s 1 ■ i^-^gr3^^^S3Ry-f^l S. //o 23-*, MISCELLANEA PHILOSOPHICO - MATHEMATICA. jS1. 1 & /. m i — Favete, adefie aequo anitno , (5* rd* cogUcftitt Ut pernof calls y ecquid fpei Jit reliquum. Terent. Prolog. Andr. MISCELLANEA <" PHILOSOPHICO - MATHEMATICA SOCIETATIS PRIVATAE TAURINENSIS TOMUS PRIMUS- AUGUSTS TAURINORUM, EX TYPOGRAPHIA REGIA. M D C C L I X. A SON ALTESSE ROYALE MONSEIGNEUR LE DUC DE SAVOYE. M ONSEIGNEUR V Ouvrage que nous avons Vhonneur de voiis fref enter ejl le premier fruit des tra- vaux que nous avons commence fous vos Suffices, & la protection que V. A. R. veut bien lui accorder , dy autant plus flat- teufc pour nous qu* elle efl eclairee , pre- viendra le Public en fa faveur . La fupe- riorite des connoijfances qui vous diflinguent dans le rang eleve ou vous etes place \ vous fait appercevoir ces liaifons fecrettes , & ces rapports qui echappent au commun des hom- ines , par lefquels les fciences les plus ah- flraites conduifent fouvent aux plus utiles decouvertes pour la Societe ; c efl de ce point de vue que vous vous intereffes a. V avancement des fciences , & qu' en dai- gnant jetter un oeil favorable fur ceux qui les cultivent , vous nous retraces les grandes qualites qui brillent dans NOTRE AUGUSTE SOUFERAIN. Puijfe, MONSEIGNEUR, ce pre- mier effai repondre a [on objet , & etre en quelque fafon digne de vous : ou puiffe du moins notre exemple infpirer a des ta* lens fuperieurs le defir , & le cotirage d'y fatisfaire plus (implement . Pour nous , il nous fera toujour s ajfe's glovieux de po avoir vous offrir nos refpettueux bommages* De V. A. R. MONSEIGNEUR Lts tris-humhles , & tres-obeijpins Serviteurs Saluce, De La Grange , Cigna . • • . Imprimatur. Provic. S. Officii Taurini . V. Berta LL. A A. P. Se tie permette la Stampa Niccolo' di Qjjaregna per la Gran Cancellaria . I .1. DE IIS , QUAE IN SOCIETATE ACTA SUNT COMMENTARII A JOH- FRAN- CIGNA CONSCRIPTI. ■ DE BELLINIANO PROBLEMATE , S E U DE OVORUM ELIXATORUM CICATRICULA. " UM ova Iampadis calore foveremus , pa- rata machina ad imitationem illius , quae in Berolinenfis Academiae monumentis defcribitur (a), praecipuos Au&ores con- fulebarous, qui de ovo, aut formatione pulli commentati tucrant, ut eorumdem le&ione ftudia noftra dirigi poflent , & adjuvari . Inter hos Beiiinum quoque adivimus , penes quem cum praeclara multa , &c laude digna reperiremus, turn itlud in primis admirabile nobis videbatur, quod no- mine belliniani problematis folemne eft: cicatriculam, dum ova elixantur, e fuperficie vitelli in centrum abire , idque A 2 to ( a > An. 1749. 4 eo magis admirationem noftram excirabat, quod in incu- batis ovis rem aliter fe habere, & cicatriculam port: elixa- tionem remanere in fuperficie Bellinus ipfe traderet : te- nebamur itaque defiderio , uc rem miram noftris oculis intueremur , cui ut fatisfieret, ab incubatis ovis exordium duximus. Horum unum elixatum cortice, & albumine nudavimus , & cicatriculam cum contento pullo ad vitelli fuperficiem revera invenimus paullo infra obtufum ovi verticem medio , ut folet , inter cala^as loco , ck tenuifli- mae albuminis parti iubje£tam effe obfervavimus , quae omnia diligentius a nobis adnotata funt , ut eo facilius in pofternm, fi quando opus eflet, cicatriculam reperiremus. Obfervata cicatricula vitellum per centrum fecuimus , & in centro ipfo praeter omnem expe&ationem corpus in- venimus albidum, tenerum, quale nempe nomine cicatri- culae ad centrum latae in ovis non incubatis , & elixatis Bellinus defcripferat : & hujus quidem corporis cum bel- liniana cicatricula omnimodam fimilitudinem declaravit comparatio, quae cum cicatricula ad centrum recentis ovi elixati inventa inftituta fuit : quae cum omnium, ut inquie- bam, expeftationem fefelliffent, in caufta fuerunt , cur no- ftrum aliquis hujufmodi dubitationes proponeret . An non cauffa. quae in ovis non incubatis, dum elixantur, cicatri- culam ad centrum pellit, id multo magis in incubatis effi- cere deberet , in quibus incubationis calore cicatriculae nexus refolruntur, atque laxantur ? An non fieri potuit , ut in ovis non incubatis cicatricula ad vitelli fuperficiem po- fita ob parvitatem Bellini diligentiam effugerit, qui dum ubique eandem follicite perquireret, in corpus album inci- dent in centro vitelli pofitum , idque corpus fimilitudine aliqua deceptus pro cicatricula habuerit? Enira vero fi ve- ra eflet cicatricula in incubatis ovis , quorum cicatricula in fuperficie remanet, ad centrum neutiquam reperiretur. Quamquam porro hifce conjeclatiombus aliquam veri fpe- ciem citm ineffe omnes faterentur , tie tamen iifdem leviter adeo indulgeremus , Bellini fides , & auftoritas illuftrium Scriptorum teftimonio confirmata , & ingenuus veritatis amor prohibebant . Statuimus itaque in non incubatis, elixatiique ovis vitelli fuperficiem omni diligentia perlu- ftrare , ut experiremur, num forte hac in re Bellino feli- ciores effe poffemus , fecus arduam inquifitionem dimitte- remus potius , quam ut magni Viri diligentiae, aut candori temere quidpiam detraheremus • Sufcepta igitur inquifitio eft in primis ab Equite Salutio , qui non leve induftriae, ac dexteritatis fuae hac in re fpecimen exhibuit j often- dit enim in plerifque recentibus ovis , quae elixari , ac indurari omnino curaverat cicatriculam ad vitelli fuperfi- ciem adhuc haerentem y quam cicatriculam effe , turn ex fitu demonftrabat , qui medius erat inter cala^as paullo fub obtufo ovi vertice , & tenuiffimae albuminis parti ref- pondebat , ut in incubatis ovis contigiffe diximus , turn ex figura , quae annulis conflata erat, & cicatriculam re- centium ovorum non elixatorum plane aemulabatur, turn demum ex aliquali ejufdem prominentia fupra vitelli fu- perficiem, quam refpondens indurati albuminis foveola re- cipiebat ; adeo ut integro adhuc albumine exteriora ovi perluftrans cicatriculae locum certiffime indicaret . Ad cen- trum porro albidum Bellini corpus perpetuo inveniebat, dummodo nee nimis parum , nee diu nimis excofta ova fuiffent , quibus in cafibus vel nullum , vel obfeurius id corpus conipiciebatur . Haec cum faepiffime omnium ocu- lis Vir diligentiffimus exh'tbuiffet paullo liberius de bel- liniani inventi veritate dubitare caepimus, Au£torefque per- quirere , fi qui forte experimenta haec iteraffent , aut illu- ftraflent , ut ex illorum obfervationibus noftrae confirmari, vel refelli poffent . Occurrebat itaque CI. Balbi differtatio bononienfibus commentariis inferta (b)t in qua cum Bel- A i lini (i) Tom. ». par. s. pag. 369. & feq. 6 Jin* experimenta renovaffet probleroatis folutionem ex me- chanicis principiis deducere conatus eft . In illis autem experimentis obfervavit, poftquam ova fex horae minuta in ebulliente aqua detenta funt , cicatriculam adhuc fuo manere loco , quamquam altius eo tempore vitellus ob- duruerit . Inde vero novum dubitationi noftrae fundamen- tum acceflit ; neque enim ullo modo concipere poteramus, quo pafto cicatricula per obduratum vitelli ftratum per- meare potuiflet in tanta teneritudine , & integra deinceps ad centrum pervenire . Poftquam novem horae minuta ova in ebulliente aqua Balbi detinuiffet, cicatriculam in centro vitelli fe reperiifle refert evidentiffimam ; fub-albi- dum fcilicet corpus a Bellino habitum pro cicatricula j eo autem in loco de vitelli fuperficie non meminit CI. Au- ftor , ut videatur Bellini fidei innixus corpus illud albi- dum , quod in centro repererat , pro cicatricula habuifle , omnemque adeo cicatriculam in vitelli fuperficie invenien- di curam abjecifle, utpote quam inutilem fore praevide- ret . Nos contra, quibus Bellini obfervationes jam fufpeftae erant > in ovis iis , quae decern, & ultra minuta in ebul- liente aqua elixata fuerant reperta cicatricula ad vitelli fuperficiem pofita , hanc comparabamus cum ilia , quam in ovis , quae quinque tantum minuta elixata fuerant, Bal- bi deprehenderat , cumque omnino fimilem efle cernere- mus, jam nulla fupererat dubitatio, cicatriculam poft quod- cumque ebullitionis tempus nunquam a vitelli fuperficie recedere . Ad albidum corpus quod fpe&at in centro vi- telli pofitum, turn in ovis non incubatis, quod Balbi ob- fervaverat, turn in incubatis, quod noftrae obfervationes nos docuerunt, non reperiri, aut obfcurius cerni certum eft, quando vel diutius, quam par eflet , vel per brevius tem» pus in ebulliente aqua ova detenta fuerunt . Ne autem in tanta clariffimorum Virorum aliter fentien- tium auftoritate noftrae obfervationes fua veritate, & fide defti- 7 dcfticuerentar CI. Bertrandi Regium Chirurgum , Regium- que Profefforem , ac Parifienf. Chirurg. Acad. Socium ea- rundera participem effe voluimus, qui poftquam ipfas plu- ries omni diligentia renovafl'et , ambiguas neutiquam effe concluiit . Gavifi itaque non mcdiocriter fuimus qualia- cumque haec tentamina omni difficultate phyficos expe- dire . DE VARIA BAROMETRORUM DIVERSAE DIAMETRI ALT1TUDINE. I. •"^UM Bononienlis Academiae commentaries per- \^> volverem, atque ex praeclaris inventis , quibus elegantiffima volumina reierta funt, plurimum jucunditatis, utilitatifque perciperem , in eum locum ir.cidi , ubi Clar. Balbi experimenta narrantur , quae ad vatiam barometro- rum diverfae diametri altitudinem fpe&ant, eamque Clarif. Auftoris fententiam effe intellexi , ut cenfeat capillarium tuborum exemplo, minorem anguftiorum barometrorum altitudinem a majori tuborum, quibus conftruuntur vi re- f ellente effe repetendam ( a ), ita tamen , ut repellens ea vis in fuperiori vacua barometrorum parte in primis fe- dem habeat ( b ) , & ( quemadmodum experiundo inve- nit ) frigore ad earn partem admoto imminui poflit , re- Hituto calore iterum adaugeri (c). Cum vero haec fe- inel, iterumque attente perlegiffem , quemadmodum Clarif. Viri induftriam, & experiundi peritiam magnopere admi- tabar, ita de phaenomeni cauffa penitus confentire non po- 0. " Ibid. p. 354. & feq. ibid, p. ,,«, « s litam effe, cum diametro tantummodo refpondeat , nee varia vacuae partis longitudine mutetur (d)y nee proin- de barometrorum vim repellentem in vacua parte effe re- ponendam . Deinde vero fi vel maxime in vacua barome- trorum parte vis repellens locata effet, earn frigore augeri potius , quam minui debuiffe , quandoquidem, ut ipfe Balbi advertit, frigoris vi tubi conilriguntur (e*)> eoque raagis , quod in tubis capillaribus nulla hujufmodi proprietas nee a Balbi , nee ab aliis fuiffet obfervata . 3. Conje&uram itaque feci mercurii depreffionem in anguftioribus barometris deberi potius preffxoni reli£H in vacua parte aeris , qui vel majori copia in anguflioribus tubis adeffet , vel ar&ius fpatium naftus , proindeque den- fior fubje'ftum mercutium vehementius comprimeret , ad- moto autem ad fupremam barometri partem frigore ita conftringeretur , ut minorem preflionem exerceret . Enim vero dum perpendebam, quam difficile (it omnem e ba- rometris aerem penitus expellere , dum difficultatem in anguftioribus tubis majorem effe cogitabam , dum MuC- chembroekii diligentiam in omni expellendo aere Balbi fupervacaneam exiftimaffe legebam (/), non parum in mea fufpicione confirmabar . 4. Eo itaque adduftus fum, ut meam hanc qualemcum- que fufpicionem cum Sociis communicarem , quos inter Ludovicus de la Grange eamdem non modo non improbavir, verum etiam experimentum indicavit , quo definiri facile poffet : propofuit nempe , ut accuratiffima barometra con- ficerentur ex tubis diverfae diametri, qui in infima parte ilexi furfum crus promitterent barometrico tubo aequale, & (J"\ Inftitut. Nenton. de M. Sigorgne §.364. 375- (O L. c p. 356. (/) ■" c- P- j$7« cum Emilia experimenta Florentini propofuiflcnt ex haC ipfa caufla pendere Mufchembroechius definivit cum in accuratiflimis barometris calore, aut frigore ad fupremam partem admoto mercurii altitudinem non mutari obfervaverit . Vide additamenta ejufdem ad Acad. Flor. in Collection Academiqw panic itrang. Tom. 1. p. j6. & parallelum , ut in ipfum mercurius infundi poffet , iic- que aer, ft quis effer, in vacua barometri parte in brevius fpatium coerceri. Si enim, inquiebat, addito per vices mercurio, ipfius altitudo fupra libellam minueretur, & de- crementa altitudinis relifti port fingulas additiones in fu- prema barometri parte vacui fpatii inverfam rationem fe- querentur , inde confici pofTe depreflionem barometri tri- buendam effe fluido elaftico in fuperiori barometri parte contento , cujus elafticitas in ratione inverfa voluminis adau- geretur , qualem aeris proprietatem effe ad certos ufque limites Phyfici noverunt (g). j. Experimentum igitur caepimus , omnique diligentia faepe iteravimus , cum barometrorum alterum vix dimi- diam lineam in diametro haberet , alterum paullo minus quam duas, & mercurius quidem in anguftiori tubo qua- tuor circiter lineas inferius haefit , quam in ampliore, in- fufoque, ut propofitum erat, in crus alterum mercurio alti- tudo barometri fupra libellam imminuta eft, ita ut decre- menta altitudinis reli&i in fuprema parte vacui fpatii in- verfam rationem quam proxime fervarent , quamquam in horuontali fitu collocato barometro exigua tantum in fu- prema parte aeris bulla deprehenderetur, quae vix acicu- lae caput magnitudine aequaret. Verbo dicam, talem fuiffe hujus experiment exitum , ut CI. Auftor jam exploratum narraffe, potiufquam novum propofuiffe videretur. Jam ve- ro fi a vacua barometri parte mercurius repelleretur im- minuta vacuae partis longitudine fimul & repulfio minui debuiffet , ut Bononienfes Academici alicubi fatentur (k): at contra, ut dictum eft, mercurii depreffio major eva- debat. B 6. Quam- (f ) Cogitavi deinceps experimentum faciliori opera abfolvi pofle etiam ba- Tometris qualia a Phyficis parari (blent, dummodo magis, minufve iifdem inclinatis , & magis , minufve ea ratione condenfato , fi quis eflet , in vacua parte aere normalis mercurii altitudo fupra libellam metirctur , & varia ipfius decrements , aut incremcnta notarentur . (A) P. 155. 10 6. Quamquam porro eo in experimento expe&ationi eventus adamuffim refpondiffet , nondum tamen eidem acquievi , quin imo veritus fum, ne minori diligentia no- ftra barometra conftrutta fuiffent , atque adeo refidui aeris prefllo fimul cum vi vitri repellente conjungeretur , cum in iis , quae accuratiora Balbi paraffet , fola vis repellens omnem depreflionem effeciffet . Alio itaque experimento dire&e inveftigare conititui , quantum tuborum vis repel- lens , fi quae effet, in deprimendo mercurio valeret. Itaque animadvertebam vim repellentem ab aere non oriri , nee ab aeris actione ullo modo mutari (i) opor- tere, adeo ut, fi quae differentia effet vis repulfivae inter binos tubos barometricos , eadem etiam in iis apertis fe proderet . Binos igitur tubos , quorum unus duas lineas patebat in diametro , alter vix unam , ita inferiori extre- mitate jungendos curavi, ut deinceps flexi furfum norma- liter erigerentur, jun&urae autem locus effet in media in- feriori parte. Tuborum parietes eamdem propemodum craffitudinem habebant , eodem vitro conflati fuerant , al- titudo erat eadem, quanta barometrorum effe folet , erar autem uterque apertus in fuperiori extremitate. Hos mer- curio implevi ad earn altitudinem , ad quam mercurius in barometro fufpenditur , ut differentia altitudinis mercurii in binis tubis differentiam vis repulfivae in barometris ejuf- dem diametri oftenderet : veruntamen mercurius ad libel- lam propemodum compofitus eft, ut vix tenia , quartave lineae parte in anguftiori tubo depreffior deprehenderetur. Dum vero hoc experimentum cum iis comparabam , quae CI. Galeatius infiituit, in quibus nempe inter barometra ejufdem diametri differentiam altitudinum trium linearum fuiffe obfervavit ( k ), verofimillimum videbatur depreflio- nem earn barometroium a Balbi obfervatam vel plane totam , ( « ) Sigor»n« 1. c. §. 313. (if) P. 309. 310, II totam , vel falrem maxima ex parte alii cauffae, quam vi tuborum repellenti effe adfcribendam . 7. Dum haec tentarentur, Eques Salutius novam indi- cavit experiment! fpeciem , quae rem totam mirifice illu- ftrare non tantum poffet , verum etiam fola quaeftioni ab- folvendae fufficeret r propofuit nempe , ut communicantes barometrici tubi, quibus in fuperiori experimento ufus fue- ram (6) mercurio implerentur , turn in vas mercuriura continens inverterentur ; fie enim bina barometra inae- qualis diametri effe proditura , quae cum commune in fu- prema parte vacuum fpatium haberent, aequalem etiam a refiduo, fi quis forte remaneret, in ea parte aere preffio- nem paterentur , atque adeo folum effeclum vis repulfivae fuarum altitudinum differentia certiffime definirent . Eos igitur tubos iterum replevimus, & candentium pru- narum calori expofuimus, ut roercurius ebulliret, ficque prodeuntes ab ipfo aereae bullae per immiffum, blandeque commotum filum ferreum educerentur : his peraclis, inver- fifque tubis eamdem fere ac in fuperiori experimento alti- tudinum differentiam invenimus , quae fcilicet tertiam, quartamve lineae partem aequaret . 8. Quidquid igitur de priori experimento fentiendum fit (6), poftremo (7) difficultatem omnem tolli, & no- ftram fenreiuiam luculentiffime confirmari cenfemus. Erant enim bina barometra , quae in reliquis cum Academicorum Bononienfium barometris omnino convenirent, atque adeo vis repulfivae effe£tum non minus , quam ilia oftendere de- berent: quapropter cum Bononienfes Academici multo ma- jorem altitudinum differentiam obtinuerint , concludendum omnino eft, copiofiori aeri in minori barometro reliclo eam- dem effe adfcribendam , quum commune in noftris baro- metris vacuum fpatium nullam hujufmodi differentiam ad- mitteret. Voluimus etiam experiri, num ex admota glacie id fupremam partem altitudo mercurii adaugeretur , & B 1 magis 1 a magis quidem in anguftiori barometro , num contra ex admoto calore minueretur, & magis quidem in minori , id enim ex Balbi theoria fequebatur , cum noftra contra- rium fuaderet; altitudinum namque incrementa, & decre- menta in utroque tubo aequalia futura erant , fiquidem ex condenfatione, & rarefa&ione relicli in vacua parte com- munis aeris penderent , cum inaequalia efle deberent, fi ab au£ta , vel minuta tuborum vi repellente orirentur . Sed fruftanea fuit in hanc rem adhibita opera ; neque enim vel ex admotis calidis linteis , vel ex admota glacie rner- curii altitudo in tubis mutata eft; deinceps vero cum ae- ris aliquae bullae in earn vacuam partem confulto admif- Cae fuiflent , tunc equidem glaciei frigore mercurium ele- vari , ex linteorum calore iterum deprimi obfervavimus , ut tamen altitudinum incrementa, & decrementa in utro- que tubo ad amuflim aequarentur : ex quo fit manife- lium mercurii altitudinem ex frigore, vel calore non mu- tari , fiquidem fuperior barometri pars aere accuratiflime vacua fit, quod vero incrementum , vel decrementum ex calore, & frigore obfervarur, id reli£to in ea parte aeri tribuendum efle, qui aequalia incrementa, & decrementa cfEciat,fi communis, & aeque denfus in utroque barome- tro fit, quemadmodum in nolt.ro experimento contingit, inaequalia vero, fi inaequali copia, & impari denfitate re- linquatur, quemadmodum in Bononienfium barometris ac« cidifle ex haclenus diclis colligi pofle cenfemus . 9. Eofdem tubos iterum mercurio puriflimo implevimus, & pari induftria aere expurgavimus , eamdemque altitu- dinum differentiam obtinuimus . Iterum pariter glacie per immiflum nitri fpiritum admodum refrigerata, & canden- tibus bra&eis ferreis fupremam partem refrigerare, & ca- I-efacere per vices curavimus; at non minus fruftranea ope- ra noftra fuit , cum aeque immobilis , ac in priori tenta- mine mercurius perftitiflec. 1 0. Eof- »5 10. Eofdem ctiam tubes ex utraque parte apertos in vas mercurio plenum injecimus, ut depreffionum differen- tiam reperiremus, eamque iterum tertiam, quartamve lineae partem non excedere obfervavimus , in qua conilanti ex- perimentorum confenfione (6.7.9.) veritatis non leve ar- gumentum ineffe confideranti patebit . 11. Aliqua quidem nafcebatur difficultas ex iis experi- mentis , quae in vacuo boyleano a Viris CI. capta fiint : in quibus nempe edu£k> aere , & mercurio in utroque barometro defcendente, au&aque adeo vacuae partis capa- citate, differentia tamen altitudinum eadem perfeverabat , id enim CI. de la Grange experimento in primis adverfabatur. Etenim fi in eo experimento imminuta vacuae partis ca- pacitate differentia altitudinum augebatur , aufta in hoc experimento eadem capacitate differentia imminui fimilirer debuiffet . Legebamus quidem Plantadium obfervaffe in montibus ultra centum hexapedas altis omnem differentiam, fublatam fuiffe , quod cum Bononienfium experimentis oppo- neretur noftrae theoriae, & experimentis apprime erat con- fentaneum :quamquam enim ipfiproponantin Plantadii obfer- vatione vi frigoris in montibus earn differentiam fublatam fuiffe, cum ramen, ut demonftravimus, frigus differentiam non minuat, nifi relifti aeris elafticitatem minuendo minime dubium videtur, id etiam magna ex parte ex defcenfu mer- curii, &c ejufdem aeris rarefa&ione contigiffe , ex qua non minus quam ex frigore ejufdem elafticitas minor evadit. 11. Ea igitur experimenta repetenda fufcepimus, ut fi fieri poffet , diverfitatis cauffara affequeremur : & revera maximam in iifdem varietatem invenimus . Quando enim barometris utebamur , quae fupra candentes prunas aere expurgata non fueranr, inter exanthlandum altius barome- trum deprefliori aequale evadebat, 6k ceffante emboli mo- tu priftina differentia redibat , quemadmodum Bononienfes pbfervarunt } alias , quando accuratiffime fupra candentes prunas »4 prunas barometrorum mercurius aere fuerat repurgatus, du- rante emboli motu amplius barometrum deprimebatur, & in eadem depreflione etiam ceflante emboli motu perma- nebat, quod cum Plantadii experimento in primis conve- nire videtur. Arbitrabamur iutque in priori cafu , ceflante emboli motu, novum aerem , & quidem copiofius in an- gufliori barometro ex parietibus labente mercurio dete&is, vel ex mercurio ipfo prodiiffe , eumque aerem priftinam differentiam reftituiffe , quod in barometris aere expurga- tis fimihter contingere non potuerit . 13. Revera hafce defceniuum anomalias aeri in fupre- ma barometrorum parte contento, vel deinceps a mercu- rio , aut vitro erumpenti tribuendas efle demonftrat expe- rimentum barometris communicantibus in machina pneu- matica inftitutum ; ea quippe barometra , quae eandem propemodum, ut di£tum eft (7), altitudinem habebant, dum aer educeretur , aequali omnino celeritate defcende- bant, & eamdem altitudinis aequalitatena fervabant etiam quiefcente embolo, & fimiliter aere in recipiens pneuma- -ticum pedetentim admiffo pari gradu afcendebant , ut aeque alta perpetuo remanerent . 14. Supereft y ut moneam Mufchembroeckium , D.efa- gulierium , Sigornium , aliofque primae notae Phyficos oftendifle, mercurium a vitro non folum non repelli, quin potius ab eodem attrahi j depreflionem autem mercurii in capillaribus tubis fieri docuifle exceffu vis attrahentis par* tium mercurii inter fe fupra vim attrahentem vitri (/); quapropter cum ea attraclionis differentia locum non ha- beat, (/) Mercurium abfque vi repellente deprimi pofle cognovi , dum ip- fum inter aeneam bracleam ad acutiflimum angiilum flexam ita in cur- ram finuari obfervavi, ut maxime depreflus prope angulum effet, & eo elatior , quo magis brafteae crura divergeient, non fecus ac inter Titreas laminas contingat . Mercurium autem ab aere repelli nemo dt- xerit , cum in eo ipfo experimento aeneae laminae margo in mercurium immerf us eodem imbutus , infeftufque fit & mercurius a Chymicis cum acre in amalgama uniatur ckc. 1* bear, fi barometrum ex unico inflexo tubo conftruatur , abfque eo quod in fubje&um vas mercurio plenum immer- gatur , patet modus , quo in anguftiflimis etiam barome- tris mercurii depreflio ab ea caufla orta declinari poffir. Hoc autem artilicium etiam in hypothefi vis repellentis ipfius effeftus praecavebit; cum enim vis repellens perin- de ac vis attrahens, fi quae fit in tubis, eadem remaneat quaecumque fit ipforum longitudo , & quantacumque ip- forum pars in attra&um , aur repulfum fluidum immerga- rur (ot), manifeftum fit repulfionem mercurii in barome- tro haerentis a repulfione ejufdem in altero crure elidi t ac corrigi debere . DE CORRIGENDIS BAROMETRORUM ERRORIBUS EX CALORE, ET FRIGORE NATIS. I. "O Arometrorum mutationes non folum ex variata _D atmofpherae preflione ortum ducere , verum etiam ex vario caloris gradu, qui mercurii denfitatem im- mutet a longo jam tempore Phyficis innotuit , faclumque propterea eft , ut erTe£tibus caloris a graviratis effeftibus diftinguendis ab eo tempore incubuerint t veruntamen cor- re6tiones hujufmodi propofuerunt , quae pro unaquaque barometri obfervatione experimenta requirerenr, aut com- putationes , quorum alterum difficile erat, alterum incom- modum . Laudabile proinde vifum eft Ludolff confilium , qui in monumentis Acad. Sc. Berol. (a) talem correftio- nem propofuir , ut abfque experimentis , & abfque com- putis ex folius fcalae barometricae obfervatione vera at- mofpherae preflio quocunque tempore cognofceretur . Id duntaxat (m) Quae de artra£t!one Sigornius demonflrat §330. 375. ad vim repulfi- vam transferri facile poilunt, cum eae vires noa nifi ob contrariam di- reflionem inter fe differant . (a) An. 1749. i6 duntaxat in ea corre&ione incommodi fupererat , ut fca- lae conftru£Ho , quam Vir CI. exhibuit non admodum facilis , & expedita videretur , & thermometri comparatio- nem perpetuo poftularer . Cum itaque de eo etiam incom- modo tollendo cogitarem, CI. de la Grange ea de re collocutus fum , qui unica obfervatione problema hoc ita ab- foluit , ut nihil in hac re defiderari amplius poffe videa- tur . Inquiebat enim incrementum altitudinis mercurii ex dato caloris gradu natum effe , ut ahitudinem columnae mercurii , quae ei calori exponeretur , ac proinde fi ba- rometra ex unico inflexo tubo conficerentur , ita ut in crure altero mercurii altitudo unius tantum , aut duorum. pollicum effet , rarefa&ionem mercurii, & condenfationem in eo crure tam exiguam altitudinis differentiam effe ef- fe&uram , ut negligi tuto poffet ; nil igitur aliud effe fa- ciendum , nifi ut fcala altitudinum breviori barometri cruri apponeretur ; (ic enim afcenfus , ac defcenius , ex mutata aeris gravitate natos aequae percipi , interea dum mutationes ex calore produ&ae fenfibilem errorem non parerent . r. Cum porro quantum mercurius in uno crure adfcen- dit , tantundem in altero defcendat , & contra , variatio altitudinis mercurii fupra libellam dupla eft fpatio a mer- curio defcendendo , vel adfcendendo percurfo : quapropter ut fcala veram altitudinem fupra libellam fignificet in hac loco pollicum femipolhces , linearum loco femilineae ponen- dae funt , & pro integris pollicibus, ac lineis integris deinceps affumendae ; inde autem conftat in hac barometri fpecie errores a rarefaftione natos duplos effe ipfa rarefaftione . 3. Quod fi igitur quis paullo acuratior , & diligentior errorem quoque ex minoris cruris rarefaftione natum (1) declinare cupiat , in promtu corre&io eft ab eodem fonte petita : fi enim binae fcalae conftruantur, quarum una ba- rometro ip(i apponatur, altera breviori barometri cruris ita '7 ita ut haec adfcendendo imminuatur, ilia adaugeauir, quamdiu mercurius id eadem denfirate perfeverabir, utra- que fcala eundem gradum oftendet , mutara vero den/ita- te , diverfi gradus ptodibunt, quorum femidifferentia totius voluminis incrementum , vel decreraentum fignificabit • Poterit autem in fcalis aptandis certa , & determinata mercurii denfitas affumi , quod nos in noftris barometris parandis praeltitimus: tubo enim cartaceo totum barome- trum inclullmus, & comminuta glacie intervallum reple- vimus , ur in utroque crure congelationis frigore mercu- rius condenfaretur . Deinceps mercurii altitudinem in utro- que crure filo notavimus , & differentia altitudinum in- venta , ad utrumque crus opportunam fcalam aptavimus , quae earn differentiam exprimeret (2) . 4. Similibus pera&is fpatium a mercurio congelationis tempore occupatum, quod aequale eft longitudini cilindri intra cognomines quofcumque utriufque fcalae gradus in- tercept, femel dimetiendum eft; huic enim fi addatur, tota mercurii rarefa&io (3) habebitur , quocumque tem- pore volumen mercurii rarefa£ti . j. Porro altitudo mercurii in minori crure eft minor vera dupla quantitate rarefa&ionis (1) in eodem crure; rarefa&io autem tota aequatur fummae duplae rarefaclio- nis in minori crure , 6k rarefaftionis mercurii fupra libel- lam exiftentis : quare fi altitudini minoris cruris addatur rarefa£tio tota , habebitur altitudo vera au&a rarefaclione mercurii fupra Jibellara exiftentis , feu au&a fua rarefa- ftione . 6. Quare fi fiat , ut volumen totius mercurii rarefa£U ad volumen ejufdem condenfati ( 4 ) ita altitudo mer- curii rarefa£ti fupra libellam (5) ad quartam proportiona- lem , haec dabit veram mercurii altitudinem ( b ) . C 7. Haec {t ) Scalarum conftru&io ea eft, ut gradus in inferiori defcendant , dum m fupeiiori afcendunt , quo fit , ut cxtiemitates columnae mercurii fri- i8 7. Haec autem corre&io turn accuratioribus , ut dixi- mus, fatisfacere potefr, turn ufui effe , quando mercurius defcendit per infignem altitudinem , & propterea rarefa- £Ho minoris cruris infigniter augetur , quod in altiffimo- rum montium altitudine barometri ope dimetienda fere contingit , quando corre&ionis ufus in primis neceffarius videtur ob frigus in moniibus magis , magifque plerurn- que adau&um , prout loci altitudo adaugetur. Coeterum cum afcenfus mercurii in minori crure, ex maxima atmo- (pherae mutarione fit unius pollicis cum dimidio , fi mi- nima mercurii altitudo in eodem crure ponatur femipol- licis , erit altitudo maxima duorum pollicum , atque adeo ejus rarefaftio erit ~ circiter rarefaftionis in crure majo- re, & altitudo ab ipfo crure notata pro vera aflumi ple- rumque poterit abfque fenfibili errore . 8. Hoc gore glaciali condenfati Temper ad gradus cognomines pertingant , qui gradus exprimunt altitudinem ejufdem mercurii condenfati fupra libel- lam ; fit itaque in hoc mercurii ftatu numerus graduum , quern utraque fcala quocumque dato tempore exhibet , = r , & immutato atmo- fpherae pondere ponamus mercurium fubito rarefieri evidens , eft quan- titates materiae in unaquaque columna eafdem remanere debere , dum ejufdem volumina per fpatia quaevis augebuntur . Exprimantur haec co- Iumnarum incrementa per m, & n, & quoniam menfurae graduum in fcalis dimidiae tantum funt verarum , prodibunt in fcala fuperiori gradus r ± 1 n, & in inferiori r — 1 n ; hi funt gradus , qui ex immedia- ta obfervatione femper habentur . Sit itaque numerus graduum in fcala fuperiori a mercurio notatus = a , & numerus graduum refpondens in inferiori = i, & erit r -J- 1 m — a ; r — 1 n =3 b fubtrahatur haec aequatio ab ilia, & refiduo per 1 divifo exurget m \ n -ss — — - > quae adeo erit aequalis rarefa&ioni totali . Addantur nunc ambae aequa- tiones , & fummis per 2 divifis habebimus =: r ■+■ n — n, quae formula, ut videre eft exhibet volumen primum mercurii fupra li- bellam , cum fua rarefaclione , quae aequatur differentiae rarefaftionum ambarum columnarum . Si iraque c fit longitudo totius cilindri mercu- rialis frigore condenfati ; fi-quentem analogiam poterimus inftituere '• * — * *•*-& ta^-cb ,. ... .. ' T ~~ !« ^= : — :, quae quarta propornoiialis exaibebit » a ic-t-t—b n n r r quocunque tempore altitudinem mercurii fupra libellam ad euhdem fetm- per condenfationis flatum redafli. «9 8. Hoc porro barornetrum quanquam duplo minus fen- fibile fit, quam reliqua , plures tamen utilitates complecli- tur , quod nee fcalam mobilem poftulet , nee obnoxium fit depreflioni ex tuborum anguftia natae , nee demum ob caloris, frigorifque viciflitudines, in errorem inducat. DE FALLACIA METHODI DIMETIENDI QUANT1TATEM ATTRACTIONiS . INquifiturus , num aliqua^, & quanta mercurium inter, & vitrum adhaefio intercederet, utebar methodo aTayloro, aliifque tradita , ex altero nempe bilancis brachio vitrum planum fufpendebam in fitu orizontali , &. appofito in al- tero brachio aequipondio, fuppofitoque mercurio, vitri infe- riorem fuperficiem mercurii fuperficiei aptabam, & ex pon- dere in altero bilancis brachio addendo ad vitrum e mer- curio divellendum adhaefionis vim metiebar, cumque non exiguum pondus ad id requiri experirer , maximam mer- curium inter , & vitrum adhaefionem ea methodo me in- veniffe , ac demonftraffe exiftimabam. Fallacem methodum efle amice monebat Ludovicus de la Grange , eamque adhaefionem externi aeris prefiioni aut totam , aut ex parte efle adferibendam , cumque refponfionis loco nihil fuppe- teret , quod afferrem , nifi CI. Virorum au&oritatem , qui ea methodo eodem fcopo faepe ufi fuerant , ad experi- mentum provocabat inter corpora , inter quae nullam adhaefionem efle, apud Phyficos in confeffo eflet. Itaque unanimes id ipfum experimentum vitro oleo madido,fub- jefta aqua tentavimus , fed magnum quoque pondus ad id vitrum ab aqua divellendum neceflarium fuiffe invenimus ; obfervabamus duntaxat , majus , minufve pondus requiri , prout contains magis , minufve eflet accuratus , prout nempe plures, pauciorefve aeris bullae vitrum inter , & aquam effent interpofitae. Cum autem in eo experimento C x ve- 1 o reri liceret , ne olei ftratum minus craflum eflet , quarn ut fufficere pofl'et vitri , Sc aquae adhaefioni prohibendae aliud in hanc rem libuit inftituere . Nempe vitrum ope- ruimus febi ftrato ultra femilineam craffo, & nihilomiruis idem fuit experimenti exitus, ex quo conftitit novem , & ultra unciarum pondus neceffarium tuifle ad fuperficies 10. circiter pollicum quadratorum divellendas . Sebum porro omnem aquae ad vitrum adhaefionem impedire Phyfici confentiunt , & demonftrat experimentum , quo tubi ca- pillars intus febo inunfti aquam fupra libellam fufpenfam non retinent , obfervante Signrnio, ex quibus conficitur earn methodum a Phyficis adhibitam, veram adhaefionis menfu- ram non praebere . DE ASCENSU, ET DESCENSU THERMOMETRORUM VARUS LIQUORIBUS MAOENT1UM EX INFLATO VENTO . THermometra humida , fi vento ejufdem temperaturae perflentur , aut fi ventus ipfe humidus fit, infigniter deprimi Muffchenbroeckius fcribit (a), quod porro phe- nomenon cum fingulare videretur , libuit vanis liquoribus rem eamdem tentare . Talis autem fuit experimentorum exitus. Aqua, vini l'piritus, acetum , lac , cremor iaclis thermo- metri delcenfum praeilabant ; petroleum, effentia caryo- phillorum , oleum olivarum , oleum lini adfcenfum efficie- bant , ac demum oleum Tartari per deliquium ad aeris temperaturam redaftum nihil mutabat, adeour, iriflato aere, thermometrum immobile permaneret. Ut autem certiores fieri poilemus , num revera ex vento thermometrum ad- fcenderet , aut defcenderet , fi de iis liquoribus quaeftio erat , qui adtcenfum faciebant , iii'dem frigidioribus uteba- mur , (*) Effai de Phyfique §. 961. 1 1 rour , qua hi eo tempore atmofphaera efiet ; fie enim in- flato vento prius ad atmofphaerae calorem affurgebat ther- mometrum , dein flatu continuato majorem altitudinem affequebatur , & poltea in aere reli&ura ad atmofphaerae temperaturam redibat , ac demum fi in eum liquorem im- mergeretur , iterum defcendebat. Contra autem , quando de liquoribus agebatur , qui defcenfum facerent , eofdem calidiores parabamus, quam atmofphaera eflet, ut pariter venti effe&um exploratum , certumque haberemus . Recenfita porro experimenta nulli haftenus cognitae ignis, calorifve proprietati accommodari poffe videntur . Si enim dicas , vi falium in aere contentorum, liquores, quibus thermometra madent , refrigerari , aut incalefcere, qui vero fit, ut oleum tartari, quod maximam cum aci- dis per atmofphaeram diffufis efTervefcenriam efficere , maximum inde calorem producere deberet, nee minimum pariat caloris , aut frigons gradum? Sin vero ad attritum confugias aerem inter , & liquores , quibus afperfa thermo- metra funt , primo quis dixerit ex aquae , & aquoforum humorum attritu frigus produci ? deinde vero ha&enus in ea theoria illud firmum , ratumque habitum ert , quod calor non folum attritui refpondeat , verum etiam liquorum in- doli plus, minufve pinguium, atque adeo magis, minufve infiammabilium , a qua quidem lege noftra experimenta longiffime abfunt. Quid enim macrius oleo tartari? quid vini fpiritu inflammabilius ? quid pinguius la&is cremore ? verunramen oleo tartari nullum frigus gigni , ingens ex vini fpiritu , & cremore laftis oriri, ipfa experimenta con- ftantifiime docuerunt. Nobis igitur rem ipfam propofuifTe furTecerit; rei cauffam diligentioribus inveftigandam relinquemus , forte etiam nos ipfi aliquando proponemus ; experimenta enim aliqua in- choavimus , quae (i eumdem eventum conftanter habeant, ad hanc , aliafque caloris, frigorifque cauflas aflequendas con- ducere poflint. DE 21 DE CAUSSA EXTINCTIONS FLAMMAE IN CLAUSO AERE. i. Z^UM Eques Salutius definire ftuderet , num elafti- V_> cum fluidum a pulvere pyrio erumpens alendae flammae aptum effet ; quaeftio exorta eft cur claufo in fpatio flamma diu vivere nequeat , eaque occafione va- riae Phyficorum de hac re fententiae in medium prolatae funt , ut fi fieri poflet , potiflimara , ac veritati proximara aflequeremur . 2. Inter caeteras Celebris ilia adducebatur, qua flammae extin&io vaporibus haeterogeneis tribuitur ab ipfa erumpen- tibus , quibus inclufus aer abforbeatur, aut ejus elafticitas deftruatur , unde is , qui refiduus eft minorem elafticita- tem exerceat , quam fuftentanda flamma poftularet (a)« Hanc vero non levibus difficultatibus obnoxiam efle pro- ponebam , cum vix ad aliquot pollices elevato mercurio claufo in fpatio flamma extinguatur (£), etfl in monti- bus , ubi longe rarior aer exiftit , quam commode vivat ; quod fi a vaporibus , ac fuligine flamma extingueretur al- coholis flammam diutiflime claufo in fpatio vifturam efle colligebam , cum ab eadem fuligo nulla emanet , nee nifi aquei vapores aliqui erumpant (c): quoniam vero diverfus fuit experimenti exitus , & alcoholis flamma citius quam febi, (a) L' on ne doit pas attribuer J la perte de I* eTprit vital de 1* air l'extin* ftion de la flamme de la chandelle , & des meches fous des recipiens , mais aux vapeurs fuligineufes , & acides, dont 1' air fe charge, & qui detruifant 1' elafticite de cet air, empechent , & retardent 1" aftion , 8c le mouvement elaftique du rede. Statiq. des vegetaux exp. 117. p. 113. ( I ) Port abforptam •— aeris flammam extingui Mayovv, poft abforptum >-• Haleflus tradit 1. c. exp. 106. p. 200. 201. : imo , ne uno quidem pol- lice elevato mercurio, flammam extinclam fuifle ipfe Haleflus tradit 1. t> exp. 115. p. 113. 224. (c) Boeirhauv. clem, chera. t. 1. p. 170. 171. edit, parif. *5 febi , aut pinguis olei extin&a eft , mea exinde magis du- bitatio augebatur ( d ) . 3. Interea Ludovicus de la Grange experimento alia prioris opinionis infirmitatem evincebat. Accenlam fcilicet candelam ita vitreae campanae fuppofuit, ut campana ipfa fpatium non clauderet , fed ejus inferior limbus a tabula , cui candela infiftebat , aliquot tranfverfos digitos diftaret , at flammam non minus perire obfervavit j quanquam am- pliflimus externo aeri fub campanam aditus pateret,quare nobis etiam apertius perfuadebatur ex defeftu aeris , aut ejufdem abforptione claufam flammam non extingui . 4. Cum id Vir induftrius obfervaflet , explorare infuper coepimus , num intra recipiens in fuprema parte amplo foramine pertufum flamma vivere poflet, fed fimiliter ex- tingui experti fumus : Jam igitur binos in fuprema parte hiatus experiri libuit , quos fimiliter fuftentandae flammae ineptos effe comperimus , turn vero obfervavimus foramina non majora flammam fervare , fi alterum in fuprema re- cipientis parte, alterum in infima pateret, cumque varias apertionum pofitiones , variafque earundem combinationes Ludovicus de la Grange fimiliter tenrandas propofunTet , ad id Eques Salutius lanternam ex albo ferro conftruendatn curavit , qua undique accurate claufa erat ; fed duobus in fuprema parte foraminibus hiabat , duobus in media , to- tidem in infima y quorum unumquodque pollicem circiter diametro patebat, & fubere obturari pro lubitu poterat . 5. Hac u(i, obfervavimus bina oftia fuperiora , aut me- dia , aut infima fuftentandae flammae non fufficere , fuiHcere au- ( nee nifi ea direclione e lanterna prodire poteft ; ut autem expellatur necefle eft externum aerem , & quidem per in- ferius foramen, eidem fuccedere; nam ft externo aeri per fuperiora tantum foramina aditus pateat, is fuo nifu rare- faclum aerem , qui contraria dire£tione prodire conatur , intra lanternam coercebit, nifi tanta fuerit fuperiorum fo- raminum amplitudo, ut ingrefluro , & egreffuro aeri eodem tempore tranfmittendo fufficiant , quo in cafu per ea fola foramina aer renovari poterit, & flamma fervari: & hanc quidem theoriam experimento alio de la Grange confirmat (4); nam lanternae oftio inferiori patente, ad oftium fu- perius tubum curvum accommodat, qui fi furfum vergit, flam- mam fervat , fi deorfum, eandem fuffocat, quod fcilicet fur- fum vergens , aeri rarefa&o, & ad fuperiora tendenti adi- tum praebeat, deorfum dire£tus, aeris rarefafti direclioni opponatur , eundemque intra lanternam coerceat. Ex his etiam deducitur, in experimento Equitis Salutii, unico fora- mine flammam vixifle , non quod foramen fuperiora modo, modo inferiora teneret ( 5 ) , fed quod ex agitatione per unicum etiam foramen aer renovaretur, qui, lanterna quie- fcente , renovari non potuiflet . 13. Id igitur commodi habet propofita machina, ut ae- rem renovet, quando fponte non renovaretur, adeoque iis in locis flammae fuftentandae infervire poterit, ubi ob loci figu- (t) Jam aliqua nlis machinae (pedes apud Boyleum extabat ( nov. exper. de relat. inter flammam, 8e aerem exp. 4. p. 11. ), qui folli communi , & in pofteriori parte aperto ad renovandum aerem utebamr. figuram aer circa flamraam fponte renovari non poteft , quae ob earn cauflam cito fuff)catur. Quum vero ea renovatio per quaevis minima foramina eo paclo perfici pofiit , per quae ignis fcintillae tranfmirti nequeunr , machinam ean- dem utilem efle pofle cenfemus , fi quando nofturno tem- pore pulvis pyrius conficiendus , aut aliquo modo pertra- ftandus fit, cum omni incendii periculo vacet : in ea autem machina valvulas fupervacaneas fuifle pofteriora experimen- ta (i8,&feq. ) demonftrarunr . Et priorem quidem theo- riam ( i j , 16) minus accuratis experimentis (13) innixam miflam feciflemus, nifi ejus fama evulgata fuiflet . Noftrum igitur efle duximus magnorum virorum exemplo candide rem totam profited , eoque libentius id fecimus, ut often- deremus CI. Viris , quorum fententias alicubi minus pro- bavimus , nos non contradicendi lludio, fed veritatis amore in id adduclos fuiiTe , cum eandem nos in emendandis opinionibus noftris feveritatem, quam in aliorum fententiis perpendendis adhibuerimus. 14 Poftquam folum aeris circuitum flammae fervandae ineptum efle comperimus , tela lanea oleo tarrari imbuta tuborum orificium Eques Salutius munivit , ut aer per illam trajeftus a vaporibus expurgari poflet ; Halefii , ut ita di- cam ^ conjeftura excitatus (/) , veruntamen flamma cito interibat . His non contentus fuperius aperti recipients oftium ampullae ventre replevit , & commifluras glutina- vit , venter autem ex contenta aqua frigidus fervabatur , eoque artificio aerem a flamma fub recipiente pofita rare- faftum , & admixtos vapores refrigerare , ac condenfare contendebat , ut flammae vita produceretur ; fiquidem ex nimia ambientis aeris rarefa&ione , aut admixtis vaporibus interiret : fed hoc tentamen non minus inutile fuit , quam praecedens, idemque fuit eventus, quando refrigeratorium, E & 34 5c filtrationem fimul adhibuit , cum inde flammae duratio fenfibiliter produ£ta non fuerit . 15. Tum ego non per telam tantum liquore imbutam, fed per craffum diverforum liquorum flratum aerem flam- mae circumpofitum crebro trajiciendum luafi , cum fupe- rioris experiment! (13, 14) apparatus opportunus eflet , dummodo brevior alterius tubi ramus, per quem aer in re- cipiens reftituitur , ad liqupris fere libellam frangeretur. Ita enim exhantlato aere ex altiori ramo , flcque elevato liquore , brevioris rami aperturam liquore ipfo tegi opor- tebat , & propterea aer per earn aperturam impulfus , in recipiens penetrare non potuiflet , nifi per fuperpofitum li« quoris ftratum bullarum fpecie permearer, qua trajeftione non modo a vaporibus expurgari , fed & refrigerari , ac condenfari debuiflet : ad praeveniendam vero liquoris in breviorem immerfum tubum , indeque in antliam pneuma- ticam irruptionem Eques Salutius ipfura non re&a ex an- tlia in vas aquam continens deduci , fed in arcum flefti curaverat , qui continuus non erat , fed in fuprema parte interpofita phiala vitrea interruptus, ut in ipfam abforptus liquor proprio pondere deponeretur. His ita paratis aerem per aquam , per oleum, per nitri folutionem , per fortem folutionem falis tartari fucceflive trajecimus , fed flammae recipient! inclufae vita haud fenfibiliter inde protracla fuit. 16. Quoniam igitur conditerat non firno , aut aqunfis vaporibus (1, 24, 15), non abforpto aeri, aut deftruftae ejufdem elafticitati (3,4), non ipfius rarefa&ioni, propter quam ad flammam circa elycnium coercendam ineptus evadat (14,2s), flammae extinftionem claufo in fpatio tribuen- dam efle, unica fupererat hypothefis a Phyficis propofita, quod fcilicet flammae nutrimentum claufo in acre conten- tum a flamraa brevi abfumatur (g), & id quidem nutri- men- (g) Qu^e Boylei conjeftura eft in fufpic. de latent, aer. qualit p. 8 , 8* Muflcenb. EfTai de Phyfiq. §. 999. , 8t Laghn Com.ncn. Bonon. t. 4. pag. 88. 35 rnentum a nitrofis falibus per aerem diffufis in primis or- tum ducat : quae hypothecs aliquam veri fpeciem praefe- fierre videbattir, turn ex eo, quod caeteras reijciendas efle expertmenta demonltraverant , turn quod pinguia corpora nirraia , ut pulvrs pyrius , vel in vacuo boyleanoflammam concipiant ; fperabam igitur candelam diutius intra claufum ipanum vi&uram , (i nitro pulverato elycnium , & febum impergeremur , fed aeque cito extincla eft . Eques vero Saiurius rem eandem aliter tentavit. Nam campanae, qua flarnma tegebatur , limbum , in nitri fpiritum fumantem im- merlir , ut inde erumpentes nitrofi fpiritus per campanarn dilperll tlammam circumdarent, fed fimiliter flammam pe- rire obfervavit , ac fi aqua , vel liquor alius loco nitrofi fpiritus campanae limbum obtegiflet . Hypothefim itaque confumti pabuli perinde ac caeteras experientia edofti de- ferendam efle intelleximus . 27. Id nihilorninus certum permanere videbatur aerem claufo in fpatio ab inclufa flamma vitiari, cum eamdem diu- tius alere nequaquam poflet , etfi quale hujufmodi vitium efler, detegi nondum potuiflet : quapropter experiri volui,num aer, in quo flamma fponte extincla fuerat , alteram flam- mam inje&am fuffocaret ; proinde fub campanarn vitream difpofitam ut §. j. accenfam candelam per inferiorem aperturam infinuabam , & poflquam fponte extinfta fuerat, accenfam aliam per eandem aperturam immittebam: tem- poris momento fuffocabatur , imo poft aliquot minuta ac- cenfa candela immifla fimiliter penbat, ex quo canfirmatur per unicam etiam amplam campanae aperturam aerem fpon- te non renovari (13); idque in caufla efle cur intra ipfum flamma diu vivere non poflit . 18. Cum itaque aerem flamma ita perverti obfervarem, ut poft aliquot minuta temporis eandem indolem retine- ret flammae exitialem , inquirere praeterea conftitui , an non longiori temporis intervallo, refrigerato aere,&flam- E 2 mae 3* mae vaporibus ad latera excipuli fubfidentibus , priftinam falubremque naturam aer ille recuperaret : quoniam vero aer intra campanam reli&us, quae inferiore parte patebat ( $. praec. ) , leviori quacunque vicinorum corporum agi- tatione fenfim fenfimque renovari potuiflet , idcirco malui fupra lancem metallicam duobus rotundis foraminibus per- viara campanam eandera glutinare . Per alterum foraminum in lance patentium fipho vitreus mercurium continens tra- du&us fuerat, & cera firmatus , per alterum accenfa can- dela in recipiens infinuari poterat, & interim mollis cera, cui candela infitlebat , foramen illud obturabat . Extin&a itaque candela vidimus mercurium in fiphone contentum adfcendifle, ob condenfationero fcilicet aeris , qui a flam- ma fuerat rarefa£tus , forte etiam ob ejufdem abforptionem, & mercurii fupra libellam fufpenfio per tredecim , & ul- tra horas perduravit , quod nos certiores fecit toto eo tem- pore extericri aeri in recipiens aditum denegatum fuiffe , proinde aerem renovari non potuifle . Eo tranfa&o tempo- re , imo 6k multo antea recipients cavitas limpida facia fuerat , & ad latera vitri ros fuerat depofitus ex fumis , vaporibufque extin£tae candelae in liquorem condenfatis . Turn igitur candelam prius exrin&am, quae obturaculi inftar erat, leniter eduxi, ne aer recipiente contentus commove- retur , & accenfam aliam per id foramen in recipiens in- ftnuavi . Vix flamma intra recipiens penetraverat, cum repente extinguebatur, perinde ac fi in aquam immergeretur (A). Quod cum oftenderet aerem flamma vitiatum diu id vitium retinere, conflrmare videbatur ejufmodi vitium, neque ca- lori, ( h ) HaleGus accenfam candelam Tub recipiente pofitam.in quo alia mox extinfta fuerat , non flatim fufTocari obfervavit, fed — temporis perdurare , quo prior candela rixerat ( pag. 101. ). Verunramen id evenilfe viderur , quod A net >r recipiens e loco morere , & ab aqua , in quam immerfum erat , eximere debuerit , ut accenfam candelam illi fubilitueret , quae mox fuerat extinela, illifque commotionibus recipientis aerem ex parte ita renovaverit , ut thmma aiiquamdiu vivcre potuerir . ?7 Iori, qui jam dudum diftipatus fuerat, neque vaporum mix- tioni, qui condenfati fubfederant, effe adlcribendum . Z9. Poftquarn comperiflem , aerem per flammam tradu- fium, flammae alendae imparcm effici, in lanterna, quam defcripfi §. 4. , duo tantum verticalia foramina aperta re- linquebam , & accenia candela intra iplam inclula , fupe- riori foramini flammam admovebam* extinguebatur. Aer fci- licet ab inferiori foramine ad fuperius movetur (7); propte- rea flamma fuperiori foramini admota aerem recipit per flammam lanternae traje&um , qui prava fua qualitate ean- dem fuffocat ( §. praec. ) . 30. Quod fi inferiori foramini flammam admoverem , candela lanternae inchifa extinguebatur ; quod nempe aer per inferius foramen in lanternam penetrans (7), per ad- motam flammam traijci cogeretur, a qua ita murabatur, ur lanternae flammam fervare non poffet; extinguebatur autem five adpofita candela ex febo eflet, lanternae vero inclufa ex cera , five contra ; five utraque ex febo eflet , five utraque excera, five aequales, & aequali elycnio praeditae eflent, five alterutra major, majorique elycnio praedita eflet. Qua propter cum nee alimenti qualitas , nee elyenii magnitudo experiment exitum immutaverit, videtur aerem per flam- mam unam traje£lura alteri cuicumque alendae aeque ineptum evadere . 31. Quum autem animadverterem , non flammam folum, fed & accenfos carbones ( : ) claufo in fpatio fuffocari , utriufque phaenomeni eandem cauflam efle ratus, ad infe- rius lanternae foramen ardentem prunam ita admovebam , ut ab ipfo foramine non nihil diftaret, & liberum aeri in- tra lanternam aditum relinqueret ; flamma tamen lanter- nae inclufa fuffbeabatur ; quod fi prunam lanternae inclu- derem , & ad fuperius lanternae oltium flammam admove- rem , haec protinus extinguebatur . 3*- (:) Muflchenb. Effai dc Phyfiq. §. 994. 3« 3*. Hiuksbejus porro fuerat expertus , aerem per can- dentia metalla trajeclum , & intra recipiens colle&um, flam- mac exiiiale fuifle . Hac autem methodo praeftantiflimus Phyficus ufus eft (^T). Recipiens amplum lelegit in fupe- riori parte apertum, cujus apertura lamina cuprea, & in- terpofito molli corio , accurate claudebatur •, ex parvo fora- mine in lamina cuprea aperto tubus erigebatur auricalceus, clavi verfatili munitus , ut communicatio inter recipiens , & tubum pro opportunitate induci , vel tolli poflet : tubi cxtremitas oppofua in cavitatem craflae mollis cupri inli- nuabatur, ita tamen, ut inter tubum, 8c illius maffae cavita- tem aer penetrare poflet ; recipiens aere exhauriebatur : metallica mafla interim prunis immerfa candebat : clavis aperiebatur: aer in cavum recipiens penetrans per ardens metallum tranfire cogebatur, a quo if a vitiabatur , ut ablata lamina cuprea tegente flamma in ipfum immerfa protinus extingueretur . Quod experimentum cum perpendiflem, metalla candentia non aliter aerem vitiafle arbirrabar, quam a flamma, aut accenfo carbone noftris in experimentis vi- tiatus tuiflet . Igitur , & inferiori lanternae foramini can- dens ferrum admovi, ut aer per id foramen irruens ferrum in tranfitu lamberet . Obfervavi autem ex ipfo ferro lan- ternae flammam flmiliter interiifle . 3 j. Jam vero, d ex vaporum e flamma exhalantium mix- tione aer vitiaretur , proreclo tot , ac tarn diverfae fubftan- tiae, quibus flamma ali poteft , &: quae tot diverfbs hali- tus emittunt , unum eundemque erleftum non praeftarent: at demonftravimus non flammas folum diverfas , & vario pabuio altas , fed & carbones accenfos, imo & candentia metalla proximum , 6k circumfluentem aerem ita mutare, ut alendae flammae impar evadat. Quapropter calore po- tius , qui idem eft in omnibus hifce corporibus , nee nifi gradu (A") Saggio delle tranfaz. filofof. del Sig. Dereham t. j. p. 114. J9 gradu in fingulis differre poteft, quam exhalantibus eftluviis, quae mirum in modum in fingubs difcrepant, aerem viiiari arbitrabar, eoque magis quod nee condenfatione, nee filtratio- ne, nee ullo alio arnficio (14, 25 ) , id aeris vinum emen- dari, aut imminui potuerit . 34. Obfervaverat porro idem CI. Auclor, aerem per tu- bes vitreos candentes trajeclum non fimiliter vitiari: quum vero mea experiundi methodo hiijufmodi tentamina facile perficerentur , Iibuit & hoc ipfum explorare . Itaque vitri folidi madam in rudem quandam annuli formam effiftam, & extremitati tubi vitrei annexam in ignem injeci , ibidem- que retinui donee candefceret : turn vix ab igne eduftam pioximae lanternae inferior! foramini adrhovi , ut aer per candentem annulum tranfire cogeretur : flamma nihilo minus, guam ex candente ferro extincla eft . Dedimus porro ope- rarn in hifce experimentis , ne candente metallo, aut carbo- ne , aut vitro foramen inferius clauderemus , fed ad latus foraminis ica aptabamus, ut influentis aeris tranfitum nullo paclo impedirent , adeo ut fi frigida eodem fitu aptaren- tur, nullum inclufae flammae detrimentum afferrent : imo ob- fervavimus, trajeclo per ea candentia corpora aere , citius, quam eodem intercepto, flammam fuffocatam fuifle. Haec autem experimenta , cum facilia fint , poterunt qui rebus hifce delectantur fuis ipfi oculis eorum veritatem confirma- Te: id tantummodo caveant velim, ne vitrum nimis tenue fit, aut non fatis candens , neve tardius admoveatur ; vi- trum enim cito calorem amittit , eoque citius , quo te- nuius fuerit : unde aeri pervertendo ineptum evadit , quem- admodum experiundo deprehendimus. 35. Quoniam autem vitrum candens effluvia in aerem emittere , aur ex aere nutrimentum haurire vix verofimile videtur , fi ejul'dem flxitatem , & immutabilitatem in igne attendamus, in ea opinione confirmabar , calore potius, quam abforptis, aut emifCs particulis aerem labefa&affe . j6. 40 36. Sed quae tandem hujufmodi mutatio eft ab igne in- du&a , propter quam aer eidem diutius alendo ineptus fiat? rarefa&ionem non efle, aut mutatam aliam fenfibilem qualitatem , turn vitii conftantia oftendere videbatur (17), turn Hauksbei teftimonium , qui in aere per candentia me- talla traje&o nullam fenfibilium ejufdem qualitatum muta- tam , confulto inftitutis experimentis , fe deprehendifle ( / ) teftatur ; turn demum Greenwoodii tentamina , qui aerem putei , in quem demerfa candela extinguebatur, in fenfibi- libus fuis qualitatibus mutatum minime fuiffe comperit (m). Nihilominus cupiebam aerem , qui per flammam , aut pru- nam , aut ardens vitrum trajiciebatur, prius per aquam fri« gidam traje&um refrigerari , antequam ad flammam alen- dam perveniret , ut rarefaftionis fufpicio omnis tolleretur. Ad id Eques Salutius per foramen poculi ad fundum per- tufi tubum vitreum trajecit , & ita glutinavit, ut poculum infufam aquam contineret , poftea fuperius tubi extremum in inferius Ianternae foramen immiffum fimiliter glutinavit, ac demum ad inferiorem aperturam , flammam , prunam , candenfque vitrum identidem admovimus , & flammam Ian- ternae inclufam non minus perire obfervavimus , ac quando haec ad Ianternae foramen immediate admovebantur . Quam- quam vero aerem traje&um per tubi portionem aquae im- merfam refrigerari , ac condenfari omnino debuerat ; ipfum tamen Hauksbei experimentum renovare conftitui , ut de aeris condenfatione eo tutior efle poffem ; fed tubi arden- tes , ex impetu irruentis aeris conftringebantur : fi vero candens vitrum ad foramen admoveretur, per quod aer in recipiens vacuum penetrare debebat , cito adeo refrigera- batur , ut aer fufficientem caloris gradum experiri non poflet , ex eo vel maxime , quod tanta celeritate aer in vacuum recipiens irruat , & tanta proinde celeritate per can- V) Loc. cif. {m) Lib. oioi tit. torn. 5. p. 10. 11. 4« candens vitrum trajiciatur, ut fufficientem ex ipflus calore mutationem neutiquam pui videatur : idcirco earn metho- dum deferuimus , eoque iibentius , quod fimpliciorem , com- modioremque Eques Salutius propofuiflet , ut fcilicet phiala vitrea, longo collo inltru&a, nudo igni immediate expone- retur . Collo veficam flacidam circumligavimus , ut aer , qui vi ignis rarefattus e phiala erumpebar , eadem excipi poflet ; & poltea frigore condenfatus ex vefica in phialam iterum pelleretur preflione externi aeris , qui eo pa£to ab ejuldem cavo arcebatur. Experimentum fcilicet expectationi refpondit. Nam phiala tamdiu in igne relifta, donee cande- fceret , veiica intumuit, poftmodum, phiala ab igne remota, & refrigerata , priftinam flacefcentiam vefica adepta eft , fraclo- que demum inverfae phialae collo, & immiffa in ejus ca- vum ardente flamma, protinus extingui obfervavimus, per- inde ac ft aer alia flamma corruptus fuiflet . j 7. Cum vero id experimentum demonftraftet caloris vi talem in minimis particulis aerem componentibus mutatio- nem induci, ut igni fuftentando ineptus evaderet; fperare coepi, frigore, quod contrariam mutationem induceret, quae- cunque demum ea mutatio effet , priftinam aeris confti- tutionem rertitui poffe : et experimentum quidem fpem haud fruftra conceptam fuifle comprobavit; cum enirn can- delam accenfam per vitreae lagenae breve collum in ipfius cavitatem inftnuaflem , & accuratiflime molli cera colli ori- ficium obturaviffem , flammam fponte extingui flnebam, ut aer lagena inclufus corrumperetur : deinde , circumpoftta gla- cie , lagenam refrigerari curabam , & per duodecim quidem horas in eodem frigoris gradu detineri j poftea , lagena e glacie edufta, expe&abam , donee ad cubiculi temperatu- ram ejus calor reftitutus effet j & inverfa demum lagena, ac referato collo, accenfam candelam in lagenae ventrem intromittebam : flamma aliquandiu viva fervabatur ; idque experimentum aliquoties eodem eventu interavimus. Quando F vero 4* vero per duas , trefve horas duntaxat intra glaciem Iage- 11a detenta fuerat , priftinam indolem flammae exitialem contentus aer retinebat : ex quibus intelleximus frigus , & quidem diuturnum requiri ad pravam aeris indolem corri- gendam , quae ex ingenti calore orta fit. 38. Idem experimemum etiam in aere ex ignis exteriori afKone corrupto Eques Salutius tentavic : fcilicet lagenam vefica obturatain , quemadmodum §. praec. defcripnmus , & ab igne paullo ante educlam in comminutam glaciera immerfit , ibique per plures horas detinuit, ac fimilem effe- 6tum affecutus eft ; ut fcilicet immifla in inverfae , & re- feratae lagenae cavitatem flamma , viva fervaretur . Quae quidem experimenta, quanquam haud facile in praxim tra- duci poflint ad flammae vitam claufo in fpatio protrahen- dam; novam tamen lucern in phyficam quaeftionem hafte- rus obfcuriflimam afferre videntur , eaque de caufla Phy- flcis haud ingrata futura efle fperamus . 39. Adhuc de poftremo experimento (37) dubitatio aliqua mihi fupererat (jamdiu enim vel noftro periculo di- diceram , quanta in experiments cautela adhibenda fit ), quippe etfi cera, lagenae, quae in glaciem immerfa fuerat , oftium, qua fieri potuerat accuratione obruraflem , nullum argumentum fuppetebat , quo cerrus eflem obturaculum omnem externo aeri aditum prohibuifle, in primis quando glaciei frigore, condenfaro interno aere, externus in recipiens irruere conabatur. Ut ergo mea haec dubitatio folvererur, vas vitreum propemodum cylindricum elegi, quod undique claufum erar , fed prope fummitatem binos tubos continuos habebat , qui in ipfius cavitatem hiabant : tuborum alteri fipho vitreus mercurium continens conglutinatus eft , per alterum accenfa parva cerea candela in cylindri cavitatem immiflafuit, & interim molli cera, cui candela infiftebar, tubum ipfum accurate obturavimus . Flamma per ij.'aut jo.'perduravit : poft quam vero extincla eft , mercutium in ad- 43 adnexo fiphonis crure uno circiter pollice fupra libellam elevatum fuiflfe vidimus, five id ex aeris prius a flammae calore rarefafli condenfatione , five ex aliqua etiam ipfius aeris abforptione oriretur : quando vero vas craflb glaciei ftrato undique fere circumdatum, & refrigeratum fuit ( lis nimirum exceptis locis , ubi cera tubi obturati fuerant,quae ex glaciei , & aquae atta&u a vitro fecedere potuiiTet ) mercurium adhuc tribus ,quatuorve pollicibus fupra Jibellam elevari vidimus, ex au£ta fcilicet interni aeris condenfatio- ne : addita vero pro opportunitate glacie in ejus locum r quae folvebatur , & effluebat , vas in eo ftatu retinuimus per 6. circiter horas , locus autem mercurii in fiphone , turn ante admotam glaciem , turn pott ipfam adhibitam filo notatus fuit : poftremo e glacie vas eduximus, & in cubi- culi temperatura diu reliquimus, fenfimque ad priorem no- tam mercurium deprimi oblervavimus , non ultra defcen- dere , multo minus ad libellam componi . Ex quo confe- quebatur nee aeris elafiicitatem ex eo frigore fuiffe mu- tatam ( cubiculi enim eadem propemodum temperatura erat) nee exteriori aeri in recipiens aditum toto eo tempore patuiffe. Turn igittir obturaculum , cui extinfta candela infifte- bat , leniter eduxi , & accenfam aliam immifi, ipfamque vi- xifie obfervavi, & tamdiu vixifle, quam cum recenti aere vas plenum erat , ut aer ille procul dubio , contra&um a priori flamma vitium depofuiffet. 40. Boerhaavius porro experimenta plura protulit par- tim fua , partim ex aliis Auftoribus fele&a , quibus proba- vit , corpora fulphurea inclufa vafis , in quae aer non ad- mittatur ex igne extrinfecus admoto , quantumvis vehemen- ti nee inflammari, nee in partes refolvi poffe. Quae qui- dem experimenta , cum ad rem noftram mirifice faciant , hue afferenda effe cenfui . Inquit itaque Vir Celeberimus (n). F x Units (n) Ch. t. 1, pag. 21*. 44 l/nus, idemque ignis, applicatus eidem corpori,fed cum diverfis circumftantiis , mirifice totam fuam a&iontm variat , inprimis quidem pro vario admiffu aeris fimul in operatione ipfa. Sum- fcrat carbonem Hookius , inclujerat pyxidi ferreae carbonem^ dein operculo , cochlea accurate facia adacla , vas accuratijjime occluferat . Sic commiferat ingenti igni diu . Neque interim tarn violenta aclione ignis carbo exuflus erat , ubi eximebatur poflea. Vid. vitam ejus in pojlhumis pag. xxi. unde collegeratjubti- iis Philofophus , a'era ejfe menftruum , quod agitatum igne y omnia diffolveret corpora fulphurea ; quum ignis fine aire id praefiare non poffet : idem in defldlationibus jam olim Helmon- tius in carbone fuo fixo obfervaverat . Et Papinus RecueiL des machines pag. 15. 2.6. . Et fcobem ego lini guajaci fub- tilem , coram vobis , utfi adeo diuturno , adeo violento igne ; oflendi tamen nigerrimam foecem fuperflitem retinuiffe oleum (ibi , nulla ignis potentia ex retorta expellendum . Simulac vero pulverem hunc carbonarium , patina larga exceptum , parva fcintilla impojita , examinabam , ftatim omne nigrum oleum , cum fumo aromatico- , cedrino , confumebatur , & vertebatur fcobs in cineres inclufos , candidos . Camphoram fpeclate , Au' ditores. Tota in aire confumitur incenfa femel , licet aquae in' natet . Pone in vafe vitreo puro, cum alembico impofito, fu- pra ignem , liquefcit , afcendit in alembicum , concrefcit in no- vum, eandemque iterum immutatam camphoram , idemque obfer- vabttur repetenti faepius . Nonne fulphur vafis claujis coer- citum , fublimatur centies , femper manens fulphur idem ? Si vero inter fublimandum rimam vas contraxerit , atque lique- factum fulphur hac rima aeri contiguum evaferit , flammam capit fubito , atque ocyffime in flammam caeruleam \ & acidum fumum refolvitur . Succinum certe in aere aperto incenfum to- turn fere deflagrat , flammam , ignemque alii. Idem fi fumma egeris, fed lento gradu auclo igne, ex retorta in excipulum, aquam , fpiritum , falem volatilem acidum , oleum multiplex confides , faciefque tandem igne maximo , ut tota fubflantia per 4> per collum retortae tranfceniat , ut faepe quilem praeftiti , Ignis igitur fine aire , vel cum eodem immoto , fuffiocante , ngtns in materiem inflammabilem , penitus alia effi.cn. Haec cum perpenderem , a fummi Viri theoria non nihil recede- bam ; neque enim aeris immobilitas , aut defe&us prohi- bere poffe videbatur , quominus corpora in claufo fpatio accenderentur , cum flamma ex iifdem orta , & vafis in- clufa , ad tempus aliquod ardere pergat, eoque diutius, quo vafa ampliora fuerint , donee nempe omnis aer in vafis eontentus flammae calore fuerit corruptus (17, 18): ve- rofimilius propterea videbatur, exteriorem ignem, interea dum corpora calefacit vafis contenta , conclufum aerem ita pervertere , ut ipforum inflammationi infervire non poflet (*6). Cum vero cogitarem fpecula cauftica etiam , quae valid lflima funt , calorem omnem in anguttum fpatium ita colligere, ut ad paucorum pollicum a foco diftantiam ca- lor mediocris omnino fit , ( o ) per ipfa corpora vafis in- clufa calefieri vehementer pofle conjiciebam , quin ambiens aer ex calore corrumperetur , atque adeo eo pafto , & in- flammari , & ex inflammatione in partes refolvi debere ; neque vanam conje&uram fuifie experimentum comproba- vit : cum enim in amplam Iagenam vitream recenti aere plenam carbonem , fulphur , camphoram , fucceflive immi- fiflem, &, accurate obturato lagenae orificio , contenta cor- pora toco radiorum folarium per caufticam lentem (/») colle&orum expofuiffem , ex unoquoque riorum corporum fumum erumpentem obfervavi , & carbonis fuperficiem plu- ribus in locis in cinerem redegi , & ex camphora demum , ac fulphure veram flammam excitavi, quibus rite perpenfis, extra controverfiam pofitum effe videbatur , igne exterius adhi- (0) Calor in diftantia %■ p:>!. a foco fpeculi Vilettiani vix eft 190. graduum ther. Faranehit. ( Boerh. Ch. t. 1. p. 119-) quanto igitur minor erit in eadem diftantia a toco fpeculorum , aut lentium multo debiliorum ? quan- to minor in majoribu'; ab iifdem focis diftantiis ? (j> ) Lens, qua ufus lum, focum habebat ad diftantiam femipedis circitcr, con- vexo-convexa , etat quinquc tranfverfos digitos htitadinc aequabat. <6 adhibito corpora vafis inclufa inflammari non pofle, ex eo, quod interea dum corpora ipfa fufcepto paullatim calore ad inflammationem difponuntur , ambiens aer fimul calefa- clus vitietur , 6k alendae flammae impar efficiatur : Et ae- rem quidem calore corruptum ipfura efle, qui fulphuris in- flammationem in vafis claufis impediat , confirmat Equitis Salutii experimentum , qui cum fulphur in phiala angufti colli contentum , igni impofitum non inflammari cerneret, mutato ope follis aere , flammam emififle obfervavit . Po- ftremo pulvis pyrius, qui in corrupto ex calore aere flam- mam emittit , is exterius admoto igne eriam accendirur (7): in corrupto autem aere pulverem pyrium flammam emifiire obfervavi , dum in recipiens , in quo paullo an- te flamma fponte extin&a fuerat , quemadmodum §. 28. pyrobolum ex eodem confeclum , & accenfum immifi ; nam intra id recipiens tamdiu arfit , quamdiu omnis pulvis con- fumtus fuiflet . 41. At Nobilis Boyleus non folum corpora vafis vitreis inclufa , radiis lentis ope colleclis , combuferat; verum etiam pafiillo ufus fuerat ejus naturae , ut femel accenfus in li- bero aere totus confumeretur , atque obfervaverat , ubi fe- mel paftillus hujufmodi vafi inclufus ope lentis accenfus fuiflet , eo majorem ipfius quantitatem combuftam fuifle , quo vas amplius effet , aut aer denfior (*); adeo ut pa- ftillus turn demum extinftus fuifle videatur , quando ipfius calore omnis aer in eodem vale conclufus vitiatus fuerat, & igni communi alendo ineptus evaferat . 41. Aer porro fa&itius e corporibus edu£tus immiflam flammam fuffbcat , ut CI. Phyfici obfervarunt (O, cujus quidem phenomeni ratio ex noftris principiis deduci facile pofle videtur i cum enim calore aer pervertatur , ita ut flam- (9) Inter corpora inflammabilia ea tantum , quae nitrata funt in claufo raft flammam concipcre poffe Macherus monet Ch. praliq. t. z. cap. I. prec. J. (r) Boyle exper. phyfico-mech. cont. 2. artic. 5. exp. j, ( *J Exper. phyfito-ciech. cont. 2. ante. 7. exp. 2. j. 47 flammae infenfus evadat , cumque aer fa6titius , vel a&uali igne educatur , vel effervefcentia , aut putrefaclione, quos motus utrofque ingens caloris gradus comitatur, vel demum e corporibus eruatur, quae ignis , calorifque actionem paffa fuerunt , ( / ) patet et ipfum alendae flammae imparera efle debere ( 36 ). 43. Quod d noftra experimenta cum aliorum experi- mentis conferre pergamus, videmus Halefium aerem refpi- rando jam ineptum , fola peY-telam laneam oleo tartari im- butam filtratione , iterum refpirationi aptum reddidiffe (/ ) , cum contra nos aerem fuftentandae flammae imparem, ne trajeftione quidem per craffum ejufdem liquoris ftratum, ad priftinam indolem reftituere poterimus (15), quod fignificare videtur , aliam cauflam efle interitus animalium in claufo fpatio, aliam extin£Honis flammae; hanc ex mutatione ab igne indu&a oriri , ilium ex admixtis haeterogeneis va- poribus , animali exitialibus , qui a films retineri pofllnt : quae quidem fententia Boylei experimento confirmari vi- detur , qui cum accenfam flammam flmul cum animali in- tra recipiens claufifler , flammam cito perire obfervavit , & interim animal nullum adhuc moleftiae indicium praebuiflej adeo ut id vitium, quod aerem flammae fuftentandae ineptum reddiderat, nullum animali incommodum afferret (;/) . 44. Equidem inverfam propofitionem experimento ex- plorans, obfervavi aerem, intra quern animal perierat, fu- ftentandae flammae ineptum fuifle; cum enim in recipien- te eo modo difpofito , quo §. 28. paflerculus inclufus fuiflet , & periiflet ex impedito novi aeris acceflu , iis fympto- matibus , quae a CI. Viris jamdudum adnotata funt , obtu- raculum eduxi , quo lancis foramen obturabatur , &: , ira- merfa (/) Vid. fuite de recherches fur le fluid. claft. par !e Cheval. Saluce. Sf) Sfatiq. des vegetaux. exp. 116. u) Nova experimenta intra aerem , & flammam vitalem animaliim exp. 1. , & 1. Et CI. Lagh. Comment, de Acad. Bonon. torn. 4. p. 83 in opufc, qui tamen obfervat paflerculi mortem ex flammae vaporibus 36.' celeriorem fuifle. ibid. p. 81, ■ 48 raerfa accenfa candela in recipienris cavitatetn , protinus extingui obfervavi , qaod demonftrat aerem animali alendo ineptum , etiam ineptum fieri alendae flammae ; forte quod vitium duplex contrahat ex animalis mora, alterumabad- mixtis vaporibus , ex quo animali exitiale fiat , alterum a£Ho- ne pulmonum animalium , quos toties fubire cogitur , ex quo flammae perniciofus evadat : et duplex quidem id vi- tium ineffie videtur in aere a carbonibus ardentibus , aut candentibus metallis corrupto (x), qui non tantum flam- mae exitialis eft, ut aer a flamma alia vitiatus , fed & ipfis animalibus infeftus deprehenditur. 45. Illud vero quaeri poflet , num refpiratus aer flam- mae exitialis evadat ex eo tantum , quod pulmonum ca- lorem paffus fit} num quod intra pulmonem, aut animate corpus ex alia caufla id vitium contraxerit . Nam quod ignis , & calor aerem fuftentandae flammae imparem red- dat ( j 6 ) , id non prohibet, quominus et aliae cauflae id ipfum facere poflint . In Phyficis enim ita comparatum eft , ut fi errores vitare velimus, vix ultra experimenta progredi liceat : veruntamen haud leviter novae cauffae excogitan- dae, aut admittendae funt , ubi jam certa fuppetat ,. cum compendiofa natura, una caufla , innumeros, ac mire diver- fos effe&us producere foleat . Sequenti igitur experimento quaeftionem definiendam fufcepi. Ranam poculo vitreo, fu- pra lancem metallicam ( z8 ) glutinato, inclufam, fuftocavi: vixit autem per tres ferme dies. Una a morte bora lancis foramen aperui , & per ipfum accenfam candelam in po- culi cavitatem immifi: protinus extin&a eft, non fecus ac in fuperiori experimento (44) contigiffet. Cum vero ranae calor vix ullus fit , tuto concludi pofle cenfeo, perverfionem aeris ex fuffocatis animalibus ortam calori minime tribuen- dam efle , ac proinde non una, fed pluribus de cauflis 11a- tivam %*) Boyle 1. «. exp. a. Haukib* I ± 4* tivatn aeris compagem ita vitiari , ut flammae alendae im= par evadat : quamobrem nee definire audemus , num fimile artificialis aeris vitium foli calori fit adferibendum (42), licet diuturno frigore perinde fuerit emendatum , ac fi ex calore produ£tum fuiffer (f). 46. Neque folum quando animal demum interiit (44,45 )» fed etiam multo ante aerem flammae infeftum deprehendij adeo ut deinceps , non flammam folum, fed et ipfas immiflas prunas ftatim fufFocaret. Quoniam vero aer in quo flamma extin&a eft, prunis non aeque noxius obfervatur, conclu- dendum videtur, prunas, & animalium vitam (43) a le- viori vitio, ex brevi flammae calore indufro , minus affici , dum ex graviori ejufdem fpeciei vitio T quod aut anima- lium vita , aat calor diuturnus prunarum induxit, vehemen- ter laedantur. In earn itaque opinionem addu&us fum,ut putem, ab exhalantibus vaporibus utique animalia in claufo vafe plurimum laedi , fed multo magis a vitio , & perver- fione ipfius aeris haud abfimili illi, quam diuturnus calor inducere potuiffet. Profe&o , quando experimentum Halefii (43), quo filtrationis ope, aer jefpirationi diutius aptus fervatur , ita ab ingenuo Auftore propofitum video, ut nee ipfe fatis eidem fidere videatur (a) , multo minus vapo- ribus tribuendum cenfeo , quam principio fueram opinatus (43). Hue accedit quod vitium, quo aer ex fuflbcato anima- li inficitur, fimiliter diuturnum efle comperio, ac illud , quod ex extin&a flamma nafcitur (18}. Nam Boyleus aerem, in quo animal ante quatuor horas interierat immiffo alteri ani- mali , trium minutorum fpatio , mortem attuliffe fcribit (b), G quo ({) Vid. fuite des recherches fur le fluide elaft. &c. par le Chev. Saluce. (a) Mais je ne feat , (1 cela ne doit pas etre attrihue a quelque paflagein- fenfible que 1' air avoit pu fe faire a travers ies ligatures , je ne me fouciai pas merne de repeter 1* experience, crainte de m'alterer la poi- trine en refpirant ft Convent ces vapeurs nuifihles . Statiq. des veget. exp. ii 6. [i) Exp. phyfico-raechan. cont. 2. artic. 3. exp. 11. J° quo certe tempore , animalis prius extin&i vapores, qui aquo- fiie indolis effe cenfentur (c) condenfari , ac colligi debuif- fent: aer quoque fa&itias, undecim diebus, poftquam e quercu fuerat educlus, vim veneticam retinuerat,qua immiffum animal cito fuffocavit ( o C — ~j > ° favoir C > -7 , ou C A^> E* ce qui donne de meme C > o ; a moins done que les quantites A, B, C n'aient ces conditions A > o, C>o, & AC > Bl la propofee Z ne pourra pas £tre un mi' nimum . En fecond lieu on trouvera pour le maximum A < 0 C - -£ < o favoir C < — ', C^> £% puif- que A eft ne'gatif ; ce qui donne encore C < o ; done les conditions pour le maximum feront en partie les me- mes , & en partie precifement contraires a celles du mi- nimum , s. Si II j. Si A ou C, ou toutes deux font = o fans que B le foit aufli, la condition de AC > B* ne pourra pas fub- fifter , ainfi la quantite propofee ne deviendra jamais un vrai maximum , ou minimum; la meme chofe arrivera tou- tes les fois que A , St C feront de figne contraire ; car puifque Bl ell toujours pofitif la condition de A C >» BL devient impofiible . Si B s' evanouiflbit encore en meme terns que A, ouC; d1 Z fe trouveroit reduite au cas d'une feule variable, & par confequent pourroit etre de nouveau un maximum , ou un minimum , ou ni 1' un , ni 1' autre , felon ce qu' on a dit pour le premier cas . Enfin fi la quantity d2 Z etoit toute = o , favoir A=otB=:ot C = o , il faudroit recourir a la differentielle troifieme , que fi celle-ci fe trouve n' etre pas egale a zero, la quan- tite Z ne peut etre ni un maximum , ni un minimum ; & au contraire fi elle evanouit en m£me terns que la fecon- de on cherchera tout de fuite la quatrieme ; & fi elle n' eft pas evanouiflante il fera facile par la methode dont nous nous fommes fervi ci-devant de connoitre fi elle eft pofitive, ou negative, ce qui determinera de nouveau le maximum, ou le minimum . 6. Lorfque les variables font trois , favoir f, «, x la dif- ferentielle d1 Z prend cetre forme dz Z = Ad t2 -+- i Bdtdu -+- Cdu1 ■+- i D d tdx -+• zEdudx-+-Fdx* qu' on r^duira d' abord a A (dt -*• ~r -*- —r ) "*- (c~ t) du% BD „ D' ■+- i {E - -jr) dudx -+- (F - j) dx* * - «. a-: • * „ BD , _ D* Sou pofe C — — = a, £ -^ ■=. b^b — -j = c ♦ & on aura o , a > o , ca> i* , ou en remettent au lieu de ayb, c, lews valeurs , A >oj C-^>o,(C- ^)X(F--Z)>(£--^-/ favoir ^ >o, C^> B\ & (C^- B*)*(FA-D*) >(£//-^Z?)», d'ou il refulte encore C> o , /> o, & F A> D1. On trouvera par les memes principes pour le maximum A < o , C A > B\ & ( C A - B% ) (FA - D*)>(EA-BDy> & par consequent C < o, f < o, & FA > Z?1. 7. Si les quantites A, & Cevanouiffent feules, ou toutes deux, ou une (implement, la feconde condition devient im- poflible j fi c' eft F qui s' evanouit , alors la troifieme de- vient impoffible ; car ( CA — B* )x — D qui eft necef- fairement negatif , a caufe de C A > Bx doit toujours fe trouver moindre de (E A — B Z?)*, d' ou il fuit que Z ne fauroit 6tre un maximum, ou un minimum , fi A, C, D prifes tepar^raent , ou enfemble comme on voudra font egales a zero. Si par 1' eVanouiffement des termes la dif- ferentielle d1 Z fe reduifoit a deux variables , ou a une feulement , elle tomberoit dans le fecond cas , ou dans le premier, & on devroit fuivre les regies donnees §.3., & fuiv. Enfin fi toute la d*Z fe trouvoit egale a zero, & que que la differentielle troifieme ne foit pas de mgme egale a zero , on feroit fur que la propofee Z ne pourroit ja- mais devenir ni un maximum , ni un minimum ; & quand ceue differentielle troifieme evanouiroir avec la feconde , par des transformations femblables a celles que nous avons pratiquees , on pourroit dans la quatrieme differentielle diftinguer les cas du minimum , & du maximum , & ceux qui font inutiles . 8. On peut etendre la mime theorie aux fonftions de quatre , ou plus variables . Quiconque aura bien faifi l'efprit des reductions que j'ai employees jufqu'ici, pourra fans peine decouvrir celles qui conviendront a chaque cas particulier . Au refte pour ne pas fe meprendre dans ces recherches, il faut remarquer que les transformers pourroient bien venir differentes de celles que nous avons donnees -, mais en examinant la chofe de plus-pres on trouvera in- failhblement que quelles qu'elles foient, elles pourront tou- jours fe reduire a celles-ci , ou au moins y 6tre corn- prifes . 9. Comme je crois cette theorie entierement nouvelle, il ne fera peut-etre pas inutile d' ajouter les reflexions fui- vantes . Quel que foit le nombre des variables qui entrent dans la fonftion propofee Z ; fi on les regarde chacune en particulier , & qu' on cherche le maximum , ou mini' mum qui lui convient pendant que toutes les autres de- meurent les raemes , on trouvera a part les premieres dif- ferentielles pdct qdu, rdx &c. , dont chacune etant igalee a zero , nous donneroit les memes equations que ci-deffus ,p = o,a = o,r = &c. $. 1. De la meme maniere paffant aux differentielles fecondes, ont trouveroit celles-ci feparement Adt*, Cdu1, F d x* , Ldyx ■ -j 2?' 1' ordonnee fera la moindre ; fi C <; -r elle fera la plus B* grande, & fi C = -j elle ne fera ni l'une, ni 1'autre, a moins que les conditions requifes dans les differentielles des genres plus eleves ne foient remplies . Or en refle- chiffant fur ces maximum & minimum , il fera aife de com- prendre que ^ordonnee Z ne pourra pas etre un maximum entre toutes les autres , a moins qu' elle ne foit la plus grande de toutes celles qui font contenues dans la fe- clion determinee par dZ=qdu,f$cde plus que tou- tes les ordonnees qui compofent cette meme fe&ion ne foient encore elles m£mes des maximum dans les fe&ions d paral- i6 paralleles correfpondantes . §. 10. On prouvera de meme que la quantite Z ne fauroit etre abfolument un minimum fans qu'elle foit de meme un minimum dans la fe&ion qui contient tous les minimum . Car dans tous les autres cas 1' ordonnee feroit ou la plus grande , ou la plus petite d'entre celles qui ne font ni les plus grandes, ni les plus petites, ou bien entre les plus grandes, ou les plus petites, elle ne feroit ni la plus grande , ni la plus petite , ou enfin elle feroit la plus grande d' entre les plus petites, ou au contraire , ce qui ne donne pas un vrai maxi- mum , ou minimum comme on cherche . De tout ceci je conclus done qu' apres avoir tire des equations p== o , q = o , les valeurs de t & u , & les avoir fubftituees 2?' dans A , Si dans C — — =- il faut pour que Z foit un vrai maximum , que A foit negatif, & C «< -7, favoir CA ;> Bx ; & au contraire fi Z doit etre un vrai mi- B' nimum on doit trouver y4pofitif, & C ;> -j , oxlC A> B'y conformement a la theorie generale expliquee §. 4. , & fuiv. 12. Si au lieu de confiderer d' abord u conftant & t variable , on avoit fait u variable & t conftant , on feroit parvenu aux determinations fuivantes C & A C> Z?% pour Ie maximum C >» o, & A C > B* , pour Ie mini- mum ce qui revient au meme . Au refte cette methode que nous venons d' employer pour d^couvrir les condi- tions des maximum & minimum dans les fon&ions a deux feules changeantes, eft egalement applicable a toutes les autres fonftions plus compofees , elle a meme 1' avanrage d'etre plus analitique , & plus direfte que la premiere, c' eft pourquoi je tacherai ici de la deVelopper dans tou- te fa generalite. 1 3. So- 17 i j. Soient les variables contenues dans Z en tel nom- bre qu' on voudra ; je ne confidere d' abord qu' une va- riable feule , & je tire par la differentiation V equation pour le maximum, ou minimum qui lui convient; puis en paffant a la differentielle feconde , je trouve les condi- tions qui determinent la propofee a etre un maximum y ou un minimum , ou ni 1' un ni l'autre . Apres cette pre- miere operation je fubftitue dans Zt ou dans fes differen- tielles fimplement la valeur de la premiere variable rrou- v^e , & je proc^de fur un autre variable de la meme maniere ; enfuite mettant de nouveau dans la fon&ion propofee Z la valeur qu' on aura trouvee pour cette fe- conde variable , on paffera a 1' examen d' une troifieme variable j & ainfi de fuite &c. Soit t la premiere variable qu'on veut confiderer dans Z , & on aura dZ = pdft & d* Z = Adt1; d'oii/> = o, & A > o pour le mi' nimum ; A mais puifque p = o j dp le fera auffi , & par confequent Ad t -+- B d u = o j ce qui donne d t = — — -j— ; cette valeur fubftitoee dans dx Z la changera en dx Z = B% . B* ( — j- -i- C) d u*y ]' aurois done q = o ; & — —r ■+> B* C > o pour le minimum , & — -j -+- € < o pour le maximum , favoir , puifque A eft pofitif dans le premier cas, & ndgatif dans le fecond , en multipliant par A, il reTulrera toujours la meme condition de AC > Bl . Si outre les deux pr^cedentes il y a encore une troifieme va- riable x a confide>er, je cherche la valeur de d Z eu e*gard £ ces trois variables t , « , x , & je trouve d Z = p dt ■+■ d i q d u a8 qdu •+■ r-dx ce, qui a caufe de p = e , q = o fe change en d Z = r d x ; done la difterentielle feconde d1 Z fera = ( Z> d t -+■ E d u -+- Fdx) d x. A prefent par Je moyen des equations p = 0,7=0, ou bien de leurs differentielles A d t ■+- B d u -4- Ddx ■=. o, & Bdt -+- Cdu.-h Edx = o je cherche des valeurs de d t 8c du en dx, & je trouve BE -CD BD — ^E ■ . <*' = -^C - Z?>" rf** ^ = ^c - gr^jelesfttb- ftitue dans l'expreflion de d'~ Z -, ce qui me donne . BE — CD BD — AE ^ d*Z = <» £ + /r) '** II refulte done en premier lieu pour le maximum , ou mi' nimum . r = o ; enfuite BE—CD _ BD—AE . . 5c-*' D + ac - b>- E + F > ° Pour Ie mi/M- mum y & < o pour le maximum, ou bien en otant le de- nominateur AC — Bl qui eft toujours pofitif, on a i 2? DE -CD1 -+- AEl — F Bz H- ACF > o pour le minimum, & < o pour le maximum . Soit multiplied cette expref- fion par y4 qui eft pofitif dans le premier cas , & negatif dans le fecond , & on aura 1 AB DE - A CD'- A'E* -AB*F -4- ^C/ > • foit pour le maximum , foit pour le minimum , favoir (C A - B')x(F A - D*) > ( E A - B D)\ On fuivra le meme procede pour un plus grand nombre de variables. 14. Cette methode etant generate pour quelque nombre de variables que ce foit , ne fera pas bornee au feules fo«- ftions algebriques , mais pourra encore s' etendre avec fucces aux maximum & minimum qui font d' un genre plus eleve, & qui appartiennent a des formules integrates in- definies . Je me referve de traiter ce fujet que je crois d' ailleurs entierement nouveau dans un ouvrage particulier que je prepare fur cette matiere -, & dans lequel apres avoir 19 avoir expofe la methode generate , &: analitique pour re- foudre tous les problemes touchant ces fortes de maxi- mum , ou minimum j' en deduirai , par le Principe de la moindre quantite d' Action, toute la Mecanique des corps foit folides , (bit fluides . 15. Je finirai ce memoire par quelques exemples des plus fimples qui eclairciflent la theorie qu' on vient d' etablir . Soient tant de corps qu'on voudra parfaitement elaftiques, 8c ranges en ligne droite fans fe toucher j fuppofons que le pre- mier vienne choquer le fecond avec une viteffe donnee c, le fecond avec la viteffe acquife du premier choque le troifieme , & ainfi de fuite, les maffes du premier 8c du dernier etant donnees , on demande celles des corps intermediaires , afin que le dernier recoive la plus grande vitefTe poffible. Soit a la maffe du premier, & b celle du dernier ; foient enfuite t, u, x,y &c. les maffes intermediaires inconnues ; par les loix du choc on trouvera la viteffe comuniquee par le premier corps a au fecond t = — — — , celle que donne celui-ci au troifieme u = , r. r t ( * + t X t \ u ) & ainfi de fuite ; done la viteffe que recevra le dernier b r , 2 c at u xy b lera expnmee par ; — , . . , — r-r — --^7— -— : expreffion qui doit devenir un maximum . Pour en trou- ver plus aifement la differentielle, qu'on la fuppofe = Z, 8c prenant les logarithmes d' une parr, & de 1' autre on trouvera Ire a ■+■ It -\-lu-\-L x -\-ly -+- &c. — l(a-ht) — l(t-+-u) — l(u-hx)—l(x -hy ) — &c. = I Z ce qui , , ,.„., d t du dx dy - donne par la dinerentiation — "+" V ~*~ ~~x "*»"*" d t dt + du du + dx 11 { t t ± u tt 1 X en mettant enfemble, &c reduifant au meme denominateur les 3° les termes affects des memes differentielles Ton tire d Z Z (at* — t*)dt Z(tx — i?)du Z(uy—x')d x **(* + rx* + «•)"*" «(*+»)£» + *) ■•*(».+ *x*+/) - On aura done en premier lieu pour le maximum , ou /m- nimum les equations fuivantes au = !')(* = «*> ".y = x* ^c« qui donnent les analogies a:t=rt: u , t: u = u:x , "'• x = x : y &c. , favoir — ai ti u" X'. y. b ; d' ou 1' on voit que toutes les maffes doivent conftituer une progrefllon geometrique , dont les deux extremes font les donnees a & b . Pour juger a prefent du maximum , ou Z minimum foit fait d' abord pour abreeer -—: r-. = W „(, + «)(« + *) ==/8i *(«t*X*+jO = * ** °" 3Ura p = ct(au — r1); y=^(fx — w* )jr=ry («/ — x») &<•. done dp = (au — i* ) .#*} ^C - B* = 3 **** i^- £>* = l£f| EA-BD = ~ ±££ , done (AC-B'MFA-D*) = iii^!, &c(EA-BDy = ±51^, & par confequent iio (AC - B*)*(F A- D') > (EA — BD)'. S'il n'y a que deux mafles interme'- diaires r & u , il fuffit d' avoir egard a la premiere de ces conditions , s' it y en a trois il taut encore confiderer la feconde ; s' il y en avoit plufieurs autres il faudroit avoir recours a autant de conditions qu' il y a de variables. Au refte dans ce probleme on les trouvera toutes remplies , 11 on veut bien prendre la peine de poufler plus loin le calcul ; de forte qu' on peut franchement affurer, que lorfque les mafles intermediates cjuel que foit leur nom- bre font telles qu' elles forment une progreflion geometri- que entre les deux extremes donnees, la vitefle que recoit la derniere par leur moyen eft toujours la plus grande poflible . Ce probleme a ete traite* par Mr. Huguens le premier, & depuis par beaucoup d' autres Geometres ; mais fans avoir aucunement egard aux nouvelles determi- nations , que nous avons cependant trouvees neceflaires pour s'aflurer de 1'exiftence du maximum, ou minimum. 1 6. Soit 1' equation generale pour les furfaces de fecond ordre {* = ax' ■+■ xbxy •+• cy' — ex — fy , qu' on fe propofe de trouver le point ou 1' ordonnee f eft la plus grande, ou la plus petite j on aura en differentianr ifdf = i a x J. x •+• i by d x -+• 1 b x dy -+- 2 cy d y — edx — fdy ce qui fournit d' abord les deux equations f'ui- vantes ax -+■ by = -J-> cy -+- b x = -f, d' oil Ton tire 31 x = ec-fb' . y = eb ~ fa . Differentions de nouveau la differentielle trouvee , & on aura , puifque dz=o, i{^'{ = iadx* -+- A,bdxdy ■+• icdyl oil les quantity x, ^v ne fe trouvent plus. Or afin que l'or- donnee z foit un vrai maximum, ou minimum, il faut que a & c foient toutes deux negatives dans le premier cas, & toutes deux pofitives dans le fecond , de plus il faut encore que ca > b* , car fans cela les valeurs trouvees pour les ordonnees x & y ne donneroient jamais ni un maximum , ni un minimum ; en effet toutes les fois que ca n' eft pas plus grand que b* ; le celebre Mr. Euler a demontre par une autre voie dans 1' appendice a 1' intro- duction a 1' Analife des infiniment petits , que la furface propose s'etend a l'infini, & qu'elle a une affimptote conique . II paroit done clairement que la methode pour determiner les maximum & minimum, quand il y a plu- fieurs variables en ne les regardant qu' une a la fois, peut fouvent etre tres-fautive . Car par exemple dans le cas precedent, en traitant d' abord x comme variable, on trouve la differentielle premiere i(ax •+• by — — ) dx, & la feconde iadx*-} de meme en faifant varierj" on a pour la differentielle premiere i ( cjy -r- b x — -f ) dy , & pour la .feconde i c d y2 . Or les deux ditferen- tielles premieres pofees = a zero donnent les memes equations qu' on a trouve, & les deux fecondes font voir que ft a & c font toutes deux pofitives , ou toutes deux negatives l'ordonnee z eft un maximum, ou un minimum , li on a (implement egard a la variabilite des x & y con- fiderees feparement ; mais on n' eft pas en droit de con- dure pour cela que z foit un maximum, ou un minimum, par rapport a toutes deux enfemble, comme on vient de le voir. Sur Sur I' integration d'une equation different telle a. differences jinies f qui contient la theorte des fuites rinirrentes PAR M. LOUIS DE LA GRANGE. i. £\ OIT propofee l'equation diffdrentielle dy -t-yXdx i^^ = Zdx, ou X & Z expriment des fon&ions *^* quelconques de la variable x ; 1' on fait que pour integrer cette equation , il fuffit de faire y = u £ , ce qui donne it d ^ •+- ^du-hu^Xdx = Zdxy ou Ton peut faire evanouir deux termes par une valeur con- venable de // , ou de {. Suppofons done \du -+- u^Xdx = o , & divifant par £, Ton aura d u -+- u Xd x = o & par confiiquent ^ = — Xdx, & lu = —fXdx, favoir u = e -f***9 ou e eft le nombre, dont le loga- rithme hyperbolique eft i . Par cette fuppofitiori la pro- pose deviendra ud{ = Zdx, ce qui donne d f = Zdx ; i = / —il — fef^'Zdx, & enfin y = u\ » ; f e^/" Zdx ,fXdx z. En obfervant le procede de cette methode, on ver- ra aifement qu' elle doit pouvoir s' appliquer encore avec fucces aux equations differentielles qui ont la meme for- me que la precedenre, quoique les differences foient fup- pofees finies . Soit done 1' equation dy ■+■ My = iV, &: lui ajouter la quantite Ty & Ton trouvera le refultat ARmm>-1 -+- R*-*-i Jl R""*"1 1 T. — . j- Tqai fe reduit a ART1-*"1 -4- X. — =, R — i * R — 1 qui eft la valeur que la formule geneVale ncus donne pour le terme y*"***. 5. Apres avoir trouve la methode d'integrer toute equa- tion differentielle a differences finies , comprife fous la e 2 forme 36 forme generate dy -+- My = iV, P or. pourra de meme proceder a 1' integration des autres qui dependent de celle-ci. Or Mr. D'Alembert dans les Memoires de l'Aca- demie Royale de Berlin a fait voir, que toutes les equa- tions differentielles , telles que J dx dx' dx> font des conftantes quelconques , &'oii X eft une fonclion quelconque de x, fe reduifent a une equation de cette H J. ? forme z -+■ — - — £ = V % ou H eft une conftante , & V * dx une fonftion de x ; laquelle equation eft la meme que nous avons appris a integrer dans le cas meme des diffe- rences finies . Si done le procede de Mr. D'Alembert peut avoir lieu auftt quand les differences font finies, Ton pourra integrer encore dans cette circonftance tout equation dif- ferentielle de cette forme y ■+■ Ady -+• Bdzy'-h C d> y •+■ &c. = X , & par consequent 1' equation yx ■+• Py" -+- Qy'lt -t- &c. = X , qu' on peut regarder comme la formule gdnerale des fuites r^currentes. La methode de Mr. D'Alembert fe trouve detaillee dans le fecond tome du Calcul integral de Mr. Bougainville ; mais pour epar- gner de peine aux Lecleurs je tacherai de la developper ici en peu de mots . Qu' on fuppofe -¥■ = p, — £ = qt 1 l dx dx -jL = r &c. , & 1' equation propofee fe changera en y ■4- Ap -+- B q -+- 1 — X. Qu' on multiplie a pre- fent chacune -des equations qu' on a fuppofe" par des coe- ficiens ind^termin^s a , b , c &c. , & qu' on les ajoute toutes a celle-ci ; on aura y -+- (A-i- a) p -+• (B -h b) q. -,-Z- r-^ H- —~3- = X. Soit fait enforte que la dx dx dx J pre- premiere partie du premier membre de cette equation de- vienne un multiple exact dc I' integral de la l'econde, ta- \oir que dy -+- (yrf-j-a) dp ■+■ (B-+-b) d q = dy -*• It j~* J ■>-—L — — -i , & en comparant terme a terme il en reiul- L Q tera A-*r a. = - ; B -+■ b = ; de ces deux equations a * c V on tire b = — B = a A -*- ±: , cku'-H A tr -f- a B -+• C = o, dont les racines donneront ttois valeurs d'j qui latisrairont egalemcnt aux conditions requites. Suppolons maintenant \ -+- (A-*- a) p -+- (B-t-b) q = f, 1' equation trouvee deviendra r — —-± = A', la- 1 d x quelle comparee avec celle du §. i. donnera en integrant [ = c*' f — -— . Or comme la quantite : a peut avoir trois valeurs ditVerentes , nommons les a1, a", a"1 , Cv expri- mon> par Z" la valeur de ;• qui contient a', par Z" ce- lui qui contient ■!", cv par ZMI celui qui contient a1"; on aura done les trois equations fuivantes; y -+- (A-*-s) p -+- (B -+-/•' )q = Z' y -+■ (^ + .i")f -•- (.B + b")f == Z" ^ -+- C^-*-«iM)f -+- (B-hb'")q = Z'". De ces trois equations on tirera la valeur de v , laquelle a caule des quantites conltantes A, B, a -+- £ = o; de plus Ton s' appercevra que les ope- rations que requiert cette methode peuvent egalement fe faire , foit que les differences foient finies , ou qu' elles foient infiniment petites. 7. Ayant done l'equation a differences finies y -+■ Ady -+- Bd*y -+- Cd'y -+■ D d*y -+- E d'y = X, & pofant dy = p , dp = 7, ■+■ ( 2? -»- & ) ^ -f-(C-Hc)r-j-(Z)-t-^)/, &la quantite a dependra de cette equation a* -+- A a* -+- B a} -+- C aL •+• D a -h £ =0, dont les racines ont ete deja fuppofees a', au a1", a'% a\ Que 1' on compare a prefent 1' equation { — ad 1 as Jl", avec celle du §. i. , favoir dy -t- My =iV, y & on aura M = — _ $ jV = — — j par confequent " = qx & />'" = <]xx ; foit encore * — - rl; y1 = fx , y*x = fxx ; fubftituant ces valeurs dans la pro- pofee , elle deviendra yx ■+• Apx -+- B ql -+- Crl -+- D fl -+- E fxx = X . Qu'on reduife a prefent les fuppofitions prd- eddentes en equations, favoir px — yxx = o; qx—pxt = o; r* — qx' = o ; fl — r,x = o, & apres les avoir multipliers par les coeficiens indetermin^s a, b, c &c. qu'on les ajoute toutes a celle qu' on vient de trouver . II en re- fultera 40 fultera la fuivante yl -f- (A-ha)p1 -+> (B -+- b) ql -t- (C-4-e)r* -t-(D-hd)f> - ay11 - b p" — c q" - d r" -+- Ef" .-= X . Qu'on felTe maintenant que chaque con- fident de la premidre partie foit multiple de la meme roaniere de fon correfpondant dans la feconde , & 1' on parviendra aux memes equations qu'on a trouve §. 6., & la quantite a fera determinee par 1' equation as -+- A a* ~t- B a* + Ca1 + i)a + £ = o, dont on a fuppofe les racines a% al\alsl &c. Done fi Ton fair y' -+■ (A-*- a) p1 + (B-hb)f -h(Ch-c)/-' +(D-hd)Jl =t> liqua- tion fe reduira a {' — a^" = X, qui par une integra- tion femblable a celle du §. 3. donnera lm = am ( conft. -+- f~— ) 7 oil m exprimera le quan- tieme du terme fm dans la fuite des {. Or eomme pour a Ton peut fubltituer chacune des cinq racines a1, a", <2,n &c. de 1' equation as -+- A a* -+- &c. = o, Ton aura de me- me cinq valeurs differentes de {" que nous exprimerons commeci-deflus par Z1, Z", Z111 &c. ; done a caufe que lm = ym -+- ( A-ha)pm -h ( B ~hb)qm -4- (C-hc) rm -+- ( D -4- d ) Jm , Ton parviendra en chaffant les lettres />", f" &c. a la formule f = FZ' + (;Z" + .HZ1" •4- /Z'T -+- j^Z", ou F, G, H &c. font des conftantes qu' on doit puis determiner par la comparaifon d' autant de terraes donnes dans la fuite des y . 9. Si X ell conftant , par ce qu'on a demontre §. 4 la'fomme exprirnee par f — ■— ■ deviendra = X—~ T— ; & nommant L la conftante ajoutee a cette integration , on aura finalement Z = Za* +J — , d' ou l' on tirera par confequent les autres valeurs Z1, Z,:, Z"1 oV.; en fubttituant a la place de a fes valeurs a', a", a1" &c, 10 . De 4« io. De tout ceci 1* on peut deduire Ie theoreme gene- ral fuivant j fi Ton a 1' equation y" ■+• Ayn - * -+- Bym - 2 ■+- Cym - 3 -+- Dy" " * -+- £"_y" - ' •+■ (S'c. = A!", oil les expofans des y denotent leurs pla- ces j que Ton cherche toutes les racines a\ a", a111 alJ &c. de l'equation a* -+■ A a* -H Ba3-hCal-+-Da-+-E = o, & 1' on aura generalement & dans le cas , oil X eft conftant . ^B = Z ( / aim ■+- G a' ,ra -+- H a' ■ '" -+- I ax" m ■+■ Kaym •+■ &c.) + X (F — ~ -+- G a- — —5- h- # ^ ! 4- zjiv m _ _ .-V m _ / ■+■ .£ -4- <5r. )• S\X=io l'onpourra ): roagne- tem vero , & ferrum ex igne mollia magnetico fluido quavis direclione in ipfa incurrenti facilius cedere , quam fi frigida fuerint experimenta alia inferius adducenda com- probabunt . 1 8. Corpora contrario modo eleflrica ad majorem di- ftantiam in fe agunt , quam in corpora deferentia ele&ri- citate deftituta ( q ) . Ita ferrum magnetifmo imbutum ad g ma- ( m ) Mufchenb. dif. cit. exp. 19. pag. 71. 72. magnetem , qui per fex horas canduerat , nequidem fcobis ferri particulam elcvare potuifle , & Boyleus apud eumdem pag. 162. { n ) Magnes modo diclus in Mufchenb. exp. acum mobiliflimam, fex polic. longam nonnifi ad dillantiam — pollt attrahebat , ac repellebat; ferrum ignitum minorem adhuc vim direSivam oftendebat exp. 131. pag. 234. (o) De magnet, conf. exp. cit. , de ferro autem dum candot minori vi a! ma- gnete attrahi Mufchenb. dif. cit. exp. 23. pag. 5*;. 56. vi aequali Mo- nier Encyc. 1. c. contendit ; confentiunt tamen portquam tuerjt retrige- ratuin priftina vi magneti adhaefurum . (/>) Quod contigilTe videtur in exp. Monierii loc. cit. (•}) U. Beccaria dtll' cltttrUifmo artif. % 68. 5° majorem diftantiam in polum diverfi nominis agit , quam, in ferrum magnetifmo deftitutum (/•)• 1 9. Foliola metallica ad corpus a£fu ele&ricum celerius ferunrur , fi deferente corpore , quam fi coercente fulli- neantur (/) . I,ta ferrum validius magneti adhaeret , fi fer- rum , quam fi aliud quodvis corpus (uppofirum fuerit (f). ao. Ex eodem principio fit , ut ferrum nimis breve mi- norem ex affriclu magnetifmum fufcipiat , admoto in extremi- tateferrp alio majorem ( u); major.em iterum fi ex urroque extremo ferrum iuerit admotum ( x ) j majorem denique , quo admota in extremitatibus ferramenta iifdem fuerint propinquiora (_y)> eo nempe major ex affriclu vis exci- tatur, quo facilius per unum exrremum magneticum flui- dum ingredi poteft , per alterum egredi , facilior autem ingreffus , egreflufque paratur admotis ferramentis , eoque facilior, quo proximius admoventur. .n. Ex eadem eleclxicitatis analogia corpora deferentU eleclricum fluidum , fi levia fint , ac mobilia , itadifponun- tur, ut viam faciant inter corpora idem recipientia , &C emittentia ({). Ita fcobs ferrea circa magnetem pofitain arcus difponitur , quorum extrema utrumque polum attin- gunt (a). 11. Supra dictum eft magnetem, nonnifi certa dire&ione a magnetico fluido per mean ( 1 1. 17. ) ; inde fit , ut per polorum fuperficies fluere, ac limul colligi fluidum illud non poffit j eodem modo , quo ele&ricum fluidum psr vi- tro* (r) Mufcbenb. cor. 3. pag. 45. did", cit. (/) Nollet eflai fur releftric. ( f ) Reaumur memoire de la Acad. 1713. ( ■ ) Encyc 1. c (*) Sip! ures virgae aequales, & fimiles in longum difpofitae raigncte fij- centur , quae mediae i'unt , maximara vim aquirunt, Encyc. 1. c. M.ufchenb. exp. 53. pag. 112. dif. cit. 1 { ) P. Bcccaria in cpil. ad CI. Beccarium . Rohault. pag. 168. a. 24. Alu/chesb. dif. cit. exp. turn ad majorem diltantiam , turn majori virtute ferrum attraxifle : polus diverfus admotus contrarium praeftitit effeclum . 27. Ideo ferrum a magnete attrahi propofueram , quod ferrum refpefru fluidi magnetici corpus deferens in ( } ) , id vero ex eo confirmatur, quod ferrum molle, & arma- turae aptius , proindeque magnetico fluido colligendo magis idoneum validius etiam magneti adhaereat ; ferrum item phlogifticodeltitutum, & armaturae ineptum debiliflime a magnete attrahatur ( i ) . . 28. Ex hac ipfa obfervatione confirmatur, quod fupe- rius indicavimus (16) ferrum magneticum effici ex ma- gnetici fluidi fluxu per ipfum certa dire&ione fluentis; quo enim ferrum durius eft , atque adeo ex §. praec. difficilius a magnetico fluido permeatur , eo etiam difficilius , tar- diufque magneticam vim acquirit (.AT),. '(g) Id. exp. 77. p. 134. Encyc.'l. c* ih) Id. Effai. de phyl. §. 556. (i) Mufch. Eflai. §. 555. 557. Idem ex eo , quod fluido magnetico chalyb* difficilius pervadatur majori vi ab eodem contra magnetem impullum iri concludit , unde contra magnetici fluidi exiftentiam argumentum de- fumit §. 787. p. 313. Confer, etiam euind. in dif. cit. cxp. 33. 39. pag. 117. (K) Eacyc. I. c. 19. Quando inter corpora pofitive , & negative ele&rica «o"rpus deferens aptatur validius utrifque id corpus adhae- rebit , quam fi alterutro tantum admoveretur, imo majus pondus eo pafto machina , & catena fimul elevare pote- runt , quam Ci feorfim in corpora fejun&a actionem fuam exercerent ; interea tamen fluidum eleftricum per corpus deferens appofitum a catena in machinam redibit , ficque exteriora ele&ricitatis figna extinguentur . Ira ferrurn tranf- verfim a polo ad polura magnetis tradu&um , & majus pondus fuftinere valet, quam bina ferri fruftra feorfim polis appenfa , & interea ab uno ad alterum polum fluidum magneticum revehit, ficque fphaeram a&ivitatis magnetis in reliqua exteriora corpora imminuit , acferme extinguit ( /). jo. Idipfum ferrum magnetis virtutem confervat , re- ftituit, dum magnetico fluido certa direftione fluenti li- beriorem viam praebet , magifque expeditam , ex cujus fluidi certa direclione per ferrum , & magnetem fluxu ipforum vim nafci , (ervari , augeri fuperius innuimus (i 6). Aflerti veritatera confirmant annuli chalybei , qui etiam ea dire&ione fiti , quae fpontaneae dire&ioni fit oppofita ma- gnetifmum non amittunt , quin imo ex conrrario magne- tis arTnclu aegrius virtutem deperdunt, & licet aliquando amifilTe videantur paullo port eamdem recuperant (m) . j i. Mufchenbroeckius obfervavit , quod fi magnes fu- fpenfos retinere poflit aliquot annulos ferreos fibi invicem admotos , unus autem ex iis ita fufpendatur , ut utrumque flrmaturae pedem fimul tangat , tunc hunc unum fuftineri, reliquos decidere (n); ego vero generatim fum expertus magnetem armatum , qui exteriore unius pedis parte tres elaves facile fuflentabat , nee unicam fuftinere potuiffe # quan- (/) Mufch. dif. cit. «xp. 77. Encyc. 1. c. ( m ) De la Hire phi), tranf. n. 18S. [n) Exp. 75. p. 173. dif. tit. 1* quando ipfarum altera utrumque pedem tangebat : ratio autem perfpicua ell ex §. 19., quod fcilicet in poftrerrio cafu tnagneticum fluidum , per appofitam clavim ab uno in alium pedem traduftum per magnetem ipfam circum- iret , atque adeo minorem in ferrum extrinfecus admo- tum actionem exercere poflet •, nil igitur fingulare eft in Mufchenbroeckii experimento , nee opus ett cum eodem confugere ad ferri figuram , ut phaenomeni ratio eruatur: ex eadem ratione intelligi poteft , cur pes unus magnetis contra albi ferri laminam applicitus multo validius , & co- piofius ferri limaturam margini circumpofitam alliciat, quam fi ambo armaturae pedes ipfi laminae aptentur ; in primo nimirum cafu magneticum fluidum per ferri laminam effu- fum ad ipfius margines copiofius pervenit , quam in altero, quando per laminae portionem pedibus interjectam ad fo- cium pedem faciliorem invenit regreflum . 32. Quo vis magnetis major, eo armarura crafllor efle debet (0), ut, & ferrum tranfverfim adhaerens (29)5 crura item armaturae dum majorem magnetici fluidi quan- titatem fucceflive verfus pedes recipiunt , fucceflive etiam craflefcere debent (25): ergo ferrum nonnifi certam ma- gnetici fluidi quantitatem tranfmittere commode poteft , cum corpora ele&ricitatem deferentia maximam facillime ferant . 33. Ele6tricitas catenae fortior erit fi machina corpori- bus perfe&e deferentibus , quam fi imperfe&e deferentibus fuffulta fit , & viciflim machinae eleftricitas fortior erit , fi catena perfe&e , quam fi imperfefte deferentibus cor- poribus fuffulciatur : fimiliter vim unius poli majorem fuifle deprehendi (/?)., quando oppofitus polus praelongum fer- rum contiguum habebat , quod praeftantiflimum deferens corpus elte demonftravimus (17). 34- '0) Id. Eflai §. fU- [ p ) Id ipfum a Savcry fuerat oblcrvatnm vid. Sag. delle tranf. filofef. W Cavaliere Dereham t. 5. p. 100. §. 1$. [; 3 4- Si folium auri verfus carenam apicem fuum dingat, atque inter hoc , & catenam tranfverfim metallum mucro* natum admoveatnr, bra&eae apex earn dire£Honem amitteti fie dum acus ex fuperpofito magnete fupra tabulam erigir tur , fi alia inter illam, & magnetem admota tuerit, prima ftatim decider . En igitur phaenomeni explicat^onem , quod omnes lluidorum currentium leges refpuere Mufchenbroe- ckius afHrmat , ex quo concludit magnetem non operari effluviis , aut fluido quocumque alio (y). 3 j. Bina fila ex catena, vel machina aftu eleclricis pen- dentia a fe mutuo recedunt ( r ) . Ita biuae acus apicibus fuis ex utrovis magnetis polo pendentes invicem diver- gunt . 1. Angulum eo majorem fila eleftrica cqnftituunt, quo major eft ele&ricitas (/). Ita acus angulum majorem con- diment , fi ex admoto polo validiore ejufdem nominis , poli fuftinenris magnetifmus augeatur , ad parallelifmum accedunt, fi admoto ferro , multoque magis ad oppofitum polum tradu&o (19), ejufdem magnetifmus minuatur. 3. Fila eleclrica magis divergunt fi ipfis admoveatnr corpus deferens (f). Ita acus ex admoto ipfis ferro majorem di- yergentiam acquirunt . 4. Si filum ad contaclum corporis; deferentis perveniat, ipfi adhaeret (u). Ita fi acus ferrum attingat, cum eodem jungitur. 5. Quod fi fila inter bina corpora aequaliter eleftrica pofita fint parallela evadunt (x). Ita fi acus inter polos cognominespendeant ipfarum divergentia minuitur , aut penitus aufertur . Cavendum autem eft in hifce experimentis, ne acuum,quae adhiben- tur, extrema magnetifmo, ac praefertim contrario imbuta fint , quod eorum experimentorum eventum perturbare poflet . 3 in al- tero per admotum polum diffipatur . 45. Magneticae acus dire&io ea eft , ut uno extremo fluidum magneticum recipere , altero emittere quam com- mode poffit , quam proprietatem eleftricorum corporum phaenomenis analogam efle fuperius monuimus (n),inde vero fit, ut ferrum magnetifmo deftitutum , fi collocetur in eo fitu , ad quem acus fponte fe dirigit ex magnetici fluidi juxta earn dire&ionem fluxu magneticum evadat (7), imo eamdem magneticam vim acquirat , fi juxta lineam conftituatur , quae meridianam magneticam ad angulurn quemvis interfecet , fed eo tardius , debiliufque, quo angu- lus major fuerit, donee ad angulurn 900 nullam adipifcatur (r): ferrum quoque eo citius vim earn acquirit , quo lon- gitudo majorem ad craffitiem proportionem habuerit, &c quo mollius fuerit, multoque majorem fufcipit, fi candens eo in fitu fponte , aut aqua frigida aflufa , refrigefcat : ex- tre- (p) Encyc I. c. I*) Mufchenb. dif. exp. 131. pag. n6. (r) Id. 1. u ab cxp. 133. ad 136. 6* tremitas autem , qua ad polum boreum inclinat, borealem polum , qua inclinat ad auftralem , auftralem acquirit , & ex contrario fitu vim priftinam amittit , oppofitamque adi- pifcitur (/) , quae omnia cum iis conveniunt, quae de magnetifmo per magnetem indu£to obfervata funt (16.20.) unde re£te Mufchenbroeckius conclufifle videtur (f), vim magnetis terrejiris cffe admodum univerfalem , earn fe exten- dere per totum lerrarum orbem , agere in omne ferrum , id dirigere haud aliter , quam ferrum aliici , regique a magnete obfervetur . 46. Acus vero ferrea magnetifmo deftituta , debilius quidem , dirigitur tamen juxta meridianam magneticam , fed indifcriminatim, quae extremitas polo telluris feptentrio- nali proximior eft ad ilium convertitur, quae vero auftrali ad auftralem dirigitur, & inverfa acus aeque facile contra- ria dire&ione fe collocat , quamdiu ex diuturna mora in aliquo fitu conftantem magnetifmum non acquifivit ( u ) : ea enim dire&ione fe collocat, qua viam faciliorem prae- beat magnetico fluido certa dire&ione fluenti (21), qua- propter cum id fluidum, quamdiu magnetifmo deftituta eft oppofitis dire£Honibus juxta ejus longitudinem aequali fa- cilitate feratur (15. 17. ), idcirco oppofitas direcliones indifcriminatim acus affeclabit. 47. Neque folum terreftris magnetis aftio manifefta fit, quando ex diuturno magnetici fluidi per ferrum fluxu id magneticum demum evafit (44), verum etiam in ferro magnetifma deftituto ejufdem effeclus obfervantur j nam fi virga quaevis ferrea in fitu quovis collocetur , ut meridia- nam magneticam interfecet , mediatas virgae , quae ad po- lum magneticum borealem telluris inclinat vim poli fep- tentrionalis oftendit, quae ad auftralem , auftralis , inver- faque virga eae medietates contrarium polum protinus exhi- ( f) Id. loc. ulr. cit. 1 1 ) Exp. 146. pag. 268. (u) Savery. vid. fag. dclle tranf. del Cav. Dereham t. 5. §. 3*. pag. 191. *4 exhibent , i(;i ut polaritas, quae refpectu telluris conftans eft, refpe&u virgae ferreae ex mutato fitu mutetur, donee ea virga conftantem magnetifmum ex diuturna mora in certo fitu non fuerit adepta (x), ex quibus , & vis ma- gnetis terreftris conipicua erficirur , & cotifirmatur magnetit- mi contrarietatem in contraria magnetici fluidi dire£tione reponendam efle, & demum evincitur ferrum tnagnetifmo deftitutum a magnetico fluido aeque facile quacumque di- reftione permeari (15.17.)* cum eadem virga magneti- co fluido oppofita direftione fluenti , tarn facilem tranfi- tum praebeat , ut ipfius extremitates ex inverfione in op- pofitos polos illico mutentur. 48. Quoniam ferrum ex magnetici fluidi juxta certam dire&ionem fluxu magneticum fit , ex contraria ejutdem fluidi dire&ione contrarium acquirit magnetifmum (16.45.), quoniam facilius ex fluido per meridianum excurrente, vel a magnete prodeunte vim magneticam acquirit, fi ex igne molle , fponte, vel fuperaffufa aqua refrigefcat (%y), quo- niam chalybs durior difficilius magnetifmo imbui poteft (f), fed majorem recipit , & diutius fervat (a), quoniam igni- tio (17), percufiio , attritus (b) magnetifmum deftruunr, inde confici videtur magnetifmum in certa partium difpo- fitione fitum effe, ob quam ferrum magnetico fluido ex una parte recipiendo , ex altera emittendo aptum fit, eam- que difpofitionem ab ipfo fluido induci , turn auferri pofle, idque eo facilius, quo ferrum fuerit molhus . 49. Cartefiani , qui motus magneticos ex folis mecha- nicis legibus explicare contendebant , partibus magnetici fluidi, turn magnetis, ac ferri poris figuram tribuerunt , quam (x) Id. !. c. §. 18. pag. 97. (y) Conf. loca cit. §. 16. , & 45. ({) Encyc. I. c. (a) Mufchenb. dif. pag. 43a. (*) Id. pag. 73. 74. quam maxime opportunam efTe opinabantur, aeris quoque refiftentiam , ac rea&ionem hue accerferunt ; cautiores alii, ut Mufchenbroeckius (c) Wifthonus (d), cum Car- telianos fcopum non attigifle animadverterent , vel ipfius magnetici fluidi exiftentiam in dubium revocarunt . Ego ad mechanicas rationes omnia exigere minime potui , ac ne ftudui omnino quidem , cum nee ipfa electricitaris theo- ria ufque eo perduci potuerit ; malui igitur analogia du- ctus theoriae eleclricae innumera , fejunclaque phaenomena ad certas claffes revocare : nee vero diffiteor hanc me comparationem multo , quam fecerim, veriare potuifle ac- curatius . At fumma rantum capita fpeciminis loco attin- genda effe putavi, ne in re facili nirnia prolixitas lectori molella evaderet . 50. De Analogia inter fluidum eleftricum , ac magne- ticum hadenus: nunc de identitate horum fluidorum aliqua eflent addenda . Et experimenta quidem nupera , per quae acus magnetica fit artificial eleftricifmo, aut ipfius poli mu- tantur ; turn obfervationes , quibus conftitit acus nauticae direclionem vi tulminis mutatam fuifle, identitatem confir- mare utique poffent , fi definitum eflet , utrum eleftricum fluidum magnetifmum inducat magnetici fluidi vices ge- rens , an agat duntaxat ad inftar communis ignis ()) Cur in eryfipelate , aliifque morbis , quos ingruens putredo comitatur, fanguis intenie floridus, ac rutilus obfer- vetur (c) , aere nempe putredinis vi ex eodem prodeunre, cur item in confirmata putredine, omni prorfus aere diftla- to , fanguinis color niger, & luridus evadat . ($) Cur ( * ) Hammerfchmidt. in difput. cui titul. norabile difcrimen inter fanguinem artcriofum , & venofum §. 11. (c) Vid. Lowerum de mot. cord. p. 159. & feq., & confentientes Bohon, Duverney apud Haller n. 11. ad §.200. (d) Obfervante Haller 1. c. ; c) Sorter. Chirurg. §. 14. 29. & alibi. 7o (■9") Cur demum in gangraena partes emphyfematicae eva- dunt aere vi putredinis prodeunte, tumque fanguis ex fca- rificationibus effluens nigro colore inficiatur. Sanguis quaflatione iblutus , & aequabili rubore praeditus, dum putrefcit, ruborem amittit, nigrumque colorem acquirit, & primo quidem ea mutatio in fuperiori fanguinis ftrato con- tingit , quae pedetentim ad inferiora ftrata progreditur, quemadmodum in fuis circa putredinem experimentis D* Gaber obfervavit , cujus phaenomeni ratio efle videtur , quod fuperiora ftrata putrefcentia aerem facilius emittant, quam ilia, quae iifdem fubjiciuntur. Definiendum autem fupereflet , num fanguis ruborem in pulmone receptum in venis amittat ex eo , quod aerem per corporis fuperficiem expellat (f) , an quod aeri elafticira- temdemat, 6k rubori fervando imparem efficiat, indeenim forte intelligeretur , cur diverfitas fanguinis arteriofi, & ve- nofi aliquando maxima , alias nulla fuerit obfervata (g) . 4. Sanguis porro quamdiu folutus eft , aequaliter colora- tus apparet , dum autem concrefcit in fuprema fuperficie ruborem fervare , in infima nigrum colorem induere ab an- tiquiffimis temporibus eft obfervatum (A), idque poft Ga- lenum (»)♦ veteres plerique tribuerunt humori melancho- lico, qui reliquo fanguine gravior , & nigrior proprio pon- dere ad infimam vafis partem delaberetur , interea dum cruor fpecifice levior fupernataret , nee multum ab hac theoria recefferunt recentiorum non pauci , qui ruborem parti magis fulphureae , leviori, tenuiorique tribuerunt , in- ferioris partis nigredinem denfiori , magifque terreftri fan- guinis (/) Quae Mery fenrcntia eft apud Haller. n. f. ad §. 201, quasi idem Hai- lerus rejicit n. a ad §. 432. (g) Haller prim. lin. phyf. §. 117. 106. caeterum earn diverfitatem nupcr confirmavit Hammciichmidt. difp. cit. §. 11. (h) Arift. hift. anim. lib. 3. cap. 19. Hippoc. de gland. I. 6. {1 ) Com. in 3. epid. 1. 5. de atra bile toto libro , de elcm. ■• n. 7« gtiinis parti adfcribendam efle exiftimarunt (^T),&quam- quam, inverfa fanguinea placenta, ut inferior fuperficies fu- prema evaderet , quae vero fuprema fuerat in inferiorem abiret, illara rubrum , hanc nigrum colorem induere cer- jierent (/), id nihilominus tribuere maluerunt gravioribus, & nigrioribus fanguinis partibus , quae fuperiora deferant,6c proprio pondere ad inferiora trudantur (m) , quamquam non levis erat objeftio in mafia folida, & concreta, qualis fan- guinea placenta eft, baud facile partes juxta variam fpecifi- cam gravitatem diftribui poffe : ut igitur phaenomeni cauflam affequerer, fequentia experimenta inftitui. 5. Sanguinem ex vena bominis pleuritici eduftum fta- tim affudi aequali quantitate in bina pocula vitrea aequa- lia , & fimilia . Alterius fuperficiem fuperaffufo oleo ad pol- licis altitudinem cooperui , alterum in libero aere reliqui,in utroque fanguis coagulabatur , & is, qui aeri expofitus erat rutilum admodum ruborem in fuperficie aeri contigua con- trahebat, reliqua fuperficiei pars, quae poculi parietes tan- gebat in atrum colorem mutabatur : fanguis vero alterius poculi, edu£to per fyphonem oleo , aequabiliter niger eft de- prehenfus, interea aeri expofitus ruborem in fuperiori fu- perficie adeptus eft , in aliquibus tantum locis , ubi oleo adhuc inun&us erat, nigrum colorem fervavit . Id deinceps experimentum in recenti vitulino fanguine coram CI. Bec- caria , pari fuccefiu , renovavi . 6. Cum igitur nigricans color non in infima tantum fu- perficie nafcatur, verum etiam in quacumque alia poculi parietibus contigua (n) patet nigredinem non fieri a par- tibus gravioribus fundum petentibus : imo cum fuprema etiam [K) SchuvencKe Haematol, cap. It, p. 117. Gorter compend. trac. }i« §• 22. n. 3. alii permulti . (/) Notante primum Fracaflato ill tranf. phil. anni 1667. num. 27. art. 4., qui id aeri tribuit . (m) ScuvencKe 1. c. , qui globulos alios prae aliis ponderofiores efle docet, \n) Confenr. Boer. Chem. r. 1. p. 261. edit pans. 72 etiam fuperficies atro colore infefta fit , fi tenui olei ftra- to obtegatur manifeftum fit ab immediato aeris attaclu ruborem oriri : errant propterea , qui putant ruborem a le- vioribus partibus effe reperendum , nifi forte eo fenfu le« viores effe velint , quod ob contiguum , admixtumque ae- rem aliquanto folutae , minufque invicem cohaerentes ftra- tum efforment fpecifice levius (o), interea dum partes ipfae a reliquis fanguineae maffae partibus nullo modo differant . 7. Hanc etiam partium fpecifice leviorum hypothefim alio experimento refutare aggreffus fum, quod a Lovvero olim jam tentatum inveni (/>)> fupremam nempe rubicundam coagulati fanguinis fuperficiem cultro abradebam , &nigri- cantem fubjeclam fuperficiem detegebam , quae, ubi per breve tempus aeri expofita fuiffet, novum rubicundum ftratum priori fimile fuppeditabat , atque eo pa&o repetita abrafione totam fanguineam placentam in rubra ftrata convertere fa- cile potuiffem . 8. Praeterea vero, five amplo, five angufto vafe fanguis recipiatur , in fuprema tantum fuperficie rubicundus appa- ret ; attamen fi ex particulis datae folummodo gravitatis rubor oriretur , eo craffius rubicundum ftratum effe deberet, quo vas ar&ius, craffius item, quo major copia fanguinis in eodem vafe contineretur , nee fieri poffet , ut modica fan- guinis copia in amplum vas effufa tota rubefceret , quern- admodum quotidianis experimentis comprobatur. 9. Poftremo fanguineam placentam mox ex poculo edu- ftam , atque adeo in lateralibus , & inferiori fuperficie ni- gricantem reti fuperimpofui, & non multo port in late- ralibus , &c inferiori fuperficie aeque florida evafit , ac in fuprema , ut aequabiliter colorata quaquaverfum deprehende- retur . 10. (0) Quae LeuvvenhoecKii fententia eft in obfervationibus circa fanguinepi menf. Junii 1674. (/>) Loc. cit. 73 io. Ex his autem etiam eorum fententia inf.rmatur, qui interiorum partium nigredinem ex fuperiorum pondere, aut preflione oriri autumant ; obfervavimus enim tenuifli- mum olei ftratum fanguinis fuperficiem inungens nigritu- dinem fervare, ex quo tamen vix ulla com prefix o poteft ex- peftari; deinde, ft nigrities ex incumbentium partium preflio- ne oriretur, prout fanguis profundior eflet, magifque compref- fus , eu majorem nigredinem acquireret, cum tamen iisin lo- cis, quibus aerem non attingir, aequabiliter niger confpiciatur. ii. Quoniam igitur fuprema fanguinis (uperficies rubra eft , quando aerem tangit , nigra , quando aer ab eadem arcetur ( j ) , & fimiliter infima fuperficies , quae nigra efle folet, admiflb aere, rubefcit (9), quoniam fanguis to- tus rubefcere poteft, ft vel firnul, vel fucceflive aeri to- tus exponatur ( 7. 8. ) , quoniam rubor , & nigrities , non per fucceflivos gradus aut crefcit, aut minuitur pro aiti- tudine ineumbentis fanguinis , fed aequabilem ruborem , & aequabilem nigredinem fanguis acquirit (10), quoniam aere exhauftus fanguis niger evadit ( z ) , manifeftum fit ab aeris attaclu fanguineae placentae ruborem oriri. 1 1. Ex his intelligitur , cur ii conquaffatione aer fanguini admiiceatur , & tardius concrefcat , & majorem ruborem acquirat (7). Cur ea , quae fanguinem fluidum fervant, eadem rubo- rem fervare foleanr, & contra. 13. Sanguis porro, dum concrefcit, denfior evadit (r), & interim ruborem, ut diximus, amittit : errant igitur , qui fix majori denfitate fanguinis arteriofi, & condenfatione in pulmone nata ipfius ruborem deducunt: quod fi in pulmo- ne, non maflae fanguineae, fed globulorum denfitatem au- geri intelligant, quo id tandem experimento comprobarunt? Profeclo inter globulos fanguinis arteriofi , & venofi nullum k dif- Lovvcro, Halefio ai'.ifque. in in compend. tranfac. philofophic. verfione italica Derehatai torn i Pa6- 3- exp. 13. ^ r ) Jurin 74 difcrimen microfcopii ope detegere potuit Hammerfchmid- tius (y ) , quod oftendit coloris diverfitatem non in compo- nentibus particulis , fed in varia earumdem mifcela, ac difpo- fitione pofitam efle . 14. Cum in foetu fanguis aquofus fimu!, & obfcurus de- prehendatur , (3-^) patet ex fola feri mixtione ruborem non oriri. 1 f. Ad attritum quod fpe£tat , ex quo ruborem in pul- mone nafci pleriqueexiftimanr, jam refte oppofuit Lovve- rus in mufculis multo magis, quam in pulmone fanguinem • atteri (t) , attamen abipfis nigricantem prodire , & praeterea adnotandum in ejufdem Lovveri experimento, in cadavere ftrangulati canis, inflate puimone, fanguinem comprimi po- tius , quam atteri debuifle , nihilominus ruborem fanguini fuifle reftitutum , ac proinde foli attritui ruborem in pul- mone natum minime efle adferibendum. 1 6. Neque vero facile eft definire , cur coagulatus fan- guis ea in parte , qua aerem non attingit , niger evadatj num ex eo, quod liber aeris per fanguinem tranfitus pro- hibeatur , qui dum libere permeat falia , vel quid aliud deponat rubori fervando aptum , quod non videtur ; nam in claufo etiam fpatio fuprema fanguinis pars rubicunda diutiflime remanet , dummodo tenuem aeris lamellam fu- perpofitam habeat ; num ex eo , quod atmofphaerae pon- dere fanguis prematuc, quod iterum probabile non eft ; /iquidem atmofphaerae preflionem non minus fuperflcies patitur oleo inun&a , quam ea , quae immediatae aerem contingit ; num demum aer fanguini admixtus, & globu- lis fanguineis interpofitus ruborem fervet , contra concre- fcens cruor contentum in poris aerem expellat , vel ita fi- xum reddat , ut rubori efficiendo impar evadat, quod au- fia concreti finguinis denfitas , & emiflus ab aliis concre- fcentibus fluidis aer conflrmare quodammodo videntur . . JOH. (/) L. c. §. 6. ( t ) Confcntit CI. Sauvages Phyf. clem, pag- 1 10. JOH. BAPTISTAE GABEr' Specimen experimentorum circa putrcfatlionem humorum animaliurn. QUanti Medicinam , Sc naturalem fcientiam interfit putrefa&ionis hiftoria , jam ipfe noverat Philofo- . phiae inftaurator Verulamius, qui Medicis idcirco, & Philofophis faepe auftor fuit , ut illius cauflas, modos , & phaenomena diligentius perveftigarent ; eaque paffim commoda ilgnifica.vir, quae in affines facultates de- rivari poffent . Atqui tanti Viri monita ufque adeo negle- fta Cunt , ut vix pauci rem ram neceflariam tra&andam , & illuftrandam fufceperint ; fed plerique ex aliis quaecum- que extiterant experimenta , & obfervationes defcribere , aut ex praeconceptis opinionibus confeclaria deducere nia- luerunt , quam rem tentare , & fcrurari diiigenter : ex eo fortafle etiam praetextum aliquem nafti, quod videbant Chy- micorum feftam , & quidquid Chymicam faperet male audire apud prudentiores Medicos, qui ex illius abufu tantam in- telligebant rei Medicae perniciem illatam . Sed egregiam huic facultati navavit operam Clarifs. Pringle , qui rem diu ante negle&am retraftandam adgreflus eft , novafque aperuit in tam multiplici, & complicata difquifitione pro- ficiendi, progrediendique vias . Magni hujufce Viri exem- plo , & monitis excitatus ejus veftigia perfequi conftitui , quod & rei utilitatem perfpeclam haberem, Sc vitae, offi- ciique mei ratio commodam mihi occafionem exhiberet hujufmodi tentandi experimenta . Neque tamen totam fi- mul putrefaclionis hiftoriam inveftigandam fufcepi , ne plu- ribus intentus minorem in fingulis diligentiam adhiberem . Solos humanos humores , neque omnes , fed praecipuos tantum per experimenta fcrutatus fum , cum haec cogni- k 2 tio 76 tio prae caeteris omnibus plurimum conducere videatur ad multorum morborum internas cauffas detegendas , eo- rum effeftus, feu fymptomata explicanda, atque ideo ad indicationes eraendas. Quoniam autem experimenta noftra cum Pringtianis minime conveniunt , cauflas idcirco ex ipiis experimentis eduftas aperiam , quibus eventuum di- verfitatem adfcribendam puto. Lubens omitto inutilia omnia tentamina , qualia ante- quam aliquid certi in hoc genere aflequi pofTem , fere in- numera inftituere opus fuit: ea duntaxat recenfebo , quae novam aliquam lucem videntur fuppeditare. i. Quinquagenarius vir abfque febre inveterato iclero confe&us eft . Cadaver integro nychtemero, brumali tem- pore, loco frigido repofitum fuerat: hoc tranfa£r.o tempo- ris intervallo, diffecabatur : confpiciebantur craffa inteftina cinereis foecibus infarcla, tenuia flavefcente muco hac iliac confperfa , cyfticus , & choledocus duftus pervii : cyftis ipfa bilis in atrum vergentis ingenti copia diftendebatur . Veficula pertufa bilem vitreo vafe excipiebam , modicum foetebat , vifcida erat , & tenax : minufculae hujus portio- ni unam , vel alteram aquae fortis guttulam affudi : effer- vefcebat, erumpebant ad liquoris fuperficiem aereae bullae cum fibilo, qui admoto ad aures vafculo percipiebatur, atque ipfo ta6ru fentiebam liquorem incalefcentem . i. Superftitem bilem in tres portiones diftinftas toti- dem vitreis vaiis apeitis infudi , vario fitu, 6V vario calo- ris gradu diftribui ; unum in hypocaufto ad trigintaquin- que circiter gradus Reaumuriani Thermometri calefaclo , alterum in alio hypocaufto, quod viginti quinque tales ca- lebat gradus, tertium vero cubiculi fervabat temperiem, fuae inter feptimum, & decimum fere continebatur. Vi- inti quatuor horis elapfis fingulas portiones acidis explo- ravi . Quae bilis triginta quinque graduum ealori fuerat expofita, ea dilutior evaferat, vixque indicia leviflimae efFer- 77 effervefcentiae praebebat : bilis , quae vigintiquinque gra- cilis caloris paffa fuerat, diluta quoque apparuit, cum aci- dis aliquanto magis, fed parum admodum efferbuit: quae demum fuerat in cubiculi temperie relifta fuam vifcidita- tem fervaverat, & aeque vehementer, ac antea (i) cum acidis confli&abatur. Quod poftremum experimentum co- ram Equite Salutio , Ludovico de la Grange, D. Cigna, & Mich. Ant. Piazza luculentiffimis teftibus, aliquot exin- de horis fimili eventu renovavi . 3. Ex ejufdem cadaveris vena eodem tempore educlus fanguis rubro-flavefcentem exhibebat colorem . Ejus fan- guinis ponio fimulac fuit edu&a , & nitri fpiritu dilutiori permixta effervefcentiam fimiliter exhibuit , multo tamen minorem , quam bilis ; quo fanguine in digeftione per paucas horas reliclo , flavum ferum a cruore fecedebat , quinimo flavp colore fuperflcies cruoris inficiebatur. Idem fanguis per tantumdem temporis, ac bilis in hypocauftis fervatus majorem effervefcendi vim retinuit , quam bilis , quae vis ex mora fenfim hebefcebat. 4. Ex hujufmodi obfervationibus haec videntur poffe de- duci confe&aria . i° Tantam in morbis nafei poffe alkalefcentiam, ut hu- mores cum acidis effervefcant: neque enim probabile ell, earn in cadavere mutationem contigiffe, quod per horas viginti quatuor fervatum fuerat in loco frigido, ubi per plures dies fervati humores fani ad talem alkalefcentiae gradum vix perveniffent . i° Levem putredinis , & foetoris gradum , qui extra corpus nullum adhuc alkali praebet, quemadmodum expe- rimentis inferius exponendis conftabit , intra animale cor- pus alkali producere . 3* AHcali intra corpus genitum, & bile contentum vo- latile admodum effe , & expeditum , quippe quod viginti- quinque graduum calore tarn brevi tempore maxima ex parte 7* parte in auras avolaret, fecus a reliqtiorum elementorum nexu aliquanto magis intricatum effe illud alkali, quod in fanguine continetur , minufve volatile, quum per idem tempus, eodem calore, minor ejufdem portio difliparetur. 5. Ex poftrema hac obfervatione conjedturam feci, an forte in tentaminibus , quae circa putredinem fuerunt in- ftituta, ex quibus indubias alkali notas nonnulli compe- rilTe affirmant , alii vix leviflimas obfervaffe teftantur , eventuum difcrepantia ex vario caloris gradu , varia cor- ruptorum corporum aetate , majori , minorive geniti al- kali libertate repetenda elTet . 6. Non aliter ac bilem corruptam, integram bilem ten- tavi, fanguinis cruorem, & ferum : fingulorurn tres diftin- 6las portiones memoratis (2) tribus diverfis caloris gradi- bus expofui , & quum acidis mineralibus eos liquores quo* tidie explorarem , deprehendi omnium humorum citifiime bilem efferbuiffe ( a ) , & citius adhuc humanam , quam bubulam ; aliquanto tardius cruor corruptus cum acidis effetbuit , omnium tardiffime ferum effervefcentiam exhi- buit . Quae porro effervefcentiae iifdem phaenomenis dt- ftinguebantur, quae paullo ante memoravi (1) ; neque vero cum folis acidis mineralibus «corrupti humores effervefce- bant, verum etiam cum dilutiffimo aceto diftillato confli- clabantur . Quae artifkiali calori expofitae fuerant humo- rum portiones foetorem citius, & effervefcentiam dederunt; citius quinimo pervenerunt adfummum effervefcentiae gra- dum , quern cum attigiffent, continuato ejufdem loci calore effervefcendi vim non folum amiferunt (£)» fed ingratifli- mum (a) Inter omnes humores citifTime putrefcere . Bagb'vi Oper. own. p. 439. * & digeftam fa) alKali copiofius dare. Henninger debile. Argent. 170J. apud Haller not. 2. ad §. 99. (i) Imo ferum in hypoc. ad 35. calido nunquam efferbuit , argumento di- cendi alKali in fero natum ex eo caloris gradu dilTipatum iuiffeca pro- portions , ijua gignebatur . 79 mum foetorem in herbaceum, ac minime injucundum odo- rem commutarunt (c). Caeterum multo citius plerumque prodiir fbetor, quam alkalefcentia, idemque tardius defiit. 7. Dixi corruptos humores cum acidis mineralibus ef- ferbuifle, quod ut clarius defignem , notare juvat me ut plurimum aqua forti ufum , quae diluca admodum erat , nee ullum , vel minimum excitabat motum aquae corn- muni admixta } tantumque abeft , ut acidorum concentra- tion! tribuenda fit effervefcentia ( 718. Anonis lutea vifcofa Iatifolia minor , flore pallido Barrel, ic. 1139. Anonis vifcofa fpinis carens lutea Iatifolia annua Magn, monfp. 1 1 . Folia brevis pttioli ope infidentia retangulae flipulae , orbi- culata , aut oblonga , minutim denticulata . Pedunculi uni* flori , axillares , flipula longiores , terminati filo folia fu- per ante . Flos pentaphillo calyce minor . Fruclus longior calyce , aequalis jiipulae femina recondit tria , aut quatuof reniformia . Planta teta villofa eft. Ornithopus foliis pinnatis, leguminibus fubarcuatis Linn* fp. pi. 743. Ornithopodium minus C. B. pin. 350. Othonna foliis pinnatifidis tomentofis : laciniis finuatis , caule fruticofo Linn. fp. pi. 917, Jacobaea maritima C, B. pin. 131. Ad maris littus abunde. Passerina foliis earnofis extus glabris , caulibus tomento- fis Linn. fp. pi. 559. Thymelaea tomentofa foliis fedi minoris C. B. pin. 46 j. Phillyrea foliis cordato-ovatis ferratis Linn. fp. pi. I. Phillyrea folio leviter ferrato C. B. pin. 476. Plantago foliis lineari-lanceolatis hirfutis , fpica cylindri* ca erecla, feapo tereti foliis longiore Linn, fp-pl- "4* Flo- 99 Holofteum hirfutum albicans minui C. B. pin. 190. Plantago caule ramofo , foliis integerrimis , fpicis folio- fis Linn. fp. pi. 1 1 jf. Pfyllium majus ereftum C. B. pin. 191. Plumbago foliis amplexicaulibus Linn. fp. pi. ijt. Lepidium dentellaria diftum C. B. pin. i<)j. Polygonum floribus pentandris trigynis axillaribus , foliis lanceolatis , caule ftipulis obtecto fruticofo Linn. fp. ' pi. 361. Polygonum maritimum latifolium C. B. pin. \%o. Poltpodium fronde bipinnata : pinnis lunulatis dentatis , ftipite ftrigofo Linn. fp. pi. 1090. Filix aculeata major C. B. pin. 358. Poterium inerme caulibus fubangulofis Linn, fp.pl. 994. Pimpinella fanguiforba minus hirfuta C. B. pin. 160. Poterium fpinis ramofis Linn. fp. pi. 994. Poterio affinis , foliis pimpinellae , fpinofa C. B.pin. 388. Abunde circa. Calarim . Psoralea foliis omnibus ternatis : pedunculis fpi.catis folio longioribus Linn. fp. pi. 763. Trifolium bitumen redolens C. B. pin. 327. Ubique circa Calarim . Quercus foliis ovato-oblongis indivifis, ferratifque , cortice integro Linn. fp. pi. 995. Ilex oblongo ferrato folio C. B. pin. 414. Ubique frequens . Quercus foliis ovato-oblongis indivifis ferratis fubtus to- mentofis , cortice rimofo fungofo Linn. fp. pi. 99 j. Suber latifolium fempervirens C. B. pin. 424. Quercus foliis ovatis indivifis fpinofo-dentatis glabris Linn. fp. pi. 995. Ilex aculeata cocciglandifera C. B. pin. 41 y. Abundt loco dido Pedra de Fogu. n 2 Rese- I0» Reseda foliis lanceolatis integris , calycibus quadrifidis Linn, fp. pi. 448. Luteola herba falicis folio C. B. pin. 100. Reseda foliolis alternis integerrjijiis , fru&ibus tetragynis . Refeda miner incifis foliis Barrel, ic. 587. Refeda foliis calcitrapae flore albo Mor. hort. blef. Rubia foliis fenis Linn. fp. pi. 109. Rubia fylveftris afpera C B. pin. 33. Rumex floribus hermaphroditic , valvulis dentatis nudis re« flexis Linn. fp. pi. 336. Acetofa ocymi folio Neapolitana C. B. pin. 1 1 4. Rumex floribus dioicis , foliis lanceolato-haftatis Linn, fp, pi. 338. Acetofa arvenfis lanceolata C. B. pin. 1 1 4. Sagina caule ere£to unifloro Linn. fp. pi. 11$. Alltne verna glabra Vaill. parif. 6. t. 3. f. 1. SaXifraga foliis caulinis palmato-lobatis , caulinis feflllibus, caule ramofo bulbifero Linn. fp. pi. 40 3. Saxifraga bulbofa altera bulbifera montana Col. ecphr. 1. p. 318. Scandix feminibus ovatis bifpidis , corollis uniformibus , caule laevi Linn. fp. pi. 157. Myrrhis fy Iveitris aequicolorum Col. ecphr. 1. p. 110. Scandix feminibus fubulatis , hifpidis , floribus roftratis , caulibus laevibus Linn. fp. pi. zjj. Scandix cretica minor C. B. pin. 152. Scrophularia , foliis difformibus , pedunculis axillaribuj aggregatis Linn. fp. pi. 610. Scrophularia foliis laciniatis C. B. pin. 136. Scrophularia foliis cordatis : fuperioribus alternis , pedun- culis axillaribus bifloris Linn. fp. pi. 611. Scrophularia urticae folio C.B. pin. 136. Serapias bulbis fubrotundis , nefturii labio trifido acumi* nato petalis longiore Linn. fp. pi. 950. Or- IOI Orchis montana itah'ca flore ferrugtneo , lingua oblonga B. C. pin. 84. Sherardia foliis omnibus verticillatis ,floribus terminal'^"* Linn. fp. pi. 1 ox. Rubeola arvenus repcnc raprulea C. B.pr. • Silene hirfuta , petalis emarginatis , frufHbus ere£iis alter- nis hirfutis feililibus Linn. fp. pi. 417. Vifcago ceraftei foliis , vafculis ere&is feililibus Dill. ehh. 416. t. 309. Sison foliis caulinis fubcapillaribus Linn. fp. pi. 2J2. Arumi parvum foliis foeniculi C. B. pin. 159. Spartium foliis ternatis , ramis angulatis fpinofis Linn.fp. pi. 709. Acacia trifolia C. B. pin. 391. Taxus foliis approximatis Linn. fp. pi. 1040. Taxus C. B. pin. 505. Occurrit in agro Ula ffey ; de caetero rants. Teucrium foliis integerrimis ovatis utrinque acutis, race* mis fecundis villofis Linn. fp. pi. 564. Marum cortufi /. B. p. x^x. Teucrium Polium maritimum ereclum monfpeliacum C. B.pin.xx\„ Polium monfpeflulanum J. B. j.299. Thlaspi filiculis fubrotundis , foliis amplexicaulibus corda- tis fubferratis Linn. fp. pi. 6^6. Thlafpi arvenfe perfoliatum majus C. B. pin. 106. Thymus ere&us, foliis revolutis ovatis, floribus verticilla- to-fpicatis Linn. fpec. pi. 591. Thymus vulgaris folio latiore C. B. pin. 2 1 9. Frequens circa Calarim. Tordylium umbella conferta , foliolis ovato-lanceolatis pinnatifidis Linn. fp. pi. 241. Caucalis femine afpero , flofculis rubentibus C. B. pr. 80. Ad foffas prope oppidum Gerey . Tor- ioi Tordylium umbellis fimplicibus feffilibus, feminibus ex- terioribus hifpidis Linn. fp. pi. 240. Crtucalic TinHofa echinato femine C. B. pr. 80. Ibidem . ToRDYLlUM alterum majus Xe ducor : divifo itaque per axim verticalem, aut tranfverfim corpore luteo conicas mamillas, ftrias, feu appendices utra- que facie planas video , quae ex tota circumferentia obtufa cufpide in communem longitudinalem caveam vergant . Hujufmodi mamillae ex vafculis tenuiffimis, molliffimifque fiunt , quae crifpata ad invicem per longitudinem cumu- o i lantur io8 lantur in ipfius mamillae fabricam ; quando vero per cor- poris lutei longitudinem membranofus ductus protenditur, il!e , inquam , expanfionibus fuis lateralibus mamillas eas fir- mat , & devincit , ut fila ea, quae a runica teftium albu- ginea , eorum compagem pervadunt, & fafciculos vaforum feminariorum fuilinent , & uniunt ; microfcopio examinata renuiifima longitudinalia harumce mamillarum fragmenta eamdem, ac ea , quae tettium funt , fabricam quodammodo exhibent, crifpata nempe funt, cava, turgentia , & liquido farcta: injiciens per arteriam fpermaticam tenuiflimam gum- mi folutionem in alcohol, feu vernicem , hujufmodi mamil- las pervadifle non femel , etfi multa cum difficultate vidi- mus , atque vafculorum , quae fanguineorum propagines eflent , elegantiffimae myriades obfervabantur; hinc ex iis ipfis fpermaticis vafculis corpus luteum educi fufpicabar , quamquam, fi ingenue fatear, ufque in ipfa lutea vafcula inje&ionis materiam nunquam penetrafle viderim . ■ Nonnulli Anatomici in nuper foecundaiis phlogofi cor- repta obfervaverunt ovaria , eorumque veficulas . Quid (i jam pridem factum fuerit? Non equidem per earn tempo- ris brevitatem excitari adeo facile credimus , turn propte- rea quod ipfe uterus non leviter immutetur . In junioribus ovaria intus intertexta videntur confertiflimis vafculorum, ica dicam , manipulis, quae in puellis , quibus mammae fo- roriari , & caetera pubertatis figna fobolefcere incipiunt admodum rubent , & veluti florefcunt ; nonnullae ipforum tenuiflimae propagines circa veficulas producuntur ; verum e profundo ovarii villi nonnulli lutei germinare videntur, qui graminis adinftar, ut Malpighiana phrafi loquar, vefi- culis iis circumducuntur, nee quidpiam referunt , quod cum luteo corpore comparari poflit , hinc vero mira celeritate in papillas, feu penicillos luteorum vafculorum cumulantur, quae veluti papulam effingunt , atque illinc veficula minus apparet , flofculos diceres florefcentes,g!omerantur, cumu- Jan- lanturque fenfim magis , magifque , atque foliditate non mi- nus , quam amplitudine crefcunt . Vidimus interdum ab aliquo corpore luteo , alteram ve- luti appendicem , feu apophyfim pullulare ; non erat alterius corporis nimium produfta papilla , ut primum fufpicatus eram, at quidem connatum corpus ejufdem firufturae, hinc mecum ipfe meditabar ex iis, quae primum fpeclaveram , & ex aliis an veficulae in hanc maflam evaderent , extus, aut intus fuccrefcente luteo tomento , aut recens fine his germinaret . Plenitudo ipforum, defeftus refidui folliculi, me in hanc potius trahebant fententiam , turn praefente pleno, perfe&oque corpore luteo, alia eorumdem rudimenta vidifle vifus Turn, quae non ita circum veficulam , veluti penicilli pulpofi imagine germinarenr, nee alium germinationis mo- dum referrent , ac flos, aut gemma in plantis . Ante con- ceptionem , inquit CI. Hallerus plerumcjue nafchur , fenfim circa veficulam aliquam ovarii coagulum fiavum , faepe a me vijum , quod valde auclum , circum natum membranae veficu/ae, abire videtur in hemifpliericum , acinofum, luteum corpus intus cavum, & in ea cavitate , quantum videtur , continens ovulum^ five membranulam minimam cavam , fedem futuri hominis. Prim. JLin. Phyfiol. edit. 2. pag. 545. §. dcccxxv. Eae Halleri oblervationes noftras non folum comprobant , imo etiarrt asiteceflerunt , neque eas renovare aufus efiem, nifi idem Clarifiimus Auclor in eodem paragrapho , imo in eadem linea adjunxiflet , quod ea corpora in foemina pofl con- ceptum primum adparent , quam fententiam iterum , atque praecife tranferipfit ad finem §. dccclvii. , quae tamen poftrema verba deficiebant in eodem paragrapho primae editionis . 1 Corpora igitur glandulofa non femper eamdem plenitudi- nem affequuntur, incrementi vero rationem quamdam te- nent ; dua aeque perfecla in eodem ovario , aut unum in utroque nunquam invenifle diximus . Tncidimus foemina e cad a- 1 IO cadaver, quae gemellos enixa erat , folitarium globofum , terminatum comperiebamus . Hae moliem fuam aflequuta turgent , & duriufcula funt , altera molliora flacidiora ; ilia intenfe crocea , vel etiam rubent, atque in his vafculorum. ordo nitidior apparet, vafculorum , feu inteftinulorum in- quam , quae corporis lutei compagem faciunt, altera fub- lutea, pallida fubcinerea, pulpam, cujus ftru&uram non tam facile diltinguimus , perhibent . Caeterum per gestionis tempora magis , vel minus celeriter deirefcunt , donee in exiguiffimam molem evadant, ceu in granula, vel maculas minimas, quae quidem & in proveftis mulieribus , quae jam a multis annis utero nihil geftarunt , intenfe luteae , quandoque apparent ; papulae, quas fuperius memoravimus, praecipue occurrebant , quando praefentis geftationis decre- fceret, vel praeterita geftatione longe magis decrevifTer. Veniamus jam vero ad uterum . Ipfe quoque uterus ad concoeptionem praeparatur: ex ve- teribus Anatomicis Carolus Stephanus uteri vafa fanguinea defcribens , haec eadem in papillas , quae Hipocrates ace- tabula, nominabat, elongari fcripferat, eaque percipi pofle, non folum. in praegrnantibus , fed etiam in iis , quorum uterus ad fufcipiendum femen aptus efl ; confirmaverat Harveus, quam rem non modo neglexerunt Anatomici , imo etiam defpexerunt . Ego vero jam ab anno mdccxlviii. cornua uteri vaccini , tuberculis hie , illic turgentia quandoque vide- ram, quod idem cum faepius, iterumque vidiflem, multa enim mihi ipforum erat copia , non adeo facile morbi genus , quae mihi primum fufpicio obvenerat , effe credebam , nam neque durities , neque fordes , aut ulcera morbi fufpicionera dabant ; cogitavi poftea , an acetabula eflent , quae per puerperium decrefcerent , nam compreflfa humorem tenuere quidem , atque dilutum , at vero quodammodo lacleum in- terdum dabant . Na&us 1 1 [ Naclus ergo multam copiam uterorum pecudum , atque vaccarum , quae marem quidem erant paifae , at nunquam evaferant foecundae , fubdu&ae porro jam fuerant a mare ab hebdo-mada , vel etiam menfe ; in iifdem ea quoque tuber- cula obfervare contigit, quorum nonnullis , quae majora eflent , dele£tis poft maceracionem aliquot dierum in aqua, ejufdem eiTe llrufturae , ac corpora glandulofa utero geren- tium comperi, idem obfervavi in cuniculis, quas ipfe domi fervaveram: papulas primum fpongiofas, quando minima funr, referre videntur , quae quidem papulae novam excitatam fabricam demonftrant , fi cum reliqua uteri interna fuperfi- cie comparentur, rubent , atque in aqua diu maceratae , tu- bercula videntur fpongiofa elegantiffimo reticulo tecla , e cujus areolis villi quidam , feu villofa lanugo emergit ; re- ticulum illud cum interna uteri membrana continuari con- fpicimus j villi e profundo emergunt , neque eadem ftru- clura continuatur in reliquis uteri areis ( de quadrupedibus loquimur), e quibus nulla eminent acetabula . Hujufmodi reticulum in acetabulis pecudum , quae adinftar calicis funt excavata, non ad oram , fed non nihil profunde obfervatur, in vaccis vero in foraminulis fpongiofae fubftantiae intro- mittitur , atque nift diftrahendo , rumpendoque adefle no- fcimus . Beltiae quadrupedes , quae menftrua non patiuntur , fi libidine aeftuent , fanguinem e vagina extillant , atque catula aeftu libidinofo furens , neque dum a mare compreffa fan- guinem fat copiofum emittebat ; itemque in ejus utero per varia cornuum loca feptem diftinftifllma , variaeque ampli- tudinis corpufcula inde repereram , quae acetabulorum ru- dimenta viderentur , mollia erant , fpongiofa , rubella , e qui- bus tamen ferum potius la£tefcens preflione exprimebatur ; vafa ad ea corrivabant fanguine turgida , in iifque confun- debantur . In i n In muheribus, priufquam concoeperint, nihil profe&o hu- jufmodi obfervaviffe ingenuus fateor ; Clarifs. Morgagniu» finus demonftravit , e quibus fanguis menftruus extillaret; eos ampliores utpote fanguine turgidos, inllantibus catame- niis, Temper comperimus, atque compreffo utero potius per oblongos hiatus, quam per vafculorum foramina languinem exftillare obfervavimus ; rubet , turget uterus ob aellum venereum , nihil ultra immutatum ante conceptum revera vidimus. Porro tamen propria vi mutari ex eo deducimus, quod cum non femel mulieres aperirernus,quaeptimis gra* viditatis hebdomadibus obierant , etfi ovum utero nullibi adhuc dum adhaeret et , nihilo tamen minus, alicubi magis turgere uterum, & finus magis patulos,longius produetis tumi- dis labris, obfervabamus,ceu veluti defignatum locum,ubi pla- centa tandem infigi , & adhaerere deberet. Idem obferva- vimus in utero vacuo cum conceptus effet in tuba finiitra, ut , inquam , propria vi immurari uterum dicamus , ceu non ex folo placentae conta&u . Erat in eo loco pufillus foe- tus , turgebat tuba craflis parietibus , atque vafis fumme turgidis circumdabatur ; uterus porro triplo erat naturali nnjor, rubellus , turgidus , atque ad eum locum, ubi tuba illius lateris infinuabatur , per tres digitos tranfverfos magis erat tumidus , atque in luperficie interna tinus fatis patulos habebat produ&is labellis craffis , atque non nihil tumidis. Longe tumidae erant arteriae fpermaticae , atque in-ltituta injeftione , ceram plenis rivulis in uteri tumidi finus pene- trafle obfervavimus, quum eae arteriae , quando mulieres nihil in utero habent, ad eum tota naturali diametro per- veniant , anguftentur inde , ut tenuiffimae in uteri fubitan- • tia intercipiantur . Quid porro? foeminae nonnili poft pur- gationem concipiunt , atque fi ceflet, non amplius foecun- dae evadunt ; mulieres ultra quinquagefimum annum men- ftruantes pepererunt , praecoces hujufmodi purgationes in puellis praecoces reddunt foecundationes . Har- Harveus mucofa filamenfa defcriblt , quae ab ultimo , leu fuperiore cornuum angulo dufta ,fimulque inde juncla, membranofam, ac mucilaginofam tunicam, feu, ut ajunt manticam , vacuam vero, ceu nulla occupatam embryone efficerent . Equidem embryonis membranas tamquam ex muco compaginari ampliffimis Anatomicorum obfervatio- nibus ediximus. Semel in fcroplia, in qua luculenta occur- rebant uteri acetabula , mucofam , fanguinolentam telam obfervaveram , per totam uteri amplkudinem perfufam r nee ullarn minimam compaclam fuoftamiam , quae pro embryone, vel minimo fumi poflet, occludentem; in aqua neque folvebatur , & adinftar membranae natabat, & ex- pandebatur facillime citra rupturam , craffam , mucofam , fpongiofamque telam dixifles, quae paflim rubebat papulis, feu maculis fanguineis. Etfi per quam attentum in hujus uteri anatome me praeftiterim , non potius Harvei obfer- vationem confirmare intendo , quam Anatomicorum dili- gentiam excitare , ut in iifdem infiftant ; Harveus enim tanta obfervandi opportunitate , atque diligentia obferva- tiones fuas adauxit , ut hae negligi quidem non debeant j atque ut ipfe fatear quod recogito ,. poftremae , quas in ovibus, & vaccis inftitui obfervationes , acommuni fententia me non leviter deturbarunt , ut generationem multiplici patium apparatu promoveri, foveri, & perfici crediderim; dubium obfervationes excitarant ; eaedem aliquando fortafTe abfolvent , ii porro operis modos fequamur . Equidem placenta, quam partem organicam tandem con- {picimus veluti ex muco fit. Primis geftationis tempori- bus ab utero delapfum ovum mucofa fubftantia fanguino- lenta circumquaque obvolutum videtur : hujufmodi placen- tam Ruyfchius fanguinem praeter naturara concretum exi- ftimaverat; at vero Ci aqua diflblvatur, fibrofam permixtam texturam obfervamus ; quam Clarifs. Albinus nitide refol- yit ; quo magis placentae organica ftruclura adolefcit , eo p foil- ii4 folidior videtur, mucofa, villofa fit fubftantia, elegantiffi- mum muicum refert, vafcula fiunt fenfim majora , foliclio- ra , e qutbus funiculus tandem umbilicalis educitur . Per- pendite quemadmodum habitis proportionibus adaucla pla- centae foliditate , amplitudo decret'cat , pulpofam tamen femper retinet mollitiem , vel folubilem laltem , atque fpon- giofam , reliqua membranarum pars, fuper quara non ad- crevit placenta , mollis cellulofa , mucofa , glutinofa inquam fupereft ex ea facie. Modo huic , modo illi ovi plagae (defuper ipfum uteri orificium ofFendimus) in mulieribus adhaeret, dum tamen foetus in membranis eumdem Tem- per fitum tenet, ne dicamus ex ovi inclinratione fieri ; fu- niculus umbilicalis non femper ab eadem placentae plaga prodit, quod ifta vegetationis inquam modum non femper eumdem tenet , aptatur autem aptae uteri plagae, etenim in beftiis , quae difcreta habent , & uteri cornubus propria acetabula , cotyledones omnino refpondentes numero habenr, fitu , atque figura ; exceflum , aut defectum ullum numquam obfervaffe contigit ; longe tamen diverfa eft cotyledonum, & acetabulorum ftru&ura , quemadmodum & partium , quibus adnafcuntur, ut cauffa , quae alteros efKcit , non eodem pa&o altera componat , etfi fucceflive fiant * eft ta- men utrorumque ftruftura elegantiflima , adeoque inquam diverfa , ut per conta&um fieri , nequidem fufpicari pofli- mus , itidemque longe variant inter fe, ex variis animan- tium fpeciebus , & in eifdem animantibus harum partium numerus, & figura multum variat, etfi femper fibi ad in- vicem refpondeant ; placenta inquam ipfa humana non per: totam fuperficiem fuam aeque adolefcit , per cumulos di- ftinftos pleniores , ampliores, vividiorefque compaginatur, & in cotyledones aeque reforvitur. SUITE DES RECHERCHES Sur le fluide Elajlique de la Poudre a Canon . PAR LE CHEVALIER SALUCE. J i, WE ctois d' avoir afses prouve* dans le Memoire pre- cedent que le fluide elaftique qui fe developpe de la poudre a Canon «ft de meme nature que 1' air commun , & que la force prodigieufe de ce fluide depend de I'a&ion du feu dans toutes fes parties qui lui fait recouvrer fa force elaftique. Comme cependant cette ma- ture eft une de plus intereflantes dans la Phyfique , je ta- cherai de perfeftioner de plus en plus le travail que j'avais entrepris , en y ajoutant des nouvelles lumieres qui fervi- ront non feulement a confirmer laTheorie que j' ai etabli, piais encore a lui donner une plus grande etendue. Je vais done expofer les principaux refultats de mes re- cherches . Les experiences fur l'elafticite, & fur la com- preflion du fluide, que je n1 ayais qu' imparfaitement tente comrrie je 1' ai dit (a) & que j' ai tache de repeter foi- gneufement , ferviront avec 1' annalife de quelqu' autres faits h mettre hors de dome ce que j'ai deja avance" ; je paf- ferai enfuite a faire voir que la force du fluide depend principalement de la vitefle avec laquelle il fe developpe: les experiences qui fuivent rempliffent la premiere de ces vues. ». Je formai le tube de comunication entre le flacon ou je mettais la poudre, & le recipient , de cinq ctlindres de verre affes longs ; celui qui tenait au flacon 1' etait me- jne d' avantage , afin que le fluide pu fe dilater dans un p z plus («) Voi^s la no«te * du mem, pag. C- M plus grand efpace Tans rrouver le momdre obftacle ( b ) ; je les garnis chacun d' un double filtre de gaze bien ferree, & j' en enduifis les quattre premiers de bonne huile de tartre : je paffai dans les tubes auffi du coron trempe" dans la meme huile, & je mis du fel de tartre pile groflie>e- ment fur le filtre de la piece qui entrait dans le recipient} le barometre recourbe" finiffait en forme d' entonnoir vers la partie qui comuniquait avec 1' air exterieur, & 1' autre extremite entrait dans un petit cilindre qui tenait a un robinet, lequel paflait Jans le recipient en traverfaqt la plattine de la machine pneumatique. Toutes les joncKons furent foig-neufemem maftiquees , & j'operai enfuite de la meme maniere que dans i' experience ( 3 . du mem. ) : le mercure etait prefque a la hauteur de 27 pouces lorfque •la poudre prjt feu , en forte qu' il ne ferait refte dans ces cavites .qu' — pouce d' air environ , il baiffa au premier inftant de dix a douze pouces , & apres quelques ofci na- tions qui diminuaient par degres le mercure commenca a monter , & ne difcontinua qu' apres quelque terns j s' extant arrete a un , ou a deux pouces plus bas qu' il n' £tait au moment que la poudre s' enflamma 3 je reconnus alors que le fluide avait aquis la temperature de 1' air ambient , & je notai le point a" Elevation a l'accoutumee. 3. Je placai enfuite ce barometre d' epreuve a c6t^ d'un autre exa£tement conilruit fuivant la metode donnee ( com. pag. 16.) arm de pouvoir comparer les changemens , & eftimer la caufe des alterations qui pouvaient furvenir ; je le gardai ainfi durant ving-ttois jours fans qu'il m' ait it6 poffible de decouvrir que ce barometre eut fouffert d'autres change- > < ■ ■ i 11, ■ ■ (/>) U m' dr. toujours arrive de voir briler mci vailieaux lorique le tube ^tant trop court , le filtre fe trouvait pres du flacon , ou lorfque etant darts 1' obligation de plier le tube, la courbure n' etait pas afles eloignee du flacon. Mr. Halles dans fon Appendice a la flat, des vegct. nous apprend qn' il p.rit au/fi cette precaution, pag. 341. I IT changemens que ceux qui depandaient des variations de V atmofphere : je crus enfin inutile de le garder plus long terns puifque je n'avais pas la moindre indication d'abfor- btion , d' autant plus que Mr. Hauksbee nous apprend , com- me je 1' ai deja dit , que les — dont il fait mention f&- rent abforbes dans i8 jours fans avoir fubit enfuite aucune variation. Le vingt-quatri^me jour pour determiner les lois de la comprelTibilite de ce fluide j* ai verfe a plu- iieurs reprifes dans la jambe ouverte differentes quantites de vif argent , & ayant obferve" les diminutions de V ef- pace je trouvai que le degre de compreffion etait precife- ment en raifon des poids ajoutes (c). 4. La conclusion que j' ai tire de mes experiences eft fans contredit tres-fimple , & naturelle ; & on doit acquie- fcer d' autant plus volontiers que tous les refultats concourent a la demontrer. Je fuis pourtant d'avis que quoique l'air foit le grand agent qui produit les effets de la poudre, il exerce cependant dan* cette rencontre au premier inftant une force plus expanfive que s' il etait parfaitement fee : car V on fait qu' un air humide peut fe dilater d' avantage , & qu' il fe trouve en effet de 1' humidite dans le falpetre , ainfi que dans tous le fels criftallifes : il eft pourtant clair, par ce que nous avons vu,que 1' humidite n'a pas grande part dans les effets de la poudre, & ceci fera encore plus clairement prouve dans la fuite . Au refte quelque foit 1' effet que peut produire J' humidite qui fe developpe d'une poudre donnee on ne faurait la determiner precifement fans en connaitre exaftement la quantite : on pourrait peut-^tre l'obtenir en brulant cette poudre dans un flacon , qui fut ma- (t ) Je crois de devoir avertir ici que les colonnes de mercure que j' ai ajouti dans le tube fufdit fe trouvaient contenues dans 1' efpace cilindrique , de Tone que 1' entonnoir que j' avais applique pour avoir une quantite fuffil'ante de mercuie , lorique je faifais le vuide dans la jambe oppofte , ne me fcrrait en cette occafion que poui me faciliter les operations. ti8 matique a une file de balons ; on auralt alors cette quafS titd en entier par fa c> idenfation. Je ne crois pas d' ailleurs qu' U y eut une meihode plus lure pour denoiier cette que- ftion ; car outre qu' il eft fort difficile de favoir parfaite- ment combien chaque compofant contient d'eau, quand me- me on en ferait allure" , il ferait encore queftion de deter- miner combien en retiennent les fels neutres , que 1' on trouve apres 1' inflammation ; ce n' eft pas un point a negli- ger, puifqu'on fait que les fels qui fe criftalhfent en con- tiennent une quantite confiderable ; 1' umidite done qui fe trouve dans les compofans, ou dans la poudre m&me etant connue, on ne ferait nullement illumine fur l'accraiflement de la force expanfive qu' elle apporte a 1' air. 5 . Du refte fi V eau que contient la poudre fe develop- pait en vapeurs dans le terns de 1' inflammation , il eft vi- sible que uon feulement elle produirait toute feule les ef- fets de la poudre , mais encore des bien plus grands , puif- que Mr. Mufchembroek a trouve que 1' eau qui fe refout en vapeurs a alors pour le moins une force onze fois plus grande qu' une egale quantite de (d) poudre ; une onzieme done , c' eft a dire une quantite bien petite de 1' eau qui fe trouve en effet dans la poudre , fuffirait pour produire tous fes effets , de facon que 1' air n'y entrerait plus pour rien, ce qui eft abfolument contraire a ce que j'ai fait voir & qui fe trouve encore confirm^ par V autorite de plufieura Auteurs du premier ordre . 6. Un Phyficien renomme" de notre terns pretend que Fair n'eft pas fuffifant a produire tous les effets de la poudre je rapporterai ici fes propres termes. La ( prijlinum /latum , induijfet ; turn demuin amplius non afcendit , fid quievit , etiam per ires , vel quatuor horas , quamdiu in ifto flatu permittcbamusy fie itaqite advenimut , non ad priorem lerminum ufque afcendi/fe , fed notabil'uer infra. limittm pofuijfe , fed proui judicavimut ductnta granult pulvtris^pyri vix- adimplevijfcnt fpatium . . {g) Vo& la now ci devanw 121 Mr. Halles n' ait voulu demontrer que les vapeurs fulfil- '• reufes ont la propriete de fixer , ou d' abforber dans ce peu de terns prefque tout 1' air d' un tube quelconque , ce1 qui ne ferait pas 1' intention de ce celebre Anglais (&c'eft ce dont je n' oferais foupconner Ie favant Auteur dont je par- le ) '. Car dans la Statique des vegetaux il fait voir que l'air eft abforbe par ces fortes de vapeurs (A): qu' il ne 1' eft que fort lentement , de forte qu' elles ont cette vertu pen- dant plufieurs jours (*') : que dans les premiers tems elles ont plus d' a&ion que dans la fuite , comme le remarque Mr. Hauksbee ( k ) : qu' elles ne peuvent enfin abforber tout 1' air contenu dans 1' efpace ou elles font renfermees ( Z) j il parle enfuite de la grande quantite d' air qui fort du fal- petre , 8c en confequence il ne doute point que le fluide ela- ftique (<) Exp. 76. pag. 173. mais bien des journees avant que d' avoir acquis la temperature tie 1' atmofphere, puifque l'cau continua a monter pendant dix-huit jours , 8c qu' il n' y refta plus qu* — apres ce tems qui n'ai plus change: Les experiences de Mr. Halles, & celles que j' ai fait moi meme font voir qu' une aofli longue abforbtion n' eft due qu'aux vapeurs acides & fulturcules, & puifqu'on peut croire fans hazarder que dans une heure de tems, Taction de la chaleur , & des vapeurs aqueufes ait entierement cede , il taut convenir que la diminution du fluide dans ce tems apportee par trois diffcrcntes caufes , c'eft 4 dire par la condenfation des va- peurs , pat celle de 1' air , & enfin par 1* abforbtion n' egalaat que — , ou. foit — du fluide genere , le vapeurs aqueufes fur tout n' ayent pas cette grande jtit\t qu' on leur attribue , H) Pag. Ml. «J Ill ftique de la poudre ne (bit de 1'air commun ( m ) : cet air cependant doit etre confiderablement condenfe , puifque Ie meme Mr. Halles par la diftillation qu' il a fait du falpe- tre a trouve que 1' air qui en eft genere occupait un vo-« lume cent quattre vingt-fois le premier ( n ) . 8. On peut audi examiner a cette occasion le fentiment d' un Phyficien qui dans le quatrieme tome de 1' Accade- mie de Bologne a donne une differtation fur ce fujet ; cet Auteur , dont le travail montre d1 ailleurs afles d' erudition, entreprend de faire voir par un enchainement d'argumens, qu' il faut avoir recours aux vapeurs aqueufes pour obtenir 1' immenfe rarefaction du fluide , 6k il pretend que l'air n' eft pas fuffifant , comme on peut le voir par le precis de fon ientiment que je vais expofer . Mr. Bernoulli dit-il nous aprend que P efpace abandonne par P eau aurait pu contenir deux cent des grains qu" il avoit employes , done en divifant par 4 qui itait le nombre des grains dont il fe fervit , C on aura la denjite de P air en raifon de j o par grain , or en fuppofant une chaleur igale a celle de /' huile bouillante, le volume du fluide rare fie , fera 250 fbis plus grand que celui de la poudre; mais Mr. Ammontons^ Belidor , & moi mime , continue-t-il , nous avons trouve que la flamme de la poudre je dilate dans un efpace 4 ou 5000 fois plus grand que P efpace de la poudre , done , pour que P air put fe dilater dans un auffi grand efpace , il faudrait que le degre de chaleur neceffaire fut a celui de P huile bouillante comme 16:1 ce qui n1 etant pas probable, il faut done avoir recours d P eau qui efl dans le falpetre , & qui fe convertii en vapeurs en meme terns que la poudre s' enflamme . 9. En premier lieu je ne faurais penfer que la force , ou P aftivite1 de la poudre d^pende du volume de la flam- me , ni qu' on puifle la mefurer par la , dtant tres-naturel que dans un fluide compofe de parties inflammables , & de parties (m) Pag. 237. (n) Exp. 7a. pag. 159. !*3 parties actives , ces dernieres ne fe dilatent pas dans un vo- lume audi grand que la rlamme qui emane des autres : en effet il eft evident que la force du fluide doit etre deter- mined par 1' efpace qu' il occupe dans fon expansion, en ver- tu de laquelle il cliafle les obftacles qui fe prefentent , & non pas par le volume qu' acquiert la flamme dans cet inftant , puifqu' il eft certain que la premiere depend en- tierement des parties aclives du fluide , fans que 1' on puiffe porter le meme jugement par rapport a 1' autre . i o. Notre Auteur n' a pas non plus obferve" que dans Je tube de Mr. Bernoulli il faut avoir egard a 1' air qui eft abforbe par les vapeurs fulfureufes ; or en fuppofant meme que ce foit le refroidiffement de 1' air humide , qui ait feul contribue dans la premiere heure a 1' afcenfion de 1' eau dans le tube , & que ces vapeurs fulfureufes n' y entrent pour rien , de fa$on que fans cela le fluide ne fe fe- rait dilate que dans — ; V on ne pourra cependant pas fe difpenfer de leur attribuer les changemens arrives dans les trois heures fuivantes : or ces changemens , comme je 1' ai ci devant obferve ( not. k ) montent a 7 autres vingtiemes de J' efpace refidu , de forte que dans le tube il ne pouvait plus refter alors que — de 1' air genere ( ibid. ) , & com- me cet air qui reftait , £tait egal a cinquante fois le volume de la poudre , done trois heures auparavant le volume du fluide genere devait etre pour le moins 8 1 fois plus grand que le volume de la poudre. 11. Ce refultat cependant ne faurait convenir avec ce- lui que Mr. Hauksbee nous donne , quand m£me nous tien- dnons encore compte de la premiere heure , car nous n'aurions qu' un volume 90 fois plus grand , tandis que le fufdit Auteur le trouve de in , rnais on voit afles que Mr. Bernoulli n' a pas pretend u donner une mefure exa- q x &e «*'4 cle du fluide, mais feulement une ingenieufe maniere dele determiner; car par ce que nous avonsvu ci-devant (not./) il a cru que 1' afcenfion de 1' eau avait ete caufee par le tranf- port de la machine d' un endroit a un autre qui etait moins chaud , & par la prompte extinction du feu ; c1 eft pourquoi il fait obferver que 1' eau ne cefla de monter que lorfque le fluide eut acquis la temperature de 1' atmofphere fans pourtant nous faire favuir le terns que ce fluide employe a fe refroidir , il nous dit feulement avoir obferve la hau- teur de F eau trois ou quatre heures apres qu' elle fut tranquille ; mais c' eft la une determination bien vague , parceque F on fait que l'eau dans F experience de Mr. Hauks- bee continua encore a monter pendant 18 jours compri le terns de fon refroidiflement : & cela eu egard a F abforb- tion de F air caufee par les vapeurs fulfureufes , de forte que F on ne peut pas favoir le terns qui s' e^coula depuis F inflammation jufqu'a celui ou Mr. Bernoulli fit fon obfer- vation, ni par confequent faire entrer en compte Fabforbtion qui fe fit dans ce terns la . n. Pour en revenir a F Auteur ci devant cite (8) determine la denfite abfolue de F air dans chaque grain de poudre par rapport a celle de F air comraun comme jo : it parceque F expansion du fluide dans le iube de Mr. Ber- noulli etait au terns de F obfervation dans la meme raifor a F egard du volume de la poudre ; outre les reflexions que j' ai fait, par lefquelles on peut facilement appercevoir F inconfequence de ce raifonnement , il faudrait fuppofer encore que tout le volume de la poudre confifta dans un egal volume d' air pur condenfe, qui cependant comme nous F apprend Mr. Halles n' y entre que pour la huitidme par- tie, le refte etant de parties inflammables , & groflieres (o): de (o) Mr. Halles a la vcrite ne dit cela qu' en parlant du la. peri e , exp. 71. PaS- ' 59- ma's co'imc l'air de la poudre n' ert produit que par la decompofi-> tion de ceite futftance , §c que les deux autres a' en fourniflent point , ou du de plus 1' on doit prendre en consideration les intervalles qui font entre les grains , & dont la fomme en rend le volume abfolu moindre d' un tiers . 13. Enfuite de toutes ces raifons , & de celles(n) qui me font preferer 1' experience de Mr. Hauksbee, nes'agif- fant point d' ailleurs d' introduire ipotithiquement V action d' une chaleur fujete jufqu' a prefent a plufieurs determi- nations arbitraires, je remarque en premier lieu que l'air ge'nere a 1' occafion de 1' inflammation occupait un efpaco 122 fois plus grand que le volume de la poudre ; or eit retranchant la — de 1' efpace qui avait ete remplace par V eau dans la premiere heure , pour etre allures que la chaleur de 1' air n' y a plus aucune part , nous aurons la volume du fluide reduit a la temperature de 1' air ambient environ 100 fois plus grand que celui de la poudre : en fecond lien comme ce volume eft moindre d'un tiers (n), celui du fluide fera par confequent au moins 266 fois plus grand , & puifque 1' air ne faifait que une huitieme partie de la poudre (1 2) done le volume du fluide etait pour la moins 1128 fois plus grand que celui qu' il occupait dans la poudre avant 1' inflammation, d'oii il en vient enfiin que 1' air dans chaque grain , ou pour mieux dire dans la pou- dre employee, avait cette denfitej ce qui eft fort eloigne" de ce que pretend 1' Auteur dont j' ai rapporte le fenti- ment (8) . 1 4. D* apres tout ce que je viens de dire on peut voir clai- rement que les Theories purement fpeculatives , & etablies a priori moins fi peu qu' on ne s' en appercoit pas a(Ks fen&blement , j'ai crii de pouvoir mc fcrvir de cetie lumiere par rapport a la poudre , & cela d' autant plus que) le falpetre ne faifant que les — de la meilleure poudre on n' await a cc prig que la -|- des — &c. n6 a priori fur de princlpes eloigned fans le fecours d' un en- chainement d' experiences qui en appuyent le fifteme, font fort fuiettes a caution , & c' eft la un avvertifiement que nous donnent Ies Phyficiens du premier ordre , & que j'ai tache de fuivre autant qu' il m' a ete poffible : en fait de Phyfique , dit Mr. de BufFon , on doit reckercher autant les experiences , que I on doit craindre les Jijlemes , & la con- noiffance des effets , dit-il , nous conduira infenfiblement a celle des caufes , & /' on ne tombera plus dans les abfurdites , qui femblent les caraclerifer : il eft vrai qu' il n' en faut pas non plus abufer, & pour cela il avertit que Ton doit en amaf- fer jufqrf a ce que nous foyons inflruhs . i j. Mr. Daniel Bernoulli apporte encore une difficulte qui eft fans doute plus reelle , & qui parait meme infur- montable au premier afpeft . Voici en quoi elle conftfte. Ce favant Geometre ayant calcule par les gravites fpe- cifiques connues,de l'air, & de la poudre , la quantite d'air qui pouvait y etre contenu , a trouve que quand meme on voudrait la fuppofer toute d' air , 1' elafticite de celui-ci ne ferait jamais capable de produire la force que nousy ob- fervons . D'ou il conclud )Stat. des v^u ii9 vuide cTair (7), &: n'ayant point vu ce melange tomber en criftaux apres un certain tems , il conclut de la tres-ju- dicieufement que 1' air y etait neceffaire. ir. On obferve a 1' occafion de 1' effervefcence qui fe fait par le melange de ces deux fubftances , en le pratiquant dans une vafe ferme que le barometre defcend apres quoi il remonte , & fe rend toujours a niveau , d' ou 1' on peut conclure que dans les premiers tems il fe developpe beau- coup d' air , & qu' il fe reabforbe enfuite •■, de facon que 1' on pourrait demandet 11 ce n' eft point les parties des matietes qui etant dans un violent mouvement pour s'unir reciproquement, excitent une chaleur qui communique a l'air la vertu de fe degager de dedans ces memes matieres, & d ce n' eft point dans le tems que commence 1' evapora- tion qu' il sT introduit de nouveau ? il eft vrai qu' on pour- rait douter que la chaleur qui eft produit par le melange- des matieres caufe la defcente du mercure , par la dilata- tion qu' elle procure a 1' air , laquelle ceffant L' oblige de remonter . 21. Ce font deux points rrop delicats pour chercher de les decider fans le lecours d' une longue fuite d' experience* guidees par les raifonnemens les plus eclaires , je me con- tenterai en attendant de fuivre T opinion commune des Phyftciens , 6k d'en apporter quelque raifon plaufible me r^fervant de trailer ces matieres plus amplement ane autre fois , d' autant plus que je me flatte d' avoir le plaifir de lire ce que T Auteur dont j' ai expofe le fentiment (8) pro- inet de donner, & de profiter de les decouvertes pour mieux reii/fir dans mon entreprife. 2 j. La defcente du mercure dans 1' eau eft tres-rapide, la derniere meme a caufe de fa moindre gravite fpecifique en eft chaffe du Siphon par reprifes , apres les premiers moments il fe fait des ofcillations , & enfin le liquidc fe v rend lq) Op. omn. Tom. s, rend a niveau dans les deux jambes , mais comme il i'e paffe un terns considerable avant que le liquide fe foit rendu a niveau, il parait que nous devons plutot penfer que c'eft de 1' air developpe , car il n'eft pas probable qu' il fallut autant de tems a I' air du recipient pour fe remettre dans fon premier etat , & qu' il peut fe faire que 1' abforbtion de P air genere foit plus difficile , & dure plus long tems, comme nous en avons des exemples dans celle qui fe fait par les vapeurs fulfureufes , & meme par la poudre brulee, laquelle felon ce que nous avons vu dure pendant plufieurs jours j ( r ) enfin dans les experiences qui j' ai fait avec les vafes foigneufemeut maftiqu^s je n' ai jamais trouve qu' une partie du melange reduite en fel (/*) , & encore apres long tems , ayant enfuite expofe a P air le refte , qui dtait encore liquide il s' eft auffi transforme en fel , & j' ai toujours trouve au fond du vafe dans lequel j' avais place celui ou devaient fe meler les fubftances , une quantite d'humidite qui ne peut-etre a mon avis que les vapeurs condenfees. 14. Cet air qui fort ainfi , lorfque ces deux liquides font miles enfemble ne doit differer de celui de la poudre a Ca- non , qu' en ce qu' il ne fe trouve point mele avec de va- peurs fulfureufes , & par cette meme raifon ii P extinction du feu ne depend que de la mauvaife nature de ces fortes d' exhalailons , la flamme ne devrait rien fouffrir, c'eft ce- pendant ce qui n' arrive pas , car un flambeau allume etant introduit dans un vafe , ou ces deux liquides ayent &e combines , s' eteint dans le moment , c' eft un phenomene des plus finguliers, je m' en fuis cependant affure par plu- fieurs experiences reiterees . 25. Ce phenomene ne paroit qu' une confequence de la Theorie que nous avons donne fur P exr inftion du feu , Si de la flamme dans des lieux clos (com. pag. 11.) j car Pair ( r ) Vol la not. k. (/) Jc crois que 1' on me difpenfera de denner le mansuel des exp&ienccsj V font trop ailes a 8tre imagines. M1 P air qui eft chafle des fubftances , & celui qui eft daris Ie vafe fouffrent des alterations caufees par la chaleur ex- citee enfuite de la mixtion de ces liquides, eommes'ilpaf- fait autour d' un corps echauffe a un egal degre de cha- leur , ou plus encore que fi on le lui communiquait par un feu exterieur d'egale intenfite. 18. II n' eft par conf^quent pas extraordinaire que Mr. Muf- chembroek n' aie pu entr^tenir la flamme dans les airs fa~ Sices , puifque s' etant fervi a peu pres de la methode de Mr. Halles pour fe les procurer , leurs procedes dependent tous de ce principe. Ceci eft encore confirme par P ex- perience que j' ai fait dans cette vue \ je combinai dans un recipient ferme ( de la meme maniere que j'ai fait pour le nitre regenere ) du vinaigre diftille avec de P efprit de fel ammoniac, (r) quelque terns apres Peffervefcence, j'in- troduifis le flambeau allum6 , & il ne me fut pas poflible de connaitre qu' il eut fouffert la moindre alteration . 17. II n'eft pas douteux que Pair developpe de quelque corps que ce foit , par P aftion du feu , ou par une cha- leur inteftine , ne fert aucunement a la confervation de la flamme , & du feu , & que les moiens dont on fe fert per rendre ces fluides propres a la refpiration des animaux , & & conferver leur elafticite , ne font d' aucune utilite pour entretenir le feu («) cependant en confequence de la Theo- rie etablie , que la chaleur endommage tellement P air qu* •il ne peut acquerir fes proprietes fans fe renouveller , a moins qu' on ne lui fafle fubir par le moyen de la glace un froid violent , & meme pendant plufteurs heures , f ai tente- cet expedient fur les fluides, & m'^tant procure une quantite de fluide elaftique de la poudre dans un vafe con- r x venable (t) Le melange de 1' efprit de nitre avec celui d' Ammoniac fait un efferre- fcence que 1' on dit r'roiJe , en effet elle ne manifefte aucune chaleur fenfible. («) Comme on peut le voir au long dans les comm. pag* 22. *** ... ^enable pour Peprouver , je comencai par wtroduire un flam- beau allumd dans ce fluide non purge, mais a peine en eut-il aproche qu'il fut eteint, je fermai auflitot le trou par le moyen d' une platine bien aiuftee , & j' entourai le vafe de glace fur laquelle je mis du fel ammoniac, j' eus foin enluite de faire ajouter a propos de la glace, & du fel, & apres environ it heures , j'ouvris la platine fans exciter le moindre mouvement , & j' introduifis enfuite le flambeau allume qui fe conferva aufli bien que s' il eut 6te dans P air commun . Des pareilles experiences faites fur Pair corrompu par 1' effervefcence du fel de tartre avec 1' efprk de nitre donnerent les memes refultats ( v) . 28. De tout ce que je viens de dire , il eft clair que le moyens propres pour rendre a 1' air la propriety d' etre cor ftamment elaftique , & de fervir a la refpiration des ani maux , ne peuvent pas re\uflir a lui rendre aufli celle d'er tretenir le feu , parceque les fum^es , les exhalaifons , lps vapeurs endommagent les deux premieres , & la cha- leur detruit celle-ci ; mais comme ces caufes font reunie dans P inflammation de la poudre, ainfi tout ces carafteres de P air doivent neceflairement fouffrir (*) toutes ces alte- rations . 19. Apres avoir £tabli ce principe univerfel dans le plein 'f ai voulu examiner les effets , qui furviendraienr en tirant une . .... .■■;.. . -■ ( v ) Dans le memoire precedent j' ai mis fous un point de vue le plus clair qu* il m'a£t£ poflible les raifons pourquoi le fluide elaftique de la poudre , quoiqu'il foit de 1' air pur , ne peut cependant pas etre propre a entretenir le reu ; elles fumTaient toutes feules a detiuire la feconde objection du Celebre Mr. Muflchem- fcroek , & a donner plus de poids a mon fcntiment que j' avais appuyg d' un nombre de faits , mais comme il nous eft rciifli de jetter les fondemens d' une Theorie fur cet importarite partie de la Phyfique , & que ne nous itant pas comcnte d' avoir demele la veritable caufe de la depravation de 1' air par rap- port a la nourriture de la flarnjne dans des lieux clos , nous avons trouvesdes moyens propres a lui rendre cette vertu , i' ai cru ndceflaire de tenter des expe- riences, par lcfquclles je pufle confirmer de plus en plus ce que j' avais ait, id' autant plus que le mobile de nos recherches fur ce point intereflant , ava.it ete celui de decider la difficult^ de l'Autcur mention^. ( v) Cet article a tjie traite plus au long dans le (omm. pag. 33, : J33 une partie de I1 air du recipient , a cet effet je difpofai fe- lon la methode dont fe fervent les Phyliciens une petite phiole qui contenait de Tefprit de nitre, enforte qu' on pouvait par le moyend'une verge, qui paffaita travers le fommet du recipient , faire verfer le liquide dans un vafe ou j' avais mis de l' huile detartre, fans introduirede l'air: je pompai a peu pres la moitie de l'air, & apres cela je procurai de faturer le melange ; la mixtion fe fit avec une effervefcence extraordinaire , de forte qu' une partie du me- lange fe repandit fur la platine avec un grand bouillone- ment , les ofcillations fuivirent a l' ordinaire , & apres que le mouvement eut cefle , le mercure qui etait refte fufpen- du dans la jarnbe expolee a l air commenca a remonter dans l' oppofee , & s' arreta enfuite a peu pres a la meme hauteur qu5 il etait avant la mixtion , je laiflai l' appareil pendant long terns , & n' etant furvenu aucun changement au mercure, j' obfervai que le fel n' etait forme" que 5a & la en tres petite quantite, j'expofai a l'air cette mixtion, & le fel fe forma . 30. Je repetai deux fois cette experience pour y introduire le flambeau qui s' y conferva allume,mais on en voit afles la raifon ; c' eft qu' en ouvrant le trou de la platine il s'in- troduifn beaucoup d' air commun & frais , qui fervit a rem- placer celui qui manquait . j 1. L' on voit par tout ce que je viens de rapporter qu' il eft tres naturel qu' il fe developpe de l'air en me- lant les deux liquides , & qu' il foit enfuite entierement reabforbe ; que le falpetre , qui ne differe du nitre regenere que parcequ' il eft naturel , contient une grande quantite d' air ; en confequence de ces notions d' ailleurs confirmees par un infinite d' autres experiences , que les Phyficiens ont fait , je cherchai de m' affurer fi le falpetre a par lui meme la propriete expanfive , & je fis T experience , de la manie- re , que je vais decrire . Je *34 Je fcellai hermetiquement dans une phiole de verre, du falpetre , la quantite du fel occupait environ — de la ca- pacite : je la mis enfuire fur le feu que j' augmentai gra- duellement , enforte que 1' air fe developpait peu a peu fans fouffrir une grande rarefa&ion au commencement de 1' ope- ration , & fe trouvait enfuite tres rarefte , lorfque ce qui reftait etait contraint de fe deployer , apres cinq a fix mi- nutes la phiole fe brifa avec quelque detonnement ; m'etant determine a la repeter , je jugeai a propos de fceller en raeme terns un autre phiole avec un bouchon de liege poufse* a force, & bien battu, & apres l'avoir mife fur les char- bons en meme terns qu' un autre fermee a la lampe , elle forfa le bouchon a un hauteur afses confiderable , & il tomba a trois pieds loin du rechaud quelque terns avant que 1' autre eclata . 3 j. II eft bon de remarquer que lorfque le bouchon fut loin, il ne fortit rien du falpetre qui etait refte liqui- de au bas de la phiole fans un grand bouillonement d'ou il s' enfuit que le falpetre a la propriete de forcer les ob- ftacles qui le retiennent , lorfque par le moyen du feu il peut degager 1' air qu' il contient , quoiqu' il ne s' enflamme pas pour autant . 34. Le fucre a auffi cette vertu , mais elle eft moins fenfible j je 1'alTujettis aux m£mes experiences , & quoique il ne la manirefte pas dans un terns auffi court , ni avec autant de violence il ne laifle pas de brifer la phiole , & de chaffer le bouchon. II ne ferait peut-etre pas hors de propos d' examiner tous les fels effentiels ; mais je referve cet examen a un autre terns . 3 5 . Le fouffre contient un acide vitriolique , & une rnatiere phlogiftique , il a un nombre de proprietes qui nous font connues . Le C&ebre Mr. Stahl s' eft diftingue dans 1' analife qu' il en a fait , Mrs. Halles , Mufchembroek , 8c apres »3S apres eux bien d'autres Phyficiens font d'avis que les va- peurs du fouffre brule abforbent 1' air . j6. Ces deux grands Hommes on decide ce fait d'apres les experiences dont ils fe font fervis , mais comme elies ne font pas tout a fait decifives , parceque le fouffre etant allume hors du recipient donne lieu a la rarefaction de 1'air qui 1' environne , &: que lorfqu' il fe refroidit , 1' eau doit neceffairement monter confiderablement (y)y j' ai juge a propos de lui mettre le feu avec un miroir ardent , 6k des qu' il eut difcontinue de bruler , je le laiffai durant deux jours entiers , & j' ai obferve que le mercure monta fenfiblement au deffus du niveau environ — deligne: cet- te afcenfion cependant fe fit dans moins de quatre heures de terns j j* ai remarque" auffi que durant 1' inflammation du fouffre le mercure baiffait dans le fiphon , ce qui m' avait fait croire qu' il fe developpait de 1' air , mais ayant eu foin de mettre le flacon a 1' abris des rayons du foleil , ne laiffant a decouvert que ce qui etait darde" par le foyer du miroir , j' ai vu une grande difference dans P abbaiffe- ment , que je crois d' autant plus caufe par la rarefaftion, qu' en 1c plongeant dans de 1' eau qui avait aquis la tem- perature de F air ambient , le liquide remonta affds vifi- blement jufqu'au niveau fans difcontinuer . 3 j. Le charbon eft la troifieme fubftance qui entre dans la compofition ordinaire de la poudre a Canon ; il eft tres- porreux , & on pretend que c' eft ce qui lui donne la cou- leur brune que . 1'on lui voit , & un Celebre Phyficien ( a ) a obferve que c' eft en confequence de cela qu' il prend feu aifement : il eft compofe de parties terreftres , & de parties crafles , ou phlogiftiques . Cette matierc ne nous fournit pas (y) Sut. des \igtt. Bohcr, chaem. n6 pas des reflexions plus particulieres . Je m' en vais donner maintenant comme je 1' avais promts un detail des refultats que j' ai eu de plufieurs melanges que }' ai juge a propos d' e flayer . 38. On obtient une efpece de fufee en mettant deux par- ties egales de fouffre , & de falpetre dans un creufet qa'on expofe enfuite au feu , ou dans un creufet enflamme . 39. En fubflituant du charbon au fouffre il fe fait une explofion , & une deflagration fubite , ft Von jette les deux matieres dans un creufet enflamme , ou que 1' on fait deve- nir rouge > cette deflagration eft plus forte que la prdce- dente . 40. Le fouffre intimement broye avec le charbon fe con- fume plutot que lorfqu' il eft feul , ft le charbon n' eft pas reduit en poudre il s'enveloppe de la flamme du fouffre fans pourtant s' embrafer , & ft ce charbon eft en feu il s1 eteint a mefure que le fouffre fe fond , & s enflamme : ft enfin on jette un charbon dans le fouffre fondu la flam- me de route la furface 1' entoure auflitot prefque en forme Conique . 41. On parvient a un melange des plus conditionnes pour la poudre en mettant 7 parties de Salpetre , une de fouffre, & une de charbon , cette combinaifon nous ebauche tous les phenomenes de la poudre quoiqu' elle ne foit pas enco- re manufacluree . 41. Je crois ne devoir pas non plus pafler fous filence , que la poudre s' enflamme dans quelqu' air infefte que ce foit, c' eft ce que j' ai tache de bien affurer , & il m' eft reufli d' enflammer de la poudre dans un endroit rempli de la fumee d' une chandele , une autre fois dans un flacon rem- pli de vapeurs de poudre , & enfin dans un autre pleint de vapeurs fulfureufes , il eft vrai que dans les deux der- nieres elle tarda plus long terns a s' enflammer apparemment parceque c$s vapeurs avaient fixe une partie de l'air. 4 j. Un '37 43« Un melange de fouffre & de falpetre etant moins facile a s' enflammer qu' un melange de charbon , & de fal- petre , il me parair qu' on doit conclure de la que le phlo- giftique du charbon quitte plus facilement , & plus promp- tement les parties terreftres auxquelles il eft uni pour s' atta- cher a 1' acide nirreux & le faire detonner , que celui du fouffre; parceque celui-ci fe trouve deja retenu par 1' acide vitriolique avec lequel il a une grande affinite . 44. En confiderant done la plus grande facilite que le dernier melange en queftion a de fe decompofer plus fimul- taneement , ce qui ne peut de moins de lui procurer plus de force , & faifant enfuite attention aux defavantages que le fouffre apporte aux armes a feu , je fuis porte a croire que la poudre que 1' on ferait fans fouffre , ne pourrait etre que d' un tres grand ufage dans plufieurs occafions (a). 45. Les effets de la poudre fe manifeftent done en con- fluence de 1' inflammation du fouffre qui met enfuite en feu le charbon pile lequel donnant de 1' effort au feu^ com- munique un plus grand degre de chaleur au Salpetre qui eft decompofe par 1' aftion du phlogiftique auquel (on aci- de s' uniffant fe diffipe avec bruit , & ainft en vertu de Taction, & de la reaction de 1' air genere, & de l'ambient, le feu fe communique aux grains, ce qui fert a prouver auffi,com- me le demontre Mr. le Chev. D' Arci , (b) que 1' inflamma- tion de la poudre eft fucceflive (c) ainfi que j' ai deja fait f obferver (a) Cette conjecture que |c n' ai deduit , que des funs, le irouve confirmee par des experiences f'aites dans cette vue par un habile homme ; il en donne Un long detail dans 1* Encyclopedic a 1' article feu artificitl . Les elTais qu' il a fait pour decider ce point paraiflent affes decififs , de forte que je me difpenfe vo- lontiets de mettre au long ici les autres reflexions qui m' ont porte a jettcr cette proportion, on fera fatisfait de celles que Ton trouve a 1' endroit cite. Si ) Mem. de 1' Accad. des Scienc. de Paris ann. 1750. c ) Prefque dans tous les calculs qu' on a eubli pour determiner la vitefle d* un boulet chafle par la poudre hors du Canon, ou pour determiner la force abfoluc de la poudre , on a pole que' 1' inflammation fut infiantanec , parceque J* on n' avait pas tente bien foigneufement de s' en aiTurer par l'experience : d'oii l'on peut iufercr que ces calculs ne font pas irreprenenfibks . i;58 obferver (J) : il eft bon de remarquer lei en paflant que cette union ne peut fe faire que par la force ou vertu d'af- finite , or il eft probable que 1' air fe degage aufli vite que 1' acide fe diflipe , & que c' eft cette meme force qui con- traint les deux fubftances a s'unir reciproquement , qui en determine le degre . 46. Quoique le fucre ait la propridte de fe dilater com- me nous avons vu (34), & de forcer en confluence les obftacles qui s' oppofent a fon expanfion , il ne m' a cepen- dant jamais donne aucune marque aflurde qu' il pu. faire quelque explofion , quoique je 1' eufle mele avec du fouffre, & du charbon felon plufieurs proportions : il ne faifait que fufer tres-lentement , lorfqu' il prenait feu . 47. Les matieres grafles , & huileufes , comme le fuif , la cire , les refines combinees avec le falpetre produifent le meme effet que fi Ton avait mele du charbon avec du falpetre , & elles n' agiffent que lorfque le feu les a redui- tes en une efpece de charbon : le camphre quoiqu' il foit aufli de la nature des matieres precedentes, ceper.dant com- me il eft fi facile a s' enflammer , & qu' il ne peut pas changer comme les autres , il ne procure pas une deflagra- tion aufli violente au falpetre, car le melange s'enflamme a une chaleur tres-modique . 48. On voit clairement par ce que je viens de rappor- ter qu' il faut que les matieres foient propres a etre requi- tes en charbon pour deflagrer avec le falpetre, c'eft a dire qu' elles puiflent fe depouiller de 1' eau , & des autres ele'- mens par 1' aftion du feu , & que le phlogiftique ne fe trouve plus uni qu' a des parties terreftres ; d' oil il parait que les autres elemens ont la propriete de retenir le phlogiftique, ou celle d' empecher qu'il agifle , en effet nous avons vu que le fouffre dont le phlogiftique eft for- tement retenu par I' acide vitriolique (43) fait une defla- gration {J) Vol le mim. pag. 9. (14). gration plus lente avec le falpetre , que ne fait Ie char- Eon (39). 49. Le fucre qui quoique mele avec des matieres grades , ne fait aucune explofion non plus que plufieurs autres fubftan- ces qui contiennent a" ailleurs une grande quantite d' air , ne ferait-il peut-etre pas , comme elles , incapable de defla- gration , parcequ' il ne fe trouve pas dans le melange une action d' affinite fuffifante a les ddcompofer fubitement , & par confequent a donner un effort libre , & prompt a l'air qui eft engage, malgre 1' a&ion de la chaleur, & dufeu? & quelques unes comme le camphre ne ferait ce point , parcequ' etant trop faciles a s' enflammer , elles ne laiffent pas le terns aux autres matieres d' acquerir un degre de cha- leur fuffifant pour fe decomposer ? car ft 1' on fubftitue le camphre au fouffre dans la compofttion de la poudre , ce melange a beaucoup moins de force que celui du fouffre , & du falpetre . 5 o. La poudre fulminante ayant beaucoup de rapport a la matiere que j' ai traite jufqu' a prefent : je crois en de- voir maintenant faire 1' objet de mes recherches . |'i. L' explofion de la poudre fulminante comme Ton fait , eft accompagnee d' un detonnement tres violent , & infiniment fuperieur a celui de la poudre a Canon ; on a de plus remarque qu' a 1' occafion de fa decompofition elle perce la cuillere de metal dans laquelle on 1' expofe au feu, de forte que plufieurs Phyficiens ont penfe que cette poudre avait une particuliere direction vers le bas : des autres , pour donner une explication du bruit horrible dont fon explofion eft fuivie , ont cru que cet' etrange pheno- mene de'pendait d' un plus grand developpement de flui- de : Mr. Halles cependant remarque tres fenfement que cet accraiffement n' eft pas caufe par une plus grande quan- -tite" d' air qui fe deploye , & il T attribue a la fixite du fel de tartre , dont 1' air ne peut fe developper que par un tre* grand degre de chaleur. fz ja. MO ji. Sans m' arreter a donner la defcription de toutes les experiences que j' ai fait , je rapporterai feulement ce qui m' en eft conftamment reTulte . I En mettant le feu a la poudre fulminante de la maniere que Ton le met a la poudre a Canon, elle ne fait que de- crdpiter faus aucun detonnement , & ce n' eft qu' avec peine qu' elle s' enflamme . I I. Pour pouvoir fe decomposer , elle doit pr^mierement en- trer en fufion , foit qu' elle foit en plein air , ou dans le vuide. I I I. Le fluide elaftique qui en eft produit a a peu pris les memes caracleres que celui de la poudre a canon , il eft pernicieux a la refpiration , il ne conferve pas toute fon elafticite , & n' entretient pas le feu ; on ne doit pas s'en eton- ner, car j' ai fait voir ci-devant, & dans le mem: pag: n. 6k fuiv: que les exhalaifons fulfureufes en fontlacaufe. I V. Ce melange enfin qui detonne avec tant de violence dans 1' air ; qui fe fait jour a travers une cuill^re , ne fait aucun bruit dans le vuide , & ne brife pas feulement un flacon de verre le plus mince . J' ai fait cette experience d'autant plus foigneufement qu' elle devait me fournir des grandes lumi^resj 1' appareil fut des plus fimple, un flacon ou j' avais mis de cette poudre erait maftique a un long tuyau de verre , qui entrait dans un petit recipient muni d' une tube de barometre; apres le vuide fait, indique par la hauteur de 17 pouces environ du mercure dans le tu- be, on placa un rechaud plein de charbons en feu, apr^s quelque terns la poudre fe d^compofa , & j'en fus avverfi par la lumiere qui en emana ; je ne quittai point le baro- metre de vue , & la depreilion du mercure rut tres grande su 141 au premier inftant , & diminua enfuite confiderable merit . Enfin au tems qu' il devait avoir aquis la temperature de 1' air ambient , je trouvai le volume du fluide moindre , que fi 5' a v ait ete de poudrc a Canon , d'ou 1' on peut conclure avec affurance que ces grands effets ne dependent pas d' un plus grand developpement d' air . 5 j . Le pheViomene dont j' ai fait mention ci devtnt de percer une cuillere, eft done celui fur le quel on s' eft fon- de pour attribuer a cetre poudre la propriete d1 exercef fa vertu elaftique vers le bas : elle eft cependant fi furpre- nante qu' on ne faurait jamais imaginer en vertu de quoi les loix ordinaires de la nature feraient ici violees ; c' eft precifement ce qui m' a determine a conftater ce fait par les experiences avant que de m' y repofer . 54. J' ai commence par dire ( 52. IV.) que dans 1' ex- perience que je fis dans un flacon vuide d' air , il n' y eut aucun detonnement , & que le verre n' en a rien fouffert : j' ai mis une autre fois de cette poudre entre deux lames minces, & concaves enforte qu' elles en etaient remplies , je les liai enfemble , & les mis au milieu des charbons ar- dents , apres quelque tems il fe fit une detonnement hor- rible , & ' je ne trouvai plus que quelque petit refte 6es lames: mais pour m' affurer encore d' avantage de ce fait je fis menager deux petites cuilleres , enforte qu' en rem- pliffant 1' efpace concave de poudre fulminante 1' air exterieur ne pouvait s' y introduire , je les mis enfuite dans le feu ayant pris mes precautions pour obferver fans rifque; dans quel- que tems de la , la cuillere fupdriere fut chaffee en haut avec une impetuofite' etonnante , & celle tf en bas nt fouffrit rien . 55. L' on voit eVidemment par ces experiences premie- rement que la force elaftique de cette poudre eft uniforme- «n tout fens , & on peut deduire en raprochant ce que j'ai MO 51. Sans m' arreter a donner la defcription de toures les experiences que j' ai fait , je rapporterai feulement ce qui m' en eft conftamment refulte . I. En mettant le feu a la poudre fulminante de la maniere que Ton le met a la poudre a Canon, elle ne fait que de- crdpiter faus aucun detonnement , & ce n' eft qu' avec peine qu' elle s' enflamme . I I. Pour pouvoir fe decomposer , elle doit pr^mierement en- trer en f'ufion , foit qu' elle foit en plein air , ou dans le vuide. I I I. Le fluide elaftique qui en eft produit a a peu pr^s les memes carafteres que celui de la poudre a canon , il eft pernicieux a la refpiration , il ne conferve pas toute fon elafticite , & n' entretient pas le feu ; on ne doit pas s'en eton- ner, car j' ai fait voir ci-devant, & dans le mem: pag: 11. & fuiv: que les exhalaifons fulfureufes en fontlacaufe. I V. Ce melange enfin qui detonne avec tant de violence dans P air ; qui fe fait jour a travers une cuillere , ne fait aucun bruit dans le vuide , & ne brife pas feulement un flacon de verre le plus mince . J' ai fait cette experience d'autant plus foigneufement qu' elle devait me fournir des grandes lumieres} 1' appareil fut des plus fimple, un flacon ou j' avais mis de cette poudre erait maftique a un long tuyau de verre , qui entrait dans un petit recipient muni d' une tube de barometre; apres le vuide fait, indique par la hauteur de 17 pouces environ du mercure dans le tu- be, on placa un rechaud plein de charbons en feu, apre"s quelque terns la poudre fe decompofa , & j' en fus avverci par la lumiere qui en emana ; je ne quittai point le baro- metre de vue , & la deprelTion du mercure fut ties grande au Mi au premier inftant , & diminua enfuite cotifiderablement . Enfin au terns qu' il devait avoir aquis la temperature de 1' air ambient , je trouvai le volume du fluide moindre , que fi 5' a v ait ere de poudrc a Canon , d'ou 1' on peut conclure avec afiurance que ces grands efFets ne dependent pas d' un plus grand developpement d' air . j j. Le phenomene dont j' ai fait mention ci devtnt de percer une cuillere, eft done celui fat- le quel on s' eft fon- de pour attribuer a cetre poudre la propriete d' exercef fa vertu elaftique vers le bas : elle eft cependant fi furpre- nante qu' on ne faurait jamais imaginer en vertu de quoi les loix ordinaires de la nature feraient ici violees ; cf eft precifement ce qui m' a determine a conftater ce fait par les experiences avant que de m' y repofer . 54. J' ai commence par dire ( 51. IV.) que dans 1' ex- perience que je fis dans un flacon vuide d'air, il n' y eut aucun detonnement , & que le verre n' en a rien fouftert : j' ai mis une autre fois de cette poudre entre deux lames minces, & concaves enforte qu' elles en etaient remplies , je les liai enfemble , & les mis au milieu des charbons ar- dents , apres quelque terns il fe fit une detonnement hor- rible , & je ne trouvai plus que quelque petit refte des lames: mais pour m' affurer encore d'avantage de ce fait je fis menager deux petites cuilleres , enforte qu' en rem- pliflant 1' efpace concave de poudre fulminante 1' air exterieur fie pouvait s' y introduire , je les mis enfuite dans le feu ayant pris mes precautions pour obferver fans rifque; dans quel- que terns de la , la cuillere fup^riere fut chaflee en haut avec une impetuofire' etonnante , & celle d' en bas nc fouffrit rien . 55. L'on voit eVidemment par ces experiences premie- rement que la force elaftique de cetre poudre eft uniforms «n tout fens , & on peut deduire en raprochant ce que Ml 'f ai dit au commencement de ce paragraphe , que puifque les phenomenes qui fe manifeftent dans 1' air n' ont plus lieu dans le vuide , il faut que la viteffe avec laquelle Pair fe deVeloppe foit fi fubite , & fi grande que 1' air exte'- rieur ne puiffe avoir le terns de ceder, & que par confe- quent le fluide rencontre de la part de 1' air une refiftence fuperieure a celle de la cuillere, qui a deja fouffert par 1' aftion du feu , & par celle du foye de fouffre qui fe forme dans ce terns . L' on remarque meme que fi la cuil- lere eft de fer , elle n' eft point aufli aifement percee. 56. Si Ton confidere que la refiftence d' un milieu eft en raifon compofee de la denfite du meme milieu , & de la vi- tefte du fluide qui heurte , & que la poudre a Canon ne rencontre pas affes de refiftence de la part de 1' air pour pouvoir reagir avec autant de force que la poudre fulmiiiante fur les corps ou' il eft place" , il faudra accorder a la vi- teffe immenfe du developpement du fluide , 1' aftion eton- nante de cette poudre , qui par confequent doit etre infini- ment fuperieure a celle de 1' autre . Si done la vitefle feule avec laquelle un fluide fe de"- veloppe , contribue fi fort a fon aftion , de maniere que les effets de la poudre fulminante ne foient pas comparables pour 1' intenfite avec ceux de la poudre a Canon , il fera moins extraordinaire que par la lenteur du developpement, ces matieres dont nOus avons parle (46. 47.) qui contien- nent une egale , & peut-etre une plus grande quantity d' air que la poudre a Canon , ne puiflent pas produire des effets aprochans des fiens. 57. 'L' inflammation d' un melange de charbon , & de falpetre deflagre plus promprement comme nous avons vu (55. 14.) que celui du fouffre, & du falpetre, done cette poudre aura beaucoup plus de force que celle ou il entre du fouffre , 6k par confequent outre 1' epargne que 1' on fera l'on M3 Fon obviera encore zux endomagemens caufes par le fouffre, lur tout a 1' evafement des lumieres ( tre fois de parler des deux dernieres . HE- RECHERCHES SUR LA NATURE , ET LA PROPAGATION D U SON. PAR M! LOUIS DE LA GRANGE. INTRODUCTION. Uoique la Science du Calcul ait ete portee dans ces derniers tems au plus haut degre" de per- fection , il ne paroit cependant pas qu' on fe foit beaucoup avance dans l'application de cette Science aux ph^nomenes de la Nature. La Theo- rie des fluides qui eft allurement une des plus importan- tes pour la Phyfique , eft encore tres imparfaire dans fes elcmens ma Igre1 les efforts de plufieurs grands Hommes oui qui II. qui ont tente de I' approfondir . II en eft de meme de la matiere que j' entreprens d' examiner ici , & qu' on peut avec raifon regarder comme un des principaux points de cette Theorie . Car le Son ne confidant que dans de cer- tains ebranlemens imprimes aux corps fonores, & commu- niques au milieu elaftique qui les environne, ce. n'eft que par la connoiflance des raouvemens de ce fluide , -quTon peut efperer de decouvrir fa veritable nature , & de de- terminer les lois qu' il doit fuivre dans fa propagation . Newton , qui a entrepris le premier de foummetre les fluides au calcul, a auffi fait fur le Son les premieres re- cherches ; & il eft parvenu a en determiner la vitefle par une formule , qui ne s' eloigne pas beaucoup de 1' expe- rience. Mais fi cette theorie a pu contenter les Phyficiens dont la plupart 1' ont adopte , il n' en eft pas de me'me des Geometres qui en etudiant les demonftrations fur lef- quelles elle eft appujee , n' y ont pas trouve ce degre de folidite, & d' evidence qui cara&erife d' ailleurs le refte de fes Ouvrages. Cependant aucun que je fache , ne s' eft ja- mais attache a decouvrir, & a faire connoitre les princi- pes qui peuvent les rendre infuffifantes ; encore moins a-ton entrepris de leur en fubftituer de plus furs , & de plus rigoureux ( * ) . Les ( * ) Voici comment parle un des plus Celebris Geometres de notre terns dans fon excellent traite' des fluides art. 119. Ce feroic ici le lieu dt ionner des Mitho- des pour determiner la V'tejfc du fan , metis j* avoue que je tie Juts point encore par- venu a trouver fur ce fujet rien qui put me fatisfaire . Je ne connois jufqi' a prilent que deux Auteurs qui ayent donnl dts formule s pour la vitejfe dufon,favov M Newton dais fes Principes , 6* M. Euler dans fa diffirtation fur le feu qui a partagi le yrix de P Academic en 1738. La formule donnie par M. Euler fans fUmonftratipn e(l fort differ enti de etlle de M. Newton , O j' ignore quel chemin V y « conduit ; a I* Ifiard de la formule de M- JNttvton elle ejl di-i.ontrce dans fes Principts , wait c eft peut Ure t tn.lrcil le phis obfeur , t> le plus difficile de c,et Ouvragc . M. Jean Bernoulli lt.Jils isns la 1 ii.ee fur la iMmiire , qui a remporti le prix de t' Academic en I/36. , qu U n' oferoit pat fe flatter a" emtndrc cet endroit da Principes t*. in. ' Les Commentateurs des Prlndpes out a la verity tSche* de retablir cet endroit par une Merhode purement anali- tique , mais outre qu' ils n' ont envifage la queftion que fous un point de viie tout-a-fait particulier , leurs calculs font d' ailleurs fi compliqu^s , & embarafltes dans des An- tes infinies , qu'il ne paroit pas, qu' on puifle en aucune facon acquiefcer aux conclufions qu' ils fe font efforces d' en deduire . J'ai done cru qu1 il etoit n^ceffaire de reprendre toute la queftion dans (es fondemens , & de la traiter comme un fujet entierement nouveau , fans rien emprunter de ceuxqui peuvent y avoir travaille jufqu' a prefent . Tel eft 1'objet que je me fuis propof<£ dans les Recher- •ches fuivantes. Pour le faire mieux connoitre je commence par donner une idee de la theorie de M. Newton , & des difficult^ aux quelles elles eft fujette. C'eft dans la feftion VIII. du II. Livre des Principes que fe trouve renferm^e toute cette theorie • L' Auteur confi- 66te d'abord la propagation du mouvement dans les fluides elaftiques, & la fait confilter dans des dilatations, & des com- preffions fucceffives, qui forment comme autant de pulfa- tions, & qui fe repandent a la ronde par tout le fluide. II pafle enfuite a examiner comment ces pulfations peuvent etre produites par le fremiffement des parties d' un corps fonore quelconque . II imagine pour cela qu' une particule du fluide pouffee par les vibrations du corps contigu con* denfe par une certaine diftance les particules fuivantes, jufqu' a ce que la condenfation etant devenue la plus gran- de , les m£mes particules comencent a fe dilater de part , & d' autre ; ce qui forme felon lui une infinite de fibres fonores qui partem toutes du mdme point , comme d' un centre commun . II veut de plus que chacune de ces pre- mieres fibres en engendre une autre egale a fon extremity lorfqu' IV. lorfqu' die a acheve une ofcillation entiere , & celle-ci une troifieme, & ainfi fucceflivement , de forte qu'il fe forme, pour ainfi dire, autour du corps fonore pluiieurs voutes fpheriques, qui aillent toujours en s'&argiflant , tout de me- me , comme 1' on obferve dans les ondes , qui s' excitent fur la furface d' une eau tranquille, par 1' agitation de quel- que corps etranger que ce foit. Voila quels doivent £rre felon cet Illuftre Auteur les mouvemens des particules de 1' air qui produifent, & pro- pagent le fon. Mais M. Newton eft encore alle plus loin; il a calcule tous les mouvemens particuliers , qui compo- fent chacune des pulfations . Pour y parvenir il regarde les fibres elaftiques de 1' air comme compofees d' une infi- nite de points phyfiques difpofes en ligne droite,& a egale diftance les uns des autres. La methode qu'il emploie pour determiner les ofcillations de ces points confide a les fup- pofer d' abord ifochrones , & toujours les memes dans cha- cun d' eux. M. Newton prouve enfuite que cette hypothe- fe s' accorde entierement avec les Loix mechaniques qui dependenr de 1' aftion mutuelle, que les points exercent en vertu de leur reflbrt ; d' ou il conclut, qu'en effet ces mou- vemens font tels qu' il les a fuppofe ; & comme a chaque ofcillation il doit s' engendrer felon lui une nouvelle fibre egale, & femblable a la premiere, il trouve l'efpace , que le fon parcourt dans un terns donne en calculant feulement la duree d' une fimple vibration . M. Jean Bernoulli le fils dans fon excellente Piece fur la Lu- xniere a aufli determine d' apres les memes hypotheses la viteffe du fon ; fon procede differe pourtant de celui de M. Newton en ce qu' il a d' abord fuppofe que les vibra- tions des particules font parfaitement ifochrones; ce qui eft precifement , ce que ce Grand Geometre s\ftoit propofe de demontrer . Aufli n' eft-il pas furprenant que ces deux Au- teurs V. teurs foient arrives a la meme formule pour la vitefle du fon : et 1* accord apparent de leurs calculs ne peut etre ap- porte comme une preuve des fondemens de la Theorie qu* on vient d' expofer ( * ) . A l'egard des premieres propositions fur la formation des fibres elartiques, & fur tout de leur comparaifon avec les ondes, je crois inutile de m' arreter davantage a les exa- miner . Car outre que plufieurs Auteurs en ont deja fait voir le peu de folidite , & 1' infuffifance meale pour 1' ex- plica- ( * ) M. Bernoulli prouve a la virite dans l'Ouvrage cite , que tout corps qui eft tenu en equilibre par deux puifTances egales , & direftement contraires , s'il vient a etre tant foit peu deplace doit faire autour de fon point de repos des of'cil- lations funples , 8c regulie*res . Mais cette theorie n'eft guere applicable qu* au feul cas , ou il n'yaitqu'un corps mobile. Pour le fare fentir, fuppofons d'abord felon cet Auteur , que le corps foit follicite felon deux directions contraires par les forces e'gales P , & Q , il eft clair que ces forces ne pourront Stre que des fonctions de la diftance du corps a un point fixe quelconque; done fi on lui fait fiarcourir une efpace infiniment petit ds la fomme des accroiiTement de ces deux for- ces fera exprime par pds, ce qui donnera par confequent la force acceleratrice qui porte le corps vers fon point d' equilibre; & comme on ne veut confiderer que ics mouvemens infiniment petits on fuppofera /> conftant , d' ou la force don- nee deviendra proportiortelle a la diftance a parcourir ds, & les ofcillations fe feront felon les loix connues de P Ifocronifme . Mais il n' en fera pas de meme s* il y a plufieurs corps qui fe foutiennent mutuellement en equilibre , quoiquc ranges tous fur la meme droite . Dans ce cas les forces P, Q_, P , G_ , F , Q_ qui agiflent fur chacun d'e-ux feront des fonitions de leurs distances intermediaires, yinfi d j , ds , di repreTentant les deplacemens infiniment petits de tons les corps , on aura pour les forces acceleratrices des expreflions de cctte forme pds \ qds -J. r J s , ou p , q , t be. peu vent etre regardees comme con- ftantes. D' ou il eft aifc de comprendre que les mouvemens des corps , ne fe- lont plus aftreints au Ample ilechronifme ; 8c e'eft proprcment ce qui arrive aux parlicules des fibres elaftiques de 1' air . C eft aula par cctte raifon que le cal- xm\ qu'on trouve dans le Commentaire des Printipcs feroii encore infjtiiUnt me- me quand il ne renfermeroit pas des approximations ; pmiqiie on n' y confidere que trois , ou quatre particules mobiles . M. D. Alembert a fait fentir cette difficult^ pour le cas d' une corde vibrante chargeo de p.ufieurs petits poids pag-359-des Mimoires de Berlin pour 1' ann^e 1750. VI. plication des phenomenes du Son ( * ), la maniere avec laquelle elles font prefentees dans les Principes fait voir evidemment que 1' Auteur ne les adoptoit, que comme del fimples hypothefes pour Amplifier la nature d' un probleme affes compofe de lui meme . Et quand m^me ces hypothe- fes feroient vraies , ne feroit-on pas en droit d* en exiger une demonftration? Or cette demembration doit neceffaire- ment dependre de la refolution generate du probl£me pro- pofe\ II faut done avouer que la Theorie de M. Newton feroit meme a cet egard bien eloigne de pouvoir emierement fatisfaire a fon objet. Mais il y a plus le Theoreme dans lequel il determine les loix des ofcillations des particules eft fonde fur des principes infuffiiants, & meme fautifs. Le Celebre M. Euler paroit s' en £tre appercu des V an- nee 1717., comme Ton voit dans une Thefe fur le Son foutenue a Bale la meme annee . Cependant M. Cramer eft, je crois, le premier qui en ait donne" une preuve foli- de, & convaincante (**). II fait voir que le procede de M. Newton peut egalemment s'appliquer a demontrer cette autre propofition favoir : que les particules elaftiques fui- vent dans leurs mouvemens les lois d'un corps pefant qui monte , & qui tombe librement; ce qui eft tout-a-fait in- compatible avec 1' ifochronifme des ofcillations , que l'lllu- ftre Auteur Anglois a prdtendu etablir . Cette remarque -feule paroitroit fuffire pour faire tomber entierement la Theorie en queftion . Cependant comme les grands Hom- ines ne doivent etre jugds, que d'apres 1' examen le plus exaft , & le plus rigoureux , 1* on auroit tort de la reset- ter (*) Voies la fuite de 1' article des fluides cite ci-deflus . Voje^ encore le Me- moire de M. de Mairan dans 1' Academie de Paris aruiie ljtf.fliPhy- fique de Perrault, & d' autrcs . ("*) Vojes les Comjneataiies des Princifts , VII. ter, avant que d' en avoir dennontre 1' infuffifance d* une maniere qui ne laiffa plus rien a defirer . Voila le premier pas que j' ai penfe devoir faire en en- trant dans les recherches que je m' etois propofe fur la na- ture, & la propagation du Ton. J' ai done commence par etudier avec tome I' attention dont j'ai ete capable les propofitions de M. Newton dont il s' agit , & j' ai trouve" en effet qu* elles font fondees fur des fuppofitions incompatibles entr' elles , & qui portent ne- ceflairement a faux. C' eft ce que j'ai tache de faire voir par deux voies diffe>entes dans le premier Chapitre de la Diflertation fuivante . Cet objet ainfi rempli, je me fuis ap- plique a rechercher des methodes direcles, & generates pour refoudre le probl£me propofe, fans emploier d' autres Prin- cipes que ceux qui tiennent immediatement aux lois con- nues de la Dinamique . Pour donner a mes recherches le plus de generalite qu' il eft poffible , & pour les rendre en meme terns applicables k ce qui fe paffe reellemenr dans la nature, j'ai d' abord envifage" la queftion fous le mime point de vue fous lequel tous les Geometres, & les Phyficiens l'ont regarde jufqu'ici; & je doute (*) C'eft une juftice que Von doit ici au Celebre M. D' Alembert , que de faire remarquer qu'il avoit deja trouve ce rapport entre les deux problemes men- tionees dans l" art. XLVI. de fon premier Memoire fur les cordes vibrantes dans. 1* Academie de Berlin . Mais il ne paroit pa", du moins que \e fache, qu'il en ait jamais fait autun ufage . IX. nombre d' operations , par oit j' ai ete oblige de pafler . Je confidere d' abord ces formules dans le cas , ou le nom- bre des corps mobiles eft fini, & j'en tire aifement route la thiorie du melange des vibrations fimples, & r^guheres que M. Daniel Bernoulli n' a trouve que par des votes par- ticulars , & indireftes . Je paffe enfuite au cas d'un nom- bre infini de corps mobiles , & apres avoir prouve 1' in- fuffifance de la theorie precedente dans ce cas , je tire de mes formules la meme conftruftion du probldme de chor- d's vibrantibus , que M. Euler a donne" , & qui a 6ie ft fort conteftee par M. D' Alembert . Je donne de plus a cette conftru&ion toute la generalite dont elle eft ca- pable, & par 1' application que j' en fais aux cordes de Mufique , j' obtiens une demonftration generate , & rigou- reufe de cette importante verite d' experience , favoir: que quelque figure qu' on donne d' abord a la corde la duree de les ofcillations fe trouve neanmoins toujours la meme ( *), A cette occafion je developpe la Theorie generale des fons harmoniques , qui refultent d' une meme corde , de mi- me que celle des inftrumens a vent . Quoique ces deux theories aient 6ie deja propofees , 1' une par M. Sauveur, & 1' autre par M. Euler , cepandant je crois etre le pre- mier qui les ait immediatement deduit de 1' Analife . Je viens maintenant au principal objet de mes recherches, favoir aux loix de la propagation du fon. Je fuppofe qu'une particule d' air regoive du corps fonore une impulfton quel- con- ( * ) Le favant M. D'Alembert cite ci-deflus dans 1' article III. de Ton Addition au memoire des cordes vibraates , imprimee dans le -tome de 1'Academie de Beil.n pour 1' annee 1750., fait a ce propos la remarque fuivante . R ejl vraifemblablequ'en gene- rat quelque figure que la Corde prenne , le terns d'unt vibration fera toujours le meme, Sr c' eft ce que C expirience paroit confirmer, mail ce qui feroit difficile , peut etre im- poffible de dimontrer en rigueur par le calcul . Je ne rapporte ces paroles d' un fi grand Gcometre , que pour Hornier one idee de la d:tficulte du probleme que j' ai reloJu . X. conque , je trouve par 1' application des me$ formules qu' il fe communique d' une particule a 1* autre un mouvement qui n' eft qu' inftantane , & qui ne depend en rien de fa force du premier ^branlement. La viteffe avec laquelle fe fait cette communication eft determined par la meme for- mule, que M. Newton avoit deja donne- pour la viteffe du Son , & dont les refultats fe trouvent affes conformes a T experience . Le calcul me conduit ici a traiter des echos fimples, & compofes, & la theorie que j' etablis n' eft fu- jette a aucune des difficultes qui fe rencontrent dans 1' ex- plication , que le Phyficiens en ont donne" jufqu'a present. Ces recherches font fuivies d' un examen du melange des fons, & de la maniere avec laquelle ils peuvent fe r^pan- dre dans le meme efpace fans fe troubler, ou fe confon- dre en aucune facon . Je tire enfin de mes formules une explication rigoureufe , & incontestable de la refonance & du fremiffement naturel des cordes harmoniques au bruit de la principale; Phenomene connu d^puis long-tems , & pour lequel on a inverite plufieurs fiftemes , fans etre par- venu a en donner une raiibn fatisfaifante . Voila les principaux objets que j*ai traite dans la Differ- tation preTente , & que le defaut de terns , & quelques autres obftacles impreVus m' ont empeche d' expliquer avec plus d' ordre , & de nettete\ Je fuis bien eloign^decroire qu' elle contienne une theorie complette fur la nature , & la propagation du fon ; mais ce fera du mains avoir con- tribue a l'avancement des Sciences Phyfico-Mathematiques, que d' avoir demontre" par le calcul plufieurs Veritas qui avoient jufqu' ici paru inexplicables dans la nature; et l'accord de mes reTultats avec 1' experience fervira peut-etre a ddtruirs les prdjuges de ceux qui femblent defefperer , que les Mathd matiques ne puiffent jamais porter des vrayes lumieVes dans la Phyfique . C eft un des principaux buts que je m' £tois propofe" pour le prefent . RE- SECTION PREMIERE- Recherches fur la nature du fon. CHAPITRE PREMIER. Des ofcillations des parties intimes des jluides elafllques . i. ~W * Entreprens avant tout d' examiner la Theorie] que Lj M. Newton a renfermee dans la fe&ion viii.du * II. Livre des Principes Mathematiques . LaiiTant a part toute difcuffion fur la formation des ondes , & des fibres fonores, dont on a parle dans l'Introdu£tion,je m'attache principalement a l'Analife du theoreme, dans lequel il pretend etablir, que chaque particule d' un fluide elaflique homo- gene fuit dans fes mouvemens les m£mes loix , qu' un pendule qui decrit une cicloide dont la longueur egale 4' excurfion totale de la particule, & ou la pefanteur qui V anime ell equivalente a 1' elafticitd naturelle du fluide . Pour demontrer que cette propofition eft conforme a la vdritd, fuppofons d'abord, dit M. Newton, qu'elle le foit en effet , & voyons ce qui s' enfuivra . II cherche done d' apres une pareille fuppofition la force acceleratrice des particules, & il trouve que cette force eft precifement la meme, qui fait mouvoir un pendule dans des arcs de la cicloide donnee . Pour faire mieux fentir 1* inexactitude , & F infurfifance du procede qui Fa conduit a cette conclusion, j' ai cru devoir convertir le theoreme en probleme, en fuppo- fant d' abord inconnue, ou indeterminee la loi des mou- lt vemens vemens qu' on fe propofe de trouver . Pour cela il n'y a d' autres changemens a faire aux propositions de M. Newton, que de fubftituer au lieu du cercle dontlesarcs expriment les tems, & les coupees les efpaces parcourus, une autre courbe quelconque qui faffe la meme fonftion. Je rapporterai done ici la propofition dont il s' agit , & j' aurai foin de me fervir des memes expreffions de 1' Auteur autant qu' il me fera poflible . Propofitio XLVii. LIB. II. Problema. i. Pulfibus per fluidum elafticum propagatis |invenire legem, qua fingulae fluidi particulae motu reciproco brevif- iimo euntes , & redeuntes accelerantur , & retardantur. Defigmnt (Fig. i.) AB, BC , CD &c. pulfuum fuccejjivorum aequales difiantias , ABC plagam motus pulfuum ab A verfus B propagati; E, F, G puncla tria phyfica medii quiefcentis in re3a AC ad aequales ab invicem dijlantias fiia ; E e f Ff, G g fpatia aequalia perbrevia , per quae puncla illo mo- tu reciproco Jingulis vibraiionibus eunt , & redeunt ; e ,

j r r culis DR., FQ, quae intercipiant partes arcus FH, K D aequales ipfis H I , / K) , & virium differentia ad medii • / /»• j- QM - MR J vim elalticam mediocrem , ut — ad. J ' (EG — MR)UEG— Q_M) ±- ; hoc eft ut QM " MR ad _L, five ut QM- MR EG J EG* EG J x- ad E G , fi modo ( ob anguflos vibrationum limites ) fup- ponamus MR, QM indefinite minor es effe quantitate EG; quart cum quantitas E G detur, differentia virium efi , ut a x RM 4 Q M ._ M R . Sed differentia ilia ( idefl exceffus vis elafti- cae punSi e fupra vim elajlicam puncli y) eft vis qua inter* jecla Medii lineola phyfica e y acceleratur , & propterea vis acceleratrix lineolae phyftcae s y eft, ut differentia linearum QM, & MR; igitur ex Mechanicae principiis differen- tia ilia effe debebit, ut fluxio fecunda ipatii quod defcri- bitur a particula f y , pofita fcilicet fluxione prima tempo- ris conftante. Jam vero quoniam ex hypotefi tempora ex- primuntur per arcus , & fpatia per abfciffas refpondentes erunt MR, & QM fluxiones primae fpatiorum PR, PQ , adeoque QM — MR aequabitur rluxioni fecundae fpatii PR, vel etiam PM, quod ab illo infinite parum differtj quum itaque partes arcus DI, IF aequentur inter fe habe- bimus ad determinandam curvam P HSh fequentem aequa- tionem identicam QM— MR = QM — MR,(euo = o quod nihil indicat . 3. Cette conclusion vague, & indeterminee , que nous venons de trouver , nous apprend done clairement la rai- fon pour laquelle les principes de M. Newton peuvent nous conduire egalement a des refultats tres differens entr* eux , com me M. Cramer Pa ingenieufement demon- tre dans P hypothefe, que les particules elaftiques fuivent dans leurs mouvemens la meme loix, que les corps pefans qui moment , ou qui defcendent alternativement . Mais fuivons encore la theorie de M. Newton , & paffons a la propofition 49. dans laquelle il determine le terns que chaque particule doit employer a faire une ofcillation en- tiere . Or comme de la propofition precedente il refulte que toute courbe rentrente PHShP peut egalement ex- primer la relation entre les efpaces, & les terns, Pon fera auffi bien en droit de fubftituer au cercle dans cette pro- pofition une courbe quelconque , & d' y appliquer gene- ralement les memes raifonnemens que M. Newton a fait fur fon hypothefe particuliere . Soit done Pro- Propojitio XLIX. Problema. 4. Datis Medii denjitate, & vi Elajlica invenire velocitatem pulfuum. Fingamus Medium ab incumbente pondere pro more aeris noflri comprimiy Jitque A altitudo Medii homogenei , cujus pondus adaequct pondus incumbens , & cujus denfuas ea- dem jit cum denfitate Medii comprejji , in quo pulfus pro- pagantur . Conjlitui autem intelligatur pendulum , cujus lon~ gitudo inter punclum fufpenjionis, & centrum ofcillationis Jit Ay & quo tempore pendulum Mud ofcillationem integram ex itu , & reditu compofitam peragit , eodem pulfus eundo con~ ficiet fpatium circumferentiae circuit radio A defcrlpti ae- quale . Nam Jlantibus , quae in Prop. 47. conjlrucla funt , Ji lineola quaevis phyjica E F [ingulis vibrationibus defcribendo fpatium PS urgeatur in loco quovis i

i 1 renta tranfmutabitur in hanc — — : - . Q/^r<» x> C yr bi& h r \ turn tempora , quibus aequalia corpora per aequalia fpatia im- pellunlur fint reciproce in fubduplicata ratione virium , erit tempus vibrationis unius urgentt vi ilia elaflica , ad tempus PHShP in fubduplicata ratione —j-:(PHShPy,(e\i\xt B C —7— j : PHShP. Quum itaque confequentia in hac analogia eadem fint, aequalia efle debebunt&antecedentiajhinc orietur tempus vibrationis unius lineolae E G urgente vi elaftica BC ..... . c = , . . Sed tempore vibrationis unius , ex itu V re- ditu compofitae pulfus progrediendo conficit latitudinem fuam B C j ergo tempus , quo pulfus percurrit fpatium B C erit = ~rr~T • Tempus autem , quo pulfus percurrit fpa* tium B C eji ad tempus , quo percurret longitudinem circum- ferentiae circuli , cujus radius eft A aequalem in eadem ra- tione , fcilicet, ut BC: v A (pofita fcilicet pro » ratione circumpherentiae ad radium ) adeoque erit hoc tempus t A = — — = it V A ; fed ex theoria pendulorum reperif ur 'etiam tempus ofcillationis unius penduli longitudinis A s= it V A j ideoque tempore talis oj cillationis pulfus percur* yet longitudinem huic circumferentiae aequalem . j. Voila done un nouveau paradoxe d^duit des Prin- cipes de Mr. Newton , favoir que quelle que foit la loi des mouvemens des particules elaftiques le terns des ofcil- lations lations eft neanmoins toujours le m^me. Ces deux propo- sitions que nous venons de detailler , contiennent toute U theorie que cet Auteur a donne concernant les mouve- mens de Pair qui font l'objet principal de la Diflertation prefente , c' eft pourquoi nous les examinerons ici avec tout le foin poifible . Pour peu qu' on reflechifie fur la nature des demonftrations pricedentes , on s' appercevra fans peine que les defauts de cette theorie dependent moins de 1' enchainement des raifonnemens que des Prin- cipes , & des donnees que 1' Auteur adopte tacitement pour la folution du probleme. Ces donnees dtant develop- pees fe reduifent aux fuivantes . i.mo Que les mouvemens de toutes les particules foient exprimes par le merne lieu geometrique , d' ou il fuit qu' il doivent etre tous d' une meme nature. i.d0 Que ces particules fe communiquent le mouvement dans des tems ^gaux, enforte qu'elles vien- nent toutes a pafler fuccefiivement par les memes degres de mouvement . II eft conftant qu' on ne peut admetre aucune de ces fuppofitions, ft on n'a auparavant demon- tre qu' elles font des confequences neceflaires des condi- tions donnees du probleme . Or tant s' en faut que dans notre cas la chofe foit ainfi , qu'au contraire ce font ces memes conditions qui detruifent entierement celles qui dependent de 1' aftion mutuelle, que les parties exercent «n vertu de leurs forces repulfives. Pour developper cette difficulte dans toute fon etendue, ainfi que V importance de la matiere , & 1' autorite du grand Homme , dont les egaremens memes nous font inftruftifs, femblent l'exiger, je vais donner 1' Analife pure & exa£re du probleme , dont il s' agit telle , que peuvent la fournir les premiers Principes de Mecanique. 6. Soient felon les premieres fuppofitions de Mr. New- ton ( Fig. i..) £, F, G &c. des Points Phyfiques qui com- pofent le milieu elaftique , lorfqu' il eft en repos ; foient enfuite 8 enfuite parvenus ces memes points en 5, y r-hy111 —y r f> & y, & ainfi de fuite ; par confequent la difference de ces deux forces donnera la force motrice de la parti- cule intermediaire

■' — y°) Aippolees devoir faire des excurfions afles petites, les dif- ferences y11 — yl , & y'1' — y" des efpaces parcourus s' e vanouiront aupres de la quantite r, d'ou il refulte pour la force motrice de la particule F, AM x - > qui eft celle qui fait parcourrir l'efpace y11. De la meme manure on trouvera pour les autres particules des expref- ftons des forces motrices toutes femblables a celle-ci ; d' oil ft Ton nomme t le terns ecoule depuis le commen- cement 9 cement du mouvement de la particule E , & fi Ton fait {es differences d t conftantes on obtiendra par les Princi- pes de la Mecanique 1' equation fuivante qui contient les loix du mouvement de la particule F, favoir d*y11 lAll y'»_2y»-f-y« '' . n u c — ^ — = x — i ou h eft 1 efpace qu'un corps pefant parcourt librement en tombant du- rant le terns T ; de meme on aura pour la particule fuivante G 1' equation —* — = x - - — * & ainfi des autres. En general , fi l'expofant de y exprime toujours la place que tient la particule qui parcourt 1'efpace y, en comptant depuis la premiere Fy on trouvera pour le mouvement de la particule , dont le quantieme du rang eft m , 1' equation gentle tt » Lilt X y* + *-xy"+y—* . Ces Equations, comme il eft aife de le voir, font en meme nombre que les particules mobiles , dont on cherche les mouvemens ; c'eft pourquoi le probleme etant deja abfo- lument determine par leur moyen , on eft oblige de s'eri tenir la , de forte , que toute condition etrangcre qu'on voudra introduire, ne peut pas manquer de rendre la fo- lution infuffifante , & meme fautive. Mais pour connoitre diftinfrement quelle atteinte doivent porter a l'Analife ci- deffus expliquee les liypothefes particulieres que Mr. New- ton a imaginees, pour faciliter peut 6tre le probleme qui de fa propre nature eft tres-complique , nous allons re- duire ces hyporhefes en formules. 7. Pour cela nous commencerons par remarquer que (i t eft le terns ecoule depuis le commencement du mouvement de la particule E , il faudra en vertu de la feconde hypothefe qu'il fe foit ecoule un terns t •+■ dt , afin que la particule fuivante F ait pu fe mouvoir durant b un 10 un terns t ; il faudra auffi un terns t ■+• 1 dt pour un mouvemem femblable de la particule fuivante Gt & ainfi pour Ies autres ; d' oil il s' enfuit que , puifque toutes les particules font fuppofees fuivre les m£mes loix par 1' hy- pothefe premiere, l'efpace parcouru par le point Ft durant le terns t , fera egal a l'efpace parcouru par la particule G pendant le tems r -+- mais y" = y,,,-4- dy1". & par confequent dly" = d*yl." -+- d* y"' , 1' on aura , „, . diyl"-^d3y^ %Ah„dzy™ done 1 equation -A : — = — -- — X — - — , OH bien en negligeant le terme d'y"1 , & divifant tout par dxyl" nous aurons — = — -— , equation , qui com- me on voit , ne contient plus aucune des variables y* , y" , yitl &c. On trouvera par des raifonnemens femblables que toutes les autres equations fe rdduiront encore a celle-ci, laquelle par confequent pourra etre vraie quelles que foient les valeurs des y , pourvu que Ton ait dt1=s 7* r* — — . Maintenant fi 1' on nomme 8 le tems d' une ofcil- zAb lation entiere, on aura 6 = PHShP & dt = KI; par confequent dt: EF = 6: B C ; par la Prop. 49., lavoir d 1 = — & d i* = = r ; d ou 1 on tire BC BC %Ab 8* = —, — & 6 = — — — qui eft la meme ex- preffion que nous avons deja trouve pour la mefure du tems dans la Prop. 49. Tout ce que nous venons de demontrer fuffit aire's, ce me femble , pour faire connoitre a fond 1' infuffifance & la fauffete de la methode de Mr. Newton . Nous allons done chercher une autre voie qui nous mene a une folu- tion du probleme, dont il s'agit fondle fur des Princi- pes furs & inconreftables . 8. Pour envifager d' abord la queftion fous le point de vue le plus fimple & le plus general qu'il foit poffible , je regarde avec Mr. Newton les fluides elaftiques comme des amas de corpufcules, qui fe fujent mutuellement felon les Ioix connues de l'elafticite . Imaginons done une fuite de corps qui ayent tous la meme maffe, & qui foient ranges fur une meme ligne droite , a diftances egales les uns des autres ; fuppofons de plus que ces corps fe re- poufent mutuellement par des forces dlaftiques qui fuivent la raifon inverfe des diftances ; & pour contenir 1' a&ion continuelle de ces forces de repulfion, qui tendent fans ceffe a ecarter les corps les uns des autres , qu'on confi- dere les deux extremes comme fixes & immobiles , en forte que quelque mouvement qu'on excite dans leur fi- fteme, il demeure toujours renferme entre les deux limi- tes donnees. Maintenant foit le nombre des corps mobi- les = m — 1 , leur maffe = M, la force du reffort na- turel = E , en confervant les autres fuppofitions ci- deffus ( art. 6. ) , on trouvera que les mouvemens de tout le fifteme feront contenus dans les Equations fuivantesj £_y_ _ iJtl x y" ~ iy' JUT* r fry"- xEh y>" — xy" -i-y1 ~1? "Mf? X r b 1 fry n> dzy>" x Eh yiy — xyl M ' Ces equations feront au nombre de m — i , favoir en meme nombre que les corps mobiles , & de plus toutes femblables , excepte la premiere & la derniere , dans lef- quelles les quantites y° & y" , qui reprefenteroient felon l'ordre etabli les efpaces parcourus par le premier & der- nier corps , doivent etre a caufe de 1' immobilite de ces corps , fuppofees egales , a zero ; la derniere de ces equa- tions fe trouvera done dtym~l rEh — xym~l -4- ym—x —J? Hif^ x ~r C eft en integrant toutes ces equations , & en tirant des valeurs pour chaque inconnue y' , y" , yut &c. expri- m£es par la meme variable t que 1' on parviendra a de- terminer les mouvemens de tous les corps qui compofent le fifteme propofe" ; mais avant que d'entrer dans ces re- cherches , il eft neceflaire de traiter des caufes qui peu- vent produire de tels ebranlemens dans les parties inti- mes de* fluides elaftiques . Nous nous bornerons ici aux cordes vibrantes , dont les mouvemens font plus connus, & qui , peut etre , font les feuls de cette efpece qui ne fe refufent pas a 1' Analife . CHA- CHAPITRE II. Des vibrations des cordes ~. 9. £tOIT AB ( Fig. 4. ) une corde tant foit peu exten- j^^ fible , & qu'on puiffe confiderer abftra&ion faite de fagravite, & de fa roideur ; fuppofons qu'elle foit attachee fixement aux deux points immobiles A, & B qui la tiennent tendue avec une force egale au poid P. Soit de plus cette corde chargee de tant de corpufcules E, F, G &c. qu'on voudra , qui aient tous la me'me maffe M , & qui foient eloignes les uns des autres , par des in- tervalles egaux A E , E F &c. II eft evident par les Prin- cipes de la M^canique que , ft les points E, F, G &c. vien- nent a etre ecartes de la ligne droite, enforte qu'ils decri- vent les lignes infiniment petites Ee, Ff, Gg &c. chacuh de fes points f fera poufle vers F par une force egale a P X fin: efg . Or fi 1' on nomme yl , y" &c: les ex- curfions Ee, Ff &c. des corps E, F, &c qu'on fafie l'in- tervalle conftant AE = EF = ron aura fin: efg = J- — ; d'ou Ton tire pour le mouvement du r„, dly" xPh yin-iy" + v' corps F 1 equation — ^_ ae — — X 7 r M dt' MT* r on trouvera de meme pour le mouvement du corps fuivant s> „- ^y"1 iPk y"-2y", + r" 0 .r G , 1 equation — f. — = x J- - -—, & amfi n df MT> r ' pour les autres . Par confequent fi les corps attaches a la corde font au nombre de m — 1 on aura en general pour leurs mouvemens , qnels qu'ils foient , les equations fuivantes. — zPh X y" r *J* d-y" = xPh MT' X y"1 — zy" t + J M dxy" iPh y_iy>'i+yi ~7? Wrr X r &c. Dont le nombre fera encore m — i , & la derniere fera . . dxym-x %Ph _1y»-«-+.y»'-* expnmee par — ^- = —_ — x — II eft vifible que toutes ces equation font entierement femblables a celles que nous avons trouvees pour les mouvemens des corps elaftiques, & qu'il n'y a qu'a faire P = E, pour qu'elles deviennent tout-a-fait les memesj d' ou il s' enfuir que les deux problemes qui y repondent font de meme nature , & qu'en en refolvant un , on re- fout 1' autre en m£me terns. Imaginons que le nombre des corps dans 1' un & dans P autre cas augmente a P infini , & que leurs maf- (es diminuent en m£me raifon , les globules ranges en li- gne droite formeront des fibres elaftiques , telles qu'on peut les concevoir dans P air commun , & la corde ten- due deviendra une corde uniformement epaifle dans toute fa longueur , comme le font les cordes de Mufique j le meme rapport fubfiftera done encore entre les ofcilla- tions des parties de P une & de P autre , par confequent la theorie des mouvemens des cordes &ant connue , Pon pourra par une fimple application en deduire celle des mouvemens de Pair qui produifent le fon. Ces deux pro- blames font done lies entr'eux, non feulement par leur na- ture meme , mais encore par les Principes , d' oil depan- dent leurs folutions. Comme la matiere des vibrations de* cordes a d^ja ite traite par des grands Gdometres , il fera a propos de rappeller ici en peu de mots les princi- pales methodes qu'ils ont imagine pour cela. J' entrerai dans ce derail d' autant plus volontier , que ces Auteurs font peu d'accord fur les Principes, & dans les refultats, ce ce qui pourroit faire douter de la gen^ralite* , & de la rigueur de leurs folutions . 10. Le premier qui ait tente" de foumettre au caleul le mouvement des cordes vibrantes eft le celebre Mr. Tailor dans fon excellent ouvrage de Methodo Incrememorum . II fuppofe d' abord , & il pretend meme le demontrer que la chorde doit toujours prendre des figures telles , que tous fes points arrivent en meme terns a la fituation reftiligne* d'ou il deduit que ces figures ne peuvent e*tre que celles d'une efpece de cicloides allongees, qu'il nom- ine compagnes de la cicloide . Voici fon procede. Nommant x une abfciffe quelconque (Fig.5.) AE, & y 1' ordonnee E e qui denote la diftance du point E de la corde a l'axe dans un tems quelconque r., on de- montrera par le meme raifonnement de Tart. 9. , que la force acceldratrice du point e vers E eft exprimee par — P dly —. X -r- • Soit a la longueur de toute la corde , & M dx n ' S d x S fon poid total on aura M = } & par confe- m quent la force acceleratrice en e deviendra = - X — — . ^ S dx" Or afin que toute la corde puifle reprendre fa fituation re&iligne, 1' Auteur fuppofe cette force proportionelle a la diftance £ (/ v7 c -ha) — -fy {tV c — a) = o, laquelle doit etre verifiee par la nature meme de 'a fonclion 4°. Suppofant done une fon&ion quelconque ^ qui foit teile , que ^r (t V c -+- a) = ■+■ (tVc —a), quelle que foit la valeur de r, on aura ge^eralemenr p<^ur la corde tendue l'equa- tion y = ■%• (iV c -+- x ) — t (iv'c- x) . L'on fait , que toute function peut etre reprefentee par 1' ordonnee d'une 19 d1 une courbe , dont I' abfciffe foit la variable contenue dans la fon&ion propofee ; done fi T on decrit une cour- be quelconque qui ait des ordonnees egales a toutes les abfeiffes exprimees par tV c •+- a, & tV c — a , cette courbe donnera une conftruftion fort Ample de l'equation propofee , car on n' aura qu'a prendre les ordonnees qui repondent aux abfeiffes i/c+ x, & tV c — xt dont la difference donnera l' ordonnee de la courbe, que forme la corde fonore dans un terns quelconque t . Or puifque la fonftion •%• doit refter la meme, foit qu'on ajoute, oa qu'on retranche de la changeante t V c la quantite a , fi Ton fuppofe dans l'equation generale y = ^ (fV' c -+- x) — -fy (tV c — x), que le terns t foit augmente de la a quantite -r- la valeur dejvn'en fera en rien derangee, & ainfi la corde au bout d'un tems = -7— = 7V — 5-5 V c irk reprendra toujours la figure qu'elle avoit au commence- ment de ce tems j e'eft pourquoi fi la corde dans fes mouvemens fe trouve une fois etendue en ligne droite, elle reviendra en cette fituation apres chaque tems t , qui contiendra un certain nombre de fois exaftement le tems T V ~— ; T on a done une infinite d'autres courbes dif- terentes de la compagne de la trochoide allongee , donnee par Mr. Tailor, qui toutes font douees de cette propriete, que tous leurs points fe retrouvent en meme tems dans faxe. Mr. D'Alembert a fait enluite beaucoup de recher- ches ingenieufes fur la nature de ces courbes, qu'il nom- ine generatrices , & fur la manieVe , dont elles peuvent £tre engendrees , mais comme ces dtfcuffions n' ont pas un rapport immediat au fujet que nous avons en vue, nous nous contenterons de renvoyer le Lefteur aux Me- moires cites. c t 1 } . Mr. 13. Mr. Euler a traite depuis dans le Tome fuivant Ie meme probleme par une merhode analogue a celle done nous venons de parlor. II parvient a cette Equation y = ^ (x + tv'c) +

(*), il fuffira de confiderer la courbe initiale de la corde AaB, quelle qu'elle foit , & ft on reitere fa defcription au def- fous, & au defTus de l'axe de part & d'autre a 1' infini, La moitie de la fomme des ordonnes qui repondent aux abfeiftes x -+- tv'c, x — tV c dans la courbe compofee Cc A a B b , fera 1' ordonnee a l' abfeifle x dans la courbe de la corde tendue apres un terns quelconque t . 14. Cette conftruclion de Mr. Euler eft evidemment beaucoup plus generale que celle , que Mr. D'Alembert a imagine , celui-ci ayant toujours fuppofe que la courbe generatrice fut reguliere, & qu'elle puiffe etre renfermee dans une equation continue. C'eft dans cette idee que ce grand Geometre a cru qu'une telle conftruclion devenoit infuffifante toutes les fois que dans la courbe generatrice, on n'auroit pas fuivi la loi de continuite, 6k il s'eft con- ten te d'en avertir le Public dans une Addition a fes Me- moires imprimee dans le Tome de 1' annee 1750. Mr, Euler a tache de repondre a cette objeclion dans le Tome pour l'annee 1753.} il reprend ici toute 1' \na« life 2 I life du probleme , & il foutient conftamment contre Mr. D'Alembert que pour l'exa&itude de la conftruftion don- nee , il n' ell nullement neceffaire d' avoir (fgard a la loi de continuite dans la fon&ion

dy" =u"dt &C. dy"~l = um — ' d t ; ce qui changera les equations differentielles du fecond ordre dans les fuivantes du premier d u1 = e (y11 w %yx")dt du" = e (>'"- iyu -hyJ)dt du"' = e (y" — iyl" -+-y" ) dt du" = e (yr — xy" -+-y">)dt €e. dum— ' = e (— iyn ~ • -hym ~2) dt. II *7 II eft a remarquer que les quantites ux , u" , uut &c. expriment les vireffes des corps qui parcourent les efpaces y* , y" , ytl1 &c. & qu'ainii il eft encore important de de- terminer leurs valeurs . Prefentement il faut multiplier tomes ces equations, moins une a volontd, par des coeficiens ind^f ermines , & les ajouter enfuite dans une meme fomme . Soient Ml , M" , M"1 &c. les coeficiens qui doivent multiplier les dernieres Equations, & Nl , iV", N"1 &c. ceux qui mul- tiplient les autres , & on aura Ml d ux ■+■ N1 d yl -+- M11 d u" -+■ N" dy11 -+■ M"1 d u,lt -+- JVin dyl" -f- &c. -h Mm ~ ' d um ~ « -+- Nm - ' dya ~ ,z=(N1u1-h e[M"- 2 Ml ]yl ) dt -f- (N"u" -+- « [ AP" - 2 M" -+■ M']y11 ) d t ■+■ (Nl,t «"" -+■ e [ Af,T - 1 A/1" -4- A/"] y"1) ^r -f- &c. -+- ( iVm - « a" - * -+- * [— 2 Afm - l -+- A/m - *]jym - » ) dty ou P on fuppofera pour plus de facilite le premier confi- dent Af' = 1 . Soit fait enforte que le premier membre de cette equa- tion devienne un multiple exaft de la differentielle du fe- cond ; & fuppofant R un coeficient conftant quelconque on trouvera par la comparaifon des termes R M' = Nl ; R M" = N" i R Af"» = N1'1 &c. RMm~l =s Nm ~ ' ; enfuite R N* — e (ilf'-iiW1); R JV" s± t (Mtlt- 2 M" -h M1); RN111 = e (M" - 2Af"«-»-Af,,)(S'f. RNm- * = e (— 1M"-1 + iW"-l)i en fubftituant dans ces dernieres equations les valeurs des N tirees des premieres, il en refultera R* M' = e ( M" - 2 Ml ) R* M" = e ( M"1 - 2 M" •+■ AT' ) /?1Af,,,=ss - tab cof. — +b*)*V(a*-i.ab cof. 11 -+■ b* ) m m X &c. , en prenant un nombre de fa&eurs dgal a m , de forte que le dernier devienne ^(a'~i«J cof. i — ~ ' -*T m •4- ^* ) , ou t denote la'circonference du cercle, dont le rayon eft 1 . L'on a done dans notre cas V (a1 — xab cof. I -+.*») x • ( «* - 2 a £ cof. — -+- £» ) x V m m (c* - xab cof. l^)X «» — x ab cof. h b* = o ; fi 1' on fubftitue les ya- rn leurs trouvees de a & £ ( art. 19.)* elle fe change en. K* - a - 1 cof. 11 — . o , d* oil 1' on tire Jf» = * ( i -+- cof. — ) , ce qui fe re'duit par les theoremes de la multiplication des angles a K* = 4 cof. ( — )*, d'ou 1'oa 2 w a enfin K = ± 1 cof. 2m 11. Je remarque d'abord, que la variete des fignes dans cette expreflion de K eft inutile , parceque en faifant 0 plus grand de — la formule nous redonne les memes va- leurs, que quand v etoit plus petit, mais avec des fignes contraires ; Ton aura done {implement K = x cof. — , pofant pour 1 tous les nombres entiers pofitifs , depuis q jufqu'a m — 1 . Par cette valeur generate de K , on trou- Rx vera celle de R par le moyen de 1' equation — -4- 2 e im t ir V ft = K (art. 1 8.) ; car on aura R* = 1 e ( cof. — — 1 ) — 4 e ( fin. — )* par les theoremes cites , d' ou il refulte i? = + i • e X fin. — X v' — i.On deduira encore de la valeur de K , celles des quantity a & b9 comme il fuit, a = cof. — -+- V ( [ cof. — T — » ) > b sss cof. — — V ( [ cof. — la — 1 ) , favoir }* a « cof. LL -4- fin. H X V - i , & = cof. II - 2 m 2m 2M fin. II X V — i , d' oil P on tire en fubftituant 2 m iltf* «= ( cof. 11 -4- fin. — X V - i )* : z fin. II X v' - i zm zm 2 m _ ( cof. II - fin. H x V - i > : 2 fin. II x V- , 2m 2m ' im laquelle expreflion fe reduit encore, par les memes theore- xnes ci-deffus, a Mv = fin. £lll > fin. 11 . zm zm i2. Toutes ces operations achevees , retournons k prefent fur nos pas pour proceder a 1' integration de P equation differentielle (art. 19.). Soit pour abreger Ml u1 -4- M" u" ■+• M'" u11' -4- &c. j •+• Mm-*un-* -+- R (M'y1 ■+• M"yl -4- Mltly"1 -h &c. ■+■ Mm ~ 1ym ~ l) = f, elle deviendra par ce moyen d £ = R^dt, dont P integrate fe trouve £ = F cRt , oil c eft le nombre , dont le logarithme hyperbolique eft 1 , & F denote une conftante quelconque egale a valeur de {, qui repond aa cas de r = o } Ton aura , done en reftituam au lieu de I fa valeur premiere, M ' u' ■+■ Mxl u11 -4- M"1 W" •+■ &c. -4- Mm - l um ~ 'i -+- R (M\yl -h M"ylt -h Ml"y"1 -4- &c. -H M"-'ym- l) = FcR', & puifque u' dt = dyl ; uudt = dy"; ulli d t = dy'" ; &c. fi P on multiplie toute l'equatton par^r, il en refultera Ml dy1 -4- M" dylt •+- M'"dy"' -4- &c. -+- Mm-1dym~' -h R (Mlyx -4- M" y" -4- M"ly"* ■+■ &c. -4- Mm ~ l y" ~ t)dt = FcR'dt, & multipliant encore par c*', & integrant de nouveau ( Ml yl -h M"y" -4- Ml"yul -4- &c. -4- Mm - ly» ~ ') CR' Pour determiner les conftantes Fik G foient V\Vll,F,Il5rc., Vm~\ &ri,F", F'» &,, Vm-', les valeurs de «', 3* a" , uw 6c. , um - ■ , & de yl , jyM , yxxx &c. , ym ~ ' au. commencement du mouvement , lorfque t = o ; fuppo* fons de plus pour abreger Mx Yx -4-Af" J^" -+-M"1 r1" -4- £<:.-+- Mm -xFm-t=P. Mx Vx -+- Mxx V" -+- M xxx Vxxx -h &c.-h M"-lFm-x = Q> Ton aura d'abord F = Q -+- RP, enfuite poiant t = o p dans la derniere equation, P = -— •+- G, d'ou Ton tire G lPR ~ f iPR-Q-PR PR - Q . ~~ 2i? ~~ 2# 2# ~ ' done en divifant l'equation par c*' on trouvera finalement M'^» -h MX1 y" ■+■ M'" y111 -+• &c. -+• Mm ~ lym ~ J = *£±e x *> 1*. *^2 x «-.._ p x £-±£i- 2 K 2 R 2 •+■ ^- x , ce qui a caufe de R =z -±L xv e xv 2 X fin. — x v' - i fe reduit a M'y1 -+-M" y'x -+- Mllxyxxx -+- &c. -+- Mm~ * ym ~ I = P X cof. ( 2 f • e X fin. — ) -+- w foit qu'on prenne dans R le figne -+- , ou le figne — ^ comme nous 1' enfeignent les expreffions exponentielles- imaginaires des finus & cofinus , fi familieres aujourd'hui aux Geometres . 2 j. Cette Equation toute fimple qu'elle eft fuffit nean- moins pour determiner les valeurs des inconnues yl,y" , yux &c. qui font au nombre de m — 1 . Pour s1 en con- vaincre, on n' a qu'a reflechir qu'elle contient le nombre indetermine" », qui peut avoir les valeurs 1,2,3 6V. jufqu'a m — 1 , d'ou il refultera autant d'equations. Tout fe reduit done a determiner par le moyen de toutes ces equa- 33 Equations, les valeurs de chaque inconmie qu'elles con- tiennent, c' elt ce que nous allons entreprendre . Je commence par mettre au lieu des quantites M leurs valeurs trouvees (art. zi.), & effacant Ie denominateur commun fin. — qui s' evanouit naturellement de 1' equa- 2 m "■ tion , je pofe pour plus de commodite. P> =Z'fin. II -fr r» fin. HZ -*- V" fin. HZ -+- &c. -+- Ym ~ ' fin. - - 2 m ID ( /7Z— I ) P 7T <>=F'fin.II-+-F"fin. HI-+-^» fin. HI .+. £c. 2 m 2 m 2 m 2 m Oil les expofans de P , & Q denoteront fimplement les valeurs particulieres de v , qui leur appartiennent . Ainfi 1' equation generate ci-deflus , deviendra y* fin. — -4- y" fin. HI ■+■ y1" fin. HI -+■ W 2»I J Z« vm - • fin. ( m - i ) — = p* x cof. (i t V e x fin. — ) 2 M v 4»J Q' X fin. ( a t >/ e X fin. — ) 4 w i^e Xfin. — » T, Soit encore pour abreger P" X cof. (xtV e X fin- — ) Q> X fin. (irv7* X fin. H) 2 v7 * X fin. — 4m & pofant fucceflivement a la place de v tons les nombres naurels depuis o , jufqu'a m — 1 , on aura les equations fuivantes fin. — -+- Z?» fin. II -t- £)"> fin. 1± -+-6c zm zm zm -*- Da ~ ' fin. [ m - 1 ] — ) L J 2w' -+- y" 3T -f. y" (£>• fin. H-t-D"Cm. ±1 -+- D'» fin. — ■+• &c. "* zm zm zm -+- Dm ~ « fin. i [ /n - i ] — ) -4- y'" (Z?1 fin. 11 -h D" fin. tl -!- Z>"' fin. 2.1 -+-£c ^ 2 M 2t» 2 m -4- Z3n - ' fin. 3 [ /w — i ] — ) 2»J -4- 6c. ►4- y"-1 (Z?' fin. [m - i] — -4-Z>"fin. i[/b-i1 _!L ^ 2>W U J Ul -4- &c. -h Dm ~ ' fin. [ m - i ? — ) 2m = ZP'i1 -t- Z>" S" -4- Z)1"i,">-4-(S•c.-4-Z)',, " 'i""-'. Qu'on veuille a prefent la valeur d'un y quelconque , par exemple de yV- , l'on fera evanouir les coefkiens des autresj', & 1' oh obtiendra 1' Equation fimple. yf (Z>« fin. ^ -4- Z»" fin. 2±1 -4- Z>"' fin. L£I 2 m 2 m 2 m -4- ", Z?"1, Z)IV £c. , qui font en nombre de m — 2 par les equations particulieres qu'on aura en fuppofant egaux a zero les coeficiens de tous les autres y ; 1' on aura par la P equation generale . Z)> fin. bl -4- Z?» fin. — 1 ■+■ D»> fin. ihl -4- &c. zm 2 m 2 m -4- Z?" ~ ■ fin. [ m— 1 ] — = o , laquelle devra etre 2 tn vraie quelque nombre pofitif entier qu'on pofe au lieu de A depuis o , jufqu'a m — 1 , excepte /w . < i 2 j. Pour 36 ij. Pour tirer de cette equation Ies valeurs des quan-i tites D , je remarque d'abord , que tout firms d'un angle multiple fe reduit a une fuite de puiffances entieres , & pofitives du cofinus de i' angle fimple , dont le plus grand expofant eft egal au nombre qui en denote le multiple diminue de l'unite, toute la fuite etant encore multiplied par le finus de Tangle fimple. Done fi Ton developpe de cette facon tous les finus des angles multiples de — &c qu1on divife enfuite l' equation par fin. — , on parvien- dra a une autre equation , qui ne contiendra que des puiffances de cof. — , & dont le degre fera = m — i » 1 zm ° de-la il fuit qu'en regardant cof. — , comme l'inconnue de cette equation , fes racines devront etre cof. — , cof. — , 1 zm 2 m cof. - — S'c. jufqu'a cof. ( m — i ) — , excepte cof. c_ % zm ' l zm zm Par confequent toute 1' equation ne pourra etre que le Kir r t /- Xt — — cof. — zm zm XT zm produit continuel des fa&eurs cof. — — cof. — ; cof. — zm zm zm — cof. — ; cof. — — cof. — , &c. dont le dernier fera cof. — —cof. (m — i) — , en omettant toute z m zm fois le fa&eur intermediaire cof. — — cof. — ; c' eft %m zm pourquoi fi 1' on nomme L une conftante quelconque t Ton aura D'Cm. 37 /?« fin. — +Z)''fin. — hi + &f. + 5»-' fin. (m-i)hl zm zm z m iin. — zm = Z (cof. *I - cof.^- ) (cof. >-I - cof. 15) zm zm' zm zm (cof. hi - cof. LL) . . . (cof. — - cof.O-i]-) x zm zm zm J zm' Le theoreme deja cite de Mr. Cotes nous donne l' Equation pzn _ qzm _ (fi _ j») (j,- - loy C0f. Z. -+■ ?*) MM (/,* - xpq Cof. 1| + q*)(f - 2P? C0f.l| -+- j* ) (/>* — ipq cof. f/Tj — i] jL h- o* ) , en n' omettant aucun des facteurs intermediates ; que 1' on compare done ces falteurs avec ceux de 1' equation pre* cedente , en faifant t' + f = cof. — , & 2 p a = 1 } 2/W ' J & 1' on aura P* -+- lPJ + f s: i -+• cof. __? = 2 ( cof. — Y zm x a,m f * — IPS -+- a1 = cof. —1 =—2 (fin. — - Y, zm 4m d' ou en extrayant les racines , il refulte p-*-q = ^-_V 2 X cof. — , p - q -fc V 2 X fin. hi X • - 1 , & enfin zm l ' zm /•At /• X t / cof. — ■+- fin. — X v — 1 P = ± 1 = ±: 4 >;; 4 »> -. X T cof. — 40* fin. *I x • - 1 A,m Par J8 Par contequent 1' on aura f»= - (cof. — -+- fin. t* X ^ -)* * 2 4/v; 4^w cof. ^ + fin.^xV-, a>= L (cof. ^ -fin.*I X V -O* 1 2 4 wz 4 ;» r "K It /• AT,, / cof. — — fin. X v — i 2 rs — a1 = fin. — X ^- i ; de meme p«^ J- ( cof. — -4- fin. *I X • - i )■ 2M 4«» 4»« cof. ** -+■ fin. £l X • - i ?"•= — ( cof. — - fin. ^!xv/- i )» * am 4«? 4«a cof. — — fin. — x V — i 2 2 fin. *I x V - , pi»_ 9» __ * Toutes ces valeurs etant ainfi trouvees , V on divifera jj»»> _ £*» par (p* — f-) (p*— -Lpq cof. ^ -4- jO ce qui _ XT iin. — donne ■ laquelle x- - « fin. ££ X (cof.^I - cof. ^) 2»» i« im expreflion multiplied par L devra etre egale au premier rnembre 39 membre de 1' equation trouvee dans cet article ; dont en otant de part & d'autre le divifeur commun fin. — on trouvera 2?« fin. — -+- Z>» fin. i££ -*■ Z>"' fin. iAl + 6c. 2OT 27» im hn. -t- Z?" " • fin. ( m - i ) — = __ x ' zm i"-' cof. — — cof. zm zm equation qui doit etre idenrique . Si done 1' on multiplie toute 1' equation par cof. — — 2 ill — cof. ^— , & qu'apres avoir reduit les produits des fi- nus par les cofinus en fimples finus , on fafle la compa- raifon des termes , on trouvera les valeurs cherchees des quantites indeterminees D . Pour faire cette operation plus aifement commencons par multiplier la fuite qui forme le premier membre de 1' equation rapportee par i cof. — ; en developpant chaque produit particulier , & en ordun- uant les termes, il viendta jD» fin. — i (£>>" -t- Z>') fin. — — +(Z)"+Z)») zm N zm fin. ibl ■+. &c. -+- D" ~ * fin. ( m - i ) — -+■ z m ' zm 2 Enfuite Ci Ton multiplie la meme ferie par i cof. £— , 1 m & qu'on retranche ce dernier produit de l'autre, on par- viendra a 1' equation 40 ■"- 2 Z>" cof. £-? -+- Z» ) fin. —Z -*- ( Z)" - a Z>«" cof. Jil 2m 2»* .+. Z?»)fin.i^- -4- &c. -+- (-i Z?" " ' cof. £1 -+- Z> ~ » ) fin. [ m - i ] — •+■ Z> - ■ fin. — J 2*8 2 2"' L' on aura done X fin. — ZJ" - i £>' cof. £11 = 2 ;W £>«>« _ i £>" cof. ^ + Z?' = o 2/W £>.t _ 2/jin cof, ftl _+. £>" = 0 118 -iZ5"-'cof. ^ + £>"'-J= a zrn _ X Dm - i 2m - * d'oii 1' on don tirer les valeurs des quantites 2?-. II ell vifible au premier afpeft , que les quantites D conftituent une progreffion recurrente , dans laquelle ea commencanr par le bas , il eft Dm = o _ L J)m - i __ . m — z Dm ~ * == 2 Dm - ■ cof. £1 - Z> 2 m £>»-»= iDa-> cof. £1 - Dm - » Le 4' Le tcrme general de cette fuite fe trouvera comme ci- deflus (art. 19.) exprime de cette facon Dm ~ " = A aa •+• B L* , oil a & b font les racines de 1' equation du fe- conddegrej1 — i? cof. ^— -4- 1 = o. Pcur determiner les conftantes A &z B qu'on pofe n = o, & = 1 , Ton aura A ~h B = o , Sc Aa -+- B b = m _- , ce qui donne B = — A, A = m _ , . 7? , B = — — — 2™ ~ * (a - £) ' im-l(a-by Sc par confequenr Dm ~ " = '-,, jt^ X — ^—7- . Or fi Ton fubftitue au lieu de a Sc /> les racines de Pequation pro- polee , il en reTuItera par un procede femblable a celui r nu.it „ r lin. -L — de l'article zj. - ~ f ^ l?— , d' oit Z> - « a — 0 (jlt im. — fin. !!££ ; & pofant pour plus de comodite L fin. 21a . • fin. ( m - s ) £1 m — n = s , £)' = _ x ; ; mais fX-TT a™ fin. 2»» fin. r> - O £1 = £„.(£» £Jf») = + fin. iii-I, t<» 2 2W 2 *» oil le figne •+• doit etre pris toutes les fbis que u. ett un nombce impair, & le figne — quand fx e(t puirj on aura r SUV J- 1111. — — — done enfin D' = ■+- — — x 2— , & telle eft la Tin. _ 2/W / valeur 4* -..«•. valeur generale de Z>, d'ou depend la resolution des equa- tions de 1' article 23. 26. Reprenons maintenant 1' equation de 1' article 24., & fubftituant dans fon fecond membre les valeurs trouvees des quantity D , on la reduira d' abord a yf» ( Dl fin. tl h- £>" fin. ;aFT -h /?»« fin. 1£I -4- &c . . , , 2 *» 2 ># 2 7# -j- 2?- - ' fin. [ ot - 1 ] S£ ) -- -fc 2— fin. til 27» ( ^ fin. £1 -t- $« fin. *J*1 + J">» fin. 11*2 -+- 6c. 2 m ztn zm •+• Sm ~ * fin. [ m — 1 ] ^lL ) . A 1' eeard du pre- zm r mier membre , on remarquera que Dl fin. — •+■ Du 2 tn fin. i^i + J"1 fin. 1^— +k+Z5m-'fin.(m-i) 2 m xm fin. — ^T _ j_r_ x (art. 25.) *m ' xn~l cof. tl - cof. £1 2 ;/> 2m Done fi 1' on fuppofe X = fx. 1' on aura Dl fin. -±- — - -4- Z?» fin. .gy*T -+- Z>»'fin. 2l£* -4- £c. -4- £*-* 2 m 2 ot fin. — fin. ( „ _ x ) £1 *—" cof. £1 - cof. £1 im 2 w (W t done le dernier membre de 1' equation fe reduit a L mais puifque \j. eft un nombre entier , on a fin. £— = o , 43 x — • Pour en trouver la vraie valeur {bit fup- i"~' o * pole X variable , & differentiant a part Ie numirateur , & le denominateur de la formule g^ndrale fin. — tit col. — on trouvera , or ft r Xt r A* *" /- X T col. col. - — — un. — 2)ii zm zm etant un nombre entier, cof. C— eft s== ± i , le figne (uperieur repond a (A pair, 1' inrerieur a /a impair j Ton aura done D> fin. £1 -H D" fin. ±£1 +D' ■> fin. ±?~ zm %m zm + &c. ■+- Dm ~ « fin. ( m - i ) HiL = -fc — ^—_ * & ainfi 1' equation precedente deviendra fin. — zm y» X ^ = i £ (>C. fa, P« 2 >» 2» S" fin. -^1 -+- i*"1 fin. 1^— -h eye. -H S" - i 2>» fin. [ m — t ] ^Z ) , d' ou 1' on tire 2 >» -y* = i X (J' fin.^I + 5" fin. i_^I + ^»fin.i^ tn zm zm 2»» af. %." + .C- - . fin. [ m - , ] '£L? ) . . u J zm Voila done quelle doit etre l'expreflion generate desj' qui denotent les efpaces parcau/us par chacun des corps dans un terns quelconque t . 27. Pour connoitre plus clairement la nature de l'equa- tion trouvee , on y fubftituera les valeurs des quantites fx *> 44 S* , 5", S111 de l'art. 23. ce qui donnera finalement la formule yt> = 1. X P* fin. BI X cof. ( 2 « • O" fin. *£I X fin. (w/eXfm. — ) 1 v zm 4>w tn y/ e fin. = 4»> » 4»» lin. — 4»» T Q"1-1 fin. [«- il^xk (2rv/eX fin. ["*- 1] fin. [w — 1 ] — 4#* les quantites Pl , P» , />•» » -i^fxi,»fin.i^xfin.^rxfin.(1rv'exfin.^) m 4 w 2 »» 40* - ±^1 x P«» fin. 1^ xfin. 2£^ Xfin. (irv'e xfin. £? m 4 w 20* * 4«z * — &C. J ±— X Pm~* fin. [/n-i] -X fin. [>- i]£-? x « J 4»j Ji» fin. ( 2 zVc Xfin. [ >" — 1 ] — ) 401 -4-2 X 0' fin. fei X cof. ( i t V e X fin. — ) -+-_ X <2"fin. !£ X cof. (i«/« X fin. J* ) 0* 2 0» 40* .2 xQ'" fin. '1^1 X cof. (itV« X fin. II ) m 2m 402 - X O"-1 fin. [02- 1 ] & X cof. (Kv'f X fit 2 02 fin, f/72 — 1 "I - — ) . 4*? CHA- 46 Q,H A P I T R E IV. Analife du cas , oil le nombre des corps mobiles efl jini . a 8. T^T^^ regarderons Ies quantites y , comme des Y™% ordonnees a 1'axe AB (Fig. 7.), qui eft fup- pofe divife en un nombre m de parties egales a r y & les expofans de ces variables' exprimeront le quamieme de la place, qu'elles occupent fur 1' axe , en comptant depuis 1' ext remite A. Ainfl le poligone qu'on pourra faire pafler par les extremites de toutes ces or- donnees fera la figure de la corde rendue, & chargde a chaque angle d' un poid M , & il fera en meme terns le lieu geometrique des excurfions des corps elaftiques A/, diipofes dans la meme ligne droite AB, felon ce qu'on a demontre dans les chapitres precedens . II ell d' abord evident que la formule qui donne la valeur de yt* eft compofee d' une fuite de fbrmules tel- les que A fin. SJH x cof. (itSe X fin. 11) Jw . . 4»i B fin. mi X fin. (xtV e X fin. — ) im 4 m •+■ ■ r s *" tin. — que je denoterai dorenavant par n •& ainfi de fuite. II s'enfuit de-la, que, puifque ces* terns font prefque toujours incommenfurables entr'eux, il arrivera tres-rarement que le poligone compofe s' ^tende g tout 5° tout en Iigne droite ; c'eft pourquo'i fes vibrations paroitront tout-a-fait irregulieres,quoiqu'elles foientcompofeesd'un nora- bre de vibrations fimples, regulieres&ifocronesenelles memes. 31. Cette theorie gdneTale que nous avons immedia- tement deduit de nos formules , appliquee aux mouve- mens des cordes vibrantes eft la meme que Mr. Daniel Bernoulli a invente fur ce fujet , comme on 1' a expofe dans le Chapitre III. ; ft done ce grand Homme a pu croire qu'une folution purement analitique etoit en elle meme incapable de faire connoitre la veritable nature de ces mouvemens , ces recherches pourront ouvrir une route nouvelle pour faire des applications de calcul a des fujets qui n'en paroiflbient pas fufceptibles, & fervir a perfeftio- ner l' Analife . Au refte on ne peut trop eftimer la faga- cite , & la penetration de ce celebre Geometre, qui par un pur examen fintetique de la queftion propofee eft par- venu a reduire a des loix fimples & generates des mouvemens qui femblent s' y refufer par leur nature . 33. Avant que d'abandonner cette matiere, examinons encore les cas , ou les vibrations compofees peuvent de- venir fimples & r^gulieres . II eft vifible que ceci arrivera toutes les fois que yV- ear w Q* fin. Utl X Cm.(rtVe X fin. — ) ! fc ia Am •+• — — — y —»————— —^—-—— —— ————•» m V * r s 9 fin. — 4m * tnfuite il taudra que Pl =2 o j F'1 = o ; /"" = o &c. jufqu'a Pm ~ ' , excepte" Ps ; & de mdme Q* = o ; Qtl sss o j Q1X1 = 0 &c. jufqu'a Qm r * , except^ Qf ; d' oa Ton fin. — 2ffl ■+■ ?» fin. ±55 ■+- Z«" fin. 2m 3 ITJ 2m -H Y* - « fin. ( m - i ) — 2ID s= O fin. 51 xtn -*- T" fin. ±51 + F"' fin. Ml 3 -H r- - * fin. ( m - i ) 55 / 2»» = o Ton tirera les conditions requifes dans le premier etat du fifteme, afin que les vibrations des corps fuivent les loix piopofees. On aura done ces deux equations &c. &c. qui devront fe verifier quelque nombre qu'on pofe au lieu de c depuis i , jufqu'a m — i , excepte s. Que 1' on compare maintenant cette equation avec celle de 1' art. 14., il eft evident qu'en fubftituant a- au lieu de \ & s, au lieu de fi, les quantites Y & V feront determinees de la m£me maniere que les quantites D j c' eft pourquoi 1' on trouvera gdneralement r VST r VS1T fin. — fin. — Y> = -f- — — - X , 6k V' = h =— X fin. — lin. — 2W 2»» oil Z , & D font deux conftantes arbitrages, qu'on pourra determiner par la valeur de deux termes quelconques de la iuite des Y & des V . Suppofant done que les deux pre- mieres quantites Y & V foient donnees , Ton aura L V — — = F, & — — = V; d'ou Ton tire enfin * X fin. — fin. — y, — -f- F S! , T' = -4- T. — le figne fin. — fin. — 2W 2»l fuperieur repond a j impair, & i' inferieur a .$• pair. g % Telle Telles font les valeurs qu'il faudra donner d'abord aux viteftes , & aux eloignemens des corps, afin que le fifteme fouffre des vibrations fimples & regulieres , fuivant les loix de 1' elpece sme qui contient s ventres , & dont le terns d'une ofcillation entiere eft toujours exprime par ■ L'on peut prendre dans ces formules le z V e fin. — 4;/? jiombre s egal a 1 , a i , a 3 , &c. jufqu'a m — 1 , d'oii il s' enfuic qu'on peut donner a tout le fifteme autant d'arrangemens differens, qui neanmoins feront tous propres a produire tant le fincronifme , que l'ifocronifme des corps. Ce probleme a ere deja reTolu par quelques Geometres dans le cas d' un nombre de corps determine , mais la route qu'ils ont pris les a toujours conduit a des equa- tions d' un degre egal au nombre des corps mobiles, dont il falloit par confequent chercher les ra-cines dans chaque cas particulier ; je ne crois pas qu'on ait jamais donne pour cela une formule generale , telle que nous venous de la trouver . CrU- CHAPITRE V. Analife du cas , oil le nombre des corps mobiles ejl infini . 34. "T~ A theorie du melange des vibrations fimples 8c £ J regulieres que nous venons d' etablir decoule de la forme meme des equations trouvees. Or cette forme fubfiftera toujours, tandis que le nombre des corps mobiles fera fini , favoir quand m fera un nombre fini, mais fera-t-il aufli vrai que la fuppoiuion de m infini, ne defigure pas, pour ainfi dire, 1' Equation, & n'en al- tere pas entierement la forme ? c' eft ce que nous allons examiner dans ce chapitre . II eft evident qu'en faifant m = 00 les angles &c. deviendront infiniment petits , & que leurs firms ne differeront pas des Arcs qui leur appartien- nent ; ainli 1 on aura, tin. — = — ; un. — = — ; 4m 4 m 4 w 4 m fin. i — = 1 — &c. done la formule qui doane la va« 4 m 4 »> * leur de yv- fe changera en celle-ci f =-ix/" fin. *5 x cof. H-v-i tit zm zm It 2 T 37 4m 4 m 4 m 2 v_ m X P" fin. -C_ x cof. m zm zm -i X />•» fin. 22* X cof. J2i! » 2 /w 2 m &c. a 1' infini -±- X Q< ^. ft* x fin. £SSC J4 + _i_ X (2n £». ^- X fin. .ISi^t h- _±_ x Qw fini ijr# x finj ?»fV£ -+- &c. a l'infiiri 1' on aura de meme dans ce cas at* = X /" fin. C__ x fin. w* 2 >w z m - ¥&! X />» fin. 'itl X fin. ±ll^ 0»* 2 Ml 2ffl - LS^f X />«' fin. Xfil X fin. 1*4^ W* 2 >» 2 7W - (S"c. a 1' infini 2 >» H X Q" fin. — "— X cof. £ X » fin. 12* X cof. ilSi a % a zT H- ill x /*» fin. ±1-1 X cof. ±I*f a za zT ■+■ « i^^ x p« fin. u& x fin. eaSf H^f X >»■ fin. i£* x fin. JkSf aT la zT — &c. a 1' infini d x Z d X si. r It X - TT I X Q1 fin. X cof. — zT a Z d X Tt X 2 a z it x la 3 -a x TtHt X 0»fin. 12JL X cof. ±2^ X cof. llMl -4- a!e des expofans des Y & des V au nombre m , X denotera la partie de l'axe qui leur eft correfpondante dans le premier erat du fifteme ; done fi Ton emploie le figne integral / pour exprimer la fom- me de toutes ces fuites , on aura v = - fdxY (fin. Zi X fin. Z± x cof. tSl « ia za zT fin. Z Tt X r Z Tt X r lirfit X fin. - - X cof. — —- 7. T 2 .- za ■+■ fin. 12— x fin. ia .-*- &c. a 1' infini) 3 It X (■ \ tt Ht 1 xcof. — — - za w + *7 H- (±LfdxP' (firi. ^ X fin. UL x fin. ^?i -j- _ fin. X fin. X fin. 2 2<* la 2 7" -j- _ fin. i X fin. 2 x fin. - J za za iT •+• &c. a 1' infini ) & de me'me pour u u = _ lEfdxY ( fin. 1? X fin. H X fin. lEt aT J za za zT r ZtX f 1*X w r lT^I -+■ i fin. X fin. x fin. za za zT -+- 3 fin. - X fin. x fin. 2 2 a &c. a F infini ) TtX ,, - Tt X ., r It H 1 - lfdxF{Cm. — X fin. If x fin a J z a za zT r iirX r i ix . r zirHt -4- fin. X fin. x cof. za za zT ■+- iin. i X fin. J X cof. '■ ■- za za zT •+■ &c. a 1' infini ), oil H eft a remarquer que les integrations doivent fe faire en fuppofant X, Y , & V variables, & r, & ~x con- ftantes . 38. Si on reflechit maintenant fur ces formules, on s' appercevra , que la premiere partie de V exprefiion de y , & la feconde partie de l'expreffion de u qui ne different entr' elles , que par rapport aux quantites Y & V feront fommables au moyen de la formule trouvee (art. 25.)- Qu'on fuppofe done, pour fimplifier le calcul, que les h quan- 5* quantites V s' dvanouiflent dans la formule de y , & les quantites y dans celle de a, ce qui r^duit le probleme aux feuls cas confideres jufqu'a prefent dans les cordes vi- brantes ; & on pourra fe contenter de faire le calcul pour la valeur de j, puifque en changeant {implement les Y en V on obtiendra tout de fuite celle de a. Je ramene d'abord 1' expreffion fin. — x cof. a celle-ci 1 za zT hn. -(-•+- — )-♦- fin. _(_--__ ) r a i z a T «_ , ■ , ix en ope- z rant de la meme maniere fur toutes les autres je change la formule en v m~ ±fdxY (fin. I*x fin. I (5 + *£ ) ■'«»•' 2tf 2 <* T -4- fin. x fin ( - -+■ -=- ) za z a J + Mtell fin. XI (f -h fe 2'«) dans le premier etat du fitteme , d'ou Ton voit que cette ordon- nee doit toujours £tre prife avec le meme figne que toute la quantite" x •+• — -— ;+; z sa. Que 1' on denote cette a Hi aHt ordonnee par

sfc [ * H — — i s a ] ) j & que Ton denote de m£me par ent de fagon qu'ils deviennent ab- fdlument meconnoiffables . II eft vraiment facheux qu'une th^orie auffi ingenieufe, & qui auroit pu fans doute jetter des grandes lumieres fur des matieres egalement obfcures qu'importantes , fe trouve dementie dans le cas principal qui e(l celui, auquel fe rapportent toiis les petits mou- vemens reciproques qui ont Ueu dans la nature . 41. Si Ton veut que la corde foit etendue en Iigne droite au commencement de fon mouvement , & que tous (es points recoivent en cet etat des viteffes quelcon- ques , on fuppofera que les ordonnees a la courbe ne reprefentent plus les premiers eloignemens de points de la corde de 1' axe , mais les viteffes des memes points au premier inftant ; & les courbes qu'on trouvera pour les inftants fuivans donneront de la meme maniere leurs viteffes fuivantes (art. 38.). CHAPITRE VI. Reflexions fur les calculs precedens . 42. T A methode que j'ai emploie dans le Chapitre III. J j eft a la verite un peu longue , & fort compli- quee ; cependant elle eft, fi je ne roe trompe, i' unique qui puiffe conduire a une folution direfte , & generate , telle que nous nous fommes propofe . • Quoique l'integration des equations differentielles s'acheve fort aifement par l'ingenieufe methode de Mr. CyAlemberr, cependant il eft clair qu'on eft encore apres cela beau- coup eMoigne du but principal , car il s' agit de plus de tirer d' un nombre indefirti d' Equations autant d' incon- i nues , 66 nues , & de les exprimer toutes par une meme formule generale . La difficulte de cette operation n' a pas fans doute echape au favant Geometre, dont nous venons de faire mention ; car aiant propofe* a refoudre le probleme des mouvemens des cordes vibrantes , en les regardant comme des fils extenfibles charges de plufieurs petits poids, il s'eft contente de dire qu'on auroit toujours pu trouver leurs vibrations a peu pres ( Voies 1' att. 44. de fon Me- moire cite ci-deffus). 11 feroit a fouhaiter que 1' Analife qui a reuffi dans ce cas put egalement s' appliquer a tous les autres qui de- pendent de la refolution d'un nombre indefmi d'equations differentielles toutes femblables entr'elles, & ou les chan- geantes ne montent qu'a la premiere dimension ; puifqu'il eft facile de demontrer que tous les petits mouvemens reciproques qui peuvent avoir lieu dans un fifteme quel- conque de corps femblables , qui agiflent les uns fur les autres tous d'une meme maniere, font neceffairement con- tenus dans de telles equations . Nous ferions par-la en etat de fuivre les actions de la nature de beaucoup plus pres, qu'on n' a ofe le faire jufqu'a prefent. J' ai deja tente une folution generale du probleme des vibrations des cordes elaftiques , & des chaines pefantesj mais etant maintenant fort preffe fur l'impreffion de cette piece, & aiant d'ailleurs quelques autres occupations in- difpenfables , je ne puis pas pouffer affes loin ces recher- ches, c'eft pourquoi je me referve a traiter ce fujet dans une autre occafion . Au refte (1 on fuppofe dans notre cas que les corps fe meuvent dans un milieu , dont la refiftance foit propor- tioned a »» 4- «, ( & « ddnotant des conftantes quel- conques , la double integration des equations differentiel- les reuflira de m£me$ & fi les quantites t & * font afles petites par rapport a la quantite et on pourra encore achever achever le calcul par un procedd femblable a celui que nous avons expofe plus haut. Cette Analife pourroit etre a la verite de quelque utilite dans la recherche de la di- minution du fon, mais ce feroit s' ecarter trop de l'objet principal que de la vouloir expofer ici tout au long . 43. La conftru6Hon que nous avons trouve dans le chapitre precedent pour le cas , 011 le nombre des corps mobiles eft infini , eft fondee entierement fur ce qu'une fuite infinie de produits de deux finus, dont les Arcs croiffent en progreflion arithmetique eft toujours egale a zero , excepte dans le cas , oil les finus devenant egaux la fuite donnee fe change en une fuite des quarres des memes finus. Quoique cette verite decoule immediatement de la formule , que nous avons trouve pour exprimer la fomme d' une telle fuite, cependant comme c' eft -la ur» des points principaux de notre Analife, il ne fera pas hors de propos de demontrer encore la meme propofi- lion d' une autre maniere , qui foit & plus direcle , & plus lumineufe . Soit propofee la fuite infinie fin.

— — — — z ces deux fuites trait^es comme deux progreffions geome- tdques infinies , fe changent par Ies regies connues en ; . h ~ j , & reduifant au dd- nominareur coramun ■ _, —-x? — r\ > ^a" voir cof> * ~ * == L. * , & telle eft la valeur d' une a( i —col.*) 2 fuite quelconque infinie de cofinus, dont les Arcs croiitent en progreffion arirhmetique . Eti appliquant ceci a notre cas, on rrouvera la fomme des deux fuites donnees = — i -+- 2. = o , quelles que foient les valeurs des angles 4 4 $ , & ©. Cependant lorfque 9 =

entiant (m -t-i) Xfin. Q-4-,»)x - m fin, mx ~ . £ ^ 2 fin. * "■ de nouveau a — par la fuppofition de x = » ; qu'on dif- ferentie une fecOnde fois , il en viendra ( .w -4- i y X coC ( m -+- i ) x — m* X cof. »*x ^ «^,j 2 COl. K ( m •+- i )z — m' i , , , x = o , - - = « -H — ; done la valeur ' de la ferie eft dans ce cas = m -+-- - - I = m prea- ftment comme 1' on a vu plu« haut . Au 7° Au refte par la methode de fommer les fuites des cofi- nus, ou foi us , que nous venons d"expJiquer, on trouvera que la fuite fiuie , fin.

X fin. m & 2 ^ col.

la demidifference des ordonnees qui repondent aux memes abfcilTes , & la fomme totale de ces quantites donnera la valeur cherchee de la vitefle «. Quoique 7* Quoique cette conftru&ion foit enticement fondee fur les tangentes , & fur la quadrature des courbes genera- trices trouvees, il ne paroit cependant pas qu'elle puiffe etre fujette aux difficult^ que nous avons expofees (art. 5. ) Car, la conftruftion des courbes generatrices une fois eta- blie , il n'eft plus befoin d' avoir recours aux theories du calcul differentiel & integral , pour en deduire celles des autres courbes cHerchees ; puifque on peut independem- ment de ces calciils par la fimple conflagration des tan- gentes , & des quadratures , demontrer que ces courbes refolvent le probleme fans avoir en aucune facon egard a la loi de continuite dans leurs Equations . Si. Ton prend pour la courbe AN B la courbe initials ie la corde tendue , & que 1' autre courbe a n b repre- fente les viteffes qu'on donne a tous fes points en la re*- lachant tout a-coup , on aura de cette facon la folution generale du probleme des cordes vibrantes telle que Mr. D'Alembert Pa eu en vue dans Part, xxm. & fuiv. fon Memoire. II eft vrai-qae ce grand Homme ne ceffe d'in- culquer que les expreflions des viteffes, 6k des excurfions initiaies des points de la corde ne peuvent pas etre don- nees a volonte" ( art. xxxiv. ) ce qu'il repete encore expreffement dans Part. 11. de fon Addition. Mais nous avons fait Voir plus haut les raifons qui obligoient cet Auteur a penfer ainfi , & ces raifons ceffent d' avoir lieiT des qu'on confidere tous les points de la corde comme ifoles dans leurs mouvemens , comme nous P avons fait' dans les calculs precidens. . 1 ■ CHA- CHAPITRE VII. Thcorle des cordes de Mujique , & des Flutes . 46. ' B Es cordes , dont on fe fert ordinairement pour _j les inftrumens de Mufique , font de boiau ou, d'acier, ou de cuivre; a l'egard des premieres, elles n'ont prefque point d' autre elafticite que celle qui eft produite par la tenfion, mais il n'en eft pas de meme des autres , dont la roideur fe manifefte meme , lorfque elles font tout-a-fait laches. Cependant il eft aife de voir que la force de cette roideur pour mouvoir la corde , doit etre bien petite par rapport a celle qui nait de la tenfion, d'oii il s' enfuit que nous pouvons, fans crainte d'erreur, fuppofer toutes les cordes parfaitement flexibles, en tenant compte feulement de 1' effet de la tenfion don- n6e . La maniere commune de les mettre en vibration, en les touchant par quelqu'un de leurs points , foit avec un archet , ou quelqu'autre inftrumenr, confifte a les faire fortir de leur etat de repos , & a donner a tous leurs points des impulfions quelconques . Done fi 1' on a une corde uniformement epaiffe , dont la mafle & la longueur foient donnees, & la tenfion foit exprim^e par un poid equivalant , on pourra toujours par la theorie expofee dans les chapitres precedens trouver le mouvement de cette corde pour un terns quelconque de quelque facon que fes vibrations aient ete d'abord produites. Mais la con- noiffance des mouvemens patticuliers des cordes eft de peu de confequence dans la pratique , & ce n' eft qu'a la durde de leurs vibrations qu'il eft important d' avoir ^gard , puifque e'eft de-la que depend, felon le fentiment generalement recu par tous les Phyficiens , le ton grave, ou aigu qu'elles doivent rendre. k Or 74 . 0. ' Or ft 1' on examine la conftruction des courbes ge- neratrices expofee (art. 45. ) » on s' appercevra ailment que leur nature eft telle , que ft on augmente, ou qu'on diminue les abfciffes d'un multiple quelconque de 2 a les ordonnees correfpondames demeurent tout-a-fait les memesj TT done ft Ton fait que la quantite —-- qui doit etre ajou- tee, & retranchee de chaque abfeiffe x devienne un mul- tiple quelconque de ia, on aura la valeur du terns tt apres lequel la corde reprendra fa premiere fituation , avec les memes viteffes dans tous fes points . Ce terns 2 s T fera done — quelque nombre entier pofitif qu'on H pofe au lieu de s . C eft pourquoi le tems des ofcilla- tions fera toujours le meme pour la meme corde , & il ne dependra en aucune facon du premier ebranlement, qui peut varier a 1' infini . Pour connoitre plus exafte- xT ment ce tems qui eft = — - , on n'a qu'a remettre au lieu 2 Eh de H fa valeur premiere V ( — — -) (art. 25.), & on aura T V ( _ a , ) pour le tems d' une bfcillation entiere , Eh compofee d' une alle^ , & d' une revenue , oil a eft la longueur de la corde , S fon poid , E le poid qui eft ^gal a la force de tenfion ; or comme h exprime la hauteur d'oii un corps pefant peut tomber librement durant le tems T (art. 6.), ft Ton fait ce tems d' une feconde, on aura le tems cherche" exprime de m£me en fecondes de cette facon V ( — — ) . Suppofons que le rapport da poid de la corde, a celui qui la tend foit comme a: by b fera une quantite qui ne dependra que de 1'epaifteur, & de la gravite fpecifique -de la corde ; on aura done 5 75 — = — , & par confequent la formule du tems des vi- E b brations entieres deviendra = — , & une ofcillaiion fimple devra etre cenfee d' une duree = tout de 4 >/ t-bb raeme comme fi la corde eut toujours fait fes mouvemens felon les lois de Mr. Tailor . Cette formule a et^ regar- dee jufqu'a prefent pour vraie par tous les Auteurs qui ont ecrit d' Acouftique , parce qu'elle s'accorde entiere- ment avec les proportions connues des divers tons des cordes , qu'on a toujours fait dependre de la duree de leurs ofcillations. Celt auffi par cette raifon que plufieurs d' entr'eux ont cru qu'une corde tendue ne pouvoit re- fonner a moins que fes vibrations ne fuflent toutes regu- lieres & ifocrones comme celles des pendules ; ce qui paroit fans doute inconcevable vu qu'une meme corde rend toujours le meme fon , lorfqu'elle eft pinc^e , ou ebranlee de quelque facon que ce foit. La demonftration que nous venons de donner peut done fervir a etablir ces verires generalement admifes, favoir, que le ton d'une corde eft toujours proportionel au nombre de fes vibra- tions dans un tems donne , & que ce ton fe conferve toujours le meme , tandis que la corde refte dans les memes circonftances. 47. Quoique la connoiflance abfolue de la duree de chaque vibration dans une corde donnee ne foit guere d' ufage dans la pratique ordinaire , elle eft cependant ne- ceffaire pour la determination d' un fon fixe, tel que Mr. Sauveur 1' a eu en vue dans 1' Hift. de l'Academie des Sciences de Paris pour 1' annee 1700. La methode que ce favant Auteur a irnaginee pour cela eft a. la verite* fort ing^nieufe, mais elle eft prefque impraticable , a caufe de 1' extreme delicatefle d'oreille qu'il faut pour appre"cier k 2 les 76 les mo mens des battemens de plufieurs fons , & de la grande difficulte qu'on rencontre a meTurer au jufte 1' in- tervalle du terns qui fe parte entre deux de ces batte- mens conlecutifs . Si la determination de ce fon fixe eft de tant de confeqnence, comme elle l'a paru a Mr. Sau- veur , je crois qu'on pourra la tirer avec plus d' exacti- tude , & de facilite de la formule trouvee, qui ne requiert d' autres donnees que la longueur de la corde , fa gravite fpecifique , & la raifon de Ton poid a celui , par lequel elle eft tendue . Par exemple fi 1' on veut felon Mr. Sau- veur , que le fon fixe rende ioo vibrations dans une fe- conde, on fera = ioo, d' ou b, & h etant don- v7 2.0 h nes , on tirera a = ioo V ihb. 48. Nous venons de voir que le nombre des vibrations d' une corde donnee eft generalement toujours le meme ; il eft cependant quelque cas particulier , ou ce nombre peut etre diminue , & reduit a la moitie, au tiers Sec. Pour s' en convaincre on n' a qu'a reflechir , que la cor- de vibrante ne revient a fon premier etat , que parceque la conftruftion des courbes generatrices eft telle , qu'en levant, ou ajoutant aux abfeiffes les terns donnes les or- donnees demeurent les memes . Done fi on fuppofe que la figure initiale de la corde participe deja a cette pro- priete, favoir qu'elle contienne deux, ou trois , ou plu- fieurs ventres egaux, & difpofes alternativement au deffus, Sc au deflous de 1' axe , & qu'il en foit de meme pour la courbe des viteffes, on verra aifement que les courbes generatrices deduites de celles-ci rendront la corde a fon premier etat dans la moitie, le tiers &c. du terns donne. Ainfi la duree d' une ofcillation fe reduira dans ce cas a — , ou n exprime le nombre des ventres primitifs. II n' en fera pas de mime fi les ventres ne fe trouvent pas 77 pas egaux , & difpofes de la fa$on qu'on a dit, car il fera toujours facile de demontrer, que les courbes reful- tantes ne pourront jamais avoir les proprietes neceffai- res , afin que les vibrations puiffent s' achever dans uit tems different de celui qui convient a la nature de la corde donnee. Mr. Euler avoit deja fait cette importante remarque pour le feul cas oil la corde part du repos dans les M<£ moires cites de 1' Academie de Berlin . 49. Lorfque une corde eft en vibration, il n'y a g6- neralement parlant que les deux bouts qui reftent toujours immobiles ; cependant fi 1' on fait attention aux cas par- ticuliers qu'on vient d' examiner , on voit clairement que tous les points , ou la figure initiale de la corde coupe 1' axe doivent neceffairemenr demeurer en repos , puifque il y a de part & d' autre des branches femblables fituees altetnativement au deffus, & au deffous de l'axe. Voions done s'il ne pourroit pas y avoir d'autres points qui fuf- fent revetus des mernes proprietes. Qu'on fe reprefente pour cela une branche entiere AMNB de la courbe generatnee pour la corde A B ; & qu'on fuppofe qu'un de fes points quelconque Afdoive refter im- mobile. (Fig. 14. ) II eft d' abord evident qu'elle devra couper 1' axe dans ce meme point , il faudra enfuite que la partie MN de la courbe (bit egale & femblable a la partie AM, ahn que la demifomme des ordonnees egale- ment diftantes de part & d'autre foit toujours nulle, d'oii il s'enfuit qu'a moins que le point M ne foit a la moitie de l'axe AB le point N tombera hors du point B, & ainfi la courbe cherchee AMNB coupera toujours 1' axe en deux points M & N \ Elle fera par confequent com- pofee de trois parties AM, AN, & NB, dont les deux premieres font egales par fuppofltion , & la troifieme eft encore arbitraire. Or je dis que la courbe AMNB doit avoir toutes ces parties egales, femblables, & fituees al-' terna- 7*. ternativement au deffus & au deffous de l'axe AB '. Pour s'en convaincre , qu'on reflechiffe, que, puifque les bran- ches qui fe trouvent fituees de part & d' autre des deux points A Sc Mdoivent etre femblables & egales dans route la courbe generatrice engendree par la defcription reiteree de celle-ci, il taut que cette courbe ait toutes Ces parties de meme nature que celle qui eft comprife entre les points A & M , d'ou il fuit que la partie de l'axe NB ne peut etre qu'egale a la partie AM ou double, ou triple &c, ou encore la moitie , ou le tiers &rc. de forte que l'axe en- tier AB puiffe fe divifer en un nombre de parties ega- les, & aliquotes aux deux parties donnees A M & MB. Et toute la courbe AMNB devra dans ce cas couper l'axe a chaque point de ces divifions , & elle devra contenir de plus autant de ventres egaux correfpondans . On conclura done que nul point d'une cotde de Mu- fique vibrante ne pourra demeurer en repos, a moins qu'il ne la divife en deux parties commenfurables entr' ellcs j que dans ce cas la figure initiale de la corde , & la courbe des premieres vitefles devront ndceflairement avoir autant de branches egales & femblables , qu'il y aura d' unites dans les deux parties AM, MB, & qui feront de plus fituees alternativement au deffus & au deffous de chacune des parties aliquotes, dans lefquelles tout l'axe AB fera divife. Si done en mettant une corde en vibra- tion, on fait enforte qu'un point quelconque refte immo- bile, fans empecher que la vibration ne fe communique, & ne s'etende de part & d'autre a toute la corde, cette corde fe divifera naturellement en autant des parties ega- les qu' il en faut pour rendre commenfurables les deux parties coupees par le point immobile. D'ou il s* enfuit que , lorfque ces deux parties font en elles memes in- commenfurables , il fera impoffible que le point de leur divifion puiffe jamais refter en repos, & la corde dans ce 79 ce ca« {'era obligee de changer de figure d' un inftant a 1' autre, ce qui detruira neceflairement 1' ifocronifme , 8; la regularity de (es vibrations . Mais dans le cas , oil lo point immobile divife toute la corde en parties commen- furables, il fe formera pour lors un nombre de points de repos naturels, & la corde continuera de faire des ofcil- lations regulieres & ifocrones, dont la duree ne fera que la moitie, le tiers, le quart cVc. de la duree des ofcil- lations entieres , felon que les deux parties auront pour commune mefure la moitie, le tiers , le quart &c. de toute la corde, comme on l'a demontre (art. 48.). Par un femblable raifonnement , on trouvera que ll les points fuppofes immobiles coupent la corde en un nom- bre de parties quelconques elle fe divifera en autant de parties egales qu'il en faudra , pour que chacune d'elles mefure exa&ement chacune des premieres parties coupecs; par confequent fi ces parties font entr'elles incom- menfurables, les mouvemens de la corde deviendront irre- guliers, pendant que dans tout autre cas les vibrations s'acheveront dans un terns proportionel reciproquement a celui des ventres naturels de la corde . 50. On s' eft appercu depuis lcng-tems qu'une corde pouvoit rendre dans certaines circonftances des fons aigus qui differoient plus , ou moins du fon naturel , & on a meme reconnu que ces fons n'etoient prefque jamais que 1' o&ave au deffus , 1' oftave de la quinte , & la double o&ave de la tierce . Mr. Sauveur qui a fort bien traite cette matiere dans fon ulleme general d'Acouftique , imprime parmi les Me- . moires de l'Academie Royale de Paris pour l'annee 1701. 5' eft applique ie premier , que je fache , a decouvrir la veritable origine de ces divers fons rendus par une meme corde qu'il appelle fons harmoniques ; il prend (Fig. 15.) pour cela une corde d'une longueur quelconque qui etant pincee 8o pincee a vuide forme des vibrations fimples & uniques qui rendent le fon naturel de la corde qu' il nomme ion fondamental ; il divife enfuite cette corde en un nombre de parties egales, & mettant un chevalet mobile, ou un autre obftacle quelconque leger , au premier point mar- que des divisions, de forte que le mouvement qu'on donne a la corde puifle fe communiquer de part & d'autre, & que T obftacle pofe ne fade d'autre effet que d'obliger le point, ou il eft applique, a refter toujours en repos , cet Auteur obferve que fi 1' on ebranle la corde dans cet etat , elle fe divife naturellement par une efpece d'on- dulation en autant de ventres egaux , dont les extremi- tes qui reftent immobiles repondent precifement aux points marques des divifions ; car aiant mis fur la corde divers morceaux de papier, il trouve , que ceux qui font fuf les neuds ne font point du tout deplaces , les autres au contraire tombent auffi-tot que la corde commence de fe mouvoir . Mr. Sauveur compare de plus les fons harmo- niques produits par une telle corde avec les fons naturels d' autres cordes femblables, & il reconnoit que la lon- gueur de celles-ci doit toujours egaler celle de la partie de la corde donnee qui eft intercepted entre le chevalet & le bout plus proche . II en eft de meme ft le chevalet eft place a la feconde, troifieme &c. divifion , & en ge- neral la corde forme toujours autant de neuds immobiles a egale diftance les uns des autres qu'il en faut pour que le chevalet reponde a un d'eux, & le fon rendu eft tou- jours femblable au fon que produiroit une des parties de la corde comprife entre deux des points de repos naturels. Que ft le chevalet divife la corde en deux parties incom- menfurables , la corde ne fait pour lors que fremir , fans rcMonner, & Ton n' entend qu'une efpece de bruit confus & defagreable a l'oreille. 5 1 , L'on ?r L'on fait qu'en prenant Ie fon d'une corde pour funda- mental fa moitie rend I1 oclave au defTus , fon tiers rend I'oclave de la quinte , fon quart rend la double oftave du fon fundamental , & la cinquieme rend la double oftave de la tierce; les autres divifions ne forment plus que des diffonances avec le fon principal , a moins qu'elles ne donnent des o£taves de ceux-ci . D'oit il s'enfuit que Ton ne peut tirer d' une meme corde d' autres fons harmoni- ques que la quinte , ou la tierce , en omettant les o&a- ves qui peuvent etre regardees comme des repetitions de leurs fons principaux . Ainfi la trompette marine qui eft compofee d' une feule corde 7 a laquelle on applique le doigt en la faifant refonner avec un archet , ne produit ja- mais d'autres fons que ceux qu'on vient de nommer , & Je doigt tient lieu de 1'obftacle leger qui divife les vibra- tions de toute la corde . L' on a encore heureufement applique cette theorie a toutes les efpeces de violons , oil par le moien d' une le- gere preflion de doigt on produit des fons harmoniques tres agreables a 1' oreille , & qui s'approchent beaucoup du fon des flutes; on pourroit meme, je crois, avec beau- coup d' exercice parvenir a executer fur le violon une piece quelconque de Mufique par des fons toujours har- moniques , car pour en tirer tous les fons neceffaires , il ne s'agiroit que d'ajufter fur les cordes deux doigts, dont Tun fut appuie fortement fur le manche , comme on le fait ordinairement , en appliquant en meme terns Y autre au tiers, ou a la cinquieme de la corde pour lui don- ner le fon harmonique convenable . C' eft aux habiles Muficiens a juger fi 1' execution de ce projet n' eft pas fujette a d'autres difficultes capables de rebuter les meil- leurs Artiftes. y». Nous avons fait voir dans Part. 9. que les mou- vemens des parties de 1' air qui compofent une fibre ela« / ftique 9% ftique continue , ne different nullement de ceux des cor- des vibrantes, fi ce n' eft en ce que les vibrations de celles-ci font perpendiculaires a 1' axe , au lieu que les autres font longitudinales . Done fi Ton confidere une fi- bre quelconque d' air , ou bien un amas de plufieurs fi- bres renfermees dans un tuiau qui les borne, & les diftin- gue de la mafle continue de 1' air exterieur , ces fibres pourront recevoir dans toutes leurs parties des mouvemens femblables a ceux des points d' une corde de Mufique e que nous avons fait (art. 38.) fur des formules femblables, que ce deux fuites infinies font toujours egales a zero , excepte dans , < X Ht , , . , 0 X Ht Ie cas , 011 1- -__ dans la premiere , & — .— — . a T r ' a T dans la feconde deviennent = rfc ( — + »i)>; deno- a tant un nombre quelconque entier pofitif , ou negatif ; cPou il s' enfuit que la vitefle u dans chaque particule ne fera , pour ainfi dire , qu'inftantanee , & qu'elle n' obtien- X Ht dra jamais aucune valeur reelle , que lorfque — Hfc; — = •+-. ( : — H2j) quels que foient les fignes qu'on y veuille prendre. Cette ss Cette equation contient comme on le voit un certain rapport entre les efpaces x , & les tems t , les autres quantites Xy a, H , !T, i" demeurant conftantes. Elle contiendra done la lot geneVale , fuivant laquelle fe fait la propagation du fon . 5 j. Pour developper cette importante matiere autant qu'il eft poflible , imaginons que la particule D qui re- 50k fon petit mouvement inftanrane au bout du tems r foit eloignee par DC = ^ de la premiere particule C qui a recu Fimpulfion exterieure; Ton aura done A D = x = { -H -3f , laquelle valeur fubftituee dans 1' equation ci-deflus donnera — ■+• — = ;fc •( -H 2 j ) , & « T a Hat multipliant par a, & tranfportant les rermes zh = j -4- i sa , ou bien encore ^ = — (i -AT-+- {+1 ja)j. & ces deux equations fatisferont toujours ^galement er» prenant les fignes ambigus comme on voudra . Or puif- que le tems t doit toujours etre pofitif 1' ambiguite des fignes tombera n^ceflairement fur la quantite { qui pourra par confequent avoir des valeurs pofitives r & negatives , d'oii il'fuit que le fon partant du point C fe propagera ^ga- lement de part & d' autre vers A & vers B. De plus il eft vifible par ces formules que la communication du mouvement d' une particule a 1' autre fera toujours uni- forme , & qu'elle fe fera avec une vitefle qui ne depan- dra en rien de la premiere vitefle c imprimee exterieu- rement , puifque l'expreflion de cette vitefle ne fe ren- contre nulle part dans la formule rrouvee . Voici done les lois que les fons doivent toujours fuivre dans leur pro- pagation . Une particule quelconque d'air ebranlde par le mou- vement d' ofcillation d' un corps fonore mettra en mou- vement *9 vement les particules circonvoifines, & celles-ci les autres qui les fuivent dans les fibres reclilignes , qui partem toutes du meme point comme d' un centre commun; ces mouvemens dans chaque particule feront inftantanes , & fe communiqueront toujours avec une meme vitefle conftante, quelle que (bit 1' impulfion que la premiere particule ait recu , d' ou depand la force , oil la foi- blelle du fon . Ce n'eft done pas par une efpece d'ondu- lation que le fon le propage , comme Font cru jufqu'ici tous les Phyficiens d' apres Mr. Newton; en effet Ton a fait voir dans 1' Introduction que cette hypothefe eft in- fuffifante pour en expliquer les principaux phenomenes , & qu'elle eft, outre cela, fujette a beaucoup d'autres diffi- cult^s qui la rendent tout-a-fait infoutenable . On voit de-la que le nombre des coups d'air qui viennent frapper nos organes, doit neceflairement repondre au nom- bre des vibrations des particules des corps fonores. Done puifque dans les cordes deMufique laduree de Ieurs vibrations ne depand que de leur nature, & nullement des ebranlemens exterieurs, on a la raifon pour laquelle chaque corde rend ge- neValement toujours le meme ton quelle que foit la maniere avec laquelle on la mette d'abord en vibration, ce ton ne demandant que de la groffeur , de la longueur , & de la tenfion de la corde, comme on le favoit deja d'apres la feule experience . On appliquera encore le m^me raifon- nement au flutes , dont les mouvemens ont ete prouves femblables a ceux des cordes vibrantes. Et fl on veut ju- ger par analogie , on pourra 1' etendre a tous les autres corps fonores qui ont lieu dans la nature , & dont les ofcillations ne paroiflent pas fufceptiblcs d' une jufte efti- mation analitique . 56. Mais pour retourner a notre formule : Ton a pofi F h ( art. 35.) H = V ( ) , par confequent on aura Ha m = 9o = V ( ) ; & faifant les memes fuppofitions de Tart. 5 1, on trouvera Ha = V inkh; par ce moien on aura , tVxnkh t V 2 n k h , v ± j: = f+i"i± f =-(1 A-t-f . ,, , „ . . i-a>> • • . dtvxnkh -*- 2 / a ) , d ou 1 on tire par la differentiation rh - = ± d%t favoir rfc — = — — — , qui eft Pexpreflion de la vitefle abfolue du fon , foit qu'il fe propage de C vers B , ou de C vers A. On peut evaluer cette expreflion comme dans Tart, cite ; rnais afin de la pouvoir plus commodement comparer avec les formules deja connues, il fera utile de la reduire Sux mefures ordinaires des ofcillations des pendules. Soit I la longueur du pendule fimple ifocrone , qui fait une ofcillation dans le tems T; Ton fait qu'un corps pefant parcourt un efpace — dans un tems qui eft a T comrae le diametre du cercle eft a la circonference ; on aura T done ce tems = — , & comme les efpaces parcourus en tombant font comme les quarres des tems, Ton aura de plus h : T* = — : - — , d' ou Ton tire h = — - , qui donnera ± ~— = — V nkl; e'eft pourquoi l'efpace parcouru par le fon dans le tems T d' une ofcillation du pendule / fera = — V nkl . II eft a remarquer en pre- . mier lieu que la longueur a de la fibre aerienne ne fe trouve plus dans cette formule de la vitefle du fon, d'ou il fuit qu'elle doit toujours etre la m^me , foit que le fon fe propage dans des lieux ouverts , oil I' Atmofphere peut etre 9' etre confiddrde corame continuee a Pinfini de route part, foit qu' il fe trouve renferme dans des detroits quelcon- ques, ou les fibres aeriennes ne peuvent etre que d' une longueur donnee . {-'experience eft encore d'accord fur ce point de l'aveu de tous les Phyficiensj mais il y a plus: la formule que nous venons de trouver eft la meme qui avoir deja ete donnee par Mrs. Newron, & Bernoulli, & dont les t6~ fultats fe rrouvent affes conformes a la ve>ite" , quoique ces deux Auteurs 1' aient tire de Principes infuffifans , & meme faurifs , comme on 1' a fait voir au commence- menr de cette Pidce. Pour fe convaincre de Pidentite de ces formules nous n'avons qu'a nous rapeller la Prop. 49. de P art. 4. , oil il eft dit que le fon doit parcourir ua efpace- egal a la circonference du cercle , dont le rayon eft Ay ou bien nk dans le terns qu'un pendule de meme longueur fait une ofciilation entiere compofee d' un allee & d' une revenue; done puifque Mr. Newton fuppofe le mouvement du fon uniforme , & que les terns des ofcil- lations des pendules font comme les racines quarrees de it nk leurs longueurs, Pon aura Pefpace parcouru par le fon dans le terns d' une ofciilation fimple du pendule nk a Pefpace qu'il parcouroit dans le terns d' une femblable ofciilation du pendule / comme V nk : VI, d' ou Pon tire cet efpace = — V nkl tout de meme comme on P a trouve' par n6tre calcul . 57. Les refultats de cette formule etant afles connus , je ne crois pas devoir m'aneter a les examiner . On fait effeftivement qu'elle ne donne que 979 pids pour cha- que feconde , au lieu que les experiences moiennes don- nent un efpace de 1141. Cette difference quoique affes grande en elle meme ne monte ndanmoins qu'environ a mi un une dixieme de 1' efpace total. D' ailleurs Mr. Newton expofe dans le fcolie a la Prop. 49. du fecond Livre des Principes quelles peuvent en etre les raifons ; au refte il ne doit pas etre etonnant que la theorie differe tant foit peu de V experience a Pegard des quantites abfolues ; car on fait que les experiences toujours affes compliquees ne peuvent jamais fournir des donnees fimples, & debaraflees de conditions etrangeres , telles que 1' Analife pure les demanderoit . Mr. Euler a donne a la verite dans les endroits cites dans P Introduction une formule plus approchante du vrai qui eft d'une efpace = ^Vnkl; ce qui revient a inj,. pies par feconde dans les plus grandes chaleurs , & a 1069 dans les plus grands froids. Mais com me cet Au- teur n' a pas laifle voir P Analife qui P a conduit a ce refultat nous ne pouvons porter aucun jugement la deflus. Je remarquerai feulement que Mr. Euler fuppofe , fans le demontrer , que chaque globule d'air fubiffe des dila- tions & des contractions fucceffives qui fe communiquent , fuivant les lois de la communication du mouvement, aux particules contenues dans la meme fibre avec une vitefle conftante, & la meme pour tous les fons foit forts, foit foibles [ voies la TheTe cite, art. 5 1. , ou il a donne pour la premiere fois la formule qu'il a enfuite repete dans la Differtation du Feu ] ce qui peut fervir , pour le dire en patTant , a faire voir de combien notre theorie doit £tre preferable , malgre fon inexactitude fur ce point . CHA- 9) CHAPITRE II. De la reflexion du fori , ou des Echos . 58. "1^7 O us avons trouve" dans le chapitre precedent 1 ^| que les lois de la propagation du fon font contenues dans les deux formules generates. tV mkh Hfc = {+ua tV 1 n h h , ir v tt - = - ({•+■ xX-h 1 sa) J. . Or il y a ici trois cas a diftinguer. im* Quand Pair eft tout-a-fait libre ce qui donne a==oo,&.AT=oo; xio Quand 1' air n' eft libre que d' un cote, par exemple quand il y a au point A de la fibre aerienne un obftacle invincible qui lui fert d'appui ; dans ce cas Ton aura de me- me a = 00 , mais YX qui eft egal a AC fera fini, puif- que il denote la diftance du corps fonore a l'obftacle qui eft en A; 30 Quand les fibres de l'air font terminees des deux cotes par des obftacles inebranlables aux extremites A & B . L' on aura dans ce cas a fini , & egal a la di- ftance des deux obftacles , & X fera de meme fini , ck exprimera la diftance du corps fonore au premier obftacle A . Examinons avec foin ces cas Tun apres 1' autre. Soit en premier lieu a = o» , & X = 00 , X fera un infini moindre que a, parce qu'on doit toujours regarder la fi- bre comme infinie de part & d' autre du point C ; ainfi I' on aura X = f. , & les deux Equations ci-deflus de- viendront t V 1 n k h II -t \ULZ11 = - (; + ["-<- 1 ]«)• 9* II eft vifible que , a etant infini , le tems t n'obtiendra des valeurs finics que dans la premiere de ces equations , & dans le cas de s = o ; car Ton a ici -+■ t = L.. ou l' alternative des fignes eft n^ceffaire afin que le tems t puiffe toujours £tre pofitif foit que { foit pofitif, ou n£- gatif. Done il n'y aura dans ce cas qu'un inftant donne, dans lequel chaque particule foit e"branlee ; d' ou il s' en- fuit que dans l'air tout-a-fait libre le fon fera unique , & qu'on ceffera de 1' entendre des que le corps fonore aura fini fes vibrations . 5 9. Suppofons en fecond lieu a infini & X fini , on tirera des valeurs finies de t des deux formules generates en pofant s = o ; la premiere nous donnera -±^ t = ^-rr'i & la feconde -+- t = il \~ — I Chaque V (ink by — \/(ztiAb) ^ particule fera done e^branlee deux fois de fuite $ le pre- mier ebranlement arrivera comme dans le cas prece* dent , le fecond lui fuccedera apres un intervalle de tems fini , qui dependra des deux diftances X & f . Done quand il fe trouve un obftacle quelconque qui peut terminer les fibres aeriennes d'un cote, il fe formeraune T^p^tition du meme fon, laquelle fera diftinguee du fon primitif fi 1' intervalle du tems entre l'un & 1'autre ne fe trouvera pas moindre d' une quinzieme de feconde* qui eft le moindre efpace requis pour que Poreille puiffe aj> percevoir diftinftement deux fons fucceffifs . Pour mefurer au jufte cet intervalle, on diftinguera deux cas^ lorfque £ eft pofirif, & lorfqu'il eft negatif. Dans le premier on aura 1 = _il.__, & t = T(i+*X} dont Ja diffe- xTX rence eft — . — — ; dans le fecond on aura de meme x 9J = __1 — : & l'autre valeur fera / = — _ — ' """. \ K done la difference fe trouvera = — — Li . V ( m/tb) Cette difference fera done dans le premier cas egale au terns que le meme fon met a parcourir un efpace = iX; & dans le fecond egale au terns qu'il lui faudroit pour parcourir 1* efpace = iX — if. Or comme le fon qui part du point C (Fig. i j. ) fe propage de part & d'autre, 1' on concevra clairement la formation du fon repete , fi on imagine que celui qui eft propage vers A, foit pour ainfi dire reflechit par le point A; & qu'il' retourne en arriere avec la meme viteffe ; ainfi lorfque £ eft pofitif, & que l'oreille eft en D de 1'autre part de l'obftacle , elle recevra premierement l'impreffion du fon qui a parcouru l'efpace CD enfuite elle fera de nouveau frappee par un fembla- ble fon qui aura parcouru 1' efpace C A -+■ AD, favoir i C A -+- C D ce qui donne precifement , pour la diffe- rence des terns, un terns proportionel a l'efpace iCA = i X. Au contraire fi £ eft negatif, & que l'oreille foit placed en D' entre le corps fonore , & l'obftacle, ce fera le meme fon qui part de C vers A qui fe fera entendre deux fois , le premier terns repondra a 1' efpace CD' = i; & le fecond a l'efpace CA-h AD = i X- f, dont 1' intervalle repond au jufte a 1' efpace a X — x j . Le phdnomene de la repetition du meme fon eft un des plus connus dans la nature ; on 1' appelle ordinaire- ment Echo, & on voit en effet qu'il eft produit par des obftacles quelconques qui interceptent le fon, & l'obligent pour ainfi dire a rebrouffer chemin , tels font par exem- ple les montagnes, les bois epais, les rochers, les caver- nes , & meme les nuees qui fe trouvent a cote des corps fonores . 6o. Mais 96 60. Mais achevons P^xamen des tios formules, & paf- fons au troifieme cas, ou a & X font deux quantites fi-. nies. II eft d' abord Evident que les deux equations nous donneront ici une infinite de valeurs pour le terns t qui repondront a autant d' inftans , ou une meme particule d' air fera remuee . Pour les developper fuppofons fuccef- fivement s = o , 1 , — 1 , 1 , — i , 3 , — 3 &c. on ti- rera de la premiere Equation ■+■ t SB * ht=7({-^ta) — >/ (znhk) -t- r = IlL±-llJ & ainfi de fuite La feconde nous donnera — T (7 + il + id) ■+■ t = ■ v * — — - _4_ f __ - T(? +il+ 4«) On conclut de-la que quand les fibres fonores de Pair font terminees des deux cotes par des obftacles immobiles, qui en appuient & foutiennent les extremites , il doit pour lors y avoir une infinite" de repetitions du mSme fon , favoir 97 favoir un Echo compofe" qui dureroit toujours fi la con- fhtution de ces fibres ne pouvoit jamais etre altercfe. Pour connoitre la progreflion de"s tems , au bout defquels doit fe faire une des repetitions, nous remarquerons que cha- cun des tems / dans les equations precedentes , eft egal au tems que le fon emploie a patcourir les efpaces cor- refpondans [,{+ ia, {- 2 a, &c. {+ i ^^ + x J+ia, j + 2 X — x a &c. Done fi 1' on confidere toujours ces efpaces pofiiifs , on pourra les reprefenter par les parties de la ligne AB de la manure fuivante . i J* Serie . CD CB •+- B A -+- AD C A -+- AB ■+- B D CB ■+- B A ■+■ AB -+- B D CA+AB-hBA-h AD & ainfi de fuite. i .* Serie » C A -+- AD CA-t-AB + BA-*- AD CB -*- BD CB -+- B A -4- AB -+- BD & ainfi de fuite. Si Ton conjoint ces deux feries, on en tirera ces deuxci CD CB -+- BD .CB + BA+AD CB •+- BA -+- AB -+- BD &c, CA -+- AD CA -+- AB -+- BD CA + AB + BA+ AD &c, n La 9s La nature & 1' arrangement des termes qui compo- fent ces progreffions , fait afles connoitre comment le merne fon qui part du corps fonore qui eft en C, doir revenir plufieurs fois frapper l'oreille au meme endroit D. Car on voit aifement que la premiere de ces dernieres fuites exprime le chemin du fon propage" de C vers B , & reflechi d' abord par Pobftacle B, enfuite par Ay & de nouveau par B , & aihfi a 1' infini . Au contraire la feconde exprime de meme les lois des allees, & revenues du fon , qui partant du meme endroit C fe meut d-'abord vers A, d' ou il eft enfuite porte vers B, & dela de nouveau vers A, & ainfi alternativement . Et ces deux fons achevent pour ainfi dire leurs mouvemens dans le meme efpace AB, 8c dans le meme terns fans fe trou- bler , ou s'entrempecher en aucune facon dans leurs ren- contres . Done toutes les fois que chacun d' eux palfera par le meme point Z>, on entendra dans cet endroit une repetition, ou bien un echo du fon primitif. C eft ainfi que fe forment les echos compofes qui t&~ petent plufieurs fois le meme fon en differens terns , qui ne font pas toujours egaux entr' eux , felon que le corps fonore , & le point d' oiz 1' on veut entendre 1' echo fe trouvent differemment places fur la ligne qui joint les deux obftacles . 6 1. Les Phyficiens rapportent quelques exemples de ces echos compofes, entre lefquels il en eft qui repdtent le meme fon plus de cinquante fois de fuite , ■ & on ob- ferve toujours qu'ils font produits par des murs ou des rochers , ou des autres obftacles quelconques fitue's pre£ que vis-a-vis . La plupart d' entr' eux ont cru pouvoir ex- pliquer ces phenomenes par la th^orie de la reflexion ; car difenr-ils, les particules de Pair qui eft en vibration rencontrant des obftacles invincibles font refl^chies a peu- pr£s comme P on concoit que le font les rayons de la lumiere 99 par les furfaces unies des miroirs ; & cette" explication paroit d' autant plus plaufible , qu'on trouve en effet- par experience que l'intervalle du terns ecou'e entre deux fons confecutifs , eft precifemenr tel qu' il le faut pour que le fon principal puiiTe etre reflechit par les obftacles donnes, & revenir a l'oreille. Cependant a examiner la chofe a fond, on fera oblige de convenir- que le Principe de la reflexion , comme on la concoit ordinairement #dans le choc des corps , ou dans la lumiere, eft ici un Principe tout-a-fait illufoire. Car 1' experience nous montre que I' echo ne depend en rien du poli de la furface reflechiffante, puifque il arrive que des furfaces en apparence polies ne produifent point d echo, au lieu qu'on 1' entend fouvent dans des lieux remplis de mille inegalites. En effet comment concevoir que des ro- chers , des forets, des nuees foient propres a produire dans P air une reflexion femblable a celle des rayons de la lumiere fur les miroirs . Rien done n'eft moins fondle que cette Catoptrique des fons que P on a invente pour rendre raifon des proprietes de Pecho. Mr. D'Alembert eft , peut-etre , le premier qui aie fenti P infuffifance de cette theorie, dans PEnciclopedie au mot Echo; mais ni lui , ni aucun autre que je fache n'a jamais entrepris de don- ner des explications plus fondees de ce phenomene . La theorie que nous venons de deduire de nos formu- les eft, ce me femble , tout-a-fait a P abris de ces diffi- cultes; car il ne faut autre chofe pour produire Pecho, fi non que les extremites des fibres a^riennes fonores trouvent un appui fixe, de quelque nature qu'il foit; s'il n' y a qu'un obftacle d' un cot^ le fon ne fera renvoie qu'une fois ; c' eft P echo fimple . S' il y en a deux qui terminent la fibre de part & d' autre les fons feront ren- voies reciproquement , ce qui formera -des echos compo- fes qui dureront autant que la conftitution des fibres fo- re 2 nores too nores pourra fubfifter ; fi done ces fortes d' echos durent plus-, ou moins, ce font toujours quelques circonftances exterieures qui en font caufe. Mais dira-t-on, pourquoi n'entend-on pas d'echo toutes les fois que Pair eft ren- ferme entre quelques obftacles . Les Phyficiens ont deja repondu a certe difHculte en'faifant voir qu'il faut une certaine diftance entre le point , d' ou Fon veut entendre l'echb , & Pobftacle qui doit le renvoier , de meme qu'en- tre le corps fonore, & cet obftade, afin qu'on puiffe le diftinguer du fon primitif. Sans cela le fon reflechi fe con- fond entierement avec le direct, & ne fait qu'en augmenter la force, comme on Pobferve tous les jours. II faut de plus que 1' efpace que 1' echo doit parcourir ne foit era* barafle par aucun corps qui en empeche la propagation . Lorfque ces conditions auront lieu je ne doute pas qu' il n'y ait toujours des echos ; la conftru£Hon des echos ar- tificiels eft appuiee fur ces feuls Principes . C H A P I T R E III. Du melange , & du rapport des Jons 61. TE n' ai traite jufqu'ici de la propagation du fon * que dans le cas qu'il n'y ait qu'un feul corps fo- v nore qui communique {es vibrations aux parties contigues de Pair; il nous refte a voir C\ les lois trouvees ont de meme lieu quand plufieurs fons font excites en meme terns dans divers endroits , & en quelle maniere ces fons peuvent fe repandre dans le meme efpace fans fe troubler , ou fe confondre en aucune facon , comme nous le montre P experience journaliere. Sup- iOt Concevons done dans la m£me fibre aerienne fono- re A B ( Fig. 16. ) divers points phyfiques C, 6", Cm qui foient frappes en meme terns par des corps fonoifS, qui different les uns des autres comme-on voudra ; foient repreTentees par c* , c", cltl &c. Ies impulsions, eu les vi- tefles communiquees a ces points, & que X\ A", Xlil &c. ddfignent leurs diftances A C , A C , A C" &c. de la pre- miere extrdmite donnee A, on trouvera pour la viteffe u d'un point quelconque D de la meme fibre qui eft eloi- gnee de A par 1' intervalle AD = x , l'expreflion gene- rale fuivante. 2 c* . r X' ir ' r xtr r t Hr u ss= ( fin x fin. — x cof. Vi 2 a 2 a zT , r i X1 -k w r i.xir '] r 2 t Hv -4- fin. x fin. - — X col. _ za x a iT -j- fin. 2 x fin. I — X cof. ± 2a 2a ' zT •+■ &c. a r infini ) 1C" , r X" it r XV r tHlf -+- ( fin x fin. — X cof. — — m 2 a 2 a 2i r 2X"tt r 2 x t , r xtHr -h fin. x fin. X cof. — _, 2a 2 a 21 -j- fin. 1 x fin. ± X cof. 1— — - 2 a 2 a 7.1 ■+- &c. a 1' infini ) , . 2 c1" . r X'"v r xw , tHr H- ( fin. x fin. — X cof. — — m za 2a 2T -+- fin. X fin. X cof. 2 a 2 a 2a r *X"'t r xxt r xtHr -+- fin. i X fin. I— X cof. - 2 ■' 2 a 2a -+- &c. a 1' infini) -*- &c. Or On ramenera ces expreflions a la forme de celles de Tart. 54., & il viendra, comme il ell aite de le voir, une fuite de formules routes femblables entr'elles, & fem- biables a celle qu'on a trouve pour le cas d'une feule impul- fion donnee c . Or afin de connoitre ce qui arrivera , lorfque une meme particule d' air fera ebranlee par plufieurs fons divers, il taut chercher la valeur d'a au moment de l'ebran- lement, & en fuivant le mdme precede qu'on a enfeign£, art. cite , on trouvera que chacune des expreflions qui compofent la valeur generale de «, fe reduira a :+- cl , •±z c", -+- c,,s &c. , felon que le terns t repondra aux for- mules — ± — = ±-+10) — ±: -=- =aa a T a a I , X v J\. xl t - X \ *? ± ( - ■+■ * J ) i — rh -=- = -±- ( - -+- * J ) &c. , oil il eft a remarquer que 1' alternative des fignes des quantites cl , c", c1" &C doit repondre exa&ement a celle . , x aes quantites — -+■ is. a On voit de-la que lorfqu'il n'y a qu'une de ces equa- tions qui foit verifiee , u retient la meme valeur c qu'il a eu au commencement ; mais quand plufieurs ont lieu dans meme terns , la valeur d' u devient compofee des premieres valeurs cl , c", c1" &c. Done puifque chacune des equations repond , pour ainfi dire, a chacun des fons particuliers propages enfemble, cette propagation fe fera toujours de la meme maniere par rapport a chacun d'eux, comme s' il eut ete feul , & il fe communiquera d'une particule a 1' autre la meme impulfion qui a ete produite par le corps fonore ; par confequenr lorfque deux , ou plufieurs fons fe rencontreront , la particule d' air qui fe trouve dans leur point de rencontre recevra une impulfion compofee des impiilfions particulieres qui constituent la nature de chacun d'eux ; & pafle ce moment, ils conti- nueront nueront leur chemin comme auparavant, tout de mcrae comme on a vu qu'il arrive dans les echos compofes. 63. Nous avons done rrouve dans nos formules le de- veloppement d'un des principaux points de la theorie du fon, qui regarde la maniere , avec laquelle 1'air eft capa- ble de tranimettre a l'oreille fans melange les impreffions de plufieurs fons differens. Cette verite" qui eft une des plus connues par experience a cependant embarafle fi fort les Phyficiens jufqu'a prefent, que les plus habiles ont ete obliges de recourir a des fiftemes pour en rendre raifon. Les principaux fe reduifent a deux; celui du melange des vibrations ifocrones propofe par Mr. Daniel Bernoulli; & celui de la differente elafticite des particules de l'air invente par Mr. De-Mairan . Pour ce qui eft du premier nous en avons vu T infuffifance dans le Chap. V. A l'egard de l'autre il fuffira de remarquer que la differente nature des particules de l'air ne peut influer que fur la viteffe du fon, comme il refulte de la formule donnee (art. 56. ); mais que pour ce qui eft de leur ebranlement, il ne depand que de la nature du. corps fonore , dont les parties frappent dans 1eurs ofcillations indiftinciement toutes celles de l'air con- tigu . On peut voir dans l'Article Fondamental de l'Ency- clopedie les autres raifons qui rendent ces deux fiftemes infoutenables , c' eft poutquoi je ne m' y arreterai pas davantage . 64. Nous venons de voir que la particule d'air qui fe trouve dans la rencontre de deux fons , recoit un ebran- lement different de celui qui eft produit par chaque fon «n particulier ; done fi les fons font de telle nature que leurs vibrations concourrent toujours apres un certain terns donne, rimpreffion fuivie & reguliere de ces ^branlemens compofes pourra etre diftinguee des autres impreffioris par- ticulieres , tv une oreille affes exercee entendra un tioi- fieme fon , dont le rapport avec les autres fe trouvera en com- 104 comprtrant le nombre des vibrations particulieres , que chacun d'eux acheve entre deux concurrences fucceffives. On devra done entendre ce troifieme fon precilement au point de milieu de la ligne qui joint les deux corps fo- nores , parceque les fons aiant toujours une m&me viieffe, e'eft la qu'il doivent neceffairement fe rencontrer ; cepen- dant li Ton confidere la maffe continue de l'air , on voit que chaque particule d' une fibre fonore doit etre confi- deree comme le centre d'une infinite d'autres fibres, aux- quelles elle peut aufli communiquer du mouvement, ce qui fait que le fon le propage en tous fens j d' oil il fuit que 1'ebranlement compofe , pourra etre de meme porte a l'oreille dans une infinite d'autre endroits ; quoique avec moins deforce & moins diftinclement a caufe de la diminu- tion & de Alteration caufee par les refinances des parti- cules etherogenes, dont toute la maffe de l'air eft parte mee. Comme il faut une extreme finefle d' oreille pour ap- percevoir ces fons. compofes, auffi n'y a-t-il que quelques 11ns des plus habiles Artiftes qui les aient reconnus . Mr. Tartini eft le premier, que je fache, qui fe fojt attache a les examiner avec foin, comme on peut le voir dans fon Traitd de Mufique imprime a Padoue T ann^e 1754. Ce celebre Auteur nous apprend qu'en tirant d'un meme in- ftrument capable de tenue, comme les violons , les trom- pettes &c. deux fons a la fois , ou bien en les tirant de deux inftrumens eloignes I' un de 1' autre de quelques pas , Ton en entend un troifieme qui eft d'autant plus (en- fible , qu'on fe rapproche de plus du point de milieu de 1' intervalle donne . Apres beaucoup d' experiences fur ce fujet Mr. Tartini conclut que fi Ton confidere la fuite des fractions _,J — » — > -) 7: &c. » &. qu'on aiufte autant de fons qui S 4 S 6 n j -1 aient aient Je meme rapport entr' eux, que les termes de cette iuite, deux fons voiiins quelconques produiront toujours, pour troifieme fotj , le premier fon qui repond au ter- me — . Or en examinant la concurrence des vibrations 2 de tous ces fons , on trouve , qu* elle ne pent avoir lieu q^i* apres un nombre de vibrations egal aux denomina- teur de la fraction qui exprime lifts fons correfpondans -r ainfi les deux fons exprimes par — , & par — ne de- viennent concurrens, qu' apres cinq vibrations du premier & fix du fecond , & ainfi des autres ; d' ou il s' enfuir qu' en comparant le nombre des concurrences au nombre des vibrations de chaque fon particulier, le troifieme fon produit par deux de la ferie precedente devroit roujours etre exprime par i , ce qui donne proprement l'o&ave de celui qui eft refultc a Mr. Tartini . Mais 1* on fait que la difference entre un fon , 8c fon oftave eft fouvent in- fenfible a I'oreille , par la facilite natutelle que nous avons de les confondre enfemble ; done fil' on fubftitue au troi- fieme fon de Mr. Tartini fon octave au deffous , les re- fultats de ces experiences deviendront en tout conformes a ceux que nous donne notre theorie. L' on doit etre d* autant plus porre a admettre cette eehange d' un fon dans (on oftave , que Mr. Serre dans fon Ouvrage fur les Principes de 1' Harmonie de 175}. en faifant mention des experiences de Mr. Tartini , nous rapporte , que les troifi^mes fons produits par des tierces majeures , & mi- neures , fe trouvent precifement a 1' oclave bafle de ceux de Mr. Tartini . Nous avons parle plus haut de P experience des bat- tements de Mr. Sauveur , & nous avons vCi qu' ils repon- dent exaclement aux concurrences des vibrations ; il y £ 0 done io<5 done tout lieu de croire qu' ils font de m£me formes par la rencontre de deux fons , & qu' ainfi Ieur explica- tion depend entierement de la th^orie que nous venons de donner ; II eft done vraifemblable que le troifieme fon de Mr. Tartini n' eft produit , que par une fuite de battemens , & dans ce cas il eft tres aife de reconnoitre', que le troifieme fon doit avoir avec les deux fons prirhi- tifs le rapport que nous avons ci-deflus etabli . Ce feroit ici le lieu d' examiner la nature , & la four- ce des confonances, & des diffonances ; mais il faut avouer que , malgre les efforts de plufieurs habiles Muficiens , on n' eft pas encore parvenu a etablir la-deffus des tonde- mens conftans, & generaux; Mr. Sauveur eft dans 1' idee qu' un accord plait d' autant plus a 1' oreille que fes bat- temens font plus frequens . & qu' ils reftent pour cela moins fenfibles ; d' ou il fuit , que les accords confonans doivent etre precifement ceux dont les vibrations font les plus concurrentes , & qu' au contraire les accords devien- nent diffonans , lorfque la concurrence des vibrations eft telle , qu' elle peut aifement etre appercue de 1' oreille . Mr. Tartini tire auffi de fes experiences du troifieme fon plu- lieurs confequences pour la nature de l'Harmonie. II pre- tend que le troifieme fon eft toujours la vraie baffe dont les fons particuliers font les deffus ; & c' eft fur cela qu* il a principalement fonde fon fifteme de Mufique. Quoi- que il en foit il eft au moins certain par ce que ve- nons de demontrer , que de quelque facon qu' oti prenne la chofe , la concurrence des vibrations en eft toujours le fondement r quoique prefente fous des points de vue differens ; nous verrons encore ci-apres , que le Prin- cipe de 1' Harmonie qu' on pretend trouver clans la nature meme des corps fpnores revient encore a celui-ci . Lorf- ,07 65. Lorfque les parties des corps fonores font ebranlecs, 1' air recoit autant d' impreflions fucceflives , que ces par- ties font de vibrations, & ces impreflions fe repandent par tout fans fe multiplier , ou fc troubler en paflanr d'une particule d' air dans 1' autre . Done fi le corps fonore eft de telle nature, que les vibrations de Ces parties commen- cent toutes , & s' achevent toujours dans le me'me terns, 1' oreille fera frappee a la fois par plufieurs petits coups, qui fe fuccederont par des intervalles de terns e"gaux , & cette uniformite d' impreffions produira ce fentiment agrea- ble qu' on appelle Son ; au contraire fi les vibrations des parties du corps fonore different les unes desautres, c' eft a dire qu' elles ne foient pas toutes d' dgale duree, notre or- gane recevra a chaque inftant des ebanlemens differens, & on n' entendra dans ce cas qu'un bruit confus . Cette verite qui a ete de long-tems reconnue eft une fuite ne- cefTaire de ce que 1' on a demontre fur les mouvemens des cordes vibrantes , & fur ceux des fibres elaftiques d' air ; car on prouve tous les jours que les cordes , qui produifent les meilleurs fons font toujours celles qui out une plus grande uniformite dans toute leur extenfion , ce qui les rend plus capables des mouvemens reguliers , & ifocrones, que nous avons determine dans le Chap. VII. Ainfi 1' explication du fon , & du bruit que quelques Au- teurs ont voulu donner en difant que tout bruit eft uny & qu' au contraire tout fon eft compofe , tombe ict d' elle meme, puifqu' elle eft tout a fait oppofe'e a ce que nous venons de demontrer . Suppofons a prefent, que pendant qu'une corde refonne il y ait pres d' elle plufieurs autres cordes tendues, il eft clair que 1' air ebranle par la premiere frappera toutes les au- tres , & que les impulfions recues par c'elles-ci repondront parfaitement a chaqu'une des vibrations de celle qu' on o 2 /ait ioS fait reformer j done a force de coups relteres, elle devront de mdme entrer en vibration ; or puifque la duree des vibrations des cordes eft abfolumeni determinee par la conftitution de la corde meme, il s' enfuit que fi toutes les cordes font de meme nature, les vibrations naifTantes de celles qui font ebranlees par 1' air pur, feront toujours favorifees par des impulfions continues qui procedent de la corde principale; c' eft pourquoi au bout d'un certain terns elles feront auffi forcees de refonner. Au contraire fi les cor- des font telles, que leurs vibrations ne puiflent jamais etre concurrentes , elles feront tantot favorifees , & tantot trou-i blees par les impulfions qui precedent de la corde prin- cipale , & ainfi il fera impoflible , qu' elle recoivent ja- mais un mouvement fenfible , & capable de produire Ie le fon qui leur eft propre . Suppofons a prefent que les cordes tendues ne foient pas a 1' uniflon de celle qu' on fait refonner , mais qu' elles y repondent comme nombre a nombre , il faudra ici diftinguer deux cas ; lorfque le fon de la corde principale eft mefure exa&ement par ceux des autres cordes , & lorfque ces fons font feulement com- menfurabks entr' eux . 11 eft vifible qu^ dans le premier de ces cas, les vibrations des corde? qu' on laifle en re- pos , feront toujours favorifees par celles de la corde prin- cipale qu' on ebranle , & par confequent ces cordes devront de meme refonner comme fi elles etoient a 1' uniflon j dans 1' autre cas les cordes ne pourront refonner dans leur totality ; car elles feront toujours en partie trou- blees , & en partie favorifees par les vibrations.de la principale; & comme les impulfions contraires , & favo- rables font toujours uniformes , elles les forceront de pren- dre des figures telles , que leurs vibrations puiflent toujours e'tre favorifees . II faudra done qu' elles fe divifenr en plufieurs ventres egaux, de forte que le fon de chacun de io9 de ces ventres foit ou a 1' uniffon de celui de la corde principale , oil bien , qu' il le mefure toujours exacle- ment comme dans le premier cas . Or puifque il n' y a rien qui retienne fixes les noeuds formes par les ventres naturels de ces cordes , il arrivera facilement que les vi- brations particulieres fe derangent les unes les autres , ce qui en detruira 1' uniformite , & empechera par confe- quent les cordes de refonner ; elle ne feront done que fre- mir au fon de la principale ,& fe diviferont , en fremiflant, par une efpece d' ondulation, comme on le voit dans les fons harmoniques. Ce Phenomene a ete obferve par Mrs. "Wallis , & Mer- fenne les premiers , & puis par Mr. Sauveur dans la dif- fertation citee (art. jo. ). Tout le monde le reconnoit au- jourd' hui ; & on convient generalement, que 1' air ebranle par les ofcillations d' une corde eft celui qui met les au- tres en mouvement , mais il reftoit encore a donner la rai- fon pourquoi , de plufieurs cordes irapp^es egalement par les memes coups d' air il n' y a que les harmoniques qui puiftent refonner, oil fremir {implement. C eft a quoi il roe paroit d' avoir entierement fatisfait par tout ce qui a ete demontre jufqu' a prefent. Je fouhaiterois pouvoir expliquer de meme la multipli- cite des fons harmoniques , qui fe font fentir en frappant une feule corde, tels que la douxieme, Sc la dixfeptieme, au deflus du fon principal . Mais j' avoue qu'apres bien de reflexions, je ne fuis pas encore parvenu a trouverfur ce fujet rien de fatisfaifant . Ayant examine avec toute I'atrention dont je fuis capable, les ofcillations des cordes tendues , je les ai toujours trouve fimples , fck uniques dans toute leur etendue , d' oil il me paroit impofllble de concevoir comment divers tons peuvent etre engendres k la fois. 11 feroit pour cela inutile de recourrir aux theo- ries I 10 ries dont on a fait mention (art. 63.) puifque nous en avons fait auffi tot fentir le defaut . Je fuis done enclin a croire que ces fons puiffent £tre produits par d' autres corps qui reTonnent au bruit du fon principal , com me onr vient de le voir dans les cordes; & ce qui peut don- ner quelque poids a cette conjecture, c' eft que ce melan- ge de fonsharmonieux n' eft guere fenfible, que dans les Clavecins , ou dans les autres inftrumens monies de plu- fieurs cordes . Quoique il en foit je defirerois que des perfonnes dont 1' oreille fut extremement fine , & qui ne 1' euflent pas beaucoup exerce a entendre de la Mufique, vouluflfent bien fe prendre la peine de repeter ces experiences fur une feu- le corde fixee par deux chevalets fur une fimple table, dans des lieux ouverts de toute part ; dans ce cas 1' on pourroit etre fur , que ni la prevention de 1' oreille acou- tumee a entendre toujours les fons principaux accompa- gnes de leurs harmoniques, ni la refonnance des corps cir- convoifins ne pourroit y avoir aucune part ; &c le reluhat de T experience deviendroit hors de toute atteinte . Mr. Rameau , un de plus celebres Artiftes denos jours, Sc a qui 1' art Mufical eft ft redevable a donni en 1750. une demonftration du Principe de l'Harmonie fondee fur les experiences rapportees de la refonnance des corps fo- nores . Cet Auteur croit avoir ainfi decouvert dans la nature m^me les vrais fondemens de 1' Harmonic, qu' on avoit avant lui inutilement cherche par d' autres voies j mais apres tout ce que nous venons de ddmontrer on voit evidemment que ce Principe m£me tire fon origine de celui de la concurrence des vibrations , Principe des longtems r^connu pour la fource des confonnances , & des diflbnances ; & fur lequel Mr. Euler a etabli fa nou- velle theorie de Mufique dans le Traite cite (art. ji.) Ce 1 1 1 Ce celebre Geometre a donne en effet a ce principe tou> te l' Vendue , dont il paroit capable, & il a tache par la de ramener a des formules afles ftmples , les principa- les regies de la Composition. L'on ne doi: done plus re* garder le principe de Mr. Rameau que comrae une nou- velle preuve de celui-ci tiree immediatement de 1' expe- rience ; mais cet Auteur aura toujours le merite d' avoir feu en deduire avec une extreme fimplicite la plupart des loix de 1' Harmonie que plufieurs experiences detachees , & aveugles avoient fait connoitre . Au refte quelque principe qu' on adopte pour develop- per la nature des confonances , & des diflbnances il re- ftera roujours a expliquer pourquoi il n'y a d'autres rap- ports prirrritifs confonans que ceux qui font comenus dans les nombres i , 3 , j ; car il eft certain qu' une corde qui fera la feptieme partie , ou bien feptule d' une autre devra refonner dans le premier cas , & fr^mir feulement dans le fecond tout de meme comme ft .elle rendoit une dou- xieme, ou une difeptieme , d'ou il s' enfuit ,• que fuivant meme le Principe de Mr. Rameau on devroit regarder le rapport de 4 : 7. , ou bien de 7 : 8 potrf confonans , ce qui eft neanmoins dementi par l'experience. Mais ce qui eft plus dtonnant c* eft , que le rapport de" 8 : 9 qui conflitue une fecoade- majeure , eft- beaucoup moins diflb- nant que celui de 7 : 8 , quoique les concurrences foient plus frequentes dans celui-ci, que dans 1' autre. II y a la meme queftion a faire fur pluiieurs accords , qui ne font pas recus dans l'Harmonie, quoique il« contiennent moins de diflbnances que d'autres, qu' on emploie avec fucces . Je croi§ , que dans quelque fifteme de Mufique , que Ton veuille imaginer Ton ne pourra eluder ces difficultes qu'- en recourant au gout, & au fentiment comun fur lefquels 1' habitude, &: lesprejuges ont peut etre beaucoup plusde pou- 1 II pouvoir , qu1 on ne le penfe ordlnairement . Mais ce n'efl: pas ki le lieu d' enrrer dans des telles difcuffions . Le fa- vant Mr. D' Alembert en a traite fort au long dans 1'Ar- ticle fondamental de l'Encyclopedie , auquel nous nous can- terons de renvojer , REFLE- REFLEXIONS SUR LES QUANTITES IMAGINAIRES PAR M. LE CHEV. DA VIET DE FONCENEX. i. f\N rencontre ft fouvent des quantites imaginaires \^_J dans les expreflions algebriques qu'il feroit a fou- haiter qu'on fe fut attache a en examiner avec plus de foin la nature & 1'origine . Ces recherches auroient etc d'un grand fecours dans toutes les parties de Mathe- matiques qu'on traiie par lecalcul, & on auroit evite par la beaucoup de paradoxes & de contradictions dans une Science qui en devroit etre entierement exempte. La nature du calcul introduit en effet prefque toujours dans la folution d' une queftion , des cas qui lui font etrangers , & le probleme alors quoique poftible conduit a des equations, dont plufieurs racines peuvent etre ima- ginaires : fouvent meme une formule qui paroiffoit devoir fatisfaire entierement a la queftion, nous la prelente dans certaines circonftances d'une facon abfurde & impofiible : nous en verrons des exemples frappans dans la fuite . Du refte le premier cas n' a d'autre inconvenient que la difficulte de debarafter 1' equation de ces valeurs imagi- naires; mais dans le fecond on pourroit facilement etre induit en erreur par ces formules, & regarder comme impoftible une queftion, dont route la contradiction con- ftfte dans la maniere , dont on l'exprime algebriquement. Souvent au contraire , parcequ'on ne peut faire entrer dans i'expreffion analytique d'un probleme toutes les con- ditions qui lui appartiennent, l'algebre nous en rournit une folution reelle pour des cas oil ces conditions le rerdent impoftible. J' en pourrois apporter beaucoup d' exemples; p mais ii4 mais cette raatiere d'ailleurs e^rangere a mon fujet , ayant ete fuffiiamment traitee par d'autresr & particulierement par Mr. D'Alembert dans PEncyclopedie a l'article Equa- tion, oil Ton trou vera des reflexions neuves & int^reflantes, je paffe a examiner avec plus de foin 1' origine des raci- nes imaginaires qu'on trouve dans les Equations elevees. i. II eft d'abord evident que ft toutes ces racines font imaginaires , le probleme implique contradi&ion : mais s' il s' en trouve des reelles & des imaginaires , la que- stion fera-t-elle en m&me terns poffible & contradi&oire? ^clairciffons ceci par un exemple. Qu'on fe propofe de trouver deux moyennes proportionelles x & y entre les quantit^s a & b donnees ; les deux equations x* = ay , & x b = y1 donneront en fubftituant dans la feconde la valeur de x prife dans la premiere y = r+-V(£x:fcv/aj'), ou P on voit que P ambiguite des fignes de ^h ^ ay en- traine dans la formule deux valeurs imaginaires pour y exprimees par y=H^v/'(^x — V ay ) • Ces valeurs de y repondroient au cas oil x feroit negatif, circonftance qui rendroit en effet le probleme impoflible . Or comme en chaflant les radicaux P ambiguite des ftgnes evanouit, il eft neceflaire que P equation reduite contienne les deux cas de x pofitive 6V negative , & don- ne par confequent des racines reelles & imaginaires pour y fatisfaire egalement. Voila de quelle maniere la meme equation appartient en meme terns a un probleme poflible & a un impoflible . En fuivant le meme proc^de on pourroit prefque tou- jours reconnoitre ( principalement dans les probl&rnes geo- metriques ) quelles font les queftions qu' on refoud mal- gre foi avec celle qu'on a en vue, & on fe perfuaderoit ailement que puifqu'on n' introduit plufieurs valeurs pour 1'inconnue dans P equation finale que par la multiplica- tion & P Elevation aux puiflances , on pourroit de meme com- 11J combiner de telle facon les operations inverfes qu'on trouva a part chaque valeur de x, qui devroit par confequent toujours avoir une expreflion finie reelle , ou imaginaire. j. Pour mettre hors de doute cette v^rite qui a tou- jours ete fuppofee par tous les Alg^briftes , Mr. de Bougain- ville dans fon Introduftion au calcul integral, s'eft fervi de la confideration d' une courbe ; mais la demonftration qu'il en tire ne me paroit ni naturelle , ni aftes rigoureufe: puifque la valeur imaginaire qu' il trouve par cette me- thode n' etant qu'approchee , on pourroit foupconner que la quantity que Ton neglige, quelque petite qu'elle foit , ne fiat precifement celle qui empecheroit qu'on ne put exprimer 1' inconnue 'par une expreflion finie: & Ton eft d' autant plus porte a former ce doute , que comme il l'a lui meme fait voir d' apres Mr. D'Alembert, il arrive fouvent qu'un terme qu'on croyoit pouvoir negliger dans une ferie , eft cependant celui qui la fait changer de nature. Quoiqu'il en foit, cette propofition , qui comme on l'a vu , paroit etre une fuite du proc/ — 1 (etant arbitraire de prendre les radicaux quarrel avec le figne •+- ou — ) 1' equation propofee fera divisible par X — A-*z.B V — 1 , & aura par confequent encor pour fafteur le produit r^el x% — z A x ■+• A* -+■ Bl . pi 4. L' im- Ilff 4. L' importance de ce theoreme exigeroit cependant qu'on en eut une demonftration rigoureufe , tir^e de la nature meme des equations : d'autant plus qu'on mettroit en meme tems hors d'atteinte la proportion de Part. 3. Tel eft le plan qu'a fuivi Mr. Euler dans une excellente piece qu' il a donne fur cette matiere dans les Mdmoires de l'Academie Royale de Prufle de l'annee 1749. Voici la route qu'il a tenu. Qu'on rdduife toutes les equations au d^gre a" ce qui eft facile par la multiplication : cela fait il eft evident qu'il fuffiroit de demontrer g^neralement qu'une Equation du degre 2" eft toujours divisible reellement en deux autres du degre zn— '; car par la meme raifon cha- cune de celles-ci fe diviferoit en deux autres du degre i" "" * , & en fuivant ce raifonnement on auroit cette equa- tion divifee en 2" ~ * fafteurs du feoond degre . Pour de- montrer done cette proportion , apres avoir fait evanouir le fecond terme de 1' equation , qui devient par la i" D 2" — 2 i" — 3 ou les coeflciens x -+- B x -t- C x -+■ &c. B, C, D &c. font eh nombre 2" — 1, qu'on fuppofe que les deux fa&eurs • cherches , foient l""' 2"-'— 1 2"-1 — 2 «in-,-J e X -+-UX ■+•** -4- fix '-+-&C. & 2"-' 2"-'-I 2"-,-2 i«-'-3 L, x —ux -+- [xx -+- vx H-6'c. oil le nombre des coeflciens indetermines eft encore 2*— 1, La comparaifon du produit de ces deux equations avec la propofee fournit autant d'egalites, de facon que toutes les lettres a. , |3, f/,, v &c. fe pourront determiner par les connues B , C, D &c. melees avec I'indeterminee u, reel- lement fans extraction de racine, ce qui donnera une equa- tion pour u , dont l'expofant fera , comme on le fait par les "7 les combinaifons — 2 2 - 1 [_ . 1.2.3.4.5 2/ (g -*-hV — 1 ). Pour cela dans un cercle , dont le rayon foir egal a ^(g1 -+-A*) qu'on cherche un angle (p, dont le finus = A, & le co- finus = g , ce qu'il eft facile de faire au moyen des ta- bles . Le radical v' ( g -+- A V — 1 ) fe changera ainfi en v' ( cof. tp -+- Jin.

/! 9 -4- /T/7. G V — t , on trouvera pour produit cof

?. 9 X y?/2. 6 = co/. ( tp •+■ 6) , & que co/. G X fin.

paratoire a la principale que nous avons en vue pouvoit fe deduire direftement du theoreme general demontre par Mrs. D' Alembert , & Euler ; mais comme ils 1' ont tire du calcul differentiel , j' ai cru devoir en donner ici une demonftration plus fimple, afin qu'une propofition qui ?p- partient entierement a 1' algebre pure ne tint en aucune facon a des Principes tranfcendans, & ne dependit que de la fimple Geometric Ce lemme pofe: foit une Equation d'un degre quelcon- que r, dont on veuille trouver les facleurs trinomes. Qu'on reTolve le nombre r en fes fa&eurs fimples, & on aura I 10 t = i".p. q. r.f. &c. oil les nombres p, q, r,/, &c. feront des nombres premiers , & par confequent impairs . Done Ie produit p. q. r.f. &c. fera un nombre impair que je nomine P. Qu'on divife a prefent 1' equation propofee par une equa- tion du fecond degre dont le coeficient du fecond terme , foit la lettre indeterminee u, & par les regies connues d'al- gebre on aura une nouvelle equation, ou u fera determi- ned par les coeficiens de la donnee, & puifque u doit pou- voir reprefenter toutes les combinaifons poflibles des raci- nes de la premiere equation prifes deux a deux, on verra fa- cilement par la theorie des combinaifons, que cette equation fera du degre *" F" ( a" P~JJ = i"-1 P.(x.mP~i) fi done m== i , cette equation fera d' un degre impair, & aura par confequent une racine reelle. Que fi m eft plus grand que 1' unite qu' on divife de nouveau cette equation par une autre du fecond degre dont le coefi- cient du fecond terme foit «'', & qu'on fade pour abre- ger im. P — i qui eft un nombre impair = Pl ; par les memes raifons, que ci-devant la lettre u fera donnee par une equation dont 1' expofant fera exprime" par z"-' P.P*.(ki«.-*P.P*.-i) _ zm-*p p, (%n-,pp,_1) 7, Dans le cas de m = i cette equation fera de degre impair & aura com me on fait une racine reelle. Si enfjn m etoit encore plus grand que i on n'auroit qu'a pourfuivre le cal- cul, & il eft evident que la mmt equation devra etre d' ua degre impair. On aura done les equations fuivantes ll-+-u%-hM=o u1 -+■ u u -+- M1 = o u'1 -+- u u -+• M11 = o «"*_». u'" d' -+■ Af»« = o Ill Et la dernidre equation fera telle que fon dernier terme , & le coeficient du fecond feront reels ; puifque ce coefi- cient fera la racine reelle de 1' equation m™ qui eft com- me on I' a vu de degre impair (*), & que le dernier ter- me eft encor , comme on le fait , determinable par ce coe- ficient , & par ceux de 1' equation donnee fans extra&ion de racine : fi done on prend une des racines de cette equation elle aura la forme m -+• n y/ — i , & fera le coeficient du fecond terme de 1' equation qui la precede, dont le dernier terme fe ti- rera de meme par de pures preparations algebriques, de ce coeficient & des donnees de la premiere formule, & les ra- cines de cette nouvelle equation feront done de nouveau de la forme p -\-q V'— i. En pourfuivant la meme operation onar- . rivera finalement a la premiere {*•+- u%-+- M, par laquelle on a divife la propofee , &c par un raifonnement femblable a celui que nous avons fait pour les autres, on verra que uSc M auront la forme r + jv'-i : par confequent fi on refoud cette equation , fes racines auront encore la forme A ■+■ B V — i : d'oii il fuit , que f — A — BV — i fera un divifeur exaft de 1' equation donnee. Or en fubftituant dans celle-ci A-\- B y/ — i au lieu de {, on trouve pour de- terminer B une equation dont tous les termes impairs man- quent , ce qui fait connoitre que cette equation fera ega- lement divifible par j — A-k- B V — i elle le fera done aula" par le produit de ces deux racines, qui eft le trinome reel {'-i^ + ^ + ii'. q Quoi- rac ( * ) Comme cette proportion, qu' une equation de degre impair a toujours une cine reelle , eft de-duite communement dans les livres d' algebre de la fuppofi- tion que les racines imaginaires fe trouvent toujours deux a deux dans les equa- tions : pour ne pas paroitre tomber dans une cerde vicieux , je remarquerai ici qu' on peut aifement la demontrer indcpendemmerit de cette fuppofuion : car » on fubftitue pour 1' inconnue dans une equation impairc , prernierement -t- oo , & puis — oo , il eft evident que toute la tormule devicndra dans le pre iner cas = oo , & dans le fecond = — oo d oil il fuit qu'il y a toiijours une quan- tite finie & leelle, qui lubftituee pour 1' inconnue dans 1' equation , la rendra =33 a: e'eft a dire que cette equation aura au moins une racine reelle . 1 11 Quoique cette proposition tres remarquable dansl'Ana- lyfe, ait ete maniee par les plus grands Geometres de notre terns , elle n' a pas , que je fache , £te demontide jufqu'a pre- fent d' une maniere rigoureufe , & fatisfaifante . Au refte la demonstration que je viens d' en donner a cet avantage, qu' elle n' eft fondee que fur la pure theorie des equations. II faut avouer cependant que dans les equations elevees ce proc^de devenant impraticable , on ne peut par cette methode trouver aftuellement ces ratteurs: il feroit a fou- haiter que les differens procedes qu'a tente, pour cela le R.P. Le Seur (dans un memoire fur le calcul integral imprime a Rome l'annee 1748. ou Ton obferve, d' ailleurs une excel- lente conduite de calcul ) fuffent moins compliques , 6k doiies d'un plus grand degre de generalitej car quoique la lon- gueur du calcul I' ait d^ja fait echouer des le huitieme de- gre dans 1' application qu' il a voulu en faire , fans qu'il ait meme put faire voir dans ce cas particulier la verite* de la proportion que je viens de demontrer g^neralement, il paroit cependant qu' en fimplifiant cette mdthode on pourroit s' en fervir avec fucces . C eft la une matieVe que je me referve d' examiner une autre fois , avec la theorie & la refolution generate des Equations qui lui eft intim£- ment liee. Mais retournons anx quantites imaginaires con* fiderees comme des derniers refultats . 6. Si 1' on reflechit fur la nature des racines imaginai- res , qui comme on fait impliquent contradiction entre les donnees , on concevra evidemment qu'elles ne doivent point avoir de conftru&ion Geometrique poflible, puifqu' il n'eft point de manure de les confid^rer , qui leve la contradi- ction qui fe trouve entres les donnees immuables par elles memes. Cependant pour conferver une certaine analogie avec les quantites negatives , un Auteur dont nous avons un cours d'alg^bre d'ailleurs fort eftimable a ptitendu les de- voir voir prendre fur une ligne perpendiculaire a celle ou Ton les avoit fuppofe, fi par exemple (pi. i .Fig. i ) on devoir couper la ligne A B = z a de facon que le reftangle des parties xX(i«-x), fut egal a la quantite u' on trouveroit * = )" , ou bien x* = i -*- a , ce qui donne » s= x" — i , le nombre « devant necef- fairement etre infini dans ce cas: fil'on met dans l'equation ■ y = n a, lavaleur trouvee dew, on aura y = nxn —n \_ = /. x : or puifque /z= oo , x" aura une infinite' de valeurs qui tourniront une infinite de logaritmes pour le nombre x. Pour les trouver plus commodement j'obferve que, puifque .v=i)(j;, fi je nommeAT le logaritme tabulaire de x ]' aurai /. x = /. i -+- X. Je cherche done tous les logaritmes de l'unite en fubftituant i pour x dans la for- 7 . 'y mule qui devient n (i — i) =y, ou bien (i -f-— )" — « = o « Or fi t exprime 1' Arc de 180 degre\d' un cercle, dont le rayon = i , & X un nombre quelconque entier , on fait par le theoreme de Mr. Cottes que cette equation re- folue en (es fafteurs , donnera g^neralement i —I— — = r i Xt . r 1 XT / eoj. -±: fin. v-i; mats parceque n = oo , l'Arc fera infiniment petit; ce qui change la for- raule en i -+-•£ = i -±- - — - V — i , & donne finalement * n Tous Il6 Tous les logaritraes de -+- i feront done o , % r V — i , 4Tt/-i) 6 it V — i &c. On trouvera de meme tous les logaritmes de — i , en prenant de la m£me maniere tous les fa&eurs de ( i -+--2- )• -+■ i = o qui donnent ge- n^ralement » -f- •<-■=■ cof. » -±l fa rV—n les logaritmes de — i feront done parceque n = c* + »^-ii ±'3*v'-ii do. 5 * V — i <£c. Pour trouver enfin tous les logaritmes d'une quantite ima- ginaire quelconque a •+• b \/ — i , notre illuftre Auteur fait \/ (a*-*-b*) = c, & — , _ feront le finus & le cofinus v c c d' un angle

/— 1 + ih.W— i^ tous les logaritmes de a -+- b V — i feront done c-t-q>y/ — it c-h^Q'+ziir)*' — » > c -+- ( & en partie negative Tgt e'eft a dire TP — Tgy & fi Tc IX* Te = TE l'aire qui r^pondra a cette abfciffe fera = PE, done on aura une nouvelle appliquee eh = E H , ce qui donne une branche pour la logaritmique au deffous de l'axe : indepandemment de la preuve qu' en vouloit tirer Mr. Bernoulli , de ce que *- = -¥- : raifon que Mr. —yy Euler a fait voir n'etre pas concluante: & ces deux bran- ches feront liees a 1'infiui, tout comme le font les bran- ches de 1' hyperbole ( * ) . La contradiction de ce refultat avec les calculs income- ftables de Mr. Euler , fembloit faire douter de quelque Equivoque dans le raifonnement ; cependant Mr. de la Grange de PAcademie de Berlin qui avoit auffi ete frappe de cette difference m'a bien voulu communiquer les re- flexions qu' il avoit fait autrefois fur ce fujet ; j' exami- nerai ici de nouveau , felon les vues qu'il s' etoit forme , F origine des logaritmes hyperboliques. 10. Soit done (Pl.i.Fig.3.) l'hyperbole LAP dont le cen- tre eft C , CX , CN les aflimptotes , & CA le demidiametre : foit l'ordonnee quelconque PM =y8i l'abfcifle CM = x le demidiametre C A = r on fait que y = V (xr — r»), & que par confequent y -=\/ — ixv/(r1 — x* ) . Si k prefent (*) ivlr. Bernoulli apres avoir confidere l'efpace OTR cornme pofitif prend pour negatif l'efpace XTr, quoiqu'ils paroiflent devoir etre du meme figne , puiC- qu'ils font oppofes au fommet . Pour lever cette difficulte, on peut arriver a la meme conclufion de la maniere fuivante. Qu'on reflechiire que les aires hyperbo- liques, ne font les logaritmes des abfcilTes que parceque fi Ton prend celles-ci en progreflion geometrique , les aires formeront une progreflion aritm^tique : ainh l'aire OTRP, peut etre le logaritme de TR, & OTSQ le log.intme de TS be, mais fi Ton prend TR pour l'unitd affirmative, & qu'on veuille que fon logaritme foit o , il fiudra toujours fouftraire des aires correfpondantes aux abfeiffes dont on veut le logaritme , toute l'aire OTRP, & le logaritme de TSt par exemple , fera alors — PO_RS: en effet TS etant plus petite que 1' unite, fon logaritme doit etre negatii : en continuant le meme raifonnement, on trou- vera que le logaritme de T, ou de o fera — OT I' R , & fi le point S conti- nue a reculer jufqu' en s le logaritme du nombrc nigatif Ts fera toujours TX q s — OTRP ce qui fe rcduit encore a — PQRS, e'eft i dire au logaritme du nombre pofitif TS . **9 prefent on decrit du centre C avec le rayon CA, un cer- cle dont les abfeifles C m foient pareillement appellees x, & les ordonneesy, on aura Y =V (r1 — x*) done fil'on prend les memes abfeifles pour le cercle , & pour I' hyper- bole , on aura roujoursy = Y V ~ i ce que Ton faitd'aii- leurs . Or il eft clair que ft deux courbes ont leurs or- donnees dans une raifon conftante , les- aires feront dans la meme raifon, aufli bien que les fe&eurs qui feront for- mes par des lignes tirees de l'origine commune des abfeifles a chaque point descourbes: puifque ces fefteurs ne different de leurs aires que par des triangles de bafes e'gales , & qui ont leurs hauteurs dans la meme raifon des ordonnees . Puifque done dans n6tre cas les ordonnees du cercle, & de F hyperbole font entre elles dans la raifon conftante de i a V — i , les fe&eurs circulates , & hyperboliques qui re'pondent aux memes abfeifles feront aufli dans la raifon de i to y -* r . Cela pofd foit dans le cercle F angle P C m — on. fait que F aire A BOP eft egale a — I. ^2 : or fl des deux triangles CAB , CQP, qui font e"gaux, puifqu'ils ont les bafes en proportion reciproque des hau- teurs, on leve la partie commune CHB, on auraCHA = Z? HQPy & ft on ajoute AH P on aura le fe&eur hypep- >^-JL _ r' l C2r bolique C AP = BAPQ, done rlSV~l = - I. C-2 ou ou

V — i ) cof.

= — /. ( cof.

i alors V' ( i —cof. , & cof. 2 \ t = i , on aura apres avoir fait la fubftitutioji j\i^-i = /.+ i, qui eft la formule que Mr. Euler a trouve par un procede tout a fait different, & qui donne /. ■+- 1 tm » ,'«±: iTy-1, + ^^-1 &c..De meme fi 1'on fait

/ — i=/.( co/. $> •+■ fin.

r fin.

/ — 1 =/. ( a -4- £ v^ — 1). Voila done la Teorie de Mr. Euler apuiee fur la qua- drature de P hyperbole , dont Mr. Bernoulli fe fervoit pour prouver un fentiment abfolument oppofe , fans que fa demonftration ait pour cela rien perdu de fa force ; il eft done neceflaire de comparer enfemble ces deux conclusions, & les procedes qui nous y ont conduit : ce qui fera a prefent plus facile, puifqu'ils font reduits a dependre d'un feul , 6k meme principe . 1 1. Si Pon fait attention au raifonnement de Mr. Bernoulli on s'apercevra aifement qu' il eft tout fonde fur la continuite" de la b.anche -4Z(pl. 2. fig. 4.) de P hyperbole avec la a /,ces deux branches etant liees a P infini comme il eft evident ; car fi Pon fait C<2 = £,C^ = r, QP=u,onaCB = -^ , u 1 = — ce qui donne u = _ , d'ou Pon voit que ft 2 2^ on fait { =s 00 , on trouve u = o, & que fi { d^croit jufqu'a etre r x = s=z o ort aura a = oo = C A!", & £ devenant a 1' inftant infiniment petit n^gatif ou — o, on trouvera u = — =.CG. ' Concevons a prefent un rayon C P , qui fuive le point P pendant que celuici par un mouvement continu decrit 1' hyperbole , & que les aires correfpondantes donnent naiffance a la logaritmique ; il eft vifible que ce rayon partant de la pofition CQ , 1' angle AC P qu' il forme avec T axe d^croitra continuellement , jufqu* a ce que C P deve- nant CAY angle fe trouve nul, d'oii il commencera a pren- dre des acroiffements negatifs , mais quand le rayon C P fera arrive a la position C X, le point P qui eft alors L paffant immediatement en /, comme on 1' a vu, le rayon pour le fuivre devra devenir tout d' un coup negatir C G , & Tangle A C P fera en ineme tems acru de deux angles droits : & il eft a remarquer que c' eft alors precifement que commence la generation de la feconde branche de la logaritmique . Gela pofe reprenons notre equation $> V — i == /. ( cof.

a la foutengente cependant continue a etre reelle, & ap- partient alors auxhyperboles qu'on peut decrirefur 1'axe don- ned toutes ces courbes font done liees d'une maniere tranfeen- dante par le moyen de la formnle/■ (a1— *2)> »3<5 & m = — — fi Ton veut l'appliquer a l' hyperbole de 1' equa- tion ^==t- V ( x2 — a* ) . On conclut de tout ceci que la courbe exprimee par F equation d y = —2- ou x = /. /raj- doit neceffairement etre compof£e d' une infinite de branches au deffus , & au deflbus de l'axe; ainfi ( fig. 6. ) , un logaritme A E n'appar- tient g^neralement pas plus au nombre E F qu' aux nom- bres EG, E H &c. , & meme a un imaginaire quelconque. J' obferve cependant qu' une feule branche B F peut fatit faire a tous les cas des nombres pofitifs, & la bfktous les negatifs en changeant feulement 1' origine A , ce qui etoit deja Evident par la Theorie des logaritmes . Mais l'ori- gine etant une fois fixee en A, fil'on veut par exemple que /. i = o, A B etant = i , c' eft dans la feule branche B F qu' on doit chercher les logaritmes des autres nombres po- fitifs ; car fi on vouloit encor fe fervir de la NG, il eft evident q-u'en prenant M N =• i on auroit — AM = /. MN = /. -t- i ce qui eft contre la fuppofition qu'on avoit fait de /. i = o . Toutes les branches B F CG &c. ne font done pas liees algebriquement , & ne font qu' autant de cas par- ticuliers de 1' equation differentielie x = — Z , qui font de- termines par 1' integration . L' exprefllon y = c" exclut audi la branche b /", puifque quelque valeur qu' on donne a x, y ne peut etre n£gatif a moins qu' on ne fit x imaginaire . Au refte pour faire mieux fentir qu* on ne rencontre x imaginaire , que parcequ' on cherche y negative dans une branche ou elle ne peut pas 1' etre , il eft bon de remar- quer , que cela arrive meme dans les courbes algebriques » Soit i37 Soit par exemple la courbe representee par 1' Equation x* y— ■ t — , qui a evidemment deux branches une au deffus , & l'autre au deflbus de 1'axe, a caufe de Y ambiguite du figne radical , fi dans la branche qui apparnent a -+■ >/ (ai — x*)je voulois trouver uu y negatif, on voit qu' il faudroit que je filT« x inaaginaire , ce qui me don- — xl neroit y = — — . . II eft done vihble , que l' expreftion tranfeendante nous laifle a la verite le choix a" une branche quel- conque de la logaritmique , mais que la nature du pro- bleme nous ayant determine a une d'elles, il n' eft plus permis de patter a une autre, puisqu'elles ne font pas lie'es algebriquement . i 5. Tout ce que nous venons de dire ne paroit cependant encor porter aucune atteinte a,la demonftration de Mr. Ber- noulli ; mais par un examen reflechi on pourra en decouvrir le dctfaur,& quels font les cas ou on pourroit l'adopter. Repre- nons pour celal'equation a I'hyperbole entre (es aflimpto- tes 1 = — quidonne <^f = — $~— , d' ou Von tire pour ¥ element de 1' aire — £ , qui eft auffi comme on fait la difference de /. { : qu' on fuppofe a prefent avec Mr. Ber- noulli, que 1' abfeiffe { decroiffe , juCqu' a etre finalement nulle , il eft hors de doute , que 1' ordonnee u , apres £tre devenue inhnie paffera a etre infinie negative , & appar- tiendra a l'autre branche de 1* hyperbole puifqu'ily a ua paflage algebrique de l'infini pofitifa 1' infini negatif , mais il n1 en fera pas de meme de 1'aire, puifque lorfque , 1' abfeiffe j devient infiniment petite, & I' ordonnee infini- ment grande , 1' element de la Courbe fe trouvant alorj / tnd^ ij8 i, qui eft one quantite finie, & cette aire lorfque z g\ * devient infiniment petite negative fe trouvant de meme finie, mais negative,!' aire de 1' hyperbole ne peut faire ce paffage fans regevoir tout a coup un decroiffement fini; or une quantite- quelconque ne peut devenir negative de pofitive qu'elle etoit, fans paffer par o oupar l'infini; il eft done evident qu'iln'y a pas un paffage algebrique de la branche pofitive de la logaritmique a la branche negative , puifque la continuite des aires hyperboliques eft , . , - . mdz interrompue par la quantite finie —— *- = m. Les deux branches de la logaritmique trouv^es par Mr. Bernoulli font done ifotees , & independantes 1* une de 1' autre algebriquement , quoiqu' elles foient liees par leur expreffion tranfeendante; mais elles ne font pas moins reelles 1' une que 1' autre , & elles auront leurs ufages particuliers dans plufieurs cas. Cette theorie pouvant peut etre paroitre une pure (pe- culation abfolument inutile dans la pratique; jecroisqu'il ne fera pas hors de propos d' en faire ici 1' application pour fervir de denouement a quelques paradoxes tires de la Mecanique ( * ) . 1 6. Soitpar exemple (Fig.8.) un centre d' attraction Cdont la force foit proportioned , a la nmt puiffance des di- stances , on aura pour 1' expreffion de la viteffe u d' un corps A lors qu' il aura parcouru 1' efpace AB=.x; i» i d x , r> ■ , ux 1 equation — -— _ =k duy & en integrant — = 4»-»-i fa x\m-t-» • — - - parceque a = o quand x = o ; Ton voir (*) Pour connoiire 1' importance des rerrurques fuivaotes , je prie le Leftcur de relire la Proportion 32. du premier Tome de la Mecanique de Mr. Eulei , & les tut res Proportions dc cet excellent Our rage qui peuvent 7 afoir rapport. •3* voit tacilement , que quand le corps (era arrive en C on m * a * ■+■ ' aura — = — ■ fi n -f- i eft pofitif, & « a = o» ft « -u t eft negatif, mais fi n -+- i = o on aura alors recours a la methode , que nous avons enfeigne ( art. 14. ) & on trouvera pour 1' expreflion generate de la vitefle , — = /. a i a — * fans retourner pour cela a 1' equation differentielle , com- me tous les Auteurs qui ont ecrit de cette matidre ont etc" obliges de faire jufques a prefent , & il en fera de meme , pour le dire en paflant , d' une infinite de cas temblables qui fe rencontrent tres frequemment dans la mecanique, de facon qu'on etoit toujours contraint de re- commencer un calcul fouvent afles long : on aura dans ce cas pour la vitefle au point C , uz = /. 00 ( * ) II eft de plus evident par la nature du probleme , que le corps devra dans tous les cas pafler au dela du point C de fa^on , que fi Ca = C A, & C b = C B fa vitefle en b lera la meme, qu'au point B. , & fera finalement nulle au point a comme elle 1' etoit enA-.or on voit qu' afin que la meme formule , qui nous donnoit la vitefle du corps A pour la partie AC puifle s'appliquer egalement a la partie a C il eft neceflaire qu' en faifant a— a? negatif on trouve l^acroiflement de la vitefle negatif, & cette meme vitefle toujours pofitive , & il eft facile de s'apercevoir, que cela doit toujours arriver quand n fera un nombre impair, & entier , pofitif ou negatif. Mais par quelle fatalite devroit- «n en excepter le cas oil n=. -r \ comme on 1' a pre- / * tendu (*) Mr. Euier a pritendu a la viiitt d^montrer 1' nnpoiTibilit* de ce paflage par la confederation d' une elipfe (art. 665. ) de la mecanique, mais le P. Bof« corik a reTolu cette difttculte ( art. 82. Dijfertationis dt alrafliom tirftrum *d ttnitum immehilt torn, a. fart. 3. A(*dace qui en effet eft con- forme aux loix de la nature quoiqu' il en foit on peut faite cette fuppofition fans crainte d' erreur . Pour £e qui eft des cas, ou n eft un nombre pair, on a vu plus haut que quoique le Corps paffe egalement le point C7 de facon, que fa viteffe eft de nouveau z«ro au point a j cependant en faifant x>« la formule ne donne plus la vraye viteffe du corps A, & cela depend unique- ment du defaut de l'expreffion algebrique, qu'on ne peut alors affigner g^nerale pour les deux cas . Pour lui donner cependant la plus grande gen^ralite, donr elle eft fufceptible qu'on pofe b (a — x)' dx = u d u ou la lettre b foit une inddterminee dont la valeur depende des applications particulieres qu'on veut faire de cette for- mule Mi mule ; on a en integrant b ( fc ± ) = — 1' on ° n -+- i. 2 voit que 1' indeterminee b doit etre pofitive toutes les fois que /« eft un nombre impair , & quand /n eft un nom- bre pair on fera de meme b pofliive de /^jufqu'en C, & nega- tive de C jufqu'en a; or puifque dans le point C confided comme e dernier point de la ligne pofitive yd C on & — G« -f- i z = en le confiderant comme le premier point ne- gatif , on doit trouver pareillement ce qui don- ° H-t- I ne quand x = i j, u* = o , comme il doit etre en effet . Mais lorfque n eft un nombre rompu dont le denomi- nateur eft pair , pafse le point C, il faut faire b = — m V — i & alors la meme rormule pourra fervir pour tous les cas. Voila quels changemens on eft oblige de faire a la for- mule pour que dans certaines circonftances elle ne nous rende pas imaginaires des expreflions qui doivent y £tre reelles . 1 7. II fe prefente une autre diificulte dans les cas ou m eft impair , & n^gatif , il eft evident que le terns doit toujours croitre a rnefure que le corps s' eloigne du point d x A cependant fuppofons que /h=— -3 on aura ( .,== ud u & integrant u* = , s. as , & « » ( a— *) *3 «*(« — *)' ■ V (1 a x — x1) 0 f, , d x ?=■ • — i -, & par confequent di= — =s a d x ( a — x) 0 , , ... b i , & 1 = a v (1 a x — x») on voit que cette ex- preflion du terns eft dans ce cas exprime'e par des lignes proportionelles aux ordonnees d' un cercle decrit , fur le diam£tre Aa (Fig.9.), mais elle ne peut fervir que jufques en C, puifque depuis ce point Its ordonnees decroiffent, ce qu'il eft abfurde d'atribuer au terns. Mais fi Ton fait reflexion que le radical aV (i a x — xl) a deux valeurs , on verra bien tot que le flgne -+- de ce radical doit fervir de A en C. & le figne — de C en a : on aura done generalement dans ce dernier cas r =— a V (1 a x — x* -h A; pour deter- miner la conftante A qu'on reflechifse que dans le point Cles deux valeurs de t doivent £tre les m£mes, d'ou Ton tirera a* = — a* •+■ A & A=. 1 a* , & le terns t fera gent*- ralenient exprime par % a* — aV ( a x — xx); ce n' eft done que le quart de cercle AB qui fervira a la conftru&ion du' terns, jufqu' au point C, & au de la de C on devra conftruire un cercle du diametre = a qui touche 1' autre en B , & continuer a prendre les tems fur ce nouveau quart de cercle. Quoique ces deux cercles ne puiffent pas etre contenus dans une mime equation algebrique, il eft eft cependant vifible que le quart de cercle A B eft ega- lement contigu avec B D qu'il le feroit avec le refte du demi cercle. Cette conftruftion eft facile , & exa&e , & elle rue pa- roit lever les difficult^ qui dans ce cas, & dans un grand xiombre d' autres femblables ont arrete les geqmdtres . Voila je crois afles d'exemples de formules algebriques, qui pour etre appliquees a des cas. qu' elles ne peuvent ex- primer , rendent imaginaires & abfurdes des expreflions, qui doivent &tre reelles par la nature du probleme . (*) Ceil (*) Dans l'article Gravitation de l'Enciclopedie , & dans le troifieme tdme des Recherches fur le firteme du Monde ( pag. 198.): il e& parle d' un certain pa* xadoxe qu'on rencontre dans les formules de ['attraction d'un point vers une lur- face fpherique quelconque . Comme 1* explication que )' en ait trouvc- , & que j'ai meme communique a I' Auteur dans une lettte particulate , me paroit t'on- «iee , 8c que d' ailleurs elle tient immediatement aux principes etabhs ci-deflus, jc crois qu'on voudra me peTmettre d'ajouteT ici deux mots fur ce point . Voici en quoi confide le paradoxe. Sort cherchle 1* attraction d' une furtace fpenque fur un point place fur la furface mSine dans le cas des farces en raifon inverfe des quarrels des diffance* . Si 1' on commence' par confide>er le point au deli 4c la furtace , & qu' ay ant nouvc F expreffion jjcnsralc de ion attraction , on C'eft fans doute un inconvenient dans 1' algebre qu' on ne puiffent pas toujours trouver des formules generales , qui puiffe s'appliquer a. toutes les circonftances de la que- ftion, mais il fera toujours afses facile de reconnoitre les cas qui ne peuvent etre exprimes par ces Equations , & on pourra les corriger par un procede femblable u celui , dont je me fuis fetvi . 1 8. Ces cas font au refte plus frequents dans l'algebre qu'oa ne fe 1' imagine commundment, & quoique le cas irredu- ftible du troiiieme degre ne rende pas 1' inconnue abfolu- ment imaginaire, la mauvaife me^thode qui y conduit ne laiiTe pas de lui en donner la forme, comme tout le mon- de le fait . On fafle enfuite Cvanouir la diltance de ce point a la furface on aura 4» pour 1' attraction . Au contraire (i le point ell d' abord fuppofe au dedans de la fur- face, fon attraction fe trouve toujour? eeale a lero , d' oil elle refte encore nul- le quand le point vient toucher la Surface meme . Que fi 1' cm veut d' abord regarder le point comme place fur la furface , on obtient pour lors la formule de fon attraction ma air. On a done tws valeurs differences 4 » , 2 r , 9 , qui femblent appartenir au meme cas ; ce qui doit paroitre au premier ofpect abfurde , & contradiftoire . Pour trouver le denouement de cette diffi- cult^, il faut rechercher avec foin ce que ces trois manieres de confiderer le meme cas peuvent avoir de different entr* ellcs. Or je dis que cette difference depend du point de la furface A qui exerce one force finie , &=:a» le point S, Jorlque on fait cvanouir leur diltance A B . Pour s' en convaincre on n' a qu' a reflechir qu'un point de furface eft neceflairement un infiniment petit des fe- tond ordre ; & que la fonflion AB% de la diftance evanouiflante devient audi infiniment petite da meme ordre, d'oii il s* enfuit que 1' attraction du point A qui eft proportioned a re point , divifee par la fonCtion donnee deviendra finie; «c on petit s' affurer d'ailleurs que cette attraction fera precifement = i ». Ceci pole quand on fait venir le point B a la furface de dehors , on a 1' attra- ction = 4 *■ qui eft compofee de I'artractron it du point A, & de l'autre partie l sr qui doit nccclTairement exprimer 1' attraction du refte de la furface . Mais fi t' on fait que le point vienne toucher la furface au dedans alors l'attra&ion l» du point A devra agir en fens contraire , & jointe avec 1* autre partie i r qui agit dans le meme iens , qu' auparavant donnera »» - * » r: o pour rattrattion Wans ce cas ; enfin , fi le point eft d' abord place fur la furface en A , on exclut ■dans ce cas 1' attraction du point de furface A , & on a feulement i «- pour P attraction totale , tout de meme comme nous le donne le ciltnl . Pour leniir mieux la raifon de ces differences , il faut fatre le tilcul en entier *; on verri a)ifement que la differentiellc eft compofee de deux parties , dont 1' une eft toute •mitiprret par la trilajKcMu point a la frrface , & d«vicn» p*r confequei* •- , )]-+.V-i __ jl ( cc,r 9 .+_ fin. 6 V — 1 ) , & en prenant les logaritmes (jn .+. n V — 1) [ I r ■+■ /. ( cof.

^(a. + iO -.„ ^./n. ^-^ «/ [«/.• ^+-b^ + mAre.fin. —Jr^ ] & ^ = # L CON- CONSPECTUS TOTIUSOPERIS DE IIS, QU^E IN SOCIETATE ACTA SUNT COMMENTARII A JOHANNE FRANCISCO CIGNA CONSCRIPTI. DE belliniano Problemate , feu de Ovorum. elixatorum. cicatricula . De varia barometrorum d'uverfce dlametri ahitudine . De corrigendis barometrorum error ibus ex calore, & J rigor e natis. De fallacia methodi dimetiendi quantitatem attraStonis . De afcenfu , & defcenfu thermometrorum variis liquoribus madentium ex inflato vento . De caujfa extinclionis flammce in claufo aere . DISSERTATIONES, ET OPUSCULA VARIA. MEmoire du CHEVALIER SkhVCZ fur la nature dufluide elajlique qui fe diveloppe de la Poudre a Canon. Recherches fur la methode de maximis , & minimis par M. Louis de la Grange . Sur r integration de utero gravido ,. & placenta Obfervationes Ambrosii Bertrandi . Suite des recherches fur le fluide elaflique de la poudre d Canon par le CHEVALIER Saluce . Recherches fur la nature , & la propagation du fon par M. Louis de la Grange . Introdu&ion Section, i . Recherches fur la nature du fon . Cap. I. Des ofcillations des parties intimes des flui- des elafliques . Cap. 11. Des vibrations des cordes . Cap. HI. Solution do Probleme general propoje dans les chapitres precedens . Cap. IV. Analife du cas , ou le nombre des corps mobiles efl fini . Cap. V. Analife du cas , oil le nombre des corps mo* biles efl infini . Cap. VI. Reflexions fur les calculs precedens. Cap VII. Theorie des cordes de muflque , 6 'des flutesi, Section. 2. De la propagation du fon.. Cap. I. De la viteffe du fan . Cap. II. De la reflexion du fon , ou des echos . Cap. III. Du melange , & du rapport des fons . Reflexions fur les quantites imaginaires par M. le CHEVALIE& Daviet De Foncenex. ERRATA Pour le Memoire fur le flitide elaflique qui fe developpe. de la Poudre a Canon . Pag. 9 Vin. 3 \ interdiraient lifes interdirait 14 4 (r) Com. pag. (r)Com. pag.n.- 14 »2 ne peut-il ne puifle In Dijfertatione de analogic magnetifmi , & eleSricitatis . 47 3* eo una vitri ex una vitri 57 not. b fecondos fecandos In Dijfertatione circa putrefaclionem . 7f * quanri quanti ad t6 y morborum morborum cauflis In fafciculo Jlirpium Sardiniae. 88 6 Allionus Allionius 16 integerrimus integerrimis 89 7 AlchemilJa AJchimilla M P4- JM- 1 6 avenis aveniis 92 4 cordalis cordatis 2 9 norvofis nervofis 96 20 refufcente rufefcente 31 Vinea Vicia 97 j. lapafanae lampfanae 29 Oenante Oenanthe In. obferyationibus de glanduiofo Ovarii corpore . 20 tat is fatis 106 10 continuatas continuatae 108 4 ut • ac Pour la fuite des recherches fur le fluide ilajlique de la Poudre. 11S 20 plus bas plus haut 129 30 dans Feau & de l'eau »3 5 17 00 (f) Pour la Differtation fur U [on . Page i i Hgne i Qui eft la meme expreflion &c. iifei qui fe reduit a la meme expreflion &c. En ejfet ayant fuppofe dans Part. 4. que la force motrice dans Techelle PHShP fut (implement = — — — X M , t on doit de meme ici exprimer les forces motrices des par- . , Md*y , . , r \h ticules par —i~- > ou bien Juppojer __ = 1 . Page 13 ligne 16 on aura hn. efg =*i z. ;£-, ylll __ 2 y11 I y • ///ej on aura; fin. */#■ = — ■?- -L. . Mais cette erreur 72' influe en ritn dans le refle du calcul , parce- que les differentielles d*y doivent etre auffi prifes nigativement. Page 1 4 ligne 1 o mette^ /' art. 1 o. arant Imaginons . Page 1 j ligne 3 au lieu de l' art. 1 o. Hfe\ article 1 1 . Page 19 ligne 14 de la quantite — life{ de la quan- v c the — ; dans la ligne fuivante au bout d'un tems — = 7V( — ) ///