Q 


mur 


MEMOIRES 
L'ACADEMIE 


RO Y AUDE 
DES SCIENCES, 
Depuis 1666. jique 1699. 


TOME V. 


A 


4 
L Par LA COMPAGNIE DES LIBRAIRES. 


MS EDG) CAES K TX. 
PIATALENCNSPERIET PI Le GC. E  D'Ü:.R OÙ 


Las RSR RSR RSR SAR RES EEE 
PCT TOO IEEE RRRIIRA 


00000: DOCOLLO000090000000 


ET 
ES TEST TES ETS POSE UP EUTUS 


PA, Be LE 
DES MATIERES 


CONTENUËS DANS CE VOLUME. 


ME ODE pour trouver la Solution des Problèmes par 
les Exclufions. Par M.FRENICLE DE BESssy.Pag.r 
Abregé des Combinaifons. Par le même. 87 
Traité des T'riançles retfangles en Nombre. Par le même. 
Ice Partie. 127 
Ile Partie. 187 
Des Quarrex on Tables M. A Par lemême. 209 
Table Generale des Quarrex Magiques de quatre. Par le 
même. 303 
Refolution des quatre principaux Problèmes d' FPE 
ture. Par M. BLONDEL. 355 


SR RRRRS SAR ARR RSR RSA ARR RE RES 
CLLEL LEE EEEEE ES LUE EEEEEEEEEEES 

ES divers Ouvrages de M. Frenicie que 
Fr. l'on a raffemblé dans ce Volume ont été 
tirez du Volume #folio imprimé au Louvre en 
1693. par les foins de M. DE La Hire. Nous 
avons rapporté dans l'Hiftoirela maniere dont 
ces différens Traitez vinrent entre les mains de 
M. pe La ire, & ce qui l'engagea à les publier, 
ainfi qu'il le dit lui-même dansune Préface qu'il ! 
mit à la tète du Récuëil qu’il enfit. 

La premiere Partie dBTraté des Triangles 
rectangles en Nombres &woit été imprimée dès 
l'année 1676.17 douze , & réimprimée avec la 
feconde en 1677.au Louvre, avecles Problèmes 
d'Architecture de M. BLonvez, & quelques au- 
tres Ouvrages de MM. de l’Académie dont on 
fitun Recucil szfolo forme d’ Atlas. 


ii 


A PA RAS, 
[ GABRIEL MARTIN, ruëS. Jacques, à l’Eroile. 
| FRANçOIS MONTALANT, Quay des Auguftins. 


Chez 4 JEAN-BAPTISTE CoïcnarD Fils, Imprimeur du Roy 
& de l’Académie Françoife, ruë S. Jacques. d 


| Hirroryre-Loüis GUERIN, ruë S. Jacques, à Sains 
| Thomas d'Aquin, vis-à-vis Saint Yves. 


METHODE 
POUR LA SOLUTION 
DES PROBLÈMES 


PAR LES EXCLUSIONS- 
Par M. FRENICLE. 


2 AMIE 0 RS 
|. nor AR 0 AT 
PA À: AO ATÉEE Ft 


METHODE 


POUR TROUVER 
ES OE UT LO:N 


DES PROBLÈMES 


PAR LESVEXCLUSIONS 


Uorque les queftions doivent être éxaminées 
diverfement fuivant la diverfité de leur fujec, 
on peutnéanmoins y obferver quelques regles 
] qui conviennent à toutes en général, & qui 
peuvent en faciliter la recherche. 

On doit toujours connoître quelque proprieté de ce 
qui eft requis dans la queftion ; car fans cela il feroir im- 
poffible de rien trouver, fi ce n’eft que le problème ou la 
queftion propofée fe donne à connoître par elle - même. 
Comme fi l’on demandoit quelque chofe touchant les 

Rec. de P Ac. Tom... A 


2 METHODE DES EXCLUSIONS. 


nombres qui font la fomme de deux quarrez ou des côrez 
d’un triangle : pourvû qu’on fçache le moyen de faire des 
quarrez & des triangles, il fera facile de fçavoir leur fom- 
me fans qu’il foit befoin d’avoir aucune autre proprieté 
defdites Sue Deforte qu’il fuffitdeconnoître cequieft 
propofé ou par foi-même , commeles fommes fufdites, où 
par quelque proprieté. Comme fi l’on demandoit quelque 
particularité couchant les hypotenufes des triangles rec- 
tangles dont les côtez font des nombres entiers: car pour 
y parvenir il fera nécéflaire d’avoir quelque proprieré 
defdites hypotenufes par le moyen defquelles onles puifle 
avoir toutes, 

Que fi l’on connoît plufieurs proprietez de la chofe 
propofée, on fe fervira de celle qui conduit plus facile. 
ment à la queftion, & par de moindres nombres. Caril 
faut remarquer que le principal but & fubtilité de cette 
méthode, confifte principalement à racourcir le che- 
min, & à choifir de certains détours qui en 6tent la lon- 
gueur & les plus grandes difficultez. 

Mais parce qu'ordinairement chaque queftion fe traire 
diverfement fuivant les différentes proprietez dont il fe 
faut fervir , il feroit impoffible de donner des regles pour 
tous les divers cas qu’on pourroit rencontrer. C'eft pour- 
quoi l’on a jugé plus à propos de donner des exemples qui 
feront plus utiles pour faire entendre cette méthode, 
après avoir expliqué quelques regles générales qu’on 
peut obferver pour parvenir à la folution du problème. 

10. Si l’on connoît en général ce qui eft propofé, mais 
non pas le particulier qu'on propole, il faut par le moyen 
de plufieurs particuliers connus trouver quelque regle 
qui conviennent à tous ; & par fon moyen on trouvera ce 
qui eft requis. 

Par exemple, fi lon demande quels font les quarrez 
dont la fomme eft l’hypotenufe du triangle $7,176,185. 

Puifqu'onfcait en généralle moyen de faire des crian. 


METHODE DES EXCLUSI1ONSs. 3 


gles, il en faut conftruire plufieurs dont on fçaura les 
quarrez, comme le triangle 3, 4, $ , qui a 4 & 1 pour 
fes quarrez; $, 12 ,13,quiao&4;,8,15,17,quia 
16 &r : ou bien mêmeon fe contentera au commence- 
ment de quelqu'un de ces triangles, & puis l’on cherchera 


quelque voye par laquelleavec 3 , 4, 5 , parexemple ,on. 


puifle trouver 4 & 1 , & l'ayant trouvée Fon regardera fi 
elle convient aux autrestriangles, & par ce moyen l’on 
trouvera ce qui eft requis. 

Ainfi ayant trouvé que prenant la fomme & Ia diffe- 
rence des deux côtez impairs $ & 3, qui font8 & 2, leur 
moitié 4 & 1 donne les quarrez requis, & trouvant que 
la même chofe convient aux autres triangles ÿ, 12, 13; 
8, 15,17, &c.j'obferverai la même regle pour le trian. 
gle propofé 57, 176, 185, en prenant la fomme & la 
différence des deux côtez impairs 57 & 185, qui font 
241 & 128, leur moitié 121 & 64, donnerales quarrez 
requis. 

20. Mais fi l’on ne cennoît point ce qui eft propofé 
ni en général ni en particulier , il en faut chercher les 
proprierez par ce que l’on a de connu. Er pour cer effet il 
faut conftruire & faire des nombresfemblables à celui qui 


eff requis en toutes les façons pofñbles , & fansen obmet-. 


tre aucun, en commençant par le plus petit, & conti- 


nuant tant QU'ON Eu aie quelque nombre confidérable , 
comme dix ou douze, ou plusfelon la nature qe 14 qu 


tion ; car quelquefois trois ou quatre fuffiront, & dans 


d’autresrencontresilen faudra plufieurs avant qu'on ait 


découvert ce que l'on cherche. fu 

Par exemple, fi l’on demandoit combien de fois quel- 
que nombre donné eft la fomme de deux quarrez, je fup- 
pofe que je n’aye rien de donné , finonle moyen de faire 


des quarrez , & deles aflembler deux à deux pour avoir. 


leur fomme : il faudra voir d’abord files nombres qui font 
la fomme de deux quarrez ont quelque VERS PEAR 
| \ 1} 


+ 


4 METHODE DES EXCLUSIONS.. 


culiere’, afin de pouvoir connoître fi le nombre donné 
eft la fomme de deux quarrez, & fi quelque nombre peut 
être plufieurs fois la fomme de deux quarrez. Etaprès 
qu’on aura découvert des nombres qui font la fonmme de 
plufieurs couples de quarrez, & le moyen d’en trouver 
autant qu’on voudra, on fe fervira de la premiere regle 
pour en faire leur générale, par laquelle on puifle trou- 
ver ce qui eft requis. 

Mais pour remarquer quelque proprieté defdirs nom- 
bres qui font la fomme de deux quarrez, j'aflemble les 
quarrez deux à deux, come 4 &r;,9&Rr1;9&4;16 
&r,16&4;,16&9, &c.rant quej'enaye quelque mul- 
titude notable ; & confidérant leurs fommes $,10,13, 
17,20 ,25 ,&c. je regarde fi j'y pourrai découvrir 
quelque proprieté qui ne convienne point aux autres 
nombres, comme l’on montrera plus au long dans l’e- 
xemple que l’on donnera dans la fuite, 

3°. Pour n’obmettre aucun nombre de ceux qu’on veut 
avoir , il faut établir quelque ordre pour ne fe point 
égarer dans cette perquifition ; & cet ordre doit être le 
plus fimple & le moins embroüillé qu'il fera poflible, & 
tel que par fon moyen l’on puifle pourfuivre à faire les 
nombres aufli avant qu’on voudra fans aucune confufion. 

Il fautaufli que certe recherche foit la plus courte & la 


plus facile qu'il fe pourra faire, £e pvui ÿ parvenir on fe 
fa 1 ue uEUx MOYENS principaux. 


La recherche fera courte fi l’on confidere le moins de 
nombres que la nature de la queftion pourra porter. 

Elle fera facile fi l’on £ fert des moindres nombres pof. 
fibles. 

4°. Pour le premier moyen, quieft de faire la erqui- 
fition courte, on fe fervira de l’Exclufion. Par PExclufon 
on obmet les nombres que l’on aura reconnus inutiles déc 
qui ne fervent de rien à la queftion, & donton fe peut 
très-bien pafler | comme font prefque toujours les multi. 


METHODE DES EXCLUSIONS. $ 


ples, lefquels néanmoins doivent par fois être confiderez, 
& principalement en deux cas. 

Le premier eft , lorfque ne fçachant encore aucune 
proprieré du nombre requis, on recherche tout ce qui 
lui appartient , tant comme primitif que comme mul- 
tiple. 

L'autre eft quand il arrive qu'il n’y a point de répu- 
gnance que ce qui eft requis foit fait en partie par des 
primitifs, & en partie par des multiples tout enfemble : 
comme lorfqu’on demande crois triangles dont les aires 
foient les côrez d’un triangle reétangle. Dans cet exem- 
ple, à caufe que le triangle a trois côtez, il n’y a point 
d’inconvenient que ce dernier triangle ait pour un de fes 
côtez l'aire d’un triangle mulriple,& pour les autres celles 
de deux autrestriangles primitifs ; & partantil ne faudra 
obmertre l'aire d’ancun triangle tant primitif que mul- 
tiple. 

Il faut remarquer que quand on parle de faire la per- 
quifition courte, ce n’eft pas que pour cela on ne recher- 
che plufieurs nombres ; mais elle eft courte, parce qu’en 
excluant beaucoup de chofes inutiles, on pañle inconti- 
nent bien avant & à de grands nombres par la confidéra- 
tion de très-peu. 

5°. Cette exclufion fe fait encore en confidérant les 
lertres finales des nombres: carilarrive fouvent que par 
les finales on voit que plufieurs nombres ne peuvent avoir 
la qualité qui eftrequife. Mais pour l'ordinaire on ne fe 
fert de cette pratique que quand on connoïît plufieurs 
proprietez de ce qui eft requis, & qu’on en cherche d’au- 
tres plus éloignées & plus cachées. 

Par exemple , fi l’on veut que quelque nombre foi 
quarré, on confiderera les finales que les quarrez peu- 
vent avoir ; & ces finales font 1, 4, 9, avecla lettre pré. 
cédente paire , & 6 avec la précédente impaire, 2 5 avec 
0, 2, ou 6 auparavant, &enfin oo précédé d’une finale 

A ü} 


6 METHODE DES EXCLUSIONS. 


quarrée : d’où l’on conclura que les nombres qui finiront 
par2,3,7,ou8, ne pourront être quarrez, ou par ÿ 
précédé d’une autre lettre que de 2, ou dontles finales 
1,4, 9, feront précédées d’un impair , &c, & partant 
on les pourra exclure comme inutiles à la queftion. 

Il faudra de même confidérer les finales des autres 
nombres dont on aura befoin,& voir s’il y en a quelqu'’une 

qui leur foit particulierement affcétée : car bien fouvent 
ces finales montrent clairement & démonftrativement 
l’impofhbilité des queftions dont on ne peur donner de 
folution, 

6°. On peutaufi confidérer quelques propriétez parti- 
culieres de la chofe requife pour faire ladite exclufion: 
par exemple , fi le nombre requis doit être pairement 
pair plus ou moinsun , ou bien différent de l’unité d’un 
multiple de 6 ou de 8, guaurres telles propriétez, com- 
me font les fuivantes. 

Les quarrez qui ne font point mefurez par trois, fur- 
paflenc de l'unité un multiple de 3. 

Les quarrez impairs furpaflent de l'unité un multiple 
de 8 ; & ainfi les quarrez impairs qui ne fe mefurent point 
par 3, furpañlent de l’unite un mulriple de 24. 

Tout quarré qui n’eft point mefuré par $ , eft different 
de l'unité d’un multiple de $. 

Toute hyporenufe primitive furpafle de l'unité un mul- 
tiple de 4. 

La fomme des deux moindres côtez de rout triangle 
primitif, eft toujours différente de Punité d’un multiple 
de 8. 

Toutnombre premier excepté 2 & 3, eft different de 
lPunité d’un mulriple de 6. 

Ces proprierez & autres étant confidérées à propos, 
donnent fouvent tant d’exclufions, principalement aux 
queftions impoflbles , qu’elles femblenten montrer clai. 
rement l’impofhbilite. 


METHODE DES EXCLUSIONS. 7 


70. Le fecond moyen par lequel la perquifition fe ren- 
dra facile , eft en fe fervant des moindres nombres qu’on 
pourra ; il fe peur nommer diminution. Il ÿ à plulieurs 
voyes pour parvenir à cette diminution, aufli-bien qu’à 
l’exclufion, comme font les fuivantes. 

En cherchant ou en choififflant quelque propriété , qui 
fafle que ce quieft requis fe puiffe trouver par de moin- 
dres nombres que ceux que l’on trouve par quelqu’autre 
proprieté. 

Par exemple, fi l’on cherche les hypotenufes des trian- 
gles rectangles, on les trouveroit fuivant la proprieté 
qu’elles ont , qui eft que leur quarré eft la fomme de deux 
quarrez : mais on les trouvera beaucoup plus facilement 
& avec des nombres bien moindres, fi l’on fe fert de la 
proprieré fuivante , qui eft que la fomme de deux quarrez 
inégaux eft une hypotenufe. 

Car par la premiere proprieté on trouve, parexemple, 
l'hypotenufes , parce que les nombres 9 & 16 joints en- 
femble font 25 , quarré de 5. Mais par la feconde je 
trouverai lemême nombre $ en joignant enfemble 4 & 1 ; 
ce qui eft beaucoup plus facile & plus court. 

80, Quelquefois auffi après avoir trouvé une voye pour 
rencontrer le nombre requis, & ayant déterminé qu’il 
faut chercher quelque autre nombre pour avoir le requis, 
ce fecond fe trouvera encore par un troifiéme, & ce troi- 
fiéme par un quatriéme, ce qui fert quelquefois dans les 
problèmes impofñbles pour en démontrer l'impofhbilité. 
Comme fi l’on trouve que pour avoir le 3° ou le 4° il fe 
faille fervir du premier , on verra évidemment l’impoñfi- 
bilité de la queftion. Que fi elle ne paroît pas fort claire- 
ment, cela fait au moins que pour des nombres de deux 
ou trois lettres qu’on éxamine, étant par après appliquez 
à la queftion , les nombres qui en proviendront auront au 
moins dix ou douze lettres, & parce même moyenon 
rejette aufli une grande multicude de nombres fuperflus. 


8 METHODE DES EXCLUSIONS. 


9° Que fi la queftion demande plus d’un nombre, com- 
me fi l’on requiert un triangle dont l’hypotenufe foit un 
quarré , & l'enceinte aufli un quarré, on voir qu'il y a 
deux nombres aufquels on attribuë la proprieté d’être 
quarrez. En ce cas on recherchera les moyens de faire 
chacun d’iceux féparément ; & pour cela on fe fervira des 

moyens cy-deflus déduits; puis on conferera les proprie- 
tez de chacun desnombrestrouvez l’uneavec l’autre, & 
l'on remarquera fi celles de l’un peuvent compatir avec 
celles de l’autre , car fi une des proprietez d’un des nom- 
bres détruifoir celles de l’autre, ou quelqu’une d’icelles, 
la queftion feroit impoffible. 

1 00 Si en la recherche on a trouvé plufeurs nombres 
tels qu'il eft requis, on remarquera leurs proprietez parti- 
culieres, quiles font diftinguer d’avec les autres nombres, 
& qui foient communes à tous les nombres d’une même 
efpece , en confidérant fi tout ce quia ladite proprieté ,a 
auf Pautre proprieté qui éroit requife. Par exemple, 
aprèsavoir remarqué queles nombres premiers qui fur- 
paflent de l’unité un multiple de 4, font la fomme de deux 
quarrez, je regarderai fi rous les nombres premiers qui 
{ont la fomme de deux quarrez, furpañlent de l'unité un 
multiple de 4 ; & voyant que plufieurs defdits nombres de 
fuite à commencer par le moindre & fans en obmerttre 
aucun, ont cette condition , comme font 5 ,13,17,29, 
&c. je conclus que ladite proprieté convient à rous les au- 
tres premiers, qui furpañent de l'unité un multiple de 4. 

uclquefois aufli on trouve certaines exceptions auf- 
quelles il fautavoir égard, & confidérer tout ce qui doit 
être compris dans lefdites exceptions , en remarquant 
leur origine & d’où elles proviennent, 

Il faur remarquer que cette recherche ne fert princi- 
palement qu'aux queftions poflibles, qu’elle trouve ordi- 
nairement fans beaucoup detravail , ne fe fervant pour la 
plufpart d'autre démonftration que de la conftruétion : 

au 


OT D On OR né 


METHODE DES EXCLUSIONS. g 
au moins c’eft-là fon principal but. C’eft pourquoi, le plus 
fouvent aux queftions impoffbles elle donnera bien des 
voyes pour aller bien avant, & rechercher avec peu de 
travail jufqu’à des nombres fort grands, encore qu’on ne 
puiffe pasarriver au but defiré , à caufe de l’impoffbilité 
de ce qui eft propofé. 

Il arrive auf parfois, qu’en recherchant des voyes 
plus courtes & plus faciles , & voulant effayer tous les 
moyens de parvenir au but défiré, on trouve des con- 
tradictions & abfurditez qui font voir l’impoflbilité, 


PREMIER EXEMPLE, 


Eux quarrez étant donnez, trouver le triangle qui 

eft formé defdits quarrez ; par exemple, 64& 25 
etant donnez, on demande le triangle. 
- Certe queftion fuppofe qu’on fçache que les triangles 
font formez par le moyen de deux quarrez , dont la fom- 
me eft l’hypotenufe ; & partant par le premier précepte, 
je chercherai quelques-uns des premiers triangles dont je 
fçaurai les quarrez, comme; ,4, $, qui eft formé par 
lesquarrez 4 & r : j'eflayerai donc à trouver lefdits 3, 4, 
$ ; par le moyen de 4 & 1. Et premierement je voi que la 
fomme de 4 & 1 , eftl’hypotenufe $ , & la différence des 
mêmes 4 & 1, eftle côté impair 3 , refte donc à trouver 
le côté pair 4. Je voi bien que le produit de 4 par 1 donne 
4 , mais cela ne pourroit pas arriver aux autres quar- 
- rez, parce que d'ordinaire le produit de deux nom- 
bres eft plus grand que leur fomme ; & partant, fi le côté 
_ pairétoit le produit des deux quarrez, il feroit prefque 
toujours plus grand que la fomme, qui eft l’hypotenule: 
ce qui ne fe peur. 

Il faut donc former 4 par uneautre voye : & puifque les 
quarrez ne le donnent pas facilement, j'aurai recours à 
leurs racines 2: & 1 , dont le produiteft 2 , le double du- 
quel eft 4. 

Rec. del Ac. Tom... B. 


#0 METHODE DES EXCLUSIONS. 


Je confidere maintenant filamême chofe fe fait & fe 
trouve aux autres triangles. $ 

Ainfi ayant 9 & 4, qui font le triangle $, 12, 13, je 
voi que la fomme defdirs 9 & 4 eft l’hipotenufe 1 3,& leur 
différence eft le côté impair 5. Pour le côté pair je prens 
les racines defdits quarrez , qui font 3 & 2 ; leur produit 
eft 6, dont le double qui eft 12 eft le côté pair dudit 
triangle. 

J'examinerai encore là même chofe aux triangles fui- 
vans 8, 1$, 17, qui provient de 16 &1,&à20o,21, 
29, qui eftfait par 2 5 & 4; ce qui me donne à connoî. 
tre que cette regle convient à tous les triangles, puif- 
qu’elle eft propre à ceux que nous venons d'éxaminer, 
qui font aflez differens les uns desautres, finon les deux 
premiers 3,4, 5, &5$,12, 13, qui fe reflemblent en 
ce que le grand côté n’eft different de l’hypotenufe que 
de Punité. 

Je viendrai donc aux quarrez propofez 64 & 25 ; & 
leur appliquant ladite regle , je trouverai le triangle 39 , 
80, 89. 

SE co ND EXEMPLE. 


U N quarré étant donné , trouver unautre quarré , qui 
étant joint avec le donné , fafle un troifiéme quarré. 

On donne par exemple 64. 

Je cherche deux quarrez, qui étant joints enfemble ; 
faflent un quarré , comme font 16&9, dont la fomme 
eft 25. 

Puis je cherche quelque voye par lemoyen de laquelle 
je trouve 9 avec 16 ; car ici il faut choifir le quarré pair 
16, puifque le donné, fçavoir 64, eft pair : ou fije ne 
puis trouver 9 facilement , je chercherai fa racine 3. 

Si j'ôte 1 de la racine de 16, fçavoir de 4 , il reftera 3, 
racine de 9 : je regarde donc aux autres quarrez pairs fi la 
même chofe arrivera. 


s 


METHODE DES EXCLUSIONS. tr 


Je prenspar exemple 36 , dont la racine 6 étant dimi- 
nuée d’r, refte 5; le quarré duquel, fçavoir 2 5, étant 
joint à 36, donne 6 r qui n'eit nes quarré : ce qui me 
donne à connoître que cette regle n’eft pas la vraye , pui. 
qu'elle n’eft pas générale, quoiqu'il pourroit arriver en 
d’autres queftions , que certains quarrez n’auroient pas 
la proprieté requife. Mais je trouve ici que 3 6 étant joint 
au quarré 64, donne 100, quieft un quarré ; & partant 
ledit 3 6 n’eft pas exclus d’avoir ladite propriete. 

Je cherche donc quelque autre convenance de oà 16; 
& parce que 4 y étoit propre dans la premiere regle, je 
regarde ft je ne pourrai point tirer 4 de 16 autrement 
qu'en le confidérant comme racine de 16. 

Je voi que 4 eft le quart de 16, jele confidererai donc 
en cettequalité, & par même moyen j'éprouverai la mê- 
me chofe au fufdit 36 dont le quart efto , duquel ôtant 
x , refte 8, dont le quarré 64 étant joint à 36 , donne 
100, quieft un quarré : ce qui me fair préfumer que la 
regle eft bonne , & on en pourra être entierement afluré 
en l’eflayant fur d’autres quarrez. 

Je prens donc le quart duquarré donné 64, quieftr6, 
dontôtér, refte 15, lequarré duquel 225$ étant joint 
à 64, donne 289 quarré de 17, quifurpafle ledit quart 
16 de la mêmeunité. 

Maisje voi auffi que le même 64 étant joint à 36, fait 
un quarré 5 & partant afin que la regle foir plus parfaite, 
il fera bon de donner un moyen pour trouver tous les 
quarrez aufquels un quarré étant Joint, donne un autre 
quarré. Je l’éprouve à 64, & ayant pris fon quart 16, je 
cherche le moyen de trouver paricelui la racine de 36 
qui eft 6. Ce 6 eft la moitié moins 2 de 16 : or pour 
avoir la moitié il faut divifer par 2 ; de forte que ce 2 
pourroit pafler pour partie de 16, & dans cette confidé- 
ration on a pû auffi prendre l’unité quand on l’a ôté de 

T6! 
Bi 


32 METHODE DES Exciusions. 


De même donc que j'aiprisla fomme & la difference 
de16&1, qui fontcomme parties rélarives de 16 pour 
avoir 17 & 15, qui font les racines des quarrez requis: 
de même aufli je prendrai 2 & 8 pour parties relatives du 
même 16, la fomme & la difference defquelles eft 10 & 
6, dont les quarrez 100 & 36 font tels qu'il eft requis ; 
car joignant 36à64,0na100. 

Je prendrai garde après fila même chofe arrive aux 
autres quarrez qui ont plus de parties. 

Je prens donc 144, & cherche les quarrez aufquels 
étant joint on peut avoir un quarré. 

Son quart eft 3 6. Les parties rélatives de 3 6 font 1,36] 
2,18]3,12]&4,9:il n’yena point d’autres, car 6 
& 6 font femblables ; ce qui fait qu’ils n’ont point de dif- 
ference dont on fe puifle fervir. 

Je prens la fomme & la difference de chaque couple 
defdites parties, & trouve 37, 35 ]20,16]15$,9]& 
13, 5 & partant 144 étant Joint au quarré de 35, qui 
eft 1225, fait 1369, quarré de 37. 

Le même 144 étant joint à 256, quarré de 16, donne 

400, quarré de 20. 

144avec 81, quarré de 9 ,donne 125$, quarré de rs. 

Et enfin r44avec 25 , quarré de $ ,donne 169, quarré 

de 13. 

Pour voir fi 144 ne fe peur joindre qu’à 4 quarrez pour 
faire un quarré, & 64 à 2 feulement; je confidere que 
lors qu’un quarré étant joint à un autre quarré, fait un 
quarré , les racines de ces trois quarrez font les côtez 
d’un triangle. Je verrai donc à combien de triangles la 
racine du quarré donné fert decôté ; & jetrouvequesg , 
racine de 64, ne fert de côté qu’à deux triangles ; & 12 
racine de 144, ne fert qu’à quatre. Puis donc que j'ai 
trouvé la même chofe aufdits quarrez par l’examen des 
parties de leur quart, j'infererai que la regle eft bonne: 
Que fi ces deux exemples n’en donnent pas une entiere 


METHODE DES EXCLUSIONS. 13 


aflurance , on le pourra encore éprouver fur d’autres 
quarrez. 

Mais fi on ne fçavoit pas à combien de triangles un 
nombre donné fert de côté, il faudroit éxaminer lefdits 
quarrez d’une autre forte, fçavoir en joignant le donné 
avec plufieurs quarrez , pour voir fi la fomme feroit un 
quarré ; & pour y parvenir on fe pourra fervir des exclur- 
fions dont on 2 cy- devant parlé; & voici comme on y 
procedera ; prenant 144 pour exemple. 

Jeconfidere premierement fi cerexamen a des bornes , 
ou fi on peut éxaminer utilement lefdits quarrez à l'infini; 
& pour ce qu'il faut ajouter à 144 un quarré pour avoir 
un autre quarré, il s'enfuit que 144 doit être la difference 
de deux quarrez. 

Je confidére donc quelle doit être la différence de 
deux quarrez , & je trouve que les quarrez allant toujours 
en augmentant, leurs differences augmentent aufli à me- 
fure : de forte que deux quarrez , dont les racines ont pa- 
reille difference que celles de deux autres quarrez , n’au- 
ront pas entr'eux pareille différence ; mais les quarrez les 
plus grands auront plus grande difference : ainfi 2 $ & 64, 
dont les racines $ & 8 ont 3 pour difference, différent 
plusentre eux que 4 & 25, dontles racines 2 & $ ont pa- 
reille difference quieft 3. 

Puis donc que les differences augmentent toujours, il 
s'enfuit que 144 a des bornes, & qu’il ne faut pas pour 
fuivre l'examen que jufqu’à certains quarrez. 

Or le quarré propolé étant pair, il ne peut pas être 
different de deux quarrez dont les racines ne different 
que delunité, parce que de ces deux quarrez l’un étant 
pair & l’autreimpair, la difference feroit impaire. 

Mais dans les 4 couples de quarrez qu’on a trouvez 
aufquels 144 fert de difference, ona ceux de 35 & 37, 
qui font les plus gränds aufquels ledit 144 puifle fervir 
de difference; car puifque lefdites racines doivent avoir 

B ii, 


14 METHODE DES EXCLUSIONS: 

au moins 2 de différence, fi on prenoit deux autres nom- 
bres plus grands que 3 5 & 37, & quieuflent une pareille 
difference , il eft certain que la difference de leurs quar- 
rez feroit plus grande que celle des quarrez de 35 & 37, 
qui eft 144. | 

Il faut donc à 144 ajouter tous les quarrez jufqu’à celui 
de 35, & voir fi quelques-unes des regles des exclufions 
auront ici lieu. À 

Et premierement celle qui exclut les multiples ne peut 
pas être ici employée, puifque r44 peut aufh bien être la 
différence de deux quarrez compolez entr’eux, que pre. 
miers entr'eux. 

Mais onaura égard à la cinquiéme regle qui confidere 
les finales , lefquelles dans les quarrez font 1,4,5,6,9 & o. 

Sià 144 on ajoute un quarré finiflant par 1 , la fomme 
finira par $ ;mais $ eft toujours précédé de 2 dansles 
quarrez, & partant il faudra que ledit 1 foir précédé de 
8 , afin que ce 8 étant joint à la pénultiéme lettre4 , on 
ait 2 pour pénultiéme; & partant file quarré qu’on ajoute 
finit par 1 , il doit au moins finir par 81. 

. 4 Étant joint à 4 donne 8 , qui n’eft point une finale 
quarrée, & partant on n’ajoutera point à 144 les quarrez 
qui finiflent par 4. 

Pareillement les quarrez qui finiflent par 9 , ne pour- 
ront ètre ajoutez à 144, parce que la fomme auroit 3 
pour finale, qui partant ne féroit point quarrée. 

Maïs on pourra joindre à 144 les quarrez qui finiront 
par s&o, 

On y pourra joindre aufli les quarrez finiflans par 6, 
pourvû qu'ils finiflenc par 56, afin que la fomme ait oo 
pour finale. 

Cela pofé, il ne faudra point ajouter à r44 les quarrez 
1,4,98& 16, pourlescaufes déduices , ni le quarré qui 
fuit 144, fçavoir 1 69 dont la différence à 144 eft 2 5. 

Après 2 5 il faudra venir à 36, 49 & 64, qu'il faut laif. 


METHODE DES EXCLUSIONS. 15 


fer pour les mêmes caufes cÿ-deflus déduites. 

81 étant joint à 144 donne 225, quarréde 15. 

100 étantjoint à144 donne 244,qui n’eft point quarré. 

121,169 ,196, doivent être laiflez à caufe des finales, 

225$ joint à 144, donne 369 , qui n’eft point quarré. 

256 Joint à 144, donne 400, quarré de 20. 

289, 324,361, feront laiflez à caufe desfinales. 

400 & 144 donnent 544, qui n’eft point quarré. 

441, 484, 529, 576, 676, 719,784, 841, 961, 
1024& 1089 , feront auff laïffez à caufe des finales. 

62 5 joint à 144 donne 769, qui n’eft point quarré. 

900 joint à 144 donne 1044 , qui n’eft point quarré: 

11$6joint à 144 donne 1300, qui n’eft point quarré. 

Enfin 1225,quarréde 35, joint à 144, donne 1369, 
quarré de 37. Nous n’avons donc que les 4 couples de 
quarrez cy-devant trouvez , aufquels 144 ferve de diffe- 
rence. 

Jufqu’ici on à éxaminé la queftion en fuppofant un 
quarré pair donné : mais qui voudra voir tout ce qui.dé- 
pend de la queftion , doit confidérer la méthode de trou- 
ver la même chofe , le quarré donné étant impair ; par 
exemple, 81 étant donné, trouverun quarré qui étant 
joint avec icelui fafleun autre quarré. 

Je prens pour cet effet quelque quarré connu, comme 
9 , auquel je fçai qu’ajoutant r6ona 25. 

Je cherche donc un moyen pour trouver 16 , ou fa ra- 
cine 4avec le quarré donné 9. 

Je voi d’abord qu’ôtant 1 de9, & prenant la moitié 
du refte , on aura 4. Je confidererai donc la même chofe 
aux autres quarrez impairs. 

Ainfi je trouve qu’ôtant 1 de 2 $ refte 24, dont la moi. 
tiéeft 12, lequarré duquel 144 étant joint à 25 , donne 
169 , quarré de 13. 

La même chofe arrivera auffi à 49 &à 81 , car celui-cy 
à pe joint à 1600 , quarré de 40 , donne 1681 quarré 

e41. 


16 METHODE DES Excrus1onNs. 

On pourra aufi confidérer que les quarrez impairs 
dont la racine n’eft pas un nombre premier, peuvent être 
joints avec plufieurs quarrez pour faire un quarré. 

Ainfi éxaminant 8: comme on a fait cy-devant 144, 
ontrouvera qu’érantjoint audit 144, il fera 22$ quarré 
de 15. 

Il faudra donc trouver une voye pour rencontrer 144, 
oufa racine 12, parle moyen de 81. 

Or puifque nous fçavons que les quarréz dont la racine 
eftun nombre premier, ne peuvent être joints qu'avec 
un feul quarré pour faire un quarré, comme on peut voir 
à9,25,49,&c.& que ceux dont la racine eft compofée 
peuvent être joints avec plufieurs , cela fait préfumer que 
les parties defdirs quarrez font caufe de cela; caro, par 
exemple, ne peut être fait par multiplication de nombres 
différens, que par 1 & 9 ;de mêmeeneft-il de 2 $ quin’a 
que 1 &25$,&ainfi des autres. Mais 8 x peut être fait par 

1&8r, &par 3 & 27. 

A caufe de 1 & 8 1 on trouve le quarré de 40 & celui de 
41 ; car on voit qu'Otant 1 de 81 lamoitié durefte eft40o, 
de même ajoutant 1 à 8 1 la moitié de la fomme eft 41. 

On agira donc de même aux autres parties de 81, fça- 
voir 3 & 27, prenant la moitié de leur fomme & de leur 
difference. La fommeelt30, la difference 14 ,la moitié 
defquelles eft 1 $ & 12 :on verra donc fi ajoutant à 8r le 
quarré de 12 on aura celuide 15 ,ce qui ferrouve êtré 
ainfi. 

On éprouvera la même chofe {ur quelqu’autre quarré, 
dont la racine fera compofée, comme fur 225 quarré 
de 15. 

Les parties rélatives de 225$ fontr,2251]3,75,1]5, 
45 &9, 25. 

La moitié de la fomme & dela différence defdites par- 
tient ris ar 2 ]m ol, 56% das szo, lé r7 "8. 

Partant fi on ajoute 22 $ au quarré de 112, on aura le 
quarré de 113. 22$ 


METHODE DES EXCLUSsrOoNSs. 17 
225 joint au quarré de 36, donne celui de 30. 
22 ÿ Étant Joint au quarré de 20, donne celui de 2 5. 
Etenfin 22 $ avecle quarré de 8 , donne celui de 17. 


TROISIEME EXEMPLE. 


be nombre étant donné, déterminer s’il eft hypote- 
U nufe de quelque triangle, & quels font les deux cotez 
dudit triangle. 

Afin de donner facilement la folution de cette queftion, 
dans laquelle fi l’on propofoit quelque nombre particu- 
lier, comme fi l’on demandoit fi 2 2 1 eft hypotenufe; il 
faut voir fi on pourra remarquer quelque forte de nom- 
bres affectez particulierement aux hypotenufes; & pour 

y parvenir, Je me fervirai du fecond précepte, puifque je 
ne {çai pas encore les proprietez particulieres des hypote- 

nufes, & que ce fontelles qu’il faut chercher. Maisil faut 
fçavoir ce que c’eft qu’une hypotenufe , & quel moyen on 
a d’en trouver quelqu’une. 

Que la proprieté fuivante foit donnée. 

Le quarré de l’hypotenufe d’un triangle rectangle vaut 
autant que les quarrez des deux autres côtez du triangle. 

Partant fi l’on joint chaque quarré à chaque quarré, 
on’ aura les quarrez de toutes les hypotenules , {çavoir 
quand la fomme des deux quarrez viendra à être quarrée. 

Je cherche donc par le fecond précepte toutes les hy- 
potenufes fans en obmettre aucune, commençant par la 
moindre, & pour y parvenir j'aflembletous les quarrez. 

Mais de peur de s’embarrafler, & pour n’obmettre au. 
cune hypotenufe , je forme quelqu’ordre par le troifiéme 
précepte, par lequel je puifle pourfuivre l’affemblage 
defdits quarrez auffi loin que je voudrai, &telaufl| au- 
gant que faire fe pourra ) qu'on puifle s’arrêter où on vou- 
dra, fans que le travail qu’on aura commencé oblige à 
continuer bien avant, & aufli fans qu’on foit obligé (en 
cas qu'on voulut pourfuivre la recherche plusavant) de 

Rec. del Ac.Tom.V, C 


+ “+8 METHODE DES EXCLUSIONSs. 


reprendre ce qu’on auroit quitté. Ce quife doit entendre, 
fi cela fe peut faire commodément. 


7 Er EC Par exemple, fi pour affembler 
a mer 52 lefdits quarrez on ajoutoit au pre- 
Par à Tr mier quarré 1 tous les autres quar- 

DS LAS rez jufqu’à celui de 100 , & que par 

+16 «x li après on vint à les ajouter à 4 , puis 
16 4 |10 à 9, on s’obligeroit , pour avoir 


+16 9 [25m 5 toutesles hypotenufesmoindres, de 
: ———— parcourir prefque tous les quarrez, 


25 1 |26 & on entreprendroit un grand tra- 
25 4 |29 vail fans peut - être en avoir befoin. 
C5 A EE Au contraire, fi après avoir af_ 
T25 16/41 femblé tous lefdits quarrez l’un à 
ASE l’autre , on vouloit poufler la re- 

L : ; ñ cherche plus avant, Î faudroit Fe: 
36 9 |45 prendre ce qu’on auroit laïflé > Car 
36 16152 il faudroit recommencer à 1 , & lui 
56 25167 ajouter les quarrez plus grands que 
ONRMES | AE celui de 200 , ce qui apporteroit 
49 1 |5so quelque défordre. Il vaudra donc 
49 4 |53 mieux prendre un autre ordre, 
49 9 |58 comme cy-apres. | 
49 -16165 Jeprenslequarré4,&luiajouter. 
49 25|74 Puis je viens à 9, & lui ajoute 
149 36185 tous les moindres, commencçantà r. 
HE LAS ch Puis je prens 16, & lui ajoure les 
eds a |68 quarrez moindres 1 ,4,9, & je 
des les mets la fomme enfuite de chaque 


NET Le couple de quarrez, comme on voit 
Ales ici. Et continuantsen cettte façon 
PRNN PNR oautant loin qu’on voudra , je remar. 
réa Mal que les couples dont la fomme eft 
—— © ——— quarrée, parce que la racine de ce 


METHODE DES EXCLUSIONS. 19 


gr 1 (82 quarréeftl’hypotenufe d’un triangle. 
+81 4 |85 Et par le moyen de cette addition on 

81 9 |90 Me des hypotenufes , & aucune ne 
81 16197 rra être obmife. 

8r 25l106 Maisparce quejevoi qu'il arrive peu 

8r 36|117 fouvenr que la fomme foit un quarré , je 

8r 49|130 confideres’il n'ya rien de fuperflu ;dans 
+8r 64/7145 cette Table. 
— Les nombres qu'on veut avoir doi- 
vent être quarrez: je confidererai donc quelque prop rieté 
du quarré, comme que tout quarré eft pairement pair, 
ou pairement pair +1. 

Mais fi on ajoute enfemble deux quarrezimpairs, com- 
meo&r,]2$5&)9, la fomme fera impairement paire ; 
parce que les deux quarrez étant chacunun pairement 
pair +1, les deux enfemble feront un pairement pair 
2, qui eft un impairement pair. 

De là on conclura qu'il eft fuperflu d’ajouter enfemble 
deux quarrez impairs , car leur fomme étant impaire- : 
mentpaire, ne peut pas Être quarrée. 

Je confidere auffi fuivant le quatrième précepte fi les 


. quarrez compofez entr'eux peuvent êtreexclus, comme 


étant multiples d’autres couples de quarrez premiérs en- 
tr'eux. s 

Jecrouve que les triangles étant multipliez par quel- 
que nombre que ce foit, donnent coujours d’autres trian - 
gles, car la proportion des côtez ne change point ; & fi 
deux quarrez étant joints enfemble fonc un quarré , fion 
multiplie lefdits quarrez par quelque quarré ,ileft certain 
que la fomme de ces multiples fera encore un quarré , qui 
{era mefuré par le même quarré qui aura multiplié les 
deux autres. 

- Il faudra donc retrancher de la Table les quarrez qui 
font de même ordre, & ceux qui ont une commune me- 
fure. : ; 

Ci 


10 METHODE 


DES ÉXCLUSIONS. 


Refte donc de pourfuivre la Table, en joignant les 


quarrez premiers entr’e 


ux, & de divers ordres, lefquels 
auf je er en la Table pré- 
cédenre , afin dé les diftinguer des 
autres. 


égard aux finales, ainfi qu’il eft 
montré au cinquiéme précepte ; 
car on voit que dans cette feconde 
Table, quoiqu'il y ait déja un 
grand racourciflement ; néan- 
moins-i on vouloit ôter routes les 
finales inutiles, il y en auroit en. 
core un beaucoup plus grand... 

On pourroit enfuite confidérer 
quelque proprieté des quarrez, 
comme que ceux qui ne fonc pas 
mefurez par 3 ,furpañlent de l’unité 
un multiple de 3.Maisparce qu’on 


a déja exclu les quarrez qui ont. 
une commune mefure, il s'enfuit - 


qu'il n’y aura aucune des fommes 
fufdites qui foit mefurée par 3 ;car 
pour être celle il faudroit que cha 
cun des quarrez fut mulriple de 3, 
puifque les quarrez font ou multi- 
ples de 3; , ou muiriples de 37 ; 
partant fi chacun des quarrez fur- 
pañle de l'unité un multiple de3, 
la fomme fera multiple de 3 +2, 
ou multiple de 3—71, & partant 
elle ne pourra pas être quarrée. 

Il faudra donc que des deux 
quarrez que l’on ajoute, l’un foit 


On pourroit par après avoir 


= [ 
: : ù 
PE PSE EE 


METHODE DES EXCLUSIONS. 21 
26 AT) 257 multiple de 3 , & l’autre multiple 


256 91265 de 3-+1, ce qui exclut encore 
256: 2$|287r beaucoup d’additions. 

256 49]1305 Mais avant que de continuer 
2H 81 | 337 ladite table fuivant les régles def- 
256 121|377 dites exclufons, il faut voir files 
256 169425 fommes quarrées qu’on a trouvées 
256 225/|481 ne pourront rien apprendre tou- 


| chant ce qui eft propofé, & fion 
ne pourra point trouver quelque proprieté defdites hypo. 
tenufes , outre celle en vertu de laquelle on les a trouvées 
jufques ici. à 

Jetrouveicii2$,100,169,& 289, qui entre lefdites 
fommes font quarrées ; mais 100 eft du nombre de celles 
qui ontété rejettées, parce qu'il provient de deux quar- 
rez qui ont une commune mefure. 

Les racines de ces nombres, fçavoir $ ,10,13,17, 
feront donc hypotenufes de triangles rectangles dont les 
deux autres côtez feront les racines des quarrez qu’on a 
affemblez pour avoir lefdits quarrez 25 , 100,169 ,289. 

Ainfi 2 $ étant la fomme des quarrez 16 & 9, les raci- 
nes des trois quarrez 25 ,16,9,quifont $ ,4,3, feront 
les côtez d’un triangle re&angle. 

* Mais en confidérant ma premiere table , je vois qu’elle 
contient lefdits nombres ÿ ,10,13,17, que j'ai trouvé 
être hypotenufes , & qu’ils font de fuire dans la colomne 
où font les fommes des quarrez ; car 4 & 1 donnent $ ,] 
9 & 1 donnent ro , |9 & 4 donnent 1 3,]& 17 vient de 16 
& 1 :il fe pourroit donc faire que non feulement les quar- 
rez des hypotenufes font la fomme de deux quarrez , mais 
auffi queles hypotenufes mêmes font pareillement la fom. 
mac de deux quarrez ; ce qu’il faut examiner. 

Je voy déja que s , 13 & 17, fonc hypotenufes; & de 
plus j'ai dans la table plufeurs multiples defdits $ , 13 
& 17, qui font pareillement hypotenufes, M 10; 

1] 


22 METHODE DES EXCLUSIONS. 


20,40,45,16,34, &c. & qui font aufli la fomme de 
deux quarrez. : 

Il faut donc voir fi les autres nombres premiers de la 
table fonc pareillement hypotenufes, fçavoir 29,41 ,37, 
61, &c. 

Mais parce qu'il feroit trop long d'examiner fi les quar- 
rez defdits nombres font la fomme de deux quarrez, je 
cherche quelqu’autre voye qui n’oblige point de confide- 
rer lefdirs quarrez. 

Certe voye fera de farisfaire à la feconde partie de la 
queftion,fçavoir de donner les deux autres côtez du trian. 
gle , ce qui fe trouvera par la premiere regle , puifqu’on a 
les quarrez dont l’hyporenufe eft la fomme, & qu’on fçait 
les côtez de quelques triangles, fçavoir de ceux dont s, 
13 &1 7 font hypotenufes. Car par la cable fufdite on voit 
que $ eft hyporenufe, & que 3 & 4 fonc les côrez, parce 
que 2 5 quarré de 5 , eft la fomme de 9 & 16, quarrez de 
3 & 4; de même on trouvera que 5 & 12 font les côtez 
du triangle dont 13 eft hyporenule , & que 8 & 15 fonc 
les côtez du triangle 8, 15, 17. 

Cela fuppofé on requiert une voye ou regle par laquelle 
on puifle trouver lefdits côtez , fçachant feulement l’hy- 
potenufe & les deux quarrez dont elle ef la fomme. 

Cerre regle fe trouvera par le premiét exemple qui a 
été donné ci-devant ; & l’appliquant à rous les nombres 
de la table, je trouve les côtez des triangles dont ils font 
hypotenufes. Par exemple, 29 eft lafommede 5 & 4, 
la difference defdits quarrez qui eft 2 r eft le côté impair : 
fi donc 29 efthypotenufe, & 21 l’un des côtez de fon 
triangle, il faudra que le quarré de 21 étant ôte de celui 
de 19 , il refte un quarré dont la racine foit l’autre côté 
du triangle. J’ôte donc441 quarré de 21, de 841 quarré 
de 19, refte 400 quarré de 20, qui eft l’autre côté, &par- 
tant 29 cft hypotenufe. La même chofe fe pourra exa- 
miner aux autres hypotenules fuivances, & même aufl aux 


METHODE DES EXCLUSIONSs. 23 


multiples ; car fi en les prenant de fuite & fans aucun 
choix , on trouve la même chofe à toutes , je conclus que 
laaïite regle eft générale , fçavoir que la fomme de deux 
- quarrez inégaux eft lhypotenufe d’un triangle reétangle, 
dont les côtez font tels nombres qu’on voudta. 
Mais il ne faut pas fe contenter de cela, car il fautrexa. 
miner la converfe , fçavoir fitoure hypotenufe eft la fom- 
me de deux quarrez. L 
J'aiici de deux fortes d’hyporenufes,fçavoir de primiti. 
ves , quifont nombres premiers, ou au moins qui fervent 
à des triangles dont les cotez n’ont point de commune 
mefure, & d’autres qui font multiples d’autres hypote- 
nufes primitives, & dont les côtez ne font pas premiers en- 
tr'eux, mais qui fe peuvent méfurer par un même nombre, 
Pour ce qui eft des hypotenufes primitives, je vois ici 
plufieurs nombres qui fervent d'hypotenufe à des crian- 
gles fort differens, comme3,4,$,]8,1$,17,]10, 
21,29,]28,45,53,&c. qui font tousla fomme de deux 
.quarrez ; partant il n’y a aucune apparence qu'il y ait 
d’autres nombres premiers qui foient hypotenulfes, & qui 
ne foient point la fomme de deux quarrez; car les unsne 
peuvent pas avoir plütôc cette proprieté que les autres, 
puifqu’elle fe crouve en plufieurs triangles fort differens. 
Que fi on s’en vouloiraflürer davantage, il faudroit exa- 
miner quelques-uns des autres nombres premiers en les 
prenant de fuite, comme7,11,19,23, & voir fi leurs 
quarrez font la fomme de deux quarrez ; ce qui fe pourra 
faire, en Otant, par exemple, de 529 quarré de 23 , les 
quarrez qui font moindres, & confiderant fi le refte fera 
quarré , en fe fervant pour cer effet des finales des quar- 
rez. Maïs on trouvera toûjours que les nombres premiers 
qui ne font point la fomme de deux quarrez, ont un quar- 
ré qui n’eft point aufli la fomme de deux quarrez: ainfi. 
parce que 23 n’eft point la fomme de deux quarrez , fon. 
quarré $29 ne la fera pas aufli. 


/ 


‘ 


24 METHODE. DES, EXCLUSIONS. 


Refte donc à examiner les multiples, & pour cet cffet 
je prens quelque hyporenufe primitive, comme 5 , & je 
la multiplie par plufieurs nombres pris de fuite fans aucun 
choix , & fans en omettre aucun ,commepar2,3,4,5, 
6,7,8,9, &c.&/Jaurai 10,1$,20,25,30, 35:40; 
45 ,&c. lefquels derniers nombres font de neceflité hypo- 
tenufes, puifqu'ils font mulriples de $ , car on a trouvé 
que multipliant un triangle par quelque nombre que ce 
füt, on a encore un triangle dont les côrez ont entr'eux 
même proportion. . 

Je regarde par après en la premiere table où font les 
aflemblages de tousles quarrez, tant ceux qui font pre- 
miers entr'eux , que CEUX qui ont une commune mefure , 
& tant ceux de même ordre , que de divers ordres, 

En certe table je trouve bien quelques.uns defdics nom: 
bres,comme10,10,25,40,45$,maisje n'y trouve pas 
les autres, fçavoir 15,30 ,35$, d’où je conclus que toute 
hypotenufe n’eft pas la fomme de deux quarrez. Et con- 
fiderant quelle difference il peut y avoir entre les hy+ 
potenufes qui font la fomme de deux quarrez & celles qui 
ne le fonc pas, je trouve que les premieres 'font ou bien 
mulriples d’une hypotenufe par un quarré comme 20 & 
4$ , ou par un double quarré comme 10 & 40, ou qu’el- 
les ne peuvent être mefurées que par des hypotenufes 
comme 2 $ ; & paflant outre en ladite table, on rrouve- 
roit encore 50, 65 ,& 85 : mais ces trois dernieres ont 
encore cela de particulier , qu’en vertu des quarrez dont 
elles font la fomme, elles fervent d’hyporenufe à des 
triangles primitifs. 

Les autres hypotenufes qui ne fe trouvent point dans 
ladite table, & partant qui ne font point la fomme de 
deux quarrez, comme 15,30,35$, 55, font multiples 
d’hypotenufes par des nombres qui ne font ni quarrez, 
ni doubles quarrez , ni hypotenules , car les trois premie- 
res font mulriples de $, par 3,6 & 7. | 

Mais 


METHODE DES ExCLUSrIONS. 25 

Mais il faut voir fi on ne pourra point découvrir quel- 
-qu'autre proprieré des hyporenufes; & pour y parvenir, 
je confidere les feules hyporenufes primirives, laiffant-là 
les multiples qui n’ont autre chofe que ce qu’elles em- 
pruntent de leurs primitives, dont voici quelques-unes. 


030 2053575 41555 PEL OSNTEES , 


89,97, OI, 109. 
Je vois premierement que tous les nombres premiers 


ne font pas en ce rang , & qu'il y a aufli des nombres com. 
pofez, mêlez parmi , mais non pas tous, car on n’y trouve 
point 21,49 ,& autres. 

Afin donc de débroüiller un peu ces nombres, je les €. 
pare en premiers & compofez , & je regarde quelles font 
les parties des compofez , 2 $ eft le quarré de ÿ , 65 a pour 
parties S&r3,]&8sas&17. 

Je confidere que lefdits nombres $, x 3 & 17 font com. 
pris entre les nombres premiers qui font hypotenufes : 
d’où je conclus que les nombres compofez de feules hy- 
potenufes font aufli hypotenufes primitives , de même 
que les nombres premiers dont ils font compofez, 

Refte donc à confiderer les nombres premiers fufdits, 

$,13,17. Je regarde aufli quels font les autres nom. 
bres premiers qui ne fe trouvent pointen ma lifte. Ces 
nombres foñt3,7,11,19,23,31;, 45,47; 59; 67; 
71, &c. je compare les uns avec les autres pour voir fi 
les premiers n’ont point quelque proprieté qui ne foit 
point aux derniers, & je trouve que les hypotenufes, 
fçavoir, $ ,13,17, &c. furpañlent toutes de l'unité un 
multiple de 4, & que les derniers 3, 7, 11, &c. font 
tous moindres de l'unité qu'un multiple de 4, d’où on 
tirera ce théorème. 
Tout nombre premier qui furpafle de l'unité un mul. 
tiple de 4, eft hypotenufe ; & tout nombre premier qui 
eft hypotenufe , furpafle de l'unité un multiple de 4. 

Par certe proprieté il fera facile de réfoudre le pro: 

Rec. de P Ac. Tom... 


26 METHODE DEs ExcLusions. 

1ème, en divifanc le nombre donné en fes parties s’il 
ena, & voyant fi quelqu’une d’icelles eftun nombre pre. 
mier qui furpañle de l'unité un multiple de 4. 

Si on fuppofe que toute hypotenufe primitive eft la fom- 
me de deux quarrez de divers ordres, la confequence 
eft bien facile à tirer , que cette hypotenufe furpañle de 
Panité un mulriple de 4; car tout quarré impair furpañle 
de l’unité un multiple de 4, (il n’eft pas befoin d’en ex- 
cepter 1 ) & partant un quarré impair étant joint avecun 
pair , ( qui eft coûjours pairement pair ) fera un pairement 
pair +1. 

Pour ce qui eft de trouver le triangle , on verra par 
ce qui a été dir fi le nombre donné eft la fomme de deux 
quarrez , & on cherchera quels font lefdits quarrez ,en 
Ôtant dudit nombre le quarré prochainement moindre, 
& puis le fuivant; & voyant à chaque fouftra&ion fi ce 
qui refte eft quarré , ce qui eft déduit ailleurs plus au 
long, & ayant les deux quarrez dont le nombre eft la 
{omme , on aura le triangle comme cy-devant. 

La précedente perquifition auroit pü être conduite 
d’une autre forte, car puifqu’il faut que deux quarrez 
joints enfemble faflent un quarré, je prendrai tous les 
quarrez l’un après l’autre , & verrai par le fecond exem- 
ple quel quarré il lui faut ajoûter pour faire un autre 
quarré ; car par ce moyen on auroit promptement les 
quarrez de toures les hypotenules, tant primitives que 
multiples fans en exceprer aucune. Et afin de n'avoir 
point deux fois les mêmes nombres, il ne faudra remar- 
quer que les quarrez qui font moindres que celui qu’on 
examinera. 

Parexemple ,ayant 16, fon quart eft 4 ; les parties rés 
latives de 4 font 1 & 4 ; leur difference eft 3, qui eft moin. 
dre que 4 racine de 16 ; & partant je retiendrai le quarré 
9 , qui étant joint à 16 donne 25, quarré de l’hypote- 
nufe 5. 


METHODE DES EKCLUSIONST 2% 
QUATRIEME EXEMPLE, 


U* nombre compofé étant donné avec les parties pre- 
mieres & analogiques , déterminer à combien de 
triangles il fert d’hypotenufe. jus te MN AlSIEES 

* Puifque le nombre eft compoi il fervira d’hÿpotenufe” 
à quelques triangles multiples ; &s'ileft compolé de feu 
les hypotenufes, il fervira aufli à des triangles tp 
mais parce que les multiples proviennent néceflairement 
de primitifs, on s'arrêtera premierement aux feuls pri. 
mitifs.- F as DA Se 

Je trouve dans ma table quelques nombres compofez, 
comme 25,65,85$, &je trouve que 25 ne fert qu'à un 
feul triangle primitif non plus que les nombres premiers : 
mais 65 & 8 5 fervent chacun à deux triangles primitifs. 

911 faut donc qu'il y ‘ait quelque reflémblance entre. 
2% &clles nombres premiers, qui ne foit pas entre 6 ÿ ou 
85, & M pp premiers. 

Je trouvé que 2 ÿ ne peut être mefuré que par un feul 
nombre premier, non plus que lés nombres premiers ; 
mais 65 & 8 $ fe mefurent chacun par deux nombres, ce- 
lui-là par $ & 13, &celui-cipar $ & 17. 

Et de-là il s’enfuivra que les puiflances des nombres 
premiers ne ferviront d’hypotenufe qu’à un feul triañgle 
primitif. Je l’examine à r25 & 625 puiflances de $, & je 
le trouveainfi , car chacun defdits nombres n’eft qu’une 
feule fois la fomme de deux quarrez premiers entr'eux : 
d’où je conclus la verité dudit théorème. 

Mais les nombres qui fe mefurent par deux nombres 
premiers différens , (comme 6 5 quife mefure par $ & 13) 
fervent d'hyporenufe à deux triangles primitifs, puifqu’ils 
font deux fois la fomme de deux quarrez premiers en- 
tr'eux. 

” Dehilsenfuit que fon multiplie une hypotenufe par 
un nombre qui la mefure , lé produit ne fervira Le nd 
ij 


28 METHODE DES EXCLUSIONS. 
potenufe à plus de triangles primitifs ; par exemple ,32$ 
ne doit fervir d’hypotenufe primitive qu’à deux trian- 


gles, non plus que 65 : car encore que 325 foit mefuré: 


par 5 &25,]&65 par 5 feulement, néanmoins l’un & 
l’autre n’eft mefuré que par les deux nombres premiers $ 
& 13 ; joint quelesquarrez & les autres puiflances quiont 
un nombre premier pour racine , ne fervent d’hypotenufe 
qu’à un feul triangle primitif. 


Cette remarque fera confirmée par l'examen qu’on. 
fera de 325,,par lequel,ontrouvera.qu'il n’eft que deux, 
fois la fomme de deux quarrez premiers entr’eux , & par 


tant ne fert d’hypotenufe qu’à deux triangles primitifs. 


.… Je compofe par après un nombre de trois hypotenufes. 


premieres, & pour plus de facilité je prens les moindres, 
fçavoir 5,13, 17. 


Leur produit eft 110$ ; je regarde combien de fois il eft 


la fomme de deux quarrez premiers entr'eux, ce qui {fe 
fera ôtant de 110$ le quarré prochainement moindre, 
fçavoir 1089 , le refte fera 16 qui eft un quafté ; & par 
tant 1105. eft la fomme des deux quarrez 1089.& 16. 
J'ôte par après du même 110$ l’autre quarré préce- 


dent , fçavoir 1014 , refte 8 r qui eft encore un quarré ; &- 


ainfi continuant on trouvera que 1105 eft quatre fois la 
fomme de deux quarrez : d’où je conclus qu’il ferc d’hy- 
potenufe à quatre triangles primitifs. 

On pourroit trouver lefdits quarrez d’une autre forte, 
fçavoir Otanc le premier quarré 1089 , & au refte 1 6 ajoû. 
tant 65, qui eft la fomme de 3 3 & 32, racines dudit 1089, 
& du quarré prochainement moindre. 

Et à la fomme 8 1 ajoûtant 63 qui eft lafom- 6 x 
me des deux racines moindres chacune de l’uni- 65 
té que les précedentes, &ainfi continuant tant 
que ladite fomme fera moindre que lerefte, ce 
qui arrive à la derniere fomme $29, qui étant 
Ôtée de 1105 refte 576 ; car fion pafloit outre, 


ten 
Re | 


EE ue 


METHODE DES EXCLUSIONS. 29 


la fomme feroit plus grande que le refte. 144 12 

Auranc de fois qu’on a un quarré pour ladite 61 
fomme ,y comprenant même le premier nombre —— 
trouvé 16 , autant de fois le nombre eft la fom- 
me de deux quarrez : mais il faudra prendregar- _ 5? 
de s'ils font tous premiers entr'eux, ce qui fe :64 
connoîtra fiaucun d’iceux ne fe mefure par quel- > 
qu’une des parties du nombre, qui fonticis , —— 
13,17:maison a parlé de ceci ailleurs. 321 
- Je vois donc qu'un nombre qui ne fe mefure 55. 
que par un feul nombre premier, ne fert d’hypo- 
tenufe primitive qu’à un feul triangle. S'il fe me- 
fure par deux nombres premiers, il fert à deux = 
triangles. S'il fe mefure par troisnombres pre- 429 
miers , il fert à quatre triangles. st 
> I faut donc voir quel rapport 1 ,2,4,a4avec — 
192,3. 15, 

Je voisque 1,2, 3, fe fuiventen l’ordre des LAS 
nombres, &1,2,4, fe fuiventen l’analogiede 529 23 
25 partant il faudroit que le nombre qui auroit quatre 
nombres premiers fût huit fois hypotenufe, & celui quien 
auroit cinq füt feize fois hyporenufe : car de même que 
4eft le troifiéme nombre de l’analogie de 2 , & partant a 
rapport à 3 ; de même 8 eff le quatrième, & r 6 eft le cin- 
quiéme. 

Pour s’aflürer davantage de certe verité, il faut re- 
chercher quelle raifon ou convenance on peut apporter 
de cette proportion. 

Puifque les nombres compofez fervent à plus de trian- 
gles que les premiers, il faut que cette augmentation pro. 
vienne des parties. Or ces parties doivent être premieres 
entr’elles, autrement les puiffances auroient plus detrian- 
gles que leurs racines. 

Cela ne provient donc pas fimplement de la multitude 
des parties, mais des parties premieres feulement : mais 

D ii 


30 METHODE DES EXCLUSrONS. 


ces parties premieres ne doivent pas être prifes fimplez 
ment felon leur multitude, puifque la multitude des trian- 
gles n'eft pas égale à la multitude defdices parties pre- 
mieres. 

Refte donc à confiderer lefdites parties en tant qu’elles 
compofent le nombre: il les faut donc ee deux à 
deux , en telle forte toutefois qu’elles foient premieres 
entr’elles , car autrement elles ne donneroïient pas des 
quarrez premiers entr'eux ; & parce qu'ayant pris une des 
parties, fi on veut faire le nombre, l’autre partie vientné- 
ceflairement enfuite, on nommera ces parties rélativess 
par exemple, file nombre eft 1105, dont les parties pre- 
micres font $ ,13,17, quand on prendra 5 pour une des 
parties,on prendra 13 & 17, ( c’eft à-dire le produit de 
13 par17) pour la partie rélative audit 5. tt 

Il faut donc voir en combien de façons on peut faire 
chaque nombre par deux parties rélatives premieres en: 
tr'elles. 

Et premierement les nombres premiers, & leurs puif= 
fances ne peuvent être faits que d’une forte, fçavoir en 
prenant l'unité pour une des parties , & le nombre entier 

our l’autre; ainfi $ ne peut être fait que par 1 & 5. La 
même chofe arrive aux puiflances , car 125$ cube de sne 
peut aufli être fait que d’une façon, fçavoir par 1 & 
125$, car fion prenoit $ & 25 , les parties ne feroient pas 
remieres entr’elles ainfi qu'il eft requis. 

Les nombres qui font mefurez par deux nombres pre- 
miers comme 65 ,quia $ & 1 3 pour parties, peuvent être 
faics en deux façons, fçavoir en prenant r d’un côté & le 
produit de 5 & 13 de l’autre, & en prenant $ d’un côté 
& 13 de l’autre pour la feconde façon. 

Le nombre qui a trois parties, comme rro$ quia$, 
13,17,1{e fait en quatre façons ; fçavoir 1 par ÿ, 13 & 
17,]5par13 &17,]13pars&17,]17pars &13. 

Si le nombre avoit quatre parties premieres, comme 


METHODE DES ExcLusions. 31 
$204$,quias, 13,17,29, il fe feroiten huit façons. 
On prendra 1 d’un côté, par $,13,17& 29 ,oulenom- 
breentier, puis $ par 13,17 &29,]13par5,17,&29,] 
17 par s,13&29,]29pars,13&17,]5$&13par17 
&29,]58& 17par13 &29,]5$ par29,13 &17,quifont 
en tout huit façons de faire le nombre donne. 

De la même maniere on trouvera 16 façons avec cinq 
parties , & trente-deux façons avec fix, &c. 

Ayancainli trouvé les primitifs ,on viendra aux multi. 
ples, & pour les trouver il faudra compter les primitifs de 
chacune des parties : ainfi ayant 6 dont les parties fonc 
5 & 13,chacune defdies parties fert à un primitif, & par. 
tant 6 ÿ fervira à deux mulriples, & en tout à quatre trian- 
gles. 

Si on donnoit 3 2 $ dont les parties font 25,13, deces 
deux il faut faire toutes les autres ,commençant par celles 
qui n’ont qu’une partie, & prenant aufli leurs puiffances, 
puis celles qui ont deux parties ; & ainfi on aura $ ,25, 
13 & 65$ ,ou 5 par 13 ,les trois premieres donnent cha. 
cune un triangle, & la derniere qui a deux nombres diffe_ 
rens en donne deux, & partant ledit 32 $ aura cinq mul. 
tiples , qui avec les deux primitifs font en tout fept trian- 
gles. 

. Ayant ces quanritez , je chercherai les moyens de trou- 
ver les autres fans avoir la peine de les compter ; & voici 
comment on raifonnera pour cet effet. 

La multitude des triangles aufquels un nombre fert 
d’hypotenufe , n’augmente pas pour la grandeur des par- 
ties, mais feulement pour leur multitude ; par exemple, 
le nombre qui fera fait de 13 & 17, n'aura pas plus de 
triangles que celui qui proviendra de $ &13 , car l’un & 
l'autre n’a que deux nombres premiers : mais fi on prenoit 
325, qui eft fait de 2 5 & 13, il aura plus de parties, & 
partant plus de triangles que 6$, qui n’a que $ & 13 com- 
mg on vient d'examiner; & partant cette mulritude de 


#2 METHODE DES EXCLUSIONSs. 


parties vient ou de la grandeur des puiflances, ou de Ia 
multitude des parties premieres & de leurs puiflances. 

Il faudra donc dans l’examen prendre feulement le 
nombre qui dénote la puiflance, fans fe foucier de quel 
nombre il eft puiflance , puifque fa quantité n’y fait rien. 

Ayant donc trouvé que le produit de $ par 13 a quatre 
triangles, je cherche les expofans defdites parties premie- 
res, ou de leurs puifflances ; & je trouve r & 1 : je cherche- 
rai donc un moyen de rencontrer 4 par le moyen de x 
& 1. 

Si je double chacun des expofans 1 & 1, j'aurai &2, 
dont la fomme fera 4 , quieft le nombre requis. 

Il faut donc voir quelqu’autre exemple, pour voir fi la 
même chofe arrivera. 

325 a pour parties premieres & analogiques 25 &13, 
& fert d'hypotenufe à fept triangles. 

Les expofans defdites parties font 2 & 1 , ileft mani- 
fefte que le double d’iceux, fçavoir 4 & 2 étans joints ne 
feront pas un nombre impair tel qu’eft 7, & partant la ré- 
gle premiérement trouvée n’eft pas bonne. Il faudra donc 
chercher un autre rapportentre 1,1 &4. 

Je trouve que le double du produit de r par 1 , étant 
joint aux mêmes 1 & 1, donne 4. 

La même chofe fe fera en cherchant 7 par le moyen de 
2 & 1 , car le double du produiteft4, qui étant joint à 2 
& 1 donne 7. 

J'éprouverai encore certe régle fur d’autres nombres, 
& je trouve qu’elle convient à tous. 

Mais fi le nombre fe mefuroit par plufieurs nombres 
premiers , & qu’il y en eût plus de deux, cela pourroit ap- 
porter quelque difficulté ;par exemple, fi on donnoit 110$ 
quifemefure par $ ,13,17,&quiar,r,r,pourexpo- 
fant de fes parties ; il faut par le moyen d’iceux trouver 
13, Car il fert d’hypotenufe à treize triangles. 

Si on prenoit le double du produit des trois expofans , 


METHODE DES EXCLUSsIONS. 33 

& qu’on lui ajoûrit les trois expofans ,on n’auroit que 9 ; 
ce n’eft donc pas la régle qu’il faut fuivre. 

- Je prendrai donc les expofans deux à deux , & premié- 

rement avec 1 & 1 jecrouverai4. Je retiendrai ce 4 com- 


me s’il étoit expofant , & le comparerai avec le x qui refte. 
Le double du, 


; 5 A. b. q. par C. cub: 
produit de 1 & 4 p° a. par b. par C. cub, 
eft 8 , auquel joi- a. par C. cub. 


gnant les mêmes 


B 

B 

C a. par b. q. par c.q. 
1 &4,onaura 13 É 

A 

A 


a. par b.q.parC. 


: _ C.cub, a. par b. q. 
Se iiefh pe par B. b. par Cet 
ques: ve .par B.q C. cub. 
Pour s’'aflürer Ai par C. b. q. par C. q. 
davantage de cet- A, par C. q. b. q. par C. 


terégle, onpren- A. par C.cub, 


.q- 
draquelquegrand B.par C. 2. par b. par C.q. 


nombre , comme CAE HAS par C. 
5 2 qu du ga B.q.parC. a. par C.q. 
JE dé, $ ‘par: LE B. q.parC. q. a. par C. 
quarré de 13 & B.q-.par C.cub. 2. 
par 17. À. par B.par C.. b, par C.q. 

Les expofans fe par s par Car n par C. 

: ; . par B. par C. cub. 3 

gefdires parties PR C q. 


+ RE PR D D D RD RD RD D ND DR RD D 0 De Di mi et 1e 


je; RTE A. par B.q.par C.q. c " 
Je prens le dou- A.par B.q.par C.cub. 41 o. primitifs, 
ble du produit de VUE) 
18& 2,& luiajoû- En SA 7 
te les mêmes 1 & 
2 pour avoir 7. 
Puis je prens le double du produit dudit 7 par 3 qui 
refte, & lui ajoûte lesmêmes 7 & 3 pour avoir 52. 
Je dis donc que le nombre donné ferc d’hypoténule à 
cinquante-deux triangles. 
Je chercherai par une autre voye fi ledit nombre 2 cin- 
quante-deux triangles fçavoir en comptant toutes fes par- 
Rec. de l'Ac.Tom.V. E 


34 METHODE DES ExCLusrons. 
ties, & les triangles primitifs qui appartiennent à cha- 
cune. 

Pour faire cela plus aifément , on prendra feulement 
les puiflances, puifque la diverfité des nombres premiers 
n’y fait rien. 

Je pofe donc que le nombre foit A. par B. q. par C.cub. 

Je confidere lefdites parties en routes les façons poffi- 
bles , prenant premiérement celles qui ne fervent qu’à un 
feul triangle primitif, fçavoir celles où il n’y a qu’une feule 
puifflance ou racine ; puis celles qui feront faites de deux 
differentes puiflances , & qui fervent à deux triangles ; & 
enfin celles qui contiennent trois puiflances, & qui fervent 
à quatre triangles comme on voit cy-deflus. 

Les parties font premiérement en grofles lettres, puis 
enfuite la multitude des triangles primitifs de ladite par- 
tie. Et derriere en petites lettres eft la partie rélative , qui 
eft le nombre de multiplicité , fçavoir le nombre par le- 
quel le triangle eft PARUS Parexemple A. par C.q.ferc 
à deux triangles primitifs, lefquels feront multipliez par 
b. q. par C. Et fuppofant que C. cub. foit 125 ,que B.qL. 
foit 169 ,& que À. foit 17 ,onaura 42 5. Pour A. par C.q. 
qui fervira d’hypotenufe à deux triangles qu'il faudra mul. 
tiplier par 845 , qui eft b. q. par C. 


CUT ON OU GE ME UE X E M,biL E. 


Fe nombre étant donné, déterminer combien de fois 
il eft la fomme de deux quarrez. 

Il faut premiérement voir fi on ne trouvera point quel- 
que proprieté particuliereaux nombres qui font la fomme 
de deux quarrez , afin qu’on puifle connoître plus facile- 
ment fi le nombre eft la fomme de deux quarrez. 

Si on n'avoit rien de connu , & qu’on ne fçût point que 
la fomme de deux quarrez inégaux eft une hypotenufe , ik 
faudroit aflembler les quarrez , & faire une table des fom- 
mes , COMIME on voit au troifiéme exemple, 


METHODE DES ÉXCLUSIONS. 3; 

- Cela fair, je confidere plufieurs defdites fommes prifes 

de fuite, comme $,10,13,17,10,25,26,29, 34, 

41,37,40,45,51,61,$0,53 , &c. & je regarde fiel- 

‘les n’ont rien de femblable entr’elles que les autres nom- 
bres n’ayent point. 

Et parce que je vois diverfes fortes de nombres, je les 
fépare par clafles felon leurs diverfitez. | 

Et premiérement , je trouve des nombres pairs & des 
impairs, des nombres premiers &c des compofez , des im- 
pairs premiers & des compofez , des pairs dont les uns 
font pairement pairs , & les autres impairement pairs. 

Je confidére premiérement les nombres premiers com- 
me les plus fimples, &jetrouve$,13,17:29;37,41, 
61, 53. 

Je regarde quels font les autres nombres premiers non 
compris en certe table, & jaurai3,7,11,19,23,31; 
43,47, 59; j'examine s’il ya quelque difference entr’eux, 
& fi les précedens ont quelque chofe qui foit commune à 
tous, & qui ne convienne à aucun des derniers. 

Je trouve que 5 ,13,17,&lesautres qui font la fom- 
me de deux quarrez,, furpaflent de l’unité un multiple de 
4 , ou bien qu'ils font pairement pairs +1 , & les autres 
nombres , fçavoir 3,7, 11, &c. font tous pairement 
pairs— 1. 

Voilà pour ce qui eft des nombres premiers, 

Quant aux compofez, puifqu'ils font de diverfes fortes, 
il faut voir d’où peut provenir cettediverfité , & fi cene 
feroit point de la differente façon d’aflembler les quarrez. 

Et dur cet aflemblage, je trouve que les nombres pre- 
miers font tous fairs de deux quarrez premiers entr'eux & 
de divers ordre. 

Et que fon aflemble deux quarrez impairs premiers en- 

‘tr'eux ,onaura pour la fomme un impairement pair qui 
fera double d’un des nombres ci-deflus pairement pair 
Mas at € 


E ï 


36 METHODE DES EXCLUSIONS. 

Etc par les autres affemblages on trouvera les autres 
fommes compofées. 

Il faudra par-après confiderer les parties de ces nom. 
bres compolez, & je trouve de deux fortes de compofi- 
tions, car les uns n’ont point d'autres parties quedesnom- 
bres premiers pairement pairs—+1, ou leurs puiflances, 
comme2$,65,85. Les autres ont pour parties lefdits 
nombres premiers, & d’autres quifont pairement pairs—r, 
ou qui font de l’analogie de 2. Et confiderant ces autres 
nombres qui ne font point la fomme de deux quarrez, 

.je trouve qu'ils font tous ou quarrez, ou doubles quarrez ; 
parexemple, 10 a pour parties 2 & $ , defquels 5 eft la 
fomme de deux quarrez , & 2 eft double quarré. 

20 a pour parties 4 & $ , defquelles 4 eft un quarré. 

45 a pour parties 9 & 5 , defquelles 9 eft quarré. 

De là je conclurai que tour nombre premier pairement 
pair +1, eft la fomme de deux quarrez ; & que lefdics 
nombres premiers étant mulripliez par un quarré , ou par 
un double quarré, donnent des nombres qui font auf 
{ommes de deux quarrez. 

I] faut maintenant confiderer s’il peut y avoir des nom: 
bres qui foient plufieurs fois la fomme de deux quarrez. 

On voit par la table que lefdits nombres premiers ne 
font qu’une fois chacun la fomme de deux quarrez. 

Pour les nombres compofez nous en avons remarqué 
de deux fortes , dont les uns font multiples d’un nombre, 
qui eft la fomme de deux quarrez par un qui ne left point, 
comme 4 $ qui eft multiple de $ par 9 ,quand on ne ver. 
roit point par la table qu'il n’eft point plus de fois la fom- 
me de deux quarrez que fon primitif; la raifon montre 
aflez que 45, par exemple, dont les parties premieres & 
analogiques font $ & 9 , ne peut pas avoir plus de compo- 
fitions que fon primitif $ ; car puifque de fes deux parties 
s &9 , l’une, fcavoir 5 ,eft la fomme de deux quarrez, & 
l'autre qui eft 9 ne l’eft pointe, il eft certain que ledit o ne 


METHODE DES ExCLUSIONS. 37 


lui pourra communiquer ce qu’il n’a point ; mais feule. 
ment parce qu'il eft quarré , il n'empêchera point que la 
proprieté de 5 ne paile en 45 , puifqu'un quarré multi. 
pliant un quarré fait un quarré, & aufli 9 multipliant 4 
& 1 dont la fomme eft $, donnera les deux autres quarrez 
36 & 9 dont la fomme fera 45 , mais il ne lui pourra pas 
ajoûter de nouvelle compofirion, ni le faire être fomme de 
deux autres quarrez que des multiples par 9, de ceux dont 
s eft la fomme. 

Refte donc que le nombre qui eft plufieurs fois la fom- 
me de deux quarrez , foic compofé de feuls nombres pre- 
miers pairement pairs +1 ,ouau moins qu'il foit multi- 
ple d’un nombre compofé defdirs nombres premiers {eu 
lement. 

Mais pour examiner les differens nombres compofez, 
il faut commencer par les plus fimples , fçavoir par ceux 
qui ne fe mefurent que par un feul nombre premier, com- 
me font les puiflances dont la racine eft un nombre pre- 
mier pairement pair +1. 

Je trouve que 2 s quarré de 5 , n’eft qu’une feule fois la 
fomme de deux quarrez. 

125 cube de 5 eft deux fois la fomme de deux quarrez, 

625 qq. de 5 left aufli deux fois. 

Il fera facile de voir combien de fois chacun de ces pe- 
tits nombres eft la fomme de deux quarrez , en ôtantles 
quarrez moindres, comme on voit au quatriéme exemple. 

Or on voit que chacun defdits nombres qui font puif- 
fances d’un nombre premier, n’eft qu’une feule fois la fom- 
me de deux quarrez premiers entr'eux ; de forte qu’ilne 
refte plus qu’à voir combien de fois il eft la fomme de deux 
quarrez compofez entr'eux, c’eft-à-dire, qui ontune com- 
mune mefure ; ce qui fe fera aifément comme il s’enfuit. 

Il faut voir combien de fois le nombre fe peut divifer 
en deux parties, dont l’une foit un quarré, & compter 


combien de fois chacune des fommes rélatives eft la fom- 
E ü 


138 METHODE DES EXCLUSIrONS. 


me de deux quarrez premiers entr’eux ; car autant de fois 
le nombre donné eft la fomme de deux quarrez multiples, 
& qui ont Pautre partie relative, quiet un quarré pour 
commune mefure. 

Par-là on voit qu’un quarré, dont la racine eft un nom- 
bre premier , n’eft qu’une fois la fomme de deux quarrez 
non plus que fa racine. Que le cube & le qq. font chacun 
deux fois la fomme de deux quarrez. 

ue la cinquiéme & fixiéme puiflance font chacune 
crois fois la fomme de deux quarrez , & ainfi continuant. 

D'où il fera facile de faire une régle pour trouver com- 
bien de fois chaque puiflance, dont la racine eft un nom- 
bre premier , eft la fomme de deux quarrez ; fçavoir en 
prenant les expofans defdires puiflances, & confiderant 
de quelle façon on tirera r des expofans 1 & 2, & com- 
ment on aura 2 par 3 & 4, &c. Car on voit que fi on prend 
la moitié de l’expofant lorfqu'il eft pair , ou le milieu lorf. 
qu'il eft impair, on aura ce qu’on cherche, 

Il faut maintenant voir ce qui appartient aux nombres 
qui font mefurez par plufieurs nombres premiers, qui fur 
paflent de l’uniré un multiple de 4. k 
je trouve dansia table 6; & 85, dont le premier a ; & 
13 pour parties, & le fecond $ & 17, & chacun defdits 
nombres eft deux fois la fomme de deux quarrez premiers 
entr'eux. Pour des quarrez multiples il n’y en a point, 

parce qu'aucun defdits nombres n’a de quarré pour partie. 

On trouvera aufli que file nombre donné a pour parties 
trois nombres premiers comme 1 105 , qui eft produit par 
$,13,17,il fera quatre fois la fomme de deux quarrez 
premiers entr'eux, comme on a vû au quarriéme exem- 
ple, &il ne peut être la fomme de deux quarrez multiples, 
parce qu’il n’a point de partie quarrée. On verra audit 
quatriéme exemple combien de fois chaque nombre eft 
la fomme de deux quarrez premiers entr'eux, car ils le 
font autant de fois qu’ils font hypotenufes primitives, com. 
meilaété dit, 


METHODE DES EXCLUSIONS. 39 

Mais fi le nombre donné peur être mefuré par quelque 
quarré , il fera la fomme de quarrez multiples autant de 
fois que la partie rélative eft la fomme de deux quarrez 
primitifs. Et pour avoir une régle par laquelle je puifle 
trouver la multitude des couples de quarrez, fans avoir 
la peine de les déchifrer tous par la confideration de tou- 
tes les parties quarrées; je chercherai, par ce qui a été 
dit, la multitude des couples de quarrez de plufieurs nom. 
bres , & après en avoir quelques-uns, je verrai quelle ré. 
gle on pourra donner qui leur convienne à tous; & afin 
d'éviter la difficulté de cette recherche, je choifirai les 
moindres nombres , fçavoir ceux qui ne font mefurez que 
par deux nombres premiers. 

Ainfi Je trouve qu’un nombre compofé de deux nom- 
bres premiers , comme 65 , dont les parties font s & 13, 
eft deux fois feulement la fomme de deux quarrez. 

Si les parties du nombre font un quarré & une racine, 
ilfera crois fois la fomme de deux quarrez,car il aura deux 
primitifs & un multiple. 

Si les parties fonc un cube & une racine , il fera quatre 
fois la fomme de deux quarrez. 

Si les parties font un quarré quarré & une racine, il fera 
cinq fois. 

Si les parties font deux quarrez, il fera quatre fois la 
fomme de deux quarrez. j 

Si c’eft un quarré & un cube, il fera fix fois , &c. 

Je vois ici que la grandeur des parties ne fait rien à la 
mulritude des couples de quarrez ; par exemple, 17 ou 
fon quarré 289, pour être plus grand que 5 ou fon quarré 
2 5, n’eft pas pour cela plus de fois la fomme de deux quar- 
rez; mais l'augmentation des puiflances augmente certe 
multitude : ainfi une cinquiéme puiflance donne trois 
couples, & un quarré n’en a qu’une, 

Il faudra donc confiderer feulement lefdites puiflan. 
ces, lefquelles feront commodément repréfentées pas 
leurs expofans. 


LL 
40 METHODE DEs EXCLUSIONS. 
-_ Je ferai donc une petite table des parties de quelques 
nombres , aufquelles on mertra les expofans defdites par- 
ties au lieu d’icelles parties, comme on voit ici. 


Car par exemple, r, 2 fignifient que les par. 1° 1,2 
ties du nombre font une racine, ou nombre 1 2|3 
premier , & un quarré ; &enfuite on met 3 fé- r 3|4. 
paré d’une ligne , qui montre que le nombre 1 415. 
dont les parties font un quarré, &un nombre 1 5$|6 
premier , eft crois fois la fomme de deux quar- RES LE 
rez. + 

Or voici comme on trouvera ladire multi- * ? + 
tude de couples de quarrez. Par exemple, on DR ES 
veut fçavoir combien de fois un nombre , dont à ! à 
les parties font un quarré & une cinquiéme Ee a 
puiflance , eft la fomme de deux quarrez. 3223 408 

Premiérement, parce qu’il fe mefure par 3 4|10 
deux nombres premiers , je conclus qu'il eff 3 5ÿ{|r2 
deux fois la fomme de deux quarrez premiers 3 6Î14 


entr'eux. ] 

Refte donc à trouver les couples des quarrez multiples. 

Pour les trouver je divife le nombre en deux parties ré- 
latives , l’une defquelles foit un quarré , & ce en toutes les 
façons poflibles. 

Pour le faire avec plusdefacilité , je nommerai les par- 
ties, que lune foit A. q. & l’autre B. cinquiéme puif- 
fance. 

Je prendrai donc A.q. A.q. --- B. me pui], 
pour une des parties réla- B.q. --- A.q.par B. cub. 
tives; l’autre partie fera B. B. qq. -- A.q.parB. 
cinquiéme puiflance , la- B.q. par À.q.--- B. cub. 
quelle n’eft qu’une fois la B. qq. par À. q.--- B. 
fomme de deux quarrez 
premiers entr'eux,comme - Somme 7 
il a été dit, je marque donc 1 enfuite. Puis je prens B.q. 
pour une des parties : la rélative fera A. q. par B. cube, 


qu 


em ei D D mm 


METHODE DES EXCLUSIONS. 4t 
Qui eft. deux fois la fomme de deux quarrez premiers en- 
tr'eux : je marque donc 2 enfuite. | 

Et ainfi continuant à prendre les parties quarrées com. 
me on voit ici, on aura les primitifs de la partierélative , 
qui donneront autant de multiples au nombre total, puif- 
que les quarrez primitifs appartenans à la feconde par- 
tie, font tous deux multipliez par la premiere partie qui 
eftun quarre. 

On aura donc 7 multiples, qui étant joints aux deux 
primitifs, qui font particulierement affe@tez au nombre 
total, font en tout 9 couples de quarrez dont la fomme 
ef ledit nombre qui a pour parties un quarré &une cin- 
quiéme puiflance. 

Il faut donc de la mulritude des couples de plufieurs 
nombres inferer quelque régle pour trouver ladite mul- 
titude. 

Or je ne trouve point de régle par Exroñrs. 


laquelle Je puiffe trouver à tous la 1 1]I 1 A5 
multitude desquarrez par l'infpetion T1 2?|1 113 
des expofans des puiflances defdites ! 311 2 |4 
parties. "re bay) 2 L 
Auf lefdits expofans n’exprimenr 1 51 3106 
pas ladite multitude de couples de 2 2/1’ 1’ éd 
quarrez, comme ils faifoient aux hy- : li 216 
potenufes pour en exprimer la mul. ; 4lr 217 
titude. Car, par exemple june cin- 2 1 to 
quiéme puiflance eft bien cinq fois > Gr’ 3ro 
bypotenufe , mais elle n’eft que trois “id 
fois la fomme de deux quarrez; &une 3 312 À) 
fixiéme puiflance qui eft fix fois hy- 3 4#|2 2/10 
potenufe, n’eftaufli que trois fois la 3 ; Brant? 
fomme de deux quarrez. 3 0114 


On mettra donc la mulritude defdites couples de quar- 
rez enfuice des expofans, comme on voit ici, pour s’en 
fervir au lieu defdits expofans. 

Rec. del Ac. Tom.F. F 


p. 


e 


42 METHODE DES EXCLUSIONS. 

Mais parce que les puiffances dont l’expofant eft pair ; 
n’ont pas une plus grande multitude de couples de quarrez 
que la précédente puiflance dont l’expofant eft impair ; il 
femble qu’il eft à propos de ne pas obmettre cette condi- 
tion, & partant je marque d’un accent le nombre de mul- 
titude appartenant aux puiflances paires. 

Ainfi enfuice des expofans 1, 2, je mets lesnombres 
de multitude 1 , 1 ; & après les expofans 2 ,4, je mets 
1',2/,&jeme ferviraidefdits nombres de multitude +, 
1, pour trouver 3 qui eft enfuire ; & de 1,2", pour 
trouver 7 quieft après. 

Mais parce que je voi que lesmêmes Expofns 


nombres de multitude qui appartien- © RE AA à M 
nent aux expofans ne donnent pas le ? ? Tn © 
même nombre de multitude pour le ! 3[7  ?,|# 
nombre donné, & que ceux qui font : #1! * } | 
marquez, fçavoir ceux dontl'expofant Skin A 
eft pair , donnentun plusgrand nom- , 2|1° 1/14 
brequeceux dont l’expofanceftimpair; ; 3|1/ 2 |6 
il eft manifefte qu'il faut avoir égardà ;, 41° 2'|7 
la qualité desexpofans, ce quiconfifte , $|1’ 3 |9 
à voir s’il.eft pairouimpair; car, par ; 6l1° 3/|10 
exemple, 1,2, provenans de 1 & 3 ——} | 
donnent 4 ;mais les mêmes 1 ,2,pro- 3 3/2 218 
venans de 1,4, donnent $,& files 3 4[2 2'|r0 
mêmes 1!/,2, viennent de 2, 3,ils 3 5|2 3 |12 
donneront 6 ; & venant de 2,4,ils 3 612 3'|\r4 


donneront 7. 

De là on voit manifeftement qu’on ne peut donner une 
même regle generale , puifque lesmêmes nombres 1,2, 
donnent quatre nombres différens ; maisil faudra diftin- 
guer fi les expofans dont lefdits r , 2, ouautres nombres 
font dérivez, font pairs ou impairs. 

Cette diverfité fe peut confidérer en trois façons: car 
ou les deux expofans fonc tous deuximpairs ; ouils font 


METHODE DES EXCLUSIONS. 43 
tous deux pairs, ou l’un eft pair &l’autreimpair. 

Je chercherai donc féparément des regles pour chacu- 

ne de ces trois façons. 
Et premierement quand les expofans font tous deux 
impairs. Le premier exemple de la Table eft quand les 
expofans des parties du nombre donné font r , r ,lesnom. 
bres de multitude qui leur appartiennent fonc aufir, 1; 
je regarde comment je ferai 2 avec 1 , 1 ,& je voi que fion 
prend la fomme defdits 1 & 1 on aura 2. 

Je prens un autre exemple, fçavoir le troifiéme où les 
expofans font 1, 3, &leurnombre de multitude fontr, 
2 :orla fommeder , 2 , n’eft pas 4 ainfi qu'il feroit re- 
quis, & partant ce n’eft pas là la regle. 

Je chercherai donc 2 avec 1 & 1 d’une autreforte , & 
je trouve que le double du produit de 1 par 1 eft 2. 

Et confidérant les autres exemples où les deux expofans 
font tous deux impairs, je trouve les nombres qui appar. 
tiennent à chacun d’iceux en la même forte ; carle double 
du produit de 1, 2, qui appartiennent à 1, 3 ,eft4, & 
ainfi des autres ; d’où je conclus que la regle eft bonne. 

Je pafle aux expofans qui fonc tous deux pairs. Le pre. 
mier exemple eft celui dont les expofans font 2 & 2 , leurs 
nombres font 1”, 1’, (fçavoir la moitié d'iceux , & aux 
expofans impairs le milieu , ) je cherche le moyen de faire 
Aavecr& 1. , 

Pour fuivre le plusque je pourrai la premiere méthode, 
il faudra que je prenne le produit de 1 par 1 , lequel eft + 
dont le quadruple fera 4. Maisil n’en ira pas de même aux 
expofans 2 &4, car les nombres qui leur appartiennent 
fçavoir 1’ & 2’, donneroient 8, &nonpas7, ainfi qu'il 
eft requis. 

” Jeffayerai donc à faire 4 par le moyen des mêmes 1” & 
1’ du premier exemple d’une autre façon, en fuivant en. 
core le plus que faire fe pourra la premiere méthode. 

On prendra doncencore le produit de 1 par Fe lequel 

1] 


44 METHODE DES EXCLUSIONS: 


eft r ; fon doubleeft 2 , auquel joignant les mêmes 1 & +; 
on aura 4, ainfi qu'il eft eft requis. 

Je prens enfuite les expofans 2 &4:les nombres qui 
leur appartiennent, fçavoir leur moitié eft 1 & 2, leur 
produic eft 2 dont le double eft 4, auquel joignant les 
mêmes 1 &2, onaura 7, qui eft le nombre qu'il falloit 
avoir. 

Féprouve la même chofe aux expofans 2 & 6,&trouve 
10, d’où je conclus que la regle eft bonne. 

Je pañle par après à la troifiéme diftinétion , fçavoir 
quand l’un des expofans eft pair , & l’autre impair. Le 
premier exemple eft quand les expofans font 1 &2, leur 
milieu & moitié font 1 & 1’, avec lefquelsil faut trouver 
3. Je prens comme auparavant le produit de x par 5, qui 
eft r , fon double eft 2. 

Or puifque les deux expofans étant impairs on prend 
fimplement le double du produit fans rien ajouter , & 
lorfque lefdits expofans font tous deux pairs on ajoute au 
double du produit les deux nombres qui fe font multi- 
pliez , il fe pourra faire que quand l’un des expofans eft 
pair & l’autre impair , il faudra feulement ajouter un des 
nombres au double du produit fufdit. 

Partantaudit produit 2 j'ajoute l’un des nombres, ça. 
voir 1 pour avoir 3. 

Mais parce que chacun des nombres qui fe font multi. 
pliez eft r , je ne puisencore fçavoir fi c’eft celui qui vient 
de lexpofant pair , ou celui qui vient de limpair. 

Je prensdoncun autre exemple, fçavoir le fuivant au- 
quel les expofans font 1 & 4. Les nombres qui en dépen. 


dent font 1, 2’, le double de leur produit eft4 ; mais: 


paree qu’il faut avoir $ , on ajoutera 1 audit 4:0r cet 1 eft 
le nombre qui provient de l’expofant impair; je dirai donc 
qu’au double du produit il faut ajouter le milieu de l’ex- 
pofant impair. 

Je regarde aux autresexemples fila même chofe arri- 


hs dd = 2 ne dti cle she 


ct 


METHODE DES EXCLUSIONS. 45 
vera comme à ceux dont lesexpofans font 1,6,]2,3,] 
2, 5, &c. & je trouve quecette regle convient à tous, 
d’où je conclus qu’elle eft bonne. ï 

-H faut maintenant voir quand le nombre donné fera 
mefuré par trois nombres premiers differens ;par exem- 
ple, fi fes parties font un nombre premier, un quarré & 
un cube, lefquelles foient A. B. q.& C. cub. 

- Je lesmetsen deux B.q----- A.par C. cub. 2 
parties rélatives,entel- C.q. --- À. par C.par B.q. | 4 
le forte que l’une foit B. q.par C.q.---- A.parC. | z 
un quarré , & je prens to 

les primitifs de la partie rélative au quarré que je mets 
-enfuite. Parexemple, prenant C.q. pour une des parties, 
la rélative fera À. par C. par B. q. laquelle contenant trois 
fortes de nombres premiers, elle fera quatre fois la fomme 
de deux quarrez premiers entr’eux ; je mets donc 4 enfui- 
te, &ainfi des autres. 

Et affemblant tous lefdits primirifs des parties qui {e- 
ronrmultiples au nombre total , je trouve huit multiples, 
aufquels joignant les quatre primitifs dudit nombre total, 
on aura en tout douze couples de quarrez , defquels le 
nombre donné eft la fomme. 

* 11 faut donc trouver 12 par le moyen des expofans r ; 
2,3, ou des nombres qui leur appartiennent 1, 1”, 2. 

Et premierement de r & 1’ j'ai 3. Je prendrai donc3 
aulieu der, 1! , & ainf j'aurai 3 & 2 : leur produiceft 6. 
dont le double eft 12, qui eft la multitude requife des 
couples de quarrez. 

On pourroitici trouver quelque dificulté fur le 3 qui 
provient de 1 & 1’, fçavoir s’il doit être pris comme ve- 
nant d’un expofant pair ou d’un impair , puifqu’il pro- 
vient de tous les deux enfemble ; mais ka regle nous mon- 
tre que l’impair prévaut ici, car autrement il faudroit. 
ajouter un des nombres au double du produit 1 2. 

Mais ici il faut confidérer que l’expofant pair montré 

Fil 


46 METHODE DES ExcLusrons. 

que l’expofé eft quarré, & l'expofanc impair montre que 
l’expofé n’eft pas quarre: fidonc le nombre de multitude 
eft celui qui provient de plufieurs expofans, ou qui eftla 
moitié ou milieu d’un defdits expofans, ce nombre de la 
multitude appartient à un nombre quarré , & il doit être 
réputé provenir d’un pair : mais fi ledit nombre de multi- 
tude appartient À nombre non quarré, il doit être réputé 
comme provenant d’un impair. Si donc entre les parties 
analogiques d’un nombre, il s’en trouve une qui ne foit 
point quarrée , le nombre ne fera point quarré , & les 
parties non quarrées auront leurs expofansimpairs. 

D'oùil s'enfuit qu'entre plufieurs expofans, s’ilyena 
quelqu'un qui foitimpair , le nombre qui eft produit par 
les parties à qui appartiennent lefdits expofans , fuit la lo 
des expofansimpairs. 

Ainfi en notre exemple, ayant prémierement travaillé 
fur les expofans 1 & 2 , qui donnent 3 pour le nombre de 
la multitude, ledit 3 doit être réputé comme provenant 
d’unexpofantimpair , parce qu'entre les expoians dont 
il provient il yenaunimpair, ce qui fait que le nombre 
quieft trois fois la fomme de deux quarrez n’eft pas quar- 
ré, & partant fon expofant doit être réputé impair. 

Ontrouvera le même nombre r 2 en mêlant autrement 
lefdirsexpofans. Comme fi je multiplie à part les nom- 
bres 1, 2, provenans desexpofans 1 & 3 , j'aurai 4. L’au- 
treexpofant eft 2, fon nombreeft 1’, je multiplie donc 
1' par 4, le produit eft 4, dent le double eft 8 , auquelil 
faut ajouter le nombre qui provient de lexpofantimpair, 
fçavoir 4, puifque l'autre nombre 1’ provient d’un expo- 
fant pair, & on aura 12 comme cy-devant, 


ST RTE NRENINE RARE M SP EE 


1 Rouver tousles triangles qui ont un nombre donné 
À pour différence de leurs moindres côtez. 
Afin de trouver tour ce qui dépend de la connoiflance 


METHODE DES EXCLUSIONS. 47 


des nombres qui fervent de difference aux côtez des trian. 
gles, je fais plufieurs triangles primitifs de fuite, & je 
prens leur difference ,enlaiflant les multiples, parce qu’ils 
ne peuvent rien avoir qui ne vienne des primitifs. 


On voitici tousles triangles pri. 3 4  $ Î|r 
micifs dont les hypotenufes font $ 12 13 | 7 
moindres que 100, &après eux eff 8 15 17 |7 
la difference de leurs moindres cô- 7 214 25 | 17 
tez. 20°, 21 29 I 

Orpourremarquer cequ'ilyade 12 35 37 | 23 

articulier dans lefdits nombres qui 9 40 4r | 3r# 
Rent de différence , je trouve 28 45 53 | 17 
qu'ils font premiers ou compofez de 11 60 61 | 49 
nombres que je trouve aufli dansla 16 63 65 | 49 
Table, comme 49 quicftle quarré 33 ‘56 6ÿ | 23 
de 7 ; de plus ceslombres premiers 48 55 73 | 7 
(fi oñenexcepte 1) font tous diffé. 13 84 85 | 7t 
rens de l’unité d’un multiple de8,& 36 77 35 |4r 
je ne trouve aucun nombre dans la- 39 80 89 | 4r 
dire Table qui n’ait cette condition. 65 72 97 | 7 


Maintenant il faut voir comment on pourra trouver 
tous les triangles , la difference des moindres côtez étant 
donnée. 

Je prendraipar éxemple 7, & par'fon moyen je cher- 
cheraiune regle pour trouver les triangles 5 , 12, 13 & 
8,15, :17.Mais parce que 7 eftnombre premier, & qu'il 
fert de difference à plufieurs triangles , il faut de nécellité 
qu'il y ait quelqu’autre proprieté par laquelle on puifle 
trouver lefdits triangles , autrement ils ne fe pourroient 
pas trouver ; car quoique je fçache que 7 eft different de 
Funité d’un multiple de 8 , cela ne me donneautre chofe, 
finon que 7 eft proche du premier oétonaire, ce qui ne 
pourra pas fuffire pour trouver les deux triangles fufdits ,. 
& les autres qui font encore enfuite.. 


48 METHODE DES EXCLUSIONS: 


Oren confidérant 7 , je voi qu’ileft la difference entre 
1&S8, &entre z &)9, {çavoir entre un quarré & un dou- 
ble quarré. Je regarderai donc fi les autres nombres qui 
fervent de différence entre les moindres côtez d’un trian- 
gle fonc auffi la différence d’un quarré & d’un double 
quarré. 

Et fans examiner 1 qui fert de difference entre 1 , 2,& 
8,9, &autres, je viensà 1 7 qui fert de différence entre 
1 & 18, &entre 8 & 25 ; demême 23 fert de difference 
entre 2 &25,&entre 9 & 32, & chacune defdires cou- 
ples contient un quarré & un double quarré. 

De plus, je remarque qu’à chacune de ces couplesil ÿ 
a un des nombres moindres que la différence d’entr’eux ; 
ainfi à la couple 9, 32, le moindre nombre 9 eft moin. 
dre que 23 quieneft la différence. 

Je verrai donc fi par cette proprietéje trouverai que 7 
eft la difference entre les moindres co des deux prians 
glesiss 12,23 000 pe 107. 

Voici commeil faut s’y prendre. 

7 fert de difference entre 1 & 8, &entre 2 & 9. Je 
prens leurs racines qui font 1, 2",& 1", 3. Je marque 
les racines des doubles quarrez, afin de les connoître d’a. 
vec celles des quarrez , car on voit bien qu'il faut compa- 
rer la racine du double quarré avec le nombre dont elle 
provient d’une autre maniere que celle du quarré fimple, 
& qu’elles doivent produire un effet different l’une de 
l’autre. 

Je mets donc 7, & enfuite les ra- 
cines des deux couples fufdites, 
commeon voitici ; fçavoir 1, 2", 
EAU 

Je confidére par aprèsles deux triangles qu'il faut trou- 
ver, fçavoir. $ , 12 ,13 ,& 8 ,15$,17,je prens les 
quarrez doncils proviennent, quifont4, 9; &1, 16. 

Leurs racines font 2 & 3, ]&1,4, que j'écris auff 
gnfuite, - HOT 


Tea Ur 


"1 


Log 


2 


3 
Liiæ 


METHODE DES EXCLUSIONS 49 


Car il faut remarquer que d'ordinaire la folution fe 
trouve plus aifément par le moyen des racines que par les 
quarrez, de forre que quand on aura des quarrez, fi on 
ne trouve pas aifément par leur moyen ce qu'on cherche, 
on l’éxaminera par les racines, ce qui fertauflià rendre la 
recherche plus facile par la fepriéme regle, fçavoiren fe 
fervant de moindres nombres. 

I faut donc par le moyen de 1, 2", & 1", 3, trouver 
2,3: &1,4, fçavoir par lesracines des quarrez & dou- 
bles quarrez dont 7 eft la difference , trouver les racines 
des quarrez qui font les triangles qui ont 7 de difference 
entre leurs moindres côtez. 

Je voi que 1", 2", foncles racines des moindres quar- 
rez defdicstriangles, & les deux grandes 3 &4, fe pour- 
ront trouver prenant en croix la fomme de 1", 2", & de 
13 3 

On pourroic dire auffi que la 
fomme & la difference de r/ &3', 
donnent 2: &4, quifontles racines 
des quarrez pairs destriangles; & la fomme & la differen- 
ce de 1”, 2", donnent 1 & 3 , qui font les racines des 
quarrez impairs. 

Mais on pourroit encore fe fervir d’une feule couple 
pourun triangle ; fçavoir fi on prend la racine du double 
quarré pour une des racines, &la fomme des deux pour 
l'autre. 

_ Ainfà la premiere couple 1’,2",] 2 fera une desracines 
requifes, & 3 qui eft la fomme de 1 & 2 fera l’autre. 
-Ecà l’autre couple 1", 3’ ,] 1 fera l’unedes racines, & 
la fomme de 1, 3, fçavoir4, fera l’autre, L 

Et cette derniere façon fi elle eft bonne , commeil y 2 
quelque apparence, fera plus commode, puifque chaque 
couple donne un rriangle. . | 

Ce qui me fait préfumer qu’elle eft bonne, eft que les 
autres ne peuvent pas fervir pour les triangles qui ont 1 de 

Rec. de P Ac. Tom... 


1’ nt. 3 
M4" |.r 4 


so METHODE DES EXCLUSIONS. 


difference entre leurs côtez ; car r eft la difference entre 
le quarré & double quarré 1, 2 , le moindre defquels 
fçavoir r n’eft pas plus grand que ladite difference r. 

Voici donc comme je l’éxamineraià' r. 

Les racines du quarré & double quarre fufditfont 1’ & 
x", donc 1 fera une des racines, (fçavoir prenant la ra- 
cine du double quarré ) & 2 qui eft la fomme des deux ra- 
cines 1’ & 1" fera l’autre racine : on aura donc r ,z, dont 
les quarrez 1 , 4, donnent le triangle 3, 4,$,quiar 
de difference entre {es moindres côtez. 

Le même r eftencore la difference entre le quarré, & 
le double quarré 8 & 9, dont les racines font 2“, 3’. 

Onaura donc pour les racines des quarrez 2 & 5 ,fça- 
voir la racine du double quarré, & la fomme des deux. 

Lefdirs 2 & 5 donnerontletriangle:0, 21, 29,quia 
1 de différence entre fes moindres côtez. 

Il faut maintenant examiner les deux premieres regles 
fur 17. Les quarrez & doubles quarrez dontileft la diffe. 
rence font 1,18, &S8,25$.Leursracines font 1’ , 3", & 

2" F 1x L 

Jeles difpofe comme auparavant. er cigM 
Par la premiere regle je prendrai 7. | DES 2 
3 & 2 pour lesracines des moindres 
quarrez requis, & les fommes de 2", 3", & de 1’, 5’, 
pour les autres ; mais on ne pourra pas faire par ce moyen 
les triangles requis , car onauroit les quarrez de 3 & $ ,& 
de 2, 6, qui donneroient des triangles aufquels les'trois 
côtez feroient pairs, & partant la difference qui feroit 
paire neferoit pas 17. 

Que fi on vouloir accoupler autrement ; &6, & qu’on 
pritz,5$,&3, 6, onn’auroit pas aufli le triangle requis, 
car les quarrez de 3 & 6 étant multiples de 3 ,donneroient 
un triangle auquel tous les côtez feroient mefurez par 3, 
& partant la différence des côtez ne pourroit pas être 17, 
puifqu’elle - même feroit aufli mefurée par3 , & partant 


3279; 
2 6 


METHODE DES EXCLUSIONSs, s1 
la premiere façon de trouver les triangles n’eft pasbonne. 
Venons à la feconde. | $ 

La fomme & la difference de AE AA ap EP 
1’, 5’, fonc les racines des quar- | ERA | 2}, 6 
rez pairs, & la fomme & la diffe- FAT ue 
rence de 2", 3", font les racines des quarrez impairs: 
mais cette regle.ne réüflit pas non plus que la premiere, 
quoiqu’elle ait plus d'apparence d’être bonne, car par la 
premiere, aprésqu’onapris 2", 3", pour les racines des 
moindrés quarrez, on prend par après les fommes de 2", 
3", &de1', 5’, pour les racines dés deux autres quar- 
rez ; d’avoir pris 2" pour untriangle, & 3" pour l’autre, 
cela va bien, parce qu’il y a dela reflemblance entre 2" & 
3" : mais de prendre par après la fomme de 2", 3", 
pour un des triangles, & celle de 1’, 5’, pour l’autre, ce 
font des façons différentes, parce que 2", 3", font raci- 
nes de doubles quarrez, & 1”, 5’, de quarrez fimples. 

La feconde façon n’a pas cette répugnance, les racines 
de chaque triangle étant égales à la fomme & à la diffe- 
rence de 1’, 5’, &de2", 3"; néanmoins parce que l’on 
prend pour le premier la difference des rcines des quar- 
rez fimples & la fomme de celles des doubles quarrez, & 
le contraire pour le fecond criangle ; cette diverfité fait 
qu’elle ne réüffit pas. 

La troifiéme voye eft plusréguliere, & les triangles fe 
trouvent par des facons entierement femblables., auffi 
eft-ce la vraye méthode de trouver les triangles. 
:. On fe fert de chaque couple à FREE 
part, prenant la racine du double 2 

uarré pour la moindre racine, & 
la fomme des deux quarrez pour l’autre. 

Ainfi 3 eft la racine du moindre quarré d’un des trian- 
gles, &4 qui eft la fomme de 3" & 1 , eftl’autre racine. | 

Les deux racines font donc 3 &4 , qui donnentlertrian- 


gle7,24,25,quiar7, pour difference de fe 
y 


3%;..4# 
q} 


2 


$T METHODE DES Excrusrons. 

L'autre triangle fe trouvera dela même maniere, fc4: 
voir prenant la racine du double quarré 2 pour celle du 
moindre quarré , & la fomme de 2 & 5 fçavoir 7, pour 
racine de l’autrequarré. On aura donc 2 & 7 pour raci- 
nes, qui donnent le triangle 28 , 45, 53, qui a 17 de 
difference entre fes côtez. 


La même chofe fe fera aux au- 3-5 4e dy 
tres nombres , car des couples 23,154 $ ‘tiré 
delta avoit 4e 
ontrouvera les triangles 33,56, 31 | 1, 4 | ‘Bvrÿs 
GS, & 12,35, 37; quiont 23 TON PE PAP: à. 


de différence entre leurs côtez. 

: Et des couples de 3 1 on trouvera les triangles 9, 40, 
41, &60,91,109, quiont 31 de différence, d’oùlon 
peut inférer que la regle eft bonne. 

Voilà donc le moyen de trouver les triangles qui ont 
un nombre donné pour différence de leursecotez, maisla 

ueftion demande tous lefdits triangles. 

I] faut donc voir combien il yen doit avoir, & s’il yen 
a quelque nombre déterminé ; & pour cereflet j’airecours 
à la Table qu'on à faire en commençant d’éxaminer la 
queftion , dans laquelle je voi qu’un même nombre fertà 
plufieurs triangles, car il y en à 4 quiont 7 pour diffe. 
rence. | 

Je confidére auf qu’il n’y a point de répugnance qu'un 
même nombre ferve de difference aux moindres côtez 
d’uneinfinité de triangles, vä même qu’il y en a une in- 
finité qui n’ont que 1 de difference entrele grand côté & 
l’hypotenufe, & je conclus qu’il fe pourroit bien faire auf 
qu’il y auroit une infinité de triangles qui auroient un mê. 
me nombre pour difference de leurs moindres côtez. 

Et ce qui me confirme en cette opinion, eft que je voi 
quatre triangles quiont unnombre premier, fçavoir 7 pour 
différence. Or les nombres premiers ne font pas fi abon- 
dans, lorfque la choft eff limitée ; comme on voit que les 


DRE ritLs 2 


METHODE DÉS EXCLUSIONS. 53 


mêmesnombres font aufli la fomme des fufdits côtez des 
triangles : mais parce que cela eft limité ; & qu’il eft im. 
poihble qu’ils foient la fomme des côrez d’une infinité de 
triangles , on voit que les nombres premiers comme 7, 
17, &c. ne font chacun la fomme des côtez que d’un feul 
triangle. | F | 

Or fi chaque nombre fert de difference entre les moin- 
dres côtez d’une infinité de triangles ; il eft néceflaire 
qu’il y ait quelque progreflion qui conduife à cette infiniré 
de triangles ; & s’il ya une progreflion ; & qu’on fçache 
les deux moindres termes, & la difference des nombres 
de ladite progreflion, on la pourra pourfuivre auf loin 
qu’on voudra. sy3 
- Je cherche donc dans ma Table deux triangles qui 
ayent une mème difference entre leurs moindres côtez, 
& je prens les triangles les plus proches. Ainfi$ , 12,13, 
&S8,15,17, ontitous deux 7, de difference entreleurs 
côtez. 

Il faudroit voir fi on pourroit avec le moindre faire le 
plusgrand : mais parce que les racines des quarrez qui 
font le triangle font plus fimples que les côrez du même 
triangle, je prenslefdites racines qui font 1, 3 ,&1,4; 
mais on ne peut pas trouver une fuite qui avec 2, 3,donne 
1,4,ouavec:,4, donne2, 3, & qui continué à l’in- 
fini en augmentant: car fi on prend 2, 3, pour le premier 
terme, & qu'on trouve 1 au fecond, cela iroit en dimi- 
nuant ; de même qui prendroit r , 4, pour le premier, le 
#econd auroit 3 pour fa plus grande racine qui feroit moin- 
dre que la plus grande du précédent , & ainfioniroit en. 


_coreén diminuant. 


Il faut denc afin que la progreffon aille enaugrmen- 
tant, que chacun des termes augmente , ou au moins 
quele grand terme augmente, & que le moindre ne di- 
minué point. ë 

Je conclus de là que les deux triangles fufdits fone 

Gi 


’ 


s4 METHODE DES EXCLUSIONS. 


chacun le commencement de quelque progreflion. : 
Il faut donc prendre dans la table quelqu’autre trian: 
gle plus grand a ait pareil nombre de 7, pour difference 
entre fes moindres côtez. Jerrouve48,5$,73. 
Les racines des quarrez dont il provient font ; & 8. 
Mais parce qu’on ne voit pas d'où peut provenir ce 3 
& 8; fçavoir fi c'eft de 2 ,3, ouder ,4, je choifirai plû- 
rôt dans la table une autre différence pour l’examiner ; 
puifque j'y vois deux triangles affez éloignez l’un de l’au- 
tre qui ont chacun l'unité pour difference entre leurs 
cOteZon 25h SU … 
Joint aafli que pour plus grande facilité la méthode re 
quiert qu’on fe ferve du moindre nombre poflible en l’exa- 
men. Mais ( pour retourner à notre 7) fi on vouloit juger 
duquel des deux triangles dépend 48, 55,73, fçavoir fi 
c’eft de $,12,13,oude8,15,17,ilfaudroir voir fi c’eft 
le premier qu’on rencontre après les deux fufdirs , & s’il 
n'y en a point dont les côtez foient moindres, & parce 
que je trouve que c’eft le moindre après les deux fuf- 
dits ,je conclurai qu’il provient du moindre des deux pre: 
miers, fçavoir de ÿ , 12, 13, qui eft moindre que 8, 
IS 3 T7 | 
Je trouve donc 3,4,$,quia 1 dedifference, & enfuite 
20,21,29. Les racines de leurs quarrez font 1, 2, & 
gs 
Jeles difpofe comme on voitici, &jeregarde 712 
comment je pourrai der ,2,tirer 2,5. Etpre+ 2 5 
mierement je vois que le moindre nombre de la ——— 


feconde couple eft égal au plus grand de la pre. ÿ 12 


miere, car chacun d'iceux efk 2. | 

Refte donc à faire $ avec 1 ,& 1. Le 5 eft la fomme des 
trois nombres que j'ai déja, fçavoir de 2,1 ,& 1 ,ou(ce 
qui eff la même chofe) il eft la fomme du moindre nom 
bre 1 , & du double de 2 qui eft le plus grand. 


Rd he a Le 


: 


METHODE DES EXCLUS1ONSs. 55 
- Jecontinuë par-aprèscerte | 1 23 4  s$ 
progreffion de lamêmeforte, | 2 $l20 21 29 
prenant le plus grandnombre | $-12|119 120 169 
5 pourlemoindre de lacouple |12 291696 697 985 
fhivante, & pouravoimletplus SE 
grand j’ajoûte 2 au double de $ pour avoir 12. 
+ Jaidonc $ & r2 dont les quarrez donnent le triangle 
119,120,169, quia 1 de différence entre fes moindres 
sÔtez. où rfi A 
De la même façon avec 5 & 12 ,onfera 12,29, qui 
donneront le triangle 696,697 ,985. 
J'appliquerai par-après cette méthode aux autres nom- 
res. 


E 3 | Dan it ui # 8 ea ERES Gé 
Mn SN AT LES. 72: 07 
[8 19 | 297 304 425 | | 9 11396 403 565 
Etavec2,3,je ferai les racines 3 & 8, prenant 3 pour 
la moindre , & la fomme de 2 , & du double de 3 pour la 
plus grande, qui donneront le triangle 48 55, 73. 
Etavec 3 & 8 ,onfera 8 & 19,& fontriangle 197,304, 
sn do: 
Semblablement avec r.& 4 on fera 4 & 9 & fon trian- 
gle6s,72,97,&avec4&9,onfera9,212,&fontrian- 
gle396,403, 565. 

Et ainfi à toutes fortes de nombres , pourvä qu'on fca- 
che un des triangles , on trouvera les autres, mais il faut 
aufñ avoir égard aux multiples. 

* Or ces multiples fonc faciles à rrouver quand on fçair 
les primitifs, & ce qu’on doit ici remarquer eft que tout 
nombre excepté 1, fert de difference entre les moindres 
côtez d’uninfinité de triangles mulriples , parce que tour 
nombre eft multiple de r , lequel 1 fert de difference en- 
tre les moindres côtez d’un triangle. 

Ainf 7 fert de différence entre les côtez des triangles 


$6 METHODE DES EXCLUSIONS, 
5,12,13,&8,15$,17,& de ceux qui en proviennent; 
mais outre cela parce que 7 eft mulriple de r,il feraencore 
la difference des côtez des triangles multiples par 7, de 
3,4,5,de20,21,29,& de leur fuite; fçavoir de 21, 
28,3$,]140,147,203,& des autres. 

Il en eft de même des aurres nombres, & s'ils étoient 
compofez,il yauroit beaucoup plus de mulriples; au moins 
il y auroit plus de principes dont ils proviennent. 

Il y a plufeurs autres chofes à confiderer fur ce fujer , 
dont on a parlé au difcours des triangles au chapitre qui 
traire de la fomme & de la difference des deux moindres 
côtez : mais ceci fuffira pour faire découvrir le refte. 


T_R O USE RS CUN: IT. R TI AN EME 
auquel tant l'hypotenufe que la fomme des deux 
_ autres ctex, foit un quarré. 


Voici le triangle. 
4687298610289 hypotenufe. 
456548602776 côté impair, 
10616$1293$20 côté pair. 


C’eft la queftion que l'exemple 7 fuivant nous enfeigne 


à chercher par tant de moyens. 


TROUTER UN TRIAN GC LIE 
duquel l'aire ajoñtée aux deux petits côtez, 
fafle un quarre. 
Voici le triangle. 
205769. 
190281. 
78320. 


L'ORQO UV PRESR. LOU OONT ST R JT ANGL E 
dont l'aire jointe à l'hypotenufe donne un quarré. 


C'eft 17, 144, 145. ‘ + 
: TROUVER 


ÿ 
4 
& 
î 
@ 


METHODE DES EXCLUSIONS. 57 
TROUVER UN TRIANGZLE 
dont l'aire jointe au petit cote fafe un triangle. 


Cet 3,4,5,]116,30,34. 
Etle troifième eft 105, 208, 233. 


SEPTIEME EXEMPLE. 


Rouver un triangle auquel tant l’hypotenufe que 
. L la fomme des deux autres côtez foit un quarré. 

Puifque la queftion requiert deux chofes, fçavoir l’hy- 
potenulfe quarrée & la fomme des deux côtez aufli quar. 
rée , je chercherai les moyens de faire chacun féparé. 
ment, & je verrai fi l’un étant quarré l’autre le peut être 
auf, fuivant ce qui a été dicau neuviéme précepre. 

Je chercherai premiérement tous les triangles qui ont 
un quarré pour la fomme de leurs moindres côrez. 

Je fuppofe donc qu’on ait examiné quels nombres doi. 
vent être la fomme des deux moindres côtez destrian. 
gles, & qu’on ait trouvé que ce font des nombres premiers 
‘differens de l’unité d’un multiple de 8 , ou qui font com- 
pofez defdits nombres premiers feulement. 

: Je prens donc les quarrez defdits nombres, fçavoir de 
717,23 ,31,&c. & je cherche leurs triangles pour voir 
fi quelqu'un d’entr’eux aura un quarré pour fon hypo- 
tenufe, 

- Pour avoir lefdics triangles il faut avoir les couples de 
quarrez & doubles quarrez , dont la difference eft la fom- 
me des deux moindres côtez du triangle. Et parce que 
tous les nombres dont on fe doit fervir font quarrez,il faut 
voir fi par le moyen de leurs racines , on ne pourra point 
trouver les couples de quarrez,& doubles quarrez qui leur 
appartiennent. 

Pour trouver cela on fe fervira des méthodes ordinai- 
res, prenant des nombres connus; par exemple, je fçais 
que 7 eft la difference de 1,8 ,&de 2,9, dont les raçines 

Rec, de P Ac, Tom,T, H 


58 METHODE DES EXCLUSIONS. 


fontr,2",&1",3. Je fçais auffi que fon quarré 49 eft la 
différence de 1,50,&de32,81,dontlesracinesfontr, 
5", & 4", 9. 

1 2"[r s" Il faut donc par lemoyen de 1,1",& 5 
1 3 Fe 9 | 3 ; trouver : , 5", &4", 9. On donneroit 
——————— bien plufieurs moyens de pafler de l’un à 
l’autre , mais ils ne conviennent pas aux autres nombres. 
En voici un qui convient à tous. 

Je prens Le produit des deux couples,fçavoir de 1 parz, 
& de x par 3, pouravoir 2 &3. Leur fomme eft s quieft 
le côté du double quarré, leur différence eft 1 qui eft le 
côté du quarré de la même couple. On aura donc 1,5", 
pour une des couples. 

L'autre fe trouvera aifément, fçavoir en prenant la 
difference de 1 & 5 pour côté du double quarré de l’autre 
couple , & la fomme des racines des doubles quarrez, fça- 
voir de 4" & s” pour la racine du quarré de ladite feconde 
couple. 

On aura donc ainfi les deux couples , 1, 5", & 4", 9. 

J'éprouve la même chofe aux autres nombres comme 
17& 23, & je trouve que cela y revient. 

Je fais donc une table aflez grande de plufieurs quarrez 
qui font la fomme des deux moindres côtez d’un triangle, 
comme on peut voir ci-après ; & afin de trouver commo- 
dément les couples de quarrez & doubles quarrez dont 
ils font la difference, je mets leurs racines avec leurs cou- 
ples auffi; comme près de 49 je mets 7 avec fes couples 1 , 
2", & 1°, 3, afin qu’on puiffe trouver plus facilement les 
couples de 49 par le moyen de celles de 7, car les racines 
étant moindres que leurs quarrez , leurs couples fe trou: 
veront auf plus facilement que celles des quarrez. 


Ÿ 
| 
] 
e 
| 


METHODE DES ExCLusIONs. 59 


PAS LA DES Oo 0 AR 8% z 
qui font la fomme des moindres cdtex des triangles. 


60 METHODE DES EXCLUSIONS. 


223 49729 
13.14 167 dot 
I US OMR T 


133 54289 
d'uar |TTroL ns" 
d'Cas 66 4)el5x 

23: (| : SNSRES 
4 XD VE J 169 
5" 17 |168° 337 

241 58081 
I He 199 2217 
L'OMrar | PU 24 

257 h cor Il 
9 1103 VERRE 
4': 17 NP 6PU32X 

Di - 69169 , 
ÿ T2 A7 
7": vo. [120 NE 

be 73441 
11.14" |1030 20% 
3": 17 JrO2 ao 

281 78961 
13 5" |TEMPa2 00 
2": :17 16848207 

287 82369 
Fr 12 226 
13/23 |2400%%69 


289 1 83521 À ES 146639 
7. COR 208 RUE 12 3 3°7 ER 
6" 198", 397 Pr 425184" . or 
311 96721 391 152881 
9.1 48e" | LT 146135740865 


LB ls" x | 210% 040/r 


3 
1! 1 1 1 
|27 É8"{287 325" 10 15") 9m MER 


19 [38" 363 [1429 30" 451 
367 134689 457 | 208849 
139 277 | [1x 17 | 49200929" 
23 1140" 417 116" 23 1236"860x 


METHODE DEs ExcLusionNs. 6x 
463 | 214369 487 | 237169 
CRT 25 67e à DOM CANIN EN CR CN PERTE 


1 


9" 25 /224" 561 | [r1"27 160" 537 ||8" 25 |306" 659 


A ee mm 


479 | 219441 497 | ‘247009 593 | 253009 
13 18")r19 349"| rs 19"|193 377 16"|329, 425" 
er 23 |230" 579 4 13 184" s61 13/29 96! 21 

Je vois par-après comment on fera le triangle par le 
moyen defdites couples ; par exemple 7 eft la fomme des 
côtez du triangle 3,4, 5, les racines des quarrez qui don- 
nent ledit triangle font r & 2, je cherche donc comment 
avec les couples fufdites , fçavoir avec 1 ,2",& 1", 3, je 
ferai 1 & 2. 

Je trouve que les racines des doubles quarrez defdires 
couplés font les racines des quarrez du triangle ; je prens 
par-après un autré nombre comme 17, dont les couples 
font 1,3", &2",5 à je trouve aufli que prenant 3 & z 
pour les racines des quarrez qui doivent compofer letrian- 
gle ,elles donneront $ ,12,13,quia 17 pour la fomme 
de fes moindres côtez. 

Voyons maintenant ce qu'il faut pour faire que l’hypo- 
tenufe foit quarrée. Il eft néceflaire que les deux quarrez 

.dont elle eft la fomme foient les côtez d'un triangle; car 
puüifque le quarré de l’hypotenufe eft la fomme des quar- 
rez des deux autres côrez d’un triangle, les racines def- 
dits quarrez qui font la fomme d’un quarré d’hypotenufe 
font les côrez d’un triangle. 

_ - Or les racines des doubles quarrez de chaque couple 
font les racines des quarrez dont la fomme doit être une 
hypotenufe quarrée. Il s'enfuit donc que lefdites racines 
des doubles quarrez doivent être les côtez d’un triangle. 

Il ne fera donc point befoin de former les triangles qui 
ont les quarrez fufdits pour la fomme de leurs moindres 
côtez , puifqu’on n’a befoin d’autre chofe que de voir fi 
lhyporenufe eft quarrée. Et on connoîtra fi . eft quar. 

il] 


Le] 


-62 METHODE DES EXCLUSIONS. 


rée en confiderant les racines des doubles quarrez fufdits, 
& voyant s'ils peuvent être les deux côtez d’un triangle. 

On ne confidere ici que les triangles primitifs, parce 
que les multiples fe réduifent à un primitif; & parce que le 
primitif eft moindre que fon muliple, s’il y en a quel- 
qu'un qui ait les qualitez requifes , il fe trouvera aupara- 
vant ledit multiple. | 

Pour voir fi les racines des doubles quarrez ( qui appar- 
tiennent aux quarrez fufdirs qui font la fomme des cotez 
d’un triangle) font les côtez d’un triangle , il faut confide- 
rer quelques proprierez des côrez des triangles fuivant le 
fixiéme précepte. 

1°, Le côté pair de tout triangle primitif doit être pai- 
remenc pair, & partant toutes les couples qui fonc ici auf- 
quelles il fe trouve un impairement pair , doivent être ex- 
cluës, comme on voit aux couples de 289,$529,2109, 
2401, àC. , . 

2°. L'un des deux côtez de chaque triangle doit être 
mefuré par 3 : or le plus grand des deux nombres fufdics 
ne peut pas être mefuré par 3, ni aufhi être pair, lorfque 
la fomme des deux moindres cotez eft un quarré , car le 
côté impair étant la difference des deux quarrez, file plus 
grand des deux eft pair &le moindre impair , ce moindre 
fera pairement pair +1 , car tout quarré impair eft paire- 
ment pair +1, & partant €tant Ote du quarré pair il refte- 
ra un pairement pair— 1 ,pour le côté impair. Et fi onajoû- 
te par-apres ce côté impair au côté pair qui eft pairement 
pair , la fomme fera un pairement pair—1 ,& partantne 
{era pas un quarré ; par exemple, le triangle qui fera fait 
par les quarrez de $ & 12 ,ne pourra pas avoir un quarré 
pour la fomme de fes côtez , car le côté impair fera la dif 
ference de 25 & 144, quarrez de $ & 112, & ce côté im- 
pair fera pairement pair—1 , fçavoir 119, puifque pour 
lavoir il faut ôter un pairement pair +1 , fçavoir 15 du 
pairement pair 144. Si donc on ajoûte le pairement pair 


‘ 


… Mann opEx nes: E xCLUS1 os, 6; 
1,quieft119 ,au côté pair du triangle, fçavoir à 110 
quieftpairementpair,la fomme feraun pairement pair— 1, 
& partant ce ne fera pas un quarré. 

On montrera de la même façon que file plus grand des 
deux quarrez qui font le triangle eft mefuré par 3 , la fom- 
me des deux moindres côtez ne fera point un quarré. 

Que les racines defdits quarrez foient comme devant 
ÿ & 12 , pour avoir le côté impair on ôtera 2 $ de 144; 
or 2 $ eft multiple de 3 +1, car tout quarré qui n’eft point 
mefuré par 3 furpañle de l’unité un multiple de 3. 

Sidonc on ôte un multiple de 3 -+1 d’un multiple de3, 
fçavoir 2 $ de 144, reftera 119 qui fera ternairé 1. 

. Le côté impair fera donc ternaire 1, lequel étantajoû- 
té au côté pair 120 , qui néceflairement eft multiple de 3, 
la fomme defdits côtez fera multiple de 3-1, & partant 
ne fera point quarrée. L | 

Puis donc que le plus grand des deux nombres fufdits, 
qui font racines des doubles quarrez , & qui doivent auffi 
être côtez de triangles, n’eft point mefuré par 3 ni par4, 
il faudra de néceflité que le moindre des deux foir mefuré 
par 3 & 4, puifque les côtez des triangles doivent con- 
tenir 3 & 4. Le moindre doit donc être mefuré par 12. 

Il faudra donc rejetter routes les couples aufquelles 14 
racine du moindre double quarré ne fe mefure pas par 12. 

Et le premier qui n’eft point excepté par les deux ré. 
gles précedentes eft o41, quarré de 71, quia 12 pour la 
racine du moindre de fes doubles quarrez. 

3°. Le grand côté de tout triangle eft compofé , & fe 
mefure par deux nombres premiers, fi on en excepte 3, 
4,5, & quelques-uns de fes multiples : mais lorfque le 
grand côté eft impair comme il eft toûjours ici, il n°y a au- 
cune exception. 

Et partant il faudra exclure tous les quarrez ( qui fone 
la fomme des côtez des triangles ) qui ont un nombre pre. 
mier ou fa puiflance pour la racine du plus grand double 
quarré, 


64 METHODE DES EXCLUSIONS. 
Ainf so4r, quarré de 71 , fera auf exclus, parce que 
de plus grand de fes doubles quarrez a 61 pour racine ; de 
même 5329 fera exclus, parce que 53 eft fa grande raci- 
ne, & que 61 & 53 font nombres premiers. 

Les nombres ou quarrez fuivans, fçavoir 6241, 7921 
& 9409 feront aufli exclus car ils ont bien un nombre 
compolfé pour leur grande racine, mais la moindre n’eft 
pas mefurée par 12, 

Comme aufli $71 21 fera exclus, quoique fa moindre 
racine 168 foit mefurée par 12, car la grande racine 169 
eft le quarré d’un nombre premier. 

Il ne reftera donc à examiner que les nombres ou quar- 
rez, dont la moindre des racines des doubles quarrez eft 
mefurée par 12 ,& la grande eft mefurée par deux nom- 
bres premiers ; car puifque les racines des doubles quar- 
rez doivent être les côtez d’untriangle,elles doiventavoir 
les deux fufdires conditions qui appartiennent aux côtez 
des triangles rels qu'il eft ici requis, 

On aura auffi égard aux finales des côtez des triangles, 
& par l’examen qu'on fera defdits triangles on trouvera 
que lorfque le côté pair finit par 2 ou 8 , l'impair finit toû- 
jours par 5. 

Quand il finit par 4 ou 6 , l’impair finit par 3 ou 7. 

Quand il finit par o, impair finit par 1 ou 9. 

Par les régles précedenres on excluroit la plûpart des 
nombres fufdirs, & il ne refteroit que 14, 265, quiappar- 
tiennent à 82569 quarré de 287; puis 168 ,305$ ,appar« 
tenans à 167281,]288 ,305$,appartenansà 185761,] 
84,365, qui appartiennent à 187489,]276,325$,qui 
dépendent de 208849, & 96, 425$, qui viennent de 
253009. Mais examinanf lefdits nombres par les finales 
on rejettera 24, 265,]84,365,]276,32$,] &96; 
425 parce que les finales 4 & $,]&6, $,ne font point 
enfemble aux côtez des triangles. 

Refte donc les couples 168,305, & 2188, 30$ qu'il 

faut 


METHODE DES ÉXCLUSIONS. 6$ 
faut examiner, & voir fi leurs quarrez étant joints enfem- 
ble fontun quarré ; mais il fe trouve que non, & partant 
ils ne feront point les côtez d’un triangle, & l’hypotenufe 
des triangles ne fera point quarrée. 

… Orle plus grand quarré de la table eft 2 53009 ,&par- 
tant on fera aflüré qu’il n’y a aucun quarré qui foi la fom- 
- me des deux côtez d’un triangle qui ait fon hypotenufe 

quarrée, s’il n’eft plus grand que ledit 2 53009 quarré de 

03. 

: Mais on pourroit trairer cette queftion d’une autre for. 

te, & au lieu de faire une table des quarrez qui font la 

fomme des côtez d’un triangle, on en pourroit faire une 
qui contiendroit tous les quarrez qui font hypotenufes. 

Or parce que la méthode enfeigne de fe férvir des moin. 
dres nombres poflibles , & aufli de retrancher tout ce qui 
efkinurile, comme on voit par le troifiéme précepte, je 
cherche les moyens de faire lefdits racourciflemens & ex- 
clufons. 

Pour amoindrir les nombres on fe fervira des racines 
au lieu des quarrez des hypotenufes , & par le moyen du 
triangle qui a ladite racine pour hypotenufe, on aura le 
triangle qui a le quarré de ladite hyporenufe ; par exem- 
ple,avec3 ,4, 5, je ferai le triangle qui a 2 $ pour hypo- 
tenue, car ledit triangle eft fait par les quarrez de 3 &4, 
. qui fonc côtez dudictriangle 3,4, $. | 

Mais pour n’avoir point la peine de prendre lefdits quar- 
rez de 3 &4, je chercherai quelqu’autre méthode pour 
‘trouver 7 & 24 (qui font côtez du triangle quia 2 $ quarré 

de $ pour hyporenufe, ) par le moyen defdits 3 & 4. 

Et premiérement 24 eft le double du produit de 3 &4, 
refte donc à trouver 7. Si je prens la fomme defdits 3 & 4 
jaurai 7, il faut donc voir à quelqu’autre triangle fi cela 
réuflira de même. 

Autriangle $,12, 13,la fomme de $ & 12 eft r7, mais 
17 nef pas côté du triangle qui a 169 quarré de 1 3 pour 

Rec. de l'Ac.T'om.T. L 


66 METHODE DES ExXCLUSIONS. 


hypotenufe. Ledit triangle eft 119,120, 169. Je regarde 
fi 17 mefure 119 ,& je trouve qu’ille mefure, le quotient 
eft 7, lequel 7 eft la différence de s à r2. 

Je dis donc que fi on mulriplie la fomme des deux cô- 
tez par leur difference , on aura le côté impair du triangle 
qui aura pour hypotenufe le quarré de l’hypotenufe du 
premier triangle. 

Et je vois que lamême chofe arrive au premier triangle 
3,4,5$, car 7 quieftla fommede 3 &4, étant multiplié 
par la difference 1 donne 7 pour côté dutriangle ,quia 
2 5 quarré de $ pour hypotenufe, fçavoir de 7,24, 25. 

De certe façon on aura les côtez des triangles dont 
lPhypotenufe elt quarrée, par le moyen de tous les trian- 
gles, & ayant lefdirs côtez dn aura leur fomme : refte donc 
à voir fi cette fomme fera quarree. L | 

Mais afin de n’avoir point la peine d’examiner tous les 
triangles , il fe faut fervir de l’autre moyen quieft de re. 
trancher tour ce qui eft inutile ; ce qui fe fera en confide- 
rant quelques proprietez du quarré, puifque ladite fom- 
me des côtez doit être un quarré : par exemple, tout 
quarré impair ( tel qu’eft ladite fomme) furpañle de unité 
un pairement pair. 

Delà oninferera quelestriangles donc le moindre côté 
fera impair , ne pourront pas donner de triangle quiait um 
quarré pour la fomme de fescôtez, & partant on ne pren- 
dra que les triangles dont le moindre côté fera pair. 

Et de cette autre proprieré, que tout quarré non divi- 
fible par 3 furpafñle de l'unité un multiple de 3 ,on infe- 
rera que le moindre côté doit être mefuré par 3, & par: 
tancil ne faudra confiderer que les triangles dont le moin. 
dre côté fera mefuré par 12. 

La façon dont on trouvera ces deux exclufions a été 
traitée au commencement du préfent exemple, & par- 
tant on ne la repetcra point ici ; car les côtez des triangles 
dont on parle ici fonc les mêmes nombres qui doivent fer- 


METHODE DES EXCLUSIONS. 67 


. vir de racine aux doubles quarrez appartenans aux fom- 
mes quarrées fufdites , & on a montré que la moindre des 
deux racines fufdires doit être mefurée par 1 2. 

Je prens donc tous les triangles dont le moindre côté 
eft mefuré par 12. Eton pourroit les mettre tous de fuite 
commençant par 12,35,37;]24,143,145,]36,77: 
85,]36,323,325,&c. mais parce qu’on a déja examine 
cètre queftion par une autre voye, Etes par la fomme 
des côtez, & qu’on l’a pourfuivie jufqu’à faire que la fom- 
me des côtez de triangle fuft 253009 , on commencera 
par des hyportenufes qui donneront à peu près ladite fom- 
me, ou plütôt moins, afin que dans l'inégalité defdites 
fommes , qui font fouvent en proportion fort differente 
avec l’hypotenufe, on n’en omette aucune. 

Je commencerai donc par les hyporenufes quarrées 
dont la racine n’eft point moindre que 400, & fuivrai 

- Fordre defdites hypotenufes, les choififlant dans une ta- 
ble que je fuppofe être faite defdites hypotenufes, def- 
quelles il ne faut prendre que les racines , comme il a été 
dit. 

Que fi on n’avoit point travaillé à la queftion par la 
voye précedente, ou qu'on n’eût point de table defdires 
hypotenufes , il faudroit prendre les triangles dont le 
moindre côté fe mefure par 12 , & pourfuivre, comme on 
vient de le montrer , & pratiquer les exclufions dont on 
parlera ci-après. 
On peut confiderer les finales , & voir quelles elles doi- 
vent être, afin que la fomme des côtez du triangle qu’on 
fera foit un quarré. 

Et premiérement quand le côté pair du triangle eft z 

ou 8 , l'impair doit finir par 5. Sile pair finit par o, l'im- 

air peutavoir 1 ou9 pour finale, & en toutes les façons 
fufdires les finales n’empêchent point que la fomme des 
côtez du triangle qui fera produit du premier qui eft ici 
confideré , ne foit un quarré. He 
3 


638 


120 


METHODE DES ExXCius1oNs. 

Mais file côté pair du premier triangle finit par 6 , le 
côté impair doit finir par 3. Et fi ledit côté pair finit par 
4 , l'impair doit avoir 7 pour finale ; autrement fi 6 étoir 
avec 7,& 4 avec 3 , la fomme des côtez du triangle qui 
feroit produit , n’auroit pas une finale quarrée ; ce qu’on 
montrera comme il s'enfuit. 


391 
437 
425$ 
475 


409 
445 
ASIE 
493 
395 
565 
565 + 
577 
601 
625 
GGI 
685 
733 + 


Pour faire avec le premier 
triangle celui dont l’hypotenufe 
eft quarrée , on multiplie pour le 
côté impair la fomme des deux 
côtez par leur difference, & pour 
le côté pair on prend le double du 
produit des mêmes côrez. Sidonc 
les côtez finiflent par 6 &7, la 
fomme d’iceux finira par 3 , car 7 
& 6font 1 3,& la difference finira 
par 1, car le côté pair étant le 
moindre côte, il le faudra ôter 
de 7. | 

Le produit de 1 par , fçavoir 
de la fomme par la difference fera 
3, & telle fera la finale du côté 
impair du triangle requis. 

Pour le côté pair il faudroit 
prendre le produit des mêmes fi- 
nales 6 & 7 qui finira par 2,& fon 
double finira par 4, partant le 
côte pair finira par 4,lequel étant 
Joint avec le côté impair qui finit 
par 3 , la fomme des deux finira 
par 7, qui n’eft point une finale 
quarrée ; car les quarrez impairs 
ont pour finale 1 ,9,ou25,& 
partant la fomme des deux côtez 
ne fera point un quarré. 


METHODE DES ExcLusions, 69 
—264 1073 110$ On montrera de même que fi 
. 528 102$ 1153 + les côtez du premier triangle fi- 

i04 1147 116$  nifloient par 4 & 3 ,lafomme des 

660 989 1189  côvez du triangle qui en feroit 
+ 612 107$ 1237 produit finiroit auffi par 7, &par. 

| tant elle ne feroit point quarrée. 

On voit ici plufieurs triangles qui ont tous leur moin- 
dre côté divifible par 12, & qui fonc deftinez pour faire 
des triangles qui ayent pour hypotenufe le quarré del’hy- 
potenufe de ceux-ci. Mais onen exclura ceux qui n’ont pas 
les finales de leurs côtez ainfi qu'il eft requis , & qui font 
marquées — devant leur moindre côté ; comme font 336, 
377:1336,527,]156,667,] 504,703, ] &c. carle 
6 fe doit trouver avec le 3 , ] & le 4 avecle 7. 

Il y a encore uneautre exclufion , mais elle eft tirée de 
la premiere partie de cet exemple , & de l’autre table. 

” Les côtez des triangles qui font en cette table-ci, font 
les mêmes qui devroient être lesracines des doubles quar- 
rez de la table précedente, car lefdites racines doivene 
être les côtez d’un triangle, & leurs quarrez doivent faire 
le triangle qui a les deux conditions fufdites. 

Or on a montré que la plus grande des deux fufdites ra- 
cines doit être impair , mais je veux ici montrer qu’elle eft 
hypotenufe primitive. 

Puifque le quarré qui eft la fomme des côtez d’un trian- 
gle , eft la difference d’un quarré & d’un double quarré, 
& qu’en la rable fufdie il y a toüjours deux couples def- 
dits quarrez & doubles quarrez, en l’une defquels le dou- 
ble quarré eft plus grand quele quarré, &en l’autre il eft 
moindre ; il s'enfuit que le plus grand double quarré des 
deux eft la fomme de deux quarrez ::par exemple, 49 eft 
la difference de 1,50 ,& de 32,81,& partant dans la 
couple dont le double quarré eft plus grand que le quarré 
49 , ledit double quarré quieft so eft la fomme de deux 
quarrez , fcavoir de 1 & 49, d’où il s'enfuit pe efthypo- 

; 11] 


70 METHODE DES EXCLUSIONS. 


tenufe : mais voyons quelle hypotenufe. Le quarré qui fert 
de fomme aux côrez comme 49, eft roüjours impair, & 
partant l’autre quarré 1 fera aufliimpair, puifqu’enfemble : 
ils doivent faire un double quarre qui eft pair;ce font donc 
deux quarrez impairs qui font premiers entr’eux, car s'ils 
avoientune commune mefure, le double quarré l’auroit 
auffi, & le triangle feroit multiple ; mais on fuppofe qu'il 
foit primitif. 

Puis donc que les deux quarrez , qui joints enfemble 
font le double quarré , font impairs & premiers entr’eux , 
leur fomme fera le double d’une hypotenufe primitive, 
comme on 4 dit ailleurs : mais la même fomme eft un dou- 
ble quarré, & partant la racine de ce double quarré fera 
hypotenufe primitive. 

: Legrand côté des triangles de la table précedente doit 
donc être l’hypotenufe d’un triangle,& partantpairement 
pair plus r. F 

- Je marque donc les triangles dont le grand côté eft hy- 
potenufe , la marque eft + & rejerte les autres dont le 
grand côté eft pairement pair —1 ,comme 110,391,409, 
&c. & ceux aufquels ledit côté étant pairement pair +r, 
n’eft pas néanmoins hypotenufe comme 84,43 7,445,&c. 

Il n'ya donc que fix triangles qui ne foient point ex- 
clus, fçavoir 168,425 ,457,]276,493,5$65,]108, 


725:733:]540,619,829,1]372,925,997,]$28, 
201$,1153, defquels triangles il faudra faire ceux qui 


auront pour hypotenufe le quarré de leur hypotenufe. 
Ainfiavec 168,425 ,457,on fera le triangle dont l’hy- 
potenufe fera le quarré de 4 5 7 ; mais on n’a befoin que de 
la fomme des côtez dudir triangle, pour voir fi c’eft un 
quarré : par exemple, on prendra pour le côté pair dudit 
triangle le double du produit de 168 par42$, qui fera 
141800, l’impair fe trouvera multipliant la fomme de 
168 & 425 par leur différence, fçavoir 593 par 257, le 
produit 1 51401 eftle côté impair, qui étant joint au côté 


METHODE DES EXCLUSIONSs. 72 


pair 142800 donne 2950201 pour la fomme des côtez, 
qui n’eft point un quarré , ainfi qu’il paroîtra en prenant 
la racine par la voye ordinaire , & par la même façon on 
trouvera que les autres cinq triangles ne donnent pas des 
triangles dont la fomme des côtez foit un quarré. 
EL MEET Et NUE PE EX UIE PL E) , 
Rouver un triangle dont l’hypotenufe & l'enceinte 
foient quarrées. 

Je cherche quelque voye pour trouver l’enceinte des 
triangles , autrement qu’en ajoûtantr les côtez. Je trouve 
qu’on la peut avoir en multipliant la fomme des racines 
des quarrez qui font le triangle , par le double de la plus 
grande racine. Ainfi au triangle 3 ,4, $ , les racines fonc 
2 & 1 , leur fomme eft 3 , qui multipliée par 4 ( double de 
la plus grande racine 2) donne 121, pour l’encginte dudit 
triangle. 

De cette proprieté je conclurai que pour faire que l’en- 
ceinte foit un quarré, il faut que la fomme des deux raci- 
nes foit un quarré,& que la plus grande racine foit un dou- 
ble quarré, afin que venant à muliplier ladite fomme (qui 
eft un quarré ) par un autre quarré ( qui fera le double de 
la plus grande racine , ) on ait un auarré pour l’enceinte. 
Ainfi prenant pour les deux racines 1 8 & 7 quienfemble 
font 25 ,on multipliera ladite fomme 2 $ par 36 double 
de 18 ,& on aura 900 pour l’enceinte du triangle 252, 
2755 373: 

Maintenantil faut voir ce qui eft néceffaire pour faire 
que l’hypotenufe {oit quarrée; ou bien fuppofant que l’hy- 
potenufe de ce triangle foit quarrée , je regarde ce qu’on 
en peut déduire. 

Je voique fi l'hypotenufe eft quarrée, les racines des 
quarrez dont elle eft la fomme doivent êtrelescôrez d’un: 
triangle. 

Mais parce qu'il faut qu’un même triangleait l’hypotez 


72 METHODE DES EXCLUSIONS. 


nufe quarrée, & l’enceinte quarrée , je joins enfemble les 
deux fufdites conditions, & partant il faudra trouver un 
triangle dont le grand côté foit double quarré , & la fom- 
me des deux moindres côtez foit un quarré. 

Pour faire que le côté pair foit double quarré, il faut 
que le triangle foit fair de deux qq.parce que leurs racines 
doivent être quarrées : il faudra donc trouver un triangle 
fait par deux qq. qui ait un quarré pour la fomme de fes 
moindres côtez. | 

Or les nombres qui font la fomme des deux côtez d’un 
triangle font deux fois la difference d’un quarré, & d’un 
double quarré , & les racines des deux doubles quarrez 
font auffi les racines des quarrez qui font le triangle : mais 
les quarrez qui font le triangle font des qq. partant leurs 
racines font quarrées : il s’enfuit donc que les racines des 
doubles quarrez fufdits font des quarrez. se 

On DM: donc fe fervir ici de la premiere Table de 
l’éxemple précédent qui contient les quarrez qui font la 
fomme descôtez d’un triangle : il faudroit donc trouver 
en ladite Table, dans la lifte des couples appartenantes 
aux quarrez, quelque quarré qui eut deux quarrez pour 
les racines de fes doubles quarrez , ce qui ne fe trouve 
point en route certe Table : toutefois on ne peut pas être 
afluré qu’il ne s’en trouvat point fon pourfuivoit la Table 
plus loin, puifque cela fe trouve bien aux fommes non 
quarrées, comme à 23 quia x & 4 pour les racines de fes 
doubles quarrez, &à137quia4&o. 

Or certe Table mene fort loin, car par fon moyen on 
entre bien avant dans les nombres d’onze lettres, & 
voici comme il y faudroit procéder, fi on avoit trouvé 
deux quarrez qui ferviflent de racine à deux doubles quar- 
rez appartenans à un même nombre, 

Par exemple, fi les racines des doubles quarrez qui ap- 
partiennent à 247009 quarré de497, fçavoir 306,353, 
étoient deux quarrez , & qu’on voulut par leur da 

aire 


METHODE DES‘EXC£LUSrONS, 73 
fairele triangle qui auroit dés quarrez pour fon enceinte, 
& pour fon hypotenufe , voici comme il ÿ faudroit pro- 
céder: | 
- Le triangle fait par les quarrez de 306 & 33 auroit 

pour côté pair 216036, & pour côté impair 30973. 

_ Les quarrez de ces deux côtez quifont46671553296 
& 959326729.étant joint enfemble, donneront une hy- 
potenufe quarrée qui fera 476308800125. 

, Or lenceinre du triangle dont ledit nombre eft hypo- 
tenufe , fe crouvera multipliant la fomme des racines 
2160368& 30973, fçavoir 247009, { quieftun quarré, 
puifque c’eft le nombre auquel appartiennent les deux ra- 
cines premierement prifes , fçavoir 306 & 353, )par le 

double de la plus grande, fçavoir par 431072 pour avoir 

106725672648 qui fera l'enceinte du triangle,dont l’hy. 
porenufe {era le quarré fufdit 476308800125. 

Et cetre enceinte feroit auffi un quarré fi les deux nom- 
bres fufdits 306 & 3 53 étoient quarrez , car cela étant 
21603 6 qui eft le double deleur produit feroit un double 
quarré , & le double de ce nombre, fçavoir 431072 {e- 
roitun quarré : fi doncon vient à le multiplier par 247009 
qui eft auffi un quarré, le produit feroit un quarré : or ce 
produit étant l'enceinte d’un triangle qui aun quarré pour 
serpule , ledictriangle auroit les deux conditions re. 

uifes. 
ni On peut encore éxaminer cette même queftion d’une 
autre façon, comme il s’enfuit. 

L’enceince fe trouve, comme il a été dir,en multipliant 
la fomme des deux racines par le double de la plus grande 
des deux ; il faudra donc ,afin que l’enceinte foit quarrée, 
que la fomme des deux racines foit un quarré, & la plus 
grande foit un double quarré , afin que fon double foit un 
quarré. Mais afin que lhypotenufe foir quarrée, il faut 
que les racines fufdites foienc côtez de triangles, afin que 
leurs quarrez étantjoints enfemble faflent le quarré d’une 

Rec.deP Ac. Tom. V. K 


74 METHODE DES ExCLUSIONS. 
hypotenufe : il faudra donc trouver un triangle dont le 
grand côté foit double quarré , & la fomme des deux 
moindres côtez foit un quarré. 

Puifque le grand côté doit être double quarré, il faut 
qu'il foit le double d’un quarré pair, car autrement il ne 
{eroit pas pairement pair , ainfi qu’il eft requis aux côtez 
pairs, & partant il aura pour finales 2 , 8, ou o, comme 
lefdits doubles quarrez. | 

Or quand le côté pair finit par 2 ou 8, l’impair finit 
toujours par $ , {ce qui fe doit entendre aux primitifs 
dont nous parlons ici ) & partant la fomme des côtez finie 
par 7 où 3 qui ne fonc point finales quarrées. 

Et partant fi le côté impair finit par 2 ou 8, La fomme 
des deux côtez ne pourra pas ètre un quarré. 

Refte donc que le côté pair finifle par o, carainfil’im- 
pair finira par 1 ou 9 , &la fomme defdirs côtez auraune 
finale quarrée. | 

On confidérera par après que tout quarré non divi- 
fible par 3 furpafñle de l'unité un mulriple de 3, & partant 
le double quarre fera ternaire + 2 où --1. Mais en tout 
triangle l’un des côtez fe mefure par 3, & partanc file 
côté pair n’eft poinc cernaire l’impair le fera, &la fomme 
de ces côtez dont l’un eft ternaire, & l’autre cernaire --x 
fera auffi ternaire--1 , & partant ce ne fera pas un quarré 
ainfi qu’il eft requis. 

Il faut donc que le côté pair foic mefuré par 3 &auffi 
par 5 ,afin qu'il finifle par o:; il ne pourra donc être moins 
dre que 1800 , double du quarré de 30. 

On remarquera auf que le côté impair doic être ter. 
naire +1 , afin qu'étant joint au côté pair qui eft ternaire, 
il fafle un ternaire +1 qui puifle être quarré. 

Or la moitié du côté pair ,fçavoir 900 et produite par 
les racines des deux quarrez conftitutifs du triangle, le{. 
quelles racines doivent nécefläirement êcre quarrées, afin 
qu'elles foient premieres entr’elles, & l’une d’icelles doit 


- METHODE DES EXCLUSTONS,  Yy 
être mefurée pàr 9 & l’autre non, puifque le côté pair eft 
mefuré par o. AS : 
. Ecpartant le côté impair étant la difference des deux 
quarrez defdites racines , il fera la difference de deux qq. 
Matoindee defquels doit être mefuré par 81, & {a racine 

ar 9 , autrement le côté impair feroit ternaire--1 , car 
puifque l’un des deux qq. doit être mefuré par 3 ou 81, fi 
c'étoit le plus grand quile fut , donc le moindre qq. feroit 
xernaire -+1,lequel étant ôté du plus grand qui feroitter- 
faire, refteroitun ternaire_-1 pour leditcôte impair. 
Ce même côté impair doit être aufli pairement pair +1, 
autrement étant joint au côté pair, il ne feroit pas un 
-pairement pair +1 , comme doit être la fomme pour être 
quarrée ; &-partant le fufdit moindre qq. qu’on a montré 
devoir être mefuré par 81, doit être pair ; car s’il étoit 
impair, le grand qq. feroit pair, & leur difference feroit 
un pairement pair—1 ; car fi on Ôte un pairement pair +1 
d’un pairement pair, il reftera un pairement pair—1 , & 
& partant la racine de ce moindre qq. fera au moins 36. 
D'ailleurs puifque tout qq. impair furpañle de l'unité un 
multiple de 16, le côté impair, qui eft la difference de 
deux qq. le plus grand defquelseft impair , furpañlera aufli 
-de l'unité un mulriple de 14, car le qq. pair étant divifi- 
ble par 16(comme tout qq. pair doit être, ) fi on l’ôte 
-d’un multiple de 16 +1 , il reftera ue multiple de 16 +r. 
Quand donc on affemblerales deux côtez, fçavoir le 
“pair avec l’impair, fi le pair ne fe mefure que par 8 comme 
‘1800, ( qu’on avoit pris pour le moindre côté pair pofli- 
ble) la fomme des deux côtez fufdits retiendra aufli cette 
reftriction, & furpañlera de l’unité un multiple de 8&non 
| tpasde 16. D 
+ Mais les nombres qui font particulierement affeétez à 
-être la fomme des côtez des triangles, different tous de 
“Wunité-d’un multiple de 8, & partant leurs quarrez fur- 
pafleront de l'unité un multiple de 16 , els font49, 289, 
529, &c. K y 


76 METHODE DES EXCLUSIONS. 

De là il s'enfuir que le côté pair doit au moins être me. 
furé par 16, & partantau lieu de r8ooil faudra prendre 
fon quadruple 7:00, double de 3600, quarré de6o,. 
qui eft le moindre qui puiffe avoir les conditions requifes, 
fçavoir d’être double quarré, & d’êrre divifible par 3,5, 
& 16. En 

Mais ledit 7200 fe trouvera encore trop petit : car fion 
prend, commeila été dit , les parties de la moitié 3660, 
en telle forte que la partie paire foit mefurée par 9 ainfi . 
qu'il eftrequis, on aura pour parties 144 & 25 ; mais la 
partie paire doit être la moindre comme on a montré cy- 
devant, puifqu’elle eft la racine d’un qq. pair, qui doit 
être le moindre des deux. | 

Si donc 144 eft la moindre partie poffible , il faut que 
Pautre foit plus grande, & qu’elle fe mefure par 25,& 
que ce foit un quarré comme 625$, qui multiplié par 144 
donne 90000 , dont le double 180000 fera le moindre 
côté pair qu’on doive éxaminer. 

. Maisle côté pair étancrel, & prenant 144 & 62 5 pour 
les parties qui doivent faire le triangle , le côté impair fe 
trouvera plus grand que le pair, car ce fera 369889. Or 

eft-il qu’il doit être moindre que le pair , puifque la quef 
tion requiert que le grand côté foit double quarré , & par 
conféquent pair. : 4 Se 

Il faut donc voir ce qui fair ici que legrand côté eftim- 
pair. Cela provient de ce que les parties fufdires 144 & 
625 , qui doivent être les racines des quarrez dont le 
triangle eft formé font trop diftantes l’une de l’autre, & 
font hors des bornes néceflaires pour faire que le grand 
côté foir pair. | 

Il faudra donc prendre des nombres moins differens 

pour léfdires racines, comme 576 & 625, aufquelles Ja 
moindre eft toujours paire , & le doubie du produit defdi- 
tes racines fçavoir 710000 fera le côté pair, & l'impair 
fra 5 8849, 


METHODE DES ExcLusronNs 77 
: Or fila fomme de ces deux côtez quielt 778849 étroit 
un quarré, on auroit ce qui eft requis ; car multipliant 
ladite fomme 778849 par 1440000 double du grand 
côté 720000 ; on auroit 1121$42 560000, quielt l’en- 
ceinte du triangle qui eft fait, par les quarrez, defdits 
720000 & 58849 ; duquel triangle | hyporenufe, efble 
quarré de la fomme des quarrez, de 576.8: 625 ;.oùfion 
veut l’hypotenufe dudit triangle eft de quarré de l'hypo- 
tenufe dutriangle , dont les côtez font 710000 &,58849. 
5 Et l'enceinte fufdite 1121$42$60900 feroit un quar- 
ré , puifqu’ elle feroir le produit desdeux quarrez 778 49 
&, 1440000. Mais parceque ledit 778840.(.qui eft la 
fomme des côtez 710000 & 58849 strain, 
l’enceinte fufdite ne fera pas aufliun MES 60 2008 
. Onvoit donc par là que s'ilya des riangles qui, ayent 
deur hypotenufe & leur enceinte quarrée,, il faut que la. 
nceinte foit fort grande, # puifque L la moindre &pre- 
smiere qui ait befoin. d’'é eus ses dar a treize lectres, FOR 
meon-voit ici. 
- 12 Qui voudroit- pañler outre, on pourroit prendre 122 r 
aulieu de, 6 25, puis on augmenteroie. auf 576.prenanc 
garde toujours que | la partie paire.foit la moindre, . -mais 
‘queli impaire ne l’excéde pas plus que, de laraifon qu'il ya 
pér Tree “2à1 ous un pare eft 1000000$l'im. 


CE racines des sans qui Féna hs, para 


qu elle £ trouve de Ra ie me 2 $ 8 0049 par 
K ii] 


78 MErmonmr DES Excrusrons: 

le double du côté pair, fçavoir par 2822400 qui ef un 

quarré. APE l fr 
UNE UV-HE ME, E XUE MAP LE, 


Rois Marchandsont mis enfemble quelque argent 
- L' pourieur trafic: celui du premier a profiré pendant 
fix mois, célui-du fecond pendant neuf mois, & celui du 
dérnier pendañt douzemois. 7 
Le premier a reçû 7o livres , tant pour fa mife que pou 
fon gain. Le fecond 13o1livres. Le troifiéme 180 livres. 
On demande la mife de chacun. . 3? 
‘Ces fortes de queitions dépendent dela premiere re- 
glé ; carofi peut préndre d’autres éxemples de même na- 
ture dont on aura lafolution. mar 
* -Aïnfije fais une autre queftion femblable à la premie. 
re , &je pofe que le prémier Marchand airmis 8 livres, & 
aîtgagne r2 livres en fix mois, le fecond & le troifiéme 
“doivent profitér imêmeraifon eu égard au temps: fi donc 
le fecond à mis 6 livres, fon gain fera de 9 livres en fix 
mois , & partant fi fon argent a profité pendant neuf 
mois, leprofit fera de 13 livres 10 fols Si le troifiéme à 
mis 3 livrés, le proficen fix mois fera de 4 livrés 10 fols, 
“& en douze mois de 9 livres. ; | 
- Donc le premier aura 20 livres, tant pour fon profiten 
fix mois que pour fa mife. Le fecond aura 19 livres ro 
fols, pour fon profit de neuf mois & pour fa mife. Letroi- 
fiéme aura 12 livres pour fon profit en douze mois & pour 
‘fa mife. Wu 18 xtuq 

I] faut donc voir comment avec 10 livres & fix mois de 
temps on trouvera la mife qui eft 8 livres , &de même des 
autres. 

C’efk la façon ordinaire des queftions qui n’ont qu’une 
folution, où qui ont cout nomibre pour folution comme 
celle-ci: mais pour celles qui en ont une multitude indéf- 
nie (onentendici parler des nombres dont il y a ou dont 


METHODE DES ExCLusions. 79 
‘il peut y avoirune infinité, & qui néanmoins vousménenc 
bientôc à de fort grands nombres, comme qui demande. 
roit les nombres parfaits, ou ceux qu’on nomme Armia- 
bles) on n’eft pas obligé de trouver 8, car ce feroit un 
grand hazard fion trouvoit 8 Parmi tant d’autres nom- 
bres qu'on peut donner ; & puifque le gain nila mife ne 
font point féparément déterminez , on pourra prendre 
quel nombre on voudra pour la mife ou pour le gain , car 
on peut augmenter & diminuer l’un ou l’autre tanr qu'on 
voudra ; il fuffit feulement de faire que l'argent de chacun 
profite egalement en temps égal, & en temps inégal à 
proportion du temps. Or on peut féparer un nombre en 
deux parties , qui auront entr’elles celle raifon donnée 
_qu’on voudra. 
Mais puifqu’en la queftion propofée la raifon de la mife 
& du gain n’eft point donnée, il fera permis de prendre 
le nombre & la raifon à difcrérion,, puifque la fomme de 
la mife & du profit peur être féparée en deux parties qui 
auront telle raifon qu’on voudra. 

_ Je pofé donc que la mife du premier foit de 50 livres, 
fon profit fera donc de 20 livres; il faut donc voir quelle 
raiton il ya de 50 à 20 : mais parce que le temps de cha- 
cun cft différenc, il faur divifer le profit par le temps, & 
pour plus grande facilité je prens le plus grand nombre 
qui foit commun aux temps destrois Marchands. On aura 
donc pour le premier Marchand deux termes , pour le 

_ fecondtroistermes, & pour letroifiéme quatre termes. 
Jeregarde quel profit a fait le premier Marchand en un 
terme, & je trouve rolivres. Je confidére maintenant 
quelle raifon il ÿ a de la mife sou profit d'un terme 10, 
la raifon eft quintuple, & le profir eft par terme la cin- 
-quiéme partie de la mife. à 

. On pofera donc £ pour la mife de chacun; & parce qué 
Jes fommesdonnées contiennent la mife & le gain tout 
enfemble , il faut aflémbler le profiravec lefdits?. 


8c METHODE DES EXCLUSIONSs. 


fera #, qui étant joint à la mife donne? pour la fomme 
qui répréfente 180. Je trouverai donc par la même regle 
de proportion que : 

Si? ou 9 donnent 180, —+ou $ donneront 100 pour 
la mife du troifiéme Marchand. 

Sion avoit pris 60 livres pour la mife du premier Mar- 
chand, le proficferoit ro livres en deux termes, & partant 
s livres par terme, qui eft la douziéme partie dela mife, 
& fur certe proportion on trouveroit les mifes des autres. 


D'ÉTER T! E/ M EINENS MENNS PILE: 


Rouver untriangle dont l’hypotenufe foit quarrée, 
L &dontle moindre côté aitun quarré pour differen- 
ce avec chacun des deux autres. 
Puifque letriangle a deux propriecez différentes, il les 
faut éxaminer l’uneaprès l’autre, 
1° Pour faire que l’hyporenufe foit quarrée , il faut que 
les racines des quarrez qui la compofent foient les deux 
côtez d'un autre triangle. 
2°, Pour faire qu'un triangle ait {on moindre côté dif- 
ferent d’un quarré de chacun des deux autres , il faur 


prendre 


METHODE DES EXCLUSrONS. 8r 
prendre pour la racine du plus grand des deux quarrez 
qui le compofent , l’hypotenufe d’un triangle & la racine 
de l’autre quarré fera un des moindres côtez du même 

«ne À dr: . = 
triangle , moinsla difference de l’hypotenufe & de l’autre 
côté. Ainfiayant choifilecriangle 3 ,4, 5, l’hypotenufe 
_ÿ fera la racine du grand quarré, & pour l’autre racine 
-J'ôre d’un des cotez comme de ; la différence de 4 à ç ,ou 
de 4 la difference de 3 à $, & reftera 2. On a donc s & 2 
dont les quarrez font le triangle 20,21, 29, qui a La 
condition requife. On peut voir cela dans le difcours des 
triangles. 
_ Müislefdites racines $ & 2 doivent êtreles deux côtez 
d’un triangle, fi on veut que l’hypotenufe qui fera faite de 
leurs quarrez foit un quarré. 

I faut donc trouver un triangle dont le moyen côté 
foit l’hypotenufe d’un autre triangle, & le moindre côté 
foit un des côtez de cet autre triangle moins la difference 
de ladite hypotenufe & de fon autre côté. De forte que 
fi ÿ & 2 éroiencles deux côrez d’un triangle , on auroit 
ce qu'on cherche, parce que le moyen côté s eft l’hypo- 
renufe du criangle 3,4, $ ,& le moindre côté 2 eft un des 

-côtez dudit triangle 3 , 4, 5, moins la difference de l’au- 
£re côté & de l’hypotenufe. ) 

Je chercherai par aprèsen 
trouverai un triangle qui ait ! 
requis. de. 

Et pour abréger & exclure les fuperflus, je voi que le 
grand côté doit être une hyporenufe, je ne m’arrêrerai 
donc qu'aux triangles dontle grand côtéfera impair & hy- 
potenufe primitive , car les hyporenufes multiples ne doi- 

ventpointici ètre confidérées,à raifon que le triangle dont 
elles fonc hypotenufes eft mulriple,& le triangle auquel el- 
lesferviroient de côté feroit aufli mulriple:or nous n'avons 
dans la Table que des primitifs, &il ne ferviroit de rien 
auffi de confidérer les multiples. 

Rec. del Ac.Tom.V, L 


ble destriangles, fi je 
x côtez tels qu'il eft 


Les:cotezim= 
pairs font dans 
la féconde co- 
lomne de la Ta- 
ble après l'hypo- 
tennfes 


82 METHODE DES ExcLusronNs. 


Oril y a beaucoup de manieres pour connoître fi un 
nombre n’eft point hypotenufe : mais il ne fe faut fervir 
que de celles qui donnent d’abord à connoître que le 
nombre n’eft point hypotenufe , comme s’ileft pairement 
pair--1 ; & s’il eft divifible par 3, on rejettéra donc les 
triangles aufquels le côté impair eft perir côté,& ceux aufli 
aufquels ledit côté impair eft mefuré par 3, & ceux auf- 
quels il eft pairement pair --r. 

Je confidére auff quel doit être l’autre côté du trian- 
gle, &je trouve qu’il doit être moindre que la moitié dw 
moyen côté qui doit être hyporenufe, comme on voit& 
5 & 2, & cela eft facile à juger par la conftruction de 2. 

Avec cela j'éxamineles triangles de la Table, & je re: 
garde ceux dont le grand côté eftimpair, & furpañle de 
Punité un pairement pair. : 

Le premier eft celui qui a 21 pour grand côté : mais. 
parce que 2 r eft mefuré par 3, je pale outre. Jelaifle auf. 
45, & puis 77 , parce qu'on voir fans peine qu’il eft divi- 
fible par 7, lequel 7 n'étant point hyporenufe , fes mul- 
tiples ne feront point auffi hyporenufes primitives. 

Le premier qu’on trouve qui doive être éxaminé eft22 1, 
fon autre côté eft 60 , je trouve que 221 eft hypotenufe 
destriangles221,21r,210,& d€22»,171, 140.Mais. 
d’abord je trouve du defaut à rous les deux,car puifque 60 
doit être moindre qu : l’autre des côtez dutriangle 
auquel 221 fert d’hypo e, lecriangle 2121,21,220, 
n’y pourra pas fervir. 

Dans l’autretriangle 1 71 étant pairement pair .-1, fi 
on l’ôre de 211, quiétant hypotenufe doit toujours être 
pairement pair 1 , il reftera un impairementpair , qui 
étant ôré d’un pairement pair , fçavoir du côté pair 140, 
reftera un impairement pair, lequel partant ne pourra pas. 
être le côté pair d’un triangle relqu’eft 60. Il faut donc : 


1, Que le grand côté du triangle ferve d’hypotenufe à 
un autre triangle. 


METHODÉ DES ExXCLUSIO NS. 83 

29, Quele petit côté qui eft pair, foit moindre que la 
moitié du grand côté. 

- 3°. Que le fecond triangle auquel le grand côté du pre. 
mierfert d'hypotenufe, ait fon moindre côté plus grand 
que le moindre côté du premier. 

49, Que ledit fecond triangle ait un pairement pair 1, 
pour fon côté impair. 

Le premier triangle qui ait toutes ces conditions eft 
457,425, 168, carlegrandcôté425 eft l’hypotenufe 
d’un autre triangle, & le petit côté 168 eft moindre que 
la moitié de42 5 ; deplus 42 5 fert d’hypotenufe au trian- 
gle415, 297, 304, auquel le moindrecôré 297 eft plus 
grand que 168 , & le côté impair 297 eft pairement 
pair +1. 

Mais on pourroit encore donner une autre condition 
au fecondtriangle, auquel il faut, qu'ôtant 304 de 425, 
& ôtanc ce quirefte de 297, il refte enfin 168 ; mais ledit 
168 doit nécéflairementc êrre divifible par 3, & defdirs 
trois CÔtEZ 425 , 297, 304, il nefçauroit y avoir que l’un 
des deux moindres divifible par 3 , & partant afin que 

la derniere difference ou refte foit mefuré par 3 , il faut 
que les deux autres, comme 425 , 304, excédent 3; d’une 
même quantité , car ainfi leur difference fera mefurée par 
3, & cetre difference étant par après ôrée du troiliéme 
côté qui eft auffi mefuré par 3 , le dernier refke fera mefuré 
par 3 , & cette cinquiéme condition ne fetrouve pas dans 
lcdittriangle 425, 1297, 304, car 304 furpalle un ter- 
naire de l'unité , & 42 5 le furpañle de 2. 

: Paffanc outre à chercher les triangles , on trouve 725 
qui fert de côtéau triangle 733, 725, 108, & d'hypo- 
tenufe au triangle 725, 333 , 644, lefquels ont les cinq 
conditions requifes ; car pour la cinquiéme 644 furpafle 
de zun ternaire aufh-bien que l’hypotenufe 72 ÿ : mais fi 
onconfidéreles finales, on verra que cela ne peut réüflir, 
c’eft-à-dire, que f on ôte 333 de 725, & qu'on étele 

à Li 


84 METHODE DES EXCLUSIONS. 
refte de 644, il ne peut pas refter 108 commeil feroit 
befoin , ce qui fe connoîtra ôtant feulement les dernieres. 
lertres:carfionôtele|3|de 333, du| side 715, il ref- 
tera 2, lequel étant ôté du|4|de 644, reftera 2, mais 
il faudroit qu’il reftât 8 pour avoir la finale de 108. 

La confidération de ces finales eft fort facile, & mon- 
tre d’abord l’impofbilité quand elle provient de là. On 
peutauff juger de certe façon de recherche qu’en travail- 
lant on trouvetoujours de nouvelles facilitez & abrégez. 

Mais pañlant outre àlarecherche, on trouvera 925 au 
triangle 997, 925$, 372, quia aufliles quatre premieres 
conditions avec celui quia 92 $ pour hypotenufe, fçavoir 
925, 533, 756: mais ce dernier n’a pas la cinquiéme, 
joint que les finales y répugnent comme au précédent. 

Le même empêchement fe trouveaufli à 1261,1189; 
410, & à {on correfpondant 1189, 989, 660. 

Enfin ontrouve 1 $17autriangle 152$,1517,156, 
& fon correfpondant 1517, 165 ,1508 , qui font les 
premiers qui ont toutes les conditions requifes, & mème 
les finales s'accordent bien à ce quieftrequis. On éprou- 
vera donc fi ôrant de 165 la difference de 1$o8à1$17, 
on aura 156,jôte1508 de 1517, refteo , lequel étane 
ôté de 165, refte 156, ainfiqu'ileft requis. 

On a donc trouvé un triangle dont le moyen côté, {ça 
voir 1517, efthypotenufe d’un autre triangle, & donc 
le moindre côté 1 56 eft moindre que l’un des côtez du fe. 
condtriangle de la difference de l’autre côté à l’hypote- 
nufe, car 156 eft moindre que 165 deo , lequel 9 eft la 
différence de l’autre côté 1 508 ,& deFhypotenufe 1 sr 7; 
ce qu'il falloit trouver. 

Ayant ce triangle 156, 1517, r$525 , on aura celui 
qui eft requis prenant les côrez de celui-ci pour les racines 
des quarrez quile compofent ,les quarrez de 156 &1517 
font 24336&1301289,qui donnentletriangle473 304, 
1276953, 2325625 auquel l’hypotenufe cftun quarré 


METHODE DES ExCLusIONSs. 85 
dont la racine eft r 525$ , & le moindre côté 473 304aun 
quarré pour difference avec chacun des deux autres car 
fa différence avecle moyen côté eft 1803649 quarré de 
1343, &aveclhypotenufe 1852321 quarré de 1361. 
Ainfi qu'il étoit requis. 


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19 


COMBINAISONS 


NN appelle Combinaifon le divers aflemblages de 
plufieurs chofes. 

Il yen a de deux fortes principales, chacune defquel- 
les fe divife encore en d’autres. De ces deux jointes en- 
femble on en fairune troifiéme qui eft mêlé de ces deux, 
& encore une quatriéme qu’on nommera multiple, parce 
qu'elle fe fait par la multiplication de chacune de ces 
fortes. : 

La premiere fera nommée combinaïfon d'ordre, la, 
deuxiéme combinaifon de changement , la troifiéme 
mêlée, & la quatriéme mulriple. De 

La combinaifon d’ordre contient les façons differentes 
dont on peut arranger & difpofer plufieurs chofes; par 
exemple, en combien de fortes on peut arranger quel- 
que multitude de foldats, ou combien on peut faire de: 
nombre différens avec quelques chiffres, ou combien on 

peut faire d’Anagrammes de quelque nom , foit qu’elles 

“ fe puiflent prononcer , ou qu’elles ne le puiflenc ; & ce 
qu'on obferve en ceci, & quieftla propriété particuliere 
decerte combinaifon, eft que les chofes une fois prifes ne 
doivent point être changées ; comme fi on prend cette 
diction Fzgues, onconfidérera la varieté des difpofitions. 
que peuvent recevoir les fix lettres de cette di&ion, fans 
qu'il foit permis de mettre quelque autre lettre nouvelle 
outre ces fix , ou d’enomettre quelqu’une. 


à. 
88  ABREGE DES COMBINAISONS! 


Cette combinaifon a plufieurs cas, ou uneinfinité , qui 
{ réduiront à deux. 

Le premier & le principal eft quand toutes les chofes 
combinées fonc differentes , comme lors qu'il eft queftion 
d’arranger des hommes, pas un defquels ne fe peut trou- 
ver en deux lieux : ou lors qu’on fait les Anagrammes de 
quelque diétion , dont toutes les lettres font differences, 
comme Charité. 

Le fecond , qui dépend du premier, elt quand parmi 
les chofes combinées, il ÿ en a de femblables, comme il 
arrive en faifant les Anagrammes des dictions qui ont 
quelque lectres femblables : par exemple, fi on vouloit 
fçavoir combien on peut faire d'Anagrammes de cette 
diction Pierre, entre les fix lectres de laquelle il y a deux e, 
& deux r qui fe reflemblent. 


Combinaifon d'ordre. 


L'ordre des chofes différentes fe trouve commeil s’en- 
fuit. 

On multiplie la combinaifon de la multitude précé- 
dente par le nombre de la multitude donnée : ainfi pour 
avoir l’ordre de fix chofes , il faut multiplier l’ordre de 
chofes par 6 ; & pour avoir l’ordre de $ , on multipliera 
celui de 4 par 5 ; & pour celui de 4, on prendra le produit 
de l’ordre de 3 par 4; de même pour celui de 3 , on mul- 
tipliera l’ordre de 2 par 3. Or l'Ordre de 2 ne peut être 
que 2 , car deux chofes ne fouffrent que deux difpofitions 
differentes , fçavoir en mettant au premier lieu celle qui 
auparavant écoit au fecond , comme 3, 4. & 4, B. On 
pourroit dire aufli que la combinaifon de deux chofes fe 
trouve en multipliant celle de 1, quieft r par 2. 


afsats 
se 


fl 


Fa 


ABREGE DES COMBINAISONS. 89 


I I 

DAC “2 

ÿ 6! 3 

a Lis à 

120 | 5 

Fr. 720!" [A 
PAST 

40320 | 8 

3612880! 9 

3628800 | 10 


479001600 | 12 
:6227010800 | 13 
87178291200 | 14 

1307674368000 | 15 
20911789888000 | 16 
355687428096000 | 17 
6401373705728000 | 18 
12164$5100408832000 | 19 
2432902008176640000 | 210 
$109C942171709440000 | 21 
‘1124000727777607680000 | 22 


Si on veut donc trouver l’ordre de quelque multitude, 
il faudra chercher celui des multitudes précédentes, & 
faire la Table de toutes, comme on voit ici. 

La colomne qui eft du côté droit contient le nombre 
dela multitude des chofes dont on veut fçavoir l’ordre, 
c'eft -à - dire la différente façon de les arranger : celle qui 
eft du côté gauche contient l'ordre. . 

… Je mets donc premierement 1 , tant à droite qu’à gau- 
che, parce que l’ordre d’une chofe n’eft qu'un ; puis je 
mets du côté droit le nombre fuivant 2 , par lequel je 
multiplie l’ordre du précédent , fçavoir 1, pour avoir 2. 

Je metsaprès 3 au-deflous de 2 à droit, & par ce nom- 

_ Rec. de Ac. Tom.F. 


On trouvera 
cette combinaifom 
pourfaivie jaf- 
ques a 64. in 
lib. Harmoni- 
con, du P.Mer= 
ferne, pag. 1 16e 
diite 


90 ABREGE DES COMBINAISONS. 
bre je multiplie l’ordre de 2 , fçavoir 2 ; & onaura 6, qu'il 
faudra mettre près de 3 : enfuite j'écris 4 deflous 3 , & je 
multiplie par ce 4 l'ordre de 3 , fçavoir 6 , pour avoir 24, 
& ainfi de fuite comme on voit en la Table. 
obie  Voiciladifférente difpofition qu’on peut donner 
obei à quatre chofes, afin de faire voir de quelle façon 
oibe. onles arrangera pour n’omettre aucune difpofi- 
oieb tion. Onfe propolera premierement quelque or- 
oebi dre, comme en ces quatre lettres o, #,5,e. La 
oeib .premierefoiro, lafeconde, &c. il faut en rete- 
boie. .nantla premiere changer l’ordre des dernieres. 
boei. ,Ainf , ayant placé & difpofé les quatrelertres fe- 
bioe. lon cet ordre, jereriens o que je laifle toujours au 
bieo premier lieu, &je change les trois autresb, 5, e, 
beoi en toutes les. façons pollibles qui font 6, & pour 
beio  ces6, onobferveraencore la mêmeregle; &ainfi 
iobe parce queje trouve, le premier des 3, je le re. 
ioeb tiens, & je change les deux autres, e,en toutes 
iboe lesfortes, quifont2, fçavoiri,e, &e, 5. 
ibeo Cela fair je change le 4, & en fon lieu je mets 
icob lJalertre fuivante, fçavoir la croifiéme quieft;, & 
iebo on aura o, #, & enfuite je mets les deux autres 
eobi b,e,dansleurs deux rangs, & enfin après o je mets 
eoib laquatriémelertre, fçavoir e, & je change éncore 
eboi les deux autres, i, en leurs deux façons. 
ebio Et parce que la quatriéme lettre eft la derniere, 
#iob  & qu'onne peut plusen mettre d’autre au fecond 
eibo lieu, je change k premiere lettre o , &en fa place 
* je mets la feconde #,& enfuice les trois autres felon 
leur ordre, fçavoir la premiere au fecond lieu, puis la troi-- 
fiéme & quatrième ; & la feconde lettre 4 demeurant ainfi 
au premier lieu,onferales fix changemens des autrescrois, 
fçavoir de 0,5, e , comme auparavant. Cela étant fait ,on 
mettra la troifiéme lertre z au premier lieu , & on fera en- 
core les fix variations des trois autres ,0,4,e; &enfinon 


l 


ABREGE DES COMBINAISONS  9r 
mettrala derniere eau commencement, ‘pendant que lés 
trois autres o, bi, feront arrangées en fix façons. 

S'ilyavoit cinq lettres différentes comme T'obie, on au- 
roiten la même maniere que ci-devant les vingt-quatre 
changemens deo,6,:,e,le 7 demeurant toüjoursle pre- 
mier ; puis on ôteroit le 7° du premier lieu , &-en fa place 
on mettroit o, après lequel on mettroit 7,4 ,:,e,envingt- 
quatre fortes; puis la troifiéme lettre Ztiendroit le pre: 
mier lieu , & enfin la quatriéme & la cinquiéme. 

De même, fi on avoit fix lettres , on feroit le change- 
ment des cinq dernieres en cent vingt façons, & mettant 
chacune des fix lertres au premier lieu, on aura fix fois 
120 , fçavoir 720, pour les divers arrangemens des fix 
chofes. 

Pour fept lettres on fera les 720 changemens des fix 
dernieres, qui feront recommencez fept fois , à caufe des 
fept lettres qui doivent occuper le premier lieu. 

On trouvera de la même forte les diverfes fituations 
pour les autres mulritudes, ce qui donne affez à connoî- 
tre-la conftruction de la table précedente, & la raifon 
pour laquelle il faut multiplier tous les nombres & leurs 
produits depuis l’unité jufqu’au nombre de la multitude 
requife, pour avoir la combinaifon de quelque multitude : 
car ayant à difpofer plufieurs chofes d’un ordre different, 


on commence à operer fur les crois dernieres ; & gardant 


la premiere des trois, on range les deux dernieres en deux 
façons : & parce qu'il y a trois lettres differentes, on met- 
tra chacune des trois pour la premiere, & après chacune 
on mettra les deux autres endeux façons, D'où il s'enfuit 
que pour avoir la combinaifon de trois chofes, il faut mul. 
tiplier 2 par 3 , dont le produit eft 6. 


. Sion vient après à confiderer quatre chofes, on a mon. 


tré comme les trois dernieres fe peuvent varier en fix fa- 

gons: mais parce que chacune de ces quatre chofes peur 

tenir le premier lieu , & que les trois qui refteront fe va. 
Mi 


92 ABREGE DES COMBINAISONS. 


rient en fix fortes, il faudra multiplier 6 par 4, pour avoir 
la varieté de l’ordre de quatre chofes, qui fera 14. 

De même, fiona cinq chofes, chacune doit être mife 
la premicre , & à chacune de ces fituations les quatre der- 
nieres feront rangées en vingt-quatre fortes: il faut donc 
multiplier 24 par ÿ. Pouravoir l'ordre de cinq chofes, qui 
fera 120 ; & ainfi de fuite , il faudra multiplier la combi: 
naïfon précedente par lé nombre de la multitude donnée; 
& cela eft une preuve évidente qui fert de démonftration 
pour la conftruction de la table. 

Mais lorfque dans une diétion il y a plufieurs lettres 
mblables comme en cette diction, Bezuré ; il eft certain 
qu'il n’y aura pas tant de varietez en l’ordre, que fi toutes. 
les fix lettres étoient différentes; & que les deux e qui s’y 
rencontrent diminuent la multitude de ces varietez. 

En ce cas, il faudra prendre la combinaifon de l’ordre 
des lectres felon leur multitude, & la divifer par l’ordre 
qui appartient à la multitude des femblables : ainfi, pour 
fçavoir combien on peut faire d’anagrammes de la diction 
Beauté, on prendra la combinaifon de l’ordre de fix cho- 
fes , qui eft 720 ; & parce que dans la diction il y a deux 
lertres femblables ,ondivifera 720 par la combinaifon de 
deux chofes, qui eft  ,le quorient 360 fera la multitude 
des anagrammes requifes. 
ebene De même pour cette diction, Ebene , on pren- 
ebeen dra 110, qui eft la combinaifon de $ , à caufe 
ebnee de fes cinq lectres : mais parce que parmi ces 
eebne cinq lettres il y ena trois femblables, je divife 
eeben 120 par la combinaifon de 3, fçavoir par 6, & le 
eenbe quotient 10 fera la multicude des anagrammes 
ceneb de cette diction. 
ecebn On voir ici les 20 varietez de ces cinq lettres, 
ecenb qui pourront donner à connoître comment on 
enbee pourra faireles varierez des fituations, quand les 
enebe  chofes ne font pastoutes differentes. 


ABREGE DES COMBINAISONS 03 


enceb … Quesil yavoit plufieurs fortes de lectres fem- 
beene  blables,il faudroit divifer la combinaifon de tou- 
besem  vesleslertres par celle de chaque forte de fem- 
benee blable, comme aux diétions, Pierre & George , 
bneee ‘aufquelles il ya fix lettres , mais deux d’une for. 
nebce te & deux d’une autre. 
ncebe Je prendrai la combinaifon de 6 ,fçavoir 710, 
mecch & la diviferai par celle de 2, & le quotient 360 
nbeee encore par celle de 2, & j'aurai 1 80: ou bien je 

mulriplierai la combinaifon de 2 par celle de 2, 
le produit fera 4, par lequel je diviferai 710 , & le quo- 
tienc fera 180. TYtbba 

Pour avoir la combinaïfon ou la mulritude des ana. 
grammes de la diction, Ananas, je vois qu’elle a fix let- 
tres : je prens donc 720, qui eft la combinaifon de 6 ; & 
parce qu'entre ces lectresil y en a trois d’une forte & deux 
d’ane autre, je divife 720 par la combinaifon de 3 fçavoir 
par 6 , & le quorient 1 20 par celle de 2 , fçavoir par 2 ,& 
J'aurai 60 : ou bien je mulriplie la combinaifon de 3 par 
celle de 2 , fçavoir 6 par 2 ,& par le produit 1 2 je divife la 
combinaïfon de la multitude des lettres, fçavoir 710, le 
quotient 60 donnera la multitude des varietez des lettres 
de cette diétion. - 

11 femble que l’ordre demanderoit qu’ontraitât enfuire 
de la combinaifon de changement ou de choix : mais par- 
ce qu’on trouve {es varietez par le moyen de la mêlée, on 
traitera premiérement de celle-ci, & on commencera par 

_celle qu’on nomme générale. 


Combinai[on générale. 


Cette combinaifon eft celle qui a été appellée mêlée, 
is qu’elle contient rant Pordre que le changement des 
chofes. On la peut auffi divifer en deux efpeces , comme 
les autres , fçavoir fi on confidere les chofes toutes diffe- 
rentes , ou bien fi on fuppofe qu’elles puiflent être toutes 

M ii] 


04 ABREGE DES COMBINAISONS. 


femblables, ou qu’il y en puifle avoir plufieurs femblables: 

Cette derniere combinaifon eft la plus univerfelle de 
toutes , puifqu’elle comprend toute feule tout ce quieft 
compris dans toutes les autres ; car on y confidere l’ordre 
comme en la premiere , & on prend les chofes dans une 
plus grande multitude,commeen la feconde ; & outre cela 
on en peur prendre plufieurs femblables ou toutes, comme 
fi on prénoit les douze cartes du piquet dans douze jeux 
de piquet , car par ce moyen les douze cartes pourroient 
êcre femblables , & ainfi on pourroit avoir douze Rois de 
pique ; ou feulement neuf ou dix cartes femblables , & les 
autres differences , & en toutes les autres façons poflibles ; 
& l’ordre fera voir en combien de manieres on les pour- 
roit joüer & jercer fur la cable en toutes ces fortes de jeux. 

Cette combinaifon fe trouve, prenant la multitude des 
chofes pour l’expofant d’une puiflance , qui a pour racine 
la diverfité des chofes combinées : ainfi pour fçavoir en 
combien de façons on peut avoir & arranger ou joüer les 
douze cartes prifes dans douze jeux de piquet de trente. 
fix cartes chacun , afin qu’on en puifle avoir tant de fem- 
blables qu’on voudra , il faut prendre 36 pour racine, & 
12 pour l’expofant de la puiflance. 

Ce fera donc la douziéme puiflance de 3 6. 

Sion né prenoic qu'une carte ,on mauroit que 3 6 va- 
rietez. 

Si on en prenoit 2 ,onauroit 1296 varietez, fçavoir le 
quarré de 36. 

Pour trois cartes, on prendroit le cube de3 6. Pour qua. 
tre , le quarré quarré. Pour cinq, lacinquiéme puiflance 
de 36, & ainfi desautres. 

La verité de cette operation fe peut tirer ou du raifon- 
nement, ou de quelque exemple. Nousen ayonsunexem: 
ple aux chiffres,car il eft certain qu’on les prend & difpofe 
en toutes les façons pofhibles, foit femblables ou differen- 
tes & prifes dans un plus grand nombre, & on a aufli égard 


ABREGE DES COMBINAISONS 95 


à l’ordre : or les nombres fe fuivent, & ne différent de pro- 
che en proche que de l'unité ; d’où il s’enfuit que le der- 
nier & plus grand nombre de ceux qui ont une certaine 
mulritude de lettres, comprendra tousles précedens ; par 
exemple, le plus grand nombre qui s’écrive par deux let- 


æres ou chiffres eft 99, qui comprend non feulement les 


nombres de deux lettres, maisaulli ceux qui n’en ont qu'u- 
ne ; mais il faut confiderer que parmi ces nombres, il n’y 
en a aucun qui ait un zéro du côté gauche , &en la place 
des dixaines : on le pourra donc fuppofer au-devant des 
neuf premiers chiffres où il ne fignifie rien, en prenantor, 
o2;, &c. & ainfi on auroit 99, nombres de deux lettres, 
Mais il y en manque encore un, pour avoir toutes les com- 
binaifons des dix caracteres pris deux à deux : car celui qui 
feroit fait de deux zero , fçavoir oo, n’y eft point ; il fau. 
dra donc ajoûter 1 à 99 pour avoir en tout 100 varietez, 
que peuvent fouffrir deux chofes prifes dans dix. Or le 
nombre r00 contient 10 & 2, car 10 eft fa racine, & 2 
fon expofant. 

Les mêmes nombres ou chiffres pourroient encore four. 
nir un autre exemple, fçavoir fi on prenoit les deux cho- 
fes dans neuf differentes , Comme fi on cherchoit tous les 
nombres de deux chiffres qui n’ont point de zero ; car par 
cemoyen on n'aura que neuflettres:or en chaque dixaine 
il y a neuf nombres qui n’ont point de zero , & iln’y a que 
neuf dixaines qui ayent deux lertres, car les nombres de 
la premiere n’ont qu’une lettre : fidonc on mulriplie 9 par 
9, on aura 81, quieft la varieté requife de deux chofes 
prifes dans neuf ; c’eft la même chofe aux autres quanti. 
tez. Mais voici comme on fera voir la verité de cerre régle. 

Pour ne point fortir de notre exemple de neuf, on voit 
premierement que fi on ne prend qu’une feule chofe dans 
neuf differentes,on n’aura que 9 varietez : mais fi on prend 
deux chofes, puifqu’après chacune des neuf chofes on 
peut metre chacune des mêmes l’une après l’autre ; pour 


96  ABREGE DES COMBINAISONS. 


avoir certe varieté, il faudra multiplier 9 par 9,& onaura 
81, quieft le quarré de 0. 

Que fi on prend trois chofes dans les neuf, on pourra 
devant chacune des 8 r combinaifons précedentes mettre 
chacune des neuf chofes : il faudra donc, pour avoir la va- 
rieté de trois chofes prifes dans neuf, multiplier 8 1 par 
9 , pour avoir 729 cube de-9. 

Éc ainfi continuant, on fera voir que pour avoir la va: 
rieté de quatre chofes prifes dans neuf, il faut multiplier 
7219 par 9, pour avoir le quarré quarré de 9 , parce que 
devant chacune des 7219 façons dont on aura pris & ar. 
rangé crois chofes , on pourra mettre chacune des neuf 
dans lefquelles on les a prifes. 

De même, pour cinq chofes prifes dans neuf, on pren 
dra la cinquième puiflance de 9 , &c. 

Il faut feulement prendre garde que la diverfité des 
chofes qu’on prend , comme ell ici 9 , fert toûjours de ra. 
cine, & la multitude des mêmeschofes fert d’expofant, 


Combinaifon de changement ou de choix. 


La feconde efpece de combinaifon eftnommée de chan. 
gement , ou de choix , à la différence de la premiere, où 
on fuppofe que les mêmes chofes demeurent toûjours: 
mais en celle-ci ,on les varie , & on en fait comme divers 
amas pris dans une grande multitude. Par exemple, fi d’un 
Régiment de 1000 hommes, on en détache r00,8& qu’on 
veuille fçavoir en combien de fortes on peut faire une 
Compagnie de 100 foldars pris dans un Régiment de 
1000 ; ou bien fi on veut fçavoir en combien de fortes on 
peut avoir les douze cartes du jeu de piquet, où ilyena 
trente-fix ; on voit manifeftement que l’ordre ne fait rien 
à cette multitude, car la differente difpofition des cartes 
dans la main ne change rien au jeu , encore qu’on puifle 
bien avoir égard à l’ordre rant aux foldats en les arran- 
geant 


i 
à 
ÿ 
} 


ABREGE DES COMBINAISONS. 97 
geant diverfement, qu'aux cartes en les joüant de plu- 
fieurs manieres. 

- Certe combinaifon fera aufli divifée en deux efpeces 
comme la précedente, fcavoir celle en laquelle touresles 
chofes font differentes , comme en l’aflemblage des fol- 
dars , & celle en laquelle il fe trouve plufieurs chofes fem. 
blables ; comme fi on avoit un cent de diverfes fortes de 
fruits , fçavoir de chacune efpece un cent, & qu'on voulût 
fçavoir en combien de façons on pourroit remplir un pa- 
nier d'un cent de ces fruits, ou bien fi on avoit enfemble 
douxe jeux de piquet , & qu’on voulût voir en combien de 
fortes on pourroit avoir douze cartes à les prendre dans 
ces douze jeux. 

Pour trouver la multitude des choix, il faut remarquer 
que coute combinaifon mêlée étant divifée par l’ordre, 
donne la combinaifon de changement, pourvi que toutes 
les chofes foient differences , ou qu’il ÿ en ait toñjours au 
rant de femblables. 

Exemple. Si on avoit fix paniers dont chacun füc plein 
d’une efpece de fruit different des autres, mais égaux en- 
tr'eux, & qu’on voulür voir en combien de façons on pour. 
roit prendreun cent de ces fruits dans les fix paniers, fup- 
pofanc toûjours que dans chaque panier tous les fruits 
foient égaux , & qu'il n’y ait rien à choifir, de forte que 
chaque efpece de fruit foit reputée pour un même fruit, 
ainfi que les lettres de l’Alphabet, chacune defquelles ne 
differe en rien de fa femblable en ce qui regarde l’ufage 

qu'on en fait dans les diions ; & ainfi dans la di&tion 
Anna, le premier 4 n’eft pas autre que le fecond : or on en- 
tend que les fruits d’une même efpece foientici pris en la 
même façon que les lettres, 
+ Si donc on veut avoir la varieté des fortes de choix 
qu’on peut faire d’un cent de ces fruits dans les fix paniers, 
‘dans chacun defquels il faut fuppofer aufli qu’il y ait pour 
Je moins un cent de fruits, afin que fi on veut on puifle 

Rec. del Ac. Tom, V, N 


58 ABREGE DES COMBINAISONS. 
prendre un cent de ces fruits tous égaux , il fauc faire la 
combinaifon générale de cent chofes prifes dans fix for: 
tes de chofes, fi on y comprend aufli l’ordre. 

Et parce que la varieré des chofes eft 6 , ce nombre fera 
la racine, & 100 qui eft la mulritude des chofes qu’on 
prend fervira d’expofant. On prendra donc la centiéme 
puifflance de 6 pour la varieté des diverfes façons dont on 
pourroit prendre & arranger les fruits pris dans les fix 
paniers. 

Et parce que la combinaifon générale contient la com. 
binaifon de l’ordre en toutes les façons poflibles , tant dés 
chofes femblables que des differentes, dont l’ordreeft dif- 
ferent, on ne la peut pas divifer par l’ordre; car lafomme 
de plufeurs divifeurs donne un autre quotient que s'ils 
étoient féparez, c’eft-à-dire, que fi on divifoit féparé- 
ment par chacun d’eux; joint que quelques-unes de ces 
varietez n’ont point d'ordre, c’eft-à-dire , ne fe peuvent 
mettre qu’en une feule façon, comme lorfque les chofes 
qu’on a prifes font routes femblables : & les autres ,où il 
fe trouve plufieurs chofes femblables , ont fort peu de va: 
rietez d'ordre; parexemple, fi on a quatre chofes ,elles 
feront confiderées confufément , foit qu’on les prenne 
toutes différentes, comme#,b,c,4,ou deux femblables, 
& deux autres différentes, commez,7,6,c,outroisfem- 
blables, & une autre comme #,%,4,6, ou deux d’une 
forte & deux d’une autre, commez,4,6,b,ouenfintou- 
tes quatre femblables comme #,4,4,4,ou6,6,6,8. 

A ,b,c,dfe change en vingt-quatre façons ,4,2,86 ce 
én douze ;,#,4,4a,benquatre;,z,4,6,benfix,&enfin 
a ja, a ,a ne peut être difpofé que d’une forte , & n’a au- 
cun ordre : mais voici commeonen féparera l’ordre. * 

Nous avons dit que la combinaïfon de changement 
étoit de deux fortes : l’une où toutes les chofes font diffe- 
rentes comme aux douze cartes du piquet ; l’autre où elles. 
peuvent être indifferemment , ou toutes différentes , ou 


ÂABREGE DES COMBINAISONS. -99 
toutes femblables , ou en partie diflémblables & en partie 
femblables , comme fi on prenoit les douze cartes du pi- 

net dans douzé jeux de piquet. da 

© Pour l'une & l’autre force de choix, il faut faire douze 
nombres par multiplication, compris le premier qu'on 
multiplie, quieft 36, à caufe qu’il y atrente-fix fortes de 
chofes: mais pour le premier où out eft different, il faut 
multiplier par les nombres inferieurs , fçavoir par 3 5 , & 
le produit par 34, &c. & pour le fecond qui peut avoir des 
chofes femblables, il faut multiplier par les fuperieurs , 
fçavoir par 37,38 ,&c. 

. Ce qu’il faut obferver en ceci, eft que le nombre par 
lequel on commence les multiplications eft celui de la va- 
rieté, & la multitude des nombres qu'il faut trouver par 
les muliplications le premier compris, eft la multitude 
des chofes. . 

. Ainf voulant avoir toutes les façons.du jeu de piquet , 
fçavoir, de douze cartes prifes dans trente:fix, en forte 
qu'elles foient toutes differentes, je prens 36 pour le cer- 
me & commencement des mulriplications ; & parce que 
toutes les cartes doivent être différentes, il faudra mul- 
tiplier 36 par les nombres précedens moindres, fçavoir 
par35, & le produit 1260 par 34, pour avoir 42840, 
qu’il faudra encore muliplier par 33 , & continuer tan£ 
qu’on ait douze nombres, ce qui {e fera après onze multi- 
plications , &le dernier nombre par lequel il faudra mul- 
tiplier fera 2 5, fçavoir 1 1 moins que 36; caron prend toû. 
jours un moins que la mulritude des chofes , à caufeque 
le nombre de la varicté , fçavoir 3 6 , eft pris pour le pre- 
mier nombre. à no $ 
-_. Le dernier produit eft $9955$6:0984320000, qui 
contient la varieté de douze cartes prifes en trente-fix 
avec l’ordre, c’eft-à-dire fuppofant qu’on les arrange aulli 
en toutes les façons poflbles , qui eft le premier cas, ou 
premiere forte de la combinaifon mêlée , qui fuppole ou- 

N ji] 


100 ABREGE DES COMBINAISONS. 
tes les chofes différentes, mais prifes en un plus grand” 
nombre, & fuppofant aufli l’ordre. 

Que fi on veut avoir les-jeux de piquet fans l’ordre, puif 
que cet ordre ne change point le jeu , il faudra divifer le 
nombre trouvé $99555610984320000 par la combi- 
naifon del’ordre de douzechofes,fcavoir par479001600, 
&onaura 1151677700 varietez de jeux de piquet. 

Pour ce quieft de joüer & de jeter les cartes fur la ta- 
ble, il faut avoir égard à l’ordre , & chaque jeu fe peut 
joüer en 47900 600 fortes, car telle eft la combinaifon 
de l’ordre de douze chofes , & ainfi pour avoir en touten 
combien de fortes on peut joüer les douze cartes prifesen 
3 6,il faut multiplier 1251677700 par 47900r600,pour 
avoir lenombreci.devanttrouvé $99$555610984320000, 
qui montre en combien de façons on peut avoir & joüer 
les douze cartes. 

Voilà pour ce qui appartient à la combinaifon dechan: 
gement, & à la combinaifon mêlée lorfque toutes les cho. 
{es font differentes. 

Car la mêlée, où l’ordre eft compris, fe trouve com 
me on a vû multipliant le nombre de la varieté des cho- 
fes , comme 36 par les nombres précedens 35,34, &c. 
tant qu’on ait autant de nombres ou produits compris 36, 
que la multitude des chofes , qui eft 1 2 ,& prenant le der- 
nier produit pour le nombre requis. 

Et la combinaifon de changement fe trouve divifant ce 
nombre, fçavoir le dernier produit, par le nombre de la 
combinaifon d’ordre de la multitude des chofes, quieft 
icir2. . f 

Refte à donner un exemple de la même combinaifon 
de changement, lorfque les chofes peuvent être fembla- 
bles. ‘ca, 

Que les douze cartes fe prennent dans douze jeux de pi- 
quet de trente fix cartes chacun,afin qu’elles puiflent être 
toutes femblables , il faudra , comme on a dit ci-devant, 


ABREGE DES COMBINAISONS. 101 


muliplier 3 6 par les nombres fuivans, fçavoir par 37,38, 
&c. tant qu’on ait 1 2 nombres ou produits, {çavoirautanc 
e lamultitude des chofes, & ainfi le dernier nombre qui 
multipliera fera 47 , puis divifer le produit par l’ordre du 
nombre de la multitude , fçavoir par l’ordre de 17. 

. De même pour les fix paniers de fruit dans vous lefquels 
on choifit cent fruitsà difcrétion , avec liberté de prendre 
fi on veut ous les cent de même efpece, & d’un même pa- 
nier. : 

Parce que le nombre de la varieré eft 6, je preus 6 pour 
le rerme ou commencement des multiplications;je le mul. 
tiplie donc par 7, & le produit 42 par 8, & le produit par 
9 ,tant qu’on ait 100 nombres, compris 6; & ainfi le der 
nier nombre qui mukipliera fera r0$ , qui furpafle 6 de 
99,fçavoir de r moins que lenombre de la multitude 100, 
à caufe que 6 eft compté pour le premier nombre ; & le 
* sdernier pfoduic érant diifé par l’ordre de cent chofes, 
qui eft la multitude des chofes qu’on prend , donnera le 
nômbre requis. 
Que fion avoit des tables faites de la combinaifon d’or. 
dre, qui eft la plus ordinaire & la plus en ufage, on y pour- 
roit prendre la combinaifon de 105 , fçavoir de 1 moins 
que la fomme des deux nombres de varieré & de multitu- 
de, & la divifer par la combinaifon de $ , fçavoir de 6—1; 
car fi on avoit commencé par 2 à multiplier , & qu’on eût 
continué jufages à 10$,on auroit la combinaifon de r05: 
maïs parce qu'on n’a commencé que par 6, il s'enfuit que 
le produit devroit être multiplié par la combinaifon de ; 
pour parvenir à celle de 105 ; & par confequent, fion di- 
vife celle de 105 par celle de $ ,onaura le nombre requis, 
Gr en ètre divifé par celle de 100 , comme il à été dir. 
Mais parce que de fi grandes divifions & multiplica- 
tions font ennuyeufes , on fe pourra fervir du moyen fui. 
vant pour fe pafler de la divifion , & diminuer beaucoup 
Jes multiplications. 


N üj 


102 ABREGE DES COMBINAISONS. 


Nous prendrons l'exemple des jeux de piquet dans les 
deux façons précedentes. 

1° Onprend douze cartes dans trente-fix toutes diffe. 
rentes , & on demande en combien de fortes je puis avoir 
les douze cartes: parce que 3 6 eft la varieré des chofes , il 
me fervira de terme ; & parce qu’il y a douze chofes, je 
prens 12 nombres, compris 36; car la multitude des nom. 
bres qui fe multiplient doit fuivre la multitude des cho- 
fes qui fe combinent : & parce que les cartes font tontes 
différentes , & qu’il n’y en a point de femblables , je prens 
les nombres moindres que 36 , comme on voitici, fçavoir 
36,35, 34, &c. le produit defquels il faudroit divifer par 
la combinaifon d’ordre de douze chofes , laquelle combi. 
naifon fe trouve, en multipliant lun par l’autre tous les 
nombres jufqu’à 12, fçavoir1,2,3, &c. 

Puis donc que le produit des nombres inferieurs doit 
divifer celui des fuperieurs , il faut que les inferieurs {e 
trouvent tous féparément dans les fuperieurs , autrement 
leur produit ne diviferoir pas l’autre grand produit. * 

Que les inferieurs foient donc ôtez des fuperieurs, & la 
divifon fera faire , comme on voitici. 

- 7 9 
34: 38 : 345333 3%, 51) 36,29,28, #9 26, 25, 
: Æ 


3 
1. # 3 # # 4. % 8 À. xd. 1t. 22. 


Je confidere donc les fuperieurs, & je trouve premie- 
rement 36, qui eft le produit de 3 & 12; j'ôte donc 36 de 
la ligne fuperieure, & 3 & 1 2 de l'inferieure. «c 5 

Je viens à 35 , qui eft produit par 5 & 7; j'ôte donc3s 
d’un côté, & 5 & 7 de l’autre. 

34 eff fait de 2 & 17; mais parce que 1 7 n’eft point en 
la ligne inferieure , je pañle à uneautre ,& confidere 33, 
qui eft produit par 3 & 11 ; j'ôte donc 33 , & de la ligne 
inferieure j'ôte 3 & 11; mais parce que le nombre 3 ne s’y 
rrouve plus, je l’ôre de quelque compofé de la même ligne 


3 
4 
à 
{ 
k 
L 
| 
| 
# 
% 
! 


ABREIGE DES COMBINAISONS 103 
inférieure, comme de 9, &je remets un 3 deflus , parce 
que 9 eft fair & produit de deux 3. 

3 2 eft fait de 4 & 8; j’ôte donc 3 2 delaligne fuperieure, 
& 4 & 8 de l’inferieure.| 3 1 eft nombre premier. 


+ 30cft fair de 3 & 10; j'te donc’ 30, & de la ligneinfe- 


rieure j'ôte 3 & 10, fçavoir le 3 que j'avois mis fur leo. | 
+ [ne refte plus énbas que 2 & 6: le 6 eft fair de 2 &3; 


J'ôte donc 3 de quelque nombre de la ligne fuperieure, 


comme de 27, refte 9, que j'écris deflus 2 7 ; & ôtant ainfi 
le 3 de 6, refte 2 , que j'écris fur 6 , (car ici, où il eft quef- 
tion de parties qui font le nombre par multiplication, ôrer 
un nombre c’eft divifer par ce nombre.) 

“Enfin il refte en bas 2 & 2, qui font4, que j'ôte de quel- 
que nombre de la ligne fuperieure | comme de 28, refte 
7, que j'écris deflus , & j’ôte tant 28 que les deux 2 de la 
ligne inferieure. mi, | nm 
- Refte donc enlaligne fupericure à multiplier ,34, 31, 
29,7,9,26,25, l'un par l’autre, dont le produit fait 
+251677700 pour la diverfité des jeux de piquet , com- 
me on avoit trouvé ci-devant. 

- Que fi on prend les douze cartes dans douze jeux de 
trente-fix cartes chacun , les douze cartes pourront être 
femblables : il faut donc prendre 1 2 nombres, fuivant la 
multitude des cartes, à commencer par 3 6, qui repréfente 
la varieté des cartes, & pourfuivant par les nombres plus 
grands, comme on voit ici, il faudroit divifer le produit 
des fuperieurs par celui des inférieurs :mais pour pargner 
cette divifion , on ôrera les femblables comme ci.devant , 
fçavoir pour 36 ,on ôtera 3 & 12. 

" 19 23 
| 3: 37: 38. 39. 4. A1. AA. 45. 44: AJ. #6 47. 
' 2 


0 2 3 4 n2 #.  &. 4. 29. x. 22, 
Pour 40.1 4 & 10 pour 41.| 6 & 7. pour 44,11 &4. 
Mais parce qu’il n’ya point de, onle prendra dans 8, 


104 ÂABREGE DES COMBINAISONS. 
& on mettra un 2 deflus. Pour 45 on ôtera $ & 9, &il 
reftera 2 & 2 en la ligne inferieure : on en ôtera l’un de 
38, & l’autre de46 , reftera 19 & 23 ,qu’on écrira deflus. 
Reftera donc37,19,39,41,435,23,47, qu'il faut 
multiplier l’un par l’autre ; le produit 522$ 14008 5 1 fera 
la varieté requife des jeux qu'on peut avoir, fçavoir de 
douze cartes prifes dans douze jeux de trente-fix cartes 
chacun. . 


Corollaire premier. 


De ce quia été dit , il s’enfuit que tout nombre qui dé- 
note la varieté des chofes differentes fans l’ordre, dénote 
auffi la varieté de quelques autres , entre lefquelles toutes 
ou quelques-unes peuvent être femblables pareillement 
fans l’ordre , exemple. 

Le nombre qui montre la varieté de douze cartes pri. 
fes dans trente-fix, montre auf la varieté de douze car- 
tes prifes dans douze jeux de vingt-cinq cartes chacun, 
c'eft-à-dire, fuppofant douze jeux femblables, chacun def. 
quels auroic vingt-cinq cartes differentes. | 

La raifon fe tire de l’opération , car aux deux cas des 


cartes differentes ou femblables , on prend le nombre de 


la varieté pour le premier, & fi les chofes font differentes, 
on prend les nombres moindres : que fi elles peuvent être 
femblables, on en prend autant qui foient plus grands que 
le nombre de varieté : mais fi du grand nombre comme 
36 ,on defcend au moindre 25, & qu’on multiplie les 
nombres qui font entre deux, comme il a été dit, on aura 
le même produit, que fi on prend 25 pour le nombre de 
la varieté , & qu’on monte jufqu’à 36 : mais le premier fe 
fait quand les chofes font differentes , & le fecond quand 
elles peuvent être femblables : donc un même nombre 
montre la combinaifon des chofes differentes, & de cel. 
les auffi qui peuvent être femblables, en le divifant par 
Ja combinaifon d’ordre de douze chofes : mais des deux 

nombres 


Br y A7 


-ABREGE DES COMBINAISONS. 1oÿ 

‘fiombres qui font les extrêmes de ceux qui le multiplient, 

le plusgrand fera la variété des chofes quand elles font 
toutes differentes, comme 3 6 ; & le moindre comme 25, 
“quand les chofes peuvent être toutes femblables. 

* De même, le nombre qui repréfente la diverfité ou 
“ombinaifon de douze cartes prifes en douze jeux detren- 
‘te-fix cartes chacun , montre aufli la combinaifon de dou- 
Ze cartes prifes en quarante-fept. 

* Ainf pour pañler des cartes femblables aux différentes, 
- on change la variété des cartes, & on prend le douziéme 
#ombre en augmentant fi on fe fert de douze cartes cha- 
que fois ; & au lieu de 36 ,onaura47. 

Mais pour pañler des chofes differentes aux femblables, 
il faut prendre le douziéme nombre en diminuant , &au 
lieu de 36 ,on prend 25 , car le nombre de la multitude, 
5 a 12, nechangepoint, : | 


; F Corolaire fecond. 


 Lorfqu’on prend les douze cartes dans douze jeux de 
cartes, afin qu’elles puiflent être toutes femblables, on 
Les peur confiderer avec l’ordre, ou fans l’ordre: fi on y 
met l’ordre, il fe faut{ervir despuiflances quarrées; fion . 
y met point l’ordre , on fe fervira des puifflances trian- 
gulaires. de tte 
- On nomme ici puiflance quarrée celle qui fe fait par o, vit uns 
multiplication de la racine par elle-même, puis du pro- Frs SEEN 
duit par la même, &c. comme font les puiflances ordi- guisirs jfuà 
aires. M : ! Nu TA puilfanes de 25e 
* On nomme puiflance triangulaire celle qui fe fait par nl. Harmo- 
Jaddition des puiflances qui ont r moins d’expofant de- Merfenne 4 
" puis la premiere ,quieft r , jufques à celle qui a pareille "7" 
acine : ainfi la fixiéme puiflance triangulaire de 5 eft la 
fomme des cinq premieres cinquiémes puiflances,& la cin. 
quiéme puiffance de 5 eft la fomme des cinq premieres 
quatriémes puiflances , & la quatriéme puiflance de $ eft 
Rec, de l Ac. Tom. V, O 


\ 


xo6G ABREGE DES COMBINAISONS. 


la fomme des cinq premiers tétraédres, ou troifiémes 
puiflances, & le cétraédre de 5 eft la fomme des cinq 
premiers triangles, comme le cinquiéme triangle , ou le 
triangle de 5 eft la fomme des cinq premiers nombres. 

En chaque forte on prend pour racine la variété des 
chofes, & pour expofant leur multitude : ainfi pour avoir 
les douze cartes lorfqu’elles peuvent être femblables avec 
l’ordre , on prend la douziéme puiflance quarrée de36, 
parce qu’il ya de trente-fix fortes de cartes; mais fi on 
prend les mêmes douze cartes fans y joindre l’ordre, il 
faudra prendre la douziéme puiflance triangulaire de 3 6. 


- Corollaire troifiéme. 


On pourra tirer de là une régle bien facile pour avoir 
les puiflances triangulaires. On demande, par exemple, 
la fixiéme puiffance triangulaire de $ , la racineeft 5 , & 
l’expofant eft 6 , on prendra fix nombres de fuite dont la 
racine $ fera le moindre, fçavoir $,6,7,8,9,1o;illes 
faut mulriplier l’un par l’autre, & divifer le produit par 
l’ordre de la multitude des nombres , qui eft repréfentée 
par l’expofant 6 , & cer ordre cit 710 , ou bien, pour évi. 
ter La divifion,, on ôtera de ces fix nombres , les fix nom- 
bres premiers, 1,2,3,4,5$,6,Ccomme on a vü ci-de- 
vant, &ilreftera 7,3 ,& 10 ,dont- 


le produit 210 eft la puifflance re- 3. 
quife, fçavoir la fixiéme puiflance 9. €. 7. 8. #. 10, 
triangulaire de 5. 1, 2 3e 4 Se 6 


Déterminer en combien de façons trois dex peuvent faire leurs 
points. 


Our dire en général combien ils peuvent faire de di- 
vers points, 1l faut cuber 6, &l’ona 116 ; mais pour 
{çavoir en particulier comment chaque point fe peutfaire, 
nous difons ainfi. Depuis 3 jufqu’à 58 nous avons feize 
nombres, les huit premiers fe rapportent aux huit der- 


‘ 


‘à ABREGE" DES COMBINAISONS. 107 
_ niers, c'eft-à-dire que 3 & 18 fontégaux à 4& 17; 5 & 
16 valent 6 & 15,7 & 14 valent 8 & 13, &c. Or pour 
avoir en combien de maniereschaque nombre peut venir: 
pour les fix premiers , ou pour les fix derniers, il faut pren- 
dreles fix premiers triangles, ainfi l’on pourra amener ; 
ou 8 en une forte, carlepremiertriangle eft r : 4ou 17 
entrois fortes, car 3 eft le fecond triangle: $ ou 16 en fix 
façons, car lecroifiéme triangleeft 6 ; 6 ou r ÿ en dix for- 
es, car 10 cftle quatriéme triangle : 7ou 14 en quinze 
fortes, parce que 1 s eft le cinquiéme triangle: 8 ou 13 en 
vingt& une fortes, d'autant que 2 1 eftle fixiéme triangle; 
& voilà pour les fix premiers, & pour les fix derniers. Pour 
Jes quatre reftans, fçavoir 9, 12, 10, 11.Pour9& 12, 
il faut prendre le quarré de 5, c’eft-à-dire 25, & pour 
10&11, il faut prendrelecube de 3, qui eft27,& ces 
deux nombres 2 5 & 27 déterminent les diverfes manieres 
dont fe trouveront ces quatre derniers. Or toutes ces fa- 
çons differentes, fçavoir,1,3,6,10,1$,21,25,27, 
étant jointesenfemble , font 108, & Les doublant nous 
auront 216, quieftlecube de 6, quenousavons pris au 
commencement. je 
= Quefion fur la regle d'interef. 
U N homme met un ducat à la Banque à multiplier pour 
32ans, à la charge d’en avoir lesintérêts, & intérèt 
d’incérêt à raifonde $ pour 100. On demande à combien 
fe montera le principal &les intérêts au bout de ce temps. 
 L’intérêceft = par an ; donc au bout de l'an le princi- 
‘palavec l'intérêt fe montera à 2! de ducat. 
Pour les années fuivantesil faut prendre les puiffances 
_ du numérateur & du dénominateur decette fraction, & 
_wænfaireune fraction, & lenombre des années fera l’ex- 
pofant de ces puiflances: il faudra donc prendre la trente- 
 deuxiéme puifflance de 2 1 & de 20 pour le principal & les 
intérêrsde 32 ans. J'ai pris 32 pour la commodité de la 
« Oi 


| # 


108 ABREGE DES COMBINAISONS 

multiplication, à caufe qu'il n’y aura qu’à prendre le quar: 

ré des nombres précédens. Ainfi 4 
Pour 2 ans on aura ft de ducat. 


Pour 4 ans12##81, qui fe trouve prenant le quarré de 
44 | 
400° 
Pour 8 ans 7822819361, 

305686 419853283321 
Pour ans SES eeaaconposnooo 


Enfin pour 3 2 ansonaura 


Des Combinaifons multiples. 


N a confideré de deux fortes de Combinaïfons; l’une 
d'ordre , & l’autre de varieté ou changement, cha 
cune defquelles peut être multipliée: en voici des exem. 
ples. | : 
Six chofes fe peuvent ranger en 720 façons: que ce 
{oient par exemple fix foldats à quije donnerai fix fortes 
d’armes : parce que les armes fe peuvent encorecombiner 
en 720 façons, il faudra prendre le quarréde 710 ,&on 
aura $ 18400 façons de lesranger & de les armer : mais fi 
avec cela on leur donne fix fortes de livrées , il faudra 
prendre le cube de 720 pour la varieté dont onles pourra 
ranger avec leurs diverfes armes & livrées, ce qui fe fera 
en 373248000 facons. 


ABREGE! D ES COMBINAISONS  ro9 

… Mais fionn'avoit pas autant de fortes d’armes & de li- 
vrées que de foldats ; par exemple, fi on n’avoit que de 
quatre fortes d’armes, & que de l’une des fortes on en 
eücærois , comme fi on avoit trois épées, un moufquet, 
1e pique & une hallebarde , & qu’on n’eut quetrois for. 
tes'de livrées, fçavoir deux de chaque forte : il faudra 
prendre pour les armes la combinaifon de fix chofes entre 
_lefquelles il yenauroit trois femblables : or ona fait voir 


que pouravoir cettecombinaifon, ilfaut divifer la com- 
_ binaifondefix, fçavoir 710, par fix quieft la combinai- 


_ {on detrois chofes femblables , & on aura 120 pour les 
diverfes façons dont on peur armer ces foldats, On mulri- 
pliera donc 720 par 120, & on aura 86400 manieres de 
ranger & d’armer ces foldats. \ 
+ Pour leurs livrées, parce qu’il yen a deux de chaque 
forre &.de trois fortes entout , il faudra divifer 720 par 
la combinaifon de deux chofes répétées trois fois, qui efk 
huit, parce que deux multipliant deux fait quatre, qui 
étantencore multiplié par deux donne huit: divifant done 
720 par huit, onaura oc, par lequel il faudra multiplier 
le produit qu’on vient d’avoir, quieft 86400, & on aura 
en tout 7776000 manieres d’arranger ces foldats avec 
leurs armes & leurs livrées différentes. 
» Que fi au contraire onavoit plus de fortes d’armes & de 
livrées qu'il n’y a de foldats ; par exemple , fi on avoit 
fept fortes d'armes & huit fortes de livrées qu’on voulñt 
donner à fix foldats en toutes les manieres poflibles , on 
fe ferviroit de la combinaifon de variété : voici comme fe 
fait cette combinaifon. 
…… Pourlesarmes, parce qu'ilyena de feptfortes, mais 
qu'on n’en prend que fix à chaque fois ,on multipliera 7 
par les nombres moindres jufqu’à ce qu’on ait 6nombres, 
_ {çavoir jufqu’à 1 : onmultipliera donc 7 par 6, le produis 
1a2par ÿ, puisle produit par 4, 3, & 2, onaura 5040, 
quieft lemêmenombre que celui de la sAnRa ee d’or- 
üij 


110  ABREGE" DES COMBINAISONS. 


dre de feptcholes, parce que 1 ne multiplie point.  » 

Pour les livrées, parce qu’il y en ade huit fortes, & 
qu'on ne fe fert que de fix il faudra prendre le change- 
ment de fix chofes prifes dans huit, quifetrouve en mul- 
tipliant l’un par l’autre fix nombres commençant par 8 en 
diminuant , fçavoir 3,4, $, 6, 7,8, dont le produit 
eft 20160 y compris l’ordre. à 

Il faudra donc multiplier 720 , qui montrela quantité 
de façons dont on peutranger fix foldats, par 5040 , qui 
eft la variété de leurs armes, & le produit 3628800 (qui 
contient l’ordre des foldats & des diverfes manieres dont 
onles peut armer ) par 10160, qui eft la varieté des li: 
vices, &onaura 731556608000, qui montre toutes les 
façons d’arranger ces foldats, & de leur donner diverfes 
armes &livrées. à 

. La combinaifon de variété fe peut aufli mulriplier par 
une autre combinaifon de variété. 

On à fix Places à pourvoir de Commandans, mais on 
n’en veut placer d’abord quetrois : on demande en com- 
bien de manieres on peut placer dans trois de ces Places 
crois de ces Commandans pris dans fix qui fonc arrêtez. 
On prendra l’ordre de trois chofes prifes dans fix , multi- 
pliant fix par cinq, &le produit par quatre ; puis divi- 
fant le produit 1 20 par fix , qui eft la combinaifon d'ordre 
de trois chofes , on aura 20 pour le changement de trois 
chofes prifes dans fix ;ou par abregé on multipliera feu- 
lement cinq par quatre. La combinaifon de trois Places 
prifes dans fix eft pareillement 20; on multipliera donc ‘ 
20 par 20, & onaura40o0 facons de placer trois de ces 
Commandans chacun dans l’une des fix Places. 

Oril n'importe pas qu’il y ait autant de Places que.de 
Commandans : il yen peut avoir plus ou moins, & la régle 
fera toujours la même. £ 

Siparexemple, il n’y avoit que cinq Places, il faudroic 
prendre la variéré de trois chofes prifes dans cinq, qui eft 


._ ABREGE DES COMBINAISONS. 11 
60 , l’ordrecompris , qui étant divifé par fix quieft l’or- 
dre de crois chofes , ona dix , lequel multiplié par 10, qui 
eft la combinaifon de trois Commandans pris dans fix ,on 
auroit 200 façons de les placer. De même s’il yavoic huit 
Places on prendroit la combinaifon de trois pris dans 
huit , qui eft 3 3 6compris l’ordre , qui étant divifé par fix, 
quieft l’ordre de trois chofes, donne 56, qui multiplié 
par 20 donneroit 1120 façons de placer ces trois Com- 
mandans. CASRERPESE ss 
- Il ya quelqu’autre chofe à confidérer dans la combi- 
naifon pour l’aflemblage des lettres qui forment les dic. 
tions : il yena quelques-unes qui ne fe peuvent prononcer 
quand elles font enfemble , c'eft pourquoiileft nécéflaire 
deles féparer. DAEE ES 

On veut fcavoir , parexemplé, combien on peut faire 
de dictions des huit lettres z, #,c,d,e,i,0,f, telle 
condition que les trois # , c, d, ne fe trouvent jamais en- 
femble. Il faudra confidérer ces trois lectres comme une 
feule, &ainfiiln’y aura que fix chofes, dont la combi- 
naifoneft 710: mais parce que ces trois lettres fe peu- 
vencerouver de fuire en fix façons, il faut multiplier 720 
par fix; le produit eft 4320, qu'il faut ôter de la combi- 
naifon de huit chofes quieft 403 20, reftera 36000 dic- 
tionsou anagrammes qu’on pourra faire avec ces huit let- 
tres fans que #, c, d, fe trouvent enfemble. 

On pourroit encore demander que deux de ces confo. 
nes ne fe crouvaflentjamais au commencement ni à la fn 
des diétions. Pour le trouver il faut voir combien il fe fait 
‘de changemens pendant que deux de ces lettres font au 
commencement ou à la fin ; & parce qu’il refte fix lettres, 
on aura 710 changemens : mais entre ces 720 il yen a 
120 aufquels la croifiéme confone fe trouve contre les 
deux autres , & cela eft compris dansles 43 20 qu'ila fallu 
Grerde40320,il faut donc ôter 120 de 710, refte 6oe 
qu’il faudra multiplier par 12, parce qu’on peut prendre 


112 ABRÉGE DES COMBINAISONS: 

- les deux lettres dansles troisen trois façons; & à caufe dé 
l’ordre il faudra multiplier trois par deux ; & parce qu'il 
ne faut pas aufli que les deux lettres fe trouvent àla fin,on 
aura douze variètez, qui mulripliées par 600 donnent 
7200 qu’il fauc ôter de 36000, reftera 28800 anagram- 
mes. 

Pour favoir en quel rang eft une diction dans le grand 
nombre de la combinaifon générale à commencer à celles 
d’une lettre, puis à celles de deux, de crois, & ainfi du 
refte, jufqu’au nombre des lettres dont notre dition fera 
compofée, comme l'on fait aux chiffres où l’on commen: 
ce à compter par les nombres qui n’ont qu’un chiffre, puis 
on vient à ceux quienont deux, &c. il faut voir la quan- 
tiéme & la premiere lettre à main gauche dans lalphaber, 
& de combien de lettres eft compofée la diétion : par 
exemple, je veux fçavoir le quantiémeeft ce mot Æ4/er, 
qui eft de quatre lettres; dontil yena 234256, &les 
autres dictions moindres y étant ajoutées, fçavoir cellesde 
3,2,& une lettre, il yenaura 24$410.Pour fçavoir donc 
le quantiémeil eft dans ce dernier nombre à commencer 
à compter par 4, puis#, &c.enaprès24,4b,&c.jeprens 
Ja premiere lettre 4, qui eftla premiere de routes, & ne 
vaut qu'un mille, quivaut 10648 (nombre des mots de 
trois lettres) puis je viens à /, qui eft la dix-fepriéme cen- 
taine, & partant je multiplie 484 par 17, le produit eft 
$228;puisae, qui eft la cinquième dixaine dont chacune 
vaut22, qui multiplié par cinq, font 1 10 ; la derniere 
lectre eft r, qui eft la feiziéme, puis j'ajoute ces quatre 
fommes enfemble, fçavoir 10648, 8228, 110&16, le 
cotal eft 19002 ;de forte que 4/ereftle 19002 mot dans 
le nombre de 245410 , ou fi l’on veut dans le dernier 
nombre de la combinaifon générale de 22, quieft l’addi. 
tion de tous lesautres. 

Le lieu de cemot Z44/{e trouveainf : il et compofé 
de quarre lertres , & partant da premiere à gauche eft 

mille, 


ABREGE DES COMBINAISONS, 113 
mille, quiexprime fon nombre 10648 fois , & cette ler- 
tre B la deuxiéme lettre, partant il faut mulriplier ce 
nombre par deux, cefera 21296 ; la fecondelertreeltz, 
quieft centaine , & qui vaut 484 ; la troifiéme eft encore 
2, qui eft dixaine , & qui vaut 22 ; la derniere eft/, qui 
eft la dixiéme lettre, partant il faut affémbler 21296, 
484, 122 & 10, &on trouvera que Bzal ferale 21812 
mot. 

* Le lieu de Zevi fe trouve ainf ; Z eft la dixiéme lettre , 
& partant je multiplie le mille qui eft 10648 par ro, le 
produic eft 106480 ; eeltla cinquiéme lectre : je multi. 
pliedonc 484 par cinq, le produit eft 2420 ; vw eft la dix- 
neuviéme lettre que je multiplie par 22, le produit eft 
418 ; quieft la derniere eft la neuviéme ; j'aflemble donc 
106480 , 1410, 418 & 9, & je trouve que Zevi eft la 
109327 diction. à 
- Toutes les autres diétions fe trouvent de même, foit 
qu’ellesayent plus ou moins de lettres ; & il faut remar. 
quer que la premiere chofe qu’il faut faire eft de voir de 
combien de lettres la diétion eft compofée , puis voir la 
quantiéme lertre eft la premiere à main gauche, & parle 
nombre du rang qu’elle tien dans l'alphabet multiplier 
le nombre de la combinaifon générale précédent celui 
des lettres dont eft compofée la diétion : par exemple, fi 
elle avoit huit lettres, & que la premiere lettre fut G, qui 
tient le feptiéme lieu dans l’alphaber, il faudroit multi- 
plier le nombre de la combinaifon de fepr chofes, quieft 
celui qui précéde huit, par fepr, & puis continuer aux 
autres lettres. Si la: diétion avoit fix lettres , & que la 
remiere fut un V, qui tient le dix-neuviéme lieu , il fau- 
droit multiplier la combinaifon de cinq chofes par dix- 
neuf, &ainfi des autres: ou bien commencer par la pre- 
miere lettre à main droite, qui ne vaut que fon nombre, 
& la feconde le vaut 22 fois. 
Par ce moyen on pourroit écrire des lettres bien obfcu- 
Rec. del Ac. Tom... Fr 


114 AÂABREGE DES COMBINAISONS: 

res, & qu’il feroit bien difficile de déchifrer , fi l’on n’en 
fçavoit la méthode ; fçavoir fi on mertoit au lieu des mots 
le rang qu'ils tiennent dans le grand nombre : mais ce 
n’eft pas aflez de fçavoir écrire , fi lon ne fçait lire fon 
écriture, & ce n’eft pas peu de chofe que de fçavoir lire 
celle-ci ; car ceux mêmes qui l’auroient écrite ne la pour 
roient lire , s'ils n’en fçavoient la méthode , quoiqu'ils 
fçuflent celle de l'écrire. 

Ayant donc un nombre donné, il faut prendreälaTa- 
ble des combinaifons le plus grand nombre qu’on pourra, 
qui néanmoins puifle fervir de divifeur au nombre donné. 
La divifion faire il faut prendre cequieftrefté, & le di- 
vifer par la combinaifon qui précéde , & le quotient mon- 
tre la quantiéme lettre on doit prendre dans lalphabet, 
de forte qu’il ne faut pas que le quotient pañie jamais 22, 
& il faut continuer à divifer jufques à ce que l’on divifepar 
22, & cette derniere divifion faire , il faut voir cequiref- 
re & mettre la lettre qui convient à ce nombre pour la 
derniere. Il faut remarquer que fi l’on ne pouvoit arriver 
à la divifion par 22, ou qu'icelle étant faire il ne reftât 
rien, ou que l’on ne put pas divifer par tous les nombres 
des combinaifons moindres que le premier qu’on a pris, 
& que le refte de la premiere divifion fut trop petit pour 
ce faire, le nombre que l’on auroit pris pour divifeur feroit 
trop grand , & il faudroit prendre celui de devant , quieft 
moindre, & qui n’eft que © du premier , comme en ce 
nombre 234199, fion prenoit 134156 pour divifeur , le 
quotient feroic 1 , & il ne refteroit plus que 43 , que l’on 
ne pourroit divifer par les autresnombres; ainfi il faudroit 
prendre celui de devant, qui eft 10648 , & cela arrive 
toujours aux dictions quicommencent par un x, &à celles 

ui commencent par un y fuivi d’un x. 2°. Il faut remar- 
quer que la diétion aura toujours une lettre plus que le 
nombre des combinaifons qui fervira de divifeur, comme 
en cet exemple ; où 10648 fert de divifeur , quieft le 


Re MD PE 0e UT lee SE NT OU SU 


.__ ABREGE DES COMBENAISONS. rs 
nombre de la combinaifon de trois chofes , il y aura qua 
tre lectres ; carayant divifé 234299 par 10648, le quo. 
tient fera 2 1 qui vauty, & il reftera 10691 qu'il faudra 
divifer par 484, & le quotientfera 22, quiefEun x, &il 
reftera 43 , qu'il faudra divifer par 22 , le quotienceft r, 
quieft + , & le refte eft 2 1 qui efty;de forte quéledirnom. 
bre vaudra autant que y x «y. 3°. 1left à remarquer qu'il 
faut divifer par tous les nombres moindres jufques à 22,8 
qu’il n’en faut pafler aucun , & partant fi le refte étoic 
moindre que le nombre par lequel. on devroic divifer 
après, le quotient feroit trop grand, partant il le fau: 
droit diminuer de l'unité. Sile quotient étoit 1, & que le 
refte fut trop petit, il faudroic changer de divifeur , com. 
meen l'exemple ci-deflous : par exemple, en ce nombre 
21600, je prens 10648 pour divifeur ; le quotient eft 2, 
&ilrelte 304 qui eft moindre que 484 , partant jeiprens 
pour quotient, refte 10952, que je a 27 484 ,1le 
quotient eft 22, & il relte 304 que je divife par 12, le 
quotient eft 13, & il refte 18 ; de forte que ce nombre 
fera Azot. 3 91 

- Sion vouloit voir quel rang tientune diétion entre cel- 
les quiont même nombre de lettres, comme une de trois 
lettres entre celles de trois lettres, dontil yen a 10648, 
ilfaudroit multiplier la premiere lectre à main gauche, 
fçavoir le rang qu’elle tient dans l’alphabet moins un par 
484, qui font les centaines ; puis la feconde lettre aufli 
moins un par 22 , & puis mettre le lieu de la derniere fans 
enrien ôter, comme à ce mot 4/z la premiere lettre vaut 
1, & partantil la faut pafler, parce qu’ôtant un d’un, il 
nerefte rien; je viens à /qui eft la dix-feptiéme lettre dont 


J'ôte 1 , refte 16 queje mulriplie par 22, & au produit 


J'ajoute 1 à caufe de la derniere lettre qui eft 4, ce fera 
353. Le rang de ce mot 77x fe trouve ainfi :77 eft la dix- 
neuviéme lettre , partant je mulriplie 1 8 par 484, le pro- 
duit eft 8712 ; la feconde lettre eft + qui vaut 1, dont 


Pi} 


116 ÂBREGE" DES COMBINAISONS. 

ayant Ôté 1 il ne refte rien ; je viensa x qui eft la derniere 
lettre , & qui vaut 22 que j'ajoute à 8712, & je trouve 
que le rang de ce mot eft le 8734 dans le nombre de 
10648, &ainfi des autres qui ont plus de lettres ; & re- 
marquez que l’ au commencement ou au milieu d’une 
diction n’eft conté pour rien , & qu’étant à la fin il vaut r. 

Ayantun nombre donné dire quelle diction tient ce 
rang dans le nombre total , pourvä qu’on dife de combien 
elle eft de lettres. | 

Il fauc ajouter au nombre donné le nombre des combi- 
naïfons des diétions compofées de moins de lertres : par 
exemple, on me donne r ; j contenant le rang d’une dic- 
tion de troislettres, jy ajoute les combinaifons des dic. 
tions d’une & de deux lettres , qui font 484 & 22, la fom- 
me fe montera à 661, & pour ce nombrej’opére comme fi 
je voulois voir quelle diétion tient ce rang dans le nombre 
total de coutesles di&tions je le divife par 484 le quotient 
eftun, refte 177 quejedivife par 22, le quotient eft8, 
refte 1 , partant je prens la premiere lettre, puis la hui- 
tiéme , puis la premiere, pouravoir 4 h 4. 

Autrement il faut divifer le nombre par le même divi- 
feur que ci - deflus, & au quotient y ajouter 1 , & faire 
ainfi à tous les quotiens: mais au refte qui fe trouve après 
la divifion par 22 ,ilne faut rien ajouter : par exemple, 
on me donne 587, lequelje divife par 484, le quotient 
eft 1 , auquel j'ajoute 1 , font 2, refte 103 , que je divife 
par 22; le quotient eft 4 , auquel j'ajoute x, font $ , & 
refte 1 5, partant je prens la deuxième lettre , la cinquié- 
me & la quinziéme, & je fais la dittion B e g. 

Si l’on me donnoit le même nombre, & que l’on me dit 
que ce fut un mot de deux lettres, je dirois qu’il feroitim- 
poffible, car il n’y a que 484 dictions de deux lettres: 
mais fion lui donnoit quatre lettres, il faudroit divifer de 
la même façon , & mettre un + devant, s’il avoit cinq let- 
tres il faudroit mettre deux 7, &ainfi desautres, comme 


LT LL FE 


R 


Le PR M 


ABrEGE" DES COMBINAISONS, 17 
encenombre rs $ qui tient lieu d’une diétion de trois let- 
tres ; je le devrois divifer par 484, mais à caufe qu’il ne fe 
peut, jemetsun z comme fi c’étoit un zero, finon qu’il fe 
peurmettre le premier , & qu’étant le dernier il vaut 1 ; 
puis je prens l’autre divifeur 22, par lequel je divife r$$, 
le quotient eft 7, &il refte 1 , j'ajoute l’uniré à 7, parce 
que 4 n’a point de valeur s’il n’eft a lafin, & que #vautr, 
c1,d3, &c.ficen’eft quandils font à lafin, de forte que 
ce mot fera Aba : le premier zeft à caufe que le premier 
divifeur s’eft trouvé plus grand que le nombre à divifer ; 
h à caufe de 7 lequel vaut 8 par l’addition de l'unité, & h 
eft la huitiéme lettre, & le dernier 4 à caufe de 1 qui 
refte. - | 

- Quand une divifion manque quelque part au commen 
cement, au milieu, ou à la fin , 1l faut toujours mettreun 
a, comme en ce nombre $00, qui tient lieu d’une dic- 
tion dertroislettres. Jele divife par 484, il vient 1 , qui 
eftuné ,&ilrefte 16 ,& partant je ne puis divifer par 21, 
de forte qu'après le £il faut mertreunz, & puisla feizié- 
me lettre qui eftr, & le mot fera Bar. Il faut noter ici 
que l’zne vaut aucun nombre, finon la fin qu’il vaut 1, 
& touresles autres auffi valent leur nombre quand elles 
fontles dernieres, mais étant au commencement ow au 
milieu elles valent 1 moins que le rang où elles font dans 
V’alphabet, comme quicommenceroit à conter par #, c, d, 
1,2, 3, &c.&ainfiz ne vaut que 21 , mais à la finil 
Vaut 22. 

Il fau encore remarquer que comme en faifant les opé. 
rations d’une divifion quand le divifeureft plus grand que 
le nombre qui lui eft au-deflus, on metun zero ou deux, 
ë&c on avance le divifeur d’une ou de deux places: auf 
dans l'opération de toutes ces divifions-ci, fi le divifeur 
# crouve plus grand que le dividende, il faut mettre un 
a, & mettre le divifeur d’après , lequel, s’il eft trop 
grand, il faut encore mettre uns, & PRE de divi- 

; u] 


118 ABREGE DES COMBINAISONS, 


feur , jufques à ce qu'il fe trouve plus petit comme en ce: 
nombre $1$7999 , quitient rang d’une diction de fix lec- 
tres, il le faut divifer par 5153632, qui tient lieu de 
centaine de mille, le quotient eft r qui eft 2, & il refte 
4367, qu'on ne peur divifer par le divifeur-fuivanc 
234256, & partant je mets un z; ni par celui d’après 
aufli qui eft 10648 , & jemetsencoreunz, puis jele di. 
vife par 484, le quotient eft 9 quieft/, & il refte 11 que 
je ne puis divifer par 22, & partant je metsuns, & le ref- 
teeft rr, qui étant le dernier eft #, ce mot donc fera 
Baalam ; pour faire Balaam il faudroit 5149475. 

On pourroit écrire par ce moyen deslertres bienobfcu.… 
res, mais il faudroit mettre devant & après chaque nom- 
breun point, & puisun chiffre, quimarqueroit de com- 
bien de lettres la diction feroit compofée, & on pourroit 
fe fervir des deux fortes cout enfemble. L’on peut écrire 
des airs par le même moyen, de la même façon que des 
dictions , en nommant les notes z, #,c, au lieu dezr, 
re, mi, maisil faudroit écrire les temps à part commeles 
notes. 

Haxars. 


’Eft la coutume à Genes d’élire, ou plutôt de tirer 
@ au fort tous les ans d’entre les cent Sénateurs cinq 
perfonnes qui doivent avoir les principales Charges de la 
République. 

Cela a donné lieu à des paris qui fe font touslesans 
couchant ceux à quile fort arrivera. Il fe trouve des Ban- 
quiers qui promettront jufques à vingt mille piftoles pour 
une qu’on leur donnera fi le fort tombe fur $ qu’on aura 
nommez ; cinq ou fix mille, s’il n’y a que 4 des $ qu’on 
aura nommez,; & 5 ou 6 cens, s'il yen a 3. Pour lordi- 
naire ils ne donnent rien pour un ni pour deux. On de- 
mande quels font les hazars pour le Banquier & pour le 
Pariant, & quel profit le Banquier peut faire fur ce com 
merce, 


1 


ABREGE DES COMBINAISONS. 119 


Il faut premierement arrêter ce que doit donner le 
Banquier, fi le fort tombe fur ceux qu’on aura nommez, 
ou fur quelques-uns d’eux. 

Suppofons que le Banquier donne 10000 piftoles pour 
une , file fort combe fur les 5 qu'on aura nommez ; $o0o 
s'iln’yenaque4; 30osilyena 3, &4sil n’y en a que 2. 

On verra premierement en combien de manieres les $ 

qu'on doit tirer au fort peuvent venir. 
- faut multiplier 100 par 99 , le produit par 98 , par 
97 & par 96 ; mais parce que le produit de ces $ nombres 
contient aufli l’ordre dans lequel ces cinq perfonnes font 
tirées, ille faut divifer par 120 , quieft la combinaifon 
de cinq chofes ; ou bien multiplier feulement 80 par 97, 
98& 99, ce qui eft la même chofe que de multiplier les 
cinq nombres l’un par l’autre, & divifer le produic par 
120. Onaura 75287520 , qui font toutes lesfaçonsdont 
cinq Billets peuvent être tirez ou pris dans 100. 

Il faut maintenant voir quels font les hazars du Pa- 
riant. 

Les cinq qu’il a nommez ne peuvent arriver qu’en une 
feule maniere :il n’y aura donc qu’un hazar pour lui, & 
75287519 pour le Banquier ; & parce que le Banquier 
donne 2000 pour r, il faut multiplier 1 par 20000;donc 
pour 20000 de hazar qu'a le Pariant, le Banquier en a 
75287519, qui étant divifez par 20000 donnent 3 7643, 
la proportion des hazars eft donc comme 1: à 3 7642. 

Pour avoir les hazars de 4, il faut prendre cinq-fois 95, 
qui font 475 , qu’il faut ôter de tous les hazars, ou plütôt 
de ceux qu’a le Banquier fur les hazars de 5. On ôtera 
donc475 de 75287519, ilreftera 75287044 pour les 


hazars du Banquier : mais parce qu’il donne +000 pour 
P 


un ; il faut divifer 75287044 par so000, & on aura 
15057 +peu plus pour les hazars du Banquier, & 475 
pour ceux du Pariant ; & divifanc l’un par Pautre, il vien- 
dra 31-72 peu moins, pour les hazars du Banquier , & un 
pour ceux du Pariant. 


+ 


110 ÂBREGE DES COMBINAISONS. 


Pour avoir les hazars de trois perfonnes dans les cinq 
qu’on a nommées,on mulripliera par ro le triangle de 94, 
qui eft 446 5 ; on aura donc 446 50 pour les hazars du Pa- 
riant , qui étant Ôtez des hazars que le Banquier a eu fur 
quatre , fçavoir de 75287044. ,il reftera 75242394 pour 
les hazars du Banquier, qu’il faut divifer par 300 , parce 
qu'il donne 300 pour 1, &on aura 250808 peu moins 
pour les hazars du Banquier, quiétant divifez par 446 50, 
on aura [a proportion des hazars du Banquier & du Pa- 
riant, comme $ peu plus à r. 

Refte à voir les hazars de 2. Pour avoir ceux du Pa- 
riant, on multipliera le cétraëédre de93 ,fçavoir r384r$ 
par 10, &onaura 1384150, qu'il faut ôter des hazars 
que le Banquier a eu fur 3 , fçavoir de 75242394, il ref 
tera 73858244, qu'il faut divifer par 4, à caufe que le 
Banquier donne 4 pour 1 , & on aura 18464561 pour les 
bazars du Banquier; & les divifant paf les hazars du Pa- 
riant, qui fonc 1384150, on trouvera que les hazars du 
Banquier & du Pariant font entr'eux comme 132 peu 
moins à 1. 

On peut auffi confiderer les hazars de r , c’eft à dire, 
s’il venoit quelqu'un des cinq qu'on a nommé. Il faudra 
multiplier par 5 le triangle-rriangle ou quatriéme puiflan- 
ce triangulaire de 92, qui eft 3183545, le produit eft . 
15917725, qu'il faut ôter des hazars du Banquier fur 2, 
fçavoir de 73858244, il reftera 57940519, qui fontles 
hazars du Banquier: mais parce qu’il ne donne rien, quand 
il ne vient qu’un des cinq qu’on a nommez, on divifera 
57940519 par 15917725, &le Banquier aura encore 
31 de hazard fur r qu’aura le Pariant ; mais ce hazard 


‘ n’eft qu'au profit du Banquier , & le Pariant n’y a rien. 


Ayant tous ces hazars , il les faut aflembler. Et premie- 
rement fi le fort tombe fur les cinq qui ont été nommez, 
le Pariant a 20000. S'il en vient quatre, il ya 475$ hazars 
pour le Pariant,qui étant multipliez par $o00 que le Ban- 

quier 


ABREGE DES COMBINAISONS. Y2r 
quier doit donner, s’ilarrive quelqu'un des 475$ hazars, 
ce fera 2375000 hazars pour le Pariant. 

Si le fort tombe fur trois de ceux qui ont été nommez, 
Jeshazars de trois font 44650, qui multipliez par 300, 
que le Banquier doit donner pour chacun de ces hazars, 
ce fera 13395000 hazars pour le Pariant, s’il en vient 
trois des cinq qu'ila nomme. . 


73358244 pour les hazars 


:: Sile fort ne combe que fur : Hazars 
deux, on a trouvé que les ha- 20000 des 
zars de deux font 1384150, 2375000 dex 
qui. multipliez. par quatre 13395000 de; 
donnent $$ 36600 hazars $$36600 dez 
pour le Pariant. Tous ces = 
hazars enfemble montent à 21326600 Somme des 
21326600; & ce fonrles ha. Haras ou 
gars du Pariant. LépRne, 
Pour avoir les hazars du nel $ 
Banquier , il faut aflembler 75 84150 AE 
‘sous les hazars du Pariant, 44650 É 3 
_ quifontr,475,44650 & 475 qe 
4238415$0o,la fomme eft te À 
1429276, qui ôtée de 14:92:77 Somme des 
tous les hazars qui font en ‘| 1" hazars du 
tout 75287520 , il reftera Banquier. : 


du Banquier ; les hazars du Pariant feront donc à ceux du 
Banquier comme 21326600 à 73858244, ou dans les 
moindres termes, comme 183850 à 636709, qui eft 
comme 1 à un peu moins de 32, ou juftemenr comme x 
CESTEES | 
Ce feroient là les hazars du Banquier & du Pariant , fi 
Je Banquier.ne recevoit rien de ceux à quile fort eft favo- 
rable: mais parce qu'outre l'avantage qu'il a dans les ha. 
Zars , il a encore une piftole de chacun de ceux à qui les 
hazars peuvent arriver , ila pour Jui tous les hazars de 
Rec. deP Ac. Tom... Q 


12%  ÂABREG-E. DES COMBINAISONS. 


cinq perfonnes choifies dans 1co, fçavoir 75287520: 
la proportion des hazars du Parianteft donc à ceux du 
Banquier, comme 1132660 à 75287520, ou comme 
533165 à1882188, c'eft-à-dire comme : à un peu plus 
de 31. 

Mais parce que d'ordinaire on ne donne rien pour 2, 
il faut ôter les hazars de 2, qui fe montent à $536600, 
des hazars du Pariane, le refte fera r $ 790000 , qui font 
aux hazars du Banquier, comme 394750 à 1882188 ,ou 
comme 1 à un peu plus de 4i. 

Voici le fondement & les raifons de cette opération. ! 

Premiérement pour fçavoir en combien de manieres 
on peut choifir cinq chofes dans 100 ,on multiplie Pun 
par l’autre les cinq nombres 100,96,98,97,&96,& 
on divife le dernier produit par l’ordre de cinq chofes. 

Si on ne prenoit qu’une chofe dans 100 , ileft certairt 
qu'on ne le pourroit faire qu’en 100 façons. Que fi on 
en prend deux, puifque la premiere fe prend en r00 fa- 
çons , après chacune des 100 on peut mettre laquelle on 
voudra des 99 reftantes ; mais on voit ici que l’ordre y eft 
compris , parce que chacune des 100 fera dans tous les 
choix la premiere & la derniere; il faudra donc divifer 
par deux, fçavoir par l’ordre de deux chofes, le produit 
de 99 par 100. 

Si on choifit trois chofes dans 100, parce que deux 
chofes fe prennent en 9900 manieres, qui eft le produit 
de 100 par 99 ,& qu'il en refte 98, on pourra choïfir cha- 
cune de ces 98 qui reftent, & l’ajoûter à chacune de 9900 
façons dont on a choifi deux chofes : le produit de 9900 
par 98 contiendra les diverfes manieres de choïfir trois 
chofes dans 100, l’ordre compris. 

Par la même raïfon pour choïfir quatre chofes, il fau- 
dra multiplier ce dernier produit, qui eft 970200 , par 
97 qui reftent ; & pour cinq chofes multiplier encore ce 
dernier produit , qui eft 94109400 , par 96, & divifer ke 


ABREGE DES COMBINAISONS. 123 
produit 9034502400 par 120, qui eft l’ordre de cinq 
chofes, parce que par cette conftruétion chacune des 100 
chofes tient alrernativement chacun des cinq rangs qui 
font dans cinq chofes, fçavoir le premier, le deuxiéme, 
troifiéme , quatriéme & dernier. 

Pourles hazars'du Pariant on mulriplie 9$ par 5, pour 
fçavoir en combien de façonsil peut venir quatre des cinq 
qu'il a nommez; car puifqu’il en manque un, chacun des 
cinq peut manquer , & en fa place il peut venir l’un des 
95 , dont il n’a nommé aucun : il faut donc multiplier 9 ÿ 
par 5. Ileft vrai que les quatre étant ôtez de r00, il refte- 
roit 96 : on ne multiplie pas pourtant par 96, parce que 
le cinquiéme des nommez fe trouvant au nombre des ha- 
zars du Parianc , il feroit compté deux fois au Pariant. 

S’il vient trois des cinq qui ont été nommez., les ha. 
zars{e trouvent en multipliant par ro le triangle de 94. 

On multiplie par 10, parce que trois chofes fe peuvent 
choifir dans cinq en dix manieres ,ainfi qu'ila été expli- 
qué ci-devant , quand on a fait voir en combien de fa- 
cons on peut choifir cinq chofes dans 100, car on multi. 
pliera $ ,4,3, l’un par l’autre, & on divifera le produit 
60 par l'ordre de 3 , qui eft 6. 

On multiplie par le triangle de 94, parce que dans les 
cinq qu'on tire au hazard , n’yen ayant quetrois des cinq 
que le Pariant anommez, les deux autres doiventêtre des 
9 autres. Or dans tous les choix ou hazars , le premier 
de ces 9 s fetrouvera avec chacun des 94 autres. Après le 
fecond de ces mêmes 9 s fe trouvera avec chacun des 93 
autres. Le troifiéme avec chacun des 92 ; & ainfi de fuite 
jufqu’au 94 qui fe trouvera avec le dernier des 9 $ : or ces 
nombres affemblez font le triangle de 54, parce qu'il fau- 
droit ajofiter 94 avec93 ,92,91,&c.juiqu'ar. 

°1Par le même raifonnement on verra pourquoi pour 
avoir les hazars de deux, on multiplie par 10 le tétracdre 


de93. 
Qi) 


v24 AÂABREGE DES COMBINAISONS, 


Queffion. 


On demande à combien de perfonnes fe montent les 
ancêtres en trente générations , fuppofant que les maria- 
ges ne fe foient point faits entre les defcendans des pre- 
mieres & plusanciennes générations. Il faut prendre la 
trentiéme puiflance de deux, qui eft 1073741824, & 
c’eft le nombre des ancêtres. 


Queflion-. 


Au jeu des Efchecs, les huit pions peuvent avancer une 
ou deux cafes au premier coup. On demande en com- 
bien de façons on peut joüer ces huit pions ,en ne joüant 
chacun d'eux qu’une feule fois. : 

S'ils ne pouvoient être jotiez que d’une feule maniere, 
on auroit 40320 façons de les joüer, fçavoir felon la 
combinaifon de l’ordre de huit chofes : mais parce que 
chacun fe peut joüer en deux manieres, il faudra multi- 
plier 403 20 par la huitiéme puiflance de deux, fçavoir 
par256,&onaura 10321920. 


En cette forte de combi- z z 1 
naifon où chaque chofe fe 4 8 z 
place en deux manieres , il 6 43 3 
faut multiplier tous les 8 384 4 
nombres pairs l’unpar l’au. 10 3840 $ 
tre ,au lieu qu’en la com- 12 46080 _ 6 
binaifon fimple on nemal- 14 645120 7 
tiplie que tous ces nom- 16 10321910 8 


bres. Ainfi une chofe fe 

prend en deux façons, 2: en8 ,3en48,4en384, &c. 
Si chaque chofe fe prenoit en trois manieres , comme 

fi les pions pouvoient avancer une, deux ou trois ca- 

fes, il faudroit muliplier l’un par l’autre les nombres 


ABREGE DES COMBINAISONS. 


mulriples de 3 ,fçavoir 3, 
6,9,12,&c.&onauroit 
18 pour le changement 
de deux chofes, 162 pour 
celui de trois, &c. &ainfi 
les huit pions fe joüe- 
roient la premiere fois en 
2645$395ÿ20 manieres. 


3 
18 


162 
1944 
29160 
524880 
11022480 


2645395120 


Qi) 


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D'ES 


TRIANGLES 


ROC ACN GE ES 
EN NOMBRES. 
PREMIERE PARTIE. 


DE FE N IT TO.N.S. 
I. 


_OrsQu’uN nombre quarré eff égal à la fomme de 
deux autres nombres quarrez , les trois nombres qui 
font les racines de ces trois quarrez, feront appellez un 
Triangle Reétangle en nombres , ou les trois côtez d’un 
Triangle Rectangle en nombres : ainfi on dira que 3,4, 5, 
eft un Triangle Rectangle en nombres; parce que 15, 
quarré de 5 , eft égal à la fomme de 16, & 9 , quifontles 
quarrez des deux autres nombres 3 &4. i 


FE 


Ees deux moindres nombres d’un Triangle Redtangle 
en nombres, feront appellez les côtez ou les moindres 


” 


428 Des TRIANGLES RECTANGLES 

côrez de ce Triangle, la moitié de leur produit fera ap- 
ellée l'aire de ce Triangle, & le troifiéme nombre fera 

appellé fon hypotenule,, ou fon plus grand côté. 


li L 
Triangle Re&tangle primitif en nombres, eft celui en- 
tre les trois côtez duquel il n’y a point d’autre commune 
mefure que l'unité. 
I. 
Triangle Rectangle compofé en nombres,eft celui dont 
les crois côtez font mefurez par un même nombre, 


V. : 


Un Triangle Rectangle en nombres fera dit double d’un 
autre, lorfque fes trois côtez fonc doubles des trois côtez 
de l’autre , chacun du fien ,& de même à l'égard des au- 
tres mulriples. : 


FE 


On appelle icinombre pairement pair celui qui eft me- 
furé par 4,& nombre impairement pair, celui qui eft me. 
furé par 2 , & non par 4. 

SU, Li? OS THON. 
T. 
.… Si deux nombres quarrez étant joints enfemble ne font 
point un nombre quarré ; les racines de ces deux quarrez 
ne feront point les côrez d’un Triangle Rectangle en 


nombres. 
LE 


Siles trois côtez d’un Triangle Rectangle en nombres 
font mulripliez par un même nombre, les trois produits 
: ot {feront 


EN NOMBRES. … 7r219 
feront les trois côtez d’un Triangle Rectangle en nom. 
bres ; & files trois côtez d’unT riangle Rectangle en nom. 
bres ont une même mefure autre que l’unité, & qu'ils 
foient divifez par cette commune mefure , les trois quo- 
tiens feront les crois côtez d’un Triangle Rectangle en 
nombres. | 


k ET 


Tout nombre quarré eft mefuré par tous les nombres 
qui mefurent fa racine : il eneft de même des nombres 
cubes, quarrez quarrez, & autres puiflances : & fi un quar- 
ré eft mefuré par un nombre premier , fa racine fera auf 
mefurée par ce nombre premier , ou fera ce même rom- 
bre premier. 

LV: 


Un nombre quarré étant multiplié par un autre nom- 
bre quarré , le produit eft un nombre quarré : mais s’il eft 
multiplié ou divifé par un nombre non quarré , le produit 
ni le quotient ne feront point des quarrez. 


VE 
Tour nombre multiplié par un nombre pair, fait un 
nombre pair ; & tour nombre impair ajoûté à un nombre 
pair, ou multiplié par un impair, fait un impair ; & la fom- 
me de deux impairs eft un nombre pair. 


VE. 


Si deux nombres fontentr'eux comme quarré à quarré, 
leurs moitiez , ou autres pareilles parties, feront aufli en- 
tr'elles comme quarré à quarré. 


rx 


Si deux nombres ont entr’eux une commune mefure, 
la fomme & la difference de ces nombres, & aufli leurs 
doubles , auront la même commune mefure, 

Rec. del Ac.Tom.V. R 


330 Des TRIANGLES RECTANGLES 
Vi EL: 


Le quarré de la fomme de deux nombres eft égal au 
quarré de leur différence , & au quadruple du produit des 
mêmes nombres. 


I X. 


Si un même nombre multiplie deux nombres & leur 
différence, ce dernier produit fera‘la différence des deux 
premiers produits. £ 


>. % y 
Trois nombres étant donnez, le nombre folide pro- 
duit par ces nombres fera roûjours le même , en quelque 


ordre qu'on les multiplie; le même arrivera s’il ÿ a plus de 
trois nombres qui fe multiplient de fuite, 


ur 


Deux nombres plans femblables ne peuvent être pre. 
miers entr’eux, n1 l’un d'eux premier au double de l’au- 
tre; d’où il s'enfuit, que le produit de deux nombres pre- 
miers entr'eux ne peut être un nombre quarré, s'ils ne 
font eux-mêmes des quarrez ; ni double quarré, fi l’un 
d'eux n’eft un quarré, & l’autre un double quarré. 


BONE 


On fuppofe auffi que ce qu’on fait voir par le calcul de 
l’algebre , n’a pas befoin d’autre preuve; & on l'employe 
dans ce traité , lorfque les propoftions font faciles , ow 
que leurs démonftrations font trop obfcures. ; 


REMARQUES. 
I. 


Ces propolitions font [uppofees , comme étant démontrées 


4 


EN NOMBRES. 131 
par les Auteurs , ou parce qwelles font faciles d'eles-mèmes. 


I I. 


L'unité off ici employée pour nombre , G* mème pour nor: 
bre quarré on quarré quarré. # 


PL 


… ZLorfqw'on parle ici de T'riangles, ou de T'riangles Reëtan- 
gles, on entend parler des Triangles Reltangles en nombres 
entiers. 


LEMME, 
PROPOSITION LIL 


Tout nombre au-def[us de l'unité eff ternaire, ou ternaire —+ 
ou—1. 


DEMONSTRATION. ) 


LE premier nombre au-deflus de l’unité eft 2, qui eft 
moindre d’une unité que 3 , & par conféquent eft 
ternaire —1 , & entre deux ternaires de fuite comme 3 
&6,ou6& 9 ,&c. il n’yatoûjours que deux nombres, 
comme entre 3 &6,iln’yaque4 & 5, dont le premier 
excede le premier ternaire d’une unité, & le fecond eft 
moindre d’une unité que le fecond ternaire, & par con- 
féquent le premier eft ternaire +1, & le fecond, ternaire 
—1. La même chofe arrive néceflairement dans tous 
les autres nombres : donc cout nombre au-deflus de l’uni- 
té eft ternaire, ou ternaire ou—1; ce qu'il falloit 
prouver. 


nt c 


332 DES TRIANGLES RECTANGLES 
LEMME; ur 
PR COMPAOIS TT PF OMMECTE. 


. : Ê ù CIN 0 
T'out nombre impair au-deffus de l'unité eff quaternaïre + 
on— 1. 


DEMONSTRATION. 


E premier impair au-deflus de lanité eït 3 , qui eft 

moindre d’une unité que4, & par conféquent eft qua- 
ternaire— 1 , & entre deux quaternaires de fuite, comme 
4&8,ou8&r2,&c.iln'yatoüjours quetroisnombres, 
dont celui du milieu eft pair, & les autres deux font im- 
pairs, commeentre 4 &8,ilnyaques,6&7, dont ;$ 
& 7 fontimpairs ; & il eft manifefte que $ eft 4 + 1, c’efte 
à-dire quaternaire +1, & que 7 eft 8— 1, c'eft-à-dire 
quaternaire —1, puifque 8 eft quaternaire. La même 
chofe arrive néceflairement dans tous les autres nombres 
à l'infini. Donc tout nombre impair au-deflus de l'unité 
eft quaternaire -ou—1 ; ce qu’il falloir prouver. 


LEMME, 
FP'RAO PONS TIMO NTI 


Tout nombre au-deffus du nombre 2 eff quinaire , on qui- 
HAÎTE + OUT à OU QUINAÎTE + OU 


DEMONSTRATION. 


L deux premiers nombres entre 2 & $ , font 3 &4; 
& ileft évident que 3 eft 5—2, & que 4 eft 5 1 5 & 
par conféquent 3 eft quinaire—2 , & 4 eft quinaire_1 : 
& entre deux quinaires de fuite, comme ÿ & ro ,ou 10 & 
15,&c.il n’y a toûjours que quatre nombres , comme en. 
tres & 10,iln'yaqueé,7,8 ,& 9, dont le premier ex- 
cede $ d’une unité , le cond de deux unirez ; le croifié- 


ÆN NOMBRES. 137 
» me eft moindre de deux unitez que le fecond quinaire , & 
le quatriéme feulement d’une unité, & par conféquent le 
premier de ces quatre nombres eft quinaire + 1, le {e- 
cond eft quinaire — 2 , le troifiéme quinaire__2, & le 
quatriéme quinaire—1. La même chofe arrive néceflai- 
rement dans tous les autres nombres à l'infini. Donc 
tout nombreau-deflus du nombre 2 eft quinaire, ou qui- 
DAÎTE —+ OUmml , OÙ QUINAITE —+ Olemæ2 ; CE qu'il falloir 
prouver. 


LEMME, G 
ai PUR, OP O:S AIT E-O: NV: 


Ze quarré de iout nombre pairement pair ef oftonaire, 
le quarré de tout nombre pairement impair, au-defus 
de 2, eff oflonaire +4. 


DEMONSTRATION. 


E premier nombre pairement pair eft 4, & d'autant 
L que 4 eft moyen proportionnel entre 2 & 8, fon quar- 
ré 16 fera égal à 2 fois 8 , & par conféquent fera mefuré 
par 8, c’eft-à-dire fera oétonaire. Or tout autre nombre 
pairement pair eft multiple de 4; Soit donc 4 A, lequel 
on voudra de ces nombres, fon quarré fera 1 6 A? qui fera 
multiple de 16 par A?, c’eft-ä-dire de 8 par 2 A°?,& par 
conféquent ce quarré fera mefuré par 8 , & fera oétonai. 
re. Donc le quarré de tout nombre pairement pair eft 
octonaire. Que fi un nombre au-deflus de 2 eft pairemenc 
impair , il fera 4 À -+ 2, & fon quarré fera 16 A? +8 A 
—4, c’eft-à-dire otonaire -; 4, puifque la fomme de 


16 A: & de 8 Aeftottonaire, donc le quarré de tout nom 


bre pairement pair , &c. Ce qu'il falloit prouver. 


Æ 
R iij 


Def, 6- 


134 DES TRIANGLES RECTANGLES 
LEMME, 
P R:OPTO"S TEE PIOUN-: .V, 


Tout nombre quarré au-deffus de l'unité ef ternaire ; 
On ÉCYNAÎTE +1. 


DEMONSTRATION. 


Out nombre au-deflus de l'unité eft ternaire, ou ter- 
Prop. 1. naire—ou1. Or fi la racine du quarré eft cernai. 
supp. 3 re, fon quarré le fera auf. 

Si elle eft ternaire + 1 , fon quarré fera aufli ternaire 
—+1, Car foit cette racine 3 À +1, fon quarré fera égal 
au quarré de 3 À , plus deux foisle produit de 3 A par r ; 
plus le quarré de l’unité ; mais les trois premiers nombres 
étant ternaires, leur fomme fera ternaire; fi donc on y 
ajoûte le quatriéme qui eft l'unité , le cout qui eft le quar- 
ré de 3 À +1 fera cernaire +1. 

Que fi la racine eft ternaire 1 , fon quarré fera auffi 
ternaire + 1. Car foit cette racine 3 A—7, fon quarré 
SPP. 1° fera égal au quarré de l'unité, plus le quarré de 3 À, fça- 

voir 9 A* moins 6 À , quieft deux fois le produit de 3 A 
par 1 ; mais 6 À étant ternaire , fi on l’ôte de 9 A’quarré 
de 3 A , qui eft ternaire, le refte fera ternaire ; & par con: 
féquent étant joint au quarré de l’unité , le tout fera ter: 
naire—+1, Donc tout nombre quarré au-deflus de l’unité 
eft cernaire ou ternaire ++ ; ce qu’il falloic prouver, 


Supp, 12e 


sep 
afsats 
ae. 


EN NOMBRES. 135 


LEMME, 
PR. O P.O:S;1:T, L.O: NN, -:V 1 


Siannombre quarré ef mefuré par un nombre premier , il le 
+ fera aulf par [on quarré : > Ji un nombre eff mefuré par un 
+ nombre premier, @ non par [on quarré, il ne fera pas 

nombre quarré. 4 


DEMONSTRATION. 


SX A un nombre premier qui mefure B°, je dis que À* 
mefurera aufli B*, car À mefuréra aufli B ; foic C le 
nombre par lequel ille mefure : donc C A fera égal aB, 
& C* A: quarré de C A, fera égal à B:. Donc B? fera me: 
furé par A°. Ce qu’il falloit prouver. Que fi D eft un 
nombre mefuré par À nombre premier, & non par A, il 
ne fera pas quarré : car s’il étoit quarré, il feroit auñfi 
mefuré par À° par la premiere partie; ce qui eft contre 
lhyporhefe. Donc fi un nombre quarré eft mefuré ; &c. 
Ce qu'il falloit prouver. On prouvera , de même qu’en 
la premiere partie , qu’un nombre quarré eft mefuré par 
les quarrez de tous les nombres qui mefurent fa racine. 


LEMME, 
PROPOSITION VI. 


Tout nombre quarré impair au - deffus de l'unité, ef 
oËtonaire +1. bo 


DEMONSTRATION. 
5 à Out nombre fmpair au -deflus de l’unité eft quater- 


naire —ou —1 ; or fi la Racine du quarré impair eft 
4 A1 ; fon quarré fera 16 A°, plus 8 A, plus l'unité : 
mais 1 6 A?° eft mefuré par 8 ,& 8 A eft auffi mefuré par 8; 
donc leur fomme fera mefurée par 8 ; & y ajoutant le 
quarré de l'unité , le tout fera oétonaire +1. Que fila 


Lt 


Supp. 3. 


Supp. 12: 


Prop. 2, 
Supp.124 
Prop. 4, 


236 DES TRIANGLES RECTANGLES 


Supp.12. 


Def. 6. 


Prop. 6. 


Prop.37.du 
7: d'Eucl, 


Racine eft un quartenaire—1 ; pour avoir fon quarré il 
faudra ôter du quarré du premier nom mefuré par 16, le 
double produit des-deux noms qui eft octonaire ; & il ref. 
tera un octonaire auquel ajoutant l'unité quarré du 21° 
nom—1,onauraencore un oétonaire —+1, pour le quar- 
ré d’un quaternaire —1. Donc tout nombre quarré im- 
pair au-deflus de l’unité eft octonaire —+1 ; ce qu’il falloit 
prouver. 
CLONE SE OV ENN.C E T. È 


Il s'enfuit que la fomme de deux quarrez impairs , eft 
toujours un nombre impairement pair, & n’eft point un 
nombre quarré. Cela eft évident ; car fi on aflembleun 
octonaire +1 , avec un octonaire +1, ou avec l'unité 
prife pour un nombre quarré, on aura un oétonaire +2, 
qui étant mefuré par 2 , & non par fon quarré 4, fera un 
nombre impairement pair , & ne fera point quarré : que 
fi on aflemble deux quarrez de l'unité , qui font deux 
quarrez impairs , leur fomme fera 2 , qui eft un nombre 
impairement pair & non quarré. 


DODON END CNE NT ONE TT 


Ii fuit de certe propofition ; &dela je, que tout quarré 
impair au-deflus de l'unité qui n’eft point mefuré par 3, 
furpafle de l'unité un nombre mefuré par 24 ; puifqu'il 
furpafle de l'unité , un multiple de 3, & un multiple de 8, 
& que le produit de ces deux nombres eft mefuré par 24. 


SES 


LEMME, 


EN N'OMERES. “37 
Ep DERMME NS 
Lt PROPOSITION VIII. 


Toutquarré au-deffus de l'unité qui n'efl point mefuré par 5 ; 


A eff quinaire —+ où —5. 


DEMONSTRATIO N. 
\ Out nombre plus grand que le binaire qui n’eft point 
5 je mefuré par s eft quinaire — ou — 1 ou quinaire ou 
—2. S'il eft quinaire + ou—1 , fon quarré fera quinaire 
+1, par un raifonnement femblable à celui dela propo- 
ficion 5. 

S'il eft quinaire + ou —2 , fon quarré fera quinaire 
—+4, par le même raifonnement ; ainfi le quarré de $ A 
"+2, Et 25 A° +20 A +4, & le quarré de ÿ A —2 eft 
25 A? —20 À +4: & il eft évident que chacun de ces 

-quarrez eft quinaire —+4 , mais un quinaire —+4 eft qui- 
naire —1, & parce que 4 quarré du binaire, eft auf qui- 
naire — 1 ;il s'enfuir que cout quarré au-deflus de l'unité 

"qui n'eft point mefuré par 5 , eft quinaire -+ou—1. Ce 


DE qu’il falloit prouver. 


CONSEQUENCE. 


Descette propofition il s'enfuit , que tout quarré qui 
n’elt point mefuré par $ , 4 pour fon dernier chiffre ou 
caractere à main droite, l’un des quatre nombres 1 , 4, 
6, 9 ; & que lesnombres qui ont pour leur dernier chiffre 
2,3, 7ou8nefont pas quarrez : la raifon en elt évi- 
dente , puifque le chiffre final de tout nombre mefuré par 


$ , Étant 5 ouo, les nombres qui ont pour dernier chiffre 


1,4,6,ou9, font differens par l’unité d’un nombre 

mefuré par s, cequieftnécéflaire pour faire qu'ils foienc 

quarrez : & que les nombres qui ont pour dernier chiffre 

l’un des quarre autres nombres, en font differens par?, 

& par conféquent ne font point quarrez par certe Prop. 8, 
Rec. de F Ac. Tom.V. S 


Prop. 3: 


Supp.re . 


« 


Suppr 3° 
Prop, 8 


438 DES TRIANGLES RECTANGLES 


. LEMME, 
PRO POS L'TLONALX. 


T'ont quarré quarré au-deffus de l'unité, qui n’eff point mefuré 
par 5 , ef} quinaire +1. 


DEMONSTRATION. 


« : 
Uifque le quarré quarré n’eft pas mefuré par $ , fa ra- 
P cine quarrée ne le fera pas auf ; & parce que cette ra. 
cine eft un quarré , elle fera quinaire +ou—r, & fon 
quarré , quieftun quarré quarré, fera quinaire +1 par 
un raifonnement femblable à celui de la 5° Propofition. 


CO NS E QUU EL NICE. 


Il s'enfuit , que le dernier chiffre de cout quarré quarré, 
qui n’eft pointmefuré par 5 ,eft 1 ou 6: la raifoneit, que 
tout nombre mefuré par $, a pour fon dernier chiffre $ 
ouo , à quoi ajoutant l’unité, on aura 1, ou 6, pour le 
dernier chiffre du quarré quarré, puifqu'il doit être qui- 
naire—+1. 


PROP O S'LETONEX 


Sion prend deux Nombres inéçaux quelconques , Le double 
de leur produit, > la difference de leurs quarrex, feront les 
deux côtex d'un Triangle rettangle, € la fomme des mèmes 


quarrex en [era l'hypotenufe. 


Eu Gi 
Cyr 2ET. 5h 
A. B. 
DEUM\ ON SRE NT EL ON 


Qi" À & B deux nombres donnez, dont A foit le 
plus grand, C le quarré de À ; &D le quarrédeB;E 
la fomme de ces deux quarrez; G leur difference ; Flé 


WHEN NOMBRES. #39 
double produit de A par B : je, dis que les trois nombres 
E,EF, G, font lestrois côtez d’un Triangle reétangle : 
car foit H, le produit de A par B, d’autant que F eft dou- 
ble de H, fon quarré fera quadruple du quarré de H, 
mais H étant moyen proportionnel entre C & D, {on 
quarré fera égal au produit de C par D, donc le quarré 
. deF, fera quadruple du produit de C par D: mais 4 fois 

le produit de C par D, avec le quarré de G leur differen- 
ce, eft égaleau quarré de leur fomme E. Doncle quarré 
de F, avec le quarré de G, fera égal au quarré deE ; & 
par conféquent les troisnombresE, F, G;feront les trois 
côtez d’un Triangle reétangle, &E en feral’hypotenufe. 
Ce qu'il falloit prouver. 


Deémonffration Algébrique. 


A°-+B°, A?—B°2 AB, fontles trois nombresE, 
G,F,le quarré de A°—B°eft AB: A° B: le 
quarré de A:—B: cft A*B‘—2 A°B?, qui étant joint 
au quarré de 2 AB, fçavoir4 A° B°, fait aufli Af+ B° 
—+2 A° B°. On appellera ces nombres À &B, les géné- 
rateurs du Triangle rectangle, qui fera dit être formé ou 
engendré par ces nombres ; & le double de leur produit, 
fera appellé le côté pair du Triangle, parce qu'ileft tou- 


joursün nombre pair. 


CONSEQUENCE. 


Il s'enfuit que fi un nombre eft compofé de deux quar- 
rez, la difference du quarreé de ce nombre compolé, & 
du quarré de la difference des mêmes quarrez, {era le 

. quarré du double produit de leurs racines ; puifque ces ra- 
cines feront les nombres générateurs d’un Triangle, qui 
aura pour fon hypotenufe, la fomme de leurs quarrez. 


Exemple. 


1 3 Eft compofe des 2 quarrez 9 & 4, dont les racinés 
S ij 


Supp. 8 


Def. ri 
Def. 2. 


Supp. 12; 


Definit. 


Definit, rs 


SUPP«1% 


‘140 DES TRIANGLES RECTANGLES. 


font 2 & 3 : la différence de 169 quarré de 13, &de15 
quarré de $ (différence de 9 &4 ) eft 144, quieft le quar- 
réde 12 , double produit de; par 2. 


PROBLEME, 
PROPOSITION: XL 


Trouver 3 nombres quarrex en progrefion Arithmetique: 


Oient A & B les deux côtez d’un Triangle rectangle 
S trouvé par le moyen de deux nombres ,commeila été … 
enfeigné en la Propofition précédente ; & que C foit l’hy- 
porenufe de ce Triangle : je dis que fi on prend les trois 
nombres À —B, À +B & C; leurs trois quarrez feront en 
progreflion Arithmetique. Car le quarré de A—B, fera 
A°—+B°—2 AB, le quarré de C fera A°+B*, puifque 
fon quarré eft égal à la fomme des quarrez de À & B, & le 
quarré de AB , fera A°+B?+2 AB:& il eft évident 
que ces trois quarrez ont pour difference 2 AB, double 
produit de À, par B:ainfi le Triangle rectangle $ , rz, 
13, étant donné, la différence de 5, &de 12, eft7, & 
leur fomme 17, dont les quarrez font 49 , & 189, &le 
quarré de l’hypotenufe 1 3 , eft 169 : Or les trois quarrez 
49, 169, 189 , ont pour différence commune 1 20,dou- 
ble produit de $ par 1 2 :& par conféquent ces trois quar. 
rez {ont en progreflion arithmertique. 


CONSEQUENCE. 


I s’enfuit que la difference du quarré de l’hypotenufe, 
au quarré de la fomme des deux côrez, ou au quarré de 
leur difference, eft quadruple de l'aire du rriangle ;car les 
côtez du triangle étant A &B , l'aire fera! AB ; & la dif. 
ference du quarré de l’hypotenufe , au quarré, foit de la 
fomme, foir de la difference des deux côcez efti2AB, 
qui eft quadruple de : A B. 


EN NOMBRES 144 
FROPOSITION XIE 


Si les nombres générateurs d'an T'riangle reftangle font 
multipliex par un mème nombre ; les deux produits ae les 
générateurs d'un autre Triangle retlangle ; qui fera multiple 
du premier , par le quarré du multipliant. 


DEMONSTRATION. 


ÇQOiencA& B les générateurs d’un triangle rectangle, 
KR} dont A foit le plus grand , & foient multipliez par 
_quelconquenombre C ; les produits feront CA, & CB: 
Or les trois côtez du triangle qu'ils formeront, feront 
C:A°+C°B:,C°A°—C°B°, &2 ABC, quifont 
multiples par C* , des 3 côtez du premier Triangle A? + 
B,A°—B°,&:AB, 


Exemple. 


Soient 2 & 3 lesgénérateurs du triangle $, r2, 13 ,& 
foient multipliez 2 , & 3, par 5 : les produits feront 10, 
& 15, quiferontles générateurs du triangle 325, 125, 
& 300, dontles côtez font multiples de 13, $,12, par 
25 quarré dumultipliant. Donc ce dermier triangle {era 
mulriple du premier par ce quarré. 


PROPOSITION XIriI. 


Sienun Triangle reflançle, deux des trois cotex n'ont poins 
de commune mefure autre que l'unité, le troilféme coté n’ea 
aura point auffavec aucun des deux autres 3 € le Triangle 
fera primitif. Et fi deux des trois côtex ont une commune mefure 
… autre que l'unité, tous les trois auront la même mefure, Ge 

* Triangle fera compo[e. 


S iij 


Prop, 105 


Prop. 10, 
Def, 5, 


Eutl]. 29.7. 


Supp: 1° 


4 


i42 DES TRIANGLES RECTANGLES 
DEMONSTRATION. 


A premiere partie de cette Propofition fe démontre 
ainfi. Si le troifiéme côre avoit une commune mefure 
avec quelqu'un desautres côtez , leurs quarrez l’auroient 
auf , & pareillement la fomme & la difference desmêmes 
quarrez. Or la fomme ou la difference de ces quarrez, 
ef Le quarré de l’autre côté : donc ce 3° quarré auroit la 
même mefure ; & par conféquent les quarrez des deux cô- 
tez qu'on a fuppofé premiers entr’eux , auroient une com- 
mune mefure, & feroienc compofez entr’eux ; mais lorf- 
que deux quarrez font compofez entr’eux , leurs côtez 
font aufli compofez entr’eux ; car s'ils étoient premiers 
encr'eux,leurs quarrez le feroient auf : d’où il s’enfuit que 
les deux côtez qu’on a fuppofe premiers entr’eux, feroient 
compofez entr'eux, ce qui eft abfurde. 
Pour la 2° partie, file 3° côté n'avoir pas une commu- 
ne mefure avec l’un des deux autres ; ces deux autres n’en 
auroient point auflientr'eux, par ce qui a été dit en la 
premiere partie : ce qui eft contre l’hyporhefe. Donc fien 
un Triangle reétangle, &c. Ce qu'il falloit prouver. 


CONSEQUENCE, 


Il s'enfuit , que fi lun destrois cûtez eft un nombre pre- 
mier , le Triangle fera primitif, puifque ce côté ne peut 
avoir de commune mefure avec les deux autres. 

Que fi l’on dit que le moindre côté étant premier, il 
peut être la commune mefure des deux autres, on prou- 
vera qu’il eftimpofhble : car l’hypotenufe feroit differente 
de l’autre côté par ce même nombre premier, ou par un 
multiple de ce premier : &en tous les deux cas, fon quarré 
feroit plus grand que la fomme des quarrez des deux au- 
tres corez, ce qui cft abfurde. 


8 EN NOMBRES. 143 


PROPOSITION XIV. 


Sionprend deux nombres quelconques premiers entr'eux, 
dont l'un foit pair, Gx l'autre impair ; le Triangle dont ils [e- 
La » ., 
ront les générateurs, [era primitif. 


AOUOD E MONS T RAT, T'ON. 


Ç! Oient A & B premiers entr'eux, dont l’un foit pair, & 

Pautre impair ; je dis que le triangle rectangle qu'ils 
tormeront, fçavoir A? +B?, A°—B°& 2 AB, fera 
primitif: car À & B étant premiers entr'eux, leurs quar- 
rez A? & B° feront auffi premiers entr’eux ; & leur fomme 
A° + B°, fera aufli nombre premier à chacun d'eux, & 
parconféquent à leurs racines À ou B , & à leur produit 
A B : Mais A° —+B: écart la fomme d’un pair & d’un im- 
pair, fera un impair ; doncil fera premier au nombre 2 ,& 
étant premier à À B, il fera premier a 2 A B côté pair du 


. Triangle,doncilfera auffi premier à l’autre côté A° —B?, 


& les crois côtez n’auront point de commune mefure en- 
tr'eux, & paf conféquent le Triangle fera primitif : Ce 
qu’il falloir prouver. 


CONSEQUENCE: 


Il s'enfuit querout nombre compofé de deux quarrez 
premiers entr'eux, donc l’un eft pair, & l’autre impair, 
eft l’hyporenufe d’un Triangle primitif, qui aura pour fon 
côté pair le double produit des 2 racines de ces quarrez, 
& pour fon côté impair la difference de ces deux quarrez: 
car les racines de ces deux quarrez , feront deux nombres 
premiers entr'eux , dont l’un fera pair, &Yaucre impair ; 
& parconféquent le Triangle qu'ils formeront , fera pri. 
mitif, par cette 14° Propofition. 


Prop. 10. 


Eucl. 1. 7. 


Supp. $+ 


Eucl. I. 7. 
Prop. 13. 


Def, 3. 


Def. 3. 


Supp. 2. 
Sucl, L. 7. 


£upp. 12: 


44 DES TRIANGLES RECTANGLES 


PRO: Pr0:6 WT HO:N : XIV: 


T'oné Triangle rettangle ef} primitif ou multiple d'un 
primitif. 
D £ M OSNIST LR ASIN 


Ules trois côtez du triangle font premiers entre eux ; 
O &ence cas, il fera primitif ; ou ils feront compofez 
entr'eux : foient divifez ces derniers par leur plus grande 
commune mefure: les trois quotiens feront les crois côtez 
d’un Triangle teétangle ; & parce qu'ils feront premiers 
entr'eux , le Triangle fera primitif ; & par conféquent 
l'autre Triangle fera multiple de ce primitif par cette plus 
grande commune mefure. Donc tour criangle rectangle, 
&c. Ce qu'il falloit prouver. 


LES MAMIE 
PROPOS LIEN -X VE 


La moitié de La fomme de deux nombres , étant jointe à la 
moitié de leur difference , fait un nombre égal at plus grand des 
deux nombres : @ la moitié de leur difference étant dtce de la 
moitié de leur fomme , le reffe fera le moindre des deux nombres. 


DIE MAO NESTER A TT ON 
Algebrique. 


& B font les deuxnombres, A-:B cftleur fomme, 


& A—B leur différence ;:A-+:B joint à : A—IB, 
fait le plus grand nombre A ; & 1 À —1B étant ôté de+ 
A+1B, fairle plus petit, fçavoir B. 


CONSEQUENCE. 
Delà il s'enfuit que À +B joint à A—B, fait 2 À, & 
que A—B étant Ôté de À +B, le refte cit 2 B. 


LEMME, 


“ÆN NOMBRES. 145 
LOESM ME ; 
PROPOSITION XVII. 


Les quarrex de la fomme € de la difference de deux nombres 
étant joints enfemble, font une fomme égale au double de la 
femme des quarrexdes mêmes nombres, 


(DEMONSTRATION 
Algebrique. 


S Oit À le plus grand nombre & B le plus petit ; leur 
fomme fera À B, & leur difference A—B ; le quarré 
de A +B, fera A° +B°—+2 À B ;le quarré de A—B fera 
À° +B°—2 À B : la fomme de ces deux quarrez eft 2 A° 
—:B*, qui eft double de A° +B:. Ce qui écoit à prouver. 


LEMME, 
PROPOSITION XVIII. 


La difference de deux quarrex ef le produit de la fomme de 
deurs racines ; par La difference des mêmes racines. 


DEMONSTRATION 
Algebrique. 


& B font les racines, A° —B: eft la difference de 
A leurs quarrez, A—B eft la difference des racines qui 
mulripliant leur fomme À -+B fait A2 +AB—AB—B:, 
& par réduétion A° —B>?, nombre égal à la différence 
des quarrez des racines À & B. Ce qu’il falloit prouver. 
AUNNCONN SE QIUEN CE 
T1 s'enfuit quela moindre difference de deux quafrez 
eft; , puifquec’eftle produit de la fomme des deux moin- 
dresnombres 1 & 2, par leur difference r, qui eft le moin. 


dre de tous les nombres, 
Rec, de l'Ac. Tom... T 


SuPPe #2: 


Supps 123 


Prop. 7- 


2. Conf. 
Prop.7. 


Supp. 1. 
Supp, fe 


146 DES TRIANGLES RECTANGLES 
CONSEQUENCE Il. 


Il s'enfuit que files nombres générateurs d'un Triangle 
rectangle, ont l'unité pour difference, leur fomme ferale 
côte impair de ce Triangle. 


PROPOS ETEON: EXC 


En tout Triangle re£fançle primitif, l'un des deux côtex cf 
pair, G l'autre impair, © l'hypotenufe eff au un nombre 
impair. | : ; 
DEMONSTRATION. 


I l'un des côtez n’eft pas pair, & l’autre impair, ils fe. 

ront tous deux pairs , ou tous deux impairs, Ils ne peu- 
vent être tous deux pairs : car ils auroient® 2 pour commu- 
ne mefure, & le Triangle ne feroit pas primitif contre 
Vhypothele, Ils ne peuvent être tous deux impairs , parce 
que chacun de leurs quarrez, feroit un quarré impair, & 
par conféquent oétonaire +1 , donc la fomme de ces 
quarrez qui doit être le quarré de l’hyporenufe feroit oc- 
tonaire +2, & ne feroit pas un nombre quarré : ce qui eft 
abfurde. Il refte donc que l’un des côtez foic pair, &l’au. 
tre impair : Or le quarré de l’un de ces côrez fera pair, & 
celui de l’autre impair , & par conféquent leur fomme qui 
eft le quarré de l’hypotenule, fera un quarré impair : d’où 
il fuit que l’hypotenufe fera un nombre impair. Ce qui 
toit à prouver. 


‘L E M M E , 
PR OP'OS MELON XX. 


L'hypotenufe de tout triangle primitif eff la fomme de deux 
quarrexinégaux , @ premiers entr'eux, dont l'un ef pair, @ 
l'autre impair : © le coté impair du mème triangle ef la diffe- 
rence des mèmes quarrez. 


$ 
à 
i 


î 


EN NOMBRES. Er 
DEMONSTRATION 


 Uifque l’hypotenufe d'un Triangle primitif eft un pcop.re, 
D nombreimpair, & qu'un des deux côtez eft aufli im- 
pair, la fomme de l’hypotenufe & du côté impair ,&leur Sep. r 
différence feront des nombres pairs : mais parce que la 
différence des quarrez de l’hypotenufe & du côté impair, Def. :: 
eft un quarré, fçavoir le quarré du côté pair, & que ce “SPP: # 
quarré eft le produit dela fomme & de la difference des Prop.18. 
deux autres côtez qui font impairs : cette fomme & cette supp s« 
différence , qui feront des nombres pairs, feront entr’elles 
comme quarré à quarré : & leurs moitiez qui feront des supp. & 
nombres entiers, feront aufli entr’elles comme quarré à 
quarré : maïs la fomme de ces moitiez eft l’hypotenufe de 
ceTriangle,& la différence en eft le même côté impair:Or 
fices deux nombres (c’eft-à-dire ces deux moitiez)avoient erop.16, 
une commune mefure ,elle mefureroit auffi leur fomme & 
leur différence , fçavoir l’hypotenufe, & le côté impair supp. 7 
de ce Triangle. Donc ces nombres feroient compofez 
entr'eux, & le Triangle ne feroit pas primitif , contre 
lhypothefe. Donc ces deux nombres font premiers entre 
eux, & parce qu’ils font entr’eux comme quarréà quarré, Def s. 
ce feront deux quarrez premiers entr’eux : & puifque leur  supp.rrs 
fomme qui eft lhypotenufe eft un impair , l’un fera pair & pop. :9. 
Pautre impair. Il a été aufi prouvé , que leur différence 
étoit le côté impair de ce Triangle: donc l’hypotenufe de 
tout Triangle primitif, &c. Ce qu'il falloit prouver. 


CONSEQUENCE lJ. 


Il fuic de certe propofirion, que cout Triangle primitif 

a deux nombres générateurs premiers entr’eux , dont l’un 

eft pair & l’autre impair: car d’autant que l’hypotenufe de 

quelconque Triangle primitif , eft lafomme de deux quar- 

rez premiers entr'eux, dont l’un eft pair, & l’autre im- 

pair : leurs racines feront aufli des nombres premiers en- 
Ti 


Prop. 14. 


Frop. 10. 
Prop: 6. 


Prop. 7. 


148 DES TRIANGLES RECTANGLES 
tr'eux, dont l’un fera pair, & l’autre impair. Donc ces 
nombres feront les générateurs d’un Triangle primitif, 
qui fera le même que celui qui a pour hyporenufe , la fom 
me de leurs quarrez. s* 


CON S'EU.UE NC A1: 


I s’enfuic auf quel’hypotenufe d’un Triangle primitif 
furpafle de lPunité un quaternaire. Car puifqu’elle eft la 
fomme d’un quarré pair , &d’unimpair, & que le quarré 
paireft4, ou multiple de 4, & l'impair eft l'unité ,ou eft 
octonaire + 1, cette fomine furpaflera de l'unité un qua- 
ternaire. 


CONSEQUENCE Fr. 


Il s’enfuic aufli qu'il n’y a aucun Triangle re“tangle pri 
mitif dont le côté impair foit moindre que 3 , le côté 
pair moindre que4., & l’hyporenufe moindre que 5, puif- 
que 4, & 1 fonc les moindres nombres quarrez : & leurs 
racines les deux moindres nombres. 

P'RTOIPTONSTETE P'OPNEREXT. 
Si on prend deux nombres quelconques impairs € premiers en. 
ar'eux le Triangle dont ils feront les générateurs , fera dou. 
ble d'un primitif, @> ces deux nombres ferons la fomme 
la difference des deux nombres générateurs de ce primitif: 
€ le cote qui eff la difference des quarrex de ces deux: rom 
bres impairs @* premiers entr'eux, fera double du coté pair 
du primitif, @* leur double produit fera double de [on cèvé: 
impair. 
DEL NON ST RATE TE OM 


2. 0 RAR UE Peu RE Pos saone à 


Oienr A B & BC, deux nombres impairs & premiers 
LD} cntr'eux, dont A B foit le plus grand, & foit A D, la 


sw. s différence de À B, BC: il eft évident que À D fera un 


2: EN No MBREIS ré . 149 
nombre pair, foit icelui divifé en deux également, &foienc 
AE,ED, les moitiez de cenombre. : 

D'autant que B D eftégalà BC,&DE,àE A ;lenom- 
bre B E {era la moitié du nombre A C,; le nombre A B fera 
lafomme des deux nombresBE,&EA(ouE D:)&le 
nombre D B (ou B C ) en fera la différence : cela éranr je 
disque À E, EB font premiers entr’eux : car A B &B C 


étant premiers entr'eux par l’hypochefe , leur fomme A C' 


fra nombre premier à À B & à BC(ou BD,)& E B moi- 
tié de A C , {era auffi premier à A B,& BD,, doncil fera 
premier à D E, c’eft-à-dire A E difference de EB,DB, 
donc AE ,EB , font premiers entr’eux. ILeft encore évi- 
dent que l’un de ces nombres eft pair, & l’autre impair : 
car ils compofent enfemble A B , qui eft impair, & étant 
premiers encr'eux, ils feront les générateurs d’un triangle 
primitif ; je dis maintenant que letriangle formé par les 


deux nombres AB, BC, a fes trois côtez doubles des trois 


côrez du triangle formé par les deux nombres AE,EB, 
fçavoir l’hypotenufe de l’hyporenufe, le côté pair de l’im- 
pair du primitif, & l’autre côté de fon. côté pair. Car À B 
& B C étant la fomme & la difference des deux nombres 


. AE ,EB , la fomme des quarrez de AB,& de BC, fera 


double de la fomme des quarrez de À E,& E B, & ces deux 
fommes font les hyporenufes des deux triangles. H eft en- 
core évident , que la différence des quarrez des nombres 
AB &BC, eft un nombre égal au produit de leur fomme 
AC par leur difference À D ; mais À D étant double de 
AE,&AC deEB, le produit de À € par À D fera qua: 
druple du produit de AEpar EB, c’eft-à-dire double du 
double produit de AE par E Bquieft le côté pair du trian- 
gle primitif : & par conféquenr le côté quieft la differen- 
ce des quarrezde A B , BC, fra double du côté pair du 


Eucl. 7. 


Prop.-z14 


Prop. 17. 


Prop.-18;- 


triangle formé par À E ,EB :ileft encore manifelte que 


le côté impair de ce triangle primitif , eft la difference des 
quarrezde BE ,& AE ; & par conféquenc eftégal au pro: 
Ti 


Prop, :4. 


Supp. 5. 


Eucl. 7. 


Supp- 12e 


150 DEs TRIANGLES RECTANGLES 

duit de A B par DB, (ou BC.) Donc le double produit 
de AB par BC, qui eft le côté pair du triangle formé par 
AB, BC , étant double du fimple produit de A B par BC, 
fera double du côté impair du triangle primitif. Donc fi 
on prend deux nombres quelconques, &c. Ce qu'il falloit 
prouver. 

La converfe de cette propofition eft aifée à prouver, 
fçavoir que fiun Triangle Rectangle eft double d’un pri- 
mitif, c'eft-a-dire multiple d’un primitif par 2 , la fomme 
& la difference des générateurs du primitif feront les gé- 
nérateurs de ce triangle double, & feront impairs & pre- 
miers entr’eux, car À E,E B , étant les générateurs du 
primitif, À B,B C , feront leur fomme & leur difference ; 
or ces derniers nombres font impairs: ils font aufli pre- 
miers entr’eux ; car fi À Bavoit une commune mefure avec 
BC ,ouB D , elle mefureroit aufli lerefte A D , ce quieft 
abfurde ; puifque A B premier à A E étant impair , il fera 
aufli premier au nombre 2 , & par conféquent il fera auffi 
premier à leur produit A D , égal à deux fois AE, & fui- 
vant ce quia été prouvé cy-deflus, ces deux nombres AB, 
B C feront les générateurs de ce triangle double du primi- 
tif; d'où il fuit aufli que tout triangle double d’un primitif 
a fon hypotenufe compofée de deux quarrez, &a deux 
nombres générateurs. 


Demonfration Alzebrique. 


Soient À & Bles nombres AE&EB;,A-+Bf{era AB, 
& À —B fera BC ; or les trois côtez du triangle primitif 
feront A° +B°, A°__B°,& 2 A B, & l’hypotenufe de l’au- 
tre triangle fera la fomme des deux quarrez A° + B: #2 
AB,& A°B°__21 AB ; laquelle fomme étant deux fois 
A: .B:, elle fera double de l’autre hypotenufe. A2 :B:, 
la difference des deux quarrez de À ; B & de A__Beft4 
AB double du côté pair de l’autre triangle; car le moin- 
dre quarré A: + B°_2 AB étant ôvé de A: +B:,2 AB, 


‘ 


pen En e Er “at on oies 


EN NOMBRES; SI 
ilrefte4 AB; & enfin le double produit de À B par A 
—B fera z A:__2 B:, double du côté impair du triangle 
primitif, fçavoir A°__B:, AT 
MD COoNSEQUENCE 
AR N 
… s'enfuit que l’hypotenufe d’un triangle double d’un 


primitif eft un nombre pair compofé de deux quarrez 


impairs , & premiers entr'eux. 
PHRÉOMPROPSESFAT ON XX EL. 


Aux Triangles muliples d'un primitif par un quarré; l'hy- 
potenufeef la fomme de deux quarrex,, € lescoté qui eff le 
difference de, ces quarrex eff multiple du côté impair du primi. 
2if; par de méme quarré multiplicateur de fes trois cotez. 
DEMONSTRATION. 
Uifque l'hypotenufe de tout, triangle primitif eft la 
| de deux quarrez, chacun de ces quarrez étant 
multiplié par un quarré, l’un & l’autre produit fera un 
quarré, & leur fomme qui eft l’hyporenufe du triangle 
multiple, {era la fomme de deux quarrez. Maisle côté im- 
pair du primitif qui eff la difference des deux quarrez qui 
compofent l’hypotenufe du primitif étant mulripliée par 
le même quarré , le produit fera la différence des deux 
quarrez qui compofent l’hypotenufe multiple. Donc aux 
triangles mulciples , &c. ce qu’il falloir prouver. 


Demonffration Algebrique. 
Soit A° BB: l’hypotenufe d’un primitif, fon côté im- 
pair fera A°__B;, fi on multiplie ces nombres par C:, Phy- 
porenufe du triangle multiple fera A* C: B:C:, &la 
difference de ces deux quarrez qui compofent l’hypote- 
nufe fera A: C:__B: C:, produit de A°__B: par C’,&par 
conféquent multiple du côté impair du primitif par C, 


Prop. 20. 


Supp. 4. 


Supp. 9. 


Prop. 21. 


Supps 4 
Supp. 0. 


Frop. 21. 


xÿ2 Des TRIANGLES RECTANGLES 
LURROPOSITION XXI 


Aux Triangles multiples d'un primitif par un double quar 
ré , l'hypotenu{e eff compefee de deux quarrex,, @ la difference 
de ces deux quarrex, qui eff un des cètex de ce Triangle ; ef 
multiple par le mème double quarré du coté pair du primitif : 
comme aufi l'autre coté de ce mulkiple , eff multiple du coté im 
pair du primitif par le mème double quarre. 


DFE ONCE CT ET OT TRE 


in a été démontré en la 2 r.Propoñtion que le nombre 
2 ,qui eftundouble quarré , multipliant les trois côtez 
d’an primitif, l’hypotenafe de ce multiple fera compofée 
de deux quarrez , & que leur difference qui eft un des cô- 
cez de ce multiple, fera double du côté pair du primitif. | 
Je dis encore que tout autre double quarré multipliant 
un primitif, le triangle multiple qui en fera formé , aura 
fon hyporenufe compofée de deux quarrez , & que l'un 
des cotez en fera la difference, & fera multiple du côté 
pair du primitif par le même double quarré. Car puifque 
Fhypotenufe du primitif étant multipliée par 2, fait un 
nombre compofé de deux quarrez; fi lafomme de ces deux 
quarrez eft encore mulripliée par un quarré, le produit 
fera encore la fomme de deux quarrez : Or c’eft la même 
chofe de multiplier un nombre par 2 , &le produit parun 
quarré , que de multiplier cenombre par un double quar- 
ré,& par conféquentles deux quarrez quicompofent l’hy- 
potenufe du primitif étant multipliez par un double quar- 
ré, feront une fomme compofée de deux quarrez qui fera 
Fhypotenufe du pa £ & puifque le nombre 2 ayant 
multiplié le côté pair du primitif produit la difference des 
deux quarrez qui compofent l’hypotenufe du triangle 
double du primitif; fi certe difference eft mulcipliée par 
le mèmequarré qui a multiplié l’hypotenufe double de 
celle du primitif ; le produit fera la différence des deux 

quarrez 


ba-re : 


£.4 


EN NOMBRES. ML 1 

quarrez qui com pofent l’hy potenufe du riangle multiple 
de ce primitif par le même double quarré : il eft encore 
évident que fi 2 mulripliant le côté impair du primitif 
produir le côté pair du triangle double du primitif, le mul- 
tipledece côté pair par un quarré , fera mulriple de l’im- 
pair du primitif par un double quarré , & fera aufli le côté 


… pair de ce triangle mulriple. Donc aux triangles multiples 


d’un primitif, &c. Ce qu'il falloit prouver. Pour faciliter 
l'intelligence de ces Propofitions , on donne les exemples 
fuivans en nombres. 
Exemples des Propofitions 14, 21,12, € 23. 

2 & ÿ font deux nombres premiers entr'eux dont l’un 
eff pair , générateurs du triangle 29 ,21 ,20 ; le double 
de cetriangleeft 58 ,42 , 40; donc les générateurs font 
7 & 3 fomme & difference de $ & 2 : 58 eft compofé des 
deux quarrez 49 & 9 ,41 double de 2 r { qui eft la diffe- 
rence des quarrez quicompofent 29 hyporenufe du pri- 


“mitif ) eff le double produit de 7 & 3 ; & 40, double de 20 


côté pair du primitif, eft la difference des deux quarrez 
49 &)9 ; mais fi on multiplie 58,42 ,& 40, parle quarré 
9,onaura $22,378, 360, pour les trois côtez d’untrian- 
gle multiple , & ces côtez feront les mêmes que fion avoit 
multiplié 29 ,21,& 20, parle double quarré 18; & ce 
nombre $ 2 2 eftla fomme des produits de 49 & 9 par9, 


 dontla fommeeft 441 81 ,c'eft-à-dire 512; & la diffe- 


rence de ces deux quarrez eft 360 , multiple de 20 , côté 


pair du primitif par le double quarré 18. Que fion avoit 


multiplié ces trois nombres, 29 ,21,& 20,parun quarré 
comme 9 , les produits feroient 261,189, 180, quife- 


roient les côtez d’un triangle multiple du primitif 29,21, 


20, par un quarré. Or l’hypotenufe 161 , eft compofée 
du produit de 2 $ par 9, & de celui de 4 par 9, qui font des 
quarrez, dont la {omme eft 225 36 ,& leur difference 
189 eft multiple par le quarré 9 de 21 côté impair du 
trianglé primitif, conformément à la Propofition 22. 
Rec. del Ac.Tom.F. 


Supp- 9é 


Prop. 10 


154 Des TRIANGLES RECTANGLES 


CON SEOUVENCE. 


1] fuit des deux Propoñitions précedentes, que les trian- 
gles multiples d’un primitif par un quarré ou par un dou- 
ble quarré ont des nombres générateurs; car puifqu’un 
de leurs côtez eft la différence des deux quarrez qui com- 
pofent l’hypotenufe, il s'enfuit que le quarré de ce côté 

conf. & le quarré de l’hypotenufe auront pour difference le 
Fer. quarré du double produit des deux nombres , dont les 
quarrez compofent l’hypotenufe, & par conféquent que 
Pop. 0. Ce double produit fera l’autre côté de ce triangle multi- 
ple , & que ces deux nombres feront les générateurs de ce 
triangle multiple d’un primitif par un quarré, ou par un 

double quarré. : 


PR O P.OSIT.I ON. XXIV. 


Tout Triangle qui a des nombres gencrateurs eff primitif, 
ox multiple d'un primitif par un quarré ou par un double 
quarre. 


D'E MON SLR 4 TT ON. 


Es générateurs font compofez entr'eux ou premiers 

entr'eux ; files générateurs font premiers entr’eux, 

ou l’un d’eux fera pair, & l’autre impair ; ou ils feront tous 

Prop.x deuximpairs. Au premier cas, le triangle fera primitif, 
& au fecond cas, il fera double d’un primitif, c’eft-à-dire 

Prop. #r. multiple d’un primitif par 2 , qui eft un double quarré: 
mais fi les générateurs font des nombres compolez en- 

tr'eux, ils ne feront pas les plus petits de leur raifon , & ils 

feront également mefurez par deux nombres premiersen- 

Eucl,7. tr'eux, & en la mêmeraifon , chacun du fien : c’eft-à-dire 
qu'un même nombre multipliant ces deux nombres pre- 

miers entr eux , il produira ces deux compofez entr’eux : 

foient donc ces deux nombres compofez entr'eux AC, & 

BC,& À & B foient les nombres premiers entr'eux, dont 


EN NOMBRES. TL ss 
lun foit pair, & l’autreimpair, qui étant mulripliez par C, 
ont produit À C & B C:letriangle formé par AC&BC, 
fera multiple par le quarré de C, du primitif formé par À 
& B. Que fi À &B font impairs, & premiersentr’eux, AC, 
&B C en feront aufli également multiples chacun du fien, 
& le triangle qui en fera forme fera multiple par C?, du 
triangle formé par les deux impairs premiers entr'eux. Et 
d'autant que ce dernier triangle eft double d’un primitif, 
l'autre fera mulriple parun quarré du double d’un primi- 
tif, ou ce qui eft la même chofe, il fera multiple d’un pri- 
mitif par un double quarré. Donc tout triangle qui a des 
nombres générateurs, &c. Ce qu’il falloit prouver. 


PROPOSITION XX Vv. 


Siun triangle eff multiple d'un primitif par un nombre non 
quarré ni double quarré : il n'aura point de nombres généra. 
teurs, @ fon coté multiple de l'impair du primitif ne [era 
pas la difference de deux quarrex: mais [on bypotenufe [era 
compofce de deux nombres , qui [eront entr'eux comme quarre 
à quarré, dont la difference fera le coté multiple de l'impair 
du primitif. 


D ESMIO NUS I, RAF T1:O N. 


N] ce triangle avoit des nombres générateurs, il feroit 

) primitif ou multiple d’un primitif par un quarré, ou 
par un double quarré, ce qui eft contre l’hypothefe. Pour 
la feconde partie foit A:+B°, A°__B:, 2: À B un triangle 
primitif,& foit quelconque nombre C, non quarré ni dou. 
ble quarré , par lequel le primitif foit multiplié. L'hypo- 
tenue de ce multiple fera C A: +C B:,qui ferontentr'eux 
comme quarré à quarré, parce que C multipliant'deux 
quarrez,, les produits feront en même raifon l’un à l’au- 
tre que ces quarrez : il eft encore manifefte que le même 
nombre € , multipliant le côté impair du primitif, qui cft 
la difference des quarrez A: & B*, produira la différence 

Vi 


Supp. 122 


Prop. 12; 


Props 1% 


Prop. 24 


Supp, 5: 


Sappe 4 


156 Des TRIANGLES RECTANGLES 
de C A:, & de C B:, qui ne font point des nombres quar- 
rez. Donc fiun Triangle Re“tangle , &c. Ce qu'il falloit 
prouver. 

PREMIERE REMARQUÉ. 


On pent voir par ce qui eff dit cy-deffus , @ par ce qui a été 
dit en La Propofition 20 , qu'une même hypotenufe d'un mème 
triangle , peut être compo[ée de deux nombres quarrex,, dont la 
difference [era un des côtex de ce triangle, € de deux autres 
non quarrex,, qui feront enir'eux comme quarré à quarré, 
€ qui auront pour difference l'autre côté du méme triangle: 
comme au triangle 6,8 ,10, double du primitif 3,4, 5 , l'hy- 
potenufe 10 eff le produit de 2 par S (ou 4 -+1,) € ce produit 
eff égal à la fomme de 8 2, quine font pas quarrex, Mais 
font entr'eux comme quarré à quarré , © le mème nombre 2 
multipliant le côté impair 3 , produit 6 , qui eff l’un des co. 
tex, de ce triangle double de l'impair du primitif, € ef la dif- 
ference des deux nombres 8 € 2 : mais aull ce même triangle 
6,8,10,4 deux nombres générateurs 3 @*1 dont les quarrez 
9 1 compofent Lx mème hypotenufe 10 , € leur difference ef 
8 , double du côté pair du primitif. 


SECONDE REMARQUE. 


Il eff polible qu'un mème nombre foit l'hypotenufe de plu: 
ficurs triangles primitifs , € auff de plufieurs triangles mul- 
tiples | qui n’ont point de nombres générateurs , comme 65 ef 
T'hypotenufe des triangles primitifs 65,63 , 263 65,33,56, 
Grau des triangles multiples 65 ,52,39,@& 65,60, 125, 
qui n'ont point de nombres générateurs : mais chacun des cotex, 
impairs de ces derniers , ne font pas la difference de deux nom- 
ôres quarrex, qui compofent cette hypotenuft , mais de deux 
nombres qui font entr'eux comme quarré à quarré. Les géné. 
rateurs du premier triangle [ont x @ 8, du fecond 4 &7. 
Mais le troifiéme ef multiple de 3,4, 5, par 13, @ le quatrie- 
me multiple de $,12,13,pars. Les nombres qui compofent 


EN NoMBRES: 157 


l'hypotenufe du troifième , font 51 @*13 ,qui étant multiples de 
4 G°1 fontentr'eux comme quarré à quarré ; © du quatrième, 
45 @20 , qui font aullr entr'eux comme quarré à quarré : leurs 
cotex multiples des impairs des primitifs [ont 39 , difference de 
52 @°13 ; 215, difference de 45 20 : Et parce qu'on voit 
par induition , que beaucoup de nombres premiers qui exce- 
dent de l'unité un nombre mefuré par 4, font les hypotenufes 

an feul triangle primitif, @*-qu’on n'en trouve point dans ane 
tres-grande fuite de nombres qui n’ayent cette proprieté : com. 
me 5,13,17:29,37;41;$3;61,73,89,101, @ que 
21 @ 57, qui excedent de l'unité un multiple de 4 , maïs qui 
ne font pas nombres premiers ,n’ont pas cette proprieté : on peut 
conjeËturer que cette régle eff univerfelle. De mème , parce 
qu'on trouve par induftion, que le produit de deux de ces hy- 
potenufes , eff l'hypotenufe de deux triangles primitifs , que le 
produit de trois de ces hypotenufes , eff l'hypotenufe de quatre 
triangles primitifs, que le produit de quatre de ces bypotenafes 
ef l'hypotenufe de buit pres primitifs , que le produit de 
cinq de ces hypotenufes ef? l'hypotenufe de feixe triangles pri- 
mitifs , Ge. Onpeutconjetturer que la progrefion des nombres 
de ces triangles fera en rai[on double à l'infini , en multipliant 
totjours la derniere hypotenufe , par un nombre premier qui 
excede de l'unité un multiple de 4. 


EXEMPEÉES. 


110$ produit des trois nombres 5, 13,17. 81 77 produir 
de 13,17,37. Et3145 produit de $,17,37;, font chacun 
lhypotenufe commune de quatre triangles primitifs, comme 
on le voit en La table fuivante. 
1105. 8177 F2h 29.314 
1104 47 [ 7665 2848 | 3127 336 
817 744 | 430$ 6952. 2263 2184 
943 576 | 3375 7448 | 1463 2784 


5073 264 | 1905 79512 553 3096 
V üj 


158 Des TRIANGLES RECTANGLES 

32045, produit de $,13,17,29; G 40885, produit 
de$,13,17,37, font chacun l'hypotenufe de huit triangles 
primitifs , comme on le voit en la table [uivante. 


CÔTEZ DES TRIANGLES. 


2277 31964 


30956 8283 
27044  .17253 
Hype. 24124 21093 
32045 23067 22244 6 
27813 15916 
31323 6764 | 
32037 716 LES 
CÔTEZ DES TRIANGLES. 
_ 40723 2636 
39917 8844 
37523 16236 
Hp. 34387 22116 


40885. 26093 31476 
19667 35844 
14893 33076 
11603 39204 


De mème 137133 , produit de 13 ,17,29,37,ef l'hypo- 
tenufe de huit triangles primitifs, dont les générateurs [ont 
en la table fuivante. 

Générateurs. Générateurs. 


62 483 2143 422 

93 478 258 413 

93 477 | 282 397 

158 467 307 378 
Et on n'en trouvera point d'autres, 


EN NOMBRES. 159 
« > t 
Demème 1185665 produit des nombres premiers , 5,13, 
17,29, 37, ef l'hypotenufe de [eixe triangles primitifs, 
comme on les voit en la table ci-deffous avec leurs nombres 
générateurs. | 7 


Générateurs, Côtez des Triangles. 


64 1087 1177473 139136 
103 1084 1164447 213304 
167 1076 1129887 359384 
MOT 1072 MITII2/07 LTÆU/SOZ 
236 1063 1074273 501736 
281 10O$2 1027743 $91224 
292 IO49 101$137 612616 


359 1028 927903 738104 
449 992 782463 890816 
512 961 661377 984064 
568 929 540417 1055344 
601 908 463163 1091416 
607 904 448767 1097456 
664 863 | 303873 1146064 
673 856 279807 1152176 
743 796 81567 1182856 
Hypotenufe commune 
1185665. 


Mais on trouvera auf par induëfion que le produit de 
deux de ces nombres premiers qui excedent de l'unité un mul. 
tiple de 4, eff l'hypotenufe de deux triangles muliiples : que 
le produit de trois de ces nombres ; eff l'hypotenufe de neuf 
sriangles multiples; @ que le produit de quatre de ces nom- 
ôres eff l'hypotenufe de trente-deux triangles multiples, & 
20h davantage. 


160 DEs TRIANGLES RECTANGLES 
E X E M P L'E-S. 


13 | CÔôTEz. 27 |) Côrez, 


51 6o 325$ :5 | 786 
CENTRE 85 84 13 
17 cm 

13 171 140 S 116 87 
221 220 21 | 14ÿ 10$ 100 


x1o$ produit de $,13, 17, ef lhypotenufe de neuf 
_riangles multiples. Sçavoir : | 


110$ 1071 272 
561 952 

415 1010 

Hye. 884 663 
110$ 1001 468 
1092 169 

975 12e 

855 700 

1100 10$ 


8177 produit de 13,17, 37, ef l'hypotenufe des nef 
triangles multiples [uivans. 


CÔTE Z. 
6327 2380 
8140 74 
7548 3145 
Hyr. 721$ 2848 
8177 807; 1300 
5577 5980 


7735 


EN NoMBREs. a 86: 


DNS TT 


729 
527 


i L'i6$%;: 


6120 | 
8160 


2405 produit de $, 13,37, ef l'hypotenufe des neuf 


ériangles muliiples faivans. 


CôT Ez. 

1220 925$ 

1924 1443 

2331 592 

Hxpe. 1221 2072 
240$ 1595 1800 
155 2400 

227$ 780 

1989 13952 

12288 741 


3145 produit de $, 17,37, cf l'hypotenafe des neuf 


ériangles multiples faivans. 


CôTEZz. 
2849 1332 
3108 481 
2$16 1887 
Hyr. 2775 1480 
3145 2601 1768 
669 2992 
2975 1020 
310$ 500 
2300 


214$ 


_ Rec del Ac. Tom, F. 


162 DES TRIANGLES RECTANGELES 


T'able des trenicdrex triangles munies , dont 4088$ 
produit de 5, 13,17,37, ef l'hypothefe commune. 


CÔTEZ DES TRIANGLES. 


40749 3332 | 37037 17316 
2422} 22372 40404. 6253 
31059. 26588 36075 119240 


S$S211 2400$2 | ‘40365 6500 
37740 135725 |-2788$ 29900 
32708 ‘24531 40348 1739 
39627 ‘10064 130229 27578 
20757 ‘35224 34891 21312 
27115 290600 39701 9768 
263$ ‘40800 31635 25900 
33813 21984 40700 3885 . 
12597 38896 38325 14240 
40651 4368 21$25$ 34760 
29419 28392 1687$ 37240 
19019 36192 9$15 39700 


7189 40248 
Hypotenufe commune 
40885 


Et puifqu'un de ces nombres premiers comme $ ,on 13, nef 
l'hypotenufe que d'un [eul triangle primitif, & ne left d'au- 
cun multiple, que le produit de deux de ces nombres ef? l'hypo- 
2enufe de quatre triangles tant primitifs que multiples , que 
le produit de trois de ces nombres eff l'hypotenufe de treixe 
triangles , @ celui de quatre de ces nombres de quarante trian- 
gles , lefquels nombres x , 4, 13 ,40 , font l’aggregé desnom- 
Gres de fuite en progrelion triple », 3, 9,27 ,on peut conjec- 
turer que cette progrelion peut aller à l'infini , [elon les nom. 
êres en progrellion triple , fçavoir x, 3,9, 17, 81,143,8&C. 


EN NOMBRES. re - LS 
G> que par confequent 118$665$ [era l'hypotenaft de 12 
triangles, y compris les 16 primitifs , lequel nombre ef? la [om- 
mede 1,3, 9,27, 81, Gr que 4861226$ produit des fix 
nombres premiers $ , 13,17;29,37:@° 41 , fera l'hypotenufe 
de 364 triangles y compris 32 primitifs. On pourra chercher 
ces triangles Ji l'on veut, on mème la démonfration de ces pro- 
prietex, qui apparemment eff très-difficile à trouver; \taride 
mème que pour démontrer les propofitions précedentes gr les. 
faivantes touchant les proprietex des T'réangles Retfangles en 
nombres 5 il a fallu trouver d'autres theorèmes que ceux des 
trois Livres des nombres d'Euclide : on peut croire qu'il en fau- 
dra encere d’autres pour parvenir à bien démontrer la pläpart 
des proprietex expliquées en cette rémarque, horfmis La pro- 
prieté d'un feul de ces nombres premiers , qui eff facile à démon- 
rer , car puilque 13 ,parexemple, eff un nombre premier , il 
ne peut ètre l'hypotenufe d'un triangle multiple , puifqu'il [e- 
roit méjuré par le nombre qui auroit multiplié l'hypotenufe da 
primitif, @ par conféquent ne [eroit pas premier centre l'by- 
pothefe. in mul ceif 
PROPOSITION XXVL 
ÆEn tout Triangle Relangle ;un des deux chtex eff mefuré 
: par trois. Shsxie 
 DEMONSTRATIO N. 
S.: aucun des deux côtez n’étoit mefuré par trois, leurs sn. s. 
quarrez ne le feroient pas auffi: ces quarrez feroient 
donc ternaires-+1,& leur fomme feroit térnaire-+2 ;qui Prop. s< 
par conféquent ne feroit pas un nombre quarré, ,ce qui 
eft abfurde ; puifqu’elle doit être le quarré de l’hypote- Def r: 
nufe. Donc en tout triangle , &c. Ce qu’il falloit prouver. # Se: * 


Prop. 13. 


Prop. r4v 


164 DES TRIANGLES RECTANGLES 


PROPOSITION XXVII. 
ZL'hypotenufe d'un triangle primisif ne peut être mefurée 
SATA» s par trois. 
DEMONSTRATION. 


YE Fhypotenufe étoit mefurée par trois ; l’un des deux 
ôtez étant mefuré par trois par la précedente, Pau: 
tre côté le feroit aufli, & les trois côtezauroient une com. 
mune mefüure; & le triangle ne feroit pas primitif, contre 
l’hypothefe. Donc, &c. Ce qui étoit à prouver. 


PROPOSITION XXVILL. | 
En tout Triangle Rettangle un des côtex ef mefuré par 4: 
DEMONSTRATION. 


"Autant que dans les triangles primitifs le côté pair 

:ft Le double produit d’un ñombre pair & d’unimpair;. 
& que le fimple produit qui eft pair eft mefuré par deux :iE 
s'enfuit que le double produit fera mefuré par 4. Or dans 
les triangles mulriples , un de leurs côrez étant multiple 
du côté pair du primitif; ce côté multiple fera aufli me- 
furé par 4 : puifqu’un nombre multiple d’un nombre me- 
furé par 4, eft aufli néceffairement mefuré par 4. Donc en 
tout triangle , &c. Ce qu'il falloit prouver. D: 
H s'enfuir qu'il n’y a aucun Triangle Reétangle dont 


chdcun des côtez foit un ombre premier. 


à 


(EN NOMBRES. 165 
PROPOSITION XXIX. 
Tout Triangle Reftangle a un de es trois côtex mefuré par S. 

DEMONSTRATION 


I un des deux moindres côrez eft mefuré par 5 , la pro- 
 pofition eft véritable. 
S'il n’y a aucun de ces deux côtez qui foit mefuré par $, 
leurs quarrez feront differents de l’unité d’un nombreme- Prep.8. 
furé par s , & chacun d’eux fera quinaire + T1, ou quinaire 
—1, où lun fera quinaire +1, & l’autre quinaire__ 1. 
- Ces quarrez ne peuvent être rous deux quinaires +1, 
ou tous deux quinaires—1 , parce que leur fomme feroit à 
quinaire 2, ouquinaire—2 , & ainfi elle ne feroit pas. Fins 8. 
un quarré, commeileftrequis. Supp+ 1 
* Ilrefte donc que l’un de ces quarrez foit quinaire +7, 
& l’autre quinaire __r , & en ce cas leur fomme qui eft le 
quarré del’hypotenufe, fera mefurée par ÿ , parce que 5 
“1 ajoûté à $—7 , fait un quinaire; donc fa racine qui supp. 3. 
eftl’hypotenufe, fera mefurée par 5. Il eft donc néceflaire 
qu’un des trois côtez d’un Friangle Reétangle foitmefuré 
par 5. Ce qui étoit à prouver. 
PRO P'OSITEIO N-.X XX, 
L'aire de gout Triangle Reftangle ef mefuré par fix. 
1 DEMONSTRATION. 
U l’un des côrez eft mefuré par trois, & lautre par Prop. 16.& 
quatre , ou un feul eft mefuré par 3 & par 4; fi l’un 
des côtez eit mefuré par 3, & l’autre par 4, leur produit 
fera mefuré par 12 ; & par conféquent l’aire du triangle 
qui en eft la moitie, fera mefurée par 6 : maïs fi l’un des 
côtez eft mefuré par 3 & par 4; ce côté fera aufli mefuré 
pat 12 : donc fon produit par l’autre côté quel qu'il foit , 
fera mefuré par 1 2 ; & l’aire du triangle en ce feeond cas, 
fera aufli mefurée par 6. Ce qui éroit à prouver. 
X 


PrôP+ 10° 
Supp. 4. 


Éupp. 104 


SUPP« 4 


166 DEs TRIANGLES RECTANGLES 


PROPOSITION. XX Er 


L'aire de tout triangle multiple, ef multiple de celle de [om 
priuitif par un quarré ; € la racine de ce quarré ef? le nom- 
bre par lequel le primitif à êté multiplié ; pour faire le 
triangle multiple. ; 


DEMONSTRATION. à 


Arce que le triangle primitif a un nombre pair pour un 
PE fes côtez ; que ce côté foit 2 À ,& l’autre foitB, fon. 
aire fera À B. Que ces deux côtez foient multipliez par C, 
on aura un triangle multiple, dont les côtez feront z AC, 
&BC,& l'aire fera À B C?, qui eft multiple de Paire du 
primitif, fçavoir À B,par C*, dont la racine C, eftle nom. 
bre par lequel le primitif a été multiplié : ce qui procede 
de ce que deux nombres comme À &B, étanc mulripliez 
par un nombre comme C; les deux produits fe multipliant 
feront un nombre qui fera auflile produirde A,C,B,C, 
fe multipliant en quelque ordre que ce foir ; fi donc on 


* multiplieC, par C, on aura C*°, qui multipliant A B, pro- 


duit de A , par B, ce produit fera A B C*. 
CONSEQUENCE JL. 


Il s'enfuit que fi l'aire d’un triangle primitif n’eft point 
un nombre quarré, celle de fon multiple nede fera point 
auffi : puifque C?étant multiplié par A B, aire du triangle 
primitif, le produit À B C* ne fera pas quarré, fi A B n'eft 
pas un quarré. | 


CON SE O V'EMCETIN 


De même fi l'aire d’un triangle primitif n’eft pas dou- 
ble d’un nombre quarré ; pasun des multiples de ce trian. 
gle, n’aura un double quarré pour fon aire ; car foient 4 À 
& B les côtez du triangle primitif , l'aire fera 2 À B , & les 
côtez étant mulripliez par C, l’aire du multiple.fera 2 


EN NOMBRES 167 
ABC. Orileft évident que fi 2 À B n’eft pas double 
quarré, 2 À BC: ne le fera pas auf ; car A B ne fera pas 
un quarré, ni par confequent À B C:: donc z ABC°ne swr# 
fera pas un double quarré: 


DR O POST O NN LNXEE 


En tout triangle primitif la fomme @ la difference de l'hypo- 
tenufe @ du côté impair font chacun un double quarré. 


DEMONSTRATION. 1 


Oir A:--B: l’hypotenufe d’un triangle primitif, & A: 
-_B:le côré impair , il eft évident que la fomme de 
ces deux nombres eft 2 A:, double du quarré A, & leur Sup. r2. 
difference 2 B°, double du quarré B*. 


CONSEQUENCE. 


- On fera voir par le même raifonnement , qu'aux trian- 
gles multiples d’un primitif par un quarré, ou par un dou- 
ble quarré; la fomme de l’hypotenufe & d’un des côtez 
font enfemble un double quarre, & que leur difference eft 
auffi un double quarré : parce qu’en ces triangles l’hypo- Prop. 21. & 
tenufe eft la fomme de deux quarrez : mais dans tous les ** 
autres multiples, la fomme & la différence de l’hypote- 
nufé & du côté multiple de l’impair du primitif, feront 
entr'eux comme double quarré à double quarré, parce 
que deux doubles quarrez étant multipliez par le même 
nombre qui a multiplié les côtez du primitif, les produits 
demeureront toûjours en la raifon de double quarré à 
. double quarré : comme au triangle o ,12,15,multiple 

. duprimitif 3 ,4,5 ; 24 & 6 ,fomme & difference ducoôté 

9, & delhypotenufe 1 $, font entr'eux comme 8 & 2, def- 

quels ils font multiples par le nombre 3, non quarré ni 
double quarré. Or 3 multipliant 4 +1 ou $ , faitl'hypo- 

tenufe 1 ficompofée de deux nombres 11 & 3, qui {ont supp. » 
entr'eux comme quarré à quarré,fçavoir 1 &4,& le côté 


Supp. 12. 


168 Des TRIANGLES RECTANGLES 

9 eneft la difference. Et la fomme de l'y porengie s & du 
côté impair 3 , érant 8, qui cft un double quarré, &leur 
difference érant 2 , qui eft aufli un double quarré, les pro 
duits de ces nombres par 3 ,fçavoir 24 & 6 feront encore 
en la même raifon de 8 à 2 ,c’eft-à-dire de double quarré 
à double quarré : ce quiétoir à prouver. | 


PROPOSITION XXXINL 
En tout T'riançle primitif la fomme G- la difference de l'hy- 


potenufe , € du côté pair, font chacun un nombre quarré: 
Gr La racine du plus grand de ces quarrex ef? la fomme des 
deux nombres générateurs du triangle, € la racine de, 


moindre en eff La difference. 
} 


Démonftration Alyebrique. 


A & B foient les nombres générateurs de quelconque 
triangle primitif, l’hypotenufe fera A? —B:, & le 
côté pair 2 AB, dont la fomme eff égale au quarré de À 
—+B , fomme des deux générateurs, & leur difference fça. 
voir A°—B:_> AB, ferale quarré de AB, différence 
des générateurs À & B. Ce qu'il falloit prouver. 


CONSE Q'U:E NICE. 


La même chofe arrivera aux triangles multiples d’un 
primitif par un quarré , & par un double quarré : fçavoir 
que la fomme de l’hyporenufe & du côté pair, fera un 
quarré : parce qu’ils ont deux nombres générateurs, par 
la conféquence des 22 & 23 Prop. Mais cette fomme & 
cette difference dans les triangles mulriples d’un primi- 
tif, par un nombre qui n’eft pas quarré, ni double quarré, 
feront l’une à l’autre comme quarré à quarré ; ce qui fe 
prouvera par les mêmes raifons de la conféquence de la 
Propofition précedente. 


: 


PROPOSITION 


CTI EN NomMBRreEs. Œ, Még 
PROPOSITION XXXIV. 
Sile côté pair © l'hypotenufe d'un triangle primitif, font les 
_ générateurs d'un autre triangle : il [era primitif, @ [on 
côté impair fera un quarré. Et file coté impair d'antrian- 
gle primitif eff un nombre quarré , l'hypotenufe de cc trian. 
gle fera compolte de deux quarrex, dont l'un aura pour ra- 
cine l'hypotenufe d'un deuxiéme triangle primitif, l'autre 
aura pour racine le côté pair du même deuxième triangle, 
Gr la racine du quarré , qui eff le toté impair du premier 
triangle, fera le chté impair du deuxiéme triangle. 


D'E-M O0 N ST RAM. I O À 


Arce que le côté impair de tout triangle primitif, eft 

la difference de deux quarrez premiersentr’eux, dont 

la fomme eft l'hypotenule du même triangle ; fi ce côté 

impair eft un nombre quarré , on aura deux quarrez pre- 

miers entr'eux, qui joints enfemble feront un troifiéme 

quarré ; & les racines de ces trois quarrez feront les trois 
côtez d'un deuxiéme triangle primitif. 

La premiere partie qui eft la converfe de la deuxiéme 
fe démontre en cette forte. Les quarrez du côté pair, & 
de l'hypotenufe , ont pour difference le quarré de l'im- 
pair : ce quarré fcra donc le côté impair du deuxiéme 
triangle, qui fera primitif, puifque les générateurs font 
un pair, & un impair premiers entr'eux. 


Démonfration Algebrique. 


Que le côté impair du triangle foit A__B?—7* donc 
Z?+B°—A°& on aura un deuxiéme triangle dont les 
trois côtez feront A ,B,Z , duquel A fera l'hypotenufe , 
&,Z en fera le côté impair , puifque fon quarré eff le côté 
Si premier triangle : il reftera donc B,pour le côté 
pair du debxiéme triangle, donc l’hypotenufe du premier 
triangle A? +B*eft compofée de deux quarrez , dont les 

Rec, del'Ac. Tomy, 


Prop: 202 


Def. s: 


Prop. 145 


Prop. ro. 


Supp.4.8&11« 


Conf. 
Prop. 14: 
Supp. 12. 


170 DES TRIANGLES RECTANGLES 
racines À & B font l’hypotenufe , & le côté pair d’un deu- 
xiéme triangle, &Z , racine du quarré qui eft le côté im- 
pair du premier triangle par l’hypothele, fera le côté 
impair du deuxiéme , & il eft évident que ces deux nom- 
bres À & B , font premiers entr'eux, & par la 14 Prop. le 
triangle dont ils feront les générateurs , fera primitif. 


Exemple. 


Soit le Triangle 9,40 ,41, dont les nombres généra- 
teurs font 4:& 5, & le côré impair 9 eft quarré. Parce que 
l’hyporenufe 41 eft la fomme des deux quarrez 25 & 16, 
dont 9 côté impair eft la différence, & que cette diffe- 
rence eft un quarré, il s'enfuit que ce quarré joint au 
moindre quarré des deux qui compofent l’hypotenule , 
fcavoir 16, fera un autre nombre quarré 25 5 & par con. 
féquent les crois racines de ces trois quarrez , ferontles 
trois côtez d’un Triangle Rectangle, fçavoir 3,4, 5, 
dont le plus grand ÿ fera hyporenule. 


PROPOSITION XXNXU 


Si le coté pair d'un triangle primitif eff un double quarre, 
les nombres générateurs de ce triangle feront des nombres 
quarrez, @* l'hypotenufe fera la Jomme de deux quarrex 
quarrez, | 


PDLE"MAO"N, STE AT T'ON: 


P Arce que le côté pair d’un triangle primitif eft le dou- 
ble du produit des racines des quarrez qui compofent 
l’hypotenule, fi ce double produit eft un double quarré, 
fa moitié fera un nombre quarré , qui ne peut être produie 

ue par deux nombres quarrez, ou par deux nombres 
plans femblables : mais parce que ces nombres font les 
générateurs d’un triangle primitif, ils feront premiers 
entr'eux , & par conféquent ils feront nombres quarrez 
& leurs quarrez dont la fomme eft l’hypotenufe de ce 


EN NomMBknes. 175 
triangle, feronc des quarrez quarrez : ainfi parce que 72 
double du quarré 3 6 eft le côté pair du triangle primitif 
65 ,72,97, l'hypotenufe 97 doit être compolée de deux 
quarrez quarrez, qui font 8 1 & 1 6: à caufe que 36 moitié 
du côté pair étant un quarré , il ne peut être produit que 
par deux quarrez comme 4 & 9, puifque le côté pair eft 
le double du produit des deux nombres générateurs du 
triangle , qui doivent être premiers entr'eux, & que les 
quarrez de ces deux quarrez, qui font les quarrez quar- 
rez 81 & 16 ,compofent l’hypotenufe 97. 


CONS EMI EN CE. 


Il s’enfuic que tout nombre compofé de deux quarrez 
quarrez, cft l’hypotenufe d’un triangle, dont le côté pair 
eft un double quarré : car les racines de ces quarrez quar- 
rez qui font des quarrez feront les générateurs du crian- 
gle : la fomme de leurs quarrez qui font des quarrez quar- 
rez, en fera l’hypotenufe, & le côté pair fera le double 
de leur produit, lequel produit érant quarré, ce double 
produit fera double quarré. 


Exemple. 


Le nombre 9 7 qui eft compofc des deux quarrez 16 & 
8 1 eft l'hypotenufe du triangle primitif 6$, 72,97, dont 
les générateurs font 4 &9 , &le côté pair eft 72 , double 
du quarré 36 produit de 4 & 9 ; & quoique 3 6 foi auffi le 
produit de deux autres quarrez 36 & 1 , il fera facile de 
connoître quels font les générateurs du triangle donné, 
parce que la difference de l’hypotenufe & du côté impair, 
eft toûjours double du moindre des deux quarrez quar- 
rez, & ei conféquent 3 2 étant cette difference ; fa moi- 
tié 16 fera ce quarré quarré , dont la racine 4 eft l’un 
des générateurs du triangle, 


Yi 


Supp.tte 


Prop. 2, 


472 DES TRIANGLES RECTANGLES 
PROPOSITION XXXVI. 


La difference de deux quarrex quarrex ef le produit de l'hy- 
potenufe d'un triangle, par lun des cotcx du même 
triangle. 


DEMI ON SUPER. A:T 1. ON: 


Le produit de la fomme de deux nombres par leur dif- 

ference eft la difference des quarrez de ces nombres : 
donc fi deux nombres font des quarrez, le produit de leur 
fomme par leur difference, fera la différence de leurs 
quarrez , qui font des quarrez quarrez. Mais ces quar- 
rez font inégaux , puifque leurs quarrez quarrez ont une 
différence ; & par conféquent leur fomme fera l’hypote- 

Prop. 1% nufe d’un triangle, & leur difference en fera l’un des cô- 
tez. Donc la différence de deux quarrez quarrez, &ec. 
Ce qu'il falloir prouver. 


} 


Prop. 18 


PROPOS ITEILON:XXXYIL 


En tout triangle, auquel l'hypotenufe ef? la fomme de deux 
quarrex,, le produit de l'hypotenufe par le coté qui eff la dif. 
ference des quarrex qui la compofent , eff la difference de 

* deux quarrex quarrex, dont les racines quarrées quarrées 
font les géncrateurs du triangle. 


DEMONSTRATION. 
Algebrique. 


? + B° eft l’hypotenufe d’un Triangle Reangle, 
A°__B°, le côté qui eft la différence de A°& B°,; 
leur produit A*__B* eft la difference des quarrez quarrez 
“pr.32  A%& B* dont les racines quarrées quarrées font À & B 
qui font les générateurs du triangle. Or il eft évidence que 
la difference des quarrez de A°& B*°, eft le produit de 
trop. leur fomme A*°-+B?, par leur difference A°__B*. Mais 
les quarrez de A° & B°, font des quarrez quarrez, dont 


EN NOMBRES. 173 
les racines quarrées font À & B ; donc le produit de A? 
_+B° par A*-B*, fera la difference de deux quarrez 
quarrez : dont les racines quarrées quarrées feront les 
nombres générateurs du triangle. Ce qui écoit à prouver. 


PRO POSTE ON XX X VERT 


Si dans un Triangle primitif, l'hypotenufe étoit un nombre 
quarré, @* pareillement le côté pair un nombre quarré : 
la racine de cette hypotenufe [eroit l'hypotenufe d'un autre 
Triangle primitif, qui auroit un nombre quarré pour [on 
côté impair, € un double quarré pour [on côté pair. 


DEMONSTRATIO N. 


Arce que le côté pair d’un triangle primitif, eft le dou. 
Px produit des nombres générateurs du triangle; fi 
ce double produit étoit un nombre quarré, le fimple pro- 
duit feroit un double quarré , qui ne peut être fair que par 
un quarré, & par un double quarré, ou par deux nombres 
qui foient entr'eux comme quarré à double quarré : mais 
parce que le triangle eft fuppofé primitif, le générareur 
impair fera un quarré, & l’autre générateur un double 
quarré : car limpair ne peut être double quarré : & parce 
que les quarrez de ces nombres qui font premiers en- 
tr'eux ,étant joints enfemble font l’hypotenufc ; il s'enfuit 
que l’hypotenufe feroit la fomme d’un quarré quarré, & 
d’un quarré dont la racine feroit un double quarré ; mais 
l’hypotenufe étant un quarré par l’hyporhefe , on auroit 
deux .quarrez qui feroient un quarré, & les racines de 
ces crois quarrez feroient des nombres premiers entr'eux, 
& f{eroient l’hypotenufe & les deux côtez d’un autre crian- 

e, dont le côté impair feroit un quarré, & l’autre un 
doublequarré, Donc fi dansun triangle primitif tant Phy- 
potenufe que le côté pair étoient des quarrez ; il en pro. 
viendroit un autre triangle primitif moindre, dont le 

Yi 


Prop, 1e. 


Supp. :z, 


Prop. 34e 


i74 Des TRIANGLES RECTANGLES 

n 1% À . * " al ” CJ (4 ; 
côté impair feroic un quarré, & le côté pair un doublé 
quarré. Ce qu’il falloit prouver. 


PROPOSITION XXXIX. 


Il n'y à aucun Triangle Reftangle en nombres , dont l'aire 
foit un nombre quarré. 


DEMO N@&STRATIO N. 


Oit premierement quelconque triangle primitif; je dis 
S que fon aire ne peut être un quarré. Car afin qu'ileût 
un quarré pour fon aire, il faudroit que de fes deux cô- 
tez, l’un fût quarré, fçavoir l’impair ; car il ne peut être 
double quarré & l’autre double quarré. Or dans ce trian- 
gle primitif, le côté impair étant quarré, les nombres 
générateurs du triangle feroient l’hypotenufe , & le côté 
pair d’un deuxiéme triangle primitif, & parce que le côté 
Le du premier feroit un double quarré , ces mêmes nom- 

res générateurs du premier triangle feroient quarrez. 
Donc l’hypotenufe , & le côté pair de ce deuxiéme trian- 
gle feroient des quarrez, & ce triangle feroit moindre 
que le premier , puifque deux de fes côtez feroient les gé. 
nérateurs de ce premier. Mais par la précedente, la ra- 
cine de l’hypotenufe de ce deuxiéme triangle, feroit l’hy- 
potenufe d’un troifiéme triangle primitif, qui auroit un 
nombre quarré pour fon côté impair, & un double quarré 
pour fon côté pair ; & ce troifiéme triangle feroit encore 
moindre que le deuxiéme. Or ce troifiéme triangle auroit 
auf pour fon aire un nombre quarré. D'où il s’enfuit que 
fuppofant un Triangle Rectangle primitif, dont l'aire 
foit un nombre quarré, on en trouvera un troifiéme en 
nombres entiers par une conféquence infaillible, beau- 
coup plus petit, qui auroit aufli un quarré pour fon aire , 
& que par les mêmés raifons ce troifiéme en donneroic 
encore un cinquiéme plus petit, qui feroit auffi primitif, 
& par conféquent en nombres entiers , & ainfi à l'infini en 


EN NOMBRES. 175 
diminuant toûjours. Mais cette conféquence eft abfurde ; 
car les nombres entiers ne vont pas à l'infini en defcen- 
dant, puifqu’ils commencent par l'unité, & s’y termi- 
nent; & par conféquent il eft impofñfible que l'aire d’un 
Triangle Reétangle primitif, foit un nombre quarré. Il 
a été aufli prouvé par la conféquence de la propofition 
32°. Que fi l'aire d’un primitif n’eft pas un nombre quar- 
ré , celle de fon multiple ne fera pas aufli un quarré. Donc 
il n’y a aucun triangle, &c. Ce qu'il falloit prouver. 


PROPOSITION. XL. 


Il n'y a aucun Triangle Reftançle en nombres dont l'aire 
j - foit un double quarré. 


DEMONSTRATIO N. 


I un triangle primitif avoit un double quarré pour fon 
Sie , il faudroit que chacun de fes moindres côtez 
für un nombre quarré, afin que la moitié de leur produit 
qui eft l’aire du triangle, fût un double quarré : mais cha- 
cun de ces côrez ne peur être un quarré : car le côté im- 
pair étant un quarré, les nombres générateurs de ce trian- 
gle feroient l’un l’hypotenufe ,& l’autrele côté pair d’un 
deuxiéme triangle primitif moindre que le premier, & 
parce que le côté pair du premier eft aufi fuppofé étre un 
quarré , & que ce côté pair eft le double produit des deux 
nombres générateurs du premier triangle : l’un de ces 
nombres générateurs feroit un quarré , & l’autre un dou- 
ble quarré , puifqu'ils doivent ètre premiers entr’eux. 
Or ces mêmes nombres font l’hypotenufe & le côté pair 
du deuxiéme triangle : donc ce fecond triangle qui doit 
être primitif, auroit un quarré pour fon hypotenufe, & 
un double quarré pour fon côté pair : puifque l’hypote- 
nufe étant un impair , ne peut être un double quarré, 
d’où il s’enfuivroit que l’hypotenufe de ce fecond triangle 
froit la fomme de deux quarrez quarrez : & parce que 


Supp. 


Prop. 


Prop. 


Supp. 


Prop. 


Prop. 


Prop. 


35» 


176 DES TRIANGLES RECTANGLES % 
cerre hypotenufe doit être un nombre quarré, on auroit 
un quarré , qui feroit la fomme de deux quarrez quarrez; 
& les racines de ces trois quarrez feroient les trois côtez 
d’un troifiéme triangle primitif moindre que les préce- 
dens , qui auroir un quarré pour chacun de fes moindres 
côtez, & par conféquent fon aire feroit un double quarré, 
comme du premier triangle qu’on a fuppofé avoir un dou- 
ble quarré pour fon aire : & parce que de ce premier trian- 
gle proviendroit ce troifiéme beaucoup moindre, qui fe- s 
roit auffi primitif, & qui auroit un double quarré pour fon | 
aire ; de même de ce troifiéme, il en proviendroit un cin- 
quiéme encore moindre, qui ferait auffi primitif , & par 
confequent en nombres entiers ; on conclura par un rai- 
fonnement femblable à celui de Ha propofition préceden. ; 
te, qu'il n'y a aucun Triangle Reangle primitifen nom- 
bres dont l'aire foit un double quarré. Mais par la deu- 
xiéme conféquence de la Propofition 3 1°, fi l'aire d’un 
primitif n’eft pas un double quarré , celle d'aucun des 
triangles multiples de ce primitif ne fera un double quar- 
ré. Doncil n’y a aucun Triangle reétangle en nombres, # 
dont l'aire foit un double quarré. Ce qu'il falloit prouver. 


CONS POE'OPUPE TAN" CO" ESS 
des deux dernieres Propofitions, 


Def._1. 


Premicre Confequence de La trente-neuviéme. 


Ï: n'y a point de Triangle retangle auquel l’un des 
moindres côtez foit un nombre quarré, & l’autre un 
double quarré ; car fon aire feroit un quarré. Ce qui a 
été prouvé impoflble. 


I I. 


Îl n’y a point de Triangle rectangle auquel tant l’hy-- 

potenufe , que la côté pair, foit un nombre quarré ; parce 

Brep. 33. QUE de ce Triangle il en proviendroit un autre, dont le 
côté 


EN NomBRESs. 177 
côté impair feroit quarré , & le pair un double quarré , & 
par conféquent fon aire feroit un quarré. 

LIL 


‘Un quarré érant joint à un quarré dont la racine foft 
un double quarré , ne peut faire un quarré ; car fi cette 
fomme étoit un quarré, les racines de ces deux quarrez 
{eroient les deux côtez d’un triangle , dont l’un feroit un 
quarré , & l’autre un double quarré : ce qui eft contre la 
premiere Conféquence. : 


| 
| 
À 


AV. 


Un quarré quarré impair ne peut être la fomme d'un 
quarré quarré pair , & d’un quarré impair : car les trois 
racines de ces trois quarrez feroient un Triangle rectan- 
gle, dont l’hypotenufe & le côté pair, feroient quarrez ; 
ce qui eft contre la deuxième Conféquence; & par la mê- 
me deuxiéme Conféquence un quarré impair ne peut 
être la difference de deux quarrez quarrez. 


V. 


Il s'enfuit auffi que la difference du quarré de l’hypo. 
cenufe d’un triangle , au quarré tant de la fomme que de 
la difference des deux côtez du triangle, ne pourra être 
un nombre quarré : car puifque cette différence eft qua- AE 
+ druple de l'aire du Triangle , & que certe aire ne peut 10. 11: 
être un quarré, cette difference ne pourra être un quarré: 
puifque le produit de 4 qui eftun quarré , par un nombre 
non quarré , ne peut être quarré. en nt 


V I. 


Il eftencore manifefte, qu'il n’y 4 point de Triangle 
reétangle primitif dont l’hypotenufe étant un quarré, 

le côtéimpair foit aufli un quarré : car le produit de ces prop. 313 
. deux quarrez feroit la difference dedeux quarrez quarrez 

k Rec. de l'Ac, Tom. V. 


as toners 1 


AVR ASS 


Suppe 4 


179$ DEs TRIANGLES RECTANGLES 

qui compoferoient l’hypotenufe d’un Triangle rectan- 
gle, dont les générateurs feroient des nombres quarrez ; 
& le côté impair feroit certe difference ; or le côté pair 
de ce dernier triangle feroit un double quarré , & le côté 
impair un quarré, ce qui eft contre la premiere Con- 
féquence. 

Confequence de Lx Propofition 40°. 
ki 


Il n’y a aucun Triangle reŒangle qui ait un quarré 
pour chacun de fes moindres côtez ; car l'aire feroit un 
double quarré. 


EE. 


Un quarré ne peut être la fomme de deux quarrez 
quarrez ; parce que les racines de ces trois quarrez fe- 
roient les trois côtez d’un triangle , auquel chacun des 
deux moindres côrez feroit un quarré ; contre la premiere 
Conféquence. 


LE ET. 


Il n’y a aucun Triangle reétangle primitif qui ait un 
quarré pour fon hypotenufe , & un double quarré pour 
fon côté pair 3 parce que l’hypotenufe feroit la fomme de 
deux quarrez quarrez: ainfi on auroit un quarré , qui fe- 


roit la fomme de deux quarrez quarrez, contre la deu- : 


xiéme Conféquence. 
I V. 


Un quarré quarré ne peut être la fomme de deux quar- 
rez , dont l’un ait pour racine un double quarré ; parce 
que les racines de ces trois quarrez feroient les trois cô- 
tez d’un triangle, qui auroit un nombre quarré pour fon 
hyporenufe, & un double quarré pour fon côté pair , con. 
tre La troifiéme Conféquence, 


Che vo 


°‘*#Æ N NOMBRES. 178 
PARU POS TT L'ON EL TE 


En tout triangle primitif, la [omme des deux cotex. eff o£to- 
aire + ou —1, © la difforence des mèmes cbtex eff avi 
- oËlonaire you 1 , ou eff l'unité mème. 


DEMONSTRATIO N. 


Ç'Oient A & B les générateurs du triangle, dont A foit 
le nombre pair, & foit premierement À pairement 
pair & plus grand que B : d'autant que le quarré de A eft 
octonaire , & le quarré de B oétonaire +1, ou l'unité, 
leur différence qui eft le côté impair du Triangle fera 
octonaire— r ; or le. côte pair fera oétonaire , puifqu’il eft 
double de A B quaternaire : donc la fomme de ces deux 
côtez en ce premier cas fera oétonaire — 1. Que‘fi A eft 
moindre que B, fon quarré qui eftoétonaire , étant ôté 
du quarre de B qui eft oétonaire +1 , le refte qui eft le 
côté impair fera otonaire -+1, car cette différence ne 
peut être l'unité ; & le côté pair étant oétonaire, la fom- 
me des deux fera octonaire +1 en ce fecond cas. 
Soit maintenant A impairement pair & plus grand que 
B, fon quarré fera 4, ou octonaire +4, duquel étant êôté 
le quarré de B qui eff l’unité, ou un octonaire + 1 , le 
refte qui eft le côté impair fera 3 ou oétonaire +3, mais 
A étant 2 ou quaternaire +2, À B fera 2 ou quaternaire 
—+21, & 2 À B côté pair fera oétonaire _;4, donc en ce 
troifiéme cas la fomme de ces deux côtez fera 7 ou octo- 
naire +7, c’eft-à-dire octonaire — 1. 


Que fi A eft moindre queB , ayant ôté 4 ou un oétonai- | 


re +4 quarré de À , d’un octonaire +1 quarré de B, le 
refte fera $ , ou oétonaire _+$ pour le côté impair , lequel 
étant joint au côté pair qui eft otonaire -}4, la fomme 
fera octonaire +9 , c’eft-à-dire oétonaire 1 ,ence qua- 
triéme & dernier cas : donc la fomme des deux côtez d’un 
triangle primitif eft oétonaire — ou 1. se 

1] 


Prop. æ 
Prop. $. 


180 DES TRIANGEES RECTANGLES 


Pour la deuxiéme partie , foit au premier cas ci-deflus, 
le côté impair moindre que le côté pair, d’aurant qu'il 
eft octonaire — 1 ; il eft évident que fi on l’ôte du côté 
pair qui eft oétonaire, le refte fera oétonaire-+r , ou l’u- 
nité, & que fi le côté impair eft le plus grand, leur diffe- 
rence fera octonaire.— 1. 

Au fecond cas, file côté pair eft le plus grand , ayant 
Ôté un oétonaire -+1 d’un oétonaire, le refte fera oéto- 
naire — 1, & fi le côté pair eft le moindre, leur differen- 
ce fera oétonaire —+1 , ou l’unité. 

Au troifiéme cas, fi le côté pair eft le plus grand, & 
qu'on ôte 3 ,ou un octonaire 3 , de 4 ou d’un oétonaire 
— 45 le refte fera oétonaire +1 , ou l’unité ; & file côté 
pair eft le moindre, ôtant un oétonaire _,4, d’un octo. 
naire 3 , le refte {era octonaire— 1. 

Au quatriéme & dernier cas, fi le côté pair eft ke plus 
grand , qui eft oétonaire _;4, & qu'on en ôte l’impair qui 
eft ÿ , ou oétonaire -;. 5, le refke fera oétonaire 1 , & fi 
Je côté pair eft le moindre, leur difference fera oétonai- 
re +1 ,ou l'unité. Donc en tout Triangle re&tangle, &c. 
Ce qu'il falloit prouver. 


« PRÉSENTS 


} 
; 
ki 
le 
£ 


181 


| SRRRRRRRTRRSRASASARGRRRRES 


D VE M M VE VE EE NE DE EE EE M RE D NA RER ME MN NES NÉ NE NE ME NE NOR NE UE 
DU 


PT RAA TE 


DES 


PP RPA NN CG'L'E S 


RECTANGLES 


EN NOMBRES. 
"SECONDE PARTIE. 


ETTE feconde Partie contient feulement deux Pro 
y blèmes. 

Le premier , eft de trouver une multitude requife de 
Triangles Redangles en nombres, dont chacun ait pour 
fon aire celle d’un Triangle donné. 

Le fecond, eft de trouver une multitude requife de 
Triangles Redangles en nombres qui ayent une même 
aire. 

Il eft manifefte que la folution du premier Problème 
ne fe peut donner univerfellement en nombres entiers, 
comme le nombre 6 ne peut être l’aire que du feul Trian- 
gle 3,4, 5. La raifon eft que le nombre 12 , quieft le pro- 
duit des deux côtez ; & 4,& qui eft le double de certe 
aire 6 , ne peut être produit par d’autres nombres entiers, 
que par 1&12,é&par2&6é,& que chacun de ces nom- 
bresr & 2 ne peut être le côté d’un Triangle Rectangle 
par la troifiéme Conféquence de la Propofition vingrié- 
me : il eft donc néceflaire que les autres Triangles Rec- 

Zi 


182 DEs TRIANGLES RECTANGLES 


tangles , dont l'aire fera égale à 6 ,ayent leurs côtez ex- 
primez par des fractions. [Ilen eft de même du nombre 
30, qui ne peur être l’aire en nombres entiers que du 
feul triangle $, 12,13 5 mais on peut bientrouverun nom- 
bre entier qui foic l’aire de tant de Triangles reangles 
qu'on voudra, dont les trois côtez foient des nombres 
entiers. 


PREMIERE PROPOSITION. 
L''E MAMIE 


Si le produit de deux nombres ef mefuré par un quarre , & 
que chacun de ces nombres foit divife par la racine de ce 
quarré ; le produit des deux quotiens [era cgal au premier 
produit divife par le même quarre. 


DRE SM UN TS TR 022 A TA PEUNS 


\Oient les deux nombres A C & BC, leur produit fera 
AB C:; ileft évident que fi on divife chacun de ces 
nombres par C, on aura À &B, dont le produit A B cft 
égal à A B C* divifé par C* ; ou bien fi les deux nombres 
font À & B C*, leur produit fera comme devant A B C:; 
& fi on divife chacun de ces nombres À & B C:parC, 
fçavoir par la racine du quarré qui mefure leur produit, 
onauraà&BC, dont le produit eft A B comme devant. 


PAR OQ AR OLSSIUE JO TN. Lol: 


Trouver une multitude requife de Trixngles Rottançles en 
nombres , dont chacun aït pour [on aire celle d'un 
Triangle donne. 


Oit un Triangle Redtangle quelconque A, B, C, donc 

les moindres côtez foient À &B , fonaire fera ! A B. 
On demande d’autres Triangles en telle multitude qu’on 
voudra , dont chacun ait + À B pour fon aire, 


EC LESC 


| 
Û 
h!] 


À 


sis 


EN NOMBRES. 183 
PORVELPIA RATE TON. 


Ce Problème fe réduit à trouver d’autres Triangles 
rectangles qui ne gardent pas la même proportion en- 
tre leurs côrez , & dont l’aire foit multiple de AB parun 
quarré. 

* La raifon eft que fi on divife les côtez de chacun deces 
TFriangles par la racine du quarré , par lequel fon aire eft 
mulriple de l'aire: AB, le Triangle qui en proviendra 
aura © A B pour fon aire, puifqu’elle eit le produit d’un 
des cotez du Triangle par la moitié de l’autre. 

On obfervera qu'anx Triangles fuivans qui fervent à la 
folation du Probleme , on met au premier lieu le coté qui cf la 
difference des deux quarrex qui compofent l'hypotenufe , ou qui 
ef? multiple de l'impair du primitif, quand le Triangle multi. 
ple n’a point de nombres générateurs , €» on l'appelle rañjours 
Le premier côté en cette deuxième Partie 3 on met enfuite le côté 
pair € l'hypatenufe après. Et parce que loperation ne fait pas 
voir ff le premier coté ef} moindre que Le fecond , ou s’il eff plus 
grand , c'eff-à-dire fi le coté À eff plus grand que B , on s'il ef 
moindre, on [e fert de la marque — qui fignife difference. Ainfi 
Les moindres côtex du Triangle donné étant A B , le côte im- 
pair du premier Triangle trouvé fera A° —B;, fçavoir la dif 
ference entre À* @ B: : de maniere que fi B eff plus grand que 
À , ce côté impair fera B° — À°; mais Ji À ef} plus grand que 
B, ce coté fera A°—B:. | 
Et pouréviter la confufion des caraëteres, lorfque le premier 
côté fe doit exprimer par le figne — ou l'hypotenufe par le 

- figne +, on fe [ert d’un carattere nouveau pour les expri- 
mer, G onmet au-deffous La valeur de ce carattere en petites 
lettres , , on verra dans la fuite. 


SL ! 6 + 


184 DES TRIANGLES RECTANGLES 
SOLUTION DU PROBLEME. 
PREMIERE CONSTRUCTION. 


Ur A,,B , C foient les côtez d’un Triangle reétangle 
(re je prens les deux côtez À & B pour les 
nombres générateurs d’un autre Triangle, qui fera A: 
— B:,2 AB,A: +B::&afn de ne point augmenter la 
multitude des caractéres , je mets D au lieu de A° —B:; 
& parce que la fomme des quarrez des deux côtez d'un 

Triangle reétangle eft le quarré de l’hyporenufe, on 
ingle prendra C* pour l’hypotenule de ce Triangle qu’on met- 
“oué tra au lieu de A? + B*, & le Triangle fera D , z ABC’, 

& c’eft le premier Triangle trouvé ; & au-defloys de D 
on mertra a? —b*, qui eft la valeur de D. 


SECONDE CONSTRUCTION. 0 
[ia Es l’hypotenufe C? & le côté pair de ce premier 
AT 


riangle trouvé, fçavoir 2 A B, foient pris pour les 
nombres générateurs d’un fecond Triangle, ils forme. 
ront le Triangle C*—4 A° B°,4 À B C:',4A°B C*., 
ue l’hypotenufe 4 A° B° + Cf foit nommée E, à 
caufe qu’elle a le figne + , fuivant ce qui a été remarqué 
ci-devant,. ; 

Et parce qu’en tout Triangle retangle la différence des 
quarrez de l’hypotenulfe, & d’un des côtez eft le quarré 
de l’autre côte, il s’enfuit que cet autre côté étant Ct—4 
A°B°,il fera égal à D?, qui eft le quarré du premier côté 
du premier Triangle trouvé. Le deuxiéme Triangle fera 


donc, 
Deustme  D'o4ABC',E 
uxiem 
Triangle x 4a° b?.+ cf R 
MOUE Les caratbéres 4 a° b? + c* qui font au .deffous de E,mar- 


quent [x valeur. 
L’aire de ce fecond Triangle eft 2 À B C* D°,qui étant 
divifée 


: EN NoOoMBRES: _ x85 

divifée par! A B aire du Triangle donné, on aura pour 

quotient 4 C* D* qui eft un quarré ;faracine eft2 CD, 

par laquelle le fecond Triangle D°, 4 AB C?,E étant di- 
2ABC , E 


Cube 7 D BC de à #3 
vifé yon aura le Triangle 2., 52, +, dont l'aire eft + 


AB, fçavoir la moitié du produit de + par EEE qui eft 
la même que celle du Triangle donné. 
Oravec ce fecondTriangle on en fera un troifiéme par 
Ja premiere Conftruction , prenant pour fes générateurs 
les deux côtez de ce fecond , qui font D° &4 À B C°;& 
fon prend le côté pair & l’hypotenufe de ce troifiéme 
Triangle pour les générateurs d’un autre Triangle, fui- 
vant la feconde Coniftruétion , on aura un quatriéme 
Triangle, &ainfi de fuite. _ 
Pour éclaircir cela davantage. 
… Que les trois côtez du fecond Triangle foient nommez 
F,G,E:fion prend les deux côtezF ,G, pour les géné- 
xateurs d’un troifiéme Triangle, fuivant la premiere 
Conftru&tion, ce troifiéme Triangle feraF?—G°,:2FG, 
E°, dont l’hypotenufe doit être un nombre quarré, parce 
que le Triangle F,G,E, tient ici lieu d’un Triangle 
donné , & ce troifiéme tiendra lieu d’un premier Triangle 
trouvé. De maniere que/fi on prend l’hypotenufe E*, & 
le côté pair 2 F G de ce premier Triangle trouvé pour les 
générateurs d’un autre Triangle, ilen viendra un qua- 
triéme,dont le premier côté fera un nombre quarré, com- 
_me au deuxiéme Triangle ; & l’aire de ce quatriéme fera 
multiple par un quarré de 2 A B C* D°, qui eft l'aire du 
fecond Triangle, comme cette aire eft multiple par un 
quarré de ? AB ,aire du Triangle donné. Et par confc- 
quent l'aire de ce quatriéme Triangle fera aufli multiple 
par un quarré de: AB, &ainfi confécutivement on fera 
tant de Triangles qu'on voudra, dont l'aire fera multiple 
par un quarré de + À B; &les côrez de ces Triangles étant 
divifez par la racine de ce quarré, on aura des Triangles 
qui auront + À B pour leur aire, 
Rec. del Ac. Tom.F. Aa 


Prop: t{ 


186 Des TRIANGLES RECTANGLES 

Voici huit Triangles, qui viennent du Triangle donné 
A, B, C, encre lefquels il y en a quatre, dont l'aire eft mul- 
tiple par un quarré de+ AB, fçavoir de l'aire du Triangle 
donné ; & ces Triangles font le deuxiéme , le quatriéme, 
le fixiéme , & le huitiéme , qui ont leur rang marqué par 
un nombre pair. 


PREMIERE TABLE 


Premier côté Côtépair Hypot. 


Triangle donné, A, B, C, airei A B 
1° Triangle trouvé D, 2 ABC? 


ab 
L] 


2° Triangle D’, 4ABC*, E aire: ABC:D:, 
4ab? —+ct* 


3° Triangle F, 90: AOL D E* 
d'— 16a°b* ci. 


4° TriangleF*,16ABC: D'E’, G aire 8ABC:D'E°F°. 
G4at b?E* dt et. 


seTriange MH, 3:ABC?D*E'F,  G: 
ft ira brctdte À 


6° Triangle H°,64ABC:D'E*F°G*, I 
1024a*b°ctdtesff gt, 
dire 32 À BC° D*E?F=G*H°. ; 


7° Triangle K, 128 ABC:D:E°F°G°H4° 1" 
h'—4096a°b°cidtetffg*. 


21 EN NoMBRES. Tr. 487 


L 


8° Triangle K°,256 ABC*D'E‘F'G*H°l°, L 
°c ne 16384a*b'cfdtetffothf +if, 
aiér26 ABC: D'E'F°G*H+1K?, 


On obfervera en ces huit T'riangles , que l'hypotenufe &r le 
premier coté font alternativement marquex d'un Jeul carac- 
ère non quarré ; @ alors on met au-deffous de ce caraftére [x 
valeur, exprimée en petites lettres , qui font les mêmes que 
celles ducèté pair du mème Triangle, G* qui viennent du 
Triangle précédent. qi 

De mème l'hypotenufe & le premier côté [ont alternative. 
ment exprimex, par un carattère quarré , où on remarquera 
que lorfque le premier côté ef} un nombre quarré , l'hypotenufe 
aelef pass € alors ce Triangle à fon aire multiple par un 
quarré de? A B , Gonécrit cette aire après le Triangle. On 
pourroitobmettre les T'riangles dont Fordre ef marque parun 
nombre impair; [çavoir , le premier, le troifiéme, le cinquic- 
me , @ le feptiéme , dont l'aire n’eff pas multiple par un quarré 
de Paire AB : mais pour la facilité de la démon/tration on 
Les à compris dans cette Table. 

- Onvoit affex par l'infpettion de la T'able qu'on la peut ai. 
fement continuer tant qu'on voudra , puilque le côté pairn'aug- 
mente à chaque T riangle que d'un caratlere | à commencer aw 
fecondT riangle trouvé, @ mettant au devant des caraëteres 
Le double du nombre qui eff devant le coté pair du Triangle 
précédent. 

. Pour ce qui eft de l'aire, elle augmente de deux caratteres, 
qui ont la marque de quarré , à caufe qu’on ne la met que de 
deux en deux T riangles, [çavoir à ceux dont l'ordre ef marqué 
par un nombre pair. Ces deux caraëtéres [ont ceux qui mar- 
quent le premier côté du mème Triangle , @ l'hypotenufe du 
Triangle précédent : chacun de ces carattéres à la marque de 
quarré 5€ on met au devant de tous les carattéres le quadruple 
du nombre qui ef? devant les caraëtères de l'aire précédente. 

Aa ij 


Premiere 
Conmtruuon. 


Deuxiémé 
Conftruchon. 


188 DES TRIANGLES RECTANGLES 

Pour lhypotenufe é: le premier côté , on les marque aift- 
ment, mettant en leur lieu un caraëtére nouveau , en lu façon 
qu'on le peut remarquer dans la Table précédente. ë 


DEMONSTRATION. 


Il eftévident, par la premiere conftruétion, que l’hy- 
potenufe du premier Triangle trouvé eft toujours le quar- 
ré de l’hyporenufe du Triangle précédent , qui eft le 
Triangle donné ; que le côté pair dece premier Triangle 
trouve eft quadruple de l'aire du Triangle donné , puif- 
qu'il eft double du produit de ces côtez, & que l'aire n’eft 
que la moitié de ce produit. 

Et parce que le fecond Triangle eft formé par l’hypo- 
tenufe du premier Triangle trouvé qui eft toujours um 
nombre quarré & par le côté pair du même premier 
Triangle, qui eft mulriple parun quarré ; fçavoir par qua. 
tre de l’aire du Triangle donné, le côté pair de ce fecond 
Triangle fera mulriple par un double quarré de l'aire du 
Triangle donné. sf 

Or le premier côté de ce fecond Triangle eft coujours 
un nombre quarré. Donc Paire de ce fecond Triangle, qui 
eft la moitié du produit des deux côrez de ce Triangle, eft 
multiple par un quarré de l'aire du Triangle donné». 

. Or tour ce qui arrive au premier & au fecond Triangle, 
enfuice & par le moyen du Triangle donné , arrive auffi 
au troifiéme & au quatriéme enfuite du fecond , parce 
que ce fecond Triangle pouvant être pris pour le Triangle 
donné, le croifiéme fe forme de ce fecond , &le quatrié- 
me du troifiéme en la même façon que le premier Trian- 
gle trouvé {e forme du Triangle donné , & lefecond du 
même premier, à 

Ondoitfaire le même jugement ducinquiéme & du fi- 


xiéme Triangle, quife font par le moyen du quatriéme, 


& du fepriéme & huitiéme qui viennent du fixiéme, & 
ainfi des autres fuivansà l'infini. 


ns à cb hansinonc cd pis nine: pcs ot RE RÉ S 


EN NOMBRES: 189 

De là s'enfuit que comme on 2 fait voir que l'aire du fe- 
cond Triangle eft multiple par un quarré de l’aire du 
Triangle donné, aufli l'aire du quatriéme fera multiple 
parun quarré de l'aire du fecond , & l'aire du fixiéme de 
celle du quatriéme , &ainfi de fuire. 

Donc l’aire de rous ces Triangles , dont l’ordre eft côté 
par un nombre pair , fçavoir le deuxiéme, le quatriéme, 
le fixiéme & lesautres enfuite ont leur aire multiple par 
un quarre de l'aire du Triangle donné , ce qui étoir à dé- 
montrer. | 

: ILeft aifé de faire voir aufi queles Triangles qui vien- 
nent du Triangle donné par méthode précédente ne 
gardent pasune même proportion ou raifon entre leurs 
côtez, c'eft-à-dire , que leurs côtez ne font pas mulriples 
des côtez du Triangle donné , ni de ceux qui viennent 
enfuice ; car fion fuppofe que le Triangle donné foit pri- 
mitif, le premier Triangle qu’il faut trouver ayant pour 
ces générateurs les côtez du Triangle donné ,qui fontpre- 
miers entre eux , la différence de leurs quarrez n’aura 
point de commune mefure avec aucun d’eux , ni avec le 
double de leur produit. Or certe difference eft le premier 
côté de ce premier Triangle , & le double du produit des 


_côrezren eft le côté pair : donc les côtez de ce premier 
- Triangle feront auffi premiers entr’eux,& par conféquent Prop. 13. 


avec l’hypotenufe. De même, parce que l’hypotenule & 2: dhpied 


côté pair du premier Triangle trouvé font les généra- 
teurs du fecond T riangle, puifque ces nombres font pre- 
miersentreeux, & lun pair & l’autre impair ; la fomme 
de leurs quarrez, qui eft l’hypotenufe de ce fecond Trian- 
gle, “aura point de commune mefure avec aucun de ces 
nombres générateurs ni avec leur produit, ni le double 
de ce produit , certe fomme étant un nombre impair.  prop.s x 
Donc l’hypotenufe de ce fecond Triangle n’aura point? Pate. 
de commune mefure avec le côté pair, qui eft ce double 
produit , ni par conféquent avecle premier côté. 

Aa ii] 


Prop. 31. 
1. Partie. 


gle donné. 


190 DES TRIANGLES RECTANGLES d 

Donc ce fecond Triangle fera encore primitif, & ainfi 
fescôrez ne garderont pas entre eux la même proportion 
que ceux du Triangle donné , niles autres Triangles qui 
feront formez de ce fecond, qui peut tenir lieu du Trian- 


Or files côtez de ces Triangles formez par celui qui a 
été donné, ne gardent pasentre eux la même proportion 
que les côtez du donné, leurs multiples ne la garderont 
pas aufli, parce que les Triangles multiples gardent tou. 
Jours la même proportionentreleurs côtez que leurs pri. 
mitifs. Et ainfi cela fe trouvera véritable, tant aux primi- 
tifs qu'aux multiples, quoique les côtez des multiples 
ayentune commune mefure. PAT 

Il a ete nécéflaire de mettre cette condition aux Trian. 
gles pour faire qu’unmême nombre foit l’aire de plufieurs 
Triangles; parce que comme tout Triangle multiple a 
fon aire mulriple par un quarre de celle de fon primitif, .& 
que la racine de ce quarré eft le nombre par lequel le 
Triangle primitif a été multiplié ; files Triangles étoienc 
mulriples d’un même Triangle , lorfqu’on viendroità di- 
vifer le Triangle multiple par certe racine, le Triangle 
qui en viendroit feroit le primitif donné, & ainfi on n’au. 
roit que ce même Triangle, & on ne fatisferoit pas à la 
propofition. Ainfi le Triangle donné étant3 , 4, $ ,ce 
ne feroic pas aflez de prendre les Triangles 6, 8, 10,.ou 
9, 12,15, pour faire des Triangles quieuflentune mê- 
me aire, quoique l’aire de chacun de ces deux Triangles 
foit multiple par un quarré de celle de 3,4, 5, parce que 
leurs côtez gardent entre eux la même proportion queles 
côtez du Triangle donné, 3, 4, 5. 

Mais pour revenir au Problème principal, puifque cha- 
cune des aires trouvées par la Méthode précédente eft 
multiple par un quarré de celle du Triangle donné, fion 
divife chacune d’elles par l’aire du Triangle donné , on 
aura un quarré par la racine duquel divifanc le Triangle 


4e 
£ 


+ 
ï 


ni io -Horvinut. 2 fous 
à 


-: EN NOMBRES. . «91 
dont on confidére l'aire, on aura un Triangle qui aura 


une même aire que le Triangle donné A, B, C,&c'eft 


te qui étoit requis. En voici l'opération. 

L'airé du fecond Triangle trouvé, qui eft en la pre- 
micre Table, eft 2: ABC? D’;qu’elle foit divifée par : 
AB, aire du Triangle donné, le quotient fera 4 C? D? 
qui eft un quarré; fa racine eft 2 CD , par laquelle on di 
vifera le fecond Triangle D? ,.4 À BC*°,E, &onaurale 
Triangle +, 5, :e5, dont l’aireeft: AB, commeau 
Triangle donné. 

— L’aire du quatriéme Triangle eft 8 ABC=D°E°F:, 
qui étant divifée par = A B, donne 16 C*? D°E*F: quar- 


réde4 CDEF, quidivifantle quatriéme Triangle, ilen 


Ë RACE F 4ABCDE G CRE 
viendra le Triangle, 2, 5m dont l'aire 


eft auffi : AB. 

E’aire du fixième Triangle étant divifée par = A B don- 
ne 64 C*D'’'E°F°G°H}, quarré de 8 CD EFG H,qui 
divifant le fixiéme Triangle, donne le Triangle pr, 
BABCDEFG : 


Prop, 1, 


I à V5 
ao gerered don l'aire ef = AB, comme,au 


Triangle donné. "+ 


+ Enfin aire du huitiéme Triangle étantdivifé par: AB, 


donne 2 56 C* D* E*F°G°H°1° K*°, dont la racine eft 
16CDEFGHIK.,, qui divifantle huitiéme Triangle 


d le Tri I K 26ABCDEFGHI LL 
OnNe IE ETIANGIE STHErGHI? —  EK. 216CDEFGHIK? 


dont l'aire eftauffi : A B. 


* Onadonc cinq Triangles, compris le Triangle don- 
né, dont l'aireeft+ AB, quieft celle qui avoit été pro- 


pofée. Voici les cinq Trianglesen la Table fuivante. 


| k2 #1 je, de” 


a à ; 1 ; [5 Der 


192 DES TRIANGLES RECTANGLES 
SE C O0 IN D ETUA,B LE 


Quai ne contient que des Triangles dont l'aire cJ} auf égale à 
celle du Triangle donné , qui y ef? aulli compris. 


1e Triangle, A, B, C: 
2° D 2ABC E 
Si OT 2 CT 
3e F 4ABCDE G 
4CDE, AE. : ACDER 
4° H 8ABCDEFG I 
8CDEFG, H: : $CDBEGEL 
ke: K 16ABCDEFGHI L 


16CDEFGHI, K. : :16CDÉEGHIR 
Aire commune = À B. 


Et pour réduire ces caraétéres en nombres, fi on prend 
le Triangle 3,4, 5 , pour A, B,C, le fecond Trianglede 
cette feconde Table fera 7,122, 2221, & les deux moin- 
dres côtez du troifiéme Triangle de la même feconde 
Table feront 7522, & 22176. su: 

Cela fera facile à calculer, fi on prend la valeur de 
chaque caraétére , & par ce moyen on trouvera que le fe- 
cond Triangle dela premiere Table, fçavoir D°,4 ABC?, 
E, eft49, 1200, 1201, dont aire 29400 étant divi- 


fée par 6, fçavoir par l’aire du Triangle donné, 3, 4,5, 
: . 08 


EN NOMBRES. | 193 


on aura 4900 , quarré de 70, quieftle nombre par lequel 
doit être divife le Triangle 49, 1200, 12071 , & le quo- 


tient fera le Triangle Z, 22, 22°, qui eft la valeur du 


LOT 
è D z2ABC  E se 2e) 
Triangle, —5 , -c5, &laire dece Triangle eft 6. 


De même on aura la valeur du troifiéme Triangle de la 


à F 4ABCDE G 
Hconde Table avoir de ssa rt -.5 zcprrs COt- 


refpondant au quatriéme de la premiere Table quieftF?, 
16 ..A BLC2D:°E° ,/G 4 dont les -côtezvaillent 
2066690884801,3392$271$200,209435$0404801, 
one Eat AB C5 D).E°$ F7 ...qui.1yaut 
350565247073914830837600, qui étant divifée par 
6, qui eft l'aire du Triangle donné, on aura 
5842754178985805139600,quarré de 241717895860, 
qui eft le divifeur ; & ce nombre étant pris fuivant ce qui 
fe pratique ordinairement en Algebre , pour le dénomi- 
nateur commun des trois côtez du Triangle 206669088 


&c. qui eft le quatriéme de la premiere Table, on aura 


2066690884801:3392$ 2715200 299435004801 : 
EL EN TPE PP D REEES , qui eft la va- 


leur du rroifiéme Triangle de la feconde Table marquée 


r F 43ABCDE G sa 
parles caractéres ir, & divifant ce 


Triangle, fçavoir le quatriéme de la premiere Table par 
241717895860, on trouvera la valeur en fractions, qui 
réduites aux moindres termes, donnent le Triangle 
12437599 2017680 29943So4o048o1 


168140 ? 14375992 241717895860 ° 

On pourroit trouver quelque difficulté à réduire ces 
fractions, parce que le nombre par lequel le Triangle 
doit être divifé , ne mefure aucun des cêtez du Triangle, 
encore que ce divifeur ait une commune mefure avec cha- 
cun des deux moindres côrez du même Triangle, quoi- 
que ce ne foit pas la même en chacun d’eux scar la mefure 
commune de cedivifeuravec lepremier côté eftr437599; 
mais la mefure ayec le côté pair eft 168140, & ces deux 
nombres 1437599 & 168 140 font prémiersentre eux. 

On trouvera aifément ces communes mefures , en 

Rec. de PAc.Tom.F. Bb 


194 DES TRIANGLES RECTANGLES 


confidérant que le premier côté du Triangle , fçavoir 
1066690884801 eft F*, dont la racine elt;r437599. 
Donc pour mettre aux moindres :termes la fraétion 


1437599, racine de fon numérateur , & on aura 72 
pour le premier côté réduiraux moindres termes ; & divi- 
fantle côté pair 1122272222 du mêmequatriéme Trian- 
gle de la premiere Table, divifé par le divifeur commun 
241717895860, par168140, qui eftle dénominateur 
de la fra&ion :#7592, qui exprimele premier côté , on 
aura 2217682 pour le côté pair du même Triangle ré- 
duit à {es moindres termes. 

Pour ce qui eft del’hypotenufe , elle n’a point de com- 
mune mefure avec le nombre par lequel on doit divifer le 
Triangle. 

Or pour plus grande facilité, on reprend ici la pre- 
miere Table, & on y exprime la valeur de chaque côté 
des Triangles, par les nombres qui font au - deflus, & 
même la valeur de chaque petit caraétére par un nombre 
qu'on met au-deflous, comme on le voit en la Table fui- 


vante. 
Ts ROMIISETPEMPMINE TN ASE | LUE; 


gs 3 1434 ÿ 
Triangle À, B, C. 
donné 
4 g) 3 24 ? 2 5 9 
aw Triangle D, 2 Abepthn C7, "0 
trouvé a?—=b? 4,48 


9, 16, 


EN NomMBrnres. 19$ 


49, 1200, 1201, 19400, 
2° Dr 124 ADIEX E; aire ABC:D:, 
3,4,25,44*b?+ct, 3452549. 
9: 16,625. 


1437599; 117600, 1441401, 
3° CRE 8 ABC:D:, ? 
d*=16a*b*c*, 3»4525:49 > 
2401, 9,16,62$, 


a — 


2 


1440000. 


ù RES Te 319252715200, 26094350404807, 
DER TPG ABC G, 
342$ FOTE 6xa*bédi-ref, 
9,16,625,240,12080520644807 


té 138:9760099 
aire 33e56p247oTIuASSet 7600, 
8 A BC? M. 


è# 


BAL 2; 1441401, :0666yo8 4307) 


On aobmis les autres Hronslees parce que ceux-ci fi 
fifenc pour faire voir la forme du calcul. 
- Lernombre 440000 , qu’on a misau-deffous der 6 à: 
b° cf, eft le produit de ces quatre nombres, c’eft-à-dire, 
der 6 ,9: 16,625 ; duquel produit fi on ôte ‘dt, où 240 1) 
il refte 1437599 pour la valeur du caraétére F. On a fair 
de même à l'égard ‘du dernier côté G, car le nombre 
13829760000 eff le produit des cinq bambrde 649,16) 
625, 1400, lequel ajoûrc àe*,ou 208052064480, fait 
la valeur de Gr, fçavoir 209435 04048 OT: 

Lamaniere de ce calcul fera facilé à éeux qui féront ré; 

Bb ji 


W ConffruBion. 


3e Confrufion 


196 DES TRIANGLES RECTANGLES 


flexion fur les deux Conftruétions de ce Triangle : car puis 
qu’on prend les deux moindres côtez du Triangle donné 
pour les générateurs du premier Triangle qu’il fant trou- 
ver, le premier côté de ce premier Triangle fera 7 (fup- 
pofant que le Triangle donné foit 3 ,4, 5, )fçavoir la dit- 
ference de 9 & de 16, quarrez des côrez 3 &4,& l’hypo- 
tenufe du même Triangle fera 2 5, puifque c’eft le quarré 
de l'hypotenufe du Triangle donné. De même au fecond 
Triangle 49 ,1200,1201 ,on voit par la feconde Con. 
ftruction qu'il faut prendre l’hypotenufe & le côté pair 
du premier Triangle trouvé pour les générateurs du fe- 
cond , & ainfi que le premier côté de ce fecond Triangle 
eft roûjours le quarré du premier côté du premier Trian- 
gle ; & parce que D , qui eft ce côté , eft 7, D’ fera 49. : 

Pour ce qui eft de l’hypotenufe E, comme elle eft la 
fomme des quarrez de C(215)&de z AB (24) lefquels 
quarrez font 625 & 576 ,ce fera 11017. 

De même,on trouvera que le côté pair dumêmeTrian- 
gle, fçavoir 4 A BC’eft 1100, puifqu'il eft le double du 
produit de 24 par 2 $ , côtez du premier Triangle. 

On trouvera en a nême forte les côtez du troifiéme 
Triangle F, 8 ABC? D:,E*: car lesnombresgénérateurs 
de ce Triangle étant D°(49)& 4 AB C*?(1200)fçavoir 
les deux moindres côtez du fecond Triangle,la difference 
des quarrez de ces deux mombres 49 & 1200, qui font 
2401 ,& 1440000 , eft le premier côté F, dont la valeur 
et 1437599 , & l’hyporenufe E* étant la fomme des mê- 
mes quarrez, fera 1442401, quieftaufli le quarré de E 
(1201) hypotenufe du Triangle précedent, fçavoir du 
deuxiéme. 

Le côté pair 8 AB C° D?, étant le double du produit 
de D°(49) par 4 A BC? (1200) fera 117600. 

Enfin , pour avoir le quatriéme Triangle, on prendra 
pour générateurs les nombres 117600, & 1441401, fça- 
voir le côté pair , & l’hypotenufe du troifiéme Triangle; 


EN NOMBRES. 197 


les quarrez de ces nombres font 1382960000, & 
208020644801, dont la fomme eft l’hypotenufe G 
(2094350404801 ) ; & la différence des mêmes quarrez 
eft le premier côté 206669088480 7, qui eft auffi le quar- 
ré de 1437599, premier côté du Triangle précedent, 
fçavoir F?,& le côté pair eft 539252715200, fçavoir 
le double du produit des deux nombres générateurs 
117600 ,& 1442401. 
Les aires fe trouvent par la voye ordinaire. 


PARC Pl OS LL L'ON TTL 
PRO BECEMME ST TL 


Trouver une multitude requife de Triangles Reétangles en 
nombres entiers qui ayent une même aire. 


N demande, par exemple, cinq Triangles en nom- 
bres entiers, chacun defquels ait un même nombre 
pour fon aire. 


CON. STERUV.CT I ON. 


- Soit pris un Triangle rectangle quelconque A,B,C; 
& foient faits des T'riangles en la mulritude requife , dont 
Paire foic mulriple-par un quarré de l'aire de ce Trian- 
gle , par la maniere dont on s’eft fervi pour faire ceux de 
la premiere Table ci-devant. Or on n’a befoin d’en faire 
qu'un moins de ce qui eft requis , à caufe de celui dont on 
fe fert pour faire les autres : ainfi, pour avoir cinq Trian- 
_ gles quiayent une même aire , il fuffra d’en faire quatre, 
parce que le Triangle donné fait le cinquiéme. 


DL: 2/0, 7 TON 


Soient faits par la méthode précedente quatre T'rian- 
gles, dont l'aire foit multiple par un quarré de celle du 
Triangle qu’on aura choifi pour faire lesautres, comme 
ceux de la premiere Table ; on en fera comme s'enfuit 

Bb ii 


L Triangle. 


93 DES FRIANGLES RECTANGLES 


cinq, dont chacun aura pour fon aire celle du plus grand 
Triangle. On divifera la plus grande aire de cous cesTrian. 
gles, qui eft celle du dernier , par laire de chacun des 
quatre autres,y compris le Triangle qui a fervi a faire tous 
les autres ; & on aura quatre quotiens, chacun defquels 
{era un nombre quarré , par la conclufon de là démon- 
ftration de la Propolition précedente : on prendra la ra- 
cine de chacun de ces quarrez , & chacune de ces racines 
eft le nombre par lequel on doit multiplier le Triangle, 
dont eft venu le quarré de cette racine par la divifion 
qu'on a faite. | 

La Table fuivante contient les cinq Triangles, dont 


l'aire eft multiple de 2 A B (6) par un quarré , y compris le, 


premier, A,B,C, dontl’aireeft + A B. 
OUR TER TL EME ES Thai  L UE 


DEA 4 RAS aire AB. 
2€ D2,4ABC?, E, aire 2 ABC2D?2. 
3° F2, 16 ABC?2D?2E?, G, aire 8 ABC2D2E2F2. 


4 H?,64 ABC2D?2E2F2G2, I, aire 32 ABC2D2E2F2G2H2. 
sc K2,256 ABG?D2E?2F2G:H:212,L,aire 128 ABC2D:E°F:G2H212K2. 


Et ces Triangles font le deuxiéme , le quatriéme, le 
fixiéme, & le huitième de la premiere Table, avec le 
Triangle donné ; & de ces quatre Triangles on en fera 
comme s'enfuit quatre autres, dont chacun aura pour fon 
aire celle du dernier & plus grand de ces Triangles. 

Pour faire qu’un mulriple du Triangle A ,B,C, ait la 
même aire que le cinquiéme & dernier de la Table précé. 
dente, fçavoir de la quatriéme, laquelle aire eft 128 
ABC:D'E°F°G°H°/°K°, on divifera cette aire pari 
AB, qui eff l’aire du Triangle donné A ,B, C; le quotient 
eft 156 C'D°E°F°G°H°I°K?°, qui eft un quarré ; fa ra- 
cineeft16CDEFGHIK, par laquelle mulripliant le 


Triangle A,B,C, 6n aura le Triangle r6 ACDEFG 


HIK, 16BCDEFGHIK, 16C°DEFGHIXK, 
dont l'aire eft 128 ABC*D°E°F°G*H°I°K'égale à celle 


| 
| 


EN NOMBRES. 199 


du cinquiéme & dernier Triangle de la quatriéme Table. 

Cette même aire du cinquième Triangle de la quatrié- 
me Table étant divifée par 2 À B C:D:, qui eft l'aire du 
deuxiéme Triangle de la quatriéme Table, donne 64 E’ 
F°G*H°1°K°, dont la racine eft8 EF GHIK, par la- 
quelle multipliant le deuxiéme Triangle D?,4 ABC?.E, 
on aura le Triangle 8 D'EFGHIK, 32 ABC*EFGHIK, 
8E°F GHIK, quieft le deuxiéme Triangle, dont l'aire 2 Triergk. 
cft la même que celle du cinquiéme & dernier Triangle. 

Cette même aire du cinquiéme Triangle étant divifée 3. Triangle. 
par 8 ABC*D'°E°F*, qui eft l’aire du croifiéme Triangle 
de la quatriéme Table, donne r6G*H°I°K;, dont la ra- 
cine eft4 GHIK, par laquelle multipliant ce troifiéme 
Triangle F:, 16 A BC*°D°'E°,G , on aura le troifiéme 
Triangle, qui a la même aire que le cinquiéme, ce Trian- 
glecft4F°GHIK, 64 ABC*D°E°GHIK,4G°HIK. 

Enfin , la même aire du cinquiéme Triangle étant di. 
vifée par 321 ABC?D°E°F°G°H}, qui eft l'aire du qua- 
triémeT riangle de la quatriéme Table, fçavoir du Trian- 
gle H°, 64 ABC*°D'°E°F°G:,1,cnaura 4 I1°K*°, dont la4. ring. 
racine eft 21K, par laquelle multipliant ce quatriéme 
Triangle ,on aura le quatriéme Triangle requis, 2H°IK, 

128 ABC?D°E°F°G2IK, 2 L°K, dontl’aire eft la même 
qu'aux précedens. 

Cette aire eft 118 ABC*D°E*F°G*H°I°K*, quieftla 
même que celle du cinquiéme & dernier Triangle dela 
quatriéme Table. Ce dernier Triangle eft K:, 256 ABC: 5 7“ 
D°EFG°H°/°, L , quieft le cinquiéme de ceux qui ont 
une même aire. 

Voici quelques Triangles en nombres entiers , qui ont 
une même aire. On n’a calculé que les trois premiers, 
pour éviter le calcul de fi grands nombres, qui n’appor- 
teroit aucune utilité ; & l’aire commune de ces Triangles 
eft celle du troifiéme de la quatriéme Table , & non pas 
celle du cinquiéme Triangle de la même quatriéme 
‘Fable. 


200 DES TRIANGLES RECTANGLES 


1 Triangle 725153687580, 966871533440, 120589479300, 

2e 169202$27102, 414373$357600, 4147188470398e 

3° 2066690884801; 3392$271$200,  20943$0404801° 
Aire commune 35056$12470739148 30837600. 


Pour faire qu’un Triangle multiple de 3 ,4,5$, ait la 
même aire,que celle du troifiéme, fçavoir 350565, &c, 
je divife certe aire par 6 , qui eft celle de 3,4, 5 ; le quo- 
tient eft $8412754117898 $805139600, quarré de 
241717895860, par lequel nombre on multiplie le 
Triangle 3,4, 5, pour avoir le premier Triangle 72515 
&c. qui a la mêmeaire que le troifiéme Triangle, fça- 
voir 35056, &c, 

Certe même aire du troifiéme Triangle étant divifée 
” par 29400, aire du deuxième Triangle D*, 4 À B C:, 
E, dont la valeur eft 49, 11200, 1101, donne 
1192398799$711388804, qui eft un quarré, dont la 
racine eft 3453112798, par laquelle multipliant le deu. 
xiéme Triangle 49 , 1200 , 1201, on aura le deuxiéme 
Triangle ci-deflus 169202, &c. qui a la même aire que 
le troifiéme 2066690 , &c. dont le calcul eft ci-devant à 
la fin de la deuxiéme Propofirion de cetre feconde Partie, 


REMARQUE. 


Cette méthode eft bien facile : toutefois elle a une 
incommodité , qui eft qu’on pañle incontinent à de fort 
grands nombres, comme on le voit en l’exemple préce- 
dent , auquel, quoiqu’on ait choifi le moindre de tous les 
Triangles, fçavoir 3,4,5$, pour fondement du calcul; 
néanmoins dès qu’on vient à crois Triangles qui ont une 
même aire, ils ont déja leurs côrez de douze ou treize 
chiffres, & l’aire en a jufques à vingt-quatre ; & fi onavoit 
befoin d’une plus grande multitude de Triangles, qu’on 
voulüt exprimer par des nombres, & non point par des 
caraétéres qui fignifiaflent ces nombres, leur grandeur 

£R 


est mul 


« L'EMNATNROLIMART A ENS. 1 T 21 CT xox 
enrendroir le calcul fi laborieux & f ennuyeux , que cela 
feroit perdre l'envie de s’y appliquer... ARE T 

Or pour évirer ce travail , on peut fe fervir d'une autre 
méthode , qui donne la mêmé quantité de Triangles qui 
ont une même aire, mais qui font beaucoup. moindres 
que ceux qu’on trouveroit par la méthode ci-deflus. Il 
eft vrai qu'il faur fe fervir de quelque adreffe pour les trou- 
ver,parce que comme leur recherche ne dépend pas d’une 
fuite néceflaire , qui foit connuë , il les faut découvrir par 
induction , en examinant quelquefois par le calcul fi quel- 
ques-uns des nombres qu’on trouve font les aires d’un ou 
de plufieurs Triangles. Voici quelques régles de cette 
méthode, & quelques exemples de Triangles ayant une 
même aire , qui ont été trouvez par fon moyen. 


7 Ze SRE CG, LE: ; 

+ Si l'aire d’un Triangle primitif eft mefurée par un quar- 
ré, & qu'étant divifée par ce quarré, le quotient foit l’aire 
d’un Triangle primitif, on pourra par ce quotient faire 
deux Triangles rectangles qui auront une même aire : 
ainfi 1320, aire du Triangle 48, 55, 73, étant divifé 
par 4, donne 330, aire du Triangle 11,60 ,61,& ce 
nombre 330 ,érant multiplié par 2 , racine de 4, donne 
le Triangle 22,120 ,122, dont l'aire eft aufi 1320. 


snnariT ds: E CRIE | 

Sion multiplie par un quarré l’aire d’un Triangle, & 
que ke produit foi l’aire d’un Triangle primitif, on en fera 
deux Triangles qui auront unemême aire ; comme fi 546, 
aire du Triangle 13,84,85$ ,eft multiplié par 9 ,on aura 
49r4, qui eft l’aire du Triangle primitif 27, 364,365; 
&multipliant le premier Triangle 13,84, 85, par 3 ra- 
cinede 9 , onaura le Triangle 39, 252,255, dontlaire 
eft aufi 49 14. (pi l 


Rec. de PA, Tem.Ÿ. Ce 


05 DES TRIANGLES RECTANGLES 


TABLE DE PLUSIEURS COUPLES 
de T'riangles qui ont une méme aire. 


210 eft l'aire des deux Triangles primitifs 20,21,29;: 


&12,3537: 

2730 eft l'aire des deux primitifs 28, 195$, 197,& 60, 
91,100. 
7980,des deux primitifs 40,399,401,&95,168,193. 

71610 ,desdeux 132,1085,1093,& 341,420, 541. 

85470, des deux 140,1221,1229,& 2$59,660,709. 

106260, desdeux 280,759,809,&385,552,673. 

114114,des deux 77,1964,1965,&364,627,725. 

10412040, des deux primitifs 528 , 7735, 7753; 
& 1001,4080,41201. 

Par des opérations à peu près femblables , on trou- 
vera trois Triangles qui auront une même aire en nom- 
bres entiers , par le moyen de deux qu’on aura déja trou- 
vez : car en multipliant par un quarréune aire qui eft com. 
mune à deux Triangles primitifs, s’il fe rencontre que le 
produit foir l'aire d’un Triangle primitif, on en fera trois 
TFriangles qui auront une même aire , ou bien fi on mul- 
tiplie l’aire d’un primitif, & que le produit foit l'aire de- 
deux Triangles, 


ESALE M;P LE. 


210 ,aire des deux Triangles20,21,29;12,35,37, 
multiplié par quatre, donne 840, aire duprimitifr $,1 12, 
113: & multipliant ces deux mêmes Triangles par 2, 
racine de 4, on aura 40,42, 58, &24,70,74, dont 
V’aire eft aufi 840. 

Que fi l’aire d'un Triangle primitif eft divifée par un 
quarré, & que le quotient foit l'aire d’un Triangle pri- 
mitif, & que cette aire étant multiphée par un quarré, 
le produit foit aufli l’aire d’un Triangle primitif, on en 
fera crois Triangles qui auront une même aire; & s’il fe 


EN NoMBRES, 203 
rencontre que l’une de ces aires ferve à deux Triangles 
primitifs, la plus grande fervira à quatre Triangles. 

uv @ 


TABLE DE PLUSIEURS TERNAIRES 
de T'riangles qui ont une mème aire. 
56% 3903 3943 . | 80, 798, 802, 
10$, 208, 233,aite 10920, | 105, Go8, G17, aire 31920, 
120, 182, 219, | 190, 336, 386, 


385, 1488, 1537, | $55»2640,2775, 
264, 2170, 2186, aire 286440 792,2850,2968, aire 1128600 
- 682, 840, 1082, | 148525202125, 


455,4128, 4153, | 462,2$20,2562, 
614,3010, 3074, aire939120 } 490,2376,2416, aire $8212Q 
1118, 1680, 2018; (1008, 11551533; 


1380,19019,19069, [5287735 7753 
3059, 8580, 9109,aifé13123110 | 1001 ,4080 , 4101 , aif£ 2042040 
4435, 5352, 73735 | 1430,2856, 3194» 


Ces trois, dont l’aireeft 13123110 ,fontles moindres 
entre les primitifs qui ayent unemême aire. j 

Pour trouver plus de trois Triangles ge ayent une mé- 
me aire comme 4, 5,6, &c. on peut fe fervir de quelques 
regles concernantles parties aliquotes, les combinaifons, 
&c. par le moyen defquelles on pourra connoître fr un 


* nombre eft l'aire de quelque Triangle rectangle : mais 


comme les opérationsen font longues & difficiles, on s’eft 
reftraint à ne donner ici que quelques uns de ces Trian- 
gles , qu’on a trouvez en fe fervant de ces regles. 


ae E = UT C4 ° 
ia | À # ù 


C ci] 


204 Des TRIANGLES RECTANGLES 


Î : r, i ) ‘ ) 1 | L 
TABLE DE TROIS QUATERN AIRES 
de Triangles qu# ont une même aire. 

111, 6160, 6161, 
231, 1960, , 2969, 


280, 2442, MROMETENE 
S18% Qna32es | 1418, 


aire 341880 


— Ces quatre Triangles font les moindres de tous ceux 
qui ont une même aireen nombre entier. 


3289; - 31920, 32089, 
2760.; 38038, 38138 3 
618, 17160, 18218, AMC A4 RP 


8970, (11704, 14746, 


HO 174713 He 

ap 194703 3,550 JF 

111800 24 3n0l. 81600: ARR aire 8168160 
2860, sir $7l2mnin 128288 


Pour faire ces quatre derniers Triangles on a pris 
1041040, quieft l’aire des deux Triangles primitifs 528, 
7735 , 7753, & 1001, 4080 ,4101 , laquelle divifée 
par quatre, donne $ro$io,aireduprimitif7rs,1428, 
1597, qui étant mulripliée par 2, racine de 4, donne 
1430, 2856, 3194, qui a pour fonaire 2041040,qua- 
druple de s$rosio ; & multipliant par 4 cette aire 
2041040, ona 8168160 ,aireduprimitifo3 $,17472, 
17497 ; & multipliant par 2 les trois Triangles cy-deflus, 
qui ont 2042040 pour leur aire, on aura les quatre cy- 
deflus, quiont 8168 160 pour leur aire, 


10EN NOMBRES, 205 


TABLE DE QUATRE QUINAIRES 
de Triangles qui ont une mème aire. 


280$, 52416, S$2491, 
» 3168, 46410, 46518, 1 
776006 ;, 24480, 25206, aire 73513440 
HS 236, 18080, 28564, 
8580, 17136, 19164, 
Si certe aire fervoit à quelque Triangle primitif , elle 
feroit l'aire de fix Triangles. 


2 _ 2 " 


On ne met point les hypotenufes aux quinze Triangles 
faivans. 


67234957: $6510961360, 
7133464951 5326320496, 
1141343921 3328950310, aire 1899756028534130760. 
1902257320, 1997370186, 
1339419029, 2734604880, 


4680061014, 3933$90730710; 
496543316490, 3707$2229792, 
79446906384, 231720143620, aire 920472427873258743 5040 
132411$10640,, 139032086172, 
130439977329, . 101025331520; 


3253393668734, 6403193472480, 

4454216308710; 4676927124156;, 

2672$29785232 7794878$40260 aire 104160225355$$2917327201 Go: 
1670331115770; 1247180$664416 ; 

606985166717; 3432049776960, 


ï 
cu 


Cc üj 


:206 DES TRIANGLES RECTANGLES,&c: 


EXEMPLE DESIX TRIANGLES 
qui ont une même aire. 


3368273192124726, 7613397033778710, 8$397$12775039216, 

3177637914640848,  9268110$84369140, 9797716903475948, 

72170$7793226$13r 4080707184305449, 8290844005210113, 

1986013696650ç30, 14329876934990624, 14961573514767326, 

187188440373958, 157331828456607840, 15733193981201$558, 

£296063191068080,  $560866350621484, 7679291627048716, 
Aire commune 1472$349794987762583672377315360, 


Tous ces Triangles font premiers entr’eux,c’eft-à-dire, 

qu'ils ne font point multiples de quatre, de cinq, ou de 
fix autres Triangles ; & fi on les multiplie par quelque 
nombre que ce foit, on aura d’autres Triangles qui au- 
ront auf une même aire, 


| DES 
QUARREZ 
OU 


TABLES MAGIQUES: 


A 
DES 
QUARREZ 
O U 


TABLES MAGIQUES. 


OO: appelle Quarré Magique celui qui étant divifé 
par cellules en quantité répréfentée par un nombre 
quarré , & lescellules étant remplies de nombres confé- 
cutifs, ou qui foient en même progreflion arithmétique, 
contient pareille fomme en chacune de fes lignes, de 
quelque façon qu’on les puifle prendre. Exemple : 

Le quarréA,B,C,D,1:16,A 
eft divifé en 16 cellules , & ces 
cellules font remplies desnombres 
confécutifs1,2,3,4,5:6,7,8, 
&c. jufqu’à 16 : & ces nombres 
font difpofez d’un tel ordre dans 
les cellules, que les nombres de 
chaque ligne étant aflemblez, 
font une fomme égale ; foir qu’on C 
prenne les lignesenlong , commer,1$,14,4,112,6, 
TADSlS, 10,14, 5,1 &NE3,3 V2, 16, ou quonides 
prenne de hautenbas, pouravoir1,12,8,13,115,6, 
10, 3,l14,7,11,2,l4,9,$,:6,louenfinfion con- 
fidere les deux diagonales ou lignes tranfverfales, 1,6, 
11,16,&4,7,10, 13, la & fomme de chacune de ces 

dligneseft 34. 
La fomme des nombres qui font en chaque ligne ne 
Rec. del Ac. Tom.F. d 


210 DEs QuaARREz MAGIQUES. 


fe peut pas prendre à difcrétion ; mais elle eft neceffaire à 
chaque figure : & voici le moyen de fçavoir quelle elle eft. 

La fomme du plus grand & du moindre nombre de 
ceux qu’on veut employer dans les cellules du quarré ma- 
gique étant multipliée par la moitié du côté du quarré, 
donne la fomme de chaque ligne. Ainfi au quarré qui à 
1 6 cellules, file moindrenombre eft r , & le plus grand 
16, & qu’on multiplie leur fomme 17 par 2, qui eft la 
moitié de 4, côté de 16, on aura 34 pour le nombre re- 

uis. 

Que fi le quarré magique eft impair, on multipliera la 
moitié de la fomme des deux nombres extrêmes par le 
côté du quarré. Ainfi quand on aura rempli le quarré qui 
a 2 ; cellules, file moindre des nombres eft r , & le plus 
grand 2$ , chaque ligne contiendra 65; qui fe trouve 
ajoutant les termes extrêmes 25 & 1 ; & prenant la moi- 
tié de 26, quieft leur fomme , & on aura 13, qui étant 
multiplié par $ , côté du quarré 25, donnera 65. 

Siles nombres dont on fe fert pour remplir les cellules 
ne commençoient pas par l’unite, ou qu’ils euflent autre 
difference entre eux que l’unité ; on ne laïfleroit pas de fe 
fervir des regles cy-deflus pour trouver la fomme desnom- 
bres de chaque ligne. Exemple : Que les nombres dont 
on veut remplir les cellules du quarré de4, quieftr6, 
foient3,$,7;9, 11,13, 15:17, 19,21, 23,25, 
27,29, 31; 33. J'aflemblelesextrèmes 3, & 33, pour 
avoir 36 , qui multiplié par 2 , moitié de 4, côté du quar- 
ré 16, donnera 72 pour la fomme des nombres de cha- 
que ligne. 

Si les extrêmes des nombres qu’on employe au quarré 
16, étoient 1 , & 31, je prendrois de même la fomme 
qui eft 32 ; quiérant multipliée par lemême 2 , donneroit 
64 pour la fomme des nombres de chaque ligne. 

De même fi pour remplir les cellules du quarré 9, qui 
a trois de côté, onfe fervoit de 4,7, 10,13,16,19, 


si4 « 
À 


æ 


Des QuARREZ MAGIQUES. AT 
22,25,28 ,je prendrois la fomme des extrêmes 4 & 18, 
qui eft 32, (laquelle fomme eft toujours un nombre pair, 
lors qu’il s’agit des quarrez impairs)la moitié de 32eit16, 
qui multiplié par le côté 3 , donne 48 pour la fomme des 
nombres qui font en chaque ligne. 

* Il faut maintenant voir la maniere dont onfe fert pour 
difpofer les nombres en celle forte que chaque ligne fafle 
une fomme égale. 

Il y a entr’autres deux méthodes qui fervent à cet effer. 
L'une eft pour les feulsimpairs, & l’autre peut fervir tant 
aux quarrez pairs qu'aux 1impairs. ; 

On donnera ici premierement celle qui appartient aux 
feuls impairs, puis on parlera de la generale. 

Aufquelles méthodés on fuppofera toujours pour plus 
grande facilité , que les nombres dont les cellules doivent 
être remplies, commencent par l'unité, & qu’elles s’entre- 
fuivent avec la difference de la mêmeunité , comme fonc 
1,2,3, 4,5, 6, &c. Caren ce qui dépend de placer 
& ranger les nombres dans les cellules, il n'importe pas 
quel foit le moindre nombre, ni quelle difference ils ayent 
entreeux, Il fuffit qu'ils foient en progreflion Arithméti- 
que, & qu'ils fe furmontent l’un l’autre d’un excès tou- 
jours égal, comme ,$,8,11,14,17, &C.ou4,9, 
143 19, 24, 29, &c. 

Pour remplir les cellules d’un quarréimpair, par exem- 


pins 
re A B 
N al4| [2 |é po TE 
ae MA Mc 2e 
c|8 | [6 | 8lr|l6é 

[9 


« LES 


ar DEs QUARREZ MAGIQUES. 


ple du quarré A B C D quia 9 cellules, je décris un autre 

quarré zbcd qui a pareillement 9 cellules, comme on 

voit ici : & fur chacune des faces du quarré, j'étens une 

autre cellule vis-à-vis de la cellule qui eft au milieu de 
chaque côté :lefquelles cellules font marquées « 8 y à. 

Cela fait, j'écris les nombres de fuite, commençant 

ar une des cellules qui font hors du quarré & par la plus 
éloignée du milieu. | 

Onécrira donc 1,2, 3 ,dansles cellulesæ , 2,8, puis 
revenant à la cellules, tirant vers d, on écrira4, 5, 6, 
& enfin aux cellulesy, c, À, on mettra 7, 8, 9. 

Ces nombres étant ainfi difpofez, je confidere ceux qui 
fe rencontrent dans le quarre #, 4, c, d, qui font4, 2, 
5, 8,6 , lefquels je mets aux mêmes places dans le 
quarré A,B, C, D, apprèté pour cer effer. 

1 refte donc à remplir lesaucres places vuides du quar- 
ré, ce qui fe fera mettant le nombre quieften *, en la cel- 
lule qui eft au-deflous de «, fcavoir entre 4,& 2 ; &en 
échange , le nombre qui eft en * , en celle qui eftau-deflus 
des, entre8 , &6. 

Et femblablement on mettra 7, qui efteny, vers 8, 
entre2,&6:& 3, quieften® ,on le mettra près de, 
entre4, & 8, comme on peut voir en la figure. On aura 
donc la figure complerte À BCD quia15, pour la fom- 
me des nombres de chacune de fes lignes , & diagonales. 

Mais parce que le quarré de 3, pour être trop petit ne 
donnera pas peut étre uneentiere connoiflance de la fa- 
gon dont on fabrique ces quarrez impairs, on en appor. 
tera un plus grand pour l'exemple, fçavoir celui de 49, 
qui a 7 de coté. ; 


sas 
10 


DEs QuaARREz MAGIQUES. 213 
B 


Ph bals 
18 26 34 10/42118 143 |26| 2 |34 
Rs Bi  lhohobslibslo 

16| Pal bel Lol frélshalzh:]s lo 
Bi bol | kbs|sbilrahols 

Ehol balles) els hohsbéhrle 
[7] 


214 Des Quarrez MAGIQUES. 


Ayant faitle quarré 4 cd, qui a fept cellules à chacun 
de fes côtez, j'éleve fur le côté 44, les cinq cellulesef, 
fçavoir deux moins que celles du quarré ; puis fur ces cinq 
je mersles trois marquées gh; puis fur ces crois j'en pofe 
une marquée#:car leur nombre doit toujours diminuer 
de deux. 

Semblablement fur chacun des autres côtez, comme 
furzc, fur cd, & fur db, je place cinq cellules, puis trois 
& une. J'écris après les nombres de fuite dans ces cellules, 
commençant par laquelle on voudra des quatre , qui font 
comme la pointe, & qui fontles pluséloignées du quarré 
abcd, comme par y; & de là tournant vers quelque côté 
qu’on voudra, ainfi qu’on voit en cette figure, (car il 
n'importe point par où on commence ) en laquelle les 
nombres1,2,3;,4,$,6,7,vontdeyversz. Puison 
revient à la cellule exterieure voifine de y, & tirant vers 
le même côté , on écrit les nombres fuivans 8,9,10,11, 
12,13, 14, & les autres nombres enfuite , comme La 
figure le pourra mieux reprefenter que le difcours. 

Les nombres étant ainfi placez, je confidere ceux qui 
fe rencontrent dansles cellules du quarréz 4 cd, &lesécris 
en la même difpofition & fituation dans les cellules du 
quarré A B CD , apprèté pour cer effer, ainfi qu’on peut 
voir ici. 

Cela fait , on remplira les places vuides avec les nom- 
bres des cellules qui font hors du quarré z4cd, en pre- 
nant tout ce qui eft dehors, fçavoire, g,#, h,f, dans 
lefquelles cellules font les nombres $, 13,21,6, 14, 
7 ; &les plaçant , ainf difpofez & tournez comme ils font, 
fur le côté oppofe cd , fçavoir les crois cellules de la ligne 
ef, où fontles nombres $ , 13, 21, furlestrois cellules 
vuides du côté c, d, marquées /, #, ». 

Puis on mettra les deux cellules deg, » , où font 6, 
14, fur les deux vuides der, /, marquées o, p, &c. 


Des QuaARREz MAGIQUES. 115 
œ 


DEN FE EE ET AE AE 


ee os M à 


«22 


Be 


Enfin on mettra 7, quieft en la cellule « ,en la cellule 


…  vuide, quieft au milieu dezv,marquée 4, & ainfi les fix 
nombres $,13,21,6, 14, 7, fe trouveront dans le quarré 
- enla même difpofition , & tournez du même côté qu'ils 


éroient hors du quarré. Les autres côtez fe rempliront 
de la même forte ; car on mertra les fix nombres qui font 
hors du quarré aux cellules 2,8, d, fur le côte oppofésze, 
& fur les deux côtez prochains, tirant vers 8, en forte que 


49, qui eften, foit plus près du $ que tous les autres, 


quand il fera placé. 


De même les nombres de d,4 ,c, feront placez du côté 

de #6, tournans leur pointe en bas vers  ,comme ils font 

hors du quarré ; & pareillement les nombres de z,7, c, {e- 

ront placez en la même façon fur 4,8, d,& on aura le 
quarré magique parfait , ainfi qu'on peut voir ici. 

On pourra ufer d’un autre moyen fi on a peur de fe mé- 
prendre , en voulant remplir les cellules vuides du quarré 
avec celles qui fonc hors du quarré, qui fera comme s’en- 
fuit, | | 

Depuis chaque cellule remplie qui eft hors du quarré ; 
on comptera en tirant vers le quarré autant de cellules 
tant pleines que vuides , que le quarré a de cellules à cha- 
que côté, fçavoir 7 au quarré que nous avons pris pour 
exemple; ainfi comptant fepr cellules depuis & où 5 eft 
écrit, fans l’y comprendre, on rencontrera la cellule mar- 
quée /: & comptant de même fept cellules depuis celle 
où eft le nombre 13, onrencontrera», & comptant de- 
puis f, on trouvera . Il faudra donc remplir les trois cel. 
lules /,m,n, desnombres $ ,13 ,21.Parla mêmeraifon 
le nombre de la cellule viendra en *, & celuide henp, 
& enfin celui deæen 4. 

Les 


PP 


Des QuArrREz MAGIQUES. 217 

Les autres côtez fe feront de même, car depuis chacu- 
ne des cellules remplies de la figure #8 d, qui font hors 
du quarré , comptant fept cellules vers le quarré, & le 
côté zc, oppofé au côté / d,ontrouveraune cellule vuide, 
qu'on remplira du nombre qui eft dans la cellule depuis 
laquelle on à compté 7 , & on fera le même des cellules 
qui font aux deux autres côtez du quarré. | 


Variation des quarreximpairs, particulierement du quarré 
qui a 5 de côté. 

* Les Tables des quarrez impairs fe peuvent varier en 
diverfes manieres felon qu’on difpofera les rangs des nom- 
bres. Par exemple en la figure de $ , au lieu de ranger 
les nombres, ainfi qu’on peut voir en A ,on les pourra aufli 
ranger comme on voit en B,&en C,& lesautres, defquels 
on peut voir les quarrez achevez , qui font placez à côté. 


=D VA PT EE NE 11.24 710 3 
Sp 1 ed DNA ED, Es Terres ns. 16 
APRES 


dent el (5). 725 70 # 
ES A EX MN CA 10 PT 10 18. x xd 27 


Mr 5 Masl le] d FRE) 
RE 2 ii 6 1 2 1j 
0 CN 
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Rec, de l'A, Tom. V. Ee 


218 Des QUuARREZ MAGIQUES 


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9 12 20 3 21 
22 10 13 16 4 
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e [2x [7 y | Tin 19,72 58 


9 12 20 23 x) 


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Au [ro] +1035 16 24. 
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ROME UR ER”. XS$'24 4 7.15 


Des QUARREZ MAGIQUES 219 


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LRO EC RE EX 1 11 24 17 
LE Au Nc 2 42 25 
PRET EE hu nioq synado : 
EPP LEE. 7757 
122] 18 | EX NEC b 207 HS1nE 
125 | [ol IE: | b 23 16 9 
FEU 4 | 


Le changement de ces figures eft facile à comprendre 
par l’infpection de celles qui font ici:repréfentées , auf 
quelles on voit qu’on peut tranfporter les lignes des nom- 
bres ainfi qu’on veut, pourvû qu’on change en même 
forte la ligne correfpondante ou rélative. Or les lignes 
rélatives ie celles qui font également éloignées de cel- 


les du milieu; ainfi la rélative de 34 ,enla figure À ,eft : 


lo, & celle der d,eftgh: de même celle de 77 ,eft 20, & 
celle dezB, eft «x. ; ù 

Par exemple, la ligne correfpondante de z8,eft Jo: 
& la correfpondante de cd ,eft zh. Mais e fn’a point de 
correfpondante, & ainfi elle ne peut être ôtée de fa place. 

On voit en la figure B, que la ligne « d tient le premier 
lieu , & par conféquent fa rélative g h fera au dernier lieu ; 
& 4 b étant au fecond lieu, fa rélative /o fera au qua. 
triéme. 

En C, on 2 tranfpofé la derniere ligne de À , fçavoir 
lo, & on l’a mife au fecond lieu, & fa relative 4 & au qua- 
triéme lieu ; le refte demeurant comme en B. 


120 DEs QuaArRREz MAGIQUES. 
ï EnDona placéghau fecond lieu , & fa relative cd ax 
quatriéme , le refte demeurant comme en A. y: 
On pourra enfuite tranfporter leslignes 46, «1,41,60, 
&ainf on auroit les figures fuivantes par la tranfpofition 
des lignes de la figure À ; aufquelles tranfpofitions on voit 
: comme gi-devant, quela ligne 4, qui eft au milieu, ng 
. fe change point, parce qu’elle n'a point de rélative, 


Des nr MAGIQUES. 


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222 Des Quarrez MAGI1QUES. | 
 S’enfuivent les tranfpofitions des lignes c G46, &c, 
de la figure B. page 218. 


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Des QUARREZ MAGIQUES. 223 


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224 Des QuaArrEz MAGIQUES. 


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Enfin 


DEs QuaArRREz MAGIQUES. 


225$. 


Enfin voici les changemens de la figure D, cy-deflus. 


———— 7 ——— ———" 


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Rec, del Ac, Tom,P. 


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[25] 


On peut encore varier ces Tables d’une autre maniere; 
par exemple la premiere Table de $ , qui eft 


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HTVA 7207 4À HE 20 NuAN A 
sd 2 25e æ 4 8 25 12 16€ 
A 19 7 L6)15 2H AT ENER, 317 ALL 3 


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23:46 LOT 2 715$ 23:,: 2.19, 6 UT 

G Biasbrmal 
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OL 180 TTAENE xO- 14 Ir 182% 
CAT S" "a3 207109 RAU7 ZT 13 0e 
412 25. :8076 4 38 215 12 16 


1HMNGNTO 12 2$ 231.2 19% 611% 


DEs QuARREZz MAGIQUES. 227 

Confiderant que les nombres des diagonales égale- yep pqure. 
ment diftans du milieu 13 , & pris deux à deux, font toû- 
jours un même nombre, fçavoir le double de 1 3 : car de 
là s'enfuir que mettant la ligne£ ç, à la place de d/, on 
aura la Table fuivante quieftencore felon les régles, vû 
que la ligne 4 g étant égale à d/, la tranfpofition ne leur 
apporte aucun changement, non plus qu'aux lignesszc, 
æ6,»4,&c. defquelles on n’ôte aucun nombre. 

Toute la difficulté fe pourroit rencontrer aux diago- 
nales , mais les nombres également diftans du milieu 13, 
faifant tous une même fomme ( ce qui arrive en toutes 
les tables faites comme il:a été montré ci-devant ) on 
n’ôte rien à l’une des-diagonales , qu’on n’en remette au- 
tant en nombres équivalens ; ainfi en la diagonale ef, 
de la table A , au lieu de 8 ,18 , qui font 26 , on remettra 
12 ,14, qui font parcillement 16. 

_ On pourra encore changer la figure À, en tranfpo. 
fant la ligne 4e, & la mettant en la place de 64, comme 
on voit ci-deflus en la figure C. 

Après on changera cout enfemble les lignes/g,&46, 
de la figure À , mettant #g à la place de d/,& 46, à la pla- 
ce de: : ou ce qui eft la même chofe, mettant feulemenc 
«€, de la figure B, enla place dec”, on aura la figure D. 

On changera encore d’une autre forte la figure A ,en 
mertant ep , à la place de d/,&4/f,à la place de 4 f. 

Comme aufli on pourra mettre 4e, à la place de «€, 
&/?,à la place des. 

Enfin on fera tous ces changemens enfemble, ce qui 
donnera les trois figures fuivantes; en la premiere def- 
quelles eft le premier changement ; en la feconde le fe- 
cond ; & en la troifiéme les deux enfemble. 


Se 


Ggi 


228 DEs QuARREZz MAGIQUES. 
Premiere. Seconde. T'roifième. 
ZA LE). 7 nv 3020 412,25) 18/26 12 4 2$ 16 .8 
1212 425 16 8 12 4241 +. 7 4201y>3 Air: 7103020 
s.17MH37%9) 21 17 MST FN 225 19 SN27113[ 912% 
18. 10 1 22 I4 23 2AGIAON É 2 LS 6 23 19 1$ 2 
. 6m230 T9 ANSE 101 18 . I 14 22 183 10 1 22 14 


Si on donne À la figure B, les trois changemens, on aura 
auffi pareillemenc crois autres figures, qui font les fui- 


vantes. 

20% 00770 3.24 4! 38) 2 MI2T716 
8 4 25 16 12 ET? 2020707403 
21/17 150 49 NS 17 PAR RES NES 
14 10 1 22118 23 MZ TONNES 
2523 T9) NN G 10 (14 (I 18 22 


16 12 
13 24 
Se) 
MS 
T2 20TS 


8 425$ 
20 11 7 
2117218 
2 23 19 
14 10 


Pareils changemens étant obfervez en C, donneront : 


24 LL 67483820 LEO TONER T4022 18 10 1 22 14 
191,10) FTE22 T4. ZI, 247 7120, 3 2441), 7 3020 
ER CAEN EME ANGEL Ve D) $. 17. 13,921 
Ver Aa R 1645 23 AIGm19la 2125 6 23 19 15 2 
GT 25 TORSNIe Z ANI2 CIN L8NIG 12 4 25 16 8 
De la figure D , on aura aufli les deux fuivances. | 
20:11 70 18)24 10 14 1/18 22 1 
14 10 “1 22 18 11120 MN 24 : 

rh PANE NU) 17227003 9 

8 4 2$ 16 12 PE CMOS) 

223,19 1$0 06 A $ 21$ 12 16 


La troifiéme eft femblable à une figure qui eft ci-de. 
vant au haut de la page 114, & dont la premiere ligne 


cbr 16m 56 4.8. 


- Des QUARREZ MAGIQUES. 229 
:: On aura donc par ce moyen quatorze tranfpofitions 
de la figure marquée A , cy-deflus, qui avec la figure À , 
font quinze figures, & parce qu’enfuire de la figure À, 
il ya encore 1 $ autres figures, qui fe font par le rombe 
ou chaffis; comme on peut voir aux pages 218,& fui- 
vantes, fi chacune d'elles donne autant de figures diffe- 
rentes, on auroit en tout 240 figures: mais il faut pren- 
dre garde s’il n’y aura point de figures femblables parmi 
ce nombre. 
Voici des exemples de la figure B cy-deflus, que 
nous avons remife ici, afin de la comparer avec celles qui 
en proviennent. 


11 19 225 3 
9 12 20 3 21 

22 10 13 16 4 BP 
$ 23 G 14 17 

19 LI ZA NAT 


1142502119 8 11 19 212$ 8 112$ 219 8 
9! 3 20 12 21 $ 23 G 14 17 S= 14/6231 417 
22 16 13 10 4 22 10 13 16 4 22 16 13 10 4 
$ 14 6 23 17 SA NZONMNPT QU NLONMAUTET 
LS PLAN IILUTS 18 114,7 1$ 18 7 24 I 1$ 


Ce font là les premiers changemens, chacun defquels 
fouffre encore d’autres tranfpofitions , ainfi que l’on a pü 
remarquer en la figure A , & qui donnent les figures fui- 
vantes. 


9 12 20 3 21. 19 11: 1. 8 25 1 18 24 1$ 7 
11,19 225 8 12 9 10 21: 3 12,,9.20:21, 3 
224410 13 16.4 10 22 13 4 16 10 22 13 4 1G 
LA IN24 AUS 23 $. 6 17 14 23 $ 617 14 

$ 23 6 x4 17 1 18 24 5197 19 11 2 8 215 


G gi 


230 Des QuARREZz MAGIQUES. 


9 "3 2 EE "2T 24 11 2 819 3 910 21 12 
1F2$ (2/19 $ 3 9 20 21 12 2$' 142088 19 
22016 13 10 4 éV220r3 41e 16 2213 410 
di bebe 1e ST del 7 MAO ONE 128 AUS. 24 DS NRE 

S_t4 6 23.17 7 13 24 1$ 1 LAID TC 17:25 

$ 23 G 14 17 23): LSRMEMIT 14 
111922025106 19 11, 2/08,26 
ANTON AIGIUIA 10 22 13 416 
1911424007 IS JS 24 NE 

2 12 20 3 21 12 9 20 21 3 


$ 14 G 23 17 DENT LUS TQ 


DIU 20 140 GG 23 
22 16 13 10 4 16 22,13 AUTO 
PC AIO EE EPS QC 3 MONO 2ANTE 
JÛNNLONMELUIT 7 NS ECS 


Les deux places vuides montrent que les figures quiy 
devroient être font femblables à quelques-unes des cables 
précedentes , & elles ont été obmifes pour éviter la ré- 
pétition, 

On peut donc voir que la table B , fe varie en 14 fa- 
çons elle comprife ; mais la précedente table A, fe varie 
en 15 fortes, d’où s'enfuit qu'on n'aura pas 240 varia- 
tions en tout, car il faudroit que chacune des tables eût 
autant de variations que la premiere, ce qui n’eft pas, à 
caufe que les mêmes reviennent, 

On pourra faire les variations des autres tables ainfi 

u’on a fait aux deux premieres À , & B. 

Il fe trouve encore d’autres variations , qui ne font pas 
fi faciles que les précedentes ; fçavoir celles aufquelles le 
nombre 13, qui tient le milieu à toutes les tables préce- 
dentes, fe trouve changé, & hors de certe place. 


nt dns 


=" 


han aa 


| 
| 


DEs QuaARREz MAGIQUES. 231 

Mais toutes lesrables précedentes ne peuvent pas fouf- 
frir cettevariation , car entre les premieres qui fe fonc par 
les rombesou chafis , il ny a que la premiere marquée À, 
& la premiere de la page 43 1 , & certe façon de change- 
ment , fçavoir de la figure À , ne fait pas que toutes {or- 
tes de nombres puiflent occuper le milieu ; mais on n'y 
pourra placer par cette voye que 7,9,17, 19. 

Les autres figures qui font enfuite des premieres , don- 
nent bien aufli quelques variations, qui néanmoins fe 
peuvent faire fans elles en conféquence des changemens 
des deux premieres marquées A, A. 

Voici donc de quelle façon on changera la figure A. 


a GE e 
Ê ANA 2DNT3 
4 12 212$ 8 16 
Al ai So nee 9 à 
10 18 I 14 22 
23 6 19 215 


1. b 2 


- L 

Certe figure fe changera en quatre façons. 

La premiere, mettant la ligne ze, à la place des 

La feconde, mettanrlaligne ep, à la place dec b. 

La troifiéme , mettant la ligne fp, au lieu dey 4. 

Et la quatriéme, mettant la ligne zf, au lieu de cb. Et 
on aura les quatre figures fuivantes , la premiere defquel- 
les a 7 au milieu , au lieu de 13 , la feconde a 9 au milieu, 
la croifiéme a 19, & la quatriéme 17. 


342 Des QuaARREz MAGIQUES. 
17 S$u3 2MMovao24d obama dix -2 409 doté 
4 12-2428 0 Du 2549 rat GENE 4:12 AN OTIONTES 
Hrr 24 87120428 amorce ere, le d'i6 019 Tree 
10 18/04 E: 14 NO bPNZZ 144 EMMA. Tr TARA 


23 ‘6.19 22 50 MBR PAS: {2 10 MEAMNRONS +2 DP108 


On fera les mêmes changemens 7 24 11 20 3 
à cetteautrefiguremarquéeL,qui 25 12 4 8 16 
fuit, comme onle peut voir : mais 13 $ 17 21 9 
ilfaut montrer quecechangement. 1.18 10 14 22 
Cy ne peut apporter aucuneinégali- 19 6 23 2 15 
té aux lignes,& par conféquent que 
les figures mêlces demeureront bonnes. 

Parce qu’on tranfporte la ligne toute entiere de fa pla- 
ce, ilne peut pas arriver d’inégalité aux lignes, & toute 
l'inégalité qui pourroit furvenir par ce changement’, fe. 
roit aux Diagonales, Mais le tout eft bien récompenfé ; 
car au premier changement on met 7à la place de 13, 
d'ou il arriveroit que chacune des diagonales auroit faute 
de 6, mais ce 6 eft misen chacune d’elles en changeant 
les lignes, car mettant la ligne y4, de la Table A, àla 
He deze, 17 occupera la place de 11, d’où vient que 
a diagonale zp, eftaugmentééde6, ce qui récompenfe 
la diminution précedente de 7, au lieu de 13, 

Pareillement 9 viendra à la place de 3 , ce qui corrigera 
le défaur de la diagonale ef. 

On verifiera delamême forte, que les autres change. 
mens n’ôtent point les égalitez qui fontrequifes aux Ta- 
bles. 

La figure L, fera variée en la même maniere ; maisil 
faudra prendre une des lignes du milieu, au lieu qu’on 


changeoit les extrêmes à la Table précedente, comme 
on peut voir ici, 3 \ 


Des QuaARREz MAGIQUES 233 
HA A € 
do, LG (A AN AU 
ÆJ6 BS:/19) 628 2e 
5 ANR 17 MT TE 
Fans 7,41 299 
18 22 12 16 ‘14 


8 b 1 


où on changera #6, en ch, pour avoir la premiere figure 
en, enchpourlafecondezeeny4, pourlatroifième , & 
enfinfp, enys, pour la derniere, & on aura les figures 
fuivantes. 


Male té À WT INPz 16 A 25 Bt, €Z2 16 25 
6 19 1$ 23 7z BUTS 23210 "a $ 913 
NEA 1917 21 SONO PTS ST 6 1$ 19 

RDS A NS ID 70 2 24 03 7 
MON 22/10 147/18 22 400 1 44 LRO 22 1 


RaANIT 6:15 "ANS 
61922) 2 
24 SR IDI2Q] 
ÿ HI 2E 
8/22  EI1QI4 


Chacune de ces figures, & des quatre autres précéden- 
tes qui font en l’autre page, fouffrent encore plufieurs 
fortes de changemens, dont on donnera ici quelques 
exemples. : 

Premierement on leur peut attribuer les mêmes chan- 
gemens qu’à la figure dont elles proviennent : ainfi la pre- 
miere figure de celles qui viennent de A, fçavoir celle qui 
eftici marquée H, fouffre les mêmes variations que À, 
car on poura tranfpofer 4f, &ep,ench,& pareillement 
ae, &fpenys, maisentre ces Tablesily.en.auroit une 
{embiable à la Table A : onmertra feulemencici-celles qui 

Rec. de VAc, Tom. V. * Hh 


4 0.6 
17 2 
213 Na 
1 EC 
10 14 


234 DEs QuaArRrEz MAGIQUES. 
4 c e 
17 MS MAS VENTRE 
4. 2 25.1VonN ne 
PRE UE 077 POUR 
#10 18 LT) 02 
0 Per pes 0 OI a à 
f h ? 
ont un nouveau nombre au milieu ; car il n’y a aucun 
nombre impair, qui ne puifle tenir le milieu de la figure, 
comme l’on voit par les fuivantes. 


14 SAT SENS NA CL TR UE 


Se T2, 4 8x ANX2E M6) 08 ES 
TV 2H EL 3 pré |’ 3.20 VER 
L'TOMFONT4 22 TOTAL NCRANNE 


Fou 23 ES 23 GNT. ze 
De ces deux on pourra auffi faire les fuivantes. 


F7" Mg 17 Ne Rires 


SLR SN dl Ai 4 1216 8 2$ 
LU 6 2 ANTS 230 6 1 $ L' 2 1K ER 
11810 44722 IO 18/2214 UE 


72 SLT LOU 3 DIN 72007 


1] ya encore une autre cranfpofition de la figure H cy- 
devant, fçavoir en mettante», à la place de y, comme 
on voitici, 

LES SOU AU À DRE LC 
ACER 2 2 MENT E 
10 18 F4) 32 
18 2 ai ait 2@ 22113 
23 6 19 à 1S$ 


Et changeant en certe même forte les trois autres figu- 
res de la page 232, on aura les fuivantes. 


DEs QuARREz MAGIQUE Ss. 235 


TAN DEMO JO IT. 247,20 % 7 14 20 
ANTON 6 Z2S, 23, 7610, à ES 2$ 012 18 
27" OMS ZI 45 4 12 25 8 16 194627 
TOMBENT S. T4 WT TOME, T 14 22 1 18 14 
CT 67 TD MAT US) 2T Pre Nb 
Ona doncici des exemples de touslesnombres impairs 
qui tiennent le milieu des figures; pour ce qui eft des nom- 
bres pairs, il y auroit plus de difficulté à leur faire tenir le 
milieu de la figure, & peut-être il eftimpoffble. 
Ces figures fe varient encore d’une autre forte, dont il 
a été fait mention cy-devant : par exemple, la figure Hfe 


4 b 
ARS ER EME RE 
Pr 28/4 2. +06 
M 248 ZUMOE 10 8 ET 

ob PNB NES xd 22 
252,00. 19 2 rs 

c 


variera, mettant z4, en la place de cd, comme auffi ze 
en la place de 4 d : & enfin,afflemblant ces deux variations, 
fçavoir , tranfpofant tout enfemblez4, encd, & zcen 
bd, on aura les trois Tables fuivantes, 


DA ANR Go 2 r5 vS 6219 
RÉ RE 4 T2 25 9.16 SG V2, 25 
72407120 Fax 24, 720 | 3 Fo SANG 
BRU VI LAIIO | HOMESDUI 14422 22-0807 


2 
8 
20 


14 


MR LT. 21e 314 1700 MOR3 20.09 MMS 21 


Les autres Tables peuvent fouffrir les mêmes varia- 
tions, qui feroienc trop longues à déduire, & cela fera une 
fort grande quantité de Tables differentes : & celles-cy 
fafiront pour faire voir de quelle façon elles fe pourront 
trouyer. 

Hhij 


13 

4 
II 
10 


17, 


236 Des QuARREz MAGIQUES. 

On pourra encore faire d’autres fortes de tranfpofi. 
tions ; par exemple, dela figureF, mettant laligneo ,$, 
13,21,17,aàla placede16,12,25,8,4, parce que17,& 
8, qui font dans la diagonale, font égaux à 21,& 4. Et 
pareillement de l’autre côté 16, & 5 , font égaux à 9 & 
12, & pareïllement on pourra metre la ligne 3 ,24, 7, 
20,11, alaplacede22,18 ,1, 14, 10, parceque 14, & 
7, en la diagonale font égaux à 10, &1 ; & pareillement 
7,&18,{ontégauxa14, &I. 

Comme aufli en lafigure H, on pourroit tranfporter la 
ligne17, 5, 13,21, 9, àlaplacederc,18,1,14,22, 
parce que les nombres de la diagonale 9, & 18, font égaux 
a $,22, & les deux 17,14, à 21, & 10. on peut voir 
ces deux Tables tranfpofées cy-après, & cette tranf- 
pofition fe peut faire toutes fois & quantes qu’on peut 
choifir un quarré dans la figure qui ait deux de fes angles 
dans la diagonale de la figure , & auquel les nombres des 
angles oppofez foient égaux à ceux des deux autresangles, 
& que la même chofe arrive au quarré pris dans les mê- 
mes lignes qui bornent le quarré dans l’autre côté de la 
figure. 

Ainfi en la figure H, je choifisun quarré dont les an- 
gles font $, 9, 22,18, dont deux, fçavoir 18 & 9 , font 
dans la diagonale, &les angles oppofez, commer8 &9, 
font enfembleégaux aux deux autres 12 & 5 ; &fion prend 
le quarré qui eft de l’autre côté dela figure entre les mê- 
meslignes 44, &fg, dontlesangles font17, 21, 14,10, 
on trouvera de même que les angles oppofez 17,14, font 
égaux aux deux autresio , 21. 


16 12 125$ 8 4 J ‘$ Eÿ M A7NMIO 18 x ré 47 
9 $ r312m07 16: 42, 25080 4 '12 25 80re 
3 14 201 22 18 F9r# no Fr 74 720 JG 
22 13 MNT 3.14. (HNSONTE 17" S URS" LEE 
25 - 6 19 Ra r5 Gr again 23 6 19 21f 


Des QuaArRREz MAGIQUES. 237 

Les Tables, dont le côté eft pair , fe trouveront d’un€ 
autre façon, laquelle eft aufli commune avec les impairs : 
mais premierement nous donnerons celle de 16, quia4 


de côté. 
- El faut difpofer les 16 nombres felon leur ordre naturel, 
comme on voit ici. 
pobh2iqniitég 
PONT LONE NL 


9 10 Ir 12 


13 I4 15 16 
Puis on marque les diagonales avec des points, afin de 
remarquer les nombres qui s’y trouvent, car les mêmes 
front auff dans les diagonales de ka Table, en même fi- 
tuation qu'ils font ici. Je mecs donc à part les nombres 
ui compofenc les diagonales en la même difpofition, 


comme il eft ici marqué. 
z AE: 
6 7 
10 IT 
13 16 


Et pour achever la Table on met les nombres qui font 
hors des diagonales, vers leurs oppofez en croix 5 fçavoir 
14 à la place de 3 , 15 àlaplacede 2, 12 àla place des, & 
8 à la place 9, & on aura la figure fuivante. 


7 5ÿ 14°" 4% 
2 6 g) 9 
8 1© 717 $ 
33 3% 2 x6 
Hhi 


238 DEs QUARREZ MAGIQUES: 


METHODE GENERALE. 
pour faire les Tables Magiques. 


Arla méthode fuivante on pourra faire toutes fortes 

de Tables tant paires qu’impaires, maisil fautremar- 
quer une propriete particuliere des Tables faites par cette 
méthode, qui eft que fi on ôte l'enceinte de quelqu’une 
de ces Tables, celle quireftera ne laiffera pas d’avoir en- 
core coutes fes lignes égales; & fi de ce refte on ôteencore 
une enceinte , le refte aura encore fesligneségales , & ain- 
fi jufqu’à ce que la derniere Table qui refte n'ait plus que 
4 de côté fielle eft paire , & 3 de côté fi elle eft impaire, 
caril n’y a point de Table de4 de côté, dont ôtantune 
enceinte, le refte ait fes lignes égales. 

Exemple. Que la Table ait:2 de chaque côté ,fion ête 
la premiere enceinte, il reftera une Table quiaura 10 à 
chacun de fes côtez, & qui aura encore fes lignes égales, 
Et Otant une enceinte de cette Table de ro , on aura une 
Table de 8 qui aura encore toutes fes lignes égales. 

Et fi de certe Table de8 on ôte encore une enceinte, il 
reftera une Table de 6. 

Enfin fi on ôte une enceinte de cetre Table de 6,il refte” 
ra une Table de 4,qui aura encore les conditions requifes, 

Et ainfiayant une Table de r2, on en aura aufi une de 
io ,une de 8 , une de6 , & de4. 

On trouve enfuite des moyens pour faire qu’il n’y ait 
qu'une feule Table qui foir bonne, & qu'ôtanr les encein- 
tes, celle qui refte ne foic plus felon les regles ; ou fi l’on 
veur, telle Table qu’on voudra fera bonne , & les autres 
ne vaudrontrien. Ainfiayantune Table de 12 ,onpourra 
faire qu'Orant quelques enceintes qu’on voudra, le refte 
ne foit pas bon ; ou bien que les Tables de 8 & de 4 qui y 
font contenuës, ferontbonnes, & les autres non, & cela 
£e peut faire en toutes les manieres qu’on voudra, 


Des QuaArRREz MAGIQUES. 239 


Mais parce que les exemples apprendront mieux la 
maniere de faire ces Tables, que rous les préceptes qu’on 
en pourroit donner, il fera plus à propos de faire connot. 
tre ceux-ci par le moyen de ceux.là. 


Exemple premier d'une Table de 6. 


I L faut en premier lieu difpofer lesnombres dont on doit 
remplir les 36 cellules de la Table, felon leur ordre 
naturel, & en faire deux lignes , qui feront l’une deflus 
l’autre, en celle forte que lesnombres des deux lignes qui 
font l’une fur l’autre faflent 37, fçavoir 1 , plus quele plus 
grand nombre, quiet 36, commeonles voitici , & les 
nombres de ces deux lignes fe nommeront relatifs: ainfi 
3 5 eftrelatif de z , 34 de 3 , &ainfi des autres : de même 
6ferarelatif de 31, 7de 30, &c. 


UT) LS 67 0 0 PAG IT 12 13 14 15 16 17 18 
36 35 34 33 32 31 30 29 18 27 26 25 14 23 21 21 20 19 
Et cela fe doit obferver en toutes Tables, afin de pou- 
voir avec plus de facilité choifir les nombres dont on a 
befoin. 
Après on prendra feize nombres , fçavoir huit de la 
premiere ligne, & les huit correfpondans ou relatifs dans 
la feconde. Il fera bon que les huit nombres foient de fuice 
ou qu’ils ayent entre eux une différence égale, quoiqu'il 
fufñie que quatre de ces nombres ayent une même diffe- 
rence, & les quatre autres auffi, & enfuite on prendra leur 
relatifs ; car en cette façon de conftruire les Tables, il faut 
être foigneux de ne prendre jamaisunnombre, qu’on ne 
fe ferve auf de fon relatif , autrement on ne pourroit pas 
faire une Table par certe méthode. 
_ Je prensdoncles huit premiers nombresr,1,3,4,5, 
6,7, 8, &leursrelatifs29, 30, 31, 32, 33,34,35, 
36, qui font 16 nombres, dont je fais une Table de 4, 
ainfi qu’ila été enfeigné à la page 237 du Traité précé- 


240 Des QuarRrEz MAGIQUES+ 
dent ; fçavoir écrivant les feize nombres, comme on Voit 
ici. 


36 dde de F6 


Puis retenant les diagonales , comme l'on voit dans l4 
figure fuivante. 
ï 4 
6; ::7 
30 31 
33 36 


Et enfin rempliffant les efpaces vuides, en y mettant 
les nombres oppofez en croix ; fçavoir 3 $ àla place de, 
&2alaplace de 3$, puis 34à la place de 3 , & ainfi des 
autres, on aura la figure difpofée comme il fuit. 


1 3$ 34 4 
3214 6h #9 
8.3 0171RRe $ 
LA QE, bo Lust DR À 


Ces nombres étant employez, je les marque par quel- 
que figne, comme on peut voir en la page précedente, où 
cous les trente - fix nombres font de fuite en deux lignes, 
afin q1’on püifle connoître ceux qui ont déja fervi à faire 
la Table intérieure, & qu’on ne prenne point deux fois 
un même nombre, 

Cela fait, je choifis deux nombres de ceux qui reftenc, 
pour metre près des angles de la figure de quatre, fça- 

voir 


Des QUARREZ MAGIrQUESs. 24T 
voiren continuation de fa diagonale, qui ferviront d’an- 
gles à l'autre enceinte exterieure. °°. RE 

Onprendra, parexemple, 9 & ro’ pour les deux an- 
gles, ou extrémitez d'une même ligne. 

Ayant misles nombres 9 & ro aux angles prochains, & 
non pas oppofez, je mets leurs complémens aux angles 
oppofez, comme on voitici, fçavoir 28 àl’oppoñite deo, 
& 27 à l’oppoñite de 10. Las. 


9 10 9 2$ 26 23 18 10 


1 35 34 4 16 1 3$ 34 4 2x 
SRG r:Fi029 20 32 6 7 29 47 
30h FE: 20 24 8 30 31  $ x3 
33.1 .35:08 1 186 15 33 3 2 36 22 
22 28 27 12 IL 14. 19 28 


Cela fait, je confidere ce qu'il faut dans deux lignes 
prochaines de la derniere enceinte pour les achever ; car 
lors qu’on a deux lignes prochaines, les complémens des 
nombres donnent les oppofez. Je rrouve que dans la ligne 
9 , 10, il faut 92 pour parfaire la ligne ; car chaque ligne 
doit être de x11 ; ce qui fe trouve multipliant la fomme 
des deux nombres extrêmes dela figure, quifoncr,& 36, 
dont la fomme eft 37, par la moitié des nombres qui font 
en chaque ligne, fçavoir par 3. à 

Et de ce produit r11, Otant 19, qui eft la fomme de 9 
& 10, il reftera 92 pour la fomme des quatre nombres qui 
doivent être mis entre 9 &io. 

De même, fi de 111 j'ôte 38 , qui eff la fomme de 28 
& 10 , qui font aux angles qui bornent la ligne 10, 28, il 
reftera 73 pour les quatre nombres qui manquenr à la li- 
gne 10, 28, Ë 

Il faut donc chercher dans les nombres qui reftent,qua- 
tre nombres, dont la fomme foit 91 , & quatre autres 
dont la fomme foit 73, à telle condition toucefois, qu’a- 

rès avoir pris un nombre ;on ne fe ferve plus de fon com: 

Rec, de l'A. Tom. F. - | Ji 


242 Des QUARREZ MAGIQUES. 
plément dans ces deux premieres lignes ; parce qué ce 
complément doit être mis dans la ligne oppofée ; ce qui 
doit toujours être exattementobfervé. | 

Pour venir plus facilement à bout de cela, l’on écrira 
les nombres qui reftent de fuire , & leurs complémens au- 
deflous, comme il fuir, 


DS M2 US US DMILIDR ET EE 
2610.25: 242 OUEN "20 MED 
APE) | 

Cela fait, je cherche quatre nombres dans ces deux li- 
gnes qui faflent 92:je trouve 16 ,15$:, 23, 18: jeles mar- 
que au-deflous avec de petites lignes , afin de ne les plus 
reprendre, ni leurs complémens aufli. Après, je choifis 
quatre nombres dansles huit qui reftent, qui faflenc 73; 
mais en choififlant les deux premiers, il faut faire en forte 
qu'il ne refte pas 3 7 pour les deux autres, ainf les deux 
nombres ne pourront pas être 16, & 10, qui font 36, 
parce qu'il refteroit 37 pour les deux autres nombres , ce 
qui ne fe peut faire que par deux relarifs, comme par1$., 
22, &13, 24, ce quieft contreles regles ; c’eft pourquoi 
il faudra prendre deux nombresqui faflent plus ou moins 
de 36, comme 21 & 17, qui font 38, & refke 3 5. Pour 
achever 73, on fera 3 $ avec13 , & 22: on aura donc les 
quatrenombres21,17, 13,22; qu'on mettra Entre 10, 
& 28,8& il n'importe pasen quelordre, pourvü que vis-a- 
vis d’eux en la même ligne de la colomne oppofée ; fça- 
voirentre9, &17,0on mette leurs complémens felon le 
même ordre, comme on voit en la figure qui eft achevée 
en la page précédente. 

De même, je metsentre 9 & 10 les quatre nombres qui 
ont été premierement trouvez, fçavoir 26,25 ,23,18; 
& vis-à-vis en la ligne oppolée, & entre 17, 128, je mets 
leurscomplémens 11 ,12,14,19.Etainfi on aura la figure 
parfaite. 


Des QuARREz MAci QUES. 143 
Second exemple de la Table de Te 


L ya une chofe à obferver quand les nombres de la T'a- 
Line de quatre font tous de fuite, & que les 
vingt de l’enceinte exterieure font les dix premiers & leurs 
complémens ; fçavoir, Na du + 


NE L: °2, 108474 EURO POAEPER ES 77118 
16 LES MSA" 378 APE SA SON ED NP28 27 
En ce cas il ne faudra pas none pour les angles pro- 
chaïns, deux nombres qui foient en quotité pairs ou im- 
pairs, fçavoir en cet exemple deux pairs où deux impairs, 
comme2,4,0u3,5$,ou$,9, & autres femblables, 
autrement on ne pourroit.pas achever la Table , parce 
u’il arrive toujours en faifant la feconde ligne, que la 
ire des nombreselt paire quand elle doit être impaire, 
& au contraire , la raifon eft qu’en lafeconde ligne il faut 
toujours prendre deux dés grands nombres, & deux des 
moindres , à caufe qu’ils fonc beaucoup différens l’un de 
laucreiucs TE CR ITR Se At deb 
- Voiciune Table qui aées nombres à fon énceinte exte- 
rieure, | 

CICR AE IRC ET RRE NT ORT 
ARIANE, 124. AU 10 
ARMAND LT AUTO ?3 
9.. 118 tt 61 28 
RM Dr EL AEPNUE RUE PRE TONER 
Sr ot Pda er Led / 
©. - pvirhel 
à: 1 06 de Por di GA 
; 35 443 On F9: 8 A 
- Ïlarrive affér fouvent en ces petites figures, à caufe du 


peu de nombrés qu’il y a en chaque ligne, qu'ayant choïfi: 
Tiij 


244. Des QUuARREZ MAGIQUES.. 


les quatre pour la premiereligne, ceux de la feconde ne 


peuvent pas faire la fomme qui feroit néceflaire ; comme 


en cet exemple, fientre 1 & 4 on mettoit 3$, 32, 30,9; 
P » + 3 ) 29% 


quienfemble font 106 , ainfi qu'il eft requis, il refteroit 
3, 6, 8,10, &leurs complémens 34, 31, 29,27,qu'on 
ne peut pasemployer pour faire 71, qui eft la fomme que 
doiventravoir les quatre nombres qu’on doit mettre entre 
4 & 36, c’eft pourquoi on changera les quatre dela pre- 
miere ligne qui font encre les angles, & au lieu de 3 $ ,32, 
30,9,on en prendra d’autres équivalens;par exemple, 35, 
2,29, 10. Mais parce queles nombres qui reftent pour 
l'autre ligne ne peuvent pas encore faire 71 , il les faudra 
encore changer, & prendre 35 , 31,30, 10 , & ceux 
qui refteront pourront faire 71, comme l’on voit aflem- 
blant les quatre nombres, 3, 8,28, 32. 
Que fi après avoir changé les lignes en diverfes manie- 
res, on ne pouvoit trouver fon compte, il faudroit avoir 


recours aux angles & les changer, ou du moins l’un d’eux, 


& fon complément , tant que la difficulté cefle. 

Enfin cela dépend plus de l’induftrie de celui qui cher” 
che, que non pas de certaine regle infaillible qu’on pour- 
roit donner pour cer effet , laquelle fe peut bien trouver 
pour lesimpairs, comme ila été montré cy-devant, maïs 
la même chofe ne fuccede pas aux Tables paires. Voici 
pourtant une méthode qui facilitera beaucoup cette re- 

‘cherche. | 

Ayant écrit les huit nombres entre les deux qui font 
aux angles, comme on voit au bas de la page 2143 , on 
mettra enfuite la valeur des quatre nombres qui doivent 
étreentre 1 & 4, qui eft 106, parce qu'ôtant $, fçavoir 
la fomme de 4 & 1, der11, quieft la valeur de chaque 
ligne , il refte 106 ; on mertra aufli la valeur des quatre 
nombres qui doivent être entre 4 & 36, qui eft 7r,je 
cherche après quatre nombres dans les feize des deux h- 
gnes, qui valent 106, à telle condition qu'après avoir 


DzEs QuaARREZz MaAGI1QUES. 245$ 


prisun desnombres, on ne prenne pas auffi fon complé- 
ment, & commençant par les deux plus grands 35 & 34; 
qui enfemble valent 69 , il faur ôter certe fomme de106, 
refte 37 ; qui étant la fomme des deux relatifs , ne peutpas 
êtreemployée dans ces Tables. Il faut donc prendre deux 
autres nombres, fçavoir 35 & 32, la fomme eft 67, qui 
Ôtée de 106, refte 39 , on fera 39 avec3r , 8 : on aura 
donc les quatre nombres 35, 32,31, 8, qu’il faudra 
mettre entre 1 & 4 de la Table A. Il faut après remplir la 
ligne 4, 36, avec quatre des nombres qui reftent, qui 
font3,7,9,10, &leurscomplémens 34,30 ,18 , 27. 
Voici comme on y procedera. I] faut aflembler les qua- 
tre moindres nombres, fçavoir 3 ,7,9 ,10:la fommeeft 
29, qui Ôtée de 71 qui eft la valeur de quatre nombres, 
qui doivent être mis entre 4 & 3 6 de la table À, refte 42. 


A 
1 4 
II 25 24 14 
22 16 17 19 
uBlzQ; 2mLS é 
FRS: 1226) 
at 36 


11 faut voir fi on pourra faire 42 avec la différence qui 
eft entre les quatre nombres, 3 ,7,9,10, & leurs com- 
plémens 34,30, 18,27; comme on peut voir en cette 
figure , & leur différence entre deux ; on trouve 13 &19 


J7 DU 
ZI 23 19 17 
34 30 28 27 


différencesentre 7,30,& 9,28 ,qui font 42. Onpreris 

dra donc 3,30,28, 10, pour les quatre nombres qui 

doivent être mis entre 4, 36, qui font aux extrémitez 
Ji ii 


346 DEs QuaArRrEz MAGIQUES. 

de la derniere colomne , car puifque les quatre nombres 
3,7,9,10,manquent de 42 pour faire 71, qui eft la va- 
leur de quatre nombres qui doivent être entre 4&36, 
& que 30 & 28 furpañlent 7 & 9 de 42 ,il faudra prendre 
30 &28 , au lieu de 7 &9 ; on aura donc la table accom- 
plie , comme on la voir ici, mettant les quatre nombres 


135$ 32 31 8 4 
CE ie A 2 A TUE 
7 22 16 17 19 30 
9 18 20 2115 28 
27 23 13 12 26 19 
33 ? 5 6 29 36 


ci-devant trouvez, fçavoir 35,32, 31,8,entre1&4, 
& les complémens de ces nombres 2, 5, 6,29,enla 
même colomne, & vis-à-vis des précedens en la ligne 
oppofée, avec les deux nombres 33 , complément de 4 
& 36, complément der, qu’il faut mettre aux angles en 
même diagonale : puis entre 4 & 36 on metrra les quatre 
autres nombres 3, 30,28 ,10, &leurs rélatifs 34,7, 
9 ,27, vis-à-vis des précedens dans la colomne oppofée, 
& à l’autre extrémité de la même ligne, 

. Sionavoitprisr, 3, pour lesnombres qui doivent être 
aux angles, ou aux extrémitez d’une même ligne, on 
ne pourroit pas parfaire cette ligne, comme il à été re- 
marqué ci-devant, La raifon eft, qu’on eft obligé pour. 

Te 4 lié op e8rait opel 107 
he E 
35 33 32 " 30,29 28 T 
faire 107, de prendre trois nombres. de la ligne inferieu." 
re, où font les plus grands nombres , & un de la fuperieu- 
re, parce que les quatre moindres de la ligne inferieure, » 


Des QuaARrEz MAGIQUES. 249 
avoir 27,28,29,30, font plus de 107, encore que 
107 foit le plus grand nombre que puiffent avoir les qua- 
tre nombres, en prenant des nombres femblables pour 
les angles, fçavoir tous deux pairs où impairs, & fi on 
n’enprenoit que deux dans la ligne inférieure, & deux 
dans la fuperieure , ils ne feroient pas aflez grands ; car 
encore que l’on mit aux angles les plus grands nombres 
de la ligne fuperieure, fçavoir 8 & 10 qui font femblables 
en parité ou imparité , étant tous deux pairs, il refteroit 
93 pour la fomme des quatre nombres qui devroient être 
entre-deux. Or prenant les deux plus grands nombres de 
la ligne inferieure , & les deux plus grands de Ia fupe. 
rieure , fçavoir 35,33,7,9,ils feront moins de 63. IL 
faut donc prendre trois nombres de la ligne inferieure, 
& un de la fuperieure. 

Oraprès avoir pris ces quatre nombres qui faflent ro7; 
ou autre nombre requis : Par exemple, après avoir pris 
35,33:32,7,quifontio7,on n€ pourra jamais faire 
72, quieft la fomme des nombres qui doivent faire l’au- 
tre ligne, avec quatre des nombres qui reftent ; car pre 
pant deux de ces nombres dans la ligne inferieure, & 
deux dans la fuperieure, comme il eft néceflaire pour 
faire 72 , fçavoir la fomme des quatre nombres qui doi. 


EC 
RM IE 7. & :, 9 “pe 
35 33 32 31 ‘4 19 28 27 


vent achever l’autre ligne ; en forte que dans ces quatre 
nombres il n’y en ait point deux qui foient rélatifs, c’eft. 
à-dire dont la fomme faffe 37, car il arrivera toûjours 
que la fomme de ces quatre nombres fera un nombre im- 
pair , au lieu que 72 eft pair. Ainfi prenant 31, 29, qui 
enfemble font un nombre pair , il reftera 9,10 ,quien- 


248 DEs QUuaARREZ MAGIQUES. 
femble font un impair, & ainf la fomme des quatre fera 
impaire. 

De même, fi on prenoit 31,28, dont la fomme eft 
impaire , les deux autres qui reftent feroient 10,8 , dont 
Ja fomme eft paire , qui jointe à la fomme précedente qui 
eft impaire , la fomme fera encore impaire ; & cela arri- 
vera toûjours de la même façon, fi ce n’eft que les nom- 
bres foient tels, qu’on puifle prendre pour la feconde 
ligne trois nombres dans une des lignes , &un dans l'au- 
tre ; ou bien que pour la premiere ligne, on puifle pren- 
dre tous les quatre nombres dansune même ligne. 

Pour les tables impaires, fi on les veut faire enla mê. 
me maniere que les paires; fçavoir , faifant que les réla. 
tifs foienc oppofez, il faut prendre garde qu'entre les 
nombres qui doivent fervir à remplir les deux côtez pro. 
chains, c’eft-à-dire, qui aboutiflent à un même angle, 
après que ceux des angles feront placez, s'il fe trouve des 
impairs, ils doivent êtreen mulrirude paires, comme, 
4,ou6, &c. ce qui fe doit entendre prenant le nombre 
& fon complément pour un feul nombre , car s’il n’yavoit 
qu'un impair, ou 3, ou $,ou autre mulricude impaire 
pour les deux lignes qu’il faut remplir, cela ne fe pour- 
roit ; la raifon eft , que fi les deux nombres des angles fone. 
tous deux pairs , ou tous deux impairs, la fomme des nom- 
bres qui reftent à mettre en chaque ligne doit être impai- 
re; à caufe que la fomme des nombres de la ligne doit être 
impaire, fuppofant que les nombres commencent par 1, 
& foient de fuite. Si donc on avoit trois impairs, ou au- 
tre multitude impaire , il faudroic les mettre tous crois 
dans une même ligne pour la faire impaire , ou fi l'on n’en 
mectoit qu'un , il en refteroit deux pour l’autre ligne, ce 
qui fera que cette portion de ligne fera impaire, fçavoir 
autrement qu'elle ne doit être, à caufe des nombres qui 
font aux angles, dont la fomme eftimpaire, & joignant 
cecte impaire à l’autre portion de ligne qui feroit auff im, 

paire, 


DEs QuaARrEz MAGIQUES. 249 


paire ; fçavoir, la portion qui eft entre les deux angles, 
feroit toute la ligne paire ; mais elle doit être impaire. 
ue file nombre de l’un des angles eft pair, & l’autre 
impair, la fomme des nombres qui reftent à mettre À cha- 
que ligne fera paire; & ainfi étant contraint de mettre 
àune des lignes un ou trois impairs, cela fera que la por- 
tion de la ligne qui eft entre deux angles fera impaire, 
fcavoir autrement qu’elle ne doit être. 
Ainfi après avoir fait la cable de trois, qui eft ci.def. 
fous, pour faire l’enceinte exterieure de cinq, on a de 
refte les nombres 1,3 , 4,6, &c. & leurs complémens, 
comme on voit enfuire. Si on met donc r à l’un desangles, 
& fon complément 2 5 à l'angle oppofé , & qu’à l’autre 
angle on mette le nombre fuivant 3, il refteroit trois im: 
pairs dans la ligne fuperieure pour remplir les deux lignes, 
Âçavoir 7,9, 11, c'eft pourquoi on ne pourra pas mettre 
3 àcetangle ,niaucunautreimpair ,maisun pair eomme 
4, parce que mettant 4, il reftéra 4 impairs ; fcavoir 3,7, 
9,11, & on pourra achever la table de ÿ , commeonlà 
voit enfuite. 


Bus Ale ONIÉT 1e 
2$ 23 22 20 19 17 IS 14 


I 4 L 22,200 47404 
ONZE CRT TONTONZ A ENS 7 
8 13 18 FT 00 13 18 1$ 
21 2 TÉ PA DI2TNH2ET ENT A 
22 25 22/0300 09125 


Troifième exemple de! 6° 


NN ef pas obligé de prendre huit nombres de fuite ; 

& leurs complémens , pour faire la table interieure 

qui a quatre de côté ; mais il fuffñir que quatre de ces nom: 

bres ayent même différence, & les quatre autres pareille- 

ment, Ainfi on pourra prendre1,2,35,4,8,9,10,11, 
Rec. de P Ac. Tom.Y., KK 


250 Des QuARREZzZ MAGrQUESs. 


& leurs complémens,26,27,28,29,33,34,35,36, 
pour la table de quatre qui fera 


1422/P0820,.12 , 14 


1 35 34 4 ÿ, OS 32 
2909026 31 29 9 10 26 6 
1127 28 8 27 11 27 28° 8 16 
33 3 2.36 18 33 3 2 36 19 


23 15 17 7 25 24 


Et prenant pour les anples 13 & 14, & leurs complé- 
mens 24 & 23, on aura la figure de 6 ci-deflus. 


Quatrième exemple de 6. 


O: peut auffi commencer les huit, & leurs complé- 
mens , de la table interieure de quatre, par un autre 
nombre que 1 , & aufli nelés point prendre de fuite , com- 
me on voit en la table fuivante , en laquelle on a pour la 
table interieure de 4, les nombres2,4,6,8,13,15, 
17,19, & leurs complémens 18,20,22,24,29,31, 
33,35. Laquelle cable de 4 fera, 


A B 
15 22:7, 2 OT ONE 
2033 SNS SIN2T33 37 0120 
2ABTSMTLTS EAE2A SN T7 IS 
19) 202207 DIN CPC EE C 
29 6 4 3) 32 29 6 435 S$ 
30%:3: 10 1 IL2 11036 

C 


Et prenant pour les angles 1 & 7, & leurs complémens 
36,30 , on fera la derniere enceinte qui eft l’exterieure 
des nombres qu’on voir à ha figure ci-deflus. 

Cette derniere façon fe trouve aflez fouvent difficile, 
car il peut arriver qu’on prendra pour les angles de tels 
nombres , que les lignes de l'enceinte exterieure ne pour- 
ront pas être remplies , ou c€ ne fera qu'après une re- 


DEs QuARREz MAGIQUES. , 251 


cherche ennuïeufe. Par exemple, fi on prenoit 10 & 16, 
& leurs complémens 27 & 21 pour les angles de lenceinre 
exterieure , au lieu der ,7, 36*,30,0on ne pourroit par- 
faire la figure , & on feroit contraint de prendre d’autres 
nombres pour les angles. 

Pour voir maintenant de quels nombresil faut remplir 
les lignes, je confidere combien:il faut de refte à chaque 
ligne, ou plütôt à deux, fçavoir à deux lignes quine foienc 
point oppofées l’une à l’autre : Par exemple, je cherche 
combien il faut pour achever la ligne A,B, &la ligne B,C, 
aufquelles on fuppofe déja les coins 1 7,& 7 36. 

Or parce que chaque ligne doit contenir r11 en fes fix 
nombres, il faut pour la ligne À ,B , prendre la fomme de 
r &7,quieft8 ,& l’ôcer de rrr, reftera r03 que doivent 
faire les quatre nombres qui reftent à trouver pour la ligne 
A ,B. 

De même je prens la fomme de 7 & 36 , quieft43, que 
j'ôte de 111, refte 68 pour les quatre nombres qu'il faut 
mertre à la ligne BC. 

Pour les deux autres lignes C D, & A D, il ne s’en 
faut pas mettre en peine; car elles s’enfuivent néceflai- 
rement de leurs oppofées A B, BC, puifque l’une des 
lignes doit avoir les complémens de la ligne qui lui eft, 
oppofée. 

Je prens après les huit nombres qui reftent, & les com- 
plémens au-deffous, comme on voit ici. 


3 $ 9 1IO II 12 I4 16 
34 32 28 27 26 2$ 23 21 


103  Puisj'écrisà part lafomme que doivent fai. 
KE re enfemble les quatre nombres de chacune 
34 5 des deux lignes, fçavoir 103 & 68, & jé cher- 
27 10 Che quatre nombres qui faflent l’un de:ces 
14 23 nombres, par exempleéro3; maisafin de voir 


fi on peut trouver quatre nombres qui faflent 
Kki] 


2ÿ2 Des QUARREZ MAGIQUES. 


103 ,& quatre autres qui faflent 68 ,il faut faire toutés 
les combinaifons poñlibles. Premierement, je prendrai 
34 & 32, qui enfemble font 66, & pour aller jufques à 
193 , il faut encore 3 7 pour deux nombres, Mais on ne 
peut trouver deux nombres qui faflent 37 , s'ils ne font 
complémens l’un de l'autre. Orilne faut jamais mettre 
en une même ligne deux nombres qui foient les complé- 
mens l’un de l’autre, parce que le complément de cha- 
que nombre fe doit mettre en la ligne oppofée, ce qu'il 
faut entendre pour cette méthode feulement ; car il y a 
diverfes voyes par lefquelles on pourra bien faire, que 
deux nombres qui foienr les complémens l’un de l’autre, 
fe trouvent en même ligne. 

Puis donc que 32 ne peut être avec 34, je prens le 
nombre fuivant 28, qui avec 34 fait 62; & parce que 
la ligne doitavoir 103 ,les deux autres nombres doivent 
faire enfemble 41. Je prens donc le nombre quifuit:8, 
fçavoir 27 qui avec 14 fait4r. Voilà pour la ligne A B. 

Je viens maintenant à la ligne B C , qui doit avoir 68. 
en fes quatre nombres,qui doivent être mis entre les coins 
B&C, & les quatre nombres qui reftent font 


32 HO NIAE 
& leurs complémens qui fontau-deflous, $ 11 12 16 


Je prens premierement 32, lequel étant joint à 16, 
donnera $8, & parce que la ligne doit avoir 68 , il ne. 
refte plus que 10 qu'il faudroit faire avec deux nombres, 
ce qui ne fe peut avec les quatrenombresreftans, 25,21, 
POPRHOE 

Si on joint 324 2$,ou même à 21, on tombera en 
même inconvenient , car 32 & 21 font 53, qui ôtés de 
68-refte 15, qu'il faut faire en deux nombres ; mais il ne 
cefte plus que 12 & 1 1 qui font plusde 15. 

Si On joint 32 à 16 ,onaura 48 , qui ôtez de 68 reftera 
20, qui ne {e peuvent faire par 11 & 12. 


DEs Quarkez MAGiQueEs. 253 

On ne fçauroit paffer plus outre, parce que fi on joi- 
gnoït 12 à 32, on feroit contraint de mettre auf en mé- 
me ligne que 32 quelqu'un des nombres précedens, ce 

ue néanmoins on a reconnu être impollible. 

Il faut donc prendre un autre nombre que 3 2, puifqu’il 
ne peut être en la ligne B C , &ice fera lenombrefuivant 
26 ,quiétantjointa 2 $ fait $ 1, qui ôtez de 68 , refle 17, 
qu'il faut faire avec deux nombres pris dans les trois qui 
reftenc,quifont21,16,5, car 32ena déja été exclus. 
Mais 1 7 ne fe peut faire avec ces nombres. 

On joindra après 16 à 21 : la fomme eft 47, qui étant 


Ôtée de 68, refte 21, qu'il faudroic faire avec les deux 


nombres qui reftent 12 & 5 ; mais parce qu’ils font trop 
petits pour cet effec, il ne faut point pañler outre, car ce 
feroit encore pis, fion Joignoit 26à16,ou2$à21. 

Puis donc que cette feconde ligne B C ne fe peutfaire, 
il faut changer la premiere ligne À B. 

Mais afin de n’omettre aucune façon par laquelle on 
la puifle faire, ( car fion en laifloit quelqu’une, ce pour- 
roit être celle dont on auroit befoin ) il faut continuer 
par le même ordre qu’on a commencé. 

Onavoit pris 34 & 28 pour les deux premiers nombres, 
& il reftoit 4r à faire en deux nombres pour aller jufques 
A103 - 

Pour faire ces 41 on avoit pris 27 & 14, lefquels 
n'ayant pas bien réüffi, je cherche fi on peut faire les mê- 
mes 41 avec deux autres nombres, & je trouve 25 & 16. 

I reftera donc pour la feconde ligne les quatre nom- 
bres 2222026 28 
& leurs complémens $ 10 II 14 

Si on examine ces nombres comme ci-devant, on 
trouvera qu'on ne peut en choifir quatre d’entr’eux , qui 
enfemble faflent 68 , pourvû qu'il n’y en ait point deux 
qui foient complémens l’un de l’autre, car on pourroit 
bien prendre 27,16,10,5$, quienfemble font 68 ; mais 

KK ii 


254 Des QUARREZ MAGIQUES. 


parce que 27 & 10 font complémens l’un de l’autre, on 
ne pourroic avec eux parfaire la figure , comme il a été 
dit, 


103 
301050 Lg RO ÉENE LAN TE6 Ka 3 
3e A.285 27 L16,12$N3. 2 28 9 
2e) 
16 21 


On ne peur donc pas faire la premiere ligne avec les 
quatre nombres 34,28 ,25,16 ;& parce qu'on ne peut 
plus faire 41 avec deux autres nombres, ( puifque 2 3 & 
2 1 qui reftent à confiderer font plus de 41 )il faut chan- 
ger 28, & mettre avec 34 le fuivant 27. 

On aura donc 34 & 27, dont la fomme eft 61, qui 
ôtée de 103 , refte 42 ,qu'il faut trouver en deux nom- 
bres,tous deux moindres que 27; car fi l’un des deux nom- 
bres étroit plus grand que 27, & fi c’éroit par exemple 28 
& 14, ce feroit refaire la même chofe qu’on a ci-devant 
confiderée & trouvée impoflible, car on auroit les qua- 
tre mêmes nombres qu’on a eus auparavant, fçavoir 34, 
201 27014 

Or les 42 qui reftent ne fe peuvent faire que par 26 & 
16, car 25 & 21,ou 23 & 21 qui reftent, font trop 
grands. 

On aura donc 34,2:7,26 ,16 pour la premiere ligne 
A B. 

Pour la feconde B C , qui doit avoir 68 , je prens pre- 
mierement 32 & 28, quienfemble font 60 ; mais parce 
qu'il faudroit faire 8 en deux nombres, ilen faut met- 
tre un autre avec 32, &afin de les avoir féparez de ceux 
de la premiere ligne, je les écrirai à part avec leurs com- 
plémens. 


Des QuaArRREz MAGIQUES. 255 


103 | 68 
34 | 3 | [28 9 F2 OT ES (3 
7110 Fe 14 SLT Tire 


26!711 tata 
dé | sl32 

Je joindrai donc 3: à 25 ,la fommeeft $ 7, qui ôtée de 
68 ,refte 11 ,qu'onne peut faire en deux nombres, puif_ 
que les deux moindres qui reftent, fçavoir 9 & 14, font 
plus de rr. 

On afflemblera après 32 & 23, la fomme eft 55, qui 
ôtée de 68 ,refte 13 ; mais 9 & 1 2 qui reftent font plus 
de 13. 

Enfin on ajoûtera 3 2 à 14, la fomme eft46, qui ôtée de 
68 ,refte 22 ; mais 12 & 9 quireftent ne font que 21 , & 
ainfi on ne peut mettre 3 2 en cette ligne B C,puifque par- 
courant tous les nombres avec 3 2 , on ne peut trouver 68. 

I] faut donc changer 3 2 , & prendre le nombre fuivanc 
qui eft 28 , lequel étant joint avec 2 5 fait 53, qui étant 
ôtez de 68,refte 1 $, qu’on ne peut faire avec les nombres 
fuivans, puifque les deux moindres $ & 14 fone plus de 1 5. 

Après on ajoûtera 28 à 23 : la fommeeft $r , qui ôtée 
de 68 ,refte de 17, qui fe fait avec les deux nombres qui 
reftent, fçavoir avec 12 & 5. 

On aura donc par ce moyen la table parfaite,car la pre. 
miere ligne A B fera 34,27,26,16,près defquels nom- 
bres je mets leurs complémens 3 ,10, 11,21,qui doi- 
vent faire la ligne D C dela figure qui eft ci-devant à la 
page 250, & qui eft oppofée à À B , & on mertra lesnom- 
bres & les complémens vis-2-vis l’un de l’autre, comme 
on voit en la figure , en laquelle 3 eff vis-à-vis de 34, 10 
vis-à-vis de 27, & ainfi des autres. 

La ligne B C fe fera desnombres 28,23,12,5,& la 
ligne À D qui lui eft oppofée fe fera des complémens de 


256 Des Quarrez MAGIQUES. 


ces nombres, fçavoir de 9,14, 25$,32,qu'on voit en 
l’autre page vis-à-vis de 28 ,23,12,5,&lesautres, fça- 
voir9,14,25$,32 fe doivent mettre auf chacun vis-à- 
vis de leurs complémens, fçavoir 9 vis-à-vis de 28, 14 
vis-à-vis de 23 , &c. 

On peut pafler outre à examiner fi on ne peut point fai. 
re cette table de 6 d’une autre façon , les coins demeurans 
comme ils font, & en leur même fituation. 

Premierement, il eft bien certain que la ligne À B de- 
meurant telle qu’elle eft , on ne peut pas faire la ligne B C 
d’une autre forte , parce que fi au lieu de 28 & 23 ,onpre- 
noit 28 & 14,ou 1 $ & 23 , les nombres qui refteroient ne 
feroient pas fuffifans d'achever 68 , parce que neceflaire, 
ment ils feroient moindres que ceux qui reftent lorfqu’on 
prend 28 & 23. 


103 63 
4 FSI OL TATER NE ASE HAE [28 9 
44 "5/2. 20027 220220 292 I A5 OA [38 ‘14 
23.414 12024 
21116] | 5155 


I faut donc changer la ligne A B, dont les quatre nom- 
bres qui font entre les coins 1 & 7, doivent faire enfemble 
103. 

Et parce que l’on a déja pris 34 & 27, & qu’on ne peut 
faire les 42 qui reftent par d’autres nombres que par 26 
& 16, qui ont déja été employez, il faut changer 27, & 
prendre 26 avec 34, qui enfemble fonc 60, qui ôtez de 
103 ,refte 43, qu’on ne peut faire avec deux des nombres 
qui reftent , & qui foient moindres que 16. | 

I faut donc pañler plusoutre, & joindre 2 $ à 34, dont 
la fomme eft ; 9 , qui ôrée de 103 , refte 44 qui fe peuvent 
faire avec 23 & 21. La ligne A B fera donc 34,25,23,2%, 


Fe 


Des QuaArrREz MAcrqQueEs. 257 

Etil faudra faire 68 en quatre nombres pour la ligne 
BC, avec les quatre qui reftent, s or! rer 
& leurs complémens, qui font 32 28 27 26 

Mais on ne fçauroit trouver quatre de ces nombres fe 
lon la régle , qui eft de ne point mettre un nombre & fon 
complément en même ligne, qui faflent 68 , d’où s'enfuit 
que la ligne A B ne peut pas être compofée de 34,25, 
2H 2. 

Si on veut pafler outre ,onne pourra plus ajoûter au- 
cun nombre avec 34 , car on ne feroit que des répetitions 
de ce quia été déja examiné : car fi après 25 il faut pren- 
dre les deux plus grands nombres qui reftent, fçavoir 23 
& 21 ; fi on mettoit 23 avec 34 ,onne pourroit pas trou- 
ver deux nombres moindres que 23 , qui fiflent enfemble 
ce qu'il faudroit de refte pour achever 103 , ainfi qu'ileft 
requis. 

Il faut donc abandonner 34, & fe fervir de 32, enle 
comparant aux nombres fuivans, comme on a fait 34. 

Je joins 32 à 28 : la fomme eft 6o, qui ôtée de 103 ; 
refte43 , qu’on peut faire avec 27 & 1 6 feulement. 

La ligne A B aura donc 32,28 ,27,16 pour les quatre 
nombres qui font entre fes coins 1 , 7. 


103 68 
ST MMMIORLT, 214.16 Jeifses 
14192 20421620 2$-23.21 28) 9 

27110 

16]2r 


Pour faire la ligne B C, qui doit être de 68, fans les 
coins, on fe fervira des nombres reftans , qui fonc 
426.2 $+ 33 
STI 2 T4 
Sion prend 54 & 26, on aura 60, reftera 8 qu'on ne 
- peut pas faire en deux nombres ; & le même inconvenient 
arrive à 34& 25 ,commeaufli à 34 & 23 , qui enfemble 
Rec, del Ac. Tom... LI 


258 DEs QUARREZ MAGIQUES. 
fonc 57, qui ôtés de 68 , refte 11, qu’on ne fçauroit faire 
AVEC ITS TS. 

Pareillement fi on fe fert de 34 & 14, la fomme eft 48, 
qui ôtée de 68, refte 20, qui eft encore moindre que la 
fomme de 1 1 & 1 2 qui reftent. 

Il faut donc laifler 34 , & fe fervir de 16 , quiétant joint 
à25,fair $r, qui ôté de 68 ,refte 17, qui fe peur faire 
avec 14 & 3: * 

La fecondeligne BC fera donc de 26,125 ,14,3. 


103 68 On difpofera la premiere li- 
ÉS! NS ONE a OC OUS HE HET ACMES 
32 | ÿ | | 26 | 11 complémensà côté, & demême 
28 | 9 25112 Ja feconde ligne au-deflous de 
PANE® 1e 25 68, afindeles difpoferaprèsen 
16121 3154 leur place en ce même ordre 


pour avoir la figure fuivante , en laquelle la figure inte- 
rieure de 4 de coté ft la même que ci-devant. 

Si on vouloit pafler outre à la recherche d’autres figu- 
res, il faudroit joindre 32 à 15 : la fommceft 9 , quiôtée 
de 103 ,refte 44, qu'on fera en prenant 23 & 21, &ainfi 
on auroit pour la premiere ligne 32,27,23,211,maison 
ne pourra compofer la feconde ; de forte qu’il faut chan- 
gér la premiere. 


A B 
FH BL INET LÉ: 107 
DEN 238; SL CG 
La 124.4 8, A TLTB0 2 
234 4 M SOUL 3 NS. L 
34 29 6 4 35 3 
30/4 Aa TOOLS. 6 
D C 


Sion joint 31 à 26 oud 2 $,on ne pourra faire r03,c'eft 
pourquoi il faut laifer 32, & confiderer 28, qui étant 


) 
ds 
! 


DEs QuARREZ MAGIQUES. 259 
joint à 27,donne 55, qui Ôté de 103 ,refte48 , qui {e- 
ront faits par 25 & 23. On aura donc pour la premiere 
ligne 28,27,25,23,maisonne pourra faire la feconde 
ligne qui doit être de 68 , avec les nombres qui reftent. 

-Il faudroit donc réformer encore la premiere ligne, ce 
qui ne fe peut, parce qu'ayant pris les quatre nombres 28, 
27,25,23, fi l’on change quelqu'un des deux premiers 
28 & 27,on ne pourra prendre que 26 au lieu de l’un 
d’eux ; maisil faudroit en même temps augmenter 23 ou 
25 ,ce quine fe peut, parce qu'entre les nombres qu’on 
peut choifir , & dont on fe peut fervir, il n’y a que le mê. 
me 26 qui foit plus grand qu'eux. 

Il eft donc manifefte , que laiflant la Table intérieure 
de 4 en l’état qu'elle eft, & les çoins 1 & 7, avec leurs 
complémens, on ne peut faire que les deux Tables de 6 
cy-devant écrites, qui font marquées A BC D , fi ce n’eft 
que l’on vetille confidérer l'ordre des nombres, chacun 
demeurant dans lamême ligne fans en fortir ; mais il {era 
parlé cy-après de cette variation. 

Que fi on vouloit rechercher plus outre , il faudroic 
mettre un autre nombre que 7 à l’un des angles, &les 
ayant rouséprouvez à cetangle, on changeroit aufi l’an- 
gle où l’on amis 1 , mettanta la place le nombre fuivanc 
qui eft 3, & fon complément 34 l’angle oppolé ; & à l’au- 
tre angle qui borne la même ligne, on mertroit le nombre 
fuivant 5, puis 7, & lesautres. 


Exemple d'une Table de 8. 


L faut maintenant donner l'exemple de la fabrique 
1 d’une autre Table , fur laquelle on fe puifle conduire, 
our en former d’autres plus grandes, qui fera celle qui 
a 8 à chacun de fes côrez. CNT 
_ J'arrange premierement la moitié desnombresdefuite, 
fçavoir jufques à 32 ; &leurs complémensau - deflous, & 
chaque couple de nombres fera 65 , fçavoir tx que 
* j | F 


260 DES QUARREZ MAGIQUES. 
les deux extrêmes enfemble 64 & 1, & ce 65 eftla va- 
leur que doivent avoir deux nombres l’un portant l’autre 
en chaque ligne ; & ainfile premier quarré qui eft de 4au- 
ra deux fois 65, qui font 130 ;le fecond qui a fix nom- 
bres aura 195$, fçavoir trois fois 6 $ ; & le dernier qui eft 
lenceinte exterieure, & qui a huit nombres en chaque li- 
gne, contiendra 260. 
Voici donc les nombres de fuice ainfi qu’illes faut ran- 
ger. 
Lu où datafr GT Br OU EE ALT 21 2 3: TA NR EC 
64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 5453 52 51 50 49 
17 18 19 20 21 22 13 24 29 26 17 28 29 30 3132 
48 47 46 45 4443414140 39 38 37 36 3$ 34 33 
Ayant ainfi difpofé les nombres , je prens les huit pre- 
miers & leurs complémens, fçavoir 1,2,3,4,5,6, 
7» 8» 57» 58 59, 60,61, 62, 63, 64, defquelsje 
fais, comme il a été montré cy-devanr, la Table {uivan- 
te de 4. 
mL 6 nb urine 
Éoua: Gnrié x57 
SuHas LsSontepnS 
61 3 2:04 
Après je prens les dix nombres fuivans & leurs complé- 


mens, pour l'enceinte fuivante , qui fera le quarré ou 
Table de 6. Ces nombres fonr, 


9110 AHyP2 13-14 1516012708 
56 $5 54 53 52 51 50 49 48 47 
Avec ces nombres on fera la derniere enceinte de la 
Table de 6, par quelqu’une des façons cy - devantdé- 
duites. 
Ou bien on prendra une des Tables de 6 qui font cy- 


devant ; par exemple, la premiere qui eft enla page 241 ; 
qui cft repetéeici, 


| 
DEs QUARREZ MAGIQUES. 261 


DAN2NT 20 223 00 10 
16 1 3$ 34 4 21 
RO 3 2 OL C2 ONE 
24 "NBC T SRE 
SR: os M ARR EL: 
2'HDPNENIUE JA TO 20 
Ayant cette Table, je remarque où font les 18 pre. 
miers & moindres nombres qui font la moitié des nom. 
bres de la Table, &les laifle enleurs places ; mais au lieu 
des 1 8 autres, je mets les complémens pris fur le quarré 
64, comme on les a mis cy- devant: mais afin de nefe 
pointtroubler, on pourra écrireles nombres dela Table 
de 6 , & leurs complémens au-deflous pris fur 36, & au- 
deflous de ceux-là les complémens pris fur 64, commeon 
voit ici. Ê 
D TN 7 MS OU TON NTI TR LAUIALIS.E6 17 18 
2612934743 231 30 292027 ,26 25 24,132 LI 10 19 
64 6362616059 58 575655 5453 52 51 50 49 48 47 


La premiere ligne contient les nombres qui appartien- 

nent à chacune des deux Tables , tant à celle qu'on prend 
— pour patron, que celle qui fait partie de la Table de 8. 

La feconde ligne appartient à la Table de 6, qui efk 
cy-deflus, & qui ferr de patron , & contient les complé- 
mens de la premiere ligne , & chaque couple de nombres 
fait 37. 

La troifiéme contient les complémens de la premiere 
ligne, & appartient à la Table de 6, qui fait partie de 
celle de 8 , & chaque couple de nombres fait 65. 

Cela fait, il faut mettre à part le refte des nombres 
juiques à 32, & leurs complémens au - deffous, comme 
on voicici. 

Toro par "22024 12425126 27 8812830 71 732 


46 45 144143 42 41 40 3938 37 36 35 34 33 
LL 


262 DEs QUARREZ MAGIQUES, 


Après on prendra pour les coins de la derniere encein- 
ce les moindres nombres 19 & 20, & leurs complémens 
46 , 45: ce n’eft pas pourtant qu'on ne puifle prendre 
d'autres nombres que 19 & 20, car cela eft vifible, vû 
que la figure fe peut faire en beaucoup de façons. 

Maintenant Je ferai facilement la Table de 6 fur la pré- 
cédente, laiflant les nombres de la premiere ligne au lieu 
où on les trouvera, & mettant ceux de la troifiéme ligne 
à la place de ceux de la feconde : & ainfi on aura la figure 
fuivante. 

19 20 
ee de AE AT NL 
16 11163 /621::°4/\49 
48160 1196-00 2e Nr 
 inde-e peer M 
1S EX 3 2 
SSI NE 7 4 LANG 
45 46 

J'aflemble 19 & 10, la fomme eft 39, que j’ôte de 
260 , qui eft la fomme que doivent faire les nombres de 
chaque ligne, refte 221 pour les fix nombres, qu'il faut 
mettre entre 19 & 20. 

Pareillement j'aflemble 20 & 46, la fommeeft66 , qui 
ôtez de 260 , refte 194 pour les fix nombres qui doivent 
érreentre 20 & 46. , 

On peut voir aufli quelle doit être la fomme des fix 
nombres, qui ferontentre 19 &45, & certe fomme fera 
196, afin que fion trouvoit 196 avant r94on s’en pût 
fervir. 

Je fais premierement la ligne 19, 20, &parce que ro, 
20 , font les moindres nombres des coins, je prens des 
plus grands nombres qui reftent pour fuppléer à leur dé: 
faut. Je confidererai donc les quatre plus grands, 44, 43} 
42, 41, dont la fomme eft de 1 70: & parce que les fix 
nombres doivent valoir enfemble 221 , il refte s1 pour 


Des QUARREZ MAGIQUES. 16; 


Îes deux nombres qui font encore à trouver. On prendra 
donc 2 5 & 26, quienfemble font $ 1 : cette premiere li- 
gne fera donc 44, 43, 42,41,26, 25$,entre les coins 
19 & 20. 
Refte à trouver les fix nombres qu’il faut à la ligne qui 

a zo & 46 à fesextremitez, lefquels fix nombres doivent 
faire enfemble 194, & les fix nombres de la ligne oppo- 
fée , dont lesextremitez font 19,45, doivent faire en- 
femble 196, lefquels nombres on doit choifir parmi les 
fuivans , 

CARE ES LNSONT FAR 92 

8 37 36 3$1 34 33 


Je divife 194 par fix, pour voir ce que doivent avoir 
les nombres l’un portant autre : je trouve 32, &refte2; 
d’où s'enfuit que les nombres pris deux à deux doivent 
faire 64, maisl'un des couples doit faire 66 , ainfionaura 
deux couples de nombres de 64 chacun, & un couple de 
66, qui fontles fix nombres ,car on ne peut pas faire deux 
couples de 6 ; parexemple, & un de 64, parce qu’il eft 
impoflible de faire 65 en deux nombres, fi on ne prend 
les deux , qui font complémens l’un de l’autre ; ce qui eft 
directement contre la principale & generale regle,qui eft, 

Que jamais dansla conftruétion qu’on donneici, on ne 
doit mettre en même ligne deux nombres qui foient com- 

lémens l’un de l’autre, c’eft-à-dire , qui étant joints en- 
femble faflent autant que les deux extrêémesenfemble,qui 
font ici 64 & 1. 

. Oncherchera donc deux couples de nombres qui faf- 
fent 64, &un couple quifafle 66, on aura 33, 31; 35, 
29,& 38 28. Les 37 & 27 font 64 ; mais parce qu'un des 
couples doit avoir deux de plus, on prend 38 au lieu de 
37, & 28 au lieu de 27. 

Les fix nombres feront donc 18 ,29, 31,33, 35,38, 
qu'il faut mettreentre 10, 46, & les fix autres qu'il faur 


264 DES QUARREZ MAGIQUES." 


metre en la ligne oppofée , entre 19 ,45 , font leurs com: 
plémens, fçavoir 37, 36, 34, 32, 30, 27, qui feront 
difpofez felon cet ordre , en celle forte que les complé- , 
mens foient toujours vis - à - vis l’un de l’autre; & ainfion 


aura la figure fuivante, 


4ÿ" 2U 22 023 


41 
St 


62 


7 
59 

2 
14 
24 


26 
18 
4 
SL7A 
ÿ 
64 
47 
39 


On pourra encore faire ces lignes d’une autre forte ; 
fçavoir , prenant 34, 32 pour le couple qui doit faire 
66,&35,29;37, 27 pour les deux autres; & ainf les 
fix nombres qu’il faudroit mettre encre 208& 46, feroient 


27; 29,32, 34; 35 » 3 7- 


Ecles fix autres qui doivent être misentre 19, 45, {e 

roient leurs complémens ; fçavoir 38, 36,33, 31,30, 

28, avec lefquels on aura uneautre fisure. 
201729323435 3746alaplace de2018 129 3133353846 
G1938363531302845alaplucede19 3736543130274$ 
On pourroit encore faire 1 94 par d’autres couples,pre- 

nant 30 & 36 pour faire 66, & les deux autres couples 

de 64, qui feront:7,37,8&31, 33,& les fix nombres 

qu'on mettraentre 20 &46, feront27,30,31,33,36, 

37; &entre 19,45 ,0on mettra leurs complémens 38 ,3$, 


ES 329293: 70: 


On fe peutencore fervir d’autres manieres pour trou 
ver 194, ou 196; fans confiderer ni prendre les couples 
des nombres , ainfi qu’on a fait pour la derniere enceinte 
des précédentes figures de fix ; ce qui feroit trop long à 
sepeter ici, vû même qu’on en donnera des exemples, & 


qu'on 


Des QuARREz MAGIQUES: 265$ 
qu’on s’en fervira en quelqu’une des lignes de la figure fui. 
vante. 

Exemple d'une Table de 14. 


A Fin qu’on puifle voir toutes les façons de choifir les 
[A nombres pour remplirles lignes des enceintes diver- 
{es dela figure , on donnera encore l'exemple d’une Ta- 
ble de 14. 

Et parce qu’en cette méthode-cy iln’y a que trois fa- 
çons de ranger les nombres, on prendra le quarré de8, 
(confideré comme faifant partie du quarré de 14 ) fur le 
modele du quarré précédent de 8, & enfuire l'enceinte 
de ro fe ferad’une façon, celle de 1 2 d’uneautre, & l’en- 
ceinte exterieure, qui eft celle de 14 ,encore d’une autre. 

Je mets donc premierement de fuite les nombres qui 
doivent remplir les 196 places du quarré, & les difpofe 
en deux lignes ; fçavoir la moitié dans une des lignes , & 
lPautre moitié qui fert de complément la premiere, dans 
l’autre ligne au-deflous de la premiere , en relle forte que 
chaque couple de nombres fafle 197, qui eft la fomme des 
deux nombres extrêmes, comme on voit cy-deflous. 


I PR. ! HEMNPPANN AN TRS RENE CRE © 


II 


196 19$ 194 193 192 191 190 189 188 187 186 


TAN NSELRE GE 7 LB. : J9 210 11 22 


23 


184183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 


25 026 v7 RB aÿ Go 31 32: 33 54 
172 171 170 169 168 167 166 165 164 163 1 


37 F8 (39 Yo Wr 4? 43 44 45 ‘46 


L6© 159 RSS 157: 156 r'ÿ$ 154 153 152 JT 159 
FE 


PA SO el ir GS ISe 57 JS 


35 
62 


47 


148 147 146 145$ 144 143 142 I41 140 139 138 


Rec, del Ac. Tom. F. Mm 


166 Des QuARREz MAGIQUES. 


6r 62-163 «64 ES G6 2670 1680460  TOMPIENTE 
136073 1340038013 2 LP Mo MED T 27 TE CPAS 


73: TAMNTS 07 6 TTL 70 SONORE. 5 NES 
124 123,222 121)12O) MOST TI MMS L TA" TS 


85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 9$ 96 
112 II11 119 109 108 107 106 10$ 104 103 102 1017 


97 98 
100 99 


Ces nombres étant ainfi difpofez, je prensles 32 pre- 
miers, & leurs complémens, pour faire le quarré inte- 
rieur de 8 en la même façon qu’on a fair le précédent de 
8, ou fi on veut on le fera fur fon modele, laiflant les 32 
premiers nombres en la même place qu’ils font au précé- 
dent ; mais pour les nombres qui furpañlent 3 2 ,il les fau- 
dra changer aux complémens correfpondans pris fur 196; 
& afin que cela fe puifle faire plus aifément & fans être en 
danger de prendre un nombre pourunautre, onécrira les 
64 nombres de la précédente Table de 8 en deux lignes, 
qui ferviront de complément lune à l’autre; & au-deflous 
de cette feconde ,on en mettra une troifiéme qui contien- 
dra les 32 premiers complémens de la page précédente, 
fçavoir depuis 196 jufques à 165 , qui eft deffous 3 2. 


LOL 2 ES MAR TENTE AE Re s DO: ETS EE 
64-63, 62 6x, 60 59158 57 16) 55 SANS 
396 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 
15 ARTS - 162) VAMAOU EO OM NA Er 30 Lo 
52 $1 50 49 48 47 46 A$ 44 43 42 AI 
184 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 
25: 26070028: 09 TOMNBTRNE 
40. IN Ta 2. FSU 
372 171 170 169 168 167 166 165 


A 


Des QuARREZz MAGIQUES. ! 


267 
Et laiflant les nombres de la premiere ligne en même. 


place dansla figure B, qu'on lavoit dans la figure À , on 
mettra dans la figure B ceux de la troifiéme ligne, aux 
mêmes places que ceux de la feconde ligne fonc dans la f- 


gure fuivante À, comme l’on vait ici, 


19 44 43 42 41 26 2$ 20 19 176 175 
383 9 53 54 51 18 10 27 170 9 185 
36 16 1 63 62 4 49 29 168 16 I 
33 48 60 6 7 57 17 32 165 180 192 
3152 8 58 59 $ 13 34 31184 8 
30 15,61 3 264.50 3$ 30 If 193 
28155 12,11, 1447 $6 371. 218187 12 
AS: 21,22: 23 24439 40146: 177. 2. ,.22 


174. 


18 
19 


190 


1 
Z 


6 


S 
6 


3 
I 


2 
? 


173 
133 


26 
18 


194 4 


7) 
191 
2 
14 
24 


139 

ÿ 
196 
179 
171 


Pour avoir nn de facilité à faire ces Tables, il faut 
mêler les nombres le moins qu'on peut, c’eft-à-dire les 


prendre de fuite autant que faire fe pourra. Par exemple, 


le plus grand d’entre les moindres nombres de la Table 


qe LE B , eff 32 ; or on appelle les moindres nom- 


res ceux de la premiere lisne , fçavoir depuis 1, jufques 
à98, &les grands nombres, ceux de la feconde ligne 
qui font les complémens des premiers, depuis 99, jufques 


196 inclufivement. 


Je prens donc 33 & 34, &leurs complémens, pour les 
angles dela figuré de 10, qui entoure la précédente de 
8 ; & parce qu'entre les angles de chaque ligne del’en- 
ceintede 10, il ya huitnombres, je prens les feize nom. 
bres qui fuivent 34, & leurs complémens, pour deux li- 
gnes prochaines, & qui font un des angles de la figure, & 
pour les deux autres lignes qui leur font oppofées, Ces 


nombres font , 


e 


25 
10 
181 
17 
13 
132 
138 


172 


35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 
162 161160159158 157156 155 1ÿ41531521511$0149 148 147 
Mmij 


Je 


268 Des QuARREZz MAGIQUES. 

Je prens après les deux nombres fuivans sr & $z, &c 
leurs complémens , pour Les angles de la fuivante enceinte 
de 12, & les vingt nombresfuivans , & leurs complémens 

our les lignes. 

Enfin on prendra le refte des nombres pour la derniere 
enceinte: ce n’eft pas qu'il faille neceflairement fuivre cet 
ordre ; car on peut entremèêler les nombres comme on 
veut, &en prendre au commencement, au milieu, &à 
la fin pour une même ligne : maison trouvera plus de faci. 
lité en fuivant l’ordre précédent. 

Or voici les trois voyes dont on fe pourra fervir pour 
parfaire les lignes , après que les coins font remplis ; mais 
avant tout, il faut obferver ce qui eft commun à toutes 
ces voyes, & ce qui fe doit pratiquer auparavant. 

Je fuppofe donc premierement , que les nombres foient 
aux anglesde la figure, & leurs complémens aux angles 
oppofez, comme on voitici, où 1 64 complément de 33, 
eft oppole à 33, & 163 complément de 34, eft oppolfé à 
34 

Cela fair, je confidére ce que tous 

33 34 les dix nombres de l’enceinte doivent 

faire enfemble ; & pour trouver certe 

fomme , on remarquera que deux 

nombres l’un portant l’autre doivent 

faire 197, & cela doit être dans tou. 

163 164 tesles lignes de chaque enceinte , le- 

quel 197 eft la fomme de 196&1, 

qui font les deux extrêmes detous les nombres qui com- 
pofent la figure de r4. 

Or fi chaque couple de nombres doit faire r9+, les dix 
nombres, qui font cinq couples , feront 985, fçavoir 
cinq fois 197. Puis donc quechaque ligne doit avoir 985$; 
pour fçavoir quelle fomme doivent faire leshuit nombres 
qu'il faut mettre entre 3 3 & 34, il faut ôter de 98 s la fom- 
me de 33 & 34, quieft 67, &ilrefterao18 pour les huig 
nombres. 


Des QuaArRrREz MAGIQUES. 269 
- Semblablement j'ôre de 985 la fomme de 34& 164, 
quieft 198, reftera 787 pour les huit nombres qu'il faut 
mettre entre 34 & 1 64 ; & cette opération doit être faite 
à chaque enceinte après que les angles font pofez. 

Pour les deux lignesoppofées, fçavoir 163, 164, où 
333 163 , il ne s’en faut pas mettreen peine; car leurs 6p- 
pofées étant faites, neceflairementelles le feront auffi en 
y mertant les complémens de leurs oppofées. Il eft vrai 
que pour l'opération précédente, qui fert à trouver com- 
bien les nombres qu'on doit mettre entre les angles doi- 
vent faire enfemble , on fe peut fervir de deux telleslignes 
qu’on voudra , pourvû qu’elles ne foient pas oppofées Pu- 
neäl’autre. Parexemple, au lieu d’ôter de 98 $ la fomme 
de 33 & 34, on pourroit ôter la fomme de 163 & 164; 
& au lieu de la fomme de 34 & 164, on pourroit prendre 
celle de 33 & 163 , car celaeftindifferent. . 

La premiere méthode detrouver lesnombres de cha: 
que ligne fert pour avoir toutes les façons poñlibles de fai- 
re & remplir la ligne avec les nombres donnez ; & à caufe 
que par cette méthode on compare chaque nombre avec 
tous les autres, il s'enfuit qu’on ne doit pas s’en fervir 
lorfqu’il y a beaucoup de nombresenla ligne, parce que 
cela feroit trop long , maïs on s’en fervira utilement lorf- 
qu’il y a peu de nombres;c’eft pourquoi nous la prendrons 
ici pour remplirles lignes de l’enceinte de 10, en chacune 
defquelles lignesil y à huit nombres, fans les coins qui 
font 33, 34, &leurscomplémens 164, 163. 

Les huit nombresd’une des lignes, fçavoir de celle qui 
eftentre 34 & 33, doivent faireenfembleo18 , qu’il fauc 
mettre à part au-deflous de 34,3 3,8& lesnombres qui doi. 
vent être misentre 34 & 564, feront enfemble 787 que 
je mecs auffi à part afin de ne rien confondre. 


34 33 | 34 164 


270 Des QuARREzZ MAGITQUES: J 
Les nombres des deux lignes & leurs complémens, font 


35 36 37 33 39 40 41 42 43 44 4$ 46 47 48 49 So ; 
162 161 op PANNE Sais LISE 151 150 149 148 147 
À 


AE mt 


Pour faire 918, parce que le nombre eft grand , &qu'il 4 
doit récompenfer la petitefle de 34, 33, je prens les qua- | 
tre plus grands nombres , fçavoir 162,161, 160,159, 1 
qui enfemble font 642, qui ôtez de 918, reftera 176 1 
pour les quatre nombres reftans. Pour faire 276, jene . 
puis pas me fervir des deux nombres fuivans 158, 157, à 
parce qu'ils feroient plus de 2 76,ni même des deux moin | 
dres de la feconde ligne, fçavoir de 148,147 ,parce qu'ils 4 
fontaulffi plus de 276. Mais fi on prenoit les quatre plus 4 
grands de la premiere ligne, fçavoir47, 48, 49, so, la 
fomme feroit moindre que 276, c’eft pourquoi il faudra 
prendre un dés nombres de la feconde ligne, & trois de | 
la premiere. Prenons, parexemple, 158, refkera 118, 
mais r18 ne fe peut faire avec trois nombres de cette li: À 
gné ; car lestrois moindres font 40 , 41, 42, qui enfems, 
ble font 133, quieft jplusque rr8. | 
Il faut donc diminuer r $8. Je prens r $ $ au lieu de lui , 1 
qui Ôtez de 276 , reftera r 21 qu'il faut faire en troisnom- j 
bres ; ce qui ne fe peut point encore, non plus qu'avec | 
157 &156 mais prenant 1 j4, ilreftera 122, quifefe. 
Font AVEC 39, 41 ,42. 

Ecainfi on pourra éprouver à faire la ligne , en prenant 
153,152, &lesautres, 

Et pour continuer la recherche des différentes fortes 
de lignes qu’on peur faire avec les feize nombres, & leurs 
complémens , je change le dernier des quatre nombres 
premierement pris, & mets r ÿ8 au lieu de r 59, & j'aurai 
162,161,160,158, quienfemble font 641 , qui ôtez 
deo18, refte277, qu'il fautfaireavec quatre nombres, 
defquels on a reconnu cy-devant que l’un devoic être de 


Des QuaArrEz MaAc1QueEs. 274 


Ja feconde ligne, & les trois autres de la premiere. 

Je prensdonc 157, quiôtez de 277 ,refte 120 , qu’on 
ne fçauroit faire avec trois nombres; car fion prend les 
trois moindres 38, 41,42, on aura 121. Il faut donc 
diminuer 157, & prendre 156, qui ôtez de177 ,reftera 
121, qu'on fera avec trois nombres, fcavoir avec 38, 
40 , 43. 

On pourroit continuer cette recherche prenant un au: 
tre nombre que 1 56, puis diminuant encore 158, & re. 
venant après à faire la même chofe à 160, 161, &enfin 
à 162. Ce quiferoit crop long à déduire. 

La premiere ligneentre 33 & 34, fera donc162 , 161, 
160, 158,156, 38,40, 43. 

Pour la feconde ligne quieft entre 34 & 164 , & dont 
les huit nombres doivent faire enfemble 787, je cherche 
à la faire comme s'enfuit, avec les nombres quireftent; 
fçavoir, 


41 44, 45 46 47 48 49 5ÿo 

155 153 152 1$1 150 149 148 147 
Parce que la fomme des angles 14 & 164 eftr198, qui 
ne differe que de lunité de 197 , qui eft la fomme de cha. 
que couple de nombres l’un portant l’autre , il faudra 
prendre quatre nombres de la ligne inferieure, & quatre 
de la fuperieure , à relle condition toutefois qu’on prenne 
une quotitéimpaire de nombres impairs , afin quela fom. 
me foitimpaire, comme eft 787. Je prendrai donc par 
exemple 155, 153,152, 150; la fomme eft 610, qui 
ôtée de 787, refte 177, qu’on ne peut pas faire avec qua- 
tre nombres, car les quatre qui reftent font 46, 48,49, 
5°, quienfemble font 193 :&fije prens 147 au lieu de 

150, lafomme fera encore trop petite. 

Et parce que la difference de 193 à 177 eft grande, je 
diminué tout à coup 1 ; 2 debeaucoup , & fans s’amufer à 
prendre x 51, ouxso, l’on prendra d’abord les quatre 


272 DEs QuarrEz MAGIQUES. 
nombres:5$, 153, 148, 147, dont la fommeeft6o3; 
qui ôtée de 787, refte 184 ; mais les quatre nombres qui 
reftent, fcavoir 45, 46,47 , 48 , font 186. Ils feront 
donc trop grands de 2, &ainfiil faudra diminuer r 53. Je 
prens 1 j2 en fa place, & laifle 148 & 147, puifque 153 
n’eft diminué que de 7, : 
Onauradonc15$,1$2, 148, 147, dont la fomme 
eft 602, qui ôtée de 787, refte 18 5 : les quatre nombres 
quireftent font 44, 46, 47,48, dontlafommeeltr85, 
ainfi qu’il eft requis. On a donc les nombres qui doivent 
êtreentre 34& 164, qui feront 1$5,152,148,147, 
44, 46, 47, 48. 
Mais fi on vouloit chercher plus outre , on diminuëroir 
encore 1 $2 , prenant d’autres nombres que 148 & 147. 
Etenfin on diminuëroit le premier nombre 155$, pre: 
nant 153 en fa place, & cherchant comme devant, on 
trouvera que les huit nombres fuivans153, 152,150, 
147, 49,48, 46, 42 étant joints enfemble, font 787. 
Je mers donc au-deflous de 918, les nombres de la li- 
gne 34, 33, Cy- devant trouvez; &au-deflous de 787, 
ceux dela ligne 34, 164, & leurs complémensà côté, 
comme on voit ici, | 


34 33 34 164 
918 787 
162 35 153 44 
161 36 152 45 
160 37 150 47 
158 39 147 50° 
156 41 49 148 
43 | 154 48 | 149 
40 | 157 46 | 1571 
SEA le 10 #2 | 155 


Des QUuARREZ MAGIQUES. 273 


tour dela figure de 8 marquée Ben la page 267, entre 
leurs angles qui font marquez au-deflus d’iceux , & en fais 
la figure fuivance de 10. 


34 162 161 160 158 156 43 40 38 33 
153 19 176 17$ 174 173 26 25 210 44 
152 170 9 185 186 183 18 10 27 45 
150 168 76 1 195$ 194 4 181 219 47 
147 165 180 192 6 7 189 M7 32 5$o 
49 31 184 8 r90 1917 $ 13 166 148 
48 30 1$ 193 3 2 196 182 167 149 
46 28 187 12 11 14 179 188 169 1ÿj1 
AO PTT EN a A CAGE ENT 178 TS$ 
164 35 36 37 39 41 154 157 159 163 


Mais cette méthode eft trop longue, quoi qu’elle foic 
degrande commodité aux petites figures, comme de fix 
ou huit nombres à chaque côté : toutefois on pourroit 
choifir tels nombres pour les angles & pour les lignes 
qu’on fe trouveroit fiembarraflé , qu’on feroit obligé de 
recourir à cette voye, fion ne vouloit point changer les 
nombres ; & c’eft ici le dernier refuge : car puifque par 
cette méthode on trouvetoutes les façons de faire les li- 
gnes avec les nombres donnez, fi on la met en pratique, 
néceflairement elle découvrira, (fion la fuit de point en 
point & fans rien omertre) fi laligne fe peut parfaire avec 
les nombres dont on fe veut fervir. 

I1la faudroit aufli neceflairement mettre en ufage, fi 
on vouloit avoir toutes les façons poffbles de faireuneTa- 
ble fans changer les nombres dechaque enceinte. 

Maintenant il faut pafler aux deux autres voyes, par 
J'une defquelles on fera l'enceinte de 12, & par l’autre la 
derniere qui eft de 14. 

Il faut prenrierement fçavoir combien chaque ligne 
doit avoir en l’enceinte de 12.5 ce qui fe fait multipliant 
Rec. del Ac Tom. F. Nn 


274 DEs QUARREZ MAGIQUES. 

197 par 6 , le produit fera 1182 , car puifque chaque 
couples de nombres, l’un portant l’autre, doit faire 197, 
les fix couples , qui font douze nombres , feront 1 182. 

Je choifis après les deux nombres qu’il faut mettre aux 
angles ; on a pris pour la Table précédente tous lesnom- 
bres jufques à 50 , & leurs complémens ; on prendra pour 
ces deux anglesiciles deux nombres fuivans, fçavoir sr, 
52, & leurs complémens 146, 145$, qui feront difpofez 
aux angles de la figure, comme on voitici. 

J'afflemble après 5 1 & 52, la fomme eft 
st $2 103, quiôtéede 1182 ,quieft la fomme 
des douze nombres de la ligne , refte 1079 
pour les dix nombres qui reftent à mettre 
entre $ 1 & 52. 

Pareillement j'aflemble $r & 145, la 
145 146 fomme eft 196 , qui ôtée de 1182, refte 
986 pour les dix nombres qui doivent être 

entre $ 1 & 145. 


Cela fair,jeprens 57 es 145$ 
les vingt nombres ©  ————— 
qui fuivent 52 , & 1079 989 


leurs complémens, carilen faut dix en chacune des li 
gnes entre les angles. 


F3 SA St 1j Gt} S7a:pB2 ES 9 6er Erik 6z 
144 143 142 I41 140 139 138 137 136 135$ 
ag AE UE | 
6% 64 65/1686 67 : 63469  JORT1 72 
134 133 132 131 130 129 128 127 126 125$ 


Seconde méthode. Pour cette enceinte on fe fervira 
de la feconde méthode qui eft la plus facile de toures, & 
fe fait comme s’enfuit. 

Je divifé 1079 par 10, à caufe que les dix nombres 
doivent faire 1079 ; tous enfemble on aura 108 moins 1 ; 


Des QUARREZ MAGIQUES. 27$ 


de forte que neuf des nombres vaudront 108 , & le dixié- 
me vaudra 107: (ce qui fe doir entendre lun portantl’au. 
tre) chaque couple de nombres vaudra donc 216, ex. 
cepré une qui ne vaudra que 215. 

Mais parce qu'il n’ya que deux nombres qui puiflent 
faire 216 ,{çavoir 144 & 12 ,il faudra prendre quelques. 
uns des plus grands nombres, afin que lesautres en foient 
d’autant diminuez. Parexemple , on prendra 144 & 143, 
dont la fomme eft 287, qui ôtée de 1079, refte 792, 
qui divifé par 8 , à caufedes huit nombres qui reftent, on 
aura 99 : chaque couple de nombres vaudra donc 198 ,& 
il y a quatre couples. 

On obfervera de faire en forte que les nombres qui ref. 
teront pour l’autre ligne, foient de fuite le plus qu’on 
pourra, car on y trouvera plus de facilité. 

On fera aifément 198 plufeurs fois, & tant qu’on vou- 
dra, comme fi on prend 142, 56,| 140,58, | 138,60, | 
&136,62.| 

Mais on le peut encore trouver d’uneautre forte, pre- 
nant des couples de nombres qui vaillent plus de 198, & 

d’autres qui vaillent d’autant moins, car il arrive par fois 
qu’on ne peut trouver deux nombres qui faflenc ce qui eft 
requis. 

Si donc je ne pouvois faire r98 en deux nombres, j'en 
prendrois deux qui faffent par exemple 188, fçavoir 125 
& 63 ,& en échangeil en faudroit prendre deux qui fif- 
fent enfemble 208 , comme 142,66. 

Le premier couple vaur ro moins que 198, &le fecond 
vaut 10 plus: je prendrai aprés 126,64,qui font enfemble 
190,qui eft huit moins que 1985 &en Fes je prendrai 
141,65 , dont la fomme eft 206 , qui furpafñle r98de huit. 

On aura donc 144, 143 ,142,141,12$,126,63, 
64,65,66 , pour les dix nombres qu'il faut mertre entre 
51, 52. 

Pour la ligne 51, 145, je divife 9 86 par dix, & je crou- 

N ni] 


- 


276 DEs QuARREZ MAGIQUES, 

ve 98, & refte 6 ; ce qui me montre qu’il ÿ aura fix nom- 
bres qui auront 99 l’un portant l’autre , & quatre qui au- 
ront 98. 

Il faudra donc trouver trois couples de nombres, dont 
chacune fera 198 , double de 99 , & deux couples de 196 
chacune. 

Je marque les nombres de la ligne précedente avec une 
petite ligne ou tiret au-deffous , & me fers des dix quiref- 
tent, quiétant de fuite en quotité paire, (car il y en a pre- 
mierement fix de fuire, & puis quatre, ce qu’il faut obfer- 
ver le plus qu’on peut pour la facilité, fçavoir que les nom- 
bres qui fuivent foient en quotité paire }il fera facile de 
trouver des couples de 198 & de 196 ;lestrois couples de 
198 feront 140,58, | 138, 60, | & 136, 62. | Les 
deux couples de 196 feront 67, 129, | & 69, 12:7:0n 
aura donc 140,138 ,136 ,129,127, 69,67, 62, 
60, 58 pourlaligne $1, 145. 

Ayant ces nombres, afin de ne fe point méprendre & 
de n’être pointen danger de les mettre en une ligne autre 
que celle où ils doivent être mis , & aufli pour avoir plus 
en mains leurs complémens, on mettra les nombres de 
chaque ligne au - deflous des deux nombres qui font aux 
angles qui la bornent , commeon voit cy-deflous ,& leurs 


complémens à côté. 

Je 5? px 245 
1079 986 
F44 53 140 YA 
143 54 138 ) 
142 55 136 61 
TAI 56 129 68 
125 72 LA 70 
126 gp 69 128 
63 134 ÉTLUL 130 
64 | 133 62 | 135 
65 132 60 1891 


13 


Des QuaARREz MAGIQUES. ‘277 


Puis on difpofera ces lignes autour de la figure de dix cy-devant 


trouvée , &l'on aura la figure fuivante de douze. 


SUMAX 143 142 JALI2$ 126: /63,. 64 05 
140) 34 162 161 160 158 156 43 40 38 


DOUT)T 19 176 12 L/AUI 7/14 2 23] 20 44 
RATS 2 170 0015 18b 1. 00. TO 27 ff 
129150 IG68N40  LD'10% IJA4L 4 IôT 29 47 


127 147 165$ 180 192 DÉRIT\TOMN 7 72 


69 49 31 184 8 190 191 $ 13 166 148 
CTP EESO, LS 193 3 2 196 182 167 149 
G2/NA6 "28 187, 12. TL 14 l/9 188 169 151 
CON 22 17/7) At V2E 22 LAC 17/2 179 15$ 
53 164 3$ 36 37 39 41 154 157 159 163 
AR 1 JA D JO 72 LI 134 133,132 131 


Cette méthode eft la plus facile de toures , maïs il feroie 
aifé de la découvrir en voyant la figure , fi l’on n’y apporte 
un peu d'artifice ; ce qui fe pourra faire en mêlant davan- 
tage les nombres. 

Par la troifiéme méthode les figures font renduës plus 
embaraflées , parce que fuivanc ce qu’elle ordonne , on ne 
s’étudie pas à prendre les nombres de fuite, comme on a 
fair cy-devant; mais on les prend par hazard felon qu'ils fe 
rencontrent,confidérant coutefois à peu-près ce qu'il faut 
pour parfaire la ligne. 

On fera la même opération qu'aux précédentes,pour 
fçavoir combiemchaqueligne doit avoir, feavoir multi- 
pliant 197 par 7; (car 197 eft la fomme de chaque eou- 
ple de nombres l’un portant l’autre par toute ka figure, & 
y ayant quatorze nombres en chaque ligne de cette der- 
niere enceinte, on aura fept couples) fi donc on multiplie 
197 par 7, le produit fera 1379; qui eft la fomme des 
quatorze nombres de chaque ligne de la derniere en- 
ceinte, Naiij 


74 


124 


178 DEs QuaArRREz MAGIQUES, 

(aile prendrai donc comme cy-devant , pour les angles 
deux nombres qui s'entrefuivent ; parexemple, les deux 
moindres de ceux qui reftent, fçavoir 73 , 74, & leurs 
complémens 124,123, & je les difpoferai comme on 
voitici, & ainf qu’ils doivent êrre dans la figure , & qu’ils 
feront après appliquez fur lesangles de la figure de douze, 
comme l’on voit de l’autre part. 

J'aflemble après 73 & 74:la fomme eft 
73 74 147, quiôtée der379, (quieft la fom. 
me des quatorze nombres de chaque li- 
gne) refte 1232 pour les douze nombres 
qu'il faudra mettre entre 73 & 74. 
Je prensaufli la fomme de 73 & 123, 
123 ‘ 124 quicit196,quiôtée de1379,refte1183 
pour les douze nombres qui doivent être 
mis entre 73 & 123. 
On difpofera après de fuite les vingt-quatre nombres 
qu’il faut mettre dans ceslignes, & leurs complémens. 


75 76.77 .78..79.80 81 82 83 84 8$ ,86 
122 2H 20219 LIST TIGE SATA 175 TI2 0 
87 88 89 9o'uwpr: 92093094, 9$ 96: 97 198 
110 109 108 107 106 10$ 104 103 102 IOI 100 99 


Je difpofe comme cy - devant les nombres qu'il faut 
pour chaque ligne, lefquels on vient de trouver. 


Pour remplir ces 
lignes par la croifié- 73 74 73 123 
me méthode Pare etes 


exemple , la ligne nus 1183 


quidoitavoir 1132, 

je vois que les nombresdes angles font tous deux petits, 
c’eft pourquoi il faudra fe récompenfer aux douze nom- 
bres qu’on cherche, & pour cereffet prendre davantage 
des nombres de la feconde ligne, que de ceux de la pre- 


DEs QuARREzZ MAGIQUES. 279 


micre ; & {ur cout obferver,que les nombres impairs qu’on 
prendra foienten quotité paire, afin qu'ils puiflent faire 
un nombre pair tel qu’eft 1232. Je prens donc par exem- 
ple lesnombres qui s’enfuivent, que je mets au-deflous 
de ::232. 
La fomme de ces nombres eft1260, 
1232 mais il ne falloit trouver que 1:32, qui 
ôtée de 1260, refte 28. Il faut donc di- 
TT122 7$ minuer ces nombres de 28, ce quifepeut 
121 76 faireendiverfes façons, comme mettant 
7129 77 en la place de quelqu'un des nombres 
——78 119 qui fontici, un nombre qui foit moindre 
090118 de 28, pourvû que ce-nombre ne foit 
LA7 point déjaemployé dans la ligne, ni fon 
complément aufli. Par exemple, fi au 
lieu de 122 on prenoit 94, ou bien on 
83 peut faire cette déduction en deux nom- 


LL bres ou plus ; ainfi au lieu de 116 on peut 
—$5 112 prendre 103, & 100 aulieu de 115 : ce 

Lis qui diminuëroit lesnombres de 28. 
ERP E Maisil yaencoreune autre méthode, 


par laquelle on change les nombres de la 
ligne, en d’autres qui ont leurs complémens employez 
dans la même ligne ; maisen ce cas il ne faut diminuër ou 
augmenter le nombre que de la moitié ,comme ici de 14, 
parce qu’on fera obligé de changer auffi les complémens ; 
ce qui fait doubler la correction , laquelle par conféquent 
ne fedoit faire que de la moitié, comme on verra incon- 
tinent. 

On fe peut auff fervir de ces deux voyes enfemble,pour 
corriger le défaut ou excès des nombres. 

Nous choifirons ici la feconde méthode pour corriger 
l'excès de 28, lequel doit être réduit à la moitié , {ça- 
voir 14, comme il a été dit. Pour changer 122 ,je cher- 
che dans la ligne quelque petit nombre dont le complé- 


280 Dzs QuarrEez MAGIQUES. 

ment foit beaucoup moindre ; par exemple 8 s , dont le 
complément eft 112, qui eft moindre de 10 que 122. Je 
mets donc 112 à la place de 85, & de même a la place de 
1 2 2 je mets fon complément 7$, comme on voit à côté 
de la ligne ; & ainfi on aura 20 de diminution, au lieu de 
10, caronôte 122, & on met 112 ; Comme aufli on Ôte 
85, &onmert 75 à fa place. 

Refte donc à diminuër les nombres de 4 , pour achever 
14. | 

Parce que les nombres qu’ona pris font eux, ou leurs 
complémens tous de fuite ( carle complément de 78 eft 
119, qui précede 1120, & ainfi des autres ) il fera facile de 
voir de combien lescomplémens des nombres de la ligne 
feront moindres que celui avec lequel on les voudra com. 
parer. Parexemple, le complément de 79 fera moindre 
detrois que 121, parce que 79 ei le rroifiéme nombre 
après 121, & pour la même raifon le complément de 78 
fera moindre de 1, que 120. Or 3 & 1 font4, qui eft La 
correction requife ; je mets donc au lieu de 121,120,78, 
79 , leurs complémensfçavoir 76, 77, 119,118,com- 
me on voit de l’autre part, où les complémens font écrits 
à côté de leursnombres, lefquels nombres font marquez 
pour montrer qu'ils ne fervent plus de rien, & qu’en leur 
place il faut prendre ceux qui font à côté. 

Les nombres de certe ligne , dont les angles font 73; 
74 feront donc 75,76, 77 ,119,118 ,117,116,L1$, 
83,113 ,112,111, quifonrenfemblela fomme requife 
232 | ii 

Pour l’autre ligne, dont les angles font 73, 123,& 
qui doit contenir 1 183 en fes douze nombres, je prens les 
nombres qui reftent ; fçavoir, 139162 


87 88 89 90 91 92 93.94 9$ 96,97 98 
EIO 109 108.107 106 10$ 104 103 102 101 100 99 
Et parce que les angles 73, 123, valent à peu-près 

1973 


Drs Quarrez MAaGrQUES. 287 
#97, qui eft la valeur que doitavoir chaque couple de 
nombres Pun portant l’autre , il faut aufli que les nombres 
qu'onemployera foientà peu -près de certe valeur: mais 
on prendra garde d’avoir une quotité impaire de nombres 
impairs, parce que la fomme des douze nombres , fçavoir 
1183 ;eftimpaire. de 
Onremarqueraæaufli que les nombres qui font l’un def. 
fus l’autre, valantenfemble 197 , & n’étantdifferens l’un 
de l'autre que de lunité ; fi on prend un des nombres de 
deflous , avec le fuivant de la ligne fuperieure, comme 
110, &88 , onaura r plus que 197 : maïs fi avec le nom- 
bre dedeflous, on prend le précédent de la ligne fupé- 
rieure, comme 109 & 87, onaura 1 moins que 197. 
Si doncon veut que lesnombres ayent 


1183 197 l’un porrant l’autre , il faut mêler 
——"— , ‘ces deux façons, & prendre les nombres 
THO 


qu’on voicici au - deflous de 1183, qui 


88 “enfemble font 1181 , qui eft 2 moins 
77789 108 qu'il ne faut : d’où s'enfuit qu'il faudra 
197 99 augmenter un desnombresde 7, car ain- 

106. file complément étant augmenté.de 1., 

2e toute l'augmentation fera de 2. Or cela 
95 fe peur faire en beaucoup de manieres ; 
RE par exemple , mettant 108 au lieu de 
dns) 107 ; car cela étant, il faudra mettre 90, 
96 complément de rc7, à la place de107, 
97. & 108, complément de 89, à la place 
98 de 89 ,comme on voit ici ;, &ainfi 89 & 


107 feront chacun augmentez de 1, puifqu’au lieu d’iceux 
onaura 90 & 108. 

Voici donc les nombres de la ligne qui doit être entre 
lesangles 73,123, quifontr10., 88,108, 90 ,106,92, 
93:103,102,96,97,98. On mettra donc,comme on 
fair ci-devant,les nombres de ces deux lignes au-deffous de 

Rec. del Ac. Tom.F. Oo 


282 Des QuaARREz MAGIQUES. 
leursangles, & leurs complémens à côté,comme l’on voir 


ci-après. : 
73 Ti 13002 3 
75 F2:3 110 87 
76 Fi 83 109 
77 120 108 89 
119 78 90 107 
118 79 106 91 
117 80 92 105 
116 81 93 104 
11$ 82 103 94 
83 114 102 95 
113 84. 96 IOI 
112 85 97 100 
111 86 98 99 


Cela fait, je les difpofe autour de la précédente figure 
der: , & on aura la figure de 14 parfaite, comme on la 
voit cy-après. ÿ 
73 75 «POP PPOPEDIETS NTI TUE ETF 05 F3 112 III SE 
ITO SITAŸ 143 1427 IAT 129 126 6% 64 6$ 66 ÿ2107 
88 140 34 162 I61 160 158 156 43 40 38 33 5$7 109 
108 138 153 19 176 17ÿ 174 173 26 25 20 44 $9:89 
90 136 152 170 9 18$ÿ 186 183 18 10 27 4$ 61 107 
106 129 I1$O 158 16 I 19$ 194 4 181 29 47 68 91 
92 127 147 165 180 192 6 7 189 17 32 $o 7o 105$ 
93 69 49 31 184 8 190 197 $ 13 166 148 128 104 
103 67 48 3O I$ 193 3 2 196 182 167 149 130 94 
102 62 46 28 187 12 11 x4 179 188 169 ISI 135 9$ 
96 60 42177 21 22 23 24 171 172 178 1$$ 137 Tot 
97 58 164 3$ 36 37 39 A1 1$4 157 159 163 139 100 
98 145 $3 ÿ4 S5$ 6 72 71 134 133 132 131 146 .99 
123 122 121 120 78 79 So 81 S2 114 84 85 86 124 


Des QuARREz MAGIQUES. 283 


On pourroit bien faire que la figure auroit à fes angles 
quatre nombres de fuite , fcavoir 97, 98,99, 100, qui fe- 
roient difpofez commeonvoircy-après. 
La ligne qui doit être entre97 & 9 8 auroit r184enfesr 2 
nombres, & celle quiferoit mife entre 97 & 99 aura 1183, 
on trouvera que la premiere doit avoir déux couples de 
196 chacun, & quatre de 198 , & la feconde devroitavoir 
deux couples de 196, troisde 198, & un der97; mais 
parce qu’on ne peut faire aucun cou- 

97 98 ple de r97, à caufe qu’il faudroit prendre 
deux nombres qui feroïent complément 
lun de l’autre , au lieu du couple de 197, 
J'en prendraiun de198 , & en récompen- 
fe au lieu d'un de 196, j'en prendraiun 

99 100 de19$; onenaura donc quatre de 198, 
un de 196, & un de 195. Les nombres 
dont il fe faut fervir font les fuivans. 


75 74, 75-576 771 78 n79 Bo;c8r 82 


83 


84. 


124 123,122 121 120 119 118 117 116 11$ 114 113 


RSR GRR RUIL cbr: Le 


Fo Mn 88.1 80hob ar .sp2 ds. 94: 05 
112 111 II1O 109 108 107 106 IO$ IO4 103 102 IOL 


1183 La ligne qui doit être entre 97 & 98,8& 
TT quivaut 1184, fe fera aifément , prenant 


— 


Lo 73:123,175,121, pour les deux couples 
M de1965|&110,78,H18,80,| 116,82, 
88 114 , 84,] pour les quatre couples de 
103 198 
90 L’autre ligne qui doit être entre 97 & 
106 ne fe fera pas fi aifément ; 

99, a pas fi aifément ; parce que 


j Vu 105  ]a fomme des nombres eft impaire. On 
? 


103 94 prendra 112,86,|110,88,1108,90,| 
of 106,92, pour les quatrecouplesde:98, 
26 &93,103 pour le couple de 196 ; mais 

k Ooij 


| 
96 


284 Des QUARREZ MAGIQUES. 

on ne fçauroit faire 19 $ avec les nombres qui reftent. J'en 
prens donc deux au hafard , en forte toutefois que l’un 
d'eux foit pair, & l’autre impair , afin que leur fomme 
foit impaire , comme l’eft 195. Parexemple je prens9s, 
96, dont la fomme eft 191 , qui eft moindre de 4 que 
195$. I faut donc augmenter un des nombres de 2, & 
pourle faire, j'en choifis un, qui étant augmenté de 2, 
ne fe trouve point dans la ligne,mais que fon complément 
y foit : par exemple , je change 92, parce que 94 qui le 
furpafle de 2, n’eft pas dans la ligne , mais fon complé- 
ment 103 s’y trouve. 

Je mers donc au lieu de 92 , fon complément ro$, & 
au lieu de 103, fon complément 94, & on aura les douze 
nombres de certe ligne. Je les difpofe après comme l’on 
voicici, & leurs complémens après eux. ? 


97 98 vue à gi 99 
73 EPA 112 85 
123 74. 86 “F:7r11 


e mets donc ces quatre angles & ces quatre lignesen 
la difpofition que Pon voit dans la page qui fuit autour 
de la figure de 121, aveclaquelle on pourra remplir l’efpa. 
ce vuide, 


Des QuaArRREz MAGIQUES. 285 
97 73 123 75 121 120 78 118 So 116 82 114 84 98 


112 : 85 
86 111 
119 87 
88 x 109 
108 89 
90 107 
106 9I 
10ÿ 92 
CE: 104 
94 103 
95 102 
96 IOI 


99 124 74 122 96 97 119 99 117 81 115 83 113 100 


I] faut remarquer , qu'avec la méthode dont on s’eft 
fervi pour faire certe figure ,on pourra conftruire les au- 
tres figures interieures ,comme de 12,10,8 ou 6 ,&par 
la même façon qu’on a fait ci-devant celle de 8 qui eft au- 
dedans de celle de r4, fe fervant d’une autre de 8 quine 
dépend que d’elle-même , & dont le plus grand nombre 
eft 64. Or ce qui fait que les figures inferieures fe peuvent 
conftruire de celle-ci, & fes femblables ,eft que les nom- 
bres & leurs complémens vont de fuite danstoutes lesen- 
ceintes des figures, & n’anticipent point fur les nombres: 

© o ïi} 


286 Das QuarrEz MAGIQUES. 
deftinez pour les figures fuivantes. Ainfi en la Table de 6 
comprife dans celle de 14, les 36 nombres font les 18 
moindres , & leurs complémens pris , eu égard à 196. 

En la Table de 8 ,les 64 nombres font les 3 2 moindres, 
& leurs complémens pris fur 196. 

En celle de 10, les 100 nombres font les $o moindres, 
& leurs complémens. 

Et en celle de 12 ,les 144 nombres font les 721 moin- 
dres , & leurs complémens pris toujours fur 196. 

Mais pour faire de la précedenteTable der une figure 
moindre: par exemple, celle de ro en laquelle le plus 
grand nombre foit 100, il faut laiffer les $o premiers & 
moindres nombres en la difpofition qu’on les trouvera 
en la Table de 10, faifant partie de celle de 14 ; & pour 
les autres $o qui font les complémens des $o premiers, 
au lieu qu’en la Table de 10 qui fait partie de celle de 14, 
on les a pris fur 196 ,ilne les faudra prendre que fur 100: 
& afin de ne fe point tromper, & de ne prendre point 
un nom pour un autre, on écrira les $o premiers nombres, 
fçavoir1,2,3,4, &c. & au deflous dans une feconde 
ligne, leurs complémens pris fur 196 , comme ils font 
ci-devant ; & dans une croifiéme ligne au-deflous, on 
mettra les complémens des mêmes nombres de la pre- 
miere ligne pris fur 100 , comme on voit ici, 


I 2 3 IMMO UE PUS 9 net PIRE 
196 19$ 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 
100 DD à SANS 4 N AIT A y AS CAO US 


13 ANS NO 7 RNA T |. 22. RUE 
184 183 182 181 18c 179 178 177 176 175 174 173 
88 57 86 85 84 83 81 81 So 79 78 PI 


han tz7 28: 291 30 1234 
472 171 170 169 168 167 166 
76 7ÿ 74 73 71 71 70 
37 38 39 40 41 41 43 
160 159 158 157 156 155 154 
64 63 62 61 6o 59 58 
49/:550 
143 147 
pag 
34 162 161 160 158 156 
153 19 176 175 174 173 
152 170 9 185 186 183 
À 150 168 16 1 195 194 
147 165 180 192 6 4 
49 31 184 8 190 191 
ame vbs Nat À Re DRE 
46 28 187 12 ZIK 14 
AL USE ANT 23h Did 
164 35 36 37 39 41 
34 66 6$ 64 61 60 
F7 89 EST ENS "7 
56 74 9 89 90 87 
DA 72036" F'Pen "8 
51 69 84 96 6% 7 
49 31 88 8 94 95 
DANEPREU SES 577 ER 
46228 Cor (120 Gers 
MrTUBNAUSx" 22 02022 
68 35 36 37 39 41 


Des QuaARREz MAGIQUES. 


32 


33 


279 


34 


165 164 163 


67 


46 
1$I 
55 


ue 76 | 


162 16I 
66 6; 


47 48. 
150 149 
54 53 


288 Des QuARREZ MAGIQUES. 

La Table cottée À , cft celle de 10 qui fait partie de 
celle de 14,& contient les nombres de la premiere & fe- 
conde ligne. ” 

La Table côrtéeB, eft celle de 10 fimplement , & ne 
fait partie de nulle autre, & contient les nombres de la 
premiere & troifiéme ligne. 

En cette Table B, les nombres de la premiere ligne, 
fcavoir depuis 1 jufques à $o , font aux mêmes lieux qu’en 
la Table A. 

Et ceux de la troifiéme ligne , fçavoir depuis s 1 jufques 
à 100 , font à la place de ceux de la feconde ligne , emla 
Table A : ainfi pour faire la Table B , je commence par 
le premier nombre 34 de la Table A , lequel étant moin- 
dre que jo, je le laifle en la Table B au même lieu,& pour- 
fuivant je rrouve 16:,161,160,158,1$6, qui furpaflenc 
s°, c’eft pourquoi je cherche dans la feconde lignede lieu 
où ils font, & prens au lieu d’eux le nombre qui eft dans 
la troifiéme ligne, fçavoir 66,65, 64,62, 60, queje 
mers enfuite de 34 ,& aux mêmeslieux où étoient 162, 
161,160,158,156;&ainf continuant enla même for- 
te, on achevera la Table B, comme elle eft ici. 

Mais on n’eft pas oblige de faire les Tables en telle for- 
te, que les nombres d’une enceinte n’anticipent pas fur 
l’autre, car on peut prendre les nombres au hazard & 
comme ils viendront , & fi on ne laiflera pas d’avoir une 
figure parfaire, mais elle ne pourra pas fervir , comme la 
précedente, à faire une figure moindre. Par exemple, fi 
en la ligne interieure de ro il y avoit des nombres plus 
grands que 50, & moindres que 99, on ne pourroit pas la 
transformer en une fimple, dont le plus grand nombre 
füt 100. 

On pourroic aufli mettre les nombres de fuite aux en- 
ceintes fans les entremêler.; mais par un ordre contraire 
au precedent , {çavoir mettant les nombres du milieu à la 
figure de 4 ,& les fuivans, avec leurs complémens à l’en- 

ceinte 


de 


da + 


Des QuARREzZ MAGIQUES. 289 


ceinte de 6, & ainfi continuant jufques à la derniere en- : 


ceinte. 


Par ce moyen la Table de 4 contiendroit les nombres 


fuivans. 
NU O8 OT 0 DA ce 02 or 
99 100 IOI 102 103 104 10$ 106 
L’enceinte de la Table de 6 contiendra, 


DONMBOE LES 87 C6. 65, 04,483 ..82 
TOPÉTOB IOQ TIOLJIEL 12 LL, Ji4 11LS,. 1 


Celle de la Table de 8 contiendroit, 


16 


RO TP RE Rd ln 7O 69 


NT /N ES IIDNALD MIT 122 123 124 L2$ 126 1 
68 67 

129 130 

Celle de 10 auroit, r 


66 .6ÿ 64 63. 621 61 Co 59 58 57 


27 128 


SEA TSS EE 


131 132 133 134 139$ 136 137 138 139 140 141 142 


SAS RE MST 50. 419 
143 144 145 146 147 148 
Gelie de 12 contiendroit | 


48 47 46 45 44 43 412 41 40 359 38 37 


LAOMISON PSE 2 PES T4 155 1%6 157 158 1 


36,35 34. 33: 32. 3x 30 29 28 27 
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 


59 160 


Enfin la derniere enceinte de 14 contiendroit le refte des nom- 


bres ,qui eft, 
PRIT NEA E25. 2 O 0 LAB) L7 


17 RG TE 174 17) 4É7OMLTAETS 179 180 I 
Rec, del Ac. Tom.Y. Pp. 


dj 


DA 6 LES 


8I 182 


290 DES QUuARREZ MAGIQUES. 
LA UT TN PMNIRDRSE OS UN LNNINS RURRNPEELIAR TRES 3. 
183 184 185 186 187 188 189 190 I91 192 193 194 
2 I 
195$ 196 | 
Et la figure étant difpofée felon la méthode dont il a été parlé 
ci-devant, on aura celle qui fuit. 


195.171 -2ÿ180, 23 179 ) 21-178) 24175 16, 14/17/00 
3 28 31,32 164 163 162 161 160 159 48 47 27 194 
189 30 49 133 66 137 6$ 136 $4 135 63 147 167 8 
13 39 146 129 77 118 :7OiT21 71 72 130 ST 158 184 
4 44 .144 73.116 8$ 110 89 109 82 124 53 153 193 
15 40 58 78.84 103 9% 92 106 II3 119 139 157 182 
195 156 56 128 86" 93 T00 101 9$ LIE, 69 140, ALI 
7 155 138 74 83 102 96 97:99 114 123 S9 42,190 
187 154 57 117 107 91 10$ 104 94 90 80 140 43 19 
6 163 142,122 EL LI2  S7 OS 188 On 7 Sad AN ME 
196; 152,14$-:672120 579. E2Y4 76 126 125, 68.52 0-45 ÛIX 
188 46 $0 64.131 60 1324 Gli143i 62 134 148 1SI 9 
$ 170 166 165$: 33 34 3$ 36 37 38 149 150, 169,192 
196 26 172171740018 176000 een TS TF8 3e ONE 


a, | 
DE L'ATTACHEMENT, DES;F1IG{UMRIES 
partiales € interieures. | 


ES la façon précedente de faire les figures, celles qui 
_sfont au-dedans font en quelque façon détachées, ou 
plürôt font capables d’être détachées l’une d’avec l’au- 
tre ,ainfi qu'il a été dit : car fi on Ôte la premiere enceinte 
de la précedente figure de 14, la figure de 12 qui rcftera 
aura les conditions requifes ; pareillement fi on ôte deux 
enceintes, il demeurera une figure de 10, quiaura encore 
toutes les lignes égales. 


Des QuaARREZ MAGIQUES. 29E 

. + Que fi on Ôte crois enceintes, on aura encore la table de 

$ ,avec lesmêmes conditions ; & fi on ôte quatre encein- 

tes, on aura la Table de 6 , qui fera encore felon les ré- 

gles «enfin fi on ôte cinq enceintes, il reftera la Table de 
4 qui aura pareille qualité. | 

Mais il y a moyen d’attacher les enceintes l’une à l'au- 
tre, en telle forte que lorfqu’on en ôtera quelqu’une, les 
autres, ou laquelle on voudra de celles qui reftent , ne foit 
point felon les loix ; quoique la figure cotale qui eftici de 
14, demeure toûjours bonne. Ce qui doit roüjours être 
fappofé,& en ceci il n’y a point de reftriétion ; car on choi- 
fic laquelle on veut, pour être bonne , où mauvaife. 

Exemple. On pourra faire que la Table entiere de 14 
demeurant bonne, celle de 12 ne vaudra rien, mais les 
autres de 10,8 ,6 &4, feront bonnes. 

Ou bien qu’il n’y aura que celle de 1@ qui n'ait pasles 
conditions requifes, ou que ce fera celle de 8 , 6 ou 4 feu- 
lement ,en laquelle arrivera ce défaut. 

On peut faire auf qu’il y en aura deux, & lefquelles 
onvoudra, qui n'auront pas Les conditions requifes, com- 
me celles de 12 & de 10, ou de 1 2 & de 8 ,oude 12 &de 
6 ,ou de 11 & de4. + 

Ou bien celles de 10 &de 8 ,de 10 & de 6,oude ro 
& de 4. L 

Ou celles de 8 &de6, de8 &de4, ou de 6 & de4. 

Comme aufli on pourra faire que trois de ces figures ne 
vaudront rien, mais que les autres feront bonnes : par 
exemple, que celles de 12,10 & 8 ne vaudront rien ,ow 
cellesde12,10&6,oude1:,r10,&4,ouder2,8,6, 
oude11,8,4,oude112,6,4,oude10,8,6,ouderc; 
8,4,oude 10,6 ,4,ou enfin de 8, 6 & 4. Les autres 
étant difpofces felon les loix. | 
. Pareillement on fera que quatre des Tables interieures: 
ne vaudront rien, & la cinquiéme fera bonne, & certe 
cinquiéme fera laquelle on voudra ; fçavoir celle de 12, 


Ppi 


292 DES QuARREZ MAGIQUES. 


ou celle de ro & de 8 ,de 6 oude 4, oùil faut toüjours 
fuppofer que l’exterieure , ou totale , foit bonne. ) 

Enfin on peut faire en forte que la feule figure totale 
fera bonne, & qu'aucune dés particulieres & interieures 
n'aura les conditions requifes. A 

Cet attachement fe fait , tranfpofant deux nombres 
d’une enceinte, à la place de deux autres équivalens d’une 
autre enceinte, en telle forte que les nombres demeurent 
en la même ligne ou colomne où chacun d’eux étoit aupa- 
ravant; de forte que pour faire cette tranfmutation ou 
tranfport , il faut que les nombres foient vis-à-vis l’un de 
l’autre, & s'ils n’y font pas, il les y faut mettre, chan- 
geant aufhi leurs complémens pour les mettre vis-à-vis 
de leurs nombres, les laiflant pourtant dans leur même 
enceinte , de peur que la figure totale ne foit gâtée. On 
peut voir enfuite des exemples de cela. 

On veut faire enforte qu’en la précedente figure de 14, 
qui eft en la page 290, fi on Ôôre une enceinte, la figure 
de 12 quireftera ne vaille rien , mais les autres 10, 8 & 6 
foient bonnes. Je prens deux lignes prochaines & paral- 

leles, lune de la figure de 


A B G D . 14, & l’autre de celle de 12, 
3 194 & mets aufh leurs complé- 
189 30 167 8 mens vis-à-vis, comme on 
13: #39 158 184 voirici Orilne faut point 
. 44 153 193 comprendre dansceslignes 
my endes 157 182 les nombres quifontauxan- 
185 156 410! Mn igles: 
GE 150 41 190  Lesnombres dela colom- 
E87 154 43. 10 neD, font complémens de 
6 168 29 191 ceux de la colomne A, & 
186 xr5$2 45 11 ceux de lacolomne C , font 
188 46 1S1 9 complèmens de ceux de la 


192 colomneB. 
Premiere Fig. Pour attacher ces deux 


Des QuARREZ MAGIQUES. 393 


figures enfemble, je cherche deux nombres dans la co- 
lomne A , égaux à deux de la colomneB, comme s’en- 
fuit. . 

La fomme de 3 & de 189 ,eft 192 ; je cherche en Bou 
en C deux nombres qui faflent pareillement 1 92. Prenons 
30 pour un des deux nombres, l’autre doit être 162 , le- 
quel n’eft point dans la ligne B. Je prens le fuivant 3 9 ; le 
refte pour parvenir à 1 92 feroit 153 , quin'eft pointen B; 
prenant 44, il faudroit avoir 148 : & enfin prenant 40, le 
refte fera 1 $2 qui fe trouve en B; on aura donc40 & 152 
qui enfemble font autant que 3 & 189. 

Mais parce que 3 & 189 ne font pas vis-à-vis de 40 & 
x 52 ,illes y faut mettre en plaçant 3 à la place de 15, & 
enfuite 1 5 à la place de 3 ; & par même moyen 194 ,com- 
plément de 3 ,en la colomne D, en la place de 182 ,com- 
plément de 15, parce que 15 étoit vis-à-vis de l’un des 
nombres de la ligne B, fçavoir de 40. 


A -B C D 

ot à 182 
186 30 D67it VIRE 
13 39 158 184 

4 44 153 193 

SU: PA OUT 


185 156 ÆDAUMT 2 
FACBES MR hs 
187 154 43 10 
6 168 |. 29 19x 
189 152 45 8 
188 46 PE) 9 
$ 19Z 
Seconde Fig. 


: Semblablement je fais un échange de place entre 189, 
& fon complément 8 avec 186, & fon complément rr ; 
| Ppü} 


294 Des QuAaARREz MAGIQUES. ÿ 
parce que 186 eft vis-à-vis de l’autre nombre 1 52 : of 
aura donc 3 , 189, vis-avis de 40,152, comme on voir 
en la feconde Table. Lu 


ANS UNE AC: He 28 


15 : 182 
186: +130 OT LUE 
A 008 9 158 184 
GRuEE 5845893 
49 3 16%:::194 
185 156 41 Lz 


LARCE 5429 
187 154 43. 10 
6 168 29. 19 EL 
152. 189 45 8 
188 46 ISI 9 
Su 192 
Troifième Fig. 


Maintenant pour faire l’attachement, je mets 3 à la 
place de 40 qui eft vis-à-vis, & 189 à la place de 152 ; & 
cette tran{polition étant faite, fi on ôtoit la premiere en- 
ceinte de la figure en laquelle les lignes feroient difpofées 
felon la fuite des nombres contenusaux colomnes A ,B, 
C,D, de la troifiéme figure, la Table de 12 n’auroit pas 
fes lignes égales, mais bien celles der0,8,6,& 4. 

Il faut remarquer, qu’à cette feconde tranfpofition on 
ne touche point aux colomnes € ; D où font les complé- 
mens. à 

Par ce changement, la figure entiere de 14 ne reçoit 
aucun dommage, puifque leslignes difpofées felon la fuite 
A,B,C,D, ne changent point de nombres , mais retien- 
nent toûjours les mêmes; & lés colomnés-qui vont de haèt 
enbas changent bien de nombres, mais en leurs places; 


Des QuARREZz MAGIQUES. 219$ 


elles en reçoivent d’équivalens. Par exemple, la colomne 
A ,au lieu de 3, 189 qu’elle avoit, reçoit 40, 152, qui 
valent autant: mais fi on prend la figure de 1 2 toute feule, 
il n’en ira pas ainfi ; car encore que la colomne B, à la 
rendre de haut en bas, ne reçoive aucun dommage, il 
n’en eft pas de même aux deux lignes qui vont felon la 
faite A,B,C,D, caren celle où font 3 , 157 ,on a mis 
3 tout feul à la place de 40 ,puifque la ligne de la Table de 
12 ne commence qu’en 40 ; d’où s'enfuit que cette ligne 
fera trop petite de 37; &en la ligne 189 ,4$, on a mis 
189 à la place der52, & aïnfielle fera trop grande de 37. 
Pour les autres figures de10,8,6&4 , elles ne reçoi- 
vent aucun changement, parce qu’on n'y a point touché. 
On peut prendre, fion veut, trois nom- 


A B  bresou plus dans la colomne A , &en choi- 
fir autant d’autres, dont la fomme foit éga. 
30 le dans la colomne B , ou dans fon oppoce 


39 146 C,& les tranfpofer comme devant. 

44 144 On auroit pü prendre 41,151 dans la co- 

40 58 lomne Cde la premiere figure, pour faire 
156 56 192. Demême, fionävoit pris 3,188 dans 
15$ 138 la colomne À, qui font 191 ,ontrouveroit 
154 57 39,152 dans la colomne B, qui font ro1. 
168 142 Enfin on peut trouver ces égalitez en beau- 
152 145$ coup de manieres. 

46 Si on vouloit gârer la figure de 10 feule- 

| ment , il faudroit tranfpofer des nombres 
de l'enceinte de la figure de 12 ,a la place d’autres nom- 
bres équivalens de la figure de r0,& prendre leurs lignes 
ou colomnes comme devant, & comme on les voitici. 

Ainfi ayant trouvé que 44 &'1 5 $ de la colomne A en 

Ja Table précedente, font égaux à 57, 142 de la colomne 


B ,après avoir mis 44, 1 5 5 vis-à-vis de 57,142 ,comme 


devant, & pareillement leurs complémens qui font en la 
colomne oppofée de la Table, je les cranfpofe d’une co- 


296 DEs QuarrEz MAGIQUES.T 
lomne en l’autre, mettant 44, 1 5 5 à la place de 57, 44 
& on les aura en la façon qu'ils font ici. 

Et fi on les applique à la figure de 14 en 


A cette difpofition , & qu’on en ôte deux en- 
ceintes, la figure de ro qui reftera ne fera 
8 © pas bonne : Er quelqu’ autres enceintes 


39 146 qu'on puifle Ôter, ce qui reftera ne laiflera 
154 144 pasd’ètrebon. On auroit pû prendre nos 
40 58 168,la fommeeft 198 ; leurs égaux dans la 
156 56 colomne B ,font $6,142,oubien 39,156, 
168 138 aufquels font égaux 138,57 en l’autre ço. 
57 44 lomne .oubien39,1$5,&onaura 56, 138, 
142 155 qui valent autant, comme auf 44, 1 5 6 font 
{$2 I4$ autant que 144, “6. &que 58,142,X 44, 
46 15$ font autant que $7, 142, &e: \ 
On fera la même chofe desautres encein- 
tes; car fi on vouloit que la Table de 8 route feule ne valüt 
rien, on mêleroit l’enceinte de 8 avec la précedente qui 
eft de 10 ; & pour gater la Table de 6, on changera des 
nombres de fon enceinte avec celle de 8 DRE. 

Pour gâter deux Tables de fuite , il faut mêler les nom- 
bres de la moindre , avec ceux de l'enceinte qui les enve- 
loppe toutes deux. Par exemple, pour faire que les Ta- 
bles de r 2 & de ro ne valent rien, les autres demeurant 
bonnes ,on changera les nombres de l’ enceinte de 14,en 

_des équivalens de celle de ro. 

Et pour gâter les Tables de 10 & de 8 feulement, on 
changera les nombres de la Table de8 , en ceux de la Ta- 
ble de 12, quieft celle qui enveloppe celle de 10. 

Toutes les autres diverfitez qu’on pourroit apporter 
à faire quelques-unes des figures bonnes, & quelqu’ autres 
mauvaifes ,fe feront en la façon quia été montrée, chan- 
geant toûjours les nombres de la figure qu’on veut gâter, 
avec la précedente qu’on veut conferver bonne. Il feroit 
trop long d’apporter des ERÉRRISS de chaque forte, vû 

même 


LdC 


DEs QuaARREz MAG1IQUES. 297 


même que ce qui a été dit peut fuffire étant bien entendu. 

Il y a plufiears autres manieres de gâter ou attacher les 
figures. En voici des exemples. 

Je cherche deux nombres aux deux colomnes mar- 
quées À de la figure précedente, fcavoir un en chacune, 
qui foient égaux à deux autres des mêmes lignes :/par 
exemple , 1 54 & 144 font 298, & pareillement 146 & 
152 font 298. Et parce que 154 & 144 fonc vis-à-vis l’un 
de l’autre, on n’aura que faire d’yroucher; mais pourrs2, 
il le faudra mettre vis-à-vis de 146 , ou 146 à la place de 
145, vis-à-vis de 1 52 , & la ligne fera comme on la voit 
ici; & en même temps auffi on tranfpofera le complément 
de 152 quieften la ligne oppofée dans la figure préceden- 
te de 14, vis-à-vis de 1 5 2 ; & pareillement le complément 
de 39 , parce qu’on a mis 1 52 en fa place. 


B 

30 30 ; 
152 146 1$4 144 
1$4 144 152 146 
490 58 40. 58 
D 2 56 156 $6 
168 138 168 138 
PE 244 SPOLETE 
142 155 142 155$ 
39 .: 145$ 3912145 
46 46 


Cela fait, on mettra 152,r146ala placede 154, 144, 
comme on voit En la figure B ; & en faifant ce dernier 
changement, il né faut point toucher aux complémens, 
car c’eft en cela que confifte l'attachement desencein- 
tes l’une à l’autre, fçavoir à tranfpofer d’une enceinte à 
l’autre, ou d’une ligne à l’autre des nombres équivalens, 
fans toucher à leurs complémens. sx 

Rec, de PAc.Tom.V. Qq 


198 Des QuARREZz MAGIQUES. 
Onaencore 142,56 , quifont 198. EL. 
Onaaufhrs4, 56,quifonc2r10,& 152,58 quifonc 

autant. 

On peut auffi changer les nombres qui font aux angles. 
Ainfi en la figure quia 14 de côté , on pourra mettre 196 
à laplace de r90 : & parce que 196 furpafñle 170 de 26, 
il faudra trouver dans la colomne 171, 26, entre les nom- 
bres 28, 170 ; qui font les angles de la Table de 12 ,un 
nombre qui furpañle de 2 6 quelqu'un de ceux qui font en- 
tre195,196 ; tel eft 39 qui furpafñle 13 de 26, comme 
auf 30 qui furpañle 4 de 26 ; & par même moyen il fau- 
droit un nombre entre 170 & 169 dela ligne s ,192,un 
nombre qui furpaflàt de 26 quelqu'un des nombres qui 
fonc entre 196 & 2 : & parce qu’il ne s’en trouve point, 
on en cherchera deux entre 170 & 169 qui furpañle de 
26 deux autres de la ligne 196, 2 ; tels font 33 & 35, dont 
la fomme eft 68 , qui furpañlent de 26 les nombres 20 & 
22, dont la fomme eft 42, de même 33 & 34, dont la 
fomme eft 67, furpañlent de 26 les nombres 19 &22, 
dont la fomme eft 4 r. Si on ne trouvoit pas deux nombres 
qui fiflent légalité, on en pourroit prendre trois ou qua 
tre, ou davantage. 

On peut faire auffi des Tables impaires par la méthode 
précedente, dont on s’eft fervi pour faire les paires, com. 
me on peut voir en la Table de s qui eft ici, en laquelle 
les rélatifs fonc dansles lignes oppolées, & dans la même 
diagonale. | 


HOME BS er opt ne 

DUR MN TOR 124 

LOS IT EST 6 

19 T6 ON Fa 7 

nnéton ie TAPER RE) 73 
. Oron peut varier cette Table en beaucoup de manie- 
res, à caufe qu'elle eft détachée , & que les nombres qui 


LS 2 


ge té. 


DEs QUuARREZ MAGIQUES. 299 
font aux extrémirez des lignes, ou colomnes, font com- 
plémens l’un de l’autre, ( c’eft-à-dire qu'ils font autant 
étanc joints lun à l’autre , que les deux nombres extrê- 
mes )ainfiqu'’on voiten z &24,10&6;, 18&8,&c. & 
pareillement les nombres des angles oppofez dans les 
diagonales ,comme 1 & 25 ; 3 & 23. Et pareillementon 
peut tranfpofer la Table interieure de 9 toute entiere, 
c’eft-à-dire, fans toucher à l’ordre des nombres, qui ne fe 
peut changer, ce qui fe fait en huit façons : puis confide. 
rant la premiere colomne de l'enceinte exterieure , on y 
trouve trois nombres fans les angles, fçavoir 2,10, 19, 
qui fe peuvent varier en fix façons, fuivant la combinai. 
fon d'ordre de trois chofes ; & pareillement la premiere 
ligne où fonc lestrois nombres 18 ,21,22, fe peut va- 
rier en fix fortes. Si donc on multiplie ces trois nombres 
8,6, 6 l’un par l’autre, on aura 288 ,qui eft la quantité 
des changemens & variations qu’on peut donner à cette 
Table ; & ainfonfera 288 Tables differentes de la pré- 
cedente. 

Pareillement on variera en beaucoup de fortes une Ta- 
ble de fix détachée : parexemple celle qui eft ici. 


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TOUT, (SM 4 T4 a 

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Car premierement la Table de 4 de côté qui eft au-de- 
dans fe peur varier en 880 fortes, dont chacune fe peut 
tranfpofer en huit façons, qui font en tout 7040 chan- 
gemens , qui fe feront fans coucher à l’enceinte exterieu- 
re , en laquelle les nombres de la colomne , qui font qua. 
tre fans les angles, fe peuvent varier en vingt-quatre {or- 
es, felon la combinaifon d’ordre de quatre chofes, & pa- 


300 Des Quarrez MAGIQUES. 


reillement il y a quatre nombres en la ligne de la même 
enceinte exterieure , qui fe varieront aufli en vingt-qua- 
tre façons; & ainfi il faudra multiplier 7040 par vingt- 
quatre , & le produit encore par vingt-quatre, pour avoir 
la quantité desTables qu’on peut faire en variant une feu« 
le d’entre elles, comme celle qui eft ici, qui feront en tout 
495 5040 Tables. Or on ne prend que les quatre nombres 
du milieu de chaque ligne de l’enceinte , fans toucher aux 
angles , afin qu’y ayant en la Table quelques nombres 
qui ne foient point remuez , on ait de vrayes variations, 
& non point des tranfpofitions de la Table entiere. 


Table de $ , dont chacune [e peut varier en 188. façons. 


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312 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


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328 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE.329 


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334 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


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TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE.337 


Rec.del AcT om. PF. l@rre 


———— ————_——  — 
À 
558 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


# Y 
41710134: 516;9 407 13 


TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE.341 


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Re de lACT om. V. Ddd 


342 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 343 


344 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE, 


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Rec. del Ac.Tom.F, | Ece 


46 TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 


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- TABLE GENERALE DES QUARREZ DE QUATRE. 347 


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AOC : 328 
MON 120 


348 DES QUARREZ DE QUATRE, 


NOMBRE DES, T'ASBIL ES 


de chaque forte. 
E celles qui ont 1 à l’un des coins,ilyena 208 | 208 
D De celles qui ont 2 200 | 200 
3 204 | 166 
4 2381178 
] 2161 64 
6 206| 48 
PA w/ 230] 16 
Somme 880 


Mais parce que des Fables qui ont à l’un des coins, 3 ; 
4,5,6,ou 7, ont auffi à d’autres coins des nombres moin- 
dres, comme r ou 2,&c.ona mis enfuite la multitude 
des Tables qui ont quelqu'un de ces nombres à l’un de 
leurs coins, & aux autres coins des nombres plus grands. 
Ainfiil ya 204 Tables, qui onttrois à l’un deleurs coins, 
mais il n’y en a que cent foixante-fix qui ayent 3 à l’un 
de leurs coins,& aux autres coins des nombres plus grands 
que 3. De même il y a deux cens trente Tables qui ont 7 
à l’un de leurs coins ; maisil n’y en 2 que feize qui n’ayent 
à aucun de leurs coins des nombres moindres que 7, 


A CAEN ET 12 
LS" PATOCAOTEÉ I 
Label", F4 
DT A, 7 


Les Tables quiont cette marque, en tête, ont cette 
propriete, 


D£Es QUARREZ DE QUATRE, 349 
proprieté , que quatre nombres étant pris en quarré dans 
certe Table en quelque façon que ce foit, font autant 
qu’un des côtez. Ainfien la Table À, les nombres pris en 
quarré en tout fens, comme 6, 1$,3,10, HS2T0, 717, 
8, | 138, 12,1, | 15, 10,435; | 10,8,5,11,|8,1,11, 
14, |4,9, 16,5, | )E 16, 11,2; | & 11,2, 14; 73 | font 
34, fçavoir autant que chacun des côtez. De même fi 


6 : 3 43 12 
‘25020018 0 X 
LL, JUIT 4 
A6; : 7: 
on prend les angles des quarrez de 3 de côté ; fçavoir 6 ; 
4,11,13,/3:51412,[15,8,9,2,|&r0,1,16,7, 
& aufñ les angles du quarré cotal ,6, 12,9,7,ils feront 
tous pareille fomme de 34; &de ces Tablesil y en aen 
tout 48,& on peut faire r2 Tables qui auront chacune des 
nombres à un des angles. Par exemple, il ya 12 Tables 
qui ont 1 à l’un des angles, 12 qui ont 2, autant qui ont 
3,4, jou6,&c. mais parce qu'il y a quatre nombres en- 
femble à chaque Table, cela fe réduit à 48. 


D) CMOS KO ORPNIGEPT LG VI 


PRIE MON RTE He nS 4 22 100$ 
4. 5. 9 16 9 14 3 8 
NAT: KA EN 1 4/13: 10 


Les Tables qui ont cette marque 6 au-deflus,ont la mè. 
me égalité que devant, finon qu’au milieu d’un des côtez 
& à fon oppofé ,ily a un des quarrez dont les nombres ne 
font pas égaux à ceux d’un des côtez. Ainfi en la Table 
B,lesnombress,15,12,8,8&5,9;,14,2, ne font pas 
34 &en la Table C, les nombres 112,16,9,14,# 2% 

Rec. del Ai. Tom.V. FFF 


35S Des QUARREZ DE QUATRE. 

5,3,8 ne font pas 34. Mais fion prend les huit enfem- 
ble, ils font le double de 34, puifqu’ils comprennent deux 
lignes ; & de ces Tablesil y en a en tout 192. 


D 6 3 1$ 10 

RSA 1 5.08 

916 4 $ 

AT'2È A AË TY 
Les Tables marquées y, n’ont que les quarrez des an- 
gles qui ayent cette égalité avec celui du milieu , mais non 
pas ceux du milieu des cotez. Ainfi la Table D a égalité 
dans lesnombres 6,12,3,13,|15,1,8,10,|9,16,7, 
2,14, 5,14,11,| &13,5,16,4,| & pareillement aux 
nombres desangles des quarrez de 3 de côté; fçavoir 6, 
1$:4:9, | 10,3:16, 5, | 7»12, 1: 14, | &2,13,8,11 >; 


& enfin au quarré total, 6,7,10 ,11:& de ces Tablesil 
ÿ En a En tout 192. 


; d | 
À NE AE À 6 3 14 FE 
HS E204g its 4 13-12. 10$ 
F 
ARE: “OA Et F$ "27e 
iQ 35 16,7 9 16 x 8 
4 b 


Les Tables qui ont cette marque 4, n’ont égalité, outre 
les angles du grand quarré , & ceux du quarré du milieu , 
(aufquels il y a égalité dans courtes les Tables) que deux 
autres quarrez aux côtez oppofez. Ainfi la TableE n’a 
égalité qu'aux nombres 13 ,14,12,5,|&8,9,1,16, | 
& en outre aux angles exterieurs, 6,11,10,7, & au 
quarré du milieu, 12,$,8,9. Et la Table F n’a égalité 


DEs QUARREZ DE QUATRE. 351 
qu'aux nombres4,13,1$,2,&12,5$,7,10;&auxan- 
gles exterieurs 6, 11,9, 8 ; & au quarré du milieu, 13, 
12 ,2,7: & de ces Tablesil yen a 328. Or ces égalitez 


_ f doivent roûjours entendre outreles lignés qui font fup- 


pofées égales entr’elles, 

Les autres Tables qui n’ont point de marque , n'ont 
rien que ce quieft commun toutes ; fcavoir le petit quar: 
ré du milieu, & le grand du dehors’, où il y ait égalité aux 
nombres des angles ; & de ces Tables il y en a 120. 

Or on démontrera, comme il s’enfuit, que les nombres 
qui font aux angles de l’enceinte exterieure de la Table 
de 4, & pareillement les quatreinterieurs ; font égaux à 
une des lignes. Par exemple , au quarré E les quatre nom. 
bres6, 11,10, 7 valent necefläirement 34 ,& pareille_ 
ment12,5,8,9,{çavoir autant qu'une deslignes. 

En la TableE, files quatre nombrés z, 4,6, d,ne valent . 
pas enfemble 34, il faut qu'ils faflent plus ou moins de 
34, qu'ils valent moins. Mais parce que les nombres de 
chaque ligne doivent faire 34 , les lignes z 4, & c d'feronc 
chacune 34. Il faudra donc que les quatre nombres qui 
font entre les angles dans les lignes z 4, &r d, faflent en- 
femble plus de 34, &ils doivent farpafler 34 d’an nom. 
bre égal à celui de l'excès de 34; pardeflus les nombres 
des anglesz,4,c,d, & pareillement les quatre nombres 
qui font enrre les angles des lignes «4, & db; fçavoir ceux 
qui feront à laplaceoù font15,3,2,14,excederont 34 
d’unnombre égal à celui dont 34 excede les nombres des 
angles; & par conféquent les nombres qui font à l’enceinre 
exterieure encre les angles ,excederont deux fois 34 du 
double du même excès. Mais les 16 nombres enfemble 


doivent faire quatre fois 34: & partant les huit nombres 


qui reftent, fçavoir les quatre des angles, 4,4,c,4,&les 
quatre interieurs qui doivent être mis à la place où font 
12,5,8,9 feront moindres que deux fois 34, du dou- 


ble du même excès :mais les quatre qui font aux angles 
Fff ij 


352  DEs QUARREZ DE QUATRE. 


4,b,c,d4, font moindres que 34, felon le même excès, 
donc les quarre interieurs feront moindres aufli que 34, 
felon le même excès. Et parce que toutes les lignes doi- 
vent être égales, pofons que l’une des lignes tranfverfa- 
les , comme cé, contienne quatre nombres , qui enfemble 
faflenc 34, il s’enfuivra que les quatre autres contenus en 
la ligne z d, feront moins de 34, du double de Pexcès de 
34, par-deflus les quatre qui font aux angles #,4 ,c,d,ce 
qui eft abfurde & contre l’hypochefe : la même chofe fe 
fera voir, fi on fuppofe les quatre nombres z,6,c,d,plus 
grands que 34; Car on montrera de même , que les nom- 
bres d’une des lignes tranfverfales feront plus grands que 
34 du double de l'excès; & partant les quatre nombres 
a,b,c,d, font égaux à 34. Ce qu'il falloit démontrer. 


ea LE +1 & 

PHERICUR SUR ° 
û Er LRU eme 

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Mais la même chofe fe démontrera bien plus briéve- 
ment , comme s'enfuit, Enla Table x, d,n,g, les quatre 
nombres des angles #, d,n,4, font égaux aux quatre in- 
terieursf,g,&,/; car les quatre, z,d,n,gq;, font comple- 
mens à deux lignes {fçavoir à 68 ) des quatre nombres ,6, 
c;o,p,&lesquatref,g,k,/,desquatree,z,h,m. Mais 
les mêmes huit nombres ,z,4d,n,4,[,g,k,1,font en- 
femble deux lignes, fçavoir les deux diagonales ; & par- 
tant, tant les quatre ,d,n,q, que les quatref, g, R,/, 
font autant qu'une ligne. Et de là il s’enfuit aufli, qu’en 
toute Table les quatre# ,c,0 ,p, fontuneligne, & pareil- 
lément les quatree,,h,m. 

En toute Table ou quarré qui a quatre de côté, les qua- 
tre nombres qui font à l’un des angles de la figure , com- 


Re... 


DEs QUARREZ DE QUATRE. 2953 
mez,b,e,f, font égaux aux quatrenombres,/,#,p,4, 
qui font à l’angle diamerralement oppofé , parce que les 
uns & les autres font le complément à deux lignes des 
quatre nômbres,c,d,g,h. 

Pareillement, en toute Table les quatre nombres des 
angles d’un des quarrez de trois, comme %,e,/,i font 
égaux aux quatre f, h, g ,0, du quarré oppofé, parce que 
les uns & les autres font le complément à deux lignes des 
quatre #,d,m,k. 

Si en quelque Table de 4 , les quatre nombres d’un des 
petits quarrez des angles ,comme dez,4,f,e, font en- 
femble égaux à une ligne ; les autres petits quarrez des 
angles ,commec,d,g,h,&c.le feront auf ; & pareille- 
ment les nombres des angles du quarré de 3,commes, cr, 
l,i,joub,d,m,k, &c. 

La raïfon eft ,que z,4,f,e, étant égaux aux quatre 
l,m,q,p, comme on vient de démontrer, filesuns va- 
lent une ligne, les autres en vaudront autant. Et pareil- 
lement les autres petits quarrez, fçavoirc,d,g,h,&i,k, 
2,0 , qui font leurs complémens à deux lignes. 

Mais puifque les huit,c,d,g,h,&:,k,n,0, valent 
deux lignes par fuppoftion; fion en ôte une ligne , fça- 
voir d,g,k,n,lerefte, quifontles quatres, h,5,0,vau- 
dront auff une ligne; & ainfi les huit, z,c,/,i,&h,f,0,q, 
qui fonc les angles des deux quarrez de trois oppofez, vau- 
droient deux lignes, puifque les huit nombres font les qua- 
trec,i,0,h, qui valent une ligne, & les quatre de la dia- 
gonale , #,f,1,q:mais on a démontré, que les quatre 
2,0,1,2,font égaux aux quatre h,f,0,4,: donctantles 
uns que les autres valent une ligne. : 

On montrera de même, que fi les quatre des angles 
du quarré de trois, comme#,c,/,i, valent uneligne, 
chacun des petits quarrez des angles, comme z,46,e,f, 
&c. vaudront une ligne. 


Car files quatre z ,c,/,5, valent une ligne , les quatre 
FF ii 


354 DES QUARREZ DE QUATRE. 

h,f 0,4 ,qui leur font égaux , en vaudront une pareille. 
ment: & fi de ces huit, qui valent deux lignes, on ôte la 
diagonale z,f, 1,4, reftera une ligne pour la valeur des 
quarre autres, c,h ,i,0 , aufquels ajoûtant la diagonale 
d,g,k,n, on aura deux lignes pour la valeur des huit 
nombres,c,h,d,g;5k,n,i,e, mais on à montré qu'en 
toute Table de quarre, les quatre ;,k,#,0, font égaux 
aux quatre c,d,g,b; donc tantlesuns que les autres va- 
lenc une ligne. 


RE 


a 


RESOLUTION 


"ENETS 
QŒU'AR EU PRIIN CEP AU X 


ROBLEMES 
DARCHITECTURE. 


Par M. BLONDEL. 


| 
| 


GRRRRSSRSRRSRRSRS RSS RSS RAN 
PORC EMILE UNE 


EEE 
FSPSSISS PPT NET PESST EST 


MONSEIGNEUR 
COLBER T: 


MINISTRE ET SECRETAIRE 
DE. TANT, 
SURINTENDANT 


DES BASTIMENS: 


ARTS ET MANUFACTURES 
D E F R ANCE. 


ÜONSEIGNEUR, 


L'eflime que vous avez, pour les beaux Arts, 


oblige tous ceux LE en font profe effion ; as VOUS TE 
Rec.de l Ac, T'om.F. Ggg 


358 Et PR ITII KR FE 

garder comme leur Protecteur. Chacun vous offre 
les fruits de fon travail comme des biens qui vous 
appartiennent ; €ÿ je vous préfente celui-ci dans 
le méme [entiment, € avec une parfaite recon- 
noïiflance de la bonté que vous avez, enë de ni affu- 
rer qu'il ne vous feroit pas défagréable. 

Vous [çavez ; MonselGneUR , que toufes les 
parties des Mathématiques font recommandables 
par les avantages qw'elles apportent dans les affai- 
res du monde ; qu'elles font utiles dans la Guerre 
€ÿ dans la Paix ; € que les grands Hommes s'en 
fervent en tout temps , on pour exercer leur va- 
leur, ou pour montrer leur magnificence. 

Neanmoins l'Architetture eft celle qw'ils conjt- 
dérent le plus , parce qu'elle acheve, pour ainfi di- 
re, leur réputation ; € qu'elle conferve le fouve- 
nir de leurs victoires, en leur élevant de Juperbes 
Trophées. 

Ur grand Roy comme le nôtre , dont la ‘vie ef 
pleine de merveilles, €5 qui a fait tant de chofes 
qui paroïtront incroyables à la pofiérité, doit en 
laiffer des témoignages immortels , qui confirment 
ceux de l'Hifioire, €5 qui empéchent que les ie- 
cles fnivans ne la traitent de fabuleufe. Er rien ne 
le peut mieux faire que l'Architeëture. Certaine-" 


PURE INTE NE 359 
ment; MONSEIGNEUR , f'ofe dire que cet e Art 
admirable férvira plus à éternifer la mémoire de 
Louis LE GRAND, que tous les antres Arts 
qui fe vantent de donner l'immortalité. 

Mais, MoxsetenEUR, c'efun bonheur bien 
particulier pour nous , qui en faifons notre princt- 
pale étude ,que Sa Majefié [e foit repofe fur vos 
foins, pour remettre l'Architeture dans [or pre- 
mier luftre. Ce bel Art avoit befoin que vous lui 
donnafiez un peu dece temps précieux que vous 
employez f utilement au fervice du Roy €ÿ de 
l'Etat , afir qu'il puiffe non - feulement égaler au- 

jeurd'hui [es ouvrages à la beauté de l'Antique, 
mais mème les porter à un degré de perfettion ,où 
les anciens Edifices n'ont jamais été, ni dans la 
Grece, ni dans l'Empire Romain. 

Et comme le nom dn Roy furpalie maintenant 
celui de tous les Heros de l'antiquité, il falloit un 
Mirifire , auf habile €ÿ auf: elépour fa gloire, 
que vous l'êtes, pour laiffer dans la France des 
Monumens fi magnifiques € fi durables de la 

profberité de [on regne, quils puifent cffacer un 
jour la grandeur de ces anciens Edifices , dont le 
temps femble refpecter les TUIRES, - 


Pendant que la renommée va répandre par 
Ggesi 


360 MUCH ER E 

toute la terre le bruit de fes Exploits €ÿ célébrer fes 
Conquites €9 les prodiges inoüis de [on courage, A 
eft bien jufte que l'Architecture €5 tous les beaux 
Arts travaillent à l'envi pour rehaujfer l'éclat de 
fes Triomphes , €ÿ confacrer la mémoire de [es 
grandes aétions. Je voudrois bien, MoxsEIGxEUR, 
que ce Traité y pat contribuer quelque choe : Du 
MOINS VOUS pUis-fe afurer que je ne l'ai compo fe 
que dans cette vué,€S pour communiquer au Pu- 
blic ce que je puis avoir acquis de nouvelles con- 
noiffances tonchant les pratiques les plus difficiles 
qui [e rencontrent dans les Batimens. "fe m'efti- 
merai trop recompen(é de mon travail, [i vous 
me faites la grace de l'approuver, € d'étre per- 
fradé que je fuis avec beaucoup de refpeit , 


MONSEIGNEUR, 


Votre très-humble & très obéffart 
ferviteur, BLO NDEL, 


oo 


QAR UE il ne. dé: 


. 
be Paie eee ee. alle; ls  ,s, Ten Va tissus 


ho 7 
PREMIER PROBLEME 
RE AO LU: 


nieres, €5 tout d'un trait, le Contour de 
l'enflure €ÿ diminution des Colonnes. 


SECOND PROBLEME RESOLU. 


’APoLLONIUS Francois des Taclions ; on 

trouver une Section Conique quitonche trois 
lignes droites données en un mème plan, € deux 
s: ces lignes en un point donné de chacune : ou 
bien, décrire Géometriquement les Arcs rampans 
far toutes fortes de pieds droits €ÿ de hauteur. 


TROISIEME PROBLEME RESOLU. 
L \Rouver Géometriquement les joints de 


tete de toutes fortes d'Arcs r'Apans. 
QUATRIEME PROBLEME RESOLU. 


Rouver la ligne [ur laquelle les Poutres 
TL doivent ètre coupées en leur hauteur €S lar- 
£eur , pour les rendre par tout également fortes 
€ ne < 

eAvec la démonfiration des Pratiques accon- 


pagnées de diver[es réflexions fer le dt : 
to] 


D Ecrire Géometriquement en plufieurs ma- 


362 
fer la proportion Harmonique, €5 fer les erreurs 


de.Pappus au fujet de l'infcription des trois mé- 


diétez, an demi-cercle, €5 dé Galilée au fujet dn 
dernier Problème. SE 


. RESOLUTION 
 QUATRE PRINCIPAUX 
PROBLEMES 


D'ARCHITECTURE 


PREMIER PROBLEME RESOZLTV. 


Décrire Géometriquement en plufieurs manieres € tout d’un 
trait, le Contour de l'enflire & diminution des Colonnes. 


PREMIER DISCOURS. 


=] I les divers emplois que j'ai eüs pour le fervice 
du Roy chez les Etrangers & dans les princi- 
pales Provinces de ce Royaume, m'ont donné. 
= l’avantage de pouvoir confidérer à loifir la plus 
grande partie des Bâtimens anciens & modernes qui fonc 


364 PREMIER PROBLEME 


dans le monde ; & fi cecte facilité jointe à uneinclination 
particuliere que j'ai toujours euë pour l’Architeture, & 
qui m'a fait foigneufement rechercher ce qui pouvoir être 
de plus remarquable en chacun d’eux , peut n'avoir ac- 
coutume les yeux à quelque difcernement de ce qu’on ap- 
pelle Grand & Bean dans cet Art :il me femble que jai 
quelque droit de dire mes fentimens fur fon fujer & d’aflu- 
rer que l’Archireure a befoin d'étude, pour arriver à fa 
perfection. Et quoique je ne fois pas afez fcavant pour me 
vanter de connoître ce qui lui manque, ( cet Art fuppo- 
fantun trop grand amas de connoiffances profondes &une 
expérience confommée ;) je reflens au moins une joye ex- 
traordinaire, lors que je voi qu'il s’y fait quelque progrès. 

C’eft ce qui fait que j'ai beaucoup eftimé la penfée de 
celui qui propofa pour Etrénes à tous les Architelles , au 
commencement de l’année 1664. un ?Paradoxe, comme 
il dit, c’eft - à - dire, un Problème 2 réfoudre touchant La 
perfection de l'enflure ou ëvraa des Colonnes , touchée imparfai. 
tement par V'itruve & non encore re[oluë ni reglée qu'impar- 
faitement , quoi qu’ Architettoniquement elle le puifle ètre par 

faitement , qui font les termes dont il s’eft fervi. 

Et j'aicrü,dis-je, qu’un homme étroit doublement loüa- 
ble, qui ne fe contentant pas de rechercher ce qui n’eft 
as encore connu dans les Sciences,& de confacrer au Pu- 
blic le fruit de fon travail & de fes veilles, vouloit encore 
exciter les autres à fon exemple, & réveilloit leur vertu 
endormie, en leur propofant à réfoudre ce qu'il auroit 
déja pû reconnoître par fon étude. D'autant plus que c’eft 

à un fentiment tout femblable que nous devons ce que 
nousavons de plus beau dans les Mathématiques, & qu’il 
paroïît qu’il ne s’eft jamais fait de plus notables progrès 
dans ces fciences, que lors que les grands Genies fe font 
dansdivers fiécles, propofez l’un à l’autre des queftions, 
& que par uneefpece d’émulation honnête leur ame s’eft 
enflammée de cette généreufe ambition , quinous a pro- 
duit 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 365 


duit des Ouvrages fiexcellens, qu'ils femblent être plü- 
tôt partis de l’intelligencedes Anges, que de la médita- 
tion laborieufe de l’efprit humain. 

- Eccomme l’Archirecture n’a reçû ce qu’ellea de bon & 
de magnifique que des Sciences Mathématiques, qui par 
l'indubicable verité de leurs.démonftrations rempliflent 
entierement lacapaciré de notre efprit, & ne lui laiffenc 
rien à défirer fur le fujet qu’elles lui ont expliqué :il eft ai- 
fé de comprendre que c’eit d’elles qu’elle doit encore at- 
tendre ce qui manque à fa perfection ; & que cette lumiere, 
par qui l’on connoit la différence qu’il ya de pouvoir ren- 
dre raifon de fon Ouvrage, ou de travailler en tâtonnant, 
& à l’aveugle , ne lui peut venir que des mains libérales de 
la Géometrie. 

Combien donc feroit-il à fouhaiter, que ceux quitra- 
vaillent en Architecture vouluflent aufli s'appliquer aux 
Mathématiques, ou que ceux qui fe font avancez dans 
ces fciences donnaflent aufi quelque partie de leur cemps 
à l'Architecture ? Et l’on doit pour ce fujer eftimer & rece- 
voir agréablement toutes les chofes qui peuvent contri- 
buer à porter les hommes à cette étude, au nombre def- 
quelles je mertrois ce ?eradoxe , fi l'Auteur sy étoitun 
peu plus clairement expliqué qu'il n’a fair, & s’il avoit 
donné à entendre quelle eft certe maniere de diminuer les 
Colonnes qu'il appelle Parfaite : parce que ces fortes de 
difpofitions , qui ne font que pour la fatisfaction de l'œil , 
& qui n’ont point de fondement certain ni arrêté dans la 
nature , dépendent tellement du goût, & de la diverfité 
des opinions, qu'une Colonne peur paroître aux uns trop 
Suelte, ainfi que les Icaliensles appellent , ou déliée , que 
d’autres la trouveront trop écrafée. 

De forte, qu’il femble que pour travailler avec quel- 
que fruit à la folution de fon ?eradoxe, il auroir été Jjufte 
qu'il eut déterminé ce qu’il entend par ce mot de Parfai- 
rement , & qu’on put comprendre, fi cetre façon de def- 

Rec, de l'Ac. Tom, V. Hhh 


366 PREMIER PROBLEME. 


eription qu'il propofe à réfoudre Architettoniquement , eft 
déja en quelque ufage , au moins méchanique , parmi les 
Ouvriers, ou fi c’eft une maniere toute nouvelle, & d’une 
forme differente de toutes celles dont on a jufqu’ici dimi- 
nué les Colonnes : étant vrai que ces Propoñitions vagues 
& indérerminées, & en l’explication defquelles le fort a 
plus de part que le raifonnement ou la vivacité de l’ima- 
gination , font d’autant plus défectueufes, que l’honneur 
même qui feroic dû à celui qui auroit expliqué lPenigme , 
ne dépend que du caprice de celui qui propofe, lequel 
peut diflimuler tant qu'il lui plaît, & toujours dire que 
l’on n’a pasencore trouvé ce qu’il demande. 

Tant y a, que m’érant fouvenu d’avoir autrefoisremar- 
qué, entraçant des Colonnes à la maniere que Vignole 
enfeigne ‘pour les foniques & Corinthiennes, que la ligne 
de leur Contour évoit celle de Nicomédes:je dis à M. 
Bofle , qui me fic voir au moisde Janvier de la même an. 
née 1664. ces Etrènes à tous les Architeltes , que bien que 
je n’eufle point l’art de deviner , & queje confeflaffe inge- 
nuëment mon ignorance fur le fujet de ce Puradoxe, je 
voulois néanmoins propofer plus nettementun Problème 
de la même nature à fon Auteur, que je mis par maniere 
de jeu fur le dos de fon écrit, en ces termes. Autre Problè- 
me. Le moyen de décrire tout d'un trait, @ fans s'embarafer 
de plufieurs points trouvex dont on [e fert pour les Cherches , læ 
maniere La plus élegante qui [oit en ufage parmi les Architeëtes 
modernes pour léviaais @ diminution des Colonnes ? Et quelle en 
ef la figure ? 

Quelques jours après le fieur Bofle m’ayant prié de lui 
vouloir expliquer ma penfee, je lui fis fur ce fujer la Let 
tre qui fait le difcours fuivant. 


2Haks 
E 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 367 


ECO ND: DIE OURS: 
ot U 


LETTRE A M BOSSE 


Sur le mème fujet de l'enflère € diminution des Colonnes , 
de la defcription de La ligne qui fait le Contour des 
Zoniques , Corinthiennes , & Compoftes. 


Onfieur, je n’ai pas la fcience de deviner pour vous 
M dire quels font les fentimens de celui dont vous me 
parlez fur le Problème ou Paradoxe , comme ildit , qu'il 
a propofé pour Etrénes à tous les Architeëkes : maïs je puis 
bien vous entretenir de la folution de celui que j'écrivis 
dernierement au dos de fon imprimé, dans laquelle je 
vous affurerai premierement avec franchife que je n’ai 
aucune part, puifqu’il y a plus de deux mille ans qu'elle 
eft crouvée,& que je ne puis tout au plus me glorifier d'au 
tre chofe, que de m'être autrefois apperçü , en deflei- 
gnant des Colonnes diminuées à la maniere élegante que 
Vignole dit avoir inventée pour les Ioniques & Corin- 
thiennes , que 4 Cherche courbe qui la décrit , eff la ligne de 
Nicomédes, que l'on appelle la premiere Conchoïde des An- 
ciens ; & par le moyen de laquelle ,au rapport d’Eutocius, 
ce Géometre prétendit avoir réfoulu ce fameux Problé- 
me de la Duplication du Cube commandée par l'Oracle , & qui 
a tant exercé les efprics du fiecle de Platon danslarecher. 
che de deux moyennes proportionnelles entre deux droites don- 
nées. C’eft celle-là méme que M. Viettea de notre temps 
fuppofée comme une pétition ou demande au fupplément 
deGéométrie pour réfoudre tous les Problèmes folides,& 
dont les Equations vont au Cube ou au quarré quarré ; ne 
jugeant pas que fa defcription, parle moyen de l'Inftru- 
ment de Nicomédes, fur plus méchanique, ou pour mieux 

Hhbhij 


268 -P'REMrT ER PR Oo BiL EME 


dire, moins Géomertrique , que celle du Cercle par le 
moyen du Compas , dont l’ufage eft néanmoinsreçû par 
ce principe'de pétition ou demande dans le premier des 
Elemens d’Euclide. Et quoique ces mêmes Equations fe 
refolvent plus noblement dans les livres de M. Defcartes, 
par la feule interfeétion du Cercle & de la Parabole , qui 
font lignes d’un genre plus fimple & moins compofé que la 
Conchoïde ; celle-ci ne laifle pas d’avoir fes ufages pour 
les folutions des Equations plus élevées;& les fuppofitions 
de M. Viette font très-fçavantes & très-véritables. 

Mais pour retourner à notre propos :Quoique vous fça- 
chiez parfairement cette invention élegante de Vignole, 
& que vous la puiffiez voir dans fon Livre, jene laïflerai 
pas de vous en tracer ici la figure avec fon difcours, felon 
la tradüétion de Pilluftre M.le Muet, afin que vous puif- 
fiez mieux juger du raifonnement que je ferai enfuite. 

Quant à cette autre façon , dit-il , je l'ai trouvée de moi- 
mème ; Gr quoiqu'elle foit moins connu , elle eff néanmoins fa- 
cile à concevoir par les lignes. Te dirai donc qu'ayant réfolu les 
mefures de la Colonne, c’eft-à-dire , fa hauteur & grofleur, 
& la diminution qu’elle doit avoir au bout d’enhaut, o» 
doit tirer une ligne à l'infini en commençant par C, quiet au 
tiers du fuft de la Colonne, @ continuant par D5 puis rap- 
portant la mefure C D aupoint À , où finit la diminution du 
haut, j«fqu'à ce qu’elle coupe la perpendiculaire au point B, 
G que A B foit continuée jufqu'en E. De là on pourra tirer 
tant de lignes qu’on voudra qui partiront de la perpendiculai- 
re, iront à la circonférence de la Colonne , fur le[quelles zp- 
pliquant la mefureC D , on trouvera tant en haut qu'en bas 
l'enflère de la Colonne ; €? cette maniere peut être appliquée à 
l'Ionique, Corinthien > Compofe. 

Ou vousvoyez, Monfieur , que toutes ces lignes qui , 
artant du point E, fonrcomprifes entre la Perpendicu- 
aire ou Axe de la Colonne & fa Circonférence , font 

toutes égales entreelles, & à la droite C D. De forte que 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 369 


* finousappellonsle pointE , le Pole ; l’Axe dela Colonne, 


L2 Regle où Canon 5 & la ligne CD , lIntervalle : je ne voi 
plus rien qui m'empèche d’appeller la ligne courbe qui 
pañle depuis À par toutes les extrémirez recherchées, /z 
premiere Conchoïde des Anciens | puifque c’eft toute la mê- 
me; & que vous connoîtrez encore mieux par l’Inftru- 
ment que Nicomédes a inventé pour la décrire, dontla 


figure eft la feconde de la premiere Planche ; en laquelle, sex avr 
après avoir déterminé comme deflus la largeur de la Co- ri. 


Jonne , dont la moitié eft CD , & trouvé la longueur de 
la ligne CE, il faut prendre crois regles de bois ou de mé. 
ailGF,I1D, HA, dontlesdeuxGF, &ID, fontat- 
tachées enfemble a l’équerre ou à angles droits comme en 
D ; & par le milieu de la regle G F il fautentailler un petit 
canal à queuë d’aronde qui s’étende en toute la longueur 
de laregle. Il s’en fairune autre de même dans le milieu 
de la regle HA, qui s’étende indéfiniment vers le bout 
H , mais qui vers l’autre bout fe termine en K , en forte 
néanmoins que la diftance AK, ne foit pas plus grande 
que la diftance C E. Enfuite il fauc faire au bout de la regle 
H A vers le point À , la ligne A B égale à la ligne CD, & 


attacher par deffous la regle au point B un bouton de bois 


ou de métail qui puifle couler jufte dans le canal de la re- 
gle G F. Lien faur attacher un autre femblable au point 


+ E, dansle milieudela regle I D, qui coule jufte dans le 


canal de la regle AH, afin que la regle G F étancappli- 
quée à Axe de la Colonne,en forte que le point D répon- 
de au renflement , & la regle À H fe mouvant en avançant 
ou reculant fur le bouton E , comme fur un pivot ou Pole, 
tandis que le bouton B fe meut au long dudit Axe, c’eft-à- 
dire, au long du Canal dela regle G F,; le point À décri- 
ve par ces deux mouvemens la ligne courbe Az C4, 
peer le contour de la diminution & renflemenc de la Co- 

onne qui eft appellée £yras par Vitruve , & dans laquelle 
ligne toutes les droites, comme 4%, tirées du Pole, & 

Hhh j 


370 PREMIER PROBLEME. 


comprifes entre le Canal dela regle G F, c’eft à-dire , en- 
tre l’Axe dela Colonne & fa Circonférence, font toutes 
égales entr'elles, &à l'intervalle AB ,; ou C D. En quoi 
il paroîc que la ligne courbe que cet inftrument a décrite, 
eft la même que celle que Vignole a prétendu décrire. Er 
fi vos regles étant d’une grandeur indéfinie, vous faites 
en forte que les boutons B &E puiflent tellement s’avan. 
cer ou reculer au long desregles À H& DIT, quelesin- 
tervalles, comme À B& CE, puiflenc aufli être pris fur 
lefdites regles de telle grandeur que l’on voudra; il eftévi- 
dent que cet inftrument pourra fervir à décrire les Cour- 
bes des Colonnes, de quelque hauteur ou grofleur qu’elles 
puiflent être, puifque route leur difference ne confifte 
qu’en celle defditsintervalles. L'autre côté de la Colonne 
{era décriten la même maniere en changeant l'inftrument 
de place, & le rapportant de l’autre part. 

Ainfi, Monfieur, ilme femble que mon Problêmeeft 
aflez bien réfolu par cet inftrument ; & que fans s’emba- 
rafler à rechercher ces points infinis , comme veut Vigno- 
le, par lefquels on puifle mener doucement cette cher- 
che, quide foi dans la rigueur eft toujours imparfaite ,on 
peut dorénavancrirer cetre ligne tout d’un trait, unifor- 
mement & en fa perfection. 

C’eft de quoi j'ai voulu vousfaire part, en attendant 
que nous ayons de l’Auteur du ?arzdoxe quelque chofe de 
confidérable fur cetre matiere , ainfi qu'il yalieu de l’ef 
perer par fes Evrénes. Vous aflurant au refte que bien qu'il 
y ait raifon d’être furpris, que depuis tant de fiecles qui 
ont produit de fi grands Hommes pour l’Architeture, 
lefquels ont fi bien tracé les diminutions & l’enflûre des 
Colonnes, perfonne , au moins que je fçache, n'ait fait 
réflexion à cette maniere de defcription , que le feul Vi- 
gnole , & que depuis lui rant de braves Architectes fe 
{oient heureufement fervis de fon invention, fans avoir 
rien dit de la nature dela Courbe qu’elle produit , nidu 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 371 


moyen de la defleigner tout d’un trait: Quoiqu’il y ait, 
dis-je, beaucoup de fujer de s’en étonner , je vous protef- 
te néanmoins que je n’ai aucune vanité que cette penfée 
me foit venuë, de laquelle je me glorifie moins que de 
l'honneur que vous me faites de m’aimer. Je fuis, @c. 


Ce 24. Fanvier 1664. 


FR ONE M EE: D'ES C OUR S. 


SUR LA NATURE ET DESCRIPTION 
de la ligne qui fait le Contour des Colonnes 
Doriques @ Tofcanes. 


Yant ainfi difcouru fur les propriétez de la ligne 
A Courbe qui fait le Contour des Colonnes Ioniques, 
Coriathiennes & compofces, j'ai voulu confidérer l’autre 
maniere que Vignole décrit, & doncil fe fert pour la dimi- 
nution des Colonnes Tofcanes & Doriques.Er aprèsavoir 
foigneufement médité fur la nature de la Ligne qu’elle 
produit ; J'ai reconnu que c’écoit une ligne dela même na. 
ture que celle que décriroit une fléche , ou toute autre 
chofe tirée & jettée horizontalement , dans l'opinion de 
ceux qui croyent qu’un poids tombant de la furface dela 
terre fe trouveroïit juftement au bout de fix heures auCen- 
tre (fi la terre fe mouvoit du mouvement journalier, ) & 
paflant outre par la force qu’ilauroit acquife en fa chute, 
il arriveroit au bout d’autres fix heures à la furface des An- 
tipodes , fi le chemin luiétoir ouvert : D’où defcendant 
& repaflant en fix heures une autre fois par le Centre, il fe 
trouveroit au bout d’un jour préfix au même lieu d’où il 
étoit premierement part#, fi l’air, ou les autresempêche- 
mens du dehors ne l’arrècoient. 

Je dis donc qu’un trait pouffé vigoureufement ,& pa- 
rallele à l’horizon décriroit en fon paflage une Ligne dela 


392 PERTE M 1 EN PPIR O 3 'L'E AE 
même nature de celle dont on fe fert pour la diminution 


des Colonnes Tofcanes & Doriques, fi cette opinion étoit 


Fig. I. dela IL. 
Planches 


véritable : parce qu’étant porté d’un mouvement de La- 
tion égale & uniforme, qui lui eft imprimé par l’impul- 
fion , & qui fait que les diftances qu’il parcourt font entre 
elles en même proportion que les temps qu’il employe à 
les parcourir ,(c’eft-à-dire , comme les Arcs de l’Equa- 
teur qui paflent cependant fous le Méridien , ) & d’un au- 
tre mouvement inégal, & qui s’'augmente continuelle- 
ment , que fon proprepoids luiinfpire, & qui dans l'opi- 
nion fufdice fe fait fur la proportion des Sinus verfes des 
mêmes Arcs de l’Equateur ; il paroïîtque la Ligne , que ce 
trait décriroit en fon paflage, feroit compofée de ces deux 
mouvemens, dont l’un eft égal, uniforme , & répondant 
aux Arcs de l’Equateur ; l’autre inégal , continuellement 
précipité , & répondant aux Sinus verfes des mêmes Arcs. 

Mais la Ligne du Contour des Colonnes Tofcanes & 
Doriques fe fait parla compoñition de deux mouvemens 


pareils , ainfi que je le démontreraicy-deffous ; & partant 


la Ligne que décrivent les corps jetrez horizontalement, 
comme un trait ou une fléche dans l'opinion fufdite , eft à 
peu-près la même que celle dont on fe fert pour la dimi- 
nution des Colonnes Tofcanes & Doriques. 

Pour la démonftration de ce que je viensde dire, ilne 
faut que fe fouvenir de la pratique ordinaire des Ouvriers 
pour la defcription de certe Ligne, quife fait en certe ma- 
niere, La Ligne A C, foit l’Axe d’une Colonne à dimi- 
nuer , & les deux tiers de fa longueur, fi on veut quela 
diminution commence au tiers ; ou la moitié , fi on delire 
qu’elle commence dansle milieu de la Colonne : La Ligne 
AB, foit le module ou la moitié de fa groffeur, fur la- 
quelle comme rayon foit fairle Cercle BST V Z. Enfuite 
il faut prendre la partie À G, pour le demi-diamerre de 
Ja Colonne par le haut , en forte que B G foit fa plus gran- 
de diminution , & tirer la ligne G E parallele à A C, qui 

coupera 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 373 


coupera le Cercle en F , la portion duquel BF ; doit 
être partagée en autant de parties égales"qu'on voudra, 
comme aux points S, T, V , aufli bien que l’Axe AC, 
aux points H, K,M, en forte quelaligne A C contienne 
autant de parties égales que l'Arc B F. Enfin des points 
des divifionsdel’Axe il faut élever des Perpendiculaires, 
comme HI,KL,MN , qui foient rencontrées aux 
points O, X&Y , par d’autres lignes paralleles à l’Axe, 
& tirées des points de l’ArcBF, de celle maniere qu'elles 
fe répondent réciproquement l’une à l’autre, c’eft à dire, 
que celle qui part du premier point de Axe H, comme 
HOT, foitrencontrée en O , par celle qui vient du pre- 
mier point de l’ArcS ,comme P SO, & celle qui part du 
fecond point de l’ArcT, comme QT X, fe rermine en 
X , fur celle quivient du fecond point del’Axe K , comme 
KX L, &ainfidesautres. Er paflant par tous les points 
B O X Y Euneligne adoucie, elle fera celle que l’on cher. 
che pour la diminution des Colonnes Tofcanes & Dori. 

ues. 

: Et fi nousappellonsle point B, Je fommet de cette ligne 
Courbe laligne AB ,l’4xe ou Ze Diametre , leslignesP O, 
QX,RY,GE,@c./les ordonnées 5 on verra que l’ordon- 
née Q X , contenant autant de parties de la ligne A C, ou 
de fon égaleGE, que l’ArcB T en contient de celles de 
PArcBF, l’ordonnée Q X , eft à l’ordonnée G E,comme 
l’'ArcBT, eftal’ArcBEF ; & la même chofe fe pouvant 
dire de toutes les autres , il paroîtra que lesordonnées 
feront entre elles comme les Arcs qui font compris entre 
lefommet & lefdires ordonnées : & partant que cette li- 
gne Courbe eft une efpece de Spirale ou Ovale: 

. Deplus, finous prenonsle rayon A B, pour Sinus to- 
tal, les portions del’Axe BP,BQ,BR,BG, @r.fe- 
rontles Sinusverfes des ArcsBS, BT,BV,BE,é&r.& 
par conféquent nous pourrons appeller cette Courbe zre 
licue Spirale ou Eliptique , dans laquelle les portions de ? Axe 

Rec. de l Ac. Tom,V. Tii 


# 


374 PREMIER PROBLEME. 


font les Sinus verfes des Arcs, qui font entre eux comme les 
ordonnées. 

Maintenant fi nous faifons une autre hyporhefe , &fi 
nous prenons le point À, pour le centre de la terre, la li 
gne BA, pour le demi-diametre , &l’Arc BV F, pour 
une portion de l’Equateur : Il eft conftant que dans la pen- 
fée de ceux, qui ainfi que nous avons dicci-deflus,croyent 
qu'un poids tombant librement de la furface de la terre 
parcoureroir les efpaces de fon Diamétre,en la même rai- 
fon que fonc les Sinus verfes des Arcs de l’Equateur, qui 
pañleroient cependant fous le Méridien ; ce mème poids 
{ fuppofé que la terre fe mût du mouvement journalier } 
arriveroit néceflairement au centre, quand le quart de 
Equateur auroit paflé depuis le moment de fa chüûte, Je 
veux dire, au bout de fix heures. C’eft-à-dire, que le poids 
tombant du point B, arriveroit au point P , lors que le 
premier Arc de l’Equateur BS , auroit coulé, & qu’il par- 
coureroit la ligne B Q, en autant de temps qu’il faudroit à 
PArcBT, pour pañler fous le Méridien; & la ligne BG 
en autant de temps qu’il en faudroità Arc BF; & enfin 
la ligne B À, c’eft-à dire, tout le demi-diametre, en au- 
tant de temps que l'Arc BZ , c’eft-à-dire , le quart dé 
Cercle de l’Équateur.Er comme le quart deCercle de l’'E- 
quateur pañle précifément en fix heures, il fe voit qu’en 
cette opinion le poids combant du point B, & pañlant par 
les portions du demi-diametre B A, dans les mêmesremps 
qu'il faudroit pour pafler les Arcs de l’Equateur dont lef. 
dites portions font les finus verfes ; cemême poids (fuppo- 
fé le mouvement journalier de la terre) arriveroit au bout 

* de fix heures précifes au centre : d’où remontant en pro- 
portion contraire à fa chûte, & par la même raifon des Si- 
nus verfes , il arriveroit au bout d’autres fix heures à la fur 
face de la terre oppofée, de laquelle il reromberoit une 
autre fois en même efpace de temps jufqu’au centre ; & 
enfin il retourneroit au bout de vingt quatre heures pré- 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES, 375$ 
cifes au point B, d’où il étoit premierement parti. 
Suppofé donc que ce foit là le génie & la nature des 
chofes pefantes ; fi nous prenons la ligne B D pour l’efpa- 
ce qu'une fléche tirée horizontalement du point B doit 
parcourir dans lecemps que l'Arc BF de l’Equateur ou 
fon Parallele aura pañlé fous le Méridien, il eft conftant 
que la fléche fera cependant defcenduë par fon propre 
poids de toutela longueur de laligne B G; quieft le Sinus 
verfe du même Arc B F. Et fi nous divifons le fufdit Arc 
B F en parties égales comme aux points S,T,V,&laligne 
B D, ou fon égale A C, en autant d’autres aux points I, L, 
NouH,Kk,M,ainf qu'il s’eft dit ; il fe verra que le mou- 
vement de Lation, quia été communiqué à la fléche par 
l'impulfon , felon la ligne B D , étantuniforme, la fléche 
aura couru l’efpace B I dans le même temps que l’Arc-B S 
aura pañlé : & comme cependant elle fera defcenduë par 
fon poids de la longueur de la ligne B P ou 1 O, la fléche 
{e trouvera alorsau point © , où les deux lignes, de Larion 
uniforme BI, ou P O ,& de chüteB P oul1O, ferencon- 
trent. Tout de même elle fera en X quand Arc BT aura 
paflé, parce que c’eft en ce point où fe trouvent la ligne 
de Larion égale B Lou Q X, & celle dela chûte B Q ou 
L X, qui fe font l’une & l’autre dans le même remps du 
paflage de l'Arc B T. Er la même chofe fe pouvant dire de 
tous les points de la courbe B O X Y E;il eft évident que 
c’eft celle que décriroit une fléche en l’hypotefe fufdie ; 
& que par conféquent cette ligne eft la même que celle 
qui eft décrire pour la diminution des Colonnes Tofcanes 
& Doriques: ce qu’il falloir démontrer. 


ue fi l’on défireen décrire la figure tout d’un trait , 8e Pyframent pur 


écrire le trait 


fans être obligé de fe {ervir de plufieurs points trouvez , on &u dimintin 
peur faire un {nftrumenr aflez commode pour cet effet, us 


qui doit être compofé d’un Secteur de Cercle, d’unerouë ## 


II delalL 


avec fon pignon , d’une regle endentée & d’une autre re- plancie, 


gle, (commeen la feconde Figure dela feconde Planche) 
Jii ij 


376. POURMENM T ER / PI'RYO! BL EUMIE. 


où le Secteur A B F eft le même que celui de la premiére 
Figure de la feconde Planche que nous avons expliquée ; 
c’eft-à-dire, que leslignes À B & A F dela feconde Figure 
font égales au module, &l’ArcB Fa celui quieftcompris 
entre les deux lignes B D & G E de la premiere Figure,qui 
font l'intervalle de la plus grande diminution de la Co- 
lonne, Cet Arc BF dans ladite feconde Figure doit être 
entrecoupé de dents, qui s’enchaflant dans les dents du 
pignon C, le faflent mouvoir , & donner le tour à la rouë 
LIK, qui dans la circonférence a d’autres dents égales & 
entrelacées avec celles de la regle GH, afin que parle 
mouvement circulaire de la rouë, la regle G H fe puille 
également avancer en ligne droite, Enfin il faut prendre 
une autre regle comme ES qui foit égale & parallele à la 
premiere G H, & tellement attachée à fes extrémirez E 
&S , qu’elle fe meuve enavançantavec elle, & confervant 
fon parallelifme , en forte toutefois que rien ne l'empêche 
cependant de s'approcher vers le point A, & de fuivre 
l’'artraction continuelle quieft faire par une autre petite re- 
gle commeBD , qui étant attachée à un pivot fur lequel 
elle puifle tourner au bout de l’Arc en B , embrafle de fon 
autre extrémité D ladire regle ES, & la contraigne de 
fuivre la defcente de l'Arc, fansembarafler cependant le 
mouvement droit & en avant qui lui eft communiqué par 
la regle GH. 

Il paroît par cette conftru&ion que file diametre de la 
rouë LI K eft au diametre du pignon C, comme la ligne 
TH, c’eft.à-dire, les deux tiers de la Colonne, eftäla 
longueur de l'Arc B P F;& fi les dents du pignon font éga- 
les à celles du fufdir Arc, & celles de la rouë L I K à celles 
de la regle G H ; il s’enfuivra que la regle endentée GH 
s’avancera uniformement depuis I jufqu'en H dans les 
mêmes intervalles de temps que l'Arc BF pañlera auff 
uniformement fous le pignon C depuis F jufqu’en B ; de 
celle forte que le bout de laregle H fe trouvera précifé. 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 377 


menten R, lors que le point B fe trouvera en P, & qu'il 
y aura même proportion de toute la ligne I H à fa partie 
IR, quedetoucl’ArcBF à fa partieB P , & ainfi des au- 
tres. 

Il s’enfuivra de plus, que tandis que la ligne ES fera 
portée uniformementen avant vers H par le mouvement 
de Lation égale de la régle G H , elle fera encore portée 
d’un autre mouvement vers le point À , qui luiifera com- 
muniqué par l’attraétion continüelle de la régle BD , la- 
quelle étant attachée au point B, fera que la ligne ES 
defcendra felon la proportion des Sinus verfes des por- 
tions de l'Arc B F ; c’eft-a-dire, que lorfque la partie de 
PArcB F aura pañlé depuis le point F jufqu’en P , & que 
cependant la ligne ES aura coulé par le mouvement de 
la régle G H depuis I jufqu’en R ; la même ES fera auf 
defcenduë de toute la diftance R Q ou F Nqui eft le Sinus 
verfe de J’Arc F P ,en celle forte qu’elle fe trouve alorsau 
point Q. Et lorfque l'Arc entier B F aura pañlé depuis F 
jufqu’en B , & que cependant la ligne ES aura coulé juf 
qu’en H, elle fera aufli defcenduë de toute la ligne HS 
ou F M, quieft le Sinus verfe dudit ArcFB , & en cette 
maniére elle fe trouvera au point S, après avoir décrir, 
en fon paflage compofé des mouvemens des deux régles 
GH&BD, la ligne Courbe 1QS, qui eft celle que l’on 
cherche. 

Cette defcription eft la même que celle de Vignole, qui 
fait fes Colonnes Tofcanes & Doriques également srofles 
depuis la bafe jufqu’au tiers de leur hauteur, où il com- 
mence leur diminution, & la continuë jufques fous le cha- 
piteau. Mais fi on vouloit que la diminution commençant 
au fufdit tiers fe fift aufli uniformément de part & d’au- 
tre , & aufli-bien vers la bafe que vers le chapiteau ; il ne 
faudroit qu’ajoûter au Secteur ABF, une autre Se&cur 
A BT cgal à la moitié dudit Arc A B F ; afin que paflanc 
fous le pignon C de la part de K , & donnant un mouve- 

lii üij 


378 PREMTER PROBLEME 


ment contraire au haut de la rouë LIK , la régle I G fût 

ouflée également vers le point X , où elle arriveroit lors 
que le fufdir Arc B T auroit pailé fous le pignon, & que 
cependant la règle ES , ou plütôr O V, feroit defcenduë: 
depuis F jufqu’en N, c’eft-à-dire, depuis X jufqu’en V, 
où elle fe trouveroit, après avoir décrit en fon pañlage la 
ligne Courbe IV , qui eft la même que la ligne IQS con- 
tinuée de la part de V. Et ainfi l’on auroit toute la ligne 
VIQS pour le Contour d’un côté de la Colonne , lequel 
pourra être cransferé de l’autre part, fi on veut avoir fon 
entiere defcription. 


Et quoique cette maniere paroifle defetueufe, en ce: 


qu’elle femble ne pouvoir être propre que pour la déli- 
néation de la diminution d’une Colonne, dont la lon- 


gueur & grofleur feroit déterminée, & qu’il faudroit au- 
tant d’inftrumens différens, qu’il y peut avoir de differen. 


res mefures de Colonnes , c’eft-à-dire , infinies ; il s’y peut 
néanmoins trouver un remede aflez facile, & donner à 
cette Machine la même univerfalité pour les Colonnes 
Tofcanes & Doriques , que nous l’avons attribuée au dif. 
cours ci-deflus, à celle de Nicomédes pour les Joniques, 
Corinthiennes & Compofées, 

Il ne faut que faire la régle endentée & le Secteur d’une 
grandeur indéfinie, & marquer fes dents en forme de 
rayons partans du Centre, & remplir les efpaces qu'ils 
font entr’eux en s’écartant, en forte qu’ils foient toûjours 
égaux aux intervalles des dents du pignon , afin que fur 
la longueur du Rayon qui pafle par le point B, on puifle 


hauffer ou baiflèr le pivot , fur lequel tourne la régle B D: 


{lon la meflure du module donné de quelque Colonne 
que l’on propole, 


Ads 
se 


— ns 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 379 


QUATRIEME DISCOURS. 


APPLICATION DES SECTIONS 
: Coniques au Trait de la diminution des Colonnes. 


F'Aurois terminé ces raifonnemens fur lefquels il fem: 

ble que je me fuis fufifamment étendu, fi le difcours 
précedent ne m'avoit fait faire une nouvelle réflexion fur 
le même fujer , qui eft que tout ainfi que fur l'opinion de 
quelques-uns touchant la nature du mouvement d’un 
poids qui tombe, nous avons démontré que les corps jet- 
tez horizontalement décrivoient une ligne à peu-près 
pareille à celle dont on fe fert pour le trait de la diminu- 
tion des Colonnes Tofcanes & Doriques ; il me femble 
que ces mêmes corps jetez décrivant une autreefpece de 
ligne dans l’opinion que quelques.autres ont euë du mê. 
me mouvement , on peut préfumer que cette ligne pour- 
roit être de quelque utilité pour la délinéation des mêmes 
Colonnes. 

Et comme l’une & l’autre de ces deux opinions eft fon. 
dée fur des raifons également probables, & marchene 
fur des proportions fi prochaines, qu’il eft prefque impof- 
fible que l’efprit humain les puifle difcerner l’une de 
l'autre par l’experience, ou les convaincre de faux dans 
les hauteurs qui font à notre connoiffance ; il y a auffi 
grande apparence que les lignes des corps jertez , que 
nous pouvons appeller Jignes de Projeëtion tirant leur ori- 


_&ine de principes fi femblables & fi proches, ne doivent 


pas aufli être fort differentes , ou d’une nature ou figure 
extrémement éloignée l’une de l’autre. 

Tant ya que les mêmes efpaces qui dans Popinion ci- 
deflus expliquée,étoienc parcourus par un poids qui tom 
be en certains intervalles de temps égaux, felon la fuice 
des Sinusverfes des Arcs égaux de l’Equateur ; les mêmes 


So . PARMI ER: MP IRUO : BAISE: M ES 


intervalles, dis-je, fonr paflez dans une autre opinion en 
mêmes temps felon la fuite des nombres impairs,en forte 
que fi dansle premier moment de fa chüte il parcourt 1 
de ces efpaces, il en pañlera 3 dans le fecond, $ dans le 
troifiéme..7 dans le quatriéme, 9 danslecinquiéme , 11 
dans le fixiéme, & ainfi à l'infini. l | 

Et parce que dansle premier temps il a paflé r efpace 
& 3 efpaces dans le fecond temps, il aura parcouru 4 efpa- 
ces dans le premier & fecond remps enfemble, c’eft-à- 
dire,en 2 cemps;& 1,3,& 5 cipaces, c’eft-a-dire, 9 dans 
le premier , fecond & troifiéme, c’eft-à-aire ,en 3 temps; 
&1,3,5,&7,ceft-a dire, 16 efpaces dans le premier, 
fecond , croifiéme & quatriéme , c’eft-à-dire, en 4 temps, 
& ainfi des autres. Où il fe voit que comme le nombre 4 
des feconds efpaces , eft Ie Quarré de 2 qui cft le nombre 
des feconds temps, & 9 qui eft le nombre des croifiémes 
efpaces,eft le Quarré de 3 nombre des troifiémes temps,& 
16 nombre des quatriémes efpaces,eft leQuarré de 4nom- 
bre des quatriémes temps, & ainfi des autres; c’eft-à- 
dire en un mot , que parce que les nombres impairs ajoû- 
tez confécutivement l’un à l’autre produifent la fuire des 
premiers quarrez;il s'enfuit par conféquent que les nom- 
bres des efpaces font entr'eux comme les Quarrez des 
nombres des temps , & que la raifon de ceux-là eff double 
de celle de ceux-ci. 

La vrai-femblance de ces deux opinions fe connoît aufñli 
par la proximité des nombres des efpaces qui fe parcou- 
rent en l’une & en l’autre dans les mêmes temps, qui eft 
telle , que fi au premier momentil fe fait un efpace , au {e- 
cond il s’en fera 3 dansune opinion ,& environ 3 moins 
dans l’autre, au troifiéme il s’en paflera $ dans l’une, & 
5 moins+ dans l’autre, au quatriéme 7 dans l’une, & 7 
moins + dans l’autre,au cinquiéme 9 dans l’une,& 9 moins 
+ dans l’autre; & ainfi confécutivement à l'infini. Ouùil 
paroïît que ces différences fonc fi perites , & fi peu remar. 

quables 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 381 


quables dans les hauteurs où nous pouvons faire les expé- 
riences, qu'il eft abfolument impoffible d’aflärer avec 
certitude de la verité ou fauflèté de l’une ou l’autre de ces 
deux opinions. 
Ce que Galilée à f bien reconnu , que bien qu'il foir °%#7"% 
PAureur de l'opinion qui foûtient que les efpaces fuivent 
la progreflion des nombres impairs, & que fur ce principe 
il ait compofé un Livre entier du mouvement rempli d’un 
grand nombre de propofirions ingénieufes ; il a néan- 
moins trouvé l’autre opinion fi belle , qu’il n’a pû s’em- 
pêcher dela produire comme fi elle venoit de lui dans le 
deuxiéme de fes Dialogues du Siftëme du Monde, & d’en Gui. 2 à 
arler d’une maniere à faire croire que ce fût fon verita- S#:m.cm, 
Êle fentiment. Il ÿ explique même quelques proprietez 
de ce mouvement fur ce principe, lefquelles font tout-à- 
fait admirables ; & celle-ci entr'autres, que fuppofé le 
mouvement de la Terre, la ligne qu’un poids tombant de 
fa furface au Centre décriroit par fa chüûte, feroit circu- 
laire, & égale à celle qu'il defigneroit, s’il ne partoit pas 
de ladite furface. 
Sur quoi je dirai en paflant, que pour faire en forte que 
cette propoficion foic veritable , il faut non feulement fup- 
pofer que la Terre fe meurt , mais même qu’elle ne fe meut 
que de fon mouvement journalier , c’eft-à-dire , fur fon 
propre centre; parce que fi l’on y veut ajoûter l’annuel, 
ces lignes cefferont d’être circulaires, & deviendront plü- 
tôt des efpeces deCycloïdes ouRoulettes,ox même des Sps. 
rales , aufli-bien celle que décrit un poids qui tombe , que 
celle qui eft faice par le point de la furface dela Terre, 
duquel il eft parti pour tomber. Et c’eft peut-être la rai- 
fon qui fait dire fur la fin de fon difcours fur ce fujer à Ga- 
lilée , que n’ofant pas aflürer que ce foit là la nature des 
corps qui rombent, il peut au moins avancer cette pro- 
pofirion , que fi la ligne de leur chûte n’eft pas cette cir- 
Rec. de PAC. Tom,F. KKkK =" 


P. Greg. à S. 


Vincentio. 


Fig IL dela 


IL Planche. 


382 PREMTER PROBLEME 
culaire, c'en eft une autre qui lui reflemble, & qui ne 
s’en éloigne que de fort peu. 
Mais pour retourner à notre propos, le même Galilée 
ayant démontré que fur l’hypothefe de la chüre des poids 
en proportion des nombres impairs,la ligne de Projection 
eft parabolique, qui dans l’autre hypothefe étoit Spirale; 
& comme la Parabole & la Spirale ont d’ailleurs un fi 
rand nombre de proprietez communes, qu’elles ont fait 
dire à un grand Géometre de notre temps, que /7 Parz- 
bole n'étoir qu'une Spirale développée ; il y a grande appa- 
rence que l'effet de l’une en la diminution des Colonnes: 
pourroit aufü être heureufement produit par l'autre. 


1% 
Pour la Parabole. 


PEsr ce qui m'a fait réfoudre à expliquer préfente. 
mentune maniere aflez facile de décrire & d’appli- 
quer la ligne Parabolique aux Colonnes, afin que l’on en 
puifle faire l'expérience, & la mettre deformais en ufage, 
fi elle farisfait aux yeux de ceux qui s’y connoïflent. 
Pour Pappliquer , il y faut procéder en certe façon. La 
ligne À B foit la longueur de coute la Colonne, C D le 
demi-diamétre de fa plus grande groffeur, CG ou BFle 
demi-diamérre de fa moindre grofleur fous le Collet ow 
Gorgerin , À C le tiers de la Colonne, ou celle autre par- 
tie où on voudra que la diminution commence. Après 
quoi la ligne C D doit être continuéeen N , en forte que 
D N foit égale à DGouEF ;& fur laligne CN , comme 
diamétre on décrit le demi-cercle N OC , qui coupe la 
ligne D E en O, & l’on fait D H égale à D O, laquelle 
fera par conféquent moyenne proportionnelle entre C D 
& D G ; puis il faut mener HT parallele à AB, qui foit 
coupée en J par la ligne D F, tirée du point D parle point 


DELA DIMINUTION DES COLONNEST 383: 
FE, & l’on fait leslignes C K &C M égales à H I. Enfin du 
point D'comme fommer , fur l'axe DC & fur l'amplitude 
MK ;ondécrit la ligne Parabolique MLDFK, laquelle 
paflera néceflairement par le point F, & laiflera de part & 
d'autre la ligne, L D F pour la diminution que l’on de- 
mande. 
La démonftration en eft aifée , parce que la ligne H D 
étant moyenne proportionnelle entre les deux CD & 


D G, il s'enfuit que le quarré de H D fera au quarré de 


D G , comme la ligne CD eft à la ligne D G ; maisle 
quarré de D H eft au quarré de G D, comme le quarré de 
HTouCK eft au quarré de GF ; donc le quarré de l’or- 
donnée CK fera au quarré de l’ordonnée GF, comme la 
portion de laxe C D eft à la portion G D. Et partant le 
point F fera dans la Parabole dont l’axe fera CD , le fom- 
met D, & l'ordonnée CK, c’eft-à-dire, l'amplitude MK. 
- Je ne groffirai point ce difcours de toutes les differences 
manieres donton fe ferc pour décrire les Paraboles, foit 
par le moyen de plufieurs points trouvez , ou tout d’un 
trait, par des inftrumens qui fe trouventaifémentdansles 
Livres. J’avertirai feulement les Ouvriers que Galilée leur 
en enfeigne une dans fes Méchaniques), que j’eftime facile 
& ingénieufe, & que j'ai fait heureufement pratiquer par 
les Charpentiers du Roy, en la fabrique des Vaifleaux & 
Galeres , pour ce qu’ils appellent leur donner beau Galbe 
à la Pouppe. 
- Elle eft telle, qu'il ne faut que faire la defcription ci: 
deflus , au plan d’un mur qui foi à plomb ;en forte que la 
ligne MK foit de niveau, & attacher deux clous aux deux 
repaires K& M quiterminent Pamplicude de la Parabole, 
fur lefquels il faut laiffer librement pendre une fifcelle on 
chaînette, jufqu’à ce que de fon milieu elle vienne à rou- 
cher le point D, c’eft-à_dire, le fommet de la Parabole, 
afin qu’elle la marque dans route fon étenduë; en forte 
que fi certe cordelerte eft frorée de crayon ou fanguine, 
Kkki] 


Fiçhye IL. de 
Ta Z Planche. 


384 PREMIER PROBLEME 


& qu’on la fafle toucher doucement au mur fans la chan: 
ger de fituation ni la varier , la ligne Parabolique fe trou- 
ve défignée fur le plan du mur , laquelle paflera néceflai- 
rement par le point F. 


1 Je 
Pour PEllipfe. 


UE fi l'on veut éprouver quel effet peut faire la 

ligne Elliptique, il faut ( dans la 3. Figure de la x. 
Planche) décrire un demi-cercle fur tout le diamétre de 
la plus grande groffeur de la Colonne K D , lequel coupe 
GFenH, &abaifler la ligne HI parallele à D K ; puis 
tirer la ligne I D , à laquelle du point Bil faut mener une 
parallele B O qui rencontre la ligne K D continuée en O, 
& faire les quatre lignes CN &CM,DP & D Q égales 
à la ligne C O ; & par ce moyen l’on aura les deux axes de 
lEllipfe M N & K D, laquelle paflera néceflairement par 
le point F ; & les deux points Q & P en feront les foyers, 
qui font appellez Singliots par les Ouvriers, & par le 
moyen defquels l’Ellipfe ou ovale peut être facilement 
décrite. 

La démonftration en eft celle, parce que B O eft paral- 
lelea1D ;laligne CO fera CB,c’eftà-dire, CNaGF, 
comme CD 'eftàCIou GH ; & le quarré de l’ordonnée 
C N au quarré de l’ordonnée G F , comme le quarré de 
C D eftau quarré de GH, c’eft-à- dire, comme le reétan- 
gleKC D eft au rettangle KG D; & partant le point F 
fera dans l'Ellipfe donc M N & D K feront les Axes. Le 
refte au fujet des foyers Q &P,fe voir clairement parlas2, 
du 3. des Coniques d’Apollonius, 


etats 
c 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 385 


III. 
Pour le Cercle. 


ChEut-être que la ligne circulaire même tombera dansriue #. 4 14 

le goût de quelques-uns. Elle fe peut appliquer en” 
cette maniere, I] faut (dans la 4. Figure de la 2. Planche) 
méner la ligne droite D F, fur laquelle au point H, où elle 
eft partagée en deux également, il faut tirer une perpen- 
diculaire H I, laquelle rencontre la ligne D C continuée 
enI, où fera le centre du cercle, qui ayant I D pour 
rayon, pañlera aufi par le point EF. 

Mais comme ce centre I peut fe trouver tellement éloi- 
gné, que la pratique de la defcription du Cercle en de- 
viendroit difficile, ou même impofhble ; l’on peut fe fervir 
de deux régles, comme D O & D N de grandeur indéter- 
minée,.& attachées en D , en forte qu’elles contiennent 
l'angle F D M ; & mettant deux repaires fermes aux deux 
poincs F & M , que je fuppofe également diftans du point 
G ; il faut faire marcher le fommer de l’angle D depuis L 
jufqu’en F, en forte que la régle D N touche toûjours le 
point M, & la régle D Ole point F; & par ce moyen le 
point D décrira par fon paflage la ligne circulaire L D EF 
que l’on demande, 

I V. 


Pour l Hyperbole. 


T fi l’on veut fcavoir fi l'Hyperbole y eft utile, il 
_sfaut (dans la 4. Figure de la 1. Planche) continuer... #. 4 
indéfiniment la ligne CD , & prendre les deux D'I &IK: 77% 
égales à DC , en forte que DK foit égale au plus grand 
diamétre de la Colonne ; puis fur les deux lignes D K & 
G I comme diamétres, il faut décrire deux demi-cercles 
s’entrecoupans au point H, & du point G tirer la ligne 
GH,& la continuer en R ,en force que GR foit égale à 
KKkk if 


Infrument posr 


286  PanMesnor EtR MPURUO BU E MEL 
GF; puis du point R, il faut mener R L paralléleà HT, 
c’eft-à-dire, perpendiculaire à GR, & qui rencontre la 
ligne GK continuée en L. Enfuiteon prend la ligne D M 
égale à RL, & ayant tiré la ligne I M, on fait de parc & 
d’autre du point I fur la ligne CK continuée , les lignes 
10 &I P égales à I M. Er par ce moyen font trouvez les 
foyers ou Singliors O & P dé l’Hyperbole, dont l’Axe 
tranfverfe et DK, fon Axe conjugué TS double dela 
ligne D M,lecentrel, le fommer D , où elle touchera la 
ligne DE, & pañlera par le point F. 

Voici comme je le démontre, parce que l’angleTHG 
eft droit dans le demi-cercle IH G, & la ligne H I demi- 
diamétre du Cercle D'HK; la ligne G H touchera le 
fufdir Cercle au poinc H, & partant le reétangle KG D 
fera égal au quarré GH, & le reétangle K G D fera au 
quarré de l’ordonnée G F , comme le quarré G H au mê- 
me quarré G F, oudefonégale GR, c'eft-ädire, com. 
me le quarré HI, ou de fon égale DI, au quarréRE, 
ou de fon égale IS ;c’eft-à-dire, en prenant leurs quadru- 
ples, comme le quarré du diametre K D au quarré du 
diametre T S. Et partant le point F fera dans FHyperbo- 
le, donc les deux Axes feront D K&TS, lecentreI, & 
le fommet D. Maintenant parceque D M eftégaleà IS, 
le quarré IM ou I O fera égal aux quarrez! D, & I S;mais 
le quarré I O eff auili égal au quarré ID , & au rectan- 
gle KO D;donc le reangleK O D eft égalau quarré1s, 
c’eft-à-dire ,au quart de la Figure, & excédent d’un quar- 
ré, dont le côté eft la ligne D O ; & par conféquent le 
point O & le point P qui eft également diftant du centre 
T, feront les foyersde l’Hyperbole fufdite : ce qu'il falloit 
démontrer, 

Il y a mille moyens de décrire les Hyperboles, quand 
ona trouvé fes Axes & fes foyers ; & le plus aifé pour les 


la délivéatin de Ouvriers eft celui de M. Defcartes qui fe pratique ainfi: 


lHiperbole. 


Onprendune granderegle, comme P Q, que lon-arta- 


DE £A DIMINUTION DES COLONNES. 387 


cheparunbourau Singliot P,, fur lequel elle tourne, & 
par l'autre bouc Q à une fifcelle Q F © , qui doit être plus 
courte que la regle de toute la longueur de la ligne DK; 
lautreextrémice dela cordes’attachea l’autre Singliot O. 

Cela fair, il fauc tenir la fifcelle cout près de la regle, 
comme fi elle yétoit collée, ainfi qu'il fe voit dans la Fi. 
gure, depuis Q jufqu’en F, ou depuis V jufqu’en X ;, & 
en tournant la regle fur le Pivot P , & tenant toujours la 
corde joignant la regle, le point oùelles fe joindront dé- 
crira par ce mouvement l’HyperboleF X D que l’on de- 
mande, laquelle pourra être continuée de l’autre côté ,en 
changeant la regle de face. 


CHINQ'UTEME"D'TS COURS. 


DETERMIN ATION DES MANIERES 
infinies d'appliquer les Seftions Coniques au Trait 
de la diminution des Colonnes. 


L fauticiremarquer que bien que je n’aye parlé cy-def_ 
Li que d’une feule maniere d’Ellipfe & d'Hyperbole , 
{çavoir de celle où l’Axe tranfver{e de l’une & de l’autre 
eft égal au plus grand diametre de la Colonne;il ya pour. 
tant un nombre infini d’autres efpeces de l’une & de l’au- 
tre qui peuvent être décrites, & fervir utilement à la di- 
minution des Colonnes, & de forte qu’elles touchent la 
ligne D Een D, & pañlent par le point F. Ce que j'expli- 
que en cette maniere. À 

Aux deux lignes D G&G F(dans la r. Figure de la 3, 
Planche) foit faireune troifiéme proportionnelle GH 
& du point H foient menées des lignes de tous côtez,com- 
me HD ,HEL,H4,HM, &c. lefquelles coupent la 
ligne D E continuée en D, Q, P,I,O, &c. en forte 
qu’elles rencontrent diverfement la ligne D G continuée 
indéfiniment : C’eft à fçavoir que H D la coupe au point 


5 Planche: 


388 Pad mr ER PR oO 8 LUE 


D, H L au-deflus du fufdit point D, H4 lui foit parallele, 
H M la coupe en M au-deflous du point G,& HNenN, 
en forte que G N foit égaleà G D, &enfin H à au point 
à , en forte que G A foit moindre G D ; enfuite de tous les 
points de la ligne G D,compris entre G& D,foient enten- 
duës être menées des lignes paralleles à G H,& qui foient 
moyennes proportionnellesentre les portions de la fufdite 
ligne GD , compnifes refpectivement entre le fommer D 
& lefdires paralleles , & les portions defdites paralleles 
contenuës encre ladite D G & les lignes tirées du point H. 
Ces chofesainfi fuppofées. 

Te dis que toutes ces moyennes proportionnedles feront les or- 
données des lignes reguliéres , dont l’Axe fera GD , le fom- 
met D , où la plufpartrouchera la ligne D E , & pafleront 
par le point F, fuivant cet ordre. 


L 


Les moyennes proportionnelles entreles parties de l’A- 
xe D G , & les portions des paralleles coupées par la ligne 
HD , comme À Z moyenne entre À D & AS, feront es 
ordonnées à une lignedroite DZ F, 


ge 


Les moyennes proportionnelles entre les parties de 
GD, &les paralleles coupées par la ligne H L comme 
AT moyenneentre AD , &A B, /cront dans l Hyperbole 
DTF, dont D Lferal’Axe tran{verfe, & D Qle droit, 
Oùil paroît que ce fera l'Hyperbole que nous avons dé- 
crit cy-deflus, fi la ligne D Left égaleau plus grand dia. 
metre dela Colonne, & GF égale aux deux tiers defa 
longueur. N 


III. 


Les moyennes proportionnelles entre les parties de 
GD, &les paralleles coupées par la ligne H3, comme 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 389 


A V moyenne entre À D & AC, feront les ordonnées à la 
Parabole DV F, qui eft celle que nous avons expliquée 

“cy-deflus, & dont G D fera l’Axe, & G Hou D P le dia. 
metre droit ou contigu. 


PV. 


. Les moyennes proportionnelles entre les parties de 
GD, & les paralleles coupées par la ligne HM, comme 
A X moyenneentre À D & AK, feront les ordonnées à une 
Ellipfe D ÆF, dont l’Axe tranfverfe eft D M, & fon 
droit ou contigu eft D I. Où il fe voit qu’elles feront au 
cercle que nousavons décrit au précédent difcours, fi les 
lignes GH& M G font égales , & qu’elles feront dans 
lÉllipfe que nous avons expliquée au même endroit, fi la 
ligneD M eft égale au plus grand diametre dela Colonne, 


V. 


Les moyennes proportionnelles entre les parties de 
G D & les paralleles coupées par la ligne HN , comme 
A Y moyenne entre À D & A R font auf dans une Ellipfe 
D7YF, dontl’Axetranfverfeeft D N , & le droit D O, 
Où il faut remarquer que G N ayant été faite égaleà G D 
dans cette hypothefe, la ligne G F fera la moitié de l’Axe 
de même conjugaifon avec D N, & partant cette Ellipfe 
eft la derniere de celles qui peuvent fervir aux Colonnes 
parce que toutes les autres , dont les Axes cranfverfes font 
moindres que D N , ont quelques ordonnées au fufdit 
Axe & au-deflus du point G qui font plus longues queGF, 
& qui font par conféquent pafler la courbe de l’Ellipfe 
au-delà delaligneEF , commeil fe voit en l’hypothefe 
qui fuit, 

VE 


Les moyennes proportionnelles entre les parties de 
G D, & les paralleles coupées par la ligne H à, comme À; 
Rec. de Ac. Tom... LIL 


390 PREMIER PROBLEME 


moyenne entre À D & Aw, font ordonnées à une Elliple 
D?F, dont l’Axetranfverfeeft Da, & le droit D ,; oùil 
fe voit que fi le point À eft plus près du point milieu de la 
ligne D à que le point G , la ligne A + fera plus longue que 
GF ; & par conféquent le point, de l’Ellipfe pañlera au- 
delà delaligneE Fens, d'oùelle retournera en F, après 
ävoir fait une Courbure en dehors: ce qui ne peut pas fer. 
vir aux Colonnes. 
VIE 


Enfin, fi la ligne du point H coupe D G entre D & G 
commeenr;ilarrivera 1. Que toutes les moyennes pro- 
portionnelles entre les parties derD &les paralleles tirées 
entre les points x & D , & coupées par la ligne H 7 conti- 
nuéeenr, comme À 8 moyenne entre AD&AË, feront 
ordonnées à un cercle D Rr files lignesr D, 7 D font égales, 
ou à une Ellipfe, fi elles font inégales, dont l’Axe tranf- 
verfe r D & le droit r D. 

2. Et toutes les moyennes entre les parties de G D &ies 
paralleles tirées de tous les points de la ligne Gr , & cou- 
pées par la ligne H7, comme {x moyenne entre 4 D & 
Ÿ®, ere ordonnées à une Hyperboler x F , qui touchera 
la fufdite Ellipfe au point r, & aura mêmes Axes qu’elle, 
fçavoir x D pourtranfverfe, & D r pour droit. 

En quoi il fe voit encore que ni l’une ni l’autre de ces 
deux lignes ne peuvent avoir aucune utilité pour les Co- 
lonnes, parce que l’Ellipfe ne pañle point par F, & l’hy- 
perbole ne touche point la ligne D Een D , qui font con- 
ditions néceflaires pour lefdires Colonnes. 

Maintenant, comme on peur cirer une infinité delignes 
du point H entre les deux lignes H G & H à qui couperont 
la ligne G D en quelque point au-deflus de D , lequel ter- 
minera l’Axe tranfverfe d’une Hyperbole utile aux Colonnes 3 
& comme on peut tirer une autre infinité de lignes du mê- 
me point H, qui couperont la même G D au-deflous dy 


"+ mo trutiasiometié 


DE LA DIMINUTION DES COLONNES. 391 


point N en quelque point qui terminera l’Axe tranfverfe 
d'une Ellipfe auf utile aux Colonnes. 

Deplus, comme les unes & les autres defdites lignes 
fontrégulieres , uniformes, & qui fe peuvent décrirepar 
une infinité de manieres differentes, aufli-bien que par 

celles que nous avons cy -deflus expliquées, & qui (ala 
referve de celles dont les Axes tranfverfes font coupez par 
les lignes tirées du point H entre les points D & N }tou- 
chent toutesla ligne D E enD , & pañlent par le point F. 

Il s'enfuit que l’on peut utilement décrire une infinité 
de ceslignes pour le trait de la diminution des Colonnes, 
entre lefquelles la Parabole fera la moyenne, fous laquelle 
pafleront les Hyperboles dans l’efpace contenu entre la 
Parabole & la ligne droite D F, & toutes les ellipfes pafle- 
rontau-deflus, c’eft-à-dire, dans l’efpace compris entre 
la Parabole & la droite DE. 

Et quoi qu’entre ces lignes j’aye feulement choïifi pour 
exemple celles dont l’Axe tranfverfe étoit égal au plus 
grand diametre de la Colonne , ce n’a pas éte pour être 
plus aïifées ou plus utiles que lesautres, maï#eulement 
parce que cette grandeur s’eft trouvée ainfi déterminée. 

De toutes ces chofes, on peut juger fi je n’ai pas eu rai- 
fon de fouhaicer au premier Difcours de ce Problème, 
que l’Auteur da Paradoxe propofe à réfoudre à tous les Ar- 
chitettes fe fut un peu plus clairement fait entendre de la 
nature de la ligne, que l’on peut, commeil dit, décrire 
Architelloniquement parfaitement pour le renflement & di- 
minution des Colonnes ; puis qu'après que quelqu'un en 
aura décrit Architelloniquement parfaitement une infinité 

ar lesmanierescy-deflus dites, il dépendra toujours de 

a volonté de l’Auteur dx Paradoxe de s’en réferver une 
infinité d’autres, & dire qu’on n’aura pas encore trouvé la 
fienne. 

Outre que cette même infinité de lignes qui fe trouve 
dans cestrois fetions de Cone, que M. RARE 

Lili 


392 PREMIER PROBLEME. 
lignes du premier Genre , dont les Equations ne montent 
qu'aux quarrez , fe rencontrent de même dans toutes les 
lignes des Genres plus élevez , lefquels étant d’ailleurs 
infinis, produifent encore une infinité d’infinité de lignes 
régulieres ; uniformes, que l’on peut décrire Æ4rchitelto. 
niquement parfaitement, & qui font propres à réfoudre Je 
Paradoxe propofé. 
Sans parler d’une autre infinité de lignes, quine font 

as comprifes fous ces Genres, comme de la Roulette, 
Ovales de M. Defcartes, Spirales, Cyfloïdes , Conchoï. 
des, Quadrarices, &c. lefquelles font auf lignes unifor. 
mes & régulieres, & qui par conféquent peuvent faire ef- 
fer dans certe defcription. 


SEcoND PROBLEME. Des Arcs RAMPANS. 393 


LIXTINIIIS ENT ENTIEITIIITE 
rene te nr nn 


SECOND PROBLEME 
3 RESOL U. 


Z'Appollonins François des T'affions | ou décrire Géometri: 
quement les Arcs rampans fur toutes fortes de pieds 
droits & de hauteur: 


PIRE MERER. D.LS € O.Ù.R. $, 


F L ya deux chofes qui méritent d’être confiderées 4w 
li; des Arcsrampans, qui font ordinairement mis en 
pratique fur des ouvertures & hauteurs données ou non 
données ; l’une regarde la maniere de les décrire, & qui 
fait le fujet du préfent Problème ; l’autre traite du moyen 
de tirer leurs joints de tête, qui eft expliqué dans le Pro- 
blème fuivant. 

Premiere Obfervañion. 


. Sur la maniere de décrire les Arcs rampans, je me fuis 
fouvent étonné que la pratique que Pappus enfeigne dans 
le 8.defes Colle&. Mathem. de trouver les Axes d’une 
Ellipfe , dont les diamétres de même conjugaifon fone 
donnez, ne fut pas en ufage parmi les Ouvriers pour la 
defcriprion deces Arcs, vû qu’elle y eft fi utile & f aifée, 

Et après avoir médité fur les caufes qui peuvent l'avoir 
jufqu'ici fait négliger , j’en ai trouvé deux aflez apparen- 
tes. La premiere eft, qu’il ne paroît pas facilement qu'il 
yaitaucun rapport entre la propofition de Pappus , & la. 
defcription de ces Arcs rampans, parce qu’il fautune pré. 

aration aflez difficile fur les lignes données que l’El- 

Épfe ou l’Arc propofé doit toucher en certains points ,, 

afin de trouver fes diamétres de même conjugaifon., au 
LL 1 ji 


Li} 


394 SMIC! © à D PP Rio: & FIM 


paravant que l’on y puifle appliquer ce Problème de Pap- 
pus. L'autre raifon eft, que ce Problème dans l’Auteur 
n’eft expliqué que méchaniquement , quoique fa réfolu: 
tion foit purement Géométrique, & n’ayanr été démon- 
tré ni par Pappus, ni même par Commandin qui l’a com- 
mente, on a dû jufqu’ici douter de fa.verité ; & l’appre- 
henfon que l’on a euë de travailler fur une faufle fuppo- 
fition , a pû être en partie la caufe qu’on ne s’y foic pas 
étudié. 

Pour fatisfaire à l’une & à Pautre de ces raifons, j'ai 
travaillé à donner une defcription aifée de ce qu'il faut 
faire pour cette préparation, c’eft-a-dire, pour trouver 
les diamétres de même conjugaifon d’une Ellipfe , ou au- 
tre feion qui doive toucher certaines lignes données 
en certains points dans tous les cas qui fe peuvent propo- 
fer ; (ce qui peut en Géométrie porter le nom d’Apollo- 
nius des T'actions. ) Et après y avoir joint des Pratiques 
entieres & démontrées, j'ai aufli voulu faire connoître, 
que l’on pouvoir fe fervir aflürément de la régle de Pap. 
pus, de laquelle j'ai faic une Démonftration purement 
Géométrique, afin que les Ouvriers la puiflent doréna- 
vant mettre en ufage au lieu de celles qu'ils employent, 
qui font ou fautives & défeétueufes, ou trop embar- 
raflées. 

Seconde Obfervation. 

On peut donc conftruire les Arcs rampans par des: 
Ovales qui font faites par l’attouchement de certaines 
portions de Cercles, ou par le moyen des Sections Coni- 
ques, ou même par une infinité d’autres lignes de divers 
genres. Je ne dirai rien de la premiere maniere, parce 
qu’elle a été curieufement recherchée & heureufemenc: 
décrite par le fieur Boffe dans fes derniers Ouvrages d’Ar- 
chitecture. La troifiémefaçon de les décrire par des lignes 
d’un autre genre que les Sections Coniques eff fi vafte , ou 


| 


DES ARCS RAMPANS 39$ 
pour mieux dire fi embarraflée, qu'elle ne peur pas avoir 
grand ufage dans la pratique. 

… Cefera donc la feconde qui fe {ert des Setions Coni. 
ques que J'expliquerai dans ce Difcours , & particuliere- 
ment ce qui regarde les conftruëtions de l’Ellipfe comme 
dela Section , dont l’ufage eft plus fréquent que desautres 
en cette matiere. 

, Mais avant que de pañler plus outre, il n’eft pas hors 
de propos d’enfeigner une chofe, qui tombe très-fouvent 
en ufage quand on traite des Sections Coniques, & dont 
la connoiflance abregera de beaucoup les pratiques que 
nous déduirons ci-après. C’eft ce Problème. 


Trouver une moyenne Harmonique entre deux lignes 
données. 


Les deux lignes foient À B & C (dans la 2.Figure dela 

3. Planche, ) & de la plus grande A B foit retranchée la 
partie B D égale à C, & le refte A D divifé en deux égale- 
ment en E. Enfuite fur les deux lignes À D & E B comme 
diamétres, il faut faire les deux demi-cercles A G D « 
E G B { coupans en G, d’où il faut mener les droites GB, 
GE, & abailler GF perpendiculaire à A B. Je dis que la 
ligne B F fera celle que l’on cherche , & moyenne propor- 
tionnellé Harmonique entre les deux droites données AB 
& C ; parce que l’angle E G B au demi-cercle érant droir, 
aufli-bien que les angles au point F, la ligne BE fera à EG, 
comme EG eftàEF; c’eit-à-dire, que E G ou ED fera 
moyenne Geométrique entre les deuxEB&E F; & par- 
Tant par converfion de raifon, doublant les antécédens , 
& divifanc, la ligne A F fera à la ligne F D comme A B eft 
à BD ; ceftä-dire, que comme la premiere A B eft à la 
troifiéme B D, ainf A F, qui eft l’excëès de la premiere 
AB fur la feconde BF ,etàF D, qui eft l'excès de la {e- 
conde B F fur la troifiéme B D. Et par conféquent les trois 
lignes A B,FB, D B font en continuelle proportion Har. 


Figure IL. de Lo 
LI, Planche, 


396 SErcouDr PROBLEME 
monique , & la ligne B F eft moyenne Harmonique entre 
les deux extrêmes À B & B D ou C. Ce qu’il falloir faire, 
Il paroît de plus que le quarré de la Touchante BG 
étant égal au reétangle des mêmes extrêmes AB&BD, 
la même BG fera moyenne Géométrique entre ceslignes. 
Et parce que la ligne A B furpañleE B du même exces que 
la ligne E B furpañle DB, il s'enfuit que cerre ligne E B efk 
la moyenne Arithmétique entre les mêmes extrêmes À B 
& B D ou C. Voilà donc entre deux extrêmes données 
AB&C ,trois moyennes trouvées, fçavoir l’Arichméti- 
que BE, la Géométrique BG, & l'Harmonique BF. 
Or comme dans le Triangle EBG , laligneEB cft à 
BG,commeBGeftàBF;il s'enfuit que la même B G eft 
aufi moyenne proportionnelle Géométrique entre les 
deux EB &BF. Et partant que + moyenne Géométrique 
entre deux lignes extrèmes, ef? au moyenne Géométrique 
entre les deux moyennes Arithmétique & Harmonique des 
mêmes extrèmes. Ce qu'il faut remarquer. 


à | à 
Troifiéme Obfervation, 


Sur ce propos il y a deux chofes que je ne fçaurois diffi- 
muler. La premiere eft l’éconnement que j’aieu , qu’en- 
core que l’on ait écrit de fi belles chofes des Seétions Co- 
niques , & qu'entre les propriétez de leurs Contingentes, 
celle-ci ait été reconnuë pour une des principales & plus 
fréquentes, puifqu’il arrive en mille façons qu’une ligne 
s’y trouve divifée comme A B l’eften F &en D ; de forte 
que la Toute A B foit à {a Partie D B comme A F efta FD. 
Et quoique les plus grands Géométres ayent particulie- 
rement recherché les admirables effecs de certe efpéce de 
proportion , je n'ai pourtant vü jufqu’ici perfonne qui fe 


M. Dæargus foit avifé de l’appeller Harmonique. I] y en a quelques-uns 


P.Greg.a 5, 
Vincent. 


qui l’ont appellée Znvolution ; d’autres ont dit que c’étoit 
sue moyenne > extrème raifon proportionnelle ; mais pasun, 
au 


DEStA RCS R AMP ANS. 397 


au moins que je fçache, ni des Anciens ni des Modernes, 
ne lui ont donné fon veritable nom. 


Quatrième Obfervation. 


Surles Erreurs de Pappus pour l'infcription de trois médictex, 
au demi-cercle. 


La feconde des chofes que je ne fçaurois diflimuler au 
fujet des proportionnalirez, c’eft que Pappus ayant pro- 
pofé la queftion que j'ai expliquée ci-deflus fous le nom 
du fecond Problème dans le 3. Livre de fes Collections 
Mathématiques de rover ,ainfi qu’il dit , #rois médiétez, 
dans un demi-cercle , il femble qu’il n’ait pas trop bien en- 
tendu lui-même la nature de la propofirion , en laquelle 
il a fait, à mon fens, deux fautes confiderables. La pre- 
miere eft, d’avoir repris affez légérement la folution qu'un 
autre en avoit faire avant lui, quoiqu’elle für légitime. 
La feconde eft, de l'avoir lui-même mal réfoluë. 

L'une & l’autre fe reconnoîtra par fon difcours & dans 
fes Figures. La queftion commence par ce titre. Ze [e- 
cond Problème étoit tel. 


Prendre trois médiètex dans le demi-cercle. 


Un autre, dit-il, l’a expliqué en cette manière, @* EXD0- rigure 11. de l 
[ant un demi-cercle A B C (dans la 3. Figure de la 3. Plan-# Pré. 
che) dont le centre eff E , € prenant dans la droite A C quel. 
que point comme D , @r élevant la Perpendiculaire D B , il 
a mené la ligne E B, fur laquelle ayant tiré du point D la per- 
pondiculaire D F , il s’eff contenté d'affirmer fimplement qu'il 
avoit expofe trois médictex dans le demi-cercle , [çavoir EC, 
moyenne Arithmctique, D B,Géometrique, & B F,Harmo- 
nique. Or il cf conffant que B D cf} la moyenne en proportion 
Géomctrique entre les deux À D & D C; € que EC ef} moyen- 
ne Arithmétiqueentre les deux mêmes extrémes À D DC: 
parce que À Def à D B comme D B eff a DC; CG comme 

Rec. del Ac. Tom.F. Mmnm 


& 
395 SECOND PROBLEME 
A D eff à elle-même , ainfi Pexcès des deux 4 D, AE, eff | 
à-dire, A D, EC eff à l'excès des deux ECG CD. Mais 
il n’a point dit en quelle forte BF fut moyenne en médiéte Har- 
monique , ni de quelles lignes droites, c’ef-à-dire, entre quelles , 
extrèmes ; mais il a feulement affiré qu’elle étoit la troificme } 


proportionnelle aux deux E B € BD, ne fçachant pas que 
des trois lignes EB, BD ,B F , qui font en proportion Geo- 
metrique ; il [e forme une médiète Harmonique : car nous mon- 
#rerons ci-deflous que deux E B , trois D B € BF ajoûtces 
enfemble, font le plus grand terme d'une médicté Harmoni- 
que, de laquelle deux B D @ B F font le moyen, & B D œ ; 
B F le moindre. 

Voilà tout le difcours de Pappus que j'ai traduit du 
Latin de Commandin, dans lequel il paroît que Pappus 
n’a pas connu que la ligne BF für la moyenne proportion- 
: nelle Harmonique entre les deux extrêmes À D & DC, 
entre lefquelles les deux E C ou E B& D B font aufli ref_ 
pectivement moyennes Arithmétique & Géometrique ; 
parce qu’il ne s’eft pas fouvenu de ce que nous avons fait 
remarquer ci-deffus, que /4 moyenne Géometrique entre deux 
extrèmes étoit auf moyenne Géometrique entre les moyennes 
Arithmétique & Harmonique des mêmes extrèmes ; n'étant 
pas poflible qu’il n’eût vü , fi la penfée lui en étoit venuë, 
que la ligne B D étant moyenne Géometrique entre les 
deux extrêmes À D & DC, &entre les deux lignes E B 
&BF,dontE B eft moyenne Arithmértique entre les mê- 
mes extrêmes À D & D C,laligne BF ne dût être auf 

la moyenne Harmonique entre les mèmes. 
Figure W. de la Ce qui fe pourroit encore démontrer d’une autre ma- 
Et  niere, en prenant ( dans la 4. Figure de la 3. Planche) la 
ligne EG égale à D C, & ménant la ligne D K quitouche 
le Cercle À KH fair du centre G & intervalle À G, & la 
ligne KI, perpendiculaires à À C & GK, parce que la 
toute À E étant égale à la toute EC, & l’ôrée GE égale 
à l'ôtée D C, lerefte À G ou G Hfera égal au refte E D ; 


Des ARCS RAMPANS. 399 


& Grant le commun E H, la ligne E G ou C D fera égale 
aDH,;&comme A DàDC, ainfi À D à D H; mais la 
æaifon de A D à D Ceft double de celle de A DaDB,& 
la raifon de À D à D H double de celle de ADäDK: 
Donc la raifon de A D à D B fera égale à celle de A D à 
DK; & partant la ligne DK fera égale à D B. Mainte. 
nant fi aux lignes égales GH &E D on ajoûte les égales 
HD &DC, lestoutes GD &E C ou EB feront égales; 
& partant G D fera à D K comme E B à B D ; mais com- 
me G D'efta DK ,ainfi DKeft à DI ; comme EB eftà 
BD ,ainfi BD ef àBF:Donc DK fera à DI, comme 
DBeftaBF;& partant la ligne DI fera égale à la ligne 
BF. De plus, la ligne DK touchant le cercle, & KIétant 
perpendiculaire à A D, il s’enfuir que A D premiere eft à 
D H troifiéme, comme À I différence de la premiere A D 
& feconde D I eft à I H différence de la feconde I D & 
troifiéme H D, c’eft-à-dire , que la ligne D Left moyenne 
Harmonique entre les deux extrêmes À D & D H ou 
DC. Et partant que la ligne BF égale à DI eft auffi 
moyenne proportionnelle entre les deux À D & DC, 
dont D B eft la moyenne Géometrique, & EB ou EC 
lArichmetique. 

Il paroît donc que le Problème de Pappus a été parfai- 
tement refolu parles trois lignesE C,B D,BF , qui fonc 
moyennes Arithmetique, Géometrique & Harmonique 
en un demi-cercle ABC, & entre mêmes extrêmes À D 
& DC. 

Et pour ce qu'il dit enfuite , que des trois lignes en pro- 
portion Géometrique EB , BD ,B F ajoûtées l’uneà l’au- 
tre en certaine maniére , il s’en forme une médiété Har- 
monique : Quoique cela foit vrai, & d’une analogie, 
(comme il dit)ingénieufe , ainfi que nous l'avons expli- 
qué dans un autre difcours; cela n’a point de rapport 
à la queftion préfente , parce que cette médieté produire 
donne d’autres termes & d’autres proportions que celles 
qui font propofées. Mmnm i] 


Figure V. de le 
III, Plançhes 


400 SECOND PROBLEME. 


L'autre défaut fe reconnoîtra dans la 16. Prop. du mé: 
me Livre, où il propofe lui-même à réfoudre le Problème 
ci-deflus , qu’il prétend avoir été mal réfolu par d’autres. 
Il dit donc ainfi. 


Faire trois médiètez dans le demi-cercle. 


T'out ce que nous avons dit ci-deffus ( dit-il ) de trois mé- 

ietez,, eff Jelon l'opinion des Anciens ; mais nous montrerons 

maintenant qu'il eff pollible de faire auft en fix lignes droi- 
tes € les plus petites , trois médietex dans le demi-cercle. 

Que l'on expofe ( dans la $. Figure de la 3. Planche }## 
demi-cercle , dans lequel B D foit perpendiculaire , E B demi- 
diamètre, fur qui D F [oit auf à angles droits; @ par B [oit 
menée GB H qui touche le cercle ; € après avoir continué 
ÆCenG,foit faite BG égale à B H,@ tiré la ligne DKH. 
Fe dis que E K eff moyenne en médieté Harmonique, dont B E 
ef? la plus grande, @ EF la moindre, parce que les angles 
aux points B@F étant droits , ec... Or nous avons dé- 
montré qüe les droites À D, EC, DC fuifoient une médieté 
Arithmétique, @x que les droites EG,EC, ED, faifoient 
une autre médicté Géometrique. Nous avons donc fait trois 
meédietez, dans le demi-cercle. 

Dans tout ce difcours de Pappus je ne vois pas bien ce 
qu’il entend par ces mots, de faire au demi-cercle trois 
médietex en JEx lignes les plus petites ; car quoique les trois 
lignesBE ,EK , EF faflentc une médieté Harmonique, 
que les trois AD, EC, D Cune Arithmétique, & les 
trois EG,EC,E D une Géometrique ; elles font néan- 
moins plus de fix lignes différentes , & elles ne fonc pas 
toutes dans le demi-cercle, hors duquel s'étend la ligne 
EG. De plus, il ne peut pas entendre par ces fix lignes 
trois couples d’extrêmes comme À D ,D C:BE,EF :& 
EG ,E D: entre lefquelles il faille trouver trois moyen- 
nes dans le demi-cercle , tant parce que pas une de ces 
extrêmes n’eft déterminée , & qu’elles ne fe trouvent non 


DES ARCS R A MP A NS  4ot 


plus que les moyennes que par la conftru&tion , que parce 
que , comme nous venons de dire , il y a une de ces extré- 
mes, fçavoir E G , qui tombe hors du demi-cercle. 

Le Problème feroit élegant, fiayant propofé trois cou- 

les de lignes difpofées en certaine maniere, comme A D, 
DC:EG,ED:AG,&uneautre, comme À L : il falloit 
trouver le demi-diamétre d’un cercle commeEC , quifüc 
refpeétivement moyenne Arithmétique, Géometrique, 
& Harmonique aux trois couples propofez en la même 
forte qu’elle left Arithmérique & Géometrique aux deux 
couples AD,DC:&EG,E D : Mais comme elle n’eft 
plus moyenne, mais plus grand terme au troifiéme cou- 
ple propofé EB ,E F: la propofition eft défe&tueufe. 

Ou bien à la maniere que les Anciens l’ont entendu & 
réfolu ,commeil dit, en cinq lignes feulement, fçavoir 
qu'il fallût trouver dans le demi-cercle les trois moyennes 
entre deux extrêmes ; comme entre les deux AD ,DC, 
trouver À E moyenne Arithmérique, B D Géométrique, 
&BF Harmonique,ouentre les deux BE,EF, après avoir 
divifé BF en deux également en [, trouver E I moyenne 
Arithmétique , E D Géometrique, & E K Harmonique ; 
ou enfin entre les deux À G,G CtrouverE G, Arithmé- 
tique , BG, Géomerrique, & D G, Harmonique. Et ainfi 
une infinité d’autres. 

Et Pappusauroit en cette maniere évité l’obfcurité qui 
fe trouve dans fon Problème , qui fait douter qu'il l'ait 
bien entendu lui-même , auffi-bien que fon Interprete 
Commandin. 


aHatsatsats 
HR 


D 


Mmnm ii 


402 S EG \o-.N:0, PR 0.8 À EME 


SEC: ONNI DE PES OU RS: 


TR O UV ER LES D TI VANMMELT RES 
de mème conjugaifon des Settions , [elon les différentes 
fajétions des Arcs à décrire. 


Ais pour rerourner.a notre propos, après une fi lon- 
M gue digreflion, il faut fe fouvenir de ce que nous 
avons enfeigné pour trouver une moyenne Harmonique 
entre deux lignes données, Et pour commencer aux pra- 
tiques de nos Arcs rampans , nous dirons que l’on fuppofe 
un Arc à décrire fur deux pieds droits à une hauteur dé- 
terminée , ou non déterminée ; & en l’un & l’autre cas 
ces deux pieds droits font paralleles ou inclinez l’un à l’au- 
tre, foit en talu ou en furplomb. De plus, fi la hauteur 
eft donnée, le plan qui la détermine eft parallele au plan 
de la rampe de l’Arc, ou bien l’un & l’autre étant conti- 
nuez fe rencontrent. 
Il faut donc parler de tous ces cas, & trouver premie- 
rement fur toutes ces Hyporhefes , deux diametres de 
même conjugaifon d’une fection Conique qui fafle l’Arc 
ue l’on demande ; & enfuite appliquer à ces diametres le 
Problème de Pappus, fi c’eft dans une Ellipfe , ou d’au- 
tres pratiques, fi c’eft une autre Section, pour entrouver 
les Axes & les Foyers ou Singliots, par le moyen defquels 
la Section propofée puifle être facilement défignée. 
Et pour y travailler avec ordre , nous commencerons 
premierement par l'explication de ceux dont la hauteur 
n’eft point déterminée, pour pañler enfuite aux autres. 


5 


1 
Se 
NS 


DES MAN € S! K AM Pr A°N S 403 
PREMIERE OBSERV AT ION. 
. Décrire les Arcs, dont Lx hauteur n’eft point déterminée. 

CO BALE MEZP R:E NPTITErR. 
S Oit donc ( dansles 6. 7.& 8. Figures dela 3. Planche) FzVrvir. 


les deux pieds droits A C, BD paralleles, foit qu’ils Eu (D 
{oient à plomb (comme en la 6. & 7. Figure ,) ou que l’un 
foi en talu , & l’autre en furplomb (comme en la 8. Figu- 
re). La ligne de la rampe A B (qui conjoint les deux points 
A &B ,) où l'Arc doir toucher les pieds droits, foit qu’elle 
foit horizontale (comme en la 6.Figure ) ou inclinée à 
l'horizon ( comme en la 7. & 8. j foit diviféeen deux éga- 
lement en H, & par H foit menée I HG parallele aux 
pieds droits ; je dis que fi on prend deux lignes égales de 
part & d’autre du point H fur la ligne I G comme HG & 
H Ià quelque diftance qu’on les veüille étendre, les deux 
lignes À B&IG feront les diametres d’un cercle, fi les 
lignes À H & H G font égales, ou les Axes d’une Ellip{e, 
fi elles font inégales, & fi la ligne A B eft perpendiculaire 
aux pieds droits( comme en la 6. Figure ) ; ou fi elle leur 
eft inclinée (comme aux deux autres Figures ) elles feront 
les diametres de même conjugaifon d’une Ellipfe , qui 
paflant par les points I &G , &ayantle point H pourcen. 
tre, touchera les deux pieds droitsen À & B. La démonf 
tration en eft claire par la converfe de la 27. du z. des Co- 
niques d’Apollonius. 

Aurefte , en cette Hypothefe il n°y a que lecercle au 
feul cas cy-deflus , ou l’Ellipfe en tous lesautres, qui puif- 
fent réfoudre le Problème , n'étant pas poffible de décri- 
re aucuneautre Section qui touche deux lignes paralleles. 


PROBLEME SE CON, D: 


Si les pieds droits AC &B D étans tous deux entalu, roraæuv. 
(comme en la r. Figure de la 4. Planche) fe rencontrenc , w#: 


404 SECOND PROBLEME. 
étant continuez en G, la ligne de la rampe A B doit être 
divifée en deux également enZ ;& du point G parZ, il 
faut mener la ligne GZ Y continuée indéfiniment. De 
plus, fi vous partagez GZ en deux égalementenE, & 
qu'entre les deux points E &Z vous en preniez un autre 
en quelque endroit que ce puifle être, comme en F ; je dis 
que ce point F déterminera le fommer d’une Ellip{e, qui 
couchera les deux pieds droitsen À & B. Et que fi en pre. 
nant laligne F H égale à FZ, vous faites que comme G H 
eta HE, ainfiFZ foit àune quatriéme Z Y, le point Y 
en fera le centre ; D'où fi vous faires Y N égaleaFY , la 
toute F N en fera le diametre. 

Pour trouver l’autre diametre de même conjugaifon, 
il faut du point Ÿ mener une ligne K Y I parallele à À B,& 
qui rencontre en K & I les lignes des pieds droits CA, 
D B continuées. Puis du point B il faut mener B L paral- 
leleàZY , &entreles deux I Y &L Y ,trouver la moyen. 
ne Géomerrique Y O , à laquelle il faut faire Y M égale, 
afin que la coute MI foit divifée Harmoniquement en L 
& O ; & que par conféquent la ligne M O foir l’autre dia- 
mecre de mème conjugaifon avecF N d’une ellipfe, qui 
paflant par les points À & B , yroucheles lignes des pieds 
droirs C A & D B. 

La démonftration s’en fair en cette forte ; parce que la 
ligne GHeftiHF,commeFZeft à Z Yen compofanr, 
permurant & compofant GY fera àFY , comme FY à 
ZiY ; & partant le quarré de F Y fera égal au rectangle 
GYZ: 

De plus, fi du point À fur K I vous tirez A P parallele à 
Z Y ,il s’'enfuivra queles deux BL, AP ferontégales, 
aufi-bien que les deux Y L, Y P ;& parce que les deux 
Y K& Y I font aufli égales, aufli-bien que les deux Y M 
& Y Oil s'enfuivra encore quela ligne Y O étant moyen- 
ne Géometrique entre les deux Y I & Y L, fon égale 
Ÿ M fera aufli moyenne Géometrique entre les deux Y K 

& 


DES 40 ER © S M AIM DA MS 405 
& Y P ; & les quarrez égaux des lignes Y O & Y M feront 
égaux aux rectangles égaux I Y L, KY P. 
.. Maintenant, le quarré F Y étant égal au rectangle 
GYZ, & le quarré Y O aurectangleI Ÿ L, les quarrez 
feroncentre eux comme les rectangles :mais le rectangle 
G Y ZeftaurectangleI Y L en raifon compofée des li- 
gnesG Y a1Y , c’efta dire, BLaLI,& de Y ZouBL 
à L Y ; doncle quarré F Y fera au quarré Y O en raïfon 
compofce des lignes BLal L,& de BLAY L, c'eftà- 
dire, comme le quarré de B Lau rectangle I LY : mais 
le re&angle I LY eft égal au rectangle M L O (comme 
nous le démontrerons cy-deflous.) Et partant le quarré 
B L fera au rectangle M L O, comme le quarré F Y eft 
au quarré Y O, ou en prenant leurs quadruples , comme 
le quarré du diametre F N eft au quarré du diametre 
M O : mais B L eft parallele au diametre F N , & partant 
ordonnée au diametre MO ; donc le point B fera dans 
lEllipfe, dont les lignesF N & M O feront diamerres de 
même conjugaifon. On démontrera par le même raifon- 
nement, que le point À fera dansla même Ellipfe, 

Il ne refte donc plus qu’à prouver que les lignes C À & 
D B toucheront certe Ellipfe aux fufdits points À & B. Ce 
qui fe fair ainfi, D'autant quelestrois lignes GY , FY, 
ZY, fonc en continuelle proportion Géometrique , & 
que Y N eft égaleà Y F, il s’enfuit,par ce que nousavons 
dit cy-deflus, que la toute G N eftdivifée Harmonique- 
ment aux deux points Z & F;& partant par la 34. du r. 
des Coniques d’Apollonius , que les deux droites G A & 
G B rouchent l’Ellipfe en À & B. Ce qu'il falloit dé. 
montrer. . 

Maintenant , afin de faire voir, (comme je l'ai promis 
dans la fuite de la démonftration de ce Problème } que le 
rectangle L Y eftégal au rectangle M L O; je diraiainfi. 
Le quarré Y O cft égal aurectangleI Y L, par ce quia 
été dic cy-deflus ; mais le quarré Y © eft aufliégalau 

Rec.del'Ac. Tom... Nnn 


406 SHCOoND PKOBLEM E: 


quarré Y L, &au re&angle M L O ; & le rectangleT Y L 
auffi égal au même quarré Y L, & au re&angle I LY; le 


Fig: II. IT. IV. 
de la IV, Plan- 
£hes 


quarré Y L avec le reangle ML O fera égal au même 
quarré Y Lavec le rectangle Y LI ; & partant, fi on ôre 
le commun quarré Y L, le re&angle M L O reftera égal 
au rectangle I L Y. Ce qu'il falloit montrer. 

Pour avoir une entiere détermination dece Problème, 
nous dirons que G Y étantàF Y comme FYaZY; par 
converfion de raifon, & en permutant GY feraaFY, 
comme GFetàFZ, oùil fe voit que la ligne GY étant 
plusgrande queF Y,,il faut auffi néceflairement que la ligne 
G F{oit plus grande queFZ ; c’eft à-dire, que F Z foit 
moindre que la ligne EZ ; qui eft la moitié de GZ, & 
que par conféquent , pour faire en forte que le Problème 
foit poflible , il faut prendre le point du fommer F entre 
les deuxE &Z. Où il paroît que plus on le prendra éloi- 
gné du point Z, plus l’'Ellipfe montera &s’agrandira à l’in- 
fini, à mefure que le fommet F s’approchera du point E; 
comme au contraire,elle diminuëra & deviendra plus pla 
te en s’approchant de la ligne de la rampe A B, à mefure 
que le même fommet F s’approchera du pointZ. 

Que files lignes AG & B G font égales, l’on pourra 
fe fervir d’un cercle pour la folution de ce Problème,dont 
le centre fera dans la ligne G Z , au point oùelle fera cou- 
pée par les lignes tirées des points À &B perpendiculaires 
aux lignes À C & B D. Maisen tous les autres cas de cette 
hypothefe , il n’y a que la feule Ellipfe qui puiffe fervir à 

la folution du Problème, étant impofñble de trouver au- 
cune autre fection qui touche les deux pieds droits & donc 
le fommer fe trouve en dehors vers le point N. 


PROBLEME. EF'R O:ISIE M'E. 


Siles deux pieds droits A C & BD font tous deux en 
furplomb (comme aux 2.3. & 4. Figures de la 4. Plan- 
che )& étans continüez, {e rencontrent en G, la ligne 


D ge rt 


DES ARCS R A: MPMANS 407 
de la rampe A'B doitêtre diviféeen deux également en 
Z ;, & du point G par Z, il faut mener GZ indéfiniment, 
& partager la ligne G Zen deux également en E. Après 
quoi , il faut fçavoir que cette propofition contient trois 
cas différens , à chacun defquels il convient une particu- 
liere Section Conique. Car ou l’on prendra le fommet en 
E, auquel cas la Section qui réfour le Problème eft une 
Parabole ( comme en la 2. Figure; ) ou bienentre E&Z, 
auquel cas il faut une Ellipfe (commeen la 3. Figure; } 
ouenfinentre E&G , &alorsil faut une Hyperbole pour 
fatisfaire à la queflion (comme en la 4. Figure. ) Il faut 
donc éxaminer les fufdits cas l’un après l’autre. 


Premier Cas du troifiéme Problème. 


Si donc vous prenez le fommet de vorre fection en E, sa um 
point du milieu entre G & Z (comme en la 2. Figure de la rm, 
4. Planche); & qu'aux deux lignes EZ & ZB vous trou- 
viez une croifiéme proportionnelle EF , que vous faffiez 
en E parallele a A B ; je dis que la Parabole dont le fom- 
met eftE, le diametre EZ, & fon parametre ou diame. 
tre contigu fous un angle ZEF égal 2AZE, eft la ligne 
EF, pañléra par les points A &B , où elle couchera les li- 
gnes À C&B D: carla ligne E F étanctroifiéme propor- 
tionnelle Géometrique aux deux EZ &ZB , le quarré de 
Z B ou de fon égal Z A feraégal au re&angleZ E F ; & par- 
cant les lignes Z A, Z B feront ordonnées au diametre 
EZ d’une Parabole dont lefommet fera E, & le diametre 
contigu E F. Etparce que EZeft égal GE, les deux li- 
gnes G À & G B roucheront la Parabole aux points A & 

B, parla 33. du r. des Coniques d’Apollonius, 


Second Cas du troifiéme Problème. 


Si vous prenez le fommet de votre fe&tion entre les %, 5 au 
points E &Z (comme en la 3. Figure) au point F ; & qu'a-1V:Plamr 
prèsavoir fait F H égalà FZ, vous faices que comme la 

Nan ij 


408 SE CON D PKOBLEME 
ligne GH ta HF, ainfi FZ foit à une quatriéme Z Y: 
Et fi vous tirez par le point Y la ligne K Y I parallele à la 
rampe A B, &rencontrantleslignes À C,B D continüces 
enK&I, fur laquelleKI des points A&B, vous menez 
des lignes A P & B L parallelesà G Y,& qu'entre les deux 
KY & YP, ou leurs égales IY &Y L , vous faires des 
moyennes Géométriques de part & d’autre Y M & Y O ; 
& enfin fi vous prenez Y N égaleà Y F, jedis que les deux 
lignes F N & M O fonc diamerres de même conjugaifon 
d’une Ellip{e, qui touchera les deux lignes des pieds droits 
A C&B D aux points À & B. 

La démonftration en eft quafi la même que celle du 
Problème précédent, & elle fe fait ainfi. Parceque GH 
eftiHFcommeFZàZY, en compofant, permutant,& 
compofant, G Y fera à F Y comme FYàZ Y;& partant 
le QuarréF Y fera égal aurectangle G Y Z. Mais le rec- 
tangle K Y P ou I Y L eft aufli égal au quarré M Y ou Y O; 
partant le rectangle fera au reétangle comme le quarré eft 
au quarré. Maintenant le rectangle G Y Z eft au rectangle 
KY Penraifoncompofée deslignes GY àKY , c’efta-di- 
re, AP à KP, &ZY ou fon égale AP à Y P : Doncle 
quarré F Y fera au quarré M Y en raifon compolée des li- 
gnes AP à KP,& APaPY,ceftädire, comme le 
quarré À P eftaurectangleK P Y. Maisle reétangleK P Y 
eft égal au rettangle M P O ( comme nous dirons cy-def. 
fous.) Donc le quarré F Y cft au quarré M Y , ou prenant 
leurs quadruples, le quarré du diametre F N eft au quarré 
du diametre M O, comme le quarré A P eft au reétangle 
MP ©. Nous prouverons par le même difcours que le 
quarré BL a aufli la même raifon au rectangle M L O ; 
mais les lignes A P & B L font paralleles au diametreF N, 
elles feront donc ordonnées au diametre M © , & les 
points À &B feront dans l’Ellipfe,dont le centre fera Y,& 
leslignes FN, M O diamerres de même conjugaifon. 

Je dis de plus, que ladite Ellipfe touchera les lignes 


Des ARCS R AMPANS 409 
AC, BD aux mêmes points À & B:parce que la ligne 
F Y eft moyenne Géometrique encre les deux GY &YZ, 
1 &Y Neftégale à FY ; la toute G N fera divifée Harmoni- 
quement aux deux points F &Z, & la ligne GZ fera 
moyenne Harmonique entre les deux extrêmes G N & 
GF;& la ligne AZ eftégale à ZB & paralleleàMO\; 
donc les deux lignes À G & B G toucherontaux points À . 
& B l’Ellipfe dont le fommet eft F, les diametres de même 
conjugaifon FN & MO, & lesordonnées AZ & BZ À 
par la 34. du 1. des Coniques d’Apollonius. 
ne refte donc plus qu'à démontrer que les deux rec- 
rangles K P Y & M P O fontégaux, ce qui fe fair en cette 
maniere. Le quarré M Y &le rectangle KY P font égaux ; 
mais le quarré M Y eft égal au rectangle M P O avec le 
quarré, P Y ; & lé reétangle KY P eft égal au reétangle 
KP Y avec le même quarré P Y ; étant donc des égaux 
le même quarré P Y, les reftes feront égaux, fçavoir le 
rectangle K P Y au rectangle M P O. Ce qu'il falloic dé- 
montrer. 
.… Que fi les lignes À G & B G font égales, & que des 
points A & Bl’on mene des lignes perpendiculaires aux 
| mêmes À C & BD, elles fe rencontreront dans la ligne 
GZ en un point qui fera le centre d’un cercle utile pour la 
folution de ce Problème. 


Troifiéme Cas du troifiéme Problème. 


Enfin, fi vous prenez le point Fentre E&G (comme ñrv.æu 
en la4. Figure) ; & que F H étant prife égale à GF, vous!" """ 
fafiezque commeZHetà HF, ainfi FG foit à une qua- 
triéme G Y ; puis par le point Y ,fivoustirez indéfiniment 
l ligne KYI parallele à la ligne dela rampe A B , & ren- 
eontrant les lignesC À & D B continüées en K & I. fur la- 
quelle TK des points À & B vous fafliez tomber les lignes 
A P & BL paralleles à Z Y, afin qu'entre les deux P Y & 

YK, ouleurségales LY &IY-vous puifiez prendre les 
N'aniij 


4TO SECOND P 8 © 8 L EM EH 
moyennes Géomecriques de part & d'autre Y M & Y O}, 
& qu'enfin vous faffiez Y N'égaleaYF. 

Je dis que Y eft le centre d’une Hyperbole, dontles 
diamerres de même conjugaifon font FN & MO, &le 
fommet F, laquelle paflant par les points A & B, y tou- 
chera les deux pieds droits À C & B D. 

Parce que la ligne M Y ou O Y eft moyenne Géometri. 
que entre les deux P Y &YK ,ou leurs égales L Y &IY; 
le quarré de M Y ou de Y O fera égal au rectangle KY P. 
De plus, parcequeZ HeftàHF, commeFG eftà G y, 
encompofant, & permutant Z F fera à FY comme H Fou 
fon égaleF GG Y, &encompofant Z Y fera à FY com- 
FYaG Y;& partant le quarré deF Y fera égal au reétan. 
gleZ Y G.DonclequarréF Y féraauquarré MY , com. 
mele rectangle Z Y G eft au retangle K Y P: Mais le rec- 
rangleeft au rectangle en raifon compolée des lignes Z Y 
àY PoufonégaleAZ, &deY GaYK, c’eftà dire, (à 
caufe de la fimilitude des triangles GZA,GYK,)deGZ 
à la même AZ : Donc le quarre F Y , fera au quarré M Y, 
en raifon compofée des lignes Y Za AZ, &GZàA7Z, 
c'eft-à-dire , comme le reétangle Y ZG au quarré AZ, 
Mais le re&tangle Y Z G eft égalau re&angle NZF, (ainfi 
que nous le démontrerons cy-après ; ) Et partant le quar- 

ré FY fera au quarré M Y , ou prenant leurs quadruples, 
le quarré du diametre NF fera au quarré du diametre 
MO, comme le rectangle NZF eft au quarré AZ: Mais 
la ligne A B eft parallele à M O , & divifceen deuxégale- 
ment en Z ; Donc l'Hyperbole dont lefommeteitF, le 
centre Y,, & les diametres de même conjugaifon N F& 
MO, pañlera par les points À & O. 

e dis de plus, qu’elle y touchera les lignes des pieds 
droits À C & BD : ce que je prouve en cette maniere: 
D'autant que la Jigne FY eft moyenne Géometrique en- 
tre les deux Z Y & GY,& que N Y eft égaleaFY, la route 
N Zfera divifée Harmoniquement aux deux points G & 


| 
| 
| 


DexssARo@s, R AMPANS. 411 
F; & la ligne GZ fera la moyenne Harmonique entre les 
deux extrêmes N Z &FZ ; & par conféquent, par la 34. 
du r.. des Coniques d’Apollonius, les deux lignes À G& 
B G coucheront l’'Hyperbole en À & B. 

Ilne refte plus qu’à prouver que le reangle YZ Geft 
égal au rectangle N Z F:ce que je fais ainfi. Puis queZ Y 
eftaFY, comme FY eftà Y G ; par converfion de raifon, 
& permutant Z Y fera à F Y ou fonégale Y NcommeFZà 
EG ;&compofantZ N fera àY N commeZGàiFG;& 
par converfion deraifon Z N fera àZ Y comme Z G eft à 
ZE; & partantlerectangle des moyennes Y Z G fera égal 
au rectangle desextrèmes NZF. Ce qu'il falloit démon- 
trer. 


SECONDE OBSERV AT ION. 
Décrire les Arcs rampans dont les hauteurs font données. 
PREMIERE HYPOTHESE. 


Quand les lignes des pieds droits font paralleles. 
PROBLEME QUATRIEME. 


Iles pieds droits AC , B D font'paralleles ( comme rx. v rats 
S aux 5.&-6. Figures de la 4. Planche) & la ligneE F, 1”"l## 
qui détermine la hauteur , eft aufli parallele à celle de la 
rampe À Ben ce casil ne faut que divifer la ligne À Ben 
deux également en H, & tirer par le point H la ligne 
IH G parallele aux lignes des pieds droits , & rencon- 
trant E Fen G ; puis en prenant de l’autre part du point H 
la ligne H Fégale à HG, le point H fera le centre, &les 
deux lignes A B, GI diamerres de même conjugaifon 
d’une Ellip{e , laquelle couchera les deux pieds droits aux 
points donnez À & B, & la ligne EF en G ; avec cette 
différence que fi AB eft perpendiculaire aux pieds droits, 


4rz  SEtcio-n'D.-P RO 5 L\E M‘FÂ 


& que HG foir égale à AH, les deux AB&IG feront 
les diametres d’un Cercle ; ou les Axes de l'Ellipfe propo. 
fée, H G & À Hfontinégales. 

La démonftration eft route entiere dans la 3 2, du r.& 
la converfe de la 27. du 2. des Coniques d’Apollonius. 


PROBLEME CINQUIEME 


née. Si les pieds droits À C, B D étantparalleles , la ligne 

Planche. EF qui détermine la hauteur rencontre la ligne de la ram- 
pe À B comme au pointI , foit dela part de B , (ainfi que 
la 7. Figure de la 4. Planche , ) ou de la part de A ( comme 
en la 8. Figure; )il faudra divifer comme deflus la ligne 
A B en deux également au point H, &tirer H Gindéfini- 
ment de part & d'autre du point H, & parallele aux pieds 
droits, qui coupe la ligne E Fau point G. Puis il faut faire 
GK égalea GF,& menerIK ,a laquelle il faut auffime- 
ner du point F uneligne parallele F L,& faire la ligne G M 
égalea GL. Je dis quele poinr M fera celui où l’Ellipfe 
que l’on cherche doit toucher la ligne EE 5 & que fi après 
avoir mené M N parallele à A B, vous faites H O égale à 
HN , & fur la ligne GO comme diametre , vous décrivez 
un CercleG RO, quicoupeenR la ligne HR, tirée du 
point H perpendiculaire à HG, faifanc enfuite les deux 
lignes HP, &HQ égalesàHR, vous aurez les deux li- 
Et PQ & AB pour fes diamerres de même conjugai- 

on, 

La démonftration s’en fair en certe maniere , après 
avoir mené la ligne M V parallelea HG. D'’aurant que 
GK eft égaleàGF, GLaGM, &L FparallelealK, la 
ligne IG fera àGK, c’eft-à-dire, GF, comme GF eft à. 
GL, c’eft-à-dire, GM. Ec parce que M V eft parallele à 
GH, hligne[ Hferaà AHouHB, commelGetàGF; 
& AHouHBàHV, commeFGàGM, c’eft-à.dire, que 
HB fera moyenne Géomerrique entre les deux IH &H V; 
& parce que AH cft égaleà HB, la toure AI dans la 7. 

Figurç 


DES ARCS RAMPANS. 413 


Figure fera divifée Harmoniquement aux deux points V 
&B, ou dansla 8. Figure la touteB I aux deux points V 
& À, &enl'une & en l’autre la ligne V I fera la moyenne 
Harmoniqueentreles deux A I& BI: Et par conféquent 
HV fera à VB, comme HBàBl;&AÏ2IH, comme 
VIàIB. Par le même raifonnement nous montrerons 
que le rectangle GHO, c’eft-à-dire, GHN étant égal 
au quarré de HR ouH P , les troislignes QG, N G&PG 
font aufi en continüelle proportion Harmonique. 
Maintenant la raifon du quarréHB, c’eft-à-dire, du 
rectangle IH V au rectangle A V B étant compofée des 
raifons deslignes IH à A V, & HV à VB, c’eft-à-dire, 
HBàBI;& cette compofition étant la même que celle 
de IHàBI, c'eftà-dire, AIàIV,&deHBaAV ;,& 
celle-ci étancencorela même qué de AIà AV ,&deHB 
à I V ; il s’enfuic que la raifon du quarré HB au rectangle 
A VB fera compofée des raifons de AI à A V, & de HB 
àI V. Mais parceque À IeftàlH, comme VI eftaBl, 
en permutant , & par converfion de raifon dans la 7. Fi- 
gure, ou en divifant dans la 8; AIferaà À V , comme 
THàHB ;&partantla compofition de raifons de A là 
AV,&deHBalV,ferala mêmequecelle deIHàHB, 
& de HBalV, c’eft-à-dire, la même de IH,àIV, le 
quarré donc deH B, c’eft-à-dire,le rettangle À H B fera au 
rectangle À V B, commelHeftäl V, c’eftà-dire, com- 
me GH eftà M V'ou HN : Mais comme GHeftaHN, 
ainfi eft le quarré PH, c’eft-à-dire , le rectangle QH P au 
quarré de HN ou M V ; Doncle reétangle À H B {era au 
rectangle À V B ; comme le rectangle Q H P eftau quarré 
de M V ; & en permutantle rectangle À HB fera au rec- 
tangle QH P , comme le re“angle À V Beftau quarré de 
M V. Et partant l’Ellipfe dont À B & QP feront diame- 
tres de mêmeconjugaifon, pañlera par le point M , d’où 
font tirées les deux ordonnées M V & MN paralle.es 
aufdies diametres. 
Rec, de l'Arc. Tom.T. Ooo 


Fiz. I. de WV, 
Llanche 


414 SECOND PROBLEME. 


Il paroît encore qu’elle rouchera les deux pieds droits 
AC&B D aux points A&B, parce que ces points font 
au bout du diametre À B, & que les pieds droits fonr pa- 
ralleles à l’autre diametre P Q. Jedis deplus, qu’ellerou- 
cherala ligne E F au point M ;ce qui eftclair par la 34. du 
1. des Coniques d’Apollonius. 

Si la ligne de la rampe étant perpendiculaire aux pieds 
droits, la ligne tirée du point H en M fe trouvoit aufl 
perpendiculaire à celle de la hauteur EF, & égale à l’une 
des deux À Hou BH, ce feroit un Cercle qui réfoudroit 
la queftion , dont le centreferoit H, & le diametre AB ; 
ce qui eff clair par ce quia été démontré cy-deflus. 


SECONDE HYPOTHESE.. 


Quand les pieds droits [e rencontrent, € la ligne de la hauteur 
cf? parallele à celle de la rampe. 


PAC TE EPMITE SNL PAR ETUI ES 


I lés pieds droits AC&B D ne font point parallels, 

mais en talu (commeen'la r. Figure de la 5. Planche) 
en forte qu'étant continüez, ils fe rencontrent au-deflous 
au point G , de la part de C & D,&filaligneEF qui dé- 
termine la hauteur eft parallele à celle de la rampe, il faut 
couper la fufdite ligne À Ben deux également au pointZ, 
par lequel de Gil fauctirer indéfiniment la ligne GZ, qui 
coupera auf EF en deux égalementen H ; duquel point 
Hil fauttirerla ligneHB , &la couper en deux également 
en X , par où du point Fil faut mener la ligne FX quirén- 
contre GZen Y , puis mener A H-&E Y qui fe rencontrent 
en V. Je dis que Y fera le centre de l’Ellipfe, qui touche- 
ra les trois lignes A C en A, BDenB, &EFen H. Et 
que fi l'on fait Y N égale à Y H, & que menant par le point 
X la ligne K Y I parallelleà AB,& AP ,BL paralleles à 


DES ARCS RAMPANS 4is 


G Y, l’on fafle Y M moyenne Géometrique entre les deux 
KY&YP, &Y Oégale àY M:les deux lignes NH& 
M Oenferont les diametres de même conjugaifon. 

La démonftration s’enfairen cette maniere,aprèsavoir 
tiré leslignesZX, ZV, À Y &B Y. D'autant que la li- 
gne K Y I eft parallele à A B ,elle fera divifée également 
en Y : & partant les deux triangles EYK, FYI fur 
bafes égales, & entre mêmes paralleles feront égaux, 
aufli-bien que les deux À YK, BY I. Et partant les deux 
triangles E Y A, FY Bferont égaux ; mais les deux EH Y, 
FHY font aufli égaux. Il y aura donc même raifon du 
triangle E Y À autriangle EHY , que du triangle FY Bà 
FHY : Maisles triangles E Y A &E Y Hayans même bafe 
EY, foncentreeux comme les lignes À V & VH,; & les 
. triangles F Y B, F Y H comme les lignes B X & X H : Donc 
les lignes À V & V H feront entre elles comme les lignes 
BX & X H; maisces dernieres font égalespar la conftruc- 
tion: Doncles deux autres À V & V Hferont aufli égales ; 
& partant V X fera parallele & égale à la moitié de AB, 
c’eft-à dire, A Z. Et parce que dans le triangle ABH , la 
ligne H B eft à B X comme A Beft à BZ, la ligne XZ fera 
parallele & égale à la moitié dela bafe A H, c’eft-à-dire, à 
V H:Parla même rafon V Z fera parallele & égale à X H. 

Maintenant, fi l’on continuë les lignes HB, EY juf 
qu'à ce qu’elles fe rencontrent en R : Comme nous avons 
montré que À Z étoirégale à V X ; AZ fera a EH, c’eft- 
a-dire, ZGaGH, comme V X eft a la même EH, c’eft- 
a-dire, XRaRH;& enchangeant , & par converfion 
deraifon, GHferaaH2Z, comme RH a HX, ou a fon 
égale VZ. Mais a caufe de la fimilitude des triangles 
HYR, VYZ,lecôté R Hefta V ZcommeH Y efta YZ: 
Donc GH fera a HZ comme H Y efta Y Z ; &en permu- 
tant, & divifanc G Y fera a H Y comme HYa Y Z, c’eft-a- 
dire, que HY, ou fon égale N Y fera moyenne Géome- 
crique entre les deux GY &YZ; & partant latoute GH 

:  Oooùi 


Fig. IL, II, 1Vde 
la V: Planche, 


416 SEC KO NN D: EP «70.37 LÊE MISE: 


{era divifée Harmoniquement en Z& N ; &laligneGZ 
fera moyenne Harmoniqueentre les deux GH&GN;& 
G Y moyenne Arithmétique entre les mêmes. Par même 
raifonnement nous montrerons que KP eft moyenne Har- 
monique entre les deux OK & KM ; &KY moyenne 
Arichmétique entre les mêmes : aufli - bien qu'entre les 
deux MI&IO, la ligne I L fera moyenne Harmonique, 
&1IY Arithmétique. 

Maintenant nous pourrons faire voir par le même dif- 
cours dont nous nous fommes fervis aux précedentes pro- 
pofitions, quele rectangle H Y N eftaureétangle M Y O, 
comme le quarré de A P eft aurectangle KP Y ,oufon 
égal M P O ; & comme le quarré BL eft au rectangle 
Y LI ou fon égal O LM; &comme À P &B L font paral- 
leles à NH, elles feront ordonnées au diametre M O ; & 
l'ellipfe , dont les diametres de même conjugaifon feront 
HN&MO, pañlera parles points À &B, oùelle rouche- 
ra auflleslignes AG, BG par la 34. du r. des Coniques, 
&la ligne EF en H par la converfe de la 6. du 2. du même. 
Ce qu’il falloit démontrer. 

Que files deux lignes À G & BG étant égales , & AY 
perpendiculaire à AC, elle fe trouvoit égale à Y H;ce 
feroit un Cercle, qui réfoudroit le Problème done le 
centre feroic Y , & Y Hdemi-diametre. | 


PORTO NDAENE INTUE PPS REP FE TERRES 


Si les pieds droits A C&B D ne font point paralleles, 
mais enfurplomb (comme aux 2. 3.&4. Fig. de la 5. Plan- 
che) , en forte qu’étant prolongez , ils fe rencontrent 
au-deflus, comme au point G dela part de A & B ; & fila 
ligne EF, qui détermine la hauteur de l’Arc à décrire eft 
parallele à celle de la rampe A B. Il ya trois cas differens 
en cette propofition , qui demandent chacun une Se&tion 
Conique pour leur folution , en la même maniere que 
nous avons dir en l'explication du troifiéme Problème cy- 


DES: ARCS R AMPANS. 417 


deflus : car après avoir divifé la ligne de la rampe A Ben 
deux également en Z, &ciré du point Gla ligne GZ : il 
arrivera que la ligne E F pañlera par le milieu de la fufdire 
ligne GZenH(commeenla 2. Figure, jou bienelle paf- 
fera au-deflous (comme en la 3. Figure); en forte que la li- 
gne ZH foit moindre que HG ; ou enfin elle paflera au- 
deflus (comme en la 4. Figure, ) en forte que GH foit 
moindre que HZ. Au premier casil faudra une Parabole 
pour réfoudre la queftion ; au fecond une Ellipfe ; au troi- 
fiéme une Hyperbole. Et pour lestraiteravec ordre. 


Premier Cas du Problème [eptiéme. 


Soit(commeenla 2. Figure de la $.Planche,)laligne rx méev. 
dela bauteurEF, qui pañle au point H, où la ligne GZ "** 
| eftdiviféeen deux également; & après avoir tiré les deux 
lignes À H & BH, {oit BH aufl partagée en deux égale- 
ment en X, &tirée indéfiniment EX, à laquelle du point 
Eil faut mener E V parallele. Je dis que la fe&ion qui tou- 
chera lestrois lignes À C,BD ,&E Faux points À ,B,& 
H, fera une Parabole. Ce que je démontre en cette ma- 
niere. : 3 : ? 
D'autant quela ligne GZ eft déuble de HZ ,&queEF 
eft parallele à AB , la ligne GB feraaufli double de BF, & 
G À double de.E A : Mais la ligne BH eftaufli double de 
BX ; & partant dans letriangle GHB , la ligne GB fera à 
BF commeHBàB X: Donc la ligne FX fera parallele à 
GH. Deplus, laligne EV ayant éréfaite parallelea FX, 
elle le fera auf à GH ; & partant dans le triangleGH A, 
la ligne GA fera à À Ecomme HA à A V : Mais G À eft 
doublé de A E; donc H A fera aufi double de A V ; c’eft- 
à-dire, que la ligne E V divifera À H en deuxégalement 
en V ;auffi-bien que FX la ligne BH enX ; &GZla ligne 
AB en Z. Et partant par la 29.du 2. des Coniques d’A: 
pollonius, les trois lignes GZ ,FX,E V feront diamétres 
d’une fection , que les lignes À C,B D & EF toucheront 
O oo ii] 


A18 Sec own» Pr © 5 E EME 
aux points À ,B,& H : Mais ces trois diamétres font pa2 
ralleles ; donc la fection fera une Parabole par la 46. du 1. 
des mêmes Coniques. Si donc nous faifons HI troifiéme 
proportionnelle Géometrique aux deux lignes HZ & AZ; 
& fi nous décrivons une Parabole, dont le diamétre foit 
HZ, fon paramétre ou diamétre contigu HI , le fommerc 
H,& l'angle des ordonnées GHF; elle paflera par les points 
fufdirs A,B,&H, où elle couchera les crois lignes AC, 
BD,&EF. 
Et premierement , il eft conftant qu’elle paflera par le 
point H, puifqu’il en eft fuppofé le fommet ; enfuite HI 
étant troifiéme proportionnelle Géometrique aux deux 
HZ & AZ, lequarré À Z ou B Z fera égal au reétangle 


ZHI;& partanrles deux points À &B feront dansla Pas 


rabole, laquelle touchera les lignes A C & B D aux mé: 
més points, par la 33. du 1. dés mêmes Coniques, & la 
ligne EF en H par la converfe de la 46. dumèmes 


L 


a econd Cas du Problème féptième. 


rien. à + Que fi la ligne dela hauteur EF coupe GZ , en forte 


que G H foit plus grande que H’Z (commeen la 3. Figure 
de la 5. Planche ; ) aprè$ avoir tiréleslignes A H& BH, 
& divifé H B en deux égalément en X, tiré F X ,jufqu’à 
ce qu’elle renconrré G Zau point Y , & menéE Y. Jedis 
que le point Y fera au deflous du point H vers Z, & qué 
la feétion qui touchera les trois lignes A C,B D ,EFaux 
points A, B, H, fera une Ellip£ , dontle centre fera Y: 
Ec partant fi nous faifons Y N égale à Y H; & qu'après 
avoir mené par le point Y la ligne KY Iparallélea AB, 
& fur laquelle combenr les lignes À P & B L paralléles à 
GZ, nous faifons (ainfi qu’il s’eft dir rant de fois) Y M & 
Y O moyennes Géomerriques entre K Y & Y P ,owentre 
I Y & Y L , les deux lignes H N & M O en feront les dia. 
métres de même conjugaifon, fod 

Il fe démontre en cette maniere, après avoir continué 


D'Est ARÇCS'RAMPANS 419 


les lignes V E,B X jufqu’à ce qu’elles fe rencontrentenR, 
&menéleslignes VX,VZ,XZ:AY,BY:&F Jparal. 
léleaà G Y. D'autant que G H eft plus grande que HZ, 
&EF paralléle à AB, laligne GF fera auf plus grande 
queF B : Mais H X eftégale à B X ; donc dans le triangle 
GH Bla ligne G Faura plus grande raifon à F B que H X 
aBX ,& en compofant GB aura plus grande raifon à F B 
que HB à B X : Mais comme GB eftaFB,ainf H B eft 
à B 9 : Et par conféquent H B aura plus grande raifon à 
Bsqu'àB X ;& partant B X fera plus grande que B 5, & 
le point X fera entre 9 & Hi; & l'angle BFY fera plusgrand 
que l'angle BF à, c’eft-3-dire, BGZ: Et partant la ligne 
FY rencontrera GZcontinuce de la part de Z au point Y. 

De plus, comme les triangles KEY , IF Y, fur bafes 
égalesKY,& IY,& entre mêmes parallèlesKI,EF, 
font égaux ; aufi-bien que les triangles KA Y, IBY, & 
EYH,FYH,.SideségauxKEY ,1F Y onôteles égaux 
KAY,I1BY; les reftes feront égaux, c’eft-ä dire, les 
triangles AE Y, BF Y:Ecpartantle triangle À E Y aura 
même raifon au triangle E Y H que BF Y à FY H, Mais 
les triangles AE Y ,E Y Hayant même bafe E Y, fonren- 
rr'eux comme les lignes À V & V H;&lestriangles BFY, 
FY Hayant aufli même bafe F Y, font comme les lignes 
BX&XH ;la ligne A V fera à V H comme B X eft à 
X H:MaisB X eft égale à X H par la conftruction ; donc 
A V fera aufli égale à V H ; & partant la ligne E Y coupera 
AHén deux égalementen V ; auffi-bien que F'Y la higne 
BHenX ; & GY la ligne AB enZ ; & le point Y a été dé- 
montré au deflous du point G vers Z: Et par conféquent 
les crois lignes EY,FY ,GY feront diamétres d’une El. 
lipfe qui touchera les trois lignes À G,BG,E F aux points 
A,B,&H, parla 29. du 2.des Coniques d'Apollonius. 

Je dis de plus, que les lignes H N & MO en feront les 
diamétres de même conjugaifon, Comme A H eft double 
de HV, auf. bien que B Hidouble de H X: la ligne V X 


420 SEE © x D APR © 3 D EM 


dans le triangle À HB fera parallele , & égale à la moitié 
de la ligne AB, c’eft à-dire, à AZ. Par la même raifon 
X Z dans le même triangle fera égale,& paralléle à la moi- 
tié de la ligne AH, c’eft-à-dire, à V H; & V Z égale & 
paralléle à H X ; & partant AZ feraàE H, c’eit-à-dire, 
ZGàGH, comme V X à la même EH, c’eft-à-dire, X R 
à RH: & en changeant & divifant G H fera à HZ com- 
me RHAHX , ou à fon égale V Z. Mais parce que dans 
le triangle RH Y, la ligne RH efta VZ comme HY à 
YZ;la ligne G H fera à HZ comme HYàYZ;& en per. 
mutant & compofant GY fera à H Y comme HYàYZ; 
c’eft-à-dire , que H Y fera moyenne Géometrique entre 
les deux GY & YZ: Mais Y N eft égale à Y H. Donc la 
toute N G eft divifée Harmoniquement aux points Z & H: 
& GZ eft moyenne Harmonique entre les deux NG& 
GH;& GY moyenne Arithmetique entre les mêmes. 

Maintenant nous démontrerons , ainfi qu’en la préce- 
dente propofition , que le quarré de A P ouBL eftaurec- 
tangle MP O ouO L M, comme le quarré du diamétre 
HN eft au quarré du diamétre M O. Mais les lignes AZ 
& BZ font égales entr’elles, & paralléles à M O ; elles font 
donc ordonnées à l’autre diamétre HN dans l’Ellipfe, 
dont les diamétres de même conjugaifon font HN & 
MO, laquelle touchera les lignes AC,BDenA&B, 
par la 34. du r. des Coniques, & E F en H par la converfe 
de la 6. du 2. des mêmes. 

Que fi les lignes À G & B G étoient égales, & A Y étant 
perpendiculaire à À C fe trouvoit égale à YH; ce feroit 
un cercle qui fatisferoit au Problême dont le centre feroic 
Y, &le demi-diamétre Y H , ou À Y. 


T'roifiéme Cas du feptiéme Problème. 


fg.mélav. Enfin fi la ligne dela hauteur EF coupe GZ, en forte 


Planche; 


ue G H foit moindre que HZ (comme en la4. Figure de 
la ÿ. Planche, ) après avoir tiré comme ci-deflusles lignes 


AH, 


DE SARA COS LR] À Cup Ca NI 2 454 


AH,BH, & divifé BH en deux également en X, & mené 
FX indéfiniment de part & d'autre, laquelle rencontre 
GZ prolongéeenY ,& ABenT ,&tiréE Y indefiniment 
de part & d’autre , qui rencontre À Hena,&ABensS. 

Je dis que le point Y fera dans la ligne GZ prolongée 
dela part de G , & que la fe&tion qui touchera les trois 
lignes À C ,BD,E F aux points A ,B & H,, fera une Hy- 
perbole , dont le centre fera Y. Et partant fi nous faifons 
Y N égaleaY H, & ayant mené la ligne P Y L par le cen- 
tre Y , & paralléle à AB, fi nous continuons À G & BG 
jufqu’en K &I; & tirant À P & B L paralléles à GZ, fi nous 
prenons Y M & Y O moyennes Géometriques entre les 
deux KY &Y P, ou leurs égales I Y & Y L:leslignes N H 
& M O en feront les diamécres de même conjugaifon. 

Il fe démontre ainfi , après avoir mené la ligneXQV 
paralléle à AB, & rencontrant la ligne YE au point V. 
D'autant queEF eff parallèle àA B, & AZ égale à BZ,; 
EH fera auffi égale à FH ; mais dans le Triangle YZS , la 
ligne E H eft 22 S comme Y Heft à YZ ; Et dansle Trian- 
gleYZT , comme YH àYZ, ainfi HFàZT. DoncEH 
ieraaZS commeHFàZT;& partant ZS fera cgaleaZT. 
MaisZT eftàQ X commeZS à V Q: DoncQ X fera auffi 
égale à Q V ; & partant BZ feraaQ X, c’eft à-dire,ZH 
2H Q comme AZ àV Q; & par conféquent le point V 
eft dans la ligne AH, & le même que le point, & en la 
mème raifon de À H à H V, comme deZHàH Q;ouBH 
aH X ; c'eft-à-dire, que la ligne YES coupera À H en 
deux égalementen V, comme YFT la ligne BHenX, 
&Y HZ la ligne À BenZ: & le point Y eft au-dcflus du 
pointG, comme nous le démontrerons ci-deflous ; & par 
conféquent les trois lignes Y ES, VEFT ,Y HZ, ferone 
diamètres d’une Hyperbole qui touchera les trois lignes 
AC,BD ,EFaux points A,B,&H, par la 29. du 2. des 
Coniques. 

Je dis de plus, que les lignes HN & MO en fontles 

Rec.del' Ac. Tom... Ppp 


422" S:ENCIOUNID) PER/09B;L)E ME. 
diamétres de même conjugaifon , après avoir continué la 
ligne BH jufqu’à ce qu’elle rencontre la ligneEY en R, 
& mené V Z. Nous démontrerons comme en la propolfi- 
tion précédente , que V X eft parallele & égale à AZ ,& 
VZ paralléle & égale à HX ; & que par conféquent AZ 
fera àEH, c’eftà dire, ZGà GH comme V X à la même 
EH, c'eftà-dire, XR RH ; & en changeant & divifant 
GHferaà HZ comme RH à HX ou à fon égale V Z. Mais 
dans le triangle Y V Z,laligne RH eftà V Z comme Y H 
eftàYZ,; Donc YH fera à YZ comme GH à HZ;,&en 
changeant, permutant, & par converfion de raifon YZ 
fera à Y H comme Y HàY G; c’eft-à-dire, que YH fera 
moyenne Géometrique entre les deux Y Z & Y G:Etcom- 
me Y N cft égale à YH, la toure NZ fera divifée Harmo- 
niquement aux points G&H, & la ligne GZ fera moyenne 
Harmonique entre les deux NZ & ZH, &la ligne YZ 
moyenne Arithmétique entre les mêmes. 

Maintenant, parce que le quarré Y H eft égal auretan. 
gleZ Y G,& le quarré Y Oau rectangle P Y K ; le quarré 
fera au quarré comme le rectangle eft au reétangle : Mais 
la raifon du reétangle Z Y Gau rectangle KY P eft compo- 
fée des raifons des lignes Z Y à P Y ,ou a fon égale AZ, & 
&deY GaY K, c’eft-à dire, (à caufe de la fimilitude des 
triangles Y GK & ZGA)de GZ à AZ: Donc le quarré 
Y H fera au quarré Y O en raifon compofée des raïfons de 
ZYàAZ,&deGZà AZ, c’eft-à-dire, comme le rectan- 
gle YZ G au quarré AZ. Mais le rectangle Y ZG eft égal 
au rectangle N ZH(comme nous le démontrerons ci-def- 
fous; ) Donc le quarré Y Hfera au quarré Y O, ou prenant 
leurs quadruples , le quarré du diamétre tranfverfe N H 
fera au quarré du diametre droit M O , comme le re&tan- 
gleN ZH au quarré À Z. Mais À Zeftégaleà Z B, & pa- 
rallele au diamétre M O, elles feront par conféquent or- 
données au diamétre NZ ; &les points À & B feront dans 
l’'Hyperbole, dont NH& M O feront diamétres de même 
conjugaifon, & le fommet au point H. 


DES AANROCAS) R'A MP A NS. 413 


Il paroît de plus, que les lignes AG & BG toucheront 
la fufdite Hyperbole aux mêmes points À & B , parce que 
la ligne NZ eft divifée Harmoniquement en G&H , par 
la 34. du r. des Coniques ; & la ligne EF au fommet H, 
parce qu’elle eft parallele à l’ordonnée A B par la conver- 
{e de la 6. du 2. des mêmes. 

Il faut maintenant faire voir que le point Y eft dans la 
ligne Z G prolongée de la part de G, comme nous l'avons 
promis ci-deflus : ce qui fe fait en cetre maniere, après 
avoir tiré la ligne F4 parallele à GZ. D'autant que GH 
eft fuppofée moindre que HZ, & que EF elt parallele à 
A B;GF fera aufli moindre que F B: Mais H X eft égale à 
XB:DoncGFauramoindrerafoniBF,queHX à XB; 
&en compofant GB aura moindreraïifonaàBF,queHBà 
BX, Mais comme GBABF, ainfi HBàB*, DoncHB 
aura moindre raifon à Bd qu’à B X; Et partant B 4 fera plus 
grande que B X, & l’angle BF X moindre que l’angleBFs, 
ou fon égal B G H: Er partant la ligne X F rencontrant 
2FenF ; rencontrera aufl {a paralléle Z G prolongée au- 
deflus de G en Y. | 

De plus, il faut montrer que les reétangles Y Z G & 
N Z H font égaux; ce qui fe faitainfi. Parceque Z Y eftà 
YH comme YHàYG, par converfion de raifon,&en 
permutantZ Y fera à H Y , ou à fon égale Y N commeZH 
àG H,& en compofant, & par converfion de raifon NZ 
fera à Y Z comme GZà HZ. Et partant le rectangle des 
moyennes Y Z G fera égal à celui des extrêmes NZ H. 
Qui eff tout ce qu’il falloit démontrer. 


. L] 
WT 
Se2G : 
EE 
ss 
en OS OS" 


Pppi 


#24 SE G ON D: P:R O8 L LME 


TIR OS ORE "MIE < HI YPIOLT: H É'SIE 


Quand les pieds droits ne font point paralleles entr'eux , ni 
la ligne de la hauteur à celle de la rampe. î 


PROBLEME‘ 'IVU ET FE’MNER 


je du QI les pieds droits AC, BD ne font point paralleles, | 
ü mais en talu (comme en la 1. Figure de la 6. Planche) | 
en forte qu’étant prolongez,ils fe rencontrent au-deflous, | 
comme au point G de la part de C& D. EcfilaligneEF, | 
qui détermine la hauteur de l’Arc à décrire , n’eft point | 
parallele à celle de la rampe A B; mais l’une & l’autre 
étant prolongées , fe rencontrent comme au point I. 

Il faut premierement couper la ligne A B en deux éga- 
lement en Z, & tirer indéfiniment la ligne GZ ; puis en- 
tre les deux EI & IF trouver une moyenne proportion- 
nelle Harmonique 1H, & du point H mener les deux 
HB&H A; enfuiteil faut divifer H Ben deux également 
en X ,& mener F X qui rencontrera la ligne G Z prolon- 
gée enY, & joindre les points EY. 

Je dis que Y fera le centre d’une Ellipfe qui touchera les 
trois lignes AC en A, BDenB,&EFenH; &quefi 
ayant tiré la ligne H Y indéfiniment, & fait Y T égale à 
YH, l’on méne par le point Y la ligne N Y M parallele à 
EF , fur laquelle des points A & B l’on méne les deux A 
& BP parallelesa HT , aufli-bien que À 4 & BS paralleles 
à M N ; & qu’enfin entre les deux N Y & Y #, l’on prenne 
Y «moyenne Géométrique, à laquelle on fafle Y & égale. 
Je dis que les deux lignes HT & 6 feront les diamétres de 
même conjugaifon de la fufdite Ellipfe. 

Pour le démontrer, il faut mener par le point Y la ligne 
KY Q parallele à AB, & Y» perpendiculaire à G B, & Y À 
à G À ; puis fur À B prolongée, des points E & F tirer les 


DES  AÀARCS RAMPANS 421$ 


lignes E u& F nparalleles à G Z, & mener A Y,BY ; après 
quoi je raifonne en cette maniere. 

Puifque K Q eft parallele à A B , & que AB eft divifée 
en deux également en Z, par la ligne G Z, la ligne K Q le 
fera pareillement en Y ; & les triangles GKY ,G Q Y fe- 
ront égaux, & leurs côrez feront en raifon réciproque de 
leurs hauteurs, c’eft-à-dire, que le côré GK fera au côté 
G Q, c’eft-à-dire,G A à G B,comme Y» hauteur du trian- 
gle G QY eft à YAhauteur dutriangle GYK. Deplus, 
les triangles AE Y & BF Y étant l’une à l’autre en raifon 
compofée de celles de leurs côrez & de leurs hauteurs , & 
la hauteur du triangle AE Y étant YA, & Y, celle du 
triangle BF Y5 le triangle A EY feraà BF Y en raifon com- 
pofée desraifons du côté À E au côté BF & de la hauteur 
Y À à la hauteur Yv. Mais la raïfon du côté À E à BF eft 
encore compofée des raïfons de AEàE», c’eft-à-dire, 
(à caufe de la fimilitude des triangles AE 4 & A GZ)de 
AGaàGZ,de EnàF»,& de F,aFB, c’eft-a-dire, GZ à 
GB (a caufe que lestriangles BFr,BG Z font auf fem. 
blables.) La raifon donc du triangle AE Y à BFY fera 
compofée des raifons dd AGàGZ,EuàF,,GZàGB, 
&YAaàYv. Maisil a été démontré ci-deflus que Y 2 eft à 
Y, comme GB eft à G À; & les raifons de AGAGZ,& 
GZ à GB font égales à celle de À G àGB; & partant le 
triangle À E Y feraàBFY cnraifon compofée de AGà 
GB,GBAGA,&EpaF#:Maisles raifons de A GàGB, 
& G Ba G A fe détruifent ; il ne refte donc plus que la rai- 
fon de E x à Fr pour celle du triangle A EY à BF Y : Mais 
Epeft à Fr comme EI àIF, c’eft à dire, commeEHà 
HF par la conftru&ion , ou comme le triangle E Y H au 
triangle HY F: Donc le triangle AE Y fera autriangle 
BFY ,commeletriangle E Y H à HYF;& en permu- 
tant AE Y feraà EY HcommeBFY àHY F. Maisles 
deux triangles À EY , E Y H ayant une bafe commune 
E Y , font entr'eux comme les lignes À V & V H; & les 


Pppiül 


426 Smeotn'n! P r'O » LE ME 


deux BEY , HY F ayant la bafe commune F Y , font 
entr’eux, par la même raifon, comme les lignes BX & XH; 
il s’enfuit que A V eft à V H comme BXcftà XH; mais 
celles-ci font égales par la conftruction : Donc A V fera 
aufli égale à V H. 

- Et partant la ligne E Y coupant À H en deux égale- 
ment en V ;& la ligne FY coupant de même BHenX; 
aufli-bien que GY la ligne A B en Z: il s'enfuit que les 
trois lignes EY, FY ,& G Y font diamétres d’une El. 
lipfe , dont le centre eft Y , & qui couchera les trois lignes 
AC,BD&EFen A,B&Hl. 

Il faut maintenant montrer que HT & «8 en font les 
diamétres de même conjugaifon ; & pour cet effet il faut 
des points E&F mener {ur la ligne N M prolongée les 
lignes E 2 &FR paralleles à HT, laquelle il faut conti. 
tinuer de part & d’autre ,en forte qu’elle rencontre A C 
enx,& BD en£; puis du point F mener F L parallele à 
B H rencontrant TH en L ; &parlepoint X tirer LX, 
qui rencontre B D en O , & mener Y O. En la même ma. 
niere du point E il faut mener E ÿ parallele à A H , qui 
rencontre T Hen $ ; d’où par le point Vilfauttirer s V, 
rencontrant À Cen 3 , & mener Y 3. 

Maintenant, parce que HX eft égale à X Blaligne LF 
aura même raifon à l’une & à l’autre ; mais comme LEF eft 
à HX, ainfi (dans le triangle LY F )la ligne LYetàYH,; 
& comme LF eftàX B ,ainfi( dans le triangle LOF) la 
ligne LO cft à OX; Donc L Y eftà Y Hcomme LO à 
O X5 & par converfion de raifon LY eftà LH comme LO 
à LX ; & partant dans le triangle L Y O, la bafe Y Oeft 
parallele à H X, c’eft-à-dire, à L F; &les triangles Y XO, 
LXF font femblables ,aufli-bien que YÇO, LCF:&par 
confequent Y OeftiLF comme YXaXF,c’eftàdire, 
YHAHL:&YOùàLF comme Y &3êL:Donc Y Heftà 
HL comme éeftaëL,& en permurant Yéeft à VH 
comme L à H L: Mais comme Y éefta Y H, ainfiç M eft 


DES AR) © Si A MP A N 427 
àMPF,&comme{L à LH, ainfi;F à FB : Donc &M eftà 
M FcommegFaFB,& en permutant & par converfion 
de raifonç M eft MF commeMFàMB. Mais comme 
&MeftiMFainfi£YeftàFR ou à fon égaleHY ; & com- 
me FM à MB, ainfi FR eftiB P,c'eft-a-dire, HY4Sy- 
DonceY eft à H Y comme H Ya SY:Et partant HY fera 
moyenne Géometrique entre les deux € Y & SY: Mais 
YT eft égaleà YH: Donc la toute T {era divifée Har- 
moniquement aux deux points H &S, & la ligne £S fera 
moyenne Harmonique entre les extrêmes T L& HT; & la 
ligne {Y fera moyenne Arithmérique entre les mêmes. 

Par le même raifonnement nous démontrerons que AV 
étant égale à VH, la ligne E $ aura même raifon à l’une 
ê à l’autre ; maisE 5 eft à HV, dans le triangle EY s, 
commeEY àYV;,&E $ à AV, dans letriangleE 35, 
comme E 3 à 3 A; EY fera à Y V commeE 3 à 3 À; &par 
Converfion de raifon E 3 étant à E A commeE Y à EV, 
dans le triangle E Y:3 , la bafe Y 3 fera parallelea AV, 
c'eft-à-dire,E 5. Et partant les triangles 3 x Y,Ex s fonc 
femblables, aufli-bien que 3 VY,E V ÿ. Et par confé- 
quent 3 Y fera àE $ comme , Y àx5;&3YaE $com- 
meYVaäVE, ceft.àdire, comme Y Hà H $s:Donc,Y 
fera à y $ comme Y HàH 5, & En permutant x Y fera à 
YH,commexzsà Hs. Oreft:il que comme x Y eft à 
YH,ainfxNeftiNE, &commezsaHs,ainfixEeft 
àEA;DoncxN@tàNE comme ;E eft à E A : & en per- 
Mutant, changeant, divifant & changeant N feraaNE 
comme NE à À N. Maiscommez/NetaNE ,anfixY 
eftà Y H ou fonégale Y T, & commen E cft à À N, ainfi 
HY ou YT eft à YŸ; Et partant x Y eft à TY comme 
TYetiYd,& T Y eft moyenne Géométrique entre les 
deux x Y & Y d. Mais Y H eft égale àYT ; donc la route 
Hz eft divifée Harmoniquement aux deux points $&T ; 
& la ligne x 4 eft moyenne proportionnelle Harmonique 
entre les deux extrêmes Hy&xT ; & la ligne x Y fera la 
moyenne Ârichmérique entre les mêmes. 


418 S re uv D: 4P 0 5 L'\E yMOME) 


Maintenant, puifque la ligne H Y ou T Y eft moyenne 
proportionnelle Géometrique tant entre les deux £Y & 
YS, qu'entre les deux x Y &Y 4, les.retangles LYS & 
XY L feront égaux entr'eux , & au quarré HY : & ilsau- 
ront l’un & l’autre même raifon au quarré You Y 8. Mais 
le rectangle x Y Ÿ eftau quarré Y e, ou à fon égal le rectan- 
gleNYŸ,en raifon compofée des lignes x Y , N Y, c’eft- 
a-dire, ASaNd,& de Y You Ada Y à. Donc le quarré 
T Y fera au quarré Y£en raifon compofée des lignes A 9 à 
Na,& AsaY, c'efti-dire, comme le quarré A4 au 
rectangle N 2Y: Mais le rectangle N 4Y eft égal au rectan- 
gle #38 { comme nous le démontrerons cy-deflous ; } Et 
partant le quarré À à fera au reétangle <48, comme le 
quarré T Y, c’eftà-dire, le retangle T Y H, eft au quarré 
eY, c'eft.a-dire, au rectangle: Y 8. Mais la ligne À seft 
parallele au diametre T H, & partant ordonnée au dia- 
metre «8; Doncle point À fera dans l'Elhipfe, donc T H 
&:6 font diametres de même conjugaifon. 

Par le même difcours nous dirons que le re“tangle{Y S 
érant au rectangle M Y P en raifon compofée des lignes 
£YaYM,ceftà-dire, BPAaP M,& deSYouBPaYP; 
Et le rectangle M Y P étant égal au quarré Y 8 {comme 
nous le démontrerons cy-deflous ; ) le rectangle £YS,, 
c’eft-à-dire , le quarré HY fera au rectangle M Y P, c’eft- 
à-dire, au quarré Y 8, en raifon compofee des lignes B P 
aPM,&BPaYP,ceft-à-dire, comme le quarréB P eft 
au rectangle M P Y : Mais le re&angle M P Y eft égal au 
rectangle: P 6 (ainfi que nousle démontrerons ci-deflous; 
Et par conféquent le quarré B P fera au re“tangle «P 8 
comme le quarré H Y , c’eft-a-dire , le rectangle HY Teft 
au quarré Y B, c’eft-a-dire , au rectangle :Ye. Maisila 
été démontré ci-deflus , que le quarré À d'étoit au rectan- 
gle «4 8, comme le même reétangle H Y T eft au reétangle 
V6, Et partant le quarré A d'fera au reétangle:48 , com- 
me le quarré BP au rectangle « PB. Er parce que B P eft 

_ parallele 


DES ARCS R AMP ANS. 4219: 
parallele à À ?, c’eft-à-dire , au diamétre TH, elle fera 
ordonnée au diamétre 45 Et par conféquent le point B 
{era aufli dans l’Ellipfe , donc les lignes T H &:8 font dia. 
métres de même conjugaifon. ; 

Je dis de plus, que les lignes À C, BD & EF touche- 
ront la même Ellipfe aux points À , B& H; ce qui fe dé. 
montre en cette maniere, D'autant que la ligne EH eft 
tirée au fommet du diametre T H parallele à l’autre dia- 
metre-8, elle touchera l’Ellipfe en H par la 6. du 2. des 
Coniques d’Apollonius. De plus, la ligne A Ÿ étant tirée 
du point A dans l’Ellipfe , & parallele au diametre<8, & 
coupant l’autre diametre T H au point Ÿ, de telle forte 
que la ligne x Ÿ eft moyenne Harmonique entre les deux 

Hx&xT ; la ligne À C x touchera l’Ellipfe fufdite au 
point À par la 34. du r. des Coniques. Et par la même 
propofition la ligne D Béla touchera en B, d’où la ligne 
BS eft tirée parallele à .4, & de celle forte, queés eft 
moyenne Harmonique entre les deux T {& CH. 

Nous avons donc trouvé le point Y & les deux lignes 
HT &:4 pour centre, & diametres de même conjugaifon 
d’une Ellipfe, qui touchera les crois lignes À C,BD, & 
EF, aux points À ,B& H. Ce qu'il falloit faire. 

Il faut maintenant faire voir,ainfi que nous l'avons pro- 
mis ci-deflus , que les rectangles N 3Y & 28 font égaux, 
auf bien que les retangles M P Y &6P+; & que le rec- 
tangle M Y P eft égal au quarré Y 8 ou Y:; ce que je fais 
premierement pour les rectangles N ?Y , «sen cette ma- 
niere. D'autant que le rectangle N Y ?eftégal par la con- 
ftruction au quarré£Y, fi l’on ôte de l’un & de l’autre le 
même quarré ?Y , le re&angle N 3Y reftera d’une part, 
& le rectangle «6 de l’autre, qui feront par conféquent 
égaux. 

Pourla démonttration du refte, il faut mener la ligne 
VX, &la continüer de part & d’autre, jufqu’a ce qu’elle 
rencontre la ligne EI au point 9 , & la ligne MN prolon- 

Rec. del Ac. Tom.F. Qgq 


430 S #,c 0: N:,0, À Ro 3 EVE M5 


gée au point 8. 11 faut de plus continüer les lignes H B & 
H A qui rencontrent lamême M N prolongéeen 7 & 6 , & 
faire Légale a[F, puisraifonneren cette forte. D'autant 
que A V eftégalaVH&BXa XH;laligne AH fera a 
V H comme BH a XH;& partant V X fera parallele a 
AB;& IH fera a Ho, comme BHaHX. Mais BH eft 
double deHX, donc] H fera aufi double de H 9. Dere- 
chef EH étanca HFcommeËEla IF, en compofant, per- 
mutant, & changeant E ffera a EFcommelIF eft a HF. 
De plus, EH étanta HF comme EIalF, en permutant 
& changeant EI fera a EHcommeIFaH F5 Et partant EI 
eftà EH comme E4aEF, & par converfion deraifon EI 
feraalHcommeE6aFé, &endivifant EHalH comme 
EFa4F;EtpartantE Ha la moitie de LH, c’eft-a-dire, 
H9,commeEFa la moitié defF; c’eft-a-dire, IF, & en 
compofant E 9 a H 9 comme EI a IF. Mais comme EI 
eftalF, ainf EHaHF;DoncE 9 feraa Ho comme EH 
eftaHF, &enpermutant, & par converfion de raifon , 
E 9 fera a H 9 comme H 9 aF0. 

Or parce que dans les triangles femblables EV 9,Y V 8 
comme E os eftaH9 , ainfi Y 8 efta 86, & dans lestrian- 
gles femblablesaHX9,7X8,commeHoeftaF9,ain- 
fi78 efta Y 8 ;il s'enfuit que la ligne 78 efta Y 8 comme 
Y8a86,&enlamêmeraifonqueE9aH 9 >; Mais com- 
me78cftav8 ,ainfi 7Yeftayv6,&commeE9a Ho), 
ainfi EH ou fon égale 2 YeftaHF, ou fon égale YR ;il 
s'enfuit donc que 7 Y efta Y 6 comme 2 Y etaY R, & 
partant que le rectangle des extrêmes 7 Y R eft égal au 
rectangle des moyennes 6 Y 2. 

Maintenant, parce que { Y eftaHY comme HY efta 
SY, par converfion de raifon£Y fera aÇH comme Y Ha 
HS ; Mais comme Y eftaCH, ainfi M Y eftaHFoua fon 
égale Y R ; & comme Y HATAHS , ainfi 7 Y efta BSou 
à fon égale Y P ; Donc MY fera à Y R comme 7 Y à YP, 
& partant le reétangle des extrêmes M Y P eft égal au 
rectangle des moyennes 7 Y R. 


DES ARCS RAMPANS 43r 


De plus, parce que x Y efta H Y comme H Y 4Y Ÿ ,& 
queX*Y dtaHYcommexNetiNE,&Y NäNz2;il 
s'enfuitqueY N eftaN 2 commeHY etàY Ÿ,&Y Na 
Y 2 commeHY àHŸ. Mais H Y eft à H Ÿ comme 6 Y eft 
à A Ÿ, ou à fon égale? Y ; Donc Y N fera à Y 2 comme 6 Y 
efta?Y, & le rectangle des extrêmes N Y ? fera égal au 
rectangle des moyennes 6 Y 2. | 

Et par conféquent le reétangle M Y P fera au rectan gle 
7 YR comme lere&tangle N Y au rectangle 6Y 2,&en 
permutant M Y P fera à N Y ? comme 7 Y R à 6 Y 2. Mais 
il a été démontré ci-deflus que les rectangles 7Y R & 
6Y 2 font égaux; Parranr les rectangles MY P&NYS 
feront aufli égaux. Mais le quarré<Y , ou fon égal 8 Y eft 
égal au rectangle N Y à par la conftrudtion ; il {era donc 
aufi égal au rectangle MY P. 

Et fi l’on ête de l’un & de l’autre le commun quarré de 
YP, il refbtera le rectangle M P Y égal au re“tanglesP 8. 
Qui eft tout ce que nous devions démontrer. 

Le cercle pourroit auffi fervir à la folurion de ce Pro. 
blème, files deux lignes À G & B G étant égales aufi- 
bien que lestrois AY, BY,&HY , celles. ci fe trouvoient 
aufli perpendiculaires aux lignes AC,BD,& EF, cha- 
cune à la fienne. 


PROBLESME NEUVIEME. 
Fig. IL; de l& 


Enfin, files pieds droits À C &B D ne font point paral.,, 7 4 
leles, mais en furplomb ( comme à la 2. Figure de la 6. 5.1 Ge 
Planche, & aux Figures de la 7. Planche } en forte Me eee 
tant prolongez , ils fe rencontrent au-deflus , comme en 
G de la part de A&B;& fila ligneEF, qui détermine la 
hauteur de l'arc à décrire, n’eft point parallele à la ram. 
pe AB, mais que l’une & l’autre étant prolongées , fe ren. 
contrent, commeen I. 

Il y a en certe propofition trois Casà confiderer, cha- 
cun defquels demande ure fdion Conique particuliere 


Qgqi 


432 SECOND PROBLEME. 


pour fa folution; car ou la raifon de la ligne ET à I F {era 
la même que celle deGFàFB,ouelle fera moindre , ou 
elle fera plus grande. Au premier Cas (comme en la 2. 
Figure )il faut une Parabole, Au fecond Cas (comme en 
la 3. Figure ) il faut une Ellipfe. Au troifiéme Cas ( comme 
en la 4. Figure ) il faut une Hyperbole. Et pour les traiter 
avec ordre. 


Premier Cas du neuvieme Problème. 


Fqun L & Soit| comme en la 1. Figure de la 7. Planche } la ligne 

VPlanh ET àla ligne IF, comme la ligne GFàFB; &aprèsavoir 
coupé A B en deux également en Z , & mené GZ, qui di- 
vifeEFen P , il faut du point F prendre FHégaleaE P. 

Je dis que la fection qui rouchera les deux lignes AC, 
B D aux points À &B, & la ligne EF, fera une Parabole; 
& quele point H fera celui où elle rouchera la ligneEF ; 
en forte que fi nous coupons la ligne G Z en deux égale 
ment en O , & qu'aux deux lignes O Z & AZ nous faf. 
fions une troifiéme proportionnelle Géometrique OR, 
que nous ménions du point © parallele à A B, la ligne OZ 
en fera le diametre fous l’angle GZ A ,& OR fera fon 
paramétre ou diamétre contigu. Pour la démonftration, 
il faut mener les lignes E L,HK,&F M paralleles à GZ, 
puis tirer les lignes A HQ & BH, qui rencontrent les li- 
gnes E L & MF prolongées en V ,X, & Q,& mener VX 
&FK. 

D'autant que HF eft égale à EP ,&queEL,HK, & 
FM font paralleles à GZ, les deux lignes LZ& K M fe- 
ront auff égales ; & par conféquentles deux LK &Z M, 
auffi-bien que les deux EH& P F.Erparce queEleftaIF, 
ainfique GFàFB;&quecommeEleftälF,ainfi(dans 
letriangle EIL)ELeftàFM;&quecommeGFàFB, 
ainfi (dans letriangleGBZ) laligneZMà MB: Ilsen- 
fait que E L fera à F M, comme Z M à MB. Mais la raifon 
de EL à FM eft compofée des raifons de EL à A L, (c’eft- 


DAEPSANAIEX 1€ :S CR A M À À N'S. 433 
à-dire, GZaAZ)ALàMB,&MBàFMl(ceftadire, 
BZ ou fon égale AZaGZ:) Donc laraifondeZMàMB 
{era aufli égale à la compofée des raifons deGZà AZ, 
ALaMB,&AZAàGZ;cetà-dire (parce queles deux 
raifons de GZà AZ ,& A Z à GZfe détruifent) égale à la 
raifon de À L à MB : Et par conféquent la ligne À L fera 


, égaleàZ M, c'eftà-dire, à LK ; mais comme A L eft à 


LK,ainf A V eftà V H: Donc A V fera auffi égale à V H. 

Maintenant, puifque À Left égalea LK,&LZàKM; 
AZou BZ fera égaleàL M ; & Otant le communZM, les 
deux Z L & MB feront égales ; mais Z L eft égale à K M: 
Donc les deux M B&K M feront aufli égales : Et partant 
dans le triangle H BK la ligne H X fera égalea XB ,& 
HSàSK,; & les deux triangles H K A,Q X V feront fem- 
blables ; & H K fera à A K, comme Q X à V X ; &en per- 
mutant H K fera à Q X comme À Kà V X , ou à fon égale 
L M. Ce qu'il faut remarquer. 

De plus, G EF étant à F Bcomme ZMàMB,c'eft-à- 
dire, comme LKaKM,oucommeEHàHF;,&El étant 
à] FcommeGFàFB, il s'enfuit que E Heftà HF comme 
ETàIF:Ec partant la ligne I Heft moyenne Harmonique 
entre les deux EI &IF. 

, Davantage, comme GF eftàFB, ainfi ZM à MB, 
c'eft-à-dire, L K à K M; ou prenant leurs doubles , com- 
me AKaKB,ilsenfuir que AKeftiäKB,commeGFà 
FB ; & partant que la ligne F K eft parallele à AE; & par 
conféquent les triangles GP E,KHF feront femblables, 
& leurs bafes PE, H F étant égales, les côtez GP &HK 
feront égaux ,aufli-bien que EG&FK;,&AEferaàEG, 
commeaKF,c’eft-à-dire,commeEIàIF,ouGFàFB, 
ouEHàHEF. 

Voilà donctrois lignes AG, BG,&EF, divifées en rai- 
fons égales aux points EF, & H : elles feront donc par la 
41. du 3. des Coniques d’Apollonius, trois contingentes 
aux points À, B,& H , d’une même Parabole. 


Qaai 


434 S.Eic o ND Pr o » L EME 


Or pour faire voir que la Parabole, dont les diamétres 
fonc OZ& OR, eft celle que ces trois lignes touchent aux 
trois points fufdics,je raifonne en certe forte. La ligne OR 
étant croifiéme proportionnelle Géometrique aux deux 
OZ & AZ, le rectangle ZOR fera égal au quarré AZ 
ou BZ ; & partant les deux points À & B feront dans la 
Parabole. 

Mais pour montrer que le point H y eft aufli, je fais ainfi. 
La ligneF K étant parallele à AE dansletriangle ATE, 
AlferaalK,commeElàlF, c’eft-à-dire, dansle crian- 
gleEIL, comme LI a I M ; &.en divifant & permutant 
AK feraaLM, commeK1alM, c'eft-a-dire,( dansle 
triangle HIK) comme K H eft a F M. Mais nous avons 
fait remarquer ci-deflus que HK étoita QX , comme la 
même A K a LM: Donc la ligne HK aura même raifon 
aux deux lignes Q X &F M; & partant elles feront éga. 
les : & ôtantF X commun, lesreits QF&XM,ouVL, 
feront égaux ; & par confequent E V aura même raifon a 
QEF& a V L. Mais EVetaQF,comme EHetaHF, 
ouLKaKM,ouALaLzZ:DoncEV fera a V L,com- 
me A LaLZ;&en changeant & compofant V L fera a 
EL ,commeLZa AZ, ou comme le rectangle Z L À au 
rectangle Z A L (en prenant À L pour commune hauteur.) 
Mais E L eft aGZ,comme A La AZ, c’eft-a-dire, (en 
prenant À Z pour commune hauteur ) comme le reétangle 
ZA L au quarré AZ: Donc par égalité V Lfera aGZ, 
comme le rectangle Z L À , ou fon égal LK M , au quarré 
AZouBZ;&le doublede V L, c’efta-dire,HKaGZ, 
comme le double du rectangle LK M, c’eft-a-dire, LKB 
au quarré BZ; & HK a la moitié de GZ, c’eft-a-dire 
OZ, comme le double du rectangle LK B, c’eft.a-dire, 
le rectangle AK B au quarré B Z. Mais HK cft parallele 
au diamétre O Z : Doncle point H fera dansla Parabole, 
dont les diamétres font OZ&O R. 

Il eft notoire que le fommet étant O , où GZeft divifée 


Diese cs R AIM PA NS 45 


en deux également, les deux lignes À G & B G touche. 
ront la même Parabole en À &B. Et pour démontrer 
qu’elle touchera aufli EF en H, je raifonne en cette ma- 
niere ,après avoir viré la ligne HN parallele a AB, la- 
quelle fera par conféquent ordonnée au diamétre OZ. 
Parce que FK eft parallele à AE,EIeftalFcommeAI 
alK,&commeEHaHF,c'efta-dire, LKouZMaKM; 
AIfera doncaIK commeZMaKM:&endivifant AK 
a IK comme KZ a KM : Et partant le rectangle des 
moyennes IKZ fera égal au rectangle des extrêmes 
AK M ; & deux fois le retangle IKZ égal au reétangle 
AKB ; &ajourant le quarré ZK ,deuxrectanglesIKZ 
avec le quarre Z K, ( c’eft-a-dire , le re&tangle I KZ avec 
le reétangle I ZK) égaux au reétangle A K B avec le quar- 
réZK,(c’eft-a-dire, au quarré B Z :) Et partant le rec- 
étangle I K Z fera égal au quarré BZ, moins le rectangle 
IZK ; & le reétangle 1ZK aura même raïfon au rectangle 
IKZ qu’au quarré B Z , moins le rectangle I Z K. Maisle 
rectangle IZ K eft au rectangle I KZ commelZalIK, 
c’eft-a-dire , comme P Z a HK : Donc le re&tangle 1Z K 
fera au quarré BZ , moins le rectangle I ZK , comme P Z 
eft a HK. Maisil a été démontré ci-deflus, que P G étoit 
égaleaHK; donc P Z fera a P G comme le re“tangle 
I1ZK eft au quarré BZ, moins le reétangle IZK ; & en 
changeant & compofant GZ fera a P Z, comme le quarré 
BZ au reétangle [ZK. Mais P ZeftaP N,commelZa 
HN ou ZK, c'eft-a-dire , comme le rectangle IZK au 
quarré KZ ,ou HN : Donc par égalité GZ feraaPN, 
comme le quarré B Zeft au quarré N H. Mais parce que 
NH eft parallele a A B, &ordonnéeaGZ, le quarré BZ 
eft au quarré N H comme la ligne Z O a O N ;il s'enfuit 
que GZ fera a P N commeZ OaON; & en permutant 
GZaZ O,comme P N a N O; mais GZeft double de OZ: 
donc P N fera auffi double de N O ; & par conféquent la 
ligne E F couchera la Parabole fufdite au point H. Ce 
qu’il falloit démontrer. 


Fig. IT, de la VI, 
Planche, 


436 S'æe "© ND 4 RO: L'EPMPE 
Second cas du neuvieme Problème. 


Si les pieds droits À C & B D étans en furplomb, fe ren. 
contrent de la part de A&B au pointG ,( comme en la 2. 
Fig. de la 6. Planche, ) & que la ligneEF, qui détermine 
la hauteur de l’arc à décrire étant prolongée , rencontre 
auf la ligne de la rampe A B , comme en I , en celle forte 

ue la raifon de la ligne EI à IF foit moindre que celle 
de la ligne GFàF B. 

Aprèsavoir divifé la ligne A B en deux égalementenzZ, 
& mené indéfiniment la ligne GZ, il faut crouver IH 
moyenne proportionnelle Harmonique entre les deux EI 
&IF;&après avoir mené les lignes HB &H A ,ilen 
faut divifer l’une comme HB en deux également enX, 
& mener F X, qui rencontrera G Z continuée de la part de 
Z , comme en Y, ainfi qu'il fe verra ci-deffous, d’où il faut 
mener la ligne E Y. 

Je dis que la feétion qui touchera les deux lignes À C & 
BD en A&B,& la ligne EF, fera une Ellipfe, dont Y 
fera le centre , & le point H celui où elle touchera la ligne 
EF. Et que fi l'on méne indéfiniment la ligne H Y fur la- 
quelle on prenne Y T égaleàYH, & qu'après avoir tiré 
la ligne N Y M par le point Y parallele à EF, fur laquelle 
des points À & Brombent les lignes À 3 & B P paralleles à 
HY , l’on prenne «: Y moyenne proportionnelle Géome- 
crique enrre les deux N Y & Y 4, & que l’on fafle Y éégale 
aY=,les deux droites HT ,&£6 feront les diamétres de 
même conjugaifon de la fufdite Ellipfe. 

Pour la démonftration, il faut premierement mener 
des pointsE,H,&F fur la ligne AB, les lignes Eu ,H@ 
& F » paralleles a GZ , & raifonner en cette maniere, La 
ligne Eu eft a F» en raifon compofce des raifons de Exa 
Au,(cefta-dire,GZaAZ)AuaBr,&BraF,(ceft- 
a-dire,BZouAZaGZ:)Mais les raifons de GZa AZ, 
& AZ a GZ fe dérruifenc, & par conféquent Ew fera à 

Fr, 


DESs ARCS RAMPANS. 437 


F»,comme Aya By. De plus, parce que la ligne HI eft 
moyenne Harmonique entre les deux EI & IF, comme 
ElefalF,ainfi EHeft aHF,c’eftadire,poaçn, & 
commeElalF;ainfEuaFs,cefta-dire, AuaB;; donc 
moeftaor,commeAuaB#;&en compofanrt AvçagB, 
comme À sa B#,ceft-a-dire, comme EI a1F. Maisla 
raifon de EI 2a1F eft par l’hypothefe moindre que celle 
deGFaFB,c'efta-dire ,ZaB»:Donclaraifon de A ça 
g B fera moindre que celle de ZraB,,& en compofant 
& permutant la raifon AB a Z B moindre que celle de ® B 
a B»;mais À Beft double deZB:Donce Bfera plus gran- 
de que le double de B,, & partant ® » plus grande que B; 
& dansle triangleH@B,, la ligne H- fera plus grande que 
Br; mais B X eft égale a H X : donc la ligne B X fera plus 
grande que la mêmeBr, & l’angle BF X plus grand que 
l’angleBFr,c’eft-a-dire,BGZ; Etpartantlaligne FX 
étant continuée rencontrera la ligne G Z continuée de la 
part de Z comme au point Y. ; 

Maintenant, après avoir mené par le point Y la ligne 
KYQ parallele a AB , & tiré du même point les deux li- 
gnes Y » & Y À perpendiculaires aux deux BD , A C,je dis 
que la ligne KQ étantparallele a A B, elle fera divifée en 
Y comme A BleftenZ, c’eft-a-dire ,en deux également: 
Et partant les deux triangles G Y K, G Y.Q feront égaux; 
& par conféquent ils auront leurs côtez en raifon réci- 
proque de leurs hauteurs, c'eft-a-dire ,que le côté K G 
du triangle GK Y fera au côté Q G du triangle GQY, 
comme la ligne Y , hauteur du triangle G Q Y a la ligne 
YAhaureur du triangle GK Y: Mais comme KG eft a 
QG, ainf A G eftaBG:Donc AG feraaBG comme Yr: 
a YA. | 

De plus ,aprèsavoir mené les deux lignes AY & BY, 
d'autant que les deux triangles À YE , BY Ffont entr'eux: 
en raifon compofée de leurs côtez & de leurs auteurs ;! 
la raifon du triangle A YE au triangle BYF fera compo-} 

Rec.del Ac. Tom,F. Rrr 


438 SEcoND'PROBLEME. 

fée des raifons deslignes AEà BF, &Y aà Yv,c'eft-à di- 
re,BGà AG. Mais la raifon de AE à BF eft encore com- 
poée de celle-des lignes AE à Eu(c’eft.à-dire, AG à GZ) 
EmàFr&FraBF,(céft-à-dire, GZàiGB;)la raifon 
donc du triangle À Y Eau triangle B YF fera compofée 


des raifons de AGAGZ,EràFr,GZiGB,&GBaAG:: 


mais les raifons de AGàGZ,GZiGB,&GBaAGfe 
décruifenc. Il ne refte donc plus que la raifon de Eua F# 
qui foi égale à celle du triangle À Y Eautriangle BYF. 
Mais commeEpeft à Fn,ainf EIàa1F,ouEHaHF,ou 
le triangle E Y HaucriangleF Y H:DoncletriangleAYE 
fera au triangle BY F,commele triangle EYHàHYF; 
& en permutanr, le triangle AYE au triangle EYH, 
comme le criangle B Y Fautriangle H YF: Mais les deux 
triangles AY E, E Y H ayant une bafe commune E Y, font 
entr’eux comme les lignes À V & VH ; &les deux trian- 
gles BYF,HYF ayant une bafe communeF Y, font aufl 
comme B X2à X H, il s'enfuir que A V eft à V H comme 
BXaàXH. Mais BX eftégaleà X H par la conftruction : 
Donc A V fera auf égale à V H. 

Voilà donc trois lignes À B, À H, & B H qui font divi- 
fées également en deux aux pointsZ, V,&X, par les li. 
gnesGZ,E V ,&FX,qui partent despointsG,E,&F, 
où les lignes AC,BD,& EF fe rencontrent, & qui fe joi- 
gnent toutes en unmême point Y , au-deflous du point G 
versZ. Et partant ce point Y fera le centre d’une Ellip{e, 
qui touchera les crois lignes fufdites À C, BD,&EF ,aux 
points A ,B,&H. 

I] faut maintenant faire voir que les deux lignesH YT, 
#Y en font les diamétres de même conjugaifon. Et pour 
cer cffec, il faut continuer la ligne H Y T de part & d’au- 
tre, jufqu’à ce qu’elle rencontre la ligne A € prolongée 
en x ; & B D en; puis du point E mener la ligneE 5 paral- 
lele à À H, & qui coupe la ligne H Y prolongée en 5, d’ots 
par le point V'ilen faut mener une autre 5 V 3 qui coupe 


DES ARCS KR AMPANS 435 
la ligne A Cen3 , & joindre les points Y & 3. Semblable 
ment du point F il faut mener F L parallele à BH, & qui 
coupe la même Y H prolongée en L , d’où par le point X 
il faut tirer une ligne L X O , qui rencontre B D prolon- 
géeten O , & joindre les points Y & O , & enfin virer les 
lignes À y & BS paralleles à EF, & continuer M N de 
part & d'autre, afin qu'elle coupe les lignes HB , H A pro. 
. Jongées aux points 7 & 6, & tirer la ligne V X indéfini. 

ment de part & d’autre ,afin qu’elle coupe E I au point 9 
& M N au point 8. | Let) 
Cela fait, je raifonne en cette maniere. D'autant que 
LFeft paralléle à BH, &B X eft égale à H X, la ligne L EF 
feraàHX, c’eft-à-dire, LYà Y H,commelamêmeLF 
àBX,ceft-à-dire, comme LOàO X; & par converfion 
de raifon LY fera à L'H comme LOaL X,& partant , 
dans letriangle L'Y O, la bafe O Y fera parallele à la ligne 
HXouLF: Donc autriangle Y£O, la ligne Y O fera à 
LEcomme£YagL; &aux triangles femblables Y X O, 
LXF, la mêmeY O fera àla même LFcommeYXàXEF, 
ou comme Ÿ H àH L: Ec partant &Y fera à ŸL comme 
YHaàH L;&en permutant, Y à HY commeiLaàH E; 
Mais €Y eft àHY commeéMaàMF,&£ Là H L comme 
&FaFB:DoncéMeftà MFcomme(FaàFB ; & en permu- 
tant, & par converfion de raifon & M eftà M FcommeMF 
à MB. Maiscomme £M eft àMF,ainfiéYeftàaHY ,& 
MFeftà MB ,ainfi H Y à YS : DoncéY eftà H Y comme 
HYAàYS,ceftà-dire, que HY eft moyenne Géometri- 
que entre les deux ÊY & Y S : Mais la ligne Y T eft égale 
à Y H par la conftruction ; & partant la toute {T' eft divi- 
fée Harmoniquement aux points H&S,& la lignes eft 
moyenne Harmonique entre les deux £T CH , & la ligne 
£Y moyenne Arithmérique entre les mêmes. 
Par même raifonnement , & par le moyen de la ligne 
E ÿ nous démontrerons que la ligne H Y eft auffi moyen 
ne Géometrique entre les deux X Y & Y Ÿ : & que la toute 
Rrrij 


440 S“æz’c'o N D P Kk o 5 CE ME. 


T x eft auffi divifée Harmoniquement aux points H & y, 
en forte que la ligne x4 eft moyenne Harmonique entre 
les deux T x & H x, & la ligne x Y moyenne Arithmétique 
entre les mêmes. ; 

D'où il appert que les rectangles x Y 4 & £Y S étant 
chacun égal au quarré H Y, ils feront aufli égaux entre 
eux, & ils auront l’un & l’autre même raifon au quarré 
«Y ,oufonégalYé. Mais la raifon du rectangle x Y Ÿ au 
quarré:Y , ou fon égal N Y 4, eft compofce des raifons 
deslignes, Ya N Y(c’eft-à-dire, AsaNd)&deY y,ou 
fon égale À 4a Y 9, lefquelles font enfemble la raifon du 
quarré Ad au rectangle N 9Y : Donc le rectangle xY 4, 
ou le quarré H Y fera au quarrée Y , comme le quarré As 
au rectangle N à Y: Or eft-il que le rectangle N 3Y eftégal 
._ aurectangle :26, comme il a été tant de fois démontré 
ci-deflus : Et partant le quarré A à fera au rectangles), 
comme le quarré H Y au quarrée Y, ou prenant leurs qua- 
druples, comme le quarré du diamétre H T au quarré du 
diamétre:6. Mais la ligne À ‘étant paralléle au diamétre 
HY , eft ordonnée a l’autre diamétre 6: Donc le point A 
fera dans l’Ellipfe, dontles deux lignes HT , & «8 font les 
diamétres de même conjugaifon. 

Il eft notoire que le point H étant au bout d’un defdits 
diamètres , il eft aufi dans la même Ellipfe. Mais pour 
prouver que le point B s’y trouve pareillement , il faut 
difcourir en cette maniere. Le rectangleg YS eft au rec- 
tangle M Y P en raifon compofée des raifons de/YaY M, 
c'eft-a-dire,BPaP M,&deYS,oufonégale BPaYP, 
lefquelles compofent la raifon du quarré B P au re&angle 
M P Y:Ec partant le retangle £ Y S, ou fon égal le quarré 
H Y fera au rectangle M Y P , ou fon égalle quarré Y6,ou 
Y (comme nous le démontrerons ci-deflous } comme le 
quarré BP eft au reétangle M P Y ,ou a fon égal EP :, 
( comme nous le démontrerons auf ci-deflous, ) c’eft-2- 
dire, que le quarré B P fera au re&angle € P : comme le 


bite 


a —— 


Ds ARCS RAMPA NS. 441 


quarré H Y au quarré Ye; ou prenant leurs quadruples, 
comme le quarré T H au quarré «€: Mais P B étant paral- 
lelle au diametre T H ,eft ordonnée a l’autre diamétre :€: 
Ec partant le point B eft dans l’Ellipfe , donc les lignes HT 
&£6 font diamètres de même conjugaifon. 

Je dis de plus, que certe Ellipfe touchera les lignes AC, 
BD,&E Faux mêmes points À ,B, &H : ce qui eft pre. 
mierement conftant par la 6. du 2.des Coniques au regard: 
de la ligne EF, qui eft menée au bout H du diamétre T H 
parallele a l’autre diamérre +€. Mais pour les deux autres, 
il faut raifonner en certe forte. D'autant que la ligne BS 
eft parallele a :€ , elle fera ordonnée a T H ; mais elle di- 
vife la ligne T ç de celle forte en S, que la ligne 6S foit 
moyenne Harmonique entre les deux /T &çH. Il s’en- 
fuit par la 34. du 1. des Coniques, que la ligne BDrcou., 
chera en B la fufdice Ellipfe. 

- De plus, par la même propofition , it appert que la li- 
gne À C la couche en A , parce que l’ordonnée À 4 coupe 
TxenŸ, derelle forte que x # foit moyenne Harmonique 
entre les deux x T &xH. 

Nous avons donc trouvé le point Y pour centre, & les: 
deux lignes HT & <6 pour diamétres de même conjugai- 
fon d’une Ellipfe , laquelle touche les trois lignes AC, 
BD ,&EF aux points À ,B,&H. Ce qu'il falloit faire. 

Il ne refte plus qu’a démontrer (comme nous l’avons 
promis) que lercétangle M Y P eft égal au quarré Y Eou 
Ye,c'eft-a dire, au re&angle N Y à, &lere“tangle M P Y 
égal au retangle:P €; ce qui fe fait en cette maniere, 
après avoir fait Légale a FF. Puifque A V eft égalea VH, 
comme B X égale a XH; la ligne V X 9 fera parallele a 
AB,&H9 égalea I9.Etpuifque EHeft aHFcommeElI 
aÏF, en compofant, & permutant, Es fera a E F comme 
IFaHF. Mais comme IFaHF,ainf EI a EH: Donc 
EtferaaEF,commeElaEH; & en divifant, prenant 
la moitié des antécedens , compofant, & par converfion: 

Rrr ii} 


} 


44? See O1 D+P:rROorB°r rw E 


deraifon,ElferaalF, c’eft à-dire, EH à HF comme 
E 9 &à H 9; & en permutant , changeant , & par conver. 
fion de raifon E 9 fera à H 9 comme HoàFo. 

Or dans les triangles femblables H X 9 & 7 X 8 , com. 
meHoetaFo9,ainfi 78 eftàY 8 : Et dans les triangles 
femblablesE V 9 ,Y V 8 ,commeEoeftaHo,ainfiY 8 
eftà 68 : Donc 78 fera à Y 8 comme YŸ 8486, & en la 
même raifon de E 9 à H 9. Mais comme E9 à H 9, ainfi EH 
àHF,ceftà-dire,2 YAVR;&comme78aàY 8, ainfi 
7YàY 6: Donc 7 Y eftaY 6comme:Y etiYR,& 
le reétangle des extrêmes 7 Y Keft égal au rectangle des 
moyennes 6 Y 2. 

De plus, parce ques Y eltà H Y commeHYàSY,par 
converfion de raifon Y fera à {H commeHYàHS:Mais 
comme & Y eft à CH ,ainfi MYeftàHF,ouYR ; & com- 
meHY àH$, ainfi 7 Y eft à BSouY P : Donc M Y fera 
à YR comme 7Y à YP ; & le rectangle des moyennes 
7 Y R eftégal à celui des extrêmes M Y P. ÿ 

Par le même raifonnement nous ferons voir que le rec- 
rangle 6 Y 2 eft égal au rectangle N Y à. Et partant le rec. 
tangle 7Y R eftau rectangle M Y P comme 6Y 2aNY4; 
& en permutant 7 Y R étant égal à 6 Y 2, le re“tangle 
MY P fera auf égal au rectangle N Y s, c’eft-à-dire , par 
la conftruction, au quarré « Y ou 8 Y. Et partant fi de l’un 
& de l’autre on ôte le commun quarré Y P , le rectangle 
M P Y demeurera égal au rectangle : P6. Qui eft ce qu'il 
falloit démontrer. 

Le cercle pourroit réfoudre ce cas de ce Problème, 
ainfi que nousavons dir ci-deflus du 8, fi les deux lignes 
A G &B G fe trouvant égales aufli-bien que les trois AY, 
BY ,&H Y ; ces crois lignes fe trouvoient encore perpen. 


diculaires aux trois À C,BD,&EF, chacune à la fienne, 


T'roifieme Cas du neuvieme Probleme. 


Enfin, files pieds droits À C & B D étanten furplomb, 


DNESS A AUR (€ S ÜR À MP À N 8 444 
fe rencontrent, étant prolongez de la part de A &B , au 
point G (comme en la 2. Figure de la 7. Planche) & que 
la ligne EF , qui détermine la hauteur de l’Arc à décrire, 
rencontre auili la higne de la rampe AB ,commeen I, de 
telle forte que la raïfon dela ligne ET à1F foit plus gran- 
de que celle de FG2FB. Apres avoir divifé la ligne AB 
en deux également en Z , & mené la ligne GZ indéfini- 
ment de la part de G; il faut trouver 1H moyenne pro- 
portionnelle Harmonique entre les deux EI & IF; & 
après avoir mene les lignes HB,H A, ilen faut divifer 
lune, comme H B, en deux également en X, & mener F X 
indéfiniment dé la part de F,qui rencontrera GZau-deflus 
du point Gcomme en Y (ainfi qu'il fe verra ci-deflous) 
d’où il faut mener YE V. - 

Je dis que la féétion qui rouchera les deux lignes A C 


Fig. II. de l4 
ViL. Planche. 


& B D aux points À &B, & la ligneE F ; fera une Hyper" 


bole, dont le centre fera au point Y ; & le point H celui 
où elle touchera la ligne E F; & que fi l’on méneindéfini- 
ment la ligne H Y, fur laquelle on prenne YT égaleà YH,; 
& qu'après avoir tiré par le point Y la ligne M N parallele 
àEF , fur laquelle des points A & B rombentles lignes À 4 
& BP parallelesà H Y ; lon prenne &Y moyenne propor- 
tionnelle Géométrique entre les deux N Y &Y à, & que 
lon fafle Y € égale à « Y : les deux droites HT & +6 feront 


les diamètres de même conjugaifon de la fufdire Hyper- 


bole. 

La démonftration s’en fait en la même maniere, & 
prefque aux mêmestermes que celle de la précedente pro: 
pofition pour l’Ellipfe ; & pour ce fujer, il faut premiere- 
ment méner des points E, H, &F fur la ligne A B leslignes 
Er,H9,&Fparalleles à GZ, & argumenter en certe 
forte. La ligne y eft a F » en raifon compofée de celles de 
EràAp,(ouGZàiAZ,)ALàBr,&B àFr,(ouBZ, 
ou AZ àGZ.) Mais la raifon de G Z à A Z détruic celle de 
AZàGZ ; & partant la raifon de E x à Fr fera égale à celle 


444. SEconwD PROS3LEM E: 


deApmàBr. De plus, parce que I H eft moyenne Harmoë 
niqueentre les deux EI &IF ; laligneE H feraà HF ,ou 
Hoà®n,commeElalF,ouEsàFs,ouAuaàBr: Donc 
A fera à Bncomme y ® à Dr; & la route À a la toutegB 
comme la partie # @ à la partie ® », c’eft à-dire,commeEI 
à IF. Maislaraifon de ET à IF eft par l'hypochefe plus 
grande qne celle de GFàFB,ouZaB;,:Donclaraifon 
de AvwaBo fera plus grande que celle deZ,àB»;&en 
compofant & permutant, celle de A BàZ B plus grande 
que celle deçeBaB;. Mais AB eft double deZB: DonceB 
fera moindre que double de B, ; c’eft-à-dire , que os fera 
moindre que # B; & dans le triangle H ç B,H fera moin- 
dre que +B; & partant - B plus grande que BX, & l'angle 
BF-,ouBGZ plus grand que l’angleBF X ,ou GFY: 

Et partant la ligne XF rencontrera la ligne Z G continuée 
au-deflus de G, comme au point Y. 

Maintenant, après avoir mené par le point Y la ligne 
K Y Q parallele à AB ,& tiré du même point les deux lis 
gnes Ÿ » & Y à perpendiculaires aux deux lignes ACG ; 
& B DG prolongées; je dis que la ligne K Q étant paral- 
lele à A B, elle fera divifée en Y en la même raifon que A B 
l'eftenZ ,c'eft-à-dire , en deux également : Et partantles. 
triangles GYK, GY Q feront égaux ; & ils auront par 
conféquent les côrez réciproques de leurs hauteurs, c’eft- 
à-dire,que le côté GK du triangle GK Y fera au côté G 
dutriangle GQ Y, comme Y » hauteur de GQY à Y à hau« 
teur de GK Y ; mais comme KG eft à GQ, ainfi À Geftà 
GB: Donc AG eft à G B comme Y ,efta Y à. 

De plus, après avoir mené les deux lignes AY &BY; 
d'autant que les deux triangles AY E,B Y Ffontentr'eux 
en raifon compofée de celles de leurs côrez, & de leurs 
hauteurs; le triangle À Y E fera à B Y Fen raifon compo: 
fée du côté À Eau côté BF ,& de la hauteur Y Aàlà bauz 
teur Y», c’eft à-dire, de la ligne BG à À G. Mais la raifon: 
de AEàBF eft encore compolée de celles de AEàEk; 

(ou 


"éoddiidir eh, 2 
+ # 
| . 
> 


à 


Des nc 5 °R A MP? À NS. 445 
(ouAGàiGZ,)EnaFn,&F"àFB,(ou GZ iGB:) 
Donc la raifon du triangle À E Y au triangle BF Y fera 
compofée de cellesde AGàGZ,EràF1,GZàGB,& 
GBA G. Mais les raifons de AGIGZ,GZiGB,& 
GBiAG fe détruifent:Doncletriangle AE Y feraàB FY 
comme la ligne EseftiFr,oucommeEIàlF,ouEHà 
HE , ou enfin commele triangle E Y H au triangle FYH; 
& en permutant le triangle À E Y fera au triangle HEY 
comme le triangle BF Y autriangle F Y H. Mais parce que 
les deux triangles À V Y,V H Y {ont entr’eux comme AV 
eft à V H,aufhi-bien que les deux triangles AE V ,EVH, 
les reftes, fçavoir les triangles AE Y ,EH Y feront aufli 
entr'eux comme À V eftà VH. Par même raifon nous 
montrerons que le triangle BF Y eft au triangle FHY 
comme B X eftà X H: Donc A V fera à V HcommeBX 
eft à X H; mais celles-ci font égales par la conftru&ion, 
& partant À V fera aufli égale à V H. 

Voila donc trois lignes AB, AH ,&BH, qui font di- 
vifées en deux également aux points Z,V, & X par les 
lignes GZ,EV ,FX , qui partant despointsG,E,&F, 
où les lignes AC,BD,&EF fe rencontrent, fe joignent 
toutes au-deflus de G en un même point Y : Donc le point 
Y fera le centre d’une Hyperbole qui couchera les fufdites 
trois lignes AC,BD ,&E F aux points À ,B, &H. 

Il faut maintenanr faire voir que les deux lignes HT & 
#6 en font les diamétres de même conjugaifon. Er pour ce 
fujec il faut continuer 12 ligne Y H, qui rencontrera AC 
prolongée au point x, &B D en; puis du point F mener 
F L parallele à BH, & qui coupe YH en L,, par où du point 
X il faut mener la ligne X L, & la continuer jufqu’a ce 
qu’elle coupe B G prolongée en O , & joindre les points Y 
& O. En la même maniere du point E il faur mener E $ pa- 
rallele à AH, qui rencontre Y Hén 5, par où du point V 
il faut tirer la ligne V $ , & la continuer jufqu’à ce qu’elle 
rencontre À G conrinuée au point 3 ,& joindre Y & 3 ; & 

Rec. deP Ac, Tom, sff 


446 SæceonND PropzLEMEl 


enfin mener À Ÿ ,&BS paralleles à E F ou M N , & conti- 
nuer M N de part & d’autre jufqu’à ce qu’elle coupe les 
lignes À H ,B H prolongées aux points 6 &7, & tirer la 
ligne V X ,en forte qu’elle coupe EI au point 9 ,& MN 
au point 8. 

Cela fait , je raifonne en cette maniere. Parce que H X 
eft égale à B X, la ligne L F aura même raifon à l’une & 
laure, c’eft-à-dire, qu’au triangle HY X, laligneLF 
fera à H X comme LYàY H;&autriangle XOB,LF 
feraà BX commeLOàOX,; & partant L Y fera à Y H 
commé LOàOX, & en divifant & permutant, LY à 
L O comme LH à L X : Donc les triangles O LY,HLX 
feront femblables , & la bafe O Y parallele àHX ou LE. 
Et par conféquent aux triangles femblables OSY, LéF, 
la ligne O Y eft à LFcomme Y £a CL; & dans les triangles 
femblablesOXY ,LXF , la même O Y eftàlamêmeLE 
commeOXaXL;& partanteY eft a 6 LcommeO Xaà 
XL ,c’eft-à-dire, comme Y HàHL, &enpermutanr, 
&Y eftàY HcommeëLaàaHL,MaiscommeëY à YH, 
ainféMaMF,&commeéLàaHL,ainféFaFB:Donc 
éMeftàMF,commecF à FB; & en permutant, chan- 
geant, compofant , & changeant {M feraà MF, ( c’eft-à- 
dire,{YaYH,)commeMFaàaMB, c'eftà-dire,YHà 
YS. Voilà donc la ligne Y H moyenne Géometrique en- 
tre les deux Y & Y S ; mais la ligne Y T a été prife égale 
à la même Y H: Donc la toute T S fera divifée Harmoni- 
âuement aux points H&Ç; & la ligne&S fera moyenne 
Harmonique entre les deux T S & SH ; & S Y moyenne 
Arithmétique entre les mêmes. 

Par même raifonnement , & par le moyen de la ligne 
E ; nous démontrerons que la même Y H fera aufli moyen- 
ne Géométrique entre les deux x Y & 4 V; & que la toute 
T deft divifée Harmoniquement aux deux points H&>, 
& la ligne Ÿx moyenne Harmonique entre les deux T4 & 
YH ; & 4 Y moyenne Arithmétique entre lesmêmes. 


An ie pAU UV 


D'ES'ARCS R AMP ANS. 447 
D'où il appert que les reétangles x Y d &£Y S étant 
chacun égal au quarré HY, 1ls feront aufli égaux entre 
eux ; & le quarré H Y fera au quarré€Y , ou à fon egal le 
rectangle N Y9, comme le rectangle x Y 4 au même rec- 
tangle N Y 9. Mais la raifon du rectangle x Y Ÿ au re“tan- 
gle N Y deft compofée de celles des lignes x Y à N Y,c'cft- 
à-dire,X Ya Av, & 4 Y à Yd,ou à fon égale À + ; qui com- 
pofent la raifon du rectangle > Y 4 au quarré A # : Donc 
le quarré Y H fera au quarréeY , ou ( prenant leurs qua- 
druples, ) le quarré du diamérre T H fera au quarré du 
diamétre : B,comme leretangle, 4Y au quarré À 4. Mais 
le rectangle x4 Y eft égal au rectangle T 4H ( comme 
nous le démontrerons ci-deflous. j Et partant le rectangle 
T YH eft au quarré À +, comme le quarré T H au quarré 
28. Et comme la ligne A + eft parallele à MN ouf, elle 
éft ordonnée au diamétre T H : Et partant le point A eft 
dans Hyperbole dont T H &: 8 font diamétres de même 
conjugaïfon. 

Il eft conftant que le point H étant au bout d’un des 
diamétres fufdits, il eft aufli dans la même Hyperbole. 
Mais pour prouver que le point B s’y trouve aufh, il faut 
difcourir de certe forte. Le rectangle $ Y S eft au rectangle 
MY P, en raifon compofée de celles des ligness Y à M Y, 
(ouéSaBS,)& YSaYP ,ouBS;lefquelles compofent 
auffi la raifon du reétangle £ S Y au quarré B S : Et partant 
le reétangle£Y S, ou fon égal le quarré Y H fera au rectan. 
gle MY P, ou fon égal le quarré : Y (comme nous le dé- 
montrerons ci-deflous,) comme le reétangle :S Y au quar- 
réBS. Mais nous ferons aufli voir ci-deflous,que le reétan. 
gle£SY eft égal au re&angle T S H ; Et partant comme 
le quarré Y H au quarré £:Y , ou ( prenant leurs quadru- 
ples) commele quarré du diamérre T H au quarré da dia- 
métre «6, ainfi eft le rectangle T S Hau quarré B S : mais 
la même BS étant paralléle à «86, eft ordonnée à TH: 
Donc le point Beft auffi dans l'Hyperbole , dont les deux 

Sffij 


448 SEco-wD PROBLEME. 
droites T H& +8 font diamètres de même conjugaifon. 

Je dis de plus , que certe Hyperbole rouchera les lignes 
AC,BD,&EFaux points À ,B, &H. Ce qui eft premie- 
rement conftant pour le point H , par la 6. du 2. des Co. 
niques, la ligne E F étant menée au bout d’un des diamé- 
tres HT , & parallele à l’autre<8. Mais pour les deux au- 
tres points, je le démontre en cette maniere. 

D'autant que la ligne A + ordonnée au diamétre TH, 
le coupe en + de telle forte que XŸ foit moyenne Harmo- 
nique entre les deux T 4 & H y; la ligne À C x touchera 
la fufdice Hyperbole au point À par la 34. du 1. des Coni- 
ques d’Apolonius. Et par la même propofition , & le mê- 
me raïfonnement, la ligne B D etouchera la même Hyper- 
bole au point B , d’où la ligne BS efk ordonnée au diamé- 
tre TH, & le coupe au pont S , en telle forte-que la ligne 
£S foit moyenne Harmonique entre les deux T S & SH. 

Nous avons donc trouvé le point Y pour centre, & les 
deux lignes T H, & +8 pour diamétres de même conju- 
gaifon d’uneHyberbole, qui touchera lestrois lignes AC, 
BD ,&EFauxpoints À ,B,&H. Ce qu'il falloit faire. 

I] fauc maintenant démontrer que le rectangle » 4 Y eft 
égal au re&angle T #H, ce qui fe fait ainfi. Parce que Ÿ X 
et àYH,ouTY,commeTYaàaYx; en compofant, & 
par converfion de raifon T Ÿ fera à Ÿ Y commexTaàTY, 
ou HY ; & en permutant ,& par converfon de raifon T y 
fera à ÿx comme Ÿ Y à ŸH: Et partant le rectangle des 
moyennes x Y fera égal à celui des extrêmes TYH. 
Par même raifonnement , on peut voir que le rectangle 
eSY cftauffi égal au rectangle T SH. De forte qu'il ne 
refte plus qu’à montrer , que le rectangle M Y P eft égal 
au quarré YB,outY, c’efk-à-dire, au retangle N Y9. Ce 
qui fe fait en cette maniere. Paree qu’il a été démontré 
ci-deflus dans la précedente propofition , que la ligne E 9 
étoit à H 9 comme H 9 eft à F 9 ; & que dans les triangles 
femblables HX 9, 7 X 8,la ligne H 9 eft à F 9 comme 78 


DES ARCS RAM P ANS. 449 
eftaà 8 Y ; & dans les triangles femblablesE Vo, YV8, 
la ligne E 9 eft à H 9 comme 8 Y eft à 86: Il s'enfuit que 
78 eftà 8 Y comme 8 Yeftà 86 , & en la même raifon de 
EoaHo,ceftà-dire,deEHàHF,ou de 2 Ya Y R. Mais 
comme 78 eftà8Y,ainñi7YàY6:Donc7Yferaayé 
comme 2YàYR ; &le rectangle desextrèémes7YR fera 
égal à celui des moyennes 6 Y 2. 

Maintenant, comme-Y eftàHY ,ainfi HY à YS;en 
divifant £Y fera à éHcommeHYàHS. MaiscommeeYà 
SH ,ainf MYàFH ,ou fon égale Y R ; & comme HY à 
HS, ainfi 7 YŸ àBS , ou fon égale Y P : Donc MY fera à 
Y Rcomme7YaY P ; & le reétangle des moyennes 3 YR 
fera égal à celui des extrêmes M Y P. 

Par même difcours on fera voir que le rectangle 6 Y 2 
fera égal au rectangle N Y ?. Et partant le re&angle 7 Ÿ KR 
eftà MY P conme 6 Y 24 N Y ?, & en permutant comme 
le rectangle 7 Y KR eft égal au rectangle 6 Y 2,ainf MY P : 
fera égala N Y d,ouau quarré:Y , ou 8 Y. Ce qu'il fa 
loit démontrer. 


TROISIEME OBSERV ATION. 


Ans les reuf Problèmes ci deflus , 2 difficulré de la 
D préparation dont nous avons parlé au commencez 
ment de ces Difcours eft comprife , & de ce qu'il faut faire 
avant que l’on puifle fe fervir du Problème de Pappus; 
c’eft-à-dire, de trouver les diamétres de même conjugai- 
fon de la feétion qui doittoucher les lignes des pieds droits 
aux points donnez. 

Mais parce que, fans parler de la ligne qui détermine 
lahauteur , on pourroit propofer un Arc à décrire, qui 
paflant par un point donné , toucheroit deux piedsdroits 
en deux autres points aufñ donnez ; & qu’en ce cas les 
Ouvriers fe pourroient crouver embarraflez , qui ne fçau- 

Sff ii 


ASO SEC "ON D PRO LE MPE. 
roient pas que l’on pût facilement, par ce point donné, 
mener cette ligne que nous avons fuppofé dans les propo- 
fitions ci-deflus, pour déterminer la hauteur de lArcà 
décrire ,& avec cetavantage, que ce fera en ce même 
point que fe fera l’atrouchement de l'Arc & de la ligne 
{ufdite. 

IL m'a femblé à propos de le faire voir ,& d’en donner 
les pratiques dans ce Difcours, par une propofition uni- 
verfelle en cette forte. 


Pr ROBE ME. 


“Ayant à décrire un Arc rampant par un point donné, € 
entre deux picds droits, qu'il touche en deux autres points 
auffr donnex, Trouver la ligne droite , qui détermine la 
hauteur de l'Arc; c'eff-à-dire , la ligne qui doive toucher 
l'Arc au fufdit premier point donné. 


un vrr LS deux pieds droits (dans les Figures de la 8. 9. & ro. 

x&x  Planche)foienr AC ,&B D, paralleles, ou non paralle- 
les, & le point donné H, par léquel il faut décrire un Arc 
rampant, qui touche À C en A ,&B D en B. Qu'il faille 
trouver la ligne E HF, qui détermine la hauteur de cet 
Arc, en forte qu’il la couche au même point H. 

Après avoir tiré la ligne de la rampe A B, & continué 
les pieds droits À C &B D , en forte qu'ils fe rencontrent 
au point G, s'ils ne font point paralleles ; il faut de lun 
des points A ouB, par le point H, tirer une droite com- 
me BH ,& alors. 


PREMIERE PROPOSITION. 


mrndæu iles pieds droits font paralleles ( comme aux Figures 
VA, Plançhe x, & 2, de la 8, Planche) la ligne BH rencontrera l’aûtre 
pied droit AC prolongé au point K ; auquel cas il fau 
divifer la ligne À K en deux égalementenE , & mener par 
le point H la droite EHF, qui fera celle que l’on cher. 


tu 
Ne: 


Des ARCS RAM P ANS  4fr 
che ; parce que, ou elle fera parallele à la rampe AB ; 
( comme en la 1. Figure \ ou elle la rencontrera, étant 
prolongée commeenI,(enla 2. Figure.) 


Premier Cas. 


Puifque dansletriangle A KB ( Figure 1. dela8.Plan- riguer. de 19 
che) la ligne EHa été menée parallele à la bafe AB, "#7 Pl. 
le côté AK fera à KE comme A B eftàEH; Mais AK 
a été faire double de KE; & partant la ligne AB , ou fon 
égaleE F, fera aufli double de la même E H ; & la feion, 
qui pañlant fur le point H, touchera les deux lignes 
droites À C,& B D aux points À & B; rouchera aufli la 
ligne EF au même point H ; & ceci tombe dans la folu. 
tion du 4. Problème ci-deflus. 


Second Cas. 
C’eft-à-dire , lorfque la ligne EF (Figure 2. de la 8. we & ls 


; 3 © VAI, Planches 
Planche) rencontre la ligne A B prolongée en I ; parce 


que les deux lignes AE, & EK font égales, elles auront 


- même raifon à la ligne BF; qui leur étant parallele, il 


s’enfuivra qu'aux triangles EKH,BHF, la ligne EK 
feraaBF,ceftià dire, EHàHF, comme dans le trian. 
gle AIE, la ligne AE à la même BF, c’eft-ä-dire, Elà 
JF: Ec partant la ligne E I fe trouvera coupée Harmoni- 
quement aux deux points H & F , & la ligne I H fera la 
moyenne Harmonique entre les deux extrêmes EI&IF : 
Et par conféquent la fe&ion , qui paflant par le point H, 
touchera les pieds droits A C en A, & BD enB, tou- 
chera auffi la ligne EF au même point H: Et ceci tombe 
dans la folution du 5. Problème. 


SECONDE PROPOSITION. 


Si les pieds droits étant en talu, fe rencontrent en G rwemé. 
de la VU. Plan 


au-deflous de la rampe AB (Figures 3.& 4. de la 8. Plan‘, 
che ; )& la ligne tirée du point B par Heft parallele à l’au. 


452 SECOND PROBLEME 

tre pied droit A C ;ilne faut que prendre fur G A pro: 
longée une ligne À E égale à A G, & mener laligneEHF, 
qui fera parallele à la rampe A B ( comme ca la 3. Figure.) 
ou bien elle la rencontrera ,comme en I, (en la 4. Figure.) 


Premier Cas. 


Fiqure nu Au premier Cas (Figure 3. de la 8. Planche, ) parce que 

L Fuktlake dans le triangle E GF, la ligne A B eft fuppofce parallele 

à labafeE F ; la ligne G A fera à À E commeGBàBF;Ec 

parce que dans le même triangleE FG, la ligne BH eft 

parallele à la bafe E G ; la ligne GB fera à B F comme EH 

cRaHF; Et partanc , par égalité , laligne G A feraà AE 

comme EH à HF; mais G A eft égale à AE: DoncEF 

fera divifée en deux également en H ; Et comme elle eft 

parallele à la rampe À B, la feétion, qui paflant par le 

point H , touchera les pieds droits ACen A,&BDenB, 

touchera aufli la même E F en H. Et ceci rombe dans la 
{olution du 6. Problème. 


Second Cas. 


sn Aufecond Cas, c’eft.à-dire, lorfque la ligne EF étant 
Vu. Paxbe, prolongée, rencontre la rampe À B, comme en I; (Figure 
4. de la 8. Planche, ) il faut difcourir en cette maniere, 

après avoir mené par le point E la ligne O EP parallele 

au côté B D , & qui rencontre larampeen O, & la ligne 

BH prolongée en P Parce quelestrianglesAEO,AGB 
font{emblables , à caufe des parallelesEO,&BG,&des 

angles au fommet À ; ils feront aufli égaux , à caufe de l’é- 

galité des côtez AE , & À G ; & partant les autres côtez 

EO ,& BG feront aufli égaux : Mais BGeftégaleaEP, 

étant paralleles , & entre paralleles : Donc EO fera égal 

à EP; & EO fera à BF,( c’eft-à-dire, dans le triangle 

EIOG ,laligneEIàIF,)commeE P à la même B F;c’eft- 

à-dire, dans les triangles femblables EH P ,BHF ,com- 

me la ligne E H à HF : Er parrang la ligne ET fera divifée 
Harmoniquement 


DhEïSs ARC S ÔR A MP A NS 4ÿa 


Harmoniquement aux deux points H&F, & la ligne I H 
fera moyenne Harmonique entre les deux extrêmes EI 
& IF: Ec par conféquent la fe&tion,qui paflant par le point 

__ H,rouchera lés pieds droits À Cen A ,& BDenB ,tou- 
chera auffi la mêmeËEF au point H. Et ceci tombe dans 
la folution du 8. Problème. 


TROISIEME PROPOSITION. 


Si les pieds droits étant en talu & fe rencontrant en G f:1.6 11. 4 
au-deffous de la rampe A B, la ligne tirée du point B par“ ""*"*" 
le point donné H, coupele côté A C prolongé en K ; (Fi. 
gures 1.& 2. dela 9. Planche, )il faut premierement cou- 
per la ligne A K en deux également au point L, par le- 
quel il faut mener L M parallele à BK & égale à À L ou 
LK ; & du point G par M tirer la droite G M jufqu'enN, 
où elle rencontrera la ligne BK prolongée; puis faire KE 
égale àK N ,& du point E par H mener laligneEHF, & 
raifonner en cette maniere. Commeau triangle KGN, 
la ligne L M eft parallele à la bafe KN ; la même L M 
feraaKN:c'efta-dire, ALAKE,commeGLiGK;& 
prenant les doubles des antécédens, À K fera à K E com- 
me À G & GK enfemble à GK ; & en divifant A E fera à 
KE comme À GàGK; & en permutant, & changeant 
GK fera àKE comme AGàA E ; & la route GK fera di- 
vifée Harmoniquement aux deux points E & À , en forte 
que la ligne AK foit la moyenne proportionnelle Harmo- 
nique entre les deux extrèmes GK&KE. 

Maintenant, ou la ligne tirée du point E par H , fera pa- 
rallele à la rampe AB ,(commeen la 5. Figure, }oùelle 
la rencontrera comme en I , (en la 6. Figure.) 


Premier Cas. 


Au premier Cas (Figure 1. de la 9. Planche:) Après aux 
_ avoir mené par le point E la ligne O P parallele au pied Plus: 
droit BD , & rencontrant la rampe en O , & la ligne BH 
Rec. del Ac. T'om.F. DCE 


454 S'E Q & ND PK O B L.E MAEX 


prolongéeen P , je disque la ligne EP dans le triangle 
GKB ,ayant été tirée parallele a la bafe G B, le côté GK 
fera à KE commeGBaË P; & dans les deux triangles fem- 
blables GAB,EAO,laligne GA fera à AE comme la 
même G Befta E O. Mais parce que GK eft a K E comme 
GAeftàAE;il s'enfuir que G B fera à P E comme la mé- 
me GB eft 2EO ; & queles deux lignes EP &EOouBF 
feront égales ; & que dans les triangles femblables EH P, 
BHEF, les deux cotez E H &H F feront égaux ; & la ligne 
EF fera divifee en deux également en H ; & commeelle 
eft parallele à la rampe AB, la fe&tion qui pafflant par le 
point H ,touchera les deux pieds droits AC&B Den A 
&B,rouchera auf la ligne E F en H. Et ceci tombe dans 
la folution du 6. Probl. . 


Second Cus. 


Fi. lux. Au fecond Cas ( Figure 2. de la 9. Planche ; c'eft-à-di- 
Fe re, lorfque la ligne E F rencontre la ligne A B prolongée 
comme en I: Après avoir comme deflus mené la ligne 
OE P parallele au pied droit BD , & coupant les lignes 
ABenO,&BHenP ;je dis que dansletriangleGKB, 
la ligne E P ayant été menée parallele à la bafe GB; la 
ligne GK fera à KE comme GB àE P ; mais celle-ci eft 
compofée des raifonsde GBàBF,& de BFa EP , c’eft- 
à-dire,FHà HE : il s'enfuit que la raifon de GKAaKE 
fera égale aux raifons de GBàBF,&deFHàHE. De 
plus, les triangles G A B,E A Ô érant femblables, aufli- 
bien que BIF,OIE; la ligne G A fera à AE , comme G B 
etàiEO,cefti-dire,enraifon compofée de GBABEF, 
& de BF, EO, c'eftà-dire,FIàEI. Mais il a été dé- 
montré que la raifon de GK àKEétoit égale à celle de 
GAàAE:Donclaraifon compofée deGBaBF,&deFH 
à HE, fera égale à celle de lamême GBàBF,&deFlà 
TE : étant donc la raifon commune de G Bà BF, la raifon 
de FI à L-E fera égale à celle de FHàHE;& laligneIE 


D'E ss AmCS R A MPANS. 455 
fera divifée Harmoniquement aux deux points E &H, & 
la ligne TH fera la moyenne Harmonique entre les deux 
extrêmes [F & I E : Er par conféquent la fe&tion, qui paf. 
fant par le point H touchera les deux pieds droits AC en 
A& BD en BB, touchera aufli la ligne E F en H. Et ceci tom- 
be dans la folution du 8. Problème. 


 QUATRIEME PROPOSITION. 


* Siles pieds droits , étant en furplomb, fe rencontrent re 
au-deflus de la rampe au point G( comme aux Figures 1." """ 
2. & 3. de la 10. Planche ; ) il faudra du point B par H me. 
ner indéfiniment une droite BH , qui coupe l’autre 
pied droit À CenK ; & après avoir divifé la ligne AK en 
deux également en L, & mené L M parallele BH, & 
égale à À L ; il faut joindre les deux points G M par une. 
droite , qui coupe la même B H prolongéeen N , & faire 
K Eégale à K N5 & par le point E tirer O P parallele à BD, 
& rencontrant les lignes A B & BH en © & P. Enfuite 
nous dirons que L M étant paralleleàKN , LG eftài GK 
comme LM eftäK N, c’eft-à-dire, A LAKE;& prenant 
les doubles desantécedens A G & G K enfemble feront à 
GKcommeAKàKE;& en divifant AG àGK comme 

| AEàiEK;&en permutant A Geftà A EcommeGKàEK: 
Et partant la ligne À G eft divifée Hirmoniquement aux 
deux pointsE &K , & la ligne A K eft moyenne Harmoni- 
que entre les deux extrêmes À G & A E. Maintenant, fi 
l’on tire du pointE par H une droite EF, elle fera paral- 
lele à la rampe A B,{ commeen la 1. Figure ,) eù elle la 
rencontrera comme en I > aux 2. & 3.Figures. AB! 


Premier Cas. 


- Au premier Cas ( Figure r, de la 10. Planche :) Parce sigure 1. & a 
qu'aux triangles femblables GAB, EAO, la ligne GAF #* 
effa AE comme GBeftàE O; &aux triangles femblables: 
GKB,EKP,laligne GK etàKE comme la même GB. 

; Tt fie ,@ 


456 SEcOoND PROBLEME | 
efta EP, la raifon de G A à A Eétant ègale à celledeGK 
àKE ;il s’enfuit que la raifon de G Bà EO fera aufli égale 
à celle de GBàE P ,&quelaligneE O , ou fon égale F B 
fera égale à la ligne EP ; & qu'aux triangles femblables 
EHP,FHB,les deux lignes EH&HF font égales, &la 
ligne EF divifée en deux également en H ; & comme elle 
eft parallele à la rampe AB, la feétion qui paflant par le 
point H, touchera les deux pieds droits À C en À & BD 
enB, touchera auf la ligne E F en H. Et ceci tombe dans 
la folution du 7. Probl. | 


Second Cus. 


rs. 2 em, Au fecond Cas, c’eft à-dire, lorfque la ligne EF coupe: 
“Fee la rampe AB en], foit de la part de À (comme en la z, 
Figure, ) ou de la part de B( comme en la 3. Figure de la 
10. Planche; )je dis que la raifon de G À à AË étant la 
même que celle de G Bà EO; & celle-ci étant compolée 
des raifons d GBàBF&deBFàEO, c’eft-à-dire, de 
IFàIE;laraifon de G A à A E fera compofée des raifons. 
deGBàBF,&IFàIE. De même laraifon de GKàaKE 
étant la même que celle de GBàEP , & celle-ci étant 
égale aux deux raifons de GBàBF&BFàEP ,c’eit-à-di- 
re, FHàHE; la raifon deG K àK E fera compofée des 
raifons de GBABF&deFHàHE:mais GActàAE | 
comme GKàKE ; Et partant la compofée de GBàBF | 
&IFAIÏE, fera égale à la compofée de GBaBF, &FH 
aHE, & ôtant la raifon commune de GBaBF, les deux 
autres IFàIE,&FHaHE feront égales, &laligne FI 
{dans la 2. Figure } fera divifée Harmoniquement aux 
points E &H ; & la ligne EI ( dans la 3. Figure) aux points 
F& H : Er en l’une & en l’autre la ligne I H fera moyenne 
Harmonique entre les deux extrêmes EI &1F. Et partant 
la fection, qui paflant par le point H ,rouchera les deux 
pieds droits A C en À, & BD en B, touchera aufñli la 
droite E H au point H, Et ceci combe dans la folution du 
9. Probl, 


DE ss" ARCS R A M P A N $. 457 
Voilà donc:la réfolution de tous les Cas qui peuvent 
être confiderez fur cette matiere; où il paroït qu'il faut 
que le point donné fe trouve entre les lignes des pieds 
droits, fi l’on veut rendre la quéftion poffble ; parce que 
FArc, qui partant des points À & B de la rampe, pafleroit 
par un point pofé hors les lignes À C, & B D prolongées, 
couperoit néceflairement cefdices lignes , & par confé. 
quent il ne les pourroit pas toucher aux points À &B. 
Et de certe façon j'eftime qu’il eft pleinement fatisfait 
à tout ce qui peur être propofé fur la préparation nécef_ 
faire à la régle de Pappus, c’eft-à-dire, à la recherche des 
diamétres de même conjugaifon d’un Arc à décrire, qui 
touche deux pieds droits en deux points donnez, foit que 
la hauteur de l’Arc ne foit pas donnée, ou qu’elle foit dé. 
terminée par un point, ou par une ligne, ou par un plan. 


QUATRIEME OBSERVATION. 


Ais parce que l’auftérité de la démonftration nous 4 
M obligé à quantité de lignes inutiles pour la pratique, 
& qui peuvent embarrafler les Ouvriers, qui ne font pas 
accoûtumez à les démêler ; il m'a femblé que je ferois 
une chofe qui leur feroir agréable, fi je leur enfeignois 
une Méthode univerfelle & facile de trouver ces diamé- 
tres en toute forte de Cas. Ce qui fe faitainfi. 


Maniere univerfelle de trouver les dismétres de mème conju- 

gaifon de la Setfion qui doit former l'Arc rampant [ur toute 

forte de pieds droits @ de hauteurs. 

Soient (aux Figures de la Planche r r. &aux 2. premie- TRE 
res de la 1 2. Planche ) les pieds droits A C & BD conti nn. Punch 
nüez indéfiniment, en forte qu’ils f rencontrenten G, 
s'ils ne font point paralleles ; & la ligne de la rampe À B 
foit divifée en deux également en Z ; & du point Z foic 

Trcu 


458 SAS IO N D IP. R O.B L EUME 


menée une droite, ou parallele aux pieds droits, (ficeux- 
cile fontentr’eux , ) ou paflant par le point de leur ren- 
contre G : Enfuite foit la ligne donnée ou non donnéeEF 
qui détermine la hauteur de l’Arc propofé, laquelle foit 
ou parallele à la ligne de larampe AB, ou larencontrant 
au point I ; & certe ligne E F,comprife entre les lignes À C 
&B D continüées, {oit coupée en deux égalementen-K, 
d’oùil faut mener une ligne K MégaleaKF,& qui fafle 
quelque angle que ce foi avec EF ; & mener IM, à la- 
quelle du pointE, il faut tirer une parallele FL, & faire 
KH égale à K L; puis du point H:il faut mener la ligne 
HB,, &la divifer en deux également en S , par où du point 
Fil fauc cirer la ligne FS Y ; laquelle fera ou parallele à la 
ligneGZ, ouelle la rencontrera au point Y dans l’angle 


AGB, ou dans celui qui lui eft au fommet. Au premier 


Cas la fe&ion fera une Parabole en la 1.Figure de la 12. 
Planche. Au fecond Cas une Ellipfe, aux 5. Figures de la 
Planche 1 1.&une Hyperboleauctroifiéme Cas dans la 2. 
Figure Planche 1 2. Etjoignant aux deux derniers Cas la 
hgneHY, & la continüanten forte que Y T foit égaleà 
Y H, & menant par le point Y la ligne V Y X parallele à 
EF, fur laquelle du point B tombe la igne B N parallele à 
HY ; il faut faire Y Q égaleaYN, & furlakigneQYX 
comme diamétre, décrire le demi-cercle XR Q , qui foie 
coupé en KR par la ligne Y R tirée du point Y perpendicu- 
laire a V X; & enfin faire lesdeux lignes YO ,& Y P éga- 
lesà Y R ; Les diamétres de même conjugaifon de l’'Elli, 


pfe, ou de l’'Hyperbole que l’on demande, feront les deux 


lignes HT & OP. 

Et pour la Parabole, il faut du point B mener B N pa- 
ralleleàEF , (commeenla 1. Figure dela 12. Planche) 
& HV parallele à GZ, quicoupe B N en N ; fur laquelleil 
faut prendreH V égaleàBN , & du point V mener VX 
parallelea EF, & rencontrant la ligne HB prolongée en 


X ;,& enfin prendre fur EF continüce la ligne HT égale à. 


DES ARCS RKAMPAÀANS. 459 
| VX. LaligneH N ferale diamétre de la Parabole,auquel 
B N fera ordonnée fous l'angle H N B, &laligne HT en 
fera le Paramérre. NI 

RS: Are 


TROISIEME DISCOURS. 
* Trouver les Axes d'une Seftion fervant à Li defcription d'un 


Arc rampant , dont les dismetres de même conjugaifon 
« font donnez, 


PILE 
" 


PREMIERE OBSERVATION. 
© Premier moyen par la Regle de Pappus. 


Es chofe étant fuppofées, il ne refte plus qu’à trouver 

les Axes & les foyers pour décrire facilement la Sec- 
tion propofée , c’eft-à-dire , appliquer aux diamétres 
trouvez de l’Ellipfe, la Regle de Pappus, dontnousavons 
parlé au commencement de ces Difcours, & dont nous 
rapporterons premierement la pratique qui fe doit enten- 
dre pour toute fortede Cas, & nous la démontrerons en- 
fuice, Le Problème eft donctel. 


RAIGUANE QD EP AR PUS: 


Deux diamêtres de mème conjugaifon d'une Ellipfe étant don- 
nex, en trouver les Axes Gr les foyers on fingliots. 


Les deux dismétres demème conjugaifon H T' GO P'étant Vandexin. 
propofex( aux Figures de la 13.Planche)@& parl-point H, : 
La ligne E H F indéfiniment prolongée | @ parallele à O P ;il 
fout fur HT au point À élever à angles droits la ligne" H 1 
égale à O Y, mener I Y ; fur laguelle a point I ilfzat tirer 
à angles droitsla ligne TK , qui rencontre l4 ligne T H pro: 
Jongée en K. Enfuite, après avoir dévife en deux également 
aupointR la ligneY K , @ ment à angles droits la ligne R S$ 


460 S.mcLosNyD: D R'oInR:L/E At-€ 


qui coupera EF en quelque part comme en S (parce que lex 


diamètres HT ,@O P n'étant pas les Axes , l'angle HYP, 
ou fon égal E H Y ne fera pas droit; ) ilfaut du point S com- 
mecentre, Gde l'intervalle S You S K , décrire le cercle K® 


Fe, lequelcoupe la ligne E F aux deux points à 65 d'où par 


Le point Y , ilfaut mener les deux lignes indéfinies BY @SY 5 
far le[quelles du point HT, ilfant mener à angles droits les li- 
gnes H L , 6 H M. Enfuite ilfaut faire [ur la ligneË Y pro- 
longée La ligne N Y égale èY L5 € fur la ligne 8 N° comme 
diamétre, décrire un demi-cercle N Q À qui coupe à Y au point 
Q, @& rapporter la ligne Y Q de part > d'autre du point Y fur 
BY , en forte que les lignes Y V, G@Y X foient égalesà YQ5 
parce moyennous aurons la toute VX pour l'un des Axes. 
En la mème maniere prenant [ur  Y prolongée La ligne Y£ 
égale à Y M, G fur la toute Comme diamétre décrivant 
le demi-cercle S'\Cqui coupe B Y prolongée au point? ; il faut 


depart @> d'autre du point Y, [ur la ligne S Y prendre les deux: 
YG @ YZ égales à YA, afin d'avoir latoute G Z pour 


l'autre Axe. Et prenant une extremité du moindre Axe com 
me le point G pour centre , € de l'intervalle G 4 égal à la moi- 
tiéde l'autre Axe, c’eft-à-dire à Y V3 ilfaut décrire les deux 
Arcs de cercle qui coupent la ligne BY, c’eff-à-dire, le plus 
grand Axe aux deux points êge, lefquels feront les foyers de 
La fufdire Ellipfe, que les Ouvriers appellent les féngliots. 
Voilà la pratique de Pappus, quieft la 14. propofition 
du 8. livre de fes Colleétions Mathématiques:Et quoique 
je ne la rapporte pastout-à-fait dansles mêmes termes, 
c'eft pourtant toujours la même chofe ; & ce que j'yai 
ajouté n’eft que pouren faciliter lexécutiomauxOuvriers: 
comme lors qu’il dit feulement qu'il faut faire le retangle 
YHK égalau quarré O Y, parce que, la maniere d’ap- 
pliquer un quarréà une ligne droite, qui eft la même que 
de trouver une troifiéme proportionnelle à deux droites 


données, n’eft pas familiere aux Ouvriers ; j'aimieux 


aimé leur en marquer l’opération parle moyen du trian- 


gle 


DES ARCS RAMPANS 461 
gle rectangle YIK , ( dans lequel la ligne LH étant per- 
pendiculaire à la bafe YK , le quarre HI, ou fon égal 
O Y eft égal au retangle YHK, ainfi que Pappus l'or- 
donne, ) que de la fuppofer comme lui toute faite. Tout 
de même, quand il dit qu’il faut faire les deux quarrez 
YV,&Y X égaux au rectangle € Y L,& les deux quarrez 
YG& YZ égaux aurectangled Y Mi; j'en ai fait les opé- 
rations toutes entieres par le moyen des demi- cercles 
N'Q6&d2c 

Au refte , ce Problême n’a que cette feule conftru@ion; 
& Commandin quia commenté cet Auteur, s'étonne avec 
raifon qu’il ne lait pas démontrée. Mais comme il y 2 
dans le cexte de la Propofition quelques obfcuritez qui 
marquent qu’il a été corrompu, je crois que la démonf 
tration que Pappus en avoit faire s’eft perduë avec le refte 
de fes Ouvrages qui nous manquent. 

Mais ce quime furprend d'avantage, c’eft que Com- 
mandin ayant entrepris delaréparer , y ait fi mal réüfli 
lui-même, n’ayanr pas pû conclure , comme il fait, que 
les lignes X V &G Z foient Axes de l’'Ellipfe, parce que 
Jangle 8 Y 4eft droit ,aufli-bien queles angles au point L; 
mais bien feulement que au cas que la ligne XV foitl’Axe, 
la ligne H L lui fera ordonnée ; puis que quelque point de 
la ligne EF que l’on prenne pour centre d’un cercle qui 
paflé par Y , & coupeE F en deux aurres points que B&#, 

d’où l’on mene deux lignes au même point Y ; l’angle de 
ces lignes fera toujours droit au fufdit point Y , & l’on 
pourra tirer du point H uneligne qui fafle auffi angle droit 
avec celle qui viendra d’un autre point que Eau point Y,8& 
cependant certe ligne ne fera pas l’Axe de PElip{e, Etje 
m'étonne que Commandin ne fe foit pasapperçü que tou- 
te la force de la conftruction de Pappus dépend de ce que 
le rectangleY HK, c'eft-à-dire, SH8, eft égalau quarré 
OY, &qu'il n'ait pasfcû la verité de ce Théorème que je 
démontre en etre maniere, 

Rec.del' Ac Tom. F. | Vuy 


462 SECOND PROBLEME 
T' ET, ÆESONRAENMAE. 


Si deux dismètres de mème conjugaif{on étant donnex dans une 
Ellipfe , lon tire de Pextremité de l'un d'eux une Contingen. 
te qui rencontre les deux Axes : le retlangle des parties de 
la Contingente entre les Axes, € le point de l'attouche- 
ment , ef égal au quart du quarré de l'autre diamitre. 


Fig. I, dela Soient dans l’Ellipfe V GXZ , dont les Axes font VX 

EE gGZ(dansla 3. Figure dela 11. Planche) deux diamé- 
tres de même conjugaifon HT &OP ; & de l'extrémité 
d’un d’eux , comme de H foi tirée la touchante > H €6,(qui 
fera par conféquent parallele à O P } laquelle coupe les 
xes, fçavoir V X au pointé, & GZ au point d;Je dis 
que le rectangle 8H 2 eft égal au quarré O Y. 

Pour le démontrer, il faut premierement au point O 
mener une autre Contingente £ Or, ( qui fera auffi paral- 
lle à HT, )& quicoupeles Axes VX enr, &GZenË; 
puis au point V en mener une autre & V6, (laquelle fera 
auffi parallele à l'Axe GZ, }& qui coupe la Contingente 
sHen®, & OP prolongée enéenfin des points H & O 
mener H M & HL, Oz & O vordonnées aux Axes V X 
&GZ, & continuer H Lens. 

Maintenant , à caufe dela touchante*H 6 , le reétangle 
€Y Left égal au quarréV Y;& à caufe delatouchanre éOr, 
le reétangle 7 Y Heftaulli égal au même quarré V Y; les 
deux rectangles donce Y L, &rY mfont égaux. Et par- 
tant la ligne € Y eft à r Y comme Y wa Y L. Deplus, com. 
me les lignes$6, O Y font paralleles , auffi - bien que les 
lignes » ë & H Y ;les trianglesCHY, YO x font fembla- 
bles , auffi-bien que lestriangles6H L, YO u:& partant 
dans les deux premiers € Y fera àr Y commeH6iOY:& 
dans les deux derniers H6 fera à O Y commeHL à Oz; 
& par conféquenté Y fera är Y comme HLàO y. Mais 
nous avons démontré cy-deflus que6 Y étoit à 7 Y comme 


DES ÂARCSIRAMEPANS. 463 
. Yua YL, c'eft-a-dire, dans les triangles OY#,5YL; 
commeO y à Ls:DoncHL fera à Om, commeO eftà 
L: & partant le rectangle H L: fera égal au quarré OL; & 
par conféquenr le quarré Y L aura même raifon au reétan- 
gle HL:, qu’au quarré O # Mais la raifon du quarré Y L 
au rectangle H Left compofée de celles deY La HL ,eu 
à fon égale Y M ,&de Y LiLs, c'eft-à-dire, à caufeque 
les triangles Y L:, 6 Y 4 font femblables, de6Y 2Y9, 
lefquelles compofent auf la raifon du re&angle£Y Lau 
rectangle 4Y M , ou de leurs égaux le quarré V Y au 
quarré GY : Donc le quarré Y Lferaau quarré O y com. 
me le quarré V Y au quarré G Y , ou prenant leurs qua. 
druples, comme le quarré de l’Axe V X au quarré GZ: 
Mais comme le quarré V X au quarré G Z, ainfi le re&tan- 
gle VX eftau quarré O #: Donc de quarré Y L, &le 
rectangle V # X auront même raifon au quarré O # & par: 
tant ils feront égaux : Et par conféquentlerectanglee Y L 
fera au quarré Y L, c’eft-à-dire, la ligne 6 Y à Y L, com. 
me le même rectangle6 Y L, ou fon égal le quarré VY, 
au rectangle V # X ; & par converfion de raifon 6 Y feraà 
€ L comme le quarré V Y au quarré Y». Mais comme 
éY àcL, ainfieseft à6H , c'eft-à-dire , en pre- 
nant 4H pour commune hauteur , le re&angle8s H au 
rectangle6 HA: Doncle retangle6 3H fera au rectangle 
€H comme le quarré V Y au quarré Y 4 Maisà caufe des 
paralleles#Y , HL, &4V, le rectangles 4H eft égalsau 
quarré do, comme lerectanglee Y L eft égal au quarré 
V Y: Et partant le quarré 9, oufon égal Y £, fera aurec. 
angle H 4, comme le quarré V ŸY au quarré Yy. Mais 
comme le quarré V Y au quarré Y s ,ainfi eftle quarré Ye 
au quarté O Y : Donc le quarré Y Laura mêmeraïfon au 
rectangle € H4 qu’au quarré O Y : Et par conféquenrle 
rectanglee H *eft égal au quarré O y. Ce qu’il falloit dé. 
montrer. ” 


Vuu ij 


464 SECOND PROBLEME 


SECONDE OBSERV AT I ON 
Autre moyen de trouver les Axes fafdits. 


. Prèsavoir fuffifamment difcouru fur là maniere de 
FA Pappus, pour trouver les Axes d’une Ellipfe, dont 
les diamétres de même conjugaifon font donnez ;ilne 
refte plus qu’à en enfeigner une qui trouve ceux de la Pa. 
rabole, & de l’'Hyperbole , ainfi que nous l'avons promis, 
Mais comme la regle , par laquelle on réfout le Problème 
pour ces deux Sections, eftuniverfelle, & fert aufli à ré- 
{foudre celui de l’Ellipfe ;.il m'a femblé qu’il ne feroit pas 
inutile de l’expliquer en cet endroit, & que les Ouvriers 
m'auroient une double obligation , fi je leur enfeignois 
divers moyens de parvenir à un même but, defquelsils 
pourront choïfir celui quileur fera plus agréable , ou mê- 
me faire la preuve de lun par l’autre, puis qu’étane éga- 
lement vrais & démonftrarifs, ils doivent également bien 
réüflir , fon fait les opérations comme il {e doit. 


Maniere univerfelle de trouver les Axes d’une Seétion Coni- 
que, dont les diamétres de mème conjugaifon font donnex, 


Pour l'Ellipfe & pour l Hyperbole. 


Fg.alaxr. Soient donnez deux diamétres de même conjugaifot: 
Je dune Ellipfe ou d’une Hyperbole HT & OP fe coupans 
au centre Y , & l'angle H Y P (comme aux Figures de la 
14. Planche. ) Ïl faut premierement prendre k ligne H D: 
troificme Géometrique aux deux T H & © P, & l'ajouter 
à la ligne T H dans l’Ellipfe, ou la retrancher de la même 
T H dans l’'Hyperbole, owenfinretrancher là ligne TH 
de D H, fi celle-creft plus grande queautre ; puis cou- 
per en deux également en I la toute , ou la difference: 
TD. Enfuite fur la ligne H Y comme diamétre foic décrit 


DES ARCS RAMPANS. 465$ 
le demi-cercle HN KY, (en forte qu'il ne coupe point 
Pautre diamétre © P } dont le centre foit G , dans 
lequel foit appliqué HN parallele à OP , & continüée 
indéfiniment ; puis, après avoir divifé HN en deux éga- 
lementen €, &tiréG C, il faut prendre fur CH conti. 
nüée, s’iken eft befoin, la ligne C Bégale 41H, & tirer 
BL parallele iG C, ou perpendiculaire à CB, laquelle 
B L rencontre la ligne T H prolongée, sil eft befoin, en 
L , d'où il faut mener L M parallele à O P,& égale à HD; 
{ de la part de H vers € dans FHyperbole , & dans l’Elli. 
pfe, file point fe rencontre entre les points D & H com- 
meen la Figure 3. ou de la partoppoice, file point H fe 
trouve entre [& D, comme enla 4. Figure; )& du point 
M par Gmener MKG, qui coupe le deni-cercle en K s 
par où des points H & Yil faurmener indéfiniment les 11. 
gncsHKQ, & YKF, quirencontre HN continüce en 
V 5 après quoientre les deux V Y & Y K, il faut faire Y E 
moyenne Géometrique , à laquelle il faut prendre YF 
égale, &tirer des points E & Y des lignes indéfiniesE R 3 
& Z Y X paralleles à HK ; puis aux deux EK & K H faire 
une troifième Géometrique KQ, & du point F par Q_ 
mener FQR, quieoupe ER en R ; & enfin entre les 
deux ER & EF, trouver une moyenne Géometrique, 
dont la moitié foi égale à chacune deslignes Y X & Y Z - 
Et faifant dans l’Ellipfe du point F fur l’Axe XZ les lignes 
FA, & FS égales 4 YZ53 ou bien dans l’'Hyperbole du 
point Y fur PAxeEF, leslignes Y À & YS ‘égalesà EZ: 
on aura les deux Axes que l’on demande ZX&EE, & les 

. - deux foyersou fingliots À &S. 


Pour la Purabole. 


* Soit OZ le diamétre d’une Parabole, & OK fonpara ri. r 41e 
métre en l'angle R OZ, (comme en la r. Figure dela 1 $, 7 "x. 
Planche.) Er aprèsavoir continué Z O au-deflus du point’ 
| Oilfaut prendre OP égalà la moitié du paramérre OR x 

# - Vuu ii] 


466 S%Æ € O N D PR © B L EM 
& du point P tirer la ligne P Q perpendiculaire à R.O 
continuée , s’il en eft befoin, & du point Q mener QT pa- 
rallele à OZ,& OS perpendiculaire à QT ; enfuite après 
avoir divifé Q $ en deux égalementen X, mener X V pa- 
ralelcaOS, &troifiémeGéometrique aux deux lignes 
XS&OS. Je dis que le point X fera le fommer, la ligne 
XT l'Axe& X V le côté droit de la Parabole propofée, 

is. VV. La démonftration de cette maniere univerfelle fe fait 

V1. dr VII. de £ W à . à . 

la XV.Panc. EN Cette maniere, Après avoir du point K (dans les Figu- 
res 3.4. pour l'Hyperbole, & 5.6.& 7. dela 1 $. Planche 
pour l'Ellipfe, pour éviter la confufon des lignes dans les 
Figures de la 14. Planche) mené la ligne K7s parallele à 
NH,& qui rencontre la ligne GC prolongée, s’il en eft 
befoin, au point O , je raifonne ainfi. Les triangles GHC, 
LHB étant femblables, LH fera a G H comme BH a 
HC, &encompofant (dansles 3.4.& 6. Figures) ou par 
converfion de raifon ( dans la $.) LG fera a G H comme 
BCaCH. Mais a caufe de la fimilitude des triangles 
LGM,HGÿ; LG eft a G H comme LM aHf:DoncBC 
eft a C H comme L M eft a H#; & en permutant B Cefta 
M L comme CH a Hé. Mais comme B C a été prife égale 
alH,& M L égaleaH D ; &comme CH eft a H4,ainfi 
OreftarK: Donc [I Hefta H D comme O7 efta 7K: 
Ec( dans la 3. Figure) en changeant, par converfion de 
raifon , en doublant les conféquens, par converfion de 
raifon,& en changeant sou (dans la 4. Figure ) en divifant, 
doublant les antecedens, &en compofant ; ou bien{ dans 
la 5. Figure) en changeant, par converfion de raïfon,, 
doublanr les conféquens, en divifant ,& en changeanr; 
ou ( dans la 6. Figure) en compofant , doublant les anté- 
cedens , & en divifant ; ou enfin ( dans la 7. Figure) en 
changeant, par converfion de raïon, doublantles confé. 
quens, en divifant & changeant ; HT fera a D H comme 
re cit a K7r,c’eft.a-dire, comme le reangle ; 7 K eftau 
quarré K7, ou comme le rectangle H x Y au même quarré 


DES ARCS RAM P'ANS. 467 
K7%,&enchangeant, le quarré delaligneK#fera au rec- 
tangle Ha Y comme la ligne H D efta HT, c’eft.a.dire, 
au double de la ligne H Y. Mais H D à été prife danstous 
les Cas la croifiéme proportionnelle aux deux diamétres. 
demême conjugaifon HT & © P : Donc la ligne H D'fera 
le paramétre du diamérre HT, par la 4. des fecondes def. 
du r. des Coniques d’Apollonius ; & H D étant a la dou- 
ble de H Y commele quarré de K=eftaure&angleH Y; 
le point K eft trouvé , ainfi que le demande la préparation 
des deux cas des Propofitions $3. & 54. du 1. des Coni- 
ques d’Apollonius ; & le refte de notre pratique eft le 
même que ce qai eft fait & démontré dans ces deux Pro- 
blèmes. La démonftration pour la Parabole eft toute 
entiere dans la ÿ 2. Propofition du même Livre. 


Fig. IT. dela 
ZV. Planches 


463  D'ESANMON NUS DE TEST 


BÉSSRSD SSSR SSSR SSSR RS RSS ESS S 
A 


TROISIEME PROBLEME 
RESOL U. 


Trouver Géométriquement les veritables joints de tête de 
toutes fortes d’Arcs rampans. £ 


PRE M I E‘REUD T5: C:O'U RS 


Près avoir enfeigné ci-deflus la maniere de décrire 
As Arcs rampasns, il eft bien jufte d’averrir les Ou- 
vriers que leur pratique ordinaire d’en tracer les joints 
de rêre eft inutile, ou faucive. Voici ce qu'ilsifont. 

Ils divifent premierement l’Arc comme D AF (dans 
la 2. Figure de la 1 $. Planche ,) en autant de portions 
qu'ils veulent faire de Voufloirs, comme A B & AC ; & 
voulant tirer le joint de têre, par exemple du point A, ils 
mettent le Compas fur le point B , & de quelque ouver- 
ture que ce puifle être , pourvû qu’elle foit plus grande 
que la ligne AB , ils font de part & d’autre deux Arcs de 
cercle comme N M & P Q; puis rapportant le Compas 
au point C, ils en font deux autres comme RH&T V, 
qui coupent les premiers enG&O, par où ils tirent la 
ligne G O ; ({ qui paflera néceflairement par le point À ,) 
& ils prennent la portion A G pour leur joint de tête ; ce 
qu'ils fonc par tous les points de la divifion de leur Arc, 
pour avoir par ce moyen tous les autres joints de cête. 

Sur quoy je dis premierement, qu’il n’y a qu'aux feuls 
Cas, où l'Arc propofé eft portion de cercle , ou bien lors 
qu'étant une fection Conique, le joint fe doit tirer par 
l’un des fommers, que certe régle n’eft pas faufle; aufquels 
Casen échange elle eft inutile , puifqu’il ne faut alors que 

tirer 


PROSLEME TROISIEME. 469 


tirer les joints au centre ; & qu’en tous les autres Cas ; où 
l'Arc propolé eft portion d’une autre ligne que circu- 
laire, elle eft abfolument faufle & abfurde. 

Parce que fur cette hypothéfe on peur tirer une infinité 
de lignes differences, & tendances à differents points , qui 
afleront néanmoins par un même point de divifion de 
Arc, & pourront toutes également être le joint de tête 
du même Arc en ce même point. Je veux dire que fuivant 
cette méthode on pourra faire pafler une infinité de li- 
gnes par le point À comme À G, AH, &c. tendantes à 
différens points comme G, H,&c. & qui pourront autant 
l’une que l’autre être prifes pour le joint de rêre de l’Arc 
D A F au point À ; ce qui eft abfurde, puifqu’il n’y a qu'un 
feul joint de rêre qui puifle être legitimement appellé tel 
en chaque point de quelque Arc que ce puifle être ; &la 
régle par conféquent qui en produit plufieurs ne peut 
étre que faufle & abfurde. 

Or qu’il foit vrai que par la régle fufdire on puife tirer 
une infinité de lignes par le point À , qui pourront toutes 
être également prifes pour le joint de rête de l’ArcDAF 
en ce même point , je le montre en cette maniere. Soit par 
exemple PArc D AF portion d’une Ellipfe, & le point A 
pris ailleurs qu’au bout d’un des Axes : Et après avoir 
comme deflus pris les points B & C également diftans de 
A ,&tireles Arcs MN ,R H & PQ,T V ,afin que des 

oïints de leur rencontre G & O , on puifle mener la lighe 
GAO , laquelle fera perpendiculaire à la ligne B C , & la 
divifera en deux également en X , & la ligne À G fera par 
cetre opération le joint de rête du point A. 

Je dis maintenant , que fi on prend quelqu’autre point 
dans l'Arc comme D , duquel on tire une ligne D E paral- 
_ ele à BC';&rencontrant la fection en E, & la droite GO 
en Î, les angles au point I férontaufli droits ; mais les droi- 
tes DI & LE ne font point égales, parce qu'autrement 
Ja ligne A O feroit Axe de l'Ellip£e, (les deux lignes B C 

Rec. del Ac. Tom.F. Xxx 


E] 


470 DfE:s > 1roU N'ES DÆ TESTE. 

& D E étant paralleles,& toutes deux divifées également, 
&aangles droits par A O;) ce qui eftcontré l’hypothéle : 
Et partant D I ne fera point égale à LE, ni par conféquent 
la droite A D à la droite AE ; Et partant fi du point À 
nous infcrivons dans l’Ellipfe une ligne A F égalea AD, 
elle combera ou deflus ou deflous du point E , & la ligne 
D F deflus ou deflous de DE, & les angles faits au point K 
par la ligne G O ne feront point droits ; & partant DK & 
KF ne feront point égales : Ec partant fi des points D &F 
également diftans du point A , on fait felon la régle fuf- 
dite des Arcs de cercle au-deflus &au-deflous , par le ren- 
contre defquels on tireune droite comme HL; elle pañlera 
par le point A, & coupera au point L la ligne D F en deux 
également , & par conféquent elle ne fera pas la même 
que GK, & la droite À H ne fera pas la même que AG ; 
& A H fera néanmoins le joint de rête de l’Arc au point 
À , fuivant la régle fufdite. Et comme on peut prendre 
une infinité de points differens également diftans de part 
& d’autre du même point À, & par le moyen defquels on 
peut faire une infinité de lignes différentes par la régle 
{ufdite , qui peuvent être aufli legitimement prifes pour 
le joint de l’Ellipfe au point À, que la ligne A G; & comme 
ce que je viens de démontrer pour lEllipfe,peut être aufl- 
bien entendu pour toute autre forte de ligne courbe diffe- 
rente de la circulaire ; il s'enfuit ce que nous avons dit 
ci-deflus , & par conféquent que la régle qui eft commu. 
nément en ufage parmi les Ouvriers, eft faufle, 


S’E GC ON: D: DISC OR S. 


As comme il feroit inutile d’avoir découvert la fauf 
jeté de la pratique ordinaire , fi l’on n’en enfeignoit 

une autre qui n€ foit pas fujette à ces défauts : j'ai pour ce 
fujer aflez {érieufement médité fur cette matiere ; {ur la- 


PROBLEME TROISIEME. 47! 


quelle j'ai premierement reconnu que la vraye & univer- 
{elle maniere de tracer les joints de tête de toutes fortes 
d’Arcs dans route leur perfection, tant pour la füreté 
& folidité de la liaifon des Voufloirs , que pour la beauté 
& l’élegance du trait, confiftoic à lesrirer perpendiculai- 
res a l'Arc, c’eft-à-dire, à plomb fur les lignes qui rou- 
cheroient l’Arc aux mêmes points ; puifque cette prati. 
que, ( quieft la même que celle dont on fe fert au cercle 
où les joints de tête vont au centre, } ne détermine jamais 
qu’un feul joint de tête en chaque point,& donne aux cou- 
pes des Voufloirs toute la force & la grace, donc l'Arc 
puifle être capable. Et pour la rendre familiere aux Ou- 
vriers , j'ai râché de leur en compofer deux régles fi fa- 
ciles , que rien ne les puifle dorefnavant empêcher de s’en 
fervir ; & quoique les Arcs puiflent être portions de diffe. 
rentes Scétions du Cone , comme du Cercle , de lEllipfe, 
de l'Hyperbole, ou de la Parabole; je les ai néanmoins 
concüës fous des termes fi généraux, & fi propres , qu’el- 


‘les peuvent également fervir à routes. 


Maniere univer(elle de tirer les joints de tête de toutes fortes 
. d'Arcs rampans. 


Il faut de chaque point de l'Arc tirer des perpendicu- 


Jlaires à l'Axe dela Se&ion, qui coupent le diamérre qui 
. A A 1 : 0 LS 
pale par le point , où le côté droit, ou paramétre du mé- 


me Axe, eft coupé en deux ègalement ; & du point, où 
la perpendiculaire rencontre l'Axe, comme Centre , & 
de l'intervalle compris entre le fufdir Axe & ledit dia- 
métre, faireun Arc de cercle, qui coupera l’Axe en deux 
points, de l’un defquels, fçavoir de celui qui eft le plus 
éloigné du fommet de la fe&tion, il faut mener, par le 
point premierement pris dans l’Arc rampant, une ligne 
droite , qui marquera le joint de cête que l’on demande. 
Soit la ligne À CB l’Axe d’une fection BK KB, (aux 1. 
Xxxi] 


472 D'Es JOINTS DE TESTE. 

re. 1. mem. 2. & 3. Figures de la 16. Planche) dont la ligne B H foit 

ae Pk le côté droit on paramétres & par le point I qui divife BH 
en deux également, foit menée indéfiniment le diamétre 
IN : Puis de quelque point pris dans la feétion comme de 
K, foit menée la ligne K M N perpendiculaire à l’Axe 
qu’elle coupe en M ,& le diamétre I N en N ; & du point 
M comme centre ,& intervalle MN , ( c’eft-ä-dire, de la 
portion de la perpendiculaire comprife entre PAxe À CB 
& ledit diamétre EN : ) foit fait le cercle N L qui coupe 
le même Axe au point L, en forte que le point M foit toû- 
jours entre le fommet de la fe&tion dontil eft le plus pro- 
che, & le fufdit point L ; duquel par le point K,, il faut ti- 
rer la ligne L KO, qui donnera la droite KO pour le 
joint que l’on demande. 

Mais parce que les Ouvriers ne fçavent pas toûjours 
comme on trouve ce diamétre IN , ileft à propos de leur 
en enfeigner la maniere, fuppolé , par ce qui a été montré 
dans le précedent Problème , qu’ils connoiflent les Axes 
de la feétion propofée , qui foient par exemple les lignes 
ACB&ECD , parle moyen defquels il faut trouver la. 
ligne B H côté droit ou paramétre de l’Axe À CB, ce qui 
fe faitainfi. Il faut du centre C prendre fur l’Axe CA la 
ligne CF égale à CD , & du point F tirer la ligne F G pa- 
rallele à À D, & du point A par G dans l’Ellipfe & l’Hyper- 
bole, ( Figures 1. & 3.) tirer La droite À GH, qui coupe 
en H la ligne B H perpendiculaire à A B ; ou bien dansla 
Parabole { Figure 2. } faire AH égaleà CG, & cirer indé- 
finiment la ligne HG, afin que l’on ait par ce moyenen 
toutes les Figures la ligne droite BH pour le côté droit, 
ou paramétre que l’on recherche, qui étant divifé en deux 
égalementen!I, & tirant du centre C dans l’Ellipfe & l’Hy- 
perbole, la ligne CIN , ou bien tirant dans la Parabole 
la ligne I N parallele à A C;la mêmelIN fera le diamétre 
de la feétion que l’on demande. Ce que je démontreen 
gette maniere. 


PROBLEME TROISIEME. 47% 


Mais auparavant je dois dire que les diamétres de la 
Parabole étant tous paralleles, il paroît qu’il n’y a au 
cun centre de cette Figure, c’eft-à-dire, aucun point de 
concours des diamétres ; & pour cet effet nous avons mis 
les deux extrémitez de l’Axe A & B en un feul point, qui. 
eft le fommet ; Et pour le point C qui fert de centre ,nous 
Pavons pris à fanraifie dans l’Axe, par lequel nous avons 
mené l’ordonnéeE C D, qui fait en la Parabole , en quel- 
que endroit que l’on la prenne, le même effer que le fe- 
cond Axe dans les autres Figures. f 

Je dis donc pour démontrer que la ligne I N eft le dia. 
métre que l’on cherche. Parce que CF eft égale CD, 
&GF parallele A D; la ligne AC feraà CD ,comme 
CF, ou fon égale C D à C G : Et partant dans la Parabole 
(Figure 2.) le quarré de C D fera égal au redtangle À CG, 
& la ligne CG , ou fon égale AH, fera le paramétre ou 
côté droit de l’Axe de la Parabole A C. Mais dans l’'Hy- 
perbole & l’Ellipfe ( Figures 1.& 3.) puifque ACeftàCD 
comme CD efta C G; le quarré A C fera au quarré C D: 
(ou leurs quadruples, fçavoir le quarré de l’Axe AB au. 
quarré de lAxe E D, ) comme la ligne À Cä la ligne CG, 
c'eft-à-dire, comme lAxe tranfverfe A B à BH : Er par 
conféquent la ligne BH fera le paramétre ou côté droit. 
de l’Axe tranfverfe A B. 

: Maintenant , pour démontrer que les lignes KO font: 
les véritables joints de rête de la fection propofée, & qu'ils. 
la coupent à angles droits ; il faut de quelque point que ce 
foit de la fection comme £, par lequel on a tiré un joint de 
tête ko, mener une ligne droite £ R perpendiculaire à la 
ligne ko, & qui rencontre l’Axe de la fe&ion continüée 
enR , & prolonger la droite £#» jufqu’à ce qu’elle trouve 
G H continüée au point 7. Après quoi, pour faire voir que 
le joint £o coupe la fe&tion à angles droits, ou (ce qui eft; 
la même chofe) que la ligne & R touchela fe&ion au point 

X xx iij 


474 DES JOINTS DE TESTE. 


k£, je raifonne en certe forte. D'autant que du fommet Æ& 
du triangle rectangle /£R , on a mené une droite £ » per- 
pendiculaire à la bafe R 7, lere&tangleR #7 fera égal au 
quarré de £m. Mais le même quarré km eft aufli égal au 
rectangle Bmg, parles 11, 12 & 13 du r.des Coniques 
d’Apollonius : Donc les re&angles R#/& Bmgferont 
égaux ; mais parce que la ligne #/eft égaleàmn, le rec- 
tangle R #7 /{era aufli égal au retangle R #7; & partant 
les deux rectangles R # 7 & B #9 feront égaux ; & la li- 
gne R fera à Bm comme myamn, & en divifant R Bà 
B comme g n à m n : Et partant comme la ligne 7» dans 
la Parabole ( Figure 2.) eft égale à la ligne ##, la ligne 
KB feraaufli égale à B#, & la droite £ R touchera la Pa- 
raboleen & par la 33 du r des Coniques. Mais pour PElli- 
pfe & l’Hyperbolé ( Figures r & 3 ,)puifque R BeftàB 
commegneftèmn, & qneltégaleà HI ouB I; la ligne 
KR B fera à Bmcomme BI àw#, c'eft-à dire, commeB C 
à C m ;en permutant & compofant R C fera à BC comme 
BCà Cm». Et comme AC eft égale à CB ;latoute R A 
dans l’Ellipfe fera divifée Harmoniquement aux deux 
points B&», & la route À » dans l’Hyperbole aux deux 
points B &R : & partant, en l’une & en l’autre, la ligne 
AR feraàB RcommeAmàBm; &laligne £R touchera 
la fe&tion au point £&, par la 34. du 1. des Coniques. Et 
comme la même chofe fe peur femblablement démontrer 
dans tous les points de la fetion , il paroît de la verité de 
la propofition. Ce qu’ilfalloit démontrer. 


Seconde maniere de tirer les joints de tête de toutes fortes 


d'Arcs rampans. 


Il faut de chacun des foyers de l’Ellipfe & de l'Hyper: 
bole mener des lignes qui fe rencontrent en un même 
point de l’Arc ; Mais dans la Parabole il faut du foyer me 


mn — 


ee. LM 


PROBLEME TROI1ÏïSIE ME.475 
nerune droite, qui foit coupéeen un point de l’Arc par 
une ligne parallele à l'Axe. Enfuite dans routes les fec- 
tions , l'angle qui eft fait par ces lignesau point de lArc, 
doit être coupe en deux également par une droite, qui 
fera le joint de cêre que l’on demande. 

Des points G & F foyers de 'Ellipf ou de l’'Hyperbole, rev 
( dansles 4 & 5 Figures,)il faut rirer tant de lignes que l’on &iexs Plar- 
voudra GH,F I qui fe coupent en des points de l’Arc com- 
: me en K. Tout de même, il faut du pointF foyer de la 
4 Parabole, ( dans la 6 Figure ) mener F I qui foitcoupéeen 
$ un des points de l'Arc K, par la ligne HK parallele à A. 
xe de la Parabole A F. Enfuite (dans toutes les crois Figu- 
ê res il faut faire les deux lignes HK & l'K égales, & des 
Li points I & H comme centres, & de quelque intervalle 
que l’on voudra, (pourvû qu'il ne foit pas plus petit que 
$ la moitié de la-diftanceentre I &H) l’on doit décrire les 
4 deux Arcs qui fe coupent au point L , d’où il faut mener 
OLK, qui fera le joinc de tête que l’on recherche. 

La démonftration eneft aifée : Car ayantmené parun 
des points K la ligne M K N qui touche la feétionau point 
K, qui fera par conféquent (ainfi qu’il a été démontré 
par d’autres) l'angle M KIégalà NKH;&l’angleIK L 
ayant été fait égala HK L, ils’enfuit que l’angle MKL 
eft égal à N KL ; & partant, que LK eft perpendiculaire 
à la contingente. 

Les points G & F foyers de l’Ellipfe ( dans la 4. Figure ) 
fe trouvent, enfaifant les lignes E F &E G (qui font tirées 
d’une des extrémitez du petit Axe E D fur le grand Axe 
AB)égales à CB, moitié du grand Axe A B. 

Ceux del’HyperboleG & F (dans la 5. Figure ) fe trou- 
vent, en prenant du point C, quieft le centre, les lignes 
CG & CF fur le grand Axe, égales à la ligne EB tirée 
d’un des bouts du petit Axe E D à une des extrémitez du 

grand Axe AB. 


476 DES JOINTS DE TESTE. 

Le foyer dela Parabole F( dans la 6. Figure) fe trouve 
en faifant depuis le fommet A la ligne A F égale à AG, 
c’eft-à-dire,au quart dela ligne À D qui eft le paramétre, 
ou le côté droit de la Parabole. 


QUATRIE'ME 


‘1 0 ME 7 VARCE À 477 
RER ARR AR RR RAR ARS Rss ane 
| dt en en er trans 
| QUATRIEME PROBLEME 
D, moto pes 0 EE 3 essll 
Dreaver la ligne far laquelle les Poutres doiventsêtre coupées 


en leur hauteur & largeur , pour les rendre par tout 


également fortes @ réfifantes. 
PREMIER DISCOURS. 
where: 
F. B. EPISTOLA AD P. W. 


Zn quà celebris Galilei propolitio difcutitur circa naturam 


- dineæ qua T'rabes fecari debent fecundèm altitudinem ; ut 

fint æqualis ubique refilentie ; vin qua lincam illam non 

uidem Parabolicam , #4 ipfe Galileus arbitratus ef? , [ed 
 Ellipticameffe, demonffratur. 


DEBAR HE PD 


Ergratæ mihituæ litrerz fuerunt ,cùm ex illisintelli- 
P gam & te valere, & me à te amari ; quamquam fubi- 
ratior videaris quod ad te raro fcribam , id quod non tam 
meâ negligentia quàm penurià Tabellariorum contigifle, 
credas velim. Nam à quo tempore à Sarmatis ad Cimbros, 
evolavit Heros vefter , nemo fané fuir qui ad te tuto per. 
ferrer litteras , erfi id oprabam vehementer , tümut fin- 
ceras tibi grates agerem , quod officiosà ruâ confabulatio. 
ne fciverit Magnusillenofter Amicus, maximo meaffec- 
tum fuifle gaudio , cùm fummum Arétoi marisimperium, 

ei concefifle mihi nuntiatum eft ; cm etiamut tibi figni- 
ficarem , idmihi perutile futurum, fi me quâ foles beni.. 
Rec.de l Ac. Tom... XYY 


Fr. 34 Faby 17. 


478 PROBLEME QUATRIEME 
gnitate apud illum amicà commendatione profequereris. 

Cæterüm perjucunda mihi profe&d fuit elegantifima 
tua narratio de admirabili illà Machinà quà in Coloffco- 
teri cui Leonis Hyperborei conftruétione utite dicis ; & 
magnopere me delectat ifla conremplatio intricatiffimæ 
illius tignorum , rudentum, & ferramentorum, compa- 
gis, quæ Reétoris imperio ingenioque ira fe præftat obfe- 
quentem : Sed pergratum mihi feceris, fi per te certior 
aliquando fiam , quandônam Navistua 


Premet imperio[z fuum mare ? 


Ingens enim deillä percrebuit rumor, dignam fcilicet fo- 
re, cui 


Baltica tota lubens deferviat ora. 


uod autem fcribis , fetas à re ex præfcripto Galilæf 
linea Parabolicä fecundüm alticudinem Trabes ,uræqua- 
lis ubique forent refiftentiæ, non omnino expedationi 
tuæ refpondifle ;iftud me primèm non mediocriter com- 
movit : tantæ enim apud me exiftimationis virille femper 
fuit, utinducere inanimum nunquam poflem , quicquam 
ab eo minüs fapienter excogitatum polle à nobis aliquan- 
do refarciri. 

Verùm re penicüs introfpe&à, difcufhfque iis propof- 
tionibus, quas de refftentià Solidorum 2. lib. Mechan. 
confcripit ; & quandoquidem tu me meam ea de re fen- 
tentiam rogas ; ita me cenfere fateor, neque diflimulabo 
delufum fanè ift ratione fuifle Galilæum , ut ea crabibus 
utrinque fultis congruere arbitratus fuerit , quæ tignis ak 
terà fui parte in murum infixis, aliâ verd liberë promi- 
nentibus convenire reétè demonitraverart. 

Etenim quando aflerit momentum refiftentiæ in A (li- 
cetenim mihiaffari te verbis Geometricis)Cunei feu Prif 
matis triançgularis À B GDF efle ad momentum ejufdem 
in €, utlinea A B eft ad lineam C B : At & contrario mo- 


_ DELACOUPEDESPOUTRES EGALEMENT RESEET. 479 
mentum refiftentiæ in À Trabis, feu Prifinatis quadran- 


gularis ABED , eflead momentum ejufdem in €, ut li 
nea C B eft ad lincam A B : Id profedoaliter intelligi non 
potelt, nequidem ex ipfo Galilzanæ -demonftrationis 
contextu, quam fi prifmata muro firmiter in punétis vel 
A , vel C adhærentia fupponantur, dum Pondera ex B 
dépendeant, quæ ficaugeantur , ut Prifmatum refiften: 
tiis evadant tandem æqualia; quorum ponderum eadem 
tunceritratio, quæ linearum À B&CB. 


AcfiTrabsAE fecariintelligatur per lineam Paraboli- ;. 


IG. 


cam FNKB, unde Solidum fiat AFNBGOD ; quod 
Cuneum Parabolicum appellare licet ; tunc ipfe Galilæus 
infert, exiis quæ ancè demonftraverat, momenta refif. 
tentiæ in quibufvis punctis efle æqualia ; id eft, (ut parer 
ex contextu demonftrationis) Pondus quod pendens ex 
B, Solidum Parabolicum frangeret infixum in parietem 
in punéto À , feu per fuperficiem A F D ; idem etiam Pon- 
dus pendens ex eodem B , idem Solidum frangerec inf- 
Xum in parietem in punéto C, feu per fuperficiem CN O, 
& fic de cæteris: Quod perutile faturam ait rei ædificato: 
riæ , ac conftruendis præfertim navigiis, in quibus tranf. 
tra quæ foros fuftinent rertiâ ponderis & molis parte mul- 
ari point, (falvâ& incolumi refiftenti4. 
At ego (mi VV.) fareor, Prorsüsignorareme , cuinarn 
id ufui effe poffit , tranftraenimin navibus nulla funt quæ 
utrinque non fuffulciantur, & quorum extrema , im & 
fæpè media pars, quibufdam rebusnoninfideanr firmiter 
incumbantque. ; 
_Sed & rei ædificatoriæ parüm id opinor fubfidii afferer, 
cüm omnis ferè quæ inilla adhibetur materies , utrâque 
extremitate firmis quibufdam fulcimentis faftincatur ; fic 
in contignationibus Trabes mutulis aut parietibus, afleres 
trabibus , columen Columnis ; Cantherii capreolis & 
tranftris ; & rempla cantheriis infiftunt ; necullum ferè tie 
gaum reperias, cujus extremitas altera in murum infixa 


Yyyÿ 


24 Tab, 73 


Fig,s, Tab, 17° 


Fig. 1. Tab, 17: 


430 PROBLEME QUATRIE ME. 

fit, altera vero liberè extrà promineat ; nifi fi quod in 
fubgrundis domorum exret fuftinendis trochleis , quibus 
pondera attollantur in Cænacula, aut in muculis qu Mæ: 
niana fuffulciant. 

Reftarigitur ut, fi eadem tigna utrinque fulta fuppo- 
nantur , incumbantque in diverfis eorum partibus 1lla 
pondera quætrabes effringere poflint ; Quænaminter ifta 
proportio intercedat, inquiramus. 


P'ROLO ST TION R.T der 


Acprimüm quidem de Prifmate quadrangulari A BE 
fultoin À &B, notumeft ex eodem Galilæo , momentum 
refiftentiæ in C ad momentum refiftentiæ in H, id eft, 
minimum pondus quod incumbens in P , trabem frange- 
ret, ad minimum pondus quod eandem frangeretin M, 
efle ut reangulum A HB ad rectangulum À CB; hoc 
enim ab ipfo demonftratum eft. 


BORAONP O0" S TL TAT.ONS NEC UN ETNEES 


Atin Prifmate triangulari feu Cunco ABGDF, mo- 
menta refiftentiæ funt inter fe, ut re&angula fub alternis 
lineæ A B partibus ;id éft, momentum in C eft ad momen- 
um in H,utretangulum fub lineis A H, CB, adrectan. 
gulum fub lineis AC , BH. Eftenim ratio momenti refif_ 
centiæ Cunei in € ad momentum refiftentiæ ejufdem in 
H , compofira ex rationibus momenti Cuneï in C ad mo- 
mentum-refiftentiæ Prifmatis quadrangularis feu trabis 
AE, è quânafcitur , ineodem punéto C, momenti refif- 
tentiæ trabisin Cad momentum ejufdem in H,& tandem 
momenti-refiftentiæ crabisin H ad momentum refiftentiæ 
Cunei ineodem H. Sed ratio momenti refiftentiæ Cunei 
in Cad momentum trabisin eodem C eft (ex Galilæo ut 
quadratum CN ad quadratum CP feu AF id eft, ut 
quadratum.CB ad:quadratum AB , (componitur énim 
ex rationibus partium folidi contentarum in fuperficiebus 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. ÂS1 


CO&CIquæ funtinter fe ut fuperficies , id eft, propter 
communem alcitudinem NO, IP, utlineæ CN & CP; 
& ex ratione diftantiarum aétionis earumdem, quæ eriam 
funt ut eædem lineæ CN, CP:)Ratio vero momenti 
refiftentiæ prifmatis quadrangularis feu trabis in C, ad 
momentum ejufdem in Heft, exeodem Galilzo , ut rec: 
tangulum À HB ad retangulum A CB ; & tandem ratio 
momenti refiftentiæ trabisin Had momentum refftentiæ 
Cunei in eodem H, eft ut quadratum H M feu A F ad qua- 
dratumHK, id eft, ut quadrarum AB ad quadratum 
HB : Ergo ratio momentirefiftentiæ Cunei, feu Prifma- 
ts criangularis in C ad momentum refiftentiæ ejufdem in 
H, componitur exrationibus quadrati C B ad quadratum 
AB, rectanguli À H B ad retangulum A CB, & quadra- 
ti AB ad quadratum H B, Sed rationes quadrati C Bad 
quadratum A B, &quadrati A Bad quadratum HB func 
æquales rationi quadrati CB ad quadratum H B ; & rario 
quadrati CBad quadratum H B æqualis rationibus linea- 
rum C Bad BH, plus C Bad BH; ratio verd redanguli 
À HB ad retangulum A CB ,eadem eft quæ linearum 
AHad AC, plusHB ad CB : Ergo ratio momenti refif. 
tentiæ Cuneiin C ad momentum ejufdem in H, compo. 
nitur ex rationibus linearum CB ad BH, plus CB ad BH, 
plus À H ad AC, plus BH ad CB. Atqui rationes C B 
ad B H plus BH ad CB fefe mutuo deftruunt : Superfunt 
ergo rationes À Had AC plus CBadBH, quæ compo- 
nunt rationem retanguli AH, C Badre&angulum AC, 
BH. Unde parer propofitum. 


Be O0 POST TTC ON I" ERA LT A) 


Sic fitrabs À BE utrinque fecerur per diagonales A Q; 
QBquæ Solidum deinceps Cuneatum AQBTR S eff! 
ciant, occurrentes in medio trabis QR. Momentum re- 
fiftentix duplicis illius Cunei in C , eric ad momentum 
éjufdem in H , ut rectangulum fublineis HB , B Cadrec- 


Yyyii 


Fig. 3: Pab. 1 7e 


Fig. e, Tab. 17, 


- 


482 PROBLEME QUATRIEME 
tangulum fub À C & AH. Nam ratio momenti refiftentiæ 
duplicis Cuneïi in C ad momentum ejufdem in H, compo- 
pitur ex rationibus momentiin C ad momentum in G, & 
momenti in Gad momentum in H. Sed demonftrabitur , 
ut fuprà, momentum Cuneiin C ad momentum ejufdem. 
in G,efle in ratiose compofità quadrati lineæ C N ad qua- 
dratum lineæ G Q, & reétanguli A GB ad reétangulum 
A CB: Sed ratio quadrati CN ad quadratum G Q eadem 
eft quæ quadrari GC Bad quadratum GB feu ad rectangu- 
lum A GB: Ergo ratio momenti in C ad momentuminG, 
componerur ex rationibus quadrati C B ad reangulum 
AGB, & retanguli À GB adreétangulum A CB, quæ 
quidem funt æquales rationi quadrati C B ad reétangu- 
lum A CB, vel denique rationi lineæ CB ad lineam A C. 
Eodem argumento demonftrabitur momentum refiften- 
tiæ Cunei in G ad momentum refiftentiæ ejufdem in H, 
effe ut linea H B ad lineam A H : Ergo ratio momenti refif. 
tentiæ duplicis CuneiinC , ad momentumejufdeminH, 
componetur ex rationibus linearum C Bad A C,plusHB 
ad A H: quibus etiam componitur ratio reétanguli HB C 
ad rectangulum H A C. Unde paret propofitum. 


PANO PO ST 4 0 OU A RICA 


Quod autem ad lineam Parabolicam fpe&at , quâ qua- 
drifariam fecari trabes poflunt fecundüm altitudinem, 
neutro tamen modo continget unquam , ut momenta 
refiftentixæ fuperfint ubique æqualia. Etenim trabs À E eâ 
ratione fecetur ut Axis femi-parabolæ fit longitudo trabis 
AB ,amplitudo verd dimidia, fit ejufdemaltitudo A F, 
( planè ut fuperior Galilæi figura docet, ) unde Solidum 
AFNBGO D oriatur, quod Cuneum Parabolicum ap- 
pellare licet : Quodque fi utrinque fulciarur in A&B, 
momentum refiftentiæ utin C, erir ad momentum ref. 
ftentiæ ut in H, in ratione lineæ À H ad lineam A C. 

Nam demonftrabicur ut fupra rationem momenti re. 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. 483 

fiftentiæ Cunei Parabolici in C ad momentum ejufdem 

in H, componi ex ratione quadrati CN ad quadratum 
HK, (id eft, propter Parabolam linex CB ad lineamHB) 
plus ratione reétanguli À HB ad re&angulum A CB, (id 
cf, ratione linearum A H ad A C) plus HB ad CB: Ergo 
ratio momenti refiftentiæ Cuneiin C ad momentum ejuf_ 
dem in H , componetur ex rationibus linearum C B ad 
BB, plusHB ad CB, plus A H ad A C; fed ratio CB ad 
HB deftruit rationem HB ad CB, eft enim ratio æquali- 
tatis quæ in compofitione rationum nihil addit aut demit: 
Ergo fupereft ratio liteæ À H ad A C,cuiæqualis eft ratio 
momenti refiftentiæ Cunei Parabolici in C ad momentum 
refiftentix ejufdem in H. Quod erat demonftrandum. 


PROPOSITIO QUINTA. 


Deinde ipfa Trabs A E fecetur diagonaliter à duabus fs.4 Tr7 : 
femi-parabolis AKQ, BN Q,quarum Axis communis 
fic À B & dimidia amplitudo etiam communis G Q , quæ 
occurrentes in medio Trabis in Q, efficiant Solidum 
AKQNBTORLS, quod duplicem Cuneum Parabo. 
licum appellare poflumus ; in quo momentum refiftentiæ 
in Cerit ad momentum refftentiæ in H, ut linea HB ad: 
lincam A €. 

Etenim ratio momenti refiftentiæ duplicis Cunei Para- 
bolici in punéto C ad momentum refiftentiæ ejufdem in 
punéto H,componitur ex rationibus momentiin € ad mo- 
mentum in G ,& momenti in G ad momentum in H ; jam 
vero ratio momenti refiftentiæ Cunei Parabolici in € ad- 
momentum ejufdem in G ,componitur ex rationibus mo- 
menti Cunei in € ad momentum refiftentiæ trabis AE, 
ë quâ nafcitur, in eodem punéto C, & momenti trabis A E 
in Cad momentum Cuneiin G. Atquimomentum Cunei 
in C ad momentunrtrabisin C , eft ur quadratum C N ad 
quadratum CP feu GQ, id eft, ( proprer Parabolam 
BN Q ur linea C Bad linçcam G B ; Momentum verd tra- 


Fig: 5. Tab, 17, 


_ 


484 PROBLEME QUATRIEME. 
bisin C eft ad momentum Cunei Paraboliciin G ,ut qua 
dratum G B ad reétangulum A CB, (idem enim eft mo. 
mencum refiftentiæ Trabis & Cunei in G., )id-eft , in ra- 
tionclinearum GBad AC, plus GB ad CB :Ergo mo- 
mentum Cunei in € ad momentum ejufdeminG ,eritin 
ratione linearum CB ad GB, plus GB ad AC, plus GB 
ad CB ;ideft, ut linea G B ad À C. Eodem modo often. 
detur momentum Cunei in G,efle ad momentum ejufdem 
in H ,ut linea H B eft ad lineam A G feu G B : Ergo ratio 
momenti refiftentiæ Cunei Paraboliciin C ad momentum 
ejufdem in H,componetur ex rationibus linearum G B 
ad À C & HB ad GB,ideft, eric ut linea HB ad lineam 
A C. Quod erat demonftrandum. 


PERTOPPNOLSLE TOO: SEA ANA 


Tertid , fi Trabs A E fecari intelligatur Linea Paraboli- 
cà À KQN B cujus vertex fit in Q, axis QG , & ampli- 
cudo À B , quâ quidem fe@ione fier Solidum AQBTRS 
quod Parabolicum appellabitur ; cujus momentum refi- 
ftentiæ in C eflgad momentum refiftentiæ in H ,utreétan- 
gulum A CB eft ad retangulum A HB, vel , quod idem 
ft , ut linea C N ad lineam HK. 

Etenim , ut fupra oftenfum eft, ratio momentiillius Pa. 
rabolici in Cad momentum ejufdem in H, componitur 
ex rationibus quadrati C N ad quadratum HK & reétan- 
guli À HB ad rectangulum A CB , id eft, ex rationibusli- 
nearum CN ad HK, plus CN ad HK, & reanguli 
AHB ad reétangulum A CB : Sed ratio lineæ C N ad 
HK , eadem eft ( propter Parabolam) quæ rectanguli 
A CB ad reétangulum À HB: Ergo ratio momenti refi- 
ftentiæ Solidi Parabolici in C ad momentum refftentiæ 
cjufdem in H, componetur ex rationibus C N ad HK, 
plus rectanguli À C B ad retangulum A HB, plus reétan- 
guli A HB ad retangulum A CB: Sed rationes À CB ad 
AHB,&AHBad A CB fefe mutuo deftruunt : Eftergo. 


momentum 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST.48 $* 


momentum refifteñtiæ Solidi Parabolici in C ad momen- 
tum ejufdem in H, ut linea CN ad lineam HK , id eft 
(propter Parabolam ) utreé&tangulum A CB eft ad rectan- 
gulum À H B. Quod erat demonftrandum. 


COROZZLARIU M. 


Et hinc vides iftius Solidi Parabolici momenta pro- 
portionem habereinverfam momentorum Trabis è qua 
enatum eft;illius enim momentum in C eft ad momentum 
in H, ut retangulum A CB ad retangulum A HB ; hujus 
verè è contrario momentum refiftentiæ in C eft ad mo- 
mentum refiftentiæ in punto H, ut retangulum À H B 
eft ad retangulum A CB. 


PROPOSITIO SEPT I M A. 


Quartd denique fecetur Trabs A E per femiparabolam 
FNKB, cujus axis fit AF & dimidia amplitudo AB; 
exurgatque Cuneus parabolicus AFK BGO D ; in que 
momenta refiftentiæ longè intricatiorem inter fe propor- 
tionem fortientur quâm in reliquis. Oftenderur enim ut 
fupra momentum Cuneiin C ad momentum ejufdem in 
H , efle in ratione compofitä quadrati C N ad quadratum 
HK , & reétanguli À H B ad re&tangulum À CB ; Quæ ra- 
tio fi referatur ad lineam B A feu ad bafim Cunei , eadem 
erit quæ compofita rationum quadrati lineæ compofitæ 
ex À C & A Bad quadratum lineæ compofitæ ex eadem 
AB&AH , plus retanguli fub linéis AH, C B ad rédtan- 
gulum fub lineis AC , BH. 

Sitenim À Qæqualis AB, &eritex proprietate Para- 
bolæ CN ad HK ut retangulum Q CB à rectangulum 
QH B, &ut quadratum C N ad quadratum HK, fic qua- 
dratum rectanguli Q CB ad quadratum retançguli QHB, 
id eft , ut lineaQ C ad QH, plus Q C ad QH, plus CBad 
HB, plus CBad HB. Sed ratio retanguli AB adrec- 
tangulum À CB, cadem eft quæ ratio lincerum A Had 

Rec. del Ac. Tom. Zrz 


Fig. 6: Tab, 178 


Fig. 7. Tab: 175 


436 PROBLEME QUATRIEME. 


AC, plus HB ad CB: Ergo ratio momenti refiftentiæ 
Cunei Parabolici in C ad momentum refiftentix ejufdem 
in H , componetur ex rationibus linearum QC adQF, 
plus Q CadQH, plus CBadHB, plus CBadH B, plus 
AH ad AC, plus HBadCB. Sed rationes CB ad HB, 
plusHB ad C B fefe mutuo deftruunt; Relinquuntur ergo 
rationes Q C ad QH, plus Q C ad QH, plus CBadHB, 
plus AHad A C;quæ componunt etiam rationem qua- 
drati Q CadquadratumQH, & rectanguli AH ,CB ,ad 
rectangulum À C, BH. Sed quadratum QC æxquale eft 
quadrato lineæ compofitæ ex AB & AC, quadratum 
vero QH æquale quadratolinex compofitx ex À B & AH. 
Ergo ratio momenti refiftentiæ Cunei Parabolici in C ad 
momentum refiftentiæ ejufdem in H, componitur ex ra- 
tionibus quadrati lineæ compofitæ ex A B & A C ad qua- 
dratum compofitæ ex eadem À B & AH, & rectanguli 
fub lineis AH, CB ad retangulum fab lineis AC, BH. 
Quod erat demonftrandum. 


SEC OL "LE UN. 


Acque ex iftis omnibus patet ratio , cur nimiam quam 
in Galilzum habebas fiduciam experimenta tua delufe- 
rint. Tantum enim abeft ucilla feétio Parabolica , quo- 
cumque tandem modo trabibus fecundüm altitudinem 
adhibeatur, æquet in illis utrinque fultis momenta re- 
fiftentiæ ; quin illa potiüs in infinitum dimovere poffit 
atque diducere ; etiamfi id femper veriffimum fit terciam 
ponderis & molis partem per Parabolas in trabe refecari. 


PR OPIOSTT TT P'O OC TANT, 


Sed nec ifta momentorum æqualium proprietas fec- 
tioni hyperbolicæ conveniet. Nam fi trabs A E fecetur 
primo per femi-hyperbolam À N KR fub tranfversi dia- 
metro Q À , Axe À B,& amplitudine BR , unde Cuneus 
hyperbolicus ortatur BAN RE LS G. Erit momentum 


: , 
DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. 487 


refiftentiæ in C ad momentum in H, ut eft rectangulum 

| fub QC & HB ad re&angulum fub QH & CB. Nam ur 

| fupra , demonftrabitur momentum in C ad momentumin 
H efle in ratione compofita quadrati C N ad quadratum 

| HK ,& rectanguli AHB ad reétangulum A C B. Sed ex 
proprietate hyperboles quadratum C N eftad quadratum 
HK ut reétangulum QC A ad rectangulum Q H A : Ergo 
momentum ft ad momentum in ratione compofita rec- 
tangulorum QC A ad QH A & A HB ad A CB. Sed ratio 
rectanguli QC À ad QH A cadem eft quæ linearum QC 
ad QH, & À C ad A H; ratio verd reétanguli A H B ad 
A CB eademeft quæ linearum A H ad C À, plus HB ad 

CB: Et rario A C ad A H deftruit rarionem À H ad CA: 

| 

| 

| 

| 

| 


Ergo momentum refiftentiæ Cunei hyperbolici in C ad 
momentum refiftentiæ ejufdem inH , eft in ratione com- 
poñita linearum Q Cad QH , plus HB ad CB ; Quæ qui. 
dem eff ratio re&anguli QC, HB ad reétangulum QH, 
BC. Quod erat demonftrandum. 


PR O P.O.S TITI O0; NON À. 


Si vero idem Prifma A E fecetur per duas femi-hyper: ri.8 ra. ::. 
bolas contrariè pofitas AK Q, B NQ, quarum axis com- 
munis À B, amplitudo eadem G Q, & tranfverfz diamecri 
æquales À V ,B X, quæ fein crabis medio Q fecantes, So- 
kdum inilla efficiant AK QN BT RS deinceps Cunea- 
tum hyperbolicum. Idem prorfus eveniet quod fupra, 
ericque momentum refiftentiæin C ad momentum refi- 
ftentiæ in H, ut eft re&angulum fub X C & HB ad rectan- 
L. gulum fub V H & A C. Elt enim ratio momenti refiften- 
tiæ Solidi deinceps Cuneati hyperbolici in C ad momen- 
tum refiftentiæ ejufdem in H, compofita ex rationibus 
momenti in C ad momentum in G,& momenti in G ad 
momentum in H. Et ratio momenti in C ad momentum 
in G componitur ex rationibus reétanguli AGB ad reétan- 
gulumA CB, plus quadrati CN ad quadratum GQ, id 

VAXAT 


Se 


Big, 1. Tab: 18. 


488 PROBLEME QUATRIEME. 

eft, (ex proprierate hyperboles ) re&anguli X CB ad rec- 
tangulum X GB. Sed ratio re&tanguli À G B ad reétan- 
gulum À CB , eadem elt quæ linearum A G ad AC, plus 
GBad CB; Ratio vero rectanguli X CB ad retangulum 
X GB ,eadem quæ linearum X € ad XG, plus CB ad 
GB: Et ratio GB ad C B deftruit rationem CB ad GB: 
Ergo ratio momenti refiftentiæ in C ad momentumin G, 
componetur ex rationibus À G ad AC, plus X Cad XG, 
quibus etiam componitur ratio reétanguli X € , A G ad 
rectangulum X G, A C. Eodem modo demonftrabitur 
rationem momenti refiftentiæ in G ad momentum refi- 
ftentiæ in H, eandem efle quæ re“tanguli V G, BH vel 
XG,BH ad reangulum V H, À G:Ergo ratio momenti 
refiftentiæ Solidi deinceps Cuneari hyperbolici in C ad 
momentum refiftentix ejufdem in H, componetur ex ra. 
tonibus reétangulorum X C, À Gad X G,AC, plus XG, 
B Had VH, A G. Sed ifta rationum compofitio eadem eft 
quæ compofitio rationum rectangulorum XC, À G ad 
VH,AG,plusXG,BHadXG,AC,ideft, (propter 
communes alritudines À G & X G) eadem quæ compofitio 
rationum linearum X C ad VH, plus BH ad A C: Ergo 
momentum refiftentiæ Solidi deinceps Cuneari hyperbo- 
kci in C ad momentum refiftentiæ ejufdem in H eft in ra- 
tone compofita ex rationibus linearum X Cad VH&BH! 
ad AC , id eft, re&anguli X C,BH ad VH, A C. Quod 
erat demonftrandum. 


PRO POST FE TO DEC TA: 


Quod fi Trabs A E fecetur per integram hyperbolam 
AKQNB ,cujusaxis fit GQ, tranfverfa diameter QV, 


& oppofira feétio I VZ ;eritadhucintricatior ratio mo. - 


menuirefftentiæ Solidi hyperbolici ÀQ BD R Y in Cad 
momentum ejufdem in H. Si enim producantur lineæ CN, 
HK, donec occurrant oppoliræ feétioni in Z & I; demon- 
ftrabitur rationem momenti in C ad momentum in H, 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. 489 


eandem efle quæ reétanguli fub lineis IH,CN adrec- 
tangulum fub lineis ZC,HK. Nam ,ut fupra, oftende_ 
tur rationem momentorum componi ex rationibus qua- 
dratorum C N ad HK,plus rectangulorum À H Bad ACB. 
Sed ex proprietate hyperboles retangulum A H B ad rec- 
tangulum À CB, eft ut re&tangulum I HK ad re&tangu- 


lum Z CN : Eric ergo ratio momenti in C ad momentum 


ïn H compofita ex rationibus quadrati C N ad quadratum 
HK , & re&anguli LH Kad retangulum Z CN. Rursüs 
demonftrarum eft ab aliis idem efle compofitum rationum 
quadrati C N ad quadratum HK, & rectanguli IHK ad 
retangulum ZCN,quod compofitum rationum quadrati 
C N adrectangulum ZCN ,ideft, lineæ C N ad lineam 
ZC, &rettanguli THK ad quadratum HK, id eft, lineæ 
TH ad lineam H K:Eftergo ratio momenti refiftentiæ So. 
lidi hyperbolici in C ad momentum refiftentiæ ejufdem 
in H, compofita ex ratione lineæ C N adZC, plus ra- 
tione lineæ I H ad HK ; quibus etiam componitur ratio 
re&angulil H,C N ad re&angulum fub lineis Z C , HK. 
Quod erat demonftrandum. 


PROPOSITIQ UN DECIT M A. 


Denique, fi Trabs AE per femihyperbolam FK NB 
fecetur, cujus Axis A F, tranfverfa diameter F V , & op- 
pofita fe&tio V IZ, oriaturque alter Cuneus hyperbolicus 
AFNBG LD ; erit intricatifima ratio momentorum 
refiftentiæ ejufdemin diverfis pun@is € & H. Nam  ex- 
tendantur ImeæCN, HK, utinfuperiori propofitione, 
donec occurrant oppofitæ fectioniin Z & I, erit ratio mo. 
menti refiftentiæ Cunei hyperboliciin C ad momentum 
ejufdem in H, compofita ex rationibus reétanguli füb li- 
neis IH & € N adrectangulum fub lineisZ C ,HK , plus 
reétanguli fub compofirä ex tota AB & parte À Cinli- 
neam À H, ad reétangulum fub compofitä ex cadem À B 
& parte À Hin lineam A C. Si AQ æxqualis A B oftende- 

Zz2 iij 


Fig-2, Tab, 18: 


490 PROBLEME QUATRIEME. 4 

tur, utfuprà, momentum refiftentiæ Cunei hyperbolici 
in C ad momentum ejufdem in H , efle in compofitä qua- 
drati C N ad quadrarum H K , & reétanguli À H Badrec- 
tangulum À CB : Sed ratio quadrati CN ad quadratum 
HK componitur ex rationibus quadrati CN ad quadra- 
tum AF, & quadrati A F ad quadratum HK ; ratio verè 

quadrati CN ad quadratum A F componitur rursüs ex 
ratione quadrati C N ad re&tangulumZ CN(ideft, pro- 

pter CN communemaltitudinem , )lineæ CN ad lineam 
Z C,plusratione retanguli Z C N ad re&tangulum Q CB, 
id eft (ex proprictare hyperboles) re&anguli V AF ad 
quadratum À B, plusratione rettanguli QC B ad quadra- 
tum À B, plus ratione quadrati A B ad re&angulum VAF, 
& tandem plus ratione re&anguli V A F ad quadratum 
AF,ideft,(propter À Fcommunem altitudinem) lineæ 
V A ad lineam À F: Atqui ratio rectanguli V À F ad qua- 
dratum A B deftruit rationem quadrati A Bad rectangu- 
lum V AF. Supereft ergout ratio quadrati CN ad qua- 
dratum A F componatur ex rationibus lineæ C N ad li- 
neam CZ, plus reétanguli QC B ad quadratum A B, plus 
lineæ V À ad lineam A F ; quibusetiam componuñtur ra- 
tiones rectanguli V À , CN ad retangulum CZ, AF& 
reanguli Q CB ad quadratum AB. Eodem argumento 
demonftrabitur rationem quadrati AF ad quadratum HK 
componi ex ratione rectanguli IH, À F ad re&angulum 
VA,HK, plus ratione quadrati À B ad re&angulum 
QH B : Ergo ratio quadrati C N ad quadratum H K com- 
ponetur ex rationerectangulorum V A, CNadCZ,AF, 
plus Q CB ad quadratum A B, plus quadrati À Bad rec- 
rançgulum QHB, plusre&anguli IH, AFad V A ,HK; 
ideit , ex rationibus reétangulorum V A, CN ad CZ, 
ÂEF, plus QCBad QHB, plusIH , AFad V A,HK. 
Sed quod exurgitex compofitione rationum re&angulo- 
rumV A, CNadCZ,AF,plusiH, AFad VA ,HK, 
æquale eftei quod exurgit ex compofitione rationum rec 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST.491 


tançgulorum V A, CN ad V A ,HK,ideft, (propter V À 
communem altitudinem)linexz C N ad lineam HK , plus 
IH, AFadCZ,AF,ideft, ( propter À F communem 
altitudinem ) lineæ I H ad lineam CZ, quæ quidem con. 
ficiunt rationem reétançuli IH, C Nadrectangulum CZ, 
HK : Ergo ratio quadrati C N ad quadratum H K compo- 
netur ex rationibus reétangulorum IH ,CN ad CZHK, 
plus QCBad QHB:Ergo ratio momenti refiftentiæ Cu- 
nei hyperbolici in C ad momentum ejufdem in H compo- 
netur ex rationibus retangulorumIH, CNadCZ,HK, 
plus QCBad QHB, plus AHB ad A CB: Sedrario rec- 
tanguli QCB ad QHBeadem eft quæ linearum Q C ad 
QH, plus CB ad HB; ratio vero rectanguli AHB ad 
A CBeadem quæ linearüm AH ad A C , plus HBad C B. 
… Quæ quidem ratio HB ad CB deftruit rationem linearum 
. CB ad HB. Eft ergo momentum refiftentiæ Cunei hy- 
perbolici in C ad momentum ejufdem in H, inratione 
/‘ Compofità rationum retanguli IH, CN ad re&angulum 
CZ, HK, pluslinearum Q Cad QH, plus AHad AC, 
(ideft, retanguli QC, A H ad reétangulum QH,AC, ) 
id eft, retanguli fub lineä compofitä ex AB & A Cin AH, 
ad retangulum fub compofirä ex eadem A B & AH in li- 
neam À C. Quod erat demonftrandum. 


PR DYP/GSI T IQ DU OD'E CT M À. 


Neque etiam ifa momentorum æqualitas in Trabe, per Fi. 3.Tab. 18. 
quadrantem Circuli aut Ellipfeos fectà , reperietur. Nam 
fi fub femidiametris AF, A B quadrans Circuli aut Elli. 
pfosFNKB defcribatur , qui fecans Trabem A E pro- 
ducat Cuneum circularemaut ellipticum AFNKBGOD, 
sitque tota diameter B Q. Facilè oftenderur momentum 
refiftentiæ Cuneiin C ad momentum ejufdem in H, efle 
ut-rectangulum fub compofirä ex torâ À B & ex parte À C 
inAH,ad rectangulum fub compofisä ex cor AB & ex par- 
te À Hin À C. Nam ratio momentirefiftentiæ Cunei elli. 


: 
à 
LA 
D: 
Ÿ 


L 


492 PROBLEME QUATRIEME: 


ptici feu circularis in punto C ad momentum refiftentiæ 
ejufdem in punéto H, componitur ex rationibus quadrati 
CN ad quadratum HK, plus reétanguli A HBad reétan- 
gulum A CB. Sed proper Circulum aut Ellipfim quadra. 
tumC N eft ad quadrarum HK ut re&angulum Q CB ad 
retangulum Q H B : Ergo ratio momenti refiftentiæ in C 
ad momentum in H, componitur ex rationibus reétanguli 
Q CB ad retangulum QHB, plus rectanguli AHB ad 
rectangulum À CB, id eft, ( uti demonftratum eft ab aliis) 
ex rationibus rectanguli Q CB ad reétangulum ACB, 
plus rectançguli À HB ad rectangulum QH B ;id eff, (pro- 
pter communes alricudines C B & H B ) ex rationibus li- 
nearum À Had QH, plus Q Cad A C ; quæ quidem fa- 
ciunt rationem rectanguli AH, Q C ad rectangulum AC, 
QH, feu rettanguli fub À H & compofitä ex torà A B & 
parte A C, ad rectangulum fub À C & compolitä ex rot 
A B &parte AH. Elt ergo momentum refiftentiz Cunei 
circularis autelliptici in Cad momentum ejufdem in H, 
ut rectangulum fub compolirâ ex AB & A Cin À Had 
rectangulum fub compofità ex À B & AH in AC. Quod 
erat demonftrandum. 

Nuanc vero (mi VV.) quanti æftimäris, fi quiseam te 
figuram edoceat, quà non certia quidem ponderis & mo: 
lis portio auferatur, fed illa falrem non exigua, momenta 
vero refiftentiæ ubique in refiduo fuperfint æqualia ? Il- 
lud puto, gratiflimum tibi erir, & tibi in mechanicis atque 
organicis affiduë verfanti, opis haud omnind contemnen- 
dæ. Sed quanto acceptius id erit tibi atque jucundius, 
quod à viro tui amantiflimo , & qui te magnopere colit, 
id continget? Enimverd iis quæ in nos amici conferunt be. 
neficiis , nexu duplici nos obligari par eft atque obftringi 


PROPOSITIO.DECIMA-TERT FA. 


Ageigitur , & quod fettioni parabolicæ , imo & hyper. 
bolicæ , arque quadranti circuli aut ellipfeos , denegavi. 
mus ; 


DE ca cowrE DES POUTRES EGALEMENT RESIST:493 


-mus ; circulariprofe@t6 aut ellipricæ merirù concedamus: 
iftæ enim fe&iones id prorsès efficient, quod præftare Pa. 
rabolam Galilæus perperam afferuerat. 

. Nam fi duabus lineis A G vel GB &G Q tanquam fe- fr. 4. 5. rw, 
midiametris , defcribatur femicirculus AQB, fi eæ finc 
æquales ; vel femiellipfs, fi fint inxquales ; & per hanc 
velillam Trabs A E fecundüm altitudinem ira fecetur , ut 
fiat Solidum circulare, velellipticum AQBTR S:Ejus 

fanè momenta refiftentiæ erunt ubique æqualia, & quod 
pondus frangit in C Solidum urrinque fulrum, illud etiam 
idem rumpetin H. Etenim momentum refiftentiæ in C 

Solidi five circularis five elliprici , eft ad momentum re- 
fiftentiæ ejufdem in H, in ratione compofitâ quadrati 
CNad quadratumHK , &rectanguli À HB ad reétan- 
gulum À C B: Sed propter Circulum aut Ellipfim quadra- 
tumC N cftad quadratum HK, ut re&angulum A CB 
eft ad rectangulum À H B:Ergo ratio momenti refiften- 
tiæ Solidiin C ad momentum ejufdem in H, compone: 
tur ex rationibus reétanguli À C Bad retangulum AHB, 
& retanguli AHB ad retangulum A C B: Sediftæ ratio. 
nes faciunt rationem æqualiratis : Ergo momenta in C & 
Heruntæqualia. Et hoc in omnibus Solidi punis conclu- 
detur, unde patetubique propofitum. 

Sic (mi VV.) petitioni tuæ fatisfecifle me puto , nifi 
quodhæc, quam ad te paucis verbis fcribere cogitave- 
ram, in ingentem ac penè faftidiofam molem, Epiftola 
creverit. Sed hæc omnia ità exarare oportuit , cum uc 
remtibi gratam faciam , fi quidpiam boni tibi communi- 
caverim, tümetiam ut habeas,quod amicè me admoneas, 
fi quid minüs cautè fcripferim. Quippe non mirum pro- 
feto fuerit, iifdem mein grumis {crupifque collabi, in 
quos ipfe Galilzusimpegerit. Quare etiam atque etiam 
terogo , ad me quamprimüm refcribe quid fentias, fac- 
tis præfertim eâ quâ foles fedulicate atque folertià experi. 
mentis. Ego vero non committam pofthäc ut de meÂ ne; 

Rec. del Ac.Tom.V. Aaaa 


I. 
Fi. 1. Tab, 17. 


494 PROBLEME QUATRIE ME 


gligentiâ conqueraris. Vale. Datum Farræ Viromanduo- 
rum pridie Idus Sextiles À. D. mDc. Lvut. 


SE °C: 0 "NUD HD! IS COURS: 


OU 
LE, TIRE LA UT SUITE THERE 


Pour la réfolation de [es doutes [ur les propojitions du premier 
Difcours. 


Onfieur. Je vous fuis parfaitement obligé du foin 
M que vous avez pris, de me donner part des remar- 
ques quiont été faites fur une Lettre, que j'écrivis il y a 
quelques années à un de mes Amis en Suede , & dont je 
vous avois laiflé une copie, fur lefquelles il eftbien rai- 
fonnable que je vous éclaircifié. Et pour y répondre par 
ordre & ne vous y laïfler aucun fujet de douter, je veux pre- 
mierement vous faire reflouvenir de ce que vous m'avez 
fait la grace de marquer , ou faire marquer par vos amis, 
à la marge de mon écrit, à côté des chofes que je n’y 
avois pas affez clairement expliquées. 

La premiere des remarques eft fur la feconde Propofi- 
tion, où je dis que les momens dela réfiftance du Coin 
ou Prifme triangulaire F A B G , que je fuppofe être foû. 
tenu fur fes deux extrémitez À & B , fontentr’eux, com- 
me les rectangles fous les parties alternes de la bafe AB; 
c’eft-à-dire , que le moment de la réfiftance en Ceft au 
momenten H, comme le re&tangle des parties À H, CB 
eft au rectangle des parties A C, BH. Et pour le démon- 
trer, jeme fers decestermes, que je rapporteenla Lan- 
gue qu'ils fontécrits, parce que les notes fonc aufi Lati- 
nes: Sed ratio momenti refiffentiæ Cunei in C ad momentum 


trabis in eodem C , effex Galileo , ut quadratum CN ad 


Ve a 
DELA courE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. 495 


quadratum C P [eu À F,( idef, ut quadratum C B ad qua- 
dratum 4 B.) componitur enim ex rationibus partium Solidi 


contentarum in fuperficiebus CO CI, que funt inter [e at 
feperficies , ideff ,(propter communem altitudinem N° O,I?,) 
ut linexCN,CP, é@exratione diflantiarum atlionis ea- 
rumdem, que etiam [ant ut eedem linee CN & CP. Sue 
quoi dans le texte l’on a tiré des lignes , & fait des petires 
Croix , ainfi qu’il fe voicici. Et vis-à-vis de la premiere il 
eft écrit à la marge, Hoc falfum, ef} enimut CN ad C P 
feu AF, ex Galilwo. Et à l’endroit de la feconde, Hoc 
non confideravit Galileus , nec debet confiderari in refiffentia. 
Un peu plus bas, où jedis fur la même Propofition : Es 
tandem ratio momenti refiffentiæ T'rabis in Had momentum 
refffentise Cunei in eodem H , cfut quadratum H M [eu AF 
ad quadratum H K, il ÿaa la marge, Faljum ob candem 
rationem. 


La feconde eft fur la troifiéme Propofition , où je dis: 11. 
Sed demonfrabitur ut [upra momentum Cunci in C ad momen- Fs3- T.s1: 
tum ejufdem in G , effe in ratione compofità quadrati linee CN 
ad quadratum linee GO, reltançali, AGB ad rettangulum 
ACB.Iyaacoté, Falfum, funtenim ut linez ut fuprà, 
© fic in fequentibus , quod ubique notandum. Hoc folummodo 
verum effet, fénon folim trabs minueretur [ecundim unam di- 
menfionem , utin cafibus Galilei € cenforis , ut patet ex om- 
nibus ejus figuris , [ed fecundim duas dimenfiones : At nulus 
bunc cafum unquam inquifivit: 

Dans la quatriéme Propofition, où j'explique la diffe-., Ir 
rence des momens de la réfiftance d’un Solide, que j'ap- * 
pelle Coin Parabolique, il y a à la marge : Hec @ fequen- 
ti4, in quibus auf dimidinm ,' aut quadrans figure datur 
T'rabi, fuperflua [ant 3 cum [atis pateat, quandoquidem trabs 
ex utraque extremitate [uffinetur æqualiter, debere ex utra- 
que parte trabem, figuram uniformem habere , non verd ex 

Aaaa i] 


TV. 
Fig» 5, Tab, 17. 


v I. 
Tab. 18. 
Hg. 45 


496 PROBLEME QUATRIE ME. 


ana craffum , ex ali4a tonuem. Quare que de dimidià Parabo= 
la & Hyperbola , que de quadrante Circuli aut Ellip{cos ad 


ducit, inutilia funt ; praterquamquod eodem femper Paralo- 
gi/mo omnia laborant. 

Dans la fixiéme Propofition , où il eft parlé des mo- 
mens de la réfiftance d’un Solide , que j'appelle Paraboli- 
que, ilyaacôté: Hec figura fuppolitis [upponendis eff ea 
quam alignare debebant & Galileus & Cenfor, abffrahendo 


féilicet à gravitate trabis , ut in bac omni inquifitione hypothe- 


tica abffrahi debet, alioquin fit Paralogifnus. Multa no- 
tanda forent pro reduftione ad praxim , ff quis hæc aliter 


quam hypotheticè vellet fumere, fecundèm enim materie di 


verfitatem pleraque falfa imventrentur, @vix ulius ufus hoc 
effe poteff, niff innavibus, Galiis machinis , in quibus levi- 
tas confideranda foret. 

A la fin de la douziéme Propoñition, oùje dis: Myne 
verd (mi VW.) quanti æffimaris, fr quis eam te figuram edo- 
ceat, qua non tertia quidem ponderis aut molis portio aufera- 
tur , [ed ia [altem non exigua. L'on a écrit à côté : Tertiæ 
pars à vera figurà aufertur. 

Enfin, lors que je dis dans la derniere Propofrion, 


que Momentum in C five Elliptici Cireularis Solidi, ef ad 


momentsm refiffentiæ in H , in ratione compofitä quadrati 
CN ad quadratum H K € rettançali A FH B ad relfançu- 
lum A CB, il ya encore àla marge, Falfum. Et où jedis 
enfuice : Ergo momenta in C € H erunt æqualia , il y a en- 
core , falfum. 

Voilà, Monfieur, les Obfervarions que j'ai trouvées 
dans l’écrit que vous m'avez renvoyé, & que j'ai marquées 
parnombres ,afin de les fcavoir plus facilement diftinguer 
l'une de Pautre dans le difcours. Elles font véritablement 
judicieufes & importantes, & fi vrai-femblables , qu’à 
moins de s’y appliquer férieufement , & d’en faire une 
exacte difcufhon , ileft mal-aife de les réfoudre, & de fe 
développer de l'embarras qu’elles vous ont produit. 


144 


DE LA COUPE DESPOUTRES EGALEMENT RESIST. 497 


Pour les traiter avec quelque ordre, il paroît que la r. 
2. 5.& 6. font celles qui contiennent le nœud de la difi- 
culté, fur lefquellesil faudraipar conféquent queje m’é- 
tendeunpeu davantage que fur les autres. Car pour la 3. 
où lon dit que toutes les Propofitionsoù je parle des Pou- 
tres, qui ne reçoivent que la moitié ou le quart de larf. 
gure, font fuperfluës , puis que Pon voit aflez que la Pou- 
tre étant foûrenuë par fes deux bouts, doit avoir une fi- 
gure uniforme, & n'être pas grofle par uneextrémité, &c. 
menuë par l’autre ; en forte que tout ce que j'ai rapporté 
de la demy-Parabole, de la demi Hyperbole,& du quart 
de Cercle, ou d’Ellipfe, eftabfolument inutile. TD | 

*Hme femble que j'aiquelque droit de dire, que je ne 
vois pas bien qu'il paroille fi clairement comme vous di- 
tes, qu’une Poutre fourenuë des deux bouts doive être 
de figure uniforme, puis, qu’à mon avis, deux murs fe 
peuvent rencontrer d’une inégale épaifleur ,& dont Fun 
{eroit aflez fort pour porter le plus gros bout d’ane: Pou- 
tre inégale ; & l’autre plus foible ne pourroit fouffrir le 
poids que d’un plus alegé : Et la queftion pourroit cepen- 
dant être faire fur certe hyporhefe ; Quels feroient les mo. 
mens de la réfiftance de cette Poutre, felon la différence 
de fes parties ? 

Outre qu'ayant été propofé fous une de ces figures par 
M. Galilée, {çavoir fous celle de la demi-Parabole , que 
j'ai appellée Coin Parabolique ; il étoit bien jufte que je 
parlafle des verirables proportions des momens de la ré 
fiftance de ce Solide, pour faire voir en quoi, & de com- 
bien il s’étoir équivoqué dans celles qu’il lui avoit attri. 
buées. 

Joint qu’enfin , fi nous en croyons les anciens Maîtres 
du Métier , c’eft faire injure à la dignité des Sciences Spe- 
culatives , que de ne mefurer leur-eftime qu’à l'utilité 
que les Ouvriers en reçoivent , quand ils appliquent à la 
matiere , & avec les imperfe@tions qui l’accompagnent in- 

Aaaa ii} 


498 PROBLEME QU'ATRIEME. 
{éparablement, la fubrilité de leur doctrine & de leurs dé. 
monftrations. 

Et pour la 4° remarque où vous dites que le Solide Pa- 
rabolique, duquel je parle dans ma 6° Propofirion, eft 
celui que nous devions avoir propofé & M.Galilée & moi; 
je n'ai rien à y répondre, puifqu'il paroît que j'y ai fatis- 
fait de ma part en le confiderant , & que je ne füis pas 
refponfable des fairs de M. Galilée. Que fi lon dir que 
nous le devions rapporter out feul, fans parler aucune- 
ment desiautres; je me remets à ce.que je viens de dire fur 
la 3° Obfervation,, & à ce qui fera ci-deflous expliqué fur 
routes les autres. 

L'on dit enfuite qu'il faut faire abftraétion du propre 
poids du Solide dans toutes mes Propolitions, comme 
dans celle de M. Galilée, puis qu’autrementil y auroit Pa- 
ralogifme. J'en demeure d'accord aufli-bien que M. Ga- 
lilée , qui s’en eftaflez fair entendre avant que d'entrer en 
cette matiere, quand il dic : Quello che ricerca pit fottile 
fvecolaxione à quando affraendo d'alla gravità propria di tali 
Solidi, ci fufle propofto di dover inveffigare , [e quella forxa 
à pefo che applicato al mexo d'un Cilindro [offenuto nelle effre- 
mità , bafferebbe à romperlo, potrebbe far l'iffefo applicato 
in qualfivoglia altro luogo più vicino al'una che all'altra 
effremità. Et comme je n'ai fair que marcher fur fes pas, 
j'ai crû que je pouvois librement fuppofer toute fa doétri- 
ne, fans être obligé de remplir mon papier de ce qui fe 
trouvoit pleinement expliqué dans fon Livre. 

Enfin, fur ce que l’on ajoûte qu’il y auroit beaucoup 
de chofes à remarquer, fi l’on vouloir mettre ces Propo- 
fitions en pratique , & que la diverfité de la matiere y fe- 
roit trouver beaucoup de déconte : Comme c’eft une 
plainte qui s’eft faire de tout temps contre les Propofi- 
tions Mathematiques, que l’imbecillité de la matiere ne 
peut jamais recevoir ni fouffrir avec exaétitude ; je me 
riens à ce qui ya été répondu par les Grands Hommes des 


DE LA CourE DES POUTRES EGALEMENT RESIST 49 

fiécles pañez, & à ce que l’expérience nous enfeigne de Ja 

perfeétion des Arts, qui n’ont d'excellence ; qu'autant 

que leurs Ouvrages fe trouvent approcher de plusprès de 

la beauté des Idées > Que les démonftrations dé la Théo. 

rie ont produites, JB rude Brbidraos 
Je dirai feulement; fur ce que l’on à écrit que toutes 

ces méditations ne peuvent guerés avoir d'autre ufage 

qu'aux Navires, & aux autres machines mobiles , où l’on 

recherche la légéreré : Que cela n’eft pas tout:2-fair le 

fentiment de quelques perfonnes aflez entenduës au Bâ- 

timent, à qui je me fouviens d’avoir oüi dire; que fi ce 

n'étoit le ver qui ronge le bois, ils aimeroient beaucou 

mieux fe fervir de Poutres de fapin, dans lés lieux où Fhui 

midité n’eft pas à craindre, que de celles de Chefñe ; feu: 

lement parce qué celles-là ne chargent pas tant lés mu. 

salesqueicehesé sh 55551151 51 5h 249m0tx 01 one 
Toutes les autres remarques, qui contiennent én effer 

le nœud de la difficulré , & qui fonc qualitoutes d’un meé- 

me fens, & fondées fur un même principe , difenc que les 

momens de la réfiftance en un mêime point ; tant de: la 

Poutre que du Solide qui lui eftinfcritfelon fa hauteur; 

ne font pasentr’eux , commeles Quarré2 des lignes per: 

pendiculaires à la bafe commune; comprifes & en l’une 

& en l’autre ,ainfi que je l'ai rapporté. dé M. Galilée, mais 

qu'ils font feulement dansla raifon de ces mêmes lignes; 

c’eft-à-dire , que les momens de la Poucre &: du Solide 

Parabolique , par exempleen C;, ne font pas, felon Gali: 

lée , comme les Quarrez des lignes CP &ICN , mais feux F5 Ts 17, 

lement comme ces mêmes lignes CP & CN : Puifque M: 

Galilée n’y à aucunement confideré la quantité des par: 

ties; qui fe doivent féparer l’une de l’autre , dans les fur. 

faces CI & CO; & qu’en cérre forte de réfiflances ; oh 

n'y doit avoir aucun égard. Qu’aurefte , cela feroit bon 5 

s'il fe faifoit diminution de plus d’une dimenfion dans 

ces Solides, & non pas d’une feule, comme il paroït dans 


Ey. x, Tab. 17: 


Eige2. Tab. 17e 


oo: P?RA10 BILTELMIE: QU A Ti RIDE? M'IEX 
routes mes figures, perfonne n'ayant jamais recherché 
ce qui arriveroit en l’autre cas. : .: 

Sur quoi je dois vous dire premierement, que quelque 
foin que j'aye pris de relire mon Galilée, je n’ai pas pû 
comprendre par aucun de fes raifonnemens , qu’il ait ja- 
mais ea:la penfée (non pas même dans l’hypochefe, que 
fes Solides foient fichez:par un bout, & que le poids pende 
librement à l’autre) de dire que les momens de la réliftan- 
ce de la Poutre & d’un Solideinfcrit, fuflent en un même 
point entr'eux; comme les lignes perpendiculaires à la 
bafe commune ;comprifes en l’un &en l’autre; puifque 
dansla démonftration qu'il fait du'Prifme triangulaire, 
il dit bien que le momenc de fa réfiftance en C eft au mo- 
ment de fa réfiftance en À ; comme la ligne CB eftà la 
ligne BA , ou comme © N'eftà A Fou CP ; maisilne dic 
pas que le moment de la réfiftance du. Prifme triangulaire 
en C , foic au moment'de la réfiftance de la Poutre A E 
aumême point C , comme la ligne C N ef à la ligne C P. 

Et dans celle qu’il rapporte ‘du Solide Parabolique , il 
n’a jamais voulu quele moment de fa réfiftance,par exem- 
pleen C, foirau moment de lalréfiftance de la Pourre AE 
au même point C;commela ligne C N'eft à la ligne C P: 
mais au contraire;que le moment de la réfiftance du Coin 
Parabolique en C, eft àfon moment en A, comme le 
quarré de CN eft au quarré de A F ou C P; puifqu'ilne 
peut pas autrement démontrer que les momens de la ré- 
fiftänce en A & C,& par tout ailleurs , font égaux, s’il 
ne fuppofe quela Compofition des raifons de la réfiftan- 
ce de AD&CO, & de leurs diftances ,( qui font entre 
elles comme les moitiez des lignes AF & CN ) eft égaleà 
la Compofition dés raifons| de la même puiflance pen: 
dante en B ,& agiflanté rantôt avec la diftance A B,& 
tantôt avec la diftance C B;lefquelles font encr’elles com 
me les quarrez deslignes A F ou CP & CN. 

Je dis même dans l’Hyporbefe de M;:Galilée, quiveur 

par 


De LA cowPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. SO 


par fa démonftration qu’en l’une & en l’autre des Figures 
le Solide foit fiché dans la muraille par un bout, tanrà 
en À &rantôr en C; & que l'autreextrémité B, à laquelle 
le poids eft attaché, foit roûjours libre en l'air, fans être 
aucunement foûtenuë. Bien loin de l'avoir dit dans l’au- 
tre fuppofition , qui veur que les Solides foient foûtenus 
par les deux extrêmes, & que la puiflance agifle entr’eux, 
ou qu'ils foient appuyez en quelque point entre lefdits 
extrêmes, fur lefquels la puiflance fafle fon effort: Et dans 
cette fuppoñition il n’a jamais rien dit d’approchant fur 
cette matiere. 

Je ne fçais pas auf fur quel fondement l’on a pü dire 
que M. Galilée n’a jamais confideré dans la réliftance 
les parties qui fe doivent {éparer l’une de l’autre dans les 
furfaces CI& CO, puifqu'il n’y a rien qu’il ait plus par- 
bculierement expliqué. 

Er il faut à ce propos que je vousavertifle en paflant 
d'une difficulté qui fe rencontre dans fon premier Livre, 
où voulant enfeigner une maniere tout-à-fait ingénieufe 
pour fçavoir la mefure de la plus grande longueur à la- 
quelle les Verges ou Cylindres de toutes fortes de groffeur 
& de matiére, fe peuvent étendre fans fe rompre d’eux- 
mêmes. 

* Piglifi( ditil} per eflempio un fil di rame di qualfivogliz 
groflexxe é lunghezxxa , à fermato un de i fuoi capi dd alto, f 
vadia aggiungnendo al!” altro maggior é maggior pexo, che 
finalmente fi Prappi,, è fra il pefo malimo che pote foftenere, 
P.G. cinquanta libre. E' manifeffo che cinquanta libre di 
rame oltre al proprio pefo ; che fi per effempio un ottavo d'on- 
Cia , tirato in filo di tal groffexxe , [arebbe la lunghezxza malt. 
24 del filo che fe fefo poteffe reggere. Mifurif poi quanto 
era lungo il filo che fi frappo , à Jia V.G,un braccio. E' perche 
pefo an ottavo d'onci4 ; éreffe fe fleffo à cinquanta libre ap 
prefo che [ono oitavi d'oncia quattromilz ottocento : Diremo 
tutti à fili di rame di qualunche Jia la lor groffexxe , poterf 

Rec, de l'Ac. Tom, F., Bbbb 


so2 PROBLEME QUATRIEME 
reggere fino à la lunghexxa di quattro mila ottocento à un brac= 
cio, à nù pin. 

La difficulté confifte , en ce qu'il ne fe voit pas bien 
clairement qu’il ait dû, d’une expérience finguliere , fur 
un fil d’une groffeur déterminée, tirer une conféquence 
fi génerale qu’il a faite par ces mors, Diremo tutti à fili di 
rame, &c. Ce quieft pourtant véritable , parce que tous 
ces fils ou Cylindres étant de même longueur, ils font 
entr'eux comme leurs bafes , & partant les poids qui font 
entr'eux comme les Cylindres feront en la même raïfon 
de leurs bafes; mais les réfiftances fonc aufli en même 
proportion des bafes ; donc les poids & les réfiftances fe- 
ront en même raifon , & les poids feront à leur réfiftance, 
chacune à la fienne , en même proportion : Mais l’un de 
ces poids eft fuppofé égal à fa réfiftance par la conftruc- 
tion ; Donc tous les autres poids feront aufli égaux à la 
réfiftance de leurs Cylindres, prife en la maniere qu’ils fe 
répondent l’un à l’autre. 

Mais laiflant ce difcours, qui fera beaucoup mieux 
éclairci dans la fuite , il faut maintenant venir au fait, & 
vous bien faire connoître deux chofes ; la premiere , que 
j'ai eu jufte fujer de dire que. M. Galilée a pû s’être laïflé 
furprendre , non pas en démontrant, felon fon hypo- 
thefe , que les momens de la réfiftance de fon Solide Para- 
bolique en tous fes points font égaux , & que ce qui refte 
de la Pougre après que ce Solide en eft ôté, fait jnftemenr 
la troifiéme partie de la Poutre; mais en ce qu’ayant fort 
bien démontré l’une & l’autre de ces deux proprietez 
dans un Solide fiché par un bout & l’autre libre , ila crû 
qu’il pouvoit en attribuer la premiere au même Solide 
lorfqu’il feroit foûtenu par ces deux bouts. 

L'autre, que j'ai légitimement démontré les veritables 
proprietez des Solides , que j'ai confiderez dans mon Li- 
vre, & que je n’ai fair aucun Paralogifme, quand j'ai 
fuppofé de la doctrine de M. Galilée, que les momens de 


‘ 


DE LA courE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. $03 


la réfiftance du Solide infcric & de la Poutre en un même 
point, lorfque l’un & l’autre étoient foûtenus par les deux 
bouts, font entr'eux comme les quarrez des lignes per 
pendiculaires à leur bafe commune , comprifes en Pun & 
en l’autre. 

Et pour vous ôrer tout fcrupule fur ces deux chofes, 
il faudra vous rapporter plufieurs paflages du Livre de 
M. Galilée, afin que vous n’ayez pas la peine de les y aller 
chercher, & vous entretenir un peu au long de fa do&ri 
ne, & de fes Propofñicions fur le fujer prefent de la réfiftan. 
ce des Solides. é 

Il tire denc fes premieres idées de la confufion où fe 
trouvent ordinairement les Ouvriers, qui ne rencontrant 
pas dans les grandes Machines , des effets proportionnez 
à ceux que les petites Machines, femblables aux premie- 
res , ont accoutumé de produire ; & voyant au contraire 
que les plus vaftes, & celles, dont les piéces qui la com- 
pofent, font de plus grande étenduë, ont beaucoup 
moins de force pour réfifter aux infultes des accidens du 
dehors, à proportion que les plus petites & celles dont 
les membres font plus reflerrez , quoiqu’ils foienc entre 
eux en la même raifon que les parties des plus grandes; 
ils en rapportent la caufe à l'inégalité de la matiere, &à 
l’imperfection de l'Art, comme fi des caufes fi foibles pou- 
voient fuffire à la produétion des effets fi differens, & 
d’une fi énorme difformite. 

Mais M. Galilée confiderant la chofe d’une autre ma- 
niere , & après une méditation , comme il dit de plufieurs 
années, a cru à la fin en avoir trouvé les veritables rai- 
fons ; & argumentant à la façon des Géométres, & fur les 
anciens principes de la Méchanique, il eft le premier qui 
ait fait connoître , que les réfiftances des Solides, c’eft-2. 
dire, la force qu’ils ont d'eux-mêmes à foûtenir leur pro- 
pre poids, & réfifter à la violence des coups du dehors, 


ne marchoient pas entr’elles avec les mêmes proportions 
Bbbbij 


A. 


B. 


Eg. 1. Tab, 19, 


564 PROBLEME QUATRIFME. 


que les gravitez des mêmes Solides : & que celles-cis’aug- 
mentant en la raifon, & à mefure que les corps pefans 
d’une même matiere s’agrandiflent ; la réfiftance au con- 
traire fuivoic une bien moindre proportion, & elle fe trou- 
voir beaucoup affoiblie dans les grands corps, & bien 
moins capable de foutenir des efforts, qu’elle n’éroit à 
proportion dans les moindres. 4 

Je ferois trop long, fi je voulois vous raconter rout ce 
qu'il a admirablement écrit fur cette matiere : aufli je me 
contenterai de vous rapporter ce qui fait à mon fujec , & 
vous dire premierement; Que fuppofant , par exemple, 
un Cylindre attaché ‘en haut par un de fes bouts, &un 
poids pendant à l’autre, qui foit petit à petit augmenté 
de telle forte qu’il devienne à la fin aflez fort pour rompre 
le Cylindre: Ce poids que j'ai fuppofé le plus grand de 
tous ceux que le Cylindre puifle foutenir fans fe rompre, 
joint au propre poids du Cylindre, s'appelle par M:Gali- 
lée, Za mefure de la réfilance abfoluë de ce Cylindre \aquelle 
confifte en la tenaciré & attachement des parties conte- 
nuës dans les furfaces qui fe doivent féparer l’une de Pau- 
tre par la rupture, & en l’effort que chacune fait en par- 
ticulier pour demeurer liée & adhérenre à fes voifines. 

Enfuice il dit, que fiun Cylindre ou Prifme eft fiché par 
un bout perpendiculairement dans une muraille qui foit à 
plomb, & qu’a fon autre bout on attache le plus grand 
poids qu’il puifle foûtenir fans fe rompre, ( faifanc abftra- 
tion de la propre Gravité du Cylindre) ce poids s'appelle, 
La mefure du moment de la réfiffance du Cylindre en cette po: 
fition ; & la réfiftance abfoluë eft à ce moment de la ré- 
fiftance , comme la longueur du Cylindre eft à la moitié 
du diametre de la bafe. 

De plus , pour démontrer que les momens de la réfif- 
tance des Prifmes ou Cylindres de même longueur & de 
differente grofleur, comme A & B, fichez, comme il a 
été dit ci-deflus, dans une muraille , font entr'eux com. 


RER RARES 


DE LA COUPE DESPOUTRES EGALEMENT RESIST..So$ 


me les Cubes des diamétres de leurs bafes C D,EF ,il£& 
fert de ces mots : Zmperd che fe confideriamo l'affoluta à 


+ femplice refiffenxa che rificde nelle baff, cioè nè à cherchi EF, 


CD; al effere frappati facendogli forxa col tirargli per 
dritto, nù à dubbio che la refifenxa del Cilindro B à tanto mag- 
giore che quella del Cilindro 4 , quanto il cerchio E F è mag- 
giore del CD, perche tanto pià [ono le fibre , à filamenti à le 
Parti tenaci che tengono unite le parti de à folidi. M2 [6 conf. 
dériamo che nel far forxa per traver/o ci ferviamo di due leve, 
delle quali le parti à diffanze dove fi applicano Le forze [ono le 
linee D G,F H ;i fofegni fono nei punti D F : M le altre 
Parti à difanxe dove [on poffe le refiffenxe, [ono à femidiame- 
tré deichercht DC,EF ; perche à filamenti fparfi per tutte 
le fuperficie de à cerchi, è come [e tutti fi ridufero ne à centri. 
Confiderando , dico, tali leve, intenderemo la refifenxa nel 
centro del4 bafe E F contro alla forxa di HT, effere tanto MAG- 
giore della refifenxa della bafe C D contro alla forxa poffa in 
G, ( à fono le forxe in G & H di leve eguali D G,F H) quan- 
10 il femidiametro FE è maggiore del femidiametro D C: Cref- 
ce dunque la refiflanxa al cffere rotta nel Cilindro B fopra 
la refiffenxa nel Cilindro À, fecondo amendüe le proportion: 
de icerchi EF , DC à dei lor femidizmetri, &c. c'eft-à-dire, 
en raifon triplée des diamérres. . 

Ce que j'ai bien voulu vous rapporter tout au long, 
pour faire voir que M. Galilée a toujours confideré dans 
les momens de la réfiftance des Solides, & les parties con- 
tenuës dans les furfaces qui doivent être féparées, & la 
diftance de leur a&ion ; ne voulant pas m’arrèter préfen- 
tement à vous expliquer à fonds certe propoñition, qui 
prife en un fens & crûëment, eft paralogiftique ; me réfer- 
vant à vousen entretenir plus au long une auire fois, d’au- 
tant plus volontiers, que cette réflexion ne fait rien du 
tout à notre fujet. 

Monfieur Galilée rapporte par après quantité de mer- 
veilleufes proprierez des Cylindres de toutes fortes de 

| Bbbbiij 


a 
FA 


506. PROBLEME QUATRIEME 


groffeur & de longueur , égaux &inégaux, femblables &: 
diflemblables; & coñjours dans la même hyporhefe, qu'ils 
foienc atrachez par un bout à un mur, & que l’autre s’e- 
rende librement en l’air,fans être foûrenu d'aucune chofe. 
Après quoi il entre en une autre confideration à leur 
égard ; & recherchant cequiarrive aux Cylindres foûte. 
nus fur les deux bouts, ou fur un point pris entre lesextré- 
D. mitez,il dit: Che il Cilindro che gravato dal proprio pefo fara 
ridotto alla mallima lunghexxe oltre alla quale pià non fi [offer 
rebbe , à fa retto nel mexxe da un fol foffcgno , à verd di due. 
nel cffremita potra effer lungo il doppio di quello .che [urebbe 
ftto nel muro, cioë foftenuto in un [ol termine. Il che per fe 
Fig. 2. Ta 19. ffeffo à affai manifefto , perche fe intenderemo del Cilindro ch'io 
fegro À BC, la fua metà À B effere La fumma lunghexxa po- 
sente à fofenerf flando fifa nel termine B , nel!” iffeffo modo ji 
foferrè fe pofita foprà il foflegno G fara contrapefata dal al- 
tra [ua metà BC. E' Jimilmente sè del Cilindro D EF La 
lunghexza fera tale ,che folamente la [ua metà potelfe fofle- 
nerfs file nel termine D , à in confequenxa Palira E F fifa nel 
termino F, è manifeffo che pofii i foffegni H I [otto le efremità 
D F,ogni momento che fi aggiunga di forxa à dipefo inE, 
quivi fi fara la rottura. 
Et paflant outre par fes méditations, il recherche, en 
faifant abftradion du propre poids des Cylindres, quelle . 
proportion les puiflances ont entr’elles, qui peuvent rom- 
pre les Cylindres, appuyez fur les deux extrêmes & fai- 
fant leur effort fur le milieu , ou fur un autre point qui foit 
plus proche d’un bout que de l'autre. Sur quoi il démon- 
tre que ces puifflances, qu’ilappelle autrement les momens 
E. de la réfiffance du Cylindre, fonc entr’elles en propor- 
tion réciproque des rectangles faits des parties du côté, 
contenuës entre les extrémirez & le point où les puiflan- 
“re. 3.4. Ces agiflent ; c’eft-à-dire, qu’au Prifme ou Cylindre AB, 
foit qu'il foit foûtenu rantôren C, & tantôt en D , & que 
la puifflance agifle des extrêmes A & B ; foit qu'il foic foû- 


347 5 EL ARE 
19 
7 ; 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST.ÿ07 


tenu fous fes extrêmes À & B, & que la puiflance fafe fes 
efforts ranrôt au point D ,tantôten C ; le moment de la 
réfiftance en D eft au moment de la réfiftance en C, com- 
; me le rectangle À CB eft au rectangle A DB. 
D'où il paroïît, dit-il, qu’en tout Prifme ou Cylindre, 
le moment de la réfiftance qu’ila dans fon milieu, eft le 
moindre de tous, & que ces momens s’augmentent tou- 
jours à mefure qu’ils s’éloignent du milieu, & qu’ils ap- 
prochent de l’un ou de autre des extrêmes, & que ele F- 
travi grandifime à gravi [e ne potrebbelevar nd piccola parte 
verfo l'efframità con notabile allegerimento di pefo, che ne à 
travamenti di grandi ffanxe , [arebbe di commodo à utile non 
piccolo. E bella cofx [arebbe il ritrovar quale figura deurebbe 
baver quel tal folido , che in tutte le fue parti fule egualmente 
refiffente, tal che nd pin facile fufe ad effere rotto da un pefo 
che lo premefe nel mexxo che in qualfivoglia altro logo. 
* Après quoi il ditimmédiatement , que comme il a dé- Fi. r. Th 17. 
“ montré que la réfiftance du Prifme Quadrangulaire D B 
- dans fon extremité À D contre une force agiflante en B, 
eft à fa réfiftance en CI contre la même puiflance enB, 
: comme la ligne C B eft à la ligne AB , c’eft à-dire, com- 
| me CN eft à AF. Et qu’au Prifme Triangulaire infcrit c. 
F A BGD, laréfiftanceen AD contre la force en B, eft 
(ainfi qu'il le démontre en ce même endroit) à fa réfif- 
tanceen CO contre lamême force en B , comme la ligne 
AB eft iCB, ou comme AFetàCN:Habbiano dun- 
que ( dit-il ) nelirave à Prifma D B levatone una parte, cioè 
la metà [egandolo dizgonalmente , è lafciato il Cuneo à Prifna 
triançgolare F B A ; è [ono due [olidi di conditioni contrarie, 
cioë quelle tahto pià refiffe quanto pià ff [corcia , à quefo nello 
fcorciarfi perde altrettanto di robuflexxa. Ora flante queflo 
par ben ragionevole | anxi pur neceffario che fe gli poffadar un 
taglio, per il quale togliendo via il fuperfluo rimanga un foli- 
do di figura tale, che in tuite Le [ue parti ia egualmenss re- 


fente. 


1,2 


508 PROBLEME QUATRIEME. 

fig Tin Et puisil démontre fort bien enfuite, que fi la Poutre 
D Belt coupée par une ligne Parabolique F NB , qui fafle 
le Solidein{crit FABG , fa réfiftance en A°D contre la 
forceenB, fera égale à la réfiftance en CO contre la mê- 
u, me puiflanceenB, &ainfi par tout ailleurs, D; qui fsvede, 
dicil, come con diminuxione di pefo di pit di trentatré per cen- 
10, fpoffonfare à travamenti [enxa punto diminuir la loro ga- 
gliardia , ilche ne i navigli grandi in particolare per reggere 
le coperte puo effere d’atile non piccolo , attefo che in Ma: fa- 
briche la legerexxa importa infinitamente. Sagr. Le utilita [on 
tante che lungo à impollibil [arebbe il regiffrarle tutte. t46 
Ce fonc - là les paffages du Livre de M. Galilée, dont 
j'avois befoin pour mon fujet, que j'ai coctez par lettres 
Capitales, & d'où vous pouvez facilement connoître 
qu'il a crû que les Poutres & les Solides criangulaires, 
dont il a recherché les proprietez, devoient être foûte- 
nus par les deux extrêmes, & fouffrir l’effort des puiffan- 
ces preffantes fur differentes parties entre les bouts, pui£- 
que les cextes cottez F & H vous empêcheront d’en dou- 

ter, aufli-bien que tout le raifonnement qui les précede, 
Et que néanmoins dans la démonftration qu’il en a 
faire , il les a abfolument fuppofé fichez par un bout & 
libres par d'autre, puifqu’il dit clairement , que dans le 
Big ne Tab.17. Prifme D B la réfiftance en A D contre une force enB, 
écoit à la réfiftance en CI contre la même puiflance en B, 
comme la ligne C B efta la ligne A B. Ce qui dans cette 
_hypothefe peut être démontré de certe maniere : Et fup- 
pofé ce qui a été enfeigné par d’autres ; Que fi deux rai- 
{ons ont un même antécédent , elles feront entre elles 
comme réciproquement les termes conféquens. Mainte- 
nant, la réfiftance étant la même dans les furfaces À D & 
CI;les raifons de la réfiftance A D contre une force en 
B agiffante avec la diftance AB, & dela réfiftance CI 
contre la même force en B agiflante avec la diftance CB, 
auront un même antécédent , fçavoir cette réfiftance 
AD 


DE LA cOUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. $O9 


AD ou CI;& partantelles feront entre elles comme ré- 
ciproquement les termes conféquens; c’eft-à-dire, quela 
réfiftance À D contre une forceenB , fera à la réfiftance 
C I contre la même force en B, comme la force en B agif- 
fance avec la diftance CB, eft à la même force en B agif 
fante avec la diftance À B. Maiscomme dans ces momens 
la force eftla même, ils feront comme les diftances de 
leur action, c’eft-à-dire, comme la ligne CB à la ligne 
AB : Donc la réfiftance en À D contre une force enB, 
fera à la réfiftance en CI contre la même force enB, 
comme la ligne C B eft à la ligne A B. 

: Que fi quelqu’an vouloir foûtenir avec opiniâtreté, que Fig». Tes. r73 
M. Galilée a fuppof£ dans fa démonftration que le Prif. 
me D B fut foûtenu par fes deux extrêmes, il ne faudra 
que prendre un autre point comme H, & dire en cette 
maniere : Le moment dé la réfiftanceen C du Prifme DB, 
eft au moment du même Prifme en A, comme AB eft à 
CB par l’hypothefe de la démonftrarion de M. Galilée; 
& par la même raifon le momenten A eft au moment en 
H, comme la ligne HB eft à AB : Donc par égalité le 
moment de la réfiftance en C du Prifme D B foûtenu fur 
fes deux bou:s, fera au moment en H, comme la ligne 
HBeft à CB. Mais par une autre démonftration cottée 
cy - deflus par la lettre E, il a fait voir dans la même hy- 
pochefe que la réfiftance du Prifme D B en C étoit à la 
réfiftance en H, comme le rectangle À H B eft au rectan. 
gie ACB : Donc le reétangle A HB fera au rectangle 
À CBcomme la ligne H B eftà laligne C B ; ou, en pre. 
nant AC pour hauteur commune , comme le reétangle 
AC,HBaurectangle A CB:& par conféquent le rec- 
angle AC, HB fera égal au re&tangle À HB, & laligne 
AC égaleàla ligne AH , la partie au tour. Ce qui eff ab- 
‘furde. 

J'ai donc euraifon de dire que la démonftration de M. 
“Galilée ne convient pas à fa fuppofition ; & qu'encorequ'il 
Rec. del Ac, Tem,F. : PrTICrect 


Lg. 3. Tab, 19, 


gio PROBLEME QUATRIEME. 
eût fort bien démontré que certaines proprierez appar- 


tiennent aux Solides fichez par un bout , & libres par: 


l’autre, il n’a paseu pour cela aucun droit de dire qu’elles 
dûffenc être énoncees des mêmes Solides qui feroient foû- 
tenus par les deux bouts. 

Pour la folutionde laurre difficulté que j'ai gardée pour 
la derniere , parce que c’eft celle de laquelle il paroït que 
Von doute le plus, puis qu’en toutes les propofitions où 
elle eft fuppofée, l’on la traite de faux & de paralogifme. 
Je veux dire, pour démontrer que les momens de la ré- 
fiftance en un même point de la Poutre & du Solide, qui 
lui eft infcrit felon fa hauteur , font entre eux comme les 
quarrez des lignes perpendiculaires fur leurs bafes com- 
munes , qui font comprifes en l’une &en l’autre , c’eft-à- 
dire , comme les quarrez de leurs hauteurs au même 

ont. 

Il faut premierement fe fouvenir, ainfi qu’il eft dit dans 
le difcours cotté cy-deflus par la lettre B,que la réfiftance 
ab{oluë d’un Prifme fiché perpendiculairement par un de 
fes bouts dansun mur, eft au moment de la réfiftance du 
même Prifme en cette fituation, {faifantabftraction de la 
Gravité) comme la longueur du Prifme eft 4u demi-dia- 
métre de fa bafe. 

Secondement, Que lesréfiftances abfoluës des Solides 
femblables & de même matiere, font entre elles comme 
leurs bafes ; commeileft dit au difcours cotté A. 

Troiliémement , Qu'un Cylindre ou Prifme , au texte 
cotté D, reçoit lesmêmes propriétez pour fa réfiftance, 
foit qu’il pofe fur fes extrèmes & quela force agifleen dif- 
ferens endroits entre les bouts , ou qu’il s’'appuye en quel- 
que parcentre fes bouts,& que la puiflance fafle fon effort 
fur les extrêmes ; puifque c’eft de certe forte que M. Gali- 
lée l’a entendu, & qu'il s’en eftclairement expliqué dans 
les difcours rapportez cy-deflus aumêèmerexteD. 

Joint que fa propofition, par laquelle il démontreau 


< 


DE LA COUPE DESPOUTRES EGALEMENT RESIST. SLI 


téxre cotté E, que les momens en D & C du Prifmeou 
: Cylindre AB ,auxextrémirez duquel À & B , les poids 


ou puiflancesagiflent , & qui eft appuyé tantôt en D, tan 


-tôten fon milieu C, font entre eux comme le reétangle 


A CB eft au rectangle A D B : Certe Propofition, dis-je, 
fe peut auf, fuivant fon même raifonnement démontrer 
dans l’autre hypothefe, qui veut que le Prifmeou Cylin- 


‘dre foit foûtenuen À &B , & que les poids & les puiflances 


agiflent tantôt en D ,tantôten C : Car fuppofant le poids 
F, qui eft égal à laréfiftanceen D, être divifé en deux 
parties I & H, decelle forte que I foità H , comme la li- 
gne D B cit à laligne D A, (afin que le poids I foit égal 
au moment de la réfiftance du Prifme À D fichéen À, & 


Je poids H égal au moment de la réfiftance du Prifme 


DB fichéenB);,& lepoidsE, quieftégal à la réfiftance 


en C, être divifé en deux moitiez ; dont l’une foit G ; le 
-poids E feraaupoidsF , c’eft-ä-dire,, la réfiftance en Cala 
-réfiftance en D, en raifon compofée du poids E au poids 


G , du poids Gau poids H ,& du poids H au poids F. Mais 


le poids Eeft au poids G , comme laligne A B eft à CB; le 
poidsGeftau poidsH, comme laligne D'Beftà CB ;& le 
poids H eft au poids F, comme la ligne A D eft à AB: 


Donc le poids Efera au point F, en raifon compoñée dela 
ligne A B à laligne C By, de la ligne D B à la ligne CB, & 
de la ligne À Dà la ligne A B: Mais les raïifons des lignes 


ADàAB&ABàCB, font égales à la raifon de la ligne 


AD aàCB:Donc la raifon du poids E au poidsF , ou du 


moment en Cau moment en D, fera compofée des raifons 
de ADaCB&de BD à CB ; c’eft-à-dire, comme le rec- 


tangle À D Bauquarré CB, ouau rectangle A CB. 
Quatriémement , Il eft bon de prendre garde qu’en ma- 


riere de réfiftance des Solides, où l’on faicabftraction de 
deurpropre gravité , la varieté de leurs figures ne fair effer 
-qu'en tant qu’elles déterminent plus ou moins la diftance 
:de l’action de la puiflance qui agit contre la réfiftance , & 


Cccci 


Fig. 4. Tabr 19 


Fig, 1. Tabi 20° 


Fig» 2: Tab, 20: 


$t2 PROBLEME QUATRIEME. 


la grandeur de la furface où fe doit faire la rupture , la- 
quelle contient plus ou moins ;de parties, qui fe doivent 
féparer. Je veux dire, que dans le Solide ABE, le mo- 
ment de la réfiftance en C, n’eft aucunement alteré,quel- 
queirrégularité de figure que l’on donne au Solide , com- 
me celle de À P XB ; pourvu quele point C, foit roujours 
en tous les cas, diftant en la même maniere des extrêmes 
A &B, & que la furface CPI, qui contient les parties 
ui doivent être divifées l’une de l’autre, foit toujours la 
même. Er celaeft à mon avis aflez facile à comprendre, 
puifque les deux chofes, en quoi les Solides font differens 
l’un de l’autre , comme font leurs formes ou figures & leurs 
propres poids, l’une n’entre point en confidération dans 
les momens de la réfiftance, & il eft fair abftraétion de 
lPautre. Et les deux chofes au contraire fur qui roulent 
toures les raifons des réfiftances , c’eft-à-dire , la longueur 
desleviers , & la quantité & fituation des parties réfiftan- 
tes, dansles furfaces où la rupture fe doit faire , y demeu- 
rent égales, ou plûrôt les mêmes en tousles cas. 
En forte que l’on pourra facilement juger, que pour 
déterminer le moment de laréfiftance en C du Solidedif. 


Forme A P X B,il fuffira de faire connoître celui du Prifme 


A E au même point C,dont la longueur A B eft commune, 
aufli-bien que la furface CPI, qui eft perpendiculaire à 
laligne À B, &où fe doit faire la rupture furle point C. 
Cinquiémement, Puifque par le difcours de M.Gali- 
le cocré cy-deflus D , il paroît qu’un Prifme , foûtenu par 
fes deux bouts ou feulementen fon milieu , &: qu’on fup- 
pofe étendu jufqu’à fa plus grande longueur, fans qu’il fe 
rompe de fon propre poids, eft le double de celui, qui 
n'étant fiché que parun bout, fera auffi alongé autant 
qu’il fe.peut fans {e cafler. Comme fi le Prifme AB , 
foûrenu fur fon milieu €, eft fuppofé être étendu en fa 
plus grande longueur , fans qu’il fe rompe en cette fitua- 
tion;ileft, dit M. Galilée, le double du Prifme CB,qui 


DE LA couPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. $r3 


attaché par un de fes boutsen C, fera aufi étendu autant 
qu'il le puifle être pour fe foûtenir : Puifqu’en cette hypo- 
thefe le contrepoids que fait route la partie À C pour te- 
niren équilibre le Prifme CB, fait à fon égard le même 
effec que fi le fufdit CB étoir fiché dans lemuren C, ne 
pouvant pas fe mouvoir fur le point C , tanten l’un qu’en 
Faurre cas, fans fe rompre. 

Maintenant, fi nous prenons la moitié du côté CB 
commeCE, & faifantabftraction de fa propre Gravité, 
que nous fuppoferons être entierement ôtée ; fi nous ap- 
pliquonsen E le poids, qui foit égal à toute cette gravi- 
té du Cylindre C B;ileft conftant qu'il fera le même effet 
qu'auparavant : Et fi prenant tout autre point comme D , 
nous y mettons le poids K, qui foicau poids I, comme la 
ligne CE eft à la.ligne CD ; ileft encore manifefte que les 
chofes demeureront au premier état, & que le poids K 
agiflant en D avec la diftance C D, fera égal à la réfiftan- 
ce du Prifme C D contenuë dans la furface CP , foit que 
le Prifme C D foit fiché dans le mur en C, foit qu’il foitar- 
rècé fur le point C par le Prifme C A qui lui contrepefe - 
Et que fi l’on prend la ligne C F égale à CD, & le poids L 
égal àK, après avoir aufli fait abftraétion de la propre 
Graviré du Prifme CA&CEF il arriveraencore lamême 
chofe : Et par conféquent , comme le poids K eftla me- 
fure du moment de la réfiftance du Prifme D C attaché 
en C, les deux poids égaux K & L feront aufli la mefure 
du moment de la réfiftance du Prifme F D appuyé enC, 
lorfque les puiffancesfonten D&F, ou appuyé en D & 
F, lorfque la puiflanceeften C. 

Or eft-il que, par la propofrion de M. Galilée que 
nous avons rapportée cy-deflus fous la lettre B:, la réfif. 
trance abfoluë , qui eft la même aux Prifmes FD & CD, 
eft au moment della réfiftance du Prifme CD, comme la 
ligne C D eft à CG.demidiametre de la bafe ; & le mo- 
ment de la réfiftance du Prifme CD , eft au moment du 

Ccccii 


Fig. 3, Tab, s0. 


st4 PROBLEME QUATRIEME. À 
Prifme ou Cylindre F D , comme la ligne C Geft à la li 
gne CP, (le moment de CD égal au poids K, étant la 
moitié du moment de F D qui eftégal aux deux poids K & 
L, comme C G demidiamecre de la bafe eftla moitié du 
diamétre CP:) Donc, par égalité, la refiftance abfo: 
luë fera au moment dela réfiftance du Prifme F D foûte- 
nu en C, comme la ligne C D eft au diametre CP. Ce 
qu'il faut remarquer. 

Voyons à préfent ce qui arrive aux Prifmes de même 
longueur & largeur, & qui ne different qu’en leur hau- 
teur , c’eftà-dire , pour me fervir de vos termes, dans 
lefquels il fe fait diminution que d’une feule dimenfion: 
Comme ABFE & ABQL, dont les longueurs A B & 
largeur P I ou NO font égales, mais les hauteurs C P & 
CN fontinégales : Je dis que le moment de la réfiftance 
du Prifme A E dans fon milieu €, eftau moment du Prif 
me À L dansle même point C, en même raifon que le 
quarré de la ligne C P eft au quarré de la ligne C N. Car 
la raifon du moment dela réfiftanceen C du Prifme AE, 
au moment de la réfiftance en C du Prifme À L, eftcom- 
pofée des raifons du moment en Cdu Prifme A E à fa ré- 
fiftance abfoluë, de la réfiftance ab{oluë du Prifme AEà 
la réfiftance abfoluë du Prifme A L, & de la réfiftance 
abfoluë du Prifme A L au moment de fa réfiftance en C: 
Maisil vient d’être enfeigné cy-deflus , que le moment de 
la réfiftance en C du Prifme A E eff à fa réfiftance abfo: 
luë, comme le diametre C P eft au côté C B & la réfiftan. 
ce abfoluë du Prifme AE, par ce quia été cy-deflus rap- 
porté de M. Galilée fous la lettre C”, à la réfiftance abfo. 
luë du Prifme À L, comme la furface C Ieftà C O , c’eft- 
à-dire, comme la ligne C P eftà CN ; & la réfiftanceab: 
foluë du Prifme A L eft au moment de faréfiftance en C, 
commele côté C B eft au diamétre de la bafe C N. Donc 
la raifon du moment de la réfiftance en C du Prifme AE, 
au moment en C du Prifme AL, fera compoñée des rai: 


DE LA cOUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. $1$ 


fons du diamétre € P au cote CB, dela ligne C P à lali- 
gneCN, & du côté CBau diametre € N : Mais les rai- 
fonsdeCPiCB&KCBaàCNiont égales à la raifon de 
CPaCN. Donc la raifon du moment À Een C au mo- 
ment de À Len C, fera compofée des raifons de la ligne 
CPIACN&CPA CN, c'eftè-dire , comme le quarré 
de C P au quarré de CN. 

Je dis bien davantage ; que fi l’on prend quelqu’autre 
point que ce puiflé être comme H, le moment de la réfif- 
tance du Prifme AE au point H, fera encore au moment 
de la réfiftance du Prifme À L'aumême point H , comme 
le quarré de H M ou C P au quarré de HK ou CN. Car 
la raifon du moment de la réfiftance du Prifme A Eau 
point H, au moment de la réfiftance du Prifme A Lau 
même point , eft compofée des raifons du moment de AE 
enH, au moment du même A E en fon milieu C ; du mo- 
ment du Prifme A Een C , au moment du Prifme À L au 
même poinc C ; & du moment du Prifme A L en C, au 
moment du même Prifme A L au point H. Mais le mo- 
ment de la refiftance du Prifme A E au point H ,eft au mo- 
ment du même Prifme AE en C, comme le rectangle 
A CB eft au rectangle A HB ; le moment de la réfiftance 
du Prifme A Een C , eft au moment du Prifme ALenC, 
comme le quarré dudiamétre P C , eft au quarré du dia- 
métre C N ; &le moment de la réfiftance du Prifme AL 
en C, eft à fonmomenten H, commele reétangle AHB 
au rectangle ACB Donclaraifon du moment de la réfif 
tance du Prifme À Een H, au moment de la réfiftance du 
Prifme A L au même point H, fera compofée des raifons 
dureétangle A C B au rectangle AHB, du quarréP Cau 
quarré CN, & du retangle À HB aurectangle À CB. 
Mais la raifon de A CB à A HB détruir celle de A HB à 
A CB. Il ne refte donc plus que la raifon du quarré PC 
au quarré CN ou du quarreé H M au quarré HK, à la- 


quelle foit égale la raifon du moment de la réfiftance du 


Fig, 5. Tab, 20: 


Fig. 1. Tab, 21. 


516 PROBLEME QUATRIEME. 


Prifme A E au point H, au moment de la réfiftance du 
Prifme À L au même point H. 

Maintenant, fi l’on étend un Solide, quel qu'il puifle 
être , comme l’un de ceux que nous avons confideré 
AKPBRIS, quifoitinfcric dans la Poutre A E , en forte 
qu'il foit de même longueur & largeur qu’elle, & qu’il 


pafle par le point K, par où il faut s’imaginer uneautre 


D = 
Poutre A L ; il paroît par leschofes démontréescy-deflus, 


que le moment de la réfiftance de ce Solide infcrit au 
point H , eftle même que le moment de la Poutre A L au 
même point ; lequel étant au moment dela Poutre AE 
au point H, en la raifon du quarré de HK au quarré de 
H M,ils’enfuit que le moment de ce Solideinfcrit enH, 
eft au moment de la Poutre À Eau même point , comme 
le quarré deHKàH M ou de CPàaCN,& non pas en 
même raifon queles lignes CP&CN , comme vous l’a- 
vez marqué.Et que je n'ai point fait de Paralogifme,quand 
far certe propoñtion j'ai conclu que les momens des Soli- 
des Paraboliques, en quelque maniere qu'ils foient infcrits 
dans la Poutre felont fa hauteur , ne font point égaux en- 
tre eux ; & que ceux du Demi-cercle & de l’Ellipfe le fonc 
en tous leurs points.®# 

e dis des Solides Paraboliques infcrits dans la Poutre 
felon fa hauteur , parce que la même Poutre peut être 
coupée par une ligne Parabolique felon fa largeur , en for- 
te qu’étant foûtenuë par les deux bours, les momens de 
la refiftance foient égaux en toutes fes parties. Comme fi 
la Poutre A E eft coupée fur fa largeur GE parune Para- 
boleGIF, dont l'axe foit la même largeur PI, le fom- 
mec I & l'amplitude toute la longueur de la Poutre GF,& 
qui fafle , dans la Poutre, le Solide Parabolique GIFBOA 
de même hauteur & longueur qu’elle. 


Je disque les momens dela réfiftance de ce Solide Pa-- 


rabolique foûrenu fur fes extrêmes A &B, font par tout 
égaux ; c’eft-à-dire, que fi ce Solide cft rompu par une 
puiflance 


DE LA COUPEDES POUTRES EGALEMENT RESIST.S17 
puiflance ou un poids ,agiflant au point M ou H, il fera 
rompu par la même puillance ou le mmême poids, qui fera : 
effort au point P ou C5 & ainfi des autres. 

Parce que le moment au point H du Solide Paraboli- 
que , eft à fon moment au point C , en raifon compofée de 
la raifon du moment du Parabolique en H, au moment de 
la Pourre À C au même point H ; de la raifon du moment 
de la Poutre en H, à fon moment en C ; & de la raifon 
du moment de la Poutreen C, au moment du Paraboli- 
que au même point C : Mais la raifon du moment de la ré- 
fiftance du Solide Parabolique au point H , au moment 
de la Poutre À E au même point H, eft la même que celle 
des Parties du Solide , qui fe doivent féparer dans la fur- 
face HN, aux parties contenuës dans la furface de la Pou- 
treHK ; c’eftà-dire, comme la même furface HN , eftà 
la même furface H K, ou comme la ligne M N à M K ou 
PI (à caufe que les furfaces H N & H K ont une même 
hauteur H M:) Ec la raifon du moment de la Poutreen H, 
à fon moment en C, eft la même que celle du retangle 
A CB au rectangle À HB ; & la raifon du moment de la 
Poutre en C , au moment du Solide Parabolique au même 
point C, eft celle d'égalité ; puifque c’eft le même mo- 
ment en l’un &en l’autre, par ce qui a été dit ci-deflus. Et 
partant le moment dela réfiftance du Solide Parabolique 
en H ,au moment du même Solide au point C, fera en 
raifon compofée des raifons de la ligne M N à la ligne P I, 
& du retangle À CB au rectangle À H B. Mais par la pro- 
prieté de la Parabole la ligne M N eft à la ligne P T, com. 
me le rectangle AH B eftau rectangle À CB: Donc le mo. 
ment de la réfiftance du Solide Parabolique au point H, 
fera au moment de la réfiftance du même Solide au point 
C , en raifon compofée de celles du reŒangle A HB au 
rcétangie À CB, & du rectangle A C B aurettangle AHB, 
c'eft-à-dire , en raifon d’égalité. Etla même chofe pou. 
vanr être concluë de la mènie maniere en rous les points 

Rec. del Ac. Tom.F, Dddd 


Fig. 2. Tab, 21. 


$18 PROBLEME QUATRIEME.. 

de la bafe AB, il s'enfuit que les momens du Soliae Para-: 
bolique fonr égaux , en quelque point que la puiflance ou 
le poids agiflent. 

- La même chofe fe peut encore démontrer d’une autre 
Solide Parabolique double CRXQD PSO, qui fera 
faic dans la Poucre AE, fi fa largeur G E eft coupée par les 
deux Paraboles oppoféesen dedans D P S& D OS, dont 
les fommers font aux points P & O, l’axe P O commun, 
auffi-bien que l’amplitude D S; parce qu’en ce cas, & fup-, 
pofé que ce Solide foit foûtenu par fes extrêmes Q& R :: 
Je dis que les momens de fa réfiftance font par toutegaux. 

- Car fi l’on enténd que la puiflance agiffe au point K ou 
H, & puis au point N ou C ; le moment de la réfiftance du 
double Parabolique en H, fera à fon momenten C, enrai-. 
fon compofée du moment du Parabolique en H,au mo-: 
ment du Prifme A E au même point H ou I ; du moment 
du PrifmeenlI, à fon moment en C ; & du moment du 
Prifmeen C , au moment du Parabolique au même point 
C. Mais la raifon du moment du Solide Parabolique au 
point H, au moment de la Poutre A E au même point H 
ou], eftla même que celle de la furface H L à la furface 
IM,c’eftà-dire,(à caufe de la commune hauteur FH) 
de la ligne HT ou F Là la ligne Z M ou P O ; & la raïfon 
du moment de la Poutre A E en I à fon momenten C , eft 
la même que celle du reétangle À CB au rectangle AIB, 
c’eft-à-dire, du rectangle D NS au re&angle D KS; & 
enfin la raifon du moment de la Poutre en C, au moment 
du Solide Parabolique au même point C, eft la raifon d’é- 
galité : Et partant la raifon du moment de la réfiftance du 
Solide Parabolique au point H, au moment du même So- 
hide au point C , fera compofée des raifons dela ligne F L 
à la ligne P O , ou , prenant les moitiez , de la ligne FK à 
la ligne PN, & du rectangle D NS au re&angle DKS: 
Mais par la proprieté de la Parabole , la ligne FK eft à la 
ligne PN ,commele reétangle DKS eft au re&angle DNS: 


‘+ 


DELA COUPE DESPOUTRES EGALEMENT RESÏST. 519 
Donc le moment de la réfiftance du Solide Parabolique 
au point H, à fon moment au point C, fera en raifon com- 
pofée des raifons du rectangle D KS au reétangle D NS, 
& du rectangle D NS au reétangle DKS, c’eft-à-dire, en 
raifon d'égalité. Ce qui fe pouvant dire en la même ma- 
niere de tous les points de la bafe du Solide Parabolique, 
on peut concluré que les momens de la réfiftance fonc par 
Tout égaux. 

J'ai été bien-aife de vousrapporter les proprietez de ces 
Solides Paraboliques, afin de vous avertir en même temps, 
que certe égalité de momens de leurs réfiftances , ne fait 
rien du tout au Théoréme de M. Galilée, qui eft toûjours 
faux en la maniere qu’il l’a propofé, n'ayant jamais ,en 
toutes fes figures & en rous fes raifonnemens, confideré 
les fetions ou coupes des Prifmes ou Poutres en autre ma- 
niere que felon leur hauteur , & jamais felon leur largeur. 

Et pour vous ôter le fcrupule qui vous peut refter fur 
cette matiere, en forte que vous ne puifliez plus douter, 
comme vous faites, qu’un fi grand Homme ait pû fe mé- 
conter ; je veux vous faire voir encore quelques exemples, 


que j'aitirez de fes mêmes Dialogues méchaniques, qui 


me font peine , & que je fouhairerois avoir été plus claire- 
ment expliquez par leur Auteur. 
Le premier eft celui dont je vous ai dit un mot ci-def_ 


fus au rexte cotré C, qui fait la 4. Prop. du 2. Dial. des 


Mech.oùildit,qu’aux Cylindres ou Prifmes demême lon- 


-gueur , & de differentes grofleurs , les momens de la réfif- 


. . D . ’ . ! 
tance croiflent en raifon triplée des diamétres de leurs ba- 


fes ; c’eft-à-dire, que le moment dela réfiftance du Cylin- 
dre B, eft au moment de la réfiftance du Cylindre À, 


.comme le Cube de la ligne EF , eft au Cube de la ligne 
CD. 


Ce qui ne peut pas être véritable, s’il ne fait abftraction 


-du poids des Cylindres A &B , dont il ne parle pourtant 
point du tout ; au contraire, par la liaifon de cette Propo. 


Dddd'ij » 


Fig. 4. Tab, 20. 


io PROBLEME QUATRIEME. 


-fition avec la précedente, il femble que les momens de la 
réfiftance doivent être confiderez, dans cette Propofition, 
comme les momens du poids ou de la puiflance font confi- 
derez dans la 3° Prop. qu'il conclut en ces termes : Concl- 
daff per tanto,i momenti delle forxe de à Prifini e Cilindri equu- 
lemente grofi , mà difegualmente funghi effer trà di loro in du 
plicata proporxione di quella delle lor lunghexze ; cioë effer 
come i quadrati delle lunghexze. 

Monftreremo adeffo nel fegondo luogo, fegondo qual pro- 
porxione cre[ca la refifenxa al effer fpexxati ne i Prifmi e Ci- 
lindri,mentre reffino dellx medefima lunghexza, à ff accrefca la 
groffexxa. E! qui dico che(Prop.4.) Nei Prifini è Cilindri 
egualmente lunghi , ma difegualmente grolf , la refiffenxa al” 
effer rotti crefce in triplicata proporxione de à diametri delle 
lor grofexze , cioë delle lor bar. 

Ce qui fait voir que les momens du poids ,ou de la puif- 
fance, ayantété confiderez, dans la 3< Prop. relativement 
au moment de leur réfiftance ; les momens de la réfiftan- 
ce doivent, par la même raifon , être confiderez , dans la 
4° Prop. avec rélation aux momens des puiflances. 

Auquel cas, comme les momens des puiflances , dans la 
3° Prop. font en raifon doublée des côtez des Cylindres , 
à caufe que le moment de la réfiftance eftle même en l’un 
& en l’autre, il faudroit demême, dans la 4° Prop. que les 
momens des poids des Cylindres de même longueur & de 
differente grofleur, fuflent roûjours égaux, pour conclure 

. que les momens de leurs réfiftanees,font commeles Cubes 
des diamétres de leurs bafes. 

Mais comme les momens des poids de ces Cylindres ne 
font point égaux, auffi les momens desréfiftances ne croif- 
fent pas , fur cette hypothefe , en la même raifon que les 
Cubes des diamérres de leurs bafes, mais feulement en 
celle des mêmes diamétres. Ce que je démontre en cette 


S.4. Tab. 20, maniere , après avoir coupé les lignes D G & FH en deux 


-également en K& L,aufli-bien que les deux CD &EF 
en M &I, & fait F N égale a D M. 


DE LA cOUrE DES POUTRES EGALEMENT RESIST.S217 


- La réfiftance abfoluë du Cylindre A , eft à la réfiftance 
abfoluë du Cylindre B,comme la bafe C D eft à la bafe 
EF: Ec parce que les Cylindres font de même longueur, 


:_ ilsferontauffi comme leursbafes,auffi-bien que leur poids; 


& partant le poids du Cylindre À , fera au poids du Cylin- 
dreB , comme la réfiftance abfoluë du Cylindre A, eftà 
la réfiftance abfoluë du Cylindre B. Maintenant , comme 
le centre de lation de la réfiftance abfoluë du Cylindre 
À, fiché dans le mur à angles droits , eft au centre de la 
bafe M ; & le centre de l’action du poids du même Cylin- 
dre A eftau point K , en forte que la réfiftance abfolnë ré 
fifte par la ligne D M, & le poids agit par la ligne DK: Si 
nous fuppofons que le centre de lation de la réfiftance 
du CylindreB foit au point N,comme le centre de l’action 
du poids du même Cylindre eft au point L, en forte que 
la réfiftance abfoluë du CylindreB réfifte parlaligneFN, 
égale à la ligne D M , ainfi que le poids du même Cylin- 
dreB agit par laligne F L, égale à la ligne DK, il n’y aura, 
dans certe fuppofition, aucun changement aux raifons des 
poids ni des réfiftances ; & le moment de la réfiftance du 
Cylindre A en M, fera au moment de laréfiftance du Cy. 
lindre B en N, comme le moment du poids A enK , eft au 
moment du poids B en L ; & en permutant, la raifon du 
moment de la réfiftance du Cylindre A en M,au moment 
-du poids du même Cylindre À en K, fera égale à la raifon 
du moment de la réfiftance du CylindreBen N , au mo: 
‘ment du poids du même Cylindre B en L. Mais parce que 
-le centre de l’action de la réfiftance du Cylindre B eftau 
‘poincI, centre de la bafeEF ; & le moment de la réfiftan- 
ce au point I , eft au moment de la réfiftance aupoint N, 
comme la ligne FI à laligneF N ,c’eft-à-dire, D M ;ou 
. prenant leurs doubles, comme le diamétre EFeftau dia- 
-métre CD ;il s'enfuit que le moment de la réfiftance du 
: Cylindre BenI, au regard du moment du poids Ben L, 


. -€ft plus grand que le moment de la réfiflance du méme 


Dddd ii 


sus  PIROMBMÉNEIME FQiuiA TR T EME. 
Cylindre Ben N , au regard du même poidsB en L ; c’eft- 
à-dire ,( en prenant des raifons égales) plus grand que le 
moment de la réfiftance du Cylindre A en M , au regard 
du poids À en K ; en la même raifon que le diamétre EF 
eft plus grand que le diamétre C D:& par conféquent que 
le moment de la réfiftance du Cylindre B au regard core 
poids, s’eft accrû-fur le moment de la réfiftance du Cy- 
lindre À au regard de fon propre poids, en la raifon de 
l’accroiflement du diamétre de la bafe E F fur le diamérre 
de la bafe CD , & non pas en la raifon des Cubes de fes 
diamétres. Ce qu’il falloit démontrer. 

La même Propofition fe peut démontrer encore d’une 
autre maniere ,après avoir fait que comme le diamérre 
CD eft au diamétreEF , ainfi FL foitaF O. 

La raifon du moment de la réfiftance du Cylindre À en 
M , au moment de la réfiftance du Cylindre Ben, eft 
compofée de la raifon de la bafe CD à la baf@ EF ,&de 
celle du demi-diamétre D M au demi-diamétre F I, ou de 
la ligne CD à laligneE F. Er la raifon du moment du poids 
du Cylindre À en K,au moment du poids Ben O, eft com- 
pofée des mêmes raifons, fçavoir de celle du poids A au 
poids B, qui eft égale à celle de la bafe C D à la bafe EF; 
& de celle de la ligne D KouF Là la ligneFO, qui par la 
conftruétion eft la même que celle de CD àEF: Doncle 
moment de la réfiftance du Cylindre À en M, fera au mo- 
ment de la réfiftance du Cylindre B en I , comme le mo- 
ment du poids du Cylindre A en K, eft au moment du 
poids du Cylindre B en O: Eten permutant, le moment 
de la réfiftance du Cylindre À en M , fera au moment du 
poids À en K ,comme le moment de la réfiftance du Cy- 
lindre B en I ,eft au moment du poids B en ©. 

Maintenant, par ce qui a été démontré par d’autres, 
que fi deux raifons ont un même antécédent, elles feront 
entr’elles comme réciproquement les rermes éonfequens; 
il s’enfuit que la raifon du moment de la réfiftance du Cy- 


' 


DELA COUPE DESPOUTRES EGALEMENT RESIST. 523 


lindre B en Lau moment du poidsBen L , & la raifon du 
même momentde la réfiftance du CylindreB en I au mo- 
ment du même poids B en O , ayant un même antécé- 
dent, fçavoir le moment de la réfiftance du Cylindre B en 
I; elles feront entr’elles comme réciproquement les ter- 
mes conféquens, c’eft-a-dire , que le moment de la réfif. 
tance du Cylindre B en I au regard du moment du poids 
Ben L, fera au moment de la même réfiftance du Cylin- 
dre B en Iau regard du moment du poids Ben O, comme 
le moment du poids Ben ©, eft au moment du même 
poids B en L, c’eft-à-dire, comme la ligne B O eft àla ligne 
B L ,ou commele diamétre EF au diamétre C D ; & par- 
tant que le moment de la réfiftance du Cylindre BenIau 
regard du moment du poidsB en L, fera au moment dela 
réfiftance du Cylindre B en I au regard du moment du 
même poidsB en O,comme la ligneEF eft à la ligne CD. 
Muaisil a été montré ci-deflus, que le moment de la ré- 
fiftance du Cylindre À en M au regard du moment du 
poids À enK , étoit égal au moment de la réfiftance du 
Cylindre Ben I au regard du moment du poidsB en ©. 
Donc le moment de la réfiftance du Cylindre B en I au 
regard du moment du poidsBen L , fera au moment dela 
réfiftance du Cylindre À en M au regard du moment du 
poids À enK,comme le diamérre E F eft au diamétre CD. 
Ce qu'il falloit démontrer. 

. Au refte, la verité du Corollaire qui fuir la 4. Prop. & 
qui dit , que les réfiftances font en raifon fefquialtere des 

oids des Cylindres, n’en paroïît pas moins, dans certe 
hyporhéfe de l’accroiflement des réfiftances en raifon des 
diamérres des bafes des Cylindres par relation aux poids, 
que dans l’autre,où les réfiftances s’augmentent en raifon 
des Cubes des mêmes diamétres; fi l’on fe fouvient que 
les réfiftances abfoluës & les poids croiflent l’un & l’autre 
en raifon doublée des diamétres, & que les diftances de 
Vaétion des poids, étant les mêmes à caufe de la même 


524 P a:0 BULME M E Qu A T'RTE ME l 
longueur des Cylindres, le moment des poids ne s’aug2 
mente point : Mais les diftances de l'adion des réfiftances: 
s'augmentant en raifon des diamétres , à caufe de la diffe- 
rence desgrofleurs ;il s'enfuit qu'ajoûtant cette raifon des 
diamétres à celle des réfiftances abfoluës, c’eft-à-dire , à 

x celle des quarrezides mêmes diamétres , il fe fera la raifon 
triplée des diamétres pour celle desmomens des réfiftan- 
ces, qui par conféquent eft fefquialrere de celle des mo- 
mens des poids,quieft démeurée doublée des mêmes dia- 
métres. 

Ce que nous vénons de dire de la 4. Prop. fe peur eñcore 
afürer de la $. du même Livre, laquelle dit , que Z Cilindri 
è Prifmi di diverfa lunghexxe , à groffexxa hanno le lor ref- 
frenxe all effer rotti di proporxione compofa dellx proporxione 
de à Cubi de à diametri delle lor baff, e dellx proporxione delle : 
lor lunghexze permutatament prefe 3 & qui ne peut être ve- 
ritable , fi l’on ne faitencore abftration du propre poids 
des Cylindres, dont M. Galilée ne parle pourtant point du 
tout, non plus qu'aux précedentes, ni en celles qui fui- 
vent. Puifque fi l’on confidere lesmomens de la réfiftance 
des Cylindres de différentes longueurs & grofleurs réla- 
tivement aux momens de leurs propres poids, elles ne 
feront pas, comme il dir, en raifon compofée de la pro- 
portion des Cubes des diamétres de leurs bafes, & de celle. 
de leurs côtez pris réciproquement; mais bien en raifon 
compofée de la proportion des diamétres des bafes, & 
de celle des quarrez des côtez des Cylindres pris récipro- 
quement. Ce que je démontre en certe maniere , & fur la. 
fig. de M. Galilée, qui fait la ligne EG égale a B C. 

Fig. 5,Tab. 20. La raifon du moment de la refiftance du Cylindre À C: 
au regard du moment du poids du même Cylindre AC, 
au moment de la réfiftance du Cylindre D F au regard du: 
moment du poids du même Cylindre D F, eft compofée 
de la raifon du moment de la réfiftance de A C au régard 
du moment du poids dumême AC , au moment delaré. : 

fiftance 


DE LA COUPE DES POUTRES EGALEMENT RESIST. ÿ2$ 
fiftance du Cylindre D G au regard du moment du poids 
DG, &de la raifon du moment dela réfiftance D G au 
regard du moment du poids D G:, au moment de la refif- 
tance du Cylindre D'F au regard du moment du poids 
DE. Mais la raifon du moment de la réfiftance de A Cau 
regard du moment du poids de À C ,au moment de la ré- 
fiftance de D Gauregard du moment du poids D G, eft 
lamême que la raifon du diamétre À B'au diamétre DE, 
par ce qui a été démontré ci-deflus; & la raifon du mo- 
ment de la réfiftance du Cylindre D G au regard du mo- 
ment du poids de DG , au moment de la réfiftance du Cy: 
kindre D F aurégard du moment du poids D F, eft la mê- 
me que celle du quarré du côté E F au quarré du côté EG 
ouB C, ainf queje le démontrerai ci-deflous. Et partant 
l raifon du moment de la réfiftance du Cylindre A C au 
regard du moment du poids A C, au moment de la réfif_ 
rance du Cylindre D F au regard du moment du poids 
DEF, fera compolée des raifons du diamétre A B au dia- 
. métreDE,&duquarré du côté EF auquarré du côté BC. 
: Ce qu'il falloir démontrer. 
Or pour faire voir quela raifon du moment de la réfif. 
tance du Cylindre D G au regard du moment du poids du 
même D G ,aumoment de la réfiftance du Cylindre D F 
au regard du moment du poids du même D F, eft égale à 
celle du quarré EF au quarré EG; je dis ainfi. Les raifons 
desmomens de la réfiftance des deux Cylindres D G & 
D Faux momens de leurs poids, ayant un même antécé- 
dent, fçavoir lemoment de la réfiftance., qui eft lemême 
en tous les Cylindres de même grofleur ; elles feront en- 
tr'ellés comme lés termes conféquens , pris réciproque- 
ment , (parce quia été démontré par d’autres.) C’eft_à- 
dire, que la raifon du moment dela réfiftance du Cylindre 


… DG au moment du poidsdu même D G, fera à la raifon 


‘du moment de la réfiftance du Cylindre D F au moment 


- dupoids du même D F , comme réci proquement le mo: 


Rec.de Ac, Tom. T. Eeee 


516 PROBLEME QUATRIEME. 
ment du poids du Cylindre D F , eft au moment du poids 
du Cylindre D G. Mais par Ja 2° Prop. de M. Galilée ,.le 
moment du poids de D Feft au moment du poids de D G, 
comme le quarré du côté E F eft au quarré du côté E G: 
Doncle moment de la réfiftance du Cylindre D Gaure- 
ard du moment du poids du même D G, fera au moment 
de la réfiftance du Cylindre D F au regard du moment du 
poids. du même DF, comme le quarré ducôtéEF ,au 
quarré du côté EG ou BC. 

Il y a encore une maniere de raifonner , qui fait peine, 
dans fon. 3. Dial. où , après avoir fort bien dit, Motum 
æqualiter [eu uniformiter acceleratum dico ilum , qui à quiete 
recedens ,temporibus æqualibus æqualia celeritatis moments 
fibi faperaddit. W fait un difcours excellent pour l’expli- 
cation de cettedéfinition , contre laquelle enfuire il fe faic 
faire une objeétion , qu’il réfout en certe forte. 

Sagr. Per quanto per ora mi fi rapprefenta al intelletto, 
mi pare che con chiarexza forfe maggiore fi fufle potuto definire 
fenxa variare il concetto : Moto uniformemente accelcrata 
effer quel nel quale la velocità andaffe crefcendo fegondo che 
crefce lo fpaxio che fi va paffando : fi che per effempio il grado 
di velocità acquiflato dal mobile nella [ce[4 di quattro brac- 
cia ,fuffe doppio di quello che’gli bebbe , [cefo che fa lo fpaxie 
di due, à queffo doppio del confeguito nello [paxio del primo bra- 
cio. Perche non mi par che fa dà dubitare , che quel grave, 
che viene dal! altexxa di [ei braccia | non habbia , è perquota 
con impeto doppio di quello che bebbe, [cefo che fà trè braccia , 
€ triplo di quelle che hebbe alle due , è fefcuplo del havato nello 
fpaxio di uno. Salu. Zo mi confolo affai d'haver bavuto un 
santocompagno nel’ errore ;  pià vi diro ,the il vofiro difcorfo 
hà tanto del verifimile , à del probabile , che il noffro medefimo 
ÆAutorenon mi niego , quando glielo propofi, d'effer egli ancora 
fato per qualche tempo nella medefima fallacia. Ma quello, 
di che io poi [ommamente mi maravigliai, fu il vedere fcoprir 


con quattro femplicifime parole ,non pur falfe , ma impolibili 


s- D. ts 


. 


DE LA coUPE DES POUTRES EGALEMENT REFSIST. 527 
due propofixiont , che hanno del verifimile tanto , che baven- 
dole io propoffe à molti , non hô trovato , chi libéramente non 
me l'ammeteffe. Simpl. V'eramente io [xrei del numero de à 
conceditori, è che il grave defcendente, Viresacquirat eundo, 
crefcendo la velocitä à ragion dello fpatio , è chel momento 
dell iffeffo percutiente fix doppio venendo du doppia aliexxe, 
Mi paiono propofixioni da concederff fenxa repugnanxa, d con- 
éroverfia. Salu. E' pur fon tanto falfe e impolfibili, quanto che 
él moto fi faccia in un inflante. Et eccovene chiariima dimon. 
ffraxione. Quando le velocità hanno la medefima proporxio- 
ne ,che gli fpaxi palfati d da paf[arf, tali fpaxii vengon paf- 
fati in tempi eguali ; fe dunque le velocità ; con le quali il ca- 
dente paffd lo fpaxio di quattro braccia , furono doppie delle 
velocità , con le quali pad le due prime braccia ( ff come lo 
fhaxio à doppio dello fpaxio) adunque i tempi di tali pafaggi 
fono eguali ; mà pallare il medefimo mobile le quattro brac- 
cia ,e le due nel iffefo tempo ,non pud haver luogo fuor che 
nel moto inffantaneo. M noiveggiamo, che il grave cadente 
fa fuo moto in tempo, & in minore palla le due braccia, che 
le quattro. Adunque è falfo , che La velocità [ua crefca come 
lo fpaxio. L'altra propofixione ff dimoftra fal[æ con la mode. 
fima chiarexza, &c. Sagr. T'roppaevidenxa , T'roppa age- 
volexxa à queffa , con la quale manifeate conclufioni afcole ; 
Queffa fomma facilira ; &c. SAR 
Qui fait paroître que la folution de certe objetion lui 
plaît extraordinairement; & il en fait tant de cas, qu'il n 
peut quafi fe laffer d’en exagérer la beauté. 
Et cependant je vous avouë franchement la foibleffe 
de monefprit , qui ne l'a pû jufqu'icicomprendre enau- 
cune maniere , quelque foin que j'aye pris de méditer fur 
fon raifonnement:, lequel au contraire m’a toûjours paru 
faux, & paralogiftique en fa forme, quoiqu'il foit très- 
veritable en fa matiere. D ù 
. Et pour vous faire voir mon fentiment, je vous dirai 
que pour avoir démontré, dans la 2° Prop. du même Dial. 
Eceei] 


528 PROBLEME QUATRIEME.. 


au commencement , lorfqu’il a expliqué les proprietez du 
mouvement égal & uniforme , que f /patia fint at veloci- 
tates , tempora erunt æqualia. Je ne vois pas pour cela, 
que parlant des proprierez du mouvement acceleré, | per- 
mettez-moi de me fervir de ce terme )il ait pû dire, que 
guando le velocità hanno.la medefima proporxione che cli 
fpaxii pallati, à da palfarfi,tali [paxii vengon pal[ati in tempi 
eguali. Ce qui peut être abfolument nié, puifque ces mou- 
vemens font fi differens, qu’il n’y a aucune connexité en- 
tre ces deux Propofitions, & ce qui convient à l’un, peut 
abfolument ne pas convenir à l’autre. Er cependant c’eft 
de cette Majeure, que M. Galilée tire ces conféquences 
qui raviflenc M. Sagredo, & qui font qu'il s'écrie avec 
tant d’emportement, Troppz Evidenxa , troppa agevolez: 
Xa , EC. 

Que fi l’on veut dire qu’il a pû argumenter fur les pro- 
pricrez du mouvementacceleré, comme il a fait fur cel- 
les du mouvement égal & uniforme, par ce qu’il démon. 
tre un peu au-deflous dans la 1. Prop. de l’acceleré , que 
T'empus in quo aliquod fpatium à mobili conficitur latione ex 
quiete uniformiter acceleratà, ef} æquale tempori, in quo 
idem fpatium conficeretur ab eodem mobili motu equabili de- 
lato , cujus velocitatis gradus fabduplus fit , ad fummum ulti- 
mum gradum velocitatis prioris motus uniformiter accelerati. 
Qui fait voir la rélation qu’il ya entre les deux mouve- 
mens ; & que pour ce qui regarde les cemps & les efpaces, 
ce qui fe dit de l’un, peut être proportionnellement en- 
tendu de l’autre. 

Je répondrai que ce difcours , quelque veritable qu'il 
foit en foi-même, ou ,commecon dir dans les Ecoles, par 
fa matiere, il eft toñjours faux dans fa forme ; & le Para- 
logifme ne fait que.changer de nom ; en ce que ci-deflus 
on pouvoir l’appeller , comme on dit en Logique , à non 
cau[a tanquam à caufa & ici à petitione Principii. Puifque 
cette premiere propofition du mouvement acceleré ;fup- 


a PA 


DeLacouPE DESPOUTRES EGALEMENT RESIST. 519 
pofant & érant fondée fur la définition conteftée , il n°’eft 
pas jJufte de vouloir démontrer celle-ci par l’autre. 

.. Voilà donc lesObfervations que j'ai faites fur ces ma- 
tieres, que jenevousrapporte point avec un efprit de cri- 
tique, ou d’un homme quine cherche que cg qui peut être 
repris dans les plus beaux Ouvrages, puifqu’il n’y a peut: 
être perfonne au monde ; qui ait plus d'amour & d’eftime 
pour tout ce qui vient de M. Galilée que moi , qui ai eu 
l'honneur d’être de fes derniers Difciplés , & qui ai tra- 
vaillé depuis tant d'années à étendre cette Do&rine de la 
réfiftance des Solidesdontileftl’Inventeur, & qu'il a ren- 
fermée dans un fi petit nombre de propofitions ; ayant 
pour ce fujer compofé le Livre que vous avez vü prêt à 
être donné au public il y a plus de douze ans,que j'appelle 
Galileus Promotus de refifentia Solidorum ; & qui pouvant 
quelque jour être mis en lumiere , fera aflez connoître 
ma reconnoiflance, & le refpect que je porte à la memoire 
de ce grand Homme, que notre bon Ami M. Gaflendi 
appelloit ordinairement le Platon de notre fiécle. 

Ce n’eft donc pas dans le defféin de rien cenfurer dans 
fes Ecrits que je vousai marqué mes fentimens ; mais feu- 
lement pour vous faire voir que ce n’eft pas miracle , que 
dans le nombreinfini de médirations toutes divines, dont 
il a rempli fes Ouvrages, quelques petites bagatelles com- 
me celles-ci , lui foient échappées fans y avoir pris garde. 

Ce qui eft, à mon avis, tout ce que je devois vous dire, 

our vous tirer des doutes qui vous étoient venus fur la 
lecture de mon écrit : Et fi dans tout ce difcours vous trou- 
vez encore quelque chofe qui ne vous fatisfafle pas entie- 
rement, il faudra que nous nous en entrerenions plus par- 
ticulierement enfemble ; & que furle Livré même de M. 
Galilée j'eflaye deme mieux expliquer que je n’ai pü faire 
dans les raifonnemens que je vous ai communiquez, où 
J'ai eu le malheur de ne me fçavoir pas fi nerremént faire 
entendre, uv Ho Ub 117110 dk 

Ecee ü 


50 PROBLEME QUATRIE ME! 11 

Et c’eftune des principales raifons qui m'ont fait éten: 
dreun peu plus au long dans certe Lertre , & rapporter 
quantité de paflages aux mêmes termes de M. Galilée ; 
puifque dans cette queftion il feroit toûjours fâcheux de 
comber dans l’inconvenient , où une autre de pareille na- 
ture a jetté dans ces derniers temps les plus beaux efprits 
de l’Europe. Adieu, Monfieur ; confervez-moi toûjours 
l'honneur de vos bonnes graces. A Paris, ce 18. Juillee 
1661. 


FIN. 


MENT 
RH 


Rec. de l'cad Lin.  BLl.r, ‘| 


DATE 


Reed Aad Tr .V. PLENTIA 


— 


Rec. d rad. CUITE 


Tone .V, pl 


NAAAAAAAIAAA AAA AAA MD 


Rec. d'Acad.Trm .V. PL.1Ir. 


Rec. dead. Tim .V. PL.III. 


h 


A L Æ LE 


Î té Lee. Acad ,Tm.V. PL: UE 


Rec. d ad. Tom N.PL.Y. 


Rec, d'Acad,. Tm.V.Pl.VI. 


ec. d'cad, Trm.V.PL.Vr, 


Rec, A'Acad Lo V. PL,VIZ. 


Rec, d'Acad Loin V, PL WII. 


Rec .d'Acad.TrmV.PL. VILT . 


Rec .d'Acad,Trm V-PL. VILE - 
| 


Rec dat etmm.N. PL. 1x 1 


. IX. 


+Toin.V. Pl 


a Acad 


Rec: 


AND ACT CON 
LAOPABrE. 


DE 


.V. PL, 


d. Trnr 


, 
CA 


A 


Rec. 


Rec. d'Arad.'Tni.V. PLXTI. 


| 


Rec . d'Acad .TmV. PL.XIT. 


Bec. d'acsi. rm. 


V.Fi. XIII. 
ai | 


Rec. d'äcad Im Vi PL.XIV. 


nt To V. PL X1y 


Kec. d Arnd.Tm.V.Pl.XVI. 


Rec. d'acad rm. V. PL. XVIr. 


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