden- te ai diversi luoghi, ne' quali troverassi l'ultima falda del fluido sulla quale agisce col proprio peso l'atmosfera. N.° 19. Corol. I. Invece della x poniamo in quest'equa- zione (40) il suo valore dato per A che è x= — si avrà Del Sic. Faerizio Mossotti . 4-5 e questa ci darà la relazione tra la velocità , e la densità . Se nell'equazione (3/j.) facciamo A=r, la differenziale I — — I diviene = o , dunque essendo la velocità (— — ) in principio del moto per sua natura crescente ., questo valore di A che annulla la sua differenziale corrisponderà al massimo della velocità, la quale sarà perciò data da quest'equazione (41) ponendo in essa A— 1, ossia sarà data dall'equazione (42) (fr)" = a* • **°7Ch li-1- log- i } N.° ao. Corol. II. Ritorno all'equazione (40) { 1 = 2.2, . 22070/2 ì H log. — ) : affine di conoscere per mezzo di questa il valore del tempo, che il fluido impiega a restringersi entro una data sezione : convien integrarla; perciò suppongo — = 1 — /2 sarà l — x = /y3, e l-r^-l = — 2,// I— — J, fatte queste sostituzioni otter- remo 4^/2 (jrf= h -22°7° • *{£■+■ log- ( 1— ri) permutando la differenziale, ed estraendo la radice, quest' equazione si trasformerà nella seguente /jbiV= *l 1 ora osservando che log. 1— y» = _-ly -t-L-t-L-i-ec. I avremo sostituendo 2.1 ( 1 ih (£) = ì/*g.*u>7o.h ji. , ) _|^_ }y4- ec. 40 DtiL MOVIMENTO DI UN FLUIDO ELASTICO eC. sviluppando in serie il secondo membro, facendo per sempli- cità di calcolo |/ag . 251070 . h = n , sarà laccio A sarà /ll\ __ a -+- B/a ■+■ C/4 -+- ec. quindi integrando avremo (43) £ = A/-HìBy3-KC/5-Hec. senza costante poiché fatto t = o , si ha a; == l , ed / = o ; potremo quindi per mezzo di questa seri? facilissima a pro- seguirsi determinare approssimatamente il tempo dato il luo- go, o la distanza dal fondo del cilindro alla quale trovasi la falda più esteriore alla fine dello stesso tempo . Se indichiamo con k la distanza dal fondo del cilindro alla quale Noverassi la falda più esterna del fluido alla hne del movimento, distanza che or ora insegneremo a determi- nare, e facciamo l - X = lp , avremo il tempo totale della condensazione dato dalla serie (44) £ = A^-l-ìBfi3-H quindi l'integrale particolare sarà dato dall'equazione mX mX mX mX (49) (£) =■*■ i icsbA ]°s-x * (^rT-iog^ ' m * | per mezzo della quale si conoscerà la relazione tra la velo- cità, e la distanza dal fondo del cilindro, o luogo ove tro- vasi l'ultima falda in contatto dell'atmosfera. N.° 2-4- Corol. I. Poniamo in questa in luogo di x il suo valore dato dall'equazione (47) si avrà mX mX mX mX ~ V' (So) (k.)W«io3S.A|tog.^*(^) '-log.** «Hi) dalla quale si ha la relazione tra la velocità, e la densità in un tempo qualunque. Nell'equazione (46) fatto A= 1 dive- nendo eguale a zero il secondo membro, converrà che l-r-7) sia zero, la differenziale adunque della velocità I — -1 è an- nullata da A = 1 , quindi essendo la velocità crescente in Del Sic. Fabiuzio Mossotti . Si principio del moto, A=i sarà il valore della densità quan- do la velocità è massima, e questa sarà data dall'equazione niX mX mX mX (Si) (^f-Y= 2g. 11 o35. h\ log. mÀf(ip-mÀ) — log./L (^/-A) *j N.° 2,5. Corol. II. Resta ora a conoscersi la relazione tra il tempo, che l'ultima falda impiega a giungere ad una da- ta sezione, e la distanza di questa sezione stessa dal fondo; perciò conviene integrare l'equazione (49)5 e per semplifica- re i calcoli comincio a supporre ig . 1 io35 . A = jra, = a, mX n , . j- 1 — =p, sarà quindi (M. Y= ^ j a 1 og . x-hp 1 og .(tfj — x) — a log . A— 0 log . ()-±-p log ;(fA-/H log .^— 0 log .((//-^) ossia ora essendo log./i-t-^^-i^+i^-ec. sostituendo queste serie, e dividendo per 4/a otterremo (17) =t|(t-^)-" (f*^)^^^-^)^-^- nella quale equazione permutando la variabile nella differen ziale, estraendo la radice, e rovesciando dedurrassi sviluppando in serie il secondo membro risulterà j-Jj Del movimento di un Fluido Elastico ec. a \ A -^-A/ f.a'V*" ("H'W ) e rappresentando con A, B, G i coefficienti delle diverse po- tenze di /a , sarà fi \ A< y — A / b_i i/f. _L_\~7i g \ t.t± g V-» ~~ 2 '2 \A ~ " i], — x) VA1 (^-A)1/ * » \ A "" i//-A / q_( i ,/* _ M~7« g LjJ _»/« _ * Y"*/« , * Va/a - per cui più semplicemente scriveremo (^-) = A -+- B/a -i- Cy*-f- ec. integrando quest' equazione si ha (5a) £ = Ay ■+■ i B/3 -+- £ C/5 -+• ec . senza costante perchè essendo y%-=.x — À si ha x = À, ossia _y = o , quando £ = o , e per mezzo di questa serie , che si può protrarre a volontà, conosceremo il tempo che la prima falda impiega a giungere ad una data sezione . Se indichiamo con X la distanza dal fondo del cilindro alla quale arriverà la prima falda fluida alla fine del moto, e facciamo (_i* = A,' — A, avremo il tempo totale della dilata- zione espresso dalla serie (53) * = Af«-H£B{i3-HCft5-+-ec. N.° 26. Corol. IH. Per conoscere A , e À alla fine del moto riprendo l' equazione notata (5o) mX mX mX mX (M)= = 2g.„o35./,j iog.^-^p-log.A W_* j fatto in questa mX mX mX mX log.^^-^p'-log.^^-^)1 * =0 saia Del Sig. Fabrizio Mossottl 53 (-2^-1=0, ed il valore che ricaveremo per A esprime- rà la densità allorché la velocità è estinta, ossia alla fine del mX movimento; facendo per ahhreviare — —~-^sa, e togliendo i T logaritmi questo valore sarà dunque dato dall'equazione (54) t(^-t) ^(tf-A) e se per mezzo di questa determiniamo il valore della den- sità A, tosto potremo conoscere anche quello della x ossia della distanza dell'ultima falda più esterna del cilindro indi- cata con X, poiché abbiamo dall'equazione (47) x = ; oppure viceversa si potrà mettere per nella suddetta e- quazione la quantità x = X , e determinare per mezzo della seguente (55) X {ip—X)a = A{ip — A)a il valore di X , e poi coli' equazione A = — - determinare quello della densità alla fine del movimento . N.° 27. Scolio I. Diamo all'equazione (5o) la forma mX mX (mX * / mX\ T ^-Y=2g.rio35.Alog.^ y~> - &t f b ° mX _mX ih ih X (ip—X) per mezzo della medesima facilmente dimostreremo che il va- lore di A che corrisponde alla densità alla fine del moto è minore dell'unità. Perciò comincio a riflettere che gli espo- . mX j mX -, ..... nenti — -, ed 1 , sono amendue positivi; il primo lo Vi]) * l è evidentemente siccome tutto composto di quantità positive, il secondo lo si potrà dimostrare osservando, che a?mA rap- presenta la massa fluida al principio della dilatazione la qua- 54 Del movimento di un Fluido Elastico ec. le deve essere la medesima di quando il fluido cominciò ad essere compresso dopo la prima espulsione; ma la massa flui- da in quel tempo era minore di ari , perchè la densità fu dimostrata al N.° 17 minore dell'unità, sarà perciò a2mA<.aal, mX ossia 7?zA■ i , ciò che dimostra che la densità del fluido deve essere maggiore di quella dell'atmosfera, così in seguito a questa condensazione succederà un'altra dilatazio- ne, dopo questa si troverà seguire una terza condensazione, e così successivamente in modo che il fluido contenuto nel cilindro farà per così dire una serie di oscillazioni le quali aneleranno sempre più restringendosi • Noi potremo risolvere i problemi del movimento di queste dilatazioni, e condensa- zioni colle forinole che abbiamo date per la prima condensa- zione, e dilatazione attribuendo soltanto alle lettere che es- primono le diverse quantità nello stato iniziale del movimen- to quei valori che al principio di ciascuna condensazione, e dilatazione si convengono . In queste oscillazioni che il fluido fa nell'interno del ci- lindro la pressione, che soffrono le pareti sarà sempre varia, determiniamone perciò la grandezza in ogni istante, e in ogni luogo . Problema VII. N.° 29. „ Nelle oscillazioni che il fluido rimasto nel can- „ nello dopo la prima espulsione farà neh' interno del mede- „ simo, le pareti verranno continuamente ora più ora meno „ premute . Si dimanda il valore di questa pressione per cia- „ scun punto in ogni istante . „ Per ottenere tale valutazione riprendasi l'equazione (3) del numero 7 che è e sostituisco in questa per (—), l'altro differenziale -(^) 56 Del movimento di un Fluido Elastico ec. che gli è eguale, come si è veduto al N.° 18 sarà quindi integrando questa relativamente alla variabile z sarà (S6) -g .ay = a» .AZU^) +C la costante deve essere determinata iti modo che quando z divenga eguale ad x cioè all'ascissa della falda più esteriore la g-a^p che rappresenta la pressione diventi appunto quel- la che soffre questa falda . Ora allorché il fluido è compres- so dall'atmosfera evidentemente la sua pressione equivale al peso della medesima , che è espresso come abbiamo veduto da g . a? . i io35 . h : sarà perciò C = — e . a? . i io35 . h — a*A - (^-) onde sostituendo risulterà e questa sarà l'espressione della pressione in questo caso. Non così avverrà però allorché il fluido si dilata; per questo secondo caso allorché z diviene eguale ad x la pres- sione g-a?-p dovrà diventare quella che soffre l'ultima fal- da, la quale oltre il peso dell'atmosfera risente la resisten- za, o pressione che esercita nel muovere la colonna d'aria esterna che le è avanti; converrà adunque prima ricercare questa pressione . A tal fine s' indichi con ti la pressione in una sezione qualunque della colonna d'aria atmosferica con- tenuta nel cilindro, e con £ la sua ascissa, o distanza dal fondo, collo stesso ragionamento col quale abbiamo ottenuta l'equazione (3) al N.° 6 avremo uva essendo la velocità in tutta l'estensione della colonna at- mosferica eguale a quella della falda più esteriore drl fluido che si dilata, e che le comunica movimento, sarà (— 1=1 — J, W/ W/ Del Sic Fabrizio Mossoti! . 57 e quindi (-*— 7) = (-^4) dunque sostituendo avremo ed integrando relativamente a £, ossia all'estensione della colonna atmosferica allorché £ = /, la pressione — g.cfn deve essere quella dell' atmosfera , dunque sarà e quindi troveremo g.a»«=fl-(i-e)(^)-Hg.a-.iio3S.A e quest'equazione ci farà conoscere la pressione sulle pareti di quella porzione di cannello, che è occupata dall'atmosfe- ra: fatto poi £•=#, avremo la pressione sull'ultima falda os- sia quella che soffre la superficie del fluido dilatandosi, che sarà ga».;r = aa(2 — #)/-^Ì)-4-g.aa.iio35 .h determinando ora la costante nell'equazione integrale (56) col fare che quando z diviene eguale ad x, sia g . cfp = ga? . Jt risulterà (58)g.aV = j(^)A-t-/-^J(|7)-f-g.«Mio35.A e questa varrà per valutare la pressione nel secondo caso nel quale il fluido si dilata . N.° 3o. Corol. Nelle due equazioni (57) (58) sostituiamo per ( — ~\ il valore in funzione della densità tratto dalle e- quazioni (34), (46), si troverà per la prima che vale nel ca- so in cui è condensato il fluido (59) g.aa/? = g.iTo35/i(A-i)-f-ai*g.iio35.A e queste due equazioni serviranno a determinare la pressione in ogni luogo, ed in ogni tempo per mezzo della densità nel- lo stesso tempo , Fatto in queste z = o si avrà la pressione sul fondo la quale si troverà in amendue i casi espressa da (61) g .a*p = g .a? . 1 io35 . /* . A ciò clie e' insegna che la pressione sul fondo ha per misura il peso di una colonna di lluido, che abbia per base il fon- do istesso, ed un'altezza tale da equilibrare la forza elastica che il fluido ha nello stesso istante . N.° 01. Esempio. Applichiamo tutte le ritrovate equa- zioni ad uq caso particolare e numerico. Suppongo per que- sto caso che la lettera l la quale dinota la lunghezza del cannello sia eguale ad un metro, a3 ò l'area del circolo che gli è di base = o , 004 metri quadrati , m o la densità al principio dell'espulsione eguale ad 80 volte quella dell' atmosfera ; cosicché il fluido contenuto nel cannello abhia un elaterio 80 volte più grande della medesi- ma, elaterio che secondo le esperienze del Sig. Rumford egua- glia presso a poco quello che avrebbe l'aria che si sviluppa nell'accensione di una quantità di polvere che riempisse la venticinquesima parte della capacità del cilindro. g. che è la gravità sia come si fa comunemente eguale a 9,8088 metri; questa essendo la velocità che un grave acqui- sta liberamente cadendo in un secondo di tempo . L'unità di tempo sarà perciò il secondo. L'unità di peso sia il chilogrammo: poiché un metro cu- bico d'acqua nel vuoto pesa prossimamente chilogrammi 1000 Del Sic Fabrizio Mossotti . 5q essendo la gravità specifica dell'acqua a quella dell'aria co- me iooo:i2,3233 (vedi la nota al N.° 3. III.) sarà il peso di un metro cubico d'aria = 12, 3233 chilogrammi . Dati questi valori alle lettere delle sovra esposte equa- zioni , e risolute numericamente per approssimazione le equa- zioni segnate (4-5) (55) si troverà, che per la prima espulsio- ne, e per 20 oscillazioni consecutive corrisponderanno alle densità, e pressioni alla fine, e principio di ciascuna oscil- lazione , e alle rispettive velocità massime i valori registrati nella seguente Tavola . bo TAVOLA. Lunghezza Densità Velocità Tempo totale Pressione Numero della colonna della colonna massima dal principio sul fondo delle fluida fluida a cui giunge alla fine del cilindro Oscillazioni al principio al principio l'ultima falda del moto . al principio del moto . del moio . più esteriore. del moto . J ESPULSIONE i | Espulsione 1 1 , 0000 chil. 80 , 0000 211", 3445 0", 37oo chil. 33072, i83o OSCILLAZIONI a 1. "Condensa?,. 1 , 0000 0 , 6667 176,5247 0", 0042 275, 6i53 3 i." Dilataz. 0 , 4184 I , 5935 no, 8443 0 , 0047 658,7566 4 a.** Condens. 0 , 9i5o 0 , 7286 i35 , 5932 0 , 0041 3oi ,2049 5 2. ''•Dilataz. 0 , 4680 1 , 4246 87 , 5863 0 , 0048 588 , 8328 6 3." Condens. 0 , 8654 0 , 7704 110,4887 0 , 0041 319,2194 7 3." Dilataz. 0 , 5oio 1 , 33o6 72 j 5656 0 , 0048 55o,o73o 8 4.'" Condens. 0 , 8324 0 , 8009 93 , 556o 0 , 0041 33i ,0938 9 4.'" Dilataz. 0 , 5243 1,2717 6a , 0092 0 , 0049 5a5 , 7237 IO 5.'* Condens. 0 , 8091 0 , 8240 8r , 1233 0 , 0041 340,6430 ir 5.'» Dilataz. 0 , 5420 I , 2300 54 , 1844 0 , 0049 508,4848 12 6.'" Condens. 0,7914 0 , 8424 71 ,6297 0 , 0041 348,2502 i3 6.'" Dilataz. 0 , 5509 1 > J994 48 , 0716 0 , oo5o 495 , 8347 •4 7.""" Condens. °>7775 0 , 8575 63 , 8766 0 , 0041 354,4925 i5 J.ma Dilatiz. 0 , 5670 1 , 1760 43 , 0746 0 , oo5i 486,1611 16 8."" Condens. 0 , 7664 0 , 8699 58,2i83 0 , 0041 359,6190 ]7 8. ""Dilataz. 0 , 5760 1 , 1575 39, 4IC|3 0 , oo5i 478,5i3i 18 9."" Condens. 0 , 75?4 0 , 88o3 5a , 5739 0 , 0041 363,9181 19 ()."' Dilataz. 0 , 5834 1 , 1428 35 , 8899 0 , oo52 472,4359 20 io."1" Conden 0 , 7.500 0 , 8889 49, 0108 0 , 0041 367,4733 21 io.""1 Dilataz. 0 , 5897 1 , 1307 33 , 4299 0 , oo53 467 , 4340 Del Sic Fabrizio Mossotti . 61 Dalle pressioni scritte in questa tavola converrà, allorché si vuole il valore della spinta dalla quale è cacciato il cilin- dro, sottrarre il peso di chilogrammi 4i3,40a^ cne e 'a Pres- sione che fuori del cilindro si fa dall'aria esterna sul fondo del medesimo . Da questa tavola si vede quanto è forte la pressione che un fluido che sorte da un va.se nel quale sia condensato fa sul fondo del medesimo al principio della sua prima espul- sione se la densità è un po' grande ; questa dura però bre- vissimo tempo, nel quale altresì scema rapidamente: ciò non ostante non è maraviglia se da così enormi pressioni accade che pesantissimi cannoni ancorché caricati senza palla sono nello scoppio fortemente smossi e respinti indietro ciò che non si saprebbe comprendere se tanta forza dovesse prove- nire dalla resistenza dell'aria . Finita la prima espulsione succede tra l'aria esterna, ed il fluido contenuto nel cilindro un contrasto che produce una serie di velocissimi tremiti; in natura però l'imperfezione dell' elaterio dei fluidi può forse alterare in gran parte il risulta- melato del calcolo applicato a questo caso puramente specu- lativo . N.° 3a. Scolio . Nel sottoporre a calcolo il moto del flui- do elastico che sorte nell'aria esterna la resistenza che io ho considerata fu quella della pressione che l'atmosfera fa sulla colonna fluida che esce. Ciò non basterebbe secondo l'opi- nione di alcuni i quali credono che l'urto che il fluido fa sull'aria esterna sia un ostacolo fortissimo alla sua uscita, ed anzi vogliono che si debba a questo solo attribuire i sorpren- denti effetti del retrocedimelo , o rinculo de' razzi a polve- re, della nota esperienza dell' Eolipila a vapori, e di varj altri consimili fenomeni. Ma a quest'asserzione io opporrò primieramente le ripetute esperienze del Prof. Brunacci , il quale primo provò che questa non era la vera causa del fe- nomeno facendo che il fluido Dell'uscire andasse a percuo- tere su di una dura tavola molto più resistente che l'aria, 02, Del movimento di uh Fluido Elastico ec. e non iscorgenclovi veruna alterazione di effetti, né una spin- ta all' indietro con maggiore efficacia, il che prova che il rinculo del vaso è affatto indipendente dalla resistenza od ur- to che il fluido potrehhe incontrare al di fuori, perchè se questa fosse la vera causa essendo state variate notabilmente le circostanze della medesima per la relazione che vi deve essere tra causa ed effetto ne dovrebbero essere risultati ef- fetti diversi (a). Aggiungerò in seguito un'osservazione che mi par decisiva . Se si risguardi la colonna fluida che sorte dal vaso, si vede che questa continua per una lunga tratta ad essere calibra col diametro del cilindro stesso, o coll'a- pertura della bocca del vaso , questo evidentemente non po- trebbe succedere se il fluido in avanti reagisse per la resi- stenza che incontra nell'aria su quello che è alla bocca in modo da produrre ivi una pressione maggiore di quella dell' atmosfera, perchè in tale circostanza la colonna fluida dovreb- be rigonfiarsi, e formare per così dire un gozzo. La resisten- za dell'aria adunque s'impiega nelF estinguere la velocità che ha il fluido che la urta, ed è la causa che la colonna fluida dopo qualche tratta si allarga, e poi si converte in nuvole, e si dissipa lentamente nell'atmosfera, ma per la massima indipendenza che vi è tra le molecole fluide, e per la cede- volezza del mezzo in cui si spande, questa resistenza non può cagionare veruna reazione , o pressione allo sbocco . Ho supposto finora, che il vase nel quale è compresso il fluido fosse cilindrico, per rendere completa questa teori- ca dedurrò ora le equazioni fondamentali del movimento del fluido qualunque sia la figura del vaso, purché essa sia data. (a) Trovasi nel discorso accademico del Prof. Brunacci citato nelle prime linee di questa Memoria una quantità tale di argomenti, e di esperienze, che comprovano la verità di quanto si dice in questo scolio cosicché essa è piena- mente posta fuor di dubbio . Del Sic. Fabrizio Mossotti . 63 Problema Vili. N.° 33. „ Essendovi un vase di figura qualunque cono- „ sciuta nel quale sia racchiuso un fluido elastico condensa- „ to, data ad esso la libertà di sbandarsi fuori nell'atmosfe- „ ra coli' aprire il vaso da una parte, si cercano le equazioni „ per la risoluzione del moto di quest' espulsione . „ A tale proposito seguirò un metodo consimile a quello col quale al N.° 7 ho stabilite le equazioni pel caso che il vase fosse cilindrico . Perciò sia una sezione o spaccato del vaso rappresentato dalla fig. 6 A A'Z'Z'B'B' , ed il fluido sor- ta dalla bocca BB movendosi nella direzione dell'asse AX; con- servate le denominazioni d'allora chiamo di più A3 la capacità totale del vaso u? l'area della sezione dello sbocco F(z) la solidità o capacità della porzione di vaso AA'ZZ' corrispondente all'ascissa AZ, l'origine essendo in A f(z) l'area della sezione normale all'asse AX nello stesso luogo F(z-+-o) sarà la solidità corrispondente all'ascissa x-i-o=Az f(z-ì-o) l'area della sezione normale all'asse alla fine di que- sta ascissa . Essendo come abbiamo denominato al N.° 7 (p(z) la somma di tutte le forze acceleratrici che animano le particelle fluide entro la porzione AA'Z'Z' del vaso, e (p(z-^a) quella entro la porzione A'A'^, sviluppando in serie secondo i principi del calcolo diffnenziale la funzione dovremo avere in tale supposizione l'equazione dalla quale col paragone dei coefficienti della prima potenza di o dedurremo l'equazione féMS)(S) ma come è noto I — |=/(z), dunque avremo (63) (£) = A/M (£). Di più la stessa somma delle forze acceleratrici che animano la falda Z'ZVs' la quale è espressa da •(*K(S) e^uaglierà l'azione di tutte le forze che agiscono sulla falda medesima. Ora essendo/? l'altezza della colonna che misura la pressione nel\a sezione ZZ=/(s), il fluido sarà spinto in questa Del Sic. Fabrizio Mossotti . 65 questa sezione dà una forza =zg.pf(z), ma a questa esso op- pone Ja forza del suo elaterio la quale in questa sezione è g.f(z) no.35 . h . A, ne risulterà perciò nella stessa sezione una forza g .f(z)(p— i io35 . h . A) , che tenderà a trasporta- re Io strato nella direzione del moto o in direzione contraria secondo che sarà o positiva, o negativa. Nell'altra sezione sV=/(z + o) il fluido tende a dilatarsi con una forza dovu- ta al suo elaterio la quale è espressa da g .f(z-ha) . i icoB.h.A, a questa si oppone la pressione che fa il fluido posto in avan- ti la quale è misurata dal peso espresso dalla serie g .f(z-ho) I p-\-o( — )-+- — (^4)-<- ec. I, si dilaterà quindi in questa sezione con una forza data da M*+4»o?5.A.A-/,-.(£)_£(^)-ec.]i la somma adunque di queste due forze che agiscono sulle due sezioni Z'Z' , z'z' equivalerà a quella della serie suddetta, e si avrà l'equazione » (fyi&?hec-=gfWP-< io35.A.AHj/(--^)[. io35.AA.ji dalla quale sviluppando in serie f(z-+-o) , riducendo, e pa- ragonando i coefficienti della prima potenza di a ricaveremo la seguente ossia integrando , e trasportando (64) g./(3b==g./(«).iio35A.A_0-HC. Siccome al N.° 4 abhiamo supposto che il fluido si dilati uni- formemente e che quindi gli aumenti di volume delle varie quantità di fluido che si dilatano sieno proporzionali alle mas- se , dovranno essere le quantità di fluido che passano per le diverse sezioni nello stesso istante proporzionali alle quantità di fluido comprese fra le stesse sezioni, ed il fondo; dunque Tom. XVII. 9 66 Dei- movimento di uin Fluido Elastico ce. essendo v la velocità dello sbocco, e I — -I quella del fluido V &< / nella sezione f(z) si avrà la proporzione AA3 : AF(z) : I Aaa© : A/(z) /-|iì dalla quale dedurremo l'equazione (6S)(|l)=^M.« V ' V U f A' f(z) differenziata questa relativamente al tempo poiché lo stesso fluido passa sempre per diverse sezioni, F(z) e f(z) saranno variabili col tempo, si avrà quindi ma abbiamo (-^-)=^- . — — . v sostituendo , quest'equazio- V fc } A* /(*) ne si potrà ridurre alla seguente (66) fc) =(^) u AT ; "^ 7^ (ir) riponiamo questo valore della differenziale (-— ) ne"' ecluaz>0" ne (63) , si avrà \te ì \Av < /« /«■ \ ^ / j A3 ; ' V ^ / integrando questa relativamente a z, per lo stesso istante A,u, e (— ) saranno costanti, si avrà perciò ora se si osservi che integrando per parti si ha e che (— — ) =f(z) •> avremo sostituendo Del Sig. Fabrizio Mossotti . (yj nella quale equazione (p rappresenterà la somma di tutte le forze acceleratrici, che animano il fluido compreso nella por- zione di vaso la capacità della quale è F(^) , se facciamo in quest' equazione z — o , dovrà essere qj(z) = o.y F(z) = o, de- terminando così la costante si troverà che dessa è zero; fat- to poi z = Z, cioè a tutta la lunghezza del vaso, e dinotato con M l'integrale f¥(z)\z esteso fra i limiti z = o, e z = l avremo per rappresentare la forza totale che anima il fluido, 1' equazione (68)*=A^H-AJ-($V^(£)JM e questa forza (p non essendo altro che la forza elastica con cui tende a dilatarsi il fluido allo shocco diminuita della pres- sione dell'atmosfera su lo stesso, che è espressa come abbia- mo veduto da g . aa . i io35/z( A — r), avremo l'equazione (69) Aa*v* + A\-^)\*+£(^)ÌM=g .a\i ioZ5h .{&—i) alla quale aggiungendo l'equazione che dà la densità, che si deduce nello stesso modo che abbiamo fatto al N.° 9 (7o) a = A3"-»y^« u A3 potremo calcolare il moto del fluido che sorte dal vaso quan- do sia data l'equazione della figura dello stesso. Il valore di (p dell'equazione (67) sostituiamolo in quel- la segnata (64), sarà fatto in questa z = l sarà g-f(z)p la pressione allo sbocco, la quale è quella dell'atmosfera, e la quantità nel secondo membro fra le parentesi diventerà il primo membro dell' e- quazione (69) il quale eguaglia g . aa . 1 io35 h{ A — 1), deter- minando così la costante si troverà che è zero, onde l'equa- zione diverrà 60 Del movimento 01 un Fluido Elastico ec. (7a)ff=A|g..Io35^(0(M)V.^j(0r+£^/FW^| se in questa facciamo z = o , avremo la pressione sul fondo la quale a motivo che è sempre F(z) = o si ridurrà (73) gp = g . 1 io35A . A ciò che c'insegna che la pressione su di un punto qualunque del fondo ha sempre per misura l'altezza della colonna che equivale col suo peso all'elaterio del fluido in quell'istante. L'equazione (72) poi quando sia cognita la figura del vaso ci farà conoscere la pressione su di un punto qualunque delle pareti del medesimo . N.° 34. Corol. I. Sia la figura delle pareti del vaso una superficie di rivoluzione generata da una curva che ahbia per equazione y = azn intorno all'asse delle z, è facile a vedersi che il vaso sarà un cono se n= 1 , una paraboloide se » = a ec. In queste supposizioni avremo f(z) = 7ta>z*» FM=~ ( 3.11 -+- I ) ( 2n ■+- a ) onde sostituendo questi valori nell'equazione (69) avremo A*<*^M-A j_ ' ^XVtt/w fg,. - ^ I ?" - Za II y A DyìJÌLj.>j{jr:"7Q., •' ^n. - A . //:t7/-^„/..r . /.. . *£/<££ \\ U.-y*' 7* ?3 SULLE OSCILLAZIONI DI UN CORPO PENDENTE DA UN FILO ESTENDIBILE MEMORIA Del Signor Pietro Paoli. Ricevuta li 5 Agosto i8i4- N, lei Tomo XIV delle Memorie della Società Italiana delle Scienze ho trattato delle piccole oscillazioni di un corpo ap- peso ad un punto fisso per mezzo di un filo capace di disten- dersi e di scorciarsi . Ho supposto nel principio del moto il pendolo in quiete nella situazione verticale, dalla quale ven- ga rimosso mediante un piccolo impulso . 11 Sig. Poisson ha in seguito preso in esame il medesimo problema senza fare alcuna particolare ipotesi sulle condizioni iniziali del moto, e per mezzo d' ingegnosi artifizj di calcolo ne ha data una ele- gante risoluzione . Ma questa maggior generalità non rende la questione più difficile, e l'analisi adoprata nel caso più particolare da me contemplato serve egualmente senza biso- gno di altre considerazioni allo scioglimento dì tutti, come mi propongo adesso di dimostrare . Ritenute le medesime denominazioni della citata Memo- ria il moto del centro di oscillazione del pendolo è determi- nato dalle seguenti equazioni {p + 7»-M«-«j-f£—«(i-oo«.fl)=o.'...(i) (•r->^-£^-t«"^« M le quali conviene integrare per approssimazione nella ipotesi che ^,b ed u siano quantità piccolissime. Incominciamo dal trascurare nella seconda i termini di Tom. XV 11. io 74 Sulle Oscillazioni di un Corpo pendente ec. due dimensioni per rapporto a d ed «, ed avremo di cui l'integrale completo è ove lascio le costanti h e k sotto una forma indeterminata , perchè all'origine del moto tanto 6 clie possano avere qualunque valore; e solo osservo che h è una piccolissima quantità, perchè tale per ipotesi dev'esser 6. Sostituendo il valore trovato di d nella equazione (1), e conservando solamente i termini di due dimensioni per rap- porto a 6 ed u avremo ^£„_££sen,(,/f-K,)^/,.gcos,(t(/l^)=o; la quale posti in luogo di sen.2, 1 '1 / — -\-k 1 e cos.a('l/ — hkì x-cM.3(*J//i.H.A) *+^--^sen.l^/^.sen.[(^-/OJ/^^,]. Nel caso contemplato nella memoria citata lì è dell'or- dine haa, e quindi U\/q dell'ordine h2o\/o , cioè una quan- tità piccolissima quando il filo è pochissimo estendibile . Se in grazia della sua piccolezza ci permettiamo di trascurare il termine moltiplicato per -h , le oscillazioni saranno iso- crone , e chiamando T la durata di ciascuna di esse avremo Facendo T=i ricaveremo da questa equazione la lunghezza a del pendolo, il quale compie le sue oscillazioni nell'unità di tempo , che sarà Questi valori sono un poco divergi da quelli della predetta memoria per un piccolo sbaglio ivi occorso , che abbiamo a- desso corretto . Ma se per le condizioni del problema ■ non sarà co- sì piccola perchè possiamo trascurare il termine per essa mol- tiplicato, allora le oscillazioni non saranno isocrone a motivo della quantità sen. I I in — ^ ) 1/ — -+-& j la quale varia da una oscillazione all'altra. Qualora però, come si pratica d'or- dinario, cercheremo la durata media di una oscillazione de- ducendola dal tempo che il pendolo impiega nel fare un gran numero di vibrazioni , dopo che per la prima volta è giunto alla massima deviazione dalla verticale, essa si troverà egua- le al valor precedente di T; e questa riflessione si deve ?! 7*3 Sulle Oscillazioni di un Corpo tendente ec. Sig. Poisson . Infatti questa durata media è = : , o sia (i-hA/ì-^ti/ é$,\/o e «[/s sen 7 * |/f sen [icr *-*)j/7 * *'] 4^'iXo ove quantunque il coefficiente y'K " non sia abbastanza pic- a[/e colo per esser trascurato, lo diviene però quando è diviso pel numero considerabile i . È facile il vedere clie otterremo il medesimo resultato, se invece d'incominciare l'osservazione dalla prima massima deviazione la incomincieremo da una qualunque delle seguenti . 79 SUL L' URTO DEI FLUIDI MEMORIA Del Signor Vincenzo Brunacci . Ricevuta li 19 Agosto 18 14. I 1 Sig. Cav. Morosi celebre inventore di macchine e conge- gni meccanici si avvisò di aumentare l'urto di una vena fluida su di una lastra, col circondare questa di un orlo, congettu- rando che nel trattenere che questo faceva l'acqua, la quale per ogni Landa sfuggiva dopo avere urtato , dovea essa in questo contrasto comunicare un'altra spinta alla lastra me- desima; egli poi ne inferiva di qui che utile doveva essere il contornare di un bordo le palette, 0 ali delle rote idrau- liche, in quanto che la stessa corrente dell'acqua, le avreb- be mosse o più velocemente, o caricate di maggior peso. Gli sperimenti confermarono le di lui congetture, ed ei ne die sommaria contezza al Reale Istituto Italiano, del quale fa parte . Questa cosa la mi è paruta tanto importante, che io mi sono determinato ad assoggettarla ad esame, rintracciandone la ragione nelle stesse leggi del moto dei fluidi . La sola os- servazione ed esperienza, può in certe favorevoli circostanze scoprite un fenomeno, e da questo si possono congetturare alcune forze naturali; ma la scoperta di tutti gli altri feno- meni, che hanno relazione con quello, la di loro valutazio- ne, e la determinazione delle circostanze più favorevoli a pro- durli, non si possono ottenere che coll'ajuto delle geometrie; così la pensò il divino Neutono , quando scrisse a phoeno- menis motuum investigemus vires naturae, et ab hìsdem viri- bus phoenomena reliqua . 80 Sull' ukto dei Fluidi. 5- 1. Per riuscire in quest'indagine io farò uso disila dot- trina che sull'urto dei fluidi ci dette l'immortale La-Grange negli atti dell'Accademia di Turino del 1784; non che que- sta dottrina non sia soggetta ad alcune difficoltà, come lo sono, e Io saranno sempre tutte quelle, le quali 1 Geometri hanno date su qualunque argomento, che al moversi dei flui- di si riferisca , ma la mi è sembrata la più sicura e la più conforme pel computo dell'effetto preso di mira. Una colonna di fluido EF fig. 1 , la quale per un momen- to fingiamo solo dotata di due dimensioni, cioè, della lun- ghezza EF , e della larghezza AE , si muova lungo la linea AB; a questa linea AB con un angolo qualunque ne sia uni- ta un'altra BC , la quale obblighi la colonna EF a piegare e cangiare direzione . Nella piegatura questa colonna fluida de- scriverà un arco MN, e nel triangolo misti! meo MBN, il flui- do resterà come stagnante; la qual cosa non è, per vero di- re, che un'ipotesi, ma il mentovato Geometra pensa, che essa sia molto vicina alla verità, e per tale possa prendersi nell'attuale ricerca; ecco dunque che il fluido si muoverà entro un canale AMNC , la di cui porzione MN sarà curvi- linea, e dalla forza centrifuga del fluido nel correre entro questa curva, ne verrà una pressione o spinta sul fondo del canale medesimo . 5. 2,. Siccome nulla accelera o ritarda la velocità dell' acqua nel canale, ne segue che la sua larghezza sarà per tut- to costante. Sia dunque b questa larghezza; sia a l'altezza dovuta alla velocità dell'acqua in una qualunque sezione/;/; sia r il raggio di curvatura di qualunque punto // della cur- va MN ; sia pq una linea fluida perpendicolare nel punto p all'arco MN : ora questa linea di fluido in virtù della sua for- za centrifuga, eserciterà contro la curva MN, e precisa me n te nel punto/?, una pressione eguale a — 0, essendo questo — l'espressione della forza centrifuga di una molecola qualunque. Risguardanddsi poi il fluido MBN come stagnante, bisognerà che Del Sic. Vincenzo Brunacci . 81 che la pressione su tutti i punti della superficie sua MN sia la stessa, e che perciò — b sia una quantità costante; sarà dunque anco costante il valore di r, e quindi MN sarà un arco di cerchio . §. 3. La pressione fatta su ciascun punto p della super- ficie MN del fluido stagnante MBN si comunica a ciascun punto delle linee MB, BN, e giusta i principj dell'Idrosta- tica , ciascun punto di queste è premuto perpendicolarmente da una forza eguale a — b ; dunque tutta la forza 'perpen- dicolare ad MB, da cui è premuta la linea stessa sarà — b .MB ; e quella perpendicolare a BN , e da cui la stessa BN è pre- muta , sarà — b . BN . T Ora prolungato il lato GB ( Fig. a ) in H sia 1' angolo ABH = o: rappresentiamo con LF perpendicolare a BN la for- za — &XBN , e condotta FG parallela , ed LG perpendicolare r ad AB , onde si abbia il triangolo rettangolo LFG , si avrà LF = -£.BN; T LG = -6.BN.cos.o; T FG = -è. BN.sen.«; §. 4- Supponendo che la linea BG sia tanto lunga , che il fluido allorché l'abbandona, corra con direzione a lei pa- rallela, l'arco di cerchio MN sarà toccato allora nei punti M,N dalle due rette AB, BG unite in B; e sarà BN=BM; di più conducendo nei punti M, N due perpendicolari alle rette AB, BG, il loro punto Q d'incontro sarà il centro dell' arco MN , e sarà MQ il raggio di curvatura, che rappresen- tato abbiamo con r; l'angolo poi MQN sarà eguale ad MBH; „:~a 1 * * MB NB » cioè, ad o ; avremo pertanto = = tane. — . Tom. XVII. 11 8o. Sul l' urto dei Fluidi. La forza adunque che spingerà la linea AB in una dire- zione ad essa normale sarà 2,ab . tang. — ; La forza che spingerà la linea BC in una direzione pa- rimente ad essa perpendicolare sarà ancor essa lab .tang. — ; La forza che premerà questa stessa linea BC in una di- rezione perpendicolare ad AB, sarà 2,ab . cos. a . tang. — ; La forza infine che premerà questa medesima linea in una direzioue parallela ad AB, sarà %ab . sen. o . tang. — 5- 5. Chiamando ip la somma delle forze le quali spin- gono le due linee AB, BC unite insieme, nella direzione per- pendicolare ad AB, sarà ip = 2,ab . tang. \-^ab .cos. «tang. — , 0 a che ridotta diviene 0 a ip = zab ( 1 -+- cos. a ) tang. — ; sen.- cos. — a , » » » i -, • 1 \ o o ìi a I ih = 2,ao \ cos -+- sen -+- cos. — — sen. — ? la a a a ' ih = zab . a cos. — . sen. — : * a a ili = 2,ab . sen. a . T Il valore poi di «, il quale rende la quantità ?/' massi- ma sarà 0 = 90°, e si avrà allora ip~a,ab; dovrà dunque BN esser perpendicolare ad MB affinchè la somma ip di quei sforzi sia massima ; conseguenza rimarcabile in quanto che allora è nulla quella forza, la quale si esercita sopra BN in direzio- ne normale a BM . §. b. Supponiamo ora che la vena fluida dopo essersi ri- piegata in MN fig. 3, abbandoni la linea BN facendo con es- sa prolungata in L un angolo LNF : anco in questa supposi- zione troviamo la spinta che le due linee AB, BN sopporta- no in direzione perpendicolare ad MB . 1):.l Sic;. Vincenzo Bau n acci . 83 Prolungata BN in H, ed NF in D sia DBH = a , DBN = i8o° — a ; LNF = • ip = 2,ab { 1 H -H - cos.o (tang. — l sen.o sen.o ' 4 7 ; sen. ifi , sen.iji . f , e—ip i}j = 2ab ) 1 -1 --t-eos.cos.G • cos. »a (tang. ; ' sen.o sen.o ' a t// = 2aZ» < 1 -+-sen.<^ .sen.o-+-cos.o .cos.

tang. ° ; tp = aa/> seri . ( a —-

85 Ia pollici, ricevè P urto della vena fluida , che sboccava a piena gola da essi , su di un piano circolare metallico di un pollice, e ne asse- gnò le misure come nell'altro caso. Ecco la Tabella di questi sperimenti . Le dimensioni sono in pollici del piede di Parigi ; i pe- si sono in once di Padova , di cui dodici fanno una libbra piccola, ed un'oncia è granì 546. I.» a.0 J.° Cannelli del diametro d mezzo pollice I.» 4.0 5.° 5.° detti del diametro di un pollice . Lunghezza in pollici Misure dell' urto in grani Peso del ci- lindro d' acqua Misura dell'urto in parti del cilindro a 810 1043 0, 776 2.° 4 770 990 °> 777 3.° ia 702 909 e , 772 4-° 4 33t6 4"9 0 , 8o5 5.° a 3oi5 4016 0 , 750 6.° 12 2782 3652 0 , 762 E prendendo un medio tra questi sei sperimenti, stabi- liremo che quando il piano circolare su di cui si fa l'urto ha per area quella della sezione della vena cilindrica urtan- te , F urto è eguale al peso di 21— del cilindro che ha per 1000 base l'area della detta sezione, e per altezza quella dovuta alla celerità dell'acqua. Anco le altre sperienze riportate dal Sig. Zuliani nella seconda parte della mentovata memoria, nelle quali l'altezza dell'acqua nel vaso al di sopra dei can- nelli è talvolta sei piedi, conducono prossimamente alla stes- sa conseguenza . Del Sic. Vincenzo Brunacci . 93 Avremo adunque 2(1 — sen.

e quindi 0 = 37°. 53'. Al §• I0 abbiamo trovato — —p = 2.aB( 1 — sen.<^); ora posto b il raggio della vena cilindrica abbiamo — /> = 2,aB( 1 — sen.<^) = «B . o , 773 ; 2, ma B =— ba , dunque j» = o , 773 . a . Ottenuto il valore del p, si potrà trovare il valore del raggio del piano circolare, che dà la massima misura dell'urto, cioè, di quel piano, che dall'acqua dopo l'urto è abbandonato con direzioni ad esso parallele; infatti dal §. i5 si avrà P x e, 773. a = ; e quindi y ■= b 2 P y = b %/-?-? = 1 , 6 . b ; V 0,773 >773 dunque il raggio di siffatto piano circolare sarebbe eguale al raggio della vena cilindrica più T60 di questo raggio, e l'area sarebbe due volte e mezzo circa l'area della vena cilindrica; ma questo non corrisponde bene alle sperienze del Sig. Zu- liani , le quali danno per questo piano un raggio assai mag- giore . Il valore del p trovato nel supposto che il piano urtato sia eguale alla sezione della vena, l'ho ritenuto lo stesso per un piano anco di maggiore estensione . Ciò nasce dalla sup- posizione da noi fatta , che il fluido contenuto nello spazio NON' si ha da risguardare come stagnante, pel che le curve MO , M'O, pelle quali si è trovato il valore di p , non can- giano , se 1' urto invece di farsi sopra MJYT si farà sul piano NN'. l/(±_^_l/iH. _i_hg. !Èd/£^fei^iU. Kl" ' |/" ^" i^-|/(i--)iì^-|/l! 5- 21. Supponiamo che alla periferia del piano circolare CC, su del quale si fa l'urto, sia adattata una fascia o con- o/> Sui. l' urto dei Fluidi. torno CD; ma per formarsi una chiara idea di questo con- gegno, su del quale fingo, che si faccia l'urto, poniamo che all'asse OB Jìg. 6, unita ad angolo retto la linea BG , ed a questa nel punto C con un angolo qualunque, la retta DG, poniamo dico che le rette DC, CB si ravvolgano attorno l'as- se OB . Allora CB descriverà il circolo su di cui si ha da far l'urto, e CD descriverà un tronco di cono, la superficie del quale sarà quella fascia posta alla periferia del cerchio . Ora la vena cilindrica scappando da ogni banda, dopo avere urtato il piano circolare descritto da CB , incontrerà quella fascia dalla quale sarà obbligata a ripiegarsi ; e se la figura 6 rappresenta la sezione , che un piano passando per l'asse OB fa della vena cilindrica, e delle superficj sulle quali essa vena urta, è facile a comprendere, che la curva DQ potrà rappresentare la piegatura del fluido all'incontro della fascia , e dalla forza centrifuga che esercitava il fluido in que- sta ripiegatura, ne nascerà una nuova spinta o pressione nel- la direzione stessa dall'asse OB, e questa sarà l'aumento del- l'effetto dell'urto della vena cilindrica, procurato dall'aggiunta di quella fascia CD. L'acqua poi contenuta nello spazio QCDM la continueremo a risiniardare come sensibilmente stagnante . Supponiamo che la fascia sia tanto grande che l'acqua scappi secondando la direzione di essa; supponiamo anco che il piano circolare sia così esteso, che tra il plinto N, ove terminando la piegatura della vena fluida essa tocca il piano, ed il punto Q, ove la medesima vena mercè l'avvicinamento della fascia CD, torna a piegarsi, ci sia un qualche intervallo. Sia BG = x, j = GM parallela a BC ; l'angolo fatto dal prolungamento di BG e da DC chiamisi o'z sarà DCB= i8o° — a. Siano in D e Q i punti ove la curva QMD tocca le rette BG , CD . Sia BQ = /? . Seguendo paiola a parola il discorso dti §§. 12, (3, 14, si arriva alla medesima equazione (a) , cioè esseti- Del Sic . Vincenzo Brunacgi . 97 essendo C la costante arbitraria portata dall' integrazione . Per determinarla io osservo che quando y = ft debbe es- sere — ? — , , w, = °; sarà dunque G — m— = 0, G = m — , e perciò (7)-:-i7Ri5i=^- Conduciamo l'ordinata FD al punto D, prolunghiamo BG fin- ché incontri la DX abbassata dal punto D su di lei perpen- dicolare j ed essendo in questo punto D, — -r — — — =sen.«, / 2 a V si avrà — 1 BX — BQ ) = — sen.o; sostituendo in questa e- quazioue il valore di m , il quale è — '■ — , si troverà 2^(BXJ — BQ1) „ p = — zali sen . a . 2 Ora se si ha una forza normale a DC, ed alla stessa DC proporzionale, si potrà questa decomporre in due altre nor- mali e proporzionali una ad XD , i' altra ad XG ; e di qui ne deriva che le pressioni del fluido sopra le due linee DG,CQ considerate queste pressioni nella direzione parallela all' asse OB , sono le stesse che sopporterebbe tutta la linea QX; fiat- T» V * , DA1 tanto è facile vedere che 2jr . p rappresenta la pres- sione o la spinta del fluido sulla zona circolare descritta da QC , e sulla fascia descritta DC ; sarà dunque questa pressio- ne 2aB sen.o; cosi l'aggiunta di quella fascia, o contorno inclinato dell'angolo o al piano circotare, aumenterà l' effet- to dell'urto di una vena fluida, e mentre prima la sua mi- sura era 2«B - essa è ora 2#B -+- 2aB sen. a . 5- 32. Se poi si cercasse quale esser debbe l'angolo 0 onde quell'aumento 2aB sen. © sia massimo, si troverebbe Tom. XV LI. i3 9& Sul l' urto dei Fluidi. a ss 900 , ed allora l'effetto dell'urto sarebbe doppio di pri- ma, e l'urto eguaglierebbe un peso eguale a 4a^ • 5. 0.3. Se la fascia CD non fosse tanto estesa, che l'ac- qua scappar potesse con direzioni ad essa parallele, allora chia- mato

y\/djr\ al differenziale dell' y ho dato il segno negativo, perchè / scema quando x cresce . Ora il raggio di curvatura della curva ef nel punto a, se lo rappresentiamo con R, è < \dx I \dx / ) . . „ ir ; se dunque in questa rormola lac- R = ciamo si avrà ldt\ (d*u\ (du\ ld*t \ \dx)\dx*) \dx/\dx') \dx'l \dx>)\dxf \C. < ?fr/' - y^tn. XKZZss /.',/■ l/. S £"2, . > Sa?» ■ m '.,,/.■■ tbaTtemàfica ' ■ < ?* -• < T/ìr' < '■;/, Xl~// '.-.r./.StSZ F.2. F.4 E 1?J. E N C F / K s ^ .NX -D è>^-'- ~ÌL- • F.o. 1 0 \p / T ■ ■■■/- R ^_ oc C 9 N .,r. <■>. B Del Sic. Vincenzo Bkunacci . io3 va in a, e sarà dz la pressione che questa molecola eser- citar debbe a causa della forza centrifuga : ora la pressione su tutti i punti dell'arco MN dovendo essere la stessa, ed in ciascun punto p questa pressione non potendo essere che una funzione dei raggi osculatori delle molecole che si trova- no tra p e q, cioè una funzione di r, dovrà questa funzione essere una quantità costante per tutti i punti tra M ed N ; sarà dunque r costante, ed MN in conseguenza un arco di cerchio . La somma allora di tutte le pressioni nate dalle for- ze centrifughe delle molecole contenute nel filetto fluido nifi sarà (MN — zA)-^-dz, cioè MN . — -+-2,aA{ i —] dz , r — z r—z l r— z ) ed integrando rispetto a z, avremo la somma di tutte le pres- sioni , che nascono da tutte le forze centrifughe delle parti- celle acquee comprese nello spazio MNN'M', e perpendicola- ri queste pressioni all'arco MN , e questa somma indicata per S sarà S = — MN . 2«log.( r — z ) -+- 2,akz -+- zaAr log.(r — z) + C . Determiniamo la costante per modo che z = o dia S = o, e poscia estendendo l'integrale sino a z = b, sarà S = — MN .o.a log.(r — b)-t-2.a . Ab-t- 2.aAr\og.{r — b) : Ora essendo Ar=MN, si avrà S = MN j — za log. {r — *)-+."* -*..aa log. (r— b)\ S = MN.— b. La pressione infine su di un qualunque punto p dell'arco MN, sarà = — b come trovammo al Q. 2. MN t J 104 SOPRA L'EQUAZIONI PRIMITIVE CHE SODDISFANNO ALL'EQUAZIONI DIFFERENZIALI TRA TRE 0 UN PIÙ' GRAN NUMERO DI VARIABILI . RIFLESSIONI Del Signor Pietro Paoli. Ricevuta li a5 Agosto 1814. i grandi geometri del nostro secolo hanno portata al più al- to grado di perfezione la teoria delle soluzioni particolari dell' equazioni differenziali tra due variabili. Ma allorché l'equa- zioni differenziali contengono tre o un maggior numero di va- riabili, s'ignorano in generale i mezzi di rintracciare le loro soluzioni particolari . Eppure sarebbe importantissimo di po- terla scuoprire, perchè quando l'equazioni differenziali non soddisfanno alle condizioni d'integrabilità, queste soluzioni particolari sono le sole che possano verificare l'equazioni da- te, se pure non si faccia qualche ipotesi per diminuire il nu- mero delle variabili indipendenti. Si deve però osservare, che il Sig. Conte Laplace nelle sue eccellenti ricerche sopra le soluzioni particolari pubblicate nell'anno 1772, diede le rego- le necessarie per determinare in tutti i casi le soluzioni par- ticolari dell' equazioni differenziali del prim' ordine tra tre va- riabili . A ciò si riduce tutto quello che fin qui si conosce, e niuno, ch'io sappia, ha procurato di estendere le medesi- me regole all' equazioni degli ordini superiori . Dopo molti inutili tentativi per vincere le difficoltà, che presenta la ri- soluzione del problema , son giunto finalmente a dedurre dai primi principj della teoria delle funzioni un metodo generale per trovar le soluzioni particolari dell'equazioni differenziali di tutti gli ordini tra un numero qualunque di variabili, o più Del Sic. Pietro P.,oi.i . io5 più generalmente per determinare tutte l'equazioni primitive senza differenziali , non esclusa la primitiva completa quando può aver luogo, le quali soddisfanno aiPequazioni differen- ziali date. Un tal metodo forma l'oggetto di questa memo- ria; ma prima di esporlo comincierò dal fare alcune riflessio- ni sopra l'equazioni differenziali del prim' ordine, le quali non soddisfanno alle condizioni d'integrabilità, affine di ben distinguere la natura delle diverse specie di soluzioni, e la loro dipendenza da quel sistema composto di più equazioni simultanee, che dal Sig. Conte Monge vien chiamato l'inte- grale completo di questa sorta di equazioni differenziali . i. È noto che l'equazione differenziale tra tre variabili 0_ te te " te p q te ' la quale non soddisfa alla condizione d' integrabilità, non ha equazione primitiva completa, finché si riguardano le varia- bili x ed y come tra loro indipendenti, e la z come funzio- ne di x ed y . Ma se si suppone una relazione qualunque tra x ed j, si potrà soddisfare alla proposta in infiniti modi, ed il sistema formato da due equazioni, che gli comprende tut- ti, si chiama il suo integrale completo. I! Sig. Monge ed io abbiamo dati varj metodi per la ricerca di questo integrale completo richiamandola all'integrazione dell'equazioni tra due sole variabili : tutti questi metodi possono ridursi al se^uen- te . Supponghiamo y costante, e sia M il fattore che in que- sta ipotesi rende esatta la differenziale I — p I \x , in do che sia f^l~ P ) o\x = N ; ed avremo per una dell' equazioni integrali della proposta o = Nh-F.j, ove F .y è una funzione arbitraria di y , perchè y è stata sup- posta costante. Per trovare la seconda equazione, che insie- me con la prima soddisfa alla proposta, prendiamo il diffe- renziale della prima facendo variare x ed j, ed avremo Tom. XVII. ,4 mo- io6 Sopra l'Equazioni Primitive ec. te r M L V fcy f te J te la qual equazione paragonata con la proposta ci darà \ te / te 1 Dunque l'integrale cercato sarà rappresentato dalle due equa- zioni simultanee o = N -+-F ./ Se da queste due equazioni si elimina s, si otterrà una equazione tra ar, j, F.jy, e , la quale si potrà prende- re in luogo di una delle due equazioni integrali, per esem- pio della seconda . La variabile x non potrà mai mancare nel- la equazione proveniente dalla eliminazione, perchè altrimen- ti questa ci darebbe il valore di F._y, e questo valore es- sendo determinato da una equazione differenziale conterrebbe una costante arbitraria. Sostituendo il valore di F . y la pri- ma equazione sarebbe la primitiva completa della proposta, lo che è contro la nostra ipotesi , perchè abbiamo supposto che la condizione d'integrabilità non sia soddisfatta, e per conseguenza che la proposta non possa avere un integrale completo rappresentato da una sola equazione . Invece di y si potrebbe egualmente supporre x costante, e P essendo il fattore che rende esatta la differenziale I- <7j9\JK:> e Q = / P (— ^K/, si avrebbe il medesimo integrale completo della proposta espresso sotto un'altra forma dal si- stema delle due equazioni simultanee o = Q-*-f. x \tet te r a. Quantunque l'equazione, che risulta dall'eliminazio- ne di z dalle due equazioni (a), debba in generale contenere Del Sic. Pietro Paoli. 107 x ed y.j contuttociò può accadere che dandosi un valore con- veniente alla funzione F.j essa sia verificata indipendente- mente da x, in modo che i termini che contengono x e quei che non la contengono si annullino separatamente . In que- sto caso sostituendo il valore trovato di F .7 le due equazio- ni (a) si ridurranno ad una sola, ed avremo un integrale del- la proposta espresso da una sola equazione , ma questa non conterrà costante arbitraria , perchè per ipotesi la proposta non ammette un integrale di questa forma . Sia data per esempio l' equazione 0= |L_ ,_!/(*_* _7)_(l-HX_ar)|l 0\x (TV* la quale non soddisfa alla condizione d'integrabilità. Suppo- sta y costante la differenziale/— 1 — \/z — x — j|3\xdi- venta esatta essendo moltiplicata per , ed il suo integrale è ai/(z — x—y) — x. Abbiamo adunque M= , N = 2|//(z — x — y) — x, e l'integrale completo è dato dalle due equazioni simultanee o = 2,[/( z — x — y ) — x -+- F . y o = [/( z — x — / ) . — x -+- 2/ . Eliminandone z avremo l'equazione a p O = ( X — F . / ) -j ax -+- 4/ • Se la ponghiamo sotto la forma è evidente che possiamo farne sparire la x ponendo = 2,, cioè F.j = 2y-+-c, e che il medesimo valore soddisfa al ri- manente dell'equazione purché si prenda la costante arbitra- ria e = 0 . Dunque facendo F./ = ay, le due equazioni in- tegrali si riducono alla medesima equazione io8 Sopra l'Equazioni Primitive ec. o = -2i/( z — x — y ) — x •+- -2/ , e perciò esiste un integrale particolare espresso da una sola equazione, il quale soddisfa alla proposta, e questo integra- le particolare è compreso nell'integrale completo, e se ne deduce dando i! valore determinato a/ alla funzione arbitra- ria F . y . 3. L'equazione differenziale te P"q te non ha una equazione primitiva completa, quando la condi- zione non è identica indipendentemente da una relazione qualun- que tra le variabili x, y e z. Ma se non essendo identica, soddisfa però all'equazione differenziale, in questo caso ne è un integrale ma particolare, perchè non ha costante arbitra- ria, o piuttosto non ne è propriamente che una soluzione particolare , perchè la proposta non ha equazione primitiva completa. Nell'esempio precedente la condizione d'integra- bilità diventa [a,]/{z — x —y ) — x -+- ay ] , 2\/(z — x—y) e ci dà quella medesima relazione, che abbiamo trovato es- ser compresa nell'integrale completo formato da due equa- zioni. Lo stesso accade in molti altri casi, e ci fa conoscere l'origine di queste relazioni particolari, e la loro dipenden- za dall'integrale completo. Perchè abbiamo veduto che esse hanno luogo , quando per un conveniente valor determinato della funzione arbitraria le due equazioni integrali si riduco- no ad una sola , cioè quando divengono affatto simili . 4- Accade contuttociò qualche volta , che la condizione d'integrabilità dia una relazione soddisfeciente all'equazione differenziale, che non sia compresa nel suo integrale comple- to . Così per l' equazione Del Sig . Pietro Paoli . i og la condizione d'integrabilità o = - \V [z* — x* — y*) yz v ci dà la relazione z3 — x1 — /2 = o, la quale verifica la pro- posta. Se adesso cerchiamo l'integrale completo, lo trovere- mo espresso dalle due equazioni simultanee o = 3 J/^( a2 — xa —y% Y — x* -+- aF . y e si vede facilmente che non è possibile di dare un valore determinato alla funzione F./, in modo che le due equazio- ni integrali si riducano ad una sola . Dunque la soluzione 2* — .ra — y% = o annunziata dalla condizione d'integrabilità non è compresa nell'integrale completo. Se integrando la proposta in luogo di y si supponesse x costante , si avrebbe il medesimo integrale espresso in altro modo dalle due equazioni o = z2 — x% -+- y%f . x le quali posta f.x = — 1 si riducono all'equazione unica za — x2 — y2=c annunziata dalla condizione d'integrabilità. Sembra dunque che l'integrale (b) sia più generale dell'integra- le (a), in quanto il primo contiene la soluzione za — xz — jKa=o, che non è compresa nel secondo . Ma si potrà dedurre la me- desima soluzione anche dall'integrale (a) col seguente ragio- namento . L'equazione o = -^l _*['-♦- t>(zJ-*a-y')] nella ipotesi di y costante ha per integrale completo o = 3 \//r{ z* — x2 — 7a )% — x* ■+- 2F .7 ove F.y rappresenta la costante arbitraria. Siccome l'equa- iio Sopra l'Equazioni Primitive ec. zione z* — xa — j2 = o non è compresa nell'integrale comple- to, qualunque valore si dia a F.j, e contuttociò soddisfa all'equazione differenziale, converrà che ne sia una soluzio- ne particolare, e questa si troverà, com'è noto, differenzian- do l'integrale per rapporto a z ed a F./, ed eguagliando a zero il valore di — — , che se ne ricava . Infatti abbiamo — — ¥ 5. Tuo ancora succedere che la relazione data dalla con- dizione d'integrabilità non sia contenuta né nell'una né nel- l'altra forma dell'integrale completo. Sia data per esempio l'equazione %" Sk V per la quale la condizione d' integrabilità annunzia la soluzio- ne z — ax-t-3/ = o. L'integrale completo della proposta sarà rappresentato dal sistema dell'equazioni o = 2, [/( z — 2,x •+■ oy ) — xy -+- F . y o = [/ { z — 2.X -+- 3j ) I — x •+■ xy£f ( £ — 2,x -+• 3/ ) I L b\X J oppure da quello delle seguenti e = 8 j/( z — 2.t-i-3/) — xy3 -4-f . x o = i/(z — 2,x-*-3y)\zy-i-L^-— Y*\{y(z— nx-+-3y) I ina né l'uno né l'altro contiene l'equazione z — ax-+-3y=:o. Bisognerà dunque dedurra da ciascuno degl'integrali col me- todo che Lagrange ha insegnato per trovare le soluzioni par- ti ticolari : cioè eguagliare a zero il valore di — — ricavato dal ' ° ° &F a, primo , o quello di — - ricavato dal secondo . 6. Euler pensava che l'equazioni differenziali tra più va- riabili , le quali non hanno una equazione primitiva comple- ta, non potessero esser verificate che dalle sole relazioni da- Del Sig. Pietro Paoli . 1 1 i te dalle condizioni d'integrabilità. Il Sig. Laplace nelle sue ricerche sulle soluzioni particolari pubblicate tra le Memorie dell'Accademia delle Scienze di Parigi dell'anno 1772, dimo- strò che questa regola non era generale coli' esempio dell'e- quazione 0=^-1 -^{z-x-yly^a^z.x.yyb^z.x-yM , ^(z-x-y)] . g alla quale soddisfa l'equazione z — x — y = o, quantunque la condizione d' integrabilità non ne dia alcuno indizio . Quando questo caso ha luogo, ciascuna delle forme dell'integrale com- pleto non conterrà la soluzione soddisfacente, ma bisognerà dedurla da esse in forma di soluzione particolare, come di- mostreremo in seguito . Intanto per darne un esempio ripi- gliamo l'equazione del Sig. Laplace ove per più semplicità ho posto (X in luogo di z — x — y. L'integrale completo di questa equazione sarà rappresentato dall'uno o dall'altro dei sistemi seguenti r &» o = / - — — - — ; —s — 7 — x -+■ F . y { o = JlJL — xy -+-f . x Niuno di questi sistemi comprende come integrale particola- re l'equazione ^ = 0, che si deduce però dal primo median- te l'equazione — ^- = 0, o dal secondo per mezzo della equa- /ione -^— = o . 7. Vediamo adesso da che dipenda, che l'equazioni pri- mitive soddisfacenti all'equazione differenziale o = -^-—p—q—?- ila Sopra l'Equazioni Primitive ec. alcune volte siano comprese nelP integrale completo formato da due equazioni, e prendano perciò il carattere d'integrale particolare, altre volte non vi siano contenute e si presenti- no sotto l'aspetto di soluzioni particolari. Se fi = o ove fi è una funzione data di x, y e z soddisfa all'equazione o = — — p — q — , soddisferà ancora all'equazione o = '- p nella ipotesi di y costante . Ora in questo caso ha dimostrato il Sig. Laplace nella Memoria citata, die ponendo in luogo di z il suo valore in x „ y e fi nell'equazione o = psi può tra- sformar questa nella seguente o = - hfin, ove h è una fun- zione di x , y e fi che non diventa né zero né infinita quan- do vi si fa fi = o , n un numero positivo, e precisamente «= o > i se fi = o è un integrale particolare dell'equazione o = -r— — p, «■< i se n'è una soluzione particolare. L'equazio- ne fi = o soddisfarà ancora nella ipotesi di x costante all'equa- zione <> = ,-— ■ — q, che potrà egualmente ridursi alla forma o __ 3^ — h'fi"\ ove lì ed ri sono astrette alle medesime con- dizioni di h ed n . Pertanto riunendo le due equazioni par- ziali precedenti, quando si fa insieme variare x ed y, si po- tra sempre trasformar la proposta o=- p — q — nella se- euente o = - hun — han . — . Ora se ciascuno dei numeri n ed ri è uguale o maggio- re dell'unità, l'equazione fi = o sarà un integrale particola- ri 3\Z re dell'equazioni o = - p, o==- q, e si potrà dedur- re dalle loro equazioni primitive complete, quando si darà un Valore determinato conveniente alle funzioni F./ ef.x; dun- que la soluzione fi = o sarà compresa in ciascuna delle due forme Del Sic Pietro Paoli. ii3 forme (a) e (b) dell'integrale completo . Se n è uguale o mag- gior dell'unità, ma n' < i , la soluzione (jl = o sarà un inte- si- graie particolare di 0 = *- p , ed una soluzione particolare 4Z di o = — — q ; perciò essa sarà contenuta nella forma (a) ma non nella forma (b) . Finalmente se n ed ri sono ambedue 1 ; ma col medesimo ragionamento si può provare, che affinchè ciò suc- ceda basta che la somma dei due numeri n ed ri' sia mastio- re dell'unità . Per conseguenza quando l'equazione (i = o non sarà annunziata dalla condizione d'integrabilità, bisognerà che ciascuno dei due numeri ìl ed rC sia < 1 , e saremo perciò nell'ultimo dei casi contemplati. Non è però necessario che si conosca l'integrale comple- to composto di due equazioni per trovare le relazioni singo- lari, che sole soddisfanno alla proposta o = p — q — f poiché dalle riflessioni precedenti apparisce, che quest'equa- zioni singolari saranno per lo più comprese in quella, che rappresenta la condizione d'integrabilità, e se mai n'esiste alcuna che non vi sia contenuta, questa sarà soluzione par- az az ticolare di ciascuna dell'equazioni o=-r-- — P, 0 = n. ove y ed x sono respettivamente riguardate come costanti , e potremo ottenerla cercando con i metodi conosciuti le solu- zioni particolari, che sono comuni a quelle due equazioni. 8. Passiamo all'equazione tra quattro variabili Tom. XVII. i5 n4 Sopra l'Equazioni Pkimitive ec. te * x te te la quale non soddisfaccia a tutte o ad alcuna delle tre note condizioni d'integrabilità . Supponendo /ed « costanti sia M il fattore che rende esatta la differenziale [ — p J ^x , e sia /k / ^i- —p \ %x = N ; avremo o = N -+- F(/, u) per una dell'equazioni integrali della proposta. Affine di tro- var le altre che devono aver luogo insieme con essa , pren- diamone il differenziale facendo variare x, y, ed u , ed ot- terremo o = *!_«.+- -lY^WMYI a^jT/^ , /MYI k te 1 M|AW W/J'te mLU"/ vWJ te ed il paragone di questa con la proposta ci darà \ te I V te / Pertanto l'integrale completo della proposta sarà rappresen- tato dal sistema delle tre equazioni simultanee o = N + F(/,h) \ te f \ te ) Il Sig. Monge nel suo supplemento all'Analisi pubblica- to tra le Memorie dell'accademia delle Scienze di Parigi del- l'anno 1784 pensava, che ad eccezione di alcuni casi parti- colari tre equazioni fossero necessarie per rappresentare in generale l'integrale completo dell'equazione tra quattro va- riabih c=— v — ri— r — — . Io osservai nel sesto vo- te te te lume delie Memorie della Società Italiana delle Scienze, che Del Sic. Pietro Paoli . nS sì poteva in tutti i casi ridurre l'equazioni (e) a due sole li- mitando convenientemente la generalità della funzione F(j, u). Infatti se si eliminano dall'equazioni (e) le variabili x e z, si giungerà ad una equazione a differenze parziali tra y , u e F(/,«), la quale potrà tener luogo di una qualunque dell' equazioni (e) . Integrando questa equazione a differenze par- ziali avremo il valore di F (/,«), il quale sostituito nell'e- quazioni (e) le ridurrà a due sole , perchè due di esse com- porteranno la terza , o sia la terza non sarà che una combi- nazione delle altre due . Sia data per esempio l'equazione o=— -i-z-*-x-*-2,y-i-3u-[2.-*-x(z-x-2,y-duy].— -[3-*-y(z-x-2.y-3u)].— . Integrandola nella ipotesi di y ed u costanti abbiamo o =s e~x (z — x — 2/ — 3u ) -+- F (y , u ) , e essendo il numero che ha per logaritmo iperbolico l'unità. Prendiamo il differenziale dell' equazione trovata facendo va- riar tutto, e paragonandolo con la proposta avremo le altre due equazioni o = ex[ — ) ■+• x ( z — x — 2,y — Su )2 o = exl -2— J -+- y ( z — x — 2,y — 3u ) . Per diminuirne il numero eliminiamo z dalla prima e dalla terza, con che sparirà anche la x, e giungeremo all'equazio- ne a differenze parziali I 1 — yF (j, u) = o , la quale in- tegrata ci dà F(/, u) = eyu(p .y . Dopo la sostituzione di que- sto valore l'integrale completo della proposta sarà rappresen- tato dalle due equazioni simultanee 0=2 — x — a/ — Su-¥- ex*~yu .

" -+- ec. ove H, H' , ec. sono funzioni di x,y ed u, e gli esponenti i , /' , ec. tutti positivi e crescenti. Onde apparisce che tan- to le quantità h , ti , h" , quanto i loro differenziali presi pet- i-apporto ad x,y ed u non diventano infiniti quando ^i = o, e quindi i termini http*-*-*1— *, ("^") ^*» ("|" j ***» ed i cor" rispondenti nelle altre equazioni si annulleranno allorché £i=o. Ma il termine per esempio (-— ) potrà nel medesimo caso di- venire infinito se j< i , perchè riescirà moltiplicato per (l*~*9 ove l'esponente i — i è negativo; contuttociò il prodotto di i — -I per n"-*"' conterrà la potenza yJn-*-n'-*-'—t , ove l'esponen- te sarà positivo a motivo di n -+- ti > i . Pertanto anche il termine ^n-*_ni hi — -I — ti l II, ed i corrispondenti nelle altre equazioni svaniranno nel caso di (i = o , e le tre con- dizioni d'integrabilità si uniranno tutte ad indicarci la solu- zione (i = o . Quando adunque la proposta ammetterà una soluzione particolare (i = o , la quale non venga indicata dalle condi- zioni d'integrabilità, bisognerà che la somma di due dei nu- meri n, ti, n" sia eguale o minore dell'unità, e tanto più ciascuno di essi ,o = - q, © = — r, e questa si troverà se con i metodi conosciuti i i8 Sopra l'Equazioni Primitive ec. si ricercheranno le soluzioni particolari, che sono comuni a due di tali equazioni, e soddisfanno alla terza. io. In generale data l' equazione tra un numero qualun- que di variabili 0==|i_A-B^-C^-D|i-ec. la quale non ammetta una equazione primitiva coaipleta, sic- come l'equazioni esprimenti le condizioni d'integrabnità man- tengono sempre una forma simile a quelle contemplate nel numero antecedente, se ne potranno dedurre conseguenze a- naloghe . Quindi le soluzioni particolari o ci verranno indica- te dalle condizioni tutte d'integrabilità, o potranno ritrovarsi tra le soluzioni particolari di due dell'equazioni o = A, 9\x e = — — B,o = -^ — G,o = -^- — D, ec; in modo che la loro ricerca si ridurrà sempre a quella delle soluzioni parti- colari dell'equazioni tra due sole variabili. ii. Fin qui abbiamo parlato dell'equazioni, le quali non soddisfanno alle condizioni d'integrabilità; diciamo ancora una parola di quelle, che ammettono una equazione primitiva com- pleta . Sia te F 1 &* una tale equazione: io comincio dall' osservare che si può giun- gere alla di lei primitiva completa nel modo seguente. S'in- tegri l'equazione o = — ■ p, ove y è supposta costante; 0\x l'integrale conterrà una funzione arbitraria di y, e potrà es- ser rappresentato dall'equazione F(iJ,/,s,^./) = o: s'in- tegri pure 1 equazione o =— qv ove x si suppone costan- te , e P integrale ne sia espresso da f(x,y3z3ip.x) — o: adesso si diano i valori i più generali alle funzioni

! \tetoJ Tom. XVII. 16 1:22 Sopiia l'Equazioni Primitive ec. &- ■+■ 1^) — -+- (—) — , e sostituendo questo valore e 4- quello di ^- l'equazione (1>') si cangia in """nlva^J/ tew te/ V SrP/ te/ v i^7/ te/ te/ v W UwJ ' *$ Hi£M£)te)]-g . ! ed è visibile che a motivo dell'equazioni (a) e (li) essa ha liio^o indipendentemente dai valori delle funzioni — - e — — . Lo stesso accaderà di una combinazione qualunque, che si formasse della proposta e dell'equazioni (a') e (b')> E si po- trà applicare un ragionamento simile all'equazioni differen- ziali del terz' ordine e dei seguenti. i4- Dal modo, con cui abbiamo dimostrate le proposizio- ni enunciate nel numero precedente, si deducono conseguen- ze importantissime per l'oggetto, che abbiamo in vista. Da- ta una equazione differenziale del prim' ordine tra le varia- bili x, y, z, se esiste una equazione primitiva che gli sod- disfaccia, cioè se z è realmente funzione delle variabili indi- pendenti x ed j, la proposta dopo la sostituzione di I-1—} -^-1 . r- in luogo di — sussisterà indipendentemente dal valore della funzione — : per conseguenza ordinati i suoi ter- 6 B avremo altrettante equazioni, che dovranno tutte aver luogo nel medesimo tempo. E così in seguito per l'equazioni dif- ferenziali degli ordini superiori. Una parte di quest'equazio- ni separate, alle quali giungeremo in ciascun caso, ci darà delle condizioni tra i coefficienti, le altre serviranno alla ri- cerca dell'equazione primitiva della proposta, e queste ulti- me saranno sempre tra due sole variabili, e si potranno ad esse applicare le regole conosciute . Si vede facilmente che si può usare il medesimo meto- do per 1' equazioni differenziali tra un maggior numero di va- • i • • • te te~ riabili, se non che bisogna aggiungere ai valori di r-, -~-, ec. D && ° te te' i termini , che vi sono introdotti dalle nuove variabili . i5. Facciamo l'applicazione dei principj esposti alla ri- cerca dell'equazioni primitive, che soddisfanno all'equazioni differenziali di tutti gli ordini ; e quantunque sia noto tutto ciò che appartiene al prim' ordine pure per meglio illustrare il nostro metodo consideriamo in primo luogo l'equazione o=il + A+ B^- te te ove i coefficienti A e B sono funzioni date di x, y e z . Po- nendovi in luogo di — il suo valore (—) ■+■ (—\ . — es- b te \te! Xbr! te sa diventa e se esiste una relazione tra se le due variabili indipendenti x ed 7 , che gli soddisfaccia , dovranno aver luogo separata- I24 Sopra 1/ Equazioni Primitive ce. mente le due equazioni HtrH B. ■>=(£) Sia M il fattore che rende la funzione l-^-J -+- A una der \ w l'I' vata esatta, in modo che N ne sia la funzione primitiva, N ==*//. 7 sarà l'integrale completo della prima equazione. Esso cidà/HV^V^ S=-W, e quindi (VL^JÉ, sostituito il qual valore la seconda equazione diventa o=w Jm)+b(M), f, da questa dobbiamo dedurre il valore della funzione i]j .y. Ora se la proposta ammette una equazione primitiva com- pleta con una costante arbitraria, sarà questa contenuta nel valore di ip . y , che risulterà dalla integrazione dell'equazio- ne precedente . Ma affinchè essa possa integrarsi, bisogna che sostituitovi il valore di z dedotto dalla equazione N = t//.j sparisca anche la x, e non vi rimangano che le due variabili y e ip . y . Converrà dunque che sia e questa è la condizione necessaria, perchè la proposta am- metta un integrale completo . La condizione trovata si può anch' esprimere indipenden- temente dalla cognizione della funzione N . Infatti se pren- diamo la funzione derivata da <£»(N,/) per rapporto ad x , ricordandoci che z è una funzione di x ed r data dall'equa- zione (_££-) _h A = 0 troverei mio 3HS)[G^GR£)KSX(SMS)] Del Sig . Pietro Paoli . i a5 Ora siccome l'equazione N = t/>./ è l'integrale di /— j-t-A=o abbiamo (^\ — A l^\ = o , e quindi (MA dev' essere == o . otterremo H^)-(S)-B(a--(P)-(f)(S)-(Qf) L'equazione identica (^-J — A(^~)=:0 essendo differenzia- ta per rapporto alle variabili y e z riguardate come indipen- denti ci dà / _^N_\ _ A /_^N_\ _ (U\( W\ e sostituendo questi valori nella equazione precedente si tro- va finalmente H£)4SMS)-B(S)- Questa condizione d'integrabilità è nota da lungo tempo, e vi si giunge in una maniera molto più semplice; ma quella che abbiamo usata ha il vantaggio di far conoscere più chia- ramente la necessità della condizione , perchè si possa ese- guire l'integrazione della proposta. Se l'equazione di condizione non è identica, la proposta non potrà avere una equazione primitiva, la quale contenga una costante arbitraria . Poiché se non si può ridurre l' equa- zione a non contenere altre variabili che y e ip . y , non si potrà in generale integrarla. Contuttociò vi sono alcuni casi, nei quali un valore conveniente della funzione ip . y può soddis- fargli, in quanto renda nulli separatamente i termini che con- iaó Sopra l'Equazioni Primitive ec. tengono la variabile x e quei che non la contengono. In que- sti casi, poiché esiste un valore di rp . y , il quale soddisfa all' equazione indipendentemente da a;, l'equazione derivata da questa per rapporto ad x sarà soddisfatta dal medesimo vaiore di ip ./ . Ma questa equazione derivata non è che la condizione d'in- tegrabilità; dunque la condizione deve dare il valore di ip .y dopo la sostituzione di quello di s, o sia prima della sosti- tuzione deve avere per fattore l'equazione N — ip.y = o. In- tendo generalmente per fattore di una equazione ogni fun- zione eguale a zero che la rende, identica . La proposta adunque, sebbene priva di equazione primi- tiva completa , può avere altre soluzioni meno generali com- prese nell'integrale completo N = $/y, e queste, allorché han- no luogo, devono esser sempre indicate dalla condizione d'in- tegrabilità . Ma l'integrale N = ip.y non dà tutte l'equazio- ni primitive, che possono soddisfare all'equazione o=(~H-A: per conoscerle tutte bisogna aggiungervi quelle che non so- no comprese nel medesimo integrale completo , cioè le solu- zioni particolari . Trovate con le note regole le soluzioni par- ticolari dell'equazione o= l-^-J -t- A , quelle tra esse, che soddisfanno all'equazione o=|— J-hB, daranno altre equa- zioni primitive della proposta. È evidente che il discorso fat- to relativamente all'equazione o = 1-^- 1 ■+■ A può applicarsi egualmente all'equazione o = (-^1-) -+- B , di cui le soluzioni particolari daranno nuove soluzioni della proposta , purché soddisfacciano all'altra equazione o = f— 1-4-A. Del Sic Pietro Paoli. 127 16. Se fosse proposta l'equazione 0_K+A^H-B-aC^.-aD^~aEl2..ÌL — te* te* ^ te te te ove i coefficienti A, B, ec. sono funzioni date di x, y e 2, ponendo in luogo di -|l il suo valore (^)^(^) . ~, ed ordinando i termini per le potenze di ~ avremmo -(IT—® l\ te ) \ te / J &** Dunque se esiste una equazione primitiva, che soddisfaccia alla proposta , le tre equazioni <■> °=(£)"-*D(l)*B « -&)*—(£)** » °KI)(£)-D(£)-E(i;)-C dovranno aver luogo nel medesimo tempo. Eliminandone ( — ì e I r-j avremo V equazione di condizione o=BEa-AB + Gl + aCDE ■+? AD3 , la quale posta sotto la forma ( Da — B ) (Ea-A) = (DE + C)' ci avverte che, quando essa ha luogo, la proposta è risolu- hile in fattori del primo grado . Se l'equazione di condizione non è identica, è evidente che la proposta non può avere altre soluzioni , che quelle , Ir quali sono fattori della medesima condizione, perchè qua- lunque altra relazione non può insieme soddisfare alle tre equa- ì-io Sorr.A l'Equazioni Primitive ec. zioni (i), (a), e (3). Se è identica, basta soddisfare alle due equazioni (i) e (2), le quali risolute diventano GD=D-i/(D'-B) ("£)_**/(»_A.)-*± DEh-C l/(D»-B ' e la questione rientra in quella del numero precedente . Prendiamo per esempio l'equazione o = — — az*m . ^— — bz%n — 2.czm-*-n . — te* te* te ove <7, b, e sono quantità costanti, m ed n numeri positivi. È chiaro che ad essa soddisfa z = o; vediamo come nei dif- ferenti casi si troverebbe questa soluzione, se non fosse stata avvertita. L'equazione di condizione diventa {c% — fl£)z3m-*-a'z==o, e non è identica se ca non è = ab , ma il fattore -am-*-2re ci avverte allora della soluzione z=so . Se c* = ab, bisogna con- siderare le due equazioni (-^)+z'n\/a=zo,( — )z£.z"\/b=o. La condizione necessaria, perchè esse somministrino una equa- zione primitiva completa, diventa [/ab .{m — n)zm~Lmn~t=o . Questa non è identica se il numero m è diverso da ti , ma il fattore zm-*-"~ ' annunzia la soluzione z=o, purché sia m-*-ii>i. Se m = ri , la proposta ha 1' integrale completo — - zì=\x\/a±yi/b = cost. , il quale posta la costante infinita ci dà la soluzione z = o quando m > 1 : se poi m< 1 la solu- zione z=o non è compresa nell'integrale completo, ma si trova cercando le soluzioni particolari dell'equazione ( — \=±zzm[/at o dell'equazione ( ~ ] = ± zm\/ b . Finalmente allorché m è diversa da », ed m-\-n < 1 , l'equazione z ■=. 0 è soluzione particolare di ambedue l'equazioni f — — J = ;+: zn\/a , f — ■— \ = d= z\/b . 17. Pas- Del Sic Pietro Paoli. 129 17. Passiamo all'equazioni tra quattro variabili te fa 3\* ove A, B, G sono funzioni date di x,y, u e z. Sostituen- dovi il valore di *L = (^-) -4- (-^-) . ±2L + /11) . * es. sa si cangia in Dunque se la proposta ha una equazione primitiva in x,y, u e z, questa equazione primitiva deve soddisfare alle tre equa- zioni - W ° = (fhA Sia N = ^(y,w) l'integrale completo della prima; avremo tM.\ -h l^~) /li\ == (M\ \ W l te / \ A»/ \ A« / e sostituendo nell'equazioni (2) e (3) i valori di (—) e | — | dati dalle precedenti otterremo « •-(£):-(©-»© <3'> H£)-($MS)- Perchè queste due equazioni ci diano il valore di xp(y\u) con una costante arbitraria, cioè perchè la proposta abbia una primitiva completa, bisogna che la sostituzione del valore di Tom. XV IL 17 l3o Sonia l'Equazioni Più miti*, e ec. z dedotto dalla equazione N = ip (y , u) faccia da esse spari- re anela- la x . Dovrà dunque in primo luogo essere (S)-B($)-F(.,,r..,8 e poiché ( — J = e a motivo della equazione identica f — J — Al — ) = o, sarà nulla la differenziale della funzione ( — ) — ] presa relativamente ad x , cioè Ma 1 equazione identica I r— 1 — Ai — ) =0 ci da dunque sostituendo questi valori nella equazione precedente, giungeremo all'equazione di condizione <■) °=(£)-(tH(£)-B(t) la quale dovrà essere identica , perchè la proposta ammetta una primitiva completa . Nel caso, in cui la condizione trovata è identica, sia f(y yu , tp) =

— (S)(S)-F(fc)-l(fe)-E W - = (H) (fe)-H(fe)-'(ff)-«- Eliminandone (— —) i (~r~)' ("T~") ù'unSeremo a"e tre ecIua- zioni di condizione o = CH2 — AC -t- Da -+■ aDFH -+- AFa o = CP — BG +Ea ■+■ aEFI -4- BF9 o = AP — AB ■+- Ga -+- aGHI -ì- BHa . Quest' equazioni sono quelle stesse , che devono aver luogo , perchè la proposta sia risolubile in fattori del primo grado . Se esse non sono identiche, la proposta non potrà avere al- tre soluzioni , che quelle , le quali sono fattori comuni alle medesime condizioni . Se sono identiche , la ricerca dell' equazione primitiva della proposta dipende da quella della primitiva, che soddisfa all'equazioni (1), (a), (3), perchè le tre condizioni tengon luogo dell'equazioni (4), (5), e (6). L'equazioni (1), (a), e (3) risolute diventano fè)-l--' e tutto si riduce al caso contemplato nell'articolo precedente. 19. Passiamo all'equazione del second' ordine o = hA — + B hC — -+-D dx* dx* dx al- lineare per rapporto alle funzioni derivate, ove i coefficienti A, B, ec. sono funzioni date di x, y e z. Ponendovi (— — ) / Sz\ Sy Sz /$*z\ / s*z \ Sy fSaz\ e siccome x vi è ri- guardata come costante, l'equazione primitiva, di cui si trat- ta, conterrà una funzione arbitraria di x che chiameremo ip .x. Sostituendo il valore, che ci dà la predetta primitiva, nella (a') ne dedurremo il valore di ip . x , il qual essendo deter- minato da una equazione differenziale del prim' ordine non potrà contenere che una costante arbitraria , Se adunque la proposta ammette una primitiva completa, si dovrà determi- nare il valore di ip . x dalla equazione (t), che essendo dif- ferenziale del second' ordine potrà darcelo con due costanti indeterminate . Ma questo valore di ip . x non potendo nella sua generalità soddisfare all'equazione (a'), la quale deve pu- re aver luogo, bisognerà che in questo caso l'equazione (2/) sussista indipendentemente dal valore di I — — 1 . Avremo dun- 1 V te 1 que le nuove condizioni (e, o = (£±), (..) o=C-AB-.(£). La seconda determina il coefficiente C, la prima paragonata con la condizione (a) ci dà 0 = 1 1, e per conseguenza ci V te ì avverte che A non deve contenere né y né z , ma esser sem- plicemente funzione di x . 2.0. Ciò posto l'equazione primitiva della (4) sarà z -+- ky — ip . x . a ti / te \ te te &x* x te te x» Le condizioni (a) , (e) , (d) , (e), (f) sono tutte identiche; dun- que la proposta ha l'equazione primitiva completa z-*-x*y=ip. x, e ip . x è determinata dall' equazione te' x te *»■ la quale ci dà \\> = x ( c-H 6 log. a; ) , e e e essendo due costan- ti indeterminate; e quindi z-k-x'J,y=x (c-+- c'iog.x) . Sia data in secondo luogo Y equazione -t- ( 2,x — 3x* ) y"> — 3j3z-t-(2, — 4-s— 3x2)/ — Sz . L'equazioni (a), (e) e (d) sono identiche, ma le (e) ed (f) non i4° Sopra l'Equazioni Primitive ec. lo sono; dunque la proposta non ha una equazione primiti- va completa . Ma poiché la condizione (g) è identica, la pro- posta può avere una soluzione, che contenga una costante indeterminata. Per trovarla qualora esista, esaminiamo l'e- quazioni (i") o = 3y*%L-qy>(s + x*y), ove la seconda è la differenziale della prima relativamente ad y. Sostituito il valore di z l'equazione (i") ci dà |^ = 3tf/, on- te de si deduce ip = ce3x , e rappresentando il numero che ha per logaritmo iperbolico l'unità e e una costante indetermi- nata. E siccome questo valore di ip soddisfa all'equazione (T), ne segue che la proposta ha l'equazione primitiva z-*-x*y=ce3x. Sia proposta finalmente l'equazione te' te' x te w 'te * J -+-(# — x* H- a )y* -+- x*y5 . Le condizioni (a) , (e) e (d) sono identiche, ma le condizioni (e),(f) e (g) non lo sono; dunque la proposta non ha equa- zione primitiva, che contenga due costanti indeterminate, o una solamente. Restano a considerarsi l'equazioni (i') e (g), che in questo caso sono y ' te' * , in quanto renda nulli separatamente i termini indipen- denti da /, e quei che contengono questa variabile. In tal caso l'equazione (a") avendo luogo qualunque sia /, l'equa- zione che se ne forma con prender le funzioni derivate re- lativamente ad /, cioè l'equazione (h), dovrà egualmente sus- sistere . Pertanto la soluzione ci sarà data da quel fattore del- la condizione (h) , il quale soddisfa all'equazione (a"). i4=ì SorRA l'Equazioni Primitive ec. Nel percorrere questi differenti casi non abbiamo ancora ottenute tutte le soluzioni, che può aver la proposta. Resta- no a considerarsi quelle, che sono soluzioni particolari dell' equazione (4) ed insieme soddisfanno alle altre tre equazioni, oppure sono soluzioni particolari dell'equazioni (i), o (a') e nel medesimo tempo verificano le altr' equazioni (i)9 (a), (3) e (4). Ma la ricerca di queste soluzioni particolari non presenta al- cuna difficoltà, e dipende dai metodi conosciuti, perchè l'e- quazioni (i), (2,') e (4) sono equazioni derivate tra due sole variabili . Segue dall'analisi precedente che, quando alla proposta corrisponde una equazione primitiva completa, si trovano fa- cilmente l'equazioni primitive singolari, poiché tutto si ri- duce a cercare le soluzioni particolari dell'equazioni (i)e(4): ma allorché la proposta non ha una primitiva completa, con- viene esaminar molti casi per trovare l'equazioni primitive singolari, che essa può avere. Questa differenza ha luogo in generale, ma la stessa analisi, come negli esempj preceden- ti , ci somministrerà sempre con un andamento uniforme le condizioni d'integrabilità, che converrà discutere in ciascun caso , senza che siamo obbligati di cercarle altrove . a5. Il medesimo metodo applicato all'equazioni lineari del second' ordine tra un numero qualunque di variabili non ci presenterà alcuna nuova difficoltà. Consideriamo l'equazio- ne tra quattro variabili te* te* te* te te te Sostituendovi il valore di — - che in questo caso è I — — I KteteJ te Xteteì te UW te* \tetej te ± + t*À. ^ + (£).& + t£):&*&\\oii'*L te yte'fi te* \tef te* \tef te* ' te = l^L\ _h /lf_\ . |£ _j_ (jk.) . |? , ordinando i termini per \tel \te/ te \teJ te' r Del Sic. Pietro Paoli. ifò le potenze ed i prodotti di-^, ^, ~- e — j, ed eguaglian- do a zero il coefficiente di ciascun prodotto troveremo P e- quaztoni « «*.(&)+» fé)*0 (5) c = (-^) <*> "(g) (7) »-(£H m °=(f h* le quali tutte devono insieme sussistere . Se dall'equazioni (7) e (8) prendiamo i valori di ( — 1, I — " ■ ) , (^-7)7 e li sostituiamo nelle (4) , (5) e (6) avremo l'equazioni di condizione w "(SMS) w -(£)-"(£) ; « r(SMS) « -(SMS)- Di queste la terza è compresa nelle due prime: infatti l'e- quazioni identiche (a) e (b) ci danno o = (J±)-a(*±-)-(IL) (IL) \ SySu J \ Su$z J \ Su, J \ 3z J i-j-i- Sopra l' Equazioni F&ùciyive ec. \ Ò yBu f \ cySz ) \ Sy ) \ dz ) ed eliminate da queste le funzioni derivate seconde pertanto la condizione (e) ò una conseguenza delle condizio- ni (a) e (b). Prendiamo adesso i valori di (*S), (t), (01. \ /Zl\ \9yJ \iiuj \Sx9yJ ' \8x9uf dalle medesime equazioni (?) e (8) , e sostituiamoli nelle (a) e (3); queste si cangeranno nelle seguenti <*> °=<^)(l)-<^)-AB-C <3'> 0=0(£)-^(S)-BE-F. E poiché quest'equazioni devono esser d'accordo tra loro e con l'equazione (i) , eliminandone (~\ otterremo due nuove condizioni ove P= r~-. /8A\ 3 (ir) 26. Supponghiamo in primo luogo che la proposta abbia una equazione primitiva completa . Con un ragionamento si- mile a quello del n.° 19 si dimostrerà, che in questo caso l'equazioni (a') e (3') devono aver luogo indipendentemente dal valore di 1 — I, e per conseguenza è necessario che sia Del Sic. Pietro Paoli. * 1^.5 Le due ultime condizioni determinano li coefficienti G ed F, le due prime paragonate con le precedenti (a) , (b) , (e) , (d) ci avvertono che A ed E sono semplici funzioni di x . Ciò posto l'equazione (7) integrata ci dà z ■+- Ay = = (£ )-(£MS) cioè o=( 2z~ ) a motivo della condizione (b) ; perciò e lo sostituiamo nella (a'), essa diventerà (2") o = a^ + AB-C, e sopra questa faremo ragionamenti analoghi a quelli dell'ar- ticolo 2.3 ; avendo riguardo alla nuova variabile u . Del Sic Pietro Paoli. ifyt 28. Proponghiamoci adesso di trovare l'equazioni primi- tive di una equazione differenziale del second' ordine, in cui le funzioni derivate non siano lineari, considerando la seguente te' te' te' te te te' te te ove i coefficienti A,B, ec. sono funzioni date di x, y e z. te \*~ Sostituendo in luogo di — ^ e di 2— i loro valori , ed 0 te te' eguagliando a zero i coefficienti di — , e avremo le 00 te' te' te'- quattro equazioni v ' \ tete ì \ te 1 \ V y ! \tel \ te I (4) o = (|^)^A ciascuna delle quali deve sussistere . L' ultima differenziata relativamente ad y ci dà \^—\ questo valore come pure quello di j-^-l nella (3) avremo l'e- quazione di condizione °=(t)-A(F)-A"B*AC-D- Dalla medesima equazione (4) differenziata relativamente ad x si deduce (J±S = - ( *L) _ (M. Vii \ e V e- V tete J \teJ \teJ\teJ quazione (2) dopo la sostituzione dei valori di (-^--) e (-— ) r \teteJ \te! diventa 14S Sofra l'Equazioni Primitive ec. <,,o4(f)^AB-c](£)_(fi)^E-F. E poiché questa equazione dev' esser d' accordo con 1' equa- zione (1), se eliminiamo da esse (,— I e I — — 1, avremo una nuova equazione di condizione . Facendo per più semplicità afè^)- = P, questa equazione di condizione sarà ,b) °=(ÌH(fHpa+EP*G- Se ambedue l'equazioni (a) e (b) non sono identiche, bisognerà cercare i loro fattori , e quei che soddisfanno all' equazioni (4) e (a') ci daranno altrettante equazioni primiti- ve della proposta, e le sole che la proposta possa ammette- re, se si prescinda da quelle, le quali sono soluzioni parti- colari dell'equazioni (4) e (a'). (Si veda il n.° 19). 2,9. Ponghiamo adesso che le condizioni (a) e (b) siano identiche, e di più che l'equazione (a') sia soddisfatta indi- pendentemente dal valore di (ir")' lo che è necessario per- chè la proposta possa avere una equazione primitiva comple- ta . In questo caso avremo due nuove condizioni (e) o = 2(|^)-+-2AB-C, (d) o = a^) + AE-F, e poiché le tre condizioni (a), (e), (d) tengon luogo dell'e- quazioni (2) e (3), non rimarrà che a soddisfare alle altre (1) e (4). Sia N=sip .x l'equazione primitiva completa dell'ulti- ma; avremo Hf)-A(f) Prendendo da questa i valori di I--I e (v-t)» e sostituen- Del Sic Pietro Paoli . 149 doli nella equazione (i) otterremo ove sarà p __ vgv © Q=E_aP(M) R=G(f)-^(f)-p(f)-(P)- Affinchè l'equazione (i') possa darci il valore della fun- zione ip .x con due costanti arbitrarie, bisogna che la sosti- tuzione del valore di z preso dall'equazione N = ip .x ne fac- cia sparire anche la y , e questo non può accadere che quan- do le quantità P, Q ed R sono ciascuna funzioni di x e di N. Tali sono le condizioni necessarie , perchè la proposta possa avere una equazione primitiva completa . 3o. Tali condizioni si possono esprimere anche senza co- noscere la funzione N . Infatti la differenziale presa per rap- porto ad y di ogni funzione di x e di N essendo eguale a zero a motivo della equazione identica (-^— ) — Al-2— J = o, la stessa differenziale relativa ad y di ciascuna delle quanti- tà P , Q ed R dovrà essere nulla . Pertanto , se ci rammen- tiamo che z è una funzione di x ed / data dall'equazione {— ^1 = — A, avremo l'equazioni identiche i.jo SorKA l'Equazioni Primitive ec. ^©[(i-:)-a('ì)]--[(S)-a(P)] I.v VwJLU,^7/ U*&=/J W^y/ U**W ^~ / — ^ ( V" )=:o per rapporto alle variabili xty, e z riguardandole come in- dipendenti tra loro, avremo w^// Vìi»/ w/ u*W u*v\W tei ~ A 117/ - 2 tei tev * vi?; tev Sostituendo questi valori e quei di P e Q nell'equazioni pre- cedenti avremo le tre condizioni cercate w •-(gH(S)-G9-(£) « h£)-)_ A (MI) ^Afcl) O')=(^)-A(^)-.A(g')-H(a)(|)-(b')0. 32. Se Del Sic. Pietro Paoli. i 53 32. Se le condizioni trovate non sono identiche . l'equa- zione (i) non potrà darci per mezzo dell' integrazione un va- lore di ip , il quale contenga due costanti arbitrarie, e per conseguenza la proposta non avrà una equazione primitiva completa . Contuttociò potrà accadere che un valore meno generale di ip soddisfaccia all'equazione (i') rendendo nulli separatamente i termini, che dopo l'eliminazione di z con- tengono la variabile j, e quei che non la contengono. In. questo caso nella equazione (ir) non avremo riguardo che ai termini indipendenti da y trascurando gli altri che contengo- no questa variabile, ed integrando questa equazione parziale otterremo il valore di ip con due costanti arbitrarie; dopo di che determineremo le due costanti o una di esse in modo che svaniscano ancora nella equazione (i) i termini che abbiamo trascurati . Così troveremo una equazione primitiva della pro- posta o con una sola costante, o senza costante arbitraria. Ma potremo rendere questa ricerca più facile se riflettia- mo , che quando esiste un valore di ijj , il quale soddisfa al- l'equazione (ir) indipendentemente da /, l'equazioni deriva- te da questa per rapporto ad y dovranno esser soddisfatte dal medesimo valore di \\) . Dunque prevalendoci di quest' equa- zioni derivate piuttosto che della equazione (i') otterremo il valore di ip mediante l'integrazione di una equazione del prim' ordine, e qualche volta ancora senza integrazione. Da ciò apparisce, perchè le due costanti, che troveremmo non con- siderando nell'equazione (i') che i termini indipendenti da /, non possano restare ambedue indeterminate . Per trovare tutte l'equazioni primitive della proposta nel caso che abbiamo fin qui esaminato , restano a considerarsi le soluzioni particolari dell'equazioni (i)e(4), la ricerca del- le quali non presenta alcuna difficoltà. Quelle tra tali solu- zioni, che soddisfaranno al rimanente dell'equazioni (i),(a), (3) e (4), daranno altre equazioni primitive della proposta. 33. Supponghiamo adesso che le condizioni (a) e (b) es- sendo identiche l'equazione (a') non sia soddisfatta indipen- Tom. XVII. 20 1 5-4- Sopra l'Equazioni Primitive ec. dentemente dal valore di { — ] . Quan Jo ciò accade convien dedurre il valore della funzione ip.x dall' equazione (a'). So- 8jE _ /?£\ . ... j- / Sz\ .. . Sx \dx) c stituendovi in luogo di ( — 1 il suo valore , ■ — , e ia- F-AE-a(|i) cendo come sopra ,\ . ; - — = P, l'equazione (a') diventa 3(M)-H»AB_C ed acciò possa darci il valore di ip con una costante arbitra- ria, è necessario che la sostituzione del valore di z preso dal- ——I -j_P(ÌL_J . Dovrà dunque questa quantità essere una funzio- ne di x e di N , e per conseguenza la sua differenziale presa relativamente ad y dovrà esser nulla . Pertanto avremo H»K«H(«Hft5)HS)[0H©]- Questa è la condizione necessaria perchè la proposta abbia una equazione primitiva con una costante indeterminata , e quando essa è identica si trova 1' equazione primitiva median- te l'integrazione dell'equazioni del prim' ordine (4) e (a"). 34. Quantunque la sostituzione del valore di z non fac- cia sparire y dall'equazione (a"), può accadere però che essa sia soddisfatta da un valore meno generale di ip , in quanto renda nulli separatamente i termini indipendenti da y e quei che ne dipendono. In questo caso poiché l'equazione (2,") è Del Sic. Pietro Paoli. i 55 verificata qualunque sia y , ìa sua equazione derivata relati- va ad / sarà soddisfatta dal medesimo valore di ip . Ma è evi- dente che questa equazione derivata non è che la stessa con- dizione (h); dunque la condizione (li) ci darà il valore di ip dopo l'eliminazione di z , e prima dell'eliminazione avrà per fattore l'equazione cercata N — ip . x = o , iti modo che si avrà in tal caso l'equazione primitiva della proposta senza alcuna integrazione . Anche rapporto al caso esaminato nei due precedenti ar- ticoli si deve osservare , che non abbiamo fin qui trovate tutte l' equazioni primitive, dalle quali la proposta può esser sod- disfatta. Per averle tutte bisogna aggiungervi quelle, che so- no soluzioni particolari dell'equazioni (4) o (a1), e verificano le altr' equazioni, le quali devono sussistere insieme con esse . 35. Negli esempj generali che abbiamo dati, e che po- tremmo facilmente moltiplicare, abbiamo procurato di mo- strare il modo, con cui dobbiamo condurci nei diversi casi. Ma in ciascun caso particolare tornerà meglio applicare le operazioni ed i ragionamenti all'equazione data che riportar- la ad un caso più generale, perchè le condizioni identiche spariranno dal calcolo , e così ci risparmieremo molte discus- sioni inutili . Porremo fine a queste ricerche con l'esempio di una particolare equazione del second' ordine, che abbiamo scelto espressamente per prevenire una objezione , la quale potrebbe esserci fatta relativamente alle soluzioni particolari . Sia dunque proposta l'equazione Dopo aver posti in luogo di — e —- i loro valori ( — ^ ) -+- 1 t— I £' e M*'W).F+ll?/à?",-fe/i?' e dopo avere ordinato il primo membro per le potenze ed i prodotti &y %,'y di — e — - otterremo molt' equazioni , delle quali la prima è & i 56 Sopra l'Equazioni Primitive ec. l' ultima è e tutte l' equazioni intermedie son tali che diventano identi- che, quando l'ultima è soddisfatta da un integrale partico- lare (n.° 19). Questa integrata ci dà z — y = ip.x, onde si — J=i-~, e sostituito questo valore la (1) diventa E poiché non contiene altre variabili che x e tp , essa ha un integrale completo, che si trova essere ip = ex -ì- -?— -i- e', es- sendo e e e le due costanti indeterminate . Pertanto la pro- posta ha l'equazione primitiva completa z = y -+- ex -+- 26 Per vedere se ha qualch' equazione primitiva singolare, bisogna cercare le soluzioni particolari dell'equazioni (1) e (a).. La seconda non ne ha, la prima ha la soluzione particolare I — \ = zt:x (si veda la lezione XV di Lagrange). Se ne de- duce z = z£z — -ì-» c -4-k*r'T*' ' ossia tra la velocità stessa ed il numero x, vi sarà la rela- zione espressa dalla equazione „, C-Or". e -*- k*r*r*' Per trovare la costante arbitraria e, osservisi, che per ipotesi si conosce la velocità colla quale il corpo ha urtato la prima volta il piano orizzontale, urtamento dal quale è nata la prima salita, che ha fatto il corpo, come nasce la Tom. XVII. ai (*) In questa Mem. i JJ. citati si riferiscono all'esimio Compendio del Calcolo Sublime del Prof. Brunacci . idi Sul moto discreto ni un corpo, ec. ( x -+- 1 ) esima dall' urtamento [x-t-ì ) esimo; cioè pei dati della proposizione conosciamo la velocità v0 . Ma supponendo x = o nell'equazione di relazione anzi trovata, tra x e vx , bassi 7>-0 = , ossia c = ; adunque c-t-£ar° v*. VX=V0VT\/ - - . : V r'-i + (r"'-i)r'iV, espressione nella quale tutte le quantità sono immediatamen- te conosciute . Sostituendo nHla equazione 2,gk*Asx = log. ( i •+■ h~r-vx ) , esposta superiormente, in vece di va~ il suo valore , si ha dalla quale desumesi agk2Asx = \og. aj , c-+-rs«*rax A5X = loc c-t-r^V3!*-1-') cioè l'altezza a cui sale, e da cui poscia discende la (#-t- i ) esima volta il corpo . Per essere *0g~ , >■ - = A log;. (c-4-raAar") c-4-r A rlx l'ultima equazione equivale a quest'altra 2.gk*Asx = A log. ( e -+- £2rV2x ) che è per sé stessa integrabile, ed integrata dà 3.gkzSx = log. (c-HÌVVr) -+- cost. Ma ad x = o corrisponde 2,j0 = o, perchè comincia Io spazio 2,sr coli' incominciare della prima salita; adunque sarà o = log. (c-l-£V2)-t-cost., ossia cost. = — log.( c-+-k2r2). Quindi zgfrsx = log. ( c-t- £2rVar ) — log. ( c-+-k,Jr* ) ; e perciò lo spazio oeroato i , c-t-l'r'r" asx = — log. . Del Sic Antonio Bordoni. i 63 Passiamo ora a trovare il tempo decorso dal principio della prima salita alla fine della x esima discesa, cioè la e- spressione del tempo tx . Chiamando dx la somma dei tempi delle x prime salite, e §x quello delle corrispondenti disce- se, saranno Adx , Adx i tempi della salita e discesa (.r-Hi) esima ; e perciò , colla teorica del moto verticale dei gravi che si movano in mezzi resistenti , si avrà agkAdx = log. -"*" Vx*'. , e gk Adx = Are. tang. rkvXÌ i — kvx+I a ossia Adx = log. -1"1" 1"h' , e A6X = — Are. tang. rkvx : agk i— mite ek cioè il tempo <5X delle discese sarà eguale all'integrale finito 2-1- log. * + kv~' 3-gk i — kv,+. , preso tra i limiti di i ad a;; e quello delle salite, cioè 6X sarà eguale all' altro 2 — Are. tang. rkvx gk preso fra i limiti o, ed x — i ; vale a dire, sarà » i /, i-*-kvx , J-*-kvx_, , i-t-kv, \ luoj. Ma la somma dei logaritmi di un numero qualunque di quantità è eguale al solo logaritmo del loro prodotto, adun- que sarà il tempo delle discese g — » ioe / »«■** \ / * -*-*»—, V /'*i».W'^.| a.gk V i— kvx ) \ i—*w_ì / \1—kv2} \l-kVtJ ' Se è vantaggiosa la sostituzione fatta del solo logaritmo del prodotto delle quantità ■kvx i + ic,., i-t-kv2 i-t-kv. i — he» i — Avx_, i—kv2 i — kf>, in luogo della somma dei logaritmi delle medesime , molto più lo sarà la sostituzione di un solo arco in vece degli x archi A.tang.r^t;,., , A.tang.rA^—^, A, tang. rkvtì A.tang.rAuo, 164 Sul moto discreto di un corpo, ec. la quale divisa per gk dà il tempo dx . Vediamo pertanto, come si possa trovare un solo arco eguale alla somma di quel- li, che hanno per tangenti le quantità attualmente conosciu- te rkvj;—! , rkvx—^ , . . . . rkvt , rkv0 . Supponendo A.tsmg.rkvx_1-i-A.tang.rkVjL_2-*-....-*-A.tar)g.rkt>l-*-A.tang.rkv0=l;x si ha tang. f*^, = tang. ( §x -t- rkvx ) = ( rkvx ■+- tang. Zx ) ; (i — krvx tang.£x) , ossia l'equazione delle differenze finite (A) ....rkvxtar\v.$xtang. x+l—tang.%x+1->l-X.ix\ìg.Zx-*-rkvx=o dalla cui integrazione dipende il valore cercato dell'arco |x. Ad ottenere l'integrale dell'equazione qui trovata, sup- pongasi in essa tanjr.?x = — , itx esprimendo una nuova funzione incognita, e si camhierà in quest'altra 7tx7tx-*-i — bxnx — ax = o , posto vx+j = ax , e = bx , fi Vx la quale dà evidentemente JFa.=&a-.IH — '^- a _ b*—?.-*- 7 ' 2~ Or—i «4- Ma pel significato della funzione £x si ha tang.f, =rkv0, e per forza della fatta supposizione, cioè di tang.£x = - «*■ hassi anche tan^;. f, = ; adunque rkv0 = , ossia 31,— I 31,-1 f, = n — ; e pero «# itx-=-bx— ,-*- ar ■- i-h=ì: valore che messo in quello supposto di tang. |XJ ci dà la nuo- va e singolare forinola trigonometrica Del Sic. Antonio Bordoni . 1 65 tang. §*= — - az_, b*-2-+--r-2 Or-, b'—i-*- — — ■ ^± v, . Va cioè l'arco cercato |x = Are. tang. «~ Quindi ° — H-JI_,-H-j «x_2 -+- ec. il tempo delle salite , sarà anche eguale ad i , rkvx — Are. tang. - ai_t b> Ora, essendo il tempo cercato, cioè il decorso dal prin- cipio della prima salita alla fine della x esima discesa, egua- le alla somma dei tempi corsi nelle x prime salite e nelle corrispondenti discese, vale a dire tx = 0X ■+- dXÌ sarà esso eguale ad log. ( ){ )...( I-i — A. tang. agk ° yi—kvjyi—kvt—j \\—kvJ gk — i-»-èi_1-(-- — ! at_% b . -t V . IH Corollario I. Essendo Adx il tempo della (*+i) esima salita, e Adx quello della corrispondente discesa, sarà Atx = Adx ■+■ Adx , ossia L ( Are. tang. rkvx + \ log. g£~ ) il tempo corso tra gli urtamenti x, (x-+- 1 ) esimi. Similmen- te, per essere vx la velocità del corpo alla fine della discesa x esima , sarà rvx , ovvero rx-*-!v0 \/ llZi Y t1— i-*-(r" — i ) r'^u1. la velocità colla quale il corpo comincierà la salita (#-»-r ) esima . In ultimo i , c + 4V('+>) log. ag*a B c + k'r'l'+'y 100 Sur, IIOTO DISCRETO DI UN CORPO, tìC. sarà l'altezza, sopra il piano orizzontale, a cui salirà il cor- po nella (x-ì-l ) esima salita. Corollario II. Facilmente colla teorica del moto verti- cale ascendente dei pravi ne' mezzi resistenti (*) e colle espo- ste nell'antecedente Corollario, si trovano le due equazioni seguenti gkt x = Are . tang. k , 2,gk-s x = log. ■ rk^Vxiix i -*- k*u*x nelle quali z^ , s'x , e t'x esprimono la velocità, lo spazio, e il tempo corrispondente, per la salita (x-+- 1 ) esima . Simil- mente, colla medesima teoria rispetto al moto discendente, trovatisi le altre due equazioni nelle quali u'x , s"x , t"x esprimono la velocità , lo spazio, e il tempo corrispondente per la (.r-f-i) esima discesa. Con queste quattro equazioni , insieme ai valori delle quantità vx , sr , e tx trovate sopra, si conoscerà il moto del corpo in un istante qualunque del tempo A^ , che passa dall' urtamento oc esimo all' (x-+- i ) esimo . Proposizione II. „ Supposte le leggi del moto, come nella proposizione „ antecedente, e dato di più una delle tre quantità, spazio, „ velocità , e tempo , trovare le altre due corrispondenti , e „ la distanza che avrà il corpo dal piano orizzontala . Soluzionb . Primieramente sia dato lo spazio S . Ponendo nella equazione 2,gk*sx == log. — — in luogo C ■+■ K T di 2.sx lo spazio dato S, ed x invece di a-; e poscia cavando Yx' dalla risultante, si ha (*) Questa teorica si può vedere al $. 204 del primo volume della Meccanica del Sig. Professore Fenturoli . Del Sic. Antonio Bordoni. 167 , log. [(c4Tai*)eriS- ci— a log. kr a log. r Se il numero ar' , così determinato, sarà intero, nell'i- stante che il corpo avrà terminato di percorrere lo spazio dato S , si troverà nel piano orizzontale , sarà trascorso il tempo tx' 1 ed avrà la velocità tv, o zero, ovvero rvx< , se- condo che si considererà prima o dopo la compressione, op- pure dopo la stessa dilatazione . Se poi x' sarà frazionario, per avere le stesse quantità, si osserverà primieramente, se S eguaglierà, o sarà minore, ovvero maggiore di zsni ■+- Asm , m esprimendo il maggior nu- mero intero contenuto nell'a;'; e nel primo di questi tre ca- si, il corpo troverassi distante dal piano orizzontale di As,„ , non avrà velocità , e sarà corso il tempo tm ■+• A0„, ; nel se- condo sarà distante dal piano di S — zsm , avrà la velocità um data dalla equazione ZgK^S,,, = log. , ed il tempo decorso sarà t„, -+■ t'„, , t'm essendo determinato mediante la equazione pkt'm = Are. tang. k ? — . 1 "T" T K V mU m Finalmente nel terzo caso il corpo sarà distante dal piano orizzontale di SLSm-t-i — S, si moverà colla velocità u'm cavata dalla equazione ag^(awI-S) = log.-Ii^ll-, e tm-ir Ad,„ -+-£",„ sarà il tempo decorso, purché t"m venga de- sunto dalla equazione agkt r„ = log — — . I *~ /CU fu Sia ora conosciuta la velocità V . Sostituendo nella equazione, esposta anch'essa superior- mente , vx = v0r* 1/ - - V r1-i+(r"-i)r'ÌV, 1 63 Sur. moto discreto di un corpo, ec. invece di x 1'/, e di vz la velocità data V; poi liberando lo stesso y , liassi log. Va( r» — i — r'J-'o',, ) — log. »%( r1 — i — r'PV ) y — 9 a log. r espressione la quale potrà essere anch'essa intera o frazio- naria . Qualunque sia il numero /, il corpo si potrà trovare in una qualunque delle m prime salite, come in una qualsivo- glia delle corrispondenti discese , m rappresentando il mag- giore numero intero contenuto nell'r; e però sarà '°S- T777T ■> ° A*„ — J „= — -log. la distanza che esso avrà dal piano orizzontale, 2.?n -w'„ , ov- vero 2.Sp -+- As„ -+- s"„ Io spazio che avrà percorso, e i ,• 7 rvh — V . „ i , ì-t-kV t„-\ — -tArc.tang.k ■ -, oppure t„-t-AO„-l r'°g- TT7' il tempo corso, qualunque numero rappresenti V n , tra i po- sitivi, interi , e non maggiori del maggior numero intero con- tenuto in y., cioè di ni. ... \..;, Di più, se sarà v„, >V>ro„, il corpo potrà trovarsi nel piano orizzontale, aver percorso lo spazio 25,,,, ed essere cor- so il tjjempo tm , precisamente come nel caso di V = u„,;ese sarà V = /•!»,„, ovvero rvm>> V>u,„_Hl , il numero ri contenu- to nelle prime forinole sopra esposte potrà essere eguale an- che ad ni maggior numero intero contenuto nell' y . Vale a dire, nel caso di Y = vm il problema o la proposizione avrà •xm soluzioni, e negli altri ( 2/» + 1); cioè tante soluzioni quanti sono gl'istanti del tempo corso nella durata del moto continuato nei quali la vel&ità del corpo eguaglia la data V. In ultimo sia dato il tempo T . Troveremo la velocità , lo spazio , e la distanza dal pia- no orizzontale che corrispondono al tempo dato T, senza de- terminare il valore della quantità posta invece di x nella e- spressione di tz espresso pel tempo dato T stesso ; e sì vedrà con ciò, come si possa scoprire il numero intero rappresen- - tante Del Sic Antonio Bordoni . 169 tante la stessa quantità , se essa è intera , o il maggior nu- mero intero contenuto in essa , se sarà frazionaria , senza la suddetta determinazione . S'incominci a supporre x, cioè il numero delle salite o discese uguale successivamente a o, i,a,3,ec. nella espres- sione generale del tempo tx trovata nella precedente propo- sizione, e si continui questa operazione, finché siasi trovato un numero intero m, che renda la stessa espressione uguale al tempo dato, cioè che dia t,„ = T ; e se ciò non sarà pos- sibile, come succederà quasi sempre, si continuerà la stessa operazione, finché se ne saranno trovati due contigui m, m-+-i , che sostituiti invece di x nella medesima espressione, diano due risultamenti , tra i quali sia compreso lo stesso tempo dato , cioè che diano tm < T < t„, .+. t . Quando succederà il primo di questi casi, cioè che un nu- mero intero m, renderà tn — T , il corpo alla fine del tempo da- to T si troverà nello stesso piano orizzontale; e però la veloci- tà si avrà immediatamente, col sostituire il numero stesso m invece di x , o nella espressione di vx trovata sciogliendo la proposizione antecedente, o io quella esposta nel suo Corol- lario 2.0, secondo che si vorrà il valore della velocità, pri- ma , ovvero dopo la compressione istantanea del corpo ; e Io spazio sarà a,sm , cioè si otterrà sostituendo in luogo di x il numero m nella espressione di zsx trovata anch'essa scioglien- do la proposizione precedente . Negli altri casi, dopo avere trovato i numeri w, 772-4-1, si osserverà, se T sarà eguale, o minore, ovvero maggiore di /;„,-+- Ad„r, e nel primo di questi casi, il corpo sarà distan- te dal piano orizzontale di Aj"*=;ilos c-*-/fc»rara<""*,>' non avrà nessuna velocità, ed avrà percorso lo spazio a^-t-As,,,; nel secondo avrà velocità um data dalla equazione TVm—Um k ^rHnuni =tang.g*(T-*.), Tom. XVII. aa 1 70 Sul moto discreto di un corpo , ec . che desumesi dalla prima delle esposte nel Corollario 2,.0 del- la precedente proposizione, e sarà distante dal piano orizzon- tale di t . 1 ■+■ r*k*v*m s ,„ = 102;. ed avrà trascorso tino spazio eguale a aj^-+-s'm . Finalmente nel terzo ed ultimo caso, avrà, alla fine del tempo T, la ve- locità u'„, che dà la equazione seguente e2giT_/ 1-t-*a'M\ agi(f -A*-+-i — ^i cos. a, ossia \t — eSloS-cos-"*H-. K./nk « kcog.ft. Vì *±tx = . & 1/ G2 -+- aff2 e— a loS- cos.1», gcos.tì, V ° cos.aa. 172. Sul moto discreto di un corpo, ec. ponendo in luogo di vx , e di vx+t i loro valori . Quindi in- tegrando quest'ultima espressione di Atx relativamente alla x, e trovando opportunamente l'arbitraria, avrassi il tempo cor- so nell' arrivare in B, cioè il dimandato. Nella soluzione presente abbiamo supposto tacitamente cbe il poligono fosse nel voto, passiamo adesso a sciogliere la stessa proposizione , nella ipotesi che esso sia in un mez- zo resistente . È dimostrato nella teorica del moto scendente dei gravi ne' mezzi resistenti, che — nms = \og. - — — , esprimendo m tj> — ma* il nostro prodotto gk' ', ed s ,

x = e2l0g.C0S.«,l/A2_t_ag2Jl2£Ì_£; e-Slog.COS.Vr V COS.'«x come abbiamo superiormente trovato . Corollario 2. Se il poligono fosse piano, e i lati e gli angoli fossero fra loro eguali , e che il primo lato cadesse se- condo la verticale OH, si avrebbe, mediante la equazione (3x=:xa vx = cos /a tr^'l/k* -4- £^Z1 2 cos-xa e™i* r k2 cos.'a cos.**» ossia facendo l'integrazione ancora semplicemente indicata Vx = COS .xa e-ml*\/(k* -+- e'"'~ * . McoB.^-t-Nsen.jra «-* \ V \ k*cos.*a ' M't-N1 "'cos.3'»/' e2"1' — cos. a „_ sen.a supposto = M, e — — -eam/ = N. cos.» cos.*a Corollario 3. Ammesso che abbiano luogo simultanea- mente le cose espresse nei due Corollari antecedenti , avrassi P, = CQ8.*«l/7A»-t--ggL Mcos.r»--Nsen.s» \ V \ cos.a« M3-t-N» /' essendo qui M = r~C05-a ? ed N = sen. a 174 Sul moto discreto di un corpo, ec. Corollario 4- Nel caso che il poligono fosse tutto in un piano orizzontale, sarebbe /?x un angolo retto; e perciò ux = Ae21oS-e~m,-cc°s-«i . E se il poligono fosse, di più, nel vóto, o fosse trascurabile la resistenza del mezzo, si avrebbe vx ss Ae s loS- cos- a* , ovve- ro ( $. a8 ) vx = A cos.ax_, cos. a r_2 cos. «^—3 cos. a2 cos. ai cos.a0 i di più se gli angoli fossero tra di loro uguali, quest'ultima espressione darebbe vx = A cos .xa , cioè le successive velocità v0 , vt , »a , . . . . Uj^ , yx_t , cx , . . . formerebbero una progres- sione geometrica decrescente . Osservazione i. Ommetto qui un Corollario simile al se- condo della prima proposizione , ed altri quattro rispetto al tempo analoghi agli anzi esposti per la velocità , perchè sa- rebbero quasi una ripetizione di quelli, e passo invece a ge- neralizzare la proposizione esposta, cioè ad indicare come si possono trovare la velocità, e il tempo, nella ipotesi di qua- lunque poligono e di qualsivoglia moto ordinario, lungo a ciascun lato; tali però, come qui sotto suppongansi . Qualunque sia il poligono dato, cioè sia a semplice, o a doppia inflessione, rettilineo, o curvilineo, ovvero rnisti- lineo, rappresentando colla lx la lunghezza del suo lato (x-t-i ) esimo, e colla f{d) una funzione del tempo 0, la quale sia eguale allo zero con esso nel principio dell' (x -+• t ) esimo la- to, e dia lo spazio percorso nel moto col quale il corpo per- corre lo stesso lato , si avranno le due equazioni colle quali si otterranno, siccome superiormente, i valori del- la velocità vx , e del tempo tx . Osservazione a. Conoscendo il poligono e la sua posizio- ne, e però le espressioni del lato lx , e degli angoli a*, /?* , abbiamo veduto , come si possono trovare i valori e della ve- locità vx e del tempo tx ; reciprocamente, conoscendo le es- pressioni del tempo tx e della velocità vx , e di un' altra del- Del Sic Antonio Bordoni. 170 le cinque quantità lx, ax, /?x contenute anch' esse nelle due equazioni , che hanno servito per risolvere la proposizione di- retta , troveransi facilmente le altre due . In generale , date tre delle stesse cinque quantità, si potranno rinvenire, col- le medesime equazioni , le altre due corrispondenti : anzi le stesse tre quantità che le medesime equazioni lasciano inde- terminate in modo tale, che il poligono ahhia qualche sin- golare proprietà . Osservazione 3. Volendo paragonare fra loro gli elementi dei moti di due o più corpi , che percorrono un medesimo poligono, ovvero poligoni diversi, che hanno tra loro dei rapporti dati, coll'ajuto delle forinole esposte nella proposi- zione anzi trattata, si potranno seguire le stesse regole, che seguonsi in casi simili, quando i moti sono ordina rj ; ossia quella che si seguirà nell'esempio seguente , esposto per ta- le soggetto, la quale è particolare alla natura del moto di cui si parla in questa Memoria . Esempio. „ Quale distanza avranno due corpi, che per- „ corrono lo stesso poligono rettilineo . . . ABC . . . ( Fig. 1 ) „ interamente posto in un piano orizzontale, quando il più „ avanzato di essi sarà arrivato all'angolo x esimo B, essen- do v , , v\ le velocità colle quali hanno percorso il primo „ lato del medesimo poligono, ed m la distanza che aveva- no quando il più avanzato trovavasi alla fine dello stesso lato; e tale essendo il poligono, che il primo corpo non arriva giammai alla fine di un lato qualunque, prima che non sia arrivato al medesimo il secondo corpo . Soluzione. Supponendo il primo corpo giunto all'ango- lo a: esimo B, e il secondo in n, dx la distanza 11B cercata, vx la velocità colla quale il primo corpo percorre V x esimo lato AB, e v'x quella del secondo, sarà dx ', v'x il tempo cor- so nel passare il secondo corpo dal punto n all'angolo x esi- mo B; e perciò dx'.vx moltiplicato per la velocità vx-+-n os- sia il prodotto dMvx+j '. v'x sarà lo spazio o porzione del lato (x-hi ) esimo BC , che avrà percorso nel medesimo tempo ;■> 176 Sul moto discreto di un corpo, ec. dx\v'x il primo corpo; quindi alla fine di questo medesimo tempo sarà esso distante dall'angolo (x-+-i) esimo C, di ; s* distanza o spazio , che percorrerà evidentemente nel tempo espresso da /x-f. , di Ma in questo stesso tempo il secondo corpo percorre lo spa- zio o porzione ( r)u^« del medesimo (^+1 ) esimo lato BC ; adunque arrivato che sia il primo corpo, ossia il più avanzato all'angolo (x-4-i ) esimo , la distanza di essi sarà eguale ad *x-t-i —~ I r I v x-ì-i 3 e per tanto si avrà , fra le funzioni incognite dx , dx-*-t di- mandate , la equazione Wj+i ~ ~ lx-*-i — ( " ~r I v x-t-i 9 la quale si riduce evidentemente , col Corollario ultimo del- la proposizione anzi esposta alla seguente _ s. vt—v , , Oxh-i — COS.ag(7a= "■ *g-+-i » che integrata dà ( §.. 40 ) § __g21og.cos.ax /g^. ______ 2 **"'' e — Slog.cos.a^X ^ \ i;, cos.a* / B rappresentando la costante arbitraria introdotta dalla inte- grazione, la quale si determinerà col soddisfare, con essa, alla equazione data dt = m . Del 55 Del Sic. Antonio' Bordoni. 177 Del moto sulla superficie di un poliedro dato . Proposizione IV. „ Determinare le quantità dalle quali dipende la cono- scenza sì geometrica che meccanica dello stato di un corpo obbligato a scorrere sopra la superficie di un dato poliedro di faccie piane , conoscendo le equazioni delle successive faccie del medesimo poliedro nelle quali trovansi i lati del „ poligono che descrive il corpo, e la grandezza e direzione „ della velocità colla quale comincia a moversi sulla medesi- „ ma superficie, supposto che non sia stimolato da veruna „ forza acceleratrice . Soluzione. Siano «(*), j(r), e z(x) le coordinate di un pun- to qualunque di quel piano di cui è porzione la faccia del poliedro nella quale vi è il lato x esimo del poligono descrit- to dal corpo ; »(*+"0, yi*-*-1) , e z(*-*-1) di quel nel quale vi è la faccia in cui trovasi il Iato (1+1 ) esimo; e zi1) -+- Axu(x) ■+■ Bxy(x) ■+- Cx == o , z(*-h») _h a^mC*-»") ■+- Bx+Sy<*-*-') -f- CU-i = o le equazioni dei piani medesimi , Ax , Bx , e Cr rappresen- tando i tre soliti parametri, in questo caso funzioni conosciu- te della x, dai quali si fa dipendere ordinariamente la posi- zione del piano rispetto a tre assi ortogonali . Similmente, siano b/"','//'1 le coordinate di un punto qualunque della projezione , sul piano delle coordinate u, y della retta nella quale si trova il lato x esimo del poligono che descrive il corpo; u^'1 ,yll"h'ì quelle della projezione di quella retta nella quale vi è il lato seguente ; ed le loro equazioni , a, , e /?x esprimendo due funzioni incogni- te del numero x, dalle quali dipende, evidentemente, la co- noscenza dello stato geometrico del corpo . In ultimo, z ■+■ Mxu ■+- Nx/ ■+■ P , = o Tom. XVII. 23 iyo Sul moto discreto di un corpo, ec. sia la equazione del piano che passa pel lato x esimo del po- ligono suddetto, perpendicolarmente alla faccia del poliedro nella quale vi è il lato (x-¥- i ) esimo dello stesso poligono; cioè li suoi parametri Mr , Nx , e Pr abbiano le relazioni es- presse dalle seguenti equazioni Mx — Nxax -t- Bxax — A* = o , P, — NXl5, -+- BJX — Cx = o , i -+- Mx a*-»., -+- N^Bx^., = o . Se la velocità che ha il corpo alla fine del lato x esimo del poligono che esso descrive, cioè nell'istante che urta nel piano della faccia del poliedro nella quale vi è il lato (#-+- 1 ) esimo del poligono stesso, si scompone in due, una perpen- dicolare e l'altra secondo il piano medesimo, la prima di que- ste componenti sarà interamente distrutta dal piano stesso, e la seconda sarà quella colla quale continuerà il movimen- to, descrivendo il lato ( x -h i ) esimo : e siccome la direzio- ne di questa componente cade nella intersezione dei due pia- ni espressi dalle equazioni z^l) + AI+t u^' > +■ K+y~-'> + CJ+=o, z -+- Mxii -+- Nxy -+- P* = o , per cui ha per projezione sul piano delle coordinate u, y una retta avente per equazione J B^.-N, BIH_,-N, ' y la quale risulta eliminando l'ordinata z dalle due anteceden- ti : così , quest' ultima equazione , che rappresenta la proje- zione della direzione della velocità , sul piano delle coordi- nate u,y, colla quale il corpo percorre il lato (x-t-i) esimo del poligono che esso descrive, dovrà coincidere colla equa- zione supposta del medesimo lato, cioè colla seguente 7,(*+,,-+-a,+ 1w/*',"') -»-/?,+, = o ; e perciò sarà <*,+. = - — « e 0X_ Vale a dire fra le cinque funzioni ancora incognite M, , N* , P* , ax , e Qx si avranno le cinque equazioni seguenti Del Sic Antonio Bordoni. 179 Mi — Nxccx ■+- Bxax — Ax = o , Px — Nx/?x-t-Bx/3x — Cx = o, 1 -+- M.Art., -+- NxB^ = o , Mx — AXH-i -1- ( Bx^_, — Nx ) aXH.t = o , Nx — C^, ■+- ( Bx+t — N, ) &_, = o , colle quali si potranno esse determinare . Ponendo nella terza e quarta di queste equazioni in luo- go della Mx il suo valore desunto dalla prima di esse, si ot- tengono le due nuove equazioni A ( Bxax — Ax ) — NxAx_0 ^-a*"*— T— 3 5 I Quindi l'integrale completo della equazione (B) sarà i + A,A,+, + B'I+, , e,_, «* = : 77, + »i-i+j — ~ «aa Ax+ , ABX ««- , ■+■ j — e,- , d^y—e, £, esprimendo la costante arbitraria . l8o Sur. MOTO DISCRETO DI UN CORPO, eC. Dalle medesime cinque equazioni desumonsi anche i va- lori delle altre quattro funzioni Mx , Nr , (ìx , Px ; cioè Mx = A* — Bxax -+- — A ( Bxax — Ax ) , A», lyr A(Bxa* — A.,) / AC v ,nr B'-h,-N,\ v. B.-N, px = a ■+- ( n« — bx ) /?x , F esprimendo una nuova costante arbitraria introdotta da una integrazione eseguita di una equazione lineare di primo or- dine . Le costanti f; , ed F introdotte dalle integrazioni , de- termineransi col soddisfare, con esse, alle due condizioni es- presse nel dato della proposizione; cioè che il corpo parte da un punto dato di una faccia del poliedro, vale a dire di quella nella quale trovasi il primo lato del poligono che esso descrive ; e che dirigesi secondo una retta di direzione , pu- re data . Ponendo nella equazione r/r) ■+■ axuf> -+- $x = o invece delle funzioni ax , /5X i loro valori trovati sopra , ot- terrassi la equazione della projezione sul piano delle coordi- nate n,y, del lato a; esimo del poligono che descrive il cor- po, la quale combinata coli' altra della faccia a; esima del po- liedro , cioè colla zW -t- A^M -+- Bx/W -t- Cx = o ; ovvero combinata colla seguente ZM .+. ( Ax — Bxax ) »W — BJX -t- Cx = o , che risulta eliminando la _yw dalle due antecedenti, darà la posizione del medesimo lato x esimo del poligono descritto dal corpo . Chiamate ux , yx , e zx le tre coordinate del vertice del- l'angolo formato dai lati x , (x-¥- i) esimi del poligono sud- detto, avransi, fra esse, evidentemente le tre equazioni Del Sic Antonio Bordoni . fSi yx -t- axux -+- fx = o , Jx -+- «jm-jH* ■+- /?x-HI = C , zx -+- ( Ar — Bxa, ) — Bx(ix -+- C , ss o , le quali danno ut = , A«x yx — , _ A,Aft, — CA»,, -+- B. ( 6 rag, — a^S, ) Zx ~ aZ ' per le coordinate del vertice dell'angolo sopradetto. Ora , conoscendosi le equazioni dei vertici degli angoli del poligono che descrive il corpo , cioè le così dette equa- zioni del medesimo poligono, e perciò il poligono stesso; e pel dato della proposizione, conoscendosi la velocità colla qua- le il corpo descrive il primo lato del medesimo poligono, fa- cilissimamente colla proposizione antecedente si determine- ranno tutte le altre quantità dalle quali dipende la conoscen- za completa dello stato del corpo ad un istante qualunque del suo movimento . Osservazione. Se i piani delle faccie del poliedro nelle quali vi sono i lati del poligono descritto dal corpo, fossero perpendicolari al piano delle coordinate Sf,'jy, od a quello del- le u , s, si avrebbe nel primo caso A.r = o , e nel secondo Br = o; e però la equazione (B) delle differenze finite, tro- vata superiormente , diventerebbe ( i -+- B2*-,., ) cJ+1 — ( BsBx-h, -+-I ) aa = o , od ( i -+- AxAx-,-, ) ttxH-, — ( i -t- A^h-, ) ax = o , le quali sono integrabili colla stessa regola colla quale s'in- tegrano tutte le equazioni del primo ordine lineari (§-4°)- Esempio . Le faccie del poliedro nelle quali vi sono i la- ti del poligono descritto dal corpo siano perpendicolari tutte al piano delle coordinate u,z sopra i lati del poligono equi- latero inscritto in un cerchio avente il centro nella origine delle coordinate, e per raggio r, e di cui cadaun lato sot- tenda un arco, della circonferenza del medesimo circolo, di i8ì Sul moto discreto di un corto , ec. gradi a ; cioè sia . , A oos. xa , , sen. a A sen. ara Ascn.xa la equazione del piano della faccia del poliedro nella quale trovasi il lato x esimo del poligono che descrive il corpo, e si avrà A co», xa _ ~, seti, a ., Ax = , B, = o , e Cr = — r ; e perciò Asen.xa Asen.ra i-hA^A^^., = 2(1 — cos. a) cos. a : Asen.ax-Asen.(ar-4-i )a, ed 1 +Aa^, = a( 1 — cos.a) I ( Asen.(#-»- 1 Y . Quindi la seconda delle ultime equazioni qui sopra esposte, diventerà , in questo caso , Asen.(x-t- 1 )a «,.,-, ; «r = O , cos. u 1 sen. xa la quale integrata , colla regola sopra accennata , dà ax ■=■ T ; cos.xaAsen.xo, T esprimendo la costante arbitraria . Ommetto alcune altre osservazioni rispetto alla equazio- ne (B) , perchè sarebbero relative a dei casi particolarissimi della proposta proposizione: come pure, tralascio di trattare la proposizione medesima nella ipotesi che le faccie del po- liedro sieno superficie qualsivogliano , ed il moto in ciascu- na di esse qualunque, ordinario, o discreto esso medesimo; giacché pochissimo potrei sviluppare la sua dichiarazione , nello stato attuale della analisi , abbracciando questa gene- ralità . Del moto semilibero . . Un corpo che si move liberamente urti in una linea o in una superficie data per cui sia esso obbligato, continuan- do il movimento, a moversi ancora liberamente, ina con un altro moto della medesima o di diversa specie dell'antece- dente ; di nuovo , dopo un certo tempo , urti altrove nella linea o superficie già urtata, o in un'altra differente, e ve n- Djll Sic. Antonio Bordoni . t83 ga obbligato nuovamente a moversi con un altro moto della stessa natura, o di natura diversa dalle due precedenti: e così continui indefinitamente il suo moto . Il moto di questo corpo, il quale dipende evidentemente dalle linee o superficie urtate di mano in mano , senza per- correrle, lo chiameremo semilibero . Ed incomincieremo a par- lare di esso colla proposizione clie qui segue , la quale fu trattata già da altri , e particolarmente da Francesco M. Za- notti per via sintetica, e dal Sig. Luigi Forni per via anali- tica, ma sempre però nella ipotesi che il corpo fosse perfet- tamente elastico, e che il moto si facesse nel vóto, circo- stanze le quali rendono sì facile la soluzione di essa , che sembra allora di tutt' altra natura. Proposizione V. „ Trovare la velocità colla quale un corpo di elasticità ,, imperfetta percuote un lato qualunque di un poligono da- ,, to posto in un piano orizzontale, l'angolo d'incidenza, la ,, posizione del punto della percossa, ed il tempo corso, co- ,, noscendo queste quattro quantità pel primo Iato ; e sa- „ pendo che il corpo è stato riflesso dal primo lato contro „ il secondo, dal secondo contro il terzo, da questo contro „ il quarto , e così di mano in mano da un lato contro il „ suo seguente ; e che tutto è succeduto in un mezzo resi- ,, stente . Soluzione . Sia . . . ABC ... il poligono dato ( Fig. a ); AB = lx , BG = lift , . . . i suoi lati x , x •+■ I , . . * esimi ; B V x esimo angolo; E il punto della percossa x esima, e D del- la (x-+- 1 ) esima; tz il tempo corso nell' arrivare in E, e AtT quello decorso nel percorrere ED; sx Io spazio trascorso dal principio del moto, ossia dalla prima percossa, sino in E, e però Asx = ED ; vx la velocità alla fine del lato x esimo EF del poligono che descrive il corpo , ossia la cercata , e vx+i quella alla fine dell' ( x -+- 1 ) esimo Iato dello stesso poligono; i84 Sul moto discreto di un corpo, ec. AE = /?r , BD = /?,+., . • .; il poligono EAF . . . sino a tutto il primo lato del medesimo poligono dato uguale a cr ; ax , ai+i , . . . finalmente, siano le tangenti degli angoli B,G,... del poligono dato, ed ax , arH_t . . . quelle degli angoli d'in- cidenza dimandati . Benché in questa proposizione siano molte le quantità incognite, nulla di meno, la sola tangente dell'angolo d' in- cidenza è quella tra esse, che abbia colle quantità cognite, un immediato rapporto, \\ quale sia indipendente dalle altre quantità incognite; e per questo, comincieremo la soluzione colla ricerca della espressione generale dell'angolo d'inciden- za dimandato, cioè della sua tangente. Essendo la somma degli angoli BED„ EDB, DBE eguale a due retti, sarà la tangente di uno di essi, per esempio di EDB eguale a meno quella delia somma degli altri due; cioè tang.EDB=(tang.BED-Htang.DBE):(tang.BEDtang.DBE-i); e sostituendo ax , rox , ed oJ+I invece di tang.DBE, tang.BED, tang. EDB, ed ordinando la equazione risultante rispetto al- la Ox , si avrà (C) . . . . raxQxQx+x — nx^.l — rax — ax = o : equazione la quale integrata, darà la espressione della tan- gente di un angolo qualunque d'incidenza, esprimendo essa, come si vede, la relazione fra le tangenti di due di questi angoli tra di loro contigui . Per avere l'integrale della equazione (C), supponghiamo 0, = 5 esprimendo la ax una nuova funzione incognita, ed avremo axo.,+l — kxax — Br = o , supposto r a^^B., , ed = Ai , la quale equa- ax n, zione dà ax — Ax_, -t — — , ovvero a, Del Sic Antonio Bordoni. iQ<Ì a0 rappresentando una costante arbitraria . Qui ndi sostituen- do questo valore della ax nella espressione a" si avrà (3x~ A0H-f2 integrale completo della equazione (C); ossia espressione ge- nerale della tangente dell'angolo d'incidenza . Onde determinare la costante arbitraria a0, nella ipotesi a-mmessa, che si conosca cioè il valore di o0 -, facciasi x = o in quest'ultima equazione, e si avrà o0 = — — — ; e perciò «o = r H . a. Corollario i. Se tutti gli angoli del poligono dato fos- sero eguali fra di loro, sarebbero eguali ancora le loro tan- genti, per cui tanto ax , quanto Ax e Bx sarebbero costanti; e pero ax == — r-f-A-t-- — B A-f- — A- A- continuando la frazione continua sino alla x esima divisione. Quantunque si possa avere l'integrale della equazione (C) nella ipotesi attuale, collo stesso metodo col quale si ha in generale , come vediamo , nulladimeno espongo il seguente , per averlo senza il soccorso delle frazioni continue , e con una espressione composta di pochi termini finiti , Tom. XVII. a4 1 86 Sul moto discreto di un corpo, ec. Supposto c?x=/x-H^5 rappresentando yx una funzione, e (i una costante ambedue incognite, si avrà rayxyx+l-*-{ra(}-i)yx+i-*-{raP-r)yx-*-ra8--(r->-i){ì—a=o, ossia rayxyx^.l -+■ ( rd§ — i )j*-»-i -+- ( rafì — r )yx = o ; purché si determini il valore di (i colla equazione di secon- do grado seguente ar r Ma la equazione in yx ha la forma di quella , che ci diede la velocità nella prima proposizione , e che integrammo col- la supposizione di /x = — ; adunque anch'essa sarà integra- bile colla medesima supposizione. E di fatto, supponendo jx = — , essa si cambia in un' altra equazione lineare, la qua- le integrata colle regole note ( §. 4° ) •> dà immediatamente „ / arfS—i \x ar r\ • 1 • zx = C[ 1 H Quindi \r — arti f r — 2.aro-t-i n { _ / arg—i \x ar ì (,)x = $ +i: c — - ) h — > , ( \r — arC/ r — 2.ar6-i-i ) C esprimendo la costante arbitraria introdotta dalla integra- zione della equazione in zx , la quale facilmente si determi- na, nella ipotesi, che si conosca o0 , come sopra. Corollario a. Considerando successivamente gli angoli di alcuni poligoni, e collo stesso ordine come si succedono nel- la figura, accade, che dopo un determinato numero, ne se- guono altrettanti, eguali ciascuno agli antecedenti, cioè il primo di questi eguaglia il primo di quelli, il secondo egua- glia il secondo, il terzo il terzo, ec; a questi ne seguono di nuovo altrettanti che hanno tanto coi primi , quanto coi loro antecedenti la stessa proprietà, e così di mano in ma- no: dimodoché la serie degli angoli, in questi poligoni , non è che una ordinata ripetizione dei primi . In tutti i poligoni nei quali ha luogo questa proprietà, tra i quali evidentemente avvi il ramo estesissimo dei chiusi Del Sic Antonio Bordoni . 187 o rientranti , si può avere la espressione generale della tan- gente dell'angolo d'incidenza col metodo che segue, il qua- le è assai più breve del generale , esposto superiormente . Sia il periodo degli angoli del poligono dato composto di n di loro , cioè sia a0=an=aa„=ec.,aI=a„^.,=aan-t-i=ec.,....fln_I=«2??_1=«,n.j=ec., e sarà A0=A„=A2n=ec, A,=A„^.I=Aa«-(-i=ec., ....An_]=A2„_i=A3n.,=ec..J e B0=B„=B2„=ec, BI=BnH.,=B3„^.I=ec.,....B„_I=B2n-I=B3„_1=ec.; e perciò, supponendo x = i?i nella espressione di ax trovata sopra, i esprimendo un numero intero qualunque, avrassi . B„_, ain = ii„— 1 H — ; b„_ A„_, A,+ , ° B„_, A»— "+-A — B,_, A„_,-+- -=A E considerando a funzione del numero dei periodi indicato colla i, i quali precedono l'angolo che ha per tangente «,„, . B„_, si avrà a, ■ = A„_j -1 B A„_,-+- -2=s Quindi facendo sparire la frazione continua, otterrassi , tra a, , ed «,_, una equazione della forma Moc,a,_, -+- Na, -+- Pa,_, -+■ Q = o , la quale è integrabile colla supposizione , già usata , di ai = /? h , essendo qui pure tutti i coefficienti M, N, P, Q quantità costanti . L'integrale della ultima equazione ci darà i valori di a, . ossia di ain ; e perciò della tangente , Avi— 2 -I : cu purché la funzione a, sìa desunta dalia equazione trovata qui sopra . Corollario 3. Se tra le successive tangenti ax , «n-, re- gnasse la equazione rax = aI+I, ovvero fosse (§. 39) ax=.crx ; cioè le tangenti dei successivi angoli del poligono dato for- massero una progressione geometrica avente per primo ter- mine c=fl05 e per ragione la r, sarebbe Aj=o, e Bx=r2(c-+-carax); m p e perciò ax = r~- 5 i- - B,_,B,_ B.B. a0 vaie a dire , nei caso di x pari at = ■ r~" z~3 3 ' B,_2B.T_, BaB0 nel caso di x dispari ax = - — . _ • Bi_aB^_4 B3B, «„ e perciò i valori corrispondenti della tangente ox cercata sa- ranno i seguenti , cioè Del Sic. Antonio Bordoni . ioq , ( (n-car:"-s)(i-1-tir^-«) (i+fV6)(i+cVa) ) pel caso di x pan ax—crx[< — rH — o.j> -, ,. ,. . !>.< (n-eV'^Xi+cV1'-6) (n-cM)(n-c>) 1 ? epe! caso di x dispari ox=cr .<— rn — — — — — — — ( Osservazione . Se tutti gli angoli del poligono dato fos- sero retti, sarebbe V ax infinita, ossia — =0; e però la e- quazione (C) , ovvero rfJjO^+i — ( o x -4- rox ) 1 = e «.r si ridurrebbe alla seguente rcdxOx-^t — 1=0, la quale dà rox^.sox^., — 1=0; cioè ox = ox^.^; vale a dire tutti i valori della tangente ox corrispondenti alla x pari eguali fra loro, come pure tra loro eguali quelli che corrispondono ad x di- spari; ciò che è singolare, avuto riguardo alla elasticità im- perfetta del mobile . Trovata la espressione generale della tangente dell'an- golo d'incidenza, passiamo a cercare quelle delle altre quan- tità incognite contenute nella proposizione . Qualunque sia il poligono dato, e qualunque sia il rap- porto della elasticità del corpo alla percossa , si ha sempre BE : BD : : seni BDE : sen. BED , ossia h~Pxl@x+\Y.x-¥* !^ra.T, supposto ax\ /(M-o^j^y,,; e perciò Px-t-i -+- Px — -7 h — o : equazione la quale integrata colla solita regola generale dà il valore di @x . La costante arbitraria che conterrà questo valore di /?*, si determinerà, soddisfacendo la condizione, che è data la posizione del punto , ove è accaduta la prima percossa . Essendo Acx = /I-^I+(?I + IJ sarà cx = A -+- (3x -+- 24 , A esprimendo la costante arbitraria, la quale determinerassi, conoscendosi , per ipotesi , la posizione ove è stato percosso il primo lato; cioè come si è determinata quella contenuta nella 0X . Adunque conosciamo cx , e però la posizione della percossa x esima . jqo Sul moto discreto di un coiipo , ec. 11 triangolo BDE dà DE=/(BDM-BEa— -BD.BE cos.B), ossia ^=|/j(/^ft)»+^,- aft+i(/.— ^.):/(i ■*■**.) i'5 e perciò lo spazio percorso dal corpo , cioè Si^Si/P^PxY-^P*^— Zollar- Ps) I [/( l-Hlax)\-hB . Colla teorica del moto ordinario dei corpi che si mova- no nei mezzi resistenti sopra di un piano orizzontale, si tro- vano le equazioni u = aé—6k*' , gk*s = log. ( i ■+fgkad ) , nelle quali, a esprime la velocità iniziale, ed s ed u lo spa- zio e la velocità alla fine del tempo 6; e perciò, se in esse supporremo s = AsXÌ d — Atx, u = vx+, , ed a = z^L/(cos.aAEF-t-rasen.aAEF), ossia — vxi/ I "^ ° j ■> avremo le equazioni tvt-i — e~ el'&s*t/ l— — 7~)Vx=z;( '. » colle quali si determinerà la velocità, ed il tempo, che so- no le sole quantità ancora incognite . Integrando la prima di queste due ultime equazioni , e determinando la costante arbitraria introdotta dalla stessa in- tegrazione, soddisfacendo la condizione s0 = e , si ha -— /(^)fe) (^f)(^)' E la seconda delle medesime dà la costante arbitraria D si determinerà secondo le circostanze , Proposizione VI. „ Un grave di elasticità imperfetta scagliato secondo la „ retta OE , che non è verticale , descriverà un arco para- „ bolico OSF ( Fig. 3 ), e giunto nel punto F, percuotendo „ il piano immobile Oz , ed essendo riflesso, descriverà un ,, Del Sic Antonio Bordoni. iqi „ secondo arco parabolico FTG , arrivato alla fine del quale , di nuovo percuotendo, ed essendo riflesso dallo stesso pia- no, ne descriverà un terzo; e così continuando il suo mo- vimento, per la velocità di riflessione, alla fine dell'arco parabolico # esimo, che tempo sarà corso, con che velo- cità ed angolo d'incidenza percuoterà il piano immobile, ed in qual punto, essendo n l'angolo che fa lo stesso pia- no colla verticale, v0 la velocità di projezione, ed a0 l'an- „ golo che fa la direzione di questa velocità col piano me- desimo . Soluzione . I/?zH sia V(x -+- i ) esimo arco parabolico de- scritto dal corpo; tx il tempo cercato, cioè il decorso nelP arrivare in H; sx la distanza OH;/?* 1' angolo d'incidenza cer- cato, AHO, ed c^ quello di riflessione corrispondente; ux la velocità d'incidenza, e vx la corrispondente di riflessione; £e-w -, Ji+u ec. siano per la percossa (x-jr i ) esima, ciò che sono tx , sx , ec. per la x esima . Potendo incominciare la soluzione di questa proposizione colla ricerca di una qualunque delle quattro quantità tt , ux , 0X , sx dimandate, comincieremo con quella dell'angolo /?r , per risparmiare, di preparare alcune formole , approfittando di altre , che si conoscono nella teorica ordinaria de' proiettili . Facilmente colla teorica de' projettili si trova tang. /?*.+., = , i + a cotang. n tang. a* e con quella della percossa obbliqua dei corpi , che non so- no dotati di una elasticità perfetta, che tang.aJCH_,=rtang./?lM.,; e però sarà r tang. ar tang. «;_,_, = ■ 2 — ; I -H 2 cotang. » tang. a* e facendo sparire la frazione, e supponendo cotang. n =z a, tang. ax = or , ed ordinando, si avrà, tra le tangenti degli angoli di riflessione, contigui, ar , aI+I, la equazione artico*-,-, -H ox-»-i — rax = o , la quale integrata , ci darà il valore della tangente os del- K)± Sul moto discreto or un corpo, ec. l'angolo di riflessione x esimo, ossia corrispondente a quello d'incidenza dimandato. Per integrare questa equazione , la quale di poco diffe- risce da quella della prima proposizione, che ha servito per avere la velocità, supponghiamo , qui pure, ax = — , ed a- y* vremo la equazione I 2.O. che integrata, colla solita regola generale a tutti nota (5-4°)? dà yx = , e rappresentando la costante arbitraria; e perciò ox, ossia (r-i)r' tang. aÀ Egli è facile la determinazione dell'arbitraria e, poiché pel dato della proposizione conosciamo l'angolo EChr, e per- ciò ancora la sua tangente «0 ; e colla equazione anzi trova- ta, tatto in essa ,t = o, liassi «0 = ; quindi e— Ponendo questo valore dell'arbitraria e nella espressione trovata di ox , si ottiene ax , ovvero tang.ax = ma la tangente dell'angolo d'incidenza fix è eguale a quella dell'angolo di riflessione ax , divisa pel rapporto r della ela- sticità alla percossa, cioè tang. @x = — tang. ax ; adunque tang. 0,== r o0(r— i );■"- t — i -t-3,ao0 (rr — i ) espressione che fa conoscere l'angolo cercato @x, mediante la sua tangente . Abbiamo trovato il valore della tangente di $x , qualun- que sia la inclinazione del piano immobile all'orizzonte, e qualunque sia il rapporto della elasticità del corpo alla per- cossa: cosi si potrebbero trovare anche i valori delle altre tre Del Sic. Antonio Bordoni. io, 3 tre quantità sx , tx , ux conservando nei due suddetti elementi la medesima generalità; ma siccome alla fine di questa Me- moria si tratterà una proposizione di moto semilibero, di cui la presente , come vedrassi , non è che un caso particolare ; per ciò ci limiteremo per ora a trattare estesamente i due casi seguenti, cioè; primo, che il piano immobile sia oriz- zontale, ed il rapporto della elasticità del corpo alla percos- sa qualunque ; secondo, che il piano sia comunque inclinato all'orizzonte, ma il corpo dotato di elasticità perfetta. Primo C a so . L'ipotesi che sia il piano 0-; ( Fig. 3 ) orizzontale, dà cotang.ra, ossia eguale a zero; e però le espressioni generali delle tangenti degli angoli ax , l3x trovate, diventeranno, in questo caso, Oor* , o0rx~ ' ; cioè tanto le tangenti degli angoli d'incidenza , quanto quelle degli angoli delle riflessioni, for- mano una progressione geometrica, la quale ha per ragione il rapporto della elasticità del corpo alla percossa . Essendo per la medesima ipotesi vx = ux-r-i, e per quel- lo che accade nella percossa obbliqua dei corpi di elasticità imperfetta vx = ux j/( cos.*j3x -+- r- sen.*^ ) , sarà ux^.l — ux |/( cos.2£c -+- >-3 sen.3^ ) = o ; ossia sostituendo in luogo di cos./?x , e di sen.^x i loro va- lori, desunti da quello della tangente del medesimo angolo, si avrà ux^.l-uxt/l *~*~° °r^ì=o, ovvero Alog.»g=Alog4/([H-oVar~a); e però integrando ux = B j/( i -f- o V31-2 ) j B esprimendo 1" arbitraria introdotta dalla integrazione: così sarà vx = Bl/( i-h©V" )• Onde trovare l'arbitraria B, facciasi x = o nella equa- zione vx = B|/( i -+- oV3r ) e si otterrà va = B|/(n-o5o); Tom. XVII. a5 ìqA Sul moto discreto di un coltro, ec. cioè B = v0 cos. a0 . Quindi la velocità d'incidenza cercata sarà v0 cos. a0 1 /( i -+■ o^r3*- » ) ; e v0 cos. a0 j/( i -t- aV2r ) quella di riflessione corrispondente. È dimostrato nella teorica del moto de'projettili , che l'ampiezza HI eguaglia — vxsen.ax, e che il tempo corso 6 nel descrivere l'arco IwH è eguale a — vx sen.a*; sarà adunque g Ast = — vz sen.ar , e Atx =— vx sen. ax ; g g cioè ponendo in luogo di vx, sen.ax i loro valori Bj/( i -f-«V" ) ' o0rx : j/( i ■+- « V21 ) , si avrà A ossia a — - . S r—i S sen.2,a0, il medesimo corpo scagliato colla stessa velo- T— I cita, cioè a pari circostanze, la distanza della x esima caduta dal punto da cui gettasi, sarà massima, quando sarà sen. 2«0=i, ossia l'angolo di projezione primitiva a0 eguale alla metà di un retto : ciò che è singolare . Corollario 5. Supposto Op=zx , pm—yx , e dx il tem- po impiegato nel descrivere l'arco tìm, si ha zx = Bdx ->r-sx , ed y, = dxitx sen. Oc — \g03,x ; cioè eliminando 0X , e ponen- do invece di vx , sen. ax i loro valori espressi per x , si avrà yx = 0or*( zx - sx ) B— ( zx - sx Y Ha per equazione della parabola descritta nel rimbalzo x esimo, supposto l'origine delle coordinate nello stesso punto O da cui si getta il corpo . Perchè la equazione anzi trovata competa alla sola por- zione della (a?-fr-l ) esima parabola effettivamente descritta dal 196 Sul moto discreto di un corpo, ec. corpo, cioè alla sola porzione Hwl superiore alla orizzontale 0.3, converrà circoscrivere l'ascissa zx tra sx ed sx-t-, . Corollario 6. I valori delle coordinate zx,yx trovati nel Corollario precedente, danno l — J==B, e I — \=uxsen.ax — gdj,; cioè le velocità del corpo alla fine del tempo tx-*-6x secon- do gli assi delle coordinate; e perciò, alla fine del medesi- mo tempo , la sua velocità assoluta sarà t/JB--H(^sen.«x-g^,)2(, ed «""■«—*'- sarà la tangente dell'angolo che essa fa col prolungamento dell'asse delle ascisse. Secondo Caso. Essendo il corpo perfettamente elastico, sarà la sua ela- sticità eguale alla percossa, cioè r— 1 ; e perciò il valore del- la tangente dell'angolo d'incidenza /?x, si otterrà, in questo caso , facendo 7- eguale alla unità nella espressione »o(' t)rx~ '■ IJ — 1 -*- 2ao0( t' — 1 ) trovata sopra . Ma appunto in questo caso, questa espressio- ne diventa g; adunque il valore cercato della tangente @x, si avrà, facendo r=i nella frazione ossia sostituendo invece di sen. a*, e di cos.ax i loro valori desunti da quello della tangente del medesimo angolo, tro- vata qui sopra, avrassi tra le velocità vx, vx+s la equazione delle differenze finite oao-»-) i + ain.li+i) , 'A+. — -i— ; —-1- W*X = O , a 0-t-( 1 -t-aao„r)- la quale integrata dà ( §• 39 ) Aa rappresentando la costante arbitraria portata dalla inte- grazione . Ma si conosce la velocità v0, e perciò ancora Aa, essendo essa eguale a — — \ quindi v*=vy{ — —a — )• Vale a dire è completamente determinata la velocità, sì d'in- cidenza, che di riflessione, per la caduta x esima . Trovasi pure coi principj stessi della balistica, che il tem- po corso nel descrivere l'(x-4-i) esima parabola è eguale a ■ vx sen.ax , e che l'ampiezza della stessa eguaglia —a3* gten.n g sen.(ccx-t-rc)sen.ax ; sen.a«-, e perciò , sostituendo in queste espressioni in luogo di vx , e di sen.ax , cos.ax i loro valori conosciuti , si avrà A 2AoQ . nA^o, / . . \ Afx = , e £sx = ( 1 -+- naa0 1+1 ; gsen.n gsen.n \ } equazioni le quali integrate, e trovate le arbitrarie colle con- dizioni di j0 = o, e di £0 = o, anno tx = x, ed sx = ( 1 -+- zaooX ) x . gserr.n gita. a Corollario . Essendo A^ = aAo0 :gsen./», e questa quan- 198 Sul moto discreto di un corpo, ec. tità indipendente dalla x, ne risulta, che tutti gli archi pa- rabolici sono descritti in tempi tra loro eguali . Del moto libero . Se ad un corpo, nel mentre che descrive con moto li- bero una linea, verrà comunicata una qualunque velocità fi- nita secondo qualsivoglia direzione, esso continuando il mo- vimento, devierà dalla linea medesima, ed incomincierà a de- scriverne un'altra; e se, dopo che avrà descritto una por- zione di quest'altra, verrà, di nuovo, ad esso comunicata una seconda velocità finita, devierà pure da questa seconda, cominciando a descriverne una terza; e cosi continuando, descriverà un poligono rettilineo, o curvilineo, ovvero misti- lineo . Questa è la specie di moto discreto che denominere- mo lìbero, analogamente a quello che così nominasi nella teo- rica del moto continuo ordinario . Se si trattasse una proposizione di moto discreto libero, abbracciando tutta quella generalità concepita nella esposta sua definizione, cioè nella ipotesi che la forza acceleratrice stimolante continuamente il corpo fosse qualunque, pochissi- mo si potrebbe sviluppare la teorica di questa specie di mo- to, e per ciò nessun vantaggio trarrebbesi da essa; per que- sto motivo, e per l'altro, cioè che trattata una proposizione di questa specie di moto, nella quale nessuna delle quantità, che dir si possono gli elementi del moto, sia eccettuato o supposto zero, facilmente si può trattarne un'altra qualun- que, ci limiteremo al caso che la forza acceleratrice stimo- lante continuamente il corpo sia la sola gravità, per cui i lati del poligono descritto dal corpo risultano, in generale, tanti archi parabolici ; vale a dire scioglieremo la seguente Del Sic. Antonio Bordoni • 199 Proposizione VII. „ Conoscendo la legge delle grandezze e delle direzioni ,, delle velocità finite, che successivamente si comunicano „ al corpo, e quella dei tempi, che passano tra gl'istanti ne' „ quali sono comunicate, di più conoscendo la posizione del „ punto da cui si è scagliato il corpo, la grandezza e dire- „ zione della velocità di projezione per la quale ha descrit- „ to il primo arco parabolico , ed il tempo corso nel descri- „ verlo, trovare i valori di tutte le quantità dalle quali di- „ pende la conoscenza dello stato sì geometrico che mecca- „ nico del corpo in un istante qualunque del suo movimento. Soluzione . Siano OE ,...., AB , BC , . . . il primo , . . . , gl'-r, (re-t-i) esirai archi parabolici descritti dal corpo ( Fig.^)~ (px la espressione della x esima velocità finita comunicata ad esso, trovandosi in B ; v' la velocità di projezione per cui de- scriveva la prima parabola, essendo stato scagliato dal pun- to O, che noi fisseremo per origine delle coordinate, e vx quella che esso ha alla fine dell'arco a- esimo; d il tempo corso nel descrivere il primo arco parabolico OE , tx quello decorso dopo 6 per arrivare in B, t'x quello impiegato nel descrivere l'arco B«, porzione indeterminata di BC; zx,uxì ed yx le coordinate del punto B, e z'x, u'x, y'x quelle del- l' m, tutte rispetto agli assi orizzontali Oz , 0« , ed al ver- ticale Oj; in ultimo, sieno ax, a'x, a"x gli angoli che fa la tangente condotta alla fine dell'arco x esimo coi prolungamenti degli assi delle coordinate zx, uxvyx; ed ox, o'x, o"x., m, m\ m' quelli che fanno le direzioni delle velocità (px , v' cogli assi stessi prolungati . Essendo v' la grandezza della velocità di projezione per l'arco parabolico OE, ed m,ni,m" gli angoli, che fa la sua direzione OF cogli assi delle coordinate, e d il tempo decor- so nel descriverlo, saranno v' cos. m, v' cos. ni , v' cos./»" — g6 le componenti della velocità del corpo alla fine dell'arco stes- aoo Sul moto discreto di un conro , ec. so, dirette, al solito, secondo i prolungamenti degli assi del- le coordinate; e dv'cos.7?i, 6v' cos.m , dv'cos.m" — \gQ* sa- ranno le coordinate dell'ultimo punto E del medesimo arco, ossia di quel punto nel quale trovasi il corpo , quando suc- cede il primo cambiamento finito negli elementi del suo mo- to , cioè sarà OG=fa/cos.7;i,GH=0z/cos.m',ed HE=0w'cos.w"— \%Q*\ stante sempre la ipotesi, che il corpo sia scagliato dalla stes- sa origine delle coordinate. Premesso questo, passiamo alla soluzione della proposizione . Il metodo più semplice per trovare le espressioni di tutte le quantità dalle quali dipende la conoscenza completa dello stato del corpo in un istante qualunque del suo movimento, è quello di cominciare a trovare la grandezza e la direzione della velocità che ha il corpo nell'istante che trovasi alla fi- ne dell'arco # esimo che esso descrive; e per trovare questi valori il modo più facile è quello di paragonare tra loro se- paratamente le componenti, secondo i tre assi delle coordi- nate, della velocità che esso ha alla fine degli archi x, (x-^-i) esimi, ossia negli istanti appena antecedenti a quelli, nei quali succedono gV x, (x-h i) esimi cambiamenti finiti negli elemen- ti del suo movimento . Scompongasi pertanto le velocità vXÌ (px , vx+s ciascuna in tre parallele agli assi delle coordinate, ed avransi, secon- do l'asse delle zx le componenti vxcos.ax, (px cos.ox, wxh-i cos.ar-t-i; secondo quello delle i/x vxcos.a'x,x vx cos . a"x , (px cos . o"x , vx^.l cos . d'x-*-i ; cioè nell'istante in cui il corpo incomincierà a descrivere l'ar- co parabolico ( x -+- i ) esimo, avrà, secondo i tre assi delle coordinate le tre velocità seguenti Vx COS. «x ■+- (pX COS. Qx vx cos . a'x -t- (px cos . q'j vx cos.d'x-i-(px cos.«"x- ; e nell'istante che avrà terminato di descriverlo, si troverà invece ' X 1 Del Sic Antonio Bordoni. aoi invece colle altre tre p1+, cos.ccx-4-i 5 Wi+iCos.a'n-, , oJ+Icos.«"I+I . Essendo gli assi Oz, Ou orizzontali, le velocità del cor- po secondo i medesimi assi non saranno alterate negli inter- valli di tempo, che passano tra gli istanti nei quali vengono ad esso comunicate le velocità finite; e però le velocità che avrà il corpo, secondo gli assi stessi, alla fine dell'arco pa- rabolico (x-h i ) esimo, saranno le stesse di quelle che ave- va nel principio del medesimo arco , cioè iti cos.az -+- Vx-t-i cos. a'x-*., ; adunque sarà vx*-i cos. «x^-r = vx cos. ax -r-x cos . al' x =ps 2^5.c cos . o"x — g£x -+- e , le quali, combinate colla notissima cos.3ax-+-cos.2a'x-t-cos.3a''x=i, danno vx=i/tiZl* cos. a'x ■+■ x , sarà l/fy^x-Hp^x-T-nVxqixcos.fix — ù.gt' J(vxco?,.a!' x-r-rtx -4-t'x = (x — i)c'-*-t'x, la tangente dell'angolo che fa la sua direzione col prolungamento dell' asse delle ascisse zr , e la equazione di quella parabola alla quale appartiene 1' ( x •+- i ) esimo arco parabolico descritto dal corpo . Eliminando dalle equazioni zx —c'f* r~ — cos.e, yx-=c'f— — sen . e—\gc'a(x-i )a l'indice x, si ha una sola equazione della forma (my — nz)* -ì-py-+-qz-*-r = c , la quale c'insegna, che i punti nei quali succedono i cambiamenti finiti negli elementi del moto, os- sia i punti ove si tagliano le successive parabole a cui ap- partengono gli archi, che descrive il corpo, sono tutti in una sola e medesima parabola . Egli è evidente che, conoscendo le coordinate di quel punto nel quale succede Vx esimo cambiamento finito negli elementi del movimento, la grandezza e direzione della ve- locità, che ha il corpo alla fine dell'arco x esimo, le equa- aoó Sul moto discreto di un corpo , ec. zioni dell' (x-t-i ) esimo arco, la direzione e grandezza della velocità del corpo in un punto qualunque di questo arco, si conosce lo stato del corpo in un istante qualsivoglia del suo moto : è adunque completamente soddisfatta la proposta pro- posizione . Corollario i. Se si trascurasse l'azione della gravità, avrebbesi v j;=|/|(2(^x cos . ax-t-a)2-t-(2(^a:cos ,dx-*- b)a-*-{ 2^xcos . o"x-*- cW', cos.ar = (2^x cos. 0, -+- a) \ vx , cos. a'x = ( 2"*-+-, -t- c , , , r x = ( - * — zx ) -+- yx , 20 (x-+- : ) cos. o,+ I -t-a le quali rappresenteranno la retta di cui è parte il lato (x-*-i) esimo del poligono rettilineo che descriverà il corpo (*) . Corollario a. Se di più la forza d'impulsione fosse con- tinuamente diretta alla origine delle coordinate , avrebbesi cos. Or = zx : [/ ( z*x -+- u%x •+- y*x ) , cos . o'x = ux : |/ ( z2* ■+- «3* -+- yax ) ■> cos.o"r =/* : i/(z2x -4- zì\ -+-/2x ) ; e perciò A ! = o, A — = o A/x l/tll'.+Z'.-l-A) A?x l/(sax-*-Jiax-r-JK%) e A A/x 7^lf''r A.r ) cos. a'r = o , vx-*-i cos. a"xH-, — ( wa : ■+- ^x ) cos. a x -+- gAtx = o , che converrà integrare per avere i valori delle funzioni vx , OLx ,a'x , a"x dalle quali dipendono tutte le altre quantità ed equazioni, che abbiamo bisogno di determinare, per cono- scere completamente lo stato del corpo in un istante qua- lunque del suo moto . Le prime due di queste tre ultime equazioni sommini- strano cos. «i^:, cos.a'i+7 cos. a* cos.a'x da cui si cava, integrando, cos.oc'x = recos.ar , re esprimen- do una costante arbitraria . E sostituendo questo valore di cos.a'r nelle equazioni (a), (b) , (d) esse diventano zx = 2 Atx2

i valori della velocità e della sua direzione, dipenderan- no dalle sole due equazioni vx+.x cos . «x-f-t — ( Vx -+- (px sen . ax , senza la funzione vx , la quale differenziata due volte , per eliminare i segni d'integrazione che essa contiene, si ridu- ce alla seguente (plx-+-i )cos.aj;^-I-4-gA =o; r v Atang.a, si avrà il valore della funzione ax , e quindi il corrisponden- te della vx che bisognerà conoscere , per continuare la pre- sente soluzione . Tom. XVII. 27 aio Sul moto discreto di un corpo, ec. Seconda Questione. Da un punto dato superiormente ad un piano immobile comunque posto nello spazio sia scagliato un grave di elasti- cità imperfetta, secondo qualsivoglia direzione, ed esso de- scriverà naturalmente un arco parabolico; arrivato ad un cer- to punto del quale, incontrandosi, scendendo, nel piano im- mobile, verrà compresso, e però stante la sua elasticità sarà obbligato a descrivere un secondo arco parabolico; così un terzo, un quarto, ec; cioè succederà di questo corpo, ciò che succede ordinariamente nel tiro degli obis . ,, Data la equazione del piano immobile , la grandezza e direzione della velocità colla quale è stato scagliato il corpo , trovare tutte le quantità necessarie a sapersi , per conoscere lo stato del corpo ad un istante qualunque del suo movimento . Supponendo l'asse orizzontale delle zx parallelo al pia- no immobile, e chiamando n l'angolo che fa il medesimo piano coll'orizzonte, e b l'ordinata verticale dello stesso pia- no corrispondente alla origine delle coordinate, che supor- rerao il punto da cui si è scagliato il corpo, sarà y' ss tang. n . u' — b la equazione data del medesimo piano immobile, y' , ed u.' esprimendo le sue coordinate . Il corpo percuotendo la x esima volta il piano dato col- la velocità vx diretta secondo la tangente condotta alla fine dell'arco parabolico x esimo, sarà ( sen . n cos . a'x — cos . n cos . a"x ) vx la componente della medesima velocità, effettivamente di- strutta nell'urto x esimo, essendo sen.rccos.a'x — cos.rccos.a"r il seno dell'angolo che fa la stessa tangente col medesime piano immobile ; e perciò , sarà * r(sen.recos.a'x — cos. re cos. a" r )vx la porzione della medesima componente, che il corpo acqui- Del Sic Antonio Bordoni. 211 sterà mediante la elasticità , in verso contrario a quella che aveva prima di urtare . Vale a dire , il piano immobile pro- durrà alla fine del tempo tx un tale cambiamento nel moto del corpo , che esso invece di avere la velocità ( sen. n cos.a'x — cos.» cos.a'x )vx diretta perpendicolarmente contro il piano medesimo, avrà la velocità r(sen.» cos.a'x — cos.m cos.a'x ) vx diretta in verso affatto contrario . Quindi si potrà prescindere dal piano stesso, e considerare il moto semilibero, come li- bero , supponendo , che alla fine del tempo tx venga comu- nicata al corpo la velocità ( r-t- i )( sen.» cos.a'x — cos.» cos.a'x )vx con una direzione perpendicolare al piano , e tendente ad allontanarlo dal medesimo . Sostituendo nella equazione Ayx = tang. nAuXÌ dedotta dalla equazione delle differenze finite di quella del piano im- mobile , in luogo delle differenze Ayx , Aux i valori esposti superiormente , si otterrà (vxcos .a" x+(pxcos .a" x)£ tx-{g&t^x=tang .n .(vxcos .a' x+(pxcos .ox)Atx , ossia, ponendo invece delle quantità cos.o'a;, cos.»"*, c , 'c'x^.iCos.a"x^_i=|(sen.art-rcos.a/i-t-2,r)cos.a"x-4-[(r-t-i)cos.« — lcos.«'x|y, , che converrebbe, al solito, integrare, volendo continuare di- rettamente la presente soluzione . Se la superficie che obbliga il corpo a descrivere i suc- cessivi archi parabolici invece di essere piana, fosse una su- perficie curva qualunque, ma di cui si conoscesse la equa- zione, coi medesimi ragionamenti fatti superiormente si ar- riverebbe a trovare opportunamente le quantità o"x ■> e si avrà vx cos. a* = B, (k) uxcos.a'x = C Rsen.re . rx~ ' , r — i \ r vxcos.a x = LM l cos. re cos. B, C, e D esprimendo le costanti arbitrarie, colle quali sod- disfacendo alle tre equazioni (z), si ha B = u' cos . rez , C = v' cos.rez'n Rsen.re, e D=AC; cioè restano esse determinate . r — r Le tre equazioni (k) danno immediatamente vx-s/ \ B2H-C2-f-Da lEL_r»+Ra/r-»H-4/is(r- 1 h*W , ( (r— i) cos. re V f * cos.a2=B:i/{Ba-HCa*D2 Ì£^^Ra/r--2-t-4/ia(r-i)-2V"K t (r— i)cos.n \ / J .a'x=/c-— Rsen.re. r'-'^i/SB^-C^D* i£L_rI-»-Ra//-^4/i2(r- 1 )-aVaxK V r— i / ' (r— i)cos.ra \ / ' )S.a"ijD+l /^icos.re— — Wl:./JBa-C2-Da ÉSL-^-W/"- H^M^W, r— 1\ r cos.n/ J j (r— i)cos.ra \ / ) vale a dire, la grandezza e la direzione della velocità del corpo alla fine del tempo tx , ossia dell' arco x esimo che es- so descrive . Sostituendo nelle equazioni Azx=vxH.lcos.ax^-iAtXÌ Aux=vx^-iCos.a'x^.lAtx, Ayx=Vx-t-lcos.a"x+lAtx-ÌgAt*x in luogo delle quantità vx^.x cos. az-t-i , vx+t cos. a'x-+-i 5 ^x-*-i cos.a"x+, , At* i loro valori sopra trovati, e poi facendo tut- te le integrazioni , si avrà aBR „ zx = . rx -+- ti , g(r— i)cos.re 2l6 Sur .MOTO DISCRETO DI UN CORPO, CO . aCR 2//R1 _ u, — '•, Tax -+- F , g{r—i)cos.ii g(r—,y aDR 2/i'R» . -, 7* = ■ • rx . r9x ■+• G ; g(r — i)cos.re £(r— i)> cioè le coordinate di quel punto del piano immobile, nel qua- le esso è percosso dal grave la x esima volta . Le costanti ar- bitrarie E, F, G introdotte dalle tre integrazioni, determi- neransi facilmente soddisfacendo alle tre equazioni (/) . Colla stessa facilità colla quale si sono trovate le quan- tità vx , cos. ax , ec. si troverebbero le coordinate z'x , u'T , y'x di un punto qualunque dell'arco cresimo die descrive il corpo, la grandezza e direzione della velocità che esso avrà alla fine del tempo 6 -t- tx ■+- t'x , e le equazioni della x esi- ma parabola che descrive . Corollario i. Indicando colla sx la perpendicolare tirata dal punto corrispondente alle coordinate zx , ux , yx sulla in- tersezione del piano immobile col piano delle coordinate zr , yx , sarà evidentemente 5r cos. « = «r ; e però, prendendo per origine delle coordinate il punto a cui corrispondono le coordinate zx = o , ux = o , ed yx = b , il poligono rappresen- tato dalle ultime tre equazioni esposte , si potrà rappresen- tare ancora colle sole due equazioni seguenti zx = ./J + E1 g (r — i) cos. re aCR ,. a/jR1 „_ F Tx — g(r — i)cos.a/i g(r — i)2cos.re cos. re le coordinate essendo ora zx , ed sx . Eliminando da queste ultime equazioni l'indice x degli angoli del poligono, si ottiene la sola equazione C / -,-, > ^sen.re , f-, > F Sx = .{Zx-E)-^l(zx-EY B cos. re B* la quale esprime che il poligono suddetto è parabolico . Corollario 2. Se il corpo fosse perfettamente elastico, ossia fosse r = 1 , si avrebbe fax = 21/ ( v 2 se ri ?7t ■+■ 2.b£ cos ?n ) , e Atx=2\/ I 1 V-, ' V or v Yg.i C(>s » n g j cioè Del Sig. Antonio Bordoni. ai 7 cioè tanto le successive velocità i, (p2., ec, che i tempi AtXi Af3, ec. eguali separatameu- te fra loro . Ciò che è veramente singolare . Nella medesima ipotesi avrebbesi vx cos. ax = v cos. m , vx cos.ax = v' cos. ni -+- aR sen. a — 2, seu. ri . Rx , vx cos.a"x =hv' cos.ra'-t-AR sen. n — R cos. 11 — 2/2. sen. « . Rx, ec. , ec. , ec Osservazione . Se il rapporto r della elasticità alla per- cossa, invece di essere costante, come abbiamo supposto ta- citamente sino ad ora , fosse una funzione variabile rx del- l'indice x, con ragionamenti in tutto simili a quelli fatti su- periormente per avere la equazione tx— , ; cioè eguale ad a0 + a,+aJ + .... + ai_I, sarà, per le cose esposte 2 Are. tang. tx = Are. tang. I -H ; - a*_ P*w_a-* ^4,_,-h^ 7 "' I -+- — . ta Del seno e del coseno . Indicando colle sa , st , s.^,....s„ i seni, e colle c0, cI5 ca , ... , Cfl i coseni degli angoli a0 , a, , a2 , . . . . , «„ ; e colla |r la somma a0 -+- al -t- a2 ■+- . . . . ax_i , come sopra , si ha sen.^-t., = sen.(l;x-i-ax), ossia sen. %x+1=cxsen.£,x-+-sxcos. %x\ così cos.^-t-, =cx cos. t.x — SrSen.^xi cioè hansi le due equa- zioni sen. Zx-t-i — cx sen.fz — sx cos. %x =o , cos.|2_t-, —cx cos.|x -+-sx sen.|x =o, le quali integrate daranno le espressioni, o forinole diman- date . Del Sic. Antonio Bordoni . aai Eliminando sen. |x da queste due equazioni, si ha COS.^x-t-, COS.^sh-jH cos. §r =o; ed eliminando cos. |T , si ottiene sen . §xH-a sen . ^h-i h sen . £* = o , *x *x equazione la quale contenendo la funzione sen.|r , come l'an- tecedente contiene cos. %x , c'insegna, che i valori cercati delle due funzioni sen.|x, cos.£x sono due integrali partico- lari di una medesima equazione del secondo ordine delle dif- ferenze finite , cioè della equazione lineare seguente sen.(», + aI+I) sen.ar-t-i yx^ ! ±_/x^lH 7x = o. sen. a» sen. a, Ad ottenere l'integrale di questa equazione di secondo ordine, e da cui dipendono attualmente le espressioni o for- mole dimandate delle due funzioni sen.|x, cos. %x , si userà la regola generale, ormai notissima, colla quale s'integrano le equazioni lineari del secondo ordine delle difFere,n^c rini- te, vale a dire la regola, che dal suo autore, io dirò Bru- nacciana . Corollario i. Se tutti gli archi a0 , a, , a2 , . . . . , an fossero tra loro eguali , la equazione superiormente esposta diventerebbe yz+z — 2C/.+, -+- yx = e , la quale, avendo i coefficienti costanti, è anche integrabile colla supposizione di yx = Aux, colla quale s'integrano tutte le equazioni di questa natura (§.4-5), ed integrata, dà yx = A (cos.a-H^/ — i sen.a)x-H A'(co§.a — j/ — i sen.a)x-, cioè determinando opportunamente le due costanti arbitrarie A , A', hassi ( r"s. a-f-i/ — i sen. a )* — (cos. a — jX — i sen. a)' sen . xa = • cos. xa=. 2j/— I ( cps. a-t-|/ — i sen. a )' -<-(cos. a — [/ — > i sen. a)1 2 che sono le notissime formole Bernulliane . 222 Sul moto discreto di un corpo , ec. Corollario 2. Per essere 2Arc.sen. la quale, benché sia del second' ordine, ed abbia i coefficienti variabili , nulladimeno , si sa integrare colla regola Brunac- ciana . Diffatto , supponghiamo zx = Ce2Z"*, C esprimendo una costante arbitraria, l . ax il logaritmo Neperiano della funzio- ne incognita ar , ed e, al solito, la base dei medesimi Ioga- ritmi , ed avremo ".l'^i+i "~ Ax0Cx — ox := O '•) e perciò ax = Ar_, H — — , ovvero A B'— ttx — Ai — i -+- B,_ A— &5^ B' B. a0 esprimendo una costante arbitraria . Per trovare il valore dell'altra funzione tx , si sostituisca nq^ suo valore ( 21+1 — bxzx ) '. ax , desunto dalla prima delle due equazioni esposte, qui sopra, in luogo della zx il suo va- lore Ce2* • a' , ed avrassi a* Ora sostituendo nella frazione 1 1 ', zx , invece delle fun- zioni t x , zx i loro valori Ce^.«,, Z^±CeV-«>> si ha == - — '- ■-, quindi yx— — (-bx-hAx-.I-*-^— B ) ** A,_3-r-_i-BI_, A,_,-+--r- a. 224 Sul moto discreto di un corpo, ec. integrale completo dell'equazione (E), per essere a0 una quan- tità tutt'ora arbitraria. Osservazione i . Potrei qui esporre molte eleganti questio- ni di geometrìa, le soluzioni delle quali dipendono dalle in- tegrazioni di equazioni , che sono aneli' esse casi particolari della (E) integrata qui sopra, e ciò servirebbe per mostrare l'uso dovizioso di essa anche nella pura geometrìa; ma sic- come con questa esposizione mi allontanerei troppo dallo sco- po che mi sono prefisso, così mi limiterò alle due seguenti. Proposizione prima. „ Iti uh dato poligono rettilineo inscriverne un altro ri- ,, entrante, i lati del quale prolungati, se occorre, passino „ per altrettanti punti dati (*) . Siano numerizzati i Iati del poligono dato, quelli del di- mandato, ed i punti dati di posizione; e sia y = axz •+- bx l'e- quazione della retta nella quale trovasi il lato x esimo del dato, cioè y e z le coordinate di un punto qualunque , ed ax , e bx i soliti parametri, qui funzioni cognite del numero x, dai quali dipende la posizione della medesima retta, relativamen- te a due assi ortogonali a cui essa si riferisce . Similmente, siano A, e B, i due analoghi parametri, in questo caso funzioni incognite di x , dai quali dipende la po- sizione di quella retta di cui è parte V x esimo lato del po- ligono dimandato; cioè, sia u — Axt -+• Br l'equazione della stessa retta , rappresentando « , e t le coordinate di un pun- to qualunque di essa . Supponendo , che il vertice dell' angolo formato dai lati x, ( x -+- i ) esimi del poligono dimandato, od inscritto, sia quello che cade nel lato x esimo del poligono dimandato, avran- (*) Quando i vertici degli angoli di un poligono sono nelle rette in cui trovansi i lati di un altro poligono, quello si di- ce qui Inscritto in questo; e reciproca- mente questo Circoscritto a quello . Del Sic. Antonio Bordoni . aa5 avranno luogo insieme le tre equazioni y = axz-i-bx , y = Axz-*-Bx , / = AI+Iz4-BI+I , passando le rette espresse da esse pel medesimo punto, cioè pel vertice anzidetto . Eliminando da queste tre equazioni trovate le quantità y, s, che rappresentano qui le coordinate del punto comune alla retta nella quale vi è il Iato x esimo del poligono circo- scritto, e delle due nelle quali vi sono i due x, (x-¥- i ) esi- mi dell'inscritto, si avrà la sola equazione (a) BXAAX — AXABX = b*AAx — ax ABX . E questa è l'equazione esprimente la relazione, che debbo- no avere in generale i parametri Ax , Bx , ax , bx; perchè il poligono di cui il lato x esimo trovasi nella retta, che ha per equazione u — Axt-*-Bx, sia inscritto in quello avente il lato x esimo nell'espressa dall' altra / = axz ■+• bx , o questo circo- scritto a quello . Rappresentata colla mx l'ordinata, e colla nx l'ascissa dell' x esimo punto dato di posizione, e supposto che passi per esso la retta nella quale vi è il lato x esimo del poligo- no dimandato, si avrà, fra le funzioni Ax , Bx incognite, e le cognite mx , ux , l'equazione mx = Ax«x ■+• Bx . Adunque, affinchè la retta in cui trovasi il lato x esimo del poligono dimandato sia espresso dall'equazione supposta u = Axt-Js-Bx, le due funzioni AX,BX debbono avere le relazioni che espri- mono le due equazioni BXAAX — AXABX = bxAAx — axABx mx = Axnx -+- Bx . Eliminando da queste ultime equazioni la funzione Bx , si ha la sola equazione delle differenze finite, fra le sole fun- zioni Ax , AI+I , AxAx^.1Anx-(bx-*-axnx^.l-mz)Ax^.1-(mx-axnx-bx)Ax-t-axAmx=o, la quale , siccome si vede , è un caso particolare dell' equa- zione (E); e perciò anch'essa integrabile col metodo superior- mente esposto . La costante arbitraria, che conterrà l' integrale di quest' Tom. XVII. a 9 2i6 Sul moto diòcheto dì u^ (sauro , ec. equazione, ossia il valore della Ax , si determinerà, soddisfa- cendo la condizione che il poligono dimandato dev'essere rien- trante, vale a dire, che, sì il suo primo, che il suo ultimo lato, debbono avere uno stesso punto comune colla retta del- la quale è porzione l'ultimo lato del dato. L'equazione mx = A.xnx ■+- Br , esposta sopra, dà B.r = mx — Axiix , cioè il valore richiesto dell'altra funzione Bx . Conoscendo attualmente i valori delle funzioni Ar , Br , e perciò l'equazione u = Axt-+-Br della retta di cui è parte il lato .e esimo del poligono dimandato, avransi facilissima- mente tutte le altre equazioni e quantità dalle quali dipen- de la conoscenza completa di esso . Se le successive rette nelle quali sono situati i lati del poligono inscritto, invece di passare per altrettanti punti da- ti di posizione , come si è supposto nella proposizione trat- tata, dovessero formare angoli che avessero alcune proprietà, o fra loro, o con quelli di un secondo poligono dato, ossia con quelli del dato stesso , si conoscerebbe la funzione Ar , immediatamente, o previa l'integrazione dell'equazione espri- mente la stessa passione, come appunto accade rinvenendo con questi principi , il poligono che descrive il corpo nella Proposizione V.; ed avrebbesi sempre la B* integrando l'e- quazione generale (a) dei poligoni inscritti , o la sua equi- valente am — Ai Oi—Ax Ancora la soluzione del famosissimo problema, d'inscri- \ere in un dato cerchio un poligono rientrante, che i suoi lati passino, distesi, abbisognando, per altrettanti punti da- ti di posizione , trattato come lo fu dal Signore Magistrini nella sua ingegnosa poligonometrìa analitica, dipeude dall' integrazione di un'equazione della forma della (E), e però esso si potrà sciogliere e generalmente, anche seguendo que- sto metodo, integrando l'equazione risultante, come un ca- so particolare della stessa (E) . Del Sic. Antonio Bordoni . 227 Non essendomi noto che siasi pubblicata la soluzione della proposizione „ Inscrivere in una linea qualunque di second' ordine un poligono rettilineo rientrante di un numero qual- sivoglia di lati , i quali prolungati se fa bisogno passino per altrettanti punti dati di posizione nel piano di essa „ la qua- le è evidentemente rispetto all'Ellisse, alla Parabola, ed aila Iperbola , cioè in generale alle linee di second' ordine , ciò che è il Problema anzi accennato relativamente al solo cir- colo, ed il superiormente trattato pe' poligoni rettilinei, ap- profitto della presente occasione onde esporre di essa la so- luzione seguente , benché appoggiata puramente alla geome- trìa descrittiva , e però a principi , che non hanno nessun rapporto cogli esposti in questa Memoria . Eretto un Cono ordinario sul piano della linea di secon- d' ordine, e fatto al medesimo, con un piano, una sezione circolare, si unisca il suo vertice coi punti dati nel piano della linea stessa, e si prolunghino queste rette, se fa biso- gno, sino all'incontro di quel piano nel quale vi è la sezio- ne circolare, ed avransi così in questo piano, tanti punti e dati di posizione, quanti sono quelli nel piano della stessa linea data : fatto questo, s' inscriva nella sezione circolare un poligono rientrante cui i lati passino pei punti anzi determi- nati nel piano della medesima, e poscia si prolunghino, ab- bisognando, i lati del cono che passano per i vertici di que- sto poligono, sino all'incontro della linea data di second' or- dine , e questi punti d'incontro saranno manifestamente i ver- tici del poligono inscritto nella data linea di second'ordine, i cui lati passeranno prolungatile fa bisogno, pei punti dati di posizione, vale a dire i vertici del poligono dimandato. Esempio . Inscrivere nella parabola ABC un triangolo A'B'C tale, che i suoi lati, prodotti se sia d'uopo, passino per tre punti Q , R , ed S dati ? Fissiamo per primo piano dei coordinati quello della pa- rabola medesima , e per secondo quello che passa per DBE suo asse , perpendicolarmente allo stesso suo piano . 22,8 Sul moto discreto di un corpo, ec. Da un punto F della parabola si tiri la FG perpendico- lare al suo asse , si prenda sul medesimo GH = GF , si uni- sca il punto H coll'I del prolungamento della FG ; conducasi la HJ perpendicolare all' HI, e si estenda sino in J punto del- l'altro prolungamento della FG ; si tirino le JL , IL, la pri- ma parallela all' asse della parabola , e la seconda pel suo vertice, cioè per B; e saranno queste le intersezioni del pri- mo piano coordinato , e di una superficie conica ordinaria avente il vertice in L , e di cui la stessa parabola data ne è una sezione fatta parallelamente al lato JL . Trovati in questo modo i lati JL, BL, si conduca la MN perpendicolare a DBE , e sarà MO il diametro di una sezio- ne circolare del medesimo, disegnata nel piano le cui tracce sono PN , PM . Condotte le rette Q»T , RU , SV , LX perpendicolari al- l'asse, ed uniti i punti T , U , e V col vertice L del cono, e gli altri Q, 11, ed S col punto X- le rette TL , QX ; UL, K.X ; VL , SX saranno le prelezioni di quelle altre ebe uni- scono il vertice del cono coi punti dati Q , B. , ed S . I punti Y, Y'; Z, Z'; W, W così determinati, espri- mono le projezioni dei tre, ove le rette, le quali passano pel vertice L, e pei dati Q, R, ed S incontrano il piano rap- presentato dalle tracce PN , PM . Per inscrivere ora nel cerchio, ebe ha per diametro OM, il triangolo , i cui lati prodotti , se abbisogna , passino pei punti le cui projezioni sono le anzi determinate , cioè per trovare le projezioni dei vertici degli angoli di questo trian- golo , si prenda Pw = PW, Pra = PM, e si descriva sulla wm come diametro il cerchio obmc , e tirisi perpendicolarmente alla traccia PN la Y> = PY, Z's = PZ, e la WV = PW; in- di s'iuscriva nel cerchio anzi descritto il triangolo abe, che il suo lato ac passi per z, e i prolungamenti degli altri due abvbc per gli altri due punti wvy, con una delle regole in- segnateci da Giordano, Malfatti, Lexel, Carnot, Lagrange, ec. Fatto ciò , dal punto a vertice di un angolo del triango- Del Sic Antonio Bordoni. 2,29 lo abc si tiri la am perpendicolare alla PN , e il punto m trovato in questo modo sarà la projezione nel primo piano coordinato del vertice di un angolo del triangolo suddetto in- scritto nel cerchio avente per diametro MO . L'altra projezione del medesimo vertice sarà il punto della PM la cui distanza dal P eguaglia ma . In un modo af- fatto simile si determineranno le projezioni dei vertici degli altri due angoli del medesimo triangolo . Conoscendosi attualmente le projezioni dei vertici degli angoli del triangolo inscritto nel cerchio che ha per diame- tro MO , i cui lati distesi , se fa bisogno , passano pei pun- ti, che hanno per projezioni Y, Y' ; Z , Z ; W, W, facilmen- te si determineranno le projezioni dei lati del cono, i quali passano per vertici del triangolo medesimo, ed in conseguen- za i vertici A' , B' , C del triangolo dimandato . Determinato , come sopra , il punto m , si potrà conti- nuare la soluzione nel modo seguente : uniscasi immediata- mente il punto X coll'w, prolungasi questa retta sino in A' ad incontrare la parabola ; indi si conduca la SA'B' , poscia la B'C'Q, in ultimo la C'RA' , e sarà A'B'C il triangolo di- mandato . Osservazione a. Se in un poligono se ne iscriva un altro, in questo un terzo, in quest'altro un quarto; e così si con- tinui . Indicando colla zt = t ax,y -t-.&c,/ l'equazione fra le coor- dinate rettangolari u , t della retta nella quale trovasi il lato x esimo del poligono/ esimo degli inscritti, l'equazione (a) dà (.) A^'A^Si==A^A:^±i; y x y x ed esprimendo colla r = sdz>y-^-^z,y quella nella quale vi è il lato x esimo del primo dei medesimi poligoni, il quale è an- che V y esimo ciscoscritto all' y esimo suddetto, la stessa equa- zione (a) somministra W A'Ì Similmente, chiamando ux,r, tx,y le coordinate rettango- la) A^A-^-=A^A^ x y y x r a3o Sul moto discreto di un coiiro , ec. le del vertice dell'angolo x esimo dell'/ esimo poligono degli inscritti, trovasi, colla medesima equazione (a), ma molto più speditamente colla ispezione della figura, l'equazione (3) A^.A^-=A^A^: y x x y così si dimostra facilissimamente, che ha luogo l'equazione seguente (4) A^A^££i = A-^A ' y x y x tra le coordinate ortogonali r.r,r , sx,r dei vertici degli angoli del poligono y . È singolare, che la seconda equazione (4), dei poligoni circoscritti è affatto simile alla (i), prima degli inscritti, e la seconda (3) di questi alla (2), prima di quelli. Esempio . Sia A -— - = nL. -—-, cioè la distanza fra i ver- y x tici degli angoli x esimi dei poligoni j,(_v+ 1 ) esimi inscritti sia l' n esima parte del lato x esimo del poligono y esimo dei medesimi, e si avrà, mercè l'equazione (3), dianzi esposta, A -^- = tzA -^ ; ossia avransi le due equazioni delle difife- X x renze finite, lineari, e del primo ordine, seguenti nux+t,y — u^y+, — (n—i) u„y = o , fra loro simili, le quali integrate colla regola notissima di Lagrange (§.86), o con quella che insegnammo in altra oc- casione, e determinate opportunamente le funzioni arbitrarie introdotte dalle integrazioni , somministrano tx,y={l-n)y}tx,o+y[-^-\tx+i,o-*-y * ^ ' (^7-) *:d-a,o-i-....-»-(-^J t#+.y,o\ , ^,^(1-/^,,,^ vale a dire le coordinate del vertice x esimo dell'/ esimo po- ligono degli inscritti espresse per quelle dei vertici degli an- goli del primo poligono. Del Siu. Antonio Bokuoni . 201 Se fosse » = |, ossia se i vertici degli angoli del primo poligono y esimo inscritto cadessero nelle metà dei lati del- l'(j — i ) esimo , le formole integrali, anzi esposte, divente- rebbero x,y — — Y y( y^~ i ) ") ed i ( y(y — i) ? Ux,y = — )UX,0 —yuz-*-i ,0 H Ux-t-^io H- "+" Ux+y,of ■ a.* come fu trovato altrimenti dal Sig. Magìstrinì nella sua Po- ligonometria sopra citata . Proposizione seconda. „ Trovare le equazioni di un poligono circoscritto alla „ curva , che ha per equazione f{y , z ) = o fra le coordina- „ te ortogonali s,/, conoscendosi le tangenti de' suoi angoli „ esteriori . Siano zm, yx le coordinate del punto di contatto della cur- va data col lato x esimo del poligono , ( — ) , o semplice- \ dx f x mente I — I la tangente che fa il lato stesso col prolungamen- to dell'asse delle ascisse zx : così z,+1,/I+i, (— ) ,o I — l \0T0 discreto di un corpo, ec. V «T /j V dy /i-i-i \ rfj /x-)-i \ dy fx equazione, la quale è anch'essa visibilmente un caso parti- colare della (E), ansi è la stessa (D) ; e perù sarà (— I = — - , oppure ( — I = -Ci! , tx essendo eguale ad dy 1 x Z,—i \dzfx tx ° . Bx_, ove Ax , e Bx esprimono le funzioni conosciute i -+- — ^ , — ( i -+- tx* ) -^ ■> e la C una costante arbitraria. *x Ora dall'equazione data della curva cavasi 1 — 1 = — ( — )' [ — J ; e perciò eguagliando questi due valori della tangente /dy\ . , „ I — i , si avrà 1 equazione la quale esprime una relazione delle coordinate zx , yT . Ma queste medesime coordinate banno anco la relazione espres- sa dall'equazione data f(z , y) = o ; adunque fra le coordina- te dei singoli punti di contatto della data curva e dei lati del poligono avranno simultaneamente luogo le due seguenti equazioni \dzf ' \ dy ) tz ' le quali potranno servire, conseguentemente, per determina- re le medesime coordinate . Espresse colle t%u le coordinate rettangole di un punto qualunque della retta nella quale cade il lato x esimo del po- ligono , e colle A , B i parametri da cui si fa dipendere so- lita- Del Sic Antonio Bordoni . a33 latamente la posizione della medesima rispetto agli assi delle stesse coordinate, cioè espressa coli' equazione ?i = A£-f-B la medesima retta si avrà A = I — 1 , e B=r*-s*(g)x,(5.?8) dovendo essa passare pel punto a cui corrispondono le coor- dinate yx , zx ed essere tangente la curva nel medesimo pun- to . Vale a dire , sarà \dzfx \dzfx l'equazione del lato x esimo del poligono: cosi sarà quest'altra »'«*(&) ^yx^-zx^(dA \dz/x-*-i \dzfx-t-i quella del seguente , u , e t' esprimendo le sue coordinate ortogonali . Il vertice dell'angolo x esimo del poligono, ossia dell'an- golo formato dai lati x, (x-+- i ) esimi , egli è evidentemente un punto comune alle due rette espresse dalle equazioni an- zi esposte ; e però avransi , fra le coordinate di questo pun- to, che denomineremo tx , ux , simultaneamente le due equa- zioni seguenti Ux = tx I ■f I H-Jx-i-, — Zx+-i ( / I , \dz/x-t-i \dz /x-t-i le quali somministrano immediatamente *— Af-(S)-'l:A(£). cioè le coordinate del vertice dell'angolo a; esimo del poligo- no circoscritto alla curva espressa dall'equazione data/(.z,/)=o, ossia le equazioni dimandate . Esempio. Sia il poligono equiangolo, l'asse delle ordina- Tom. XVII. 3o 2.^4 Sul moto discreto di un corpo, ec. te y parallelo al suo primo Iato, e si avrà Ax = i H — =sa, — B* — n-^2 = sec.3e; e perciò sec. e a — sec. e 2 — -! sec.ae sec.2 e i C e esprimendo qui l'angolo, che ha per tangente t. Essendo I — ) infinita , stante la disposizione particolare degli assi, ed eguale ad— G per la forinola qui esposta, sa- i t sec.ae ra = o ; quindi C ' (dy\ r / sec.ae \ dz/x tang, e \ . sec.'e f sec. e a : sec. « a 5 supposto la divisione continuata (x — i ) volte. Ma, da ciò che abbiamo dimostrato nel primo Corollario della prima No- ta ? risulta il secondo fattore del secondo membro di quest' ultima equazione , cioè la frazione continua sec. e a — sec* e »-2Si eguale all'ordinaria — ^^ — ; adunque a tang.(x — i)e sarà cioè (dy\ i / tana, e \ T ) = ( 2 )' C1( dz/x tang. e \ tang. ( x— i) e / — I = — ■ = cotang.i x — i ) , ( sen . e ) ux = A cos. (x — i )e sen. e per equazioni del poligono circoscritto alla periferia , che ha per equazione al vertice j2 — 2«z -4- z2 = o , a esprimendo il suo raggio, e z,y le coordinate rettangole dì un suo punto qualunque . Osservazione 3. Nel cercare l'integrale dell'equazione (E), dopo eh' ebbi trovato a.% Sul moto discreto di un corpo, ec. Si avrei potuto ominettere il metodo esposto col quale ottenni questo singolare risultamento , e supporre immediatamente yx = ( , e supposta la parte anteriore tutta regolare, e per- ciò la testa simile alla sezion trasversale massima, sarà I(p'=—bv B e sia il semiasse maggiore DF = V conseguentemente per il supposto medesimo della regolarità della parte posteriore il semiasse minore D^> = — V . Sia poi l'elissi dell'arco anterio- re verticale AG espressa per l'equazione jy2=r— (A2 — xz), A. e l'elissi dell'arco anteriore orizzontale Z(ji' per l'equazione 0* = — ( G- — x% ) . L' elissi dell' arco vertical posteriore AF abbia per equazione /2 = — ( A'2 — x* ) e l'ellissi dell'arco posteriore orizzontale abbia a sua equazione 0'2 = — (G'2 — x2). Sia G il centro di tutte e quattro le elissi . Si concepisca nella parte anteriore ad una indeterminata ascissa .r = CR la sezione trasversale SA«=pf /(B*-|>)^=f (b**~.J) e fatto #= — k si avrà l'intiera parte anteriore della Botte ni =— l B3 . — k — — . — - 1. Similmente si vede risultare la in- B \ m A1 3ra5 / tiera parte posteriore — I Ba I i J k j i -\ — I . Dunque la capacità della Botte intera che chiamerò (C) sarà =f[™-£-è-£(.-i)ì], Ba ma dall'equazione j3 = — -(A' — x3) fatto /=IG=£, x — — .k ricavasi A2 = . E dall'equazione TO» ( Ba — 4» ) ^ y'a=^(A'*-^) fatto y' = BF = b', x = (i — l-\k ricavasi Aa = — _ "' — sostituendo sarà (C) = ^[3B^-Ì(Ba-^)-(i--i)^(B^^)] 3B L m V rnf\ Passo io al presente ai casi particolari : se la parte an- teriore e la posteriore siano ugualmente lunghe, cioè se sia a4° Sulla determinazione della capacita' ec. — k-=-hk, e ciò non ostante siano i semi-assi b , b' della te- rra sta e del fondo disuguali , saranno A ed A' disuguali , cioè la curvatura della parte anteriore sarà diversa dalla curvatu- ra della parte posteriore , e si avrà /ri, ank / Sa b"\ k /,D b'.a b'\a\ (C) = 1 2B2 h 1 I = ji . ( 4 B« -i h - — I W 3B \ 2 a / 3.2 V B B / n k / . n . 2ai , , aai' \ = — .- 4-2B.28 + 2&. 1- 2,b I 4 6 V B B / = - . y/4.AB.2CZ-i-CP.aIf -f-FO.^D^); questo è il caso del Teorema dell' Oriani , né può che sotto tali condizioni aver luogo . Si può anche adoperare la formola n . j ( 4AC X CZ -t- Gì X W + FDxD^) che anzi tornerà più comoda essendo più facile tenere a me- moria il numero esprimente la circonferenza % del diametro i che è 3,i4i5c;2, di quello che la sua quarta parte. Se A = A', cioè se la curvatura della Botte sia la stessa nella parte anteriore e nella posteriore, ed i semiassi b, V siano disuguali si avrà _B^_==_^_(I__LV, d'onde m=(Ba — ia) Ba — b'* \ m I ??2a I i I = ( m — i )2 = , ed m — i = , \ mfK ' B»~** ,/(B>-ò*) . ,. ,_v ankt „ b>l/(R*-b*) i'V(B2-*2) \ e quindi (G)= laBn — - 1 — 1 H y ' 3B V |/(B»-i»)-»-|/(B»-J'1) i/(B>-b*)*-i/(B*-b'*)J che moltiplicando e dividendo le frazioni per |/ ( B2 — è2 ) — j//( B2 — è'2) si riduce alla forma più semplice (C) = -jr-X Oli [BaH-£a-+-è'a-f-|/(Ba — £2)(B2 — b'a)]. Se £' = & si avrà (C) ss — ( aBa ■+■ b% ) : se oltre questo fassi a = B, nel qual caso 36 la Botte è elittico-circolare , si avrà (C) = — ( aB2 -+- b* ) . SOLU- /<■ f TVcLZarndTtcei <■ Socx '/<(/.'' /'«.OT/y-w/.?./ IO. X. ';,<>■' i(:t7em,ir„-n ■ '< . ■ !','„/- ^^-X\'//y„;r, ;,<• 24 1 SOLUZIONE DI DUE PROBLEMI APPARTENENTI ALLA TEORIA DE' MASSIMI E MINIMI Del Sic. Cav. Sebastiano Canterzani. Ricevuta li 20 Novembre 18 i/j.- iD, "ata la retta AB ( Fig. 1 ) e dato in essa il punto G è stato dimostrato (*) , che dividendola in E nella stessa manie- ra , nella quale trovasi divisa in C , e alzandole da E la per- pendicolare indefinita ED, essa riesce la minima di tutte le rette , che per lo punto C si possono inscrivere all' angolo ADB formato da due rette DA, DB, che da qualsivoglia pun- to D della perpendicolare ED vanno a passare per le due di lei estremità A , B . In fatti intendendole condotta per G la infinitamente vi- cina KH, e descritti dal centro G i due archetti circolari Krc, Bm, il decremento di essa da una parte è eguale all'incre- mento dall'altra parte, e cosi è nulla la differenza infinite- sima della KH dalla AB , perchè essendo generalmente Ara ; ìriR ; ; AC . AE : CB . BE ( perciocché generalmente ahhiamo Are : k«: : ae : ed, e mW : Bm: : be : ed, e nii : Bm : : AG: cb ) la ragione AC . AE : CB . BE riesce ragione d'eguaglianza ap- punto quando sia AE : BE : : CB : AC , o vogliam dire quan- do sia AE = CB, e però anche BE = AC. II. Apresi quindi la via alla soluzione di varj problemi di massimo, o minimo, i quali senza il presidio dell'esposto teorema porterebbero forse per le vie ordinarie dell'algebra un Tom. XVII. 3i C) Vedi la Parte I del Tomo XIV di questa Società a pag. 167. a4a Soluzione di due Problemi ec. lavoro assai laborioso. Io qui supporrò che all'angolo ADB ( Fig. i , e a ) debba subentrare una curva ; e siccome si avran- no da aver in considerazione tre cose, la curva cioè, la retta AB, e il punto C, così a tre problemi principalmente viene a farsi luogo . i .° Data la curva, e dato il punto C, trovare la retta AB, che inscritta alla curva pel punto C riesce la massima, o la minima di tutte le inscrivibili pel punto medesimo C . a.0 Data la retta AB, e dato in essa il punto G trova- re la curva di dato genere , e di data specie , a cui quella retta rimane inscritta in modo che sia la massima, o la mi- nima di quant' altre rette le si possono inscrivere pel punto C. 3.° Data una curva coli' inscritta AB trovare in questa il punto C tale che faccia riuscirla massima o minima di tut- te le rette , che per esso possono a quella curva inscriversi . Ovvia essendo la soluzione del primo, come quella che si ottiene col metodo ordinario de' massimi e minimi, mi li- mito a trattare soltanto il secondo problema, e il terzo. Ma prima convienmi notare alcuna cosa nel semplice caso dell' angolo ADB . III. Posto che dall'estremo A il più vicino al punto C si prendano le ascisse positive x voltate verso l'altro estre- mo B , e che le corrispondenti ordinate positive y parallele alla perpendicolare ED sieno voltate verso l'angolo D, chia- misi AB = a, AC=»BE = £, ED = £. Sarà (Fig. i ) a — b\ k'.'.x'.y.j onde (a — b)y — kx = o l'equazione alla linea ret- ta AD ; e b'.k'.'.a — x'.y , onde by -+- kx — ak == o l' equazione all'altra linea retta BD, e quindi [(a-b)y-kx][by-*-kx-ak]=ot . . (a-~2.b)k kz ak akz ,, cioè yy->t- — xy xx /-+-- — x = olequa- •/- b(a-b) J b(a-b) b ' b(a-b) zione alle due rette AD , BD . Differenziando quest'equazione risulta , , (a — 2,b)k ak 2.k* (a—s.b)k àk% dx:dy::zy + ——x-T.——x-——y- b(a — b) b b(a—b) b(a—b) b(a—b) dove mettendo x = o , e insieme / = o si ha dx '. dy , cioè Del Sic Sebastiano Canteezani • 2,43 a — b ; k : : a — b '. k analogìa che sussiste; mettendo poi #=«, e insieme y = o si ha dx] dy , cioè b\k \\ — b \ k analogìa che non sussiste , e perchè sussista convien prendere nega- tivamente o dx , o dy . Dunque per avere la ragione dei dif- ferenziali dx , dy nei due punti estremi della linea AB biso- gna prendere questi differenziali affetti del medesimo segno per l'estremo, in cui è # = 0, e y = o, ma prenderli affet- ti di segno contrario per l'estremo, in cui è x = a, e y = o. In fatti i due archi circolari infinitesimi Kn , Bm sono vol- tati uno in un senso, l'altro in senso contrario; e questa semplice osservazione avrebbe potuto bastare a far compren- dere ciò , che per altro non sarà stata cosa inutile d' aver dimostrato . Di qui apparisce , che qualora il punto G cade nel pro- lungamento della retta AB , come nella figura 2, , nel qual caso i due archi circolari infinitesimi Un , Bm sono voltati verso la stessa parte , per avere la ragione dei due differen- ziali dx , dy convien prenderli affetti del medesimo segno tanto per l'uno estremo A, quanto per l'altro B. Qualun- que espressione poi, o equazione s'incontri pel caso che ab- bia luogo l'una delle due figure 1, e a, è chiaro che per averla pel caso dell'altra non occorre ripigliare il calcolo da capo, ma basta nella ritrovata espressione, o equazione mu- tare il segno alle potestà dispari di b, che sta in luogo del segmento AG . La premessa avvertenza egualmente vale , come è evi- dente, per ogni curva, che passando per li punti A, B ab- bia per tangenti in questi punti le due rette DA, DB. IV. Vengan pertanto proposti il genere, e la specie del- la curva da descriversi per rispondere al Problema secondo ( §• II ) . Due principalmente possono essere i metodi da te- nersi per trovare l'equazione di tale curva riferendola alla data retta AB mediante due coordinate ortogonali x,y. L'uno è del seguente tenore . Suppongasi M ( Fig. 3 ) uno de' punti della curva . Sup- ^44 Soluzione di due Problemi ec. pongasi pure che preso il principio delle ascisse x in A , e condotta da B la BK = n parallela alle ordinate PM = y, in- di tirata la AE = e = l/fl« + nK, questa AE sia parallela al- l'asse DQ , al quale mediante le due coordinate ortogonali CQ=z, QM — u vien riferito il medesimo punto M di cur- va nell'equazione la più semplice che possa aversi della cur- va stessa. Si denoti per r la distanza AD, o GF delle due parallele AE, DQ présa parallelamente alle ordinate y, e per s la distanza del punto D dal principio C delle ascisse CQ = z. Poste questa costruzione, e queste determinazioni sarà QM, . , ay — noe — ar nn . . ny -t- ar — ■ nr — es n cioè w=- , e CQ , cioè z = . Pongansi e e dunque questi valori di u , e z nell'equazione semplicissima della curva, e risulterà l'equazione della medesima curva ri- ferita alla retta data AB . In questa equazione introducaci le quattro condizioni 1 -° che la curva passi pel punto A fa- cendo in essa #=0, e insieme y = o; 2..0 che passi pel pun- to B facendovi x = e, e insieme y = c; 3.° che la retta DA sia tangente della curva in A ponendo x = o , e y = o nel valore di —, e mettendo il risultato = - — • nel caso della fig. 1, ày k ma = ^- nel caso della fig. a; 4-° cne 'a retta DB sia tan- fo dx gente in B ponendo x = a, / = o nel valore di nel ca- so della fig. 1 , o nel valore di — nel caso della fig. a, met- dy tendo poscia il risultato = — . Ognuna di queste condizioni avrà somministrata un'equazione tra le quantità a,bvk, ec. date, o arbitrarie, e le nv r, s, ec. incognite; e tutta la difficoltà consisterà nel ricavare da tali equazioni i valori del- le dette incognite dati per le cognite, e le arbitrarie, tro- vati i quali, e sostituitili nell'equazione, che riferisce la cur- va alla retta AB risulta 1' equazione della curva del dato ge- nere, e della data specie, che scioglie il problema . Del Sic. Sebastiano Canterzani . 24$ V. L'altro metodo forse più semplice, e comodo del pre- cedente consiste nel prender l'equazione generale a coefficienti indeterminati, che abbraccia tutte le curve del dato genere, e nell' introdurre in essa le quattro condizioni di già anno- verate nel paragrafo precedente, con che verranno determi- nati tutti que' coefficienti, che in tal guisa possono determi- narsi ; indi determinarne altri mediante quelle proprietà , o vogliam dire condizioni , che servono a distinguere la data specie dalle altre sottoposte allo stesso genere . Così risulta l'equazione cercata, della curva cioè del dato genere, e del- la data specie, che scioglie il problema . Quei coefficienti in- determinati , che dopo tutto ciò rimanessero per avventura nell'equazione, sono arbitrarj , e lascian luogo a introdurre nel problema nuove condizioni . • Anche in questo secondo metodo l'angolo delle coordi- nate x, y si presuppone retto, poiché la terza, e la quarta delle quattro suddette condizioni involve questa supposizione, mercè che gli angoli in m , e n ( Fig. 1 , e a ) sono per co- struzione retti . VI. A chiarezza maggiore gioverà applicare l'uno, e l'al- tro metodo a qualche esempio nel caso della figura 1 . Pren- diam dunque le curve del primo genere , o vogliam dire le linee del secondo ordine, che sono le sezioni coniche, e co- minciamo dalla parabola . Esempio I. L'equazione semplicissima di questa curva è ua = cz, nella quale secondo il primo metodo metto ay~nx~ — e ni luogo di zi, e - in luogo di s, e ottengo aajKa — zanxy -4- rfx* — aaa/j -+- zanrx •+■ a^r* ) — ceny — acex -t- cenr\ =0 -l- ce*s ] equazione , in cui la medesima parabola viene riferita alla da- ta retta AB. In questa equazione facendo # = 0, e insieme 7 = 0, risulta la prima equazione i.° aV -H cenr ■+■ ceas = 0 2,^6 Soluzione di due Problemi ec. ponendo poi x=a , e insieme y=o risulta la seconda a.a n*-t-2,nr — ce = o. Differenziando l'equazione della curva si ricava — ao'r — aanx — aaJr — cen , j . ,. = — - , dove mettendo # = o, 7 = 0 risulta aan.r — an*x — aarcr -+■ ace il qual risultato fatto eguale a ne dà la terza — aunr ■+■ ace k equazione 3.a 2,aanr — a?cr — zabnr -+- abce — 2.a?kr — cken=zo . . , ,. — dx —aa1y-*-ù.anx-t-2.a1r-t-cen Finalmente nel valore di = metto 4y nany — 2.n?x — nanr •+■ ace , 2.a*n-+-aa'r-*-cen x = c, y = o, e mi risulta - : metto questo rs- — aarca — aanr-t-ace sultato eguale a —, e ottengo la quatta equazione 4-a za^kn. te ■+• 2.a?kr -+- cken ■+- labri* -+- aabnr — abce = o . In vigore della prima equazione sparisce dall'equazione della curva l'ultimo termine, onde essa si riduce ad essere aay^ — aanxy -t-n^x2, — a.aary ■+■ zanrx — ceny — acex e in questa ponendo in luogo di ce il suo valore n* -+- arar somministrato dalla seconda nasce a2ja _ zanxy ■+■ n^x2, — aaVy — an^x ' — n3y 1 = o — o,nary Questo stesso valore di ce posto nella terza, e nella quarta equazione , le trasforma in abrf — a2n? — za3kr — kn3 — a.kn*r = o na2kn -f- 2,azkr ■+• kn3 -+- nk?i2r -+- abn* = o che sommate insieme danno re = , e sottratte l'una dal- a — ai l'altra danno r = — — • Posto questo valore di r 4&(a1H-»:') a nell'equazione della curva ridotta la riduce ad essere a3ja — zanxy -+- rfx"1 -+- a?ny — an*x r a& Del Sic . Sebastiano Canterzani . a4y Resta che in questa si sostituisca ad n il già trovato di lui valore. Il che fatto risulta finalmente y2 - — xy-\- — - a — ab (a — 2i)* xx-+- y — x — o. E questa ò l'equazione del- le parabole, che sciolgono il problema: dico delle parabole, perchè l'arbitraria k dà luogo a infinite soluzioni del proble- ma, quando non vi si voglia aggiunger qualche condizione di più , come sarebbe , che la parabola dovesse passare per un punto dato oltre A , e B , o avere un dato parametro . Solo non si può prendere k — o, né = oo , perchè il parametro riuscirebbe zero, o infinito. Esempio IT. Con lo stesso metodo tratto il problema , quando si voglia che la curva sia il circolo . Chiamato = e il raggio , e preso il principio delle ascisse z dal centro l'equazione semplicissima del circolo è u2 -+- sa — ca = o , la quale fatte le solite sostituzioni in luogo di «, e z si tras- forma in y* ■+■ xa — zry x ■ e unsy e t -Ir SS — ce Facendo le quattro supposizioni di sopra esposte si ricavano 1 • SUITI le quattro equazioni i .° tth 1- ss — ce = o » a/; rs e a.a s = -, e 3." aas — abs -+-k er -t-/l >is = o , 4-a abs — abe — ker — kns = o. Per la prima si riduce l'equazione del circolo ad essere Aas yy -v- xx — ary — - — x = o . e a.nby e Sommando insieme le due ultime si cava 5= — : ma per la a ^48 Soluzione di due Problemi ec. seconda si ha s—~; dunque — = — , onde b = — , il che 2 ti 3 Q. mostra , che perchè sia possibile il problema bisogna cbe il punto C dato nella retta AB la divida in parti eguali. L'u- nica maniera di rendere non necessaria questa condizione si è di prendere l'arbitraria k infinita, perchè allora sparisce b dalle quattro equazioni, e così arbitrario riesce il segmento AC = b. Tutto ciò si conferma col riflettere , che le due tangen- ti DA = l/(a — £)2-t-Aa, e DB = l/££-+-£a non possono es- sere eguali, come avviene nel circolo, se o non sia b=z — , o non si prenda k = co . Nel caso che si assuma k = co la terza, e la quarta del- le quattro equazioni diventano una sola equazione, che som- ministra r = , perchè abbiamo s — — . Posti questi valori 3, di r, e s nella prima equazione risulta — h ce = o r 1 4*4 aa cioè 1 — = cc; ma e3 = a% -+- n2, ; dunque cc = — . Non 4 • 4 a ... 4 essendovi stato luogo a determinare n è ciò indizio, che que- sta linea è arbitraria . L' equazione pertanto dell' unico cir- colo , che in questo caso scioglie il problema col dare un mas- simo , è yy •+• xx — ax = o , tale divenendo 1' equazione nas yy ■+- xx — nry x = o , e 2.71S e ove in essa si mettano invece di /-, s i ritrovati loro valori. Anche nel caso di 3 = — le due ultime delle quattro e- 2 quazioni diventano una sola equazione, perchè mettendo nel- l'altra — in luogo di b, ed — in luogo di s ottiensi — — — kr Del Sic. Sebastiano Canterzani . 249 -=o, che offre r = . Ora mettendo nella prima questo valore di ;• , e quello di s risulta 1 — ce : po- nendoli poi nell'equazione del circolo questa diviene yy ■+■ xx H y — cr=:o, ed ecco l'equazione, che scioglie il proble- ma col somministrare infiniti (attesa l'arbitraria k) circoli, che hanno la corda AB minima di tutte le altre, che in cia- schedun di loro si possono condurre pel punto, che la divi- de per metà. Il raggio c= e-— ~- — dà a divedere, che l'arbitraria k solo non può assumersi =0 : che se si assuma k = co , ritorna il caso precedente . In nissuno dei due casi è stato luogo a determinare la linea 71, donde segue che essa è arbitraria senza per altro che tale arbitrio moltiplichi il numero de' circoli, che sciolgono il problema, poiché il luogo del centro del circolo, e il rag- gio cambiano bensì al cambiarsi di k nel secondo caso , ma ritenuto lo stesso valor di k al cambiarsi di ri non cambia né il raggio , né il luogo del centro , come può facilmente dimostrarsi anche nel secondo caso . Esempio III. Passando ora a far uso del secondo meto- do sia la curva da descriversi la ellisse. L'equazione gene- rale a coefficienti indeterminati delle curve del primo genere è F/a-nEa;/-HD;ca-*-C/-t-Bx-t-A = o t La condizione che posta x = o sia anche 7 = 0 determina A = o, onde l'equazione diventa F/a -+- Exy -+- D^a ■+■ C/ ■+• Bx = o . La condizione che posta x = a torni y = o porta che sia a2D-t-flB = o, onde B = — aD, e l'equazione diventa F/a ■+• Exy ■+- Dxa -hCy — àDx = 0 . Questa equazione differenziata dà dx '. dy \ \ aF/ •+■ Ex -H C ; aD — 2,T>x — Ey , e però la condizione che posta # = o« e 7 = 0 Tom. XVII. 3a a5o Soluzione di due Problemi ec. . dx a — b -T-. m 7r, -, „ fl'D — abD sia — = porta a*D — abD=fcL, onde L = ■ , e dy k r k quindi 1' equazione diventa F/a -+- Exy •+■ Dx2 -t- — àDx = o . Finalmente la condizione che posta x = a , e y = o sia =•— porta abD = akE •+- kG , cioè ( mettendo in luogo di G il valore già ritrovato ) zabD — a2D = akE , onde E = — , e così l' equazione della curva si ri- te -, i t-i„ (a — aJ)D t-»-. ala — b)T) ,-. duce ad essere F/a — — xy-t-Dxa-\ ■ y—aDx=c. k k Ora la proprietà, che distingue l'ellisse dalle altre cur- ve del primo genere, è che disposta l'equazione in modo che il quadrato yy non abbia per coefficiente che l'unità, il coef- ficiente del quadrato xx sia maggiore del quadrato della me- tà del coefficiente del rettangolo xy . L'equazione adunque ricavata fin ora diventa l'equazione dell'ellisse subito che sia — >v - — , cioè F> - — . Mettasi dunque F= — F 4/fc'F1 av * 4fc» •+■ aD , dove o rappresenti un numero qualunque positivo . Quindi Ala — s.b)k àk% Aa{a — b)k àak* yy 11 J Xy H - XX-h — Y - X=0 y (a-2.b)*-+-Aek* (a-ab)*-*-Aok* (a-2.b)'-t-Aok^ (a-2.b)*-*-A0k* è l'equazione dell'ellisse, che passa per li due punti A, B estremi della data retta AB, ed ha in essi per tangenti le rette DA , DB . Attese le arbitrarie k , o havvi luogo a infi- nite soluzioni del problema, quando aggiunger non si voglia- no altre condizioni . Non si può assumer k = o , perchè il diametro dell'ellisse riuscirebbe infinito. Se l'arbitraria k si supporrà infinita, anche le due tan- genti AD, BD riusciranno infinite, e siccome sono allora per- pendicolari alla data AB , così è chiaro che questa verrà ad essere uno de' due assi dell'ellisse, cioè l'asse maggiore, se sia o>i, e il minore, se © 1 . Se si assumesse ^ok% = aa , l' equazione della curva si convertirebbe in s5ìì Soluzione di due Pboblemi ec. ala — ai) a% a3 a3 yy-\ - Txy xx y -\ — x=c. ai(a — b)[/ a ' /\ub(a — b) aby/o ^ab(a — b) che è il prodotto delle due vh =o, r— =o, 1 ab[/a 2.b\/o s.(a-b)[/o ciascuna alla linea retta . E se si assumesse ^ak2=(a — a£)% l'equazione della curva diverrebbe xy xx — ^—^ y a — ab a — ab ak x*a(a — b) ax . x = o , ovvero xy y -\ = o , che a — ab 2[/o p — ab " aj/'o è tuttavia all'iperbola . VII. Trovata che siasi l'equazione, che riferisce la cur- va del dato genere, e della data specie alla data retta AB, e che la determina a passare per li due di lei estremi A, B, e ad avere in questi per tangenti le rette DA, DB, non sem- pre sarà possibile definire, mediante l'andamento della cur- va, e qualche altra circostanza, se la inscritta AB riesca massima , o se riesca minima , o se non riesca né massima , né minima. Richiedesi dunque un metodo generale, onde sco- prir ciò; e siccome l'essere massima, o minima, o non es- ser né l'uno- né l'altro dipende dalla diversa proporzione, che può avere il segmento AC = è a tutta la retta AB = «, e dai diyersi valori, che dare si possono all'arbitraria k , e alle altre arbitrarie , se altre ve ne sono , così pare che il metodo opportuno possa essere il seguente . Introducasi nella suddetta equazione in luogo di b quel- la quantità, che manifesta la relazione, che si vuol che ab- bia ò ad a, come pure il valore, che si dà all'arbitraria k, e a ciascheduna delle altre arbitrarie, quando ve ne son al- tre . Preparatasi così l' equazione si concepiscano due rette ( Fig. 4 ) RS , RS condotte pel dato punto C, che facciano ciascuna con la inscritta AB un angolo picciolissimo una da una parte, l'altra dall'altra parte della stessa AB, e trovisi l'espressione di quella porzione di ognuna, che resta inscrit- ta alla curva . A fale effetto tirata per A la retta AR per- pendicolare ad AB, e però parallela alle ordinate MP =/, Del Sic Sebastiano Ganterzani . 2,53 la quale incontrerà l'una e l'altra RS in qualche punto R, si nomini a '. h la ragione del raggio alla tangente dell'an- golo ACR , onde sia Ti una quantità picciolissima, e tale che le più alte potestà di essa possano trascurarsi a fronte delle meno al|e . L'ordinata MP tagli in G la retta RS, alla qua- le dal punto M sia perpendicolare MQ . Chiamando l'ascissa RQ =/, e l'ordinata MQ'= q sarà a \ h \ \ AC : AR , e però AR— a ■> ° rR = - — — , e mettendo per comodo g inve- ce ce di l/aa-±-hh« CR=— , essendo AP=#, e quindi CP=#— b, a sarà a\g\ \x — b \ CG = gx~-£ ; sarà pure a\h\\x — b \ PG hx—bh > ii i 11 i ti e • ■> ■»*•/-» ay—hx-t-hh = , e quindi per una delle due Ro si avrà M(r=— , e per l'altra MG = . Per maggiore speditezza d'ora a innanzi si farà il calcolo per una sola delle due RS, giacché è chiaro, che nell'ultimo risultato col semplice mutar il se- gno ai termini , che hanno le potestà dispari di h si ottie- ne l' ultimo risultato per l' altra RS . Tenendo dunque MG ay-hr-t-bh , , ,;,,ri,j,n/i • > /i/-k ahy-%*X+-bh* =- — , ed essendo g:A::GM:GQ si avrà GQ=— - , a ag •' ti r\ /-ir» i-io n/-v gìx-*-ahy~hzx-¥-bh* „ _, e perciò RQ = CR -+- CG -+- GQ = - =/• Es- as sendo poi g : a : : GM : MQ sarà MQ = «*-**-** —q . Ora da s j ... af — ha g^g—lgh-t-afh — h*q queste due equazioni si cava x = — i,e/=— — e £_ £5 e ag dove in luogo di b convien porre quella quantità, che espri- me la relazione , che si suppone avere b ad a . Questi valori di x, e di y sostituiti che sieno nell'equa- zione preparata, come di sopra si è indicato, la trasforme- ranno in un'equazione tra le coordinate ortogonali /, q, nel- la quale ponendo q = o avrassi un'equazione in /determina- ta , e in questa i valori di / somministreranno quei punti , e.54 Soluzione di due Problemi ec. ne' quali la retta RS incontra la curva. Di questi valori di /quello, che appartiene al punto di curva vicinissimo al pun- to A , si sottrerrà da quello, che appartiene al punto di cur- va vicinissimo al punto B , e facilmente si vede , che verrà «osi ad ottenersi l' espressione d' una inscritta pel dato punto C vicinissima alla data AB da una parte della stessa AB. L'espressione di tale nuova inscritta si paragoni con «, che è l'espressione dell'inscritta data AB. Se in questo parago- no oi uvTniit ~t-- i_ ^ iiioviiua sia maggiore della data AB, vedasi col mutare il segno alla h se anche l'altra nuo- va inscritta riesce maggiore della AB ; oppure se quella pri- ma nuova inscritta si troverà che sia minore della data AB, vedasi col mutare il segno alla li se sia minore anche l'altra. Quando amendue le nuove inscritte riescano maggiori della data AB, è evidente che la data AB è minima, e quando riescano amendue minori di AB è parimenti evidente che la data AB è massima . Che se una delle due nuove inscritte ziesca maggiore della data AB, e l'altra riesca minore, la data AB non godrà della proprietà né di massimo , uè di minimo . Molto più semplice ancora si renderà il calcolo , se la condizione di q = o non si aspetterà a adempierla neh' equazio- ne tra/", e q ', ma anzi si passerà a trovare l'equazione de- terminata in f dopo d'averla introdotta nelle formolo stesse, che debbon sostituirsi ad #, e /, il che fa riuscire queste medesime formolo assai semplici, cioè x = — , e/ = ' s ae Fin ora si è supposto il punto dato C collocato tra i due estremi della data AB . Se fosse collocato nel prolungamento di essa , altro non s' avrebbe a fare se non se mutare nelle ritrovate espressioni il segno alla potestà dispari di b , come ognun sa , e come si è già altrove avvertito . Vili. Qui pure per chiarezza maggiore gioverà vedere V esposto metodo applicato a qualche esempio . Esempio I. Sia dunque l'equazione della parabola trova- Del Sic Sebastiano Canterzani . 2,55 ta già di sopra ( §. VI ) , in cui la curva viene riferita alla retta AB con la condizione che abbia in A , e B per tangen- ti la DA , e la DB , cioè Ak Ak* Aa(a — b)k Aak* yy - — x y H xx H y x = o . ■ J a — ab y (a— ab)* (a — ab)* J (.a— ab)* Suppongasi il dato punto C collocato nell' estremo A della data AB, onde sia b = o. Questa condizione muta l'equazio- i 11 • » i Ak Ak* . , Ak* ne della curva in quest altra yy — — xy-\ -xx-+-$ky xz=o, nella quale mettendo — in luogo di x, e —(giacché e e abbiamo b = o ) in luogo di y ottiensi la seguente equazione in/, (ti* — 4^/j -+- 4^a )/a -+- 4g ( ^ — iJ)/=0) io cui i valori di f sono f=o, e fss-M . — . Sottraendo il minore, cioè J J ■> J Ak*—Akh-*-h* zero, dall'altro si ha l'espressione di una delle nuove due Agite — Ih) „ , inscritte = — ^ -. Paragonando questa espressione con a, la prima parte della comparazione sarà 4o(^2 — kh) , e la secon- 7 1 da 4«/i2 — ^akh ■+- ah? . Essendo g = V aa -+- hh = a-\ hi ì aa a a . ì> "k*h* k*h^ akh* ec. la prima parte diventa 4«^3-h -ec — àakh a aa3. a kh5 H ec. Sottratti da una parte e dall'altra i due termini Aak*, aa , , 7 , . . zk*h* k*h* akh3 kh3 e — i\akh la prima parte riesce ec. 1 ec, a aa? a aa\ e la seconda -i-ah* . Dividendo ora tutti i termini per la quan- . . ah* tata sempre positiva , e trascurando nel quoziente le po- testà di h superiori alla prima, la comparazione viene ad ave- re nella prima parte k? — kh, e nella seconda -+- — . Final- a a* mente trasportando il termine H dalla seconda nella pri- a ma parte , e il termine — kh dalla prima parte nella secon- a56 Soluzione di due Problemi ec. _a da si riduce la prima parte ad essere k* , e la seconda ad essere -+■ kh . Qui tre casi possono aver luogo, perchè o è Aa> — , o è Aa< — , o è k* = — . Nel primo caso attesa la picciolezza di h è chiaro che la prima parte è maggiore della seconda , e a più forte ragione quando si muta il segno ad h ; dunque in questo caso la AB si trova in mezzo a due inscritte mag- giori di lei , e quindi ella è minima . Nel secondo caso riu- scendo negativa la prima parte essa è certamente minore del- la seconda , che è positiva : che se si muti il segno ad h , onde sia negativa anche la seconda parte , questa attesa la picciolezza di h è al di sotto di zero meno che la prima, e quindi la prima seguita ad esser minore della seconda , per lo che la AB si trova in mezzo a due inscritte amendue di lei minori , e perciò ella è massima . Finalmente nel terzo caso riuscendo zero la prima parte essa è certamente minore della seconda -+- kh ; ma mutando il segno ad h la prima par- te , che è zero , è maggiore della seconda , che è divenuta — kh , cioè negativa : dunque in questo caso la AB si trova in mezzo a due inscritte una minore di lei , 1' altra maggio- re , e per conseguenza ella non è né massima , né minima . Esempio II. Sia l'equazione 4(a-t-2.b)k àk* Aata-t-b)k ù.ak7' yy — z Xy-\ xx-i r— - x— o che nel caso della fig. a riferisce l'iperbola alla retta AB con la condizione che le due rette DA, DB le sieno tangenti nei due estremi A , B della medesima AB . Assumendo il nume- ro a = i , e supponendo che la ragione del prolungamento AC = b alla retta AB = a sia quella di i ; 4 3 onde si abbia r a u ih t s.àak i6fca 0 = — , 1 emanazione diventa yy xy-ì xx 4 9<*l—i6&» 9«a— 16J;1 2.oa*k i6afc* -T- — — — — « y — pQ — - Q 9a* — i6fcV 9aa— 16*» In Del Sic Sebastiano Ganterzani . 2,5f In questa per passare all' equazione in / si metta — in 6 luogo di x , e ^'*t"g in luogo di y perchè siamo nel caso della figura a, e abbiamo b = — . Fatto il calcolo, i due va- 4 lori di f trascurando le potestà dì h superiori alla seconda risultano tali, che sottraendo il minore dal maggiore l'espres- sione d'una delle due nuove inscritte, che così si ottiene. . . . Aakei/i6a*k* — A8a*kh-i- nok^h* -t-3ia*k* si riduce a - — ■ • i6a*/t2 — s^a'kh — ibfrh* -*- ga^k1 Paragono dunque questa espressione con a , e in questo paragone trascuro le sole potestà di h superiori alla terza . Essendo g = a-i — , e l/i6«3/ca — fòa^kh-t-zok^h2 -ì-3i a~h~ 2.0, , , , , bah* hkh* ibah3 ibk3 , , , = Aak — bah 1 1 , la prima parte del- ^ 8/fc a» i6&* La v , . . , 7 , ,,, 5a*A.a 0,,,, iba*h* la comparazione riesce iba^fc2 — 2,A-a2k/i i-ioAr/i2, -+-3M3, e la seconda i6a2£a — ^i\a2kh — 1 6£2/t* -+■ qa^h* , on- de trasportando tutti i termini della seconda parte nella pri- ma questa diventa H 3zpWt2 - -t- 3/fc/t3 rimanen- a 4& do zero nella seconda . Dividendo ora per la quantità h2 po- sitiva, e trasportando nella seconda parte i due termini, che zia* restano affetti da h, la prima parte è 34&a , e la se- a e ókh . k È chiaro, che la seconda parte mutando il segno ad A, se è positiva, diventa negativa, e viceversa se è negativa, diventa positiva; e però se si assuma l'arbitraria A = «|/-, onde la prima parte della comparazione sia zero, ella è mi- nore della seconda, quando questa è positiva, e maggiore, quando questa col mutar il segno ad h passa ad essere ne- Tom. XVII. 33 2-58 Soluzione di due Problemi ec. gativa, così che una delle due nuove inscritte è minore di AB, e l'altra maggiore, e quindi la AB non è nò massima, né minima: che se si prenda k > a | / — la prima parte del- la comparazione è positiva , e però maggiore della seconda non solo quando questa è negativa , ma attesa la piccolezza di h ancora quando è positiva; onde in questo caso l'una e l'altra delle due nuove inscritte è maggiore della AB, e quin- di AB è minima: finalmente se si prenda k t-. AB'h-BD2 — ad3 , te , se Hi cade di qua da A : e BE = da pren- n aAB r dersi positivamente nel primo caso, e negativamente, se E cade oltre B. Quanto poi ai tre quadrati AB3 5 AD% BD% il primo si ottiene sommando il quadrato della differenza tra le due ascisse corrispondenti ai punti A, B con quello della differenza tra le due ordinate, come ognuno sa; e trovato che siasi questo quadrato AB2, e messolo eguale ad aa ( vo- lendo chiamare =a la inscritta AB ) si avrà la relazione tra a, :iGo Soluzione di due Problemi ec. e i suddetti parametri della curva . Gli altri due quadrati si otterranno intendendo condotta da D all'asse la perpendico- 1 T-»/-» i i i Al .BS .GT .. . ., lare DO, Ja quale sarà = , e taglierà 1 asse m 1 AI . ST -+- Gì . BS b i i /~.r\ DQ .Gì _._ DO .ST maniera che si avrà GQ = —^ , e QT = — - ; trovate AI BS le quali quantità è pure trovato ADa==(GQ— GI)a-i-(DQ— AI)a, e BDa = (TQ — ST)a-n(DQ — BS)2. Per conoscere poi se la AB sia massima , o minima del- le inscrivibili pel ritrovato punto C, o se non sia né l'uno, né l'altro, si potrà usare un metodo analogo a quello, che è stato proposto di sopra ( §. VII ) . Se la curva proposta fosse una sezion conica, speditissi- ma sarebbe la costruzione , che conduce alla soluzione del problema . In fatti sia proposta la parabola AVB ( Fig. 6 ) con Ja inscritta AB . Inscrivasi parallela alla AB una qualunque altra FS, e 1' una e l'altra inscritta dividasi per metà, la pri- ma in O, l'altra in Q. Per O, e Q tirisi la retta OQ, che incontrerà la curva in un punto V, e sarà un diametro, che avrà V per vertice . Prolunghisi questo diametro oltre il ver- tice in D, così che sia VD = VO. È noto cadere appunto in D il concorso delle tangenti della curva nei punti A , B . Dunque da D calisi alla AB la perpendicolare DE . Ecco tro- vato il punto E, trovato il quale è insieme trovato C. Venga ino proposta la ellisse AVB ( Fig. 7 ) o la iperbo- la AVB ( Fig. 8 ) con la inscritta AB. Se non vi è notato il centro K, questo si trovi mediante l'intersecazione di due diametri, ciascun de' quali si conduce come si è poco fa con- dotto quello della parabola . Dal centro K sia la KO , che di- vida per metà la AB , e tagli la curva in V ; indi facciasi KO : KV : : KV : KD . È noto essere D il punto di concorso delle tangenti ai due punti di curva A , B . È dunque D il punto, da cui deesi calare alla AB la perpendicolare DE. Se l'inscritta giacesse tra le due opposte iperbole, come nella fig. 9, allora non potendo più il concorso delle tangenti 'S\ « <7hzS. Ss^t X77/ #00. „fo ì « ■■' \/// f& £& <- yff/ztes? l/Z SZf/Z /f. ■J^CP'ZT- /aas/. a,J0. ^-i/ac /u <-/2? del ve- ro, e n'è per conseguenza minore quello che ne risulta per t cioè 8" , 86ao56 . Si vede peraltro che ci vuole un errore di 104^,2 nel valore di 5 per averne uno di T'0 di 1" in quello di t. Del Sic Pietro Franchini . 265 di t. Ciò posto, passiamo a stabilire i principj che sono ne- cessari per introdurre nel calcolo la considerazione della re- sistenza . Peso di un poli. cub. d'aria .... gr. 0,317 Peso della sfera , che per fissare le idee supponiamo di marmo nero d'Italia, e di un diam. di 5^o/- , 28, e però di un volume = 77^'- cui- , 073 , .... gr. 1186,679488 Peso di un'eguale sfera d'aria . . . gr. 24,4,3;1I4I Peso assoluto della sfera di marmo . . gr. 12,11, 11 1579 Valore assoluto della gravità terrestre in 1" poli. 36a,352, Valore relativo della gravità nella sfera durante la sua caduta poli. 355 , 042 Resistenza totale sofferta dalla sfera cadente j = ( Meccan. ) alla metà del peso di un prisma d'aria, avente per base il circolo massimo della sfera , cioè 2.qPolL i- , 895 , e per altez- za 1 o , 3i7 X aI >8q5 . uz 6,q4o7i5Ma „- u? za —i= i - = =1,735179 — . *B ' a • *g As g Resistenza elementare , cioè quella che vien provata da ciascuna particella elementare della sfera \ = al valore prec. 1,735179 — diviso per la massa della sfera, cioè per — — - | = o , 001432M'- . Dunque ( Meccan. ) gkz=o, ooi433; e perchè g = 355, 042 si ha £a= — — — — = o ,00000 4o36i A2, 1 k = o , 002009; 355,o4a ' T T ' g£ = o, 71 327 19378 ed = 697,836706. Si ha d'altronde e = 2 , 718282 . Per diminuire la prolissità del calcolo si prenda gk = 0,713, e = 2 , 7 1 8 , £ = 8", 862 1 . Così la formola (1) si riduce ad 5=697,830706 l0g.|J2, 7l86'?,8677_H2, 7-K-M-8677j. Tom. XVII. 34 266 Sacci di Meccanica e di Alcebra ec. Per mezzo de'logaritmi tabulari si trova 3,7 i86,3,8677=554.4-70963. Dunque = o,ooi8o3; per conseguenza ■l a^iS6,3'36" r ° .? = 697 , 886706 log. 2,77 , 2,36383 : Ma log. /aJ- 277, a36383 = a, 443^5o , e però log .ne^ 277,2,36383 = 5,62.5791 : Dunque si ha ^= 697,836706x5, 625791 = 3925/'0/S88i52o=3a7^>-, 156793. Questo valore è < del vero perchè tal è il valore 8", 8621 assunto per t nella formola (1). Per altro, siccome ad ogni 104^,2 di aumento nel valore di j corrisponde un decremen- to di jL di 1" nel tempo, se si rappresenta per z il numero de' secondi che deesi aggiungere all'assunto valore di t, l'e- quazione 327, 156793-4- 104,2 Xs= 1185,737581 , il cui secondo membro supera il vero valore di s, c'insegna che z è necessariamente 906139 j e dà 53=4335^0/-, 148637 = 361^,262394. Calcolando il tempo che il suono impiega a percorrere 36i-P'- , 262894 si trova o" , 346709 , e questo tempo unito a quello assunto per t, cioè 9",686o3o dà io", 082789. Si ha dunque un'aberrazione in più di o", 082789, n.° < del limi- te o" , 082822 sopra determinato . Del Sic. Pietro Franchini . 267 Pongasi t=io" — 3-^^2l= io"-o", 34670 1 =9",653a99 e si avrà J=6o7,836706 log.ij 2,, 7l86'88a02a-4-a, 718 — 6.88aoaa j e fatto tutto il calcolo J4 = 43i5^>/-,5a6oa8 = 359'"-,627i69. Il tempo che il suono impiega a percorrere 359^"-, 627169 è = 9 ' 2?I 9 = o",3i5i3a, e questo unito al valore Q",653aqq 1042 assunto per t dà 9", 998431 , cioè un risultato che aberra di- fettivamente dal vero di o", 001569, va^e a dire di un mo- mento insensibile . Pongasi finalmente ^=IO"-3Ì?-^I^=io"-o",345i3a = 9", 654868 1043 s = 697, 836706 log. \ \ a, 7i86-883^ -f- a, 7i8~6- 8839a j ossia s5=43i9/")S 644806 = 359^'-, 9704005 . La proporzione io4a ; 1" :: 35g, 9704005 \ x =0", 345461 ci dà luogo di riconoscere che si ha 9", 654868 -+- o", 345461 = io", ooo3a9 cioè che la soluzione precedente è dotata di tutta quell'esat- tezza che in un problema di questa natura può desiderarsi . ARTICOLO VII. Dimostrazione del teorema fondamentale ni p m p n q no a .a' = a . I Geometri , dopo eh' ebbero trovata la formola genera- le, esprimente lo sviluppo di (a-*-b)m nell'ipotesi di m in- tiero, conobbero la necessità di determinare la forma dello sviluppo analogo nell'ipotesi che m sia una frazione qualun- que . Per la stessa ragione , dopo che si è provato essere am . an = a"1*" nell'ipotesi che m, n sieno intieri, convien determinare l'espressione di am.an nell'ipotesi che m,n sien 2Ó8 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. numeri fratti , perchè la dimostrazione con cui si prova es- sere am . an = am-*~n quando m,n sono intieri, non ha luogo se m , n sieno fratti. Questo teorema è uno de' fondamenti dell'Algebra, e ninno, per quanto è a nostra notizia, lo ha sin qui dimostrato . Si riduca il numero a alla forma a -+-0, indi per mezzo della formola del binomio si deduca !± Il — — i / \ ——a I....(aH-/?)B =«*-*--«* P+i-(--i)a'i 0a-*-ec. v ' n n \ìì / 11... .(a -4-3)1 z=ai^-i-ai 3-^^U—i)ai 3^-hec. v q i \* L'ordinata moltiplicazione de' primi due sviluppi dà 71 7J p m m p al"' a'1 3 + l-(-—i\an"* al 3* p ni _h i Z /Z _ j \ a~9 " 3 a^ £2 -+- ec. m p m j>_ J2 _ Ma supponendo an .ai —an ? , e per conseguenza a™ p m p aV = an 1 (*) il IV sviluppo si cangia nel III, ed un'i- potesi che trasforma uno sviluppo legittimo in un altro svi- luppo legittimo è necessariamente legittima. Dunque l'equa- 77i p m_ p zione an .ai =an * è vera generalmente. (*) Basta fare — — 1 = — ; per ricondurre questa equazione alla precedente. n ti Del Sic Pietro Franchini . 269 ARTICOLO Vili. Nuovo metodo per formare speditamente le alte potenze delle cifre 3 e de' numeri ch'equivalgono al prodotto di più cifre . Siccome si ha 4ra = %m • a'* ■> 6m = am . 3™ , 8m = a"1 . a"1 , 9m_3m.3ra, per formare speditamente una data potenza in- tiera positiva di una delle cifre a , 3 , 4 9, altro non si richiede che un metodo compendioso con cui si ottenga una potenza qualunque delle cifre a, 3, 5, 7. Noi diciamo che a quest'effetto basta introdurre nel calcolo le successive po- tenze sudduple de' successivi quadrati della cifra proposta . Come ciò si eseguisca non si può meglio dichiarare che con gli esempj . Volendo formare la potenza a3° si deduca successivamente a3o_4,5_4 .414 = 4. 167 = 4.16. i66 = 64.(i62)3 = 64.a563 = 64.a56.a56a = 64.a56. 65536= 16884.65536 = 1073741824. Nella stessa guisa si ottiene *64=43»=ir3^=(i6^)«=a568 = (àS6a)4 = ( 65536)4 ==(65536*)° = (4294967296 )a= i8446744°8370955i6i6 • L'ultimo prodotto non richiede che cinque diverse mol- tiplicazioni . Così 3I? = 3.3,8=3.99=3.9.98 = 27.8i4 = 27.(8ia)a = 27.656ia = 2,7 .43046731 = 1 i6aa5i467 . Se il numero proposto sia il prodotto di più cifre si fa la potenza di ciascuna, ed il prodotto de' risultati è ciò che si cerca . Cosi facilmente si trova 4a8 = a8 . 38 . 78 = 256 . 656 1 . 57648o 1 . Per formare la potenza am essendo m> o, si osservi che si ha — = o,5 — = o,a5 a a* — =o,ia5 4- = °?°6a5 2. 4 a7Q Saggi di Meccanica e di Algebra . 4 = o,o3i25 4 = o,oi56aS a-" a6 — = 0,0078l2,5 ^ = 0,003906a5 — =0, OOIG;53l25 —=0,0009765625 Formato il io.0 quoziente si abbrevia l'operazione osser- vando che le ultime tre cifre sono alternativamente 125 e 625 , e che le cifre antecedenti alle ultime tre si ottengono con moltiplicare per 5 le simili cifre del quoziente anteriore, ed aggiungendo 3 al prodotto se trattisi di formare un quo- ziente di ordine dispari . Si ha per esempio i5= 3 .5; 78= i5. 5-i-3; 390 = 78.5; ig53 = 3go. 5-+- 3, ec. Mediante l'espressione di 22m si ha quella di 4'" perchè aam = 4m • Le potenze negative di 5 si ottengono anche più facilmente . Essendo — = 0,2=0,2', ^. = 0,04 = 0,02a — = 0 ,008 = 0 ,O023 , — = 0,00l6 = 0,002^ 53 5+ — = 0 ,00032 = 0 ,00025, — = 0 ,000064 = 0 , 000026 si vede che il numero degli zeri cresce di due unità per ogni tre divisioni, il che basta ec. Si ha per esempio —^— = 0,00000 00000 00000 02a4; e perchè 234 = 41» = 166 == 2563 = 256 . 65536 = 16777216, risulta — =0,00000 00000 00000 01677 7216. Per conseguenza si ha = — . a5"* 51"1 Del Sic Pietro Franchini . 271 ARTICOLO IX. Nuovo metodo elementare per cui direttamente si ottiene il valore prossimo dell' incognita i spettante alla nota equa- zione ■('-+■ 0' = '{— : \ dove i è V annuo interesse di una lira, t un dato numero di anni, r un' annua rendita, e un capitale, che nell'ipo- tesi dell' interesse composto equivale al profitto risultante dall'esazione di un numero t di rendite consecutive . Noi supponiamo che fatto r= 1 siasi calcolato il valore di e corrispondente alle quattro distinte ipotesi, d' i = o ; i = o , 04 ; i = o,o5;i = o,o6, e per tutti i valori intieri positivi di t inclusivamente compresi fra 1 e 100. Le tavole che risultano da questo calcolo si trovano nella Dottrina degli Azzardi del Sig. Moivre tradotta dal P. Gaeta ( Milano per il Galeazzi 1776). Chiamando e' , r , t' il rispettivo dato valore di c,r,t; e, j Cj, , cm , ep, il capitale corrispondente alla rendita di ih- nel- l'ipotesi di t = t' , e nelle rispettive ipotesi di i, = o , o3 ; i„ = o , 04 ; iiu = o , o5 ; ilV = o , 06 , le proporzioni jc, : e : : 1 : /-,; c„ : e' : : 1 : r„; CjJ1 : e' : : i : r(jl-, <> : e' : : i : r,„ j . . . (a) danno il valore r, , ru, r„, , rlU della rendita respettiva che nel- le accennate ipotesi corrisponde al capitale e . Posto che niuno de' valori r, , r„ , rm , r|U si trovi =r', al- trimenti i sarebbe già noto, il valore di r' cadrà fra due de' consecutivi numeri r, , ru , r„, , rlV (*) . Se / cade fra r, , ed rn si osservi a quale de' due limiti (*) Se si trovasse r,„ < r' l'interesse sarebbe >o,o6 e però non ammissibile. Si dovrebbe dunque diminuire la rendita r' . 27a Saggi di Meccanica e di Algebra . sia più vicino : qualora sia più vicino ad r, si faccia i = it-i-d : essendo r' più vicino ad r„ si farebbe i = i;i — d . Dicasi lo stesso nelle respettive ipotesi che r- cada fra rìt ed rm o fra T.IU ed rtV . Suppongasi per esempio che abbia luogo l'equa- zione i = ii-i-d . Sostituita questa espressione d'i nell'equa- zione del problema, siccome il massimo valore di § è o,oo5, e però il massimo valore di d3 è 0,0000001 2,5, si trascurino le potenze di d superiori alla seconda; si sciolga l'equazione quadratica che ne risulta, equazione che più speditamente si ottiene mettendo la proposta sotto la forma (ci — r) ( t+i)' + r = o, e si avrà con un'approssimazione assai notabile il richiesto valore z'i-h^( = ì) . Sia per esempio c'=ioo5C, r'=i5sc-,5; £' = 8art-. Con- sultando le tavole terza e quarta si vede che le ultime due delle proporzioni (a) si riducono a 6 ,4602 : 100 : ; 1 : r,u -, 6 , 2097 : 100 : : 1 : rlV , e danno rm = 1 5SC- , 472 , r,v = 1 6SC- , 1 o3 . Dunque r cade fra rlu ed r,v e si ha i = o , o5 ■+■ d . Posto iul -+- d per i V equazione del problema è ( c'ilu -+- c'd — r> ) ( 1 ■+■ im + ^)f' + / = o, ossia \ ( di„, - /■-) I ( t' - 1 ) ( 1 -+- im y-> ■+■ c'f ( 1 -h ilu )"- \ a- + e sostituiti i valori |(5-i5,5)a8(i,o5)6*3oo(i)o5)7|^H-jioo(i,o5)8+(5-i5,5)8(i,o5)7J^ (5— i5,5)(i,o5)8-hi5,5 = o. Siccome ( i , o5 )6 = i , 340095 ; ( 1 , o5 )7 = 1 , 407099 ; ( r ,o5)8=i ,4774-55' la precedente si riduce a (725,679800— 393,98793o)^m-( 147,745474— 1 18,196379)^— 0,013275 = 0, ossia 33 1 , 69 1870^ -1-29, 549095 d — 0,013275 = 0 . Quindi d* ■+■ o , 089082 d — o , 000040 = 0 , ■> Del Sic Pietro Franchini . 273 j ss — o , 044541 — 1/(°» 000040 -t- o , 001 984) = — o, o4454i ±: j/o , 002024 = — o , 044541 — ° •> o44988 =a o , 000447 ed z'( = o,o5-h^) = o,o5o447 • ARTICOLO X. Teoria de' vitalìzi dedotta da' suoi veri prìncipi . Nozioni Preliminari. J. li I. Dicesi montante di un capitale e la somma del capitale stesso e del suo interesse composto, al termine di un dato tempo t . Chiamando ì V annuo interesse di una lira la proporzione 1 ', i '.'. e '. ci 'c'insegna che il montante di e al termine del primo anno è e ( 1 -+- i ) ; che al termine del secondo è c(i-4-i)-t-c(i-f-?)i = e ( 1 -i- i )a ; che al termine del terzo è e ( n- z )3 -H e ( 1 -t- i )2i = c( 1 -+-i)3, ec. In generale al termine del tempo t il montante del ca- pitale e vien espresso per m = c(i-t-z)'. Fatto e = - — si ha m = \li- , e posto i+i = /i si scuopre che i capitali 111 1 T ' à» ' F I» danno tutti al respettivo termine di 1 , 2 , 3 , . . . . t anni il montante di una lira . II. La probabilità p che un dato evento fortuito succe- da sta in ragione diretta del numero F de' casi favorevoli al successo, ed in ragione inversa del numero P de' casi possi- bili , cioè si ha p = — . Infatti se resta F invariato, l'aumento di p è proporzio- Tom. XVII. 35 2-74 Saggi di Meccanica e di Algebra ee. naie al decremento di P e viceversa : se resta invariato P, la variazione di p è = alla variazione di F . Indicando con la lettera G il numero de' casi contrarj al successo si ha P = F -+- C , e mentre la probabilità del suc- F • G cesso è , la probabilità contraria risulta = ossia F-i-G l F-*-C F F-(-C III. La probabilità di un avvenimento composto di più avvenimenti semplici indipendenti, è uguale al prodotto del- le probabilità assolute di ciascuno avvenimento semplice . Dimostrazione . Il numero de' casi possibili relativi all'avvenimento com- posto equivale al prodotto de' numeri che respettivamente rappresentano i casi possibili di ciascuno avvenimento sem- plice, perchè ognuno de' suddetti casi relativi ad uno degli avvenimenti semplici può combinarsi con ciascuno de' casi pos- sibili relativi a ciascuno degli altri . Dicasi lo stesso per rap- porto ai casi favorevoli e si concluderà ec. IV. Il prodotto cp di un certo capitale e nella probabi- lità p che vi è di guadagnarlo , dicesi sorte e speranza ma- tematica . Se il capitale e non può conseguirsi che al termine del tempo £, il valore della sorte corrispondente al principio del tempo t si ottiene con sostituire in cp per e il capitale do- vuto alla somma stessa , tale cioè che al termine del tempo t dia il montante e . Questo capitale è . ( i -+- » )' Con questi semplicissimi principi siamo in grado di sod- disfare ai principali problemi spettanti aila dottrina de' vita- lizi e delle successioni . §. a. Teorema . Prescindendo da ogni particolare perma- nente cagione di deperimento, la vita media o probabile equi- vale alla frazione il cui numeratore sia il numero de' super- stiti dopo l' età data , il denominatore il numero de' viventi Del Sic Pietro Franchini . 2,75 nell'età stessa. Dimostrazione. Dai registri di Sussmilch (*) risulta che di 1000 nati giungono Mortalità Mortalità All'età di anni 90 11 a All' età di anni 94 4 1 91 9 a 95 3 1 go, 7 2 96 2 1 93 5 1 97 I 1 Abbiasi un'urna che contenga 11 biglietti: suppongasi che per 7 anni consecutivi al termine di ogn' anno si faccia l'estrazione di un numero di biglietti espresso dalla ispet- tiva cifra della terza colonna, e che gl'individui il cui bi- glietto resta nell'urna guadagnino uno zecchino per ciasche- duno . È chiaro ( n.° IV ) che nell'istante della prima estra- zione ciascuno degli 11 biglietti ha diritto a fj di zecchino, perchè T\ è la sua probabilità di vincere nella predetta estra- zione ; che ciascuno degli stessi biglietti nell'istante medesimo ha diritto a T9T.| = T7T di zecchino per conto della seconda estra- zione ($. i.n.°III);che ha diritto a & .|.f=T\, a &.f.f .§==#, 7543. 1 § 9 *7 a IT • § • ? • 5 • 4 ìt ' a II • 9 • 7 • 5 ' % ' 3 lì ' a lì • 9 ' ? • 5 • 4 * 3 • 2 II per conto delle respettive estrazioni 3.a, 4-a, 5.% ò.a e 7.0. Dunque il diritto che risulta da tutte l'estrazioni equivale ad uno zecchino moltiplicato per una frazione, il cui numeratore sia la somma 3i di tutte le cifre della colonna media eccettuato il i.°, e il denominatore sia il primo termine 11 . Il diritto in questione è dunque = f{"c = 2,zec- ^ . Alla vincita di uno zecchino si sostituisca la sopravvivenza di un anno, e si con- cluderà che un individuo di 90 anni ha diritto ad una vita media di %an- e xo mesi presso a poco . (*) Die gòttliche ordnung in den ve- randerungen den menschlichen gesch- lechts aus der geburt , dem tode und der fortpflanzung desselben erwiesen . Beri. 1765. 27 6 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. Il raziocinio precedente , quantunque applicato ad un e- sempio particolare, essendo di sua natura generico, se dicasi E l'età data, e però E -h i , E + a, ec. ciascuna dell'età consecutive, indicando per re, re', re" ec. il numero de' viventi nell'età respettive , onde si abbiano le due seguenti serie in colonna la vita media dell'età E risulta n' -t- n" -+■ n'" -4- i E n E-h 1 n E -+-a r ri E-h3 ri E + /« i §. 3. Il teorema stabilito è vero in astratto, cioè indi- pendentemente da qualunque permanente cagione , la quale in una speciale maniera tenda a conservare o diminuire la vitalità . Le principali cagioni del primo genere sono : la tran- quillità dello spirito , un proporzionato esercizio delle mem- bra, un'esatta morigeratezza e la salubrità dell'aria. Il diu- turno difetto di ciascuna delle predette cagioni costituisce una cagione contraria ossia del secondo genere , ed è una cagio- ne non dissimile la discendenza da genitori mal sani e l'eserci- zio di una professione pregiudizievole (*) . Sì dell'une che delle altre cagioni convien tenere il più esatto conto in ogni caso particolare, ed a tal effetto sono utili le tavole di Hogdson e di Deparcieux , la prima formata sui registri di Londra, città per la natura del clima e per la eccessiva popolazione assai nemica della longevità; la seconda ricavata dai registri delle comunità religiose e dei tontinisti di Parigi {**) . La ta- (*) Veggasi la bell'Opera De Morlis Artificum di Bernardino Ramazzini . (**) Tontina così detta perchè Loren- zo Tonti Napoletano nel i663 la intro- dusse in Francia , è una lotteria vitali- zia da cui risulta un'annua rendita de- terminata per ciascun socio , con la con- dizione che cessando di vivere un qua- lunque numero di 8°cj, le rendite loro restino a vantaggio de' superstiti . La mo - glie di un barbiere che aveva impiegati 3oo franchi nella R. tontina di Parigi del 1687, divenne padrona dell'annua rendita di franchi 735oo . I socj della predetta tontina furono 59 ri, e furono 3349 quelli che composero la susseguen- te tontina di Parigi del 1696. Del Sic. Pietro Franchini . 377 vola di Hogdson per esempio c'insegna che la massima vita media è in Londra di 39an- . 9"1 , e dalla tavola di Deparcieux risulta ch'essa è di 48an- . 3m- . Il confronto delle due tavole precedenti ci dà luogo di riconoscere un singoiar fenomeno , ed è che sino all' età di 80 anni la regolarità del metodo dietetico e della condotta morale vince l' effetto della insalubrità dell'aria derivante da un'eccessiva popolazione, e che al di là dell'anno ottuagesi- mo il vizio dell'aria prevale al benefizio del regime. Per es. la vita media di un individuo di 90 anni, secondo i registri di Sussmilch, i quali sono ricavati dal complesso di più re- gni, è, come abbiamo veduto, di aan . io7™-, mentre la tavo- la di Deparcieux non dà che ian- . gm- . Un fenomeno simile si ravvisa confrontando la tavola di Sussmilch con quella di Kersboom costruita per l'Olanda (*). Lasciate da parte le tavole di Duprè de S* Maur e di Halley , la prima perchè limitata a i5 parrochie, 3 di Pa- rigi, 12, dell'adiacente campagna; la seconda perchè formata sui registri della sola città di Breslavia , noi ci proponiamo di calcolare a tenore del teorema stabilito ( §.. n ) la vita me- dia d'ogni età su i dati di Sussmilch, nella cui tavola, ri- portata nella Dottrina degli Azzardi di Moivre tradotta da! P. Gaeta ( Milano per il Galeazzi i^^d ) il valore delle vite medie aberra quasi sempre dal vero . Abbiamo aggiunto nel- la colonna 3.a il numero de' sopravviventi in tutte l'età con- secutive , numero che è quello di tutti i casi favorevoli . Il numero de' sopravviventi nell'età data, e che trovasi nella colonna a.a, è il numero de' casi possibili. Così in una stes- sa linea orizzontale si hanno, accanto al numero esprimente una data età , gli elementi della vita media . Per esempio la vita media dell'età di 5oa" è = — — = 17 i. I numeri che 3i3. ' * (*) Batavia insalulris est et brevis cevi ( Haller Pliysiol. T. 8 ) . 2,78 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. Sussmilch adduce nella 3.tt colonna appartengono ai soprav- viventi contati dal principio della tavola, e ci sembra che non sieno di alcun uso . Un numero n della n.a colonna diviso pel numero supe- riore m , misura la probabilità che l'età corrispondente al numero m nella colonna antecedente ha di vivere per un an- 3o5 no . Così è la probabilità di vivere un anno spettante 3i3 . all'età di 5o anni . Le frazioni adottate sono le più semplici e prossime. Ciò basta in un problema che non ammette una soluzione rigo- rosa . Del Sic Pietro Franchini . 279 TAVOLA Dell' annua probabilità di vivere, e della vita media. Età Di 1000 Sopravvivuti Vita Età Di 1000 Sopravvivuti [Vita attuale soppraviv. in tutte l'età media attuale sopravviv. in tutte l'età media ogn'anno consecutive ogn' anno consecutive An. 0 1000 28924 29 An.5i 3o5 5i97 '7 1 740 28184 38 52 297 4900 16 £ 2, 660 27624 4' 1 53 289 461 1 16 3 620 26904 43 f 54 280 433 1 i&i 4 596 a63o8 44 t 55 271 4060 i5 5 584 25724 44 56 262 3798 41 6 574 25i5o 43 ì 57 a53 3545 14 7 564 29596 43 \ 58 244 33oi i3 i 8 554 24042 43 ì 59 a35 3o66 i3 9 546 23496 43 60 226 2840 ia i 10 540 22956 4* i 11 535 22421 42 61 217 2623 12 12 53o 21891 4' ì 62 208 a4i5 11 i i3 526 2i365 4° I 63 199 2216 11 * i4 522 20843 4° li 190 2026 IO f i5 5i8 ao325 39 i 180 1846 IO J 16 5 14 19811 38 l 66 170 1676 9 ♦ 17 5io ig3oi 37 t 67 160 i5i6 9 1 18 5o6 18795 37 t 68 i5o i366 9 '9 5oi 18294 36 i 69 140 1226 8 * 20 496 17798 36 70 i3o 1096 8 * 21 491 17307 35 ; 71 120 970 3 } 22 486 16821 34 f 72 ni 865 7 1 23 481 16340 34 73 102 763 7 è 24 476 i5864 33 | 74 93 670 7 i 25 471 15393 32 | 75 85 585 6 « 26 466 14927 3a 76 77 5o8 6 f 27 461 14466 3i i 77 69 439 6 ! 28 456 140 IO 3o | 78 62 377 6 29 45 1 i3S59 3o 79 55 322 5 f 3o 446 i3n3 29 | 80 49 278 5 £ 3i 441 12672 28 f 81 43 23o 5 1 3a 436 12236 28 82 37 193 5 i 33 43 1 n8o5 27 ì 83 32 161 5 34 426 ii379 26 | s 28 i33 4 ì 35 420 10959 «6* 24 109 4 ì 36 4i3 10546 25 | 86 21 83 4 t 37 406 ioi4o 25 87 18 70 4 38 399 9741 24 ? 88 i5 55 3 f 39 392 9349 23 ? 89 i3 42 3 i 40 385 8964 23 i 90 11 3i 3 4» 378 8586 22 ì 91 9 22 2 è 42 37i 8215 22 j 92 i5 2 t 43 364 785i •I è 93 5 io 2 44 357 7494 21 94 4 6 1 2 45 35o 7144 20 $ 95 3 3 1 46 343 6801 19 * 96 2 1 0 a 47 336 6465 -9 ì 97 1 0 0 48 329 6i36 18 f 98 0 0 0 49 321 58i5 18 i 5o 3i3 55oa 17 £ a8o Saggi di Meccanica, e di Algebra ec. 4' Teorema . Chiamando p\ p" , p'" . . .pi') la successiva probabilità che al termine di ogn'anno una vita v ha di so- pravvivere un anno, e U il valore della vita stessa, cioè il valore dell'annua rendita di ili- sulla vita v , si ha u^i + ùL-i-ùy: . , jw"--j*> (a) h h* h* h" ' ' V ' dove pV) è l'ultima probabilità e però p(*r*°1l = o . Dimostraz. Infatti ( §. i.n.°IV) il i.° termine del a.° membro esprime la sorte della vita v relativamente alla sopravvivenza del i .° anno; il a.° termine esprime la sorte della vita v relativa- mente alla sopravvivenza del a.0 anno, e così in seguito fino all'anno te"mo inclusivamente , oltre il quale non evvi proba- bilità di sopravvivenza . Esempio. Vogliasi il valore dell'annualità di ih- sopra una vita di 86 anni, nell'ipotesi che sia i = o , o5 . La tavola dà p' = — ,/?"= — , p'" = — , ec. Dunque jy 6i 5 I l3 I II I \ 7 i,o5 7 (i,o5)a ai (i,o5)3 ai (i,o5)+ 7 (i,o5) I I 5 I '4 I 11 ai H — •■ — rrr-*-- •: — r?H — ■': — — -*- 3 (i,o5)6 ai (i,o5)7 ai (i,o5)8 7 (i,o5)9 ai (i,o5)'< 1 1 ai (i,o5)" , Q£Sia TT 6 5 i3 U = 1 1 -H -——-«- 7,35 7,7175 24,3ioi25 a5,5a56a6 8,933969 4>oaoil85 5 4 1 ai 1 2 1 1 H- '29,5491 3i, 026555 10,859294 34,206760 35,91709 = 0,81 63a6-t- 0,647878 -4-o,534756 -1-0,430939 -1-0,33579 1 -+- 0,348738-1-0,168871 -+-0,138931 -+- 0,093087 -+-o,o58464 ■+- 0,037841 =3,49c6ia''- . Nella stessa maniera per rapporto ad una vita di 90 anni si ha 9171 5i 41 3 1 U = 11 i,o5 11 (i,o5)2 11 (1,05)* 11 (i,o5)+ 11 (i,o5)5 ai 11 77 ' (i,o5)5 11 '(i,o5)' Del Sic Pietro Franchini . 19916' 281 • 0 , ai368' = o , 77922 -+- o , 57720 •+- o , 39265 -+- 1 0,1 3567 ■+• o , 06460 = 2 , 462 18''- . 5. Se l'annua rendita sia di r lire il valore U' della me- desima si ha dalla proporzione 1 ; r * ; U ; U' . Per esempio se U è il valore di una vita di 86 anni, cioè 3,490612''- il valore U' di un'annua rendita di ioo*'- sulla vita stessa si trova = 349, °6i'1- • La stessa proporzione serve a determinare l'annua ren- dita r, corrispondente ad un dato valore di U' . Per mezzo dell'equazione (a) si può dunque risolvere il seguente. Problema. Dato che un capitale effettivo c( = U') si vo- glia impiegare a vitalizio sopra una data vita v, qual è l'an- nua rendita o prestazione che gli compete . Sia per esempio U' = ioo"-; la vita data di 86 anni, e si avrà 1 : r \ \ 3 , 4906 : iòo«- , r= Jgf!2i = a8" , 648 (*) . 04900 Il Sig. Moivre chiama compimento della vita quel num. d'anni che manca a' 86 : posto = k il compimento rappresen- ta le respettive probabilità di vivere 1 , 2, 3 ....t anni coi n.' (A — 1 A — 2 k — 3 k — t) / , .. e ne deduce che il valore della vita il cui compimento è k sia k—(k— 1) l fui \ . j . . . .H - = [ 1 I ( h— 1 ) , = \ A A AA1 AA3 1 dove u = — n h — . . . A A» A3 Questa formola per altro ha il difetto di non essere ap- plicabile ad una vita>85a" , e di essere oltre di ciò del tut- Tom. XVII. 36 ( ) L equazione c(i-t-z) — r j ■ relativa alle rendite certe ( Art. IX ) non si rende opportuna al calcolo vitalizio con sostituirvi la vita media per r . De- ducendone per esempio il valore dell'an- nua rendita di i''- sulla vita di 90 an- ni si trova e ( = U ) zz 2 , 58a , mentre l'equazione (a) somministra Uizra, 46218. Ricavandone r nelP ipot. di e— ioo'1 e di t ~ 2™ | ( valore medio della vita di 900* ) si ottiene r — 38, 733'" , men- tre la proporzione 1 r =40,614" . U : U' dà aOa Saggi di Meccanica e di Algebra ec. to fallace : né poteva essere altrimenti perchè i rapporti (b) non abbastanza corrispondono ai dati della tavola di Halle/, con cui Moivre gli confrontò , perchè la stessa tavola di Halley è notabilmente inesatta , e perchè l' ipotesi del compimento contiene anch'essa qualche principio d'incertezza e di equi- voco . 6. Problema. Qual è il valore dell'annua rendita di ih- nell' ipot. che questa si debba pagare finché coesistono due vite date ? Soluzione . Sieno p' ,p",p" • • • le respettive probabilità che la i ." vita ha di durare per il i .° , 2.°, 3.° ec. anno: sieno et', ct", ct"' , . . . . le simili probabilità respettive della 2.a vita . Le probabilità che le due vite hanno di durare insie- me 1 , 2, 3, ec. anni sono respettivamente ( §. 1. n.° III ) p'rs' , p'p"sr'a" , pp"p"'tr'nvij'" , ec. Dunque il valore cercato è TT p'si' p'p" w'm" p'p"p"'a'vi"v"' ec. (e) (*) h h* A3 Esempio. Posto z = o,o5 le due vite date sieno una di 80 anni l'altra di 90. La serie da sommarsi è 18 9 18 i5 9 7 18 t5 i3 9 7 5 ai ' 11 ù.i ' 18 ' 11 ' 9 21 " 18 ' i5 " 11 " 9 ' 7 18 21 1 ,o5 i5 i3 11 i3 ' 75 " 73 (i,o5)« J. 1 1 9 ' 7 " 5 -(- (1,05)* +- 1» 21 (i,o5)3 i3 11 9a i5 i3 11 (1,05)5 -H 18 i5 i3 1 1 9» 71 5 4 3 2 21 18 iS i3 n» V 7 5' ' 4 3 (', o5)6 18 i5 i3 11 Q* 71 5* 4 3 2 1 21 18 ib i3 il» V r' 5 • 4 3 ■ a (1,05)7 vale a dire (*) La soluzione del Sig. Moivre è molto più semplice ma guasta per l'in- fluenza di quattro gravi cagioni di er- rore , e sono : i.° 1' ipotesi che sia p'=p" =p'" ec. , s' = v" = v'" ec. 2.° l' ipotesi che la serie decrescente (e) p'n.' sia infinita e però : 3.° l'es- ci— p'u' pressione di p' , v' , calcolata nella sup- posizione che la probabilità di ciascuna vita sia costante da un anno all'altro, = a per la prima , =i per la seconda ; 4-° 1' ipotesi che la serie dove 5 è il numero de' casi possibili , sieno infinite . Del Sic Pietro Franchini . a83 54 5 5.i3 4 3.o _. — — I _i_ -i-- 7.ii(i,o5) 11(1, o5)a n.ai(i,o5)3 ai(i,o5)4 n.ai(i,o5)5 — 1 = 1 ,6i3g . 11 .21 ( 1 ,o5)6 n.ai(i,o5)7 La solita proporzione 1 ; r ; ; U ; U' dà uno de' termini r, U' . Supponendo per esempio U'rsioo''- e le due vite da- te una di 86, l'altra di go anni si ha 1 '.r'.'. 1,6139: 100, cioè r = — — = 6 1 , 96 1 "■ . 1,6139 7. Problema. Dato il valore di due viteÀ,B, si diman- da quello di un'annua rendita di i.**- nell'ipotesi che la ren«- dita debba pagarsi finché una delle vite sussiste . Soluzione. Sieno a, b le respettive probabilità che le vi- te A , B hanno di esistere per lo spazio di un anno . Sicco- me ( 1 — a ) ( 1 — b) è ( 5- i- n.° II ) la probabilità che le vi- te A , B hanno di cessare in un anno, 1 — (i — «)(i — b) esprime la probabilità contraria, cioè che non cessino ambe- due in un anno. Così se a', b' , rappresentano le respettive probabilità che A, B, hanno di durare pel secondo anno, i — (1 — a')(i — b') è la probabilità che entrambe non ces- sino nel secondo anno, ec. Dunque 1 (i_a)(,_J) , (,_«')(,_&') j (!_«") (t_y) — ; (-— 1~— ec. ossia h h h* A» h* hl a a' a" b b' b" ( ab a'V a"b" — H 1 — r ec. -f- — n 1 — - ec. — 1 — 1 1 ec. h h' hì h h> A3 l h h* h3 rappresenta la somma de' valori dell'annua rendita di i1*- da pagarsi al termine degli anni 1 .° , a,°, 3.° ec. Essa costitui- sce per conseguenza il total valore dell'annua rendita suddet- ta sulla più lunga delle vite A, B, e però si ha l'equazione tt ad a" b V b" (ab a'V a"b" \ U= — H h — ec.H 1 1 — -ec- 1 1 -ec.)....(d). Introducendo nel calcolo una terza vita C, la cui pro- babilità di vivere 1,2, 3 ec. anni sia respettivamente e, e', e" ec. si trova che il valore dell'annua rendita di in- sulla più lunga delle vite A, B, G, vien espressa per a84 Saggi di Meccanica e di Algebra . a a! a" b V b" e e' e" — h h — ec.H 1 H — ec.H 1 H— ■ ec. — h h% h3 h h* h3 h h% h3 ab a'b' a"b" ) lac a' e' a" e" ) {be Ve' b"c" — i 1 — — ec. }—{ — i 1 — — ec. >-{ — -+-— h — ;-ec. h3 \ ) h h* h3 S ) h h* h3 'Ve' ale a'b' e' a"b"c" ec. h h? h3 Questa forinola c'insegna che qualora il n.° delle vite A, B, C ec. sia n, il valore dell'annua rendita di i1'- sulla più lunga di esse equivale alla somma de' valori di tutte le vite, meno la somma de' valori delle vite stesse combinate a due per due, più la somma de' valori delle vite combinate a tre per tre, ec. sino alla combinazione inclusiva de' valori di tutte le vite date . Esempio. Sia A = 86, B = c)o. Le vite separate valgono respettivamente (5-4) 3, 4906, 2,4622. Le due vite unite valgono ( §. antec. ) 1 ,63iq . Dunque il valore della vita più lunga è U = 5 ,9528 — 1 ,63 19 = 4 5 2209 . Dato un capitale U' la determinazione dell'annua rendi- ta dovuta alla più lunga di due vite date si riconduce alla solita proporzione 1 ; r '. ; U ; U' . Sia per esempio U' = ioo'!-, A = 86an-, B = 9o"n-, e si avrà 4-, 1000000 07; r . 2209 ; 1 00 ed ;• = = 2o"- , 69 1 . 42209 8. Problema . Tizio ha diritto di succedere a Cajo nel go- dimento di un'annua rendita. Si dimanda il valore U della successione 1 .° nell'ipotesi che Tizio succeda per se e per li suoi eredi : 2.0 che succeda per se solo . Soluzione . Dal valore — dell' annua rendita perpetua si tolga il valore u dell'annua rendita dovuta alla vita di Cajo ed U = -^- — u sarà il valore cercato nella prima ipotesi. i Chiamando u il valore dell' annua rendita dovuta alla vita di Tizio , ed un! il valore delle vite unite di Tizio e di Del Sic. Pietro Franchini . a85 Caio, il valore cercato nella seconda ipotesi è manifestamente U = u — uu' . Se si avesse un terzo successore , chiamando u" il valo- re dell'annua rendita dovuta alla sua vita, il valore della sua espettazione sarebbe nella seconda ipotesi Uff ff i il r fr = U — UU — U li -+• uuu e così in seguito . Supponendo che l'età di Tizio sia di 86 anni, quella di Cajo di 90 , la forinola U = u' — uu' dà U = 3 ,49°° — * ,6139 = 1 ,8767 . ARTICOLO XI. Supplemento all' Articolo III de' Saggi di Meccanica e di Algebra Trascendente . 5. 1. Per compiere la risoluzione dell'equazioni cubiche aventi una o tutte le risolventi razionali , resta da trovarsi un metodo sufficientemente semplice, per cui, qualunque sia il coefficiente del secondo termine , vengano determinati i criterj da' quali dipende che almeno una risolvente della pro- posta sia razionale, e per cui si scuopra il valore della risol- vente razionale s'ella è unica, di tutte e tre se sono più di una . Sia x3 -t- lx% -+- mx ■+- n = ( x* -+-fx -»- g ) ( x -+• h ) =x3-+-(f-+-h)x2-*-(g-*-fh)x-+-gh=:o , Il confronto dà /-+■ hz=l, g -*-fh = m , gh — n. La prima moltiplicata per / diviene f*-*-fh=fl . Da questa si tolga la seconda , e si avrà fa jf • . r l*=l/[4(g — m)-*-l>] . . p — lf—g — m, cioe/= — Z-k2±£ i ì (« . a Affinchè la proposta abbia almeno una risolvente razio- nale bisogna che fra i divisori di n ve ne sia uno che ren- da l2 — 4/?i^-4g un quadrato positivo (U3 , tale che l-±:u sia 286 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. numero pari , e bisogna che abbiasi "~^ ■+- h = / cioè a/i zìz u = l . Se ciò non si verifica le risolventi sono tutte irrazionali; ma qualora le condizioni anzidette rimangano soddisfatte si ha la risolvente razionale h = —, e si ha il fattore quadra- 6 tico x* -+- fx ■+■ g che comprende le altre due risolventi. Sia per esempio x3 — 5.ca •+- hxx -+- 4-5 = o . Siccome la risolvente ipotetica h dev'essere negativa altri- menti non può produrre l'evanescenza della proposta, si pren- dano per g i soli divisori positivi di 45 ■> e siccome 2,5 — 4X 22 -f- 4g ossia — 63 -+- 4g è un numero sempre -< o , ancorché si prenda per g il divi- sore massimo i5, si concluderà che la proposta non ha ve- runa risolvente razionale . Sia x5 — gxa — 3 ix — 6o = o. Omessi i divisori i , 6o , il i .G perchè troppo piccolo, il 2.° perchè troppo grande, si ponga g = 2 , 3 , 4 5 5 . La funzione l3, — i\m -+- 4g i a motivo che Za — ^m = 8i -+- 124 = 2o5 , di- viene respettivamente 2,cSz±z 8 =2i3 , 197 | n.' non quadrati perchè finiscono in 3,7. 2o5:±: 12 = 217 , 193 | n.* non quadrati per la ragione addotta . 2o5± 16 = 221 , 189 j n.' non quadrati . 2,o5:±=2o = 22-5 , 186 \ n.1 il primo de'quali è = i5a. L'equazione (a) si riduce pertanto a — — — = 3, = — 12;. e perchè f— 3 verifica 1' equazione f-+- h = l che diviene 3 — 12= — 9, si conclude che si ha #=12 e poi x2-+-3x-t-5=o. §. 2. Trattandosi di un'equazione di 4-° grado, il cui 2.0 termine sia affetto da un coefficiente non divisibile per 4» giova procedere col seguente metodo . Pongasi x^-*-px3-t-qx2-¥-rx-ì-s=(x3-i-fx0,-t-gx-hh) (.r-t-z)=o, e paragonando la trasformata x^ -+• (/-+- i ) x3 -+- ( g -¥-fi ) x* -+- ( h ■+■ gi ) x ■+■ hi = o Del Sic Pietro Franchini . 2,87 con la proposta si avrà f-hi=p, g+/i = ^, A-4-gi = r, hi = s. Eliminando i dalle prime due si ottiene f=ì\p±:l/(p>-4q + 4g)\-- ma dalla terza risulta g = — — : dunque Si divida .5 in due fattori reciproci h, i, e quelli che danno = n. int. ; /?3 — 4?-*- 4 — : — = -t-w3, £ = n. int. , j i 2. serviranno alla determinazione della risolvente razionale e del fattore cubico della proposta . Sia per esempio x^ — x3 — Sx* — 5x — 12 = 0. Osservo che qualora esista una risolvente razionale questa non può essere negativa , perchè il 1 .° membro dell' equazione x^ — x3 — Bx = 3a;a •+• 1 a è minore del a.0 se #=h- 1 , ed è maggiore del a.° se — £>-+- 1 . Divido pertanto l'ultimo termine ia in due fattori — i,-\-h, e fo i = — 3, A = 4. Risulta — 5-4 „ / / (r — h) „ p* — 4? ■+" 4 — : — = i -H ia -+- ia = 5* . _/=i(-n-5) = a, e però i fattori cercati sono x .3 axa ■+- 3x -+- 4 , x — 3 . ARTICOLO XII. Soluzione Analitica de' Problemi spettanti alla Geodesia. La Geodesia ha per oggetto di risolvere il seguente Pro- blema generale : 2.88 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. Problema . Data una superfìcie piana terminata da linee rette , dividerla in m parti che stiano fra loro in una data ragione per mezzo di m linee rette, le quali passino tutte per un dato punto o sieno parallele ad una retta data di po- sizione . Per procedere dal semplice al composto noi ci proponia- mo di contemplare successivamente il trigono, il trapezio, il rombo, il tetragono, il pentagono, l'esagono ed un poligo- no qualunque . Problema . Dividere un trigono dato BAC ( Fig. i ) in due parti che stiano come a '. a" , i .° con una retta che passi per un dato punto P; 2..0 con una retta parallela ad una retta data (*). Soluzione. Chiamando s la superficie del trigono dato, s' quella del seni mento richiesto EAF si ha s . s — s . . a . a e pero s = . Così tutto si riduce a condurre la retta PEF in guisa , che il semmento EAF risulti = ■ . Se il semmento EAF do- vesse corrispondere ad oc" il suo valore sarebbe . Per P si tiri una parallela al lato CA e sia I i! punto in cui essa incontra il lato BA prolungato : indi si abbassino PH , EG , perpendicolari alla retta BAI . Siccome il punto P è determinato quando si conoscono le rette AI, PH (**) pon- (*) In questo e ne'seguenti Problemi può aggiungerei la condizione che il sem- m '.ito corrispondente ad a' sia da una determinata parte della trasversale . (**) 11 punto P può esser dato in 85 maniere . Sieno PH , PL , PN ( Fig. 2 ) respettivamente perpendicolari ai lati BA , AC , BC , e si tirino le rette PA , PB , PC, e due qualunque degli elementi PH, PL , PN , PA , PB , PC , AH , AL, CN , PAC , PBC , PCN , il che dà 66 combi- nazioni, basteranno a determinare il pun- to P . Lo stesso si ottiene mediante il semmento AI ed una delle rette PH , PA , o mediante il semmento stesso e l'angolo PAI . Siccome ciò vale per cia- scun vertice si hanno 9 combinazioni . Finalmente se per P si conducono le XX' , YY' , ZZ' , respettivamente paral- lele ai lati, due de'semmenti AI,AR, AS, CT , CV, bastano per determinare il punto P: ciò produce io combinazio- ni . È poi facile il vedere che gli ele- menti di una combinazione bastano per determinare quelli di tutte le altre . Nell'ipotesi da cui siamo partiti il punto P si determina con prendere sul- la parallela Y'IY una parte 1M di una grandezza arbitraria , poiché tirando la MO perpendicolare ad AI si ha MO =: IM ^-7, e poi MO : PH: : IM : IP . sen.BAC r Del Sig. Pietro Franchini . 289 gasi AI = a , PH = b , AF = x . La proporzione if : af ( : : ip : ae ) : : ph : eg bx ossia a -+- x \ x : : b \ EG = a-*-x bx* bx1 dà tri. EAF = : dunque = s' 2(a-f-x) n(a-t-x) cioè x* — — x-=^- ed x = — \s -t-\/(s*-t-2.abs )\ b b b v 3 espressione che non si costruisce perchè giova averne il va- lore in numeri , che sieno per esempio pertiche , braccia , once, ec. Se il punto P è in un lato, per esempio nel lato AG, basta fare a = o e risulta x = — . b Se trovasi dentro al perimetro in PF, la solita parallela al lato CA determina il semmento negativo AI' e però con- vien fare a < o . Se il punto P fosse nel prolungamento Af si troverebbe b = o ed x = o , che dimostra l'impossibilità del Problema nell'ipotesi che la trasversale debba incontrare il lato AB. Bisogna dunque prendere per incognita un semmento degli altri due lati . Succede lo stesso se il punto P coincide con uno de' ver- tici, per esempio col punto A; ma in questo caso basta di- videre il lato BG nella ragione data, e condurre la trasver- sale pel punto di divisione e per A . Passando alla seconda parte in cui la trasversale vuoisi parallela ad una retta data , suppongasi primieramente che la retta sia uno de' lati, per esempio BG ( Fig. 3 ) . Sia E il punto cercato, facciasi AE = x, AB = «, e sic- come tri. EAF : tri. BAG : ; x* ] a* si avrà x* : aa : ; a' : a' -+■ a" ed x = a\/ — - — . Se la retta data è AK ( Fig. 4 ) si tiri la trasversale CD Tom. XVII. 3 7 noo Saggi di Meccanica e di Algebra . ad essa parallela; indi si determini la ragione de' trigoni DAG, BDG, il che può sempre ottenersi, perchè oltre l'angolo DAG ed il lato AC si ha AGD = CAK, angolo noto a motivo che AK è data di posizione. Se l'anzidetta ragione, die indichia- mo per al '. a" t è maggiore di al \ al' s'istituisca l'analogia tri. DAC — d : tri. BDG -+- 9 i ":■«*{ a" , . , , ^ a" tri. DAC — a'tri.BDC si deduca a — — — a'-t-a" e si divida (Probi, prec. ) il trigono DAG con una retta EF parallela a CD in due parti che stiano come à\ tri. DAC — 9. Parleremo della divisione in m parti quando avremo trat- tato della maniera di spartire un tetragono . Problema II. Dividere un trapezio ed un rombo dato in due parti che stiano come al , al' i .° con una retta che pas- si per un dato punto; a.0 con una retta parallela ad una ret- ta data . Soluzione . La prima parte del Problema esige che si considerino separatamente due ipotesi cioè i.° che attesa la posizione del dato punto, il lato incontrato in primo luogo dalla trasversale richiesta sia uno de' lati paralleli, a.° che sia uno de' lati convergenti . Essendo ( Fig. 5 ) AD, BC lati paralleli si supponga PEF la trasversale e sia L il punto in cui taglia il lato AB pro- lungato . Per P si tiri una parallela ad AD e sia I il punto nel quale incontra il lato BA prolungato: dai punti P,E,F si conducano PH, EG, FM, perpendicolari ad LBAI, e pon- gasi AI = a , PH = b , AB = a , BL = #. Sostituendo a-*-x per x nella espressione di EG ( Prob. I ) si ha tri. AEL = — : — . a(o-f-a-t-i) bx La proporzione IL : LB : : PH : FM dà FM = . Dunque a-t-a-t-x tri. BFL a ( a ■+- a-f- x ) La superficie richiesta AEFB è per conseguenza = - — Del Sic Pietro Franchini . 291 . . a,'s La stessa superficie si è trovata ( Prob. I) = — ( = y). Dunque l ( . Se il trapezio degenera in rombo è y = @ e si ha na.'6 — a(a'-t-a") X = . a' -+- a," Si danno de' casi che non restano compresi nella formola (I) e sono quelli in cui il punto dato cade nel prolungamen- to AL del lato AB. Infatti si ha b = o e l'equazione (1) si 292 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. riduce a o = s' ; il che dimostra incompatibile l'ipotesi da cui siamo partiti, cioè che l'incognita x rappresenti un sem- mento del lato AB o del suo prolungamento. Facendo = x il semmento di un altro lato l'incompatibilità sparisce, e si trova x sotto una nuova forma . Per vederlo sia il punto P in I ( Fig. 7 ) e posta la BF = x si conducano le solite per- pendicolari EG , FM . Siccome FM = ;c sen.B ed IA( = a) : EG : : IB( = a-t-ar) : FM(=xsen.B) si ha tetr.AEFB(=tri.IFB— tri.IEA)=if(a-t-a)*8en.B— ^f!l?l ]_ a-+- a J ma tetr. AEFB = s' : dunque x sen.B[(a-+-aY — a2 ] = 2 ( a -t- a ) j' . 1 2 (a-*- a) s' e però x = . ; sen. B naa-t-a* formola che quando a = o si riduce ad 25' 1 a' ( 6 ■+■ y ) h a sen. B sen.B a(a'-t-a") Se il trapezio degenera in rombo h equivale ad a sen.B, è • 1 za'e y = /? e si ha x = . Nella seconda ipotesi in cui il lato incontrato in primo luogo è uno de' convergenti ( Fig. 8 ) si prolunghino i lati CB, DA finché s'incontrino in G , si determini la superficie A del trigono AGB che è = ABa ■-"' — , e siccome AEFB 6 2»en.G altro non resta che dividere il trigono CGD con una ■«"' trasversale che passi per P, in due parti che stiano come . as a $ Ah : S ossia come a' ( A ■+■ s ) -t- a"A '. a"s . Per risolvere la seconda parte del Problema suppongasi 1 .° che la trasversale debba essere parallela ad uno de' lati convergenti , per esempio ad AB ( Fig. 9 ) . Del Sic Pietro Franchini . 29 3 Condotta AH perpendicolare ai lati paralleli si faccia AH=h m's e si prenda sul lato contiguo BC il seramento BF= — ; * A(a -*■« ) indi si tiri EF parallela ad AB , ed il rombo ABFE sarà uno de'semmenti richiesti. Si supponga a.° che la trasversale vogliasi parallela ai lati paralleli. Prolungati {Fig. io ) i lati convergenti finché s'incontrino in L si cali sul lato BG la perpendicolare LG che tagli in I il lato AD, si ponga BG = y, AD = /? , AH, distanza de' lati paralleli, =h, e mediante la proporzione LI : LI -+- h : : Q : y si deduca y — 6 Facciasi AE=x, si tiri EF parallela a BG , e siccome risul- ta A^ = a;sen.B la proporzione LI : Ll-\-ll\ \ (ì \ EF , ossia 4L; iÌ-f-*sen.B::/?:EF y— 6 y — 6 1, -pp, 6li-*-x(y — g)sen.B h Quindi trap. ADFE = ^^- J a/JA-f-* (y — 0)sen.B ì. Ma si sa che questa espressione dev'essere = s . Dunque l'e- quazione del Problema è o.6h ahs' X = (y — tf)sen.B (y — 6)sen.:LB e dà x=^^\-^^^'(y-^^^\- Suppongasi 3.° che la trasversale debba essere parallela ad una retta DG ( Fig. 1 1 ) data di posizione . Condotta la diagonale AC si determini la superficie del trigono ACD, indi si cerchi la superficie è che gli sì dee togliere o aggiungere affinchè sia trL BCDzpd I tri. ABDrt# : : a' ; a" . Trovato d tutto si riduce a dividere ( Probi. I } in una ragio- ne data uno de' trigoni ACD, ABC, con una trasversale pa- rallela ad una retta DG data di posizione . 294 Saggi di Meccanica e di Algebra ec. Quando avremo trattato dello spartimento del tetragono ci occuperemo della divisione di un trapezio e di un rombo dato in un numero di parti > 2 . Pkohlema III. Dividere un tetragono dato in due parti che stiano come a' , a" , i.° con una trasversale che passi per un dato punto; a.° con una trasversale parallela ad una ret- ta data di posizione . Soluzione, Immaginando i Iati AD, BG ( Fig. 12 ) pro- lungati finché s'incontrino in G si determini la superficie A del trigono CGD . Siccome si sa che uno de'semmenti richie- sti, per esempio CDEF è = non si ha che da dividere a'-t-a il trigono cognito AGB con una trasversale che passi per P, in due parti che stiano nella ragione di La soluzione si riconduce sempre al Prob. I qualunque sia la posizione del punto P . Volendo che la trasversale sia parallela ad una retta BH data di posizione ( Fig. 12) si conduca la diagonale AC, si cal- coli l'aja A del trigono ACD, e se la ragione A '. s — A è > a' ; a" , mediante la proporzione a ■+- d : s — A — ò' : : «' : a" si calcoli ò* e si divida il trigono ABG con una parallela a BH in due parti che stiano come è '. j— A — cr, avvertendo che il semmento ^ cada fra la trasversale ed AC . Se il tetragono si vuol dividere in tre parti che stiano come a' , a", a" , si divida in due che stiano come uno de' numeri a , a", a'", alla somma degli altri due, per esempio come a' ad a" -+-a"; poi si divida il tetragono che corrispon- de ad a"-+-a'" in due parti che stiano come a", a" . Si pro- cede nella stessa guisa se il numero delle parti debba esser maggior»; Sapendo dividere un tetragono in un numero di parti >2, una simile divisione di un trapezio, di un rombo e di un trigono non soggiace a difficoltà . Del Sig. Pietro Franchini . 295 Problema IV. Dividere come sopra un pentagono, un e- sagono , un ettagono ed un poligono qualunque in due parti che stiano come a! , a" . Soluzione. Sia il pentagono ABCDE {Fig. i3). Avendo prolungati i lati convergenti EA,CB, finché s'incontrino in H, ed i lati convergenti BC, ED, finché s'incontrino in I (*) si determini la superficie A, A', de' respettivi trigoni ABH, DCI ; e fissato che sia il semmento ABGF = , si divida a -Ha il trigono cognito IHE con una trasversale PFG condotta pel dato punto P, in due parti che stiano nella ragione di a+— : — + A'. a'-t-a" a'-f-a" Trattandosi di un esagono ABCDEF ( Fig. 14) si tirino le diagonali AC, FD , e si calcoli la superficie de' trigoni ABC , DEF . Dal semmento AGHCB = si tolga il trigono ti . ABC = A; dal semmento FGHDEF=- — - si tolga il trigono DEF = A' , e non si tratterà che di condurre pel dato pun- to P una trasversale PGH, la quale divida il tetragono co- gnito ACDF in due parti che stiano nella ragione di JJlì - a : -£- .- -A'.. Qualora siavi ragione di sospettare che la trasversale non incontri il lato CD si prolunghino sino all' intersezione i lati CB , DE, AF ; si calcoli la superficie de' trigoni ABL , EFI, come pure quella de' richiesti semmenti s' , s" dell'esagono, e si spartisca il tetragono CLID in due parti che stiano co- me trig. ABL -+- s' : trig. EFI -+- s" . Volendo la trasversale parallela alla DH (Fig.iB) data di posizione si tiri la diagonale AC , si determini la superfi- (*) Si otterrebbe lo stesso se invece si prolungassero i lati BG , ED. sino alla loro intersezione. ■2(jb Saggi di Meccanica e di Algebra ec. eie A del trigono ABC, e chiamando s la superficie del pen- tagono , se la ragione A : s — A è >«':«" dicasi d la su- perficie che deesi aggiungere a A; dalla proporzione A -+- 9 : s — A — 9 : : a' : a" .... (2) . -, , « a's — A ( a' -+■ a" ) a's . si deduca d = : - = A; a' + a" a' -ha." quindi pel Probi. Ili si divida il tetragono ACDE con una trasversale parallela alla retta data,, nella ragione di A ; s ossia as — (a ■+■ a )A.as. a'-fa" a'-fa" Se A'.s — A fosse >«';«" basterebbe dividere con una parallela a DH il trigono ABC nella ragione di A — d '. d . Nell'uno e nell'altro caso la superficie d dee trovarsi fra la trasversale e la diagonale AC . Se si tratta di un esagono si conduca una diagonale per esempio BD ( Fig. 16 ) si determini la superficie del trigono BCD, e siccome si conosce la superficie s — A del pentago- no ABDEF, non resta che dividerlo con una trasversale pa- rallela ad AG, iti due parti che stiano come d '. s — A — d, dove 9 si suppone trovata mediante la proporzione (2) . Abbiasi finalmente un ettagono ABCDEFG ( Fig. 17 ). Il punto dato essendo P si tiri la diagonale AF e si calcoli la superficie di AFG : si prolunghino i lati CD, FÉ, finché s' in- contrino in H e si calcoli la superficie del trigono DHE . Posto che il semmento espresso per debba essere 1 a'-fa" IAGFL si divida il pentagono AFHCB in due parti che stia- a's A . a"s . , . > no come A 1- A e si avrà ec. a'-fa" a' -t-a" Si procede in una maniera del tutto simile se il poligo- no dato abbia un maggior numero di angoli . Per non trascurare il caso che la superficie proposta pre- senti qualche angolo rientrante, sia l'esagono ABCDEF (Fig. 18) coli' angolo rientrante D. Si prolunghi il lato ED finché incontri in I il lato AB e si Del Sic Pietro Fkanchini . 297 e si calcoli la superficie A del tetragono BCDI . Pel dato pun- to P si conduca la retta PGH perpendicolare ad AF, che in- contri AF in G , DE in H . Trovati con la misura o con le formole della Tetragonometria i lati BI , DI del tetragono BCDI si conoscono i lati AG, AI ( = AB — IB ) e gli angoli del tetragono AGHI; in conseguenza si possono calcolare i lati GH, IH e la superficie, e Io stesso può farsi per rapporto al tetragono EFGH . Sieno /, s" le respettive superficie de' tetragoni AGHI, EFGH. Posto che la ragione di j' + A; $" sia > a ; a" dicasi s _t_ a — è- : s" -h d : : a : a" ; • 1 1 *. a, s — a s -*- a l\ si deduca 0 := a' -+- a" e non si avrà che da dividere il tetragono AGHI in due parti con una trasversale PML tale , che risulti GHLM = d . Sia per ultimo il seguente Problema riputato dagli Agri- mensori assai dimoile e non solubile che per tentativo. Problema . È dato il campo ABCDEF ( Fig. 19 ) ed in es- so è compresa la parte infruttifera AOQE . Si vuol dividere la parte fruttifera con due trasversali che passino per un dato punto P in tre porzioni che stiano come a' , a" , al" , ed a ciascuna si vuole unire una simile porzione del terreno in- fruttifero . Soluzione . Dicansi s' , s" , s'" i richiesti sentimenti del terreno fruttifero, la cui superficie s si suppone cognita, s'i- stituiscano le proporzioni s':s-s'::a': a"+a'" ; s" : s—s" : : a" ; a -ha'" : s'" : s—s" : : a'" : a'-f-a" e si deduca s' == Ciò posto si misuri la diagonale GQ e la superficie s, del pentagono CBAOQ ; questo si divida con la trasversale PMG in due parti ABMG, GMCQ , la prima delle quali sia =s' ed il Problema sarà ridotto a dividere la figura CDEQOGM in due parti che stiano come a" , a" . Si prolunghi il lato QO finché incontri la PMG in a , si tiri la diaconale CE, si mi- Tom. XVII. 38 2C)& Saggi di Meccanica e di Algebra . suri la superficie A del trigono CDE , si divida il pentagono CEQaM in due parti, la prima delle quali verso *' sia =j", l'altra = s" — A, ed il terreno fruttifero sarà diviso a teno- re della condizione assegnata . Pel punto H già determinato si tiri una trasversale che divida il pentagono AOQEF in due parti , una delle quali EFIH stia a tutto il pentagono come a'"\a-*-a": pel punto G si tiri la GL che divida il penta- gono AIHQO in due parti AILG, GLHQO , che stiano come a' , a" , e le superficie MBAILG , MGLHRHN , NHIFEDC , daranno lo spartimento richiesto, purché nella definitiva de- marcazione , mediante un opportuno e quasi insensibile spo- stamento della retta NH, si spartisca fra i due ultimi possi- denti, nella solita ragione respettiva di a', a", a'", la picco- lissima superficie aOG oh'è rimasta indivisa . 'f/star/z^'m, ■ A '/'■ I CN / i T V k . 7JT ?" VJ *L <\ r --- CE ^. ^72^ XF-JC Si.pr. _ZX. ylzc /^zz ^&&*u>s-z. ^'^fe»w&-^ ^>£r . ^jT&zZ. J7#/n JffZF /sa?. *J"? T y* 7JZ \ VT k^v. ne y//at£/7i a/zctf 'I7i jTtaJ- d^p XT42T/?*? *jrf- "H » P\ Kjfcr. XVII \ A <7at /'/// ^/ft/rw/te ^ '/..''■/;/ .v/^k :./ , /.w X7ZZ /> *99 CALCOLO D'OCCULTAZIONI DI ALCUNE STELLE E RELATIVE RICERCHE INTORNO ALLA POSIZIONE GEOGRAFICA IN LONGITUDINE DELL'OSSERVATO- RIO DI PADOVA RISPETTO AL MERIDIANO DI PARIGI . MEMORIA Dell' Abate Francesco Bertirossi-Busata P PRESENTATA LI 6 DICEMBRE l8l4 DAL CaV. CeSARIS ED APPROVATA DAL SOCIO SlG . SANTINI . J_Ja determinazione della Longitudine e Latitudine del luo- go in cui si osserva è uno degli oggetti più interessanti per l'Astronomo, giacché è sopra di questa base principalmente ch'egli deve lavorare alla perfezione della scienza . La cor- rezione delle Tavole Astronomiche di cui egli abbisogna in- cessantemente , è un altro oggetto del pari interessante ed importantissimo. Questi due oggetti o, a dir meglio, Proble- mi restano soddisfatti mirabilmente ( per quanto spetta alla posizione in longitudine ed alia correzione delle Tavole Lu- nari ) dalle occultazioni delle fisse . Eccitato da questo dop- pio scopo intrapresi a calcolarne alcune osservate qui in Pa- dova dalli Signori Professori Chiminello , Santini, e da me. Dopo di ciò ho calcolato pure le osservazioni medesime per altri paesi . Ho scelto fra le altre quelle cui avevo più di fi- ducia e per l'esatta determinazione del tempo, e per la bon- tà delle osservazioni . Ho cominciato dalle Plejadi che furono osservate nella notte dei 7 Febbrajo i8o5 dal sopracitato Sig. Chiminello e da me ; e sebbene intorno alla precisione di queste vi possa esser qualche piccolo dubbio, giacché la po- sizione della Luna era in quella circostanza molto incomoda per noi, e d'altro canto, essendo di già passata la prima quadratura, mandava una luce assai forte e copiosa, cosa che 3co Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. noceva non poco all'osservazione di Stelle molto minute quali esse sono ; tuttavia non riscontrando nel calcolo degli errori grandi a segno di renderle trascurabili affatto ed incerte, ho creduto bene di tenerne conto e di trascriverle coli' ordine stesso con cui sono state osservate . Il numero delle occulta- zioni da me calcolate non è in vero gran fatto considerabile, ma spero che si accrescerà in avvenire, ed avrò così l'occa- sione di potermi prestare a cpieste ricerche con una maggior suppellettile di osservazioni e di confronti, e di assicurarmi in tal guisa assai meglio della posizione in longitudine della nostra Specola e dell'esattezza delle Tavole Lunari pubblica- te sino al giorno presente; e ciò con maggiore sicureaza in quanto che la suddetta Specola trovasi ora arricchita d'un eccellente stromento dei passaggi, opera del eh. Sig. Reichen- back, con cui possiamo determinare con precisione i tempi dei celesti Fenomeni . Quanto al metodo di cui mi sono ser- vito nel calcolo delle occultazioni seguenti egli è puramente analitico . Le forinole per ottenere la parallasse lunare in lon- gitudine e latitudine sono quelle pubblicate dal Professore Santini nella sua Memoria stampata nel 1807 presso il Semi- nario . I luoghi di Luna sono stati da me calcolati sulle Ta- vole del Sig. Biirg pubblicate nel 1806 dal Bureau delle Lon- gitudini di Francia , e su quelle del Sig. Burckhardt recen- temente uscite alla luce, cioè nel 1812. Per ciò che riguar- da alla posizione media delle Stelle, io l'ho presa dal gran- de Catalogo del Professor Piazzi facendovi le correzioni indi- cate dall'Autore medesimo nel Libro VI del Reale Osserva- torio di Palermo. Ciò premesso, chiamisi 3- l' Ascensione retta del mezzo del cielo . a l'obliquità apparente dell'Eclittica. (p la latitudine dell'Osservatorio diminuita dell'angolo del- la verticale . tj la parallasse orizzontale dell' Osservatore ,. g la longitudine del Nonagesimo . h la sua distanza al Zenit . Del Sic Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3oi P la parallasse della Luna in longitudine . P' quella di latitudine . A il Semidiametro orizzontale della Luna . a la longitudine vera della Luna . fi la latitudine vera . a la longitudine apparente della Stella occultata . b la sua latitudine . a! e fi' la longitudine e latitudine apparenti della Luna . A' il semidiametro d'altezza al momento dell'immersione. A" Io stesso semidiametro nell'istante dell'emersione. a" e fi" l'apparente longitudine e latitudine lunare per quel medesimo istante ; e siano finalmente s , ed s' le distanze corrispondenti dei centri per i due mo- menti suddetti . Per le note fondamentali Dottrine dell'Astronomia avremo; _ sen. o . seri, ii ■+■ cos.o .eos. é . seri, ò I.° tang. g = '— -— Z cos. rp . cos. e II.0 sen. ^ = sen.<^ .cos.» — sen.o . cos.

4 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. p = 4 . 47 , o P' = a i . 2,6 , a A'= 16 .a5,5 a' = 56°. 47'. 8", 7 ? = 4 . 7 . 34 , 3 (a — a') = 716", 3 (£'_£) = 679, 7 s = 986 , a ds = — o , 7 Dalla prima equazione s . ds = — (a — a' ) . cos .* &' . da -+- (0' — b ) f//3 , facendo dfl = o, abbiamo t/a= i",o , sarà quindi la longitudine della £ corretta = 56° . 5i' . 56", 7 . Distanza dalla congiunzione in gradi=o°.7'.8",3. In tempo =o\ia'.4",8; perciò l'istante della congiunzione = 6h . 33' . 49 " ■> 5 tempo medio . Calcolo della stessa Occultazione osservata in Marsiglia da M. Thulis . Immersione = 5*. 43' . Sa", 45 tempo medio . a . 53 . 18 , 8 tempo sidereo . & =43°. 19'. 4a" a — 56 . 44 . 56 , 3 /? = 4 • a9 • 20 5 ° a = 56 . 59 . 5 , o è = 3 .56 . 14, 6 g = 54 • 1 . 3o h = a5 . 1 8 . o Log. sen. sr = 8 . a3554 A =16'. 9", 9 P = a . a5 , 3 P' =ai .a5 , 3 A'= 16 . a5 , 3 a' =56°.47'.3i", 6 (3' = 4 . 7 . 54 , 7 ( a — a ) Del Sic. Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3o5 ( a — a' ) = 693", 4 ( /?' - b ) - 700 , 1 s = 984 , 1 ds — 1 , a Dalla prima equazione , fatto al solito d@ = o , si ottie- ne da = — 1" , 7 s e quindi sarà la longitudine della Luna corretta = 56° . 44 • &4" • 6 • Distanza dalla congiunzione = o° . 14' • io" , 4 • Moto orario = 35' . a5" . Distanza in tem- po = oh . sl^.' . o" , 7 . Istante della congiunzione per Marsi- glia = 6h. 7' . 53", 1 tempo medio Congiunzione per Padova . = 6 . 33 . 49 ■> 5 Differenza de' Meridiani . . si a5' . 56", 4 Calcolo dell' Occultazione di Maja osservata in Padova nella notte dei 7 Febbrai o i8o5. Immersione = 6*. 28'. 59", 7 tempo medio. 3 . 38 . 29 , a tempo sidereo . 9 =54°. 37'. 18", o a = 56 . 56 . 12 , 5 0 = 4 . 28 . 48 , 2 Bor. a = 56 . 57 . 48 , 4 b = 4 • 22 • J5 , o Bor. g = 63 . i5 . 3o h = 24 • 59 . o Log. sen. zr = 8 . 23554 A =16'. io", o P =-6 .0,1 P' 'ss ai . 6 , 3 A' == 16 . 24 , 5 a' =56°. 5o'. 12", 4 P = 4 • 7 -41 >9 («. — «') = 455", o (/?'-£) =-873, 1 s = 984 j o ds = o,5 To/72. XF/7. 39 3c6 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. Non ho tenuto conto che dell'immersione, giacché l'e- mersione non è registrata come precisa, e perciò facendo co- me sopra dfì = o nella prima equazione differenziale , si ha da=z — i",i, e quindi la longitudine della C corretta neh' istante dell'immersione =56° . 56' . 1 1", 4- Distanza dalla con- giunzione = il. 37". Moto orario = 35' . 26", 8, e perciò l'istan- te della congiunzione per Padova = 6*. 3 1 '. 43", 9 tempo medio . Calcolo della stessa Occultazione osservata a Viviers da M. Flaugergues . Imraers. = 6''. 19'. 48", 9 t. m. Emers.= 6*. 53'. 14", 7 t. m. a=56°.5o'.47",4 . . . =57°. 10'. 32", 0 $ =s 4 • 29 • 3,6 . . . 5= 4 • a0* • 6,9 a =56 . 57 .4B ,4 b = 4 -2,21 • *.S 5° g=55-49 • • ■ . =562 .10 h = 26 . 1 . . . =24.18 log.sen.sr= 8.a3554 . . . = 8 .23554 P= o'.58", 6 . . . . =-4'.46", 1 P'=22 ,l5, 8 . . =20 .28 , 8 A' = 16 .24, 6 . . . A" = 16 .25, 6 a' =56°. Si'. 46", 0 . . . a" = 57°. 5'. 45", 9 0'= 4. 6.47,8 . . . /?" = 4. 7 .38,7 (a — a') = 6. 2". 4 . {a" — a)= 7'. 57", 5 (0' — £) = -i5.27 , a . . (£".— £) = -i4.36, 3 j = 995", 2 . . • • • *'=997">3 ds = — 10,6 . . . . . ds' = — 1 1 , 7 Le due equazioni differenziali per ottenere il da ed il dfì sono le seguenti : 12", 987 = o", 389 da -h dff — 1 5 , 023 = o , 543 da — d(} E quindi da = — 2", 1 , e d@s& 12", 2 ( troppo forte ) . Lon- gitudine corretta nell' immersione = 56° . 5o' . 45" , 3 , e nel- F emersione = 570 . io' . 29" , 9 . Distanza dalla congiunzione Del Sic Ab. Fhancesco Berti rossi-Busata. . 307 per l'immersione = o°.7'.3", i; e per l'emersione = — o°. ia'. 4i",5; le quali ridotte in tempo col mezzo del moto orafio, si ha il'. 56", a d'aggiungersi all'immersione, e ai'.ag",o da togliersi dall'emersione per ottenere l'istante della con- giunzione . Ciò fatto si trova : Congiunzione col mezzo dell'immersione =64. a'. 5a", i col mezzo dell'emersione =6 . a .59 , 7 "Medio =6 . a .59 , 8 Congiunzione di Padova =6. 3 1.43, 9 Differenza dei Meridiani = a8 .44 •> 5 Calcolo dell' Occultazione d' Alcione osservata in Padova nella notte dei 7 Febbrajo i8o5. Immersione = 6h. 55'. 3o", o tempo medio. 4 . 5 . 3,8 tempo sidereo . 3- =6i°. 16'. o" a = 57 . 1 1 . 5a 0 = 4 . a8 . 3,i Bor. a = 57 . 16 . 38 , 6 b = 4 . 1 . 56 , 4 Bor. g = 68 . i5 . 3o h =s a3 . 53 . 3o Log. sen. or = 8 . a3554 A = 16'. io", o P =- io . 33 , 9 P' = 20 . 7 , 6 A' = 16 . a5 , 5 a' = 57°. i», 18", 1 0' = 4 . 7 , 55 , 5 (# — a) = 920", 3 (P-b) =359,i ,$ = 985 , 9 ds = — 0,4 L'emersione registrata a 8;'.9'.o", 7 tempo medio non 3o8 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. pare troppo giusta, giacché darebbe un errore non ammissi- bile in latitudine , quindi ho creduto bene di trascurarla , e di tener conto solamente dell'immersione da cui si ricava <7a = o",4- Perciò la longitudine della C corretta pel mo- mento dell' immersione = 07° .11'. 5a", 4- Distanza dalla con- giunzione in gradi = o° . 4' • 4^ "■> a 5 m tempo = o*. 8' . 4", 4- Istante della congiunzione = 7* . 3' . 34" , 4 tempo medio . Calcolo della stessa occultazione osservata a Marsiglia da M. Thulis. Immersione = 6'1. 17'. 40", 7 tem pò medio . 3 27 . 12, , 6 tem pò sidereo 3- = 5ie 48'. 9" a = 57 . 4 . 54 , 1 $ = 4- 38 . 2,3 , 1 Bor a ■=. 57 . 16 .38,6 b = 4. 1 .56 ,4 e =6° • 3i h = a3 . 29 Log. sen. sx = 8 . 23565 A = 16' io", 0 P =-3 . 18, 6 P' = 19 39 , 2 A' = 16 . 25 , 5 a' = 57° . i',35", 5 P = 4 . 8,43,9 (a — a') = 9o3", 1 (8'-b) =4o7,5 s = 988 , 3 ds = — 2,8 Nell'equazione s . ds = — ( a— a' ) cos .a 8 ' . da -t- ( 0' — è ) d8 sostituendo i valori qui sopra trovati, e facendo d3 = o, ab- biamo da =s 3" , 1 , e quindi la longitudine della C corretta = 570 . 4' • 5'7", 2, e la distanza dalla congiunzione in gradi Del Sic. Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3oo = o° . n'. 4I">4« Moto orario in longitudine =35'. 26", 8. Distanza dalla congiunzione in tempo = o* . 19'. 47", 2, perciò il momento della congiunzione per Marsiglia =6h. %f . 27", q Congiunzione di Padova =7 . 3.34,4 Differenza dei Meridiani = 26 . 6 , 5 Calcolo dell' Occultazione medesima osservata a Viviers da M. Flaugergues. Imniers. = 6S. i3'. 17", 8 t. m. Emer 3 .22 .49 ,4 t.sid. S- = So°.4a'.ai",o . . a = 57 . 3 ,55 , 7 /? = 4 -28 . 25 ,9 Bor. a = 57 . 16 .38 ,6 b = 4 . i.56,4 g = 60 . 2 A = 24 . 5o log.sen.sr = 8.23554 A = 16' . io", o P =-2 .49 , 7 P' =20 .58 , 5 A' = 16 .25 , 5 a' =57°. 1', 6",o 0' =3 4. 7,27,4 (a — a') =932", 6 (/?' — £) =33i ,0 . . 5 =988 ,7 . . s. = 7;'.25'. 5", 4 t. m. = 4 -36 -49 5 ! t. s. = 69°. 12'. i5",o = 57 .47, 3i ,4 —• 4 .26 ,20 ,4 Bor. = 74. 6 = 21 .58 .3o = 8 .23565 = 16' . io", 1 = -i5 .41 . =18 .20 , 8 A" = 16 .25 , 6 a" =57°.3i',5o",3 /3" = 4. 7,59,6 (a". -a) =9n",7 {0" — b) =363,2 • ■ s = 979 » 3 ds = 6,3 6?.? = — 3,2 . . Dalle due equazioni differenziali seguenti — 9", 558 = — 2", 8o3 da + d@ 16, 99= 2 , 497 da ■•+- d(3 abbiamo da = 5", o e i^ = 4 "•> 5 , e correggendo per l' istan- te dell'immersione la longitudine e la latitudine della £, sa- rà a-*-da = 5?° . 4! • °" » 7 . » e 1? + ^ = 4° • ao>' . 3o" , 4 3 e si- 3 io Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. milmente per l'emersione a -+- da = 57° . 47' • 36", 4, e 0-+- d(3 = 4° • a6' . a4'5 9 • Distanza dalla congiunzione in gradi ottenuta dall'immersione =o°. ia' . 37", 9 . Distanza dalla passata con- giunzione per mezzo dell'emersione = o° . 3o' . 57", 8 . Moto orario in longitudine = 35'.a6",8; e quindi distanza dalla congiunzione in tempo coli' immersione = oh . ai' . aa" , 9 , e coli' emersione = — oh . 5a' . a4" , 6 . Congiunzione ricavata dall'immersione = Gh. 34' . 4° "» 7 e dall'emersione = 6 . 34 • 4° » °* Congiunzione di Padova come sopra = 7 . 3 . 34 , 4 Differenza de' Meridiani . = a8'. 53", 7 Calcolo dell' Occultazione di Atlante osservata in Padova nella notte dei 7 Febbrajo i8o5. Immersione = 8A. i'.36", 6 tempo medio . 5 . 1 : .ai , 3 tempo sidereo » =77° So'. 19" a = 57 5o . 55 , 7 P = 4 a6 . io , 6 Bor, « = 57 . 38 . a4 , a é = 3 53 .53, 3 Bor. * =80 47 h = aa . 8 Log. sen. ct = 8 . a3566 A = 16' io", 1 P=-ai . 43, 7 P' = 18 38, 8 A'= 16 . »4, 6 a! — 57°. a9'. ia", o 0'= 4. 7 . 3i ,8 (a — a') = SSa", a (0' — è) = 818", 5 « =986", 7 tempo medio . dal! emersione = ia . a . ab , 4 ) Calcolo della stessa Occultazione osservata a Lilienthal dal Sig. Bessel . Immers.= ri''. ia'.a8", 8 t.m. Emers. == la*. 12'. 34", 7t.n1. 19 . 1 1 .a8 , at. s. . =t" ao .11 . 43 , 9t. s. a =336°.a5'.a8", 0 . . =336°. 55'. 3i", 6 0 = 5.6.1. 5 . . = 5.6.7,7 a =336 .44.44 0 b = 4 . 7 . a4 . 5 g =3i 1 .36 . = 335°.58'.3o" k 5= 73 .5i . = 68 .59 ct = 54 • io , 5 . = 54 .10, 4 A= 14.48, 9 . = 14.48, 7 P = 6.aa, 4 . . = 0 .19, 5 P'= 5o .53, 1 . = 48 . 5g , 1 A'= 4.53, 6 A"= 14 .54, 8 a' =336°. 3i\ So" ,4 ■ . a" =336°. 55'. 5 1", 1 /?' = 4.1S. 8 4 0" = 4.17. 8,6 (a- • a')= ia.53 ,6 (a" — a) = 11.7,1 (/»'- -b) = 7.43 >9 • (£" — b)— 9-44'1 s= i5 . 0 ,5 ■ *'= i4 -44 ^ 3 <£? = — .6 >7 ■ ds' = 9,5 Equazione prima — 1 3" , o = — 1" , 658 da -+- d(ì seconda 14" , 4 = l" ■> 1 36 da -+- dj) dalle quali da = g",Q e r//3 = 3",a. Distanza dalla congiun- zione in tempo per mezzo dell'immersione =o&.38', n", 9 e per mezzo dell'emersione = — o'" . 21' . 54", 5 . Congiunzio- ne ottenuta dall'immersione = 1 1 . 5o . 4° , 7 dall'emersione = 1 1 . 5o . 40 , a Medio = 11 . 5o . 40 , 4'5 Congiunzione di Padova . . =12. a.a6,4o Differenza de' Meridiani . . = 1 1 . 46 Cal- Del Sic. Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3i3 Calcolo della medesima osservata a Dresda dalli Signori Lindenau e Seiffert . Immers.= u*. 34'.46"»a t.i ri. Emers. = 12* .3i'. 3',at.m 19 . 33 . 46 ,0 t. 3. . = 20 . 3o . 12 ,3 t.s. S- = 293°. 26'. 3o" . . = 3o7° .33'. 4", 5 a =336 . 26 .55 ,6 . . = 336 . 55 . 4 ?a 0 = 5.6.i,8 . • . = 5 • 6. 7,4 a =336 .44 -44 s° b = 4 . 7 . 24 , 5 A = i448,9 • . = i4'.48",7 ET = 54 . I 0 , 8 . = 54 . io ,4 P = 5 . 38 , 9 . . = — O . 4^ ,2 P' = 49. 38, a . = 47.34,1 A' = i4.54,5 A' := 14 .55 ,5 a' =336 . 3a . 34 , 5 . a" = 336 . 54 • 22, ,0 0' = 4.i6.23,6 . é" = 4 .i8.33 ,3 (a — a') = 12.9,5 («""- -a) = 9 . 38 ,0 (/?'— &)= 8.59,1 [0"~ -b) = 11 . 8,8 s = i5 . 5 ,4 . s' = 14.42,8 ds = — 1 0 , 9 • ds' = 12 ,7 e perciò da = i5",9, e é?/j = 3", 1 . Istante della Congiunzione = 12* •9'. 5i' ,2 1 tempo medio Congiunzione di Padova = 12 . 2 . 26 A Differenza de' Meridiani = Latitudine vera di (£ 7 • M » » = 5° . 6' . 8" , 5 Boreale . Calcolo dell' Occultazione di fi 1 3 L' equazioni che ne risultano sono le seguenti : 35", 89=— 8", zi da-t-dp — 4a 5 4° = 2 , 79 Ja -t- J0 dalle quali si ottiene da = — 7",o, e dfl = — ai", 7: va- lore troppo forte, e quindi non ammissibile. Si noti che la Stella passò vicina al centro della Luna . Longitudine vera di C nell' immersione = a70° . i4' . a3" , 3 . Nell'emersione = a70°. 5g'. 35", a . Moto orario in longitudine =35'.3o", a; in latitudine = a'.a5",o . Istante della congiunzione dato dal- l'immersione . . = 1 ih. ao'. a8'V, 1 dall'emersione . = 1 1 . 20 . 27 , 8 Medio . . = 1 1 . 20 . 37 , g5 tempo medio . . = 3oo • 7 . = 67 . 0 . = 59' . 1", 6 . = 16 . 8 , a . = - 1 1 .18, 4 = 53 . a5 , 5 . = 16 ■ i4o 8 . a" =270° 48'.a3",8 . . £" = 2 a7 .39,7 . (a"— a) = i5 . 3a ,0 • (£"-*) = 5 .33 ,6 f s =c 1 6 . 29 , 1 . . ds' = — i4,3 Calcolo della stessa Occultazione osservata a Seeberg dalli Signori Lindenau e Pabst . Immers.es ich.^'.a.i"ì'ó t.m. Emers. = 17 .42 . 9 , 1 t. s. . . . = 3- =265°.3a\i6",5 . . . n*.58'.34",3 t.med. 18 .57.34,1 t. sid. =284°.a3'.3i",5 Del Sic. Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3 1 5 . =270. 58. 14? 5 . = 3.20.59,2. =3oi .47 = 72.38 == 59'. o", 5 = 16. 8, 2 = - 9- 4, » = 55.37, 6 A" = c6.i3, 3 ^=2700.49'. 9", 7 P" = 2 .25 . 21 ,6 (a" — a) = .16.17,9 (/?"—£)== 3.i5,5 . . j = 99ry, 3 . ds = — 23", O ( troppo forte ) Le due equazioni 563°, 8 = — 93", 89 da — dft — 1 1 4 , o = 4 5 98 da ■+■ dp dando dei valori insussistenti per dp , passando la Stella qua- si pel centro della Luna; ho trascurato la seconda e fatto dp — o nella prima, con che ottenni da.=. — ó",o. Corretto quindi l'errore in longitudine, ed istituito il calcolo necessario, si ha l'istante della congiunzione . = r 1 . i5 . 5o ,0 t. med. Congiunzione di Padova come sopra = r r . 20 . 27 , 9 Differenza de' Meridiani = 4 -37,9- Calcolo della medesima Occultazione osservata in Bologna dal Sig. Caturegli. a =270. i3 .43 ,8 P = 3. 17.59,2 a =270 . 32. 5 1 ,8 b = 2.22. 6 , t g =25q.4o • • h = 74. 4 • • 0 = 59'. 1", 3 . A = 16. 8, 5 . P = 2.59, 3 . P' = 56 . 3 , 4 . A' = 1 6 . 1 3 , 9 . a' =270°. 16. 43", 1 fi = 2.21 .55 ,8 (a- -a')= 16. 8,7 (/?'■ — b)= — io,3 s = 967", 9 . ds = 6,0. Imraers. =10'*. 46'. 12", 9 t.m. Emers. 17 .45 . o , 6 t. s. . . S=2660.i5'. 9" .... a =270 . i3 .58 = 12* p= 3 . 18 o ,2 2r.4o",o t. m. = 19 . 1 .40 ,3 t. s. = 285°. 25'. 4", 5 = 270 . 59 . 12 ,9 = 3.21. 3,2 3i6 C. \LCOLO D'OCCULTAZIONI DI ALCUNE STELLE eC. a =270 .3a .5i ,8 b = 2 . aa . 6,1 A = 16 . 8,5 . . . . = 16 . 8 , a CT = 59 . a , 6 . . . = 5g . 1 , 7 P = a . 5a , 1 . . . = — io .57 , 3 P' = 53 .38,7 . . . = 53 . 4 , 8 A' = 1 6 . 1 5 , 6 . . A"= 16 .i5, 0 a' =270° . i6'.5o",5 . . . a" = 370°. 48'. 1 5", 6 0' = a .a4 .ai ,5 . . . 0" -ss a.a7.58,4 (a — a') = 16 . i.3 (a" — a)— i5 .a3 ,8 (£'-*) = a . i5 ,4 {0" — b)= 5.5a,3 s = 16 . 8,9 . . . s' = 16 .37 ,9 ds = 6, 7 . ds' ss — 1 a , 9 Questi valori danno le due equazioni seguenti : 6", 765 = — da ■+- o", 141 1 d& — 1 3 , 8a = da -+- o , 382 1 d@ dalle quali ricavasi da = — 8", 7, e d(l = — i3",5. Longi- tudine corretta nelP immersione 270°. i3'. 49 "s 7 ■> e nell'emer- sione = 270° . 59' . 4" 5 a ■ Istante della congiunzione dato dall' immersione ss 1 1 h . 1 8' . a3 " , o dall'emersione = 11 . 18 . aa , 7 Medio == 1 1 Congiunzione di Padova = 1 r 18 . aa , 85 tempo medio ao . 27 , 9 Differenza de' Meridiani ss Calcolo della stessa Occultazione osservata in Parigi Immersione = 9* 16 S =a53° .56. i3", 2 . 54 . 58 , 5 . 44'. 38" tempo medio . tempo sidereo a =270 . 0= 3. a =370 . 5 . 4a , 8 1 7 . 26 , 5 3a. 5i ,8 l = a . 22 . 6,1 A== 16. 8,5 Del Sic Ab. Fhancesco Bertirossi-Busata . 59 . 1,8 n . 1,0 54 . 48 , 6 l6 . l4 , O 16.43 ,8 aa . 37 , 9 ■s = P = P' = A' = oc' =270 = 16. 6,4 Sostituiti i valori or ora trovati nella prima equazione , abbiamo 6,4T = — da -+- o" , o3a9i d@ nella quale trascura- to il d@ si ha da = — 6", 41 • La longitudine della Luna cor- retta pel momento dell'immersione sarà = 270° . 5' , 36" , 4 • Distanza dalla congiunzione = o° . 37' . i5",4- Moto orario in longitudine = 35' . 3o" , a . Istante della congiunzione = io6. 4^'. 17'', a tempo medio, Congiunzione di Padova . = 1 1 . ao . 37 , 9 Differenza de' Meridiani . = 38 . io , 7 . Calcolo dell' Occultazione dì 9 dei Pesci osservata in, Padova li io Agosto 1808. Immers. = ia\ a'. 34",7 t. ra. Emers. = i3*. 18'. 34", 4 t.m ai . 19 , 34 , a t. sid a =ii°. o'.4a", o 0 = » .55.45 ,1 a =11 . 28 -4a , a b = a . 55 .45 , 1 Iog.sen.jT = 8 .aooi3 A = i4'.54", o P = 12 .53 , 6 P'=44.i6, 4 A' = 1 5 . a , o a'=n°.i3',35",6 fi' = a . 1 1 . a8 , 7 ( a — a' ) ■= 1 5 . 1 6 , 6 = aa . 35 .46 , 3 t. s. = ii°. 38'. 48", 8 = a . 53 . 0,7 . = 8 . aooia . =i4'.53", 8 . = 4 -3<>» o . =3 39 . 34 5 6 A"= i5 . 3 9 8 a" = n°.43'.a4",8 fi" = a . 1 3 . a6 , 1 (a" — a) = 14 .4^'^ 3i8 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. (/?'-£) = 57,5 . (/?"-£)= a. 54, 9 S ss 907", 8 ... j' = 889", I ^ = — 5,8 . . . ds' = 4 » 7 Dai superiori risultamenti abbiamo le due seguenti equa- zioni 5,8i6= — da o", 06 3 5 d$ 4 , 795 = da -+- o , 1985 J0 e perciò J/? = — 3" , 9 . da =5.5", 6 . E fatte* le necessarie cor- rezioni alle due longitudini si ricava l'istante della congiun- zione dato dall'immersione = ia*. 58'. i3", 8 dall'emersione = ra . 58 . i3 , 7 Medio = ia . 58 . i3 , 75 tempo medio Calcolo della medesima Occultazione osservata in Milano dal eh. Sig. Oriani . Immers.ss 1 1*.49'. 35", 6 t.m. Emers.= i3;'. 4'. 45", 1 t.m. . se aa . ai . 54 , 8 t. s. . . =335°.a8.4a" . . = 11 . 37 . 16 ,8 ai . 6 . 33 ,0 t. 8 S- =3i6°.38.i5 . . a = io . 59 . 35 ,4 • /? = a . 55 .5o ,0 . « = 11 . a8 -4a ,a è = a . 55 . 45 , r Jog.seu.w== 8.aooi3 . A = 14 .54 ,0 g = 34a . 35 . 5a . h = 57 . 34 . 3o . P ss 14. 1 .a P'= 44.59,9 A' = i5. 1 ,a a' = 1 1 . i3 . 36 , 6 /?' = a . 1 o . 5o , 1 (a — a')= i5. 5,6 (/?' — b)— 18 s ds >9 = i5. 5. = — .3,8 = a .53 . 7 ,4 8 . aoo 1 a i4.53,8 ss 1 . ao a,o = 5o A" . io . 3o 6.18, 1 4o . a9 , 6 i5. a, 9 a" = 1 1 . 43 . 34 , 9 0" = a .ia.37,8 (a" — a)= i4-5a,7 (V — *)= a. 6,6 . . s' = 1 5 . o , 9 . .<£?'==, a , o Del Sic Francesco Bertirossi-Busata . Si ricavano quindi le due seguenti equazioni — 3", 80 = — da -+- o", 0209 d(ì 3ig 2 , 021 = da •+- o , i4ao dfì e perciò da = ^',o e d@= lo" ,g . Istante della Congiunzione ottenuto dall'immersione = i2A. 47'. 3o", 8 dall'emersione = 12 . 47 ■ 3r ,0 Medio . . = 12 . 47 • 3o , 9 tempo med. Congiunzione di Padova . = 12 . 58 . i3 , 8 Differenza de' Meridiani = io . \i , 9 Calcolo dell' Occultazione dì A della Vergine osservata in Padova li 27 Gennajo 1810. Immers. = 16''. àpi. 6",4t.m. Emers. = 17*. 29'. io". 9 1. m. i3 . 9 . 5 ,2 t.sid 3- =197°. 16'. 18" a =2 13.43. a , 8 p = 1 .25.53 ,4 Bor. a =214 . 18 . 3,o Z> = o .3o .26 ,4 Bor. g =172 . 19 .20 /i = 47 . i5 log.sen.£r= 8.22584 A = i5'.49", l P = 26 . 1 1 , 5 P' = 42 . 5 , 4 A' = i5 .57 , 4 a' =214 . 9 » i4 5 ^ 0' -..«& o .43 ,48 ,0 (a — a')= 528", 7 (P' — b)= 801,6 .? = 960 , 4 ds = — 3,o Col mezzo delle due equazioni — 5",45= — da-+- i",5i6d0 — 12,28= rf«+I, 2,^2, && = i3 . 56 . 17 ,0 t. s. =209°. 4'. i5" =214 . 9,29 ,1 = r .28, 7 ,8 . . . =i8ii .55 . 3o . . . . = 5i .56 . . . . = 8 . 22592 . . . . = i5' . . . . = 18 . . . . = 45 . . . A"= i5 •49", 4 . 3g , 5 • 9» * .58, 1 . a =214 28 , 8,6 . . ./?*'= 0 . (a" — a) = 42,58,7 60 5", 6 . (£"-*) = . . . s = . . ds = 752 ,3 965,8 — 7 >7 3ao Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. si ottiene da = — 4" ■> 3 e d@ = — 6" , 4 ; e quindi la longi- tudine e latitudine corrette nel momento dell' immersione , cioè a-*- ° Medio dei due =17 • 44- 33 ,85 tempo med. Calcolo dell' Occultazione medesima osservata in Roma dal eh. Sig. Oriani nella Specola del Collegio Romano. Immers.= i6*.54'. 4'\lt-m- Emers.= 17*. 2,6'. 23", a t.tn. i3 .ai .44 ,5 t. s. # =200°. 26'. 7", 5 . . a =ai4 .i8.3,o . /? = 1 .a6 .aa ,6 Bor. a =ai4 . 18 . 3,o b = o . 3o .26 ,4 g =177 .53 . . h = 45 . 34 . 3o . log.sen.jr= 8.aa588 A ss i5'49", 1 P = a3.5c; A F = 40 . 5a , 5 A'= i5.58,6 a' =ai4 . ia .44 » I 0' = o . 45 . 3o , 1 (a — a') = 3i8",9 . (a" — a) = (£'-$) = 9o3,7 • (/?"-*) = 5 = 958 , 3 . . . s' ss ds = o,3... ds ss = i3 . 53 . 3i , 7 t. s. =ao8°.aa'.55",5 = ai4 • 6 . 33 , 1 = 1 .37 .53 ,0 = i85 .16 = 48 .44 = 8 . aa597 = i5'.49",4 = 18.35,0 = 43 . 2 , 7 = i5.58,9 =ai4 .25 . 8,1 = o .44 -So , 3 4a5", 1 863 ,9 962 ,8 — 3 ,q Le due equazioni risultanti dai calcoli superiori sono le seguenti : o", 902 = — da -+- a", 834 d(ì 8 , 835 = da -+- 2 , o32 d@ dalle Del Sic Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3ai dalle quali si ottiene da = — 5", 5 e d@ = — i",6; e quindi la longitudine, corretta pel momento dell'immersione = ai3°. 48'. 09", a, e per l'istante dell'emersione = ai4°. 6'. 27", 6 . Distanza dalla congiunzione in gradi = o°. 2,9'. a3" ,8 . Moto orario in longitudine =33'. 41 ", 6 ; perciò l'istante della con- giunzione dato dall'immersione =17*. 47- i", 6 , dall'emersione = 17 . 47 • 1 , 9 Medio . = 1 7 . 47 • 1 , 75 Congiunzione di Padova » » = 17 . 44 -33 ,85 Differenza de' Meridiani . . = a . 27 , 9 . Calcolo dell' Occultazione di p dell' Acquario osservata in Padova li 11 Settembre 18 io. Immersione = i3/!. 47'- 3o", 5 tempo medio. 1 . 9 . 1 . a tempo sidereo , 3- = 170. i5\ 18", o a = 33i . 5i . 35 , 3 0 = a . 55 . 37 , 3 Bor. a = 33i . a3 . a5 , 6 b = a . a3 . 1 , 3 Bor. g = 35 . io . 40 A = 34 . 35 . 5o Log. sen. a = 8 . a444^ A = i6'.3o", a P= - 44-44,4 F = 33 . 19 , 6 A = 16.37,1 a' = 33 1 . 6 . 5o , 9 /3' = a . aa . 17 , 7 (a — a') = 16.34,7 (/?'-£) = - 43,6 5 = 16 . 34 , 6 ds = a , 5 Col mezzo di questi valori l'equazione prima diventa Tom. XVII. 41 osa Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. a"> 5 = — o", 9984 da — o", o438 d(t , in cui fatto d(ì = o si ottiene 2,8 Prendendo ora l'equazione s. ds= — (a — a') .cos* ()'. da -i- (£' — b)d@ e fattovi J/? = o, si ha Ja = — a",8 , e sarà quin- di la longitudine della Luna corretta = 33i° . 49' • 59" , 4 • Distanza dalla congiunzione in gradi = o° .26'. 33", 8 . Moto Del Sic Ab. Francesco Bertirossi-Busata . 3a3 orario in longitudine = 37' . o", 8; e dalla proporzione: aaao" , 8 : 36oo" : : i5g3" , 8 : x ; avremo x = — 43' . 3" , ó . Istante dell'immersione = i3* . 34' . i3", 5 . Congiunzione per Milano = iaA-. 5i'. 9", 9 tempo medio Congiunzione per Padova = i3 . 1 . 55", 5 Differenza de' Meridiani = io .45 ,6. Calcolo dell' Occultazione di A dei Gemini osservata in Padova 4 Marzo 181 1 . N.B. In questa come nelle seguenti Occultazioni i luo- ghi di £ sono stati calcolati colle Tavole di M. Burckhardt . Immersione = 13*. 5'. 5i", 3 tempo medio. 11 . 53 . 16 , o tempo sidereo . 3- = 1780. 19' a — 106 . %i . o , a 0 = 4 • ^7 • i5 , o Aust. a = 106 . 8 . 54 , o b = 5 . 39 . aa , 5 Aust. g = i56 . 5o h ss 4° ■ l Log. sen. sr = 8 . J9815 A= i4'.48", 6 P = — 3a . aa , 6 P' = 37.16,9 A' = 14 . 54 , 7 a' = io5 . 54 . 37 , 6 /?' = — 5 .34 .3i ,9 (a — a')= 856", 4 (£' — £)= — ago", 6 In questa occultazione non tengo conto che dell' immer- sione essendo l'emersione registrata come incerta. Ricavasi pertanto dai dati superiori s = 900" , 5 , e ds = — 5" , 8 , e quindi ne nasce l'equazione 17" 97 = a", 919 da -t-dp in cui facendo J$ = o si ha da =0" , a , E correggendo la longitu- 3a4 Calcolo d'ogcultazioni di alcune Stelle ec. dine della C si trova pel momento dell'immersione: Longit. della C = 3* . i6° . 27' . 6", a . Moto orario in longitudine = 29'. 49' '5 5: perciò l'istante della congiunzione per Pado- va = iaA . 29' . 14" , o tempo medio . Calcolo della stessa Occultazione osservata in Milano » Immersione = 12*. 54'. 18", 6 tempo medio . 11 .41 . 43 ? o tempo sidereo . 3 = 175°. 25'. 45" a = 106 . 26 . 36 , 2 /? = 4.57 .24,4 A. a =s 106 . 8 . 54 , o b = 5 . 39 . 22 , 5 A. g = 1 54 • 33 . 3o h = 38 . 57 Log. sen. ® — 8 . 19817 A = i4'.48", 6 P =— 3i . 5o , o P' = 36 . 39 , 6 A = 14 . 55 , 1 a' = io5 . 54 • 46 5 2 0' = 5 . 34 . 4 , o (a — a') = 847", 8 (/3' — b) = — 3i8,5 .? = 901 , 8 ds = — 6,7 E quindi l'equazione s.ds=s — (a— a' ). cos .*/?'<£« -4-(/3'— b)dfi;. facendo J0=o, diventa (9oi",8)(-6",7)=— 847",8.cos.30'.^os dalla quale si ottiene da — y", 2, . Istante della congiunzione per Milano. . . , ^ , =3 12*. 18'. 27". 3 tempo medio Congiunzione dì Padova = ia . 29 . 14 ■> 0 Differenza de' Meridiani = 10.46,7. Del Sic Francesco Bertirossi-Busata . 3a5 Calcolo dell' Occultazione di a del Toro osservata in Padova, li 29 Novembre 181 1. Immersione = i8A. 42'. 23", 0 tempo medio . 11 . i5 . io , 8 tempo sidereo . & =i68°. 47'.4a",o a = 67 . 4' • i4 » 4 0 ss 4 . 5g . 5 , 5 Aust. a = 67 . 9 . 49 5 3 3 = 5 . a8 . 5a , 8 Aust. g = 149 . 36 h = 36 . 37 Log. sen. tr = 8 . 2,2895 A= i5'. 53", 9 P = — 46. 3i ,8 P' = 35.i3,7 A'= i5.54,8 a'= 66 . 54 . 4a , 6 0' ss 5.34.I9,a (a — a') = 906", 7 (£' — $)= 3a6,4 j = 959 , 7 fik ss — 4 , 9 Facendo ora dp = 0 nella solita equazione s . ds ss — (a — a' ) . cos.a 0' . Ja -+- ( $ — b ) d(ì si ottiene da = 5", a con che correggendo la longitudine avremo pel momento dell'im- mersione. Longitudine di C = 67°. 41'. 19", 6 . Distanza dalla congiunzione =s3i', 3o", 3. Moto orario in longitudine =34'. 45,45 e perciò l'istante della congiunzione = iih.ty. 58",9 tempo medio . 3a6 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. Calcolo dell' Occultazione di a del Toro osservata in Padova li a3 Gennajo i8ia. Immers.= 7*.48'.5o",a t. ra. Emers.= 8*. Si'. 46", 9 t.m. • = 4 -Sg. 49» 8 t. 8. . = 74°.57'.a7",o 3 .56 .4-2 ,8 t. s. fr== 5g°. io'.4a",8 . . a = 66 .58. 6 ,6 . . /? = 5.11.19,1 Aust. 67 .3a . 58 ,9 5 . 1 1 . n'i , 6 a =: 67 • 9-47^5 £ = 5 .a8.48,9 g = 66 .41 ... = 78 .36 h = *4 .i3 ... > . = aa .ai log.sen.sr = 8 aai87 — 8 . aai73 A = i5'.38",5 . = i5'.38",a P = i5 ,8 . . r= — io .ai ,0 P' = a8 . a8 , 9 . = a6 . 4a , 0 A' = i5 . 5a ,6 . A" = i5 . 5i ,3 a' = 66 . 58 .aa ,4 . a" = 67 . aa .37 ,9 £' = 5 39 . 48 , 0 . . /?" = 5 38 . 5,6 (a — a') = 684", 9 . ( a" -«) = 770", 6 (?-*) = 659 ,0 . ( P" -*) = 556,6 5 = 948,1 . . . s' = 947 >7 c?j = 4,5 . . ds' = 3,6 Dai calcoli superiori si ottengono le due equazioni se- guenti ; cioè 6", 474 = — 1", oag da — d0 6 , 1 3o = 1 , 37 1 da — d(ì dalle quali abbiamo da = — o",i4? e dfkss — 6",3a. Con questi valori correggendo le longitudini e latitudini lunari , si ha pel momento dell' immersione , longitudine di C — 66°. 58'. 6", 5; latitudine = 5° . 11' . a5" , 4 Aust. e per l'istante dell'emersione a -+- 3- =55°. 4.0'. ai" . . a =66 .56 . 18 ,6 /? = 5 . 11 . 19 ,0 a =67 . 9 -47 '3 b = 5 .28.48 ,9 g =64. 4 • 5a 22,195 i5'.38",5 2 . 39 , 3 Aust Aus h =24 log.sen.sr = 8 A = P = P' = 29 . 1 , 9 A'= i5 .5i ,6 à =66 . 58 .57 ,9 fi = - 5 . 4° ■ ao j 9 (a-a') = 649",4 (/?' — è) = — 692 ,0 j = 946 , 9 Jj = 4,7 = 4 -43 • 17 ,7 t. 8. = 70°. 49'. 25", 5 = 67 .29.47 ,7 = 5 . 1 1 .23 ,5 A" = a" =67 0" =-5 (a"— a) = «3»- A) = - . . i = . . ds' = :75 .29 :22 .47 1 8 . 22178 i5'.38",2 = — 7.28 ,6 27 . 9,6 i5 . Sa , 3 22 . 17 ,8 38 . 32 , 8 75o",5 583 ,9 948,1 4,2 Le due equazioni per ottenere il da ed il d3 sono le seguenti 6", 921 = — da — 1", 076 d@ 5", 357 = da — o, 786 d(l dalle quali da = -f- o" , 2 , e d 0 =2 — 6" , 6 e quindi la longitudine corretta pel momento dell' immersio- ne = 66° . 56'. 18", 8 , e per l'emersione = 670. 29' . 47 " •> 9 • Moto orario in longitudine = 33'. 14", 4- Distanza dalla con- giunzione in tempo = oh . 24' • 19", 9 da aggiungersi air im- mersione, e o*. 36'. 6", o da togliersi all'emersione, e perciò l'istante della congiunzione per Milano = 7*. 59'. 9", 3 t.m. Congiunzione di Padova = 8 . 9 . 55 , 2 Differenza de' Meridiani = io . 45 , 9 . 3a8 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ce. Calcolo dell' Occultazione di d del Sagittario osservata in Padova li 9 F ebbra jo 18 ia. Immersione ss 18''. 9' . 56", 7 tempo medio . i5 . 2,6 . 3a , 77 tempo sidereo . 3- = a3i°.38'. ia", Bor. Bor. a = _ • 1 284 . 59 . a3 , 7 £ = 4 . i3 . 18 , 7 a = a85 . 43 • 1 1 5 1 b = 3 16 .56 S = 307 • 9 h — 60 .34 Log. seri . CT = 8 . a33ai A = 16'. 3", 3 P = 28 . aa , 8 P'== 5o . 47 , 4 A' = 16 . 6, a r a = a85 27 . 46 , 7 (?' = 3 . aa . 3i , 3 (a- oc') — 9*4", 6 (/- -b) = 335 , 3 s = 981 , 9 ds = — i5 , 7 Per mezzo dei calcoli superiori, facendo d@ = o, nell'e- quazione prima si ottiene da = 16" , y . Differenza di longi- tudine tra la Luna e la Stella = o° . 43' • 3o" , 7 . Moto ora- rio in longitudine 35'. 7", 54- Istante della congiunzione = I9*. a4'. 16", a tempo medio . Calcolo dell' Occultazione di 87 (i della Balena osservata in Padova li 3o Luglio i8ia. Immers. = 15*. i6'.4a",5 t.m. Emers. = i6\ 37'. 58". 7 1. m. a3 . 5o . 57 , 3 t.sid. . . = 1 . a .a5 , 3 1. s. 3-=357°.44'.ao",o . . . . = i5°.36'. i5",o a — Dnx Sia. Ab. Francesco Bertirossi-Bitsata 0 2Q a = 38 .47.58,7 . . = 39 . 3o . r , a P = 4 . 55 . 3 1 ,3 Aust. . = 4 . 56 . 5o ,0 a = 39 .18.18 ,6 b = 5 .34.35,6 g = ao . 3 .3o . = 33 . 55 . 3o A EB 4' .28 ... . = 35 . 8 log.sen.zr = 8 . 43456 . . —a 8 a343i A = 16'. 6", 3 . . = 16'. 5", 7 P' = 43 . 56 , 6 . . = 38 .a3 ,4 P = i4.35,5 . . = 4-46,i A = 16.16,9 . A" = 16 . 18 , a a! = 39 . a . 34 , a a" — 39 34.47,3 f = S .38 .27 ,9 • /?" = 5 35 . i3 ,4 ( a — a') = 944", 4 («" -a) = 988", 7 {B'-b) = a3a , 3 . (/?" -*) = 37,8 s = 968 ,a . s = 984,7 C?.y = 8,7 . ds' = -6 ,5 Sostituiti questi valori nelle due equazioni differenziali abbiamo 36",a6 = — 4", c3 da -i-dfi — 1 69 , 3a = a5 , 9 1 da -+- d@ dalle quali si ricava da = —6",<) e c?/? = 8",5. Corregger do ora con questi valori le longitudini e latitudini lunari , avremo per l'immersione: longitudine di C = 38°. 47'- 5i", 8 : latitudine 4% 55' . 39", 8 Australe . Similmente per l'emersio- ne otterremo la longitudine di (£ = 390 . 39' . 54 " , 3 ; la lati- tudine =r4°- 56'. 58",5. Distanza dalla congiunzione =3o'.a6'.8. Moto orario in Longitudine 35'.a3",4» e quindi l'istante della congiunzione dall'immersione = \òh. 8'. 19", 6 dall'emersione = 16 . 8 . 19 , a Medio = 16 . 8 . 19 , 4 t. med. Tom. XVII. 4* 33o Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. Calcolo dell' Occultazione di a del Toro osservata in Padova li aa Ottobre i8ia. Immers.= iaA.a6'. 34", 3 t.m. Emers.= i3*. 3g'.a4",8 t.m. a .3i .3i ,6 t. s. fr = 370.5a'.54",o . a = 66 . 3g . a4 , i . /? = 4 . 5g . 34 , 3 Aust a = 67 . io .26 ,0 b =-S .28.48,6 g = 5o .42 h = 28 . 36 . . Iog.sen.CT= 8.24354 . A= 16'. 26", 7 P = 14.48 .1 P' = 33.33,5 A' = 16.40,5 a' = 66 . 54 . 1 2 , a 0' = -5.33. 7,8 sa 3 .44.34 ,a t. s. = 56°. 8'. 33" = 67 . a4 . 1 3 , 3 = 4 • 53 . 52 ,4 = 64. a5 = a4 . 43 = 8 . 24337 = i6'.a6", 1 = 2 . 54 , 1 = 3o . 12 ,2 A"= 16.41,0 a" = 67 . 27 . 7 , 4 /?" =-5.29. 4,6 1001 ,4 (« — «')= 973,8 . (a" — a) — (F — b)= 259,2 . (V — H=F i6,o 5= ioo3,6 ... y= 997 , 1 ds = — 3 , 1 ... fifa' = 3,9 Le due equazioni presenti 12", o = 3", 722 da — d(ì a43 , o = 62 , oa da -+- d@ ci danno da = 3", 9 e d@ = 1", 8 . Con questi valori correg- gendo le longitudini e le latitudini lunari, avremo a -+- da = 66°. 39'. a8 e /3-t-J^ = 4 • 59 . 36 , 1 A. Le corrispondenti pel momento dell'emersione saranno a -t- da = 67 . 24 . 17,2 e 0 -+- d0 = 4 • 58 . 54, a Aust. Distanza dalla congiunzione = 38' . 58" . Moto orario in longitudine =36' . 55", 3 ; e quin- di l'istante della congiunzione dall'immersione = i3A. 16'. 53", 7 dall'emersione = i3 . 16 . 54 ■> P Medio = i3 . 10 . 53 , 85 tempo med. Del Sic Ab. Francesco Berti rossi-Busata . 33i Calcolo della stessa Occultazione osservata in Milano dal eh. Sig. Oria ni . Immers.= ia*. ia'. So", 3 t.m. a . 17 .47 -, 3 t. s. 3- = 34°.aó'.48" a = 66 . 37 . 34 , 6 0 = - 4 . 5g . 36 . . a = 67 . io .a6 b = — 4 ■ 5o, .34 ,3 g = 48 . io h = 39 . 34 log.sen.«r= 8 . a4366 A = i6'.a6",7 P = 16 .54, a P' = 34 .ai ,6 A' = i6.4o,5 a' = 66 . 54 . a8 , 8 ? =-5 .33 .57,6 (a — a') = 9S7", a Ì/5'— £) = — 309 ,0 i = 1001 ,7 ds =. — 1", a Emers.= i3\ a4'. 18", 8 t.m. . = 3 .29 .527 , S t. s. . = 5a . ai . 5a , 5 . . = 67 .ai . 33 , 3 . . =-4.58.54,9 . = 8 .a434a . = i6'.a6",a . = 5 . 35 , 1 . = 3o . 54 , 5 A"= 16.41,0 a" = 67 .37 . 8,4 0"=-5 .a9 .49,4 (a" — a) = iooa",4 (/T— b) = —60,8 . . s' = 999,9 . . ds' = 1", 1 Le due equazioni che somministrano il Ja e il d(3 sono le seguenti : 3", 89 = 3", 07 da ■+- ^/? 18,09= 1 6 - , 34 da — d(} dalle quali abbiamo da = 1" , 1 , e d@ = o",4, e quindi la longitudine e latitudine corrette al momento dell'immersio- ne, come segue. Longitudine di (£ = 66° . 37'. 35", 7 : latitu- dine = — 4°- 59'. 36", 4 5 e per l'istante dell'emersione: lon- gitudine di C = 67°. a/. 34", 4: latitudine =—4°. 58'. 55", 3. Distanza dalla congiunzione in gradi = oh . 3a'. 5o", 3 . Moto orano in longitudine = 36'.55"^3, e perciò il momento del- 33a Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. la congiunzione ricavato dall'immersione = i3A.6'. ia", a dall' emersione = i3 . 6 . la ,6 Medio = i3 .6 . ia ,4 t. m. N. B. Non volendo nell'osservazione di Padova tener con- to che dell'immersione , che per errore si notò ia''. a6'. 34", 3 (giacché l'emersione è registrata come incerta essendosi un poco annuvolato il cielo) si ha s= ioo%", 1 , e ds=. — a",6; e quindi la prima equazione diventa io'', 01 = 3", 7a da-4-d(} e facendo J/3 = o, si ha da = 2,".J 6, e la longitudine della £ corretta =66°. 3g'.a6", 7 . Distanza dalla congiunzione in gra- di = 3o' . 5g" , 3 . Moto orario = 36' . 55" , 3 . Istante della congiunzione per Padova = i3A. 16'. 56", 3 Congiunzione di Milano = i3 . 6 . ia ,4 Differenza de'Meridiani ss 10.43,9. ( Osservazione di molta fiducia ) . Calcolo dell' Occultazione di a 7 v del Leone osservata in Padova li 18 Gennajo 181 3. Immers. = 7*.5i'. 6",it.m. Emers.= 8\ 5o'. i4",3 t. m. 3 . 42 . i5 , o t. s. 3= 55°. 33'. 45", o . a =i43 . 38 . 1,7 /? = 0 .ai .39 ,8 Bor. a =i44 •43.4a ,4 b — 0 . a . 3i , 5 g = 63 .58 ... h = a4 •49 . . . log.sen.sr= 8 . aao34 A = i5'.35", 1 . P SS 5i . 7 ,3 . F = a3.58,6 . A' ss i5 . 37 ,9 . a' =r44 . 39 . 9 , 0 . /?' ss-o . a.a8 ,8 A" = = 4 -41 -33 ,0 t. s. = 70 .a3 . i5 ,0 = 1 44 . 1 o . 1 3 ,4 = o . a4 • a6 , 7 Bor. = 75 . 8 = aa . 45 • ao = 8 . 32009 =s i5'.34",6 = 49 . a4 , a ss aa . 4 •> a 1 5 .4° , a a ' =i44 .59 .37 ,6 0"=s a .aa (a"— a) = 9-55 , a ((ì"-b) = — 9,0 t . . s = 954,9 . ds' = — *4»7 Del Sic. Ab. Francesco Beutirossi-Busata . 333 (a-a)= . 873",4 (£'—£) = — 3o3,3 s = 9^3,7 Avremo quindi le due seguenti equazioni — 43", 68 = a", 909 da -+- d& — i56, 0 = 10, 61 da — d(ì per conoscere da e «"/?, le quali risolute danno ) = -896,9 j== 919, a... #' sa 905 ,6 c?j = — 6 , a » . . -ds' =± 7,5 Col mezzo delle due solite equazioni si ricava l'errore delle Tavole in latitudine = — i",3. Tralascio di dedurre la congiunzione, giacché l'errore in longitudine diventa troppo forte, e perciò improbabile. Si noti bene che la Stella andò per molto tempo radendo il lembo della Luna prima di oc- cultarsi . Calcolo dell'Occultazione di 3a.i/ del Sagittario osservata in Padova li 2.9 Luglio 1814. Immersione == 1 ih. a%. a3", a tempo medio. 19 . 5a . 8,5 tempo sidereo . 3- = 1980. a. 7", 5 a =a79 . 57 . 5a , o P = 1 . 7.16,9 Bor. a =279 . 5a . 58 , 7 b = o.8.6,5 Bor. g =319 . o h = 63 . 53 . 3o Log. sen. vs — 8 . ig5a7 A= 16'. aa", 8 P = — i4.58 ,5 P' = 48 . ao , o A'= i6.a7,8 a' ■=■ 379 . 4a • 53 , 5 /?' = o . 18. 56 ,9 (a — a') = 6o5", a {p — b)= 65o,4 s = 888,4 ds = — 0,6 Dalla prima equazione s.ds=-(a-a').co$.:iP'.da-i-(fi'-b)dp dopo Del Sic. Ab. Fkangesco Bertikossi-Busata . 33? dopo di aver fatto d@ == o , si ottiene da = o" , 86, e quin- di la longitudine della C corretta pel momento dell'immer- sione = 279°. 57' . Sa", 9 . Distanza dalla congiunzione in gra- di = — o° .4' • 54" , 2, . Moto orario in longitudine =29'. 3 1". Distanza dalla congiunzione in tempo = — o7' . 9' . 58" , o . Tempo dell'immersione = 1 17' . a4' .23", 2 . Istante della con- giunzione = 1 ih . 14' • a5" , 2 tempo medio al Meridiano di Padova . Calcolo dell'Occultazione di 78. | 2 della Balena osservata in Padova li 7 Agosto 18 x4- Immersione = 167' .3o'.4o", 7 tempo medio . 1 . 34 . 45 , 2 tempo sidereo 3- = a3° .41'.. 18" a = 34 , 43 . 54 , 2 0 = 5 , • 7 • J7 >6 Australe . a = 34, , 52 . 32 , I b = 5 , .52.11,4 Australe . g = 40 . 2 . 3o h = 32 •34- Log. sen. vs = 8 . 22451 A ss i5'.44",2 P = -4 • 34 , 6 P' = 35 . 37 , 9 A' = i5 . 56 , 5 d = 34 . 39 . 19 , 6 9 = -5 . 42 . 55 , 5 (a — a') = 792", 5 (/?'-*) = 555 , 9 s = 964,8 ds = — 8,3 Gol mezzo de' superiori risultamene, fatto d@ = o, nella prima equazione, si trova da=io" , 2, . Longitudine della (£ corretta nel momento dell'immersione = 34° . 44 • 4" j4 • Di- Tom. XVII. 43 338 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. stanza dalla congiunzione in gradi =o°. 8'. 37", 7 . Moto ora- rio in longitudine = 33'.5a",6. Distanza dalla congiunzione in tempo =oh. 1^!. 5c/', a. Istante della congiunzione = i6;'. 45' . 39" , 9 tempo medio . Calcolo dell' Occultazione di 58 d dell' Ofiuco osservata in Padova li a4 agosto 18 14. Immers.= 8h. Sa'. 4o",5 t. m. Emers.= io*. 8'.38", it.m. = ao . 18 .41 53 t. s. = 3o4 . 4° • ao = a64 . io . a ,a =s a . a3 .57 ,9 . =3a8°. 9'.3o" . = 61 . 5i . o . = 8 . 19708 • = i4'-46",4 . = — a3 . a ,6 . = 47.a3,9 A"= 14-49^9 a" = a63 . 46 . 5g ,6 §r = 1 .30.34,0 a) = 787", 7 (P"-b)= -4*9,5 s' = 896 , 9 19 . a . 3i , 3 t. s. & =a85°.37'.5o" a =a63 . 3a . 35 , 3 (i = a.a6.57,a Bor. a =a63 . 33 . 5 1 ,9 b = 1 .43.43 ,5 Bor. g = 299 . 1 1 . ao h = 67 . 5 .ao log.sen.CT= 8.19710 a = i4'-46",4 P = — ia . 1 1 ,a P' = 49 . 1 1 , 1 A'= 14. 5i ,7 a' = a63 . ao . a4 ■> 1 /?'= 1.37.46,1 (a—a')= 807", 8 . («"- (/?'-£)= - 357,4 . (/?"- s = 883 ,0 . . 8 ds' = — 7 Le due equazioni per ricavate il valore di da e di d@ sono le seguenti : ai", 49 = — a"r» a7 ^a — d0 — 14 , 6a = 1 , 83 da — d@ le quali i-isolute danno da=. — 8" , 8 e d$ = — 1", 5; e per- ciò la longitudine corretta pel tempo dell' immersione =a63°. 3a'.a6",5. Latitudine = a°.a6'.55", 7 Bor. Similmente per Del Sic Ab. Francesco Berti rossi-Busata . 339 1' emersione : longitudine di C corretta = 264° • g' • 53" , 4 . Latitudine = a° . a3' . 56" , 4 • Moto orario in longitudine = 29'. 34". 8. Distanza dalla congiunzione in tempo col mez- zo dell'immersione = oh . 2'. 53", 2 . Distanza col mezzo del- l'emersione = \h . 1 3' .4"» 3, e quindi l'istante della congiun- zione ottenuto col mezzo dell'immersione = 8^.55'. 33", 7 coli' emersione =8.55.33, 8 Medio =8.55.33, 75 t.nì. Calcolo dell' Occultazione di ip 3 dell' Acquario osservata in Padova li 27 Settembre i8i4- Immers. = 8''. 27' . 54", 6 t.m. Emers.=9/'.3o'.5a",a:±:t.m. ao . 5i . 43 , 8 t. s. a =3430. 58'. i3", 5 /? = 4 . 6 . 33 Austr. a = 344 . 12 . 4a , o b = 4 • 4-6 • a5 , a Austr. g = 338 . 19 . ar h = 58 . 54 . 46 log.sen.sr= 8.21119 A= i5'.i5", 6 P = 2 . 5a , 4 P' = 5o . 9 , o A' = i5 . aa , o a! = 344 • l • 5,9 P = - 4 . 56 . 42 , 7 (a — a' ) = 696 , 1 (£'-£) = -617,5 s = 9a8 , 6 ds = — 6,6 L'emersione è incerta. Dalla prima equazione abbiamo da = 8" , 9 ; e perciò a -\- da — 343° . 58' . aa" , 4 • Distanza dalla congiunzione =o° . 14' . 19" . 6 . Moto orario in longitUr dine =3i'.55",5. Distanza dalla congiunzione in tempo 3^0 Calcolo d'occultazioni di alcune Stelle ec. = o* . 26' . 55", 5; e quindi l'istante della congiunzione = 8;' . 54' . 5o", 1 tempo medio . Il mio scopo principale, come in principio accennai, era quello di stabilire con qualche esattezza la differenza de' Me- ridiani tra l'Osservatorio di Parigi e quello di Padova, ma siccome pochi sono i confronti de' quali possa servirmi con tutta fiducia, così mi contenterò semplicemente di porli qui sotto senza voler spacciare come precisa la longitudine che ne deduce . Il eh. Sig. Cagnoli avea già stabilita la differen- za de' Meridiani fra Parigi, e Padova a — oà . 38' .10": alla qual determinazione quasi ognun degli Astronomi si è dopo attenuto senza istituire altri calcoli ed altri confronti, ma io comincio ad entrare in qualche sospetto che detta diffe- renza abbia ad essere alquanto miuore, giacché tale assumen- dola , primieramente gli errori delle Tavole sarebbero più di- screti e plausibili, ed in secondo luogo sembra che la di- mostrino le differenze di longitudine tra il Meridiano di Pa- dova e quelli dei luoghi seguenti . Differenze in Longitudine tra V Osservatorio di Milano, e quello di Padova dedotte dalle Occultazioni di d dei Pesci, io Agosto 1808 . . . = — io'. 4*"j 9 p dell'Acquario, 11 Settembre 1810 . = — io. 45 , 6 A dei Gemini , 4 Marzo 181 1 . . . = — io . 46 , 7 a del Toro, a3 Gennajo 1812 . . . = — 10.45,9 a del Toro, 22 Ottobre 1812 . , . = — io . 43 , 9 tra Lilientlial e Padova con a dell'Acqua- rio 22 Luglio 1807 = — oh. il'. 4?"» 3 tra Dresda e Padova con la stessa occulta- zione =-+-0 . 7.22,3 tra Seeberg e Padova con (i 1 del Sagitta- rio 6 Luglio 1807 = — 0.4-38»0 tra Bologna e Padova con la stessa occul- tazione = — o.a.5,2 Del Sic Francesco Bertirossi-Busata . 34 1 tra Parigi e Padova = — o. 38. io, 9 tra Roma e Padova con A della Vergine 27 Gennajo 1810 = -ho . 2.27,8 tra Viviers e Padova con Maja 7 Febbrajo i8o5 =—0.28.44,1 con Alcione . . . = — o.a8.5i,o tra Marsiglia e Padova con Alcione 7 Feb- brajo i8o5 = — o.aó.6,4 con Merope . . . = — 0.25.57,2 Di queste ho rigettato le tre seguenti; cioè x dell'Ac- quario per Lilienthal ; Alcione per Viviers e Marsiglia , poi- ché mi davano delle determinazioni molto lontane ( a mio cre- dere ) , e fra loro discordi : cioè — oh . 38' . 1" , 3 . La seconda : — o'\38'. 1 4" , 4 . La terza: — oh .38' . i5", 3 . Le altre rite- nute in numero di 12 (supponendo bene determinata la po- sizione de' luoghi sopracitati rapporto al Meridiano di Parigi ) danno per la differenza de? Meridiani fra Parigi e Padova co- me segue . . . .* = — o*.38'. 7", 9 38 . io ,6 38 . 11 ,7 38 . io , 9 38 . 8,9 38 . io , 9 38 . i3 , o 38 . 8,2 38 . 7,3 38 . 7,2 38 . 8,1 38 . 5,2 Medio di tutte = — oA.38'. 9", 1 Quanto poi alla determinazione degli altri Astronomi ho trovato nel Giornale Astronomico del eh. Sig. Barone di Zach Voi. I , II , e III , che il rinomato Astronomo Sig. Triesnecker con tre ecclissi di Sole e 9 occultazioni di Stelle ha trovato per la differenza dei Meridiani tra Padova e Parigi 34a C, lLCOLO e 'occultazioni di alcune Stelle ec. = — oh. 38'. 19", o 38 . 9 A 38 . 9 »o 37. 58 ,5 38 . IO = 7 38 . ia ,6 38 . i5 »* 38 . 9 »ó 38 . IO ,3 38 . IO ,6 38 . 8 >9 38 . IC , o. Di queste ne ho rigettato tre , come più lontane di quel- le ornmesse da me ; cioè . - — o .38 ,19,0 3? 58, 5 38 . i5 , a. Il soprammentovato Signor Barone di Zach parimente ( Voi. XXII dello stesso Giornale ) con due occultazioni ha trovato . . — oh . 38'. 5", 4 38 . ia , 6 . Il Professor Wurm ( Voi. XXVI ) con due ecclissi Solari ed una occultazione di Stella ha dedotto la differenza = — o . 38 . 16 , a 38 . 4 5 a 38 . 1 1 , 8 . Di' queste ho rigettato la prima . Finalmente il eh. Signor Cagnolì ( Voi. V della Società Italiana ) col mezzo di quattro occultazioni fisse trovò con fe- licissimo accordo — oA.38'. io", o 38 . io , o 38 . io , o 38 . io , o . Riunendo pertanto tutte queste determinazioni alle mie- e ricavandone il medio , si ottiene per la differenza de' Me- Del Sic Francesco Bertirossi-Busata . 343 ridiani tra Padova e Parigi — oA.38'.9",4- E dal medio del- le mie solamente, come si vede qui sopra — oh. 38'. 9", 1. Da questi due medj , che bastantemente si accordan fra loro sembrerebbe che la differenza de' Meridiani fra Parigi e Padova si potesse stabilire con qualche fondamento a — o'^SS'. 9", eh' è più piccola di un secondo di quella ricavata dal Sig. Cagnoli a cui sempre si attennero i Signori Toaldo e Chi- minello . Nuove osservazioni e nuovi confronti , come spero di fare , ci guideranno ad un grado di maggior precisione . 344 DESCRIZIONE DI UN NUOVO MICROMETRO MEMORIA Del Signor Gio. Battista Amici . P PRESENTATA ZI 1 3 DlCEMBRE l3i4 DAL CaV. RuFFINt B APPROVATA DAL CaV. CeSARIS . ì 1 perfezionamento dato in questi ultimi tempi al Microme- tro a fili lo ha reso uno dei più pregiabili istrutnenti , es- sendo molti i vantaggi che da questo ne ritraggono i colti- vatori delle Scienze Naturali : allorché però se ne vuole far uso nella misura dei diametri di Corpi Celesti, o delle loro rispettive distanze, conviene limitarsi a determinare quelle soltanto che sono perpendicolari al loro moto apparente, non potendosi le altre distanze, o diametri obbliqui assegnare con sufficiente accuratezza. A questo difetto suppliscono il micro- metro a lampada di Herschel? e que' micrometri che raddop- piano le immagini, come il prismatico, l'obbiettivo del Do l- lond, i due inventati da Ramsden: ma se si eccettui il pri- mo , gli altri o non sono assolutamente applicabili ai grandi Telescopi di forma Nevtoniana, ( i quali mostrano gli ogget- ti, come l'esperienza ha provato, meglio di quelli di tutt'al- tra costruzione ) o non possono applicatisi senza gravi incon- venienti e svantaggi; e quantunque il micrometro a lampa- da sia stato utilmente a tal genere di riflettori addattato ; chiunque però avrà tentato di farne uso debbe avere ricono- sciuto la necessità di una lunga e penosa pratica , e il fre- quente bisogno- di ben molte cautele onde non cadere in gra- vissimi errori . Ed io sono d'avviso, che se col mezzo di questo istru- mento il celebre Herschel è pervenuto a misurare grandezze sì Del Sic Gio. Battista Amici. 34-5 sì piccole da essere sfuggite alla diligenza degli altri osser- vatori, ciò attribuir si debba alla forza grande de' suoi Tele- scopj , ed alla abitudine e sagacità somma di questo grand' uo- mo nell'arte di osservare, piuttosto che alla perfezione del suo micrometro . Per la qual cosa ho più volte meco stesso pensato che recar potrebbe un rilevante servigio agli osservatori , ed alle Scienze la costruzione di un nuovo ordigno, il quale essendo applicabile a canocchiali di massima apertura fosse al tempo stesso di facile e pronto uso, e capace di misurare angoli pic- ciolissimi con un grado di precisione superiore a quella de- gli strumenti sin qui conosciuti . Anzi occupandomi di que- sto mio pensiere siccome di oggetto a parer mio importantis- simo, son giunto ad immaginare e costruire un nuovo micro- metro, il quale se pur non prendo abbaglio, sembrami sod- disfare più d'ogni altro all'indicato scopo. Ed è di questo mio tentativo, che mi propongo qui di dare contezza, nella lusinga che possa interessare la curiosità di que' Dotti i quali avendo mestieri di maneggiare frequentemente siffatti arnesi, sanno abbastanza quanto importi l'ottenere in essi la mag- gior possibile perfezione, perchè vogliano saper grado de' suoi tentativi a chiunque si adopra per procurarla . Ma siccome dall' un canto questo mio lavoro è appoggiato al principio della lente bipartita, sul quale è pur regolata la costruzione del micrometro obbiettivo, e dall'altro canto que- st'ultimo è stato da alcuni giudicato difettoso, così comin- cierò dal premettere alcune considerazioni sulle diverse im- perfezioni al medesimo attribuite . Il Sig. Maskeline nella sua relazione riguardante un istru- mento per misurare i piccoli angoli letta alla Reale Società di Londra 18 Dicembre 1777 si avvisò di aver rinvenuta la cagion vera di un principale difetto de' micrometri obbietti- vi, e furono per lui sì certe, e sì convincenti le ragioni sue, che credè indispensabile partito quello di rivolgere le sue ri- cerche ad un metodo diverso di principj , e di costruzione . Tom. XVII. 44 346 Descrizione di un nuovo Micrometro . Si prefisse egli pertanto di produrre due distinte immagini dello stesso oggetto, ma in maniera che gli assi dei coni lu- minosi partissero dal medesimo punto, o da punti sommamen- te vicini; e su questo principio regolò egli l'invenzione del suo micrometro prismatico (a) . Sul punto di dovere io scegliere un micrometro per cor- redarne i miei Telescopj, l'autorità di un sì dotto ed illustre Astronomo non potea non rendere esitante la mia determi- nazione per un sistema di mezzi fra' quali ha luogo la lente divisa . Imperocché, sehbene nel micrometro da me immagi- nato la lente bipartita non sia applicata come nel microme- tro obbiettivo , nullameno non avrei per questo evitata una imperfezione, la quale , sarebbe stata per ogni combinazione inevitabile qualora le cagioni della medesima fossero le indi- cate dal prelodato Autore . Un attento esame però della Teoria del medesimo mi mostrò le ragioni sue non assistite da sufficiente evidenza , anzi parvenu , e comunque pure la venerazione dovuta ad un tanto rispettabile Autore mi ponesse in dubbio di Ravvede- re , mi convinsi che la imperfezione dei micrometri obbiettivi a tutt' altra causa attribuire si debba, che alla immaginata da lui ; e così mi rassicurai che da questa non dovesse deri- varmene argomento per abbandonare la concepita idea . A dimostrare la quale asserzione mia, ed all'oggetto di fare conoscere sopra qual fondamento io abbia appoggiate le mie deduzioni, esporrò prima le considerazioni del Sig. Ma- skeline, come le ho tratte dalle transazioni filosofiche. „ Ma per quanto indubitatamente ( così si esprime ) sia apprezzabile il Micrometro obbiettivo , vi si sono trovati al- cuni difetti dovuti alle alterazioni del fuoco dell'occhio, per (a) Anche il Padre Boscovich immagi- nò circa nella medesima epoca un Mi- crometro di questa specie, e cosi ancora fu Fatto da M.' Rochon ; ma quest' ulti- mo si è particolarmente distinto coli' in- gegnosissima idea di adoprare la doppia rifrazione del cristallo di Rocca , ed ha formato un istromento assai superiore, e molto più utile degli altri . Del Sic Gio. Battista Amici. 347 le quali , in tempi diversi , il medesimo angolo può essere rappresentato sotto varie grandezze . Per esempio, trattandosi del Diametro del Sole , allorché gli assi dei coni di luce che partendo dai lembi opposti del Sole, ed attraversando le due semilenti si vanno a segare al fuoco del Telescopio , il con- tatto apparente de' medesimi lembi non può essere rimarcato , a menochè la conformazione dell'occhio non sia tale che gli oggetti situati al punto d'intersezione possano essere distin- tamente veduti. Ma se l'occhio sia disposto a vedere distin- tamente quegli oggetti , che sono più prossimi all' obbiettivo di quello che lo sia l'intersezione, i due lembi compariran- no separati per un intervallo eguale alla distanza degli assi- dei coni luminosi in quel medesimo luogo j e se poi l'occhio sia conformato in maniera da vedere distintamente gli ogget- ti ad una più grande distanza dalla lente obbiettiva che il punto d'intersezione, si vedranno i lembi soprapporsi per lo spazio eguale allo scostamento degli assi in quello stesso sito, Per rendere ciò più sensibile, O, V ( Fig, 1 ) rappresen- tino i centri delle due semilenti del micrometro obbiettiva separate per la distanza OV che sottende al punto A l'ango- lo OAV eguale al diametro del Sole il quale punto A è il fuoco comune dei due pennelli di luce che hanno OA e VA per assi , cioè quelli che procedono da parti opposte del So- le, e passano per le diverse semilenti; e sia D l'oculare, Egli è evidente che se l'oculare è posto in modo da scoprire distintamente gli oggetti situati al punto A, i raggi OA, VA, come pure tutti gli altri appartenenti a quei penelli saranno raccolti in un punto sopra la retina dell'occhio; e perciò li. due opposti lembi delle due immagini del Sole sembreranno coincidere, e le due immagini solari toccarsi esternamente. Ma se lo stato dell'occhio si altererà, l'oculare rimanendo a suo posto, l'occhio non sarà più disposto a vedere distin- tamente la immagine formata al punto A, ma piuttosto a ve» dere un oggetto situato in EF più vicino, o più lontano dal- l'obbiettivo , onde si formerà sulla retina una immagine esat- v &J.8 Descrizione di un nuovo Micrometro . tamente simile alla immagine un poco confusa formata dai raggi sopra un piano perpendicolare al loro corso in EF . In conseguenza , siccome i due coni dei raggi solari BOA GVA formati dalle due semilenti, sono separati o si attraversano a questo punto dell'asse per la distanza EF , le due imma- gini non sembreranno toccarsi esternamente, ma appariran- no separate o soprapposte per l'intervallo EF . Perciò l'er- rore introdotto nella misura del diametro del Sole sarà l'an- golo ERF sotteso da EF ad R punto di mezzo tra O, e V, il quale sta all'angolo EAF ossia OAV " diametro apparente „ dal Sole come AE ad ER od anche ad AR atteso la pic- „ colezza di AE rispetto ad AR „ . Nel surriferito ragionamento del Sig. Maskeline si rileva ch'egli ha supposto nel Telescopio l'oculare immobile, e non vi ha dubbio che per le alterazioni dell'occhio l'osservatore potrà in diversi tempi vedere gli oggetti distinti, o più vi- cini, o più lontani dell'intersezione degli assi dei coni di lu- ce, che procedono da parti opposte dell'oggetto; ma è altresì vero che il fuoco dell'obbiettivo restando il medesimo, l'os- servatore sofferto che abbia un cangiamento di vista, non ve- drà più che confusamente l'immagine in quel luogo, in cui da prima gli si mostrava distinta . Per la qual cosa in que- sto nuovo stato non dovrà giudicare della grandezza dell'an- golo, se prima col rimover l'oculare non si sarà procurata la visione perfetta . In questa ipotesi è evidente che vedrà le immagini, come se niun cambiamento fosse accaduto all'oc- chio ; e che perciò niuna differenza troverà nella grandezza dell'angolo. Egli è poi agevole il persuadersi che quand'an- che l'oculare restasse fisso, e si supponessero alterazioni nel fuoco dell'occhio, non per questo si vedrebbero le immagini in EF separate per quello spazio; poiché i raggi che termi- nano i diametri delle immagini in EF non sono come si vor- rebbero terminati dagli assi VA, OA, ma bensì lo sono dai raggi che appartengono ai medesimi assi, e che vengono ri- fratti all' estremità delle semilenti come sarebbe MA , NA i Del Sic Gio. Battista Amici. 3^n quali si accavalciano in EF; onde tanto in EF , quanto in FÉ , qualunque siasi il cambiamento di vista , le immagini confuse debbono sempre mostrarsi incrocicchiate . Un facile esperimento basta per confermare l'esposto. Con un Telescopio armato di micrometro obbiettivo si guar- di un qualche oggetto; per es. Giove. Accomodato l'ocula- re per la vision distinta , si separino le semilenti finché i lembi opposti delle due immagini del pianeta si tocchino; quin- di si accosti, o si allontani alcun poco l'oculare dall'obbiet- tivo, locchè equivale ad un accorciamento, o ad allungamento divista prodotto da alterazioni dell'occhio; ed in ambedue le posizioni si vedranno sempre le deformi immagini di Giove ac- cavalciarsi, e se per maggior spazio si avvanzi,o si ritiri l'o- culare, si perderanno affatto le immagini, rimanendo soltan- to una luce dispersa in una forma e posizione eguale od in- versa delle due semilenti che costituiscono il micrometro . Non è così nell'Eliometro del Sig. Boagner, ma allorché si tratta di misurare angoli un poco grandi, il cambiamento di vista, e di distanza dell'oculare può alterare qualche po- co la loro grandezza . La ragione è fondata in ciò , che per la vision distinta di un oggetto non fa d'uopo che tutti i raggi emanati da un punto del medesimo coincidano esatta- mente in un punto della retina; per la qual cosa se O, 0-' sono gli obbiettivi di queir istromento convenientemente se- parati per far coincidere nel loro fuoco F le immagini di due oggetti S , S' ; l'occhio situato dietro l'oculare AB potrà nel medesimo tempo vedere perfettamente gli oggetti toccantisi in F o divisi in f o finalmente soprapposti in f essendo gli angoli formati dai raggi che partono dalle estremità degli ob- biettivi minori dell'angolo SFS' , per cui può accadere che dallo smuovere l'oculare per lo spazio/,/', o da un cam- biamento del fuoco dell'occhio, che a ciò equivalga, i pri- mi non cagionino aberrazione sensibile, mentre per quella stesso movimento la separazione dei due assi SF, S'F si ren- de manifesta . Di qui si vede che quanto è più grande l' a- 35o Descrizione di un nuovo Micrometro . pertura degli obbiettivi la precisione delle misure deve essere maggiore Un'altra imperfezione del micrometro obbiettivo appli- cato ai cannocchiali si è ritenuto esser quella proveniente dalla parallassi ottica , per cui se le due immagini di diversi oggetti si toccano in mezzo al campo del Telescopio, queste allorché saranno vedute ai bordi si separeranno . Questo difetto però è di poco momento, essendo assolu- tamente nullo nel centro del campo, ed insensibile nelle vi- cinanze del medesimo, ove si giudica sempre del contatto del- le immagini, perchè ivi sono più distinte. Ed è poi per que- sto riguardo senza dubbio meno imperfetto del micrometro a fili in cui la coincidenza de' medesimi co' diversi punti del- la immagine si fa ad una maggior distanza dal centro . Finalmente gli errori che si sono commessi col microme- tro, obbiettivo nella misura dei piccoli angoli si sono da al- cuni fatti derivare dalla dilatazione prodotta per la diversa temperatura nel tubo del Telescopio al quale è applicato: ma è facile il conoscere che questo preteso diffetto non ha più fondamento di quello enunciato dal Sig. Mas/celine, poiché l'allungamento o accorciamento del tubo non facendo che rendere diversa la distanza fra il grande specchio e lo spec- chietto del telescopio equivale come è manifesto ad un cam- biamento di vista O diversa posizioni? J^IT oculare , laonde per quello che abbiam veduto ciò non può per conto alcune alterare la misura dell'angolo. Le tre principali surriferite circostanze adunque dalle quali si è creduto dipendere la diversità di valori ottenuti nel misurare in vari tempi un medesimo angolo, non posso- no per le fatte osservazioni , essere le vere origini di tali er- rori . Noi dobbiamo per conseguenza derivarli da altre cause, le quali per le osservazioni che ho fatte credo che siano le seguenti . L'apertura della lente divisa è comunemente grande in proporzione della sua lunghezza focale , e ciò perchè nella Del Sic. Gio. Battista Amici . 35 1 misura dei grandi diametri per esempio del Sole , e della Lu- na, non venga otturata molta parte della bocca del Telesco- pio ove la detta lente è applicata , e tolta così troppa luce allo specchio . Ora questa troppo ampia apertura cagiona una considerabile aberrazione, per la quale le immagini sono in- distinte specialmente nella circostanza delle maggiori separa- zioni delle semilenti; se a ciò si aggiunge la difficoltà di ri- mettere le semilenti nella medesima situazione, che avevano prima di tagliarle, sarà questa un'altra circostanza che con- correrà ad aumentare ognor più l' indistinzione delle immagi- ni vedute nel Telescopio . Ma questa indistinzione di contor- no porta di necessaria conseguenza che non si possa accertar bene il contatto dei lembi delle immagini . Dunque non è da maravigliarsi se accada sovente di ottenere con siffatto stru- mento dei valori diversi per un angolo medesimo . Ho veduto de' micrometri obbiettivi fabbricati dai celebri Dollond , e Short , che applicati ai rispettivi telescopi ren- devano gli oggetti manifestamente confusi, mentre i sempli- ci Telescopi lavorati colla maggior perfezione li mostravano eccellentemente . Un'altra causa estrinseca contribuisce all'incertezza del- le misure, e deriva questa dallo stato dell'atmosfera. Per ve- dere come ciò avvenga , si rifletta , che i raggi emanati da un punto di un oggetto attraversando l'aria ricevono una quantità di storcimenti dai vapori che incontrano, li quali cambiano la loro primitiva direzione, ed avvegna che la de- viazione sia infinitamente piccola, allorquando l'atmosfera è placida e chiara , ella è però assai sensibile in uno stato di aria agitata, o pregna di esalazioni, per cui l'unione di quei raggi raccolti dall'obbiettivo del cannocchiale facendosi in un piccolo spazio, le immagini di due punti vicinissimi dell'og- getto si soprappongono, e ne nasce quindi l' indistinzione . Ora se si considera che le semilenti convenientemente sepa- rate per misurare il diametro di un oggetto sono basi di due semiconi di raggi che provengono dai due punti estremi del 35a Descrizione ni un nuovo Micrometro . diametro dell'oggetto, e che questi semiconi di raggi nel lo- ro transito attraverso l'aria possono esser piegati in differen- ti maniere, si vede chiaramente che le immagini confuse di que' due punti prodotte dalle semilenti potranno essere alter- nativamente portate al contatto, od alla separazione, o soprap- posizione , e cagionar quindi errore nella grandezza dell' an- golo. Tutto ciò viene confermato dalla esperienza, ed ho sem- pre trovato, allorché lo stato dell'aria era favorevole, le due immagini immobili; mentre al contrario in circostanze diver- se, costantemente le ho vedute in continuo tremore, per cui, ora sembravano toccarsi, ora accavalciarsi, ed altre volte stac- carsi, e per quanta attenzione mettessi nell' assegnare il con- tatto, pure alle volte l'errore nella misura dell'angolo am- montava a più secondi . Ma fortunatamente questo difetto do- vuto ad una causa fisica indipendente dall' istrumento, e che può aver condotto in errore alcuni osservatori, viene appun- to distrutto nel tempo stesso che l' aspetto dell' oggetto è il più propizio per essere contemplato . Le maggiori imperfezioni adunque del Micrometro obbiet- tivo si riducono a mio credere a due soltanto; primo cioè, quella dell'impossibilità, o almeno estrema difficoltà di co- struire delle lenti da poter applicare ad ampi Telescopi ca- tadiottrici ; e secondariamente, l'altra dell'aberrazione pro- dotta dalle lenti medesime, la quale rendendo indeterminati i contorni delle immagini turba perciò la precisione della mi- sura degli angoli ; ma col trasportare semplicemente come ho immaginato il Micrometro Dollondiano tra l'obbiettivo, e l'o- culare di un Telescopio si toglie affatto la prima imperfezio- ne ; e si diminuisce di tanto il secondo diffetto da renderlo insensibile ; e nel medesimo tempo ci si offre il vantaggio di una più ampia scala unitamente ad altri comodi, e speditez- za dell' osservazione . In effetto , sia MN una lente obbiettiva di un cannoc- chiale del fuoco OF, e sia B'A' l'immagine di un oggetto AB che Dei. Sic Gio. Battista Amici. 353 che si vuol misurare. Se in M'N' tra l'obbiettivo, ed il suo fuoco si ponga un' altra lente convessa , questa rifrangendo di nuovo i raggi formerà in F' una nuova immagine dell' i- stesso oggetto AB la quale sarà perfettamente simile alla B'A' non differendo in altro che nella grandezza . Supponiamo ades- so la lente M'N' divisa in due parti alla maniera de' Micro- metri obbiettivi . È certo che si potranno scostare li due seg- menti in modo, che le estremità delle due immagini di AB, che ne provengono coincidono in F' : ciò posto egli è d' uo- po osservare che il punto A manda alla lente MN un cono di raggi luminosi i quali essendo dalla medesima rifratti si dirigono tutti verso A' per formarvi l'immagine del punto A; ma venendo questi raccolti prima dalle semilenti, si piegano in modo da produrre due immagini del medesimo punto A, una delle quali , e precisamente quella proveniente dalla se- milente M'C , si suppone essere in F' . Di tutti que' raggi, che incontrano la semilente M'C quello soltanto che passa pel cen- tro soffre rifrazione . Questo stesso raggio adunque auderebbe in A' ove è diretto in virtù dell'obbiettivo . Riflettendo per- tanto che questo medesimo raggio avanti di giungere in A' deve unirsi nel punto F' cogli altri tutti rifratti dalla semi- lente M'C per farvi l'immagine di A , si vede chiaramente che conducendo per A'F' una retta, questa prolungata passe- rà pel centro C della semilente, e così tirando la B'F' ella indicherà la direzione del centro C dell'altra semilente . Da tutto ciò ne segue , che sarà la metà della distanza dei cen- tri delle semilenti alla tangente della metà dell'angolo sotte- so dall'oggetto al centro dell'obbiettivo, come O'F' a F'F, essendo il raggio uguale alla distanza focale dell'obbiettivo MN ; laonde il valor dell'angolo che si vuol misurare verrà determinato dall'apertura delle semilenti, la quale per un dato angolo può essere aumentata a piacimento, dipendendo questa dalla lunghezza focale dell'obbiettivo, e della lente che serve per Micrometro, come pure dalla diversa distanza di quest'ultima dall'obbiettivo medesimo. Tom. XVII. 45 354 Descrizione di un nuovo Micrometro . L* estensione della scala però non deve farsi troppo gran- de, e ciò perchè la misura degli angoli non sia ridotta a trop- po stretti confini , ma basta limitarla a tale ampiezza , che gli errori dipendenti dalla medesima siano al disotto di quel- le più piccole distanze delle quali si può portar giudizio col- la forza del Telescopio . L' accostamento del micrometro al fuoco del cannocchia- le deve anche esso essere limitato; poiché per il troppo gran- de restringimento del cono di luce, che spetta a ciascun pun- to dell'oggetto, la laminetta di metallo che attraversale se- milenti intercetterebbe la maggior parte de' raggi che vanno a formare le immagini . Questa situazione poi del Micrometro fa che gli errori provenienti dalla aberrazione delle lenii, e dalla difficoltà del- la loro giusta rettificazione siano infinitamente diminuiti tan- to per la ristrettezza del cono di luce che riceve , quanto per il suo accostamento al fuoco dell' obbiettivo . Non picciol vantaggio è poi quello di ottenere le imma- gini egualmente luminose nella misura dei diversi angoli, loc- chè non si ha con l'altro Micrometro, a meno che l'aper- tura delle semilenti non sia molto più grande dell'obbiettivo del cannocchiale . Finalmente l'applicazione del medesimo a qualunque sor- ta di Telescopi catadiottrici , o diottrici non ha alcuna diffi- coltà , ed è con uno di questi istromenti che io ho corredato un Riflettore da me costruito di forma Newtoniana avente otto piedi di fuoco con undici pollici di apertura . Il Micrometro è attaccato alla parte esterna del cursore che porta il piccolo specchio piano, ove è pur fissato un cer- chio graduato per conoscere la posizione del medesimo Mi- crometro nel suo moto rotatorio. L'oculare conserva sempre una egual distanza dalle semilenti, la quale è circa sette pol- lici, e la visione distinta nel Telescopio si ottiene col solito movimento del cursore a cui è applicato tutto il macchinismo. Al fuoco dell'oculare vi sono due sottilissimi fili che s'in- Del Sic Gio. Battista Amici. 355 tersecano ad angoli retti, mentre uno sta paralello alla divi- sione della lente del Micrometro; e ciò per misurare la dif- ferenza di ascensione retta e declinazione di due oggetti nel cielo, quando queste distanze non superino l'estension totale della scala, la quale è di due minuti e a5", ed ogni minuto primo corrisponde ad una separazione di quattordici linee dei centri delle semilenti, cosicché l'apertura g$ di linea equi- vale ad un minuto secondo . Questa scala che ho determinato col calcolo dietro la cognizione dei fuochi dello specchio obbiettivo e della lente divisa , come pure della distanza di questa al fuoco del pri- mo l'ho anche verificata coli' esperimento mediante il solito mezzo di trasportare ad una conveniente distanza un oggetto di cognita grandezza perchè sottenda al centro dello specchio un dato angolo . Le semilenti possono ambedue muoversi tanto a dritta che a sinistra, e le divisioni sono al di qua, come al di là dello zero,locchè è un grande vantaggio per determinare col- la massima esattezza il contatto, come pure la perfetta coin- cidenza delle due immagini . L' indistinzione del Telescopio cagionata dalla aggiunta del Micrometro è insensibile , ed anche con esso alla distan- za di 890 piedi parigini con un ingrandimento di n5a si possono leggere dei caratteri , e de' numeri , la di cui altez- za è nove punti del medesimo piede di Parigi . La divisione dell'anello di Saturno, la banda oscura che ne attraversa il disco, come pure li cinque satelliti più ester- ni restano visibili, quand'anche le semilenti siano separate alla maggior distanza , meglio che in un buon Telescopio New- toniano di otto piedi di lunghezza, e pollici 6 \ di apertura senza micrometro . La sera degli 8 Ottobre alle ore 7 osservando Saturno presi le misure del diametro maggiore dell'anello, e del glo- bo, e trovai che il rapporto di questo a quello sta come 88 : 37, e che l'angolo sotteso dal diametro maggiore dell'anello era 356 Descrizione di un nuovo Micrometro .' 38", 06. II Signor Barone Zach (a) lo trovò di soli 35", 089? ma altri osservatori lo trovarono maggiore: Pound 4av'j Rochon 4o" , 6 ; Herschel 4U" ? 682 , ed io non ho motivo di creder- mi lontano dalla vera nemmeno di un minuto secondo, seb- bene rilevata da un'unica osservazione, poiché negli esperi- menti che io aveva già fatti anche in terra, la differenza di un minuto secondo si è sempre resa a colpo d'occhio mani- festa; ed avendo posto ad una distanza di mille piedi, esat- tamente perpendicolare all'asse del Telescopio un rettangolo il di cui lato maggiore cresceva di ^ dall'altro, mentre il minore sottendeva al centro dello specchio obbiettivo un an- golo di un minuto primo, ho sempre trovato , girando il Mi- crometro dopo aver separate le lenti in modo che le imma- gini del rettangolo nel »enao minoro fusscru portate al con- tatto , che le altre immagini nella direzione più lunga si ac- cavalcian di molto . Io non parlerò qui di tutti i diversi usi de' Micrometri., e de' vantaggi che da essi ritraggono l'Astronomia, la Geo- desia , la Nautica , e la Storia naturale perchè troppo cogni- ti ; ma farò bensì riflettere che questo mio istrumento si pre- sta comodamente alla misura della distanza degli oggetti ter- restri , cognita la loro grandezza assoluta -, poiché non è ne- cessaria che l'applicazione di un Vernìer , o Nomilo al cur- sore che porta la macchina per marcare le variazioni del fuo- co del Telescopio , e di costruire una Tavola che mostri i cambiamenti della scala che da ciò ne derivano . Ho avvertito che l'oculare del mio istromento porta al suoi fuoco due fili che s'incroccichiano ad angeli retti, e situati, in modo che uno di essi riesce paralello al taglio della len- te del Micrometro per determinare la differenza di ascensio- ne retta, e declinazione di due oggetti celesti. È noto come debba operarsi per ottenere il medesimo in- fo) Secondo supplimento alle Effemeridi Astronomiche del Sig. Bode , Del Sic Gio. Battista Amici . 3S7 tento col Micrometro del Dollond; ma siccome il metodo da usarsi col mio è alquanto differente a causa dei fili dell'o- culare, i quali conservando sempre la medesima posizione ri- guardo alle semilenti hanno con esse di comune il movimen- to circolare , così credo che non dispiacerà che io qui mostri questo metodo facile che ci può far conoscere se le piccola stelle hanno intorno ad altre vicinissime maggiori alcun mo- vimento , nella quale delicatissima ricerca si è molto eserci- tato il celebre Herschel . Siano dunque A , B ( Fig. 4 ) due stelle delle quali si ve- glia sapere la differenza di ascensione retta, e di declinazio- ne . Il circolo MXNY rappresenti il campo del cannocchiale, ed XY, MN i due fili che si segano ad angoli retti, mentre MN è costantemente paralello alla linea c.\\p congiugne i centri delle semilenti . Si faccia ruotare il Micrometro finché una stella per esempio la B scorra col suo moto diurno lungo il filo MN , e quindi si separino le semilenti, fintanto che la seconda immagine a della 3tella A passi il filo orario XY nel medesimo istante che vi passa la B . La distanza de' centri delle semilenti indicherà in questo caso la differenza di ascen- sion retta delle stelle . La ragione ne è evidente . Ciò fatto si giri circolarmente il Micrometro sinché le due immagini B,# della stella B, che scorrevano lungo MN lo attraversi- no pel loro moto diurno nel medesimo momento . In tal cir- costanza il Micrometro avrà girato 900 . Perciò la separazione- delie semilenti, che da prima si faceva nel senso dell'equa- tore, si farà ora nella direzione del circolo orario il quale sarà rappresentato da MN . Si avrà dunque la differenza di declinazione se si scostino le semilenti per modo che la im- magine più settentrionale della stella più meridionale tocchi , e scorra lungo il filo parallelo all'equatore nel medesimo tem- po che è scorso dall' immagine più meridionale della stella più settentrionale . I fili che servono per l'oggetto suindicato sono anche di un ottimo uso e rimedio per evitare gli errori che possono- 358 Descrizione di un nuovo Micrometro . con questo istrumento commettersi per ragione delle diver- sità di viste . Infatti un cambiamento di vista fa che attra- verso l'oculare non si vedano le immagini distinte in quel luogo , che da prima si scorgevano tali , onde restando l' o- culare stesso costantemente ad una egual distanza dal micro- metro , per procurarsi la visione distinta converrebbe muo- vere il cursore che porta il micrometro medesimo insieme al piccolo specchio piano; per un tale movimento l'immagine dell' oggetto cambierebbe di distanza rapporto alla lente bi- partita, e così alterandosi questa distanza che è uno degli elementi che determinano l'ampiezza della scala si commet- terebbe errore nella misura dell'angolo. Si evita questo in- conveniente col mezzo dei sopraddetti fili i quali si conserva- no sempre egualmente distanti dalle semilenti, e l'oculare avendo uu piccolo movimento parziale lungo il tubo permet- te che i fili possano essere attraverso il medesimo veduti di- stintamente accostandolo , o allontanandolo secondo le diver- se viste. Corretto cosi col parziale movimento dell'oculare il cambiamento del fuoco dell'occhio, la grandezza dell'angolo non può più per questa ragione venire alterata . L'uso del micrometro che ho descritto è limitato soltan- to alla valutazione di picciolissimi angoli, e quantunque ciò bastasse per riconoscerne la utilità, poiché hanno in tali mi- sure fondamento molte bellissime, ed interessanti ricerche; non ostante ho cercato di renderlo servibile, e sempre colla medesima esattezza, alla misura di angoli maggiori , come sa- rebbero i diametri del Sole , e della Luna . A tale effetto bastano due prismi acromatici uguali la di cui rifrazione posti nel Telescopio vicini alle lenti del Mi- crometro, sia di sedici minuti, e trenta secondi circa. Uniti questi per le basi triangolari in modo che i loro angoli re- fringenti sieno opposti , e situati in prossimità delle semilen- ti in tal maniera , che il piano , per cui sono uniti prolun- gato passi pel taglio delle medesime lenti , la rifrazione to- tale di ambidue sarà circa minuti 3i la quale potrà essere ab' t /rft-ttd'/iia zrt&ca-. ^yo^. e a5 di Maggio le se- guenti posizioni apparenti . 4 Maggio 2,5 Maggio 11 Scorpione AR app. = i5A. 57'. 9", 27 . i&.fy'. 9",46 decl.aust.app. = 120. i3'.37", 3 . ia°.i3'.36", 1 Del Sic Giovanni Santini . 863 Col mezzo di queste posizioni apparenti ho dedotto le seguenti AR, e declinazioni di Vesta, rapporto alle quali os- servo, che non ho tenuto conto della correzione al catalogo prescritta dal celebre autore nel suo VI libro della Specola Palermitana, e che rapporto alle declinazioni ho calcolato l'errore del principio di numerazione dello stromento per tut- te le sere, e di questi errori ho preso il medio, del quale mi sono servito per correggere le distanze al zenit di Vesta osservate . Con queste avvertenze si trovano i seguenti risultati Magg. Gior. Tempo Medio AR app. di Vesta Deci. Austr. app. Aber. Nut. in A. R. Aber. nut. par. in declin. 4 i34. 44'. 18", 1 2480. 4'. 37", 6 -12°. 33'. 3", 5 -5", 3 -+-3", 4 5 i3 . 39 .40 , 7 247 . 54 . 14 , 8 i2 . 3a . i3 , 4 8 i3 . 25 . 42 , 3 247 . 21 . 28 , 6 12 . 3o . i5 , 4 16 12 . 47 • 26 , 9 245 . 39 . 8,3 12 . 27 . 38 , 2 i7 12 . 4^ ■ 35 , 3 245 . 25 . 12 , 6 12 . 27 . 39 ,2 23 12 . i3 . 9,8 243 . 57 . 26 ,7 1 2 . 29 . 3 1 , 2 M 12 . 8 . 14 , 3 243 . 4a • 3o , 6 12 . 3o . 4 > 3 25 12 . 3 . 18 , 0 243 . 27 . 20 , 4 — 12 . 3o . 47 , 4 — 7 , 0 -+- 2 j 7 Mediante i sopradescritti elementi ellittici ho calcolato le Ascensioni rette, e declinazioni di Vesta per il momento di ogn'una delle precedenti osservazioni, ed ho ridotte le posizioni osservate all'equinozio medio, applicandovi l'aber- razione e la nutazione , e la paralasse per renderle compara- bili alle calcolate; ho ottenuto così i resultati qui annessi. 364 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Maggio Giorni AR calcolate dall' Equin. Medio Errori Declinazioni calcolate Errori 4 248°. 4'. 18", 8 -i-i3":4 — I2°.33'.39",4 -t-38", 9 5 247 . 54 • 8,0 -1- 1 , 5 12 . 32 . 53 , 0 -t-4a ,6 8 247 .21 . 17 , 0 + 6,c ia . 3o . 5a , 5 -t"40 1 ! 16 245 . 38 . 52 , 3 ■+- 9,9 12 . 28 . 14 , 6 -+-39 ,4 J7 245 . 24 . 5o , 4 -+- r6 , 0 12 . 28 . 14 , 0 -(-37 , 8 a3 243 . 57 . 3,o -+-17 ,0 12 . 3o . 1,8 i-33 j 6 *4 243 • 4a • ' j 8 + 21 , 9 12 . 3o . 39 , 2 -+-37;9 25 243 . 26 . 56 , 8 ->-->7 >4 12 . 3i . 22 , 3 -1-37 ,9 Medio -t-io',4 ^37", 3 Nel prendere il medio ho escluso le prime tre osserva- zioni perchè troppo remote dall' opposizione, e discordano un poco dalle altre riguardo all'AR. Applicando ora ai sopra descritti medj l' errore del ca- talogo, che inerendo al precetti del Sig^ Piazzi è=-+-5",o in AR , 1", 5 in declinazione, avremo err. in AR = da=+ 2. i",^); quindi risulta err. in long.=-»-i4",2 in decl.==-dd=-i-'ò5 ,8) err. in latìt. =-+-39 ,0 ove i segni devono interpretarsi in modo, che la quantità calcolata debba sempre algebraicamente sommarsi col suo er- rore per ottenere la corrispondente quantità osservata . Correggendo in tal guisa le longitudini, e latitudini geo- centriche calcolate per i giorni 2,4, e 2,0 Maggio, e facendo uso delle tavole solari del Sig. Carlini , trovo i seguenti ri- sultati Del Sic Giovanni Santini 365 Maggio Gior. Tempo Medio Long, di -A dall' Equin. Med. Long, di S dall' Equin. Med. Lat. Bor. g M la*. 8'.i4",3 344°. 3'.39",o 34*0.49'. aa'r, 6 8°.37'.28",3 a5 12 . 3 . 18 ,o 243 . 49 . 7,3 243 . 46 • 46 > 7 .8 . 34 . 7,2 Differenze a3 . 55 . 3,7 — 4.3i , 7 •*■ 57 . 24 , 1 — 3 .21 ,1 Di qui risulta, che l'opposizione di Vesta ebbe luogo il gior- no a5 Maggio 181 1 a iaA. 5o'. 3", 1 T. medio al mer. di Padova La long, del Pianeta dall' Equin. Med. era =243°. 48'. 38", 9 La latitudine Geocentrica boreale . . . 8 . 34 . 5 , 8 IL Opposizione dell'anno 1812. L'Osservatorio Astronomico fu arricchito in quest'anno dalla Sovrana munificenza di un secellente stromento dei pas- saggi del Sig. Reichenbach di tre piedi e mezzo, fornito di un ottimo livello internamente lavorato diviso dalla parte del- la bolla in parti decimali segnate sulla canna medesima di vetro . Ogni parte contiene linee 1 | del piede di Parigi , e corrisponde a o" , 8 , come me ne sono assicurato col mezzo del micrometro annesso al quadrante murale di Ramsde/i . li canocchiale acromatico è di tale forza, e chiarezza, che si può vedere la polare, e (5 dell'orsa minore nel mezzogiorno. L' apertura dell' obiettivo è di tre pollici . L' illuminazione dello stromento si fa per l'asse, ed ha cinque sottilissimi fili di ragno tesi nel foco dell'oculare dei quali il terzo giace nel: piano del Meridiano . È montato nella medesima sala del qua- drante, cosicché dopo di avere osservato l'appulso di un astro ai cinque fili dello stromento dei passaggi si ha ancora il tempo di osservare al quadrante la distanza al zenit. Le seguenti osservazioni sono state fatte nel modo indi- cato riducendo gli appulsi ai cinque fili dello stromento dei passaggi al terzo filo, ed osservando le distanze al zenit nel quadrante di Ramsden , ove è da notarsi, che si sono lette le due divisioni , e si è preso il medio . 366 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Nomi app. al 3° filo Distanze Barom. in Term. Giorni delle Stelle al Zenit poli. lin. Reaumnr. Ottobre 16 0 della Balena 2'-. 7'. 47", 42 49°. 12'. 18" 1812 Vesta 2 . 22 . 4 j 7a 42 . 5i .53 12% O y Balena 2 . 3i . 3o , 66 43 . 56 .12,5 37.P. n!, 5 J7 O Balena 2 . 7 . 47 , 3o 49 . la . 27 Vesta 2.21. 8 , 70 42 . 56 . 47 y Balena 2 . 3i . 3o , 34 42 . 56 . 18 p Ariete 2 . 43 . 7 , 02 y Perso 2 . 49 . i3 , 4a 6 Perseo a . 53 - 56 , 26 z Eridano 3 . 4.38 ,5o a8 . 0 , 7 11 , 3 24 v Pesci 0 Pesci e Cassiopea 1 . 29 . 37 , 18 1 . 33 . 26 , 5o 1 . 39 . 0 , 04 « Ariete 1 . 54 . 33 , 80 22 . 49 • 0 0 Balena 2 . 17 . 48 , 82 49 . 12 Vesta 2 . 14 . 23 , 55 43 . 28 . i5 d Balena a . 27 . 48 , 60 45 . 5i . 38 y Balena a . 3i . 3o , 85 42 . 56 . a3 38 . 0 , 0 11,0 25 v Pesci 1 . 29 . 36 , 55 40 . 5o . 40 s Cassiopea 1 . 39 . 0 , 60 — — — a Ariete 1 . 54 . 33 , 60 22 . 48 . 59 0 Balena a. 7.48,44 49 . 12 . 29 Vesta a . i3 . 24 , 72 43 . 3a . 22 d Balena 2 . 37 . 48 , 66 45 . 5i . 42 y Balena 2 . 3i.3i ,58 42 . 56 . 22 38 . 0 , 4 io , 6 27 v Pesci 1 . 29 . 37 , 47 40 . 5o : 5i quadrant e rimesso £ Cassiopea 1 . 39 . 1,4° — — — a A liete 1 . 54 . 34 , 48 22 . 49 • 14 0 Balena a . 7 . 49 , 55 — — — ! Vesta 2 . 1 1 . 26 , 64 43 . 4° • a5 S Balena a . 27 . 49 , 42 45 . 5i . 59 y Balena a . 3i . 3a , 34 42 . 56 . 29 Novemb. a y Pesci e Cassiopea 1 . 29 . 45 , 58 1 . 39 . 9 , 36 a Ariete 1 . 54 . 42 , 38 23 . 49 • i3 Vesta 2 . 5 . 4a , °5 44 • 0 . 47 , 2 S Balena 2 . 27 . 57 , 24 45 . 5a . 0,2 y Balena 42 . 56 . 34 , 9 38 . 5 , 0 9 .7 . .— J Del Sig. Giovanni Santini . 367 Le posizioni apparenti delle stelle di confronto, prendendo le posizioni medie del catalogo sopra citato del Sig. Piazzi, vai risultano come segue Per il 16 Ottobre Per il 2 Novembre Nomi AR. app. in tempo declinaz. appar. AR. appar. in tempo Declin. apparenti v Pesci 0 Pesci a Ariete 0 Balena S Balena y Balena p Ariete i*.3i'.4a", 14 1 .35 .3i , 65 1 .56 .38 ,81 2 . 9 . 53 , 77 2 . 29 . 53 , 70 a . 33 . 37 , 24 2 . 45 . 53 ,08 -+- 4°.3a'. i3",3 -+- 8 . i5 . 42 , 9 ■+- 22 . 34 . 22 , 6 - 3 . 49 . 54 , 9 — 0 . 29 . 16 , 7 -t- a . a6 . 33 , 0 i''.3i'.4a",i9 1 . 35 . 3i , 74 1 .56 .38,91 2 . 9 . 53 , 98 a . 29 . 53 , 91 a . 33 . 37 , 36 -+- 4°.3a'. i3",i -t- 8 . i5 . 43 , 3 -♦-22 . 34 • 24 , 3 — 3 . 49 • 56 , 0 — 0 . 29 . 18 , 2 -+- a . 26 . 34 , 0 y Perseo 6 Perseo z Eridano 2 . 5i . 19 , 58 a . 56 . a , 65 3 . 6 . 44 , 85 Da queste posizioni apparenti ho dedotte le sottonotate ascensioni rette e declinazioni osservate di Vesta, ove devo notare, che ho aggiunto alle declinazioni 3", 9 per liberarle dall'effetto della paralasse . Quindi facendo uso delle tavole del Sig. Carlini rapporto al Sole, e dei superiori elementi ellittici di Vesta, ho calcolato le AR, e declinazioni per gl'istanti delle osservazioni, e le ho cangiate in apparenti applicandovi l'effetto dell'aberrazione, e la nutazione. Otteti- ni cosi 1 seguenti risultati Giorni Tempo medio in Padova AR apparen- te calcolata AR apparen- te calcolata Differenza Declinaz. boreale osservata Declinaz. boreale calcolata Differen- za Ottob. 16 J7 24 25 27 Nov. 2 I2l42'.5o",4 12.37.58,5 12. 3.4l,5 II .58.47,7 I I .48 .57,1 II . 19 .3o ,2 36°. 2'.47"58 35.48.46,5 34. j. 9,7 33 . 52 .32 , 3 33.22.48,2 3i .54.39,8 35°45'45",3 35.3i.44,2 33 . 5o. i5 ,6 33 . 35 .24 , 0 33. 5.47,4 31.37.49,6 •4-17'. 2",5 17. 2,3 16.54 , 1 17. 8,3 17. 0,8 i6.5o,2 a°.3o'.5i",8 a . 26. 4j9 1 . 54 . 39 , 2 1 . 5o .3a , 0 1 .42.39 ,8 1 . 23 . 19 , 6 2.23 .3o, 7 2.18.42,0 I.47.i3,5 1.43. 7,2 1.35.17,0 1. 14.55, 2 H-7'.2l",I 7.22,7 7-25,7 7.24,8 7 .23 , 8 7.24,8 Medio 16.59,7] Medio 7.23,6 3Ó8 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Per tener conto della correzione al catalogo ho aumen- tato il medio in ascensione retta di 5",o e diminuito quello in declinazione di i",5. Ponendo pertanto da = -i-i'j'. 4'j 7 ì trovasi.. dl = -t~ i8'.5o", a dd='+- 7«aa,i ) db = -+- i.i3,j applicando chieste correzioni alle longitudini, e latitudini geo- centriche calcolate cogli elementi per i giorni 2,4, e 2,5 di Ottohre , e partendo dall'equinozio medio^ trovatisi i seguen- ti risultati. Giorni Temp. Medio Long, di 5 Long, di 5 Latit. geoc. di 55 24 25 12 . 3 .41 .,5 11 .58.47,7 3a0.3i'. 18", 6 >-. - 1 • - -4 1 ,9 3i°.25'. 18", 5 32 . 25 . 0,7 - 11°. 6'. 22", I — ii . 5 . 14 , 5 Differ. 23 . 55 . 6,2 0 — i5 . 36 , 7 -+- 59 . 4^ 3 % ■*■ » • 7.6 quindi il moto composto è = 75".i8",9. L'istante dell'op- posizione trovasi 2,5 Ottobre 9^.2,'. 39". 7 tempo medio al me- ridiano di Padova Longitudine di 0 in opposizione = 32,°. 17'. 41 "» o Latitudine geocentrica australe =11. 5 . 2,6 , 3 III. Ricerca dell'ellisse che soddisfa alle opposizioni de- gli anni 1808 - 1810 - 181 1 - 1812. Prima di dare i dettagli del calcolo numerico , che ho eseguito per giungere al desiderato fine , credo opportuno di riferire nei due seguenti Problemi le formule, di cui mi so- no servito, le quali non sono, che un caso particolare di formule più generali sviluppate dal celebre Gauss nell'insi- gne sua opera intitolata : Theoria motus corporum ccelestiu/n in sectionibus conicis solem ambientium . Amburgi 1809.' Pao- Del Sig. Giovanni Santini . 369 Problema I. Trovare V espressione generale del differenziale della longitu- dine eliocentrica di un pianeta . Sia per tale oggetto L l'epoca delle longitudini medie t il tempo decorso dopo l'epoca espresso in giorni z il moto diurno sidereo del Pianeta e = sen.<^= l'eccentricità dell'orbita % = la longitudine del perielio al momento domandato Q, la longitudine del nodo ascendente i l'inclinazione dell'orbita a la distanza media M l'anomalia media del pianeta E l'anomalia eccentrica v l'anomalia vera r il raggio vettore . Le formule del moto ellittico danno . . . M = E — sen.<^ . sen.E '*- ; tang.£o=/(— ).tangiE=tang.(45°-40)tang.|E; i-Hsen.a>.cos.' Il valore di r si può ancora scrivere sotto il seguente aspetto as.cos.*.^ a cos.'s} . cos.a§E ( i-t-sen.0)cos.a5i>-»-( i — sen.ai) sen.3^D ( i -t-sen.ffJ) eoe." £u ' Da quest'ultima equazione deducesi . . . |/|r( 1 -+-sen.<£>)] cos.^v=[/a .cos.tp .cos.^E che moltiplicata perii valore di tang.^u dà ...j/[r(i — sen.(p)].sen.^v=i/a .cos.tp. sen.^E . Le quali due equazioni sono molto comode per dedurre i va- lori di v , e di r tosto che siasi calcolato il valore di E . Il prodotto di queste due equazioni dà r sen. v = a . cos.(p . sen.E e la somma dei loro quadrati ci porge a .cos.1 .ai T _ a .cos.1 . ti „ , „ r = — .cos.2|Eh *-.sen.a4E i-t-sen.aJ i — sea.ti Tom. XVII. 47 3^o Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. ovvero r = a(i — sen.^5 . sen.E) . Riunendo ora queste diverse formule avremo M = E — sen. $ . sen. E .... (i) tang. £v = tang.(45° -*-£#). tang.£E.... (a) a costai a . 008.0 . sen. E , , „ > /ox ~ — " = = a( i — sen.

= i/2a.sen.(45°-4-^).gen.|E) ,,» j/r. cos.%v = \/2,a .cos. (45° -*-{$) .cos. £E j * Il differenziale della prima equazione ( avendo riguardo alla terza ) dà ,„ a.dM a .cos. Ai sen. E 7, a.dM 7, JE = 1 - d(p = i-sen.u . d

\ 7 dX = . dh -{ . tdz -f- ( 1 - 1 . ave ra cos.a 6 t% cos.a 6 cos.a 6 \ ra / H--^^.sen.E(^*cos.a^y^+(i-£iij.^-cos.(^-tì).tang.i?.^ Che se si volesse eliminare il valore di E dall'espres- sione precedente , ( la qual cosa può essere comoda quando si abbiano già delle tavole per l'equazione del centro, e per il raggio vettore ) allora non si deve far altro, che sostituire nel coefficiente di d(p il valore di sen.E, che è . ..sen.E=— — -, a.cos-j* il quale diverrà in allora . . . '*' e°" ( — -t-cos.ag> ) . t .cos." 6 . cos.ip \a / Problema II. Trovare l'espressione generale del differenziale della latitu- dine geocentrica di un Pianeta in opposizione . Sia r la distanza del Pianeta al Sole nel momento dell5 opposizione, ed R la distanza della terra al Sole per il me- desimo istante . Il triangolo rettilineo , che ha i suoi vertici nel centro del Sole , del Pianeta , e della terra darà ( chia- mando b la latitudine geocentrica , (i la latitudine eliocentri- ca del Pianeta ) — sen . b = sen . ( b — /? ) la quale differenziata nell'ipotesi, che variino tutti gli ele- menti dell' orbita ellittica del Pianeta , porge 7, sen. b. sen. (b — 6) dr sen. b .cos. (b —6) ,. db = : . 1 : r//? sen. 6 r sen. 6 3?* Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. nella quale dobbiamo ora introdurre i valori di dr, e di d(ì espressi per i differenziali degli elementi dell' orbita . Il valore di — otterrassi facilmente prendendo il differen- ziale logaritmico dell'equazione . . . r = a(l — sen.<^ .cos.E), e rammentando, che dE = — Hsen.u ,d

cos. E = £ . 1 -*-sen.i^ . cos."o Introducendo questi valori di sen.E, cos.E nel preceden- te valore di —, e facendo le opportune riduzioni, si ottiene dr da a. tane, a} . sen.'U ,,„ a. cos. . cos.v , a . sen. ècos. ( b- 6 ) cos. 6 7, . «^ ■+- : . di, t sen. o sen. ai -sen. b . cos.(& — $)cos./? .cot.(cc — Q) . */& (B) ove nel coefficiente di g?z si è diviso per sen. i" il termine diviso per z ad oggetto di ridurre il valore di z dato in se- condi a parti di raggio . Per dedurre ora dalle formule precedenti le correzioni degli elementi dell'orbita (correzioni, che supporremo tan- to piccole , che le loro potenze superiori alla prima siano tra- scurabili ) calcoleremo cogli elementi stessi già molto prossi- mi al vero le longitudini eliocentriche , e le latitudini geo- centriche per l'istante dell'opposizione. Supponiamo, che sia la longitudine osservata = a la latitudine osservata = $ la longitudine calcolata = A la latitudine geocentrica calcolata = b . Porremo a = A ■+■ d/L ; 6 = b -+- db , donde ricaveremo- dA — a — Pi, db = 6 — b. Scrivendo questi valori nelle equa- zioni (A), (B), e riducendole a numeri per ogni opposizione si avranno delle equazioni numeriche dalle quali ricaveremo le correzioni degli elementi , le quali se saranno troppo for- ti, daranno un nuovo sistema di elementi, rapporto al qua- le ripetendo le operazioni medesime, potremo determinare in modo più preciso le sue correzioni, e quindi ottenerne un altro sistema molto più prossimo al vero. Apparisce di qui, che se il pianeta descrive un'ellisse, tre sole opposizioni bar steranno a determinare queste correzioni . Se pertanto gli e- lementi corretti con queste opposizioni non soddisfanno alle altre opposizioni , sarà un indizio o della poca esattezza del- 374 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. le osservazioni o della necessità di tenere conto delle disu- guaglianze provenienti dalle attrazioni degli altri Pianeti . Prima di passare alle applicazioni numeriche , crediamo Lene rammentare, che le latitudini geocentriche devono cal- colarsi colle seguenti formule . (i) tang./? = sen, («-&). tang.z; (a)tang.^ = -^-^— -.tang./J. Applicazione delle precedenti formule alle citate opposizioni . Le opposizioni di Vesta da me osservate , e ridotte all' equinozio medio somministrano i seguenti dati = e o Tempo Medio in Padova Long, elioc. ZZi a Latit. Geocen.= 0 1808. 8 Settembre 8\ 4'. 8" 345"». 53'. 47", 5 — il0. 0'. 24", 1 1810. 1 Gennajo 3 . 9 . 45 , 5 ice . 36 . 3i j 2 — 0 . 3i . 3,3 181 1. 25 Maggio 12 . 5o . 3,i 243 . 48 . 38 , 9 -+- 8 . 34 . 0,8 1812. a5 Ottobre 9 ■ 2 . 39 , 7 32 . 17 . 41 J 0 — 11 . 5 , 26 , 3 Nel ridurre a numeri le formule (A), (B) date superior- mente ho supposto gli elementi ellittici invariabili, ed ho sol- tanto tenuto conto della precessione degli equinozj nel ridur- re la posizione del perielio, e del nodo agli istanti delle so- pra riferite opposizioni . Dietro queste avvertenze ottenni i seguenti risultati . (*) Le opposizioni di Vesta degli an- ni 1808, 1810 trovansi riferite con mol- te altre osservazioni degli altri Pianeti in una mia Memoria inserita nel volu- me XVI della Società Italiana . Del Sic Giovanni Santini- ^5 Opposizione dell'anno 1808, M = 86°.37'.57",a; /? = — 6°. 21'. 23"; A = 345°. 53'. 39", 5 E = 9i . 43 -2,4 ,6 log. r=o ,3743998 £ = — 11. o.5o,6 u = 96.48.5i,8 log. R=o ,0028180 t= — 479^79^^7 ove è da osservarsi, che il valore di t suppone, che venga fissata l'epoca nell'istante dell'opposizione accaduta l'anno 1810 . Quindi risulta (A) = 0,9952,7 .dL — 477' 53 . dz -1-0, 00933. J?r-f- 1,99233.^ — o , 00460 . dQ, — o , o5og3 ,di = -+- 8", o (B) =-4-0 ,0 1 2,38 . dL — a5 , 65 . dz — 0,01 238 .d7i-t-o,oi65i.d

r- 1 22", 48 ■+■ o , 00463 . dQ, -+- o , o 1 1 82 . di dir ■=■-¥• 1 109 ,65 — o , 00373 . dQ-i-o ,07092 . di dz = -i- o", 463629 -1- o , ooooo3 . dQ — o , oooo65 . di dh = — 25 , o5 — o , 00307 . dQ — o , oo388 . di . Sostituendo ora i primi valori prossimi di dh , dz , dn, d(p nelle quattro equazioni (B) si formano le quattro seguenti (i)-ho ,09732 . dQ — 1 , 5346o . di = -*-5o", 5 (2) — o , 20438 . dQ — o , 07278 .di = — 1 3 ,7 (3)-t-o , i8o53 . dQ -+- 1 , 19960 .di — -\- 17 ,6 (4) — o , 06620 . dQ — 1 , 5473o . di = -+- 26 ,8 le quali combinate col noto metodo dei minimi quadrati som- ministrano le due seguenti -+- o , 0882 . dQ -h o , 1 845 . di = -¥■ 9", 118 -+- o , 1845 . dQ-i- 6 , 1935 .di = — 97 ,804 • Risolvendo queste due ultime equazioni si ottiene di=z— 2o",2; ^Q = -hi45",5. Se ora si sostituiscono questi valori di di , e dQ nei va- lori sopra riferiti di d

6 1811 + C,0 ■+- i5 j 5 1812 — 0,9 -+- 5 ,3 Questi elementi soddisfanno assai bene alle longitudini osservate , e poco si dilungano dalle latitudini geocentriche. Se per altro si confrontano colle osservazioni dell'anno 1807 fatte in Marzo , ed Aprile si troverà , che si allontanano di circa 25 minuti in longitudine, ed 1 in latitudine. D'onde si può già concludere la necessità di tener conto delle perturbazioni provenienti dall'attrazione degli altri pia- neti per accordare, o almeno rappresentare con più precisio- ne le osservazioni di Vesta colla Teoria . Scolio . Un leggero errore di calcolo commesso nell'equa- zione (B) corrispondente all'anno 1812, ci aveva condotti ad elementi ellittici un poco dai superiori diversi , e sui quali è fondata la riduzione delle osservazioni seguenti fatte intor- no all'opposizione dell'anno 1814 • Siccome i risultati finali non sono alterati , così ho creduto inutile ripetere il calcolo delle seguenti osservazioni nei superiori elementi purgati dal- Del Sic. Giovanni Santini . 379 l'anzidetto errore. Basterà solo di qui riferire gli elementi, che hanno servito di base alle seguenti riduzioni per como- do di coloro , che volessero ripetere i calcoli . Epoca delle longitudini Medie (1810)= io5°.5a'.55", 1 Moto medio diurno = 16. 18,1 56 11 Longitudine del perielio fisso rap- porto alle Stelle (1810) .... =249.35.10,9 Eccentricità = sen. 5°. 8'. a", 73 = 0 ,0894866 J(A) Longitudine Nodo fisso rapporto alle Stelle ( 1810 ) = io3 . 9 .ag ,4 Inclinazione rapporto all'Ecclittica = 7 . 7 . 5o Logaritmo della distanza media = o , 3731061 i quali non differiscono quasi sensibilmente dai superiori, che nel nodo, e nell'inclinazione. IV. Osservazioni di Vesta intorno all'opposizione dell'an- no 1814. Le osservazioni di Vesta furono eziandio in quest'anno fatte al medesimo stromento dei passaggi , ed al medesimo quadrante murale , di cui abbiamo fatto superiormente men- zione . Noi riferiremo le osservazioni originali , affinchè pos- sa ciascuno verificare il loro accordo . 38o Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Barom. in poli. lin. Term. 1814 gjor. Nomi appul. al 3 filo Distan. al Zenit di Reau. Felibrajo 3 ft Leone n Leone Regolo 9''. 45'. 45", 20 9 . 53 . 58 , 00 io . a . 2 , 73 18°. 3i'. 0" 36 . 27 . : : 3a . 3o . 49 4 Vesta io . 11 .44 , a5 25 . 53 . 4 270. 11', 3 -4-0 ,0 ;t Leone 9 . 46 . 0 , 8a 18 .30.46 n Leone 9 . 54 . 6 , o3 36 . 27 . 8 Regolo 10 . a . io , 65 3a . 3o . 49 5 Vesta io . io . 59 , 89 25 . 42 . 43 28 . 0,7 -HO ,0 fi Leone 9 . 46 . 0 , 82 18 .3o.43 n Leone 9 . 54 • 1 3 , 60 36 . 27 . io Regolo IO . 2 . 18 , 28 32 . 3o .49 9 Vesta io . io . 14 5 32 25 . 34 . 12 28 , 0,7 -HO , 0 fi Leone 9 . 46 .3i ,08 18 . 3o .52 ìi Leone 9 . 54 • 43 ; 70 36 . 27 . i5 Regolo IO . 2 .48 , 57 32 . 3o . 53 IO Vesta IO . 7. 2 ,47 25 . 0 . 5o 28 . 0,0 -f-0 ,0 fi Leone 9 . 46 . 38 , 48 18 .3o.53 ji Leone 9 . 54.5i ,42 36 . 27 . 14 Regolo io . a . 55 , 92 32 . 3o . 54 Vesta io . 6.12, 85 24 . 52 . 39 , 5 28 . 4 1 ° -t-a ,0 i3 ft Leone 71 Leone Vesta X Orsa maggiore 9 . 46 . 53 , 65 9 . 55 . 1 1 , 48 io . 3 . 37 , 93 io . io . 3g , o5 18 .3o.5i 36 . 27 . io 24 • 28 . 22 •4 y Leone io . 14 .3o , 93 24 . 36 .39 28 . 3,i -t-2 , 2 Vesta io . a .45 , 12 24 . ao . 3o X Orsa maggiore io . io . 45 , 24 y Leone io . 14 . 37 , i3 24 . 36 . 40 28 . 4,9 -+-0 ,5 i5 fi Leone io . 3o . 54 71 Leone 9 . 55 . 24 , 48 36 . 27 . 12 Vesta io . 1 .5a , 35 a4 ■ 1 a . 45 X Orsa maggiore io . io . 52 , o5 1 . 33 .3o y L^one io . 14 -43 1 82 24 . 36 .41 28 . 0,9 + 1,0 J7 n Leone 9 . 55 .37 , 93 36 . 27 . i3 Vesta Regolo X Orsa maggiore io . 0 . 6, aa io . 3-4a ,47 io . 1 1 . 5 , 25 a3 . 57 . 32 1 ,33.3i 20 y Leone io . 14 . 53 , a5 24 . 36 45 y, Leone 9 -47 -45 :47 18 3o . 53 , 5 Vesta 9 ■ 57 . 27 , 97 a3 .35.46 Regolo io . 4. 2 ,88 3a . 3o . 54 X Orsa maggiore io . 1 1 . a5 , 87 y Leone io . i5. 17 , 88 24 . 36 .44 28 . 4.2 -i,5 ai fi Leone 9 . 47 • 5a , 22 18 . 3o.53 Vesta 9 . 56 . 35 , 67 a3 . 28 . 43 Regolo io . 4 ■ 9 > 80 3a . 3o . 54 X Orsa maggiore 10 . 11 .33 ,08 y Leone io . i5 . 24 , 66 24.36.45 a8 . 3o , 0 -2,4 Del Sic Giovanni Santini . 38i Le posizioni delle stelle sono state prese dall'Effemeridi di Milano per il 1812, ove si trova un estratto del Catalo- go di Piazzi con le correzioni da questo celebre Astronomo citate nel libro VI della Specola Palermitana. Applicando al- le posizioni medie ivi riferite l'aberrazione, la nutazione, e la precessione degli equinozj , trovansi per i giorni 4? e a4 Febbrajo le seguenti posizioni apparenti 24 Febbrajo A.R. appar. deci. app. i45". 3a'. 38", o = 26°. 52'. 35", o 147 . 35 . 48 , 1 = 8 . 55 . 49 , 2 149 . 37 . 1 , 9 = ia . 5a . 12 , 1 4 Febbrajo A. R. appar. deci. bor. li Leone = i45°.3a'.34", 6 = a60.52'. 33", 4 ìi Leone =; 147 . 35 . 45 , 8 — 8 . 55 . 5o . 4 a Leone = 149 . 36 . 55 , o = 12 . 5a . 14 , 3 Per il 16 Febbrajo A Orsa maggiore = i5i°. 27'. 40", 7 y Leone == 1 5a . 25 . 36 , 3 = 20 . 46 . 38 , 4 Con questi calcolando per tutti i giorni l'equazione del Pen- dolo, e l'errore del quadrante murale, e prendendo il risul- tato medio d'ogni giorno , si ottengono le seguenti posizioni apparenti di Vesta . 1814 Gioì ni Tempo Medio A.R. apparente Declinaz. appar. in Padova di Vesta Boreale Febbrajo 3 iìh. 14'. 0", 0 i5a°. 2'.i9",o 19°. 32'. 8", 3 4 i3 . 9.11,8 i5i .49 . i3 , 3 19 . 4° • 29 , 5 5 i3 . 4.23 , 8 i5i .35.55 ,3 19 . 49 . 0,6 9 12 . 44.57 , 8 i5o . 40 .a5 , 9 ao . 22 . 28 , 8 IO 12 . 40 . 5,o i5o . a6 . 9,5 20 . 3o . 39 , 9 i3 12 . a5 . 22 , 7 149 . 42 .a3 ,6 20 . 54 . 55 , 4 '4 12 . 20 . 27 , 9 '49 • 27 . 37 , 9 21 . 2 .48 , 8 i5 12 . i5 .32 , 6 149 . ia . 45 , 3 21 . io . 35 , 0 '7 12 . 5 . 42 , 6 148 . 42 . 54 , 2 21 . 25 . 5o ,4 20 11 . 5o .36 , 0 147 . 58.i3 ,a 21 . 47 .35 , 8 21 . 54 . 38 , 8 21 1 1 . 46 . 0,8 147 .43.25 , 1 Ho confrontato cjueste osservazioni cogli elementi ellit- tici (A) sopra riferiti, tenendo conto delle variazioni secolari die verranno esposte in seguito . Per ridurre le superiori os- servazioni all'equinozio medio vi ho applicato le seguenti cor- rezioni . 38a Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Giorni 3 : ai 3 : ai Nutazione Lunare -+- 16", 8 : -t- i7"to 3 -3",i:-2»,7 Nut. Solare - - : — 1,2:— 1,4 -H o , 4 : ■+■ o , 3 Aberraz. - - - •" — 6 , 5 : — 7 , 3 •4-4 , 1 :-H 3 , 5 ■+- 2 , 6 : -H a , 4 Correzioni - - : -H 9", i : -H 8", 6 -*-4",o:-k3",5 Servendomi delle tavole Solari del Sig. Carlini, ho ottenuto i seguenti risultati . gior- ni 3 4 5 9 IO i3 «4 i5 20 21 ARosserv. di^ ridotta all'Eli. Medio Decli. osserv. di X, ridotta ali 'Eq. Medio AR calcolate dall' Equin. Medio Declinazioni Boreali calcolate Differ. in AR Differ. in declin. i5a°. a'. 27" ,8 i'i 1 . 4'i . 22 , i i5i .36 . 4,1 1S0 .40 • 34 , 8 i5o .26 . 17 , 3 149 .42 .32,4 149 . 27 . 46 , 7 149 . 12 . 54, 1 147 . 58 . 22 , 0 147 .43.33,9 I9°.3a'.i2",i 19 .40 .33, 3 >9 -49- 4>4 19 . 22 . 32 ,6 20 . 3o . 43 , 7 20 . 54 • S9 , 3 21 . 2 . 5a , 6 21 .io.38,8 ai .47 • 39 ,6 21 .54 .42; 6 i5a°. 5'.54",8 i5i . 5a . 47 ,9 i5i . 39 . 39 ,9 i5o . 44 • *> >2 i5o .39.44,7 149.45.57,8 149 . 3i . 11 ,0 149 . 16 . 19 ,5 148 . 1 . 5a , 0 147 . 47 . 2,0 19°. 3i'. 3" ,5 19 . 39 . 3i , a 19 . 47 . 56 , 1 20 . 21 . ao ,3 20 . 29 . 34 , 5 20.53.49,6 21. 1.43,4 ai. 9.32,7 21 .46 .33 , 3 31 . 53 . 3a , 0 -3'.a7",o — 3.25,8 — 3 . a5 , 8 — 3 . 3o , 0 —3 . 27 , 0 — 3 . 25 , 4 — 3 . 24 , 3 — 3 . 25 , 4 — 3 . 3o , 0 — 3 . 28 , 1 W -Hi -HI -I-I -HI -HI -HI -HI -HI -HI 8" ,6 2 , 2 8,3 ia , 3 9,2 9>7 9,2 6,i 6,4 IO , 0 Medio — 3 . a6 , 9 -HI . 8",33 Calcolando per il giorno i3 di Febbrajo i valori di dh , e db , cioè le differenze fra la longitudine osservata., e la calcolata, e fra la latitudine Geocentrica osservata, e la cal- colata trovansi i seguenti risultati dh = -+- o , 8847 .da — o,35o8 .dd = — 3'. 2,7", io db = + 0, 3^44 ia + Oj 9^77 .dd = — 3, 04 Correggendo con questi dati la longitudine di Vesta calcola- ta col mezzo dei medesimi elementi ellittici per il giorno i3 Del Sic. Giovanni Santini . 383 a mezzodì e a mezzanotte ( tempo medio ) , e prendendo i luoghi del Sole , si trovano i seguenti risultati . i3 Febbrajo oA li Long, di 2 corr. i44°.4o'.58",3 144 • 33 . 5,0 Latit. geoc. boreale 8°. i'.3", 5 8 . a .a4, 4 Longitudine della terra i44°.ii'.38",8 144 . 41 . 56 , 6 Quindi si deduce, che l'opposizione col Sole ebbe luo- go il giorno i3 Febbrajo a 9*. ia'. 56", 4 T. Medio in Pado- va , mentre era la longitudine di Vesta , e della terra = i44°. 34'. 54", 8 Latit. Geoc. boreale di K . . = 8. a . 5,9. ARTICOLO II. Calcolo delle perturbazioni di Vesta dipendenti dall' attra- zione di Giove, e di Marte, tenendo conto soltanto delle prime potenze dell' eccentricità , ed inclinazioni delle orbi- te loro . Siccome non è possibile conciliare le opposizioni già os- servate, e le osservazioni fatte nel 1807 con un'orbita pura- mente ellittica, così ho voluto tentare, se con qualche esat- tezza si potessero rappresentare le osservazioni fatte fin ora tenendo conto delle perturbazioni di Giove , giacché V azione di questo Pianeta sopra Vesta deve essere di gran lunga più sensibile di quella degli altri Pianeti attesa la sua vicinanza , e la sua forte massa . A tale oggetto mi sono servito delle formule dal celebre La- Place date nella sua Meccanica Ce- leste Voi. I, pag. 272, e seg. Noi supporremo, che i nostri lettori abbiano sotto occhio le citate formule , e daremo i risultati numerici delle medesime, che sono i seguenti. Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. 384 Log.a = 9,6508696 MCL, :a = a , I 043093 = — o ,44 'Soi 5 =-+-2 , 1 16928 H% mt M3), £«), £(6)r b(7)t d.mt dM'\ d.bw, dM\ d.b&h d.b(5)s d.bl.% d^.U0), d*.M% d*M% d*.M\ d*.bW)t d\b(5), Log. A(°)_x: i = o , 3a3iaaO' = 9 ,6452272 = 0 , 3257060 ■ .=== 0,494171 =9,6938778 169830 = 9 , 23ooi44' 0,064541 = 8,8098357-+- 0,025702 = 8,4099669-+- o,oio5i3 = 8,0217267-+- 0,004320 = 7 ,6354837 -+- 0,001701 . =7,2307043-+- 0,587488 = 9,7689990-+- 1,294587 =o,ri2i3i5-+- 0,827364 = 9,9176966-+- 0,458289 = 9 , 6ói 1 3g5 -1- 0,239592 =9,3794723-+- o, 122216 = 9,0871281-+- o,o6i364 = 8,7879137-+- 2,042862 = 0,3102369-4- 1,648936 =0,2172038-+- 2,635o4o =0 ,42i07&7'2,~*~ 2,4i5862 = o , 3830722 -+- 1,765986 =0,2469872-+- 1,162347 ...... =o,o653357-+- Ove devo osservare, che per comodo ho scritto ^.M'),;a, d\b(')i:.. in luogo di da da* Ponendo poi il moto sidereo di Vesta per 365 , 25 = n quello di Giove =«', come anche la sua massa =ìrìv si avrà in numeri 7^ = 357222" 1 Log. a = o , 373io65 »'= 109256,4 1067,09' Log. a' = o , 7162365 . Con questi dati calcolando 1 valori numerici di D('), E(!), FW, G(') tanto per i positivo, che per i negativo, e sostituendoli nei valori di dr, e dv delle pag. 279, 280 della citata Mec- canica , Del Sig. Giovanni Santini . 385 canica, si troverà [ ponendo per brevità i(nt— n't-*-K— E')=iD] dr = — 0,0000457 -ho ,0000254 -cos. A -+-0, 0004844 .cos.D — o ,ooooo53 . cos.(D-f- A' ) — o ,0009302 .cos. 2D — o , 0000864 • cos.( D — A) — o , 000 1 1 85 . cos . 3D -ho, 0000244 • cos • -A-' — o ,0000274 .cos. 4D — o,ooo3ioi .cos.(2D — A) — 0 , 0000078 . cos . 5D — o , oooooa5 . cos. 6D $v — — 1 14", 59 -I- n3 , 28 -H i3,87 , 2,3 sen. D sen. 2D sen. 3D a , 90 . sen. 4D o , 77 . sen. 5D sen. 5D Tom. XVII. • o , oooo636 . cos. ( D — A' ) -ho,ooii353 .cos.(3D — A) — 0,0010285 .cos.(2D — A') -+-0,0000472 .cos.(4D — A) — o , 0000495 . cos. ( 3D — A' ) -+- o , 0000 1 1 5 . cos . ( 5D — A ) — 0,0000121 .cos.(4D — A') -+- o , 0000640 . cos .(D + A) -+-o ,0000068 .cos.( 2D-H A') — o ,000081 3 .cos.(2D-+-A) -+- o , ooooo32 . cos. ( 3D -h A' ) — o ,0000125 . cos.( 3D-H A ) -+- o , 00000 1 3 . cos. ( 4D -+- A' ) — o , 0000037 • cos- ( 4D -+■ A ) -+- o , 0000006 . cos. ( 5D -+- A'); — 18", 45 .sen. (D — A) — 14 , 5i . sen. A' -+- 1 68 , 47 . sen . ( 2D — A ) — 24, 02. sen. (D — A') — i83 , 37 .sen.(3D — A) -+- 1 70 , 42 . sen. ( 2D — A' ) — 5 , 00 . sen . ( 4D — A ) -+- 6 , 19 . sen. (3D — A') — o,99.sen.(5D — A) -H 1 , 32 . sen. (4D — A') •+■ i3 , 66 . sen. (D + A) — o , 90 . sen. (2D-H A') — 19 , 88 . sen. (aD + A) — o , 36 . sen. (3D-+-A') 49 386 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. — a , 98 . sen. (3D-hA) — o , 14 • sen. (4D-H A') — o ,84 .sen.(4D-+-A) Ove dr rappresenta la quantità da aggiungersi al raggio vettore ellittico, §v la quantità da aggiungersi alla longitudi- ne ellittica di Vesta nell'orbita per conto delle attrazioni di Giove, A rappresenta l'anomalia media di Vesta, A' l'ano- malia media di Giove contate dal Perielio . Se pertanto chia- miamo S la longitudine media di Vesta Tf la longitudine media di Giove k longitudine del perielio di Vesta = 2490. ^5" ri longitudine del perielio di Giove = 11 . 17 sarà D = S — TJJ , A = 25 — sr , A' = ip — n . Introducendo questi valori nelle espressioni di dr , e di dv , e sommando insieme quei termini, che dipendono da un medesimo angolo variabile, si ottiene (esprimendo dr in decime millionesime parti dell'unità) dr = — 457 -+- a85 .cos.(S-t-U9°.3o') -+-4844.COS.D -+- ioai .cos.(TP-*-3oa°.38',5) — 936a.cos.aD -+- 3478. cos. (S — 2T£-t-6o°.38') — n85 .cos.3D -4- 18903 .cos. (a£ — 31£ -t-aaa°. i') — 374. cos. 4D ■+- 845. cos. ( 325 — 4% 4- ai 90. 40') — 78.cos.5D -h ao6.cos.(45 — 5ip-t-ai9°.37') — a5.cos.6D 4- 607 .cos.(a^ — TJJ-i- io4°.56') ■+■ 829 .cos.(3s — aip-»-a9a0. 19') 4- i3a.cos.(43 — 3T|J-H2950.ia') -+- 41 .cos.(5s — 41P-Ha97°.39') dv = — u4",59.sen.D -4- a8",87 .sen.( TJJ-t- i35°.48') -+- i33 ,a8.sen.aD -+- i8a , a3 .sen. (S — aT£ 4-2430.9') -4- 13,87. sen. 3D -4- 3og ,09 .sen. ( a£ — 3>IP-h4i°.36') -f- a, 90. sen. 4D -4- 9 ,79 .sen. (32 — 4"lp-»-370.a',5) H- 0,77. sen. 5D 4- a , 09 .sen. (4^5 — 5l£4-38°.6') -f- o,a3.sen.6D -4- 14 •> i4 .sen.(a2S — TJJ4- ii30.3i') ■4- 19, 69. sen. (33 -211^289°. 3i',5) 4- a,9i .sen.(4^-3TjjH-a88°.4'). Del Sic Giovanni Santini . 387 Queste formule sono state dedotte, facendo uso dei su- periori elementi ellittici da noi calcolati, ed i loro coefficienti possono subire qualche alterazione sopra tutto se l'eccentri- cità variasse notabilmente. Siccome l'eccentricità dell'orbita di Vesta entrava soltanto come moltiplicatore nei soli termi- ni contenenti l'anomalia A, così chiamando é l'eccentricità di un nuovo sistema di elementi ellittici di Vesta , e quella dei nostri elementi , è chiaro , che basterà moltiplicare i termini contenenti A per il rapporto — per avere i nuovi coefficienti e corretti . Resta ora a calcolare le perturbazioni di Vesta in latitudine . A tale oggetto conviene prima preparare i valori di M')3 , , 0(!) , i quali mi risultano come segue . M0)3:J=3,33745....Iog.M0)3.-,=o,5a34i48....Iog./?(0)=8,3747o59-K M')3 :2 =2, 10204.... l°o- WOs.., =0,322,64 1 3.... log. /?(')=8,i 73932,4-»- £(*)3 :a= i,i 59.55. ...log. Ma)j: ,=0,0642896. ...log ./?(*)=7,9i 55807-*- è(3)3a=2,6o5i 1.... log. b(3h:, =9,7818343. ..dog ./?(3)=7,633i254-H £(4)3:5l=o,3o620....1og.£(4)3:2=9,486oi ....log./?(4)=7,3373o h- Chiamando poi (p' ,

r n 3w'Hai(n-aa)i('L1.J+|aJ(4i9 0 ,3| = :-t- O , oo3 0 ,4] = :-»- O ,093 0 ,5] = :-H O ,049 0 ,6j = -+- O ,009 0 >7J = -+- O , 000 Del Sic Giovanni Santini . S89 — = -f- o", 829 = -h o , 000004009 dt — = -+- 44'? J35 . dt Le variazioni secolari dell'inclinazione, e del raggio vettore dovranno calcolarsi colle seguenti formule ^=[(0, 1 )-(5, 1 )] .tang .f. sen .(0-0'H(o,a)-(5,a)] .tang jf . sen .{d-d") *[(o,3H5,3)].tang.^"'.sen.^,"H(o,4)-(5,4)].tang.^,''.sen.(^^) H-[(o,6)-(5,6)].tang.^°'.sen.(0-^,)-H[(o,7)-(5,7)].tang.^".sen.(0-0''") J= — [(c>*) •+" (°'a) ■+■ (°'3) -*-(°'4)-i-(o55)-t-(o,6)-i-(o,7)]— (S,o) tang.i^ tang.0 -4- H-[(o,7)_(5,7)].Ì^.COS.(0-0-), tang.

r-\ 1 -\dlc-\ (cos .= .©-+-_ I Riducendo questa equazione a numeri per ciascuna delle su- periori opposizioni, e fissando il principio del tempo t nelP istante dell'opposizione dell'anno i8n,si otterranno per or- dine le cinque seguenti equazioni . 392 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. (I)=o ,99162, .dL - 980,92, .dz-*-o,oo838 .dn-*- 1 ,9849 1 .d- 7", 3 (II)=o,86o82. dL-439, 5 i.dz-*-o,i3gi 8.dir— o,96iì38.tì?(^=-t-2,46, 4 (III)=i,20o3o.6?L-h o,oo.tì?z-o,2oo3o.Jjr— 0,2,2,048 .^=-1-2,48, 7 (1 V)=o,8735a.tì?L-t-453,2, 1 .dz-t-o, 1 2,648 .cfo-i- 1 , 1 7900 .^=-523 , 2 (V)=o,9662o.rfL-t-g6i, 24.^2*0,03380 .dit- 1,91870.^=-*- 3a,4 Applicando a queste equazioni il metodo dei minimi qua- drati se ne dedurranno le quattro seguenti . -+- 4588272.^—27,48.^2-1- o,o3i 1 3.Gfrr-i-o,o4934. fi?<7}=-t-83",o2 —27,48 27 ■ sen. 5z -f- 0 , 02 , . sen.5z -+- 0 , i3. sen. 62 r=a,3709a5 — o,ao8388a . cos. z \ d

\d

lo917 • Del Sic. Giovanni Santini . 397 Spiegazione delle Tavole delle perturbazioni dì Vesta poste in seguito alle precedenti . Siccome l'eccentricità, ed il perielio hanno subito una forte variazione in virtù delle precedenti correzioni, così ho creduto opportuno di correggere le equazioni rappresentanti le perturbazioni dipendenti dall'eccentricità, e dal perielio- di Vesta . Avendo poi sommato le equazioni dipendenti da un medesimo angolo variabile ho ottenuto le seguenti espres- sioni per §v , e dr . dv=—iì4"ìBg.sen.D -+- 28", 75 . sen . ( *!£ -t- i36°. o') -+- 1 33 , a8 . sen . aD -+- 1 80 , 5o . sen . ( 35 — aT£ -+■ 242°. 5 1 ') •+- 13,87. sen. 3D -+-3o7 ,62.sen.(a25 — 3ljJ-t-4i0.i8') -+- a, 90. sen. 4D -+- 4 , 76 .sen. (3£ — 4T£-t-36°.45 ) ■+- 0,77. sen. 5D -+- a ,o3 .sen.(4£ — 5T£-*-35°.35) ■+• o,a3.sen.6D -+- 14 , oa .sen.(a£ — Tp-t- 1 13°.46) ■+- 19,49 -sen.(3c5— a1|?-i-a890.47,5) -+- a,87.sen.(4^-3TjJ-i-a880.i5) d>=— o,oooo457-+-4844-cos-D "+" a85 .cos4(£-H ii9°.49') — 936a.cos.aD -4- ron .cos.(Tp-*-3oa .59) — u85.cos.3D -f- 3436'.cos.(£ — a1jr-t-6o0. 19') — a74.cos.4D ■+- 18817 .cos. (a£ — 3TJJ-Haai.4a) — 78.cos.5D -+- 841 .cos.(3S — 41^-f-arg .a3) — a5.cos.6D -+- ao6.cos.(4S — 5l£-nai9 • 2a) -+- 6oo.cos.(a25 — %-+• 105.9) ■+■ 8ai .cos.(3£ — aTjJ-Haga .34) •+- i3i .cos. (4^ — 3ljJ-+-a95 .ag) -+- 40 .cos.(5s — 41|J-t-a97 .53), ove è da notare, che tutti i coefficienti esprimono dieci mil- lionesime parti dell'unità. La tavola III comprende le parti di àv, e di dr dipen- denti dall'angolo D = long. med. di 25 — longit. med. di 1p . L'argomento suppone la circonferenza divisa in quattrocento parti: esso occupa le due prime colonne, e quando in ogni 398 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. caso particolare l' argomento D si trova sotto la prima colon- na , in allora il segno che precede il valore di dv , o di dr è quello che deve adoperarsi; ma se trovasi scritto l'argo- mento nella seconda colonna, conviene in allora dare ai va- lori di dv , e dr il segno seguente . Per i valori di dr il segno precedente è sempre identi- co al seguente ; non cosi per quelli di dv . Di più essendosi nelle tavole rigettata l'ultima cifra, i calcoli concernenti il raggio vettore portano sempre sei cifre decimali ; così la por- zione da applicarsi al raggio vettore ricavata da questa ta- vola esprime delle millionesime parti dell'unità . Per ridurre in tavole comode all'uso le altre equazioni dipendenti dalla longitudine di Vesta , e di Giove , ho adoperato la seguente trasformazione . Chiamando dv' la seconda parte di dv, e dr la seconda parte di dr si ottiene facilmente dv'=— ao",68-+- 8a",36.cos.D — i6o",6i .sen.D — 236, 77 .cos. 2D -4-190 , 19 .sen.aD( — 1,22. cos. 3D -+• 24, 18 .sen. 3DI — 0,75. cos. 4D -+- 3, 91. sen. 4D, 19", 97 — 82, 36. sen.D — 160", 61 .cos. D -+-225 ,47 .sen.2D -t-2i5 ,87 .cos.2D( -+- 14 ? 4a • sen. 3D — 12 , 5o .cos. 3DI -+- 2, 55. sen. 4D — i,55. cos. 4D> Il valore di dr espresso in dieci millionesime parti dell'uni- tà sarà il seguente . #r' = 848-t- 1847. sen.D -+- 2749. cos. D — 13892. sen. 2D — 13097. cos. 2D — 965. sen. 3D -+- 225 .cos. 3D ) . sen.T£ — 21 5. sen. 4D — 11.cos.4D — 19.sen.5D -+- 36.cos.5D 55o-h i565.cos.D — 3239. sen.D — 142 16. cos. 2D -+- 1 1939. sen. 2D — 335. cos. 3D -+- 1293 .sen. 3D ) .cos. % — io3.cos.4D ■+■ 249. sen. 4D ■+• 19.cos.5D -+- 36.sen.5DJ sen.lp .cos. TJJ Del Sic Grò vanni Santini ■. 3gg ossia più brevemente dv' = A . sen. TJJ -+- B . cos. TjJ 89. sen. D — 3 ,65 .cos. aD — 12 , ao .sen. 2D ) . sen. % — 0,20. cos. 3D — o,3o.sen.3D a", 91 — 1,24. sen. D ■+■ 4 ■> 89. cos. D -4-3,09 . sen.2D — i4j44-C0S-aD }.cos.T£ -+-0 ,08 .sen. 3D — o , 80 . cos. 3D ossia ds = A" . sen. T£ -+- B" . cos. % . La tavola V dà i valori di A", e di B", che sostituiti in questa formula danno le perturbazioni prodotte da Giove nella latitudine eliocentrica di Vesta . Non si sono aggiunte le tavole delle perturbazioni pro- venienti da Marte sia perchè sono esse trascurabili nel pre- sente argomento, sia perchè se ne può tenere conto con tut- ta facilità, qualora si creda opportuno, calcolandole colla for- inola seguente . Perturbazione in longitudine proveniente da Marte = io" , 75 . sen. M essendo M = 2£ — a* ■+■ 337° . 35' . Il valore di M nel 1810 era = 2o3° . o' il suo moto annuo = 6° . 59' . 2" . 4°° Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. TAVOLA I. Per calcolare la longitudine media di Vesta e gli argomenti per l.p perturbazioni Anni 1807 1808 1809 1810 1811 1812 i8i3 1814 t8i5 Lung. med. a. a Perieli» a4<ì° 1819 1820 i68'.iV.58",i 267. 24. 4,6 6.48.^8,4 io5.56.34,5 2o5. 4.50,7 3o4 • 1 a ■ 46 > ° I 43.37.10,5 143 . 45 . i6,5 26 .12,4 241 . 53 .22,627 .46,7 29 . 20 , 9 30 .55,4 32.29,7 34. 3,9 35.38 ,a l5'.I2",2 6.46,4 18 .20 ,9 19.55 ,2 21 .29 ,4 23. 3,6 24.33,1 1816)341 . 1.28,7 80 . 25 . 52 , 5 179 . 33 . 58 , 6 278 . 4a • 4-7 17 . 5o . io,1? 2 3 4 5 6 7 8 9 io 20 3o 40 5o 60 70 80 90 100 no 120 i3o 140 i5o 160 170 180 190 200 210 220 23o 240 200 260 270 280 290 3oo 3io 320 33o 340 35o 3 60 o°.i6'.i7",8 o . 32 .35 ,5 0 . 48 . 53 , 3 1 . 5.ii,i 1 .21 . 28 , 3 1 .37.46,6 1 .54. 4,4 2 . io . 22 2 .26 . 39 , 9 a . 42 . 57 , 7 5 . 25 . 55 , 4 8 . 8 . 53 , 1 io . 5i . 5o , 8 i3 .34.48,5 l6 . 17 .46 )2 19 . o . 43 , 9 21 .43 .41 >° 24 . 26 . 39 , 3 27 . 9 .37 ,0 29 . 52 . 34 , 7 32.35.32,4 35 .i8.3o 38 . 1 .27 40 . 44 • a^> , 5 43 . 27 . a3 , 2 46 . io . ao , 9 48 .53.i8,6 Si .36. i6,3 5A . 19 • 14 > ° 57 . 42 . 1 1 ,7 59 .45. 9 ,4 62 . 28 . 7,) 65 . 1 1 . 4,8 67 . 54 • 2 70 .37 . o . 73 .19.57,9 76 . 2 . 55 , 6 78 .45.53,3 8r .28 .5r ,0 84.11.48,7 86 .54.46,4 89.37.44,1 92 .20 .ài ,8 9-5 . 3 . S9 , 5 q7 .46.37,2 Giorni dell' anno Co- Bisc- mune stile Gennajo 0 0 Febbrajo 3i 3i Marzo 5q 60 Aprile 90 91 Maggio 120 121 Giugno i5i l52 Luglio 181 182 Agosto 212 2l3 Settemb 243 244 Ottobre 273 ni Noverai) 304 Dicemb. 334 335 Del Sic Giovanni Santini . TAVOLA II. Argomento = Long. med. 3 — Perielio . 25 401 Argom. Equazione del centro ■+■ Differ. ©•■' Raggio vet- tore Differ. \dtfi) Argom. o . o o°. 0'. o",o 5'.58",o 57; 9 57,8 57,7 57,6 57, 5 0', 00 2 , 152675 - 687 , 4 36o . 0 o . 3o 5 . 58 , 0 1 , 3a 2 , i52685 IO 687 ,0 359 . 3o I . 0 11 . 55 , 9 2, 63 2 , 152714 a9 48 67 86 io5 125 143 i63 686 ,9 359 . 0 i . 3o 17.53 ,7 3,95 2 , 152762 686 ,7 358. 3o 2 . O 23 . 5i ,4 5, 27 2 , 152829 686,4 358. 0 2 . 3o 29.49 ,0 6,58 2 , 15291$ 686, 1 357 . 3o 3 . O 35 . 46 , 5 7,89 2 , i53o20 685 ,7 357. 0 3 .3o 41.43 ,7 °7 > 2 56 ,9 56 5 9,20 2 , i53i45 685 , a 356.3o 4- o 47.40 , 6 io, 5i 2 , iò3a88 684,6 356. 0 4.3o 53 . 37 , 1 56 '2 11 , 82 2 , i5345i 181 683 ,9 355 . 3o 5 . o 59 . 33 , 3 i3 , i3 2 , i53632 — 683 , 2 355 . 0 56 , 0 55 5 201 220 5 .3o 1 . 5 . 29 , 3 •4,44 2 , i53833 — 682 , 4 354.30 6 . o 11 .24 ,8 55 0 '5,74 2 , i54o53 239 258 681,6 354. 0. 6 .3o 17.19 ,8 54 '5 53 , 9 53,4 5a 8 17,04 2 , 154292 680,6 353. 3o 7 • ° a3 . 14 , 3 18,33 2 , i5455o 276 679 ,6 353. 0 7 . 3o 29 . 18 , 2 19,62 a , 154826 678,5 35a . 3o 8 . o 35 . i,6 20, 92 2 , i55iai 3,5 677 ,3 352 . 0 8 .3o 40 . 54 , 4 21 , 21 2 , i55436 333 676 , 1 35i.3o. 9 . o 46 . 46 , 5 5i',4 5o , 8 23 , 5o 2 , 155769 3o2 674,8 35i . 0 9 . 3o 52.37,9 34>79 2 , i56i2i 36a 673,4 35o . 3o io . o 58 . 28 , 7 26,08 2 , 156490 — 672 , 0 35o. 0 5o , 1 49, 0 48,3 47,5 46,6 45,7 44,7 43,6 42,6 41,5 390 408 426 445 464 482 boi Si? 536 io . 3o 2 . 4.18 , 8 27, 36 a, i5688o — 670 , 4 349 . 3o Il . 0 io. 7,8 28, 63 a, 157288 668 ,8 349 • 0 li . 3o i5 . 56 , 1 29 , 90 a , 157714 667 , 1 348 . 3o 12 . 0 21 .43 ,6 3i , 17 a , i58 1.59 665,3 348. 0 12 . 3o 27 .3o , 2 32,43 a , i586a3 663,5 347 • 3o i3 . o 33 . i5 , 9 33 , 68 2 , i5gio5 661 ,6 347. 0 i3 . 3o 39 . 0,6 34,93 a , 159606 659 ,6 346.30 14 . o 44.44,9 36, 18 2 , 160123 657 >6 346. 0 14 • 3o 5o . 26 , 8 37,43 2 , 160659 555 655 , 5 345 . 3o i5 . 0 56 . 8,3 38,68 2 , 161214 — 653 , 4 341. 0 4o,4 39 , 2 38 2 573 5g2 609 626 i5 . 3o 3. 2.48,7 39,90 2 , 161787 — 65i , 2 344.30 16 . 0 7 • 27 > 9 41, 12 a , 162379 648,8 344. 0 16 . 3o i3 . 6,1 36 , 9 35 , 5 42,34 a , 162988 646,4 343.3o 17 . 0 18 . 43 , 0 43,56 2 , i636i4 644 662 643,9 343. 0 17 . 3ó 24. 18 , 5 33 , 3 44.77 2 , 164258 64i,3 342 . 3o 18 . 0 29 . 52 , 8 33 ' 0 45,97 2 , 164920 680 638 , 7 342. 0 18 .3o 35.25,8 3i )e 3o , 3 28 , 9 47- 17 a , i656oo 698 636 , 1 341 -3o 19 . 0 40 . 57 , 4 48,36 2 , 166298 633,4 341 . 0 19 . 3o 46 . 27 , 7 49 , 54 a , 167022 724 73a 63o , 6 340 . 3o 20 . 0 5i .56 ,6 5o , 72 2 , 167744 — 627 , 8 340 . 0 20 . 3o 5y . 23 , 9 27 , 3 25 8 5i , 90 2 , 168494 75o 767 784 800 818 834 852 — 024 , 9 339 . 3o 21 . 0 4 • à.49 ,7 H.4 22,8 53 , 07 2 , 169261 621 , 9 339 . 0 21 . 3o 22 . 0 8 . 14 , 1 i3 . 36 , 9 54, 22 55,36 2 , 170045 2 , 170845 618 ,8 6i5 ,7 338. 3o 338. 0 22 . 3o 23 . 0 18 .58 , 1 24. 17 , 8 SI , 2 *9 ,7 J7>9 56 , 5o 57,64 2 , 171663 2 , 172497 612 , 5 609 , 3 337 .So 337 . 0 28 . 3o 29 . 35 , 7 58,77 a , 173349 368 606 , 0 336.3o 24 • 0 34.51,9 14 '5 5.12,9 59,89 2 , 174217 883 602 , 6 336. 0 24 . 3o 40. 6,4 61 , 00 a , 176100 599 , 2 335. 3o 25 . O 45 . 19 , 3 62, IO 2 , 176001 901 — 595 , 7 335. 0 — 1 1 Tom. XVII. 01 4o2, Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Continuazione della Tavola li. Argomento = Long. med. £ — Perielio . £ Argom. Equazione del centro Differ. Raggio vet- tore ' Differ ($)-' Argom. 25 . 0 4». 45'. 1 9", 3 5'.Il",2 9,3 7,3 5,6 3 ,9 1,8 4.59,8 57,9 56 , 0 54,0 62 , IO 2 , 176001 — 595 , 7 335. 0 25 . 3o 5o .3o , 5 63 , 18 2, 176918 917 932 95o 965 981 996 1012 592, 1 334.3o 26 . 0 55 . 39 , 8 64 ,26 2 , 177850 588,5 334. 0 26 . 3o 5 . 0 . 47 , 1 65 , 34 2, 178800 584,8 333. 3o 27 . 0 27 . 3o 5 . 52 , 7 io . 56 , 6 66,42 67 ,48 2, 179765 2 , 180746 58i , 1 577,3 333. 0 332 . 3o 28. 0 28. 3o i5.58, 4 20 . 58 , 2 68 , 53 69, 57 2,181 742 2 , 182754 573,5 569 , 6 332. 0 33i . 3o 29 . 0 25 . 56 , 1 70 , 61 2 , 183782 1042 1059 565 , 7 33 1 . 0 29 . 3o 3o . 52 , 1 71,64 2, 184824 56i , 7 33o .3o 3o . 0 35 . 46 , 1 72 , 66 2 , i85883 — 557 , 6 33o . 0 3o . 3o 40 . 38 . 0 5i ,9 49,8 47,9 45,6 43,3 73 , 66 2, 186956 1073 1089 no3 1118 n33 1146 1161 1176 1189 1204 — 553 , 5 329 . 3o 3i . 0 45.27,8 74,66 2, 188045 549 ,4 329 . 0 3i . 3c 5o . i5 , 7 76 ,65 a, 189148 545 , 2 328 . 3o 3a . 0 32 . 3o 55 . ij 59.44,6 76 , 63 77 y 59 2 , 190266 a, 191399 540 , 9 536 ,6 328. 0 327 ,3o 33. 0 6 . 4 . 25 , 7 41 , 1 39,4 37,0 34,8 32 ,4 78,54 2 , 192545 532 , 2 327 . 0 33. 3o 34. 0 9.5,1 13.4», 1 79:49 80,43 2 , 193706 2 , 194882 5a7 ,8 5a3 ,3 326 . 3o 326 . 0 34.30 18 . 16 , 9 81 ,36 2 , 196071 5i8 ,8 326 . 3o 35. 0 22 . 49 , 3 82 , 29 2, 197275 — 614 , 2 325 . 0 35. 3o 27 . 19 ,2 29 ,9 83 , 20 2 , 198492 1217 ia3i 1245 1258 — 509 , 6 324 . 3o 36 . 0 3i .46,9 a7, 7 25 , 6 23 , 2 20 , 8 18,4 15,9 i3 , 7 84 , IO a, 199723 5o5 , 0 324. 0 36 . 3o 36.i2,5 84,98 2 , 200968 5oo , 3 323. 3o 37 . 0 40 . 35 , 7 85 , 86 2 , 202226 495 > 5 323 . 0 37 . 3o 44.56,5 86,73 2, 203497 1284 1298 49° >7 322 . 3o 38 . 0 49 . 14 , 9 87,59 2, 204781 485 , 9 322 . 0 38. 3o 53 . 3o , 8 38,44 2 , 206079 481 , 0 32i . 3o 89 . 0 57.44,5 89,28 2,207388 i32jj 476 , 1 031 . 0 39 . 3o 7 . 1 . 55 , 6 11 , 1 8,7 90 , IO 2 , 20871 1 i336 471 ,2 320 . 3o 40 . 0 6. 4,3 90 , 92 2 , 210047 — 466 , 2 320 . 0 40 . 3o 10 . io , 3 6,0 3.3,6 i,3 58,6 56 , 0 53,4 5o , 9 48,3 45,6 43 ,0 91 , 72 2 , 2ii3g4 1347 — 46 r , 2 319. 3o 41 ■ 0 14 . i3 , 9 92 , 52 2, 212754 456 , 1 319 . 0 41 • 3o i8.i5,2 93 , 3o 2 , 2 14 125 i384 1396 1406 45 1 , 0 3i8.3o 42 . 0 aa . i3 , 8 94, °8 2 , ai55o9 445,8 3i8. 0 42 . 3o a6 . 9,8 94,84 a , 216905 44° '6 317. 3o 43. e 3o . 3,2 95 , 59 2 , ai83n 435 , 4 317 . 0 43.3o 33 . 54 , 1 96 ,32 2 , 219730 14'9 14JJI 400 , 2 3i6.3o 44. 0 37-4* >4 97 >°5 2 , 221161 1440 1453 424 ,9 3i6 . 0 44. 3o 41 ■ 28 , 0 97 , 77 2 , 222601 419 , 6 3i5 .3o 45. 0 45 . 11 , 0 98,48 2 , 2240.54 -414,6 3 1 5 . 0 45.3o 48. 5i ,6 4° , 6 37,7 35,0 32 , 2 99 , '7 2 , 225517 — 408 , 8 3 14.30 46. 0 02 . 29 , 3 99 > 86 2 , 226991 *474 1484 »494 4o3 , 4 3i4. 0 46. 3o 56. 4,3 100 , 52 2 , 228475 398 , 0 3i3.3o 47. 0 59 . 36 , 5 101 , 18 2 , 229969 392 , 5 3i3. 0 47. 3o 8 . 3.6,2 a9 , 7 26,9 24,2 21 ,4 18,7 3 i5 8 ioi , 83 2, 23 1474 i5i6 1524 i535 387 , 0 3i2. 3o 48. 0 6 . 33 , 1 102 , 48 2 , 232990 38 1 ,4 012. 0 48.3o 9.57,3 io3 , IO 2, 234514 375 ,8 3n .3o 49. 0 i3 .18,7 io3 , 72 2 , 236049 i545 i553 370 , 2 3n . 0 49 . 3o i6.37,4 104 , 33 2 , 237594 364 , 6 3io . 3o 5o . 0 19 . 53 , 2 104,9.3 2, 289147 — 358 , 9 3io. 0 — Del Sic Giovanni Santini . Continuazione della Tavola li Argomento = Long. med. £ — Periel 4°3 io . ù Argom. Equazione del centro Differ. Q- Raggio vet- tore Differ. (1)"' Argom. 5o . o 8". 19'. 53", 2 3'. i3", 1 io , 4 4,8 1 8 104 , y3 2, 239147 i564 i57i i58a — 358 , 9 3io . 0 5o . 3o a3 . 6,3 io5 , 5i 2 , 24071 1 353,3 309 . 3o 5i . o 26 . 16 , 7 106 , 08 2 , 242282 347,6 309 . 0 5i . 3o 29 . 24 , 3 106 ,64 a , 243864 1590 i598 1608 341,9 3o8 .3o 5a . o 32 . 29 , 1 107,18 a , 245454 336,i oco. 0 5a . 3o 35 .3o , 9 a . 5g , 1 56,3 53 ,4 5o , 7 47 > 8 107,72 a , 247052 33o,3 007. 3o 53. o 38 .3o ,0 108 , 25 a , 248660 i6i5 324 , 5 307 . 0 53 . 3o 54. 0 41 . 26 , 3 44- J9 > 7 108 , 77 109,28 a, 350275 2 , 251899 1624 i63i 3i3,7 3l2 , 9 3o6 .3o 3o6. 0 54.3o 47 . io , 4 109,77 2 , 25353o i638 3o7 , 1 3oo. 3o 0 r 55. 0 49 . 58 , a 110,24 a , 255i68 — 3oi , 2 000 . 0 55. 3o 56. 0 52 ,^,c 55 .25 , 0 44 = 8 42 , 0 39 > 1 36 ,2 33 ,3 3o ,5 27 = 4 ^4,7 110,70 ni , 16 2, a568i5 2 , 258472 1647 1657 1663 1669 1677 i68> — 295 , 3 289, 4 304. 5o 3o4- 0 56. 3o 57 . 0 57 . 3o 58 . 4,1 9 . 0 .40 , 3 3 . i3 , 6 111,61 112 ,o5 112,47 2 , 260134 2, 261800 2 , 263480 283,5 277 , 5 271,0 3o3.3c j 3o3 . 0 3o2. 3o 58. 0 5.44, 1 112,89 2 , 265lÓ2 1691 1696 a65, 6 3oa . 0 58. 3o 59 . 0 8. 11 ,5 io . 36 ,2 113,29 n3,68 2 , 266853 2 , 268549 259 , 7 a53 , 7 3oi . 3o 3oi . 0 59 . 3o 12 .57 , 9 18,7 114, o5 2 , 270252 1709 24? > 7 3oo . 3o 60 . 0 i5.i6 ,6 114,42 2 , 271961 — 341 , 6 3oo . 0 60 . io 17 . 3a , 5 i5 , 9 i3 ,0 114,78 2 , 27^077 1721 1728 1-733 — 335 , 6 299 . 3o 61 . 0 19 .45 , 5 n5,i3 2 , 275398 239 , 6 299. 0 61 . 3o 21.55 ,6 n5,46 2 , 277136 32.3 , 5 298 . 3o 6a . 0 24 • a > 7 7 > * 4,i "5,79 a , 278859 i737 217,4 298 . 0 62 . 3o 36 . 6,8 116,10 a , 28o5g6 su , 4 297 . 3o 63. 0 63. 3o 28 . 8,0 3o . 5,3 1 . 58 , 3 55 ,3 5a, 4 49 ,4 116,41 116,70 a , 28244° 2 , 284083 1744 1748 i753 i757 1763 3o5 , 3 199,2 297. 0 296 . 3o 64. 0 64.30 3a . 1,6 33 . 54 , 0 116,99 117 ,25 2 , 285841 a , 287598 193 , I 187,0 396. 0 295 .3o 65. 0 35 .43 ,4 117 ,5i 2 , 289361 — 180 , 9 295 . 0 65. 3o 37 .29 , 9 46 , 5 43 ,6 4° ,7 37,8 34 = 7 3i 8 117,70 2 , 291130 1769 i773 -174,8 294 . 3o 66. 0 39 .i3 ,5 "7 =99 a , 392903 168, 7 294. 0 66. 3o 40 . 54 , 2 1 18 ,22 2 , 294680 1777 :779 1783 1788 1791 162 , 6 293 . 3o 67 . 0 42 . 32 ,0 ,18,44 3 , 396458 i56 , 4 293 . 0 67 . 3o 44- 6,7 ,.8,64 2 , 298242 i5o , 3 292 . 3o 68. 0 68. 3o 45 . 38 , 5 4? • 7 ■> 3 28 ,8 26 , 0 118, 83 119,01 2 , 3ooooo 2 , 301821 144,2 i38, 1 aga. 0 291 . 3o 69 . 0 48 . 33 , 3 119,19 2 , 3o36i5 1794 i3i , 9 291 . 0 69 . 3o 70 . 0 49 . 56 , 2 5i . 16 , 2 20 , 0 ii9,35 119 ,5o 2 , 3o54i3 2 , 307215 1798 1802 125, 8 — 119 , 6 290 .3o 290 . 0 17,2 i8o3 180-? 70 . 3o 5a.33 , 4 119,65 2 , 309018 — n3,5 289.Sc 71 . 0 71 . 3o 53.47 >6 54 . 58 , 8 n , ja 8,3 5,5 1.2,5 0 . 5g , 5 56 6 119,80 119,91 2 , 3io8a5 2 . 3 12634 1809 1813 107,4 101 , 4 289 . 0 a88.3o 72. 0 56 . 7,1 120 , oa 2 , 3 14446 1814 1817 95 , 3 388. 0 72 . 3o 57 . 12 , 6 120 , 11 2 , 3i6a6o 89, 2 387.Sc 73. 0 58 . i5 , 1 120 ,20 2 , 318077 1818 1820 83, 0 387. 0 73 . 3o 59 . 14 , 6 120 , 28 a , 319895 76,8 286 . 3o 74. 0 IO . e . I I , 2 53 ,8 5o ,8 120,36 a , 3ai7i5 l8"2 70 , 6 386. 0 74.30 75 . 0 i.5,o ir.55 .8 120 ,42 120 ,47 2 , 333537 2 , 3a536o 1823 61, 5 — 58 , 4 285. 3o 285. 0 — 1 4o4 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Continuazione della Tavola II. Argomento = Long. med. £ — Perielio . g Argom. Equazione del centro -+- Di (Ter. :.($v Raggio vet- tore Differ. (§)••' Argom. 75 . 0 75 . 3o 76 . 0 76 .3o 77 0 77-3o 78. 0 78.30 79. 0 79.30 80. 0 io0. i'.55',8 £ 43 , 7 3.28 , 7 4. io ,g 4 . 5o , 2 5.36,4 5 . 59 , 9 6 .3o ,6 6 . 58 ,4 7-23,3 7-45,3 °'.47",9 45 ,0 43,2 3g ,3 36 , 2 33 ,5 3o , 7 37,8 24, g 32 , O 120,47 120 , 5i 120 , 55 130, 57 120 , 58 120 , 5g i2o,58 iao , 56 120 ,54 120 ,5i 120 ,46 3 , 32536o 3 , 327185 a , 23gon 3,33o83g 2 ,332667 2 , 334496 a ,3363a5 a,338i56 2 ,33gg87 a ,341817 3,34364g i8a5 1826 1828 1828 1829 1829 i83i i83i i83o 1882 -58,4 52 , 3 46,3 4°j » 34,0 a7=9 21,9 iS;g io , 0 — 3,9 -+- 3,3 a85. 0 284.30 284. 0 283 . 3o 383. 0 383 .3o 282. 0 281 . 3o 281 . 0 280 .3o 380 . 0 19 , 3 i5 ,5 i3,4 io , 7 7 = 9 5 , a 0 . 3,2 0 . 5,5 1. 3,3 6 . 1 1880 i83i i83i i83o i83o 1828 1828 1827 1826 1825 80. 3o 81 . 0 81 .3o 82. 0 82. 3o 83. 0 83. 3o 84. 0 84-3o 85. 0 8. 4,5 8.21 ,0 8 . 34 , 4 3.45 . 1 8 . 53 , 0 8 . 58 , a 9.0,4 8 .5g , 9 8.56 ,6 8 . 5o , 5 120 ,40 120 , 32 120 , 25 120, l8 120 , og 120 ,00 ng,8g "9 = 77 1 19=64 1 19 , 5i 2 , 34547g 3,347310 2,349141 2 ,300971 2 , 352801 2 ,354629 2 ,356457 2,358284 2 , 36oiio 2 ,36ig35 -+- 8,3 i4,3 30 , 3 26 , 3 32, 3 33,3 44 = 3 5o , 2 56, 1 +- 62 . 0 37g. 3o 37g. 0 378.30 378 . 0 277 .3o 377. 0 376 . 3o 276 . 0 275 . 3o 375 . 0 8 , 8 11 , 6 14, a 17 , 0 30 , 0 32 , 6 a5 , 1 28 , 0 3o , 6 33,4 1828 1821 1820 1817 1816 1814 1811 1809 1806 1801 85. 3o 86. 0 86. 3o 87. 0 87 . 3o 88. 0 83. 3o 89. 0 8g.3o go . 0 8.41,7 S.3o, 1 8 . i5 ,9 7-58,9 7-38,9 7 .16 ,3 6.5i,a 6 . 23 ,2 5 . 52 , 6 5. 19 , 2 119 ,36 119,21 ng , o5 118,88 118 , 70 118,53 I 18 , 32 n8 , 12 117, gì 117,69 2,363758 2 ,365579 2 , 367399 2 ,369216 2 , 371082 2 , 372846 a ,374657 2 ,376466 2 ,378272 2 ,380073 ■+■ 67>9 73,8 79 = 7 85,5 91 =4 97 = 2 io3 , 0 108 ,8 114, 6 374.30 274. 0 378 .3o 273 . 0 272 . 3o 272. 0 271 . 3o 271 . 0 270 .3o 270 . 0 36 , 0 38,g 41 1 ' 44,0 46>7 49 ,3 5i ,7 54,5 56,9 0 . 5g , 6 1799 1796 1794 179-5 1788 1787 1782 '779 1775 1771 go .3o gì . 0 gì . 3o 92 . 0 92 . 3o 98 . 0 g3 . 3o 94. 0 94 ■ 3o 95 . 0 4.43,2 4- 4,3 3 .33 ,3 2 . 89 ; a 1 . 5a , 5 i.3,2 0 . 11 ,5 9 .59. 17 ,0 58 .ao , 1 67 . ao ,5 117,45 117,22 116 ,98 116,74 116 ,48 Il6 , 32 n5 ,g4 n5,65 n5 , 36 n5 , 07 2,381872 2,383668 2,885462 2 ,387257 2,389045 2 ,390882 2 ,392614 a , 394393 2 ,396168 2 , 397g3g -+- 136 , 1 i3i,3 137, 5 143 , 3 i48=9 154, 6 160 , 3 165,7 171 , 3 -+- 176, g 269 .3o 26g . 0 268.3o 268. 0 267 .3o 267 . 0 266 . 3o 266 . 0 a65 . 3o a65 . 0 1 . 2,2 4,8 *'! 9,8 12 , 3 '4 = 7 17 = 4 19,8 22 , 3 0'.24 ; 7 1767 1763 1759 1706 "749 1746 1742 i735 i73 1 1726 95 . 3o g6 . 0 g6 . 3o 97- » g7.3o g8. 0 g3 .3o 99- ° gg .3o 100 . 0 56. 18 ,3 55 . i3 , 5 54 . 6,2 5a . 56 , 4 5i .44 , 1 5o . sg ,4 49 . 12 , 0 47 • 5a , 2 46 . 29 , g 45 . 5 , a 114 ,76 ' 114,45 114, i3 n3 , 80 n3,46 Il3 , 13 113 , 76 113 ,4-0 na , 03 in ,68 2 ,899706 2 ,401469 2 , 403228 a , 404984 3 ,4o6733 3 , 408479 2 ,410221 2 ,411956 a, 413687 2 , 4 1 54 1 3 -i- 182 , 5 188,0 ig3 , 5 i99 = 0 204, 5 3og, g 3l5 ; 3 220, 7 23Ó , I -1- a3 1 , 4 264.80 264. 0 263 . 3o 263 . 0 262. 3o 262 . 0 261 . 3o 261 . 0 260. 3o 260 . 0 — ' Del Sic. Giovanni Santini. Continuazione della Tavola II. Argomento = Long. med. £ — Perielio . X, 4c5 Argom. Equazione del centro 100 . o ioo . 3o 101 . o 101 102 102 io3 3o o 3o o io3 . 3o 104 . o io4 • 3o io5 . o io5 . 3c 106 . e 106 . 3o 107 . O 107 . 3o 108 . 0 108 . 3o 109 . 0 109 . 3o ITO. O 9°45' 43 4* to 9 37 35 lì 3o 28 no III III 112 I 12 Il3 3o o . 3o , o 3o o n3 . 3o 114 . o 114 ■ 3o n5 . o rio . 3o 116 . o 116 . 3o 117 . o 117 . 3o 118 . o 118 .3o 119 . o 119 . 3o 120 . O 120 121 121 122 122 123 So , O . 3o o .3o 1 t> . 5", 2 .38 , 1 .8,5 .36 ,3 • 1 ,9 . 25 , o .45,8 • 4,4 .20 ,4 ■34,1 .45,5 26 25 23 21 »9 J7 i5 12 , 10 54,5 1 ,2 5,7 7 ,9 7,8 5,6 1 , 1 54,3 45,4 34,3 Differ. 6 4 1 59 ^7 <4 02 . 49- 47'- 44 • 20 , 9 5,4 47,8 a7 ,9 6,0 41 ,9 i5 , 5 47, ? J7 , 1 45 , 2 42 39 36, 34 di , 28, 26, 23. 20 . J7' io ,8 34,4 56 , 1 i5,7 33,5 49 , a 3,o 54, 7 24 ,6 32 ,6 123 . 3o 124 . 124 . 3o 125 . o 14 II 8 5 2 59 56 53 5o 47 .38,7 ■43,1 .45,3 .45,8 44,5 ■4*»4 .36,7 . 3o , 1 .21 , 7 ■ " , 4 I'.2?",I 29 , 6 32 , 2 34,4 36 ,9 39,2 4', 4 44,o 46,3 48,6 5i ,0 53,3 55 ,5 57,8 o , 1 2 , 2 4,5 6,8 8,9 11,2 i3 ,3 i5, 5 17,6 '9 ,9 21,9 24, 1 26,4 28 ,4 30 , o 3 1 ,9 34,4 36,4 38,3 4o,4 42,2 44,3 46,2 48,3 5o , 1 52 , o 53 ,9 55,6 57,8 2 . 59 , 5 3. i,3 3,i 4,7 6,6 8,4 3 . io , 3 11 ,68 11 , 28 10,92 IO , §2 10 , 14 09, 72 09,34 08 , 90 08, 5i 07,87 07 , 63 Raggio vet- tore 07, 18 06,74 06 , 27 o5 , 84 o5,36 04,90 04,41 o3,94 03,44 02 , 96 2 , 4i54i3 2 , 417135 a,4i885i 2 , 420661 2 , 4.22267 2 , 423966 2 , 425660 2 , 427349 2 , 429032 2 , 430708 2 , 432377 02, 45 01,95 01,44 00 , 9.3 00, 40 99,88 99,33 98, 81 98 , 27 97,73 2 , 4340.39 2 , 435697 2 , 437.347 2 , 438993 2 , 44°63i 2 , 442262 2 , 443886 2 , 4455o4 2,447114 2 ,448718 97, *7 96, 61 96,04 95,47 94-4° 94,33 93,74 93, i5 92, 55 9',96 91 , 36 90, 76 90, 14 89,53 88,91 88,29 87,66 87, 02 86,38 85,74 2 , 45o3i4 2 , 451902 2 , 453483 2 , 455o58 2 , 406624 2,458182 2 , 4597.33 2 , 461276 2 , 462810 2 , 464340 2 , 466857 2 , 467366 2,468868 2 , 470.362 2,461848 2 , 473325 a , 474?9a 2 , 476262 2 , 477702 2 , 479 l43 2 , 4872r i3i9 i3o9 1299 472>7 234. 0 126 . 3o S7 . 3o , 5 83 , 81 2 , 497040 476 , 6 a33 . 3o 127 . 0 34.i3 , 5 17 , 0 iè ,7 20 ,4 83, i5 a, 498349 480 , 4 a33. 0 127 . 3o \3o . 54 , 8 8^,49 2 , 499648 484,2 a3a .3o 128 . e 27 . 34 , 4 81 , 82 2 , 5oog38 1290 1279 1268 ia58 488 , 0 23a. 0 128 . 3o 129. 0 a4 • 12 , 5 20 . 48 , 8 21 , 9 a3 ,7 25 , 3 26,8 81, 16 80 , 5o 2 , 502217 2 , 5o3485 491 >7 495.4 a3i . 3o a3i . 0 129 . 3o 17 .28 , 5 79,84 2 , 5o4743 ,249 499 > ' 23o .3o j3o . 0 i3 . 56 , 7 79 > l5 a , 5o5g<)2 -+- 5o2 , 7 a3o . 0 28 ,2 JZÓ'ó i3o . 3o 10.28 , 5 78 ,48 2 , 507280 -+- 5o6 , 3 229.30 i3i . 0 6 . 58 , 6 29 ,9 3i 5 77,78 a, 508457 1227 1217 1206 509 , 8 229 . 0 i3i . 3c 3 .27 , 1 33 , 1 34,5 36, 1 37,5 39, 1 4°,4 4a > « 77 , 10 a , 509674 5i3,4 228 . 3o i3a . 0 6 . 59 . 54 , 0 76 , 40 a , 5io88o 1196 1184 T WnK 5i6 , 9 228 . 0 102 . 3o 56 . 19 , 5 75 ,70 a, 512076 520 , 4 227 .3o i33 . 0 52.43,4 75 , oe a , 5i326o 523 , 8 227 . 0 i33 . 3o 49 • 5 > 9 74 ,3o a , 5i4435 II70 n63 527 , 2 226 . 3o 134 . 0 45 . 26 , 8 73 , 60 a , 5i5593 53o , 5 £■,26 . 0 134 . 3o 4l 46, 4 72 , 89 a , 516750 1.41 533 ,8 225 . 3o i35 . 0 38. 4,3 7a ) 18 a , 517891 ■+■ 537 , 1 225 . O 43,3 44,7 46, 1 ii3i I 1 20 i35 . 3o 34 . 2 1 ,0 71 >47 2 , 519022 -t- 540 , 4 224 -3o i36 . e 3o . 36 , 3 70 , 75 a , 520142 543,6 224. 0 i36 . 3o 26 . 5o , 2 70 , 02 a, 52i25i I 100, 546 ,8 2a3 . 3o 137 . e 23 . 2 , 5 47 > 7 48,9 5o , 1 5i ,5 53 , 0 54,1 55 ,4 69 , 29 a , 522348 1097 1086 549 ,9 223 . 0 137 . 3o 19 . i3 , 6 68,57 2,523434 1075 1064 io52 553,o 222. 3o i38 . 0 1.5 .23 /5 67 . 84 2 , 524S09 556, 1 222. 0 i38 . 3o I I . 32 , 0 67 , II 2 , 525573 559 , 2 221 . 3o 139 . 0 189 . 3o 7 • 39 > ° 3.44,9 66,38 65, 64 2, 5a6Ó25 2 , 527666 1041 1029 56a , 2 565 , 2 221 . O 220. 3o 140 . 0 5 . 59 . 49 , 5 64 , 90 2, 528695 -t- 568 , 1 320. O 56 , b 58 a 1018 1006 140 . 3o 55 . 5a , 9 64, 17 2 , Ò29713 -t- 571 , 0 219. 3o 141 • 0 5i .54 , 7 3 . 59 , 1 4. o,5 63,43 2 , 500719 995 982 972 960 948 936 9i3 914 573 ,9 219 . O 141 . 3o 47.55,6 62 , 67 a , 531714 576 ,8 ai8 .3o 142 . e 43 . 55 , 1 61 , 91 2 , 532696 579,6 218. 0 142 . 3o 3g . 53 , 4 1 > 7 61 , 16 3,533668 682 ,4 217 . 3o 43. 0 35 .5o , 5 a , 9 3 ,8 5,i 6,5 7,4 60 , 4° 2 , 534628 585, 1 217 . 0 143 . 3o 31.46,7 59 , 64 2,535576 587 ,8 216 . 3o 144. e 27.41 ,6 58 ,88 2 , 5365ia 590 , 4 216 . 0 144 • 3c ao ■. 35 , 1 58 , 12 2 , 537435 593 , 1 2i5 .3o 145. 0 19.27,7 57 , 35 2,538349 ■+■ SgS , 7 2l5 . 0 145 . 3o i5 . 19 , 3 8 ,4 9 ,6 io , 8 56 ,58 2 , 539250 9OI 887 877 863 -t- 5g8 , 3 214 . 3o 146 . 0 11. 9,7 55 ,81 2 , 540137 600 ,8 .■- 14 - 0 146 . 3o 6.58,9 55,o4 a , 541014 6o3,3 2i3 . 3o 147. 0 a .47 , 2 11 > 7 54, 26 a , 541877 852 6o5 , 7 ■-'. 1 ■> . 0 147 • 3o 4 . 58 . 34 , 5 ia , 7 i3 ,9 i5 0 53,49 a , 542729 840 828 608 , 1 312. 3o 148. 0 54 • 20 , 6 52 , 71 2 , 543569 610 , 5 aia. 0 148 . 3o 5o . 5,6 i5 , 7 16 6 5i , 93 a, 544397 816 612 , 9 211 .3o 149 . 0 45.49,9 5i , 14 2 , 545a i3 8o3 6i5 , 2 211 . 0 1A9 . 3o 41. H3, 3 4 . 18 ,' 0 5o, 35 2 , 5460 1 6 617 , 5 210. 3o i5o . 0 37.i5,3 49 > 56 2, 546806 790 -+- 619 , 7 210 . 0 — Del Sic Giovanni Santini ^ Continuazione della Tavola IT. 4o7 Argomento = Long. ined. £ — Perie io . % Ai'gom. Equazione del centro -t- Differ. Ìt)-1' Raggio vet- tore Differ. (*)■■■ Argom. i5o . 0 i5o . 3o i5i . 0 i5i .3o l52 . 0 i53 . 3o i53 . 0 i53 .3o 154 . 0 154 . 3o i55 . 0 4<\37'.i5" 32.56 28.37, 24 • 16 19 .55 , i5 .32 11. 9 6.45. 2 . 30 3 . 57 . 54 53.38 ,3 8 2 5 5 3 2 3 5 0 4'. 18", 5 19 , 6 ap , 7 21 , 5 aa , 5 23 , 2 -4 > ' 24,9 25 ,8 a6,5 49,56 48,77 47,99 47,i9 46,39 45,59 44,80 44,00 43,20 42,40 4i ,60 a , 546806 a , 547585 2,54835a 2 , 549106 2 ,549847 2 , 550576 2 , 551293 2,551996 2,552687 2,553366 2 , 554o33 779 767 754 74 1 729 717 703 691 679 666 ■+" 619 , 7 621 , 9 624 , 1 626 , 2 628,3 63o,4 632,4 634,4 636,4 638,3 -+- 640 , 2 210 . 0 209 . 3o 209 . 0 308. 3o 208 . 0 207 . 3o 307 . 0 306. 3o 206 . 0 2o5 .3o 205 . 0 a7,4 28 ,2 28 ,9 29 ,8 30 ,3 3o , 9 3i , 9 3a,4 33,3 33,7 653 641 628 614 6oa 5go 577 564 55 1 538 j55.3o i56 . 0 i56 .3o 157 . 0 157 .3o i58. 0 i58.3o 159 . 0 159 .3o 160 . 0 49. 0 44.32 40. 3 35.33 3i. 3 26.33 22 . 0 17 .28 12 .55 8.21 6 4 5 >7 4 5 6 a 0 3 40 , 80 ' 39,99 39,18 38,36 37,55 36,74 35 ,92 35, 11 34,29 33,46 3,554685 2 , 555326 2,555954 2,556568 2 , 557170 2 , 557760 2,558337 2 , 558901 2 , 559452 2 ,559990 -+- 643 , 0 643,8 645,6 647,3 649 , 0 650 , 7 653,3 653, g 655,5 -t- 657 , 0 204. 3o 204. 0 2o3 . 3o 203. 0 303 . 3o 202. O 201 . 3o 201 . 0 200 .3o 200 . O 34 > 4 35, 1 35 , 5 36,3 36,8 37 . 4 38,o 38,3 3g , 0 39,3 5a5 5ia 499 486 473 460 446 433 422 408 160 .3o 161 . 0 161 . 3o 162 . 0 162 .3o i63 . 0 i63 . 3o 164 . 0 164 ■ 3o i65 . 0 3.46 2. 59 .11 54.36 5o . 0 45.23 40 .45 36. 7 3i . 29 26 . 5o 23 . II 9 8 3 , 1 3 9 9 6 6 3 3a , 64 3i,8a 3i , 00 3o , 17 29 ,35 28 ,5a 37,69 36,86 26 ,o3 35 , 20 2 , 56o5i5 2 ,561027 2 ,56i526 2 , 562012 2 , 562485 3 , 562945 2 ,563391 2,563824 2 , 564246 2 , 564654 -+- 658 , 5 65g , 9 661 ,4 66a,8 664, 1 665,3 666,6 667 ,8 669 , 0 -t- 670 , 1 199.30 199. O ig8.30 198. 0 197.30 197. O 196 . 3o ig6 . 0 ig5 .3o 195. 0 09 ,8 40 ,3 4° ,8 41 ,3 41 , 5 41 >9 4*, 4 42,9 43 ,2 43,4 394 38 1 368 355 340 3a8 3i5 3oa 388 275 i65 .3o 166. 0 166 . 3o 167 . 0 167 .3o 168 . 0 168. 3o 169 . 0 169 . 3o 170 . 0 17.31 12 . 5l 8. io 3 .29 1 .58 .47 54. 5 49.28 44.40 39.57 35. i3 ,5 , a 4 , 1 .6 >7 ,3 .4 > a 8 24,37 23,54 22 , 71 ai, 88 21 ,o5 20 ,21 19,37 i8,53 17,69 16.86 2,565o48 3 , 565439 3 ,565797 2 ,566i53 2 , 566492 2,566820 a ,567i35 2 ,567437 2 ,567725 2 , 568ooo -+■ 671 , 3 673 , 3 673,3 674 , 2 675, 2 676 , 1 677 , 0 677;9 678, 7 ■+■ 679 , 5 194.30 194. 0 193.30 193 . 0 192 .3o 192 . 0 191 . 3o 191 . 0 190 . 3o 190 . 0 43,7 44,» 44»? 44,3 44,7 45 = 4 45,4 45,6 45 = 7 4 -45 > 7 262 348 a35 222 207 ig3 181 169 i55 141 170 . 3o 171 . 0 171 .3o 172 . 0 173 . 3o 173 . 0 173 .3o I?4 0 174 -3o 175 . 0 3o .3o 25.46 21 . 1 16 . 17 11 .3a 6.47 2 . 2 0 .57 . 16 0 .52 .3o 47.45 1 > ° >8 ,5 ,8 4 > ° »4 7 0 16 ,02 i5,i8 14,34 i3, 5o ia ,66 11,81 10,97 io, 14 9,3o 8,45 2 , 568262 2 ,5685io 2,568745 2 , 568967 2 , 569174 2, 569367 a,56955o 2 ,569719 2 ,569874 2 , 570015 -+- 680 , 2 680,9 681,6 682,2 682,8 683,3 683,8 684,3 684,7 -1- 685,i 189. 3o 189. 0 188. 3o i38. 0 187.30 187. 0 186. 3o 186. 0 i85.3o i85 . 0 — 4o8 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. Continuazione della Tavola II. Argomento = Long. med. X — Perielio . U Argom. Equazione del centro ■+■ Differ. Kdfì'1 Raggio vet- tore Differ. (I)-1' Argo in. 175 . 0 175 . 3o 176 . 0 176 . 3o 177 . 0 177 . 3o 178 . 0 178 . 3o 179 . 0 179 . 00 180 . 0 o°.47'.45",o 43.59, 1 38.13,9 33 . 36 ,5 28 . 39 , 9 a3 . 53 , 4 19. 6,8 l4 • 30 , I 9 .33 , 6 4.46,8 0 . 0,0 4'45",9 46, a 4<>,4 46,6 46,5 46,6 46,7 46,5 46,8 4.46,8 8,45 7,60 6,76 5,ya 5 ,07 4,32 3,37 2 , 52 1,69 0,84 0 ,00 2 , 570016 3 , 570142 3 , 5703S7 2, 570368 3 , 570445 a , 570519 2 , 57o58o 2 , 670627 3 , 570660 a, 570681 a , 570688 ia7 n5 101 87 74 71 47 33 ai ■+- 685 , 1 685,5 685,8 686, 1 686,4 686,6 636,7 686 ,9 687,0 687,0 -4- 687 , 0 i85. 0 184.30 184 . 0 i83.3o i83. 0 183. 3o i8a. 0 181. 3o 181. 0 180. 3o 180 . 0 — 1 Del Sic. Giovanni Santini." 4c9 TAVOLA III. Argomento = Long, in orbita corretta dalle perturbazioni — Nodo gra- 0'. Lat. Bor. (d6\ -/ I*. Lat. Bor. (d6\ « in)-10 IP. Lat. Bor (d6\ , Gra- di VP. Lat. Diff. \Tth° VIP. Lat. Diff. VIIP. Lat. Diff. br)-10 di Aust. Aust. Aust. 0 o°. 0'. o",o 7r.37",o o", 00 3".33'.36",3 6'.25",9 4 ,97 6°.I0'.27",3 3\4i",5 8 , 66 3o i 0 . 7 .27 ,0 26,9 0 , 17 3 . 40 . 2,2 22, 1 5, i3 6 . 14 . 8 , 7 34,6 8 , 75 29 3 0 . 14 .53,9 26,8 o,35 3 .46 .24 ,3 *7)9 5 ,38 6.17.43,3 27,6 8 , 83 28 3 0 . 22 .20 ,7 26 ,2 0 , 52 3 .52.42 ,2 13,7 5 .43 6 . 21 .10,9 20,9 8 , 9° 27 4 0.29.46,9 25,7 0 , 70 3.-58.55,9 9=4 5,57 6.24.31,8 i3,6 8,98 26 5 0 .37 . 12,6 25 , I 0 ,86 4. 5. 5,3 4,8 5 , 71 6 .27.40,4 3. 6,( 9 ,o5 ao 6 0.44 .37,7 24,2 1 , o3 4 • 11. io , 1 6.0,4 5 ,86 6 . 3o.52 ,0 2.59,/t 9 , l3 24 7 0 .63 . 1 ,9 23 ,2 1 , 21 4. 17. io ,5 5 .55 , 7 6 , 00 6.33.5i,4 52 ,3 9 ; T9 23 8 0 • 5g . a5 , 1 22,4 1 ,33 4 .23 . 6,2 5i ,0 6, i3 6.36.43,7 44,8 9 ; aS 22 9 1 . 6 .47,5 31 ,0 1 ,55 4.28.57,2 46,1 6 , 27 6.39.38,5 37>7 9 ,3i 31 io 1.14. 8,5 19,8 1 , 72 4.34.43,3 41 > ° 6,42 6 . 42 . 6,2 3o ,2 9 ,37 30 *9 ii I . 31 .28,3 l8,I 1 , 89 4 . 40 . 34 , 3 36 ,0 6 ,56 6 . 45 . 36 , 4 23 , 0 9,43 12 I .28.46,4 l6,7 2 , 07 4 . 46 . o,3 3o,8 6,69 6.46.59,4 i5,3 9; 49 l8 ii 1 .36 . 3,i J4>9 2 , 22 4 . 5i ,3i ,1 25,6 6 ,83 6 • 49 • J4 > 7 7,9 9 , 54 '7 *4 1 .43.18,0 i3 , 0 2 , 39 4.56.56 ,7 20 , 1 6,94 6 . 5i .22, 6 3. o,3 9 > 59 16 ib 1 . 5o .3i ,0 11, 1 2 ,56 5. 3.16 ,8 14 , 5 7 , °7 6 .53 .32,9 1 .53,7 9 , 63 i5 i4 16 1 . 57 . 43 , 1 8,9 a , 73 5 . 7.31,3 9,0 7 , '9 6 . 55. i5 ,6 45,2 9 > 68 J7 3 . 4 -5i ,0 6,7 3 , 90 5 . 12.40 , 3 5 . 3,3 7 >3a 6 . 57 . 0,8 37,5 9 > 71 i3 18 2. 11 .57,7 4, a 3,o6 5.17.43,6 4.57,6 7:44 6.58.38,3 29,9 9;75 13 19 2 . 19 . 2,0 7. 1,8 3 ,23 5 . 23 . 4 I , 2 5i ,6 7,55 7 . 0 . 8,3 32,0 9 ; 79 II 20 3.26. 3,8 6 .59 , 2 3,39 5 .27 .32 ,8 45,8 7 ,°7 7 . 1 .3o ,2 '4,4 9 ,82 IO 21 2 .33 . 3,o 56,3 3 , 56 5.33.18,6 39 ,5 7,78 7 • 3-44>6 1. 6,0 9,84 9 22 2 . 39 .59,3 53,6 3 , 73 5.36.58,1 33,6 7 ,89 7 . 3 .5i ,2 o.58,6 9,87 8 23 2 .46 • 5a,9 5o ,5 3 ,88 5.4i.3i ,7 27,3 7 ,99 7 . 4'5o,o 5i , 0 9; 89 7 24 2.53.43,4 47,4 4>°4 5 .45 .58 , 9 20 ,8 8 , io 7 . 5.41,0 43,1 9 ;9° 6 2Ò 3. o.3o,8 44 >* 4 > 2I 5.50.19,8 i4,3 8 , 19 7. 6.24,1 35,3 9,92 5 4 26 3.7. 14,9 40,8 37, 1 33 ,6 4 ,36 5.54.34,1 8 3 8 , 39 7. 6.59,4 27,6 19,6 11,9 3,9 9,93 27 3.i3.55, 7 4 ) 52 5.58.43,4 4.1,5 3 .55 , 0 8,39 7. 7.27,0 9 , 95 3 28 3 .20 . 32,8 4,67 6 . 3 . 43 , 9 8 ,48 7. 7.46,6 9,95 2 29 3.27." 6,4 29,9 4 ,83 6. 6.38 ,9 48,3 8,57 7. 7.58,5 9 .96 1 3o 3.33.36,3 4' 97 6 . io .27 , 2 8 ,66 7. 8. 2,4 9 , 96 0 XI». Lat. X'. Lat. IX1. Lat. Aust. Aust. Aust. V*. Lat. Bor. IV. Lat. Bor. IIP. Lat. Bor. Per ottenere le latitudini eliocentriche, si entri in que- sta Tavola coli' argomento Longitudine Eliocentrica in orbita corretta dalle perturbazioni seguenti meno la longitudine del Nodo ; la Latitudine così trovata corrisponde all' inclinazione 7°.o".a",4. La colonna / — I . io" indica la variazione della latitudine per un aumento di io" nell'inclinazione, e serve a trovare la latitudine per un'altra inclinazione poco diversa dalla precedente . Volendo tenere conto della variazione se- colare dell'inclinazione, conviene moltiplicare i numeri di questa colonna — o, oia.it, t rappresentando il numero de- gli anni al di sopra dal 1810 . Tom. XVII. 5a 410 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. TAVOLA IV. Contenente la prima parte delle perturb. in Long, e nel rag.vet. espresse in millionesime parti dell'unità . Arg. D Arg. Ferturbaz. in longitud. Perturbai. nel rag. vett. Arg. D Arg. D Terturbaz. in longitud. Pcrturbaz. nel rag. vett. o 400 -+- o",o — — 654 — 5o 35o -4- 61", 3 — -4~4i3 -4- i 399 3, a 653 5i 349 5g ,2 440 2 398 6,5 65i 52 348 57 , 0 467 3 397 9,8 648 53 347 £4,7 493 Ò19 4 396 i3 , i 644 li 346 5a,4 5 3g5 16 .3 63g 345 49 =9 544 6 394 19 ,6 63a 56 344 47 , a 56g 7 3g3 22,8 624 5? 343 44,4 593 8 3g2 a5 ,9 616 58 342 41 ,6 617 9 391 28,9 6o5 59 34, 38,7 63g .0 3go •+-3i , 9 — -592- 60 340 -4- 35 , 7 — -4- 661 -+- II 389 -+■ 34 , 8 — — 579 — 6r 339 -4- 3a , 5 — -4- 683 -4- 12 388 37 ,7 566 62 338 29 ,3 703 i3 387 4o,5 55 1 63 337 25 ,8 723 '4 386 43,3 535 64 336 22 ,4 743 i5 385 45;9 5x8 65 335 18,9 761 16 384 48,5 5oi 66 334 x5 ,3 779 J7 383 5i ,0 482 67 333 11 j 6 796 i8 382 53,4 462 68 332 7 ,9 8l3 '9 38i 55 ,6 44. 69 33 1 4,i 827 20 38o -+- 57 , 0 — — 420 — 70 33o -+- 0,3 — -4-843-4- 21 379 ■+■ 59 , 8 — — 397 — 71 329 — 3,7-4- -4-356-4- 2-2 378 61 ,3 374 72 328 7 >7 869 23 377 63 ,6 35o 73 327 n , 8 881 24 376 65,3 3a6 74 3a6 i5,9 89^ 25 375 66,8 Boi 75 3a5 20 , 1 902 36 374 68 ,3 275 76 324 24,3 912 27 373 69 ,6 249 77 323 28 ,5 920 28 372 70,8 222 78 322 3a ,8 928 29 37i 71,8 195 79 321 37 , 1 934 3o 3i 370 36g -4- 72 , 8 — -t- 73 ; 6 — — 167 — 80 81 3ao 319 -41,4-4- -4- 940 -4- — 139 — — 45 , 8 -4- -4- 945 -4- 32 368 74 ;a HO 82 3i8 5o , 2 949 33 367 74 > 7 81 83 3*7 54,6 953 34 366 75 ,0 52 84 3 rè 59 ,0 955 35 365 75 , 1 — 23 — 85 3i5 63 ,4 956 36 364 75,a -4- 7 -4- 86 3 14 67,8 9-56 37 363 75,0 37 87 3x3 72 ,2 955 38 36a 74,7 66 88 3ia 76,6 954 39 36i 74,3 95 89 3xi 81 ,0 95i 40 36o -+- 74 , 1 — ■+• 125-4- 90 3io — 85 , 4 -+- -4- 948 -t- 4i 359 -4-73 ,4 — -H l55-t- 91 3og - 89 , 8 -4- -4- 944 "•" 42 358 72,6 i85 92 3o8 94 , » 939 43 357 71 ,6 214 93 307 98,4 933 44 356 70,6 243 94 3o6 ioa , 7 926 45 355 69,4 272 95 3o5 107 , 0 918 46 354 68 ,0 3oi 96 3o4 m,3 909 47 353 66,4 33o 97 3o3 ii5 , 0 899 48 352 64,8 358 98 302 119 ,6 889 49 35 1 63 ,0 386 99 3oi 123 ,7 878 r„, 35o •4- 61 , 3 — -4- 4x3-4- 100 3oo -137 ,7-4- -4- 866 -1- Del Sic. Giovanni Santini. 4u Continuazione della Tavola IV. ArS. D Arg. D Perturbaz. in longitud. Perturbaz. nel rag. vett. Arg. D Arg D Perturbaz. in longitud. Perturbaz. nel rag. vett. IOO 3oo — I27",7-H •+■ 866 -t- i5o 25o — 204", 7-+- — 45o — IOI 299 i3i ,7 853 IÓI 249 2o3 , 0 481 102 298 i35,6 839 l52 248 201 ,3 5 13 io3 297 139 ,5 834 i53 247 199 ,3 54.3 104 296 43,4 808 154 246 197,3 573 io5 295 J47 >! 792 i55 245 195 ,1 60.2 106 294 i5o ,7 775 i56 244 192 ,8 63a 107 293 i54,3 758 i57 243 190 ,4 661 108 293 157,8 74 r i58 SiÀÙi 188 ,0 690 109 291 161 ,2 721 i5g 241 i85 ,3 719 I IO 1 1 1 290 289 — 164 , 6-t- -+- 700 -+- 160 161 240 — 182 ,4-r- — 747 — — 167 ,8-t- -+- 679 -H 239 — 179 ,4-f- -775- 1 12 288 171 ,0 658 162 338 176 ,4 802 n3 287 *74 j1 636 i63 287 17-3,3 829 114 286 x77 j * 6i3 164 236 170 , 1 856 n5 285 180 ,0 5go i65 235 166 ,7 882 116 284 183,8 566 166 234 i63 ,a 907 117 283 i85,4 54 r 167 233 159 , 6 g3s 118 282 188 ,0 5i6 168 232 i55 ,9 g56 119 281 190 ,4 49 1 169 23 I l52 , 1 980 120 280 — 192 ,8-t- -t- 4&5 -+- 170 2.3 ò — 148 , 3 ■+• — 1004 — 131 279 — 195 ,6 + -t- 438 -t- 171 229 — 144 ,3-H — 1027 — 122 278 197 ,2 4n 172 220 140 , 3 1049 123 277 199 ,2 383 i73 227 i36 , 1 1070. 124 276 2UI , I 355 «74 226 i3i,8 1091 125 375 202 ,8 327 VJÒ 225 123 ,5 11 11 126 274 304 >5 398 176 224 123,1 n3i 127 273 20C ,0 269 177 223 118 ,6 1 i5o 128 272 207 ,4 239 178 223 114,0 n63 129 371 208 , 7 209 '79 221 109 , 3 n35 i3o 270 — 209 , 9 -+■ ■+• 179 ■+■ 180 220 — 104 5 6 -t- — 1202 — 1JI 269 — 210 , 8-f- -+- 149 -+- 181 219 — 99 > 3 ■+■ — I2l3— i3a 268 211 ,7 118 182 2l3 95 ,0 1233 i33 267 213 ,4 88 i83 217 90 , 1 1247 134 266 ai3 , 1 56 184 216 85 ,1 1261 i35 265 2i3 ,6 -4- 25 -+■ i35 2l5 80 ,0 1274 i36 264 214 ,0 — 6 — 186 214 74=9 1286 i37 263 214, a 38 187 2l3 69,8 1297 i3S 262 214,3 70 188 213 64,6 i3o8 i3g 261 214,3 102 189 211 59,4 i3i8 140 i4> 260 — 214 , 0 -+- — 134 — 190 210 — 54 ,1 •+■ — 1027 — 269 — 2l3 ,6-H — 166 — 191 aog — 48 , 8 -t- — i335 — .42 258 2l3 ,2 198 192 208 43,5 i343 .43 25? 212 ,6 280 i93 207 38 ,1 1349 '44 s56 212 ,0 261 .94 206 32 .7 i354 145 255 211,1 293 ,95 20 5 *i,\ i359 146 254 210 , I 3a5 196 204 31 ,9 i363 '47 253 208 ,9 357 197 ac3 16,4 i366 i.(:: 252 207 ,6 383 198 202 io , 9' i368 ■49 2ÓI ac-6 , a 419 199 1 301 5 ,5 1369 i'5o 25o — 304 , "H- — 45o — 20O 1 300 — 0 ,0 -t- — 1370 — 4ia Teoria del nuovo Pianeta Vesta ec. TAVOLA V. Per calcolare la seconda parte delle perturbaz. in Iongit. e nel raggio vettore . Arg. D A B * Br Arg- D 5o A B A' "1 0 — 177"--1 -+- 6l",2 — 925 — 12S1 -t-i3a"j8 -+- 94",8 — io63 ■+- 1252 1 i 173, 1 67,8 971 1210 5i i36,5 88 , 0 1018 1286 3 167 , 0 74»3 1016 1168 5a 139,9 81,4 972 i3i8 3 161,6 80 , 5 1060 1124 53 143 , 1 74,8 924 1349 4 i56 , 1 86,5 1103 1078 54 146, 0 67,9 875 i378 5 i5o , 3 92,4 1143 io3a 55 148,6 60 , 8 824 1406 6 144, 5 98,2 1182 985 56 i5i , 0 53,6 773 1432 7 i38,3 io3,7 1320 986 57 i53,2 46,3 720 i457 8 i32, 0 109, 1 1257 886 58 i55,4 38,6 667 1480 9 ia5,7 114, 3 I292 835 59 157,2 3o,9 612 i5oi IO — 119 , 3 -+-119, 2 — i3a6 - 784 60 -t-i58, 8 -+- 28 , 0 — 556 -+- l52I il — 112 , 7 -+- 123,8 — i358 — 733 61 •+• 160 , 0 ■+■ J4'9 — 499 -*-i539 12. io5 , 9 128,3 i387 679 62 161 , 1 -t- 6,6 442 i556 i3 99 j 1 i32 , 4 1415 6a5 63 161,8 - 1,8 384 1571 '4 92, 1 i36,4 1442 671 64 162, 4 10 , 3 326 1584 1595 iS 85, 1 140 , 2 1467 5i6 65 162, 7 18,8 266 16 78,0 143,9 1490 460 66 162 , 9 37>4 206 1606 '7 71,0 147, 2 i5io 4°4 67 162, 6 36, 1 145 1614 18 63,9 i5o , 0 i52g 348 68 162, 2 44 > 9 84 1621I '9 56,7 i52 , 6 i545 292 69 i6i,5 53,7 — 23 i6a6| 20 ai — 49*4 — 43,2 -+- 1 55 , 1 — i56o - 235 70 -t-160 , 6 — 62 , 6 -+- 38 -f-i63o | -1- 157 , 3 — i573 — 179 71 -+-159, 5 — 73, 5 -+- 99 -1- 1 63 1 22 35,o i5g,2 i584 121 72 i58, 1 8o,5 161 i63i 23 27> 7 160 , 9 1692 64 73 i56,4 89,4 223 1629 24 20,4 162,4 i599 — 7 74 154, 5 98,3 285 1626 25 13,2 i63,4 1604 ■+- 49 75 i5s , 3 107, 2 346 1621 26 — 5,9 164, 1 1606 106 76 49 > 9 116 , i 408 i6i5 27 -+- iji 164,4 1606 162 77 147,2 125 , 0 469 1607 28 8,1 164,6 i6o5 218 78 4m i33,8 53o 1597 29 i5,i 164,4 1602 274 79 141,4 142 , 6 591 i585 3o 3i -e 22, 1 -t- i63 , 9 — 1696 •+• 829 80 -t-i33, 1 — i5i ,3 -+- 65 1 -)-i572 H- 28,9 -+- i63 , 2 — i588 -+- 383 81 -t-134, 7 — 160 , 0 -+- 711 -t- i558 32 35, 6 162, 2 i578 437 82 i3i , 0 168, 5 771 1542 33 42,3 160,8 i566 490 83 127,0 176,9 83o i5a4 34 49' ° 159, 1 i552 543 84 122 , 8 i85, 1 887 i5o5 35 55,4 157, 1 i536 5g5 85 118,4 193 , 3 944 1484 36 61 , 7 i55, 1 i5i7 646 86 n3,8 201 , 1 1000 1462 37 67 > 7 i5a,6 1496 696 87 109, 0 209 , 3 io55 1439 38 73,6 149, 7 1474 746 88 104 » 1 217 , 0 1109 i4i5 i388 39 79 >5 146 , 6 i45o 794 89 99, e 224 , 6 1162 40 -t- 85,4 -+- 143 , 3| — 1424 -+. 842 qc •+• 93, 7 — 233 , 1 -4- I2l5 -+-i36o 4l -t- 90, 9 -+- i39 , 5 — 1396 -+- 888 9' -t- 88, i — 339 , 'i -+- 1266 -+- i33i 42 96,4 i35,E i366 934 9= 83, S 246 , 2 1817 i3oi 43 101 , ( i3i , 2 i334 978 9' 76,/ \ 253 , e i366 1370 P 4° 106, S 126, ( i3oi 1021 9- \ 7.%>l aS9)6 141^ 1237 1 11 , ( 121 , i 1266 1062 9: > 64: 266 , e ii6c I2o3 46 116, e 116, ( ì 1228 no3 9< ) 57,' 1 272 , '. i5o5 Ìl68 47 120 , ( 1 ni , i > 1189 1 142 9' 5i , 278 , < > 1549 noi 48 124, ì 106 , 1 j 1149 1180 9' J 44, ? 283 , ! > 1592 1094 49 128, i 1 IOO , ! ! 1107 1216 9 ì 37,/ \ 289 , < > i63S io55 5o 1 -+- l32 , 5 -+- 94, 3 — io63 -1- ia52 IO 3 ■+■ 3o , 5| 294 , . i -t- 167? -+- 1016 Pert. in Long. = A sen. 2/, -t- B cos. 2£ Del Sic. Giovanni Santini . 4i3 Continuazione della Tavola V. Arg. D IOO A B A' B' Arg. IJ IÓO A B A' B' -+- 3o",5 - a94">3 -1- io fi -1- 1016 — 365". 6 — i47",i -t-i363 — 1402 101 a3,4 299 , 2 i7n 9?5 i5i 37i,4 i36,8 i3i4 1440 102 16 , 1 3o3, 7 1743 934 1Ó3 377,2 126, 4 I3Ó3 1477 io3 8 • ; 307,9 i-'i; 891 i53 383 , 7 u5 , 7 121 l i5i3 IOd. io5 -+- i,3 3l2 , 0 1816 847 ,54 388 , 1 104 , 3 1 158 1547 — 6,3 3x5, 8 1847 8o3 ióó 393,2 93 , 7 1104 i58o 106 14, 1 319,2 1876 758 iS6 398,0 82, 6 1049 i6i3 107 22 , 0 322 , 2 1904 713 i57 402, 5 71,3 993 1644 108 29'9 3a5 , 0 ni > 1 665 i58 406 , 8 59, 9 937 i673 iog 38 , 0 327 , 5 1955 618 i5g 410 , 8 48,3 880 1701 no - 46 , 1 — 029 , 7 -+- 1973 -+- 570 160 -4.4.8 - 36 , 7 ■+■ 821 -,728 111 - 54,4 — 33i ,4 ■+■ '994 -+- 531 ibi — 418,4 — 34 , 8 -t- 761 -17.54 112 62, 7 332 , 8 2018 472 163 421,8 12 , 9 701 I778 ii3 71» ' 333,9 ao35 422 i63 424,9 — 0,9 640 1800 .14 79 > 5 334,8 2o5o 372 164 427,8 -t- II , I 578 1831 no 83,o 335 , 2 2064 3ai 160 4-3o , 4 23,3 5i6 1841 116 96, & 335,5 2076 270 166 432 , 9 35 , 5 454 18.59 117 io5 , 0 335 , 2 2086 218 167 435 , 0 47 » 4 392 1876 118 n3, 6 334 , 7 2093 166 168 436,8 60, 0 329 1891 119 122, 2 333 , 7 2098 114 .69 438,3 72, 2 266 1904 120 121 — i3o , 8 — 332,5 -t-3103 -t- 61 170 -439,5 -1-84,5 ■+■ aoa -.916 — 1:39 , 5 — 33o , 9 ,-t-2I03 ■+■ 9 171 — 44° ■> 3 -(-96,7 -+- i38 — 1936 123 148,2 329 , 0 2104 - 44 172 44° » 9 109 , 0 74 1935 123 i56 , 9 326,8 2101 96 17.3 44^3 121 , 2 -4- IO 1942 T24 i65 , 5 324 , 3 2098 149 '74 44t , 5 i33 , 5 - 55 '947 12.5 J74> > 321, à 2092 202 i75 44i,3 145,6 119 190 1 12 h 182,7 3i8, 1 2o85 255 176 440,8 157,8 i83 1953 I27 191 , ò 014,4 2075 3o8 »77 439 . 9 169, 8 247 1953 123 *99>9 3io , i 2064 36 1 r78 438 , 8 181,8 3io in52 129 208 , 5 3o6, 0 ao5i 414 179 437 , 3 193,7 3?3 1949 i3o — 217 , 0 — 3oi . 6 -H2o35 — 466 180 181 — 435,6 -+- 2o5 , 5 — 436 -1944 i3i — 225 , 5 — 296, 5 -t-2018 — 5i8 -4.33,5 -+-2I7 , 2 - 498 -i937 l32 233,9 291 , 3 1998 570 182 43 1, 3 333, 8 060 1929 t33 242 1 2 285,6 '977 621 i83 428,7 240 , 3 6a 1 1919 .34 a5o , 4 279 , 8 io55 671 184 425 , 8 25l , 7 63 1 1908 i35 258,4 273 , 5 igio 7-- i85 433, 6 262 , 7 741 1895 i36 266 , 4 266 , 9 1903 773 186 4r9; ' 27.3 , 8 801 i38o .37 274, 3 260 , 1 i875 822 .87 4i5 , 2 284,8 860 i863 i33 282, 1 253 . 2 1845 871 188 410, 9 295, 6 918 1845 139 289,8 245 ; 7 18 i3 920 189 406, 5 3o6 , 0 975 182.5 140 — 297,4 —a38,o i-t- 1730 ■+■ 968 190 —401 ,9 -+- 3 1 6 , 2 — ic3i — i3o3 141 — 3o4 , 8 — a3o , 4 -1-1745 — ioi5 191 — 396 , 8 ■4-3a6,3 — 1086 — 1-80 142 3l2 , 2 222 , 8 1709 1061 193 391 , 6 336 , 3 n39 i755 143 319,4 ai3,8 1671 1107 i93 386, 1 346 , 0 1 191 1729 '44 326 , 6 204,8 i632 ll52 «94 38o,3 355 , 6 1243 /701 145 333,6 195,7 1591 1196 195 374,2 364,8 1294 1671 làh 340 ,4 186 , 5 i543 1239 196 367,7 373,9 i343 1640 147 347,0 176,9 i5o4 1281 i97 36i , 0 333, 5 i3qi 1607 148 353,5 167 , 2 1458 l333 198 354,o 391 , 1 1438 i573 149 349 '7 157 , 2 141 1 i36a 199 346, 8 399, 3 i483 i538| i5c —365 . 6 — 147, 1 -+- 1363 — 1402 200 - 339 , 5 -1-407.4 — l527 -i5ot Pert. in rag. vett. espressa in millionesimi =: A' sea 2/, h- B' cos 2/- 44 Djìl Sic Giovanni Santini Continuazione della Tavola V Arg. D 200 A B A' B' Arg- D 25o A B A' B' — 339",5 -t-4°7'V - .527 — i5oi -t-207",8 ■+-399^9 — i543 -t-i3db 201 33i,8 4i5,i 1569 1462 s5i 218,4 392 , 0 l502 i3.7 203 323,8 422 , 5 1610 1422 35a 228,7 383, 8 1460 i368 2C3 3i5,5 429>7 1649 i38t 253 a38.8 375,5 1417 204 3o6 , 9 436,7 1687 i33g 354 248, 8 367, 1 1370 ,464 205 298 , 2 443,0 1724 1295 355 258,6 358 . ^ 1324 i5io 206 289 , 3 449,6 1759 1350 356 268,2 349,4 1278 i556 207 280, 2 455,4 1792 I304 357 277, 6 340, 3 ia3o 1600 208 270, 8 460,9 1823 n56 358 230 , 8 33i,2 1181 1643 209 261,2 466, 0 i853 1 107 s5g 295 , 8 321 , 7 ii3i 1686 2IO 21 I — 201 , 5 — 241 , 6 -+-471 , 2 — 1881 — 1057 260 -t-3o4, 6 -+-3l2, 2 — ioSo -i- 1729 -f- 476,0 — 1907 — 1006 261 -+-3i3, e -t-3o3 , 4 — 1028 -+- 17O8 212 28 1 , 5 480, 4 1932 955 262 33i,3 292 , 6 975 i8o5 ai 3 221,2 484 , 5 1955 902 263 329 ,3 282 , 6 922 1840 214 aio, 7 488 , 2 '977 848 264 337 , 0 273 , 5 869 .874 2l5 200 , 1 491 = 4 1966 793 265 344,4 263 , 3 814 1906 216 189 ,4 494^ 3 201 3 738 266 35 1 , 5 253 , 0 758 1935 217 178,5 497 >° 2o38 683 267 358,3 34r , 6 7o3 1963 218 167,3 499 = 4 2042 625 268 364,9 33 I , 1 648 1991 219 166, 0 5oi , 3 2054 567 269 371, 1 230 , 5 592 2017 220 -i44,6 -t-5o2, 9 — 3064 — 509 370 -1-377 > t -+-209 , 8 — 535 -f-2041 221 — 133 , 1 -t- 504 , 2 — 3072 — 45o 371 -+-382, 8 "*" *,?9 ' l — 47» -1-2063 222 121,6 5o5 , 2 2078 391 272 388, 1 188 , 3 430 2085 323 109, 9 5o5 , 7 2082 33 1 273 393 , 2 177,5 363 2104 224 98,2 5o6 j 0 2o85 371 274 398, 1 166 , 7 3o5 2121 225 86,3 5o5 , 9 2o85 210 275 402 , 3 i55 , 8 347 2i36 326 74,3 5o5 , 5 2o85 149 276 406, 3 J44>9 188 2l5o 227 62, 3 604, 7 2083 88 277 409,9 134 , 0 i3o 2161 228 5o , 3 5o3 , 6 20^8 - 27 278 4*3,4 133, 0 7? 2 I 72 229 48,3 503, 2 3071 -t- 35 279 416,4 uà , 1 — i3 2l80 23 0 a3i — 26,3 -t-5oo , 5 — 3063 97 280 -i-4'9 , 2 -i-ioi,3 -+- 46 -+-2i36 — 14, 2 -+-498,4 205l -t- 169 381 -f-42I, 6 -1-90,4 -+- 104 -1-2190 232 — 2,0 496,0 2039 220 282 423,6 79, 5 161 2193 233 -1- 10 , 1 493, 1 2025 282 283 435, 3 78,8 318 2193 234 32,3 489,9 2010 343 284 426 , 6 58, 1 276 3193 235 34,5 486,4 1993 4o5 285 427, 6 47,4 333 2188 236 46,6 482,7 1974 466 386 428,2 36,8 390 2i83 237 58, 6 478,7 ig53 537 287 428,4 26,4 446 2176 238 70, 2 474, 3 1931 587 288 428,5 16 , 0 502 2167 239 82,5 469,7 1907 647 _ O 2oy 428,4 -4- 5,6 557 2i56 240 -+- 94*4 -4- 404 , 7 — 188 1 •+" 7°7 290 -1-427 , 3 - 4,7 -1- 610 -1-2144 241 H-iou , I ■4-459,4 — 1854 -t- 766 291 -1-425 , 0 — ■'4, 9 H- 66a -1-3129 242 117,8 453 , 9 1835 024 393 4*4,5 25, 0 718 31 13 243 129,4 448,1 1795 882 293 432,6 34,8 770 3094 244 141 , 0 442, 0 1763 94° 294 420 ,3 44,6 823 30?4 245 i52 , 3 435,6 1730 996 295 4'7>7 54,3 873 3053 246 163,7 429,0 1696 1067 396 4'4> 9 63 , 8 933 2028 247 J74>9 423, 1 i65j 1107 397 4" ,7 73,2 971 2002 248 186,0 414, 8 1621 1161 398 408 , I 82, 5 1030 1975 249 196,9 4°7,4 i58a 12 14 399 404,2 91 , 6 1068 1946 250 [ -+-207 , 8 -+-099, 9 — i543 -1- 1266 3oo -+"4co , 1 — 100 , 7 -f- 11 15. -+- igi5 Del Sic. Giovanni Santini .i5 Continuazione della Tavola V. A 1-5. D A B A' B' AvS. D A B A' B' 000 -H4°°",I — ioo",7 -h in5 -H U) 1 J 35o — J4";6 — 2(J0",7 -H IÓ07 — 855 3oi 895 , 6 109,4 11 60 1882 35i 63 , 9 257,4 i556 908 3oa 390 , 7 "7 5 9 1204 l843 352 73,0 254, 0 i523 960 3o3 385,5 126,4 1247 l8l2 ibi 81,9 25o , 4 1488 1010 804 38o , 1 i34,8 1289 1775 334 90.7 246,6 1453 1060 3o5 375,4 142 ,8 i33o 1736 35j 99 >2 342,6 i4i5 1108 3o6 368,3 i5o , 6 1370 1695 356 107,4 238,4 1877 n 54 307 36i , 9 i58,2 1408 i653 357 n5,4 233 , 9 i337 1199 3o8 355 , 2 i65,8 1445 1609 358 123 , 4 229, 1 1396 1242 3og 348,2 173, e 148 1 i564 3òg i3o, 9 224 , 2 1254 1283 3io -t-34o , 9 — 179 '9 -t- i5i5 -h 1517 3 60 — 138,2 — 219 , 3 -H 13IO — i3a3 j3n -<-333, 4 — 186,7 -t-1547 -H 1469 36 1 — 140 , 2 —214, 1 -H Il6Ó — i36i l3ia 3a5, 7 193,4 i579 1420 362 i5i,8 208,7 1120 1898 3i3 3i7,8 i99 > 7 1609 1370 363 i58, 2 203 , I 1073 1432 3.4 3og , 6 ac5, 8 i638 i3i8 364 164, 3 197,3 1025 1464 iib 3oi , 2 211,7 i665 1265 365 170,3 J9i ,4 976 1494 816 292, 6 217,5 1691 1211 366 176 , 0 i85,3 926 i5a3 3:7 233 , 7 223 , C 1716 n56 367 181, 1 179,0 8?5 1549 3i8 274,6 228,3 1739 1099 363 186 , e 172,6 824 1579 319 265 , 3 233 , 2 1760 1042 369 190,7 166, 0 771 1596 3ao -+-256, 0 — «37,9 -4-1779 -H 984 370 — 195 , 1 — 159, 3 -H 718 — 1617 ini -1- 245 , 3 -242,/ -t-1796 -H Q25 S71 - 198 , 8 — 152 , 5 665 — 1635 322 236,4 246, 6 1813 866 372 202 , 5 145 , 6 611 i65i 828 226 , 5 25o , 6 1827 806 373 205,9 i38 , 6 556 i665 3^4 316, 5 254,5 184° 745 374 209 , 1 i3i , 5 5oo 1677 3aó 206,4 257,g i85i 683 i7b 211,9 124,3 444 1687 826 196, 1 261 , 1 1861 621 376 214,2 117 ,0 387 1694 327 i85 , 7 264 , 0 1869 l>58 377 216 , 1 109 , 6 33 1 1699 828 175 , 3 266, 7 1875 495 07U 217, 8 106 , 3 274 1703 329 164,7 269 , e 1879 432 379 219, 3 94 j 7 220 1703 33o -HI 54 , O — 271 , 2 -H1882 -h 368 3«o 38i — 220 , 4 - 37, 1 ■+- 160 — 1702 33 1 -+-148, 3 — 273 , T -hi 883 -H 3o4 — 221 , 0 — 79 > 5 -H io3 -HI 699 332 i32, 6 ^74=9 1884 240 382 221 , 3 71,8 -H 45 lÓgS 333 121 , 8 276,4 i38a 176 383 321 , 3 64, 1 - i3 i685 334 no, 9 277,6 1878 III 384 221 , 2 56,3 70 i675 335 100, 1 278,4 1872 -H 47 385 220 , 6 48,7 127 i663 336 89,4 278,9 1864 — 16 386 219,7 41,2 184 1649 ii7 78 ,6 279,3 i855 80 387 2l8,4 33,5 241 i633 338 67>7 279,6 1844 143 338 216,9 25,8 297 i6i5 339 57,c 279,2 i832 206 389 2l5 , 2 18,2 353 1595 340 ■+■ 46 , 4 — 278,8 -H1818 — 269 390 391 -2i3,3 — io , 6 — 408 — 1672 341 -h 35 , 9 — 278 , 0 -H 1802 — 33 1 — 210 , 8 - 3,o — 463 — 1547 342 25,4 277,0 1785 393 393 208 , 0 -1-4.5 5i8 l522 343 i5 , 1 270, 8 1766 453 3q3 2o5 , 5 12,0 57i 1494 $& -+-4,7 — 5,5 274, 6 1746 5i3 394 202, 9 J9 >4 624 67(J 1465 345 272, 8 1723 57a 3g5 198,7 26,6 1434 346 i5,6 270,9 1699 63 1 396 194,5 33,7 728 i4co =M7 25 , 5 268,8 1673 689 B97 190 , 5 4°; 7 778 i365 348 35,3 266,4 1646 746 098 186,4 4: > 7 828 1829 1 oóo 45,o 263,7 1617 801 399 181,8 54,5 877 1290 - 54 , 1. 260 , 7 -h i587 — 855 | 4' ' — 177 , 1 -H 61 , 2l — 925 125 I 4:6 Del Sic. Giovanni Santini . TAVOLA VI. Per calcolare le perturbazioni nella latitudine eliocentrica Arg D 80 85 9? 95 100 io5 no n5 120 71$ i3o i35 140 i45 A" 3,43 4,34 6,00 7*o5 7,82 8,29 8,49 8,35 7>9a 4,94 3,47 1 ,81 o , o3 1,89 3,85 5,82 7>75 diff. i",56 *,¥ 1,0.1 1 , 00 Q.77 0)47 0 , 20 °, "4 0,43 o , 72 100 i55 160 i65 170 TFS 180 i85 190 19S ■ 9)58 11 ,29 12 , 80 14,09 -i5 ,i5 ■ i5,93 16,41 16,57 16 ,42 -16,-95 -i5,i8 4, io 12,73 1 1 , 1 3 9,3i 7,^2 5, 17 2,93 0,62 1,69 >99 >a7 )47 , 66 >78 > 92 ,96 >97 ,93 ,83 5 71 ,.5i , 39 ,06 ,78 0,48 0,16 o, i5 o , 47 o> 77 1, 08 1,37 1 , 60 1,82 1,99 B" 7",44 6,84 5 ,9° 4,66 3,i4 I ,32 0,67 2,76 4)95 7'11 -9,22 11,18 12 ,96 14,52 -i5,8o ■16 , 70 17,29 17, 58 17,42 -16,91 diff. 0 , 60 °)94 1,24 1,52 1, 82 i)99 2, 09 2, 19 a, 16 2 , 11 1, 96 1,78 1 ,56 1,28 o , 95 -16 , o3 14,81 13,28 11,46 - 9.43 7, .5 4)78 2,32 0,l8 2,64 2 , IO 2,24 2,3l 2,28 a ,20 ■ 5 ,02 7)27 9,35 1 1 ,20 ■12,79 • 14 , IO io , 04 l5)74 1 6 , 04 ■ 16 , 00 0,54 o, 29 o , 16 o , 5i Arg D 200 205 210 ai5 220 225 230 235 240 245 25o 200 260 265 270 275 A" ■3,90 6,i3 3,i6 io, o5 11,71 • i3 , 12 ■ 14,27 i5, 12 i5,63 .5,84 -i5 , 72 — 15,27 14,42 '3)47 12 , i5 — io ,59 1 ,22 1 , 53 1,82 2 , o3 2, 28 2,37 2,46 2 , 5o 2,46 2 , 38 2, 25 2,08 i,35 i,59 i,3i 0, 94 o, 70 o , 3o 0,04 jo,38 280 |— 8,85 6,95 4,94 2,87 — o ,80 35 I290 295 3 00 3o5 3io 3ió 3ao 325 33o 335 340 345 35o 355 36o 365 37o 3?5 38o 385 390 3g5 400 liff. 2 , iH 2 , o3 1,89 1,66 1, 39 1 , i5 o , 35 o , 5i 0,21 o , 12 0,45 o, 85 0 ,95 1 , 32 1,56 1 » 74 I ,23 3,l6 4.97 6, 57 7 )97 1, 90 2,01 2,07 2,07 2 , o3 B" •i5",62 14,90 13,84 12,46 10,86 ■ 8 ,92 6 ,83 4,55 2,17 0,29 2 ,78 0,26 7,66 9,92 12 , 00 •'3, 87 diff. 0,72 1 , 06 i,38 1 , 60 1,84 2 , 09 - 9,11 9.97 io ,52 10,77 •io , 70 ■ I o , 34 9,69 8,79 7,61 - 6 ,26 4,75 3,i3 1,46 O ,23 1 ,87 1 ,93 1 ,81 I , 60 1 ,40 1 ) 4 0,86 o , 55 o , 25 o ,07 o,36 0 , t>5 o, 90 1 , 18 i , 35 i.5i 1 , 62 1 , 67 1, 69 1,64 4- io .43 i6i 78 17,76 i8,39 18,67 2 , 28 2,33 2,46 2,49 2,48 2 , 4° 2 , 26 2,08 1,87 1, 56 4-18,57 18, io 17 ,3o 16, 21 ■ i3 ,02 11 , 12 9: 04 6,88 ■ 4)66 a)4? o , 37 — I , 60 3,37 — 4,86 1,35 0,98 o,63 0,28 O , IO 0 , 47 0 , 80 1 , io 1 , 5o 1,69 ,90 , 08 , 16 , s— i . 19 — 6 : c4 6,98 7, 5o 7,66 - 7)44 2 , IO 1 , 97 i)67 1 ,49 1 , 18 0)94 O , 52 0, 16 O . 22 Terturb. in Latit. = A" B" cos 2/. 4*7 DEL MODO DI RENDERE MEN DIFETTOSA CHE ADESSO E PIÙ' COMODA LA STADERA VOLGARMENTE DETTA ROMANA MEMORIA Del Signor Pietro Ferroni. Ricevuta li 3i Dicembre 1814. E, Jgli è fuor d'ogni dubbio che le Stadere Romane sono d'as- sai più comode delle Bilancie nel corso ordinario di quelle brevissime giornaliere contrattazioni , per rispetto alle quali abbia luosro la conoscenza del Peso delle materie da valutar- si a proporzione dei loro prezzi quandoché siano esposte in commercio . La riguardevole prerogativa della Stadera , di potersi cioè con un Peso solo , volgarmente chiamato il Ro- mano , contrappesare dal minimo al massimo altri innumere- voli diversissimi Pesi, laddove nella Bilancia comune fa di mestieri contrapporre a ogni Peso il suo respettivo Equipon- dio, rende per universal sentimento , avvalorato dall' uso del- la più parte dei Popoli culti, preferibile all'ultima la preci- tata Stadera Romana, ed eziandio alla Teutonica, altramente detta tascabile, perchè questa con impiegare un elastro , o molla spirale, alla cui testata appendesi il Peso, ne misura la sua gravezza col più o meno distendersi della molla suddet* ta , ed è sottoposta perciò all'influenza delle moltiplici Cause fìsiche, le quali mostrano chiaramente incerto, e variabile il grado di Forza dell'elasticità competente a tutti i Corpi terrestri . Ha il suo fondamento, siccome ognun sa, la Stadera Ro- mana nell'equilibrio della Leva, o del Vette } eh' è il princi- pio unico, e saldo, cui s'appoggia la Statica universale; pria- Tom. XVII. 53 4i8 Sulla Stadera Romana ec. cipio però intimamente collegato con quello della Bilancia (evidentissimo, ed anzi intuitivo di sua natura) posto clie questa in vece di sole due braccia eguali situate nella me- desima Linea retta sia composta di più braccia in qualunque numero o dispari o pari, ma però tutte eguali, e distribuite con angoli tutti eguali tra loro nel vertice, o centro comune a foggia di Stella più o meno raggiante (i) . E dalla Bilancia medesima parimente dipende , come suo Corollario immedia- to, il Parallelogrammo o Triangolo risguardante la composizio- ne , e la risoluzion delle Forze (a) . A fronte del maggior comodo , e dell' utilità maggiore , che nella vita civile ricavasi dalla Stadera Romana, la ma- niera ordinaria di costruirla, e d'usarla fa sì ch'essa sia sog- getta nulladimeno ad alcuni difetti; laddovecchè la Bilancia per Io contrario, anche viziosa che fosse nella sua costruzio- ne , si corregge di per sé stessa , o come dicesi in termini d'Arte „ ha la sua verificazione in sé medesima „ collo scam- biare al Peso, ed all' Equipondio i Bacini, ed estrar poscia la radice quadra dal prodotto dei due Contrappesi. Non s'in- tende già qui di parlar degl'inganni, o delle frodi d'ogni maniera , che nascer mai possano , o nascati difatto dal mal- talento, e dai giuochi di mano d'un suddolo Pesatore: im- perocché essendo simili trufferie comuni a tutti gl'Istrumen- ti possibili adoperati nel traffico , comunque sieno perfetti se si considerino dal lato della Meccanica, non c'è nessuno scampo o riparo per esimersi dalle medesime ad eccezion del- l'accorgimento, e dell'avvedutezza e vigilanza istancabile dei Compratori . Derivano spezialmente i mancamenti fisici , o per dir (i) Volume X, Parte II delle nostre Memorie - Modena mdccciii dalla p»g. 43 1 sino a 633 incl. - I principi della Meccanica richiamati alla massima sem- plicità, ed evidenza . Ragionamento ec. (a) Vedasi nel Tomo IX degli Atti dell'Accademia delle Scienze detta de' Fisiocritici ( Siena mdcccviii ) la Disser- tazione latina dalla pag. 241 a 254 incl. - Compositio Virium unicum Mechanices fundamentum noviter positum etc. Del Sic Pietro Ferroni . 4J9 meglio meccanici delle volgari veglianti Stadere da tre diver- se cagioni d' errore , e sono i .° La loro incongrua conformazione , avuto ancora ri- guardo al modo , col quale elle agiscono : a.0 L'imperfezione loro proveniente dal Fabbricatore od Artefice : 3.° La divisione e suddivisione per lo più erronee del mag- gior braccio, su cui passeggia il Romano. Affin d' ovviare colle debite correzioni alle suddivisate sorgenti d'errori meccanici avendo avuta più volte occasione, passati ormai due Anni interi, o in quel torno, di tenerne insieme proposito col giovine amicissimo mio, ed espertissi- mo in tutte le Matematiche Discipline Capitano Soalhat , Uf- fiziale Francese dell'Imperiai Corpo del Genio^ ed essendoci scambievolmente comunicate le proprie idee, e quindi con- fermatele in pratica a grado per mezzo degli Sperimenti op- portuni, concepimmo sino d'allora il pensiere di render pub- blici colla stampa i reciprochi nostri divisamenti, come quel- li, i quali miravano a conseguire lodevolmente il maggior perfezionamento possibile dell'utilissima Stadera Romana. E tantopiù volentieri, e tantopiù presto m'accingo a palesare in succinto il riuscimento di tali nostre iterate ricerche quan- tochè conservandole io manoscritte di carattere dell'Amico, che ne disegnò eziandio le Figure colla sua solita precisione , ed intelligenza, vengo col pubblicarle a pagargli, per quel- la parte, che giustamente a lui si compete, un tributo di grata , e perpetua rammemoranza dopo la sua morte avvenuta nel mdcccxii. durante la terribil Campagna della Guerra di Francia contra la Russia, la qual tragica circostanza non che di Lapide lo privò forse per avventura anche d'onorevol Se- polcro. In capo al MS.0, che abbraccia i cambiamenti , e le aggiunte da noi immaginate in comune all'effetto di perfe- zionar la Stadera essendosi apposta dall'egregio Amico sunno- minato l'Epigrafe sensatissima — Il vaut mieux prevenir des abus que punir des délits — mi giova ripeter talquale que- ^20 Sulla Stadera Romana ec. sta eccellente massima di Morale politica, che onora ad un tempo la mente , ed il cuore di chi l' ha scritta , e profon- damente sentita , appunto perchè il togliere dalle contrat- tazioni degli uomini, se non tutti gli abusi, almeno quelli, che siano inerenti all'indole delle Macchine, e degli Stru- menti, che s'usano andantemente pei Pesi e Misure, tenden- do a diminuire i motivi, ed i mezzi d'una fraudolenta di- suguaglianza delle permute, torna sempre a profitto della fe- licità universale . ARTICOLO I. Dei difetti causati dall' attuai forma delle Stadere e dei loro rimedj . Oltre alle Stadere semplici frequentemente per la maggio- re comodità di pesare si costruiscono, e s'usano le composte. A differenza delle prime hanno l'ultime la particolarità d'a- ver disponibili a piacimento di chi le impieghi due diversi punti di sospensione, ed in vece d'una, come le semplici, hanno doppia divisione, ciascuna sul taglio o spigolo oppo- sto della verga metallica, ossia del maggior braccio di leva. Il Romano o il contrappeso (Sacoma) resta sempre l'istes- so , e solamente si rivolta la Verga all'effetto di sospenderla ora dall'uno ora dall'altro lato o punto soprindicato; dal primo e più ordinario pei Pesi piccoli, dal secondo pei Pesi grossi. Con siffatto ingegnoso compenso senza cambiare il Romano può un solo Istrumento destinatosi alla ricerca della diversa gravez- za assoluta de' Corpi solidi o liquidi soddisfare a quest'uopo per due diverse serie di Pesi comprese tra due limiti diffe- renti ; e tal vantaggio potrebbe ugualmente estendersi median- te le convenevoli divisioni sopra i quattro spigoli della ver- ga a tre e quattro serie quando vi fossero preparati altret- tanti punti di sospensione . Facilissima cosa si è poi conce- pite sino d'adesso come trovando un meccanismo semplice per Del Sic. Pietro Ferroni . 4ai rivolger la Verga della stadera su ciascheduno de' suoi quat* tro taglj otterrebbesi una Macchina portatile comparativa, in virtù della quale senza nessuna necessità di calcolo o di già preparate Tavole dì riduzione si paragonerebbero infra di lo- ro i più celebri dei Pesi antichi , e moderni . Quanto i Costruttori delle Bilancie, e specialmente delle docimastiche per le materie preziose , come ancora di quelle dedicate agli sperimenti Fisico-chimici , ed alle Droghe me- dicinali o tintorie, son soliti d'esser cauti nel far sì che i due punti , dai quali pendono i due Bacini , ed il punto in- termedio di sospensione, ovvero del centro di rotazione del- la Bilancia siano scrupolosamente disposti nella medesima li- nea retta affinchè l' Istrumento non riesca né sordo né folle a qualunquesiasi leggieri trabocco (i), altrettanto gli Stade- raj nel lavorare le Stadere semplici , e moltopiù le composte , o per abitudine d'anticata ignoranza, o per effetto d'incu- ria sempre corrente sogliono non attendere a questo princi- pio fondamentale dell'aggiustatezza e stabilità dell'equilibrio, eh' è dalla Statica magistralmente prescritto. Dato che i tre punti suddetti non fossero precisamente nella medesima di- rittura, come non di rado addiviene, la Leva diritta sarebbe angolare, ed è quanto dire equivalente all' inflessa ; ed allo- ra si dà di soventi luogo, in vece d'un solo e verace, a di- versi equilibrj possibili con Pesi falsi, cioè all'errore o al- l'inganno, il qual procedendo dal vizio intrinseco della Sta- dera, conosciuto tosto eh' e' sia per lunga pratica dal vendi- tore, torna sempre a disavvantaggio del compratore, né v'ha legge cotanto efficace, che mai potess' esser valevole a repri- mere tal prevaricazione, ed abuso della pubblica confidenza. (i) Van Swinden nel primo volume delle sue Positiones Physicce stampato nel mdcclx.xxvi ad Harderwyck ( Lib. Ili , Parte I , Sez. II, Cap. I , Art. IX dalla pag. 204 a 212 incl. , e dal N.° qò a tutto il 99 ( si vedano specialmente i N .' 88 e q'i ) ha raccolto in compendio tutto ciò che sapevasi sulla Teoria , e sulla Pratica delle Bilancie . Per riguar- do poi alle Stadere sia consultata l'Ope- ra stessa sino alla pag. 216 , ed al N.° 107 incl., e soprattutto si leggano i N.' 102, ic5. 42,2, Sulla Stadera Romana ec. Ma d'altra parte nelle Stadere, che in sé riuniscono il Peso grosso, ed il piccolo , conforme alla foggia, in cui dagli ar- tisti si lavorano comunemente, rendesi inevitabile questo di- fetto; laonde sarebbe assai commendevole rintracciare il mo- do di prevenirlo. Ecco dunque il rimedio più acconcio, che non difficilmente conduce al conseguimento della correzione desiderata . La Figura I.ma manifesta di subito con tutta chiarezza in una Stadera fornita del comodo di due punti di sospensio- ne gl'inconvenienti, che accaderebbono ancora casochè per diminuire o ragguagliare l'errore si volesse aver l'avverten- za, la qual'è in uso presso alcuni artefici più accurati ed in- telligenti degli altri, di collocare cioè ciascuno di quei due punti nella direzione dell'asse, o della linea centrale della ver- ga parallelepipeda rettangolare , ovvero del Giogo su cui scor- re il Romano , da un punto della qual linea penda altresì il capo raccomandatovi delle tre o più catenelle sostenenti il Bacino . Conciossiachè il predetto Romano obbligato a scor- rere immancabilmente mediante V oncino od anello tagliente, che lo sostiene , sul taglio , costola , o spigolo della verga , nel quale sono segnate ed incise le divisioni , rimarrebbe sem- pre a contatto con un punto di quello spigolo situato fuor della linea retta congiungente il punto di sospensione, e l'al- tro da cui pende il Peso , e tanto precisamente al di fuori quanto importa la metà della diagonale , che congiunge i due spigoli opposti . Conoscevasi a vero dire da molto tempo quel- la foggia special di Stadera denominata Danese o Svedese, ove il Bacino e il Romano restando fissi maisempre alle due estremità della Verga si conseguisce la notizia de' Pesi col cambiare e far iscorrere avanti o indietro sulla Verga mede- sima il punto mobile di sospensione ( i ); ma conoscenza sif- fatta non avea mai risvegliata l'idea d'approfittarne a vantag- (i) Posit. Phys. 1. e. al Num.° io5. Del Sic Pietro Ferroni . 4^3 gio delle Stadere Romane. Ora all'effetto di tener sempre i due o più punti di sospensione nella medesima linea retta pre- cisa , che congiugne quelli, dai quali pendono il Bacino, e il Romano, era ben facile divisare che ciò s'otteneva mediante un traforo rettangolo ABCD (Fig. II.) procurato nel sodo della testa della Stadera, e talmente sdrucito che l'orlo o il lab- bro superiore dell'apertura, o per dir meglio le sommità M, M, ec. degl'incavi in piccole lastre fermatevi d' acciajo ben temperato o di pietradura, dentro cui dee posarsi il taglio a coltello DE dell'Ondino di sospensione disegnato di faccia e di fianco nella III. Figura, tornassero appunto in dirittura degli altri due suddescritti . Il perchè , oltre a sospendere nel modo chiaramente indicato alla lettera F, ed in totalità rap- presentato dalla Fig. VII. il Bacino, ed i Pesi, onde posta orizzontale la Verga della Stadera la direzion verticale della gravità assoluta degli ultimi colla pienezza della sua forza riesca sempre perpendicolare alla Leva, fa eziandio di me- stieri costruire di tal maniera il Romano qual manifestane di prospetto, ed in istato d'azione la IV. e la II. Figura, e vale a dire unendolo ad un boccinolo o cassetta vuot metal- lica GHIK , che abbracciando leggiermente le due faccie e- guali del braccio lungo della Leva , lavorata in quadro , e disposta colla sua diagonale verticalmente , sia con pochissi- mo o morbido attrito scorrevole sul taglio o spigolo superiore del braccio predetto . Le divisioni corrispondenti alle due ma- niere di pesare or coli' uno or coli' altro punto di sospensione senza bisogno di rivoltar la Stadera possono incidersi sottilis- sime sulle due faccie della Verga con lasciar intatto il taglio intermedio, nel qual esse s'incontrano , ed aprire una rimu- la o fessura in L, punto di mezzo, sull'una e l'altra faccia della cassetta mobile per iscorgere i segni della duplice divi- sione mediante gli Indici respettivi . Molti, e rilevantissimi sono i vantaggj, che nascerebbe- ro da questo cambiamento di forma delle Stadere d'uso co- mune in commercio, a scanso dei loro inevitabili errori, che 4.2,4 Sulla Stadera Romana ec. porta seco la costruzione attuale, ai quali intendesi adesso recar rimedio e facile ed opportuno . Accennerò solamente i più ovvj per non dilungarmi di troppo dal principale assun- to propostomi . 1 .° Si toglie primieramente il mancamento, che hanno, o sogliono avere tutte le Stadere comuni ( ed in particola!" modo, e più sensibilmente le Stadere meu lunghe), delle divisioni cioè per solchi o tacche sul dosso della Verga , più o meno larghe , più o meno profonde , dentro d. cui dehha incastrarsi V oncino reggente il Romano, che così vien ob- bligato di scorrere a salti. Intaccature di simil fatta, oltre a non esser giammai della stessa larghezza in, bocca , ed a servire d'incastro ad un oncino grossolano o lordo e di ta- glio ottuso, impediscono l'incisione delle suddivisioni inter- medie, e danno luogo a non potersi apprezzar tutte quelle, le quali sono occupate a vicenda dalla metà della larga bocca dei taglj, non sempre eguali, e scavati a mano senza regola e norma, per lo più colla lima. All'opposto adottandosi il nuovo metodo di costruzione, non solamente verrebbero ad essere chiare, precise, e sottilmente segnate tutte le divisio- ni e suddivisioni assolute più piccole, ma queste eziandio si potrebbero facilmente spartire col virtuale ajuto d'un Nonio o Vernier sino alle più minute frazioni . Ed il Promano con insensibile gradazione discorrendo allora tutti i punti dell'a- sta farebbe cosi apprezzar meglio i piccoli Pesi, darebbe cam- po di valutarli appuntino a causa del passaggio men rapido o men saltuario dagli uni agli altri vicini, e per rispetto ai Pesi maggiori verrebbe a crescere la portata delle Stadere . a.0 In secondo luogo risparmierebbesi , perchè inutile nel- la maniera proposta , il secondo oncino di sospensione delle Stadere ordinarie , che ( come ho già detto ) associandosi al primo fa sì che ambedue sieno ad un tempo una vicendevol sorgente d'errore. Né poco è da valutarsi a mio senso per la giustezza del pesare le merci la mastiettatura data al Ro- mano , ed all' ingegno che tien sospeso il Bacino , in virtù del Del Sic Pietro Ferroni . 42,J del quale artifìcio d'agevolissima pratica i medesimi si dispon- gono subito di per sé, a loggia d'una Bussola nautica ben imperniata sui pulì, nella vera direzion della gravità, a scan- so di deviazioni o d'impedimenti di sorte alcuna; lo die so- vente addiviene lavorandogli della forma rozza e inesatta pra- ticata nelle Stadere, che sono oggigiorno in commercio. La- vorata in quadro la verga, e per tutto il braccio più lungo tirata dell' istessa misura o dello stesso calibro, perchè vi scor- ra in ogni punto egualmente, e l'abbracci a contatto facile e morbido il conduttor del Romano ( Fig. IV. ), vengono ad esser posti gli artisti nelP obbligo d'usar di tutta l'attenzio- ne possibile all'effetto che nella Verga non vi restino dise- guaglianze, le quali disturbino, e falsino le divisioni della medesima avvegnaché riportatevi mediante un Compasso fe- dele dal Campione o dalla Matrice, verificata con ogni mag- gior premura per via di reiterate sperienze . 3.° Quanto sarebbe facile per un artista accurato la strut- tura d'un Campione esatto delle Stadere ( piccole, grandi, e mezzane ) , e quanto il nuovo metodo esposto di costruir- le, in apparenza diffìcile e laborioso, non oltrepasserebbe in sostanza il confine dell' ordinaria capacità d' un esperto fab- bricatore di siffatti strumenti , altrettanto farebbe mestieri d' avvedutezza e bravura per conseguire un altro prezioso van- taggio, e vale a dire quel di comporre una Stadera compa- rativa dei principali Pesi, o antichi o moderni, ch'erano o sono in uso presso i popoli commercianti . Sarebbe questa non meno comoda di quei Bastoni metrici o Canne portatili, sulle quali si segnano le differenti Misure lineali più frequen- temente adoprate in Europa, o in altre Regioni del Mondo . Più che dal discorso analitico intorno alle parti, che compor- rebbero una forbita Stadera comparativa, se n'intenderà be- nissimo da chicchessia la conformazione gettando l'occhio sul- le Figure V, VI e VII, le prime due delle quali sono deli- neate di grandezza naturale o effettiva, e l'ultima diminui- ta sino ad ^ con una Scala di proporzione onde mostrasse Tom. XVII. 54 A-i6 Della Stadera Romana ec. nella sua integrità il congegnamento della Stadera . Essa così conformata avrebbe due divisioni diverse , corrispondenti da un lato e dall'altro a ciascuno dei quattro spigoli dell'Asta o Verga dell' Istrumento ; di tal maniera che servirebbe alla comparazione di otto differenti Pesi, e divisioni e multipli loro particolari, compresovi il metrico o decimale, ch'era l'unico segnato per comodo a confronto del vecchio Peso in alcune delle più moderne Stadere. Tutta l'arte consiste nel far girare il capo rotondo della Verga parallelepipeda/'er quarti di cerchio da uno spigolo all'altro, e ciò mediante una Vite maschia impegnata nella sua femmina mobile C sul sodo ci- lindrico B, e nel fermarla a stretta col corredo solito degli appoggi o guancialetti A , i nel punto preciso ( manifestato dalla coincidenza dei due indici ?n,n) per mezzo d'una Vite K , che volgarmente dicesi di pressione . Gli Accademici del Cimento (siccome apparisce dall'autentico loro Diario in data de' 3o Agosto 1811 ) giudicarono, in linea di dubbio, diffici- le il caso che la detta Stadera rotatoria fosse dapprima così rigorosamente centrata che nel compire il suo giro affin di condurre sotto il Romano ora questo ora quel cantovivo del- l'Asta mantenesse sempre in tutta l'intera rivoluzione il suo stesso ed unico centro di movimento, o dato ancora che co- sì fosse all'uscir di mano all'Artefice si conservasse tal quale dipoi nel lungo uso ed attrito della medesima, e dopo d'es- sersi coordinata colla Vite di pressione, e coli' altre parti del- l' Tstrumento , suggette ancor desse ad assestarsi col tempo qualche poco diversamente a quel che erano state nell' Offi- cina . Nulladimeno una Stadera comparativa o universale con- simile costruita a proposito nell'Isola dell'Elba pel Corpo del Genio, e statavi in uso pel corso di più anni consecutivi non ha mostrata patentemente , a malgrado di ciò, la minima mu- tazione: tanto è vero che la puntualità e l'esattezza avutesi in mira nel lavorare sin dapprincipio una Macchina qualun- que siasi sommamente contribuiscono alla durata del suo buon effetto , come si scorge nei Micrometri dilicatissimi , ed al- Del Sic Pietko Fekkoni . 4a7 trettali strumenti di molto maggior finezza, e d'assai più ela- borata composizione delle Stadere, di cui ora si tratta. Po- trebbe ancora riflettersi che il giudizio sul inerito della dure- vole idoneità d'una Macchina non si fa mai, né può farsi per avventura colla certezza medesima, che si pronunzia qua- lora si prenda in esame il pregio della materia trattata in un argomento di Scienze esatte. E di fatto gli stessi Fiorentini Accademici prenominati dietro all'invito dell'Autore (i) elet- ti Giudici della sua pretesa scoperta della soluzione dell'e- quazioni cubiche , e biquadratiche ( le quali dalle prime di- pendono, come ognun sa ) al pari di quelle del second' ordi- ne, e torna a dire mediante la linea retta, e la Periferia cir- colare, senza fermarsi sulla trasformazione del primo membro, e sul trovare tutte le tre radici reali nel caso irriducibile per mezzo dell'iscrizione del Triangolo equilatero in un Circolo ( cose ovvie e notissime sino dal primo avanzamento dell'Al- gebra ) viddero immantinente dove consisteva il paralogismo di toglier di mezzo per la costruzione geometrica la Parabola Apolloniana, ed era quello d'aver considerate diverse le due equazioni x3 — 3r^x -+- aara = o , x^ — a.ax3 — Sr^x3, -+- Sar^x — 4#Va = o , mancando d'essersi accorto l'Autore che salvo la radice estrania positiva uà introdotta nella seconda elleno sono sostanzialmente una medesima e sola equazione . ARTICOLO IL Dell' imperfezione delle Stadere procedente immediatamente dall' imperizia dei Costruttori . Lasciata a parte pel seguente Articolo la considerazione importantissima riguardante i limiti da prescriversi nelle Sta- ti) Capitano Pasquale Navarro - Co- j poli mdcccx, Operetta brevissima divisa struzione Geometrico -piana dell'equa- in tre Articoli. aioni dì terzo, e quarto grado - In Na- | 4^8 Sulla Stadera Romana ec. dei e di questa o quella grandezza individuale, all'effetto che le divisioni sien tutte chiare e patenti, ed abbastanza distin- te per intervalli l'una dall'altra, né siavi il pericolo che in- dicliin falso pel piegamento dell'asta atteso la troppa portata della Stadera, o la non serbata proporzion delle parti, e dei materiali, che la compongono, esaminiam più d'appresso i vizj dell' Istrumento , ai quali dà causa per abitudine antica l'ignoranza degli artigiani. A ragione dei prezzi, o maggiori o minori, delle specie diverse delle derrate, che si misurano dal loro Peso, le di- visioni della Verga dall'una all'altra dovrebbero avere mag- giore o minor latitudine, onde poter segnare, e ben distin- guere in quelle anche i rotti più piccoli. Ma per l'opposto addiviene che il solo arbitrio o capriccio dei Costruttori, sen- za curarsi di proporzione nessuna , assegni per ogni sorte di merci, o care o vili che siati j, la gradazione stessa per tut- te, e qualche volta la gradazione contraria all'intrinseca lo- ro importanza . Bisogna dunque aver sempre presente che vi debb' essere un rapporto determinato dalla Teoria, e confer- mato dall'esperienza tra la lunghezza e grossezza dell'Asta, il peso del Romano della Stadera , la sua scempia o doppia portata, e la gradazione più o meno ristretta delle sue di- visioni . Un'altra comunissima inconseguenza si è quella di non partirsi nelle Stadere di doppia portata, o fornite di due pun- ti di sospensione , dall'ultimo termine della prima serie de' Pesi ond'incominciare la serie della seconda, replicando cioè inutilmente per un certo intervallo i medesimi Pesi, ed im- piegando più presto quell'inutile spazio a scapito dell' augu- mento notabile di portata, o del miglioramento delle divi- sioni, o della lunghezza superflua della Verga, perduta così senz'oggetto, e senza trarne il convenevol profitto. Inconsideratezze di simil sorte nascono per lo più dal- l'erronea pratica degli Artisti, i quali a capriccio prendono una Verga qualunque di Ferro uscita dalla Filiera, e credo- Del Sic Pietro Ferroni . 4a9 no che nuli' altro rimanga per convertirla in una buona, e giusta Stadera se non che stabilire a piacimento loro, senza niun altro rispetto , i due punti di sospensione . Né accade di rado che accompagnando ad una Verga arbitraria un Ro- mano di peso parimente arbitrario, e forzando sino all'esor- bitanza la portata della Stadera, questa pel carico spropor- zionato alla sua resistenza s'incurvi, il maggior braccio del- la Leva s'accorci, e le divisioni diventin fallaci in pregiudi- zio dei compratori . Il Problema dell' equilibrio considerato come puramente analitico è semplicissimo, e si risolve colla dottrina teorica de' momenti , fondamento di tutta la Statica, e immediatamen- te della Dinamica . Ma quando il Problema esiga il riguardo a tutte le circostanze fisiche della Materia cosicché dall' a- strazion matematica passi al concreto della natura delle cose corporee, cambia d'aspetto, e diventa assai complicato. Egli è allora il caso di domandar soccorso al magistero della Spe- rienza , interrogata non senza frutto in proposito del soffre- gamento , dell'adesione e coesione d'affinità chimica, della rigidità delle corde , ed altrettali particolarità , per cui la Meccanica fisica differisce moltissimo dall' analitica . Sarebbe veramente desiderevole che più sovente scendessero dalla su- blimità dei lor calcoli gli Analisti , e si prestassero più vo- lentieri di quello che facciano a coadiuvare le arti . Imperoc- ché il possibile perfezionamento di queste non può mai con- seguirsi d'altronde che dal cospirare amichevolmente la Teo- ria colla Pratica, e tendere entrambe al medesimo ottimo fine, ch'è quello di non fermarsi ai soli ideali concepimenti, ma di tradurli col valutare quanto si possa le specialità o le con- dizioni della materia, talquale ella è, a vantaggio della vita civile, e riempire siffattamente l'ampia lacuna , che resta an- cora tra l' Arti , e le Scienze . Isolate quanto lo sono per la massima parte l' ultime dalle prime , slegate come se fossero estranie una a riguardo dell'altra, tolte la continuità e co- gnazione , che vi dovrebb' essere naturalmente tra loro , non 43o Sulla Stadera Romana ce. dee recar maraviglia se le principali invenzioni nell'arti sia- no state, come c'insegna la Storia, più l'effetto del caso che della dottrina, e se queste scoperte per la mancanza del soc- corso teorico restino tuttavia incomplete, imperfette, e non quanto forse potrebbero essere avvalorate , e promosse. Dal- l'altro canto non può negarsi che alcune delle particolarità o essenziali o accidentali della materia non siansi ancora in- trodotte tra gli altri dati o elementi dei più astrusi calcoli dell'Analisi, ossia perchè manchi quel complesso, e novero d' esperienze , che sarebbono necessarie a tal uopo , ossia per- chè l'Algebra non abbia ancor mezzi di porle insieme coli' altre variabili dell' Equazioni , o ponendole conducano & For- mule o Funzioni intrattabili, o a quelle che diconsi inespri- mibili . L' Analisi fisica in generale si trova adesso ben lon- tana dal segno, al quale è giunta l'Analisi matematica, e Va. prima dovrebbe, mirando alla pubblica utilità, traslatar l'e- spressioni dell'ultima in processi grafici alla portata di tutti gli artisti, onde servissero loro di scorta come i Modelli nel- le Bell'Arti. Moltiplicate le Osservazioni, e gli Sperimenti, rintracciate le Leggi delle variazioni di quelli attributi cor- porei tralasciati sino al presente nel calcolo, trovati i limiti delle medesime, e le Funzioni acconcie a rappresentarle, e per mezzo dell' interpolazione, e dei prescelti parametri de- terminato approssimativamente lo stato intermedio tra detti limiti dipendente dalla Teoria delle Inequazioni ( se così sia permesso chiamarle ) verrebbe a formarsi un Manuale utilis- simo a vantaggio dell'Arti segnatamente meccaniche, di cui n'abbiamo tra i pochi altri un esempio nella Memoria di Prony sulla spinta de' Terrapieni , ed in un MS.0, che serbo intito- lato Analisi fisica delle Volte . Dopo questa indispensabile digressione preparatoria tor- no all'assunto della lavorazione delle Stadere, ed osservo dap- prima che niente sarebbe più facile quanto eseguirle perfet- te se ne dipendesse la Pratica dalla nuda, e sola Teoria de' momenti. Difatti, consultando la Statica, tre sole condizioni Del Sic Pjetro Ferroni . 4^' rappresentate da altrettante Equazioni semplicissime bastereb- be che fossero soddisfatte, cioè quella dell'eguaglianza de' momenti contrarj per rapporto ai due carichi estremi nella Stadera diritta, e rivolta, e la terza dell'eguaglianza mede- sima riguardante \ pesi intermedj . Di tutte le parti, che com- pongono la Stadera , lasciatene dunque variabili o incognite sole tre a piacimento , il Problema verrebbe ad essere sciol- to teoricamente parlando ; ma praticamente però risoluzione siffatta potrebbe condurre a metter in essere una Stadera di- fettosa nell'altre rimanenti sue parti, ed in certi casi ezian- dio ineseguibile . Posto che le quantità date, a causa d'esem- pio , siano la Verga , il Romano , e il Bacino , e prese per incognite le distanze dei tre punti di sospensione dall'origine delle divisioni, s' ovvierebbe per un lato al pericolo che s'in- curvasse la Verga, ma per l'altro lato mancherebbe ogni mez- zo di regolare a volontà, e nel modo più convenevole il pro- cedimento delle divisioni predette. Aggiungo che si potrebbe anche correre il rischio che gli occhj , i perai , il Romano , il Bacino dovendo avere dimensioni bastanti onde reggere , e proporzionarsi al carico estremo non lasciassero luogo ( per- chè non espressi nelle loro misure tra i dati ) a segnar tut- te le divisioni . In una parola le condizioni si pratiche che teoriche da adempirsi comprendon otto variabili , cioè 4 Per V equilibrio , come orora vedremo, a per regolare nelle due serie dei Pesi le divisioni, i per aver riguardo ai due limiti della ponderosità del Bacino, e del Romano, e finalmente i perchè non si pieghi la Verga . Sia dunque A il primo dato, vale a dire l'ultimo o mas- simo Peso , cui la Stadera da costruirsi debba giugnere a sta- bilire o determinare . Ed i simboli, e i limiti dell'altre parti siano i seguenti ( vedasi la Vili Figura ) . Lunghezza della Verga, tanto larga quanto /riportata aiiwtó ddiÀ grOSSa, l ^ Misure correnti J Sua grossezza e, suo taglio o profilo per largo ea Peso del Romano p tra i limiti dati \ "„ 43a Sulla Stadera Romana ec. e p' Peso del Bacino P tra i limiti parimente dati < p„ Peso di passaggio tra la serie dei Pesi / incosnila di mez*o termine , e v .. ti j 5 !• I rllenta comc g1' »''« Pesi al- I piCCOll, e Cpiella de grandi K \]a vegliarne unità della Libbra/ Distanza dei due punti di sospensione della Stadera diritta , e rivolta x Altra dei punti di sospensione del Bacino , e della Stadera pei Pesi grandi y ( non mai < di a ) Altra del primo punto, da cui cominciano le divisioni, z Somma di tutti i Momenti parziali della ponderosità della Verga , riportandola al primo punto di sospensione , M , Funzione di l,e,z,p Simile della testa, dal lato opposto, N, Funzione di x,y Somme respéttive M', N' concernenti il secondo punto di so- spensione , cioè le parti riunite del Momento M applicate al braccio comune di Leva x dal lato della Verga , e per- ciò M' Funzione di x, l, e, z,p, ed N' il Momento del rimanente della testata dal lato del Bacino, Funzione di y Queste Somme dipendono dalle masse, e dalle distanze d'ogni particella dell'impiegata Materia dal centro di rotazione, e non volendo ricorrere ad ottenerle per via dell'Analisi, chiunque siasi famigliar mente applicato alla Fisica Sperimentale può averne subito in pratica la misura mediante un solo equipollente Momento . Ciò premesso la Statica somministra quattro Equazioni fondamentali IV M -*-/?z = N H-P (#-*-/) II .a M+^(z + /) = N-r-(P-r-K)(n-/) III.» M + M,+/>(z + a) = N,-t-(P-i-K)7 IV." M + M'+/>(s + a;H-/) = N' + (P-i-A)/. Sottraendo la prima dalla seconda Equazione, la terza dalla quarta, la prima dalla terza, e lasciando l'ultima in- tatta , le IV riduconsi alle più semplici pl = K(x-i-y) (i) pl = (A-K)y (a) M'4- Del Sic Pietro Ferroni . 4^3 M'-f-/»x = N' — N-hKj — ?x ... (3) M + M,+/»(«+*+f)'s=N'+(f+A}7(4j delle quali le sole due prime abbracciano incontanente cin- que delle otto incognite, e ciascheduna di queste al primo grado, ossia d'unica dimensione. Ora assegnisi a per intervallo d'ognuno de'due adiacenti segni di divisione da Libbra a Libbra nella scala dei Pesi piccoli, e b in quella de' grossi . Divien dunque l = ali , l = b(A — li); laonde K=-^-=Kr, l = -S5£. = V , due in- cognite determinate. Sostituiscansi 1 3 li' nella (2), che darà tosto p = (A. — K') — >// x = om- , 09 alTin- circa , e per conseguente le cinque incognite 1 = im-, 33; K = 66chiL ; p = hcUL ; x = om- , 09 ; y = om- , 044 = om- , 04 : in- tervallo ultimo anche a prima vista sufficientissimo tostochè si getti uno sguardo sulla distanza mn nella Figura II, e sul- la Scala di proporzione ov'essa mostra distinti i quarantaquat- tro Millimetri . Più laboriosa , ma non astrusa si è la ricerca dei valori particolari di M, M', N, N' partendo dal fatto sperimentale che un Centimetro cubo di ferro (ommm- ,000001 ) pesa ocAi7-,oo84, ovvero j&fó di Chiliogrammo . Con questo dato, e colla scorta della seguente Tavola , calcolata per le Misure lineali in Cen- timetri . Nomi delle parti individuali Dimensioni Volumi Pesi Bottone < 0,03 >o, 000008 ( C,02 ) ( gross.*0o,oi4) Parte z < altezza 0,057 ; 0,000798 z ( larghezza z ) (gross."o,oi4) Parte x < altezza 0,087 >o,ooo5i8r ( larghezza 1 ) (gross."o,oi4) Parte y < altezza 0,067 >o, 0007987 ( larghezza y ) v . , l gross. "0,014) Estremità Jalt 0 057 }o, 0000798 della Testa }j heMa'0j j " I I 0,0672 84 le1 6,7 .s 4,35. a: 6,7 -y 0,67 Bracci di Leva 2-»-z-t-o,oi l x-t-y-i-o.ob Momenti o,o672Z-t-o,o673z-*-0;Ooo672 84Zeaz-*-4ae1Za 3,35 za 2 , 175 .r* 6 , 7 xy ■+■ 3 , 35 y* 0,6737-1-0 ,67y-t-Oj0335 ■>4^6 Sulla Stadera Romana ec. ricavami M = 0,000672 -1- 0,0672 / -+- 0,06722 -+- 84/e3^ -+- 42 Z2ea ■+- 3,35.2° M' = 0,0672,:»; ■+- 84/ea.r -+- 6,7^2 -+- a, 1 75 x* N = a, 1 75#a -+- 3,35ja -+- 6,7^7 -+- 0,673; -+- 0,677 -+- o,o335 N' = 3,35/a -4-0,677-4-0,0335 . Sostituiti in queste espressioni i valori di già trovati delle grandezze l ,p, x?y , e dai Sperimenti notissimi sulla resisten- za delle squadrate Verghe di ferro, a confronto di 1 = im, 33, e d i p = 5c,uL ? ottenuto il prossimo valore di e = o,oi8, si determinano agevolmente per mezzo delle due restanti equa- zioni (3) (4) i valori approssimativi delle ultime incognite z = om- ? 35 , P = iS^'^-j e così viene ad essere la ricercata Stadera esemplare in tutti i particolari , che le competono , circoscritta , definita , e determinata . Con più di sì fatti Prototipi di Stadere Campioni a di- verse portate di Pesi gli Artefici nuli' altro averebbero da far che copiarli, ed abbandonerebbero finalmente l'uso difetto- sissimo invalso per antica abitudine nelle loro officine, eh' è quello d'improntar subito la Stadera sopra una Verga qua- lunque con un Bacino? e Romano già dati? senza punto cu- rare la proporzione della grossezza colla lunghezza dell'Asta, l'andamento e il passaggio delle due divisioni? e la colloca- zione più acconcia de'due Oncini di sospensione dell'Istrumen- to . Ma indipendentemente ancora dall'avere sott' occhio, e consultar sempre i preindicati Modelli un oculato , ed esperto Artista, cui stia ben a cuore il pregio della sua professione, sa procedere accortamente saggiando e risaggiando , provando e riprovando? verso il punto di perfezione. Tutta l'arte con- siste nel far passi ben misurati, e nel tenerli ristretti fra certi limiti? che non si deggiono mai trapassare. Nasce dal molto, ed avveduto esercizio quella Regola pratica ? che salva in que- sto Problema statico le relazioni delle parti nel tutto rintrac- ciati che ne siano una volta mediante l' Analisi matematica i limiti l'?l"?p'?p"? P', P" , ec.ee, dentro dei quali l'Ar- tefice ha poi campo di contenersi o più stretto o più largo per Del Sic Pietro Ferroni . 4^7 rispetto ai termini estremi, uniformandosi in ciò alle circo- stanze particolari, ed all'importanza del suo lavoro. Prove- rebbonsi a tal oggetto molti punti di sospensione reggendo qua e là la Verga per mezzo di fili metallici provvisionali, e meglio se fosse corredata la testa della medesima Verga ornandola col suo traforo (Fig.eII, V, VII, Vili) onde a talento, ed a passi lentissimi lo Sperimentatore facesse scor- rervi avanti e indietro il taglio , su cui riposa od aggirasi la Stadera . Quest'ordine lucido, questa facile, semplice, e naturai deduzione d'una ricerca analoga consecutiva ad un'altra sen- za disturbar né confondere l'intima lor connessione, che di rado è osservata da chi professa le Arti meccaniche, sembra qualche fiata negletta anche nelle discipline severe. Ho letto indicarsi come proprietà ( veramente singolare ! ) del Circolo da taluno l'Equazione cos.o-i-cos.jJt-Hcos.f jr-4-cos.7r = o, mentre nasce immediata, e quasi intuitiva dall' iscrizion del- l'Esagono, e n'ha altre simili innumerevoli derivanti dalla nuda ispezione d'ogni Poligono parilatero (i). Un valente Scrit- tore , dopo la prova fatta della forza centrifuga all'Equator della Terra pari a 553 della gravità, rinnova il calcolo per trovare qual dovesse mai essere la velocità della rotazione diurna perchè s'agguagliassero le due forze ; dimenticatosi per avventura che la Formula generale — , ovvero la dà R aR immantinente tanto maggiore di quella del Movimento diurno attuale quant'è la radice quadra di 2,89 a confronto dell' uni- tà, cioè diciassette volte più grande (2). ( 1 ) Gurnier Analyse Algèìrirjue fai- mnt suite auv J'iémens d' Algebre . A Paris an XII- 1804 ■ Capo su, §. 61 _, pag. 167. (a) Alémoires de Mathématiques etc. Par Charles Bussut - A Paris mdcccxii. alle p.tgg. 259 e 260 Esempio I. , §. Vili , Esempio IL, §. IX , eli' è Corollario im- mediato del J. III , Teoiema I. a 254-55 56 . 438 Sulla Stadera Romana ec. ARTICOLO III. Del modo adequato da usarsi nel dividere e suddividere V Asta o il Giogo delle Stadere . La più preziosa , e la più essenziale prerogativa della Stadera è riposta nell'accuratissima sua divisione. Non ho mancato ne' due Articoli precedenti , ogni volta che portavalo l'argomento , d'accennar di passaggio i più volgari, e più gros- solani difetti della medesima: cade ora in acconcio d'esporre paratamente i rimedj valevoli colla debita diffusione . Presuppongo che il Romano diligentemente accampionato o legalizzato sia tale, e tali siano le dimensioni della Verga di Ferro trascelta per la Stadera che quella non s' incurvi giammai dovunque si posi il Romano. E qui torno a dire che vane sarebbero ogni cautela , ed ogni premura d'attendere a porre in regola la divisione subitochè suggetta fosse a pie- garsi l'Asta della Stadera , manifesto essendo a chiunque co- me una Retta ugualmente divisa riducesi a Curva disugual- mente divisa nell'inflessione, scemano i bracci di Leva , e il contrappeso al Romano, cioè la Merce venduta, si fa sempre minore del giusto . Havvi un'esperienza normale, che servir potrebbe di ca- none o di guida agli artisti per non errare in siffatta mate- ria . Una Verga di buon ferro grossa in quadro om-, oi5 non si piega sensibilmente giammai purché sia limitato il Bacino vuoto tra i io, e a5 Chiliogrammi di peso, e il Romano dai 3 ai 5 Chiliogrammi, e purché la lunghezza della medesima Verga non oltrepassi la solita delle Stadere comuni . Le dif- ferenti qualità del metallo combinate con diverse misure, ed esposte ad un corso di sagacissimi sperimenti son contenute a maggior lume , avvertimento , e indirizzo di pochissimi tra i bravi Artisti nella Tavola annessa . Del Sic Pietro Ferroni . 439 ESPERIENZE SULLA RESISTENZA DEL FERRO Numeri delle Esperienze Lunghezze delle Vergile Grossezze in quadro Pesi applicati alle estremità 1 jm- Ao,c' O"*', Ol5 ò'h"; 58 a 1 , i3 0 , oi3 3 3 0 ,87 0 , oi3 5 4 1 A9 0 , 016 3 s 1 ,40 0 , 0i65 4 6 1 ,11 0 , 016 5 7 1 ,o3 0 , 016 6 8 1 ,3o 0 ,oi65 5 9 1 ,0.5 0 , 01 65 6 IO a , ia 0 , oa 3 11 1 >7J 0 , oa 5 ia 1 ,65 0 , oi85 3 Osservazioni Ha principiato a incurvarsi manifestamente al carico di Chilogrammi 181, ed è an- data crescendo la Curvatura sino a 210. Verghe d'uniforme calibro uscite dai Di stendini delle Ferriere . Verga, che andava assottigliandosi o de- crescendo . Verghe non lavorate nei Distendini . Son soliti gli Stadera] principiare dall' equilibrio del Ba- cino vuoto, e del Romano correspettivo, stabilito il qual equi- librio pongono sucessivamente nel primo i varj Pesi Campioni , e bilanciato ciascun col Romano danno un colpo di martello sopra l'Orlano, il cui taglio è di rado ben temperato, ed acuto . Contenti di poche divisioni principali spartiscono col- le Seste gl'intervalli frapposti a quelle, e quinci, dove son tutti i primi, e secondi punti segnati, lavorano colla Lima, e fanno un solco a ogni punto . Questa operazion manuale produce più inconvenienti; i.° si perde il primo segno già fatto , e manca ogni regola per sapere se corrisponda al can- cellato segno l'apice appunto della concava Curva rovescia del solco; a.0 molte delle importanti suddivisioni intermedie, 44° Della Stadera Romana ec. atteso la larghezza dei solchi , come ho notato altra volta , non possono aver più luogo, o diventano incerte; 3.° si per- de ogni qualunque fatica impiegatasi nella scelta dei giusti Pesi, e nelP accertarsi dell'esatto loro bilanciamento a ogni punto . Tutti i predetti inconvenienti s'eviterebbero allorquan- do nella Stadera di nuova foggia ( Fig.e II e V) andando die- tro alla Cassa mobile del Romano si segnassero leggiermente i principali punti 8 con uno stile di fino acciaro guidato da una piccola Squadra , e tanto questi che i secondar] per via di Punzoni più o meno larghi si scalpissero, e s'imprimes- sero quant' occorra a render essi facilmente visibili, e a con- servarli tali , e di lunga durata in processo di tempo . Non si possono tutti i punti dal primo all' ultimo deter- minar col Compasso , perchè l'Asta d* una Stadera comunque forbita ha sempre qualche irregolarità di figura non mai ap- pieno geometrica, ed entra anche l'Asta medesima, col suo centro di gravità posto quasi nel mezzo, tra gli elementi im- portanti del Peso nell'equilibrio; laonde i punti principali, ossia di riposo per le punte del Compasso, conviene che sie- no col suddescritto diretto metodo stabiliti . Segnate lievi lievi le divisioni e suddivisioni colla mas- sima cura, ed attenzione possibile, affine di renderle poscia più patenti, e men facili a scancellarsi, non si può a meno di non toglier parecchie particelle di ferro alla Verga, di non menomarne il suo peso, e di non guastare a causa della mol- tiplicità delle particelle tolte a punzone , pel nuovo ripuli- mento di tutte le sbavature, ed in virtù dei lunghi bracci di Leva il primo divisato equilibrio . A correzione di ciò fa mestieri che i Costruttori osservino col massimo scrupolo le infrascritte tre Regole importantissime : I." Di tracciar tutte in principio le divisioni dall'uno al- l'altro estremo colla medesima leggerezza di segno, perchè l'errore, che dee poi nascere immancabilmente, si repartisca con eguaglianza sulla totalità dell'Asta della Stadera: II .« D'in- Del Sic. Pietro Ferroni . 44 ' H.a D' incominciar dalle divisioni dell'Asta inversa, die si referiscono ai grossi Pesi ( seguon l'opposto metodo ordi- nariamente gli Staderaj ), perchè egli è sempre miglior par- tito che gl'inevitabili piccoli errori, men difficili ad accade- re nello sperimentar l'equilibrio in una Leva più corta, per- cuotano i grandi più presto che i Pesi piccoli : III.a Di correggere il tolto dal punzonare o limare coli' aggiunta d'un piocol peso al Romano, o nel conveuevol rap- porto col defalco d'un peso piccolo dal Bacino, prendendo norma dai soliti esatti Campioni posti di nuovo alla prova, per la restituzione del perduto equilibrio . Sennonché, avanti d'accingersi all'esecuzione dilicatissi- ma dell'ultima delle tre Regole teste spiegate, dovrà l'Ar- tefice prudentemente aspettare quel tempo che la Stadera sia stata sottomessa nell'Officina ( e vale a dire prima di con- segnarla per uso del Pubblico) a molti saggj,ed esperimen- ti da farsi coi Pesi maggiori . Imperocché essendo vero, com'è verissimo, il fatto suggerito dall'esperienza, e convalidato dal raziocinio, cioè, che tutte le Macchine postesi in esercizio prima d'assestarsi subiscono, a proporzione dell'esser più o meno composte, come i Molini, gli Orologi, i Vascelli, o consimili;, cambiamenti notabili dal primo stato, non sola- mente per la diversità delia temperatura dell'aria , in cui so- no , ma assai maggiormente per Y azione , e reazione conti- nua delle lor parti, e provando l' istesso effetto sensibile con- tuttoché semplicissime le Bilancie , molto più le variazioni del giusto equilibrio dato dapprima alle nuove Stadere si ri- sentiranno nei forti carichi ; laonde sarà allora il tempo op- portuno di rimediarvi col Peso addizionale, o sottrattivo pro- posto. E se non si manifestano chiare, e isolate le variazio- ni predette nelle Stadere volgari, fornite d' Oncini improprj, e ma! lavorati, procede ciò dalla circostanza ch'elle restano involte , e confuse in massa con altri errori , che non danno né possono dar mai luogo ad estimar separatamente le picco- le differenze . Tom. XVII. 56 44^, Della Stadera Romana ec. L'error però massimo è quello di non essere in linea retta disposti i tre punti di sospensione . Conciossiacliè nella posizione mac ( Fig.a I.a ) stando m più in alto di e, e l'uno e l'altro più sollevati di a, va il vizio a profitto del vendi- tore, e tanto meno il compratore lo pensa quantochè lo cre- de rivolto a suo prò, e lo sarebbe se i tre punti suddetti fossero nella medesima dirittura; di modo che il venditore froda, ed inganna, sapendolo, con sollevar l'asta della Sta- dera, ed il comprator vi concorre appagato, contento, e de- luso, perchè non ignora che sollevandosi rapidamente V Asta d'una Stadera perfetta si è questo un indizio d'un soprap- più di carico nel Bacino. Fenomeno singolare, che spiega l'i- nefficacia sperimentata dei Regolamenti di Polizia a tal pro- posito , in fatto cioè di frodi così coperte o larvate che tol- gano ogni motivo apparente di querelare , o ricorrere ! Quando il popolo fosse ammaestrato incessantemente dai Dotti , quando la diffusione dei lumi inoltrata si fosse fino alle ultime classi del volgo , quando la Storia dei ritrovati nelle Scienze, e nell'Arti fosse tutta qual dovrebb' essere , chiara, imparziale, compendiosa, e verace, disparirebbe to- sto ogn' inganno, e finirebbero parimente gli equivoci, per cui sono insorte , ed insorgeranno quistioni , e gare polemi- che interminabili, a scapito per lo più della nobile, e schiet- ta Letteratura. Che valeva infatti ripetere, a causa d'esempio, x nella Dottrina dei Logaritmi (i) che log.j=M .co ( i -+-7) — r , e ripeterlo manchevolmente così log./ = M .co (7 ) — 1 , co- me se nuovo fosse questo Teorema co' molti altri suoi deri- vati , e non ispiegato , e promosso abbastanza dopo Halley , ed Euler in Opere posteriori (2.) ? Perchè volendo ricolmar (1) Analyse Alghbrique etc. precitati, Capicelo XVj pag. aio. „ Ainsi on a deux 3J limites .... ensorte que dans le cas de „ r infiaiment grand il est permis etc. „ (a) Magni! ndinum exponentinlium , Logarithmorum , et Trigonometrìa? su- blimis Tkeorìa etc. Florentice mdccxxcii Cap. II, §.'60. Del Sic. Pìetro Ferront 443 di lodi Pascal il Compilatore d'una moderna Istoria o Cro- nica Matematica sì nel testo che nelle note , divulgate po- scia per illustrarla (1), si è astenuto parlando della Cicloide ( Roulette ) da riportare che quasi un intero secolo e mezzo dopo il mdcliix i Geometri finalmente si accorsero che da un passo del suo Trattato deducevansi quelle celebri Formule differenziali , le cui somme s'ottengono mediante la rcttifica- zion delle Coniche (a)? Quell'Autore medesimo riputatissi- 1110, che dimostrate le somme delle potenze delle radici d'un' equazione per mezzo de' suoi coefficienti, da cui dipendono l'altre funzioni simetriche , S,= — A S, = — fB-H = Aa S3= — |C-j-|aAB — fA3 54 = — | D -+- !( aAC ■+■ Ba ) — | A3B-f- f A+ 55 = — fE-4-§(aAD-l-aBG) — §(3A2CH-3ABa)-4-fA3B— |AS ec. ec. ec. imposta dipoi un lunghissimo calcolo all'effetto di sciogliere il Problema inverso, cioè, A = — 8, B = — Ss-h-S* , 2. 1.2 C = - S £ -+-_!_ aSIS_i_ - S3 j_ 3 " 1.2 1.2.3 ec. ec. ec. senz'avvedersi che queste ultime espressioni analitiche im- mediatamente procedono dalle prime, non si permette di ci- tare tampoco chi fosse il primo a sviluppar pienamente, e direttamente le quantità esponenziali generalizzando la nota serie del Binomio di Newton (3) , e pare, che in linea di no- (1) Mèmoires etc. di Bossut indicate di sopra = ivi = Discours sur la vie et les ouvrages de Pascal, pag. 307 , Traitè de la Roulette ( 367-71 ), Histoire de la Roulette (365); e si Teda oltracciò la pag. xii. (2) De Calculo Integralium Exercìta- tio Mathematica . Fiorentine mdgcxcii. ( Opera citata tra l'altre da Lacroix — Sectio I.°, Sectio II.» . (3) Siemens d'Algebre. Par J.G. Gar- nier . A Paris an XII-i8o3, pag. 123, 444 Sulla Stadera Romana ec. vita proponga questo sviluppo senza compirlo: lacune siffat- te oscurali la Storia-, tali mancanze, ed anacronismi intor- bidali la chiarezza, ritardano l'istruzione, e tutto insieme rallenta il naturale progredimento dello spirito umano . N.° 214 , Cap. XV a confronto [di tutto il Capo II.0 dal §. lip, in poi della surrife- rita Opera Magnitudinum exponentìa- l'tum eie. Leggansi ancora del Professore medesimo la prefata Analyse Algèbr'upie (6) al Cap. XV , N.° 74 , pag. 2o3 e sus- seguenti , e le sue Notes sur le Calcili D/.fferentiel et sur le Calcai Integrai . A Paris anlX.( 1800) pag. 389 , N.° 12. <_Vc?^ XV7I. ■ /t '//m/te// fc *sc>/i I /&ttì:a*?iende> ers>ii>J(*tii~Tri-e . - ~/.,,- JT. t-STVim**^ '.-!, - / ' /"/ liT > 445 OSSERVAZIONI VARIE SOPRA ALCUNI PUNTI PRINCIPALI DI MATEMATICA SUPERIORE MEMORIA Del Signor Gio. Battista Magistrini . Ricevuta li 7 Gennajo 181 5. I. Della precipua fra le obbiezioni prodotte contro la Teorica delle funzioni Analitiche di La-Grange , e tentativo di una nuova confutazione della medesima . 1 . XV chiunque viene introdotto nel Calcolo Differenziale e Integrale per la via dell'infinito, la sola per altro, che po- tè per lungo tempo seguirsi , dura ipotesi riesce , e penoso artifizio quell' essenziale concetto di quantità matematiche attualmente infinite e infinitesime, e molto più dura neces- sità quel dover trarre dall'infinito principj , ragionamenti, e formole destinate unicamente all'analisi, e misura di quan- tità finite . Io stesso trovavamo in quest'angustia, quando a toglierne la cagione pubblicò La-Grange il metodo delle Fun- zioni Analitiche , nel quale di fatti io credetti con molti al- tri di rinvenire più saldo fondamento, e spiegazione più de- cisiva del Calcolo Differenziale , e Integrale . Ma questa cal- ma fu turbata ben presto dai Geometri Pasquitz^ e Wronski, massime dal secondo, del quale considerando la moltiplicità, e la singolarità degli argomenti proposti contro La-Grange , il romore della controversia, le repliche, le decisioni diresti essersi a' nostri dì quasi esattamente rinovata la lunga e ce- 44'1 Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . lebre contesa di Leibnitz con Rolle , Gouye , e Nieuwentiit. Leibnìtz , e Bernoulli pratici nelP uso del loro nuovo meto- do di calcolo , e pienamente sicuri della verità e importanza dei risultati poco curarono le obbiezioni metafisiche talvolta anche piccanti dei loro avversar] , e forse più che non avreb- ber fatto speculando con Ermanno risposte dirette e catego- riche , giovarono alla scienza limitandosi ora a mostrarli in opposizione col fatto , ora a metterli in diffidenza dei loro stessi principj , ora ammettendo le premesse, e poi scambian- do le conseguenze , ora in fine esortandoli loro malgrado a coltivare, e promuovere l'uso del nuovo metodo. Una simi- le difesa potrebbe per avventura in parte contrapporsi a mol- ti fra gli argomenti , che Wronski ha tratti dalla sua pretesa Filosofia delle matematiche contro il metodo delle funzioni analitiche . Tra queste accuse però vi ha quella gravissima , che è l'unica di Pasquitz , per conto delia quale non si fa- rebbe più luogo a sutterfugj , né a transazione , essere ine- satta, e insussistente la dimostrazione di La-Grange di quel- la nota e generale trasformazione in serie delle funzioni, che è veramente il cardine, che tutto regge il nuovo edifizio ana- litico. La mancanza, in cui sembrami, resti tutt'ora il nuo- vo metodo di una compita difesa sopra questo punto, tenne me pure lungamente inquieto, e malcontento, finché ritro- vai il ragionamento, che ora esporrò, onde credetti di ras- sicurarmi , e di giustificare il principio di La-Grange . 2. Teorema. La trasformazione, o equivalenza f(x -4- i) =f(x)-i-ip-¥-i:2q-ì-i3r-+-ec. nella quale /(x) è una funzione qualunque della quantità variabile e indeterminata x , ed i una quantità essa pure arbitraria, e nella quale s'intende la quantità i esclusa dai coefficienti f{x),p, q, r, ec. , ed esclu- so pure dalla serie qualunque esponente fratto, negativo, e immaginario della quantità i, è generalmente vera e legit- tima . Dimostrazione. Primieramente la funzione f(x -l-z) si può decomporre in due parti f(x),M tali, che sia f(x-*-i) Del Sig. G. B. Magistrini . 44? ==/"( .r ) -t- M . Che una quantità qualunque possa riguardarsi come la somma di altre due, è verità così evidente, che non credo, sia d'uopo rintracciarne una dimostrazione in un ap- posito esame delle facoltà intellettuali, come ÌVronski ha cre- duto doversi fare nel nostro caso, e in tutti quelli, nei qua- li trattisi di metodi di calcolo fondati sopra l'algoritmo di sommazione . Cosi la funzione f(x -+-i) esprimendo ciò, che diviene f(x), quando in questa la variabile componente x riceve l'aumento i, stimo egualmente manifesto, che si pos- sa stabilire per valor di essa il valor primitivo f{x) più un aumento, o decremento M, che in essa risulta necessaria- mente iti causa della variazione dell'elemento x, qualunque poi sia il modo, o la legge, con cui si opera nella funzione siffatto incremento, o decremento, potendosi qui con tutta ragione applicare quanto disse Leibnitz in un caso analogo... Nos in Geometria , aut analysi nostra minime Jiabere opus controversiis methaphysicis de compositione continui . Ora è chiaro , che nell'equivalenza f(x-t-i)=f(x)-*-M. la quantità M debb' essere di tal forma, che, fatto i = o, essa pure s'annulli. Dovrà dunque M essere della forma i''.P, dove li sia numero positivo, e'1 massimo esponente di z. in M si contenga , e P funzione , che non divenga infinita per lo stesso valor di i = o, ossia non cresca a segno col scemar di i da impedire la condizione i/'.P = o, quando i = o. Che l'esponente A debba essere positivo, è pur manifesto giacché, se fosse negativo, col scemar di i la quantità ihP crescereb- be, e non potrebbe annullarsi per i = o, come dee succede- re. Resta a vedersi, se l'esponente h debb' essere inoltre reale , e intero . Se fosse h immaginario della forma m-¥-n^/ — i, sareb- be anche immaginario il termine i''.P. Di fatti non avendosi in P alcuna potenza dell'i per fattoi' comune, non sarebbe possibile l'elisione dell'esponente immaginario n\/ — i; poi- ché fra i, ed x nell'espressione in*-n\/—1'P non ponno spe- rarsi riduzioni, essendo due quantità indipendenti fra loro, 44^ Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . e indeterminate. Avressimo pertanto f(x -«')— j//(r)=im-,-"K~IP, quantità essenzialmente immaginaria, ciò, che è assurdo, al- meno quando f(x) non sia essa stessa immaginaria. Siay(or) immaginaria, e supponiamo, che in questo ca- so risulti /(x-hi)-f(x) -+■ im-(-"l/—.P; e quindi /(*~f;;)~/(*) 2™.P = i"l/ — l. Qui il primo membro dovrà essere immaginario, altrimenti avressimo l'assurdo precedente. Avremo dunque un'equazione della forma A -+- B|/ — i =i"l/— r . Ma di qui seguirebbe (Ah-Bj/— i)l/_ '=;— ra, oppure — - — Iog.(A-f-Bi/ — *) = Iog.i, cioè l'assurdo ancora dell'uguaglianza di una quan- tità immaginaria ed una reale. E dunque impossibile, che risulti immaginario l'esponente h nella forinola f(x-t-i) =/(*)-HÌA.P. Supponiamo adesso h = ~ , cioè uguale ad una frazione rea- m n le, e positiva . Nell'equivalenza f(x-ì-i)=f(x)-ì-i~P il fattore n i" avrà per ciascun valore, che ci piacerà dare all'indetermina- ta i un numero m di valori. Ora dico, che ciò è impossibile. Prima di tutto la funzione P per le condizioni già prescrit- te sarà della forma p -+- ik.Q , p essendo funzione indipenden- n te da i, k un esponente positivo, e la quantità i'" . Presterà dopo la moltiplicazione una funzione multiforme in riguardo ad i almeno del grado m . Di qui siegue , che la funzione f(x),e quindi anche f(x-ì-i) saranno radicali del grado stes- TI so . Perciò nell' equazione f( x •+- i ) ==/( x ) -+- ìm P ciascuno de- n gli m valori del termine im . P dovrà combinarsi con un da- to soltanto, e non con uno qualunque degli altrettanti va- lori di /( x ) , e di f( x ■+- i ) . Ciò posto, o si vuole m numero pari, o dispari. Se è pari —nr, s'immagini un valore di i negativo = — ì tale, che Del Sic G. B. Magistkini . 449 che non alteri che la grandezza dei valori di f(x-t-i) lascian- do i-ea!i quelli > che tali sarebbero per ì positivo; del che nissuno dubiterà ponendo attenzione al modo d'esistere del- la quantità i nella funzione f{x -+->)■• In tal modo avressimo n P equazione /( x — i' ) — f(x) = ( — j)2.P, il cui primo mem- bro sarebbe reale , e tutti i valori del secondo sarebbero im- maginar]. Non potrà dunque nell'equivalenza/^ x -+-i )=f(x ) n ■m t» " -+- 1 . r essere m numero pan. Se m fosse dispari ; rimanendo pure di grado dispari tut- n to il termine i".P, ne seguirebbe, che la funzione f{x) , e f(x-ì-i) fosse pure di grado dispari. Ma se formiamo colla — x 2 5 supposta quest'altra equivalenza \/\f{x-*-i) — f(x)ì = C'".P ci troviamo in istato di ridurre anche questo caso all'assur- do precedente. Dunque l'esponente li proposto non può es- sere numero fratto di denorninator dispari . Abbiamo prova- to , che lo stesso esponente non può esser fratto a denorni- nator pari, che non può essere negativo, né immaginario. Sarà dunque numero intero, e positivo. Collo stesso ragionamento si escluderanno potenze frat- te, negative, e immaginarie dell'indeterminata i dai termini dell' ulteriore decomposizione T=p-ì-ik.Q, Q = q-^ig.R, ec, dalla quale risulterà perciò la serie della forma proposta . II. Del princìpio delle velocità virtuali , e del modo di evitarne l' uso , salvi gli stessi mezzi , e vantaggi analitici , die al medesimo si attribuirono . L'amor del vero, e la brama di istruirmi mi sforzano a sottoporre al giudizio della Società anche le seguenti osser- Tom. XVII. 57 45o Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . vazioni , e una mia opinione analoga , sebbene qui mi stia a fronte l'autorità dei più distinti Geometri moderni, l'eccel- lenza di un principio, e di un metodo sopra ogni altro fecon- do nella più importante , e più estesa parte delle Matemati- dhe, in una parola, l'opera immortale della Meccanica ana- litica di La-Grange . a. Nella moderna generale ordinazione delle Matematiche perchè si tenne ancora divisa la Statica dalla Dinamica ana- litica, e non si fece d'entrambe una scienza unica? Gli ele- menti della prima non potino essere che una particolare de- terminazione degli elementi della seconda , e le forinole di questa non si potrebbero aver per buone e generali, se il caso non comprendessero dell'equilibrio con tutti gli acci- denti , che ad esso appartengono . La pratica slessa dei ra- gionamenti, che impiegansi nel premettere la Statica alla Di- namica, ci fa sentire questa verità colla irregolarità, e colla contraddizione almeno apparente del suo procedere medesi- mo . Perciocché vedesi costretta a mettere in campo il ripie- go di certo meccanico movimento fittizio infinitesimale, che diede occasione bensì alla scoperta d'insigni verità maravi- gliose , ma che lascia nel tempo stesso sussistere tutt'ora il desiderio di una chiara semplice ed unica dimostrazione del vincolo primitivo, e necessario, che ad esso lega siffatte pro- prietà, dimostrazione, che può dirsi non ancora conseguita, se si considera l'incostanza, la complicazione, e l'oscurità dei tentativi , che per essa sono stati fatti . 3. Ma perchè in quelle sue preziose applicazioni della Teorica delle funzioni analitiche alla Meccanica La-Grange non si diede pensiere di togliere il bisogno di si indiretto artifizio, anzi per ben due volte ne richiamò l'uso egli stes- so in mezzo al suo assunto di togliere al calcolo il bisogno del principio dell'infinito? Non va questo strettamente inne- stato col principio di quelle velocità generatrici dell'equili- brio? Oppure cambia natura e vien purgato dalle accuse, che gli si danno altrove, in virtù di siffatta combinazione, ' Del Sic G. B. Magistrini . 4p5' o per l'aggiunta, che, fassi a quelle velocità, del titolo, e qualità di virtuali ? In tal modo ragionando faressimo per av- ventura del calcolo delle velocità virtuali un calcolo almeno soverchiamente peripatetico, cioè, non più diretto, riè più intelligibile del calcolo stesso infinitesimale . 4. La moltiplicità però, l'eccellenza, e l'importanza del- le verità, che alla Statica appartengono; l'uso frequentissi- mo, e indispensabile, che ne richiedono le arti più utili, non permetterebbero , che sparse giacessero , e inviluppate in mezzo alle innumerevoli e lunghe quistioni della Dinami- ca, o coli' ordine delle formole Dinamiche, dalle quali di- pendono, venissero come semplici corollarj ad una ad una separatamente dichiarate . La Statica non solamente per la somma utilità, e nobiltà del suo soggetto , ma pel vanto ezian- dio d'essere fra le parti della Matematica applicata quella, che ci offre il complesso scientifico più compito e perfetto , merita senza dubbio un distinto e tutto suo proprio tratta- mento . L'osservazione superiore non offende punto questi giusti titoli, e veri pregi della scienza dell'equilibrio, ma soltanto è diretta a mostrare, come sinora fu tenuta,, dirò così , con artifizio veramente forzato e violento in posto non suo nelle opere di Meccanica raziowale , a far sentire la ne- cessità di restituirla nella sua sede nativa , di ricondurla al- la sua primitiva e necessaria sorgente . Ecco ora una propo- sizione analitica geometrica semplicissima , che mi ha spinto in questo desiderio , e mi ha confermato nella fiducia di po- terlo felicemente adempiere . 5. Lemma . Siano quanti punti si vogliono, le coordinate dei quali a tre piani dati ortogonali siano respettivamente a, b, e; a, b' , e' ; a", b" , e" ; ec. Da un altro punto di coordinate x, 7, z siano tirate ai primi altrettante rette q , q '3 q" > q" > ec, ie espressioni delle quali sappiamo essere q=l/\{x-aY-^{y-bY-^{z-cY\ , q'=l/\(x-alY-+-(y-b'Y+{z-c'Yl, q" = i/\(x — a" Y -4- (7 — b" f -*-(z — c" Y j , ec Rappresentisi col simbolo solito ci la differenziazione di queste espressioni 4'5a SoTRA ALCUNI PUNTI DI MATEMATICA SUPERIORE. relativamente alle sole coordinate x, /, z, ossia dq, dq, dq",ec. esprimano l'aggregato dei termini di prima dimensione risul- tanti dopo d'aver posto in ciascuna espressione x-+-i , /-i-i', s + i" in luogo di «,j,Zj e dopo d'averla sviluppata in se- rie ordinata secondo le dimensioni di i, i ', i" , le quali quan- tità s'intende inoltre, che siano indeterminate e arbitrarie. In fine dal punto corrispondente alle coordinate x-\- j,jy-*-z', z-t-i" immaginando tirate le normali alle rette q, q, q", ec, si esprimano i segmenti di queste rette compresi tra le nor- mali, e'1 punto di coordinate x,y,z con dq,d'q\d"q",d'"q'",ec. Dico, che sarà dq = dq , d'q' = dq\ d"q" = dq" , ec. , cioè, secondo l'algoritmo delle differenziali parziali, dq = l— — li Dimostrazione . Sopra la retta, che congiunge il punto di coordinate x,y, z coli' altro di coordinate x-t-i , y-+-i' , z-¥-i" presa per diametro descrivasi la sfera. In essa rimar- ranno iscritti tutti i segmenti , dei quali si tratta . Conside- rando il primo dq , chiaminsi x' , y' , z le coordinate del pun- to d'intersezione della retta q colla sfera oltre a quello di coordinate x,y,z: avremo le tre equazioni fra x,y',z due proprie della retta, e la terza propria della sfera, / =y x— a x—a ( z' — z Y — i ( x — x ) — i (/' —y ) — i"{z' — z ) = o ; e'1 segmen- to dq sarà = /[(*' — xY+-{y'— /)2-h(s' — zf\. Dalle tre . . .. , / x (*— a)i-t-(y— J)i'-4-(z— c)i" , equazioni risulta x — x = (x — a) — - — — — — - , y — y . , . (x— d)iMy— &)»'■+{*- c)i" , , ,(x—a)i-t-(y—b)i'-t-(z—c)i" r= I V — u I — ■ i Z — 3:=! Z— C) , KJ ' (x-arMy-bYM--cY (p-aYMy-tYMp-oy . : (x—a)i-*-{y-hji'-*-iz-c)in e con questi valori trovasi dq = — y. 7 L/|(*'T«),+(?-*),tW| = d .y/\{x — a)2-t-(y — £)a-+-(z — cY\ = dq, come si propo- se. Lo stesso si ritroverà per d'q , d"q" , ec . Del Sic. G. B. Magistrini . 4'i>3 6. Nella direzione delle i-ette q , q , q" , ec. concorrano ora altrettante forze Q , Q' , Q" , ec. al punto stesso di coor- dinate x,y,z. Il principio della decomposizione, e compo- sizione delle forze , supposto, che tra le precedenti per esem- pio Q(") sia la risultante, ci dà la nota equazione Qdq-ì-Q'd'q' -4-Q"ò"^"-f-ec. = Q(")^(")^('0. Ma questa pel Lemma preceden- te prende subito l'aspetto ben più determinato, e più im- portante Qdq -+- Q'dq' ■+■ Q"dq" ■+- ec. = Q(B) dq(") , equazione tuttavia universale nella meccanica, la quale abbraccia tutti i casi dell'applicazione di più forze ad un punto dipendenti tanto dal valore, quanto dalla direzione, o dal valore e dal- la direzione insieme di ciascuna, equazione perciò egualmen- te atta a servire all'analisi del movimento, e a quella dell' equilibrio, dei quali due casi generali il secondo altra modi- ficazione non richiede , se non che facciasi la supposta risul- tante Q(") 3= o , come è ben manifesto . La proprietà dei segmenti superiori òq , d'q , d"q" , ec. d'essere tutti risultati analoghi della medesima differenziazio- ne ordinaria =dq , =dq', =dq" , ec. è la vera chiave unica dei vantaggi dell'equazione generale tra un sistema di forze applicate ad un punto, e la loro risultante, sì pel giusto nu- mero di equazioni secondarie, che se ne derivano, quante, cioè, ogni Problema particolare può richiedere, come altresì pel modo mirabilmente semplice e spedito, che offre l'equa- zione stessa, di siffatta derivazione. Così nel caso dell'equi- librio , divenuta 1' equazione Qdq ■+■ Q'dq' -+- Q"dq" -+- ec. =o si spezza tosto, attesi i valori arbitrai j, e indipendenti degli incrementi 1,1,1" delle variabili x,y,z prescritti di sopra, „eHa «re Q(S) + Q (il) + Q»(i)^ec. =o, Q(A) h- -+- ec. = o . Per dare all'equazione Qdq-i-Q'ò'q -i- Q" d" q" -h ec . la for- ma ora trovata , o almeno per rendere questa forma stessa 4-54 Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . applicabile alla meccanica si credette, come accennai in prin- cipio, che i segmenti dg, d'g' , d"g" , ec. avessero essenzialmen- te a riguardarsi come gli spazi, che in un tempo stesso in- finitesimo dt percorresse nelle direzioni delle forze il punto mobile per un impulso opportuno, che malgrado l'equilibrio venisse dato al medesimo . Con che formandosi le velocità similmente differenziali — , -?-. — — , ec. del punto lumro le dt dt* dt l ° linee g,g',g",ec, e osservando, che tali sarebbero appun- to le velocità prodotte dalle forze liberamente operanti per un tempo t, si conchiuse l'equazione Q — -+-Q'— — Hec.=o, ut &* che si ritenne come simbolo essenziale, ed espressione carat- teristica di una proprietà delle velocità virtuali . Se doman- davasi , qual fosse codesto impulso opportuno , che il punto equilibrato doveva ricevere, acciocché le velocità virtuali di- venissero attuali, o attualmente calcolabili: tale, si rispon- deva , che produca un moto minimo conciliabile colla dispo- sizione del sistema, di cui il punto proposto forma parte, e colle condizioni particolari del Problema, come di ostacoli immobili, di linee o superficie resistenti; oppure un moto minimo qualunque, qualora tra le forze sollecitanti siasi te- nuto conto anche delle resistenze. Ma in quest'ultimo stes- so caso restava il dubbio , se fosse tuttavia possibile un sol moto il più picciolo immaginabile, che li conciliasse col si- stema, non che un moto minimo qualunque; giacché un si- stema equilibrato appunto per questo non indica né permet- te alcuna ipotesi di suo reale movimento. Oltr'a ciò mentre si percorressero quelli spazietti dg , dg' , dg" , ec. sotto l'a- zione libera di ciascuna forza, cioè nel tempo dt, non sem- bra ben chiaro, se legittimamente si potrebbe supporre, co- me si fa, che restassero immuni da variazione i centri, le direzioni delle forze, e le forze stesse, o tra questi elementi avendo luogo variazione , se dovrebbe questa trascurarsi , e non piuttosto aversi riguardo almeno ai notabili cangiamen- Del Sic G. B. Magistrini . 4^ ti, die anche nel tempo minimo dt potrebbero succedere nelle direzioni delle forze, e se le forze virtuali dQ, dQ', dQ" , ec. non avrebbero diritto di venire in calcolo al pari degli spa- zj dq , dq' , dq" , ec. Comunque sia di queste difficoltà , per noi la forma si- milmente differenziale relativamente alle coordinate del pun- to mobile dei segmenti dq , B'q\ d'q" , ec. risultò da una semplicissima proprietà puramente geometrica, e dal solo prin- cipio della composizione, e decomposizione delle forze, il quale ci dà ih quest'incontro una novella prova di occupare nella meccanica analitica lo stesso rango, che occupa nel cal- colo il binomio di Newton, e il teorema di Taylor, né eb- bero a che fare col nostro intento velocità , o moto alcuno attuale né virtuale. La dimostrazione precedente è altresì indipendente dall'infinito: poiché gli incrementi da noi as- sunti nella convenuta differenziazione altro non debbon esse- re che indeterminati e indipendenti . Se non che la nostra equazione è simbolicamente simile all'equazione delle infini- tesime velocità virtuali, quantunque dedotta con tutt' altri principj, e ragionamenti. Gli incrementi i, i', i" appunto per essere arbitrarj, si dirà, che ponno uguagliarsi alle differen- ze infinitesime dx, dy 3 dz, e allora la nostra equazione è la stessa equazione dei momenti infinitesimi , o delle velocità virtuali. Questo potrebbe farci sperare, che l'innovazione, di cui abbiamo osato gettare il fondamento, non sia per re- care disturbo ai progressi della Meccanica analitica, potendo perfino servire a coloro stessi, che amano di proseguire per la via delle qualità occulte . 456 Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . III. Della misura dei Solidi , e delle loro superficie , quando i punti di queste son dati da equazioni fra tre coordinate . 7. Tra le formole più importanti dell'applicazione del calcolo alla Geometria superiore sono certamente da noverarsi le due note ffzdxdy , ffdxdy\/\ 1 -+-(— -7) ■+■ (—7) [ ■> delle quali si fa uso per la cubatura, e quadratura dei solidi, le cui superficie sono date da equazioni fra le coordinate %,y, z a tre piani ortogonali . Gli Autori per la pratica applicazio- ne di queste formole prescrivono di sostituire il valor di una delle tre coordinate espresso per le altre mediante l'equazio- ne della superficie curva, di eseguire una delle due integra- zioni, indi d'introdurre il valor di una delle residue varia- bili tratto dall'equazione della linea, che dee circoscrivere la misura proposta, in fine di procedere all'ultima integra- zione. Oltrecchè siffatta regola d'inverso operare non ben chiara apparisce nella diretta deduzione delle formole stesse come succeder dee nei metodi di calcolo esattamente recipro- ci ; ha il difetto di nulla dire della funzione arbitraria , cui la prima integrazione sembra richiedere, e molto meno del modo di determinarla nei casi particolari. Queste difficoltà, trovai per esperienza, che soglion essere di non lieve imba- razzo ai principianti . Il perchè mi son fatto a cercare di bel nuovo la soluzione generale dei due problemi, di cui si tratta . 8. Problema . Sopra una base piana in NC/ra di figura continua o discontinua sorge normale un solido cilindrico ter- minato superiormente da una superficie curva data per rispet- to al pian della base stessa, e ad altri due piani normali fra loro, e colla base tirati pei due altri AX, AY . Cercasi l'e- spressione del solido cilindrico, e l'espressione della porzio- ne di superficie curva da esso tagliata . SoLU- Del Sic. G. B. Magistrini . 4.37 Soluzione . Dimando prima di tutto., che si ammetta per dimostrato 1 .° die se di tre quantità funzioni della stessa variabile i, m-i-f(i), h-hf (i) , m-k-f'(i) la prima e la terza hanno per limite comune ni , e la seconda ha per li- mite h, e in oltre la seconda per qualunque valor di i ha la proprietà di avere un valore compreso fra i valori corri- spondenti delle estreme; la seconda quantità avrà anch'essa per limite la quantità m, cioè sarà h = ni . 2,.0 Che di due superficie concave dalla stessa parte iscritte in un medesimo parallelepipedo, che abbiano almeno un punto comune sopra uno spigolo , quella , che colla sua concavità guarda la con- vessità dell'altra, è la maggiore. Il primo postulato ammet- te la stessa dimostrazione della simile proprietà dei limiti costanti . Il secondo fu riconosciuto dalli stessi geometri an- tichi . Sia kV = x, AP' = *-hz\ CP = y, hP—y', Vf=y", z l'ordinata della superficie cur^a , che termina in h, e siano y=f(x) , y" =f'(x) le equazioni date delle curve NG , mf, che formano colle rette 0 ordinate ;«N , fG la base del ci- lindro proposto; e s.r,V( ==/" (x , /' ) l'equazione della super- ficie pel punto, che ha per projezione h, quindi zT ,r=f"(x,y) l'equazione del punto, che sovrasta al punto G. Il solido, che s'appoggia normale al quadrilineo ra/CN/?2, sarà funzione delle coordinate dei quattro punti 7?i,~N,C,f, e delle ordi- nate z dei quattro punti corrispondenti della superficie cur- va : ma tranne quelle dei due punti m, N, e loro corrispon- denti, che suppongonsi costanti, e date, le altre si riduco- no alla sola ascissa x, attese le equazioni, che fra esse ab- biamo . Esprimeremo dunque il solido proposto colla funzio- ne ìp(x), quindi colla ip(x-ì-i) il solido di base mlPNm., e perciò con ip(x-ì-i) — 4'(x) ^ solido di base CD//C . Tirisi hi parallela a PP', e alla distanza gh = o arbitra- ria la parallela g/c . Sia f( x , i , y ) il solido di base / li hf, quindi f(x, i ,y -t-o) — f(x,i,y) il solido di base M . Per l'estremità superiore del minore dei quattro spigoli di quest' Tom. XVII. 58 458 Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . ultimo solido, che supporremo esser quello, che termina in // , cioè, l'ordinata zx>1', tirisi un piano normale, e un al- tro piano alla base pure parallelo facciasi passare per l'estre- mità superiore del maggiore spigolo, che supporremo essere zr+«,r_Ho '• Si determinano così due parallelepipedi iazx,y<, iozx+.i,r'+o uno maggiore, e l'altro minore del solido/(.r,z',y-(-o) — f{x,iiy) per tutti i valori positivi di i, ed o di meno in meno al di sotto di limiti assegnabili . Sviluppando que- ste tre espressioni per le potenze di o avremo le tre oizx,r', 0 (rf7H(P)+ e°-' oUs'^r'^0^{^)^-ec-> delle clua- li le due estreme saranno limiti della seconda per qualunque valor di o , e tali resteranno, tolto a tutte tre il fattore o. Ma in questo caso le due serie estreme hanno per limite co- mune la quantità izxy . Dunque l — J, che è limite analogo della serie media, sarà = izx,r<. Di qui integrando risulta F ( x, ì,y ) = ifzx ,r' dy = ifzx,fdy'-¥- i dy,^ j» dyx ~~~ ~d~T ' <-*»='— . —, che saranno limiti del tri- lineo CDc: quindi il solido F'(x,i,yx) avrà altresì per li- miti le due espressioni £..-!*.-., .„ i! ^L dx •*x>y*i os- Sia ~ dx" Zx 'r ~*~ e° ' °'a è faci,e vedere clie ciò non può es- sere a meno che sia F'(x9i,yx) di seconda dimensione al- meno, in riguardo ad i, cioè, della forma i2M. Essendo per- tanto 4(x + n-4>(x) = F(xvi,yx)-i-F'(x,i,7x)=zifz>x,j,dy -4-ec, avremo g=F(a;, , i,y + o)-F(x9 *,/); poiché tra- sportando parallelamente a sé stesso il piano tangente, che pas- sa per l'ordinata maggiore, fino a passare per l'estremità della minore, avremo i due parallelogrammi aventi sopra lo spigolo zx,xt un punto comune colla superficie, e l'uno so- vrapposto, sottoposto l'altro alla superficie stessa. Sviluppar* 4<3o Sopra alcuni punti di Matematica Superiore. do queste tre espressioni in serie per le potenze di o, e ri- petendo il ragionamento superiore ritroveremo F(x,i,y) = ;/i/y/{i-H(^) + (^)^-H^(a;,i), dove o XVTT- y (Ji/a/s ne C ' 'm/io XVIZ /3ay.%-f.o. 7:<,xz. .u.w„./y; ./; M»s„„.rfoa Sr>r str/. 7Z„,o xvti. fy*** " Stu,/ ,£&o. ' st-ti per ^'; s'indichi per M',N' la respettiva somma de' termini indipendenti da /t' e da /Y che risultano dalla varia- zione delle funzioni Mk AT, NA ,,, NA , 1- Mk ; per M" , N" le respettive somme de' termini che nelle varia- zioni di M/c, N/i, si trovano affetti da k\ ti ; e scrivendo per brevità A" per X -+- k' si avranno due equazioni della forma seguente P'" = P" -+- M' •+- M" - — N" ti = o A" Q"' = Q" + N'+N"-+ M'T = 0 . A" S'istituiscano l'equazioni M'h-M"- — N"A'=dra X" N' + N"- + MT = ±a'; X," quindi si deduca il valore di ti e di k' e risulte rà P" — P'" = P — P" , Q"_ Q" = Q' — Q" . 46a ERRORI CONTENUTI IN QUESTA PRIMA PARTE (*) Correzioni 536 b Av (è* pel che i m 2fl ^-x) \ ~2U> 2\x $-*) \ 2V mX mX mX 60 8 8ocA"- 80 63 11 BB BB' 67 17 alla quale colla quale, Pag. Linea Errori 8 35 5,6 9 17, 19 6 3i 18 av T 35 i4 m 38 21 perchè 45 1 l m 5* 1 -*U- -i 68 ai. £<£ FJ£ /(*) /(=) a3 AjtaH*»-*- A i-.(a**x? AjraH"-"v"-hA [— (- ajj-i-i)1^» (*) Il Correttore, benché conosca non aver da incolparsi d'incuria nella revi- sion della stampa dei Manoscritti , dove , per difetto degli Amanuensi , trovansi alcune delle inesattezze , ora rettificate , e dove mancano certe aggiunte , che ades- so vengono inserite dai respettivi Autori , ha chiesto ed ottenuto da questi la Nota completi degli Errori occorsi , onde pienamente corretta comparisca 1* edizione di questo Tomo . 463 Pag. Linea Errori Correzioni 68 25 a;3»+j AZa a«+2 2?i-t-a 71 85 3o 7 dall'acqua abbandonarli dell'acqua abbandonarle 88 I-©"1 i-dri1 ll © 95 4 1 + 6 i + C 96 16 esercitava eserciterà 98 22 OND , O'N'D' OND, OND' 102 1 ad a ad x — 12 *44 r7 x = e x^a. 246 4 2aar — ceri — ia?r — ceri — 3,anr-+- ace — acuir ■+■ ace — 5 — a°-cr — a2ce — 21 — aa3kr — a,aakr ìì47 25 — Aas — X e — 2as e — 26 — anby e — ansy e 248 35 nell' altra nell'una, e nell' altra a5o 2 a(a — i)D a(a — b)D 253 9 essendo ed essendo a55 j5 4a/ia 4a/ca 257 7 ■+- qa*k* ■+■ 9a2/i2 ■ 1 1 -+-i5fc3 -1- i5A3 — 12 — *9 4a -ihafìi 4» — i5ft3 4& i5a^ 4& 464 Pag. Linea Errori Correzioni 264 i3 Sia il s ia s il 266 IO nel tempo ne / 5 \" 1 tfMiinn f*3 If*r»I'ì tn 1/7 1 V i°4a/ 268 IO ... \n q / \n q ■) \n qf\n q f 269 1 .. Sm = 2m . 2m firn nTn n™. 0m — 3 ul t . m > 0 m intiero e < o . 286 7 x3 — 5xa x3 -h 5.K2 298 32 tri .BCD=p#:tri.ABD:±tf tri.BGA=ir5:tri.ACD=t^ 294 21 L-i-dìs— A — ( ì A — §:s — A-i-d 296 2, è > a' ; a" è ° — i3 2l4 .l8.3,0 2 1 3 . 48 . 44 •> 7 326 ult. 8.9.65,3 8.9.55,3 328 IO 307.9 207 . 9 33o 3i 38.58 3o.58 33i 9 — 4 .5g . 34 , 3 — 5.28.48,6 000 2 3o3 , 3 3oo , 3 — 3o 38 . 17 , 1 35 . 17 , 1 336 4 1 98 . 2 . 7 , 5 298 .2.7,5 — 22 16 . 22 , 8 14.42,8 — 25 16 . 27 , 8 14.47,8 339 4 4 . 6 . 33 4.6.33, 7 340 9 che ne deduce che se ne deduce N.B. La longitudine delle stelle occultate che in ogni calcolo si è chiamata a si denomini a. per non confonderla colle Longitudini di Luna . 465 Alla pag. 33 1 dirimpetto a g si ponga 6i°.35'5 e dirim- petto alla lettera A, 25°. 28'. Pag. Linea ] Ekroiu Correzioni 349 *7 Bougner Bouguer — »3 0 , 0' 0,0'(F/g.2.) 35a 34 MN MN (Flg. 3.) 353 18 so ffre non soffre 355 3a 8 Ottobre 8 Ottobre 181 3 364 a IO 243.26.56,8 243 .26 .56 ,0 366 4 io 49. 12 49 • 12 . 26 370 -- 24 sia = B sia = p 37i - 22 — seri. 6 T — sen.o r 372, _ 3 facilmente si levi 376 - 21 0,009574 0,009374 378 -- 8 d t 382 in testa alla I. Tav. si aggiunga per V Ascensione retta nella prima colonna, per la de- clinazione nella seconda colonna 389 - 3 del raggio vettore del nodo ascendente 391 - 29 1 C0S.2^-H 7) | cos.a<^-H— \d(p 392 — 3 -+- 248 , 7 -+- 240 , 7 — « 18 5o9s , 40 509^ , 40 393 •- 21 -HO ,0935 -HO, 0975 394 ~ i5 eccentricità = — eccentricità = -*- 396 — i5, 16 variazione . variazione di io" nell5 inclinazione . 399 •- i5 "+- °', 74 + 0" , 74 400 6 5 294°, 38 294°, 38' — 4 4i 4,2 5 , 2 — 3 47 45,4 46,4 401 7 4 687,4 687,0 466 Pag. Col. LlN. Erroiu Correzioni 4ci 6 2 3 36a 369 — 0 39 33,3 34,3 — 5 44 2 , 16702,0, 2 , 167017 — 6 4* 724 714 402, 3 35 0 0 e 0.0,0 4.3,6 — 3 3? 58,6 3.58,6 4o3 5 3i a , 38244° 2 ,282340 — - 39 a , 296458 2 , 296459 404 3 i5 i5,5 16 , 5 — ~ 21 o.5,5 o.o,5 — — 22 i.3,3 o.3,3 40 5 4 i3 107,87 108 , 07 406 5 6 2,454393 a ,494393 410 7 54 1 15 , 0 1 15 , 5 4.4 4 18 1966 1996 — r7 44 -+- 4a5 , O -4- 3a6 , 0 4,6 2, 6 4>34 4,84 467 INDICE DELLE COSE CONTENUTE IN QUESTA PRIMA PARTE . Otatuto della Società Pag- nr Catalogo de' Socj xi Appendice alla Memoria sopra un nuovo metodo ge- nerale di estrarre le radici numeriche, del Sig. PAOLO RUFFINI i Del movimento d'un fluido elastico che sorte da un vase , e della pressione che fa sulle pareti dello stesso, del Sig. OTTAVIANO FABRIZIO MOS- SOTTI : presentata dal Sig. Cav. Brunacci 16 Sulle oscillazioni d'un corpo pendente da un filo esten- dibile, del Sig. PIETRO PAOLI 73 Sull'urto dei fluidi del Sig. VINCENZO BRUNACCI 79 Sopra l'equazioni primitive che soddisfanno all'equa- zioni differenziali tra tre, o un più gran numero di variabili, del Sig. PIETRO PAOLI 104 Sul moto discreto d'nn corpo, ossia sopra i movimenti nei quali succedono di tempo in tempo delle va- riazioni finite, del Sig. ANTONIO BORDONI, presentata dal Sig. Cav. Brunacci i57 Sulla determinazione della capacità d'una botte, o elittico-circolare od elittico-elittica a fondi eguali , o disuguali, ed a parti anteriore, e posteriore si- mili, o dissimili, del Sig. D. PIETRO COSSALI 2,3? Soluzione di due problemi appartenenti alla teoria de' massimi, e minimi, del Sig. Cav. SEBASTIANO CANTERZANI 241 468 Seguito de' saggi di Meccanica, e di Algebra trascen- dente, dèlSig. PIETRO FRANCHINI, presentata dal Sig. Giuseppe Fenturoli PaS- a^;i Calcolo d'occultazioni di alcune stelle, e l'elative ri- cerche intorno alla posizione Geografica in longi- tudine dell'Osservatorio di Padova rispetto al me- ridiano di Parigi dell'Abate FRANCESCO BER- TIROSSI-BUSATA , presentata dal Cav. Cesaris 299 Descrizione d'un nuovo micrometro, del Sig. GIAN- BATTISTA AMICI, presentata dal Cav. Raffini 344 Teoria del nuovo Pianeta Vesta ricavata dalle opposi- zioni degli anni 1808- io- 11 - ia- 14 con le tavole per calcolare ad ogni istante la sua posizione geo- centrica , del Sig. GIOVANNI SANTINI 36o Del modo di rendere men diffettosa che adesso e più comoda la stadera volgarmente detta Romana , del Sig. PIETRO FERRONI 4r7 Osservazioni varie sopra alcuni punti principali di Ma- tematica superiore, del Signor GIO: BATTISTA MAGISTRINI 445 Errori scoperti nella Memoria Franchini nel Tomo XVI pag. aa3, Parte I. 4^[ Errori scoperti in questa parte del Tomo 4^^