en = t nn ER HARVARD UNIVERSITY. LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÖLOGY. ‚23 2.2903 =: 2) 170% ve i ‘ ” P ® - h 5 a 3 f, . d r a F x £: H % e s» _. = N R RR Wera “ % \ iA U | me = = —— en a ZZEZZEZ-EZEITIIITEZTEZE SITZT III ZEZTETZTEZEZEEEETZE ZEIT = 2 = = = = = . t Till Ih HZ \ \A> der haft is | J henden Gese ın Bern aus dem Jahre 1902. Nr. 1519-1550. Redaktion: J. H. GRAF. er Sen a VI BERN Druck und Verlag von K. J. Wyss ee —— m DD ZEZEZEZTEITEZEZEZTETIETIETETZTIETZTTIETFTIETZTEZEIEFTEZTEZTIETICTEZTETICTIECETIZTEITETICEIICZTETEZEDELELEC II 1903 IA ZZEZEZEZEEI-I Immo = l ee Te EEE a ni ur are ZZ a . 1 I ® Y ı ' fl . . £ 7 | 3 Ana! 1 E Eu — on 1 SINE USER LFI ER EE ol „Le Unter Mitwirkung der hohen Bundesbehörden, eidgen. und kant. Amtsstellen und zahlreicher Gelehrter herausgegeben von der Centralkommission für schweizerische Landeskunde. ES In deutscher und französischer Ausgabe. Bis jetzt erschienen : Faseikel Ia: Bibliographische Vorarbeiten der landeskundlichen Litteratunr und Kataloge der Bibliotheken der Schweiz. Zusammengestellt von Prof. Dr. J.H. Graf. Bern 1894. 69 Seiten 8°. Preis Fr. 1.— Fascikel I b, enthaltend: Bibliographie der Gesellschaftsschriften, Zeitungen und Kalender der Schweiz, von Prof. J. L. Brand- stetter in Luzern. 380 Seiten. Preis Fr. 3.— Fascikel IIa: Landesvermessung und Karten der Schweiz, ihrer Land- striche und Kantone. Herausgegeben vom eidgen. topographischen Bureau. Redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. Bern 1892. 193 Seiten 8°. Preis Fr. 3.— Faseikel IIb: Karten kleinerer Gebiete der Schweiz. Herausgegeben vom eidg. topograph. Bureau. Redigirt von Prof. Dr. J.H. Graf, Bern 1892. 164 Seiten 8°. Preis Fr. 3. — Fascikel IIce: Stadt- und Ortschaftspläne, Reliefs und Panoramen der Schweiz. Herausgegeben vom eidg. topograph. Bureau. Redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. Bern 1893. 173 Seiten 83°. Preis Fr. 3. Fascikel II d, enthaltend: Generalregister, Ergänzungen und Nachträge zu den Fascikeln II a—c (Landesvermessung, Katalege der Karten- sammlungen, Karten, Reliefs und Panoramen). Im Auftrage des | eidgen. topograph. Büreaus redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. 220 Seiten 8°, Preis Fr. 3. — Fascikel III: Landes- und Reisebeschreibungen. Ein Beitrag zur Bibliographie der schweizer. Reiselitteratur, 1479—1890. Zusammen- gestellt von A. Wäber, Bern. 462 Seiten 8°. Preis.Fr. 4. — Fascikel IV 3: Balneologie und Climatotherapie. Versuch einer schweiz. Bibliographie der Litteratur auf den Gebieten des Badewesens, der Heilquellen. der climaterischen Kurorte u. s. w. Von B. Reber in Genf. 130 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel IV6: Die Fauna der italienischen Schweiz. Redigirt von Prof. Dr. A. Lenticchia. Como 1894. 19 Seiten 8°. Preis 50 Cts. Fascikel IV6: Fauna helvetica: Heft 2: Seenfauna. Zusammen- gestellt von Prof.D.F.Zschokke. Bern 1897. 30 Seiten. 60 Cts. Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 3: Säugethiere. Zusammen- gestellt vonDr.H. Fischer-Sigwart. Bern 1900. 119 Seiten. Fr.2.— Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 4: Vögel. Zusammengestellt von Prof.Dr. Theophil Studer. Bern 1895. 57 Seiten 8°. Preis Fr.1.— Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 5: Reptilien und Amphibien. Zusammengestellt von Dr. H. Fischer. 39 Seiten 8°. Preis Fr. 1.— Fascikel IV6: Fauna helvetica, Heft 50: Fische. Zusammengestellt von Dr. H.Fischer-Siewart. Bern 1900. 99 Seiten. Preis Fr. 1.50 — Verlag von K. J. WYSS in Bern. Bibliographie der schweizerischen Landeskunde. (Fortsetzung auf Seite 3 des Umschlags.) | Professor Daniel Huber (Nach einem Bilde im Besitze der Tit. Familie Huber-Burckhardt in Basel) Mitteilungen Naturforschenden Gesellschaft ın Bern aus dem Jahre 1902. Nr. 1519-1550. Redaktion: J. H. GRAF. << BERN Druck und Verlag von K. J. Wyss “1908 I) ing Ju 1903 Jahresbericht über die Thätigkeit der bernischen Naturforschenden Gesellschaft im Vereinsjahr 1901/1902. Hochgeehrte Herren ! Im abgelaufenen Vereinsjahr wurden 13 ordentliche Sitzungen ab- gehalten, welche im Durchschnitt von 25 Mitgliedern besucht waren. Es beteiligten sich dabei folgende Herren durch Vorträge, kleinere Mittei- lungen oder Vorweisungen: A. Benteli (1), Brückner (2), Epstein (1), Ed. Fischer (2), Graf (1), Gruner (1), Guillebeau (1), G. Huber (1), R. Huber (1), Kissling (2), König (2), Kronecker (1), Pflüger > Ris. Ch), Schafter (1), Steck“ (1), Streun (2), Th. Studer (4), Tschirch (1). Von diesen Mitteilungen fallen auf: Zoologie 5, Botanik 3, Biographie 3, Technik und Elektrotechnik 2, Geologie 2, Physik 2, physikalische Geographie 2, Meteorologie 2, Astro- nomie 1, Chemie 1, Opthalmologie 1, Physiologie 1, Tierarzneikunde 1. Eine auswärtige Sitzung wurde in Grosshöchstetten abgehalten, an welcher Herr Th. Studer über «Neue Entdeckungen aus der Urgeschichte des Menschen», und Herr Guillebeau über «Die Bakterien der Euterent- zündung bei Kühen» sprachen, Ferner hatten die Besucher dieser Sitzung Gelegenheit, einer Demonstration der Hagelkanonen durch die Firma Ruef beizuwohnen. Eine ansehnliche Zahl von Mitgliedern unternahm Ende November, zur Zeit der Rübenernte, eine Fahrt nach Aarberg, wo denselben die Rübenzuckerfabrik vom technischen Leiter derselben in zuvorkommender Weise gezeigt wurde. Als besonders wichtige eeehenheit des verflossenen Jahres ist zu erwähnen, dass die Bibliothek der schweizerischen naturforschenden Gesell- schaft durch Beschluss der Jahresversammlung in Zofingen an die Stadt- bibliothek Bern abgetreten worden ist und dass die bernische natur- forschende Gesellschaft ihre eigene Bibliothek ebenfalls an die Stadt- bibliothek Bern abgegeben hat. Den Mitgliedern der schweizerischen und der bernischen naturforschenden Gesellschaft ist dabei das Benützungs- recht der Berner Stadtbibliothek eingeräumt worden. Für beide Gesell- schaften bedeutet dieses Abkommen eine finanzielle Entlastung. Die bernische N naturforschende Gesellschaft speziell begrüsst mit Genugtuung, als ein Akt der Billigkeit, dass die Bibliothek der schweizerischen naturforschenden Gesellschaft, für deren Verwaltung und Vermehrung sie alle die Jahre hindurch mit vielen Opfern von Zeit und Mühe gesorgt hat, endgiltig in Bern verbleibt. Sie verdankt dieses Ergebnis u. a. namentlich der Um- sicht und Beharrlichkeit des Herrn Professor 'Th. Studer, dem hiermit der Dank der Gesellschaft ausgesprochen wird. An der Jahresversammlung der schweizerischen naturforschenden Gesellschaft in Zofingen war unsere Gesellschaft durch die Herren Kissling und Strasser offiziell vertreten. Für das Hallerdenkmal votierte sie einen auf zwei Rechnungsjahre zu verteilenden Beitrag von Fr. 500. Die Zahl der ordentlichen Mit- glieder beträgt Anfang des Jahres 140. Für das neue Vereinsjahr wurden &ewählt: zum Präsidenten: Herr Prof. Dr. Hans Strasser, zum Vizepräsidenten: Herr Prof. Dr. J. H. Graf. Für den abwesenden Präsidenten: Der Sekretär. Sitzungs-Berichte. 971. Sitzung vom 18. Januar 1902. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. E. Kissling. Anwesend: 14 Mitglieder und Gäste. 1. Herr L. Epstein spricht über: Wanderungen durch den Tiergarten, Zwecke und Ziele eines solchen. Die Gefangenhaltung von Tieren reicht in weite Zeiten zurück. Durch geschichtliche Überlieferung wissen wir, dass Alexander der Grosse seinem Lehrer Aristoteles von seinem asiatischen Feldzuge Tiere aus Kleinasien schickte, die Spanier bei der Eroberung Mexicos die stehende Menagerie des Aztekenkönigs Montezuma vorfanden und Menagerien in China schon in früher Zeit existierten. Berühmt waren im vorletzten Jahrhundert die Menagerien des Prinzen von Öranien, in «hot Loo» beim Haag, im Tower of London und die heute noch bestehenden zu Schönbrunn und des Jardin des Plantes zu Paris. — An einem ca. 1819 in Frankfurt a. M. zur Schau gestellten indischen Nashorn beobachtete man zurst den periodischen Hornwechsel;; interes- sant ist ferner, dass die Dronte in London schon 1638 gezeigt wurde. Der erste zoologische Garten nach heutigem Sinne war der 1828 gegründete zoloogische Garten zu London. 1838 wurden in Amster- dam, 1843 in Antwerpen, 1844 in Berlin, 1858 in Frankfurt a. M., 1860 in Köln, 1863 in Hamburg etc. gleichfalls zoologische Gärten eröffnet. Nach der historischen Einleitung kam der Vortragende ausser den eben erwähnten noch auf sonstige in- und aussereuropäische Gärten, so auch denjenigen zu Basel, den einzigen in der Schweiz, zu sprechen und dies gab ihn Gelegenheit, über das Gefangenleben, den Wert und die Rarität einzelner Tiere zu sprechen. 2. Hr. E. Kissling macht eine Mitteilung über die Flügeldecke einer Rhina aus der Molasse der Bäichlen im Entlebuch, mit Vorweisung des Petrefakten. Ferner eine Mitteilung über den Fund von Murmeltier- skeletten in alten Fluchtröhren bei Biglen, ebenfalls mit Vorweisung der Skelette. 972. Sitzung vom 25. Januar 1902. Abends 8 Uhr im zoologischen Institut. Vorsitzender: Hr. E. Kissling. Anwesend: 37 Mitglieder und Gäste. 1. Hr. Th. Studer spricht über: Die Rasse der St. Bernhardshunde (mit Vorweisung des Schädels vom Hund Barry). U Re 973. Sitzung vom 8. Februar 1902. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. E. Kissling. Anwesend: 21 Mitglieder und Gäste. Hr. H. Kronecker spricht über : Albrecht von Hallers physiologische Prioritäten. Hr. A. Tschirch legte einige Ex libris von Haller in Reproduktion vor. Zwei davon sind von Maler Duncker. 974. Sitzung vom 22. Februar 1902. Abends 8 Uhr im Chemiezimmer des städt. Gymnasiums. Vorsitzender: Hr. E. Kissling. Anwesend: 33 Mitglieder und Gäste, Hr. E. König spricht über : Die Umformung von Wechselstrom in Gleich- strom durch Aluminium-Blei-Elektrolyt-Zellen (mit Experimenten), 975. Sitzung vom 8. März 1902, Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. E. Kissling. Anwesend: 22 Mit; glieder und Gäste. Demonstrationsabend: Hr. Pflüger spricht über das Werk «Vergleichende Anatomie des Säugetierauges, auf Grund von ophthalmoskopischen Untersuchungen» von George Lindsay Johnson M. D. F. R. C. S. Der Verfasser hat in Sjähriger Arbeit mit Furchtlosigkeit und grosser Ausdauer das Auge zahlreicher Säugetiere untersucht, z. T. in den zoologischen Gärten Londons und anderer europäischer Städte, sowie in Menagerien. Die Resultate beschlagen vor allem den Augenhintergrund; sowohl nach seiner Farbe als nach seiner Versorgung durch Gefässe lassen sich eine bestimmte Anzahl von Typen aufstellen. Während hier einzelne Spezies oder Genera jeder Hauptgruppe auf niedriger Ent- wicklungsstufe zurückgeblieben sind, finden wir in andern Beziehungen z. B. der Stellung der optischen Axen beider Augen zu einander eine der Klassifikation entsprechende fortschreitende Entwicklung vom Niedern zum Höhern, bis zur Parallelstellung der Axen mit Konvergenzver- mögen beim” Menschen und den Affen. Wo wir in höhern Gruppen Ü berbleibsel früherer Typen finden, entsprechen sie vielfach dem Prin- zip der Zweckmässigkeit, was auf Phylogenese zurückgeführt werden muss. Überhaupt liefern die erhaltenen Resultate einen neuen zwingen- den Beweis für die Entwicklungstheorie; sie zeigen ausserdem eine überraschende Übereinstimmung mit der modernen Klassifikation durch die Zoologen. Einige geringfügige Abänderungen werden vom Ver- fasser auf Grund seiner Befunde vorgeschlagen. In interessanter Weise lässt sich am Auge der Einfluss der Zähmung studieren. Es treten bedeutende individuelle Unterschiede innerhalb der Spezies auf, was bei den wilden Tieren nicht vorkommt. Myopie und Astiematismus zeigen sich häufig als Folge der Zähmung. Das Referat wird durch Projektionen illustriert. DD 2. ID — VI — Hr. Ed. Brückner spricht über: Die Beziehung zwischen Schichtung und Bänderung der Gletscher (mit Projektionen). Hr. G. Streun weist das Horn eines Steinbockes vor, das er auf der Strahlegg gefunden hat. 976. Sitzung vom 3. Mai 1902, Abends 8 Uhr im Lokal des S. A. C. (Sektion Bern), Ratskeller. Vorsitzender: Herr H. Strasser. Anwesend: 26 Mitglieder und Gäste. E Der Jahresbericht über das verflossene Vereinsjahr 1901/1902 wird verlesen und genehmigt. Für das Vereinsjahr 1902/1903 wird in den Vorstand gewählt: Herr Prof. Dr. Hans Strasser zum Präsidenten Herr Prof. Dr. J. H. Graf zum Vizepräsidenten. Herr P. Gruner spricht: Ueber neue Sterne, insbesondere den neuen Stern im Februar 1901. Der Vortragende gibt ein kurzes Verzeichnis der historisch nach- gewiesenen Erscheinungen neuer Sterne und beschreibt den gewöhn- lichen Verlauf eines derartigen Phänomens. Dabei wird besonders auf die interessanten Spektralerscheinungen hingewiesen, wonach auf das kontinuierliche Spektrum stets einige helle, breite, verwaschene Linien aufgelagert sind, auf der brechbaren Seite von dunklen Absorptions- linien begleitet. Die starke Verschiebung der Linien nach rot scheint auf gewaltige Geschwindigkeiten hinzuweisen; doch ist in neuerer Zeit ein ähnliches Spektralbild auf künstlichkem Wege bei hohem Druck erzielt: worden. Sodann wird eingehend der Verlauf der Erscheinung des neuen Sterns im Perseus (Februar 1901) beschrieben, die periodischen Hellig- keitsschwankungen im April mit den gleichzeitigen Spektrum-Ande- rungen hervorgehoben, und endlich auf die eigenartigen Nebelbildungen, die seit September 1901 unzweifelhaft konstatiert wurden, hingewiesen. — Die verschiedenen Hypothesen zur Erklärung des Entstehens dieser «neuen Sterne», sowie auch die fabelhafte Geschwindigkeit der Nebel- ausbreitung (ca. 300,000 km in 1 Sek.) werden zum Schlusse berührt. 977. Sitzung vom S. Juni 1902. Vormittags 10 Uhr im Museum in Neuenstadt. Vorsitzender: Hr. H. Strasser. Anwesend: 28 Mitglieder, 5 Gäste. Herr Th. Studer spricht über: Faunistisches von der Bielerinsel. Herr J. H. Graf spricht über: Ueberschwemmungen vom Seeland (mit Vorweisung von Karten). Hr. Dr. Gross (Neuenstadt) spricht über Praehistorische Verhältnisse der Petersinsel. Nach der Sitzung Fahrt per Extradampfer nach der Petersinsel, wo gemeinsam mit Gästen aus Neuenstadt, Biel und Umgebung, sowie aus Neuenburg das Mittagessen und nachher ein Spaziergang stattfand, a 978. Sitzung vom 25. Oktober 1902. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Herr H. Strasser. Anwesend: 30 Mitglieder und Gäste. 1. Die vom Kassier vorgelegte Rechnung über das abgelaufene Rechnungs- jahr wird genehmigt und verdankt. Herr Th. Studer spricht über «eine jetzt noch lebende Urform des Pferdes >. Herr Ed. Fischer demonstriert in Ergänzung seines am 19. Okt. 1901 gehaltenen Vortrages zwei im Mai 1901 mit den Basidiosporen von Melampsorella Caryophyllacearum DC. infizierte Weisstannen, an denen sich im Frühjahr 1902 kleine Hexenbesen entwickelt haben. 979. Sitzung vom 8. November 1902. Abends 8 Uhr im Chemie-Zimmer des städt. Gymnasiums. Herr E. König sprieht und experimentiert über: Blektrische Srom- und Spannungsresonanz. Als Einleitung zu dem Hauptgegenstande demonstrierte der Vor- tragende das Verhalten eines Kondensators von 12 Mikrofarad Kapaeität (bis 300 Volt brauchbar) im Wechselstromkreise, Die Experimente zeigten, wie bei Serienschaltung des Kondensators mit einem Wider- stand von passender Selbstinduktion die Spannung an den Klemmen des Kondensators ein Vielfaches der Gesamtspannung sein kann, wie ferner bei Parallelschaltung des Kondensators mit einem Induktions- widerstand maximale Stromresonanz unter denselben Bedingungen stattfinde wie die Spannungsresonanz bei Serienschaltung. Die prak- tische Bedeutung der Kondensatorerscheinungen wurde erläutert an Hand der von Fleming, Cardew, Preece, Ferranti seinerzeit an den Kabeln Deptford-London angestellten Versuche und das Wesen des so viel missverstandenen «Ferrantieffektes» erklärt. Glücklicherweise sind in der Praxis im allgemeinen die Verhältnisse der Ausbildung von be- deuterden elektrischen Schwingungen in den Kabeln nicht günstig, indem die Eisenmassen der Transformatoren drosselnd auf dieselben wirken. Im Anschluss daran zeigte der Vortragende das Auftreten von Wechselströmen von hoher Frequenz und verhältnismässig hoher Stromstärke in einem parallel an die Klemmen einer Gleichstrom- bogenlampe angelegten Kondensatorkreise. Die Versuche zeigten deut- lich die Unbrauchbarkeit elektromagnetischer Messinstrumente zur Messung dieser Wechselströme von bis zu 20,000 Stromwechseln per Sekunde, das Auftreten von Impedanzerscheinungen in den Leitungen, die einfache Konstruktion der Transformatoren ohne Verwendung von Eisen ete. Zum Schluss wurde beiläufig erwähnt, es scheine die Wirkung von Wechselströmen dieser Frequenz auf die Nerven kräftiger und unangenehmer zu sein als mit langsamern Schwingungen. Hr. Hefiter demonstriert einige Pfeilgifte aus Ostafrika, in Ergänzung seines früheren Vortrages über diesen Gegenstand, STK: 980. Sitzung vom 22. November 1902. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. H. Strasser. Anwesend: 29 Mitglieder und Gäste. Feier zur Erinnerung an Herrn Dr. Edmund von r Fellenberg 7. Es sprechen die Herren Strasser, Th. Studer und A, Baltzer, letzterer speziell über Fellenberg als Geologen. 981. Sitzung vom 135. Dezember 1902. Abends 5 Uhr im geologischen Institut. Vorsitzender: Hr. H, Strasser. Anwesend: 57 Mitglieder und Gäste. Es wird die Adresse verlesen, welche unsere Gesellschaft Herrn Professor Dr. Ludwig Fischer überreicht, zur Feier seiner 50jährigen Mitgliedschaft (Eintritt 18. Dezember 1852) in der bern. naturf. Ge- sellschaft. Hr. Ed. Brückner spricht über: Zur Entstehung des schweizerischen Jura und seiner heutigen Formen (mit Projektionen). Verzeichnis der Mitglieder der Bernischen Naturforschenden Gesellschaft. (Am 31. Dezember 1902.) Die mit ® bezeiehneten Mitglieder wurden im Jahre 1902 neu aufgenommen. Vorstand. Prof. Dr. H. Strasser, Präsident. Prof. Dr. J. H. Graf, Vize-Präsident. D. Studer, jun., Apotheker, Kassier seit 1875. Prof. Dr. J. H. @raf, Redaktor der Mitteilungen seit 1883. Dr. Th. Steck, Oberbibliothekar und Geschäftsführer des Lesezirkels. Dr. R. Huber, Sekretär seit 1901. Mitglieder. 1. Allemann, )., Arzt, Zweisimmen . s S 1898 2. Anderegg, Ernst, Dr. phil. und Gymnasiallehrer, Bern 4 1891 3. Andrew, Philipp. gew. Apotheker, Bern 5 1383 4, Brdertcher Di‘ A., Vorsteher der Knab. Sekundarschule Bern 1888 5. Balmer, Dr. Hans, Bern f ; 1886 6. Baltzer. Dr. A.. Professor der Mineralogie ha Geologie, Pen 1884 1. Deck, Dr: Gottl., Lehrer des Freien Gyinnasiums, Bern - 1876 8. v. Benoit, Dr. jur. G.,. Bern 5 . . : S ; 1872 9. Boch 1 Bir und Rektor, Bern 2 3 3 . 1869 10. Benteli, % Buchdrucker, Bern . 1891 11. Bohren, A., Dr. phil., Lehrer an der landwirtsch. Schule Rütti 1901 12. Brückner, Dr. Ed,, Prof. der Geographie, Bern 5 3 1888 18: Brunner, 05:Dr; phil., Hofrath, Trautsohngasse 6, Wien . 1846 14. Büchi, Fr., Optiker, Bern . - i ; : ; 5 1874 15. Burri, Dr. phil., Prosektor . 5 i k \ 2 1895 16.28 Büren, Eug., alli& von Salis, Sachwalter, Bern = ; 1877 T. Coaz, Dr., eidgenössischer Obertforstinspektor, Bern => : 1875 18. Conrad, Dr. Fr., Arzt in Bern . £ £ ; ; { 1872 19, *Crelier, Dr., Priv. Doe., Lehrer am Technikum Biel 4 1902 0. Dick, Dr. Rud,, Arzt in Bern °. 5 : 5 1876 21920 02, Arnold, Kantonsschullehrer in Pruntrut 5 ; $ 1890 22. Dubois, Dr. med, Arzt, Professor, Bern . i : i 1884 23. Dümont. Dr.med. E., Arzt, Professor, Bern N ü - 1890 5) 24. Dutoit, Dr. med., Arzt in Bern ; 5 £ . i 3 1867 ee . "Eberhard, Dr. phil,, Lehrer am Gymnasium Biel . Egues, Jules, Dr. med., Corgemont . Engelmann, Dr., Apotheker in Basel . Farner, Dr. A., "Apotheker . Fischer, Dr. phil. Ed., Professor der Botanik, Bern „ Rischer, Dr..h,, Honorar-Professor, Bern 5 v. Freudenreich, Dr. E., Bern 2. Friedheim, Dr. Prot,, Bern 2 . Geering, Ernst, Dr. med., Reconvillier . "Gerber, E., Lehrer, Florastrasse 17, Bern . de Giaconn, J., Dr: med., Arzt und "Privatdozent, Bern = Girard, -Prof.-Dr. ned., Arzt in Bern . Gosset, Philipp, Ingenieur, Wabern bei Bern . @raf, Dr. J. H., Professor der Mathematik, Bern . Gressly, Alb., Oberst, Maschinen-Ingenieur, Bern . Grimm, J., Pr äparator, Bern ; Gruner, Dr. Paul, Gymnasiallehrer und Dozent, Bern *D. Grünigen, Lehrer, Bern . Guillebeau, Professor Dr., Bern ; E "Gurwisch, Dr.,Priv. Doc, Anat Institut . Haaf, ( Droguist, Bern . Haas, Dr. med.. Sieismund, Arzt. in Muri bei Bern : Häni, Rud., Dr. med., Arzt in Köniz ; ; Hartmann, Dr.phil., Mathemat. a. Eisenbahndepar tement, Bern . Heffter, Dr. A. W. A. , Prof. der med. Chemie u. Pharmakologie . Held, Leonz, Chef des eidgen. topograph. Bureaus, Bern h * Helgers, cand. phil., Bern . = Haber,. Dr. G., Professor der Mathematik, Bern . Huber, Rud., Dr. phil., Gymnasiallehrer, Bern . Hug, Otto, Dr. phil., Bern 3 : . Jacky, Ernst, Dr. phil., Bern . Jadassohn, Dr. Prof., Bern . : . Jenner, E., Entomoloe, hist. Museum, Bern : Jonquiere, 'Dr. med. Georg, Arzt in Bern . *Juillerat, Lehrer am Technikum Biel Käch, P. i . Kaufmann, Alfr., Dr. phil. und Gymnasiallehrer, - Bern . Kesselring, H., Lehrer an der Sekundarschule in Bern . Kissling, Dr. E., Sekundarlehrer und Privatdozent, Bern . Kobi, Dr., Rektor der Kantonsschule Pruntrut . Kocher, Dr., Professor der Chirurgie, Bern . von Kostanecki, Dr., Professor der Chemie, Bern . König, Emil, Dr. phil., Gymnasiallehrer u. Dozent, Bern Kekorber,. H., Buchhändler in Bern . Rraft, Alex., Besitzer des Bernerhofs, Bern 3 Krebs, A., Dr. phil., Seminarlehrer in Bern . Kronecker, Dr. H., Professor der ar Bern . Kummer, Dr. med. J., Arzt in Bern .. . La Nieca, Dr. med. R., Arzt in Bern . Lanz, Dr. Eim., Arzt in Biel \ Peleist.. Dr: K,, Lehrer au der Sekundarschule in Bern ‚ Sekundarlehrer in Bern Re a M., Professor Dr. in Freiburg Lerber, A... Dr.med JArzian Laupen \ . s Lindt, Dr: med., W., Arzt und Dozent in Bern ; Lory, OR Rentier in Münsingen : . ; . Lüscher E., Dr. med. in Bern . ; : . } Lütschg, I. gewesener Waisenvater in Bern . *Mai, Dr. Jul., P.-D. der Chemie Marti, Lehrer an der Neuen Mädchensehnle in Ber Mooser, W., Dr., Belpstrasse 71, Bern . Moser, "Ch., ein: Dr. in Bern Müller, Emil, gew. Apotheker in Bern Müller, Professor Dr., P., in Bern . Mitach, Alfred, von Riedburg, Bern . Mützenberg, Dr. med. Ernst, Spiez . . Nanny, Dr. Wilhelm, Arzt in Mühleberg . Nicolet, L., Pharmacien, St. Imier listen, @.). SH, Mechaniker in Bern . Pflüger, Dr, Professor in Bern . | . Pulver, Fe Vorsteher in Hindelbank . ; : D. Renfer, H., Dr. Prof. an der Handelsakademie in St. allen ». kis, F., Lehrer der Physik am städtischen Gymnasium . *Rosenmund, Oberst, Ingenieur, Bern . Rothen, G., Sekundarlehrer, Bern 3 ; ne Dr., Sekundarlehrer in Bern. ß ; . Rubeli, Dr. Professor an der Thierarzneischule, Bern . . Sahli, karl Dr. H.”Bern 2. Sauter, Dr. J., Ingenieur, Bern” ; . . Schaffer, Prof. Dr., Kantonschemiker, Bern . Schapiro, Dr. J., Bern 5. Schlachter, Dr. , Gymnasiallehrer, Bern - ). Schmid, Dr. W, Oberst, Oberinstruktor der Artillerie) Bern * Schönemann, Dr., Bern . Schürch, Otto, Dr. phil., Zahnarzt, Langnau . Sidler, Dr., Honorar-Professor, Bern . ‚ . v. Speyr, Dr. Prof., Direktor der Waldau . Spiess, Otto, Dr., Assistent in Trappes (France) . Stäger, Rob., Dr. med., Bern . Steck, Th., Dr. phil., Konservator am Naturhist. Museum Bern . Steiger, Hans, Oberstlieutenant, Bern *Steinegger, Rud., Dr., I. Assistent, Liebefeld ’. Stooss, Max, Professor Dr. med., Arzt in Bern . Strasser, Dr. Hans, Professor der Anatomie, Bern . Strelin, Alexander,*Dr. med., Arzt, Bern . Dtreun, G., Dr., Sekundarlehrer, Bern .„Studer,“Bernhard,Zsen., Bern . Studer, Bernhard, Apotheker, Bern i Studer, Dr. Theophil, Professor der Zoologie, Bern : Studer, Wilhelm, *Apotheker in Bern . Tambor, J., Dr. phil, Prof., Laboratorium, Bern . Tanner, &. H., Apotheker in Bern Tavel, Professor Dr. E., Bern — Xu, > 127. Thiessing, Dr., Redaktor, Bern . 128. Thomann, Dr., Apotheker in Bern 129. Trruninger, E., Cäzilienstrasse 44, Bern 130. v. Tscharner, Dr. phil. L., Oberst, Bern 131. ». Tscharner-de Lessert, Oberst, Bern 132. Tschirch, Dr. A., Professor der Pharmakognosie in Bat £ 153. elendin, Professor Dr. med. Ad.. Arzt in Bern 134. Vögeli, H., Dr. med., Thun 135. Volz, Wilhelm, Apotheker in Bern 136. Wäber-Lindt, A., Bern $ ? 2 : J 137. Walthard, Max, Dr. med. P.-D., Arzt in Bern. 138. ». Wattenwyl-v. Wattenwyl, Jean, Oberst, Bern 139. Wilhelmi, A., Dr. Thierarzt, Bern 140. Wüthrich, Dr. phil. E., Direktor der Fabrik Neuenegg 141. Wyss, Dr. G., Buchdrucker in Bern . . 142, Wyttenbach-v. Fischer, Dr., Arzt in Bern . 143. Zeller, R., Dr. phil., Geolog, Bern i 144. Zumstein, Dr. med., J. J., in Marburg . Mitgliederzahl auf 31. Dezember 1902: 144. Im Jahre 1902’ausgetreten: Hugi, E., Dr. phil., Assistent am geolog. Institut, Bern Marckwald, Dr. Max, Frankfurt a. M. > Müller, Max, Dr. med. in Bern. i Pulver, E., Apotheker in Interlaken . Im Jahre 1902 gestorben: v. Fellenberg, Dr. phil. E., Bergingenieur, Bern Wanzenried, Sekundarlehrer in Grosshöchstetten Wollensack, Heinrich, Dr. med., Giessbach 1867 1901 1901 1874 1878 1890 1872 1898 1887 1864 18594 1877 1898 1892 1887 1872 1893 1885 1900 1889 1593 1890 1861 1867 1398 at Sov-manaunekumr — XIV — Korrespondierende Mitglieder: Flesch, Dr. M., Arzt in Frankfurt Gasser, Dr. E., Professor der Anatomie in Marburg . Graf, Lehrer in St. Gallen . . Grützner, Dr. A., Professor in Tübingen . Hiepe, Dr. Wilhelm, in Birmingham . Imfeld, Xaver, Topograph in Hottingen . Krebs, Gymnasiallehrer in Winterthur ; Landolf, Dr., in Chili . Lang, Dr. A Professor in Zurich . Leonhard, Dr., Veterinär in Frankfurt > Lichtheim, Professor in Königsberg . : { . Metzdorf, 'Dr., Prof. der Vet. -Sehule in Proskan, "Sehlesien. Reini, «Dr: Ed, Professor der Geographie in St. "Petersbur x . Regelsperger, Gust., Dr., rue la Boetie 85, Paris . Rothenbach, Lehrer am Lehrerseminar in Küssnacht Wälchli, Dr. med. D. J., Buenos Ayres Wild, Dr. Professor, in Zürich 1882 1884 1858 1881 1874 1880 1864 1881 1876 1870 1881 1870 1883 1883 1871 1873 1859 “te BER.“ ne Rechnung der bernischen naturforschenden Gesellschaft pro 1901. Einnahmen. An Jahresbeiträgen An Eintrittsgeldern An Zinsen 3 ; An verkauften Mitteilungen An ausserordentlichen Beiträgen Ausgaben. Passiv-Saldo letzter Rechnung . Mitteilungen Bibliothek Sitzungen Lesezirkel Verschiedenes Bilanz. Ausgaben Einnahmen Passiv-Saldo Reservefonds ist im ‚Jahre 1901 unverändert geblieben wie im Vorjahre Koch-Fundus Kassa-Schein der Hypothekarkassa des Kantons Bern A 4° Vermögensetat. Das Vermögen der bernischen naturforschenden Gesellschaft besteht auf 31. Dezember 1901 in dem Reservefonds . Kochfundus Weniger dem Passiv-Saldo obiger Rechnung Demnach netto Auf 31. Dezember 1900 betrug das Vermögen Auf 31. Dezember 1901 beträgt dasselbe Es ergibt sich demnach eine Verminderung um Der Kassier: B. Studer-Steinhäuslin. Genehmigt in der Sitzung vom 25. Oktober 1902. Kri06 302 » 125.05 > 13.50 » 308.20 Fr. 1540.75 Br. 0943.15 > 1149875 » 193.20 » 119.20 » 71.40 » 84.00 Fr. 1853.70 Fr. 1853.70 » 1540.75 Fr. 312.95 Pr21860.- Er500-— Hr..1800- » 500.— Er2300 » 312.95 Fr. 1987.05 Fr. 2056.85 >» 1987.05 Er: 69.80 J. H. Graf. Daniel Huber’s trigonometrische Vermessung des Kantons Basel (1813 —1824). (Vorgetragen in der Sitzung vom 30. November 1901.) Beim Durchgehen eines Katalogs des Antiquariats Geering in Basel fand sich ein Manuscript «Trigonometrische Berech- nungen von Prof. Daniel Huber», welches auf unsere Veranlas- sung sofort vom Eidgen. topographischen Bureau in Bern er- worben worden ist. Das sauber geschriebene und gut erhaltene Manuscript erwies sich als ein «Versuch einer trigonometrischen Vermessung des Kantons Basel von Daniel Huber, Prof. Math. 1824», und dasselbe soll nun im Nachfolgenden mit einigen Er- läuterungen und Bemerkungen zum theil auszugsweise wieder- gegeben werden. Denselben fügen wir einige andere Akten beı, welche uns gütigst vom Staatsarchiv Baselstadt zur Bearbeitung überlassen worden sind. Daniel Huber (1768—1829), dessen Biographie einerseits von P. Merian'), andrerseits von R. Wolf?) gegeben worden ist, war der Sohn des Astronomen Joh. Jakob Huber?) (1733—1798), dessen Biographie wir 1892 der Basler Naturforschenden Gesellschaft bei Anlass der Feier ihres 75jährigen Bestehens gewidmet haben. Wenn auch Joh. Jakob Huber viele Misserfolge bei seinem wis- senschaftlichen Streben zu verzeichnen hatte, so hat er trotz der- selben in seinem Sohne Daniel das heilige Feuer der Begeisterung für die wissenschaftliche Forschung anzufachen und zu nähren gewusst, so dass Basel in Professor Daniel Huber ein ausser- _ ordentlich tüchtiger Bürger heranwuchs, dessen Namen dort noch 1) Nekrolog von P. Merian in den Verhandlungen der Schweizer. Naturf. Gesellschaft 1830. S. 145—152. ?) Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz I. S. 441—462. ®) Das Leben und Wirken des Physikers und Astronomen Joh. Jakob Huber aus Basel (1733—1798). Mit dem Bildnisse Hubers und einer Tafel, seine von ihm erfundene freie Uhrhemmung darstellend. Mittheilungen der Berner Naturf. Gesellschaft. 1892. Bern. Mitteil. 1902. No. 1519. jetztin hohem Andenken steht. Daniel Huber verzichtete 1790 auf die Berufung als Astronom an das Observatorıum in Danzig und wurde im folgenden Jahre Nachfolger seines Lehrers Johannes IT. Bernoulli auf dem Lehrstuhl der Mathematik an der Hochschule seiner Vaterstadt. Huber hat durch eigenes Nachdenken die Methode der kleinsten Quadrate gefunden, deren Entdeckung dann später Gauss und Legendre zugeschrieben wurde. Sein mathema- tisches Hauptwerk ist eine Parallelentheorie: «Nova theoria de parallelarum rectarum proprietatibus, Basil., 1823 ın &, ein Werk, über das sich Legendre sehr anerkennend ausgesprochen. Daneben hat Huber die Astronomie nicht vernachlässigt. Ausser einigen astronomischen Manuscripten, welche im Besitze der Universitätsbibliothek ın Basel sind, publizierte er: 1) Circa phenomena quae ın stella Persı Algol obser- vantur quedam proponit D. Huber. (Nova Acta helvetica vol. 1. Basil., 1787 in 4.) 2) Versuch über das astronomisch-nautische Problem be- treffend die Reduktion der scheinbaren Monds-Distanzen auf wahre. (Zachs monatliche Korrespondenz.) 3) Versuch über die Verdienste Lamberts ın den mathe- matischen und physischen Wissenschaften. Basıl., 1829 ın 8. Er wusste auch seine Kollegen von der philosophischen Fakultät dafür zu bestimmen, dass aus Geldern der Fakultät, durch Zachs Vermittlung, ein Spiegelsextant von Troughton mit silbernem Limbus angeschafft wurde. D. Huber ist uns aber noch bedeutend dadurch, dass er 1816 an der 2. Versammlung der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft ın Bern theilnahm und 1817 die blühende Basler Naturforschende Gesellschaft ge- stiftet hat. Er wurde 1821 Jahrespräsident der Versammlung der Schweiz. Naturforschenden Gesellschaft ın Basel. Endlich ist noch eine Seite seiner Thätigkeit zu erwähnen. 1502 wurde er Bibliothekar der Universitätsbibliothek, welche er nicht nur jahrelang ausgezeichnet verwaltete, sondern welcher er bei seinem Tode seine ganze Bücherei, alle seine Manusecripte und Instrumente, damals auf ca. 30,000 Fr. gewerthet, hinter- liess. Dadurch ist die Basler Universitätsbibliothek zu einer wahren Fundgrube für die ältere Litteratur für jeden Mathema- Bay tiker, Astronomen und Physiker geworden. Huber starb ziemlich unerwartet am 3. Dezember 1829. Für seine Instrumente!) fand er ın Basel einen ausgezeich- neten Mechaniker Joh. Burkard Ecklin (1788—1856), der ıhm be- sonders in den Jahren seiner trigonometrischen Operationen sehr zu statten kam. Ecklin hatte einige Zeit beim berühmten Mechaniker Reichenbach in München gearbeitet und sich 1812 ın Basel etablırt. Dann sind als Huber’s Mitarbeiter auf dem Ge- biete der Vermessung zu nennen: 1) Joh. Jakob Schäfer von Seltisberg bei Liestall (1745 1823), ursprünglich Müller, dann Landkommissarıus. 1798 Mitglied der aus 5 Gliedern bestehenden Verwaltungs- Kammer von Basel. 2) J. M. Zeiher aus dem Anspachischen, ein geschickter Gärtner, Botaniker und Greometer. 3) Andreas Merian, 1794 ın Basel geboren, wurde 1813 Adjunkt des Landkommissärs Schäfer und des Ober- försters Hagenbach. Einige Jahre später bestimmte man seine Pflichten näher; darnach sollte er in erster Linie dem Landkommissär bei staatlichen Vermessungen helfen, in der übrigen Zeit dem Oberförster die Bureaugeschäfte besorgen etc. Merian konnte mit staatlicher Beihülfe 1817 zwei Jahre ın Karlsruhe und München sich weiter ausbilden, kehrte 1819 zurück, sollte H. bei seiner Vermessung bei- stehen. 1822 wurde er Strassen- und Wasserbauinspektor. Anfang der dreissiger Jahre in die politischen Unruhen verwickelt, wurde er ın seinem Amt stillgestellt; er ver- liess Basel und ging nach Aarau. Nachher amnestiert, kehrte er nicht mehr ın seine frühere Stellung zurück, sondern suchte er 1834 seine Entlassung nach, welche er erhielt. Gegen Ende seines Lebens wohnte er in Neuen- burg und starb dort. 4) Andreas Bräm von Dättlikon, 1797 ın Basel geboren. Er hatte aus Liebhaberei, durch Augenmass und Abschreiten, eine Karte eines Grosstheils vom Kanton Basel, sowie der angrenzenden Theile des Bisthums und des Mark- '!) Wolf, Geschichte der Vermessungen. 195—198. ap grafenlandes gemacht, die gar nicht übel war. Huber wurde auf ihn aufmerksam; er anerbot sich, Bräm ın den Gebrauch der Instrumente eimzuführen und darın leistete er Huber grosse Dienste. Bräm machte dann 1825 sein theologisches Examen, war eine Zeit lang Lehrer an der Töchterschule, er wurde sodann Pfarrer in Duisburg und ın Mörs in Rheinpreussen, wo er starb. Schon im Jahr 1811 hat Dr. C. Bernoulli‘) eme Vermessung des Kantons Basel geplant und am 5. Juni 1812 eine sachbe- zügliche Eingabe an einen einflussreichen Ratsherrn mit der Bitte um Beihülfe gerichtet. (Siehe Anhang Nr. 1), worauf die «lobl. Haushaltung» des Kantons, eine Art Staatswirtschafts- Kommission mit exekutiver Gewalt, am 24. Juni 1812 den Auf- trag erhielt, die Angelegenheit zu untersuchen und sich mit Herrn Bernoulli in Verbindung zu setzen (Anhang Nr. 2). In einer weitern Eingabe (Anhang Nr. 3) vom 27. Juni 1812 theilt Bernoulli mit, dass er sich mit dem Herrn Ratsherrn Finsler ın Zürich, dem spätern Oberstquartiermeister, und Herrn Präsident Escher in Verbindung gesetzt und sich über sein Unternehmen mit ihnen, hauptsächlich über die Instrumente, beraten habe. Wohl habe die phil. Fakultät einen Sextanten, der aber nicht so praktisch für die Kantonsvermessung zu gebrauchen wäre; es wäre besser, einen Theodoliten in Stuttgart, Darmstadt oder wenigstens in Zürich (bei Oeri) zu bestellen, dessen Ausgabe sich auf ca. 20-30 Louisd’or belaufen würde. Daraufhin wurde am 20. Juli die Universität angefragt, welche Instrumente dem Herrn Dr. C. Bernoulli für sem Unternehmen zur Verfügung ge- stellt werden könnten (siehe Anhang Nr. 4), worauf der Rektor, Prof. Hier. König, einen von Prof. Daniel Huber mit vielem !) Es ist dies wohl kein anderer als Christoph Bernoulli, geb. 15. Mai 1782. Sohn des Professors der Eloquenz und Dompropsteischaffners Daniel II. Bernoulli. C. Bernoulli studierte 1801 in Göttingen, wo er auch doktorierte, wurde Lehrer am Pädagogium in Halle, besuchte Berlin und Paris und wurde Professor an der Basler Hochschule. Technisch ist er bekannt als Verfasser des «Vademekum des Mechanikers», das 1829 bei Cotta zum ersten Male erschienen ist. Über das Leben dieses auch als Nationalökonom bedeutenden Gelehrten vergl. F. Burckhardt, Zeitschrift für schweiz. Statistik. 1898. 34. Band. NEN Fleiss ausgearbeiteten und die ganze Wichtigkeit dieses Gegen- standes in das helleste Licht stellenden Bericht einsandte. (25. Juli 1812). Die Regierung bewilligte unter dem 23. Dezember 1812 den Kredit für Auschaffung eines Theodoliten. Es scheint aber, dass daraufhin Bernoulli die Sache liegen liess. Hingegen trat nun Professor Daniel Huber an seine Stelle. Von ıhm rührt her eine Eingabe vom 4. Mai 1813 folgenden Inhalts: Wohlweiser Herr Bürgermeister, Hochgeachte Herren! Zu Ende vorigen Jahres haben Ew.;Weisheiten Einer Löbl. Haushaltung die Hand zu öffnen geruht, um einen Theodoliten anzuschaffen, der zur trigonometrischen Aufnahme unsers Can- tons zunächst dienen sollte. Dieses Instrument war alsobald bey den H” Baumann u. Kinzelbach in Stuttgard bestellt worden, welche mir dasselbe vor Ende gegenwärtigen Monats zu liefern zugesichert haben. Da nun also diese Operationen bald ıhren Anfang nehmen können, so ergeht an Ew. Weisheit hiermit in Ehrerbietung das geziemende Ansuchen um die Bewilligung folgender Punkte, welche zum guten und ungehinderten Fortgang dieser Messungen erforderlich sind. Erstlich: ein Patent, durch welches ıch zu dieser Arbeit Hoch- obrigkeitlich autorisirt würde, und in welchem die Herren Bezirks- statthalter, sowohl als die Herren Gemeinde Raths Präsidenten, angewiesen würden, mir auf mein Ansuchen den benöthigten Schutz, Unterstützung und Beyhülfe in Betreff der zu errichten- der Signale, des Transport der Instrumente, u. s. w. zu gewähren. Zweytens wünschte ich: dass, entweder diesem Patente bey- gefügt, oder im einem besondern Passus eine Empfehlung an die nächsten höhern und niedern Behörden der Gränz Cantone Solothurn und Aargau ausgefertigt würde, mir benöthigten Falls ihren Schutz ebenfalls angedeihen zu lassen. Da es für die Trıangulirung unsers Cantons vortheilhaft seyn wird, wenigstens zwey Standpunkte im Canton Solothurn, nämlich auf dem Pas- schwang, u. auf der Gempenfluh damit zu verbinden, so werde ich, wenn ich das Locale näher werde bestimmt haben, alsdann bey FE Ew. Weisheiten besonders um Verwendung bey der hohen Re- gierung von Solothurn anhalten. Drittens: Die Anweisung einer Behörde, welcher ich sowohl den Plan der zu unternehmender Arbeit, zur Genehmigung, als auch die betreffenden Conti für die Errichtung der Signale, für den Transport der Instrumente, u. für andre Auslagen, zur Be- zahlung vorzulegen hätte. Viertens: Einen Auftrag an Lobl. Waldkommission: den Herrn Oberförster zu bevollmächtigen, dass ich mich, um die Arbeit zu befördern, nur an Ihn zu wenden hätte; sey es wegen Herbeyschaffung des benöthigten Holzes zu den Signalen, oder wegen der zu Erhaltung freyer Aussicht etwaigen nöthiger Weg- räumungen. Ew. Weisheiten können versichert seyn, dass ich es mir zur angelegentlichsten Pflicht machen werde, die Waldungen des Cantons in aller Rücksicht auf das gewissenhafteste zu schonen; so wie ich mich auch überhaupt verpfliehte, nicht nur keine unnöthigen Ausgaben zu veranlassen, sondern auch mit allem Eifer darauf zu sehen, dass m allem die grösstmögliche ÖOeconomie beobachtet, und der Staat so wenig als möglich mit Ausgaben belästigt werde. Öbigen Punkten wage ich noch einen unvorgreiflichen Vor- schlag beyzufügen. Die Erfahrung zeigt, dass solche Signale nicht nur von Wind und Wetter, sondern auch von Muthwillen und Eigen- nutz manchmal Anfälle auszuhalten haben. Ich glaube also, es würde nicht unthunlich seyn: entweder durch eine öffentliche Publication, oder durch eine den Gemeinden vorzulesende Er- mahnung zu erklären, dass die zu errichtenden Signale mit Vor- wissen und Bewilligung der hohen Obrigkeit aufgestellt, und unter ihrem besondern Schutze stehen, und vor jeder Beschä- digung derselben ernstlich zu warnen. Ich verharre übrigens mit schuldiger Hochachtung Ew. Weisheiten Treugehorsamer Burger Dan. Huber, Prof. Math. Basel. 1813 Maj 4. Ferner eine Eingabe vom 18. Mai 1813 an die hochlöbl. Haushaltung des Kantons Basel. Dieselbe besteht aus folgenden Teilen: I. Teil: Huber setzt den Gang der trigonometrischen Ver- messung des Landes auseinander, vor allem dıe Grundlage der- selben, die Basısmessung. Die Messung einer Basis sei aber eine delikate Sache. Es sei besser, an eine bereits begonnene Ver- messung, wie diejenige von Schanzenherr Feer von Zürich aus, oder die von Professor Trechsel von Bern aus angefangene, anzu- schliessen. Auch hofft er auf die Verbindung mit einer dritten Triangelreihe, welche Hofrath Wild ın Müllheim ı. B., gestützt auf eine nahe bei Müllheim gemessene Basıs, begonnen hat. Dann kommt er auf die Primartrianyulation eines Landes, auf die Orientierung des Dreiecknetzes, Bestimmung der Lage von Basel, die secundären und tertiären Triangulationen, das Aufnahmever- fahren zu sprechen. Der Il. Teil beschlägt die ım Sommer 1813 vorzunehmenden Arbeiten: H. wıll die Bestimmungen wegen der Kleinheit seines Instruments unabhängig kontrollieren, dazu hat er eine dreifache Reihe von Dreiecken entworfen, die er in einer beigegebenen Zeichnung durch blaue, schwarze und rothe Linien unterscheidet. Da die Primartriangulation die Grundlage des ganzen Werkes ist, so wird er keine Mühe scheuen, sie möglichst genau zu machen und sie im Sommer 1813 zu vollenden trachten. Ill. Teil handelt von den zum Werke nötigen Einrichtungen und Hülfsmitteln. 1. wurde die Frage aufgeworfen, ob ihm ein Gehülfe zu geben sel; er wünscht keinen, da er an einsames Arbeiten gewöhnt sei. 2. Jedem, der sich für das Werk interessiert, werde er gerne Auskunft geben. 3. Ein Gehülfe wird bei der spätern Triangulation allerdings nothwendig sein. Zwei Träger für den Transport der Instrumente genügen. 5. Für die Instrumente werde er schon aus Interesse, Bürger- sinn und vieljähriger Uebung grosse Sorge tragen, dies sei die einzige Garantie, die er geben könne. > Re op) Von den Beobachtungen werde er eine Copie ins Depot liefern. ’. Alle auf das Land, seine physische Beschaffenheit und Land- wirthschaft bezüglichen Bemerkungen werde er der Regierung mittheilen. X Das ganze Werk übernehme er ohne Honorar, hingegen wünsche er vergütet die Auslagen 1. für Errichtung der Signale; 2. für den Transport der Instrumente; 3. für Reise und Verköstigung; 4. für kleine Entschädigungen an die Landeigenthümer; grössere werde er stets vorher dem Rathe vorbringen; 5. für Verbesserungen an den Instrumenten. Es sollte hierüber ein Budget aufgestellt werden. Anschliessend daran liegt eine Notiz folgenden Inhalts bei den Akten: Von Solothurn und Aargau wünscht er: l. emnen Pass mit Empfehlung an die hohen und niedern » Behörden der an Basel angrenzenden Theile; 2. von Solothurn allein die Erlaubniss zur Errichtung von Signalen auf der mittäglichen Seite der Gempenfluh und des Passwang. Es sollten 4seitige Steinpyramiden von 4 Fuss Seite und 8 Fuss Höhe errichtet werden. 3. Von Solothurn, dass auf Dürren-Eck oder Bölchenfluh, auf Geissfluh bei Oltingen einige Bäume gefällt werden dürften, um einen freien Blick nach den Kantonen Basel und Bern zu erhalten; 4. dass von Solothurn ein Befehl ausgehe,; die Signale zu respectiren, hauptsächlich für die Gemeinde Gempen, Dor- nach, Hobel, Mümliswyl, Berkiswyl, Instwald, Iffenthal, Hauenstein, Wiesen, Rohr, Kuenburg bei der Geissfluh. Basel, Mai 28., 1813. Dazu kommt noch ein weiterer Nachtrag zu den Freitags angegebenen Noten. Im Schreiben von Solothurn möge man bemerken, dass die Standpunkte Gempenfluh und Passwang besonders geeignet seien, den Kanton Basel zu vermessen, und der Passwang nötig sei für die Verbindung mit der Vermessung des Kantons Bern. Es könnte sonst der Regierung von Solothurn kurios vor- kommen, dass man, um Basel zu vermessen, auf ıhrem Gebiet Signale nothwendig habe. Montags, 1813, Mai 31. Bericht über die im Jahre 1815 die Vermessung des Kantons Basel vorgenommenen Vorrichtungen. Nachdem unter dem 23. Dezember 1812 der Kantonsrat der löblichen Haushaltung den Kredit zur Anschaffung eines Theodolits bewilligt hatte, bestellte H. nach einer Rücksprache mit Staatsrat Stehlin das Instrument bei den Herren Baumann und Kinzelbach in Stuttgart. Ueber das Instrument korrespondierte er mit Hofrat Wild m Müllheim. Ende April war Oberst J. H. Weiss bei ıhm, der darüber klagte, dass das Signal auf dem Wiesenberg schon mehrmals umgeworfen worden sei; H. versprach, es wieder aufrichten zu lassen. Andere Geschäfte und schlechtes Wetter waren den Arbeiten hinderlich. Das Signal auf dem Wiesenberg wurde auf Anordnung des Statthalters vom Bezirk Sissach aufgestellt und so an vielen andern Punkten auch. H. entwickelte grossen Fleiss, z. B. an einem Vormittag hielt H. die Dekanatsrede, am Nachmittag war er schon wieder auf Exkursionen. Am 15. Juli wurde der Theodolit von Stuttgart eingeliefert. So gings bis 1. October. Basel, 1814, Juli 7. Von den Behörden des Kantons Aargau wurde ıhm jeglicher Schutz zugesichert (Anhang Nr. 5, 6 und 7). Dasselbe geschah von Seiten Solothurns (Anhang Nr. 8, 9, 10). Im Staatsarchiv finden sich eine Reihe von Berichten und Rechnungen über die 1813—24. Von besonderm Interesse ist eine Eingabe vom 15. März 1815, die wır ın extenso aufführen. Hochgeachter Herr Präsident, Hochgeachte, Hochzuverehrende Herren! Zur Beförderung der mit Anfangs der schönen Jahreszeit wieder zu beginnender Operationen, die trigonometrische Ver- messung des Cantons betreffend, gebe ich hiermit die Ehre folgende zwey Vorschläge zu thun. Bern. Mitteil. 1902. No. 1520. ZN I. Wenn ich in dem, Einer Hochlöblichen Haushaltung vor zwey Jahren eingegebenen Plane zur Unternehmung dieser Ver- messung mich geäussert hatte, dass man der Messung einer Basis überhoben seyn könnte, wenn man das Dreyeck System unsers Cantons mit dem des Kantons Bern verbinden könnte, so hatte ich dabey hauptsächlich öconomische Betrachtungen be- rücksichtiget, wenn es mir gleich lieber gewesen wäre, auch für unsre Dreyeck Reihe eine besondere Basis zu messen, welches in mehreren Rücksichten vortheilhaft wäre. Auch würden die Unkosten nicht so beträchtlich seyn, dass der Staat dieselben, wenn es auch nur der Ehre halber wäre, die Messung des Cantons unabhängig für sich unternehmen zu können, nicht über sich nehmen könnte. Es wird aber die Mes- sung einer Basis noch wünschenswerther, wenn eine allgemeine Uadastrirung des Kantons näher seyn sollte, als es bey Unter- nehmung der Messung des Ganzen zu Anfang das Ansehen hatte. Für unsern Canton zu vermessen ist eine kleine Basis von 3000 bis 7000 Schuhen hinreichend, wenn die Messung genau unternommen wird. Diese Genauigkeit könnte emigermassen mit tannenen Messstangen, aber doch weit besser mit einer grossen Messkette erhalten werden. Ausser dem nämlich, dass man bey der Messung mit hölzernen Stangen verschiedenen kleinen Fehlern unterworfen ist, ist die Operation mit einer Kette viel geschwinder vollendet, und erfordert nicht so viele Zurüstungen als bey jenen. Es wäre beydes hier auseinander zu setzen viel zu weitläuffig, ich bin es aber auf besonderes Begehren erbötig zu thun. Eine solche Messkette muss sich aber von den gewöhnlichen Feldmesser Ketten in mehrerem unterscheiden, und kömmt daher ziemlich hoch zu stehen; deswegen ich eben, ehe ich dieselbe ausfertigen liesse, meinen Hochgeachten Herren Anzeige davon zu thun mich verpflichtet erachtet. Sie muss erstlich eine beträchtliche Länge haben. Hundert Fuss ist das eben rechte Maass. Zweitens darf sie nicht nur aus dickem Eisendrath, sondern aus Stahl bestehen, der auf einen gewissen Grad gehärtnet ist. Drittens können die Glieder nicht nur durch Ringe an einander hängen, sondern sie müssen durch genau gearbeitete charnıeres mit einander verbunden seyn. Ge Unser Herr Mechanicus Ecklin wäre ım Stande eine solche Kette vortrefflich auszufertigen. Ich habe mit ıhm vorläuffig dar- über gesprochen. Er glaubt, Er könne sie um 100 franken liefern; ich muss aber gestehen, ıch glaube, er würde wohl so viele Arbeit daran haben, dass sie auf 100 Basel Pfunde würde zu stehen kommen. Da ich Herr Ecklin immer sehr billig ge- funden habe, so glaube ıch, wäre es besser, ıhn erst nach voll- endeter Arbeit den Preis bestimmen zu lassen, als vorher mit ıhm zu acordıren. Es ergeht also hiermit meine geziemende Bitte an meine Hochgeachten Herren dahin: zu Anschaffung einer solchen Mess- kette die Erlaubniss zu ertheilen. Wenn die Anschaffung von Messstangen sich nicht so hoch belaufen würde, so gewinnt man, da eine Messung vermittels einer Kette mit mehr Beförderung und weit weniger Apparat und Zurüstungen zu Stande gebracht werden kann, auf dieser Seite wieder einen beträchtlichen Theil des Ueberschusses. Eine genaue Messkette würde übrigens nicht nur zunächst für diese Vermessungen die trefflichsten Dienste leisten, sondern auch in der Folge zu jeder genau zu unternehmenden Messung zu gebrauchen seyn. 11. Wenn die Triangulation des Cantons beendigt ist, so ist dann die Aufnahme der Details ein Geschäft, das nicht Monate, sondern Jahre erfordert; besonders, wenn zu einer Cadastrirung auch der kleinste Detail soll-aufgenommen werden. Es ist daher von der grössten Wichtigkeit, dass wenigstens die Punkte der Primar Triangulation so bestimmt werden können, dass sie im- mer, wenn auch die Signale verunglücken sollten, wieder leicht können aufgefunden werden, da die Aufnahme der Details die Kenntniss jener Punkte immer voraussetzt. Ich habe zwar, zur Wiederauffindung der Mittelpunkte der bestehenden Signale Alıgnement mit benachbarten Gegenständen, Bäumen, u. d. g. nehmen lassen, oder auf andere Weise dafür gesorgt; doch war ich mit diesen Versicherungen nicht ganz zufrieden, und vernahm daher vor einigen Wochen mit Ver- gnügen von Herrn Inspector Laroche einen hierher gehörigen Vorschlag, der mir sehr zweckdienlich scheint, und den ich des- wegen meinen Hochgeachten Herren hiermit vorlege, um von Hochdenselben zu vernehmen, ob Sie ıhn zu genehmigen er- achten. Dieser Vorschlag besteht darın: ın den Mittelpunkt der Signale von den E. Gescheiden der betreffenden Höhe Steine setzen zu lassen. Ein solcher Stein müsste nirgends hinweisen, aber doch genugsam bezeichnet werden, dass das Gescheid ıhn immer für einen von Ihnen gesetzten Stein erkennen würde. Auch müsste ein jeder mit einer bestimmten Nummer bezeichnet, und in das Gescheids Protokoll eingetragen werden. Die Fälle sınd Gottlob bey uns noch sehr selten, wo Marchsteme nicht respeetirt werden, und wie ein solcher würden unsere Sıgnal-Steine gewiss auch vor muthwilliger Beschädigung gesichert bleiben. Solcher zu bestimmender und zu verwahrender Punkte möch- ten sich etwa 20 bis 25 erfinden. An den Stellen, welche hart an den Gränzen des Cantons liegen, möchten solche Steinsetzun- gen vielleicht nicht thunlich seyn. An solchen Orten muss man dann entweder einen Stein etwas weiter von den Gränzen weg- setzen, und dessen Lage auf das genaueste gegen den Mittel- punkt des Signales bestimmen, oder je nach Beschaffenheit des Locales auf andere Mittel bedacht seyn. Sollte der Vorschlag von meinen Hochgeachten Herren ge- nehmigt werden: so wünsche ich eine besondere Erlaubniss des- halb zu erhalten, welche ich den Herren Bezirksstatthaltern vor- weisen könnte, um durch dieselben dıe betreffenden Gescheide in jedem benöthigten Falle requiriren zu können. Dieses wären die beyden Vorschläge. Uebrigens verharre ich mit ausgezeichneter Hochachtung Hochgeachter Herr Präsident, Hochgeachte Herren Dero Ergebenster Dan. Huber, Prof. Math. Basel, 1815 März 15. Ueber den Verlauf der ganzen Unternehmung und ihre Resultate geben wir nun Huber selbst, nach dem eingangser- wähnten Manuscript, das Wort. Versuch einer trigonometrischen Vermessung des Kantons Basel. Von Daniel Huber, Prof. Math. 1824. Einleitung. In der Einleitung entschuldigt sich H., dass die Dreiecks- vermessung weder bezüglich der Genauigkeit noch der Voll- ständigkeit die Vollendung habe, die er gern gewünscht und ge- hofft hätte. Die Gründe hiefür seien: 1. Die sehr beschränkte Zeit. H. konnte daher nicht so viele Winkel messen, als ihm notwendig schien; auf einige Punkte musste er sogar Verzicht leisten. 2. Das Instrument: ein sechszölliges Theodolith von Baumann, einem ausgezeichneten Mechaniker in Stuttgart. Dasselbe besass nicht den höchsten Grad der Vollkommenheit; daher fasste er den Plan, durch viele Beobachtungen den Mangel ihrer Genauig- keit zu ersetzen. Die Methode sollte von der bisherigen verschieden sein; den Plan dazu hatte H. schon vor 26 Jahren gefasst. Die ge- wöhnliche Methode beruht darauf: Man geht von einer Basıs aus, an welche man Dreiecke so legt, dass jeder Punkt von zwei andern bestimmt wird. Dazu wären bloss zwei Winkel nötig; um aber eine Verifikation zu haben, misst man alle drei. Seine Methode besteht darın: die Bestimmung eines jeden Punktes soll auf die Lage mehrerer anderer begründet werden, d. h. auf jeder Station sind so viele Winkel als möglich zu messen, um viele Vergleichungen zu haben. Er suchte ein Hauptdreieck, das fast den ganzen damaligen Kanton einschliessen würde, so genau zu bestimmen, dass man alle andern Punkte dann darauf beruhen lassen kann. Er nahm als Fundamentaldreieck: Basel- Wiesenberg-Passwang und sah, dass dieses Dreieck durch die Beob- achtungen mit dem Theodolithen von Baumann nicht genug bestimmt sei. Deshalb trachtete er die Bestimmung mit dem Reichen- bach’schen Kreise, emem 1817 von Reichenbach um 900 fl. ge- — 14 — kauften 12zöllıgen Kreis von Borda zu verifizieren. Das kostbare, eigentlich zu astronomischen Zwecken bestimmte Instrument musste aber dadurch den Gefahren des Transportes ausgesetzt werden; trotz dieses Bedenkens that Huber es aber doch, und mass aus Gründen der Genauigkeit ebenfalls bei Stationen ım der Nähe der Stadt, wie auf der Chrischona, beı Schauenburg und Scheurhalden mit diesem BReichenbach’schen Instrument Winkel. Die Lage der andern Punkte konnte er sodann durch Coordinaten auf den Meridian von Basel bestimmen. Um also einen Punkt aus andern herzuleiten, wurden zuerst aus einem Dreieck die Coordinaten desselben vorläufig bestimmt. Diese vorläufigen Coordinaten wurden mit den definitiven Coordinaten anderer Punkte, die vorher schon bestimmt waren, verglichen resp. die Winkel berechnet und diese mit den beobachteten Winkeln verglichen, die Abweichung mit ihrem Vorzeichen ange- merkt. Hierauf wurde untersucht, welche Veränderungen von den angenommenen vorläufigen Coordinaten vorzunehmen wären, um die sämtlichen bemerkten Abweichungen so klein als möglich zu machen, und dıe sonach veränderten Coordinaten wurden alsdann als die definitive Bestimmung des fraglichen Punktes angesehen. Huber hatte versucht, die vorzunehmenden Veränderungen mit der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen'!); sie führe aber zu weitläufigen Rechnungen, wo leicht Fehler unterlaufen können, darum zog H. vor, jene vorzunehmenden Veränderungen durch Versuche empirisch nach und nach auszumitteln, eine Methode, welche Resultate ergab, die von denjenigen durch die andern Methoden erhaltenen, nur durch Fraktionen von Fussen sich unterscheiden. Ausser der Unvollkommenheit des Instruments, bemerkt H., kann es noch andere Fehlerquellen geben: da hinzu kommen die Gestalt einiger Signale, wie z. B. auf dem Sonnenberg, Scheurhalden. Hühnersedel, wo die Signale Bäume sind, welche von der senk- rechten wie auch von der regelmässigen Figur abweichen, ferner das Wechseln der Signale?), weil sie von Bauern oder durch Mut- willen zerstört und dann nicht exakt an gleicher Stelle wieder errichtet werden können, endlich die Excentrieität der Beobach- !) Dies um so eher, als er eigentlich der Entdecker dieser Methode ist. ?) Welchen Einfluss dies hatte, vgl. Graf, Gesch. d. Dufourkarte, 8. 22. Di DEREN K a ” “IOqng [aluwg] 'FOIg U0A 9ZPN UAYOSLIPWOUOFLI} m HFJundsq99Tsad Id og *® ss] zueij 00005 ET re tungen, welche an den meisten Orten durch die Lokalitäten ver- ursacht werden und bei welchen die nötigen Dimensionen nicht immer genau genug bestimmt werden konnten. H. tröstet sich aber damit, dass ın den meisten Fällen die Beobachtungsfehler sich kompensieren werden und sagt: «ich «sollte nicht glauben, dass in den Coordinaten sich irgendwo ein «Fehler befinde, der über 2 oder 3 Fuss ıst. Es ıst dies zwar «keine grosse Genauigkeit, aber doch hinreichend für den Zweck, «wesswegen hauptsächlich diese Triangulation unternommen wor- «den ist, dass sie nämlich zur Begründung einer Kadastervermessung diene.» I. Kurze Bezeichnung der 25 Punkte des Dreiecksystems. (Mit ihren Abkürzungen.) Ba. 1. Pkt. Basel: Der südöstliche Münsterthurm, der sogenannte Martinsthurm. Auf dem obersten Boden ward die Mitte des Achtecks innen gemessen und als senkrecht unter der Mitte des Thurmknopfs angenommen. Wi. 2. » Wiesenberg*): Ein Signal auf dem höchsten Punkt, das mehrmals neu errichtet werden musste. Pa. 3. » Passwang: Ein Signal auf dem höchsten Punkt. Ge. 4. » Gempenfluh: Ein Signal auf dem Vorsprung der Gempen- oder Schartenfluh, die Aussicht reicht nicht bis Basel, man musste deshalb eine Strasse durch das Gebüsch und den Holzwuchs durchhauen. Das Signal auf Felsen gestellt, wurde oftmals umgeworfen, ist daher wohl nicht immer an gleicher Stelle errichtet. Ch. 5. » Chrischona: Die Spitze des südlichen Giebels des Sattelthurms. Sch. 6. » Schauenburg: Die Windfahne des Hın. Dr. Merian zustehenden Pavillons auf den Ruinen des Schlosses. » Sonnenberg: Eine noch nicht alte Eiche auf dem höchsten Teile des Berges gegen W., unfern eines grossen «Bahnsteines» auf der Grenze gegen Riehen. Bö. 8. » Bölchenfluh: Ein kleines Signal, in den letzten Jahren vom Sturm gefällt, das Mittel hat man noch finden und bewahren können. 1) Vergl. Geschichte der Dufourkarte, S. 31. an 2 -1 Sı. Se. Hst. Hd. wı. Ca. Wt. Ro. Gf. Fa. Hü. Zu. OB. Di. 9.Pkt.Sissachfluh: Ein zweimal wieder hergestelltes Signal, 10. » » » gerade über der Fluh. Seltisberg: Auf dem Gilmshügel oder Kapf ın der Nähe des Dorfes Seltisberg, wo man vor einigen Jahren Gräber gefunden hat. Hohe Stelle: Eın Sıgnal auf der höchsten Stelle dieses Berges. Heidenstadt: Das Sıgnal steht nicht mehr, das Centrum ist mit einem Steine versichert. Wyl: Em Sıgnal auf der Gagsen, nicht weit vom (sagsen-Gatter. Holzenberg: Ein Signal fast zuoberst, Holzwuchs hinderte die Aussicht gegen die Reigoldswyler Berge; seit zwei Jahren ist sie offen. Aleten: Ein Signal am Rande der Aleten-Weide. Gastelenfluh: Eın Signal gegen S.-W. Scheurhalden: Eine Föhre, deren unterste Äste ab- gestutzt sind, auf der roten Fluh des Berges. Wytisburg: Ein Signal auf der hohen Ebene, welche auf der Aegerte genannt wird. Rothenfluh: Ein Signal auf der Fluh. Geissfluh: Ein Signal auf der Fluh. Farnsberg: Ein Signal auf einer die Ruine des Schlosses dominierenden Höhe, nicht weit von einem grossen Marchstein. Hiühnersedel: Eine Föhre. Zunzger Höhe: Ein Signal zwischen Höllsten und Zunzgen, unweit eines Gutes, Hofgarten genannt. Obergurth: Die westliche Giebelspitze des kleinen, etwas vom Hause entfernt stehenden Cabinets. Dillingen: Die südliche Giebelspitze des Thurmes. U re I. Verzeichnis der gemessenen Winkel. Alle Beobachtungen, auch die zweifelhaften, sind darin angegeben: die Nummer der Beobachtung nach dem chronolo- gischen Beobachtungsjournal, die Zeit des Beobachtens, die Angabe des Winkels, die 5. Colonne enthält die Anzahl der Wiederholungen, die letzte Colonne die Bemerkungen. Die Winkelangaben gehen bis auf Zehntelssekunden; H. ist jedoch weit entfernt, den Beobachtungen diese Genauigkeit zuzuschreiben, er wäre sehr zufrieden, wenn er auf eine Ge- nauigkeit von Zehntelsminuten rechnen könnte. Alle Winkel sind auf den Mittelpunkt der Station und den Horizont reduziert, alles werde doppelt gerechnet. Fast alle Beobachtungen sind mit dem 6-zölligen Theodolit von Baumann in Stuttgart gemacht worden, einige mit dem 12- zölligen Reichenbach’schen Repetitionskreis, dieselben sind durch ein beigesetztes R charakterisiert. Einen einzigen Winkel hat er mit emem 9-zölligen Reflexions-Sextanten von Trougthon gemessen; er ist mit S bezeichnet. (Stat. Basel Nr. 265). Der Theodolit hat gute Fernröhren, sie sind astronomisch und vergrössern 18 Mal. Im ersten Jahre waren terrestrische daran, die nur 10! Mal vergrösserten. An der Einteilung ıst nicht viel auszusetzen, jedoch sind eine Instabilität des Ver- sicherungsfernrohrs und dessen unvollkommene Verbindung mit dem Limbus hauptsächlich Ursache, dass mit dem so schön und . gut gearbeiteten Instrument keine sehr genauen Beobachtungen angestellt werden können. Beim Winkelmessen befolgte H. immer die Maxime, besonders diejenigen Winkel zu messen, wo die Objekte wegen günstiger Beleuchtung und andern Umständen besonders deutlich waren, und dies besonders im den ersten Jahren wegen der geringen Vergrösserung. Verschiedene Winkel sind wiederholt zu verschiedenen Zeiten gemessen worden, was oft beträchtliche Differenzen ergab. Bern. Mitteil. 1902. No. 1521. PN Huber führt folgende Messungen an, welche in dieser Be- ziehung beträchtliche Differenzen erzeigen, nämlich: ann Zahl der ne Wieder- Diferenz achtungen | Nolungen Sch. Wi. Fa. 4 5, | 1 8 8.148 40°°156 Hst. Wi. Ge 12 6 |38. 38 324 ns 13: Gr age gg 198 Ge. Bö. Se 27 7= 18.095500 154 37 12 13 210054 = Ch: - Pa wa og 5. | 5 ar 13 9.2..76...15.2939 3 Sen Bora 28 13 |32 09 De 160 11. .| 302.586 9 Che Ba 128 15° 139 43 sa 135 7.|39 42. 520 9 Wi: Ser Bo 52 5.80.41 206 m 79 4.302.410 00 75 14.30. Air 32 6.1.30. 542 Da Wi. H. Hs.) 92 12. |19 , 24.020.055 94 5 |19 24 901 Si. SAL Ch Je to: 8.4 ea 111 10 |4 39 338 Wi. G'"si 215 8 51.22: 303 a 218 4. |51. 20.458 | Sg ah I A ee FENSR +” \ — 19 — Die Differenzen sind ın der That bedeutend, von 147,3 bis 23''4, ja einmal bei Wiesenberg-Seltisberg-Bölchenfluh 41’’,0. Bei Bestimmung des Mittels ist nicht nur das arıthmetische Mittel genommen, sondern jeder Beobachtung ıst ein um so grösserer Werth gegeben worden, je mehr Wiederholungen der Be- stimmung stattfanden. Z. B. wenn die eine Messung 5, die andere 8 Mal wiederholt worden war, so ist der Werth der- selben im Verhältniss von 9 zu 12 genommen worden. Die Zuverlässigkeit der Resultate wächst in einem kleinern Verhältnisse als die Anzahl der angestellten Messungen angeben, wenn bei einem Instrument durch dessen Konstruktion Fehler veranlasst werden, welche mehrstentheils auf die gleiche Seite fallen. Daher hat H. auch später weniger Wiederholungen ge- macht, da er die Fehler des Instruments besser kannte; den Beobachtungen des ersten Jahres hat er wegen der Unvoll- kommenheit der Fernröhren einen um den fünften Theil ge- ringeren Werth beigemessen. In der ersten Diskussion der <\| hat H. 36 Dreiecke erhalten, in welchen alle 3 mit dem Theodolith ge- messen waren. Nur 4 zeigten in der Summe kleine Excesse über 180° nämlich 0,5’, 17,7, 1”’,6, 0’’,4; die übrigen 32 lieferten Defekte unter 180°, das Mittel aus allen 36 A gab einen mittlern Defekt pro A von 33’’,3, auf emen I 11’',1. Hieraus folgte, dass das Instrument sämmtliche Winkel zu klein angab, dass alle Winkel einer Verbesserung bedurften. Wie ıst nun diese Korrektion anzubringen ? Die zwei einfachsten Voraussetzungen waren: 1° alle gemessenen < müssen um 11’’,1 vermehrt werden, 2° die anzuwendende Korrektion ıst dem gemessenen <: proportional, so dass z. B. wenn a der gemessene ei ist, man Lea als positive Korrektion hat. 60. In der Ungewissheit, welche Annahme die richtige seı, hat H. beide zur Hälfte wirken lassen, also den < nach der sr 5 a- = ‚55 = RER Korrektion 5,55 -+ — _ — vergrössert und dafür eine kleine Tafel ee re A enthält die Korrektion von 10 zu 10°. B die Proportionalteile für emzelne Grade. A. B. 00 555 1° 0”’.09 10° 6,47 20 0,18 20° 7,40 30 0,27 30° 8.22 4° 0,37 40° 925 50 0,46 50° 10,17 69 0,55 60° 11,10 7° 0,65 70° 12,02 8 0,74 809 12,95 99 0,83 90° 13,87 10° 0,92 100° 14,80 110° 15,72 120° 15,65 130° 17,57 140° 18,50 150° 19,42 Nach dieser Tabelle sind sämtliche Theodolitbeobachtungen von H. korrigiert worden. 2 DAHER Station Basel. Münster, St. Martinsthurm. ET ru EEE ERS SEITE ET EST Er ee ET ET IR F n D un 68.8| 1816. April 16. | Chrischona, | 53°. 43’. 28’’,7 6 Wiesenberg. 68.y Chrischona, | 58. 00. 35,2 2| Schauenbure. 68.8) — — April 18. | Chrischona, | 80. 15. 45,6 t Gempenfluh. aVa - 68.8 Chrischona, | 58. 00. 24,7 2 | Schauenburg. 151,6 1817. Juni 20. | Wiesenberg, | 33. 56. 06,5 16 | Objekte zitternd | Passwang. und schwach. 153 |— — Juni 21. | Chrischona, | 58. 00. 092 18 | Schauenburg. | : ee 155 |— — Juni 24. | Chrischona, | 53. 83. 06,0 10) Wiestenberg Wiesenberg. schwach. 157 |— — Juni 25. | Chrischona, | 75. 16. 20,1 7| Regen, der zu- Ober-Gruth letzt zum Auf- | | | | hören zwang. 158 |— — Aug. 20. | Wiesenberg, | 33: 55. 52,6 | 12 Signale schwach. | Passwang. 159 Gempenfluh, | 7. 233. 55,2 3 Passwang. | 219 1818. Sept. 5. | Chrischona, | 80. 15. 34,8 |R. 10} Gempenfluh. 20 | Wiesenberg, | 33. 56. 18,9 |R. 12) | Passwang. 221 Wiesenberg, 267 2 An RO | Gempenfluh. 222 | Bölchen 9%. 38. 542 |R. 14 im ‚Schwarzwald, Wiesenbereg. | 250 !1818. Okt. 16. | Hühnersedel, | 46. 37. 07,5 |R. 10 | Signale schwach, Passwang. bes. Hühnersedel. 251 - Sonnenberg, | 64. 10. 35,3 |\R. 6 | Einige Ungewiss- heit wegen eines kleinen, vor dem Stamm d. Signal- Eiche stehenden Baumastes, d. Be- obachtung ist in der Folge wegge- lassen worden. Passwang. 262 265 302 —.. —. (Ol, 17, 18187 Okt 17. 1819. Mai 12. —, len 1), — — Aug. 24. 1821. Nov. 19. 1823. Okt. 24. Wiesenberg, Heidenstatt. | 00 Chrischona. | 58. | Schauenbure. Dillingen, Schauenbureg. | Chrischona., Ober-Gruth. Wiesenberg, | 39, Heidenstatt. ı Wiesenberg, | 383. Passwang. Chrischona, | 58. Schauenburg. Chrischona, | 75 Ober-Gruth. | Dillingen, | 35. Chrischona. Dillingen, | 9. Schauenbureg. Chrischona, | 75 Ober-Gruth. Wiesenberg, | 33. Passwang. Sonnenberg, | 64. Passwang. Sonnenberg, | 34. Schauenbureg. Mittlere Winkel, Chrischona, | 53. Wiesenberg. Chrischona. | 58. Schauenburg. | | 12,100 16. 01,5 07. 20,5 56. 16,4 00. 18,0 16. 035 12. 20,9 12. 16,2 16.1251 56. 14,2 10. 40,9 31. 15,9 aus vorigen. 43. 15,5 00. 15,6 R. 6 nu | 1 ‘3 [0 0) © Heidenst. Signal sehr schwach, wegen schwacher ' Beleuchtung, so dass man nicht einmal wegen des Gegenstandes ge- wiss war. Beide Signale schwach. Schauenburgsehr schwach. .- 155} 68 2. 68 y. 68€. 153. 258. sc“ 3 =1 10 11 1813. Aug. 20. 1813. Aug. 26. =] — — Aug. 27. — — Aug. 238. Wiesenberg. Passwang, Wiesenberg, Passwang. Sonnenberg, Passwang. Chrischona, Ober-Gruth. Dillingen, Schauenbure. Dillingen, Schauenburg. 33. 64. 56. 10. 16. . 56°. 00',3 | 38.1 09,9 17,0 23,1 Station Wiesenberg. ı Bölchenfluh, Passwang. Bölchenfluh, Passwang. Bölchenfluh, Schauenbureg. Schauenburg, Farnsberg. Basel, Farnsberg. Basel, Farnsbereg. Bölchenfluh, Gempenfluh. Schauenburg, Farnsbereg. Bölchenfluh, Gempenfluh. Bölchenfluh, Basel. Gempenfluh, Chrischona. 25°. 06’. 21'’,4 48. 46. 46. 64. 48. - 253 12. 40. 31. 40. 31. [S] | = 44,4 21,9 10 16 14 17 151b. 158. el, Dsz Iar 302 R. 251 R. 324 R. 255. 259. 265 S. 157. 254. 262. „3. (261-5) Gewitter zwang die Station zu verlassen. Sehr starker Wind. Ebenso. Chrischona mei- stens schwach. Hohestelle, Gempenfluh. Hohestelle, Gempenfluh. Hohestelle, Gempenfluh. Passwang, Basel. Passwang, Chrischona. Hohestelle, Sissachfluh. Bölchenfluh, Seltisberg. Passwang, Basel. Bölchenfluh, Passwang. Bölchenfluh, Gempenfluh. Passwang, Seltisberg. Wytisburg, Sissachfluh. Wytisburg, Rothenfluh. Passwang, Sissachfluh. Hohestelle, Sissachfluh. Seltisberg, Scheurhalden. Sissachfluh, Geissfluh. Farnsberg, Geissfluh. Rothenfluh, Geissfluh. 24 38°. 38’ 38. 38. 38. 838. 52. 13. 65. 24. 73. 49. 67. 47. 52. 18. 25. 06. 64. 32. 42. 40. 15.20: 61. 55. 74. 36. 73. 49. 14725L 100. 31. 10.2220: 58. 56. 19,6 48,4 {or} [S\\ 11 15 Ds | 10 {er} [>71 Basel schwach. Sissach Signal etwas schief. 7] 2) 33 Bern. Mitteil. 1902. Passwang, Schauenbure. Passwang, Gempenfluh. Passwang, Sissachfluh. Passwang, Basel. Passwang, Basel. Passwang, Chrischona. Passwang, Basel. Mittlere Winkel, Bölchenfluh, Gempenfluh. Schauenburg, Farnsberg. Basel, Farnsberg, Bölchenfluh, Passwang. Passwang, Basel. Hohestelle, Gempenfluh. Hohestelle, Sissachfluh. Passwang, Basel. Passwang, Basel. 50°. 06. 007,0 | R. 39. 25. 26.3 | R 74. 36. 223 |R. 52. 13. 025 ı R. Bar, 18,2 10.9, ER: 655.024. 37,82. ch, 52. da. 11,8: MR. aus vorigen. 64. 31. 57,6 | — 48. 40. 242 | — 46. 33. 14,9 | — 254. 06.216,38 52. 13. 083 | — 33.38: El | 73: 49.021,01 52. 13. 192 | — 52. 13. 29 | — „6 Beide Signale schwach. Münster Basel immer schwach. Ebenso. Beide Signale schwach. Basel schwach. 79. 204: 4. 8. en 1.2. 2083. R. 310. R. 311. R. 313. 12. 132 13. 16. 209. 14. 202. ». (11-1). No. 1522. 39 40 4 133 134 135 303 304 | 1813. Sept. 17. Okt. 1. 3. Sept. 13. ı Chrischona, Bölchenfluh. | Schauenburg, Bölchenfluh. Basel, Wiesenberg. Wiesenberg, Bölchenfluh. Gempenfluh, Wiesenbereg. Basel, Wiesenberg. Sissachfluh. Aleten, Seltisberg. Basel, Chrischona. Chrischona, Sissachfluh. Chrischona, Wiesenberg. Wiesenberg, Bölchenfluh. Chrischona, Wiesenberg. Basel, Gempenfluh, Chrischona. Chrischona, Sissachfluh. Basel, Wiesenberg. Basel, Wiesenberg. Chrischona, | Chrischona. | 949. 00’. 21’,1 BR Be Ba! 9. 5.2235 17..44947,2 88. 04. 43,5 93. 50. 00,5 39. 43. 032 53. 17.235 7 8 KEN Sy Ha do, ls, BET 17. 4. 37,4 76. 15. 22,9 les eb, 0545 Ih AIESOTA 39. 42. 52,0 93,505625:6 93. 50. 32,0 9 h3) 20 Chrisch. zu Ende d. Reihe schwach. Signale schwach Regen. Basel u. Wiesten- berg schwach. Signale schwach. a iur, 03 68n 1816. April 27. 1818. Okt. 14. 27 Station Passwang. {er} u | 1 Basel, 932.50”. 307,5 | Wiesenberg. | Gempenfluh, | 88. 04. 32,7 | Wiesenbereg. | Mittlere Winkel, aus vorigen. | Basel, 17. 35. 04,6 Chrischona. | Chrischona, | 76. 15. 11,5 | Wiesenbereg. | Wiesenberg, | 17. 4. 39,6 Bölchenfluh. Schauenburg, | 75. #7. 40,9 Wiesenberg. ; | Chrischona, | 39. 43. 05,8 Sissachfluh. Basel, 93: 502 25.9 Wiesenberg. Basel, 932750.7217 Wiesenberg. Basel, 93... 50.” 299 Wiesenbereg. | Station Gempeniluh. Basel, 140. 39. 54,4 | Wiesenberg. Wiesenberg, | 52. 29. 48,7 Passwang. Wiesenbersg, | 20. &. 52,2 ı Bölchenfluh. Basel, 140. 39. 53,8 Wiesenberg. Hohestelle, | 4. 39. 12,7 Heidenstatt. Mittlerer Winkel, aus vorigen. Basel, 14020392 541 Wiesenbere. 12a 182, 129. 131. 41. 130. (d- 137) 128. 135. 40. 124. ws. (y-49) R. 303. R. 304. R. 305. Wiesenberg schwach. Basel schwach. Hohestelle schwach. Super | 687 248. 1818. Sept. 30. 1823. Aug. 23. fe) 1823. Okt. 8. 1818. Okt. 13. Station Chrischona. Sonnenberg, Schauenburg. Hühnersedel, Seltisberg. Sissachfluh, Schauenburg. Schauenburg, Basel. Schauenburg, Basel. Sonnenberg, Schauenburg. Wiesenberg, Passwang. Passwang, Basel. Sıssachfluh, Schauenbureg. 69°. 02’. 45’’,9 31.96, 43. 42. 55,1 | OT wo OL 697.02. 731,8 38. 19. 59,3 74. 45. 20,7 43. 42. 45,3 Station Schauenburg. Basel, Chrischona. Basel, Dillingen. Chrischona, Sonnenberg. Sissachfluh, Seltisberg. Wiesenberg, Passwang. Sissachfluh, Bölchenfluh. Seltisberg, Castelenfluh. Basel, Dillingen. Basel, Chrischona. Chrischona, Sonnenberg. 46. 24. 31,8 31. 32. 08,5 75. 08. 47,3 41. 45. 482 54. 05. 59,6 45. 04. 37,0 23. 30. 39,6 31. 31. 54,8 46. 24. 75. 08. Hühnersedel schwach. 19 32 1818. Sept. 18. Station Sonnenberg. Passwang, Basel. Schauenburg, Chrischona. 63°. 43’. 41’’,9 | 35. 48. 40,6 Station Bölcheniluh. 18 | 1813. Sept. 1. | Gempenfluh, Chrischona. Gempenfluh, Sissachfluh. Gempenfluh, Wiesenberg. Hohestelle, Wiesenberg. Schauenburg, Sissachfluh. | Gempenfluh, Chrischona. Schauenburg, Farnsbereg. Passwang, Gempenfluh. Gempenfluh, Seltisbereg. Seltisberg, Sissachfluh. Gempenfluh, ı Wiesenberg. | Seltisberg, Farnsberg. Passwang, Gempenfluh. Gempenfluh, Chrischona. 21. 46. 44. S6. 34. 13. 32. 08. 57,1 33,6 04,4 04,2 44,4 58,4 34,4 14 14 15 13 16 10 16 19 Schauenburg sehr schwach. Sissach Signal | etwas schief. Gempenfluh schwach. Sissach Signal etwas schief. Signal Farnsberg etwas schief. Diese Messung konnte nur in höchst unbeque- mer Stellung ge- macht werden. Gempenfluh schwach. Sehr starker Wind. Signal Farnsberg etwas schief. Gempenfluh schwach. Chrischona schwach. 35 36 37 150 15la 160 163 164 ® 2: — — Sept. 15. 3. Sept. 19. BiU Station Bölcheniluh. Gempenfluh, Farnsberg. Schauenburg, Wiesenberg. Sissachfluh, Wiesenberg. Gempenfluh, | 13. Seltisberg. Passwang, | 2. Gempenfluh. Rothenfluh, | 17. Wiesenberg. Seltisberg, | 32. Sissachfluh. | Sissachfluh, Wiesenberg. Hohestelle, 4. Seltisberg. Wytisburg, .| 37. Wiesenberg. Passwang, | 55. Seltisberg. Mittlere Winkel, Passwang, | 22. Gempenfluh. (rempenfluh, | 94. Wiesenberg. Gempenfluh, | 21. Chrischona. Sissachfluh, | 48. Wiesenberg. Gempenfluh, | 13. Seltisberg. Seltisberg, | 32. Sissachfluh. s2 61°. 03’ 58. 26. 40. 50. . 347,3 05,3 41,6 54,5 06,5 vorigen. 39,9 05,0 44,9 41,3 58,2 59,0 13 15 [8 11 Signal Farnsberg etwas schief. Sign. Sissachfluh etwas schief. Von Regen unterbrochen. Signal Rothenfluh schwach. 26. 32. 150. 20. 30. 1a 36. 161. 27. 37. (34-31) 28. 160. 159 1% 191 192 193 194 195 69 70 ya 72 73 1817. Sept. 26. 1818. Aug. 18. 1814. Sept. 19. 1816. Aug. 15. | | a Station Sissachfluh. Wiesenberg, Bölchenfluh. | Wiesenberg, Passwang. Wiesenberg, | Bölchenfluh. | Wiesenberg, Zunzger Höhe. Wiesenberg, Hohestelle. Schauenburg, | 3: Chrischona. | Wiesenberg, | Wyl. Wiesenberg, Wytisburg. Passwang, Seltisberg. Geisfluh, Wiesenbere. | Mittlerer Winkel, Wiesenberg, Bölchenfluh. Station Wiesenberg, Bölchenfluh. Chrischona, Schauenburg. Chrischona, Sissachfluh. Sissachfluh, Wiesenberg. Wiesenberg, Hohestelle. Wiesenberg, Castelenfluh. Seltisberg. 30, 4. 23,6 20. 29. 49,0 37. 38. 171 45. 55. 40,0 32. 23. 305 72. 55. 199 310. 457.14'79 | 6 ne 3l.. 45. 145 > 541 1093 5 1-42. 40. 64 | 5 32, 2211.07,1 5 62. 44. 04,7 6 14.2193. 4195 6 33. 0,2 11 6 282.052 254.5 7 aus vorigen. 3l. 45. 14,7 — z 172. | Zitternde Bilder. 159. 4 [63) ss 102 101 Station Seltisberg. Castelenfluh, Holzenbere. Wiesenberg, - Bölchenfluh. Bölchenfluh, Wwyl. Sıssachfluh, Rothenfluh. Rothenfluh, | Wiesenberg. Wiesenberg, Bölchenfluh. Passwang, Schauenbure. Wiesenberg, Bölchenfluh. Wiesenberg, Bölchenfluh. Bölchenfluh. Passwang. Bölchenfluh. Passwang. Wyl, Holzenberg. Rothenfluh, Bölchenfluh. Sıssachfluh, Hohestelle. Hühnersedel, Hohestelle. Passwang, Aleten. Passwang, Heidenstatt. 260. 187,12772 0. 30. 62. 18. 78. 4. 30. 04. 4. 04. 41. 41. 10. 10. 01. 08. 31. [5 | DD 41,7 06,0 27,7 08,7 21,1 54.3 11,8 6 I] =] 10 10 u | 10 Entfernt. Regen zwang die Reihe abzubrechen. Vom Regen unterbrochen. Sign. undeutlich. Sehr dunkel. Hühnersedel schwach. Betreffend die 8 Beob. dies. Tages siehe eine An- merkung am Ende d. Beobachtungen dieser Station. 103 104 105 106 107 108 83 a m an Mittlere Winkel, aus Station | Wiesenberg, Wwyl. ı Wiesenberg, ı Hohestelle. ‚Zunzger Höhe, Hohestelle. ' Bölchenfluh, | Passwang. Hohestelle, ı Holzenbereg. Hohestelle. | Castelenfluh. , Sıssachfluh. | Sıssachfluh, | Wiesenberg. Scheurhalden, Wyl. wyl, Aletenfluh. Wiesenberg, Bölchenfluh. Bölchenfluh, Passwang. | Sissachfluh, Wiesenberg. Wiesenberg, Hohestelle. Wiesenberg, Wwyl. Rothenfluh, Wiesenbereg. Scheurhalden, | Wiesenbere. | | Rothenfluh, 33 Bern. Mitteil. 1902. Seltisberg. sl. 8 | 32. 23. 231 | 4 | 32. 50. 00,1. +14 1053| 7 (An At Se | Ü | 40. 31. ST EG Eee; nee | 132. 0 20| 7 1505-32. 512/67" <6 |30. 12. 1 | 3 den vorigen. 30. 4. 16,6 | — 148.10... 446% 45. 55. 24 \— 32. 23. 27,6 | — ee POL Sehr unregel- mässige Beobach- tungsreihe. | Aleten schwach. 52. 75. 79. 81. 2 83. 8. 71. 175. (77-178) 12. 104. 103. (v2 +76) 78.1776: No. 1523. — 34 — Anmerkung zu den Beobachtungen. 1816. Aug. 27. In Rücksicht der Beobachtungen dieses Tages waltet eine kleine Un- gewissheit ob. Es ist nämlich im Beobachtungs-Journal nicht angezeigt, ob diese Beobachtungen im gleichen Lokale mit den nächst vorhergehenden an- gestellt worden seien, oder in einem andern Lokale, dessen nähere Bezeich- nung vergessen worden zu bemerken. Eine Vergleichung dieser Winkel mit andern, welche auf der gleichen Station gemacht worden, gab keine Gründe an, für die Voraussetzung eines veränderten Lokales. Es sind daher diese Beobachtungen als im gleichen Lokale mit den vorigen angestellt an- gesehen und wie die andern in Rechnung gebracht worden, nur mit dem Unterschiede, dass denselben, der kleinen Ungewissheit wegen, nur ?/ des Wertes beigelegt worden. Station Hohestelle. 165 , 1817. Sept.6. | Seltisberg, | 31°. 31.0077, 2212 | Zunzger Höhe. 166 = Zunzger Höhe, 74. 11. 25,5 125 | Wiesenberg. 167 Heidenstatt, | 46. 23. 39,0 |- 11 Gempenfluh. 168 | I Way 59.108. 1870| Castelenfluh. 169 wyl, 105. 58. 20,9 7 Sissachfluh. 1702| - Siıssachfluh, | 63.- 30. 21,7 fe) Wiesenbereg. 171 |— — — — — | Wiesenberg, | 67. 43. 52,7 > Bölchenfluh. Station Heidenstatt. 116 | 1816. Sept. 11. Basel, Wiesenberg. 95. 50. 41,8 | 10 | 117 - Gempenfluh, | 88. 57. 14,9 7 Hohestelle. 119 120 121 0% 12 141 142 1516. Sept. 11. | Seltisberg, | 34°. 02.’ 28,8 | Aleten. Seltisberg. | 55. 00. 25,7 Wyl. | Chrischona, | 43. 23. 04,0 Sissachfluh. | - -n r) Basel, 2955.50, 4611 Wiesenbere. | Gempenfluh, | SS. 56. 49,9 Hohestelle. | Mittlere Winkel, Basel, 9. | Wiesenberg. Gempenfluh, | 88. Hohestelle. | Station Seltisberg, | 33. Sissachfluh. Sissachfluh, 47. Wiesenberg. | Wiesenberg, | 6&. Hohestelle. | Heidenstatt, | 91. Seltisberg. | Aleten, 87. Seltisberg. Holzenberg, | 35. Seltisberg. | Castelenfluh, | 20. Seltisberg. | Seltisberg, | 8. Scheurhalden. 35 Station Heidenstatt. aus vorigen. I 50. 43,8 30. 01,4 Wyl. 27. 32,0 23. 29,1 34. 325 270 1,7 13. 00,2 07 16,7 20. SE2 38. 40,1 &) 14 10 10 | 1 -] S Sıssachfluh schwach. Etwas zweifel- haft, weil der an der Signalfichte auf Scheurh. an- gebrachte Schaub nicht richtig ge- stellt war. 59 90 91 92 93 1b? 110a 1816. Aug. 23. 1816. Sept. 3. 36 Station Holzenberg. a a er re u u Zn zn 1 = Zn m a vn a Sa 53 20 zen ns ae Ser oe en Gempenfluh, Chrischona. Chrischona, Sissachfluh. Sissachfluh, Wiesenberg. Wiesenberg, Hohestelle. Sissachfluh, Wiesenbereg. Wiesenberg, Hohestelle. Hohestelle, Wwyl. Castelenfluh, Wyl. Wytisburg, Hohestelle. Hühnersedel, Hohestelle. Gempenfluh, Chrischona. Seltisberg, Sissachfluh. Mittlere Winkel, Sissachfluh, Wiesenbereg. Wiesenberg, Hohestelle. Gempenfluh, Chrischona. 24°, 00’. 13’’,6 59. 23. 55,2 40 51.5, 3155 19. 24. 02,0 40. 51. 23,4 19. 24. 20,1 25. 53. 31.6 33. 55. 581 59. 27. 472 24. 00. 139 20. 40. 55,9 40. 51. 28,0 19. 24. 09,8 24. 00. 173 Station Aleten. Chrischona, Sissachfluh. Seltisberg, wyl. 44. 39. 16,9 62. 35. 16,3 aus vorigen. 10 10 10 8 Zitternde Bilder. Sissachfluh schwach. 9.798: 9. Signale ziemlich schwach. 112 113 14 146 147 326 327 325 329 1524. 1818. Sept. 19. Mai 1. Station Aleten. Chrischona, | 44°. 397. 33’',8 Sissachfluh. Seltisberg, | 62. 35. 05,0 Wyl. Gempenfluh. | 90. 18. 45,4 Wiesenberg. Castelenfluh, ' 91. 17. 425 Passwang. Heidenstatt, |142. 36. 52,9 Seltisberg. Mittlere Winkel, aus vorigen. | Chrischona, | 44. 39. 26,0 Sissachfluh. | Seltisberg, | 62. 35. 115 Wyl. | Station Casteleniluh. Hohestelle, | 43. 04. 56,6 Wyl. Holzenberg, | 66. 28. 54,0 Seltisberg. Chrischona. Station Scheurhalden. | Wiesenberg, | 75. 43. 19,7 Seltisberg. | Wiesenberg, | 75. 43. 14,4 ' Seltisberg. Wiesenberg, | 66. 55. 40,9 Passwang. Seltisberg, - 76. 14. 05,5 Schauenburg. Seltisberg, 1122. 25. 36,2 10 [Signale schwach. Regen zwang zum aufhören. 4 16 6 > _ — 110.2 112. _ — 110. 112. 12 |Diese beiden Be- obachtungen sind wegen höchst un- > bequemer Stel- lung und wegen Störung von um- stehenden Zu- schauern etwas zweifelhaft. 4 Signale ziemlich schwach. R. 8 R. 6 R. 6 R. 6 ae en Station Wytisburg. 196 |1818. Aug. 24. | Sissachfluh, |150°. 26’. 15’’,6 6 | Wiesenbereg. | 197 |— — -— — — | Hohestelle, | 48. 38. 50,4 4 | Holzenberg, | | 198 |— — — — — | Wiesenberg, | 58. 27. 26,2 3 | Bölchenfluh. 19 |— — — — — | Wiesenberg, |1102. 40. 43,7 5 ' Passwang. ee, | "Geissfluh, | 35. 28.393 | 7 Wiesenberg, 201 |— — — — — | Rothenfluh, | 43. 19. 58,0 6 Geissfluh. Station Rothenfluh. 223 |1818. Sept. 12. Geissfluh, | 49. 27. 02,0 B) Wiesenberg. 24 | — — — — Wiesenberg, | 40. 15. 18,7 9 Passwang, 2 | Wiesenberg, 1113. 30. 14,9 5 Farnsberg. Station Geissfluh. 214 «| 1818. Aug. 26. | Wiesenberg, | 27. 4. 49,8 2 \Zunzger-Höhe. 214B| — — — — — Wiesenberg, | 28. 39. 07,5 5 | Wytisbureg. 2115 | — — — — Wiesenbers, | 51. 22. 30,3 fe) Sissachfluh. 2116 | - — — — — | Sissachfluh, | 18. 28. 09,6 5 Farnsberg. au Sissachfluh, |. 13. 183 | 6 | Rothenfluh. 2118 ı-— — — — — Wiesenberg, | 51. 22. 452 4 Starker Wind. Sıssachfluh. Mittlerer Winkel, aus vorigen. ? || — Wiesenberg, | 51. 22. 36,3 |— — 215. 218. Sıssachfluh. Station Farnsberg. 226 |1818. Sept. 12. Geissfluh, | 33°. 48’. 34’’,9 Q | Wiesenbereg. a ee | Wiesenberg, | 22. 28. 559 | 6 | Bölchentluh. | BI.) — — — — — | Rothenfluh, | 4. 05. 245 | 5 Wiesenbere. Station Hühnersedel. 232 |1818. Sept. 19. | Passwang, " 74. 50. 59,2 6 Basel. 233 | — — — — Seltisberg, | 60. 14. 174 6 Chrischona. | Station Zunzger-Höhe. 148 [1816. Sept. 18. | Wiesenberg, | 63. 36. 30,1 | 13 Hohestelle. 149 |— — — — — Hohestelle, ‚115. ai, anıe 10 Seltisberg. Station Ober-Gruth. 683 1816. April 96. | Basel. | Sr als He 4 | Chrischona. | Wir sehen, dass die Beobachtungen am 20. August 1813 auf dem Wiıesenberg ihren Anfang nehmen und am 23. Oktober 1823 ın Basel endigten. EEE Basis des Dreiecksystems. Um Zeit und Geldaufwand zu vermindern, nahm H. eine Seite eines Dreiecks als Basis, aus dem Dreiecksnetz französı- scher Ingenieure, welche im jenen Gegenden grosse Ing.-Opera- — 4) — tionen ausgeführt hatten. Seinem Ansuchen um Mitteilung emer solchen wurde anfänglıch nicht genugsam entsprochen, ob- gleich er durch mehrere gegenseitige Mitteilungen einigen An- spruch auf Gefälligkeiten machen durfte. Z. B. von Kommandant Epailly erhielt er 1819 nur eine unvollkommene Angabe. Als daher der bernische Ingenieur Buchwalder im Spätjahr 1521 nach Paris reiste, ersuchte H. ıhn. er möchte beim Colonel Henry, der die Direktion der Operationen in der Schweiz und Süddeutschland gehabt hatte, um die Mitteilung der Bestim- mungen des Dreiecks Bölchen-Basel-Wiesenberg einkommen und ın der That konnte er sie ıhm bei seiner Rückkehr von Paris am 22. März 1822 mittheilen, nämlich: Entfernung Signal Wiesen- berg vom südöstlichen Münsterturm —= 21738,83 m. Wird nun der metre definitif, den die Commission des poids et mesures zu 443’’’,295936 bestimmt hatte (De Lambre Astron. III, p- 565) angenommen, so findet man für den Reduktions-Loga- rıthmus der Meter auf französische Fusse 0,4883313'). Wird dieser zu 4,4430881, dem Logarıthmus der obigen Anzahl Meter addiert, so findet man den Log. genannter Entfernung in Fussen ausgedrückt: 4,9314194, welchem die Zahl entspricht 85392,44, welche als Basıs bei folgenden Rechnungen zu Grunde legt. Da diese Entfernung Basel- Wiesenberg nur vermittelst zweier Dreiecke von der grossen Basıs bei Ensisheim hergeleitet worden ist, so meint H. verdiene diese Bestimmung grosses Vertrauen. Sie stimmte übrigens ziemlich mit andern überem, welche H. aus einer früher ıhm mitgetheilten Reihe minder vollkommener Dreiecke hergeleitet hatte, welche 85390,9' und 85385,5’ er- geben hatten. Ein Zweifel, ob das jetzige Signal auf dem Wiesenberg genau an der gleichen Stelle des ehemaligen französischen Signals stehe, kann zwar demonstrativ nicht gehoben werden. Eine genaue Erwägung aller Umstände brachte aber für H. doch !) Der Reduktions-Logarithmus des Meters auf Baseler Schuh zu 185“ — 0,5163599 auf Bernerschuh zu 130“ = 0,5327503 Der Reduktions-Logarithmus des Pariser Schuhs auf Baseler Fuss — 0,028287 Der Reduktions-Logarithmus des Baseler Schuhs auf den Meter — 9,4836401. BEE mehrere Gründe für die Annahme, dass das gegenwärtige Signal mit dem frühern übereinstimme oder nur eine ganz geringe Ab- weichung zeigen könne, und es kam ihm auch kein Umstand vor, der auf eine bedeutendere Abweichung mit einiger Wahrschein- lichkeit hingewiesen hätte. — Mit dieser französischen Basıs von Ensisheim verhält es sich folgendermassen'!): Sie wurde 1804 von Oberst Henry gemessen und sollte der Kartirung der Schweiz und der Erdmessung dienen. (Vgl. Nouvelle description g&eome- trique de la France. Par H. Puissant I, p. 48). Die Länge wurde damals zu 19044,39 m gefunden. Leitet man diese Länge aus der neuen Basıs bei Oberbergheim ab, welche der heutigen Triangulation ın den Reichslanden zu Grunde liegt, so findet man 19044,71m, also eine d=-+- 0,32 m, was für die Genauig- keit der französischen Messung sehr spricht. Die preussischen Ingenieure fanden ım Jahr 1877 die Versicherungen der End- punkte der Basıs in sehr gut erhaltenem Zustande. Der nörd- liche Endpunkt liegt etwa 20m von dem nördlichen Endpunkte der Oberbergheimer-Basıs, und es ging 1874 der trigonometri- schen Abtheilung der Vermessungs-Ingenieure der Reichslande ein Bericht des Capitaine Perrier aus dem französischen Kriegs- ministerium zu, der ein Auszug aus dem Memoire des Colonel Henry war: Man fing an, an den beiden Endpunkten hölzerne Pyramiden, deren Höhe 18m, deren Seitenlänge an der Basıs 6m betrug, zu bauen. Zwei Seiten waren parallel, zwei senk- recht zur Basisrichtung. Jedes Fundament, das darunter erstellt‘ wurde, hat Sm? Inhalt und ruht auf einem Rost von Eichen- holz ım festen Boden. Die Mitte jedes Fundaments nimmt eine Steinplatte ein, deren obere Fläche 2 Dezimeter unter der Bodenfläche des Erdbodens liegt. In der obern Seite dieser Platte ist eine Vertiefung von 23 mm und 33 mm Seite, in welche eine achteckige Bronceplatte eingegossen wurde. In derselben ist ein Kreis und in der Mitte des Kreises ein Öonus von 4,5 mm Höhe und 4 mm Basisdurchmesser. Dieser kleine Conus ist so genau als möglich in die Verlängerung der Axe des Signals gebracht und in dieser Lage vor Beginn der Messung gut be. festigt worden. So wurde es auf beiden Enden der Ensisheimer ') Königl. Preuss. Landestriangulation XI. Theil. Berlin, 1901. S, EB, Sr Bern. Mitteil. 1902. No. 1524. Basis gemacht. Nach der Messung wurde die Vertiefung mit gestossener Kohle ausgefüllt und auf dem Fundament eine vier- eckige Endpyramide von 6,09 m Höhe aus hartem röthlichem Sandstein errichtet. Auf einer der Flächen ist eine Tafel von schwarzem Marmor angebracht mit folgender Inschrift in gol- denen Lettern: «Terme meridional (septentrional) d’une base de «19044 m?/s mesurde pour servir A la carte de l’Helvetie et a la «determination de la grandeur et de la figure de la terre. Aoüt «MDCCCIV». Dieser vorzüglichen Arbeit ist alles Lob zu zollen und H. hatte sehr recht, wenn er den Bestimmungen, gestützt auf die Ensisheimerbasıs alles Vertrauen entgegen brachte. — Der folgende Theil von Hubers Manuscript handelt: IN: Orientierung des Dreiecksnetzes. Ein Dreiecksnetz ist orientiert, wenn man die Lage einer Seite eines Dreiecks gegen den Meridian kennt. H. wünschte die dazu nöthigen Beobachtungen des Azımutes der Sonne, verglichen mit terrestrischen Objekten, auf dem Münsterthurme selbst anzustellen; es fehlte ihm aber eine transportable Uhr von etwelcher Genauigkeit. Da sein Amthaus') ganz in der Nähe des Münsters lag, so stellte er Ende September 1818 in dem- selben Azımutal-Beobachtungen an, um sie auf den nahen Münsterthurm reduzieren zu können. Mit diesen Beobachtungen ist er aber wenig zufrieden, einmal wegen der Unbequemlich- keit des Lokals, sodann weil er selbst einen Fluss in den Augen hatte, der ihn sehr hinderte. Da aber vier verschiedene Be- obachtungsserien nicht sehr abweichende Resultate ergaben und er zu andern Beobachtungen keine Zeit hatte, so begnügte er sich damit; insbesondere hielt er dieselben zu den Zwecken einer Kadastervermessung und zur Entwerfung emer vollkommenen Karte des Kantons für genügend. ') Huber hat im Schönauerhof gewohnt, einem heute nicht mehr be- stehenden Gebäude, an dessen Stelle heute die untere Realschule steht. Herr Prof. F. Burckhardt, dem ich diese Mitteilung bestens verdanke, glaubt, dass die Huber’sche Amtswohnung für Azimutelbeobachtungen deshalb ungeeignet gewesen sei, weil das Haus niedrig und von andern hohen Häusern umgeben war. —-— BB — Das Ergebniss ıst nun Folgendes: Die Azımute sind immer vom Nordpunkt an gegen Westen gemessen worden. I. 27. Sept. 9 Morgenbeobachtungen mit dem 9ölligen Re- flexions-Sextanten von Troughton gaben als Azimut des 8. Ö. (riebels des Kirchturmes zu Dillingen aus dem östlichen Dach- stuhl des Amtshauses ım Mittel 38° 23’ 58’’,0. IH. Den 28. September gaben 8 ähnliche Beobachungen 38° 22’ 38,6; Mittel aus beiden 38° 23’ 18'',3. Ill. Den 27. September 4 Nachmittagsbeobachtungen: Das Azımut des östlichsten Gebäudes zu St. Margarethen aus einem andern Lokale meines Hauses mit dem Baumann’schen Theodo- liten, woraus wieder das Azımut von Dillingen auf das vorige Lokal reduziert — 38° 24’ 22’' 4. IV. Den 28. September. 8 ähnliche Beobachtungen gaben ım Mittel 38° 24’ 38,0. Das Mittel dieser Theodolit-Beobachtungen, indem der letzten Bestimmung wegen der doppelten Zahl der Beobachtungen auch doppelter Wert gegeben ward, 38° 247 32,8 Mittel aus beiden Mitteln 38° 23’ 55’’,6. Reduktion dieses Azımuts auf das mittlere Fenster von Hubers Studierstube, aus welcher der Bölchen im Schwarzwald beobachtet werden konnte, — 0° 02’ 25’’,7 bien ae 223808 2 217 Bölchen-Signal von Dillmgen . . . .— 7° 09’ 46'',6 Azımut vom Bölchen - Sıgnal aus dem mittleren Fenster seiner Studierstube 31° 11’ 4373 Azımut Bölchen-Signal aus der Studier- ENTER PEN A an ah a ESS BERRAERE SAnei 2 LARA EI RAN: Bo MA! Reduktion dieses Azımuts auf den Mar- nsturmdes Münsters; u. . 0.5. 2% 2-550,05,58,7 a2 Azımut Bölchen - Signal vom Münster Angular-Entfernung des Wiesenberg- Signals vom Bölchensignal (Schwarz- wald) (Beoh> 2222253 1.07555.,.2.0960138 5472 Azimut Wiesenberg-Signal von Basel . . 127° 56’ 36’. 1819 den 28. Januar erhielt H. von Kommandant Epailly die Mitteilung der Bestimmung des Azımuts Basel-Bölchen nach Messungen französischer Ingenieure, wahrscheinlich aus Azı- mutal- Beobachtungen, die zu Strassburg angestellt worden waren, hergeleitet. Dieses Azimut vom Süd-Punkt westwärts gezählt war 2348,773623 — 211° 17’ 46’ und also das gleiche vom Nord- Punkt an gerechnet 31’ 17’ 46’’, welcher nur um 4#’’ von obiger Bestimmung verschieden ist. V. Bestimmung der gegenseitigen Lage der 25 Punkte des Drei- ecknetzes durch Coordinaten, Entfernungen und Azimute. Nachfolgende Coordinaten sind ın Beziehung auf den Meridian von Basel hergeleitet; die Einheit ist der französische Fuss. Die Oberfläche des Kantons, über welche sich das Drei- ecknetz erstreckt, ist als eben angesehen; da nämlich die grösste Linie nicht viel über "/ı Grad misst, so konnte H. diese An- nahme machen, ohne einen merklichen Fehler zu begehen. Wenn man im grössten Dreiecke: Basel- Wiesenberg-Passwang, die an der Oberfläche der Erde beobachteten Winkel auf diejenigen reduzieren wollte, welche dıe von jedem dieser Punkte an die andern gezogenen Chorden miteinander machen, so wäre die Reduktion für jeden der drei Standpunkte — 0'720 — 0’’,19 — 0'’,47. Es sind dies aber Grössen, welche weit unter der (renauigkeit stehen, welcher die Winkelbeobachtungen fähig sind, so dass es übel angewandte Zeit und Mühe wäre, die Dreiecke durch ziemlich weitläufige Rechnungen auf die Oberfläche einer Kugel oder eines Sphäroids zu reduzieren. Die Abscissen sind Entfernungen vom Meridian von Basel, die Ordinaten Entfernungen von der Perpendikulären dieses Me- rıdıans. Da man ın Karten und Plänen immer Nord oben und Osten zur Rechten hat, so sınd östliche Entfernungen als positive, westliche als negative Abscissen, ebenso nördliche Ordinaten als positive, südliche als negative angegeben. Aus den Coordinaten sind ferner für jeden Standpunkt mehrere Entfernungen und Azımute berechnet worden. Das Azimut ıst immer so zu verstehen, dass vom erstgenannten Punkte der nachgenannte in dem Azımut stehe, und zwar ist es nicht eigentliches Azimut, das ist: Angularentfernung vom wirklichen Meridian des erstgenannten Ortes, sondern Angular- entfernung von einer mit dem Meridian von Basel durch den Ort gezogenen Parallelen. Die Azımute sind vom Nordpunkt an ın der Richtung gegen Osten bis auf 360° gezählt worden. In astronomischen Rücksichten zählt man bekanntich das Azımut vom Südpunkt an, da aber in Karten und Plänen hauptsächlich der Nordpunkt berücksichtigt wird, so schien es ıhm besser so. Coordinaten der 25 Punkte. Entfernung Entfernung vom Meridian von der Perpendic. von Basel des Basler Merid. 1. Ba. Basel 0.0 ı 0.0 2. Wi. Wiesenberg | + 67342.1 | — 52506.3 3. Pa. Passwang + 21035.7 | — 64289.1 4. Ge. (Grempenfluh —+ 12853.7 | — 26926.3 5. Ch. Chrischona ı + 203841 | + 5759.0 6. Sch Schauenburg + 20975.6 |ı — 19035.8 | [$ So. Sonnenberg IE 98983.041, 7 0S.1 8. Bö. Bölchenfluh | —+ 50790.2 — 660941 =. SI. Sıssachfluh —+ 52242.1 | — 26005.7 10. Se. Seltisberg | + 30832.9 | — 32767.5 IE: Hst. Hohestelle —+ 448855.3 | — 57897.6 12. Hd. Heidenstatt — 13590.9 | — 59186.7 13. WI. Wyl + 310188 | — 58619.3 14. Hz. Holzenberg —+ 21346.3 | — 45074.6 15. A. Aleten —+ 163845 | — 58011.0 16. Ca. Castelenfluh | + 27511.8 | — 49366.3 17 Sh. Scheurhalden — 36152.8 | — 23161.3 #82 7 \Wt. Wytistburg | 1 96600.8 | — 41771.6 19. Ro. Rothenfluh —+- 741882 | — 29983.4 20. Gf. Geissfluh — 84712.3 | — 46475.9 28. Fa. Farnsberg + 64368.8 | — 21624.7 22. Hü. Hühnersedel — 54056.9 | — 25509.8 28. Zu. Zunzger Höhe + 45582.1 | — 40592.7 24. Og. Ober Gruth + 9409.3 | — 15969.4 25. Di. Dillingen + 11348.9 | -- 140057 ı A Azimut Log. der Entfernung | Entfernung 127.° 56.’ .36.',0) 4.9314194 55392.4 161.52. 2523 4.8302234 67643.1 ı 255243. 029.9 4.679265 1 47782.1 I 28054 4.4747548 ı 29837.0 299. 708..293: 4.7795535 | 60194.0 3402.88. 00028 45826111 | 382482 Ye en are 3. 4.3259674 21182.0 321... 20822002 4.8740901 74832.5 359. 28. 01. 4.8454151 70051.1 132 12 4.452 1758 28325.6 3055:.497 728. 4.1572830 57185.1 359.0 59..26: 4.6956507 45253.3 178....38.200. 4.3944842 24801.9 292720854 4.9209321 83355.1 230, 30.200 77 er 21214.8 93.28 17. 4.4743503 29809.2 135. 94: 58# 4.7366182 54527.8 157.0203:748: 4.3922 160 78021.8 1474239, 20986 4.7459182 55708.1 7242, alt | 4.7746637 59520.1 33058 4.8318941 67903. 1097398. 29: 4.6124714 40970.5 73.46.0242: 4.5975119 395883.3 116. 27290: 4.7660931 58357.0 320 de 4.4843097 30500.7 39. 441,06. 4.6936472 49390.9 134. 54. 57.5 4.6530975 44988.1 102.2 31.2 20% 4.5056106 32034.0 aa DEN 4.6033033 40114.7 136. 44. 32: 4.6531461 44993.1 298. 282198. 4.6180851 41503.5 a ae 4.5186328 33009.0 Log. der Entfernung Azimut Entfernung I KW 4.6011717 399183 114. 19:38: 4.2279744 16903.4 329. 05. 06.5 4.5893383 383415.3 959, 28. 19. 4.3512481 22451.6 oe 19859: 4.8648585 73258.6 356) 205,08 4.3635159 23094.9 3948 0193,49. 4.0044079 10102.0 199. 2597 33. 4.5149385 327294 1503247 1 4.4592752 287922 134 202509 4.6489071 | 44556.1 167. 04. 08. 4.7833824 60727.1 262. 5A. 55. 4.7337167 54164.7 res Sen 4.5087832 32268.8 I. 58247. 4.8149133 65300.0 399. 31.17, 4.7070604 509402 Sr AT: "4.4989654 31547.7 267. 38. 28. 4.4958349 313209 152. 06.5251: 4.8216467 66320.3 | 260. 26. 49. 4.5662501 368341 9193 °703.7 18. 4.5900743 38911.2 179, 35:.1°17. 4.4125019 25852.5 367° 01 A 4.1425544 13885.3 38.%.082:07. 4.2414751 17437.1 154: 39,392 4.6978713 49873.7 379.2 210.- Al. 4.6683142 46592.3 154.55... 2: 4.3018347 20037.1 178. -54. 56. 4.7062287 50842.7 333 192.075 4.5599864 36306.8 217. :31.. 38. 4.1914226 15539.0 | 298. 34. 46.5 4.4282175 26805.1 >94. 385 07. 4.2212532 16643.8 164: 130722. 4.7801762 60280.4 263. 50. . 4. 47097284 51254.1 Azimut Log. der Entfernung | Entfernung Pa. Al EDEN 3.8928366 | 78133 Cemhn Al... „Ars ale 4.4953304 31284.6 Ch: "Al: 2718321 33:.072082172:8054689 63895.3 Si. AL. ern DoSernAre 6: 4.6818166 | 48063.6 Se, Me, Say 4.4636828 | 29085.9 Eid. Ale GT 10833 3.4815744 3030.9 wı. Al. DD W020 49: 4.1657469 14646.9 Ba: la. 2 32150. 522209) 4.7521624 | 56514.8 Sch. Car. 2.2 el67 650% = 208 4.4917366 | 31026.8 Ser la m 2 ARTS EH2 4.2286002 16927.8 Hst.-Ca.* 95495296, 09 22122 4.2867959 1935581 Wiss@ala se 3a 3.9954289 9895.3 Aloe @ar ee Bu 4.1489325 14090.7 Hr Carr ass 3.8757630 7512.1 Ba. Shin A=.03122, 9387247; 4.6328176 42935.6 NV Fish. Hamas: 4.6316887 42824.1 Paßash. ir ONE 4.6416533 43818.1 ChwsSh- ae ee: 4.5177224 32939.9 Seh.2Sh. 252. 48105., 2.191.925: 4.1966712 | 15727.9 SE=Shn st 98 58 395 4.0406384 10980.9 WE2-Sh.l Ss ld 4.5542195 35827.7 Ba. et. 226. 212542,839. 4.8472378 70345.7 Wi. Wt.: ...16314.,558. 57. | 41814392 15185.9 Palit. on 57...39.1.38: 4.6242219 42094.2 Bor 62.30 13. 236. 10. | 4.3980607 25006.9 Ss. Wit. 2 1642 1908 9152 4.2137120 16357.3 Hate 35. 59. 54. 4.2995599 19932.4 Hz a 4.5491124 35408.9 Ba:SRo.r., 17.12.02 0072 2255 4.9031882 S0018.1 Warehonnr® 16. 541. 26 4.3718136 235404 Par# Rosizer 572. 209.2 40. 4.8011423 63261.9 A Azimut Log. der Entfernung | Entfernung Bö. Ro. 32.0 56. .29.' | 4.6337563 | 43028.5 Se. Ro. 86.19.33, 4.6379358 | 43444.6 Wt.: Ro, 56. 10, 08. 4.3257738 | 21172.6 Bars, 6f: 118. 45. @. 4.850844 | 96623.9 Wi. G£. 02512216: 4.2645162 | 18387.2 see 122. 13. 88. 4.5841521 | 38384.2 | wı. c£. 9. 30. 00. | 44548813 | 285024 Ro: Gi. Me BEN ET 4.2914627 | 19564.2 Ba ha, 108: 3947 11. 4.8318960: |, 679041 an. Ma. 354. 30. -02. 4.4917034 | 31024.4 Bor Na. 16. 58. 48. 4.6674187 | 46496.3 Ro. Fa. Sl a 4.1104309 | 128953, Gf. Fa. 320. 4. 45. | 45067220 | 32116.0 Ba Hin 115... 19.47. 4.7765108 | 59773.8 Pa. Hiü. 40. 24. 54. 4.7070050 50933.7 Ch. Hü. 132. 52.. 48. 4.6613053 | 45846.4 Se. Hü. 72. 38. 44. 4.3861712 | 24331.6. Hz. Hü. 292.06. 56. 45810978 | 38115.2 Ba. Zu. ist. 24 1. 4.855923 | 61036.9 Wi. Zu. 298. 42. 025 | 43945898 | 24807.9 Sir. Zu; 204. 32. 24. 4.2050814 | 16035.5 Se. Zu. 117. 56. 54. | 42226356 | 16696.5 Hst. Zu. 2: 18,21 4.2385209 | 173189 Ba. , 08. 49. 29. 35. 4.2679998 | 18535.3 Ch. 0g. 206. 47. 52. 4.3863706 | 24342.8 Ba; Di. 39.0. 01.7 .05. 4.2559122 | 18026.5 Sch. Di. 343. 45. 28. 4.5367518 | 344153 Ch. Di. 296. 36. 40.5 | 4.0875281 | 12232.9 Bern. Mitteil. 1902. No. 1525. — 50. — VI. Vergleichung der aus den angegebenen Coordinaten berech- neten Winkel mit den beobachteten. Erstlich folgt das mit dem Reichenbach’schen Kreis ge- messene Fundamental-A, das mit der Winkelsumme geprüft und dann mit Hülfe eines vierten Punktes der Gempenfluh einer genauen Prüfung unterzogen worden ist. Dann folgt die Prüfung der übrigen Punkte des /\-Netzes, in der Ordnung, wie jeder Punkt aus den vorigen hergeleitet worden ist. Die beobachteten /\ sind alle ohne Ausnahme verglichen. Die auf der Station . Seltisberg beobachteten Z{ sind wegen einer kleinen Ungewiss- heit mit * bezeichnet, aber auch verglichen worden. Je kleiner übrigens einer oder beide Schenkel eines ge- messenen Winkel$ sind, einen um so kleineren Einfluss hat dieser Winkel auf die Bestimmung der Lage eines Punktes, so dass also in diesem Falle auch beträchtliche Abweichungen der Rechnung und der Beobachtung keine Anzeige eines grossen Fehlers in der angenommenen Lage des Punktes geben. Diese Betrachtung wird bei folgenden Bemerkungen über einige Ver- gleichungen, wo grössere Abweichungen vorkommen, welche ich mit ** bezeichnet habe, besonders zu statten kommen. Seltisberg: der Par hr 318r2.2::838..19,7593 38:20 01 4-2 Bar e&hr Ban. 3222, 22104, 45,207. 74 45 24 +3 6. Schauenburg. EHBa Sch a et 58° 00’ 15’’,6| 58° 00’ 03°’ |—13” Ch. Ba. Sch. IR. 2531..812582.005, 11,27 581.00:.03 —8 Pas Wi. Sch: IR.:307°. 22 °50...06..000 50 06 02 -+2 DW Sch a 50.06 251 |50.066 @ |-23 Shweße m 9...) 207.093 | 2-07.08.,|1 SwWilue 75 47 398 | 75 48 00. 120 Ba. Pa. Sch. |y+137 ..| 18 02 41,9 18 02 32 20 Sch-Ch. Ba. ./R.:316: .2 15%79%'899%.24,6 73 89. 25 0) DelrCh- Bar: 288.3 2.2: 792398 10:8 19.085.128 +15 Che Par sehr. 21372: 3% 0.27 31,3 0.97 °:21 — 16 D3..Sch..Ch. - ;R. 320.1: 46° 2£7 35,0 46 24 32 3 Ba8Sch4€Chr 239°, x 46 24 31,8 46 24 32 0 ANıeSchaPar 2432 U5°.8 54 05 59,6 54 05 58 — 2 54 7. Bölchenfluh. .. Wi. a. Wi. .. Wi ra: Ch. (he Beobacht. Wink. 77° 19° 44’ 4 25 06 16,8 64 31 57,6 17 44 39,6 94.00 241.1 20 45 32,2 94 42 05,0 26 39,9 82 98 20,7 21 08 44,9 11 43 35,9 8. Sonnenberg. Ye) fe.a Ns er Nenie, ‚ee Blei hege 64° 107 38”, 34 31 159 69 02 31,8 69. 02 45,9 75 08 342 75 08 473 63 43 419 35 48 40,6 . Sissachfluh. 74° 36’ 74 36 102 35 10 399 39 43 05,8 43 49 453 43: 49 551 9911 € au 3 Berechn. Wink. 77° 25 64 17 9 20 94 42 82 21 11 119% 06 Sl 44 00 46 42 26 58 08 10 36 26 533 51 16 01 06 37 25 54 41 43’ ! 17 35 42 42 39 43 06 06 39 05 02,5 02,5 \ Sı:. Sch. Bö. SE Bo- Wi: (re. Bö. Sı. Sch. Bö. Sı. WisSı.. Pa: Bö. Wi. Se. Pa. Wi. Se. Ch; Pa: Se. (re. Bö. Se. Se. Bö. Sı. Sch. Se. SI. Wı. Se. Bö. Bö. Se. Pa. "EB: Berese Wi. Ra. Se. Seh. Sch. Se. Ch. Ch. Se. Sı. Hst. Wi. Ge. | Hist, Wı. ©ı. Bist Bo. wi. wi. SI. Se. Ber bar} Wi.ı: =>Hst. Bo. Se. | Hst. Se. Hst. Hst. Hst. Wı. ı SHlst: Bo; | Hst. Wi. | 165-1166 .|105 Bye. ale) 0, or GO DES | Beobacht. Wink. 04 32 09 37,0 41,3 33,6 34 25 44.4 68 51 51,2 31 45 147 3221,07, 10. Seltisberg. tree .er enter en afre Hexe, mu.s lerne a, .e. GONE CL adeile 'eL elrakıs allelı ehem 67T 42 40 21,7 17 45 193 13.093582 32 58 59,0 45 432 33.17. .15,1 30 41 16,6 45 10 44,6 48:10. 53,3 45 5 424 127 04. 21,3 20. 297490 85,38 . Hohestelle. 382385741, 13249 86:23 4 50 42 40 054 392,23797.6 iS 19 08,7 Fe) 67 43 4049: 21,0 Se Berechn. Wink. 45 48 46 38 73 S6 4 42 32 75 63 67 105 04 32 09 38’ 49 BEN 12. Heidenstatt. Beobacht. Wink. Berechn. Wink. Dif. ** Wi. Ba. Hd. | BR. 282, .....8921077.077,3. 89,07 ar2 20, W»: Ba. 'Hd.|R. 2562 392077205: 1239207220 +6 Elster Hd. 2497 228 44 .39 12,7 \:44 39 18 +5 Base, Hd. a0 15=:52..182.1:152,51550 — 22 Hd%>Hsb’Ger 1167. 2... 46 23 39,0 | 46 23 41 +2 Dar Ele Wan rer 3 50 43,8 | 95 50 52 +8 Ge, Hdarst la re zerr 88 °572.01,4 7,5887 57.01 0 Ch Hd3S: 3208 43 23 04,0 | 43 23 0 —4 13. Wyl. W1.251.2 WIE 93 8 62° 447 04’',7 | 62° 437,48’ [227 Wi. 'Se...W oe 5% 6:17,30 6 —47 Bö: Se Wi..1462.2 1.8 30 30 06,0 ! 30 80° 105 74 WW ist. 81081695. 28% 105 58 :20,9 |105 58 09 — 12 Der: „Elder 55 00 25,7 | 55 00 20 —6 Sen N sone loan. u 33. 27:.:32.0| 30: 27. 58 — 26 Ms WW. #HSt.]| 1400.27 6.34 325 6 34.25 —7 DES WI WA SgEr ;0r > 47 28 29,11 47 28 84 4-5 Ha® Wl-Se,sı leere 3,22 IT 8 ARTEN —8 14. Holzenberg. 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Zu.Se. 149°... 115 38 533 |115 38 3 |[—2%0 Die beiden letzten Punkte des Dreiecksystemes sind nur durch zwei beobachtete Winkel bestimmt worden. Sr 24. Ober-Gruth. | ' Beobacht. Wink. Berechn, Wink. Dif. | Ch. Bar 06. Kr 758216 099: 75° 36,10% 2 B3...0G- Ch 4683er 75 57 185 16,6 97:18 717 — 0G. Ch. Ba. | 5. |. 47.05 39 & 25. Dillingen. DirABar Schi 9: ee | 932-127 7237.14 298), 120298 ER Ba:- Seh: DI: S19HR 2281923183518 3l:°831..55 SZ Sch. Di. Ba. | - = - 5 25 2 = Die Bestimmung der < an den Punkten Holzenberg. Aleten und Castelen zeigen fast durchgängig mit den beobachten <& grosse Differenzen bis auf 50’’, so dass H. selbst erklärt, er sei mit diesem A immer am wenigsten zufrieden gewesen. Seit seinen Beobachtungen hat aber auf dem Holzenberg eine starke Ab- holzung stattgefunden, so dass eine Verbindung dieses Punktes mit dem Passwang möglich wurde und er ersah, dass die ım vorigen Jahre zu einer sekundären Triangulation vorgenommenen Beobachtungen des Herrn Ingenieur J. J. Frei volles Zutrauen verdienten. Er beschloss also diese Messungen nebst den seinigen anzuwenden. Er berechnete also für diese Punkte neue Coordi- nate, leitete neue Azımute und Entfernungen ab. Im ganzen hat er dadurch eine grössere Übereinstimmung erreicht und er glaubt, es müssen die obigen Beobachtungen besondern Fehlern unterworfen sein, vorzüglich beim < Al.-Pa-Se. Er sucht den Grund dazu beim grossen Depressions <, unter welchem Aleten vom Passwang aus gesehen wird, wo eme kleine Abweichung des Limbus des Instruments von der horizontalen Lage einen grossen Fehler im gemessenen < mag hervorgebracht haben. Auch bei Wytisburg sind noch zwei < gemessen und, gestützt auf die neuen Coordinaten, berechnet worden. Coordinaten. 61 — Holzenberg Aleten Castelenfluh — 45074.6 5S01T.7 - 49364.7 Aus diesen Coordinaten berechnete Azimute und Entfernungen. Azimut Log. der Entfernung | Entfernung Barstlr; 154.22 39/7, 32377 4.6978802 4A9IST4.7 AN::3CHz: 279... 10-..43 4.6682922 46589.9 Baz, He: 0 56 00 4.2836867 19217.0 Ges Hr: Ib4= 92,59 ‚3018564 20038.1 Che: Hz. 178 54 46 4.7062291 50842.8 ST 2 Hz. 238-1894 4.5599623 36304.6 Se= Hz; 28:0-7975.08 4.1913820 | '15537.5 Hst. Hz. 298 8.55 4.4281830 26803.0 a Hy, 324 109,492 4.2212156 16642.4 BazzAl: 164 13 48 4.7801778 60280.6 W1.2-Al. 263: 50. 02 4.7097433 51255.8 Par Al. 322.1 3.859286 15 1813.8 Be Al. 723 231..223 4.4953373 312855.1 @hr - Al. 18347-397929 4.35054744 638596.1 SE Al, 28 14 59 4.6818315 48065.3 Se. Al. 209 47. 15 4.4637050 29087.4 Hd. Al. 67°.210.933 3.4813105 3029.1 MV SAL 202 222722.38 4.1657963 14648.6 Bar Ca: 1307.52 03 4.7521555 56513.9 Bar :.C3: DIE AUT DE 4.2113682 16269.3 Sch. Ca. +6%...90 7222 4.4917173 31025.4 Se... Ca. 1977182743 4.2285554 16926.0 Hst.: Ca. 296 09 50 4.2867 941 19355.0 AN Ca. 339.219, =08 3.9954809 9596.5 Ev. 3; 124-95:90%286 3.875630 510.0 Als 3..Ca; 32..:09:. 22 20 4.1490389 14094.1 Hy. Wet: Se to) 4.5490850 35406.5 — 2 Vergleichung berechneter und beobachteter Winkel. 15. Aleten. Beobacht. Winkel Berechn. Winkel Differenz F.))) B% A127 Pa Ramade: NIE Se: Wl. Se. Se. ‘Hd. AISSSVNleE Ge. Al. ERrFFÄL Hd Al: Se. Al. Pa. Al. Sr la, Ser a, BAzaaR Set. Wi: „Se: Par: Se: SI. Se: Wı. Se. SHst Se. Hz. Wil. Sr Hr. SIE EZ Wı. Hz. "Se. - Hr. Ge. Hz. Ch2=*Fiz: Seserli7 | Se Hz; Hstzhz: Si. Wl. : 19 143 24 59 20 20 25 47 DEI, 31 54 12:09 12 08 027729 13 00 18 "4orn| 39 2.26 36 35 43 Holzenberg. 19,400. el al 07 4 092215 13. 82 21 04 000 01 .49 49 5 07, 512.028 3704 >24 10 18 4 00.14 23 55 40 56 41 39 D9 82 530 487 44" oe ee Sa Eere 3058 34 02 46 87.12.39 90.18.39 44 39 34 53 |142 36 42 12 | & 31 Be 43 20 !) Nach Beobachtungen von Frey. 38%. 19221068 1617192592 199.07 2948 14,703 ae als, 207 21 al 145 08 49 -H SIR“ 3 6 Be — 10 ee ++ 414444 Ar +++ 1 7 21 gen En et DD (SU) h DD DD Do ID u | D w (de) — | Beobacht. Winkel | Berechn. Winkel \ Differenz Deu 308 AU 930 Suse 776% a2 55 20..1.72 058.52. 08 esse: Car 11:40:31 „58 | 40.312 38 Bea a a MNSEHSt.. Gas+17292508771917 2977087216 CaSEWIERSEer 09205720 = 72072014 EIN WGo.|6 5:26.92 5 | Ba ars 2.258808. 12-708 DD [D | +++ + + Bear wı. | 192 2387.02210197 382016 BRreı Hr: -W.. 5 192387 27...19 3806, a Ü Al... Ba 9. :1e..8: |) 1A 3489 Bere NP >21 912 18,005 91, >16, 52.2028 Hst. Ca WL.|8 a 57|1|48 065 3-|+ 36 BR reBSr Cars NW 4353:0577 387014377057 33 5 17.24. Se 665.7 287° 54 66.227287.2297 22995 F. |) Hz. Ca. Se. 6672877291766. .9287 29 0 18. Wytisburg. Wi. Hr. Hot. |,830 55° 58’) 39° 56” 06”) +7 | Bst wi Hu [48 38 50 | a8 38 56 | +6 Als erste Frucht von Huber’s Triangulation ıst zu er- wähnen eine kleine Karte: «Skizze des nordwestlichen Teiles des Kantons Basel, «welcher den neuen Bezirk Birseck in sich begreift. Mit Be- «nutzung vorhandener Hilfsmittel entworfen ım Mai 1816. — «Gezeichnet von D. H. P. M. (Daniel Huber, Prof. Math.) Ge- «stochen von S. Gysin», ein gutes Kärtchen 26/34 cm., für welches wohl Andreas Bräm viele Zeichnungen geliefert hatte. Schanzenherr Feer sagt darüber: «Wenn man eine Karte von «dieser Art von der ganzen Schweiz hätte, so wären wenig «Länder, welche eine bessere aufweisen könnten.» !) Es soll bier nicht vergessen werden, dass Huber hiefür bereits sich vorher ın der Aufnahme geübt hatte; das Bau- departement Basel-Stadt besitzt einen Originalplan: (Geometrischer Grundriss eines Teiles des Birsflusses etc. Trigonometrisch und geometrisch aufgenommen durch J. J. Schäfer, D. Huber, Professor und J. M. Zeiher. Diese kolorierte Handzeichnung stammt aus dem Jahre 1795 und misst 72 cm auf 276 cm, und ıst. als eine Vorarbeit zu Huber’s spätern Arbeiten zu betrachten. — Als die Triangulation Huber's dem Abschluss nahe war, trat man mit Buchwalder in Unterhandlung, um die Detailauf- nahme vorzunehmen. Buchwalder sandte am 3. April 1822 ein schriftliches Ange- bot ein und wollte die Aufnahme machen, unter der Voraus- setzung, dass die Triangulation schon berechnet und genügend detailliert sei, dass ein guter Grundriss der Stadt Basel und brauchbare Grenzpläne vorhanden seien, und dass ihm von den Gemeinden die Arbeiter kostenfrei geliefert würden, um die nöthigen Waldausschnitte zu machen. Unter diesen Bedingungen anerbot er sich, die Aufnahme und das Manuscript für den Stich ın 1/50000 gegen Bezahlung von 450 Louisd’or herzustellen, wünschensfalls auch den Stich durch einen Pariser Künstler, inclusive Aufsicht und Abdruck von 2000 Exemplaren für 232 Louisd’or zugbesorgen. Man fand aber die geforderten Summen zu hoch. So kam das schöne Projekt nicht zu Stande und Basel kam um die Ehre, der erste Schweizerkanton gewesen zu sein, der eine auf wissen- schaftlicher Grundlage beruhende Kantonskarte erstellt hätte. In den letzten dreissiger und dem Anfang der vierziger Jahre bearbeitete Strasseninspektor Friedrich Baader (1502—1867) gestützt auf die Huber’sche, sodann zum Teil auf die eidgen. !) Huber erwähnt dieses Kärtchen in seinem Bericht pro 1816. Er habe es für Hrn. Pfarrer Lutz für seine Beschreibung des neuen Bezirks Birseck machen müssen, was seine Thätigkeit bis Juni 1815 sehr absorbiert habe. en Zale Triangulation, sowie auf eigene Detailaufnahmen eine Kantons- karte!) von Basel in 1/25000 mit Isohypsen und Schraffuren. Das Original und eme Reduktion in 1/50000 befinden sich auf dem Baudepartement Basel-Stadt. Von Baader selbst wurde nur ein kleiner Teil dieser Karte unter dem Titel herausgegeben: «Kanton Basel-Stadtteil, nach der eidgen. Triangulation ent- «worfen und bearbeitet ım Masstabe 1/25000 von Fr. Baader, «Unterinspektor. 1838.» Die mässıge Lithographie ist von N. Hosch. Ergänzungen folgten 1857 und 1858. Schon 1836 hatte sich Dufour?) an Baader gewandt, um ihn zu gewinnen, von den Basler’schen Katasterplänen Reduk- tionen in 1/25000 zusammenzutragen. In der That waren ausser dem Plane der Stadt in 1/5000 noch Pläne der Gemeinden Kleim- Hüningen, Riehen, Bettingen, Allschwil, Schönenbuch, Binningen, Bottmingen, Oberwil, Therwil, Ettingen, Pfeffingen, Aesch, Reinach, Arlesheim, Mönchenstein, Muttenz, Pratteln, Basel-Augst, Frenkendorf, Liestal, Lausen, Sissach, Böckten, Thürnen, Biel, Ittingen, Stetten, Wenzlingen, Grenzach vorhanden. Diese Pläne sind wohl meistens gestützt auf die Huber’sche Triangulation aufgenommen worden. Baader verpflichtete sich, Reduktionen in 1/25000 zu 20 Fr. per Gemeinde herzustellen, und zwar genau nach den Vor- schriften Dufours. Schon im Dezember 1836 konnte Baader das I. Blatt, Basel-Stadt umfassend, abliefern; für den Kanton Basel- Land erhöhte er seine Forderung auf 32 Fr. per Dem in 1/25000. Diesen Dufour’schen Auftrag hat wohl Baader benutzt, um seine oben erwähnte Karte Basel-Stadtteil herzustellen. Immerhin begegnen wir auch den Spuren der Huber’schen Triangulation im hervorragendsten Kartenwerk des Kantons, dem- jenigen von Andreas Kündig: Karte vom Kanton Basel, entworfen von Andreas Kündig, 1:50000, 2 Bl., jedes zu 68/40 cm. Verlag von Ü. Detloff, empfohlen vom hohen Regierungsrate von Basel-Land, Lithographie der Herder’schen Verlagsbuchhandlung Freiburg im Breisgau, eine jetzt noch gebrauchte Karte in Schraffenmanier. 1!) Diese Karte ist betitelt: Karte der Kantone Basel-Stadt und Land- schaft in 1/25000, 126/172 cm, in den Jahren 1841—45 hergestellt. 2) Geschichte der Dufour-Karte. S. 114. Bern. Mitteil. 1902. No. 1527. lan) — Die Bedeutung der Huber’schen Trıangulation für die schweizerische Landesvermessung ist geringer zu bewerten. Be- kanntlich begann die Primordialtriangulation unter Generalquar- tiermeister Finsler im Jahre 1809 in der Ostschweiz. Finsler fasste den Plan, die Ae der Nordostschweız, welche bis an die Gislifluh im Kanton Aargau sich erstreckten, mit den Messungen Trechsels im Kanton Bern, Hubers im Kanton Basel, E. Oster- walds ım Kanton Neuenburg, zu verbinden, wodurch er einer- seits den Anschluss mit der waadtländischen Triangulation er- reicht, andrerseits ein Asnetz erhalten hätte, das sich über 17 Schweizerkantone erstreckt hätte. Nach Huber’s Tode setzte ın Basel Hauptmann Geigy die Arbeit fort. Die erste Kommission für die schweizerische Landes- aufnahme, welche sich am 4. Juni 1832 ın Bern unter dem Vor- sitze des Oberstquartiermeisters Ludwig Wurstemberger ver- sammelte, beschäftigte sich auch eingehend mit der Würdigung der bisherigen im Lande vollbrachten Vermessungsarbeiten.!) Be- züglich der Huber’schen Triangulation des Kantons Basel ergab sich folgendes: Sie hat mit der Buchwalder’schen des Kantons Solothurn die Linien Passwang-Wiesenberg, Passwang-Basel, Wiesenberg- Basel gemein. Wegen Veränderung der Signale auf dem Wiesenberg, Gislifluh und Passwang stehen die Huber’schen Messungen besonders mit den französischen, aber auch mit den Buchwalder’schen nicht in Einklang, und vom ganzen Basel’schen Netz ist nur der südliche Münsterturm zu Basel zuverlässig in Uebereinstimmung mit der eidgen. Vermessung. Zur Herstellung der Verbindung und Ausgleichung der Wider- sprüche sollen von neuem 3 auptdreiecke in den Kanton Basel hineingeworfen werden, nämlich: Passwang-W iesenberg-Basel, 2 £ -Sonnenberg, & ® -Römel, allenfalls . n nah durch welche dann mittelst eines konstanten Logarıthmus auch die übrigen /\e berück- sichtigt werden könnten und so der Kanton Basel sich der eidgen. Triangulation einverleiben liesse. !) Graf, Geschichte der Dufourkarte. S. 22 Wenn daher die Huber’sche Triangulation auch für den Kanton Basel unmittelbar grosse Bedeutung erhalten hat, so ist sie ın zweiter Linie für dıe schweizerische Landesaufnahme nicht sehr verwendbar geworden. Es rächte sich der Mangel an ge- eigneten Instrumenten und die Auswahl und unsichere Fixierung der Signale auf den Punkten des Asnetzes in sehr erheblichem Masse. Immerhin hat Huber mit seinen geringen Hilfsmitteln zu einer Zeit Bedeutendes geleistet, wo man anderwärts noch nicht einmal an einen solchen Versuch dachte oder über den Versuch nicht hinaus kam. In Bezug auf die rechnerische Ausgestaltung und die kri- tische Abwägung seiner eigenen Resultate wird er aber stets ein Muster der Gewissenhaftigkeit, der Energie und der patriotischen, selbstlosen Hingabe an die Lösung einer wichtigen kartogra- phischen Aufgabe anerkannt werden müssen. Die Kosten (siehe Anhang No. 11) waren ausserordentlich bescheidene. Die Gesamtausgabe betrug bis und mit 1827 28,744 Franken, 7 Batzen, 9 Rappen; bis 1824 (Huber’s Schluss- arbeitsjahr) bloss 12,133 Franken, 2 Batzen, 9 Rappen. Wir sind am Schluss angelangt. Ich spreche an dieser Stelle dem eidgenössischen topographischen Bureau, Chef Herr L. Held, dem Staatsarchiv Baselstadt, Hrn. Dr. Wackernagel und Hrn. Dr. August Huber, den besten Dank für ihre persönliche Unterstützung aus. + Anhang No. |. Sie wissen, mein hochgeachteter und werthgeschätztester Herr Rathsherr, dass ich vorigen Herbst einen guten Theil unseres Basel- gebiets in der Höhe und Tiefe besucht. Mein vornehmster Zweck war eine geometrische Rekognoszirung desselben, die Aufsuchung von Stellen, die sich für Standpunkte einer trigonometrischen Ver- messung eigneten. Diesen Winter durch hat sich nun die Lust zu einem ähnlichen Versuche nicht wenig erhöht; ich habe manche vorläufige Entwürfe zur Ausführung desselben nach einer zweck- mässigen Methode gemacht, die ersten Tage dieses Frühlings von neuem zu möglichst sorgfältigsten Messungen angewendet, und durch freundschaftliche Mittheilung des franz. Ingenieurs, die für eine solche Arbeit höchst wichtig sein könnte, haben brieflich jenes Projekt noch mehr zu einer Lieblingsidee erhoben. Zwar sollten manche Schwierigkeiten mich abschrecken und namentlich die Instrumente, die mir zu Gebote stehen, denn jene Ingenieurs, sowie die Berner und Zürcher arbeiten nur mit 10- und >20 mal theuern. Indessen glaube ich, dass auch mit mittelmässigen bei Anwendung grosser Genauigkeit so viel geleistet werden kann, als zu einer Messung erforderlich ist, die als Basis eine so genaue Karte unseres Kantons, und durch diese wieder zur Basis künftiger Kadastervermessungen dienen könnte. Auf jeden Fall würden ähn- lichen Vermessungen von sehr grossem Nutzen für jede künftige als Vorarbeit sein und viele Kosten und Zeit ersparen. Eine andere Schwierigkeit liegt aber darin: Jede solide Messung muss in eine grosse Triangularmessung ausgehen, welche die Haupt- punkte des ganzen Kantons fixirt. Diese Punkte können für unsern Kanton, der ziemlich gebirgig ist, nur Berghöhen sein. Kirchthürme ete. ete. können daher bei dieser ersten Arbeit nirgends beinahe als Signale dienen, es müssen solche express an ausgewählten Stand- punkten errichtet werden. Diese Errichtung würde aber nicht nur mir als Partikular diese Liebhaberei um ein bedeutendes vertheuern, sondern sie würde mir als solchem beinahe unausführbar sein. Eine höhere Autorität nur kann sie erhalten und zumal schützen vor bos- haften Verletzungen. Mein lebhafter Wunsch, den ich Ihnen, verehrtester Herr Rathsherr, anempfehlen möchte, geht daher dahin: Die Regierung möchte sich für meine Arbeit einigermassen interessiren und zwar dadurch: — 69 — 1. Dass Sie mich gleichsam zu den nöthigen Vermessungen autori- sirte. 2. Das Sie mich begewältigte, die Gemeinden zu den erforderlichen Signalen anzuhalten und mir in meiner Arbeit den gehörigen Vorschub zu leisten. 3. Das Sie gütigst diejenigen Kosten übernähme, welche die Er- richtung der Signale und fremde Hülfe beim Transport der Instrumente erfordert. 4. Dass Sie mir diejenigen Hülfsmittel, die bereits vorhanden sind, gütigst anzeigt und zu gebrauchen erlaubt (als Instrumente, Pläne, Karten etec.), und im Fall man geneigt wäre etwas zur öffentlichen Anschaffung von guten Instrumenten beizutragen, dass wo möglich zu meinem Gebrauche bereits dieselbe befördert werde. Würde eine Hochlöbl. Regierung meinen geziemenden Wunsch mir gewähren, so machte ich mich anheischig nicht nur jedem dazu Beauftragten meine Arbeit und den Plan derselben zur Einsicht und Prüfung vorzulegen, sondern auch alle Beobachtungen, die ich mit Hülfe jener Signale machte zu jedem künftigen Gebrauch mitzu- tlıeilen. So viel verspreche ich als Verpflichtung, Allein ich hoffe ungleich mehreres und für das Allgemeine Nützliche thun zu können. Wie sehr mir eine solche Unterstützung und Begünstigung Auf- munterung und Anfeuerung sein würde, werden Sie mir zutrauen. Ich hoffte wirklich so weit zu kommen, mit der Zeit selbst eine alle bisherigen weit übertreffende, genaue, geometrische Carte zu liefern, in der alle Gebirgszüge, die in der Brucknerschen und Meyerschen so ganz fehlerhaft sind, richtig dargestellt wären — ich hoffte wenig- stens so weit zu kommen, ein Netz zu entwerfen — das, wenn ich es auch nicht ganz ausführen könnte, da ich meine Musse nicht berechnen kann, von grosser Wichtigkeit für jede künftige Arbeit dieser Art sein könnte. Ich würde diese Gemeinnützigkeit um so viel mehr erhöhen, da ich meine Exkursionen nebenbei recht eifrig zur Bestimmung der Höhen — (Bewantniss) und zur Erforschung der Naturmerkwürdigkeiten anwenden würde. Ich schmeichle mir aber einigermassen mit der frohen Hoffnung, die Theilnahme unserer Regierung an dieser Arbeit zu gewinnen — da die Kosten in der That nicht bedeutend wären — die Anzahl der Signale setze ich auf höchstens 15 oder 20; und alle Kosten auf höchstens 40 Ld’or, wenn ich allfalls anzuschaffende Instrumente fürs erste nicht in Betracht ziehe. u Jede Arbeit, die aber einst zu unternehmen wäre um das als Vorabeit zu ersetzen, was die meine zum wenigsten gewiss leistete, würde weit mehr kosten, da ich natürlich alle Privatkosten durchaus auf mich nehme, und mit dem Eifer eines Liebhabers arbeitete. Es würde mir sehr erfreulich sein, wenn Sie mein Hochgeehrter Herr Rathsherr die Gewogenheit hätten, diesen Gegenstand zu über- denken, und nach Gutheissung höhern Orts zur Sprache zu bringen und zwar mit Beschleunigung, da ich ungern diese Sommermonate verstreichen lasse ohne beträchtlich vorzuschreiten. Mit ausgezeichneter Hochachtung Ihr gehorsamster Ü. Bernoulli. Basel, d. 5. Juni 1812. Anhang Nr. 2. Extractus Raths Protocolli vom 24. Juny 1812. Eingezogen. Schon seit vorigem Sommer beschäftigt sich Herr Doctor Bernoulli, jünger, mit trigonometrischen Vermessungen in dem hiesigen Canton, welche sowohl die Erhaltung einer sorgfältigen und richtigen Carte beabsichtigen, als auch zu einer allgemeinen Cadastrirung des- selben dienen können. Zu weiterer Beförderung dieser gemeinnützigen Arbeiten be- darf H. Bernoulli einer Authorisation von höherem Ort, sowie eine Obrigkeitliche Unterstützung für die Errichtung der Signale, und Kosten Ersatz wegen dem Transport der Instrumente ete. wohl an- gewandt seyn würde. Es sollte demnach Löbl. Haushaltung beauf- tragt werden, den Herrn Bernoulli näher über sein Vorhaben zu ver- nehmen, und demselben die gewünschte Hülfe angedeihen zu lassen. wird | erkannt. Soll nach diesem Einzug verfahren, und zu diesem Ende Löbl Haushaltung der angerathene Auftrag ertheilt werden. Kanzley des Kantons Basel. Anhang Nr. 3. Hochgeachteter, insbesondere Hochzuverehrender Herr! Nach den aufmunternden Gesinnungen, die Sie mir letzthin mitzutheilen die Gewogenheit hatten, habe ich nicht ermangelt über die Weise nachzusinnen, den zweckmässigsten Gebrauch von dem gütigen Vorschuss zu machen, dessen ich mich von Seite un- serer Hochlöbl. Regierung zur Beförderung meiner Messungen er- freuen darf. Ich habe nicht ermangelt, die Herren Rathherr Finsler und Präsident Escher über diese Angelegenheit zu berathen. Auch ihre Unterredung hat mich aber immer mehr als erstes Bedürfniss vor allem die Acquisition eines guten Instrumentes einsehen lassen, ohne welches sich leider alle anzuwendende Kosten und Mühe wenig belohnen würde. Das einzige genaue Instrument, das sich hier vorfinden dürfte, ist ein englischer Sextant, den kürzlich die philosophische Fakultät anschafte. Abgesehen aber, dass dieser schwer zu erhalten wäre, und Herr Prof. D. Huber ihn zu astronomischen Beobachtungen braucht, so dürfte derselbe auch nach H® Finler’s Ausspruch wenig für die vorzunehmenden Messungen zu wünschen seyn. Unser Canton, zumal als ein gebirgichter, würde Messungen mit Sextanten sehr erschweren, es würden zudem mehrere und kostbarere Signale nöthig seyn, weil die Einrichtung des Instruments an sich deutlichere Objekte verlangt — zudem läuft es bei öftern Reisen eher Gefahr beschädigt zu werden, und früher oder später vorzunehmende Land- vermessungen würden stets ein anderes genaues Instrument er- heischen. Ein solches Instrument, das zu meinem Zweck so wie zu jedem, der terrestrische Messungen zum Gegenstand hat, seit langem als das bei weitem vorzüglichste anerkannt ist, ist ein sogenannter Theodolit. Obschon für diese und ähnliche Arbeiten eben nicht einer der vorzüglichsten und namentlich ein Reichenbach’scher von- nöthen ist, so sollte er dennoch aus den Werkstätten eines der ge- schicktesten Mechanikers — aus Stuttgardt, Darmstadt — oder wenig- stens aus Zürich (von Oery) bestellt werden. Ein solches unter sorgfäl- tigen Händen stets vortreffliches Instrument, würde an 20—30 Ld’or zu stehen kommen. Die Anschaffung eines solchen Instruments, welches fürs erste zu meinen Messungen mir gütigst anvertraut würde, ist nun der Wunsch, den ich Ihnen, Hochgeachteter Herr Dreierherr, und durch Sie einer Hochlöbl. Haushaltung geziemendst vorzutragen die Freiheit nehme — mit der Bitte sogar die Bestellung sobald möglich machen zu dürfen, damit noch diesen Herbst zu Arbeiten geschritten werden könnte. Vielleicht dürfte ich um so eher die Willfahrung dieses Wunsches hoffen, da ein solches Instrument einen bleibenden Werth hat, keineswegs blos auf Kosten meiner Arbeit zu schreiben wäre, indem ich die Integrität garantirte; dabei aber wirklich in meinen vor- läufig geäuffneten Unkosten begriffen ist. Ich sprach bereits von ca. 50 Ld’or — die Unkosten der Signale etc. würden aber für das lt und vielleicht 2° Jahr zusammen schwerlich die Summe von 25 Ld’or erreichen. Mit der ausgezeichnetsten Hochachtung verharre Meines hochgeachtetsten Herrn (rehorsamster Dr. €. Bernoulli. Basel, den 27ten Juny 1812. Anhang Nr. 4. Hochgeachter Herr Praesident! Hochgeachte, hochgeehrte Herren! In Antwort auf Hochdero vom 20sten July 1812 datirte und uns vorgelegte Frage, was für mathematische Instrumente bey unsrer Universität vorhanden seyn, welche dem Herrn €. Bernoulli zur Be- förderung seiner in unserm vaterländischen Kanton vorzunehmenden trigonometrischen Messungen dienen könnten, folgt hier ein von Hın. Dr. Daniel Huber dem Professor der Mathesis mit vielem Fleisse ausgefertigter und die ganze Wichtigkeit dieses Gegenstandes in das helleste Licht stellender Bericht. Hiemit verharre hochachtungsvoll Prof. Hieron. Koenig ; p-. t. Academiae Rector. 1812 d. 25sten July. Anhang Nr. 5. Aarau, d. Sten Brachmonat 1813. Präsident und Rath des Kantons Aargau an Bürgermeister und Rath des Kantons Basel. Getreue Liebe Eid- und Bundsgenossen! Wir vernemmen aus Ihrer verehrten Zuschrift vom lten diss, dass Herr Professor Huber von Basel Willens sey, trigonometrische Vermessungen in Ihrem Canton vorzunemmen, und ihm von Ihnen durch ein Patent die allfällig zu Ausführung seines Vorhabens er- forderliche Handbietung und Schutz der Beamten Ihres Cantons zu- gesichert worden sey; da nun derselbe in den Fall kommen könnte, auch innerhalb der Grenzen Unseres Cantons seine Arbeiten vor- nemmen, und Signale aufstellen zu müssen, so entsprechen Wir mit Vergnügen Ihrem Uns geäusserten Wunsch durch Bewilligung bey- liegenden Patents, Kraft dessen Herr Professor Huber bey seinen vorhabenden Arbeiten in Unserm Canton wie in dem Ihrigen finden wird. Wir ersuchen Sie Getreue Liebe Eid- und Bundsgenossen, ihm dasselbige zu seinem Behelf zustellen zu lassen, und übrigens in allen Anlassen Unserer Bereitwilligkeit zu jeder von Uns abhängen- den Gefälligkeit sich versichert zu halten. Womit Wir Sie G. L. E. und Bundsgenossen nebst Uns der himmlischen Obsorge bestens empfehlen. Der Präsident des Kleinen Raths Weissenbach. Der Staatsschreiber Kasthofer. Anhang Nr. 6. Copia. Wir Präsident und Rath des Cantons Aargau thun kund hiemit, Dass wir auf die Empfehlung der Regierung löbl. Standes Basel, in der Absicht dem Herrn Professor Huber von Basel, welcher Vorhabens ist, in dortigem Canton trygonometrische Vermessungen anzustellen, und dabey in den Fall kommen dürfte, innert den Grenzen des hiesigen einige Arbeiten vorzunemmen, die nöthige Sicherheit zu ungehinderter und ruhiger Vollziehung dieses Unter- nehmens zu verschaffen. verordnet. 1. Es solle dem Herrn Professor Huber, bey seinem Vorhaben in Unserem Canton kein Hinderniss in den Weg gelegt und seine aufgestellten Signale unverletzt erhalten werden. hingegen sind 2. Alle unsere Beamte und Vorgesetzte der betreffenden Ge- meinden Unserer Grenzbezirke Aarau, Laufenburg und Rheinfelden, aufgefordert, demselben alle benöthigte Unterstützung und Vorschub zu leisten. Bern. Mitteil. 1902. No. 1528. 3. Gegenwärtiges Patent soll dem H» Oberamtmann desjenigen der Oberwähnten Bezirke, in welchem Herr Huber seine Vermes- sungen vornemmen will, vorgewiesen, und mit desselben visum ver- sehen werden. (Gegeben in Aarau d. 8. Juny 1813. Der Präsident des Kleinen Raths sig. Weyssenbach. Der Staatsschreiber sıg. Kasthofer. Anhang Nr. %. Extractus Raths Protocolli vom 12. Juny 1813. Auf ein Antwortschreiben von Löbl. Cantons Regierung Aargau, wegen H. Professor Hubers trigonometrischer Ausmessung des hie- sigen Cantons ward Soll die willfährige Entsprechung der Regierung des Cantons Aargau höflich verdankt, und soll dieses Schreiben Löbl. Haushaltung zu handen des H. Professor Huber zugestellt werden. Canzlei des Cantons Basel, Anhang No. 8. Trigonometrische Ausmessung des Cantons. Finanz Rath in Solothurn den 21. Juny 1813. ‘Ss hat unsere Regierung Ihrem hohen Stand von dem Vor- haben H" Daniel Huber Professor der Mathematik auf unserer Uni- versität eine trigonometrische Vermessung unseres Cantons vVorzu- nehmen in Kenntniss gesetzt und da derselbe in Fall kommen wird auf der Scharten Flu bey Gempen und auf dem obern Paswang Signale aufzustellen, auch auf dem Durrek ob Eptingen und auf der Geiss Flu vielleicht etwas Holz ausleichten Hochdieselbe ersucht, die Ausführung dieser Arbeit gefällig zu gestatten, welchem Sie auch in allen Theilen entsprochen und D.H. G. A. Herrn als diejenige Be- hörde bezeichnet an welche sich H" Prof. Huber wegen allfälliger Ausleichtung des Holzes zu wenden habe. Um nun allen Weitläufigkeiten hierüber vorzubeugen, nehmen ee, en wir die Freiheit Hochdieselben zu ersuchen uns gefälligst anzuzeigen an wen sich Hr Professor Huber auf diesen Stellen zu melden habe, um die nöthige Weisung und Unterstützung zu erhalten, und die nöthigen Befehle an dieselben zu ertheilen, damit Ihm kem Hinder- niss gemacht werde. Sie werden uns durch willfährige Entsprechung sehr verbinden, und wir werden jeden Anlass mit Vergnügen ergreifen, wo wir Ihnen Beweyse unserer Dienstbereitwilligkeit dargeben können. Mit vollkommenster Hochachtung beehren wir Anhang No. 9. Schultheiss und Rath des Kantons Solothurn an Bürgermeister und Rath des Kantons Basel Getreue liebe Eid- und Bundsgenossen! Sie haben Ihrem Mitbürger Hr Daniel Huber, Professor der Mathematik auf der Universität zu Basel bevollmächtiget, den Kanton Basel trigonometrisch aufzunemmen, und bey Uns zu diesem Ende angesucht, dass wir zugeben möchten, dass auf der Schartenfluh bey Gempen, und auf dem obern Passwang Signale aufgestellt, und auf der Dureck ob Eptingen, sowohl als auf der Geisfluh ob Oltingen einiges Holz ausgeleichtet werden dörfe. Wir haben diesem Be- gehren, durch welches auch für die benachbarten Kantone gemem- nützige Resultate hervorgehen, mit Vergnügen entsprochen, und daher wegen der Signale an die Oberamtsmänner, und wegen Aus- leichtung des Holzes an den Finanzrath, an welchen sich H. Pro- fessor Huber zu wenden hat, die gemessene Befehle ertheilt. Wir empfehlen Die U. G. L. E. und Bundesgenossen mit dieser Anzeige samt uns dem Schutz des Allgütigen. Solothurn d. Yen Juny 1818. Der Amtsschultheiss Heinrich Grimm von Wartenfels. Für den Staatsschreiber Der Rathsschreiber S. Glutz-blotzheim. Anhang No. 10. Basel. Hochgeachte Herren! Durch Ihre Zuschrift vom 21ter diess fragen Hoch dieselben bey Uns an, an wenn sich Herr Professor Huber wegen Unterstützung bey seinen trigonometrischen Vermessungen und den nöthigen Aus- leichtungen zu wenden habe. Wir haben die Ehre, Ihnen hiermit anzuzeigen, dass sich H. Professor Huber nur an die Oberamtmänner der betreffenden Amteyen zu wenden habe, indem diese desshalb die erforderlichen Weisungen erhalten haben. Solothurn d. 29er Juny 1813. Der Präsident des Finanz Raths Ludwig von Roll des Raths. Im Namen desselben Staub Erster Secret. Rechnung 1813 1814 1815 1816 1817 1818 1819 1820 Anhang No. 11. Auszüge aus den Rechnungen des Kantons Basel betr. Geometriseche Ausmessung des Kantons. 1513. Febr. 1815. Febr. ins Bebr: 1819. Jan. 1820. Febr. 1821. Febr. 10. 17: 29. 16. An Herr Prof. Huber zu Anschaffung eines Theodoliten; x. 2 .2.....2.- Reparationskosten eines Theodoliten nebst Fracht . er an Herr Prof. Huber wegen geo- metrische Vermessung des Cantons gehabter Unkösten laut Rechg. . An Herrn Adjunkt Merian Gratifikation als Beyhülf bei Herrn Prof. Huber an Herrn Prof. Huber wegen gehabten Unkösten bei geometrischen. Aus- messungen im Jahr 1814 Verrechnet Herr Prof. Huber für geo- metrische Vermessungen des Cantons Verrechnet Herr Prof. Huber für die Trigonometrische Vermessung A° 1817 u. 1818 An Herrn Prof. Huber für trigono- metrische Vermessung Verrechnet Herr Prof. Huber Herr Rathsherr Stehlin, Oberförster u. Merian wegen Hauenstein . Herr Rathsherr Meschini, wegen glei- chem, woran aber der Kanton Solo- thurn die Hälfte zu erstatten hat . Rr-rBz: 560. — 17a 8 Bee 251. — S0. — 438. 6. 518. 6. 5983. 3. a2 I 6% 40. 2. 963. 4. 1644. 9 Rp. or| au up (Sr! So | OT Rechnung 1821 Sept. 22. Jan. 1822523; Jan. 1823 24. März 1824 25. Jan. März 1825 Juni Juli 26. Febr. 26. 14. 18. 10. 1. 17. Herr Rathsherr Meschini A conto wegen Hauenstein 1648. — dessen Spesen 312. —. Vermessung der Bruderholzstrasse Herr Rathsherr Stehlin, Kosten w. Hauenstein Ver. Herr Dep. Huber, Namens der Landwirtschaftl. Commission, für Vermessungen im Sissacherbann Ver. löbl. Landwirtschaftl. Commission wegen Staatswald etc. zu Itigen Papyr u. Tuch zu Plänen des lItiger- banns Verr. Herr Prof. Huber pro 1821—1824 » Landwirtschaftl. Commission Zimmer im Bischofshof Winkelbestimmung des 2. Netzes an Frey 2136. 50 dito Siegfried 189. 50 dito Bader 201. 50 Verification u. dem Schreiber für 3 Monate 370.70 Aussteinung u. Verpfählung 303.40 Herr Ing. Merian Vermessung am Hauenstein N Herr Prof. Huber für Instrumente verrechnet 1. Landwirtschafl. Com- mission wegen Kadaster an Ing. Frey für Berechnung aufgenommener Winkel Fr. 550. 2. — für Winkelbestimmung in 4 Bzk. » 1470. — — dem Gehülfen »..38. — — TaglöhneanBannwarte; Signale » 316. 7. — Perkall, Papyr, Schreib- material u. dgl. » 70. 5. — Sekretärs Besoldung » 480. — — Besoldung an Land- kommissär » 1200. — — 54 Taggelder a Fr.4.— » 216. — — Fr. Bz. Rp. 1960. — — a A N 454. 7.5 180) rt — | | He 11, = 264. 6. — 493. — — 574. 4. — 201. 6. — 4569. — — 41:-1.290: 16. — — 4987. 4. — 5 - [Sy | Qu Rechnung 1826 1827 1828. März 31. Febr. 2. Jan. 31. An Herrn Dr. Laroche für Rückstand an Meschini i Ing. Frey für die Kosten ge; » Siegfried für Kleinhüningsbann . Landeommission Besoldung u. Diäten Sekretariatshonorar 5 Staatsantheil an Vermessungen Mess-Instrumente ET Holz, Wellen, Handw. f. Bureau Verrechnetl. Landwirtsch. Commission für 1827 für Vermessungen der Geometer Frey und Wenk. ER EN ERNEE für Staatsantheil an den Vermessungen im Bettinger u. Böckter Bann für Besoldungen der Angestellten » Instrumente und Geräthschaften . » Buralausgaben 4296. 285. 2067. 137. 511. 1299. A. Krebs. Konstruktionen gleichschenkliger Dreiecke mit Hilfe von Kurven höherer Ordnung. EINLEITUNG. $ 1. Ein gleichschenkliges Dreieck ıst durch zwei Stücke bestimmt. Als Bestimmungsstücke sollen ın Betracht fallen (Fig. 1): 1. Die Bass OA=b. Der: Schenke OB=Z.-AB—:. Die Basishöhe BC =h,. Die Schenkelhöhe AD =h.. Die durch die Schenkelhöhe erzeugten Schenkelabschnitte OD —m nd BB—-n. Im ganzen haben wır also sechs Bestimmungsstücke. In allen Konstruktionsaufgaben, die wir lösen werden, soll die Basis b das erste gegebene Stück sein. Als Zweites fügen wir die Summe oder Differenz aus je zweien der übrigen fünf Be- Str ww stimmungsgrössen hinzu. Ein gleichschenkliges Dreieck hat für uns jetzt vier Funda- mentalpunkte. Zwei davon sind stets durch die Basıs gegeben. Ist von den andern zweien — es betrifft dies noch die Spitze B und den Fusspunkt D der Schenkelhöhe — der eine bestimmt, so ıst das Problem gelöst. Jede Aufgabe gestattet daher eine doppelte Lösungsart. Die Bestimmung des dritten festen Punktes erfordert, wie wir bald sehen werden, die Konstruktion einer Kurve höherer Ordnung. Sollte eine solche Hilfskurve nicht näher bekannt sein, so erlauben wir uns, dieselbe nebenbei einer mehr oder weniger eingehenden Untersuchung zu unterwerfen. I. $ 2. Erste Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck zu kon- struieren, wenn die Basis b und die Summe oder Differenz aus der Basishöhe und dem an die Spitze grenzenden Schenkelabschnitt ge- geben sind. Tatel} ER r IOo — b= b ER TEE N le 2 m 5 Die Summe h, + n erreicht das Minimum — bei einem un- > endlich kleinen und bei einem rechtwinkhgen Dreieck. Die Differenz hu —n wird bei einem unendlich kleimen Dreieck zum b R en EA: Minimum —= — — und beim rechtwinkligen Dreieck zum Maxı- b st SE: 3 h mum = —- Bei jedem andern Dreieck wird hu — n abs. <— pe _ was nach einem planimetrischen Satze sofort ersichtlich ıst, wenn wir ın Figur (1) D mit © verbinden. $ 3. Erste Lösung. Bestimmung des Fusspunktess D der Schenkelhöhe. a) Wir konstruieren zu diesem Zweck folgenderweise eine Hilfskurve. Es sei (siehe Fig. 31, Tafel ) OA=b die gegebene Basis. Wir ziehen durch ıhre Mitte UÜ die Mittelsenkrechte MM,. Auf derselben wählen wır den festen Punkt E so, dass CE=c==der gegebenen Summe oder Differenz ist. Wir ziehen nun durch O einen Strahl, der die Mittelsenkrechte in R schneidet. Auf diesem Strahl tragen wir von R aus nach beiden Seiten die Strecke RE ab und bezeichnen die so gewonnenen Punkte mit Pı und P>. Wird nun der Strahl OR um O gedreht, so beschreiben die Punkte Pı und Pa die gesuchte Kurve. Dieselbe muss nach Konstruktion in E einen Doppelpunkt haben. Für die Kurven- punkte P auf Strahlen, welche die Mittelsenkrechte zwischen Doppelpunkt E und der Basıs OA schneiden, gilt die Relation: BE LELRG =; RI ROC—Ch—e. Schneiden die Strahlen die Mittelsenkrechte oberhalb des Doppelpunktes E, so entsprechen die darauf liegenden Kurven- punkte der Bedingung: RG Kr, BREC-RE, = CE =e, Bern. Mitteil. 1902. No. 1529. ME SE Kurvenpunkte endlich, deren Strahlen die Mittelsenkrechte unterhalb der Basıs OA schneiden, genügen der Relation: RP = RC=RBR —RÜ=EL—R Die drei Relationen entsprechen den drei Bedingungen: 1. u, En=:c; 2, 5 ic; 3.0 u c. Wir denken uns nun auf der Basis OA eın gleichschenk- liges Dreieck konstruiert. Ist dasselbe das gesuchte, d.h. ent- spricht es den gestellten Bedingungen, so muss der Schnittpunkt des Schenkels OB mit der Kurve Fusspunkt der Schenkelhöhe sein. Nach Fig. 1 liegt der Fusspunkt D der Schenkelhöhe auf einem um OA als Durchmesser gezogenen Kreise. Um unsere Aufgabe mit Hilfe der konstruierten Kurve zu lösen, haben wir also noch um OA als Durchmesser den besagten Kreis zu ziehen, den wir fortan in allen unsern Konstruktionen den Grundkreis nennen wollen. Die Schnittpunkte des Grundkreises mit der Hilfskurve liefern die gesuchten Fusspunkte D der Schenkelhöhe. b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir verwenden em rechtwinkliges Koordinatensystem, wählen O zum Nullpunkt desselben und legen durch OA die positive x-Axe. Es seien x und y die Koordinaten des Punktes Pı. Ferner er- ; 2 bus innern wir daran, dass PPER--RÜ=e und das OC= ist. De Es ıst nın Pi = BıN + NR: («) PıR =e--RC nach Konstruktion; b P;,N —s ae erg ING: 2 3 N b : Nun verhält sich RC: y—=7:: x, woraus folgt, dass De SR by RC= 2x Setzen wir die gefundenen Werte alle in («) ein, so er- by ); b I by Ai 3 e- = )Hn) | halten wir ee vereinfacht &--y’)(b 2x)” Bex — by) =0. (1) Die Gleichung (1) stellt eine Kurve 4. Ordnung dar, die ım Nullpunkt einen Doppelpunkt hat. Sie ist aber keine ächte Kurve #4. Ordnung: denn sie zerfällt m eine Kurve 3. Ordnung und in eine Gerade. Es lässt sich nämlich der Faktor x ab- sondern und wegdividieren. Die y-Axe ıst somit die Gerade. Um den Faktor x wegdividieren zu können, bringen wır (1) auf die Form (2£.x — by)? — y’(b— 2x)’=x?(b — 2x)”. Wir zerlegen die linke Seite m zwei Faktoren, worauf wır ohne weiteres die Gleichung durch 4x dividieren können. Wir erhalten schliesslich für unsere Kurve 3. Ordnung die Gleichung (x?+ y?)(x —b)—x (« - + bey—=0. (2) c) Die Eigenschaften der Kurve, Die Kurve geht durch den Nullpunkt: denn die Gleichung beginnt mit Gliedern ersten Grades. R i ? ; bh’ : Setzen wir UL —bey— x (e: — >| —(), so erhalten wir de j : y FE x als Gleichung der (3) Tangente im Nullpunkt. bier k Fürc=, wird y=0; die Tangente fällt mit der x-Axe zusammen. Für e=0 wird x=0; die Tangente fällt mit der y-Axe zusammen. Um die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Axe zu be- kommen, setzen wir y=0 und erhalten R R Br de BE x®>— hbx’— x rg —(), woraus xı —(, Punkt O (Kurve IJ]); | SE = + e, Punkt J: h aM | | a Is Die Punkte J und H sind gleich weit von C, dem Mittel- punkt der Basis, entfernt. Setzen wir x=0, so erhalten wir die Schnittpunkte der Kurve mit der y-Axe: by’ — bey 0; Yı — 0, Punkt. ®; yo Be Der 3. Schnittpunkt der Kurve mit der y-Axe liegt im Un- endlichen; denn der Koeffizient des Gliedes y? ist — 0. Um die Schnittpunkte der Kurve mit der unendlich fernen (seraden zu bestimmen, machen wir die Gleichung mit z homogen, setzen dann z—=0 und erhalten UV -xt+y)xs=0: IX 0: 2.7 ER Wir finden somit, dass die Kurve durch die unendlich fernen imaginären Kreispunkte der Ebene geht und dass sie m der Richtung der y-Axe eine reelle Asymptote hat. Die Gleichung dieser reellen Asymptote lautet, wie aus der Kurvengleichung leicht zu ersehen ist, xe=.b: (4) denn bestimmen wir die Schnittpunkte der Geraden x=b mit der Kurve, so erhalten wır in y nur eine Gleichung ersten Grades, 4c?—b? 4c folglich schneidet die Gerade x=b im Endlichen die Kurve nur in emem Punkt. Die übrigen zwei Schnittpunkte müssen, da die Koeffizienten von y? und y’=0 sind, im Unendlichen liegen. Wir lösen die Gleichung nach y auf und erhalten a be == Ve@zzp EpE2 [4x?(x—b)+b?x] 2(b—x) — Punkt T; nämlich ve vereinfacht be+ßx—-b)Vye@ tbx- x Ve Zu 5) . 2(b—x) Aus diesem Ausdruck für y resultiert, dass die Kurve nicht symmetrisch zur x-Axe liegt. Die Kurve ist überhaupt, vom Spezialfall e—=0 abgesehen, keine symmetrische Kurve; sie kann durch keine Transformation symmetrisch gemacht werden. u So lange ce? -+bx —x? positiv ist, erhalten wir für y zwei reelle und verschiedene Werte. Für einen negatıven Radıkanden wird y imaginär. Für den Grenzfall verschwindet der Wurzel- ausdruck; die beiden Werte von y fallen zusammen, und die Ordinate wird zur Tangente an die Kurve, wenn ce +bx—x’=(0, woraus br \Vb: —4c? | für das positive Zeichen erhalten wır die Tangente WZ. Ordinate ım Berührungspunkt Z: b(b-+VYb?-+4e?) Vs —.neg. : 4c Für das neg. Zeichen ım Ausdruck für x bekommen wir die Tangente UV. Ordinate im Berührungspunkt V: abaly. b2+4c? re) y= —— = pos. 4c Sb pe ie -[- ec? > eh so wird y imaginär. Der absteigende Ast der Kurve, welcher die Asymptote x—=b ım Punkt T schneidet, kehrt dieser die konkave Seite zu. Es muss daher die Kurve unterhalb des Berührungspunktes Z der äussersten Tangente W Z einen Wendepunkt besitzen, von dem aus sie der Asymptote wieder die konvexe Seite zuwendet. Die Kurve hat in E eimen Doppelpunkt, was nicht nur aus der Konstruktion folgt, sondern auch analytisch ersichtlich wird, wenn wir den Nullpunkt nach E verschieben vermittelst der Transformationsformeln xx y-y'-te. Die Gleichung der Kurve nach der Transformation eh E ä b 5 x? +y)x’ +5-(&—y’)+2ex’y’=0. (9) Der Nullpunkt ist nun Doppelpunkt:; denn die Gleichung beginnt mit Gliedern zweiten Grades. — 86 — Für die Tangenten im Doppelpunkt erhalten wır die Gleichung ‚.. 2e-+Vb2-r4e, Ve Se x (6 ) b ) Die beiden Tangenten stehen senkrecht aufeinander; denn 1 es ıst m = — B 1113 Unsere Kurve ist eine rationale Kurve; denn sie besitzt einen Doppelpunkt, also das mögliche Maximum. Wir können daher die Koordinaten eines Punktes als rationale Funktionen eines Parameters A darstellen. Wählen wir trigonometrische Funktionen als Parameter, so erhalten wir, wenn wir Gleichung (5) zu Grunde legen, ’ b Be u e sin2o-- »ens2e): | E (7) Y—_=— (« sin2e-+- N eos2e) . bedeutet den Winkel, den der Leitstrahl mit der positiven x-Axe bildet. Wir wollen nun untersuchen, welche Modifikationen die Kurve erleidet, wenn wir c varıeren lassen. h 98 = Die Gleichung (2) bekommt die Form a l @+y)&—b)+zy—0. & Die Kurve schneidet sowohl die x-Axe als auch die Asymptote x—=b im Punkte A (b, 0). Die x-Axe ist, wie schon oben erwähnt, im Nullpunkt Tangente. Die Gleichung nach y aufgelöst, ergiebt b?+(@x—b)VYb?+4bx —4x° ae 4(b—.x) ) F - v wird reell, wenn x zwischen AV 9) und — d-FV2} _ varnert. | x —_ 0) ist Tangente ım Punkt V, und = 24V) ist Tangente ım Punkt Z. Der Doppelpunkt E rückt m den Grundkreis. Wird E zum Nullpunkt des Koordinatensystems gewählt, so erhalten wir, wenn ER bh en E: wir in (5) e=, setzen, als Gleichung der Kurve: [2 2 ! b 2} DEI 12 Ä Kr ty He try y)=0. (9) _ Die Gleichung der Doppelpunktstangenten lautet v=(1+4Y2)x. (10) Gleichung (7) nımmt die Form an bl EN‘ x’ — cos Be | 2 | (11) Y—- 2 3.08 Er ige | 0 Die Gleichung der Kurve lautet } 2x + y)(&—b){ T —(, (12) Wir verlegen den Koordinatenursprung in den Doppelpunkt E und erhalten als Kurvengleichung, wenn wir in (5) e=0 setzen &"?—+y?)x 2: va)! (13 Dies ıst die Gleichung der Strophoide. Es ist der einzige Spezialfall, in welchem die Kurve, wie schon angedeutet, sym- metrisch wird. Der Wendepunkt rückt ins Unendliche hinaus und fällt in die Asymptote. Letztere ist ja wie bekannt eine Wendetangente. Der Doppelpunkt liegt im Unendlichen in der Richtung der y-Axe. Die Kurve selber besteht aus der y-Axe und der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden. 4. ce —.negaliv. Setzen wir für c negative Werte ein, so erhalten wir der Reihe nach dieselben Kurven wie für positive c; nur sind dieselben immer Spiegelbilder der erstern in Bezug auf die x-Axe. Die Kurven für positive und negative ce liegen daher paarweise symmetrisch zur x-Axe. Alle besitzen die gemeinschaftliche Asymptote x=h. d. Die Lösungen der Konstruktionsaufgabe. Wir suchen die Punkte D, die Fusspunkte der Schenkel- höhe. Dieselben sind, wie wir schon gezeigt haben, die Schnitt- punkte des Grundkreises mit der Kurve. Ein Kreis schneidet eine Kurve dritter Ordnung ın 6 Punkten. Da nun beide Kurven durch den Nullpunkt und durch die imaginären Kreispunkte der Ebene gehen, so fallen von vorneherein 3 Schnittpunkte ausser Betracht. Es bleiben also noch 3 Schnittpunkte zu be- stimmen übrig. Als Gleichung der Kurve haben wir (x?--y?)(x—b)—x (e- = bey 0 («) und als Gleichung des Kreises x bxr y—=0. (2) Wır lösen Gleichung (3) nach y auf und erhalten == Vbxz-x2. Diesen Wert setzen wir ın («) ein; es giebt Erle N) (ec = un = —_be\dbr x \ 4 / (Juadriert, auf Null gebracht und den Faktor x wegdividiert = 2 2 C 4 2 22 Qmye! a. 9b? 4e,, , 9b! 7-406%7-16:c > enıgze 2b 16b? Die Wurzeln dieser kubischen Gleichung sind die Abseissen der Schnittpunkte D. Als Diskriminante der Gleichung erhalten wir den Ausdruck: x eV 2 es 108. 646% 4 = positiv: die Gleichung besitzt eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln. 4=0; alle drei Wurzeln sind reell und zwei fallen zusammen. J = negativ; drei reelle und unter sich verschiedene Wurzeln. A (— 27 b5--288b° ec? — 992 b* ec! 4 1024 h? 54 256e?). Wir behandeln zuerst den mittlern Fall und untersuchen, für welche Werte von c die Diskrimmante verschwindet. Wir setzen! 4c—=E und b?’=n und führen diese Werte im Aus- druck für 7 eın. Bestimmen wir hierauf die Wurzeln der Gleichung /=0, so finden wir, dass sich die Diskriminante folgendermassen ın Faktoren zerlegen lässt: — 9 — 2 2 SE erento roten None I= og. (4 b?)? (16c?-+72b?« 27 b?) Es wird somit /=0, wenn ja G==(: ] De —_ : In Bezug auf die Löungen unserer Aufgabe können wir folgende drei Hauptfälle unterscheiden: AA ce > I Für sämtliche Dreiecke, die sich als Lösung ergeben, gilt die Relation b un kn rce=+,- Von den beiden Grössen h, und n ist die eine = (0). b (x C a To Für die Dreiecke siltt —_n=-+.. b DE ee et E a Bus 0 Die Diskriminante ist positiv; wir erhalten nur eine reelle Wurzel als Abseisse, d. h. der Grundkreis schneidet die Kurve nur in einem reellen Punkt. Dieser Schnittpunkt liefert ein spitzwinkliges Dreieck. be Se 2. c—=—\/6V3—9. Tat.I, Fig.3. Die Diskriminante verschwindet. Es giebt 3 reelle Wurzeln, wovon 2 zusammenfallen. Grundkreis und Kurve schneiden sich ın D,’ und berühren sich in D>’. Es ist nun Bern. Mitteil. 1902. No. 1530. — WW — Q 27 b® — 324 b?! ce +4 7206? ec! + 64 c° Mer S64 b? 3 Für x; bekommen wır demnach den Ausdruck 3 3b?-14e? Ä 2 ®) > Gh TR oder 3b?-+b!(6/3—9 a = an 2 re -\g=eia 3 wenn wir für ec obigen Wert einsetzen. op preVs 9, 0b X) NG = 6b = | 92 (2 \ 3) == VB. Setzen wir diese Werte ın der Kreisgleichung ein, so er- halten wır Dem Schnittpunkt Dy’(xıyı) entspricht das spitzwinklige Dreieck DABı’ und dem Berührungspunkt D»’ (x2 y2) das doppelt gelegte stumpfwinklige Dreieck OA Ba’. Um zu untersuchen, ob letzteres Dreieck eine besondere Eigenschaft besitze, wie zu vermuten ist, berechnen wir zunächst seine Basıshöhe. Wir können die Proportion aufstellen: hy: a \/2V33 — v8; EN a a. Nun ist. tn ce —- = \ 6/3 —9; folglich ist CE hy = —— Das Dreieck besitzt also die Eigentümlichkeit, dass der äussere Schenkelabschnitt n das Doppelte der Basıshöhe be- trägt. Für seine Fläche erhalten wır den Ausdruck b RER en \ 6y3—9. (14) 19} o De N — 91 — Die Basishöhe des spitzwinkligen Dreiecks VOABı’ lässt sich aus der Proportion berechnen hu: DV 14/3 — 4 — au : @V3—3)b, ] / ® woraus h, = 5 \V/ 49 v3 za Er V/ 1a, = A — 05328 sh. Es wird demnach _ (26864... b2 5 De — (),26864 bh: (15) 2 n 2 Die Diskriminante ıst I Wir erhalten 3 reelle und unter sich verschiedene Wurzeln, daher auch 3 reelle Schnitt- punkte D und 3 reelle Lösungen. Der Schnittpunkt des auf- steigenden Kurvenastes erzeugt ein spitzwinkliges Dreieck, ın welchem hh,--n=c. Die zwei Schnittpunkte des absteigenden Astes liefern zwei stumpfwinklige Dreiecke. Im ersten ıst by2=a,7e= pos: Im zweiten ıst bp =.n,.@= nes. b er (= ES — Der Grundkreis schneidet die Kurve im Doppelpunkt hl h E > 2) und ım Punkt A (b,0). In E fallen 2 Schnittpunkte zusammen, was der Fall sein muss, da die Diskriminante /—=0 wird. Dieser Spezialfall liefert 3 reelle Lösungen: 1. Ein doppelt gelegtes rechtwinkliges Dreieck, für welches b n=(0 wird und h=5- pe 2. Ein unendlich kleines, auf die Basis reduziertes Dreieck OCA, weil der Fusspunkt der Schenkelhöhe auf A, also ın die Basıs fällt, wodurch die Höhe h, —=0 werden muss. r b ä ea large. En Die Lösungen sind dieselben wie in Fall A, mit dem Unterschied, dass das zweite stumpfwinklige Dreieck seine Spitze nach unten kehrt. or Ist speziell e=0, so verschwindet die Diskriminante. Die Kurve ist die Strophoide. Wir bekommen 3 Schnittpunkte, von denen zwei D; und D>» symmetrisch zur x-Axe liegen. Der Schnitt- punkt D; und damit der Fusspunkt der Schenkelhöhe des be- dingten Dreiecks fällt in den Nullpunkt. Der Schenkel muss somit senkrecht auf der Basıs stehen. Wir erhalten ein unend- lich grosses Dreieck, in welchem m =n=& ist. Die Schnittpunkte D,; nn v3) und Ds» En — z v3) erzeugen 2 kongruente, emitinehäsch zur x-Axe gelegene stumpf- winklige Dreiecke DAB. Im A OAB ıst u = Ne. somit ist ) pe} : 1 sın 707 = 9 a = 30°, Der Basıswinkel misst also 30°. Aus der Proportion 3 De h,: 4 \ PS > finden wir b NZ h, — 2 3: 6 somit wırd F F — ie 3 16 OAB -OABı ro 9. (16) Für negative ce gewinnen wir keine neuen Lösungen. Die Dreiecke werden einfach in Bezug auf die x-Axe Spiegelbilder derjenigen, die wir für positive ce erhalten haben. S 4. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Spitze B des gleichschenkligen Dreiecks. Es gelten natürlich auch hier die Voraussetzungen des $ 2. a) Konstruktion der Hilfskurve. Es sei (siehe Figur 5, Taf.) OA=b die gegebene Basıs. Wir ziehen durch © die Mittelsenkrechte MM, dazu und tragen auf derselben von C aus u» +n=c ab und erhalten den festen Punkt E. Uber OA schlagen wir ferner den Grundkreis,. Nun — BB — ziehen wir durch O Strahlen, die den Grundkreis ın Q@ schneiden. Für jeden Strahl bestimmen wir nach den Gesetzen des gleich- schenkligen Dreiecks emen Punkt P so, dass ea — 19 Die Verbindungslinie aller Punkte P ist die gesuchte Kurve. Sıe ıst also der geometrische Ort emes Strahlpunktes, der vom Schnittpunkt @ des Strahls mit dem Grundkreis und einem festen Punkt E der Mittelsenkrechten gleichen Abstand hat. Die Schnitt- punkte der Kurve mit der Mittelsenkrechten, also mit der Ge- raden x sind die gesuchten Dreiecksspitzen B; denn HB=BQ=n? nach Konstruktion; BC=-h,- also h,+n =BC-+ BE=UCE=c nach Voraussetzung. liegt der Schnittpunkt B der Kurve mit der Mittelsenk- rechten zwischen C und E, so gilt beim Dreieck die Relation hy» -+-n=c. Fällt B auf E, so haben wır Iran 6 Liegt endlich B ausserhalb E, so gilt h—n=c. b) Ableitung der Kurvengleichuug. Zu diesem Zweck legen wır das rechtwinklige Koordinaten- system so, dass der Punkt O zum Nullpunkt und die Basis OA samt deren Verlängerung zur positiven x-Axe wird. Die Koordi- naten des Punktes P seien x und y. Es ıst nun 0Q+0QP=\x-+y; («) OO beoso; QP=PE= v6 } b ) Den | sub. in («): wir erhalten / 3 EEE, bcosp + z (x 2 Le yP=Vxr+ty; ar 3 Hey Ver quadriert man noch und bringt auf Null, so ist das Resultat 3b? i b? ! x’-+y?) Dx Zen) +[e 2 et | (#+ 2 \y=o. (17) c) Diskussion der Kurve. Die Kurve hat ım Nullpunkt einen Doppelpunkt; denn die Gleichung beginnt mit Gliedern 2. Grades. Als Gleichung der Tangenten im Nullpunkt erhalten wır 3b? 4e? en + X / EEE WESER 18 Be \ b?’-+4c? 2 Spezialwerte: 1. Für ce —=0 wırd Vene >o Vor Die Doppelpunktstangenten bilden mit der x-Axe Winkel von 12,60% 3 br 2, Bür, 6, wird > | NY == HE RE Die beiden Tangenten bilden mit der x-Axe Winkel von + 45°. D bs. 3. Für c=-—- 3 wird 2 y=0, d.h. die beiden Doppelpunkts- tangenten fallen zusammen; die x-Axe wird Rückkehrtangente und der Nullpunkt Spitze. ”. ) SFEZ ” Pe 2 .. + Kür Der v3 wird y = ımaginär, d.h. > h der Doppelpunkt wırd zum isolierten Punkt. Wir setzen y—=0 und erhalten die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Axe 3b. bx? Ei > \s=0; u=x —Ü; 3b? —4c? 4b ars} Ä | gu 20h i Die 3. Abscısse bleibt positiv, so lange ce < 5 VB3. Sie wird also negativ, wenn der Doppelpunkt isolierter Punkt wird. x=0 gesetzt, ergiebt die Schnittpunkte mit der y-Axe: —2cy’+ (® + = ya: Sc Die dritte Ordinate hat das Vorzeichen von ce. — BB — Wir machen die Gleichung mit z homogen, setzen dann z=( und erhalten 02 05 0 + y?) (bx Z2CH IR daraus folgt: BR 2 ce DE a 1 Wir erhalten somit eine reelle und 2 imaginäre Asymptoten- richtungen. Die Kurve geht durch die imagmären Kreispunkte der Ebene. Die reelle Asymptotenrichtung lässt sich konstruktiv leicht bestimmen. Wir errichten über O E als Durchmesser einen Kreis, welcher durch C gehen muss und den Grundkreis in @ schneidet. Die Verbindungsgerade O@ ist die gesuchte Asymptotenrichtung. Ist @ der Richtungswinkel derselben, so ist zu beweisen, dass ig0 — SE —— en ; siehe Fig. 2. («) Nach dem Sehnensatz ıst im Kreis über OE: Pe pr EN I und ım Grundkreis: b BER: e Sa o) = — p)=rv; folglich % 2 2 cp — p?= —- —.p?, woraus 4 IE yE—IT—, I 4c Setzen wir diesen Wert in («) ein, so wird b>h b See de 9° De Die reelle Asymptotenrichtung ist identisch mit dem Strahl, für welchen der Punkt P ins Unendliche fällt; dies geschieht, wenn EQ | Strahl OQ. Die Gleichung der Asymptote selbst wird 2 Boy ten = = 0; b (b? — 4 c?)? . : : 2cC le 8c(b?+4e?) Die Asymptote schneidet die y-Axe bei positivem ce auf der positiven, bei negativem c auf der negativen Seite. Um sie zu bx’== (19) konstruieren, bestimmen wir zuerst den Abschnitt auf der y-Axe. Ist der Schnittpunkt mit der y-Axe gefunden, so zieht man durch denselben eine Parallele zu O@’ (siehe Fig. 5, Taf. ID. Der Abschnitt auf der y-Axe ıst konstruktiv leicht zu gewinnen, wenn wir dem konstanten Glied ın der Asymptotengleichung die Form geben: Wehe | b?— 4c? ) Sc(b’+4c) Se \VYt4e Spezialwerte: 1. Für c€=0 nimmt die Gleichung der Asymptote die Form an b esse, 4 Die Asymptote steht senkrecht auf der x-Axe. b 9] ER 2. 01=z Asymptote: N Sie geht ın diesem Spezialfall durch den Nullpunkt und bildet mit der x-Axe einen Winkel von 45°. E b F 3% oe 3; 1 FZ b 3 Asymptote: = = x VS 12 VB Die Asymptote bildet mit der x-Axe einen Winkel von 30° 4. c=oo; dann wird auch y= », d.h. die Asymptote verläuft parallel der x-Axe ım Unendlichen. Durchläuft ce alle Werte von 0 bis ©, so dreht sich die Asymptote um 90° von der Richtung der y-Axe zur Richtung der x-Axe. So lange der Nullpunkt Doppelpunkt oder Kückkehrpunkt ist, besitzt die Kurve einen reellen Wendepunkt. Sie hat deren drei, wenn der Nullpunkt isolierter Punkt wird. Wir weisen noch darauf hin, dass die Kurve ebenfalls rational ist. Wir betrachten nun noch die verschiedenen Kurven, die einem veränderlichen e entsprechen; ihre Doppelpunktstangenten haben wir bereits untersucht. SE bs Rt Ist e> N 3, so wird der Nullpunkt isoherter Punkt. ee Var » > Doppelpunkt. br? Istee —- =: BED > Rückkehrpunkt. Im letztern Fall wird die Gleichung der Kurve: (x?-+-y?) (&=V3 Y) bye - 0 (20) y=0 ist, wie wir schon gesehen haben, Rückkehrtangente. b a Wenn e=- 5; so lautet die Kurvengleichung: En ee Al By Male) 0 b s » 72 2 7 r r ze, ‘ oder x ry ;„a@+y) I&-y=0; (21) De daraus folgt: I b b +) 723 DA Ts ee =: x ale 9 x 5) yo. De De Die Kurve zerfällt also ın einen Kreis und in eine Gerade. welche diametral den Kreis schneidet. Die Gerade ist zugleich noch Asymptote der Kurve. Die Kreisgleichung in der Normalform lautet: \s +lr ao a aigt Die Koordinaten des Kreismittelpunktes G sind somit ( Di Der Punkt G fällt also in die Gerade y=x und liegt in der Mitte zwischen OÖ und E. Der Radius des Kreises io) bs 2. @ı Wenn c=0, so heisst die Gleichung der Kurve: b ee 4 y)x— Die Kurve gleicht der Strophoide. Ihre Asymptote x = (3x? — v0! (22) bi. k 3 = ıst ebenfalls Wendetangente. Von der eigentlichen Strophoide Bern. Mitteil. 1902. No. 1531. 95 weicht sie darin ab, dass ihre Doppelpunktstangenten nicht senk- recht aufeinander stehen; siehe Fig. >. positive c. Bezug auf die x-Axe. Für negative c bekommen wir die gleichen Kurven wie für Nur sind sie wieder Spiegelbilder der letztern ın Durchläuft daher C alle Werte von — oo bis 4 00, so liegen die entstehenden Kurven paarweise symmetrisch zur x-Axe. Die Grenzkurve, für welche e=0, steht zwischen den Paaren. Kurven-Schema: CE 2 v3 € b /3 GES Sr 3 cc) b leV3—9>e> 2 Die Kurve besteht aus dem Null- punkt O und der zur x-Axe paral- lelen unendlich fernen Geraden. Der Nullpunkt ist solierter Punkt, 3 reelle Wendepunkte, Asymp- totenrichtungswinkel < 30°. Nullpunkt ist Spitze, ein reeller Wendepunkt, Asymptotenrich- tungswinkel — 30°; siehe Fig. 5. 7 Nullpunkt ist Doppelpunkt, em reeller Wendepunkt, Asymptoten- richtungswinkel > 30°. Schleife reieht nicht bis an die Mittelsenkrechte. Schleife berührt die Mittelsenk- rechte. Schleife schneidet die Mittel- senkrechte. Beide Schnittpunkte liegen oberhalb der Basıs OA. Kurve zerfällt in einen Kreis und ın eine Gerade, welche mit der Asymptote zusammenfällt. Die Asymptote bildet mit der x-Axe einen Winkel von 45°. aan‘ der Kurve zu bestimmen. Foo 99 Wie cc, nur liegt ein Schnittpunkt unterhalb der Basis. Asymptoten- rıchtungswinkel zwischen 45° und 902. Kurve eine Art von Strophoide, liegt symmetrisch zur x-Axe. Asymptotenrichtungswinkel=90° d) Die Lösungen der Konstruktionsaufgabe. Wir haben die Schnittpunkte B der Miitelsenkrechten mit Wir bekommen im Maximum 3 Sechnitt- punkte, also auch 3 Lösungen. Führen wir den Wert für x aus der Gleichung der gleichung Kerle reduziert: ve soll. beim ersten Lösungsverfahren. ä De e Mittelsenkrechten = — in der Kurven- ) [nn (17) ein, so erhalten wir 3b? \ bh b° en ea ye_ 3bh4e b? br Apze: Die Wurzeln Schnittpunkte B. 2 7. = DE ee dscree, 0. (23) Gleichung sind die Ordinaten der Die Diskriminante _/ dieser kubischen Gleichung lautet 27 b°-H288b°c? — 992 b*c?+ 1024h?c°+ 256° -+72b?e?—27b°). Die Diskriminante verschwindet somit, wenn b? 27.642 e% b? 4e? 27 - 64°e* wi ib —:08 DR — Da Fall (1) b=0 fällt ausser Betracht, da b nicht varıeren Die Diskriminante wird demnach für 2 Spezialwerte von e zu Null. Wir stossen somit auf das ganz gleiche Resultat wie Nach beiden Verfahren bekommen — 100 — wir zusammenfallende Schnittpunkte und Lösungen für die Werte b b NER . - 9 c=— unde=- \/6V3—9. Allerdings verschwand die Dis- 2 kriminante im ersten Fall auch für den Wert e=0 (siehe pag. 89); allein dort fielen bloss die Abscissen zweier Schnittpunkte zu- sammen, die Ordinaten nicht; diese differierten im Vorzeichen; daher gab es keinen Berührungspunkt. Im vorliegenden Fall, wo wir die Ordinaten der Schnittpunkte B der Kurve mit der Mittelsenkrechten suchen, kann daher für c=0 / nicht = werden. Für b=0 zerfällt überdies die Kurve in die reelle Gerade C V Ye und in die Geraden absoluter Richtung. Was nun die Lösungen betrifft, so haben wır die nämlichen Hauptfälle mit denselben Unterfällen wie beim ersten Verfahren. . b - HS . Ist 4>0, wobei e > \/ 6 3— 9 sein muss, so erhalten —_ wir eine reelle Lösung. Ist 1<0, so giebt es 3 reelle und unter sich verschiedene Lösungen. Wenn .7=0 ist, was zweimal eintrifft, so fallen 2 von den 3 reellen Lösungen zusammen. Wir verzichten auf eine ausführliche Darstellung der Lösungen. Wir wollen nur noch an einigen Spezialfällen zeigen, dass die beiden Verfahren in ıhren Ergebnissen übereinstimmen. Aac= > \/oVB—». Berechnen wir den zugehörigen Wert von y, so erhalten wır: 3b?+b?(6Y3—9) +2 —V3)12b? Ya = — 2m, /oy3 9 / [: FEN ph (> 5) \2V343 — 0,53728.: b — 101 — 3b? +b6V3-9)--@—-V3)6h? 12m /6V3—9 5 C Nun ist »=y3 = 3; denn b(v es Di ars /oV3 = Das spitzwinklige Dreieck hat also dıe Basishöhe h, =0,53728- --b und das doppelt gelegte stumpfwinklige Dreieck die Basıshöhe ı. Bay (6 E .. P P e 2 h,=--; somit herrscht Ubereinstimmung mit den Resultaten = nach den ersten Verfahren (vergl. pag. 13) b Bac—- 2% Wir bekommen als Ordinaten der Schnittpunkte B, d.h. als Basishöhe der entsprechenden Dreiecke, folgende Werte: 4b? ] N 00-30 2. ya = Yys für das doppelt gelegte rechtwinklige A b2 Eu =] : = 2 (vergl. damit pag. 91). Z 0) Gore 0:- Par Kız. 5: Wir gehen aus von der Gleichung (23), multiplizieren ce ım Nenner weg, setzen hierauf ne Sn erhalten & nr ne ne == b as y=tgV8 Der dritte Wert von y ist unendlich gross, da der Koeffizient von y’=( geworden ist. Wir bekommen daher auch hier für das unendlich grosse Dreieck die Basishöhe h, = » und für die 2 stumpfwinkligen Dreiecke OAB, und OAB, die Basishöhe OABR HC bs .. & N tg v3 wie beim ersten Verfahren (siehe pag. 92). ll. $5. Zweite Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck zu kon- struieren, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkel und dem an die Spitze angrenzenden Schenkelabschnitt gegeben sind. (segeben: L.=b, 2. 28 Jane mie konstand: Bedingungen: = NZZ ee Ne 2 ; NER : br Br Im rechtwinkligen Dreieck ist n= 0 und s= \2. Wird _ das Dreieck spitzwinklig, so wachsen sowohl s als auch n; also bi & = i a! R muss s+n > 2 sein. Für em stumpfwinkliges Dreieck 3 8 S 3 > b = 5 zıehen wir den Grundkreis und finden, dass s--n > — \ 2 wird 2 nach dem Satz: In einem Kreise gehört zu einem grössern & = b he 5 Ha Bogen auch die grössere Sehne. 5 V2 ıst somit das Minimum, R ud das der Wert der Summe s--n annehmen kann. Was die 2. Bedingung betrifft, so erreicht die Differenz s—n einen maximalen Wert beim rechtwinkligen Dreieck, wo bis rer RE a a s—-. n=s—0=--\V2 ıst. De Bei einem spitzwinkligen Dreieck ıst nämlich s—n < Dr v2 nach dem oben erwähnten Sehnensatz, und bei einem stumpf- ee Er ., by winkligen Dreieck ıst 5 V 2 schon > als s allein, umsomehr also ge b IZE Vr2,>>= Ss m. > $ 6. Erstes Lösungsverfahren. Bestimmung des Punktes D. a) Konstruktion der Hilfskurve. Taf. I, Fig. 4. Mache OA gleich der gegebenen Basıs b. Ziehe die Mittel- senkrechte MM,. Schlage um O einen Hilfskreis, dessen Radius — 13° — r— OH gleich der gegebenen Konstanten ce ist. Ziehe durch O einen Strahl. welcher die Mittelsenkrechte in R und den Hilfs- kreis n H und H’ schneidet. Mache RP=RH unds.R- rl. Dreht sich nun der Strahl OR um 0, so beschreiben die Punkte P und P’ die Kurve. Die Schnittpunkte dieser Kurve mit dem Grundkreis liefern die gesuchten Fusspunkte D der Schenkel- höhe, Es ist nämlich e=ÖH=OR-+RH. OR entspricht dem s; folglich muss RH=RP den Schenkelabschnitt n bedeuten. Dieser Schenkelabschnitt erstreckt sich in Wirklich- keit nur von der Mittelsenkrechten bis zum Grundkreis. Wenn also der Kurvenpunkt P auf den Grundkreis fällt, so ist RP=n, OR=s, und wir haben eine Lösung der Aufgabe. Schneidet der Strahl eines Kurvenpunktes P die Mittel- senkrechte innerhalb des Hilfskreises O, so genügt P der Be- dingung OR RR 5 en OH—c: Für Kurvenpunkte P, deren entsprechende Strahlen die Mittelsenkrechte ausserhalb des Hilfskreises O schneiden, gilt die Relation: OR = RP—s72n—0OH>=e. Für alle Strahlen haben wir endlich noch Kurvenpunkte P’, welche der Relation entsprechen: RP/=-OR—=n —s=-- OH —e. Weil in einem gleichschenkligen Dreieck der an die Spitze grenzende Schenkelabschnitt n niemals grösser, höchstens gleich s werden kann, so kommt natürlich der Fall n—s=c für die Lösung unserer Aufgabe nieht in Betracht. Der Kurvenzweig, auf dem die Punkte P’ liegen, liefert daher keme Lösungen unserer Aufgabe. b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir wählen wieder O zum Nullpunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems und legen durch OA die positive x-Axe. Es seien x und y die Koordinaten eines Kurvenpunktes P, dessen Strahl den Richtungswinkel x habe. Dann ist y=0OP.sing;---...+- OR («) OP=OH -2RP =c—2hP; somit ve=(c—2RP)sno+. „or .2er (£ \ u — — 104 — Ziehe PN_| MM\,, so ist b BEN = TER x. En b PN De i RP — — ‚sub. ın (ß); cOSo COS @ | Ge wir erhalten y=|e — ———— | sın e: : cos p y=(ceose —b--2x) en CX lee B eV /x?-H y? (x +y’)(b—-x’? — er —=0 - (1) = el = 5 Se b ze ” £ ii Polarkoordinaten: r= a + c. (la) Unsere Kurve ist somit die Konchoide des Nikomedes. Die x-Axe ist Symmetrieaxe und die Asymptote x=b=LA die Leitlinie. e>b; der Nullpunkt ıst Doppelpunkt; eb» >» » Spitze; eb: > » » ısollerter Punkt. Es bleibt nur noch nachzuweisen, dass nach der gewöhnlichen Definition der Nikomedischen Konchoide PY=NPF=.eist Nach Konstruktion ist RP’ OR «. Nun ıst OR RN also RP. KV VB (7) Ferner ıst nach Konstruktion OR-+-PR=e; für OR kann man RV setzen; also ist RV+RP=PV=ec. (6) Aus (y) und (d) folgt, dass PV = PN = est. Wir haben also die Nikomedische Konchoide nicht mit Hilfe der Leitlinie, sondern mit Hilfe der zwischen dem festen Punkt O und der Leitlinie gelegenen Mittelparallelen MM, und einem — 15 — Kreis konstruiert. Die Basıs b des zu konstruierenden gleich- schenkligen Dreieckes ıst der Abstand des festen Punktes O von der Leitlinie AL. c) Die Lösungen unserer Aufgabe. Wir haben die Schnittpunkte D der Kurve mit dem Grund- kreis zu bestimmen. Die Koordinaten der Punkte D sind die Wurzeln des Gleichungssystems: 1. (&®+y?)(x—b)’—ec’x’—=0; Gleichung der Kurve. 2. 2 084 0); » des Grundkreises. Aus (2) folgt V— x (b —x), sub. in (1); wır er- halten bx(x—b)’—e:x?=—=(, oder b(x—b)”? — e’x=0. (2) Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind die Ab- scissen der Schnittpunkte D. Wir erhalten statt S Schnittpunkte nur zwei, weil beide Kurven durch die unendlich fernen imagi- nären Kreispunkte der Ebene gehen, weil ferner zwei Schnitt- punkte in den Nullpunkt fallen und weil endlich y nur ın der 2. Potenz vorkommt. Gleichung (2) nach x aufgelöst giebt PAST are V4b2-+c! Ss Shen Nun ist y=V\Vx(b—x); x darf also höchstens = b werden; sonst werden die Schnitt- punkte imaginär. Dies folgt übrigens schon aus der Konstruktion. Wir können daher ım Ausdruck für x, den Spezialfall e=0 aus- genommen, nur das negative Zeichen der Wurzel brauchen. Es wird somit der Ausdruck für die Abscisse von D 2b pe —eyibTe | SE 3b > 3b Ve! (ba + c2)VAb? Fe? — (8b?c--c?) ) (A) Weil das Wurzelzeichen unter der Wurzel nur eindeutig genommen werden darf, so erhalten wir für y 2 Werte, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Wir erhalten somit 2 reelle Schnittpunkte D, welche symmetrisch zur x-Axe liegen. Dies bedingt ferner als Lösungen 2 gleichschenklige Dreiecke, welche Bern. Mitteil. 1902. No. 1532. ann wird (3) y-t — 106 — kongruent sind und eine symmetrische Lage zur gemeinsamen Basıs b haben. Bei variablem ce erhalten wır folgende Hauptfälle unter den Lösungen: bs > = /» AN [6 >> 75% \ AR _ b = entstehenden Dreiecke sind somit spitzwinklig und genügen der Bedingung: Die Abscisse der Schnittpunkte D und D,; ıst < Die s-+-n=c. a: 1 Untertallees> — Der Dreieckswinkel an der Spitze bei B ıst < 60°. Ist speziell c=, so fallen die Punkte D und D, zusammen in den Nullpunkt. Es entstehen 2 unendlich grosse Dreiecke. 3b 5) _ 2, Unterfall SE Es wird x — - und y = Re 3. Die Dreiecke sind gleichseitig. 3b 5) pe 3. Unterfall > 2 2. Taf. I, Fig. 4. Spitzwinklige Dreiecke, deren Winkel an der Spitze zwischen 60° und 90° liest. bar { B. c= 5 Y2= Grenziall. pe \ . b Es wird x=— und y=+—. 2 De Die Dreiecke sind rechtwinklig und erfüllen die Bedingung: STE CHEN): S ; ) 5 j Es wıd x> a dies hat zur Folge, dass die Dreiecke je} stumpfwinklig werden. Für dieselben gilt die Relation: SO (E 7 VESRTERBUR, = 17 — Wird speziell c=0, so fallen die Schnittpunkte D und D! zusammen auf A (b,0), und da jeder doppelt zu nehmen ist, so erhalten wır als Lösungen 4 unendlich kleme Dreiecke, die sich auf die Basıs reduzieren. ST. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Punkte B. Es gelten die Voraussetzungen des $ 5. a) Konstruktion der Hilfskurve. (Ohne Figur.) Mache OA = der gegeben Basis b. Ziehe den Grundkreis. Schlage ferner einen Hilfskreis um O, dessen Radius r=OH=c, der gegebenen Konstanten. Lege nun durch O einen Strahl, welcher den Grund- kreis ın Q und den Hilfskreis in H und H, schneidet. Halbiere die Strecken H@ und H,Q in den Punkten P und Pı. Lassen wir den Strahl OQ um O sich drehen, so erzeugen die Punkte P und Pı die gesuchte Kurve. Es entspricht nun die Strecke OP, resp. OPı dem Schen- kel s; folglich muss die Strecke PQ, resp. PıQ dem Schenkel- abschnitt n entsprechen, da n gleich dem Abstand des Schenkel- endpunktes vom Grundkreis ist, gemessen auf dem zugehörigen Strahl. Die Kurve ist der geometrische Ort eines Strahlpunktes, dessen Summe oder Differenz der Abstände vom Ursprung -O und dem Grundkreis eine Konstante ist. Da OP dem Schenkel s und P dem Endpunkt desselben entspricht, so haben wir in den Schnittpunkten der Kurve mit der Mittelsenkrechten die gesuchten Punkte B. Die innere Schleife liefert nur ım Spezialfall e=0 Schnittpunkte. b) Abteilung der Kurvengleichung. Wir erhalten, indem wır analog wıe früher vorgehen, die ; böN Ge: ER Ey 2 ee RR N = Gleichung: (x -+-y B x) ri + y)_0. (5) Dies ist die Gleichung einer Kreiskonchoide. Br u 5 Ist der Durchmesser des erzeugenden festen Kreises und _ z der konstante Abstand der Kurvenpunkte vom Grundkreis, ge- messen auf den zugehörigen Strahlen. Die x-Axe ist Symmetrieaxe. ar eb; Nullpunkt ıst ısolierter Punkt. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung der Kurve: b PINE I ONE (6) c) Die Lösungen der Aufgabe. Wir ziehen die Mittelsenkrechte, da es sıch um deren Schnittpunkte B mit der Kurve handelt. Die Abscisse aller b dieser Punkte ist = ,: Führt man diesen Wert für x m der De Kurvengleichung (5) ein, so erhält man eine Gleichung ın y So) fo) fo) J? deren Wurzeln die Ordinaten der Schnittpunkte B, der Spitzen der gesuchten gleichschenkligen Dreiecke sind. Diese Gleichung lautet: 2..9 2 Cay- bres I In Tzeg ; 4 16 Die Gleichung, zunächst nach y? aufgelöst, ergiebt LER RE ee VAb. Le a — —— - 2 £ fe) Da y nieht imaginär werden darf, so ist nur das positive Zeichen der Wurzel zu gebrauchen mit Ausnahme des Spezial- falles c=0; daraus folgt ) zZ A — N Man erhält demnach 2 Sehnittpunkte, welche symmetrisch zur x-Axe liegen. Dies bedingt als Lösungen im allgemeinen > kongruente symmetrisch zur Basis gelegene Dreiecke. Die Lösungen sind spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig, je nachdem V bs. N An re Das zweite Lösungsverfahren führt zu denselben Ergebnissen wie das erste. (Vergleiche damit die Resultate auf pag. 106 und 107.) Wir verzichten darauf, die Übereinstimmung für Spezial- — 109 — fälle nachzuweisen. Wir erlauben uns nur noch, die allgemeine Formel für die Dreiecksfläche zu bringen. Es wird b e@-teV4bte? Bee \/ HeVäbter a KORB SS TH ° . 2 Speziell für c = entsteht ein gleichseitiges Dreieck; es wird Sur — 1 5 — —V3. 1. $ 8. Dritte Aufgabe: Konstruktion eines gleichschenkligen Drei- ecks, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkelhöhe und dem an die Spitze angrenzenden Schenkelabschnitt gegeben sind. (regeben: 11. b; Ihren see konstant. Bedingungen: 1. h,+n> ıE ID eb: br zo v2. Die Summe h,;-+n wird ein Mimimum beı einem unendlich & - ß b b kleinen Dreieck; denn da ist h,=0 undn=—, alsoh, tn= Die Differenz h, —n erreicht das Maximum beı einem recht- Ser i Piss winkligen Dreieck, bei welchen , =. y2 undn=0, also h, — Le n= ya. . _ $ 9. Erstes Lösungsverfahren: Bestimmung der Spitze B des gleich- schenkligen Dreiecks. a) Konstruktion der Hilfskurve. Es sei (siehe Figur 6, Tafel II) OA die gegebene Basıs b. Ziehe den Grundkreis. Schlage ferner um A einen Hilfskreis, dessen Radius r=AH=e ist. Lege durch O einen Strahl, wel- cher den Grundkreis im @ schneidet. Fälle von A aus ein Lot auf diesen Strahl, das durch @ gehen muss und das den Hilfs- kreis in H und H, schneidet. Trage nun auf dem Strahl OQ — 10 — von Q aus die Strecke QH nach der entgegengesetzten Seite von O, die Strecke Q@Hı nach der gleichen Seite ab und erhalte so 2 Punkte P und Pı, so dass AG) FOR=AQ 7 QH=AH—E und QPı -QA=QHı -QA=AHı =c. Lässt man den Strahl OQ@ um O sıch drehen, so beschreiben die Punkte P und Pı die gesuchte Kurve. Ziehen wır also ın einem Kreise durch den emen Endpunkt OÖ eines Durchmessers Strahlen, die den Kreis ın @ schneiden, so ıst unsere Kurve der geometrische Ort solcher Strahlpunkte, für die die Summe oder Differenz der Abstände des Punktes @ vom Kurvenpunkt P einer- seits und andererseits vom andern Endpunkt A des Durchmessers eine Konstante Ist. Die Summe der Abstände entspricht der Relation: h‚+n=c, die Differenz dagegen der Bedingung: h, -n==e. Fällt ein Kurvenpunkt P auf die Mittelsenkrechte MM, so wird QP=n und QA=h,; folglich haben wir im den Schnitt- punkten der Kurve mit der Mittelsenkrechten die gesuchten Punkte B, d.h. die Spitzen der gleichschenkligen Dreiecke. b) Ableitung der Kurvengleichung. Lage des rechtwinkligen Koordinatensystems wie früher. x und y seien die Koordinaten des Punktes P; dann ist (OQ-+OPF= x KL y3; («) 0Q=bcosp; | ; QR=— Ce 0A —c bemo,, sub. in (@); wır erhalten (beosg + ce — bsing)!=x’ty>; bx by Fran) 6 — x? Ey Vx° ER y® X +y+by Se &-Hy)=0. () Polargleichung: r — b (cosg — sing) + ce. (2) Gleichung (1) ist die Gleichung einer Kreiskonchoide, deren Symmetrieaxe mit der positiven x-Axe einen Winkel von — 45° bildet. — 111 — e » Spitze; c>bV2; » > » ıisolierter Punkt. Ist e=0, so lautet die an +y’+by—-bx)= Die Kurve zerfällt in zwei ee Kreise. Die Gleichung eines Kreises ın u ni Boa Die Mittelpunktskoordinaten sind n ») und der Radius 2) _ / ER. 1: 5 des Kreises ist 28 _ Um die Gleichung der Kurve in normaler Form zu erhalten, führen wir eine negative Drehung der Axen um 45° aus. Es ergeben sich daher folgende Transformationsformeln: 1. 2x —x’c0se 4 y'sino; 2. y=—x'sing 4y’cosg. CR 7, Weil sing =cosp = or 2, so erhalten wir 3. — _—_.x’\2, 4. SHyenihys, es resultiert: (x?+y’’—bx’ v2 —e2(&’:-ty’ 0: (4) Der Durchmesser des erzeugenden festen Kreises ist also b\ 2. Ziehen wir durch OÖ Strahlen, welche den festen Kreis ın V schneiden, so liegen auf jedem Strahl zwei Kurvenpunkte U und W, welche von V den konstanten Abstand c haben. sub in der Kurvengleichung (1); c) Die Lösungen der Aufgabe. Wir ziehen die Mittelsenkrechte =; denn ihre Schnitt- De punkte mit der Kurve liefern die Spitzen B der gesuchten gleich- schenkligen Dreiecke. Alle diese Schnittpunkte haben die Abseisse b et x=7; es bleibt daher nur noch die Bestimmung der Ordinaten 3: der Punkte B übrig. Zu diesem Zweck setzen wir den Wert % > für =, in der Kurvengleichung (1) ein und erhalten _ ee bie? 2 (vos) —c” N ee (5) Die Gleichung 4. Grades liefert 4 Wurzeln; somit erhalten wir 4 Schnittpunkte, was richtig ist, da eine Gerade eine Kurve 4. Ordnung in 4 Punkten schneiden kann. Wir bringen = auf us Form NE b> b:= Abe y* ab un ro NT ee 2 16 b setzen J=Z 5 setzen ein und erhalten ud 4 5) > 7 5) I9- or 2 b?e? — (+ ce) -+be?z 1 —il) («) Wir zerlegen die linke Seite in 2 Faktoren, wobei wir un- bestimmte Koeffizienten anwenden, und setzen 2 - a en @®-+pz-Ht) @—-pz-tu) — 0, (3) führen die angedeutete Multiplikation aus, vergleichen die Koeffi- zienten von («e) und (?), leiten eine Gleichung in p ab, setzen ) P=v-+ = (b?-+ ce?) und erhalten schliesslich folgende kubische Hilfsgleichung: 4b*—4b?c?—+c* 16 b° — 24bte?-— 15b?c!— 2c® ‚ ) D A ud 5 0. (6) 3 27 Die Diskrimmante dieser Gleichung lautet: 9 4P?° b? (&r 6 < Yorg 4ao 9916 I—= 9’ — 9.7, 07 (4c°-+3b?e!+48b!e?— 32 b°). Diese Diskriminante verschwindet für folgende Werte von e: 1 er UV _— = 3 Te 2, = ya sy 3 Joy | (7) 2 — 0,187996- ----h Demnach bekommen wir 3 N, für unsere Lösungen: A. e=0,787996>> 2 b24 Pos Die kubische Hilfsgleichung in v (6) besitzt eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln; folglich werden bei der biquadratischen Gleichung (5) in y 2 Wurzeln reell und 2 Wurzeln imaginär. Wir erhalten zwei reelle, verschiedene Lösungen. Laut Kon- struktion sind die Dreiecke spitzwinklig. DB. © — 0:787996°= 5:7. 0: — 13 — Die kubische Hilfsgleichung hat 3 reelle Wurzeln, wovon 2 gleiche. In diesem Fall besitzt die biquadratische Gleichung 4 reelle Wurzeln, wovon auch 2 gleiche. Wir bekommen 4 reelle Lösungen, wovon 2 zusammenfallen. Die ungleichen Dreiecke sind laut Konstruktion spitzwinklig, die zwei gleichen stumpf- winkhg. C. e<0,787996--- b 4J=neg., wenn wir c=(0 ausschliessen. Die Wurzeln der Gleichung (6) sind alle reell und positiv. Die Gleichung (5) hat folglich ebenfalls lauter reelle Wurzeln und damit unsere Aufgabe 4 wirkliche Lösungen. Spezialfälle: ee — 2 Va: Die Gleichung (6) bekommt die Form I v’— © b’v=0; die Wurzeln sind vi = 0. b’_ 1,5 N = 3. b? Va — 9 V 57 Die Gleichung (£) lautet in diesem Fall 2 (2 hr ) (2 —bz40)= 0. ° ad Subtrahieren wır von den Wurzeln dieser Gleichung —, so 3 erhalten wir schliesslich folgende Werte für y: P=h i ARE i l. yı=5: bedingt em rechtwinkliges Dreieck. _ b De Fer Ze yo: — , » » » » : 2 . 3. Yy=b | . Ve ı) bedingt ein stumpfwinkliges Dreieck. ee ER 4. n—=—b | 5 V3+ ı) > » spitzwinkliges » Ne ß. Gleichung (6) nimmt die Form an Bern. Mitteil. 1902. No. 1533. 28 a e 16b° _ 0. 3 27 Die Wurzeln sınd: 4 2 =-—-b; we-15 ——--b:. 1 51 75 2 3 3 Gleichung (2) bekommt die Form (7 ur na + 2) (7 ho nn ln J Subtrahieren wir wieder von den Wurzeln dieser Gleichung ) 3 Be —, so finden wır für y folgende Werte: 2 b_,s l. y=yp=73 V2—1), bedingt ein doppeltgelegtes stumpfwinkliges Dreieck. b = 3 2, yB=e1=-75 (V2-H1), bedingt 2 zusammenfallende spitzwinklige Dreiecke. Die Dreiecke, die wir für c=0 erhalten haben, besitzen folgende zum teil schon aus der Konstruktion hervorgehende Eigenschaften: 1. In jedem der beiden Dreiecke ıst die Schenkelhöhe h, gleich dem äussern Schenkelabschnitt n. 2. Die Schenkelhöhe h, des einen Dreiecks ıst gleich dem innern Schenkelabschnitt m des andern und umgekehrt. 3. Die Basıswinkel dieser Dreiecke messen 22 1/2°, resp. 67 '/2°. Satz (1) folgt aus der Konstruktion. Satz (2) soll ana- Iytisch bewiesen werden. Zu dem Zweck berechnen wir ım spitz- winkligen Dreieck OAB die drei Grössen s, h, und m. Wir finden: Es muss nun im spitzwinkligen Dreieck das von den 3 Stücken b, h, und m begrenzte Dreieck OAD, gleich dem — 15 — stumpfwinkligen /\ OAB sein, vermehrt um das von den 3 Stücken s, h, und n gebildete rechtwinklige A ABD; also A OAD; = /NOAB-FAABD, sofern Satz (2) bestehen soll. Wir schreiben für die Flächen dieser Dreiecke die halben Produkte aus Grund- linie und Höhe, multiplizieren das 2 ım Nenner weg und erhalten: b Beben Vi E = 2 > a —_ nn V2-v3) ie SER ; die Gleichung ist identisch richtig, somit unsere a bewiesen. Die Wahrheit von Satz (3) kann trigonometrisch leicht dar- gethan werden. Für die Flächeninhalte dieser zwei Dreiecke erhalten wir folgende Ausdrücke: b?’ 7, ar Sa) (8) 15) an. N - +2 | PC S ; siehe Figur 6, Tafel II. Eine Lösung wird unendlich klein; denn die Gleichung (5) a I wird für = und y=0 erfüllt. $ 10. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Fusspunkte D der Schenkelhöhe. Voraussetzungen wie m $ 8. a) Konstruktion der Hilfskurve. Es sei (siehe Fig. 7, Taf. II) OA=b die gegebene Basıs. Ziehe den Grundkreis und die Mittelsenkrechte MM,. Schlage ferner um A einen Hilfskreis, dessen Radius r= AH =e ist. Zaehe nun durch O einen Strahl, welcher den Grundkreis ın @ und die Mittelsenkrechte in R schneidet. Fälle von A aus ein Lot auf den Strahl, welches durch @ gehen muss und den Hilfs- kreis in H und H, schneidet. Jetzt trägt man auf dem Strahl 0Q von R aus die Strecke QH nach der gleichen, die Strecke @QHı nach der entgegengesetzten Seite von O ab, macht also el 1. RPL= QH, so dass die Relation gilt RPL+AQ=QH FAQ=AH=e. RP> = QH,, so dass die Bedingung erfüllt wird RP: —AQ=QHı -AQ=AHı =c. Der geometrische Ort aller Punkte P bei sich drehendem Strahl ist die Kurve. Die verschiedenen Punkte dieser Kurve genügen einer der Relationen h,tn=c. Fällt ein Kurvenpunkt P in den Grundkreis, so wird RP BD nrund QA=DA=h,; wir haben eine Lösung der Aufgabe. Die Schnittpunkte der Kurve mit dem Grundkreis liefern die Fusspunkte D der Schenkelhöhe der gesuchten Dreiecke. 0) b) Ableitung der Kurvengleichung. Es seien ın Fig. 7, Taf. II x und y die rechtwinkligen Koordinaten des Kurvenpunktes P2. Es besteht nun die Pro- portion: 07: 0K —BBa CK: die bezüglichen Werte eingesetzt, Ix— Vertyız RP: , Br («) RP, = c+AQ=c-+bsing, sub. in (e); wir erhalten Vx2+y:: en : @x—b); (49) 12x = (eV Fy® by) @x—b); [(x®+y?) b—2x) +2bxy]’ — 4c’x?&?+-y’)=0. (9) Polargleichung: r —bsing + ——— er ae (10) c) Eigenschaften der Kurve. Die Kurve ist von der 6. Ordnung. Sie besteht aus zwei unendlichen Ästen, von denen der eine eine Schleife mit Doppel- punkt in O besitzt. Der Nullpunkt ist 4facher Punkt; denn die Gleichung beginnt mit Gliedern 4. Grades. Als Gleichung der a im a erhalten wir: 6b? 4e? b?-—-4e: a -_ u ER a a 2 Wir können diese Gleichung nur für Spezialfälle auflösen. Ic —N. Gleichung (11) bekommt die Form vo 4v? 6y° 4y — —- + ++1=0. x x N n y=—.x ist 4fach gelegte Tangente im Nullpunkt. Für e=0 lautet nun die Kurvengleichung: +3) b-28) +2bxy]=0, (12) Die Kurve zerfällt somit in zwei zusammenfallende Kurven 3. Ordnung. Die Gleichung eines Astes lautet (b—2x) (@’+y?) +2bxy=0. (12a) Die Gerade y=—.x ist für jede der beiden Kurven 3. Ord- nung Rückkehrtangente; denn setzen wir in Gleichung (12a) für y den Wert —x ein, so erhalten wir: x®=0; der Nullpunkt ist also Spitze. y* Ay? 5y? 4y tt St («) ren X die x-Axe ıst Tangente. Dividieren wir in (@) den Faktor -—— weg, so bleibt X N ayn 5Dy ee (3) Setze Bee = x 3 Die transformierte Gleichung lautet: w 36 Sa w —ı. (y) 3 Aa 37 ) Die Diskriminante dieser Gleichung wird / = pos.; somit besitzt Gleichung (8) eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln und Gleichung («) im ganzen 2 reelle und 2 imagmäre Werte — 118 — b.32 Für ce = —- sind also 2 Nullpunktstangenten der Kurve >x Z reell und 2 imagıinär. für Bene ib: Gleichung (11) erhält die Form ER EZ a , et (0) X Xi X X Die kubische Hilfsgleichung, die wır ableiten können, hat eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln; folglich besitzt Glei- chung (0) 2 reelle und 2 imaginäre Wurzeln. Die Nullpunkts- tangenten sind wieder zur Hälfte reell und zur Hälfte imaginär. “Überhaupt hat die Kurve, wie schon die Konstruktion er- giebt, im Nullpunkt stets 2 reelle und 2 imaginäre Tangenten mit Ausnahme des Falles, da c=0 ist. Um die Schnittpunkte mit der y-Axe zu erhalten, setzen wir in der Kurvengleichung (9) x=0 und erhalten b2ye- 08 somit schneidet die y-Axe die Kurve 4mal im Nullpunkt und, da die Koeffizienten von y° und y°=0 sind, noch 2mal im Unend- lichen. Setzen wir y=0, so bekommen wir die Abschnitte auf der x-Axe. Wir erhalten die Gleichung: [x?(b—2x) —4te’x!—=0. 10x 10522 0 mal 22 2.=(b= 2x), = ex = Die x-Axe schneidet die Kurve 6mal ım Endlichen, worunter 4mal ım Nullpunkt. Zur Bestimmung der Asymptotenrichtungen machen wir die Kurvengleichung mit z homogen, setzen dann z=0 und erhalten 4x:(x°- E92) 0;5 2 x 0 2mal: 2, y— ix 2mal. Die imagimären Kreispunkte der Ebene sind also Doppel- punkte der Kurve. Ferner haben wir ın b 2 2 zusammenfallende reelle Asymptoten. Um dies zu zeigen, (13) Re — € : % b ’ machen wir die Mittelsenkrechte = .- zur y-Axe vermittelst > der Transformationsformeln: b = N. ER x=xX «- 75 pe Wir. Die Gleichung = Kurve wird: |-2x(x a: Jrerazesje 2 2 else A (x by’ ER rye) — 0) Wir projizieren die unendlich fernen Punkte ın der Richtung der y’-Axe auf die x’-Axe und setzen r und “= N 116 Wir erhalten, wenn wir noch die Gleichung mit y’’° multiph- zieren. / b’v’’2 / bv’’ 2 Day 4c?y’ "(x x’?24-bx’’y’” nn KR hey 2,712 en +1)=0. (5) Die Schnittpunkte mit der y’’-Axe: Setze x’’=0, erhalte M ‘b? = bee — b?e’y’”* Re: N m 1)= 0, / woraus By N 0 Em: Deren 5) uses 2 Ve — (OR (& N ) Der Nullpunkt der projizierten Kurve ist Doppelpunkt, dessen Tangenten in x’’=0 zusammenfallen, und da für x’’—0 y'*—=0 wird, so ist derselbe und damit auch der unendlich ferne br en Punkt der Asymptote x—=—- ein Selbstberührungspunkt. Die Kurve je hat also ım Unendlichen emen Selbstberührungspunkt, und die ba: Mittelsenkrechte x = . ıst Selbstberührungsasymptote. — 10 — b 2 Endlichen im allgemeinen ın 2 Punkten schneidet, deren Ordinaten be 1 : == = Sind: mea b? -- c? Die Schnittpunkte sind reell, wenn eb und liegen im Unendlichen, wenn c=b. Im letztern Fall ist der unendlich ferne Punkt der Kurve ein Selbstberührungspunkt, in welchem die Mittelsenkrechte als Asymptote die Kurve m 6 zusammenfallenden Punkten berührt, also Inflexionsknoten zugleich. Aus (e) folgt ferner, dass die Gerade x= die Kurve im Unsere Kurve ist also rational; denn sie besitzt einen 4fachen Punkt im Nullpunkt = 6 Doppelpunkte, einen Selbstberührungspunkt — a >» 2 Doppelpunkte in den imaginären Kreispunkten — 2 >» also das Maximum von 10 Doppelpunkten. Die Kurve hat, wie sich aus der Konstruktion ergiebt, Wendepunkte und zwar, wenn meh 2 WP im rechten Ast; 2. b>c>0 4 WP, nämlich 3 im rechten Ast und einen ım obern linken Ast; 3:60 1 WP ım aufsteigenden Ast der doppelt gelegten Kurve 3. Ordnung. Für ein unendlich grosses c besteht die Kurve aus der doppelt gelegten y-Axe und der unendlich fernen Geraden (linker Ast) und aus der unendlich fernen Geraden samt dem Nullpunkt als ısoliertem Punkt (rechter Ast), zusammen also aus der doppelt gelegten y-Axe, der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und dem Nullpunkt als isoliertem Punkt. Negative c erzeugen die gleichen Kurven wie positive c, weil € quadratisch vorkommt. d) Die Lösungen der Aufgabe, Es handelt sich um die Schnittpunkte D der Kurve mit dem Grundkreis. Die Koordinaten dieser Punkte D sind die Wurzeln des Gleichungssystems: — 121 — 1. [b—-2x) (x®+y?) +2bxy]’—4c’x?(x?+y’)=0, Kurve. 2. x®—bx+y?’=0, Grundkreis. | Da die Kurve von 6. ne ist, so wird sie vom Kreis ın 12 Punkten geschnitten. Von diesen Schnittpunkten absorbiert der Nullpunkt 4, da er ein 4facher Punkt der Kurve ist. Weitere 4 werden absorbiert durch die imaginären Kreispunkte der Ebene, welche der Kurve je doppelt angehören. Es bleiben somit 4 Schnittpunkte übrig; folglich kann unsere Aufgabe im Maximum 4 reelle. Lösungen aufweisen. Wir erhalten mithin das gleiche Ergebnis wie beim ersten Lösungsverfahren. Wir wollen die Übereinstimmung in zwei Spezialfällen zeigen. Pe 0-2 Eaf Respier7 Das Gleichungssystem («) heisst nun: 1. b—2x) @®®+y’9) +2 y-0| 2. 2 bey 0 (?) Wir lösen (2) nach y auf, setzen den Wert in (1) ein und erhalten zur Bestimmung der Abscissen von D’ folgende Gleichung in x: 4b?x?(bx— x”) = (b—2x)’b?x?, woraus b = > Syalerul N — 7 2 =V2). Für y erhalten wır den Ausdruck: b „-+, 2 Da die Koordinaten doppelwertig auftreten, so müssen wir 2 Schnittpunkte haben. Den positiven Zeichen in den Wurzeln entspricht der eine, den negativen der andere. Die beiden Schnittpunkte sind somit D: |te+v3 2 v2] und D, ne. 19), — _ >| Jeder der beiden Schnittpunkte ist indes noch doppelt zu zählen, weil die Kurve 3. Ordnung doppelt gelegt ist. Die Basishöhen der beiden Dreiecke werden aus der Pro- portion bestimmt: — @+V2: no = ae RR OAB: ; 1 BD Var), A OAB, Bern. Mitteil. 1902. No. 1534. Po Se Diese Werte stimmen mit denjenigen auf pag. 114 voll- ständig überein. DIESE — D y2. Tall, Die 7. Die Gleichung in x, deren Wurzeln die Abscissen der Schnittpunkte D sind, bekommt folgende Form 64x? — 128bx?+84b?’x? — 20b’x +b!—=0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind: b en l ee 3. = V34-5- bass } ee 4 u=—V3+ 5: dann wird } } I; Yı 2 — 3. Yıg =—-— b b 2. Yy2= 7 2° 4, N Gr Dies sind die Koordinaten der Schnittpunkte D. Als Basıshöhe für die 4 Lösungen erhalten wir: 1: für „A\.OAB;: 2, hu > 3 2 /N OB; n), 32h =b ja v3 — ı) für A OABs; \& \ 4. hw=—b (4vs+ı) » IN OAB.. Diese Werte stimmen vollständig überein mit denjenigen auf Seite 113. IV. $ 11. Vierte Aufgabe: Konstruktion eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn die Basis und die Summe oder Differenz der durch die Schenkelhöhe erzeugten Schenkelabschnitte gegeben sind. (segeben: eb: 2. miEn= Be = konstant: — 13 — eihi iz Bedingungen: 1. m+n> > v2 Ener 2 m—-n<+--Y2. ud Re RS bo, Beı einem rechtwinkligen Dreieck wırd m +-n = —-V2, und _ dies ist das Minimum. Wird das Dreieck spitzwinklig, so wird bs Eat m-Hn=s grösser als —V2, und wird es stumpfwinklig, so wird En © = ö . 5 . b > m allein schon grösser. Die Differenz m—n erreicht ın —-V2 ad das Maximum beim rechtwinkligen Dreieck. Wird das Dreieck stumpfwinklig, so nımmt die Differenz m—n an Wert ab bis b REN zum Grenzwert .- Wird das Dreieck spitzwinklig, so nimmt — die Differenz m—n ab bis zu 0 (gleichseitiges Dreieck); dann wird sie negativ, resp. n—m positiv bis zum Wert &. $ 12. Erstes Lösungsverfahren. Bestimmung der Punkte B. a) Konstruktion der Hilfskurve (ohne Figur). Es seı OA=b die gegebene Basis. Wir ziehen den Grund- kreis und um OÖ einen Hilfskreis mit der Konstanten c als Radius. Nun legen wir durch O einen Strahl, der den Grundkreis in @ und den Hilfskreis in H und H, schneidet. Die Strecken QH und QH, tragen wir von Q aus auf dem Strahl je nach der ent- gegengesetzten Seite hin ab und erhalten die 2 Punkte Pı und Ps; für diese gilt: 1. 00 -0R,- 00 -2E0H=0H =e; 2. 0,00 0-00 0. | e Der geometrische Ort aller Punkte P bei sich drehendem Strahl ist die gesuchte Kurve. Wir ziehen die Mittelsenkrechte MM,;,. Fällt nun ein Kurvenpunkt in diese Gerade, so wird OR—BD- 7 2m4>009=Z DO; wir haben eine Lösung. Die Schnittpunkte der Kurve mit der Mittelsenkrechten sind somit die gesuchten Punkte B. b) Ableitung der Kurvengleichung. Addieren wir und subtrahieren wir die Gleichungen bei («), so erhalten wir — 124 — 1 Q0Bı FOR, 2% oder FiPa— 26; (3) 2. 2OOLor or OQ=QP>: — er QPı=QP> —c; 2 0Q= (Y) Ziehen wir nun um R einen Kreis mit dem Radius r=b, so wird dieser Kreis vom Strahl OP> ın V so geschnitten, dass 0% 200 0 Der Punkt V hat also von P» den Abstand c; da aber nach (3?) PıPa = 2c ıst, so muss V auch von Pı den Abstand ec haben. Es haben somit die Kurvenpunkte jedes Strahls gleichen und konstanten Abstand von einem festen Grundkreis. Unsere Kurve ist die Kreiskonchoide. Die Gleichung derselben lautet: x? + y?’— 2bx)’— c’(x’+y?’)=0. (1) Die x-Axe ist Symmetrieaxe. 1. e>2b; Nullpunkt ıst isolierter Punkt; 2. = Alb: > » Spitze, die positive x-Axe Rück- I kehrtangente; Se ke » » Doppelpunkt. Polargleichung: —=2bceosp+t.c. (2) c) Die Lösungen der Aufgabe. Wir bestimmen die Schnittpunkte B. Die Abscisse der- Diesen Wert setzen wır ın der Kurven- selben ist x = > ud gleichung (1) ein und erhalten ee en ee eine Gleichung in y, deren Wurzeln die Ordinaten der Schnitt- punkte B und zugleich die Basishöhen der gesuchten Dreiecke sınd. Diese Gleichung nach y aufgelöst, ergiebt vi Wr 2 t2evanee (3) Dieser Ausdruck liefert für y 4 reelle oder 2 reelle und 2 ımaginäre Werte. Bei variablem c erhalten wir daher ent- weder 4 oder 2 reelle Lösungen, welche paarweise symmetrisch sind. Für den Grenzfall erhalten wir 4 reelle Wurzeln, wovon 2=( sınd. Dieser Fall tritt em, wenn a 3b? +22 — 2cV4b’-+ c?—=0, also 3b GI, 1st. _ Die Inhaltsformel der Dreiecke lautet: aD lane4 2? +2e db Fe. (4) Gruppierung der. Lösungen: A. en 2 Bei der innern Wurzel gilt nur das positive Zeichen. Wir erhalten daher nur 2 reelle Lösungen und zwar 2 spitzwinklige Dreiecke. Für den Spezialfall e=2b wird die Basıshöhe derselben > \rıHay2 31 B. c= Ze Die Wurzeln von (3) sind: b_ = Dez Wir erhalten: 1. 2 symmetrische, spitzwinklige Dreiecke, bei denen s=2b, b 7 ; ee erg b und die also die Bedingung erfüllen: n—m=c; 2. 2 unendlich kleine, auf die Basıs reduzierte Dreiecke, für welche m=2n und m--n=e ıst. ©. nn ie —h: Nach Gleichung (3) u y-=t— EEET. 5+2V5; für das positive Zeichen unter nn Wurzel giebt es 2 symmetrische spitzwinklige Dreiecke, für welche s= 5 (1-+ 5) und der Basis- 2 winkel = 72° ist. Für das negative Zeichen sind die Dreiecke ES b — 2 = stumpfwinklig; s= —- (V5-1); der Basiswinkel misst 36°. Le Es wird y—=+t „D. V4+3. Wir erhalten 1. 2 spitzwinklige Dreiecke mit den Grössen s=2c=bV2, b_,/s 3b 7/5 u _ V2 und n= T v2; 2. 2 rechtwinklige Dreiecke. r b Be — o° | = Es wird y-+7 14 +2 17; 4 spitzwinklige Dreiecke, paarweise symmetrisch. i b : : Wird ce noch kleiner als —- so nähern sich die ungleichen De spitzwinkligen Dreiecke in der Grösse immer mehr und fallen endlich zusammen für 4. ne 0 cE Ds 4 gleichseitige Dreiecke. $ 13. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Punkte D. a) Konstruktion der Hilfskurve. Taf. 11. Fig. 8. Es sei OA=b die Basıs des gleichschenkligen Dreieckes. Wir ziehen den Grundkreis, die Mittelsenkrechte MM, und end- lich noch einen Hilfskreis um OÖ mit dem Radius r—=c. Durch O gehe nun ein Strahl, der den Grundkreis ın Q, den Hilfskreis in H und H, und die Mittelsenkrechte in R schneidet. Auf diesem Strahl tragen wir nun von R aus die Strecken QH und @QHı nach derselben Seite gegen OÖ hin ab und erhalten die 2 Punkte Pı und Pa. Der Punkt P, genügt der Relation 0Q—-RPı=0Q — QH= OH =, und für P> gilt RPs — OQ —=@QHı — OQ = OH; = c. Der geometrische Ort aller Punkte P bei sich drehendem Strahl ist die Kurve. Ihre Schnittpunkte mit dem Grundkreis ergeben die gesuchten Fusspunkte D der Schenkel- höhe; denn fällt ein Kurvenpunkt P in den Grundkreis, so ist QH=RP=BD=n, und wir haben eine Lösung. — 1217 — b) Ableitung der Kurvengleichung. Es seien durch OA die Abscissenaxe und durch O die Ordinatenaxe gelegt. Sind x und y die rechtwinkligen Koordi- naten eines Kurvenpunktes P,, so kann man setzen, wenn P,N | MM, gezogen wird, PıR=VPıN®+NR?>; («) ee b a ‚, sub. in (e@); : Se NINE De en | ZB Se Es giebt / > > /(b—2x)* y’(b—2x)? EN) 4 ru /} \ 2 [S + y?) \ = un x) ine] — (ex? (x? +y’) —((j} (5) ä Polargleichung: b er : I zen (6) c) Diskussion der Kurvengleichung. Die Kurve ist von der 6. Ordnung. Ihre Gleichung (5) be- ginnt mit Gliedern 4. Grades; folglich ıst der Nullpunkt 4facher Punkt. Die Gleichung der Nullpunktstangenten lautet ) () x , /b?+2e+2eyV2b’+e I ie — \ Ten a b A B Es ıst nun A?— B’=b* — 4b?’e? = b?(b’— £c?). So lange b>2e ist, ıst auch A>B, und wir erhalten 4 reelle Wurzeln für y, daher auch 4 reelle Tangenten. Ist b <2c, so werden 2 Wurzeln und damit 2 Tangenten imaginär. Wir erhalten mithn 2 Hauptfälle für die Tangenten im Nullpunkt. N > Dr 2 2 Tangenten sind reell, 2 imagimär. Der 4fache Punkt ım Nullpunkt ist daher Doppelpunkt und konjugierter Punkt zu- gleich; folglich muss die Kurve 2 Äste haben, was die Konstruktion auch bestätigt. Der eime Kurvenast geht durch den Nullpunkt, der andere nicht. 2 4 reelle Tangenten; beide Kurvenzweige gehen durch den Null- punkt. ee — 2 siehe Fig. 8, Taf. II. Nach Gleichung (7) wird y=tıV; By. Die Tangenten des 1. Astes bilden mit der x-Axe Winkel von + 60°; für den 2. Ast ist die x-Axe Rückkehrtangente und der Nullpunkt Spitze. 0, b 2. >>>): 4 reelle, unter sich verschiedene Tangenten; der Nullpunkt ist Doppelpunkt für beide Kurven-Äste. 3er 0: Wir erhalten y=-+x je 2mal. Die beiden Äste fallen zusammen. Der Richtungswinkel der Tangenten =+45°. Die Kurve zerfällt in 2 zusammen- fallende Kurven 3. Ordnung, deren Gleichung die Form besitzt: bi, oder (x -+y’)x— = (y?—x?)—0. (5) Diese Kurve ist die Strophoide. Die Achse ihrer Schleife ıst gleich der halben Basıs b. Die Schnittpunkte mit der x-Axe: Setze y=0, erhalte (b—2x)x’— 2bx?]? — 4ce’x! = 0; Die Schnittpunkte mit der y-Axe: Setze x=(, erhalte y=0. 4 Schnittpunkte fallen in den Nullpunkt, die andern 2 ins Un- endliche; denn die Koeffizienten von y? und y°® sind Null. Da y nur im 2. und 4. Grad vorkommt, so erhalten wir, eg wenn wir die Gleichung nach y auflösen, einen Ausdruck von der Form / 35 vo: VB, d.h. jedem endlichen Wert von x entsprechen 4 Werte von y, die paarweise absolut gleich sind. Die Kurve liegt also symmetrisch zur x-Axe. Um die Sehnittpunkte der Kurve mit der unendlich fernen Geraden zu gewinnen, machen wir die Gleichung mit z homogen, setzen dann z= 0 und erhalten: U, = U; = 4x?’(xt +2x?’y?’+y!)=0; daraus folgt el) 2 reelle, mit der y-Axe zusammenfallende Asymptotenrichtungen. 2 y skix je Amal: Die imaginären Kreispunkte der Ebene sind Doppelpunkte der Kurve. (9) Die Gerade x = 5 m : N: b 5 ist Selbstberührungsasymptot2: denn für = werden 4 Werte _ von y unendlich gross. Transformieren wir die Gleichung ver- mittelst der Formeln b , E | Sen und y=Yy', projizieren nachher die unendlich ferne Gerade in der Richtung der y-Axe auf die x-Axe mit Hilfe der Formeln [2 X - 1 - x — und yY-=——. y 2 Al so erhalten wir Fee Be +) ] 113 2 -2n(x 2y'' +-bx’’x ya] b?y 13 \2 le (way te” Wehr 7 b’y / b?y’’3 — 40? (x"23 "+ba’y® + ——)y’=0. (10) Der Nullpunkt der transformierten Kurve ist Doppelpunkt. Die N deren oe x’?—( ist, Bern. Mitteil. 1902. No. 1535. — 10 — fallen zusammen, und da endlich für x’’—=0 y.— 0) wird, so muss der Nullpunkt und damit auch der unendlich ferne Punkt E A { > der Kurve Selbstberührungspunkt und die Gerade x = Selbst- _ berührungsasymptote sein. Im unendlich fernen Selbstberührungs- punkt hangen die Kurvenäste zusammen. Für c=0 wird die Mittelsenkrechte doppelt gelegte Wende- asyınptote. Die Kurve ist rational; denn sie besitzt 10 Doppelpunkte, wovon 6 im Nullpunkt (4facher Punkt), 2 ım Selbstberührungs- punkt und 2 in den imaginären Kreispunkten der Ebene liegen. Die Kurve hat ım rechten Ast 4 Wendepunkte. so lange D% B NE er } c>— ist. Für ce<-- sinkt die Zahl derselben auf 2 herab. u | Für e=0 speziell liegen die beiden vereinigt im Unendlichen. Dem rechten Kurvenast gehört jetzt nur noch einer an, da auch der linke Ast — wie der rechte zur Strophoide geworden — einen gewinnt. Bei unendlich grossem c besteht die Kurve aus der doppelt gelegten y-Axe, der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und dem Nullpunkt als konjugiertem Punkt. Negative c erzeugen dieselben Kurven wie positive, da ec nur quadratisch vorkommt. d) Die Lösungen der Aufgabe. Wie schon erwähnt, handelt es sich um die Bestimmung der Schnittpunkte D. Die Koordinaten derselben sind die Wurzeln des Systems: [(b— 2x) (x?-+-y‘) —2bx?]’ — 4c?x? (x?--y’)=0, Kurve; 2. x’— bx-+-y?’=0, Grundkreis. Wir lösen dieses System zunächst nach x auf und erhalten a Bean 1 I Sb 1 als Ausdruck für die Abscisse des Punktes D. Für die See finden wir , 2 on tel eJeyäbife ce. (12) ae — 131 — x und y sind die Koordinaten von D, d.h. vom Fusspunkt der Schenkelhöhe. Es besteht nun die Proportion: b Quadrieren wir die Glieder dieser Proportion, setzen hierauf für x und y die Werte von (11) und (12) ein, reduzieren, so be- kommen wir, wenn wir zum Schluss die Quadratwurzel ausziehen: / + \/ab2 204 2eyAhr Lei. (13) Dieser Wert stimmt vollkommen mit dem überein, den wir nach dem ersten Verfahren gefunden haben (vergleiche Formel (3), pag. 142). Beide Verfahren führen somit zu den gleichen Resul- taten. Es wird nicht mehr nötig sein, auf die Lösungen noch näher einzutreten. Wir erlauben uns noch folgende Bemerkungen: Für jede Abscisse giebt es 2 symmetrische Ordinaten, daher e SuRest: auch 2 symmetrische Dreiecke. Für den Grenzfall e——- wird 1. xı— b, bedingt 2 unendlich kleme Dreiecke OA. be ee De — 16 » 2 spitzwinklige Dreiecke. 3b E Ist ce > 5 so wird 1. xı > b, die entsprechenden Ordinaten werden imaginär, weil die Kurve den Kreis nicht mehr schneiden kann; also liefert dieser Wert von x keine reellen Lösungen mehr. b De rc 76 Die entsprechenden Dreiecke werden umso spitzwinkliger, je kleiner xa ist. . - : base Nimmt dagegen der Wert von ce successive von — bis 0 a Kl = ab, so nimmt xı ab im Werte von b bis IE und xa zu im Werte 2 D i R i von — bis — Die dem xı entsprechenden Lösungen sınd 16 4 . - x e b 53 B EEE stumpfwinklig zunächst, werden für e — - \2 rechtwinklig und dann spitzwinklig. Die Dreiecke, die dem Wert von x2 zuge- — en hören, werden immer weniger spitzwinklig. Für e 0 ist vn —=Xx» und die Dreiecke fallen als gleichseitige zusammen. V. $ 14. Fünfte Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren. von welchem die Basıs und die Summe oder Differenz der beiden Dreieckshöhen gegeben sind. (regeben: LE b: 2.schysle br ie konsent Bedingung: &>h+h>0; o>mh-h = 0. Für em unendlich kleines Dreieck verschwinden beide Höhen, also Summe und Differenz — 0; für ein unendlich grosses Dreieck ist hu = & und h, = b, somit Summe und Differenz — ®, Die Differenz hu — h, wird ein zweitesmal zu Null, wenn der Basıswinkel 60° misst. Ist er kleiner als 60°, so ıst m —h, — neg., ist er grösser als 60°, so ist hy —h, = pos. S$ 15. Erstes Lösungsverfahren. Bestimmung der Punkte B. a) Konstruktion der Kurve. Taf. Il, Fig. 9. OA =—b seı die Basıs des gleichschenkligen Dreiecks. Wir zıehen den Grundkreis und die Mittelsenkrechte MM,. Auf MM, tragen wir c von C aus nach E ab. Es gehe durch O em Strahl, der den Grundkreis in @ schneidet. Von E aus schlagen wir nun mit dem Radıus r—= A@ einen Kreisbogen, der den Strahl O@ in P, und Ps schneidet. Der geometrische Ort des Punktes P ıst die Hilfskurve. Dieselbe kann daher folgender- massen definiert werden: Zieht man durch O Strahlen, so ist die Kurve der geo- metrische Ort eines Strahlenpunktes, der von einem festen Punkt E der Mittelsenkrechten denselben Abstand hat wie der Strahl selber vom festen Punkt A. Fällt ein Kurvenpunkt in die Mittel- senkrechte, so ı1st einerseits EKCRPE hi: andererseits st ECH PE=c+th;; folglich = c h.,...d. h.=wir Shaben eine Lösung vor uns. Die Schnittpunkte der Kurve mit der Mittelsenkrechten ergeben daher die gesuchten Punkte B. — 13 — b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir legen durch OA die x-Axe und durch O die y-Axe. x und y seien die rechtwinkligen Koordinaten eines Kurven- punktes Pı. EN sei || AO gezogen; dann ist EPı—=\/ (x = ar (vo); («) ‚ in («) eingesetzt, so giebt es bsin — 2 6 — >) -+-(y— ce)’, umgeformt 0) (x — Se (Yo or | ey A) c) Diskussion der ) Kurvengleichung. Die Kurve ist von 4. Ordnung und hat im Nullpunkt einen Doppelpunkt. Die Gleichung der Tangenten im Nullpunkt laute en te) By Spezialfälle: 12 .0—U0: 3; die Nullpunktstangenten bilden mit der x-Axe Winkel von -+ 30°. b ER '$) Ba inkel der Tangenten — + 45°. y= — x ist Wendetangente. >% G= D 2; y=+xY\3, Richtungswinkel — + 60°. Die Tangente Die y-Axe “ Rückkehrtangente und der Nullpunkt Spitze > — >_y3. — 154 — Die Tangenten werden ımaginär, und der Nullpunkt wird zum isolierten Punkt. Schnittpunkte mit der y-Axe: Setze x—0 und erhalte be 1, n=»=0 und ya _ « Schnittpunkte mit der x-Axe: Setze y—=0 und finde ’ b ! IN Ra Xo WR nr — Ton FE cl. je So lange ce von O0 verschieden ist, schneidet die Kurve die x-Axe nur im Doppelpunkt ©. Ist c=0, so werden auch die beiden andern Schnittpunkte reell und fallen in den Punkt C, welcher Doppelpunkt der Kurve wird. Die imaginären Kreispunkte der Ebene sind Doppelpunkte der Kurve; denn es ıst Un IX) Reelle Punkte hat die Kurve im Unendlichen nicht, daher auch keine Asymptoten. Die Kurve ist rational; denn sie hat 3 Doppelpunkte. Für ce —0 besitzt sie 4 Doppelpunkte und zerfällt, wie wir noch sehen werden. Für ce —=0 nimmt Gleichung (1) die Form an: | \ ba ES ee R -5 ) ai “| =by 8 das Gleichungspolynom lässt sich ın 2 Faktoren zerlegen; wir erhalten: KR: ae ee (4-4 Sp)(err ED) 2 e 0 / 2 / 2 2 oder & —- | I- (3 — 2 vs) = a (2) | bio bs che und 2. X — 7) +(y-+ N See (7) Die Kurve zerfällt in 2 Kreise (3) und (y), deren Mittel- SUR bh b 3) b b 3) * punktskoordinaten: > N 3) und A E v3 sind. — 15° — — i 2 3 ) \ EN, Beide Kreise haben den Radıus = — Beide Kreise schneiden sich n O und C. Für ein unendlich grosses ce besteht die Kurve aus der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und dem Nullpunkt als isoliertem Punkt. Negative c erzeugen die gleichen Kurven wie positive c; nur liegen die Gebilde symmetrisch zueinander. d) Die Lösungen. Wir suchen die Spitzen B der gleichschenkligen Dreiecke. b SU x Alle haben die Abscisse x — ,- Setzen wir diesen Wert in der _ Kurvengleichung (1). ein, so erhalten wir | 2 Die Wurzeln dieser Gleichung in y sind die Ordinaten der Schnittpunkte B. Lösen wir (5) auf, so finden wir zunächst folgende kubische Hilfsgleichung: 9b! — 24b’e?+16c' re 27 b® — 972btc? + 144b?c! —64c° _Q 48 S64 ] Die Diskriminante letzterer Gleichung lautet „_ _beilöfe® — 144b?et + 540bte? — 27b)) 432 Es ist nun 4==0, wenn Er b | 3 Je (6) an sa +V4-2y2. | Wir bekommen daher folgende Hauptfälle: b . Se Se EN Sir eV 2 9). Die Diskriminante der kubischen Hilfsgleichung ist positiv; die biquadratische Gleichung (5) besitzt folglich 2 reelle Wurzeln, und wir erhalten 2 reelle Lösungen. 1. . 1+V2). — 136 — Beide Dreiecke sind nach Konstruktion spitzwinklig. Das kleinere davon ist gleichseitig, wenn speziell e—b\3. b2 = 5 A+V2. Für diesen Wert von ce wird Gleichung (5) erfüllt, wenn Drac bo re wir für y den Wert —- einsetzen. Folglich haben wir hier unter ge den beiden Dreiecken ein rechtwinkliges. aa. Ein Dreieck wird stumpfwinklig; das andere bleibt spitz- a winklig. BP. => 3 3 VERERTEENEN ge 4 reelle Lösungen, wovon 2 zusammenfallen. Die Kurve berührt die Mittelsenkrechte MM... Ein Dreieck ist spitzwinklig, die 3 andern stumpfwinklig, worunter 2 zusammenfallende. € ®) b > = C. e< N 3ArV4-2V2 _ Die Diskriminante ist negativ; daher erhalten wir 4 reelle Lösungen. So lange ce von O0 verschieden ist, sind sämtliche Dreiecke ungleich, und zwar sind 2 derselben stumpfwinkhg, eines spitzwinklig und das vierte stumpfwinklig, rechtwinklig oder spitzwinklig, je nachdem le — 1) ıst. Taf. II, Fig.9. Für e—=0 werden die 2 stumpfwinkligen Dreiecke unend- lich klein, d. h. sie reduzieren sich auf die Basıs. Die 2 spitz- winkligen werden gleichseitig. $ 16. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Fusspunkte D der Schenkelhöhen. Die Voraussetzungen sind dieselben wie in $ 14. a) Konstruktion der Kurve. Taf. Ill, Fig. 10. Es seı OA=b die Basis des Dreiecks. Wır ziehen den Grundkreis und die Mittelsenkrechte und machen auf der letztern CE=c-— konstant. Nun ziehen wır durch OÖ einen Strahl, welcher den Grundkreis in @ und die Mittelsenkrechte n R schneidet. Wir verbinden A mit Q und tragen auf dieser Ver- “. bindungslinie die Strecke RE von A aus nach beiden Seiten ab, So dass ABI Ab5 Kst. Der geometrische Ort aller Punkte P ıst die Kurve. Fällt ein Kurvenpunkt in den Grundkreis, so ist 1: RE —— NE E— AQ == hi: 2 RE Geh, kolglich ce+1,—h, oder c=h, +h,; wir haben also eine Lösung vor uns. Die Schnittpunkte der Kurve mit dem Grundkreis müssen daher die Fusspunkte D der Schenkelhöhen der gesuchten Drei- ecke sein. b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir legen das rechtwinklige Koordinatensystem in gewohnter Weise. Sind x und y die Koordinaten eines Kurvenpunktes P\, so gilt APı=\(b—x)? + y?. («) Nun ist APı—=c— CR. (2) IC b—x Ferner ıst tg9 — a — cotg (MW — p) = somit x (b=x)bi, | aeg RC — Se eingesetzt ın (3) ergiebt Ley (b—x)b AP, = = zur Kurvengleichung: Ayallbr x) ya] |2ey 9, eingesetzt in («) führt rm zum _ n m — a] [59 >) EL 1 — c) Diskussion der Kurvengleichung. Die. Kurve ıst von der 4. Ordnung. Verlegen wir den Koordinatenanfangspunkt nach A durch Parallelverschiebung der Axen, indem wir setzen x—x 2b und "y—,y, so erhalten wir nach der Transformation und nach Weglassung der Indizes folgende einfachere Kurvengleichung: 4y?(x’-+y?) — @cy-+bx)’—=0. (5) A ist Doppelpunkt der Kurve; denn die Gleichung beginnt mit Gliedern 2. Grades. Die Doppelpunktstangenten fallen zu- sammen und bilden, da die Glieder 3. Grades fehlen, eine Selbst- berührungstangente. Der Nullpunkt ist also Selbstberührungspunkt. Bern. Mitteil. 1902. No. 1536. — 1385 — Die Gleichung der Selbstberührungstangente lautet: y-—5;% a Spezualfälle: Bu IE ee U): Wächst also ce von O0 bis », so dreht sich die Selbst- berührungstangente um 90° aus der Richtung der y’-Axe in die Richtung der x’-Axe. Die x’-Axe schneidet die Kurve nur ım Selbstberührungs- punkt A; die andern 2 Schnittpunkte fallen ins Unendliche, da die Potenzen x?” und x* nicht vorhanden sind. Die Schnittpunkte der y’-Axe mit der Kurve liegen für endliche Werte von ce alle ım Endlichen; es ist y12—0 und ya bie: Die Gleichung nach x aufgelöst, ergiebt Obey m 2y\ be eae er 4y? — bh? ’ Jedem Wert von y entsprechen 2 verschiedene Werte von x. Nur für y=0 fallen die Wurzeln zusammen. In diesem einzigen Fall liegt die Kurve symmetrisch und zwar zu beiden Axen. Jede Parallele zur x-Axe schneidet die Kurve ım End- lichen in 2 Punkten, den Fall ausgenommen, da der Nenner Null wird. Die 2 Parallelen (10) (1) müssen daher Asymptoten der Kurve sein. Der Maximalwert, den y annehmen kann, ist yı= = Vb? +4e?. Um die Schnittpunkte der Kurve mit der unendlich fernen Geraden zu gewinnen, setzen wir nach bekanntem Verfahren U„n — 4y?’&®+y?) =0; daraus folgt 1. v0 2mal Fund F2r y = ex Wir haben somit 2.reelle, zur x-Axe parallele Asymptoten- richtungen und 2 imaginäre. Die Kurve schneidet also die imagi- — 139 — nären Kreispunkte der Ebene. Da nun y=0 auch ein Faktor von U; ist, so muss der unendlich ferne Punkt der x-Axe ein Doppel- punkt der Kurve sein. Um die Art desselben zu untersuchen, projizieren wir ihn in den Nullpunkt A und setzen zu diesem Zwecke in Gleichung (8): I =, und I Wir erhalten, wenn wir nach der Transformation noch mit x’* multipliziert haben: 4y’?(1+y’?) — (2cy'’x’ +bx’) =0. Der Nullpunkt ist Doppelpunkt. Die Gleichung der Tan- genten ın demselben lautet Die projizierte Kurve hat im Nullpunkt einen Knotenpunkt mit 2 verschiedenen Tangenten; folglich ıst der unendlich ferne Punkt der x-Axe auch ein solcher Doppelpunkt. Die Tangenten in demselben sind V— ypx sie e x’. oder b Diese Tangenten sind Asymptoten der Kurve, wie dies schon die Gleichung (10) verraten hat. Unsere Kurve gehört somit auch zu den rationalen Kurven; denn sie besitzt einen Selbstberührungspunkt und einen Doppel- punkt, was zusammen für 3 Doppelpunkte zählt. Für e=0 besteht die Kurve, deren Gleichung nun die Form hat i 4y?(y’+x?) — b’x’—0, aus 2 kongruenten Ästen (12) zwischen den Asymptoten eh siehe Fig. 10, Taf. III. Für ein unendlich grosses e besteht die Kurve aus der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und der doppelt ge- legten x-Axe. Asymptoten und Selbstberührungstangente laufen parallel. Nimmt e negative Werte an, so sind die entstehenden Kurven Spiegelbilder derjenigen mit positivem ec in Bezug auf die x-Axe. — 140 — d) Die Lösungen. Die Koordinaten der zunächst gesuchten Schnittpunkte D sind die Wurzeln des Systems 1. +7? [b—x)?-+y?] — Bey— (b— x) b]?=0, Kurve. und 2. x®— bx-+y° —(), Grundkreis. Die allgemeine Lösung dieser Aufgabe stösst auf bedeutende Schwierigkeiten. Wir können die Übereinstimmung mit dem ersten Verfahren nur ın Spezialfällen nachweisen. 1. Für ein gleichseitiges Dreieck besitzt der Punkt D die Koordinaten ee 2 3) 4 4 Setzen wir diese Werte für x und y ın Gleichung (1) unseres Systems oben ein, so wird ae) 3 und &==I. Vergleiche damit die Fälle Aı und C, pag. 136. 2. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Koordinaten bh a von D— |, >); Setzt man diese Werte gleichen —_ u a 5 g B b == ö Orts wieder eın, so wrd e=— (17 V2). Eig.I0. En Vergleiche damit As, pag. 136. 3. Für ein unendlich kleines Dreieck hat Punkt D die Koordinaten (b, 0). Die Einsetzung dieser Werte liefert fo) c—=(, vergleiche damit C, pag. 136; siehe Fig. 10. v1. S 17. Sechste Aufgabe: Konstruktion eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkel und Schenkelhöhe gegeben sind. (Gegeben: il b. 2 Bias, ie — konstank er) Bedingungen: 1. sth,>>> De 2. s-h,>0. Bei einem unendlich kleinen, auf die Basis reduzierten Ä j b ELSE b Dreieck ist s+ h, = —- = Minimum; denn s= und u, O0. s 2 2 — 141 — Ist das gleichschenklige Dreieck rechtwinklig, so ist s— h—0. In jedem andern Fall ist s als Hypotenuse grösser als h, (Kathete). $ 18. Erstes Lösungsverfahren: Bestimmung der Dreiecksspitzen B. a) Konstruktion der Kurve. Taf. III, Fig. 11. Es seı OA =b die Basıs des Dreiecks. Wir ziehen den Grundkreis und um A den Hilfskreis mit dem Radius r = e. Ferner ziehen wir emen Strahl durch ©, der den Grundkreis in Q schneidet. Die Verbindungslinie AQ endlich schneide den Hilfs- kreis n H und H,. Liegt nun @ innerhalb des Hilfskreises, dann trägt man die beiden Strecken QH und QHı von OÖ aus auf dem zugehörigen Strahl nach entgegengesetzten Seiten ab und zwar die Strecke nach Q hin, welche den Punkt A nicht ent- hält. Man macht also 075; - OH und OR, -0Hr Beziehungen: 1. OPRLHAQ=QH-+AQ=AH=ec; 2. OP —- AQ=QH, — AQ=AH: = ec. Liegt der Punkt Q ausserhalb des Hilfskreises, so trägt man beide Strecken nach @ hin ab. In diesem Fall gelten dann die Relationen: 1. AQ’—- OP! =AQW’ —-QH=AH=e; 2. 0Py- AN O5 RO SAH,=e. Der geometrische Ort aller Punkte P ıst die Hilfskurve. Fällt ein Kurvenpunkt P in die Mittelsenkrechte, so wird OP= OB-s und AQ -AD-h, und man kann, wenn diese Werte in den Relationen oben eingesetzt werden, eine Lösung konsta- b tieren. Die Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden x= - ud ergeben somit die zunächst gesuchten Punkte B. b) Ableitung der Kurvengleichung. Es seien für das gewohnte Koordinatensystem x und y die Koordinaten eines Punktes P’>s; dann kann gesetzt werden: ’ 72 r2» x OP Vz Fy; («) Nun ist OP’ =c+AQW’ =c +bsing, eingesetzt in (ae), und man hat e-+-bsing = Vx?-Fy?, umgeformt „2 2 A en etrroyVP—-RHN)—-0. (1) Polargleichung: r= — bsing +c. (2) ne Unsere Kurve ist die Kreiskonchoide. Die y-Axe ist Sym- metrieaxe. eb, © ist konjugierter Punkt. — Für e=0 reduziert sich die Kurve auf den doppelt gelegten Kreis 2 +y’+by=0. c) Die Lösungen. Es handelt sich noch um die Bestimmung der Ordinaten der Schnittpunkte B. Wir führen zu diesem Zweck den Wert für bz* 2 : x= ,„ in der Kurvengleichung (1) ein und erhalten: ad Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Ordinaten von B. Die Auflösung vorliegender Gleichung führt auf eine kubische Hilfsgleichung von der Form va was (& x Ib?c*--2c° ER 3 27 Die Diskriminante dieser kubischen Gleichung wird 2 bey3 V32b! — 13b?e? + &ct. 18 Es ist nun /=0 nur in dem einen Fall, wenn 0: (3) Wir erhalten daher 2 Hauptfälle für die Lösungen: A... ,08ture, 0: Wir bekommen für y 4 zusammenfallende Wurzeln, nämlich N b N 4 zusammenfallende Dreiecke, welche rechtwinklig sind. B. 41=pos. für ce—-0. Die kubische Hilfsgleichung besitzt nur eime und infolge dessen die biquadratische Gleichung nur 2 reelle Wurzeln. Wir als Ordinate der Spitze. Damit erhalten wir auch — 13 — erhalten somit für jeden Wert von c, 0 ausgenommen, nur 2 wirkliche Dreiecke. Wie schon erwähnt, treten für c&—=0 4 zusammenfallende rechtwinklige Dreiecke auf, welche auf der negativen Seite der y-Axe liegen. Fängt nun ec zu wachsen an, so verschwinden erstens 2 Dreiecke. Die andern 2 verwandeln sich in ein spitz- winkliges und in ein stumpfwinkliges, und zwar wird für ein wachsendes ce das spitzwinklige immer spitzwinkliger. ä b — 5 i ER 4 Für c=,.(2—V3) wird es gleichseitig. Das stumpfwink- lige wird auch stumpfwinkliger und erreicht für e = — das 2 Maximum. Der Winkel an der Spitze wird 180° Das Dreieck : ; er ; > b ; F reduziert sich auf die Basıs. Wird e > 5 So nimmt der Winkel ad an der Spitze stetig ab. Für c=b\2 wird das Dreieck recht- winklig natürlich auf der positiven Seite der y-Axe. Für jeden Wert von e>by2 ist dann auch das auf der positiven Seite der y-Axe liegende Dreieck spitzwinkhg. one ist dieses spitzwinklige Dreieck für den Spezialwert von c—= “ @+V3). $ 19. Zweites Lösungsverfahren:: Bestimmung der Punkte Bedingungen wie in $ 17. a) Konstruktion der Kurve. Ohne Figur. Es seı OA=—b die Basis des Dreiecks. Wir ziehen den Grundkreis, die Mittelsenkrechte MM, und endlich noch einen Hilfskreis um A mit dem Radius r=c. Ein durch A gezogener Strahl schneide nun den Grundkreis m @, die Mittelsenkrechte ın R und den Hilfskreis in H und H,. Schliesslich wird noch durch OÖ ein Strahl gezogen, der auch durch @ geht. Nun trägt man auf dem Strahl OQ von OÖ aus die Strecken RH und RH, nach entgegengesetzten Seiten ab, macht also OP; =RH und OP;:—RH,, so dass also 1. AR-OPı,=AR-+-RH=AH=ec und ebenso 2. OP, — AR=RH, — AR=AH;, =c. So darf es aber nur gemacht werden, wenn Q innerhalb des Hilfskreises liegt. Liegt Q ausserhalb des Hilfskreises, so — 144 — trägt man beide Strecken RH und RH; nach der gleichen Seite und zwar nach @ hin ab. Der geometrische Ort aller Punkte P ist die Hilfskurve. Fällt em Punkt derselben ın den Grundkreis, so wird OP=O0Q-h, und da AR=Ss ıst, so wird nach den oben stehen- den Relationen 1. s+h,=e oder 2. h,—s=e; somit 1st. der Punk zu emem Punkt D geworden; wır haben eine Lösung. Die Schnitt- punkte der Kurve mit dem Grundkreis sind wieder die zunächst gesuchten Punkte D. b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir erhalten nach analoger Methode wie früher BD) a Be 9 b 9.9 ey) (y Es > el (4) b Polargleichime. Tr ee: (4a) 2sing 7 Die Hilfskurve ist die Konchoide des Nikomedes. Die y-Axe ee bares: ist die Symmetrieaxe derselben und die Gerade y= — on die Leitlinie. c ıst der auf einem Strahl durch O gemessene kon- stante Abstand zweier Kurvenpunkte von der Leitlinie. bes { $ e a R Für e>-,- besitzt die Konchoide eine Schleife. ud De: ah =D für e=-,- tritt sie mit Spitze auf in O; ad ie BE » e< wird O zum konjugierten Punkt; ad 0 zerfällt die Kurve in die doppelte Leitlinie und den konjugierten Punkt O. >» C= c) Die Lösungen. Es handelt sich um die Bestimmung der Koordinaten der Schnittpunkte D. Diese Koordinaten sind die Wurzeln des Gleichungssystems: b N x2 72) ’f _— _ ey . or] 1.000. Urv ls a (y+ 2 Bye): Kurve. 2. x —bxt+y? =0, :.:.++.-.-.. Grundkreis. — 1415 — Wir führen den Wert von x aus (2) ın (1) ein und erhalten 5} c SD) DI 3 . 2 y!+2by?+ 3b‘ en +2e y? ep a y b? -—4be | 16 Die Wurzeln dieser Gleichung 4. Grades in y sind die Ordinaten der Schnittpunkte D. Die kubische Hilfsgleichung dazu erscheint ın der Form Br ci (4b! 2 +c#) er e (166° +15bte—=6b?e' +4 2e0) 0 3b! 21.b° t Als Diskriminante erhält man c(32b* — 13b?e? + 4c#) 27b® Es wırd /=0 nur für e=0 wie beim ersten Verfahren. Auch hier giebt es die beiden gleichen Hauptfälle, nämlich A. 1=0 für c—=(. Wir erhalten wıe beim ersten Verfahren 4 zusammen- fallende rechtwinklige Dreiecke; denn in Gleichung (5) wird b I tmal. _ —(, 65) sl B.. 4=pos. für c==0. Für jeden von O0 verschiedenen Wert von ce liefert Gleichung (5) 2 reelle Wurzeln und damit 2 reelle Dreiecke, also dasselbe Ergebnis wie beim ersten Verfahren. Setzt man in Gleichung (5) Spezialwerte eın Sl) für das unendlich kleine Dreieck, b En y=t-, >. .». rechtwinklige > pe bh : ER y a » » gleichseitige » so erhält man die nämlichen Werte für e wie auf Seite 143. vn. $ 20. Siebente Aufgabe: Konstruktion des gleichschenkligen Dreieckes, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkel und dem an die Basis angrenzenden Schenkelabschnitt gegeben sind. (Gegeben: k- b, Bern. Mitteil. 1902. No. 1537. Bedingungen: 1. stm=bV2, 2. m —- ss und P; die Bedingung erfüllen: 2. OPaı — 0Q = QHı— QO — OH, =c. Dreht sich der Strahl OQ@ um ©, so beschreiben die Punkte Pı und P, eine Kurve und die Punkte P;, und P> das Spiegelbild derselben im Bezug auf die y-Axe. Die Schnittpunkte beider Kurven mit der Mittelsenkrechten ergeben die zunächst gesuchten Punkte B; denn für einen solchen Kurvenpunkt P ist OP=O0B=s und 0OQ=0D=m, und die oben stehenden Relationen werden m--s=c oder s—m=c. Wir haben eine Lösung. b) Ableitung der Kurvengleichung. Es seien x und y die rechtwinkligen Koordinaten eines Kurvenpunktes Ps im gewohnten Koordinatensystem; dann gilt: ar, RES er (a 22 -H y2. («) Nun ısst OR =H,Q=0Q + Sr + ce, sub. in («) beosp + e: - x? + y%, umgeformt &+y°—- br?’ —-—e(®-+-y’)=0. (1) Die Punkte dieser Kurve genügen der Relation s— m=+te. Für die Relation: s-m=c bekommt die Gleichung die etwas abweichende Form ey ix) er y)=0. (2) Die Kurven (1) und (2) sind symmetrisch zueinander ge- legen in Bezug auf die y-Axe. Die Gleichung der Kurve, die alle Schnittpunkte B ee ist die unächte Kurve 8. Ordnung: [+ +? ee + ya] +? ha)? "vHsd)l-0. ©) Unser symmetrisches Kurvenpaar besteht aus 2 Kreis- konchoiden. Für beide ist die x-Axe Symmetrieaxe. Bei positivem bx liegt die Kurve mehr auf der negativen Seite, bei negativem bx mehr auf der positiven Seite der x-Axe. Ist ce = b, so ıst für beide Konchoiden der Punkt O isolierter Punkt, Rückkehr- punkt oder Doppelpunkt. Für ce=0 zerfällt jede Konchoide ın 2 sich deckende Kreise. Die beiden Kreispaare berühren sich m OÖ und haben m der y-Axe eine gemeinsame Tangente. c) Die Lösungen. Wir suchen zunächst die Schnittpunkte B der Kurve mit der Mittelsenkrechten. Dabei handelt es sich nur noch um die Bestimmung der Ordinaten dieser Punkte. Lösen wır das be- kannte Gleichungssystem nach y auf, so finden wir Bi 98 a: 1. y-ı5 20? — 3b? —2c Ve—-2b — 2b?, wenn bx=pos. (4) _ I: / I HyoH era r oT m und 2. ee S b’+2c +2c Ve -+ 2h?, wenn bx=neg. (5) Wır bekommen hier 2 gesonderte Lösungsgruppen. Erste Gruppe für Formel (4). 3b SE _ Alre> a 2 reelle Wurzeln für y für das positive Zeichen der innern Wurzel; 2 symmetrische spitzwinklige Dreiecke. 3b ) _ B. >e>by2 4 reelle Wurzeln für y, welche paarweise absolut gleich sind: 4 wirkliche Dreiecke, welche paarweise symmetrisch sind. n 3b = G== . 2 b I Yı2 == =E 79% \ 3 und y3.4 —= 0. 7 2 gleichseitige Dreiecke, bedingt durch das positive Zeichen der innern Wurzel und 2 unendlich kleine, bedingt durch das negative Zeichen der innern Wurzel. 5 en _. '2; Fig. 12, Taf. IL, Kurve II. Das E Zeichen der innern Wurzel erzeugt 2 spitz- winklige, das negative Zeichen 2 stumpfwinklige Dreiecke. Mit abnehmendem c werden die spitzwinkligen immer weniger spitz- winklig und die stumpfwinkligen weniger stumpfwinklig. 3. c=by3; bar: a ee mel. Die Kurve berührt von der negativen Seite her dıe Mittel- oO 2'929 2 ge je senkrechte in den 2 Punkten e- und ( b — N ) 4 recht- winklige Dreiecke, welche paarweise sich decken und paarweise symmetrisch sind. es Ge pV2: Alle y-Werte sind imaginär, daher keine reellen Lösungen. Alle Dreiecke der ersten Lösungsgruppe erfüllen die Be- dingung s+-m=c. Für den Flächeninhalt derselben bekommen wir die all- gemeine Formel: - 7 \j2« — 3b +2 2cV esaRp. (6) — 149 — Zweite Gruppe für Formel (5). b Ä = Mae. bie. 12, Kurve: u 2 reelle Wurzeln für y und 2 imaginäre, letztere für das negative Zeichen der innern Wurzel. 2 symmetrische spitz- winklige Dreiecke, deren Basiswinkel > 60°. 4 reelle Wurzeln für y, daher 4 reelle Lösungen, welche paarweise symmetrisch sind. 1. ce=-——, Grenzfall. > _ A 3 x bs Für das positive Zeichen der innern Wurzel wird y= +5 V3, bedingt 2 gleichseitige Dreiecke. Für das negative Zeichen der —-0(, was 2 unendlich kleine Dreiecke ınnern Wurzel wird y zur Folge hat. 2 spitzwinklige Dreiecke für das positive und 2 stumpf- winklige für das negative Vorzeichen der innern Wurzel. Mit abnehmendem ce nähern sich beide Formen dem rechtwinkligen Dreieck. ac 0: Die Kurve ist der doppelte gelegte Kreis ? —bı+- Y =V0, 2 et welcher die Mittelsenkrechte ın den Punkten e " und b b : ee ( 5: 5) schneidet; 4 rechtwinklige Dreiecke wie oben ad _ unter B:. Sämtliche Dreiecke dieser Gruppe genügen der Relation s— mA Ihre Inhaltsformel lautet: F-h/r4 22 +2eV2P+e. (7) — 150° — . $ 22. Zweites Lösungsverfahren: Bestimmung der Schnittpunkte D. Die Voraussetzungen sind dieselben wie m $ 20. Wir referieren über diesen Fall in gedrängter Kürze. Analog dem ersten Verfahren erhalten wır als Hilfskurve eine unächte Kurve 8. Ordnung. Dieselbe hat die Form (x? -1.y2) a ex (+ y3 a —ex2] 0, (8) . 2, B 2 Die Kurve besteht aus 2 Konchoiden des Nikomedes. Für beide ist die x-Axe Symmetrieaxe. Die Konchoide des Klammer- Ä En er ee = ausdrucks links hat die Gerade x = — . diejenige des Klammer- _ ausdrucks rechts die Gerade =, zur Leitlinie. _ Bei den Lösungen handelt es sich um die Bestimmung der Koordinaten der Schnittpunkte D der Konchoiden mit dem Grundkreis. Für die Abscisse x erhalten wır die Bestimmungs- gleichung b\- BER \ bx (x: ie -, — e?x” — 0; daraus tolet Gebe en -2b> 2b > ee 2 b : für das positive Zeichen ım Ausdruck (+ wird x rn er eiee D) Alle diesbezüglichen Lösungen entsprechen der Relation: s--m=c. Führen wir den Wert für x aus (9) in der Gleichung des Grundkreises ein, so erhält man für die Ordinate y des Punktes D den Ausdruck: y=z 2b Nun besteht die Proportion: \jöhre — 3b! — 2c!-+2c 2b? ec?) Ve®— 2b? —= 25.290) _— - vo ne 5 2 Setzen wir hierin für x und y die gefundenen Werte ein und lösen nach h, auf, so finden wır: K' — 151 — er, en hg 1/ 2e—3b’ H2cVer—ap?. . (11) \9 Ä ; b Für das negative Zeichen ım Ausdruck (s | erlangt / die Abseisse x von’D den Wert 2 Haan) om? ee zeye 2b (12) 2b NE und die Ordinate y den Wert IE. 5 N. STE or \V/ b— 2b’e? — 20 2c?\Vc?-- 2b?. (15) 7 / Alle diesbezüglichen Lösungen erfüllen die Bedingung: Se 6 Für die Basıshöhe dieser Dreiecke finden wir auf ähnliche Weise wie oben den Wert / | N 2 > En 2 Dr N Ih: Be > \ ber 2 -m2e\c2-12b2 (14) Vergleichen wir (11) mit (4) und (14) mit (5), so finden wir vollkommene Uberemstimmung in den Ergebnissen beider Auflösungsmethoden. vM. $ 253. Achte Aufgabe. Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkelhöhe und dem der Basis angrenzenden Schenkelabschnitt geyeben sind. Gegeben: amade 22 heim ereie — konstant: : r Fe : Bedingungen: 1: bVy2=>(h,+m)>b; 2. b>(h—m>-b. . . . . = . Im rechtwinkligen Dreieck ıst h+m:=b\V2= Maximum; 5 bs ; denn da st „=m=-_- WIDE In diesem Fall ıst nun h + m _ Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, so ıst h‚--m=Vyb | ve | .) v® .)) Es ist aber bekannt- En) Bei einem unendlich grossen Dreieck ıst — m=b—0 —b=Max. und bei einem unendlich kleinen Dreieck =0O—b= — b=Min. Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist hs — m — pos,, bei einem rechtwinkligen =0 und bei einem stumpfwinkligen —neg. 24. Erstes Lösungsverfahren. Bestimmung der Spitzen B. a) Konstruktion der Kurve. Taf. IV, Fig. 13. Es seı OÖQA=b die Basis des Dreiecks. Wir ziehen den Grundkreis, die Mittelsenkrechte MM, und um A den Hilfskreis mit dem Radius r=c. Durch O werde nun ein Strahl gezogen, un der den Grundkreis ın @ schneidet. Ferner werde durch A und () eine Gerade gelegt, welche den Hilfskreis mn H und H, schneidet. Jetzt tragen wir auf dem Strahl OQ die Strecken QH und QH, von O aus in gleicher oder ungleicher Richtung ab und erhalten die Punkte T, und Ts. Gleiche Richtung ist nötig, wenn Q ausserhalb des Hılfskreises liegt. Hat Q negative Ordinate, so sind die Strecken nach @ hin abzutragen, im andern Fall nach der entgegengesetzten Seite. Endlich trägt man noch die Strecken QTı und QT> von R aus auf den Strahl OQ ab ın der Richtung, wie T von @ aus liegt, und bekommt die Punkte P, und Ps. Bei sich drehendem Strahl beschreiben die Punkte P die Kurve. Die Schnittpunkte derselben mit der Mittelsenk- rechten sind die Spitzen B; denn in diesem Fall ist RP=0(, also auch QT =0; folglich fällt T auf @; damit ist OT=0Q=m, QA ıst=h,, und eine der Relationen ıst erfüllt: Ho C: b) Ableitung der Kurvengleichung. Es seien (—x, —y) die rechtwinkligen Koordinaten eines Kurvenpunktes Ps ım gewohnten System; dann ıst OP,—= x? Ly:. Nun st OPs-==PBR— OR—-TQ—-OR=-T,O+OQ—OR, somit vV£e+ty:=-%00Q-OR (eo) Ferner ist BO—=QH,=AQ+HAH, =bsing-+ ec, 0OQ=beosg, a, ZX sub ın («), — 153 — es giebt Yx®1 y?=bsing He -+ beosp = Vz me formt Ä B + y?) (x — = +-bx(x-+- | - EraX vw) Vi) Polargleichung: r —= ed — b(cosp + sing) £c. (2) 2 GOS © c) Eigenschaften der Kurve. Vorliegende Kurve ist von der 6. Ordnung. Sıe hat ım Nullpunkt einen 4fachen Punkt. Die @leichung der Tangenten im Nullpunkt lautet: 2b? —4c? R b? — 4c? y—4xy’- x?y?-H4x’y-H Be, 0620) h 2 ‚2 Spezialfälle: 1. c—=0. y:—4xy°+2x’y’-H4x®y--x?=0, aufgelöst vl +V2)x je 2mal. Die Tangenten müssen paarweise zusammenfallen, da die ie) } N Kurve ın 2 zusammenfallende Kurven 3. Ordnung zerfällt, deren 2 F S b ; Gleichung (x?--y?) (x — = -Hbx(x+y)=0 ist. (4) Diese Kurve ıst strophoidenartig, siehe Fig. 13, Kurve II, b ER a [6 u 2 e y—4xyP ey? 4r°y—=0. —0; die x-Axe ist Tangente. Die Gleichung der übrigen 3 reellen Tangenten lautet: pP — 4x? Xy+4xr°=0. a . 2. y:— 4xy? +4xvy— x=0. Da y=x der Gleichung genügt, so ist y=x Tangente. Die Gleichung der übrigen 3 reellen Tangenten lautet: PP —3ıy tX=0. 1 er Bern. Mitteil. 1902. No. 1538. — 154 — Die Kurve besteht aus der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und der doppelt gelegten y-Axe und dem konjugierten Punkt in O0. Die y-Axe ist doppelt gelegte Tangente; die 2 andern Nullpunktstangenten sind imaginär. Die x-Axe schneidet die Kurve im Nullpunkt 4mal; die : b : andern 2 Schnittpunkte legen m den Punkten (ae - Die \ En v-Axe schneidet die Kurve +mal im Nullpunkt und 2mal ım Unendlichen. Aus der Form der Gleichung geht hervor, dass die ima- ginären Kreispunkte der Ebene Doppelpunkte der Kurve sind. Ebenso sagt uns die Gleichung, dass die Gerade x = 5- doppelt En gelegte Asymptote ist. Die Natur des unendlich fernen Punktes der Kurve wird durch Transformation bestimmt. Wir setzen R ) xx undey= y undserhalten | & = le +y’ & x ib (x -H “ (x ar : + | / } 2 % l 2 —. In : =) (x 3 3) +y?|=0. Nun projizieren wir den unendlich fernen Punkt der Kurve auf die x-Axe, indem wir setzen 1 ua yY=--- und x’ —=--, und erhalten: « V V 2.7112 ne / } I, f l 2 +by’’ (x et 3 (x a. 3% Se ı) an Su ?+bx’y IR TE y°t 1)=0. (5) Der Nullpunkt der projizierten Kurve ist Doppelpunkt. Die Gleichung der Doppelpunktstangenten lautet: x’?— 0; folglich fallen die beiden Tangenten mit der y’-Axe zusammen. Da ferner für x’’=0 y’’=0 wird und zwar 4 mal, so muss der Nullpunkt Selbstberührungspunkt sein. Es ist somit auch der unendlich ferne Punkt der Kurve Selbst- Bi) RE! ve — 15 — ER bass berührungspunkt und die Gerade x —= —- Selbstberührungsasymptote. Die Kurve ıst also rational: denn sie besitzt 10 Doppelpunkte. nämlich 6 ım 4fachen Punkt OÖ, 2 ım unendlich fernen Selbst- berührungspunkt und 2 ın den imaginären Kreispunkten der Ebene. ER ER b Für e=b fallen 5 Schnittpunkte der Geraden = ,- mit der Kurve ins Unendliche. In diesem Fall ıst dıe Mittelsenk- rechte Selbstberührungswendeasymptote und der unendlich ferne Punkt der Kurve ein Selbstberührungspunkt mit einfachem In- flerionsknoten. Die Kurve ist keine symmetrische Kurve. d) Die Lösungen. Um die Schnittpunkte B zu bekommen, führen wır für x ) den Wert = -— ın der Kurvengleichung (1) ein und erhalten 2 1, Be V2b?—c? Sad = = (6) y, also 2 reelle ER Die ae ‚sind ee No =hbV2, y wird imagimär; keine reellen Lösungen. B. c je höhe von h,=- Lässt man ce von b aus einmal wachsen bis c—=bV2, das andere Mal abnehmen bis e=0, so sind die Lösungen im 2. Fall ‚symmetrisch zu denjenigen im ersten Fall. Setzt man y= —y, so geht Gleichung (1) über ın 2) i [6 2 2 7) - I: +-y’) (x = en, + bx(x=-y)| = ex? ® FF) 0, 7% Die Kurve ist das Spiegelbild der erstern ın Bezug auf die x-Axe. Mit den Lösungen ist es dasselbe; dabei giebt es für die Basıshöhe den Ausdruck b’+bce V2b?—c? N fe) De 2(b’—.c?) 8 Als Inhaltsformel des Dreiecks erhalten wir nach (6) ne — b!+b?e Y2b? — & (9) 4(b? —.c?) $ 24. Zweites Lösungsverfahren: Bestimmung der Fusspunkte D der Schenkelhöhen. Ohne Figur. Diese Aufgabe kann elementar gelöst werden, wenn wır aus den drei Grössen b, m und h, zuerst ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren wollen. Will man aber direkt das gleich- schenklige Dreieck gewinnen, bedarf es auch hier der Konstruktion ‘einer Kurve höherer Ordnung. Diese Hilfskurve wird eine Areis- konchoide, deren Gleichung: &®-+y’+by’—e(x®+y?)=0 ist (vergleiche VI (1), (10) pag. 64). Für die Koordinaten der Punkte D erhalten wır oo bB+ceV2b—e? | SE 2b ce —b? (22) und y— Fe wobei nur das positive | De Zeichen verwendet werden darf. Das negative Zeichen entspricht den Lösungen der Spiegelbildkurve in Bezug auf die x-Axe. Setzt man im der Proportion: DR Ä y:m=x:-- für x und y die Werte von (11) ein, 2 so erhält man für h, den Wert nach Formel (6); damit ıst nach- gewiesen, dass beide Verfahren die gleichen Ergebnisse liefern. Berechnen wir mit Hilfe von (11) m, denn m—\ x? + y° und h,, denn h =\b?-—-m?, so finden wir, dass bei jedem spitz- winkligen Dreieck die Strecke m=OD gleich ist der Grösse h. bei dem zugehörigen stumpfwinkligen Dreieck und umgekehrt. Beı allen Lösungen gilt die Relation h‚+m=c, wenn c>b, Maem— ce >» Ze bzund hm ea ebrrse $ 26. Neunte Aufgabe: Konstruktion eines gleichschenkligen Dreieckes. wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Schenkel und Basishöhe gegeben sind. (segeben: 125 b: Derschsh, ob E-- konstant. = 2 2 ” = = b Bedingungen: 1. st >>> _ 3>%:b 2. s— hy < DE L=] Die Summe ist das Minimum bei einem unendlich kleinen Dreieck; da ist s—= Sr und hy,—=0. Umgekehrt ıst die Differenz ud bei einem unendlich kleinen Dreieck das Maximum und nımmt stetig ab bis 0, wenn das Dreieck wächst und schliesslich un- endlich gross wird. $ 27. Erstes Verfahren. Bestimmung der Fusspunkte D. a) Konstruktion der Hilfskurve. Taf. IV, Fig. 14. Es sei OA=b die Basis des Dreiecks. Wir ziehen den Grundkreis und die Mittelsenkrechte, auf welcher wir von C aus — 158 — die Konstante c nach E abtragen. Durch O laufe nun em Strahl, der den Grundkreiss in @ und die Mittelsenkrechte in R schneidet. Nun tragen wir die Strecke RE von O aus auf dem Strahl O@ nach beiden Seiten ab und bekommen die beiden Punkte T,ı und T>. Schliesslich tragen wır noch die Strecken RT, und RT; auf dem Strahl OQ von Q aus ab und zwar ın der Richtung, in welcher von der Mittelsenkrechten aus die Punkte T liegen. Die gewonnenen Punkte seien Pı und P>, welche bei sich drehendem Strahl die Kurve beschreiben. Die Schnittpunkte derselben mit dem Grundkreis liefern die zu- nächst gesuchten Punkte D; denn fällt ein Kurvenpunkt P in den Grundkreis, so ist QP=0, also auch RT==0. Im letztern Fall kommt T in die Mittelsenkrechte zu liegen, und es ist ferner OT=RE=0B=s und da auch RÜ==h, ist, so muss sıch eine der Bedingungen erfüllen: Sale rc: b) Ableitung der Kurvengleichung. Wir legen im gewohnter Weise das Koordinatensystem. x und y seien die Koordinaten des Kurvenpunktes Pı; dann ist OP, =\x?+y3; OP, =0Q--TR=0Q-OR-OT=YxX ty: (e) Nun ist OQ=becosg, l RN OR Ir sub. ın (@), so 2 c0so a ' giebt es 2 a ) und 0%, BE RLTE ea Ders b Be! to 21 22 ei )COSL Sn Me 5 tgY —Y\ x®-+-y?, umgeformt [(x?-+y?) 2x —b)— 2bx?? — (by—2cex)’&’+y’)=0. (1) Für eın negatives ce bekommen wir die Spiegelbildkurve ın Bezug auf die x-Axe. In der Gleichung (1) ändert bloss das mit c behaftete Glied Vorzeichen. Löst man Gleichung (1) auf, so verschwindet das Glied b?’y*; dann lässt sich der Faktor x ın allen Gliedern wegdividieren und wir erhalten: bh 4 +(x?-+y’)(by—-ex)e=0. (2) 2 - x — (&— y’)b-+(x° en « 3y: —:159 — Polargleichung: ı Reben 2ccheg) olargleic St = u FD oO 2C0S@ bcos2o } h GE tg 0 — c). 2a 2coso + Be a0) c) Diskussion der Kurrvengleichung. Die Kurve ist von der 5. Ordnung und hat ım Nullpunkt einen 3fachen Punkt. Die Gleichung der. Nullpunktstangenten lautet: Ka e zp a, y j" Yv hie £ = ) 4be N 3% 1 x | 4be 3; (3) Spezialfälle: b’ EU: — x (X? —3y°)=(. rl ) ee x 2 2) Ye —g \ D. Die Gleichung der Kurve selbst nimmt die Form an l 2x Rohe yo bee ya ey): nn. (4) Diese Spezialkurve allem ist symmetrisch und zwar ın Be- zug auf die x-Axe. Nach y aufgelöst erhalten wir --13bx = 82° bx 9b I6hx IL S(x+b) 9b. : x ST. ıst der Maximalwert. den x annehmen kann. Für 3b 16 V0.6. Die Kurve bildet eine Doppelschleife, welche ganz innerhalb des Grundkreises liegt, denselben ım Nullpunkt berührt und aus 2 kongruenten Schleifen besteht, dıe sich ım Punkt (> 0) schneiden. | b ENG ey PO ; (2 0: 2 S (= a0: a) y=0; die x-Axe ist Tangente. diesen Grenzwert von x wrd y=-+ B) y=x 2mal; diese Tangente ist eine Selbstberührungs- tangente, welche die Kurve im Nullpunkt zudem noch schneidet. — 160° — Alle Schnittpunkte der Geraden y=x mit der Kurve fallen daher ın den Nullpunkt. Von den 3 Doppelpunkten, die im öfachen Punkte O liegen, ist der eine also ein Selbstberührungs- punkt. Die 4 Doppelpunkte, welche die Kurve ım Endlichen n b hat, stecken für c—=-;- alle im Nullpunkt. Die x-Axe schneidet die Kurve in O 3mal und 2mal m den Punkten \ +c. Die y-Axe schneidet die Kurve 3mal in O0, einmal in (0), — ce) und einmal ım Unendlichen. Die imaginären Kreispunkte der Ebene sind Doppelpunkte der Kurve; diese ist somit rational; denn sie besitzt 6 Doppel- punkte, 4 ım Endlichen und 2 im Unendlichen, so lange c end- lich ıst. Die Gerade xv—= — b ıst Wendeasymptote. (4) Die Kurve hat Wendepunkte. Ist O Knotenpunkt, so be- sitzt die Kurve einen Wendepunkt ım Unendlichen. Ist O 1so- lierter Punkt, so sind 3 Wendepunkte vorhanden, wovon 2 im Endlichen sind. Für ein unendlich grosses ce besteht die Kurve aus der y-Axe, der doppelt gelegten unendlich fernen Geraden und dem isolierten Punkt ın ©. d) Die Lösungen. Wir suchen die Fusspunkte D der Schenkelhöhen zunächst. Für die Koordinaten von D finden wir die Werte ehe = x — p°-L- 4 (5) 4b?e (4c?—.b?) 6 (b2 re: , (6) Das negative Zeichen gilt für die Lösungen der Spiegel- bildkurve. Wir bekommen für einen bestimmten Wert von € nur eine reelle Lösung; das rührt daher, weils-+h nicht kleiner und, Yale ) & 2 b | als —- und s—h» nicht grösser als —- werden kann. Wir be- ge pe kommen folgende Hauptfälle: Keen 161 — Alle Lösungen genügen der Bedingung: s+h,=c. ) 1— ih) Das Dreieck ıst spitzwinklig und wird speziell gleichseitig, wenn € = — (2? + Das Dreieck ist rechtwinklig. 3. = ago > . 395 SURX — b. Das Dreieck ıst stumpfwinklig. B:..C ) ‚nr fa = Grenzfall; x —=b. Das Dreieck ıst unendlich klein und genügt der Relation: Sm li ie: Die Dreiecke erfüllen die Bedingung: s— 1y=(. b _ t ] ie zelnen ah Das Dreieck ıst stumpfwinklig. bie b ae 5 ec Das Dreieck ıst rechtwinklig. P b 5} = b 3“ 5 N De N el _ : er: 4 b 15 Das Dreieck ist spitzwinklig und wird für e = - (2—-V 3) speziell gleichseitig. 46 UN 0. Das Dreieck ıst unendlich gross, wie es bei A für ce = wird. Für die Basıshöhe BC findet man portion den Ausdruck: nach bekannter Pro- Se, (8) Bern. Mitteil. 1902. No. 1539. — 152 — Für die Lösungen der Spiegelbildkurve ist dieser Wert negativ zu nehmen. Für die Dreiecksfläche erhält man nach (S) die Formel ER &e>—=b?)b N: Var (e en 16c (9) $ 28. Zweites Verfahren. Bestimmung der Spitzen B. Diese Aufgabe ıst schon elementar ohne Mühe lösbar. Es ER b? ; ee St jayse — TE --hy?. Berücksichtigt man, dass s+ hl, =c, so 4c?—b? & findet man ir ng was mit (8) voll- DOC kommen übereinstimmt. Die elementare Lösung auf konstruktivem Wege erfordert 2 verschiedene Konstruktionen, je nachdem die Summe oder Differenz von s und h, vorliegt. Soll die gleiche Konstruktion beide Fälle einschliessen, so wird eine Hilfskurve nötig. Ihre Gleichung lautet: (x?+y°)4x’— (by —2cex)’—=(0. (10) Wir haben dieselbe unter V ($), pag. 60, bereits kennen ge- lernt. In unserm Fall hat die Kurve den Selbstberührungspunkt ın O. eb Ihre Asymptoten sind x—= +, pn Bei den Lösungen handelt es sich um die Schnittpunkte B 3 b r > e 5 i der Mittelsenkrechten x = —- mit der Kurve. Für die Ordinate 2 re h8 ee (11) Dieser Wert stimmt mit (8) überem. Beide Verfahren decken sich somit vollständig in ıhren Resultaten. X. $ 29. Zehnte Aufgabe. Konstruktion eines gleichschenkligen Dreieches, wenn die Basis und die Summe oder Differenz aus Basis- höhe und dem an die Basis angrenzenden Schenkelabschnitt gegeben sind. von B finden wır den Wert y—=h,=- b, (regeben: f: 2. 4m SEe— konstant. Bedingungen: 1. u+-m>b, Dach, mi = 0. Die Summe h, + m wird zum Minimum b beim unendlich kleinen Dreieck, wom=b und u =0 ist. Die Differenz hu, — m wird = 0 bei einem spitzwinkligen Dreieck, dessen Höhe ne fax 7 20 Übersteigt h, diesen Wert, so ist die Differenz h, — m = pos. Sınkt dagegen h, unter diesen Wert, so ıst 1, —m==neg. und wird für ein unendlich klemes Dreieck = — b. $ 30. Erstes Lösungsverfahren. Bestimmung der Spitzen B. a) Konstruktion der Hilfskurve. Es seı OA=b die Basıs des Dreiecks. Ziehe den Grund- kreis, die Mittelsenkrechte und um O noch emen Hilfskreis mit dem Radius r=c. Ein Strahl durch O schneide nun den Grund- kreis in @ und den Hilfskreis in H und Hı,. Schlage von © aus eimen Kreisbogen mit dem Radıus r=@H und emen zweiten Bogen mit dem Radius r—=@Hı. Erhalte im Strahl 4 Schnitt- punkte Pı, Ps, Ps und Py. Bei sich drehendem Strahl be- schreiben die Punkte P die Kurve. Fällt ein Kurvenpunkt P in die Mittelsenkrechte, so st QH=CP=(CB-=h,, und da ferner in diesem Fall OQ=m ist, so lässt sich die Relation auf- stellen: ntm=0OH=c. Somit haben wir in den Schnitt- punkten der Kurve mit der Mittelsenkrechten die gesuchten Spitzen B. b) Ableitung der Kurvengleichung. Lege ın gewohnter Weise das Koordinatensystem. x und y seien die Koordinaten des Kurvenpunktes Pı; dann gilt ls )+r («) Nun ist CPL =QH=0OH—OQ=c— bcosg, eingesetzt in («) . l ergiebt C — bcosp - /( ® 5) 5 3 5 — -- y?, umgeformt gr 3 _ | [> >} y D h 2 > > % D > |" Isa en 3 ER ee 2 fg ya) perl Be y ) N | \ S ce” (x 123 ) IX | £ bcoso Polargleichung: r = —_ _ Een 5 - —— +5 VY(2beosp +bsmoHt2e) (2bceosg—bsnor2e) (2) ce) Eigenschaften der Kurve. Die Kurve ıst von der 8. Ordnung und hat ım Nullpunkt einen +fachen Punkt. Die Gleichung der Tangenten im Nullpunkt lautet: >< ml ae 3b? + 24b?c?— 16c°+ 16b3e. (3) N ee) : 1 Ile 0 ıst Knotenpunkt; alle 4 Tangenten sind reell. b 3h 3 BE 2. 5 une i 3b b x-Axe 2mal in O und dann noch n 8 —= —- und u—= — —. pe En Bei wachsendem c wird die eine Doppelschleife grösser und die andere kleiner und so geht es, bis e=b/> wird. Für diesen Wert von e verliert die kleinere Doppelschleife die kleinere Schleife, welche zu einer Spitze zusammenschrumpft. b 5) Nasen Ze Die Gleichung der Kurve lautet nun (&®+y’) &@®+y’—-bx)—b’x?]’ —b’x?(x®-|-y’) =0. (5) Die positive x-Axe ist Rückkehrtangente und die y-Axe doppelt gelegte Wendetangente. O ist also Doppelinflexions- knoten und Spitze. Alle Schnittpunkte der Axen mit der Kurve sind reell und bleiben von da weg reell. In allgemeiner Form sind die Schnittpunkte mit der x-Axe: 3b, b Ds 0, Amalie Re ae Die Schnittpunkte mit der y-Axe: b? ie, - 0 Amel 22 =} Ws — — 2mal. : EN 4 5 NE Wächst nun e von 5 bis b, so verwandelt sich die Doppel- 2 schleife in eine $fache Schleife. Die 2 grössern Schleifen dehnen sich aus in der Richtung der x-Axe, die 2 kleinern längs der y-Axe. Das kleinere innere Blatt löst sich los vom Nullpunkt, nimmt Eiform an, schrumpft mehr und mehr zusammen und wird schliesslich zum isolierten Punkt m © karıı 30 =—=.h. Die Kurve besteht aus einer ın sich geschlossenen Linie, welche in der y-Axe 3 Doppelpunkte bildet, wovon einer ın OÖ liegt. Ferner gehören zu ihr noch 2 isolierte Punkte O und Ü. Die Gleichung der reellen Tangenten m O lautet y=+txy3. Diese Spezialkurve ıst rational; denn sıe besitzt neben den 3 vierfachen Punkten noch 3 Doppelpunkte, was zusammen für 21 Doppelpunkte zählt. Die 3 Doppelpunkte haben die Koordinaten — 166 — Se 0) (9, by) und (3 3) Wächst e über b hinaus, so nähern sich die 2 Schleifen längs der y-Axe der Mittelsenkrechten und um den Punkt C -bildet sich wieder ein isohertes Blättchen. Für einen gewissen Wert von c, den wir nicht ermitteln konnten, hängt sich das kleinere innere Kurvenstück an den andern Kurvenzweig. Wird ce noch grösser, so bildet die Kurve 2 Blätter, die sich teilweise überlagern und von denen das eine die Form der E S 2 3b Kr Kreiskonchoide hat. Für c=-,- hat das konchoidenähnliche _ Blatt in O eine Spitze mit der negativen x-Axe als Rückkehr- tangente. 5) 3b 4, G >> 78 Die Kurve hat ın O keine reellen Tangenten mehr. Der Mittelpunkt ist 2fach isolierter Punkte. Die Kurve bildet 2 Blätter, die sich teilweise überlagern, was bei weiter wach- sendem «c so bleibt. Für ein unendlich grosses c besteht die Kurve aus dem doppelt gelegten unendlich grossen Kreis und dem 2fach 1s0- hierten Punkt ın ©. d) Die Lösungen. Es handelt sich um die Bestimmung der Spitzen B. Für jeden Wert von c giebt es 4 Schnittpunkte B der Kurve mit der Mittelsenkrechten. Wir bekommen also immer 4 reelle Lösungen, welche nach Konstruktion paarweise symmetrisch sind. Die allgemeine Lösung stösst auf Schwierigkeiten. Setzt ” . I [' BER nf ) man jedoch in der Kurvengleichung (1) für x den Wert —- und 2 Ale N . . b b 3 . für y Spezialwerte wie y=0, y=—» y=7>V3 etc. en, so _ _ kann man für besondere Lösungen den zugehörigen Wert von c berechnen. Ehe wir die Hauptfälle bringen, bemerken wir noch, dass ein Dreieckspaar immer spitzwinklig ist, das andere dagegen jede beliebige Form annehmen kann. ee N an 17, 2mal. Alle 4 Dreiecke sind spitzwinklig, kongruent und fallen paarweise zusammen und sind paarweise symmetrisch. 970 eV? ein Paar symmetrischer Lösungen wird spitzwinkliger, das andere Paar weniger spitzwinklig. 3 = (\ 2 — 1) —. Das zweite Paar wird rechtwinkhe. = b 4. (\ Il) OS: Das zweite Paar ist stumpfwinklig. Für c= — (V3-—-1) wird das erste Paar gleichseitig. rer ih: Das zweite Paar ıst unendlich klein. 5 | 6... b (V2-tH DS; auch das zweite Paar ist spitzwinklig und wird speziell für c=(V3 ee 5 gleichseitig. Er 89: Alle £ Dreiecke sind unendlich gross. fe) $ 51. Zweites Lösungsverfahren. Bestimmung der Schnittpunkte Bedingungen wie ın $ 29 Wir bekommen eine unächte Kurve 8. Ordnung als Hilfs- kurve. Ihre Gleichung hat die Form (4x?(x®-1y?) —(ICX =D [4x®.(x?-y?) — (2 2cx-+by)?] —(. (6) Die Kurve (6) zerfällt n die 2 Kurven 4. Ordnung: 4x?(x?-+y?) — (2ex En. und 4x”(x?+y’) - Zex-+by)’ 08. Die beiden Teilkurven sind Spiegelbilder voneinander ın Bezug auf beide Axen. Wir haben es daher ım Grund nur mit einer Kurve 4. Ordnung zu tun. Sie ist uns in der Form begegnet in IX, pag. 85, und wurde beschrieben im V. Ab- schnitt. Die Lösungen lassen sich ebenfalls nicht allgemein bestimmen. Man kann nur für Spezialdreiecke die zu- gehörigen Werte von c berechnen. Man findet ganz dieselben Resultate wie oben. Zu jeder Teilkurve gehören zwei ungleiche Lösungen mit Ausnahme des Falles, da e=o ist, wo dieselben zusammenfallen. Die Dreiecke, die zu den zweı Teilkurven gehören, sind Spiegelbilder voneinander ın Bezug auf die x-Axe. In allen Fällen, da e < b ist, entsprechen die Dreiecke der Relation: 'y m= rc. Ist e=b, so elt u, Em mer) c>b, so finden wir die Bedingung erfüllt: m m =+c (ver- gleiche $ 29). $ 32. Uebersichtliche Zusammenstellung der Resultate. I. Gegeben: b und u En=c. Lösungen: IR ed \/ 6 V3—9; 1 reelles Dreieck; ) = ) ’ [: . 2 nr ee \ 6V3—9: 3 reelle Dreiecke. _ IE Gegeben: b undsen=c. Lösungen: Für jeden Wert von c #0 2 reelle, symmetrische Dreiecke. Für e—=0 4 reelle, zusammenfallende Dreiecke, die unendlich klein sind. I. Gegeben: b und u En =. Lösungen: 16/2 — 1: 2 reelle ver- 1. ce >» /ayriey2 + ayıa schiedene Dreiecke; $) ob) an \/ obiger Ausdruck: 4 reelle, ver- schiedene Dreiecke. IV. Gegeben: - b. und m En == Lösungen: br, a c>; 2 reelle symmetrische Dreiecke; 3b: e<5: 4# reelle, paarweise symmetrische Dreiecke. V: Gegeben: b und um th, =ec. Lösungen: i na = = \/ sr v4 —2 v2); 2 reelle verschiedene Dreiecke. = do. 4 do. AR Kereben: b und: szch,— e. Lösungen: c>0; 2 reelle verschiedene Dreiecke; C —(); 4 zusammenfallende rechtwinklige Dreiecke. NER Gegeben: b und st m=c. Lösungen: 3b >, 4 reelle, paarweise symmetrische Dreiecke; _ 3b = ee : Bares, E — Se>bV2; 6 reelle, paarweise symmetrische Dreiecke; zZ b 5) R = a by2>e>>7:; 2 reelle, symmetrische Dreiecke; 2) ei 4 reelle, paarweise symmetrische Dreiecke. _ Bern. Mitteil. 1902. No. 1540. VIIT, Gegeben: b und h tm=e. Lösungen: == . - . 1. c>bV2; keine reellen Dreiecke; 2. e Gegeben: b und u +m=c. Lösungen: Für jeden Wert von c 4 reelle, paarweise sym- metrische Dreiecke. Nur bei einem Fall (VIII) kann es vorkommen, dass keine reelle Lösung möglich ist. Als Bestimmungsgrösse tritt hier h,=m==c auf. h, und m sind nun gerade die Dreiecksgrössen, die bei endlicher Basıs nicht unendlich werden können; das Maxımum für beide ıst b. Für Spezialdreiecke giebt es folgende Wertetafel für ce: el oe — (pze &N h — (Tre N a — (0 3 u ee Sl Be ar 1+3N% i > N de (T +8&/N G = sd 200 er 9 = w+°y IA x u aNg= Po 0= ee ze _ eNFe)-, a \1— Po 0= m =UFS IA | x ed P0 0 (TE3/\ n ) =Uury a > ) zZ “ Fr: > U SEEN o G+8eN, a, a = ut ’y Io BR DE u Br = ) — U = S II ee —; a | a Due aa | 17 sasso13 ah \y sadıasy21l9]8 \y sadımyumyy9a4 \y souopy yaııpuoun led ee Unter den 13 Kurven 4. Ordnung, die als Hilfskurven auf- treten, finden wir 6mal die Kreiskonchoide, 3mal die Konchoide des Nikomedes und 3mal die Kurve, die bei V (D gesucht) zum erstenmal auftaucht; siehe Tafel III, Fig. 10. Als Spezialfall für € —=0 erscheint 2mal die Strophoide, nämlich bei I und IV (D gesucht). Andere Spezialfälle für e==0 sind strophoiden- ähnlich wie I und VIII (B gesucht). Für e—=0 zerfallen alle Kurven mit Ausnahme von I (B gesucht), welche für den Wert = h degeneriert. Beim Zerfallen treten Kreise auf ausser 2 bei den Konchoiden noch bei V und I (B gesucht). Im festen Eckpunkt O des Dreiecks besitzen alle Kurven einen mehrfachen Punkt mit Ausnahme von b und Vz. Bei I» bewegt sich der mehrfache Punkt auf der Mittelsenkrechten, bei V- ıst er konstant ın A. Als ein kleines Nebenresultat meiner Arbeit, die ıch hiemit abbreche, betrachte ich das, dass es mir gelungen ist, für die zwei bekanntern Konchoiden neue Konstruktionsverfahren zu finden. ie Es bleibt mir nur noch die angenehme Pflicht, meinen hochgeehrten Lehrern, den Herren Prof. Dr. Graf, Prof. Dr. Huber, dessen freundliche Ratschläge mir beı Fertigstellung dieser Arbeit sehr wertvoll gewesen, Prof. Dr. Forster, Prof. Dr. Moser und PD Dr. Gruner für das mir während memer Studienzeit stets entgegengebrachte Wohlwollen den herzlichsten Dank auszusprechen. Dr. Emil König. Beiträge zu dem Problem der elektrochemischen Umformung von Wechselstrom in Gleichstrom durch Aluminium -Elektrolytzellen. Im Jahre 1897 hatte Gra&tz'!) ?) ?) ein Verfahren veröffent- licht auf elektrochemischem Wege vermittelst Aluminium-Kohle- Alaunzellen Wechselstrom in Gleichstrom umzuwandeln. Schon im Jahre 1895 hatte die Akkumulatorenfabrik Pollak*) ein Patent auf ein ähnliches Verfahren genommen. Nachdem bereits Wöhler?), Beetz,°) ?) °) °) Buff,'%) Ducretet,'') Oberbeck,':) Streintz '?) 't) die unipolare Leitung des Aluminiums gekannt und zum Gegenstande ihrer Untersuchungen gemacht hatten, ist in neuerer Zeit durch die Arbeiten von Scott,'’) K. Norden,'*) Batorelli!’) bald die physikalische bald die chemische Seite der Aufgabe gefördert worden. Bei der praktischen Anwendung der Methode für Laboratoriumszwecke, stösst man auf eimige auffallende Er- scheinungen. Der Verfasser dieser Zeilen stellte sich Umformer- batterien von je +4 Zellen dar, in der Absicht, bei der Ladung einzelner Akkumulatorenzellen durch den mit Alummiumzellen !) Etz. 1897, pag. 423. ?), Wiedemann Annalen. 1897. Bd. 62, Seite 323. °) Zeitschrift für Elektrochemie. 1897, pag. 67 u. ff. *) Pollak, Etz. 1897 u. Compt. rend. 1897. Bd. 124, pag. 1443. °) Liebigs Annalen C. III. 1858. S. 218 ff. 6) Pogg. Annalen. 1866. Bd. 127, S. 45. ‘) Wiedemann Annalen. Bd. 127. S. 56. s) » » » 156, S. 464. 2) > » 1877. : Bd. 2.8: 9E °%) Lieb. Annalen. 1857. C. II, S. 269. '!) Journal de Physique. 1875. S. S4. '*) Wiedemann Annalen. 1883. Bd. 19, S. 625 ff. '5) u. "') Wiedemann Annalen. 1882, Bd. 17. Seite St41, 1887, Bd. 32, Seite 116, 1888, Bd. 34, S. 751. '®) Wiedemann Annalen. 1899. Heft 2, Seite 406. '*) Zeitschrift für Elektrochemie. 1899. No. 10 u. 11, pag. 159 u. 188. ) I nuovo Cimenti. 1901. Ser. 5tI, p. 112—133. I in Gleichstrom umgeformten Wechselstrom niedriger Spannung die grossen Verluste zu reduzieren, die bei der Ladung mit Gleichstrom von 120 Volt aus dem städtischen Netz sich ergeben. Anlässlich des Vortrages von Herrn Prof. Gr&tz an der IV. Hauptversammlung der deutschen elektrochemischen Gesellschaft vom 22.—26. Juni 1897 ın München war in der Diskussion von Dr. Correns') zwar die Ansicht geäussert worden, es lassen sich mit pulsierendem Gleichstrom dieser Art, dessen Ordinaten zwischen Null und Maximum schwanken, schwer Akkumulatoren laden. Dieser Ansicht war Ing. Liebenow entgegengetreten mit Hinweis auf seine Versuche, die den Beweis liefern, dass es für den Akkumulator gleichgültig sei, ob der Strom in zahlreichen Stössen eintrete oder nicht. Diese letztere Ansicht scheint eme Bestätigung zu finden durch das Verhalten der Akkumulatoren- batterie in der Tonhalle in Zürich, welche bekanntlich mit undu- lierendem Gleichstrom, erzeugt aus Wechselstrom durch rotierende Pollak’sche Gleichrichter?) geladen wird, mdem über Wirkungs- & > >) ( !) Zeitschrift für Elektrochemie 1897, pag. 70. 2) Etz. 1898, pag. 80. — 15 — grad und Lebensdauer derselben, soweit es dem Verfasser bekannt ist, nichts ungünstiges bekannt geworden ist. Die Zellen der Versuchsbatterie wurden in der von Gratz angegebenen Weise zur Ausnutzung und Parallelschaltung beider Stromimpulse einer Periode geschaltet nach folgendem Schema: Die langen Striche bedeuten Aluminium, die kurzen Blei. Da nach Gratz eine Al.-Pb.-Zelle bis zu. Spannungen von ca. 22 Volt, wenn Al. Anode ist «kemen durch einen Galvanometer nachweis- baren Strom», durchlässt, so sollte man, wenn bei A und B Wechsel- strom —._ eingeführt wird bei © und D pulsierenden Gleich- strom —— von gleicher Stromstärke erwarten, beziehungs- weise bei offenem Gleichstromkreise m den Wechselstromzu- leitungen keinen direkten Leitungsstrom finden, sondern höchstens einen dielektrischen Verschiebungsstrom, der schwach sein müsste, da die Periodenzahl 40 betrug und ein Aluminiumkondensator sich vor andern elektrolytischen Kondensatoren nur durch be- sonders hohen Durchschlagswiderstand, aber nicht durch eine Kapazität von anormaler Grössenordnung auszeichnet. Schon bei den ersten Versuchen dieser Art ındess beobachtete Verfasser, selbst bei Spannungen erheblich unter 20 Volt, beträchtliche Wechselstromstärken bei offenem Gleichstromkreis, die auch bei andauernder vorheriger Formierung der Al.-Platten ın einem Gleichstrom und beı Dauereinschaltung ım Wechselstrom nicht bedeutend zurückgingen. Um zunächst festzustellen, ob der Reinheitsgrad des Aluminiums einen bestimmenden Einfluss auf die Intensität des durchgehenden Stromes ausübe, wurde eine Versuchszelle aus eimer Anoden-Platte aus chemisch reinem Aluminium (von Merck ın Darmstadt) und 2 parallel geschalteten Platinkathoden geprüft auf durchgehenden Gleichstrom bei ver- schiedenen Spannungen. Die Dimensionen der Zelle waren: Wirksame Platinoberfläche ca. 2.5 dm?; wirksame Aluminium- oberfläche ca. 2 dm’; Elektrolyt: Chemisch reine Alaunlösung, bei Zimmertemperatur gesättigt. Platinkathode. Klemmenspannung. Die Zelle durchfliessender Strom in A. 2 Volt 0,00002 Amp. 4 » 0,0001 Amp. abnehmend bis 0,00006 6 » 0,00015 8 » 0,0004 10» 0,0015 abnehm. bis 0,0016 bis 0,0009 Die niedrigeren Stromwerte wurden mit Hülfe eines nach Amper justierten Edelmann’schen Spiegelgalvanometers mit Fern- rohr bestimmt, die höhern vermittelst eines Galvanometers von Hartmann & Braun, mit Permanentmagneten und beweglicher Spule (System Deprez-d’Arsonval) unter Verwendung passender Nebenschlüsse. Die m der Tabelle angeführten Zahlen geben die Minimal- werte bei andauernder Einschaltung an. Lässt man die Zelle nämlich eine Zeit lang stehen, so beobachtet man beim Ein- schalten ım ersten Augenblick einen Stromstoss, der das zehn- bıs mehrhundertfache des oben angeführten Wertes erreichen kann. Schon nach einem kleinen Bruchteile einer Sekunde aber geht der Strom bemahe auf den Minimalwert zurück, den er nach emigen Minuten erreicht. Es ıst daher angezeigt und notwendig, empfindliche Instru- mente ım Augenblick des Einschaltens zuerst kurz zu schliessen. Es macht ganz den Eindruck, wie wenn nach längerem Stehen die diektrische Schicht von Aluminiumoxyd ganz verschwunden wäre und der eintretende Strom zuerst eine kleine Zeit brauche, sie wieder zu erzeugen. Es seı ferner bemerkt, dass der er- wähnte Stromstoss nicht eintritt, wenn man von einer Stufe höherer Spannung zur nächst niederen Stufe übergeht, während man dann gleichzeitig kleinere Werte für den durchgehenden Strom findet, als ım umgekehrten Fall, wıe überhaupt diese Zahlwerte sehr varıabel sınd, abhängig von dem momentanen Zustand der Zelle, ım Zusammenhang mit der ausserordentlich veränderlichen Anodenpolarisation des Aluminiums, über welche schon Streintz und andere Forscher klagten. Die folgende Tabelle gibt die Resultate der Messungen der auftretenden Klemmenspannungen (Alummium-Anode) beim Durchleiten von Strömen geringer Intensität. Die Klemmspan- nungen wurden gemessen mit Spiegelgalvanometer (2000 Ohm Spulenwiderstand, ca. 957,000 Ohm Vorschaltwiderstand). Von einer Bestimmung der auftretenden Anoden- und Kathodenpo- larisation wurde Umgang genommen, da Messresultate') über innern Widerstand und Polarisation in ihrer Abhängigkeit von der durchgehenden Stromstärke bereits vorlagen. 2 133. !) Batorelli. I nuovo Cimenti, 1901 ser. 5 t. I pag. 112 Spannung Vorschalt- Stromstärke Klemmenspannung der Stromquelle. widerstand. gemessen. gemessen. ca. 125 Volt 60000 Ohm 0,00172 Amp. 18,54 Volt 50000 0,00210 19,2 40000 0,00265 20,04 „ 30000 0,00343 20,64. „ 20000 0,005 22,2 bis 20,4 10000 0,01 22,2 24 2500 0,039 26 1250 0,075 30,5, 0,25 42 Anfangs bis 35 am Ende 0,65 42 30,9% 0,9 \ 38 , 1,15 37 55 1,28 3UD: 2y 1,5 35 1,8 39 2 40 5 2,35 41,5, 2,5 ; 43 Anfangs; zurück auf 40 l 45 £ „40 7 34 > 5 5 32 5 3,8 29 Zelle 35° warm nn = 5 ar 5 DD 1 PR 27 n 0,7 e Ate r 0,3 > 26,5-275 Stromrichtung geändert 17 — Aluminium ist Kathode Klemmenspannung. Stromstärke. 3,6 Volt 0,4 Amp. IR 0,9 As 0 5,0. HUN, Ge 6.075, 6925, SO0Ner, RER 3, Wird nunmehr der Strom gewendet, so steigt der Zeiger des Voltmeters langsam (während °/« Minuten) bis zum Wert von 28 Volt bei 0,3 Amp. 32 ” 2 2,0 n Die Zelle ruht während 24 Stunden; beim Einschalten eines Stromes von 0,25 Amp. steigt der Zeiger des die Klemmspannung Bern. Mitteil. 1902. No. 1541. — 178 — inessenden Voltmeters während 2 Minuten, von Null mit gleich- mässiger Geschwindigkeit auf den Anfangswert von 42 Volt, sinkt während 4 Minuten auf 37 Volt, um jetzt konstant zu bleiben (Stromverbrauch des Deprez-Voltmeters bei Endanschlag der Skala 0,00274 Amp.). Nachdem es sich so gezeigt hatte, dass auch bei Verwen: dung von reinen Materialien, selbst bei Gleichstromspannungen von erheblich unter 22 Volt stets ein, wenn auch schwacher, Stromdurchgang stattfindet (vergleiche die Anschauung von Scott!), wonach sich die Aluminiumzelle „wie ein Condensator mit einem verhältnissmässig grossen Widerstand parallel geschaltet und einem sehr kleinen Widerstand [des Elektrolyten] dahinter ge- schaltet“ verhält), wurde zur Untersuchung zweier grösserer untereinander gleicher Zellen geschritten. Die 2 Zellen enthielten je 4 blanke Grossoberflächen-Bleiplatten (von der Akkumulatoren- Fabrik Oerlikon); je 5 Aluminiumplatten von Imm Dicke (von den Neuhausener Aluminiumwerken, 98—99°/o Aluminium enthal- tend) mit je ca. 30 1. kalt gesättigter Alaunlösung. Wirksame Aluminiumoberfläche pro Zelle 48 dm?; wirksame Bleioberfläche je ca. 45 dm?. Mittlerer Abstand der Aluminium- und Ph. Platten ca, lcm. Diese 2 Zellen wurden nun hintereinander geschaltet und mit Gleichstrom formiert. Bei 0,4 Amp. Strom- durchgang (Al.-Anode) war, nach Ablauf von 4 Stunden die Klemmenspannung erst auf 10 Volt gestiegen; bei Verstärkung des Stroms auf 2 Amp. stieg sie ım Verlaufe von 10 weiteren Minuten auf 63 Volt, um hier bei dieser Stromstärke konstant zu bleiben. Unmittelbar nachher wurden die bei nachstehend an- gegeben Klemmspannungen durchgehenden Stromstärken er- mittelt: Klemmenspannung Die Zellen durchfliessende Stromstärke in Amp 2 Volt 0,000205 Amp. 4% 0,00055 s De 0,00136 > Sr 0,00216 5 10 0,003 5 12 0,007 = er 0,011 bis 0,008 abnehmend ') Wiedemann Annalen, 1899. S. 406. — 179 — Klemmenspannung Die Zellen durchfliessende Stromstärke in Amp. 16 Volt 0,012 Amp. bis 0,009 abnehmend 20 0015.00 Y 2, 0:0aR 24 „ 0,018 ai 0.016 ° 26 „, 0.020. 228222:0.018 : Br 0026 2.2008 2 ie 0.028 , 33; 0.045%.2.....0.038 A, 0,060... 0055 a5 0,085 ER 0,105 96 N 0,23 N 60 ” 0,32 N 61 „ 0,5 n RE 0,6 £ 65 „ 0,8 - 65,2 n 1,0 ” Wie sehr die obigen Angaben für die Stromwerte abhängig sind von dem jeweiligen Zustand der Batterie zeigt das Ver- halten derselben nach zweitägiger Ruhe. 2 Volt nach '/s Minuten 0,02 Amp. n 2 N 0,012 ” 42; le 4 0,03 bis 0,04 Amp. En & 0,015 Amp. Genen 2 » 0,025 a 2 0,018 S Volt unmittelbar nach Einschalten 0,4 nach 2 Minuten 0,028 „ O2; | x 0.0357, 12 ” ” 1 ” 0,040 ” ri 1 o 0,060 2 r 0,040 „ 165° a! 0:080-77, 0,050 RE, 5 0,040 „ 15 3) ) 1 ” 0,080 ” EE : 0,050, 77 20 , „ 1 ” 0,080 „ — 10 — Nunmehr wurde durch die Batterie ein starker Strom gesandt: | Stromstärke Klemmenspannnng 2 Amp. nach 2,5 Minuten 60 Volt . 4 „625 „ SR 15 I 30 - 12 a 45 U P] 2 N 82 ” ” ” ” 5) ” sl ” 10 a 5 ” Unmittelbar darauf ergaben sich wieder folgende Werte für die durchgehenden Ströme bei variierter Klemmenspannung: Klemmenspannung Stromstärke in Amp. 2 Volt 0,00022 Amp. > ehe 0,00060 „ 63 0.000997 , I 0,00164 WE 0,00218 „, 2 0,0027 4 ES 0,003 ni 16.2 0,0055 18 „ 0.007,30, DDR 0,009 bis 0,008 Amp. 2302, 0,009 R Ale 0,016 Sure 0,02 Is 0,035 n Aa Boss AUS 0,075 n 502% Re, (0, ee 0,22 5 (Be 0,30 N 74 „ | 0,70 5 DEE 0,50 5 Bezüglich des im Moment des Einschaltens erfolgenden Stromstosses sei auf das früher gesagte verwiesen. — 181 — Leitet man nun durch 2 solche hintereinander geschaltete Zellen Wechselstrom, dessen Spannung 2X 22 Volt nicht über- steigt, so soll nach Gritz, indem jeweilen diejenige Hälfte einer Periode, für welche Aluminium Anode ist, ausfällt, ein inter- mittierender und pulsierender Gleichstrom entstehen, dessen Stromstärke die Hälfte beträgt von derjenigen des Wechsel- stroms (ohne Drosselwirkung). Zur Erzeugung der verschiedenen Spannungsabstufungen diente ein 3 K. W. Transformator (von Brovn und Boveri in Baden), der in entsprechender Weise kon- struiert, die verschiedensten Sekundärspannungen abzunehmen gestattete, ohne Spulenvertauschung. Die hauptsächlichsten Daten des Transformators sind: Primäre Spannung: 240 Volt. Periodenzahl . . 40 Primärdraht in 2 Abteilungen a je 154 Windungen. Sekundärdraht: 85 Windungen in 5 gleichen Abteilungen A je 17 Windungen. Stärke des Primärdrahtes: 3,5% /m nackt — 3 » >Sekundärdrahtes: ı 652/12. x 6,02/u — 42252 m” Widerstand des Primärdrahtes 2 X 0,12 — 0,24 Ohm ia der Sekundärspule == 0.0192} Länge des Primärdrahtes — 663:m R „ Sekundärdrahtes —= 36,48 m. Mittlere Länge einer primären Windung = 43 cm. A a „ sekundären „ — 43 „ lm = Mittlerer Kraftlinienlänge — ae Eisenvolumen 2 —. 5000 em.’ )) Wirksamer Eisenquerschnitt — 174520 Schaltung 1. Das Kupfer der Sekundärwickelung wird mit zur primären Stromleitung benutzt. — 12 — Eisengestell 1:5. erde gr I 68. Primär: 393 Windungen; 240 Volt; 400; 1 Windung = 0,61 Volt. Sekundär abnehmbare Spannungen: a und h 239 ” 145,9 5 a und k 39 ” 240,0 ” Zwischen e und d 17 Windungen = 10,4 Volt c und e 34 — a0 al cund +7 51 —e esund. 2 68 — 7419 c und.h 85 —,91,8 aund cc 154 = 199.9 a-und d. 171 — 1045 a und e 188 — HA. a und f 205 — en lee a und g 222 — 13595 Die Prüfung auf Wirkungsgrad und Spannungsabfall bei induktionsfreier Belastung ergab folgendes Resultat: Anzaplung Volt primär nn a Amp. primir Amp. secundär Wirkungsgrad c—h 240 530 475 134 60 88,6% eg =27.42.0%.39:07 7.108 . 90,3% e—f „31,0% 939,0 83 ; 87,8%) GE „ 21, 0 20, 0 9,1 „ 87,7°/o c—d . n 11,5 10,5 3,3 79,5°/o Aus den sageschehen Daten berechnen sich: 0,9. 240. 10° ne aa | Maximale Induktion 3 linien per cm? Maximale Kraftlinienzahl = 7634 X 45 = 343500. Bisenverluste: W = W, „ t Wi. = 798 + 215 = 101,3 Watt a) Hysteresis: W an ea — 0,00245. 7634” 40. 10 5000 — 19,8 Matt. N 0,5. 40. 7634\? __ b) Wirbelsströme: Wiouw = ( ’ 35. 10° ) . S000 — 215 Watt. Eisenverluste: ende 101,3 Watt Bemessen.n 80.07, Wattkomponente des Leerstroms = . — 0,42 Amp. berechnet so or: 0,33 „ gemessen Wattloser Erregerstrom =für® —= 7634 u = 2000 kon V2 u. 393 0,8. 7634. 114 — y2. 2000. 393 —= 0,63 Amp. (berechnet). — 0,422 -F O6 = 0, Amp. berechnet — 03er. Gemessen 03.0, — w_ 0,44 o—= 63 Leerstrom Schaltung Il. Gleich wie Schaltung I: nur wırd das Ende der Primär- spule A successive an die Anzapfungen d, e, f, g gelegt. Ende von A mit d verbunden; 376 prim. Wind; 1 Wind. = 0,64 Volt; zwischen du.h = 68 Wind = 43,5 Volt Ende von A mit e verbunden; 359 prım. Wind; 1 Wind. = 0,67 Volt; zwischen e u. h=51 Wind = 341 Yolt Ende von A mit f verbunden; 342 prim. Wind; 1 Wind. = 0,70 Volt; zwischen f u. h—= 34 Wind = 23,8 Volt Ende von A mit g verbunden; 325 prim. Wind; 1 Wind. = 0,74 Volt; zwischen guh = 17 Wind = 12,5 Volt Wirkungsgrad und Spannungsabfall bei diesen Schaltungen und bei induktionsfreier Belastung nehmen folgende Werte an: Volt primär Volt sekundär Anzapfungen icer Bolcelat leoe Venccıt Amp. primär Amp. sekundär Wirkungsgrad d—h 240 43,5 40,0 11,5 60 86,9°%/0 e h £ 34,0 32,3 9,0 e S9,7°/0 f—h s 24,0 23,0 6,5 e 84,6°/6 s—h e 125 12,0 3,8 S 78,9°/o Schaltung II. Sekundärspule und Primärspule sind elektrisch ganz ge- trennt. ER RE. BERUNLTLTLTU NEE — 15 — Primär 308 Windungen: 240 Volt; 1 Windung = 0,78 Volt. Induktion: 9742 Kraftlinien per cm?; Gesammtkraftlinien- zahl: 438390. Leerstrom gemessen — 1,45 Amp. Eisenverluste gemessen — 125 Watt 125 Wattkomponente —= 59m = 09,52 Amp. 240 IE Se == Se Wattlose Komponente = \ 145° — 0,52? = 135 Amp. cos 2 == 0,36 @ > 68° _ Magnetischer Widerstand: 0,4. 3,14. 308. 1,35 2 TBRSONE 114 u 01: b) w 15 2000 0,0013 Sekundär abnehmbare Spannungen: a) N = — 0,0016 Zwischen e und d 17 Windungen — 13,3 Volt S ce und e 34 S =2268 5, = und T 51 E — Un he er = ce und g 65 5 ln h ce und h 55 5 bu x aundb 154 r — 20% Wirkungsgrad und Spannungsabfall: Volt sekundär leer belagteg MP. Primär Amp. sekundär Wirkungsgrad Anzaplung Volt primär c—h 20 655 570 1783 60 82,4% dh 53040317 > 86,3°/o eh 340.0. 87.0.-.:108 i 39,8%) f—h a 20 De : 83,9%) eh 27,21300.19.55 5,42 x 74,40) Nachtrag: Wird die Zahl der primären Erregerwindungen durch Verbindung von A mit den entsprechenden Anzapflungen von © (mit Weglassung von B und Entnahme des Sekundär- stromes an ©) noch mehr herabgesetzt, so wachsen mit steigen- der Induktion, Leerstrom, Eisenverluste und Spannungsabfall rasch an: Bern. Mitteil. 1902. No. 1542. Er Induk- Eisen- Kupfer-- Gesamt- Leer- scheinbare Erregerwind, tion verlust verlust verlust strom Want Bu 7 Watt Watt Watt Amp. Watt A-+B--C: 393 7634 80 0,14 so 0,75 180 0,44 63° Ä-+B : 308 9742. 1245 705 125 1,45 348 0,36 68° Ahe : 15448512552 2883 1,7 25 36 S64 026 7 : 1544-68 13520 272 3,0 275 4,5 52H : 154451 14634 34 6,4 350 7,0 16850 021 78% : 154+34 15957 459 15,5 179 2lel6> 2683 0,18 809 Schaltung IV. ee Gh Die Sekundärspule wird neben die beiden Hälften der Primärspule gelegt, statt zwischen dieselben. Bei unbelasteter Sekundärspule gilt das für Schaltung III gesagte. Bei Belastung wird indessen die Kraftlinienstreuung der Spulenanordnung entsprechend sehr gross; der Sehundär- spule kann die normale Leistung von 3 KW. überhaupt nicht mehr entnommen werden, ihre maxımale Leistung bei 240 Volt primär beträgt noch 1200 Watt. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung in der Primärspule bleibt dauernd eine grosse. Es seien ın folgendem einige Werte über Spannungs- abfall u. s. w. für den Fall nahezu induktionsfreier Belastung angegeben: Es sollen bedeuten: Primäre Spannung — VW; Stromstärke = A, scheinbare Watt == W,j, wirkliche Wis Phasenverschiebung zwischen primärem Strom und. primärer Spannung — er Leitungsfaktor — 608 91 Sekundäre Spannung —.'Va Stromstärke IE Watt — le. VER WW. MW. 0009,96 A, 240 145 348 125 036 68 61 0 230: 2,8 640 475 074 42°59 58 2a 013 05502.0,0 20257 7,0 2393.23.7.28802.:100220.80 °37°37...90 230 4,8 1104 900 0,82 35° 56 14,0 230: 5.9.1357:11060: 0,78: 39%:53% 17,0 2302277. 37.21.13838°:0,76. 41° 497225 230 8,7 2001 1450 0,72 44° 45 28 230 : 9,2 2116 1425 0,67 47° 43. 30 226.1.1.9.2689:1375 0.51 59°. 285740 230 13.0.2990: 1237 0,41. 66° 23 45 230 13,3 3059 1000 0,33 71° 16,547 230..13.5 3105. 920 0,30: 732137 48 230.13,5 3105 8320 026 75° 11.49 230 14,0 3220 637 0,20 79°. 6,550 230 14,2 3266 412 0,13 8° 2 51 230 14,5 3335 318 0,095 85° — 52 Wie man sieht reicht die zur Erzeugung des normalen Stromes von 60 A bei Kurzschluss in der Sekundärspule nicht einmal aus. 338 355 490 720 S60 1060 1180 1200 1030 970 750 615 525 BB) 92 Wirkungsgrad ZN Spannungs- abfall 3°/o 7%/o 7°/o 8°%/o 13°/o 20°/o 26°/o 29°/o Maximum 54/0 62°%/o 73°/0 79° /o 82°/o 89%o 97% primäre Spannung von 240 Volt Schaltung V. Imno:& de Jg Die zweite Hälfte der Primärspule wird herausgenommen (die Weglassung derselben ist notwendig wegen Platzmangel) mit Ü in Serie geschaltet und bei a u. k an die Spannung von 240 Volt gelegt. Zwischen A u. C wird eine Hochspannungs- spule D eingeschoben. Dieselbe besteht aus 3 durch 1 em dicke Scheidewände getrennten Abteilungen. Die Daten dieser selbst- gefertigten Spule sind: Draktstärke: 072/12 = 03852/7 Windungszahl der ersten Abteilung: 622 (Im); Widerstand der ersten Abteilung: 13.6 Ohm. Windungszahl der zweiten Abteilung: 5854 (mn); Widerstand der zweiten Abteilung: 12.0 Ohm. Windungszahl der. dritten Abteilung: 561 (no); Widerstand der dritten Abteilung: 9.3 Ohm. (Gesamtwindungszahl: 1767; Gesamtwiderstand: 34.9 Ohm. (resamtdrahtlänge: 772 m. Mittlere Länge einer Windung: 43.7 cm. Es ergibt sich mithin: 240 Primäre Windungszahl: 154 + 85 = 239; 1 Windung = 93, 1Volt Maximale Induktion: . 0.9.240 10° 02 7722402239:45 Maximale Kraftlinienzahl — 564840 Eisenverluste: — 12552 1.6 — a) Hysteresis Way: = «a3 wo Vol. 10 1.6 = — 0. 00245 - 12552 - 40 - 10 - 5000 177-1 Watt r: f /0.5-40-12552\ _. b) Wirbelströme: We — \ 35.106 ) . 5000 — 50.4 Watt Gesamtverlust in Eisen: 177.1 + 50.4 = 227.5 berechnet =- 225.0 gemessen | 995 225 Se Wattecomponente des Leerstromes = ass 0.935 Amp. gemessen 22.5 » » » — Im 0.945 >» berechnet 240 Wattloser Erregerstrom: Mr =12552 1000 0,873 m 0,8 - 12552 -- 114 ® EB Bose Sau a Leerstrom — 3.3? — 0,9% —= 3.4 Amp. berechnet — 836 » gemessen ee, 96 sy_a4” 0.26 DAN Sekundär abnehmbare Spannungen: Zwischen: cu.d 17 Windungen = 17 Volt » 2 eU.8 34 » Ser NE » Gurt 51 » a » eur 65 » = 268. => >» each 55 > — » Fra Eich 1A > —.l5Er > » = kusm. 622° > ee » "Dun. 084 >» —r.584) > » Te nun Do » —+ 56L 1 > » > use 1767 » —: 700% > Yı 240 238 236 230 226 240 240 240 240 236 232 240 240 240 238 236 230 298 u 240 238 234 238 236 236 230 230 240 234 236 240 236 240 190 Die Prüfung auf Wirkungsgrad und Spannungsahfall ergab folgendes Resultat: hı 3.6 9.0 12.4 16.0 19.5 W: Ss 64 2142 2926 3650 4407 S64 1548 2544 3072 3658 4408 S64 1560 1992 2428 29536 33ol 3830 Ss64 1476 1775 2142 2454 2714 2944 3650 564 1193 1392 1560 1794 2160 Wıw "295 1500 2050 2612 3075 3579 225 1162 1637 2050 2487 2750 3175 998 Zöue 1169 1450 1750 2050 2300 2550 3075 JR 225 585 1062 1157 1462 1750 6054 1 0.26 0.83 0.86 0.54 Da 0.26 0.51 0.81 0.85 0.84 0.81 0.26 0.75 0.82 0.54 0.85 0.51 0.33 0.26 0.79 0.52 0.82 0.54 0.55 0.57 0.54 0.26 0.74 0.76 0.76 0.82 0.51 Yı 740 340 300 330 14° 36° 36° 390 39° 36° 740 420 320 320 36° 340 749 380 350 350 330 320 300 740 420 40 409 36° Ve A: 5 0 Ss0 20 18 30 74 40 67 20 66 0 64 20 62 30 60 40 57 0 53) 60 20:2 0 49 20 48 30 47 40 45 50 43 60 41.5 70 339 0 32 30 31.5. 40 31 50 30.9. 2.60 30 vo 29 s0 27 100 16:.8.=.0 16.5 40 16 50 16 60 15 Ss) 14.5 100 Wwz 1200 1760 2260 2701 3200 0 I50 1375 1175 2150 2450 2805 0 915 1175 1450 1730 1990 2220 2620 0 606 750 918 1148 1400 N 0°/o S6°/o S6°/o 89%/o 94°/o 0° S0°/0 86°/o 56°/o SS” /o 90°%/o 0°%o 82%0 84/0 S6°/o 87°/o S9%/o I0°/o 0°/o 79°/o S1°/o 83/0 85° 87 °/o SS%/o 59°/o 0°%o 68°/o 71°/o 77%o 79°/o S0°/o Spannungs- abfall °/o 4°/o 6°%0 14°/o 19°%o 30/0 6° 9% 14°/0 17°/o 3% Do 7°/o 11°/o 15°/o 15°/o — IA1 — Die Spannung der Spule D wurde mit einem Multicellular- voltmeter (von White ın Glasgow) nach Lord Kelvin zu 1773 Volt gemessen (1767 berechnet). Spannungsabfall und Wirkungsgrad waren hier analog denjenigen in.der Niederspannungsspule. Bei voller Belastung (ca. 1600 Volt und 2 Amp.) ist die Bean- spruchung des Drahtes für ununterbrochenen Betrieb eine hohe (ea. 5 Amp. pro 1”/m?), bei intermittierendem Betriebe ist sie jedoch erfahrungsgemäss vollkommen zulässig. Die Schaltung V ist somit sehr zweckmässig. Der Spannungsabfall von maxi- mal 19°/0 fällt nicht in Betracht gegenüber der Vielseitigkeit der Benutzung des Transformators, indem Hochspannung und Nieder- spannung gleichzeitig, in vielen Abstufungen entnommen werden können. Es sei zum Schlusse noch erwähnt. dass die zu Er- zeugung des sekundären Kurzschlussstromes von 60 A (bei 55 Windungen), notwendige primäre Spannung 140 Volt beträgt, woraus sich ın bekannter Weise der bei verschiedenen Be- lastungen eintretende Spannungsabfall auch graphisch ermitteln liesse. Bei diesem Anlass seı noch bemerkt, dass bei obigem Trans- formator die Erscheinung emes Stromstosses beim Einschalten manchmal sehr auffällig beobachtet wurde. Diese Erscheinung ist bekanntlich unabhängig von der Belastung, tritt im magneti- sierenden Stromkreis ein ohne zu dem andern durchzudringen; der Stromstoss erzeugt keine entsprechende Welle magnetischer Kraft, eine Lampe im Sekundärkreis leuchtet immer gleich hell, ob der Stoss primär eintritt oder nicht. Die Erscheinung erklärt sich aus dem remanenten Magnetismus. Massgebend für das Auf- treten des Vorganges ist der Zustand in welchem das Eisen hinter- lassen wurde. War das Eisen vollkommen unmagnetisch, so erzeugt schon der erste schwache Strom die erforderliche gegenelectro- motorische Kraft. Muss dagegen der eintretende Strom bestehen- den Magnetismus zuerst umkehren, so kann ein starker Strom- stoss erfolgen (vgl. Feldmann, Transformatoren). In den Primär- kreis des Transformators wurde eine Glühlampe (von 20 Volt und 0,5 Amp.) eingeschaltet, welche durch den Leerstrom (0,75 Amp.) zum beinahe normalen Glühen kam. Wurde nun mit einem besonders rasch wirkenden Ausschalter in schneller Folge der Strom geöffnet und geschlossen, so leuchtete die Lampe häufig plötzlich in so greller Weissglut, dass sie nach wenigen Minu- ten ganz geschwärzt war. Eın an Stelle der Glühlampe einge- schalteter Hitzdrahtampermeter (0 bis 2.5 Amp.) erwies sich als zu träg, um den sehr kurz dauernden Strom anzuzeigen, doch deutete die aussergewöhnliche Schnelligkeit der Zeigerbewegung beim Ausschlag auf 1.5 bis 1.9 Amp., an, dass der wirkliche Strom viel grösser war. Viel schneller aber reagierte ein auf 20 Amp. eingestellter sehr präzıs wırkender automatischer Doppelausschalter von Hartmann und Braun, der beim plötzlichen Einschalten des unbelasteten Transformators einige Male heraus- fiel, wenn auch allerdings selten mit Rücksicht auf die grosse Zahl diesbezüglicher Versuche. Ziemlich regelmässig aber fiel der Automat (20 Amp.) heraus beim raschen Einschalten bei höherer Induktion (12552 Kraftlinien pro cm? und 3,6 Amp. Leerstrom, vgl. Schaltung V). Mit Benutzung des soeben beschriebenen Transformators in Schaltung I wurde durch die beiden oben erwähnten, ın Serie geschaltenen Blei-Aluminiumzellen Wechselstrom von 20 Volt Spannung u. 40 Perioden durchgesendet. Ein in Serie ein- geschalteter Gleichstrom-Deprez-Voltmeter zeigte 1 Volt an, eın Hitzdrahtvoltmeter 20 Volt. N A ,' = Hitzdrahtampermeter W = Wechselstrom Asa?” —= Deprez-Ampermeter w — Widerstand Hitzdrahtampermeter. Deprez-Ampermeter. 4 Amp. 0.2 Amp. Seh 1.8... 9.5 2 B 5 Mit Hilfe einer zweipoligen Gleichstrom-W echselstromum- formermaschine wurde die Periodenzahl herabgesetzt. Bei gleicher Versuchsanordnung ergaben sich die Werte: pr N Hitzdrahtampermeter Deprez-Ampermeter Tourenzahl Periodenzahl 5 Amp. 2 Amp. 600 10, LOR=7, 3.6 „ 700 Ga 2x8 0.2 bis 0.24 Amp. 0.08 b1s 0.16 Amp. 120 DES Die Gleichstromampermeterangaben änderten sich im letzten Fall ım Takt mit den Perioden zwischen 0.08 und 0.16 Amp. Nunmehr wurden 4 Zellen nach dem emgangs erwähnten von Gra&tz angegebenen Schema zur Ausnutzung und Parallel- schaltung‘ beider Stromimpulse einer Periode geschaltet. Die 4 Zellen waren untereinander gleich. Jede enthielt 2 parallel geschaltete Bleiplatten (Wirksame Oberfläche: 23 dm?) und 3 pa- rallel geschaltete Aluminiumplatten (Wirksame Oberfläche: 24 dm?) und ca. 301. Alaunlösung. Plattenabstand: 1 em. Die ın folgen- den Tabellen für den Wechselstromkreis der Batterie ange- gebenen Wattmetermessungen wurden ausgeführt mit einem direkt zeigenden Präcisionswattmeter von Sıemens und Halske (vel. Etz. 1899. Heft 37 pag. 665). Die Wattangaben ım Gleichstrom- kreis-sind das Produkt aus Volt x Amp., nachdem zuvor an einer- grösseren Zahl von Stichproben eine genügende Ueberemstimmung dieser Produkte mit den Angaben eines eingeschalteten Watt- meters festgestellt war. Die Angaben für Stromstärken und Spannung im Wechselstromkreise beziehen sich auf Hitzdraht- instrumente von Hartmann und Braun; für den Gleichstromkreis dienten 2 Ampermeter und ein Voltmeter nach Deprez-d’Arsonval von H.u. B.:; die Angaben der Ampermeter waren zuvor verglichen worden mit den Angaben des im Wechselstromkreise benutzten Präcisionswattmeters, dessen Stromspule von dem zu messenden Strome durchflossen wurde, während die Spannungsspule an eine genau gemessene Akkumulatorenspannung angelegt war. Es sei hier noch besonders erwähnt, dass natürlich bei diesen pulsierenden Gleichströmen die Angaben der Gleichstromampermeter mit Per- manentmagneten, sowie auch die des als Ampermeter geschalteten Wattmeters kleiner sind als die der Hitzdrahtampermeter oder der Dynamometer, indem die ersteren die mittleren Werte der Stromstärken angeben, die letzteren die Mittelwerte der Quadrate, d. h. die angezeigte Stromstärke ist im letzteren Falle die Quadrat- wurzel aus den Mittelwerten der Quadrate der einzelnen Strom- stärken. Bern. Mitteil. 1902. No. 1543. eig Es bedeuten: GVE Gleichstromspannung in Volt GA: Gleiehstromstromstärke in Amp. GW: Gleiehstrom-W att WV: Wechselstrom -Volt WA: > -Amper WW”: > -Watt wirkliche, gemessen mit Wattmeter WW’: > -Watt scheinbare. Il. Messreihe. Gleichstromkreis offen, nur mit “Voltmeter belastet: WwV WA WW ww" (GV cos @ 10 5.6 60 15 3.2 0.25 20 anfangs: 17.0 340 125 16.0 0.37 » nach 10 Sec.: 9.3 156 15 » 0.40 » > 2..Mın 22.90 180 45 » 0.25 » >32. 10,8 9.0 180 40 » 0.22 Nunmehr zurück auf den niederen Spannungswert. 10 4.3 43 6.5 3.2 0.15 30 anfangs: 15.2 456 2% 26 0.52 >. mach. -1»Mim.: 4.1 423 163 >» 0.39 » DIE D » 13.6 408 137 » 0.33 > » 3u.D » 13.6 408 137 » » 41 anfangs: 28 1148 640 38 0.55 » nach 1 Min.: 20.5 Ss40 435 » 0.52 » ERDE 18.5 rl 370 » 0.48 » » 15) » 16.7 685 285 > 0.41 52 anfangs: 36 1572 1150 43 0.61 >») nach, 1Min»: 26 1352 SOO > 0.59 > SD 24 1248 670 » 0.53 > ES ENE 22 1144 550 » 0.48 Zurück auf: 40 anfangs: 13.5 540 260 34 0.48 >» nach 2=Min.= 4137 548 265 » 0.48 29 anfangs: 8.6 249 65 25 0.26 >, Dach22,Min.2789 258 70 >» 0.27 20 5.6 112 12.5 14 0.11 10 2.8 28 2.5 3.0 0.09 — 19 — Bemerkenswert ist die Abnahme der scheinbaren und wirk- lichen Watt gegenüber den Anfangswerten, beim Rückgang von höheren Spannungen zu niederen; das cos g erreicht für die niedrigsten Spannungen die kleinsten Werte. Bisher wurde Wechselstrom von 40 Perioden benutzt; die folgende Messreihe zeigt das Verhalten der Zellen gegenüber Wechselstrom anderer Periodenzahl. Der Wechselstrom wurde an den Schleifringen einer 2-poligen Umformermaschine abgenommen, deren Gleich- stromseite mit 120 Volt Gleichstrom gespiesen wurde. Die Tourenzahl der Maschine wurde durch entsprechende Regulierung der Gleichstromspannung und des Nebenschlusses auf das ge- wünschte Mass gebracht; der abgenommene Wechselstrom pas- sierte einen 1 KW. Transformator mit veränderlichen Sekundär- spulen, zum Zwecke der Erzeugung der nötigen Spannung. II. Messreihe. WV WA WW’ WW“ Periodenzahl GV COS 9 20 3.D 110 3D 40 14 0.32 » 3.0 60 6. 22 — 0.10 » 2.5 50 — 16 — n— » 1.7 3% 7 18% — 0.10 » 2 32 3.0 10 — 0.10 26 4.3 112 15.2 25 — 0.15 30 3.5 105 15.0 IE 25 0.14 40 6.0 240 0 19 36 0.21 » 9.0 200 43 16 > 0.22 III. Messreihe. Ladung von 7 hinteremander geschalteter Akkumulatoren (System Pollak) mit dem Gleichstrom der Batterie. (Wechsel- strom 40 ) Kapazität der Akkumulatoren 22 A.-St. Ausser dem Widerstand der ziemlich langen Zuleitung war kem Vor- schaltwiderstand im Ladekreis der Akkumulatoren. Ze UST 29 710,67 307..165 184 40 73.6 449%: 0.59 1040 » >» 9:6...2078::2 1922184 ..3.0 255.2.8369/0 0.54 10%46 » » 962 7278. 142,2.18.22.2.6. 47.3. 33% 0:51 30752: 3,3:> 9:62 72982 1422.718.1:2 2.5 45.3. .3220.2031 — 16 — Temperatursteigerung der Alaunlösung 0.20° ©. gemessen, 0.26° C, berechnet. Ladung der gleichen Batterie mıt einem Vorschaltwiderstand von ca. 1.4 Ohm. ZT 155Min.4] 15.3: 627. 360 .25 3.8.95. 27 90:2 292. C A057 2210» >» 15,3% 627°. 3707 253° 8:7. 2.92726), BCE 2228» » 15.5: 636. 43072954 377792295: 2042207 2440» » 16.8 689. 4507 254 3.65 93 21% 208227066 2h55 >» '»- 17.8 730:.465. 251. 35.88 19% 2222002 3240.» :» 19,4 .:795 - 525.249 335.827 16%: 2383282008 4400» :» 199.815 550 25.0. 33 827 15%) 239707067 4415 » ) 861. 575: 25.0. 3.1. 78..14%6 1226282067 AD 904 610. 25.02.93 72: 12% 26427067 G DD — Beim Unterbruch des Gleichstroms: 41554M12.42214:8,621325. 7332.20 VE ae Temperaturerhöhung der Alaunlösung gefunden: 7.2° C. je) io) oO > >» > berechnet: 8.3 C., ohne Rücksicht auf Verluste durch Strahlung und Leitung und anderweitige Stromarbeit. Während des dreistündigen Stromdurchgangs ergab sich somit bei abnehmender Drosselwirkung ein dauerndes Anwachsen der wahren und scheinbaren Watt, bei annähernd konstant bleibendem cos g. Im Weiteren wurde der Gleichstromkreis verschiedenen Belastungen ausgesetzt mit Hilfe eines Metallrheostaten, be- stehend aus 10 2 ”/„ Nickelindrahtspiralen von je 1 Ohm, die einzeln oder gruppenweise hintereinander oder parallel geschaltet werden konnten, sodass der Widerstand sich verändern liess von 10 bis 'Yıo Ohm in allen Abstufungen. — 197 — IV. Messreihe. WY WA WW’ ww“ GV GA GW Wirkungsgrad cos y 10 3.0 30 3 32 0 0 - 0.10 230 9:9 110 15 14.3 0 0 — 0.14 > 71 142 60 I 1.0 ) 199/6.52.042 79.150 1D 1.9 1.0:.7233.82 2180%* 050 > 1.63 5 152 fe) za 97 72139231602 056 > 5.0 160 ss 6.6 2.201 .14152 22122/0:5520:55 > 83 2.2166 107 5.9 Se ee ee » 94:,2188525130 4.8 5.3 22421995069 > 12.2. 244 195 4.1 9:072:36.95.519623 0.79 » 14.5 296 255 32.105222 4%0773169 77087 » 16.5 330 295 3.4 12,58:43.05215962. 089 > 24 x 480 435 5013230 23 5% 0.90 30 9.045.270 40 25 0 0 = 0.15 la 233h..-1805118,8950 20072 > 5%9.32.345 155 17.6 22°,88.1 2220/0920535 12.0 360 193 7.5 2402er 05 12.17.9363 198 =: 16,8 2:65,.436: 72206 054 12:3 2.2369 210 16.3 Or 439 22386 20.50 > 12,6:.2.378 2307.2,15:8 Se. 2A on 20.01 > 134 402 260. =:15.0 4.1 62° 24% 0.64 > 14.8 444 275.144 Sale 26%0-2062 > 16.0 480 325 12.4 12 892. *272/o ° ‚0.68 27203, 994 Sa aA 28 20:56 28 30 Ss40 730631025 327054, 214 29% 0.87 27 40. 1080 990 SEE 2 N 221057220 27 45: 1215, *.1150 5.0 292 2992.20. .0.94 27 52 1404 1350 6.0 36> 72216 162/0%,.:0.95 42 175 139 400 27 3 sl 22%) 0.54 » 15.5 790 440 26 4 104 24% 055 > 20 Ss40 40 25.8 3.2.1834 272 /0”5..0,38 > 25 1025 595 25 7.027179 29% 0.58 41.5 29 1204 IOO 24 11.8228) 31°/o 0.74 +41 40 1640 1238 21 192..340327E327/8.12073 39 48 18572 1550 17 28°. 476 181% 0.88 WA WW 57 2166 6222318 54.5 2387 19:..260 2108 0-2 in. | 18.5 944 | 165 892 >» 1122 3 1173 5 1975 97 1350 30 1500 39 1911 19 2254 59:2. .2655 2.1.1333 28 1764 29° 1897 31 1953 33 . 2046 a 0) 40 2480 49 2842 63 83465 702. 3500 — 198 WW“ 18575 2100 2250 2500 500 440 365 650 687 SO YO 1100 1375 1950 2315 GV 15 13.5 3 11 Bio) 40 43 3D 1000 1320 1370 1500 1612 1700 2075 2300 3000 3437 10.3 12.8 18.0 32.0 49.0 58.0 0 194 242 315 428 512 654 1088 1372 1392 Wirkungs- grad 28° /o 27°/o 26°%0 30°/o 33°/o 47°/o 46°/o 40°/o 605 % 0.87 0.91 0.94 0.95 0.46 0.46 0.43 0.58 0.59 0.685 0.70 0.73 0.72 0.56 0.90 ZU ” DE Be | IS ÄSIAÄa -1]1 .- De Bei Betrachtung obiger Tabellen ergeben sich folgende (sesetzmässigkeiten: I ID Im Wechselstromkreise Spannung eine Phasenverschiebung, welche bei Leerlauf besteht zwischen Strom und (d. h. unbelastetem Gleichstromkreise) am grössten ist und bei steigender Gleichstrombelastung immer mehr zurückgeht. Der maximale Wirkungsgrad nimmt bis zu einem ge- wissen Grade mit steigender Wechselstromspannung zu; — 19 — in unserm Fall wird er erreicht bei einem äussern Nutz- widerstand von ca. 0.5 Ohm (cos = 0.8). Bemerkenswert ist die Veränderung im Aussehen der Alu- miniumbleche nach länger andauerndem Betriebe beı starker Belastung im Gleichstromkreise. An zahlreichen Stellen wachsen allmählich eylindrische Säulchen (bis 7 ”/„n hoch und 1"/„. dick) einer weisslich-graulichen Verbindung senkrecht aus den Blechen heraus. . Diese Auswüchse haben eine täuschende Ähnlichkeit mit den bekannten Thonerdeausblühungen, die sich ım Verlaufe von wenigen Minuten aus Aluminiumblechen unter Einwirkung des Luftsauerstoffs erheben, nach Verletzung der schützenden Oxyd- schicht durch geeignete Behandlung mit Natronlauge und Queck- silber. Nach den Untersuchungen von K. Norden (Zeitschrift für Elektrochemie, 1899, p. 199) scheint es kaum zweifelhaft, dass auch hier die eylindrischen Säulchen und fadenförmigen (Gebilde vorherrschend aus Al2 O3 bestehen. Je stärker eine Batterie ım Verhältnis zu ihrer Grösse beansprucht wird, d.h. je grösser die Stromdichte ıst, desto reichlicher bilden sich diese Auswüchse, deren Entstehung keine günstige Prognose gestattet, bezüglich der Haltbarkeit der Zellen, bei andauernder stärkerer Belastung. Nach mehrtägiger Beanspruchung der Batterie ergaben wiederholte Messungen über Leerlaufsströme abermals andere Resultate als früher: WV WA WW WWw GA 0054 9.6 2.2 21 5) 0 0.24 19 4.9 33 22.5 » 0.24 30 7.0 210 52.5 » 0.25 40 10.0 400 105 > 0.26 0) 13.5 675 250 » 0.37 6 Stunden später: 10 2.2 22 5 > 0.25 20 3.0 100 25 > 0.25 30 | 213 53 » 0.26 40 10.0 400 108 » 0.27 Sl 14.4 134 310 » 0.42 200 — Nach sechswöchentlicher Ruhe: WV WA WW; 10 2 23 19.4 24 anfangs; 465 19.0 14.4 nach 1 Minute: 273 20.0 13.9 nach 2 Minuten; 273 19.6 11:3 nach 5 Mmuten;' 221 30.0 23.2 anfangs; 696 > 13.7 nach 1 Minute; 411 40.0 33 anfangs; 1320 22 nach 1 Minute: Ss0 15.5 nach 2 Minuten; 632 0 32 anfangs; 1600 21 nach 2 Minuten; 1050 Zurück auf: 40 12 4850 30 6.7 201 20 4.2 S4 0) 1.9 19 Mehrstündige Einschaltung der WV WA WW 42 1a a 466 41.5 109 452 > 11.0 456 » 11.0 456 > 11.0 456 42 11.3 475 WWv 110 145 160 180 185 210 Im Fernern erschien &s 0084 0.24 0.32 0.35 0.39 0.41 0.44 von Interesse WWw GA 0084 16.7 0° 0.75 450 0.97 200 > 0.75 200 > 0.72 140 » 0.63 520 0.75 280 0.68 1100 0.33 550 » 0.74 450 » 0.71 1400 » 0.57 SOO » 0.76 30 > 0.73 50 0.40 29 0.34 A » 0.37 Batterie zur Bestimmung der Anderung des Leerlaufverlustes ergaben: Zeit lin. 3645 >» AD 4h45 » 503 .-> 603 >» Temp. der Zellen 19:8 @E 16.2°°C 16.6° C 73228 LI 18.6° © das Verhalten der Batterie zu prüfen, wenn die Elektrodenoberfläche auf die Hälfte reduziert würde. Ohne daher den Plattenabstand zu verändern wurde je eine Aluminimmplatte und Bleiplatte pro Zelle abge- schaltet; die wirksame Al-Oberfläche betrug nunmehr 12 dm?; die Bleifläche 11 dm? — 201 — V. Messreihe. Gleichstromkreis unbelastet: WV WA WW WW GN GA GW Wirk.Grad 0084 10.6 1.9 20 6 = — — — 0.30 2.6 1.073.864 .,,.2705.513 = = ar 0.32 32 5.0 160 60 26 — — — NZ 44 Ba aa on 38 > ie. ee 0.33 56: 135: 756 ....460. 44 = = Br 0.61 Gleichstromkreis belastet: 41 12.0.2521 365. 27.5 2.9 198.229 0.70 43 13.2. . 568 395° 26.8 3.5 93 24°/o 0.69 +4 E02 410 >.25 43 108 27/0 0.71 > 16.0 656 460 24 6.5 156 34°/o 0.70 40 irn 650 540... 28 Sera 35°/o 0.79 > 20 SO00 650 22 11.07 2242 37/o 0.51 39 25 75 S70 19 1207. 37°/o 0.859 > 365, 14047 1387 16.5 30 495 3690 0.98 35 42 1596 1975 14.8.".35 518 33°/o 0.99 > 20221862 3 17.79... 12.52 241 513 299/o 0.96 > 1976 1850 12.0 44 528 29%o 0.94 36 6222196: 21257710 50 500 23°%/0 0.97 35 63 2205 2200 9) 52 468 21°/o 0.99 32 9:82.5314 220%.180 1.9 34 15°/o 0.70 > 10.5 336 20: LGA 2.3 40 16°/0 0.74 » 11.3. 362 24022163 2,8 46 17°/o 0.75 > 12.8. 409 3307.-15.3 4.0 61.2 18% 0.80 > 18.0. 2.576 465 140 7.320.105 22°/0 0.81 > 23.0 736 630 1 a N oe ie 22% 0.85 31 29 89 175 or 173 220/0 0.56 > 32 932 S30 90 20 150 22°/o 0.84 >» 37 1147 1010 7.0. 26 182 15°/o 0.58 > 4 1364 1175 3.7 832 152 16°/o 0.57 Die an früherer Stelle erwähnte Beobachtung, dass beı länger dauernder Belastung die Drosselwirkung abnimmt und bei sinkendem Nutzeffekt im Gleichstromkreise die wahren und Bern. Mitteil. 1902. No. 1544. scheinbaren Watt im Wechselstromkreise immer zunehmen, findet sich ebenfalls deutlich bestätigt durch nachfolgende Messungen mit einer kleinen Umformerbatterie, die ursprünglich zur Ladung einer 7-zelligen Akkumulatorenbatterie von 22 A. St. Kapazität dienen sollte, sich aber dazu als unbrauchbar erwies. Jede der 4 Zellen der kleinen Batterie enthielt 4 parallel ge- schaltete Aluminiumbleche und 4 parallel geschaltete Bleiplatten; wırksame Al-Oberfläche einer Zelle = 8.4 dm?: wirksame Blei- oberfläche 8 dm?; Abstand der Platten ca. 1 em; Inhalt einer Zelle: 2.5 Liter Alaunlösung. VI. Messreihe. Ladung von 7 Akkumulatoren. ae a a a 30 18 540 400 180 2.6 47 12%) 0.74 20°, C. ®4 Mm > 21.5 645 500 17.8 2.0 36 7°0:0.77.28. O9 » 247 720:550717.8° 2:07.86 6°/0:0.79 27.5. C 2912 > 27.5. 825.660. 17.2 1.9833 50i0..0.80.33.. CIE » 302° 290077202 17.07 56727 3%/0 0.80.3927, 3202 VII. Messreihe. Ladung eines Akkumulators mit ca. 1 Ohm Vorschalt- widerstand. 21 9.2..2.67.,29,219,.2.0, 20 0: 0.37 2.37C 252 21.2 80 170 150 64 33 21 14% 0.8 — 1:50 » 21.0.10:87226° 180. .6.1°73.1.1951190.0.807 2 1,52 » >». 12.5 262 220. 5.8 3.0 17.4 8% 0.84 26% °C. 12553 >» 14.0 294 245 5. 16.8 . 7°/0. 0.83 28° 'C.2200> [0,0 DD m nt > ,, 16.0.3836, 290.) 5.7228 15:97 62/6.0.58. 30° 7 C 727 20.5 16.5 338 295 57 2.6 148 5% 0.88 335%C. 2271425 20.5 17.5 364 305 7 2.6 14.8 4.8°%/0 .0.34 36° 0.722792 20:7. 19%.7393. 323 7 2.6 14.8 4.6°/ 0.83 39°. C. 2626 » 207 20 414 350 727 15.3 44% 0.84 41.5°C. 2631 >» SUSI OL SL 21.0 21.5 451 370 9 2.8 16.5 4.4°/o 0.82 44° C. 2656 » 20.3 22 457 380 9 27 15.9 42%. 0.83 46° EC. 21332 210 3 48 3% 8 2.7 15.6 4.0% 0.32 50°C. 27485 Hugo Kronecker. Haller Redivivus. Am 17. Juli 1777, einige Monate vor dem Tode des grossen Berner Gelehrten — Albrecht von Haller — besuchte ıhn Kaiser Joseph 1I. in seiner Wohnung an der Inselgasse zu Bern. Über diesen Besuch findet sich in einem Wiener Briefe vom 30. Januar 1779 folgender Bericht: „Haller, niedergedrückt von Alter und Krankheit, lebte ganz auf bei dem Anblicke Josephs. Er hatte Gegenwart des Geistes, Stärke, Heiterkeit und erweckte durch seine lebhafte Unterhaltung bei dem Monarchen ebensoviel Verwunderung als Vergnügen. Er war mitten ın seiner Arbeit, als der Kaiser ın sein bescheidenes Zimmer trat. Haller sprach zuerst und sagte: Gnädiger Herr! Sie erweisen einem sterbenden Greise zu viel Ehre. Der Kaiser, der ıhn ganz mit Papieren und Büchern umgeben sah, fragte gleich, ob ıhn die Arbeit nicht zu sehr ermüde, und Haller erwiderte, die Arbeit sei sein einziges Labsal, dadurch allein vergesse er zuweilen seine Gebrechen. „Dichten Sie noch?* fuhr der Kaiser fort. „Das war meine Jugend- sünde!“ antwortete Haller, „Herr von Voltaire allein macht Verse im achtzigsten Jahr.“ „Nun wandte sich das Gespräch auf medicinische Gegen- stände, auf praktische Fälle, auf Van Swieten und de Haen; Haller war sehr gerecht gegen die Verdienste dieser grossen Männer, vergass aber doch nicht ganz seiner mit denselben gehabten Streitigkeiten. Sonach kam der Kaiser auf Göttingen, auf die dortige Societät der Wissenschaften und ihre Einrichtung, endlich auf den Zustand der Gelehrsamkeit überhaupt und zumal auf einige deutsche Gelehrte. Haller sprach von diesen Gelehrten mit vieler Billigkeit, auch mit Nachsicht, wo es nötig war, und von sich selbst mit der grössten Bescheidenheit, indess der Haller’s Wohnhaus an der ehemaligen Inselgasse in — 204 — Bern. 7 ee = IN DIESEM HAUSE WOHNTE UND STARB ALBRECHT. ALLEN ANATOM PHYSIOLOG, BOTANIKER PRAKTISCHER ARZT DICHTER 2) GEBOREN 1708 GESTORBEN 1777 MEMORIAE . AETERNAE ALBER II -TTAELER DOCTRINA . ET . INGENIO NVLLI . MORTALIVM . SVI . AEVI . SECVNDI QVEM . IN. HAC . DOMO . INTER . MORBOS ET : STVDIA . VITA . DEGENTEM IOSEREIEISSZCABSZ SAVE ZADIT NUN . FATIS . ABREPTVM LVGENT - AMICI . PATRIA . MVSAE OBIIT : A.V.C.”) DLXXXVIL AETAT. LXX. *) A. V. ©. bedeutet: Von Gründung der Stadt Bern ab. — 205 — ee Kaiser sich gegen ıhn immer auf die hebreichste Art ausdrückte. Dieser merkwürdige Besuch dauerte eine Stunde. Der Eindruck, den er bei dem Monarchen und seiner Gesellschaft zurückliess, war ausserordentlich durch die vollkommenste Achtung für Haller und das unauslöschliche Andenken. Hievon hatte ich zwei Tage nachher die Ehre, in Basel eın Zeuge zu sein. Seime Majestät sprachen von Haller mit dem lebhaftesten Vergnügen, schätzte den Anlass, ıhn gesehen zu haben, und sagte oft: „Ja — das ist ein Mann! Wie Wenige sprechen mit einer so männlichen Beredsamkeit und mit so vieler Würde; — wie wenige habe ich gekannt, bei denen ich so ganz den grossen Mann sah und den Mann voll Rechtschaffenheit; — wie wenige so geistvoll in Bildung, Stimme, Geberde und Ausdruck! Nie werde ich diese interessante Stunde vergessen. Wie schade, dass der Verlust dieses grossen Mannes so nahe ist.“ Bald hernach, den 20. Sep- tember, kam ich ın Bern zu dem Herrn von Haller. Er war sehr schwach und noch ganz in der Arbeit. Ich erzählte ıhm die liebevollen Worte des Monarchen, die ich so glücklich gewesen war, selbst zu hören. Haller ward gleich wieder lebhaft und schien sehr gerührt. „Ich gehöre kaum mehr zu dieser Welt,“ sagte er, „wenige Dinge haben für mich Reiz und Wert; aber die Güte, die Liebe eines so tugendhaften, so rechtschaffenen Herrschers über viele Völker, die er glücklich machen wird, kann mir nicht gleichgültig sein. Ich liebe den Kaiser aus dem Grunde meines Herzens und verehre seine Denkungsart am Rande meines Grabes.“ Hallers Vaterstadt rüstet sich zur 200. Wiederkehr seines (Geburtstages — am 8. October 1908 — ıhm ein seiner würdiges Denkmal zu erstellen. Nicht nur im seiner Heimat gedenkt man dieser Feier und auch der Ehrenpflicht sem Wohn- und Sterbe-. haus zu erhalten, sondern in allen Ländern, deren Nationen Verständnis und Interesse für die Leistungen und Schöpfungen des vielumfassenden Gelehrten und Dichters besitzen. Auch in seinen Poesien erkennt man den Naturforscher und eine Parallele zwischen ihm und Göthe, der auch in seinen Naturforschungen Dichter blieb, mag ein nicht unnöthiger Bei- trag zur Litteraturgeschichte sein. Haller preist in seinen dem Physiker Staehelin gewidmeten — 207 — Gedichte: „Die Falschheit menschlicher Tugenden“ die Natur- wissenschaft und Newton in folgenden begeisterten Strophen: Versenkt ım tiefen Traum nachforschender Gedanken Schwingt ein erhabner Geist sich aus der Menschheit Schranken Wie durch unendlicher verborgner Zahlen Reıih' Ein krummgeflochtner Zug gerecht zu messen sei. Warum die Sterne sich an eigne Gleise halten Wie bunte Farben sich aus lichten Strahlen spalten Was für ein innrer Trieb der Welten Wirbel dreht. Was für ein Zug das Meer zu gleichen Stunden bläht. Das alles weiss er schon, er füllt die Welt mit Klarheit Er ist ein steter Quell von unerkannter Wahrheit. Den Zug, der alles senkt, den Trieb, der alles dehnt, Den Reiz ın dem Magnet, wonach sıch Eisen sehnt, Des Lichtes schnelle Fahrt, die Erbschaft der Bewegung, Der Theilchen ewig Band, die Quelle neuer Regung, Dies lehre, grosser Geist, die schwache Sterblichkeit, Worin Dir niemand gleicht und alles Dich bereut. Doch suche nur im Riss von künstlichen Figuren Beim Licht der Ziffer — Kunst, der Wahrheit dunkle Spuren; Ins Innre der Natur dringt kein erschaffner Geist; Zu glücklich, wann sıe noch die äussre Schale weist! Du hast nach reifer Müh und nach durchwachten Jahren Erst selbst wıe viel uns fehlt, wie nichts Du weisst erfahren.“ Göthe, der grimmige Gegner von Newtons Farbenlehre war erbittert über diese Verherrlichung des grossen Physikers und verhöhnte Haller in seinen Gedichten: „Allerdings“ und „dem Physiker“ folgendermassen: „Ins Innre der Natur* — O du Philister! — „dringt kein erschaffner Geist“, Mich und (reschwister mögt Ihr an solches Wort nur nicht erinnern; Wir denken: Ort für Ort, Sind wir ım Innern.“ „Glückselig wenn sie nur die äussre Schale weist!* „Das hör ich sechzig Jahre wiederholen; Ich fluche drauf, aber verstohlen; Sage mir tausend, tausendmale: — Alles gibt sie reichlich und gern; Natur hat weder Kern — Noch Schale, — Alles ist sie mit einem Male; — Dich prüfe nur allermeist — Ob du Kern oder Schale seist.“ ar Und sodann ım „Ultimatum.“ „Wir kennen Dich Du Schalk! — Du machst nur Possen ; Vor unsrer Nase doch — Ist viel verschlossen. — Ihr folget falscher Spur; denkt nicht wir scherzen! — Ist nicht der Kern der Natur Menschen ım Herzen ?* Göthes Meinung über die Naturwissenschaft erkennt man aus einigen seiner „Sprüche in Prosa.“ Er sagt dort: „Es wird eine Zeit kommen, wo man eime pathologische Experimentalkritik vorträgt und alle jene Spiegelfechtereien ans Tageslicht bringt, welche den Verstand hintergehen, sich eine Überzeugung erschleichen und, was das Schlimmste daran ist, durchaus jeden praktischen Fortschritt verhindern. Die Ph»- nomene müssen ein für allemal aus der düstern empirisch- mechanisch-dogmatischen Marterkammer vor die Jury des ge- meinen Menschenverstandes gebracht werden.“ „Dass Newton bei seinen prismatischen Versuchen die Öff- nung so klein als möglich nahm, um eine Linie zum Lichtstrahl bequem zu symbolsiren, hat eine unheilvolle Verirrung über die Welt gebracht an der vielleicht noch Jahrhunderte leiden.“ „Der Magnet ist ein Urphanomen, das man nur aus- sprechen darf, um es erklärt zu haben; dadurch wird es denn auch ein Symbol für alles Übrige, wofür wir keine Worte noch Namen zu suchen brauchen.“ „Wenn ich die Augen recht ordent- lich aufmache, sehe ich so ziemlich Alles, was zu sehen ist.“ Im „polemischen Teile“ zur Farbenlehre sagt Göthe: „Wir können uns doch nicht enthalten zu behaupten, dass sich durch Erfahrung und Versuche eigentlich nichts beweisen lässt.“ Newtons Hauptexperiment nennt er „Muster von sophi- stischer Entstellung der Natur.“') In den Gesprächen mit Eckermann klagt er (1823): „Die mathematische Gilde hat meinen Namen in der Wissenschaft so verdächtig zu machen gesucht, dass man sich scheut ihn nur zu nennen.“ „Aber !) Nach Göthes eigener Darstellung sagte aber Newton, dass es ganz gleichgültig sei, was für eine Theorie man zur Erklärung dieser Phänomene anwenden wolle; ihm sei es nur um die Thatsache zu thun, dass diese farbebringenden Eigenschaften des Lichtes durch Refraction manifestiert würden und sich eben auch so durch Reflexion, Inflexion u. Ss. w., manifestierten. BR ” N RT TE # 209 sagen Sie selbst,“ fuhr er fort, „konnte ich nicht stolz sein, wenn ich mir seit 20 Jahren gestehen musste, dass der grosse Newton und alle Mathematiker und erhabenen Rechner mit ihm in Bezug auf die Farbenlehre sich in einem entschiedenen Iır- tum befanden, und dass ich unter Millionen der. Einzige sei, der in diesem grossen Naturgegenstande allem das Rechte wisse ? Mit diesem Gefühl der Superiorität war es mir denn möglich, die stupide Anmasslichkeit meiner Gegner zu ertragen.“ Schopenhauer übertrumpfte in seinem Grössenwahne Göthe. Er schrieb ıhm (am 11. Nov. 1815): „Für die eigentliche Theorie Newtons, welche Sie umgestossen haben, haben Sıe keine neue gegeben. Dies eben ist meine Arbeit gewesen; m ıhr erhält das Publikum ..... die Kenntnis der letzten Ursache und des innersten Wesens aller möglichen Farbe überhaupt, erhält also vollen Ersatz für die Newtonsche Theorie, indem meine wirk- lich ist, wofür jene sıch ausgab.“ In seiner Abhandlung „über das Sehen und die Farben“ sagt er „in der schattigen Natur der Farbe konnte man gewisser- massen die Quelle der Newtonschen Irrlehre suchen, dass die Farben Teile des bei der Brechung zersplitterten Lichtstrahls seien.“ In gewohnter Heftigkeit polemisirt Schopenhauer gegen des grossen Physikers Pouillets Darstellung der Farbenlehre mit folgenden Worten: „Da finden wir auf 20 grossen Seiten die ganze Newtonsche geoffenbarte Farbenlehre vorgetragen, mit der Sicherheit und Dreistigkeit, als wäre es ein Evangelium und mit sämtlichen Newtonischen Taschenspielerstückchen nebst ihren Cautelen und Hinterlisten ..... unter gänzlicher Verschweigung der Widerlegung — eine colossale ignorantia elenchıi.“ Diese Naturphilosophen wussten die Farben nicht anders zu definieren, als nach den Eindrücken die sie auf sie übten, mit Verachtung physikalischer Eigenheiten: Schwingungszahl, Wellenlänge, Brechbarkeit ete. Ob die höchste Blüthe der New- tonschen Versuche: die Spectralanalyse wohl Göthe und Schopen- hauer bekehrt haben würde? Göthe lässt Faust sein naturwissenschaftliches Glaubens- bekenntnis in folgende Verse kleiden: „Geheimnisvoll am lichten Tag lässt sich Natur des Schleiers nicht berauben, und was sie Bern. Mitteil. 1902. No. 1545. — 20 — Deinem Geist nicht offenbaren mag, das zwingst Du ihr nicht ab mit Hebeln und mit Schrauben.“ Schiller mag wohl missbilligend an diese Worte gedacht haben, als er im „Würtembergischen Repertorium“ (1782) fol- gendes Grabmal für Haller empfiehlt: „Über dem Sarge zerreisst die Philosophie den Schleier, der über die Natur herabhing. Seine Werke, mit Lorbeer m den Schlangenstab und eine Leyer gebunden, liegen auf dem Sarge umher. Auf der entgegengesetzten Seite weint Hygıäa über sein Medaillon hin.“ Die Inschrift heisst: Corpori leges Anımo officia . Assignavit. Der Platz ist auf einem Hügel ausser dem Kirchhof.“ Schiller, der Regimentsmedicus und Verfasser der 2 Probe- schriften: „Philosophie der Physiologie“ und „Über den Zusam- menhang der tierischen Natur des Menschen mit seiner geistigen“ schildert in vollendeterer Poesie als Haller. das Studium des Naturforschers, zumal Newtons in der Elegie „der Spaziergang“: „Aber im stillen Gemach entwirft bedeutende Zirkel Sinnend der Weise, beschleicht forschend den schaffenden Geist. Prüft der Stoffe Gewalt, der Magnete Hassen und Lieben, Folgt durch die Lüfte dem Klang, folgt durch den Äther dem Strahl Sucht das vertraute Gesetz in des Zufalls grausenden Wundern, Sucht den ruhenden Pol in der Erscheinungen Flucht.“ Emil du Bois-Reymond, einer der Begründer der modernen Physiologie, wendet sich im seimer Rectoratsrede („Göthe und kem Ende“ 1882) gegen die blinde Verehrung Göthes als Natur- forscher mit folgenden Sätzen: „Mehr als seine eigenen Erfolge nützten, schadete die falsche Richtung, welche er der damals durch die sogenannte Naturphilosophie schon hinlänglich bethörten deutschen Wissen- schaft einprägte. Man erinnere sich des argen mit der Wirbel- theorie getriebenen Missbrauches. Weithin verbreitet in den Schriften jener Zeit findet man seine unverkennbare Manier, seine Vorurteile, seine micht immer unbedenklichen Maximen. Gerade die Talentvollsten, welche Reichtum der Phantasie, Ge- dankenfülle und allgemeine Bildung ıhm als Jünger zuführten, unterlagen am leichtesten diesem Einflusse. Sogar Johannes Müller war, bis zur gefährlichen Krise, aus der er als objectiver Forscher geläutert hervorging, in Götheschen Meinungen so befangen, dass der künftige Erneuerer der experimentellen Richtung ın der deutschen Physiologie den „Versuch“ gegenüber dem von Göthe empfohlenen blossen „Schauen“ mit den Worten verketzert: „Die Beobachtung schlicht, unverdrossen, fleissig, auf- richtig, ohne vorgefasste Meinung, — der Versuch künstlich, ungeduldig, emsig, abspringend, leidenschaftlich, unzuverlässig.“ Dagegen preist du Bois-Reymond den „Dichter“ Göthe mit begeisterten Worten, wie es dem Künstler der Rede und Schrift, dem Entdecker eines Götheschen Gedichtes: „Ehlis*, dem Vater der meisterlichen Novellistin wohl ansteht. Albrecht von Haller imponiert zunächst durch seme schlichte Charaktergrösse, die frei bleibt von der Selbstverherrlichung (söthes oder Schopenhauers. Er fordert (in seinen Opera minora Tom. I, p. 131) vom Gelehrten: „Zunächst muss man die Geschichte der Experimente behandeln, dieselbe berücksichtigen mit jener ehrlichen Reinheit, welche ich höher schätze als das Genie.“ | In den S Quart-Bänden seiner „Elemente der Physiologie“ findet man die Entwickelung und den Stand der Lebenswissen- schaft bis zur zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts actenmässig begründet und die Resultate seiner eigenen Forschung einge- fiochten. In den 3 Bänden seiner „Opera minora* teilt er die Ergebnisse seiner späteren Untersuchungen mit, während er ım „Methodus studiı medicı“ die gesamte - naturwissenschaftlich- mediemische Literatur bespricht und dabei mehr als 4000 Bücher anführt und beurteilt. Kein späterer Bearbeiter der Physiologie nahm es so genau mit der Geschichte seiner Wissenschaft. Freilich war auch der Zusammenhang des internationalen Gelehrtenverbandes viel enger als heute, hauptsächlich wegen der gemeinsamen latemischen Gelehrtensprache. Hierdurch war die Kenntniss der Fachlitteratur erleichtert. So documentirte sich auch schon äusserlich der gelehrte Stand. Jeder Professor und jeder Student konnte an jeder grossen Universität lehren und lernen. Jetzt, da man die „tote* Gelehrtensprache wie einen un- nützen Zopf bis auf Doctorendiplome — bisher Urkunden von internationaler Gültigkeit — und Adressen beseitigt hat, machen sich die Folgen der voreiligen Reform fühlbar. In mindestens 17 Sprachen werden wissenswerte medi- einische Werke gedruckt. Auf den internationalen Congressen bemerkt man die Schäden der Sprachverwirrung. In unserer verkehrsreichen Zeit brauchen wır noch mehr als früher: Ein Verständigungsmittel der hochgeschulten Volksklassen. Das mittelalterliche Latein hat sich vielleicht überlebt, die Naturwissenschaften streben nach mternationaler Verständigung vermittelst der griechischen Sprache. — Auf „Gramm* und „Meter“ beruht unser Maasssystem, auf der „Graphik“ unsere Ver- ständigung über wissenschaftlich und technisch wichtige Vorgänge, auf der „Klinik“ unser ärztliches Wissen, unsere ärztliche Kunst. Griechische Sprache und Mathematik sind die Hauptstützen unserer 2 Bildungsgebiete: des philosophisch - historischen und des mathematisch - naturwissenschaftlichen. Die physikalischen, sodann auch die chemischen Unter- suchungsweisen der Lebenserscheinungen wurden um die Mitte des vorigen Jahrhunderts von E. H. Weber, Helmholtz, ©. Ludwig, du Bois-Reymond, Brücke, Kühne in ungeahnter Weise vervoll- kommnet, aber gar manches wurde wiedergefunden, was schon Haller beschrieben. Einige Beispiele mögen dies belegen: In den Jahren 1854 und 55 waren die medicinischen und auch andere der Universität nahe stehende Kreise zu Wien in Erregung versetzt durch eine wissenschaftliche Fehde zwischen Brücke und Hyrtl, welche besonders von dem letzteren mit grosser Heftigkeit geführt wurde. — Es handelte sich um die sogenannte „Selbststeuerung des Herzens.“ Brücke meinte, dass der Blutstrom, den die linke Herz- kammer in die grosse Schlagader wirft, nicht nur die halbmond- förmigen Klappen öffnet, sondern dieselben gegen die Mündungen = 2a der Kranzarterien presse, so dass kein Blut in die Herzwand einströme und die Zusammenziehung des Herzmuskels störe. Hyrtl entgegnete, dass die Halbmondklappen bei den meisten Präparaten gar nicht bis zu den Kranzadermündungen reichen. Viele bedeutende Physiologen jener Zeit nahmen Parteı für und wider Brücke, bis Giulio Ceradiniı von Mailand 1872 ın einer ausgezeichneten Abhandlung den „Mechanismus der halb- mondförmigen Herzklapven“ historisch und experimentell er- klärte und dabei nachwies, dass nicht nur Haller (1739) Hyrtls Messungen gemacht hatte und durch Beobachtungen des schla- genden Herzens physiologisch begründet, sondern dass Haller in seiner historischen Darlegung der Frage Thebesius (1708) die (unrichtige) Theorie vom Schutzverschlusse zugeschrieben, dass aber zu jener Zeit viele Gelehrte sich für und wider diese Anschau- ung erklärt hätten. Ähnlich ging es mit der Frage nach der Zusammenziehung der Blutgefässe. Allen Menschen ist wohl die Schamröte und das Erbleichen durch Schreck bekannt. Aber ob auch ohne (rehirnerregung die Gefässe sich verengen können, ist eine ın neuerer Zeit, zumal von Goltz behandelte Frage und sowohl Aubert ın seiner vortrefflichen Darstellung der Blutgefässiner- vation wie Milne Edwards, der sonst m seimem 14bändigen Lehrbuche der Physiologie gewissenhaft auf die Quellen unserer Kenntnisse verweist, beschreibt die selbständige Zusammen- ziehung der Arterien nach dem letzten Herzschlage, ohne einen (rewährsmann zu nennen. Haller gibt im ersten Bande seiner Elemente der Physio- logie eine Reihe von einfachen Versuchen an, durch die er nach- wies, dass abgebundene Blutgefässstämme ıhren Inhalt in ıhre Zweige entleeren. Dem grossen Anatomen Henle wird die Entdeckung einer elastischen Arterienhaut zwischen der innersten Haut und der Muskelhaut zugeschrieben. Haller beschrieb m einem eignen $ VIII des ersten Bandes seiner Elemente diese „Cellulosa interior.“ Er kannte die Mus- kelhülle der Arterien und gibt an, dass C. Gottlieb Ludwig in Leipzig 1739 auch m den Wandungen der Gehirnarterien einzelne Muskelfasern nachgewiesen habe. — 214 — Im Jahre 1850 berichtete Eduard Weber zu Leipzig «Über ein Verfahren, den Kreislauf des Blutes und die Function des Herzens willkürlich zu unterbrechen». Die Physiologen hielten alte Erzählungen von Menschen, die durch blossen Willen sterben konnten, für unglaubwürdig. Galen berichtet vom Tode eines Sklaven, der in Wut versetzt, sich tötete, indem er auf den Boden ausgestreckt den Atem anhielt. Auch Valerius Maximus erzählt folgende merkwürdige Begebenheit: Coma, der Bruder des Räuberhauptmanns Kleon, wurde gefangen nach Esina gebracht, welches den Räubern von den Römern abgenommen worden war: Als der Konsul Rupıilius ıhn über die Macht und die Ab- sicht der - Flüchtigen gefragt hatte, bat er um Zeit sich zu sammeln, verhüllte sein Haupt und indem er sich auf seine Knie stützte und den Atem unterdrückte, verschied er sorgenfrei unter den Händen seiner Wächter und vor den Augen des Macht- habers. «Mögen sıch die Elenden quälen, denen nützlicher ist zu sterben, als fortzuleben, mit ängstlichen Vorsätzen, wie sie aus dem Leben gehen sollen, mögen sie das Schwert schärfen, Gift mischen, zum Strange greifen, von ungeheueren Höhen herunter- schauen, als ob es grosser Vorrichtungen bedürfte, um das schwache Band zwischen Leib und Seele zu trennen. Coma brauchte von alledem nichts, sondern fand dadurch, dass er den Atem ın der Brust verschloss, seinen Tod.» Appıianus erzählt ähnliches vom jüngeren Cato und von einem Haruspex. Der eng- lısche Arzt George Cheyne hat einen ähnlichen Todesfall beob- achtet, giebt aber keine Erklärung des rätselhaften Todes. E. Weber erklärte den Tod folgendermassen: «Wird die Brust- höhle nach Verschliessung des Kehlkopfes .. ... verengert, so..... übt die Lungenluft gleichförmigen Druck auf das Herz und die grossen Gefässstämme aus. Weil der Zufluss des Blutes durch die Hohlvenen zum Herzen abgeschnitten ıst, wird der Puls augenblicklich sehr klein. .... und bleibt, wenn aus dem leeren Herzen kein Blut mehr ın dıe Aorta gelangt, ganz aus.» E. Weber erzählt von sich: «Als ıch einmal die Zusammendrückung der Brust unabsichtlich etwas länger als gewöhnlich, gewiss aber noch keine Minute, fortgesetzt hatte, wurde ich ohnmächtig. Während dieses bewusstlosen Zustandes waren von den Umstehenden ın meinem Gesichte schwache convulsivische Bewegungen bemerkt ie a an worden, und als mir die Besinnung zurückkehrte, war das Ge- dächtnis des Vorgefallenen so vollständig verschwunden, dass ich, ungeachtet mein Puls wieder wie vorher laut gezählt wurde, mich in den ersten Augenblicken nicht erinnern konnte, wo ich war und was um mich vorging.» Solches Zusammendrücken der Luft ın der Brusthöhle ge- schieht bei vielen Körperverrichtungen: kurz dauernd beı Husten, Nıiesen, Brechen, oder länger während bei Darmentleerung und Krampfwehen und kann lebensgefährlich werden. (Gerade ein Jahrhundert zuvor hat aber schon Lamure noch vor Haller (wie dieser gewissenhaft angiebt) beschrieben, wıe bei der Ausatmung zunächst der Brustkasten verengt wird, dabeı nicht nur die Lungen, sondern auch die Vorkammern des Herzens zusammengedrückt werden, wodurch das Blut ın den Venen gestaut wird und so die nahe der Brust gelegenen Organe geschwellt werden. Hierdurch erklärt Haller auch die Bewegungen des Gehirns bei der Atmung, die man nicht für möglich hielt. Donders hat hundert Jahre später sich und Herrn Berlin das Verdienst dieser Beobachtung zugeschrieben. Angelo Mosso hatte mit Giacomini Gelegenheit, an einem verwundeten Manne die Bewegungen des Gehirns zu beobachten und hat bei Beschreibung dieser interessanten Erscheinungen ge- wissenhaft auch Hallers Berichte angegeben. Haller hat hierbei den Einfluss. der Atmung auf den Blut- kreislauf in den Lungen genau studiert. Er sagt: Beim Atem- holen läuft das Blut mit Leichtigkeit aus der rechten Herzkammer in die erweiterte Lunge, daher leeren sich die Hohladern in die Vorkammer und die rechte Höhle des Herzens aus, die ın diesem Augenblicke minder widerstehen. Unter dem Ausatmen wider- steht die zusammengepresste Lunge dem Blute des Herzens, daher schwellen die grossen Blutadern. Zu ähnlichen Schlüssen kamen em Jahrhundert. später Poiseuille, danach Quincke mit Pfeiffer und andere. Eine der Haupterrungenschaften der modernen Anatomie und Physiologie ıst die Kenntnis des Baus und der feineren Functionen des Gehirns, und daraus resultierte der Triumph der Gehiunchirurgie. — 216 — Hughlings Jackson machte 1870 die überraschende Mitteilung, dass durch Hirnverletzung epileptische Krämpfe entstehen können, während frühere Forscher, wie Astley Cooper (1836), angenommen hatten, dass die Anfälle durch Störungen des Blutlaufs im Gehirn erzeugt werden. Bei den Chirurgen gilt jetzt die «Rindenepilepsie» . als eine durch Entfernung drückender Knochen heilbare Krankeit. Haller handelt aber darüber schon ım Jahre 1762 (im Band IV seiner «Elementa») und sagt: der Sıtz des schreck- lichen Übels (der Epilepsie) wird oft im Gehirn gefunden, wenn dasselbe Pressungen ausgesetzt ıst, oder wenn Knochensphtter das Gehirn stechen; oder man fand als Ursache eine bewegliche Bleikugel zwischen der harten Hirnhaut und dem Schädeldache eingeschlossen u. Ss. w. Er teilt sogar mit, dass solche Epilepsie dadurch geheilt werden konnte, dass aus dem geöffneten Schädel die reizenden (Gegenstände entfernt wurden. Dabei hielt er jedoch, wie alle Forscher bis auf Hitzigs berühmte Entdeckung der motorischen Hirnrindencentren, die Hirnrinde für unerregbar. Auch im Greebiete der Muskellehre hatte Haller schon über- raschende Kenntnisse, die wieder ın Vergessenheit gerieten. Im Bande IV seiner «Elementa» erzählt er, dass Bertier (1740) sich vorstelle: der thätige Muskel ziehe sich zusammen, indem das Blut ıhn befeuchte, «so wie Wasser einen befeuchteten Strick kürzer macht». Th. W. Engelmann hat 1873 ın ganz analoger Weise die Zusammenziehung des Muskels durch Quellung seiner doppel- brechenden Teile erklärt. Als merkwürdigste Priorität Hallers habe ich aber folgende gefunden: Der verstorbene Königsberger Physiologe v. Wittich veröffentlichte ım Jahre 1857 eine lateinische Habilitationsschrift mit dem (übersetzten) Titel: «einige Experimente zum Beweise von Hallers Lehre der eigenen Muskelerregbarkeit.» Darın führt er als Hauptversuch folgenden an: Er spritzt Fröschen Wasser in die Blutgefässe und sieht sie danach m Krampf geraten. Haller lehrte ungefähr 100 Jahre zuvor ın seinen Elementen: Einspritzung von Wasser in ein lebendes Tier — nicht nur ın die Arterien, sondern auch in die Venen — erregt krampfhaftes Zittern der Muskeln. h - \ Er führt als früheren Beobachter Duverney an, den Du Hamel erwähnt habe. Am wenigsten vermutete man beı Haller Kenntnisse der Physiologie der Sinnesorgane. Der geistreiche, junge Sinnesphysiologe Th. Beer hat über Bau und Function der Fischaugen 1894 wertvolle Beobachtungen veröffentlicht: «Es herrscht — sagt er — bei den Fischen ein anderes Eimstellungsprinzip als im Auge der Landwirbeltiere: Ein glatter Muskel, welcher sich mit seiner Sehne an die Linse, das Objectiv des Fischauges, anheftet, besorgt die Einstellung... . Die Linse wird, wenn das Auge für die Ferne eingestellt werden soll, nach rückwärts gezogen, also der Netzhaut genähert, ganz ähnlich wie in vielen unserer photographischen Apparate zu gleichem Zweck das Objectiv dem lichtauffangenden Schirm ge- nähert werden muss.» Haller teilt im dritten Bande seiner «Opera mimora» seine Beobachtungen über die Accommodation des Fischauges ın folgen- dem Satze mit: «Die Fische haben einen eignen sehr roten Muskel, welcher seime Blutgefässe aus der Aderhaut empfängt und ın dem für ihn bereiteten Ruysch’chen Beutel liegt, den er zusammenziehen und somit das ganze Auge verkürzen kann, so dass der Strahlen- kegel von sehr entfernten Puncten doch im der Netzhaut wieder vereint werden kann». Und sogar vor dem grossen Helmholtz könnte Haller die Priorität beanspruchen in der Vorstellung von der Tonwahr- nehmung. In der 5. Ausgabe der «Lehre von den Tonempfindungen» 1596 findet sich S. 232 folgender allbekannte Satz: «Das wesent- «liche Ergebnis unserer Beschreibung des Ohres fassen wir dem- «nach dahin zusammen, dass wır die Enden der Hörnerven über- «all mit besonderen, teils elastischen, teils festen Hilfsap paraten «verbunden gefunden haben, welche unter dem Einfluss äusserer «Schwingungen in Mitschwingungen versetzt werden können und «dann wahrscheinlich die Nervenmasse erschüttern und erregen.» Haller berichtet im 5ten Bande seiner «Elementa» (pag. 29): Am wahrscheilichsten hielten es die berühmten Männer: Duverney, Boerhave, de Mairan, Nollet, Cotunnus, Musschenbroeck, dass jene Bern. Mitteil. 1902. No. 1546. 98 — membranöse Spirallamelle mit ihren zwischen beiden Blättern verlaufenden Nerven ... .... . eine Vorrichtung darstelle, welche unzählige Saiten enthielte: .... sowohl sehr lange für tiefe Töne passend, als auch sehr kurze mit höchsten Tönen harmonierende und dass durch deren Erzitterungen: der Seele die Töne unter- schieden vorgestellt werden .... Es sei also die Spirallamelle das wichtigste Hörorgan. Wer in Hallers Werken sucht, wird noch viele Beobachtungen finden, die späteren Entdeckern unbekannt geblieben sind. Aber darum darf man die Fortschritte der Physiologie, welche um die zweite Hälfte des vorigen Jahrhunderts anhoben, nicht unterschätzen. Die messenden Versuchsweisen der neueren Physik haben mehrere Zweige unserer Wissenschaft im die Reihe der exacten Fächer gerückt. du Bois-Reymonds Elektrophysio- logie machte nach Methode und Resultaten Epoche. Gegenüber den Helmholtz’schen Messungen der Fortpflanzungsgeschwindig- keit der Erregung im Nerven erschemen, die naturphilosophischen Speeulationen von Hallers Zeitgenossen, die er uns mitteilt, phan- tastisch. Man nahm ein Nervenfludum an, welches aus den kleinsten Blutgefässen des Gehirns zu den Muskeln und von den empfindlichsten Teilen zum Sitze des Bewusstseins fliesse und stellte sich vor, dass der Strom desto schneller sei, je enger die Röhren. Weiter nahm man an, dass die Herzkraft auch das Fluidum in den Nervenröhren treibe und dass ım gleichen Ver- hältnisse wie ein Nervenröhrchen enger seı als die grosse Schlag- ader der linken Herzkammer, das Nervenfluidum schneller ströme als das Blut. So berechnete man, von vagen Schätzungen aus- gehend, die Geschwindigkeit des Nervenprinzips auf 50 Meter (nach Haller) ', oder 2500 oder 10800 oder 19200000000 Meter in einer Sekunde. Dabei machte Haller wohlbegründete kritische Betrachtungen darüber, wie ungemein dünn ein in engsten Röhr- chen so schnell fliessender Stoff sein müsse und hält ihn für ein dem Feuer ähnliches Element. Die Function der Nerven hat Haller, vom Standpuncte seiner Irritabilitätslehre aus, vielfach untersucht. Er stellte durch I) Durch seltsamen Zufall ist diese Zahl nahezu die von Helmholtz gefundene. — 219 — Versuche fest, dass diejenigen Teile, deren Nerven durchtrennt wurden, gefühllos und gelähmt sind. Er fand, dass der periphere gereizte Nervenstumpf die zugehörigen Muskeln zur Zusammen- zıehung bringt; dass aber durch die umschnürte Nervenstelle kein Reiz hindurch geleitet wird, so dass Reize oberhalb keine Bewegung, unterhalb keinen Schmerz verursachen. So war er ganz nahe der Entdeckung, welche Charles Bell unsterblich ge- macht hat: dass verschiedene Nerven die Bewegungs- und die Empfindungs-Antriebe leiten. Aber, obwohl er den Zwerchfell- nerven oft prüfte, wollte er doch nicht bemerken, dass dieser ein Bewegungsnerv, aber kein Empfindungsnerv sei. In seinen Elementa physiologiae (Tom. IV, pag. 391) steht der kategorische Satz: «Verum nullus, quod ego norim, nervus datur, qui moveat neque sentiat una.» (d. h.: Es giebt, soviel ich weiss, keinen Nerven, der bewege und nicht zugleich empfinde.) So weist er die im Altertume gültige Lehre von der verschiedenen Wertig- keit der Nerven entschieden zurück. Haller leitet ın seinem akademischen Vortrage: «von den empfindlichen und reizbaren Teilen des menschlichen Körpers» sein berühmtes System mit folgenden Definitionen em: «Den- jenigen Teil des menschlichen Körpers, welcher durch ein Be- rühren von aussen kürzer wird, nenne ich reızbar.» „Empfindlich nenne ich einen solchen Teil des Körpers, dessen Berührung sich die Seele vorstellt.“ „Unempfindlich nenne ich hingegen die Teile, .... durch die kein Zeichen eines Schmerzes ...... erreget wird.“ Er ist stolz darauf nachgewiesen zu haben, dass das „Knochenhäutchen“ unempfindlich. Er sagt: „Die Ärzte, Zer- gliederer und Wundärzte, welche anders denken und ihre Meinung von den Alten her haben, werden mir vergeben, dass ich ihnen hier widerspreche: sie werden das, was ich hier behaupte und das fast wider die Meinung des ganzen menschlichen Geschlechts ist, nicht verwerfen, wenn sie den Ursprung der angenommenen Meinung in Erwägung ziehen.“ Den „reizbaren“ Muskel hält er aber zugleich für empfind- lich, „ob er wohl diese Eigenschaft viel mehr von den Nerven, als von sich selber hat.“ 220 — Er verwahrt sich ausdrücklich dagegen, Teile für reizbar zu halten, die nur empfindlich sind, obwohl er „die Reizbarkeit von berühmten Männern solchergestalt annehmen gesehen habe, dass sie auf diese Wirksamkeit der Fasern ein fast allgemeines System der Bewegungen in dem menschlichen Körper gebauet, und alle Verrichtungen der Fasern, der Gefässe, der Nerven, er Muskeln, kurz der ganzen menschlichen Maschine von dieser Reizbarkeit einzig hergeleitet haben.“ Er verwahrt sich auch energisch gegen die Annahme decen- tralisierter Seelenteile. Er sagt: „Des Robert Whytts teilbare Seele hat die Notwendigkeit eines Lehrgebäudes veranlasst und den Mann gezwungen sie ın so viele Teile zu spalten, als dem Zergliederer Muskeln oder Teile der Eingeweide von dem mensch- lichen Körper abzuschneiden beliebt hat.“ Haller misst abgetrennten Körperteilen auch nicht Spuren seelischer Eigenschaften zu. Er sagt: „Dieser abgeschnittene Finger, diese abgerissene Muskel wird nicht von meiner Seele, nicht von einem Teil derselben bewohnt ...... Mein Wille, mem Gedächtnis, meme Eimbildungskraft, mein Vermögen zu urteilen bleiben (auch ohne den Finger) noch vollkommen ..... dieser unverstümmelte Willen aber kann nun nicht mehr in diesem Finger wirken: und gleichwohl bleibt dieser Finger reizbar. Die teizbarkeit hängt also weder von dem Willen noch von der Seele ab.“ .... ' „Die Nerven scheinen nur so viel zur Bewegung der Muskeln beizutragen, dass sıe den Willen der Seele auf den- jenigen Teil bringen, welcher bewegt werden soll; und dem ver- mehren und erwecken sie, — diese Vermehrung mag nun ge- schehen wie sie wıll — die natürliche Kraft der Fasern, dadurch dieselben sich zu verkürzen streben!“ Der Physiologe Engelmann lässt auch gegenwärtig wieder in ganz Ähnlicher Weise auf den Herzmuskel gewisse Herznerven wirken, die er „positiv-motrope* nennt. Haller kannte und beschrieb im 8. Bande seiner „Elementa“ ganz eingehend die Vererbung, auch von Charaktereigentümlich- keiten von Mutter und Vater durch Ei- und Samenzelle, folgert aber daraus nicht die Verteilung von Seeleneigenschaften auf Zellen. Reil, der 1796 das „Archiv für die Physiologie“ begründete, leitet dasselbe mit seiner berühmten Abhandlung „Von der 221 Lebenskraft“ ein. Dort (S. 83) verwirft er Hallers Einteilung in folgender Auseinandersetzung: „Wenn wir die Empfänglich- keit tierischer Organe für Reiz, nach den Erscheinungen, die der Reiz erreget, Reizbarkeit (irrıtabilitas), wenn er Bewe- gungen, Empfindlichkeit (sensibilitas), wenn er Empfindungen erregt, benennen: so fehlt uns eme Benennung für diese Eigen- schaft tierischer Organe im allgemeinen.* ...... „Wie nennt man die Erregbarkeit ın Organen, die weder Muskeln noch Nerven sind?" ..... „Um diesen unnützen Streitig- keiten auszuweichen, werde ich mit dem Worte Reizbarkeit, Erregbarkeit (irıtabilitas, incitabilitas) die Empfänglichkeit tier1- scher Organe für Reız überhaupt bezeichnen und die specifische Reizbarkeit nach den Organen in welchen sıe stattfindet: Nerven- reizbarkeit, Muskelreizbarkeit, Reizbarkeit der Gefässe, der Drüsen, des Herzens, des Magens u. s. w. benennen.“ Reıl hat damit — ım Gegensatze zu Haller — eine Decen- tralisation der Körperorgane proclamiert. Er sagt: „Der ganze Körper besteht aus mehreren grossen Gliedern; jedes Glied wieder aus Muskeln, Gefässen, Nerven; der Muskel wieder aus Häuten, Fasern, Gefässen. Welch eine künstliche und zusammen- gesetzte Mechanik!“ Johannes Müller warnt in der ersten Auflage seines be- rühmten Handbuchs der Physiologie (Bd. 1, S. 48) davor, Hallers Irritabilitätsbegriff zu verallgemeinern. Er sagt: „Einige ver- wirrte Schriftsteller haben diesen Begriff von Irritabilität zu einer Formel für willkürliche Fietionen gemacht, so dass man sogar von einer Irritabilität in den Nerven gesprochen hat.“ Noch ım Jahre 1835 galt für Johannes Müller der dunkle Lebenssatz von Kant: „Die Ursache der Art der Existenz beı jedem Teile eines lebenden Körpers ist im ganzen enthalten, während bei toten Massen sie jeder Teil im sich selbst trägt.“ Es ward Licht, als der Gottbegnadete Entdecker Theodor Schwann im Jahre 1838 unter Johannes Müllers Leitung „mikro- skopische Untersuchungen über die Übereinstimmung in der Structur und dem Wachstum der Tiere und Pflanzen“ vollendet hatte. „Nach Schwanns Entdeckung bestehen alle Gewebeteile der Tiere, anfänglich beim Embryo, überall aus den Pflanzen- zellen analogen Zellen.“ 2.2.2.2. „Die Zellen der Tiere und Pflanzen besitzen als Bildungsteile aller Gewebe und des Keimes selbst ein eigenes Leben innerhalb des Ganzen. Sie entstehen, erzeugen ihres- gleichen in sich oder um sich und oft sieht man unter dem Mikroskope mehrere Generationen von Zellen zusammen, die Mutterzellen mit der jungen Brut, den jungen Zellen ausgefüllt und diese wieder noch jüngere Zellen oder junge Kerne enthalten, wie in den Knorpelzellen. Diese Zellen sınd nun auch die Träger der wirksamen Kräfte ın dem Lebensprozess; sie besitzen eine metabolische Kraft die ihnen naheliegenden Stoffe zu verwandeln; oft auch verwandeln sich die primitiven Zellen in andere Formen, durch Verlängerung ın Fäden, wodurch die Zellgewebe- fäden entstehen, oder durch Vereinigung mehrerer Zellen zu Gylindern, wie bei den Muskeln und Nerven.“ '!) Brücke bezeichnete (1861) die Zellen als „Elementarorganıs- men“, „deren Complication wir zwar insofern nicht mit der der Tiere vergleichen können, als wir bis jetzt kein Recht haben anzunehmen, dass sie sich wieder aus zahllosen, kleinen Organıs- men zusammensetzen, von denen wir aber immerhin zugeben müssen, dass sie einen höchst kunstvollen Bau darstellen, dessen wesentliche architektonische Elemente unserem Blicke vollständig entzogen sind.“ Wie divergent ist der Weg zu dieser einheitlichen Erkennt- nıs von demjenigen der dualistischen „Haller’schen Ideen“ von Erregbarkeit und Empfindlichkeit. Haller schrieb: „Da Beerhave die Nerven für den ersten wahren Grundstoff des menschlichen Körpers angenommen hatte, so durfte er nicht viel weiter gehen, zu bejahen, dass kaum ein Teilchen des menschlichen Körpers sei, welches nicht empfinde oder sich bewege: und diese Meinung, wider welche ich ander- wärts Verschiedenes erinnert habe, ist fast durch ganz Europa angenommen worden.“ „Die einfachen Teile des menschlichen Körpers sind die Nerven, die Schlagadern, die Blutadern, die kleinen Gefässe, die Häute, die Muskelfasern, die Fasern der Sehnen, der Bänder, der Knochen und das zellichte Gewebe.* ..... ') Johannes Müllers Handbuch der Physiologie. Bd. IV, S. 45. 223 „Da die Muskelfaser aus eimer Gallerte, oder aus emem Leim und aus erdichtem Grundteilen besteht, so fraget sichs, ob die reizbare Kraft ın dem Leim oder ob sie m der Erde ihren Sitz habe? Dass sie eher m dem Leim ıhren Sıtz haben möge ist wahrscheinlich, weıl derselbe eine Neigung sich zu verkürzen hat, und wenn man ıhn zieht wieder zurückfährt.* Haller weist Stahls Lehre von der alles erregenden Seele zurück, aber er spricht gar nicht über die Bekenner einer Lebens- kraft. Diese ist auch keineswegs immer so definiert worden, dass sie vom biologisch mechanischen Standpunkte aus mit Verachtung zurückgewiesen werden müsste. Reil sagt (1796) in seiner früher erwähnten Abhandlung: „Lebenskraft deutet das Verhältnis mehr individualisierter Erschei- nungen zu einer besonderen Art von Materie an, die wir nur ın der belebten Natur, bei Pflanzen und Tieren treffen.“ „Physisch wirkt alles in der Körperwelt: auch die belebte organische Materie und alle Kräfte lassen sich zuletzt sämtlich auf Verschiedenheit der Grundstoffe und auf eine einzige allge- meine Eigenschaft derselben, auf Wahlanziehung zurückführen.“ „Worte sind willkürliche Zeichen unserer Begriffe und es kommt nur darauf an, den Begriff genau zu bestimmen.“ „Alle Hypothesen über die Natur jener (in den Nerven wirkenden) Kräfte sind ebenso unnütz, wie in der physischen Astronomie Hypothesen über die Natur der Schwere.“ «Hypothesen können in gewissen Fällen nützlich, ja oft notwendig sein, aber niemals solche, wodurch man die Natur von Grundkräften erklären will. Diese sind Götzen die man dulden kann 7... zum Spielwerke, oder zum Beweise der Geschicklichkeit des Künstlers, welche aber verwerflich werden, sobald man sie zum Gegenstande religiöser Verehrung macht. Immerhin mögen sie noch so grosse Meisterstücke, mit einem noch so grossen Aufwande von Genie verfertigt sein, sie bleiben doch ın diesem Falle schädlich. Denn ein Idol ist ein Idol, es mag von einem stupiden Feuerländer geschnitzt, oder aus den Händen eines Phidias hervorgegangen sein.» Haller will (Bd. IV, S.514) nach der Ursache der Bewegungs- macht, welche der Muskelfaser innewohnt, nicht forschen, ist aber — 224 überzeugt, dass sie weder mechanische noch physikalische (wie eine tote Faser) Kraft habe. «Vis viva musculo propria est» (S. 455). (Die lebendige Kraft ıst dem Muskel eigentümlich.) Den Effect der Muskelbewegung sehen wir: «motus naturam ignoramus» (S. 560). (Die Natur der Bewegung kennen wir nicht.) «Von dem, was sich nieht mit dem Messer oder dem Mikroskop entdecken lässt, wage ich nicht gern Mutmassungen, und enthalte mich, dasjenige zu lehren, was ıch selbst nicht weiss,» sagt der charaktervolle Gelehrte und fügt hinzu: «Es ist eime stolze Art der Unwissenheit, andere leiten zu wollen, wo man selbst nichts sieht.» Er würde sich wohl verwahrt haben, wenn man ıhm prophe- zeit hätte, dass in seinen «Ideen» die Cellularphysiologie oder gar die Theorie der specifischen Sinnesenergien enthalten sei. Haller beschreibt im fünften Bande seiner «Elementa» genau die Lichterscheinungen, welche durch Druck oder Stoss auf das Auge hervorgerufen werden können. Er sagt: «Es ist ein eigen- tümliches und nützliches Zeugnis dafür, dass unser Geist ähn- liche Sensationen nicht zu unterscheiden vermag, oder die Wirkung einer wenig bekannten Ursuche, der mehr bekannnten zuschreibt. Der Eindruck äusseren Lichts ıst der Netzhaut des Auges mehr bekannt als der Eindruck durch einen harten nicht leuchtenden Körper..... Die Eindrücke der Sinne werden durch das Nerven- fludum zum Sitze der Seele geleitet...... Die «secundären Qualitäten» der Körper (Cartesius, Locke etc.) werden «relativo modo» von uns wahrgenommen und als Farben, Töne, Geschmack bezeichnet, die man nach Gestalt, Bau und Molecularbewegung verschieden auffasst. Aber unsere Sinne malen uns nicht die Qualitäten der Dinge. Wie anders schon sein späterer Gegner Reil: «Em Reiz kann in einem Organe nur solche Erscheinungen, die der Natur des Organs angemessen sind, erregen.» ..... «Die Erregung ist specifisch im jeder besonderen Gattung von Organen.» Johannes Müller schuf, unbeeimflusst von Haller und von Reil, seine Sinnesphysiologie. In den Sätzen V und VII des 5. Buches seines Lehrbuchs giebt er die wichtigsten Definitionen seiner Lehre: «V. Die Sinnesempfindung ist nicht die Leitung einer Qualität oder eines Zustandes der äusseren Körper zum Bewusstsein, sondern die Leitung einer Qualität, eines Zustandes eines Sinnesnerven zum Bewusstsein, veranlasst durch eine äussere Ursache, und diese Qualitäten sind in den verschiedenen Sinnesnerven verschieden, die Sinnesenergieen.» (Bd. II, S. 254.) «VII. Ob die Ursachen der verschiedenen Energieen der Sinnesnerven in ihnen selbst liegen, oder in Hirn- und Rücken- markteilen, zu welchen sie hingehen, ıst unbekannt, aber es ist gewiss, dass die Uentralteile der Sinnesnerven ım Gehirn, unab- hängig von den Nervenleitern, der bestimmten Sinnesempfindungen fähig sind.» (S. 261.) Um das Verdienst eines Entdeckers zu beurteilen, muss man sich ın die Anschauungen seiner Zeit vertiefen. «Was ıhr den Geist der Zeiten heisst, das ıst im Grund der Herren: eigener Geist, in dem die Zeiten sich bespiegeln.» Ein Kind vermag ın seiner heimischen Gegend zu geleiten; doch dem Fremdling die Wege so zu beschreiben, dass er nicht fehlgehen kann, ist eine schwere Führerkunst. Harvey hat 9 Jahre gezögert seine grosse Lehre vom Kreis- laufe des Blutes zu veröffentlichen (1628), bis er sicher war, alle Einwände entkräften zu können. Erst hat man seme Lehre bekämpft und später seine Priorität. Noch in den letzten Jahr- zehnten hat man drei Männern als den Entdeckern des wich- tigsten Lebensvorganges Statuen errichtet: Servets (1553) Stand- bild in Madrid, rühmt den Spanier, Pısa und Rom verewigten. Cesalpıno (1583), als wahren Entdecker des Blutkreislaufes; Harveys Monumente aber stehen zu London, zu Hempstead und in seiner Vaterstadt Folkestone. Dr. Bergson schrieb sogar Dante die Entdeckung des Kreis- laufs zu. Wie verführerisch ist es, mit späteren Kenntnissen, verschwommenen Vorstellungen feste Formen zu geben! Der gewissenhafte Historiker Haller hielt sich von solchen Imputationen frei. Seine Wahrhaftigkeit und Selbstkritik offen- bart er in folgenden Sätzen seiner Vorrede zum letzten Bande seiner «Elementa»: «Wenn im langen Werke auch Irrtümliches geblieben ist — und warum sollte dies nicht — so gestehe ich, Bern. Mitteil. 1902. No. 1547. Ze dass dies meiner Aufmerksamkeit entgangen ist. Niemals aber möge man glauben, dass ich mit Wissen und Willen dem Leser imponieren wollte, dem zu liebe ich so grosse Arbeit unter- nommen habe.» «Fallere (enım) turpe, errare humanum est.» (p. XXI) «Täuschen ist schimpflich, irren menschlich.» Glücklich schätzen wolle er sich, wenn sem Leben ım Suchen des Wahren für sein Jahrhundert nicht vergeblich ge- wesen sel. G. Sidler. (Eingereicht den 15. September 1902.) Zur Theorie des Kreises, u. a. 1. Die Paare konjugierter Durchmesser einer Ellipse bilden ein involutorisches Strahlsystem. Wird daher durch den Mittel- punkt O einer gegebenen Ellipse ein beliebiger anderer Kegel- schnitt gelegt, so gehen die Sehnen dieses letztern, welche die zweiten Schnittpunkte je eines Paares konjugierter Durchmesser der gegebenen Ellipse mit diesem Kegelschnitte verbinden, durch einen nämlichen Punkt. Nimmt man für diesen zweiten Kegel- schnitt einen Kreis, so lässt sich auf diesen Satz eine einfache Lösung gründen der Aufgabe: Gegeben nach Grösse und Richtung zwei konjugierte Durchmesser AA’ und BB’ einer Ellipse: man finde die Richtungen der Axen. Lösung'). Wir ziehen (Fig. 1) die Geraden 5A’ und BA, und durch den Mittelpunkt O der Ellıpse parallel zu diesen Geraden die Strahlen Oy und Od, so liegt auf diesen Strahlen ein zweites Paar konjugierter Durchmesser der gegebenen Ellipse. Wir legen nun durch O einen beliebigen Kreis, so werde dieser von OA und OB noch m «und d, und von OyundOod noch in yund.ö getroffen. Die Kreissehnen «3 und yd mögen sich ın J schneiden, und es sei uv der durch J gehende Durchmesser des Kreises, so liegen die Axen der gegebenen Ellipse auf Ou und Ov. Um auch die Grösse der Axen zu erhalten, ziehe man durch 5 zu OA eine Parallele, welche Ou ın T schneide, und schlage über OT als Durchmesser einen Halbkreis. Die durch b senkrecht zu Ou gelegte Gerade treffe diesen Halbkreis in k, und die durch 5 parallel zu Ou gelegte Gerade schneide Ok in 1, so stellen Ok=a und Ol=b die gesuchten Grössen der beiden Halbaxen dar. ', Vgl.: L. Rippert: Archiv der Math. Neue Folge III, p. 54. ag 2. Suchen wir den Hilfsatz, auf den die obige Lösung sich stützt, auch zu beweisen, ohne die Theorie der involutorischen Strahlbüschel heranzuziehen. Der folgende Beweis scheint mir einfach genug, um im mathematischen Unterrichte unserer Gym- nasien Verwendung zu finden. Satz: Durch den Mittelpunkt O einer gegebenen Ellipse werde ein beliebiger Kreis gelegt. Ein variables Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse schneide diesen Kreis wieder in a und B, so geht die Gerade «$ durch einen festen Punkt J. beweis (Fig. 2): Die halben Axen der gegebenen Ellipse seien OA=a und OB=b; wir nehmen dieselben zu Koordi- natenaxen, und es sei die Gleichung irgend eines durch den Mittelpunkt O der Ellipse gehenden Kreises x -- y2>=ux-| wy. Wir betrachten zunächst zwei ausgezeichnete Paare konju- gierter Durchmesser der Ellipse; 1) die beiden Axen und 2) die beiden einander gleichen konjugierten Durchmesser. Die Axen der Ellipse mögen den Kreis wieder ın « und 2 schneiden, so hat man O@a=u, O%2=v; die Kreissehne «3 geht durch den Mittelpunkt M des Kreises. Ergänzen wir nun AOB zum Rechteck AOBC, und AOB’, wo OB’=—.b, zum Rechteck AO B’U’, so liegen auf den Strahlen OC und OU’ die zweı eimander gleichen konjugierten Durch- messer der Ellipse; es mögen dieselben den Kreis wieder ın z und ın d schneiden, so ıst Bogen ed —«y, ünd daher steht die Kreissehne 7 ö senkrecht zum Kreisdurchmesser «M P. : Te b 3 : Der Strahl Oy hat die Gleichung v = — x, und die Gleichung ) 5! z 5 a des Kreises gıbt für den Punkt y c b2" bv DB? i x e -- — —u-+-—— Wir finden somit: a a R ‚ alau-bv) ‚ .bfau+bv) Punktes 0 00000 a?--b? a?--b und wenn wir b ın —b umsetzen: a(au—bv) b(au—bv) Punktd..-x’—= ———, y’-= | - - a? +b? a?+-b N \ : ö 4 1 a Der Schnittpunkt J von «2 und yd ist die Mitte von yo, und wir erhalten somit für die Koordinaten von J x’ x’ aru y'+y’ b?v Punkt J-.-x— eo v2 ..2>, 2 a’—+-b? : 2 a?—b? 3 e a b Bezeichnen wir mit & den Winkel AOC, so ıst ge = — € a und die Koordinaten von J nehmen die Form an Punkt J---x—=u(6e0sp)’, y=v.(sing)”. Wir behaupten nun, jede durch den Punkt J gehende Gerade schneide den Kreis M in zwei solchen Punkten «’ und 3’, dass auf den Strahlen O «@’ un O 3’ zweı konjugierte Durchmesser der gegebenen Ellipse liegen. In der Tat, betrachten wir zuerst eine beliebige Gerade Ax--By=C, so haben wir für die Schnittpunkte dieser Ge- raden mit dem Kreise M die Relationen 1 v C y 14 — u+v-—) und —A-+-B-—. X x 2: x X \ f N KR MV r ). de hs: Somit (145) (A+B2 Pr YA (An -0)=0. x (By 6) - AB) Wenn somit (x’,y’) und (x’’,y’’) die beiden Schnittpunkte darstellen, so haben wir ve Nu 6 BT Be SG Nun soll die Gerade Ax+ By=C durch den obigen Punkt ‚J gehen, so ist. C == Aucos@?-+ Bvsing?, und der Ausdruck = LH. c le 2 y y . „ (Au—Bv)sing voR —-—; wird - Kein ;— —tge*, d.h. wir erhalten RER (Bv— Au)cosg Be b’ Re Te Die Strahlen O«’ und O3’ haben also die Richtungen von zwei konjugierten Durchmessern der gegebenen Ellipse, w. z. z. 3. Als weitere Beispiele des Satzes, dass wenn durch den Scheitel eines involutorischen Strahlsystems irgend ein Kegelschnitt gelegt wird, die Sehnen, welche die zweiten TER NEE — 30 — Schnittpunkte dieses Kegelschnittes mit je einem Strahlen- paare verbinden, durch einen festen Punkt gehen, wählen wir: A) Ziehen wir durch irgend einen Punkt eines gegebenen Kegelschnittes Strahlen parallel zu den Paaren konjugierter Durchmesser dieses Kegelschnittes, so gehen die Verbindungs- geraden der Punkte, ıo dieser Kegelschnilt durch. ein solches Strahlenpaar wieder geschnitten wird, durch den Mittel- punkt des gegebenen Kegelschnittes. B) Ziehen wir durch einen Punkt P eines Kegelschnittes zei zueinander senkrechte Strahlen, die diesen Kegelschnitt wieder in a und 8 schneiden, so geht die Gerade «aß, wenn jener rechte Winkel um den Scheitel P sich dreht, durch einen festen Punkt J. Wir können den Beweis von D auch analog führen wie beim Satze ın 2): 2 12 Ein Punkt der Ellipse Rs nt sei P=(acoso, bsino). 5 Legen wir durch P erst Parallele zu den Axen, welche die Ellipse wieder ın P’ und P’ schneiden (Fig. 3), so ist die Gerade P’P’’ ein Durchmesser und hat die Gleichung P’P’...xbsmo- yacoso={. Legen wır jetzt durch P die Tangente und die Normale, so fällt die entsprechende Gerade «ß mit der Normalen Puv zusammen, und wir haben, wenn wir a? — b?=c? schreiben: Puv---xasıne— ybcosß—=c’sing cosg. Für den Schnittpunkt J von P’P’’ und Puv erhalten wır aus diesen Gleichungen 2apns I De ten a?’+-b? : a?’--b? Verschieben wir die Koordimatenaxen parallel zu sich selber und legen dieselben durch P, so gehen die Koordinaten von J über ın : c?acoso saank se 2a Das pen we a sehn, > Saranı aa ee a?-+b? en E.V SER Eier en di he Be Irgend eine durch J gelegte Gerade hat jetzt die Gleichung m | (a?+b°)x-+2ab?’cosg — (a?-+b’)y—2a?bsınp =(, V 1 2ab(mbeosp —asing) woraus er | zer ACHTE: Die gegebene Ellipse hat m unserm neuen Koordinaten system die Gleichung b’xz?+a’y®+2xab?cosp -H2ya*bsing=0, : 4 va 2abey E ei R woraus ° a? —H | -asına --beose ) + b’=0. x x° x Für die Schnittpunkte « und 2 der Ellipse mit jener Ge- raden kommt also y Var “(a bj) * m ( — asın e-1-beosp) 2y = x - b’ = 0, d. h. . mbcose — asıng 4 ©] y° Be RR y : — . ab(macosg -+bsing) — — (a?-+b?) (masın? —beosg) X X — ab(macose +bsing) =. r Vu, ns . . Ip: y Yy { Für die Richtungskoeffizienten *, und "-,, der Strahlen P« { X und Pß gewinnen wir somit —— 7; = — 1. Diese Strahlen stehen also zueinander senkrecht w. z. z. Der in B auftretende Punkt J liegt also auf der Nor- malen des Punktes P und ist der Schnittpunkt dieser Nor- malen mit dem zu OP in Bezug auf die Axen symmetrischen Durchmesser P'P'. Oder J ist zu P harmonisch in Bezug auf die Schnittpunkte uw und » der Normalen von P mit den beiden Axen des gegebenen Kegelschnittes. — Bei der Parabel ist nach Grösse und Richtung PJ—=2Pu, wenn u der Schnittpunkt der Normalen von P mit der Axe der Parabel. Wenn P in einen Scheitel A des Kegelschnittes fällt, so ist J zu A m Bezug auf Om harmonisch, wo m das Krümmungs- zentrum des Scheitels A und O den Mittelpunkt des Kegelschnittes darstellt. Bezeichnen wir also die den Scheiteln A und B einer ge- gebenen Ellipse entsprechenden Punkte J mit A und B (Fig. 4), so ergibt sich uns die folgende Konstruktion dieser Punkte: Wir ergänzen AOB zum Rechteck AOBC und fällen aus © auf AB das Lot Cs, so schneidet dieses die Axen in den Krümmungszentren m und n der Scheitel A und B. Ziehen wir nun durch den Fusspunkt s dieses Lotes eine Gerade parallel zu VÜ, so schneidet diese die Axen ın den gesuchten Punkten A und 5. Denn O Ü wird von den Strahlen s (COB 2) harmonisch geschnitten und daher haben wir auch (mO, AA) ==—1 und (nO,B5h)=—1, w.s.s. Zu irgend einem Punkte P der Stammellipse erhält man Jetzt den zugehörigen Punkt J auch wie folgt: Die Figur AOBP klappen wir um AO ın AOB’P’ um, so sind AJ und BJ respektive parallel zu AP’ und B’P’ und auch der Strahl OP’ geht durch J. Da PJ die Normale der Ellipse APB im Punkte P, so liegt im obigen auch eine neue Konstruktion der Normalen einer Ellipse in einem gegebenen Punkte. Kehren wir zu den ursprünglichen durch O gehenden Koordi- natenaxen zurück, so erhalten wir aus den Koordinaten von J x? vi a2 heN\: Or wom de... [20 © a? b° a?-+-b? v4 und ferner, wenn $, » die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes P darstellen: Strahl OT ee y. " Wenn also P die gegebene Ellipse umläuft, so beschreibt J eine konzentrische ähnliche und ähnlich liegende Ellipse, deren Scheitel A und B wir oben konstruiert haben. Diese Ellipse beschreibt J mit entgegengesetzt gleicher Winkel- geschwindigkeit wie P die Stammellipse, so dass die Ano- malien von J stets entgegengesetzt gleich den Anomalien von P sind. Aus der letzten Beziehung folgt auch: Wenn der Strahl PJ von einer Axe der Stammellipse reflektiert wird, so ist der reflektierte Strahl parallel zur Normalen der Orts- ellipse von J im Punkte J. Wenn also auf der Stammellipse der Punkt P so liegt (Fig. 5), dass die Normale von P mit jeder Axe einen Winkel — 45° bildet (oder P ein Berührungspunkt der Stammellipse mit — BB — dem umsehriebenen Quadrat ist), so ist PJ im Punkte J die Tangente der Ortsellipse von J. Wenn nun P auf der Stamm- ellipse sich unendlich wenig bewegt, so macht J eine unendlich kleine Bewegung auf der Ortsellipse von J und beschreibt also ein Tangentenelement der letztern, d. h. ein Element der Geraden PJ. Der Punkt J ist also jetzt das Krümmungszentrum des Punktes P der Stammellipse, und wir gewinnen den Satz: Die Ortsellipse von J ist der Evolute der Stammellipse wm- schrieben. Die Berührungspunkte sind zugleich die gemein- samen Berührungspunkte beider Kurven mit dem denselben umschriebenen Quadrate und sind die Krümmungszentren derjenigen Punkte der Stammellipse, wo letztere von. dem ihr umschriebenen Quadrate berührt wird. Um die genannten Punkte zu erhalten, ergänzen wir AOB zum Rechtecke AOBC, und es möge der um O mit dem Radıus OC beschriebene Kreis die Axen in D und E schneiden, so ıst die Gerade DE eine Seite des der gegebenen Ellipse umschriebenen @Quadrates. Füllen wir nun von D auf OC das Lot DK, so ıst Dreieck ODK kongruent Dreieck OCA und daher OK=OA. Es liegt somit K auf dem Hauptkreise der gegebenen Ellipse und DK ist die Tangente des Hauptkreises im Punkte K. Füllen wir also aus K das Lot KL auf OA, so trifft dieses die Gerade DE in ihrem Berührungspunkte P mit der Stammellipse. Machen wir jetzt LP’=-=- LP, so schneidet der Strahl OP’ die ın P auf DE errichtete Senkrechte Puv im Krümmungszentrum J von P oder im Berührungspunkte der Ortsellipse AJB von J mit der Evolute m In der Staminellipse. Für zwei beliebige sich entsprechende Punkte P und J ist 5 ” a > u - er — Er Ziehen wir also JA parallel zu P’A und .) B parallel zu P’B’, so erhalten wir wieder respektive auf OA und OB die Scheitel A und B der Ortsellipse von J. Bezeichnen wir mit &, n die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes P, so smd die entsprechenden Koordinaten von J: 1 = a”’—b? . a’—b? ..e. N Zu ——. = I Zi en — el! Y aa ) ab? Bern. Mitteil. 1902. No. 1548. — 234 — ) ne = odel Eier) IT ee wo e die Exzentrizität des Stammkegelschnittes darstellt. Seı nın P=($, 7) ein beliebiger Punkt der Ebene, so: stellen diese Formeln eine Abbildung einer beliebigen Figur der Ebene in eine invers ähnliche Figur dar. Auf dem e: i Strahle OP sei nach Grösse und Richtung 0Q=, Ga ann. und JJ seı ın Bezug auf die x-Axe der Symmetriepunkt von @. so ıst .J das Bild des Punktes P. Einem durch O gehenden Halbstrahle entspricht der von der Y-Axe reflektierte Halbstrahl. Der Koordinatenursprung O und die unendlich fernen Punkte der x-Axe und der Y-Axe entsprechen sich selber; die unendlich ferne Gerade und die beiden Axen entsprechen sich selber, und zwar entsprechen der positiven und der negativen x-Axe wieder je die positive und die negative x-Axe, hingegen der positiven Y-Axe die negative Y-Axe und umgekehrt. Legen wir durch. den Punkt P=($, 1) einen Kegelschnitt, dessen Exzentrizität —= e, und dessen Haupt- und Nebenaxe respektive auf der X- und der Y-Axe liegen, so ist der P ent- sprechende Punkt J der gemeinsame Punkt aller Sehnen dieses Kegelschnittes, die von P aus unter einem rechten Winkel er- scheinen und wenn P diesen Kegelschnitt umläuft, so umhüllt der Strahl P.J die Evolute dieses Kegelschnittes. Die Normale ım Punkte P dieses Kegelschnittes möge die Axen in u und v schneiden, so ıst J harmonisch zu P ın Bezug auf die Strecke uv. Ein besonderer Fall trıtt ein, wenn der Stammkegelschnitt eine gleichseitige Hıyperbel. Dann fällt das Bild jedes Punktes der Ebene ins Unendliche und wir erhalten die Sätze: Legen wir durch irgend einen Punkt P einer gleichseitigen Hyperbel zıwei zueinander senkrechte Strahlen, so ist die Verbindungs- gerade der Pnnkte, wo diese die Hyperbel wieder schneiden, parallel zur Normalen des Punktes P. Die von den Axen begrenzte Strecke irgend einer Normalen einer gleichseitigen Hyperbel wird vom Fusspunkt dieser Normalen halbiert. Schlagen wir daher um einen Punkt P einer gleichseitigen Hyperbel mit dem Radius P() einen Kreis, der die Awen | : fr Sn 3) de Em EBERLE N u ESLNEN 7 SR AEE En 2 7 SER Wr x nn “ w # RR ve Ü A Va + s £ De rn ie ie a Belle tn Inra he Pe u: der U en BEP E DE an Eon Annan ve R . Ar 2 N he hi x \ D WE Sin Men — 233 — wieder in u und in v schneidet, so ist die Gerade u Pv die Normale dieser Hyperbel im Punkte P. In den Endpunkten P und P’ eines Durchmessers sind die Normalen einander parallel. Ziehen wir daher in einer gleich- seitigen Hyperbel parallel zu irgend einem Durchmesser, der die Hyperbel reell schneidet, ein System von Sehnen, oder ein solches System von einander parallelen Sehnen, welche je die beiden Aeste der Kurve schneiden, so erscheinen diese Sehnen von zwei reellen Punkten P und P’ aus je unter rechten Winkeln; diese Punkte P und P’' liegen auf der betreffenden Hyperbel, bilden die Endpunkte eines Durch- messers derselben, und die Normalen in diesen Punkten sind parallel zu dem bezüglichen Sehnensystem. Beschreibt man daher um jene Sehnen als Durchmesser Kreise, so bilden diese Kreise ein Kreisbüschel, das die Punkte P und P’ zu Grundpunkten hat. Betrachten wir dagegen ein System paralleler Sehnen einer gleichseitigen Hyperbel, welche je nur den einen Ast der Hyperbel schneiden, so sind die Punkte P und P’ imaginär, und die um diese Sehnen als Durch- messer beschriebenen Kreise bilden ein Kreisbüschel der zweiten Art, dessen Nullpunkte die Punkte S und S’ sind, wo die zu diesen Sehnen paralleler Tangenten die Hyperbel berühren. Oder: In einem Kreisbüschel ist der Ort der Endpunkte eines Systems von einander parallelen Durch- messern eine gleichseitige Hyperbel. Wenn das Düschel der ersten Art, so sind die Grundpunkte P und P’ des Büschels die Endpunkte eines Durchmessers dieser Hyperbel, und die Normalen in diesen Punkten sind parallel zu jenen Kreis- durchmessern; machen wir daher auf einer dieser Nor- malen Pu — Pb PO, wo OÖ die Mitte von. PP’, so gehen durch O und respektive u und v die Axen der Hyperbel, Ist aber das Kreisbüschel der zweiten Art, so sind die NulE punkte S und S’ des Büschels die Endpunkte eines Durch- messers der betreffenden Hyperbel, und die Normalen in S und in S’ stehen senkrecht zu jenen Kreisdurchmessern ; machen wir wieder auf einer dieser Normalen Su=Sv=S(, wo OÖ die Mitte von SS’, so gehen durch O und respektive durch u und v die Axen der Hyperbel. A. Bohren. (Eingereicht den 6. Oktober 1902.) Über das Airysche Integral. Als mathematischen Ausdruck der Intensität der einzelnen Farben ım Regenbogen findet Aıry') das nach ıhm benannte Integral oo - = [os _ (83- - max: : 2 Aıry wertet dasselbe schon für die Argumente m = — 5,6 bis m -{-5,6 aus, allerdings noch auf umständlichem Wege. In- folge der Bedeutung, die dem Integral in der mathematischen Optik zukommt, ist in erster Linie nach einfachern Auswertungs- methoden gesucht worden. Stokes?) bedient sich folgender Formeln 1 ER \ Sn -— 76 ER IC A=2?(3m) 1 |Rcos(o— 7 +ssin(e | ie 4 : 7 4, : 1-5-7-11 1-5-7-241-13-17-29 2 worın RI 1.2720) + —— 1.9.3. 1720) a _ 1-5 1-3-5-7-11-13:17 %e ER 1-72 1-2-.3(720)° 1 und P—7 Es G a ’ mit deren Hilfe er ausgedehnte Tafeln berechnet. Die Wurzelwerte der Gleichung A=0 ergeben sich nach ıhm aus ') Transact. of the Cambridge phil. soc. 1838. pag. 379. ®) Stokes, Math. and phys. papers Cambridge 1883. II vol. p. 332. A u — 297 1% SEN 0,028145 0,26510 ei 0,129402 7t } Ant (4n—.1)? (&n—.1)? wo n—1,2,3,4---- und für die Maxima und Minima rechnet er nach einer ähnlichen Formel die 50 ersten entsprechenden Werte von m aus. Für Ausführung von Intensitätsberechnungen!) sind die Zahlenwerte des Integrals genügend bekannt; die vorliegende Mitteilung be- fasst sich auch nicht mit der Beschaffung neuer Zahlenwerte; aber es ist vielleicht von Interesse, zu sehen, wie auch dieses Integral durch Besselsche Funktionen einfach darstellbar ist. Setzt man Bet x? — mx) Il. —/ ee [D} Der ii so ist | cos = Kr mx)dx > 5 +1. i77 il x®— mx) dx wähle man folgenden Inte- Für das Integral fe grationsweg: Die Begrenzung eines Kreissektors (mit dem Centrum OÖ, dem Radius R), der durch die x-Axe und eme Gerade, die mit derselhen einen Winkel von 30° bildet, begrenzt ist. Das Integral, über diesen Weg erstreckt, ist nach Cauchy = 0. Längs des Bogens verschwindet es, wenn R unendlich gross wird; somit ıst SEE en De / e? is le = dx längs OB, wenn B un- 0 endlich weit vorausgesetzt wird. POOiNn ., hr — ix®—mxe ”) - AZ 6 1 7 —— € (© AX !) Pernter, die Farben des Regenbogens. Sitzungsberichte d. Aka- demie Wien 1896, p. 135. — 2333 — Entwickeln wir nach Potenzen von m, so erhalten wir eine konvergente Reihe von der Form /» TEEN EN 170 r in N oO Ä 29%: me an a ER = erg (—1) er 2 race SOTHEN SER; ; da j a er | 1 7 — zn € e S XrG X — e = V > dv= - 5) F ; 3 Setzt man ın n—1 | 1 —ı a 2 ra-rfart)r(at = - 2 (27) ? n "+3 (na) r—+1 ! Ä —— und n=3, so ıst a3. a an r Se I os | | 3 - al -H ı) — DR 3 Fr T(r+ 1) l une ee | s er I — a e ) 3 > Fl: (3 ı ime END 2 : eo / or T = +2 )r in 2i2 ı) J 3 3 Partialreihen, entsprechend Zerlegen wir die Reihe ım dividiert, die‘Reste 1, 0, —1 Werten von r, die durch 3 den ergeben, so folgt BEL in ea | er — 5 2a pP ra4y).r{rtir, ya er 171 oO Pr ) / = 3) 2m 2, Er N RER 7% j m a Da n rl is ir r@+1) — 239 0 — te : = a 272 (| an en Sr m Ai Er = Be 1 rg Dur 92 = SEN, Eee 2 = A ' = az 5) Das Integral II erhält man aus I, indem man ı durch —ı ersetzt. Führt man die Besselsche Funktion ‘ a+2 ae )h ! oO E57 a 2 % nee era u VB wi 679580 ergibt sich > ein, und bedenkt man, dass cos 1 | =; (+M= 1 3 3 a a a m\Tı. -3(3) DEESE +3) Iı Spezialfälle Al } R TE 3 Ni HlL:== [cos Sat Ola ey we ö = 2337 703 1 rn OO Ten — h 5 DE re AB |, 7 MS / 008 5 (X — 3x) dx — 3 E (zz) + den | 0 z ; EXE. Wenn auch die vorliegenden Ausdrücke nicht so einfach sind wie die, die bei der Darstellung der Fresnelschen Integrale durch Besselsche Funktionen auftreten, so sind sie doch von einigem Interesse. JE Grat Die Ueberschwemmungen des Seelandes und die Korrektionsversuche an der Aare und Zihl im XVII. Jahrhundert. (Vortrag gehalten an der Versammlung der bern. naturforsch. Gesellschaft in Neuenstadt ım Juni 1902.) Die ganze Geschichte des Elends und der Kalamitäten, welche die Ueberschwemmungen der Aare ım Seeland verursachten, ist noch nicht geschrieben. Thatsache ıst, dass die Klagen bis weit ın das Mittelalter zurückreichen. Unter den Schauenbury' schen Karten, welche sich in der Bibliothek des eidgenöss. Generalstabs ın Bern befinden, existirt eine, die die Gegend zwischen den drei Seen, zwischen Zihlbrugg, St. Johannsen und Landeron bei einer grossen Ueberschwemmung darstellt; «alles scheint ein See zu sein, Sugiez ıst ganz ım Wasser. Der Plan enthält ein Grad- netz, kann also aus dem Ende des XVI. Jahrhunderts oder An- fang des XVII. stammen. Die Kalamitäten müssen besonders mit dem Beginn des XVIII. Jahrhunderts gross gewesen sein. Am 7. Dez. 1702 wurde eın Kredit von 500 Thalern bewilligt, um die Arbeiten an der Zihl bei Brügg anzufangen und bıs zur Aare fortzuführen. Es datırt vom 30. Mai 1704 ein „Plan und Grund- rıss von der Zahl ete.* von Samuel Bodmer, !) dem bekannten Stück- lieutenant, den er mit Hülfe seiner beiden Disciplen Emanuel und Sammel Oth ausgeführt hat. Er war «von der Oberkeit befelehnet aufzusetzen und in Grundriss zu legen». Der Plan wollte zweierlei, einmal einen neuen Durchbruch der Zihl bei Bürglen, so- dann einen neuen Durchbruch von einer Aar zur andern, um vom Wirbel aus das Häftli abzuschneiden. Im September 1704 wurde eine Kommission bestimmt, um einen Augenschein abzuhalten. !\ J. H. Graf, Der Kanderdurchstich im Berner Oberland. Schweiz. Rundschau 1892. Graf, Gesch. der Math. u. Naturw. in bern. Landen, III S. 855. a — 241 — Wohl eine Folge desselben sehen wir darın, dass Bodmer und seine obgenannten Gehülfen einen viel grösseren Plan aufstellten, datirt vom 16. Nov. 1704. Dieser Plan sieht vor: T) einen geraden Durchbruch bei Bürglen, 2) zwei Durchschnitte bei Gottstadt, >) einen grossen Aaredurchschnitt bei Büren. Die ganze Länge der Zihl von Nidau bis zur Einmündung in die Aare, in der sogenannten «Höll», wurde auf 28922 Klafter bestimmt, der Fall beträgt auf diese Länge 20 Fuss 5 Zoll, so- mit meint Bodmer, hat die Zihl Gefäll genug, die oberen Wasser um ein Namhaftes zu fällen. Vom grossen Wirbel bis gen Büren habe die Aare 4 Fuss 10 Zoll Gefäll, vom Wirbel bis Meyenried, wo die Zihl in die Aare gelangt, 3 Fuss 4 Zoll, also von da bıs Büren, d. h. auf eine Distanz von 24,000 Fuss betrage der Fall nur 1'/s Fuss. Das Gefäll der Aare von Büren bis Solothurn, d. h. auf einer Distanz von 40,000 Fuss, sei nur 6 Fuss, so dass also das ganze Gefäll von Nidau bis Solothurn 27 Fuss 11 Zoll betrage. Hingegen, sagt nun Bodmer, «steige die Aare ın Solo- thurn bei «Wassergrössenen» auf 17 Fuss, und wenn noch die 6 Fuss Gefäll von Büren nach Solothurn dazu geschlagen werden, so müsse in einem solchen Fall notwendigerweise die Aare mit der Zihl auf eine Höhe von 23 Fuss zurückgeschlagen werden, was bei der Zihl bis nach Brügg hinaufreiche und bei der Aare die grossen Ueberschwemmungen im Seeland verursache. Wenn nun der grosse Durchschnitt bei Büren gemacht werde, der das Häftlı abschneide, so werde es dem Wasser ein Grosses helfen, indem es geschwinderen Lauf bekäme, als wenn es in dem grossen Umgang laufen müsste.» Diesem ausserordentlich wichtigen und ingeniösen Plan, der einen an sich richtigen Vorschlag, welcher fast 160 Jahre später ausgeführt werden sollte, brachte, ist die Horizontallinie (Niveaulinie) der Wasserhöhe bei Nidau und diejenige der grossen Wasserhöhe bei Solothurn beigegeben. Bodmer spricht von drei Grundrissen, es muss aber einer verloren gegangen sein. Diesem wichtigsten Korrektionsvorschlag machte Büren energisch Opposition und so wurde ein Jahr darauf beschlossen (8. Nov. 1705) «die Vergredung der Aare soll unterlassen werden». Man wollte Bern. Mitteil. 1902. No. 1549. 242 — sich eben weiter mit kleinen Palliativmittelchen behelfen. 1718 wird ein neuer Ausbruch der Aare zwischen Dotzigen und Büren gemeldet; die von Orpund reichen eine Bittschrift ein, um die Zihl ableiten zu lassen. 1721, im Frühling, brach die Aare bis Nieder- worben aus, die Wasser gingen bis an die Fenster, und 30 Jucharten des besten Landes wurden zu Grunde gerichtet. Nun war die Not wieder gross. Am 12. März wurde eine eigene Aaredirektion eingerichtet), die Mitglieder waren Venner Rot, dıe Rathsherren Steiger. Thommann, alt Stiftsschaffner Düntz und alt Landvogt Kirch- berger. (Geometer Reinhard wurde beauftragt, einen neuen Plan zu entwerfen. Einige Grienräumungsarbeiten wurden unter Schwei- zer vorgenommen. Am 10. November 1722 trafen neue Klagen von Dotzigen und Büetigen ein, welche wieder unzählige Augen- scheine, aber weiter nichts hervorriefen. Die Aaredirektion ge- langte an ihren Schluss. Ende 1733 drang bei der grossen Ueber- schwemmung das trübe Aarewasser durch die Zihl bis in den Bielersee, d. h. die Zihl wurde durch die Wassermassen der Aare so zurückgestaut, dass die Zihl aufwärts floss. Aus dem Jahr 1743, November, datirt ein neuer «Plan des Aaren-Runss von Arberg bis Buettigen-Einung, in Grund gelegt von Stephan Kocher von Büren». Im Frühling 1749 traten neue verheerende Ueber. schwemmungen ein. Rathsherr Major Tillier erhielt den Befehl, die Klagen wegen der Ueberschwemmungen der Gegend des Mur- ten-, Neuenburger- und Bielersees und der Aare in Untersuchung zu ziehen. Ueber das Ganze soll ein Generalsystema abgefasst werden, insbesondere sei das Niveau aller Orte genau festzu- stellen. Des Weitern hatte er den Auftrag, «vernünftige und alte» Leute der dortigen Gegend über die Angelegenheit anzu- hören und ihre Meinung zu erkunden. Alle bisherigen Akten wurden ihm zugestellt. Da wäre nun Gelegenheit gewesen, ein rationelles Korrektionsprojekt aufzustellen und durchzuführen, aber die /dee des Generalsystema, ein Gedanke, der ja bei der Juragewässer-Korrektion in grossartiger Weise zur Ausführung kam, scheiterte kläglich. Tillier nivellirte mit schlechten In- strumenten und fand als Gefäll von Nidau bis Meyenried 63 Fuss, also fast das Dreifache des Bodmer’schen Resultates von 1704. Sein Gedanke war, es fehle bei Nidau, darum besserte er dort ') Nach dem Rezept: « Ist der Verstand am Ende schon, Macht man eine Kommission!» En die alten Kanäle aus und machte eine Reihe neuer kleinerer Kanäle, so dass Nidau zu einem kleinen Venedig umgestaltet wurde. Kosten 5000 Kronen. Die Arbeiten wurden 1758 been- digt, ihr effektives Resultat war Null. Während dieser Arbeiten brachte das Jahr 1751 wieder besonders grosse Ueberschwem- mungen. Die Tillier'schen Arbeiten werden durch zwei Pläne illustrirt: 1. Plan vom Lauf der Zihl 1749/50, wo, wie schon angedeutet, neue Graben, Oeffnung alter Graben, Wegräumen von Grieninseln, Tieferlegen des Zihlbettes vorgeschlagen werden. Eine grössere Ausgabe betitelt: „Plan der Zihl von Nidau bis Meyenried und der Aare von Dotzigen bis Büren von Anton Tillier. Major, und Alb. Knecht. Kommissarius“, bestimmt die Länge der Zihl von Nidau bis Meyenried auf 3640 Klftr. und den Fall wie schon gesagt auf 68'572". Die neue grosse Ueberschwemmung von 1760 veranlasste die Regierung den Wasseringenieur de Riraz zu konsultiren ; derselbe fasste die Sache ım Grossen und die Korrektion der (Gewässer im Zusammenhang auf. Sein Vorschlag ging vorerst dahin, vom Pfeidwald bis Schwadernau ein neues geradliniges Zihlbett zu graben. Das Resultat war, dass die Anfertigung neuer Pläne angeordnet wurde, so von Geometer Brenner, Juli 1763, kopirt von Küpfer, Jan. 1765. Der Plan der Aare vom Lysswald an ist besonders deshalb interessant, weil die enormen Verwüstungen angegeben sind, die die vorige Ueberschwemmung im Gefolge hatte. Das Jahr 1771 brachte neue grosse Ueberschwemmungen. Der Wasseringenieur Mirani wurde konsultirt, sein Vorschlag ging ebenfalls dahin, ein neues gerades Zihlbett vom Pfeidwald bis Schwadernau ausheben zu lassen. Ferner soll der Schuttkegel weggeräumt werden, den die Scheuss ın das Zihlbett bei Nidau geworfen hatte. Besonders wertvoll aber ıst der «Plan der Zihl und der Aare» von Hebler, städtischem Werkmeister aus dem Jahre 1775. Er will 1) einen geradlinigen Durchstich der Zihl von Gottstadt an, 2) ein neues Bett für die Aare beim Häftli und 3) ein neues Zihlbett vom Häftli nach der Reiberen Allmend unterhalb Büren. Seine Idee ıst also zuerst die Aare geradlinig zu legen, dasselbe mit der Zihl zu thun und die letztere geradlinig und von der Aare abgesondert erst unterhalb Büren in die Aare zu leiten. Kosten 87,060 Kronen. a Dass einem solchen durchgreifenden Projekt Widerstand geleistet wurde, ist für sich klar. Büren opponirte, weil es für seinen Wasserzoll fürchtete, auch hätte das neue Zihlbett zum grössten Theil durch Gebiet des Bistums Basel gelegt werden sollen, alles Gründe, die die Regierung am 14. Febr. 1776 veran- lassten, vom Projekt zu abstrahiren. Das gleiche Jahr 1776 brachte eine neue grosse und allgemeine Ueberschwemmung, die Veranlassung zu neuen Expertisen gab und Heblers Projekt wieder in den Vordergrund stellte. Alleın aus der Gegend selbst erwuchs ihm der heftigste Gegner; Pagan, Landschreiber von Nidau, bekämpfte es auf die bitterste Weise und stellte die Be- hauptung auf, dass an allen Uebelständen die Mühle und Walke bei Brügg schuld sei. Angesichts dieser Opposition verzichtete Hebler schwachmüthig auf sein Projekt, er schloss sich den Pagan’schen Ideen an; so wurde mit einem Kostenaufwand von S015 Kronen die grosse Kiesbank bei Brügg durchstochen, was einige Zeit half, nachher ging das alte Elend von neuem an! Das letzte Plandokument aus dem XVII. Jahrhundert ıst ein Plan der Zihl und des Aare-Flusses von Schwadernau und Busswil bei Büren, gezeichnet von Fr. Schumacher. Geometer, 1789. Dieser Plan kommt auf die alte Bodmer’sche Idee zurück, beim Häftlı einen Zahl- und einen Aarekanal zu graben. Interessant ıst die Anlage einer grossen Schutzschwelle m der dortigen Gegend. Alle diese Pläne wurden aber nicht verwirklicht, es fehlte der grosse einheitliche Gedanke, welcher das geniale Werk des XIX. Jahrhunderts wie em rother Faden durchzieht. Die Zeit war noch nicht zur Lösung der Aufgabe reif, und die Dulderzeit der dortigen Bewohner noch nicht zu Ende. Wohl ragen aus der Kleinlichkeit jener Periode einzelne Männer wie Bodmer, Rivaz,. Mirani, Hebler, weit hervor, aber ihrem Gedankenflug konnte man nicht folgen, es blieb dem vorigen Jahrhundert vor- behalten unter Mithülfe des Bundes, der Kantone und Gemeinden die Jahrhunderte alte Plage der dortigen Gegend zu wenden und eine Aera neuer Entwicklung zu inauguriren. (Die angeführten Pläne sind ım Staatsarchiv Bern; man vergl. auch das Seeland der Westschweiz und die Korrektion seiner Gewässer. Eine Denkschrift von Dr. J. 'R. Schneider, Bern 1881.) J. H. Graf Notizen zur Geschichte ‘der Mathematik und der Naturwissenschaft der Schweiz. Nr. 61 Fortsetzung der Briefe von Micheli an Joh. Jakob Huber und Herrn Bavier in Basel. A MonsIEUR HUBER LE FILS A BASLE. Au Chateau d’Arbourg le 2 janv. 1754. Monsieur, Il me paroit par celle que vous m’avez fait Y’honneur de m’ecrire le 29 Dec® dernier que vous ne combattez guere ma these sur la par- faite spherieite du globe de la terre, car vous vous y bornez a m’ob- jeeter sur un article de ma lettre ou pour vous faire voir que la super- fieie de la terre au niveau des mers n’etait pas la limite de la gravite mais bien le centre de la Terre je vous marquais qu’on pourroit eprouver dans une mine d’Ardinghem sous le niveau de la mer que la pression de lair y suivroit la loy de la gravite qui augmentoit toujours & mesure que l’on s’approchoit du centre de la Terre et qu’on pourroit encore eprouver dans la mer par la chute d’un corps la meme augmentation. Or vous m’objectez la-dessus, je ne sais pas d’ok vous tirez cette loy la gravitE n’augmente pas comme vous pense2. . .. — Les experiences des Academiciens de Perou prouvent que cela n’est pas. Je ne vous ai pas specifie, Monsieur, en quoi consistoit cette aug- mentation parceque nous n’en avons pas des regles bien justes et que les experiences que l’on a faites jusqua present avec le Baromeötre et peut etre encore celles qu’on a faites sur la chute des corps sont fort imparfaites mais quoiqu’imparfaites et meme discordantes elles s’accor- dent toutes A convenir d’une progression d’hauteur d’air depuis le niveau de la mer jusquau sommet de l’atmosphere pour chaque ligne du Baro- metre comme vous le pouvez voir au Ch. 4, Liv. 5, Tom 2 Voiage de Perou, d’oü par consequent il sensuit une diminution d’hauteur d’air A mesure qu’on descend plus bas sous un tel niveau et par conseq' un ac- croissement de la gravit& pour chaque ligne du baromötre comme je l’ai dit. Ainsy si pour obtenir (en montant du bord de la mer audessus) une ligne de diminution au barometre, il faut monter 80 pieds, il en — 246 — faudra descendre moins pour la rencontrer d’augmentation et toujours ensuite de moins en moins. Mais quand meme cette loy de progression n’aurait pas iei lieu et que l’accroissement de la gravite se feroit dessus et dessous le niveau de la mer toujours egalement d’une ligne pour 80 pieds. Cela n’empeche- roit pas que le centre de la Terre ne fut toujours la limite de la gravite puisque les corps les plus pesans tombent vers ce centre autant qu’il est possible qu’il en puisse approcher. Ainsy l’attraction du centre de la Terre se trouvant de la cause qui opere la pression de l’air sur le barometre, comme je vous l’ai fait voir, Mr. dans ma precedante, et cette attraction agissant ainsy par un tel moien sur toute la Terre au niveau des mers avec force 6gale, puis- que le barometre y marque partout 28 pouces, cette force egale temoigne done partout une distance egale jusques A son prineipe qui est le centre de la Terre, puisque toute vertu d’attraction diminue par l’eloignement de sa cause et augmente par sa proximite. D’ailleurs la colonne de l’atmosphere de l’air superieure aux mers, etant par tout egale en poid et en hauteur ainsy que nous en convenons il en resulte encore de la une nouvelle preuve de ma proposition, car si V’attraction du centre de la Terre qui est la cause de la pesanteur de l’air se trouvoit moins forte sous l’equateur qu’au cercle polaire la co- lonne de l’air sous l’equateur y etant d’egale hauteur y peseroit moins et presseroit par consequent moins le barometre, mais puisqu’elle le presse egalement comme au cercle polaire la pesanteur y est done la m&me et la distance au centre de la Terre par consequent la me£ıne. Il s’ensuit done clairement de lä que le globe de la Terre est par- faitement spherique au niveau des mers, car d’abord qu’il est demontre comme je viens de le faire, que la distance de ce niveau des mers au centre de la Terre est partout la m&me, la parfaite spherieite da globe dont il s’agit s’ensuit manifestement. Ainsy vous coneluez, Monsieur, si vous voulez bien me permettre de vous le dire un pen legerement, que je dois juger que le barometre ne peut pas servir A indiquer les differentes distances du centre de la Terre, mais qu’il indique uniquement la difference des hauteurs du fluide dont il est environne, puisque en mesurant avec cet instrument la hauteur et le poids d’un pareil fluide au niveau des mers est consequemment la sphericite de la Terre comme je l’ai dit. Je renvoie au surplus & repondre pour une autre fois au reste de l’honneur de la votre et me borne dans celle-ci A vous prier d’agreer mes complimens au sujet de la nouvelle annee et de me croire tres par- faitement, Monsieur, votre tres humble et tres obeissant serviteur MIOHELI DU ÜRKST. ER A Monsieur BAVIERE A BASLE. Au Chateau d’Arbourg, 15 janv. 1754. Monsieur, J’ay recu le Maupertuisiana que vous m’avez renvoie, de m&me que la eire et les epreuves de la planche du therme dont je vous re- mercie du tout et prie Mr Albert Louvis de vous rembourser de la cire. Quant & la question que je vous ai propose sur le barometre vous me permettrez de vous dire que dans vos diverses leitres que j’ai recues de vous sur ce sujet vous ne m’en donnez pas l’explication suffisante. I s’agit de savoir si dans un tuiau de 4 lignes de diametre in- terieur le mercure s’y soutient plus haut ct de combien que dans un tujau d’une ligne et demie ou d’une ligne un quart de diametre, je n’i- gnore pas que Je tuiau large de 4 lignes A l’inconvenient des bulles d’air qui se glissent facilenent en haut et par consegt qu’il n’est pas convenable pour le transport, mais cela n’empeche pas qu’on ne doive pas connoitre la difference de l’exhaussement afin de juger ce qu’il y auroit lieu d’ajouter au dessus de l’autre pour raison de sa petitesse ou de cette attraction des parois du verre que le Docteur Desaguliers ap- pelle attraction de cohesion. Il me paroit done que M! Huber, qui a en quelque facon pris la täche de perfectionner cet instrument, pourroit tres bien faire A Bale ses experiences sur un tujlau de 4 lignes, sur un de 3, sur un de 2, sur un d’une ligne !/a et sur un d’une ligne '/ı afin de voir de combien ils seront plus hauts les uns que les autres. Or je crois qu’il faudra s’en tenir apres cela pour l’usage A celui qu’on pourra remplir tout forıne courbe par le bas et telle par le haut, ainsy que je l’ai vu pratiquer jusques A celui d’une ligne '/, si je ne me trompe. Pour cet effet on ne le pose un peu incline sur une table et l’on met dans la bouteille qu’on bouche avee bouchon environ un pied de mercure que l’on chasse A petits grains ainsy jusqu’au haut du tuiau, puis on le tient sur le feu pour en purger l’air et apres cela on reitere l’operation jusquä ce quil soit plain. Il faut auparavant tenir les baro- metres vides dans le fourneau pendant 24 heures, le sommet place au plus chaud et la sortie A peu pres au moins, afin de les bien purger d’humidite et que le mercure en soit aussy bien purge et bien pnrifie. Vous savez M" au surplus une maniere de purifier le mercure, ainsy je n’ajouterai rien A cet egarld. Il ne me paroit point necessaire de soulder deux tujaux l’un A l’autre pour les comparer puisque cela se peut faire aisement en les mesurant avec une regle de 3 pieds de Roy, l’une apres l’autre. Le variable ou le terme moien du barometre d’iei est & 26 pouces 6 lignes '» et il est actwellement la aujourdhui & 10 heures du matin que Jecris la presente A celui que j’ai de votre facon. Le plus haut terme ou je l’ai vu a et&e a 27 pouces 2 lignes Yı et le plus bas & 25 pouces 10 lignes °/ et par consequent tout son mouvement est jei de 15 lignes !/.. — 245 — On ne sauroit d’ailleurs, Monsieur, exactement mesurer avec la ficelle que vous m’avez envoiee puisquelle s’etend plus ou moins suivant l’humidite et suivant qu’on le tire plus ou moins fort. J’ai ’honneur d’ötre tres parfaitement au surpJus, Monsieur, votre tres humble et tres obeissant serviteur MicHELI DU ÜREST. A Monsıkur .BAVIERE A BAsLE. Au chateau d’Arbourg, le 23 janv. 1754. Monsieur, J’ay recu celle que vous m’avez fait l’honneur de m’ecrire du 19 et ou vous me faites part de vos observations du barometre dont il re- sulte trois lignes de difference du lieu de votre observation & la mienne, or il vous est aise de savoir combien vous &tes elev& au dessus du Rhin dans son etat moien et ä moi combien je le suis de meme au dessus de l’Aar au pied du Chateau et de conclure par consequent la quantite de pieds de pente tant pour l’Aar que pour le Rhin depuis Aarburg jusqu& Bale en vertu d’une regle determinnee par des experiences combien il faut de pieds pour operer au Barometre une ligne de diminution. Le barometre fut iei lundi passe 21 presque au superlatif, car il y montat jusqua 27 pouces 2 lig. Vs et je ne l’ai jamais observ& plus haut que jusqua 27 pouces 2 lignes !/ı et comme vous avez sans doute observer le votre pour lors bien exactement il vous sera facile de voir si les 3 lignes de pente s’accordent. La presente est, principalement pour vous prier de me faire re- faire une autre copie de ma reponse au 4° tome des lecons de physique de MY ’Ab& Nolet celle que vous aviez eu la bonte de me faire faire fut par moi communiquee il y a bien longtems ä M" le Doctenr Zelmater (Seelmatter)!) et l’ayant redemandee il y a un mois parceque j’en avois besoin elle s’est trouv6e egaree sans quiil ait pu la retrouver jusqua present, c’est pourquoi je vous prie de m’en faire faire une autre sur de papier double de celui-ci et dans cette lettre est une demie facille, puis vous en faire paier par Mr Zouwvwis et me l’envoier par le messager. Je vous prie de m’exeuser si je ne repond pas si tost sur l’art® des calculs de la planche parceque j’ai de la besogne A quoi je travaille que je ne saurois quitter, mais bientost je reprendrai cette affaire la. En attendant je vous prie de bien faire mes complimens A M! Huber et. de lui dire de ma part que puisqu’il ne me repond point sur l’article de la spherieit& de la Terre controverse entre nous c’est qu’apparemment il desespere de pouvoir me convaincre par de bonnes raisone. Je m’attendois qu’il m’auroit objeete l’observation des pendules tant de fais reiteree sous l’equateur, ou entre les tropiques et de la quelle Mr Newton et M" Huygens et MY Maupertuwis et tant d’autres apres !\ Wahrscheinlich Samuel 4A. Seelmatter, der 1751 zu Basel mit der Diss. Sistentem morbos eirca Tobinium familiares in 4° den med. Doctor sich erworben hat. HN 24) — eux ont conelu l’applatissement du cote des poles et le renflement sous l’Equateur, mais tous cela seulement en peinture ou en fiction, car le pretendu raccoureissement d’environ une ligne qu’il faut faire au pendule sous l’equateur pour qu’il batte les secondes comme & Paris, est vrai, mais il ne prouve pas le renflement ou l’elevation de 12 & 14,000 toises de plus & la mer sous l’equateur qu’au pole puisqu’il est elair par le barometre que la pesanteur est egale dans l’un et dans l’autre et si parfaitement egale que s’il s’en manquoit seulement 80 pieds on s’en apercevroit au barometre par une ligne de moins qu’ainsy il n’y a point de parallele a faire n’y d’opposition & recevoir d’une experience contre l’autre, quand meme la conelusion qu’on tire du pendule se trouveroit fondee sur quelque apparence de verite, mais lors qu’on l’examine de pres, on n’y decouvre d’autre appui que l’opinion de ces illustres per- sonages et sans qu’ils aient ıneme fait les recherches suffisantes et faciles en semblable cas pour se bien assurer de la veritable cause de ce phenomene qui me paroit provenir de l’humidit& ou des vapeurs qui sortent de la Terre en plus grande abondance entre les tropiques que dans le climat de Paris et dans le climat de Paris plus qu’au cercle polaire, et qui epaississant necessairement davantage entre les tropiques qu’a Paris, doivent exiger le raccoureissement dont il s’agit. Et pour s’en convainere mettez en Et& A Bale une pendule bien reglee sur le tems moien dans une cave, puis tirez au bout de 8 jours et voiez si elle n’aura pas pour lors retard considerablement. Si elle se trouve avoir retarde, comme je ne doute pas, n’y aura-t-il pas lieu de dire qu’il faut aller bride en main sur ces experiences. J’ay V’honneur d’etre tres parfaitement Monsieur votre tres humble et tres obeissant serviteur MICHELI DE ÜREST. A MonsızuR BAVIERE A BALE. Au Chäteau d’Arbourg, le 9 fevrier 1754. Monsieur, J’ay tente l’experience que vous desirez avec la plus grande larme d’hollande que vous m’avez envoice dans un gobelet d’eau bien gelee autour et j’avois pris des pincettes pour en casser le bout, mais le bout se trouva si ferme qu’il cassa le gobelet et la glace meme en voulant le casser ce dont je ne pus venir A bout, je mis meme le bout de cette larme dans une fente de planches et je ne pus pas venir & bout de le casser. Ainsy je renoncai A l’entreprise qui auroit ete d’ailleurs inutile, parce que pour juger de l’effet dans la glace, il auroit falu avoir une autre larme de m&me grosseur par la casser dans l’air, et encore en ce cas difficillement on peut faire un juste parallele, puisque suivant que la larme se reffroidit plus ou moins vite, apres etre faite et plus ou moins est grand son effet. Je fis ensnite l’experience de ce que vous apellez Bern. Mitteil. 1902. Nr. 1550. euf philosophique, mais qu’a Paris on appelle un petard, ceux que jai vu & Paris etoient du verre pareil aux larmes et six fois plus gros et fesoient aussy six fois plus d’effet, et je crois encore beaucoup plus promtement. Rien ne presse pour la copie du ınemoire contre le 4° tome de Mt !’Abe Nolet, il suffit que vous aiez la bonte de la collationer sur votre original, lequel je vous prie de conserver entre vos mains. Mr Ehiter fait tres bien de faire ces epreuves de tuiau de baro- ınetre, il sera convenable encore qu’il examine, si de faire bouillir un peu de tems le merceure dans le tuiau. 1° Ce n’est pas la canse qui le rend lumineux, je le crois aussy parcequil se detache pour lors du mercure des particules rougeatres qui se collent au verre. 2° Si cette ebullition ne fait pas que le inereure s’y soutient plus haut qu’il ne feroit sans cela. Je vous prie de lui faire bien mes complimens et de Jui dire qu’apres qu’il aura determine le calibre interieur du barometre pour le plus commode, que je crois devoir etre d’une ligne "s, s’il a dessein de se rendre recommandable par des experiences A cet egard dans la Rep® des lettres par la suite du tes, il seroit A propos qu’il s’informat, si le mont St. Godart') n’est pas la plus haute montagne de la Suisse, et si sur ce mont il n’y a pas un couvent et des moines propres A faire les observations du Barometre, ce que je suppose. En ce cas done, je dis qu’il seroit bon d’envoier A trois de ces moines trois barometres, afin que les observant pendant deux ou trois ans de suite, ils en pussent connoitre la plus grande elevation et le plus grand abaissement et en marquer le milieu, il faudroit aussy que chaque barometre eut un therm® gradu& A notre maniere, avec les termes du tempere et de l’eau dans la glace. L’etat moien du barometre etant ainsy determine sur le haut du mont, il y pourroit ensnite faire un voijawe dans la belle saison avec quelques amis et un grand nombre de barometres portatifs et par ce moien faire comme il faut les experiences convenables pour connoitre la progression et la hauteur du mont sur son pied, ensuite sur Altorff et Bale, ete.; ce dont je pourrai fournir une explication plus ample, mais avant tout doit proceder la parfaite connoissance de l’etat moien du barometre sur le hant du mont, et quoiqu’en ce cas ce ne soit pas au sommet, la chose se pourra facilement conclure alors qu’il y iroit par la comparaison qu’on feroit du barometre pose sur ce sommet, avec ceux des moines. J’ai ’honneur d’etre tres parfaitement Votre tres humble et tres obeissant serviteur MICHELI DU ÜRESt. ') St. Gotthard. a ie Bw A M. Huser Fıns äa Bale Au Chateau d’Arbourg, le 19 fevrier 1754. Monsieur Je puis vous assurer que je n’ai trouve aucune expression cho- quante dans les lettres que vous m’avez fait l’honneur de mi’ecrire ei devant et que je ne trouve nullement mauvais que l’on soit du sentiment oppose au mien, car tot capita, tot sensus, n’y qu’on me fasse voir mes erreurs par des raisons vivement poussees, car nous devons tous desirez de les pouvoir connoitre pour nous en deffaire, mais je vous avoue na- turellement qu’on ne me fait pas renoncer dans des cas probl&matiques ä& mon sentiment n’y par des sophismes n’y par des questions hors du sujet, car cela paroit tendre au contraire & le confirmer, puisque cela paroit supposer le deffaut de bonnes raisons. Ainsy vous me permettrez bien de vous dire, Monsieur, que dans le 1° cas se rencontre le 1° article de votre lettre du 16. de ce mois, article sur lequel vous me demandez explication en ces termes. «Puisque vous dites que le barometre indique si facilement les distances au centre de la terre on pourroit vous demander si dans un beau tems quand le mercure du barometre est haut, nous sommes plus loins du centre de la Terre que quand il est bas. Car je ne vous ai pas propose, Monsieur, ma preuve du barometr. en tout tems, n’y en vertu de son haut n’y de son bas etat, mais seule- ment en vertu de son etat mojen, ainsy le haut et le bas dont vous me demandez la raison ou l’explication sont hors de ma preuve et ne font rien au fait, trouvez done bon, Monsieur, s. v. p. que je m’en dispenser Vous dites dans le commencement de votre lettre que vous avee eu seulement dessein de me faire voir que le barometre ne peut pas servir & determiner la figure de la Terre, mais c’est ce que vous ne m’avez point fait voir, au lieu aue je vous ai fait voir que cet instru- ment observ& dans son etat moien A 28 pouces sur toutes les mers prou- voit evidemment legal pesanteur de l’atmosphere de l’air sur toute la surface des mers de la Terre et conscequemt l’egale distance de cette surface au centre de la Terre en vertu de l’egalit& de cette pesanteuz et par une consequence ulterieure la parfaite spherieit du globe dont il s’agit. Cette preuve n’est t-elle pas claire et l’instrument qui me la fournit n’est il pas fidele puisqu’il est si juste et si sensible pour cette demons- tration que s’il y avoit une erreur ou un manquement seulement de 24 pieds sur la parfaite sphericit€ que je soutiens du globe de la Terre, il ıne fourniroit une ligne de plus ou de moins de demonstration, au lieu que les autres instrumens dont on s’est jusqu’ieci abuser pour prouver le contraire et dans le premier rangs desquels je met les pendules avec Newton: Et certius (dit il) per experimenta pendulorum deprehendi possit, quam per areus geografice mesuratos in meridiano. Cet instrument dis-je des pendules ne fournit qu’une ligne de dif- ference sur 12000 toises d’erreur de plus ou moins. Par consequant done Monsieur ma preuve du barometre etant mille fois plus sensible et plus sure qu’aucune des plus sures de celles qu’on peut lni opposer, la pretendue suret& que vous croiez voir dans votre proposition parceque j’etois sure de la verite de ma proposition et mille fois plus incertaine que celle que je crois voir dans la mienne. Quant au 2me article dont vous me demandez l’explication en ces termes. «D’ou vient qu’un barometre plonge dans l’eau ne doit etre en- fonc& que de 13 lignes '/ pour que le mercure y monte d’une ligne. Je repond que je ne vois pas ny ne peux meme concevoir le raport direct ou indireet que cette question peut avoir avec celle dont il s’agit, car je ne ıne sers pas dans ma these du barometre pour connoitre ou pour mesurer la pesanteur de l’eau, mais seulement la pesanteur de l’air ainsy comme il ne convient point d’entre mesler ici des questions etrangeres sans necessit6 puisque cela ne serviroit qu’ä embrouiller la question dont il s’agit et A la faire perdre de vue, c’est pourquoi je vous prie de ne pas trouver mauvais que je me dispense d’y repondre jusqu’ä “ce que vous m’en fassiez voir la liaison indispensable et par consequant la necessite. Quant A ce que vous m’aprenez d’ailleurs, Monsienr, dans votre lettre sur les experiences nouvelles que vous avez faites sur le lumineux de votre barometre dont vous dites n’avoir pas absolument chasse tout l’air du sommet, je soupconne que le mercure dont vousTvous etes servi renfermoit encore de l’humidit& ou bien que la point en dedans du som- met du tuiau n’etoit pas bien arrondi ou bien qu’il y pourroit s’etre introduit en le souldant de la fumee de la lampe, ou bien que le tuiau n’estoit pas bien sec ou bien lisse, car tout cela sont des obstacles qui peuvent retenir de l’air dans cette parties. Cependant je crois en etre venu au bout A plusieurs barometres, d’ailleurs puisque l’on en vient A bout dans les thermometres de mercure, pourquoi n’en viendroit on pas A bout dans les barometres. Il y a bien apparence aü surplus que les divers mercures dont je me suis servi quoiqu’en apparence ınoins fluide avoient tous la meme pesan- teur puisqu’ils avoient la meme dilatation. Ce plus ou moins de fiuidite qui m’a ainsy paru me fut conteste et ne supposait d’ailleurs pour son effet que des globules plus ou moins polis. Or peut etre que la maniere dont j’avois purifi& Jes autres mercures avoit pu contribuer ä les rendre tels, je me souviens pas si jai pour lors pese ou non, mais je me flatte de le pouvoir savoir par la suite. Je que vous ne savez peut etre pas, Monsieur, ä l’egard des glo- bules du mercure c’est qu’ils sont conpressibles et meme avec un tres petit poids, au lieu que ceux de l’eau ne le sont point du tout. J’ay I’'honneur d’etre tres parfaitement, Monsieur, votre tres humble et tres obeissant serviteur MıcHELI DU ÜREST. A MoxsıEuUR BAVIERE. Monsieur J’ay trouve une planche gravee ou le terme moien du Barometre du S’. Godard combin& par 3 anndes consecutives d’observation est de 21 pouces 7 lig. !/,, cela ne suppose pas une bien grande elevation, il est vrai que l’observation du sommet n’y est pas mais quelle reste A faire or qu’elle est la plus haute montagne de toute la Suisse c’est ce que vous m’obligerez m’apprendre si vous le pouvez savoir surement, d’ailleurs je me recommande toujours fortement & vos bons offices s’il se peut pour les livres demandez par ma derniere, j’ai l’honneur d’etre au surplus tres parfaitement, Monsieur, votre tres humble et tres obeis- sant serviteur MICHELI DU ÜREST. A MonsıkUR BAVIERE A BALE. Au Chateau d’Aarbourg, le 3 mars 1754. Monsieur, J’ay recu hier au soir celle que vous m’avez fait l’honneur de m’ecrire du 1° de ce mois, avec le 1° tome des Acta Helvetica imprime ä Bale en 1751, dans lequel se trouve la table de progression du baro- metre suivant les diverses hauteurs calcul&e par Mr Bougıer et que Mr Bernoulli a mise au jour dans un memoire contenant diverses re- fiexions sur la physique generale, memoire qui en annonce la suite dans le 1er volume futur, et. qui sans doute n’a pas encore paru, puisque dans votre lettre vous me demandez mon avis, savoir s’il ne conviendroit pas d’inserer dedans quelque chose sur le mercure et sur le degr& de chaleur necessaire pour faire eclore les aufs, vers & soye, et sur celui du sang humain ; vous ajoutez encore M" dans votre lettre qu’un ami vous a prete seulement pour 8 jours ce livre d’ou il s’ensuivroit A la lettre que je devrois vous le renvoier mercredi prochain; cependant ce ne doit pas etre un livre rare & Bale puisqu’il est imprime en 1751, et que le second tome annonc& n’est peut-etre pas encore sous la presse, aiasy je erois devoir expliquer sainement la chose et attendre A vous renvoier ce livre mercredi prochain en 8 jours, afin que si dans l’inter- valle vous pouviez m’avoir du libraire la table imprimee du barometre seulement, et me l’envoier je pusse me dispenser de la copier, et si vous ne le pouvez pas faire, il me reste le tems de faire moi meme cette copie. Je serais eurieux, Monsieur, d’avoir une explication de vous 1° sur le titre du livre, Acta Helvetica, qui me paroit supposer que votre Aca- demie ou Universite a le droit de s’enoncer au nom de toute la Suisse ce que j’ai de la peine A croire et que je ne vois point d’ailleurs sou- tenu par des dissertations inser&es dans ce 1°" tome de la part d’aucun Docteur de Zurich ny de Berne ny d’aucun autre canton ou Ville libre du corps helvetique. Leipsik n’est pas moins je crois une universite que votre ville, cependant ils s’y sont contentez du titre d’Aetes de Leipzich dans ceux qu’ils ont mis au jour jusques A present. Pourquoi done ne pas les imiter a Bale en semblable cas. 2° La table en question porte pour titre: Table des hauteurs des Montagnes du Perou par lVabaissement du Mercure dans le Barometre par Mr. Bouguer et cependant on n’y voit pas une seule hauteur de montagne qui y soit nomme6e, n’y meme que l’on puisse deviner, et l’on voit d’ailleurs que ce n’est autre chose qu’une table de progression de la marche du barometre suivant les diverses hauteurs. Je suis bien eloign& d’ailleurs Monsieur, d’applaudir aux eloges que Mr Bernoulli donne en cette occasion a M" Bouguer, car je suis bien persuade que Mr Bouguer sait bien dans sa conscience que tout cet ouvrage baro- metrique a etE mal fait et ne peut etre par consequent que fort incer- tain. En faut-il d’autre preuve que celle qu’il en donne .lui-meme en ne le publiant pas de son chef? y a-t-il du mysterieux en semblable cas qui puisse autoriser la non-publication. Je suis persuad& que M" Bouguer et les autres de sa compagnie ont emploie vingt fois plus de tems pour calculer peut-etre en vain cette table, quw’il ne leur en auroit falu pour faire les operations neces- saires pour la bien fonder. 1° Ils n’etoient point pourvus de bons barometres, et ils n’en avoient pas la vingtainquieme partie de ce qu’il leur en faloit, pour faire comme il faut les observations, car ils en avoient tout au plus entr’eux tous, deux ou trois qui ne s’accordoient point ainsy qu’il est clair par la relation des Espagnols. 2° Ils n’ont point suivi les observations gradatine comme il le faloit depuis le bord de la mer jusqu’& Caraburu, l’un des points de leur base, et le fondement de leurs mesures geometriques en hauteur, car disent les Espagnols pag. 108, si nous provenons & determiner la hauteur du terrain oü nous mesurames la meridienne au dessus de la superficie de la mer & 100 toises pres c'est plus qu’il ne nous faut. En effet 100 toises d’erreur de plus ou de moins en ce cas se trouvoient un rien pour la reduction des triangles ä& leur juste valeur, mais fesoient un objet de grande importance pour la question dont il s’agit, car il peut y avoir 200 toises d’erreur comme 100 sur l’elevation ou lY’abaissement de ce fondement au dessus du niveau de la mer puis- qu’ils ne l’ont mesurde ny par le barometre, ny par la geometrie, mais seulemt conclüe en vertu d’une progression imaginaire, savoir si elle etoit arithmetique ou geometrique et qu’elle ne peut pas tres bien etre ny l’un ny l’autre. AS Nachtrag zu „Haller redivivus“ von H. Kronecker. Unserem ausgezeichneten Literarhistoriker, Herrn Prof. Dr. Walzel, verdanke ich die Belehrung, dass Goethe im Jahre 1782 die auf Seite 209 und 210 angeführte Stelle aus Faust noch nicht gedichtet hatte. Es wäre also eher anzunehmen, dass Goethe Schillers Ausspruch habe entwerten wollen. —- Inhalts-Verzeichnis. Jahresbericht Jahresrechnung pro 1901 Mitgliederverzeichnis . ; 5 E ; Bohren, A., Dr. phil., Lehrer auf der Rütti. Über das Airysche Integral Brückner, E., Prof. Dr., Die Beziehung zwischen Schichtung und Bänderung der Gletscher ? Zur Entstehung des schweiz. Syıra al seiner Henkteen Formen . Epstein, L., Wanderungen durch den Tiergarten Fischer, E., Prof. Dr., Demonstration von zwei mit Basidiosporen von Melamp- sorella Caryophyllacearum infizierte Weisstannen Grapß, 92. H., Prof. Dr;, Die Ueberschwemmungen des Seelandes und die Kor- rektionsversuche an der Aare und Sihl, im acht- zehnten Jahrhundert R Daniel Hubers trigonometrische Vermessung der Kantons Basel (1813—1824), mit “Porträt und Dreiecks-Netz & 5 Notizen zur Geschichte der Malhamatık und der Naturwissenschaft in der Schweiz Krebs, A., Dr. phil., Seminarlehrer. Konstruktion gleichschenkliger Dreiecke mit Hilfe von Kurven höherer Ordnung (mit Tafeln) Gross, Dr. med. in Neuenstadt, Ueber prähistorische Verhältnisse der Petersinsel Gruner, P., Dr. phil., Gymnasiallehrer und Dozent, Ueber neue Sterne Heffter -A.,-Prot. Dr. Demonstration einiger Pfeilgifte s i : Seite der Sitzungs- Berichte Abhand- lungen VIII VII 240 80 vu vll VII — 256 — Kissling, E., Dr. phil, Sekundarlehrer und Dozent, Demonstration einer Flügeldecke einer Rhina aus der Molasse der Baichlen 2 Mitteilung über einen Fund von Mr alten kn König, E., Dr. phil., Gywnasiallehrer und Dozent, Die Umformung von Wechselstrom in Gleichstrom Elektrische Strom- und Spannungsresonanz Beiträge zu dem Problem der elektrochemischen Um- formung von Wechselstrom in Gleichstrom durch Aluminium-Elektrolyt-Zellen (Figuren im Text) Kronecker, H., Dr. Prof., Albrecht von Hallers physiologische Prioritäten Haller Redivivus (Figuren im Text) Nachtrag dazu . Pfliiger, E., Dr. Prof., Vergleichende Anatomie des Säugetierauges Sidier, G., Dr.; Brof., Zur Theorie des Kreises ı. a. Studer, T’h., Dr: phil. Prof., Die Rasse der St. Bernhardshunde Faunistisches von der Petersinsel Ueber 'eine noch jetzt lebende Urform des Pferdes i Tschirch, A., Dr. phil: Prof., Demonstration einiger Ex libris von A. von Haller Seite der Sitzungs- bericht VI VI Abhänd- lungen 227 nn u ah Verlag von K. J. WYSS in Bern. (Fortsetzung von Seite 2 des Umschlags.) Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 6: Mollusken. Zusammen- gestellt von Prof. Dr. Th. Studer, Dr. @ Amstein und Dr. ALBroT: Preis 60 ÖGts. Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 9: Urustacea. Von Dr. J. Heuscher ete. 35 Seiten 8°. Prasckr.. — Fascikel V4: Heraldik und Genealogie. Bearbeitet von Jean Grellet und Maurice Tripet. Bern 1895. 68 Seiten 8°. Preis Fr. 1.50. Fascikel V6 2: Architektur, Plastık, Malerei, Zusammengestellt von Dr. B. Haendcke. Bern 1892. 100 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel V6®: Leibesübungen. "Turnen, Fechten, Reiten, Wassersport etc. Zusammengestellt von Alois Landtwing. 165 Seiten 8°. | Preis Fr. 3.— Fascikel V9ab: Landwirthschaft. Zusammengestellt v. Prof.F. Ander- eggu.Dr. E.Anderege. Bern 1893. Heft 1—3. 258 S. 8° A Fr. 3.— id. NR, „60 id. „ 5 und 6 2. Fascikel V9c: Forstwesen, Jagd und Fischerei. Forstwesen. Zu- sammengestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. Bern 1894, 160 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel V9c: Forstwesen, Jagd und Fischerei. Jagd. Zusammen- gestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. 77 Seiten 8% Preis Fr. 1.50 Fascikel V9c: Forstwesen, Jagd und Fischerei. Fischerei. Zu- sammengestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. Bern 1898, 65 Seiten 8°, Preis Fr. 1.50 Fascikel V9d: Schutzbanten. Zusammengestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. Bern 1895. 136 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel V9g3: Mass und Gewicht. Bearbeitet von F. Ris, Direktor der eidgen. Eichstätte.. Bern 1894. 36 Seiten 8°. Preis Fr. 1.— Fascikel V9g;: Post- und Telegraphenwesen. Postwesen. Zusammengestellt von der Schweizer. Oberpost-Direktion. Telegraphenwesen. Zusammengestellt von E. Abrezol, Inspektor der Central-Telegraphenverwaltung, Bern 1895. 113 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel V 9ge: Bankwesen, Handelsstatistik, Versicherungswesen. Zusammengestellt von W. Speiser, Basel, Dr. Geering und Dr. J. J. Kummer. Bern 1893. 207. Seiten 8°. Preis Fr. 3.— Fascikel V9b3: Schweizerische Eisenbahn-Litteratur 1830-1901. Mit Anhang: Verzeichniss der in der Eisenbahn-Aktensammlung (Bd. 1-8, neue Folge Bd. 1-15) abgedruckten Aktenstücke 1850-1899. Bearbeitet von Carl Sichler. Bern 1902. 539 Seiten. Preis Fr. 5.— Fascikel V9j: Alkohol und Alkoholismus. Zusammengestellt von Otto Lauterburg, Pfarrer in Neuenegg, E. W.Milliet. Direktor der eidgen. Alkoholverwaltung, und Antony Rochat, Pfarrer in Satieny. Bern 1895. 183 Seiten 8°, Preis Fr. 2.— Fascikel V10ey: Die christkatholische Litteratur der Schweiz. Zu- sammengestellt v.Dr.F.Lauchert. Bern 1893. 32 Seiten 8°. 60 Cts. g Fascikel V1l0e«; Bibliographie der evangelisch-reformirten Kirche in $ der Schweiz, Heft 1: Die deutschen Kantone. Zusammen- 2 gestellt von Dr. G. Finsler. Preis Fr. 2.— ; Fascikel V10e: Die katholisch-theologische und kirchliche Litteratur des Bisthums Basel vom Jahre 1750 bis zum Jahre 1893. Zusammen- gestellt von Pfr. Ludwig R. Schmidlin in Biberist. Heft Lund 2A Fr. 3.— Verlag von K. J. WYSS in Bern. Beiträge zur Kryptogamenflora der Schweiz. I. Band. Heft I: Entwicklungsgeschichtliche Untersuchungen über Rostpilze. Von Prof. Dr. Ed. Fischer Fr. 4. — I. Band. Heft Il: Die Farnkräuter der Schweiz. \on Dr. Hermann EHTESEAT,: ; : E : Fr. 4& — I. Band. Heft Il: Algues vertes de la Suisse. Pleur ococoicdes- Ghroolepoides. Par E. Chodat . >. Er..10. — Graf. J. H., Prof.. Dr. Einleitung in die Theorie der Gamma- funktion und der Euler’schen Integrale. Kr. 2. — — — Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften in bernischen Landen vom Wiederaufblühen der Wissen- schaften bis in die neuere Zeit. Heft 1—3. Fr. 7. 20 — — Leben und Wirken des Physikers und Geodäten Jacques Barthelmy Micheli du Grest aus Genf, Staatsgefangener des alten Bern 1746—1766. Mit Porträt Micheli's, einer Ansicht seines Gefängnisses in Aarburg und Facsimile seines Panorama der Alpen Fr. 3.— — — Das Leben und Wirken des Physikers und Astronomen Joh. Jac. Huber aus Basel, 1733—-1798. Mit dem Bildnisse Huber’s und einer Tafel, seine freie Uhr- hemmung darstellend . RN Rai — — Professor Dr. Rudolf Wolf, 1816-1898 0 08 — — Professor Ludwig Schläfi, 1814—1895 . » 1.20 — — Der Briefwechsel zwischen Jakob Steiner und Ludwig Schläfli “ .. Fr. 3. — — — Die Esxhumierung Jakob Steiner” s und Einweihung des Grabdenkmals Ludwig Schläfli’s anlässlich des 100. (reburtstages Steiner's. Mit 2 Lichtdrucken Fr. 1. — — —: Der Mathematiker Jakob Steiner von Utzenstorf. Ein Lebensbild und zugleich eine Würdigung seiner Leistungen . S > 3 ; Et ee a — — Wann beginnt das XX. Jahrhundert? Vortrag. Fr. —.50 Graf J. H., Prof. Dr. und Gubler Ed., Dr. Einieitung in die Theorie der Bessel’schen Funktionen. 2 Hefte: Die Bessel’schen Funktionen erster und zwei- LEN AN ı . a Fr. 4&.— Huber, @., Prof. Dr. Ster nschnuppen, Feuerkugeln. Meteorite und Meteorschwärme i ande — — Forschungen auf dem Gebiete der "Spektr alanalyse — "so — — Die kleinen Planeten des Asteroidenringes . ——..60 Fischer, Prof., L., Zweiter Nachtrag z. Verzeichnis der Gefäss- pflanzen des Berner-Oberlandes, mit Berücksichtigung der Standortsverhältnisse, der horizontalen und ver- tikalen Verbreitung : ’ 3 . . Fr. —. 25 Durch jede Buchhandlung zu beziehen. i , R ; { i N b} N & + } ET EEE > . PN a —— lei - Re Tee ae 07 ee u a . UT 3 2044