,1,1, î, 1.1. 1.1)1 ;i,:',[:it:lt;iM:it!i tiUuii^iUii l :; .%'','',î',l Où' Ô/'^. MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE D E S S C I E N C E S. Depuis 1666. julqu'à 1699. TOME IX. A PARIS, xc:2^H._ PAR LA COMPAGNIE DES LIBRAIRES. M. D c c X X X. A r EC PRIVILEGE DV ROT. A PARIS, 'Gabriel Martin, rue Saint Jacques à l'Etoile. François Montal ant, Quaydes Auguftins. ClieZ^ JeaN-B A PTISTE COIGNARD Fils » Imprimeur du Roy &c de l'Académie FraïK^oifc, rue Saint Jacques. FiYPPOLiTE-LouisGuERiN, ruë Saint Jacques, à Saint Thomas d'Aquin ŒUVRES DIVERSES D E M DE LA HIRE. DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES. TABLE DES MATIERES contenues dans ce Volume. - TRaité de Mécanique page i. Traité des Eficycloïdes cf de leur tifage dans les Mécaniques. j^l. Examen de la Courbe formée par les Ratons rcficchis dans un ,^.art de Cercle. 4^.8. Explication des principaux effets de la Glace é" du Froid, 475- Explication des différences des Sons de la Corde tendue Jiir la Trompette Marine. y 00. Differtationfur les differens Accidens de laVué. I. Partie. yjo. II. Partie. Traité de U Trafique de la Teinture. ^J7- TRAITÉ DE MECANIQUE' OU L'ON EXPLIQUE TOUT CE QUI EST necell'aire dans la pratique des Arts, fcPfe»f<>fe>l K^-^ '^>?*>!f-.-. •<^^-^--^^^!i-^.r<<^J'. '\}V^.--, res poui" la Phyfique. TRAITE' TRAITE. D E MECANIQUE' O V L'O N E X P L I ê^V E T OV T ce qui eji nécefjaixe dans la pratique des Arts. L n'y auroic rien dans la nature qui fut plus capable d'attirer l'admiration des hommes , que de voir les efforts que peu- vent faire les forces mouvantes par le moïen des machines aufquelles on les applique, fi elles n'ctoicnt pour la plu- part fi communes qu'on les regarde lans y faire aucune at- tention , &c fans confidercr que c'cft une loy naturelle que deux puiffances égales doivent demeurer en équili- bre ^ qu'il ^'^^ P^^ polfible qu'elles puiflent fe furmon- Kec. de rjcud. 7 orne IX. A 2, Traite' de Mecanicvue. ter l'une l'autre , & encore moins qu'une très- petite en puilTe égaler une aufli grande qu'on la peut imaginer. Cependant c'cft fur cette même loy , ou lur cet Axiome que toute la Mécanique eft fondée, Se qu'on démontre géométriquement qu'une très petite force peut produire dcrrcs-grands effets. C'cft pourquoi ndè^ difons que la Mécanique eft une fcience qui fait connoitrc par quels moiens l'effort d'une puifTance peut être augmenté à l'infini. Toute la Mécanique étant donc fondée fur un Axiome fi limple & fi naturel , il n'y a aucun lieu de douter que tout ce qu'elle propofc ne flic toujours poffible dans l'exé- cution , fi la matière qu'on y emploie pouvoir avoir toute l'étendue & la folidité qui y eft néccffaire , & fi elle ne ré- fiftoit au mouvement par la difficulté que les parties ont à le mouvoir en frotant l'une contre l'autre. Ce font ces frotcmens que l'on ne confîdcre pas ordinairement dans les machines qui font les plus ingcnieuf es dans leur inven- tion, qui les empêchent fortf(3Uvent de réiiffir quand el- les font exécutées. Lorfqu'on fe fcrt d'une matière dont les parties n'ont que très-peu de réfiftance au mouve- ment ,c'eft-à-dire celle dont les parties fe. dégagent les unes des autres avec une très-grande facilité , comme l'air & l'eau , il n'y a pas de doute que l'exécution ne réponde tOLijours à très-peu prés aux raifbnnemcns géométriques : & c'cft en fuppofant que l'air eft affés fluide pour fe mou- voir à la moindre force , qu'on dit qu'il n'cft pas pof- fible de mouvoir un corps fur la furfacc de la terre, fans qu'elle change de pofition à l'égard du point vers lequel tendent tous les corps pcfans ; puifqu'il eft certain que fon centre de gravité doit changer quand il arrive quel- que changement à la difpofition des parties qui la compo- fent , & que ce centre de gravité doit toujours être placé dans le point oii tendent tous les corps pefans. Traite' de Mecaniq^ue. j Mais commeiln'y a point d'art quin'ait bcfoin de la Mécanique, auffi ceux qui en font profcllionn'y léùùif- fent qu'à proportion qu'ils en ont une plus parfaite con- noiflance : car elle n'eft pas feulement néceflaire pour la conftrudion de^ouvclles machines , mais encore pour la perfe(5lion de (^les qui font le plus en ufage , &: dc-^til efl impoflible de fe paffer. Ce n'eft pas que la ncccUitc & l'utilité de ces fortes de machines n'aient oblige les hommes par la feule expérience , à les pouffer à un degré de perfection , peut-être au-delà de ce qu'ils auroicnt fait s'ils ne les avoicnt confiderées que comme des exercices de l'efprit fans aucune utilité : mais ce n'eft que par le moïende la Mécanique qu'on peut ctreaffeuré qu'elles n'ont aucun detfaut , au moins de ceux qu'on peut facile- ment éviter. Les découvertes qu'on fait tous les jours , & les nouvel- les machines qui ont été inventées par de très-fçavans Mathématiciens , & par de très-habiles Ouvriers auicon- noilfoient fort bien les principales loix des Mécaniques , &: qui fçavoient d'ailleurs ce qu'ils pouvoient efpcrer des métaux &: du bois dans l'exécution, font ailes connoître qu'on ne doit pas négliger la théorie de cette Science, pour ne s'attacher fimplement qu'à la pratique. Et s'il s'eft trouvé quelques Ouvriers qui ayent réiilîi dans des entre- prifes affés confiderables par la feule pratique , on ne peut pas dire pour cela qu'ils ne fçeuftcnt rien de mécanique , & qu'il vaut bien mieux travailler comme au hafard fans aucune règle, que de fe conduire par les lumières de la raifon. S'il falloir faire voir en particulier toutes les utilités de la Mécanique , il faudroit taire la defcription de toutes les machines dont on s'cft fervi en différentes occafions & eu differens tems , foit dans la guerre ou dans la paix , &c dont on fe l'crt encore à prefent , tant pour la nécelfitc que Aij 4 Traite'' de M e c a n i clu e- pour le divcrtiflcment. Maisc'eft aflcs de marquer en gê- nerai, que ce n'cft que fur les principes de cette Science que font fondées toutes les conftrutîions des moulins à eau &: à vent pour diifcrcns ufages, des prclToirs, de la plupart des machines qui fervent à la gugye , & dans l'at- taque & la défcnfe des places, dans la CT)nfl:ru£lion des édifices ou celles qu'on emploie pour élever des fardeaux font en très-grand nombre, qui ont toutes leurs utilités particulières dans des occafions différentes ; tout ce qui regarde l'élévation des eaux par des pompes , des chape- lets, des roiieSj des vis inclinées, desniiauxen fpiralc, & une infinité d'autres : enfin on ne fçauroit nier que l'on ne fait redevable à la Mécanique d'une infinité d'ouvrages très utiles Se très curieux qui fe font par le moïen du tour. Les Anciens ont confidcré deux parties dans la Mécani- que, l'une qui neregardoit que les raifons de l'augmenta- tion de l'eftbrt des puiffinces , & qui étoit fondée fur là Géométrie, fur l'Arithmétique & fur les raifonnemens phyfiques; l'autre n'avoir pour objet que l'éxecution, Sc demandoit une connoillance parfaite de tous les mate- reaux qui entrent dans la compofition des machines & des différentes applications qu'on en peut faire. C'efl: aufli en luivant les Anciens que nous établifTons ordinairement cinq puifTances ou machines principales qui fervent à mouvoir des fardeaux : fous la première on comprend le Levier Sc la Balance ; fous la féconde le Treuil on Vindas ou Cahtfian & les roués dentées avec leur ertieu ; fous la troificmc la Poulie &c la Moujle ; fous la qua- trième le Coin ; & icuis la cinquième le Plan im Une avec la Vis. Nous examinerons chacune de ces puifTances ou machines en particulier , en faifant voir comment elles fe peuvent toutes rapporter au levier dont nous traiterons, d'abord. Traite' de M e c a n i q^u e. f Mais il faut remarquer en gênerai , que dans toutes les machines on peut toujours conlidcrer trois puiffances, dont il V cnaunefculcquiréfifteà l'cflFortdes deux autres &: qui doit être placée au milieu ; & l'on diftinguc ordi- nairement ces trois puifTances de trois noms differcns^. l'une s'appelle la pitjfdnce mouvante : l'autre s'appelle le poids ou Lipitijfance qui cil mcuc : & la troliiémccll: l'appui ou la puiflance qui foutient , que les Grecs ont appelle Hypomochlion , qui cft un mot allez en ufage dans les Mécaniques & dont nous nous fervirons en pluficurs ren- contres, &: indifféremment avec celui d'appui. Il eft facile à voir qu'on peut par-tout fubltituer une de ces puilîances à la place de l'autre , par exemple au lieu du poids la puif- fance mouvante oul'hypomochlion , &: de même à la pla- ce de la puifTance mouvante ou de l'hypomochlion quel- qu'une des deux autres , comme on le pourra voir en plu- lieurs rencontres. Il peut aufll y avoir équilibre entre deux puifTances qui feront direûement oppofées ; mais on ne retire aucun avantage de cette diipofition des puiffanccs. Nousétablifî'ons feulement l'équilibre entre ces trois puiffances , puifqu'il eft évident que li elles font en équili- breentr'elles ,c'eft-à-direquc ii aucune des trois ne peur être meuë par les autres , ni les mouvoir , pour peu que l'une foit augmentée , elle pourra mouvoir les autres. Dans toutes les régies de l'équilibre on conlidereles machines fans avoir de corps , dont les parties peuvent empêcher rcffct , foit par leur pcfmtcur propre ou par le frotemcnt qu'elles font les unes contre les ancres , ic quoi qu'on ne puiffe pas donner des régies très-certamespour déterminer la quantité de frotemcnt , qui fe peut rencon- trer dans les Machines, on peut néanmoins faire voir comment on peut le diminuer quelquefois , ce qui eft d'uii grand ufage dans la pratique. Aiij ■6 Traite' de Mecaniq^ue. Nous démontrerons toutes les propofitions de ce traité a la manière des Géomètres , aïant établi quelques hypo- tliefcs pour rendre les démonftrations plus iimplcs &: plus ailées à comprendre : mais à la fin de cet ouvrage nous ap- porterons des démonftrations nouvelles des principales régies de Mécanique , où nous ferons voir comment oa les peut déduire géométriquement de la conftitution des corps qui fervent dans lacompoiition de la machmc, ce qu'on peut appeller unedémonftrationphyfiquede l'clFcc du levier. D'e finitions g e'n b'r. a l e s. I. LJ pefanteur efl; l'effort que fait un corps pour dcf^ cendre. On diftinguelapefanteur relative d'un corps d'avec la pclanteur abfoluë , en ce que cclle-cy eft confideréc abfo- Iument,.& que celle-là ne l'eft que par rapport à une autre. IL La direction d'une puiffance eft la ligne droite , fuivant jaquelle elle fait fon eifort étant appliquée à la machinc- I I I. Le centre de grd'vité à\\ncoxY>s pcfant eft un point par X)ù le corps étant fufpcndu , toutes fcs parties demeurent en repos, quelque pofition qu'elles aient par rapport au Jieu vers lequel il dcfcend. Nous ncdifons pas que le centre de gravité d'un corps vpefmt foit un point autour duquel toutes fcs parties font .-en équilibre , puifqu'il eft certain , comme nous le démon- trerons dans la fuite , qu'un femblable point peut être pla- fe en une infinité d'endroits diffcrens , foit par les dJJie« Tr a I t e' de m e c a n I i y aura équilibre encre ces poids par la première propolition. Ce fcroit aufli la même chofe fi l'on fuppofoit qu'il y eut Bii} 14 Traite' de Mecaniq^ue. un plan qui pafTit par le levier D E & par les lignes de di- rcdioa lO , E K des poids ; car en quelque endroit de ce plan que les poids réduits à des points pcfans fulTcnt ap- pliqués fur leurs lignes dcdircdion , ils agiroicnttoûjours de même l'un fur l'autre , que s'ils étoicnt appliqués aux points !&: K fur la ligne 1 K. Proposition III. S I deux poids font entr'eux en raifon de nombre k nombre, éf (jn^'ils foient appliq/iés à un levier en forte que les dif tances de leur application jufqu' à l'appui foient en même raifon que ces nombres , mais que la d'ijpoftionjbit réciprO' que ,je dis que ces poids feront entrc-eux en équilibre , ^ que l' appui fera feulement chargé de lafomme des deuxpoids^ dr non pas de lafomme de leurs efforts qui font égaux. 1),- £ — t- -iE Soit le levier ou la balance ABCcomme on l'a fuppofée dans la première propo- fition enforte qu'il y ait deux poids en A & en C dont les di- rections foient perpendiculaires au levier A C , & qu'au point B du milieu il y ait une puiffancc qui foutienne ces deux poids , &c qui doit par confequcnt poulTcr le levier en haut avec un effort égal aux deux poids enfemble , ou dou- h\c de chacun en particulier; par exemple fi les poids en A &: C font chacun ile i livres, la puifTancc en B doic ctredc 4 livres. Maintenant foit un autre levier D F entièrement égal au levier A C , & perpendiculaire aux lignes de diredion des poids ,il cftauiTi évident par la première propofition , fçjue fi on applique aux extrémités D&:F deux poids égaux. Traite' de M e c an i q^^t e. ly comme d'une livre chacun, le point E qui cft au milieu doit être foutenu avec une puiffanccdc deux livres : ou ce qui eft la même choie , que ces deux poids en D & en F de I livre chacun, tirer ont embas le point E avec un ef- fort de z livres. On pourra donc placer le milieu E de ce levier D F fur Je point A du premier A C , & il eft évident que les poids de I livre appliques aux extrémités D &:F feront le même effet fur le levier A C , que faifoit auparavant le poids de z livres appliqué en A. ; : : •.-, • ,. ' Il cft facile à voir qu'il n'importe pas quel angle le levier D F faflc avec A C étant appliqué comme en df, pourvu qu'il foit aufli perpendiculaire aux lignes de direûion des poids , c'eft-à-dirc qu'il foit avec le levier AC dans un plan perpendiculaire à la direction des poids. Mais aulfi par les con- féquencesde lapremie- d ^ ^ ?- repropolitionjfil'on ar- * A iJ C rêtoit l'extrémité y du levier (/f^ lefeul poids de i livre pofé en a', fcroitun éfcrr de 1 livres en f ou en A fur l'extrémité du levier A C & le levier AC demcureroit en même état qu'auparavant ; c'eft-à-dire que le feu! poids de i livre en (r/jfcroit équilibre avec le poids de z livres en C & le poids de 4 livres en B. Mais comme ce fera toujours la même chofc dans quel- que angle que faft'c D F avec A C fur le plan perpendicu- laire à la diredion des poids, on peur imaginer que la par- tie fy"du levier i^/^eft placée fur la partie A B du levier AC,enfortequeces deux lignes fe touchent dans toute leur longueur ; car ces leviers ont été fuppolcz égaux. Ces deux leviers ne feront donc plus qu'une feule ligne droite ou qu'un feul levier iafC , qui ayant un poids de i livre à fon extrémité âf, fera équilibre avec un poids de 2 livres placé àfon extrémité C. 1 iî Tr a I t e^ de ïvÎ e c a n r Qjr ë.' Mais l'appui de ce levier fera au point B ou/", où il fau- ■<îra deux puifTanccs po\u- le retenirjcar celle qui efl; appli- quée en B agit de bas en. haut avec un efloit de 4 livres , éc celle qui cft appliquée en/', agit avec v.n effort de i li- vre de haut en bas pour foutenir l'eftort de i livre en d/. ■■ n efl donc évident cjue l'eftort de I livre en s'élève le '^point/'avec uneftoit dei livre; donc le poids de i livre en i/en s'appuyant en A avec un eftort de 1 livres , élevé rexti-emité/avec un eftort de i livre. Maintenant ii l'on joint cnfcmble les points/" &: B,41 fera aufti évident c le poids de deux livres en C qui font en équilibre , S>C qui font enfemble un effort de 3 livres au point B pour l'abbaiffer , feront le même effet fur le point G de la ba- lance , que le poids de 3 livres y faifoit auparavant. En-fin flic point C eft joint au point H, ces deux le- viers enfemble ne feront plus qu'un fcul levier I D. Mais le feul poids d'une livre en D faiûnt un effort de 3 livres pour abbaiffcr le point G , en fait un en même tems de 2, livres pour relever le point H auquel le point C s'cft joint. Il ne faudra donc plus à la puiflance H qu'un effort de 4 livres pour foutenir ce levier compofé , dont le point I efl: chargé de 3 livres, & le point D d'une livre, ces deux poids étant en équilibre. Il y aura donc même raifon entre les poids D & I , Mec, de l'Acdd. Tome IX. C ig Traite' de Mecaniqjje. qu'entre les parties du levier HI, HD, quieftcellcdc i à 3 , & chacuneàlapuiffanccH, comme les parties du le- vier à tout le levier , c'eft-à-dire comme i ou 5 à 4. Si l'on pourfuit de même , & qu'on applique ce dernier levier DHl lur un autre K M Icmblable au premier , qui porte à les extrémités KM des poids égaux de 4 livres cha- cun , & qui eft foutenu par une puiffancc L double de cha- cun , c'cft-à-dire de 8 livres ; il eft évident que le point H du levier D I qui Y) H T<- 4 "^^^ poulie en bas ^ ! ' 4l^^ g^L M avec un effort de 4 livres par le poids de 1 livre en D , & par celui de 3 livres en 1 , fera le même effet fur le point K du levier K M , que le poids de 4 livres, c'eftpourquoy le point I du levier D 1 étant retenu en I ou en L où il eft joint en forte qu'il ne puiffe s'élever , le icul poids d'une livre en D fera un eftort de 4 livres fur le point K du levier K M : il y aura donc équili- bre entre le poids de i livre placé en D , &: le poids de 4 livres en M. Mais le poids d'une livre en D élevé le point I avec un effort de 3 livres , ce qui foulage de 3 livres la puiflance L de 8 livres , en forte qu'elle fe réduit à 5 livres. On voir donc qu'il y aura équilibre entre les poids D &c M , qui feront cntr'eux comme les parties du levier L M , L D , & qu'ils feront à la puiflancc L, comme chaque par- tie du levier au levier entier. On trouvera toujours la même chofe en pourfuivanta l'infini ces applications des leviers l'une fur l'autre, ce qui fait une partie de la démonftration de cette Propofition; car on a feulement démontre qu'il y avoir toujours même raifon entre un poids comme celui de i livre , & fon mul- tiple dans quelque nombre que ce foit, comme de ijjio, ïoo , Sec qu'entre les parties du levier. Traite' de Mecaniq^ue. 19 Pil refte donc à démontrer la même chofe quand les poids font chacun quelle partie on voudra l'un de l'autre ; com- me li l'un cft de 3 livres èc l'autre de 7 livres , ou l'un de 4 &: l'autre de 9 &:c. Soit donc par exemple un des poids de 4 livres , & l'au- tre de 7 qui foient appliqués-au levier en A Se enC avec les conditions précédentes des directions perpendiculaires au levier. Je divife le levier A C en onze parties égales entr'elles , qui eft le nombre de la fomme des parties des deux poids , puifquel'uneft 7, & l'autre 4. Enluite ]e pofe l'appui au point B qui retranche du levier 7 de les parties vers le point A où doit être pofé le poids de 4 livres , & quatre de l'autre où doit être pofé le poids de 7 livres ; Se je dis que Bl£2-a8 fi l'appui eft pofé au point B fous ce levier , le poids de 4 livres en A , &: le poids de 7 livres en C feront en équili- bre , & que l'appui fera chargé de 1 1 livres qui eft la fom- me des poids. Il eft évident par ce qui a été démontré dans la premie- Te partie de cette Propofition , que s'il y avoir un poids de I livre appliqué au point A de ce levier , &c un autre de 7 livres appliqué au point G , & qu'il n'y eût que ces deux- là feulement fur ce levier , ils demeureroient en équilibre fur l'hypomochlion B ; car B G fcroir une partie de ce le- vier , & B A en feroit 7. Ce f:ra encore la même chofe Ci le poids appliqué en A eft de 4 livres , & que l'autre foie de 28 livres; puifqu'on doit confidcrcr un poids de 4 li- l'res par rapport à un de i8 , comme un de i liv.à un de 7; 20 Traite' de Mecaniq^ue. Soit donc le poids de 4 livres appliqué en A , & le poids de 18 livres apliqué en G fur l'hypomochlion ou appui B , qui fera par conféqucnt charge du poids de 3 2. livres. Maintenant fi au lieu du poids de 2,8 livres appliqué en G , on y pofe le point G d'un levier E D , comme on a fliit dans la première partie de cette dcmonftration , & que ce levier ait autant de parties qu'il y en a dans le poids placé en A , c'cft-à-dire 4 , & qu'une feule de ces parties foit de- puis G jufqu'cn E , &: les trois autres depuis G jufqu'cn D. Enhn qu'on applique à l'extrémité D de ce levier l'autre poids qui eft de 7 livres , & qu'en E on en pofe un autre qui foit multiple de 7 fuivant le nombre des parties de D G , qui fera 2 1 produit de 7 par 5 . 11 cft certain par les démonftrations de la première par- A P'i'lG C 7/ D de de cette propofition , que les poids de 2 1 livre en E , &: de7 livres en D feront en équilibre fur le levier ED pofé fur fon appui G , & que cet appui fera chargé de iS livres, qui cft la fomme des poids. Car ces deux poids ont entre- etix la- même raifon que celle des parties du levier. Ce le- vier E D étant donc ainfi chargé , &: étant appuyé fur le point G du levier A G , fera le même eftort en ce point, que li le poids de 28 livres y étoit appliqué. . Maintenant ii l'on joint la partie E G du levier E D, avec la partie B G du levier A G , & qu'on arrête le point E avec le point B , comme on a fait cy-dcvant, ces deux leviers ainfi joints enfemble n'en feront plus qu'un feul ABC, dont l'extrémité A fera chargée d'un poids de 4 livres , &; l'extrémité C d'un poids de 7 livres : Se l'cxtre- Traite' de M e c a'nt i q^u e. ii mité E du levier E D étant alors arrêtée en B , fera un ef- fort de 28. livres en G , ce qui eft neccflairc pour fouccnir le poids de 4 livres en A. Mais le même poids de 7 livres cnC , qui fait l'effort de z8 en G pour l'abbaifTcr , fait auffiàmêmetcms un effort de 11 livres pour relever le point B. Il c(1; donc évident qu'il ne faudra plus a. la puif- fance B que 1 1 livres pour foutenir tout ce levier ; car il lui falloir auparavant 3 z livres, èc le feul poids de 7 livres appliqué à l'extrémité C du levier B G C , en s'appuyant en G avec un effort de 28 livres, a foulage ou relevé le- point B de 2 1 livres i c'eft pourquoi il ne reftc plus pour B que 1 1 livres. Il eft donc évident que le levier A C étant chargé à fou extrémité A de 4 livres , & à fon extrémité C de 7 livres , demeurera en équilibre fur l'appui B , qui le divife dans^ la raifon des poids, mais dans une difpofition réciproque , 8c que cet appui fera chargé de la fomme des deux poids qui eft de 11. livres; & c'eft enfin ce qu'il falloit dé- montrer. Confécjuence. II fuit de cette démonftration , que fi l'on confiderc deux poids tels que nous les avons fuppolés & qui foient placés aux extrémités d'un levier , & joints enfcmble par le le- vier , comme un feul corps pcfant , le point d'appui de ce levier fera fon centre de gravité, &; l'on pourra fuppofer que ce point péfe autant que tout le corps ou que les deux poids enfcmble, L E M M E. Soit le levier C B pof'é fur l'appiti H ^ ^chargé de deux poids J ô- B à/es extrémités : Je dis que le poids A Cii] li Traite' de Mecaniq^ue. fufpendH en C ,faifpli(s à' effort fur le poids B ptfpendu en E , que fi ce poids A étoit fûfpendu plus proche de l'appui H comme en D. Si cela n'efl: pas ainfi , & qu'il foit poffiblc que le poids A fufpenduen D faffe autant ou plus d'cfïbrt fur le poids B rufpcndu en E , que ce même poids A fufpcndu en C ; Ibit applique le levier IF dans le pian perpendiculaire à la direftion des poids ,&: qui falTe quel angle on voudra avec C H , lequel pallc par le pomt D , & qui aitfes bras D I , D F égaux aux lignes D C , D H ; fi ce levier IDF eft arrêté en I &: en F à fes extrémités par deux puifTances H L , Se que ce levier fafle au point D le même effet que le poids A y faifoit Q ^^'^^^ auparavant ; il eft r-" J- i — ' -J^ Tance G ne fera pas ^ /l ( B ) chargée toute feule ^""^^ de l'effort du poids A, mais qu'elle n'en portera qu'une partie, puifque la puiffance L lui aide aufïï à en porter une partie. Maintenant fi le point F eft pofé en F^ , le point I fc trouvera en C , puifque ce levier fera joint à la ligne CH, & les poids demeureront encore dans l'état qu'ils étoienc auparavant : c'cft- à-dire que fi le poids A lufpendu en D faifoit équilibre avec le poids B fufpendu en E , auffi une puiffance ou un poids G , moindre que le poids A , lequel eft appliqué en I, & qui fera joint pour lors au point C, fera encore équilibre avec le poidsB.Mais par l'hypothéfe le poids A fufpendu en C ne fait qu'autant ou même moins que le même poids A fufpendu en D : donc le poids G moindre que A , &: fufpendu au point C , fera autant ou |)lus d'eifprc que ce même poids A fufpendu au même Traite' de Mecaniq^ue. ij point C ,puifqu'il en fait autant que le poids A fufpcndii en D , ce qui cft une abfurdité manifcfte , puifquc le poids G plus petit que le poids A , &c fufpendu au même point C de la balance , ne fçauroit faire fur cette balance un effort co-aI,niplus grand queceluidecemêmc poids A ; iln'eft donc pas vray que le poids A fufpendu en D piûfle faire fur la balance un effort égal ni plus grand que celui de ce même poids A fufpendu en C. Cette propofition a ctc mifc en axiome par quelques Géomètres , mais d'autres l'ont fuppofée fans en rien dire; cependant ce n'eft pas une chofe fi claire qu'elle puifle être reçue fans difficulté , &: l'on ne pourroit tout au plus la luppofer que comme un principe d'expérience. Proposition IV, Il f.iut démontrer mainîcnant la même chofe que diws la Jiropojition précédente , quelque rapport que les poids puif— (i/it avoir entreux. Je dis encore qiiefi la longueur du levier efl divifée en même rai/on que les poids ^mais dans une difpojition réci- proque des parties ô- des poids , ^' que ce levier foit placé dans ce point de divifion fur fon appui , les poids demeure- ront en équilibre. Soit le levier L M ( Figure fuivant. ) qui porte à fcs ex- trémités les poids A &: C , dont les diredions font perpen- diculaires au levier -, lî l'on divifc ce levier au point B , enforte qu'il y ait même raifon de BL à BM , que du poids C au poids A : je dis que ce levier étant pofc fur fon appui au point B , il y aura équilibre entre les poids A &; C. S'il n'y a pas équilibre entre CCS poids, l'un emportera- l'autre ; par exemple , que le poids A emporte le poids C, Soit donc ajouté au poids C un autre poids D , en forte que ces deux poids cnfemble C D faffent équilibre , s'il eft. poifibic j avec le feul poids A^ 14 Traite' de M e c'a n i q^tj eT Qii'ondivirc maintenant le poids A en autant dépar- ties égales entr'cUes qu'il en faudra pour faire qu'un cer- tain nombre de ces parties foit plus grand que C , & plus petit que C joint avec D ,ce qui eft toujours poflible , &: que cette partie de A foit par exemple un dixième qui foit le poids F, il y aura donc juftement lo poids F dans le poids A ; mais que 1 3 poids F foicnt cnfemble plus grands que le poids C , mais plus petits que le poids C joint au poids D. Aïant divifé B M en autant de parties égales cntr'clles qu'il y a de parties ou de petits poids F dans le poids A qui fera icy en i o , il ell évident que B L ne contiendra pas i 5 de ces parties. Car puifqu'il y a même rai fon de A à Q^, quedcBMàBL, 15 dixièmes parties de B M doivent R. G L N /j bT w A?- 1 p. i D être plus grandes que B L , puifque 1 5 dixièmes parties du poids A font plus grandes que le poids C. Ainii ces 1 5 dixièmes parties de B M tomberont en G fur le levier au- delà de A , en commençant à B. Mais parla précédente propofîtion il eft certain qu'un poids égal à 1 3 F placé à l'extrémité M du levier , demeu- rera en èquilibix; avec le poids A égal à 10 F placé en G. £t par la conftruûion i 3 poids F font plus petits que le poids C joint au poids D : donc le poids A placé en G fera équilibre avec un poids moindre que C joint avec D. Il faudra donc ajouter au poids à A placé en G , un autre poids , comme 1 , pour faire équilibre avec le poids C plusD. Il s'enfuit donc de-là que le feul poids A placé en L,qui faifoit équilibre avec les poids enfemble C & D placés en M. Traite' de Mec ani q_^u e." ij- M , ne le peut plus faire qu'avec le fecours du poids I , quand il eft plus éloigné de l'hypomochlion ou appui B,ce qui ne peur pas ctre par le Lemme précèdent, puifqu'au lieu d'avoir un plus grand effort fur les poids enicmble C & D , il en a un moindre. Il eft donc vray que le poids A placé en L fera équilibre avec le poids C placé en M , quand le point d appui du le- vier le divife dans la raifon des poids, mais réciproque- ment ; ce qu'il filloir démontrer. Je dis de plus que l'appui B eft chargé de la fomme des •deux poids A &: C. Si nous fuppofons que les poids A & C font réiinis dans les feuls points L &: M de leurs lignes de dircétion , on pourra les confidcrer comme ne faifant qu'un feul corps par le moicn de la ligne L M qui eft le levier , & qui les joint tous deux. Mais ce corps eft foutenu en équilibre fur le point B , comme nous venons de le démontrer , enforte que le point B foutient toute fa pcfanteur abfoluë, comme s'il étoit réiini dans ce feul point qui eft fon centre de gravite. Quoique cette propoution ne puiflc pas recevoir de dif- ficulté , fur tout après avoir démontré qu'elle eft toujours véritable quand les poids font entr'eux comme nombre à nombre, quelque grand que puifte être le nombre de leurs parties ; car fi l'on prend dans les poids des parties égales èc indéfiniment petites , on pourra confidérei leur rapport comme de nombre à nombre. Cependant voicy encore une manière particulière pour la démontrer. Jeconfidcrclclevier L M compofé dcdcux leviers qui font d'abord féparés , dont le premier eft N M, & fes deux parties B M , B N font égales entr'clles , &: fon appui eft en B. L'autre eft LNB.dont l'appui eft en N. 11 eft évident par ce qui a été démontré cy- devant, que fi le poids C eft attaché à l'extrémité M du levier NBM, & qu'au Mecdei'jicad.TomelX. D 2.<î Traite' de Mtc ktR G F E H C eftplaccenE,Ia di-  À A À \ B ftance H E depuis j'iiypomochlion é- tant égale à H C oii cft appliqué le poids B, l'effort du poids A fera le même que l'effort du poids B , fi ils font égaux : mais ce même poids A étanttranfporcé en F , HF étant double de HE, il aura un effort double de celui qu'il avoit en E , puifqu il peut foutcnlr en C un poids double de B qu'il foutenoit auparavant. Et de même fi ce poids A eft enG ou en D,les diftances FG,GD étant chacune égale à HE , il foutiendra en C un poids triple ou quadruple de Traite' de Mecaniq^ue. i^ celui qu'il foutenoit auparavant ; ainli Ion effort en G fera triple de cciui qu'il avoir en E , & en D il fera quadruple, car HG cil: triplede HE, & HD en eft quadruple. Ce que je viens de dire de l'effort augmenté du double, du triple ou du quadruple, fc doit entendre de même de toute autre proportion , puifque par la Propofition IV. il y aura toujours même rapport entre la diftance HC ou HE, & quclqu'.iutre diftance comme H R , qu'entre le poids A placé en R , & le poids B placé en C. Mais par la définition quatrième le produit du poids A appliqué en R par la diftance HR qui mellirc fon effort^ fera le moment du poids A dans cette pofition fur le le- vier ; & femblablemcnt le produit du poids B par fa di- ftance H C qui mefurc aiiffi fon eftort , fera le moment du poids B. Mais puifque dans le cas de l'équilibre il y a même raifon de HC à HR , que du poids A au poids B ^ auffi le produit de H R par A fera égal au produit de HC par B ; ce qu'il falloir démontrer. Conftquence. II s'enfuit de ce qu'on vient de démontrer , que le poids ou la puiiTancequi aura un plus grand moment qu'un au- tre poids ou puiffance,remportera ; & qu'au contraire ce- lui qui en aura un moindre fera emporté. Car.puifque Icy momcns font égaux dans le cas de l'équilibre , le moment fera augmenté par addition de poids , ou augmentation d'effort. Mais li le poids eft plus grand , il emportera né- ccffairemcnt l'autre ;fi l'effort eft plus grand, il fera plus- éloigné de l'appui qu'il n'étoit auparavant , & par confé- quent il emportera encore l'autre. Mais fi le moment eft: moindre il arrivera le contraire , comme il eft évident. Biii: 5 <3 Tr a r t e' de M e c^a k r q^u E. Proposition VII. Une fuijpince peut augmenter fin ejfort à l'infini ,fans augmenter Ja. charge Jhr l'appui. Cette propofitionn''eft qu'une conféquence des précé- dentes. Car puifque l'efFort d'une puifTance dépend de la diftance entre l'appui & l'endroit où elle eft appliquée fur le levier , il eft évident que l'eiïbrt augmentera à pro- portion que cette diftance fera plus grande , mais elle ne fera pas pour cela plus de charge fur l'appui , puifque par la troifiéme ou quatrième propofition l'appui ne fera pas chargé de l'efFort des puifTanccs ou poids , ce qui eft la puiflance ou la pefanteur relative, mais feulementde leur puifTance ou pefanteur abfoluë. Proposition VII L Soit un levier angulaire A H B qui efl chargé a fe-i extrémités de deux poids A B , dont les directions AC, BJ> fi/it parallèles entr' elles : Je dis qu'on peut réduire ce levier angulaire a. un levier droit, fins changer les poids ni leur direction. Par le fommet H de l'angle AHB du levier, ayant mené la ligne droite C H D perpendiculaire aux diredions parallèles A C,BD; Je Ji__ . P, dis que cette ligne CH ièra le levier droit au- quel fe réduit le levier angulaire AHB. Si l'on conçoit quil y a un plan qui pafïc par les lignes de direftion AC , BD, il pafTeraaufîî par l'angle H du levier -, & par la troifiéme fuppofition, en quelque endroit que {bit le poids Traite' de Me c ani q^ue,' jf A'dans fa ligne dcdircdion AC furleplan ACBD il y pc- fera également , c'cft-à-dire qu'il y fera toujours le même effort : on peut donc le fuppofer au point C , auffi-bien qu'au point A. Il en fera de même du poids B , qu'on peut aulli llippofer en D dans fa ligne de direction BD , &: qui fera le même effort par rapport à fa diftancc de l'hypomo- chlion H. Mais ces deux poids A & B étant placés en C & en D , feront équilibre entr'eux fur le levier droit, comme ils le faifoicnt auparavant en A & en B fur le le- vier angulaire AHB. On a donc réduit le levier angulaire au levier droit, fans changer les poids ni leur direclion. Proposition. IX. J E dis qu'on ne doit pas mefurer l'effort des poids ou des puiffjnces par la longueur des bras du levier oit ils font ap- pliqués : mais feulement par les perpendiculaires menées du point d'appui du levier Jur les dircélions des poids. Parles propofitions troifiéme& quatrième, il cft évi- dent qu'il y aura équilibre entre des puilTances ou des poids appliqués fur le levier droit CD aux points CD fi ces poids font entr'eux réciproque des longueurs des bras HD , H C. Mais par la propofition précédente , les poids appliqués en A & en B en quel endroit on voudra de leurs lignes de direétion, AC, BD doivent être confidérés com- mue s'ils étoient placés aux extrémités CD du levier droit ; c'eft pourquoi l'effort de ces poids fe doit feulement me- furer par la longueur des lignes H C , H D , qui font les plus courtes qu'on puiffe mener de l'appui H aux lignes de direâ:ion,puifqu'elles leur font perpendiculaires, &: non pas par celle de HA , HB qui peuvent avoir entr'elles des rapports trcs-differens de HC à H D. Remarque. Si les triangles HAC, HBD étoient fcmblables , on. ppurroit auffi mefurer l'effort des poids A &: B par la.. 1 £ Traité' de M e c a w i q^TT E^ longueur des lignes HA , HB , ce qui eft évident puîf- qu'cllcs auroient cntr'elles le même rapport que HC &HD. Proposition X. Si les directions des pieijfmces ou des poids appliqués à. un levier angulaire ne Jont pas parallèles entr elles ^ce le- •vier angulaire fe réduit a un autre angulaire dans lequel f effort des puijjances cfl mefuré par les longueurs des bras de ce levier réduit y/ans changer les poids ni leur dire cl io». Soit le levier angulaire AHB , aux extrémités duquel font appliqués les poids ou puiflanccs AB, avec les di- rections AC , BD qui ne font pas parallèles cntr'elles. De l'appui H aiant mené les perpendiculaires HC,HDfur les lignes de dircélion AC , BD ; je dis que le levier angu- laire AHB cfl réduit à un autre angulau'eCHD , dont les bras H C , H D mcfurcnt l'effort cics poids AB pour faire équilibre. P Par la neuvième propo- fition , il cft évident que l'effort de la puiffance A appliquée en A au levier AHB avec la direction AC , doit être mcfurépar la ligne droite HCperpen- diculaire à la direélion. De mêmereffort de la puiffance B avec la direction BD doit être mefuré par la ligne H D perpendiculaire à BD. Mais fi l'on fuppofc que CAIDB fort un plan qui puiffc mouvoir liir le point H , il eft évident que la puiffance A étant confideréc comme appliquée en C avec tout l'effort dont elle clt capable, rend à faire tourner ce plan autour du point H , de même que fi elle étoit appliquée en tout .autre point de ce plan , comme I , lequel feroit aufli éloigné Traite' de Mec aniq^îje." 55 ilolo"né de H que le point C; &: par conféqucnt fiDH eft prolonge en I , &: que HI Ibit égale à H C , la puilTan- cc A étant appliquée avec une dircdion IM perpendicu- laire à IHD , fera autant d'clFort à mouvoir le poids B ap- pliqué fur ce plan,que fi elle ctoit en C : mais aulîi la puif- fance B en fera autant en D qu'en B , pujfquc D efl: fiir fa ligne de dire<51:ion DB. Si les poids ou les puiflanccs A Sc Bfont donc entr'elles en même raifon réciproque que les bras HD,HC du levier angulaire , elles feront en équilibre par la troifiémc &c quatrième propofiaoa : ce qu'il falloit démontrer. Proposition XL XJu levier angulaire avec des piijfances appUejuées far des directions perpendiculaires à/es bras , fc réduit à un le- vier droit fans changer la longueur des bras ni les pu if fanées. Cette propofition fuit de la précédente. Car nous avons vCi que le levier angulaire CHB, dont les diredions des puiflances font perpendiculaires aux bras du levier , fe ré- duit à un levier droit ÏHD fans changer la longueur des bras jpuifque IH cft égal à CH , ni lespuifTances, & qu'il y aura équilibre fur ce levier droit entre les mêmes puif- lances que celles qui étoient appliquées furie levier obli- que CHD, les directions de ces puiflances étant pcrpcn- iliculaires à leurs bras dans ces deux leviers. Proposition XIL Un levier droit avec des dir celions obliques df diffcrem' ment inclinées fe réduit à un levier angulaire fuis changer Mec. de l'Acad. Tome IX. E 54 Traite' de M e c a n i cl.^' E.' les directions ni les pnjpinces , d^ enfnà un levier droit en changeant une des directions desfui/fances. Le levier droit AHB , dont les puiffances en A & en B ont leurs directions AC , BD diffcrcmi-ncnr inclinées au levier , fc peut réduire à un levier angulaire CHD , fans changer les dircftions ni les puifî'ances par la dixième propofition , car il n'importe pas que le levier pro- pofé foit droit ou angulaire , pourvu que les bras du levier qui mefurent l'eftort des puiffances, foient les perpendiculaires HC , HD fur les directions. Mais par la précédente propofition ce levier angulaire réduit à CHD , peut encore fe réduire au levier droit IHD , en changeant feulement une des direétions , quieflACen IM ,& lalongcur des bras HC, H I demeurera la même; enforte que s'il y avoit équilibre entre les puif- fances A & B appliquées au levier droit AB , avec les dircétions obliques AC , BD , ces puiffances doivent être entr 'elles comme les lignes HD , HI réciproquement pri- fes, puifque ces mêmes puilfances étant appli- quées au levier droit IHD avec des direétions qui lui foient perpendiculaires , demeureront en équilibre. Proposition XIII. Les dijferens efforts d'une puijfafice appliquée à un même ■point du hras d'un levier [itivant différentes directions , font entr' eux comme Je s Jinus des angles que font les direc- iicns avec le bras du levier. Soit le levier AHB, bc qu'une puifTance A foit Traite' de M e c a n i q^u e. 55- appliquée au bras du levier HA , fuivant différentes di- re£tions AM, AC, AC. Par la neuvième propofiàon , rcflfort du poids ou de la puiflancc A appliquée au levier fuivant différentes di- reàions, fe doit mefurer par les perpendiculaires H C menées du point d'appui H du levier fur les directions. Mais fi du centre A , &c pour rayon AH , on décrit le cercle M H , toutes les lignes HC feront les finus droits ^ le finus de l'angle EKC au finus de l'angle EKD , &C la puiffance X eft à la ,puiffanceB,çommelefmusde l'angle EKD au finus de Rec. de l'A* ad. Tome IX, G !^f^ 50 /Traite' de Mecaniq^ue. l'angle DKC, ce qui a été expliqué fort au long dans la précédente proporition ; mais les fupplémens de ces an- gles ont auffi les mêmes" finus , c'eft à fçavoir le finus de J'angleFGH , qui cft le fupplément de l'angle CKE,le fmus de l'angle FHG qui eft le fupplément de l'angle EKD, &: le (inus de l'angle GFHquieft le fupplément de l'angle DKC. Mais ces fupplémens étant les angles du triangle F GH, leurs fmus feront en même raifon que les côtés de ce triangle. Ainfi les trois puiflances AXB feront entr'clles dans cet ordre comme les trois côtés FH, FG j, GH ; ce qu'il falloit démontrer.. Proposition XXIII.. O 'i^ peut faire encore lamêmechofe d'une autre façon que dans la précédente , ç^ plus fat ilement. Si l'on mené comme l'on voudra trois lignes perpendi- culaires IL , IM , ML aux trois diredions données , foit qu'elles foient prolongées ou non, ces trois perpendicu- laires formeront le triangle ILM , dont les côtés donneront le rapport des trois puiffances AXB, chaque puiflance étant marquée par la perpendiculaire à fadiredion, com-- me dans la précé-- dente. Cette propofi- tion eft évidentcpar ja précédente , car fi l'on décrit lecerclc CD E , & que par les points CDE on mené des perpendiculaires aux di-- Traite' de MECANici^uE. yr reûions, elles formeront le triangle FGH dont les côtés feront entr'eux comme les puiflanccs appliquées auxdi- redions , par la précédente propofition. Mais le triangle ILM aiant aulïï Tes côtés parallèles àceuxdeFHG , ils fe- ront femblables , & leurs côtés feront en même raifon , ce qu'il falloit démontrer. Conféqucnce. Il n eftpas neceffairc que les trois puiiïlmces tirent tou- tes trois le point K ; il peut y en avoir deux qui le tuent , ^uneautrequilepouîTeen fens contraire, comme on a expliqué cy-devant. Il cft aufli évident qu'il faut que ces trois diredions faflent des angles entr'cUes , car s'il y en avoir deux qui fuffent oppofces diredemcnr , il faudroit par cette règle que ces deux puifTances fuflent infinies , la troificme étant déternùnée ; car cette troifiéme feroit la bafe du triangle , &: le fommet feroit à diftance infinie. Et comme il n'cft pas podlble de donner des poids infinis , le problème feroiç auffi impolTible. Proposition. XXIV. Trois fuiffinces AXB étant données telles qu'on voit' dra ,ponrven que deux prife cnfemble foient plus grandes que latroifiéme yil faut trouver les dir celions de ces^uif- fances , cnfirte qu'étant appliquées à un même point R\ elles fajjcnt équilibre cntr elles. Soit fait le triangle ILM , dont les côtes aient entr'eux les même raifons que les trois puifTances données , & du point K pris où l'on voudra fur le plan du triangle, foie mené des perpendiculaires fur les côtés de ce triangle qui feront prolongés s'il eft neccffaire. Je dis queccs pcrpen- -diculaires feront les diredions des puifTances AXB ,cha- Gij / e% Traite' de Mécanique. cunc étant appliquée à la dirccllon perpendiculaire au côté du triangle qui répréicntc la puiflancc. ( f-^o/ez. la Figure précéde/jii. ) Cette propofition efl: évidente par la précédente ; car fi ces dircdions trouvées avoient été données d abord , on auroit trouvé les puiflances , comme elles font icy données pour faire équilibre entr-ellcs. Proposition XXV. Si unjîl ou une corde efi tendue far deux piijjanccs aujfi grn.-.dcs quon voudra les imaginer , qui doivaJ are égala tntr elles : Je dis que Ji t'en tire quelque f oint de cette corde aiec une eutrefttijîance telle qu'on -voudra , ç^tnême tres~ petite , & avec quelle direction on voudra , ellefurmoiatra. Us deux autres jufqu à un certain f oint. Pour faire bien entendre cette propofiLion, on la réduic à des poids AXB , & foit KC la direction naturelle des paids , à: celle du poids X , &: que la corde DE foit ten- due par l'eftort ou pe- fantcur abfoluë des deux poids égaux A & deux fe ploiant fur les roulettes DE. Je fup- pofe que ces roulettes n'empêchent pas la corde de fe mouvoir , &: qu'elle n'ait aucune pefantcur. Aiant mené la ligne IM perpendiculaire a la diredion KC, fur ccttelîgnc ibit fait le triangle ifofcellcILM, en forte que fcs côtés égaux LI , LM aient à la bafc IM même raifon Traite' de Mecaniqjje. j-j que les poids égaux A & B au poids X : (i l'on mené en- jfuite les lignes QE , QD qui touchent les roulettes ED , &aui foicnt perpendiculaires aux côtés prolonges LM , LIdu triangle, s'il cft néceflaire, &: du point Q^où ces deux lignes fe rencontrent , aïant mené QS parallèle 3, KC : Jcdis quela corde DKE fera l'angle DQE , &: que KCqui fouticntle poids X prendra la politionQS. Par la précédente propoiition il eft certain que les trois poids ABX demeureront en équilibre , étant tirez par les- directions QD , QE , Q,S. La conftruftion de ce problême fera impofllble, fi les perpendiculaires EQ^, DQ^fe rencontrent fur le point E> au deffus de D , comme au point Q. Car les poids ne pourroicnt plus agir l'un contre l'autre: c'cft pour- quoi au lieu du poids A qui doit tirer félon la di- ' rcclion QD per- pendiculaire au côté LI dutrian. gle LIM , il faudroitfuppofer une puifTancequi pouflat le' point Q^ félon la diredion QD, avec un effort égal au poids A ou B qui font fuppofez égaux , & le poids X fuf- pendu en Q^, félon la diredion QS des poids , feroit alors équilibre avec l'autre B. Mais fans rien changer ni aux poids ni à leurs direc- dons ,il n'y a qu'àpofcr la roulette en F au deflus deQ_, & alors le poids A tirera félon la direction FQp,& de- meurera en équilibre avec le poids B , qui tirera feloir QE , & avecle poids X qui tirera félon QS. Enfin il cft facile à voir , que fi les deux raulettes fane Giij j4 Traite' de Mecani q^ue. dans une ligne , comme FE perpendiculaire à la dircdion. QS des poids , la propoiicion fera toujours pollible ; car les lignes £Q_, FQ, perpendiculaires au côtés du triangle ilofcellelLM, feront toujours inclinées l'une à l'autre de i'angle fupplément de cet angle L , quelque petit que puifle être l'angle L du fommet de ce triangle, Se par con- fé qucnt le pointQ/era toujours audedous de la ligncFE, Ainfilacorde FE tendue par les deux poids A &: B , la- quelle eft perpendiculaire à la diredion des poids, fera toujours plice par le poids X d'un angle EQF fupplément de l'angle ILM , quelque petit que foit le poids X,& quel- -ques grands que puiffent être les poids égaux A &: B. Proposition XXVI, SoïT le f Lin DEC A perpendiculaire à la dire&^icndes poids, lequel foit [outenu au point A % foit anjji les trois li- gnes A B.^ AC, AD données fur ce plan, lejijuelles pr.Jfcnt par le point A , & que les angles qu'elles font entr elles étant pris de fuite foiciit plus grands que deux droits : foit cnfn donné les trois poids XTZ^ qtion doit placer fur ce plan dans dans les trois lignes AC :,AB , AD ; on demande la pofition de ces poids afin qu'ils de?neurcnt en équilibre. & que le plan rejic au[ji perpendiculaire à la direélion des poids. Qii'on doive pofer le poids X fur la ligne AC , le poids Y fur AB , & Z fur AD. Sur la ligne AB foit pris les deux parties AE, EB qui aient entr' elles la raifon du poids Y au poids X ; & par le point E foit mené la ligne EF paral- lèle à AC, qui rencontre la ligne AD prolongée s'il cfl: néceflaire en F ; foit enfin mené BF qui rencontre AC en C ; les points B & C feront déterminés fur les lignes AB^ AC , dételle manière que le poids X étant fufpcndu en C &: le poids Y en B , ils feront tous deux en équilibre jG \.ç jilan ctoit pofé fur la ligne droite D.AF. XYZ Traite' de Mecani^ve. jy Car par la conftruclion les triangles BAC, BEF font femblables ; c'cft pourquoi il y aura même raifon de AE à BE , que de CF à FB ; mais AE eft à BE par la conftru- dion , comme le poids Y au poids X ; donc CF feraàFB, comme le poids Y au poids X ; & par conféquent le poids Y cft au poids X dans la raifon réciproque des patries de la ligne BC , qui font faites par le point F. Si l'on coniîderc donc BC comme un levier pofé fur le plan DBC, il cft évident que les poids Y & X pofcs en B &: C demeureront en équilibre fur le point F par la troifiérae ou quatrième propofition. Mais aufli ces poids étant joints par la ligne BC font en F un effort qui elî égal à la fomme de leur pefanteur abfolué , par les mêmes propofitions troiliéme ou quatrième : on pour= ra donc confidercr ces deux poids comme s'ils étoient joints enfemble au point F , où ils font le même effort que s'ils y étoient pofés. Soit maintenant comme le poids Z à la fomme des poids Y & X, ainfi AF à AD, & qu'au point D foit pofé le poids Z ; )c dis que le plan demeurera en équilibre, ces trois poids XYZ étant ainfi appliqués. Car puifque par la troi- fiéme ou quatrième propofition le poids Z étant appliqué au point D fur ce plan, fait équilibre avec les deux poids Y & X pofés enfemble en F, & qu'enfin ces deux poids Y & X font le mêm.e effort fur le plan dans les points où ils font pofés en B&C, que s'ils étoient tous deux enfemble en F ,il cft évident que ces trois poids YX & Z dans les points où ils font pofés fur ce plan , feront équilibre entre»- €ux ; ce qu'il faloit démontrer» 5'o Tf. A I T X' DE M E C A N I Q^U E.' Proposition XXVII, Les trois poids YXZ étant placés aux points BCBfur li ^lan perpendiculaire à la direction des poids , pour fairt équilibre cntreiix , comme il a été démontré dar.s la précé- dente propo/Jt ion : Je dis que l'appui A qui foutient ce plan avec les poids , cjl chargé de la ^efanteur ahfolué des trois foids. Par la troifiéme ou quatrième propoiîtion, le point F cftchar- gc des deux poids Y & X , &: par les mêmes le point A eft charge de la charge qui eft en F , &: de celle qui elt en D , c'eft-à-dire des trois poids enfemble YXZ. Proposition XXVIII. Trois points BCD étant donnés fur un plan , il faitt trouver le point A fur ce plan ^ en forte que les lignes AE ^ AC 5 AD menées par le f oint A é'par les points BCD , fuient les directions de trois puijfances YXZ données , qui doivent être appliquées a ces trpis direétions pour faire équilibre tntr elles. Soit fait le triangle EFG dont les trois côtes EF,EG, FG , aient cntr'eux les mêmes raifbns que les trois puif- fances YXZ prifcs dans ce même ordre. Si l'on décric maintenant fur la ligne BC comme une corde, l'arc de cercle BAC qui foitcapahle de l'angle BAC fupplêment .de l'angleFEGdu triangle;& que fur la cordcCDon décri- ,ve l'arc de cercle CAD qui foit capable de l'angle CAD fupplémcuc K^ Tr a î t e' de m e c a h I Q^y p; "^y ïltpplèment de l'angle FGE;ciifin fi du point A où les deux arcs de cercle fe rencontrent , on mené les lignes AB, AC , AD aux points donnés BCD ; je dis que la puiflance Y étant appliqué à la direction AB , la puiflance X à la direction AC , &: la puiflance Z à la direction AD , elles demeureront en équilibre. Par la conftruâiion il eft évident que fi l'on mené des perpendicu- laires HI , HK, HL fur les côtés du triangle FEG, l'angle IHK fera égal à l'angle BAC ; puifque l'angle IHK efl: fupplément de l'angle FEG , à caufe que les lignes HI , HK font perpendiculaires fur les côtés EF , EG. Par la même raifon l'angle CAD fera égal à l'an- gle KHL;& par confé- qucnt le troiliérneB AD égal au troifiéme IHL. Mais par la vingt-troifîémc propofition les trois poids YXZ étant appliqués aux li- gnes HI,HK, HL dans ce même ordre, demeureront en équilibre ; il y demeureront donc aufli étant appliqués mix trois lignes AB , AC , AD dans ce mêiaie ordre; ce «ju il falloir démontrer. Proposition XXIX, Trois points BCD qui ne fotit pas en ligne droite étant donnés fur un plan avec les trois cordes BH ,CH ^BH qui M.CC. de l'Acad. Tom. IX. H y 8 Traite' DE Mecaniq^uî. font attachées a ces trois points far l'ime de leurs extrémités ^ qui foKt jointes enfctnblc par C autre extrémité H ^en forte qu'elles fajfent Les cotés dune pyramide dont le triangle £CD eft la bafe. Au point H ou fe joignent les trois cordes , fait attaché une autre corde HP d'où le poids P efl fufpendu;. ef il faut que les trois cordes BH, CH , DH foient de telle longueur , que la ligne HP , qui ejl la direction des poids , étant prolongée vers la haje de la pyramide , rencontre en I au dedans du triangle BCD y le plan de ce triangle : Jl faut déterminer le rapport des trois puijfanccs 7", X ^ Z, q::i doivent fontenir le poids P , Je ion les directions £H,CH ,DH, Sur le plan du triangle BCD y par les points D & I foîc mené la ligne DI qui rencontre BC en K,&: par les points K &: H foit mené la ligne KHL ; les trois lignes BH,CH, HL fcronr fur un même plan. Et fi l'on mené les pcrpen- dicu'aircs Gh, LF, GF à ces trois lignes fur ce plan , il eft évident par la vingt-rroiiiéme propoiition , que les trois lignes GE, EF , GH , qui font les trois côtés du triangle GEF , donneront le rapport des trois puillances YXL,qut tirant le point H par les directions BH . CH , LH , dc- mcureroient en équilibre entr'cllcs. Mais aulTi fur le plan DKH nous avons trois directions données KH ou LH , HP&DH ; &;pour avoir le rapport des trois puifTances qui doivent être appliquées à ces trois dircâions pour faire équilibre , il faut mener des perpen- diculaires à ces diredions , comme MN à LH , MO x HP., &NO;iDH, &: les trois côtés du triangle donne- ront le rapport des trois puifTances appliquées à ces direc- tions pour faire équilibre. Mais fi le côté MN qui eft perpendiculaire àKH, eft égal à GF du triangle GEF , il eft évident -^uc les quarte lignes GE , EF , NO , MO exprimeront le rapport des Traite' de M e c ak i q^xj E.- j5 trois puiflances YXZ , & du poids P dans l'ccat de l'équi- libre. Car la puiflance L ne fcrt que de milieu pour palier du rapport des deux puifTanccs Y &:X, aux deux autres Z &: P ; puifque les deux puiffances Y & X dcmcurcnc cn- femble en équilibre félon les directions BH , CH , avec la feule puifTancc L félon la diredion KL ; & cette puif. fance L félon fa di- redion KL demeu- rant aulîi en équilibre avec les deux autres puifïlmces Z &: P fe- lonlesdireétionsDH, HP,fi l'on fubftituë les deux puilTances YXavec leurs direc- tions BH , CH à la place de la puifTancc L félon la diredion KH , les quatre puif- fances YXZP , ou les trois puifTances YXZ & le poids P qu'on peut auflTi confiderer comme une puif- fance , demeureront en équilibre entr'ellcs félon leurs di- redions : ce qu'il falloir démontrer. Si l'une de ces puiflances eft donc donnée comme le poids P , il eft évident que les trois autres YXZ le font auffi. Remareiue. 11 eft évident que fi le point I tomboit fur l'un des côtés du triangle ABC, comme en K, la corde qui fcroit ten- due de l'angle D du triangle BCD, oppofé au côté BC, fur Jequel tombe le point I , ne ferviroit de rien pour foute- nir le poids P , & qu'il n'y auroit que les deux autres BH , Hii £0 Tr A I T e' de m E C a N I CL.U e. DHqui le fovitiendroicnt -, ce qui cft évident par foy-mc- mc , & par la conllruûion ; car alors les deux lignes HP , HK étant jointesenfemble on ne pourroit pas former le triangle MNO , les deux côtés MN , MO étant pofés l'un fur l'autre. Il n'eft pas néceflaire que les trois points BCD foienc furun plan perpendiculaire à la direftion des poids ,puif- qu'on voit par la conftrudion que la longueur des lignes BH,CH,DHne fait rien au rapport des puiffanccs YXZ , mais feulement leurs différentes inclinaifoiis,&: puifqu'on peut fuppofer ces puiffanccs appliquées en quel endroit on voudra de leurs lignes de diredion , fans que leur effort en foit augmenté ou diminué. Proposi tion. XXX. D H u X pu/jjà/ices TX étant dunnécs avec leurs dircc^ tio/is rx ., XK , lefqiielles tirent enjemble le f oint K ; il faut trouver lapuijfance Z avec fa direclion,enforte qu'eu tirant le point K elle falje équilibre avec les deux antres. Par quelque point A aïant mené la ligne AB perpendi- culaire à la diredion YK, & la ligne AC perpendiculaire ■àla direciiou XK; foit pris fur les lignes AB, AC , les parties AB,AC qui foiens: entr'elles dans la raifon des puiffanccs Y & X ; &: aïant tiré BC , foit mené par le point Kla ligne ZK perpen- diculaire à BC; je dis que la lisine KZ fera la dircdion de la puiffxnce Z , &: que cette puiffincc Z fera à X ou à Y , couime BC àAC, ou à AB.. Traite' de Mecaniq^ue. 'et Par la vingc-troifiémc propofition , les trois puifTanccs yXZ étant encr'clies comme les Trois côtés du triangle ABC & les dircdions de ces puiflanccs étant perpendicu- laires aux côiés de ce triangle, elles feront encq,uilibrG entr 'elles ce qu'il fal oit faire. Proposition XXXI. TJvi ■cligne DE quon fufpofe d'une fefanteur connue ^ étaht donnée avec dehx piijjli nés X & T cjui doivent fou- tenir cette ligne po fée c n PK av:c c. eux cordes XR , YP atta- chées à. fis extrémités KP : on demande la dire^iion de ces deux piiiffances X ô' T. J'appelle Z la pcfan^ eur de la ligne DE, que je pui ; con* fiderer comme une p" iTance; &: je fais le triangle ABC qui a fcs trois cotés /^ C , AB , BC dans le même rapporc quclcs trois puil^ fanées XYZ,& ?_ ^ . ^^ dont le côté BC . / eft pcrpendicu- ' •• ^^^/'l: iaire à la direc- tion des poids., Enfuiteparqiiel- y que point K je mené les trois li- gnes KR, KP» FKZ perpendi- diculaircs aux côtés AC, AB^ BC du triangle ABC. Maintenant par quelque point G de la ligne KFaïanr inené la ligne GH parullcle à KP , on p. endra HL égale à. iTa Tr a I t e' de m e c a n I q^ît e, KH , &r aïant tire LGM on en recianchera LN égale à U ligne pefante donnée ED ; enfin du point N on mènera NP parallèle àKR,qui rencontrera KP en P, & l'on tirera PR parallèle à LM, laquelle fera égale à la ligne donnée. ( Voïez. la F ig. précédente. ) Je dis que la ligne pefante DE étant placée en PR , &: étant tirée pat fes extrémités P & R , félon les diredions KP , KR des puifïances YX , elle demeurera en équilibre avec ces mêmes puiiTanccs. Il eft évident parla conftruûion, que la ligne PR eft coupée endcux également cnF par la ligne KF. Mais tou- te la ligne pelante peut être coniideréc comme fonpoinc F qui pcfe autant quelle , à caufe que ce point F eft fon centre de gravité , & que tout fon poids peut être ramafle ou rélini dans ce point par la première fuppolition , puif- que toutes les parties de cette ligne font en équilibre fur ce point. Mais aulïï ce point F pefé également dans tous les points de fa diredion ; on le peut donc confidcrer comme s'il étoit placé au point K , ou en Z dans la même ligne FK. Etpar lavingr-troiliéme propolition, ily auracqui- libre entre les puiflances X Y &: Z ou la ligne pefante PR avec leurs diredions; ce qu'il falloir démontrer. Conféquence. A la place de la ligne P R on peut fuppofer quel corps pcfant on voudra , pourvu que ce corps foit réduit à cette ligne, comme fi la ligne PR étoit l'axe d'une co-; lomne ou cylindre, ou de quclqu'autre corps prifmatique, ou enfin de tel autre corps qu'on voudra, dont le centre de gravité , qu'on peut conliderer comme un point pcfant au- tant que tout le corps, foit placé en F au milieu de la ligne PR , par les extrémités de laquelle les pmiFxnces Y &: X ibutienncnt le corps. 5i le centre de gravité dcce corps n'étoit pas au milieu Traite' de Mecaniq,tj£; "^^ de la ligne PR , mais en quclqu'autre point S , au lieu de prendre HL égale à KH, il faudroic faire comme DSà SE, ainfi KH à une quatrième HV ; èc enfin aiantmenc VGQ__, cette ligne fcroit coupée en G , dans la même ral- fon que DE en S, C'cft pourquoi il faudroit alors fefcrvir de VQ_, comme on s'eft icrvi de LM pour trouver PR qui fcroit parallèle àVQ, & qui feroitdivifée dans la même raifonque VQ, ou que DE par la diredion des poids- Cette propofition n'cft qu'un cas delà vingt-huitiémc , où les trois points donnés font en ligne droite; &: à caufe- dc cette condition, la réfolution qu'on en donne icy eft: plus limple que l'autre. Proposition XXXII. O N ^ confidcré ddns U fyofofttisn précédente une ligne ftfante , on blus généralement comme dans les conféquences^. un poids placé en quelque point d'une ligne droite^ deux fmjiances tirant les extrémités de cette ligne droite ; dans celle-cy nous examinons t',n poids F pUcé en un point d'un, plan , é" ce plan étant tiré ou foutenu par deux puijjances XIC qui font appliquées a deux points RP de ce plan, enforte que le poids F ne fait pas dans la ligne RP qui joint les- feints du plan par ou il ejl foutenu. Cette propofition ne diffère de la précédente , qu'en ce que c'eft un triangle RFP qu'il faut appliquer dans l'an- glePKR formé parles dircûions des puiffances X & Y , au lieu de la feule ligne RP , & de plus avec cette condi- tion , que la bafe PR de ce triangle PFR étant appliquée dans l'angle PKR, il faut que fon fommet Ffoitdanslâ: ligne de direiSlion KZ de la puiffxnce Z qui eft égale au. poids propofé F , au lieu que dans la précédente ce poids . f étoit fur la ligne PR, \ ^^^, Traite' de Mecaniq^ue. Aïant donc trouvé les an g '.es PKR , RKZ , PKZ qne font les trois directions de? puifTances données , car )e rc- o-arde le poids donné comme une puiffiince , ou les puif- iances comme des poids , puifqu'on peut toujours fubfti- tuer les uns à la place des autres ; fur la ligne PR qui eft donnée )e décris le cercle PKRS , cnforte que (a portion PKR quia pour corde la ligne donnée HP , puiffe rece- •voir un angle égale à l'angle PKR , que doivent faire cn- femble les direc- tions despuIlTances Y & X qui doivent foutenir les extré- n>ités de cette li^ne RP. Enfuite je prcns fur le cercle l'arc RS capable de l'angle RKZ, &: par conféquent le reftc du cercle- qui eftl'arcRKPSpour- xa recevoir l'angle RKS fupplément de l'angle RKZ. En- fuite par les points S &: F je mené la ligne SFK prolongée .en Z , & par le point K où cette ligne SF coupe le cercle , je tire les lignes KP,KR qui feront les directions des puif- fances Y & X. Par la conftruction il eft évident que les trois lignes KP , KR, KZ font les angles tels que les trois puiffanccs le demandent pour faire équilibre, & de plus la ligne ZKFS qui eft la direction de la puilTance Z , ou du poids -donné qui eft placé en F , pafte par le point F -. ce qu'il fal- loit faire. Il eft évident qu'on peut aulTi refondre cette propofition par la vingt-huitième , puifqueles trois pomts donnés fe- ront PRF , & les trois puilfances XY & Z , ou bien le poids donné F. H Traite' de M e c a n i q^u c. Çjr 11 cft facile à voir que le plan PRF doit paffcr par là ïi ^'^^ égales entr'elles , & à la diftance CA, pour avoir les diviiions des livres fur le bras CB de la verge, Carfil'onmetun poids P de deux livres , par exemple , dans le baftin E , & que la mafle foit pofée à la divifion 2. , la verge demeurera en équilibre fur l'appui C; puifque la raifon deCA aCz fera la même que celle de la maflc.pcfant une livre au poids P de 2. livres moins un poids , comme K qui a même rap- port à la livre , que CL à AC , qui fcroit dans cet exemple Traite' de Mecaniclue. yj- d'un quarteron ; c'clt-à-direC A de 4 partics,à C2. de 7 par- ticSjCommc la maflc dc4quartcronsà7quarteroiis du poids P , Icfquels étant joints au quarteron du poids P que fou- tient la verge CB , feront les % livres pour le poids P,com- me le marque la divillon 1. Si l'on vouloir trouver une des divifions de la vergeCB, fans tranfporter la maffc dans la partie CA , il n'y auroic qu'à mettre dans le baffin un poids d'une pcfanteur con- nue , comme de i ,de z , ou de 3 livres , ou plus , &: cher- cher avec la mafTe une polition fur la verge CB oià il y eût équilibre; &: ce point de la verge étant marqué du nom- bre des livres qui feroient dans le balfm , on prendroit des divifions d'un côté & d'autre de celle- cy-, toutes égales entr'elles . & àCA qui feroient chacune des livres. Ce fera auffi par cette même expérience qu'on pourra trouver fur la verge une grandeur qui réponde à quel nombre délivres on voudra, en mettant d'abord dans le baffm un poids d'une pefanteur connue , comme d'une li- vre , &C cherchant enfuite avec la maflfe le point M , où le pcfon demeure en équilibre fur la fufpenfion C , le baflin étant chargé d'une livre; enfuite fi l'on veut avoir une diftance fur la verge qui réponde à 2, livres, on ajoutera au poids de i livre qui eft déjà dans le baflin , un autre poids de 1 livres , & l'on cherchera encore le pointNavec la malfe où le pefon foit en équilibre ; la diftance MN fera une diftance pour 2 livres , & le point M fera la divillon d'une livre , le point N de trois livres , &: aïant divifé MN en deux également , on aura la grandeur de la verge qui répond à une livre, &c qui fervira à faire toutes les divi- fions delà verge. Cette méthode de divifer la verge eft commode en ce que l'on ne peut pas ordinairement connoître cxademenc la diftance CA qui doit être prife depuis le point touchanc du clou qui tient la fufpenfion dans le trou où il entre, Kij 7^ Traite' de MECANiQjtJE. jufqu'au point touchant de l'autre clou qui foutient le baf- fin dans le trou où il eft pofé , ni même celle qui cil entre les axes des deux clous , qui doit être à peu près égale à l'autre quand la verge cft de niveau. Je dis que la diltancc de ces axes n'cft qu'à peu près Mr~~~^ f^ égale à la véritable diftance ^ ^ CA qu'on doit prendre : car files axes font de niveau , la ligne DA qui eft la diftance entre les deux points tou- chans , fera plus grande que la diftance entre les axes : ce qui cft facile à voir. Il reftcmaintenant à trouver les divifionsdc la verge, lorfque la malle dont on fc fert n'eft pas d'un poids déter- miné ni connu. Aïant trouvé comme cy-devant le point H ou L fur la verge , où la mafîc étant pofée il y a équilibre entre les parties de la verge des deux côtés avec leurs charges , on mettra dans le bafCnE un poids P d'un nombre délivres connu , comme de y , & l'on fera mouvoir la maflc F tant qu'il y ait encore équilibre entre les parties de la verge &2 le poids P dans le baflin , &c la mafte placée en M fur CB , alors on fera affcuré que la diftance HM fur la verge doit répondre à 5 livres , Se par confequcnt il la faudra divifer en cinq parties égales pour avoir les divifions des livres fur la verge. Le point H foit qu'on le trouve fur CB, com- me dans cette figure , ou fur CA , fera le commencement de la divifion. La démonftration de cette divifion eft femblablc aujc précédentes : car lorfque la maftc F eft en H , à caufe de l'équilibre il y a même raifon de C A à CH , que de la pe- fantcur delà mafrcF aux poids K , qu il faudroit ôtcrau baflinE pour établir 1 équilibre dans le pcfon fur la fufpen- fion. Mais auftilamaft'eétantenM ,& le poids dey livres pofé dans le balfm faifant encore équilibre, il y aura même ^ Traite' de Mecaniq^ue. y;^ iralfon entre C A &c CM , qu'entre la pefanteur de la maffc F &: le poids de j livres joint au poids K qu'il faudroit ©ter dubaflin. On aura donc le poids F à la diftance CA, comme le poids K à la diftance CH ; &lc poids F à la diftance CA, comme le poids K joint au poids P à la diftance CM ; Sc en raifon égale le poids K fera à la diftance CH , comme le poids K joint au poids P à la diftance CM ; en raifon al- terne le poids K fera au poids K joint au poids P de y li- vres , comme la diftance CH a. la diftance CM ; &: en di- vifans , le poids K fera au poids K joint au poids P moins ie poids K , ce qui le réduit au feul poids P , comme la di- ftance CH à la diftance CM , ^ 's' ti N" , .m moins la diftan- ce CH qui eft HM ; &c en rai- /|s\ i^ "F jTon alterne le poids K fera à la. diftance CH, comme le poids P à la diftance HM. Mais on a trouvé d'abord que le poids K étoità CH ,commele poids delamafteF étoità C A; donc le poids F àCAjCom- me le poids Pà HM , & en raifon alterne le poids F au poids P , comme la grandeur CA à la grandeur HM. On fera la même démonftration pour tout autre poids que P , Se l'on trouvera toujours que F fera àCA , comme le poids mis dans le baifin fera à la grandeur de la divifion fur le bras de la verge : on aura donc en raifon égale le poids P à un autre poids , par exemple de i livre , comme HM a. la partie de la verge depuis le point H , qui fera auftl la cinquième partie de HM , Se qui répondra au poids de i livre qui eft la cinquième partie de j livres , Sc ainfides autres. Ce fera la même chofe , fi le commencement de la di- .vifion fc rcncontruit fur CA, K iij ^% Traite' de M e c an i ci.u e. Enfin , on pourra connoître par ce mo'ien quelle fera la pcfantcur abfoluc tk la maflc F , puifqu'cllc aura même raifon à CA , que i livre doit avoir à une des divifions de CB ; ainfi elle contiendra autant de livres &: de parties de livres, que la grandeur CA contient de divifions CB comme HN qui répond à i livre , & de les parties. Lorfque j'ay dit dans la dcmonftration , que la partie CB de la verge étoit égale en pefanteur à la partie CA avec fa charge , il ne faut pas entendre que ce foie en pe- fanteur abfoluc, mais feulement en pefanteur relative, c'eft-à-direquela pefanteur abfoluë de la partie CBdela verge ell: tellement difpofée par rapport à l'appui C,qu'el- le fait équilibre avec l'autre partie C A &c fa charge com- me elle fe trouve difpofée par rapport au même appui commun C : car dans l'équilibre les pcfanteurs relatives font toujours égales , mais les pefanteur abfoluës peuvent être fort inégales. Dans la con- ftruûion du pe- fon on met fort fouvent un cro- chet à la place du balfin de balance que j'ay reprefcn- té dans la figure. Pour ce qui eft du fécond crochet ou anfe G qui fert à fufpendre le pefonenrenverfant la verge enforte que la partie de deflbus de la verge vienne audelTus, & celle de defTus vienne au dclîous , & le baflin où le crochet fuf-» pendu en A y demeure toujours fufpendu en tournant fur le clou qui tient à la verge, on le fait ordinairement pour pefer de plus grands poids qu'avec l'anfe D , car on le fup- pofe beaucoup plus proche du point A que l'autre , & l'or» jfaic les divifions du côté de la verge qui répond à la fuf- M B ÏÏ Traite' de Mecaniq^ue. y^ penfion S de l'anfc G , de la même manière que pour l'au- tre , en fc fervanr de la même ma/Te. Alors dans ce ren- verfcment du pefon le crochet ou l'anfe D qui en attachée àla verge du côté de B, par rapport à la fufpenfion S du crochet G , fait partie de la pefanteur abfoluë du bras SB delà verge, mais cela ne fait rien à la manière de divi- ser la verge. Ladivifiondelavergequi répond à la fufpenfion, C, s'appelle le faible du pefon , & l'autre diviCon qui répond à l'autre fufpenfion S , s'appelle le fort. Proposition XXXVI, O N explique icy la conJiruSlion df la divijïon d'une fc" conde cjpece de pefon. Dans cette efpece de pefon le poids ou la maffc cft ar- ,rêtée ferme à l'extrémité A de la verge AB. L'anfe ouïe .crochet D efl fufpcndu au point C , comme dans le précé- cdent , & le baffm E où l'on met les marchandifes coule au Jong du bras CBde la verge par le moïen d'un anneau plat .OjComme la maffc dans le précédent.(/'tf/fz, la Fiz. fuiv. ) Pour faire les divifions de cette efpece de pefon on fe Servira d'une méthode qui cft à peu prés femblable à la dernière dont on s'eft fcrvi dans l'autre pefon. Car fans avoir égard au poids des parties de la verge ny de la mafTe aïant ôrc le bafîin&aïant fufpcndu le poids de i livre à un fil délié , dont la pefanteur ne foit pas confidérable, on le placera fur quelque point du bras CB , cnforte qu'il y ait équilibre entre cette livre & la mafife A attachée à l'ex- trémité du bras CA, & alors on mettra la marque de i livre fur le bras CB au point B. Enfuite on divifera la lon- gueur de ce bras au point G en deux également , &: ce point fera la divifion de 2 livres, &: en prenant de fuite ilir ce bras toutes fcs parties aliquotcs , comme C 3 le tiers io Traite' de Mecaniq^ue, deCB;C4lequartdeCB;C j la cinquième partie , & ainfi de fuite , on aura toutes les divilions des livres fur le bras CB, car les points i, i, 3,4, j, &c. feront ceux desdivifions , quelque foitla pcfantcur du bras de la vet' geCB , par rapport au bras CA,& à lamafle A. Mais ces divifions étant faites fzns avoir égard à la pé- fanteur du balTin E , ou du crochet qui doit porter la mar- chandife qu'on veut pefcr , il les faudra corriger , afin que les marchandifes étant mifcs dans lebaflin , les divi- fions donnent exaftement le poids des marcliandifcs fans avoir égard au balfin. Il faut donc que toutes ces diviiions foient un peu rapprochées de l'appui C , d'une partie de chaque divifion de livre qui rcprefcnte Je poids du baffia & defafufpenlion , par rapport à, la livre; comme fi le baffm avec {3 fufpenfion pe- foit deux onces, il faudroit rap- procher la divi- iîon qui con- viendroitàcha» que livre, delà partie de cha- quedivifionqui conviendrolt à 1 onces , ce que l'on trouvera dans les pro. pofitions fuivantes, en donnant la manière de peferles parties de la livre avec les differens pcfons. La démonftration de la divifion qu'on vient de faire fera facile à comprendre , fi l'on confidere que la maffe A eft compofée de deux poids , dont l'un eft ce qu'il faut av c Ja pefanteur du bras CA dans la difpofition où ils font a l'égard de l'appui C , pour faire équilibre avec la pefan^ teur toute feule de l'autre bras CB , dans la place où il eft , ^ l'autre partie 4e la maffe , eft un poids que j'appelle P. Cei Tr^\ I t n' DE M E c A N I Q^tî E. 5r Cet cqullibre étant ainfi établi , on peut confidercr tout le levier comme s'il n'avoit aucune pefanteur , &c que la maf^ fc fut feulement le poids P tel qu'il puiflc être. Maintenantpuifque l'expérience nous a donné le point lî , d'où le poids de i livre étant fjfpcndu il y a équilibre entre le poids PfufpcnducnA fur l'appui C,ileft évident que le moment du poids Pcn A icra égal au moment du poids de i livre en B. Mais aulfi par la même raifon, puif- que le moment du poids P en A demeure toujours le mê- me , il faudra aufli que dans l'équilibre le moment d'un nombre de livres tel qu'on voudra , lefquclles feront fuf. pendues au bras CB , foit égal à celui du poids P fufpcndu en A. On aura donc le moment de i livre fufpcnduë en B égal au moment d'un nombre de livres tel qu'on voudra dans fon point de fufpcnfion, comme de i livres dans le point O. Mais ces deux momens étant égaux , il y aura même raifon entre leurs diftances depuis l'appui C & leurs poids réciproquement , c'cft-à-dire que le poids de 2 livres fera au poids de i livre , comme CB à CO ; donc CO fera la moitié de CB. On démontrera de même que le poids de 3 livres fera au poids de i livre , comme CB au tiers de CB qui eft C 5^ &c par conféqucntla divilion 3 convient au poids de 3 li« vres , & ainfi des autres divifions. Cette efpecc de balance a une grande incommodité , en ce que pour trouver l'équilibre il faut faire mouvoir le -baffin avec les marchandifcs dont il efb charge , au lona À\x bras CB. Proposition XXXVII. Cette fropojîtion contient la conJiriiHion ô' It dlvi-^ fion d'une troificme efpece de pefun. Dans cette efpece de pefon le bafTin où l'on met la; Mec. de l'Acad, Tom. I X^ L $2, Traite' de M ecani cL.Tje.' marchandifceft fufpendu à l'une des extrémités B de îa verge , &la mafle A eft arrêtée ferme à l'autre extrémité ; mais l'anfe où le crochet qui en fait la fufpenfion , eft mo. bile au long de la verge. . Pour avoir les divilions juftes fur la verge de ce pcfon , il les faudra trouver par expérience , en mettant des poids diftcrcns dans le baflîn , & cherchant les divifions avec la fufpeniion. Mais il l'on veut n'avoir aucun égard à lape- fanteur de la verge AB qui peut être inégale dans fcs par- ties , ni à celle du balfin £ , on pourra trouver les divilions de la verge de ce pcfon en cette forte , quelque puifl'c être la pcfinteur de la malTc fufpcndue au point À, Par les extrémités A & B de cette verge aïant mené deux lignes AF , BD parallèles entr'elles , ou fufpendrale poids de i livre au point B , &: l'on cherchera fur la verge avec l'anfe le point G , où le poids de i livre en B demeure en équilibre avec la maffe fufpcndue en A, Enfuite par quelque point D de la ligne BD , on mènera DG prolon- gée jufqu'à la ligne AF au point L , & fur AF on prendra les parties LMj MN , &c, égales entr'elles & à AL. En- ^npar le point D& par les points MN on tirera des lig- nes DM , DN qui couperont AB en H , en I , Sec. qui fe- ront les points de divifion en livres fur la verge. Pour la démonftration de cette divifion , puifquel'on a l'équilibre en G entre le poids de i livre en B &: la maffc en A , il y aura même raifon de GA a. GB , que de i livre à la malle , qui eft la raifon réciproque des poids & desdi- itances des bras du levier par rapport a. la fufpcnlion G, Mais àcaufe des triangles fcmblables G AL , GBD , com- me G A eft à GB , ainfi AL eft à BD , &c par conféqucnt AL eft à BD , comme i livre à la mafle. Mais aulfi par la conftruftion AM eft à BD , ou 2 AL font à BD , comme HAàHB, il faudra donc pour fiire équilibre entre la malle &c le poids fufpendu en B , l'anfe étant pofée en H, Tr a I t e' de m e c a n I qjj e. Î} «juece poids foit double du précédent , cVft-à-dire qu'il foitde 1 livres; car BD qui cft la même pour toutes les divifions fera toujours à la maflc A , comme toutes les diftances AL , AM , AN , ou bien AL , i AL , j AL , &c aux poids des livres fufpenduës en B. Ce pcîon eft fort incommode , en ce qu'il fait mouvoir la verge avec la charge des marchandifcs &c de la mafTe , ■pour trouver l'équilibre ; c'eft pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage. On remarquera feulement que les divifions , comme nous les venons de trouver , font en proportion harmonique continue , c'eft-à-dire que BA cil à BH , comme AG à GH,; &c BG à BI , comme GH à HI , 1^ aink de fuite. ^4 Traite' de Mecanic>,ue, HE M A RJ^IJ ES SUR LES TROIS ESPECES de Pefons. Dans la première efpecede pefon les divifions des poids égaux , comme des livres , font des parties égales. Dans la féconde font des parties de la progrcfTion "^' .S' "T'.T,' ^' î^' ^', &c- où les numérateurs étant l'unité les diftércnces des dénominateurs auçrmentent de fuite de l'unité. Etdansla troificme ces parties font des différences de grandeurs en proportion harmonique continue. Proposition XXXVII L CoMME.MT OP. fctit fefer les fnrtics dt lu livre y avec U ■pefon de la première O" de U féconde efpece. Il cft facile à voir que dans le pclbn de la première ef- pece où toutes les parties font égales, fi l'on divifc chacune de ces parties en d'autres parties égales entr'cllcs , &c au nombre des parties de la livre qu'on veut avoir , comme en 1 6. on aura des divifions , où la maflc étant placée elle donnera la pefintcur de la marchandifc en livres, &: en parties de livres telles qu'on les demande , qui feront des onces. Mais comme ces divifions feroient fort ferrées , on ne pourroit pefer ces parties que fort imparfaitement ; on fe fervira donc de cette méthode qui fera beaucoup plus jufte & plus facile en fefervantdcs mêmes divifions des livres. On aura un petit poids qui fera la même partie de la malfc que celle des livres qu'on veut avoir:par exemple, fi l'on demande des onces , on aura un poids attaché à un crochet, qui fera avec fon crochet la feiziéme partie de la jnafle , de quelque pcfanteur qu'elle foit. Pour l'ufage, on placera d'abord la mafTefurunc des Tr a I t e' de m e c a n I CL.U e. 85-' divifîons de livres la plus grande qu'on pourra ; &: pour les onces qui doivent être jointes à ce nombre de livres, on placera encore le petit poids fur le même bras où font les divilionsdes livres , &: lorfqu'on aura trouvé l'équilibre entre la marchandifr d'un côté &: la maflc de l'autre avec lepetitpoids , la divilion où la maile fc trouvera placée donnera le nombre des livres, &c celle où fera le petir poids donnera le nombre des onces qu'il faut ajouter à ces livres. La démonflration de cette pratique eft facile , car il- doit y avoir même rapport entre la malTe &c fx fcizicme partie, qu'entïc une livre dans le balTm &c une once, 8>C par conféquentla feiziéme partie de la malTe donnera fur chaque divilion des livres une feiziéme partie de livre, c'eft- à-dire une once; & enfin fur la divifion de r6. livres elle donnera une livre. La même chofe fe doit entendre de toute autre divilîon. Qiiand on veut pefer avec le pcfon ces petites parties , il faut qu'il foit fait dételle façon qu'il n'y ait que très peu- de frottement dans la lufpcnfion. On remarquera que les divilions qu'on a trouvé pour leslivrcs , ne pourront fcrvir pour les parties que lorfque le commencement de la divifion fera au point delafuf- penfion ; fmon il taudra fiire des divifîons légères égales à celles des livres , en commençant à la fufpenfion, lef- qvielles ferviront pour les parties de la livre telle qu'on voudra. Car la malle étant pofcc dans la divilion d'un nombre de livres , fait équilibre avec ces mêmes livres dans le bat fm : c'eft pourquoi le pcfon étant alors en équilibre fur fa., fufpenfion , il fiut que les divifîons des parties qu'on ajoii. fera dans le ballln , cojnmençant à la fufpcniion , fuivanc les régies précédentes des divifîons. Il fiut auffi remar- quer que pour pcfcr des onces ou d'autres parties de lai L ii,| SS Traite' de Me c ani q_ïïb. livre toutes feules , il faut que la mafTe foit placée aucom" mencemencdeladivinondes livres , afin qu'il y ait équi- libre entre les deux bras de la verge & leurs charges, avant que d'y mètre le petit .poids qui convient aux parties. Pour ce qui eft de la féconde cfpece de pcfon , il faudra divifcr chaque divifion de livre du bras CB dans le nom- bre des parties delà livre qu'on demande. Par exemple, fi l'ondcmandoit des quarterons, il Exudroitles divifcr cii quatre parties qui doivent être inégales, & qu'on trouvera par la manière fuivante. Puifque le point Bdans la figure de la trente-fixiéme propolition eft la divilion de i livre , il faudra que le point de ladiviiionde la demie livre foit éloigné de C fur CB , du double de CB , en fuppofant la verge prolongée : car alors- le moment d'une demie livre fufpcndue au dou- ble de CB fera égal au moment de i livre fufpenduë en B , & par la même raifon la divificn qui conviendra au quarteron , devra être fur CB prolongée,éloign ée de C de quatre fois CB ; &: enfin pour quelqu'autre partie de la li- vre que ce puilTe être , ilftiudra toujours qu'il y ait même raifon de cette partie à la livre entière , que de CB à la di- fiance depuis le point C jufqu'aupoint de divifion de cette partie fur la verge prolongée. Maintenant la divifion de cette partie étant trouvée , on trouvera Icsdivifions de fuite de toutes les parties mul- tiples de celle-cy , comme on a trouvé celles des livres, ôc ainfi toute la verge Ce trouvera divifée dans les parties des livres qu'on voudra. C'eft aufli par ce moïen qu'on pourra corriger les divi- •fions des livres , a. caufe de la pcfinteur du balTm ou du crochet qui fouticnt les marchandifcs. Comme fi le baifin pefoit deux onces avec fon anneau & fcs cordons , & que la divifion G fut celle des deux premières onces, après la ^divifion de deux livres que je fuppofc au point O, il fait» Traite' de M e c a n i Q,ir e. ^7 ârolc marquer le point G delà divifionde deux livres au Jieu du point O. Il eit évident qu'il faudroit faire cette correction , puifquc ce ne feroit pas feulement le poi4s de deux livres qu'il faudroit pcfcr , mais le poids de deux livres ÔC deux onces , dont l'équilibre avec la malle fe feroit au point G , qu'on marqucroit du caraiSterc de deux, comme s'il n'y avoir point de baflin , la diftancc OG fuppléant à la pcHinteur du baflin. Je ne parle point de la manière de corriger les divifions de la troifiéme efpccc de pefon , à caufe de l'incommodité qu'il y a dans fon ufagc. Proposition XXXtX. Soit /e levier angulaire AHD avec les bras égaux ,, dont l'un A H efi perpendiculaire à la direSîion des poids , ô" à fon extrémité A/oit appliqué le poids B ; F autre bras HD Jera donc incliné , ér l'oaj appliquera un poids Kji circulai^ re ou fphérique , dont le centre D fuijfe gUjfer au long du. bras HD. Je dis quefi le poids KE ejl retenu contre le plan ET ^ que je fuppofe perpendiculaire à la direéiion des poids , enforte que ce poids KE puijje aujji couler au long du plan ^ F ,pour faire l'équilibre entre ces deux poids ainfi appliqués aux bras du levier , il faudra qu'ils Joient entr'eux dans la rai- fon directe des perpendiculaires menées de P appui H aux direBions , c'ef -a-dire que le poids B doit être au poids EE , comme HA à HI, qui font les perpendiculaires menées de l'appui H aux direciions des poids d^ qui font prifes di- rectement , ce qui eft un paradoxe de mjcanique , quifque nous avons démontré que ces perpendiculaires doivent être prifesréciproquement. H faut donc voir comment cette rai~^ fon directe fe tire de la raifon réciproque. Nous pouvons confidcrcr le poids K , comme fi cen'é- soit qu'un point peliuic D qui fùc attache à l'extrémicé 5^ Traite' de MECANic^^uf, d'un levier ED , Icqucl^cll: appuie contre le plan EF au point E , puis qu'cffcctivcmcnc ce poids y cft appuie. Mais la direction du point pcfantD cftlclonla ligne IDK pa- rallèle à EF , & il elt retenu par le bras du levier HD qui le pouiTe félon la direction DG perpendiculaire à HD ; &r dans l'crat d'équilibre la pcfantcur ablbluë du poids D fe- Jon la diredion DK , fera à la puifTance que j'appelle Z appliquée en D qui îe Ibuticnt en le pouiTant fclon DG, comme EGàEDpar la quinzième propofition. Mainte- nant fi la diredion DK du poids Dell prolongée jufqu'cn I à la ligne HI , qui cft AH prolongée , & qui elt perpen- diculaire à la direction KDI , il cft évident que EG fera à ED , comme HI à HD ,à caufe des trians;les reétangles femblablcs EGD , HID : donc le poids D fera à lapuif- fancc Z , comme Kl à HD. .A G Mais à caufe que le poids B a fa diredion perpendicu- laire à fon bras H A , & la puiflance Z a aulli fa diredion perpendiculaire à fon bras, la puiflance Z feraàlapuif- fance ou au poids B , comme HA à HD. Le poids D fera donc au poids B dans la raifon compofée de HI à HD , ôc de H A à HD , qui cft celle du rcdanglc de HI , HA au quarré de HD ; Sc fi les bras HA , HD' font égaux, cette xaifoii ,';■ Tr a I t e' de Me c a n t q^u ë7 Î^ raifon fe réduit à celle de HI à HD ou HA : ce qui étoic propofé. Confcquencc, Si les deux poids D & B étoienr égaux le rectangle Hî, HA feroit égal au quarré de HD , c'cft-à-dire que HA fe- Toit la troifiéme en proportion continue après HI , HD , qui feroit égale à HN que Ton rrouveroit fur HI prolon- gée en N , où elle rencontreroit DM perpendiculaire àHD. On trouveroit aufli que dans quelque proportion que ce fût des bras de la balance HA, HD, le poids Ddevroic toujours êtreau poids B , comme HA à HN , aulieu que fi le poids Détoit attaché & fufpendu à l'extrémité D du bras HD , ce devroit être comme HA à HI. Car puifquc nous avons trouvé que le poids D doit être au poids B dans la raifon compoféedeHIà HD , &:dcHAà HD ;fi Ton prend les termes de la raifon de HD àHN, aulieu deceux de fon égale HI à HD, on aura le poids D au poids B dans la raifon du reélanglc HD , H A , au redan- gle HN , HD , qui eft celle de la ligne HA à la ligne HN. On connoît donc encore par-là que le poids D étant ap- pliqué au bras HD, comme je viens de l'expliquer , il aura beaucoup plus de force , ou il fera un bien plus grand ef- fort que s'il étoit attaché dans le même endroit au bras ■HD , puifquc le poids D étant mefuré par la ligne HA , ■dans le premier cas la ligne HN feroit la mcfure du poids 'B qui feroit équilibre avec le poids D , & dans le fécond ce feroit la ligne HI. ■Remarque. Si l'on veut conftruire cet efpcce de balance , il faudra -que le brasHDfoit fort poli par ledelTusoù lepoidsDJoic gliirer,&: l'on pourra prendre pour le poids deux roulettes Rec. de l'Acad. Tom. IX, M ^6 Tr aite' de Mecaniq^uï. de plomb qui feront jointes enfemble par un petit axe de fer fort délié qui gliflcra fur le bras HD , la circonféren- ce de ces roulettes coulant en defcendant au long du plan FE. Proposition XL. Voy. Jour- nal des Sfa- vtins 1 6j o. O N donne dans cette fropojltion U conflrn^ion d'une ha-^ lance oit des poids égaux demeurent toujours en équilibre ^ Joit qu'ils foie'nt placés a différente dijîance de l' appui ^ foit qu'ils fcient tous deux dumème côté , ou de differens côtés». On peut dire que cette propofition eftun autre para^ doxedc Mécanique. La conftruction de cette balance eft de M. de Robcrval. Soit le parallelograme ABEF fait de quatre régies de cuivre ou de fer , lefquelles font mobiles fur les clous ABFE qui les aflcmblent, en- for te que les an- gles de ce pa- rallélogramme peuvent chan- ger comme on voudra. Pourla démonftration nous fuppofons que ce reélan- gle foit fait de quatre lignes droites qui pafTent par les centres des clous ; & que fes côtés AE , BF foient mobiles fur leurs points du milieu G & H , étant attachés à la ré- gie TS qui fcrt de pied à cette machine, &doit êtrepofée parallèle à la direélion des poids. De plus en quelque endroit que ce foit des autres re- glesEF, AB, comme en I & enC, foit appliqué deuxréglcs Traite' de Mecaniqjje. 91 K.IM jDCLqaifaflentdcs angles droits avec les régies EF , AB y étant bien foudécs ou rivées. Il cft évident par cette conftruâiion, que quelqu'angle qu'on fdflc prendre au parallélogramme , les côtés AB j EF demeureront toujours parallèles entr'eux & à la régie TSjC'cft-à-dire à la direction des poids, & par confé- quent que les régies KM , DL feront aufli toujours paral- lèles entr'elles , & perpendiculaires à la même dirc£tion, Jcdismaintcnantjquefi l'on fufpend des poids égaux P, R aux régies KM, DLenquelqu'endroit que ce foie, ces deux poids feront en équilibre , foit que les fufpcniions D & K de ces deux poids (oient d'un même côté par rap- port à la régie GH qui fert d'apui à la balance , ou de dif- ferens côtés , foit qu'ils foient proches où éloignés de ce même appui. Le point D eft arrêté de telle manière avec la régie AB, par le moïen de la régie DC qui ne fait qu'un mêmecorps avec AB , que l'on peut confidérer l'angle DBA commç un levier angulaire. Si nous fuppofons donc o/ez, la Fig. précédu'.tt. ) Maintenant li l'en confidere un autre levier angulaire AC H dont les extrémités A &: H Ibicnt tirées par deux puiff ncesX&Z, iclon lesdireûions AB,HB, & l'appui O fouicnu par la même puiffance O qui foutenoit aupara- vant l'appui félon la même direction OB ; le triangle QRV qui exprimoit cy-devant le rapport dcstrois puil- fanées pour le levier ABD , fcrvira aulîi pour exprimer les trois aiures XZO ,car fes trois côtés font auffi perpendi- culaires aux trois diredions , HB parallèle à G A, ÂB pa- rallèle à OD , & OB qui eft commune, î.; Mat5 àcaufe que dans ce levier AOH, le point H eft arrêté ferme fur le pied de la machine nous pourrons le confidércr comme l'appui , & les deux autres puilTanccs agifl'ant l'une contre l'autre ; nous aurons donc la puillan- ce O agiflant félon OB,à la puiflance X agiflant félon ABcommeQRàRV. Il eff donc évident que la puiflance où le poids P fufpcn- ducn D fera à la puifl^ince X , tirant le point A félon AB dans la raifon compoféc de R V à RQ> &: de QR à RV,qui eft la raifon d'égalité. Il y aura donc équilibre entre le poids P fufpcndu en D , &: la puiflTance X égale au poids P appliquée en A félon A B. On démontrera de même que le poids R llifpendu en K à la régie KIM, fcraéquilibre avec une puifl^mce Y égale au pojds R , laquelle étant appliquée en E agit lelon la li- gne EF ; on peut donc fjbftituer à la place des poids P &: R les puifl^inces égalesX&: Yqui agiflcnt en A&: enRavcc des direiStions parallèles entr'elles & à la diredion des poids ; Traî-te' de Mecani c^u e. i> > maïs CCS piiiflanccs égales étant appliquées aux extrémités A & E des bras égaux delà balance G A , GE qui a fon ap- pui en G , elles feront en équ. libre : les poids P &; R qui fontménaeetïbrt fur cette machine que les pniflanccs X & Y , feront donc en équilibre. Ce fera la même chofe en quciqu'endroit d^'s régies DL, KM qu'on fufpcnde les poids , &c c'cfl: ce qu'il falloir démontrer. Il n'cft pas difficile .à voir qu'on peut conftruire pluficurs machines qui feront le même effet que cel- le-cy. On peut auflî démontrer la même chofe , &: fort facile- ment par la fixiéme propoiitionxar fi les poids font égaux, il eiï évident par la conftrudion de la machine que leurs momens feront égaux en quelqu'endroit qu'ils foicnt pla- cés fur leurs bras KIM , DCL, puifqu'ils y feront tou- jours en difpofition de parcourir des cfpaces égaux , qui font aulTi égaux à ceux que décriroient les extrémités £A, FB des régies EA , FB. Car les régies AB , EF étant rete- nues parleurs extrémités cnforte qu'elles demeurent tou- jours parallèles a. l'appui GH , l'effort des poids P & R fur les extrémités AB , EF pour les écarter ou pour les appro- cher de l'appui GH ne doit pas être confideré, puifquecet appui cftfuppofé immobile , il reftera donc feulement aux poids l'eiïortde leur pcfantcur abfoluë pour tii^er en bas les points A & E du levier AGE, de même que s'ils croient appliqués ou fufpcndus à ces mêmes extrémités A & E ; & ainli la balance le réduit à un levier ordinaire AGE qui a fon appui en G. Il efi donc aufil évident que fi les poids P & R font en raifon réciproque des bras GE, GA , il y aura toi^ijours équilibre dans cette efpecc de balance , puifquc leurs mo-- mens fetont auffi égaux par la ûxiéme propofition. Miij 5)4 Traite' de Mecaniq^uh. Proposition XLI. Avec tel nombre de poids qiton voudra, qui feront en proportion géométrique dans la raijon de i à ^ , on pourra pe/ér dans une balance ordinaire qui a les bras égaux , tous les poids qui font depuis l'unité jufqu' à lafomme de tous Us foidspropofés. Soitpar exemple les quatre poids de 1 , 3 ,9, 17 livres, qui font en raifon triple continue , je dis qu'on pourra pe- feravec ces quatre poids toutes les livres depuis 1 unité jufqu'à 40. qui eft la fommc des quatre poids. Il cft certain que tout nombre eft multiple du nombre trois ce qu'on appelle ternaire, ou ternaire plus ou moins l'unité : c'eft pourquoi fi l'on ôte l'unité du ternaire , il reftera le nombre moïen entre l'unité & le ternaire , qui fera 2 ; & ce fera la même chofe du nombre 9. qu'on peut confidérer comme ternaire du ternaire ; car fi l'on en ôte le ternaire qui eft à fon égard comme l'unité à l'égard de 3 , il reftera 6 qui eft le moïen entre 3 & 9. Mais puifqueles nombres depuis 3 jufqu'à 9 fontdivifés en deux ternaires , on en pourra remplir les intervalles en l'ajoutant ou en rôcant:parexem-ple,fiaupoids 3 onajoiite l'unité, on aura 4; fi du poids 9 moins 3, qui eft 6, on ôte l'unité , on aura y ; &fi au poids 9 moins 3 on ajoute l'u- nité , on aura 7 ; & fi du poids 9 on ôte l'unité , on au- ra 8. Enfin le poids 9 eft à l'égard du poids 27 , ce que 3 cft 3 l'égard de 9; & fi de 27 on ôte 9 , il refte le moïen 1 8 entre ^ &: 27 , dont on pourra remplir les intervalles en ôtant & ajoutant avec les deux autres poids précédens i &: 3, com- me on a fait. Il en fera de même de tout autre poids de cette même progreftion. Mais au dernier poids , comme icy 27 , on peut ajouter Tr a ï t e' de m e c a n I qjj E, jiy ïe poids 5) , &: remplir fes intervalles avec i & 3 en ajoû- tanc ou ôtant ; de même on peut encore ajouter à la fomme des deux poids 27 & 9 , le poids trois , &: remplir les inter- valles avec l'unité , 5c enfin ajouter les quatre poids cn- fcmblequi feront la fomme de 40. livres. On appelle ôter dans la pratique , quand on met le poids qu'on veut ôter, du côté où font les marchandifes 5 &: ajouter quand on le met de l'autre côté où il y a déjà d'autres poids, Jvertijjement. Dans les propoutions fuivantes on examine ce qui doic arriver aux poids fufpendus à un levier , ou bien aux corp,<; pefans , en fuppofant que leur direélion tend au centre de la terre; & l'on remarquera que l'on ne peut pas dans cette fuppofition donner quelle figure on voudra aux poids , à caufe que le centre de gravité des corps pcfins change fui- vant leurs différentes difpofitions au centre de la terre, comme on verra dans la fuite : on les doit donc confidercr comme des points péfans. Proposition XLIL Si le levier AB qui a fes bras égaux HA , HB , & qui efi perpendiculaire à la ligne droite ET menée de l'appui H an centre delà terre T , efi chargé de deux poids égaux , quijont deux points pefans , à fes extrémités AÔ" B , il y aura équi^ libre entre ces deux poids. Cette propofition eft éviden- ce : car foient AT , BT les di- reftions des deux points pefans A & B. Aïantmené les perpen- diculaires HI , HL , IL aux di- xcdions AT, BT, HT , on au- ra le triangle HIL, dont les cô- tés donneront la proportion, '•pi? Traite' de Mecaniq^ue. des trois puiflanccs qui doivent être appliquées à ces di- rections pour hiirc équilibre, par la vingt-troiliémc pro- poiition ; mais par l'hyporhéie ce triangle doit être ifof- celle , à caufe que Tanglc ATB eft coupé en deux égale- ment par HT , les deux puilîances A & B qui font entre- elles comme les côtés HI^ HL , feront donc égales:ce qu'il ialloit démontrer. Proposition XLIII. Mai ^fi les bras HA , HB font inégaux , quoicjue le levier ^Bfûii perpendiculaire à la direclion HT , le triangle HIL ne fera plus ifofcelle , c?" dans le cas de P équilibre les puif- fances ou les poids appliqués en A dr en B qui doivent être ent/ eux comme Us côtés HI , HL ^ne fer ont pas réciproque- ment comme les bras HA , HB de ce levier droit ; ceft pour- quoi f on les ftp^ofe dans cette raifon , ils ne feront pas en équilibre . ç^ celui qui fera appliqué au plus petit côté HB T emportera fur l^ autre. Soit comme cy-devant les perpendiculaires , HI , HL , IL fur les trois direûions , il faut donc par la vingt-troi- héme propofition que les trois puiflanccs foicnt cntr'elles comme les trois côtés du triangle HIL pour faire équi- bre. A caufe des triangles rcétan- gics qui font femblablcsHAT, VHL, & H6T,VHI,onau- ra HA a AT , comme VH à HL , & BT à BH , comme HI àH V.Si l'on multiplie donc par ordre les termes de ces deux proportions , on aura le rectan- gle HA , BT qui fera aurcctangle AT , BH ,_comme le j-eaanglcVH, HI au rcdaiiglc HL, HV ; c'cft-à-dire comme Tp. aite' de Mec ay, iQjc t. ç)y Comme HI àHL , à civufcdc la hauceur VH commune à CCS deux rectangles. Mais le redangle HA , BT n'eft pas au rectangle AT , BH , comme H A^a BH , puifque BT eft plus petite que AT par riiypothcfc -, mais ce fera comme une ligne plus petite que HA à BH dans le cas de l'équili- bre. Ilcftdonc évident que li le poids en B cft au poids en A , comme HA à HB ; le poids B fera plus grand qu'il ne faudra pour l'équilibre, & qu'il l'emportera fur l'autre: ce qu'il falloit démontrer. Proposition. XLIV. ] Maint enant/'/é'j- l^nis du levier HA , H B font e'gaux^ winis (juilfoit incliyié il Lx Hg}2e HT menée du ccmre de U terre à l'appui H, il n'y aur.i pas équilibre entre des poids égaux fujpendiis aux extrémités des bras de ce levier ; mais celui qui fera le plus incliné l'emportera fur l'autre. Puifque la ligne BHA eft inclinée à la ligne TH, dans le triangle ATB le côté TA fera plus grand que le côté TB : c'eft pourquoi fi l'on fuppofoit que l'angle ATB fût coupé en deux également par quelque ligne TI , les feg- mens lA , IB de la bafe AB au- roienc entr'cux la même raifon que les côtés TA , TB , & par confequent I A feroit plus grand que IB : mais comme HA eft égale à HB par l'hypothéfe , il s'enfuit que l'angle TTTA eft plus petit que l'angle HTB. Du point d'appui H aïant me- né les pcrpendiculairesHO,HL fur les direftions AT , BT on formera les deux triangles redangles TOH , TLH qui auront l'hypotenufe commu- ne TH : mais dans ces deux triangles le côté oppoféau Rcc.dcl'Acdd.romelX, N 5>8 Traite' de Mecaniq__ue, plus grand angle fera plus grand que celui qui cft oppofé au plus pctir angle ;, c'cft pourquoi HL fera plus grande que HÔ , puifquc l'angle HTB cft plus grand que l'an- glcHTA. Maisparlapropofirion neuvième, l'efforc des puiflanccs ou des poids doit être mefuré par les perpcndi- culaircsHOjHl jdonc dans le cas de l'équilibre la puidan- cc A doit être a. la puHrance B , comme H L à HO : mais il CCS d^ux puifT.inccs A &: B font égales , celle dont l'effort cft plus grand qui cft B, puilqu'il eft mefuré par laligne HL, l'emportera ftir l'autre A , dont l'effort cft mefuré par HO plus petite que HL : ce qu'il falloit démontrer. f Proposition XLV. Si ttfi levier JB afes hr^u inégaux HA ^ HB ,d^ (jiie Lt ligneT H menée du centre de la terre T au point d'appui H y fait inclinée au levier -.mais que la ligne droite TI menée du centre de la terre f au milieu 1 du levier , lui/oit perpen" dieu/aire ;J/ les poids A d^ B appliqués aux extrémités de ce levier [ont entr'eux comme les bras HBHAdu levier pris réciproquement , il y aura équilibre entre ces poids. Du point d'appui H du levier BA aïant mené les per- pendiculaires HO , HL fur les lignes de direétion , il fau- dra par la neuvième propofition que le poids A foit au poids B , comme la li- -^ I H gncHLà laligneHO dans le cas de 1'- libre. Mais àcaufe que TI cft perpendiculaire à AB, & qu'elle la coupe en deux également en I , le triangle ATB eft ifofccllc ; & par conféquent les angles en A &: en B ibnc ;qui- Tr AITE' de MecANIQ^^U E, ç)S égaux entr'cux. Il s'enfuit donc que les deux triangles rectangles HOA , HLB font femblables , puifqu'ils ont chacun un angle égal outre le droit; ils auront donc aulîi leurs côtés en même raifon , c'cft-à-dirc que HO fera à HL, comme HA à HB. Les poids A&B dans le cas de l'é- quilibre doivent donc être entr'cux comme HB à H A, qui font aufîl comme HL à HO. Proposition X L "V I . Devx poids J (jr B étant appliqués aux extrémités d'un levier AB , trouver le point d'appui H. Il n'importe pas que les poids foient égaux ou inégaux, Aïant mené des perpendiculaires CD , CE aux direâions BT , AT Icfquelles fe rencontrent au point C,on donnera à CE &: à CD le même rapport qu'entre les poids A & B , & l'on tirera DE qui achèvera le triangle CDE ; enfuite du point Ton mènera TH perpendiculaire fur DE, la- quelle rencontrera le levier BA au point H , qui lera le point d'appui que l'on cherche. Cette propoiitioneft évi- dente par la trentième , puilque les direâions AT , BT peuvent être confidc- rées comme prolongées au delà du point T , & au lieu des poids AB on peut lubftituer des puiffances égales aux poids , lefqucl- lestireront le point T,& qui demeureront en équilibre avec la puiffancc H qui pouflc ou qui tire félon TH, ce quieft toujours poffiblc, puifque les puiffances agiflent par tout également dans leur ligne de dircélion. Nij 100 Traite' de Mecaniq^ue. Conféquence. On doitconfidérer le point H comme le centre de gra- vite de CCS poids , puifqu'ils demeurent foutcniis for ce point : mais il ne faut pas que le levier puillc gliûcr fur l'appui H. Proposition XL VIL Soit le levier droit AB chargé de deux poids égaux kfes extrémités^Ô' qii il fait perpendiculaire à la ligne T H me- née du centre de la terre au milieu du levier. Je dis que fi l'on approche ce levier du centre de la terre plus qu'il n étoit auparavant^ c^qu il demeure toujours per- pendiculaire À la ligne TH quipaj/cparfon milieu H , ilfau' dra une moindre puifiance pour lejoutenir avec fa charge des deux poids A ô" B,que lorfquilfera plus éloigné du centre de la terre. Soit le levier dans fa première pofition en AB plus éloi- gné du centre de la terre T , que dans la féconde en CD : Jedis qu'il faudra ime moindre force pour foutenir ce le- vier par fon milieu en E dans cette féconde pofition , que dans la première en H. Pu point H aiant mené les perpendiculaires HL , HO aux lignes de direction AT , BT , &: aiant tiré la ligne LO , il eft évident que le triangle LHO fera ifofcellc , &; que la ligne LO fera parallèle àAB,&: perpendiculaire àTH. Semblablcment fi du point E on mené les lignes EF,EG perpendiculaires fur les lignes de direction CT , DT , on aura le triangle ifofcellc EFG dont le côté FG fera pa. rallele à CD & perpendiculaire à TEH. Mais à caufe que l'angle CTD cfl plus grand que l'angle ATB , &: que les quadrilatères HLTO , EFTG ont leurs angles oppofés en L & O , &: enF &: G qui font droits, il s'enfuit que l'angle Traite' de Mecanic^ue^ ici LHO cft plus grand que l'angle FEG. Si du pomt H pour centre , &: pour raïon HL on décric le cercle LIKO , &c que du centre H on mené les lignes HI , HK parallèles à EF , EG, & qu'enfuitc on tire IK, le triangle HIK fera fen.blable au triangle EFG. Mais par la vingr-troiliémc propofition le poids A fera à la puilfan- ce H , comme HL à LO , &c la fommc des deux poids A &: B à la puillancc H qui les foucicnt , comme la fomme des deux lignes HL , HO , ou la double de l'une des deux à la ligne LO. On démontrera de la même manière, que la fomme des deux mêmes poids placés en CD fera à la puifïancc qui les fou- tient en E , comme la fom- me des deux lignes EF , EG a. la ligne FG , ou bien comme la fomme des deux lignes HI , HK à la ligne IK. Mais puifque l'angle IHK cft plus petit que LHO , les côtés qui comprennent ces angles étant égaux , il s'enfuit donc que la ligne IK fera plus petite queLO. Mais la ligne LO reprefente la puiflancc qui foutient le levier en H , & la ligne IK celle qui le foutient en E , il faudra donc moins de force pour ibutcnir cclcvicrlorf- qu'ileftcnE que lorfqu'il eft en H : ce qu'il falloir dé- montrer.. Confcquence. CcferaaulTi la même chofe, fi les poids AB font iné- gaux , &: que le point H qui cft l'appui du levier les divife illégalement: car on pourra toujours former un triangle Nii) loi Traite' de Mecaniq^ttb. comme HIK fcmblable au triangle EFG , 8c dont la (bm- mc de fcs côtés HI , HK qui feront inégaux cntr'cux fera égale à celle des côtés HL , HO du prcmiertrianglcHLO qui font au (ïï inégaux, &:LibafcIK perpendiculaire a 7 H &: parallèle à LO qvii ell aufli perpendiculaire à TH qui fera la diredion de l'appui commun , fera plus petite que LO. Mais comme toutes les parties d'un corps pefant peuvent être jointes par des leviers , comme celui dont je viens de parler , il eft évident que toutes les parties du corps , & par conféquent tout le corps , p.;fcra toujours moins quand il fera plus proche du centre de la terre , quo quand il en fera plus éloigne. Proposition XLVIII. O ^ pet'.t conclure des propojitions précédentes , qu'ilny a, point décentre de gravité dans les corps pefants ^ mais que dans un corps il y a une injînité de lignes lejQjuelles ne s'en~ trecoHpent pas dans un même point , <^ autour defquelles toutes les parties du corps peuvent demeurer en équilibre , ^uand elles tendent vers le centre de la terre. Soit un corps sompofé de deux points également pcfants A & B qui font joints par la ligne droite AB laquelle eft perpendiculaire dans une pofition à la ligne TH,qui vient du centre de la terre T au milieu H de cette ligne A B , il eft évident que le corps demeurera dans cette fituation , ■étant foutenu par IcpointH.Mais file point H eft fon cen- tre de gravité , il faut que dans toute autre pofition de ce corps autour du point H, fes parties A & B demeurent encore en équilibre, comme dans la pofition FHE, ce qui ncpeutpas être par la quarante-quatrième propofition, car le point F l'emportera fur l'autre, le point H ne fera donc pas le centre de gravité de ce corps fuivant la défini- . rion . &: il fera impolUble d'en déterminer un , puifque Traite' de Mecaniq^ue. T05 dans toutes les dilfcrcnces poficions des parties du corps j i y aura différents points où ces parties demeureront en équilibre : & c'eft ce qu'il £illoit démontrer pour la pre- mière partie de cette propofition. Pour ce qui eftdcla féconde ,il eft évident que fi Ton conçoit que le corps foit divifé en un nombre indéfini de parties, &: fi l'on compare deux de ces parties avec leurs dircdions vers le centre de la terre, on trouvera par la quarante-fixiéme propofition la direélion de l'appui qui les fou- tiendra tous deux en équilibre , avec la puifTance qu'il faudra donner à cet appui , &c en quel- que endroitqu'on appliquée ctte puifTance dans fa ligne de dire- ftion : ainfi ces deux parties avec leurs direétions différentes fc réduif?nt à une feule , &c a. une feule direction. Mais ccllc- cy étant comparée avec une au- tre partie du corps , on trouvera de même une autre puiffance avec fa dircdion qui les foutient ;& ainfi de fuite on viendra à une feule puiffance qui fera équilibre dans une cerraine diredion avec toutes les parties du corps , cette puiffance pouvant être appli- quée en tous les points de Ca direction , fi on ne la confi- dcre que comme un point pcfint , ce qui eft la manière la plusfimplede confidcrer les puiflianccs : &: c'eft ce qu'il falloir enfin démontrer. Proposition XLIX. IhK'jai^ue la fph ère feule qui fuijfe être exceptée de la^ fropo/hion précédente ; car à canfe que c'efi la fgure qtiotu feut appelle r parfaitement régulière , toutes Us lignes ds » 1 104 Traite' de Me c aki cL.fE. dirccFion autour de/qucUes toutes les parties du corps de^ meurent en équilibre , s'entrecoui^ipeiit au centre de la fgure. Toutes les difpoficions dificrentcs d'une fphcrc autour de fon centre n'ont aucune différence entr'cUcs : c'efl: pourquoi on ne doit pas la regarder comme aïant diffe- xentes lignes de ditedion autour dcfquclles toutes fcs par- ties demeurent en équilibre. De plus , quoique lapuiffan- cequieft néceflaire pour foutcnir cette fphére dans une certaine diftancc du centre de la terre , ne foit pas égale à celle qui la doit foutcniv dans une autre dillance par la propolkion quarante-lcptiéme , ce fera toujours dans la même dirccVionquieftla ligne droite menée du centre de la figure vers le centre 4c la terre. Avertijftment. Dans les propofitions fuivantcs nous donnerons la ma- nière de trouver le point qu'on appelle centre de gravité dans les figures pefantcs , en fuppofant que leurs parties ont des directions toute parallèles entr'elles , &: nous exa- minerons en^T^êmc-tems quel eft l'effort des figures appli- quées à tous les points du bras d'un levier dans leur longueur ; car on a feulement confidcré jufqu'icy que les poids ou figures pefantcs étoient fufpendues en un point Aw levier. Proposition L, Trouver le centre de gravité des fgurcs de trois côtés ou des trilignes. Je commence la recherche du centre de gravité par les .trilignes qui font les plus fimples de toutes les figures. Mais fans m'arrcter au triangle qui eft une figure comprifc jde trois lignes droites , & dont on peut trouver le centre de Traite' de Mecaniclue. 105 de gravité par une manière particulière, jccommenceray par ceux qui font formes par des lignes droites & par des courbes , & dont la méthode conviendra aufli au triangle. Soit donc le triligne ABD qui eft le complément d'une parabole AND , dont le fommet eft en A , &: dont les or- données comme HN font perpendiculaires à AB , qui eft la touchante au fommet A. Je confidere AB comme un levier auquel le triligne eft appliqué dans toute fa longueur AB , &: qui eft perpendi- culaire aux diredions des poids ou des parties du triligne faites par les ordonnées comme HN. Si l'on imagine que le triligne eft divifé en un nom- bre indéfini de par- ties par les ordon- nées comme HN , èc que toutes ces parties ontchacune une même larçreur fur AB, elles peu- vent être conîide- rées comme fépa- récs & fufpenduës au bras du levier AB par leur extré- mité , enjointes en- femble , Se ne compofant plus que le triligne , fans qu'il arrive aucun changement à l'effort qu'elles font fur le bras du levier , par rapport a. quelque point du levier , comme H qui lui fcrt d'appui. Il faut donc chercher d'abord le point H, fur lequel le levier étant foutenu avec fa charge,qui font toutes les par- ties du triligne, il y ait équilibre des deux côtés de l'appui. Âec. de L'Acad. Tom. IX. O 10(3 Traite' de Mecaniq^ue. Si le point H étoit celui qu'on cherche, ileft évident que les momens déroutes les parries du rriligned'-puis H jufqu'ea B , feroient égaux à ceux de toutes les parties de- puis H jufqu'cn A ; puifque ces momens ne font que l'ef- fort de ces mêmes parties par rapport à l'appui H, &les efforts d'un côté étant égaux aux efforts de l'autre , il y au- ra équilibre. Maisfi fur IctriligneABD on forme le prifme rectan- gulaire ABDGFE , dont la hauteur AG ou BF foit égale à AB , &: qu'on coupe enfuite ce prifme par un planAF LQ_ qui pafle par FE &c par le point A , il eft évident que le prifmc fera divifé en deux parties pyramidales , dont l'une eft AFEDB , & l'autre AFEG. & dans le complément de toutes fortes de paraboles, le rapporr du prifme à ces deux pyramides eft toujours donné. C^ar ii le prifme & les deux pyramides font divifées par des plans comme HNIMqut partent par les diviiions HN du triligne, & qui foienc parallèles au côté BDEF du prifme, toutes les parties du prifme & des deux pyramides pourront être exprimées par uneprogrcflion numérique , &: dans la première parabole le prifme fera à la pyramide AFEDB , comme 4. à 3. car toutes les parties de la pyramide feront entr'elles comme les nombres cubiques de fuite , dont leurs diftanccs depuis le point A fur AB feront les racines, & le prifme eft le tiers du parallélépipède qui auroitpour bafe le parallélo- gramme rectangle ABDQ^, dont les côtés feroient AB, BD ,& la hauteur BF , &: par conféquent la pyramide fe- roit le quart de ce parallélépipède. Enfin le prifme feroit à l'autre pyramide AFEG , comme 4. à r. Maintenant il eft évident que la fomme de tous les mo- mens delà partie HBDN du triligne ferareprefentée par la portion LKFMEO de la pyramide, laquelle fera re- tranchée par le plan PKO parallèle au plan du triligne , &c qui paftc par LM qui eft: la rencontre du plan HNIM ' Tr aite' de 'NÎECANI Q^U E, 1 07 avec le côte de la pyramide AFE. Car dans cette portion retranchée chaque partie du prifme qui y fera retranchée aura même bafeque les parties dutrilignequi fontcom- prifes dans HBDN , &c pour hauteur hi diftance depuis H, ces hauteurs étant reprefcntées par les hauteurs du triangle redangle & ifofcelle LKF. De même tout les momcns de la partie H AN feront re- prefentés par la portion PLMA de la féconde pyramide GFEA, laquelle fera retranchée par le même plan PKO; car dans cette portion PLMA le triligne PLM qui lui fcrc de bafe , eftlemêmequele triligne H AN, &:les hauteurs de chaquefartiefe trouveront dans letriangleLPA , en augmentant depuis le point L qui fait la même chofe que lepointH. Il faudra donc que les deux folides LKFMEO , PLMA foient égaux entr'eux , puifque les fommes des momens qu'ils reprefcntent doivent être égales. Mais fi à l'un &: à l'autre on ajoilte une partie commune , qui eft le folide ALMOKBD , il fe formera la pyramide AFF.BD entière qui fera égale au prifme ABDPKO. Mais puifque l'on connoît le rapport de la pyramide AFEBD au prifme total ABDGFÈ, qui eft comme 5 34, on aura donc aufli le rapport du prifme retranche ABDPKO égal à la pyramide , au prifme total comme j à 4. Mais ces deux priimes qui ont même bafe feront cntrc- eux comme leurs hauteurs AG ou AB, Se AP ou AH. Le prifme fera donc toujours à la pyramide comme AB àH A, c'eft-à-dire comme 4 à 5 ; &: le point H fera l'appui fur le- quel les parties du triligne appliquées au levier AB, ou le triligne entier , ce qui eft la même chofe , demeure en équilibre. Il s'enfuit donc aufli que le centre de gravité du triligne fera dans la ligne HN qui fépareles parties du tri- ligne qui font équilibre entr'ellcs. On trouvera par la même méthode, que fi le triligne Oij io8 Traite' de Mecaniq^ue. parabolique ANDQ^, dont A cft le fommct , &: AQ^l'axe delà parabole AND , cft appliqué au levier par fon côté DQ, & que le point d'appui Ibit Zoù les parties d'un co- té &c d'autres foicnt en équilibre , ZD fera à ZQ_, comme j à 3, Car aïant conftruit le parallclcpipcdc de GD fur le pa- rallélogramme rcdanglc AD qui renferme la parabole, on aura coinme cy-dcvant le plan PKO qui retranche de QR égale à Q^D , la partie QK égale aQZ;&c aiant mené par le point Z le plan LZMN parallèle au plan GQ^; Se furlaparibole AND aïant formé le prifme parabolique GEANDQK , &c dans le parallclcpipcde aïaut mené le ^ plan AFEC^, la py- -P ramide reti anchée ELOMrcprcfentera les momens de tou- tes les parties du tri- ligne parabolique ZND qui font com- prife depuis Z )uf- qu'en D ; &: le folide LMPAKQ^ rcpre- fentcra les momens de toutes les parties du triligne depuis Z jufquàQ^, fuppofint l'appui en Z , ce qui cft évident fuivant ce qu'on a expliqué cy-devant. Et fi l'on ajoute à ces deux folides , qui font égaux , fi les fommes des momens des parties du triligne font égales , le folide commua LOM AQP , on aura toute la pyramide EAQD égale au prifnic PKOAQD. Mais la pyramide EAQD cft le complément de la pyi a- Traite' de Mecanîcl.ue. 105 midc AFEDB jufquau prifmc AFBQED dont elle n'c(l que la moitié, la pyramidcEAQpfcra donc aulîila moitié de ce même prifmc. - Maintenant puifque le prifmc parabolique GERADQ_ cfl: égal aux deux ti ^rs du parallclcpipcdc GD , &: que la pyramide EAQDeft la moitié du prifmc EFBDAQ_, qui eft la moicic du parallélépipède, la pyramide EAQ_D fera égjlc -|- du prifme parabolique GEKADQ^, & parconfe- qucntle prifme PKOAQ_U qui cfl; retranche du prifmc entier GREAQD n'en fera que les -|-. Il faudra donc que la hauteur QK du prifmc retranché foit les -|- de la hau- teur Qj\ du prifmc entier. Mais QR cfl: égale à QD , &: par confequcnt QZ , ou ZL , ou QK ne feront que les ± de QP , & aufli ZQ^fera à ZD comme 325. ce qu'il fal- loi: démontrer. Mais pour détermmer le centre de gravité de ces trili- gncSjilles faut encore appliquer à un levier par l'autre coté AQ_ou BD. Soit donc dans la figure fuivante le paral- le'epipcdeFQ^comme cy-devant formé furie parallélo- gramme rcdangle BQ_; &: aïant fait dans ce parallélépi- pède les prifmes&: les pyramides, comme dans la précé- dente démonftration , on aura la pyramide AERDQ^ for- mée par tous les rectangles comme NX , qui font faits fur Ics ordonnées NS à l'axe de la parabole AND , & fur les parties- AS interceptées de l'axe : mais cette pyramide eft égaleà -i- du parallélépipède FQ^, & le prifne paraboli- queEGRDAC^cftégal à ~ du même parallclepipedc,c'eft pourquoi cette pyramide AERDQferaégaleà -^ du prlC- me parabolique EGRDAQ. Mais file point S cfl: l'appui du levier AQ^,la fommcdcsmomensdcs parties du tnli- gne ADQ^dcpuis S jufqu'enQJcrareprefcntéc parla por- tion retranchée de la pyramide EROKMX , Se la fommc des momens des parties du triligne depuis S jufqu'cn A fcrarcprcfcntéeparlefolidcMXPA; & ajoutant àcha- O iij lîi Traite' de M e c ani qJje; cunc dcccs parties le folidcADQOKMX, il le formera d'un côté la pyramide A ERDQ^ qui lera égale au prifme retranché POK A DQ^ qui fc formera de l'autre côté, en pofant les fommcs des momens des deux côtés de l'appui S égales cntr'elles. Donc le prifme POKADQ^ retranché du prifme total parabolique EGRDAQ^ en doit être les -j- ; ôc par confequent AP qui eft la hauteur du prifme re- tranché doit être égale à -|- de AG; & AS égale à AP fer* aufli -5- de AQ^; & SA fera à SQcomme 5 à z. Le centre de gravité du triligne ADQ^ appliquée au levier AQ^ fera donc dans l'ordonnée SN. On démontrera de même , que dans le triligneBDA appli- qué par fon côtéBD au levier BD , fi le point H eft l'appui de ce levier , & que les momens des par- tics du triligne d'un côté de H foicnté- gaux aux momens des parties de l'au- tre côté , la pyrami- de EBAD doit être égale au prifme re- tranché TOPBD A. Mais la pyramide EBAD qui eft le complément de la py- ramide AERDQ, jufqu'au prifme BEDARC^quieft la moitié du parallélépipède , fera égale à -^ du parallélépi- pède FQ^, mais le prifme parabolique FEGBDA qui a pour bafe le triligne propofé , eft le tiers du parallélépi- pède ; donc la pyramide EBAD fera -^ du prifme parabo- lique FEGBDA ;& par conicquent le prifme retranché Traite' de Mecaniq^tjë. tti TOPBDA qui doit être égal à la pyramide , fera j^ du prifme entier , èc la hauteur BT ou HL du prifme retran- ché fera égale à ^^ de la hauteur BF du prifme entier. Mais BT doit être égale à BH , puifque BF cil: égale à BD ; donc l'appui H doit être placé fur le levier BD , en telle forte que HB foit les ^ de BD , ou que HB foit à HD, comme 3 àj. E le centrede gravité du triligne fera dans la ligne HN parallèle à B A. Puifque l'on a trouvé dans chaque triligne deux lignes difterentcs fur lefquclles fc doivent trouver le centre de gravite des trilignes ^ce centre C fera déterminéjcar dans le complément de la parabole ABND nous avons trouvé qu'il doit être d'un côté dans la ligne HC parallèle à BD , fi HB ell à HA , comme i à 3 ; de l'autre côté nous avons trouvé qu'il doit être dans la ligne ^C parallèle à AB , fi /'B eftà/'D ,comme 3^7. Et dans le triligne paraboli- que ADQ^, le centre de gravité fera en Y dans la rencon- tre des deux lig. ZYparallele à QA,qui coupe Q^D dans la raifonde 3 à 5 ,&; S Y qui coupe Taxe AQ_dans laraifon de 3 à 1. Il eft facile à voir , que dans toutes fortes de trili- gnes où l'on connoît les chofcs qu'on a fuppofées dans ceux-cy , le centre de gravité en fera toujours dé- terminé par la même mé- thode. Pour ce qui cft des trili- gnes qui ne font pas com- pris par des lignes droites qui font un angle droit , on nelaifl"cra pas de déterminer les mêmes chofcs de la mê- me manière, en faifant les parties du triligne parallèles à m Traite' de M e c ani q^u e." riuidcs côtés, & fuppofant que le levier cftinclinéà la dircclion des poids ou des parties pcfantes du tnligne ; car parla féconde propofition leur eftort fera toujours le même fur le levier , & il n'y aura rien de changé dans la démonftration. Si la figure ctoit comprife d'une feule ligne droite & d'une courbe , comme de la parabole BAD & de la ligne droite BD , il faudra la divifer en deux trilignes , par la ligne AE qui fera le diamètre des ordonnées dans cette pa- rabole , Icfqucllcs feront paral- lèles à BD , & l'on trouvera que le centre de gravité de chaque partie fera éloigné de la ligne BD vers A des deux cinquièmes de AE,&: les deux parties AED, 15 E D AEB étant égales , le centre de gravité fera fur la ligne A E au point C , qui coupera aulîi en deux également la ligne qui joint les centres de chaque portion prife en particulier. Ou pourroit trouver plufieurs abrégés dans des cas particuliers des différentes cfpeccs de trilignes ; mais comme je ne me fuis pas propofé de donner icy un traité entier des centre de gravité, mais d'expliquer feulement ce qu'on en peut confiderer comme les élemens , je ne m'arrêterai pas davantage fur les trilignes , après avoir fait voir la manière particulière de trouver le centre de gra- vité du triangle , qui a de très-grands ufages dans la mé- canique. Il cft évident que fi on applique le triangle ABO au bra-sd'un levier, par une ligne BR, qui venant d'un an- gle B partage en deux également au point R le côté oppo- fc AO , toutes les p.irtics du triangle qui feront faites par 4eâ parallèles à AO, feront toutes coupées en deux égale- ment Traite' de Mecaniqjje. n^ ment par le levier BR ; c'eft pourquoi les deux parties du triangle BR A , BRO demeureront en équilibre fur le le- vier BR , & par conféquent le centre de gravité du trian- gle fera fur la ligne BR. Semblablemcnt fi l'on mené la ligne OS , qui venant de l'angle O coupe en deux également le coté AB en S , le centre de gravité du triangle doit aulll fe rencontrer fur cette ligne OS. Maispuifque ce centre doit erre fur ces deux lignes BR , OS , il fera necell'airement dans leur rencontre C , & je dis qu'il coupera l'une & l'autre dans laraifonde i à i. Du point S aïant mené SD parallèle à AO jufqu'à la li- gne BR en D, SD fera la moitié de AR ou de RO,puif- que BS eft la moitié de AB. Mais auffi RO eft à SD,com- meRCàCD,doncRC fera double de CD. Et puifquc BD eftégaleàRD,àcaufe que BS cftégaleà AS, fi BR eft divifée en 6 parties , RC en fera i, CD i & BD 5 , ou bien CB 4 ; &c par conféquent RC fera à CB , comme ^ à 4 ou comme i à z. On démontrera de même que CO eft double de CS. Et enfin l'on mcnoir encore la troifiéme ligne AE qui divi- sât BO en deux également en E , on démontreroit de mê- me qu'elle pafferoitpar le point C, &: que CE feroit à CA comme i à z ; car elle rcncontreroit BR en un point qui feroit neceffairement le point C , puifqu'il la diviferoic dans la raifon de i à 2. iProposition LI. Si deux poids font fufpendus à un levier , ils y feront nu» tant d'effort que f ils y étaient fufpendus par leur centre de gravité en tes fuppofant joints enjcmhle par une ligne droite Jia. de l'Âcad. Tome IX. P 114 Traite' de M ec an i CL.tJ e, Jitr laquelle foit leur ceiitrc de gravité ^ cf les foids dcmcti^ r/tntdans U même fofition que celle ou ils étaient dans leur fu/pc fi/l'on farticuliere. On fuppofc ordinairement cette propofitiondans la mé- canique comme une chofc incontcftablc & qui cft con- nue naturellement. Mais quoique le cote d'un trilignequi eft fufpendu par fon centre de gravité demeure dans la même polition avec le bras du levier auquel il cft fufpen- du, que celle qu'il avoit quand il étoit appliqué à ce le- vier , ce n'eft pas à dire pour cela que le trilignc doive fai- re le même cftort fur le levier dans ces deux difpofitions différentes. Ce feraauflila même chofefion le fuppofe attaché au levier par les deux extrémités de fon côté , &: (1 on le confidcrc enfuite fufpendu à ce xiiême levier par fon centre de gravité. Soit les deux poids confiderés comme deux points pe- fans A &: B , dont le centre commun de gravité foit le point C fur la ligne ACB qui les joint tous deux : Je dis que ces deux poids feront autant d'cftort fur le levier HB par rapport à l'appui H , fi on les imagine fufpendus fepa- rement en A & en B dans la diftance où ils font l'un de l'autre , que fi ils étoient fufpendus à ce levier par le point C qui eft leur centre commun de gravité fur la ligne AB qui les joint enfemblc. De l'extrémité B du levier HB a'iant élevé BM perpen- diculaire & égale à HB foit mené HM ,& aïant Êiit AD égale à BC ,foit mené les lignes AG , DR , CK parallèles àBM ;& des points EKM les lignes EF , GIKL , RM pa- rallèles à HB. PuifquelepointC eft le centre de gravité des poids A & B , le poids A fera au poids B comme CB à C par la troifiéme ou quatrième propofition , & le point C fera chargé des deux poids. On peut donc conftderer la ligne Traite' de Mecaniq^^ue, nj- lADcommelc poids A , de la ligne BD comme Icpoitis B. Maisleredangle ADEF rcprcfcnccra le moment du poids A fufpcnducn A par rapport à l'appui H , car AE eft égale à AH, & le redanglc BDRM reprerentera le moment du poids B fufpendu en B par rapport à l'ap- pui H. Mais fi ces deux poids font fufpcndus tous deux en- femble au point C fur le levier HB, ce qui cft la même chofe que de les conliderer fufpendus à ce levier par leur centre commun de gravité C , leurs momens ferontrepre- fentés par le reétanglc ABLG qui cft fliic par les deux li- gnes DA , DB enfemble & par CK égale à la diftanceCH de la fufpcnfion des poids à l'appui H du levier. Je dis maintenant que leredangie ABLG eft égal aux deux rectan- gles enfemble ADFE, DBMR. Carlercdan- glelLMReftfaitdela ligne DB par la ligne LM égale à CB ; & le rectangle EFIG cftfait de la ligne EG égale a. BD &: de la ligne AD égale à CB R-> ces deux rcdangles FG, IM é- tant donc égaux , le feul rcûangle AL fera égal aux deux enfemble DM, DE; & par conféquenc les momens des poids A & B fufpcndus feparement feront égaux aux mo- mens de CCS mêmes poids fufpendus enfemble au point C, &: leurs efforts feront égaux : ce qu'il fa'îoit démontrer. Ce fera la même démonftration fi le point d'appui H eft fur AB d'un côté ou d'autre du point C. Ce fera auffi la même chofe fi les deux points pcfans font ii(î Traite' de MeCaniclt^ë. O & P dont le point N fur la ligne OP foit le centre com- mun de gravité ; car ces points pcilints O & P peuvent ctrefuppofés en A &: en B lur leurs lignes de dircûion , &c leur centre de gravité N fe trouvera aufli en C , car il y aura toujours même raifon de CB à CA,quedeNP à NO , à caufc des parallèles OA , NC , PB : & par confcquentles poids O &: P fufpendus au levier en A & en B y feront au- tant d'cftort par rapport à l'appui H , que fi ils y étoient fulpcndus en C par leur centre de gravité N. Proposition LII. Soir fe levier ,^^F ou droit oit angulaire £/■ attaché par (a partie EF en E df en F au levier droit AH F lequel ejl perpendiculaire a la direction des poids , ô' dont P appui efi en H: Je dis quejî l'on applique unpoids P à l'extrémité .Qdit levier ,^^F , il fer a autant d'effort jQir le levier AHF , que Ji il y étoit appliqué immédiatement au point R oii la ligne de dircclieu du poids P le rencontre. Puifquc le levier QEF eft arrête en E & en F , nous pouvons confidercr quefon appui eft au point E, & par la troifiémc ou quatrième propofition l'ctFort du poids P fur le point F fera à fa pcfantcur abfoluë , comme ER à EF; carER fera la perpendiculaire menée de l'appui E fur la dircdion QR du poids P ; &: l'appui E portera ces deux efforts. Mais maintenant au lieu du poids Pfufpendu au bras EQde fon levier , nous pouvons confidcrer feulement fes deux eftortsen E & en F fur le levier AF , dont celui qui fc fait en F élevé ce point félon ladireftion des poids avec une puiflancc mcfurée par ER , en pofant EF pour la me- furedu poids P , comme on vient de le démontrer. Mais, aufll l'effort du même poids P au point E fera mcfuré par -Traite' de Mecaniq^TTE. izy toute la ligne RF avec la même direction perpendiculaire à AF ; 6c ces deux cft'orts agiilanc en fcns contraire en F èc en E fur le levier AF il £iudra prendre leur différence, C'efl: pourquoi le moment de l'effort du poids Pau point E par rapport à l'appui H fera le produit ou le reftangle de HE longueur du bras par RF , & le moment de ce même poids au point F fera le rectangle de HF par ER , en fup- pofant comme on a fait EF pour la mefure du poids P. Mais le moment où le redangle FIE , RF eftégal au f edangle Ff E, ER, avec le redangle HE, EF, de le redan- gle où le moment HF, EReft égal au redangle HE, ER avec le redangle EF,ER; la différence de ces moraens fera donc celle des rcdangles HE, EF &-EF, ER qui cft le redangle HR , EF, & qui fera auffi le moment du poids P mefuré par EF quand il fera appliqué en R aïans; HRpour longueur de fon bras : ce qu'il falloit démontrer. Ce fera encore la même démonftration fi le point R tombe au-delà de H vers A. On pourra pour rendre cette démonftration plus facile &c plus fimple appliquer des nombres aux parties EF , ER du levier , comme fi l'on fuppofoit que EF fut le quars de ER. Co/ifcqucnce. On voit par cette démonftration que le point R du le- vier AF fera toujours chargé de la pefanteur abfoluë du poids P de quelle grandeur que foitEF ; car quand EF fe- roit égale ou plus grande queER,ce fera toujours la même chofc que fi elle n'étoit que la miliéme partie de ER. ^i§ Traite' de MeCanîq^ue. Proposition LIII, Si ronfîtppoje maintenant que le bras E F du levier J^P e/l arrêté ou attaché par quel nombre de liens on voudra à la partie EF du levier AHF ; le poids P fufpendu à l extré- mité ^du levier ,QEF fera toujours le ?nème effort Jiir le levier AHF , que fi il y étoit fufpendu en R da/is fa ligne de direction ,^R. Que le bras EF du levier QEF foit attaché au levier AF par les points E &: F , & dans toutes les divifions i , i , 3,4, &c. Puifque le poids P agit fur tous les points 1,2, 3 , 4, &c. F tout à la fois en s'appuïant fur l'appui E , il doit y diftribuer fon effort par rapport à la diftance de ces points jufqu'à l'appui E : fi l'on divife donc le poids P éga- lement daos le nombre des parties de EF , foit qu'elles foient égales entr'elles ou non , il s'enfuit que fi chacune de ces parties efl; multipliée par ER , qui eft la diftance de- puis l'appui E du levier QEF jufqu'à la diredion des poids QR, ces produits étant égaux, leurs momens feront égaux puifqu'ils font égaux aux produits. Mais puifque le poids P doit diftribuer fon effort à tous les liens qui l'attachent à EF par rapport à leur diftance du point E , afin qu'ils lui refiftent également , il faut que lej momens de tous ces liens , ou des puiffances qu'on peut imaginer à leur place foient auffi égaux aux momens des jpartics du poids par la diftance ER : mais toutes les parties Tr a I t e' de m e c a N I QJJ E. I I P du poids P étant appliquées ou Hifpcnduës au point R du levier AHF , y auront des momcns égaux à ceux des mê- mes parties du poids fufpenduës en Q^, &c égaux aufli aux niomens des liens ou des puiflances qu'on peut leur fubfti- tuer , comme on l'a démontré dans la précédente propofi- tion : c'eft pourquoi toutes les parties du poids P , ou tout le poids , ce qui eft la même chofc , lequel cftrufpendu en Q^fur le levier QEF , qui tient par les liens £1,1,3,4, &c.Fau levier AHF , fera autant d'effort fur ce levier AHF que fi il y étoit fufpendu en R : ce qu'il falloir dé- montrer. Conféqucncc. Le nombre des liens n'étant point déterminé dans la démonftration précédente , on en peut fuppofer un nom- breindélîni; ce qui eft la même chofe que de fuppofer le levier QEF joint immédiatement au levier AHF par fa partie EF. Ils'enfuivra aufli la même cliofefi l'on confidere un le- vier replié AHEQ^ dont l'angle HEQ^nc peut pas chan- ger. Car ce levier plié en E fait le même effet que les deux leviers HEF , QEF qui ont la partie EF commune , puif- quc cette partie commune peut être fuppoféc fi petite qu'on voudra , comme on l'a remarqué dans la précédente propofition.il n'eftpas neceffaire non- plus que ce levier replié faflc un angle, puifque la figure du pli ne fait rien àl'eftet, pourvu que les deux parties foicnt jointes en- femble. On auroic pu fuppofer que du pointHôna mené une ligne droite jufqu'au point Qjquiferoit le bras du le- vier angulaire AHQ_ lequel portcroit àfon extrémité le poids P , Se alors il feroit évident que le poids P feroit le même effet que fi il étoit fufpendu en R au levier droit AHR. Mais comme cette fuppofition peut avoir quelque difficulté à caufe qu'on voit feulement que l'effort du poids.. lie Traite' de Mecaniq^tte, P fe fiiit en EF fur le levier droit AHEF, j'.iy cru que je devois démontrer cette propolition fans fuppofcr le levier Ce fera auflî toujours la même démonllration quand le point R fe trouvera vers A de l'autre côté de l'appui H, Proposition LIV- Comment o-ï/'f/// trouver k centre de gravité des li- gnes , des fuferjlcies , & desfoUdes réguliers. On fuppofc toujours les lignes également pcfantes dans toutes leurs parties; c'eft pourquoi fi elles font droites leur centre de gravité fera au milieu, &: h il y en a pluiieurs jointes enfemble ou féparées , on en trouvera le centre de gravité comme de diffcrens points pefans en les fuppofanc réduites chacune à part à leur centre de gravité. Par exem- ple fi l'on demande le centre de gravité de la circonféren- ce du triangle ABD, on regardera chaque côté comme étant réduit à fon centre de gravité EIF. Aiant donc tiré la ligne EF on la divifera au point G dans la raifon réci- proque des grandeurs des lignes AB, AD quieftauffi le rapport des pcfintcurs des points E &: F , &: le point G fe- ra le centre de gravité des deux côtés AB , AD , qu'on doit confidcrer comme étant chargé du poids de ces deux li- gnes. Enfuite on mènera GI que l'on divifera en C dans la raifon réciproque de la pefan- teur ou de la charge du point G, & de celle du pointI,c'cft-à-dire que GC fera à CI , comme la ligne BD à la fomme des deux lignes AB , AD. Pour les lignes courbes il faut chercher les momens de toutes leurs parti-Cs par rapport à quelque ligne droite ^u'on Tr AITe' de MeCANI CL.U E. I i I confidereracommeunlevier , &z prendre fur ce levier le point qui donnera des momens égaux des parties de la li- gne d'un coté &c d'autre ; & chercher encore la même cho- fe fur la perpendiculaire menée par ce point du levier , &c le point de cette ligne fera le centre de gravité. Les fuperficies courbes qui font régulières ont toujours leur centre de gravité dans la ligne qui palTc au milieu j c'eft pourquoi il ne faut plus que trouver une autre ligne ou un plan qui divife également les momens des parties de cette fupcrficie , & leur rencontre fera le centre de gra- vité de la fuperficie : par exemple , Si l'on veut avoir le centre de gravité de la fuperficie du cône droit ABD qui eft formé par le triangle rectangle ABEen tournant fur foncôté AE.( T'oiez, U Fi^.fuivant.) Il eft premièrement évident que fi on élevc fur AB la li- gne BF égale à la circonférence du cercle dont BE eft le raïon, & qu'on tire AF , toutes les lignes comme G FI me- nées des points G du côté AB du triangle ABE,&: parallè- les à BF , feront égales à tous les cercles qui feront formés fur la fuperficie du cône par les points G de l'hypoteneufe ar fin centre de gravite C. On peut confidcrer la figure ABO. comme fi cllectoic fufpcnduë & appliquée à un levier FR qui paffe par les points F &:R. Et par la cinquanre-fcpticmc propoiition toute la figure fera autant d'effort fur le levierFR par rap- port à un point comme K , que li elle étoit fufpcnduë à ce levier par Ibncen- jr tre de gravité C. Mais fi le point K eft la rencontre de la direftion IC du centre de gravite C de la figure , elle fe- ra tout fon effort au pointK. Enfin le le- vier FR étant char- O gé à fon point K de toute la figure , & ce levier étant foÛ- tenu en F & en R par deux puiffanccs DE , toute la pe- fantcur de la figure doit fe partager à ces deux puiffances félon les diflances KR, KFprifcs réciproquement par la troifiéme ou quatrième propofition , c'eft-à-dire que la puiffance E fera à la puiffance D , comme KF à KR , & les deux puiffances cnfcmble doivent être égales à celle de la iigure ou à fa pcfantcur. Il s'enfuit donc de-là que la figure étant fufpenduë au £.cc,del'Acad.Tom.IX, R 1 5 o Traite' de M e c a n i clu e. levier HE en D & en E , elle y partage fa pcfantcur félon les lignes KF , KR , ou ce qui cil la même chofc dans la raifon des.lignes I D,IE. On peut donc confiderer les deux points D& E comme étant chargés de deux poids qui font cnfemble égaux à celui de la figure , & qui fontentr'cux commelEàlD. Mais parla cinquante-unième propofi- tion 5 ces deux poids où toute la figure fera autant d'efforc fur le levier HE par rapport à fon appui H , que fi elle étoit fufpenduë en I par ion centre de gravité C ; ce qu'il falloit démontrer. Proposition LIX. S r /e levier n'efl pas perpendiculaire à la direSiion des poids , comme on Pa fupposé dans les propojîtions précéden- tes qui regardent les centres de gravité , on pourra toujours le réduire à un autre qui y fera perpendiculaire , cf qui fera, fur le même plan quipajfantpar le levier ef posé félon la di~ reclion des poids. Cette propofition eft évidente ^ car tout ce qu'on a ex- pliqué des leviers perpendiculaires à la direûion des poids convient auiÏÏ aux autres , puifque les direétions parallè- les couperont de ces deux leviers des parties qui feront toutes entr' elles en même raifon; & l'effort des poids étant fuppole le même dans une même ligne de dirc£l:ion, il fera auili grand pour le levier inclinéjquc pour le levier perpendiculaire. lime rcfte maintenant à expliquer les effets des figures appliquées au levier quand leur centre de gravité n'eft pas placé ilu- le levier. Traite' de Mecaniq^ue. i^r Proposition LX. S I unefgurc efi appliquée à un hvier droit en for te que le centre de gravité de lajigure ne foi t pas dans le levier ; ce U' vier droit fe réduit à un levier angulaire. Soit le levier droit AHB dont l'appui cft en H , & la fi- gure BD appliquée à l'un des bras de ce levier ,enrorceque fon centre de gravité C ne foit pas fur le levier AHB ; Je dis que ce levier droit fe réduit au levier angulaire AHC , &: qu'il en a toutes les propriétés. Car puifque le point C ell le centre de gravité de la fi- gure , on la peut conliderer toute réduite dans ce point, dont la dirpofition ne peut pas changer à l'égard du levier auquel il ell appliqué par le moien de l'étendue de la fi- gure. C'eft pourquoi s'il y a équilibre entre un poids A &^ la figure Bi3 fur l'appui H , il faudra que la figure foit au poids comme la di- iH E B ftance HA à la di- ftance HE, le point E étant la rencontre de la ligne CE,qui eft la direction du centre C comme un point pefant. Mais fi ce levier change de po- îition en tournant fur fon appui H, il n'y aura plus d'é- quilibre entre la figure &: le poids A : car par la vingtième propofition fi l'on mené AC , &:que HF foit une ligne pa- rallèle à la direûion des poids , laquelle foit menée par l'appui H , le point F fera le centre de graviré commun de la figure BD,&: du poids A ; c'eft pouiquoi fi le levier change dedifpofitionfur l'appui H, il n'y aura plus d'é- quilibre. Maintenant fi l'appui H cft à l'une des extrémités du le- vier AH ,&: que la figure PD foit placée entre l'appui H Rij' ija Traite' de Mecakiq^tjs. & la puifTlincc en A , dont on fuppofc la diicûion paral- lèle à celle despoids ,& que la hgurc foit au dcflousdu levier , il eft évident que ce levier droit AH pourra auflî être réduit à un levier angulaire ACH. Mais dans la po- rtion AH du levier qui eft perpendiculaire à la direction des poids , la puiflance en A doit être au poids de la figure comme HEàHA, pour faire équilibre parla troifiéme ou quatrième propolition, car CE eft la diredion du cen- tre C. Maintenant fi le levier eft audcflbusdeHA ,commc dans la pofition HF , &c que IM fiait la dircdion du centre de gravité I de la figure, la puilTancc appliquée en F avec fa direélion parallèle à celle des poids , fera au poids de la figure dans le cas de l'équilibre , comme H M à HF par la troifiéme ou quatrième propofition; car alors toute la fi* gure doit être confidcrée comme fufpenduë en M au le- vier HF , ou en B au levier HA , Se la puififancc en Q^, Sc HM eft à HF , comme HB à HQ^ De même le levier étant placé en HO au delfus de HA, & GN étant la direétion du centre G de la figure , la puif- fance appliquée en O dans le cas de l'équilibre doit être à lapcfanteur delà figure , comme HN à HO ou HA. 11 eft donc évident que fi le levier eft au deflous de H A , la puiflance en F doit être moindre que celle qui étoit en A , & au contraire fi le levier eft au deflTus , la puiflance en O doit être plus grande que la puiflance en A. Je dis maintenant que dans toutes les inclinaifonsdu levier au deflous Se audeflus de HA , la mcfurc de la di- minution ou de l'augmentation de la puilïlincc A , fera la grandeur de la tangente de l'ançrle de l'inclinaifondu le- vier comme AHF ou AHO , par rapport a. HA prife commcraïon: mais la grandeur qui reprcfentera lapuif- fance fera AV qu'on trouvera en faifant comme CE à EH,amliHAàAV. Traite' de Mécanique; ijj Par exemple , le levier étant en HF , la puiffancc appli- quée en F pour foùtcnir le centre de gravité du poids pla- cé cil 1 , fera à la puifTancc qui cft appliquée en A , comme HMàHE ou HL Ton égale , &: la diminution fera mar- quée parLM. Mais le triangle ILM eft femblable au trian- gle H AS dans lequel AS cil la tangente de l'angle AHS en pofantHApourraïon. De même pour l'augmentation quand le levier eft pla- cé au dellus de HA , comme en HO où KN cil Faugmea- "î34 Traite' de Mecaniq^ue. tationdela puifîancc appliquée en O par dclTiis celle qui étoic en A ; & HA fera à AK touchante de l'angle AHO , comme GK ou CE à KN. Mais il flîut remarquer que la diminution de la puif- fance ne peut aller que jufqu'à la quantité de la puiflance , ce qui arrivera quand le levier fera comme enHX où la diredion par le centre de gravité T de la figure tombera au point H, 8c alors tout le poids de la figure fera fou- tenu fur 1 appui H «Se la puiflancc fera nulle , &c l'on pourra regarder la tangente A V de cet angle comme la puiffance en A pour lui comparer les autres , ou bien fi Ion prend le point V pour un termeon aura toutes les lignes VS,VA, VR , &:c. qui exprimeront le rapport des puifTanccs qui doivent être appliquées aux extrémités du levier dans ïes différentes pofitions au deflbus ou au dcffus de HA , en pofantVApour la grandeur delà puiffance qui doit être appliquée en A : ce qui eft facile à voir. Il s'enfuit auffi delà, que lorfquelc levier fera dans la li- gne de direûion des poids qui paffe par l'appuiH,ilfcra pa- rallèle aux touchantes VR , & il ne rencontrera plus la li- gne VA , c'eft pourquoi dans ce cas la puiffance devroic être infinie pour foùtenir le poids de la figure , quelque petit qu'il fût. Ce que l'on vient d'expliquer pour la figure PD quand elle a fon centre de gravité au dcffous du levier AH , fe doit entendre de même quand il eft au deffus , en remar- quant feulement que le pointVqui eft le terme de la gran- deur des puiffances fera placé au deffus du levier AH per- pendiculaire à la dircélion des poids, & que les parties VS,VA ,VR jufqu'à l'infini iront de haut en bas,ce qui n'a pas befoin de plus grande explication , puifquec'cft la mê- me chofe que dans le cas précédent. Traite' de Mecaniqjje, 155: Proposition. LXI. P L U s I E u ^^ figures étant appliquées comme on voit' dra à. un levier avec des dir celions données^trouver laptiif- fance qui fajfe équilibre avec les figures , d^ qui fioit appli~ quée à un point donné de ce levier avec une direction donnée. Soit le levier droit AB qui a (on appui en H ; & que la figure AD foit appliquée en AC au levier, &; qu'elle ait fon centre de gravité enEaudefîusdccelevier avec ladi- redion donnéeEF. De plus foit auiTi donné la figure GKR appliquée au même levier en GK , laquelle ait Ion centre de eiravité en I , & dont la direction foit IF. Enfin foit donné le point B auquel il faut appliquer la puifTancc X avec la diredion XB enforte qu'il y ait .équilibre entre cette puilTance &: les figures appliquées au levier. — , D Puifque les points E & I font les centres de gravité des figures , & qu'elles font jointes cnfcmble par le levier , on les peut confidercr comme une feule figure dont on trou- vera la direftion de fon centre de gravité , c'eft-à-dire la ligne FL qui fera la diredion d'une puifTance qui foutiea- I^jij Tra I te' DE Mec AM r Q^TT E, C fi l'on ne peut pas rendre la roue plus pefante, on ajoutera à l'axe trois maf- fes de plomb qui y feront attachées avec des ver- ces de fer, Mais il ne faut pas croire comme quelques-uns , que ces maiïes de plomb puifienC augmenter la force de la puirtance , au contraire lelir pefanteur augmentant les frottemens de l'axe de la roue , la puifTance y perdra tou- jours beaucoup de fa force. Proposition LXX. Des roués ^ des lanternes avecleurs axes coudés fOur faire mouvoir lespiftons des pompes. Si la puifTance fait tourner la roue verticalement , il faudra feulement couder les extrémités de fon axe , com- me on voit icy GH. Mais fi le mouvement de la puifTance eft horizontal, comme s'il cft appliqué aux bras CD d'une roue horizontale AB , il faudra ajufter les lanternes EF cnfbrtc que leurs fufcaux s'cngrennent dans les dents de la roue , & que leurs axes coudés puifTent faire l'effet c[l'ic l'on demande, Hcc. de l'Acad, Tom. IX^ V IJ4 Traite' de Mecaniq^ue. Dans chaque coude de l'axe on y palîc une cfpccc d'an- neau I qui tient à la queue du pifton K , enfortc que dans le mouvement de la lanterne les coudes des axes s'élcvanc & s'abbaifTimt alternativement , ils élèvent & abaificnt les piftons dans les corps de pompe , ce qui fait donner uiî coup de pifton à chaque tour des lanternes. Kl' W i V K '' On peut faire le diamètre des lanternes de la cinquic- ine partie , à peu près de celui de la grandcrouë , afin qu'à chaque tour de la grande roue des lanternes en faflent cinq. Mais quoique cette proportion foit commode , on n'en peut pas faire une règle, à caufc qu'il faut avoir égard à la vitefTe de la puilTance , qui pourrdit être trop grande pour cette proportion , Sc qui feroit mouvoir les piftons trop promptement. Proposition LXXI, Q^u E i!a/!s les roués dentées ilnefu/ttpas que le nombre des dents contienne exa^ementun nombre de fois les dents des pignons oh lesfitjeaux des lanternes aufqiiels elles s'' Ap- pliquent. Cette règle ne regarde feulement que l'exécution, &: l'on y doit avoir égard pour fiirc que les dents des roues ne rencontrent pas toujours les mêmes dents des pignons i Tr aite' de Mecaniq^ue. lyj carlorfqu'cllcs en rencontrent de différentes elles fe per_ feéHonnent en fc frotant èc en s'ufant l'une contre l'autre èc elles prennent enfin à peu près la figure qui leur con- vient pour agir également dans leurs différentes rencon- tres & dans les difterens cloignemcns de leurs axes, ce que j'ay examiné dans le traité des Epicycloïdes. Il faudroit pour pratiquer cette règle à la rigueur , que les noinbres des dents des roues & des pignons fuffcnt pre- miers entr'eux , c'eft-à-dire qu'ils n'euffent point d'autre commune mefure que l'unité , & ainfi une même dent de la petite roue ou du pignon ne rcncontreroit la même dent de la grande roué qu'après que la petite auroit fait autant de révolutions qu'il y auroit de dents dans la gran- de. Mais àcaufe qu'il y a un peu de difficulté à faire une divifion de deux nombres premiers , on fait le nombre des dents de la grande roué , par exemple de 48 ou de (îo , & celui des pignons de 6 ou de 8 , &; dans les moulins le rouëc a 48 dents &: la lanterne i o fufeaux , afin que les mêmes dents fe rencontrent le moins fouvent qu'il fera poffible; car fi la roué a 60 & le pignon G , les moindres nombres qui gardent la même proportion feront 10 & i , c'eft pourquoi les mêmes dents du pignon de 6 ne rencontre- ront celles delà roué qu'après 10 révolutions; &; fi la grande roué avoir 60 & le pignon 8 , les dents du pignon ne rencontreroient les mêmes dents de la roué qu'après i j' révolutions , à caufe que i y &: 2 font les nombres pre- miers entr'eux qui expriment le rapport de 60 &: de 8. En- fin fi la roué a 48 dents & le pignon ou la lanterne i o, les dents de la lanterne ne rencontreront les mêmes dents du rouét qu'après 14 révolutions , car les nombres 14 & 5 font les deux nombres premiers qui expriment le rapport de 48 & de 10 , & c'eft ce qui fiit voir qu'on ne pouvoir pas trouver des nombres de dents qui fuffcnt plus propres pour le rouét'ô.: pour la lanterne des moulins , car la divi« ijé Traite' de Mecakiclue. fion en 48 parties eft très-facile ôc fe peut faire fort exadcment, &c celle de 10 eft commode puifqu'elle fe réduit à celle de y. Proposition LXXII. D E la figure qu'on doit donner a lafitfée des horloges qui çnt un rejjort pour principe du mowvement.. Qiioique les refTorts tirent avec beaucoup plus de force quand ils font fortement bandes, que quand ils ne font que- médiocrement , on n'a pas laiffé de fc fcrvir de cette puif- fancc inégale pour le mouvement égal des horloges, en corrigeant les inégalités de la puiflance par les différentes longueurs des bras du levier aufquels elle eft appliquée ilicceirivement. On s'eft fervi pour cet cftet d'une fufée ACD quia la figu- re d'une efpece de conc , fur laquelle la corde.cft entor- D tillce quand lercf- fort du tambour ou barillet eft tendu. Ainfi quand le rcffort tire avec plus de force la corde avec laquelle il agit fur la fufée pour la faire tourner , il eft ap- pliqué au fommct A de la fufée où ladiftancc depuis fa fu- perficie où la corde la rencontre , jufqu à l'axe AB eft fort petite. Au contraire quand le refl'ort eft vers la fin de fa renfion , la corde fe trouve appliquée fur la plus grande circonférence de la fiifée vers fa bafe CD où elle la tire fort loin de l'axe'. Et fi quand elle tire la fufée vers le fom- met la force du rcftort peut foutenir quatre livres , & vers labafe une livre feulement, ce qu'on peut connoîtrc par Traite' de Mécanique. ij7 expérience, il faudra que le diamètre de la fuféepar fa ba- fèà l'endroit où s'appliquelacordefoit quadruple du dia- mètre du fommet. Car par ce moïen les puiflanccs étant en raifon réciproque des diftances depuis l'appui jufqu'à l'endroit du levier où elles font appliquées , elles agiront avec une force égale. Il faut donc expliquer la manière de trouver la figure de la fufée qui ne doit pas être tout-à-fait conique comme l'expérience la faitconnoître; mais elle doit être un peu creufe vers le milieu. On a trouvé par expérience que les tenfions différentes des rclTorts par differens poids ou différentes puiffances font en même raifon que ces poids ou que ces puiffances ^ c'cfl-à-dire que fi le rcffort ABeft arrêté ferme par fon ex- trémité B ,& que fans être chargé il ait la pofition BA ,, lorqu'on le chargera du poids d'une once , par exemple il prendra la pofition BC ,.Sc quand on le chargera du poids de deux onces il prendra la pofition BD , on trouve que AC cft à AD comme i à 2. Cette expérience cfl -^• aifés jufte dans le moicn- ncs tenfions du rcffort , mais ce n'cft pas lamé- J^ mechofedans les dernières :-c'cfl:-pourquoi comme dans la conftruûion des horloges on ne fe fert que d'une partie delatcnfion dureflort qui peut garder afii's exaclemenr cette règle , on la fuppofeicy comme un principe. Cette expérience étant pofée , je fuppofe que la corde n'a aucune difficulté à fcploicr,& qu'elle efl: très-deliée pour trouver plus exadement la figure delà fufec. Soit donc AB la hauteur de la fufée , & BC le demi dia- mètre du cercle de ia bafc ; car )c fuppofe qu'elle n'efi: for- mée que de cercles qui ont tous leurs centres dans la ligne ou dans l'axe AB ; &: foit AD le demi diamètre du cercle Vil] rjS Traite' de MecaniclueV d'cnhaiit. Soiccuha la force du rcffbrt capable de foute- nir 4 onces à quelque diftancc de l'axe AB , comme BC , quand la corde tire la fufée par le point C à la même di- ftance BC , ce que l'on peut connoîtrc par expérience. Maintenant aiant divifc BC en un nombre tel qu'on voudra de parties égales , comme en i j que l'on peut fup- . pofcr égales au diamètre de la corde , on aura le nombro lo© pour moment de l'cfFort du refl'ort qui tire en C le bras du levier BC avec unepuiffance de 4 onces. Mais fl AD contient 10 parties de celles dont BC en contient 2,j ,& qu'on veuille que le refTort étant appli- qué au point D pour le tirer y agiflc avec un eftort égal à celui qu'il avoit en C , il faudra divifer le moment qu'il avoir en C , qui étoit loo par la diftance AD depuis l'axe AB jufqu'au point D où il efl; appliqué, &: l'on aura 10 qui fera la force de 10 onces qu'il doit foutenir en ce poinc D pour faire le même effet qu'il faifoit au point C lorf- qu'il le tiroit avec une force de 4 onces. Il faudra donc que le reflort foit bandé de telle manière , que lorfqu'il ti- rera le point D ilToutienne 10 onces. Mais lorfquc le rcffort fera tendu pour foutenir y onces à l'extrémité F du bras d'un levier EF , fi l'on veut qu'il y fafle autant d'effort qu'il en faifoit en C , il faudra divifer le moment 100 par 5- , &c l'on aura L|2.ou zo des parties de BC pour la longueur du bras EF. De même fî le refTort eft tendu pour foutenir un poids de 6 onces , la longueur du b ras GH fera i|- , & ainfi de fuite en prenant toujours uneoncc d'augmentation on aura ^- , ^^, i|-& iïf ou 10 pour AD. Mais par le principe puifque les augmentations de l'ef- fort du reffort font égales étant chacune d'une once, il £iut que les longueurs de la corde qui bande le rcfforc a'icnt des différences égales cntr'cllcs, & par confc- louent ces longueur égales de cordes occuperont des cfpa- Tr a I t e' d e m e c a n I q^tj :é. i y <7 ces égaux fur la fuféc. Mais on ne doit pas mefurcr ces efpaccsparlcsfcgmensdc la fiipeificie de la fafée,mais parles fegmensde triangles comme BCEF , EFGH qui font entr'cux dans la même raifon que les circonférences des cercles que forme la corde entre chaque divifion , car on fupofe qu'elle tourne en cercle fur la fufée qui doit être formée par lalongucur de lacordc, puifquc ces fcgmens de triangles font compofés des diamètres de chaque cercle. Il ne refte donc plus qu'à déterminer la hauteur des feg- mens de triangles comme BCEF , EFGH & les autres qui doivent tous être égaux entr'eux, Aïant fuppofé que la différence des longueurs de la corde dans les deux ten- fions dure/fort en C & en D foit de 40 j parties des 15 de BC , on la divifera par le nom- bre des feparations de la fufée ^ qui font icy 6 , ce qui donnera 6j -~,&c l'on divifera enfiiite ce nombre par la longueur moïen- nc arithmétique entre les deux extrêmes BC , EF qui font con- nues Se qui cft de 2,1 parties -j- , ce qui donnera 3 pour la hauteur g du premier fegment qui aura fa £; fupcrficie de 67 parties ~-; Sc ^ cette fupcrficie étant égale pour tous les autres fegmens , il fera facile d'en déterminer la hauteur. Car pour le fécond fegment aïant trouvé la moïcnne arithmétique entrcEF& GH qui fera 18 -j- , on divifera la fupcrficie du premier qui cft 67 -i- par ce terme 1 8 -j- , & il viendra 3 14 pour la hauteur EG du fécond fegment. Pour le troifiémé , la moïenne proportionnelle fera ï J Î7 , & fa hauteur fera 4 ^"-. Pour le quatrième , la moïenne proportionnelle fera Ï3 H , & fa hauteur y^^. Ah p l'(?a TaAïte' de Mecan I q__v ê.' Pour le cinquième, la moïenne proporcionnelk fera î î ^ , & fa hauteur fera y ^. Pour le fixiéme &: dernier fegmentdans cet exemple, la moïenne fera i o | , & fa hauteur 6 j^ . Cettefigure ne feracompofé que ae lignes droites CF , FH ,&c. Et fi on veut en avoir une qui foit plus parfaite &: qui approche plus de la courbe , au lieu que l'on a fup- pofé que les tenfions du reffort differoient d'une once dans les points CFH , on pourra prendre des demi onces ou quarts d'once. La çroireur des cordes ou des ehaincttes dont on fe ferc dans les horloges par rapport à lapetitcflc de la fufée &; l'entortillement en fpirale au lieu d'être en cercle comme on l'a fuppofé , fait alfés voir qu'on ne doit pas attendre que l'exécution puifTc répondre juftement aux règles qu'on vient 4c donner. DI Traite' de MECANiQ^ttE. îi?r DE LA POULIE. ET DES MOUFLES. LApoulie eft une machine compofce d'une ?v//é' ou roulette cnchafTée dans fon écharpe onc/ja/>e , 8ca.r^ rctcc par fon aillieu qu'on a.ppc\lc^cuje;î , avec une corde qui paflc par dcflus la roulette. La moufle eft un aftcmblage de plufieurs poulies qui n'ont qu'une même corde. Dans la poulie une des extrémités de la corde eft atta- chée au poids qu'on veut lever , & l'autre extrémité eft appliquée à la puiftance. Mais dans la moufle le poids qu'on veut élever eft attaché à lachappede la moufle, &: l'une des extrémités de la corde eft aulh arrêtée à la chap- pe ou en quelqu' autre endroit immobile , & l'autre extré- naité eft appliquée à la puiftance. Proposition LXXIIL \. K poulie n' augmente ni ne diminué Uforce de la puif^ fance pour mouvoir ou pour élever un poids ^ C?" elle fer t feu- lement à changer la direction des puifanccs ou des poids. ( Voïez la Fig. fuivante. ) Soit la poulie ABGFC dont la roulette eftABGqui a foncentrecnC ,&IachappcFDC qui retient la roulette par le mo'ien du goujon C qui lui fcrt d'eflieu , avec la cor- de EGDBP qui paft'epar deftus la roulette &c qui foutienc Je poids P à l'une de fcs extrémités, &: qui a la puiflfancc appliquée en E à l'autre extrémité. Rec. de l'Acad. Tome IX, X i^i Traite' dé Mecan'iclxje. Il eft évident que fi la puiflanccE&: le poidsPfont égainc il y aura équilibre entr'eux. Car la roulette étant circu- laire , fi de fon centre C où eft l'appui fi.ir le goujon , on mené des perpendiculaires CB , CAou CG fiar les direc- tions du poids EA ou EG , ces perpendiculaires rencon- treront les diredions fiir la circonférence de la roulette où elles la touchent; & par confequent ces perpendiculaires feront égales entr'elles , &: comme elles font les bras d'un levier ou droit ou angulaire, il faut aufli que les puiiîan- ces ouïes poids qui leur font appliquées foint égaux cntre- eux pour faire l'équilibre. Il eft facile à voir que l'équi- libre demeurera toujours dans toutes fortes de directions de la puiflance appliquées à la cor- de , puifque les bras du levier demeureront toujours égaux entr'eux. On peut dire que cette ma- chine étant la plus fimple de toutes , Se fc trouvant prcfque dans toutes les compofitions des autres, elledonne de très- grands avantages pour mou- voir des fardeaux , ou pour les élever , car elle fait l'office d'un levier qu'on peut appcller perpétuel , à caufe que fcs bras demeurent toujours égaux, quoique le poids s'elcve ; & que les différentes direftions de la puifTance ou du poids ne peuvent augmenter l'effort de l'un ni de l'autre. Proposi tion. LXXIV. Si /es ejforts i me fuijpince font dijerens fuivantfes Traite' de Mecaniqj/e. r<Î5 différentes applications , en pourra, projiter du plus grand par Le moïen de la poulie. On fçait que la plus grande force de l'homme cfl: d'éle- ver un poids qui fera à fes pieds, ou de tirer de haut en bas, & que la moindre eft de tirer ou de poufTer horizontale- ment ; & qu'au contraire dans la plupart des animaux , comme les chevaux &: les bœufs , c'eft de tirer dans ce mêmefens. On peut donc par le moïen des poulies fe fervir du plus grand effort d'un animal dans quelque diredion que ce foit , comme d'élever un poids en fe fcrvant des chevaux. Car foit la poulie FG arrêtée ferme en quelque endroit élevé , S>C une ou deux autres poulies DE , BC arrêtées en bas par leurs chappes , fi la corde ABCDEFGH paffe pardcffus ces poulies , &: qu'à fon extré- mité H foit fufpendu le poids P , il eft évident que fi l'on attache un cheval en C ou ea A qui tire la corde horizontalement , il élèvera le poids P avec toute la force dont il eft capable. Car la poulie DE étant attachée à terre , fi la corde CD eft tirée horizonta- lement , elle changera la direction horizontale CD en verticale EF , & par ce moïen le poids P fera élevé par un mouvement horizontal. On peut encore changer le mouvement horizontal CD en un autre horizontal AB fuivant la fujétion des lieux , par le moïen de la poulie BC qui eft auffi attachée à terre. Mais fi l'on fc fcrt d'un vindas , &, que la force dn X ijj 1 64 Tr aite' de Mecani q^u e. cheval qui tiroit par AB foit appliquée au bras du vindas , fa force étant augmentée dans la raifon du demi diamètre du rouleau au bras du vindas , un fcul cheval en tirant pourra élever un très-grand poids , & le calcul en fera fa- cile à faire fur lafuppohcion de la Irorcc du cheval en ti-- rant , Se fur les mcfures du vindas ; car pour les poulies, elles ne font pas contées , puifqu'elles n'augmentent ni ne. diminuent la force -, il faut pourtant prendre garde que les. frotremcns font une grande diminution à TcfFort de la. pui fiance. Un homme peut afTcs facilement élever un poids qui. pcfe autant que lui par le moien d'une feule poulie, puil- qu'il peut fe fufpendre entièrement à la corde , &c s'il étoic. attaché au pavé, ou bien s'il étoit charge d'un poids confi- dcrable , il pourroit élever un tardeau plus pelant qu'il n'eft lui-même. C'eft auflî pour la même raifon que lorf- qu'on veut que les chevaux falTcnt un grand effort pour tirer , les chartiers montent delfus pour augmenter leur poids , car fans ce fecours ils n'auroient pas afles de pefan- tcur pour s'attacher fur le pavé & pour exercer en tirant; toute la for-ce dont ris font capables,. Proposition LX XV. Une fii'tjfunce double pi force Ji elle foiitient un froids qtii foiîJhJpcndn.a.lacbappe d'une poulie ^ une des extrémités delà corde étant arrêtée ferme en quelque endroit ^ ç^ la fil! fiance étant appliquée à l'autre extrémité , pourveu que les parties de la corde qui paffent par deffus la poulie foient parallèles entr' elles. Soit la poulie ADB fufpcnduë fur la corde EBAF,& que la chappc qui eft mobile fur l'aillleu ou goujon C foie fufpcndu le poids P. Il cft évident par la vingtième pro- polîtionquc le centre de gravité du poids P fe mettra Traite' de MeCaniq^ue. ïGf dans la ligne de direclion des poids, laquelle pafTcrapar Taxe C de la poulie. Mais comme par rhypothcfe les par- tics EB , FA delà corde font parallèles cntr'elles, & qu'el- les fouticnnent le poids P avec la poulie , elles doivent aulîi être parallèles à la diredion des poids : c'eft pourquoi fi l'on mené par le centre C de la poulie , la ligne ACB perpendiculaire à la direction des poids , elle rencontrera la corde dans l'endroit où elle touche la circonférence de la poulie ; & par confe- /" quent la ligne ACB pourra êtrcconfiderce comme un levier qui a fes bras égaux , de qui étant perpendiculaire à la direftion ^ des poids ou des puifïances, celle du mi- lieu qui fait l'effet de l'appui doit foutenir les deux autres , ou ce qui eil: la même cho - fel'efFort du poids du milieu fc diftribuc également à chacune des deux puilFanccs qui le foutiennent, c'eft pourquoi la puiffance F & la puif- fance E ne foutiendronr chacune que la moitié du poids P fans avoir égard a la pefantcur de la poulie. Ainfi ne confiderant point la puiffance E où la corde eft arrêtée,, on peut dire que la puilTance F double fa force,pulfqu'elle eft en équilibre avec un poids, ou avec une puiilance donc elle n'eft que la moitié.. Proposition LXXVL S I les direciioMs des deux parties de la corde qiii foutien^- nent la poulie /je Jônt pas parallèles entr elles comme dans la précédente propojition^mais ijii elles concourent au dcjfiis ô' au devons de la poulie J a puiffance F doit être plus grande que la moitié du poids P pour faire équilibre avec lui, ^ elle- feratoûjours atoutle poids dans la raifon du raïonde la poulie CA à la corde AB de l'arc de la poulie compris entr Si Xiij i€(? Traite' de M e c a k i qjj hV les f oints touchans A & B des parties de U corde FA^ JSB. On peut confiderer comme dans la précédente propo- ifitiou , que cette machine cfl: réduite à un levier ADB dont les extrémités A &: B font tirées par les puifl'ances F & E avec les diredions FA, EB , & qu'au point D le poids P efl: foutenu. Mais AB étant la corde de l'arc de la pou- lie compris encre les points touchans A &B, le triangle ACB fera irofccUc, &c la ligne CDP qui cfl: la direction des poids, fera perpendiculaire à ABpar la vingtième propofition , car le poids peut erre confi- dcré fur la liçrnc AB au point D dans fa di- rection. Maintenant par la -vingt-troihéme propofition les lignes CA , CB & AB étant perpendiculaires aux trois direftions FA , EB , CP , elles feront cntr'cUes dans le cas de l'équilibre , comme les puiflances FEP qui leurs font appliquées ; & parcorï- fcquent la puilTance F fera au poids P , fans avoir égard à lapefanteur de la poulie , comme CA à AB, c'cft-à-dire comme le raionde la poulie à la corde de l'arc compris entre les touchantes FA , EB ; ce qu'il falloit démontrer. Conféquence. Il s'enfuit delà , que fî l'angle que font les cordes au det ■fus delà poulie cfl: égal à l'angle qu'elles font au dcflbus , il faudra une même puiflance F pour faire équilibre avec ic poids. Traite' de M e c a n i (^tj e, x6j Proposition LXXVII. L E s poulies des moufles étant faites de telle manière que les portions de la corde qui pajjè par dejfus les poulies foient toutes parallèles entr elles , c^ Curie des extrémités de l.i corde étant attachée en haut ; lapuijpince quijèra appliquée à l'autre extrémité fera au poids qui efifufpendu à la c happe de la moufle inférieure dans le cas de l'équilibre , comme l'unité au nombre des portions de la corde qui foutienncrit le poids. Soit la moufle d'enhaut compofécdes deux poulies AB^ CD qui tournent fur leurs ailïïeux particuliers, &: la mou- fle d'embascompofée des trois poulies FE,HG,KI qui tournent aufli fur leuris aiflîeux particuliers dans la même chappc , &: que l'une des extrémités de la corde foit arrê- tée en haut à l'endroit S, laquelle pafle enfuitc fur les pou- lies de la moufle inférieure & de la fuperieure, enforte quetoutes les parties de la corde, comme BI, AH,DG entre les deux moufles foient parallèles cntr'elles, & enfin que l'autre extrémité de la corde foit foucenuë par la puit fance R r Jedis que la puiiTance R fera au poids P qui efl: fufpendu à la chappe de la moufle inférieure dans l'état de l'équilibre , comme l'unité au nombre des parties de la corde qui foutiennent la moufle inférieure avec le poids P , qui font au nombre de fix dans cet exemple. Dans toutes ces démonftrations on peut n'avoir aucun égard à la pefanteur delà moufle, ou bien fuppofer que fon poids eft joint au poids P. Premièrement il eft évident par la précédente propofî- tion , que s'il n'y avoit qu'une feule poulie EF , & que la corde étant attachée d'un côté en S fût foutenuë par la puilTance enC ,cettepuiflànce feroitun efix)rt du double de ce qu'elle eft pour foutcnir un poids attaché en Y à li T rs Tr. a I t £' d e m e c a N I Q^TT e, chr.ppc , c'eft-à-dire que il le poids V étoit de deux livres, il ne fliudroit en C qu une puillance d'une livre pour lefoutcnir. Mais la corde paflant par delTus la poulie CD, la puillance appliquée en D ou en G pour tirer la corde du haut en bas ne fera pas plus d'effort que il elle la foutenoit en C ; car la poulie CD ne fait que changer la direction de la puiiTance par la loixante-cnzié- mepropofition. Maintenant fi l'on fuppofe qu'il y a une autre poulie GH qui ne foit point jointe à la première FE , & que la cor- de D G pall'c par dcflbus cette poulie pour la ibucenir en A, il cft évident par la précédente propoiition , que il l'on fufpend à la chappe de cette poulie H G un poids de x livres en X , il fera un efïbrt pour tirer cmbas le poids de I livre appliqué en A , &: de i livre en D ; &c par confcqucnt la feule puillan- ce de i liv. cnA foutiendra le poids de i livres en X , & de deux livres en V : car nous avons viî que le poids de z li- vre en V faifoit un effort de i livre pour tirer la corde D G de bas en haut, &: l'effort de z livres en X en fait un contraire pour tirer la corde DGde haut en bas , &r ces deux cilorts fe fou- tenant l'un fautrc il ne rcftc plus que la puiffance A de i livre qui foutient les deux poids V ^X. Enfin fi la corde HA par deffus la poulie AB qui cft arrêtée Traite' de "hïtc kViQj! ë". i^i» 'arrêtée à la moufle d'enhaut , il cft évident, comme on a dit cy-dcvant , que la puillancc qui écoit appliquée en A pour tirer vers le haut la corde HA , pourra être appli- quée en B ou en I pour la tirer vers le bas , fans qu'il arrive aucun changement ni à la puiflancc ni au poids qu'elle foutient , puifque la poulie d'enhaut AB ne tait que chan- ger la diredion de la puifTancc. Mais fi l'on a;oûte encore une poulie IK qui foit foutenuc par la corde comme les autres HG, FEavecun poids Y égal au poids X ou V , Si qui foit fufpendu à la chappe , ce poids Y de i livres fera aulfi un effort de i livre fur chacune des deux parties de la corde IB & KR pour les tirer en bas ; c'eft pourquoi il fê- ta le même effet que faifoit la puiflance appliquée en I pour tirer cette corde en bas ; il faudra donc feulement appliquer en R une puiflance de i livre pour tirer la corde KR en haut, & pour refifler à l'clfoi;^ que fait le poids Y pour la tirer en bas. Il eft donc évident que la feule puifTance de i livre en K pour tirer la corde en haut foutient toute feule les trois poids VX &: Y chacim de z livres , c'efl-à-dire qu'elle foutient 6 livres , qui eft en raifon de l'unité aux fix por- tions de la corde qui foutiennent les trois poulies infé- rieures. Mais fi ati lieu des trois poids VX &: Y qui font atta- chés à chacune des trois poulies, on ne met qu'une chappe commune pour ces trois poulies , &: qu'à l'extrémité de la chappe on attache le poids P égal aux trois autres cnfcm- ble , il fe fera toujours un même effort flir chaque poulie v car le poids fediftribucra également fin^4esaxes<îes trois poulies , a. caufe de la flexibilité des cordes , dC par confe- quent le poids P de 6 livres fera foutenu par le poids de i livre en R : ce qu'il falloir démontrer. Con(cquence. Il efl évident que ce fera la même augmentation de la Rec. de i'Acad. Tome IX. Y ' ï^o Traite' de M e c an i ci_^u e. puiirance fi les poulies font foutcnucs par un axe commun dans chaque movifle , car chaque poulie en particulier de la moufle d'embas portant un poids double de la puifl'ance appliquée à l'extrémité de la corde R , fi l'on ne donne enfuite aux poulies qu'un même axe &; qu'une chappe commune àlaqucUe le poids P égal tous les poids cnfcm- ble de chaque poulie foit fulpendu , l'eftort du feul poids P fcdiftribuera également fur chaque poulie , & il y fera autant d'cftort que chacun des poids y faifoicnt aupara- vant en particulier. On remarquera feulement que dans cette conftruûion de moufle toutes les poulies doivent être égales afin que les parties de la corde foient parallèles entr'clles , & il faudra aufli que l'extrémité de la corde S qui eft attachée à la* moufle d'enhaut , foit fufpcnduë à l'extrémité d'un petit bras qui foit autant éloigné de l'axe des poulies , que le demi diamètre des poulies ; & de plus il faudra que les poulies d'embas aient leur dia- mètre un peu plus grand que celui des poulies d'enhaut , à caufe qu'elles feront un peu obliques par rapport à celles d'enhaut ^ afin que les cordes foient parallè- les entr'elles. Proposition LXXVIIL Les mêmes chofes étant pofées comme cy-dcvant , je dis cpte U piiijiance R augmente fon effort dans U raijon Traite' de Kî e c a n i cl.u e. i 7 r ae f unité ait nombre double des poulies d'embas. Cette propofitioneft évidence ; car par la précédente propofition l'augmentation de la puiirance eft comme Tunité au nombre des portions de la corde quifouticnnenc les poulies inférieures , &: chaque poulie aïant deux por- tions de corde pour la foutenir , il y aura même raifon de l'unité au nombre des portions de corde , que de l'unité au nombre doublé des poulies d'embas. i Proposition LXXIX, S I Pime des extrémités S de la corde efl attachée à la moitfie inférieure , la puij/itnce R fera augmentée dans le nombre des parties de la corde qui foutiennent la moufle in~ ferieure , c' efl -à-dire dans le nombre double des poulies de cette moufle plus l'unité. ( Voïez la Fig. fuivant. ) Si l'on fuppofe qu'il v ait un poids fufpcndu à l'extrémité de la corde zwS ,i>L qui foit égal à la puifTance R , ce poids S tirant la corde SA de haut en bas , il fera équili- bre avec un poids égal attaché à la corde en B ou I de l'au- tre côté de la poulie AB : car la poulie AB cft coniîderée comme un levier à bras égaux. Ce poids S fera donc un effort pour tirer la corde BI de bas en haut. Mais fi l'on applique à la corde la poulie IK, & qu'on fufpende à fa chappe un poids double du poids S , c'eft-à-direde 2. livres fi le poids S eft I livre , &: qu'en quelque endroit K ou C de la corde KC, on applique une puilfancc de i livre égale à S qui tire de bas en haut , il s'enfuit de ce qui a été dit cy- devant , qu'une puifTance de i livre en C fouciendra le poids S de X livre , & le poids de z livres attaché à la chap- pe de lapoulie IK. Mais fi la corde pafTc par dcffus la pou- lie CD , la puifTance de i livre appliquée en D ou en G à la corde pour la tirer en bas , fera le même efïort qu'elle faifoit en C pour la tirer en haut. Et fi la corde paflc Y 4 îjt Tr aite' de KIecani Q^U e. encore par dcfloiis la poulie GH qui fouticnnc auiïi à Gc chappe un poids de 2. livres , ce poids taifant un eftort de I livre fur chaque partie delà corde en D & en R pour la tirer en bas , il eft évident qu'il fuppléra à la puifl'ance de i livre appliquée en G ou en D pour tirer la corde en bas , & qu'il faudra feulement une puiiTance R de 1 livre qui tire la partie R H de la corde de bas en haut pour refifter à l'effort du poids de z livres appliqué à la poulie HG. Cg fera toujours la même chofepourquclqu'autre nombre dc- poulies que ce foit. Enfin fi les poulies inférieures font jointes dans une même chap- pe & qu'elles aient un même axa ou diffcrcns , le poids P qui fera fufpendu à cette chappe , & qui fe- ra égal au poids S qui eft attaché à la chappe & aux poids qui avoient été fufpendus aux poulies , fera le même effort pour tirer les parties de la corde SA , BI , KG , DG,HR que les poids faifoicnt auparavant' étant fcparcs , puifquc la corde ciV flexible &: qu'elle peut fe charger également. Ainfi le feul poids R de I livre fouticndra un poids P de y livres s'il y a deux poulies à la- moufle inférieure , & que la corde foit attachée en S à la chappe de- cette moufle. Il faut que l'extrémité S delà corde foit attachée à un bras qui tienne a la chappe &; qui foit éloignée de l'axe de la poulie de la dirtance de fon demi diamètre , afin que les parties do la corde foienr parallèles cntr'cllcs , il faut aufll que les poulies d'embasibientun peu plus grandes que cel- les d'en haut j comme j'ay dit cy-dcvant. Traite' de Mecanicl.ue. 173 On ajoute ordinairement une poulie dans toutes les moufles qui ne fcrt qu'à changer la dircûion de la puiffan- ce quand on veut qu'elle tire de haut en bas. Proposition LXXX. O N peut encore dcmokirer d'une autre façon T augmen-^ tAtiondc C ejjort cC une puijjance en l'appliquant à lamonfic. Soit la poulie d'cnhaut AB fur laquelle paflTc la corde qui cftarrcicc par fon cxtrémiré S , & qui fouticnt dun côté lapouiieCD, & de l'autre la poulie EF , &: qui efl: foucenuë à fon extrémité R par la puiflancc R , & toute> les parties de la corde étant parallèles. 11 efl évident par la foixante- crciziéme propofiticn , que fi l'on fufpend à la chappc de la poulie CD un poids V de z li- vres , la puifTixnce B de i livre qui loutiendra la corde DB, fbutiendra aufll le poids V de 2. livres. Mais la corde pallant par dcflus la poulie AB , & fou- îcnant enfiiite la poulie EF , fi ronfufpend auflià lachappedc ia poulie EF un poids X de i li- vres , il fera un cftort de i livre de chaque côté pour tirer en bas les deux parties de Ia> corde EA, FR : il fcra donc le même efFct que la puifiance^ de I livre en B ou en A qui foutenoit le poids V de z li- vres. 11 ne reftc donc plus qu'à appliquer à la corde la puii^ fânce R de i livre pour foarcnir l'effort que fait le poids' X de 2 livres fur la partie de la corde FR. Ainfi le feul poids R de i livre fouticnt les poicis V &: X qui fonten— femble 4 livres , comme on a vu cv-dcvant^ YUj 174 Traite' de *Xî ec anï q_u e; Mais Cl l'on joint les deux poulies cnfemblc par la ligna IK, &: que l'on fufpendc au milieu H delà ligncIK. , le poids P de 4 livres au lieu des deux poids X & V,cc poids P fera autant d'effort fur les poulies que les poids V & X ; &r par confequcnt la feule puiffance R de i livre foutien- dra le poids de 4 livres P fufpcndu au milieu H de la li- gncIK. Il cft facile à voir dans cette difpofition de poulics,que C la puiflancc R élevoitla corde RF , &c qu'elle fit monter la poulie EF, la ligne IKs'éleveroit par fon extrémité!, ôc l'autre poulie demeurcroit dans le même état qu'elle ctoitauparavant, car le poids P fcroit toujours fufpcndu au milieu H entre I & K , fuppofant que les cordes puf- fent demeurer parallèles. Mais comme la chappe de la moufle qui joint les deux poulies enfemble , cft une plaque qu'on peut confiderer comme le triangle IPK qui tientaux poulies en I &: en,K , & que le poids ne peut être fuf- pcndu qu'à fon angle P, fil'on élevé la poulie EF alors la ligne de diredion du poids fufpcndu en P ne coupera plus la li- gne IK dans fon milieu comme cllcfai- foiteiiHquand les deux poulies étoient -de même hauteur -, mais elle paffera plus proche du point I que du point K-, c'cft pourquoi le point I étant plus chargé que le point K , aufli la corde EA fera tirée plus fortement que la cordeDBqui n'cfl chargée quedc la moi- tié de l'effort que le poids P fait au point K, èc qui cft moindre que celui qu'il fait au point I , & ces deux parties delà corde fe communiquant par la poulie AB, la plus forte emportera la plus foible , & fera monter la poulie CD tant que les points K &: I foient à même hauteur^ .ouqucladircftioudupoidsP paffe par H comme aupa- ravant. V c. < I J 1 K ip S^ \ y / / Traite' de MecaniclUE. 175- Ce fera la même chofefi les poulies ont un axe com- mun , comme on le peut voir dans cette figure qui le re- prefentepar le profil ; car le point H qui cft le milieu de l'axe commun IK des deux poulies fera la rencontre de la direclion du poids P dans l'état d'équilibre ou de repos des poulies. Mais fi l'on élevé la poulie I, auffitôt la di- reiStion du poids P attaché à la chappc commune des pou- lies fera plus proche de I que de K , & l'cfForc étant plus grand en I qu'en K , la poulie K pourra monter , comme on l'a expliqué cy-devaiit. Proposition, LXXXÎ. Une piîjpince peut augmenter fon effort f.tr le mot en de ■plu/ieurs poulies dans la, raifon de 1 à ^multipliée autant de foisqtiil y a de poulies , par exemple s'il y atrois'poulies dans la raifon de i à 2 ,parce que 8 ef le cube ou la troijïé- mc puiffance de t ; s' il y a cinq poulies dans la raifon de \ a. 3 1 , car ^lejl la cinquième puiffance on le quarré de cube de 2 j Q^c. Soit une puilTlince R appliquée à l'extrémité R d'une corde RHGF qui paffe par dcilus la poulie GH arrêtée ferme au fommier X -, cette puifïlmce R qui tire de haut en bas ferala même que fi elle écoit appliquée en G , en ti- rant la corde GF de bas en haut ; car la poulie GH ne faic que changer fa direction. Mais fi la corde GF pafle par deflbus la poulie EF ponr la foutenir , & qu'elle aille enfuite s'attacher au fommier X en I , il cft évident par la foixante-treiziéme propofition que lapuiiïance fuppofée de i livre pourra foutenir un poids de 2, livres qui fera fufpendu en D à la chappe de la. poulie EF. Mais fi au lieu du poids D on attache à la chappe de cette povxlie la corde DCK qui fouticntla poulie CD, 5^ kjê Traite' de M s c aî-t r q^ue. qui va s'attacher eiifuitc en K au fommicr X, il cft évi- dent que l'on pourra fufpcndrc en B à la chappc de cette poulie un poids double de celui qui étoit en D,c'cfl:-à-dire de 4 liv. qui fera foutenu par le poids Rdc i livre, car ce poids de 4 livres en B ne fait cftort que de i livre en G ou enR. De même fil'on met une corde BAL à la chappe de la poulie CD Se que cette corde fouticnnc la poulie AB , &c qu'enfuitc elle s'attache en L au fommicr X , la puiflance de 4liv .qui croit :en B pourra, foutenir ïin poids de 8 livres comme P fufpcndu à la chappc de cette poulie AB par la même foixante-treizicme propofition; car ce poids de 8 livres en P fait un ef- fort de 4 livres en B, celui de 4 livres en B un de i -livres en D, Se enfin un de i livres en D un de i liv. ■en F ou en R , Se ainfi des autres poulies : ce qu'il falloir démontrer. Onpourroitparlemoïcn • de cette machine élever un poids fort pefant avec peu de poulies , maison ne pourroit élever le poids P que de la huitième partie de la longueur de la corde lE, Se s'ily avoir cinq poulies que de la 3 2, partie , &:ainfidu reftc; Se ■ par confcqucnt cette machine ne peut avoir que trcs-peu d'utilité , puifqu'il faudroit que le fommicr fut extre- anement élevé pour élever le poids à une hauteur mé- diocre, PROPOSITIOJJ Txaïte' de MecÂnio^Tje. fjy PROPOSI T ION LXXXII. D E t" utilité des moujles pour élever de tres-graads fardeaux. Les moufles ont de très-grands avantages pour élever êiC grands fardeaux -, car la machine n'occupe que forr peu déplace, & il ne faut qu'une petite puilîance pour faire un grand effort ; mais le tems fera toujours proportionné à l'etfort. Car il cft certain que s'il faut à une puilîance une féconde de tems pour élever un poids de lo livres à un pied de hauteur, cette même puilfance ne pourra élever ccmême poids à i oo pieds qu'en loo fécondes , & ii la mê- me puilfance par le fecours de la machine peut élever un poids de loo livres à un pied, elle ne le peut faire que dans I G fécondes de tems , car on fuppofe qu'elle ne peut pas aller plus vite en élevant le poids de i oo livres que ce- lui de I o livres ; car tout Ion effort ne vient que de la lon- gueur du bras du levier auquel elle e^ appliquée, &: ce levier agitfeul ou par le mo'icn de pluflcurs leviers conti- gns , comme j'ai expliqué dans la foixante troiliéme pro» pofmon , ce (qui fe confirme auffi dans la moufle où l'ef- fort de la puilîance n'cft augmenté que par le nombre des cordes qui foutienncnt le poids. Et li une puifl"ance élevé le poids d'un pied, en élevant à un pied la corde où elle cft appliquée , elle n'augmentera point fix force. Mais li elle élevé feulement le poids à lo pouces de hauteur dans le même tems qu'elle élevé ou qu'elle tire la corde de loo pouces ,-elle décuplera fa force,& comme il faudra qu'elle élève ou qu'elle tire la corde de loo pouce, il lui fau- dra aulfi dix fois autant de tems que pour l'élever de iq pouces. i,,. Recdel'Acad.Tom.IX. Z ijt Traite' de Meca-wiq^ve. Proposition LXXXIII. D E l'avantage qu'on f eut tirer des roués quand elles font appliquées aux chanttes ^ aux chariots , & on examine Ji les grandes roués Jont meilleures que les petites. On ne fçauroit douter que files roues étoicnt parfaite- ment circulaires & unies par leur circonférence oiJ elles touchent le terrein qui fut aufll un plan parfait & de ni- veau , & qu'il n'y eut point de frottement fur l'aifficu de la roue, la moindre force pourroit faire mouvoir la machine à laquelle les rouifs feroient appliquées. Car lapuiflancc A quiferoit appliquée à l'aiflicu C pour tirer la roue BD de quelque pcfanteur que la roue fut chargée, n'auroitpas plus de peine à la faire avancer en roulant ovi en frottant quefi elle étoit appliquée à l'extrémité C de la verge CB . qui étanr pofée félon la direction des poids &c perpendiculaire au plan BEjferoit chargée à fon ex- trémité C de qu?l poids on vou- droit , puifque la circonférence de la roue ne devroit toucher le plan BE que dans le feul point B , qu'on peut confiderer comme l'extrémité de la verge. Il n'y a donc que les inégalités du plan & de la circonfé- rence de la roue avec les frottemens fur l'aiffieu dont ii faut vaincre la refiftancc. S'il (c rencontre des inégalités dans la circonférence de la roue &: dans le plan tout enfemblc, ou dans l'un des deux feulement, ce fera la même chofe par rapport à la difficulté de faire marcher la roue. Car fi la roue rencon- tre le plan aux deux points B & E , il nimporte pas qu'elle foit bien circulaire entre ces deux points, ou qu'elle foit Te. A r T e' de m e c a n I q^u' e. 179 irrcguliere puifqu'on ne doit confidcrcr que ces deux points , ou bien les deux raïons CB , CE qui font un an- gle immuable BCE. Soit donc maintenant la puiflance A qui tire le centre C de la roue félon quelque dircclion AC , &c que la charge de la roue au point C fur l'aiiTicu fait le poids R qui agit félon la direftion CR. On a donc les diredions CA , CR de deux puiiTanccs A & R dont R eft donnée, lefquclles tirent rextrémitcCdc la verge EC qui eftap- puïéc fur le plan au point E ; & on trouvera par la vingt- troifiémc propofition quelle doit être la puilfance A pour faire équilibre avec la charge R de la roue, & pour peu qu'on ajoute à cette puilTance trouvée elle furmontera l'obftacle E. Mais cette puiflance A étant à la charge R dans l'état de l'équili- bre comme le côté CL du triangle DCL au cô- té DC , ces côtés étant perpendiculaires aux directions CA , CR , &; LED perpendiculaire à CE , il eft évident que plus la dircdion AC fe- ra inclinée à EC , le côté CL qui eft perpendiculaire à cette direélion dans le triangle DCL , fera d'autant plus grand par rapport à DC ; car l'angle ACL étant droit, plus C A fera proche de CE &c plus CL en fera éloigné ; & dans le triangle DCL la grandeur DC étant la mcfure du poids R qui demeurera toujours la même , CL fera la mefurc de la puift'ance A qui deviendra d'autant plus grande que CA fera proche de CE. Au contraire CL di- minuera d'autant plus que CA approchera de CH qui eH •Zii iSo Traite' de Mecaniclue, pciix-ndiculairc à CE. Car lorfquc la puilïancc A aura fil diixction en CH perpendiculaire à CE, la ligne CL qui mefure la puifîance A fera jointe à CE qui étant la plus courte ligne de toutes celles qu'on peut mener du point C à la ligne DEL , fait voir que ce fera dans la diredioa CH que la puiifance A doit être la plus petite pour faire équilibreaveclc poids R. Enfin fi la diredion palfoitau delà de CH , CL paflcroit auffi au delà de CE vers D , dc devenant plus grande que CE , on voit que la puiifance A devroit être plus grande pour foutcnir le poids R, Onconnoitdonc par cette dcmonftration que la puif- fance qu'on doit appliquer pour tirer unccharette ou un chariot doit être toujours plus élevée fur l'horizon qu*; l'aiflieudela roue. Car les inégalités qui fe rencontrent fur le terrein font que la ligne CE cft toujours entre la perpendiculaire CR à l'horizon , & la puiffance qui tire , laquelle fera la plus petite qu'elle puilfe être quand elle aura fa direction perpendiculaire à CE. C'cft peut-être pour cette raifon que les roues de de- vant des caroflcs &: des chariots font plus petites que cel- les de derrière. Mais ces petites roues ont d'un autre curé une grande incommodité : car fxns parler de quelques terreins bourbeux dont elles nefc peuvent debarraifer auili facilement que les grandes roues , toutes les petites buttes font par rapport à une petite roue comme un plan incliné fur lequel elle doit monter , au lieu que la grande roue les touche feulement fur la partie la plus élevée , & qu'elle ,peut pafler facilement par deiTus toutes les petites iné"-a- litcs du terrein. Mais quand on n'auroit aucun égard à ces plans incli- nés, & qu'on confidereroit feulement deux pointes E & B dans le même niveau fur Icfquels une petite &: une grande roué feroient appuïées , on peut démontrer que les forces eu'il faudra pour les faire mouvoir feront ea raifon rec- Tk aite' de Mecani cvo £. tS s proquc des diainctrcs ou des raions des roues , qaoiqu\)n y emploie la moindre force qu'il fera polfible. Car les points E &: B étant dans un même niveau la direction du poids R qui pafTera par l'ailîieu ou centre C d'une des roues puflera aufli par l'autre K ; &c la ligne DK étant per- pendiculaire à la direction CR , & les lignes DE, ME aulli perpendiculaires aux raïons CE , KE de la grande & de la petite roue, &: les puillances A & H appliquées à ces roues pour les mouvoir étant aufli perpendiculaires à ces raïons quand elles font les moindres qu'elles puiiVcnt être, if s'enfuit que les deux triangles FED , KEM auront leurs côtés en même raifon que les puiflances Se les poids, ou charges fur l'appui E, ou bien les deux autres triangles qui leurs font fcmblables &: rectangles CES , KES , aïaroC mené ES perpendiculaire fur le raïon CR. Maintenant la puiilancc A fera au poids R comme EF àFD par la vingt- troiiiéme propoli- rion , ou bien com- me ES à EC ; & fcmblablement le poids R fera à la puiiîanceH, com- me KM à KE , ou bien KE à ES : la puifTance A fera donc à la puiflance H dans la raiion compofée de à ES à EC , & de KE à ES qui eftcelle de KE à EC ?. caufe de la hauteur commune ES ; mais KE & EC fondes raions des roues ; donc la puiilancc A fera à la puiflance H comme KEaECquieft la raifon des raïons des roues aufquelles les puilTanccs font appliquées mais dcinsun ordre réciproque", Z ii] i8i Traite' de MecaHiq^we. On peut dire que les petites roues font d'un très-grand avantage pour lescaroffcs dont l'extrémité de la flcchc cft en arc, car elles paflent par deflous l'arc, &c le caroflTe peut tourner fort court, mais les petites roues auront un très-grand defavantage pour faire tourner le carofle dans des terreins mous ou irréguliers puifqu'elles y feront tou- jours beaucoup pkis engagées que les grandes roues. Proposition LXXXIV. Comment o^i peut remédier en partie aux frctts- mens qui Je trouvent dans les poulies d^ dans les roues. Pour ce qui cft des poulies il fera facile d'ôter la plus grande partie du frottement qui lé fait fur le goujon ; car au lieu que le goujon eft ordinairement arrêté avec la chappe, & que la poulie roule fur le goujon dans toute fa longueur où il fe fait un frottement confiderable, on peut arrêter le goujon à la poulie enfortequcle goujon roule fur l'ouvertnae de la chappe: mais la chappe étant ordi- nairement une bande de fer plat, le frottement n'y fera pas confiderable. On pourra encore le diminuer fi l'on fait l'ouverture de la chappe de figure quarrée , car par ,.ce moi en il n'y aura qu'un peu de frottement en deux pe- tits endroits, l'im au deffbus où la poulie s'appuie ,& l'au- tre au côté quand on la fait mouvoir. Pour ce qui eft du frottement de l'aiiTieu des charrettes & des chariots dans le moyeu de la roue , il eft aftcs diffi- cile d'y trouver quelque remède , & il faut croire que s'il y en avoir, le grand ufage qu'on en fait l'auroit fait décou- vrir. Car l'ailhcu ne peut pas être arrêté commodément à la roue pour differens accidens qui arrivent afles fou- vent aux roués , & pour pluficurs difficultés qui fc rencon- trcroient à faire rouler l'aiffieu fous le corps delacha- ;.xettc, Il n'y a donc que l'ouverturG du moyeu qu'oa Tr a I t E' de m e c a n I qJJ ï. i s j pourroit faire quarréc , mais elle fcroit bientôt arrondie par le violent frottement de l'aiffieu dans ce trou qui s'a- grandiroit par trop en peu de tcms. Il eft auffi ncccfTairc que l'aiffieu porte dans route la longueur du moyeu de la roue , à caufe qu'un corps plat ôt de peu d'épailleur ne pourroit pas refiftcr aux fréquentes fccoufTes &C cahots qui furviennent dans le mouvement.. iÎ4 Traite' de Mecanicl,ue. DU COIN- LE coin cft un infl:riimcn<: très^fimple & d'une n-ès- grande utilité pour fendre le bois , pour détacherxies picircs de leur lit naturel, &: pour ferrer deux corps l'un contre l'aurre, & même pour foulevcr un peu des fardeaux d'une pefintcur immcnfc. Les pieux ou pilotis doivent être faits en coin pour entrer facilement dans leterrcin. Mais quoique l'aclion du coin dépende feulement de la pcrcufllon dont il cft difficile de donner le rapport avec la pefinteur , nous ne laiffcrons pas de confiderer l'cfforc qui le pouflc, comme celui d'une puifTance fans avoir égard à la pcrcufllon ; &: enfin nous tâf hérons d'apporter /quelques éclaircillemcuî fur la force de k pcrcufllon. Proposition LXXXV. Ex A M E N ^f l'effort du Coin, Les faces du coin peuvent être appliquées de deux ma- nières diff'ercntes aux parties du corps qu'elles doivent feparer. Car ces faces AC , BC rencontreront feulement le corps qu'elles doivent fendre en deux points D & E comme dans la première figure, ou bien elles lui feront appliquées dans toute leur longueur comme dans lafe- xonde figure. Je fuppofc d'abord que les faces du coin AC , BC ren- contrant en D &:en E les extrémités de la fente DFE qu'il doit augmenter en s'y introduifanr , ne trouvent aucune refiltance par les inégalités ou par la nature de la matière du coin ni du corps DER , c'efli-à-dirc que les faces du .coin AC , BC font infiniment polies , &: que le corpsDRE ni Traite' de Mecahiq^uh, iSj le coin ne peuvent faire aucune imprcfllon l'un fur l'au- ni changer leur figure par leur rencontre. Je Tuppcfe encore que le corps DRE ne pcurflxire au- cun reflort , & que toute la rcfiftancc qu'il a a être féparé, n' eft que dans les liens qui font dans la ligne FR , félon la- quelle il doit être fcparc par l'cfFovt du coin. A G T ' l.J^ L \. ^2 \ /E P 2. ^ Soit maintenant la dircftion NCFRdelapuilTance N qui pouHe le coin pour le faire entrer dans le corps DRE, laquelle pafTc par l'angle C du coin ,& par l'angle F delà fente , & s'écend enfuitc dans le corps en FR félon la fc- paration qui s'y doit faire. Rec, de CAcad,Jom. IX. À ft ig6 Traite' de Mecaniq_ue. Nous pourrons donc confiderer aufli chaque partie du' corps DFR , EFR comme deux leviers angulaires & Icpa- rcs l'un de l'autre qui font appuies l'un contre l'autre dans l'étendue de leur bras commun FR , èc dont l'angle F tant de lun que de l'autre cil; foutcnu par un appui , &: qu'aux extrémités DE des bras FD , FE qu'on pôle égaux , il y a des puilTIinccs H appliquées félon la direélion HD per- pendiculaire à ces bras. Ondoitpofcrladirecliondc la pulfTance H. perpendi- culaire à FD &c FE,puifqu"cllc rcprefcntc l'effort du corps DRE pour refifter àctre fcparcau point F , & que cette réparation ne peut commencer à fc faire que félon un arc de cercle dont le centre cft en F , & qui a pour raïon FD , &:quela perpendiculaire FiD doit erre prife comme la portion indéfiniment petite de cet arc au point D. Maintenant puifque la puiflance N agit fur le coin félon la ligne NC , on la peut fuppofer en quel endroit on vou- dra de fa dircéVion comme en S entre les points D & E , &: alors il eft évident qu'elle n'agit que de la moitié de fou effort de chaque côté en D &: E ; car le point S coupe D E en deux également , & j'appelle G la moitié de cette puif- fanceN , laquelle agit au point D félon ladircction GD parallèle à NC. Mais puifque le point D de la face AC du coin cft pouf- fé par la puiffancc G qui agit contre la, face AC , & que cette £ice n'eft pas perpendiculaire à la dircélion GD , il faut réduire cette puiffancc à une autre Z qui agiffe per- pendiculairement contre cette face , c'cft-à-dirc félon ZD. On prendra donc pour cet effet dans la ligne DE qui eft perpendiculaire à GD un point tel qu'on voudra comme E , qu'on fuppofcra l'appui dun levier ou verge ED , à l'extrémité D de laquelle deux puiftanccs G & Z font appliquées félon les dircéfions GD , ZD ; & fi de ce point E on mené les perpendiculaires ED , El à ces di- Traite' de MECANiQitE. 1S7 relions , par la quinzième piopofition la puifTancc G fera à la puifîance Z dans l'état de Tcquilibre comme El à ED. Maintenant fi l'on fiippofc un autre levier ou ver /E P a ^ rcfliionIDKdclapuiflance Z, on auradanslctat de l'é- quilibre la puiflance Z à la puiflance H , comme FK àFD> qui font les perpendiculaires aux dirc(51:ions de ces puif- fances . ■Mais lapui-0ance G étant à la puiflance Z comme El à Aaij iSg Traite' de Mecaniclue. ED ; Se la pulflancc Z à la puifTance H , comme FD à FK, la puiirancc G fera à la puifTiincc H dans la raifon compo- IcedcElàED, & deFDàFK. Mais fi parle point F ou mené la ligne FL parallèle à DI , laquelle rencontre en L la ligne DE , &c que par le point L on mené la Ligne LM parallèle àFK;LM fera égale àFK,& il y aura même raifon de LM ou hïrn FK à l D,quc de El à ED. La raifon com- pofce de El à ED, & de FD à FK fe réduira donc à celle de FK àLD , &c dcFD àFK : maisàcaufcdcla grandeur commune FK , cette raifon fera ccUcdcFD à LD; lapuif- fance G fera donc à la puiiVancc H,comnicFD à LD dans l'état de l'équilibre. Ce fera la même chofe de l'autre côte au point E. Ainfi le poids N f:ra un cfFort en D & en E pour fcparer le corps DRE, ou bien contre deux puifTances tout enfemble, dont chacunceftégaleàH , puifquc ces deux puiflanccs lui rcfiftcnt cnfemble , comme F D à LD. Il eft facile à voir que dans la féconde figure la raifon dcFDà LD fera comme celle de NAà AC,enfuppo(ant comme on fait ordinairement que la figure du coin eft ifofccUe : car les deux triangles LDF , CAN font fem- blablcs. On trouver-a aufli la même chofe fi. ForL cherche par la vingt-troifiéme propofition le rapport des deux puifTan- ces GZfutvant leurs direclions données, avec celle de l'appui ED dont on a aufli la dirediion , & enfaite fur l'ap- pui F D qui eft une direction donnée le rapport des deux puifTances Z & H dont les direfliions font aulTi données ; car celle de G à H fera eompofée des mêmes qu'on atrou- ■yéescy-devant. Si l'onpoufTe latêteducoin ABque j'ay fuppofée per- pendiculaire à la direction delà puifTance, par quclqu'au- tre point que N entre G & N , il eft évident que TefTort de la puifTance fe diftribuant inégalement en D & en E Traite' de Mecaniq^ue. iSj) Sidans la raifon réciproque des diftances jufqu'à ces deux points D & E , le coin gliflcra dans la fente , ôc Ces faces prendront une pofition telle que la force s'appliquera éga- lement fur les points D & E,cc qui réduit le coin irofcelle à un fcalene oùla puilTance eft perpendiculaire à la tête du coin. Il ne fera pas non plus difficile de déterminer l'cftort du coin fi la dircdion eft oblique à la ligne DE , par la mé- thode que j'ay donnée cy-dclTus en reduifant la direûion oblique de la puiffance à une autre perpendiculaire à la face du coin. Ce fera auffi la même chofe H la puilTance agit obliquement contre la tête du coin AB, ou bien fi l'on fuppofc que la figure du coin n'cft pas ifofcelle , ou enfin fi FD &c FE ne font pas égales, car il faudra toujours réduire l'effort de la puiflance à un autre effort perpendiculaire aux faces AC &c BC , ou par une feule reduQ-ion ou par plufieurs , & chercher l'eftort de la puiffance diftribuéc en D & E féparcment. Mais toutes ces recherches n'ont au- cune utilité , elles apportent feulement quelquefois un peu plus de compofition dans le calcul qui fe fait toujours par la même méthode. Il me fcmble que c'eft affés dans les machines de faire connoître tout l'avantage qu'on peut ti- rer d'une puiffance, fans examiner tous les dcffauts qui s y peuvent rencontrer , qui font quelquefois en très- grand nombre. On doit feulement remarquer icy qu'on ne peut donner prefque aucun coup fur la tête d'un coin. fans qu'il porte à faux. P KO P o s ï T I O N. LXXXVI. 1^ K fuïjpince qui eji appliquée à potejfer le coin ^ .1 cCaii^ tant plus de force que le coin e/lùlus aigu. Cette propofition eft évidente par ce qui a été démon-. tré dans la précédente : car puifque la ligne FL doit être Aaiij 4-5?-'' Traite' de Me c ANiQ^tJ-E,' .perpendiculaire à la Eice du coin AC., plus l'angle ACB iera aigu , & plus le point L fera éloigné du point D : c'eft jjourquoi la raifon de la puiffance N qui pouflclc coioi étant toiijours à la rcliftance du corps, comme FDà LD, fi le coin cft plus aigu LD fera plus grande , &: la puilfance N fera moindre, puifque larcliftancc du corps demeure toujours la même , & qu'elle a plus grande raifon à la puif iancc N. Proposition LXXXVII. O N peut encore démontrer l'eff'ort du coin fur les corps ^qu il faut fendre , de la manière fuivantc. Les mêmes chofès ^uc dans la propofition quatre- yingt-cinquiémc étant pofces, fi l'on fuppofcquelecoin ^BC eft tiré par l'angle C avec un poids N égal à la puif- fance N qui le poulfoit auparavant, il cft évident qu'il s'cnfuivra le même effet puifque ce poids doit agir fur le coin de même manière que la puiffance, fuivant les fup- poilcions. Mais fi aux points D &: E du corps DRE où le coin le jrcncoDtre, on attache deux fils ou cordes DHS, EHS qui taffent des angles droits FDH, FEH avec les côtés fD, FE de la fente du corps; &:ccs cordes étant pliées en ^fiony fufpend deux poids égaux TT de chaque côté, ou bien le feul poids SS qui ait fon ceutre de gravité V -dans la direction des poids qui paflent par CF , & que ce corps SS foitégal en pcfantcur aux deux poids cnfemblc TT ; il eft évident par la troifiémc ou quatrième propofi- tion qu'il fera le même effort pour tirer les points D &: E, £]uc les deux poids féparés TT. C'eft pourquoi s'il y a équilibre entre le poids N appliqué au coin qui agit félon la direélion des poids CF , &: le poids V qui tire les points P Si Efelon DHjEH perpendiculaires à FDjFE il faudra Traite' de Mécanique. 193: que leurs momens foient égaux ; c'cft-à-dirc que les pro- duits des poids par les longueurs des bras du levier aux- quels ils font appliqués foient égaux entr'eux , ou bien ce qui eft la même chofc les produits des poids par les che- mins qu'ils font en état de parcourir dans le même-tems ; c'eft pourquoi ces chemins doivent ctre dans la raifon ré- ciproque des poids , & fi les uns font donnés , comme icy les cheinins par les figures du coin Se de la fente , on aura les autres. Car fi l'on fuppofc que le coin defcendc par l'efpacc DO qui fera auHl le chemin du poids N; la face du coin demeurant toujours parallè- le à elle - même en defccn- dant , Se ie trouvant comme en PO quand le poids N eft defcendu de la hauteur DO, le point D fera parvenu en P fuivant la ligne DP qui efl; perpendiculaire àFD, ou bien ce qui eft la même cho- fc le poids V fera remonté de la hauteur PD , il faut donc que dans l'équilibre il y ait même raifon entre le poids N. ôc le poids V , qu'entre PD &: DO. Il eft-£icile à voir que le triangle OPD eftfemblable au triangle LFD de la quatre-vingt-cinquième propoiltion , car dans l'un le cccê DO eft perpendiculaire au côté DL de l'autre, le côté PD l'eft au côté FD , & enfin le côté OPl'eft à LF. C'eft pourquoi par cette démonftratioii nous trouvons que le poids N eft au poids'Vqui reprefente la refiftancedu corps comme PD à DO, ce qui eft aufli com.mc FD à LD à caufc des triangles femblables OPD ^ LFD , ce qu'on avoit conclu de la quatre-vingt-cinquié.- me propoiltion. iji Traite' de Mecaniq^uEc Proposition LXXXVIII. Vo I c Y ^f quelle manière on feiit confiriiire un levier dont les extrémités feront tirées par deux piti/fi.ices qui repre- Jenteront les ejforts du coin & du corps qui doit être fendu. Soit comme dans la quacrc-vingt-cinqiiiéme propofi- tion la face du coin DC, & FD le côté de la fente du corps. Du point S aiant mené la ligne SQ_parallele à FD , laquelle rencontre en Q^ la ligne DZQ^perpcndiculaire à la face CD ; je dis que DSQ^ell un levier angulaire qui a fon appui en S , &: dont l'extrémité D étant tirée fuivant la direction GD perpendiculaire à SD par la puifTance G ; Sc l'autre extrémité Q__par la puiflanceH fuivant la dire£tion ■QH perpendiculaire à SQ^, la puifTance G reprefentera celle qui pouffe le coin en D,&: qui cft la moitié de la puif. fance N , & la puiffance H reprefentera l'effort du corps pour refifter à être fendu d'un côté feulement : &: c'eft une troificmc manière de démontrer l'effort du coin. Il eft évident que dans l'état de l'équilibre la puiffance G doit être à la puiffance H , comme SQ_à SD qui font perpendiculaires aux direûions ;, par la dixième propo- rtion. Mais pourvoir plus clairement le rapport de l'effort de la puiffance à la rcfiftance du corps, aïant mené SP per- pendiculaire fur DQ^, l'effort de la puiffance G fera à l'effort d'une puiffance Z ,qui agit félon la direftionDQ, & qui eft celle de la face du coin fur le point D , comme SP à SD ; & la puiffance Z étant à la puiffance H qui agit félon la direftion QH perpendiculaire à FD , qui eft celle du point D du corps à fendre, comme SQ^àSP; on aura la raifon de la puiffance Gala puiffance H compoféc de G à Z&deZà.H,quieftaufïicciledeSP.àSD &dc SQàSP, Cette Tr a I t e' de Mie c a n i q^u e. i^^ j iaqiielle fe réduit à celle de SQ^à SD , à caufc de La gran- deur commune S P. Cette raifon de SQàSDeft la même que celle de F D ri LD dans la figure de la quatre-vingt-cinquième propofi- tion ; car elle eftcompoféedc raifons fcmblablcs , puifque dans la quatre-vingt-cinquième propofition El eft à ED , comme SP à SD dans cclle-cy , & dans la quatre-vingt- cinquième FD cfl: à FK , comme SQ^à SP dansccllc-cy. Enfin fi la puiflance Geft à la puif- fance H comme SQ^à SD , il eft évi- dent que les momens de ces puif- ianccs feront égaux , puifiqu'ellcs font entr 'elles en raifon réciproque des bras du levier par la fixiémc propofition ; &: il s'enfuit auffi dc-!à que l'extrémité D du bras du levier SD ne fçauroit parcourir un cfpace fans que l'extrémité Q de l'autre bras SQjdu même levier ne parcoure rm autre cfpace qui fera au premier dans la raifon du bras SQ^au bras SD, qui font aufli ceux que doivent parcourir les poids qu'on a fubftitués aux puiflanccs dans la quatre-vingt- feptiéme propofition , ce qui montre le rapport de ces trois différentes démonftrations pour l'effort du coin fur le corps qu'il doit fendre. Remarque. ^ J'ay donné ces trois différentes démonftrations de l'ef- fort du coin, parce que la plupart de ceux qui ont écrie de Mécanique n'ont point apporté de raifons exaétcs où convaincantes de fon crfbrr. Quelques-uns l'ont comparé à un levier doutils n'ont pu déterminer certainement le point d'appui ; d'autres l'ont regarde comme un plan in- R(c. de CAcad. Tom. IX\ Bb 194 Traite' de Mecaniqjje, cliné,& l'ont cnfuitc rapporté au levier d'une manière qui ne convient pas au corps qu'on doit fendre avec le coin; enfin il y en a qui l'ont examiné par fon mouve- ment &: par celles des parties du corps qu'il doit fendre, mais ils n'ont pas pris garde avec aflcs d'attention aux chemins que doivent parcourir les deux corps dans le mê- rnctems. Proposition LXXXIX. Nous avons déterminé dans les précédentes frotojt- t'ions quel ejf l\Jfort du coin aux teints D (^ E ou il rencon- tre le corps quil doit fendre ; /. otis examinerons préfente- ment comment on peut comparer cet effort avec la. difficulté de fendre le corps. On doit confidercr que toutes les parties du corps qu'on dait fendre font jointes les unes avec les autres par des liens qu'il faut rompre pour féparer ces parties. Par exemple on peut regarder le corps DEMN compofc des deux parties DFRM , EFRN qui font jointes enfem- ble par leur partie comnumc FR avec de petits liens qui tiennent à chaque partie , &: dont le premier eft en F . Mais lapuiflance qui pouffe le coin étant donnée , on fçait par les précédentes pi opofitions quel doit être la puif- fance H qui lui refifte félon la direélion HD perpendicu- laire à FD. C'cft cette même puiffance H qui doit être la mefuredc la force dont le premier lien placé en F doit être rompu. Si ces liens étoient d'une nature à ne pou- voir s'étendre, &: que le corps fiit infiniment dur, il eft évident qu'une très-petite force en H pourroit rompre le premier lien quoiqu'il fut: très-fort : car l'angle DFR pourroit être confidcré comme un levier qui auroit Çon appui en F , ou qui feroit retenu parle lien en cet endroit ^, S>c dont l'appui feroit au premier lien S au dcffous vers R , Traite' de Mecaniq^ue. 195- l'extrémité Dde ce levier étant tirée avec la puiflance H félon ladiredion HD, Mais par la troifiémc ou quatriè- me propolition il doit y avoir même raifon dcSFà SO que de la puiflancc H à la puifTance du lieu en F , n'ayant pas d'égard à l'angle SFD ; d'où il fuitque Ci la diftance FS entre deux liens cft fort petite , comme elle le doit être dans les corps , il faudra que le lien foit très-fort pour re- /iftcr àla puifTance H. Par exemple fi la puifTance H étoic d'une livre,&: queSD fut de 100 lignes, & SF de la dixiè- me partie d'une ligne, le lien devroit avoir une force pour refifler à 1 000 livres. Si le premier lien en F étoit rompu, il eft facile à voir que tous les autres ne pourroient pas refilter, &c qu'ils devroicnt fe rom- pre plus facilement que le pre- mier ; car le bras SD du levier s'augmcnteroit toujours à très- peu près de la diflance qu'il y au- roit entre les liens rompus, &;c'eft ce qui fait en partie que les corps qui commencent à le fendre s'cclattent fort avant fans beaucoup de peine. Mais l\ le corps eft d'une nature molalTc & fpongieufc dont les liens peuvent s'étendre &c les pores s'entr'ouvrir, il arrivera que l'appui S fe trouvera fort éloigné du point F , & que par confcquent les liens qui feront vers F feront une grande refiftance,car dans ce cas il y en aura plufieurs qui foutiendront cnferablc l'effort de la puifTance H, Proposition XC. Examen de /apercr/JJioK. On ne doute point que la percufTion ne foit d'autant plus grande 6c ne falTe d'autant plus d'effort que le corps Bb i) iç)6 Traite' de Mecaniq^ue. " qui frappe eft plus pcflint & qu'il a plus de vitcfTc, puifquc ce n'clt que par la pelanteur & par la vitefl'c du corps jointes cnfemble que fe faitl'eftort de la pcrcuflion. C'eft pourquoi il n'eft pas pofiible de comparer Tcffort de la; pcrculîion avec celui de la pefanteur feule d'un corps : car ce fèroit faire la même chofc que fi l'on vouloir comparer une fupcrfîcie formée par une ligne qu'on auroit fait mouvoir par un efpacc avec une ligne toute feule. On peur pourtant faire quelques comparaifons particu-' lieres des efforts de la pcrcuflion avec ceux de la pefan- teur, comme d'un poids qui peut av^-c une viteffcdétcr- niinéerompreunepiecedebois arrêtée horizontalement dans un mur en la rencontrant à une certaine diilance du mur, avec un poids qui la peut rompre y étant appliqué- dans le même endroit fans aucun mouvement , & n'agif- ûntqucpar fa feule pefanteur. De même que fi l'on atta- che un poids à une corde, &c qu'en le laiAant tomber il bande la cordclorfqu'il fera parvenu à ime certaine diftan- ce depuis fon repos & qu'il puiffe la rompre, on pourra faire enfuite la comparaifon de ce poids à celui qui rom- pra la même corde y étant feulement fufpendu & fins au- cun mouvement. Ces fortes d'effets qui font fcmblables pour les poids qui ont du mouvement , &c pour ceux qui n'en ont pas , ne fo-nt point connoîtrc en général quel cil: l'effort de la per- cuffion , mais on fçait feulement par-là, que l'effort d'un corps pelant qui fc meut avec vitcffe , peur rompre les liens qui tiennent de certaines parties jointes enfembic, de même que l'effort d'un corps pefant fans aucune vi- teffe. Ce qui a fort embarraffé ceux qui ont voulu faire quel- que comparaifon d'un corps pefant qui fc meut avecvi- teffeavec un corps pefant qui n'a point de mouvement j e'eft par exemple l'effort avec lequel un marteau qui frappe Traite^ de Mecaniq^Ue, 197 un clou avec une médiocre force , le fait entrer dans un morceau de bois , ce qu'un poids immenfene pourroit pas faire étanf pofé fur le clou; de même que les coups du mouton aveclcquel on enfonce les pilotis , ce qui Icroic impolîible de faire par l'effort de la feule pcfanteur. Mais ii l'on confidere ce qui doit arriver aux parties du bois quand oii y enfonce un clou avec un marteau, on verra bien que la feule pefintcur ne fçauroic faire le même effet qu'avec une très-grande peine. Car lorfque le clou eft- chaflc dans le bois avec violence il en rompt les premiers liens qui ne peuvent pas prêter tout d'un coup à l'cifort qu j leur eit fait, & ceux-cy étant rompus les autres ne refiftenc pas, comm.e je l'ay démontré dans la propolirion précé- dente ; mais quand tous les liens & toutes les parties peu- vent ploier les unes après les autres , & fe mettre en rcf- fort pour foutenir chacune une partie de l'ciforr, le clou ne peut les rouipre quoiqu'il foir chargé d'un très-grand poids. On peut appuïer cette raifoji par quelques expé- riences , comme fi l'on pofe un bâton fur le bord de deux verres &: en frappant un très-grand coup fur le milieu du bâton on le romp fans que les verres fe cafTent. De même que fi l'on met dans l'a main un os d'éclanchc de m.outon,& qu'on l'y fbuticnnepar les extrémités, lors qu'on donne- ra un coup aflés fort fur le milieu de l'os il fe caflera fans faire aucune imprcffion fcnfible fur la main; mais fi le coupn'eft que médiocre l'os ne fe caflera pas & la main portera tout le coup. C'eft encore ce qui fait que lorfqu'on tire un peu obliquement un boulet de canon lur la fiufacc de l'eau il n'y fçauroit entrer & il fe réfléchit; car quoique l'effort qu'il fait fur l'eau foit très violent , il ne peut en fé- parer que peu de parties , tout d'un coup les autres lui re- , liftant & ne pouvant fe déranger fî promptemcnt ; c'cfl pourquoi il eft contraint de fe détourner. Onpourroic encore rapporter plu|ieurs exemples fem-^ Bb.uj r^ 4r5)S Traite' de MecakiqjJE. blablcs ,'mais j'ajouterai feulement que le coup du mou- ton ne fait enfoncer les pilotis dans la terre, ou dans le fable , qu'en l'ccoùant tous les petits grains qui font autour delà pointe du pilotis, & en leur faifant occuper moins de place qu'ils ne f lifoient auparavant , ce qui donne lieu à la pointe du pilotis de s'enfoncer , de la même manière que fi l'on pofoit un poids confiderahlc &: qui eut uneaf- ficte plate , fur un vafe qu'on auroit rempli de fablon,mais le plus légèrement qu'il auroit étépoflibic; car ccpoids ne feroit pas enfoncer fcnfiblcment le fablon , & pour peu qucl'on fiapât contre le vafe le fablon fetafleroit&: occu- pant bien moins de place qu'auparavant , aufli-tôt le corps defcenderoit. 11 eft facile à voir que ce fecouëment du vafe fait gliffer la plupart des grains de fable les uns contre les autres & les arrange en appliquant par les faces ceux qui ne fe touchoicnt auparavant que par les angles , &: qui pouvoient foutenir un très - grand poids dans cette difpo- Hcion. Traite' de Mecaniqjjî, 199 DU PLAN INCLINE. ET DE LA VIS, . Proposition XCI. Si impoids fphérique F efl fûfé fur un flan AB incliné â l'horiz,on BD , & qiiily (oit Juittam par une puij/ance ou par un poids E dont la. dircÛion fait parallèle au plan incli- né AB ; je dis que dans l'état de l'équilibre le poids P comme la longueur AB du fera aupoids ou à lapuiffincc E , corn plan incliné a fa hauteur ou à fon et z^on BD. fon élévation AD far l'hori- On peut confiderer tout le corps fpérique P réduit dans fon centre de gravitcPqui pefcra autant que tout le corps. Mais la fphére rencontre le plan AB dans le point H , en forte que la ligne PH menée du centre delafphcrc à ce point touchant H eft perpendiculaire fur ce plan incliné AB. On peut donc regarder le corps fphériquc comme un point P pcfant applique à l'extrémité P de la verge HP, & dont la direûion fera PC qui efb celle des poids , &: que l'on fuppofe perpendiculaire à BD. d'un autre côté l'extré- mité P de cette verge eft aulfi " retenuëpar la puilfance E félon la direftionFP parallèle à AB. Si l'on mené donc du point d'appui H les perpendi- culaires HI , HP aux directions par la quinzième prcpo- fition le poids P fera à la puiflance E comme HP à HL Mais le triangleHPIeft rectangle & femblable au triangle ioo Tr a I t e' de 'M'î c a n I c^u e7 ABD , car Tes trois côtés font perpendiculaires à ceux de celui-cy ; HP fera donc à HI comme AB à AD , &: par confcquent le poids P fera a. la puilTance E comme AB à AD : ce qu'il falloir démontrer. Proposition XCII. Mai s J/ /a direction de la puijfance E n'eft pas parai- le le ait plan incliné, il faudra toujours pour foutcnir le poids P une puijfance plus grande que telle qui a été déter- minée dans lapropofition précédente , foit que dans la di- rection fait au dejjiis de la parallèle , foit qu'elle foit au dcjfous : mais fi la direélion efl au dffus de la parallèle i, AB , la ptnffance ne pourra tottt au plus que devenir égalt au poids P , &f elle efl au defjous elle pourra aller jufqtt'k V infini. Si la direction de la puifTance K qui foutient le poids P eft au deffus de PF comme en PK,aïant mencHLpcrpen- diculaire àPK, le poids P fera à la puifTance K comme HL perpendiculaire à PK àHI:mais àmefurc queladi- reftion s'élèvera au deffus de PF les per- pendiculaires comme HL , à ces dircûions diminueront jufqu'à ce qu'elles viennent égales à HI, &: alors la dircdion de la puifTance fera la mê- me que celle des poids, & la puifTance portera toutle poids P. Mais fila diredionPMeftau dcfTous de PF, les perpendiculaires comme HN qui mefurent le rapport du poids à la puifTin- jce.qui efl reprefentée par HI , diminuent depuis HP* jufqu'à Traite' de Mecaniq^ue. ici pfqu'à ce qu'elles deviennent égales à H !;& alors le poids & la puifTance doivent être égaux. Mais HN diminuant à l'infini jusqu'au point H , donnera un rapport du poids à la puiflance qui augmentera à l'infini. Il clï évident que tous les points HPLIN feront dans la circonférence d'un cercle dont HP cft le diamètre , à caufe des angles droits. Proposition XCIII. 'Q_u E Tejfort da poids P n'eji pas toujours le même fur le même plan incliné ^mais qu'il change Jidvant la dire cl ion de lapitijjance qui l'y foutient. Par la vingt-troifiéme propofition fi l'on mené dans la. figure précédente la ligne AR perpendiculaire à la di- reélion PM de la puiflance qui fouticnt le poids, le triangle ABR aïant fcs trois côtés perpendiculaires aux dircélions de la puiifance , du poids & de l'appui , ces mêmes côtés donneront les rapports que doivent avoir lapuifùnce, le poids &; l'appui ; & par confcquent BR reprefentant tou- jours le poids , & AR la puiifance , AB fera l'effort qui fe fait far l'appui. Mais BR change fuivant les différentes in- cliuaifons de la dirccl;ion PM delapuiffance ; c'cfl: pour- quoi les rapports de la puiffance à l'appui changeront aullï fuivant les différentes inclinaifons de la puiifince. Il cftévidcnt que fi la direction PMdela puiifance croit parallèle à l'horizon BD , les trois côtés du triangle ABD -exprimcroient les rapports de la puiflance , du poids &; de l'appui , de même que fi la direétion PF de la puiffance cft -parallèle au plan incline : car la ligne AS étant perpendi- -culaire àPF ou à fa parallèle AB , le triangle ABS donrles côtés donnent les trois rapports que l'on cherche fera fcm- blable au triangle BAD : mais dans celui-là le rapport du .poids à l'appui fera comme le côté BD à l'hypotcnufcBA, ^u lieu que dans celui-cy ce fera comme l'hyporenufe BA Rec. de l'Acad, Terne IX. Ce 20 1 Traite' de Mecaniq^ue. au coté BD , ou bien ce qui cft la même chofc comme BSàBA. Enfin fi la direction delà piiiflance fait avec le plan in- cliné au defliis du poids un angle égal à la moitié de l'an- gle de l'élévation ABD du plan fiir l'horizon, la pelanteur du poids fera égale à l'effort qu'il frit fur l'appui ; car dans ce cas la ligne "AR coupera BRégalcàBA, ce qui e 11 fa- cile à connoîtrc. Et fi l'angle IPN de la perpendiculaire à l'horizon & de la dircdion de la puifiancc cft double de celui de l'élévation du plan, la puiflance doit ctrc égale au poids ; car BR &: AR. feront alors égales entr'cUes. Proposition XCIV. S I deux poids ffhériqties F ty- .S^^/ôr^t f lacés fur deux flatis AB , AR inclinés à flioriz^on BDR & qu'ils fc fou- tiennent C un l'autre , cejl-k-dire qu'ils foient en équilibre^ avec des dir celions FP, FJ^paralleles aux inclinaifons des plans i je dis que ces poids jéront eatr'eux comme les lon- gueurs des plans AB , AR. Par la quatre-vingt-dixième propofition le poids P fera àla puiflance E qui le fouticnt félon la direction PF pa- rallèle à AB , comme la longueur du plan AB à fi haureur AD. Mais audi la puif- fance E qui foutient le poids Q^ félon la direc- tionFQparallcie au plan incliné AR , fera à ce poids Q^, comme AD _ p, hauteur du plan à fil lon- gueur AR ; donc en raifon égale le poids P fera au poids Q^ comme AB à AR : ce qu'il falloit démontrer. Traite' de Mecaniq^v? Proposition XCV. Si deux poids fphériques ér égaux P <é'^^ont placés fur des plans différemment inclinés à 1'horiz.on AB , ÂR, ^ quils agijient t un fur l'autre avec des dire fiions FP , Fc^ parallèles aux plans ;je dis que le moment du poids P fera, au moment du poids £> , comme la longueur AR du plan qui fouticnt le poids ,&à la longueur AB du plan qui Joutient le poids P j c'tfl-k-dire que Icsrnomens des poids font entr'cuH dans la raifon réciproque des plans. Puifquc les deux poids P & Q^roncjointscnfemblcpar les fils ou lignesFPjFQ^paralIelcs aux plans, ils ne peuvent fe mouvoir l'un fans l'autre , &: ils doivent parcourir des cfpaces égaux fur leurs plans. Ainfi lorfque le poids Q^ aura parcouru la longueur du plan AR , le poids P aura parcouru fur fon plan AB un efpace BO cgal à AR. C'efl pourquoi le poids Q^fera defcendudc la hauteur AD per- pendiculaire à l'horizon BR, & le poidsPne fera monté que de la hauteur OT fur le même hori- zon. Mais le moment du poids Q_ fera le pro- duit de fon poids par fon chemin AD , & le moment du poids P fera le produit de fon poids par fon chemin OT ; & les poids étant égaux ces momens feront entr'eux comme les lignes AD , OT. F.nfin à caufe des triangles fcmblablesBAD, BOT il y aura même rai- fon de AD à OT , c'eft- à-dire du moment du poids Q^au moment du poids P , que de BA à BO égale à AR : ce qu'il falloit démontrer. Ccij 204 Traite' de Mecanic^ue. ]'ay dit quclcs momcns croient les produits des poids par les chemins , ce qui eft la même choie que les produits des poids par les bras du levier ; car les chemins feront toujours en même raifon que les longueurs des bras, com- me je l'ay démontré dans la quatre-vingt-feptiémc pro- polition fur le coin, Sc c'cft ce que l'on peut taire icy en prenant les pointsH & I àmcmcdi (lance du point A , &c fuppofant que les poids touchent leurs plans en H &: I. Car fi l'on prolonge les perpendiculaires QI, PH jufqu'en V ; les lignes VI , VH feront égales entr'elles , puifquc les deux triangles AI V , AH V doivent être égaux entr'eux ; & fi on leur ajoute les lignes IQ^, HP aulli égales entrc- eïles , les lignes VQ^, VP feront égales, que l'on pourra confidcrer comme les bras d'un levier angulaire PVQ^qui afon appuicnV &: qui eft chargé de deux poids égaux en P & en Q. Il eft évident que ces poids P & Q^ainfi appli- qués au levier PVQj feront le même effet que lorqu'ils étoientfoutenus comme auparavant fur les plans inclinés AB , AR. Mais ces poids pèlent fuivant leur direéïion na- turelle qui eft par les lignes PY , QX perpendiculaires à BR , cnfortc que ce levier angulaire PVQ^qui a les bras égaux fe réduit à un levier droit Y VX paralleleà BR,&: qui a fes bras VY , VX inégaux. Mais auffi ces poids P &c Q^peuvenr être fuppofcs aux points Y & X de leurs li- gnes de dircétion ; ôi puifqu'ils font égaux , le moment du poids P placé en Y fera au moment du poids Q^placé en X , comme le bras V Y au bras VX. Maintenant à caufe que les côtés du triangle VXCV font perpendiculaires aux côtés du triangle ADR, ces deux triangles feront fcmblables ; Se par la même raifon les deux autres VYP Se ABD ; c'eft pourquoi AB fera à AD comme VP à VY ; cV AD à AR comme VX à VQ. AB fera donc à Al\ danslara foncompoféc de VP à VY , & de VX à VQ^; mais VP &; VQ^ font égalcsH c'elè Traite' de Mecaniq__ue. 205- pourquoi cette raifon compofée fe réduit à celle de VX à- VY; donc le moment du poids Q^fera au moment du poids Pion égal dans la poiitionoùils font, comcne ABà. AR, quieftcommeVXàVY, Proposition XCVL Soit un corps ABB tel q^u' on voudra qui s'appuie par fon angle D contre le plan incliné EF. Il faut déterminer le rapport de la pepinteur ahfolne du corps ABD àla puijfince X qui foutient l'effort du corps en. DJiir le plan incliné avec une dire ci ion XD perpendiculaire- au plan incliné EF, Sait le corps A BD de quelle figure on voudra qui étant foucenu & arrêté en A fur le plan horizontal A G s'ap- puïe en D contre le plan incliné EF , & foitlc centre de gravité du cops au point C. On peut fuppofcr tou- te la pcfanteur du corps réduite dans fon point C , & enfin ce poids C placé oii l'on voudra dans fa ligne de direc- tion CI perpendiculaire à AG. Aïant mené la li- gne AD par les deux points oii le corps cft foutenu , l'un fur le plan horizontal AG , & l'au- tre contre le plan incliné en D , & la ligne AD coupant la: ligne CI au point H; on pourra fuppofcr le poids du corps fufpendu au point H du levier AD, lequel cft foutenu à> fon extrémité D par une puiffance Z félon la dircclion ZD perpendiculaire à AD, Il ell donc évident par la. Ce iij 2o5 Traite' de Mecaniq^ue. neuvième propontion que le poids C fêta à la puiflance Z, comme AD à AI qui fontlcs perpendiculaires menées aux directions ZD,CI. Mais auflià caufc quclc corps qui s'ap- puie félon la directions ZD contre le plan incliné EF qui lui refifte fuivancXD qui lui cft perpendiculaire , il fauc réduire la puiflanceZà la puifTance X appliquée au levier AD, ce qui le fait enmcnant AS perpendiculaire fur XD. Car la puilTance Z fera à la puifTance X , comme AS à AD ; Se par'confequcnt le poids C fera à la puiffance X danslaraifon compoicedeC àZ&dc Zà X, qui eft cel- le de AD à AI & de AS à AD , qui fe réduit à celle de AS àAI: ce qu'il falloir trouver. On auroit pi^i d'abord comparer la pefantcur du corps C avecfadircétion , à la puifTance X avec fa direction XD perpendiculaire au plan incliné FE , contre lequel le corps s'appuïc , &£ l'on auroit trouvé la même raifoa de AS à AI. Proposition XCVII. Un corps peftfU de figure fphériqtie AD étant fèr/tCriupdr deux plans AB , DB , inclinés à i'ijorixon EF •,jc dis que fi l'on mené la ligne GH parallèle a EF qui forme avec les deux plans AB , DB le triangle GBH , les côtés GB , HB de ce triangle rcprefi:ntcront l'effort que le corps pejant fait contre ces mêmes plans , par rapport à la baje G H de ce triangle , laquelle reprejentera la pejanteiir 'ahfolu'é du corps. Ce corps pcfant peut être confidcré comme réduit à fon centre de gravité C où il pefc félon fa direétion natu- relle CI perpendiculaire à EF, Mais a'iant mené de ce centre C les lignes CA, CD perpendiculaires fur les plans AB,DB, elles les rencontreront aux pointsADoù le corps Tpliérique les touche j c'cft pourquoi le corps fphériquc Traite' de Mecaniclue. 107 s'appu'iant fur les plans dans ces mêmes points , on peut confidcrer le poidsC comme un fcul point retenu par trois dircaionsCA,CD,CI, &c par la^vingt-troificme pro- pofmon le triangle GBH a'iant fes côtés perpendiculaires à ccsdircflilons reprefcntera les puilTances qui leur feront appliquées , qui font les deux plans qui foutienncnt le poids & fa pefanteur abfoluë :ce qu'il falloit démontrer. Confêqucnce. On voit par-là que la pcfanteur relative du poids fur les deux plans eft toujours plus grande que fa pcfanteur ab- foluë , puifque les deux côtés d'un triangle pris enfemble font toujours plus grands que le troificme; bc que cette pcfanteur relative Icra d'autant plus grandc,quc les plans feront enfemble un angle plus aigu , quoique le plan hori- zontal ne foit chargé ou ne porte hmplemcnt que la peGn- teur abfoluë du poids. C'efl: ce qui montre combien fe font trompés ceux qui ont voulu feulement diftribuer la pcfan- teur abfoluë du poids à chacun des deux plans. On doit aufll remarquer que les deux plans doivent être joints enfemble & fe retenir l'un l'autre , ou par le moïcn d'un lien particulier , ou par le moïendu plan hori- zontal auquel ils feront attachés , car fins cela ils s'écar- teroicnt l'un de l'autre en glilTant fur le plan horizontal ; & que ce lien foutient l'efFort que fait lepoids fur les plans inclinés. ioS Traite' de Mecaniq^ue. Proposition. XCVIII. S o I T /4 ligne droite AB diffofée félon la direction des -poids , ér qu'au point Ajoit appué un poids de quelle fgure on voudra dont le centre de gravité J oit C dans la ligne AC perpendiculaire à AB ; Je dis que Ji le centre de gravité C de ce corps qu'on peut confidcrer comme le corps réUni dans ce point , e/l tiré[& foutenu en équilibre par une puijjance N qui ait quelle direélion on voudra CN , toutes les lignes AM menées du point A jufqu' à BM perpendiculaire a AB , iefqnelles feront parallèles aux différentes directions CN de lapuifance N , reprefenteront les différentes puijfinces N ^ui peuvent foutenir le corps fuivant ces direélions par rap- port à la pefintettr alfolue du corps qui ejî reprefentée par U ligne AB, *■ Par rhypothéfe la diredion CP du poids C fera pa- rallèle à AB ; & fi du point A on meneles perpendiculai- res AD fur les diredions CN . il cft évident par la neuviè- me propofition qu il y N- aura même raifon de AD à AC que la pcfan- tcur abfoluë du poids à la puiflance N. Mais aufli tous les triançles ADC étant femblables aux triangles ABM , car ils font redanglcs, &:lcs lignes AC,B\I&:NC, AM étant parallèles les angles ACD feront égaux aux angles AMB, il y aura même raifon de AB à AM que de A D à AC , qui cft aulîi <:elle de la pcfantcur abfolué du poids à la puiflance N : ce ^Qu'ilialloit .démontrer. Proposition Traite'' de Mecanmo^e. iOO Proposition XCIX. M A I %f! ronconjidere les lignes AM de la précédente propo/ition comme des plans différemment inclinés , <^ qui ont toits une même hauteur AB au dejius de BM perpendicu~ laire à la direélion des poids AB ; ô' qu'on décrite un demi cercle AOB/ur AB pour diamètre . (^-fitr un plan perpendi- culaire aux plans inclinés ^ Je dis que les puijpinccs N qui ont des directions parallèles aux plans inclinés A M , ô' qui fout iennent fur ces plans un même poids fpbérique ou d'au~ tre figure , feront toutes entr elles comme les cordes AO dit cercle , lefquellesfont les rencontres des plans inclinés avec le plan du cercle. Qiie le point C foit le centre de gravité du corps DE, auquel point on peut fappofer que tout le corps pcfant cil rciini , & qu'il s'appuie au point E fur le plan incliné AM par le moïen de la ligne CE perpendiculaire à AM;& que Jes diredionsCNdes puiflancesNqui foutienncnt le poids C , Toient parallèles à AM qui cft la rencontre des plans ? nclinés & de celui du cercle. Par la quatre-vingt-onzième propofition le poids C Tcra à la puiirance N, comme AM à AB. Mais les triangles R(c. de l'Acad. Tome, IX, Dd 210 Traite' de M'e c a n i Q_t) e. rccVanglcsBAOdans le demi cercle font fcmblablcs anx triangles rcdanglcs MAB; c'elt pourquoi ABcitàAO, comme AM eft a AB : donc le poids C fera à la puiflance N comme AB eft à AO ; & le poids C demeurant tou- jours le même ou bien étant par tout égal , toutes les puif- fances N qui le foutiendront feront entr'cUes comme les cordes AO du demi cercle. II n'eft pas néccfTairc que les longueurs CE des appuis des poids foicnt égales puifqu el- les ne changent rien à la puiflance N, Proposition C, . Un corps fefant qui de fcend fur des Ji! ans dijferemmcnt inclinés ^y parcourt des e/paccs dans un même tems depuis le commencement de fa chute ^ qui font égaux aux cordes du demi cercle , lefquelles ont mime inclinaifonque les plans^ le diamètre du demi cercle étant placé félon, la dire cl ion des poids. Soitlcdemicercle AOB quia fon diamètre AB felan la dircûion des poids. Je dis qu'un corps Cplacéen Apaij- courra dans un même tems fur des plans inclinés comme AO jdesefpaces égaux aux cordes AO du demi cercle. Galilée trouva par expérience que les tems qu'un corps emploïoitàdefccndre llir des plans, comme AM , diftc- remment inclinés à l'horizon, & également élevés fur l'horizon, comme de la hauteur AB , étoient cntr'eux comme la longueur des plans qu'ils parcourroient. Et il les cfpaces que parcourcle corps fur ces plans inclinés font en raifon doublée du tems , ou bien les tems en raifon fou- doublée des cfpaces, voicy comme on peut démontrer cette propofition. Le tems que le corps emploie à tomber par la perpen- diculaire ABfur l'horizon BM, fera au tems qu'il em- ploie à tomber au long du plan incliné AM , comme A^ 2. 1 .1 Traite' di: M e c a n i q,u e-, à AM par l'cxpcricnce de Galilée : mais auffi le tcms qu'ii emploie à tomber par AM, fera au tcms qu'il emploie à tomber par AO , comme AM à la moïeniic pronortion- ivelle entre AM & AO , qui cft la raifon foudou'blée des cfpaccs; c'eft pourquoi en raifon égale le tems que le corps emploie à tomber par AB , fera au tems qu'il emploie à tomber par AO , comme ABà la moïennc proportion- nelle entre AM &: AO. Mais àcaufe des triangles reélan- glcs femblables ABM , AOB ; A.M eft à AB comme AB à, AO ; AB fera donc la moïenne proportionnelle entre AM &; AO ; &: par confequent le tems de la chute du corps par AB eftau tcms de la chute par AO , comme à AB à AB 5, c'eft-à-dire qu'il cil égal. Il s'enfuit de-là que les tems de la chute par toutes les parties AO des plans AM différemment inclinés feront entr'elles dans la même raifon de AB à AB qui eft celle d'égalité : & c'eft ce qu'il flilloit démontrer, Jedémontreray àlafindecetraité l'expérience que fie Galilée des tcms de la chute d'un corps par des plans dif- féremment inclinés , &.": que les viteiTcs de ce corps font égales , quand il eft parvenu à l'horizon fur des plans dliFe-' remmcnt inclinés, ce qui eft le principe dont il s'cftfcrvi pour démontrer l'expérience qu'il avoit faite. Ddij ail Traite' de Mecaniq_uh, Proposition CI. O N a déterminé dans U qua.tre-'vingttreiz.iéme frofC" fition l'fjfort que fait un poids P fur un flan incliné A B fui- 'Vtint une direéticn P H perpendiculaire à ce flan , le poids P étant donné avec la direflion PM de lapuijfance qui lefou~- tient fur le plan incliné. Je dis maintenant quefi Confnppofe que le plan incliné JB ejl rhjpotenufe d'un triangle rectangle ABD^ ô' que fin coté BDqui touche le plan horiz^ontaï puijfe gliffer fur ce plan fins aucune difficulté ^ l'effort du poids jitr le plan h»riz,ontalpar une ligne THV perpendiculaire à l'/joriz.on BDfira à fan ef- fort fir le plan incliné comme le c-ôté BD du triangle à foa côté ouhypotenufe AB ; & fin effort fuivant une ligne HN perpendiculaire au côté AD fera rcprefenté par la ligne AD^ Par la propoficion quatre-vingt-treizième îa ligne AR étant menée perpendiculaire à la diredion PM telle qu'on voudra de la puiflance , dans le triangle ABR , lecôté BR reprcfentc la pcfiintcur ablblue du poids P, la ligne AR reprefentc la puiflance qui le foutient fur le plan incline AB , & la ligne AB l'etfort que ce poids fait fur le plan in- cliné AB par la dircftion PH perpendiculaire à AB. Maintenant fi au lieu du plan incliné A B qui foutient le poids P au point H , on le foutient avec une puiflance V ou T dont la direction THV foit parallèle àladircdioii des poids PI ou perpendiculaire à l'horizon BD , &: avec une autre puiflance N fuivant la diredion NH parallèle à BD ; il eft évident que la puifTance V ou T fera l'effort que le poids fait fur le plan horizontal avec fa direction natu- relle, &; que la puiflance N efl celle qui empêche que le triangle ABD ne gliifc fur ce même plan. Mais les trois direétions PH,NH, THV étant données avec l'effort que fait le poids P félon PH, le triangleABDdont les trois Traite' de Mecanicj^ue. -13 côtés font perpendiculaires à ces trois dircdions , donne- ront les rapports de ces trois puiflanccs : c'eft pourquoi BD &C AD par rapport à AB rcprefcntcront les puiflanccs V &: N par rapport à la puiflàncc du poids P iur le plaa incliné AB, on aura donc la pcfanteur abibluë du poids à l'efFort qu'il fait perpendiculairement fur le plan horizontal , com- me BR à BD , &: contre la puifTance N , comme BR à AD : ce qu'il falloir dé- . montrer. Si la diredion PM de la puirtance M qui fouticnt le poids fur le plan incliné croit parallèle à l'horizon BD , il eftévidcnt que la puilTance N fera la même que M ; car alors la ligne ARfc joint à la ligne AD , &: l'eftort que le poids fait fur le plan horizontal par fa direction natu- relle , fera égal à fx pcfanteur abfoluc , puifqu'cUe fer?- comme BR ou BD à BD. Propo-sition cil Les mêmes chofcs étant pofées comme clans la quatre-^ 'vingt'dix-feptiéme propojîtion ; Je dis que le plan horiz.on- tal efl feulement chargé de lapefanteur abfolu'é du poids , cy* que l^efort du poids fera égal fur chacune des deux puif an- ces qui retiennent les plans inclinés félon les directions pa- rallèles a l'horizon , quoique ces plans aient des inclinai- fonsfort différentes , (y- que cet effort fera à chacune de ces puiffances , coipme la ligne GH aHO^qtù cft la diftance de CHa rhoriaon. Dans la figure disla quatre vingt-dix-feptiéme propo- fition, des points GH aïant mené la ligne HR parallèle à Ddiij; zr.i Traite' de Mecaniove, GI5,&:GS parallèle à HB, &: les lignes HO, GK per- pendiculaires a. l'horizon SR , on aura BR , BS & KO égales chacune à GH. Mais par ce qui a ctccicmontrc dans la précédente proporicion.^ la pclanteur abiolucdu poids Pcfl: àTcftorcqu'il fait perpendiculairement contre le plan incline AB , comme BR à BH , & cet effort eft à celui qu'il fait perpendiculairement fur le plan horizontal, commeBHàBO : donc la pcfantcur abloluë du poids P fiia à l'effort qu'il fait perpendiculairement fur le plan horizontal , comme BR ou GH fon égale , à BO. On démontrera de la même manière que ce même poids P , qui fait auffi un effort fur le plan GB , fera un effort fur le plan horizontal , enforte que la pcfantcur ab- Ipluë du poids fera àcetçllort, comme GH à KB : donc la .pefanteur abfeluë ^^^ du poids P fera aux deux efforts qu'il fait fur le plan hori- zontal en s'appuianc contre les plans in- clinés comme GH à la fomme de BO& S K II B O Px de BK, qui eft égale à OK ouà GH : c'eft pourquoi l'effort que fait le poids'fur le plan horizontal eft celui de fa puilTance abfoluë, de mê- me que s'il s'appuioit immédiatement fur le plan horizon- tal : ce qu'ilfalloit démontrer d'abord. Maintenant puifqu'on a auffi démontré dans la précé- dente propoiition que la pefanteur abfoluë du poids P fera a la puiffancc N qui agit félon la direclion NA qui eft perpendiculaire à HO, ou bien qui eft parallèle à l'hori- zon , pour foutenir l'effort du poids P , comme BR ou GH 3, HO ; & que ce fera la même chofc de l'autre côté oii la pefanteur abfoluë du poids P fera à la puiffance L félon la Traite' de Mecaniclue. zry diredioiiLD parallèle a. l'horizon , comme BS ou GH à GK égale à HO ; il eft évident que le poids P fera des deux côtés des efforts égaux fclon les directions parallèles à l'horizon , &c que les deux puifTImces N & L, qui le fou- ticndronD fuivant des directions parallèles à l'horizon doivent être égales entr'ellcs , quelque inclinaifon que paillent avoir les plans inclinés qui fouticnnent le poids P , &: fur lefquelles les puiffances N &;: L agiflent ou di- reélement aux points A&D, ou bien perpendiculaire- ment contre les plans HO , GK, aux points X ,0^, ce qui eft la même chofo. Mais comme le poids P agit également des deux côtés contre des puiffances parallèles à rhcrrizon, filesplans ru- clinés BH , BGoù.les deux triangles BHO, BGK font attachés cnfcmble par le point B cnforte qu'ils ne puilîcnc pas le féparcr, l'effort du poids qui les poufl'c pour les écarter ne les pourra pas fixircgliffer d'un côte ni d'autre fur le plan horizontal , ce qui ne leroitpias ainfi fi l'une des deux puiffances N ou L devoit être plus grande que l'au- tre pour refifter à l'effort du poids : &:c'efl ce qu'il fallait démontrer. Proposition CIIÎ.''- U N levier ou verge AD étant donnée de gïandeur avec le poids C fufpendtt ou attaché J l'un de fes points C ; il faut d.étcrminer lapojition que le levier doit avoir pour demeu- rer placé entre deux plans BD , BA inclinés ô" donnés de po/hion-à l égard de 1'horiz.on 2F, On doit confiderer la refiftance que font les plans BA'j BD au levier AD félon les lignes DH , AH perpendicu- laires aces plans ; ainfi on peut réduire ce problème à lia propofition trente-unième : car on trouvera lapofition ADdulevierentrelcsdiredionsHA, H D des puiffances 11 6 Traite' de Mecaniq^ue. qui le foutienncnt par fcs extrémités, lefqucUcs font un angle donné AKD qui cil le fupplcmcnt de l'angle des plans ABD; & ce levier AD doit être appliqué de telle manière dans cet angle que la diredion HI naturelle des poids qui pafls par le point H palTc aufll par le point C donné fur le levier ; car l'angle DHI ou AHI fera auilî donne , &c ces trois directions étant données ce fera la mé- ine chofe que fi l'on avoir les trois poids ou les trois puif- fances. Aïant mené quel- que ligne AG paral- leleauplan horizon- tal &. les deux per- pendiculaires AO , -GK furl'horizonjOn ^démontrera comme dans la précédcnrc propoiltion que l'ef- ,_ fortperpcndiculairc ^ du poids C fur le plan horizontal , fe- ra égal à fa puiflanceabfbluë , puifqucije fera à cet effort comme AG àOK, qui font égales entr'elles; &: de plus que les eftorts fcronr égaux (lir chacune des puiflanccs LN qui ont des directions parallèles à l'horizon, quoique les deux lignes HA, HD ne foicnt pas égales entr'elles comme PA , PD dans la précédcnrc propofition , puifque jcette égalité ne fait rien a ces efforts. Il cil facile à voir que fi l'on plaçoit le levier AD dans une autre pofition que celle que nous venons de déter- miner , il couleroit fur les plans inclinés tant que l'une des extrémités fut jointe à l'angle B que font les plans, & que tout le levier fût couché fur l'un des plans , car la refi- ilance des plans n'étant pas proportionnée à l'effort de la puiffance ..y Traite' de MECANta.UÊ. xiy :puiïnincc des deux côtés , le plus grand remporteroiciui- le plus petit. Proposition CIV. Description de U 'vis , cr la tnefiire de fou effort. Laf/j-eftun cylindre comme D qui eftcrcufécn fpi- rale. Elle entre en s'appliquant dans une autre fpiralc for- nicc de la même manière dans quelque corps R que l'on appelle ècrott de la vis ; enforte qu'en tournant la vis on fait avancer l'écrou fi la vis eft arrêtée par l'une de fes ex- trémités de telle manière qu'elle puillc feulement fc mou- voir circulairement , ou bien fi lécrou eft arrêté ferme on fait avancer la vis. Ce fera la mêjiac chofe fi l'on fait mou- voir l'écrou. Il y a deux fortes de viSjl'uncquc l'on appel- le droite & l'autre gau- che. La droite eft celle que l'on fait entrer dans l'écrou immobile en la tournant de gauche à droite; la çauchc eft cel- le au contraire qui y en- tre en la tournant de droite à gauche. Ceft la même chofc pour récrou ; car celui qui s'accommode à lavis hoite s'avance aufli fur la vis immobile en le tournant de gau- che à droite ; &: l'autre au contraire. Dans l'ufage le plus ordinaire de la vis on la fait avan- cer dans l'écrou immobile par Icmoicn d'un bras AF qui eft arrêté dans la tête de la vis. Soit donc dans la fiçure fuivantcquircprefcnteunc portion devis , l'axe H F delà .vis, qui eftaufli l'axe du cylindre autour duquel on a formé Rec. de l'Acad. Tom. IK, Ec 2.1 8 Traite' de î>f ecani clu e. la vis , enforte que chaque point des pas de la vis qui font également éloignés de l'axe s'élèvent également au long de l'axe. Il cft facile à voir que fi la furface des pas de l'ccrou s'applique exadement contre la furface des pas de la vis qu'elle touche , il y aura un très grand frottement &: que la plus grande partie de l'effort delà puiffance qui fait jnarcher la vis , fera emploiéc à le furmoiiter. Il fcroit donc plus avantageux que la vis ne touchât l'ccrou que dans une ligne tournée autour de la fpirale &c également éloignée par tout de l'axe de la vis. C'cft aulfi ce que nous xonliderons icy pour mefurer l'cftort de la vis , quoi- que ce foit la même chofe pour l'etfort de la puifîance que la vis touche l'écroudans une ligne ou dans toute fa fur- iace fi l'on n'a point d'égard aux frorrcmens. On peut en- core réduire l'application de la vis à l'ccrou à un fcul point pcfint comme G qui doit monter au long des pas de la vis en demeurant toujours égaleinent éloigné de fon axe lequel on fuppofc placé félon la dircftion des poids; car il ne faudra pas plus d'etfort àlapuiflancc pour élever ce point que pour élever toute la ligne qui fera aulli éloigné de l'axe que le point. Cecy étant pofé , on pourra facilement rédui- re l'cifort de la vis au plan incliné : car ladi- îlancc GI depuis l'axe jufqu'au point G qui doit être élevé, eft donnée; la hauteur des pas de la vis eft aufli donnée avec la longueur du bras AF dcpuisle point A où l'on fuppofe que la puiffance cft ap- pliquée jufqu'à l'axe au point F. C'cft pourquoi quand le Tr A I T e' D E M E C A N I Q^'J E. 1 1 JJ bras aura fait une converlion enticrc autour de l'axe HF le point G doit être monté de la hauteur d'un pas de la vis en décrivant une fpirale autour de l'axe ; & ce fera la mê- me chofe pour une partie de converfion. Qtie la ligne HF rcprcfcnte donc l'axe de la vis , & la ligne lA qui lui eft perpendiculaire foit égale à la circon- férence du cercle laquelle cft décrite fur la longueur du bras FA delà vis comme demi diamètre ; èclC (bit aufli la circonférence du cercle décrit fur le ra'ion GI , qui eftla diftance de l'axeau point G ; &c qu'enfin IL foit la hau- teur d'un pas de la vis. La ligne I A étant fuppoféc horizontale ou perpendicu- laire à la direction des poids , il eft évident que la ligneGL rcprefentera le plan incliné au long duquel il faut que le poidsGmonte dans une converfion entière de la vis oudu bras AF : car pendant que le poids G s'élcvc de la hauteur de IL il parcourt une ligne égale en longueur à GL. Maintenant que la jj puiflance qui ell ap- pliquée à l'extrémité ^ A du levier foit appel- ^T" ' ^^ lée X , il ell: évident par la troifiéme ou quatrième propolition que l'effort que la puilTanceX fera fur le point G, que )'appclle lapuif- fancc Z qui eft X réduite , fera à cette puillanceX, com- me AFàGIquifonc les diftanccs depuis l'axe jufqu'aux points A & G , ou bien les raions des cercles égaux à I A , IG. Mais l'effort de la puiflance Z avec la direction AI pour foutenir le poids G fur le plan incliné félon fa direc- tion naturelle & parallèle à HF , avec l'effort que ce poids fait perpendiculairement fur le plan incliné GL , feront reprefentés par les trois côtés du triangle GIL qui font perpendiculaires à ces trois direélions , dans l'état de l'cquUibre : c'eftpourquoi la puiffance Z fera à la pefan- £cjj 2ZO Traite' de M e c a n i qjj e. teur abfoluë du poids G, comme LI ;v GI. Maislapuif- fance X étant au poids G dans la raifon compofée de X à Z&dcZàG, elle le fera auffi de celles des lignes GI à àAI& LI à G I. Mais cette raifon compofée fc réduit à la iimple de LI à AI , c'cft-à-dirc de la hauteur d'un pas de la vis à la circonférence du cercle décrit fur la longueur du bras qui fait mouvoir la vis. Ce qu'on vient de démontrer pourun poids G qui s'ap- plique aux pas delà vis , doit s'entendre de même de quel- que puiiîance que ce foit qui pouiîc les pas de la vis ou l'é- crou félon la longueur de l'axe de la vis , pendant que la. puifTancequi meut la vis, agit perpendiculairement fur l'axe par le moïen du bras AF. On peut tailler la vis fur le cylindre en deux manières différentes en fàifant que les pas foicnt angulaires, qui cil- I-aplus ordinaire , ou bien en les £iifint quarrés , comme les deux figures le reprclcntent; mais la même démon- ftration fervira toujours pour ces deux efpeces de vis. La féconde efpecc efl: plus folide que la première pour Tu» fage , furtoutdans les groffes vis de bois -, car les arrêtes étanràangledroir ne fontpas û fujcttes à fe rompre que les autres qui font ordinairement d'un angle de 60 degrés; outre que l'effort fe fait fur une plus grande épaiflcur de la mariera dont la vis eft formée dans cclle-cy , &r que dans c-ellc qui eft angulaire l'effort fc fait obliquement fur la face de l'angle &: fur une moindre épaiiTeur de la matière. . Proposition C V. . D E la vis fans JTn. La vis fans fm n'cfl: pas une efpece de vis particulière , mais ce n'eft qu'une machine compofée d'une vis ordi- naire & d'une roué dentée. On l'appelle vis fans fin à caufc de fbn ufage : car en faifanc tourner la vis fiu: fonaxc. Traite' de Mecaniq^uë. m comme un cylindre ou rouleau , fcs pas rencontrant les ctents de la roue ils les pouffent , &C les faifant avancer ils font tourner la roue fur Ton axe, l'axe de la vis doit ctrc placé dans le plan de la roue. Pour l'augmentation de l'effort de la puiffancc dans cette machine , elle eft la même que celle de la vis , fi ce n'cft qu'au lieu de l'ccrou que les pas de la vis rencon- trent, ce font icy les dents delarouëj&queparcemoïen. l'effort de la puiffance peut être encore augmenté confi- iicrablement , fi les poids ou la puiffance qui doit être mue cft proche de l'axe de la roue , ce qui eft facile àconnoî— tre par ce qui a été démontré cy- devant. 11 feroit impoffiblc de faire le même effort de la vis fans- fin (ur la roue dentée en fe fervaiu d'im pignon qui s'en- grenncroitdans les dents delà roue : car puifqu'à chaque tour de la vis la roue doit s'avancer d'une dent , il faudroit que le pignon n'eut qu'une dent pour faire le même effet 3^ ce qui ne peut pas fe mettre en exécution. Eeiij, lii Traite' de Mecaniq^ue. DE ^VEL^VES MACHINES com^ofèes des précédentes. ON donne icy plufieurs machines qui peuvent fcrvir beaucoup dans la phyfiquc , puifqu' elles font tirées pour la plupart des mouvemcns qui fc rencontrent dans \x nature. On a choili les plus conlidcrables de celles qui font connues jufqu'à prefent pour faire entendre les au- tres & celles qu'on pourra découvrir dans la fuite. Les dê- ïnonftrations qu'on en apporte font {fondées fur les précé- dentes. Proposition CV^I. Construction mécanique d'une boete , fur la- quelle un poids étant pofé il fait le même effort fur toutes les furfaces de la boete ^ que fi elle étoit remplie de liqueur ^ qti elle fut chargée dans le même endroit ou efi le poids ^ d'une quantité de la même liqueur aujjl fefinte que le poids. La boëte AB peut être de quelle grandeur on vo\idra , le defllis & le deifous font percés de plufieurs trous D égaux entr'cux , & bouchés par des pièces de la même ma- tière que la boëte , enforte que ces deux furfaces ne laiC fcnt pas d'être aufli unies que s'il n'y avoit point d'ouver- tures. Le dedans de labocte eft difpofé de telle manière pour foutcnir toutes les pièces ou platines D qui bouchent les ouvertures , que fi l'on pofe un poids P tel qu'on vou- dra comme d'une livre fur l'une des platines des ouvertu- res, toutes les autres platines tant du dciTus qucdudcf- fous de la boëte feront pouiîécs en dehors chacune ave-« Traite' de Mecaniq^ue. 213 un effort égal à celui du poids P , qui cfl; d'une livre dans CGC exemple. Pour ce qui eft des pièces qui compofent le dedans de cette machine , je fuppofe que leur pefanteur ni les frotte- niens ne peuvent apporter aucun empêchement à leur effet. Y ^h A reprefente l'une des platines du deffus delaboëte&r cellefur laquelle on met le poids P. A chacune è.z% plati- nes tant du deffus que du deffous de la boëte il y a un pied qui y eft attaché ferme ou fondé ; la hauteur de ce pied doit être de la moitié de l'épaifeur ou de la hauteur de la -boëte, comme AB , GE , HF , LN , MO , &c. enforte qu.e toutes les extrémités de ces pieds comme BEFLM :ii"4 Traite' de M e c a n i q^u e. j-L'pondent au milieu de la boete. Maintenant fi l'on joint cnVcmblc avec la verge EF les extiémiccsF Fde deux pieds •qui appartiennent aux platines GH telles qu'on voudra -du deitous de la boctc ,& que cette verge (bitbien arrêtée aux extrémités des pieds ; &C qu'au milieu D de la verge EF on applique une autre verge BDC qui foit jointe à l'extrémité B du pied AB , &c de telle manière qu'elle puil- fc fe mouvoir aux points B &: D d'un mouvement de haut cnbas feulement , la longueur de cette verge BC étant double de BD qui eft donnée par la pofition des platines AGH; il eft évident que fi l'extrémité C eft arrêtée, le poids de I livre pofé fin- la platine A fera aufll un effort de I livre fur chacune des platines GH. Car i livre pofée en A ou en B , ce qui eft la même chofe puifqu'on fuppofe que le deffus &: le deffous de la boëte font parallèles à l'ho- rizon ou perpendiculaires à la diredion des poids , &: que les pieds des platines leur font pofés à angle droit , fera un effort de t livres au point D par la troifiéme propofi- tion , & cet effort de z livres en D en fera un de i livre en. E & en F , ou bien fur les platines G & H. Mais fi l'on joint enfcmble les pieds LM dedeux pla- tines NO telles qu'on voudra du dcflus de la boëtc , par le moïen d'une verge LM qui foit arrêtée ferme aux ex- -trémités LM , &: c^uc l'on faffe paffcr une autre verge CKIpar le milieu K de la verge LM , enforteque CKI foit arrêtée en K &: jointe à l'extrémité C de la verge BC , & qu'elle foit mobile de haut en bas en C & en K fur les points CK ; fi l'on prend Kl égale à CK &quc l'extré- mité I foit arrêtée , il eft évident que le poids de i livre en A qui fait un eftort de z livres fur le point D où il s'ap- puie , ou bien de i livre en G & en H , en fait auffiun de I livre pour élever le point C. Mais l'effort de i livre qui relevé l'extrémité C de la verge CI qu'on fuppofe rc- iccnuëenl,cnfaitundei livres pour élever le point K, ou Tr a I t e' de m e c a n I Q_u e. 215 oubienundc i livrqf à chaque extrémité LM de la verge LM, ou lut les platines NO pour les élever. Mainteiiants'il y a une verge RTcomme les autres, qui fbit arrêtée comme les autres par fon extrémité R au pied SR. d'une platine d'embas S & par fon extrémité T où l'on voudra; fil'on applique au milieu Q_dc la verge RT une autre verge IP qui foit jointe à l'extrémité I de la verge CI &c dont la longueur Toit double dcIQ. Aïant encore joint les pieds VX des platines d'embas YZ par la verge VX qui porte dans fon milieu «de milieu d'une verge T^ qui el'c jointe à l'extrémité T de la verge RT & dont l'autre extrémité /Ji eft arrêtée au pied de la platine fupe- rieure/] Enfin fi l'extrémité P de la verge IPeflaufii jointe à l'extrémité P d'une autre verge P c qui s'appuie par fon milieu fur le milieu d'une verge e d qui joint aulTi les pieds de deux platines de la boëte ; il fera facile à voir que le point I de la verge CI qu'on avoir fuppofé arrêté, reçoit du poids A l'eifort de i livre pour être abbaifie , &: que cet eftort fera celui de z livres au point Q^pour l'abbaificr . aufli, fon extrémité P étant retenue. Mais l'efïbrt de 2 li- vres en C^Eiit un effort de i livre (lir chaque point RT de la verge RT , & par confequent la platine S fera poufiec avec l'effort de i livre. Le point Tqui fait auffi unefforc de î livre pour pouffer en bas étant appliqué à la verge T^ en fait un de z livres en ^ ; & par confequent un de i livre fiir les extrémités VX de la verge VX &: furies platines YZ, ô^femblablemcnt unde i livre au point/» pour l'é- lever ; & fi ce point h porte le pied d'une platine/il relève- ra avec l'effort de i livre. Si au lieu du pied de la platine/ qu'on a arrêtée en ^ on y avoit accommodé à l'extrémité d'une autre verge , onauroitfait la même chofe que dans les précédentes. Le point P delà verge IP qui fe joint à l'extrémité de la verge c P fait auffi un effort de x livres au milieu de Rec. de l'Acad. Tom. IX. Ff 1 j. " A V- Mais la corde F aïant été tirée de la longueur de 6" pieds elle n'a dû faire avancer la roulette que de 3 pieds ; car comme elle palle par defTus la poulie I, &: qu'elle eft arrêtée en M , elle ne doit faire avancer la poulie I & la roulette E qui tiennent enfemble dans la même chappe,, que de la moitié de fon mouvement. C'efl: pourquoi quand la corde F s'eft tortillée fur le rouleau G de 6 pieds de longueur , & que la corde D s'eft aulfi détortillé ou dévidée de 6 pieds de longueur la rou- lette E n'aura fait que 3 pieds de chemin; & par confe- qucnt le poidsPne fera remonté que de 3 pieds par le mou- Tement de la roulette E ; il paroîtra donc être defcendu de 3 pieds qui cft autant que la roulette a fait de chemin far fa couliflc , c'eft pourquoi il defcendra par cemoïenpac un angle demi droit , ou bien il defcendra autant qu'il s'a^ vanccra. 2.31 Traite' de Mecaniqjje. Enfin fi la corde D qui eft attachée au treuil , s'cft toute ticvidée & qu'elle commence à s'entortiller dumcmeièns que la corde F , alors le poids P remontera; mais il doit monter trois tois autant qu'il s'avance vers L. Car ii les cordcsD&Ffe font entortillées deôpieds fur le rouleau du treuil , le poids doit être remonte de la hauteur de 6 pieds par le moïen de fa corde D , & il doit aufli être remonté de 5 pieds par le moïen de la roulette E qui l'entraine êc qui parcourt 3 pieds pendant que fa corde eft tirée de 6 pieds -, donc le poids fe fera élevé de 9 pieds pendant qu'il aura parcouru feulement 3 pieds en longueur , qui eft le mouvement de la roulette E. Mais quand la corde D a été entièrement dévidée de delTus le treuil &: que le poids a commencé à remonter, s'il y avoir eu un arrêt à la corde F comme en R à l'endroit qui pafloit alors par deflus la poulie I , enfortc que la cor- de ne pût plus tourner fur cette poulie, il fcroir arrivé la même chofe que fi elle eut été arrêtée à la chappc de la roulette E ; & le poids feroit remonté de 6 pieds par le mouvement de fa corde D , &: de 6 pieds par le mouve- ment de la roulette E; il auroit donc parcouru 6 pieds en longueur pendant qu'il fe feroit élevé de i z pieds. Maintenant fi les parties du rouleau du treuil furlef- quelles les cordes D & F s'entortillent font de difFerens diamètres , il fe fera des mouvcmens difFerens & en dif- férentes proportions deceux quejevicnsd'exp]iqucr;mais il fera facile de les déterminer ces diamètres étant don- nés ; ou bien les mouvemens étant prcpofés il fera facile de trouver les diamètres des parties du rouleau qui y fer- viront. On pourra auiïi par le même moïen faire qu'une partie du chemin du poids foit horizontal Se que le rcfte monte Qu defcende perpendiculairement ou obliquement, ce ,.^uiue mérite pas d'être expliqué plus au long. Jene parle Traite' de M e c a n i qjj' e, zy^ 'pas non plus des mouvemens circulaires foie en montant 'OU endefcendant, puifqu'ils ne dépendent que de la figure Àc la couiifîe. Il y a dans tous ces mouvemens plulicurs pe- tites précautions à prendre qu'il flxut laifier à l'induftric de ouvrier. fe -iL-ii__LL, H On peut encore faire pluficurs mouvemens diftcrcns & oppofcs les uns aux autres avec un même mouvement par le moïen des poulies de renvoi , qui changent la direction -des mouvemens , ce qui fert principalement à faire les changemens des décorations des deux aîles des théâtres ; ■car un feul axe A qui porte des tambours BC de difterens diamètres, venant à tourner par le moien d'un contre- poids , fait avancer vers le milieu de la fcénepar delfous le théâtre les faux «haiîisD qui por- tent les décora- tions,par le moicn c qui pafTent par defllis plu- sieurs fans y être arrêtées , ces cordes venant auffi à fe ra- courcir tireront les verges comme les autres cordes C ; &c iorfque les verges fonc étcxiduës direélement les unes au- boutdesautrcs, l'effort que feront ces cordes HFG en fe racourciflant pour plier les verges fur leurs pivots X fera- très-foible à caufc qu'elles tirent trop obliquement. Mais Iorfque les cordes HFG font aidées par les cordes BCD l'effort fera très-grand : car les cordes BCD commençant à plier les verges fur leurs pivots X, alors les cordes HFG tireront les verges plus directement , &; avec d'autant plus d'effort qu'étant plus longues , elles peuvent faire un plus. grandïacourcifTcment. G§"i' j.3§ TrATTE' de MzCAVîCiJU. On peut aulîi ajouter des liens comme E qui entretien- nent les longues cordes pour les faire tirer duraêmefens que les petites. Ccft par une mécanique à peu près femblable a. celle-cy, que la queue des animaux peut flicilement fe mouvoir en tous fens ; Se c'cft aulli de la même manière que la trompe des Elephans peut faire tous fcs mouvemcns ditfe- rcns, car quoiqu'il n'y ait pas d'os dans cette trompe, tou- tes les fibres des mufclcs qui font comme autant de cordes, •fe retirant d'un côté ou tout-à-fiit ou en partie, feront ploier ou toute la trompe ou une partie de ce même côté , les fibres mêmes fervant en quelque façon de verge ou d'os pour ces mouvemcns. Proposition CXI. Explication mécanique du mouvement de U Lingue du Pivert. Le Pivert tire ordinairement la langue fort longtie hors du bec pour chercher la nourriture dans de petits trous qui font enfoncés dans l'écorce des arbres. M. Borelli dans la treizième propofition de la féconde partie du mou- . vementdes animaux donne une dcfcrlption de cette mé- canique. Ilditqu'ilyaunmufcle qui a fon origine fous le bec vers fon extrémité , &: fon infcrtion à la racine de la - langue, enforte que quand ce mufcle vient à fe racourcir il fait fortir la langue hors du bec. Mais que pour la reti- rer il y a quatre mufcles qui font cet effet , dont deux font attachés àlaracincdclalangue&: tournent par derrière latcte&; par dcffus jufqu'à l'origine du bec; &: que les •deux autres qui font fous le bec font tortillés en fpiral» pour faire vm grand effet en peu d'efpace. Dans cette mécanique on ne voit pas d'égalité entre les ^ufcles qui font fortir la langue hors du bec , hC ceux qui Traite' de Mecaniq_T]e. i?9 la retirent, quoique ceux qui la poufTent dehors en la, dardant ,dcuir:nc avoir une plus grande force que les au- tres ; car ilcft certain , fuivant la defcription de M. Bo- rclli , que ceux qui la retirent peuvent faire un bien plus grand effet quelcs autres , ce qui fcroit inutile puifqu'ils ne doivent feulement la retirer que de la longueur dont elle fera fortie &c fins aucun eftort. M. Perrault dans la féconde partie du troiiicme tome de fcs Effais de Phylique explique le même mouvement de la langue du Pivert d'une manière très-différente de celle de M. Borelli. Il ne dit rien des mufclesqueM. Bo- relli place fous le bec pour faire fortir la langue: mais il prctendqu'cUcpcut s'allonger de trois ou quatre pouces &: que ce mouvement fc fait par le moïen de deux petits cartillagesolTcuxHCD qui font fort déliés & fort polis, dont Textrcmité qui efl; vers D fc joignant cnfemble & étant recouverte de chair for- me la partie antérieure de la langue. Ces cartillagcs vont en tournant par dclfus la tête jufqu'à la racine du bec en H ; il dit aufli qu'ils font enfermés dans un canal charnu par le dehors &c garni en dedans d'une membrane fort lice &c fortgliflante. Il prétend que la chair de ces canaux eft un mufcle dont l'origine eft au layrinx & l'infertiôn aux extrémités des cartillagcs, & que lorfque ces mufcles fe racourciffcnc d'un côté en tirantvers le larynx les cartilages oflcux , ils font fortir la langue hors du bec ; au contraire lorfqu'ils fc racourciiïentde l'autre côté ils la font rentrer. Il cxpliquece mouvement en le comparant à celui d'une machine qu'il avoir fait faire pour mouvoir un corps pc- fant reprcfenté par la verge AB ^dans cette figure, aux ■x^o Traite' de Me c anî cl.we, extrémités de laquelle en A & cnB il y a une cordeCDEF attachée, qui paflant par dcflus les deux roulettes GH pend en EF , enforte que ifi l'on tire la partie E elle fait avancer la partie A de la verge vers la roulette G, Ô«:au A Œ B gQ cantfelonla même ligne de diredion il ôtcroit aux 1^ cfpaccs égaux , des efpaces qui fcroient en raifon des quarrés des tems. Comme li dans des tems égaux le corps A devoir parcourir en mourant dans la ligne AG perpendiculaire à l'horizon , des efpaces égaux, ABjBC, CD en des tems égaux , & que dans le pre- mier tems par fon mouvement de pefanteur il def- ccndît de la longueur BH égale à un fixiéme de AB, lorfqu'il devroit être parvenu en C dans le fécond rems il feroit defcendu de la longueur CI égale à quatre BH, &: lorfqu'il devroit être en D il Icroit defcendu en N de la longueur DN égale à neuf BH, c'cft-à-dire qu'il feroit defcendu de la moitié de ce qu'il devroit être monté ; enfin quand il auroit dû être en G dans fix tems égaux au premier par fbn impulfion, il fe trouveroit en A par fa pefantci r étant defcendu de 36 BH. Ce feroit alors que le corps commenceroit à defccndre au deftbus du po nt d'où il a commencé à fe mouvoir , car fon moi ve- inent accéléré par fa pefanteur feroit plus grand que le mouvement d'impulfion. Ce fera la même choie pour le mouvement obliqtic dans ce qui regarde fon élévation ôc fa defcente. Ainfi le ii(c, de t'Acud. Tom. JX' Oo E D 4M 1 -rB H 1^0 Traite' de Mecaniclue. corps étant poulTc de bas en haut ou verticalement ou obliquement avec une certaine viteflc , quand il fera parvenu à la plus grande hauteur où il puifTe aller au dcf- fiis de l'horizon , comme en N , il ne fera qu'à la moitié de celle où il feroit parvenu par le mouvement d'impuUion qu'il a eu au point A en commençant à fc mouvoir : de de mêmelorfqu'il feradefcendu à la même hauteur de A , il devroit s'être élevé par le mouvement d'impulfionàune hauteur quadruple de f.\ plus grande hauteur N. Il s'eniuitdonc dc-là que li l'on donne le chemin AB qu'un corps rphériquetrès-pefant&: confideré comme un. point A, doit parcourir par fonimpulfion dans un tems déterminé comme d'une féconde, on fçaura jufqu'à quel- le hauteur il doit s'élever -, car les corps fphériques &c fort peflms comme les baies de plomb aufquellcs l'air ne peut apporter que peu de retardement dans leur chute, au moins dans une fecondedetems,tombent par unefpace deij pieds dansée même tems fuivant les expériences les plus exactes; & fuppofantcommeona fait,que les efpaces parcourus par- les corps pelants en defcendant font en raifon des quarrés des tems , il s'enfuit que fi le corps A doit parcourir par fon impulfion la ligne AB de i 20 pieds , laquelle fait l'an- gle BAI de 3 o degrés avec l'horizon AI dans une féconde de tems, le corps dcfcendra en F de i^ pieds félon la di- redion des poids BK : &: à caufc que l'angle BAI eftde 50 dégrés la ligne BK nefera que la moitié de AB;& parcon- fequent elle n'aura que 60 pieds dont BF fera le quart. Par la même raifon AC érantdc 240 pieds, CL fera de ,T zo , & CG quadruple de BF fera de 60 , qui eft la moitié de CL. Enfin on trouvera que le corps doit parvenir en I fur l'horizon AI lorfquc le chemin del'impulfion AE fera double de CA ou quadruple de AB , & que El fera égale àiéBF. Maintenant à caufc de la parabole AGI G l'on a un de Traite' de Mecaniqjje. 2pr fcs points donné de pofition comme H autre que le point A , Se qu'il foit au dedans ou au dehors de l'angle EAI donné donc AI eft l'horizon &: AE la ligne du mouve- ment d'impulfion qui doit toucher la parabole en A , Sc qu'on cherche la plus grande hauteur de la parabole par dcilus l'horizon , c'eft-à-dire la pofition de l'axe CL , & le point G de la parabole fur l'axe, lequel eft fon fommct,; on fçaitpark nature de la parabole que ce point G cou- pera CL en deux également , & qu'il y aura même raifon duquarré de AD au quarrédc AC, que de la ligne DH perpendiculaire à l'horizon laquelle palfcpar le point H , à CG, ou que de deux DH à deux CG qui fout égales à CL. Mais auffi le quatre de AD eft au quarré de AC com- me le quarré deDM au quarré de CL ; donc le quarré de DM au quarré de CL , comme 2, DH àCL; &: par confe- quent le produit du quarré de DM par CL fera égal au produit du quarré de CL par 2. DH , Se chacun de ces produits étant divifé par la hauteur com- mune CL on aura le quarré de DM au rcclanglc de CL par 1 DH , ce qui donne la proportion de z DH à DM, comme DM à CL. Il faut donc trouver fur DH la ligne DN qui foit latroifiéme proportionnelle après z DH &C DM ,& la moitié de DN fera la plus grande hauteur de la parabole au delTus de l'horizon. Si par le point N on mené NL parallèle à AE qui coupe AI au point L, ce point fera l'endroit de l'horizon par où l'axe CL de la pa- rabole doit paffer, Ooij z^% Tr aite' de Mecani q,u e. Par les expériences que l'on a qu'un corps fphériquc d'une matière fort pefante comme du fer ou du plomb , parcourt en defcendant par fa pcfantcur depuis Ton repos une longueur de i y pieds dans le tcms d'une féconde , &: il l'on fuppofc que les autres efpaccs parcourus par un corps ^n defcendant dans des tems égaux ,foicnt entr'eux com- me les quarrcs des tems depuis le commencement de la chûte,ileftcertainquelalongueurdcla ligne DH étant donnée , on aura le tems que le corps a emploie à parcou- rir la parabole depuis A jufqu'enH. Car fi l'on tire la ra- cine quarrée du nombre des pieds qui font en DH & qu'on ladivifepar 7pieds7on aura le tems en demi-fccondcs que le corps a emploie à parcourir l'cfpace parabolique ÀGH.C'eft pourquoi le point H étant donné avec le point H étant donné avec le point A de la parabole , on con- noîtraqucl fera le mouvement d'impulfion fur la ligne AD , c'cft-à-direquel nombre de pieds il parcourt en une demi-fccondc de tcms. Car il n'y aura qu'à divifcr la lon- gueur de AD par le nombre des dcmi-lecondcs que l'on vient de trouver. Si les lignes AD & HD n'étoient point données, & qu'on connut feulement le tems qu'il faut au corps pour aller du point A jufqu'cn H d'un mouvement paraboli- que, aïant multiplié les demi-fecondes de ce tcms par 7 pieds 4- &: le produit étant quatre, on aura en pieds la hauteur verticale DH , & l'on trouvera enfuite AD , fup- pofantqu'onconnoifleladiftance AH &:rangle AHD;&: par même moicn l'on aura auffi la viteffe du corps, ou le chemin qu'il doit parcourir par fon mouvement d'impul- fion qui ell: uniforme. Dans un demi-cercle ASR dont le diamètre AR eft perpendiculaire à l'horizon, fi de tous les points S delà circonférence on mené des perpendiculau-es ST à AR avec les cordes AS , & que les lignes AR , AS rcprefcn- Traite' de Mecaniq^uï', 25; 3 cent les temps que le corps A emploie à parcourir par tout de la même viteiTc , &c du même mouvement d'impulfion les lignes différemment inclinées AS : je dis que toutes les lignes AT reprefenteront les efpaces que le corps par* eourc dans chaque tems reprefenté par AS. A'ianr mené les lignes RS, il eft évident à caufe des triangles rcdanglcs femblables qu'il y a même raifon de AR à AS que de AS à AT; & par confequent files lignes AR , AS rcprcfcntent des tems que le corps A emploie à parcourir ces efpaces AR , AS d'un mouvement uniforme les lignes RA , Ta qui rcprefcntcnt le rapport des quar-^ Ooiij 154 Traite' de Mecaniq^ïïe, rés de ces tems , reprefentent aufll les efpaccs que parcourt le corps en tombant depuis le repos d'un mouvement ac- teleré dans le rapport des tems marques ou rcprcfcnrcs par AR & AS. Ce que nous difons de la chiîte^ doit s'en- tendre de même de fa montée ou de fon élévation , com- me on a vu cy-devant. Mais on a démontré que lorfqu'un corps cft defcendu jufqu'à l'horizon d'où il croit parti, par un mouvement accéléré depuis le repos en A juiqu'à fa plus grande éléva- tion , & dc-là par les mêmes dégrés jufqu'à l'horizon , il dcvroits'étre élevé par fon mouvement d'impulfion uni- forme d'une hauteur quadruple de celle où il s'efl: élevé par le mouvement d'accclcration inégal. C'efl pourquoi fi dans le vertical le corps ne peut s'élever que depuis A jufqu'enR &:dcfcendre cnfuitc en A par le mouvement d'accélération , il dcvroit dans le même tems avoir par- couru avec le mouvement d'impulfion félon la verticale AR un efpace quadruple de AR, Se dans le tems de fa montée une efpace double dcAR. Et comme ce fera la même chofepour toutes les cordes AS , il cft évident que lorfque le corps fera parvenu à l'horizon étant pouffé fuivant la dircétion des cordes il doic rencontrer l'hori- zon à une diftance du point A laquelle foit quadruple de ST , puifque par le mouvement d'impulfion il devroit parcourir une efpace quadruple de AS quand le corps fe trouve dans l'horifon; &: cette diftance fur l'horizon qua- druple de ST cft appellée X amplitude de la parabole ou du jet : &: par confequent l'axe de la parabole fur lequel cft fa plus grande hauteur au dcfTus de l'horizon fera éloigne de A de deux ST. Il s'enfuit donc de-là que le jet qui a la plus grande amplirude fera AE qui fc fait par la ligne AV élevée de 45 dégrés ou d'un angle demi-droit fur l'horizon, puifque ^Tdanscecascitôgaleauraion du cercle qui cft la plus Traite' de Mecaniq^ue. ipj- grande de toutes les lignes ordonnées comme ST. Il s'cu- iiiit encore que Icsjets AF , AH qui font audertusSi: au dcfTous de 4 y degrés à égales diftanccsdu point V , auronc des amplitudes AK égales , puifque leurs ST font égales : c'cft pourquoi on pourra avec la même vitcfTc jetter le corps A à un même point K de la ligne horizontale par deux jets diffcrens AM , AN qui feront également éloi- gnés de AV ; mais le jet ne pourra jamais paflcr au-delà du quadruple du raïon du cercle. Si l'amplitude d'un jec cft donnée fa quatrième partie déterminera l'ordonnée ST dans le demi cercle, &:par confequent on aura l'in- clinaifon de la ligne AS par laquelle il faut faire le jet , &: le demi-cercle doit avoir pour diamètre AR qui cft une ligne égale àla plus grande hauteur du jet vertical. Ce que je viens dédire des jets par rapport à l'horizon doit s'entendre de même de quelqu'autre ligne inclinée à l'horizon comme on voudra. Car dans la première figure de cette proportion, fi FH étoit l'horizon, ce qu'on déter- minera pour la parabole FGH fera de même pour la para- bole AFG par rapport à la ligne AG , car la hauteur OF fera égale à la hauteur GP, pourvcu que les lignes CP,K A foicnt à même diftance l'une de l'autre que les lignes BO , LH ;& la formation de AFG s'en fera par le jet félon la ligne ABC de même que celle de FGH par le jet FQR , 3c les lignes BF , QG étant égales , CG &c RH le feront auffi. Je dis maintenant que fi les ligncsTAfont les plus gran- des hauteurs ou élévations des paraboles audellus de l'ho- rizon ou de leurs lignes qui marquent leurs amplitudes, les lignes RT feront égales au quart du paramètre de ces mê- mes paraboles. Car par les propriétés de la parabole fi AL eft une or- donnée à l'axe FL, le quatre de AL fera égal au rectangle de F L ou TA fous le paramètre : mais ie quarxé de ST qui •2.9'' Traite' DE Mecaniqjje, eft toujours la moitié de AL ou de TF étant égal au quart du quatre de A L doit aufli ctrc égal au quart du rcftanglc de TA fous le paramètre , ou bien égal au reftangle de TA fous le quart du paramètre , ce qui eft la mcmechofc. Et à caufe du demi-cercle le quarré de ST étant égal au rec- tangle de TA fous RT , il s'enfuit que RT fera le quart du paramètre de la parabole. Mais auffi par les propriétés de la parabole, le fo'ier comme O fur l'axe doit être éloigné de fon extrémité F du quart du paramètre ; c'eft pourquoi dans tous ces )ets paraboliques le diamètre AR fera égal à la plus grande hauteur de la parabole &: au quart du parametrede fon axe. Mais par une propriété des foicrs O de la parabole fi la ligne RP eft perpendiculaire à l'axe de la parabole ôc qu'elle foit éloignée de fon fommet F du quart du para- mètre ou de la diftance FO entre le fommet &: le foïer , toutes les lignes comme ARqui font menées perpendicu- laires d'un point A de la parabole à la ligne RP feront éga- les à celles qui font menées de ce même point A au foïer O. Ainfi dans cette conftruélion la ligne AR qui eft le dia- mètre du cercle A SR , fera par tout égale à la diftance du point A jufqu'au foïer. Il s'enfuit de cette propriété que fi l'on donne les deux points A & D comme on voudra , enforte que le jet qui part du point A doive paffer par le point D , &: qu'on ait aufli la plus grande hauteur A R du jet vertical qui fcfait avec la même vitefTe d'impulfion que celui qu'on deman- de, il fera facile de déterminer le foïer, l'axe &: la plus grande hauteur de la parabole du iet,& par confcquent la ligne d'impulfion par laquelle fe doit faire le jet. Car du point A pour centre &: pour raïon AR a'iant décrit le cer- cle ROX ; & de même pour centre D & pour raïon DB parallèle à AR èc qui fe termine dans la ligne RPB paral- ^ lele Traite' de Mecaniclue. ii>7 îcle à l'horizon, aiant décrit le cercle BOX qui coupe le premier ROX aux points O & X , ]c dis que ces deux .points ("ont lesfoïers de deux paraboles qui fatisfontàla quellion. C'eft pourquoi aïant mené des points O & X les lignes OP, XQ^ parallèles à AR jufqu'à RB & les aiant coupées en deux également en F Se en H , ces points F &: H iéront les fommets des deux paraboles. Enfin ii l'on ti- re FT, HT parallèles à l'horizon qui rencontrent le demi- cercle ASR aux points S , les lignes AS feront les direc- tions des jets ou les lignes d'impullion. Tout ceci efi: évident par ce qui a été démontré cy- devant , puifque la ligne AO étant égale à AR le foïer doit être fur le cercle RO; & parla même raifonildoic être auffi fur le cercle BO ; il fera donc au point O. Ce fera la même chofe pour le foïer X. On trouvera toujours la ligne AR par ce que j'ay enfei- gnécy-devant : puifqu'on peur connoître la vitciïe d'im- pulfiondu corps par l'expérience d'unfcul jet qui étant Jiec. de l'^Uad. Torn, IX. Pp 29? Traite' de jSÎ e c an i cl.ue. parti de A cftvenu en quelque point D, en connoiffant la longueur de la ligne AD &: l'angle SAD ouSAIfous lequcls'eft f\iic le jet ; oubicncn connoiirant le tems que le corps a emploie à aller de A jufqu'en D. Car Tuppoianc la vitclTe d'impulfion toujours la même dans toutes les in- clinaifons comme dans le vertical, il faudra divifer pan j- le nombre quarré des pieds du chemin d'impulfion dans le tems d'une demi-fcconde , &c le quotient fera la plus grande hauteur du jet -, ce qui eft évident dans cette hypo- thcfc , puifquc les ± du quarré du chemin en une demi-fc • conde fera égal au chemin du mouvement d'impulfion verticale dans le tems que le mobile par fon mouvement inégal fera retourne au point d'où il étoit parti, ]'ay démontre dans la quatrième figure de cette propo- fition que dans le tems que le corps fera monté ou defcen- du delà longueur de AT , il devroit avoir parcouru par fon chemin d'impulfion uniforme le double de AS félon latouchante AS de ce jet; ou bien ce qui eft la même cho- fe , il devroit avoir parcouru d'un mouvement horizontal uniforme la ligne TF ou le double de TS. Mais puifqu'un corps parcourt d'un mouvement uniforme un cfpacc dou- ble de celui qu'il parcouroit par ion mouvement accéléré en tombant, dans le même tems & avec la vitellc qu'il a acquîie à la fin de fa chute , il s'enfuit que le corps étant tombé de la hauteur de TA dans un certain tems il peut parcourir d'un mouvement uniforme une longueur dou- ble de TA dans le méme-tems avec la vitefTe qu'il aura en A. Etpuifquedans le même -tems qu'il parcourt TF d'un mouvement uniforme il doit parcourir TA d'un mouve- ment accéléré , il eft évident qu'il parcourraTS moitié de TFd'un mouvement uniforme dans le même-tems qu'il parcourraTAauffi d'un mouvement uniforme&avcc la vi- teife qu'il auroit acquifc en A en tombant de la hauteur TA , & par confcqueut il faut que les vitefles foient entre- Traite' de Mec an i q_^u e. 2.9^ elles datas la même raifon des lignes TS , TA. Mais par la régie de la chute des corps la raifon des viceflcs ou des tems quieftla même doit être celle des racines dont les quarrés feront les efpaccs parcourus d'un mouvement ac- céléré : c'eft pourquoi le quarré de TA fera au quarré de TS comme les efpaces parcourus en tombant par un mou- vement accéléré depuis le repos. Mais aufi! à caufe que TA cft à TS comme TS eftà TR , la ligne TA fera à TR commcle quarré de TA au quarré dcTS ; & par confe- quentlaviteilequele corps aura acquife étant tombé de la hauteur TA fera à la viteïïc qu'il aura acquilb étant tombe de la hauteur RT , comme TA à TS , & ainfi avec celle qu'il aura en T il parcourra l'efpace TF d'un mouve- ment uniforme dans le même tems qu'il parcourra TA d'un mouvement accéléré. Voicy maintenant comme il faut déterminer lequel des deux jets qui fe font par les paraboles AFD , AHD qui ont un même but D , fait un plus grand eliort au point ou au butD.Si des fommetsF&Hdes paraboles on mené lesligncs F rf, l-îl> , parallèles à l'horizon, lefquellcs foicnt terminées à la ligne BD en <î &r en ^ ; &:: qu'on les divife en deux éga- lement en/ & ent , les lignes / D ,tD feront les touchan- tes des paraboles -, & par confequent l'effort du corps en D par le jet parabolique AFD icra mcfuré par la vitefle uniforme du corps fur la touchante/ D quieft compolée des deux viteiles uniformes D /?, & fa dont D/î cft la niefure de celle que le corps a acquis en D étant tombé de la hauteur a D par un mouvement accéléré , &: par rap- port à fa qui eftla mefure de celle que lecorps a acquis en F étant tombé de la hauteur PF. Et de même l'effort du corps enD par le jet parabolique AHD étant mefuré par la vitefle uniforme du corps fur la touchante / D qui eft com- poféedes deux vitcrtes uniformes D ^ , t ^ & dont D è eO: îa.mcfuredecellequelc corps a acquis étant tombé delà. 3CO Traite' de Mecanicl.ue. hauteur b D d'un mouvement accclcrc ,bct b cft la mcfurc de celle qu'il a acquis étant tombé de la hauteur Qfl , llii- vantcequi acte expliqué cy-devant. Mais pour comparer ces deux vitcfiTes du corps dans les touchantes/'D ,t D , il faut connoître les tcms dans lef- quels le corps doit parcourir ces deux touchantes avec fcs difFerentcs vitcHcs. Et puifqn'il parcourt/4 &: D.idans un même tcms ; &: de même tb&chD dans un même tcms, il fuffif de comparer un de ces tcms. Si l'on prend donc D^ &: Db,i\ faudra rrouver la moicnnc proportionnelle D// entre deux, & l'on démontrera qu'il doit parcourir l'ef- pace .1 D avec la vitefl'e uniforme qu'il a acquife enDétanc tombé de la hauteur h D dans le mc- mc-tems qu'il parcourra l'efpace^ D avec la vitcfFc uniforme qu'il a ac- quife en D étant tombé de la hauteur ^ D. Carpuifque le corps doit par- courir les deux efpaces D en tombant dans un tcms double de celui qu'il cmploïeroit à parcourir ces mêmes efpaces d'un mouvem.cnc uniforme avec les diftcrentcs vitef fes qu'il auroit acquifes en D dans les deux chûtes , & les tems qu'il emploie à tomber par les efpaces /? D , ^ D étant entr'eux comme ^r Da-h D;il parcourra ces mêmes efpaces d'un mouvement uniforme avec (es, différentes vitcffes dans des tems qui feront entr'eux commet D à/.» D. Mais dans les efpaces parcourus d'un mouvement uniforme les tems font entr'eux comme les efpaces ; c'clt pourquoi le tems ./Dctant au tcms hl); comme hDlxb D,le corps qui parcouroit Tcfpace b D dans le tems h D parcourra l'ef- pace h D dans le tems<î D : ce qu'il falloit démontrer. Enfin fi l'on mené h m perpendiculaire à /? D & qu'on prolonge dî jufqu'en m , puifqu'il y a même raifon de /; D Traite' de Mecaniq^us. jqï ^'h m qvie de i^ D à^ / , le corps parcourra l'cfpacc w D &\\n mouvement uniforme avec Ha viteffe compofce des deux bD,bt dans le même temsqu il parcourra f D avec k vkeiïe compofée des deux a D ,fa. Les viteJflTes félon ]ics!igncs/D,;^>î D feront donc cntr'cllcs dans lamême raifon de ces lignes , & par confequcnt les efforts du corps feront dans la raifon de ces lianes /"D ,mD, puifqu'iL' doivent être dans la raifon des vitcfTes ou des efpaces par- courus dans le mêmc-tems. Pour ce qui eft de la pratique, fi l'on donne fadiftance depuis le lieu A d'où fc fait le jet juf- qu'au but D dont on connoît l'élévation DK au deffus de l'horizon ou fon abaiffement au dciTous 3 avec la hauteur AR du jet vertical , ce qui donnera auffi BD depuis le but Djufqu'à la ligne RB parallèle à l'horizon laquelle paffe par le point R : voici la règle pour détermi- ner la ligne par laquelle fe doit faire le jet, Ret^le. Aïanr coupe AD en deux également en N , & aïant me- né MN parallèle à AR, on prendra la moitié de lafom-i me AR , BD qui fera MN , & du quarré de MN onôtera le quatre de AN qui eft la moitié de AD, & du refte on eu tirera la racine quarrée MT qu'on ajoutera à MN ce qui fera N/ ou qu'on en ôtera ce qui feraN/. Je dis que les deux jets par AT & par A / avec la viteffe du jet qui a pu mon- ter verticalement depuisAjufqu'en R, iront tomber en Dj On aura donc dans le triangle ATN ou A / N les deux côtés AN , NT ou AN, N/ donnés, avec l'angle AN T Ppiij 301 Traite' de Mecaniq^ue. quieftégalàlafomme d'un droit &c de l'angle KAD de Tclevation du point D fur Ihorizon, ou à la différence d'un droit &; de l'angle qui eft l'abaiflcmcnt du point D fous l'horizon ; c'cll pourquoi par la Trigonomctrie on çonnoîtraranglcNATouNA/&:ron aura l'inclinaifon de !a ligne AT ou A / par rapport à AD ou à l'horizon AK. .Ladémonftrationdecette pratique dépend d'une pro- priété de la parabole , qui eft que (i l'on coupe NT ou N t en deux également en G ou en ,:^; GM ou * M qui feront égales à la diftahce depuis le foïer O outf jufqu'à l'extré- mité G ou^ du diamètre NG ou N^, fera aufTi égale an quart du paramètre de ce diamètre. On remarquera dans la conftrudion de ce problême, que fi MN eft égale à AN on n'aura point de ligne MT , Sc que dans ce cas la touchante de la parabole ou le jet fe doit faire par la ligne AM,& de plus qu'il n'y aura qu'une feule parabole qui fatisfaflc à la qucftion , laquelle paflcra par le milieu de la ligne MN ; &c que dans tous les autres cas il y en aura toujours deux , car MT ou M / feront tou- jours plus petites que MN. T.xcmple. Si l'on fuppofe que la plus grande portée de la force , ou ce qui eft la même choie, l'amplitude de la plus grande parabole foit donnée de 600 toifcs laquelle fe doit faire par un jet de4f dégrés d'élévation fur l'horizon , ou enfin la plus grande hauteur du jet vertical de 3 00 toifcs , lequel eft toujours la moitié de la plus grande amplitude de tous les jets qui font faits avec la même force ; &: que la hauteur KD depuis l'horizon jufqu'au butDfoitde8 3 toifes,&:la longueur AD 32,0 toifcs , & enfin l'angle KAD de ij .dégrés. .. /i i j\ Par la règle la ligne MN fera de 258 toifes -f &: AN Traite' de Mecaniq^ue. 503 fera de Kîotoifes, la differCttce des quarrés de ces deux nombres fera de 4 iiZ2. dont la racine efl: 203 toifcs& un peu plus. Si Ton ajoute donc Z03 toifcs avec MN de z j 8 -f on aura NT de 4(3 1 -r ; mais fi on l'ôtc on aura N t ^'-^h't- . ,-■■: Maintenant dans le triangle ANT donc on cbnnoît le côté AN de 160 toifcs, le côté NT de 4(^1 toiles 4-, &; l'angle ANT de 105 dégrés fommc de 510 degrés & de i j dégrés pour l'angle KAD, on trouvera l'angle NATou DAT de 5-7 dégrés y 5 minutes ; & par confequcnt l'angle KAT fera de 71 dégrés y y minutes. Et dans le triangle AN/^onconnoîtaufll lesdcux côtés AN de i£îo toifcs & ÎV /^ de 5 ^ -i- avec le même angle ANT ou AN / qu'aupara- vant ; c'eft pourquoi on aura l'angle NA t ou DA ^ de 17 dégrés j minutes, &: KA/de 31 dégrés 5- minutes. Enfin fi le quarré de MN cft plus petit que le quatre de AN , on ne pourra pas faire la fouftraction , &: dans ce cas il n'y aura aucune parabole qui puiffe fitisfiire à laqucf- tion dans les conditions données, ce qui eft frcile à démon- trer par la nature de la parabole. Proposition CXXII. Construction cr ufage d'un injiriiment iini^ n)erfcl , pour le jet des bombes. LaconftrU(fl:iondecet inftrument eft fondée fur cequi a été expliqué en dernier lieu dans la propofition précé- dente , où l'on fuppofe que l'on connoiffe la diftance de- puis le lieu A d'où fe fait le jet , jufqu'au but D où l'on doit tirer avec la hauteur DK depuis le niveau du point A juf- qu'au but D,& la diftance horizontale AK. On fuppofe aufli qu'on connoific la hauteur du jet vertical AR. Cet inftrument n'eft qu'une équaire ordinaire BAC dont l'une des branche AC cft fort longue par rapporta 3 04 Tr a I t e' de m e c a n I q^u e. l'autre AB qui porte un curfcur K lequel coule au long de àc l'arctc extérieure de la branche AB , &; qu'on peut ar- rêter en quel endroit on veut. Ce curfeur K fouticnt le fil d'un plomb P. DansTufagcde cet inftrumcnt il ne faut qu'appliquer la longue brandie de l'cquaire dans le mortier que l'on doit incliner Tant que le fil du plomb qui eft arrêté en un point déterminé K pafle par un point trouvé Efur l'arrctc AC de l'équaire. Les deux branches de l'équaire fontdivifées en parties égales de 10 en 10 ou de jo en yo feulement, qui repre- fentent des toiles &; qu'on fera de grandeur proportionnée aux nombres qui s'y doivent trouver &: à la grandeur de l'équaire , comme on le verra enfuite. Pour avoir le point K où le fil du plomb doitêtrc arrê- té, on prendra AK égal au nombre des toifes de la diftan- ce horizontale AK. Mais pour avoir le point E il doit y avoir fur la branche AC de l'équaire tout proche de l'ar- rête AC qui eft diviféc en parties égales une ligne droite GH parallèle à AC&: diviféc inégalement fuivant la ta- ble qu'on va donner. On marquera d'abord fur lesdivi- iions égales à AC le nombre des toifes AF égal au double du jet vertical AR donné dont on aura ôté KD , ce qui fe- Xadcux MN de lapropofition précédente , &c l'on en ôtcra la grandeur AG égale au nombre des toifes de la diftance AD ; on aura dcmc la partie GF qui répondra à DL fur la ligne OH, & le nombre des parties inégales de cette lio-ne qui font contcnuiis dans DL feront prifes fur OH depuis fon commencement O jufqu'en H , ce qui donnera OH, ou AI qui lui répond en parties égales de toifes. Maintenant fi l'on joint le nombre des toiles de AI avec AS égal au double du jet vertical , on aura AE , ou bien fi on l'ôte de AF on aura Af .ce qui déf^rminelcs deux points E&f par où le fil du plomb doitpaffcr pour donner le jet Ml but D, La Traite' d ï M e c a k i q^u e, j o y La dcmonftration de cette conftruclion cft facile par ce qui a été démontre dans la propoiition précédente , car ce fi'eft que la même chofe hormis feulement que l'on prend des lignes doubles dccclles qu'on y avoir fuppofées , com- me on le peut voir en comparant la figure qu'on y a donnée avec cette conftruction, ce qui fera l'angle KEÀ de cette iigure égale à l'angle RAT de l'autre. Pour ce qui eft de la ligne OH ou AI de cette figure qui cft égale à MT ou M / de l'autre, elle eft donnée parle rapport des divilîions inégales de la ligne OH avec celles de la ligne AC , par ces divifions font déterminées de telle Âec. de l'Acad, Tom. IX. Q^ q ^o6 Traite' de Mecaniq^tje. manicreque fiOLeftrhypoténufe d'un triangle rectangle. Se ODrun de fcs côtés, les parties comprifes dans LK égales en nombre à celles de OH, donneront OH pour l'autre côté du triangle -, & par confcqucnt OH fcrsf la ra- cine du quarré qui eft la différence des quarrés deOL,OK<, Par exemple (i le jetvertical eft de 500 toifcs &qucla hauteur KD depuis le niveau du point A jufqu'aubutD foitde zo toifcsôc ADdcyootoifeSjOnaura pour le dou- ble du jet en aïant retranche KD la ligne AF de 980 toifes. ce qui répond fur la diviiion de la ligne OH au point L du nombre 383 , mais le nombre 700 du point G des parties égales répond aux parties de la ligne OH au point Ddu nombre 196; & la différence entre ces deux nombres qui eft 1 87 , étant cherchée fur la ligne OH tombe au point H depuis Ion commencement O , &c donne fur les parties égales le nombre 686 au point I. Enfin ii l'on ajoute le dou- ble du jet 1000 avec 68 6 on aura AE , ou bien fi on l'ôte on aura A r , ce qui détermine les points E Sec par où doit palTcr le fil du plomb. Si le but D ctoit plus bas que le point A ce fera toujours la même chofc , car comme on connoît la différence de ces deux hauteurs , il n'y aura qu'à changer les lettres &c met- tre A au point D , & D au point A , &: fuppofcr toujours que la hauteur du jet vertical eft au point A qui eft le plus bas. On remarquera que fi la diftance AD depuis le lieu A jufqu'aubutD eft égale au double du jet vertical moins KD , il n'y aura qu'une manière de faire le jet , & fi clic eft plus grande il fera impofîible de tirer au but. Traite' de Mecaniqjje. 507 TABLE POVK SERriR A DIFISER la branche AC de l'équaire. r Cette diyifion cft fortaifcc , car l'arrête ACdc l'cquaire ■ étant divifec en parties égales qui pourront être d'une li- gne chacune & qui rcprcrcntcront tel nombre de toifes qu'on voudra, comme jo, la ligne OH qui lui fera parai- icle fera dmfee dans les mêmes parties & portera les chi- îres des nombres quarrés de fuite , fins qu'on doive avoir cgard au nombre des toifes que reprefente chaque di vifion. On marque les divifions égales des nombres de fuite t,z,j, ôcc. qui doivent reprcfentcr des centaines de toifes. AH . AC AH . AC I 441 4 I 484 n 9 . 5^9 . ^^ 2, ^y^ li 3^ 3 6^6 i^ 49 . 729 , H— 4 784—14 81 . 841 ÎOO y c,oo îj- I2,r . c,^i ^44 ^ 10x4 i^ I<î9 . 1089 IS)6 7 jij^ i^ 2-5^ 8 1295 18 3M 9 1444 15 3<îo . ijii 400 10 i^QQ 2.0 joS Traite' de Mecaniq^ue. Onpourroit faire que la ligne AC fut diviféc de locn 10 toiles au lieu de 50 comme icy, &: mettre vis-à-vis de chaque diviiion les nombres des quarrcs de fuite ; mais le nombre des quarrcs feroit monté trop haut pour être com- modément écrit fur la branche de l'équairc qui auroit du être trop longue pour ces petites divifions , car il faut qu'elle contienne au moins 2000 parties égales fans ce qui doit entrer dans le mortier. Ceft pourquoi on a crû que les divifions qu'on donne icy font fuffifantes pour la pra- tique. Proposition CXXIII. Une corde étant fupfo fée fans fefanteur , on détermine les foids qu'il faut affUqtier dans toutes [es parties , afin qu étant tirées par ces poids tous enjhnble , elle prenne une fgure courbe telle qu'on voudra. Soit la courbe donnée AQRS qui touche 1 horizon AH au point A. Aïant pris fur cette courbe des parties égales cntr'ellcs&: indéfiniment petites comme AQ^,QR, RS, &: par les points AQRS aiant mené des touchantes AB,BD,&;c.quife rencontrent aux points BDE, fi au point Aonclcvcla perpendiculaire AC, & que de quel- que point C de cette ligne on mené des perpendiculaires CQF, CL, CP fur to\itcs les touchantes de la courbe prolongées ou non, &: ces perpendiculaires ér.intprolon- gécs jufqu'à la ligne AH aux points FLP ; je dis que fi l'on fufpcnd dos poids MNOaux rencontres des touchantes de la courbe aux points BDE , & qu'ils aient entr'cux la rai- fon des parties AF , FL , LP , &c. de la touchante en A , ces poids demeureront tous en équilibre dans l'ératoù ils feront pofcs , les extrémités de la courbe étant arrêtées fermes, Onfuppofc icy que les dircdions des poids font parai- Traite' de Me c aïï i q.u £•/" yc^r. Iclcs entr'clles , c'cft pourquoi fi la puillance X qui tire le point B félon AB demeure en équilibre avec le poids M flifpendu en B , &: avec une puiflance Q^qui tire félon la- touchante BD,par la vingt-troifiémc propofition le trian- o-leCAF dont les côtés font perpendiculaires aux direc- tions des puiflanc es & du poids , donnera le rapport de ces ■ trois puiffances en prenant le poids pour une puiflance. Ainfi la puiflance X fera reprefentée par CA,la puiflancc Q^par CF , & la puiffance ou le poids M par AF. Par la même raifon les trois dircûions BD , DE , DN étant données, le triangle CFL rcprcfentera le rapport des puifiances qui leur feront appliquées , c'eft-à-dire de la puifTiincc Q^qui agit félon la dircâion BD par le côté CF qui cft perpendiculaire à BD , de la puiffance N par le. côtéFL,& de la puiffance R par le côté CL. '■[ Mais comme la puiflance Q^demeuremoienne entre X & M , & entre R &: N , il eft évident queces quatre puilTImces XMRN demeureront en équilibre cntr'elles foivant les direftions où elles font. rjro Traite' de Mecakiq^ue,' Ondcmoncrcralamcmcchofcdc la piiiflancc S &: clu poids O fulpeadu en E , &: de toutes les autres de même : c'eft pourquoi tous les poids comme MNO , &:c. demeu- reront en équilibre entr'eux dans les difpolitions où ils font par rapport aux deux puiirances extrêmes X &: T qui retiennent la ligne où ils font fufpcndus. Lcsdirfercns rapports des parties de la ligne courbe & de celles de la ligne droite AH qui leur répondent font des cas particuliers où l'on peut trouver des propriétés particulières, comme fi la courbe étoit une portion de . cercle, il eft évident par ce qui a été démontré cy-devant que le poids qu'on doit appliquer aux arcs égaux du cer- cle feront en même raifon que les différences des tangen- tes de ces mêmes arcs de la corde en commençant au point A , &: le point C fur la perpendiculaire AC étant le cen- tre du cercle. Proposition CXXVI. V o I c Y maintenant comme on peut trouver la fgiire ^une fuferfcie également pefante dans toutes fis parties , laquelle étant terminée par deux lignes parallèles entr' el- les ^ prendra par fit pefianteur la forme d'une courbe telle quon voudra , toutes fies lignes parallèles aux extrêmes étant pofiées horiz^ontalement. ■ Que la courbe qu'on demande foit premièrement un cercle ADR dont le centre foit C , & que fon diamètre C A foit perpendiculaire à l'horizon A B. Si du centre C du cercle on mené les raions CDB" prolongés jufqu'à la touchante AB , & qu'aux points B on tire les perpendicu- laires BG aux lignes CB , & qu'enfin par les points B on tire les lignes MPB parallèles à CA & égales à CG , tou- tes les lignes MP étant appliquées aux points comme D aufqucls elles répondent, &: étant étendues fur la fupcrfi- fïz d'un cylindre droit quia pour bafe le cercle ADR , & Tr a I t e' de m e c a "sr î ci.Tr #; ).rf ^dontlafuperficie touche le plan de l'horizon dans une li- gne qui eft perpendiculaire à AB èc qui paffe par le point A , elles occuperont ou formeront fur la fuperfîcie du cy. lindre un efpace qui fera celui que l'on cherche ; c'eft-à- dirc que cette fuperfîcie cylindrique étant arrêtée par les deux lignes parallèles quipaffcntpar A &: parR, dont celle qui parte en A eft égale à C A , Se l'autre eft infinie, aura la courbure du quart de cercle ADR par fa proprcpefinteur, La ligne courbe AP formée par les extrémités P des li~ gncsMP fera une parabole dont le paramètre eft C A, JÎ2, Traite' de M ec akkjjJ'Jë. Pour la dcmonftration elle dépend de la prcccdentc ipropoficion. Car fi l'on confidere toutes les parties indéfi- niment petites comme DE delà courbe ADR , les parties -BFdelaligne AB reprefcntcront les poids qu'rl fautfufl pendre à ces parties pour fliirc qu'elles aient toutes la dif- polition de la courbure donnée, mais a'iant mené OEV pa- rallèles à ABqui rcncontreCDBenV,on peut confidcrer le triangleDEV comme rectangle cnD àcaufcdc lapctitefTe delaparticDEdelacourbc , & ce triangleDEV peut être aulTi confideré comme fcmblablcau triangle ACB. C'eft pourquoi le rapport de DE à EV fera Icmblable à celui de CA à CB;& celui de E VàFB, ou CV à CB, ou bien CD ou CA àCB,carC V&CDn'ont pas de dilïcrcnce fenfible/era auiîi femblable à celui de CB à CG. Donc en raifon égale le rapport de DE à FB fera le même que celui de CA à CGoubien MBàMP. C'cftpourquoi fi toutes les lignes MB reprefentent les parties indéfiniment petites de la courbe ADR , ou bien le poids de la première partie pro- che de A, toutes les autres lignes MF reprefenteront les poids des autres parties qui doivent repondre chacune à leurs divifions : &:c'ell ce qu'il £illoit démontrer. Onpeut encore trouver d'une autre manière fur lecy- lindre qui a pour bafe le cercle ADR, & qui efl: couché fur le plan horizontal , la figure de fa fupcrficie qu'on vient de déterminer. Si par le point D on mené la ligne NDQ^paralIele & égale à CG qu'on a trouvée cy-dcvant, tous les points Q_ fe trouveront dans une efpece d'hyperbole , dont la ligne RT fera une Afymptote , & dont les quarrés de C A ou NS multipliés par NQ^ feront égaux aux cubes dcCAavec le quatre des parties AS multipliées par NQ. Mais toutes les lignes NQ^étant étendues fur la fupcrficie du cylindre par les points D de la bafe qui leur répondent , elles donne- ront fur la furfacc du cylindre la rnêmc figure qu'on a-voic trouvée Traite' de Mecaniq^ue. 315 trouvée cy- devant, ce qui efl évident par la conftru- ilion. On auroit auflî la même figure fur la fuperficie du cy- lindre dont ADR eft la bafc Se qui cft couché fur le plan Jiorizontal , fi elle étoit coupée par la furface d'une autre iîgure cylindrique droite dont la bafe feroit la figure hy- perbolique infinie GAQpofée fur le plan horizontal. Mais fi l'on fuppofe pour un autre exemple que la figure que doit prendre le plan foit une parabole ADR,& que DE foit une des parties indéfiniment petites de la ligne parabolique ADR. Parla précédente propofition fi l'on prend fur l'axe AF de la parabole quelque point comme C , duquel on mené des _, perpendiculaires CS , CB jj : fur les lignes qui touche- ront la parabole aux points D ôcE, on aura le rapport des parties de la parabole DE aux poids BS que l'on doit y fufpcn- dre. Mais par une pro- priété de la parabole, fi CA eft gale à la moitié de fon paramettre les lignes CS , CB perpendiculaires aux touchantes , rencontreront la ligne horizontale AB aux pomts SB où les parallèles à l'axe DS , EB menées par les pomts DE les rencontreront auiïî. C'cft pourquoi le rapport des petites parties DE de la courbe à leurs poids BS ou El , feront comme l'hypotenufe DE au côté El du petit triangle redangle EDI. Mais le triangle EDI eft femblable au triangle CSA ouCAG, dont l'angle droit G fera au demi cercle décrit fur le diamètre CA : c'eft pourquoi ED fera par tout à fapefanteur El conme AC AVf o (sle l'Acad, Tome. IX, Rr 314 Traite' de MECANiq^tiE. àCG. Et fi l'on prolonge la ligne DS , &: qu'on fafTc SQ_ égale à CG , & qu'on mené HN parallèle à_ AS & qui en foit éloignée de la diftance AH égale à AC , toutes les li- gnes SN rcpréfenteront les parties égales de la courbe, ou bien le poids qui doit être appliqué à la partie la plus pro- che du point A , &: toutes les lignes comme SQ^reprefcn- teront les autres poids qui doivent être appliquées aux autres parties comme DE , qui leur répondent dans la parabole. Si Ton conçoit donc qu'il y ait un cylindre droit couché fur le plan horizontal , ôi'que la baie de ce cylindre ou figure cylindrique foit la parabole , & quela fupcrficie de ce cylindre foit rencontrée ou coupée par la fupcrficie d'un autre cylindre droit dont la bafe foit fur le plan hori- zontal la figure S AHQ, dont la courbe HQ^foit formée par tous les points Q_trouvés comme on afaitcy-dcvant . la figure retranchée fur le cylindre parabolique, depuis fa bafe fera la figure de la fupcrficie qui doit fe mettre en courbe-parabolique telle qu'on l'a donnée, parla propre pefanteur de fcs parties. 'Onaurolt aufli la mcmefigure fur la fupcrficie du cy- lindre parabolique fi l'on plaçoit fur fa fupcrficie félon fa longueur , les lignes comme CG a. tous les points D qui Içur répondent. On trouvera que la ligne HQjcft une courbe de telle na- ture , que le quarré-quarré de C A eft égal au quarré de CS multiplié par le quarré de SQ. On peut voir par ces deux exemples que ce fera tou- jours la même chofe pour toutes fortes de courbes telles qu'elles puiifent être, & qu'on pourra toujours détermi- ner fur un cylindre droit couché fur l'horizon &: dont la bafe eft la courbe donnée, la figure que doit avoir la fu- pcrficie qui doit picndre cette même courbure par fà pe- fanteur, èc qui eft arrêtée par deux des lignes du cylin- Traite' de Mecaniq^ue. jij dre , dont l'une touche l'horizon en A , & l'autre lui eil parallèle en quclqu'autre endroit de la furface du cy- lindre. ► PropositionGXXV. O N détermine icy U charge qu'on doit donner à chaque pierre ou voufToir , comme parlent les ouvriers ^ dont on forme des arcs ou des voûtes , afin qu elles puijjient demeurer toutes en équilibre , quand même leurs lits^ oujuperjîcies par le [que lies elles Je touchent feraient infiniincnt polies ^ qu' elles pourroientglifer l'une contre l'autre fans aucun em- pêchement, C'cft une des plus difficiles queftions qu'il y ait dans l'Architcdure , que de fçavoir la force qu'on doit donner au murs & aux pié-droits qui foîiticnnent des voûtes &c des arcs , pour refiftcr à l'eftort que tont les vouffoirs qui les forment, pour les écarter. Les Architectes ont quel- ques régies pour connoître les épaifleurs qu'on leur doit donner,mais comme elles ne font point fondées fur aucune démonftration géométrique , on ne peut pas dire qu'elles foient affcurées. L'expérience leur a feulement appris de ne point conftruire les voûtes fans que les piliers burtans qui les doivent foùtenir , foient conftruirs , ou fans que les murs d'où les voûtes tirent leur naiilancc foient entière- ment élevés , bc qu'ils aient une charge fuffifante pour re- fifter à l'eftort de la voûte. Cette propofition n'elt qu'une converfe de la précé- dente : car que la voûte foit circulaire bc que Icsvouffbirs qui font égaux, foient réduits à leurs centres de gravité ABDE. Puifque les lits des pierres ou vouffbirs font fup- pofés infiniment polis, on les doit feulement confidcrer pour la dircftion de la pcfanteur des voufToirs. Si l'on donne donc telle jefanteur qu'on voudra au premier Rr ij 3i6 Traite' de Mecakicl^e. vouiroirEquieftla clef, la dircdion EC de cette pefan^ teuL- étant félon la ligne EC qui tend avi centre de la terre , fera perpendiculaire à rhorizon Mais comme cette clef eftfoutenuë fur les lits FG,HI des deux côtés, lefquels tendent au centre C de la voûte dans cet exemple, il faut confidercr , comme on a fait dans le coin, que le point pefant E qui a fa diredion EC , eft foutcna par les puif- Hinccs Gl qui ont leurs dirc£lions EG, El perpendicu- laires chacune aux joints FG , HI. Et parlavingt-troifié- me propofition les diredions des trois puifTanceEGIétant EC , EG , El ; fi l'on mené par le point E la ligne KELP perpcndiculaireàECjOn aura le triangle CKL dont les côtés rcprefentcront le rapport des deux puiflanccs & du- poids du vouffoir E qu'elles foutiennent. C'ell-à-dire qucKLeft lapcfanteurdu vouifoir E, & CL Se CK les deux puilTances qui le fouticnncnr félon les. directions EG , El perpendiculaires aux joints F G , HI, Mais fi l'on veut maintenant que la pefanteur du vouf- iToir D , qui eft appuie fur fon lie MN , & par fon autre lie FG contre celui de la clef E qui lui eft commun , foutien- ne ou faflc le même effort que faifoit la puiffance G ; le jouit CMN étant prolongé en O ]ufqu'à la rencontre O delà ligne EP, le triangle CLO donnera le rapport des trois puiiTances GDN,dont G étoit reprcfentéc dans le triangle CKL par la ligne CL, la pefanteur D du vouffoir le fera par la ligne LO , & la puiffance N qui le foutient par fon litMN fera exprimée par rapport aux autres par la ligneCO : car les trois côtés de ce triangle font perpen- diculaires aux direétionsdcs deux puiflances G N , & du poids D du vouffoir dont on fuppofcladireftion parallèle à celle du vouffoir E. Ainfi le rapport de la pefanteur de la clef E à celle du premier vouffoir D qui la luit fera comme KL à LO , afin que ces deux vouffoirs demeurent en équilibre , &c que l'un ne puiffe pas pouiler l'autre. Traite' de Mecanic>ue, 517 îl faut fuppofer que la puiflance I demeure toujours de l'autre côte de la clef pour la foutcnir. On démontrera de même que le voufFoir B qui a fan lit MN commun avec celui du voufToir D & qui s'appuïc fur celui dedcJfous RQ^, doit avoir fa pefanteur reprefen- tée parOP qui eft la partie de la ligne KL comprife entre le point O & le point P où le joint CRQ_la rencontre j cette pefanteur étant déterminée par rapport à celles des deux autres V ou flToirs ED rcprefencées par les lignes KL, LO. F , Enfin il s'enfuit que la pefanteur du dernier voufloir A ,oudupremier qui commencer former la voûte & qui eft pofé au dcffus du couffmet-ou del'impofte, doit être infinie ;puifquc la ligne es qui rcprefentc le lit ducouf- fmet , ne fçauroit rencontrer la ligne KL , à caufc qu elle lui eft parallèle ; & c'cftce qui doit arriver à ce voufToir A dans la fuppofition des lits infiniment polis. Car de quel- que pefanteur que puifle être ce voufToir A, la moindre force qui le pouffera félon la dircaionBQperpendicu- iaireàfonlicRQ, l'écartera du point C, comme on le Rriij j 1 8 Traite' de M ï c a n i q^u ë. peut voir par les perpendiculaires menées aux trois di- redions , dont il y en a deux ATqui font jointes enfemblc , l'une étantcellc du poids du vouflbir , &: l'autre celle de la puilTance T perpendiculaire au lit du coullinet ST i c'eft pourquoi il ne peut pas le former de triangle. On voit par-là que dans cette fuppofition des lits infini- ment polis, onncfçauroit donner une trop grande char- ge au premier vouflbir pofé fur l'impofte &: aux autres cnfuite dans la proportion des lignes PO , OL , LK pour leur faire foutcnir l'cftort de la clef qui les écarte tous. Mais comme les lits des pierres font joints les uns aux au- tres par une matière qu'on met entre deux 8c qu'ils ne peuvent pas glilTcr l'un contre l'autre, il n'eil pas befoin de garder la proportion qu'on vient de déterminer pour la charge des voufToirs dans toute la rigueur , il fuffit d'y avoir égard Si les joints ou lits des voufibirs ne tendent pas à un mê- me centre , comme dans les voûtes circulaires , il faudra prendre quelque point comme C fur la ligne CE qui cft la dirediondelaclcf , & mener de ce point des parallèles aux joints des voufToirs , lefquelles couperont de la ligne KLP perpendiculaire à CE, des parties qui rcprcfente- ront le rapport des pcfantcurs des voufToirs, ou bien des charges qu'on doit leur donner pour rcliftcr à l'effort de la .clef, ccqui eftla même chofequc leur pefanteur propre. On voit auffi que toutes les différentes pefanteurs des .voufToirs doivent être dans la raifon des différences des tangentes des angles que font les lits en commençant au milieu de la clef, ce qui revient à ce qu'on a dit des cor- des chargées de poids dans la propofition cent vingt-troi- iiéme. On voitencore-queles premières pierres delà vouteau deffus du coufDnct ne fçauroicnt être trop chargées pour rcfifter à l'effort de la clcf&: des autres qui les pouiTcRt pour les écarter.. Traite'' de Mécanique. 315 Proposition CXXVL D E la rcjijliincc desfolides. . , . . . Toute la queftion de la rclîftancc des folidcs fe réduit au levier ordinaire , après qu'on cft convenu de la nature des liens qui tiennent les parties du lolidc jointes & aflem- blées les unes aux autres. Mais comme il eft impofllble d'avoir uneconnoiflancc parfaite de ces liens , il fautnc- ccllaircmenr faire quelques fuppofitions par lefquelles on puiffe expliquer ce qui arrive aux corps folides dans la re- îîftance qu'ils ont a être rompus. Onpeutpremicrcment fuppofer que les liens ne fçau- roient prêter ; mais alors une très-petite force eft capable de rompre le premier , & tous les autres enfuitc , comme ie l'ay expliqué en parlant du coin ; ou bien on pourra confiderer tous cç:% liens comme autant de petites puiflan- ccs qui refiftent toutes cnfemble à l'effort qu'elles foutien- ncnt , & c'eft dans cette fuppofition que Galilée explique la rcliftance des folidcs. Enfin on peur fuppofer que les liens peuvent prêter ou s'allonger jufqu'àun certain point avant que de fc rompre , & c'eft de cette manière que M, Mariette explique la reliftance des folides dans le fécond difcours de la cinquième partie du mouvement des eaux. Cette fuppolitionparoît plus conforme que celle de Ga- lilée , à ce qu'on remarque dans la rcfiftance que font les corps folidcs pour être rompus : c'eft pourquoi je m'en fer- virai dans les explications fuivantes , & elle ne peut s'é- loigner quetrès-peu decequej'avois fuppofé d'abord. On fçait par expérience que les corps longs , comme un bâton qu'on tire fuivant leur longueur , refiftent à un très- grand effort , &: qu'au contraire fi on les tire de biais , il ne faut qu'une très-petite force pour les rompre. Si l'on fuppofc donc qu'il y ait un corps ECD qui foit parallèle- ^iQ Traite' de Mecakiq_^ue, pipede&qulait un reftangle pour fa baf e , dont un des côtés eft parai Iclc à l'horizon , ôc que la partie E foit en- gagée fortement dans le mur AB; la partie ABD de ce corps pourra fcféparer de la partie E ou par fa propre pe- fanteur toute feule ou par le fecours de quelque poids qu'on lui pourra ajouter ; & la féparation doit fc faire né- ceflairement dans l'endroit AB où le mur rencontre le corps. Mais fi l'on conçoit que les liens qui font dans le corps peuvent s'allonger d'une quantité déterminée comme d'une ligne avant que de fc rompre , &: qu'il faille 600 li- vres de poids pour rompre le corps en le tirant fuivantfa longueur. Je dis fuivant les fuppofitions précédentes , quecomme Bl qu'on prend égale à la diftance depuis le centre de gra- .vité C du corps jufqu'au mur ABj eft .à la liautcurBA du corps , ainlî le tiers de 600 livres , qui eft zco livres , fera au nombre des livres qu'il faudra que le corps pefe dans fon centre de gravité C , ou par lui-même ou par addition ou fouftraction 5 pour fe rompre , étant tiré perpendicu- lairement à fa longueur ou à l'horizon. Puifque le poids de 600 livres peut allonger d'une lio-ne tous les liens qui font dans la grofleur du corps par où il tient au mur ; il eft certain qu'il ne faudra que le poids de 330 livres pour les faire allonger d'une demi-ligne. Mais le corps étant foutenu de telle manière que la ligne hori- zontale qui pafTe par le point B lui ferve d'appui , & que fa pcfanteur étant confiderée dans fon centre de gravité C ou au point I dans la ligne BD perpendiculaire au mur dans l'endroit où la diredion CI du poids la rencontre on pourra prendre les lignes BI , BA comme faifint un levier angulaire ABI, qui a fon appui en B, & dont les dircdions Traite' ds Mecaniqjl'e. jzi direftions des puifTances qui lui font appliquées font per- pendiculaires aux bras. Si l'on fuppofc les bras BI, BA égaux le poids de éoo livres pourroit rompre tous les liens du folidc s'ils étoient tous dans l'éloigncment B A de l'ap- pui B , lorfqu'ils feroient étendus de la longueur AG d'une ligne ; mais ces liens qui font appliqués depuis B jufqu'en A font feulement tendus dans la proportion de leur dif- tance depuis l'appui B , & de plus ils ne peuvent faire d'ef- fort que par rapport à cet cloignemcnt : c'cft pourquoi tout leur effort fc réduit par ces deux caufes de diminution au tiers de ce qu'ils en auroient , s'ils étoient tous appli- qués en A, ce qui fe démontre par la fomme des quarrés des parties, qui eft le tiers d'une pareille fomme du plus s;rand quatre; & parconfcquentil ne faudra que le poids de zoo livres en I pour foutenir leur effort dans la tcnfion. où ils font. !B ïl On démontre auflî que tous ces liens font le même effort aupoint I dans ladiftanceBIégaleàBA , que le triangle BAG fufpcndu dans fon centre de gravité F, BF étant égale aux deux tiers de B A ; car dans le point F le triangle qui eft la moitié du parallélogramme fous BA , AG & qui foutiendroit l'effort de 300 livres en A, ne foutient que l'effort de 200 livres en F , contre un poids fufpcndu en I. Enfin (i BI eft plus grande ou plus petite que BA , il eft évident qu'il faudra faire comme BI à B A , ainfi zoo livres au nombre de livres qui tcront le même effort que 100 li- vres faifoicnt à la diftcUice de BA fuiBD, par exemple fi £ec. de l'AC'id, Tome IX. Si 3 il Traite' de M e c an i q^i,' e. BI cftàBAcommc loà i , le poids de lo livres rompra le lien AG. Ce premier lien étant rompu rous les autres doi- vent fc rompre , comme je l'ay explique d'abord :& c'efl: ce qu'il falloir démontrer. Il s'enfuit de cette démonftration que tous les corps fo- lides de même matière lefqucls feront engagés dans un rnur& qui auront une même longueur &c une même hau- teur , le rompront par leur prompre pcfanteur fi l'un d'eux peut fe rompre ; puifque le nombre des livres qu'il faut pour rompre ces folides en les tirant par leur longueur , fera par tout dans la même raifon des folides , qui eil aulTi la raifon de leurs bafes , & fi le tiers de ce nombre cft à la pcfanteur du folidc comme BI à BA , il fera auflî de même dans tous les autres , &: par confequcnt les folides fc rom- pront par leur propre pcfanteur. Mais fi les folides ont des hauteurs BA différentes , le tiers du nombre des livres qu'il faut pour les rompre en les tirant par leur longueur ne fcrapasdanstousàleur pcfanteur comme BI àBA; c'eft pourquoi ceux dans lefquels la raifon de BlàB A eft moin- dre que le tiers du nombre des livres qu'il faut pour les rompre en les tirant, à leur propre pcfinteur , ne fe rom- pront pas , quel que puiile être leur largeur. Trohlème. Un corps de figure parallepipcde étant donné avec le nombre des livres qu'il doit avoir pour fc rompre étant tiré fuivant fa longueur , & fa pcfanteur étant auili don- née, trouver la longueur d'un corps de même matière, qui aïanc une hauteur &: une largeur donnée puiflc fe rompre par fon propre poids étant arrêté horizontale- ment & perpendiculairement dans un mur qu'on fuppofc vertical. Soit par exemple la groficur ou la bafede deux pouces en quarré pour le parallclepipcdc qui fc rompt étant tiré. Traite' de Mecaniq^ue. 515 fiiivanc fa longueur telle qu'elle puillc être , avec un poids de 5-0 livres ; & que la bafe ou la grofrcur du parallélépi- pède qu'on cherche qui eft aulli fa coupe dans le mur où il eft arrêté , foit de i x pouces dont 6 feront la hauteur & z de largcur.Il eftévident que ce folide qu'on fuppofe d. mê- me matière que l'autre ne pourra fe rompre étant tiré fuivant fa longueur, qu'avec un poids de 300 livres ,puif. qu'il a fix fois plus de liens que l'autre qu'il faut rompre, ou dont il faut vaincre la réfiftance. De plus , qu'un pied cubique de ce même corps pefcc»^ livres. Si l'on divife donc les lyzS pouces cubiques qui font au piedpar lagrofifeur de 11 pouces du folide don- né , on aura 144 pouces de longueur de ce même folide, qui peferont 96 livres. Mais puifque le corps doit être rompu par 300 livres 'étant tiré par fa longueur, il fera rompupar le poidsdc ï 00 livres qui eft le tiers de 300, ce poids de r 00 livres étant appliquée la longueur du corps à une diftance de l'appui B égale à fa hauteur BA avec une diredion per- pendiculaire à la longueur 5 comme on l'a démontré cy- devant. C'eft pourquoi fi l'on multiplie les 100 livres qu'il faut pour rompre le corps par BTégaleàBA qui eft de 6 pou- ces , on aura un moment de 6 00 , & toute laqu?ftion fe réduit à trouver la longueur BN d'une partie du folid:e propofé BM , enforte que ce folide BN ait fon moment de 600 égal au moment donné. Puifque l'on doit retrancher une partie BN du folide BMqui a pour fi bafe un parallélogramme de deux pou- ces de largeur &; de 6 pouces de hauteur , il ne faut feule- ment qu'avoir égard aux longueurs, puifqu'cllcs feront cntr'elles comme les folides -, on confiderera donc ces lon- gueurs BM , BN comme des lignes pcfantes. Mais la lon- gueur de la ligne BM eft donnée de 1 44 pouces & {a pe- fantcur de 5) 6 livres. Sfij 324 Traite' de Mecaniq^ue. - Si l'on élevé donc MQ^pcrpcndiculairc & égale à BM &: qu'on mené BQ^, le triangle BMQ_reprelcntera le mo- ment de la ligne pcfante BM , qui fera égal au produit de la moitié du poids par la ligne BM, ce'qui fera dans cet exemple le produit 65,11 de 48 moitié du poids par 144 longueur de BM. C'efl; pourquoi (i l'on fait comme le pro- duit 6p 1 2. qui cft le moment du poids BM à 60 0 , qui cft la moment du folide BN qu'on doit retrancher ainfi BMà BV ; &: qu'enfuite on prenne BN moïcnnc proportion- nelle entre BM & BV ; aiantmcné NX parallèle à MQ^. il eftévidentque le triangle BNX fera au triangle BMQ^ fonfemblablc, comme BVàBM ; & par confcqucnt le triangle BNX fera 600 par- rapport aux 691 1 du trian- gle BMQ^ Mais aulli le triangle BNXreprcfcnte le moment de la ligne pefantc BN qui eft partie de BM. fuppoicc de 96 livres: on aura donc BN pour lon- gueur du folide que l'on cherche , qui par fon ef- fort doit rompre les liens, de Çx bafe BA , ce qu'il fal- loir faire, lorfquc la bafe ou la rencontre du mur &: dufo- lide eft une figure rcdangulaire qui a l'un de fes côtés pa- rallèle à l'horizon. Maintenant file parallélépipède donné n'a pas pour fa bafe ou fa rencontre avec le mur BAune figure rcdangu- laire dont l'un des côtés foit parallèle àrhorizon,iI eftVa- cile.\ voir qu'il faudra trouver dans cette bafe le point F où le plan parallèle à l'horizon qui parte par le centre de gravité du coin ABRSG rencontre le bras BA du levier^ &: faire enfuite comme BI ou B A à BF , ainfi la pcfanteur Traite' d ë M e c a n i q,u ë; 3 tf du coin ARSBG par lapporcàlapefantcurduparallelcpi- pcdc furlabafe ARBS & l'ur la longueur AG, lequel cft pofcégalau poids qu'il faut pour rompre le parallélépi- pède en le tu-ant fuivant fa longueur , à un quatrième ter- me qui fera le poids qu'on doit fufpendre en I. Ce coin ARSBG eft forme par la fedion du parallélé- pipède propofc dont ARSB cil; la bafc &: le plan coupant BKGL qui coupe la ligne AG qu'on fuppofelelien le plus éloigne de l'appui B , de la quantité dont il doit s'allonger- pourfc rompre , Se qui coupe aulfi la bafc du parallélépi- pède dans une ligne BX horizontale. Car comme on a déjà, dircy-devant, fi l'on me- né par tous les points du levier BA des plans pa- rallèles à 1 horizon qui retranchent du coin des figurcsHTKL,ellesdoi- vcnt reprefentcr cha- cune l'etfort du lien qui. cft en HT par rapport à fa plus grande exten- Con pour fe rompre , qui cft AG. Car HT cft la longueur dulicn , & HL ou TK eft fon extenfion ; & tous ces liens avec leurs extenfions par- ticulières agiflant fuivant leur éloignement de l'appui B feront le même eftbrt feparemcnt dans la place où ils font, que fi ils étaient tous placés dans leur centre de gravité commun, qui cft celui du coin. C'cft pourquoi fi par le centre de gravité du coin on mené un plan parallèle à l'ho- lizon qui coupe le bras du levier BA au point F , & qu'on faflc comme BI ou B A à BF , ainfi la pcfantcur du coin comme on vient de la déterminer , à un quatrième terme ce fera le poids , qui étant fufpcndu en I rompra le lica Sfiij. 5 2.6 Traite' de Mec an i clus. en A j&rquiparconfcqucnt rompra aufll rous les autres. On réduira cette pcfantcur trouvée comme on vient de faire pour déterminer la longueur du folide par laquelle il doit fe rompre. On n'a point eu d'égard dans ces dé- monftrations au changement de place qui arriveau cen- tre de gravité du corps quand fes liens s'allongent avant que de fe rompre. On voit par ce qu'on vient de démontrer, que fi un parallélépipède a une certaine longueur BM par exemple de 6 pieds pour fc rompre par fon propre poids, lorfqu'il fera arrêté dans un mur ABpir l'une de fcs extrémités, il faudra qu il en ait une double de BM pour fe rompre lorfqu'il fcrapofé fur un appui B par fon milieu. Car le parallélépipède avec la longueur BM étant ar- rêté dans le mur en ÀB aune pcfanteur aifez grande pour écarter les liens qui font en AB enforte que celui qui eft en A ait toute l'extenfion dont il eft capable , mais il n'a cette force que parce qu'il eft retenu dans le mur , il faut donc ajouter un parallélépipède de l'autre côté de l'appui le- quel foit égal a. BM pour faire le même eftort que le mur , puifque ce parallélépipède demeurera en équilibre avec BM fur l'appui commun B -, &: le parallclcpipcdc entier double de BM pofé fur l'appui B dans fon milieu fe rompra. de même que BM arrête dans le mur par fon extrémité. Galilée dit qu'un cylindre foLitenu par fon milieu doit être double de ce qu'il étoit auparavant étant arrêté dans lemur; & cela eft vray dans la fuppofition qu'il a faite de la nature des liens qui joignent les parties des corps , com- me dans celle que nous avons donnée icy. Il dit aufli dans le même endroit que ce cylindre doit fe rompre de même , foit qu'il foit foutcnu par fon milieu ou par fes extrémités : mais il n'a pas fait aflcz d'attention à ce qu'il a avancé , &: s'il s'étoit donné la peine d'en fuivrc la démonibration jufqu'à la fin , il auroic trouvé que dons Traite' de Mecaniq^ue, 317 fa fuppofition des liens , ce cylindre ne doit avoir que la moienne proportionnelle Ni entre MT &: fa moitié MB. Car dans fa fiippolition lorfque le cylindre MT étant foutenu en B doit ic rompre par la pefanteur de chacune de fcs parties ABM , ABT , il faut prendre garde que ces deux parties de cylindre font comme deux leviers angu- laires MBA , TBA qui font joints par leur bras BA avec des liens qui reliftcnt également dans la longueur B A , enforte que toute leur rciiftance peut être confideréc dans leur milieu Z entre A & B. Mais auiîi le poids du cylindre ABM qui fait équilibre avec les liens deBA^ doit être confidcré comme placé au milieu de MB en V où eft fon centre de gravité. Ce fera la même chofe pour le poids du cylindre ABT qui doit être confidcré comme placé enX- au milieu de BT. Maintenant puifque le poids du cylindre AM multiplié par BV eft le moment de cette partie du cylindre, &: que ce fera la même chofe pour l'autre partie AT ; il faut que le cylindre ait fa longueur NS, afin qu'étant foutenu en N & en S , il ait en B un moment double des précédens pour pouvoir faire fur les liens qui font en BÀ le même cifort qu'y faifoient auparavant chacune des parties ABM , ABT. Car le cylindre NS étant confidcré comme im levier NS qui eft foutenu en N & en S,&c qui eft charge en B d'un poids égal à tout le cylindre NS , il cftévidenc •318 Tti. a I t e' de m e c a N I Q^U e." que la moitié de ce poids multipliée par la longueur du bras NB fera un moment égal au moment de la partie ABM du cylindre fur la longueur du bras BV ; &: comme ceferalamcmcchofcdc l'autre côté, le cylindre NS étant foutenuenN &:en Sfcra le même effort fur les liens qui font en BA , que les deux parties du cylindre MT y fai- foient quand il étoirfoutcnu cnB, car ce fera comme deux leviers coiidés qui font alors OAB, PAB, &: qui étant joints par la partie A B ou par le fcul lien Z au milieu de AB , font chargés au point A de toute la pefantcur du cy- lindre ONPS. Il taut fuppofcr que les foutiens en N &: S , ou O & P font des fils ou cordes infiniment longues , afin de laiffcr toute la liberté àl'adion que la pefanteur du cylindre fait fur le lien Z. On démontrera aufTi de la même manière dans notre fuppofitioi; des liens , que quand le cylindre fera foutcnii par les extrémités , il faudra qu'il ait la longueur NS moïenne proportionnelle entre MT&: fa moitié VX, 8c par confcqucnt le cylindre N S confideré comme un levier OP chargé du poids de ce cylindre en A &C foutenuenO & en P fera le même effort fur les liens qui font en BA qu'y faifoient les deux parties du cylindre BM , BT ; mais quoique dans notre hypothéfe des liens on détermine la même chofc pour la fraéiion du cylindre quand il eft fou- renu par le milieu ou par les extrémités , que dans l'hypo- théfc de Galilée, il ne s'enfuit pas que le même cylin- dre doive fe rompre ^ar fon poids dans les deuxJiypo- ihéfes. Dans la fuppofitlon que j'ay faite des liens , s'il y aune demi-parabole AN MB qui foit fans pefanteur dont MB foit l'axe; & que cette fupcrficic parabolique foit attachée dans un mur vertical par l'une de ks ordonnées AB qui ibit auffi verticale, & qu'il y ait danj ABdes licns^:els .qu'on Traite' de MECANiQ^tTE. 31,9 qu'on les a fuppoféscy-dcvantjenforte que lorfquc celu^ qui cft en A fera étendu de toute fon cxtcnfion AG , il fc puiffc rompre par la pefanteur du poids P fufpcndu au îbmmet de la parabole en M. Je dis que fi l'on arrête dans le mur la même parabole par une autre de fcs ordonnées , comme LN , le poids P fufpendu en M pourra auiîi étendre tous les liens qui font dans LN , enfortc que celui qui eft en N , fera étendu de la grandeur HN égale à AG ; & par confequcnt que ce même poids P pourra feparer aulli tous les liens oui font cnLN ■::.. :. • ■• - '■- :-' " " ' Par ce qui a été démontré cy-devant , û l'on prend BI égale à BA , & qu'on rufpcnde au point I un poids égal au tiers de celui qui peut étendre tous les liens qui font en B A , de la longueur AG en les tirantpcrpendiculaircmenc a BA , jufqu'à les rompre ; ce poids en I pourra les rompre tous. Ce fera la même chofe fi l'on fait LY égalcà LN , & qu'on fufpende en Y un poids égal au tiers de celui qu'il faudroit pour étendre les liens qui font en LN delà grandeur NH égale à AG en les tirantauHi perpendicu- lairement en LN. iiVr. de r.iuii. Tom. IX. ' Tt 5 3© Traite' de Mecaniqjje. Mais puifquc NH eft égale à AG , le tiers des liens de 3 A fera au tiers des liens de LN , ou ce qui eft la même chofe, le poids I fera au poids Y, comme BAàLN, ou comme BI à LY : donc le moment du poids I fufpcndu à l'extrémité I du bras BI d'un levier fera au moment du poids Y fufpcndu en Y à l'extrémité Y du hras BY d'un levier , comme le quarré de B A , au quarré de LN ; car les poids I & Y font cntr'eux dans la même raifon des bras BI , LY , ou BA, LN. Mais par la propriété de la parabole le quarré de BAeft au quarré de LN , comme MB à ML : c'eft pourquoi le moment du poids I eft au moment du poids Y comme MB à ML. Mais auffi le poids P fufpcndu en M à l'extrémité des bras MB ôc ML aura fcs momens dans la même raifon de ces bras MB , ML : c'cft pourquoi fi ce poids P fufpcndu à l'extrcmité du bras BM a fon moment égal à celui du poids I fufpcndu à l'extrémité du bras BI, lorfqu'il fera fufpcndu à l'extrémité du bras ML, il aura aufti fon mo- ment égal à celui du poids Y fufpcndu à l'extrémité du bras LY ; & par confcquent fi le poids P fufpcndu en M peut étendre les liens qui font en B A, enforte que celui qui eft en A fc rompe , il pourra aufti étendre ceux qui font en LN, enforte que celui qui eft en N fc rompe auffi ; &: c'eft ce qu'il falloir démontrer. Galilée trouve auili que la fi- gure parabolique a la même propriété dans fa fuppolition des liens. Puifque nous avons trouvé que le poids P fufpcndu à l'extrémité M de l'axe BMdc la parabole peut rompre tous les liens qui font en BA dans notre fuppofition , en étendant le dernier qui eft en A, de la grandeur AG , lors- que la parabole eft engagée ou arrêtée dans le mur par une de fes ordonnées comme BA ; (i l'on fuppofe qu'il y ait une double fuperficie parabolique TAM , enforte que BA foit une ordonnée commune pour les deux paraboles Traite' de Mecaniq^ue. 331 égales Ta , MA qui ont leur axe dans la ligne droite TBM , & que le plan de ces deux paraboles foit fuppofé vertical , & leur axe TM parallèle à l'horizon ; fi l'on fou- tient ce plan par le point B , il cft évident que le poids P doit êtrefufpendu en M & en T, pour étendre les liens qui font en BA , de la même manière que le poids P les étendoit quand la parabole BAM étoit arrêtée dans le mur en BA. Car ce poids P fufpendu en M fait le même efc fort qu'il faifoit auparavant fur les liens Oj^ui font en BA Sc le même poids P qui eft fufpendu de l'autre côté en T fait équilibre avec celui qui eft pofé en M , & lui refifte pour faire l'eftort fur les liens de même que le mur faifoit aut» paravant. Maintenant fi l'on fouticnt les points M &T de cette double parabole , &: qu'on fufpcndc ou qu'on pofc au point A un poids double du poids P, il eft évident qu'il doit faire le même cfFortpour rompre les liens qui font en BA. Car ce poids double de P appliqué en A ou en B dans fa di- rection AB,fera autant d'effort à pouffer le levier TM par fon milieu B ,&: fe partagera fur les deux appuis T & M, comme lorfque les poids égaux à P y étoient fufpcndus , & que l'appui en B pouffoic le levier ; c'eft pourquoi il doit arriver le même effet. Ce fera la même chofc file double axe TM cft plus petit qu'il n'a été pofé d'abord. Car fi l'on joint deux portions de la même parabole égales chacune à LNM , il Ttij 3 3 X Traite' de M e c a k i qjt e.' doi: arriver le même eftcc quand on pofcra au milicule même poids double de P. Puifque nous avons vu que le poids P fufpcndu en M faifoit le même effort fur les liens LN de la portion LMN de la parabole , que fur les liens B A de la portion BAM , quand ces portions croient arrê, tccs dans le mur par les ordonnées LN , BA. Il eftdonc évident par cette dcmonftration , que fi l'on fait un plancher d'une figure irrcgulicre , &c que les foli- ves aient des longueurs différentes cntr'cUes , on aura la forme qu'il faudra donner à ces folives, pour taire qu'étant toutes chargées également dans leur milieu , elles fiDicnt de même refiftance, & c'efl: firulement fans avoir égard à U pcfantcur particulière des folives. Mais fil'on veut que la refiftance delà figure TANNf ibit par tout égale , c'eft-à-dirc qu'un poids P étant polc en quelqu' endroit comme N ou L , ait autant de torcc pour rompre les liens qui font en LN, qu'il en avoir pour rompre ceux qui croient en B A lorlqu'il écoit pofé en A ou en B, le levier TM demeurant toujours le même il faudra quclahgneTANM foit undcmi-ellipfe, doncTMlcra l'un des axes , & BA la moitié de l'autre. Car lorfqu'on pofe le poids comme P en N ou L , lelc- vicr TM étant foutenu en T &:M, il partage fon effort à ces deux appuis dans la raifon réciproque de leurs diftan- ces au point L, &:cc fera la même chofe que fi le poids P croit diftribué aux points TM dans cette raifon , & que le levier TM fut foutenu en L. C'eft pourquoi les momens. qui font faits des parties de ce poids par les longucursLM, LT réciproques aux parties , étant égaux entr'enx , Se chacun étant au moment fait par la moitié du poids P fur. la longueur BM , comme le rcétangle LM , LT au reélan- gle BM , BT ou au quarré de BM , ce qui cft évident fi l'on fuppofe que la ligne TM reprcfentc le poids P , ils feront, aivfli comme les quarrésB<^, L » des ordonnées dans le, Traite' de MECANiQjfEV 333 demi-cercle T^n'hi par les points B & L du diamcrre TM , lefqucls font égaux aux rectangles des parties du diamètre. Etàcaufe qu'ily a même railon de BA à LN dans rellipfc , que àeB^inLK dans le cercle , l'effort que fait le poids P placé en B fur les liens qui font en B A étant pofé égal à la refiftance des liens de B A , l'effort du même poids P placé en L doit auffi être égal à la refiftance des liens qui doivent auffi être en LN. Mais dans lafuppofi- rion de Galilée , ou dans la nôtre , îa refiftance des liens ■ doit être comme le quatre de la ligne ou efpace où les liens font places; LN doit donc être à BA qui font les ef- paccs où font pUiccs les liens , dans la même raifon de L « à B a dont les quarrés mefurenC les efforts du poids ; & par conicquent le point N fera dans une ellipfe dont TM eft ' un des axes , & BA la moitié de l'autre. Ce qu'il falloic- démontrer. TRAITE' DES EPICYCLOIDES ET DE leurs ufages dans les Mécaniques. L'EXPLICATION DES PRINCIPAUX EFFETS de la Glace &: du Froid. DISSERTATION DES DIFFERENCES des Sons de la Corde d>C de la Trompette Marine. TRAITE' DES DIFFERENS ACCIDENS de la Vue , divifé en deux Parties, TRAITE' DE LA PRATIQUE DE LA Peinture, Par M. DE LA HiRE de l Académie I{o'/aie des Sciences. n r~l "T :h .o;ji CM -'.•.■-CI .: ..-V.-V '\ .1- PRIiî-ACE. PREFACE. IL n'y a aucune partie de Mathématique qui foir d'un plus çrand ufage dans la vie que les Mechaniques. Mais tous les traités "quoii en a donnez jufqu à prefent, n'aïant examiné feulement que ce qui eft géométrique dans cette fcience , fans avoif aucun égard à l'exécu- tion , il ne fiiiit pas s'étonner lî la plîipart des machines dont les li- vres font remplis fe trouvent inutiles , & ne peuvent pas être mifes en ufage. La figure des dents des roués fembloit de fi peu de confe- qucnce , qu'on l'avoir toujours négligée comme une chofe qui ne regardoit que la pratique , & qui devoit être entièrement abandon- née à l'ouvrier ; quoi que ce foit en effet ce qui devoit être le plus foigneufement examiné : car les frcttemens étant plus ou moins grands, à proportion que les dents des roues qui font tout l'cffoix dans les machines , s'écartent plus ou moins de la figure qui leur con- vient , les machines compofées de roues dentées n'ont prefque ja- mais l'effet qu'on s'étoit imaginé , quand on n'en confidere poinr l'exécution. Pour furmonter ces frottemens on a très-fouvent befoin de forces beaucoup plus grandes que celles qui font neceffaires poul- ie mouvement de la machine même, & c'ell à quoi l'on ne fait or- -dinairement aucune attention. J'ay donc crû qu'il falloir examiner avec un très-grand foin , quelle devoit être la figure des dents des roues , puifque ce n'eft que par ces dents que les roues agiflent l'une fur l'autre , & que c'eft par leur mo'ien qu'on peut ménager la force mouvante pour en tirer tout l'a- vantage poiîîble. Il y a environ vingt ans que j'avois commencé à travaillera eu Ouvrage , & j'avois déterminé d'une manière trcs-fimple , que les :dents des roues dévoient avoir la figure d'une Cycloïde qui a pour bafeun cercle , ce que l'on appelle Epicycloïde. J'en conferay pour lors avec Melîîeurs Auzout , Picard & Mariette: mais quelque tems -après ai'ant été admis dans l'Académie )e trouvai les quadratures des Epicycloïdes , tant de l'efpace que de la ligne à la manière des An- -ciens , comme je les donne dans cet Ouvrage , Se je les communi- quai à l'Académie. M. Hugens fit voir auiîî celles qu'il avoit trouvées par une manière fort differentede la mienne ; & dans lemême-tems M. l'Abbé de Vaumefic qui demeuroit en Normandie , m'envoïa le lefultat de ce qu'il avoit fait fur le même fujet en me marquant que Âec, de l'Jcad. Tofn, IX. Vv PREFACE. ç'avoit écé par la méthode de M. Defcartes qui fuppofe des Poligo- nes au lieu de cercles. J'ay cru que les démonftrations Géométriques des propriétés de CCS lignes ,meriroien: d'être données au public puifqu'elles avoienc des ufages fi confiderables dans les Mécaniques , & qu'il étoità propos de fiiirecoiinoître que les méditations les plus abftraites de la Géométrie étoient fouvent très-utiles dans la vie. Je n ay donné que que'ques exemples de l'application qu'il faut faire de ces lignes courbes aux dents des roues : mais je Jes aychoifis de telle manière qu'ils peuvent fervir de modèle pour toutes fortes de rencontres. Entr'autres j'ay rapporté la conftrudion d'une roue horizontale qui fert à élever de l'eau fans aucun frottement confiderable , puifque toutfon effort vient de fa pefanteur , ôc que le frottement du pivot lùrlacrapaudinequi eft le feulqui fe rencontre dans cette machine, n'eftpr.s confiderable quand la roucf travaille, à caufe qu'elle eft foû- leniie fur les queues des piftons des pompes qu'elle fiir mouvoir. Je fis faire cette roue dans le Château de Beaulieu à huit lieues de Paris , à laplrice d'une autre femblable qui y avoir été autrefois conftruite 'par M. Defaigues & qui étoit entièrement ruinée ; mais jen'ay point fçîi que cet excellent Géomettre eût jamais rien expliquéde facon- ftruélion , & comme ilnes'étoitpas appliqué à cette partie de Géo- TnetHe, je crois qu'il en avoir feulement déterminé la figure méca- niquement. Mis Auzout& Mariotte , à qui le Seigneur de ce Châ- teau s'éroit adreffé pour avoir le trait des dents ou ondes de cette iouë, me le renvo'i'erent pour en prendre le foin , ne doutant point après ce que je leur avois fait voir quelque tems auparavant fur ce ■fujet , que je ne la lilTe exécuter dans toute fa jufteff'e. J'ay crij enfin que je pouvois inférer dans le même endroit , ce que j'ay trouvé fur les propofitions de M. Tchirnaus de la ligne qui eft formée par les ra'i'ons refléchis dans un quart de cercle , comme je l'ay fait voir à l'Académie au mois de Juin i6S6. puifque cette ligne étoit une Epicyclo'ïde. Pour ce qui regarde les effets de la glace & du froid , il me femble que le fyftême que j'ay pris pour expliquer ce que j'ay pîi remar- quer de confiderable fur ce fujet , fatisfaitfi bien à tout , qu'on pour- roit dire qu'il feroir vray fi l'on pouvoir avoir quelque connoift'ancc certaine dans la Phyfique. Ce qui arrive aux differens fons de la corde de la Trompette ma- rine , a été fi bien expliqué par le R. P. Defchalles dans fon cours de Hathématiquc, que je n'aurois rien eu a y ajouter s'il avoir fait at- PREFACE, -tention à toutes les particularités qui fe rencontrent dans ces Tons. Les expériences p.uciculieres fur le fon que j'ay ajourées, m'ont un peu écarté du fyllême de M. Perrault, comme on le pourra voir dans l'excellent traité qu'il a compofé fur cette maticie. Je me fuis fort étendu fur le traité de la Viië ; car c'eft une con- noilfaiice qui n'eft pas moins utile que curieufe , puifqu'e'Ie nous fait voir que plulieurs accidens delà vue n'ont rien q.i foit dange- reux dans la fuite , & qu'il n'eft: pas befoin la plùpait duteras de re- courir à des remèdes qui pouroient d'ailleurs nuire à la fanté. On y trouvera un grand nombre d'obfervations nouvelles que j'ay tâché d'expliquer par les loixdc l'Optique : mais pour ne rien omettre de conliderable fur cette matière , j'ay été ob'igé de rapporter auflî quelques remarques qui font déjà connues Se alTez communes. En l'année 11SS5. j'avoisdéja publié dans nos Journaux plufieurs chofes que j'explique dans la féconde partie de ce traité : mais pour rendre cet Ouvrage plus complet , j'ay crû que je devois joindre cette Partie à la première , & que je devois en niêmc-tems apporter que'ques éclaircilTemens aux difficultés qui reftoient à ceux qui avoicnt em- bradémon fiftème de la vifion , & fatisfaire aufll par même mo'ien aux objeélions que quelqu'uns y avoienc faites , Icfquclles m'a voient ferablédc trop peu de confequence pour y répondre en particulier. Vvii 541 TRAITÉ DES EPICYCLOÏDES. ET DE LEUR USAGE DANS LES MECANI QU E S. De' FINITION s. SI le cercle ABD roule fur l'arc A^^de quelque cefclc, Figures f»;. le point D qui eftrextremitéD(ludiamecreAD,décri- Z"'"" .J" ra dans Ion mouvement la Ligne D 14 1 5 1 6 17 /, qu on fage 348. appelle Epicycloïde. Le cercle ABD efl appelle cercle générateur de l'Epi- cycloïde. L'arc Ak dcQila hafc de l' Epicycloïde. Si le cercle générateur roule au dehors du cercle de la bafe , l'Epicycloïde efl: appellée extérieure ; mais fi le cer- cle générateur roule au dedans du cercle , l'Epicycloïde cft appellée interieire. L'cfpace compris par l'Epicycloïde & par fa bafe , efl: appelle f/yf^ff^e C Epicycloïde. DIMENSION DE L'ESPACE DE L'EPICYCLOÏDE. L E M ME L D I T /f demi-cercle AT p B , dont le diamètre efl JB ,. j- le centre K. Aïant mené la ligne P ^pariillele à AB , 0~ rencontrant le cercle aux f oints P ^ ^ de quelque point C Vvijj 342- Dimension des EpiCycloïdes, quon voudra dit diamètre AB prolongé, fait mené les U'^ncs Je dis que la fomme des lignes droites CA, CP cfi à U fomme des lignes droites CB ,Cp , comme U différence des lignes droites C^ , C p , eflàla différence des lignes droi- tes CA , CF ; ou bien , ce qui efi la même chofc , le rectangle fous la fomme des lignes CA , CP ô- fous leur différence , ef égal au re£l angle fous la fomme des lignes CB , C p , (jrjfous leur différence. De'monstration. On fçAic que la différence de dcuxqu.irrcs eflcç^alcau reftanglc qui cft fait de la fomme &: de la différence des côtés des quarrés.-c'eftpourquoilequarréfous le côtéCA, qui cftC<î, moins lequarré fous le côte CP , qiiicftC/ avec le quarré fous le côté PH , (cra égal au redangle fous Dimension des Epicycloïdes. 34J là fomme & fous la différence des côtés CA, CP. De même , le quatre fous le côté Cp , qui cft C i avec lequarréfous le côté /^jf, moins lequarré de CB,quieft C ^ , eft égal au redangle fous la fommc & fous la diffé- rence des lignes C/», CB. Maintenant à caulc des lignes droites qui forment dans la figure des quarrés & des reélanglcs , les unes étant pa- rallèles &: les autres perpendiculaires au diamètre AB; il eft évident que le reétangle/"^, ^^f^-> q"i cft égal au rcélangle AH , HB , ou bien A ^ , /y B , eft égal au quarré de HP ,onhp : la différence des quarrés CA , CP fera; donc égale au gnomon dfA moins le rectangle/V. Je démontre de la même manière, que la différence des quarrés C^, CB eft égale au gnomon/^/; avec le rec- tangle/'^. Mais le gnomon /^ ^ eft égal au rectangle /l qui eft égal au reftangle dm,. avec le quatre^/ égal au quarré fa , 8c encore avec le redangle ^ /} égal au reétanglc ç H : c'cft pourquoi tous les rectangles / V, ^w, /^r^j- H pris enfemble font égaux à la différence des quarrés C^, CB : mais il eft évident que ces quatre reélangles pris enfemble font le gnomon dfA moins le rectangle/'^, ce qui eft auffi égal à la différence des quarrés de CA, CP ; c'cft pourquoi la différence des quarrés de C^& CB eft égale à la différence des quarrés de C A &: de CP : donc le rec- tansrle fous la fomme 8c fous la différence des côzés CB,. C j» eft égal au rectangle fous la fomme & fous la différen- ce des côtés C A , CP , ce qu'il falloit démontrer. Si la ligne droite P^ touche le cercle en L, alors les deux points P^ ne font qu'un même point L, &: on dé- montrera la même chofe que cy-devant, à fçavoirque la différence des quarrés de CA èc CL, fera égale à la dif- férence des quarrés de CL & deCB. Enfuivant la même méthode on démontrera les mêmes ■«44 Dimension des Epicycloïdes. chofes , fi le point C eft pris d'abord au dedans du cercle fur le diamètre non prolongé. Se HO L I E. Si le point C eft fuppofé à diftancc infinie du cercle J^LBiurfon diamctrc ÂB prolonge : alors la différence des lignes C A , CP fera la même que la différence des li- gnes C A , CH , qui eft AH. Et de même la dift'crencc des lignes C/'jCB fera auffi la même que la différence des lignes C h , CB , qui eft B h égale à AH : car dans ce cas les lignes CP , C p ne font que comme une feule ligne. L E M M E n. Dans le triangle CAF Ji les lignes droites PX,^G., BM parallèles à la bafe AV coupent des parties du côté CA , cnforte que lafomme de CA & de CPfoit à lafomme deC^ , .CB , comme h différence S p des dermers fegmens efl à U différence PA des premiers : Je dis que les traféz.es Mjp, AX font égAUx entreux. Dimension des EpicycloÏdes. 345- A caufc des parallèles à la bafe AV , la fommc de C A , ■CP eft à la fommc de Cp , CB , comme la fommede AV, PX cft à la fomme dc^ G , BM : c'eft pourquoi la fomme de AV &: PX fera à la fommc de» G, BM, comme/» Bcfl: aPA. Mais des points P &: B aïant mené les perpendiculaires PF, B/fur AV Se fur / G ,& a'iant prolongé les lignes AV ,p G , foie fait V .V égale à PX , &: G ;% égale à BM, Pour lors iî l'on mené les lisrnes droites P.v, Bw, les triangles PA.v, Vipm feront égaux aux trapèzes AX, /M. Mais auiÏÏ B/eftàPA, comme B/àPF: c'eft pour- quoi A.v cft 3. pm, comme B/à PF ; &: les triangles AP .V ,p B m feront égaux entr'eux , puifque leurs bafes 'font réciproquement proportionnelles à leurs hauteurs. On aura donc aufîi les trapèzes AX , /» M égaux entr'eux, puifqu ils font égaux aux triangles égaux AP a- ,p B w ; ce qu'il falloir démontrer. L E M M E III. Soit le demi cercle ABEB ^ fur fon diamètre AS prt- longé ottnanprolongéfoit pris le point C , éf fiit rt^ené quel- que ligne droite T)E parallèle à ce diamètre AB , laquelle rencontrant le cercle aux points D ^ E ; du centre Cô'pour demi diamètres CA , CD , CE , CB fait décrit les arcs de cercle AF ,DPG , F^ H, BI qui rencontrent aux points FGHI quelque ligne droite C F menée du centre C. Je dis que les quadrilatères mixtes AFGP , p HIBfont égatix entr'eux. Soit la ligne droite A/'égaleà l'arc AF, qui fa fie avec le diamètre CA l'angle droit CA/ Aïant mené C/^ qu'on tire aufii les lienes droites P^ , p h ,^ i parallèles à A/ Jl eft évident par la conftrudion , que le triangle Rec. de l'Acad, Tom, IX, Xx 34(î Dimension des Epicycloïdes. CA/cftcgal au fcdcur CAF. Scmblablcment le trian- gle CP^ cil égal au fcdcur CPG , c'cft pourquoi (i des égaux CA/, CAF, on en ôte les égaux CP^,CPG, les reftcs feront égaux , à fçavoir le trapèze A ^gf, & le quadrilatère mixte APGF. On démontrera de la même manière que le trapèze^ /j iB cil: égal à la figure mixte/- HIB. Mais par le premier Lcmmcla fommcdes lignes droi- tes CA^ CP ell à U fojîunc des droites C/>, CB, com- me la diffcrcnoe de Cp, CB , qui eft /> B , cft à la diffé- rence de CA, CP, qui eft AP. C'cft pourquoi par le fé- cond Lemme le trapèze A fg P fera égal au trapèze//' /'B, èc les figures mixtes AFGP,/ HIB que je viens de démon- Dimension des EpicYCLo'ioEs. 347 trer égales aux trapèzes , feront auiïi égales cntr'cUes ; ce qu'il falloir démontrer. On démontrera aufli la même chofc, fi au lieu des deux points D , E , on prend le fcul point L qui foit la rencon- tre de la touchante parallèle au diamètre A B, L E M M E I V. S I la circonférence du demi cercle ABT> ejl divific en parties égales entr'elles aux points EFGBHI, é'C & que le nombre de ces parties foit pair cjr indéfini ^ & que far le diamètre AD prolongé ou non prolongé oa prenne le point T , duquel comme d'un centre on décri've des arcs de cercle dont les ratons foient les diflanccs TA ,rE ,rF ^TG , érc. é- que lalongucur de l'arc Aà décrit par le point A ^ foit égale à la circonférence du demi cercle ABD , & que cet arc A à foit divifé en autant de parties égales entr elles aux points efgh qu'il j en a dans le demi cercle ABD. Enfin aïant mené les ratons du centre T aux divifons e f g b h , é-c on aura le quadrilatère mixte AD xà. divifé en un nombre in- défini de petits quadrilatères mixtes , qui auront les pra- prietez^fuivantes. A caufc des divifions égales du demi cercle on peut mener par les points des divifions les lignes droites KE, IF, HG, &c, Icfquelles feront parallèles au diamètre DA du cercle. C'cft pourquoi par le Lemme 3. les qua- drilatères comme ^^7 R X', X a à.KD joint au demi-' 1er de générateur A BD. J'ay montré cy-devant , que la ligne DMOQjafdivifok ie quadrilatère mixte A^^XD en deux également. II refte donc à démontrer que l'efpace DLOQ_^ 17 1 6 i j D compris par la ligne DMOQ^7t en F. Aïant joint les centres KC par la //V«f aroite EKC qui fajfepar le point touchant F; de l'extrémité E du diamètre FE aïant mené quelque lighe droite EB pro- longée ju/iqu à l'autre cercle en H. Je dis que l'arc F H ejl plus grand en longueur que l'arc F B. Aïant mené FG qui touche les deux cercles en F &du centre K par le point B foit prolongée KBG jufqu'a la touchante FG en G, foit la touchante BD cnB, &: h corde HF. , Dans le triangle redangle EF A les angles FE A , FAE Dr MENS ION DES E P I C Y C L 0 ï D E S.^ 35-7 pris enfemblc font égaux à un droit ; c'eft pourquoi l'an- gle F AE clt moindre qu'undroit de la quanticc de l'angle FEA. Maintenant à caufe de la tou- chante BD,rangle GBD cft droit, duquel fi l'on ôte l'angle GBA égal à l'angle KBE , qui eft auffi égal à FEA , il reftera l'angle ABD égal à l'angle FAE : c'eft pourquoi les angles DBA , DAB dans le triangle DAB font égaux entr'cux , &; le triangle DAB fera ifofcclle , & par confcquent les côtés D A , DB feront égaux entr- eux : mais aulfi les touchantes DB, DF font égales : donc FA fera toute feule égale aux deux enfemblc FD,BD. Dans le triangle FAH l'angle F AH eft obtus étant le fupplément de l'angle de la bafc du triangle ifofcclle ABD -.c'eft pourquoi l'an, glc obtus FAH étantle plus grand de ceux du triangle , le coté FH qui lui eftoppofé fera aufll leplusgrand,donc la corde FH eft plus grande que les deux touchantes enfemblc FD,BD. Mais l'arc FH eft plus grand que la corde FH & l'arc BF eft plus petit que fcs deuxtouchantes:doncà plus forte raifon l'arc FHfera plus grand en longueur que l'arc FB , ce qu'il falloit dé- montrer, L E M M E I I. S 0 I EN T /?/ deux cercles EBF, F Hl qtiifetmchent tn F; du centre K de l'un de ces cercles fait mené la ligne KSI les rencontrant tous deti.s enBÔ-enl: Yyiii -jS Dimension des EpicycloÏdes. Je dis que l'arc FHI efi fins grand en longueur que rare FB. Aiant mené EBH par rextrémité E du diamètre EF &: par le point B , laquelle EBH rencontre le cercle FHI au point H , qui fera neccnaircmcnt entre le point I & le point touchant F ; parlclcmmc procèdent l'arc FHlcra plus que l'aie FC , & à plus forte raifon l'arc FHI , qui eft plus grand que l'arc FH , fera plus grand que l'arc FB , ce qu'il falloir démontrer. Proposition E Problème. Trouver la touchante d'une Eficj/cloi'de extérieure. Soit C Eficycloïde extérieure CHM dont la bafe ejl le cercle G A décrit du centre C. .^e le cercle IHAD généra- teur de f Epicycloi de fait pofé en telle manière que le point décrivant HJoit fur fEpicycloïde dans le f oint far lequel il faut mener la touchante. Si par le centre C du cercle de la. hafe & par le centre O du cercle générateur on mené la ligne droite CAOI,^fpar l'extrémité I du diamètre AI on me- né la ligne droite IH au point H, Je dis que la ligne droite IH touche PEpicyloïde au point If. Si la ligne droite IH ne touche pas l'Epicycloïde au point H , elle la coupera dans ce point H , & cil c la ren- contrera encore cn'quclqu'autre point au dcfliis ou au delfous du point Hioubicn fi après la rencontre enH elle Dimension des Epicycloides. 35-9 ne rencontre pas l'Epicycloïde, étant prolongée elle rcn- contreia neccffaircmcnt la bafc GA. Premièrement qu'elle rencontre s'il eft poflible l'Epicy- cloïde en un point F différent du point H,&: que ce point F foit au deffous du point H , c'eft- à-dire vers la baie par rapport au point H, Soitplacé le cercle générateur dans la pofitionPFBK, enforte que le point décrivant l'Epicycloïde fe trouve au point F. Du centre C&: pour raïonCFlbit décrit le cer- cle FEE rencontrant au point L le cercle généra- teur dans fa première po- fition où le point décri- vant étoit enF^. De plus foit mené la ligne droite ÎL. Et du point P , qui eft l'extrémité du diamètre PB qui étant prolongé pafle par le centre Cde la bafe , foit aufïï mené PF. Enfin du point I foit mené la ligne droite IB,qui ren- contre le cercle I FI A en Q. La ligne IF rencontrera le diamètre PBC au point X , & l'angle PXI exté- rieur du triangle PXF fe- ra égal au deux intérieurs PFXouPFI, &FPX0U FPC.Maisauflil'anglcPXI eft égal aux deux angles in- ternes XIC ou Fie, & ICX ou ICP du triangle IXC, C'eft pourquoi les deux angles PFI, FPC font cnfemble égaux aux deux angles Fie, ICP pris cnfemble, Ma.ii-fl XG- 3(?o Dimension des Epicycloïdes? de CCS fommcs égales on ôte les angles FPC , LICqui font égaux par la conrtrudion à caufc des arcs FB, LA qui font égaux ; il reliera d'un coté l'angle PFI , qui fera égal aux deux angles ICP &: FIL , qui font le refte de l'autre cote. Par le lemme premier rarcQAcfl: plus petit en longueur que l'arc BB; c'efl: pourquoi l'arcQA cil: aulfi moindre que l'arc LH égal à AB par la génération dcrEpicycloïde : l'angle AIQou AlB ou BIC fera donc moindre que l'an- gle LIH ou FIL; car ils font au même cercle. C'efl pour- quoi les angles ICP &: BIC enfemble font moindres que les angles ICP & FIL enfemble , ou bien que le feul an- gle PFI. Maintcnantdu point K où la ligne droite IH rencon- tre le cercle PFB, aiant mené KB, l'angle KBP fera égal à l'angle KFP , ou IFP, puifqu'il font à la même portion de cercle; mais cet angle KBP cfl moindre que l'angle IBP ; car la rencontre K de la ligne droite IF avec le cer- cle PFB , fera plus proche du point P, que la rencontre de la ligne droite IB. Mais cet angle IBP étant extérieur au triangle IBC , il fera égal aux deux angles intérieurs pris enfemble BIC , ICB ou ICP : c'cft pourquoi les deux an- gles BIC , ïCP enfemble feront plus grands que l'angle PFI, ce qui eftabfurde; car on vient de démontrer que ces mêmes angles BIC , ICP cnfcmble étoient plus petits que le même angle PFI. Il n'cfl donc pas pollible que la ligne droite IH rencontre l'Epicycloïde en un point F au .deffousdeH. Ce fera la même démonftration pour laCycloïde; car parle premier lemme , il s'enfuir que la portion AQ^du cercle générateur cil moindre que la portion AB de la li- gne droite qui efl la bafe de la cycloïde ; ce qui fe peut voir dans la figure du lemme où l'arc BF cfl moindre que la portion FA de la touchante en F, Secondement Dimension des E p ic yc lo'id es. 3^1 Secondement que la ligne IH rencontre encore s'il cft poffiblc l'Epicycloïdc en un point F audeflus de H. Soit donc le cercle générateur dans la polition PFB où le point décrivant étoit en F. Mais du centre C aiant dé- crie l'arc FLqui coupe en L le cercle générateur AHI , qui cftdans la pofitionoù le point décrivant H eft iiir l'E- picycloïde , il eft évident par la génération que l'arc LH doit être égal cnlonçrucur à l'arc AB de labafc. Maintenant aiant mcncIL, PF,PQ&:ZB,l'angleFXA triangle fera é<ïa externe au trian2;Ie IXF aux deux internes enfemblc FIA , PFl. Sem- blablcment le même an2;lc FXA externe du triangle CPX eft égal aux deux in- ternes enfemble FPC,ACB ou PCI: donc la fomme des angles FIA, PFI eft égale à lalbmme des angles FPC, ACB ou PCI : c'eft pour- quoi fil ces fommes égales l'on ajoute l'angle commun LIF, les fommcs feront en- core égales , a. fçav.oir les trois angles enfemble FIA , LIF, PFI ,Sx:[lcs trois enfem- ble FPC, LIF, ACB. Mais l'angle FIA avec l'angle LIF, feront égaux à l'angle LIA , ou à l'angle FPC , qui eft égal à LIA , àcaufe qu'ils font aux mêmes portions de cercles ■égaux LA , FB : c'eft pourquoi l'angle LIA avec l'angle PFI font égaux aux angles FPC, LIF, ACB. Enfin fide CCS fommcs égales on en ôte les angles égaux LIA, FPC,il rcfteralefeulanglcPFI,égalauxdeuxcnfemblcLIF,ACB. £ec. de l'Acad. Toni. IX. Zz 5^i Dimension des Epicyclo'îdes. L'angle ZQPeft égal à l'angle ZFP ou PFI , à caufe que CCS deux angles s'appiùcntiur labafc commune PZ, ce qui fera toujours vray quand même le point Z tombe- roitaupointF , c'eft-à-dire fi IF touchoit le cercle PFB au point F , ou lî l'on fuppolbit que Z fut au deifous de F ic'cfl: pourquoi l'angle ZQP cft égal aux deux angles enfcmbleLIFouLIH&ACB. Mais par la génération de l'Epicyclo'ide, l'arc A B cft égal en longueur à l'arc LH , &: par le fécond lemme l'arc BQ^cft plus grand que l'arc : AB c'eft pourquoi l'arcBQcft plus grand que l'arc LH , &: par confequent l'angle QI^B cft plus grand que l'angle LIH ou LIF ; donc l'angle ZQP qui cil égal aux deux angles cnfemble LIF, ACB, comme je l'ay démontré cy-dcvant , fera moindre que les deux angles C^PB ou QPC , & ACB ou PCC^. Mais auifi dans le triangle PQC l'angle externe PQI eft égal aux deux intérieurs CPQ^, PCQ^ou PCI , Se l'an- gle ZQP cft toujours plus grand que PQI ; c'eft pourquoi l'angle ZQP eft plus grand que les deux angles cnfemble CPQ^ PCQ^, ce qui cft abfurde ; car j'ay montré cy-de- vant que le même angle ZQP étoit moindre que les mê- mes angles CPQ , PCQ^: donc la ligne droite IH ne ren- contrera pasl'Epicycloïdeenunautre point comme F au dcfllis de H. Ce fera la même démonftration pour la cycloïde en confiderant feulement que la portion AB de la bafe qui eft une ligne droite , eft plus petite que l'arc BQ^du cercle générateur. Il refte donc feulement à démontrer que la lignc.droitc ;IH après fa rencontrcH avec l'Epicycloïdenc peut padcr au dedans, & étant prolongée, en rencontrer la bafe "MA ; mais qu'elle la rencontre s'il eft poflible cnN. Par la génération de l'Epicycloide l'arc AM de la bafe cft égal en longueur a, Tare AH du cercle générateur : mais Dimension des Epicyloïdes. 3^3 par le premier Icmme l'arc AN du cercle delabafe fera plus grand en longueur que l'arc AH ou que fon égal l'arc AM , ce qui cft abfurdc; car il n'en eft que partie; c'cft pourquoi la ligne IH ne rencontrera pas la baie au dedans de l'Epicycloïde ; ce qu'il foloit démontrer. Ce fera auffi la même chofc de la Cycloide, i l^ .■:<:■ . }. Lemme III. Soient /es deux cercles FAE , FED qni fe touchant en F , aient leurs convexités du même côté ^c;- que le centre C du cercle FRD foit hors le diamètre FE du cercle FAE. De C extrémité E du diamètre FE atantmené la ligne droite EAD , qui rencontre le cercle FAE au point A , Çj" le cercle FRD au point D : Je dis que l'arc FRD ejl plus grand en longueur que tare FA. Du point E pour centre Sr pour raïon EF égal au dia- mètre du cercle EAF foit décrit le _ cercle PB rencontrant la ligne droite ED en B, lequel touchera aufli les deux autres cercles dans leur point touchant F. Onfçait que l'arc FB cft la moitié de l'arc FA ; car l'angle FEB eft au centre dans l'un , & dans l'autre il eft à la circonférence. Mais l'arc FA qui eft double de l'arc FB, eft dans un cercle dont le raïon eft feulement la moitié de l'autre : c'cft pourquoi les arcs FA &: FB font en longueur égaux entr'eux. Du point Baïant mené BR qui touche le cercle FB en B, &: du point R où cette touchante rencontre le cercle JD aïant mené la corde RD , RD fera plus grande que la Zzij -^^ 3^4 Dimension desEpicycloïdes. touchante BR, puifque RD cft rhypotcnuic du triangle rcclangleRBD. Mais l'arc FRD cft plus grand que l'arc F R avec la corde RD,&: cet arc FR avec la corde RD efl plus grand que l'arc FRavec la touchante RB , qui font auflîcnfcmble plus grands que l'arc FB, ou que Ton égal FA : c'cft pourquoi l'arc FD cft beaucoup plus grand que l'arc FA , ce qu'il falloir démontrer. L E M M E IV. S o I E N T /c.r deux cercles F S , F R , qui fc touchent en F ^ Ô' qui aient les parties convexes du même côté-, ô" que le centre C du f lus grand fait fur le diamètre prolongé du f lus petit. Si du centre C on mené la ligne CRD qui coupe les deux cercles enJi c du droitVDR le commun CDR , il reliera l'angle DRQ^ égal à l'angle CD V : mais aulfi les angles DQR,CVD font égaux dans les trian- gles fcmblables ACV , DQJM ; donc les deux triangles CVD , QDR font fcmblables comme j'ay démontré dans le X. Lemme. Il s'enfuit donc de-là que DM eft à DQ_^comme AV eft à AC ou C V , &: de plus , que DQ^cfl: à DR comme C A oa CV eft à VD. Et en raifon égale DM cft à DR comme A V à VD ; mais AV eft à VD comme C A eft à KC , à caufe des triangles fcmblables ACV, AKD : donc DM eft à DRcommeCAeftàCK. Ce fera la même démonftration pour tous les arcs du cercle ,-e'eft pourquoi toutes les DM cnfemble feront à toutes les DR enfemble , comme CA eft à CK. Mais tou- tes les DM dans le demi-cercle font égales à deux fois le diamètre B A du cercle générateur par le x i . Lemme : c'eft pourquoi comme C A eft à CK, ainfi deux foislediame- tre B A à toutes les DR enfemble. Or dans le demi-cercle toutes les DR enfemble qui ne font pas différentes des DO par le Lemme x. feront égales à la moitié del'Epicy- cloïde ,• car les portions comme DR de l'Epicycloïdc con- viennent à chaque arc du cercle comme DF, &: lorfque le point décrivant D fera parvenu cnO fur l'Epicycloïdc, ce même point D fera parvenu fur la circonférence du cercle en F,- & alors l'extrémité du diamètre du cercle générateur , qui étant prolongé pafTe par le centre C, fera Ccc 1} \ 388 Dimension des Epicycloides. en S , &: l'arc AS fera égal en longueur à l'arc DF. Le dia- mètre CA fera donc à CK , ou bien tout le diamètre du cercle de la bafc fera à la fommc des diamètres du cercle delabafe Se du générateur, comme deux fois AB dia- mètre du cercle générateur à la moitié dcl'Epicycloïde, ou bien comme quatre fois le diamètre AB à toute l'Epi- cycloide extérieure , ce qu'il falloir démontrer. Pour ce qui eft de la Cycloïde dont la bafe elturre ligne droite que l'on peut confidcrer comme une circonféren- ce de cercle dont le centre eft à dillance infinie , alors de quelque grandeur qu'on fuppofc le cercle générateur , l'infinie CA pourra toujours être confiderée comme éçale àCK,quicftcompofée dcrmfinicCA& de la finie AK-, c'eft pourquoi à caufe de ce rapport d'égalité , la Cycloïde fera égale à quatre fois le diamètre de fon cercle gé- nérateur. Proposition IV. L A /i^KC courhe de l'Epcycloïde intérieure ejl égale à U ligne droite ijuiejl à. quatre fois le diamètre de [on cercle gé- nérateur^comme U différence des diamètres des cercles de U Bafe é~ du générateur ^au diamètre du cercle de U bafe. Aïant fait la même préparation que cy-devant on dé- montrera que toutes les DM enfcmble font à toutes le» DR enfemblc, comme CA eft à CK ; c'eft pourquoi la Propolitioncft évidente. t B Dimension des Emcycloïdes. 589 S C H O L I E. J'ay feulement confidcré dans cette démonflrration l'E- picycloidc intérieure lorfquc le diamètre du cercle géné- rateur cfl: plus petit que le demi-diamctre du cercle de la bafc ; mais je démontreray dans lapropofition fuivante que les autres Epicycloïdcs intérieures fc rapportent à celle-cy. Pe.oposition V, VK'^'M.i^KtM.'^'iir je dis que lorfijite le diamètre du cer' de gén vr.it eur efi égal au demi-diametre du cercle de la haje, i Eficycloïde dégénère en ligne droite , pnifque ce n' efi que le diatuetre de ce cercle, . Soit le cercle de la bafe DBE dont le diamètre eft DAE; le cercle générateur foit AHB dont le diamètre AB cfl égal audemi-diam.ctre du cercle de la bafc , &: que le point Adécrive l'Epicycloïde pendant que le cercle AHB roule fur BOD. Puifque le diamètre AB du cercle générateur eft égal aa demi-diametre du ccrce de la bafe, la circonférence AHB du demi-cercle générateur eft éga- le au quart BOD du cercle de la bafe : &:dans quelque pofition que ce foit du cercle générateur AHB comme en AFO,)e dis que le point F , qui eft la rencontre du cercle générateur &: du diamètre DAE eft le point qui décrirrEpicycloïde. Le diamètre ÀO du cercle générateur & le raïon AD du cercle de la bafc font langle O AD qui fera à la circon- férence du cercle générateur & au centre du cercle de la Ccc iij 3-50 Dimension des Epicyclo'ides, baie ; mais le cercle de la bafe aïant fa circonférence dou- ble de celle de celui delà bafc, les arcs ODôdOF feront égaux en longueur ,• ëc par confequcnr l'arc OB qui eft le rcfte du quart de cercle DB fera égal à l'arc FAquieft le reftedu demi- cercle OFA. Maisfi lecercle AHB en rou- lant fur BODeft parvenu en O , il cft évident que fon point A fera venu en E , car l'arc AF doit être égal en lon- gueur à l'arc BO ,• le point F fera donc le point décrivant qui cft fur le diamètre AD. Ce fera toujours la même chofc en quelqu'cndroit que foit le cercle générateur; l'Epicycloideen ce cas fera donc le diamètre DAE, ce qu'il falloit démontrer. Secondement y? /f diamètre JB dti cercle générateur de l'Epcycloïde intérieure ejl plus grand que le demi-dia- tnetre CB du cercle de la bafe , mais plus petit que le diame^ tre entier i je dis que l' Epicycloi'de intérieure efi lamème que celle qui Jiroit décrite par le cercle DTE , dont le dia- mètre HE eft la différence entre le diamètre AB du cercle gé- nérateur , d^ le diamètre G B du cercle de la bafe , & ce dia~ mètre DE étant plus petit dans ce cas queC B , on trouvera. Id grandeur de cette Lpicycloide par la IF. Propojition. Du centre C , qui eft celui de la bafe , foit décrit le cer- cle AEI , dont le demi-diamctrcC A foit égal à la diffé- rence entre le diamètre AB du cercle générateur , &le dcmi-diametreCB du cercle de la bafc , & foit le cercle générateur BF A dans quelle pofition on voudra ; comme AFB jCnforte que le point décrivant foit en F, & que ce cercle BF A touche le cercle de la bafe en B. Il cft évident par la defcription de l'Epicyclo'ide que l'arc BH de la bafe entte le commencement H de l'Epicycloïde &: le point B, fera égal en longueur à l'arc BF du cercle géiic- jratem-. Dimension des EpicycloÏdes. ?>- 91 Par le point B Se par le centre C delà bafe , aïantmcné lediamecre BCA du cercle générateur , 8<:du pointF au point A , a'iant mené AF , qui rencontrera en E le cercle AEI , foit tiré CE prolongée jufqu à la bafe en D son aura donc ED égale xAG qui eftla différence des diamètres de la bafe & du cercle générateur. Sur ED pour diamètre foit décrit le cercle E /^D : je dis que ce cercle E/D ren- contre le cercle générateur BEA en Ton point F qui dé- crit l'Epicycloïdc , & que l'arc DH de la bafe cft égal en longueur à l'arc DF ou D/du cercle DfE-, & comme ce fera toû- jours la même chofc en quclqu'cndroitque le point décrivant F foit placé fur l'Epicy- cloïde,il s'enfuit que l'Epicycloide peut a- voir le cercle EFD pour générateur aufli- bien que le cercleAFB Les diamètres BA , DE des deux cercles AFB, E/D font cnfemble égaux par la conftrudion , au diamètre BG du cercle de la baferc'cft î>ourquoi les circonférences enfcmble de ces deux cercles AFB , E/D font égales à la circonférence du cercle de la bafe. Mais à caufe des angles égaux B AF , DEF & que les cercles ABF , AIE fe touchent au point A , èc que les cer- cles AIE, ED/fe touchent au point £, AB fera à AF comme Alà AE,& de même ABferaà AF comme ED à E/; enfuppofantque la ligne AEF rencontre le cercle E D/au point/; c'eft pourquoi le diametrcABfera à AF , comme la compofée des diamètres AI , ED à la compofée des cordes AE , E/: mais AI & ED enfemblc font égales . 39" Dimension des Epicycloides. à AB ; donc AE &C. E/leronc égales à AF , &: par confe- quent le point /cft le même que le poinc F, Hc les deux cercles BF A , 13/ E Ce rencontrent au point F. Si des points B & D on mené les lignes BF,DF au point F commun aux deux cercles AFB , EFD ces lignes faifant des anglesdroits BFA,DFEqui font chacun a leurs demi- cercles , il s'enfuit que ces deux lignes n'en feront qu'une feule BD. Mais auiîl les trois arcs BD , BF , DF font fcmblables , car ils foùtiennent des angles égaux , à fçavoir BCD au centre C&: BAF moitié de BCD à la circonférence, & femblablement DEF égal à BAF à la circonférence-, Sc ces arcs étant entr'eux comme les circonférences de leurs cercles , il s'enfuit que les deux enfcmble BF , DF feront égaux à BD. Mais par la génération de l'Epicycloïde l'arc BF eftégal à l'arc BH-, donc l'arc DF eft égal à l'arc DH. Enfin la même chofc étant dans toutes les pofitions de ces cercles , il eft évident que le cercle D F/E décrit la même Epicycloidc que le. cercle AFB. Troisièmement y? /e cercL géi^crateur afin dUtnetre fins grand que celui du cercle de Li hafe ^ l'Epicycloïde qui fera décrite par ce cercle générateur fera une Epicycloïde extérieure , qui fera la même que l'extérieure qui ferait dé- crite fur la même bafe par un autre cercle dont le diamètre fer oit égal à la différence du diamètre du cercle générateur f^ de celui de la bafe. Il fera facile de démontrer ce troifiéme cas en fe fervant de la même préparation que dans le précédent , c'cft pour- quoi je finirai cette propofition en avertiflant qu'il y a des Epicycloides extérieures qui s'entrecoupent, ce qui ar- ,rivelorfque le cercle générateur cfl plus grand que celui C E que fay démontré dans le Lemme xr. toucha&t le Yâfport de D,^ DM ou à DO fers les parties de la bafc de l'Epicjcloïde , fera de même pour les parties an dejfns du point D^ Cette propofition cft évi- dente , puifqu'on peut con- ftruire des triangles fcmbla- blcs avec des lignes parallè- les des deux côtes du point D, ce qui paroît clairement par la figure. Lemme XIV, Soit le demi cercle AMCI dont la circonférence foit di- 'vifée en parties indéfiniment petites comme CI , IX-, des f oints de divijlon CIX atant mené les perpendiculaires C B , JE ,XR au diamètre AM , ô" les cordes AC , AI ^ AX qui rencontrent les perpendiculaires des plus proches divi fions ■de dejfus aux points FR. Je dis , dans quelque jegment du cercle que ce foit , que toutes les portions enfemble des cordes , comme CF, IR, com- frifes entre la circonférence du cercle c^ la perpendiculaire fuperieure ^font égales au double de la corde AC ; O" par la même raifon toutes fes portions prifes enfemble dans le demi' cercle , font égales au double du diamètre ^ qui efi aujjl U corde du demi-cercle. . . Soit la parabole ADL dont l'axe AM foit commun avec le diamètre du demi-cercle , S>c que le paramètre de cet Dddij j5^ Dimension des E p i c y cloïd es. axcfoit auffi égal à AM. Aïanc prolonge les perpendicu- laires à l'axe, comme CB , lE, XR, jufqu'à la parabole aux points DKT , les portions DK , KT , de la parabole , feront indéfiniment petites , puifquc celles du cercle qui leur répondent font iuppofces indéfiniment petites. C'cft pourquoi j par le Lemme xii. les rencontres des tou- chantes de la parabole, comme DP , KQ^, &c.avec les perpendiculaires fupéricures IK,XT, ne différent pas fcnfiblement des points de la parabole KT, &c les portions des touchantes , comme DK , KT , feront confidcrécs comme des arcs de la parabole. N ? Par les points DK,&c. de la parabole, aïant mené les lignes DN , KO , parallèles aux diamètre AM , lefquel- Ics rencontrent en H & en S les perpendiculaires IK, XT ; & aiant aufTi mené dans la parabole les cordes A D . AK, quiirencontrcnt les mêmes perpendiculaires IK ^ XT , en G & en V ; premièrement on aura les cordes AC, AI , AX , égales aux ordonnées de la parabole BD , EK , &c. ce qui eft connu par les propriétés de la parabole. Dimension des EpicyloÏdes. 35)7 Enfuitc , comme AC cftà AF , ainfi ABcft à AE ; & com- me ABeft à AE ^ainfi BD cftà EGjdonc ACeftà AF, comme BD à EG : c'eft pourquoi EG fera égale à AF , Se la différence des lignes BD EG,quicftGH, fera éo-ale à CF , qui eft la différence des lignes AC , AF. on démontrera de même , que S V fera égale à RI ; &: ainfi de fuite dans toutes les parties de l'arc AXC du cer- cle & de l'arc ATD de la parabole. Maintenant à caufe de la parabole , puifquclatano-ente DP coupe AN en deux également en P , la ligne HG fera auffi coupée en deux également en K par la même DP; &c de même VS fera coupée en deux également en T. Mais auffiil eft évident que dans le fcgment ATD de la parabole , toutes les lignes KH , TS , &c. font enfemblè égales à AN ouàBD ; car KH eft égal à NO, &ainfides autres: donc la fomme de toutes les GFT , VS, &c. qui font égales aux CF, IR , &rc. feront enfemblè égales au double de AN , ou de DB , ou de AC , qui leur eft égale , ce qu'il falloic démontrer. Corollaire. y , Ce que ]e viens de démontrer des portions des cordes CF , IR , ô'C. qui font au dedans dit cercle y.fera aufji de mê- me four les portions de ces mêmes cordes prolongées au-delà. du cercle ^ comme IZ y XY , ô'C. Car puifque je fuppofe les arcs comme CI, indéfini- ment petits , les lignes CF & IZ peuvent être confiderées comme parallèles. Mais FI & CZ font auffi parallèles ; donc CF & IZ font égales. Il s'enfuit donc de-là , que dans quelque arc que ce foie , comme AC, les portions des cordes comme IZ , XY Dddiij 598 Dimension des Ep i c y c'l oïd es." cnfcmble font égales au double de la corde AC ; de mê- ine que dans le demi-cercle, elles feront égales au dou- ble du diamètre AM , ce que )'ay démontré d'une autre fa- çon , & particulièrement dans le Lemme 1 1. On peut encore démontrer ce même Lemme d'une autre manière fans fefcrvlr de la parabole. Soit dans le demi-cercle ACB l'arc AC , tel qu'on vou- dra , divifé en parties indéfiniment petites , comme AD, DX , XZ , &c. fi de l'extrémité M du diamètre on mené les cordes MD , MX,MZ, &c. aux points de divifion de l'arc, on aura la fomme des redangles faits fous chaque corde &c fous chaque arc,égale aureûangle du diamètre MA &de la corde AC. Car fi la corde MDeft pro- longée jufqu'en Gala touchan- te AG , menée par l'extrémité A du diamètre , & qu'on mené aufli les cordes AD, AX, AZ , ôcc. qui rencontrent les autres cordes , comme MD en H , MX en L , Sec. le triangle rcdangleMAG fcrafcmblable au triangle redanglc MDA,& le triangle redangic MAG fe- ra femblable au triangleMXH; car ils ont les angles égaux au point M ; & par la même raifon , le même triangle reélan- gle MAG fera femblable au triangle redangle MZL , de ainfi des autres. C'cft pourquoi MA eft à AG , comme MD, à AD ; donc le reûanglc M A , AD , cft égal au rec- tangle MD , AG. De même M A eft à AG comme MX eft à XH ; donc le rcdangle MA , XH fera égal au reûangle Dimension des Epîctcloïdes. 39^ AG , MX. De même MA cft à AG , comme MZ a ZL , &; le rcdanglcMA , ZL, cft égal au rcdanglc MZ, AG, Srainfi des autres. Mais comme la touchante AG peut être confidcrée comme l'arc même AD , comme il fuit du Lemme v 11 1 . il eft évident que tous les reâranglcs enfemble fous l'arc AD ou fous tous fcs égaux DX , XZ , &cc, &c fous toutes les cordes MD, MX, MZ,&c. feront enfemble égaux aux redanglcs fous le diamètre MA , & fous les portions AD , XH , ZL j ècc. des cordes menées du point A aux points de divifion. Mais toutes ces portions de cordes AD jXH, ZL , 6i:c, font enfemble égales àla corde AC : car AX doit être confiderée comme égale à AD&àXH enfemble , puifque AD &: AH , n'ont pas de difFcrence fcnfiblc , l'angle ADH étant droit , &c l'angle D AH indé- finiment petit ; de même AX &: ZL enfemble , font fenfi- blement égales à la toute AZ; car AX &C AL font fenfible- mentégalesentr'elles, l'angle A XL étant droit, & l'an- gle X AL indéfiniment petit ; èc ainfi de toutes les autres : donc la dernière AC fera égale à la fomme de toutes les parties AD , XH , ZL , &c. Puifque nous fçavons maintenant que le re£tangle,fous le diamètre MA & fous la corde AC , eft égal à la fomme de tous les redangles, fous les cordes MD, MX, MZ, &c. & fous chaque partie de l'arc ; fi des points de divifion CZX , Sec. on mené des perpendiculaires CB , ZE , &c. au diamètre AM , lefquelles rencontrent les cordes des divifions fuperieures aux points F , R , &cc. & fi l'on mené aufli des points de divifion CZX , &:c, des touchantes au cercle comme CI , qui fc terminent aux perpendiculaires fvipéricures , comme CI à la perpendiculaire fupéricure ZE , au point I. Ce point I pouvant être pris pour le point Z de la divifion du cercle par le Lemme v 1 1 . & du centre K du cercle aïant mené KC , je dis que le triangle GIF eft ièmblablc au triangle MKC. 4G0 DlMENSlOV DES Ep I C YCLOIDES, Cai-àcaufcdek touchante CI , l'angle KCI cil droic,^ Se a. raiifc du dcmi-cerclc , l'angle MCA ci: aiifli droit ,• fi l'on ocedonc de chaque droit l'angle commun KCA , il .reftera l'angle ACI ou FCI égal à l'angle KCM. Mais auffi à caufe de la perpendiculaire CB, fur le diamètre AM , l'angle ACB ou fon égal CFI cft égal à l'angle AMC : c'eft pourquoi l'angle CFI eft égal à l'angle FCI . puifque l'angle AMC cft égal à l'angle KCM; & parcon- fcquent le triangle CIF eft ifofcelle &: femblable au trian- gle ifcfccUe MKC. Mais à caufe des triangles femblablcs CIF , MKC, comme KC eft X CM , ainfi IC à CF ; donc le rectangle KC, CF ,eftégalaureâ:anglcCM , IC. On démontrera de même que le redangle KC , ZR , cft égal au redangle MZ , ZX , &c ainfi de tout le rcfte. Mais puifque j'ay démontré cy-devànt ^^ que tous les reétangles CM , IC ; ZM , ZX, &:c. font égaux enfemble auredangleMA , AC : il s'enfuit que tous les redanglcs enfemble KC , CF ,- KC , ZR, ôcc.qui feront égaux au feul reûangle fous KC , &: fous toutes les parties enfemble CF , ZR, &tc. comme une feule ligne, font égaux au rectangle MA , AC. Enfin puifque MA eft double de KC , aufti toutes les parties enfemble CF, ZR , &c. feront doubles de AC , ce qu'il falloit démontrer. Corollaire. Il s'enfuit aufïï que toutes les portions des cordes com- me ZO XP, prolongées hors le cercle &c terminées aux perpendiculaires CB,IEj prolongées aufïï en O &en P , font égales prifes enfemble au double de la corde AC. Car, fi l'on conçoit qu'il y ait une touchante au point Z , les rencontres de cette touchante avec les perpendiculaires RX , BC au diamètre AKl , ne feront pas fenfiblemcnt |iifterentes des points de divifionXC de l'arc AC , à caufe dc.s Dimension des E p i c y c l o ï d e s, 40 r des parties de cet arc qui font indcfinimcnt petites, par- les Lcmmcs précédcns;& par conféqucr.t les arcsZC,ZX, étant égaux &: étant fuppofés comme des lignes droites, à caufe des parallèles RX, CO, les deux triangles ZXR, ZCO, feront égaux &c femblables ; &: par confcqucnt ZR fera égaleà ZO, & ainfi de routes les autres ; donc toutes les parties extérieures des cordes qui rendent au point A , feront égales aux parties intérieures , à rcxccption feule- ment de la première extérieure qui eft infinie , & à la pla- ce de laquelle il fliut fubftituer la dernière intérieure CF ; mais dans les divilions indéfiniment petites, une feule retranchée ne fait aucune différence fcnfiblc. Proposition VI. Dans /me Epicycloïde PD , dont le fommet cjl P C" quelque arc PD depuis Jon fommet , le cercle générattur SDA étant fofé enforte que le point décrivant fait enD ^ ^ que le diamètre AKB dans cette pojition , tende au centre C de la bafe. Je dis quefi P on fait comme CA , raïon de la bafe , ejl à. CK compofé du raïon de la bafe d^ du raïon du cercle gêné" ratcur , ainf le double de la corde BD de l'arc BD du cercle générateur ^qui répond à l'arc PD de l'Epicycloïde , eft a, fine quatrième proportionnelle , cette ligne fera égale à l'arc PD de rEpicyclotde. J'ay démontré dans les Propofitions précédentes m. IV. &v. que pour toutes les Epicycloïdcs & pour la Cy- cloïde , toutes les DM ont mcmeraifon à toutes les DR, comme une feule DM à une feule DR , ce qui eft comme CAàCK :maispar le Lemmc xiv. toutes les DM dans l'arc de cercle BD, fontenfcmble égales au double de la corde BD. Mais aufli par le Lemmex. toutes les touchan- tes 5 comme DR , qui répondent aux DM , font égales a. Rec. de l'Acad. Tom. IX, Eee 40i Dimension DES Epicyclo IDE S. f B Dimension des Epicycloïdes. 403 la portion de l'Epicycloïdc , depuis ion fommcc P juf- qu'au point Dx'cft pourquoi li l'on cherche la quatrième ligne proportionnelle après les trois C A , CK , & la dou- ble de la corde BD , cette quatrième: fera la ligne égale à la portion de l'Epicycloïdc. DanslaCycloidc, puifquc les points RM font joints enfcmble, la portion de la Cycloïdc , depuis Ton fommet Pjufqu'au point D , fera égaleà toutes les DM enfcmble , «'crt-à-dire , au double de la corde BD. Corollaire. Ils'enfuitauffi decettedémonftration , la mcmechofc qui a été démontrée dans les Propofitions ïii.iv. & v. pour la grandeur de l'Epicycloïde ou de la Cycloïde toute entière ; fçavoir, que toute la dcmi-Epicycloïde eft égale à la ligne droite , qui eft quatrième proportionnelle après C A , CK , &c le double de AB , qui eft la corde du demi- cercle ou fon diamètre. Et pour ce qui eft de la demi-Cy- cloïde , elle eft égale au double de BA ; car le point C qui eft le centre delà bafe , eftàdiftance infinie, & alors C A. & CK font confiderées comme égales entr'cUes. DE L'EVOLUTION DES EPICYCLOÏDES. ET DE LA CYCLOÏDE L E M ME, S Oit une ligne BTFB toujours courbe du même côté , dutour de laquelle fait appliqué une ligne flexible ifi ion dévelope enp-ntic cette ligne appliquée , en forte que-ja, Eeeij 404 De l'Evolution des Epicycloïdes.' partie AB entre fon extrémité A ô" l^ courbe en Bfoit ten- due , éf qu'elle foit par confequent une ligne droite : Je dis que la ligne droite AB touche la courbe au point B, d^oit elle commence à s'étendre, La ligne décrite par l'extrémité A de la lignejlexible qui ejl toujours tendue en fe développant , ejl dite décrite par l'évolution de la courbe DTFB. Si la ligne droite AB ne couche pas la courbe en B , où elle la rencontre, étant prolongée en E au de-là du point Belle entrera dans la partie qui eft concave ou bien au dedans de la courbe. Soit donc pris fur cette courbe quel- que point F au dcfTus de la ligne droite ABE; la ligne droite AF fera un angle avec ABE & il fe formera un triangle mixte des deux lignes droites AB , AF & de la portiondcla cour- 1 ^^^^ — • — - J be BF : mais de Aj — "^^^^ ^^, quelque natureque \/^ foit cette courbe , la ligne droite AB &: la courbe BF enfcmble feront plus grandes que la ligne droite AF ; il n'eft donc pas vrai que la ligne flexible foie étendue depuis le point A jufqu'en B , & qu'en- fuite elle foit couchée fur BF , ce qui eft contre l'hypo- théfe ; la ligne droite AB touchera donc la courbe au point B. Proposition I. La ligne décrite par l'évolution d'une Epicycloïde eft un^ Epi(ycloïde. Soitl'EpicycIoïde BDL qui a pour cercle générateur FDEdontlccentreeft P , &: qui a fa bafe circulaireAEL dont le centre eft le point Ci le fommet de l'Epicycloïdff foit le point B. De l'Evolution des Epicïcloïdes. 40)' Si du centre C & du dcmi-diamecre CB on décrit le cercle BFM qui ibklabafe d'une EpicycloïdeBGK donc le cercle générateur foit FGH, qui a pour diamètre FH ou BI , qu'on déterminera en faifant comme C A eft à CP , ainfi i EF ou z AB aune quatrième proportionnelle EH ou AI ; &c aïant ôté de AI le diamètre AB du cercle géné- rateur , il reliera BI ou FH qui fera le diamètre qu'on cherche. Je dis que l'Epicycloïde BGK eft décrite par l'EvoIu- rionde l'EpicycloïdcBDE. ":' Parlaconftruélion &:par les propofitions précédentes de la dimenfion des lignes Epicycloides, il cftévidcnt que la courbe de larderai Èpicycloïde BDL eft égale à la lio-nc droite AI ou LK. Soit mainccnantùne-ligne flexible accommodée autour Eeeiij j^s6 De l'Evolution des EpicycloÏdes. de lademi-EpicycloïdeBDL , donc une portion depuis le point D jufqu'aurommct Bfoit étendue dans la ligne droi- te DG ; cette ligne droite DG par le Lcmme précédent touchera l'Epicycloïdc au point D. C'cft pourquoi Ci l'on pôle le cercle générateur de l'Epicycloïde dans la pofi- tion FDE , où le point décrivant écoit en D, il eft confiant par la propriété des touchantes des Epicyloïdcs , que la ligne droite DG touchante paffera par l'extrémité F du diamètre EF dans la pofition FDE du cercle générateur. Aïant prolongé CEF jufqu'en H au cercle IHK con- centrique au cercle de la bafe qui a été décrit fur le dcmi- diametreCI, furFH pour diamètre, foit décrit le demi- cercle F !?■ H. Je démontre que l'extrémité G de la ligne flexible étendue depuis le point D , fera fur le cercle Si le point G n'eftpas furie cercleF^H, que la ligne droite DFG rencontre s'il eft poilible le cercle F«Hen quelque poinc^; foit donc mené H f. A caufc du demi- cercle F^^H , l'angle F^ H eft droit , &c les rriangles redan- 2les EDF.FfH feront fcmblables a. caufe de l'angle égal au point F. C'eft pourquoi EF fera a FH , comme FDà Ff ; & en compofant EF fera à EF plus FH, ce qui eft EH , comme DF à DF plus F^, ce qui eft D^ ; &: en dou- blant les antccedens 2, E F ou z A B feront à EH ou AI ; comme z F D à D^. Par lapropofition 6. de ladimenfion des Epicycloïdes &par laconftruftion comme lAB font à AI, ainfiCA eft à CP : mais comme C A eft à CP , ainfi le double de la corde DF eft à la grandeur de la portion DB del'Epicy- cloidc, laquelle portion par l'Evolution eft égale à la ligne droite DG : c'cft pourquoi en raifon égale lABfontà AI, comme iDFà DG. Mais je viens de démontrer que 2, AB font a AI , comme 2FD font à Dg -, donc iDF font à DG , comme zFD fent à D^ , &i par confcquent DG De l'Evolution des "LpïCYCLo'iùts. 407 fera égale à D^ : donc le point g de rencontre de la ligne droite DFG & du cercle F^ H fera l'extrémité G de cette ïigne. Ilreftemaintenant à démontrer que le point G eft fur l'Epicycloïde BK , dont FGH eft le cercle générateur. Par la conftrudion C A eft à CP , comme zAB font à AI j en divifant C A eft à CP moins CA , ce qui eft AP , com- me zAB à AI moins zAB ; mais en doublant les confe- quens CA eft à zAP ,cequicftégalà AB, comme zABà zAI moins 4 AB ; 8J en compofant CA eft à CA plus AB, ce qui eft CB , comme zAB à zAI moins 4 AB plus zAB , ce qui eft zAI moins zAB , ou feulement zBI , comme il paroîtdans la figure. Mais en prenant la moitié des ter- mes de la dernière raifon , C A eft à CB , comme AB à BI : mais aulTi comme CA eftàCB , ainfi la longueur de l'arc AE à la longueur de l'arc BF. Maintenant par la génération de l'Epicycloïde BDL, l'arc de la bafe AE eft égal en longueur à l'arc du cercle générateur FD : mais a. caufc que les deux cercles FDE , FGH fc touchent en F,laligne DFGcoupe les deux arcs femblables FD , FG , dont les longueurs confervent entre- elles la même raifon que celle des cordes FD , FGou celle des diamètres FE , FH: donc l'arc FD eft à l'arc FG, comm.e FE à FH, ou bien comme ABà BI, quicftaufli comme CA à CB , ou comme l'arc AE à l'arc BF : mais l'arc AEeft égalàl'arc FD ; donc l'arc BF eft égal à l'arc FG du cercle FGH , & par confequcnt le point G eft celui qui décrit l'Epicycloide BGK , ce qu'il falloit dé- montrer. Pour les Epicycloïdes intérieures on démontrera la . mêmechofe en changeant feulementla forme duraifon- nement. Et pour la Cycloide il eft facile devoir par cette mêmcdcmonftration que la ligne qui eft décrite par fort évolurion , eft une cycloide égale à.celle dont elle eft évolue. 4c8 De L'EvoLt'TioN des Epîcycloïces. COROLLAI RE. Il s'enfuit audl par rhypothcfc que les trois lignes CA , CB , CI font en proportion continue. Car C A étant à CP comme deux ABà AI , en divifant de doublant les confe- quens CA fera à iCP moins i CA , comme lAB àiAI moins 4 AB : mais i CP moins 2 CA font égaux à-i APou bien à AB ; & comme 1 AB à z AI moins 4 AB , ainfi AB à AI moins 2 AB : c'eft pourquoi CA eftàAB, comme AB ,à AI moins 1 AB. Mais en compofant, CA cfl: à CA plus A B, ce qui cil: égal à CB , comme AB à AB plus AI moins z AB,cc qui eil égal àBI ; & en raifon alterne C A cR à AB , comme CB àBI; enfin en compofant , CA cft à CAplus AB,cc quieftégalà CB , comme CBàCBplus BI , ce qui cft égal à CI. Corollaire IT. Il cft encore évident que la ligne qui eft décrite par J'évolution du cercle, eft la dernière de toutes les Epicy- clo'ides extérieures , c'eft-à-dire celle dont le centre du cercle générateur eft à diftance infinie, ou bien celle qui cft décrite par l'extrémité d'une ligne droite qui roule autour d'un cercle en le touchant , ce qui revient à l'évo- lution du cercle. Il eft facile à démontrer que la fuperficie de la figure de cette cfpeced'Epicycloïde lorfque la ligne décrivante a parcouru le cercle entier de la bafc, ou bien ce qui revient à la même chofe , la figure décrite par l'évolution du cer- cle entier fans y comprendre le cercle dont on fait l'évo- lution , eft égale au tiers du cercle qui a pour raïon la cir- conférence du cercle dont on fait l'évolution. Ce que je dis du cercle entier fc doit entendre de mémedc quelque fartie que ce foit de cette figure. Carlafigure décrite par î'ivolucion Àc quelque arc de cercle fans y rien com- prendre •De l'Evoî-Ution des EpicycloÏdes, 405? prendre de ce cercle , cfl égal au tiers du fcdteur de cercle ■qui a pour raïon la circontercncc de cet arc &: dont l'arc cft fcmblable à celui dont le fait l'évolution. Ce fera aufli la même chofe pour l'évolution d'un arc plus grand que le cercle entier. Pour ce qui eft de la ligne courbe de cette Epicycloïde ou bien de celle qui cft décrite par l'évolution d'un cercle entier ou de quelque arc que ce foit elle fera toujours éga- leàla moitié de la circontercncc du cercle ou de l'arc donton prend le tiers delà fuperiîcie, pour la fuperficic de la figure décrite par l'évolution. D E L' U S A G E DES EPICYCLOÏDES DANS LES MECANIQUES. Proposition ï. SO n /a ligt2e droite AD de longueur déterminée , ^ mobile fur un J/Lin autour de fin extrémité ji ; (^ fur le mente fl an une autre ligne droite CE indéterminée zrrs B , ^mobile fin ce flan autour de fion extrémité C :fii l'extré- mité D de la ligne AT) cfi emportée en E ô- en R par la ligne CB qui fe meutfiur le point C ; Je dis que fi les lignes AD , CB étant placées fiur la ligne CA qui] oint les centres de mouvement , c?' les points D c^- B jetant pofés l'un fiur l'autre ^il y a. deux puifiances égales en- ir elles qui agijfent de tout leur effort fur leurs lignes aux fointsD, &B ^ c'efi-à-dire avec une direction à angles droits , ces puifiances fieront en équilibre ; mais fi les lignes changent de pofition^ comme AD en AE , & CB en CBE , les Rfic, de l'Acad. Tom. IX. Fff 410 De l'Usage DES Epicycloides ftiijfances égales à, X , étant appliquées toujours de la mèmf- manière a leurs lignes c^ aux mêmes endroits, ne feront plus en équilibre , mais pour faire l'équilibre il en faudr* une autre T plus grande que X appliquée en B fur CE , df cette puijfance T doit être d! autant plus grande que La ligne CfiE fera plus éloignée de CA. Du centre C & dcmi-diamctre CD ou CB,aïant décrit le cercle BB , il efl: évident que CE cft plus grande que CB. Mais du point E aiantmcné EG perpendiculaire à AE, & EFM perpendiculaire à CE, & par le point A aianr aufli mené HAM parallèle à CE, fi de quelque point F de la ligne EF on tire la ligne FG parallèle à CE , les deux triangles FEGjMEA feront femblablcs; car ils font rcétanglcs , & leurs angles au point E font égaux cnfemble à un droit , à caufc de l'angle droit AEG. Si l'on fuppofe maintenant la partie EF indéfiniment petite , il cft évident que la ligne CE ne peut fe mouvoir de E en F autour du point C fans faire mouvoir AEjuf- qu'en G autour du point A. Mais il s'enfuit des loixdela Mécanique , que pour faire équilibre entre la puiflance X appliquée à l'extrémité du levier A E , laquelle fe meut félon la ligne EG , & entre la puifTancc Z appliquée à l'extrémité E du levier CE , laquelle fe meut félon la DANS LES MecaNI Qjj ES. 411 ligne EF , il faut que X foit à Z, comme EF à EGj c'cft-à-dirc comme AM a. AE. Enfin fi l'on, fuppofi; une juiiflance Y appliquée en B fiir le levier CE au point B , il cft évident que pour fdire équili- bre entre Z &: Y , il faut que Z foit à Y , comme CBàCE, Il s'enfuit donc que pour faire équilibre entre X appli- quée en E à l'extrémité du levier A E ,& Y appliquée en B fur le levier CE , il faut que X foit à Y danslaraifon compofécdeAM à AE ,& dcCB àCE , qui eft la même que celle duredangle AM , CB au rectangle AE,CE. Mais dans le triangle reétangle AME , le côté AM étant toujours plus petit que l'Hypotcnufe AE , &: par lacon- ftruélion CB étant auflî toujours plus petite queCE, il s'enfuit que la puiflancc Y fera toujours plus grande que lapuiflanccX,&: queplusles lignes CE , AE feront éloi- gnées de la ligne AC qui joint les centres de mouvement, plus la puifiance Y doit être grande pour faire équilibre aveclapuilTance X, On peut auffi démontrer la même chofe d'une autre manière en fefervant du principe commun de la balance ou du levier. Car fi fur MA prolongée on prend AH égale à AE,&: qu'on confidere CE &c MAH comme deux le- viers horizontaux dont les points d'appui foienten C &c en A, & qu'à l'extrémité E du levier CE il y ait un poids appelle Z , ce poids fera le même effort fur le point E du levier coudé H AE que fur le point M du levier droit ou balance'HAM. Orileft évident qu'il faut au point Hun poids X quifoit au poids Z comme AM à AH ou A E fon. égale. Mais maintenant fi au lieu du poids Z appliqué en E à l'extrémité de CE, on fubftituë un poids Y appliqué au pouitB decc même levier CE pour y faire le même ef- fort que Zen E, il faudra que Y foit à Z, comme CE à CB : donc le poids X fera au poids Y pour fiire équilibre dans la raifon «ompofée de AM à AE , &C de CB à CE Fffij 41 i De l'U sage des Epicycloïdes comme cy - devant , d'où il fuit ce qui étoit ptopofé. Corollaire, II s'enfuit de cette démonftration qu'une puifTance ap- pliquée en B à l'extrémité du levier CB , n'agira pas éga- lement contre une autre puifTancc appliquée en D à l'ex- trémité de la ligne AD , en la rencontrant à l'on extrémité- D , quand ces lignes feront différemment pofées, les puif- flxnccs étant toujours appliquées aux mêmes points de- leurs lignes CB , AD , & y agiilant perpendiculairement ; mais qu'il en flaudra une d'autant plus grande que lalignc CB fera plus éloignée de CA. . On doit auffi entendre le contraire , la puifflince qui agit étant appliquée à l'extrémité D delà ligne AD : car cette puiffance doit être moindre quand la ligne AD eft plus éloignée de AC , que quand elle en eft plus proche.. Proposition II, Les mêmes chofes étant fo fée s comme dans la précédente , je dis que fi fur l.t circonférence du cercle BB comme bafe , on décrit l'Epicjcloïde BH dont le- cercle génér.itcur DER ait four raton la ligne AB ^ la ligne courbe de cette EpJcy~ cloïde étant jointe au raïon CD de la bafe , Q-nefaifnt avec elle quune même ligne mixte , comme dans lapoftion eh elle a été décrite ^ en quclqu' endroit que foit placé CB hors de CA; & l' extrémité D de la ligne AD étant pofée fp.rl'Epicjclûïdeen £, la puiffance X qui eft appliquée en E a l'extrémité de AE ^comme elle était dans la Propoftion précédente , fera en équilibre avec la même puiffance X, qui ef appliquée en B à l'extrémité B de la ligne CB, ^ qui agit fur le. point E par le mot en de la courbe: ds L'Epicycloïde BE. Il eft facile à voir dans cette figure par la formation de '"danslesMecanio.'Ues. 4rj l'Epicycloïde que dans quelque poficion que foit la ligne CB , qui cil: jointe à l Epicy cloïde , les arcs BB feront tou- jours égaux en longueur aux arcs DE du cercle DER^ c'cil pourquoi en quelque endroit que Ibit GB , la puiflance appli- quée en B , ne pourra fc mou- voir par un arc B B fans faire mouvoir l'autre puifTancc appliquée en Eà l'extrémité du levier AE par im arc EE égal en longueur à l'arc BB ; d'oiiilfuitque ces puiflanccs étant égales, elles demeu- reront en équilibre. Ce qu'il falloir démontrer. On peut aulfi faire cette démonftration comme dans là. précédente Prop.ofition ; &c l'on trouvera que la même méthode qui v a conduit à une inégalité depuiiïances, nous mené icy à l'égalité par les raiions compolécs. Car fi l'on fuppofe qu'à l'extrémité. E du levier AE, il y ait la puiffanccXquiagifTc félon EG perpendiculaire à AE, &c qu'au point E à l'extrémité de CE , il y ait une puilfan/ ce V qui agiffe félon EF perpendiculaire à CE. Il eft évi- dent par la nature de l'Epicycloïde, que la ligne NE me- née par l'extrémité N du diamètre DAN , au point E , touchera l' Epicycloïde en ce point ; &r qu'ainfi lorfquc le point E de l'extrémité du levier CE , aura parcouru un ef- paceEF indéfiniment petit ,. le même point E de l'extré- mité du levier AE fera parvenu en G , où la ligne F G pa- rallèle à EN , rencontre EG perpendiculaire à AE ; car la petite portion FG de la touchante EN , peut être confide- rée comme la courbe elle-même. Mais aïant menéFC. qui rencontre le cercle BB en L, l'arc SE du cercle BB en- tre CE &: CF-, fera égal en longueur à EG par la nature de Fffiij. -414 r)E l'Usage des Epicycloïdes l'Epicycloïdc : car quand le point Edc l'Epicycloïdercra parvenu en G , le commencement de l'Epicycloidc B fur la circonférence du cercle BB fera parvenu en O ; enfortc que l'arc BO fera égal à SL. La puiflanccX parcourra donc l'cfpace EG quand la •puifTanceV parcourra EF ; &: pour faire équilibre entre ces deux puifTanccs , il faut que X foit à V , comme EF à EG, c'eft-à-dircen raifon réciproque des chemins par- courus. Mais enfin fi on fuppofc la puilTancc Y au point S ou au point B fur la circonférence du cercle BB, &: ?.qu' elle faffe équilibre avec la puifTancc V , il faudra que V f foit à Y comme CB à CE: donc la puifTancc X fera à la -Yuirtance Y dans la raifon compofée de EF à EG qui eft la incracqueEFàSLjOuqHe CE à CS ou CB, &: de CB à CE. Mais cette raifon compofée cft une raifon d'égalité; c'eft pourquoi les puiffanccs X & Y doivent être égales pour faire équilibre entr'ellcs , étant appliquées comme ■cn l'a fuppofé : ce qu'il falloir démontrer. DANS LES M E C AN I Ci.U E 5. 415' Si l'on veut auffi fcfcrvir dans cette dcmonftration du principe commun de la balance , & confiderer les puifTan- ces comme des poids fufpendus aux extrémités des bras ou des leviers , aiant mené EBK perpendiculaire à la tou- chante NE qui agit contre le point E du raïon AE; &: par les points A & C les lignes HAM &: CKB parallèles à EN , & que AH foit égale à AD ou AE ; fi l'onconfidere HAM bc CKBcommedeux bras de balance dans la fitua- tion horizontale , &: que le poids X foit fufpcndu en H, &; & le poids Z au bout de la ligne KE ; &: enfin le poids Y à . l'extrémité B de CE , le poids Z agiflant également dans tous les points de fa ligne comme en E , M , ou en K ; il ell: évidentque pour faire équilibrecntreX& Z 5 il faut que X foit à Z comme AM à AH ; & pour faire équilibre en- tre Z&: Y , il faut que Z foit à Y jCommcCBàCK ;donc laraifondupoidsXaupoids Y fera compoféedecellede AMàAH,ouAE, &: decelledeCBà CK , qui eftcelle dureétangle AM , CB au redangle AE, CK , qui font uneraifon d'égalité : car les deux triangles AME , ou AMB&CKB Ibntfemblablcs, c'eft pourquoi AM cft à. AE, comme CKà CB ,& lerectangle AM , CB cft égal : aureétangle AE ,CK : le poids X doit donc être égal aiî : poids Y pour faire équilibre ; ce qu'il falloir démontrer. . C O R O L L A 1 F, E/ Ce que je viens de démontrer de l'Epicydoide dé- crite fur le cercle BB pour bafe &: pour cercle gé- • nératcur DE dont le raïon eft AD, fc doit entendre de même fi l'Epicycloïdc étoit décrite fur le cercle DE pour bafe , & que fon cercle générateur fût le cercle BB , qui a pour raïon CB ; car le moavement fera tou- jours égal d'un côté ou d'autre. 4iif De l' Usage des Epic Proposition ï' c L o 1 D E s III. Comment on f eut faire l'a^plktUion du mouvement -égal aux machines. Soit le cercle BOL dont le centre cfl: C , &: un autre cercle DEF dont le centre eft A fur le cercle BOL comme .bafc,6i: pour cercle générateur DEF, foit décrit l'Epicy- eloïdc B VHjôc Ibit divifé la circonférence du cercle BOL •en un nombre tel qu'on voudra de parties , Comme icy en iiuit aux points BKL , &:c. &: à chacun de ces points , foit appliqué une portion de rEplcycloidc BVH,en Kl, LM, laquelle foit la même quc.fi 1 Epicycloïde avoit été décrite ^n commençant aux points KL, ôcc. On DANS LES MeCANIQ^UÉS, 417 On peut prendre une aufli grande portion de l'Epicy- cloidc qu'on voudra comme B VH , &c faire par ce moïen moins dedivifions au cercle. La figurcBVHGfera celle de ladcnt d'une roue qu'on terminera parune ligne droite H Gqui rend au centrcCdu ccrcle,ou par quelle antre IJsrne on voudra , ce qui n importe pas,puirque cette partiedc U dent ne doit faire aucun effet. On peut auffi crcufer un peu l'efpace entre deux dents comme DNO , afindelaif- [ fer plus de liberté à la rencontre des parties de l'autre roue DEF. On peitt donc former une roue fur le modèle de ce cer- cle avec fes dents , &c la faire mouvoir fur le centre C. Maintenant lî l'on applique une autre roue derrière ce!le-cy dont le centre foit au point A dans la ligne hori- 7ontalcAC, & qu'au lieu de dents, fur la circonférence DEF , on applique feulement dans cet exemple des che- villes DEF , &:c. que je fuppofe d'abord indéfiniment pe- tites & perpendiculaires au plan de la roue ; il efl: certain par la précédente Propofirion que dans quelque pofition qu'on mette la roue BOL dont les dents rencontrent les chevilles de l'autre roue DEF , il y aura équilibre fi les forces mouvanrcs appliquées aux circontcrcnccs de ces deux roues font égales entr'elles. Soit donc pour cet effet un poids Q^fufpenduà la cir- conférencede la roué BOL égal au poids R, fulpcndu 8c appliqué à la circonférence delà roue DE; ces deux poids demeureront donc toujours en équilibre en quelque ma- nière que les dents de la roue BOL rencontrent les che- villes de la roue DEF. Mais fi l'on appliqueun poids P àla circonférence d'une autre roue ST qui ait fon centre commun avec celui de la. rouii BOL, &c qui fbit attachée avec elle, ce poids P étantaupoidsQ__commeCBà CS , ce poids P tcra encore équilibre avec le poids R dans toutes les différentes ren- Kcc: de l'Jcad, Tom. IX, Ggg 4i8 De l'Usage des Epicycloïdes contres des deux roues ; car le poids P faifant équilibre avec le poids Q., il fera aufll équilibre avec le poids R. Proposition IV. Les chofes étant dijpofées comme dans la précédente , je dis qu'il n'importe pas que les divijions de la roue BKL foient égales entr' elles , c'eji- a-dire que les dents foient à égales dijlances l'une de l'autre , ni les chevilles DE F fur la. circonférence de leur roué. Il n'importe pas qu'il y ait une ou plufieurs dents de la roue BKL qui agilTent tout cnfcmblc fur les chevilles de la roue DEF ; car il n'y aura toujours que la même force qui Icra appliquée contre celle de la roue DEF. S'il n'y en avoir qu'une comme BVH, toute la force du poidsPagi- roit contre celle du poids R en rencontrant la che- ville D ; s'il y en avoir deux rout cnfemblc , comme BVH & Kl dont la première agit fur la cheville D , & l'autre fur la cheville E; il eft évident par la conftruéliondeces dents que Kl fcroit autant d'effort fur la cheville E contre le poids R , que BVH fur la cheville D contre le même poids R ; &: par confcquent l'effort du poids P fcdiftribuc- roit également à ces deux dents dont chacune contreba- lanceroit la moitié du poids R. Ce fcroit la même chofe s'il y en avoir trois ou plus qui agiiTcnt tout cnfcinble. Ainfi il n'importe point qu'il y ait une ou plufieurs dents qui travaillent tout enfcmblc, & il cil: indiffèrent quelle partie de la dent rencontre la cheville contre la- quelle elle agir , puifqu'elle y fera roûjoius un même ef- fort ,• &: c'eft ce qu'il falloir démontrer. Proposition V. L A machine étant difpofée comme cy-dcvant peur faire équilibre entre deux poids F & R\ je dis que fi l'on aug- DANS tES M EC AN I Q^U ES. 415; mente la force mouvante de la roue BKL , ou bien ce qui efl la nicnic cho/e ^fi Ivn aj oute quelque poids Z au poids P, cette force ou ce nouveau poids agira également dans toutes les différentes rencontres de la roue dentée E KL avec DE F , fur la force ou fur la puij/ance , ou enfnjur le poids R appliqué à la roue DE F. puifquepour faire équilibre entre le poids P augmente du poids Z Se le poids R , il ne faut qu'augmenter le poids R d'un poids Y qui foit au poids Z qui fliic l'augmenta- tion dupoids P comme CS à CB, & alors les deux poids R & Y enfemble faifant par tout équilibre avec les deux poids P & Z enfemble ; il efl: évident qu'en quelque pofi- tion que ce foit des deux roues , le poids Z fera toujours équilibre contre le poids Y ; & par confequentlcs deux poids P & Z enfemble prévaudront toujours d'une même force contre le fcul poids R , laquelle eft mcfurcc par le poids Y , puifqu'il ne manque que ce poids pour faire équilibre ; ce qu'il falloir démontrer. Proposition VI, O N peut placer la fuperficie des deux roués dans tînmes • me plan, éî' au lieu des chevilles qui étaient attachées fur la roue DE F , on peut faire des dents à l'extrémité de cette roué , c^ leur donner quellejigure on voudra : mais alors les dents de l'autre roué dont la figure était en Eptcyclotdc , doivent avoir une figure compofée de celle de TEpicycloide :rjrde celle de la dentpropofée. Cette figure compofée fe for'- mer a comme je ['expliquerai dans les exemples fuivans. ï. Exemple. La plus fimple de toutes les figures eft la circulaire ; c'efl pourquoi je propofc d'abord la figure des dents de la roue :BEF en cercle. Soit la roue BEF qui afon centre enAj 410 De l' Usage des Epicycloides laquelle ait des dents de figure circulaire comme BOP , ôd dont les centres foicnt fur le cercle DGM , qui ait Ton centre commun avec celui de la roue A. Soit le centre C de l'autre roue. Aïant mené la ligne droite C A qui joint les centres des deux roues , &: qui rencontre en B le cercle BEF, du centre C&: pourraïonCD foit décrit le cercle DI , fur lequel comme bafc foit formé l'Epicycloïdc DVH, qiiia DGM pour fon cercle générateur. Mainte- nantff de tons les points DVH de l'Eplcyclo'idc comme centres , on décrit des cercles ONL égaux au cercle qui forme les dents de la roue BEF , la ligne courbe ONL qui toucheratous ces cercles, &: qui fera parallèle à l'Epicy- cloide , formera la figure de la dent de la roueBK, c'ell- a-dire la partie de la dent qui agit contrôla partie de la dent circulaire qu'elle rencontre dans fon mouvement ; car pour les autres parties des dents qui ne fc rencon- trent pas, j'ay déjà dit qu'on pouvoit leur donner quelle figure on vouloir ,• mais on doit toujours choifir celle qui les rend plus ternies ,& plus propresàrcfiftcr à l'eftortdu mouvement. Je dis maintenant que s'il y a des puiffanccs égales ap- pliquées à ces roues dans les diftances de leurs centres CD, AD enquclqu'cndroit que les dents fe rencontrent , il y aura par tout équilibre ; il faut feulement obferver que les rencontres de ces dents doivent être toujours au def- fous de la ligne AC. Par la IIÎ. Propofition en quelqu'endroit que l'Epicy- cloïdeDVH foitappliquée au point Dde la roue DGM, en le faifant mouvoir autour du centre A , il y aura équi- libre entre les puiflances égales. Car fi l'une des puiflances faifoit mouvoir l'autre , elle lui feroit parcourir une ef- pace égal à celui qu'elle parcourroit elle-même. Or par la conftruftion de la dcnr ONL on volt que la ligne cour- be ONL rencontrant le cercle BZP fait autant avancer le DANS LES M E C AN I Q^XI ES. ^ZI\ point D que n l'Epicyclo'ide DVH le rcncontroit: car îa diftancc entre l'Èpicycloïde DVH &c la courbe ONL cft par tout celle du demi-diametrc de la dent circulaire BZP. -5 Par exemple que le centre de la dent D foit venu en G ,' & que l'Epicycloïde DVH foit placé en IG, fon point G étant joint au centre de la dent circulaire ; il efl évident que l'arc DI du cercle delà bafe fera égal en longueiu-à. 1 arc DG du cercle générateur DGM. Mais alors la cour^ be ONL fera placée çr\o ni , & la dent circulaire E;?^ qui a foa centre en G touchera néceffairement au point n la. courbe il promet de donner dans fonlieu les démonftra- tions de leurs propriétés , &c fur-tout de leurs tangentes, qu'il enfeigne à trouver d'une manière fort iimple : mais quoiqu'il difc , page 74, dabiturne per totam Mat hc fin uni'' 'verjalius ^aliiidve titilius Theorcnia , a/tt pr^flaatior tan- gentes determinandis methodits l ce qu'il faut feulement entendre dans l'efpece de courbes qu'il propofe : je crois qu'ondoitvoirauparavantfi ce qu'il avance cftauffi cer- tain que la propofitionquc je viens d'examiner. Il dit enluite en parlant de cette méthode , ^is crede^ ret eam b.iclentts alios latttijjè , pofi tôt diverfos hàc in re conatiis pojlcjttam frimum mathematicis , quant ji hdc fmt utilitatis re^e innotuit ^. fed facilia mitlta ingeniofiij.mos etiatnnttm fitgiunt , qux tamen permagni fimt moment i, Oportet autcm , ut Theorematis adeogeneralis demonjîratio ft perquamfacilis. Eam qiiihufdam ex parte explicui , Q' fuo loco tradam. Il ajoute qu'il démontrera fur les courbes quelques propriétés particulières qu'il énonce par ordre vers la fin de la page 7 j. Il parle en ces termes ; Hinc inf- niti s no-vis invent is omnes mathefeos particuUresfcienti£ locupletantur. Sic innumeras no-vas Ceometria fuperjicies , fûlida , ac bisJimiUapotcrit formare : Jrishmetica infnitas Kovas progrcffiones : Aflronomia ^novas hincptrfficict cuV' njas , qu.e rcprefentahunt pLinetarum fiiorum vias . Jive con- - cipiant eos in Epicyclis , Jive atiâ qiiavis ratione moveri. Dioptricam quodattinet , ut c^ Catoptricam , inumera quo- que in iisneva oritmtur.Vntim horum in ASiisEruditorum^ quxLipfiJicdtmtiir ^public} exhibuijpecimen , cujus etiam demonfirationem viris ingeniojis privati?n commimicavi. PAR LÏS RaÏONS REFLECHIS DANS LE CeRCLE. 4J5 Horum ego jam fontes genuinos aperio , ex qiiihus h m inji- nitis poterunt locitpletari modis. Novi equidem qucfidam de njeriiatefrîmarii Theorema- tis , nempe in quo ojiendo ,foUs radios incidentes in curvam & inde reflexos fuis interfeiîionibus curvasformare,rectis Jèmper xquales , dubitajfe ,& ,ttt mihi relut um eft , etiam- num dubitare--, qttia 'vero demonflrationes hx jamdudum fuèreprobatx à D. Hugenio dr D. Leibnitio , qui abfqiie du- hio inter primos nofri £vi Mathematicos niimerantur , pa^ ritm his moveor : prdftat pergere. Iln'yaperfonnequipuificdouterquc les courbes for- mées par les interfedions des raions du Soleil rcflcchis lorfqu'ils tombent au dedans d'une courbe , ne foient éga- les a des lignes droites , non plus que toute autre forte de courbe & le cercle même ; mais la difficulté eft de démon- trer quelle eft la grandeur de cette ligne droite égale à la 'Courbe parrapport à quelque ligne droite connue & don- née, comme de connoîtrc la circonférence ducercle par rapport à fon diamètre. Dans l'exemple que j'ay rapporté cy-dcvant M. de Tchirn. voulant nous faire voir un échantillon de fa mé- thode pour trouver des lignes droites égales à des courbes, nous propofa celle qui eft formée par les raïons du Soleil réfléchis dans le quart de cercle , fans nous parler alors de la manière delà décrire, & il nous dit qu'elle ctoit égale aux trois quarts du diamètre du cercle. Car , difoit-il , fi l'on couche un fil au long de cette courbe BHE , & qu'en- fuiteaïant plié ce fil avec une pointe vers quelqu'un des points du quartde cercle comme en M , ce filctanttendu depuis M jufqu'à la courbe en H , & le rcftc de ce fil com- me ML étant mis parallèle à AC , fon extrémité Lferen- contre fur la ligne AE ; & cela étant de même par rout, il arrivera que lorfque le fil fera entièrement développé ;dedefruslaconrbe5 le point M fera en C, & le pomt L Mminij 4éro Examen de la Courbe formels AU. point A; mais le fil étant plié depuis B iu(qu'cnC , il s'enfuivra que toLitc la courbe BHE fera égale à la ligne ACpUisCi3. Qiioi qu'il foitvrai que fi l'on commence par le poins E àdevelopperlefilquiefl couché fiir la courbe en Icte-' nant toujours tendu par fon extrémité E, ce fil touchera toiijours la courbe , ou ce qui ell la même chofe rcprefcn- tcra une touchante , & alors l'extrémité de ce fil par l'évo- lution ou le développement de la courbe BHE décrira une autre ligne courbe ; mais il ne s'cnfiiit pas pour cela que es £1 étant replié au point comme M oii il rencontre le quart de cercle, pétant étendu parallèlement à AC , décrivo par Ton extrémité coma-ic L la ligne droite AE ; & quand même la courbe BHE leroit éga- le a AC plus BC , il ne s'enfiii-i vroit pas non-plus que ce point L parcourût la ligue droite AEi Enfin quoique M, de Tchirn;. puiffedire , jeconnois trop bien quelle eft l'cxaélitude de Mcf- ficurs Hugens Se Leibnits pour pouvoir me perfiiader qu'ils fc ibicnt contentés de fa parole au lieudedémonftration; car il falloir démontrer comme j'ay fait à la fin de ce Traité , que le point L doit toujours fe rencontrer fur AE , d'où il fuit aulfi que la portion HE de la courbe BHE eft égale aux deux lignes droitesHM & ML jointes enfemble. Mais il femblc queM.deTchirn. n'en avoir point d'autre démonftration que l'expérience qu'il en avoit faite , comme il difoit. J'aurois fait peu de chofe d'avoir feulement montré que la méthode de M. de Tchirn. pour décrire la courbe des raïons réfléchis , eft faulfe ; fi je n'en donnois icy une vcri* t^ble auffi fimple que celle qu'il propofe , &c plus élégante. PAR LÉS Raïons Réfléchis daks le CÊjLctv.. ^(^x pulfqu'elle détei-mine à même rems la tangente de la cour- be Se le point couchant ; & j'en fais îa dcmonftration géo- métrique à la manière des Anciens, De plus je démontre quelle eft. cette courbe, &c j'en donne toutes les dimen- fionstantdclbncfpacequede fa ligne avec quelques au- tres propriétés linguliercs qui ne font que des conléquen- ces tirées d'une propofition univerfellc pour toutes les courbes de cette nature. Pour avoir d'abord une idée diftinéle de la ligne courbe qui eft formée par les ra'ions du Soleil réfléchis au dedans d'un quart de cercle, lorfque ces raïons font parallèles à l'undcfcs diamètres, il la faut confiderer comme celle qui tcrininÈl'efpace dans lequel il ne tombe aucun raïon rcflcchi , comme nous avons dans les fedipns coni- ques des efJTaces terminés par les lignes perpendiculaires aux fcûions , dans Icfquels il ne tombe auc^mc des perpendiculaires. | P R o p o s I t I ON m. Génération de. la cmrbe formée pa.r lés raïens du Soleilrcflodjis dans le quart de cercle. y ■•■' Soit un quart de cercle ACME & un raïon direéVLM parallèle au demi-diamctre AC , &: qui rencontre le quart de cercle au point M. Soit achevé tout le cercle GMED & aïant prolongé le demi-diametre CA jufqyi'en D, par le point M foit mené le diamètre M-AG. Si l'on -fait l'arc GF double de l'arc GD, la licne FM fera le raion rcfle- chi du raïon direét LM : mais aïantr partagé LM en deux parties au point I , &: aïant pris fur MF la gran- deur MH égale à MI; je dis que le point I eft un des points de la courbe requife où. lerraion réfléchi M H. touche cette courbe. Mram ii| 4^1 Examen de la Courbe torme'ê Bcmonfiration. Premièrement il efl: évident que l'angle AMF eft égaî àl'angle AMLj&parconféqucnt qucle raïon MF eft le raïon réfléchi duraion ML;car àcaufe des parallèles AC, ML, l'angle MAC, ou fon oppofé DAG fera égal à l'angle AML. Mais 1 angle DAG eft au centre du cercle , &: l'angle GMFctantà la circonférence & l'arc GF étant double de l'arcGDjl'angleGMF fera égal à l'angleG AD. 'Secondement , aiant partagé AM en deux parties éga- lîesenN ,foit décrit fur N M, comme diamètre, le cercle NHMI: Je dis que les points H &I que nous avons mar- qués cy-devant font aufli fur ce même cercle. Au triangle rectangle MAL les côtés MA, ML font coupés en deux également en N ^ en I par la conftrudion : c'cft pourquoi la ligne NI fera perpendiculaire à ML , & cet angle droit NIM fera neceriairemcnt au demi-cercle NIM j donc le point 1 fera fur la circonférence du ceçcle NFiML On î>AR LES RaÏONS REFLECHIS DANS LE CeRCIE. 4^3 démontrerade même que le point Heftauffi fur ce même cercle à caufe des deux triangles NMI , NMH qui font égaux & fcmblablcs par la conftrudion. Il faut mainte- nant démontrer que le point H eft le point touchant delà courbe fur la tangente MH. ; Sifurlatangf-nrcMH le point H n'cft pas fur la courbe, ce fera quelqu'aurrc point plus éloigné ou plus près du point M. Soit premièrement , s'il eft poffible quelque pointplus éloigné comme le point K ; on pourra donc par le point H mener à cette courbe une touchante comme HPau^deflbus de la touchante KM , car toute la liçne courbe eft au-defTous de la ligne KM : cette touchante HP doit donc rencontrer le quart de cercle au point P, Par le point Païant mené ;. la ligne PS parallèle àAC, laquelle fera le raïon di- red du raïon reflcchiHP; les angles APH , APS doivent être égaux entrc- eux. Les lignes ML, PS étant parallèles entr'elles, l'angle ARL ou fon oppo- fcQRPfera égal à l'angle APS qui eft égal àl'angle APQ^comme nous le ve- nons de démontrer : c'eft pourquoi le triangle QRP fera ifofcclle,(S<: l'angle HQli extérieur étant égal aux deux intérieurs QPR'^ QRP , le fera auffi à tout l'angle HPS. Scmblablement l'angle HQR qui eft extérieur au triangle HMQ_-fera égal aux deux intérieurs oppofés Q\1H ou LMK &:QHM, d'où il eft évident que l'angle HPS furpafte l'angle LMH de la quantité de l'angle MHqouMHP. L'angieAPS eft égal à l'angle PAC, &: l'angle AML 4^4 EXAME'N DÉ LÀ CoURBE rORMt'E cft égal à l'angle MAC ; c'eft pourquoi l'angle A PS fur- parte l'angle AML de la quantité de l'angle MAP; & l'an- gle HPS double de l'angle APS fuipaîlc l'angle KML double de l'angle AML , du double de l'angle MAP : d'où il s'enfuit que l'angle MHP eft égal au double de l'angle MAP. A'ianr mené la lignePN on formera le triangle ANP , dont le côté NP fera plus grand que le côté NA , qui cft ëgalàNMparlaconftruction; car NM étant perpendi- culaire à la touchante du cercle par le point M , cile fera la plus petite de toutes les lignes qui feront menées du point N jufqu'au cercle : c'eft poinrquoi l'angle PAN étant oppofé à un plus grand côté que le côte NA, il fcraïaufli plus grand que l'anglcNPAj.Sc partant l'angle PNMexte- rieur du triangle AP-N, qui cft égal aux deux intérieurs oppofésNPA ,'NAP fera plus petit que le double de l'an- gle PAM.j II fcradonc auHî plus petit que l'angle PHM c]ue .nous venoais de démontrer égal au double de Pan- gleMAP. Mais la ligne HP étant au dedans du quart de cercle coupera neceffairement le cercle NHIM qui eft aufliaa dedans du quart de cercle en quelque point T, duquel aïamtmené la ligne TN on aura l'angle TNM plus petit que l'angle PNM ; & par-conféqucnt cet angle TNM fera ■de beaucoup plus petit que le double de l'angle MAP : mais Pangle TNM cft égal à l'angle THM étant tous deux à la même circonférence de cercle; c'eft: pourquoi l'angle THM , ou MHP fera beaucoup plus petit que le double de l'angle MAP ,ce qui cft une abfurditc , puifqne ce même angle a été démontré cy-dcvant égal au double de ce mêirie angle MAP. Il n'eft donc pas vrai que le point t-ouchant-d-: la courbe fur la touchante MH foit au point .comme K plus éloigné du point M que n'cft le point H. '^ Sait: f maintenant, s'il eft poûible .ce point touchant K plus ÎPAR tES Raïons REFLECHIS DANS LE Cercle. 4(r5• pIus proche du point M que n'eftle point H. Puifque la ligne MH touche la courbe au point K , cette courbe par- fera toute au delVous de la ligne MH; c'eft pourquoi on pourra mener du point H une touchante HP à cette cour- be laquelle touchante la rencontrera au deflous de la li- gne MH, &clle rencontrera auffi le quart de cercle au point P au dcflus du point M. Du point P aïant abaiiïe la ligne PS perpendiculaire à AE ou parallèle à AC, cette ligne PS fera le raïon dired du raion réfléchi PH comme la ligne LM cû le raïon dired du raïon réfléchi MH. Nous démontrerons donc comme cy-devant que l'angle RQH eft égal tant aux deux angles QPH , QHP , qu'aux deux QNIR , Q_RM qui font cnfemble égaux à l'angle HMLou QML ; c'eft pourquoi l'angle HML fera plus grand que l'angle HPS de la quantité de l'angle PHM, Mais comme nous avons _ déjà dit cy-devant l'angle AML étant égala l'angle MAC, & l'angle APS é- grâ à l'angle PAC ,- l'an- gle AML fera plus grand "*^-\ - j\p i ^ ^ ^ y \ /^ s L y que l'angle APS de la quantité de l'angle PAM; & par conféquent l'angle HML double de l'angle AML fera plus grand que l'angle HPS double auffi de l'angle APS, du double de l'angle PAM; d'où il s'en- fuit que l'angle PHM fera égal au double de l'ansle PAM. ° Par le point T où le demi-diametre AP coupe le cercle NHMaïantmené la ligne TN, l'angle TNM fera égal aux deux angles N AT, NT A du triangle N AT , carik font intérieurs oppofés à l'extérieur TNM. Mais le côté Rec. de l'Acad. Tome IX. Nnn j^ë6 Examen de la Courbe porme'ë NA oufon égal N M étant plus grand que NT , car NM étant diamètre au cercle NHM eft la plus grande qu'on puific mener du point N , l'angle NTA fera plus grand qucTanglcNAT ,&: par confcquent l'angle TNM fera plus grand que le double de l'angle TAN ou PAM. Du même point T qui fera toujours dans l'angle HPS aïantmenéTH, les angles TNM THM , qui font à la même portion de cercle , font égaux entr'cux ,■ c'cft pour- quoi l'angle THM foraaufli plus grand que le double de l'angle PAM : mais l'angle PHM étant encore plus grand que l'angle THM , cet angle PHM fora de beaucoup plus grand que le double de l'angle PAM, quoique nous ve- nions de démontrer qu'il lui eft égal , ce qui eft une con- trariété d'où l'on conclud que le point touchant fur la tangente HM ne peut pas être entre M &: H. Enfin il eft donc vray que le point H eft le point touchant de la. tangente HM , ce qu'il falloit démontrer. Proposition IV. Je dis que la ligne courbe BHE que nous avonscy-dc- vant décrite eft une Epicycloïde extérieure dont le cercle- qui lui fort de bafe a fon diamètre double du diamètre du cercle générateur de l'Epicycloïde. 'DemonJiration<. Suppofantlcs chofos qui ont été démontrées cy-devanr, fi du point A pour centre &; pour demi-diametrc AN qui çftlamoitiédeAM on décrit le cercle BND; Je dis que ce quart de cercle BND eft la bafe de l'Epicycloïde BHE, qui eft la ligne formée par les raïons réfléchis dans le quart de cercle, de la manière que nous avons expliquée cy-devant , &: que cette Epicycloïde , a pour cercle géné- rateur le cercle HNMI dont le diamètre NM eft égal au: demi-diamctre AN du cercle de ix bafe» ?AR LES RaÏONS REFLECHIS DANS LE CeRCLE. i^Sj Qiie le cercle générateur de l'Epicycloide aie fon dia- mètre fur la ligne A E lorfqu il commence à fe mouvoir , &c que le point E foit celui qui décrit l'Epicycloide. Lort quccccercle en roulant fera parvenu en quelque point comme N fur fa bafc DNB ; Il cft évident fi l'on tirela li- gne AN M dont la partie NM fera le diamètre du cercle générateur , que le point Equi décrit l'Epicycloide fera parvenu en H, l'arc MH étant égal à l'arc DN en lon- gueur ; mais à caufe que le cercle BND eft double du cer- cle NHM, l'arc HM fera double de l'arc DN; &: par con- fequent le iinus NK de l'arc DN , qui cil la moitié de la corde d'un arc double ■- DN , qui efl: égal à l'arc MH , fera égal à la cor- de MH , car ces cordes feroicnt doubles l'une de l'autre, les diamè- tres des cercles étant aufll doubles l'un de l'autre. Du point M aïant abailTé ML per- pendiculaire à AE , & du point N aïant mené NI parallèle à la même ^ « B ï E AE , on voit manifcftement que ML fera coupée en deux également en I , puifque AM l'efl: au point N ,■ &: de plus cette ligne NI eft perpendiculaire à M L ; c'eft pourquoi à caufe de l'angle droit NIM, le cercle NHM l, qui a pour diamètre NM palfera par le point I. Je dis de plus que la corde MI cft égale à la corde MH j ou ce qui eft la même chofe , l'arc MI eft égal à l'arc MH. Dans le triangle AML à caufe que NK eft parallèle à ML j & que AM eft coupée en deux également en N , ML fera double de NK. Mais ML eft coupée en deux Nnnii 4(îS Examen de la Courbe forme'e également en I , c'cft pourquoi MI cft égale à NK ,&NK a été démontre cy devant égale à MH ,• MI fera donc éga- le à MH. Ainfi l'on peut dire que le point H cft un des points de la ligne courbe formée par la reflexion des. raïonsqui tombent dans le quart de cercle , puifquc par. la troificme propofition ce point H eft le rr>ême qui auroic été trouvé fur cette courbe ; la courbe Se l'Epicycloïde ne font donc qu'une même ligne ,.ce qu'il falloit démontrer, , Corollaire. ' Il s'enfuir de cette démonflration & de la précédente que la ligne M H touchera l'Epicycloïde au point H corn-, nie il a été démontré dans la propofition des touchantes des Epicycloïdes. Proposition V. Puifquc i'ay démontré dans la propofition précédentSf ique la ligne courbe formée par les raïonsdu foleil fup- pofés parallèles cntr'cux & réfléchis dans un quart de cer- cle , eft la même qu'une Epicycloïdc , )e pourrai lui attri- buer les mêmes chofes qu'aux Epicycloïdes. Tigure de Premièrement , je dis fuivant cc quc 3'ai démontré deS' '"^'•'■"''^«'^efpaccs des Epicycloïdes, que l'efpacc BHEDNB com- pris par la courbe BHE, par la moitié du dcmi-diametrc DE, & par le quart de cercle END , eft égal à la moitié de l'cfpaceCEDBjoint avec le demi-cercleM IN;ou ce qui cft, la même chofe que cet cfpace cft égal aux trois huitièmes du quart de cercle ACME joints au demi-cercle MIN - mais aufli à caufe que le diamètre MN du demi-ccrclc MIN cft égal à la moitié du demi-diametrc du quart de cercle , le demi-cercle MIN fera au quart de cercle ACE comme i à 8. c'eft-à-dire que le demi-cercle MIN eft feu-" Icment la huitième partie du quart de cercle ACE , &ï partant tout l'cfpace BHEDNB fera égal à quatre hui- ÏAR LES Ra'ÎONS REFLECHIS DANS LE CeRCLE. 4^^ tiémes ou à la moitié du quart de cercle ACE , &c l'efpacc BHEA en fera les trois quarts. Il eftauffi évident par la conftruétion delà courbe de M. de Tchirn. qu'elle comprend avec les raions du quart de cercle un efpace égal aux trois quarts du quart de cer- cle ; car le demi-cercle AGE comprend la moitié du quart decercle&: la ligne courbe BHE de la féconde propoli- tion coupe en deux également l'cfpaceAGEDC. ;. j ■., Il s'enfuit encore par ce que j'ay démontre de la quadrature ou de la grandeur des lignes des Epicycloides , que la li- gne courbe BHE cft é- gale à trois demi AC demi-diamctre du quart de cercle CME. Car fi l'on fait comme la moi- tié de AC qui cft AB, à fes trois quarts qui eft: AZ , ainfi deux fois BC fera à la courbe EHBqui eft la dcmi-Epicycloïde :mais BC étant égale à AB , la courbe EHB fera double de AZ qui fera trois demi AC , camme l'avoit avancé de M. de Tchirn. De plus puifque nous connoiflbns que la ligne formée r,;^«^, j; par les r.aions réfléchis eft une Epicycloïde , & qucMH i'^ P""^""'^ la touche au point H en quelqu'cndroit qu'on prenne ce t"'P''J'"°'^ point H, il s'ehfuit que ML étant double de MI ou de MH;onauralafommedc MH , ML triple de HM. Mais MH touche l'Epicycloïde HE au point H , &: par les pro- politions précédentes des grandeurs des portions des Epi- cycloides , on aura comme AN eft à AZ c'cft-à-dire z à 51. -" ainfi deux MH à la courbe HE ; donc la courbe HE eft, N;nn ïi) ^o Examen de l\ Courbe forme'e égale à trois MH, c'ell-à-dire à MH plus ML , &: par con- fcqucnt rextiémité du fil dans la manière d'évolution de M. de Tch. touchera toujours le diamètre AE comme il l'avoir avancé lins démonftration. Proposition VI. ]'ay ditcy-dcvant que la courbe décrite par la méthode dcM. deTch.n'étoit pas celle qui étoit formée parles raïons réfléchis ,&j'ay démontré dans la fécon- de propofition que la courbe des raïons réflé- chis ne pouvoir pasêtrc touchée par la ligne MH au point H, quand même elle feroit une touchanre de cerre courbe. Les mêmes chofes é- tant fojccs comme dans la z. propûj/tiofi. Je dis ^ue la ligne droite MH telle qu'elle a été trouvée touchante de la courbe de M. Tch. au point H, touche aujjl la courbe des raïons réfléchis dans le quart de cercle , cf que le point tou- chant eft le point O , d^oi( il fuit necejfairement que la courbe décrite par les raïons réfléchis rencontrera la ligne F H au , dejfous du point //, comme la courbe de M. Tch. rencontre la ligne NO au dejfous du point 0 , ef ^«^ ces d^ux courbes qui enferment avec les deux raïons au quart de cercle un même efpace s'entrecoupent entre les lignes FH ^ NO. Soir le raïon du quart de cercle divifé en 6 parties cg^a- les entr'elles &: à AXdont AP en fera 2 parla conftrnc- lion de la propofition II. A caufe du triangle reûan^lc PAR LES RaÏONS REFLECHIS DANS LE CerCLE, 471 A DF le quairé du raïon AD contient 3 6 quanés de AX, defquels fiTon ôte le quarré de AF qui contient 4 quarrés de AX , il rcftera pour le quarré de FD 3 1 quarrés de AX. Mais auflilcsarcsAG&ED étant fcmblablcs Icsfi- nus de ces arcs GF & DF feront entr'eux en même raifon que les diamètres des cercles AGE , EDC , dont celui du premier eft la moitié de l'autre ; il eft donc évident que FG eft la moitié de FD. Mais aufli GH a été pofée la moi- tié de GD ; donc FH fera les trois quarts de FD , & fon quatre contiendra 4es neuf feiziémes du quarré de FD c'eft-à-dire qu'il contiendra 1 8 quarrés de AX, Par la conftruélionle triangle AZM eft re£tanc;Ie en Z ; le quarré de fon hypotenufe AM contient ^6 quarrés de AX ; & le quarré du côté AZ , qui eft égal à FH en contient 18 , le quarré de l'autre côté ZM en contiendra donc aufli 18 , c'eft pourquoi ces deux côtés AZ &:ZM feront égaux , Se le triangle fera ifofcelle , &c enfin l'angle ZMA fera égal à l'angle ZAM qui eft égal à l'angle AML àcaufe des parallèles CA, ML, les deux angles AMZ, AML étant égaux, le raïon IMHZ fera le raïon réflé- chi du raïon dired LM. Dans le cercle NOM le triangle reûangle NOM étanc femblableau triangle reétangle AZM, il fera ifofcelle, & chacun de fes côtés comme MO fera la moitié de MZ ou de ML , & par latroifiéme propofition , le point O fera un de ceux de la courbe , &c par le Corollaire delaqua=- triéme , ce même point O eft le point touchant de la cour- be des raïons réfléchis &: de la ligne MH , d'où il fuit c& que l'on avoit entrepris de démontrer. 47^ AVERTISSEMENT. CO M M E y^ m'étais propofc dans le traité des Eplcy- cloides de reilifier le mouvement des rouis dentées qui fervent dans le s machines , four les faire mouvoir également ^ aqir d'une ézak force \ il femhle qu a-prés avoir expliqua éjueile était la forme des dents des roues qui font pofées .lians un mime flan , eu qui ont leurs arbres ou axes pa- rallèles entr'eux , f aurais dû. donner la conflruition des denti des autres roués qui ne font pas parallèles ^ou dont les axes font inclinés l'un à l'autre pour changer la direilion des mou. vemens. On fait ordinairiment ces changemens par le moïcn d'une roue dentée (^ d'une lanterne dont les axes font in- JMais ay feulement confideré dans l'exécution que fay faite de cette machine , que la face des dents qui agit fur la rou- lette était formée par des lignes qui tendent au centre de la roué éf f ' f'^lf^^^ P^^ ^^^ points de la courbe qui forme la dent ^ aïant négligé dans cette canftruBion lu figure irréguliere de la face de la dent ou onde qui agit contre la roulette , à caufe du peu d'utilité qu'on en pouvait retirer^ ^ de la difficulté de l'exécuter. Outre que les axes des roués ^roulettes ayant toujours un peu de jeu , les petits défauts ijuan ne fcauroit éviter,^ fe rellificnt dans le mouvement ■par le frottement des parties l'une contre l'autre quand la machine a fervi quelque tems , bien mieux qu'on ne pourrait faire avec toutes fortes de précautions. Jl aurait fallu aufft expliquer la confruîHon de la Vis pour la faire agir par tout également Jur une roué dont les dents feraient d'une •figure donnée 5 & de même pour toutes les autres machines 0» Avertissement. 475 bà ily a des roues é- des dents qui agiffent l'une fur l'autr' fjr des tnonvetnens obliques. Mais ]e n'aurais J>ii examine''' tous ces cas en-particulier [ans fafjer les bornes quim'ètoien^ icy prcfcrites , C^ fans faire de fréquentes répétitions qui- auroicnt ennuyé ceux qui ont bien entendu ce qnej'ay donna ty-dcvant : car je ne crois pas qu'il fc puijje faire aucune pro- fofition dans la conftruflion des machines , dont on ne puiffe donner facilement la folution , fil' on y applique la méthode que fay donnée pour les dents des roues qui font dans un mê- me plan. Cependant je crois que je dois avertir uy que lorfque les dents ayjjent obliqueyncnt , ou bien ce qui efi la même chofe lorfque les axes des roués ne font pas parallcles , on peut toit jour s réduire leur mouvement a deux autres qui le cojnpo- fent, ^parconfcquent on peut auffi compofer la figure desdents, de deux autres figures J t'e^-k-direque la face de la dent qui agit fur une autre qui efi donnée ne doit pas être formée dans ce cas par des lignes toutes parallèles entr elles ou qui tendent en un point , comme je les ay confiderées dans les exemples, que fay donnés , mais par des lignes courbes , qui foient chacunes des efpeces d'Epicyclotdcs ou des lignes formées fur ces Epicycloïdcs. Par exeynple les dents d'une roué qui rencontrent les fufeaux d'une lanterne pour changer un mouvement horizontal en vertical ou au contraire .^peuvent être formées par des Epicycloïdcs toutes jemblables ^ po- fécs fur le plan de la roué .^ (jS qui auront pour cercle gêné ~ rateur celui dont le centre efi à l'infiny qui efi l'évolution du cercle , ^ pour bafe le cercle de la roué , ^ par des cy^ cloides jemblables appliquées fur des furftces cylindriquei qui aient pour axe celui de la roué .^ ^ qui pa fient par lei points de l'Epicycloide ; ces cycloïdes ayant pour cercle gé- nérateur celui dont le rayon efi la difiance de l'axe de U lanterne jufqii au point qui agit fur les dents de la roué; ■tar ces lignes qui forment la dent ne feront des cycloïdes ^ue lorfqu elles agiront contre un feul p>oint des fufeauK £,ec, del'^cad. Tom, IJC. Ooo 474 Avertissement. de la Ltntcyne , autrement ce ferait des lignes formées fur Ces cycloides. La figure de la dent de la même roué yeut itrc encore formée d'une autre manière , comme par une cycloide appliquée fur une furface cylindrique qui a pour rayon celui de la roué ^ par des Epicycloides toutes femblahle s appli- quées contre celle-cy ^ qui feront décrites fur des plans parallèles ci celui de la roué J é- ^« H^u ^^ cycloïdes é' d'cpicycloides on fe fervira de lignes formées fur celle-cy ^^ fi l'on a une figure donnée pour les fu féaux au lieu d'un [eut point. Si la figure de la dent de la roue ètoit donnée on trouverait par la même méthodi celle des fufeaux de U lanterne. 47 y EXPLICATION DES PRINCIPAUX EFFETS DE LA GLACE, ET DU FROID. JE fuppofe que le fentiment de froid que nous avons , r. vient de ce que les particiiles de l'eau qui nous environ- 5" 17 " nent , loit qu elles foienc Icparces , comme elles lont dans da fioid. l'air , ou qu'elles foienc réunies touces cnfcmble , ont • moins de mouvement que celles de l'eau qui eft au de- dans des parties de notre corps qu'elles touchent. Ainil lorlqu'on met la main dans l'eau , & que fcs particules ont moins de mouvement que celles qui font dans la peau de la main , on dit que cette eau eft hoidc ; & ce froid paroît plus grand à proportion que les particules de l'eau exté- rieure ont moins de mouvement, cnforte que fi elles en étoicnt entièrement privées , le froid paroîtroit ex- trême. Je pourrois fuppoferque tout le mouvement des parti- cules de l'eau ne leur vient que de celui de l'air fubtil, qui y efl: toujours mêlé en grande quantité : mais il me fuffit d'expliquer icy comment l'eau peut perdre fon mouve- ment ; pour rendre raifon des principaux effets du froid & de la glace. Je dis qu'il n'y a que de certains fels quifoient capables „ ^^■. „ V -^ \ 1 • 1 J 1' 'M ' Hypothéle d arrêter le mouvement des particules de 1 eau , qu il n y de la pnva- a que peu de ces fcls mêlés &: engagés dans le fel com-"°»'-l" "i""- ,-, 1 1 1 1 /- 1 * o >•! veracnt des mun , qu il y en a beaucoup plus dans le ialpetre , ic qu il partn-uics de y en a une grande quantité dans le fel armoniac ,• que les leau. particules de ces fels font déliées , longues , roides & ai- gués , &: par conféquent qu'elles peuvent pénétrer tous les Ooo ij 47^ Explication des effets métaux, & le verre même; quelles font emportées facî- Icment dans l'air par fon mouvement; &: qu'enfin les particules de l'eau s'arrêtent plus facilement à ces fels qu'à tout autre corps , fans en excepter les autres Tels , îc réci- proquement que ces fels i'c joignent plus aifement aux particules de l'eau , qu'à celles des autres corps. Si l'on fuppofc , comme M. Dcicartes, que les parti- cules de l'eau foient longues &c flexibles , il ne fera pas dif- ficile de juger qu'elles pourront s'arrêter facilcmentàccs fels en s'entortillant autour de leurs parties , &: qu'elles perdrontleur mouvement , n'en a'iant plus d'autre que ce- lui des particules des fels aufquelles elles feront jointes , & qu'en perdant leur mouvement elles cèdent de compofcr un corps fluide. III. Lorfqu'il fe rencontre une trop grande quantité de ces r'diaxfr/ ^'^'^ '^^'- voltigent dans l'air , & qui n'y trouvent pas aflcr penaam la de particules d'cau pour pouvoir y être entièrement rete^ gcice. nus une partie pénètre dans tous les autres corps, & y arrête les particules d'eau qui y font, enforte que ces particules d'eau étant jointes- aux particules des fels , elles perdent tout-à-fait leur mouvement , les fels n'en aïant point , ou: très-peu, dans ces corps ; c'eft pourquoi ces corps &: l'air même paroiflTcnt n'avoir plus d'humidité. ïv. Ces fels commençant à pénétrer une maflfe d'eau en ar- ,;,. i°^™g_°"rêtcnt d'abord quelques particules, & plufieurs de ces particules de fel & d'eau jointes enfemble venant à s'af^ fembler les unes avec les autres , forment des filets glacés par où l'eau commence à fc geler. Ces premières parties de glace doivent retenir la figure des parties du fel qui leur fert de principe , comme il arrive dans la formation de la. "^^ . plûp-irt des mixtes. l-ra^u'^Tiacc-e ^i CCS fcls fout en trcs-gtandc quantité, ils fixent &: auçrremc de gèlent toutc la iTiaflc de l'eau ; mais il faut examiner ce î'°'"'"j"?'"qui doit arriver à.vme maflTc d'eau dont les particules fa la iciid plus ^ , ^ „- '■ ic<;cre. gèlent fucccflivcmcnt. DE LA Glace, et du Froid, 477 Chaque particule de glace qui s'eft formée dans l'eau, tient plus de place que l'eau dont elle cft formée, non feu- lement par l'addition des fels,cequi n'cft pas confidera- hle, mais par les diiferens alfcmblages de fcs particules gelées , qui étant devenues roides &c ne pouvant plus s'ac- commoder les unes aux autres , forment des vuides par l'effort qu'elles font en fe liant enfcmblc, & en dilatant confiderablcment les efpaces d'air qui font mêlés parmi les particules de l'eau. Il cft facile de comprendre comment ces dilatations fe peuvent faire méchaniquement ; caron voit clairement qu'une certaine quantité de petites ai- guilles couchées fuivant leur longueur les unes fur les au- tres, occuperont bien moins de place , que fi une partie de ces aiguilles étoit entortillée autour des autres. Chacune de ces petites parties de glace formées en filets devenant donc plus légère que le volume d'eau dont elle occudc la place , il faut neccffairem.ent qu'elle s'élève vers la fuoer- ficie ; &: lorfquc le dcflus de l'eau en cft tout couvert , les particules des fcls furvenant toujours lient & attachent tous ces filets enfemble, dont il fe formeune croûte de glace qui renferme toute l'eau , avec les bords du vaiftcau qui la contient. Mais les fels payant au travers de la gla- ce & rencontrant l'eau qui cft au dcffous , ils continuent d'y former de nouveaux filets de glace, qui tenant aufll plus devolumequel'caudontils font formés, fontun ef- fort contre l'eau dans laquelle ils nagent&contre ce qui la contient ; mais l'eau ne pouvant fe comprimer, elle rompt la croûte de la glace par l'endroit le plus foible, & s'élance au dcftlis avec violence. Si le vafe qui contient l'eau éroic plus foible que la glace qui eft audeffus, il n'y a pas de doute que l'eftort de l'eau le romproir. La glace eft toujours blanchâtre & bien moi-ns tranf- VI. parente que l'eau , à caufe de tous les petits vuides qui s'y p''""'^"' ^= îcncoatrcnt , &; qui détournent les raions de la lumière. buUs a'?ir Oooii] 47? Explication DES effets- dsns le ni'- Qvund la glace qui s'cft formée a fait une croûte ailcx cL"e.'^^ ''^cpaifTcpourne pouvoir plus être rompue par Icftort de l'eau comprimée , & que d'ailleurs le vaifTcau qui la con- tient peut refiftcr à cet effort , toutes ces particules de gla- ce qui font autant de petites bouteilles , font contre elles- mêmes ce qu'elles ne peuvent faire contre les corps qui les renferme , & ainfi elles fc brifcnt les unes les autres par les endroits les plus foibles , &c les fragmens avec le peu d'eau qui refte s'attachant enfemble , & à toute la glace qui s'cft formée, tant autour du vaiiïeau, qu'au deirus,laiircnt dans le milieu un efpacc vuidc aflcz grand , qui cft la bulle d'air qu'on y voit ordinairement. Mais par cette explica- tion cette bulle d'air n'eft pas formée par un air compri- mé, au contraire ce doit être un air trés-fubtil &c trcs- dilaté. Il fe forme quelquefois plufieurs bulles par les difFc» rentes féparations qui fe font rencontrées dans l'eau avant qu'elle fût tout-à-fait glacée, & qui l'ont divifée comme en plufieurs vafes qui contenoient de l'eau prête à fe geler entièrement. Quoique les bulles foient toutes formées dans la glace , il refte encore quelquefois un peu d'humi- dité qui'^venant à fc geler entièrement , fait un dernier ef- fort contre la glace qui l'environne, & la rompt avec le vafe qui la contient. Ces eftets fe trouvent confirmés par l'expérience, vii. C'cft par un contraire effet que l'eau chaude augmente DigrefTion ^q yolumc , quoiqu'elle fc purge des parties d'air qu'elle !n'>on"fe"'vo- contient. Ces parties d'air étant extrém.ement dilatées iumedel-eaupar la clialcur , foulevcnt l'eau, Se étant devenues fort ckiade. o-roft'cs par une grande dilatation, elles s'élèvent vers fa fuperficie , & enfin elles fe difiipent : & fans avoir recours à une matière fulminante, on peut dire que les petites par- ticules d'air qui font engagées entre les parties de l'eau, yenantà fe dilater exxraordinaircment les unes après les DE LA Glace, et du Froid. 479 autres à mcfurc qu'elles approchent de la furfacc de l'eau, forment ces gros bouillons qui s'élèvent au defTus de l'eau. Cette feule dilation des particules de l'air renfermées dans les liquides, fait les bouillonnemens que nous voions dans ces mêmes liquides lorfqu'ils font dans levuide; car l'air extérieur ne les comprimant plus , elles fe dilatent à peu près autant que par l'effort du feu. Les particules de l'eau étant longues & flexibles , écar- viu. tent les parties jrroiTieres de l'air en fe mouvant avec vitef , Comment - ^' ,^ 1- . ^ , , ,, . les paiticiilcs le, enlorte quelles compolent une petite Iphered un air d'eau s'éie- très- fubtil, dans laquelle fe meut la particule d'eau :ainfl^^"tdmisrair , ,, / \ j Guoiqu'ciles ces particules d eau étant en très-grand mouvement occu- Ço\<:nz plus peut un très-grand cfpace;&: (i chacune des petites fphércs pcfames, avec la particule d'eau qu'elle contient pefe moins qu'un égal volume d'air greffier , il n'y a pas de doute que cette particule d'eau avec (1 fphére s'élèvera au deffius de l'air dans lequel elle nage. On explique par ce moïen de quelle manière les particules de l'eau s'élèvent dans l'air , quoi- qu'elles foient plus pefantes que des particules d'air de mê- me volume. . Mais fi ces particules d'eau qui font en mouvement Sc rx. qui font comme un axe dans chaque fphére qu'elles com- .^°"'!'-'"^?' i, 1. 1 j. tion cic 1 3isr ■ pofent, viennent à être rencontrées par les fels qui leur groïïier pas- ôtenc le mouvement, l'air groffier pourra s'en rapprocher, '*= f'^°"^- & par confcquent cet air qui occupoit auparavant un très- grand volume fe refferrera, comme on le peut voir dans une phiolevuide dont l'ouverture trempe dans l'eau, car le chaud & le firoid font fucceffivement defcendrc &: mon- ter l'eau dans le col de laphiolc, en dilatant ic compri- mant l'air qui y cft renfermé. C'étoit far ce principe que Sanctorius avoir conftruit le Thermomètre qu'on appelle de Florence; mais on l'a entièrement négligé, depuis qu'on a reconnu qu'il n'avoit pas la juftcfTe de ceux qu'on- fait avec l'efprit de vin qui agit dans le vuide, à caufe que 480 Ex PL I C ATI 0 N DES EFFETS les différentes pcfanrcurs de l'air lui caufoicnc une alccra- • tiontrès-fcnfiblc. , , , ^' Puifque l'eau aufrmcnre de volume à mcfure qu'elle s'é- L V'cu natu- , r n v 1 n 1- 1 rci de leau chauFc , & qu cllc cn augmente aulii quand elle le glace, ce (I àrc h- ji s'enfuit qu'il y a un état moïen dans lequel elle fera rcn- môiivcment , fcrméc fous le moindre volume qu'elle puifîc être , &c cet & trti froi- état eft celui où l'eau cft prête à fc geler : mais on ne peut pas dire que ce foit celui qui luicft^iaturcl, puifqu'clleeft toujours mêlée de quantité de particules d'air qui la met- tent cn mouvement , &: qui cn rendent le volume plus grand que i\ ces particules d'air n'y étoient pas , ou i\ elles n'avoicnt aucun mouvement. Il faut donc confiderer l'eau dans fon naturel fans aucun mouvement &: liquide tout cnfemblCjC'ci]: à-dire que toutes lesparties cn puificnt être dérangées par une force aufll petite qu'on la voudraliip- pofer; ce quieft pofTible fi ces parties font infiniment po- lies. Il s'cnfuivroit aulli que cet état de l'eau caufcroit une fcnfation de froid aufli grand que celui de la plus forte glace , fuivant la définition que j'en ay donnée d'abord, fi elle étoit capable d'arrêter le mouvement des particules d'eau qui font dans la peau qu'elle touche: maisàcaufe qu'elle feroit difpofée à fe mouvoir très-facilement, elle ne pourroit faire qu'une très-foiblc impreffion fur les fcns. Iln'cneftpasde même des particules d'eau glacée; car elles nefçauroient êtremifcs en mouvement fans un effort alfez grand pour en détacher les fels qui les ont ar- rêtées. Il faut donc faire une très-grande dift'erence entre le froid de l'eau dans fon état naturel , & celui de la glace ; ce que Tonne doit entendre que du^rcpos des particules de l'ca u dans ces deux états, xr. Lorfqu'il fe rencontre trop d'eau à proportion de la grand froid l^^^'^^'''^ *^^^ ^^^^ 1^' pourroient la fixer, il ne fc forme .îaïKgUce. point de glace, les particules de l'eau qui font arrêtées âucour des fcis ne le pouvant pas joindre cnfemble , à caufe DE LA Glace, ET du Froid. 481 caufc qu'il fe rencontre entre deux trop de particules d'eau qui dctaciient celles qui font déjà jointes aux parti- cules des fcls, en les choquant contmucUemcnt ; &: la froideur de l'eau augmente feulement par la privation du mouvement de quelques-unes de fes parties. Lorfqu'au contraire il y a dans l'air une très-grande quantité de ces icls , une feule goûte d'eau en retient trois & quatre fois plus qu'il n'en taudroit pour la priver de mouvement ; mais ces particules de fcl qui ne font arrê- tées à l'eau que par quelques endroits , s'en détachent fa- cilement pour fc joindre à de nouvelle eau qui furvicnt, &: qui les touche en plus de parties. De-làils'enfaitqueles corps erras Se huileux , &c qui ^ir- ^ ■ A' r - I^aifon de ce n ont que tres-pcu de parties d eau, ne lont pas propres aqui.irnvciur retenir ces fels , &c par conféquent ils ne fe gèlent pas faci- fruits gdés Jement. Par cette raifon , les fruits , le vin , l'huile , & '°'^'!'''°", '" . , ' ' ri ^trempe dans pluiieurs autres liquides de cette nature, ne le gcient pas l eau. aifement , quoiqu'ils renferment beaucoup de ces fels qui '; . -, y iont arrêtés à quelques particules d'eau. Lorfqu'un fruit r-. ; : cft gelé par la grande quantité des fels qui s'y font intro- /- dans uiietois Lorlqu il gele trcs-irort , li 1 on expofe au vent un Ther- te gelée. mometre qui étoit à l'air , il defcendconfiderablement; mais fi-tôt que Ton couvre la boule du Thermomètre avec de la nege , l'efprit de vin qui s'étoit referré dans la boule , remonte aufli-tôt dans k tuïau. Voici comme je rends raifon de ce phénomène. Le "vcnc tait paUer au travers du verre plus de fels qu'il n'en Pppij 4S4 Explication des effetS' palleroit feins fon efForc, & les paiciculcs d'eau qui font dans l'efprit de vin s'en chargeant autant qu'elles peu- vent, elles perdent prefque entièrement leur mouvement; &; par confcquent elles occupent moins de volume qu'au- paravant, & l'efprit de vin fecondenfe; mais enfuite fi l'on couvre le Thermomètre avec de la negc , l'efprit de vin remonte dans letu'iau,car les particules des fels qui s'étoicnt joint à l'humidité mêlée parmi l'efprit devin, s'en détachent facilement pour fe joindre à celle de la nc- ge , qui eft plus propre aies retenir,en aiant une plus gran- de quantité. XVII. C'ell par cette même ralfon , que lorfque quelque par^ Application • 1 , ,■, .' r j f ■ j i- de cette ex- ^^^ "*■' corps S clt gclcc par un très-grand rroid, on y appli- perience à quc auifi-rôt de la ncge , qui retire à foi les particules des l'on^EuTc^la ^'^'^ S*-'' s'étoientinfmuêes dans les chairs , ce qui rétablit nej^epourdé la partie dans fon premier état qui fc corromproit finsce fes^ii^cor' P''°="'''P'^ fecours. xvui. Il ne fera pasdifficiledans cette hypothéfc d'expliquen Explication comment fe font les congélations des liqueurs pcndanE tJons'^p"ifj3nc l'Eté. On prend de la glace pilée, ou de la nege , parmi l'Eté. laquelle on mêle beaucoup de fel, & en aiant enveloppé un vafc plein d'eau, on trouve qu'elle fe gelé eu très-peu -.. de tcms. Si l'on ne met point de fel parmi la nege l'eaune fe gèlera pas , à moins qu'elle ne foit déjà très froide. Le falpétre au lieu de fel fait plus d'effet, &; le fel armoniac beaucoup plus^ Le fel commun , le Qlpécrc, & le fel armoniac conte-^ nant une grande quantité des fels qui fervent à la congéla- tion, augmentent la force de la negc en femêlantparmi ceux qui y font retenus ; Sc pénétrant enfemble le vafe qui contient l'eau , ils la font prendre facilement. Si l'onn'a- joûtoiî point de fel avec la nege , les particules des fêla qu'elle contient auroient de la peine à s'en détacher , n'y en aiant pas une trop grande quantité, le fuperflus qui- DE LA Glace, et du TkojT). a^^^ n'etoit pas fortement aiTcté dans l'eau de la ncgc , s'ctant diiUpédepuislctcms qu'elle a été renfermée , & de plus, le peu qui s'en détachcroit ne pourroic pas faire prendre les parties de l'eau du vafe, qui font en très-grand mou- vement. Il n'en arrivcroit pas de même fi l'eau éroit trcs-froidc comme dans l'hy ver, car dans ce tems-Ià la feule ncgc fans fel peut faire geler l'eau. Car aufîî par cette même raifon que l'on fait geler de xrx. l'eau qui eft très-froide, en enveloppant la phiole avec du Congélation fel armoniac tout feul fans le fccours de la ncge ; car ce fel ^"''^ ^^' ^^' contenant une grande quantité des fels qui fervent à la f';"!. congélation, il en p a (Te beaucoup au travers du verre Icfquelsfe joignant à l'eau, quin'apas prefquede mouve- ment, ils la glacent fortaifcment. On dit que fous la Zone Torride on fait rafraîchir l'can ^^• &: le vin , en expoiant à l'air pendant la nuit le vafe ou la ThirV^ ""^" bouteille qu'on a couverte &c enveloppée auparavant avec dans h Zone du feloudufalpétre. L'air de la nuit dans ccpaïs-làcll^°'^"''^' très-froid; c'eil-à-dire dans notre hypothéfc qu'il y a beaucoup de fels propres à fixer l'eau, Icfquels étant joints à ceux dufalpétre, augmentent confiderablemcnt leur force pour ôtcr le mouvement à une grande partie des particules de 1 eau. Lorfquc l'on fait geler quelque liqueur pendant l'Eté, Xxr^ fi l'on jette de l'cfprit de vin pardefiiis la glace ou la lîege^i,^'^^"^'^^,^'^ quieft mêlée avec le fel ou Icfalpétrc, la liqueur fe gelé «up à la con- plus fortement &: plus vite. " geianon dw r^ iV r f 1 r 1 V , , . liqueurs. • L-et eitct elt c.iufe par les Icls propres a- la congélation des liquides dont Icfprit de vin eft rempli; quoiqu il ne puifTc pas fe congeler lui-même à caufe des parties hui- îeufes qa'il contient , lefquelles empêchent la. coa nous avons parle , s attachent a tous les corps quelles ][. cft exi'ofée ' rencontrent, & forment en partie cette negc ou gifvre qui à laiî. tient aux corps les plus déliés , & même aux filets des toi- les d'araignée. Ainfi dans la forte gelée l'air fe doit purger dctoutc Ion humidité ,& c'cft aulfi dans ce tenis-ià qu'il paroît le plus pur lorfqu'on obferve les planètes ou les étoiles avec les grandes lunettes d'approche. Alors l'air n'aïantplus ou très-peu d'humidité pour retenir les fels qui furviennenr continuellement, ils s'infmucnt autant qu'ils peuvent dans tous les corps , &c s'attachent aux pe- tites particules d'eau qu'ils y rencontrent. C'cft pourquoi ^S8 Explication DES effets fi les fels difcontinuentdcs'clcvcr en aiiflî grande quantité qu'ils faifoienc auparavant, 1 air ne paroîtra pas bien froid , pourveu qu'il ne ioit pas humide , &: 1 eau que 1 on cxpolera à cet air ne pourra pas fc geler , iur tout s'il y en aainecpaiflcur confiderable ; mais fi l'on étend cette eau fur quelque corps qui fc foit rempli des Tels propres à la fixer , ils la toucheront en beaucoup départies, & s y join- dront aufli-tôt en fe dcbaraffant de celle qui eft dans ce corps , &: à laquelle ils ne font attaches qu'en partie , & la gèleront prelqu'cn un moment, comme j'ay déjà dit en expliquant la caufe du verglas. Je dis que l'air ne paroîtra pas bien froid , s'il contient peu de fels , pourveu qu'il ne foit pas humide; car s'ilétoic humide, les particules d'eau qu'il contiendroitfe charge- roieut promptcmcnt des fels qui lont répandus dans tous les corps aufquels ils ne font pas fortement attachés, &6 parconféquent cet air humide & prefquegelc , nous fe- Toitfentir un grand froid en nous communiquant une partie de fes fels , comme je l'ay déjà expliqué. XXV. On pourroit m'objedcr que le fer & les autres métaux &r'ccàuelesP^roiirent très - ftoids au touchet , quoiqu'il ne paroiiïe jTictaiix pa- pas qu'ils puirtcnt retenir une grande quantité des fels qui f^Ôfds"' "oi- Servent à la fixation de l'eau. rm'iisnepuif- Il cft vrai qu'il ne fcmblcpas quedanscescorps iipuidc rentras rete- y j^YQJj {jç-^j^jj-Q^p d'humidité 3. laquelle les fels puiflTcnc r.ir beaucoup ■', , • -1 n • >-i t • > idc Ids. -S arrêter : mais il eft certain qu il y en a beaucoup qui s at- ■tachcnt fur leur fuperficie & dans les petites inégalités qui •s'y rencontrent, & ces particules d'eau étant arrêtées par les fels, fc communiquent prefque toutes à la fois à la ■chair de la main qui les touche, &c'eftce qui fait fentir il'abord un grand froid , comme j'ay dit cy-dcflTus dans l'article ij*^. xxvl. Entretoutes les obfervations que l'on fait fur le froid, «ents^ir?s- il y cn a unc qui me paroît crès - confiderable , &: qui fdvorife DE LA Glace, et du Froid. 4?^ favorlfe beaucoup cette hypothére. Dans une même fai- f™<'5 . «]>»"• fon de l'année on fent quelquefois des vents chauds, &;foiénVpaî quelquefois des vents froids ; Se quoique le jugement que viokns. Ipn fait du chaud &c du froid dépende en partie de la difpofition des organes du corps, on ne fçauroit pour- < tant nier qu'entre des vents d'une égale force, il n'y en ait qui ne foient plus chauds ou plus froids les uns que les autres. Il faut donc qu'il y ait dans les vents que nous appel- Ions froids , quelque chofe qui filFe fur notre corps une imprefTion différente de celle que lont les autres vents qui aie nous paroifl'ent pas fi froids , quoi qu'auffi violents ; mais puifquelcs vents ne lont qu'une agitation de l'air , il 'doitdonc y avoir dans cet air quelques parties que lèvent agite de telle forte qu'elles faffcntfur notre corps une im- preffion difîerentc de celle qu'elles y faiioient auparavant; & je dis que ces parties ne font autre cliofc que les fels qui ferventà fixer l'eau, qui pénètrent la peau quand ils font agités, avec plus de violence que lorfqu'ils tlottoient librement dans l'air ; c'eft ce qui fe trouve confirmé par l'expérience du Thermomètre que j'ai rapportée dans l'article 16'^. Enfin il eft facile de rendre raifon pourquoi la glace fc xx'VU. fond plus vite & plus faci'ement dans l'eau tiedc, qu'au- L'ig'accfonci près du feu ; car luivant cette hypothéfc les particules des f^"™ 'ucde"' fels qui ont fixé l'eau s'en détachent facilement pour fe qu'auprès dit, joindre à d'autres particules d'eau qui les environnent , au ^'^^' lieu qu'il faut que le feu fiilfc un grand effort pour les mettre en mouvement, &: pour les arracher de l'eau, de laquelle ils entraînent toujours une grande partie quand la glacccommence à fc fondre. L'expérience nous mon- tre aufli qu'on peut fc réchauffer les mains bien plus pronv. ptemcnt & plus facilement dans l'eau chaude, qu'auprès ;d'un grand feu. Met, de l'AC'id. Tenu IX., Qcjq 490 ExPtICATIOn D£S ETFSTS XXVIII. Qn voie aflcs communcmcnt des pierres qui étant cxpo--- fiiMaTdce ^^^^ ^ ^^ gclcc , fc fépatent par fciiillcts , & fur tour fi cl- des pierres Ics ont été mouxllccs un pcu avant la gcléc. lln'eftpasdif-: fcrTdaîîl 1/ ^'^l'c '^^ rcconnoître que cette réparation fc fait félon kâtimcns. Ics diffetcns lits de la pierre , qui ne font joints enfemblc' que par une matière mole & fpongieule, qui peut rete- nir beaucoup plus d'eau que le refte de la pierre. Cette eau- venant à fr geler, doit occuper plus d'efpace qu'elle ne' faifoit auparavant , comme )'ay expliqué cy-devant, Sc faifant le même effet qu'une infinité de petits coins qu'oui y auroit introduits, ellelacaffe & la féparc dans les en- droits où il y a une plus grande quantité d'eau. On voit des pierres qui gèlent, &: d'autres qui ne ge-^- lent pas, quoiqu'elles foient tirées des mêmes carrières, &: qu'elles foient pofécs dans les mêmes endroits d'un bâ- timent; & c'eft ce qui pourroit faire croire que la gelée- des pierres ne viendroitpas toujours des féparations qu'il y a entre les lits , outre que l'on voit quelques pierres donc la gelée enlevé des éclats femblables à peu près à ceux que les ouvriers abattent de leurs pierres à grands coups de marteau ; &c l'on remarque aulîi que la plupart des fentes qui fc font aux pierres gelées ne fuivcnt pas la diredion de leurs lits. Cette obfervation m'a donné lieu de croire, que li manière dont on taille les pierres peut contribuer beau- i- eoup à les faire geler , c'eft-à-dirc à les faire éclater &; rompre pendant la gelée. Voici de quelle façon les ouvriers taillent ordinaire- ment les pierres. Après avoir dreffé quelques-uns des paremens &: des lits d'une pierre , ils font obligez pour lui donner la forme qui lui convient, d'en abattre un mor- ceau conlidcrable par quelqu'une des extrémitez , &: pour aller plus vite , ils frappent delTus à grands coups des plus gros marteaux dontilsfe fervent. Or il cftiimpollibkquc DC LaGlACÈ, ETDU FrOIO. 45»! ■par CCS coup"; violents ils n'ctonncnt toute lamaffcdela ■pierre , &c que dans quelques endroits il ne s'y Eiffc de pe- tites fentes imperceptibles à la vue qui pénètrent quelque- fois très-profondément dans le corps de la pierre. On ne peutpas appcrcevoir ces fentes à caufe de l'opacité de la pierre; mais aux corps tranfparens , comme au verre , on les reconnok fort facilement. L'eau s'érant enfuite infi- nué.e dans ces petites fentes , li la gelée furvient elle la gelé, & lui faifant occuper plus de place qu'elle n'en te- noit auparavant, par les raifons que j'en ay donnéescy- devant , la pierre fc calFe dans les endroits où il y avoir des fentes. Les pierres qui font fort engagées dans im bâtiment, &: chargées d'un grand poids, ne fe peuvent fendre par leurs lits, ce que les ouvriers appellent le déliter, à caufe que la grande pcfanteurréfifte à l'effort que font les parti- cules de la glace pourcaffer les pierres en ces fens. J'ay fait fouvent une expérience, qui me perfuadequc les coups qu'on donne fur une pierre , quand même ils ne fcroient pas violens, font capables d'en defunir les parties par les endroits où elles ne font pas fortement liées les Kiies avec les autres. J'ay pris un grais fort gros , Se qui me paroiffoit d'une eonliftancetrès-ferme&très-folide, &en le tenant dans la main j'ay frappé deffus à petits coups de marteau , &: j'ayappcrçû qu'en très-peu de tems il fe fendoit en plufieurs endroits dont il tomboit quelques grainsj&enfin )'ay trou- vé que ces coups en avoicnt tellement ébranlé toutes les parties , que l'on pouvoit le réduire en poudre en le froif- îantentrelcs doits. Il n'arrivera pas la même chofe aux pierres molles &: fpongicufes comme la pierre de Saine Lcu , car Icscoups de marteau qu'on donne fur ces pierres s'amortiirent& font feulement rentrer quelques parties ks unes dans les antres en les écrafant , Se ne peuvent pas facilement y faire des fentes. Q.11 'j ■492, Explication des e-ffet3 On a fait encore fur la gclcc des pierres , d'autres ex- périences qui confirment le fyftêmc de la glace que je pro- pofeicy. Vers la fin de l'Automne on a emploie dans un bcuimentconfiderable des pierres de Saint Leu en trois manières diffcrcntes.Dans la prcmicre,lcs pierres avoicnt été expofées au Soleil pendant tout l'Eté &c s'étoient ref- ' fuiécs entièrement. Dans la féconde, les pierres avoient auifi paffc tour l'Eté fur le port; mais un peu avant que d'être emploïées , la rivière étant crue elles étoicnt de- meurées alTcz Ion g-tems dans l'eau, &: lorfqu'on Icsem- ploïa elles étoicnt toutes mouillées. IDans la troifiéme , les pierres étoient nouvellement tirées de la carrière &c n'avoient pas encore eu le tems de fc rcffuïcr. Il eft arrivé que les premières fe ibnt fort bien confer- vées pendant l'Hyver , comme il arrive ordinairement à cette forte de pierre ; que les fecondes,quoiqu'cllcs fuflent toutes mouillées , n'ont pas laifTé que de réfiller à l'cftort de la gelée ,■ mais que les troiliémes fe font prcfque toutes caflées en fe gelant, Pour les premières , on ne voit rien qui les auroit pu faire geler : mais il femble que les fécondes étant toutes remplies d'eau auroient dû fe rom,prc toutes par la gelée ; car on ne peut pas douter que l'eau dont elles étoicnt rem- plies ne fe foit gelée , cependant la glace n'a fait aucun effort contre cette pierre. On pourroit croire que cette pierre mouillée s'cftconfervccàpcuprès de la même ma- nière que j'ay expliqué cy-dcvant, que l'onconferve les fruits pendant la gelée : c'eft-à-dire qu'il s'eft fait fur la. fuperficie de cette pierre une croûte de glace qui a empê- ché que le froid n'ait pénétré fort avant au dedans, les particules de fels s'étant arrêtées dans l'eau de la fuper- ficie. Mais pour les troifiémcs , elles fc font gelées jufquc dans le cœur , quoi qu'elles ne fuflent pas fi mouillées que les fécondes , àeaufe qu'étant encore nouvellement fortics DE LA Glace,' et du F r o i d J 45?' de la carrière , elles confcrvoicnt quantité de fels qui étoient propres a la congélation de l'eau , Se qui n'avoicnt pas eu le tems de s'en dégager. Les fécondes au contraire s'en étoient entièrement purgées, car quand même il en feroitun peu reftc au dedans , après avoir demeuré fort long-temscxpofécsàrair, il eft très-vrai femblablc que l'eau dans laquelle elles avoient trempé , les auroitdif- fous , & les auroit entraînés à peu près comme il arrive au bois flotté ; outre que fuivant cette liypothéfc ces fortes de fels fe joignent plus facilement à l'eau qu'à toute forte d'autres corps. Il refte feulement icy une difficulté, qui eftdefçavoir Gomment cette pierre qui eft homogène, s'eft rompue en fegelantjufquedanslecœur, puifqu'elle n'a pointdelits ou de fils dans Icfqucls l'eau fe puiffeconfcrveren plus grande quantité que dans le refte de la pierre. Ce que j'ex- plique en cette manière. Il arrive à ces pierres la même chofe à peu près qu'à des vafes remplis d'eau, ou à quelque gros morceau de glace dont le milieu ne fc prend tout-à-tait qu'un peu de tems après que les bords fe font gelées. Ces vafes ou ces mor- ceaux de glace fc caffent en plufieurs pièces lorfque l'eau fe prend entièrement & fortement,par les raifons que j'en ay données cy-deflus dans l'article 6^. On peut encore donner une raifon pourquoi des pierres qui font gelées jufque dans le cœur , fe rompent plus faci- lement étant empîoïées &c mifes en œuvre , que lorfqu'el- les font expofées à l'air dans un chantier; & c'eftceque l'on voit arriver affez fouvent à des pierres , quiaïantétc nouvellement tirées de la carrière, ont réfifté à de fortes gelées ,& quand elles font empîoïées elles fecaflent au premier effort du froid. Cet accident peut arriver , comme j'ay déjà remarqué , par le travail qui peut avoir fait quelques fentes impercep- 494 E X PL I C A T T OK DE s EFFE T'S tibics jufquc dans le cœur de la pierre : mais quand on fup- pofcroit qu'il n'y auroit aucune fêlure ou fente , il fe peut faire qu'une pierre en fe gelant tout-à-fait ou en partie., fc caffcra étant cmploiéc dans une malfe de bâtiment , la- quelle réfifteroit à un femblable effort de la gelée fielle itoitcxpoféeàl'air. Voicy la raifonquc j'en donne. Il n'y a point de corps qui ne foit capable de rcffortjles uns plus , les autres moins ; l'expérience nous fait voir que les pierres en ont beaucoup, &: qu'elles en ont plus à pro- portion qu'elles font plus dures; nous fçavons aufliquela glace a un grand rcflort , c'eft pourquoi les pierres glacées doivent avoir beaucoup de rcflort. Mais nous connoifTons par la Géométrie, que de tous les folidcs enfermés par des fupcrficies égales, il n'y en a point de plus grand que Jafphérc : c'eft pourquoi une bouteille qui eft fphériquc lorfqu'clle eft remplie d'eau qui vient à fe geler, elle fe caflTe tout aufll-tôt ,- car l'eau occupant plus d'efpace qu'el- le ne faifoit auparavant, force la bouteille de -s'étendre : mais comme elle ne peut pas prendre une figure qui ait une plus grandecapacité avec la mcmefuperficie, elle ne fçauroit refifter que très-peu i cet eft'ort fans fe rompre, c'cft-à-dire autant que la tifliire des parties peut fe relâ- cher fans fc féparer entièrement. Il n'en fera pas de même, fi la figure de la bouteille ou de la glace cftun parallélépipède ; car comme elle pourra prendre une figure qui contiendra plus d'efpace, elle ic- ïîftera beaucoup plus à l'effort de la dilatation , commcon yoit par l'expérience d'une bouteille applatiequi s'enfle un peu lorfqu'on foufle dedans , & qui par confcquent peut refifter beaucoup plus à l'cfîbrt de la glace , que fi elle çtoit fphérique. Par cette raifon il eft aiTé de voir , qiiunc pierre qui cfl: pour l'ordinaire un parallélépipède , étant gelée )ufque èanslecœur, èc étant expofce à l'air, peut prendre iinc deiaGlace,etdxiFroib, 45; y figure qui contiendra un peu plus que celle qu'elle avoic auparavant , fcs fuperficics 5^ fur tout fes lits venant à s'é- lever un peu vers le milieu. Mais fi cette pierre cft enga- gée dans un corps de bâtiment, il ne refte a. l'air , pour l'ordinaire , qu'une feule des moindres fuperficics qui la renferment , & qui même ne doit pas être un des lits ; c'efl pourquoi cette fupcrficic de Li pierre ne pouvant pas fouf- frir toute feule autant d'extenfion que toutes les autres en- femble , fc doit rompre par un bien moindre eftort, que lorfqu'cllc étoit toute cxpofée à l'air. On ne doit pourtant jp;is comparer l'effort de la glace à la partie de la fuperficie de la pierre qui eft expoféc à l'air; car il fautconfidérer que le froid a bien moins de prifc fur une pierre qui cft engagéedans un bâtiment, qire fur celle qui cft expoféc à ■ l'air. Ce que j'ay dit des fêlures dés pierres eft fi véritablcquc xxiX'. dans les ouvrages d'architecl:ure&: de fculpture, on doit?'^^'^"^"?" , ■ 1 r ■ 1 r r • 1 i • ' ^lurkmaibic éviter avec grand iouï de le lervir des marbres qui ont ste petardés,c'eft-à-dire dont les bloqs ont été détaches de leur mafle dans la carrière par l'effort d'un pétard de pou- dre à canon. Car l'effort du pétard ne fépare pas feulement le bloq de toute la maffe de la pierre, mais il étonne toute la pierre des environs & le bloq qu'il détache. Ces éton- iîcmcns ou ébranlcmcns caufent dans la pierre des caffûres^ ou fêlures qui font d'abord imperceptibles; mais peu à peu l'eau s'infinuant dans ces petites fentes, corromp le mar- bre, &: les fentes commenceiu à fc faire voir> $c enfin l'eau pouvant sinfmuer en affcz grande quantité dans ces ou- vertures ,1a gelée peut être affez forte pour rompre dc trcs-gros bloqs de marbre, comme je l'ay explique cy- dcvant. Mais on auroit peur-être de la peine à croire , que de xxx. très-petites particules d'cavi venant à s'enfler un peu , puf- ^xperience fent faire un effort fi violent , fi l'on n'en avoic une preuve rotutoe""^ .4?o Ex PLI C AT 1 ON D E s EFFETS dans une expérience trcs-fumilierc. Lorfqu'on vcutfcn- . dre de très-grofies pierres qui tiennent de la naturedu _^ caillou , &: qu'onappclle meulières à caufc qu'on s'en fcrc à faire des meules de moulin; on fait tout autour à l'en- droitoù l'en veutla fendre, de petits trous de laprofon- deur de deux pouces environ , &: de la grofleur d'un quart de pouce. Enfuite on prend des chevilles de bois de faule bien féché au four, Icfquellcs. étant enfoncées avec force dans les trous , on jette de l'eau également fur toutes ces chevilles , qui fe renflant peu à pcufont enfin un fi grand effort toutes cnfemblc , qu'elles fendent la pierre à l'en- droit où elles font placées. XXXI. Va.'tv qui cft toujours en mouvement , & qui contient •Pourquoi on quclqucs parties des fcls qui font propres à fixer les parti- [^^"/^^''oj'.'cules de l'eau, rapporte contre la peau de nouveaux fels à chaiu cer- mcfurequc ceux qui la touchent ont pénétré audcdans &c cains corps, fg fontjoiuts à l'humiditc de la chair,- c'eft pourquoi la ne.la plume , peau qui cit cxpolcea 1 air doit lentir du troid, qui s aug- .^>^- mente &c qui pénètre au-dedans , jufqu'à ce que le mouve- ment du fang qui vient continuellement du cœur , foit aflez fort pour réfifter à la violence que font les fels pour fe joindre aux parties de l'eau qui font dans la peau & dans la chair. Mais quand on touche des corps qui font fecs Sc gras de leurnaturc,&r qui ne peuvent retenir qu'une très- petite quantité des fcLs qui fervent à la congélation , com- me la laine , le coton , la plume &c d'autres, on fent une e(- pece de chaleur : car ces corps empêchant que l'air qui en- vironne la peau ne foit en grand mouvement, il nefur- vient que iortpeu de nouveaux fels qui puilfent la pene- trer,&le mouvement du fang s'étendant plus qu'il ne fai- foit auparavant : on commence à fentir de la chaleur dans les parties où l'on fentoit du froid. Qiielques-unsde ces corps, comme la laine, peuvent encoreiaire fentir de la chaleur par uneraifon différente .de CE'laTîlaCE, et du Froid. 497 'âe celle que je viens de rapporter. Car comme fcs poils font courts & frifés , elle eft comme heriflce d'une infinité de petites pointes , qui piquortent 5c frottent la peau quand on la touche , ce qui y caufe de la chaleur. C'cfl; auf- fi ce que l'on remarque quand on n'a pas accoutumé de fentir des étoffes de laine poi'ccs immédiatement fur la pcau; comme des gands qui y excitent une chaleur for- mée par un piquottement & une démangcaifon prefqu'in- fupportable. Les gands de chevreau dont le poil eft tour- né en dedans font aulfi à peu près le même elîet. Le linge de coton caufe auffi de la démangcaifon à la peau , à caufe que fes petits poils font courts & frifés : mais comme ils font beaucoup plus déliés que les autres, &: qu'ils ne font pas delà nature du poil des animaux, ils ne font pas un effet auffi fenfible. On explique auffi de la incme manière , pourquoi le xxxit. linge fait de chanvre &: de lin paroît froid quand on le "^oît'*^ o "(i- touche:car étant compofé de fibres longues &c déliées naircmcnc comme de petits filets de verre ; elles s'appliquent exaéte- ^'°'^ '^"^"'^ •^ , /- 1 ■ 11 on le touche. ment contrôla peau lans la ptquotter ; &: de plus comme elles font fort feches de leur nature &r qu'elles n'ont rien de gras , elles retiennent facilement & en affez grande quantité les particules de l'eau qui font répandues dans l'air , ce qui eft facile à éprouver , lefquelles fe chargent cnfuite des fcls propres à geler l'eau. Pour ce qui regarde la réfradion de la glace, j'ay fait xxxin. imprimer dans lesmemoires de l'Académie du mois de Fé- ^^^^1^ j^ "^ vrier de l'année 1693. qu'elle étoit un peu moindre que glace, -celle de l'eau dont elle eft formée , ce qui eft conforme à ce que l'on obferve ordinairement de la nature des corps ■îranfparens ; car on fçaitque la réfraction du diamant eft :plus grande que celle du criftal de roche,- que celle du ■criftal de roche eft plus grande que celle du verre; que rcelie du veire eft plus grande que celle de l'eau; mais on. Jlec, de l'Acud. Tome IX, Rri: 498 Explication des effets Içair.uUri que le diamant cft plus dur que le criftaldero-- chc , c'cft-à-dirc que la tifTurc de fes parcics eft plus ferrée : Iccrirtalde roche cft plus dur que le verre, & le verre plus que l'eau : & comme on fçait que le compofé des par- ticules de l'eau eft plus ferré que celui de la glace ; quoi qu'il ne foit pas fi dur, ce qui vient feulement de ce que fes parties font en mouvement, & que celles de la glace n'y ibntpas ,ceque]c ne crois pas qu'on puifle mettre en dou- te, puifque la glace occupe toujours un plus grand volu- me que l'eau dont elle cft Formée ; il s'eniiiit donc que la. réfraction de l'eau doit être plus grande que celle de la glace. Il ne faut pas toujours avoir égard à la dureté des corps pour en conclure la quantité de leur réfraction, puifque nous fçavons par expérience que la réfraction de î'cfprit de vinaigre eftà très-peu-près femblable à celle du verre, 5c qu'elle eft beaucoup plus grande que celle de l'eau ; c'eft pourquoi il faut attribuer cette grande réfra- ction dans î'efprit de vinaigre aux parties qui le compo- fent , quoi qu'elles puiflent être en aufli grand mouve- ment que celles de l'eau , ce qvii rendroit ces deux compo- fcs également liquides, . La nature du liquide peut apporter de grandes variétés à la glace qui s'en forme : car comme on voit que par ce fyftémc il ne doit y avoir que les parties aqueufcs, qui font mêlées dans le liquide qui puiftent fc fixer, il cft certain que les autres parties peuvent apporter de grandes diver- fités foit dans le dureté de la glace, foit dans la figure des petits filets par Icfquels elle commence à fe former , foie dans le poli de Cx fuperficie, foit enfin dans la figure des bulles d'air qui fc forment au dedans. Monficur Hombert nous a fait voir que de l'eau commune qui s'étoit gelée dans une phiole de verre où il avoir mis des morceaux d'antimoine fans aucune préparation, étoit remplie de bulles d'air d'une figure fort différente de celle qu'on DE LA Glace, et du Froid. 499 remarque ordinairement aux bulles de l'eau commune. On pourra voir toutes les circonftances de cette obferva- îion dans les mémoires de l'Acadcmic. Ilf'cmble que l'eau falce dcvroit fe geler plus facile- xxxrv. ment que l'autre , à caufe qu'il y a toujours parmi le fel î!"'^"!^?; commun beaucoup de Icls propres a hxer i eau, cependant .^...ic pUsdif- on éprouve le contraire. 11 ne fera pas difficile d'en rcn- 'i'^'''-'"^" dre raifondanscefyftéme; car quoi qu'il y ait dans l'eau jou^c. '"*" falce beaucoup de fels propres à fixer l'eau , les autres fcls ■qui y font en grande quantité , empêchent les petites par- ties qui font gelées de fe joindre les unes aux autres en fe mettant entre deux , ce qui n'arriveroit pas de même s'il y avoit de l'eau , dont les particules fe peuvent join- dre à celles qui font déjà gelées en s'y arrêtant par difterens endroits , &c former toutes cnfemble un maffif de glace. Lamêmeraifon peut fervir pour expliquer pourquoi XXXV. entre quelques liquides comme les huiles , il y en a qui fe P°"fq"0' '' gèlent & d'autres qui ne fe gèlent pas outres difficile-quifegdent, ment , comme l'huile de noix qui ne fe gcle pas ordi- ^ d'auuct nairement, & qui perd feulement un peu de fa liquidité i^cm'pas! ^'^' dans de très-grands froids , au contraire l'huile d'olive fe gelé au moindre froid. Car cet effet eft caufe par les par- lies graffes qui font mêlées entre les aqueufes , &: qui les empêchent de fe joindre fi elles font en grande quantité , commcà l'huile de noix : au contraire s'il y en a peu com- me dans l'huile d'olive elles fe joindront facilement. II faut pourtant avouer que s'il n'y avoit que de l'eau fimple mêlée dans l'huile d'olive, elle ne pourroit pas fe geler a uffi facilement qu'elle fait; maisondoitattribuer cet ef- fet aux fels qui y font mêlés j &: dont la plus grande partie peuvent être de la nature de ceux qui fixent l'eau. Ce font de ces fels dont on purge l'huile d'olive, pour la rendre plus coulante èc moins fujetce à rouiller le fer , comme les Rrrij foo Delà Tr o m p e t t e- M a r iNEi Horlogers s'en fervent ordinairement , en y mêliint de la ; limaille de plomb qui y devient blanche , & qui s'y chan^ jre en ccrufe. EXPLICATION DES DIFFERENCES DES SONS de la Corde tendue fur la Trompette Marine. ILyapluficursannécsqua'iant cuoccafion d'examiner pourquoi la corde de la Trompette Manne ne pouvoiE donner t^u:- de certains fons^ comme la plupart des inftru» mens à vent ; je crûs qu'en fuivant les limplcs loix des mouvemens des corps ébranlés qui font capables de refr fort, je pouvois rendre raifon de ces ctïets. Je commcn- çay alors à en mettre par ordre quelque chofc, mais aiant été détourné par d'autres occupations , je n'y avois plus penféjufqu'au commencement de cette année igpz. que ;- j'examinai la cliofe à tonds , dont voici un extrait. '"' Les expériences que le Pcrc Merfcnncs fit autrefois pour démontrer que les diftcrens tons des cordes croient formés par leurs dilïcrentes vibrations , &C celles que plu^ fieurs Mathématiciens ont encore faites depuis font li convaincantes que c'cft un fyftême qui ne reçoit aucune conteftation. Les différentes vibrations font les diffcrens tons, & les vibrations font cntre-elles félon la longueur des cordes. Ainfi la corde qui a lo pieds de longueur èc qui cft tendue d'une certaine façon, fi elle fait loo. vi- brations en une féconde , la moitié de cette corde qui de- meurera toujours tendue de la même manière fera 2.00 vi- brations dans le mêmc-tcms d'une féconde. On fçait aufli par expérience que les tons diffcrens de ces deux cordes A- De LA Trompette Marine. 50 i font la confonaiicc que l'on appelle odave , qui cft la plus parfaite de toutes-, c'cft pourquoi l'on dit que lorfquc les vibrations des cordes fe rapportent de deux en deux on entent l'oclave : ou bien, ce qui cft la même chofe , ces deux cordes font à l'ofta- veFunc de l'autre , & c'eft le plus grand rap- port qui puillc le trouver dansles nombres en- tiers en pofant l'unité pour le premier terme. Si les vibrations ne fe rencontrent que de trois en trois , c'eft à-dirc (i elles font comme là 3 ; ou fi l'on ne prend que le tiers de la cor- de , lequel fera trois vibrations contre une de la corde entière , la confonance fera celle qu'on appelle la quinte qui eft la plus parfaite après l'octave, mais cette quinte cft celle du fécond ordre. Si l'on palfe enfaite à d'autres divifions, comme de z à 3 , de 3 à 4 , de i 34, &c. on aura les autres confonances de lliite , qui fe- ront d'autant moins parfaites que les vibra- tions fe rencontreront plus rarement; & enfin lorfque l'oreille ne peut plus y appercevoir de rapport fcnfible, on eft parvenu aux diftb- iian ces. II s'enfuit donc que Ci une corde rendue eft divilée en deux également, & qu'on touche fos deux parties tout enf:mbblc on entendra l'unifon ; li elle eft divilec dans la raifon de i à 2, on entendra l'oftave; ii elle cft diviiée dans celle de z àj on entendra la quinte; lî elle cft divifée dans la raifon de 3 à4onen- îcndra la quarte & ainfi des autres. ^ Cecy étant pofé , il faut examiner premièrement ce qui forme le fonde la Trompette Marine -, enfuitc pour- Rrr il] foi De la Trompette Marine. quoi elle donne toujours le même ton , quoi qu'on touche la corde un peu au-defTus ou au-dcll'ous de la jufte divi- lion qui convient à ce ton ; &: enfin pourquoi elle fait les fauts en pafTant feulement de l'octave à la quinte & en- fuite à la quarte , &c ainfi de fuite par les autres confonan- C£S jufqu'aux tons. Si une corde A Bcft bien tendue, & qu'elle foit divifée en deux également au point C ,aïant pofé le doigt contre ia corde au point C , cnforte qu'on ne faflc que la toucher légèrement , il arrivera qu'en taifant ionner Tune des par- ties comme AC en la touchantde quelque manière que ce foit, l'ébranlement ou les vibrations de cette partie fc communiqueront à l'autre partie CB; car la corde étant en mouvement s'écartera tout-à-fait du doigt ,&lc rencon- trant enfuite dans chaque vibration elle fe fépareracom- me en deux cordes égales qui feront chacune leurs vibra- tions fcparécs&: égales cntre-ellcs, à caufc des longueurs égales des cordes. Chaque partie de la corde fera donc un fon fcparé ,• mais à caufe des vibrations égales ces fons fe- ront femblables, & ils fe confondront l'un avec l'antre. Il eft facile à connoître que le fon que rend la partie AC de la corde lorfqu'on la touche eft très-fort en comparai- fondé celui qu'elle rend enfuite, &C de celui de la partie CB, quoique ce ne foit qu'un même ton. Mais fi vers le milieu de la partie CB on y arrête une petite patcnôtre D de verre ou d'acier , & que l'on applique tout proche delà corde un petit timbre E foutcnu fur l'appui G , lorfque-la partie CB de la corde fera ébranlée par la communication delà partie AC que l'on touchera , la patenôtre D venant à frapper contre le petit timbre luifera rendre un fon qui pourra être plus fort que celui delà partie ACdela corde qui eft touchée, ce qui dépendra de la nature du timbre, &c fi le timbre eft à l'unifon avec la moitié de toute la corde .A_B.& que le fon qu'il rend n'étoufepas entièrement celui De LA Trompette Marine. joj de la partie de k corde qui eft touchée , leur niéiange fera agréable à l'oreille , quoi que celui du timbre foit beau- coup plus éclatant que celui de la corde. Enfin fi l'on tou- che la partie AC de la corde avec un archet , ce qui fait le même effet que fi on la tcuchoit avec un corps fcc Se dur, & par rcprifes trcs-frcguen:cs , le fon que le coup d'archet tirera de la corde étant égal dans fa durée, fera aufli du- rer de même celui du nmbrc qui fera touche parlapate- nôtre, Mais s'il dcvien;: plus fort ou plus foible, celui du timbre recevra aufll un peu d'augmentation ou de diminu- ùon , mais non pas à proportion de la corde, car le fon que rend un timbre en le frapanc n'eft pas augmente ou affoi- bli à proportion du coup. Maintenant fi la corde cft divifée au point F par le doio-t qui la touche enforteque fa partie FB foit double de AF , iorfqu'on touchera la partie AF elle fera des vibrations qui feront une fois plus promptes que celles de la partie FB ; c'cft pourquoi ces deux parties de la corde auront des tons qui feront à l'octave l'un de l'autre : mais le ion de la grande partie fera fort foible, à caufe que fes vibrations nefontcaufces que par l'ébranlement de celles de l'autre partie AF, & de plus les vibrarions de la partie FB dure- ront bien moins que n'ont duré celles de la parties CB. ■ quoi qu'on ait touché la partie AF avec autant de force qu'on avoir fait auparavant la partie AC; ce qui vient de ce que les vibrations delà partie AF ne i'e rencontrant avec celles de la partie FB que de deux en deux , elles fe dctruifenr promptemcnt l'une l'autre , à moins qu'elles ne foicnt entretenues par l'archet. Si les parties de la corde font en d'autres raifons , leurs vibrations qui feront auffi dans les mêmes raiibns dure- ront plus ou moins de tems fi elles fe rencontrent plus ou moins fréquemment. Mais fi les divifions de la corde n'ont que des rapports éloignés, comme ficlles étoienc J04 De LA Trompette MarineÏ dans la raifondc 13 à 37 qui font des nombres premiers entre-eux , leurs vibrations qui font en raifon réciproque de leurs longueurs ne fc rencontrant que toutes les fois que la plus courte partie en auroit fait 57 & la plus lon- gue 2,3 , fe dccrulroient en fort peu de tems ; car chacune s'efForceroit de communiquer à l'autre un mouvcm.cnt dif- férent de celui qu'elle auroit, C'cftaufli cequel'on pour- roit remarquer facilement par le mo'ien du petit timbre, car on verroitqu'il celTeroitde fonner prefquc toutd'un coup , quoi que la partie fuperieurc de la corde eût ctc touchée fortement d'un fcul coup &: non pas avec l'ar- chet. On ne doit pas juger du rapport des vibrations par celui. des nombres qui expriment les parties de la corde,à moins que ce ne foit les plus petits qui expriment ce rapport oa cette raifon ; car quoi que l'une des parties de la corde eût 27 parties & l'autre 36, il ne s'enfuivroit pas que leurs vibrations ne fc rencontrafTcnt que toutes les fois que l'une en auroit fait 3 6 &: l'autre 27 , puifque cette raifon étant la même que celle de 3 à 4 , il s'enfuivroit que les vi- brations fe rencontrcroient toutes les fois que la plus courte en auroit fait quatre &: l'autre trois. J'ay pofé le timbre à l'unifon de la moitié de la corde, afin que dans les grands rapports des vibrations des parties ' de la corde , celles du timbre s'y trouvafTcnt auifi , &: qu'il fit une confonance avec elles. Par exemple fi la corde cil divifée enF,enfortequclapartieAF foiti,&: la parti cFB foit 2 , les vibrations des deux parties de la corde étant entre-elles en même raifon de 2a i , & celles du timbre qui font comme celles de la partie AC de la corde , à caufe qu'il eft à l'unifon avec elle; ces trois différentes vibra- tions feront entrc-cUes dans leurs moindres termes conv me les nombres 2 , 4 & 3 ; car fi toute la corde eft divifee jcn fix parties , AF en fera z , FB en fera 4 &c AC en fera 3, De la Trompette Marine. yoy â'où il fuit que les vibrations des deux parties de la corde & celles du timbre fe rencontreront enfemble toutes les fois que la partie AF en aura fait iix , la partie FB trois , Sc le timbre quatre , car le nombre iix cil le moindre où il {c peut trouver lesraifons des trois nombres z, 4,5 &: la par- tie A F avec FB fera une o£tave ,1a partie AF avec le tim- bre fera une quinte, & la partie FB avec le timbre fera une quarte , qui font toutes trois confonances du premier ordre. Mais fi la partie AF eft i &: la partie FB 3 avec le tim- bre dont les vibrations font mefurces par AC qui fera z, les trois vibrations fc rencontreront encore routes les fois ►que AF en aura fait fix , FB deux &: le timbre trois , &: l'accord de la partie AF avec FB fera une quinte du fé- cond ordre , celui de AF avec le timbre fera un oftave , &: celui de FB avec le timbre fera une autre quinte du pre- mier ordre, qui font auffi d-cs confonances. On en trou- vera plufieurs autres qui feront d'autant plus parfaites,que les nombres qui expriment les rapports de leurs vibra- tions font plus petits. Il ne fera pas difficile maintenant de connoître com- ment fe fait le fon de la Trompette Marine. On doit pre- mièrement remarquer que toutes les cordes à boïau qui font tendues fur la table des inflrumens dont on joue avec l'archet, font agitées par fccouiïcs très-promptes & qui s'accordent avec les vibrations dont elles font capables fuivantleur longueur & leur tenfion , l'archet ne faifanc qu'entretenir ou augmenter ou diminucur la force de la vibration en pouffant la corde également ou plus ou moins loin dans chaque vibration : caria colophone donc le crin de l'archet ell trotté, fait qu'il s'attache à la corde&: qu'il la poulTc plus ou moins loin fuivant qu'il lui eft plus ou moins attaché., mais il ne Içauroit faire que les vibra- tions foient plus ou moins frec|uentes , ou il ne peut y Âa\ de CAcdd. I«t». IX. SK ^c6 Delà Tr ompette Marine. apporter qu'un très-pctic changement, ce qui ne laiffe pas d être appcrçû par ceux qui ont lorcille bien fine en touchant la corde avec le doigt & enfuite avec l'archet. L'iniprclîion que fait l'archet liir la corde qu'il touche eft à peu près le même que celui qu'y fcroit une fcic dont les. dents la rcncontrcroicnt les unes après les autres. La corde de la Trompette Marine eft bandée forte- ment fur fa table, &: clic y eft foutenuë vers lebas fur un chevalet à deux pieds dont il n'y en a qu'un qui foir appuie fur la table, l'autre nefaifantque l'affleurer fans y porter: mais aulfi-tôt que la corde a reçu du mouvement elle le communique au chevalet dont le pied quinepofcpas fur la table ,1a frappe avec des vibrations égales en vitcfleà* eelles de la corde. Si l'on vient donc à toucher la cordeavec l'archet, elle fera un fon réfonant , lequel icra accompagné d'un autre fon formé par les coups du pied du chevalet contre la ta- ble , & ces coups étant ifochrones ou d'égale durée aux vi- brations de la corde, ils formeront enfemble le fon écla- tant de la Trompette. La table qui fait aulTi un peu de refTort entretient le mouvement de la corde & du che- valet. Ce que j'ay dit d'abord du timbre appliqué centre la Gorde n'a été que pour faire entendre comment elle pou- voir caufer un fon beaucoup plus fort que celui qu'elle avoir par fes propres vibrations ; mais il y a une différence très-grande entre le fon du timbre & celui qui eft formé par les battemens du pied du chevalet contre la table ; car ccluy du timbre fera toujours le même .1 très-peu près , puifqu il dépend entièrement de les vibrations qui font dé- terminées par fa figure , & celui que frit le pied du cheva- let dépend entièrement des vibrations de la corde qui fe-. ront différentes fuivant fes différentes longueurs, depuis le chevalet oii elle pofe jufquà l'endroit où elle eft tou- chée ou divifcc avec le doigt. De LA Trompette Marine. y 07 Il y a encore une différence rrcs-confidcrablc entre le fou du timbre &c celui du cpiedduchevalet,car celui-cy ne fait qu'un rctentiflement fort aigic , qui cft pourtant à l'uni- fon de la corde, à peu près , ôc l'autre fera prcfque tou- jours un accord avec les tons des deux parties de la corde. Je paiTe maintenant à expliquer pourquoi la corde de la Trompette Marine ne fait pas des tons differens , quoi qu'on la touche un peu au-deffusou au-deffous deladivi- fion qui convicnrau ton. Aïant d'abord touché avec l'archer la corde à vuide , fîi l'on pofe enfuite le doigt au milieu, & qu on la touche vers le haut du manche , l'ébranlement de cette partie de la corde fe communiquant à celle d'embas , il la mettra en mouvement , comme je l'ay explique cy-dclTus , ôc ce mouvement étant fuivi des coups du pied du chevalet con- tre la table, ils feront enfemble des vibrations qui feronc chacune double de celles que la corde faifoit étant tou- chée à vuide ; c'cft pourquoi la corde rendra un fond'uu oébave plus haut qu'elle ne faifoit auparavant. Mais fi l'on pofe le doigt contre lacordcunpeuplus haut ou im peu plus bas que le milieu, on entendra tou- jours le même ton, quoi que les vibrations de la partie d'enhaut de la corde ne conviennent plus exademenc avec celles de la partie d'embas. Car la partie d'enhaut qui eft agitée fortement par l'archet, en donnant le mou- ■vement à la partie d'embas , elle en eft auffi elle-même agi- tée, à caufe de la grofleur de la corde qui cft fortement ébranlée; c'eft pourquoi ces deux mouvemens diftcrens fc rectifiant l'un l'autre , il s'en formera nccefl'airement un moïen entre les deux, qui fera que les vibrations con- viendront le plutôt qu'il fera pofliblc. Ainfi dans cecasfî l'endroit où la corde cft touchée cft plusproche de la divi- "fion d'égalité que de celle de i à i ,cllc donnera toujours Sffij joS De la Trompette Marine. le même ton qu'elle donnoit quand elle croie divilce éga- lement , &c fur-tout fi elle cft fortement touchée avec l'ar- chet ; car autrement elle rcndroit un fon trcs-dcfagrca- ble , à caufc que Tes vibrations ne s'accorderoicnt pas tou- jours de même ni dans des intervalles qui fufTcnt proches entr'cux ou avec les prcccdens , lébranlement n'étant pas aflés fort pour la déterminer. De même (i l'endroit où la corde eft touchée cft pkis proche de la divifion de i à x , que de celle de l'cgaiitéjlea ions des deux parties de la corde s'accorderont entr'eus à l'octave , Se par confequent le fon qu'elle rendra fera agréable à l'oreille. 11 en fcrl de même des autres di- vifious. On doit pourtant remarquer qu'entre les points qui di- viient la corde dans la raifon d'égalité &: dans celle de i à: i , il y en a un qui la divifc dans la raifon de i à 3 .où 1 oit peut trouver un ton qui s'accorde avec celui de deflous hs Li tierce majeure , & avec celui de dcflus à la tierce mi- neure; mais il eft difficile de toucher la corde de manière qu'elle puiftc donner ce ton. On peut comparer ces fortes de vibrations qui fc com- muniquent en fe contraignant l'une l'autre , à celles d'un- pendule dont le fil qui le foutient rencontrcroit toujours d'un côté un arreft immobile qui rcnvoieroit le pendule- avant qu'il eût achevé fa vibration touteentierc. Ainfi un pendule qui fcroit fcs vibrations un peu plus longues que d'une féconde pourroit être retardé par ce moien &: ré- duit à une féconde , car l'arreft poirrroit être placé de telle manière que le pendule en étant fufpcndu , & fon fil étant plus court deladiftancequ'il y auroit entre la première fufpenfion &: celle de l'arreftr, ces deux vibrations mêlées en compoferoient une d'une féconde cxaûemcnt. Je fup- pofe que le mouvement du pendule fut toûpurs entrecenH; par quelque puifîance. De la Trompette Marine. fop La raifon que ]c viens d'apporter de ces vibrations com- pofées, peut ctrcconfirméc parce qui arriva à M. Hugens de Zulichcm dans les premières années qu'il appliqua le pendule aux horloges. 11 attacha contre la poutre d'une chambre deux horloges à pendule qui croient à peu près- également réglées , mais on fçait que quelque précaution qu'on y puilTe apporter elles ne peuvent s'accorder à faire leurs vibrations cnfcmblc pendant plufieurs jours. Cepen- dant M. Hugens remarqua que ces deux horloges , qui d'abord n'éroient point d'accord , le devinrent fi bien que les vibrations de leurs pendules n'avoient au- cune différence. Il me (crnble aufli qu'il m'a dit qu'il s'afTcura de cette expérience , car aïant defaccordé le mouvement des pendules , peu de tems après ils fe remirent enfcmble. Il reconnut d'abord la caule de ccv etFct , «Se il ne douta point que cette égalité ne vint de rébranlenicnt que chaque pendule donnoit à la poutre qui s'accordoit enfin dans un mouvement moïcn en- nre les deux , lequel elle communiquoit aux pendules , &ainri les trois mouvemens des deux pendules & delà poutre n'en faifoient qu'un , qui étoit moïcn entre cous. J'ay fait une fcmblable expérience, mais quicftbien plus fcnfible , pour m'afTcurer de la vérité de ce fait. J'ay pris un pendule fimple de la longueur qu'il faut, pour faire des' vibrations égales aux fécondes de tems , comme je l'ay vé- rifié par les horloges.- Ce pendule étoit fait d'un plomb de cinq ou fix onces fufpcndu à un fil , qui ncroit point tortil- lé. Je l'ay enfuitc attaché à l'extrémité d'une régie de bois fort mince ', laquelle faifoit un grand reffort , Se aïant at- taché iarégle bien ferme par l'extrémité d'où le pendule n'étoit pas (ufpendu , je l'ay arrêtée de telle manière que le fil du pendule qni étoit en repos faifoit un angle droit ■ avec.la.coiirbe de la^régle ploïante dans l'endroit où-le fit Sffiij y 10 De LA Trompette Marine. ctoit attaché. Le pendule aiant été mis en mouvement 6c fes vibrations fc faifant fuivant la longueur de la régie , je n'ay pu remarquer pendant plufieurs minutes aucune dif- férence fenliblc entre les vibrations de ce pendule com- pofé &c celui de l'horloge qui battoir les fécondes , auquel jclecomparois. Mais la régie aïant été beaucoup incli- née , enforte que le fil tailoit un angle obtus avec la cour- be delà régie à l'endroit où il étoit attaché, je me fuis àuffi-tôt appcrçù que les vibrations de ce pendule com- pofé ctoicnt beaucoup plus lentes que celles du pendule de l'horloge. Enfin la régie étant dans une pofition con- traire à celle-cy ,& fon extrémité faifant un angle aigu avec le fil du pendule à l'endroit où il étoit attaché, j'ay encore remarqué que dans cette fituation , les vibrations du pendule duroient beaucoup plus d'une féconde. llfcmbleroit d'abord qu'il devroit arriver le contraire dans cette expérience; car les vibrations de la régie, qui n'étoicnt que d'un quart de féconde dévoient plutôt accé- lérer celles du pendulequedele retarder , ce qui doit auJii arriver comme à tous les pendules compofés : mais aufli on doit prendre garde qucce pendule ne dcvoit plus être con- fidcréde 36 pouces 8 lignes feulement comme font les pendules fimples , qui battent les iccondes de tems ,puif- que la régie qui lui étoit jointe en augmentoit la longueur en quelque façon. Les vibrations de ce pendule compofc auroient donc été plus grandes que d'une féconde , & plus grandes aulfi que )e ne les obfervois , fi les vibrations de la, réçle ne les euffent retardées. J'ay fait encore plufieurs remarques fur le mouvement de ces pendules , compofés , par exemple pourquoi la ré- gie qui par la vertu de fon reffbrt battoit feule un peu moins que des quarts de fécondes , faifoit fes vibrations d'unedemi féconde très-]ufte, lorfquc la partie de la régie où étoit attaché le fil du pendule lui étoit peiçendiculaire; De LA Tb.ompette Marine. ^ii & pourquoi hors de cette fituation Ces vibrations croient plus longues , & dcvenoient moins fcnfibles à propor- tion que l'angle de la régie & du fil dcvenoient plus obtus. Il ne feroit pas difficile de donner de véritables rai- fonsdeces effets-, maisj'ay crû qu'elles s'écartoient trop du fujct quejc traite icy pour les y inférer. Les vibrations qui fc font dans chaque partie de la cor- de de la Trompette Marine, lorfqu'cîle n'efl pas diviféc exactement dans des parties qui foient cntr'ellcs dans des raifons fimples ; comme de i à i , de 2, à 3 &:c. étant donc compofées de deux vibrations , dont l'une eft un peu plus longue 5c l'autre plus courte que celles qui fe fcroicnc dans la jufte divilion , s'y rcduifcnt enfin, &c Ton ne peut remarquer de différence fenfible dans le ton de la corde, quoi qu'elle foit touchée un peu plus haut ou un peu plus bas. Il n'arrive pas la même choie au violon dont il n'y a que la partie qu'on touche avec l'archet , &c qui cftcom- prife entre le doigt & le chevalet, qui falle des vibrations fenfibles ; car la corde ell arrêtée fortement fur le manche par le doigt qui la preffe , ce qui eft très-différent de la manière dont on touche celle de la Trompette Marine. Mais quoique la corde de la Trompette Iviarine rende un fonnet ,& qui n'a rien de defagréable a. l'oreille, lorf- qu'ellc eft touchée dans des points qui l;)»divifent en des raifons fimples , ce n'cft pas à dire que les (bns compofés de fes deux parties puilîent faire des pafîages tels qu'on voudra de l'un à l'autre, comme on le peut faire fur la corde du violon ,• ôc c'eft ce qui ine refte encore à exa- miner. Puifque j'ay démontré cy-devant qu'il n'y a que de cer- taines divifions de la corde qui puificnt en tirer un fbn net & agréable à l'oreille, & que ces divifions font celles qui forment les confonnances entre les deux parties de la eordc qui fonnent enfemble ; il s'enfuit ncccfi'airement AT ^£ L-| -K 14-. c ■ De l a Tr ompette Marine. qu'on ne pourra faire d'autres paiTages fur la corde de la Trompette Marine que ceux qui font déterminés par les confonnanccs de fuite de la première , féconde & troifiémc octave , & CCS partages déterminés font appelés fauts. Si la corde AB de la Trompette Marine eft di- vifée en deux également en C , fcs parties étant cntr'elles comme i à i elles fonneront l'unifon. Ainfi lorfquc la corde A B fera touchée à vuidc avec l'archet , & qu'enfuiteon pofe le doigt en C , le palTage qui fe fera d'un ton à l'ancre fera d'une ocVavc, car les vibrations qui formeront les fons de la corde feront entr'cux dans la rai- fon réciproque de la ligne A B à la ligne AC qui eft i à I . Maisfllacordc ABeftdiviféecn ii parties, & que AD en foit j &: BD G , le doigt étant pofe en D , lorfqu'on touchera avec l'archet la par- tie A D de la corde , le fon de l'autre partie BD s'accordera avec celui de AD, à la tierce mi- neure qui eft la première confonance qu'on peut trouver dans les divifions de la corde en montant de C vers A. Mais le paffage du ton de la corde touchée en Cd: enfuite touchée enD, fera exprimé par les nombres ii à lo qui don- nent le rapport des vibrations des deux parties de la corde AC, AD. La confonance qui fuit eft la tierce majeure quidivife la corde en E cnfortc que AEefl;4&: BE j : mais AC fera à A E comme 9 à 8 qui eft le rapport des longueurs d'une même corde pour faire un ton majeur. Ainfi lorlqu'on touchera la corde en C&:: qu'enfuiteon la touchera en Elc palfage des deux tons qu'elle donnera fera d'un ton majeur. La- %. De LA Trompette Marine. j'ij La quatrième divilion de la corde cft celle de la quarte en F; car AF feraàFBcomme 3 à 4, & la corde touchée en C & enfuire en F fera un pafTage exprime par les nom- bres 7 a ^ , &: le palTligc du ton de !a corde touchée en E &c eniuite en F fera exprimé par les nombres 18 ôc Mais fi la divifion de la corde eft de y parties & que AG en foie 2. &: BG 3 qui feront enfemblc une quinte , on aura le rapport de la partie AC à AG comme ^ à 4, qui eft le rapport de la tierce majeure; &: AE fera à AG comme 10 à 9 ce qui eft le rapport d'un ton mi- neur. La fixiérae divifion eft au point H enforte que AH eft 5 parties des 13 de toute la corde AB ; les deux parties de la corde feront donc entr'elles comme 8 à 5 , ce qui don,- ■ne la fixiéme mineure & la partie AC fera à AH comme 1 3 .\ I o , & AG à AH comme 2.5 à z6. Lafeptiéme divifion eft au point I enforte que AI eft 5 parties des 8 de toute la corde AB ; le rapport des deux parties de la corde fera donc comme 3 à y qui eft celui de la fixicmc majeure, Se AC fera à AI comme 8 à 6 ou 4 à 3, ce qui eft une quarte. Ainfi le pafiage de la corde touchée avec le doigt en C &: enfuite en I fera d'une quarte qui eft ■compoféed'un ton majeur, d'un ton mineur & d'un fe- mi-ton majeur par le rapport de AG à AI qui eft com- me 16 à ij. pour le partage de la corde touchée en G S>C -enfuite en I. La huitième divifion eft celle qui divife toute la corde dans la raifon de i à 2 au point K toute la corde étant de 3 ;parties& AKde i ; c'eft pourquoi les deux parties delà corde feront à l'odave , &: le partage de AC à AK fera ex- primé par les rapports de 3 à z qui eft une quinte Se celui çàe AI à AK comme 938 qui eft un ton majeur. Voilàtous les partages qu'on peuc trcaiver fur la corde J?ff , de l'AiUil. Tarn. /X, Tct yi4 De la Trompette Marine. delà Trompette Marine depuis l'uniflon ou bicnrégalicé de fcs parties jufqu'à la première odave. Si l'on paiFe maintenant aux diviiions de la corde qui donnent les confonanccs du fécond ordre ou de la féconde octave , la première qu'on trouvera fera la tierce mineure du fécond ordre , qui divife la corde AB dans la raifon de j a 1 2 , au point L , toute la corde étant de 1 7 parties &: AL de j ; Se par confcqucnt AC fera à AL comme 17 à io,&; AK à AL comme 17 a i ^. La diviiion qui fuit , qui efl la dixième depuis l'é^alitc , cftaupointM cnfortc que AM clT: 1 parties des 7. de tou- te la corde ,- & par confequcnt AM eft à MB comme t a. 5- qui eft le rapport de la tierce majeure du fécond ordre: mais AC eft à AM comme 7 à 4,&: AKà AMcornmc 7 à 6. On trouve enfuite la divifion N cnforte que AN eft à NE comme 3 à 8 qui eft la quarte du fécond ordre , & par confcquent AC eft à AN comme 1 1 à 6 & AK à AN com- me 1 1 à 9. Enfin la divifion O qui eft la douzième &: qui donne le rapport des parties AO , DB de la corde AB dans la rai- fon de I à 3 , qui eft la quinte du fécond ordre ou de la fé- conde odave , donnera aulli celle de AC à AO comme 2, à I qui eft l'odave ; enfortc que le doigt touchant la cor- de en C & enfuite en O , le palfage fera d'un odave : mais s'il la touche en K &: enfuite en O , le paftage fera d'une quarte qui eft exprimée par le rapport de AK à AO com- "^f 4 ^ 3 , qui eft autficompofée d'un ton majeur, d'un ton mineur & d'un fcmi-ton majeur : mais il n'y a aucun de ces tons qui convienne aux trois diviiions L,M,N qu'on a trouvées entre K & O. Si l'on examine les deux autres divifions qui reftcnt iufqu'à la double odave dont la première eft P qui diviic toute la corde dans la raifon de 5 à 16 qui eft la fixiéme Delà Tro mpette Marine. yrj' mineure du fécond ordre , on aura le paflage de AC à AP meiurc par les vibrations qui feront entr'elles comme les lignes AC &c AP, c'eft-à-dire comme ii à lo-, mais celui de AO à AP fera comme 1 1 à 20. La divifion fuivantc en Q^cft celle qui divifc toute la corde comme 3 à lo quiellla fixiéme majeure du fécond ordre , &: le rapport de AC à AQ^cft comme 1 3 à 6 , &: ce- lui de AO à AQ^comme 1 3 à i 2. Mais fi la divifion efl: au point R cnforte que la rai- fon de AR à BR foit comme 1 à 4 qui cft la double oda- ve , le paflage de AC à AR fera comme 5^2 qui elt la tierce majeure du fécond ordre , & celui de AO à AR fera comme 5^4 quieft la tierce majeure du pre- mier ordre. Enfin fi l'on paflc plus loin & qu'on divife la corde en S dans la raifon de 24. à j , qui eft la tierce mineure du troi- ficme ordre, on trouvera que le paflage de AC à AS qui eft comme les grandeurs de ces lignes, fera exprime par le rapport de 29 à i o , &: celui de AO à AS par le rapport c àun verre à boire fait en cône ou en cloche. Toutes ces expériences m'ont donné lieu de conjcLlu- fer que dans les corps à rclTort la véritable caufe du fon eft un mouvement que j'appelle èî ondulation de leurs parties, ^ que les vibrations du corps ne peuvent former que par accident un fon très-foible , & cnhn qu'on peut arrêter les ondulations fans arrêter fenfiblcment les vibrations. J'entcns par lemotd'«?//a'///.?//(?/; , le mouvement qui fe fait dans un corps àreffort & qui eft fembhxble à celui de l'eau quand elle eft agitée de quelque manière que ce foit ,, comme quand on y jette une pierre ; car fes parties s'élè- vent & s'abbaiftcnt fuccelfîvement , & ce mouvement fe continue dans toute l'étendue de l'eau. Je dis donc que fi l'on frappe un corps qui foit capable de refl'ort avec un autre corps dur , celui qui eft frappé s'enfonce un peu à l'endroit où il eft touché , mais que par la vertu de fon relfort les parties qui fe font enfoncées fe 1 élèvent aulTi-tôt , & vont au de-là de leur état naturel , &: voulant cnluite fe rétablir dans leur premier état, elles paffent encore au de-là & font ainli plufieurs mouvemens qu'on peut confidercr comme de petites vibrations très- frequcnrcs , qui fe font dans la partie qui eft frappée , &; qui font fort différentes des grandes vibrations qu'on re- marque facilement dans tout le corps. Mais chaque élé- vation &abbaiffement de la partie frappée fe communi- que en s'étcndant dans tout le corps comme on le remar- que dans l'eau , & c'eft ce que j'appelle les ondidations des corpsàreilort. Delà Trompette Marine. yz} Monfieur Perrault dans fon traité du bruit confidere quatre mouvcmens difFcrens que font les corps rcfonans comme les timbres ou cloches quand ils font frappés. Le premier eft le froidement des particules frappées par le marteau. Le fécond, l'ébranlement que ce coup donneàtoutle timbre, &; d'où s'enfuit l'ébranlement de fes petites por- tions ou parties , cequi lui arrive à caufe de fa forme , &c il donne le nom de mouvement ovalaire à cet ébranle- ment de tout le corps : car le timbre étant frappe de rond devient ovale dans un fens , &: enfuite ovale dans un autre toutoppofé , ce qui fe continué comme les pendules par plufieurs vibrations réciproques. Le troifiéme eft celui d'ondoyement des parties àcaufb ■ les battemens du mouvement d'ondulation dans le corps. - rcfonant contre le coû.teau,lefquels font très-dilferens des vibrations de toutle corps : mais alors les ondulations ccAcnt prefquç tout d'un coup , & le corps ne fojine point, ou très- peu. Au contraire les corps roides & durs , & fiir tout ceux- qui touchent en beaucoup de parties , arrêtent les ondula-* tions du corps relouant à l'endroit où ils le touchent , car ce mouvement ne peut pas fe communiquer aux corps qui ■ foûtiennent,& ils n'ont pas ailes de force pour élèverai chaqueondulation, tout le corps réfonant au-defTus de celui qui le foiitient. Les ondulations du corps réfonant ne fetermincnrpas' à l'extrémité du corps quand elles y font arrivées , car fi cela étoit le fon cefTeroit prefque tout d'un coup , quoi- qu'elles fulTent entretenues & comme renouvellées , mais? foiblemcnt comme je l'ay dit cy-dcvant , par celles qui fo ' forment à l'endroit du corps qui a été frappé : mais elles» ■ reviennenccommecnfcrcfléchiflant,ar: retournent plu- Be tA Trompette Marine, ^if iîcurs fois au long du corps , fans le détruire , à peu près comme il arrive à l'eau. C'eft pour cette raifon que le corps réfonant donne toujours le même ton en quelqu'endroit qu'on le touche ; car fes ondulations feront toujours les mêmes dans le même corps fi fes parties font homogènes , & il n'y aura que la force du fon qui fera augmentée ou diminuée à proportion que l'endroit qu'on touche pourra recevoir plus ou moins d'impreilion. C'cftaulfi pour cette raifon que les morceaux de plomb que j'avois attaché auX' extrémités des branches des pincettes amortiffoient en- tièrement le fon ; car les ondulations ne pouvant pas fe communiquer à ce corps,eIles s'y perdoient &: ne faifoient point de réflexion. Mais fi les corps mous comme le plomb ou les doigts qui ferroient les bouts des pincettes en amor- tilloient le fon , il femble que lorfqu'elles étoicnt pofécs' fur quelque corps dur , comme fur un morceau de fer , elles ne dévoient rien perdre de leur fon ; cependant on remarquoit le contraire dans l'expérience. C'eft aulfi ce qui doit arriver , carie mouvement d'ondulation qui fe fait à l'extrémité de la branche cft contraint & retenu par le corps dur, contre lequel elle pofe en lui faifant faire quelques frottemens fur ce corps qui lui refifte par fes iné- galités , &: CCS frottemens arrêtant les retours des ondula- iations , le corps ne peut rendre que fort peu de fon. Iln'cftpaspoflible de frapper un corps dur & capable de reflbrt avec un autre corps dur , fans lui imprimer deux mouvemens qui font fort difFerens. L'un eft celui qui fait changer de place à l'endroit du corps qu'on touche en le pouflimt, Siqui eft fort fenfiblc quand ce corps eft fuf- pendu par un fil, &: c'eft celui qui lui fait faire des vibra- dons : l'autre eft celui qui s'imprime dans la fubftance du corpsmêmepar le rcflort des parties qui font touchées, &: que j'appelle mouvement d'ondulation. Mais il y en ^.encore un autre qui n'cftqu'unc efpcce du premier , dC'- Vuu il; ji(î De 1 A Trompe T T E Marike. qui lui fait faire des vibrations par le moïen de fon rcfTort. Comme lorfqu'oii frappe l'une des branches des pincettes, on lapouireverslecôcé oppofé , &c l'on bande nccefl'aire- ment le rcflbrt de l'anneau , qui venant aullî-tot à fe dé- bander , écarte les deux branches d'un côté &C d'autre; mais comme il paflc au de-là de fon état naturel , il fait plulicurs vibrations & en fait faire auflî aux branches des pincette5. Ces vibrations ne peuvent former aucun fon dans ce fyftcme , comme je l'ay remarqué cy-devant fi on les confidere toutes feules , néanmoins û y en a toujours un qu'on peut remarquer fore facilement , fi en foûtenanc les pincettes par l'anneau avec le petit doigt on appuie le pouce contre le trou de l'oreille; car quoiqu'on ncfafTe que ferrer les branches des pincettes entre les deux doigts de l'autre main & les lâcher enfuite, on ne laifTerapas .d'entendre un fon alTés fort, & qui durera long-tems. Voici de quelle manière fe fait ce fon danslcfyftérae de l'ondulation des parties du corps. Lorfque le reflort de l'anneau fe bande en fe pliant , les parties de deffus s'é- rtcndcnt Se celles de dedans rentrent en dedans à peu près de même que fi onles frappoit en cet endroit là, enforte V qu'il fe doit former une ondulation dans toute l'étendue du corps, fans empêcher la vibration qui fc fait par la for- ce du refTort. Maisàcaufe que les vibrations durent fore lonç-tems , les ondulations doivent aulfi continuer de mê- me étant fortifiées & comme renouvellées à chaque vi- bration quand le reffortfc plie &c s'étend ,&: c'eft ce qui fait que le fon qu'on entend par ce moïen dure autant de tems que les vibrations. Il me femblc aulll que dans cette expérience on peut en quelque façon diftijiguer les ondu- lations , qui forment le fon d'avecles vibrations du corps qui fc font fcntir. Il n'eft pas difficile de concevoir comment ces ondula- tions peuvent fe faire dans les corps durs comme lefer. De la Trompette Marine. 527 l'argent , le Icton , le verre , &c. Mais il femble que ce ne doit pasêtrcla même chofe dans les cordes à boyau ten- dues fur la table des inftrumcns. Cependant fi l'on confi- dere ce qui arrive à ces cordes en les pinçant comme on dit avec le doigt, on trouvera qu'il s'y peut faire des on- dulations comme dans les autres corps dont j'ay parlé cy- dcvant. Premièrement, il n'y a pas de doute que les cor- des d'acier , de leton &c d'autres métaux ne doivent faire des ondulations quand on les pince ; car en les tirant avec le bout du doigt ou avec une plume on leur fait un pli à l'endroit où on les touche , de même qu'à l'anneau des pincettes en ferrant les deux branches l'une contre l'autre, &i ce fon fera d'autant plus net & plus fort que ce pli fera plus feniible, comme quand il fera £xit par le bec d'une plume qui touche la corde. 11 fc formera donc une ondu- lationdaus tout le corps de la corde outre fa vibration , comme je l'ay expliqué cy-devant. Pour ce qui eft des cor- dcsàboyau, les ondulations qui s'y fontfont bien moin- dres que celles des cordes de métal , à caufc que leurs par- ties n'ont que peu de refl'ort , & qui vient prefque tout de leur forte tenfion , aufli leur fonii'a pas l'éclat de celui des cordes de métal. J'ay dit cy-devant que les timbres pourroient être plus réfonans, il ils étoient foûtenus fous un corps mou : mais comme il fe peut faire des ondulations circulaires dans le corps du timbre , fans qu'elles foient interrompues par la fufpcnfion , lis ne laiflcront pas d'être fort réfonans quoi qu'ils foient foutcnus fur un corps dur & roide. En examinant les fons de la corde delà Trompette Ma- rine, j'avois remarqué qu'on ne devoir confidcrer fa lon- gueur que depuis le chevalet jufqu'au haut du manche' pour faire les divifions qui donnent les differens tons ,. quoique route la corde entière fit fes vibrations à caufe du chevalet qui n'cft pas arrêté ferme fur la table, &: c'elL yiS De LA Trompette Marine," ce qui ma donné lieu de faire l'expérience fuivantc , pour m'alleurer plus certainement de ce qui arrivoit à cette corde dans fcs vibrations. 3'ay donc pour cet cftet tendu une corde à boyau de médiocre groffeur fur une régie de bois de fapin d'envi- Ton deux pieds de longueur & fort épailfc, afin qu'elle ne pût rien communiquer de fcs vibrations à celles de ia cor- ■de. La corde étant médiocrement tendue rendroitunfon fort fenfible quand on la pinçoit ; mais il n'étoit pas pof- fiblcdediilinguer fes vibrations qui étoient trop fréquen- ces. J'ayenfuiteunpeuélevécette corde en mettant dcf- fousàladiftance de 3 pouces de fon extrémité un cfpcce de chevalet taillé en pointe par l'endroit où il touchoit à la régie, enforte qu'il pouvoit fe mouvoir facilement fur cette pointe ; &: aiantfair fonncr la corde en la tirant de côté , les vibrations que faifoitlc ciievalet , &: qui étoient icmblables à celles de la corde , m ont paru fort diftinctes quoique je n'eufTe pas pu les conter, & le fon delà corde étoit plus aigu qu'auparavant , ce qui ne pouvoir pas feu- lement venir delà plus grande tenfion , car la corde n'é- toit que fort peu élevée à l'endroit du chevalet, Se elle faifoit dans toute fon étendue fes vibrations avec le che- valet à peu près , comme quand il n'y étoit pas. Mais pour en être plus alTeuré, j'ay encore éloigné le chevalet de j pouces plus qu'il n'étoit auparavant de l'extrémité de la corde, & alors quoique la corde fiit moins tendue à caufc que c'étoit le même chevalet , & qu'il n'étoit pas fi proche du bout de la corde ,& que fes vibrations avec le cheva- let me parufTent un peu plus lentes ou tout au moins éga- ies aux précédentes , le fon ne laifioit pas d'être beaucoup plus aigu que dans la première pofition du chevalet. Cette expérience que fay repérée pluficurs fois m'a confirme tlansl'opinionquej'ay , queles fons ne font pas formés par ,ics vibrations de la corde ou des corps rcfonans j mais par icu»-" De la Trompette Mar.ine. '^2.9 leurs ondulations comme je l'ay expliqué cy-devant. j 'ay fait aufTi la même expérience fur une corde à boyau de 6 pieds de longueur , & j'ay trouvé la même chofc à ce qu'il m'afemblé. Mais je me fuis affuré que la corde donnoic toujours le mêm_e fon , foir que le chevalet fut mobile &c qu'elle fit des vibrations dans toute fa longueur avec le chevaIet,ouqu il fut arrêté ferme & qu'elle ne fit de vi- brations que dans la partie où elle ctoit touchée , & c'efl: ce qui m'a paru de plus conliderable dms cette expérience pour confirmer le fyftêmc que je propofc icy. Ce que je viens d'expliquer fur le fon ne détruit pas ce que i'ay démontré des différences des fons de la corde de la TrompettcMarine,puifque l'on eftall'curé par l'expé- rience, que de certaines parties d'une même corde don- nent de certains fons, de quelque manière que le fon fe form.e dans la corde. Rec. de l'Acacî. Tome IX. Xxx y^o Des diîferens accidens de la Vue," DIS SERTATION SUR LES DIFFERENS ACCIDENS DE LA VUE. Première Partie. i ^~^\^ diftinguc ordinairement toutes fortes de vue par Des trois foi- \^^ cs trois Doms dc vue courte ou fortc,vuë longue ou tes e vue- f^^^j^; ^ ^ bonne vue ou vue parfaite. Ceux qui ont la vue courte que l'on appelle Myopes peuvent voir diftinde- mcnt les objets qui font fort proches , & ne font qu'entre- voir ceux qui font éloignés ; au contraire ceux qui ont la vue longue que Ion appelle rreshytes ^ voient mieux les objets éloignés que ceux qui font proches qu'ils ne fçau- roientdiftinguer. Enfin ceux qui ont la vue bonne &: qui tient îe milieu entre les Myopes & les Presbytes , voient fort bien les objets qui font dans une médiocre diftancc comme d'un pied , & femblablemcnt ceux qui font fore éloignés; c'eftcettefortede vue que l'on peut confidcrer comme la plus parfaite. Il me femble qu'il y a encore trois principaux accidens qui peuvent arriver à chacune de ces trois fortes de vues, qui leurs caufent de grands changemens que l'on confl- dere comme des maladies de la vue , ou comme des cftets furprenans de la nature. Le premier eft Timpcrfeélion de l'organe , qui peut être dans les humeurs , ou bien dans la rétine que je fuppofe le principal organe de la vue , quoique je fois très-convain- cu dc l'expérience de M. Mariotre. Lefccondcft une dilatation extraordinaire dc l'ouvcr- I'remïere Partie. j-jk turedela prunelle, qui ne laifl*e pas de pouvoir feretrelTir un peu dans la grande lumière. Le troifiéme au contraire cft un grand rcflTcrrcmcntde cette même ouverture, qui peut pourtant s'entrouvrir un peu dans une grande obfcurité. Qiioiquc la prunelle fc dilate toujours dans robfcurité, ôc qu'elle fe referme à la lumière , cette dilatation &: ce refTerrement ne font pas pourtant égaux à toute forte de vues. Les enfans , àcaufe que leurs mufclcs &c leurs ten- dons font encore fort mous , peuvent avec facilité dila- ter beaucoup l'ouverture de la prunelle dans l'obfcurité , &: au contraire la refferrer extrêmement dans la grande lumière. Le mufcle de la prunelle peut faire ces grands mouvemens , & il y eft forcé par la delicareilc de l'organe, j'entens de la rétine qui feroit touchée trop fortement par une grande lumière. Les adultes n'ont pas cette facilité à caufe du mufcle de la prunelle qui a pris plus de fermeté ; 4: enfin les vieillards l'ont prcfque toujours dune même grandeur dans l'obfcurité &: au grand jour. La dilatation ou le refTerrement de la prunelle cft une chofe fortvifible-, mais le défaut de l'organe ne peut s'ap- percevoir , à moins que les humeurs ne foient troubles &c blanchâtres. J'examineray ce qui peut arriver à chaque vue en rr. particulier avec les accidens de la dilatation ou du rcf- ^''^'^'''"""'^ ferrement de la prunelle, en fuppofint l'organe dcfec- cours, tucux ou fort fain. Pour ce qui eft de la caufe de la courte ou de la longue vue , on fçait aflez que ce n'eft que la conformation des humeurs & de tout le globe de l'œil. Je diray feulement que ceux qui ont la cornée fort convexe , ont pour l'ordi- naire la vue courte , à moins que le criftallin ne foit fort plat , ou que tout le globe de l'œil ne foit fort petit , au- quel cas cette convexité de la cornée qui paroîtroitex- ^ Xxxij "j'S- Des DirrFRENS accidens de la Vue , traordinairc , ne rcroit pas plus élevée à proportion au deiTdsdcla fphcrcdc l'oLil que dans un autre œil qui au- roitune vue médiocre. Il peut encore arriver qu'une vue fera courte quoique la cornée foit plate, car filecryftallinétoit fort convexe , les raïons qui viendroient d'un point éloigné ne louffri- roient prefqu'aucunc rcfracl:ion en entrant dans l'œil , mais comme la rcfraclion fcroit fort grande en paiTIinc dans le criftallin , ils concourreroient fort proche du cri- ftallin avant que de rencontrer la rctine,&: par confequcnt iiyauroitdc la confufion fur la rcrinc&dans lavifion, ce qui n'arriveroit pas fi l'objet étoit proche de l'œil, car alors le concours des raïons (croit plus éloigné du cri- ftallin. ilf' On doit remarquer icy en paffant qu'une femblable con- (ur Ti^'perfcc fomi^tion d humeurs n'eft pas fiiffifante toute feule , pour tiondelavuf. faire une égale perfection de diviiion , comme un ail de deux ligncsde diamètre qui auroit les humeurs femblables en figure à un œil d'un pouce de diamètre , ne pourroit pas voir les objets fort éloignés aulÏÏ diftinélcment que celui qui a un pouce de diamètre , à moins qu'il n'eût l'organe 35 fois plus fin &: plus fcnfible que celui de l'œil d'un pouce. Car la peinture d'un objet feroit trente-fix foiç plus T petite dans le petit œil que dans le grand , les fuper- iicies des globes de ces yeux étant dans la raifon de un i trente-fix. Il s'enfuit de là que les oifeaux Se principalement ceux qui vivent de proie , doivent avoir l'organe de la vue très- fin , pour pouvoir appercevoir de fort petits animaux dans une très grande diflancc. IV. La frrandeur de l'œil. Ci forme en ^encrai & celle de j S^n-chaque humeur en particulier augmentent ou diminuent dcur appa- ^ ji-ri ''a icntc des ob-'i peinture des oD]ets lut la retme; c clt pourquoi toutes }"^ ces parties étant diflerentes dans la plupart des yeux , il efl Première Partie. 553 certain qu'ils ne voient pas les objets de même grandeur , c'eft-à-dire que les mêmes objets dans un même cloigne- ment n'y font pas des peintures égales. Mais comme dans un même œil tous les objets font augmentes ou diminués dans une même proportion , des yeux diftcrens jugeront tous de même de la grandeur des objets , en les comparant les uns aux autres. Nousdifons qu'un objet eft égal ou plus grand qu'au autre objet, lorfque fa peinture fur la rétine étant égale ou plus grande que celle de l'autre, nous ne connoiffons rien qui nous puifTe faire douter de la juilcilc de la con)p.x- raifon que nous en fiifbns. Mais il arrive rarement que cette comparaifon foit jufte à caufe que nous fommes prei- que toujours trompés par la diftance de l'œil a l'objet. Car 11 deux objets font leurs peintures égales fur la rétine , &: que nous ne puiffions avoir aucune connoifTancc de leur diftanccjufqu'à l'œil , nous jugeons que ces deux objets font égaux, quoiqu'ils puiflcnt être en effet fort iné2;au\". Au contraire deux objets étant entièrement égaux & fcm- blables, fi nous jugeonsque la diftancc de l'un foit plus grande que la diftance de l'autre, nous eftimerons que celui que nous croyons le plus éloigné eft beaucoup plus grand que l'autre; quoi qu'en effet ces deux objets fillcnt leurs peintures égales fur la rétine. C'cll en partie ce faux jugement qui nous fait croire que la Lune étant vers l'ho- rizon elVbien plus grande que quand elle efl: fort élevée. La grandeur apparente d'im objet nous fert beaucoup v. pour jue;cr de fa diftance , quand il nous refte une idée di- ^'^ 'a couleur Itincte de la grandeur apparente de ce même objet, lorf- objets. qu'il étoit éloigné de notre œil d'une diftance connue : mais la grandeur apparente d'un objet , c'eft-à-dire li grandeur de fa peinture fur la rétine, étant toujours ac- compagnée d'une couleur qui doit paroître moins forte quandl'objet eft éloigné que truand il eft proche,il s'enCùc Xxx iij yopcs- chcs de l'œil , à la diftance qui eft neceflaire pour faire que leurs images foientdiftinctes fur le fond de l'œil : car l'image de ces objets étant fort grande, la peinture des plus petites parties occupera un cfpace aflcs confiderable fur la rétine , ce qui en rendra la vifion plus diftinde Se plus particularifée que fi elle n'occupoit qu'un trcs-petic efpace où il fe feroit toujours quelque peu de con- fulion. xîi. Mais Cl les humeurs étoient trouble comme il arrive k!.- tcurs^^"^''^"^ ' ^^^^^ ^of'^p '!<= vûë ne pourr oit voir les objets que iioubles,. confulcmcnt , quoique leur image en fut fort grande fur le fond de l'œil, à moins que ce ne fïit dans un grand jour , où la grande lumière pourroit en quelque façon rccom- penfcrce que l'opacité dos humeurs feroit perdre. Ces vues font atfedées de la même manière que celles qui fe- roicnt bien faines, &C qui vcrroicnt les objets au travers d'un crcfpe blanchâtre. Si les humeurs n'étoicnr point n-oubles, mais fi elles xm. Mvo icsliumeùts^foient teintes feulement de quelque couleur , comme de joloxéss, rouge ou de jaune, on vcrroit les objets teints de cette couleur quoiqu'on les vit fort diftindement : & ce feroit à peu près de la même manière que les verroit une vue bien faine , qui regarderoit au travers d'un verre teint de ces mêmes couleurs. Ce qui eft de remarquable en ce défaut, c'eft quel'oiî ne peut s'en appcrcevoir , à moins qu'il ne foit très-confi- derable , Se qu'il ne furvicnne tout d'un coup : car alors il rcftc une mémoire des couleurs qui fert à faire la compa- raifon d'un même objet diverfement coloré dans differens tems. Mais il faut que nous ayons une connoiflancc cer- taine par une longue expérience , que l'objet que l'on regarde doit être d'une certaine couleur laquelle foitiiH' muable, . Première Partie. j39 Yiny a rien à quoi l'œil s'accoutume plus vite qu'au changement des couleurs , on en peut faire très-facile- ment l'expericnee , en regardant au travers d'un verre un peu coloré de vert ou de quelqu'autre couleur , & en ca- chant les objets qu'on pourroit voir fans l'intcrpofition de ce milieu ; car en très-peu de tems on ne s'appercevra plus que tous les objets feront teints de couleur verte ou d'au- tre couleur ,& l'on s'en appercevra encore bien moins li l'on met le verre devant les yeux après les avoir tenus affez long- tems fermes , & avant qu'ils fuifent ouverts. On ne fçauroit fe perfuader facilement que l'on voie >flV. TOUS les objets de différente couleur au jour & àlachan-r'^Pf"^"'^'^ 1 ,, \ ~ 1 lur la manie- délie , a caule que l'on compare toutes les couleurs enfem- le dont on ble, il eft pourtant vray que le bleu y paroît verd, &c fiy°'^ l" cou- nous n'avions jamais vu le bleu qu'à la lumière de la chan- delle nous ne diftingucrions pas cette couleur d'avec le vert. Pour connoître quelle différence il y a entre des ob- jets éclairés de la lumière de la chandelle &: ceux qui font éclairés de la lumière du foleil , il faut bien fermer le fe- nêtres d'une chambre pendant le jour 8c y allumer de la chandelle qui puiffe bien éclairer tous les objets qui y font, &: paffantenfuite dans un autre lieu éclairé de la lumière du Soleil fi l'on regarde au travers de la porte de la cham- bre les objets qui y font éclairés de la lumière de la chan- delle ils paroîtront teints d'un jaune rougeâtre par com- paraifon à ceux qui font éclairés du Soleil & qu'on peut voir à même tems , ce qu'on ne peut remarquer lorfqu'on eft dans la chambre où eft la chandelle. A l'occafion de ces différentes apparences de couleurs , '^'^^ j'ay cherché s'il n'étoit pas poffible de connoître fi l'on „<;". °o,fnoî- voitavec l'un des yeux les objets temts d'une couleur dif- tre fi lonvoit ferente de celle qui paroît avec l'autre œil. Quoi qu'un ""« °'''" '^ r rr 1 • T rr i i mcnic cou- même objet faffc deux images diftercntes dans les deux leur avec les yeux nous ne voyons pourtant qu'un objet, lorfque nous'''"^^'^"^' '5'4c Des differens accidens de la Vue, pouvons tourner les yeux de telle manière que les images tombent fur des parties analogues de l'organe de la vue ; &c pour ne voir qu'un feul objet avec les deux yeux , il faut ncccllaircment que les yeux prennent la difpolltion qui cft convenable à cet effet , foit que l'objet qu'on regarde aveclcs deux yeux foit proche ou éloigné. Cette diipoii- tion doit être pour l'ordinaire la direélion des axes des yeux vers l'objet qu'on regarde. Tout autre objet plus pro- chcou plus éloigné que celui vers lequel les axes font diri- gés paroitra double , a caufc que la peinture ne s'en faic pas dans les deux yeux fur deux endroits anologues l'un à l'autre. On en peut faire l'expérience fi en dirigeant (es- deux yeux vers quelque objet éloigne , on fait à même tems attention à un autre objet qui foit proche, car ccc objet proche paroitra double,- &c au contraire files yeux* font dirigés vers quelque objet proche, l'objctéloigné pa- roitra double. De même fi en tirant les paupières d'unœi? vers le coin extérieur on l'empêche de prendre fa fituatioit ordinaire l'objet que l'on regardera avec les deux yeux' paroitra auffi double ; car la peinture de l'objet ne fc fera pas dans l'œil contraint fur l'endroit analogue à celui où- elle fc fait dans l'oeil libre. On peut encore voir un objet double en mettant aiî devant de l'un des yeux un verre qui foit affés convexe &■ en regardant l'objet de côté-, car les ra'ions qui viendront de l'objet , &c qui rencontreront obliquement le verre , fc détourneront comme s'ils venoient d'un autre point, &c feront par conféqucnt leur peinture dans le fonddel'œii en un cndroit,qui ne fera pas analogue à celui où elle fc fait dans l'œil qui eft découvert. Toutes ces manières de voir un objet double étant con» traintes ou altérées par le verre que l'on met entre deux, on ne peut'pas s'en fervir pour connoitrc certainement fi l!on. voit un même objet de différente couleur avec les Première Partie. Y4î deux yeux ; car fi les deux images fe confondoient leurs couleurs auffi fc mêleroient. Apres avoir rcs^ardc avec un feul œil une 2;rande lu-_ ^'^^^ I , I j> 1 Un objet pa« miere pendant quelque tenis avec une lunette a approche rokdi£Feieni- qui occupe tout l'œil, on s'apperçoit facilement que Ics'"'^"^ éclairé objets que l'on voit avec cet œil , paroiflcnt beaucoup nlus^!" "JrZ lombres qu'avec l'autre que l'on a tenu ferme. Cette cx-avoir regarde perience eft facile à faire au commencement de la nuit en l"'*^ grande '^ 1 , ■ ,1 ■, lunucre. regardant alternativement avec les deux yeux une murail- le blanche ou une feuille de papier blanc , après avoir ob- fervé la Lune avec une lunette d'approche. La véritable raifondecct effet ne peut être que le retrecifTcmcnt de l'ouverture de la prunelle qui a été cauîé par la grande lu- mière ; car elle s'cft fermée autant qu'il lui a été pofliblc , à caufe de la grande clarté de l'objet, l'ouverture de la pru- nelle de l'autre œil fermé s'étant bien moins rctrclTic Se feulement par fympathic. Ainfi il entre bien moins de raïons de l'objet blanc par la petite ouverture de la prunel- le que par la grande ; ccù: pourquoi l'objet paroit plus blanc avec l'œil qui a été fermé qu'avec l'autre. Si la mu- raille blanche étoit fort éclairé comme au grand jour , on- ne pourroit pas bien faire cette expérience ; car la grande lumière de l'objet blanc toucheroit avec trop de violence l'œil qui la recevroit par une petite ouverture , pour la dïC- tinguer d'avec celle qui entreroit dans l'autre œil par une ouverture médiocre. On pourroit encore ajouter à cette raifon que la rétine aïant été fortement ébranlée par une grande lumière , el- le ne peut pas l'être aufli-tôt par celle d'un objet médio- crement éclairé ,• c'eft pourquoi elle en eft touchée bien- moins vivement que celle de l'autre œil ,- &c ainfi on verra- cet objet plus clairement avec l'œil qui a été fermé qu'a- vec celui qui a regardé une grande lumière. Il eft toiijours facile de faire ces fortes d'expériences '5'4i Des differems accidens de la Vue, lorfque les différences font fort grandcs,mais il n'en eft pas de memcqiiandcllesfontprcfqucinfeniibles.il fc trouve peu de perfonnes qui aient les deux 'yeux parfaitement fe.iiblables ; avec l'un on voit les objets dans une certaine dirtance bien mieux qu'avec l'autre , &: il eft alTcs facile de s'appercevoir dece défaut, à moins qu'il ne foit très-pe- tit , & pour le reconnoître on peut fc fervir de la méthode que j'expliquerai dans la féconde partie pour mefurer exactement la force & la foibleffc des vues : mais il eft plus difficile de fçavoir fi l'on voit un même objet de diffé- rente couleur avec les deux yeux lorfque la différence eft petite; voicy pourtant une méthode pour le connoître cer- tainement quelque petite que foit cette différence. On prend deux cartes minces , comme font celles donC on joue , &: l'on fait à chacune un petit trou rond &: égal de la grandeur d'un tiers ou d'un quart de ligne , & les aïant appliqués chacune a. un œil, on regarde au travers des trous un papier blanc également éclairé. 11 paroît à chaque œil un cercle du papier au travers des trous , Se . ces cercles feront joints l'un fur l'autre &c n'en feront qu'un, files raïons qui viennent d'un même point du pa- pier &c qui aïant paffé au travers du milieu de chaque trou de cartes , vont rencontrer le fonds des yeux dans des points analogues , après s'être rompus dans les humeurs de l'œil. Mais fi l'on change la pofition de ces cartes on verra deux cercles du papier féparés l'un de l'autre ; ainfl en approchant ou en écartant les cartes l'une de l'autre on pourra faire enforte que les deux cercles qui paroiffent du papier, fe touchent par leur circonférence. Si l'un des cercles paroiffoit un peu plus grand que l'autre , il n'y au- roit qu'à éloigner de l'œil le trou de la carte au travers du- quel il paroît, car le cercle paroîtra d'autant plus petit, ^uc le trou fera plus éloigné. Ces deux cercles du papier étant proches l'un dcFaufrc, Première Partie; ^4^ il fera fort facile de faire la comparaifon de leur couleur , &: flics yeux font parfaitement égaux, la couleur des cer- cles du papier paroîtra égale : mais û les humeurs des yeux font teintes de quelques couleurs , ou fi les rétines ne font pas également fcnfibles à rirapreflîon des objets , les cer- - clés paroîtront de différentes couleurs. On doit appli- quer alternativement les cartes aux deux yeux , pour con- noître fi la diverfité des trous n'apporte pas quelque chan- gement à cette apparence. J'ay remarqué par cette expérience , que ceux qui XVir. voient les objets plus rouges avec un ccil qu'avec l'autre .^V^^'Tj, •11 -Il 1 II /- 1- • ^H. ' Inboiucdc la citiment cet œil le meilleur danslufageordinau-e. On ne vue. peut pas dire que cet effet foit caufé par l'ouverture delà prunelle, ce que l'on pourroit attribuer à celle qui fcroit la plus grande, puifqu'elle cft égale pour les deux yeux étant réduite à l'ouverture des trous des cartes ; c'eft pour- quoi on pourroit croire que cette rougeur vient de la déli- catell'c delà rétine de cet œil , qui étant ébranlée plus for- tement que celle de l'autre œil j lui fait paroî:re le même .objet plus rouge. Si l'on veut faire cette expérience avec plus de juftcfTe, il faut tenir les yeux fermés un peu de tems avant que de regarder au travers des trous des cartes. L'on remarquera auffi que fi l'on fe frotte un peu un œil , on en verra l'objet plus rouge qu'avec l'autre, ce qui durera un peu de tems , équipent être caufé par l'ébranlement de toutes les par- ties de l'œil, ou d'un peu de fingquis'épanche par ce frot- tement dans les humeurs liquides de l'œil. Il peut arriver que l'on verra des couleurs différentes avec le même œil dans des tems diffcrcns , ce qui peut ve- nir de quelque accident de fes humeurs ou de la rétine , quand inéme elle ne feroit pas le principal organe de la vifion : car fi l'on fuppofe que ce foit la choro'ide, les chan- gcmcns qui pourront lui arriver cauferont aulfi des diffe- ■^44 ^^^ DirfEREHS ACCIDËNS DE LA VUE," rcnccs fans toutefois en exclure la ictine par où les raïons doivent paflcr avant que de tomber fur la choroïde. XVlll. On remarque ordinairement que ceux qui ont la vue Myopes ne courte ne regardent pas attentivement ceux qui Icurpar- iccardenr pas , n t i r • ■ • , attentive- i^"^ ; commc on a accoutume de raire ; )e crois que cela ne ment ceux vient quc de ce qu'ils ne fçauroicnt confidcrcr exactement •ent!'"' ^^^' ^^^ mouvemens des yeux de ceux qui parlent , ce qui con- tribue beaucoup à expliquer la penféc , & augmentela force des paroles , &: qu'ils font feulement attentifs à leurs . ■ difcours , fans avoir aucun objet fixe fur quoi ils attachent leurs yeux , comme on fait ordinairement en penfant for- tement à quelque chofe avec les yeux ouverts fans rien voir dillindement. XIX. Les vues courtes dont les organes font fort fains. ne ^incT.iiicie voient quc rarement Ics objets trcs-diftinftement à quel- ouverture de q^^e diftaiice qu'ils foient pofcs, fi l'ouverture dclapru- ^™"%ofJf^.' nelle eft trop grande; car il faudroitune conformation jïicnt. aux courbures des humeurs de l'œil fort différente de celle qu'on y remarque , pour faire que les rayons qui viennent d'un point après avoir foufïert trois rcfraûions diftcixn- teSjallaffents'afrcmblercxaclement dans un autre point qui devroit être détermine par la forme des courbures , &c fe rencontrer auffi fur le fonds de l'œil. S'il y avoir quelque vue courte qui eût tous ces avanta- ges , clic en auroit encore un autre fort grand; car elle pourroitvoirdiftindement les objets dans des lieux fort ibnibrcs , à caufc de la quantité des raïons qui cntreroicnt dans l'œil , ôc qui y formeroient une peinture diftindc: mais ces fortes de vues ne pourroient qu'avec peine fiip- portcr la grande lumière, laquelle fcroic une troptc^rtc impreflionfurle nerf optique. Ceux donc qui n'auront pas les trois fuperficies des hu. meurs d'une convexité requifc pour rail'cmbler exade- >ncnt les rayons qui viennent d'un point , dans un autre point Première Partie. J4y point fur le fonds de l'œil, verront les objets confus, &: (Is les verront d'autant plus confus qu'ils feront dans des lieux pKn obfcurs , cette confufion ne venant pas dcl'ob- Icuritc du lieu , mais àcaufe que l'ouverture de la prunel- le fe dilatant encore plus dans l'obfcuriré que dans le grand jour , les extrémités des concs des raïons qui feront coupées fur le fond de l'œil , en feront d'autant plus (gran- des , &c feront par conféquent une plus grande confulion. Car iln'y a prefque point de vue , dont la prunelle n'ait quelque latitude d'cxtenfion & de rctreciflement dans i'obfcuritê & dans le grand jour. Il arrive encore aux viàcs courtes de voir les objets dou- xx. bles quand ils font éloignés , comme les lignes noires ^^y°P" q^^i des heures de quelque grand .Cadran au folcil dont le ■ "//aoubles " fond cft clair; j'cntens feulement des vues courtes, qui qnanJij"^ font peuvent dillinguer médiocrement les objets éloigné .•s ; car éloignes. pour celles qui font très-courtes , quoique le même acci- dent leur arrive elles ne fçauroient le remarquer , à caufe de la trop grande confulion des images. Cet accident des vues courtes leur eft commun avec les viles foibies , & il m'a femblé un des plus difficiles à expliquer, J'avois cru d'abord que la feule confufion de l'image d'un objet noir fur un fond blanc pouvoit caufcr cet effet ; mais a'iant exa- miné la chofc attentivement, )'ay trouve qu'il ne devoir paroître feulement qu'une pénombre aux deux côtés du trait noir , qui paroîcroit alors plus petit qu'il ne devroir. Il faut donc chercher ailleurs la caufe de cet effet, mais- comme elle ne peut être que dans les humeurs de l'œil , il faut tâcher de l'y découvrir. Monfieur Defcartes fût le premier que ie fcachc , qui '^^^■ , , 1 ^ ^^ ' ' . 'T Examen de examina les courbures des corps traniparens qui rompent lapparencc les raïons de lumière, pour faire que ceux qui viennent '^'^s objets (d'un même point s'alTcmblent auffi en un même point '^°"'^'"' après avoir paffé au travers du corps. J'ay trouvé aufîi Âcc. de l' Acad, Tom. IX, Zzz f^6 Des differens accidens de la Vue, dans les papiers manufciits de M, de Robcrval cecte m concaves moms pout 1 orclmaire , & ces iortes oyeux ne peuvent pour ceux qui pas tirer un grand fccours des verres concaves pour voir îla^lin fo7 diftinctement des objets éloignés : car les ra'ions qui vien- cenvexe. ncnt des objets, doivent fc rompre peu à peu & en trois tcms dift'crens & à peu près égaux pour faire une réunion Première Pap.tie, jjj- plus parfaite fur la tecinc& fans y faire paroîcre des cou- leurs , & dans cette conformation où la cornée cft peu convexe , leur refraction fe fera prefque toute à l'entrée &àlafortieducryfl:alliu,endeux tems feulement: mais cette réfraélion étant bien plus grande qu'il ne faut pour voir des objets éloignés , on doit lui ôtcr ce qu'elle a de trop ,&on ne peut le faire qu'en diminuant en quelque façon la convexité extérieure de l'œil qui cft celle de la cornée, par l'application du verre concave, enforte que la première réfraélion fe peut trouver entièrement dé- truite , &:les raions pafl'ant alors au travers du verre con- cave & de l'humeur aqueufe, qu'on peut confidcrer com- me un feul corps tranfparent , fans fouftrir aucune réfra- -ction ,les trois réfraélions ordinaires fe réduiront à deux feulement , & les couleurs qui font toiijours fenfiblcs dans les grandes réfractions fe joignant à la pctitefle de la pein- ture de l'objet éloigné, la vifionne ferapas parfaite. En voicy la démonftration dans la figure fuivantc. Soit l'œil ABR ( figure fiiru. ) avec fon cry ftallinCDEF & fa cornée AB. Soit un objet placé en O , enforte que les ra'ions qui viennent de ce point O s'étant rompus fur la cornée comme en A &: en B fe détournent dans l'humeur aqueufe en AC & en BE , & rencontrant la fupcrficie antérieure CE du cryftallin , ils fe rompent encore & pa{^ fentdans le cryftallin par les lignes CD, EF ; enfin en fortant du cryftallin ils fe rompent pour la troifiéme fois & paftcnt dans l'humeur vitrée par les lignes DR , FR pour s'aflcmbler au point R, Si l'on pofe maintenant un objet au point P dans la rencontre des raïons CA, EB prolongés , &: fi du centre P on décrit la courbure GH pour la figure extérieure du verre dont l'intérieure AB foit accommodée à celle de la cornée , il eft évident que les raions qui viendront de l'objet P, iront s'affembler fur la rétine au point R , après avoir pafle au travers du verre Aaaa ij yjé Des differens accidens de la Vue, & des humeurs de l'œil, comme s'ils vcnoient du point O- Car fuppolant comme j'ay déjà fait qucle verre & l'hu- mcur aqucufe ne fliflent qu'une même humeur &:de même natu- re , les raïons qui viendront de l'objet P entreront dans le verre qui cft comme la première hu- meur fans aucune refrnêVion.&î pénétreront jufqu'à la (urtacedu cryftallin en droite ligne jufqu'en C &: en E. Mais ces raïons qui viennent de l'objet P ne fouf-Vri- ront que deux refractions avant que de s'aifcmbler au point R ; Se fi cet objet P n'eft qu'à une diftan- cc médiocre comme de àcv.x ou trois pieds , qui cft celle où l'on voit diftindtemcnt les objets quand l'œil eft bien conformé, il s'enfuit que cet œ^il myope rciinit les raïons d'un objet place dans une diftance médiocre après deux rcfraêtions feulement , ce qui cfl; un défaut , puifque l'œil bien conformé ne les doit réunir qu'après trois refraêbions quand ils fontplacés à cette mê- me diflance. Si l'objet étoit plus éloignéque le point P comme en S dans la figure fuivante , il eft facile à voir qu'il faudroit que la partie extérieure GH du verre concave, fut plus concave qu'elle n'étoit quand l'objet croit au point Poix étoit auffi le centre de la concavité du verre , c'eft-à-dire qu'il faudroit que le centre de cette concavité fut plus pro- che de l'œil comme en K ; & alors les raïons qui vien- droient de l'objet S fcroient uiie refraclion cafenscoii- Pre M 1ERE Part lE. 557 traire à celle qui fc doit faire na- turellement , car ils fcroient plus divergcns que s'ils vcnoient du point S , puifqu'ils doivent fe détourner dans le verre & dans l'humeur aqucufc comme s'ils ve- noicnt du point P, pour fc réu- nir cnfuitc fur la rétine au point R,enforte qu'il arrivera toujours que les raions ne fe feront con- vergens qu'en deux tems avant leur réunion au point 11 , ce qui fera toiiiours une vifion impar- faite, puifqu'elle efl contre l'or- dre ordinaire de la nature. Mais fi le cryftallin de l'œil d'un ^° ''°"\ «^^^ ft\ vil A qui ont le cri- ^ ^ _ a peu près de la même /taiiin bien convexité de celui d'un a-il bien conformé, conformé, & que tout ce qui rend cet œil myope ne vienne que delà grande convexité de la cornée , il cft certain que fi d'ailleurs les or- ganes de la vifion font bien fains &: les humeurs bien tranfparen- tes , l'ufage du verre concave don- nera à cette vue tout ce qui lui manque pour- la rendre parfaite. Car il eft ficilcà voir, parce que }c viens de dire, que le verre con- cave qu'on metra au-devant de la cornée ne faifant avec 1 humeur aqucufc que comme une même humeur , ôteraàlacornée,&: par conféqucnt à l'humeur aqueufe Aaaaiii )*.pout ceux qui ont l'œil fort long. jjS Des DIFFERENT accidens de la Vue , ce qu'elle a de trop, pour faire que les ra'ions qui vien- dront d'un objet médiocrement éloigné puillcnt entrer dans l'œil comme il faut pour s'aircmbler fur la rétine, après trois refradions , comme dans les vues bien con- formées. Il faut remarquer que fi l'on fuppofe que la partie AB du verre concave qui cft tournée vers l'œil foit accommo- dée & appliquée immédiatement à la cornée, comme je l'ay fuppofé dans le cas précédent, il faudra que fifuper- ficie extérieure GH foit convexe &: non pas concave, &c qu'elle ait à peu près la même convexité que celle d'un œil bien conformé ; car alors l'humeur aqueufc &:lc verre ne fontconfiderés que comme une même humeur. Mais fi l'on fc fertd'un verre concave des deux cotés ou feulementconcave d'un côté & plat de l'autre , alors les raïons feront cinq refraélions avant quede fc réunir au fond de l'œil , dont les deux premières qui le font fur le verre rendront les raïons incidcns plus divergcns qu'ils ne font , &c les trois autres qui fe fe- ront dans l'œil les rendront con- vergens. Ainfi la refraction des raïons d'un objet médiocrement éloigné fe fera dans cet œil d'uu myope en trois tems, comme dans celui qui eft bien conformé. Enfin fi tout ce qui rend l'œil myope n'efl qu'une trop grande longueur de l'humeur vitrée , qui fait que la rétine eft trop éloignée du cryftallin, 8c qvie les raïons d'un objet médiocrement éloigne qui fe font rompus dans l'humeur aqueufe &c dans le cryftallin de la même raa;iiej:c que dans un œil 1^ Première Partie. yy^ bien conformé , ne peuvent s'afTcmbler fur la rétine , mai^ plus proche du cryftallin, le verre concave qu'on mettra au devant de la cornée rendra les raïons un peu plus diver- gens en entrant dans l'œil qu'ils n'étoient fans le verre , & ilsfe rompront toiàjours en trois tems pour venir jufqu'à la rétine où la vifion fera parfaite. Cette efpccc d'œil myope n'a befoin que d'un verre très- peu concave , car pour peu qu'on détourne les ra'ions en entrant dans l'œil , leurs concours s'alonge ou fc racourcic beaucoup. C'eft à ce dernier cas de l'œil myope qu'on peut attri- buer ce qucj'ay obfervé à plufieurs vues ,qui étant bon- nes dans la jcuncffe jufqu'à l'âge de 20 ouijans font deve- nues enfuite myopes, & ne pouvoicnt plus voir les objets éloignés auiîi facilement qu'ils les voioicnt auparavant, quoiqu'ils viflcnt toujours trcs-diflinclcmcnt ceux qui n'é- toient éloignés que d'un ou de deux pieds. Je dis donc qu'il eft difficile d'attribuer ce changement ou à la cornée qui eft fort dure & féchede fa nature ,ou au cryftallin qui cft un corps homogène , & qui n'a que des corps liquides qui l'environnent; mais il me femblc que fi les mufclcs de l'œil qui l'cnvelopent deviennent plus forts &: plus gros qu'ils n'étoient auparavant ou bien fi les grailles qui font en ailes grande quantité dans cette partie viennent à s'augmenter peu à peu , elles comprimeront le globe de l'œil par le cô- té , & fa figure changeant peu à peu &c devenant plus lon- gue qu'elle n'étoit auparavant , fans qu'il arrive aucun changement à la cornée ni au cryftallin, la rétine s'éloi- gnera du cryftallin ,&: cet œil deviendra un peu myope. Il fc pourroit faneaufll que l'œil s'alongeroit par un acci- dent particulier de la membrane fclcrotiqùe & même par un cftet contraire à celui que je viens de rapporter, c'cft- à-direpar un amaigriftcmentdel'œil. Car la plus grande partie des graiftTcs de l'œil font placées au fond entre les S»- y^o Des differens accidens de la Vue , quatre principaux mufclcs, &; fi ces grailTcs viennent à diminuer , les mufcles prcllant toujours la fclerotique par les côtes , ils feront prendre peu à peu à l'oeil une figure plus longue que celle qu'il avoir auparavant. Ilfe peut faire plufieurs combinaifons des trois diffé- rentes caufes qui font l'aril myope , en les confidcrant fé- parces ou jointes &: félon qu'elles feront plus ou moins grandes; mais je n'expliquerai pas plus au long les diffe- rens accidens qui en pourroicnt arriver , puifqu'il fc ra fa- cile dclcs déduire dcccuxque j'ay donné, fi l'on fcaitles principes de l'Optique , comme je le fuppofeicy. XXIX. Les myopes qui ont l'ouverture delà prunelle fort gran- dc"iumifr""'^'^^°"'^ moins choques par la grande lumière qui entre iiiciib moins dans l'œil que ceux qui ont la vue bonne, ou que les pres- 'i'^'' ["J>°F4->y tes avec une même ouverture de prunelle; car les ob- tres , avec jcts fort éclaivés qui nous environnent , & qui ne font pas une même fortproche de nos yeux , y envoient des raions qui fe raf- piunclle. femblcnt fur la retincdans l'œil bien conforme , & y font tine très-petite bafe dans l'œil presbyte; c'cft pourquoi ils la touchent trop vivement dans ces deux yeux & y caufcnt de la douleur , ce qui n'arrive pas à l'œil myope, à caufe que CCS mêmes raionsfont unebafc trop grande fur la ré- tine : car toutes chofes étant égales l'œil myope voit tou- jours les objets plus confufément que l'œil presbyte. Se cette confulion eft cauléc par l'efpace que les raions qui •viennent de chaque^oint de l'objet , occupent fur le fond de l'œil. _^ XXX. 11 arrive une chofe confiderable à toutes les vues , mais rur"'un''acci-'=ll^^ftoi^<^in^irement plus fenfible à ceux qui ont la vûë dent particu- courtc qu'aux autres , à caufe qu'ils ont la cornée fort élc- <]'ur 'on ""a"v^*^- On voit un objet qu'on ne regarde pas , &c l'on ne cornée cic-voit pas cc mêmc objet quand on le regarde. C'eftunpa- ■'^'"' radoxe d'Optique. .Pmir hkc cette expérience il faut mettre contre la joue quelque Première Partie. y^i quelque corps plat S>c noir comme le bord d'un chapeau qui empêche de voir les objets qui font a. côté ; &: fans re- muer l'œil il faut tourner la tête avec le corps noir appli- que contre la jouë tant qu'on apperçoive quelque petit ob- jet blanc qui foit placé contre un corps noir ou brun , alors il l'on arrête la tête ferme & qu'on tourne l'œil feulement vers l'objet blanc , on ne le voit plus. Cette expérience furprend d'abord , mais il eft très-fa- cile d'en rendre raifon par la conformation de l'œil , car foit l'œil AIK , &: le corps noir BL placé proche de l'œil , i'objet blanc foitO éloigné de l'œil l'ouverture de la pru- nelle CD étant d'abord tournée vers M , les raions qui tiendront de l'objet O en paiTant pardcflus l'objet noir BL rencontreront la cornée obliquement en A &:fe détour- neront dans l'humeur aqueufe,enfortc qu'ils palferont par l'ouverture CD de la prunelle & feront une imprefllon fur la rétine en quelque endroit que ce foit, ce qui fera appercevoir l'objet 0,quoique l'œil ne foit pas dirigé vers cet endroit. Maintenant fi l'on fait mouvoir l'œil fans tourner la tête , il doit tourner à peu près fur fbn centre H èc par conféqucnt la cornée &: l'ouverture de la prunelle Âec, (le l'Acnd, Tome IX, Bbbb y^i Des differens accidens de la Vue, changeront de pofition en s'approdiant de l'obftaclc noir BLiainii quand même dans cette pofition de l'œil, les raions qui venant de l'objet O , paflent pardcffus l'obfta- cle BL , pourroicnt encore rencontrer la cornée , ils ne pourroient pas entrer dans l'ouverture de la prunelle EF, en le détournant dans l'humeur aqucufe , d'où il cft évi- dent que quoique l'œil foit alors dirige vers l'objet O , il ne peut pourtantpaslevoir. XXXT. L'œil myope qui a l'ouverture de la prunelle très-petite fœil""myoJe P"^^"^ ^"^"^ diftmaemcnt les objets éloignés Se ceux qui font qui a une pe- fortproches aufll très-diftindcment par la conformation t,te ouvertu- naturelle. Il a donc un trcs-^rand avantage pardcflus celui Je. qui elt bien conrorme en ce qu il peut appercevoir de trev petites parties de cet objet prochc,à caufe qu'il le peut voir de plus près, &: qu'il recevra beaucoup plus de raions que l'autre avec une femblable ouverture de prunelle; & les pinceaux des raions qui ont pour bafc l'ouverture de la prunelle étant fort déliés ne lailîent pas de faire une pein- ture diftinde fur la rétine , quoiqu'ils ne la rencontrent pas exaftcment dans leur pointe. XXXII. II y a des myopes qui peuvent appercevoir un ob- Moicn pro- jet éloigné plus diftinftement qu'ils ne faifoient, en pre a quel- i i • <- i, , ■ -, , ■. .' ques myopesn''<^"^n'^'edoigtlurl angle extérieur de lœil & en tirant pour voir les Ics paupicrcs en dehors , en les comprimant contre l'os de ^nél^ ^ °' ''^ temple. Par ce moi en ils font deux chofes qui rendent l'œil plus propreà diflinguer les objets éloignés ; car pre- mièrement, ils en font la figure un peu plus platte par la conipreffion extérieure que caufent les paupières qui font bandées , &àmêmc tems ils ne laificnt que peu d'ouver- ture à la prunelle entre les paupières qui s' approchent l'une de Tautrc étant tirées en Ions;. _J aurois encore plufieurs obfervations confidcrables à faire fur les myopes ; mais comme elles n'ont rien qui ne lui foit commun avec les presbytes ôc avec ceux qui ont la Première Partie. jSj "X'ûë bien conformée, je n'en parlerai qu'après avoir exa- miné les accidens de l'œil des presbytes & de ceux qui tiennent le milieu &c qui ont prefque tous les avantagds des presbytes & des myopes (lins en avoir les défauts , ce qu'on appelle ordinairement une bonne vCië. De /a vue longue on faible. LEs presbytes font ceux qui ne fçauroient voir diftinc- . | tcment les objets proches , mais qui voient bien ceux qui font éloignés. Cependant il y a quelques presbytes, qui ne fçauroient pas voir bien dilHndemcnt les objets éloi- gnés ; mais ils les voient toujours bien mieux que les myo- pes. Les humeurs de cette efpece d'oeil ne fçauroient fiire concourir les raïons qu'elles reçoivent comme parallèles, cjue dans un point au-delà de la rétine. Les presbytes qui ont l'ouverture de la prunelle fort xxxiir. petite ne fçauroient voir un peu diftinftemcnt les objets ^" presby- j , ■" 1 ■ ^ . , ..tes qui ont que dans le grand jour ; car comme us ne peuvent pas bien une petite ou- diftinguer les objets s'ils ne font éloignés de l'œil d'une di- ^^"urc de ftance d'environ trois pieds , afin que les raions puilTent ^'^""^ ^' entrer dans l'œil comme parallèles cntr'eux , fi l'ouver- ture de la prunelle cft petite, il n'entrera dans l'œil que peu de raions , qui ne pourront pas toucher fenfiblement la rétine ,• c'eft pourquoi il faut que la grande lumière rc- compenfeen quelque façon la petitelle de l'ouverture de la prunelle. Mais l'ouverture de la prunelle pouvant un peu fe reffcrrer bc fe dilater même dans ceux qui font âgés , il arrive que cet œil étant au grand jour pour voir plus diftinctement ou plus vivement un objet , fa prunelle le ferme plus qu'elle n'étoit auparavant, &C il pcrt une partie de l'avantage qu'il devroit retirer de la grande lumière. '^ ^ x-,::).oj -• : . .x. i vu., _ :o,.^ On remarque aulfi que cet œil, qui ne fcauroitlïre Bbbbij j^4 ^^^ DIFFERENS ACCIDEK'S DE LA VCE j qu'à peine une écriture de médiocre grandeur à la diftan- cc d'un pied environ , s'il fe tient fermé pendant quelque tems ,& caché de quelque corps obicur ,aufll-tôt qu'il re- gardera récritiu-c qu'il ne pouvoir diftingucr qu'à peine auparavant , il la verra aflés diftindcment. XXXIV. Cet avantage ne lui vient que d'une plus grande ouvcr- Augmcnta. turcdc pruncUc qui le perd promptcmcnt ; car la grande dTnl l'el^ œU lumicrc l'oblige de fc refermer prcfquc aufli-tot ; mais il y en le fror- cn a Une autre qui durcrm peu pluslong-tems. Qiiand on ^^^' a détourné l'œil de dcffus l'écriture qu'on ne peut lire qu'avec très-grande peine', il faut le fermer &c le frotter pendant quelque tems en le tournant & cn le comprimant par les côtés. Par ce moien on metcn mouvement le fang qui ell contenu dans Les vaiflcaux qui font proche de l'œil , d'où il arrive que les mufcles qui l'environnent fc remplif- fent ôc deviennent plus gros qu'ils n'étoient avant le frottement, enfortc qu'ils peuvent comprimer un peu l'œil par les côtés , ce qui lui fait prendre une figure plus longue qu'il n'avoit auparavant, Ainfi il peut appcrccvoir bien mieux les objets proches qu'il ne faifoity &c comme la figure qu'il a aquife , dure autant de tems que le fang eft en grand mouvement , & que les mufcles font plus gon- flés qu'à l'ordinaire , il pourra aufli voir l'objet diftimSte- ment pendant un temsaflfés confiderablc. XXXV. C'cftunechofc fort rare que ceux qui font presbytes Que les prcf- deviennent myopes ou qu'au moins ils puiflent acquérir ytct peu- uj^e yf'ië médiocre & bonne pour voir des objets à uncme- vent rare- i - i i ment devenir diocre diftance comme d'un pied. Cependant, il s'en myopes. trouve quelques-uns à qui cela arrive après une maladie,& même après quelque fluxion (Iir les yeux. Ilyapluficurs caufcs qui peuvent faire cet effet ; les mufcles qui cnvclo- pent le globe de l'œil peuvent fe retirer &c devenant plus gros preffer l'œil par les côtcs,&: lui donner une figure plus longue j ou par la cornée qui change de figure en dcvc- Première Parti?. '^ '{s^ nàntplas convexe ; ou enfin par la membrane fclerotique, qui fe ferrant par les côtés donne à l'œil une figure plus ~ longue qu'elle n'avoir auparavant. Il fcroit plus diiTicile, à ce qu'il me femblc , qu'il lui arrivât quelque change- mcntdela part ducryftallm, à caufe qu'il eft environne des humeurs dont il ne diffère qu'en foliditc de fubftancc , èc qu'il n'a point de mufcle auquel il puillc arriver du changement. Il cft plus ordinaire que les presbytes deviennent plus XXXVI. presbytes par les maladies que de devenir myopes, car S;'^^^ J^^^"^"' toutes les parties fe relâchent , les mufcles s'amaigriffcnt , ncnt plus &: l'œil étant toujours prefle par devant & par derrière ,[''"'^>''"P" s'applatit plutôt qu'il ne s'allonge; ainfi ils voient encore moins de près qu'ils ne flùfoient auparavant. Les presbytes qui ont les organes bien fains & fur tout xxxvil. la rétine très-délicate &: très-fenfible, éloignent de l'œil^" presby^ les petits objets pour les voir diftinélement , ce quiparoîtde Irés -ôct'i! extraordinaire, à caufe que l'on eft accoutumé d'appro-tcs lettres à cher de l'œil les petites chofes qu'on veut bien distinguer. ,'"j''5°jj."^f Ils peuvent lire très- bien de petites lettres à deux ou trois ftance Ue pieds de diftancc étant au grand jour, & ilsne lesver-''^''• roientquetrès-confufcmentàun pied ; carlesraïons qui viennent de deux ou trois pieds entrent dans l'œil comme parallèles entr'eux &c vont s'aiTembler cxaélement fur la rétine , où ils forment une peinture diftinéte qui fait la di-- ftinélion de l'objet. Mais comme la vûë diminue toujours avec l'âge , ils ne demeurent pas long-tems dans cet état , car l'œil devenant plus applatti qu'il n'étoit, il ne peut plus voit l'objet diiHndementjfans que les raïons entrent dans l'œil convergens . ce qui ne fe peut pas faire par la feule pofition de l'objet d'où ils viennent; car fi ils font proches ils entrent dans l'œil divergens , & s'ils font éloignés ils y entrent comme parallèles. Puifque la rétine eft afTés délicate & allés fenfible pous Bbbbiij y66 Des DIFFEREES ACCIDENS DE XA VUE, recevoir les imprcflions des objets , quoiqu'ils foient très- petits, ce que l'on peut connoître par le calcul fuivant, il faut que les rilets du nerf optique qui la compofent foient trcs-dclicats. xxxvni. Onpeutvoir facilement à 4000 toifes de diftance une Calcul de la ^{[q ^q moul iu à vcnt que ie fuppofe de 6 pieds de larc ils apportent pourraifon , que tous ceux à qui l'on abbat des cataraclcs , ont befoin d'un verre fort convexe pour voir diltmctement les objets après l'opéra- tion, quoi qu'ils viflent fort bien fans lunette ou verre convexe avant que la catara£le fefiit formée. Car ils di- fent que cette pellicule , qui faifoit partie du cryftallin, en étant détachée le rend bien m.oins convexe qu'il n'ttoic auparavant ; Se par confequcnt , qu'il faut fupplécr par de- hors à ce défaut, en mettant au devant de l'œil un verre convexe ; &que fi la cataraâic venoit feulement de quel- ques corps étrangers formés dans l'humeur aqueufe , lorf- que CCS corps feroient détournés de devant l'ouverture de la prunelle , on devroit voir les objets comme on lesvo- yoit avant la catarade, l'œd n'aïant point changé défi- gure. Toutes ces raifons font fort bonnes, mais il eft fi- cile d'y répondre par ce que j'ay appris d'un très-habile Operateur. Il dit , qu'il eft impolfible de faire cette opéra- tion fans qu'il forte beaucoup de l'humeur aqueufe parla piqûre , &: c'cft ce qui m'a fait croire que la foibleflc de vûë que l'on remarque à tous ceux à qui l'on a abbatu des cataraéles , ne vient que de cet épancliemcnt qui rend l'œil plus plat qu'il n'étoit auparavant. Je ne fais pas de doute que lorfqu'on fait l'opération à des jeunes gens , l'œil ne fe retablifTc dans fon pr<;mier état après quelque tems,puifquc nous avons des expériences queThumeur aqueufe aïant été tirée de l'œil de quelques animaux Se l'œil paroiflant tout flétri , peu de tems après , il s'eft réta- bli dans fon premier état, xtvi. Lorfqu'on a fait quelqu'cfFort ou en étcrnuant avec les de^fcu" ' violence , ou en fe mouchant fortement , on voit des Première Partie. jyc? étincelles de feu quiparoiffent courir d'un côté &c d'autre ^ fur les objets. J'ay vu auffi une pcrfonncàqui il en paroif- foit de femblables après avoir regardé quelque rems un ciel fort clair avec grande attention. Cet accident paroît d'abord furprenant & il donne de la fraïeur : car l'on a des exemples de quelques pcrfonncs qui ont perdu la vue après des accidens à peu près femblables. On ne peut pas rechercher la caufedece phénomène en d'autre endroit que dans la rétine , que je regarde toii- jours comme le principal organe de la vifion ,- mais com- me nous ne pouvons pas connoîtrece quilui arrive avec autant d'évidence qu'aux autres nerfs qui font répandus dans quelques parties de notre corps, nous n'en pouvons juger que par comparaifon. Qiiand on a tenu long-tems lebrasoula jambe dans une pofture contrainte , la main ôc le pied deviennent engourdis, & fi ces parties demeu- rent toujours dans la même difpoiîtion , on fent dans cet engourdiflcment , des élancemens comme fi on piquoic lâchait en ditïercns endroits, ce qui caufe une douleur fortconfiderable. Onfentauffi la même chofe quand on reçoit quelquecoup aux extrémités du corps ; & fi l'oeil eft blcllé dans fes parties extérieures , on fe pcrfuade voir une grande quantité d'étincelles de feu. Il eft facile de ju- ger que tous ces accidens viennent de la même caufe, &: que le cours des efprirs étant interrompu dans les nerfs Se coulant enfuite par reprifes &c fecoufles , nous fait fentir dans les chairs ces piquures violentes , &: dans l'œil nous £iit voir des éteincelles de feu , les nerfs étant ébranlés de la même manière que lices piqûres étoient réelles ,& fi ce feu étoit prefent. AinCi en éternuant ou en fe mou- chant avec violence , on ébranle tous les nerfs qui font ré- pandus dans la tête, enforte que l'on fent fort fouvenc -dans ce même moment ou une violente douleur de tête ou Uiiedouleur d'oreille qui fe dilîipe promptemcnt, &roa Ddddij 580 Des DIFFEREES ACCIDENS DE LA VUE , voie aufll des écincellcs de feu ejui fc répandent d'un côrr Se d'autre , mais qui ne durent au plus qu'une demi-mi- nute. Pour ce qui cft des écincellcs de feu qu'on voit après avoir regardé quelque tcms le ciel fort éclairé , je les com- pare aux piqûres qu'on fcnt dans rcngourdiflemcut des mains ou des pieds. XLVIi. L'œil presbyte reçoit de bien plus grands avantages de De l^ufage J ufagcdcs verrcsconvexes , que l'œil myope n'en reçoit convexes dcs vcrrcs concaves. Un des plus confiderables efl: la grar.- pour 1 (Tii j^ quantité de raïons que ces verres font entrer dans l'ccil, en les détournant comme il cft neceffaire pour faire une peinture diftinde fur la rétine: car l'œil presbyte n'aïanc îcs humeurs conformées que pour réunir au-de-là de la rétine les raïons qui viennent à lui d'un objet proche, il faut que ces mêmes raïons entrent convergens dans l'œil afin de pouvoir fe réunir fur la rétine. Or la propriété des verres convexes étant de réunir les raïons après qu'ils ont palTé au travers, il s'enfuit que les raïons qui viennent d'un objet proche,après avoir pallc au travers d'un verre plusou moinsconvexejfontdifpofésenentrantdans l'œil pour corj- courirfur la rétine, où ils font une peintute diftinftede l'objet. Mais lorfque les raïons ont paflc au travers du ver- re convexe, ils occupent moins d'efpace qu'ils nefaifoient auparavant, puifqu'ils font difpofés pour concourir en un pointjc'eftpourquoil'ouverturede laretinecn reçoit beau- coup plus après qu'ils ont pafTé au travers du verre conve- Mc,que s'ils n'y avoient point paffé.Etcommc la plupart ds ceux qui font presbytes ont l'ouverture de la prunelle fort petite,ii s'enfuit quelcs presbites reçoivent un double avan- tage de l'ufage des verres convexes, puifque par leur moïen la peinture des objets eft diftinfte fur la retine,& aufli vive que s'ils avoient l'ouverture de la prunelle fort grande. La quantité des raïons qui entrent dans Tœil rendent l'image plus vive &: plus fcnfible &: d'autant plus que le Première Partie, 581 verre convexe cft plus éloigne de l'œil. Ivïais il faut re- marquer qu'un même verre convexe ne peut pas fcrvir pour un même œil à toutes fortes de diftances de l'œil &: de l'objet : Par exemple , li la lentille ou verre convexe ABefI: placée à une certaine diftance de l'œil pour faire que les raïons qui viennent de l'objet O s'ctant rompus dans ce verre, & aïant enfuite paffé dans l'œil par l'ouverture de la prunelle CD, concourrcnt fur la rétine en G; cette même lentille étant plus éloignée de l'œil, & étant placée comme en ER^ lesraïonsqui viendront du même ob- jet O après avoir paffé par ce verre &: par les humeurs de l'œil ne pourront plus fe réunir fur la rétine. Car fi nous fuppofons que le verre eft placé en AB, & que les raïons qui vienne de l'objet Opuiflent concourir ou faire leur foier dans l'air au point F , lorfque ce même verre fera placé enER, le point F ne fera plus le point de concours des raïons , qui venans du point O de l'ob • jet , fe rompent dans ce verre ^ hormis dans un cas feulement où la diftance] de ER au point O, eft la même que cel- le de AB au point F; mais par tout ail- leurs le foïer étant plus proche ou plus loin de l'œil que le point F les raïons qui entreront dans l'œil feront difpo- fés pour concourrir plus proche ou plus loin que le point F ; car l'œil étant toujours dans le même endroit, il faut que les raïons qui doivent concourir fur la rétine , tendent au point F Ddddiij 'jpi Des differeks accidens de la Vue , avant que d'entrer dans l'œil; c'cft pourquoi ils ne feront pas fur la rétine une peinture diftinde del'objet. Mais fi l'on place un autre verre en ER , cnforte que fa fi(Ture foit propre pour faire que les raïons , qui viennent du point O concourrcnt au même point F où le verre AB lesfaifoit concourrir auparavant : Il cfl: évident que ce verre les détournera comme il faut pour faire une peintu- re diftincbe fur la rétine ; mais il y aura encore cet avanta- ge, qu'il entrera dans l'œil par le moicndece verre ER beaucoup plus de raions qu'il n'en entroit par le mo'ien du verre AB. Caries lignes FC, FDqui comprennent tous les raïons qui peuvent entrer dans cet œil pour faire une peinture diitinde occupent plus de place fur le verre ER que fur le verre AB; &: ER étant plus proche de l'objet O que AB , l'angle EOR , qui contient tous les ra'icns qui peuvent entrer dans l'œil après avoir paflé par le verre £R , eftbeaucoup plus grand que l'angle AOB. Cen'eftpasicy le lieu de déterminer quelle doit ctrc la convexité du verre ; ladiftance de l'objet à l'œil &: du verre à l'œil étant donnée dans une conformation de l'œil qui foit déterminée : Il fuffit feulement de remarquer, que fi l'objet eft fort éloigné , Se que le verre étant éloigné de l'œil de deux ou trois pieds au plus , on puiffc voir au tra- vers les objets diftindement, on les verra beaucoup plus grands qu'à la vûë fimple , &c plus l'œil fera presbyte plus l'image fera grande; enforte que par le moïen d'un feul verre convexe l'œil presbyte reçoit le même avantage que ^ d'une petite lunette compofée de deux verres. Voicy de QiK par k quelle manière fe fait cette augmentation. ^o!cn dun j^. confidcre l'œil comme étant d'une matière homo- 2c'ks "Ksby-' g^n^ qui ^ft propre avec la figure fpherique à faire que des rcs voïciic les la'ions ordonnés qui tendent en un même point proche "^'"I ^i"\ ou éloieiné en entrant dans cet œil, puiflcnt concourrir >jàï4ï (impie, fur le fond. Première Partie. ^83 Soit donc l'œil GHCD de figure fpherique dont K foie le centre , & le verre convexe ER placé à deux pied s de l'œil aiant fon foicr abfolu à la diftancc FI,c'cfl:.à-direque les raïonsquitomberoient comme pa- rallèles entr'eux en rencontrant ce ver- re iroient concourrir vers la ligne FI qui cft plus éloignée du verre que l'œil CDGH. Pofons maintenant que cet œil ne puife faire concourrir fur fon fond GH des raïons qui foient comme parallèles entr'eux , à moins qu'ils ne tendent à des points de la ligne FI. S'il y a donc quelqu'objct TV dont les raïons TE, TS qui viennent du point T foient comme parallèles entr'eux , &: VR , VS aulîi parallèles Icfquels vien- nent du point V , ces raïons aïant pafTé au travers du verre iront s'affcmbler aux points I & F fur leur raïon princi- pal TSI &: V SF qui pafTe par le centre S du verre. Ces deux raïons TS,VS comprennent l'angle TSV fous lequel on voit cet objet , qui cft compris entre fes extrémités T & V ; car on ne tient pas compte de la diftance qu'il y a de l'œil au verre , par rapport à l'objet , & quifaitquel'angleTSVeftunpeu plus grand que celui fous lequel on verroit l'objet fans rinterpofition du verre. Si ces raïons parallèles aïant pafle au tra- vers du verre &: étant devenus convcrgens vers les points I & F , rencontrent l'œil , ils s'y détournent pour aller s'af' fembler fur le fond GH ; mais tous les raïons qui entrent (dans l'œil èc qui tendent vers les points I & F , doivent 584 Î^E5 DIFFËRENS ACCIDENS DE LA Yv^ , s'ancmbler fur celui qui palîe par le centre K de l'ail , qui doir être confideré comme le principal par rapporr à l'œil, c'eft-à-dire fur les raïons IK , FK qui rencontrent le fond de l'œil en H &; en G où fe fera la peinture des points T &: V de l'objet. Il eft facile à connoitre que l'angle HKG ouIKF fous lequel on voie l'objet après que ces raionsont palfc au travers du verre , eft plus grand que l'angle ISF ouTSV fouslequelonleverroitàla vue funplc , puifquc dans les deux triangles FKI ,FSI lefommet Kcftplus pro- che de la bafecomnuine lE que le fommetS, &: de plus l'angle TSV eft un .peu plus grand que TKV ,qui feroic celui fous lequel on verroit les objets à la vue fimple ; car les raïons principaux qui viendroient a. l'œil des points T & V de l'objet, paflcroient par le centre K de l'œil. Je ne tiens pas compte de la confufion de l'image à caufe que l'œil eft presbyte , & qu'il ne peut pas faire concourrir fur la rétine les raïons qui viennent des points de l'objet TV. xux. Cejjx qui font presbytes &qui ont la cornée fort con- Dcs presby- vexe doivent avoir lecryftallin fort plat ,• mais ils nelaif- tcs (]\.n on cornée la fore ^^^'^ P*^^ <^^ '^°^^ ^" objets fort diftindcment en fe fervant xoujcxe. d'un verre convexe pour mettre au devant de l'œ-il : car ce verre convexe détournant les raïons pour les faire con- courrir en un point , ils rencontrent les humeurs de l'œil qui les détournent encore du même fcns &: en trois tems diffcrens , ainfi les raïons qui entrent dans l'œil fe rom- pent du même fens en quatre ou cinq tems diffcrens ; ce qui ne rend pas la vifion moins diftinfte : car quoique les refradions qui fe font à l'entrée & à la iortic du cry ftal- lin foient bien moindres que celle qui fe fait à l'entrée de l'humeur aqueufe fur la'Cornce , la vifion ne laiïTe pas d'ê- tre diftinéte, les raïons rompus ne fiifant pas des angles trop aigus, comme il arriveroit fi toute la rcfradion dcj ^aïons fe faifoit f fi deux tems feulement. Pr EM I E RE Pa R T ï E,^ y 8^^ Il ferolt difficile , pour ne pas dire impolTible qu'un œil fût presbyte aïaiit le cryftallin fort convexe : car comme il fcfixit toujours deux rcfraclions iur le cryftallin lorfque les raïons y entrent & qu'ils en for tcnt, &: qu'il faut aulli que la figure de la cornée foit convexe pour s'accommo- der à celle de tout l'œil, il fe fera toijjours trois refrac- tions , dont deux étant fort grandes , l'œil fera plutôt myope que presbyte. 11 fe pourroit pourtant faire que l'humeur vitrée i'croiten fi petite quantité que le cryftallin touchant prcfque au fond de l'œil , les raïons ne pour- roicnt pas concourrir fur la rétine à la fortie du cryftallin, z caufe qu'il n'y auroit pas allés de diftance ; mais cet acci- dent cft fort rare, &c il l'cft encore plus qu'un œil n'ait point d'humeur vitrée & que le cryftallin touche à la ré- tine , ce qui s'eft pourtant trouvé dans quelques fujcts , &: fur tout dans des chevaux; mais il n'eft pas pofliblc dans des conformations fi extraordinaires, que les organes de la vifion foient demeurés bien lains , fur tout la rétine fi elle touche au cryftallin. "De la vue farfaïte, CEux qu'on die avoir bonne viië voient diftindcment î--' les objets à un pied de diftance ou même plus près rqu'^o ""^ • de même que ceux qui font fort éloignés. îl fcnible que avoir bonao puifqu'ils voient diftinûement les objets fort éloignés ils^"^" devroient être presbytes , car on ne met pas d'autre diflfe- rence entre les presbytes & les myopes, fi ce n'cft que ceux- cy voient bien les objets proches & ne voient pas ceux qui font éloignés ; au contraire ceux-là voient bien les objets éloignés &: ne voient pas ceux qui font proches ,■ c'cft pourquoi 'î\ ceux qu'on dit avoir la vue parfaite voient di- ftinftementlesobjetséloignésjilsdoiventétremis au nom- bre des presbytes , &: ils ne doivent pas bien voir les objets Sec. de CAcad. Tom. IX, Ecec J ^Î6 Des differens accidens de la Vue, proches. Ileft vrai que fi l'on donne le nom de presbytes à ceux dont la conformation de l'œil eft propre pour ra(^ fcmblerfiir la rétine les raïons qui y entrent comme pa- rallèles entr'eux,&:qui viennent par confequent des objets fort éloignés , il s'enfuit que celui qui a la vue parfaite comme je l'établis icy , doit aufli être appelle presbyte en ce fens. Mais par les noms de myopes &: presbytes , on en- tend les deux excès oppofés;&: par le nom de vue parfaite, on entend celle qui tient le milieu enttc ces deux extrê- mes. Amfi la viiii parfaite ne diffère pas beaucoup d'une des efpcces de myopes & de presbytes. Il fautfculcmenc remarquer , que la diftancc de trois pieds environ doit être confidcrée comme une très -grande diftance , &: fi. tin œil. presbyte ne peut pas voir un objer placé à cette diftance , il ne verra pas non plus ceux qui font plus éloi- çnes. Li. Mais comme toutes les vues peuvent bien diftinguer Troiscasdif- des objets un peu plus ou un peu moins éloignés, celui qui fom"Ls'troi5^"'"^'^ lavûë propre pour voir très-diftinftement les objets cfpecesdevûë à deux pieds de diftance, les verra encore bien àunpied dont 0» parle ^ ^ trols picds , &c par confequent il verra bien ceux qui feront trcs-éloignés, qui eft ce que j'appelle icy vue par- faite. Mais celui qui aura la vue propre pour voir trcs-di- ftinftement un objet à quatre pieds de diftancc, il verra " aufli affés-bien celui qui fera à trois pieds , mais il verra un peu confufément celui qui fera à un pieds , & plus contu- fément encore celui qui fera plus proche : il pourra voir auffi diftindcmenc ceux qui feront plus éloignés que qua- tre pieds à quelque diftance qu'ils foient placés , qui eft ce que j'appelle presbyte, &: ceux qui font fort presbyte ne voient que très-confufément les objets qui (ont placés à une médiocre diftancc , &c ne voient pas diftinftement les objets éloignés; quoiqu'ils les voient mieux que ceux qui font proches. Au contraire , celui quia i'œildifpofé Première Partie. $87 pour voir très-dirtindement à un demi-pied de diftance , pourra voir affés bien un objet éloigné feulement de trois ou quatre pouces & d'un pied à peu près , mais il ne verra pas ceux qui feront plus éloignés , ôc c'eft ce que j'appelle myope, & ceux qui font fort myopes ne fçauroient voir diftiniStement les objets s'ils ne font tout proche de l'œil. Cette latitude de vûë vient en partie de ce que l'on peut étreflir ou élargir l'ouverture de la prunelle fuivant que les objets font proches ou éloignes de l'œil , ce que j'examine fort au long dans la féconde partie de ce traité , où je don- * ne la manière de mefurer exaélement la force de b vûë , en démontrant que l'œil ne change point de conforma- tion pour regarder l'un après l'autre des objets proches &; d'autres qui font éloignés. Ily a des vues parfaites comme je les établis icy , qui^ yj' '. ■ < jr,. „ V ;• ,-, , r ■ 1^= la bonne aiant larctinejtres-achcate&:trcs-lcniible,nclçauroient-vaëdoncrou- fouffrir la grande lumière; c'eft pourquoi elles (e fontac-^<^"u'''= 'i'^'» A ' ^ ' /!' 1' j t II 1 x r prunelle eft coutumces aetreilir 1 ouverture de la prunelle quand il Vc\^^^ fzivx, prefente quelque objet médiocrement éclairé ; &c par cette habitude l'ouverture de la prunelle eft ordinairement fort petite. Cesfortesde vues, quoique très-bien conformées d'ailleurs ne fçauroient voir diftinétemcnt de petits objets s'ils ne font expofés au grand jour , afin que malgré la pe- titefle de la prunelle il entre encore allés de ra'ions dans l'œil pour faire uneimpreflionfcnfiblefur la rétine. Qtioi- qu'elles ne foicnt pas presbytes elles ne laiffentpas de le pa- roître , car elles font obligées de le fervir de lunettes con- vexes pour voir de petits objets comme les presbytes -, mais ce n'cil pas pour en détourner les raions , enforte qu'ils faffent leur foier fur la rétine , mais feulement pour en faire entrer une plus grande quantité dans l'œil; car les vcrresconvexes ont CCS deux propriétés tout cnfemblc, comme je l'ai remarqué cy-deffus en parlant de leur ufage. Mais il femble que ces fortes de vues parfaites , qui fc Eeee i] îSS Des differens accidens de la Vue, Icivent de verres convexes pour faire entrer plus de raïons dans l'œil , afin d'en voir 1 objet plus diftin£lcmcnt , en de- vroient rece\'oir un très-grand dcfavantagc , puifqiie les- raions leroicnt détournés de telle manière qu'ils necon- coureroient plus fur la rétine de cet œil parfait , ce qui doit toiijours arrivcr,piiifque ces deux effets du verre con- vexe fontinféparahlcs : mais on remédie facilement à ce défaut en approchant un peu l'œil de l'objet. On en peut faire l'expérience en prenant un verre fort convexe , & en- regardant au travers quelque objet; car on trouvera une- diftance de cet objet à l'œil où l'on verra toutes fes petites parties fortdiilinctemcnt. J'ay vu une pcrfonnc qui avoir l'œil de cette cfpecc , Se qui étoit obligé de fc lervir de lunettes convexes pour- voir de petits objets. Il lui furvint un jour une grande in- flammation aux yeux , & il remarqua qu'il pouvoir dans- ce tems-là voir fort diftinctcmcnt de trcs-pctits objets lans- le fecours des lunettes convexes: mais quand il couimen- çoit à regarder les objets éclairés il fouffroit une grande- douleur, qui diminuoitun peu dans la fuite. Il efl facile d'expliquer cet effet par ce que j'ai dit cy-devant: cari in- flammation de ces yeux ne laiflant pas la liberté au mufcle delà prunelle de la fermer à l'ordinaire, il entroit alors; dans l'œil une affés grande quantité de raions pour rendre- la vifion fort diftmde , les organes n'étant point malades. La grande douleur qu'il fentoit d'abord venoit de rinT- prcifiondecesTaïons fur la rétine qui en étoit ébranlée- avec une trop grande violence, & de l'effort qu'il faifoir au mufcle de la prunelle pour la fermer comme à fon or- dinau-e; ce mufcle étant affligé par l'humeur quicaufoic l'inflammation. Mais cette douleur diminuoirenfuire un peu , car ce mufcle aïautfait fon effort dcmeuroitdans la même difpofition,ce qui eft femblable à ce qu'on éprouve, quand on vcuc mouvoir quelque partie affligée d'une Première Partie. jSp fluxion ; car la douleur n'eft fort fcnlîble que dans le chan- gement dcpoficion de cette partie. Ceux qui n'ont pas accoutumé de regarder dans les lu- LUI. d, , . J-- r !_■ Des couleurs- approche , y voient ordmaircmcnt les objets q^.o,^,oltfu^ bordés de bleu Se de rouge, quoiqu'ils aient lavûë fort les objets en bonne. La raifon de ces couleurs vient de la grande refra-'" '^<=S"''^""=' o Ja„s les lu-- ftion des ra'ions en entrant dans lœil ; car tous les raïons nettes dap- d'unc lumière vive, ou d'un corps fort éclairé , qui fontP'^°'-'^'^- terminés par le noir , s'étant rompus , paroillcnt avoir fur leurs bords des couleurs roirgcs ou bleues. Mais quoi- que les raïons rompus falfent les couleurs, il faut qu'il y ait encore un écart dans ces raïons pour rendre les cou- leurs fenfiblcs ; car fans cela l'œil ne pourroit pas ks ap- percevoir. C'cft pourquoi ceux qui n'ont pas l'ufage de re- garder dans les lunettes d'approche , ne mettent pas or- dinairem.cnt le verre oculaire à la diftancc que l'ebiectif demande pour convenir à leur vue , & ilsvoïcnr les objets' un peu confus à caufe de l'écart des raïons , ce qui leur rend aufli les couleurs fenfibles ; & comme ils ne font pas' . accoutumés à voir diftinctement les objets éloignés , ils font bien moins d'attention à la diftinélion de l'objet qu'à' fes couleurs qui leurs paroillcnt extraordinaires 4 Des DIFFERENS ACCIDENS DE LA VuE, lève la têcc on ne voit que dcsraïons enhaut comme BM» &: enfin que pour voir des r.iïons enhaut & embas iltauc. tenir la tête droite & fermer prcfque l'ceil. Pour expliquer ces effets , il faut conliderer que la pau- pière d'enhaut a un fort grand mouvement en compa- raifon de celle d'embas qui n'en a que peu , Se que lorfquc la tête eft un baiflee le globe de l'œil s'élcve enhaut pour regarder la chandelle, cnforte que l'ouverture de la pru- nelle fc trouve alors fort éloignée du bord de la paupière d'embas , qui ne peut pas s'élever jufqu'à l'ouverture de la prunelle; & par conféqucnt il ne peut pas refléchir dans l'œil aucun raïon du bord de la paupière d'embas, où s'il en refléchit ce ne peut être que bien moins que lorfquc l'œil cft médiocrement ouvert : mais comme il n'y en ré- fléchit point quand l'œil cfl: médiocrement ouvert , ce qui ert confirme par l'expérience ; puifqu'on ne voit point de raïons ,il n'y a donc point de raïons réfléchis de la pau- pière d'embas dans cette pofition de la tête, & par confé- qucntonncverra point le raïon CN qui accompagne la chandelle vers le bas, car les raions refléchis de la pau- piercd'embas I fontceuxqui fontvoir les raïons CN cm- bas dans l'explication de M. Rohaut, à caufe qu'ils frap- pent la partie fupericurc GL de la rétine ; ce qui eft entiè- rement contraint à l'expérience. Mais dans cette pofition de la tête qui cft baifl!ce, l'ou- verture de la prunelle fe rencontrant vis-à-vis du bord de la paupière d'enhaut, les raïons qui viennentdx lachan- delle vers l'œil , devroient fe réfléchir fur le bord convexe de cette paupière, & aller occuper la partie inférieure EK de la rétine , qui feroient voir le raïon BM au deflus de la chandelle, ce qui cft entièrement oppofé à l'expé- rience. Tout le contraire doit arriver lorfqu'on lèvera la tête i car alors l'ouverture delà prunelle fe rencontrant proche Première Partie. 5:95- du bord de la paupière d'cmbas les raïons de la chandelle ^ui s'y refléchiront , iront occuper dans l'œil la partie fu- perieure , & par conféquentils teront voir le raion de lu- mière CN au deflbus de la chandelle, ce qui efl: encore contraire à l'expérience , car la tête étant levée on ne voit ■que le raïon d'enhaut BM. On ne peut pas dire que ces effets arrivent à caufe de la grandeur de la chandelle , qui envoie des raïons differcns de la partie fupericure &: de l'inférieure ; car lorfqu'elle cft fort éloignée de l'œil, & qu'on mec au devant une carte percée d'un petit trou, on ne laiiTe pas de voir la même chofc; quoique les raïons qui viennent de toute fes parties foient comme parallèles entr'cux. On remarque aufll qu'en regardantlalumieredelachan- delleau travers de ce trou, la tête étant médiocrement baiiîée,on voit des raïons qui s'étendent au dcflousdela lumière du trou , Se que fi on la baifle un peu plus , les raïons difparoiirent tout d'un coup, quoiqu'on voïc en- core la lumière au travers du trou. C'eftcequi fait très- bien connoître, que ce ne font pas les raïons de la lumière, qui frappant fur le bord de la paupière inférieure &c fe re- fléchiffant vers la partie fupericure de la rétine , forment les raïons qui paroifTcnt au dcffous de la lumière du trou ; car puifqu'on voit encore la lumicredu trou , rien n'em- pêche que cette lumière ne donne fur le bord de lapau- piere. Il faut donc chercher une autre caufe de ces ef- fets : &c voicy celle que j'en donne qui fatisfait égale- ment à tous. Soit donc comme cy-devant l'œil A & le point lumi- lx. ncux B à quelle diftance on voudra, pourvu qu'il ait^^P' encore afTés de force pour toucher l'œil vivement. On^c des fçait que l'œil efl: toujours humefté d'une eau glaircufcion*' bie par M.. Brigs Médecin Anglois , j'y vis en gênerai la même expli- cation de cette apparence. Il y a une efpcce de tache qui peut paroître dans toute j^^xï forte d'yeux , hc dont je n'ay point parlé cy-delTus ; mais D'une efpcce: elle ne peut jamais apporter aucun dommage àl'œil ;, carf'ï^^'^'':^^'"' ,600 Ds? DirfERENS AGCIDENS -DE LA Vvv., . elle n'eftcaulcc que par quelque glaire cpaifTe &c irrcf^u- gulicrc qui gliffc fur la cornée fans lui donner aucune in- . commodité , li ce u'cil de l'cmpccher cic voir diltincte- .ment lorfqu'elle fe rencontre devant l'ouverture delà pru- nelle : mais en remuant un peu la paupière on détourne ce corps étranger , &z aulTi-tot la tache difparoit. On ne s'ap- perçoit de ces taches que quand on regarde une chandel- le ou une lumière fcmblable dans un lieu obfcur , & il faut que rimagede la lumière paroifleconRifc; c'cll pourquoi fi cette lumière efl a. une diftance de i z ou 15 pieds , l'œil t|uilarcgarde doitctre myope ou fort presbyte pour voir cette forte de tache. Car alors la peinturedecette lumière qui fc £iit dans le fond de l'œil étant confufc , on voit la figure de l'ouverture de la prunelle, comm.e j'ay dit cv- devant , &: non pas celle de la lumière. C'eft pourquoi lorfque quelque corps opaque fe met au dcvan: de cette ouverture il en change la figure, & ce corps doit aufli jparoître fur la peinture de la lumière qui eft dans le fond de l'œil , puifque la figure claire qui efl: au fond de l'œil , doit être femhlablc à celle de l'ouverture, &c en avoir routes les irrégularités. Mais un œil bien conforme pour voirdirtinftement les objets à la difl:ance où la chandelle eftpofée , ne verra point cette tache; car la peinture de la chandelle fera diftinéle fur le fond de l'œil, de quelque figure que foit la prunelle , & quelques irrégularités qu'el- le puifl'e avoir. Cependcint fi cet œil bien conformé veut voir ces fortes détaches , il n'a qu'à prendre un morceau de verre ordinaire qui foit un peu éclaté fur le bord , & approcher cet endroit tout contre l'œil , alors çepetir cclatlui envoiera dans l'œil une lumière , comme s'il y en avoir une à l'endroit même de cet éclat de verre. Mais cet «eil n'étant pas difpofé pour voir diftinélement des objets qui font fort proches , il doit être conlideré par rapport à jcet o,b]et lumineux, comme un œil fort presbyte,.&: i^ ' ' ' ' 'Verr^^ Première Partie. 6oi -verralatacliefurla lumière de cet éclat. Il nekifT-ra pas auflî de voir diûindement la lumière de la chandelle à cô- té de l'autre. Cette forte de taciie qui paroît jurande à proportion de la grandeur du corps qui le forme lur la cornée, difparoîc auffi-tôt qu'on écarte ce corps de devant la prunelle, en remuant ou en fermant les paupières. Lorfque l'humeur qui enduit la cornée cfl: fort vifqucu- fc li l'on ferme la paupière de dcflus en baiflant un peu la tête-, enforteque le cercle lumineux fous la figure duquel on voit la chandelle, paroiife coupé en deux également par la paupière , quand on relevé la paupière tout à coup , on voit uneliiineou bande obfcureà l'endroit où l'ombre de la paupière coupoit la lumière apparente. Cette ligne eft formée par une élévation de 1 humeur glaireufc , qui rcfteun peu de tems fur la cornée à l'endroit où écoit le bord de la paupière ,- mais enfuite elle s étend avec le refte, '& la ligne difparoîr. J'avditcy-devantdans l'article io,que fi l'on a unen-„ l^^'i- d- j j ■ 1 r ru 1 ^^'^ dcftuts roitde la retme plus leniible que les autres, & que cet endroit ne foit pas dans raxe de la vifion , on tour- ne l'œil enfortc que la pomtc du pinceau des raïons qui viennent de l'objet qu'on veut voir diftinûe- ment,tombe fur cet endroit, & alors il fcinblcquc chacun des deux yeux regarde en ditierens endroits , ce qui fait la vite louche : mais ce dé- faut de lavûë peut venir aufli d'une autre caufe. Car û le cryftallin n'eil pas fufpendu bien droit au devant de l'ouverture de la prunelle, & qu'il foit plus incliné d'un côié que d'autre, comme on voit dans cette figure, la pointe des pinceaux Jxcc. de l'Ai ad. Tome IX. Cl (TITO- c deux autres aux deux côtés un peu plus foibles & un peuconfufes aux points LK. Mfiintcnant fi la rétine fe trouve en ST , il doitarriver Première Partie. «Î07 par les mêmes raiibns que ]c viens d'apporter , que robjec B fera cinq peintures diftercntcs fur cette rétine , à fça- voir deux diftindes aux points ST , & trois autres un peu confufcs aux points QI-'R , où les raïons qui font leurs foiers aux points I &: Y , font coupés hors de ces foïcrs. Enfin fi la rétine cft placée en V a , il s'y fera aulli cinq peintures de l'objet , une diftinâ:e au point Y &: quatre autres aux points VXZ -^ un peu confufc. L'œil étant difpofé comme je le fuppofc icy, on voit que l'ouverture de la prunelle étant ronde, au lieu des points SQRT , Sec. dans chaque pofition de la prunelle il doit y avoir des cercles, dont tous les centres feront dans l'axe D Y , & ces cercles feront plus ou moins lumineux & plus & moins larges à proportion de la lumière qui fe rencon- tre aux points SC)RT &:c. car ce n'eft que cette même lu- mière qui tourne autour du centre comme P , & qui fait la grande conhifion de la villon. Mais fi l'ouverture de la prunelle n'ell qu'une ligne comme je l'ay fuppoféc d'a- bord, on n'aura que des points rangés fur une ligne dans le même fens que celle de l'ouverture de la prunelle, Se c'eftparce moïen que j'explique la répétition apparente de l'objet. Car quoique dans l'une des diftances de la ré- tine comme V A, les points marqués VXZ^ aient quel- que largeur à caufcqueles foiers d'où ils viennent font en SIT , ils font pourtant fi petits qu'ils font la même chofe qucdes points: car alors l'ouverture de la prunelle pour chaque poPnt n'aura de largeur que celle de la fente de la carte , &: ne s'étendra en longiteur qu'autant que le de- mande la différence des courbures -, & il arrive la même chofe pour chaque point, que fi l'on rcgardoit l'objet au travers d'un trou d'épingle : Car de quelque nature que foit l'œil, on voit toujours l'objet diftinélementà caufe que les ra ions qui paffcnt par cette petite ouverture Se qui efl la bafe des concs lumineux , n'ont pas un écart fcnfible- €qS Des difperens accidens de la Vue , quoiqu'ils foicnt coupés beaucoup au defFus ou au dcfious de leur foïer . Ainii la mukiplicacion de l'objcc fc fait de la même manière que (i l'on mectoit une chandelle au de- vant d'un carton percé de trous d'une demi ligne de dia- mètre environ , &: qu'on reçût la lumière fur un papier blanc au-delà du carton. Il faut remarquer que dans touscescasil ne laifle pas d'y avoir des raïons entre tous les points marqués fur la rétine dans fes diftcrcntes pofitions : mais comme il y en a peu , ils ne caufcnt qu'un peu de lumière dans ces endroits ians former aucune pemture diftincte , qui ne peut pa- roître que par le concours des raïons vers un même en- droit. Les différentes irrégularités des trois membranes qui renferment les hum.eurs de l'cci! & fur Icfquelles les raïons k rompent , caufcnt plus ou moins de foïers , qui peuvent avoir fur la rétine des dtfpofitions différentes , dont je n'ay rapporté qu'un cas pour exemple. L'obfcurité dans laquelle on fait l'expérience dont je parle icy fert beaucoup à faire voir l'objet répété plufieurs fois : car l'ouverture étant alors plus grande qu'au jour , il peut entrer dansl'œiluneplusgrandcquantité de raïons, qui rencontrant une plus grande partie des fuperficies du cryftallin &c de la cornée , peuvent être détournés en plus de manières par les différentes irrégularités de ces fuper- ficies. On peut obferver dans cette expérience, de quelle manière les raïons s'écartent fur la rétine : car li l'on élevé peu à peu la petite fente qui eft au devant de l'œil, on verra dimi- ■nuer le nombre des chandelles, jufqu'à ce que la petite fente touche l'ouverture ronde de la prunelle , & alors on n'en verra plus qu'une ou deux tout au plus qui dilparoîtront tout ^ila Première Partie. 6o$ au plus qui difparoîtront tout à la fois quand la carte ca- chera toute la prunelle. Il cft évident que cela doit arriver ainh , puifquc la multiplicité des chandelles ne vient que de la grande ouverture de la prunelle, & quà mcfure qu'on élevé cette fente , la largeur delà prunelle quiy eft comprife, devient plus petite, comme on le peut voir dans cette figure où rfé eft plus petite quérir/, SÎ f encore plus petite que ^ i> , ce qui doit être conlideré comme l'ou- verture de la prunelle. Mais dans la figure précédente, fi la rétine eftpofce en LK , & que la fente foit placée au milieu de l'ouverture de la prunelle, on verra d'abord l'objet multiplié trois fois ; enfuite la fente étant un peu élevée retranchera les raïons qui font autour de G & de H & qui s'affemblent en I ; c'eft pourquoi la chandelle qui paroifToit au milieu en I , diminuera beaucoup de lumiè- re , car il ne lui reftera plus que les raïons du milieu qui tombent en D. Enfin la fente étant encore plus élevée, les deux chandelles formées en L &: en K dirparoîtront,&: il ne reftera plus que celle du milieu toute feule. Mais fi la rétine cft en ST oii l'on voit cinq chandelles aux points SQPRT,on verra d'abord difparoître les deux chandelles qui font en Q^èc en R , lefquellcs font formées par les raïons qui tombent vers les extrémités du cryftal- îin en G & en H ; enfuite celles qui font en S & T qui font les plus éloignées difparoîtront étant formées par les raïons qui tombent en M & en N , & il reftera celle du milieu P toute feule. Enfin fi la rétine eft placée en V û, les chandelles difpa- roîtront dans l'ordre naturel : car d'abord en élevant la fente on ne verra plus les deux plus éloignées en V &: a lefquellcs font formées par les raïons qui tombent vers les extrémités du criftallin en G & H; enfuite les deux au- tres en X & Z,&: il reftera la dernière en Y au milieu. Il lémble que les raïons qui tombent en G &: en H & qui Jiec. de l'Jcad. Tom, IX. Hhhh 6io Des differens accidens de la Vue, LXIV. s'entrecoupent au point t , avant que de rencontrer la re- h 'TfficaSr'"'' ' ^°" '1"'^^^'^ ^°'' P'^"'' en ST ou en V A , y devroient furlerenvcr-^^rmer dcs chandcllcs rcnvcrfcesrmais on trouvera qu'el- ^b""^ Z*"'" doivent paroitrc droites comme les autres , en confide- o jets ^^_*rant que leurs peintures feront renverfées fur la retine;car certe licncc. il n'arrive rien d'extraordinaire à ces raïons , fice n'cfl: le changement de côté de droit à gauche, la petite fente faifant alors l'office de l'ouverture de la prunelle. On ver- ra donc feulement à caufe du changement , que fi l'on fait avancer quelques corps obfcur fur la petite fente qui eft placée dans le milieu de l'œil , enforte que la partie vers F foit cachée, la chandelle V difparoîtra d'abord ; enfuite celle qui eft en Z Se le corps continuant à s'avancer vers A , celle du milieu s'en ira , puis celle qui eft en X &: la dernière en a. On peut juger par cette même manière de ce qui arrivera fur la rétine dans quelque endroit qu'elle puiîfe être placée. Enfin par les expériences de l'ordre dans lequel difpa- roitront les chandelles, on peut connoître en quelque fa- çon la forme des furfaces du cryftallin Se de la cornée ,• je dis en quelque façon , car il fcroit difficile de débrouiller les combinaifons des rcfradions de ces trois furfaces. Ceux à qui les raïons de la lumière pofée à une certaine diftancene fait que très-peu d'écart, ne pourroient pas voir plulieurs chandelles , quand même les furfaces des humeurs auroient des irrégularités : mais ù ils mettent au devant de l'œil , entre la fente & la cornée , un verre con- vexe ou concave , qui écarte beaucoup les raïons fur leur rétine , ils appercevront auffi-tôt la multiplicité des chan- delles ; car par ce moïen ils pourront rendre leur vûë oit myope ou presbyte .- au contraire ceux qui voïcnr naturel- lement plufieurs chandelles au travers de la fente, la chandelle étant dans une certaine diftance de l'œil, ils n'enverront plus qu'une au travers de la fente s'ils don- Première Partie. 6h nentàleurvûë par le inoïcn d'un verre convexe ou con- cave , ce qui lui eft neceflaire pour afTembler les raïons de la chandelle à peu près en un poinr fur la rétine, quoiqu'en cftcc ils aient les fuperficies des humeurs uregulieres ; car ils ne pourront appercevoir la multiplicité des chandelles qui fe confondent. J'ay ditcy-devant que la furface extérieure de la cornée & celles du cryftallin dévoient être irreguliercs pour faire l'effet que je viens d'expliquer : mais il pourroit aufli arri- ver lamêmechofe par une autre caufe , & qui eft connue de ceux qui fe font appliqués à la dillediondcs yeux. Car ils fçavent que le cryftallin eft formé de pluficurscnvelo- pes les unes lur les autres comme font les oignons , &c que dans le milieu il y a un petit noïau. Il arrivera donc fi la , nature de ces envelopes tranfparentes caufe différentes re- fradions , que le cryftallin fera les effets qucj'ay expliqués quoique fa figure extérieure foit fort régulière , ce qui eft très-facile à connoîtrc. Ce feroit icy le lieu où je devrois parler de la multipli- l^^cv. di ■ r r • I 1 Sujet de It es objets , qui le irait en les regardant au travers féconde pat- de plufieurs petits trous qui font percés dans un papier "«• ou dans une carte mince, & qui ne font pas plus éloignés les uns des autres que la grandeur de l'ouverture de la pru- nelle: mais comme ce phénomène ne dépend point delà conformation des yeux , fi ce n'cften ce que cette multi» plicationnes'apperçoitque par l'œil qui eft presbyte ou myope , l'objet étant placé à la diftance où l'œil ne fçauroic le voir diftinûement , & comme j'en tire une longue fuite de confequences pour la conformation de l'œil &: pour la mefuredefa force ou de fa foibleffe ; j'ay trouvéàpropos d'en compofer la féconde partie dcce traité. Il auroit été difficile que la membrane Iris de la manie- LXVr. re qu'elle eft difpofée dans les hommes & dans la plupart [j^"'""'^ '^^ des animaux, eût pu faire une auffi grande ôc auffi prompte Hhhhi^ éi2 Des differens accideks de là Vue , contraction &c dilatation que celle que nous apperccvon'S dans les chats : cependant cet ufage étant necefl'aireàces fortes d'animaux qui cherchent ordinairement leur nour- riture dans robfcurité de la nuit , la nature y a pourvu par une confor- mation toute particulière. L'ouver- ture de cette membrane ne paroit que comme une fente de haut en bâ5 félon la ligne AB. Les mufcles qui fervent à l'ouvrir , ne font que la ti- rer de chaque côté vers E&F; & elle peut fe fermer ou par une vertu de reffort ou par d'autres mufcles qui tirent en fens cop.r- traire des premiers vers A &: vers B. Ces fortes d'yeux ont donc un grand avantage fi les hu- meurs font bient conformées, car ils peuvent appcrcevoir les objets diftinctement dans l'obfcurité , à caufe de la grande quantité deraïons qui entrent dans l'œil ; & ils ne font point choqués par une grande lumière, puifqu'ils peuvent facilement & fubitement fermer l'ouverture de la prunelle, &: faire enfortc qu'il n'entre que peu de raïons de l'objet qui puiifent toucher la rétine. Enfin cette ouverture peut être encore diminuée & réduite à un petit trou quand les paupières viennent à fe fermer , ce qui ren- dra la vilion très-diftindfe de prèî &c de loin. Mais cette conformation de viië n'a pas été donnée aux hommes, & ceux qu'on dit avoir des yeux de chat, font ceux qui peuvent voir diftinélemcnt pendant la nuit,c'cfl:- à-dire dans une trcs-foible lumière , comme eft feulement celle des étoiles ,• car il eft certain qu'il n'y a point d'yeux qui puiflent voir dans une totale obfcurité. Ces fortes d'yeux ont l'ouverture de la prunelle fort grande , &: com- me les hommes ne peuvent pas reiferrer beaucoup cette ouverture j au moins s'ils font un peu avancés en âge, il Première Partie. 615 leur arrive qu'ils ne fçauroient fouftiic la grande lumicre comme je l'ay déjà remarqué cy-devant, parce qu'elle ébranle trop fortement la rétine , ce qui caufe de la, douleur. G'eft auffi par la même raifon que ceux qui viennent l-^vii. d' !• !_/• ^"i J 'l~. r'r Diminution un lieuoblcurouils ont demeure long-toms, ù ils rc- j, ^^^^ j^ ,3 gardent fubitement une grande lumière , ils perdent quel- vue par le quefois la vue , où ils y Tentent une très-grande diminu- S'^-''"'^ i°""- tion : car par le long fcjour qu'ils ont fait dans l'obfcurité, la prunelle étant toujours demeurée fort ouverte , la membrane Iris a perdu l'afage de pouvoir fe reflerrer , &: les raïons de lumière entrant dans l'œil en grande quan- tité , ébranlent li fortement le tiffu de la rétine, qu'ils le rom.pent à peu près de la même manière qu'ils feroient , iî a'iant paffé au travers d'un grand verre convexe ils fe raf- fembloient fur quelque corps dont la tiiTure fût fort déli- cate. A ufli c(:Viy. qui ont marché long-tems dans les neiges croient voir une blancheur qui couvre les objets colorés , comme s'ils étoient couverts d'un crefpe blanc , ce qui n'eft qu'une maladie de la rétine , qui a été trop fortemeiK ébranlée parla blancheur de la neige qui n'eft que la lu- mière refléchie fans aucun mélange. Il arrive quelquefois par mie maladie particulière de lxviii. l'œil , que l'ouverture de la prunelle fe dilate extraordi-^^''-^^^""" . ■*„,,, , , T • exïraordinni- nairement,& quelle occupe toute la membrane Iris,cercdc lapts* qui peut arriver , ou parce que cette membrane perd en- n='l=' tiercment le reflort qui la tient étendue , ou parce que le mufclequi la reft'erre eft entièrement relâché, &: n'agit plus contre celui qui l'ouvre , ou enfin parce que le mufcle x^ui la dilate ne peut plus fe relâcher ; d'où il arrive que ceux qui ont cette maladie ne fçauroient fouffirir la lu- mière , d'autant qu'elle fliit une trop grande imprcinon fur le tiffu de la rétine comme je l'ay remarqué cf-devant , & c'eft peut-être pour cette raifon qu- Ariftote a dit qu'ils : Hhhh iij 6i4 Des differens accidens de la Vue, voient les objcrs plus grands qu'ils ne les voïoient aupa- ravant , à caufc que la grande lumière ébranle plus de par- tics de la rétine que ne fait une médiocre. C'cfl: aulTi pour la même raifon qu'une petite chandelle paroit la nuit dans une très-grande diftance. Mais cette grande augmenta- tion d'image ne peut être que pour quelques petits objets lumineux, comme une chandelle vue dans unediftance de jo toifes environ: encore faut-il fuppofcr que l'œil eft parfait pour voir diftindement la chandelle dans cette diftancc ; car aurrcmcnc ce ne feroit plus l'augmentation de l'objet , mais feulement l'image de l'ouverture de la prunelle; ce que j'ay expliqué cy-devant. LXix. Il arrive quelquefois qu'on voit les objets doubles en les qu'on°vô'if regardant avec les deux yeux , ôc que quelque effort qu'on doubles. puiffe faire pour diriger l'axe des yeux vers le mcme en- droit qu'on regarde , on ne fçauroit les voir llmples. Cet accident furprcnd ceux à qui il arrive , mais il n'cftpas confidcrable, &il ne dure pour l'ordinaire que peu de jours; car il n'eft caufc que par quelque fluclion qui fc jette fur l'un des mufcles de l'œil qui l'empêche de fc mouvoir comme il a accoutume ; ce qui fait à peu près le même ef- fet, que fi l'on contraignoit l'un des yeux en appuïanc fortementledoigt fur l'un de fcs angles. Mais quand ce mufcle demeureroit toujours immobile , cette apparence ne lailferoit pas de fc dilfipcrpromptement ; car l'œil qui eft fains'accommoderoit en peu de tems à l'infirmité de l'autre , & l'habitude feroit bien-tôt fur la rétine de nou- velles parties de même fenfation , comme il arriveroit fi l'on tenoit pendant quelques jours deux doigts croifcs l'un fur l'autre , car alors les corps qu'on toucheroit ne paroî- troient plus doubles comme ils faifbient d'abord. Scsapparcn- Les images du folcil différemment colorées qu'on voie ces colorées Je tous côtés aptès l'avoir regarde , ne viennent que d'un ,dcsimas;esdu r- mi i -ii ■ n {o!ci!. tî^op tort: ébranlement des parties delà retinc : cari en- Première Partie. P*^"^ "ire toutcs Ics expcrienccs des autres yeux verres pourpar le moïen dcs vcrrcs de différentes convexités &: con- chai"iue Tûc.*"^,^^^'-"' ^^"^ ^"^ obligé dc s'en rapporter à d'autres pour faire une juftecomparaifon des différentes fortes de vues. Cette méthode peut fervir encore à déterminer affure- ment, quelle doit être la convexité ou la concavité dn verre , dont une vue doit fc fervir pour voir diftinélemcnc un objet fans forcer la nature ; j'entens à une diftance mé-f diocre , comme d'un pied & demi pour y lire de.petits ca- raéteres : car fi l'on prend un verre plus fort qu'il n'cft ne- celTaire pour cet effet , on fera obligé d'approcher l'écri-. turc plus près de l'œil pour la voir dillinétemcnt. On connoîtra auffi par-là fi le deffiut de la vûë vient de la conformation de l'œil ou du vice de fes parties. Par exemple , û la rétine d'un œil n'cft pas fort délicate &: que l'ouverture de la prunelle foit fort petite, il eft certain, comme je l'ay remarqué dans la première partie de ce trai- te^ quecet œil ne verra les objets que confufément dans un jour médiocre , quoique d'ailleurs il foit bien confor- mé pour en faire concourir les raïons fur fa rétine dans la diftance où les objets font placés. IX, Voïons maintenant s'il fe peut faire que le globe de Demonftra- l'œil oulecryftallin change de conformation, pour voir poffibilué duftaiim. Ainfi l'œil qui eft attentif à confidcrcr un objet éloigné Seconde Partie. ^z5> d'un pied & demi, s'il a la conformation neceflairc pour le voir diftindement , il n'atira pas celle qu'il faut pour en voir un à lix pieds. Mais s'il a la conformation nccciraire pour voir l'objet à un pied Se demi de diflance , on en fera affuré en mettant au devant de l'œil une carte percée de deux trous ; car l'objet paroîtra toujours fimplc. Mainte- nant que ce même œil s'applique à confiderer un ol^jctà fix pieds de diftancc , &: comme il y eft fort attentif , &; qu'ildoit avoir pris la conformation qui convient à cette diftance, qu'il le regarde au travers des trous de la carte,, il doit le voir fimplc dans cette hypothcfc, comme il le voioit à un pied & demi , cependant l'expérience montre le contraire , car il le voit double. Cet œil n'a donc pay pris la conformation qu'il faut pour voir cet objet à fix pieds de diftance , quoiqu'il l'eut pour un pied &: demi. Ec s'il ne l'a pas pour fix pieds , il ne l'a pas pour toute autre diftance au deftlis , les raïons qui entrent dans l'œil ctanc comme parallèles entr'cux dans ces diftances". Mais changeons d'expérience &c appliquons à cet œil' qui ne peut pas prendre la conformation ncceflaire pour voir un objet à fix pieds, un verre qui puilTe lui donner ce qui lui manque, enforte qu'il voie diftinctement l'objet fimplc au travers des trous de la carte. Il eft certain s'il coniidere cet objet avec le verre fans l'interpoiition de la carte, qu'il le verra bien plus diftindement qu'il nç le Toïoit à la vûë fimple , quoiqu'il crût lui avoir donné la conformation propre pour cet effet , en obfervant de met- tre toujours le verre à même diftancc de l'œil dans toutes les expériences ; car autrement l'ouverture de la prunelle demeurant toujours la même, les raions qui cntrcroient dans l'œil après avoir pafle au travers des verres placés à différentes diftances , feroienc plus ou moins convergens ou divergens. Mais qu'enfin cet œil regarde avec le même vcrrcl'objet à un pied &: demi de diftance, &quil chaneer Kkkkiij, 6^0 Des ditfkrens accidens du la Vue > fa conformation pour le voir diftindcmcnt , & quand il y fera attentif s'il intcrpofc la carte en laillant toujours le verre , elle lui fera connoitre qu'il voit l'objet double. La même chofearrivera encore fi l'œilquiconfidcrc à nudun objctàfix pieds , & qui le voit fimplc au travers des trous de lacarte , vient enfuitc à confiderer celui qui n'eft qu'à un pied &: demi,- car il le verra double. Et s'il prend un verre pour voir cet objet fimple à un pied &: demi , il le verra double à hx pieds avec le même verre. Ce que je dis de fix pieds &: d'un pied Se demi , fera de même des autres diftances ou plus petites ou plus grandes. On ne peut pas dire que l'interpolition de la carte apporte du changement à cette expérience , puifque tout ce qui pourroit déterminer l'œil à quelque changement , ne pourroit venir que du manque de connoiiîance de la di- stance , dont on juge toujours de même, foit qu'on regarde l'objet à la vûë fimple ou au travers d'un ou de plulieurs petits trous. Il n'eft donc pas vrai que l'œil ou le cryftallin changede conformationpour voir des objets.à différentes diftances. On ne doit pas juger de ce que j'avance icy fur quelques expériences particulières : car il fe rencontrera des vues tellement difpofées qu'elles ne pourront pas faire celles dont je me fers, ou qu'elles les feront fi imparfaitement, .qu'on auroit lieu de douter de la vérité , & qu'on pourroit en tirer des confcquences tout à-fait contraires aux loix de l'Optique. Car fi le cryftallin étoit obliquement pofé par rapport àl'axedela vilion , ou qu'il fut d'une figure tout-à-fait irrcguliere ,ou que la rétine n'eût pas toute la delicateffcneceft"aire pour une vifion diftinde , ou que les humeurs fuffenc troubles , on fera toiijours fort mal les expériences que je propofe. Mais il fera facile de recon^; .noître ledeffautde ces yeux ,& ce qui fait que les cxpe- ,riences communes ne leur rcuiriflent pas , en les cxami» Seconde Partie. doivent être que des matières terreftres , car la chaux du mortier détruiroit les autres en peu de tems. On voit en- core a. prefcntàRome quelqu'uns de ces ouvrages faits fur des murs au tems des anciens Romains , &c qui fefont bien confervés , quoiqu'ils fulïentenfevelis dans des ruines de bâcimcns &c lous terre. Enfuite on fit une autre cfpecc de peinture avec de pe- tites pierres & cailloux de différentes couleurs qu'on ap- pliquoic les uns contre les autres fur un enduit de mortier frais &dans toutes leurs iiuances pour imiter la nature , & au deffaut des pierres naturelles pour certaines couleuts on s'en fcrvoit d'artificielles faites au feu. Cet ouvrage s'appelle is^f Mo/lt/'^ue , & les Anciens l'appelloient <>/'«j-, MitJtvHm ; il eft facile à juger qu'il doit être d'une aulTî longue durée que les murs fur Icfquels il eft £iit , aulfi en voit-on encore à Rome de fort anciens , quoi qu'expofés à l'air ,& toutes les voûtes de l'Eglife de Saint Pierre de cette Ville là font peintes de cette manière. Mais il y a environ 300. ans qu'on inventa une autre manière de peindre, qu'on appelle à huile , parce que tou- tes les couleurs y font détrempées avec l'huile de noix ou de lin, qui font feccatives de leur nature. Cette forte de peinture eft fort en ufagc à prcfent , & a pluficurs avanta- ges fur les précédentes , par la force & la vivacité de quel- ques couleurs qui lui font particulières , mais fur tout par la délicatefle & l'union des teintes différentes. On pei- gnoitd'abordà huile fur des planches de bois préparées pour cet effet , & avec toutes fortes de terres colorées , &: même avec des minéraux &: des métaux calcinés qui fe peuvent détremper & incorporer avec l'huile ; mais les teintures ni peuvent pas fervir fans une préparation parti- culière. Un des principaux avantages de cette peinture eft de refifter à l'humidité quand elle eft feche ,& parcon- fequeatelle peut durer fort long-tems , mais les couleurs ^40 Traite' de la Prat i q^u e fc tei-nifTcnt peu à peu &: deviennent tort ohieurcs , &r même les clairs , au contraire des précédentes, dont les clairs font très-vifs ôcbrillans , &c qui ne changent poinc parletems. L'éclat ou luiTantde cette peinture eft encore un defavantage confiderable, en ce qu'elle ne paroît point quand elle n'ert pas expoiéc à un ]our de biais. On peint prefentement à l'huile prefque toujours fur des toiles oul'ur des écofcs imprimées avec des couleurs à huile , &c quelques fois fur des murs enduits de plâtre , à caufcque l'huile y pénètre, ce qu'elle ne fait pas fur des enduits de mortier. On poutroit pourtant fiirc un enduit d'une compoiition ou maftic de refmc &: beaucoup de brique piléc , qui étant appliqué à chaud fur un gros en- duit de mortier ordinaire, pourroit recevoir les couleurs à huile en s'mcorporant dans les parties de la brique. Cette incruftation dureroit bien plus long-tems que le plâtre, qui ne peut pas fubfiftcr dans les hcux humides. Enfin la peinture à huile ne convient pas fur la plupart des murs , ni dans les voûtes où le jour ne lui eft pas avan- tageux ,à caufe qu'elle reluit & qu'elle pert la plus grande partie de fon avantage par ce brillant. La Miniature eft une efpece de peinture à détrempe fur du vclin ou fur du papier blanc , où l'on referve le blanc du fond pour les clairs des couleurs. La peinture fur le verre , qu'on appelle à'apref} , fe fait avec des couleurs particulières qu'on appUque fur le verre blanc & tranfparcnt , lefqucllcs étant recuittcs au feu , le fondent & s'incorporent dans le verre. Cette peinture itoitfort en ufage autrefois, & principalement pour les grands vitraux des Eglifes , où Ton cmploïoit pour des .couleurs vives & fortes des verres colorés dans le four- neau , fur lefquels on y mettoit des ombres pour leur don- jier le relief. Lapeiriture fur des métaux &: poteries de terre, qu'on appelle BelaPfinttjrh. é^î appelle d'Email, fe fait avec des émaux de difFerentes couleurs , 8c qu'on fait enfuite recuire au feu en les fon- dant , ce qui fait une efpece de verre. Toutes les peintures avec des laines &c des foies , qu'on appelle ordinairement Broderie ou Tapiifcrie travaillées à l'aiguille ou au métier, font de différentes cfpcces; la Broderie fe fait à l'aiguille fur un fond de quelque étofe , la Hante-Li[fc ^ la B.if/i-LiJfc , ô" de Leva/a , comme les Velours, fe font fur une chaîne comme les étofcs ordi- naires. Mais la Haute-Liffe ne diffère de la Bafle-Liffc qu'en fa manière de travailler. On a fait encore une autre efpece de Peintures ou Ta- pilTerie fur des étofes de foie blanche ou fur des toiles de coton blanc ,eny emploïant feulement des teintures qui penetroientces étofes. Onaeffaïé cnfindefaire des peintures fur du marbre blanc avec des teintures particulières &: propres à le pé- nétrer. Il y a en gênerai de deux fortes de peintures, les unes font de blanc &c noir, &: reprefcntent des bas reliefs de marbre ou de pierre blanche , &c fans aucune couleurs , ce que les Italiens appellent chiaro ofciiro -, les autres font d'une ou de deux couleurs fur des fonds de couleur ou do- rés , qu'on appelle Camay eux ^ & qui reprefentencauffi des bas-reliefs fur des agates, ou enfin de ces fortes de bas- reliefs ^Agates ou de Lapis Laz^uit fur des fonds d'or. Les autres fortes de peintures font les tableaux ordinaires qui nous reprefentent les ob;ets de la même manière qu'ils nous paroiffent, avec toutes leurs couleurs claires & ob- fcures , & tout ce qui les accompagne. Je ne mets pas au rang des peintures celle des eftampes au images colorées , qu'on appelle ordinairement Enlu- ninwes, parce que ces fortes de peintures n'ont rien de confidcrable que l'éclat de leurs couleurs , qui font des £.ec. de i'Acad. Tom. IX. Mmmm 6^2. Traite' de la PRATici.VE teintures pour la plupart qu'on applique fur le papier de l'cftampe, qui a été cncolé avec la cole claire & blanche Se un peu d'eau d'alun ; on avoir aulli inventé une autre ma- nière d'enluminer les eftampes, en les frottant auparavant avec unvernix de rercbcntine qui s'incorporoit dans le papier &: le rcndoit fort tranfparent , &c lorfqu'il étoit fec on peignoit toutes les parties de l'eftampe avec des cou- leurs à huile convenable à chaque objet ; ccî couleurs avoient du corps , & les ombres & railles de l'eftampe achevoient de donner la perfecbion à l'ouvrage , car les couleurs Se l'imprcfllon de l'eftampe croient à l'envers , &: n'étoientpasexpofésàla vûër mais la mode de cette ef- pecc d'enluminure s'eft bien-tôt pafîee , carie vcrnix fen- toit fort mauvais pendant un tems confidcrable, Se ren- doit le papier fort jaune , Se même gâtoit les couleurs. Quelques curieux qui croient fort patiens s'étoicnt avi- lèsde faire des eftampes colorées d'une manière fortin- duftrieufe; ils prenoienr une cftampe d'un papier fort,, laquelle reprefentoit une hiftoire avec des figures de mé- diocre grandeur , Se ils coloient fur toutes l'eftampe de petits morceaux de fatin, fuivanr les couleurs des carna- tions Se des draperies qu'ils imaginoient ; &: tout étant {ce ils humecVoicnt légèrement le tout avec un peu d'eau fort nette , Se ils la faifoient rimprimer fur la planche, en ob- fcrvant de placer le papier exactement dans la même pla- ce où il étoit quand on l'avoit tirée d'abord. Alors toutes les tailles delà gravures marquoient au net les contours Se le delfein , Se donnoient les ombres à leur place , & la planche rendoit le tout fort uni. J''ay vûquelqu'unes de ces eftampes fort propres , mais pour les confcrvcr il faut les couvrir d'une glace. Il y a eu des Peintres qui fe font avifés de peindre à huile fur des glaces de miroir qui n'étoient pas éramécs,maisde telle manière que la peinture devoit feulement fe voir au "DE lA Peinture. 64 ^, travers de la glace , c'eft à-dire du côté où n'étoit pas la couleur ; on n'a gucres fait que des fleurs de cette efpcce de travail. Il cft facile a. juger que le Peintre ne voit pref- quc pas ce qu'il fiit : car il n'y a que la partie de la couleur qui touche la glace qui doive paroître, & il faut peindre tout au premier coup & fans retoucher, car les couleurs qu'on auroit couchées fur d'autres déjà feches ne pour- roient pas s'appercevoir , à moins que celles de deffous n'eufTent pas eu affés de corps pour couvrir d'abord , &c que celles qu'on y auroit appliquées enfuitc ne les eufl'ent rendues plus épaiflcs Se leur euffent donné leur véritable couleur. La dernière touche de cet ouvrage n'étant qu'une couleur égale & toute unie dont on couvroit tout le ta- bleau, & quifert feulement de fond aux endroits qui ne font pas peints. La glace fait aufli le vcrnix de ces fortes de tableaux , dont les couleurs peuvent fe conferver fort long-tcms, n'étant jamais altérées par l'attouchement de l'air, &; toutes les couleurs paroilîoient fort fines &: fort propres étant appliquées contre le poli de la glace. On a encore fait quelque tableaux à huile d'une autre manière. On peint fur une toile ou fur du bois quelque grand objet & au premier coup, en y mettant beaucoup de couleur fort épaiffc &: un peu graffe ; &: aufli-tôt que l'ouvrage eft achevé , qui ne doit pas durer l'efpace d'un jour , car il faut que toutes les couleurs foient encore fraî- ches quand on a achevé , on met dans un tamis de la foie blanche coupée fort courte , & on la faife légèrement fur tout le tableau ou fur une partie feulement, en couvrant de quelque morceau de papier mouillé la partie où l'on ne veut pas que la foie s'attache. On lailfc enfuite bien fe- cher le tableau , & quand il cft fcc on l'cpoufte légèrement avec une brolfe douce qui emporte toute la foie qui ne s'eft pas attachée à la couleur. On cole enfin fur le tableau, au bord où fc termine la foie, une petite dentelle d'or ou Mmramij ^44 Traite' de la P r a t i qjj e d'argent ou de foie, qui fer c à furprcndre mieux la vûë, car on a peine à fe perfuadcr que ce ne foie un crêpe de foie qui couvre le tableau , lequel paroîc encore fore diftindtc- ment au travers de la foie. Enfin la dernière de toutes les peintures , & qui ne peut tenir rang tout au plus qu'au dcflous de l'enlumi- nure , cil le patronage : on en connoîtra le mérite par l'u- fage ordinaire qu'on en fait, puifque toutes les cartes à jouer font peintes de cette manière. Les patrons font faits pour l'ordmairede papier fin &: uni qu'on imbibe de cire fondue fur le feu, &:enfuiteon découpe ou on ouvretou- tes les places ou figures que la couleur doit avoir ; & le patron étant appliqué fur le fond, foit papier ou mur , on frote légèrement &: fcchement tout le patron avec uns groflebrofTedcpoil de cochon, & platte par IcdefTous , dont les barbes font coupées afin que le poil foit plus fer- me ; &: l'on prend peu de couleur à la fois , de peur qu'elle ne pafTe fur le fond par dcfTous les bords des ouvertures du patron. Les couleurs peuvent être à détrempe ou à huile, fuivant la nature de l'ouvrasie. C'eftaulfi de cette manière de travail qu'on a écrit de grands livres d'fglifc avec des patrons de chaque lettre qu'on range fur une régie les unes à côté des autres , & les unes après les autres pour l'ordinaire : mais les patrons de ces lettres font faits de lames de leton, tout-au-moins aufli minces que du papier fin. L'encre dont on fe fcrtcft imecfpcce d'encre de la Chine qui feche fort prompte- mcnt : mais il faut bien prendre garde qu'en relevant le patron , la couleur qui cft un peu plus épaiffe autour du bord des ouvertures, ne barbouille le papier ou le par- chemin. On fait encore par le moïen d'un patronage une efpece de tapilTcrie qui rcprefente du velours ovi du damas à grandes fleurs ôcfcuillagesfur un fondd'oroudedilFercntc DE LA Peinture. ^4y couleur que les fleurs. On les faic fur des cuirs dorés ou argentés , & cnluite vernis en couleur d'or ou fur des toi- les ou des érofcs blanches ou teintes de quelque couleur claire. Ces cuirs font minces & fermes & par feuilles de deux pieds environ en quarré , &c les étofes font par bandes à peu près de même largeur. On tend d'abord le cuir ou l'étofe fur de grandes tables, & on encolelatoile ou l'étofe avec une cole blanche dc claire faite avec du cuir blanc ou de la raclure de parche- min , comme celle dont on fe fert pour la peinture à dé- trempe : mais pour les cuirs il n'eft pas befoin de les enco- 1er , puifqu'ils font dorés auparavant. Enfuite le cuir ou l'étofe étant couchés à plat , on y pofe dcffiis le patron tout découpé fuivant la figure des feuillages & des fleurs qu'on veut reprefenter, & l'on frotte par deflus le patron une cole forte fondue médiocrement épailTe, dans laquelle on a mêlé un tant foit peu de miel. On fe fert pour cela de groffes broffcs plattes par deflous & affés fermes pour cou- cher la cole forte. Etaïant auffi-tôt relevé le patron, on feeouë un tamis fur le cuir ou fur l'étofe dans lequel il y a de latonturede laine de la couleur dont on veut faire les fleurs, &c quand il y en a une épailîcur fuffifante, on y étend un papier fur lequel on bat avec un gros tampon de linge ou d'étofe Se bien uni par deflous. Il faut que ce tam- pon foit un peut chaud , car fi la cole étoit froide & figée ou embue, la laine ne pourroit pas s'y attacher. Enfin quand la cole eft bien fecjie on frotte tout l'ouvrage avec des broflcs médiocrement rudes pour ôter toute la laine qui ne s'efl: pas attachée fur la cole. Si l'on vouloity met- tre une autre couleur , on auroit un autre patron , & l'on feroitdemêmequepourleprernier, en l'appliquant par' deflîis ce qui eft déjà fait. On ne fe fert gueres que de deux fortes de couleurs dans cet ouv rage, qui font le verd&: le rouge 3 ou féparemenc j> ou jointes enfcmblc» Mmxnmiij ^^S Traite' delaPratic>_^ue Je ne parlerai point icy des ouvrages de Marqueterie tant en pierre qu'en bois , dans lefqucls on rcprefcnte or- dinairement des fleurs èc des oifeaux avec différences pièces de ces matières , colées ou maftiquccs les unes à côté des autres fur un fond convenable , car quoiqu'ils reprefcntent la nature , ce n'eft pas proprement une pein- ture, &;deplusc'el1: un art particulier qui neconfiftcque dans le deffein &c dans le choix des pièces colorées qu'on y emploie. De l.i Pratique du Bejfeln. TO u T E Peinture ou Tableau doit commenccr-par le dcflcin, qui eft le contour &: la poficion de tous les objets qu'on veut rcprcfentcr. Mais comme tous ces objets ont des corps dont il faut faire la figure ou l'image fur une furface plate qui eft le tableau, l'œil du Ipeclatcur aiant func pofition fixe hors du tableau par rapport à tous les ob- jets qui font pofés derrière , on doit conlidcrcr le tableau comme une glace de miroir tranfparcnte, au travers de laquelle on voittous les objets, &: que de tous les points & lignes des objets les ra'ions qui viennent à l'œil , laiifenc une impreffion fur cette glace , enforte que le tableau doit être tel que fi tous les objets qui font derrière la glace croient ôtcs, leur image tracée &; peinte fur la glace fc- roit le même eftet à la vue que les objets naturels. C'eft-là la véritable idée qu'on doit avoir d'un tableau ; &: la per- fpcclive nous donne des règles certaines pour déterminer la pofition des objets qu'on veut reprefenter. Nous n'entreprenons pas ici d'eiifeigner la perfpedive, quoiqu'elle foit le fondement de la peinture ; car fans les règles qu'elle donne, qui font toutes géométriques, un tableau ne fçauroit jamais faire parfaitement fon elfet,car iious expliquons feulement la pratique du DeiTein- CE LA Peinture. (^4-f Le defTein fur le papier fe fait d'abord avec êes craïons de charbon léger , comme fufin ou bois blanc , qu'on peut effacer facilement en frottant légèrement avec un linge blanc &: fec. Les premières idées du fujet qu'on veut re- prefenter , &: qui font jettées d'abord fur le papier s'ap- pellent Elquiifcs du mot Italien Schizz^p , èc on appelle auffi cette manière de defincr Efqiiijfer , & eux Schiz,zare, qui veut dire cclaboufTcr , parce qu'ils fc fervent de ce terme pour les tableaux dont les couleurs ne font que commejettées au hazard fur la toile en petit, pour voir à peu près l'effet du tableau quand il fera exécute en gi''ind. Cette efquiffe légère étant faite & arrêtée dans fa pla- ce , on trace par deffus le deffcin au net avec quelque craïon plus ferme, comme pierre noire oufanguine, ou mêmeàl'encre ordinaire avec la plume, &onpaffc par deffus une mie de pain écrafêe,cn frortant légèrement pour emporter tout l'efquiffe. Le deffcin pour la détrcm-- pe,quilef;itfurdc3 toiles ou fardes mursdontle fond tire fur le blanc, fe fait de même ; mais pour la peinture à- huile fur des toiles ou fur des murs dont le fond eft brun , on fefert d'un craïon blanc fait de quelques pierres blan- ches & tendres, qu'on peut effacer facilement avec un linge ou une éponge un pcahumeétée d'eau. Ces craïons blancs font ordinairement de la craie com- me celle de Champagne ou du Tripoli en pierre,ou enfin quelque terre graffe & blanchâtre , comme il s'en trouve enplufieurs lieux , & principalement au deffus des bancs de pierre déplâtre; &: cette efpecc de craie, qui tire un peu fur un vert jaune, cft excellente pour dcfmcr de petits ouvrages fur la toile , en ce qu'elle ell très fine & qu'elle a affésdefermeté , ce que n'a pas la craie de Champagne, qui eft ordinairement trop tendre ou picrrcufe. On fait auffi des craïons blancs avec une efpece de pâte , dont le ■^48 Traite' de la Pratiq^ttè corps principal eft de bon plâtre noie dans l'eau & bien broïéavec l'eau fur le marbre, auquel on ajoute un peu de blanc d'Efpagnc ou de Rouen, qui n'efl: qu'une terre blanche ou marne fort tendre, S>C cette pâte étant à demi fechée fur un carreau de terre cuite bien net, on la peut rouler par petits craions déliés, & lorfqu'ils font bien Iccs on s'en peut fervir au lieu de ceux dont nous avons parlé cy-devant. Pour les ouvrages à frefquc , comme on ne peut pas de- fmer fur le mortier frais & y faire des changcmens au dcf- fein , on en fait au moins le trait de la même grandeur que l'ouvrage fur du papier avec du charbon ou de la pierre noire tendre , &: lorfqu'il eft arrêté on applique le papier contre l'enduit &: on l'y f^/^/ze". Cette manière dcdcfmer ou tranfporter un defîein d'un endroit dans un autre, qu'on appelle c^/^«cr, eft de contourner tout le dcflcin fait fur le papier avec quelque pointe ferme & un peu moufte pour ne pas l'écorcher ; & par ce mo'ien le trait ou deflcin qui étoit fur le papier s'unprime fur l'enduit de mortier frais. Owcdlqne auflidemême un deflcin fliir fur du papier fur un autre papier ou fur une toile ; mais il finit frotter le derrière du papier du deflcin de pierre noire , fi le deflcin qu'on veut faire doit être fur du papier blanc , mais fi c'eft fur du papier brun ou fur une toile brune , il faut le frotter avec de la craie ScreiTuicr médiocrement, & quand on a calqué on met le trait du deflcin au net , après quoi on ef- face le calque, en frottant par dclfus le tout une mie de pain;mais principalement fi l'on veut defllner à la fangui- nc,&: que le calque foit fait avec la pierre noire. On ne fait pas de calque à la fanguine, quand même on voudroit dcf. fmer avec la fanguine,parceque la fanguine pourroitmacu- 1er le papier blanc, & comme elle eft d'une nature graflcon ne peut l'effacer qu'imparfaitement avec la mie de pain. On DE LA PeiNTURT, fr un delTein qui eft fait fur un papier aflés mince pour en pouvoir diftingucr les con- tours au travers du papier quand il eftexpofé au jour , on applique l'autre papier fur lequel on veut defiiner fur le dclfein original , & dans la place où on le veut tracer ; ou arrête les deux papiers enfemble par les bords avec quel- ques perites/'/>/f f j- de bois , qui ne font que de petits mor- ceaux de bois à demi fendus, qui ferrant dans leur fente les bords des deux papiers , enforrc qu'ils ne fçauroient gliiïer l'un contre l'autre. Enfuitc on les pofe tous deux enfemble contre les vitres d'une chambre , ou contre une glace expofée au jour , ou bien appliquée fur une table qui a une ouverture un peu plus petite que la grandeur de la glace , & l'on met une bougie allumée au dcflous de la ta- ble. Et d'une manière ou d'autre , en ferrant un peu les deux papiers l'un contre l'autre , on voit au travers tout le dcflein de celui de dcflous , lequel on trace en contour- nant tous les traits far le papier de deflus avec uncraïon de fufin ou de charbon , ou bien de mine de plomb ; & tout le contour étant fait on le met au net, &: l'on efflice cnfuite le premier en frottant légèrement avec un linge ou avec un peu de mie de pain. Cette manière a encore cette commodité, qu'on peut tracer le deflcin à l'envers de l'original, car il n'y a qu'à pofer le dcflein original en fcns contraire contre le papier blanc. C'eft de cette manière que les graveurs peuvent prendre un deflein pour le calquer enfuite fur leur plan- che, dont l'impreflion doit venir dumêmefensquel'ori- D E L A P E I N T U R Eo ' î8 Traite' DE LA Praticl,U£ lignes , &: perpendiculairement fur le cylindre. Tout pro- che & à côte de ce manche on fait une petite ouverture à ce cylindre par où on l'emplit d'c»ere ordinaire à écrire &; qui foit bien coulante. Cet encre fe communique auih- tôt àtouslcs tire-lignes, & le trou fert encore à donner vent à la bocte ;i mcllirc que l'encre en fort. On applique le bout du cylindre contre une régie qu'on tient ferme au bord d'embas du papier , Se en. conduifant ce tire-ligne compofé au long de cette régie, tous les tire-lignes mar- quent les régJes fur la demie feuille ou fur la feuille en- tière étendue fur une table , mais àdeux rcprifcs pour cha- que demie feuille. Il n'y a pas plus de difficulté à tracer toutes ces régies à la fois avec cet inftrumcnt, qu'à tirer une Icule ligne avec un fcul tire-ligne. Nous n'avons parlé jufqu'icy que du trait ou du con- tour du dcfTcin : mais comme on y met ordinairement des ombres &c des clairs pour leur donner du relief quand on les finit fur le papier , il faut en expliquer la manière. Ily atrois principales manières de finir undeficin. La première cft en hachant avec le craïon comme font les - eftampcs. La féconde en eflompant ou frottant lecraion? fur le papier ;& la troiliémc en lavant avec le pinceau. On peut fe lervir de ces trois manières différentes fur du pa- - pier blanc ou fur du papier teint de quelque couleur ob- fcure , comme gris ou bleu. Si l'on haches toutes les ombres avec le craïon fur le papier blanc, il faut être fort propre & bien ménager le fond du papier qui doit fervir pour les clairs ; & bien plus en fc fer vaut de fanguine que de pierre noire; car on ne peut pas eftacer la fanguine avec la mie de pain fans faire des taches. Ce n'eft pas tcut-à-fait de même fi le papier cft . brunjcar la couleur du papier doit fervir de demi-teinte, & l'on rehauiïc tous les jours avec le craïon blanc , de craie ou de paftcl blanc. DE LA Peinture. ë^^ On ne finit pas ordinairement un deflein en le hachant avec la plume comme font Icscftampcs, fi ce n'eft quel- ques pa'ifages, comme on en voit plufieurs defllnés de cette manière par les plus grands maîtres. Les dclTeins hachcsà la fanguine fiir Icpapier blancont une grande incommodité , car on n'ofi:roit les frotter tant foit peu fans qu'il y paroifTe une tache jaunâtre, &même ils fe gâtent alfcs fouvent dans un porte-feuille pour peu qu'on les manie & en touchant contre un autre papier , à moins qu'il ne foit bien liffé. On peut remédier en quel- que façon à cet inconvénient, fi aufli-tôt que le dclTcin cft fini on mouille le derrière du papier avec de l'eau claire, & lorfque le papier eft médiocrement humedc , on en met un autre auilî bien humeélé fur le dclTein , & qu'on, les fade paffer enfemble fous la preffe des imprimeurs en taille douce: car par ce moïen on colc la fmguine contre le papier , Se l'on ôte toutes les petites parties de la pierre qui étoient fur les grains du papier , cnfortequeledeflein n'eft prefque plus fujet à s'effacer. De plus on a une contre- épreuve du deflein fur l'autre papier , laquelle a encore •affés de force Se eft fort tendre , car les hachures délicates des demi-teintes font bien moins dures que danslcdef- fein. On ne peut pas faire k même chofe d un deflein ha- ché à la pierre noire , car elle n'eft pas grafTe comme la fanguine , qui cft une efpecc de bole. Pour la féconde manière qui fc fait en eftomfant , ce qui n'eft que frotter Sc adoucir ce qu'on a defliné d'abord en hachant ; fi le papier cft blanc, toutes les demi-teintes fc font feulement avec l'cftompc en frottant légèrement, car elle eft toujours afles remplie de cra'ion pour faire ces tein- tes les plus délicates , & on doit ménager le blanc du pa- pier pour les clairs. On eftompe avec la fanguine comme avec la pierre noire fur le papier blanc Si gris : mais la fan- guine eftomf>ée n'eft pas fi agréable à la vCië que la pierre Oooo ij 66o Traite' de la Prat. iq^^ue noire. Si le papier cft gris on rcliaufTc avec le blanc de craie, mais il ne peut pas s'eftomper. On donne enfin de la force dans les plus grandes ombres , mais fans eftompcc ou fort peu. Les Eftompes dont on fe fcrt font faites de plufieurs ma- nières ; mais les plus ordinaires fc font avec un morceau de papier demi brouillard & affés épais qu'on déchire en ligne droite , &; on le roule fort ferré entre les doigts de la grolVeur qu'on veut pour enfaircun cfpcccdecraion. On. le déchire afin que le bour du petit rouleau dontonfeferc foit mouffe &: ait comme du poil. On peut faire auffi des eftompes en fourrant dans un tuïau de plume un petit tam- pon de coton ou de linge doux que l'on fait fortir un peu par le bout le plus menu de la plume. Mais pour les grands delTeins on fe fert d'un petit paquet de linge doux & ferré médiocrement. Dans les grands dcffeins eftompes on le fcrt ordinairement de pierre noire , &: rarement de fan- guine. On pourroit conjcâiurer que le mot d'£/tf w/f vient de celui êiEtoupe , car le bout des eftompes eft à peu prc s fait comme un petit paquet d'étoupes, qui pourroit fervirau lieud'cftompe. Il y en a qui donnent de la force à leurs defleins faits à la fanguine avec un peu de pierre noire , ,fur tout s'ils n'ont pas de fanguine brune. 11 y en a auffi qui font les chairs à la fanguine , & les draperies avec la pierre noire , pour leur donner plus d'agrément par la diverfité dcs.deux- coulcurs. Pour ce qui eft du Lavis , c'eft une cfpece de peinture qui fc fait avec l'eau & quelque teinture , &: qui fc couche, avec le pinceau. Lorfque le tout eft arrêté fur le papier- blanc ou fur un papier légèrement teint & qui ne boit point , foit avec le fufin ou à la mine de plomb , on le re- paffe à la plume avec un peu d'encre de la Chine de DE LA Peinture. ^^i médiocre force ; & quand ce.^ trait cft foc on couche les teintes foibles de lavis avec un pinceau, en adoucifTanc toutes les parties qui le demandent avec un autre pinceau net Se un peu mouillé. Et quand la première couche cft feche , on en redonne une autre plus forte en faifantde même, &: enfin une troiiicme S>c quatrième s'ileftnc- cefTaire, Si on lave fur le papier teint on pourra rehaufler de blanc les parties les plus éclairées , en fe fervant d'un pin- ceau ; mais pour l'ordinaire on couche le blanc en hachant avec la pointe d'un pinceau délié , ce blanc peut être de la craie ou du blanc d'Efpagne détrempé avec un peu d'eau de gomme arabique , & l'on y mêle un peu de blanc de ce- rule ou de plomb pour lui donner du corps : mais il ne faut pas fe fervir de blanc de plomb tout pur, car il noircie fort vite , quand même il fcroit enfermé dans un porte- feuille. i La plupart des Peintres ne fe fervent pas d'encre de \x Chine pour laver , car comme elle eft d'un noir qui rire far le bleu, ils eftiment cette couleur trop dure à la vue,, ils y mêlent au moins la moite de Biftre , qui eft une tein- ture qu'on tire de la fuie de cheminée, en la laiifant trcm^ per quelque tems dans de l'eau & la paifanc au travers d'un, linge , &: les teintes les plus brunes ils les font avec le biftre tout pur quand ils s'eft un peu épaifli en fcchant , ce qui donne un œil beaucoup plus tendre à l'ouvrage. Il y a encore des peintres qui aïant fini tout leur delfein avec la pierre noire fur. le papier blanc ou teint, en ha- chant les ombres ,pafrent par deffus les hachures de l'eau avec le pinceau, en adouciflantles endroits qui le deman- dent avec vm pinceau net & un peu mouillé , cela rend l'ouvrage plus doux & à même tems fait attacher la pierre noire fur le papier , enforte qu'elle ne pourroit pas s'cffa- CCx facileincnt. Si c'cft fur le papier teint ils rchaufTcnt. Ooooii} 66 1 Traite' de la Pratiq^ue enfuireavcc le pinceau & le blanc ; mais quelques fois ils rehaulTcnc feulement avec le craïon blanc en hachant. Pour le lavis des plans on fert ordinairement d'encre de la Chine toute pure , & de quelques teintures qui con- viennent aux chofcs qu'ils reprcfentent. Mais cela ne fe pratique guerre que dans les plans des fortifications. Pour CCS fortes de teintures on en parlera dans l'explication des couleurs. Il y a encore une efpece de defTein qui reprefentc les couleurs naturelles , mais feulement avec des craïons de couleur qu'on appelle Pujicls. Ces craïons de Paftcl fc font avec toutes fortes de couleurs, &: l'on en fait diffé- rentes nuances ou teintes en mêlant les couleurs avec le plâtre broïé très- fin 6^ mêlé d'un peu de cerufe ou de blanc de craie jufqu'au paftel blanc ou à lacraie , comme nous avons dit cy-devant en parlant du blanc à rchaulTer ; pour le noir on y emploie la pierre noire. Les autres cou- leurs fe peuvent emploïer pures en les redui{ànt en craïons, &: celles qui n'ont pas aflcs defolidité, on leur en donne en mêlant un peu d'eau de gomme dans la pâte pour les former. On y mêle aulfi quelquesïbis un peu d'eau de favon pour les rendre plus dous s'ils font d'une nature feche. La fanguine y efl: fort bonne & peut fcrvir en bien des rencontres , car on en trouve de differens rouges. On connoîtra facilement la compofition &: la na- ture de toutes ces couleurs dans la defcription de celles qui fervent pour toutes fortes de peintures. On mélange toutes ces couleurs fur le papier en les frottant d'abord légèrement avec des eftompcs de cotton car ces paftels doivent être de la confiftance à peu près que Ja craie de Champagne médiocrement tendre; & l'on s'en fert enfuitc fans les eftomper ni frotter pour leur donner • plus de force &: de vivacité. ,CpmrD.e toutes CCS couleurs tiennent fort peu fur lepa- DE LA Peinture. (Çi?^ pier , on cft obligé de couvrir les delTein ou tableaux faits au paftel, d'une glace bien tranfparcnte & fans couleur, ce qui leur donne une cfpece de vernix , & rend les cou- leurs plus douces a. la vue. On ne fait ordinairement quedes portraits de cette manière, dont les couleurs ne peuvent jamais changer. Ce travail cfi: commode en ce qu'on le quitte &: on le reprend quand on veut fans aucun appareil, & on le retouche aufli &c on le finit tant qu'on veut, car on peut effacer facilement les endroits dont on n'eft pas entièrement fatisfait avec un peu de mie de Venons maintenant a la pratique de la peinture. Des couleurs dont on fe fcrt dans les dijfcr entes manierez ^, de peindre. \0 M ME la plupart des couleurs fervent dans toutes _ |les différentes manières de peintures , on a trouvé à propos de donner une connoiffancc générale de toutes celles qu'on y emploie , en marquant l'ufage qu'on en fait dans chaque peinture en particulier aufqucUes font pro- pres ; & l'on explique aufli d'où elles font tirées & leur' préparation. Les unes font naturelles , comme les terres , les autres font artificielles , qu'on tire des minéraux & des végétaux , comme le blanc de plomb , le verd de gris ou ■ verdet , le vermillon ou cinabre , &; toutes les teintures des fruits & des plantes. Bn Blanc, Le blanc le plus commun cft celui qu'on appelle Blanc d'Efpagne ou de Rouen, qu'on trouve chcs les Epiciers droguiftes par gros pains. Ce n'eft qu'une terre ou marne blanche qui fe fond très-facilement dans l'eau , & pour la ^\\c Majj.cotdoré. LeMaflicot blanc eft d un grand ufage dans la peinture à détrempe & à huile, car il eft très fin. Pour le Mafficot jaune ou doré il eft gros & fort difficile à emploïer ; il n'eft pas trop bon pour l'huile , à caufe qu'il devientgris enfechant. Ces Maificots ne font autrecho- fc qu'une cerrufe pouflce au feu , Se ils font d'autant plus hauts en couleur , qu'ils ont eu un feu plus violent. Il y a un autre efpece de jaune clair , qu'on appelle Jauni de Nazies. Ce n'eft qu'une terre fulphureufe recuite DE LA Peinture, 'G6*f par les feux fouterrains ; elle eft affés dure &: tirant un peu fur le rouge ,• mais quand elle eft broïce à l'eau elle eft de la même couleur que les Mafllcots ; mais elle eft plus dou- ce à emploïer, plus graiîc. &: a beaucoup plus de corps; on la peut garder ainli broïce tant qu'on veut , & on la dé- trempe facilement quand on veut s'en fcrvir , foit avec la cole ou avec l'huile. Onnes'en fert guère à détrempe, à moins que ce ne foit dans de petits ouvrages, à caufc quelle eft rare, fur tout en France,- &: à l'huile c'eftune excellente couleur. Elle fe trouve ordinairement aux: environs de Naples , ce qui lui a donné le nom qu'elle porte. UOrpein ou Orpinent calciné ou fublimé fait une très belle couleur d'un jaune orangé. On ne s'enfert gucrcs dans la peinture , àcaufe que c'eft une matière arfenicale &dangereufe. On n'a point à huile de jaune orangé qui approche de celui-là: mais on ne fçauroit le faire fechec qu'avec un très fort fccatif. Entre les Jaunes bruns il y en a un qu'on appelle Orr^ de Ru. C'eft une terre particulière qui eft tendre & qui s'infufe facilement dans l'eau, elle eft excellente pour la détrempe , mais il faut la broïer à l'eau pour la rendre plus fine dans les petits ouvrages. Sa couleur eft fort douce à la vîië. Si on la fait rougir au feu elle devient d'un jaune plus rouge&plus brun : mais on ne s'en fert guercs à huile,, cependant elle peut y fervir en plufieurs occafions. Les Stiis de grain font aufll des Jaunes d'un grand ufa- ge , tant dans la peinture à détrempe qu'à huile, & fur tout dans les païfages, car c'eft un jaune qui tire un peu fur le verd. Ce n'eft qu'un blanc de Rouen ou craie teinte avec la teinture de graine d'Avignon , on y mêle aufli un peu de cerufe pour lui donner du corps. Plus la teinture eft forte , ou plus le blanc eft teint de fois & à plufieurs re- ;prifeS:, en le laiiTant fecher entre deux, plus le ftil de grain Ppppij 66% Traite' de la Pr a t r cltî e cft brun. Il eft aOés tendre quand il cft clair , & il peut s'infiucr dans l'caii pour la détrempe, mais il cft beaucoup plus dur étant brun , &c alors il le Jraut broier: mais pour la peinture à huile il faut broïer le clair &c le brun. Nous parlerons enfuite de la graine d'Avignon. La terre d Ombre cft une efpecc de jaune brun, mais qui tire beaucoup fur le gris. On lui donne un œil un peu plus rougeâtre, &: on la rend plus brune fi on la fait rou- gir au feu. Il faut labroïer tant pour la détrempe que pour Ihuile, car ellenes'infufc pas dans l'eau, quand même elle ne feroit pas brûlée. Le feu la rend bien plus dure qu'elle n'eft dans fon état naturel. Pour les teintures jaunes qui fervent dans la détrempe & dans la miniature , on a Ugyaine d' Avignon ^ qui eft la graine d'un arbriffcau qui vient en abondance aux envi- rons d'Avignon ; c'eft une petite graine grifc que l'on fait bouillir dans l'eau avec un peu d'alun, & l'on en tire une belle teinture d'un jaune citron. • Le Safran infufé dans l'eau donne aulTi une très belle teinture jaune, & qui tire fur l'oranger quand il y apeii d'eau. La Gomme Gutte , qui f ft la gonsiTie , à ce qu'on dit, d'un grand arbre qui croît dans l'Inde, donne aulfi une teintu- re d'un beau jaune en fc fondant entièrement dans l'eau, & le jaune en cft plus brun &; orangé quand il y a peu d'eau. EnRn /a Pierre de Fiel donne une teinture d'un jaune brun en fe fondant dans l'eau. C'eft une pierre qu'on trouve communément dans le fiel des bœufs. D/i Ronge.. Le Rouge le plus commun eft appelle hrim Rouge. C'eft une terre qui eft de la même qualité que l'ocre jaune. On DE LA Peinture. 6C^9 tn fait d'artificiel en failani; brûler ou rougir au feu rocrc jaune ,■ mais il n'a jamais un œil auffi vit que le beau brun rouge naturel ;& l'ocre jaune qui étoit tendre devient fore dure au feu, & principalement fi elle ctoit d'une nature grafle , &: l'on ne peur pas s'en fervir fans le broïer : &: le plus tendre qui jx;uts'infufcr dans l'eau pour la détrempe groilicrc , doit être broie pour les ouvrages délicats à dé- trempe, Se toujours broïé à l'huile pour la peinture à huile. C'eftune fort bonne couleur &: qui tient un milieu entre l'oranger& le rouge pourpre. Le rouge clair qui tire lur l'oranger s'appelle Af/;?f ^^ Tlonib ou Minitmi. C'eft un fort beau rouge &: fort vif, & il eft excellent pour la détrempe, mais onncs'cnferc pointàhuille : il faut toujours le bro'ier pour s'en fervir. Cette couleur n'cft qu'une calcination à grand feu delà mine de plomb. Qiioique l'on ne fc icrve pas delà mine pour les tableaux à huile , elle cft pourtant très utiles dans Icsimprclfions d'ocre jaune ou de brun rouge à huile pour les faire fccher en y en mêlant un peu. Le Vermillon ovtCinahre ell un rouge de couleur de feu très vif. 11 y en a de deux fortes , de naturel & d'artificiel, le naturel cft rare ; mais l'artificiel eft au moins auili beau &; fort commun. Il n'cft pas propre pour la détrempe , car il devient violet un peu fale , mais à l'huile il eft fort beau &: a.beaucoup de corps. Le naturel fe trouve dans les mi- nes de n^ercure ; & l'artificiel fe fait en mêlant du mercure avec du fouffre , & faifiint. fublimer le mélange on trouve au haut du vaift'cau une malle dure par longues aiguilles tirant un peu fur le violet brun. Il faut la bro'ier avec du vi- naigre ou de l'urine, & on la réduit en poudre fort viveeu couleur , laquelle fe garde tant qu'on veut , &: qui fe dé- trempe facilement à l'huile fans changer de couleur, ou avec lacole fi l'on veut s'en fervir à détrempe, ou avec la gomme Arabique fondue pour la miniature. Sjo Traite' de la Pratiq^ue Pour le rouge brun on a une terre d'un rouge foncé qui tire fur le pourpre & qui n'cft pas vif en couleur. On l'ap- pelle communément Bnoi ronge eC Angleterre. II cft bon pour la détrempe : mais il ne change pas de couleur étant mêlé à 1 huile, &: il n'eft pas propre dans cette forte de peinture. C'eftaufliunc efpcce de potée qui fort à polir les métaux durs & le verre étant préparé en poudre très fine. La Lacqtie eftle rouge brun qui eft le plus enufagc ., tant dans la peinture à détrempe que dans celle à l'huile; clic tire fur le pourpr-e &: c'cft une couleur artificielle. Il y en a de commune & de fine. La commune n'eft qu'un blanc de Rouen ou de craie imbibé à plufieurs reprifcsdc la teinture du bois de Brefil , dont nous parlerons enfuitc. La Laque fine fc fait de plufieurs manières , mais voicy une des meilleures &: des plus fimples. On fait fondre de belle bourre ou tonture de drap d'écarlate fine dans une lexive defonte bien filtrée, ce qui donne une belle tein- ture rouge, laquelle étant paffee dans un linge ou tamis fin , on en imbibe de beau blanc de Rouen ou de craie bien fineà plufieurs reprifes , en le laifTant fecher à chaque fois pour lui donner une couleur plus foncée. Il faut remar- quer que pour route cette opération il ne faut fe fcrvir que de vaiflTeaux d'étain. On peu encore ajouter à cette bourre le mare & la liqueur qui refte après avoir tiré le car- min de la cochenille par la méthode que nous allons . donner. La Laque eft fort bonne à détrempe, & elle à beaucoup , d'éclat à la lumière de la chandelle ; mais comme on ne fe fert gueres que de la commune, qui cftafiTés pâle, on lui , donne de la force av€C une teinture de bois de Brefil , dont nous parlerons. La Laque devient fort brune avec l'huile, & fur tout celle qui eft fine. Mais il la faut toujours bien 'broïer pour toutes, fortes depeintures. DE LA Peinture. fi-ji Le Carmin eft une efpcce de laque très fine bc fort belle, mais il eft rare & fort cher : c'eft pourquoi on ne s'en fert gueres que dans la miniature ou dans quelques enluminu- res , car on le peut glacer fur le blanc , à caufe qu'il n'a pas beaucoup de corps , non-plus que toutes les laques. Pour faire le Carmin. Prenés j. gros de Cochenille, 5^. grains de graines de Chouan, 1 8. grains d'ccorce de Rau- cour , &: I 8. grains d'Alun de Roche ; pulverifes chacun à part dans un mortier bien net. Puis faites bouillir xL pintes d'eau de rivière ou de pliiie bien claire &: nette dans un vaifleau d'ctain bien net , & pendant qu'elle bout vous y verfercs le Chouan & le laifTerés bouillir trois bouillons en remuant toujours avec une fpatulede bois, & pafferés promptemenC par un linge blanc. Remettes cette eau paflee dans le vaifTeau bien lavé & la faites bouillir ,& quand elle commencera à bouillir vous y met- trés la Cochenille & laiflerés bouillir trois bouillons , puis vous y mcttrés le Raucour &r le lailfcrés bouillir un bouillon , &: enfin vous y verferés l'Allun , &; vous ôterés à même tems le vaiffeau de deffus le feu , & vous pafferés promptement toute la liqueur dans un plat de faïance ou de porcelaine bien net & lans prefler le linge. Laiffés en- fuite repofer la liqueur rouge pendanrj.ou %, jours , puis vous verferés doucement le clair qui furnage , & laiffercs fecher le fond ou fèces au foleil ou dans une étuve, que vous ôtercs enfuite avec une broife ou plume, &: c'eft le Carmin qui eft une poudre très - fine & très - belle en couleur. On remarquera que dans un tems froid on ne peut pas faire le Carmin,car il ne fe précipite pas au fond de la li- queur , & elle devient en efpecc de gelée &: fe corrompt. La Cochenille qui rcfte dans le linge après avoir paffc. la liqueur, peut être remife au feu dans de nouvelle eau bouillante pour en avoir un fécond Carmin.; mais il ne 6-ji. Traite' delaPratiq^ue fera pas fi beau ni en fi grande quantité que le pvc- raicr. Enfin la Cochenille qui refte dans le linge , &: la liqueur rouge qui ûirnagc au Carmin , peut fc mêler avec la tem- ture de bourre d'écarlate pour en faire la laque fine , com- me on a dit cy-devant. On tire de la graine d'écarlate, qui eft une gale de la grofleur d'un petit pois qui vientàdcsarbriflcauxen Lan^ guedoc &: en Provence, appellée llex cocci glandifcra une belle teinture rouge qui peut fervir à faire de la la- que. Mais pour la détrempe on ne fe fert que de la tein- ture de Brefil pour glacer &: pour donner de la force. Pour avoir cette teinture forte du bois de Brclil, on le fait bouillir dans un pot neuf &: vcrnifle avec un peu d'a- lun & de chaux avec delà cole de cuir blanc , ce qui foû- tient la teinture ; car fans cela elle fe ramaffc en bouillant long-tems par petits pelottons en forme de bourre, &: l'on nefçauroits'en fervir. Et fi l'on mêle dans la teinture un peu de cendre de bois on la change en teinture vio- lette. Le Raucou donne une belle teinture rouge , mais elle fc paflc promptement à l'air , & l'on s'en fert peu dans Ig. peinture à détrempe. Bti Bien, U Az^ur à poudrer é" F Email eft le bleu le plus commun ; c'eft une poudre d'une couleur très-vive, &:ils ne l'ont dif- ferens qu en ce que l'azur a le grain bien plus gros que l'é- mail, car c'eft la même matière. Plus le grain de l'émail eft gros, & plus la couleur eft vive &: tire un peu fur le violet comme l'azur , mais l'émail eft d'un plus beau bleu celcfte. Le grain de l'azur à poudrer eft fi gros qu'on ne peut l'emploïer que très-diiîiçilernent, & feulement à détrempe } '"de la Peinture, Cj; Retrempe ou à frcfque , ou pour mettre dans l'empois oa amidon avec lequel il fc lie fort bien. On l'appelle v/^^r à poudrer , parce que pour faire un beau fond d'un bleu 7 urquin,on le poudre fur un blanc à l'huile couché mé- diocrement épais &: le plus gras qu'on peut; on l'y étend aufli-tôt avec une plume, mais il faut l'avoir bien fait fc- cher auparavant fur un papier au defTus du feu ,■ on y en ^Tiet ail es épais, & on l'y laille jufqu'à ce que le fond foii bien fcc , &: ainfi le blanc en prend autant qu'il peut, En- Tuitc on le fecouë &: on en ôte tout ce qui ne tient pas au blanc en le frottant légèrement avec une plume ou une broffe douce. C'eft une couleur très-vive & qui dure fort long-tems, quoiqu'elle foit expofée à l'air &: àla pluie. L'émail qui eft la même matière & qui cil feulement plus fine , cil d'autant plus pâle qu'il eft plus fin , c'eft une .poudre qui fert dans la détrempe & à frefque : mais on ne s'en fert gueres à huile parce qu'il noircit , à moins qu'il ne foit mêlé avec beaucoup de blanc. Cette couleur n'eft qu'un verre coloré avec le Zafre étant fondus cnfcmble 6c Giafuite réduit en poudre. Les cendres Bleitcs font d'un trcs-grand ufagc dans la peinture à détrempe, &: il y en a qui font très-vives en couleur , mais à l'huile elles noirciflcnt & deviennent ver- dâtres , car elles tiennent de la nature du vert de gris : &: de plus quand on les met à l'huile elles ne paroiflent pas plus brunes ou foncées en couleur. On les trouve en pier- re tendre dans les lieux où il y a des mines de Cuivre ou de Rofctte , &: l'on ne fait que les broïer à l'eau pour les réduire en poudre fine. Cette efpece de bleu eft très-avantageux pour la pein- ture à détrempe , qu'on ne voit qu'à la lumière de la chan- delle , comme font les décorations des Théâtres : car quoi qu'on y mêle beaucoup de blanc , il ne laifTe pas de paroî- ^re fort beau ; il tire pourtant un peu fur le vert : tout au Hec. de l' Acad. Tome JX, QMII ^74 Traite' de la Prati clu e contraire de l'émail , qui clT: fort vif au jour , & qui pa- roit gris à la chandelle. Enfin le plus beau &c le plus précieux de tous les bleus cft celui qu'on appelle Outremer. On ne s'en lert ordinai- rement que dans la peinture à huile & dans la miniature, 11 cft fait avec le Lafis La fuit , qui eft une efpcce de pierre rare & précieufe, & qui nous vient de Pcrfe & d'Armé- nie. Cette pierre eft fort dure & eft ordinairement fort remplie de veines de marbre blanc & d'une marcaflite cui- vrcufe. Voici la manière de le purifier S>c de le rcdiiirc en. poudre très-fine , ce qu'on appelle Outremer. On fait d'abord rougir au feu le Lapis Lazuh,&: on l'é- teint dans du vinaigre , & l'on répète cette opération plu- ficurs fois pour rendre la pierre plus tendre à être bro'iéc. Le feu ne lui fait rien perdre de la vivacité de la couleur. Onlcbroïcenfuitcàl eau furie porphyre ou fur quelque pierre fort dure,& on le laifle bien fecher. Après cela on fait unecompofition qu'on appelle C/wr;;/ avec de Fhuilc de noix ou de lin , de la poix grafTc & de la cire qu'on fait bien fondre enfemble , &: l'on y incorpore la poudre du Lapis en mêlant bien le tout fur le feu. Enfuite le ciment étant refroidi on le met en mafTc dans une légère lellivc de foute bien filtrée dans quelque grand badin de faïence, & il faut qu'il y ait beaucoup de Icllive par rapportau ci- ment. Enfin on pétrit à troid la maiTe du ciment dans la leflîvejufqu'à ce qu'elle devienne médiocrement colorée de bleu , alors on la vcrfe dans un autre vaiffeau de faicncc que l'on couvre bien de peur de la poulliere , & on la laiflcrepofer jufqu àceque tout l'outremer foit tombé au fond du vaifl'eau , & que la leflive foit claire , laquelle on ôte enfuite entièrement fans brouiller l'outremer qui eft au fond qu'on laiife bien fecher, après quoi on l'ôte avec une plume ou une brofle pour le garder en poudre. Aulli-tôr que le ciment cft retiré de la première Icfiivc DE LA Peinture"; ëyf on le remet dans de nouvelle, & l'on fait comme la pre- mière fois pour en tirer routrcmcr , ce qu'on continue de faire autant de fois qu'on juge à propos ou à proportion que Jalcflive s'éteint : car il faut remarquer que l'outre- mer qui vient de la première opération cille pius beau &: le plus haut en couleur qu'on puific tirerdu Lapis qu'on a emploie; celui de la féconde cft plus gris ,& enfin celui dcsdernieres devient fi gris qu'il n'eft pas d'uflige outrés peu , & de plus il n'a pas de corps , car ce n'eft quafi que le marbre qui croit dans le Lapis. On confcrve ces diftcrens outremers chacun à part, éc l'on remarquera encore que le plus beau eft toujours plus gros que le moindre. On en connoît la finclTe en en mettant un peu entre les dents. Le grand prix de cette couleur fait qu'on le falfifie quel- ques fois , mais il efl facile de le reconnoître fi l'on mec 1 outremer fur le feu dans un petit creufet ; car s'il eft pur il ne doit pas changer de couleur, ce qu'on connoîtra par la comparaifondccclui qui n'a pas été au feu , &:s'ileffc faUifié il devient noirâtre ou plus pâle , fuivant ce qu'on y aura mêlé. Pour le bas outremer on pourroit y mêler de bel émail fans qu'on pût le reconnoître par lépreuve du feu , car l'émail ne change pas au feu : mais fi on le dé- trempe à huile on trouvera qu'il aura peu de corps par rapport a. fa vivacité , car l'émail n'en a que fort peu à l'huile. On trouve quelques fois des cendres bleues qui paroif- fent aufli belles que de l'outremer ; mais on connoît facile- ment que ce ne font que des cendres fi on les mêle avec an peu d'huile , car elles ne deviennent gucres plus brunes qu'elles croient auparavant, au contraire de l'outremer qui devient fort brun , Sc au feu elles deviennent noires. On a encore un bleu brun qu'on appelle I^de & Indigo, L'inde eft plus claire & bien plus vive que l'indigo, ce gui vient feulement du choix de la matière dont on les Q^qqi) 6y6 Traite' de la P r a t i qj' e fait , car au fond c'cft la même. Ceft une fécule d'une plante appellée JkI/. On en fait tremper les feuilles dano l'eau pendant deux jours environ , cnfuite on fcpare l'eau qui a une légère teinture de bleu vcrdâtre. On bat cette eau avec des palettes de bois durant deux heures, &c quand ellemoulTeoncelfe débattre, & l'on y jette un peu d'huile d'oliveen afpergeant ; on voit aufli-tot la matière de l'in- de qui fe fépare de l'eau par petits grumeaux corrane quand le lait fe tourne, &r l'eau étant bien rcpofée elle devient claire ,& rinde fe trouve aufond comme de la lie , qu'on ramafle après avoir ôté l'eau & qu'on fait fe- cher au foleil. L'indc fe fait avec les jeunes feuilles &: les plus belles , Se l'indigo avec le rcfte de la plante. Cette plante croît dans les Indes Orientales & Occidentales, L'inde efl ordinairement par petites tablettes de i. à 3 . li- gnes d'cpaifleur & d'un bleu affés beau ; mais l'indigo cft par morceaux irreguliers d'un bleu brun tirant fur le vio- ler. Cette couleur cft excellente pour la peinture à dé- trempe, tant pour le brun des bleus que des verts, en y mêlant pour le vert de là teinture de graine d'Avignon ou du vert de vefcie. On pourroit fe fcrvir de l'inde à hui- le , & elle a beaucoup de corps avec le blanc : mais elle i'^ décharge en fechant &: perd la plus grande partie de fa force ; c'eft pourquoi on n'en ufe pas à moins que ce no foit pour f urc quelques draperies qu'on glace d'outremer pardcffiis. Nous expliquerons dans la fuite ce que c'eft que glacer les couleurs , & comment cela fe fiit. On a une teinture bleue qui peut être de quelque ufagc dans la peinture à détrempe &: dans renluminurc, qu'on appelle Tour/ie/o/. LcToairnefol efl: une pâte qu'on for- me ordinairement en pains quarrés avec le fruit d'une plante qu'on appelle auffi Tourne jolow HeUotrofiumTri-. coccon. Cette plante croît en France. Et lorfqu'on veut fe fervir du Tournefol on met tremper cette pâte dani De la Pf in t d RE. €-jy l'eau , qui doit donner une affés belle teinture bleue : mais il arrive affés fouvent que la teinture du Tournefol eft rouge, ce qui lui arrive par quelque mélange d'acide, & on lui redonne fa couleur bleue en y mêlant de l'eau de chaux, Bti Vert. Pour le vert on a des Terres qu'on appelle Terres vertes &; qui font d'une affés belle couleur ; on ne s'en fert point dans la peinture à détrempe, mais feulement dans la pein- ture à frefque &: à l'huile. Il y en a de deux fortes ; la terre verte commune eft une efpece de terre grafle qui ne fe dilîbutpas facilement à l'eau, &: qu'il faut broier pour l'emploïer ; elle eft d'un vert aflcs pâle. L'autre terre ver- te eft un marbre tendre qu'on trouve aux environs de Veronne,ce qui lui a- fait donner le nom de Terre verte de Veronne -, elle eft fort dure , &: pour la broïer facilement à l'huile o\\ la broïe auparavant à l'eau. Cette terre verte c^t fort eftimée & aftcs rare , elle eft d'un beau vert brun , &: elle a beaucoup de corps, ce que n'a pas la commune. C'eft une couleur excellente pour les Païfages à l'huile: Le vert de Montagne ou vert de ttrre eft un très-beau vert clair , qui tire fur le bleu; C'eft une couleur qui eft fort en ufage dans la détrempe & à frefque, mais on ne s'en fert pas dans les tableaux à huile à caufc qu'il noircit; on s'en fert feulement avec l'huile pour l'impreflion des treillages &; autres ouvrages de cette nature. C'eft une terre qui tient de la nature du vert de gris, &:parconfe- quent du cuivre. ïl eft ordinairement en poudre : cepen- dant il fautlcbroïer pour l'emploïer. Les cendres vertis font un vert de la même nature que le vert de montagne , & peut-être ce n'eft que ce verc tiicn broïé à reaa&; réduit en poudre fine. Qciqqiij :g78 Traite' de la Pratiq^ue On compofe fort fouvcnt le vert dans toutes les peintu- res avec quelque bleu & quelque jaune. Le vert de gris n'eft qu'un Cuivre rouge ou Rofette conlumé à la vapeur du vinaigre comme on fait le blanc de plomb, ou par les acides du marc des raifins dont on cn,velope le cuivre : mais cette couleur n'cft pas fort en ul.ige dans la peinture à détrempe , &; encore moins dans la peinture à huile : car quoiqu'elle paroifle d'abord fort belle étant glacée fur des tonds blancs, elle ne dure pas &: elle devient noire peu de tcms après. Le vert de gris eft un grand fecatif pour les couleurs à l'huile qui ne f cchenc pas ; mais on n'en mêle que dans les noirs tout purs qui ne peuvent pas fecher , & pour peu qu'il y en ait ils fcchent fort promptcmcnt. On s'en fert ordinairement dans les imprelTions faites avec le noir de fumée. On tire du vert de gris une teinture d'un fort beau vert .qui tire fur le bleu, &qui noircit un peu dans la fuite; mais il prend un œil plus jaune auparavant. On fc fort de cette teinture dans quelques enluminures , & principa- lement dans le lavis coloré des plans ,pour reprefentcr de la couleur d'eau. Pour tirer cette teinture on pulverife de beau vert de gris , qu'on fait infufer dans de l'eau chaude avec un peu ;c un peu plus. Ce trou cft taillé fort de biais dans l'épaif— feurdubois, &: comme enchamp-frain , cnlorte que la. partie du delfous de la palette , & qui eft vers le dedans de la main, ell un peu tranchante , à l'oppofitc c'eft celle de dciTus , car la palette s'appuie en partie fur le bras. Le bois de la palette eft ordinanxment de poirier ou de ' pommier , & rarement de noïcr , à caufe qu'il fe tourmen-- te trop. On imbibe d'abord ledelfus delà palette quand elle eit neuve , avec de l'huile de noix fecativc à plulicurs reprifcs à mefurc que l'huile ic fcchc , & jufqu'à ce qu'elle ne s'imbibe plus dans le bois,- & enfin l'huile étant bien-, fcche , le dcflus de la palette doit être poli après avoir été un peu ratifle avec le trancliant d'un couteau àc frotté d'un- linge avec un peu d'huile de noix ordinaire. La palette fcrt pour mettre les couleurs bioïéesà l'huile qu'on arrange au bord d'cnhaur, qui cft celui qui eftle plus éloigné du corps quand on tient la palette à la main ; &: l'on place CCS couleurs les unes à côté des autres par pe- tits tas fans fe toucher, & les plus claires ou blanches vers les doigts de la main. Le milieu &: le bas de la palctre fcrt à faire les teintes ^ Icmclange des couleurs avec le Cous- teau. 688 Traite' de la Pratiq^ue Pour iietto'ier la palette quand on en a été avec Icbottt du couteau toutes les couleurs qui peuvent encore fcrvir , on la frotte avec un morceau de lmge,&: l'on v met enfuite un peu d'huile nette pour la frotter encore &;lanettoïer parfaitement avec le linge net. S'il arrivoit qu'on laiflat îccher les couleurs fur la palette, il faudroit la ratifier proprement avec le tranchant du couteau 5^ la frotter en- fuite avec un peu d'huile. On a ordinairement de l'huile de noix nette dans nia podctdc faïence ou autre , où on la prend avec le couteau ou avec les pinceaux pour tous les ufagcs oii 1 on en a befoin. Ceux qui travaillent à détrempe à des ouvrages délicats ont auffi une palette mais elle eft de fer blanc ; elle ell de figure quarréc comme lafcuillcdefer blanc, on l'arondit feulementun peu versl'endroitoù eft le trou pour mettre le pouce : mais il faut border ce trou d'un cuir mince ou d'un morceau d'étofe pour empêcher que le fer blanc ne .blelTe la main. La partie du haut de cette palette & l'ex- trémité la plus éloignée du pouce doit être un peu relevée par le bord , pour foûtenir les couleurs qu'on y met fi on la panchoit trop finsy pcnfer. On fait aulli vers le haut de cette palette quelques enfoncemens ou creux pour y pla- cer chaque couleur dans fon ordre comme fur la palette à huile. Ces couleurs font feulement détrempées avec l'eau .& ailés cpaifies , Se à mefure qu'on s'en fert on prend avec le pinceau ou avec la broffe de la cole pour y mêler , la- quelleon tient toujours liquide pour cet effet dans quel- que vaiflcau fur la cendre chaude. Lorfque la cole fe fige fur la palette en travaillant, on met la palette un peu fur Je feu & la colc fe fond aufli-tôt, Se fi la cole devenoic trop forte en fondant, il faudroity mêler un peu d'eau , &: enfin il faut prendre garde que les couleurs entières qui ;font au haut de la palette ne fe fechent par trop par la ciialcuf Î>E LA Pe ns' T U RE, 689 chaleur du feu. On ne fe fcrt point de couteau pour faire les teintes fur cctcc palette, mais on les fait Iculcmcnt avec les brodes ou avec les pinceaux en travaillant. On nettoie cette palette en la lavant avec de l'eau , & on la fait aufli-tôt fecher fur le feu de crainte qu'elle ne fc rouille. On fe fert de régies pour travailler en architeûurc. Ces régies font difter entes , il y en a de fort minces qu'on ap- plique contre l'ouvrage quand il cft lec, &: l'on tire les traits en faifant couler le poil dutranchet , qui eftune ef- peccdc broflcdont nous parlerons, au long delà régie , qui a en cet endroit un champ-frain ou feuillure pour em- pêcher que la couleur neharc &: pour tirer le traie plus net, mais ceci n'cft que pour les grands ouvrages : car pour les petits ouvrages délicats fur toile &c à huile, on a des régies cpaiffes , aux extrémités defquelles on attache deux petits tampons de cuir de figure quarréc, &: qui ne débordent pas la régie , on appuie ces tampons contre la toile , ce qui élevé un peu la régie , &: de plus elle a encore une •feuillure par dcifous pour empêcher que la couleur ne barbouille , Sc en conduilant également le tuiau du pin- ceau au long de la régie , on peut tirer des traits fort nets &: fort délicats. Les outils dont on fc fert pour peindre s'appellent rinceaux d'un nom commun ; mais on les diftinguc en BroJfes&C Pinceaux. Les brolTes font d'un poil ferme, qui cft pour l'ordinaire celui de cochon , qu'on choifit le plus droit & dont les barbes font en dehors, les pinceaux font d'un poil délié &: qui ne lailfc pas d'être ferme , & dont tous les poils fc joignent enfemblc , &c font une pointe lorfqu'on trempe le pinceau dans l'huile ou dans l'eau. Le poil dont on fait les pinceau» cft. celui delà queue des pe- tits gris. Onfaitdesbroffcsdc toutes fortes de grofTeurs & des R ce, de i'jiC'id, Tarn. IX. S Ç(£ ^po Traite' de la V k at iqjj t pinceaux auiïi ; mais avec cette différence , que les pin- ceaux font toiijcurs engages dans des tuïaux de plume , comme aufli les petites broffes , car pour les greffes qui ne peuvent pas entrer dans une greffe plume, comme celles des Cigncs , on les lie au bout d'un manche de bois d'une grodeur &d une longueur convenable à lagroffeur delà brofle. Pour tous les pinceaux & les broffes qui font dans des tuiaux de plume , on les foure au bout d'un manche ou hampe de bois qui eft un peu plus gros par le milieu que par les extrcmàtés , pour les pouvoir manier commodément & pour empêcher que l'extrémité ne fe touche quand on en tient plufieurs cnfemble dans la main. Toutes les groffcs broffes font faites de poil de cochon &: plates par l'extrémité pour pouvoir coucher de grands fonds. Il y en a quclqu'uncs qu on fait en pointe, &: qui fervent ordinairement pour la peinture à détrempe &: à frefque, parce que les pinceaux ne fçauroicnt fervir dans la peinture à frefque, &: fort peu dans la détrempe, à caufe que la couleur s'engage dans le fond des poils, ce qui les écarte les uns des autres, &: rend alors le pinceau inutile qui ne peut plus fairede pointe, & même on ne peut jamais le bien nettoïer. On fait auffi des broffes d'aurres poils que de celui de cochon , comme de poil de blcreau, qu'on appelle broffes à adoucir, lefqnellcs ont un ufage dans la peinture à huile , car ce poil eft ferme &; dclié , & n'eft pas bien droit , ce qui fait que quand la brofle eft fàitelcs poils font affés écartés les uns des autres par le bout, qui eft fort doux ,& comme on laiffclepoil long, on peut paffer légèrement cette broffe cntoutîcns fur l'ouvrage pemt à huile, pour abattre les inégalités de la couleur fans la trainer ni l'ôter de fa place. Cette broffe eft platte par le deffous, & ne prend prcfque point de cou- leur par l'extrémité de (es poils -, c'eft pourquoi on la net- toie feulement en la frottant bien fur un linge blanc fans D E L A Pe I N T U R E. ' 6()ï la tremper dans l'huile. On fait aufll de pctires broflcs avec un poil blanc qu'on appelle poil de poifFon , qui cd à peu près de la nature du poil de blereau , mais bien plus doux; CCS brodes font d'un grand ufagc pour bien noicr 8c adoucir toutes les teintes des couleurs à huile. On en fait auffi d'autres poils , comme de poil de chien Se d'au- tres animaux, & mêmes quelques pinceaux qui peuvent avoir leurs ufiges. Pour faire les broffcs on choifit d'abord le poil le plus droit, Se fic'eftdupoil de cochon on en coxipe quelques petites barbes qui font trop longues , &: on l'arangc dans unccfpecedc moulcfaitencyUndrc ou en cône, fuivant qu'on veut faire les broiTes plattcs ou pointues , en met- tant en bas la partie du poil cbarbée ou éfiléc, & prenant bien garde que toutes les extrémités du poil touchent le fond du moule. Enfuite on lie tout le paquet du poil à peu près de la longueur qu'on veut faire labroflc; &c l'a'iant retiré du moule on rcj^arde s'il cfl bien arrançTc. On le lie encore une fois un peu plus proche des barbes, &: l'on dcffait la première ligature. Le poil étant ainfi arrêté en paquet on foure dans le milieu un manche ou bâton d'un bois afTés tendre, comme de fapinoude bois blanc, &: plus menu que la grofîeur du paquet ; ce manche doit être pointu par le bout qu'on enfonce dans le poil , Se doitêtre taillé à quatre faces avec quelques petites hoches. Il faut prendre garde de n'enfoncer le manche dans le poil qu'un peu plus avant que le commencement de la li- gature, car s'il étoit trop avant la broflc ne feroit pas afl'cs garnie, & s'il n'étoit pas afles enfoncé le poilue tien- droit pas fur le manche. Pour lier le poil fur le manche on commence à faire un nœud particulier au fil ou à la ficelle dont on fe fcrt. ( f-'o/ez. la fi^^. fuiv. ) On tourne deux tours de ficelle autour du poil, & l'on engage les deux bouts entre ces tours en les croifont , ce qui fc corn- SflTii i^rw^ffilirt^ 5i;/-'il|i;ii,!i'[i .il% *iiftikiiJïïiijii)i,it:i,i, 691 Traite' de la P r a t i q^u e prendra facilement par la figure. On ferre ce nœud bien ferme & Tins qu'il y ait de dou» blc noeud il ne fçauroit ic lâcher. On couche cnfuicc au long du poil le brin de la ficelle qui eft engage fous le fécond tour qui eft vers le manche , & l'on tour- ne l'autre autour du poil autant qu'on veut en ferrant toujours autant qu'il eft poiliblc à chaque tour, & rangeant les tours de la ficelle le plus proche les uns des autres qu'il fera polîible. Mais avant que d'ache- ver les trois derniers tours , on replie vers le bourde la brofte le brin qui étoit couché au long du poil, &c on lui fait faire une boucle; on continue à tortiller la ficelle par deifusccbrin relevé jufqu'au bout où l'on veut finir , &r l'on engagece brin qu'on coupe dans l'anneau ou boucle de l'autre brin , le tenant toujours bien ferré ; enfin on tire le brin qui eft engagé &c qui fait l'anneau , & en le faifant gliÛer entre le poil &: les tours de la ficelle qui font par deflus , on engage fous les tours le brin qui eft coupé , en- forte qu'il ne peut pas fe lâcher ni'fc défaire , & l'on coupe le brin de la ficelle qui a fuît la boucle au ras de la ficelle tortillée. Par ce m.oïen la brofte eft bien liée fans que les bouts de la ficelle paroiftcnt. Les hoches qu'on a faites au manche fervent à y retenir le poil plus ferré, &: principalement le bois étantunpeu tendre. Mais fi l'on fe fervoit de ces broftcs dans cet étaî pour travailler à huile, le poil s'en arracheroit fort vite, car l'huile le feroitgliftcr l'un contre l'autre & contre le bois du manche : c'eft pourquoi quand la brofte eft bien liée on coupe le poil furie manche un peu au dcftbus du dernier tour de la ficelle, & l'on imbibe ce poil coupé & coûte la ficelle avec de bonne cole forte bien chaude Se DEix\ Peinture. ^P3 médiocrement cpaiilc. Par ce moïcn le poil eft arraché au bois du manche &: à la ficelle, fans que l'huille l'en puiiTe détacher , car l'huile ne pénètre pas dans la colc iortc. Cette précaution eft fort bonne pour Icsbrollcsqui fervent à peindre à huile; mais elle ne fert à rien aux bro(- fcspour la peinture à détrempe ou àfrefquc; car comme elles font fouvent dans l'eau !a colc de la brode ic dérrem- •pe&s'enva, &: li on lailfe fecher labrofi'c, la ficelle fe îachc , le bois fe rctn-c, & le poil ne tient plus. C'cll pour- quoi pour les brofi'es qui fervent à ces fortes de peintures, il faut au lieu decole forte imbiber le poil fur le manche & la ficelle des tours avec quelque couleur à huile fortfe- cative, qui fera le même cftet que la colc forte, quand elle iera bien feche, & cette couleur ne Ce détrempera; point à l'eau , ni même à l'huile, fi l'on fc Icrtde ces brof- fes dans la peinture à huile. Mais il faut prendre garde de ne pas mettre trop de couleur à huile fur les premiers tours de la ficelle, de peur que l'huile ne pénètre trop avanr dans le poil qui doit fervir à travaillcr,car elle coleroit les poilj enfemblc & gâteroit la brode. On fait encore uncefpccc de brofle platte qu'on ap- pelle TrAnchet pour travailler en architeéïure , ou pour ti- rer des filets dans de grands ouvrages. Ccstranchets fe font de poil de cochon , dont on coupe prefque toutes les barbes. Pour les faire on prépare deux morceaux de bois applatis par l'un des bouts & alfés tranchans , & coupés de biais, afin que le poil étant appliqué & arrangé égale- ment fur l'un des morceaux de bois, félon la longueur du bois , il foit un peu couché par rapport à l'extrémité avec laquelle on travaille. Qiiand le poil eft ainfi airangé &r d'égale épaifleur fur l'un des morceaux de bois , on le couvre de l'autre morceau qui doit être de la mcm.efi- Cure , & on les lie fortement cnfemble afles proche du ■ poil, & on lesUc aufli en deux ou trois autres endroits aiv Sfff lij ^5!^. Traite' DE la Prati q^u v. lon<^ des morcenux de bois qui font plus étroics que vers le bou: où eft le poil , S>C à moitié arrondis , pour ne hiirc cn- Temble qu'une cfpace de manche. On cole cnfuitc la ficelle ou on la peine comme nous avons dit de celle des brofies. Mais comme le poil ne fçauroit jamais être bien ferré en- tre ces deux morceaux de bois plats, il faut avant que d y mettre le poil les frotter un peu de poix noire pour y faire apper le poil en l'arrangeant. Pour les pinceaux on les fait à peu près de même que les broffes pointues, & plus les pinceaux (ont petits, plus le poil en doit être fin , &: fur tout il faut qu'ils falTcntbicn la pointe, m.ais ce doit être une pointe moulle, car ilfauc qu'ils foient bien garnis de poil vers cette pointe. Il y en a de longs &: d'autres courts, fuivant les differensufagcs aufquels on les emploie tant à huile qu'à détrempc.Qiiand le poil cft bien arrangé on lie le paquet avec un nœud dou- ble & femblable a. celui qu on fait d'abord pour les broffes, ^ avec du fil bien fort , &c on le lie de même , feulement en deux ou trois autres cndrois un peu éloignés les uns des autres , & le plus ferré qu'il cft polfible. Enfuite on foure le pinceau dans un tuiau de plume coupé parles deux bouts ; mais le bout de la plume qui eft le plus petit doit aulfi avoir fon ouverture plus petite que celle de l'autre bout qui eft vers le gros de la plume, afin que le pinceau ."étant entré la pointe la première un peu à force par le gros -bout du tuïau , ne puiftc fortir par l'autre bout qu'autant qu'il cft neccftaire pour fa longueur. Il faut couper quar- rémentle poil du pinceau un peu au deflous du dernier noeud pour le pouvoir pouftcr dans le tuïau avec un petit b.âton auflî coupé quarrémcnt par lebout, & un peu moins gros que le tuïau. Mais il faut laifler tremper les tuïaux de plume dans de l'eau chaude pendant quelque tcms jivantque d'y fourer les pinceaux, car les tuïaux étant ,.9"' avec un linge blanc &: même un peu de mie de pain. Ouand on a des martes aflcs sf andcs d'une même teinte ou couleur qu'on doit coucher, il la faut déttempei- & délaier dans des godets ou écucUes de terre vcrnillée avec la cole qui y cil neceffaire , & en faire l'épreuve en la faifant feclier fur un quarreau ou fur un morceau de bois préparé comme le fond , ou même fur un morceau de gros papier blanc , -afin d'en reconnoîtrc la véritable teinte; car c'eit une des grandes incommodités de cet ouvrage,qu'on en voit point l'effet que quand il eft fec. Auffi a-t'il d un autre côté un très-grand avanragcpar fcs blancs ou clairs qui font fort brillants. Qiiand on emploie ces couleurs outeintcs, il faut toujours les tenir tiedes de peur que la colc qui y eft ne les fige , & les remuer très fouvent afin qu'une partie ne tombe pas au fond pour confcrver tou- jours la même teinte. Si ce font des teintes qui doivent changer fouvent & qu'il faut faire avec différentes cou- leurs, on a la palette de fer blanc qui fcrtà cet ufagc., comme on l'a expliqué cy-devant. .Qtiand l'ouvrage eft achevé &: (ce on peut retoucher tant qu'on veut pour donner des forces avec des couleurs propres ou des teintures , foit en hachant avec la pointe du pinceau ou de labrofle, foit en adouciffanc avec une broffe nette &: un peu d'eau. Cette forte de peinture a un très-grand avantage en ce qu'étant expofée a quel jour ou lumière qu'on voudra, elle fait toujours fon effet , &c plus le jour eft grand plus elle paroît vive & belle, & les couleurs étant feches elles ne changent jamais, & elles demeurent toiijours au même état tant que le fond fubfifte. On ne s'en fert pourtant pas dans les voûtes &: dômes des grandes Eglifes , à caufc qu'on n'y fait pas des enduits de plâtre fur les pierres , car Jefalpêtre delapierre feroit tomber l'enduit; on s'y fert prdinairement de la peinture à.frcfque , qui fe fait fur un Âec. de l'Acad. Tom. IX. Tttt ^pS Tr aite'delaPraticlue enduit de mortier, mais cette forte de peinture cft bien in- fcrieure à la détrempe dans la vivacité de la plupart de fcs couleurs. Qiiand l'ouvrage qu'on fiic de cette forte de peinture doit être touché & non pas adouci comme font des Paifa- gcs, on couche des fonds affés bruns qui fervent comme d'ébauche , lefquels étant fccs on terme toutes les touciies plus claires par dedlis , &: fur celles-là encore d'autres plus claires ,& ainfi tant qu'on veut , en laiffant toujours fcchcr le deffous avant que de toucher par dclîus. Il arrive afTésfouvent qu'en peignant à détrempe fur un fond qui eft déjà peint , la couleur refufcd'y prendre , comme fi c'étoit de l'eau qu'on mit fur de 1 huile; ce qui arrive à caufc que le fond,qui fera d'une nature de cendre fcchc j & quelques fois à caufe qu'il y a eu trop de colc dans la couche de deffous ; car la cole eft un peu grafîe de fi nature : alors on met un peu de fiel de bœuf dans la cou- leur qu'on veut coucher, & aulîi-tôt elle prend facile- ment ; car le fiel eft: fort pénétrant. L'Archireélure Se les Païfagcs font un très bel effet dans cette peinture, mais on ne doit pas l'expofèr à l'hu- midité. Qiiand on veutrehaufTer d'or fur la détrempe , il faut voir d'abord fi le fond eft affés encolé; car s'ilne l'étoit pas affés il faudroit y pafTer une légère couche de cole bien claire & bien nette, Se ne repafîer pas à plufieurs fois avec la broffe , qui doit être douce pour ne pas ternir par trop le fond; car quoiqu'on faife il fe gâte toujours un peu en l'encolant. Enfuitc on prépare la matière qui doit happer l'or, laquelle s'appelle B attire, èC ce n'cft que de la cole aflcs épaife où l'on mêle un tant foit peudemicl. On fait donc tous les rehauts qu'on veut dorer avec cette baturc chaude , en hachant pour l'ordinaire avec la pointe d'un pinceau ou d'une broflej& en n'y épargnant pas la bature ; CE LA P E I N T u R C. CJ.- j Slpcudetems apns, lorfque la barurc cft fîgcc &aircs ferme , on y applique l'or en feuille avec du coron ou avccles Biil:Joqucisga.xnis de drap, & on laiflcbicn feclur pcndanr quelques jours. Enfin on épourtc rout l'or avec une brode de poil de cochon bien douce & bien nette. Il fauc bien prendre garde que la baturc ne s'cmboive pas dans le fond aufli-tôt qu'elle eft couchée , ce qu'on connoît quand elle devient terne &: qu'elle perd fon lui- fane , car alors l'orne peut pas s'y attacher , hc il faut re- commencer à coucher la bature dans ces endroits cmbusi De la Peinture a. Frefque. L faut commencer la defcription de la peinture à fref- que par celle de l'enduit fur lequel on doit peindre. Cet enduit qui fe fait avec de la chaux & du fable ne peut être bien bon ni de longue durée que fur la pierre ou fur la brique. Mais on fait deux enduits l'un fur l'autre, le premier qui touche la pierre , qui n'cfb pas celui fur lequel on doit peindre, doit être fort raboteux , mais égal avec de gros fable , &: fur celui-là on couche le fécond avec du fable fin fur lequel on peint. Si la pierre n'eft pas poreufe & trouée , comme font nof pierres meulières , il faudra y faire pluficurs trous en tout fens &:de biais pour y faire entrer le premier enduit de mortier , enforre qu'il ne puifi'c pas fans détacher. Mais lî c'eft de la brique dont les joints foient de mortier qui ait débordé en batilTlînt , le fond fera affés inégal pour rete- nir le premier enduit. On pourroit faire ce premier enduit avec de bonne chaux &: du ciment fait de tuile piléc; mais ordinairement on le fait de gros fable de rivière ou d'autre qui foit aufli. bon. Il faut que cet enduit foit bien drefTc , mais fort ru- de , afin de pouvoir happer & bien retenir le fécond , qui Tttti; 700 Traite' de la Prattclue doit être fait avec du fiiblc fin pour y coucher les couleurs'. On choilît pour le fécond enduit , de la chaux fort vieille éteinte, à caufe qu'on croit que l'enduit qui en efl: fait avec le fable ne fc gerfc pas. Qiiiind le premier enduit efl; bien fec & qu'il a bien pri j corps avec le fond, on y applique le fécond pour peindre , en mouillant un peu le premier pour faire mieux happer le fécond. Mais comme on ne couche ce fécond enduit, qui doit être fort mince , qu'à mcftU-e qu'an veut travailler dcffus , Se qu'il doit être encore frais quand on travaills , il faut auparavant avoir fait tous fes dclfcins fur de gros pjpier Se de la grandeur de l'ouvrage. On conhdere donc d'abord quelle eft à peu près la gran- deur delà furface qu'on pourra peindre pendant que l'en- duit fera frais,&:c'cfi: cette portiond'cnduit qu'on tait coa- cher Se qu'on unit bien avec la truelle. Aulfi-tot qu'il a pris un peudeccnfiftance pour ne s'enfoncer pastacile- menteny touchant, on y applique le delfein qu'on veut prendre , Se on l'y calcfue avec une pointe , cnfortc que lorlquc le deffein eft ôtc on puiftc en voir toutes les traces gravées fur l'enduit, & alors on commence à peindre. Lorfqu'on peint à frefque de petits ouvrages- Se fur des fonds de Stuc frais , lequel fe fait de chaux Se de poudre de marbre blanc , on a fur du papier un trait du defî'ein pi- qué avec l'aiguille. Se en le ponce fur l'enduit avec du charbon pile. Nous avons déjà parlé de toutes Icycoulcurs qui doivent fcrvir dans cette cfpece de peinture, lefquellcs ne peuvent être que des terres, &:même des terres d'une nature fechc, s'il eft poffiblc, ou des marbres &r des pierres bienpilées; car toutes ces couleurs qui s'emploient avec l'eau toute feule fe doivent un peu mêler avec l'enduit où il y a de la chaux, ocelles doivent faire un mortier coloré. C'cftfur cela qu'on peut juger de la nature de toutes les couleurs ETE LA P E IN T U RE. 70I qui peuvent fcrvir dans ccctc peinture, laquelle exclut toutes les teintures &c les autres couleurs tirées des miné- raux qui ne peuvent pas s'accorder avec la thaux. On fe fcrt de broffcs & de pinceaux de poil ferme & af- féslongs& pointus, mais il faut prendre garde de ne pas troplahourer dans le fond du mortier frais. On peutaulli fc fcrvir de brolfes quarrées ou plâtres par le bout pour coucher de grands fonds , mais il faut toujours que le poil en (oit long. Avant que de commencer à peindre on doit préparer toutes les teintes des couleurs dans des écuelles ou ter- rines de terre, 5c en faire les épreuves en les faifant lécher furdes quarrcaux ou tuiles comme on a fait pour la dé- trempe; car cette peinture a beaucoup de rapport à celle- là , à l'exception du fond où il y a de la chaux &; qui efl frais, Si qu'on nes'v iert point de colc n'y d'aucuac ma^- tiere gommeufc. Aufll-rôt qu'on sapperçoit que l'enduit fur lequel on peint cft un peu trop fcc pour faire que les couleurs qu'on y couche s'y puilfent incorporer , il faut l'abatrc en le ha- chant , &: en faire un nouveau tour proche de ce qui ctè déjà peinr,& prendre bien garde de barbouiller l'ouvrage qui y touche èc qui eft fini. On ne peut noier les teinte; les unes avec les autres qu'en les hachant comme h Ion dclTmoit , ou enlespoin- tillant; mais comme la plupart de cet ouvrage n'eft que touché , fi les teintes ne font pas bien diftercntcs , il parak allés adouci quand elles font placées les unes auprès des autres , &c fur tout dans uncdiilancc confidcrable, com- me font la plupart de ces ouvrages qu'on fait dans de grandes voûtes &: des domxs des Eiîlifes. On ne retouche jamais cet ouvrage pour lut donner dks clairs ,• mais comme la force dans les ombres lui manque ailés fouventj on cil oblige quelques fois de les retoucher ^ Ttttiij 701 Traite' DE LA Pr ATI Q^UE ce qu'on ne fiiit que quand le touc efl; bien ("ec , car ce n'cft qu'alors qu'on peut bien voir l'effet de cette peinture. On fc fert pour retoucher de quelques couleurs brunes de leur nature , lefquelles ne puillcnt pas être détruites par la chaux qui eft deilous , &: l'on détrempe ces couleurs avec de l'eau &: quelques matières gommeufcs. En Italie ils y mêlent du lait de bois de figuier : mais il faut que l'ouvra- ge foit à couvert de la pluie. On pourroit aufli retoucher à fcc des couleurs rouges avec de la fanguine brune, eu frottant &: eflompant comme fi l'on dcflinoit , car on trouve quelques morceaux de cette pierre qui cil un peu -graffc de fa nature , lefquels font d'un rouge brun aflés vif & tirant fur la laque , par ce moïen ce qu'on rctoucheroic yne pourroit pas s'effacer , pourveu qu'il ne fut pas lavé par l'eau. On pourroit auffi faire la même chofe pour les noirs avec de la pierre noire qui n'eût point de falpêtre, com- me il s'en trouve quelques morceaux , ce qu'on peutcon- noîtrc en les expofant à l'humidité pendant quelque rems. On voit à Rome des ouvrages à frefque qui ont été faits du tems des Anciens Romains, & qui fefont très- bien confervés , quoiqu'ils aient été enfermés dans des , caves & des grottes fous terre pendant plufieurs fieclcs. Si l'on vouloir dorer fur la peinture à frefque on le pour- roit fiircde la même manière qu'on dore fur la peinture à huile avçc l'or couleur , ce que nous expliquerons dans ;.fon lieu. De la Mofaïque, Lya peu de chofe à dire fur la pratique de cette pein- ture , qui eft fort ancienne ; car il cû: facile à juger que Ion exécution cft pliitôt un ouvrage de patience que d'art. .îl.faut premièrement avoir tous les deffcias au net de la CE LA Peinture. 70 j grandeur de l'ouvrage , ce qu'on appelle Cartons , avec un tableau peint, foit en pccit, foit en grand , de tout l'ou- vrage qu'on veut faire , car cette exécution n'cl]; propre- ment qu'une copie. Pour les couicurs il faut que toutes les petites pierres de chaque teinte ou nuance d'une même couleur, foicnc sangées par ordre dans des paniers ou boetes ; Se toutes ces petites pierres doivent avoir au moins une face plate & unie , ou à peu près , laquelle doit être expofée à la vûë, & que les autres côtés foient un peu plus petits que la face,, car c'eft la partie qui doit entrer dans le mortier pour les retenir contre l'enduit. Il faut encore que ces petites pier- res ne ioient pas luifantes ni polies, car on n'en vcrroit pas la couleur à un jour qui reflechiroit la lumière. Les plus petites pierres feront plus propres à faire un ouvrage plusdclicat& plus fini, mais l'exécution en fera plus lon- gue : mais il n'eft pas néccflTairc que ces pierres foient d'é- gale figure , pourveu qu'on les puiiTe placer fort proche l'une de l'autre, & qu'il n'y ait pas de grands vuidcs entre- deux : c'eft pourquoi il faut en avoir dont les faces foient de toutes fortes de figures pour fuivre plus exademcnt les contours du dcllein. Il faut enfin que la furface extérieure de toutes ces pierres enfemblc, quand elles font .à leur place , foit la plus unie & égale qu'il fera polhble , ce qui rendra l'ouvrage plus propre & plus parfait, 8c qui lui fera, faire un meilleur effet. 1 Lorfque le premier enduit cft flxit fur lemur comme le premier qu'on a fait pour la peinture àfrefque, &: qu'il eftbienfec, & qui doit être tort rude, on mouille un peu la place fur laquelle on veut travailler , &: l'on y ponce- avec de la pierre noire pilée, le deffein ou carton de pa- pier qui doit être piqué pour cela. Enfuite on met du^ mortier fin d'une épailTeur médiocre & égale fur chaque petits place où ne paffe pas le trait dudeflein , car ilfauc 704 Traite' de la Pratique Icconfcrvcr & placer dans les concours de petites pierres en les trempant dans le mortier un peu clair ou liquide qu'on doit avoir tout près dans une auge ou jatte de bois. Qiiandon a couvert de pierres un petit c(pace,il faut un peu les batrc avec une régie cpaifle &c force pour les drcfFer par leur face place qui paroîc au dehors , à peu près comme les quarreleurs font le quarrcau : mais il faut bien pren- dre garde quand on les drcffc ainfi avec la règle que le mortier foiccncore tout frais, car fans cela on romproic U liaifonqu'cllesont avec le mortier. Qriand on fait quelques parties délicates, comme une tète, une main ou autre chofe femblable, on pourroïc avoir le trait de ces parties fait à l'encre fur du papier blanc Se fin Se huilé , afin qu'en l'appliquant fur l'ouvrage tout frais fait, on connût fi le delTein n'en feroit pas al- tère, car on vcrroit l'ouvrage fait au travers du papier huilé , &: s'il y avoit quelques dctfaucs on pourroit les cor- riger avancqtie le tout fut bicnfcc. Si le mortier déborde un peu en quelques endroits en- tre les joints des pierres qu'il faut faire tous les plus petits qu'il fera poflible, on doit le ratillcr avec la truelle qui fcrcdans tout ce travail. Mais comme les pierres fe bar- ■bouiUent toujours unpeu de mortier, &; princlpalcmcnc en IcsdreAantavec la régie , lorfquc tout fera bien fcc on IcstacilTera Icplus promptement qu'il fera poflible avec un couteau ou ratifl'oirc , Sc enfin on les frottera avec un morceau déboisa du fablon fin avec de l'eau pour les iicttoïer entièrement en les lavant cnfuite avec l'eau , comme on fait aux quarrcaux des chambres , ce qu'on ap- çielle décroîtr , & comme les pierres ne doivent point avoir de luifant , le fablon doux ne gâtera rien à l'ouvrage. Si l'on veut faire quelque changement quand tout eft fait, il fera bien aifé puifqu'il n'y aura qu'à abatre jufqu'au , rrciiiicr enduit qui doit toujours rcllero Cette 'D E L A P E r N T U R. E. JO y Cecteefpcce de peinture doit duret autant que le mur fur lequel elle cft , fans aucune altération des couleurs , &: l'on en voit quelques pièces fort anciennes aulfi belles &: aulU fraîches que quand elles ont été faites: mais on ne s'en fert ordinairement que dans de grands ouvrages qui doivent être placés loin de la vue. Cependant on en voit quelques petits morceaux qui font tort finis , & qui ont été faits avec autant de foin & de délicatcffe que de patience. Pour dorer dans cette efpece de peinture on a de petites pièces de verre blanc ou clair , épais & doré au feu d'un côté , &: c'cft le côté dore qu'on applique fur le mortier , la furfice extérieure du verre fervant de vernix à l'or ; cq% petits morceaux de verre doivent être de la même gran- deur que les autres pierres colorées : mais pour décroter DU ôtcr le mortier qui déborderoit entre les petites pièces de verre, il faut feulement les ratilfer proprement avec un couteau , &: les laver enfuite avec de l'eau, car le fablon étant frotté fur le verre Icterniroit, &: le brillant de l'or ne paroîrroit plus au travers , aulTi-bien le mortier n'efl pas bien adhérant au verre. J'ay déjà dit en parlant d'abord de cette efpece de pein- ture , que toutes les pierres qu'on y emploie doivent être des cailloux ou marbres colorés ou blancs , lefquels il faut choifirS.: rechercher foigncufement, en les léparant &: triant entre tous les marbres de différentes couleurs &; veines qu'on trouve dans les rochers, en mettant chaque teinte à part dans chaque couleur : mais comme il fera dif- iîcile d'en recouvrer de toutes les couleurs néceflaires pour la peinture , il en faudra faire d'artificielles par le iiio'ien du feu , lefquclles ne i'eront que de gros émaux im- .parfaits compofés de fable & de quelques minéraux fon- dus enfemble , ic qui feront au moins auifi dures que Jcs marbres, comme on en trouve d'un bleu vcrdacrc Rec. di t'Acad, Tome IX, Vuuu ■yo6 Traite' de la Pratiq^ue clair qui fe féparcnt du fer quand on le coule après avoir ctc fondu. De la Peinture à Huile, CE T T E cfpcccdc peinture cft moderne en compa- raifon dos précédentes. Elle a de grands avantages fur elles pour la délicateffe de l'exécution , pour l'union &c le mélange des teintes , pour la vivacité de plufieurs de fcs couleurs , & enfin pour la force de la peinture. Elle peut faire tout fon effet quand on la regarde d'allés près , ce qui n'cfl: pas dans les précédentes dont nous avons parlé. On a le tcms pour adoucir & finir tant qu'on veut , & la com- modité de retoucher S:i, changer tout ce qui ne plaît pas , lans effacer entièrement ce qui eftdéja frit ; & l'on peut s'en fer vir en petit comme en grand. Elle pourroit palier pour la plus parfaire des manières de peindre fi (q% couleurs ne fcternilToient pas dans la fuirc dutems; car elles deviennent toujours plus brunes, &: elles tirent fur un jaune brun, ce qui vient de l'huileavec laquelle tou-. tes les couleurs font détrempées &: incorporées. La plus grande commodité de ce travail eft de voir ce qu'on fait , comme il doit paroître dans la fuite; car les couleurs ne changent pas en fcchant ; & c'eft par ce moïen qu'on a pu imiter fi parfiitementla nature, qu'il ne Icmblc pas pofîlble qu'on puilfe parvenir .a quelque chofede plus par- fait. Le luifant de fcs couleurs empêche qu'elle ne faffc fon cfl^et , à moins qu'elle ne Ibit cxpoféc à un jour de biais; c'eft pourquoi on ne s'en peut pas fer vir dans toutes les ex- pofitions où le jour ne lui cfl: pas avantageux. En parlant en gênerai des couleurs , j'ay remarqué cel- les qui pouvoicnt fervir dans cette efpece de peinture , lefquelles font toutes détrempées & broïées avec l'huile de noix , qui eft fecativc de fa nature. On pourroit aufll /^ DE LA Peinture. 707 Te fervir d'huile de lin: mais comme elle cft plus jaune &c plus graffe que l'huile de noix, on ne l'cmploïc que dans les impreflions à caufe qu'elle cft un peu à meilleur mar- ché. Il y a eu quelques peintres qui ont emploie de l'huile tirée de la graine de pavot blanc , à caufe quelle cft beau- coup plus blanche ou plus claire que l'huile de noix , &: que d'ailleurs elle eft aufli fccativc ; mais ce n'a été que pour de petits ouvrages , où ils ont recherché tout ce qui pouvoit contribuer à la beauté &: à la vivacité des couleurs. Quoique l'huile de noix foit fecativc, il y a pourtant des couleurs qui étant mêlées &: broïées avec cette huile ne fechent jamais , Se d'autres ne fechent que très difficile- ment. C'eftcequia obligé les Peintres de chercher des moïens pour faire fecher ces fortes de couleurs. Ils ont trouvé que la couperofc blanche fondue &: fechée fur une platine de fer étoit un bon fecatif quand on en mêloit un peu dans les couleurs ; mais il la faut broiera l'huile pour l'y mêler; &: comme elle n'a point de couleur elle ne gâte point celles où on en met, comme dans l'outremer &: dans la laque , qui ne fechent pas toutes feules. Il cft vrai que quand on mêle aft^és de blanc de plomb dans ces couleurs elles fechent affés flicilement,pouvcu néanmoins que le blanc de plomb ne foit pas nouvellement boié , ni avec de l'huile nouvelle , car fans cela il ne feche pas fort promptemcnt, &:fur tout en hiver. Car on doit remar- quer en gênerai que toutes les couleurs à huile fechent bien plus vite en été qu'en hiver. Mais comme la coupe- rofe eft un fel , il y en a qui craignent qu'elle ne fe fépare des couleurs quoique fechcs , quand les tableaux font ex- pofés à l'humidité, Se qu'en fe fondant avec l'eau, elle ne laiftc fur le tableau une cfpece de farine b'anche quand l'eau fe feche. C'eft pourquoi on a cherche d'autres feca- tifs que la couperofc. Vuuuij 708 Traite' de la Pratkj^ue Le plus commun de tous , ôc qui cft le plus en ufagc , cil une huile qu'on appelle Secative. Ce n'eft que de l'huile de noix cuite dans un pot de terre à feu lent, avec delali- targe bien broïce avec la même huile , on ne met environ qu'une huitième ou dixième partie de litarge; on la fait cuire doucement de peur qu'elle ne fc noircifTc, & quand elle commence à s'épailTir on l'ôte de dcfilis le feu , & 0:1 la bat bien avec une fpatule de bois en y verfanr un peu d'eau , &: quand elle eft repofée ellecil: prête à s'en Icrvir ; il faut que lepotne foit quàmoiticplcni d'huile, de peuï qu'en cuifant elle ne fc répande par delfus les bords. Il y en a qui font cuire avec l'huile un oignon coupé euplu^ iieurs morceaux pour la dégrailî'cr & pour la rendre plus coulante &c moins gluante , à ce qu'ils prétendent. Oi\ met un peu de cette huile dans les couleurs qui ne fechci-t pas toutes feules, comme l'outremer, la laque, les IHls de grain , les noirs de charbon , & fur tout dans le noir dos où il en faut mettre un peu plus, à caufc qu'il peut relier des années entières fans fcchcr quand il n'y a point defeca'cif. On peignit d'abord à huile fur des planches de bois , enfuite fur des lames de cuivre , comme font celles où l'oia grave , mais ce ne pouvoir être que pour de petits ta- bleaux , &: enfin fur des toiles &:dcgros tafetas; î'ufagede cette peinture fur des toiles l'a ptefentement emporté fur les autres. On peut aulfi peindre far des murs enduits de plâtre. Pour préparer les planches de bois pour peindre à hur- le, on les encole d abord des- deux côtés avec de la cole chaude de cuir . comme celle dont on fe fert pour la dé- trempe ; on en met des deux côtés pour empêcher que les planches ne fe tourmentent. Enfuite quand la cole eft feche on rade bien le côté fur lequel on doit travailler , &: on les imprime auflî des deux côtés avec du blanc de craie DE LA Peinture. 709- & de lacolc, cil fc fcivant d'une brofic douce, & on le fairplufieursfois de fuite, en laiiTant toujours bien Icclicr la couche précédente , Se unifiant bien le cote où Ion doit travailler à chaque couche avant que d'en njettre un au- tre ; & il faut donner ces couches fort promptement , & frotter légèrement de peur de détremper la cole de la cou- che pieccdente. Toutes ces couches fervent à remplir tous les pores du bois pour rendre le fond bien uni. Enfin on rimprime d'une couleur à huile qui foit fine Se mcdio- eremcntépaifTe , en la couchant uniment avcclabrofie douce. Cette couleur eft ordinairement du blanc de plomb ou de cerufe mêlé dun peu de brun rouge & de noir de charbon, ce qui fait un gris tirant fur le rouge. Ily en a qui donnent deux de ces couches l'une après l'autre , Se quand la précédente eft fechc , en frottant au- paravant la couche qui eft fechc avec une pierre de ponce, ou en la raclant lc2:cremenc avec le tranchant d'un cou-r teau pour en ôter toutes les inégalités , & alors le bois eft préparé pour travailler , &: il eft bien plus uni que les toi- les ; c'eft pourquoi on s'en peut fervir fortavantagcufe- mentpourde petits ouvrages qui demandent beaucoup de propreté. Pour les planches de cuivre, quand elles fontdrcfTécs & poncéescomme elles fortentdes mains des Chaudron- niers , on les imprime d'abord de la couleur à huile qui doit fervir de fond pour travailler , & qui doivent être comme les dernières qu'on a données fur le bois. On don- ne deux ou trois de ces couches l'une après l'autre, en laiflant toîijours lécher la prcccdcnte ■. mais comme ces couches font ordinairement trop polies , & qu'on y peur pas peindre facilement icaufe que la couleur y glift'c par trop , on bat un peu l'imprcflion toute fraiche avec la pau- me de la main,pour y faire un petit grain qui happe mieux la couleur qu'on y met en peignant, Vuuuiij, yio Trait e'dela Pr.atiq^ue Maintenant pour les toiles , elles doivent être ncuvet, adës claires, & avec le moins de nœuds qu'il eft polîiblc. On les tend fur des ciiaflis de bois avec des broquettcs , en rebordant la toile fur l'épaifTcur du chalfis où on l'attache, en mettant les broquettcs à trois ou quatre doigts de di- ilance les unes des autres. Quand la toile eft bien tendue fur Icchaffis, qui doit être ferme avec fa rraverfes & fes ccharpes pour la maintenir en état, on l'encole d'abord avcclacole de cuir qui doit être figée. On couche cette cole avec le tranchant d'un grand couteau qui eft affés mince & en le panchant un peu ; ce couteau a Ion manche ■recourbé vers le dos , afin que la main qui le tient ne tou- che pas à la toile lorfqu'on s'en fert. On pouflc un peu la toile par derrière aux endroits où l'on paffe le couteau, .pour étendre la cole plus également & plus uniment, & on n'y en laifTe que le moins qu'on peut. On racle auffi-tôt toute la cole qui a paffé par derrière avec le même cou- .teau , afin que la toile foit plus également encolée. La toi- le devient alors fort tendue , &: on la laiftebienfecher. Cette cole fert à boucher tous les trous de la toile,- mais pour la rendre bien unie quand elle eft feche , on y frotte en tous fcns une pierre de ponce bieiî drefteç qui emporte tous les noeuds &: toutes les inégahtés. On imprime en- ■fuite la toile avec du brun rouge broïé à huile , & médio- crement épais , dans lequel on met quelque fecatif , qui eft pour l'ordmaire un peu de mine rouge bien broïée &: bien mêléeavecle brun rouge. On étend cette impreffion fur la toile avec le couteau comme on a fait la cole, en pouf, ■fant la toile par derrière de diftancc en diftanceà mefure qu'on étend la couleur pour n'y en laifler que fort^eu , 8c feulement autant qu'il faut pour commencer à unir la toi- le. S'il étoit pafte un peu de cette couleur par derrière par <|uelqucs petits trous de la toile que la cole n'auroitpas bien bou-ché, on la ratilTe encore tputc .fraîche avec ie delaPeinture. 711 tranchant du couteau , & on lailTe bien fcchcr cette pre- mière imprelTion. Enfuiteon ponce encore la toile pour la rendre plus unie & pour donner une autre couche. Il y a des Peintres qui fe fervent de ces toiles qui n'ont qu'une feule couche , éc ils les préfèrent à celles qui en ont plu- fieurs, parce qu'elles font moins mourir les couleurs delà peinture, & qu'elles fe peuvent rouler plus facilement pour être tranfportées. Mais comme le grain de la toile paroît toujours beaucoup quand elle n'a qu'une couche, on ne s'en fcrt ordinairement que dans les grands ou- vrages. On donne prefque toujours deux autres couches d'im- prciTion l'une après l'autre fur la première , & de la même couleur que les dernières qu'on a miles furies planches de bois , en ponçant toujours la précédente quand elle eft feche avant que de mettre la fuivante. Ces der- nières couches font d'un gris rougeâtre qui convient en gênerai à toutes les couleurs de la peinture, & quand la toile eft bien fccheellc eft alors préparée pour pein- dre. Si l'on veut peindre fur un mur de plâtre, on y donne d'abord une couche d'imprelîîon à huile avec du brun- rouge ou de l'ocre jaune, laquelle s'cmboit dans le plâtre fec ,&: cette feule impreffion pourroit fuffire pour pein- dre deflus,mais on en peut donner une féconde par dclTus la première, Il y a eu des Peintres fameux qui ont crû que toutes les impreffions à huile gâtoicnt toujours les couleurs qu'on y mettoit deffus : c'cft pourquoi ils fe font feulement fervis de toiles imprimées de blanc à détrempe, &:ils ont peint à huile par delTus. Les couleurs des tableaux qu'ils ont peints fur ces fortes de toiles font demeurées très belles & très vives. Il eft certain que les couleurs des fonds paroill'ent toujours , &c tuent , cominc on dit , celles jit. Trait e' DE LAPRATr q_u e qu'on y met enfuite fi elles font fort différentes, & fur tout s'il n'y en a pas fort épais. Car l'huile venant à s'évaporer en fechant , il ne rcftc prefque plus que la couleur quieft toujours affés mince pour laifTcr entrevoir le fond; c'eft pourquoi pour bien garnir de couleur on eft obligé de peindre àpluficurs fois une même chofc &; avec la même couleur. Le fond étant préparé on commence à y dciTincr le ta- i)lcau,cequi fcfiit comme on l'a expliqué cy-devanten parlant dudcflc/n, lequel étant bien arrêté, on com- mence à y mettre les couleurs. On prend la palette où les couleurs font rangées par ordre, comme on a dit , &: on la fourre dans le pouce de la main gauche , 6c l'on tient delà même main les pmccaux dont on veut fe fcrvir -, on tient encore avec le petit doigt la baguette ou appui-main, &c dans la même le torche- pinceau, qui eft un petit morceau de linge qui fert à effuïcr les pinceaux , le couteau dont on mêle les couleurs fur la palette, &: la palette. On fait d'abord une ébauche du tableau , laquelle ne "fcrt que pour couvrir la toile avec les couleurs pour en ■falctte avec l'extrémité du couteau toutes les principales •tci:ites dont on a affaire , en les compofant des couleurs 'principales , èc en les mêlant bien &: les arranger par or- dre les unes auprès des autres, &: les plus claires vers le pouce qui tient la palette :carc'cft une mauvaife manière de faire ces teintes avec le pinceau. Il faut être foigneux de tenir toujours la palette &: les pinceaux fort propres; c'eft pourquoi quand on quitte l'ouvrage à la fin de la journée , il les faut nettoïer. On ôte de dcflus la palette toutes les couleurs qui peuvent encore fcrvir & qui font propres , S>c on les met fur une autre pa- lette ou fur un morceau de verre net qu'on frotte légère- ment d'huile avec le bout du doigt. Mais comme il y a des couleurs qui fcc lient fort vite &c qui ne pourroient pas fe confcrver jufqu'au lendemain , comme le blanc &: toutes les couleurs où il y en a beaucoup de mêlé , la terre d'ombre , le brun rouge où l'onamis dcquoi fecher , Sc les noirs où il y a aulfi des fecatifs , on les met à part fur un morceau de verre où de faïence , &c on les plonge dans de l'eau nette où ces couleurs fe peuvent confcrver quelques Jours fans fe gâter. Mais il faut remarquer qu'il y a quel- ques couleurs , comme l'ocre jaune , les ftils de grain , la terre verte , l'outremer , qui étant mifes dans l'eau quittent leur huile &: fe mêlent avec l'eau ; c'eft pourquoi il fcroic inutile de mettre ces couleurs dans l'eau pour les confcr- ver. Qiiand on veut mettre fur la palette les couleurs qui ont été confervécs dans l'eau , on foufHe dclTus pour en chaffer les goutelettes d'eau qui y reftcnt , & on les laiffc encore un peu fecher pour emporter le peu d'humi- "•dite qui y refte. Pour les pinceaux il les faut toujours bien nettoïer avec -de l'huile de noix fraîche &c nette fur le fcrdu pincclicr, -endctrcnipant un peu la couleur qui y eft^ &: cnfuitecn Xxxx ij 7i6 Traite' DE LA Pratiq^ue prcflcr le poil encre le doigc Se le fer , &; recommencer plufieurs fois jufqu'àce que l'huile en forte toute nette-, ce qu'on fait quand on quitte l'ouvrage ,& toutes les fois qu'on change de couleur, & on les ciluie bien cnfuitc aveclc linge. Qiiand onnefe fert pas des pinceaux aufli- tot qu'ils font nets , on y met un peu d'huile nette au bout, èc on les met fur un corps penchant le poil en dehors , afin que l'huile ne remonte pas au long du tuïau &c du manche. fi l'on juge que les pinceaux , quoique nettoies & huiles , le puiffcntfecher li l'on demeure plufieurs jours fans s'en fervir , &: fur tout quand il fait chaud , il faut y mettre un peu d'huile d'olive après qu'ils ont été bien nettoies &: cffuiés , Se par ce moicn on les peut confervcr des années entières fans fe gâter: mais quand on voudra s'en fervir pour peindre, il faudra les eflu'icr pour en ôtcr toute l'hui- le d'olive. Se les netto'ier encore deux ou trois fois avec de l'huile de noix nette , comme s'il y avoit de la couleur. Si les pinceaux fefechoient avec la couleur, ou même avec l'huile de noix après être nettoies, quand on de- meure plufieurs jours fans s'en fervir, & fi la couleur ou l'huile ne font pas bien feches, on les pourra netto'ier ca les trempant & frottant dans un peu d'huile de terebcn- tine & à plufieurs fois , mais on le fera bien mieux avec un. peud'efpritdevin. On peut connoîtrc fi la couleur d'un tableau eft bien feche fins y toucher avec le doigt ; car il ne faut que pouf- fer fortement & de près fon haleine contre la couleur , Se fi elle cfi: feche , la couleur paroît toute terne, au con- traire elle refte luifante comme elle étoit auparavant Ci elle eft encore fraiche. Mais fi la couleur étoit embué & à moitié feche, on n'y appcrccvroit pas un grand chan- gement. Quand un tableau eft fini Se bien fcc , il eft prefque tou- jours tout cmbu ou en partie ; mais principalement quand DE LA Peinture, 717 il cft peint fur un fond qui n'écoic pas fcc depuis pluficurs années ; c'cfl: pourquoi on cft oblige de le vernir pour ren- dre aux couleurs leur vivacité , ce qui donne aulîi un lui- fant à tout le tableau. On fait de plufieurs fortes de ver- nix pour les tableaux à huile, dont le principal corps efl de latercbentinedc Vcnife, qui doit être fort claire ,&dc l'huile de Tcrcbcntine : mais il fiut y ajouter une autre matière fecative ,car fans cela la tcrcbcntine ne fccheroîc pas, & le vernix hanpcroit toujours. Le meilleur de tous ces lecatifs cft de la gomme laque bien blanche &c claire , qu'on fait fondrcàun feu lent dans de l'huile de terebcn- tinc ou dans de l'huile d'afpic , on la paflc cnfuitc , &r c'efl ce qu'on appelé vernix fccatif. La quantité ou dofedeces trois matières n'cft pas autrement déterminée , cependant on peut prendre une once de tcrcbcntine , deux onces d'huile de terebentinc ,une demi-once de vernix fecatif, on mêle ces trois chofesenfemblc dans une phiole de ver- re plus grande que la quantité des matières , &::dans de l'eau qu'on fait bouillir un quart d'heure environ, en met- tant d'abord la phiole dans l'eau avant que de faire chauf- fer l'eau , pour échauffer peu à peu la phiole a. mcfure que l'eau s'échauftc, car une trop grande chaleur fubite la pourroit faire caffcr , Ôc le feu prenant à toutes ces dro- gues, qui font fort inflammables, pourroit brûler ceux qui en fcroient proche. On bouche légèrement la phiole pen- dant que le vernix cuit. Si l'on vouloit du vernix un peu plus épais ou moins épais, il faudroit y mettre plus ou moins de tcrcbcntine. Qiiand.lc vernix n'a pas ailés de corpsilfautvernir plufieurs fois, car l'huile de tereben- tinc s'évapore facilement , &: la terebentine entre dans la couleur. On couche le vernix avec une brolTc douce de poil de cochon ,& l'on frotte légèrement de peur que l'huile de tcrcbcntine ne détrempe la couleur fi le tableau cil non- Xxxxiij -yiS Traite' de la Pratique vellement peint. Il arrive quelques fois que Icvernixre- fufe de prendre lur la couleur du tableau, comme fic'é- tûit de l'eau fur un corps gras, mais il n'y aqu'àpouflcr fon haleine contre le tableau, &:lcvernix prend aulîi-tàt en cet endroit. La broflc qui Tcrt à vernir doit être neuve , & on la laiiTe fechcr quand on a verni , mais quand on veut s'en fervir une autre fois, il la faut tremper dans un peu d'huile de tcrcbentine ou dans de rcfprit de vin qui la rend mole aufli-tôt en dilTolvant le vernix qui y ctoit rcfté Se qui ctoit fcc. Ilyenaqui font un vernix fecatif avec le Sandarac, qui cft une gomme fort claire qu'ils font fondre dans de Tcfprit de vin ou dans de l'huile de tcrcbentine à feu lent. Ce vernix eft très clair, mais il n'eft pas propre pour les tableaux qui font expofcs à l'humidité , car l'eau le fait fariner, &: il paroît fur le tableau des taches blanches où a été l'eau pendant quelque tems, lefquelles on ne peut en- lever qu'en ôtanttoutlc vernix. On fc fcrt pour cela de petits morceaux de linge trempes dans dcl'efpritde vin, dont on frotte le tableau aux endroits tachés , & l'on change de linge à chaque fois qu'on frotte , car il s'imbibe auili-tôt du vernix qu'il détrempe. Il faut frotter légère- ment avec l'efprit de vin, car fi le tableau n'eft pas vieux •fiit, l'efprit de vin diflout la couleur avec le vernix;quand On a emporté toutes les taches on iBet un autre vernix fur le tableau. Comme tous les vernix font fujets à détremper la cou- îeurquandiln'y apasfort long-tems qu'elle cft fcche , à .caufe de l'huile de tcrcbentine qui en fait le principal -corps, il y a des Peintres qui ne veulent pas vernir d'abord leurs tableaux : cependant pour en voirreftet&: pour fai- re revenir les couleurs embues , ils frottent tout le tableau avec un morceau d'épongc trempée dans du blanc ou glai- je d'œuf battu : mais s'ils veulent cnfuitc retoucher eu. DE LA Peinture. 7I9> quelqu'endroit , ils le lavent avec de l'eau claire pour emporter le blanc d'œuf. Le blanc d'œuf eft commode pour rendre la couleur fort feche, de pour fixircque la pouirierene puilTe pas s'attacher dcfflis , &c même pour les tranlporter en roulant la toile : maisquand le tableau fera bien fec , il faudra le bien laver ô<: le laifler fechcr , & en- fuite le vernir d'un bon vernix. Pour dorer fur la peinture à huile on fc fort de vieilles couleurs fort graffes & médiocrement cpailics, comme celles qui fe trouvent au fond de 1 huile des pinceliers;. mais il les faut paflcr dans un linge pour en ôter toutes les ordures & les peaux qui y font , car c'efl: dans le pincelier où l'on jette tons les reftes des couleurs qu'on ôte de dcffiis ' la palette &c qui ne peuvent plusfervir. Mais au dcffauc de ces couleurs graffcs , qui doivent être d'un jaune tirant fur le rouge , ce qu'on fait en y mêlant un peu d'ocre jau- ne & de brun rouge ; on prend trois parties d'ocre jaune & une de brun rouge bien broïécs à l'huile & afîes claires • ou liquides, &c on les fait cuire fur le feulent dans une ■ ccuelle de terre jufqu'àce que le tout devienne épais tV gluant, mais pourtant de telle confiftance qu'on le puiffe • coucher avec le pinceau : &c c'eft ce qu'on appelle Or cou- leur. Si cet or couleur n'ctoit pas affcs fecatif pour fechcr médiocremcnt en un ou deux jours d'été, il faudrcit y nié- - 1er un tant foit peu de fecatif. C'efl: cet or couleur qui doit fervir de fond ou de cou- che pour happer & retenir l'or en feuille qu'on y appli- que avec le coton, ou des pinceaux longs ou des bilbo- quets. Mais il y a beaucoup d'adreffe à coucher propre- ment l'or couleur fur la peinture en hachant, ou d'une autre manière où l'on veut appliquer l'or ; car l'or couleur doit être appliqué afTés épais & alTés ferme pour ne pas couler, &: plus il cft épais , plus l'or a de relief, c'eft pourquoi on fc fert de pinceaux longs , pointus & aflc;. yio Trait e' DE laPrati c^v e •* fermes. On n'appliqucTor fur l'or couleur que quancU'or couleur cft prefquc tout à feit fec; pourveu feulement qu'il puiflc un peu happer l'or c'eft ailés , car plus il efl: fec plus l'or eft vif. Mais quelque précaution qu'on prît à peindre proprement l'or couleur, on ne rcùllir-oit pas à dorer fans avoir entièrement dégraillé le 1-ond ; car l'or prend facilement fur la couleur , quoiqu'elle paroille bien fcchc. C'eft pourquoi on détrempe dans afTcs d'eau de la chaux fufée àl'air , &c on la couche fur tous les endroits fie la peinture où l'on veut dorer. Qiiand la chîujuyjû bica feche on l'emporte en la frottant avec unaliroflcli pcin- drc un peu rude , cnfortc qu'il n'en re(p que fort peu , qui n'empêche pas de voir ce qui eft peine & alors on cou- che l'or couleur aux endroits où l'on veut qu'il y ait de l'or , & l'or ne s'attachera point a la peinture , mais feule- ment à l'or couleur quand on y mettra l'or. Comme on applique l'or, non-fculemcnt où eft l'or couleur , mais tout à plat aux environs , après l'avoir un peu battu avec le coton pour le bien attacher , on laifle bienfccher l'or ; couleur pendant quelque jours , 6c enfuitc on l'époufte bien enfrottant légèrement & en tous fcnsavcc une.brofle