PA) ME Na REI el a cd ora el di lacat et, È N Seda ta La a Pre Pets a P el — es ha Pe. Rs pla Xa es a é QUE Nath Sa EN tn CA Sa Ri Un A É ti EN Ri 4 AA Es dE de da roda — Dol cer iots i Lo ese EP ls es Red Dar s Ui he V) L h 41 É ats Da Mira SGA EÇ MIC) É ó, NLT arrga En i TA È i DD at ANt DSJAL i 3 A Nat Ç L3 3 cants ii ES PAS A 3. t SO Elias A. de Pe apre ya CEE Ba cl Pre dra Ot ri cota el Si x PO EN Da ter are cia es a En ni i 3, curt 41 es ia a me EEES a a mes RS RBA ID Te i SNC nn: i an CI dé h Son Dt RA : BR À der OSE A RR radi licel SA MICA i) i t ori tt dit Es EA Ras PM Maia En 8 Boquet SEUS del Media 4 aut mea CE P da MA ban ds hi h CL en RD A Oct a at ieicda qe Mode GA CRA an CINC I Sac Sl 4 id i EsiM £ Li 3 X5 at i En MEMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. — MEMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE 330 B. Nec temere nec timide. É TOME SEPTIEEME. LIÉGE, CHEZ H. DESSAIN, IMPRIMEUR. BRUXELLES , CHEZ C MUQUARDT. LEIPZIG, MÉME MAISON, PARIS, CHEZ RORET, Lip'é, RUE HAUTEFEUILLE , 10 bis. 4851. EXPOSÉ ÉLÉMENTAIRE THÉORIE INTEGRALES DEFINIES, 3 PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE, MEMBRE CORRESPONDANT DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES ET BELLES-LETTRES DE BELGIQUE. BRURELLES et LEIPZIG , CuEZ C. MUQUARDT , LIBRAME-ÈDITEUR. PARES, Curz RORET, LIBRAIRE-EDITEUR, RUE HAUTEFEUILLE, NO 10 bis, Oetobre 1851. ts hr AE El Dei ir IA: Dates De ae 4 5 Ed ad ad h: PREFACF, Lorsque je fus chargé, il y a quelque temps, d'un cours d'analyse supéèrieure à l'université de Liége, en commençant cet 'enseignement par une suite de lecons sur les intégrales définies , je n'ai pas tardé à m'apercevoir, qu'en l'absence de tout Manuel, des leçons sur ces matières, données de vive voix, ne seraient guère agréces des élèves, à cause de la difficulté qu'ils éprouvent de prendre des notes suffisamment exactes. Ce motif, joint à la haute utilité du cours, m'engagèrent à publier le texte de mes lecons , et ici je dois remercier la Socicté Royale des Sciences de Liége, qui a bien voulu m'aider, dans cette entreprise, de son désintéressé patronage. Si, limité par les ressourees pécuniaires, je n'ai pu faire entrer, dans le cadre de mon ouyrage, le développement de toutes les inté- grales définies, du moins, en exposant les Méthodes essentielles pour en determiner les valeurs, jai fait choix de celles de ces quantités qui se rencontrent le plus fréquemment dans les appli- cations. Empèché, par la nature de mon ouyrage, d'exposer les propriétés des fonctions l et L que M. Goudermain a introduites dans l'analyse, je regrette d'avoir eté forcé d'ometire une Méthode h PRÉFACE. assez Etendue , reposant sur le passage des fonctions hyperboliques aux fonetions circulaires. Au reste, c'est moins le développement des intégrales elles-mèmes que javais en vue, en rédigeant ce précis, que de coordonner les diverses théories qui se rapportent à ces valeurs , et d'en donner un exposé élémentaire , suffisamment étendu. A cet effet, j'ai par- tagé mon travail en six livres : le 1" eontient les principes géné- raux sur la formation et la transformation des intégrales définies , le 2": se rapporte aux diverses méthodes d'en déterminer les va- leurs, le 57" donne la théorie des fonetions arbitraires exprimées par des séries périodiques, et des intégrales multiples, le 47" est consacré à la théorie des transcendantes d'Euler, et principalement aux fonetions gamma: le 5" fait connaitre les principes pour la réduetion des intégrales multiples , et enfin le 612 s'occupe de l'in- tégration des équations différentielles partielles à l'aide des inté- grales définies. Quant à la Méthode suivie dans ce Traité, je me bornerai à une seule observation. En supposant que l'on ait : b A— fe(aldr, B— /píidr, etc., A POVET CN LEVT-I, il sera toujours permis de conclure de cette relation les suivantes z A-—A', B—B', pouryu que les valeurs des intégrales A, A', etc., soient toutes réelles et finies. On reconnait, entre autre cas , par la formule (8), que cette eonvietion subsistera à priori, ehaque fois que les fonetions e(2), ib(2), etc., supposées réelles entre les limites des intégrations, ne cessent pas en mème temps, d'ètre finies et continues entre ces mèmes limites. En passant sous silence, plusieurs résultats qui me sont dús , et que le lecteur instruit saura bien reconnaitre , je dois néanmoins faire observer , qu'en fesant dépendre la théorie des fonetions arbi- traires, d'un principe fondamental unique, jexpose, dans le 5": livre, cette doctrine d'une manière plus générale, et plus complète, qu'on ne l'a fait jusqu'ici. PRÉFACE. TI Ce Traité contenant , comme tout ouvrage, des matières plus ou moins essentielles , il me reste à conseiller au Lecteur qui entreprend l'étude des intégrales définies, en. prenant pour guide mon précis, de passer, à une 1'" lecture, les endroits suivants : De page (48) à la page (57). Id. — (145) id. — (149). Id. — (160) id. — (165). Id. (177) id. — (185). dd. (192). dd. .. (202). Id. — (265) id. — (275). Id. — (2992) id. — (506). Id. — (509) id. — (814). Id. (525) id. — (552). Id. — (559) id. — (845). Id. (551) id. — (558). Id. — (577) id. — (998). Id. (429) id. —( du S" liv.) M. Eramp a publié dans son ouvrage sur les réfractions as- tronomiques , uné Table qui donne les valeurs de l'intégrale Y co , J ec "dt pour toutes les valeurs de € de ss en ss, depuis t—0 jusqu'à t——5 , cette table étant très-utile et l'ouvrage de Rramp fort rare, jai eru devoir réimprimer cette table et la placer à la fin de ce traité. A. MEYER. Liége, Oetobre 1831. Page 25, 1" ligne, MM, 60 7, 200 89, 15: 93, 7 105, 1 107, 7 199, 4 158, 9: 206, 15" o 911, 9: y ERRATA. au lieu de Doricht, lisez Diriehlet. DJ Y Y y P) Y Le fet)de d frena: sa 49) , (49). les valeurs de y—a, lisez les val. de y depuis y— 4. b l— i 5 lisez xer i: i a A, ) As, continues, o continu. em ca EE eres em ea emesa d- e—aa 2 i o: o a fa lisez Es a —f cd Jo de 0 fe etc. fe etc., o ra fic 0 ú 0 0 le dével. après, lisez après le dével. ga 0) (a--0), 2. ela 0). 994, 50, A, $P, 6", 8", 19: au lieu de n" lisez nm. 502, 15" ligne, au lieu de décrire lisez déduire, 393, 19: 595, 8 538, 15: 454, 190 ) ) ) ) bJ form. (-) o form. (47). qui ) que. 1 1 Meses es ) Es . per) Oest de la oo et la, EXPOSÉ ÉLÉMENTAIRE DE LA THÈORIE DES INTÉGRALES DÉFINIES. NOTIONS PRÉLIMINAIBES. Toute fonction f(x), d'une seule variable z, représente une courbe dont l'abscisse est x, et l'ordonnée la fonction f(z) elle- méme. Quoique les notions que nous allons donner puissent se développer sans le eoncours de eonstructions geomètriques , nous avons cru cependant devoir nous servir de ce moyen, afin d'abré- ger le discours, et de rendre plus sensibles les conceptions abs- traites, qui se rattachent aux fonctions en général. 1. Si x représente, sur l'axe des x, la valeur numéèrique de la distance actuelle d'un point mobile à l'origine, en concevant que ce point prenne une position immédiatement voisine , en s'écartant ou en se rapprochant de l'origine, cette position aura pour expres- sion numérique , dans le premier cas, a--dx, et dans le second, x — da. Nous dirons alors que les points voisins, dont les distanees à l'origine ont pour mesure x, x--dx ou x, e—d2 , sont contigus , afin d'exprimer par là que l'intervalle qui les sépare est nul, sans que néanmoins ces points coineident. Le dx ajouté à x avec le signe plus ou moins, n'a aucune valeur numérique, il exprime simplement que le point mobile a pris une position immédiatement voisine, la première possible, en suivant la loi de continuité. De là une double nature, ou signification de TOME 7, 147 PART. 1 (2) dx : d'ètre un aceroissement , mais un aecroissement sans valeur numérique. dx a donc une valeur analytique, comme élément de gènération par continuité, mais n'a pas de valeur numérique. Il suit de cette manière d'envisager la diflérentielle dz, 12 que, sous le point de vue numérique, les égalités den di dl a—dessx subsistent en toute rigueur 2' Sous le point de vue analytique, les inégalités edr ax / (2) — dr íx subsistent en toute rigueur. 2. Si b désigne une quantité finie et réelle, cn aura identique- x Ò Ò ment — 0, ou — Xdx-: 6. Mais le quotient — étant une dei ons 4 de valeur infiniment grande, si on désigne celle—ci, pour abréger, par 2, on aura : l ndx — db. (5) Si l'on conçoit sur l'axe des x une suite de points contigus , dont le premier soit placé à la distance quelconque 2 de l'origine, la progression arithmétique du 1" ordre c,xh-dr, x-- 2dx, etc., à raison constante dx, exprimera analytiquement la suite continue de ces points , et chaque terme de cette progression aura la mème valeur numérique que celui qui le précède, ou le suit immédia- tement. Soit h la distance entre les points e—b, x—a, ou soit b—a—h, on pourra, en prenant 2 infiniment grand , poser , conformément à la relation (5), b— a — nda, et alors la progression a,a T da, a1-2da, ... a --(n—1)da, sera la construetion analytique des points qui s'ètendent sans inter- ruption depuis x—a, jusquà e—b. 5. Analyser une courbe dont l'ordonnée genèrale est f(x), c'est suivre son cours , fixer sa forme, reconnaitre sa nature pour tous ses points consécutifs , et sous ce rapport f(2) varie , en géneral, d'un point au point suivant. Ces variations continuelles , dues à la forme de la courbe, à la nature analytique de la fonetion f(2), (8) peuvent ètre nommées variations ou valeurs analytiques. Nous nommerons variation, ou valeur numérique, la diflérence me- surée, ou réduite en nombre, entre deux ordonnées de la mème courbe, que ces ordonnées soient contiguès ou séparées. Or, s'il arrive que pour une certaine abscisse x——a, l'ordonnée correspondante f(z) devienne infinie, ou que ce soit l'ordonnée du point de jonction de deux ares de courbes différentes, ou repré- sente à la fois deux ordonnées différentes, savoir l'ordonnée du point final d'un premier are de courbe, et l'ordonnée du point initial d'un second arc , disjoint du 1" dans la direction commune de ces deux ordonnées, on dit que la courbe, ou la fonction Í(2), est discontinue au point xss a, y — f(e). Dans ce cas la diflérence entre les ordonnées continues f(a), fía--da), ou fa), fe — da) aura une valeur numérique différente de zéro. Mais si pour aucune valeur de 2, la fonetion f(x) devient infinie, ou reçoit plusieurs valeurs, c'est-à-dire, est indéterminée, les points de la courbe yesf(z), se suivront sans interruption , la courbe, ou f(x), sera une grandeur continue. Dans ce cas les valeurs numériques des différences f(x -- dx) — fia), í(e-—dx) — (2) seront nulles, et l'on aura : fa £ da) — fa) — dia) — 0, (4 ou f(z-E de) — (2) d de) — fa). Mais en ayant égard au cours de la courbe, à la nature ana- Iytique de fíx), qui ehange continuellement, les ordonnées f(x — da), f(x -dax), dont l'une précède, et l'autre suit immédiatement l'ordonnée f(x), diffèreront analytiquement de celle-ci , et sous ce rapport on aura f(x £ de) — f(x) 0, i (i ou fe £ da) — fa) L 0. La différentielle dí(a) est done nulle comme valeur numérique, mais ne l'est pas comme variation, c'est-à-dire, comme valeur analytique. Les équations (4) et (4), qui sont vraies chacune sous son point de vue, constituent le fondement du caleul différentiel. En les employant, tour à tour, conformément à leur nature analytique et numérique, les principes de ce calcul s'ètablissent d'une manière simple et rigoureuse. 4. Si nous nommons ds la distance sans valeur numérique des (4) deux points conséeutifs de la courbe, qui répondent aux ordon- nées contiguès f(x), f(a-"-da), séparées par l'intervalle dx, le tra- pèze élémentaire dont les deux bases parallèles sont f(x) , f(e--d2), et les autres còtés ds, dx, ayant dx pour hauteur , aura, pour expression superficielle Le en peó is et comme il s'agit ici d'une évaluation numérique, et que l'on a par conséquent , sous ce point de vue, en toute rigueur, f((x--dr) — f(x), ce mème trapèze sera exprimé par fc)eda. ... (8) 5. Comme f(x) n'est pas, en général, un polynome du 1" degré, l'on voit que la suite des ordonnées contigués fa), fe-- dr), f(x 2de) , etc. — (6) ne constitue pas une progression du 1" ordre, et par suite les dif- férences premières ne sont pas eonstantes. Sous ce rapport ana- Iytique on peut dire que la différentielle d'une fonetion est variable, quoique la valeur numérique de la différence entre deux termes conséeutifs quelconques de cette suite soit nulle. Les termes consécutifs de la suite (6) étant séparés par l'in- tervalle dx, il est clair qu'à cause de (ò), les produits f(a)-dx, f(x. da)-da, fe 2dx)edr, ete. exprimeront les valeurs superficielles d'une série de trapèzes élé- mentaires contigus , et l'on aura, pour la somme indéfinie / ((x)dx de ces espaces élémentaires , l'expression ffle)dr — de (la) F f(x -- de) He fa 2da) " etc. JO (7) C'est l'aire indéfinie de la courbe prise à partir d'une abscisse quel- conque z. 6. Les abseisses qui , selon le $ 2, s'ètendent d'une manière continue depuis x—a, jusqu'à xesb, étant données par la pro- gression a, a" da, a-2da, ... a-n—i da, les ordonnées correspondantes serent respectivement fía), fa" da), fa". 2da), ... fa dl-n—l -da), par suite, les trapèzes élémentaires, compris entre ces ordonnées , auront pour expressions les produits correspondants f(a)-da, f(a-- da) -da , fa -- 2da)-da, ... fa n—t da) -da. (5) La somme de ces trapèzes, s'étendant depuis z— a, jusquà ed, se nomme une somme , ou une intégrale définie, les valeurs a et b des abseisses extrèmes en formant les limites. En supposant bJXa, on ial Es, f)de — da (H(a) —- fa". da) 4 (a "- 2da) TF ... f(a T- n—l da) J. 7. Soit c une abscisse intermédiaire entre a et b, savoir a £Lb Le, on pourra, en supposant toujours Í(2) continue entre a et b, ad- mettre que l'aire définie, exprimée par la formule (8), soit par- tagée en deux parties, la pro s'ètendant de d—a à xec, et la 28. de x— cà x— 0, il est clair qu'on aura alors : Ò c b f f)de — f teade lt ib f(a)da Plus généralement , soit GC BC ... Du Çb, on aura, par le mème principe de décomposition : a 8 d fia)de — pa f(a)da -- fieode A ed fítajae. (10) 8. En admettant que f(x) soit une fongtion continue, les inté- grales c Asta od de fíoee, Jace fa) , fit (Dde — (a) e— de e—de sont les aires de trapèzes dent la largeur est de, c'est-à-dire des lignes droites , par conséquent les valeurs numériques de ces aires sont nulles. Donc, si f(x) est continu, on aura, sans aucune erreur numé- rique : fiene— fi (de — fica (10) ad-da 9. Soit ec l'abscisse d'un point ia la courbe y-—- f(x) com- prise entre a—a et e—xb, en sorte que l'on ait aíc4b, il est elair que f(c) sera l'ordonnée finale du groupe d'ordonnées con- tiguès í(a), f(a -- da), f(a-- 2da), ... fc — 2de), fc — de), fc), — (a) (6) et en mème temps l'ordonnée initiale du groupe f(0), f(e-- de), f(e--2de), ... (b—9d6), ((b— dl), (6). — (b) Cela posé, nous dirons que la fonction f(x) est continue ou dis- continue au point x—e, selon que l'ordonnée finale fle) de la suite (a) a la méme valeur, ou non, que l'ordonnée initiale de la suite (b). Mais si, après avoir développé les fonctions f(c — de), f(e"- dc), on pose de-—0, il est elair que fe — de) devient l'ordonnée finale fc) de la suite (a), et fíc--de) eoincidera avec l'ordonnée initiale fc) de la suite (6). On peut done énoncer le principe suivant : La fonction f(x) est continue ou discontinue au point xzs—e, selon que, en posant de— 0 après les développements , on qura : (6). fíed-do—t(e—d)-—o0, ou fíed-de)—le— do) S0. (d) Soit de plus Jf(a)dr — F(2) TC, on aura, en génèral , ò feia - o —Fa), et par conséquent ef de A f(a)de — F(e 4. de) — F(e—do). ce —de On conelut de là ce théorème : en supposant que l'on ait fl(a)dz — F(a) H- C, la 'fonction Fix) sera continue ou discontinue en x— €, selon que , en posant de — 0 après V'intégration, on aura : e- de cd-de (€) fia jde--0, ou f one 2 20. (ND ce — de c— de cd-de Si, dans le cas (/), on fait Na fle)dz —— A , cette relation con- c— de stituera ce que Cauchy nomme une intégrale singulière. Soit tou- jours /Í(a)dr-— F(a) 1. G, il est elair que l'aire F(2) sera con- tinue ou discontinne en 2 —c, selon que la courbe y — f(z) sera continue ou discontinue au méme point. Cela posé, comme on a, par la SeRy (10): e— de e-d- de b fia da ru L f te fe) dz, (12) ec — de ç H-de (7) il est clair Lis aura ec — de / foyde — dt fydr "- f fodr, (1 a UROs ou fosa A ada 4 fítoies ho (11) cl c1- de selon que Í(2) sera dut ou discontinu au point quelconque xec, compris entre x— a, 2 —b. II est bien entendu qu'après avoir effectué les intégrations, il faudra poser , dans ces formules, dosa0. Remarque. Si f(z) est discontinu au point 2-xc, on peut re- b garder l'intégrale T Í(e)dz comme la somme de deux aires de a courbes adjacentes s'étendant la 17 de z— a à d— ec — de, la 2': de g—e-- de à ag —b, de étant toujours supposè — ().. Cette Convention dpne e— de / fa) da Dl fayda -- fics fe)de c-- de Alors le terme A dispuratt, ce qui est avantageux puisque ce terme b Tend presque toujours / f(a)dz imaginaire, infini ou indéterminé. a 10. On pourra mettre la formule (8) sous une forme un peu diflérente, et plus générale, en admettant que les variables DT ECA, Bi, décroissent indéfiniment jusqu'à la limite da, en effet, alors on pourra id (3) foses (2. (02. a -L2) Las fa L9, £ 8) d.. LAteia ba he da) car si nous passons réellement aux limites, ce qui revient à rem- placer chaque d par de , on reproduit la foria. (8). 11. La formule (8) subsiste encore dans le cas ou f(z) est une fouction continue imaginaire , de la forme (8 —ea) Vi a. — (4) En effet, on dit qu'une fonction de cette forme est continue, lorsque chacune des fonetions réelles e(2) et (2) est dans ce cas. (8) Cela posé, on a d'abord : f(x) — ff r(cos e-V —1 sine)) — fre) -— da) LV —I pe), de là on déduit : (rel) — a) EV ET y9), tira TA — ade da) LV I dfa--das, etc. etc. tre Fe) —) gla n—i da 4- V—I1 pla n—Í da): mais on a, par la form. (8), fet (2)dz — da (9 (a) T- 9(a "- da) HT. ... "- ep (a I n—l da)l, Ò VE fen — Vi dl LpeLda d ... T V(ad-n—i da): dt en ajoutant : farien dats (LV ya) € ete. p(a-d-n—i da) 4- V —1 Va-Fn—i da)), ou : b fre — dar 3) de pl AA) LL a fra tri dav—i) L (15) 12. HN est facile aussi d'étendre la form. (8) au cas d'une fonc- tion de plusieurs variables. En eflet, soit la fonction des 2 variables f(z,4) en ne fesant pas d'abord varier 4, et en donnant à x les valeurs continues a, a- da, a-2da, ... al n—l da, a, ot l'on suppose a——a-nda, on aura, par la form. (8): fiendr- dal tant fad-dag) 4. H xa fa d- n—t de, y) ). Mais si l'on multiplie par dy, et que l'on donne aux y les valeurs continues b,b -- db, b- 2db, ... Ò Ll m—idb,B, (9) oú l'on suppose —8-—0 - mdb, il est clair que l'on aura : a d P / dy fe de — del (tat --ete. 4 1 a de de fita a—i day)ay): b £ donc, en développant chacune des intégrales fia, n4y, etc. b suivant la form. (8), on aura : f a fus fica — dadbl Na, d) L fa-Ldab) L- ... t a - f(a4- n—1 da,b) A-f(a,b-d5) Y fa-- da,b--d0) H- ... -Ll(a-F n—I da,b -£ db) 4. fa, b 200) fa"-da, b-1-2d5)7- ... -- Na n—i da,b-- 246) ep RO -F f(a,b 1 m—i db) 1. fada, d--m—t db) —— ... P fa -n—I da, d-m—I di). — (16) Ce caleul fait suffisamment connaitre la marche qu'il faudrait suivre s'il s'agissait d'étendre la form. (8) à des fonetions de 5, ou d'un plus grand nombre de variables. 15. Il me reste encore À dire un mot pour justifier l'abandon que je fais, dans l'exposition des principes sur les intégrales défi— nies, de la méthode des limites et de celle des infiniment petits. 1. La méihode des limites se rèduit à une identité absolue, telle que A— A, et ne domne rien. Soit en effet, h l'accroissement fini, de x, et considèrons la — fonction 22, on aura : (x--h — ae T — Je Th, done : La 1 lim. 29. 2 — 9r, pour 40. (1) OME 7. 17 PART. 9 (10) - Mais en fesant l'aceroissement /4 égal à zéro, on reproduit la fonetion primitive xé, et l'on aura, par l'équat. (1), 0 fa 2r, ou 022.0-0, ou di— gi 0, dat. Dans cette méthode il n'y a pas de développement, ou de géné- ration, et par suite, cette méthode ne donne rien. 2. La méthode des infiniment petits ne donne que des résullals approchés , el conduit à des conclusions absurdes , contradictotres. En effet, dans cette méthode une différentielle dí(2), n'est pas zéro , elle a donc une valeur, qu'en nomme vaguement infiniment petite , dès-lors en écrivant : (a) fe de) — fa) T- di), on doit négliger dÍ(x), et par suite, le résultat ne pourra ètre qu'approché. Dans ce système on néglige, comme incomparable- ment plus petits, les infiniment petits d'ordres supèrieurs , vis-à- vis des infiniment petits d'ordres inférieurs. Or comme , dans cette méthode, ies infiniment petits, n'importe de quel ordre, ne sont pas nuls, les résultats obtenus ne peuvent ètre rigoureusement exacts, ce qui néanmoins est démenti par le fait. De là, une con- tradietion , ou une absurdité, savoir une méthode inexacte con- duisant à des résultats rigoureux. Pour lever la contradiction, on a dú recourir à la fiction de la compensation des erreurs. Dans la méthode des limites, on rejette la valeur analytique des différentielles, et on ne conserve que sa valeur numérique, qui est zéro, la génération des fonctions devient donc impossible, puisqu'on n'a pas de développement. Dans la méthode des infiniment petits, on conserve la valeur analytique, mais on n'admet pas que la valeur numérique soit nulle. Ici la génération des fonctions devient possible, mais les résultats ne peuvent ètre qu'approchés , puisqu'on néglige les inti- niment petits d'ordres supérieurs. Cependant les résultats qui de- vraient étre approchés , sont rigoureux, cetle contradiction pro- vient de ce qu'on conserye aux differentielles une valeur difíèrente de zéro, (11) L'on voit que le vrai système consiste à maintenir aux diffé-. rentielles une existence, ou valeur analytique, et à les priver de toute valeur numérique. Cette double signification est une consé- quence immédiate de l'idée mème de la continuité, et sans cette double signification, la construction analytique, au moyen du caleul, des diverses continuités de l'espace et du temps serait im- possible. ee I DE COSPRPCIC CIE OCI OCI OSSOS SS SDR OS IOS OR OSOR BO RO I 4" LIVRE. PRINCIPES GENBRAUX DE LA PRSORRS D3RS APRRO RN RSS DIAPANPRS, PROPOSITIONS FONDAMENTALES. 49 THÉORÈME. f(x) élant une fonction continue emtre a el b el s désignant une fraction proprement dite, je dis que Von a : b fiode-t—alllateb—a)). Démonstr. Soient f(a), f(6) respectivement la plus grande et la plus petite des quantités, f(a), Í(a--da), ... f(a 4- n—1 da), on aura : fa) — fa) L0, en mème temps que f(a)— (80, f(a--da)—f(a) LO, ) o. — fada) — (830, etc. etc. fa d n—i da)— ((4)20, o o. —f(ad-n—l da)— 8330, done, en multipliant ces intégrales par da, on aura, en ajoutant, et en ayant égard à la form. (8) : b b fou —ntaueco et fiode—at (B)daX0. a 117 Comme ces résultats sont de signe contraire, il doit exister entre a et b une valeur 7 telle que l'on ait : (15) b fes — ndaf()-0. (17) da Soit done s une fraction proprement dite , on pourra poser 7a Le (b—a). De plus, comme on suppose a--nda — b, l'égalité (17) devient : b fieode— (b— ajfla--e(b—a)). (18) 9n THÉORÈNE. En supposant que iV(x) reste toujours positif pendant que X varic dexssaàxsb, et que gia) et e(8), soient respectivement la plus grande et la plus petite valeur de o(x) , correspondantes aux mèmes variations de X , je dis que l'on a : Ò b Ò de) ModeS, fetxvedeyea fvmnd. Démonstration. On a , par hypothèse : ela)— (2)20, el (8) —e(a) LO. Comme díz) est positif dans l'intervalle b— a , on a aussi : Lee) —e(e) )32)20, et LB) —ela) V2)20, et par suite b b fixa — ez) JUr)dex 0, et fre — (2) Va)dx 20, Qu : Ò Ò de) f va)dex f see, 5 b : b (19) (af vonze suau. Corollaire. A cause des égalités (19), il faut quiil existe une valeur e(:), intermédiaire entre e(a) et e(4), telle que l'on ait : (14) b b frevedr—so) foeyre 0) a 7 Etant une valeur comprise entre a et d, 538 THÉORÈNME. Si Í(X) reste continue depuis x — a, jusquà x—b , en supposant b ba, je dis que V'intégrale f(x)dx , sera positive ou négative , a selon que f(x) est positif, ou négatif, dans le mème intervalle, Car on a : ap Ir fitgde— dal f(a)--fad-da) -— ... 4. fa n—t de)). 1/4 Done si les termes f(a), f(a--da), etc. , dont par hypothèse aucun n'est infini, ni indéterminé, sont tous positiís, ou tous né- Ò gatils, l'intégrale di fía)dx sera elle-mème positive ou négative. a On étendra facilement ce théorème au cas de 2 variables, en fesant usage de la form. (16). AS TRÉEORÈME. Lorsque ds fonction Í(x) devient infinie pour xa, l'expression f(a-- de) -de a toujours une valeur finie différente de zéro. Démonstration. Comme f(x) devient infini , pour za, on pourra écrire : e(2) , te VE que —a " donc, en remplacant z par a--de, il vient : d 1 (at de EL A te) rade - cie. 13 d'oú l'on tire : fa - de) : de —9(a). (20) (15) C'est cette valeur finie g(a), de ((a-- de): de que Cauehy nomme le résidu de la fonetion Í(2). Il nomme résidu intégral de Í(z) , la somme des résidus de cette fonction relatifs aux diverses racines réelles ou imaginaires de l'éèquation 1 fe) Il nomme résidu intégral défini, le résidu intégral pris entre des limites données, c'est-à-dire la somme des résidus correspon- dants à des racines dans lesquelles les parties réelles, et les coèffi- — 0, 0Uu f(a)soo. cients de V —1 ne devront pas dépasser certaines limites. II nomme encore extraction des résidus l'opération par laquelle on les déduit de la fonetion í(z), il indique cette extraction en plaçant un € majuseule, initiale du mot extraction, devant la fonet. f(2), qu'il place entre doubles parenthèses. Enfin, il emploie la notation XL efL(a))J do Yo pour indiquer la somme des résidus de Í(z), relatifs à celles des - racines comprises entre les limites x,, X 3 et les cocfficients de V —1 entre deux autres limites 4/o, Y. M. Cauchy fait un usage trés- étendu de ces notations dans ses nombreux écrits, c'est ce qui nous a engagé à les reproduire ici. Nous renvoyons , pour plus de détail, au Mémoire sur un nouveau genre de caleul , inséré par cet auteur dans les Exercices de Mathématiques , année 1826 , page 11. Remarque. Si l'équat. Oi , a m racines égales à a, ce qui suppose que la fonct. f(z) soit de la forme alors, le résidu de la fonction f(x), sera la valeur finie diflérente de zéro, marquée par l'expression : 1 de derfat dJ g—I (a) I d.2.5...(m—t) dem—t fa 2-3. m—b) " Car on a: de"f(a-- d9 — (a T de) — gla) £ s'a'de La) LL (16) (m—1) m3 m—i d ...-b-e (a) 1-2... m—t1 - etc. En diflérentiant cette expression m—l fois de suite par rapport à C, on trouve : de—iden-fa-d)J de da ela—D(a). TRANSFORMATIONS RELATIVES AUX LIMITES. 15" PROBLÈNE. Réduire la limite inferieure à zéro. Solution. Soit 0 Lab, on aura, par la form. (9), Ò a b fada — f (de far, I x)da db x Mi x Mb b a f (dr — 0 e)de — fira. (21). a 0 0 Qme PROBLÈME. d'ou : Renverser les limites. Solution. Par la form. (21) ona: b b a de f fla)dc— /f f(x)dx, Pies J fejee fine a a Ò / / fayda —s f Í(x)de — af í(a)dx , b 0 0 Ò a fada f(e)dx — 0, ii (ada - ja (dr — 0 d'oú : b a f f(ade — — vÉ (ade. (29). a ò 579. PROBLÈNE. Changer les signes des limites. ò Solut. Si dans l'expression af f(a)dx, on pose : a —ò Ò c——z, les limites x — i deviendront Z — , a — et on aura dx —e — dz , done dd pai et EA P db En renversant les limites, et en changeant z en x, ona: d de obs h EI 3 (28) a —o on a done aussi : —o a f f(e)de — / f—adr. (24) —a b 4" PROBLÈME. La limite supèrieure étant infinie faire dependre V'intégrale pro- posée d'une autre dont la limite supérieure soit finie. qo Solut. Si dans l'intégrale proposée NA f(x)dz, on fait x—z—a, G TOME 7. 47 PART. 5 (18) co alors aux limites 2 —— , répondront les limites z — Q La i co co co aa hp fle)dr ss f (a—da)dz — 4 d f(z—a)dz — I f(z—a)dz a aa 0 0 L ah — f f(e—a)de — f fe—a)lda. (28) 0 0 Si a est nul, on a : Lè fada — vA fe a — d ea (26) 0 0 0 On trouvera de mème : fi f(—a-ba)de — — fi TR SS dl Sa fu dada dr f f(a)da — i f(e)dz I- / f(x)dz. (27) me PROBLÈME. Reduire les limites à O et 1. Solut. Si dans l'intégrale proposée hd f(a)dx, on fait ce nd-mz, des mdz, b—n b les limites x — , deviendront z - 3 177 m on a done : Ò —n ———— m b f(e)da — m (n-- mz)dz. ff (19) Or en fesant na, mb —a, puis en changeant Z en x, il vient: b 1 Ri (dem (b—a), / ta b—dadr. a 0 68 PROBLÈME. Réduire les limites d O et co. Solut. Si dans le 2: membre de la form. (28), on pose vi d'ou zz— cl ds East Le a i 1 co alors les limites x — deviendront z — 5: 0 0 de plus, comme on a : b dz fla-b-(b—a)x) de — f( Tl Tira il vient, en remplaçant z par 2: co Ò : abr dx f tode — (b—a4) des ) ma ) a 0 770 PROBLÈME. Réduire les limites en d'autres dont elles ne different quíinfi- niment peu. Solut. 1: Soit a-— ada, 8 b—db, on aura d'abord : b a f Ò P fa)de — Je f(o)dr È Q flo)dx -- d fa)de, a a 3 £ — puis, en ayant égard à la form. (18): b f l LÀ (ada z (a—a)ffaLe(a—d)) — dd foydz (20) d- (b — 8) (LG Feb — 8) l I, — da-fla 4 edad. / fede 4 dit I64-e(— 8) 8 — f fagdz. — (50) 2. Soit s une quantité très-petite, a —oo , db —AI- 00, on a pe ls 1 1 pourra éerire approximativement 6 ms—, a— —-—, pourvu que dans le résultat de l'intégration , on fasse e2— 0, par là on aura: 1 dP "de — J dr. (51) —ÇO 1 1 Soit f tida — F(s), on aura : 1 —— ó È (dr — FO). 8" PROBLÈNE. Etendre ou restreindre V'intervalle des limites. 5" Lorsque la fonction sous le signe intégral renferme un facteur constant infiniment petit, ce facteur rendra, en général, la va— leur de l'intégrale elle-mème infiniment petite quelque soient ses limites, on pourra donc étendre celles-ci à volonté de — o à 00, ou de —a à a. b gdx g 1 H ha Exemple. Soit g un facteur infiniment petit, et (2) l'intégrale proposée, cette intégrale étant infiniment petite pour toute valeur finie de z, on pourra la prendre entre deux limites quelconqueès —a À da, sans changer sa valeur et écrire da Le fs. 89 Ta" P PRRes Tal 55) g" Olea 9o Si les dia de l'intégrale sont 0 et co, ou —oo et 0, T et aussi : on pourra les changer respectivement en 0 et —, ou en gi , en posant x— fgz: en effet, alors aux valeurs T 2 co co es j -) , répondront respectivement les valeurs 0 — op 2 El al Si quel 2 Exemple. Transformons par ce procédé l'intègrale pe 8) Es eh 2 si RN dans laquelle on a posé, pour abréger , í È pea V —1 ms IM —aV —I) XI x . Ma Lee bars day —I 1a : dz geV/ —i ay — Ona: as tgZ, de S SE cos"Z da — (0872, lM—aV —1) —a A — —I eh Í Gel FR Ver Lla vai di (22) ex — OO Z——y —Il cos z Sal — ga V —i) EU Ptge) — VV — — rs i) done Li a li gi) lEs fal LE ds. G3 qi i La En I ay —1 i, oa 0 0 Que PROBLÈNE. Sis Faire dependre l'intégrale ) 4 f(x)dx, de deux autres dont V'in- 0 tervalle entre les limites O et m soit moindre. Solut. Soit m—ng -r, on a évidemment OE L2q ... En—I)g Eng Qng-- rs on a donc, par la formule (10), m ng-r q 24 J f(a)de — OE fa)de — / fada 4- / f(e)dz Si dans le a 2:, 89, ete., n", n--1" terme È 2: membre, on pose respectivement CEI, IS q 2, 2 2qb2, etc. as n—l qz, ss Nq sn Z, on obtiendra : m q q q fsaue— f te)de f tadoder f t2q4-0d: 0 0 0 0 q r ep ca dl P fin .q4-2)d2 4. bé fng-- 2)dz. 0 e (28) Si nous ehangeons dans le 2 membre z en z, il vient : m q fiede— f Le) 4-tg4-2) P 1(8q-0) 1. 0 0 Lo P a—t eq )gda 4 ds ng H de — (84) 0 ms nq Fr. Remarque. On peut eneore rèduire de moitié l'intervalle entre Oetg. En effet, on a, par la form. (9), 3 q ef p(a)drs— h pe. R e(2)de. 0 0 34 Si dans la 2" intégrale à droite on pose xq—z , ON aura : Y e(a)de f iu yi e(q— 25d2 0 0 L, 34 14 34 — f coa feg—de— (let) ee—aner. 0 0 0 Done, en fesant e(a)— fa) H- qx) - f(g-- 22) - ... d- fn—i q -l- 2), la form. (54) devient : m El f tode— fita—a) 418) Lleg—a) P eta -1.154—2) 0 0 P i2q-2) 4 ete. Fi(ag—a) P fe—i ga) P f tngtod. 83) ss 107" PROBLÈNE. m Transformer V'intégrale S f(z)dz. —n Solut. On a, par (9) : (24) sp Dada ió / Rus aj fi tas —m —m 0 done, à cause de (24) h f(a)de — fi (—ade-- / f(o)de — P M—a)-fa)jar. 86) ——mn 0 0 0 Si f—a)— f(a), ona: fo f(e)de — 2 ofi fa)de (501) —m 0 Si (—a)A— 2), ona: ya fodde— 0. (567 4178 PROBLÈNE. Transformer l'intégrale multiple Li ha Q(X, Y, ... )dEOY Li. a) 59 P LA dont les limites sont assujetties à l'équation de condition : ES Ya JE en une autre, dans laquelle les limites soient constantes. Solut. Soit P un facteur qui se réduise à l'unité lorsqu'on a : ES te, y, 321, et qui soit nul, pour les valeurs de x, 4/, etc., qui ne sont pas comprises entre X et l, ou qui satisfont, à l'une ou l'autre des relations : ES DE, y, e.), Te, y, ee) RD, il est clair qu'on pourra multiplier (a) par ce facteur , et étendre toutes les limites des intégrales de zéro à l'infini , ce qui donnera : i P: P(2, Y, .. )dedy ... ' co co — (fita, g, deàgu. xBe 8) 0 0 (25) Remar. La quantité P se nomme, d'après Lejeune-Dorichlet , auteur de cette transformation , le facteur de discontinuité, On en fait un grand usage dans la rèduetion des intégrales multiples. L54 E PASSAGE DES INTÈGRALES INDÈFINIES, EN DÉFINIES, PROBLÈNME. b Etant domné 8 P f(X)dr — F(x) le, trouver d 8 f(x)dx. Solut. 19 cas. F(x) est continu , pour toutes les valeurs de x depuis xa, jusqu'à e—b. En supposant b— as nda, on aura : L fo)da— daT fa) 4- (a d- da) "- ((a"- 2da) 4- ve de f(a 4 n—1 da)): "o , Cette Egalité devient : mais à cause de Í(d) — fo Ra da) Ll asi i er da) A dF(a cs 9da) ds a pa DEA —aF0)-LdEle- do) dF(a 1-9da) H- ... -- dF(a- n—1 da). (a) Mais on a d'un autre còté : F(a 4- da) — F(a) H- dF(d), F(a "- 2da) € F(a-1-da) 4 dEF(a -"- da) s F(4)- —- dF(a) 4- dF(a-H-da), TOME 7. 477 PART. 4 (26) F(a "- 5da) — F(a 4- 2da) H- dE (a 1-2da) —— F(a) 4- dF(a) -- dF(a-- da) "- dF(a-l- 2da), done en général : F(a-- nda) — a — F(a) — dF(a) —— dF(a "- da) .. de dF(a H- n—I da), par là (2) devient : fi fa)de— F(6) — Fa). 67) Q"e cas. a est discontinu au point x—a, a étant compris entre a et Ò. Soit, dans ce cas, —F(e- da) —F(a—da), (58) alors on aura : / f fa)de — F(b)— F(a)— D. (89) Démonst. On a par la form. (11) a—da £ f)de — / f(ade -- P faldes a-l-da donc , à cause de (57), A sitani à ehacune des intègrales du 2 membre , ona : ò / f(a)de € F(a— da)—F(4) 4. F(b) —F(e--de) — F() — F(a)—IF(a-- de) —F(e— de) —s F(6) — F(a) — D l Il faut done retrancher du résultat obtenú par la règle qu'im- plique la formule (57), la correcetion D. Cette correction n'est rien autre que l'intégrale singulière ada D-— fi fodr. (39) a—dge Il y a donc 2 règles pour la eonversion des intégrales indé- finies en définies. (27) 1": Règle. Si F(2) est une fonetion finie et continue pour toutes les valeurs de x, depuis x— a, jusquà z—b, il suffit de rem- placer, dans l'intégrale donnée, 2 successivement par Ò et par a, et retrancher le second résultat du 1". gre Règle. Si la fonction F(2) est discontinue (infinie, ou indé- terminée), pour un point z— a, situé entre a et b, on suivra d'abord la règle précédente, puis on retranchera du résultat la correction D — F(a - da) — Fla — da). 1" Remarque. Si la fonction F(z) devient discontinue au point X ss Q, On aura : f od — fi f pr hi fi flade, a--da d'oú : aH-da dl f(odr — ha f(a)de — f f(e)dz aH-da a ss F(0) — F(a) — ( F(a -- da)— F(9)1 ss F(0) — F(a —- da). (40) 2n: Remarque. Si F(x) devient discontinue au point xò, alors elle restera continue depuis x— a, jusqu'à z—xb — db, il faudra done évaluer l'intégrale pooposée pour ce dernier intervalle. Pour cela, on a: É fa)dr — / qe de fa f(a)dx, b—d5 d'oú : a / ade — fi (de — va (ad bed EO) —F) —LE) —F6— 3) — F(b —db) — Flo). (41) 570 Remarque. La valeur de D, form. (59'), est nulle, lorsque fe) est finie, et dans ce cas (59) se réduit à (57). (28) Diverses Applications. 4 17 Exemple. Chercher la valeur de l'intégrale fi — — d On a/ —— la A-c, et par suite F(z) — Iz. Mais on a l(a) s—oo , pour 2-0, done F(z) est diseontinue au point 2 — 0, situé entre les limites —2 et 4, il faut donc ap- pliquer la 21" règle, savoir : 4 dx fe es (4) — l(— 2) — D. mi Or, ona : Ds (0 4 da) —1(0—da) ms (da) —l(— da) sa l(de)— (da) —l(—I) ca amd A: sa (4) —L—D—(—)) — (IU) — 12), valeur réelle. Si on avait opéré suivant la 1'" Règle on aurait trouvé le ré- sultat imaginaire 4 dx — 2t Exemple. Chercher la valeur de l'intégrale Ell 4 sinaedx 1-- cos'x 0 On a: E er 8r hi 4 sinax Ro JH sin edx ef Cos'x dx dE ana Acosta ea EE ts 0 0 da Cos'x si dpeeya Mais ona : da 34 SE an PAR Cos X On a donc ici F(x) —— arc 19 — ) 4 Pour x— 0, on a F(2)— F(0) — arc (9 Fer amblds tgi -7 5 Ll re — de, on a F(x) — are ig cos (z-— de) t : — arcl ls t EA a cdecde edat dmadió Tac brcer pe tr Pour rs 4- de, on a F(x) — arc tg cos (da) dia ib a ara re : : are a TE a te (ea — 3, a tes quad P m—greigV 23. ST 1 Pour z ——qp ,0na F(2)zzarcig ——— ss arc ig ea) L'on voit que la fonction F(2) passe subitement de Jzà La (50) pour x -g-— da, ts - de , il y a done solution de conti- nuité au point us , il faut par conséquent faire le caleul sui- vant la 2": règle, ce qui donne : 8n 4 sin edx 57 —— — F( — — F(0) — D. Ni Cos'x der, es 0 se — are Vg — i — D. Et comme ona: D— F(g t da) — El — de) 87 4 sin edx 5r qui ès, és CO ReOM VM 2, 0 résultat positif, comme cela doit ètre, car tous les éléments sont positifs (théor. 51). Si on avait opérè suivant la 1" règle, on au- rait trouvé 8r pen sin edx ACE —mn—— AlC Ú Pere a: fi - cos'2 9V2 4) résultat négatif, et par suite absurde, puisque (théor. 5"), la fonetion sous le signe ,/ reste positive depuis x—0, jusquà (es —o h co 5": Exemple. Chercher la valeur de l'intégrale /: — 0 adx — (P e (51) On Ve Les ) H- G, done F(2) — dC il devient —co pour x —— a j on a done, par la 2"P règle : no / — — Fee)— FQ) —D. 0 Par la formule (51) ona : ca Ll - /. (— F(i)— FO —D — a x— a € 0 or, pour e-—0, ona FO) (LL) — NH —I), — d ) rsa— da, ona Fla—d) il —) da ) assa - da, ona Fa — Dim EE 1 1 — — (I — dat dj I de d reg ies 1 )s3 (7) € 4 FJ —e I) SO, d'ou : D-—3 I( ts ns 14 Ga ga) NS — —il(—I). On a donc : le 8) adx EO Ne) — 0 Par la 4'f règle on aurait trouvé le résultat imaginaire : IV. ROGLES POUR LA DIFFÉRENTIATION DES INTÉGRALES DEFINIES, PAR RAPPORT A UNE CONSTANTE. Chacune des 5 quantités a, b, x, qui entrent dans la compo- b sition de l'intégrale A f(x)jdz , peuvent ètre considérées comme 13 des fonetions d'une constante r, et on demande la dérivée de l'in— tégrale par rapport à cette lettre. Pour cela nous distinguerons plusieurs cas : 1 a seul est fonetion de r, bcn Y y se o Ll i ho a,b, ax, sont en mème temps des fonetions de r. 49 PROBLÈME. ò Trouver la dérivée de 0è f(x)dx par rapport à r, en supposant 17 que a seul soit fonction de r. Solution. Comme a est fonction de r, il suit de la formule (8), que l'intégrale proposée est aussi fonetion de r, et que si r de- vient r "- dr, a se changera en a--da. Ò Soit done e() — L (de, (73 (85) d'oú : g(T A. dr) — f (ue. ad-da done en retranchant : elr dr) — er) der) — 7 f(xldx — / Í(a)dx. ada Mais on a aussi: 4 f(dr — fi Di las L fi (de: ada donc , en substituant : aH-da der) ss — i È f(x) dx, a ou, à cause de la formule (18), delr)——(a-b-da—a)f La. s (a--da—a)) ——daf(a). Donc, en divisant par dr : b d'f f(e)dxz qr). a dan al ED, dr dr dr Que PROBLÈME. b élant seul fonction der, trouver la dérivce de y8 Í(x)dx par rapport à r. Solution, On a , par la formule (22), b a 48 ades — ji (dr, ad b 3 d'ot, en differentiant : cc TOME 7. 4Ú PART. (94) L a d'f i(a)da d'/ f(a)dx a Dl —— —— AL JA a di de dé el dr donc, en appliquant au 21 membre la règle donnée par la for-. mule (42), on a: d / f(e)dz db mi). —— (Mó — 0. — (9) b Remarque. Soit u — d fíx)dz, on a par les fotm. (42), (45): a du du En eflet, à cause de (42), on a: du dr i j du dr aut ie), et à cause de (45), —E - —p — f(0). 52" PROBLÈNE. f(x) renfermant seul la constante r, ce que nous indiquerons en éerivant f(x, r), on demande la dérivée par rapport à.t de Vinté— b grale id f(r,x)dx. a b Solution. Soit e(r) — SA fr, ade, d'oú : a L e(r-dr) — d Ír--dr, do. È En développant f(r--dr, 2) par le théorème de Taylor, ona : b b o(r-dr)ss f ttrçade dr f eíexjde (38) Ò dis i fre, x)da -- ete. a b d'ou l'on tire, en retranchant e(r) — Ra (r, ade : g(r d-d')— er) — de(r) data Ta EE — d fr, a)da ts Es fr, x)dx —F etc. Donc, si f fr, da n'est pas égal à da cas auquel le se- ar ' cond terme serait indéterminé, car il donnerait dr X Tant on peut omettre tous les termes du 2: membre, à partir du deuxième, ce qui conduit à : b de(r) / 3 ma FP ef fr, 2) dr, dis x)dx faça xi ra dià oc (L AS PROBLÈNE. ou, En supposant que a, b, et f(x) dependent à la fois de la constante r, trouver la dérivée par rapport à r de V'intégrale La 34 f(r, x)dz, a Ú Solution, Soit u— v4 fír, ada, u sera une fonctiun des trois G (56) variables a, ò, r et l'on aura : du du, da du , db à sea — (1 a ia as Mais on a, par les formules (48), (44): b du df(r,x) du ar) -/ des hi ga Te Ga, a du db US (0,9), en substituant ces valeurs dans (8), il vient : : ò d/ Mr, dx d'e 24 x. (46) a — EN) LL a dr v. TRANSFORMATIONS REMARQUABLES DES INTÈGRALES BÉFIMES, Les intégrales définies peuvent ètre transformées de trois ma- nières diflerentes, par l'introduction d'une nouvelle variable, par la décomposition de l'intégrale en une somme de plusieurs autres 5 et en troisième lieu, en difitrentiant et en intégrant par rapport à une constante. Nous allons donner quelques transformations remarquables obtenues par ces divers procédés. 10 TRANSFORMATION. Cetle transformation s'opère lorsque dans l'intégrale 5 h f(eadx on fait e(x) 2, d'od x— Us), car alors on obtient de dlz)dz et à la place des limites (87) 0 e(G) xsSS j , les suivantes : Z — 4 done a era) Ú Ed eb eb di ((pa)da — f (OU de — fi la)v'(adr. a ça ça Cette formule contient le procédé génèral, que nous applique- rons à la démonstration des théorèmes suivants : de THÉORÈME. a el c élant des nombres réels, je dis que l'on a : Ra a do 1 Xa d ió A ve que Jn "yqe È de vl Q 0 le 8) La Ll . LA n 14 Démonstration. Posons, dans l'intégrale / (ue——)ede, (a), e Z : 0 8) Le) (8) 1z — a —y, alors aux limites cal , répondent y — , 0 — o et l'on aura : 3 co : Pg pe Der 2a — Y" (:). En ajoutant 4a/ —4a7, on a: a a ta Pat de — Ha yH- da, par suite Da Da SV pe har. (8) Z Z h On a aussi : 1 dj ss UV - jdz ats (ad Les done 4 04 ad h ydy —— luz de — re — —)dz , et par suite : d 4 ai — (12 — E de — (y— sal jdz, done V ta y Z Z ja d dy -- es —2yde, d'oú l'on tre dZ— (88) 3 b 4 V me Í R A cause des formules (3) et (8), l'intégrale (a) devient : free — 5 fi pl Vi pea hes 0 — I 1 i )ydy —g NS a Ti vie o 0 co É fue—- ds z fy")dy de ((y)dy qi —ÇO ç 0 co D 1 yi )dy I yipP)dy i d qu —b——lb-—é (EÇ Pam eamemnr ramat, 3 BOrS EI Í dy n 2y fi Bay --y 2y V hay 27 y a QO 0 Q 0.8) qo 1 der pag die yi) dy had i Vitis 8 J Viais Q 0 1 —— fu) dy. : A s)dy 0 Done, en developpant le carré du 17 membre : o no 2 4 f ter — — Jard el — f tard. 0 ca a Sort eo —e— Zara de ze) on: tip) — pe 4-2ev), à cause de pel — — y'- 2a1, par là l'égalité précédente devient : (59) co pe j co co od ala 4 — qde — sl. e(y-- 2a7Jdy — L el elz" 2a7jdz. 0 ú es Pe : da Soient , Dt, fel, d'a, dos —, on trouve enfin : x a, dx 1 fics sol. vs Le feya. 0 0 Exemple gn d oc Es 1 dx fex 4. lis Va (PV ad vx 290 TAÉORÈNE. a el b étant des mombres réels, je dis que l'on a: di f(az7 -- ba 1 da — cle LT edr, (48) Va — — ao o / ori A (ay a dre — f tot, (9 qo j co f f(ar— 2V ab T — 2 Ei, faddr. (50) Ò Démonstration. 10 Posons z— ya Ta il vient : a f (eds — ya cd f(axe T ba Le des done en changeant z en x, (40) cd o 1 b — Í f(a)de— f far b — )d: VA deia a C'est la formule (48). o 9e Si nous posons dans l'intégrale M f(a)d2, dema JO. ZESSya— vo, x Vi dx on aura: de — Va -de , de plus aux limites . 902 co co der I , répondront les limites £x — j On a done: — LO 0 f teve— fiee- 0Vai an as Va L que 0 Le) de ah aca deri m PVeaó red LI 0 co Vi flee—aya i I. EQ 0 Fesons dans la 2" intégrale à droite, — le 8) b di : ges , alors les limites x— deviennent y— 4, Va 0 es cí on aura : V ab dy bo de OO Va-dy de s— 2 , (xX" mm — 3, am y care ad — L ay d'el 4) Donc, l'intégrale ci-dessus devicnt : co co f veve —Va fieer— 9V ab -- - Jde — Q en QP) 0 (41) Le el) de EE 30h di a —Vb fu — 9V ab "- ay") aaer R y 47 0 Ll 0 ftuee— 9V ab -- È Jde Va f Ma —2xy ab 0 6 b — ED d— jde— A dg He. La xo 0 Donc, à cause de la formule (56') : fi fe ydr V a f flar— 9V ab qae, — DO C'est la formule (49'). 5" Posons dans la 1" intégrale à droite de la formule (a), — 407 Es —— , On trouvera, pour la valeur de cette intégrale : uv a D o i — ma nEer b ra dus Va f tav—2V ab. — de —V 6 f lay—AV ab 0 0 d- —i -, et alors la formule (4), donne : Bo 8 i / dal Dei a Ed È f veie—ay b (lax—9V ab pen —. j — ÇO 0 donc, à cause de (56') : : 3È (edr — (3 f qee—va ab pla £ a — DO — DO TS Es PEE P EN — Cest la formule (50). TOME 7. 4'€ PART. 6 (42) Remarque. On déduit aiséèment des formules (48), (49), (50), les suivantes comme cas particuliers. fi fama mde — fevdr, 8 qo co bé ff — ma de LL Jde — EE aydr, (82) 42 R Mi Or ia Ni f te— 1. ee f te, (85). Ba — f'uter — ma LL m) -- f(x - 2ma - m)ldr 0 o o es q (ede— f farydr. (85) Ajoutons encore quelques exemples de transformations usuelles plus simples, dont nous aurons besoin dans la suite. 417 ExemprE. Transformer en expression trigonométrique Vin- tegrale définie : i 0 gedx V 1— a 0 È x do A cet effet, soit z— aresin 2, on aura: da— : Vi— X i 2 sinz-s- ax, done, pour cs. , Ona z-— Ç j done, en subs- 0 0 tituant , il vient : Et a sin"zdz, (59) ViI—s (45) 2": ExEmpLE. l étant la marque des logarithmes Népèriens, transformer Pintégrale 1 Of axaiye X 3 0 d fonction logarilhmique, en une autre à fonclion exponentielle. 1 1 Pour cela , fesons l——z, ——é , de Es — de, alors 2 x 1 4 4—l h—l —Z pour x ES , on auraz— , de(l—) OO sm—zoO e de, 0 di sa 1 0 i e—i p—i — fils ap. e de o o qo —I — p—i — - fi e ci e de. 0 C'est cette transcendante que Legendre nomme fonetion eulé- nienne de la 2P: espèce, ou fonction gamma, parce qu'il pose pour ed El —— / de(l—) -f xo é de — Up). (557) : l ges A Transformer Vintégrale 1 xP—idx , hi erra (2) 0 en une autre dans laquelle x" soit reduit à la 1 puissance. 1 Soit d'— 2, nat mida dz, x—zt , les limites ne ehangeront pas et l'on aura : aP li dx ar pl de g/l — Pa ena TA Mes): n3 (44) par conséquent : 1 3 gP-idx a : Ra 1 V —ayra n—q fr da(d—z)t Dita (B5') 0 Legendre nomme la Let (8), fonction eulérienne de la 1": espèce, et la pe pour abréger par ar ldx V (—ajira P v gar 0) Done, si len pose avec Legendre i A ada —a)tT— (p,4), p et q étant des PA positiís, on aura, par la formule (557) 1) (es Es. (0) x 4"t ExEMPLE. Transformer la transcendante ja Es , dans la- è quelle I désigne un logarithme Népèrien, en une autre à fonction exponentielle. dx edz Soit xo e", de etdz, le— 2, Era — —, alors Ui Z 1 z x- I donne i , On a par conséquent : 0 xen Q Es 2 x dx edz edx —— —, . I lx Ld x 0 — o —O Mais on a: dx edr xo Da — — I ELS R ramtion ei t s Je ap CO ma ta" Euler, dans ses institutions de caleul différentiel, a déter— (48) miné la constante c, de manière à ce que l'intégrale puisse ctre prise à partir de zéro, et il a trouvé l ce 0,877215664901... (857) Si l'on désigne l'intégrale pour cette valeur de c pour abréger par li(x), on aura : x dx : Biada (o) a la dr ST 345 "80 Hetimelimas 0 A etc. (557) x La transcendante d — , désignée par li-x , se nomme le 0 logarithme intégral de 2. Que TRANSFORMATION. Les généralités qui se rapportent à cetle transformation ont déjà été données, et se trouvent consignées dans les formules (54), (55), (56), auxquelles nous renvoyons ici. 57€ TRANSFORMATION. Cette translormation consiste à diflérencier une ou plusieurs fois de suite l'intégrale proposée par rapport à une constante, puis à intégrer le résultat entre certaines limites. Soit, en effet b u — f te,nde : a en supposant que a et Ò soient indépendants de la constante r, on aura par la formule (48). 7 Il se peut maintenànt que cette notvelle intégrale puisse s'ob- (46) tenir facilement , en désignant par e(r) sa valeur, on aura : du dr dà e(r) , d'ou : u— fndr — C, (54) et il n'y aura plus que la constante C à déterminer. Si l'intégrale 4 ne contenait pas de constante par rapport à la- quelle on puisse différentier, on en introduirait une à volonté, puis on appliquerait le procédé précédent. Donnons d'abord un exemple simple de cette méthode. On demande de transformer l'intégrale 1 are (grx dx ve Í: J . as rere, P (4) L VIl—ae 0 En diffèrentiant par rapport à r, et considèrant que are ígaz dz del pan on a: i pu / dre taller D'en rra Vi—e 0 Mais en posant es sinz, des cos zdz, cosz SV 1— a", les U3 3 , deviendront cel , et par suite l'intégrale 0 1 0 (8) se change en LI RC) du dz ra rapt 20in2 ú 7) dr 1-- r'sin"z 9 Mais en posant 17 — 8'—1, ou 8 V 17-19, on a: dz dz de APresinez 4 (6t—1) sin"z d—sinYz--B'sin"z limites x — , dz dei dz dat Cos" z d(tgz) cos2z - B'sinez I PBtgs I 4. B'igiz 1 es Ti: tg (Btgz) - c. Q En prenant cette intégrale entre les limites z — / , 0 conformément à la règle de la formule (57), on aura : 2 deis dz 1 a 1 —s ——b a — LL o (ate0 dr is B arc tg(6 tg 9) B arc tg (8 ts) ) 0 ds 1 T ce PT —- ds 1 . 2 yi d'oú l'on tire : EA Q 2 VI 1 Mais en développant u— EA dl da Ah) d'après la di V 1—a 0 formule (8), on s'assurera que pour r — 0, tous les termes de ce développement disparaissent, et que l'on a u-—0. Done l'inté- grale (ò), prise entre les limites rS0, rs r, sera: T on a donc enfin : 1 Li "arc tg ra de a fi dr x Vi—x 2 Vi Q 0 (483 Nous allons donner maintenant quelques transformations remar- quables qui se rapportent à l'espèce de celles dont nous nous oecupons ici. LEMME. Si la fonction L(x), ainsi que ses dérivées jusquiíà l'ordre n—1 inclusivement, s'Evanouissent pour x—a, X — b, ona: b b f servei f vend. a a Démonstration. En effet on a, en intégrant par partie : f s'omen— ae — Í see or, ÈS V'(adrgt Na)da — Va) de (a) — J V'(edege edr, etc. etc. f a—) ( 90) dre) de — pea) 9(2) Se T i LOl(a)drez). On en tire, par substitution : f vomede- qae Vero) ca A (ND E)gla) NA / VO 0dr-99). D'oú : 1/1 b f vomedes A f vere). 5) 49 TUCORÈME. Si fícost) est une fonclion réelle quelconque de cost, on a: 1 T J f(cos Qeos nt dt — I 35 On. / foeos Psintne dt. — (86). (49) Démonstration. Soit la) — (I—2')t—, cette fonction, ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n—1 inclusivement , disparaissent pour cl, esx—1, on a done par la formule (55) : 1 1 vé (M—a i ON a)da — (—I p (A ee e(x)dx. def —li Mais on a, par une formule différentielle connue : n—l ——p 2 n—i 1.5 ese On—i Ú ea) un (— ( J sin (narc cos 2) dedi n par suite, l'egalité précédente devient : 1 fi P ade — 1 Ll 25... (2n—i JE sin an cos 2) daldr. (es n x —I d 0 , deviennent (— I - Posons x — eost, alors les limites 2 — l T — de plus on aura : : d L n A i dr — sintdt, sinte: (I—2'), (I—x) —sin í, M—a) sin 15 par conséquent la relation (a) devient : T ui ch if sin dte Oegs D5SS1-3 ... (An—l) f s(eos Qeos nt dt, 0 di 0 d'oú l'on tire la formule (56). Cette forumule est due à Jacobi, Qme TREORÈNME. a el ce deésignant des constantes réelles, n un nombre enlier positif, on a: qo (87) X ga T- 2ac) de — 0 TOME 7. LÚÒ PART. ll n(ç2 nn—t mel À a dx ah f. pe du a Gay, FE A sem) gan ant (n—2n —5) a ea y de , sr 1 IUa Larf Neta" de ns ) pecar - et, 0 Démonstration. Si nous diflérentions n fois de suite par rapport à a la formule (47), il vient : o ha dela LL a : dd pic X - me x a 4 qd d'e(z" ac da (a) da" et da" 0 Mais si dans la formule connue : d'f(a") n(n—1) 3 - (0) 2 ma ee a a EE Tan (Ca) í0(ar) - i n(n—i (n—2)(e—ò) 42 (Da) fe (a3) (2a) a— a) T etc. , 1 on pose ia") (ea pe a), 1 1 d'oú (Pa) ss (—ilte (p) (ee ue), on trouve : ò de (ea — a' dr 4 Mroaf, /. A erxe 1. Els co (n—t) s'a L Ta , g(a—(czgr4- — Ve 4- te, / 0 Mais on a aussi : d'e(xe H- 2ac) —— 29 (0) (pa vai (20):ç0(2:-- 2a0) , d'oú : (51) o fi PET) — ge f' gatet 20042. (1) 0 0 Les formules (a), (8), et (7) donnent immédiatement la for- mule cherchée (57). Corollaire. Si dans la formule (57) on fait a —z, d'oú : dz : da, i Pa , Si de plus on change a", c", en a,c et qu'on rem- La place de nouveau z par zx, il vient: co SE a lS (88) af SN e-2V ac) 72 — 0 Liga i dx nín—l) i da Ve ep / Pet es Ta / ets) ya 0 i 0 Dar) la i 1-20V qi dB auirel p Vó 0 etc.) SR THÉQRÈNME. a el € clant des constantes réelles, n un nombre entier positif , EP ESE OS SET EAC a ES i E E on a: (89) J ga F Dac)jdr — 0 ME Re eres a Es P4 TS a dE a co i : da , a" Ei C a. (nn qan—2 (act xò d —)dx Li Ra gan (1) qr — Maó ts La pt h Na) J au mi) hi 42 (20)" dl ta Q 0 4 i ei 4 (52) co a a (n—l)(n—2) CE GD VI i i 1 3es SE ddalar ae 0 - ct. J Démonstration. Si nous differentions l'équation yi 2 / Cee(cat 4. — pi f ea I-2ac0) dr, 0 0 n fois de suite par rapport à c, nous avons 5 co È d'e(at-- 940) dx -/ d'e-elcta' —ç de A e de" de" 0 Q Mais à cause des formules différentielles d'fe-fic)) d'í(c") done) dE a dei GA de Ri Es al (32 O'f0(e e)- — LB) a (n— I (n—2)(n—3) CAC EN ES d 13 Legrre-xe) et., on a 2 defle').c : (n4- Dn : AR Bel f)/p2 DAR ES dd es 3) qe LE) gar i" "E) (1) um —2) a ae" iOS En den Soit (E) meleat—), d'ou fet) (e'jeoeatd—), on aura :. (8, d'e(ca -b - Je a: na (P impt pr ae nt — (20) C gent Ve x dE xi ) Dg ED) (55) (n--n(n—i) (n—2) gn 0—Dgrgs a RT da) pegats) Comme on a aussi : Ce (Da a" -2ac), (7) l'on voit que les formules (7), (6, et (a) conduisent à la relation cherchée (59). Corollaire. Posons dans (59), xt—zz, a'—a, Ce, puis rem- plaçons de nouveau z par x, il viendra : x 2 d é0)4 LA rent Ves 4 rer Ed Vr ao (nn x ea a de entenia aa Le — — etc. j LEV3: A , Va 0 AC THEORÈNE. a el C tant des constantes réelles, n un nombre entier positif, on a: 4 d (61) sO(er 4 —) ss ve — DA den 4 i ge feia ay n(n—i) , Va tia mg El El. ú 54) Dn(n—1 La ua ae 2 je met ay 0 Démonstration. En diflcrentiant la formule (47), n fois de suite par rapport à a, il vient : co a dx co dx d'e cd —) — d'a FV ge) - J x ) Paga / ga. ac) Va, a) da" Ve da" 0 0 Mais si dans la formule differentielle connue d'IVA P0 a) nn—t) PNVa) de LU Vs 2 VT un d Dan-— DN n—g. (CPV a) Ec — er — €le. 1, Ma) d- ce. on fait : Va) ge FV cVa), doà: (0 Va— A AO z--2V ac), il vient : d'e(eT-2V q0) da" Da(a—t)(n—2 ds (n-- rir ss ) gn e-2Ç/ 0) ct. . (8 EA retoy a ac) — o sa FV ad) Comme on a aussi : a d'elea--—) j a —— (a) de — da" a 7 a ae b Q l'on voit que la combinaison des formules (2), (6, (4), conduit à (61). Corollaire. Si dans la formule (61) on pose m2", aa", ez 7, et qu'on remplace z par x, il vient : co (n) 2m2 ha de 62), fer LE) Q (55) val fi A dafigimd Re qae), sard 2ac)da ds ( Da(n—i(n—2) 0: me THCORÈME. a et C Elant des constantes réelles, n un nombre entier positif, on a: R a, dx (65) ag Oca db ——— J Cara. £ . dx P. (a (a 2y A — — 3 i / or: 0 (nn eta 3 dx EM h EV at 0 Mr An nan Pa, eq de 2-10V qe): di CE pes tel 0 Démonstration. En dilierentiant (47) n fois de suite par rap- port à c, ona: d' elec 2 Du I ef — dd ce ens a 0 Mais à cause de formules différentielles connues : 1 d' — fi d—) ls Vol le La Ve do de" vs des de OO dei Da bic.. T 1-2 des es TR El ay — dV) 1 VO —am—) (Ve) Dec ó ya 9 Vot qu (Da — na) derbi Rus l 204 Vore il vient : 1 d'hriòs, ib A i 9 vo) i foVe) (a Dn fa Ve) de FV LV dr A c0) (000004 Dei liat s'ocels g Va er cte. l. 9 . A ( Ve f Or, en posant (Vo)e dei 2Va- VA, d'oà (Ve) — Vaga eL 2V ce), la formule précédente donne : 1 sa el, —. ee l2y/46)) de" (nn PR ay ac) De V ac) (al 9V ac) n Eli a driadal Gat dè an L) ga 9V ac )— ete. I. (6. 2.A(EV ac) (87) comme d'ailleurs ona : a d'elet—) è D(n)/ mer Es a RE) ÚS lon voit que la combinaison des formules (a), (8, (7, conduit à la formule (69). Corellaire x, a, c, en x7, a", c', la formule (65), devient : È 4 89) / 22p0(er 4 Me — tas o a ES (n)/qp2 QR — EA f veterans 0 co (DA fang a. fer -299da 4 ele. J. Remarque. L'on s'aperçoit aisément, que : He les formules (57) et (62) 2" les formules (58) et 61 , 57 (59) et (64), 4. (60) et (65) sont réciproques l'une de l'autre, De ces huit formules, les quatre (B8), (60), (61), (65) sont seules distinetes, dont la 8": est la ré- ciproque de la 17, et la 4: la réeiproque de la 2". Va. IMVERSION DU SIGNE D'INTÉGRATION DANS LES INTÉGRALES DOUBLES, A LIMITES CONSTANTES. Nous distinguerons deux cas : 12 le cas de contínuité, celui oú la fonction f(x,y) reste continue pour toutes les valeurs de 2, depuis x— a, jusquà x—ò, limites de l'intégrale relative à x, et pour toutes les valeurs de yz: z, jusqu'à y— 6, limites de l'in- ee DJ OS P TS ——tégration par rapport à 4, 2P le cas de discontinuité, celui oú la TOME 7. 47 PART. 8 (88) fonction f(x, y) pour les valeurs z—e, ysxe, comprises entre leurs limites respectives d'intégration , devient infinie, ou indé- — terminée, Cas de Comtimuité. d8t THEORÈME. a et b étant les limites de l'intégration par rapport ú X, z el B celles de V'intégrale relative à y, si la fonction Í(x,y), ne devient infinie ni indeterminée , pour aucune valeur de x comprise entre a et b, ni pour aucune valeur de y, depuis y—a, jusquà y — B, on pourra intervertir l'ordre d'intégration , et Von aura : fas ftesde ha le aa (65) Déemonstration. En elfet, la fonetion í(x,y), étant continue par rapport à x, on aura, en vertu de la formule (8), et en regardant 47 comme constant : 4 / fe aydr — dal (ay) MaJ-de, yj) H-... fa4- nt de, y)). Multiplions par dy, et intégrons entre les limites z et 8, ona: pb f 8 fus fre par daj f ta, 1dy 4 / fada, ay a a és A sLae Ri L fit RI de jj dy Í. Mais comme la fonetion í(x,y) demeure continue pour les va- leurs de 4 prises entre a et B, on pourra développer par la mème formule (8), chacune des intégrales du second membre, en écri- vant chacun de ces développements, 01 l'on suppose. —a Tmde, dans une méme eolonne verticale , on a : (59). f(a, SN Htetde, aJ-da)-4- etc. H(ad-n— da, ada) f(a, DE Eren cia a m—t da) H- etc. 4 flad-n—1 da, a m—I da) È En second lieu, la formule (8), appliqués d'abord à l'intégra- o tion relative à y, nous donne : : 1 ftee — dal (2,2) He, ade) -... 4. f(x, a -m—t da) ), o d'oú l'on tire : o 7 fue L fa, v)dy ca f f(2,a)dx fia fia, ada) de, . 4 / da mi pr J da dal f(a,8) fa, l-da) "l etc. 4 fase mA da) 4 LA dra his AA: m—i da) H- Es Es n—i da 9 Metaci n—1i da Ed etc. -b fan —t da, al m—i da). i En comparant les seconds membres des formules (2) et (8), Von s'aperceyra qu'ils ne diffèrent que par l'arrangement de leurs Lo termes, savoir que les termes placés verticalement dans l'une de V ces formules , le sont horizontalement dans l'autre, donc, en éga- o lant les premiers membres de ces formules, on a la relation cher- o chée (68). i A I Remarque. Nous verrons dans le 2: livre de cet ouvrage l'usage o que l'on fait de cette relation dans la recherche des valeurs des La intégrales définies , pour en donner une idée dès à-présent , soit : co feria È, Q (60) et cherchons à déterminer A. Pour cela, soit € ya", d'oà tap y, di diyy3 y est ici considéré comme une constante, les limites de l'intégrale ne changeront pas, et l'ona: o co I dt -/ Vyrectdeeh 0 0 ao d'oú : CL on, Et té V y , 0 qe P ey par suite a f de gia dy P y 0 co co d e y 0 0 , 0 Mais puisque e77 est constant quand x varie seul, ona: Pi a co co co Ei fou ferde- fu fe evi dx — fdy f eetevae. 4 ri Ba 0. 0 Si nous intervertissons l'ordre dans cette dernière intégrale double, il vient : f: e Pdy /: et de — fi dx /: et dg, Mais ona: co s—yItxt) 4 CIUt2) qy — — c eix qy — 5 fi emitrm eria pe cia gel Tell 0 eI RE de ren deies done : J ef edr em glo Mais si nous posons y— z7, les limites de Vintégrale ne chan- geront pas, et l'on aura : co o o dy R : cie 9 f dec 2 j die, Vs e e 0 0 0 done l'équation précédente devient : T de — —, d'ou: t—liV rr, on a, par suite : Cas de IMiscomtimuité. Qu THEORÈNME. Si la fonction f(x, y) devient infinie, ou indèlterminee pour la o valeur x— Ce, comprise entre a el b, et pour une certaine valeur de o Y située entre a el B, et que l'on intégre ((x, y)dxdy , d'abord par , rapport à x, el ensuite par rapport d y, je dis: 10 quíil ne sera i — plus permis d'intervertir l'ordre des intègrations, el 20 qu'en Vin- oo tervertissant, il faut, pour rétablir Végalité, ajouter au résultat obtenu, la correction, ou l'intégrale singulière : £ e-de A—f dy all (66) a c—qde o Démonstration. 4" Si pour la valeur x —c, comprise entre a et ib, et la valeur donnée de y, la fonction fíz,y) cesse d'ètre finie et déterminée, il y aura au moins un terme dans les seconds mem- (62) bres de (a) et (8) qui deviendra infini ou indèterminé, dès-lors on ne pourra plus conelure qu'ils sont égaux, comme cela est requis pour justifier l'inversion. 92 Comme la fonetion f(x,y) est discontinue pour z— ce, on a, par les apre (59), (59), ebde / ie, de —F0, ) — Fa, v) — f eds e—de donc, en Edit par dy, et en intégrant entre a et 8, il vient: f ò P , ef ds, f tende— f' du En — F(ev)) 24 cd a £ eT-de qi dj f tema. c—de Mais dans le cas de continuité on a: poca 6 f dd dy Ed fa, de — L dx f temds a a 174 4 t done, dans le cas de discontinuité, il faudra remplacer le 1" membre ge sa valeur (a), et l'on aura : f e-de / dy LF6,y) — F(a,))— d dj. fi tes e—de da f de PE plat : a 74 d'oú : 8 b 8 En dyLF (6) — Fe yi dd dx L f(e,y)dy H- A. Done, à cause de (57): £ ò ò SR fu fen f de feya, 67) P et-de A—/f dy fen dr a e—dce d'e Remarque. Si la fonetion f(x,y) devenait discontinue , non- seulement pour ae—e, mais encore pour plusieurs autres valeurs de x comprises entre a et Ú, il faudrait ajouter au 2' membre de (67) une eorrection , semblable à A , pour ehacune de ces valeurs. 200 Remarque. Pour déterminer la correction A , il faut recou- rir à l'intégrale indéfinie de í(x,4)dx5 soit f texpde— Fe) LC on aura , par la formule (57) : el-de f tesi) dg Fe—de, y) —Fle—de, y e—dc d'oú £ Am f dsl Fede y—Fe—de, y)). (68) 5t Remarque. On a supposé, dans le théorème précédent , que f(x,y) devenait discontinue, pour une valeur de x , comprise entre a et b, et une certaine valeur de 4 située entre a et 8: mais il arrive fréquemment que cette discontinuité a lieu à l'une des limites, dans ce cas la correction A subit une modification , que je vais indiquer. qo Í(x,y) devient discontinu pour x-s—a, el une certaine valeur de y comprise entre a et 8. Dans le cas oú f(x,y) est continu, on a : f b b R dj fred — dx fred f a a a (3 (64) formule qui, alors, en vertu de (10/), peut ètre remplacée par la suivante : fi dy P f(ae,iade f de fi es dy. — (a) a a-l-da Mais si la fonction f(z, y) est diseontinue en a, on trouve, par la Eq z- 7 ii dj fem def. dy f ne -f. dy fe dr. a--da Il faut donc, dans le cas de discontinuité dont il s'agit, rem- placer le 17 membre de (a) par cette dernière valeur, et alors on trouve, en transposant : , Pú fa fregir f da f temdr A, (69) £ a--da dm fi dy if frydr, — (70) É — f dylFa da —a ml. TA) 2. f(x,y) devient discontinu pour x-—b, el une certaine valeur de y, comprise entre a et B. On a d'abord, en supposant (2,3) continu , Ds f de emma dx f temdy, ou, en vertu de la formule (10') : b—db fa fes dx -f dx ftenm 4 (4) (65) Mais à cause de la formule (41), on a, pour le eas de discon— tinuité qui nous occupe : ú—db fu f'é eapen f dy fes dx -f dy free b—db Il faudra done mettre cette valeur à la place du 1" membre de (a), et alors on obtient, en transposant : Na a 8 2 dj Je, fe,y)dr — ig dl / fe, dy "A, (72) A Pà P dy f fede, (75) b—dò — f'astrò— red) 74) Ces eas de discontinuité ne sont pas les seuls qui peuvent se présenter, car la fonetion f(x,y) peut admettre une solution de continuité dans les circonstances suivantes : 40 pour x—c, situé entre a et b, et y— e, situé entre a et B, 2o pour xa, . El . .'Dc se, dr POU dias a CS gene d' pour sem, . El. . rea, Us DOUE RO a EL a cs URB: GL POUErea E d aER8 d. pour ces bb, Vila El a aC: N'poubesta, i el eL yasps 9 pour eseb, o ii ep. et $è P: Il n'entre pas dans le plan de cet ouvrage de donner le dé- tail complet de ces cas, les formules que nous avons données pour les trois premiers cas, suffisent en grande partie, et indi- quent la marche à suivre pour caleuler les formules qui se rap— portent aux autres, on pourra, au reste, eonsulter sur cet objet, un Méèmoire de M. Cauchy, Savants etrangers, tom. I, pag. 619, TOME 7, 47 PART, 9 (66) oú l'on trouvera tous ces détails. Eclaireissons maintenant tout ceci par un exemple. Exemple. Soit l'intégrale double : 4 Ui em p)de (er) on a ici : f(2,y) — i, fonetion qui devient indéterminée pour e— 0, y—0, valeurs comprises respectivement entre les limites a——1,b0—l-1y, as —1, 8 I. On a done : i 1 er (x—y')dr (a — yP)dy al d ED de ms Ni, fa CET IH A ef Tre TAE dd das 0--de da (ae— P) La Gi Le der (T-y) fe Q—de formules qu'il s'agit de vérifier. La o (FE —2')dz 4. Comme on a : dal Mare i (x"—y')dx —x (a—yp)de OO —2 — C, done Es CPEy Ni SE A A ad) P) —i , H vient : 1 e—p)ey o pa JE RS (2 -y') mèrit (ay) OO 1a sie De là on déduit : foJ (a i Gea Je am el dal (67) T — —— 2 are tg (H-1) -- 2arc tg rir dE ria S 1 fe ley En Oda px gar — Darctg (1-1) —2 are tg(—1) 2. — 2. — —J-7. Ces deux résultats inégaux —T et H-z, font voir que l'inver- — sion de l'ordre des intégrations n'est point permise. 90 Comme on a: xe— y)dx —I CET III TA il vient : de (—y)dr OO —2de (ep OO dey —de : de f uo (EE cia / de dy (e-y'): de" A- dyo I —qc —m — 2arc tg -. CG, a — ye)dx A— fa fi ay)" done : —de 1 T ss — Larc tg mirat arc tg co —/ X Ç aormppl par là, l'égalité (2) pourra se vérifier, et on trouve en effet : —Ro—m -- R—2r, 4" Remarque. On peut encore présenter les formules pour l'ín- version des intégrales doubles sous une autre forme. Soit, en ( 68 ) eflet ,-4 une fonetion de x , et y, on aura, pour la differentielle de F(u): dE(0) y, dFu) — dd, 53 du du ges CEE: ge du Vdy jl dEF(4) d'F(u) Sol LI qe), I men, L El — 2 x(x,y), cette mème différentielle deviendra : du - Pié Lu)du — q(e,y)de lb xfs,dy , (78) et l'on aura : du d de dr es ep Différentions la 4'" par rapport à y, et la 2." par rapport à 2, on aura : d-e(2,y) du qè GIS Maa a — Uu): ca d V DE Tens de x(2,y) ada — tr P IE Es Diu) —— Es d- Viu Pal — . ((2,y), par suite : dol y — dXey) dy dx Remplaçons fíx,y), par ces valeurs dans l'intégrale double ans 4f dy 18 f(e,y)dx, on aura, dans le cas de continuité : 8 b fu fa fe fes hi: i dx ad 8 L f dtxtòn—xanmt- f deter 8—etrals (7) — (any. (70) ou, et dans le cas de discontinuité, en vertu de (68), (69) B ò f dv tatd— xany— f desa —eeal TA, (8) f A— f dutxtet-dey—xe—deg)l. (8) Exemple. Soient e(2,y) ta EN ip on a: am —I, 8-1, da —i, ds Hi, d'ou: 1 1 1 2dy —— — 2dx RS 2de-dy — Q.. ics ge Ec) ae (ES aa et A) —i done m—— r d- 2r. $ne Remarque. Les formules (78) et (78') prennent une forme très-simple lorsqu'on pose : ue P UV —i, Qu) — a FV —I). Alors on a, par (75): — d ad) Re (ea) — Ve i) CEN eh i), deure —i) es h eta A), d'oà l'on tire : o, 8) 5 Va -8V —1), (ae a)eUataV —I): xD —I LO) 1), xy -V HI Va y VI) x(ed- dj) FV —i plel-de yV —1), x(e— de, y)—V — I(e—de--yV —I El par là les iormules (78), (78') deviennent : £ ES f duta er i) —plar DI ò — f deli 8V I) — eta V LA, (79) (70) 8 A MN A f du LP (e-bde LV —i—Ue—de VI). (19) Nous avons supposé que la discontinuité de la fonction 14h avait lieu au point x—c, y-xe, e Etant compris entre z et 6, done 9 pour simplifier l'expression (79'), posons ySs e(-z-de, ou Els ea had) 8 p—é alors les limites v-) , deviennent: z-— ' "pi de et l'on aura : Cen et sey Ei f tedel terri ededoy — de — ple—de - (edzdeV —1J 1 Soit ex ies es Del on aura : VI ce. de--(e "- ddQV —1) LL eledtetde ed —I ofe —1) dei —i) de —1) ufe— de. (e H- zde) Val ele—de--(ezdc, V— i Mena efcd-eV—1) de(—i-2V —I) — det—tdsV I)" ae elec —I) A — fe Es VT day —I d'oú : 8 — Del eV —I)V —l En . ——Q Mais JS — are tg zd-c, a dz T — Are 18 (co )— are tg (—oo )— 2aretg o sc 2X— SET, Je. 8(00) 8(—o) 8 3 — CO done AS 9r XD(e Le V —A)V—i. (8) De la relation (4) on déduit : ela) — 4 (a) X(e—e—eV —1), donc , pour x — c-de- eV —1 , cette dernière èquation donne : e(c-b de eV —I ) 8 (e Le V—I . de)-de. (7) Soit g—yg (ce V —I He de). de 5 (81) la formule (7) devient : e(e-bdedeV—I —o, ou / ol Le V —i)s a: o par conséquent (8) devient : AS 270y —1. (81) À De la relation (z) on tire : RS a——eV —I , vi) 8.2) : 0r, pour txec eV —1 , le second membre se réduit à zéro 7 par conséquent x—— c 4- eV —1 , est une racine de l'équatior 3 (8) a. la partie réelle c de cetle racine est comprise entre a et b , et le (72) coèfficient e de V—1 , est entre a et 8, de plus, ce coèfficient est supposé positif. , Reprenons l'équation (81) P—e ide UPS ac V—I Vi da f de ET — —l, — X ges " et supposons 10 e—a, la limite inférieure deviendra zéro, et l'on aura : calent) ae seva Í dz. Te —royV —I . 0 9. Soit e— 8, la limite supérieure deviendra zéro, et l'on aura : 0 Messi elcteV —I) a AA dze Te — ng V —1. —ÇO D'oú l'on voit, que si la valeur e de y, pour laquelle la fone- tion y devient discontinue, coincide avec l'une des limites a ou 5, la correetion A se réduit à sa moitié. Il faut encore observer que si l'équation 1 3 — (0) avait plu- sieurs racines o—cbel —i LJ ea be VI, eic. dont les parties réelles seraient comprises entre a et b , et les coèl- ficients, supposés positifs, de V —1 , comprises entre a et 8, il faudrait éerire : AS 22(9 HF ete)V—1, (85) et (ee V —1-d0.dc, 9, Fe Fe V —1 de.) de,, etc. (84). 67: Remarque, De la formule (79) on tire , en transposant 3 (75) É (85) F defu(a L8V —I) — pa baV—I )) i VI Í ds tg VI) —ta tg —D)—A. Si on fait ici a—m— o, db bLo, ax 0,800, Ona: f itetev-i)—t0) VI f dels ti i) DI —A. 0 Or, en admettant gee la fonction Y soit telle qu'on ait pe byVv —1) 0, pour yo, ve LyyV —i 350, pouresx to, la relation précédente deviendra : fredes, 8) A — 2a (0-0, tete)V—I, 0—my(c de eV —I )dc, 0 SF P(e, - de, Omar 3 etc. 7n Remarque. Supposons que la fonction $ se separa SOUS la forme fractionnaire (63) (dis: alors la formule (85) se modifiera un peu. En effet, pour ce V I, a —a Fe V—I, ete, ona — 0, et par suite F(a)—0, d'oú l'on voit que 2, , 2. , g(2) etc., sont Jes racines de cette dernière équation, dans laquelle les eoèfficients de V —1 sont supposés positifs. Ensuite comme on a : TOME T. 4 PART. 10 (74) gled- de be V —1) Deia te Met f(e-eV —I) Fe bde te VI) F(e-leV —I ) H- de F'ed-eV—I) fe-l-eV—I) ve fan) dE te i) Fe) " l'on aura : —ife-de be VT de — se / 1 — y I d 1 1 VA I— fe.) 9 (c,-- de, te 1 )de Pe) : GlCe, et par suite les relations (85) deviennent : Ten (z.) sea de i tre Pre By, (87) Xa, Xa, ESC. SONt dei racines de l'équation F(e)—0, dans lesquelles les coèfficients de V —i sont positifs. Si parmi les racines x,, 23, etc., il y en avait de réelles, comme alors le cceí- ficient de leur partie imaginaire est nul, ce coèflicient coincidera avec la limite inférieure de l'intégrale relative à y, et la correction correspondante devra se réduire à moitié. E AL Ma, RR i 1" Exemple. Soit Te Me : done l'équation F(x)— 0, devient 1-Fa'— 0, et l'on a: LV, qe —V—, comme le coèfficient de V—I1 , doit ètre, positif, on rejette la se- conde de ces racines, de plus, F'(e—22, donne F'(e)—9V —1: on a done : d nt rn LD TC —————— — du s— T Migds ( eli dl dl aa Pal Pal, do Dit a Cd a ed (75) gre Exemple. Soit cs — o L'équation Flx)- devient 1— 230, d'ou x,ee—l, Cara 1, comme ces racines sont réelles , les corrections correspondantes doivent se réduire à moitié, de plus on a : F'(x) — — 22, done : Fe) 2, F(a)-s—2, on a par conséquent : — i —1)— (119 —t. (89) La théorie de l'inversion des intégrales doubles dans le cas de discontinuité, et par suite celle des intégrales singulières, sont entièrement dúes à M. Cauchy, qui a publié ses premières recher- ches, sur cet important sujet, dans le tom. Í" des Savants étran- gers, 1827, On peut encore consulter sur cette matière les éerits suivants du mème auteur : Leçons sur le calcul infinitésimal , 1825, 25: et 54" lecon. Exercices de Mathèmatiques , 1826, p. 85. Mémoire sur les Intégrales définies, prises entre des limites ima- ginaires, année 1825. Exercices d'analyse, année 1841, page 558. Bulletin de la Société philomatique, année 1822. VIE. DES INTEGRALES DOUBLES A LIMITES VARIABLES. ò É Soit l'intégrale double 2a dr fi f(z,y)dy, dans lequel a et B d sont supposés ètre des fonetions de x, il est clair. quil faudra (76) 2 d'abord déterminer la valeur de l'intégrale dE f(a,u)dy, qui sera èvidemment une fonetion de x, telle que F(z), puis intégrer b EH F(a)dx. Dans ce cas, il n'est plus permis d'intervertir l'ordre 73 des intégrations. Si donc on veut maintenir aux intégrales doubles à limites variables l'avantage de l'inversion, il faut préalablement les soumettre à des transformations , dont le but est de changer les limites variables en limites constantes. Les problèmes suivants ont pour objet ces sortes de transformations. 45 PROBLÈME. a el B élant des fonclions de x, faire dependre l'intégrale 8 b double id dx j f(x, Vdy, de plusieurs autres dans lesquelles les a 74 limites inferieures a, a sont zéro. Solution. On a, par la formule (21) : b £ b 8 Get P fi (edu — f de f(x, dy — ft j f(x, yj)dy , (4 141 qz Q qz 16) 13 8 8 a frens - fresa — f tems a 0 0 de celle-ci on tire : b f b £ Ò a / de f'f(x,y)dy — f dx f. f(x,y)dy — fi de f f(x,y)dy, 0 a 0 0 0 0 a £ a £ a La / de f (e,y)dy — f de fe, y)dy — Eò de f f(a,y)dy. 0 q 0 0 0 0 En substituant ces expressions dans (a), on trouye : CL ay P a et ra Ds VUL N ENAC vl P ES Je dl EES ta EEES PAES a SE TT P dE RR NE da apa A ES A Pe de AT EE a Tal ae OO SES, SS PN, "See: ei SES ah rs P VS Et a a SP a A VE Ma RT a Mer 3 cat. da — a a - (77) b B b £ b La : f de Í f(x,y)dy — f dr fe, dy — far (2, y)dy a L3 Li) 0 Q 0 b 8 aa L3 SE / de (fe ay -- / de ('teddy. (90) 0 0 0 0 Que PROBLÈNE. B étant une fonction de x, convertir. Vintégrale GE fas f(x, Y) dy 0 0 en une autre dans laquelle la limite supérieure P devienne Vunité. f Solution. Posons y-—6:Zj aux limites gel , répondent les Ò 1 limites z -) , et l'ona: 0 c £ c 1 fic ta pdy — fde f(x, 8-2) 8dz. — (91) 0 0 0 0 Exemple. le) V 1a : EA dj oa Et) pre 0 0 o 1 ai fe dz Al dics let Btenat, Ve i Q (78) i co P) è cf dE at f Cata qu, e LE) 2 L 0 0 1 xil de 2,8 —lIy Si as 2 A eerrerIó IU co r) — i 242 T à cause de ENT SSL : 9m 0 SR PROBLÈNE. G étant une fonction de x, C une constanie , changer l'intégrale fi 4. f f(x, y) dy 0 0 en une quire dans laquelle la limite supèrieure c soit rèduite à Vamité. c 1 Solution. Pour x — ez, les limites xes / , deviennent z— i : 0 0 de plus, la fonction 8 de x, deviendra une fonetion de z, que je nommerai 7, on aura : c £ 1 fs fiesogime f és fiecio (98) 0 0 0 0 4" PROBLÈNME. Lo ee) Changer l'intégrale y — f dx / f(x,yjdy, en une autre de la forme RS i dr hi F(x,rjàx. Ú 0 Solution. Pour cela cherchez une fonction e(z, r) telle que l'on , (79) ait : e(x,r)ss 1, pour rs, (a) p(e, SS 0, pour r—a, La e(2,r) Alors l'intégrale R — / de ft (2, y) dy, deviendra v, pour 0 ri. ee) Soit f tesdy— V(x,r), On aura, par (45), 0 dé(z,r) ja a) (8) —a etat 13) , El RR Les L de dr. (7) 0 Done, en vertu de la formule (46) : at dera De ) de, (a). 0 Mais ona: e(ar) e(rr) vens / lesdy: donc sem f fess)dys 6 0 0 done , à cause de (a), ses f fíx,y)dy 0, par là, et à 0 cause de (8), la formule (3) devient : dR y de(x,r -— fix, e(x,r)) den)g, On tire de celle-ci : nf foren SS CE ge rc, (80) Mais à cause de (7), ona RF0, pour r—0, et, à cause de (4), ona Rsso, pour r—I. EA en intégrant (8) entre les Lmites 0 et 1, ona: í Li de, 0 fi f tastar) LE) qu, (95) 0 6 o Vi—e Exemple. Soit V-— / dr /f ydy. 00 On fera e(x,) FV r— a", fonetion qui jouit des propriétés (4), Vrt—at il vient : he fe fs Mais fydy—iy IG: Vrt—qga de(x,r 3 done / ydy—e— ai ea, Pre —r. Par là : 0 T qo xo dR QR S pi rdx, dR—dr fvée, R—/dr f ris: 0 0 0 qe a. ou Le Cer Bi far ÒrO 0 0 0 done Va f vdr—i. Pour la vérification , traitons directement l'intégrale pi—g: ne fe fi ydy. Vet—at a: fydy SS 3y TC, fuay-ie— a): 0 Vrt—qt fdr fus Area dem frda—t fada al ra— i FC. 0 (81) donc , a fe fre rà "Pals f'bée 0 ms Ds Eq Sl me sl — cl eegi. Pour r—mí, ona RV. VEEE. DU CHANGEMENT DE LA VARIABLE DANS LES INTÉGRALES DEFINES SIMPLES ET MULTIPLES. Dans beaucoup de questions, et notamment dans celles oú il bi s'agit de passer d'un système de coordonnées à un autre, au moyen de relations données, on est obligé de changer les variables de la fonetion soumise aux intégrations j il convient donc d'établir les transformations qui se rapportent à cet objet. 15" PROBLÈNE. Introduire dans lVintégrale simple. RA as dx, à la place de x, la nouvelle variable €, liée à la première, par l'équation implicite : (G,5)— 0. Solution. Des équations f(a,5) — 0, (0,5) — 0, on tire É —ola), b £ —V(b), done aux limites de la proposée cel , répondront les ae 6) limites de la transíormée , E——4 . De plus, comme on a: e(a) IOME 7. 47 PART, 11 (3 hi de ga) Or il vient : di er Et De l'équation f(x,É) 0, on tire : 5 x(E), on a done : b g(6) a de qe fridu— fixar —ao PA a CO dE Que PROBLÈME. Introduire dans V'intégrale double Bit f is f Femidr, (€) à la place de x et de y, deux nouvelles variables €, 4, lites que premières, par les équations : XS (Es), y 4697). (8). Solution. A cause des équations (8) il vient : a— qlÉss), VF e(Esv) pi 000 En x(a) em x(b), a— (Es), Bes (Es), hi go (4), y0(8), par conséquent, aux limites 2 — , répondent les limites x(0) 8 o 8) et aux limites gel , 1épondent 4) 5 L O(e) (85) il ne s'agit plus que de déterminer dr et dy en fonction des nou- velles variables , et de leurs différentielles. A cet effet, observons que la variable 4, dans l'intégrale trans- formée Eretaem DA la variable x dans l'intégrale primitive. Mais dans A , la 1'" intégration doit ètre eflectuée par rapport à x, et alors 4 est constant, donc, dans la transformée, la 1'" intégra- tion doit se faire par rapport à É, et alors z est constant. Les équa- tions (8) donnent : de EE EM, 05) amés dE Da "i, car dy-—0, puisque dans la 1'"' intégration 4j est constant. En tirant de la 97" de ces équations la valeur de ds, pour la substituer dans la 4'", on trouve : de, , dV DA) No — dE de d4 era, Dans l'intégration par rapport à 4, x, et par conséquent € , étant constants, on tire de la 2. des équations (8) : o) va du OR CS On a donc, par toutes ces expressions réunies : Id a f ds f Fe,yde L Ga qu xD Dar de de EE E)) — a Fet (Eu), Y (E,n)) di dE da) (0) dr mé, CON Ó É d — l de I F(PÉ,7), V(€,7)) (EE )— (EE) je. 8a) — x(a) (84) Exemple. Soit à transformer en coordonnées polaires la for- mule générale de la planification des surfaces : de fe far IE a et b sont des fonetions de 2. Les formules pour la transformation des coordonnées polaires sont : CET COS E COS 4, y—sreosésiny, seersiné, r est une fonction de É,y. Si nous fesons abstraction des limites , nous avons ici : / dy f F(z,y)dr — dd fer F(z,yjdedy ge ETC CIS par suite, F(2,4) VI) 4. ( 5, Il faut donc, en conformité de (98), chercher les valeurs de d4 de , , d$ Te (ENG) o Es Mg Las El de EF 644), VE). 40 Determination de T. Comme on a , cs glÉyy) Sr Cos É cos 4, y — VE) Fr eosÈ siny, il vient : EC deer (— dE Jss cos 4 (cos € CE) — sin € $$ (De) — cos los 7 —- rsiny), (ee) — sin leos€ (Z, qE)— rsin€ J. (8ò) Eq) Dons Lina reeer, d'oú : TE )— EN er )cosé — reosé Jcoss. (a) 90 Détermination de X. d ds Comme on a Fe pe V1 (NT (qy 0 il faut, pour 1 d d . trouver X, exprimer (Do 3 (pe , en fonetion de È , et de v. Pour cela, z étant une fonetion de x et de y, et par suite de $ et 4, ON A: dz rat si Mig NE ND): équations qu'il faudra résoudre par rapport à ( cel es SD, Comme on a : (de) — sin EE) 4 reos$, (po) — st) en fesant : P) eos y H- rs —)sin E 4. reos Eeost sin 4 on aura : (86) U: Ve Tre (0 LED cost d- rreos'é I, done : pa Vi AV Pet: —T LV LG —pD'eostè de rreoss. En substituant ces valeurs dans l'intègrale SS ET du di, il vient : L / dedy Vi L (ent cia — (fra V: som Mari Aus les J'Jeosré, (99) et il ny aura min qu'à déterminer les limites qui, dans les intégrales du 21 membre, doivent répondre aux limites 4,6, a,b des intégrales du 1". 9789 PROBLÈNE. Introduire dans l'intégrale triple IS d'le, d 8 b fue fes Ft A das (ff Fes, 1) axdgdr, y a a PE La à la place de X, Y, Z, respectivement les nouvelles variables É, 4, €, liées qua premières par les équations xsselE, 1,0), US VE 6), ssxb, n 3). (2) Solution. Fesons , pour un moment, abstraetion des limites , et soit JH. Fe,y2)dedyde — / f fté, 9, Cjds, du, dE. (8) Les intégrales du 1'" membre devront s'effectuer successivement par rapport à ax, y et z, et par conséquent celles du second dans l'ordre marqué par Jes lettres É, 4 et G. Pour réaliser la (87) transformation indiquée, on devra d'abord poser Fíz,y,2)S Flefé, M 0), DE, 4, 0, x(é, 401, et ensuite obtenir pour dx, dy, dz, respectivement leurs expres- sions en de, dq, dG. 10 Exprimer dx en fonction de dè. Comme la 1'" des trois intégrations du 1:" membre de (6) doit se faire par rapport à x, on devra regarder y et z comme constants, et dans cette desat les as (z) donnent : de (De (DN DE, à ECAS dades d — jar, 0— (i Bed ar dE, Pour avoir dx, en fonction de dE seul, A faudra éliminer ds, des à cet effet posons : de 9 Carl vari era te gp) dy dy du ai geol: ee Cr o) ae (EE, EE), 6 EE), Les équations précédentes ACS : Co dE T- b, dy He, de — de, dèria es ei o, a, dE .b, de des de — 0, Or, en fesant, pour abréger, Qu di Ca — GD 20, Te Qi D209 — OD Ca - Ga Ca — OD SE (40163) , on trouve:: es re LE 1a É a E: dl dE. () 0,C, Ed 0.€, el b.C, (88) 9: Exprimer dy en fonction de d4. La 2"" intégration devant se faire par rapport à y, on regar- dera x et z comme constants, et dans cette hypothèse, les deux dernières des équations (a) cat - de ds AM, 0 ou, dj ob, dec, de, O—b, duc. des d'ou, en eliminant dó, b,Ca — d.C, depen ea (ò) 5" Exprimer dz en fonction de dG. La 57: des équations (a) donne : dx ds sp , ou, de — cd. — (8) Cela posé, les valeurs (7, (è), (6) donnent, par la multipli- cation : di dx dedydz — dE du de. De), dd — de de er): on a donc enfin : 100) ff f Fev,s) - (filet o, vend), fem 0): ara: - Da a Merdg- de et il n'y aura plus qu'à déterminer les pe A cet effet, on a, dans la 1" intégration, pour essa, asselé,m,e), d'ou £—la), y Xemb, DES (Es ,6), Li Em (b), a ES De a gel Egea PO 1 (89) Dans la 2": intégration on a: pour y—a, a—Vlfa), sl, d'ou: ymf(a), o y—B, BS VU), 8), pi qm 4(8). Dans la 5re intégration on a: pour zs—7, :Sxlfa), f(a),s), dod: (A), Do ZSmò, dE xilf(a), (a), cl, Li 4 Exemple. Prenons la formule de la cubature 6 pg ò ds f de f dy fe a x hd dans laquelle 7 et ò sont des fonctions de x,y, a et 8 des fone- tions de x, a et b des constantes. Il s'agit de trouver la mème expression pour le cas des coordonnées polaires. A cet effet, on a les équations : dp(È,y,0) Es reosgcosv, YS VIE,4,0) Sr Cos gsin y, cm g(é,s,c) — rsint, éèquations dans lesquelles il faudra faire £ —r. On a ici: Le ler al da (A i RN EE) (ADE — EE) Eres d'oú : (104) ff f tea — ff fe cossarauar — f cost de de f vedr 04 il ny aura plus qu'à déterminer les limites. Remarque. Les problèmes prècédents suflisent pour faire con- TOME 7. 47 PART, 19 - (90) naitre la marche à suivre dans les cas, ou il y aurait à transfor- mer des intégrales multiples de plus de 5 signes d'intégration. il serait mème facile d'obtenir la formule générale, mais nous renvoyons pour cet objet à un Mémoire de Cauchy, publié dans les Exercices d'analyses, 1847, pag. 128. EX. PRINCIPES GÈNERAUX POUR LA RÉDUCIION DES INTÈGRALES MULTIPLES, Lorsqu'on a une intégrale définie multiple, pour en déterminer la valeur, il faut d'abord la réduire, s'il est possible, en une ex- pression eomposée d'un nombre d'intégrales moindre, c'est ce qu'on entend par réduction d'une intégrale multiple. Pour cela, il faut substituer aux limites variables , des limites constantes, afin de pouvoir intervertir l'ordre des intégrations. Mais le moyen le plus puissant de réduetion , consiste dans la séparation des varia- bles. En effet, quand les variables sont séparèes, l'intégrale pro- posée se réduit à un produit de plusieurs intégrales simples. Pour le démontrer soit l'intégrale multiple b d i 4 RA e(x)da / Pa)dy h Made ..., (a) 1 dans laquelle les variables sont séparèes. Soient b d id fode—P, fm R, fteemR, elc., a € 0 on aura : Ò fa ade feu (V)dy - fe d És ca fi et comme R ne contient aucune des CE 2,Y, etc., ona: Ll d f b d foie f vody, f od Bed SR, f s9de, Í 4ndy (91) On trouvera de mème : Ll d b L f sode f sud Le — ffadr ... Q—Q: f od: ..., Ò f ciode Ba a Larr a etc. D'oú, enfin : b d f f cove f vady f tevee dtdèaR sa à c e Les ressourees pour opèrer la séparation des variables, consis- tent principalement dans l'inversion des intégrales, et dans des substitutions convenables de nouvelles variables à la place des an- ciennes. L'inversion des intègrales, pour qu'elle soit possible, exige des limites constantes , done si elles sont variables, le moyen le plus génèral pour les rendre constantes, consiste dans l'intro- duction d'un facteur P, jouissant des propriétés mentionnées dans le 11": problème du $ HI. Nous reviendrons sur cet objet dans le se livre. FIN DU PREMIER LIVRE, ROSROSPSP OI OR OR ES DA L IM: LIVRE. DIVERSES MÉTHODES POUB LA DRTERMINATION DE LA VALEUR DES INTEGRALES DÉFINIES. d'O OMETHODE. Détermination des intégrales définies par la formule (8). b fi fade—dal (a) 4 fa" da) 4. ... de fan da)l, b — qd-nda. 1" EXEMPLE. b Determiner la valeur de Vintégrale / xdx. a On a ici f(x) ax , done b i $ ada — dafa-ra--da-rad-2da-- ... ade nt da), La dt Ci pla re a a (95) — da fad-ad- n—1 da) va y — (ad-b—da) ze a (a--b)(b—a) ( b—a)da 9 CR EE — ba (t—a)—it—a). 920 ExemPLE. b Déterminer la valeur de l'intégrale ig Azdz. Comme on a f(x) A , il vient : b f Aide— dal AA As ide ja Astu—ida 3 a di Ga DR L. d- A), dl ss — Ada q ap — Tl A sinda— A2J da Per LAS A2/1. Mais on a: Ada — gdUA es 4 4- dalA , da 4 donc Ad —3 qu dalA ) et Ada — TA , d'ou, enfin : fu Pe. rr. Remarque. Cette E edl exige, comme auxiliaires , les règles pour la sommation des suites. (94) Que MÉTHODE. Déetermination de la valeur des intègrales définies par la formule (57). ò , d fada —F(b) —F(6), ib (dr — Fa) --C, a F(z) est une foncetion continue entre a et 0. 45 EXEMPLE. 1 Chereher la valeur de l'intégrale Ei bx dx. 1 xà bx Ò , a—l —— "ol , a—l —— On a: fe da E bc, d'ou fia de 3 1 Corollaire. f (A MBal-Cot-- ...) S AFLB-P1C P ete. 0 1 m4 4 DE— dr dlede3 4 ele, de —. Q Que EXEMPLE. Chercher les valeurs des intégrales de gèss qua to de arpa". Bidaigo: alta " dr 0 i dx 1 ada ae Ona: pe —p are tg— ce fia gar mt)ee, bda gps da etetete, (sis —— — are iga-l-es (95) ao dx 2 T done : ts — AC (g o Em—, x ba a a — o dé o da ade mial (—Lm qm" esui i Tm —) See En em) (0. 1 bdx ab — —m (— DE ia 0 qo as are (8 00 —— IE mi Ti Q Corollaire ee Sres Gota — () (x—a)-4' 8 (x—a)'-8' 57" EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales définies area A-BV —i (a J) a ra l 3 Fo Fa) — (a—a—BV —i 1—a-b8. ya 1 X (a—a—pB. V — Vla—a, EV —iJX... 1: On a: A—BV —i AB —Io qe fi —a—BV i v a—al-B 7r) de (96) de JA (x — a) d- 2B3 fi (e — a) F B' )dx, — 2B8X— — XP. (I d Ona: — d. JE F(2) di fix ui iy E TRES P er j A—BYy —1 A. BV —t LE I — - — ldr ea MA — aa Ph BV —I 4 —ÇO d- etc. — 9r B, —— 27 B, -- etc. — 97 (B, 4- B. -Lete.).— (8) he EXEMPLE. Chercher les valeurs des intégrales 1/3 44 1/4 fi dx da — dx V a'—r: é To Ve— 4 rs 0 0 0 On a: Je ES —V d—e LC, — arc sin —d- C, rs (9r) — de x a rents pi Dl Ll COS — —- G 5 Va—r : Q done : G sdx — dl, V a— ge 0 Ga 0 de T V a —re ER 9 7 0 143 — da La V a—a he a 0 Corollaire. Pour ai, il vient : 1 1 St EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales définies n R 2 3 fs axdx , f cos ax dx, Ú i 0 a elant un nombre entier el positif. Ona: 1 fsin Ge — — COS ax FC, f'eos ca dem sin ax - C , 51 9 Pour a—ín, il vient fin ax de 0, f cos axde— 0, 0 0 1 1 — 4 1 Li ——— j Dj es ei as im", Y en mi TOME 7. SUÍ PART. 13 (98) q-S dn--2, n Y LL n — () An -- 2. i 1 i. — 4 3 9) ———, N —— pe ES in ES in E3' RE TX 2 Ec) Corollaire. P sin ede-si, É cos edi Q 0 a A I Si on remplaçait — par co, la valeur de ces intégrales serart indéterminée, et l'on aurait : é 0 x 0 ef sinadem f cosadr-ç: 0 0 ls 67: EXEMPLE. Cnercher la valeur des intégrales définies Í o co frena, fs fe rer 0 0 gu 0 Ona: qx 4 mx dx fe lada ma FG, J—e PC, das —(a-lbV —1)x fi Cabra —m— - JC. Li ab V —I done : 1 mx dC TO QA Be ren la ai h ee, 0 1 dó da de dx A. ff io de lg- ro Mama 0 da (99) qo mer, 1 —US ESE A FB gp ee — a EC 8) I d ay —I hd: 0 co i he 9) qo Corollaire, f erde—m, A dret, fetdeco, 0 i 0 0 f ds —bx/ —I — RNR El A e 0 —3 0 Lu St Méruope. Détermination de la valeur des intègrales définies par substitution. Dans cette méthode on substitue à la place de la variable primitive, une autre liée à la première au moyen d'une relation donnée , cette transformation a pour objet de faire dépendre l'intégrale donnée d'une autre qu'on eonnait, ou dont la valeur soit plus facile à obtenir. EXEMPLE. Etant donné hi ((a)dxre— A, trouver f f(xd-a)dx, if f(ax)dx. —o — CO 0 Si l'on pose dans la 1" intégrale xH-amz, et dans la 2' ax Zz, Ona: ef. ((oLode 203 di fols mana f faridr —- ftod -i. 0 0 3 Corollaire. Soient (100) ao co Sa d fevdeivr frrcdena (EE. x 9 0 0 0 Ona: ao Le 8) 2 2 T d petar (o . qU—I ei dr (8) A 9a À espill a. 0 0 co Rin andr — 7 0 40 MiruobpE. Determination de la valeur des intégrales définies , par des differentiations successives. Dans cette méthode on obtient la valeur des intégrales défi- nies, en différentiant d'autres intégrales définies connues, plu- sieurs fois de suite par rapport à une constante. 1" EXEMPLE. Chercher la valeur de lVintègrale définie qo / dx (ae Ha 0 Pour eela, différentions l'intégrale connue o dem o 1 Da 2 ya 0 n fois de suite par rapport à la constante a, il vient : dl 1 RS ea ar o a De it (101) ou, à eause de la formule (45) , co n pr dr - : ra es ve da" Cd da" Donc, en effectuant les diflérentiations indiquées, on trouve : 1.2.5. 1.525... Qn—D 1 —m(—IY : E/- ç (a i ( ) On q di l'on tire enfin : di 1.3... En—t)r A CTE nins 8) 422... ne Quinta 0 9. EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale définie o fi xer. 0 Pour cela, diflérentions l'intégrale connue o 4 edr e— , ad 0 n fois de suite par rapport à a, il vient : 1 qo d'— ea a dx q(— . da" da" 0 En elfectuant les différentiations indiquées , on obtient : LQ N AD gr aX ed n 4.2.5 ses P f mer de a (Mt, 0 d'ot l'on tire : (102) co ae as R fr edr — per t (6) 0 Corollaire. Pour a—1 , il vient : fvede— de RG RS (TD) Q 5": EXRMPLE. En diflérentiant mn fois de suite par rapport à b, les formules qo b: f a Ve 4a , a —o co i CEE 9 ren fes Frlde — po, Vab, — o qo 21h vi — b: rars atxt--bx) V — PE PM Re SE, areas A: de VE 0 4a 1 i 0 ME des e (axí -Fbx) a Vol V a Picas) — 00 b aa dien ANYS X Vab V— f rea de VV Ne ab 1 — P o Ed RS xer ja j Bes TI ga VV DE P (ll — CO (105) On en déduit respectivement : ES Cr 4 ls. i Es fe ax" bx gu, —m(—IY 5 qe g ser GO Vr b,, — nín—i) a Va EN nía—)in—Dn—5) a T va qe tel: ( (nn Dnta—)e—2), 1 na 1-2 Va Vam dl b z HSF I Tm ES: d'e ga at fe a Va: a (V —I de — QO b: —— et qe — bb, — VE a Ge VI Dj fa ue UE ee, nín—n—Dn—5) ad de 1-2 CEO a dE 5 Res dia a VA es) h x"e (ext bbs) i —I dr Gi de x : - dl 3 dt)" ab en tea Eli ES ds o Na—) (n—2n—ó) a' dis — tel mM (104 4 ar a ya le eta È ma a n(n—l) ou — DR —, Ag 2V Lab Mil V UV TT ma (ni jn(n—l)(n—2) XI 1-2 Us al — de), (7) si ma T —9V —ab ls art VI de Del 1—yV I d'e gen a (Vs di" — LO) pergs 3 —9V —ab n(n—ti) Der VE VS) ene le, ley i (na (n—it)(n—2) I qi 1-2 mal tel 2) me MérnopE. Déetermination de la valeur des intégrales définies par des intégrations successives. Cette méthode consiste à déterminer , par des intégrations sue- cessives , les valeurs des intégrales doubles fa frena ss Ai, 1/4 À da i j fè de f ta, dr- / Ma)de, a ac ad d'o l'on conelut, en vertu de la formule (65) b / sada) A. (8) ( 105 ) Cette méthode exige que Í(x,r) reste continues pour toutes les valeurs de 4, eomprises entre a et b, et pour toutes les valeurs de r situées entre a et B. 3 Si la fonetion f(z,r) était discontinue entre les mèmes limites, on aurait par la formule (67) : B. ..-b Bis P Í 3 E ya I fur f(x,r) dx — fr f tenda HA, es a a a £ ef-de I As f dr f fíx,ndx, a 6 — de xec, est la valeur de 2, pour laqueile la fonetion f(x,r) est discontinue. Par conséquent la formule (8) devient : Li A f sodeca— AS va 17" ExEMPLE. Chercher la valeur de Vintégrale définie L désignant des logaritàmes népériens. On a, 1" 1 fe em ds dc, fe ae ei 0 1 SM de i fiu fet qe— Dema, 0 ue dr du 172 DS de l'E ie fe dr -/ Date a Y 0 Y TOME 7. 9277 PART. 14 ( 106 ) On a, 20 Ó Pel st X is x e—I A Us fe Je RRI elx. ce) Ds den TB: i x —Ix pa 1 La LP h—i lles Jige qe DE , 0 Les premiers membres de (a), (8) sont égaux, car v, ge étant positifs, la fonetion xf—, ne devient infinie pour aucune valeur de x comprise entre O et 1, ni pour aucune valeur je, comprise depuis xy, jusqu/à xsxu. On a donc par (8) : end dues 10 Plx cosit (di ( ) 2m€ EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale définie o LJ e CX da P4 Cd dx x 0 a et c sont des nombres positfs. On a1":: fve— e 143 0 Le 6) v j da d'ou : dd da J cadr — / — ms la dec, L hi ( 0 (107 ) a do yÈ de i Ca RA (). (a) c 0 ec I : El a o — doú: / de je ada ue OE ) (8) Donc, à cause de (8): co ec IE a 0 5": EXEMPLE. Li Chercher la valeur des intègrales définies o co if mer —b3X ja Mer call eaaL ———— eosbrdr, —— sinbxdx, x x 0 i 0 l- 8) ça a Onald: PRE DY ag a : by —A 0 o don: fda J I ag o È és ai, — ad VU — i) ee. (108 ) Donc / da dd EA HV I Jaques V AI RV ET), 1 0 2 b Na. b b HE )—V —I (arctg—— arc tge—). (ea) P l co -4-b a a mia ea aogen On a 2: / e—l(ad-b/ —1 gel e—l(ad-b 1)x d Hi a 4 xi Lolita DR AE RS qe fer VI) qq — e (e-l-b ia e (ab 1)x H h l d'oú : 3, eta i TB Da fes f co rque f3 a — ed 0 c 0 o Ll QR AT — (UT embxl —1qr, (G HH 0 Les équations (e, (8, donnent : co ee A gura dE Crea Dis ag eEar 0 I ol a bo —— b db des My I (arc area L (g— j - ou, à cause de ebx/—l — cosba — V —I sinbx, L co tx — ex PEA lEs ee CX — e—ax ——bobs brdx — V —I caire itmigereida SER x x Q 0 , b: — b b I VA larc Mer ns e—) , SP i Na dd Era (109) d'ou: o — OX LL p—aX 3 b: Ó hau ame IES ) y I (12) OO CE — g—AX le sin da ie — IlC qe arc g— i J 1. Corollaire. Pour ò--0, la 1" des formules (12) reproduit (11). Si dans la formule co Dt Le — Eq — ad —1) — el —), 0 on pose ci —z, elle se réduit à : RE le a LV de — a PV I) — VI). Z 0 En fesant, dans celle-ci, ò-—0 , on a: 1 go fet 0 i ce qui est la formule (10). En posant dans (10) z-zef, on ob- tient (11). 9. Corollaire. Si dans les formules (12), on pose a—— oo, 20, elles deviendront : ch cos bada / er r-d an OB x 4 (15) sin bedx an L xX gags Q (110) 68 MéTHODE. Détermination de la valeur des intégrales définies au moyen de lVintégration par parties. Gette méthode est résumée dans le théorème suivant : THÉORÈME. dx) Elant une fonction continue entre les limites xa, xD, je dis que Von aura : Ò . 1 a, da) i qu ft dra a 1 db) d'f(a) —f P P, Ca noi mtncidl iaia etc cc Gais s désignant la somme de tous les termes que l'on obtient en fesant dans l'expression placée à la droite de 3, p successivement égal d 0, 1,2, 8, ... n. Démonstration. On a, par identité : dx) dx" , d'a) 1 qe EN de) d'a) és, et Barte ade teló a a Dl p OD ana CCOO gent I dua 1 o detfr) Del ria ml pomera ler rs retels done, en intégrant : aq. El) 1, Efo a, fr gu Dada ai eL aa f'arda . da ani dre dr" n P UE En fesant ici successivement nes1,2,ó, ... n—i,n, on a: dr) / de dí(z) dr de 7 dí(x) ee (1 — LO —— — fa) TR f adx- (111) pea) EN) dl J ad de a Pri qua dx: 3/2 x-dx da) da) dif(z) f a'dx s 3a De $ a da da 2 Da etc. etc. da) 1, dEfa) ul A fe dat: a da—— —m— " J de On dx" De là on tire, en effectuant les substitutions successives , el en résolvant l'équation résultante par rapport à son dernier terme : NE deitfte) dia) Da, JE a" ds xi d'a) Es d'Í(x) T rà de a ea LA en) 2... dit 0, I— a, Si dans cette dernière on fait successivement ax—b on aura, en retranchant : b ds 1 da) l fals din fi a dent di) — día o 0—A 1 Cs La 19, 43 i a da . (—1) call die a da" i i - etc. i 4 D , d10) , d'a) el bes rr emoer dEri era dd "Els Comme le terme général du 91 membre est , da) 1 L d'í0) P (a) i ES DA db" daP On peut éerire aussi : Ò $ n j n deia) aj LE dre f: gi io a P vf( 1 Par et. (14) MU i d'A P —all map a dat DS 0,1:2, (ri) (442) On voit que l'intégration par partie, appliquée plusieurs fois de suite, conduit, à l'aide de substitutions consècutives, à une relation contenant deux intégrales définies, en sorte que si l'on eonnait l'une d'entre elles, on obtiendra aussi l'autre. 17 EXEMPLE. Chercher la valeur des intègrales définies qo qo 5 EX eosbadx , / em sin bedx. 1 Q L'intégration par partie donne : b i EX COS baedr — Es e EX COS bx — L É es sinbxdr Ú . i Ò f — sin bada ma — Le aeginta de f ee cos badx. a a in multipliant par a, et en transposant, il vient : a i ea gos bada Ta A ec sin badx — — ex eosbx, b f es eos bedxr — a l ee sinbada ss et sin bx. En intégrant entre les limites O et 00, on a: qo o a f ercosbada- tb Í ersintade—t, 0 0 ja 6 o of 8 cos badar a f Còsinbade—o. 0 0 De ces deux équations, on tire : co d er eosbrda — n , dt À (12) cd AE b f EE sin dedo EE ——— : La 0 a o Dg da ha dd ada es ió Re arpa oi Set ela (115) 2" EXEMPLE. Chercher valeur des a grales définies d'ad enti da fe Vi—a fer Vi—r 1 Linegtatici par parties dl : cen —I 2n f decdevi—e RA ca V - 1 ade da TE nent VIES En multipliant, et en divisant le 1 membre sous le sign par V l1—a: , il vient, en transposant : gn—2q en—l E ader fr — ha VI vin d Ú . V 1 — a Ou—t1 On—i V 4 —q eté. etc. etc, Intégrons entre les limites O et 1, il vient 1 1 en—dg 9n 3 gèndy VIi—a 2n—l VI—at 0 0 Four need 2,8, 4 nyion a 1 A ra RR El DE a'dx Dia Re ta, 0 0 1 1 ade. —, / 2'de Vi—a i Vl—a2 i 0 0 1 1 aídx Gh aedx Vi—r è VI—a 0 0 etc — etc 1 1 x2n—è de 9n, è pe) 1 À Vi—a ——/ 2n—1 Vi 0 0 TOME 7. 277 PART, 15 (114) en multipliant ces équations entre elles, membre à membre, on trouve, en réduisant : 1 af xen, 1.5 des armó On—t) Ll (16) Vi—e 12 Mn 2 2: L'intégration par parties donne : embliatmtanió 2n 9Ontl L gen—idr V 1—a — 3 V l— qe dg q2 Hgr 1 : di RJ Vi—e En multipliant et en divisant dans le 4" membre sous le signe / par V 1—a", on trouve, en transposant : x—idg — xa Le paer 9n--1 gentide VI —ae qe LE rea OE VI—a par suite : 1 1 aia—ida — 2n. ff gteitdr V1—a 2n Vi—e 0 0 Fesons n—1,2,95, ... n, on trouve, en opérant comme ci— dessus :. 1 da Ra De dei, i IR — — i 17 Vi—x —9:8 ... En—1) i. 0 Corollaire. En fesant z— aresin 2, on trouve : 1 g ada ins AB co Ex Mi DT LLERS 0 0 (18) 1 9 air Ç DL... 2 Bancs T sinttizag es PE: —. 1 Vi—a e 8 gi I j 0 0 Pen Dada des tardes 4 3 (115) 518 EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales définies x TT T T 2 DE 2 2 f s'rcosade, f desin xdx, ES aEneos xdx, hi gatsin edr. 0 0 0 0 Solution. 12 RE dpi ne donne : PA De te0sadree — Ficosa Fg — f gen—sin edr , 2n L, a—sin ed ——sina — — f dreosada, 2n 3. d'oú : qen—l gn gen—2 (08 edr — ——CO0S 2 sin £ if Oun—l1 qi On —1 - 2n 1 2 Dr fet di 8 dr. Rom ls ri A La di En intégrant, entre O et — , il vient: 3 T 8 En ch aneos gde — (EN — (An—1)2n / d—eos ada. 0 l 0 On trouvera de mème : TT T C) g 54 a'sinadg — an(g re — (2n—1)2n f d'e sinadz, 0 l 0 TT Tc 1À dintleos ada — (af — (2n--1) 73 d'"sin ad2, 0 T T 2 2 dd at sin ada — 2n—-1) / areos edx. 0 6 0 (116) ASS EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intègrale 8) )È Get pel 0 Solution. En intégrant par parties, il vient : f am d'E dg es I ese L — - : P die aays Le 17 terme du 2' membre disparait pour 2— 0, à cause du facteur a, et pour a — co, à cause du facteur e VT, on a done : qo Le 8) On—2. —a'x" 2a2 on —aix" x e de SS —— e de: PA On—l qai 4 0 0 le e) Le 8) J Cat di 2Ç2 Ou—t1 Men Socis Re dà: fate reg a fr al pietat P Ja2 0 0 lo 8) — dent a V T 5 Comme on a: fe DE qe S— , Si, : Ja dans l'équation précèdente, on fait nm successivement égal à 1,2, ...n, et si on multiplie par ordre les mn équations ré- sultantes, on trouye, en réduisant : co fú edu Ah 1.5.B ... 2n—1 P (19) guit qznia 0 Corollaire. Pour a—1, on a: co on —xt 1.5... An—l —. fe e dx -— Tn V ria (20) 0 Pour ame, il vient : Si r L.3 ee (2n—t) — N ge a a Dia A feta DA dem ft e mila- xi gu — dl Va quimy la Jet 0 Q DR OT SE, VO CV DE, QS II R DES ROAS EA RRES OE 39 4 OE ee A a pr Ep A RLT re rares (117 ) SMS EXEMPLE. Chercher la valeur de lVintégrale définie o f area bb —I)agg. 0 L'intégration par parties donne : d (VI ja ga LDL —la bb I a n 04 ds COL feta egg, deu: co ls A co ig ea FB x n—iqg — il dela bb —I)agz, i 0 Donc, en opérant comme dans l'exemple précédent : fe ela bV/—I )xqg i hr -2. / GE eu ou fac Te Tide— Ge jàda : s (adv —I)3r foc Veoste— si ba) dr 1-2 de Soc dE (ad —1)e Soit : a-tV —1 — 5 ((089 Ú- Sa 9), 1 2 d'ou: a—xseosç, b—ssinç, s— (a'1-0')", p—aretg 2, a done l'équation précédente devient : co o I a ereos bada —V —I d ae sin badx ú d 2.5 ... n Acosta 9 EV —Í sin ele) sR sa a feosta-- No —V —I sin (n-F Ne). (a Lo ET) (718) Cetle égalité se partage en deux:. 3 É q2.,., À b fi ade eeos bx —— cosf(n--Daret El 1 g—) 2 . (art) EE d co 21) f veia bx La — pin (n--Baretg--) : 4 (ope) Ces formules sont dues à Euler, nous en donnerons bientót une autre démonstration , qui ne demande point l'emploi des imaginaires. Pour n—0, les formules (24) se réduisent aux form. (15). 67: EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales définies qi 2,2 her da A fe eosbadr, fe sin badz. 0 0 Solution. On a: co co : — (4) f ET de (1 xi, g—bx a ds 0 xx SA 2 Cap El A 3837. — fe ai cos bedz —V —I fe 8 X sin badz. 0 0 Mais on a aussi : qo Le 8) DO pl ie 8, —I —latxt bbr/—l—a ze l emlatx Pb —ag, — P Se vieciót: Re my, 0 0 b: P b La ne AR ea, (889 ) En égalant (a) et (6, il vient : qo qo 0 0 — d'oà l'on déduit : 4 —atxt en Vert J / e cos bada —e — 1a" La 7 2a 0 É A Co A —aix" . di e sinbedz — 0. I 0 suite par rapport à Ò, on en déduit les suivantes : co b: fr escala badx —(—I): - dd. e 4a: j 2a das 0 qo b: 0 77 EXEMPLE. Determiner la valeur des intégrales 3 X 4 4 / tgeeadz, d tg tizdz. 0 0 T 1 4 h j 0 0 R 8. qan—2E dg 4 n—x — É fo des fe IL ) CO) d —i —atxt on—le — 439 L fr Le sin bade— (—I)" vr És 3 ar R I 2a dièn—t Solution. x-—igz, on aura cel, pour cl , d'o b: —y2y2 SEGRE) i —a'xi , EE Ta i men : É cos bada —V —1 f e sintadd id mar $ 2a (22) Corollaire. En differentiant la P de ces équations n fois de ( 120 ) trata, 1 a gn— He X Sn—SE dg — j Je dz j Ta (8 0 4: Fesons dans la formule aux différentielles binòmes : gdx art aa al b(m—np-- 1) (ab) a(m—n--1) der o m—p-1)J (a-br)P mesn—2, al, ò SI, psi, ns2, il vient : qèn—aldg gen—ae—l f de ió On—dh—I (eo d'oú : 1 1 qAn—edp I qen—E—2 de h / To Qn—A A, f ee 0 0 ou, Si din 4 4 f tgee—itdz RC a PRO Era f grata qz, Dn — 2 l—1 l 0 0 / Pour E—0,1,2, ... E, on trouve, en substituant : l zò l 1 1 ua tgezda — Ga ci OE d etc. l 0 1 — TT 4 1 f 2n— a —2 al Ç LGT, UR P . tg zdz, / Soit Jn—2E—2 — 0, il vients 1 1 tgade — de te. Ei 17. Le 3 Oi Mn—3 cega RE (121) 2. On trouye de mème : 1 4 — TE i : 1 j i / tgen—itig qz — gada di 1 / qan—a—i qgp i i 1 der A Mn—IR i 4 Ja i 1 P a Desa a Verameó, LENALS n—gx—l an OE A tg zdz. Pour A 20,12, ... E, il vient : 4 1 1 í 2nti d ———— Rel . J s'es On 2An—2 T Qn—A la TT 1 da aa ii anat 7 J tg zdz. Soit An—2dt—1-—I, — on aura figedem—ti 2, par suite : 1 anti ene: pl hx (des La est ms etc. Es El). 85: EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale définie : P— — flte-3e ED —e JE, 0. Ba On a, en dama ç do. pes De Ma 4. fe —E qg Li fe 0 TOME, 7. 2"' PART. 16 En intégrant par parties, on a: dun e—Ada ella a A Al ef al ques EU apa edr a x da ca x 4 en substituant, P devient : o le) co eeidr ò F erbidr em da de P e—) /: x en x l da x a da eh da emda En développant les termes qe her cà el en désignant par R l'ensemble des termes qui ont da pour facteur, on pourra.— écrire : l DE 1 I ds el. lA (sa Ne beta) ee. da Remplaçons de nouveau da par sa valeur numérique , ou zéro, on aura, à cause de la formule (11) : i Ps— ab (e—3 Un). — (29) ( 125) 991: EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale définie 0) XL p—aX —2 pel (1£ : pus Cer. Les 3 Solution.. On a: da da da L'intégration par parties donne : o qo pes emia f e dx Ri da el de f da da qo 98) L erida —evida a j exdx EE Re : da da Li Par là P devient : — da —2d3, ed sex e—2xq pels e ,€ i de x i fil ES fi X a ae ie de 5 x x a rs - da da da 4 1 PRE Tgstit A ES Qi Dc tara PERI ds l'E Ha za l dE ji eeda if de. En remplaçant da par zéro, et en ayant égard à la formule (11), il vient: É l PA). (57) 770 Mérnope. Détermination de la valeur des intègrales définies par lintroduction d'un facteur convenable. b Soit af P-í(e)dx — A, et admettons que pour une cer- (7 1 h 4 taine valeur attribuée à une constante m qui entre dans les ( 124) quantités P et A, P se rèduise à l'unité, et A devienne B, "on aura : b f team. 3 EXEMPLE. Determiner la valeur des intégrales no QS ee di cos bada , 4 sin bedz. Q 0 Solution. Ces intègrales peuvent étre considérées comme équi- valentes à eelles-ci : o da bè cos bada fe erdarzeys bedg ss —— da EU sp, j (25) qo o 1 b d —/ reda ex TÇ(Ç— —— fin x el La sin bxdx ESA Par gre MérnopE. Détermination de la valeur des intégrales définies , par lV'extension des limites. Si la foncetion sous le signe d'intégration contient un facteur infiniment petit, et que l'intégrale elle-mème soit infiniment petite, on peut, en vertu des formules (52), (B5), changer les. limites de telle sorte que l'intégration devienne possible au moyen de procédés connus. 15". EXEMPLE. Soit R infiniment petit, on demande la valeur de Vintégrale définie 2r fi die do 0 a era RE VIrE É (425) — Solution. Si, dans la formule des différentielles binòmes m api J de a-bbar da —— É. Des Ç A es f amada pidr, On fait mel, n2, Ch, Ps— 3) am1l,bzesl, on obtient : SU) d— at C. VE h étant, par hypothèse, une quantité infiniment petite, et les limites devant ètre les valeurs finies O et 97, l'on voit que la valeur de l'intégrale cherchée doit ètre indépendante de ses li— mites, et que l'on peut par conséquent substituer à ces der- sa 1 1 njères atac eacey L. 0 let et l'on aura : 83") PP s.f 14 P) —ide dan OT : 1 h 2 — — 2. Que EXEMPLE. Soit h infiniment petit, on demande la valeur de Vintégrale 1 tdh he ea CS tdh Solution. Comme h est infiniment petit, l'intégrale dera sera nulle pour toute valeur de h qui n'est pas indéfiniment ( 126 ) petite. Nous pouvons done prendre l'intégrale hdh h BE — are rs d- C entre tes deux limites. ls et —d, ce qui donne : Edh 3 (Ll Era (257) VE Li filr i — 2arctgp —2aretg om 2x qo". On se sert fréquemment de la méthode par extension des limites , lorsqu'on veut déduire d'une intégrale rapportée aux limites O et co, la mème intégrale, lorsque les limites sont — co et d-00. 5": EXEMPLE. Des intégrales qo o — 2 d'a Ditens der i Pb" f: de iy À fei: cos 2brda —iy re, 0 0 dédutre les suivantes : Drs A La L é UC, A e Cos 2bxdr. Solution. On a: vgf 3 2 a 2 vç fes de— fe "dx CR Ba eta 2 — QÚ — CO i ò e OF eos bada — fo er Feos Dbrdz Ra fes "008 Dbrdar co an, f e TF eos Vadr SV x en Voir la formule (56) du 1" livre. al DE AE DR QR SR RR OR RE ON ORIOL, OI ami i sà un x a Pa pia UT ÚS ES, dE MERS A SA ui ( 127) Que MÉTHODE. Determinatlion de la valeur des intégrales définies. par la méthode de Poisson. Cette méthode, que Poisson a donnée le premier dans le 167: cah. du Journal de VEcole polytechnique, p. 215, con- siste à différentier sous le signe ,/, par rapport à une cons- tante, à éliminer l'intégrale, et à intégrer l'équation différen- tielle résultante. 17 EXEMPLE. Chercher la valeur de Vintégrale Le 8) / Cos Dec P dr. 0 Es 27 Solution. Soit f(b)ze f cos2bre "7 des en différentiant par rapport à b, on a: La OE fi Desin bre PT dr. (a) db d Mais l'intégration par parties donne : L Ja sin De P Vda t —g ts 4 dat 2 — sin 20a / 2xe de — 20 f cosabada f2xe 'Ò de, et comme on a: —n 2X 2 —alx' e far do ——— , da: Ee2 di 22 sin 262 NE de LE cs Et: de Cos Dbgee "des A is he il vient : (498 ) d'oi 0Ú : Le 8) o fo sin de ET de— 26 fços Ob - EN qae 1. xd 2 0 0 Par là, l'équation (a) devient: — df(b) 9b CER SA da 1 ou: eL APS - 26 db. En intégrant ecelle-ci, on a : be a animes gerent ME b done (Ge DA a ja ga i done f(b)— f cos 2ba RE de — Que "a 0 Pour déterminer la constante, on doit poser b—0, ce qui i ab. donne. — f ga ue EL LC. 2a 0 On a donc, enfin co f atac" is RES T Da 0 C'est la 1": des formules (22) obtenue sans le secours des imaginaires. 278 EXEMPLE. h,a éltant des mombres positifs quelconques , chercher la valeur des intégrales : co co d al exeos badr, fe gel em sin badx. Le 8) qo Solut. Fesons — yz: f afe cos tadr, vs A Ís all ersin tadz , 0 0 Da Tos a Se at a i al a A P ea Et EP Ad SE see ami L Be P Se a dal ES EES del (199) o qo du on a: mi fi xhe—sin tedr, — f gle—teos txdx. — (a) lor st t hd i L'intégration par parties donne : f xle—sintadrz at f'e—sin tedx — 4 f ada f e—sin tadz. Mais on a: teos ta hsinte — f e—sin tada — — dt 3 par là l'égalité précèdente devient , en intégrant entre O et co : o qo fi afe—sin tedr — — f xP—f teos ta sin tx Je de , LE J úó 0 0 cop És Lu 4-0). Done la 1'' des équations ia devient : du Si on traite la 2: des équations (a) d'une manière tout-à-fait semblable, on est conduit à : d a Cra maicló ( De ces deux équations on tire : —— lur o V —I )- V —I (u—oV —)J , Es —— EV —10, en posant ve u—mV —I , Tal i 1 : P d du — dv et par conséquent om 1 "i On a done des dio 173 eV —I esse EA EV —— qu — ———— 0 de Ens TrrUt t—y —I MV —i . — diu 7 ho P: Soit IV —À —r, done CE EET ad a si : TOME 7. 27" PART. 17 (150) donc, en intégrant : - hoc e—plrd-A), vel ee ——€a — —— EM OP EES Mais on a : peu —oV —I a co Ja ga Et ae sin tada mé p8— Teia ves. fr HM —i)xdr. 0 On a done : o pacte E fe em —I ade — ix i (ò Mai — nre 0 Pour déterminer la constante C, il faut faire (—0, ce qui donne : ao id Oi dem C 5 r(6), form. (887), liv. L 0 : donc , fe e UR qu — a t : (MV — Pour UE xar, ona: a in ates i cació Eq — Fig) (88) : (ab V —I) Donc, en opérant comme pour les form. (21), i P( (4) COS (es are tg L A ae eos bada — Ta , edit) 0 ) (25) xi b ple) Sin (fs arc tg— ) gA Te sin badr — I . 0 (ab) (131) Ce sont les formules (21) démontrées pour un exposant queleonque. Quand e est un nombre entier et positif, on a h. r(e)s1-2:5 a40 e—l. 578 EXEMPLE. Déterminer la valeur de l'intégrale qo Dia fe axdx Era ———— 4 a Fr Q UP Solution, En différentiant deux fois de suite par rapport à ad, on trouye: 27 Cos exdx , TEA — Je Lunrreer ad. Fa" En ajoutant les dun (a, et (d', il vient: qo SH dot aude id. EVoir (25')J da" 0 L'intégrale de cette équation est umee . dx T Mais pour a— 0, l'équation (4 donne u-— VE — —) ro 2 T . done c——, et par Suite 9 2 cosandx — ft Pia i uU Eracia Bipr qui Ve (26) z - Pour xs—, il vient : a a cos Edz Li i 037 EM PRE es Corollaire. En différentiant (26), par rapport à a, il vient: o , co x sin axdx ua zsinzdz. 1 f ir — gre, doú PES ig: mera "ES". (28) 0 pesa i Ces formules sont dúes à Laplace, (132) Ad EXEMPLE. Déterminer la valeur de l'intégrale at a Es Life e me i (e Solution. En différentiant par rapport à a, il vient : co 2 do o, sea) dx da Te 0) - 0 o a Class . Soit xes — , alors les limites xes $, deviennent z — $, z 0 o i adz dx dz a. a I et on a de —m— — — qe de — em — dZ' ga Ll 2 a 2 qe a qe 2 xa L donc 0 2 du eL) (—) 9 RR e DZ'dem— d'dem— 2, co 0 du ou nm — Q da, ue, i o LJ È V en pour a 0, (ce donne u— et da ——), donc cs - 0 le 81 2 a — donc, enfin: u— fi el se, (29) 0 me EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale o sin xu du y - fi —— g (a 2 2 8 deu y (153) Solution,. En diflérentiant deux fois par rapporl à 2, qo COS XU d'y usin xx do Be fas Le Pg ay vai de: au i On tire de là : dey sin adu adu i P) —— ——— I , dont l'intégrale complète est : T VERS PB gu: P En différentiant celle-ci, deux fois, on trouve : d : and a A et — a Be 76, dx — — OA cat. ar Be". Pour 2550, les équations (a, et (a' donnent : 3 qo — (0 dy Pa ee du T Car — dr. ar Ja " On a donc, pour déterminer A et B, les équations : À 4 T A PB ge 0, aA—abB—gui d'oú : ci cal BE La, Ja" Sinxgu — du i Donc, enfin : pe fe D Gala avi tal p— ea), 0 $ qo COS CU pe —— i 1 du —— , dx du qo d' u sin xx Li el £ sie a Lu — a ac ( 154) 605. EXEMPLE. Chercher la valeur de dat sin £x y— -f de (e a au" Solution. En sal deux fois par rapport à x, on trouve i Le 8) dy / COS XU d el Sen u a dx a dem qo d'y U Sin xv je P mi dE ae ada: (a dx Ed aptes co A d' sin av On en tire : ze - a'y En 5 due —. L'intégrale de cette équation est : yS Asin aa -bBeosaz ds —. d ua, A cos ax —Basin ax , va Donce : d'y — —— d'A sin ax — a'B cos ax. Pour x-z0, (2, et (d' donpent: dy du : y-—0, de di —y —o 3: 4 T par là, on trouve : Es —m), B—— Dar Par conséquent les équations (a, (a', (d" deviennent : qo sin gu r a el "du gr (I —E0S qo), (55) d "i R i COS CU j es J ira EU Es Bill ax , (54) d usi y u Sin 2u La 55) — f — A Es —— 005 2. dr" A d—vy" 9 De PAM d NE a BS NIE MO EA ES RE Pel Ate, OMS Es ( 158) 107: Mérnope. Déterminalion de la valeur exacte des intégrales définies o par le moyen du développement en sèrie. 1 Si deux quantités A, et d f(x)dx, donnent le mème déve- G loppement en série eonvergente, on en conclura : Ò XL f(ede— A. a Les exemples suivants sont propres à- montrer l'usage des séries dans la théorie des intégrales définies. 17 ExEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale o fi aeoTtar i 1a Solution. On a, par les formules de Bernoulli : Lina — la P — NE) dl) MS) H ete., 2 2r 9r 9r Los mA —) EUA EI — De ME) de etc, En différentiant celles-ci, il vient: COS X 1 1 1 1 1 SIN X HH R—x hi Rx An—x cie Or - sin X 2 9 3 — elc., ss sàsió elc. cosx — m—2a a --22 3 gr—2a —SrFr2r T En echangeant dans cette dernière x en ix, et en l'ajoutant à la 17, on trouve : 1 1 1 1 1 1 1 1 sin SN r— o OO md-x OO Ja—a T rr di ón—a orla —— LÍ(C. (156) i cs, dE Si nous remplacons ici x par— , on a: n T 1 4 1 1 1 nét sep TD P Dar ET a — — - etc. , a ar a n—a —nba n—a ge. nsin —— n on suppose an. (6 ( ) Mais on a aussi : — mn — gi le xi — ete,, done (at 1 I 2 i 1 dr, Pe A 1 pa fe 1a ao na Ta jes da 0) On a eneore : 1 xx 1 1 ir Pues di 1 RO QR LS De elc., done x ame í 1 ge" edi 1 94 i pa dià É d. f dra n—a —2n—a t Sn—a ua e) Donc, en ajoutant (7) et (3) on a: 1 co co : es a rada do J ba" Em i i dar" 1 1 1 fen , —— Let — etc. — (d Era na o An—a t An-l-a A na SS (e) Les séries (a) et (a') étant identiques, on. en. conelut z P h a—1 DE: - Ge - , AQU, (6). Fa" am n sin 0 Cues Corollaire. Pour n 1, on a: co dr — T : f Ir sinar) ha CES ON a a cd Els A pera 8 - ( 157 ) 992 EXEMPLE. TN Chercher la valeur de fodeltina, I deésignant des loga- ritmes népèriens. Solution. L'intégration par parties donne : nT. nTx nt f sdetsin em f delsius— f de / delsins. (a) 0 0 Qu Soit y-— cosp—i Cos 2p -I. 3 Cos 5p — elc., on a: dE Me TE a ES deis desat Jidia cel ei. Sin AL I A —3g/ —1 ES Levi DR at us DL er id tagitaia — ele.) Le —i ea gen, Dora Via EP lents —lt—et 'a—e i S, —l2— cosg), ss l2--I(M— cos e) ss (2Flsin 3. — Changeons 1ç en ç, il vient: lsin g —x— 12 HL eos 2, — l eos 4p 1-3 cos 6p — etc. , — donc J de lsing —— 12 — 3 sin 9p-I- Lsin 4ç — etc. (a) En multipliant celle-ci par ç, et en intégrant entre O el 47, on a: nt 0 f delsins—— nerel2. (6 0 Multiplions (2) par de, puis intégrons, il vient : J de f del sin ge — lla — 1 eos 2p 4. 4, cos he — etc. 5 TOME 7. 273 PART, 18 (138) nn d'ou : Ed de f de lsinç E— nerlg. ( 0 En substituant (8 et ( dans. (4), on trouve-: nn f odolsinsm—t mala 0 nre nt d'oj: ha ehpralsinç — / deli) e— el. — 68) 0 0 ( Voyez sur cette intégrale , Clausen , Journal de Crelle, t, vi, p. 509). 52: EXEMPLE, Chercher la valeur des formules ri Ó oo rsinu udu FF f—r cos u du A (—9r e08 ur o d'u x —2r 008 ur a but Solution. 12 Fesons dans la formule (52), 2221,2,3, ... à l'infini, et ajoutons les résultats après les avoir multiplié suc- cessivement par 7,17, 17, ... , ON aura : au" 0 di l of: Es fra u de r'sin Que rèsin Su T ... T ma) PEA eL re a. cel , Mais on a: 7 Sin 4 — 1 TA A—2reosu dr 7 sin u-- rsin2u -. etc, ... - he . rera te eL. —É—í— dE T Es era o i d rsin 4 udu P Hi donc , aa a (58) y I—Dreosurr rr 2 er—i (159) 2. Si on traite de la mème manière l'équation (31), et en ayant égard aux relations 1r cos u de rcos Qu... — dl —r 005 u d— 2r cos ur" EP es p— 3p—2 Are red a pnió on trouye : o T d-—r cos 4 X du esde. FQ (387 d—2r Cos ur aut 2a e—r 4" EXEMPLE. Soit f(x) — e(r,u) — V —I Ur,u),x —r (cos u — V —I sinu) dE BC" A — pe UA, trouver la valeur des intégrales : Presas forns a q'd-u das a ut Solution. On a, par le théorème de Mac-Laurin : f(a)s A -F Bz -F Ca" -b etc. 5 done fre i — (ru)—V —i Ur,u) — A H- Brcos u-l-ete, —V —i(Brsin u--ete.): on en tire: —e(rsU) S A Br cos u- Cr ceos ru ete., Ur,u)s Br sin u - Cr"sin Ju -- etc,, donc, 1" co ele tdu du — du cos udu 4 (cos 2udu dar as CA Dl vo fr pera te Ag ge FB: ee Ci —íE ET P ete. La RI P fre), a 0. ( 140 up i du u sin couen d ssior Qu pr du 4 Sin u er J alla da Un cr ul fans ta" — 5 Brertd Cree-to.l. 883 —Ç (te-3— f(0) I SE Remarque 1. Pour f(e)— (1-2), a —r(eos uv —I sin 4), (A 4er 0os a V —I rsin )— NA 2r cos udert) Y sin TV —I en 1 4-r cos u 4 e(P3U) HA 2r cos ur), Uryu)z are g———— rsin 4 on trouye : NH , "UDreos ubr)du 1 id —a a La - — lA re y PaP : udu rsin u ms DA / / permet es ——————— —a). a, i op vots Eres) eix 1r cos 4 Rem. 2. Pour fa)— , as r(eosu de V —I sin v), / Ir 1 reos u f sin y Pes EE Ds t ui fe) 2r cos ur 4--2reos ner " ERC Lee) (er cos 4 du R I) 4 ——í— ee —í——, 1 —i Lee Cos u-Fr ar yr Da 1 rea) 2r Le 8) rsin udu $ peres h ——— és É——é——.. p 3 E J rA-2r0e0s8 ur a bu 3 1 bre 1r d'9 EXEMPLE. Les mémes choses étant posées que dans Vexemple precédent, trouver la valeur des intégrales : co di l'e) f e(P, U)du fi "a eond ds ere i — di 0 0 4 reosu ec ti ot dE ad a a al De a 3 Dar P i pl ea pl la a DE a dracs (141) . HaRIByS . —— V ——b Solution. dexr(eos u— V —I sinu) sr TA, (a) re " VE Sa e(ru)—V —i pergu)£ A 4 Br cos u de Cre 008 2u -- etc., —V —i (Brsin u L Cr sin Qu-L ete. 3, — d'ou: e(r,u) SS A-Br cos u -- Cr éos 2y -- etc., Dr,u)— Brsin u -- Cr sin Ju. etc., on trouve : er, u)d Ò d COS ud Cos Qud r,u)du du COS Udu Cos 9udu ea fl. Br de u— aq: ve— q2 ue — a: uv —a 0 0 0 0 -- etc. mg. (A Br sin a 4. Cr" sin 2a -- etc. J — UR0) hUrsa)) 15 050 f drDEs at ci Br cos a H- Gracos 2a 4- Diò cos 5a -F etc. 1 0 IO— 0), 50. 697. EXEMPLE. i Chercher la valeur des intégrales co o ee a, eu — e— du Jr ia budu , Jiortoó set Solution. 1 On a: (Voir 57" liv., 27" sect. appl. ) val Altre A ds Re h 1 uU l di uU aa m2 Cos REP cn Ter HL etc., mo D—. En multipliant cette ègalité par sin budu, on trouve, en inté- grant : den (142) ea ml) A di 3 P PE —sin budu eu — gen co ls LA sin budu o u sin budu da ba ps sin budu que 6) CO es Lu" A Ph du" — Ell., —gis— cos 0re dd COS Do: €—b — etc, 1. Mais on a, en général : qd—y" a — T CO$ o H- rC08 Do— rè Cos Jo "- etc. — ie done, en fesant r—e, on trouve: 4 H2reoso Fr co v e a Ce (4) L sinbuduss3— —- 5 020, a ena EP 4-2cos o Te 0 elc. TL o —T. x Ei A —— 9: On a aussi : Ju —n)U me —e i 1 1 D'Om mt M84j - PB Don girar Le FH Multiplions par cosbudu, et intégrons, il vient : co Rodes —nbQUl Re cos budu Ya Tu —Tru e —e È cos budu cos budu — sin o jè — sin Jo — d-e etc. 1 4-F ur es TT à . el SIn Q-e"P — sin 20 el. etc. J Mais on a, en général : P Sin uo r sin e— resin Jo "etc, — of: 4 2r cosa tr Donc, pour r-ze, on trouye : co em aT sine (8 cos dudu —— 3 070 a a EG -2 cose te peri, , top —R (148) Corollaire 1. Pour e-x0, on tire de (a) : co d 4 a 3 , es —e 2 sin budu i. BS 0: Tu —énu OO 14h —ih j Í e —e es de 2 0 pour e—z, on tire encore de (4): Tu — TU — ib fs vials — sin budu—s 4. É PEA b50. a hè due En es ces dernières, on trouye : inu O—ITtu daca TO A EA PS : Ps rei Jet eb—e—b Corollaire 2. Si dans la formule (6) on fait ce on a: cos budu 1 ay —aa ed)" dan. : due i i 0 (Voyez, sur ces formules, et d'autres du mème genre, un o Mémoire de Poisson. Journal polytechnique, 18" cah., p. 295). 470: ExEuPLE. Trouver la valeur de chacune des intégrales : 1) hot. dz Mata — )—ae—A VI ) 9yV —I A ide Ra I) am —) cm VV A , de fladeaV —1) — l(a—y —I) / seu: VI 3 0 h fi de IV —) El —I), cama L da 2 ( 144 ) 1: Détermination de lVintégrale (1. Solution. Si dans la formule de Mae—Laurin m—i F()— FO) H2F 0) 5 0) Pe s —— FO xa a TE El TE panrd il all Olocl, on pose : 1 mes2n--l, Fe) — PEE a MA )— av —1 JE on trouye : fíad-zV —1 ) — (a—zV —I1) ap z 4 PSI — zl'(a) — Ia (a) an—l 4 — (en—1) Tenim i 1.2... Qu—l ae dera feta —D) Le (ent a— 02 V—i ) i 2 dd PE a EE 1 d'oú l'on tire : go ———— —é— : h de OO Ma —I ) — fa—a —I) : esca 9V —I 0 ma ED z L i dE a 1 9.5 i re 4 0 0 o fera) gèn—1dr i AdNn—1 cuan ic a ia fe òy e e —i 0 Lc a a antigz ea) Le En--1) em 4 9 (2) 0 Mais en désignant par Bo, 4, le m" nombre Bernoullien , on a: (48) qo Le 2) dgem—ldz dels (fi alia a cia gu etc. Le ) El e en, 0 0 L24.. (Om—A) (EQ As. A Bari (V. Cauchiy, Analy. algéb. p. 871). Cela posé, pour me 1,2,0, ... n, et en désignant par R la dernière intégrale à droite, l'équation (a) devient : co f. de o (aa —I) — fa dv —I gp. B. 9 - —— f'(a) ere 3 9y —I a P 2 — mn aj Es 20—I(g NE me, SA 33 q N(a) Fe 1) dE Bes (84 I) Soient Lonsa le minimum , ee le maximum de l'expression (E0 0a LV —I ) de feta —yV —1) z) 2R. (8) correspondante aux diverses valeurs de z depuis z-— 0, jusqu'à Zoo, il est clair qu'on aura : aniidge l 4 9R 9 L pel L n a —i—— n af: ar en—i 2nH m2 2nyl 3 Q i ao gantidz 4 DR Ç2 (Et - Mont o TS 9r sn Bonii 5 0 done, en désignant par 8, une fraction proprement dite, cest-à-dire en posant OZLs41, on pourra écrire : 1 2Rme- Mons —— On na Beni 5 , Par là, la formule (8) devient : af. dz ats —1) — fa (a—zV —1 Es, e ama VI TOME. 7. 27 PART. 19 ( 146 ) i m ES Bon (2n—1) Be ra)— dt EE (a). ete. J-(—I)7 RR IE (a) (—I "Bona 1... En--2) 9. Détermination de V'intégrale (2. Mags 887) A l'aide de la formule de Mac-Laurin, on trouve, comme dans le développement précédent : fi dz : f (av —I )—It (a—eV —I Jug A m qu TZ 9 —I o OO gdz fa) zidz , Dra 9 elc., f(a) de — 0.5 gr our TT 0 co É (—I ima labiniÓ a) an—idgz TAL (One) a mt 0 co qué ea (—I) à gantidz — fEntd ay —1) TF fenda—ey —t) (d 1... En) Ma 2 0 Mais on a, en dols : P adr dz — gem—ldg le 7 dl ale etc. 7, Le 2m—1 T am. EE Bem—a. — ( Cauchy, Arnal. alg., p. 572). Si l'on fait m— 1,2,5, ... n, et qu'on désigne par R la der- nière intégrale à droite , l'équation (a) devient : af: de OO fatal —1) — e— —I), , e meB ió 9 (147) (2'—NB, 1-2 —i Vera (2: sp: 1. SAM dr Ó a, Mais on a ici, comme dans le développement précédent : o zantigz Q2ni9. 4 2R5 (En anti. Bonic Lenin, 0 co 2 gantidz mes 2R422 f — — Manu — Bonia Mans: 5 fa" Dr tes 0 donc, pour 04541, on pourra écrire 9enia 4 DR ———— TE) Bora 8 Manii, par conséquent (8) devient : f. de ala — Ed) da —): eEESUB )B, Pla) ea Ta oV-4 1 2 f(a) Pla) 4. ete. 4- Henpal X2R. (8) Se (NE Da i it, dar cens Mi aa P DT (—I) (20 — Bans P. 22) 5 Monya e (88Y) 50 Détermination de V'intégrale (5. En retranchant (585) de (587) on trouve : VE X dz Rato —I) — a—y—) (2:— a: e 9y —I 1-2 Cels fYla) 4- etc. d (a) (—I s Don — Bu (2n 1-2) AR Moniz . (587) ( 148 ) do Détermination de l'intégrale (4, Si l'on fait dans la formule de Mac-Laurin, me 2n-l-2, F(2) es fet —i ) d la—2V —I 1t on trouye : ab —I ) Lam —I) o 3 re ela (0) 4 —i Je gan Es see fen2)(a-- ul A. fent a—V —1 ). vs EN P2) 2 de là, on tire: — fenfa) 4 co f dz fíad-zV —A y—E f(a—V —1) 9 EG ir et Le ls dz f(a) z'de f ODE DE a AL... A. 9 (ei re 1-2 : Oda ls 0 co (—A)" (00a) MR per La i... 2n Llena dol LE "ue e d-e 0 co i... 9242 er al 9 0 Mais si Bom désigne le m" na de la série des sécantes B. B séc a ed ha ae véu L alta etc., (nt f gentagz — fa 0V —A ) A. fent a—eV —I ) (a) on aura, en er : o co P) 4 gemgz dors) —3n par Tm 1 ge Pel entes OS L e de aef, ea Le 0 Ç 2myi 9... Em) hi (pis cel qmti pam Jam Ram — l'Bem. ( 149 ) De plus, soient Lonys le mínimum , Manga le maximum des valeurs de 1a fonction 1/182184a-L2// 0) Pfnto(a—V —1))3 correspondantes aux valeurs de z comprises entre 0 et co, et désignons toujours par R la dernière intégrale de (a), on aura : ao 2m124 getido RS 1 1 Lonis — 3 Bonja " Honia, -TZ ——€Z es dre 2 0 Do l z2ni2qz RC f. Te — ag Maia — $ Bort Mamit , ea de " 0 et par suite, on pourra écrire : R — 3Bonigrt Manta, OLS Al, par conséquent, la formule (a) devient : fr dz ada —A) fa —) B. B —i "B n Units 04 )— ce Mo 4 (—A) Bonsg 1... (22--2) ts 8 Mona H (587 145: MéruopE. Determination de la valeur des intégrales définies par le moyen de transcendantes. Lorsque les valeurs des intégrales définies ne peuvent s'obtenir sous forme finie par aucun procédé connu, alors, réduites à leurs expressions les plus simples, elles constituent des transcen- dantes d'une nouvelle espèce qui pourront servir à la détermina- tion des valeurs d'une infinité d'autres intègrales définies. Pour donner un exemple de cette méthode, déterminons , à l'aide de la transcendante x ep, lx les intègrales définies reia 3 x ds, b—t b-Lt Z On a: des i( lz — lip). 0 0 Pour pe, ze), dem — bb adt, le —a(b—t), 0 2 on a: El , à la place des limites —l j bi 0 Z 2 b—)ad ont done : aa P a ió ab dida em lat) lz a(b—t) i cie: ai a qo —at d'ou l'on tire : i A 7 menes). — (89) 0 20 Pour psserP, ze ei, on trouve, en opérant comme 5 RE ci-dessus : f És ds— ed li(e P). (40) 0 Corollaire. Soit, pour abréger le 2 membre de l'équation 0 en la différentiant 7r fois par rapport à a, puis s fois Q5 P PP , P par rapport à b, on trouye : o de (—i) — d'e ——n OU — 6 Vice: : 4-2..8 da'-di' id 127: Mérnope. Determination de la valeur des intégrales définies , par d'autres intégrales définies plus generales, ou par la combinaison . d'intégrales définies données. Il y a des formules aux intégrales définies très-générales, ren- fermant une multitude d'intégrales définies particulières, on peut donc obtenir celles-ei, en spècialisant convenablement les pre- mières. (18€) 19 EXEMPLE. o L99) Soit. (at) —e—", d'oà ff(a)drz f etde—V 7 3 Dora Je les formules (48), (49), (B0) (51), (82), (B5), du 41 livre, don- neront respectivement : o b2 feu ce— see h Va — QO qo be d'oà : / sat megg V teas (42) V 2 — QQ i b RSS EES P dell gi I ds f (ax Tm) 2Vab Es a — P o ada fe ce Vera, 5 co ferioa va VT, a x es Ò — CO Es b d'ou : 0 Eric de TR —V ab , (44) x. Ò ep) fe are Vey a, doni fe Vda (8) — QO —o co dd Beer, —P a) de a És f nt qè er—Vy et, dl Ri l d'ou : f: od pp) de Es ec) é xx m — DN Que EXEMPLE. Soit fia") cos (22), f(e)—sin (e" ) alors, (V. liv. iv, form. (80), F cos (re a / p/: ae) de i VE par suite la form. (55') du 1" livre donnera : T 1 Leos (e'—2ma4- m") H-cos (ar d-2ma me) Jde — Je : 0 ao f 1 sin(at— 2ma-demt) de sin (del Om m')jdes V- i Si nous développons les sinus et les cosinus, nous trou- vons , en réduisant : o dd cos (x2-m2) cos amada NV/— , (48) 0 i sin (me 429 cos amada N/ (49) l La form. (52), en la réduisant aux limites Q et co, donne : o FR eos (x" de Me V-5 i (80) 0 co —— 5 m" a Je nt gada CIB (81) 87: EXEMPLE. co . VI ae Soit fa) met" 1. comme on a f cos dr a / Es 2 —oO (183) o —n fsiu dr ss V —, av liv., form. (84)), on en tire : 2 f f(a'dr— fet are fi Cos x:dr dd sin 2:de — en Cy ha a V- MEV i), on a donc par les form. (48) et (49) du 17 liv. : qo f error, VI 4 V—i je 4a yi , (52) —qo F bi TA Llet frevor, VM a—V—i 1)e ur Es 3 (55) ga . b ELL, ad) —i a: —V ab Vi, (43 / de V/ pl) dl — o 4" EXEMPLE. l Chercher la valeur des intégrales (—aV —i as fr 5 fi CE he fe pon PSC 2. — 0 On a, par la form, (88) du 1" livre, en general : s Mn) J dx Pro mM —1). Donc, en fesant Lee VV SV (VV —Iya— It, TOME T. 97) PART. 90 par suite : qi (ay des q. (2) a: Mais on a, d'un autre còté : i 0 VI, a (—aV —1 var là ar nes (—aV —I dice (a —I ya fi Fr De 1-2: asi 0 0 (av —i)— de lV EI) ss (—V —)e—) Ve —t 1a" an, i 0 Done : JE — es AE Me i 0 T — o —I T — Mais on a: e" sos HT sing VI, T Ges Mes Es ee ea — cos VA sin se v A 5 done : Dels RA ve a i pes Pares —cose—t) SH —sin (es, (Vi e —eode—)g—V —Isio(u—l o tV MR aplie on en tire, en ajoutant : V—I yi (VA MI — 2eos (pe) 25in3 pr. le 8) P—1de T 1, Donc : I ee DLula. — BY) dl ua gsin at QUE ( h Ps L dl ca tel) Eu Corollaire. Soit x'mz, es 2a, tez ya (488 ) 1(2a—1 a—l —l ta xil ES o daeeiz "ds, il vient : LG o pie... gas OO ielg Uidr x —— 3 i a X 1-2 9 sin ar 0 co : grtde : DE a — , ad. — (86) i-z sin ar ms EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales co 3 — BA: (—V —I a, EE 474) d—a: — ÇO 0 Solution. On a, par la form. (89) du 11 liv., en gènéral : fe) L es Done, en fesant. f(x) (—aV —)—, il vient: co JR ae ger —x" 2 — QO 3 — De cos ET. EL r Eric a — q x d ou, (VV) 20 gos, 0 co . En gl'— de hi ur DN de —————— 9 e — COS —, ou, 2 si 5) : Te 9 9) d'ou l'on tire enfin : o T (UT — Cos — l—1 gr ad 2 2 ee NA (57) 4—2" fen 9t ERC 0 MC it Corollaire. Pour xz—z, ge 32a, il vient : ao co —Iq. a—1 q n ç fas Ona. 83 Q 0 i—a" A—a OO 9igan ( 156 ) 67" EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales — a—l 7 V3 a—l ta i) - dr fi —eosbadr. OQÇa Ci. ba , 1-2 — 0 "fo)d a Solution. Si dans la formule ce on pose: — LD fe) me ee, an AV je), a—i PR done : ed. ay — (—I Tre. (A Em i — Mais on a: 2 3 LV nits LL rènen ed a ral a / er , debe —1 es ale: be L dem de -- ir qx — CO — QO 4 fe da ( VI ds ba 3 L fe VI) pel A É L) En al da 4a 0 — VE Vi 91) Ve 9 cosbadr, — 4 sin — da cos bed au a j 1r na done , à cause de l'équation (a), 3 del i (— I) REP 4 ir brdx ms an Bell ( 187 ) 772 EXEMPLE. Déterminer la valeur des intégrales fi VE, fes cici A UI, . 1—x (— —eo 0 hi ay Solut. Fesons dans la form. / Dit) — (VV —I, — LD fe) — (aV —1 ga Day — , On trouve : aa Pla) Vi Se feb mt ha A — . (a 9. T —i, T — eos lb —(a—I si —I sinb—e—t) 1: be EV fia (AV TI el — : —— tos lb — (a NA sin lb—(a—1l) gl done : MI) — (MV —I 2 sinfa—l st de cos —e— x1, co — Oi —baV —i R donc JR 3 da — cos — UI). (2) I—x ——Q On a donc aussi : co ar ga z ar — 4 ———— — — ————— b i 4sin 3 fi me COS bada 5 eos Í 3 1: d'oú l'on tire inde cherchée. Remarque. Non-seulement on forme des intégrales définies particulières, par l'emploi de formules définies générales , mais on obtient aussi de nouvelles intégrales définies, en combi- nant convenablement d'autres intégrales définies données, repre- nons par exemple les formules (48), (49), (B0) et (51) du 2: exemple. (188) 1: En multipliant (48) par cosm2, (49) par sinm", on trouye en ajoutant : CO —— i À COS 2" Cos amada —i V/ 2 (cos med-sin me) , (58) 0 En multipliant (48) par sinme, (49) par cosm", on a, en retranchant : qo Bit : d sin 2" cos Amadx — 1 N/ —(cosm: —sin m"). 859) 2 : Ll 2. En multipliant (50) par cosm, (81) par sinm , on trouve en retranchant: ad — P a AE P 97 (P re Sin mM). (60) J costa 9 pre del V Leo m — sin m) En multipliant (50) par sinm, et (51) par cosm, on trouve en ajoutant : o m o j fem (ad Te Ma —3V — (cosm 4. sinm). (61) A — 0 On pourrait déduire de ces dernières, en ajoutant et en re- tranchant, des valeurs pour sinm et cosm. 870 EXEMPLE. Les formules (15), combinées avec la "P Méthode sont fré- quemment employées pour la détermination , ou la transformation d'intégrales définies. En voiei deux applications. On a par les form. (15): co de f ET e08 yadx — mal pe Clant entier et positif , 0 on trouve, en multipliant par cosgeydy, et en intègrant entre les limites 0 et x : n T co Cos uydy COS 21j d'8 P e—seos yedr —a fi el , (4) che cap fr MES ou, en intervertissant l'ordre des intégrations : T Si el af ES. f eteda COS (ey COS Xydy, de TER eo 0 (189) co T — Lf ecteda ffeosted-ayy 4 eos (e—D)yidy 0 0 o . . a ifevel sin(a-- 2)x n sin (e—2)x i i ea h—2 co . — COS pe fl eeda CO hd é me Le 8) faire, 0 d— co 2 fe —te sin yade ms — 4 i itif y CE TI) 4 Etant entier et positl , 0 on trouve, en multipliant par sin 4ydy, puis en intégrant entre 0etz: 3 u3 fsin ani fe er sin yxdx — f sin gay —— 0 hi my En intervertissant l'ordre dans les intégrations du 1" membre il vient : 3 R co u3 di te dym ul emeda dl sin ay sin ydy Ds 0 0 co T ea fr —l cd IE ay. — cos(a be) La, 0 0 ESTA 1, ce qo —/ —a de dE (ae — sin asi Sm3 € 0 EA o ee —- (te ( sia de idç, ó RE Nous ajouterons encore comme dernier exemple deux théorèmes gèncraux, qui conduisent à la .valeur de beaueoup d'intégrales particulières d'une grande importance. (160 ) 17 TAÈORÈME. n elant un nombre entier, soit As la valeur connue de lintégrale o fi deixe Am, — (a) 0 en désignant par Be, la valeur inconnue de l'intégrale qo 1 fen, 0 0 je dis que l'on aura : (ab1)n (n2)n--1)a(n—1) Bo — Ah —a 2 TF - 1:9.3.4 Ag etc. (a) Dimonstration. On a, par (a) Aj ofi y'"íy)dy, 0 0 ss Ed y'"Ey')dy 5 Lee) qo 0 done : frrievar formar f veyydy , 0 —eo ue E L vi )dy, 0 — 2 Aou. (7 o co Fesons ya —— i on aura pour vel 3 cel , done le — o 0 1 membre de (7) devient : / PIe)dy— f (z — Je. - VII Es ci Jde, — co 0 ne P i (A done Q Age va ere —N o 8 le 9) 0 , 1 1 Si dans (6) on ds magia alors cel , donne cal 0 qo (161) qo qo 1 i et on aura: Bme di Ple —— dr — Ri ctfl(e— —))de 0 1 1 i dx mJ rra PE ermeio) Der fet comme on a aussi. Ba gh Erigids (e—-) ga, 0 il vient, en den : 2 Bn — -/i (at de area —NE. Q Mais ona : X Du Cours d'Anal. algèb., note vin, p. 550). nd-1jn 1 Pg —le domi Ui EET Ella (x dm Mn xX cal D 1 1:9:3.4 (x qe ies et J. 1 En multipliant celle-ci par f((z —y)V lde, et en intégrant entre les limites O, co, puis en ayant égard aux formules (ò) et (€), on trouye immédiatement la form. cherchée a Exemp. Soit f(x) el, 0, ona: A, -/ est dr der: V , RE El EEES, em JA El Àm S - fe ame T de ge i i ar fanals 2) de — els x2n de rer)es 0 done on a par la formule (a) : tel 4) V re SP ge fr: x dees V Es ds z La 0 Ma eina It 2è de ets, j Remarque. La formule (a) est due à M. Cauchy. (Hoix Exer- cices de Mathématiques, 1826, p. 54). TOME 7. 27 PART. 91 ( 162 ) 2": THEORÈME. n Elant un nombre entier el positif, soit Asnya la valeur 1 NEU f(x)dx de V'intégrale / part der — Aonig, (4) 0 en désignant par Bom la valeur inconnue de l'intégrale no di DAR Ge admin f dx-— B 9Om—b-I Ja Tre) A mi pes (8) je dis que l'on aura : ens QR (m-t-1)m P Ga, 4. (m--2(m-- Dmím—t) OA, 4-2.83. 1.9.3.42È — etc. (61) Démonstrat, Faites dans (a) Mn. DE p— z2 £ M1— 2)de i as Te a, X 1 les limites cel , donnent z-— I sa done £ 0 1 i 1 1 9z dz dan ga A re tea , . fi cd tr) Em gut Any. ( Mas on a: us). r2m (mm 1 3 am PE ee — ge Es) T (m--2) EL ea 1 1-9.5.4:8 Mc Donc en multipliant les deux membres de celle-ei par f( —— i T — : puis en UE entre 0 et 1, on UE le Les I pd 22 9m-bI lb P Orgrenes is TES Lai EE et re jeje I o EES 41:25:45 Pour 1— —m— d'"dr 1 0 el donne rel : par suite, on a: 0 i 1 co 1 2z di 9x He da rerla Ep tg erldr, done l'égalité précédente devient : ent DB E amgg 20 tsh (mm , Ei A (ra" NE me aa ges DA -F ete. 1 Exemple. Soit f(x) e Je) deth j pour e— — , On aura : 1 P co vú, 1 Me P Aonjg —/(— e 8 dx— f z''eredz — x nv2 0 1 Comme on a: 9r El gr Els i. dt L f a dey re 2a qo at eta) He) ò Va data ms -on trouve, par la form. (61): Es 1 RR dE mena De arri MOT iii ir i LU TE cs (1n g, d d' Dg mate, dé evP 4.2.5 dp p 1.07.3.42B api tr a ET 457: Méruope. Déetermination de la valeur des intégrales definies par les méthodes de Cauchy. 4:e MÉTHODE. A La 1" méthode de Cauchy, ne dillère pas, quant au prin- cipe, de la méthode 5", Elle consiste dans des intégrations (164 ) doubles effectuées , dans des sens contraires. Mais la considèra— tion de la correetion A, et par suite l'emploi des intégrales sin- gulières , a conduit cet éminent géomètre à une foule de formules très-génerales , qui contiennent presque toutes les intégrales défi- nies connues et une infinité d'autres. Nous allons donner iei les plus remarquables de ces formules. Elles sont toutes des cas par— ticuliers de la formule fondamentale (79) du 1." livre, que nous cerirons sous cette forme : Ò Ò (A) fat —ide— f Vet de — f É VI Í dor ag —V fat ND) dy— a. a et b sont les limites des intégrales relatives à xy a et G celles qui se rapportent aux intégrations par rapport à y. De plus, si l'on pose 4 —— — 0, ou Ua)so, qe V— et qu'on désigne par x, — eheV—I , a.m Fe V—I, ete, les raeines de ces équations , dans lesquelles les coéflicients de V —i sont positifs, alors en fesant g— de-pfe -T de - e VII 1, 9 de- Le, de--e, V—I 1, etc. on aura: (B) A—2rle 0, £ ...JV—I. Les parties réelles c, c, , etc. sont sensées comprises entre les limites a et Ò relatives à x, et les coèfficients e, e,, etc. de Vas entre les limites a et 8. Observons encore, que l'une queleonque des quantités 9 doit ètre réduite à moitié, si, dans la racine cor-, respondante , la partie réelle se confond avec l'une des limites a, b, ou le coèfficient de V—1 avec l'une des limites a et 4. En outre, A est nul, lorsque la fonetion Y(2) est continue, ou qu'é- tant discontinue entre les limites des intégrations, l'équation Vía) co, n'a pas de racines dont les coèflicients de V —1 soient positifs. (165 ) qr, CS, La fonction Qíx) donne Jx--y V—1)—O0 pour xo, quelque soit Y. b—o Dans ce cas, les limites par rapport à x, étant el , celles par rapport à y étant yel R ae la formule (A) donne : co 0 E (I fe Ada — V02—V i 4 —)ty—a. 0 Q 0 Exemple. Soit Pe", dlaV ee, Pla —I) — (et —)t, la fonction dx) restant continue, on a ici A x0. Palet) (I) donne : 13 DS VT ais 2 fe di ea — ga — my i fé des Qu 0 fe gros "cos Olrda —V —I RA din Ohedr— 0 L1 pa dera ee Eyre CE f E des Le 8) A Es a 0 d'oú : dà ecos Aida my Tec : 8 ss 2 R: vé 2 Je" sin Ohrdx ze fe dx. e Q 0 Qme GaS. La fonction is) donne QxEyV —1)— 0 pour y — oo , quelque soit x. bh 80 Dans ce cas , soient les limites x —— i se Í , la form. a Gual) (166 ) (A) ae, i (n. / Ulede zSA—V LI 1/1 EL EV A) — PV A )1dy Exemple. Soient Ja) — et bL0, yS— 20a ul Vomet MA) ese P DV, A05 donc fer ge ya fiar De be/—I eo da-- 0 A fe (GV ordes h ous fs (2) cos bada 1 V —1 / e(2) sin bada — 0 Peret x 0 d'odi l'on tire : 3 P : (62) $À g(2) cos bada — fi x( 7) esde , 0 0 t Es pd gia) sin bada 6( 2 Jedz. 0 0 : Ces formules ont été employées avec avantage par M. Cauehy dans la théorie des ondes (Savants étrangers , tom. 1): elles ser- vent à obtenir les valeurs des intégrales qui se trouvent au 4" mem- bre, approximativement , au moyen d'une série de fonetions gamma. Soit en effet b un nombre très-grand, et désignons la La Ld , x id sèrie obtenue en développant x( 5) pour abréger, par xq) SEC P on aura, à la place de la 1'" des fonet. (62), la sèrie très-conver- 3 gente : feo cosbada— 3 0 rín rea ss feccdel—at dun des Q (167) 5me Cas. La fonetion dix) donne dx--yV —I SO, pour xs do, quelque soit Y. Dans ce cas, soient les limites z — Í i VS) , la form. i aE— o a) (A) deviendra : (HI) fue Va LV —1)dr ue fi Uada— A Exemple. Soit da) (t— 2V — i Ep , On a encore A—0, tida a Es Led di E" Va I mat — ay AT —", done co ed co fra —i le delle — ft a de, — co Pour a-— 1, on trouye : le 9) i qo 9t f EN dds di se lesió Ohadr — EV me È —do — o co aa cos 2ha d- af: est sin Afrda — fac "de. — LD Li hme Cas. La fonction dx) donne xy —)— 0, pour x— o A quelque soit y, et pour y — oo , quelque sout x. Dans ce cas, en prenant pour limites —o fz—o ss Í DU: Des i L a—o a—Q la form. (A) donnera : MV fa If UV ay 4. A. 0 0 Ecimale. Soitadmaleeó er A on aura A—0 ta) AR As — EST ent V—i (168) o ————s EE nfiecr. —y—I J dy, MX dr) y fi 0 qo Ú Comme on a : ET L di mia is (by it 3 El on trouve : fi le — 1 sl: vat fi pl d'no" Cas. La fonction qyíx) donne V(x--y V—1)-0, pour xe —o, quelque soit y, el pour ysxco quelque soit x. Dans ce cas, en prenant pour limites Des fo as ME ll q— CO a— la form. (A) donnera : Q co (V) id Uodee—V —I f PUV ET dg H- A. — Do 0 095. Gas. La fonction 4(x) donne p(x-yV —I )i3s0, pour y—Eo, quelque soit x. fo Dans ce cas prenons y—l , la form. (A) donnera : Q—— QO VD) Ju I) et ay Les valeurs c, c,, etc. des racines de l'équation 4(2)— 0, demeurent comprises entre a et b. Remarque. Supposons qu'on ait en outre 4(2--4 VI )s 0 pour zoo, ou bien pour z—x— o , alors soit be h bo al , OU ges Í 5 qu—og a—— h (169) fre 1 )dy grés A en aura : (VID era ———nr A U(—h-yV —1 dy —m— ——. fi La aa Ces équations sont utiles dans l'intégration des équations dif- fèrentielles linéaires, et dans la résolution des équations à l'aide des intégrales définies. ( Voir Cauchy, 19: cah. poly. ). 77: Cas. La fonction g(x) donne Ux-yV —I)0, pour x— to, quelque soit y, el pour ysz Eco , quelque soit x. Dans ce cas, prenons pour limites G— o go El el i 9 y— i 9 QE— Q q—— QO la form. (A) donnera généralement AO. (VIID Lorsque l'équation g(a)scoo, a une infinité de racines, la formule (VIII) renferme un nombre infini de termes , et peut servir à la sommation des séries. ( Voir Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires , 1895, p. 45). 8r: Cas. La fonction gíx) donne g(x EV —1)— 0, pour x— bo j quelque soit y, el pour y—oo , quelque sot x. Dans ce cas, en prenant pour limites bo fo sl set, EE — LD ei) la form. (A) donne : (IX) fioues A TOME. 7. 27" PART. io i9 (170) Par suite: —/ (X) RC) i a Jdemj A. 0 dre Remarque. Si l'on a g(e-l-yV —1) — 0, pour em Lo, quelque soit y, et pour y-——oo , quelque soit 4, alors en pre- nant pour limites EH del i QySES i , 4 q— Qi — QQ la form. (A) donnera:: an y(x)de— A 5 Ed par suite: (XIÍD fi SO ambi mm f Picas 0 2 Ces formules se rapportent au cas oú les coèlficients de A, des racines de l'équation y(x) 00, seraient négatifs. Que Remarque. Les expressions (IX) et (X) renferment la plu- part des intégrales définies connuúes. Ces formules étant très-im- portantes nous allons les appliquer à plusieurs exemples , qui seront encore, pour la plupart, d'une grande géneralité, Applications de la Formule (IX). fuvode— A, A—3a(0--0, £ et) V —I d—de-g( de Le V —1), 0, —de-p(e, de Le V —i), etc. pla) o, dot: use Ne V—i A ae de V —I, etc. e, €,, erc., Sont positifs. Les valeurs des o, correspondantes à des valeurs nulles des coèfficients e, doivent ètre réduites à moitié. Si aueun des coèlficients e n'est positif, on a A —— 0. 4t EXEMPLE. Chercher la valeur des intègrales Le. 8) 2 f(aldx So Ç Dan ze, lana: — DO EE CIÓ Solution. Pour g(z) De aço , ON A L— PM As r— ay —t comme le coèfficient de he est négatif, ona A 0, done (2)d ae — 0. V469) cil Que EXEMPLE. Chercher la valeur de l'intégrale co "o fla)s gr sò Pr xy —1 — 0 169) er Solution. (a) FS ————— — o , donne x,— rV —1, ada —I fidel V —i av — rLdederV —QV A VI A 279 V —I — Jr V —1), done 0— de 4 (de d-1V —i)—dee le 8) 2 e-fald come j disal Dei Da — Irf(ry —1). — (64) rhbav —1 — (Q 67. EXEMPLE. m élant un nombre entier, r positif, chercher la valeur de V'intègrale co f()da foral) Solution, 4(2) — aut — o, donne m racines égales (rbaV —I 3" à MV —1, ona donc, par la- form. (207) du 1" livre, 1 de—l lider -9de Pr —1 ent 1-2... m—t1 rs rigic 1 feb —I ) (VI (Vi 2 met) Q em (172) La 2r) (VV —I) A P2... m—t Pen o a qu fe Ma ee (—I a L. h ae Bas (65) (av —I)e q22... m—t 4" EXEMPLE. Chercher la valeur de V'intègrale no f(a)dx ee LL. 4 0. dl r—aV —1) als Solution. $(x)e dE — oo, dohne (r—iy/ —tj—0, Ur—aV —1) ee d—V —I), de OM EV SI r—ded- EV —)V —II A Vi —m— ri —y —AV— 5 d'oà: fi d'al arpa — — Jr f(M—V —I VV —I. (66) r—aV —1) — QO 0 dee Pour r—t, le coèeflicient de V'—1 étant nul, on réduira (66) à moitié. Pour 11, r—aV —1 30 n'a pas de racines dont le coèfficient de V—I est positif, et alors A—0. Applications de la Formule (X). SR EXEMPLE. Chercher la valeur de V'intégrale fos (—a) de SV —i gi (175) À (2) Solution. y(2) e——— — o, donne x m0, ay —I 1 i (0 9 deg (de) de. fde) ee (0) ir us PTA VA NI A y Xim AO), PA AO) 5. done fa) — f(—a) dr. 7 3 A EN ED 688 EXEMPLE. r étant posa chercher la valeur de V'intègrale f VE Cueil — Que. EST r— Solution. ia donne c—s—r, done 8 —dee(—r-- de) — de. is. — 9 —)i he): SA —3 (ny —1. Done TA I Es dE pe est. 08) 0 77: ExEMPLE. r élant positif, chercher la valeur des intégrales arc e i—I—) ade ge Ar 2VII her Í ea Solution. 10 Ya) — dl El Le. donne 22-20, ce —mryV —1, Pr VV — va rn, LAS GV I): done ia) d- f(—a) — rdx i fasen. ES MVI). — (69) (174 ) f(: a 2 va) se) —00 , donne xer V —I, ges V — (cert) dr, lA SV) ,— done fa) —Í (—2. da ay —I el di Remarque. a dans les form. (69), (70), on. pose je y ss SV CC on reproduit respeetivement les formules de Laplace : co od us Eq COMAS dia di esa sin dx ae UN qe". 0 aa dd 2 dr Corollaire 1. Si dans les form. 69) et (70), on ehange f(x) en (—aV —1 ), fa V —1 ) devient f(r), et r. est alors esseniiellement positif, par eonséquent ces : formules, : pour - 7 - positif.deviennent respeetivement : aa ea ps Orde L I g . Pepa Bigas gi), 0, (69) 0 o May — )—I VI ). dida Ri . / si mL dra gn) , ro, (70 ) 0 On peut donner à ces expressions une forme plus simple, en posant fa —I) SE da) —V—i 1) , — VI) (a) VA 49) car alors on obtient : r 8 rdx gr) -f e(e) Pr) ro , (697) co Li 7 da , Sin — x dE, ra, — VV) Corollaire 9. "En -diflérentiant ces dernières,.n.fois de suite par rapport à r, on trouve : 0r) — ce Es i dadz, Elome / il et al (ade. 2 de" tr Tur Les différentiations indiquées s'exécuteront aisément en posant : r 4 A 3 4 Hg TN Ur—ay 3 RI) 2 DADES DOS i 1 et I fas rhay—)' et l'on obtieidra : qual (n--1) arc g— —f OP) (DI 2.1 n 5) ) ( ) (rela) 3 l e(2)dz : ro, (6917, o sin i (n-l-1) arc gel 0 (—NI an ze p(a)da , 2 (re en è Tn) 0 P0, (7077) Corollaire 5. Si, dans ces dernières, on pose : 1 cos"€ Pr genftt — — aux limites gé, eL ae y2 2 T 8 o al , répondront les limites É — , et l'on aura : 2 L3 —td 402... se CEST. / deta8) cort omtat-te46, P0, — (695) —blis 2... Le x 9 £ i(rtgEl cost—E sin (n-1-1)€ dE. 0 0. — (70) io (n— (176) 82: EXEMPLE. Chercher la valeur des intégrales J fa) -t A). rdx Cia)—ft (—2), ada erm) 9V—i m—re Solution. 10 Lla)ss a) oo, donne x,—sr, xa —— tr, done qe— yo El desfer de 2, ed (orde de. dj a DA ma — LU — VT. Donc fa) 4. (— . Sa JO inv A. m) 2. Pla) UE) — 00, donne x,esr, x, e—r. Donc V — (e—r) der a A DA rrapa Un 3(0 4 ue a) Ver DR FAR rar ie RN Ter Vs SA EL dl: doú: fa) —Í(—a) — ada T do mes TU EN 2) Remarque. Si dans les form. (71), (72), on fait f(a) — gay —i on obtient les form. de Bidone : Le 8) Lee) r Cos axdx m . X Sin axdx LS Em — — sinar , ——n Es — COS. T. g'—rt 9 e— re y) 0 0 2 Cette dernière , pour re 0, reproduit la form. Sin axdx xi ET i 0 Que EXEMPLE. Chercher la valeur de V'intégrale fa ——a Pera 0 9V —I er") (177) Solut. Jíx) —— bici 4 00 , donne ar Ó, er V —I, V —I a(a rn) rfdO (0), ((0) d — dei de 3 qg DES rn 4 one 0 — dev(do)— sa Pe Pedra) di jeni grec Dret —ie (ry —1) — de-$ (de der V —i se ——————— i (de 4- ) a A — Dels LV —I AO — EV —1)3, done fe) —(—a) A di RO MV TT 75 d ET aa a EO) Qme MÈTHODE DE CAUCHY. La 2": méthode de Cauchy ne diffère pas, quant à son prin- cipe, de la méthode 127. Voici en quoi elle consiste : soit f f(z)dx l'intégrale à déterminer. Décomposez í(z) en deux fac- fer P et Q, fonetions de z, dont l'un Q puisse ètre rem- placé par une intégrale définie équivalente A / Raz, A étant une constante, R une fonction de x et de z. Supposons, en outre, que l'intégrale / P.Rdx , puisse s'obtenir par les méthodes vadedc is et que sa valeur soit y(2), alors on aura / ades A / g(z)dz. Dans le cas maintenant oú cette EP a intégrale peut s'obtenir. par les méthodes connues, la valeur de l'inté- grale proposée sera déterminée , dans le cas contraire, on aura une transformée de l'intégrale primitive. Voici un résumé de la méthode. Li On a: fc z—P.Q, QuA f Ri: done 0 ad a a b cle fades fe-Quema fe. f' deda—A de ara Da ES u ,0 dació 0 0 b —À Ed vía)dz. (2) 0 me TOME 7. 2 PART. o sl ( 178 ) 17 ExEmPLE. Determiner la valeur de l'intégrale aa farcida, ni. 0 do Solution, Fesons Pzze73, Di eta d qu—l g—aaz, at En) J (V. form. (24), 2: liv.) On a done R ze 2, PR — zn—le-Ut22, emitz)a / PRda — / za —le tag ea za—l fe UD gp a — IX dc, donc Z G d— edi Da 1 Y(2) ml Per my On a de plus At L donc, par la form. (a): dE 1 i 1 (La) —ll p—xt ds ú—l, CIÓ 4 I fe eda 7) /: PRO fe dz. ( Corollaire. Pour a— oo, il vient : a do fadeo 1 zr—idz L fe de r(n) P Lo in) —sinnr (Voy. form. (56) du 2: liv.) Comme ona: qo qo f arte dr — f imle— das r(I—n), il vient: 0 0 r(Í—n)s OI mapa d'oà r(4—a)-r(n) Ets: (2 Que EXEMPLE. Chercher la valeur de Vintégrale r d de 8 esa(ee—I)e A i am, 0 m est un nombre entier. (179) 4 i ai Sol Lla S — Sa( ee — 4n dr a ial ps —eg : qe: Fesonà El See ", Q gai cra/" ettdz AÀ-— SGEn : On aura R Una La Op PR — e—letma(e— —I) ga hi Le 8) 409) — f PR de—at fe ltòs(e—jrdr. 1 9 0 Soit A la caractéristique des diflérences finies, en considérant s comme variable, et soit Asm—1, alors nous trouverons de la manière suivante la valeur de 4(Z). On a : A A evleize ren e—ísiiiz)z — QS tzja — eetrjel ee —I ) : A 3, em st2)a EE creat ee — ) y A etc. etc. AR x e—stz)z EacEn diga: er—It As A Donc, la form. (1 devient : pe) — ze Í (Are et Jdr, Drac dl — sep" fi eGtaedr , 0 Ds q A" ( 4 j / sbs Soit aa a — A , A Etant le plus grand en- tier contenu dans a, on aura Aím, puis : EI MI : L dei m 2 (EE) L ar, à x- Mà Xa la -— I A l: —s ze etc, de (—t Ps (—I) rel h Mais comme Aí.m , on a Ass A" — ete. — Asi—0, done v PER Mi Am SN do et OD A a lor (180 ) Ll Par suite : / p(z)de —(— 1t an fia 3 e el Mais on a: der i Mi dz ei ua Di D ddesdc is u f: , dz r $ 4 y Els T SEz est . —— $ 4 d 1— sin—r £ —Úi T - —i T eudé sin (d—A)r er Re " sinat Donc d ——— ni sa , ——— 039 5 fue z aca g AP (s ) pu, A7(89). ( On tire de là, et de l'équation (a) : co d ss x / ese(ere—t) Tan SA 0 1 co a b , F(a--1) / see — E(a-1)sinat At). (a) Cette intégrale a été donnée par Laplace ( Calcul des Pro- babilités, 27 édit., pag. 1695 ). Corollaire 1. Cherehons ce que devient (a), quand on suppose Let. amiz un entier. y Pour cela, déterminons la vraie valeur de as dl , qui se réduit à 2, pour as 0, limite inférieure de l'intégrale i V(2)dz. Or, on a: dAR(s9) At dse De a ae en da Arts) pa Ar(seles). sinar.— dsinan. — qCOSGe a COS mn pmbp gels do cs da (184) donc : g(2)d2 ma (—I A r(s2l-8) 5 En par suite : F es (e ja LS. pere 1p dl ra ació ) A" (seles). (4 0 Pour asi, cette dernière devient : qo / Care £ —A"sl.s). 0 Cette intégrale a été donnce par Laplace , Calcul des proba- bilités, p. 165. Coroll. 2. Si l'on pose dans (4, et, ms r, PaP) 1 -2...a, on trouye : co 0 alta Pd ts—t(t— rn) de 9 Je era) qoi —-/ DES 68 ea i Pepet, pen ds (—1)tArseles À (I (823) L 499 ss: a d $ ris ( : ——— A" Ge onc fi er 5 dt A 8: (s l 8). (5 , Corollaire 3. Changeons dans eelle-ci , t en t", on aura : 1 dus—i( ee — 1) ide ns — "(sel.s). É (je PE HO rada Fesons a--l-xr, done aír, on pourra écrire : ne A (soles) SS A'Las)eleas) j, par atent la formule précédente devient : dar LAN 1 r a 4 fEs —) - de Tal $ A'Enslins) J. (6 Cotó intègrale a été donnée par Legendre, Exercices de cal- cul intégral, p. 572. Corollaire 4. On peut encore obtenir V(z) par un procédé indépendant des difféèrences finies, et par suite, l'intègrale pro- posée sans recourir au caleul des diflérences. En effet , en inté- grant par parties, on trouve suecessivement : (189 ) ao qo id er Gtae(e tl) dr — si dl emetate(e—— mg, 0 sd-z . qo , Le) sl z--1 0 0 etc. etc, Donc, en multipliant par ordre , et en réduisant : I 1:2...m er Giia(eri— da : J l (Pe des HA) o. (see 4-m) On a done : P2) za f ee — Id — 112. mags 3 (Y JA o Maamiciór. eta) par suite : f gar seq - mea Dau, a her . (8 0 A qe r(a-1)4 (es) (asi)... (as em) L'intégrale du 2: membre se déterminerait, en décomposant la fraction sous le signe ,/ en fractions simples. Corollaire $. Si l'on compare entre elles les deux valeurs de Y(z) continues dans les formules (1" et (7, on obtient : ARA) 4:2...m ha 84-Z (sd- 28-23 P1) ... (8 dm) E(m--1):4:2 ... (se —t) Dm) E(s 2) P pbria Fe Em) OT bar) Pour z—0, 0ona:: A) Em-1)E68) Lo gedu depler Ps mt) -/ (-aotmil M. Cauehy, traite par la mème méthode, un grand nombre d'intégrales remarquables , pour lesquelles nous renvoyons au Mémoire de l'auteur. (Journal de VEcole polytechnique, t. XVI, 28: cah., p. 147). 0 ( 185 ) 147: Méruobe. Determination de la valeur des intégrales definies par approximation. Lorsqu'on ne peut pas obtenir, par les méthodes connues, la valeur d'une intégrale définie sous forme finie, on n'a plus d'autre ressouree que d'en faire l'évaluation approximativement, soit par le développement en séries, ou géométriquement, par la déter- mination approchée de l'aire curviligne comprise entre les limites de l'intégration. Nous donnerons ici les quelques théorèmes élé- mentaires sur lesquels reposent l'un et l'autre procédé. 47 TAÈORÈNE. Supposons que la sèrie (2) SE us Tu, Fu, F etc. un -F etc., (2) dont les differents termes sont des fonctions continues de x , depuis Xema, jusqu'à x—— b, soit convergente , je dis que la sèrie nouvelle Ò L b LJ 0 (74) JA f(x)dx— fi udx-- f udx-- fu.dx-retc.-lb fuadx L etc. G a a 74 Ga sera également convergente. b b Démonst. En effet , en posant, fudam U, da Un su0ll, 74 a b f vades Uesis, Ce, 0n /AUT8. : b a ff fa )dr —U, - U, -F etc. P Un F ete..— (8) Or, la série (a) étant convergente, on a 44 —0, pour n infini. Par conséquent, dans la mème hypothèse de 2, on aura b Un J/ under 0, done la sèrie (8) est convergente. a 8 Remarque. Admettons que la série (a) reste convergente pour toutes les valeurs de 2 comprises entre a et b, mais qu'elle de- vienne divergente pour l'une de ces limites, ou pour toutes les deux alors ( 184) 17 Si la divergence a lieu pour x——a, la sèrie ò ò b dd (dx f udx F dd u, de -- ete., sera convergente. a-da a--da ad-da 2: Si la divergence arrive pour z—b, la série b—dAb b— db bb. A fada — f udr -- f u,dx - etc. , sera convergente. a a 5" Si la divergence a lieu pour x-—a el xe—b, la série Gdò b—dAb b—db af: f()dr — f udx - f uda H- etc. , sera convergente. a-da a 4-da a--da I est bien entendu qu'il faudra ici comme dans tous les cas analogues, poser das 0, dbz0 , après les intégrations. ( Voir l'introduetion ). a Que THEORÈME. f(x) élant une fonction continue pour toutes les valeurs de X, depuis x—a jusquà amb, si l'ou suppose b—azsmh, je dis que la somme h El(a)-f(a 4. h) "- (a 4- 2h) ... "- fa m—ih)), (a) b s'approchera indéfiniment de l'expression ,/ f(x)dx, à mesure que le nombre m augmente. —a Dèmonstration. Comme on a hs— , l'on voit que A di- minue à mesure que m augmente , de plus, pour m infiniment b—a grand , l'expression deviendra une diflérentielle telle que da. Or, en mettant la somme (2) sous la forme lis Ef(a)--fa-- mi. ) HF fa H2 an MES a m Ei i JF aeerteltact at — h on aura , pour m infiniment grand : da lH(a) H- f(a 4- da) -- Ral 2da) TF ... H- Ò flad-m—i da) — cf (ade, i : b 4 PA : a d'oú il suit que / fíx)dx diflérera d'autant moins de la somme (a), d (188 ) que m sera plus grand , on pourra done éetire, pour de grandes valeurs de m approximativement : Fd fa)demh IIa) F Na"-h-Na--2A)4-. fa m—i A). (78) Le second membre exprime la somme des reetangles inserits ayant pour base h, et pour hauteurs les ordonnées f(a), Í(a--h), Í(a--2h), ... fa d-m—t h), de la courbe yz f(x), dont l'aire exacte comprise entre les ordonnées extrèmes f(a), f(6), est exprimée b par / f(e)dx. 4 Remarque. On aurait une expression plus approchée de la mème aire, si on prenait, pour la représenter, la somme des reetangles ayant pour base h, et pour hauteurs respecti- vement les ordonnées de la courbe y-—Í(2), qui répondent au mi- lieu al Pit i base. Ces ordonnées étant f(a--i4), Í(a--3h), ... i(a— b h (ode — han) d- Ra dit)... Has 2 27: Remarque. On peut encore obtenir une valeur a appro- chée de la mème aire, en considérant celle-ci comme peu diffé- rente de la somme des trapèzes inserits à la courbe y—xÍ(2), ayant mème hauteur h, et étant tous compris entre les ordon— - nées extrèmes Í(a), Í(b). Ces trapèzes ayant pour expressions les produits lia) "- la". D), 3hlfa--h)-- (a --20)), etc. LAN on aurait approximativement : st. (76) Milla mi (01, il vient, en ajoutant, et en réduisant : b f f(o)de—h Lila) 4 ah) "- (a 2) 4. ... - o (ab m—t A) - 360)1. (77) 50€. THÉORÈME. Soit y— e(3) S A H- Bx P CxP TF etc., l'équation de la courbe parabolique , qui passe par les extrémités des ordomnées Í(a) , TOME 7. 277 PART. 94 (186 ) ((ad-h), fa -F 2h), ... , (ad m—1 h), je dis que Von aura ap- proximativement : ò ò É (re fi ea)dx. — (78) re asigió: En effet l'aire freda, différera d'autant moins de l'aire / Í(a)dx, que le dotats des ordonnées Í(a), fia--h), etc. sera plus grand, c'est-à- dre que le nombre m sera plus consi- dérable. Remarque. Lorsque la fonetion f(x) est connue, on la dévelop- pera en série convergente (si cela est possible), et on déterminera b la valeur approchée de /'fla)dz, à l'aide du 4"' théorème. Mais si la fonction f(z) est inconnue, et qu'on n'en eonnaisse quiun . certain nombre de valeurs particulières, répondant aux abscisses a, a Fh, a -2h, ... ab m—th, alors il faudra déterminer la valeur approchée de f fíe)dz , par la form. (78), ou par l'une des formules du 2: théèorème. Exemple. Si f(x) désigne la probabilité qu'une personne vit encore après x ans, alors Í(z) sera une fonction inconnue , dont on connait certaines valeurs particulières au moyen des tables de mortalité , on pourra done faire servir l'une des form. (75), (76), (77), (78), au caleul de la vie probable de cette personne. Suppo- sons qu'on demande la vie probable d'un vieillard de 82 ans. La probabilité f(x) que cet homme vit encore après x ans, devient, d'après les tables de mortalité : pour 0, 2, A, 6, 8, 10, 12, (al, ge po 05 da i0:2 102: 102 10 (77) on a donc, par la form. 1 f todealst teta table 00 ans, 0 C'est la durée moyenne cherchée. (187) le NOTE Sur le développement des intégrales fer vdr, fe dr, 0 x en fractions continues , d'après Jacobt. (V. le Journal de Crelle, t. vn). i co Í Soit ve- eevds, on a, en différentiant : x x co ao co dv ed A edr H- 2et'adx fi edr 2arvda Hed f e— dx. L x Soit, pour un moment, /e dz—selz) 1 c, d'oà et da — dela), ts 2) — f(a), on a donc, par le prin- i d'f'Í(c)dx o cipe LL s— f(a), l'expression d f et das —e da, P rn (a), l'exp A done du 2xodx — e edr — (dav—i)dz. De là on tire: du pr — 9ru 1 , d'v du de" 287— d- 2v , div d'v du ECAA da" P3 pet etc etc, detiy d'o d'o dant ae T 213 ci Divisons cette dernière égalité par le produit 1-2 ... n, il vient : (na 2ad'v x dv i 4-2... (nt dt OO 4-2. ndat 1-2... (n—t)dar d'v Sol dE ———, pa it v Ui 2 1 poué r SUlte Ve 0, VU, SS — Fe 20 — a 4.9 ade P dx l'èquation (1 pourra s'écrire : (abona FS 2004 d- 204.5 2 (188 ) on en tire, en transposant : — Dog SF 2204 — (ML 1)0441- (3 Pour 20, on a —20. y— Lave— 0, Lev — 2a di. Multiplions (5 par x", on aura : — Do "Un — 2a, — (a -1)x" 0a. Multiplions et divisons le dernier terme de celle-ci par 2a", il vient : 9 ny2 — Dr Un 2a — (mn) L a Cat: 1 Soit q£ go telte dernière devient : — 20" Un Fe 2a to, — (1) 2qa 0444. (4 On peut donner à tous les termes de celle-ci, une forme positive, en observant que (—1)T, (—I)", (—1)1$7, donnent, pour na pair, la suite des signes —, l-, —, qui est celle des termes de (4 , et pour a impair, la suite des signes ., —, --. Done en changeant , dans ce second cas, tous les signes, on re- produit ceux des termes de la relation (4. On peut done écrire, à la place de celle-ei : (—I a oa FE (—I art 4 (Na g 2200. — (SB Or, si nous posons Vas — (—I) "20a, on aura : Ya FS (—N A 2r 0n, Ynts S(—P Ta Preu, de plus, — yo (—I) 204 SU, yi 220, Par là (8 devient : VS Ya TF (aNgyai. — (6 De (6 on tire, pour n—0,1,2 ... n—l1,n, my 1-qy4, y: — ya 1-2qy3 ) ya y3 H- 5044, elc. Ya SS Ya T 09a, Ya F Ya F (144030: On tire de ces relations : 1 y. y. —— 1 — —ít- dl eneronl y: -q y. q y. Ll y: y3 y. L— m4 29 — —m1R2q: — y. 1-2q y. q y: L ClC, elc. VYnii Yn ll -n4q —lH- ng: gen 13 a 35 VYnii i Ú Qu : Ynsi VYnii d I (n-1)gynse y nfl pies l (ng ynie Yn-1 Mais on a : QV 2rv— am" fe — qz Es. NEN gua VYniu Dans cette fraction qes— est positif. , nbi)gyar , a dé Démontrons que le reste í a TV est également positf. nfi ( 190) Pour cela on a : qo a CE ai ic, — cs fe daze f: dr. La. hd L qo LD Soit rtd-x, alors r-— Í , répondent à f— Í , el l'ona: co A x : é 2 Comme e" est constant, on peut mettre ce facteur sous le signe /, alors on a : at 2t a fe . e Eqt. Difirentjons celles—ei pusteur fois de suite par rapportà z, i vient : o ef A gel 0 co EE (—a ei .e dl, dv 0 etc ete co La És De Le Eq X" 0 Par conséquent : co 1 One L et — — at 6.4 l ES L armat he ae gp, oc Le. N só ria dl (r—a)'e —y2 dr. 2n fi Mais on a :. ya — (— ygetiy, , nfl,x done : ya ES ——— er 2 fe —ape TT dr. — EX (191) o Qqjutagt" Par suite :. yap — ( atret a, . Ynte PI Je x)" le dr, x ja es VYuta 9r J (r—a)te "dr — - ge, d'ou: i donc : — gn NY Ji (r— a)" Pages dr add 227 P (mb Dquea VYans Yana fr —a)r PepA de Donc, si x est positif, le reste 3 3 2 —a —gt e 1 done : ES dema —— — q z A-- etc. à l'infini. —2 de La valeur de fe — da, est comprise entre deux réduites con- o sécutives quelconques de cette fraction continue. Corollaire 1, Comme on a Le) : vi $ se 2 ES, Mer dr fe da fe des 7, il vient:: 0 0 z x —— 2 ES A, Logos e 4 f dg) 1 — — xo 1b-— 4-- ete Corollaire 2. On a aussi : de x sen —a2 —n2 rs pa e 4 v t dre— fe dem —l Es Or TAS q h 1-F- etc. Q Corollaire 5. On a : 0 co co fe P dx — fe "dal fe 7 dem iV ml. —r —x 0 x 3 — 2 ta 4 f Ta VE — ir TEL El e 1-- etc (192) gue NOTE. Formules gènérales pour la sommation des séries infinies , el composées d'un nombre fini de termes. Cette note est le résumé d'une nouvelle méthode de sommation des suites, publié par M. O. Sehlómilch, professeur à l'université de Yéna. ( Voyez Neue Methode zur Summirung endlicher und unenidlicher Reihen , von D' O. Sehlòmilch, Greifsvvald, 1849). 15 PROBLÈME. Chercher la somme des suiles infinies 1f(0)L 1) cos a -L 2) cos 2a T- etc., Or. (1) sin a F (2) sin 2e H- etc. — La gr. Solution. Bi a, par les form. (697), (707), e(2dz, "0, e(2)— dra ui fey —t ), siu) M— VI) — fe VV —) VI En ae EA, la 1" Le sinrx, la 2: par IpeTEs il vient: z0— fe 2) jdz, r0, U)s eta, qe co Sir) Cos TE — AS TE RES Vz)dz (8 Fesons successivement r — 0, 1,2, 9, etc., en ne prenant que la moitié de (6, correspondant à r-—0, on trouve : f(4) sin 2 —F- f(2) sin (22) H- f 65) sin 52 —- ete. -/i sin x RES 4. 5 sinóz d PETITA za-1-9: z13: -F etc. IEC Z93 a(r—a) —ae—a) ze ae Í 7 4 - — qrpet p2)dz , (1 ar ies a 5n) sinrx — a, dra de e(z)dz, (a 0 (195) 3/0) 14) cos z H- (2) cos 2x H- ((5) cos 52 -F etc. 0. I zCosx Ç ZC0s2x , ZCeosóx / es 1 g4-1 -L geleze dr ge. 52 at H cie, Ia: 2 s aím—a) , —a(a—a) domi se obaiiò ra Uade, — (8. NJ 8 he Dol Fai ia (1 et (2 sont les sommes demandées, il reste à démontrer que ces sèries sont convergentes. 10 Convergence de la série (1. Désignons par L et M respectivement le minimum, et le maxi- mum des valeurs que reçoit la fonction (—aV —I L (GV —A , 2 quand z varie entre 0 et co . Comme le facteur x g(n— a Ors. 2) TZ 3 —IAZ rere reste positif dans cet intervalle, nous aurons : El min—x ——l T— f )— R (t—a)a 1Z —nZ ç e — O 0 Le) Da per VI —a) —í(t—z) MA —1 Ra ) es 1 ras re Ldz 3 (5 e ec —e 0 a r—a) Leataian) : L Té Le Mdz. (4 ese A Mais on a : (rea —Tea)z f 3 dz 4 TZ ——l 5 api. 0 co — fi ,—e— — fic A rap Des ————, 0 page — TOME, 7. 97" PART. 95 (194 ) co aa ee (n—aja ——(—a)2 ari — f fe pd C—a dl —e 0 o —/ Damien ia perar dut Ven, GP je etc. 1 Qi es ds L — fi eo de -- fi Re arte I RR gar bagg LL ete. — 0 0 0 pe) co Je a SH Time EE 0 / 1 1 1 1 I BONA ara ò led Patró DI ee lt Ll dr 1 2r 2r a AA —jcot3z. (Voir Cauehy, Anal. algéb., P. 575). Donc les relations (5 et (4 deviennent : có dmmilicail —— aa (t—4) —a(n—2) Eu 1 Et fi —e MA ME — pg SL corte, Li mo —tz 9 , LLMcotjz. Done si L et M sont finis, ce qui exsige que (es —I): f(cV —I1), restent finis pendant que Z varie de O à co, il est clair que la sommée f(D) sina d- Í(2) sin 22 P etc. , ètant une moyenne entre les quantités finies LL eotix, SMeotss, sera elle-mème finie , et par suite la série , qui la compose , sera convergente. 9: Convergence de la série (2. On peut mettre le second membre de la série (2 sous la forme Le 8) Je rela 3) i (LV —-A )— ((z au ) 4: Li e Li ———— QmZ se QV 0 ( 1498 ) (— Vs — I) feV—1) QV —1 à Zzss 0 j puisque nous suppesons que Í(—z V—t3, fe — 1), restent finis dans cet intervalle. Cependant pour 0, on a F— 2 —— f'(0). II faut done encore que l'expression fu-V —iz), l reste finie pendant que u varie de 0 à co, et z de —oo à 00. Cela posé, nommons La, M., respectivement le minimum et le maximum qu'aequiert le facteur F, pendant que z varie de O à 00 5 ces valeurs extrèmes seront finies, et l'on aura : ao EP Deht de lderes NE) ay i) — VT) e ue Des Vi 3 (t—a) es ae) i xo sL,ds, —(B e A LO PQ gn 0 i 2(m—a) Qi ,—at—2) cf re IM dE (6 e qe : Mais on a : 0 Le facteur — F, reste fini de z—0 0 qo a(m—a) y —(t—2)2 És El e de —t —(2r h2)z dez gdz -- , d fi in al La fr tades de 0 Le) P va 18 e UES qu Lete.l- 3 era, 34 qe erenpg, Pele. 0 9 Es ga Teo TaerasT eic. diem a i Les deux séries dont se compose-le 2' membre étant con- vergentes pour 04.247, ce second membre aura une somme finie, que nous nommerons S , done, en ayant égard aux relations (ò et (6, il vient : 3 (0). (1) cosa 19) cos 2a" etc. — moy. Í LS, M.S 5 or, cette moyenne étant une quantité finie , la sèrie aura une somme, et sera par consèquent convergente. Nous devons obser- ver que l'expression moy. i a, B i , doit s'entendre , avec Cauehy, d'une quantité comprise entre a et S. (196) Corollaire 1. Pour x—0, la série (2 donne : 10) 414) -L19) 4... — co ' ns. CA 6 dr a Nre —I SMI A TR ac Ne DV dz. (1 Cette expression est susceptible d'une légère transformation , car ona: TZ TZ — 2n e de di aa pen (49 1 TZ —Z 27zZ DF 27TZ h cret CT es ec —1 On a done: co ————— Da E (VA —GV—I das 0) a ss 9V—I 0 pes Eva ei (dida mai Lieen i ale A 9V—I 0 Le 9) 4 de (VAN — I i Ó (8 ME peri V—i É 0 Mais en multipliant par dr, l'expression o VI) — te —i) o gde Es l y—i pr qi 0 et en intégrant entre r-—0, co on aura : co : co co — a, — ) —fi Vi T ts i EM qe fl ss tra 9V —I gr 3 0 0 0 co d jè ou, à cause de Ei cel Ray EET TA 0 ig fi ne Vsrt vida VEEy PS q dy —1 3 0 co em /'f(2)d2,, 0 (497) on a done: 3103. 11) 4. (2) F ele. — j i dz IT jecte CA À 3 / (3)dz -- JE TA Ti i Par (9 Corollaire 2. Pour x—T, la série (2 donne : 2((0) — (1) H- (2) — etc. — co 9 Ne (5 — fe V —A ja. (io o: El ea o —1 0 En retranchant (10 de (7, on a : (1) " 18) 1 FB) Ph ete, — co a ——— P pr CM EP LPL a pam i"a 9V —I EG Q Cette dernière expression est susceptible d'une légère transfor- mation , car on a : PE DAR qi es ge 1TZ — TZ sin TZ Sa TZ es dre 7 e 1 e 1 done Lorgeale à droite de (11 A (ME Juii(e LAS 9V —I1 Es 3Es Mes —I) — le —I) Le EA VI ) 0 Pera, Bea a den mens a id e -H 9V—1 done : (1) -L (8) 4. 8) - ete. co , fioe— VE oi SedVCA (9 e e 1 LI 0 0 ( 198 ) Corollaire 3. Pour 2 ir, la série (1 donne : (I) — 15) - ((b) — etc. — / Do MT IEV A), hi n RB, Za e) e d'el Et 2 0 9n PROBLÈNE. Chercher la somme de chacune des suites infinies : 3 (0) H- f(a-- 1) 4- (a 1-2) H- ete. , 3 a) — (a 1) H- f(a-- 2) — ete. , fa". fia. 5) 4. fa 45)" ete., f(a-- 1) — a 5). (a 1-5) — ete. Solution. Si nous remplaçons dans les form. (9, (18, (12, (15, f(2) par f(a--2), on obtient : 10 3f(a NET Dr Se P — fierera fs de Mama) — fada) a redd ds EV ee ha 0 donc à cause de (587) : (D. Ha)--Na--1)-4-fa--2) -— ete. — f tcadz)ae — Esta ra fa) —ete. 4- 0 — 1 er uti nvií Pera que Ufa) dE ea 90 lla) — f(a--1) 4. fa 4-2) — af. dz fla—2V —1) — (as —I) sa cen 2y—i 0 ala AL : fa ) Vam i Bet Arce LL — ele, de (—Nrgr— is RR DR es Ben (2n71-2) f Voir la form. (587) J. es Mon: (II) (199 ) 50. f(a1-1) -F f(a--5)- Na P5) — ... —l add — ds a tt), 0 e Pi 9y —I 0 —3 fat ade EP: ro— EP pm ies i a (—1 (2801 —A3Bog 4 (—I Ja (22a LA) Bonii DO NE mi MS EVoir la form. (58")J. 4: f(a--1) — (7-5) "- f(a--8) — etc. / El fla—sV —) fat V —I) 9 Li 1... (Qn--2) es Moass. (II) —3i ÍBa— Ot ed — de 4 —I JH Baga 1... 2n--2 (—I" ss da f Voir la form. (887) nt Dans ces formules on a 0Ls 41, Man — foòfad-zV —1) A fò(a—2V —I) 2 0a) q es Mans. (IV) maxim. de , pour les valeurs de z comprises entre 0 el oo. 878 PROBLÈNE, Chercher la somme de chacune des suites finies : (DES FIS) ... H fe), (1) — (2) F 48) — Le. 4 10), ((1) 4. (5) 4. (Ò) 4. ... -F f(p—I), p Etant pair. (1) — 83) d (8) —.. FP (0 p—I), p Eltant pair. Solution, Fesons dans la formule 1" du problème précédent, a0, el ap, on trouvera, en retranchant le premier ré- sultat du 2' : (200 ) (04 14) 4 (9) 4. ... LA) — n-fi ((e)de — fi p-rejded- ff (el es SE A ger 3. 9V—I 0 co d'En 3 af de o f(p—sV —I1) — (pb —I) . ee —— T 3 Pag Qu —i Q Mais en posant dans la 2'' intégrale à droite p-z-— 2", on trouve, en supprimant les accents : f iode a fips aa af fia di Royde 0 0 o co ço és f fodz ha f f(z)ds — / f(o)dz, 0 P P P x j 8 (ed: , 0 — /' f(p)dp -- const. En substituant cette valeur dans (a) et en ajoutant 3f(p) H 3 f(0) aux deux membres, on a : EE (2)... FAD) 59) FT 310) FH /fp)dp -F const. - Ta SV) AV I) 3 a ea 9yV— Val pd V —T) tera) e e —I 9y—I CL) £ Figdp £ af. de Modes —A) — p— a —I) : Dues ME DM —I. On a désigné par C tous les termes indépendants de p. Mais si dans la formule (387), on remplace a par p, et qu'on désigne par fo —I ) be lp— AV —I) 9 Ms, le maxim. de correspon- (201 ) dant aux valeurs de z depuis z-0, jusqu'à ze 00, on trouve : f1) He (2) HL. PN) SC 3 0) J f(0)dp "- B. B: o, Era Dm Julia (En — gn CE dot a pa ten i G rmbd aa les —1YB: 2" En traitant de mème les formules 22, 52, 4, du problème précédent , on trouvera sans peine : (1) — (9-0) — (ep) —C 4 9) £ co Lgea JE ds pd —1) ab ea dem EN ea 9V 1 0 (EE —NB, ,, — Ce 3(—je fi) HE (er a lp) — ea reig) pa Es a Los. 4 (—1) (00 — Bons 4... An--2 (1) 418) £ ... F fp—I) — C 4: $/fp)dp — / de Ui files Vell pes VV —i A pa 9vV—I fei— (p) PE es Monja i (VD 0 2'—1) el — 44 / tap IE a — (—1)— (ON) Ba — el — 4 je( gents — 4) Beni 1... 2n NATA, ap 9 ( Voir form. (587) J. laddt 72) —-.. . h ena (VII) RD de et — CL deia dz pa —) Le p— VI) 9 4 ES - 1r e2 e 2 (—1) 0 TOME 7. 270 PART. 26 (202 ) lp—1 B. B CE 48 4)— qe l'e —y l'0) — ee, 4 (—N'Bs (ep) H- (—I Boig 1.. 2n 1...(An--2) Les seconds membres de ces huit formules constituent des séries qui convergent jusquà un certain terme, à partir duquel elles commencent à diverger de plus en plus, il ne faut done continuer le caleul de ces membres que jusquíau terme oú la divergence commence, c'est-à-dire jusqu'au rang pour lequel le reste de cha- cun de ces membres, acquiert sa valeur minimum .. ce Mona). (VIID FIN DU DEUXIÈME LIVRE. HF: LIVRE. EXPRESSION DES FONCTIONS ARBITRAIRES PAR DES INTÈGRALES MULTIPLES, ET DES SÉRIES A QUANTITES PÉRIODIQUES. Dans ce livre il s'agit de la conversion des fonctions arbitraires , non spéeialisées, en séries convergentes composées d'une infinité de termes dont les valeurs se reproduisent périodiquement, et en intégrales multiples, présentées sous une forme finie. Nous le par- tagerons en plusieurs Sections, dans la 1'" nous établirons les principes fondamentaux de la théorie , dans la 27, les séries pério- diques de Fourier et de Lagrange , dans la 37" les intégrales de Fourier, dans la 47" les séries périodiques et des intégrales dúes 1 V 1—2pa-a I à l'irrationnelle EU SECTEON. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA THÉORIZ. THÉORÈME FONDAMENTAL. R ctant un nombre positif, 10 si Í(t) est une fonction qui demeure finie, pour toutes les valeurs de t, depuis t— a jusquà tzzb, on d Ò ets qura : fi 10) er EI —Q , pour ho. 77 2: Si la fonction f() devient infinie ou indéterminée, pour une valeur t— a, non située en-dehors Re Vintervalle des limites a et b, ( 204 ) on aura encore. (1) ji fi) CEM Q, pour e— 0, pi pourvy que la condition (2). da:fía-E da) — 0, soit remplie, Démonstration. Il y a plusieurs cas à distinguer, savoir : 1: La fonction ft) reste finie et continue entre a et Ò, 2: Elle devient une ou plusieurs fois discontinue entre a el 6, 5" Elle devient infinie à la limite inférieure t-—a, 4: Elle devient infinie à la limite supérieure t—Ò , 5" Elle devient infinie pour t— 4, a élant compris entre a et 6. Es Cas. On a, par la form. (15) du 4" liv. : Ò fo e Et V—ig da East J- f(a 4. da) e—El(ad-da)V —1 a LL... bla n—1 doc at a—i de) : qe Maliastetietdajeii a al d ... L fa n—1 doc a—dal/—i 1 Comme la fonction f(t) est continue par hypothèse, depuis (—a jusqu'à tb, aueune des expressions f(a), Í(a 1- da), ...f(a-l- n—1 da), ne deviendra infinie ou indéterminée dans cet intervalle , de plus, comme on a, à cause de £ positií, —haV 1 ea 10, pour mo , il vient, pour cette valeur de A : b fo RV gu, a Que GAS. Supposons que la fonetion f(t) devienne indéterminée pour lesa, aSaxlb, dans ce cas, l'équation : pre ft) , représente une courbe composée" de deux ares de courbes diverses, (205 ) le 1" de ces ares aura pour ordonnée finale f(a), et le 2: pour ordonnée initiale f(a). Si done ces ares appartiennent à des courbes différentes, caractérisées par les équations yS et) , VS x(0) , l'on voit que l'expression f(a) , a la valeur double e(a) , et x(a), et par conséquent f(a) est indéterminée. Mais comme , par hypothèse , ft) ne devient indéterminée que pour t——a, il est clair que la fonetion e(t), sera continue depuis tea, jusquà (— a — da, et que la fonction a(t) le sera à partir de t—a--da, jusquà t— ò. Mais on a: b a—da Pd (De Et —r — "ft (De TE —lqe di fu (() er —i qe, a pea a—da em sa ofi o(De EU —1q an f dE ip a al-da Mais comme chacune des intégrales du 21 membre se trouve dans la condition exigée par le 1" cas, leurs valeurs seront nulles , et l'on aura : b f de do, pour fo. a UA: Si l'on suppose que la fonetion í(t) devient infínie pour (—- a, alors, à cause de f(a)z— 00 , l'expression Ò di edr a — dal fa) 4 Ri dde Sa La dni diria —iy, devient en général indéterminée , ou de la forme , b f toc al —Igm OXoo Cependant, si pour la mème valeur de a, le produit da f(ad-da), dans lequel il faudra remplacer da par zéro, après le développe- ment, se réduit à zéro, on aura : (206 ) Ò — f toc ta -o0x020. Remarque. Cette conelusion subsiste encore si la limite infé- ed a est zéro. Car alors on a : f (DR qe — da (EO) Le Ed) LL. nt da)e i" e—DEdal/ 13, — daf(0) LLET PE dada)". ... da fUn—i da) ee DEdal—1, Comme f(0)— oo, par hypothèse, il suit que l'expression da X Í(0), ou dafída), en remplaçant dans son dercloppement da par zéro , se présente, en général, sous la forme 0X 00 —— 3, par con- séquent le 2: membre de la formule précédente est indéterminé. Cependant cette indétermination cesserait dans le cas ou, après avoir remplacé, le développement après da par zéro, le produit daf(da) s'èvanouirait. En effet, daf(0)—:0, et de plus, le facteur Le EV —iqde sera nul, à cause de e soles 1—0, pour hes o. Il est manifeste que la mème conclusion subsistera encore pour —RV —1y da hi b— oo , en effet, alors le facteur de fe 1 , dans la for- mule précédente , se composera d'une infinité de termes dont aucun ne devient infini. Supposons que f(b)— oo , dans ce cas , comme on a : ad-ndasxb, ah n—l da-b— da, on pourra écrire : b (4) J (De Et —la— e—Ea Vidal fa) 4 Ra-b der tia — ae el — dd) EN), Par conséquent si le produit dans lequel on remplace de par zéro après le développement, est fui-mème zéro , on aura : L 84 : I) cria ss (). (207) Cette conclusion subsiste pour b— oo , car alors le facteur de mg V/ —i , RP SEPE e tal —1 qu 9 membre de (a), se campose d'une infinité de termes dont auceun n'est infini. me QS, Si f(6) devient infini pour t—a, valeur comprise entre a et D, on pourra écrire : ò a ò (8 dd (et —i gi — f fei de f (DE ig, 74 Mais, en vertu du 47 cas, l'expression dd (63) cent —I gp est a nulle, si la condition da fla— da) — 0, est remplie, et en vertu ò du 81€ cas, l'autre intégrale 4 (De "Et —Iqe sera nulle, pourvu Z que la condition daf(a--da) —0 , soit satisfaite. On aura donc . dans le cas actuel : b BE dei — —O, G si l'on a, en mème temps : daf (a -- da) — 0, daf (a — da) — 0. Cette formule serait encore vraie dans le cas oú l'on aurait a-x0, b— oo, car, à cause des remarques faites dans le 5" et le 4 cas, les deux termes du 2 membre de (6), se réduiront l'un et l'autre à zéro ,ç done : qo P (del — o. — 8) 0 Remarque. Si l'on supposait a——oo , bo, il viendrait en- o core f toc dec, pour fs— co, pourvu que l'on ait, en mème temps , daf (a H- da) — (), ( 208 ) En effet, si dans la formule de Cauehy fadar— As Am y le 9 — de-gledede LeV —1)3, el) oo, pour tmcdreV —I, on fait e(O (0 CRV oo, d'oà ins o, ta, il Vient : o—dafla-- da), A — LV —I -dat(a-- da). Donc, pour daf(a -- da) — 0, ona A 50, et par suite fret PA jans 4) PROBLEME FONDAMENTAL. Chercher la valeur de l'intégrale c FE) av —1 a £ pour E— oo , 0 on suppose que F(t) conserve une valeur umique el fínie, pour toutes les valeurs de t, depuis t— 0, jusquià te. c Sotution, Si dans la form. fe (dt — €, pour hos, 0 EF — F(0) t c (5) JE ad DR 0, pour Emoo. 0 Cependant il convient de prévenir ici une objection. On a, en effet : on fait 6, (ss $ on aura : c ue sn 0 F(d)— F(0) de i — des, pour im o. —hdeV —1 L ete. 7 (9209 ) D'après cela, l'intégrale dont nous cherchons la valeur, serait indéterminée. Néanmoins, il n'en est pas ainsi. En effet , la vraie valeur de Ona A ui devient 2 tzaÚ, est une quan- a , qui devient Ç, pour i q tité finie, y compris zéro, ou une quantité infinie. Dans le 1" cas, on a évidemment de-2—0, et dans le 23, on aurait encore de-g-—0, si, d'après la remarque du 3: cas du théorème fonda- mental, l'expression de-f(a -- de) — def (de) était nul pour de — 0. Or, on a: Ri Fíd) — F(0) f(de) — Tm 5 done, de fíde) ss F(de) — F(0) — F(0) — F(0) 0, l'on voit donc que la relation (5) subsiste effectivement. Cela posé, de la relation (5), on tire, en transposant : afe apart —i SA R0) fE. 6) 0 Posons, dans le 2t membre de 6 ), Etssz, alors les limites c he tl , deviennent efi Ou, pour £sxoo, elles deviennent els 0 0 on a donc, pour cette valeur de A : c cò Sa Vs —V—i des: dero / ds hm. (7) z , 0 0 1. Corollaire. De da era (7) on tire : tos La AR fu cos trama), fe Ei ia aut "sin ade Donc, en hiidillea la dernière dd V —1, on trouve, en ajoutant : c poses dl per he dl d'ara (—e, Pe t Z 0 0 TOME 7. 57) PART. 91 ( 210 ) 4 — 2. Corollaire. En differentiant l'expression / a cit —lqg 0 par rapport à A, on a: dE a (VI EV —igp, d'oú : ceatV —I E E me Mil 4 VT A dd ca TA, 0 0 Donc, en multipliant par F(Ddt, et en intégrant entre 0 et C, il vient : t co tv I 4 t sab Fe ea cay —atV/ i F À i a 0 R c ct prrer fi du (Fe tt di. 0 1t) On a donc, pour £-- co, en ayant égard à (8) : ay CA girs MESA 9 fETnduepes / du (Feta. (8) a Que 0 Si dans celle-ci on change F(t) en e(z-l-t), on aura : o LosV Li da AT LS es va i VA f du ea dE ie, (10) 0 0 Z 0 53. Corollaire. Si dans la form. (7) on change, tour à tour, F(t) en e(a--t) et gíe—t), on aura, à sa place, les suivantes : LJ o i , SET Met fes i que ue 40) /: os z 0 0 (7) La Pe) — RA — Vi fi CN Tgrege— /£ 2 des tel ' z 0 0 On trouvera de mème, à la place de la form. (8), les deux for- mules que voici : . (24) feia. di iq era fes. tg, ee EE Age 0 1. Remarque. En admettant que la Bi e(2) soit continue, au point t—x, on aura : ee --dx) — (a — da), ou ee FO) (ex —O0). Mais si eí2) est discontinue, on n'aura plus e(x - dx) Se(z — d2), pour de: 0, puisque les deux membres de cette équation désigneni des ordonnées de courbes différentes, dans ce cas les expressions e(x--0(2 "- 0) et ela—0) ne seront point identiques. 2. Remarque. Nous allons déduire du théorème et du problème fondamental , les conséquences immédiates sous forme de pro- blèmes particuliers. 47 PROBLÈNME. Chercher la valeur des intégrales b b J f(t6 sin Eldt, ft) cos Atdt, dans D'hypothèse de R zoo. Solution. En développant ge Et/—I fondamental devient : ò b b LE oemS ide vs f(8 cos ide —V I É (8) sin Edr— 0 J : pour f—oo, et f(1) continu entre a et Bb. Qu a done, dans les mèmes typobses de H et de i, les formules : , la formule du théorème (41) i f(costdi— 0, fi 0 sin Edo. — (19) Si Í(t) devenait infini pour (— a, valeur comprise entre a et b, les form. (11) et (12) subsisteraient encore, pouryu que la con— dition daf(e -£ da) 0, soit remplie , en fesant, comme toujours, da— 0, après le développement, (212) QR PROBLÈNE. Chercher la valeur des intégrales c La F() .. FG) Ed — sin Rat, J Pera COS Rtdt, pour R— o . Fi ú Solution. Si FO. a une valeur finie et unique dans l'inter- valle de 1— 0, à t—c, on a, par la form. (7): La co ia —y —I di: pt at de des E—o . z 0 0 On a done aussi, sous les mèmes conditions : c dd Li cos Atdt eis FO, sin Atdt — 0 Le 0) o, F(0 Cos zdz my sin zdz 0 (EE yi (PEL. 0 0 On: tire de eelle-ci : fre di: cos Atdt —— F(0) i red , (15) 0 z "sinadz - Çd El sin Ad — FO / (14) 0 0 Le 6) qQ A cos zdz sin zdz Mais on a di — QO qz En 3 L 9 z Ll 0 C il vient donc : Jo cost en OO , RemeO, (15) hp EO ip Ed es F(0). i (16) 0 ( 215) Corollaire. En développant les exponentielles de la form. (10) le 6) RDL dl À dl Es dz — ti (i Vi f da fa 4 de quines) P 0 0 0 on trouve : (a) fe a A, sin za pe va fif: (2-0) cos utdt — ff e(x -- €) sin uldí. Par À comparaison des termes Ral et des coèfficients de V —1 , cette relation se partage en deux : Le) o c cos zdz : — — f du f. ee -t) sin utdt, 17 elx fe: si Es ff du la cos uídí. (18) De cette dernière, à cause de /: case — - 5 ON. tre : SA f l — —/fd tdt. 19 ela) — fs g(x 4) cos u (19) SR" PROBLÈME. Chercher la valeur des intégrales c c sin À( cos El / (ed, A (ed, : pour Eco go Solution. Cherehons la valeur de la 1'" de ces intégrales, à cet effet nous distinguerons plusieurs cas, savoir : CET, CET, CaMT, CSM" er, rar, m entier et posití. (214) der Cas. lar. Si dans la form. (16) c F() . fPsintdim FQ, tmo, 1 ds 5 dans laquelle F(6) doit avoir une valeur finies unique de (— 0 à ts—C, On pose : 3 F() ss — (1 0 it l celte substitution sera permise, si entre les mèmes limites de , la nouvelle fonction Í(0 conserve une valeur fnie unique, car 4 À : alors, à cause de c X x, le facteur ça restera également fini, et sin n'aura qu'une seule valeur entre ces mémes limites , on aura done : c í sin A( L: Je f(t) ae g FO). . da da Ma S L — — —— GE . d is on a : Fída) por i (de) da fída) — f(da), done F(0) -— Í(0), par suite : ce sin At L3 f — —Í(0). 20 fot s'O 20 Que QAS. CES r. On a ici: - T 9 TR sin At sin Àé sin Al I ee lOdt — J Ll Ode-t, fi 2 l'esons dans la dernière intégrale à droite (ssr— (l', il viendra : TT T ar z È 3:. sim Al sin Al sin J sin € (ade. /. sin £ (QH 1/ sin 0 0 0 Or, puisqu'on a ici cir Lr, On pourra appliquer, aux deux intégrales du 2: membre, la formule (20), ce qui nous donnera : Ld Ld - (ae — UdL. : sin Et EN L3 —— — Qu da I Lot LO LE), PE. — El) ( 215) 50 CAS. Ce mMz. On a d'abord : mMR Li 2r sin Al sin At sin At Ju9 a de f 0 — 4 fre a di de ul 4 mx : : sin Al xa (8) as dt. (a) (m—i)re Mais si dans la dernière intégrale à droite, on pose pit DI mx alors à la place des limites i , ON aura (— al par suite : m—l)r o Sa, LI sin 4 lím—jad-l4,, fot di fit aci ci Or, en ducció È impair, le 2 membre de la formule pré- cèdente 0 rèduit, et l'on ae $ fot de fit —jr-E) sin Al P3 Ld (re Da Sin € —g ll— Da LS flma), à cause de (21). Fesons , dans cette dernière , m suecessivement égal à 8, m, on en déduit : a Sin El J tora SO tst0. fu (a qe EA) 4-3 120), sin € etc CIC. fmtott — Sm—Da-bS fma) (m—i)a En substituant ces valeurs dans la form. (a), il vient : fia dE a— 014109 LL), eo. 08 0 ( 216) he Cas. cm mar, rLr. On a d'abord mar ma der A (0) — gin El de — ft ()— di ds dl i fo" f(Ò an q (a) at si, dans la de intégrale à d'Es on pose fm mm--t, mer T les limites dei , se changeront en f — i , et il viendra : MR 0 mar i at a— — fita (mat) EE at — — me) En substituant eu valeur, ainsi que celle donnée par (22), à la place des deux intégrales du 2Í membre de (a), on aura : mal in £ / (0 - : di— (110) da)-EA22) 4... An), Es. (3) / Corollaire. Si m est infini, on a : di (8 Da — 404. 12) 4-182) Lete. 1, ho. (24) 0 go Cherchons la valeur de la 272 des deux intégrales demandées. A cet effet, il y aura encore 4 cas à examiner, savoir : RS) cm, cm (ma, cm dr Fr. 1" Ç Bé AS. RX 7 Si f(t) conserve une valeur finie et unique depuis (— a, jus- qu'à t—-b, on aura, d'après la form. (11), b J tt) cos dies 0, hesoo. e(0 Fesons ici gos Í() restera fini, et aura constamment une valeur unique , pourvu que la fonction e(t) jouisse de ees mèmes propriétés, et que l'on ait, en outre , (217) ve Z Donc, pour a— 0, UE go on a: c cos Àl t — — . Joe 0, Beca ou, en remettant f à la place de ç, c fo amo, hemoo. (25) Q T 7 Xa CAS. C — 9 Li 3 Si dans l'expression o dl, on fait (— 3—h On aura, T 3. 0 à la place des limites tel , les suivantes dl , soit de plus A de Ò ja la forme 4n --1 , il vient : Hi a-1)g Ets P , done: 0 2 va COS Àl sin El As sin El) Ma et di — fia cos € er sin ds hg sin TE i — Donc, à cause de la formule (20), qui est applicable à la der- nière intégrale à droite, il vient : 2 ./ cos Èt DR A La tà i) dE 3). (26) Se CAS. ce (mi 3)n On a d'abord : (ml-3)r P3)r fu cos Al Me, Ares era 4 fig Ec i (a) 3 TOME 7. 57) PART. 98 ( 218) mx (mdr3)t Fesons t—s hi on aura t—l 9 à la place de t— 3 0 cerA 2 cos és — sin l', et en posant de plus A 4n--1, on aura : cosit z— eos (An-- 1 €-H- 3) —— sin Al, par conséquent (a) Gerent: (mlb-3)x cos El cos hé A LA / (EE de fi () Cemade d. fus (3 Hdt per à cause des A (26), (22), ona : (ml3)r i (o um 13) 6 dE: Elter Be ce. (87) he Cas. ce (m-3) Pr, La. On a ici: Qotòries 1 iaia a (mis all fos cos £ pde— ft0 cia s (a) Po Ri Ge Ll El cl on a: , (mb i)z hr li, à la place de tl í 0 (m--3)r cos hé — (—I)s sin El, iibmstd d. Par là, (a) devient : (m3)aer (mir A fia cant dr 105, Cos 4 de ds tim Lee di. dei à cause he form. (20) et um, (mar No i lg)t é P eeend cir heco. (28) Corollaire. Si m— oo , cette dernière devient : Cos Ré Ds Sr RAL AS fo DE de EA) ACE) ee à l'intini ), EE, (20) ( 2885 As PROBLÈNE. c élant plus pelil que m, chercher la valeur des intégrales La sin At Í(t dt ç fi (0 Cos £ pour Es. Solution. 12 Si e(t) conserve une valeur finie et unique, tandis que £ prend successivement toutes les valeurs de £ — 0 à t—c, on a c feia, pour Esmoo, d'ou l'on tire aussi : fel ecos hidi 0, pour ho. L) (0) Soit e()— ——, done tant quon aura (Qr, (D0, la fone- sin í tion e() ne deviendra ni infinie ni indéterminée pour aucune des valeurs de £ eomprises entre 0 et c, pourvu que Í(L) conserve aussi entre ces limites constamment une valeur finie et unique, on aura par dos me fiotila—, dot Eei 650) sin £ 92 On a aussi, pour le cas oú (2) est continu entre Q el c, fegdsin Etdt-- 0, pour o. 0 : Í È Soit d'iEngreme. tant quon aura (437, la fonction e(6) res- co tera finie et continue, pouryu que Í(() reste fini et continu de Ll 4 T zéro dg: on a donc b Ei fo ds ds 0, pour ds CI Em on. (50) SE Presque toutes les formules de cette section sont dues à Lejeune- Dirichlet. ( Voyez Journal de GE, vol, 4, p. 157), ( 220 ) Applications des Formules de la 1' Section. 1" ExEMPLE. Chercher la valeur des expressions L3 cos le d—re vg cos edx , 0 cosx. —1—2r cos abr" Lu 3 ep ea (gasin edr, sina —1—2r cos xd 5 : pour Ximo. Solution. 1" On a , par la form. (21), TT sin ha T T ac d- — fr), fia sinx xi (0) g 0) (—er) tg sin a I— 2r cos ar " Or, en posant f(e)— Í(8)— 0, donc T CL Deia Mr EE ttdea Re Ra 0 il vient (0) — 0, sinx —1—2r cos ber 2. On a, par la form. (28) : mer f ie eren 0 (Am 1t 1 BE: dem i (3) EE), ne. smx Donc, pour m-—0, resi", ilvient: cos Ex i fes Ei pa de ena). d—r 1 —2r eos a. re Or, pour f(x) — cal cos £, On a ge 05 d'oú : 30 cos ix : d1—re xd sa Es 04) Jam i—Dr cos a bra CS RE em le PR ji (221) Que EXEMPLE. Chercher les valeurs des expressions o op, cos hx. 2a cot x dnte. ga . ina 'arl-4 da sing ar La" Bea, s x ara 0 0 t pour Es. Solution. 12 La form. (29) donne : Le 9) cos Ex Ll Or, 4 te ee dre IR EA) P ele. 13 t LL Sr donc, pour real on a Mg)sil a) etc. 0, puisque cot (3) — 004 E) — ele, — (), donc co (305) JE : 2r cot x ha del g Q x eosx. — a - 427 2' On a par la form. (24): o sint fi EE ar— 410) -L10) 4 129 - ee, 1. 0 tg 2 sin x D fi Fo Sal . . : onc, pour Í(z) Da 7 i vient : OI fQr) — ete. E 0, donc: co 30 site. gr : da. ( IE dE SO, SS EXEMPLE. Chercher la valeur de P intégrale 0) ( sinhx Agtgx 4 sing. Pera res i 0 pour he oo. 2r tg Solution. En posant f(x) — SL. PARES ra: p (2) Gea ha on trouye : ( 222) (0) tr) (2r) —ete. —— 0, done, à cause de (24) 50" sin Ex o 2etga cm an L sing — al. 4g2 dre 9. en: SECTHON. SÈRIES PÉRIODIQUES DE FOURIER ET DE LAGRANGE, Ces sèries donnent les développements d'une fonetion arbitraire en suites convergentes procédant suivant les sinus et les cosinus des ares multiples, les coéfficients de ces suites étant donnés par des intégrales définies, LENME, Je dis que l'on a: EAC AT ep AA A ves —ét sin An 41) LL cos On 1) ——. l S rel s 1 (51) z fP—t 8 EL 2 —t sin 9 sn 9 Démonstration. On a: Li e—dV —i etc. 4. a(e—)V —1 — 3 HT cos(e— 0) H- cos De —0)-- ... U. cos n(e— 0) T- V —1 (sin (2—t) 1-sin2(e— 6)... Ti de $ de si Pl 9 si o—t mt sn — sn — 9 2 Soit — p-qE (nt) (a —t), p—qEn(e—d), d'oà nes —t p—arH) És À gies £ aci QD BUP : sin re) 9 sin (1) — A PE Cos LL f cos (2n--1) — a i rere i. done, etc. 18 PROBLÈME. Chercher la somme finie de chacune des suites infinies L fada et—AV —ifgqe-- fet od ete. (52) 0 0 0 T TT L/3 1 f f(Odi-- 38 (FD —igdt-- / et rAV—igga-ete. (53) Solution. Multiplions les deux membres de (51) par fíòdt , on trouve, en intégrant : TT 3 ft (e—V —ig n(e—)V/ —if qe — LES Ad ... Ti (Cd : feu cot 0 Ds my, (— 2u-l-x, on aura gue h 6) Soient An h, : i(m—a) : L3 yz i , à la place de tl , et par suite (54) devient : —yi 0 H Jet h J dE — qu -L .. / AE —) de — bel Dl ça de a E i pd: Qu L a) du — Las tip dE. s(r—2) hi cot uef (Qu x)dej. (294) Or en supposant 2 infini, et par suite Ezzoo , le 1" membre de cette égalité sera une suite infinie, qui aura pour somme la valeur du 21 membre correspondant à £— oo. Déterminons cette valeur. A cet effet, fesons, pour abréger , —Il (e—t)v Li, as Ps : ) Bhegue d ((Ode -- etc., à l'infini , (55) on pourra écrire : 0 ae) a. sin hu sin 0 Eu È aa et ade h, (Qu--a)du -L ie 0 i(a—2) Ver) I Cos Eu COS EU , a hi greeryj) (Du H- x)du le (Qu X)du és 3(t—a) f cort 2u-- ad). — (56) a nn Fesons, dans la 1' intégrale à droite, use—t, dans la 2" u—t, dans la 570 u——t, dans la 472 et la SR ut, on aura, à - place de (56), Ò sn—a) —. fit mà 9a Je ((91-L. 2)dt -— in—2) ei Es VE —((e— 204 Vg Cos Hg ((O4-l- a)de — 3(R—2) f corral. (87) —32 Mais en supposant 0 Lr£Lr, par suite PL LT, sn—a) Le, on aura, en vertu des form. (20) et (50), 4 a(n—a) (e—O) et 0) Va coi s—l : I VR f ade 58) Or, si la fonction f(x) est continue pour toutes le valeurs de e, de as 0, à xssT, on aura : fa 0 fe — 0 fG), ( 228) par TO (58) devient : fia ea f: 2 fi de f e—D0/ ide He etc. à l'infini. im—a) — i) 4 VII y ú cota. — (D En opérant d'une manière tout-à-fait semblable on trouvera : i / (oa. f EB —Ip di L f AD —gdi-e ete. à Vint, 0 0 0 32) sa VE da) df cot (a — ad. — (ID En En admettant que la fonetion f(x) soit nulle pour des valeurs négatives de x, on déduirait cette dernière formule imméèdiatement de la 1", en remplacant dans celle-cei z par —2. Remarque. Pour que les formules (I) et (II) subsistent, il faut que l'on ait O4.x Lr. Si l'on avait x——0, les 1" membres de ces deux formules se- raient égaux, n conséquent en ajoutant , on obtient : fia i "gua. f' ger -- etc. à l'infini — LO VI fruó cot (Ad). — (39) Si l'on avait 2 x, les premiers deabres des formules (1) et (HH), seraient encore ègaux, par conséquent, en ajoutant on obtient : TT fia de — gana fe 2 —if(gdi— etc. à l'infini 0 EL sa i í fe anar —ade CoU(DÍ0—)-fe— 2044). 0 (40) Corollaire 1. Développons les exponentielles des 11" membres de (I) et (ID, on a: TOME 7. 57 PART. 99 (296 ) (DD 3 ficar. fos (t—2) f(O dt er j cos 2(t—x) ((t)dt -- etc. 0 0 0 T T AV É fsinti—a tòdid fsinar—at dd etc.) 0 0 ta—e) a a) PV —A / cot (0 f91--a)d:. 1 —yt T T NT MI) 1 fitodi yi A cos (1-2) f(Dde-- f cos 242) 0417 etc. 0 0 VA Ta sin (La) ()de / sin 2-2) Odt 4. etc. 4 0 dr) MVGEl fi ot (t) Í(Qt— x)dt. Cela posé, on tire des form. (V') et (IV) respectivement : () 1 fina di f cos (ta) (dd -L f'eos dt—a f(0de 0 0 0 L etc. à l'infini—" fa), 0Lríír. (42) fin (t—2) Í(Dde — / sin 2 ((—2) f(0dt -- etc. à l'infini — 0 Un—a) fes BEL ads La. ct, ——yt (45). L'/ftode-. feos(td-a)tidde- cos An) Xodi-rete, —0, fon fera (44) feu (toda. f sin 22) 0 di-- etc. — 0 0 1r) / cot (9 ((— ade. za (227 ) Corollaire 2. En mettant les équations (41) et (45) sous les formes : 3 TT T ret /iQdi- cosa cos € f(Ò di-- f cos 2x cos 26 (1) di H- etc. 0 0 Q Le fsinesin df(0di-- f sin Ja sin 21 f(Dde-- ete., 0 0 O—li f f((0de-- cos cost figd 4- / cos 2 cos 2t (dt — etc. 0 0 0 d'A fsinzsin eiddr— (sin 2asin 2ef()di— ete.: 0 0 On en tire, par addition et soustraction : rfa)s fitode L2 fcositíodiqeosz "- ú Q (2 f cos 2tt(ode Jcos2x H ete., ORAL", (45) 0 rf(e)ss 8 fine Oda 48 fi 2t f(Odt j sin 22 — etc. Oarír. (46) La 1. de ces deux formules subsiste encore pour 2— 0, x Fr. Soit DS abréger : T T 1 2 1 fi A, — f costíddi—A,, i cos 21f(dt— A, , etc. 0 e Xu T al. 2 : 3 f sinitòdel8,, È f sinatgd—B., elc. 0 0 sinntí(Odi — B, . 0 (288) On peut éerire aussi : (2) lA, - A, cos x —- A, cos 2x —- etc. ga Sr st SE) fa) — B, sinx -- B. sin 2x etc. Oír, (48) qui donnent le développement de la fonetion arbitraire f(x) en sèries procèdant suivant les cosinus et les sinus des multiples de x, x étant compris entre 0 et 7. En traitant de la mème manière les équations (42) et (44), on trouve d'abord en développant : a(t—a) R R hi Cot (1) (26 a) di — -fsinti(gdrcosa-- cos tl (Ad eos 2a etc. —yt 0 0 — f cost í(Odtsin a — f cos 21Í(0) dt sin Da —ete, ) 0 Ma) Es R hi cot (DA 2t— 2)dt— f sin tÍ(t)dte cos x -- f sin 201(0d€: cos 22 H- ete, ia 0 0 4. fcos tí(Bdtesin a 4 f cos 2110) dt: sin 2a HT etc. 0 0 puis on obtient, par addition et soustraction : 3(t—2) 3 (m2) (49) eot(t) (26--x)de —- f cottí(at—x)dte cos x ss 2 f sin t Í(Odt- cos x —- 2 fsin 24 (dte cos 22 —- ele. 0 0 aa) mea) B0 feo (0 1(01— a)dt — fer (0) (O4- a)dt — ia —e 9 fcostfbdi-sina -- 9 fos Dr Ídeesin 2r - ete. 0 0 Ces formules subsistent pour O4z £7, la 1'" a encore lieu pour m0, tr, ( 229) Que PROBLÈME. c désignant un mombre positif quelconque, trouver la somme de chacune des séries infinies ce ce c 1 fina def gar 4. di ealt—a) VV —ifnde-i- ete., 0 0 0 l fitos 4 / FD —i ig di-L / DV —n)di 1 etc. 0 0 0 Solution. Les form. (D) et (II) supposent la condition 0422 í 7, lia Tal il est done permis d'y changer za en — , puisque la relation c Tl L : Re : 0x ae LT subsistera alors également , ainsi que la suivante , qui s'en déduit, O La'Le. Si done, dans les formules eitées , : Te mt 3 nous remplacons 2 et t respectivement par ai tera et qu'à la C place de Í( — ), Í( D), nous mettions simplement f(x), f(t), ces mèmes formules deviennent : —(e—s) MD (94V TT. Ll Hiartaca( Ds vels db ef ta dc va : j —(t—av I —í a (t—o)V—i 5a es f(6di mul f(0 dt 4— etc. A a dl dE eta) (IV) V—1. al fi f(2t—a) co( La l-g — fia fi)de 4. ta 1 E(etev—i / etav Ei fust f(Ode -- i Joc (de H- etc. 0 0 0. íc. (930 ) Observons que, pour x— 0, les premiers membres de ees for- mules sont égaux, par conséquent, en les ajoutant, on aura, pour cette valeur de x : SO) LV —1. —l i fm —)de es fi0 de 4. , 1 —, — fer o dt". etè. Ce 0 Pour asse, les premiers membres des formules (HI) et (IV) sont encore égaux , si donc on ajoute ces formules, on obtiendra , pour cette valeur de x : T — 2 (o LV —1. i VE co die t 0 c c j ) eren te—29i) —3. fica— de Je i Raul 0 ee i co fi e ((0di — e(c, Corollaire 1. En développant les donicalts dans les form. (HD) et (IV) ona : —le—) (8 -V —I si fi (21a)eo(E) les ha ft RC va od de VA - fac Aigdr-.ete.h 0 cf o rem —(eta) V—I. ali / cot ( EE) targes, L/ (0) de H- t . De a gai etc, -V i di a ED egartee : 0 0 ( 251) d'oú l'on tire, parla eomparaison des termes réels et des eoèlfi- cients de V —i , les quatre formules : c ec fa) — fi (dd — cos gde-— Boya 0 0 cel Il. OZrxe (b1) de c fei Era A fan Ç 1044, qe Diegar TL 0 Te 1 ete., (82) et firal fe Agua L fuè dufrsh ((Odt etc., (55 Ei ri c., (85) fe cot (ES) la1—a)di fi sis Li Bel DV EE fi Ni ES ip lOde era etc. (54) Corollaire 2. Les formules (51), (55) donnent, par addition et soustraction : c c c 1 2 2 Í (es — Hiodes Es fes Mel) cos 2(Í(0d4 j cos 2a ho 0l6., 1032 20. (85) La c Quer, : (a) É sin (Í(O dt Jsin x - Es sin 2:Í(Dde fsin 2z H- ete., 0 0 cop 0. (86) Fesons, pour abréger : c c / 9 9 p/ lOdreiA., pe cos tÍ(Odi— A, , ele. — cos nt Í()di mA, , c 0 0 c c 2. 2 sin t(Od—B,, qJ sin 20((Od—B,, ele. — sin at fOdt—B, 0 0 0 Ges dernières formules s'exprimeront très-simplement de cette manière : (2) — 3 A, À, cos 2 - A, cos 2a -- ete., cX 220, (87) (2) — B, sin x —- B. sin 2x - etc.. co 220. (58) (252) En traitant de la mème manière les formules (592), (54), on obtient : eta) Lle—a) ml T (59) f cot (—) Í(21—a) de - A cot (Ed — gan Re ge 2e L2/sin ti(ode) eosx -- f 9 fsin Dt Í(GdE) cos 2x - etc. co xD 0, 0 -— —led-a) —l(e—) A R al (60) 4 eot ( - t—o) dt — / cot ( — aa de — pe Lslmoiad 2e 2 P2 fot (Odijsina--E2 deos Dr (DA sin 2a "P ele. — eo aX 0. 592 PROBLÈNE. Chercher la somme de chacune des sèries infinites i fica f dl —ipdes- / et—) —Ifede L ete., 1 ficode Ri / DV —1igde f EA gar etc. Solution. On a, par la form. (51), Eq el A i Ale gla, (— il sin (an 1) LT cos (Qn--1) Ge : sV pel GF) — sat 9 e t—x 13 pi i (eL J dt PA ènal. 4 En multipliant celle-ci par f(Odt, et en intégrant entre les limites —2, r il vient : (283) 3 fitod - / et) —If)de 4 f et—aV —Ipgdi 4 ee dE 3 SN (—x TA sin (2n 5 / la dl ———)de 4. pshl SA 2 sin el 3, cos (9-1 De l i VI fu ( I (t)de si d Mara qu tint gp ri Si n est infini, le 1" membre de cette on se ehange en une série d'une infinité de termes, qui, dans le cas de conver: gence, aura une somme, et cette somme sera là valeur qu'ob- tiendra le 2: membre dans l'hypothèse de 1, ou de 2n--I infini: Cherchons cette valeur. Pour cela mettons la formule précédente sous cette forme : fica d / (A — Id. /: a t—a/ —igg-. ... das (t—V—i Rda ah fe f(ddt— i fe edit: sin —g— tí—x x 3 sin En) 3 Qi f dE dats —I lb f cu ESE 0 2 j— ft jeosant) LE 7, Cos nt —- fi a at Y Lara (dd sin— 0 2 0 sin —— 2 zV(Udi-- Fesons An--1-h, ensuite 1. it—a)du ou t— Que, : ie—a) alors les limites t— Í, deviennent u—i , et les limites 0 —le TOME 1. 37) PART. 30 (254) r —i(e—a) tl , se ehangent en u-— é —R — (ee) Fesons 2. 1(tH-2)smu ou ts Qu—ax, on obtiendra, à la place T a(rd2) des limites tal , les suivantes : ul 0 Esi Cela posé, la formule précédente devient : i fiar. fetrav gar. 4 fel —igu— ria) 3(1—2) sin Au sin Eu DE pe f(x — 2u)du -- fi seqpe (Qu x)du - És —je i(r—a) a(ne) vi fe (dau oa i P es — Í(e—2u)du — —i ea) 32 3(t—a) 3. cos Eu sin fu Ji f(2u u-bajdu h, -f Ri es 2) - sin 4 —ia 0 s(ed-a) qe fu hu fe—20)du a fl Eu ((e—au)du -- 0 3(t—a) i(m—a) fu Ba Era adgidiy cat ij fe (u) Qu. e)du — 0 —i(a-f2) 3 sa) eosfu ,, cos fu "i ip (e—2u)du i f TP fe — 2u)du -- o Ed 3(8—a) f ie en f(x — 24) du — Cos ara —f2u-tajde f, 0 in-d-a) s(n—a) a fi sin RE f(e—20 de -- dèdal f(Qt-- a)dt d- sint 0 0 é i(e—a) ira) fe cot (8) f(24--a)de À Gea —f(r—2)dt — —ia-2) i(t—a) Cos El fu Ep (2t d- ajde 0 Mais si 2 est compris entre z et —z, la valeur absolue de x sera plus petite quez, et l'on aura aussi jxí7, jr-l-2)í.r, i(r— a) LT, done, pour n infini, et par suite, pour 4 ez 00, on aura, en ayant égard aux form. (20) et (50) : i figa fet —iga-. f ei 0a: etc. — He—a) 3 (a—0) dE eL VII f cot (6) f(21--a)de 1. — ea) Si la fonetion arbitraire f(x) reste finie et conserve une valeur unique pendant que x parcourt l'intervalle —z,7, on a : f(e— 0) — f(e TO) — f(r), et dans cette hypothèse la formule précédente devient : 3(t—2) (V) za) LV —II feoi (DM ade) — —s(a--2) i fiod-. feta f A (ade i ete, En changeant ici x en —x, El encore : Mr) (VI Tt—a VII fos (dI(er—a)dr) — —r—) 3 filades / EA gar fe A 9de etc ( 256) Corollaire 1. L'équation (V) se décompose en deux autres , savoir : 3 rÍ(ejst fi (0) de-— f cos —altigat cos A(t—-)f(Idi--etc., Del —aerar. (6l ) 3(m—a) ui T , fi cot (DOL a)dts f sin (t—2)IOdE -- fen A(t—x) 0 di 1- etc. —a) — Tl —T LI CT. (62) L'équation (VI) donne pareillement : mÍ(—a)Ss fi (Bat RF meta - fosariana etc., — — aa der. (65) ira) T Li feora f(at—aldt — f sin (tx) f(0di4- f sin 9(t-- x)f() dr -- etc., —iR—2) —a —s —nerar, (64) Corollaire 2. En ajoutant et en retranchant les form. (61), (65), on obtient sans peine : di (2) L 3 —lA, A. 0082 HA, 008 2a "P etc. OO — ner ar, die - fia cosntdts. — (63) fe) — f(—a) 2 — B, sin x F B. sin 2x b etc. —n aa ír J$S L fio sinntdt. — (66) Corollaire 5. En ajoutant les form. (65) et (66), on obtient : (67). — f(x) 3 A, -- A, cosa -- A. cos 22 4. etc. -- B. sin 2 H- B. sin 22 H- etc. —r4rír, 1 Lf ve de /flOcosntat, Be — fit) sin ntd. Pour x — ET , la somme de cette série est (n) — i ( 257) 4 PROBLÈME, Trouver la somme de chacune des sèries infinies c c c TT — 2r — 1 1 —m(t—alV —1 I eta — ze fOdi Ll pi / c f (Odt -- fi c fi de —ce — —— d- etc., c C c 5 P OE vi qe OC a final fi pe da al re fi 0 "Abat dd —e —é d- etc. Solution. Les formules (V) et (VI) subsisteront encore en y I fesant — EL, mais alors la condition rS —S—a se change en cS d'—e. Remplacons done, dans (V) et (VD, x et t, res- pectivement (—, z, puis écrivons, pour abréger f(2), fí) à la place de (), (1), ces formules deviendront : T g0(0—2) I (VI). (LV IT. Si cot (E jefe) — —eta) 3 ce 1 1 Elt—av —i q fou fi ((Ode H- etc., —b dames eta) VI), (VT f creada — 13 3e(€— 8) c ce 5 VI 8) 0a Ò Gai "RO de A. etc. — —l (238) Pour x —: c, les seconds membres seront égaux, et l'on obtient, en ajoutant : T len pd ei ii Papers Dquueera cara) ji ds 0 . my — 1 2nh,/— EL fiou— fi: É "A0del— el "(Dar — ele. Corollaire 1. Les équations (VII) se partagent en deux autres, savoir : (a)—y- final fo ds Xnpd fai 23 par di dat (68) —(e—a) fe (E)f2- a) de — — eta) c LI fas DO ade Àa fi ar P àde pe etc. (69) Les form. Ma fournissent de mème : (—a) ss fia f Cos ds (LB pg, A fu Les ea Dra dt x ei ete., — (70) eta) j cot (2) l(2— a) de — — gle —a) fi ra ra. fin meta) I(OdE "I. etc. (71) ( 289 ) Corollaire 2, Des form. (68) et (70) on tire aisément, par addition et soustraction : f(2) - ((—2) —i A, -- A, eds ls d. A, cos 2r. A. etc. 9 C ds L —eía Le (72) 4 014 Am fi) Cos — dt, —e fe) — f(— r Es (2) L d'E 4 sin — d- B. sin qe dp ele. —eLr ae. (75) Corollaire 5. En ajoutant (72) et (75) on obtient : R 2 / (a) lA, FA, cos — A. Cos El etc, - B. sin — aa B.sin l'E pet. — a Ce. (74) Nous allons donner quelques applications de ees formules. Ges applications sont de deux sortes , les unes servent à montrer l'usage qu'on en fait pour le développement des fonctions en séries pro- cédant suivant les sinus et les cosinus des ares multiples , les autres à faire connaitre leur utilité dans la détermination de la valeur des intégrales définies. APPLICATIONS DE LA 17 ESPÈCE. 1 EXEMPLE. Trouver le développement de la fonction (3) em ler", en serie ordonnée suivant les cosinus des multiples croissants. de x. Solution. Pour effectuer ce développement , prenons la for- mule (47): (8). Í(2) A, -- A, cosa -- A, cos 2x —— etc. berer, 2 As fi —J cosua (dx. Q ( 240) Comme on a ici f(a)—- ee, il vient : 2 As SS — Heee- be) cos nedz. 0 Pour déterminer cette intégrale on a : nsinna--acosne — f esc cos nada a En què FR af et" cosne—l d'oú : Dicnails st I 0 an a ENT EO alett— e—aT eteimmetet L àdmeg cl Di Í I q-n2 dron Pira can done. Ans — (—I : ED idea eis Pour dava etc., on a : cal ES Mer È SE sò 9 dé ar Ó 2, i Li 3 i g ana an —— et ———llss em vU———————éé——é —m—yIi————— r a dé 3 a 1 as a -- 27 é ete., par conséquent (a) donne : ar —an au aa EE —€ 1 2a her P EL ial — — —— COS dE He ——s COS 22 i : : r É a2--1 ae d- 2" 9a sis cosóx -- ee, (75) Que EXEMPLE. Développer sinux, 441, suivant les sinus des multiples de x. Solution. Pour effectuer ce développèment nous prendrons lé form. (48): (d, fa) EB, sin x - B.sin 22 - ele. 022rXt, - B.— 2 sin na f(e)dx d sr 2 On a iei:. Ba—— sin ex sin nxdx. 0 (241 ) Mais on a: J'sin ex sin nadx — 1 /'eos(n — pjadx — 3 /'eos (n-- é)dz, í sin(n— 9r. — sin (nlb-e)x i : n—y bu 2 (—I tn d'oú : n SE — Sin are 3 R nN— pu En fesant n— 1,2, etc., la form. (a) donne : i a. sina" —2sin9x — 5sins2 sin ee — — sin 4r ais 5 — etc. (76) T I— 0 ga —L LS 5 Ll ve 5": EXEMPLE. Développer et —e—ee suivant les sinus des multiples de X. Solution. Nous avons : fessi í asin na — neosns.—,, es sin neda — e ar n7 i x n(d— ecos na) efsin nadr — rn i 0 a" 17 3 aT —arn 13 —aT 1 —n(e —e n(—i net —e CT) ae Jet sinnade— ( cos qr GeDE 3 0 den: an 2 n done — Bu — —(—I)"t — et —e en) : ui den sin x 9 sin 2x : 3sinox al. —aq'-2" r ar1-57 — elec. (77) APPLICATIONS DE LA 2": ESPÈCE. 2 d'od : ets — e— —m— (ET —E 17) 47" ExEMPLE. Trouver la valeur des intègrates T T dl: rsinxsin nx d fi reoga , le ties 0 e sin (rsin x)sin nxdx 1 I—reosx re 4 7 T rsSin x sin nx are tg ———————ix d I—r cos x TOME 7. 3Ú7) PART. 31 ( 242 ) Solution. On a, ( Voy. Cauchy, Cours d'Anal., ch. 13), rsinx 40 ac . dica RE LE 7 1 —Dreos xer: rsined-re sin 2ederò sin 3ad- ete. 19r9—1. Or, en comparant eette formule avec la relation (48), : È OE f(2) ss B, sin 2 B, sin 22 -l- etc., Ba — sin nx f(e)dx, 0 T r sin edx dg . I—2reos ebre fi on trouye ree/ sin n d'ou : TT en rsin a sin ne de Ze tr —I. (78) L i — 2reos xd. re 3 r 1-2.5 T COS X : R L ES ve a: De sin (rsip 2) —r sin ad rrgsin 2 sin 5x -- etc., ir —. — — Or, en comparant cette form. avee la relation (48), on trouve : T x ç EE reosa , A ——b— NJ Sin nx-e sin (rsin a)dz ç Ep RP Dn d'oú : T vs rCoOsa , Ds d - a 1 I 9 e Sin (F Sin 2) Sin nNcdL ee ———. fo —Il. 7 4 ( rs ae DE) x Ra (79) rsina a pi. en 50, are tg ———— — f sin x — — sin 2x le— sin 5x — etc. 1 AE Ir eos a 2 3 foro—l, mts ou, en changeant r en —r, r sin x À pa , De are tg ———— ss r sin x - — sin 22 - — sin 5x — etc. qe or oey fus 9 ed ó , En comparant cette formule avec la relation (48), on trouye : T l Sin £ Sin nx OP favetg dos ——a. 15r5—I. (80) A I—r cos 2 2. La. ( 245 ) Que EXEMPLE. On la valeur des intégrales T TT LS Cos nad TC08 £ — 3 A Ei te cos (rsin 2) — 3 Jeos nadz , os hr A fica cos x l- ell Cos 488 Gus On a, (Voy. Cauchy, Cours d'Anal., ch. 1x), I—r cos x 40 2 3 t i I map portar ta ac cos 2x de rècos 2 —- etc., d'oú : / Ioro—i, i d—re Ll 2 3 ge — LL reoszg ri cos 2a --rè cos dx —- etc. 2 i —2reos ere SH - T - En comparant eette relation avec la form. (47), on trouye : 2 (M—re) cos nada p'——. 1 9.76 — - : d'oú : La 1— 2r cos er (3 (4 — re) cosnada ro Qu reia Le 2 2r. dr —I. (81) r Cos £ 2 93 : r - P, e cos (rsin a) 1-r cos 2 dqgros2aT-, : g cos 92 d'ou : dretes to es im, 1 reos £ rò - e cos (r sin a) —isss — 3005 ÓZ Serp 1.2.3 4- etc. En Sr a cette relation avec la form. (47), on trouye : : pr o q fen "cos (resina) — )Jeos nada Nou: 1:2..n P COS £ i R dd Di cos(rsin a) — 1 Jcosnada ee sa —— io OU: e z 4-9 .n 0 ci T TrCOS £ a e cos (rsin 4) cos nada — — e —— A ( ) 9'1.9..n , pour n50, — (82) (244) fe Teca (vsina)dezsa, pour ns 0. (85) 0 La 3 9, 31 19r cosa r)— reosa— — cos 2a" gr cos3a — ele., d'oú : lorxmt, 2 3 3—3 (I —9reosa ere) — 31 reose-- - cos 22 -- Cos 5S2-- etc. En comparant cette form, avec (47), on trouye : T n (3 —3U(A— 9reos a 4. 19) Jeos nade — — d'oú l'on tire : L 7 / LS Ll 3 — 3 U(M—2r cos x - r) Jeos nades Ç : —: ou : T n af fu —2r cosa H-r')eosnadx s—— n' 0 pour 220, (84) ft—arcosa-dr)de—o, pour ne—0. (85) 0 St EXEMPLE. Chercher la valeur de chacune des intégrales Es R va da de eot3ad a À ds de tg ada —-— H pl — 4. 1—2reosare peca 4 1—2reos ar sgtAit 3 3 Hi rsina (1—r) sée 2 I—2r cos ar spimell I—2reos ar TT Solut. 12, Nous avons trouyé : A rats APERREA ris ds Mi la) V. 1—2reosa4- rn 2 Fesons n— 1, 2, 9, .. n, puis ajoutons, il vient : 7 T rsin 2 I —2r008 der" fsina--sin De sin 5a... hsinnal de — 3 EE ri. ( 245 ) Mais à cause de x cos (An -- 5 sin e--sin 2a -- ... d- sin na — 3eotl — , x 9 sin— LI .- 2 il vient : TT TT 1 rsin a EE of rsin 2 pi cot- de —- . Ç coa 2 2 2 ms 8 72 $ 2reos ar 1— 2r cosa F 2 Cos en--1)5 z — frare trets sin pour 2n 4- log, le 2: terme à gauche disparait en vertu de r la form. (50), et comme rr 4r etc. — — la formule précédente devient : T rsin ax 5 r 1 — TR dl. 86 Marco re Made TS foro (86) 2, Fesons dans la mème form. (a) n—1, 2, 5, ...n, puis ajou- tons , après avoir donné aux résultats alternativement le signe T et —, ona: T rsinax À : Regala : f fsina —sin Dg F sin d2 — etc. F sin naldo— 4 —Mreos dx F re T Cims Daddice si Tel. Mais ona: sia (En 4: ns sit 2 — sin 2e sin 3x — ... HF sinnesitgia I — j 9 cos — doncs 2 3 T fi resina : f rsina 5 tgladr--L A 41 — 9Yreos ax F 17 82 4 1 — Yreosa ro: ( 246) 0U , en fesant dans la 2"' intégrale 2— 20, 9n 4 1— h, Li 3 El À rsinx r sin 2t sin At al gimdet/i— 5 i 2reos 2tH- re — cost T siren dd... ed. Pour 2 infini, par suite, pour f — 00, la 2 intégrale à gauche disparait, à cause de 30, et la suite infitió r— red... aura T 0Ur s e— i P aires on a donc 3 di r sn x dB la ió r j 1: 87 d 1—2rceos a er" 837 dre EE h 2ro—. (87) 5", Comme on a tg3z -- eotix—2 coséz, il vient, en ajoutant (86) et (87): T / rsinx uts . dé ART ra Mr cas alt pres bis dE ere PALS 40 Fesons dans la form. (81), nssi,5,5, ... 2n —bl,. et ajoutons les résultats pris alternativement avec les signes d- et —I1, on obtient : T p—r A i—peep o fe0à8—cos 3a 4 cos ba — o 0 cos (2n P. Del de LS fr £ va Pr, Mais ona: cos d—Cos 5e-- cos Ba—. ..- cos(2n 1)aiséc e-H- d'oú : T —re da a. cos EQn--2)x 1 3 Ll i / j séc del i 3 da Arcos £ 4 re reos ere COS X cos(2n-- Da 2 eos x , ss P i PT... HF et. Comme on a : 8 Cos De cos (Qn--1)x fl Lquil sin (2n "- 1) Cos X Cos X sin 2 tgasinx, (247 ) on a aussi pour 4 — 2n F1, 3 (—ro)sée x h, VE Rx p—r 5 Cos edr — J 1— 9reos hr 0 cosx —1—A2reos bre R 0 f'sinbx I—r : 5 À R tgxsin edr — sing —1—2reos ere a r—r 4... qe et, Donc, pour Eco, ou 2 infini, on trouve, en ayant égard aux form. (28), (21), (I—re) séc x a r si È " Es Despesa 1r 3 De OM (89) 3": SECTION. EXPRESSION DES FONCTIONS ARBITRAIRES par les Intégrales doubles et multiples de Fourier. 1 PROBLENME. Chercher la valeur de Vintégrale b EE 0 it — t dt, pour E— o. L/ Solution. e(x) étant une fonetion continue entre les limites de l'intégration, et c étant un nombre positif, on a, par la for- mule (7), pour Ex o, DE) fel féesa EO Va, 0 ll y a maintenant plusieurs cas à distinguer. CL0, UXD0.:/aX0, i XD, a 0, bX0, ax, BEN. (248 ) 1" Cas, a el b sont positifs. Alors on a : d b 1-0 /. aa ell i PR i gat a fa RV —i a 0 l a JE rar a a 0 Done, pour Ezz co, et à cause de la form. (7'), il vient : b P mena ec V AE gi di: o ' t dé z 3 0 qo ia 9(a) Jl em Oi (9) e va 9 Que CAS, a el b sont négatifs. On a, par les form. (8'): c qe PT Fa vé—I 9 porems: dr BR PSA A t Z 0 LE b Cela posé, fesons dans l'intégrale f En ig 5 ta—t, on aura: —a 1) tv —I Celxa—t Mat eo, pt CR fe j it ig, dera È a b a sò MA — vei — f Lear ee fi er) pen lats t t 0 0 done, pour fo, et à cause des form. (8'), il vient : —b a CA i Je Ti (249) 5r: Cas , b est positif, a négatif. On a: b b ea Tery lt) ES: den ) ig. eh ) Ò 14 que 0 men e — fer Me E) mM, pes fe. de per Tan fre QR —ig, da Si dans la 2'" intégrale à droite nous. changeons £ en —t, il vient : b b dE 13 durar acti — dias Q ont ef Ui gp —q 0 G —) yi i ee desig, 0 Done pour 4 — o, et à cause des form. (7), (8'), il vient : b VS fl RV —i qu — ela) Vi — de i Es El Ei —l co — ea I / Cos zdz V a P: sin zdz 0: Cos zdz Li A z —— -— 0 LA Ei dE 1 — — TV —. (99) 0 8. he CAS, a est positif, b négatif. i e—t Te On a: Po Saga /£ ) Vi, a i dni b a "el(a—t pre rei), EV a (Et DES Lee Lu. t 3 : 0 0 331 to TOME 7. 37 PART. (280 ) En changeant, dans la 2: iegrele à droite, t en — t, il vient : —b ge QR —iqg fera (e—Ò des vn a 0 F g(x--t) —tV/—1g, I Me. a iq, dei rn qe), cec el — p(2) 0 t cos zdz EA sin zdz cos zdz —oÍ(x : de Ap e( Il h i LV —I / A fi È Mo) fun h —TraV I (93) Que PROBLÈME. Chercher la Acial de Pintégrale double fi, vg Lt)e ent —I4e, Per) Solution. En differentiant e —Et par rapport à E, ona : CL Gel — o at V/ 3 Or mar oa EA metre on tire de celle-ci : 3 ae RA J RV —I gp È as et, pour Ez:0, le premier membre se réduit d—, on a done : Et —. L i i fa i — VA fi Bi —Igi, — (a) - En multipliant cette égalité par e(a--0)dt, et en intégrant entre a et b, on trouve : b / I (el id ig. i (a) pe t t h i A fa 9 er 9n e RI qu, (281 ) ou, en remplaçant la variable A sous le signe d'intégration du second au , par une autre lettre 4, on a : pe AV ig Era —m—V / ea 0a / —ti —1 qu h VA fia feta de a, 0 a Donc, pour f—oo, ona: b b Dei t (Es RV i et ge a a Le 9) Ò — dm —V —I f du f ee 0 ent —igg, (8) R 3 a Si a et b sont de mème signe, le 1" terme à gauche est nul en vertu de (90), (91), et l'on tire de (8) : o Ò Eu b fufeero emet a Lara dt. 0 a 0 LO bS CE RACÓ: a) Si a est négatif et b positif, le 1" terme de (8), à cause de (92), se réduit à — z p(2)V —1 , on a alors : o Ò b 98), (du (e(a-Ld et iden a) —V i (EL ( had rers rota) / Te, aX 0,00. Si a est positif et b négatif, le 1" terme de (6) se réduit à re(a)V —1, et l'ona : (96) fu fi (0 Tre rei) VI 1/6304, d90, P 40. ( 308) 5": PROBLÈNME. ( ng la valeur de chacune des intégrales fa h/, (De —ige, fi du f otmetal ie La tea 1". Si dans les dg (95) on prend a et b avec leurs signes seny cles savoir : fifuea 4-0 gat —I ies 1 eis La id mas al hi : — el qu 'on y pose et on aura, en omettant les accents : da se(a)4-V— if r'Od te fi du (ade trad, (96) Es c—a Dans cette relation on a: ETS IES soit 8— bx, a—x—a, elle dc da (a), reix) VV —I "de (8dt ff ae, BS ea. x—t 2, Fesons dans (94) DE ARA on aura, en omettant les accents : co Ga ES AJ ES "da fu fig A a du 0 ax On a ici x Saba LbH-r, ou xJa-Fasbx, selon que a et b sont positifs ou négatifs. En supposant ces limites Da et en posant iden blr— i on aura : (97, VA I (Or È fi du me at ig, a da CP. Comme la Dies ielet est remplie, pour les valeurs négatives de x, ou, comme on a: —x La XB, on peut ehanger dans (98) x en —2, ce qui gat 98, VI daus. OE L fi du / (de EA ( 285) En développant l'exponentielle du 2' membre, on déduit de (99) les deux EE . — 0— fa du es cos u (x--1)dt (98') 104 di (Ó sin u(x 7 Odt. (987) En tea la 2 par (oi on trouve , en ajoutant : (bÒ, V — fa e(0 dt ff, (0 ae RV —iqr, —q La CB. La condition ial sera toujours remplie, si x,a, 8 sont positiís. Il suit de là que les relations (a) et (Ò) Qubaiateront alors pour eí re X 8. Par conséquent ces mèmes relations auront lieu aussi pour a— 0, 8— o, puisque x étant positif, on a OZrxo. CAS PARTICULIERS DES FORMULES (a) ET (8). Nous distinguons les cas particuliers suivants : ae Ò, Be 0, ea, es b, e(z) devient discontinue pour z—c, c étant compris entre a el B. 1" CAS, a—a0. Comme on a alors dzx —a—0, il vient x——a, il suffira done de remplacer dans (a) et (b), x par a el a par O. Que Cas, P—O. Comme on a 8 ec -0-— 0, d'olt x Je—b, il faudra remplacer dans (a) et (0), x par —b , G par O, ce qui donne : 0 a 0 reb —V —i b de fu fròcor ia, 0 a 0 a f pu (de fu, du f. 2(0 ab —, dt, (254) ou bien : L te(—b Vi fa di LC : / de fe EF ie, (99) 0 afe d'Lmapt fu du ade ig, (100) re CAS, xa. Comme on a c—axx—a, d'o ax0, la form. (8), du 27: problème devient : EE rar neuf ia d e. fisia (8£ Ode 0 go —— CE fa fei ae SET NE 0 0 a b Vi (2) fi d'us ME dm dado ca ea Le t z e 0 ea. / du f e(a d de H—lq, 0 90 Pour í— /—2 on a, en de ur nt les accents : 26a) te) VI ele 2, Cos zdz P) se). —t o bla al Aj du f e(0) ele) —ie, 0 1 Comme on a x — 4, si on pose mt il vient : e0s zdz qae) pe ge V I ei af: Per A JE sie / du f ee e—òd/ —iq, 4 (255) En développant l'exponentielle du 21 membre, cette dernière équation se partagera en deux , savoir : o g Ha) fu fe cos 4 (a— t)dt, (101) 0 L cos zd (de de: "OS ZdZ Ld x ef IR - di pea ig j du f e(0 Sin u (a—t)dt. co AT Es i : cos zdz Gelte dernière n'est d'aucun usage à cause de pd 0 ms QU , Va poe Cas, fe ee P. Comme on a xmg a hd, d'oà 6—0, la form. (8) du second problème donne : L 0 al) —aiv —I e(x-- (de JE e dt CEA RE a 0 co 0 G 7 OU : DS Ecanier dei a) Ale es 0 0 ad 2) — VA fia feien ia. 0 0 co —V —i i Donc : —e) /£ al Ep deia Li 0 co VI / de 0 A fia et ide, co d a IE er P ls ab Eq ela -d qi gn dt el / i / : dt i 0 o d fu feres ec —Ig, 0 0 (286) Soit ts l—2, il vient, en Uidmes les accents : sor ls (2) fes ell h lar de) — at RS de fof eo ) de—t) —iqe, Comme on a xss 8, si on fait de de ab-8-— 7, il vient : Lo po, f cant ef sen) 3 i P Q d'oú l'on tire : fi du TE pa A g, o 7 g "(8) "y ió e(t) cosu(B—i)dt , of 2 1/ dau —fifra sin 4 ed Ga dernière n'est d'aucun Es £ Remarque. Les valeurs des intégrales f ei À A. pl DC ses 14 (109) sont supposées effectuées selon la form. (11) du 4" livre, en sorte qu'alors elles seront toujours réelles. gme Cas, elx) est discontinu pour xX—e, COL B. Dans ce cas l'équation (a) donne : i ze(e—d)--V—1 Eeeta — qe - fe du fos u(e—V Fi qu. de, refe do) PV i JE 10, fiafes se es, dei EN (287) —de/—I, — ude a Mais à cause de e ze 1, ces formules de- viennent : dots en En Tg(e—do) -V —1 sien gat Ri du là ee —iqy , Qdt —v/— Tg(ed-dJ LV I Ser 20 EL fi du Del aci) Donc, en ajoutant ces one : A Teetda) LV fa é fi du sgete- Bars. (105) on fera de— 0, après les dedociied A" PROBLÈNE. C Met eÓ la valeur de ec ls — LL) Solution. et a, par Re abr (96) : rea) V —I f De oa qr —/e du Es e(0 ae gv i —iqç, sa 0 o a—a OO bbaòaon—a, donc, en prenant a— co, b — 00 , celle-ci ta Pe (404) re) LV i af 104 ae — fa da de Na, Delai Co pro— oo, Corollaire 1. La formule précédente, en en développant l'ex- ponentielle, se partage en deux autres qui sont : (108) re(a)s sej du 10 cos u (e—bdt, (106) VE — rDd — ara afe (9 sin u(e—bdt, TOME 7. 57" PART, co Se —o. ol ol ( 258 ) Corollaire 2. Comme on a : no o o fosute—iddu—a Cos u(e—t) du , fsinue—ò-0, — 0 — en vertu des form. (56'), (56"), du 1" liv., les équations (105), (106), donneront : 2re(x) fà 2 cos u(e—t) dus Ò dt f cosu(x—b) du ç —do — o —o ou: 2zç(a)S fi fiídeosa (e—tbdt. (107) ——Él ss — (I Que f sddet fsinu(a—d du— fsinu (e—)du 0 — o 0 Q ss fe a Ni en du d- f sinu(e—t) du $ ss fi MPa du, ou, 0 És fi du fo sinu(e—dd. (108) —o —n En multipliant cette dernière par V —1, et en l'ajoutant à (107), on trouve encore : 919) — (de fe VI, (109) min I) P, es I) SU PROBLÈME. Chercher les valeurs des intégrales f du fe) Cos uX cos ut dt , fi du / e(t) sin ux sin utdt. 0 0 "a z Solution. Si on développe les exponentielles des formules (a) et (b), on obtient : (289) 8 eo: f I mel) 4 V—I of Los — f du fi e(4) cos u(a—t) de - 13 0 a pació P dm f du (20) sin u (e—t) dt, 0 a i (Pat Enyr V—I UR — ff cos u (a - )dt - a. P VI fdu e(Ò sin u (a —- dr. 0 x (110) En égalant les termes réels dans les deux membres de ces for- mules, elles conduisent aux relations : pi, (MO). rea) — / d i feít)cos u(e—bdt, 0 4 hp: dt A gel sn du fe(o sin 4 (e—t)dt, db a—t a 0 L3 l co £ co e raja (du f sicos ut Cos ux dé d f de fet) sin us sin utdt , Q, ia Q La o o P 0 fi du fe COS U2 COS Uldt — fi du fe sin u2 sin utdt. 0 ls i 0 Li On tire de ces dernières , par addition et soustraetion : £ (111) 3 "e(2) — fi fe COS Ul COS Uxdt , Bora 0 3 o Éf -e(2) — f du feu sin utsin uxdí , Bo 23 a. 0 14 (419) ox Remarque. La première de ces formules subsiste encore pour ess0, il n'en est pas de mème de la seconde. Observons aussi que (111) subsistera pour des valeurs négatives ( 260 ) de x, si l'on a e(—2)-— e(2) , et (112) subsistera si la fonetion e(2) jouit de la propricté (— 2)—— (2). CAS PARTICULIERS. Comme les form. (a) et (6) ont lieu pour a-—0, il suit que l'ona: f co 115) —/ Ee(a) — f du f e(0 cosutsin uadt, 85250 2 ( a 0 0 o P (114) 3 8) -— f du f e(0 sin ut sin uxdt. Bo 220. 0 0 Poura—a, x-—8, nous avons vu, dans les cas particuliers du 5": problème, que e(x), se réduisait respectivement à Ze(a), 12(8). Si e(a) est discontinu pour une valeur c de a comprise entre a el 8, nous avons vu, dans le ò"" cas particulier du 57 pro- e(e — d0) H- e(c-- de) 2 blème , que e(x) doit ètre remplacé par : fesant de— 0 après les développements. Corollaire 1. Pour Gz00, les form. (115), (114) donnent : o o (115) g (8) — fi du f e(0eos ua cos utdt , co 2020. 0 Ah o o (116) Z ex) — / du fe(6 sin ua sin utdí. co DL 0. 0 0 Corollaire 2. Comme on a, par les form. (56'), (567), du 49" livre : co qo y COS U2 COS uldu— 2. f cos ux cos utdu, Les 0 o fen ua sin utduss 2 f sin uxsin uídu, il vient : —o 0 co co (117) —/2e(2)2 L cos xudu f 9(t) cos utdt, tb, — o 0 o co (118) — 2x9(2) — f sinvadu fet) sin uldt, SO. —Ç 0 ( 261) Corollaire 5. Comme on a trouvé o Éf £ co ç(0) — / du f e()cosu(e—t) dt—— fstode cos u(e—t)du , 0 a a 0 on aura aussi , en multipliant par 2 : f o 2r-9(2)S2 fetode feos u(e—i)du, ou, 0 8 i 2r.e(a) s'bde feos u(e— du , (4) Le 8) Mais à cause de Ci , Ona: ——o 0-V i fit de fsinu Mates en: 8) —o Donc, en ajoutant (a) et (8), on obtient : B ie eh (de f di e() RE—)Y/ —1udr. (119) Corollaire 4. On a, par la form. (119) : Pes: 1 —V Zi dada g/l filis, G —mgO i co 4 (yg—DNV —i- pe / ES senuers — a/ J, l En substituant la valeur de e(£,y) donnée par (8) dans (4), il vient : team Fr df P 18 / EA EV ie, rdudodidr. — (120) — CO LL On trouverait de mème , pour une fonction arbitraire de trois variables : (262) tl "espa — ET TR ff u(e—tV —1 es—)V —i ee(e—bV —1 em a e(t, 7,0) dududtdrdeedo. Les form. , données di ces corollaires, sont dúes à Fourier. (Voy. la Théorie de la Chaleur, chap. ix). Voyez aussi Cauchy, Théorie des ondes, Savanis élrang., t. 1, note xix, oú les formules (115), (116) sont présentées sous la forme : À i 9 (122) gia) m(—)i f fia) cos uxda, 0 9 le 8) fa) (— 8, / 'e) cos eeda j (125) 0 (199). a) EN Flo sin edr, 0 9 co —(—)i fem sin eeda 5 (125) 0 dont on déduit aisément (115), (116). Les fonctions e,2), (2), e(x), F(2), sont nommées , par Cauchy, fonetions réciproques. (Voy. aussi Cauehy, Exercices de Mathém., 1827, pag. 115). On déduit aisément des form. (120), (121), les suivantes : ay) (gr) fi EA fi fe cos u(e—t)V —t cos y—) elt,r)dududidr , 00 emeó 790: PP, (120') ee y, 2) ET o co co o o co GU/ 8 í F 'd ji fes u(a—t) Cos v (/—T) Cos e(2—9) — o —o —o —o —o —o e(t,r,o dududidrdedo. (121') 670 PROBLÈME, Chercher la valeur des intégrales o Éf o Éf fiu fet sin ux cos utdt, fia feò cos ux sin utdt. 0 Ll 0 a ( 265) Solution. En égalant, dans les form. (110), les coéflicients de V —1 des deux membres , on obtient : B ds Odi fe - fiafuo sin u(e—bDdt — 14 o Éf o P / du Í e(0 sin ux cos utdt— fin fei3 Cos 42 sin uldt , 0 L3 ax a f Odt JE, fi, e(0 sin u(a H- Qdt — £ co co fufen sin 42 cos uddt P (du e(0) COS 42: sin utdt. 0 a 0 2 On tire de celles-ci, par addition et soustraetion : : d'u (196) Rier —f du fsòsinuacos dt, 8JeDa, a 0 a £ co f À (97) — CEO — f du fetes uxsinuidt, ÚS. — 2 e 3 0 L3 Pour a0, 8—o0, ona: cel ge du Ò sin ux cos utdí 128 fes I fi fu ( (198) 0 —f ET 90) Ja fi du a a dan utdt. (129) 0 de—P Applications des Formules de la 5": Section. Ces applications sont de deux espèces , on applique ces for- mules à l'intégration des équations aux diflérentielles partielles , et à la recherche de la valeur des intégrales définies, nous ne nous oecuperons ici que de cette dernière sorte d'applieations. ( 264 ) 1" ExEmPLE. Chercher la valeur de chacune des intégrales l (1 COS dd usin bu asin bu bu, e fe uCosÒu ESO 8 qr mer, a ET rersal sa Pr di Solution. Si dans les form. i et (0), on fait a 0, 620, elles deviennent : 1e(e) FV i Mas 0 di fi du fi 0a ig, (4) a (8) 7 de fi du fi (DE ae FV —i qe, (8) Soit e(x)— de Tue on aura, par les form. (59), (40) du 28 livre : he 8) dt í () fs mea le), fes em fi(er tb), (3) Par là, 1. la form. (a) ais : co co V— ED LV —I ed ie0) — fu fei —i reg, 0 0 o pràreu: le 9) da fa ap en ae 0 0 pia a S co a ei qe Du —1 qu (a—iy —1 jeu —iqu abuV —1 Qu : 0 EB: 5) dl dass s a fe di 450) —arbes a ur 0 Donc, en développant les el is on a: (268) rei Vi life) — ao a AM era VE ae que a ur 0 0 le 8) qo — bu, U Sin bu . OE feia dfoi i atacats) (451) a: Per du -- qe ue 0 0 2: La form. (6) devient : —V —I eò li (ens / de 1 an e—atg 0 0 fs au fe rea Dt 7 0 0 qo qm ig Oda du —i dis ET 2 e dun 1 Qu 0 0 aePu pi — u du —1qu Es LyV—I (152) qe Le ue d de i 0 Q Done , en développant les exponentielles, on a : —V —I est Me Ll le 8) a cos bu asinbu du V —1 fi d2-1- uv u a fi v i y 0 co fre hi usinbdu l (153) are En Gal les termes SE et imaginaires des deux còtés, on tire des formules (151), (152), les suivantes : co co j al a Cos budu u sin budu (154) ze fe qae du" TI a Lu 9 0 0 —me TOME 7. 3Ú) PART. 54 ( 266 ) bu U COS du j —ab hi ab ales du — (55 i EP hi (ed) — fs per (198) ts dl a cos budu u sin budu de : a a Lu ges 4 cs 0 esb li(eret) — — cata : du — da SI 97) . q2 d- u qu 0 0 De (154) et (156) on tire par addition et soustraetion : o o 6 i 0s b u sin be 58) (COS qu a Te, (Em ra, — (139) qe P 9 2 Ces formules , trouvées par Laplace , ont déjà été obtenues par d'autres dio En dos et en retranchant les form. (138), (157), on trouve : fe EL gris slec P li(et) — ed li(ecP)), 0) dur U COS bu — — 1f p,—ab pb ab —ab deien Le te Boet ge H En Corollaire 1. En ajoutant et en retranchant les form. (/) et (9), on obtient : he. 8) Re tele ie — ed (ec B), (149) o tdi t— IF g—ab Ju (ea ab i (p—ab pi fat" lle lige) He li) J. (145) 0 Si dans ces dernières on change Ò en a, a en b, ce qui ne ehangera pas leurs seconds membres, on aura, à cause de (140), (141), les formules : fira ja at dr, (144) ay" La Cos bu dt bi eli (I me u —bt, LAN J ae Viver, e (145) (967 ) di 9/ cos bu Coroll, 2. On à, par la form. (158), dies ve — f ———tles, bu en substituant cette valeur dans (144), on Sa : es qe. a fa atdt VE da opi lryaer, Au" le 8) tdt co Li L —— a Cos budu Z u d a — ue tt) 3 Ve 1 a ma etat pgs o —2 facosbu : 146 a ei Pia (146) On tire aussi de (159): et — ee els dus en substi- tuant cette valeur dans (148), on trouve : tdt dl u sin Li da Iy Bas bes er h) Q . de usin tud au : : J'e—aer 0 3 Le 8) 2 Fusinbu ,,ja DES P Les Hire EU 147 X ad Lu" U U jdu ( ) Corollaire 3. Les équations (150) et (151) donnent, par addi- tion et soustraetion : a bu —i Es du Sea VT i fe) — ee), (U8) ay" 0 NC Tal i) Feien). (149) —— Us — —í—be"t es emablg ea ec Pies. ( 268 ) Que EXEMPLE. Chercher la valeur des expressions : u en bu j u El a UCDSE OM ensó Mn j Els de Der i xi Solution. 142, Posons dans la form. a bsl1,2,ò,...n, et ajoutons, il viendra : co fs isinu- sin Qu - ... H- sin nut du ge a Pira del. gle Let Le PE i o cos (ant) a ei 4 qu aa u a RS 2 XS nica à 0 alia sin get de ea ML... de ec"). Donc , en remplaçant dans la seconde intégrale q PAr 4, u Cotiu cos Qu) Du cota ei Gi NS fi cos — ar Ca a sl be ve de EE. Par conséquent, pour n—oo, et en ayant égard à la formule (507), il vient : (269) 9 Si dans la form. (139), après avoir posé Ò1, 2,9, ... h, on ajoute les résultats pris alternativement avec les signes —- et —1, on obtient : o Mars fsinu —sin Qu 4- Le. d- Sin 14 du — Era e— — 3a — Qu, CL, ou : i Ti T A co sin (8n --1)— EE filia 38 a du — 2 2 2 2 2 3 se au a 4 Lu cos Comme on a: co i OO, Des te Qu t sin (2n-- 1)u al frare , 2utgu J a'hhe COS U sin dt il vient par (507) : VE CO RRad 1 du De ad) Si l'on change 4 en 264, a en 2ab, on obtient : utgbu T , Je di ET (151) 5: Comme on a : eotbu -- tgbu — 2eosé 2bu , on tire de (150), 481): le 9) Ju cosé 2bu d ——— ts (A EE ———— l a uv: C2ab a e—2ab 7 l ou, en remplacant 4 par 3, qo u cosé bu qx ds Pepe tea 09 ( 270 ) S". EXENPLE. Chercher la valeur de l'intègrale qo séc bu ——— du. Tere 1) Solution. Si dans la form. (158), mise sous la forme : qo 4 cos bu ed Dt pa —— Q—AP Jare ng Ta. on fait O—1,5, $ ... (An 1-1), on aura, en ajoutant les résultats pris alternativement avec le signe H- et — : ns. lic feosu — eos 5u-- cos du — ... H- cos (2n -- Qui du — T —i ee — esa Le ,. J centie) ou : 9a co co 1 séc u : 1 Cos (2n Du Ri Jose du -l ms PRE du — T Í e—a — —a J- sn - ente, Mais on a : Ja Cos (2n. 2)4 ES oro E iy EE sin (Qn—- 1)u PA COS U COS U : Da sin (An-- 1)u ME — (08 (An -1)u Dent tgusin 4, on a done: sóc 4 cos (2n d.- De , ma du El /: ea 1 sin (An --1)u 14 Bt er 1 Per . DE sinudu — i ea —— e 30 - Gi di. e— Enilja L. Mais on a: Ja qo fe (2n--1ju de LP pr Oro du" Ja (271) Ce terme s'évanouit pour n-—oo , il en est de mème de la 9"s intégrale à gauche, à cause de (30Y), on a donc : o Li ) séc u T 1 7a du 2a es d-e Posons iei bu, ba à la place de u et de a, on obtient : ee) sec bu " 1 CS Ep Le MORI EUIA, SE 155 JI GN a ed e—b io) 4t EXEMPLE. .a,b,c, élant des entiers positifs , h,h, chercher la valeur de l'intégrale : Pics 1 i 1 A A Et o (au —Na (bru —I)" (ei —) El Solution. On a: COS 2 y COS Ges Cos Xudu 9 COS Xudu a Te a dem OT Pr pe — OO le 6) sin cudu — sin cudu sin cudu 0 a al dinat a ae par conséquent on a: le 4) co cos hu mo —hiE sin hu — JE —€ Lrrereners. Up h. / a LP t : fr R nn — QO De ces deux équations on tire : du —hu/ —1 To —hl fs col Pd . (154) (272) Mais on a, par la form. (25) du 2: livre, en supposant a positif : rir) ee yi qai (a ta/—edg, (155) (a FV —e 4 En multipliant celle-ci par Be ad on trouve en L'id mi intégrant : rím) Eres pl P sa EL (ab uV —I — o —— cl EE Eead du aut Las ec (au —I)a qr a le Ta PNpe, 0 — Í pal gp —aL D'Eca — (h-baju/ —1 — ix e de f Ple e 3 0 — o le 9) efi sap 4 T ea) 0 co —n g BE (1 ART ea 0 oa o EM) "ai Mal d L (a Br 7 gi qo VV —hu/ —1 R qe: i ds Pg Un 3 186) PL (a LuV —1)e L (ah) — co Multiplions la relation Co ——— En). qe fart atra —)s (Lu —Iy 4 du i e —hu/ —i par , On trouve , en intégrant : PI (a i (275) (es dis 1 rn) 3 exi. Eeeesiimil Fi —— EP ara ja GE): — (O ere du fer bu V/ I) qe : Eu (au —I ju 0 co Us al 1 eobe dé fia nt du i 4 Eu (a bu V —I 9 — 0) fe cer l'estel Es È (a le 13 co — hr fe ET fe e dx E' TE Ds —ht Tm e rn) EO abr OLI Donce : Queta 1 1 di O, ———e —— du — à EL (au —I (6 LuV—i — OO mg RE 1 1 i EO (a OE par conséquent, on trouve, en génèralisant : (187) h —hu H —i du 8) cel is tat Et Et Eu (au —Ije UV —I je bV/ —I SP... pe" abr FD DP ... Corollaire 1. Pour a— b — c— etc. — 0, il vient: e —huV/ —1 ea 1 RE. e—Eh (Riu umiat RE Paga hmint .. i ee OU TOME 7. 530) PART, 55 T i i qi AC ea Mais à cause deV —1 —e" i 1 ca BB, i È , La me la formule précédente pourra s'éerire : si — (mat) —I eu —1qy ch y2 (B d- un erat Cara el ME (158) Coroll. 2. Si l'on fait dans cette dernière form. m—n-—ete.s1, en désignant par s le nombre de ces lettres, on trouve : emhu/ —I R (159) A iemer — (—1): Fe LE, si s est pair, al (160) (1) As CT, si sestimpair. La première de ces deux formules donne, en développant l'exponentielle : cos (hu) du — Vi sin (hu) du f ee (eur IJ da , E (Lu ue ei) et, i d'ou l'on tire, s étant pair : T cos (hu)du ol cos (hu)du — qlesi. Je il qm é sin hMu)du da (Et Us 9 Si s est impair, on a, par (160) : (hdu Sin (hu)du —— cos nu may Sin vujdu MM ay I sal ss Vi et, Eu Turu" Je Larjui ju De En a d'ou : x cos (hu)du a re Ú J eren 2 i sd-1 sin (hu)jdu EC IE f eLuju ju CN hstl dal Ds, (162) in (hu)d - l sin (hu)du id PRE (Puja: afe) Sigea (165) Les formules de cet exemple sont dúes à Lejeune-Dirichlet. (Voyez Journal de Crelle , vol. 4. p. 94). 4" SECTION. DES FONCTIONS ARBITRAIRES EXPRIMÉES AU MOYEN DES SÉRIES DE QUANTITÉS PÉRIODIQUES ET DES INTÉGRALES MULTIPLES DUES A L'EXPRESSION (1 — 2paTd) i: (Voyez Poisson, Théorie de la Chaleur, ch. viu, p. 212, Journal polytechnique, cah. 19, p. 148. Legendre, Exercices de Calcul intég., t. m, p. 248). (") 45 PROBLÈNE. Soient ç el 0, les deux cótés d'un triangle sphérique dont le ST cóté est u et l'angle opposè L—Ç , si on domne : p 5 Cos 4 SE COS 9 Cos Ç —- sin 6 sin ç cos (U—Ç) , on demande la ges de batre double E fira Ta le, 8)d5 (i— 2ap 2) i—p, 1—a étant a aun infiniment petites, et V'expression (I—2ap-ba3): lant regardée comme positive. Solution. Tant que p diflère de 1 d'une quantité finie, l'ex- (€) A cause de circonstances se rattachant au mode de publication de cet ouvrage, limités par l'espace et le temps, nous avons suivi, dans l'exposition de ces ma- tières, les méthodes simples et courtes de Poisson, quoique laissant à désirer sous le rapport de la rigueur. Nous renvoyons, pour des déductions tout-à-fait exactes, à un Mémoire de M. Lejeune-Dirichlet, dans le Journal de M. Crelle, vol. XVII. (276 ) fe, 8) dE (t— 2t) sera infiniment petite, ou nulle, à cause du facteur 1—a, par suite la valeur de l'intégrale elle-mème sera infiniment petite, ou nulle. II suit de là, que l'intégrale donnée ne pourra avoir une valeur finie diflérente de zéro, qu'en supposant 1— p infiniment petit, ou p infiniment peu différent de l'unité. Mais comme pour p— 1, ona 420,09, UV , puisqu'alors le còté p coincide avec le còté 0, il est clair que la supposition de 1— p infiniment petit, entrainera les égalités gua g-d- de, sp --dQ. Soit de plus I—a —da, 1—p-— dp, on aura : pression (I— d'): 1—p — dp ss 1— cos 9 cos p — sin 9 sin p cos (L —) za Í — c089 cos (6-- de) — sin 6 sin (04-d0) cos dL d 2 — l— coseo feose (d—)—d sino) —sinoLsino(t— £.) 4 coss Id EL) y de de Es sine. On a de plus : (M—af(e,è) sine SE da(2—da) f(0- de, vida sin You — da (0— da, 9) 1-( Ç. da (MN de" Esine (1 —) d- de coso1, —a 2def(6, P) sino. On trouve de mème : 2 dd pia 1—94— dut— — De sints) 4 (I—da) — da" A. de" H- dL' sine. La valeur finie de l'intégrale proposée sera donc celle de l'in- tégrale suivant : def (8, L) sin 6 didodid. qr LA 2. L dqtsinto): da (277) om — Sinod(d)) Of, f da-dG) vies V dat I dot i ge da'4-(do)" Eie sin 9.3 d.yesin 6 sa Soit pour abréger ——— — dl, d'oú : R . V da". de" sin 9 d( d() dU" sin"o Pep ct ns HU ———— du Vaca CD die on aura : 27 DA dedi) d(dV) 4 dar dre (A dus Or on a trouvé 854. (25"), É get, 2n d(dy") dedi) ar 4 (dr) 4 de" dar HT de" i on a done: U-f(e, 4), par sus on a: de fe, an Mer as — (A) (I— Jap H-a)2 on suppose iLigi I1—p infiniment petits. CAS PARTICULIERS. 4 Cas, p—oO. A cause de p— cos eu — eo08 0 cos e-- sin o sin p cos(v—ç), on aura degà v—O p-—i, pour ou Greg mor, eso dd, Çs du), on aura donc aussi 1—p infiniment petit pour ou ges 91-d8, em 22 T- dL. (278) Mais £ doit ètre positif, et ne què dépasser 2r, done dL est J positif dans £ — dy, done l'intég. 3 d(dV) ef. d(dL) ial ALL) La d'2): ne doit ètre prise que de — co Vi 0, ce qui edu sa valeur à moitié, ou à 1. Done si 1—p est maigdil petit, par suite Ç— dl, ona: 0,0) f'dedd) 0) 27 edad der 2 Si 1—p est infiniment petit, on a, à cause de Ç-— 27 1-dy, f(0,2r). (da d(do) le f(6, 2r) U— Or : dar 1- de" 9 Donc, puisque 1—p est infiniment petit, on a, à cause des deux valeurs $—dy, dE 9r 1 d4, —3 10,0) 4. (6,253). Cette dernière valeur ne coincidera avec f(9,4), pour 4-0, que lorsqu'on aura accidentellement f(9,0)—— f(9, 27). 2r: Cas. P2. On trouve , par des calculs tout-à-fait semblables à ceux du cas précédent : UI A9,0 1. 1(9,291. 5r: Cas. 60. Comme on a: p— COS 6 Cos ç —- sin 6 sine cos (Y — Z) , il vient : p— cose, done si 1— p est infiniment petit, on devra avoir esxo--do, on a par aa pr : ve fal ff al a i. fe, (I—a) sin pde (l—2a cos p Ta na Puisque 1—a: est infinim. petit, l'intég / (279) fg, 8) sined l d— /. (8,8) sinede , sera nulle, à moins que cosç ne (1—2a C0s8ç H- a)2 diffère Saga peu de 1. Il faut donc ç infiniment petit, ce qui permet de poser ç—- 0 dans Í(e,6), on a done : — 2) sin ede dc pb arjs Mais on a , par la AD aux différentielles binòmes , employée à l'oecasion de la form. (257), du 2: liv., vel fora, (I—a") sin edç CAE 3 I— a" (1—2a cosp L a") aV 1— 2a cos ea Pour ç—0, on a he C. est positif par I—a, si a £1) car le radical V 1—2a cos ea — E(1—a)s l hypothèse. c—i, sia Pour çzs7, on a V1—2a cos , Le — EM Ta) ha, done : 1—a ari 9 i EU es dl (A—ar) sine de 45 rei RI 1—a" d—a 2 (4 —2a eos e—- aja ara) leer a Em: ad —2, p' al On a donc , dans l'un et l'autre cas : 2T U— E3/1094€ c'est la moyenne aritbmètique de toutes les valeurs de la fonetion ((0,€), qu'on obtient en fesant varier € de O à 27. he CAS. 027. Par des caleuls tout-à-fait semblables aux précédents , on trouve : 2r Ui 3 fin, QUE. 0 Donc, en rèsumé, pour que la valeur U-zf(e,4) de notre inté- (280) grale subsiste aux limites 92—- 0, 0—— x, il faudrait que la fonction f(0,4) fut, pour ces valeurs , indépendante de 4. 17 THEORÈME. Soit P, le coèfficient du terme génèral de la série ç — (M—Jap FT dE — 1 aP, L etc. -L a'P, d-etc., (a) dans laquelle on suppose p — 008 4 — C08 9 Cos -- sin o sine cos (Y—$) , adi,pd1, si on suppose de plus RE 2r 9n HI ig Un en, ipa / fe Pafíesó) sin ede de 3 (164) je dis que, pour 1— a, 1—p infiniment petits, on aura la série périodique ui RD 050 : f(9,4) EU, -- U, - U, ete. 919490 (165) Démonstration. Je dis d'abord que la suite (a) est une série convergente. Car soit p — cos, dt pag on a: 4— Jap "- ae — (I— Ba)j(t— 74), d'ou : EM — BA A — a) P — -5 -ó 13a qe -- 00 1 pia. ga" La Ds 1 En effectuant la multiplication indiquée , le coèfficient de a" sera de la forme : Pa — A cos nu T- B cos (n—2)g PF etc. — () (t) Par exemple le coèfficient de af est 4.5-85.7 9.4.6. Gat P DE ge A. PAP) dg n "9. Let val Or, fuet, BP VP 20824, B'I- yi —2cosdu, done: 1:5 1.3.8.7 5.5 Pa qr q2g:g COS da "bgaç' Dbufs 134 SA) (281) La valeur maximum de ce coèfficient répond à 4 0, ou ps1. Mais pour p 1, ona: 4 q- CLOT RA he FE P ee, dORC Passi, — a done, quelque petit que soit 1—a, on aura toujours P, 41, done — la série (a) est convergente, et on peut l'employer à la place de ç. dd de Pb aiP, de P, de etc, , d. EE — P, 4 2aP, 4 3a'Ps deete., a — QaP, "P haPP, etc. da da de - 3 a 6 H- 2a Fr rlgg 1 5aP, 4 Bar P, -- etc. (2) Mais on a aussi : ç — (I— apa) i, do sanes De, (I—2apFa)3 I P 5aP, P Bar P, le ete. d- (212 1)a"P, -— etc. On a donc, en supposant 1t—a, 1— p infiniment petits : UD EE sa —l(e,ó) sinçdedé , 2ap ar)a ef ji (152P, 4 BarP, L...4 (0n Da'P, -F etc.) 0: 0 fe, 6) sin ededé. Mais on a, par di) ua : QH f Uns Las H / fe a'Pal(e,O) sin ededó , donc : b—a, 1—p infinim. petits. 19,4) — U, FT U, — U, -F etc. , i TD 000, 2zD 490. TOME 7. 3ÚÒ PART, 36 ( 282 ) Diverses Propriétés de la Fonction U,. Que TRÉORÈME. En supposant ç— (1 — 2ap Ley i — (1 — 2a cos el a) — i a CN, (El, 6 aP, Y etc. - d'P, d- etc., P, fonction de p, ou de pe, je dis que l'on a : d Pa demes ad di - n(n-1)P, — 0. Déemonstration, Soient p s— cos 4, dp —— sinade, M—(I— Jap Lar)i — (I— 2a cos ed a"), on aura : dM ue a es dieta EX po Da mires ) dM dm p—a ee ill—2apte) ix linea vi de a a de rata EX da ms a SaM' an as d'e dp da" l'dsciome — Mo d a p—a Em — apte) ixX— ra — a el amd h da M3 Ms 7 dec d ç Da 1 92 9 de o d ds Ona Da p—a) 9a Ep de MP. Mo ME En soustrayant ces dernières, on a: d'ç de d'e d. dP: an eeanadr ra ec m0, ou : de d: di dP) dia'—I dp da 9. a dp da ( 285 ) Mais on a d'un autre còté : Es min , dP, de ado ie EN SÓ ds - etc., dp dp d — — P, -h 2aP, - ... H- na P, - etc., d a a —a'P, L90P, 4- ... natYP, ele., de £) 94 ae — 9aP, -F etc. H- n(n-- 1ja"Pa H- etc. En substituant ces valeurs dans (2) on a: NU dPa di (1—p a j 2a d- n(n-- P. — 0, ou, à cause de p—s cos 4, dp — — Sin ade, di sin: T APT P 4. nín $ DP, — 0. (166) 528 TuÉORÈNME. Soient ç— (N— 2 pa a) i —(I— 2a cosa hd), all, p—— 008 44 — C08 9 Cos 8 H- sin 9 sine cos (4— $ò), Un f(0, 4), ge 1 aU, F d1U, T- ... F d'Un To ete., je dis guíon aura : dU, dLsino LE) i 3 sinódó sinó. — df I nin 4 1)Ua — 0. (167) Démonstration. On a: M— (I—Jep Le) — (I— 2a cos ed e)3, d' Cos 4 — 05 8 sine cos (4 — $) — sinó cos£ , deos 4 ds — — sin8 sine sin (t —$), (284) dM soé d'eos qr ea Le) EX — de —— —— EL costsins cos(y — 8) — sinó eose J, aababici IS TEes.s a pe) 3 Si i CE ral dM d'eos u dl —Da C0$ a A. 2) 7 X — 9a PT — gp sin "sin esin (e—3), de Bi MP A do MP duo MP : d qe — 3 —2a 008 4 H- at) Pis i Ou a a ( cos6 sin e cos (t— Ç) — cose sin6), de I ge Lcosésin e cos (t— £) — cos e sin6 ), d'e i qe Ou l cosó cose 4- sinó sine cos (t—Ç) J Sa" t . . 2 - Me Loosó sine cos (4 —E) — cosesinó P", de d'e $ — — as ee — ds DR 0) PT sodi) (4 — i) — cose sinó)", de deos ze pi —m— 3 (I — 2a 008 se 2) 3 X — 2a vn — a, E—siné sin e sin(e—3) 1, de do se , — — — sinó sine sin (V— de 3 im2 A mm" es m3 Sin 8 sin e cos(f — 8) T- Es sin" sin" ç sin'(4—0) , 2, es d'A MEE i —— — sino Li —sin'dsin" ap — P), pa sinó sin ç cos (y —$) H- io sin"ó sin"ç sin" (t —Ç) Comme on a: P SS COS 4 Es CO$8 COS £ - sinósine cos(t— 36) , (885) si l'on fait a— cosg, de —— sin6d9, on aura identiquement : d Í dau X—sinede, l d'oi de ani de d'oct 1 de de da RT ginads oo sinó d0 d'ç eos6dó de 1 d'ç Da aten eds er o sec dl, dx sin" aó — sinó — dg" de o cose de L 1 deç de OO sino de sin26. de al és EL ds dgi "dec reost da de de de sino Donce de dE (M— ae) — Dc AL a EE CEE) Li, ds dx Tsins du. de na sing de l sin"t dP " — plenes sin e cos (v— Ç) — cos e sin 6 — p ç ns 9 cost sins cos (F Ç) — cosesine) — dp sin EG sl ce deç de — —p3o7 9 eo — del per eat d. , ds dd—p El OO die — ges dp EI da L d'oú ay ds , de di(I—a mé, 1 d'ç dia de dx I sinio due Tn da i) () (986 ) D'un autre còté, de ça I aU, bai Ua - ... SF dU, Fete,, on tire : a Un P 2aUa P... P na U, ete., es — q'U, —... de net U, —F etc., 4 Es L sn L n(n Na "Un . elc., a ds qe Ll . ha NA tè dU U. n Un Piuebió Pd 1 etc. d a ds d- etc. En substituant ces valeurs dans (4), il vient : di(1—a') Le) dx 4 Donc, à cause de coso— e , 1 d'Un i L mb. a SE T n(n-- NU 0 do 1 US . DU 0. eds Tant a STA Remarque. En posant t— 0, on obtient la formule du théorème précédent, AS TuÉORÈME. Soit Tn ce que devient Un lorsqu'on change 6,4 en ç,8 , et soit, pour abréger : d'(sine d10,9)) n iu de d'Ulsc) Fe, 9 de dd sine d ) je dis que l'on aura : (168) se DE ia Y / Tam (ea Made — ga, 53) ET) in, d Ta Fr Qdede. (169) 0 ( 287 ) Démonstration. On tire de (167): dni El 1 dising el A 1 d'T, n(n--1) de n(n--t)sinç — dE" Multiplions celle-ci par les a)dedG, et intégrons, on a : mo 21 f fTasinetie o dedg 0 0 X 2n 1 dT, DL d AR dell ds sell de Claita (es8)de dE ef 0 0 ff RA ae, 0 O sIn ç 3 d'Esing 2) ga Toda a 0 0 La —o llet Es sine Al (2) Mais on a, en intégrant par 188 $ d'Esinç Els pa de f(e,ò)de — —— sine fe, é)— dT., En dfie,ç) FA de de i de dí(e,8) H de 8) fama ger dT, de ofe, 8) — Ta sin e FH ST — A de. Mais comme sinç est nul aux deux limites ç— 0, em 7, On a: OO dE CA 3) edi sint ml R due ——i Re) — Ti T, —s de. (8 (288) On a aussi, en hegair par sana 3 ct Qe— £ 3) fu fa 2 qe 8 es afe 2 fe ò si de Med —Ta— yo de TT / Te de EE EE mod d'Ta j A RS Mais T,, dE PB, ea, LI disparaissent aux limites g— 0, ps: 2r j Car pour ces limites Tu, ——— pea , Ont des valeurs égales, et nous supposons qu'il en soit de mème à l'égard de f(e,2), di(e.3) . On a done: de T 2r dT, d'fe, l - Le ('T, ES de. (0 ae 0 i En substituant (7), (8), dans (a), il vient : Ro 2R /'f Tesins tg, ade de 0 0 dio) mo 2a dEsinç I 1 d d'fe9,8 secta, dlbtanimeció T.ded : . an dE h 4 al de ip détsin e 1 o ——————— T. de de F , ). in, / (8 Corollaire 1. Si l'on met P, à la place de T,, on a : TT 2n In--1 3 (170) Un— rs J Jet (P, 8) sine dedè 0 9n 1-1 3 Pa F (e, 5) de di n(n--1) af fe din aènó Corollaire 2. Soit E la dens du valeur de F(9,8), comme f est la valeur maximum de P,, il vient : 1 (2 — ah On—-1 rr, n UCI DE ac fa fe- anal) — An) ' (289 ) Or, pour no, cette dernière expression se réduit à zèro, il en sera par conséquent de mème pour Un, done la suite : f(0,0) — U, - U, - Ú. -- ete. est convergente - Ses TAHÉORÈNME. Soit Vm une fonction de la méme nature que Ú,, soit de plus m different de n, je dis que l'on aura : 2r ff Un Vusinodode— o. (171) 0 Démonstration. Soit (0,4) — Vm, ona: df(0,4) i XdVS de dl li pren ley, ho en de sinedgt de sinody" " — — m(m--1) sinó Vm. Donc (169) donne : 2n 0 jo o mm) 3 ff nVm sin " dody Ser fam sin 6 de d4. Gette formule devant subsister, et m différant de n, il est clair qu'on doit avoir : R QR sd f UnV a sino dedi — 0. 0 6 GT" THÉORÈNE. Si l'on désigne par T, ce que devient Un en changeant 0,4 en 9,£, je dis que l'on aura : DE /f Peu. sin 9 do du — Esesl i A (172) cus 1-1 Démonstration. Nous avons posé : hr Ò f Pateosined de Us dr 2n--1 TOME 7. 57) PART. o -t ( 290 ) Changeons 9,4 en q,e: P, ne changera pas, car P, est une fonc- tion de p qui est paba par rapport à 9,y et e,g. On a done : ff f(o,4) sin odedy — sa es Ti Mais on a : f(0,4) — Un TU, L ... TU ... 5 done : RE f fe. LU bo. Un Pe sine di de ge Te Donc, à cause de (171), et en ayant égard à ce que P, est de la mème nature que Ú,, tous les termes du premier membre de la formule préeédente disparaitront à l'exception de celui qui ren- ferme Un, par conséquent on a : T 9r J fresat ge Te Que PROBLÈME. Soient uÍ(X, y, 2), Zssrcosg, XS reoso cosç, ysrsinesiny, d'ou : uz— F(r,y,g), trouver le développement de u en quantités périodiques des variables r, 8, g. Solution. Soient ç et z deux constantes et r la seule variable de la fonction F(r, y,z), on aura par la formule (51) de Fourier : 1 c F(r,98) — f Fleseside Es 0 CR f cos sord F(s,ç,8) cos ds le (4) Le signe X, désigne iei la somme des termes que l'on obtient en fesant dans l'expression entre crochets m successivement égal à 1,2,6, El Mais si l'on suppose que f et $ Soient les seules variables de F(r,e,8), ona: (ae BE fen (v,9,8) sine deds , donc, quand r varie aussi : el de Fi fenaa 2 Ei Lam EE fa ) c08 2-1 : ETT LÍ freraneiesas: Ma s.f os — en f fronts Mais ona: Ed am U. ... SsÈUn, — done cur, 2 (LS frens insta entes tosmaé q me pre E(59,9 sine ade del (An--1) P, cos Li (175) Corollaire. Pour e— oo , la form. (a) donne : ec F(rye,5)—28, L / cos 0 CE qe) Vsine de el, — sin ç de de de L us F(r,4, T 1 F(s,2,8)) dogmes i pt as Ta 1 3 Soit reg — —da , alors E, devient ,/, et l'on aura : : Le 8) le 8) F(r,9,5)— 2 i fes ds F(c,9,5)de ecos ar de. 0 0 gi 2n 9n 1 xi : i Donc, Un — rr ff PaEres sinede ds , - devient : Q 0 (299 ) ME. 1 ns 1//e 2 Va Os cosar del sine de ds Cela posé, comme on a : uv F(r,0,4) SE Un -L U, - etc. — Un -- etc. SEU, il vient : usFreg ss o dd Ro 2R — X ES P Pira SINP COSaG COS4T de de de el (On--NP.. 0 DO Cette dernière formule convient à tous les points de l'espace. En coordonnées rectangulaires elle serait : es sen (a, y,2) mera III dd fis 3498) COS a (a— £) C08 8 (y—) Cos 4 (d—È) mm) amml Di OD de dB d: dE du ds. Appendice du EET livre. Nous donnons dans cet appendice, d'après M. Sehlòmileh , ( Allegemeine umhehrung der functionen. Halle, 1849) un aperçu d'une nouvelle Méthode pour déduire d'une relation donnée de la forme es 3) réciproquement, sa résolution par rapport à une fonction de y, de la forme f(y) SS 2(2). Nous partageons ce résumé du travail de M. Sehlòmileh en deux parties, dans la première nous ferons usage, pour établir ce re- tour des fonctions , des séries de Fourier et de Lagrange, procèdant suivant les cosinus et les sinus des arcs multiples, et dans la deuxième nous emploierons , pour la mème inversion, les intégrales doubles de Fourier. D'après cela, la 1" méthode donne l'expres- sion de f(y) en une sèrie infinie, et la 27" fera connaitre cette mème fonetion sous une forme finie. Le premier procédé sera plus ( 295 ) avantageux lorsqu'il s'agira d'évaluations numériques , et l'on devra donner la préférence à la seconde transformation dans les cas oú l'on voudra soumettre la fonetion f(y) à de nouvelles combinaisons de calcul. 4 MÈTHODE. RETOUR DE L'ÉQUATION Z —— Y(U) PAR LES SÉRIES DE FOURIER ET DE LAGRANGE. , 49 PROBLÈME. Etant donnée l'équation x— p(y) trouver en série la valeur. d'une fonction quelconque Í(y) de y, développée suivant les cosinus el les sinus des multiples de X. Solution. (a) EEMEREECES de Í(y) suivant les cosinus des mul- tiples de x. Comme on a x— Y(y), soit y— x(2), d'ou ((y-— fi xta) ls e(2). On a done par la form. (57) : 1) Í(y) SS 3 Ao - A, cos —E JA, cos EE 4. elc. c 9 nrx no — fi —— R 3 A CJ fajeos a da o i, II s'agit de faire dépendre la de de An, de la fonetion don- née 4(y). Pour cela, on a d'abord, en intégrant par parties : DE ee CR di f f(y) cos 3 da ny) sin 1 qa/ ly)dysin—— 3 c sc, ys7, à a -x4 répondent I 5 SO, yEr. 0 7 est une racine de V(y)—c , telle que 4(7) — c , sous ce rapport y est arbitraire et seulement astreint à la condition de rendre 4(7) positif, car c est un nombre positif quelconque. y est une racine de l'équation 4(y) — 0. En prenant l'intégrale du premier membre de l'équation précé- (294 ) dente, entre 0 et c, il faudra prendre celle du second entre 4 el 7, ce qui nous donne suecessivement : f a CE NU) i NR Y) J My) cos dx sa (4) UCI ques fl dy sin ns c n QR da c , natu) fíy) cos sin — — f(y) sin Je qe RS pe Sa a fra Edat Cat di V(7) n à cause de sin nt 0 , (y) — 0, ) 3 nn y a af Fiyjdy sine meu. Donc, q c 7 Ag ss EC) cos PTT dua — f t'pay sin ES Il reste encore à déterminer à part la valeur de c lA, — ha f(y)dz. ea Or, ona: J'iy)de — xfy) — fa l'p)dy, / SS UV) -Íy) — SU): ly)dy 5 d'oà : 7 f te — Vot) — te.) — fra "I fendy, 0 1 Í Y -1/ ga ss A foro, ll). di HT U)ay. ri On a donc enfin : VI: A) (Í(y) SA, A: cos ap iN Cos ga ete. (220, enti dal 2/ P(dy sia en. ( 295) q est une racine de l'équation g(y)-—- 0, 7 est une constante arbitraire assujettie à la seule condition de rendre y(:) positif. Il est avantageux de choisir 4 de telle sorte que y(7) soit un maximum , ce qui exige que l'on cherche la valeur maximum de 4(y). j On a de plus lA, — (7) — Fo: f 4) l'U)dy- Corollaire. Dans le cas oú l'on demande la valeur de 4/ en fone- tion de x, il suffira de faire dans A) fí) —y, donc f()—I, (NS 7, ce qui donne la formule particulière : m VE (a) y3SRLA, -b A. cos ra - A. cos) d- ete., 4) 2D0, 1: Remarque. Les form. A) et (a) sont susceptibles de plusieurs valeurs, eorrespondantes aux diverses racines de VU) 0, chacune de ces racines donnera une équation semblable à A) et à (a). 2"s Remarque. Si la racine désignée par 4 était imaginaire de la forme / uU us v vV—I , on aurait pour A, une expression imaginaire complexe de la mème forme. En effet, dans la form. (4), par exemple, oú l'on a : posons y — u H- mv, 10 Etant une nouvelle variable , y y—u dy — dv, pour gel , On aura v— . uv VI (296 ) done Ap EFE —— in De ll do ds Ber, fia veg go. da DC / Mn) Pi Si dans la dernière intégrale on pose vely—I, 0 0 aux limites vel , répondront t—l 5 VI v donc : 7—U 0 LE Ja EA du LV —1 in AEVU FIV —1)d idear P7) 4 U(7) 9 —u v ne i) dd. a mi RO ad P bis ena del Nat. 0 Un) nm Q vn) (b) Developpement suivant les sinus des multiples de x. On a, par la form. (58): Que 2, 9) ((9)—B. sin LL JB, sia 4 ete. CoeN 0, B,—- f(y) sin PL qe 0 Pour obtenir la transformation em pares de B,, il faut inté- grer d'abord par parties /f(4) sin 2 du, ce qui donne : /'f(y) sin de — — f(y) cos -£ Gras — J l(a)dy cos ca ió En intégrant le premier membre entre O et c, il faudra inté- grer le second entre 4 et y, ce qui donne qr Vapsin EE der — Ag) cos EE 4 pag ny) a ' nr (297 ) l'expression PE ia RE RE. ND) 05 RV) Hiansia Era — et Cos EE ) t— — fu) e TO) L EL n ED) — / f(aj)dy cos ia d'oú B. -1/io jsin£ Eres LA) 4 8 / f'(y)dy cos 27 13 On peut donner à cette expression une dèria un peu plus com- mode, en posant Ge efi L'ens 03, alors on a : RE 2 (—IA , 2) 1 B.— m n I ps : Pza C. , d'oú l'on tire, pour pet, D,S Le 20) en B.— Fe ele r— es P Cs, B,— ad . -— 4 so SL CS, 2f 2f a 43h el ss, etc. o Ele, En substituant ces valeurs dans la formule 2), il vient : P in x J ge ME De ssim EL si £ 21). —1 2f dd. in EE 14 HO jq jq ES 260) , . 8r 2f ca Las ee) ue dre, .lsin — d- (3 sin TE d- etc. TOME 7. 5077 PART. 58 ( 298 ) Din E DE — sin can" in TE ere i 2 sig A , del sin — - 4sin del dial -- etc. de Ca sin i - etc. Mais comme on a, en général, La ss sinyu — i sin Qu 1 £ sin 5u —ete., ie —U) — sin ed. Esin Qu - 3 sin 5u LL etc., l'èquation 5) devient : q a ss Pour x— 0, elle donne fíy)—f(y), ce qui doit ètre, pour xes), elle devient fy)—Í(), ce qui est exact. La formule précédente embrasse done aussi les valeurs 2 — 0, xy47), el on a définitivement : 2) — (4) RE XC, sin Es i Ral ——— a A. C, sin — — HC ch Pes 163 Z Jete. B) (i) T- R 7 EP ete., UUPA Pal f -2/ (8) cos TN. - - Corollaire. Pour f(y) — y, on a (6) ge — Ta LC, sin ——— TEC REL elc., sT) (7) Va 0, dl nit) i Ca — ff. eos nm V(7) Remarque. En supposant que 4,, 4., etc. soient d'autres ra- cines de l'équation g(y) 0 , on aura, pour ces racines, des valeurs de f(y) et y, tout-à-fait semblables à celles données par les relations B) et (0). To) (299 ) (ce) Développement de Í(y) suivant les cosinus et les sinus des multiples de x. On a, par la form. (74): f(y) EE 3A, T- A. cos — A. cos Ll. L. etc. cor —e gram - B. sin I B. cos — L etc. L 1 3A — Je. (ydx Ll sa vi c UT An — — /. Í(1) cos dx, — 1 c Bio sin AT2 de. II s'agit d'abord de déterminer les valeurs de 3 A,, An, B, en fonction de V(j). A cet effet , comme aUX valeurs de pc, sol y SP, donc 40) cs cel répondent I —l on aura : 4) ——e, F—Y): solt y 29,900), (0) —Y 0), 40 Pour déterminer SA. fyyde — at — fe f'dy — 19): 19) —/ Y(y) -f'(y)dy 5 done : c i ) LA ftgue- rota — a tb)— f inten, 7 — 1910) H- "o)í(o) — / nf y)dy 5 d'ou : J xaRan A Lfiun ((y)de — a pl sp/ 3 4y)-1'y (300) 90 Pour déterminer A,. On a: Jy) cos LE de — — sin ee — / ly)dy sin —, Le , nedly)— e NY) ja 70) — — / f'y)d SIG) ò 4 nad(y) j f(y)dy sin TO y LE du) A Es resi ay dl f'(y)dy sin P0) y 82 Pour determiner B,. On a: Si) sn de —— — — tv) cos a dire — —/ fe) dy cos, dE ç H) ney(y) ea dr i ae dar — / f')dy cos da i done : / (9) Sin de — — fg)eo Pa deus J-— f(2) COS En LE / ros Cos En, nel fi y) sin de - end ti6) — f(9)1 (301) On peut donner à la formule cherchée une forme plus com- mode en posant 4 1 Ray Y) Cas — Li f d 4 car alors on a : B. urge si if —t) 1 L LT, 3 d'oú Pob tire : Bi —lae) Lc, B. Vdàls (EC, Be — LA) LG, 4,— , 9 : — —(2) E sin — — sin vara Lisin — TT d- CG, sin-—— ot ei Í() — —fa—fO) — a a d- GC, sin — ri On a donc : (—te). 2 (y) ME 3 g T3A sl A, cos — (eh en Es que etc. -- LO) TU o RC F Or i C. sin TT) d- CG. sin Ho dr ete., Porxo —t I), ) 1 Ne$(3) CL. / l'0) cos P 7) ——dy, 7 (502) - 7 103) d- f( 7 ) 1 , Ag AE ja vip) lu)dy,, Sl- ne feu dy sin P) jay a A y est une racine de py) ec, 7 est une racine de g(y) —— cs— (1), de la pluralité de ces racines dépendra celle des valeurs de f(y) Corollaire. Pour f(y) — y , la formule précédente subsistera , pouryu que l'on y fasse : )—I, Que MÈTHODE. (Is 9 (nar. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION Z—iV(Y), PAR L'EMPLOI DES INTÉGRALES DOUBLES DE FOURIER. gre PROBLÈME. x élant posiltif, décrire de X2- Y(y), une valeur de ((Y) sous forme finie. Solution. On a, par les intègrales de Fourier co c F(a)— 2. T cos xudu fi F(x)cosuadz, 0 0 8) c F(a)s S sin cudu Et F(2) sin uxdzx. 0 0 (a) —fle(e)) f(y), l'intégration par par- (6) coa 20 : (8) cop 0. Cela posé, soit F ties donne : J Flx) cosuada —s /'f(y) cos uxdz , / a) EE — LT /ljdysine, — (9) EE — ft) siaLnt () Vg (305) c vi f, ona y-l , f(y) n'étant pas infini, 0 Donc, si pour x— y il vient : / F(z) cos uxdx ze f() pd EL f'tjsintuse) 14y. q En substituant cette valeur dans (4), on trouve : co - 2 VE Core. ae fo sinfugípjdy, (us — I r 3 0 0 ga 2 fcosan - per edr per du ro sin Lug(y) Jdy, Li 2 Ro U 0 7 9 co 7 (Cos eu ef Eu fepsat at, mxes0. ( Li 0 un Nous avons fait usage de l'intègrale définie co COS XU Sin Cu Li di ple cngeia dus —, oc) 0 4 u 2 qu'on démontre aisément , en posant dans l'intégrale double c co e() 2 COS Xudu La gi) cos ultdi, Do rDe, 9 0 c La SIN CU gla) OA, f cosuidt— 0 On a de mème : J F(x)sin uxda — /'Í(y) sin uadz , COS UX To "L'E(y) cosLug(y) ley, se — RV) d'oú : 7 1 1 fia sin uedx ——f(N) di - (1) v feu cos Eu4(y) 1dy. 0 ( 504 ) En substituant cap valeur dans la formule (6), on trouve : ea —E 10) Sin XU COS CU all a inf Es Xu Era, 2 Sin XU 73 d ca fm Q 9 fin Gall if tu costuyidy. (220. (U) 0 Nous avons fait usage ici de la formule dr ra EQ ves. 0 qu'on démontre aisément, en posant dans l'expression se c ea sin sudu feò sinutdt, La íc. 0 0 c dr O—I1, f sinutdts — he ei 0 Observons encore que, dans les formules cherchées (ID) et (II), 7 est quelconque, y(/) positif, 3 une racine de l'équation y(y)-— 0. Si pour 7 on pose suecessivement toutes les racines de cette équa- tion, on aura les différentes solutions que comporte le retour de la fonction 2s— 1(y). Ajoutons aussi qu'il convient de prendre pour g(2) sa valeur maximum. COS CU 57: PROBLÈME. x elant quelconque , posatif ou négatif, déduire de la relation donnée XS y(Y), une fonction Í(y), exprimée par x. Solution. Pour En nous prendrons la formule () F(a)— fa EN cos u(c—Ddt , pe a co c co Le 1 , OP ia : —- fi cos xudu f. F(t) cos utdt-"- — f sin xudu / F() sinutdt, T 0 —Ce 0 —ç — CO LI LC. (305) Si de l'équation x— (y), on suppose tiré y—e(2), on pourra 1 poser f(j— fle(e))— Fla), et alors l'intégration par parties l donne : Fa) cos vada et) EE — Ges sinfaeg))dy, SE (a) sin aude —— (jj LL r— — / l'Ey) cost up(y) Jdy. Si nous supposons qu'aux c limites a—i, répondent les limites y— É, on a: — y sin cu 1 / F(2) cos uxda — (-- to) El fo sinfey(y) Jdy, COS CU F(2) sin uadx — (— I) Es de — ) 14) cos tub (y)dy J. Changeons x en t, multiplions la 1" par cos xudu , la 2: par sin xudu, puis intégrons entre u-—0, uz— co, on obtient : 2 c oo, l fos audu f F(0 cos utdr-l (GD i fi et du — 0 0 — eo o f Sa fosa ay, À 0 uv dl qo c pa 3 , . fsin xudu bi F(0 sin utdt -l (GD dre ot y È dia Gaia ad en i du -- 0 ——e 0 co, Ll / VE au fe) costedey) 1a. € u 0 7 Comme on a : o le 8) A sin Cu Cos Xu r COS CU SIN XL Ju —3 3 A queò, OE re. 0 uv uv 0 TOME 7. 30ò PART, 59 (306 ) NE. 1 On trouve, en multipliant par — is fe Cos Xudu fi F(D cos utdt — rn P) 1 feosau i — fe aa l'9 situ, 7 o o 1 i i / sin xudu / F(0) sin utdt ss — A mitmàndt P fa) cos Lubíy) Jdy. T u cd La somme de ces dernières donnant F(x)zf(y) , ona: j— ML. sa a fi Fnsnte— ls — (MD U(y y qi CD 3 Uns — U3). 7 est quelconque, 7 est une racine de l'èquation Us — 7). FIN DU TROISIÈME LIVRE. B'EDSPSDSICSORROSI CCS OSSOSOSS SD SSO SOS SOS DS OR CS ORSO FE IV" LIVRE. i SUR l LES FONCTIONS GAMMA, ET QUELQUES AUTRES TRANSCENDANTES. Nous diviserons ce livre en trois Sections, dans la première nous exposerons les principes fondamentaux des intégrales eulé- riennes de la 1' espèce, dans la deuxième nous donnerons la théorie des fonetions gamma, c'est-à-dire des intégrales eulériennes — de la 2: espèce, et dans la troisième nous nous oecuperons des . intégrales qui se rapportent à la transcendante li-z. 1" SECTION. INTÉGRALES EULÈRIENNES DE LA 1" ESPÈCE, OU FONCTIONS B. L On nomme intégrale eulèrienne de Ja 1'" espèce la transeendante él pa gr — a)s—idr , 0 — dans laquelle p et q sont des nombres positifs. Je vais exposer les principales propriètés de cette fonetion. 40 THÉORÈVME. i is ar—idx edr fonen refer, / iror (1) 0 ( 508 ) Démonstration. En elfet, ona : qer ds RR LA de Jard o an o Soit z—m— A IT Le.) d'oi 5 Ou reg) ON aura pour x—) , les —— 0 dz " dx (— (—2) pas Li Ma)" — (l—2z)j4- , done, la relation préeédente devient : — dr, valeurs z — , des —m— 0 1 Far ei 1 / dre rar El ja gel —z)aide — ni ar (A — a) dr. ge)pra dx gada (1 Fajeta a 4 (Mrajeia i Remarque. Nous désignerons , avec M. Binet, té intégrales eulériennes de la 1'" espèce par la notation B(p,g) , en sorte que l'ona: 1 le 6) qo P—1dx ga-idx gp—i I— d—-ldg — er ada mitad EB / dr 4 (rap / npor ed) Nous nommerons ces transcendantes, des foncetions B. Dans l'exposition des principes qui se rapportent à ces fonctions, nous avons principalement consultè le beau Mémoire de M. Binet sur les intégrales définies eulèriennes , inséré dans le t. xvi, 27" cahier du Journal de l'Ecole polytechnique. Les recherches premières sur ces transcendantes se trouvent dans le Caleul intégral d'Euler, eh. vui. Voyez aussi sur la mème matière , les Exercices de calcul intégral, par Legendre, et son ouvrage postérieur sur les fonc- tions elliptiques et les Macoraipa eulériennes. En changeant p en q, q en p on a Visor Corollaire 1. B(1,1)— fe tendes fret (2) 1 Corollaire 2, B(4,1 fe dr Date: dx (309) Pour ez, on a: 1 BG,3)— 2 a El (5) 0 Vi—a2: ee THBORÈME. B(p, q) — B(q, P). (4 i Démonstration. On a 3 gp — a) edr — B(p,4). 0 0 1 Soit x— 1—z, par suite zel , pour c—i , de — d2, i 0 donc 1 0: 1 f arte —m— /(—ar ade — fai (i —ar dem 0 de 0 B(q.p). 570 THÉORÈME. p el q elant moimdres que l'unité, je dis pp a: 1(1 i —q (1—q) 2 B(p,q) — ss Tadap T 2:400:F5) Del 1 —p (I—p)(2—p) dg EE Parra 24 apg) Te i 8) es 1 1 Démonst. Soit c— ——, U FS 2e—l, vel , pour y-l 7 4 on a : —i B(p,q) es et fl —i (My) je — yidy, 1 er NS — —. — Qpia— , top ai rge ai fi (1 —y) st dy, 1 Ut da aa fires y. (8) 1 — Optg—i q—i (510 ) Mais on a: 1 1 i a/d Ho —y)sdy— 0 1 : 1—y 0 (1—py2 ls / 20-—y) aa P EU Leer dem —y)" dema g- 2) d (1 —pe— a taant mera il 0 hg le ehangement de p en g, on trouve : 1 (1—q)(2—q) SE DT ip d- etc. J.— (7) En ajoutant (8) et (7), puis en substituant dans (a), on a la formule cherchée. ges a pe di , 0n a: M—oa—p) , B(p,p)— gals lse En 10 rn d- ete. J (5) Si dans (2) on fait pg, on a aussi : 1 1 Bea / (PP. 0 Soit y—u, on aura : 1 1 Age 4 j i B(p,p) — gay, ja uv a — edu EE B(Z, p). (6) 0 i dni $ I 2 en CS THÉORÈNME. B(p,4) PR Urteja 5 CORS (er - za—t)dz (sp P za1d2) f (Pera — sí (ze 8) (31) Déemonstration. On a : zP—ldz i zd—1dz B(p,q) l'es pia 3 Bíp,9) sc A donc, en ajoutant : Be, 1 i Je Pa dz , fer Te zidz (- d-2171)dz 3 es 3 ——, (8) i (1 d- z)pta (1 dz)pia (1 4 g)rta es 1 Posons , dans la 2: intégrale, z 3 On aura : 0 co t-l , pour si , El par suite : 1 1 1 1 (2 La dz Q , UT trar dl / rap uf rom 7 Y fes L zd—)dz he (1 d- Z)pta g 1 On a de plus, (EE fr 1 pa do dg 5": THÉORÈME. ru —2ru Berta are). te Es de 9 : Pp—dz 3 RA Démonstration. On a: —B(p,q) — ari . SOit zen, 0 o co d'odi u—f, pour z—$ 3 il vient: —m—ç0 Q És zP—idz 9 , edu 9 i eP— DU pia 2u)pyd dl U LL e—uipta " Jaron Jara ero (3192) Ó elp— qu se (p—u .L.e(d—P) Donc : Bordes 2/7 pa Edu. 0 a A en. e jota (e" d. e jota Soient p T-q— 2, p—q— 2r, d'ou p—tbr, q—t—r, ona: dd. e—2ru B(14-r, t— na EE Gra NE Corollaire. Désignons les cosinus hyperboliques par Cos., on a: el J- eu gromar par là, l'équation précédente devient : Cos u — qo 4 Cos 2ru TREE Es Era At Costtu 0 je Or, si entre l'arc d'hyberbolique 4, et l'arc eirculaire 4, exis- tent les relations que Gudermann désigne par u— Ly, y lu. (Voyez Potenzial-Rechnung, par Gudermann, p. 42, 55). ui J qo ona: Cosu-— mes pe, dus dLy— iaio gel , pour u—l : 0 0 par là, l'expression précèdente devient : 2 t— 1 coset—lydy B(t-r, tn ss TE J Te Grd i (10) 600. THÉORÈME. BH, ds —— Us —— B(p,0), B(p,g 1) SE —— L— BP). (11) Démonstration. On a: da La) Jep — a) ds — (pd dela) des en intégrant il vient : (I —a)t sp far (I—a)t da — (pt a fa —r)tdr. (815) En prenant les intégrales entre 0 et 1, le Mrmaó membre dis- paraitra aux esa limites , et l'on a : 1 0—p ds ad — ade —(p t9/ a'(I—s dr, 0 0 Op B(p,q) — (P4) B(P FI, 9), d'oú l'on tire: —B(p—-1,q)— es PD. Corollaire 1. Gette égalité or suecessivement : B As mm LB q)9 Pey Pe) B(p-1-2,9) — fal B(p--1,9), —I Be dem ge EE Bed, 0) m est entier et positif. etc. Done, en multipliant : pípd-1) ... (pm —I) Gidiieció. iots 03) Cette formule est due à Stirling. Bipt-m, q)s 1 Coroll. 2. Pour p— 1, ona Be t— fa del — a) ss L) done : (.9...m 1.2... m—t B 11, Es : 1q) i mn--1,4) qql 1)... (qm) m9) q(g--1)..-(qm—t) Corollaire 3. n Etant entier, remplaçons dans (19), q par q--n, on aura : a dé pp 1) ... (pTrm—) A (pm, q--n) (pq (pg 1) L.. (pq d-m—t) B(p,q-Fn), B( q(g—F1) ve (qn—) P gieiat) — prair D dal done : B PTM) Lee (plem—I) eq FN) ee (a r—), prrie El) — pbetrtn—t) B(p,g).. (15) TOME 7. 47 PART. 40 (514 ) Corollaire 4. Soient p—m X0, q—n 0, remplacons. qens cette formule p et q par p—m, q—n , on aura : (pra—I pt qa—2) ep Eeg—m— (P —(p—2) ... (p—M) (q—INq—2) .. (—) B(p,9).. (14) Bíp—m, q—n) s— On trouve aussi, A étant entier : B(pln-bh, raó em pp) ... (pen E—I) (a—1)(q—2) ... (— 3) (PNP TH) ee a n—) B(p,q). (18) Toutes ces formules ont pour but de faire dépendre le calcul de B(p,q), d'une fonetion de la mème espèce et de la forme Bíp Em, qEn). T33 TUÉORÈNE. Bip—ag) aq da) qua") Bip,g) are 1-2. (pala) Démonstration. On a: i 1 1 Bip—a, — f ada — f ara der, 0 0 etc. (16) 1 ee — ade tics 0 1 — ferit—ay-delt alta) ae sis dll —a') d- ete.), 0 1 1 ar —) dr Fa f ar —a)adx 0 0 hi dE firt—altttds de ete., lat —B(p, 9) LBp 7 — ia P0972) F cte., BB Q qi i q(g--1) I Biar 1:93 pr Erd pit) B(p,q) etc., (315) d'oú : Blp—1,q) — dr len i and R qe) (c. Corollaire. Remplaçons dans (16) p par per, a par f, i viendra : B(p,q) a rq ri) qa—F1) Bipd-r,q) padre 1.2 ptgiriiedeirit) A- ete. (17) Or, en ehangeant dans le second membre g en r et r en q, sà valeur restera la mème, on a done : Bip,g OO B(p,r) Bper,g) —Blptg,r)" Bo, Bptg,n) — Bor Berg. — (8) Le premier membre de eette relation ne change pas en permu- tant p et q, il doit done en ètre ainsi du second membre, done : Bí(p,g) B(p--q,r) — B(g,) Big, p). (19) Cette relation fondamentale est due à Euler. 83 TufoRÈmE, av Ep) E(g) Bpg)— r(p-d-q) (20) Démonstration. On a, par la form. (24) du 2: livre : 1 Piq—l p—(Ii2)a a dE be egst Multiplions les deux membres par zP-1dz , ona : co co zP—ldz 23 fi pig—l p—2, p—tZ pta / eres a fr es a als amors CE 0 Di co co —f gpta—l e—sde Í. PI eds , 0 o 0 r -f apia—l e—da- cn L 0 Li EE P) dE aa edr, "0 ss l(p):r(9), (316) co done i Ed —B a EO) rq) 20" dr PO meea La formule (20) fait dépendre le caleul des fonetions B, de celui des fonetions gamma. Corollaire. On a: B(p,q) — ee : B(ptgn)s ET ea j donc, en multipliant : Bot en, En général : B(p,q):B(p-bq,r)...B(p qr... n)e es: (21) 8": SECTION. PRINCIPES ET APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS GAMMA. Nous avons déjà vu , dans le 1" livre, que les fonetions gamma, ou intégrales eulériennes de la 2. espèce, étaient définies par la formule 1 fs. EA Ll dpade —— fi arte de —Ie), (22) 0 0 4 étant un nombre essentiellement positf. Nous avons trouvé aussi la relation co r b di a—I e— eq — 3) c (20) af 0 a étant positif, réel ou imaginaire. Dans le cas oú je est un nom- bre entier 2, on a: rín)s 1,2,9 ... (n—l), (24) MOÚSsi, 2). (25) M. Cauchy, a donné dans le tom. mn des Exercices d'analyse, page 578, une nouvelle déduction des principales relations de la doctrine des fonctions gamma , nous avons puisé dans cette souree (347) la manière d'exposer les formules les plus remarquables de celte théorie. 47 TaiéoRèue. Nat ee. 6) Démonstration. On a par définition : co Cga d- 1) es f ale— dr. (a 0 L'intégration par parties donne : fal evidaa— ales u fal edr, he 9) Le 8) d'oú : fa sedrep Í: d'—le—dr. 0 0 En substituant ici les valeurs (a et (22), on a : Ca 4-1) — e1(8). Corollaire. On a par la form. (26) : Ci lb an —1I-1) S (un —I) a r—l). (27) Si n est un nombre entier et positif, en posant es EL, 2, de, hi, on aura, par (27): reb) et, r(el9) é (ere 1), etc. etc. Cen) — (4 n—t) re tn—t), d'oú l'on tire en multipliant : Pen) a de Ne P9 a (ebn—)re). — (8) La form. (28) fait dépendre le caleul de F(ged-n), de celui de ríg), done si on connait les F(g), pour toutes les valeurs de 4 comprises entre 0 et 1, on pourra: ealeuler, à l'aide de ces gamma, et de la formule précédente, la valeur de T pour tout nombre S 1, il suffit done d'avoir une table des fonctions gamma s'ètendant de er 0,à ul. (318) Que TRÉORÈME. art ar Pal. — (99) Démonstration. Nous avons par la form. (20') : co x. dr E(PE) ç Urar, Qere), Fesons p—e, qsl—u, pq—lj ona: ada iioiment i) ge r 4 — , . L re NI —A Mais on a par la form. (B6) du 21" liy. : co alAda T Hi IF 2a sinur " DRR i , Ps done. (dE —g) PB Ou. T Corollaire 1. Pour e-——3, on a rè).r(i)— Ou siniT EO Esr, dou: r)J-sV or. (50) Pour la mème valeur de 4, la form. (28) donne : 128-B ... Qn—t) ,,— pe CD y rs GN) ds — 1:56 ,,— d'oú : rd-eiVr, duia i Vr , etc. Si l'on pose e— Í , on trouye E(0)— - mm 0O . Corollaire 2, Soit et —z, on aura : qo en i ma f ve des(—) id (—) PJ dz, Me cio LO 4 ie) (EL), (589) Pour nu 0, on tire de celle-ci : he 9) / esde N/ TL: 55 Vi 69 0 pour a —- 1, cette dernière devient t qo f edr VT. (54) 0 1. Coroll. 5. Si dans la form. / ae— — x—dr — FP rq) ç Ú r(P--q) on pose p —n-3, g-—i, n étant entier, on aura : i arts On bari) i Na) Fesons z— 27, il vient la formule connue de VVallis : 1 dl zdz —1-8-B.., En—t) 7 83) 4 VI a —/2-4.6... (A) 2 Si l'on pose p——n--1, qE3, on trouve : 1 Pe EN, qu ds Vi—ax En d-t-3) 7 1 it 2.4... (An) ed Vi—a OO 5-8... 2n--1) 56) 51: TnCORÈNE. Soient ue un nombre positif, n un entier positif, en posant, pour abréger , Lis 1 2 n—i DO —)eE- —) ee oa ) n ee n n 0173) 3 (8) Fe) — je dis que Pon aura : qe ta Ne a) re PA. (8) ( 520) Démonstration. En eflet, changeons dans (a) 4 en Fe He on n aura : 1 9 —— ct red Je et red) Fer —) fera rn 1) 1 2 n—1 Dt be JE A de) eeò P——) XP (HB) 20173) 1 2 Tre tret) ee a) 1 n P0) Ó 1 ) R—I n 8). — EF Corollaire. a et b dèsignant des constantes indépendantes de çc, et par suite des fonctions de 2, on pourra poser F() — bed'. Done, à cause de (8) : F(6) S—s (2) At THSORÈNE. rere VT (81 r(24) cli Déemonstration. Fesons dans () n— 2, il vient : rant) a rer) ger" Déterminons la valeur de la constante Ò, correspondant à celle valeur particulière de 4, pour cela, b'étant indépendant de yz, prenons 433 on aura : d'El) do La en substituant dans (ò), on a la formule cherchée (57). rysV7 , done bx 9V7 5 1 (521) te THEORÈME. n etant un nombre entier positif, qe un mombre posiltf, je dis qu'on a: 9 —-a —e be (ab) ue, ola VIES 38) Démonstration. On a, par la relation (7) du 9": théorème : 4: n—i RP ig) re. —) ce PA. has bre). da dE Remplaçons je par mb 9n" il vient : at at ge) ee 0 d'E) tret). Multiplions ces deux égalités, on a : des 1 9 3 a Eng) pe Da (a DT gp) ee: 173 pH Les arguments des 2n fonet. r du t" membre sont respec- tivement : — aqua. Es —) — D'E(N En e- S: ) 1 qe Hi ea On—1 ps gut pgs er — 9n 3 a pe 9n R ou : 1 n—A 4 2 Es ga) EL Per a 59 ta Hss et ga ts ves 41 — 2n—a da A On peut done écrire l'équation précédente de cette manière : 3 1 4 An eceimial Sal (et g-FI) X 1 AS. ret seda) at re ners ar dra) — Príng red). (6) TOME 7. 40 PART. 741 ( 822) Mais on a par (87): V río rara 3) — era, donc, en posant iei 1 2 n—li SM, dE nt , ad pic a) he ler gas p NM, et en substituant les résultats dans (a), il vient : Es 1 (V 2) rere 1 Jr Qu4 J.e gana gr (CV Tren) gene els H —b. Mais à cause de la form. (7), 57" théorème , ona : 1 n—l br(Ang) OO En) Qu EE) a ss par là l'équation précédente devient : Onu-l$ x brOn) n (OV 7) EET les. OV ru) el gat ò 92n4 , 9 n d'oú l'on- tire, en réduisant : 2 a A. men ni. (e) En substituant cette valeur dans la relation (7), il vient 2 n—l b 723) d Fe) SE ET ou, en mettant pour F(z) sa valeur (a), on trouve immédiatement la fotatió cherchée (58). La formule (58) est due à Gauss (Mémoire de Gòttingue, 1812). La démonstration précédente est empruntée au Mémoire, déjà. cité, de M. Binet, page 208. Cette célèbre formule a été UN sement dates par Legendre ( Exercices de Calcul intégral , 1814), Cauehy ( Exercices de Mathématique , 15" liv., 1897, p. 91), idem ( Exercices d'analyse, tom. u, 1841, pag. 408) , Lejeune- Dirichlet (Journal de Crelle, tom. 15, p. 288 et suiv. ) du" Geleel va NP 4 j (U Je quin ( 525) Corollaire, Pour e—0, la form. (58) se réduit a : —— — ——s pea Ei nel É P) ) ee (o DV nar) (59) 670 TuéoRÈME. u Elant un nombre ació , n entier et posilif, je dis que Von a les relations È Qui 1 En (40) Et pr qr jar ra 4 El P 4 aa inte T(e—2) - etc., ES (Es 1 (41) S'mi 3 pr (EL jer TH a dres) 4. Da(n—i)n—2 (al ee ee a Fe —9) 4. etc, Dèmenst. 4. Soit e(crd-€) — Ad ates OE ada semi E de ME a ei de ds EN eren 0 Q : ( Voir la form. ( ) du 157 liv. j, done : fel ii sl I dat arrela 1 dx ah. gals AS . 3) Veg de omemerr si ( ss on a, en gener al: u(u 1)... (al nel qu Dud-n) (—1)" TE 05) 4 (bu) via hi (324) l a da Done, pour 0a DE era du a on a: d' I 1 (Nu) È ay — n ts ayjufn ) da Ger Ep Equ) (aa ca") par là (2) devient : Ii -l —le (—IY dre y i al —idr Va (b--c DE Del mia Cu) 0 (abr -ca')vtn (8) D'un autre còté on a, par la form, (61) du 17 livre : de EA Veg Va dE Le b-2V ac) eq Mofe rela Es — n(n—i) DV ac ac)'Q (nn Da(e— 1) 0.4 0V ac) — 4 see VE 4 ene t 9V ac el me ele, i (7) 1 Or, on a pla 4 9V ac) — — 3 done : (ade b 4 DV ac 1 da" si (a -0- 9V ni fs Dema fi 1 i EU) OO (e--6--2V cj j d'ou i (a) oVac ca A A Et dx fi a dr qi, Pr mereerr iu Soit x ss (b-- oOV ac y,il vient : (ò) —, de (—N'ETu ben) dr, ay (a) 1-2 d — si 8) / ere ya (b4-2V ac)" Es r(u) o (tg) (398) Fesons dans la formule "dr a ríPr q) de End Q). / peli, qunbu—l, ID) SV 7, ona: PC day Val hu—i), (guia — Eu-d-n) : 0 done (e) devient : co a LV a) DE. (CN TO u— a. f dis X TES OV ac a te—ipyu): (1 0 Donc si à la place du premier membre de (7) on met sa valeur (8), et à la place des divers termes du second membre, ce qui devient (4), en y remplaçant n successivement par n, n—Í, n—2, etc., on aura : E(u-en) 1f die cat desar at) abtateita "0a laqpoV apte n(a—ti) —Elnl-u—i—I) d0Vac) (bac: Ra na) Dadbu—i—a) 9.4 (9V ac) (d1-9V ac) ut a—a—2 En fesant du cette dernière an u— 322 4, elle devient : al Re (A) VE rera Da se, ació o E(e—t) (db DV ac) 20V ac) (b-2V act (na a—t(a—2) , —Le—2 9.4 (9V ac): dava) i T4 d- ee.) a sl elc, ( 526 ) 2" Soit toujours e(ca-- al — ) : done (er —p (a V ac) — El on aura : (6 4-2V ac ju 1 dx Valeri Veg Vaeibia ay 0 En diflérentiant celles-ci n fois de suite par rapport à c, il vient : Da ei dd da de É dori cli Ve EET Ti) (4 Mais on a : vl : (Elter) x d n 7 ases, Rettró £ . C (b Perb —) (u) (bl—- ecgsta donc del rs a (b-—ex-. SN (—N'Eu-n) antiga Ba 0) Lu) V za" bx L carjuia : 0 Le second membre de (€) est donné par la form. (65) du i5" livre, en vertu de laquelle nous avons : E yi qanbu—igg (4) Gea i y Te Ja ui s (a -Fba car). hi o (aa l —, dx V (a Era cd plCEl) ar (a 20 Da(a—) fa 19 dr Es j ee DV ac)— — etc. 2-4(9V ac) 0 pa tal x ge j ( 527 ) Mais on a, par la form. (4n: o R —, dr (—I PE bu — 3) (0) (g 4 DV ac) — — — - - / Sa y a (b-9V ac ST E(u) done, en fesant ici, n successivement égal à n, n—l, n—2, etc. (2) devient , en opérant comme ci-dessus : do pttngg o (B) La FV LE Viu d h (abat er 0 Ce) I (n-- Dn i Ee—i) (b-hI2V ac) 29Vac) — (b4-9V ac )e— (LA 4 Da—t) —E(e—2) 9.4 V ac )' (6 9V ac — Si dans les formules (A) et (B) on fait a—1,0-0, c—I, elles se ehangeront en : tag) El — (8) De ba— af. dl Erra El pich guar i e— I) TF ca Re 2) pi i I i Q 4 44 82. Q—2 Eu 2) dt ElC. 4 - etc. 1 lo fo amtadr Ta Dn (0) ai TeS Mirar a 92, Qu— dP P h Q hd Es ) 2.480 36— Fesons dans (6) xtser, on a: co Ple—2) "- ete. af dx pena Hg, 0 MP RE do Unes Si l'on compare cette intégrale à la suivante : L de EQ) (Mata Feta) Ú j 1 on devra faire pela tdadl metal (E) ( 528) et alors (b) devient : h— a dè ) EEES ES je P 4 EE em) 4. ba, (n-b dela cera, E(e—2) 4. cte. Des substitutions entièrement semblables changeront (a) en : —i be ERC Es 4 (n-£ res EA qai dem: formule qui se déduit de la précédente en y changeant n en —n. TO TRÉORÈME. ue Etant positif, m un mombre entier et posilif, je dis que l'on a les relations : (49). Te EN die (res, — ec U et na, és am er EL 9—ete, (45) ge er fr EES, — al a La hp er Era ee 9 — ete. $ F( FE " Démonstration. 1: Soit NN a A , El par ge a Ger £) x 1 (ba -L2V ac)" La a E GD Ta tea, fi a dl ee — (b4-9V ac DES EU) ds: di — CNT 2) ide fi dis: Ta Fu) 9 (a-bbr Fer) suite: e(x SV ac)— , On aura : (399 ) Donc, à cause de la form. 58 du 1" livre, on a: V cEln-u—) : il a ide (dtoy acta ae cs le (ade ba- canu tr a P 0 : nfn—t) a E de —— l'u 4 n— i 1d NE i 2V a)" (abr CS EE n(n—Iy(e— o (n—3) —idr v St t . 1-200V ay NE ER af da p En 0 Soient a—1,b-0,c—1, ubnei—g, il vient: VE al Es res Flaba) Ç he 9 (1 di ets 0 co n(n—t) a "de METS Tri apa (1 de qe ti—t xi n(n—i(n— 9 dis ax 1-2(2)4 l(e-bs es hp i—2 etc. Le a) Re Et portem. e/ (ae tim.) L) 0 Les intégrales du second membre se déterminent par le pro- cèdè déjà employé, savoir en posant X'esTr, On aura: it xar, f i—indd—t, FE ml a) J (ULL ò a 0 0 0 (A oyets Pet — (Me te—I ET 2E (a i—I) : TOME 7. 470 PART, (530) I d'ai sd variant al dr : pa — 3 Ta — dr La (Me ae 7 (dr te A , 0 0 j uni amdenó Sea CN" Par là l'égalité précédente devient : ele eTLn, ntn—l) g, 4 FN Fede re Jr: FS Semi gau a(n—l)(n—2)(n—a) en da UT F 5) — 3) te. j Palerm, : a 1 2. Soit toujours e(cx l- — ) : x a (dr ea de —)" — 1 px d-2V ac) — : d'ou : (b-4- 9V ac 2r fei ) ea DR La a ne Ú À h Va (0 J-9V ac ST ríu) 0 a o El de (—Nruen) gn u—ida ae Ce SSL LE f ç du. r(u) (a ba P ct , 0 0 on trouve, par la form. (60) du qer livre : o la dall fen s andeniit V rín Fu De ea feria /: x dx 8. ç (b-—-9V ac ais a ce (a-bbr-- co UT sl 0 (n Lin in (ja Ç En 0 / qan-bu—i— 2elae 1-9V 0): (u-- (ad ba cajutn—i sa 0 (na (n—t )(n—2) À gan Fu—i—t je 1-2(90)6 P(ud-n—2) ala Let etc, 0 (351) Fesons nd-u—isu, am l, es1, 0-0, celle-ci devient : V er) qe alt agr ar aueÓ reg) (1 La l (Fa L Un a T— 2a 67 XC 4.92 ren at i— a l (a ja(a— i) (e—2), i Xa PAT Aquets Ti 2. 94 esa P aaie — et. dj ss En posant xt—zr, et en determinant comme ci-haut les inté- grales du second membre de cette dernière , savoir : en -l,,, u—n mama es me pd ia dicIgu 5) 9 J Ut ESE es 0 0 a El Ll I LI 2 qe bn—2 qe 4 cla Fin—lts—lg, (It afer ut dP nete—i pales 0 e 0 EES que a p( A —I Cr EE) Debia DN d'E i di baga tia ent tia al Q 0 TT TS dl — P aa Tea — 2) etc., elle devient : gua en at, cel EA dies d ei ed Es NE Es deia pq ea Gen NC TS FCT) Es de ( 582) 'Remarque. Si dans la form. (61) du ei livre, on pose : fa) a — a TE, Ag el feren —a edr, on aura, pour x my, 1 — a) "q Ò. Aemia 3 dg es a iden. (2) : (pd q— On a de de plus : i 2x Eu 22 de Jap fe iremó nu —( ) pt 2x bx 0a — 200, J qimten. cr tar ee RO a: 0: (1 ae)èriza cm 9 (Me 2)erta On a donc, par la form. (61") du 27 livre : zPiagg . (—Nr9m f d—aa- tags £ AO m1 da arma" pt) are metes ler mit) Te 80) 2.3 EHptva—l) L2.5:4.5 (pi q—2) sn El, Pour qi, MO SI — Vr,le premier membre s'intégre , et il vient : (— ae pm tb p—). — Ap) Ontiy Tap) OO Et mm 2p—) Ç (Dm m—t) — drp—a9) 23 Igdi—I) 2.5.4: Ep ts—3 hapr ne eic. 805 THEORÈME. l désignant des logarithmes nèpèriens, je dis que l'on a : o dIF(e) tà da 4 ant dl -— —, (44) al d'us nt o Demonstration. On a: GR RG: DIU a — lu), en differentiant Q ( 588) par rapport à u, il vient : i a — fe dx edr. (a) Cherchons une valeur pour lx. A cet effet on a suecessivement : co 1 4 fera —— , I 0 ls 8) fda ferdrels 4 j 0 2 a at PE fuef emdz fue / etdg —le. tri 0 le 3 Substituons cette valeur de lx dans (a), on obtient : dE Pr dz d z dx i — ff are —ea) , de Z 0 40 an co La lo ds / edz f er ig d da h H—I g—litDe ga : e LA Z 0 0 Ú 0 dE el 1 de l'a : ve) J Le EL Te 3 d'oú : dr) $ de dE À ar SH ag OO de al Eres a re a que Canet De) — fue ri o UB) 0 Démonstration. L'èquation (8) donne, en intégrant par rapport à u entre les limites O et : a files — fiey dur £, Le) d fi M evEdz ya fei) ET — ell FO de: e 14 e Ge Q 0 1 mais on a: JU her tdem— pal Ares done : sl i eu (MT —I 2) TT q de o, l IT (ge) fi (de — 1) — En is. (2 Débarrassons cette expression de l'exponentielle e77, à cet effet, on a, pour e—2, IT (pg) IE (2)— (1) 0, done (8) devient : A o 4 LL ecipel Der $ 0-1 Ta lA a Multiplions fa par — (e— 1), puis ajoutons le résultat à (2), On aura : (ea — La de Z le) Fesons partir de celle-ci I(1--2), pour cela posons UA ese, Ies, se —t, les limites ne ehangeront pas , et l'on aura, à la place de (8) : Mia de Ce) ef tnenee— Me acetat ea $ Corollaire 1. En differentiant cette dernière par rapport à qz, on aura : im) — f Ne— du 3— 6) 0 1dx. (47) On peut donner à cette expression une autre forme, en posant dz ei — Z, de —m— —, ta —Igs La 0 o alors. aux limites cl , répondront les limites el , Ò i et on aura: TINC TE SS et 1 aix 1 Z en — — dz. Le "ES, Cette expression peut étre simplifiée, en ajoutant et en retran- 1 i , Car alors on obtient : —Z 1 d— si fai ef. l—Zz 0 : 1dz-— 0,8772156 ... , dési- chant dans les parenthèses i a fel a ft de Euler a trouvé pi i sen e l 0 Es) on a d(M) 7 dir (u) El sia pila liat es ee ia BE fe jdz i gnons cette constante par c — die a — 05779156 .. LO ls, d— ze ca — der Da Ve 4, af paer mt ri (48) Cette formule est due à Gauss, Corollaire 2. Remplaçons dans (45), js par e—-l, on trouvera : CE — eli de MS fre 1—. —e 3 L — o Retranehons sp de celle-ci, il vient : EA) —IEe) — (8), 0n Te) — eFe). On déduira aisément, ainsi que le fait M. Cauchy, page 581 du Mémoire cité, de la formule (6), les propriétés déjà établies sur les fonetions gamma. ( 856 ) Propiève 1. Decomposer 1E (je) en deux parties dont l'une devienne zero pour eco. Solution. On a par la form. (4) : co El ea erpe 2) -/ 40) pren te dc peri dE Le Jamprel. 0 3 e(—e 7) er Fesons pour abrèger : 1 e—z 1 z —t— arma ut se Mares IRZR, GES s da Tea a er) on aura : ee (PQ ae. 0 Comme on a: 4 x x e sim tras ES Que — a(e —I1) ga Na tiges ls (3 ED FA d Be por db ete, 1, , en fesant gal — 1), partie du développement de Q qui comprend les puissances négatives de x, on pourra poser : Fe) — Í Ptge, — a 0 dà — f(Q—g) edr (8) 0 et alors on aura : I) FE) "- 98) 5 (49) c'est la décomposition cherchée : en elfet, la partie é(4), à cause du facteur 6 P, et parce que Q—q, ne contient aueune puis- sance négative de x , devient zéro lorsque ge devient infini. ( 887) Les expressions développées de F(u) et de a(m) sont : Em ai LE ae, 0 apres: di i 1 — fina Le de, (50) 0 t a né73 RLT Me el deles 3 TD dr, 0 ge ècia dg ges F I der atri er 81) PiopLèvE 2. Chercher la valeur de 62), et de FG). Solution. On a d'abord, par la form. (51): co dd 4n L 1 — dx 6 (3) - fi Taitres MEC A É patent px Ps 0 Es i dx ci rerecid op dies 9 0 On a ensuite par la form. (50) 1 1 dx o) / lar No, (8) RS 1 d E L o() Das gi: dera ge () 0 En retranchant (8) de (8), et en observant que l'on a: e22 ez e—22 de ta de d—e on obtient : g Le p— et dx -/u- a er Am 8 JOME 7. 400 PART. 43 (358) En retranchant (9) de (a) il vient : co i d—e evedx (82) aG) le et, —, . si ea — dre ez Pa A ———— — er, — 31 —I(2) ). ( Voyez form. (25"), liv. 27.) Pour trouyer la valeur de F(3), on doit recourir à la form. (49) qui donne : ITS — FS sl), Ar — Fi d-i—iIO), d'oú : P) miler) —t, (X5) 107: TutoRÈve. Es V Ir plte l. EA — (54) Solution. On a par la form. (B0) : Fe fei 0 donc, pour e—l, ada ia Fe (ee le Le me, , l 1 —ie, d Desh (a des), On tire de celles-ei par soustraction : dx: PR — fia 3ee El dte Es, 0 Eq — a P — 3) HE). (a) (Voyez la form. (25') du 27 liv.) Donc: —'F(e) — F(8) — 8 de 3 (e— 5) Up). En substituant ici la valeur de F(£), donnée par (535), il vient : Ep) ss (u— $) le) — a P-31(27). Or, comte on a: ss Fe) F 6(8) l ( 559) on obtient : EE qu) Es (e— 3 le) — ed 422) H- ala) 5 o 88) donc, en passant aux nombres : El) a (20) del". EP), Corollaire. Pour e—oo, on a a(p)— 0, done pour cette valeur de 4 ona: Fe — (Or) pie TT. (56) Il s'agit maintenant d'obtenir par la formule (54), une valeur — numérique suflfisamment approchée pour l(F), correspondante à une valeur donnée de z. Pour cela, en prenant la formule ($ò), l'on voit que ce caleul dépend du développement en série conver- gente de la fonction é(8). On y parvient par plusieurs procédés que nous allons développer successivement. 15: Developpement de ò(u) en sèrie convergente. Metlons l'expression (81) sous la forme re 6 (4) — f s . - dr, (a) La fonction sous le signe ,/ devient infinie pour 1—e 0, ou E—i. Soit a—eleosg S-V —Í sinç) 5 alors la plus. petite valeur de x, qui rend €'— 1, correspondra à çza3iz , et par suite à 627, done en prenant pour ax une valeur dont le module soit inférieur à 2z , on empèchera la fonetion sous le signe / de deve- nir infinie, et par suite cette fonction , d'après un théorème connu o de Cauchy, sera pour toutes les valeurs de 2c dont le module est L inférieur à 2z , développable en série eonvergente. Pour effectuer ce développement on a : 2 ge3 p—e mira dg targ es d'oú - EEES l teta 4 gom, Bat ES ST TR SR CG 2.5 5-4 ST RS 2.9 ( 340 ) donc (a) devient : co no 1 eva degli a AP mi me tra fa r——t 6) 9) msiz- 3/1 ade Mamet ai 39 ar JA Ta Li a/e Es — de — etc. J A l'ègard des intégrations du daló membre , observons que la division donne : Cant de on a done : Es LE) 4 ela 1 m —ue ais dte m a deien Les 80. UE aa 7 Lee" 1-2..me co LP ia 4 2 ere p, d- eic., 1:2.. 5 1 lTím—t) 1 Fím—t) Ll i tc. Ri 2..m pati sr Tl. me LT, 0 1 pati LE GE (e 4. Qjet abici, ta Le (EDa pe EF Lete,, En fesant ms 1,2,95, etc., on obtient les valeurs des inté- grales de 4, et en substituant, cette équation devient : 1 1 deia ia Gi CE si De ana Diet CE NE PEI PT Gel Te 6 i 1 : Mara aa 8 87) TE AT GAT par Te — el 87 2": Développement de a(u) en série convergente. Mettons la formule tg sous la UE GEL Le o (4) — e/ x e—I1 qe (a) (541) Développons en série le facteur 1 1 ep) bit— x A cr En partant de la suite et— 1 x 4- Da T elc., on trouve , en opérant comme ci-dessus : de ga ee mi ren dic P 2 1 i Si Saler 3 Les 4 ele. J4ete. (858) gr" Déeveloppement de G(8) en sèrie convergente. recla l'équation (2) du 1" gia d savoir : SI CENL LP) e oO(s es x. ef - ates 0 Posons ici I— ec at, es —t, as — I —i), i di La ' ' . ta, pourxsj, des qr ip. l'équat. précédente deviendra : 1 —p—i El a (8) fistis pal mea dt. (2) Développons en sèrie la fonction sous le signe /, pour cela on a: 2 all—a) al —a)(2—a) : (M— d'1 —at — ETS i o all—a) ... (m—I—a) Po 2 LM — A — at — at sera aat— etc. 5 dm — En multiplant par da, on a, en intégrant : f (U—U da —m fda— tf a da—b f ada— P f'asda — ele,, ens rey 5 RO dat talpa ren EC, h (542 ) en prenant ces intégrales de a — 0, à a—a4, on a: a s a doradlicmnó —a—t faida—t f ada—b faste—ci, (8 (—t) 0 0 0 Multiplions celle-ci de nouveau par da, et intègrons entre 0 et cc, il vient : al a als sfafa dl er 0 0 —ete. () En fesant a——1 , les formules (8), (:) deviennent : 1 1 1 1 À 4 at ea a ea. da —-t Íf a.da A- etc. (6) (M—d t si Ei fita 1 et 1 1 1 —Js— da f a da--t f da f a.da Era er El s4/ Li / der () Cela posé, multiplions (8) par —Í, puis ajoutons au résultat l'expression (4'), on obtient : 14 1 i . heu 1 xi fia f ada—i fada i ll — Tec ii i TOT ç1 : 6 o : En es 1 hit A 1 L fita f ada— i fadaltat da faita—i fetal d etc., 0 0 0 l'I 0 — Qu HL aat Ya. P T etc. (€) Has 1 Om S fi da f amada — 3 É anyada. (è) 0 0 0 L'intégration par parties donne : 1 1 Lla f'anudaa f emutda— fa-amida , 0 0 d'oú : 1 1 1 / de A ami dE — f amsila— f drama. 0 90 0 0 a li cd a ga i en OT DE a Oda Dm PT a i, al ea P Da al (545) On a done, en substituant cette expression dans (3) : 1 1 1 h 1 am S— fe ami da — P ad dnuta — efi amidat, 0 0 0 i — / t—aanida. (8) 0 Fesons dans cette expression , mzs:0, 1, 2, etc., il vient : 1 1 1 de a it— Dada fiada— f'adae— 5, 0 0 0 1 1 : Spa, (d— ala, da— Corea da—O, (4) 0 0 alesdís Ms aqulE —— eL, etc. Q.3 0) Q.5.4 P0) Donc, en ayant égard à la formule (s), l'expression (a) de- viendra : sie f (is —at— a P— et. )— Be (ee) Mais di en general : 1 frante-na era : done : ea dr a EA LA, STA — , / Ed Le) OO (m-p)Em-p) 7 q2...m po Ei) Em) En fesant m-—:1,2,5, elc., on trouve, à la place de (a') : 1 i i CIÓ Es fi ds (M— DS dt—a, j EU —Be ara (0 0— dre L i 0 — elc., 1-2 1-2.5 as—etc. (89) (544 ) Art Developpement de a(u) en série convergente. On a: 1 1 dx al ee EN NS i 8) e (Cer z je hg 0 ps 1 he) dx 1 1 dx Ds Las led bas DN) Os Pen Car EEES DES REI a NA eai ep, MANS fics. ia 3)e La i es x x 0) Fesons dans la 2: intégrale à droite 1—e" st, on aura à la i 1 place des limites cel , les suivantes t—l 0 —e— Soit pour abréger 1—e a, On aura: A de 0 1 1 1 (d—)r— fi UN IE dE. (8) AL (i—Q)' l—t) Soient B,ml, Bs— L, Bs— 4, ele. les nombres de Ber-' nouilli, caractérisés par les relations connues : j 1 9r tada NC IIa) 4 1 34 Me EE de, air ad des Be masia) 1 i 0576 (59') Las ge T Bs Ds Le" etc, ete 4 4 Q2m—i p2m ia T qu her Bea Em on aura, en changeant dans la sèrie : a De ar en TE dim reia tel rebel VI 37 aleRdr PT TAE x en aV —1 , et en observant que (545) la formule : Mueci La B, Bi Bsxí — —é es —é ————— uns. i ( . Ri cre al va Pacs Ma a ea MO) De plus, on a trouvé, dans le développement précédent : 1 1 be ns Eres — 4 Fa. I as -— etc. , (d) Live (a) da 3 Bsrí a —a, cd) iris Ec atres de. PE ddaci- fii ds — data — 38 — etc. )(— at. (60) Les intégrations indiquées dans les divers termes du second membre de cette équation peuvent s'obtenir facilement, en obser- vant que ees intégrales sont contenues dans les suivantes : o 1 l fi xeerldr, di te — di. : 0: o Or, ona: do 0) — pe fe AL Elm ad donc en diffèrentiant m fois par rapport 0 i l —àge, on en déduit : 1 o du A —erho f amerteda — (Na (ET). due On a: Q 1 (1 —ta)fta — (1 —Pm (— ED tm-1qt — J ((—E) GE Ú en difiérentiant celle-ci m fois par rapport à Fil vient : 1 Li Na de optat — pre ij ed — ROS dt pe . LU CR de qai) dE È l. Si, après avoir effectué les diflérentiations indiquées, on fait TOME 7. 47 PART. 44 (546 ) cette dernière ES 1, on obtient la valeur de l'intégrale 1 f te —D—t. Q La formule (60) ne subsiste que pour des valeurs de eo L27. Si l'on fait dans cette form. (60), e— 20, et par suite a—1, ona la formule inexacte de Stirling, savoir : Le 0) : B, B3x" Bsxí 173 dat sn ma À —hba (6) fira Ta mi Da BO le o Be 194 5-4qe dB: i Quoique cette formule soit inadmissible quand on suppose la série (61) prolongée à l'infini, cependant, lorsque, quand 4 est très-grand , on se borne à caleuler un petit nombre de termes de cette suite, la somme de ces termes fournit à très-peu près la va- leur de. a(g). Nous allons démontrer cette dernière proposition , en cherchant, 1" la forme finie exacte de la série (61), 2. jusqu'à quel terme il est permis de ealeuler cette série, et enfin 5" en èvaluant les limites entre lesquelles est comprise l'erreur commise en négligeant le reste. Xm mel, 2 — ete, (61) 40 Forme finie exacte de la Formule de Stirling. La formule de Stirling sert à calculer l'E (u), au moyen de la form. (85), lorsqu'on donne à a(e) la valeur inexacte (61). II s'agit de donner à cette valeur inexacte, une forme finie rigoureuse. A cet effet, prenons la formule connue 1 1 1 1 Reg al —T a mera, T dra pe T san 3 1 1 Drren, SIAUET BE rra elle donne : P, gel 1 1 1 sua TS al — ere ds 1670 - xe dx 567: a: -b. etc. ). (a) Mais on a en genéral : j l 4 4 qem—2 qzm x2 gú Epre P pa FT pp pe)' () (547) Donc en fesant As 27, 47, 6r, on obtient pour (a) la forme exacte et finie : 9 1 Ds ga xo ryc qpem—2 qem ira: EP. (dr)ú 13 (Qx)s ME ras (an) 9, (Area d-27) 1 x mú qèm—2 g2m Ga) a TT OS Gala T Ge La) 1 x2 xd qm—2 q2m due — etc. E — UE ae Br GG ST Ga Ge Gór ta) etc. — etc. etc. etc. etc. as 2 a bis der otra sidee t qi dEgrer - ms Rei 56 ea Nora Le Ca 1 1 qem—è : eL he Malet Hes (ò) BT ges P3 FS Dant P em q2m , Re — I — d- etc. , (s) ras. (Ar) Edat) Te) B, B, Bs Be aa —————— o eLeLéLiéLíéÀÉé— en CS qi — - en 3 EA La i ra Es ED qe vi Mais on a, en général : eo fe En 2) ú hem 2 done, à cause de l'expression (8), 2m 2m 2m d pt di Run L2/( Que T (4rjeni d'a Gqjme d- etc. l, 2m Ç2lu Ten as LE 15 ce. ra EI , Q2m, 2mi8 q2m 5-4. Om 2 Qupns ) Boms i P ETT PEE 6) Le 2 Í Bon l (548 ) Done, en posant 04041 , on aura : Bon aa dar di Am-2) 8) Par conséquent Lagèr. ee, — B3 X Era ara lia it dE Ian Star B dl de omtl Çom—a 4 2míl em, 12.6 i NR ME am De celle-cei on déduit : fic / , aa feta ms fera d dP 1.24 P2... 92 4 B. B3 GS o Bom-i ae, hr gr NIT . a qi vj PD 9-4 as 74 de (Qm—I met co SF f A mgel is 0 Mais à cause de (£) on a: Bomiu cd enda A 2.5 ... (2m-- 2) 4 co Le 6) / Rmt drí Bons / me "gr Benit 0 0 Rut da x donc 2-5..AEm--32 mt Om FIET Soit 044143 , on pourra poser : CO 4 a B i Rem px das 2mYi i h e dem om LI 0m MEC On a done pour la forme cherchée : À B. B: B (e) 1-9u — 5-h 8 13 S.( 5 Bn: elC., — 7 Bom-1 Bomi di Noi —l(— A mil 3, h (2 Qem-Iam en ais (Om) 2m--2ert (62) (549 ) 90 Détermination du rang du terme de la Formule de Stirling, jusqu'auquel il est permís de la calculer. Bomia Qm-- 1 Qm ben Bom—i 0 (Am— 1) (Am èn-l on aura, pour le rapport de ces deux termes consccutifs de la suite de Stirling : Tona Em—D)m h RP É Bontr Ç RR El (Am) Em--2) (ee Benet Mais on a, par les form. (59') : Ban Em Dm ee. Soient Toms — Tom Bes re mijga ee OO IT... ' done : Tona — (2 Qm 2) 1 (3... (QAm—i)m I. y RE ay. IE DT Om am 2 ue) Par suite : Tomia (Om --1)Qm-- 2) Qm—I)m : 4 Tom a Emma) qe 1 l Ç (Am—i)mes pes: 1 L(2m— 1)2m ( Cen , m REL Done les termes de la suite que donne d'après Stirling, la valeur de é(g), vont en décroissant jusqu'à ce qu'on arrive à un terme dont le rang m surpasse ng, OU 9/4, puisque xX 5. 50 Determination des limites de l'erreur commise en ne calculant la sèrie de Stirling que jusquíà um terme d'un certain rang. 1: Si l'on prend pour la valeur de é(e) la somme : B3 Bon NA ns (Qm—j am ee (e) ( 550) la formule (62) fait voir que l'erreur commise est une partie du terme qui suivrait le dernier terme de la somme (a), savoir, Beni Em LI (2m-1-9) émt valeur numèrique de ce terme. l'erreur commise est done inférieure à la 2: Cherehons une limite supérieure au terme général Bona (Qm—)2m pem—l " (8) Pour cela on a, par les expressions (59') : Bom-1 I 2.5 ve 2M re para B. q (2r DE P. , 2-5... 2m (2rj0— 3 lQm--1) (Se i À Or, pour m—o0, la form. (62) donne a(e) — Taai DA donc, done Bom-1 des . Qu" à cause de EV Da et), la relation 1 EV 2r pl A P, Donc en prenant 1 FEm--1) — 2a om) — V 21 Qm peti ec e2im i on aura : on a done : Bom—1 1 2m en, 65 (2m—I 2 ee RR 4) El 3 Cherchons ce que devient cette limite pour m-—ó4, valeur qui exprime le rang auquel il faut arrèter la série de Strling, si l'on veut obtenir le plus grand ellet utile de cette formule. ( 581 ) Pour m— 5, la limite ge (65) se réduit à : 5 6u— i d'e sBE DE DÓ Si e—1, l'expression dE Guest sr. Sir (2 Egeert eRF est plus petite que (2. Es s 0 20,8177... T u— Donc, si eX1, le terme de Ap dont le rang est 94 , aura 1,31 une valeur 4L(0,5177...) (— a en (7) Done pour e51, on Cpen pour a(u) une valeur approchée telle que l'erreur commise reste inférieure à l'expression (7). Cette valeur approchée sera, d'après 1", la somme des óe—1 premiers termes de la suite (62). Observons que la limite supérieure (7) est toujours un nom- bre très-petit. En effet, soit d'abord e—4 , alors (7) devient A 11 3 d'ou donc l'erreur commise sera S'0 Soit ensuite ge —10 , alors dues (:) devient l'erreur commise sera donc inférieure à 0, 00000 00000 00000 00000 00000 0145... 117: TuéoRève. a élant un nombre positif, A le plus grand entier contenu dans a, je dis que l'on aura : Co i et—X nu CÓ . (—A)j)sz ç E(—a) f er Es 0 xx l - Dan Ca I— 2 - pa — Fet (— 1), (382) Demonstration. Soit a — A — Ll. comme on a: y no x o P (i h 3) 4 L d'A OI gre: des Ú , On en tre : sot — /f ar Ter dx. S 0 li de Remplaçons a par i ——, il vient is — — y o 4 1 —— i ' Ll UE f x ee dx. Multiplions par ds, puis intégrons par Pl——)9 rapport à s, on aura : Da co En Ei ç tn, Pa, cn —BZ —— fi Y de ( — (9) La bu - Mou Arasa y V Multiplions de nouveau par ds, et intégrons par rapport à s, on aura : , ca bed Ri h É v (—I): BAS, Ha est — ——b—b ja P del A see—ca)5 etc. e x ad dem DOQ Li der cita y y y Les constantes c,, C,, sont en genéral des fonetions de x, puis- que les intégrations ont eté effectuées par rapport à s. Si donc on intégre 4-1 fois de suite par rapport à s, on aura un résultat de la forme : ng $ y —— u nens. — (ML —)... (a — UA É). a LE) o (— 4) ler de —— fa P (—No— sXi— 8 X,— ele, — 3) ———. nn Fe xi -1 Elle) y/ 0 (2) Déterminons les constantes X,, X,, Xa, ... X,, fonetions de x. A cet effet, observons 12 que le premier membre de (a) dis- 4 di h (383) parait pour ss—0, il doit done en ètre ainsi du second membre, et par suite on devra avoir, pour ss 0, era — X,— 8Xi— .. — PX m0, d'ou: Xozel. 2e Qu'en différentiant (a) par rapport à s, on aura z AE y y Lj ag E) he) (—I pu LE is (— ec er—X, —Ds X,— ele — ARX) Le gàtLs 8) Ed — - 0 Pour szz0, le premier membre disparait, on a done x — tg — X, — L8X, — elec. — A IX, a 0, 0u Xe— 1 5: Qu'en différentiant (8) par rapport à s, on trouvera : ei Du $ y j ad 4 ad Di EA ade —) v co (— 3t EE x2 e——b fa "(ee ar— EIX, — 2 ss — Le — Gen y 4-3 de, EA: LL . Es da d'ou l'on tire, pour 8-0, X, Tere rue de q3 On trouvera de mème X3 mag ' etc., et enfin, après i avoir difièrentié 44-1 de suite, X3—(—1) — -: Donc, en substituant les valeurs de X,, etc. , qu'on vient de déterminer, dans l'équation (4), celle-ci se change en : TOME 7. 47 PART. 45 (884) a UE 405: he l NR (VXÇ FD ade —) co - SOREA TIC ea — aa Sa) i ler tl Das Cami i Pr NS di 9 (7 Soit, pour di bai i 82 sigà A À — ei a te dc EM TS — etc. 4 (—I) RE. (J Cela posé, comme on a de deia da DA) al A dte Mites) L2 (EA) FC) EC) Mu P T T T da Lari me : Pia CTE ç sin (—)7 l'équation (/) donnera : : dP — 8 F(a--1) sin ae fen — En € die, (a T qatt s.—— 0 Mais si dans la relation arder sinar " on change a en — a, on en tire —la-- 1)sin ar Taert donc (e devient : co regal — a 64) '(—a Fa J Si l'on fait ici ss 1, on trouye enfin : Age Der ETA T—)s —ati do. (65) 0 $ ed ala ta IS a AE Ei a car ( 558 ) Remarque. C'est iei le lieu de dire un mot des intègrales que M. Cauchy appelle extraordinaires , et qu'il désigne par le signe / aecentué. Soit. fa) — (0) 4- — LO qs (04... Ara 01 n X gentil (an) 1 fai) . Bi ETA (0) ee a Pepe ls Mies et posons Fe) — 1047 EO pes OT. si fe—(0), . (8) en sorte que l'on ait : fl) —F(a) — qai Ot OT Soit de plus ab ton—, Ll, Mic aml—l, Ds vs 1-2..n n—a 1 Largua s etc., cela posé on aura : 4" y f(adx ON) 84 f'(0) gar ènl cn mail axt (a dal 1 jar , . 1 (0 fíxidx (0) Li so si 00 —I qe od etc. Je 00. 0 On aura 2 fe) —F(2) Li fO(0) (A dé gra 7 1-8... n(a—njat— nt) a 0 — OelC, 4-2... (n Ma —n— ja R í (0/0) Te fat) l 9—s im BE TS CES TE ae -h. eté. 3 d'ou : b - t (Go —F(an) de 2 f(0(0) edu f(atD(0) o—h ds pr) 122. .(n—a) 12. (nn —a FH) A etc. Donc, a étant positif, f(x) ne s'èvanouissant pas avee Z, (556 ) tandis que l'intégrale b ('f(e)dx qai est toujours infinie, la suivante au contraire b i fi ae, (66) 0 dans laquelle F(x) est déterminée par la relation (8)., conservera une valeur finie. L'intégrale (66) est celle que M. Cauchy nemme intégrale extraordinaire, et la désigne de cette manière : : r A (2) — F(2) (2) 3 geni dei dx gé A ga de. (67) 0 0 Les intégrales extraordinaires se déterminent le plus fréquem- ment par des différentiations et des intégrations successives , mais avant d'en donner un exemple, il faudra démontrer qu'il est per- mis de différentier et d'intégrer ces sortes d'expressions. b 19 4 Soit Y — Je al fEs di 0 on:aura , i dat: par rapport à y : fo ax t/ LE —dF(a,y) j de i Ple 4 dx dy gaH , dy ea b de Ona Ydyeé cf: DD dria di 0 done, en intégrant par rapport à 4 entre les limites queleonques 4 el 8, on a: add -— / Fe )dy lo 8 d i x fu fi qai dx —/ f teu pen a Ge iiOlt encore que l'intégrale extraordinaire devient ordi- naire ehaque fois que l'on a F(2)-z 0, ce qui arrive, par exemple, lorsque a est négatif. ( 887) Pnomiènc. — Determiner la valeur de l'intègrale extraordinadre : P Qel (a) sofre de aX0, 50. i mati x Solution. Soit n le plus grand entier contenu dans a--1, en diflérentiant n fois de suite l'expression (a) par rapport à 8, on trouye : lo ds f dx ial ls A —s2 ( P ( si a B) Mais comme le plus grand entier eontenu dans a—n-T-1 est zéro , on a ici F(a)— 0, done l'intégrale (8) se ehange en une in- tégrale ordinaire, et l'on a : EE, gn—a—l ee dg — (—I)" set F(n —a). (7) 0 Intégrons n fois de suite cette dernière à partir. de 80, il vient : o F(n—a) S el Se (n — a —1 (nan — a — 2) ... (—a) a s(—). — 0) On a done : LD dx —s2 € qai — sal (—a). 0 Pour s— 1, il vient : To : x fi et Ei o (—). ds (9 0 En changeant dans celte dernière a en —a, l'intègrale de- vient ordinaire, et l'ona : Se fi et ar—-da es Ta). : 0 Nous renvoyons pour d'autres exemples de la détermination des intégrales extraordinaires à un Mèmoire de M. Cauehy ( Jour- nal de V'Ecole polytcchnique, tom. xvII, pe 224), et aussi aux Exercices de Malthèmatique , année 1826, p. 55. ( 558 ) — CONSTRUCTION ET USAGE DES TABLES DE FONCTIONS F. A. Construction des Tables. 1": PaosLèuE. — Construire une Table des fonctions VU de - en L de I (0) à l'3. à La Solution. Caleuler la fonction 6(e), pour ro l'aide de l'une des séries convergentes que nous avons données pour le développement de eette fonetion , puis eherchez les loga- Li pere gs 8 rithmes IE), 2), ... au moyen de la form. (55). Ges loga- rithmes doivent étre convertis ensuite , pour plus de commodité dans les caleuls, en logarithmes vulgaires. d'' Remarque. Avant de commencer ces calculs direets des fonctions F de 0 à 3, il convient de réduire les fonctions à ealeuler au plus petit nombre possible, au moyen de eertaines relations à établir entre les logarithmes de ces fonetions. Pour donner une idée de ces relations , prenons la formule DOL eL) ay r, p on aura, pour 4 — —, n p sp PD 2p 2p ia Mais on a aussi LOE A) Li — P) a La— Linde 2)e, n , qu P ae P pr 4 dica Learn Bel armes he iditicamenó dé (8) Des équations (2), (8), on peut éliminer par soustraetion le terme LIG 4-5), alors on obtient la relation suivante entre trois loga- rithmes Tl : p 2p i 2 LE(L) LE — EL EES) 4 (— Las Le L'eos —., ( 559) 2"e Remarque. Dans les Tables construites par Legendre , avec 12 chifires décimaux, on a pris n ss 1000. 27: PnosrèmE. — A l'aide d'une Table construite pour les log. F de 0 à 3, calculer les log. E de: à 1. (da p 3 Solution. On a : des —Ç) pdsar , ui ia del OLI da — Lina LE) n n n Fesons ici px 1, 2,5, ... 31, On aura : 1 Ra, 1 LE ee) ss Le — L sine — LE), 2 ce DE 2 LE — a) — Le— Lsin er LE), elc. etc. LB tera EES). 579 PROBLÈME. — g étant Vun quelconque des nombres compris entre les entiers consècutifs m, m—-1 , si l'on possède une Table pour les logar. V' de tous ces ge, calculer le log. l pour un nombre quelconque plus pelit que m, el plus grand que m—-1. Solution. A cet effet on a les formules : Lla LU S 4), 8-2) ee 1) l 8), ete. r r De—t) A, Ee— 2) DI , ele, Remarque. Legendre a fait m— 1 , ses tables contiennent les logir. E, de la suite des nombres 1, — ga ee 2. 2 10002 40002 En voici un extralt : a LOG. E(G). DIFF. I. ul. lu. 1.126 i 9.975 765 845 450 l 167 816 819 ( (01 540 l 7858 1.127 l 9.978 596 026 611 l 167 218 479 l 600 582 Í 755 1.128 j 9.975 428 811 152 1 166 614 897 l 599 827 l 785 1.129 j 9.975 262 196 255 j 166 013 070 J 599 074 j 752 1.150 / 9.975 096 181 165 j 168 4185 996 / 598 322 l 749 ( 560 ) B. Usage des Tables de fomet. E. 1 PRosLÈvE. — Si a désigne Pun des nombres de la progression l g ds mès Tos, ElC. 2, trouver son logarithme V. Solution. Cherchez l'argument donné a, dans la 1'" colomne à gauche, le logarithme cherché se trouvera à cóté de a, dans la colonne adjacente. On trouverait de mème a si l'on donnait log l(a), et que ce logaritme fut compris parmi ceux de la table. Les trois dernières eolonnes renferment respeetivement, les diflérences 1", 2": et 5": des nombres placés dans la 2": colonne. II est essentiel d'observer que : 1: Les différences premières sont négatives de 1 à 1,461 , posi- tives de 1,462 à 2,000. 9. Les différenees secondes sont positives de as21 à a—2, 5" Les diflérences troisièmes sont nègatives de as l à a 2. Que PROBLÈNE. — L'argument donné b se trouve entre deux argu- ments consecutifs de la table, trouver son log. l. Solution. On a, par la formule de Taylor : dl R Afla) , hh— ay A'fa) ab et eq A L s Mh—d—oN — Afa) 1.2.5 FS hi elec, ae ae i Comme les différences troisièmes de la table sont Sis , On peut négliger Jes diflérences 475, B"S, ete., comme n'exerçant au- cune influence sur le 1272 chiffre dècimal des log. FE. b—a Soit done hssb —a, ò 1000, p— , la formule précé- dente, pour f(a) — Ll(a), devient : at Ltd) — LE 4 PAL 4 EN A'Let) 1,82 pío — 1)(p — 2) A. 18 ASLE (a). ( 561) Soit Lr(b) — B, Lríd) — A, cette formule donne : xa g— Si (8) Fesons. A'A — pa P AA— A l— AA CEI AS he Es A. 3 on aura : B— A —- pA.. (7) - Dans ces formules l'argument a est l'argument tabulaire le plus approchant en moins de l'argument donné b5 par conséquent les facteurs Lr(a), ALr(a), A'Lr(a), A'LF(a) se prennent immédia- tement dans les tables. EXEMPLE. Chercher LE (1,12785) LF (6) — B. Solution. On a ici a — 1,127, on trouve dans la table A — Ll(a) — 9,975 596 026 611, ALT (a)——0,000 167 215 479, A"L Fla) — 0,000 000 600 582, AL (a) — — 0, 000 000 000 733. ga — o" on trouye — 0,000 000 601 285, te — 0,000 167 246 122, B — 9,975 596 02 6472. 5": PRogsLèME. — LI (b) étant donné, trouver l'argument correspondant b. Solution. La formule (8), en négligeant le petit terme p(I— P (2— P) Li 1.9.3 AA, donne : B—A Sopa — P N'A ze D. (a) me TOME 7. 4 PART. 46 (562) d'ou, en posant B—A —D, pd D CMA—3 A —PA'A D mar dl (d) donnera : (8) P D DOAASO—PjAA P0 En substituant cette valeur dans (a), il vient : Des Ps Í hà ce Al — (. Retranchez celle-ei de (a), il vient : D—C — (p—pa)AA—3 (p—P)A"A 3(P TP) p—p)A'A. Prenez p, s—i(p 92), on aura : D—CG— (p—p2)L AA - (pa —3)A'"AJ, d'oú : D—C POP RA TP DA: Mais on a — p, done enfin b—a--1000p. sl, 1000 APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS FE. Nous donnerons des exemples pour deux sortes d'applications de ces fonetions, savoir: 1" pour leur usage dans la détermination de la valeur des intégrales définies , 2. dans la théorie des suites. A. INTÉGRALES DÉFINIES EXPRIMÉES A L'AIDE DE FONCTIONS F. 107 ProsLèxe. Chercher la valeur de chacune des intégrales rr di ab an 2b e En e— o gia: 2n p—a at de r de, fs Pres de, (——eeerdr, 0 0 0 Le 8) le 0) L f cos Dr er VE dr, Na a" cos (Enx - 2bx)e tt dr, 0 0 4 (563) Solution. 12 Si dans les formules co i 1 i He ree DE), -Q pi T Gus farta tg rnd-3) 1.5.5... RE ar a mes " en: Ad on pose rs d:, Zzs— 2", on obtient : di Vs i 1.5... (n—) V 7 —atat 1 On p—a2 27 dot da É 68 f um f. ec d'e de — TINET ( 0 0 (20Y7 4 2. An fait n—0,1,2,5,.., en ajoutant les résultats, il viendra : 9. En multipliant la dernière par , puis, après avoir co Li ob, (Eba) feren Xa tia tel 0 Mais on a : Eaba Ju ee (Day (202) L'ha dBA mA j IC. 9 d'a PEE ET Se) Done : qo SL be LL g—2b2 V (—) L ferri e L ) ea — ea (69) 0 5" Si l'on pose dans celle-ci bz—mV —1, elle devient : co re ferri cosAmxe— rs e LP. (70) a 0 ( 564) 4" Diflèrentions cette dernière, n fois de suite par rapport à Ò, après avoir remplacè m2 par ò, il vient : ds d' cos Abr a, dl ES CRAI TER Di ad ae ame 0 Mais on a : Data — ny eostina-hate) , die dé Se $ dens 1), a EN) L Ò a gfail ere)" 122 o) cec le, Ps on a donc : (71) x Cos En b9paje—er de ma (—I) Mn, Ja "a . 1 nín— a n(n—in—2 (a —5) TIC A Le ls) a (spN— 278 PROBLÈNE. Chercher la valeur de chacune des intégrales co co co co up ae: DA bedo d pia bo di d'e ba a 2 a 2 a 2 2 0 (ex) Ó (e-2) lats A o Le 8) Lee) aRE El blat cos badz, VE af" sin edr, del vid, 0 —o 0 I, a(a-E1) A lar de lat Jeosbada , fi El 4. ea Jsinbade. ( 565 ) Solution. 12 On a, par la form. (15) du 2": livre : co y es eosbrdx — A / rio Multiplions les deux membres par ye-te—dy, puis intègrons entre les limites 0 et co, il vient : se —aggj co co Lles: AA d yerte dy / ertt eos bxdx, 0 Ep 0 Q Le 8) Le 8) l — Íf. eosbadx / ya let qy, 0 0 r(a) ss f cosbadxe ——— 5 : eta) — eh "os badx ebay d'oú l'on tire : cos badx 1 gre Idy (79) cos là h he gJ very dl Multiplions de méíne la dall co f DE a Mer amada 5 by 0 ar ya er dy, et intégrons entre O et co, on obtiendra : par y y, 8 OP al pd ea -/1 a—l e— 314 fi e sin bxdx by í 4 - f sin bxdx fi gre Ctaqy, 0 0 qQ A r(a) — ——— 3 d $ fi sinbadz Pers l one b My dy ea UP pe, ( 566) 22 Fesons dans les formules (a) et (8), d— 0, elles se réduiront à Le 8) o (74) / cos bada 1 yedy Me a egares REUS L/ xa r(a) 4 b: d- y , (d) 8) co (75) j. sin bada 1 bye-ldy h i xi El Ta J very . (6) Fesons y——bz, ò étant fini et positif, il vient : Le 8) co (76) f tos badx pea / zadz (a EA hac a 3 da "0 x Ta) 0 1-2 co co (77) De bede OO bem fs et (8' mt OO da Ces formules ne sont d'aueun usage quand a est un nombre entier, puisqu'alors les seconds membres sont infinis, excepté néanmoins, pour (87 le cas de a—1, qui donne 17. Mais il n'en est plus ainsi lorsqu'on a, dans la 1" 04a41, et dans la d'e OZ2a42, en effet alors les seconds membres auront des va- leurs finies, que nous allons déterminer. Pour cela prenons la formule co P1. (1 uv T er os Val. d Tu sin 4" i: i Ps trou- Fesons uz— 2", et successivement fue gi on vera : co el J: gedz Ls Or L: —— $ — SP 5 data: Qcosjar 4-2 9 sinjar done les form. (a", (87, deviennent : Le 8) a—1 (78) cosbrdr — b , OZa4l, (a 4 a i Elm) 7 9 coss af Sin bade — be ge 79 je L Ú LA 19) xa OT Fa) Jsiniat o eat é 0 ( 567 ) Pour asi, EES —V 7, il vient : 80) Degee me VZ. (7 4, dl Pepe 26 Va Si nous fesons dans celle-ei x — 6", Mort, dx es 2tdt, on trouve : 81) fes (be)dt — fa sin inde MV —— (8 26 0 0 Les form. (7 et (8 se contractent chacune en une seule , savoir : de qe v— x EES T ioV.— (82) EE Ni "5 e" $ co — Reg IV 3 (85) (dt Ver diz— 5 VE e I 0 Si nous prenons les intégrales entre les limites —oo , 06 , On trouve : se) co (84) f cos (b dim f sin (bE)di — , XV ÀREIT PI I 4 89 f d'ar V D.T, — È 52 La dernière, en y posant l— 2 pe donne : (86) /: Ger gp ze NT T 4: Comme on a E(l—g) — 1 h: 4 Si i Le) 2sinjancosigr " Edga fait de plus, dans la form. (a'V, (67, a—I— qu, on en déduira sans peine : Si ola (87) for cos had — ae" SL P 0 L ió R r Ed P : (88) fe sin bade — cd iases , —t al. 0 (568 ) Ges deux dernières peuvent ètre remplacées par une formule unique, savoir : ee) (89) fer del qu — 8 gina A 3 h 4 b 5: On a identiquement : aa, La Em de y —— Ds — yts done : co y" av2 be eq (Es yi ed a fred R fs dy4- y Ai y: d'ot, à cause des form. (z) et Pa $ Mató Cos badar "Gos bed a Fa) (e)- (ana ax x)s ds F(a IA (al a)sie qai Bed, à cause de a RO LT(a--2) — a(e-- ) F(6), il vient : Da dues ) a (90) fes li rar He Rei — mia 1008 bada a - En liat de l'identité dan ger ei et en opèrant comme ci-dessus, on est conduit à : DT j b aa 1) , . 1 I EA a (91) f fi bas d- G ges isin badr — em 99 PROBLÈME. — Chercher la valeur de chacune des imtégrales : co co 1 cos bedx ei xsinbòx 4 (a. xejet4 2 4 (ar a"jat 2 Solution. On a : Le 8) let) ga Sa ds is ls d'es cas (369) co i dij : f zEe—ta'tr')eqg,. (a RN. Mt De, Multiplions les deux membres de celle-ci par cos 2cxdx, puis: intégrons, il vient z d'ou l'on tire : "Cos 9eard ds $ COS / 2 — i —p : dE cos 2erdx fi creeiaege:,. (a Pa P(ed-1)4 A co qo ls f gle—d'igz ferri cos Dcadx , i ried-1)4 2 o al i TP, fre al cia cies r(ad-1)4 9V z VR Peira La ga LED 2-1) Vaz Q: En différentiant celle-ci par rapport à c, on trouye : co nt. o x sin Jerdx x cv Qe— d3 (aa) de dz (8 H (a at je 3r d-1) Val ed / 0 0 a Mais soit pla LE) — cial, il vient: x sa DV ac) me EH 26, done s(a--9V ac) — (Nre EV ac), 4) v si co Le —,. de Nave ig dE (a 9V ac) — — (—1)re e — J: yz SE pe (Nre ac, q en fesant n—n, n—1, n—2, etc. , les form. (61), (65) du (0 liv. donneront : 4 apry d — C: — () Es a —s Va na—H Ç (ai ee dl —2, pea ac TOME 7. 400 PART. 41 (570) (an, (ela Dan—t) i, eva V: (Ç 3 l T 99 22y ac) 24 0 ac) drete. je y Si l'on fait dans (a) et (8), 4—n, 2e-—ò, on trouve par la form. (d): di I erem — Ja ES 9: gu) Der iar mar "8 Gel a Sdiat) 1 L etc. 1, Oca L ad aca, d 4 ete. J. Pour n-— 0, on reproduit co (8) fi badx im P E sinbeda mera d ed ge ci da i gel 400 PROBLÈME. Chercher la valeur de chacune des intégrales co co 1 fi Ja em eosbada,. fi ( — Jaf—i e—ts sinbadx , 0 fi (—Jer cosbadz, fi (er sinbadr, d x 0 0 71 74 fi (—a te edr, fi (—)jem dr. Me A Solution. On a : Le 8) dP r 5 gle te. (z) mb m 9 Si tl 1a Dc aa l'art DS PE AP (5971) . Diflérentions par rapport à z, ona: a 2) dre) fi La erede) , me, de ríe)lm) (8 due mb ha. mm Tal mb i ' Mais on a par la form. (48) de Gauss : dE) d— ah v UE-Qf vu de ral —e i Es es CSS 0,5772156. sats Mel p—mxe De plus dis, S de mera A), donc (6) devient : de fu agenda a a rant) Re a RS — del : Ni en ehangeant les signes : 1 94 L ts Ea) ra —r- xi ( fites DE c-lm à ED dx. Fesons ici ma LV —I — e(eos eL V —I sin 2), il vient : eo EE A te MEL Le AA letleiVI)— 0 x (ay —I a Ter, EE al. e I-— 2r j i Pia Comme on a —-— —e (008 40 —V —1 sin 4ç), (a LV IS o AoeBer Val —I) — (ar --03) are as ml dv —I, la formule précèdente donne : o Do 1 aa: fi pe cos bede —VÍ/ —3 fi . ja sinbaeda — Qi 0 Ma) f.—ar— Ne. i gp merlets del ria — 1 o qv— i — qf—1 073 : Vory piel sinpejedle— —el— tec el P i o Ma çí (572) Cette équation , par la comparaison entre les termes réels et ceux affectés de V —1 , se sépare en deux autres , savoir : (98) fi) an—l e—teos bada ls Ecos ee-lç-d- psin ee J 0 Lglet T(4) Mb o Bei x de di é 0 I—a (96) fes a —le—es sin bada — ra (sin eqelç —p cos eq J) 1— APS PA Ps — mole a Si dans la form. (94) on pose ei, ez", qua donne : 97) fibjerede—: 0 MV tebimy38). En fesant dans la mème form. (94) e—1, elle se réduit à co 1 1 98 — Je Ne —— . (98) Je de sa fem) Pour ms a LV —I , celle-ci devient : co 1 dids fiyer (cos ba —V —I sinbz) de — 0 E (eosp—V i sing) fe 4- qLeV—I) 3 d'oú l'on tire : 99), fici Je—ae cos badz —— ls cosg ls es sin 1- ceçeose J— 0 Tac L als bareig-) : o 1 i ig È (100) Jip)etesintader Ç Lsine-ls— pe cosp-beeesinyle 1 b —é Dc ió e — a LO6 P PR a aretg—). Da a da aa (are nya a ea EEES EET ar ET d Par a ( 875) En posant dans (3) m—1i, il vient encore (101) fictierds tv re 22). AD 5": PRoBLÈvE. Chercher la valeur de chacune des intègrales feostearesga) dr sàn (parctga) dx 0 (1-e3)3P xa 3 0 (1 23)2P xa 3 Tm 2 2 feos px cose—x cotsxdx , fon pr coss—x cottadz , Q TT MT Ll 2 ET F cos 2r cotiedzx , f sin 2r cottadzr , 0 0 u3 T T — der —— 2 2 2 sin pa col rdr col—ledr re COSPT EA, ó - , ço sina . d—(2r—re) cosa 8 i —(2r—rt) costa Solution. 1: Multiplions les deux membres de l'équation qr— A ji rpa—bV —1 ): / Ú (a VV —I P (ar 0" , et intégrons entre les limites 0 et co, il viendra : (a—V—I P db db P p—I —at Va to / cri y ah R/ e de, co a db —tg — ff grteredx Ga da ba 6 0 cd cele ad ee de, (374) co (a— IV — 3 di a De e (a 1-0") b 0 Le 8) xa—l a AL xi aPmle—aadr RI derrer : l Hi a ng) acostar 2sinig 1. i D T pes et ml — — db na 4 te fe 4 —I—I p—az Eq) Lear Dsinsq / ar cCede., E(g)arta A 2 eossgr Osinig" Mais on a RE Pe il sin pe), done : fe. cos (P9) mai Pa EL, sin (P9) o ir G (a lb R ( X aa Ll EuTa veis arma dd, pag) " Xeosigr —2sinigr d'ou l'on tire, par la séparation des termes : 29 db ET Lg—D) DJ 09 ES EE 0 fes ap DR art IT) E(g) —/Xeosig"t " dd T sa É T da) (dl sin (pe) an E(pd-g—I) i (et) ip DA OO apta —C(p)E(g) Jsiniqgr " On simplifiera ces équations en posant : b Es db — adaz , car elles deviennent : 22q2D 0 3 ia T (104 cos(pe) de. — E(p--q of En, 3P mM E(p)E(q) 2 cos igr ) qx0 105 sin(pg) de pig—) l 8h dr OO Ta Em PV) 9: On peut réduire les limites O, co. à 0, di , en posant ia d dans ces dernières formules 2—tge, Ei Le (575) car alors elles donneront : : Optgel) a 106 y el dir es EA Lc Ral id, (106) (2) COS (Po) CosP—p Cots, de LO MES Terres L 12q20 2 E(pra—l) i (107). (8) sin (pe) cosP—Fe cols de — 0 Et 2siuigr) 9" En fesant dans celles-ci pe- 2, elles deviennent : 3 (108) Pe 900 pd a a REU, 0 2 COS 3 qr 2. (109) fen 2ç Colsede — SS. Fede 2qX0. a ATaE) hJ 2sin i3qr 0 La dernière de ces formules , én y posant q—- 1, revient à a Es sin Pe i 9 — COSPT qdgz—. (110) 4 sine 2 Cette formule remarquable a été donnée par M. Liouville dans le Journal de Crelle, tom. 15, p. 232. 4 Si l'on fait p—n, nombre entier et positif, qz—g dans la form. (2), et qu'on y pose : pi tn) a). en — gr) rra Torn) Egjete 2.5... n—t le - 1)... (an — 2) J fo 2... n—a cette formule deviendra : Le NE n—) Q O" 1.2... (n—l) Dcosiur " ( 576) La formule (6) devient par les mèmes substitutions : 3 (119) feeeg sinngs — ds de S'e EN da a é 422... (n—l) Qsintan: 5" Fesons dans ces deux équations n—1, 2, 5, ... puis ajoutons il viendra : T SE Ma Es P 13 Hiireospeoss 4 (recs e): Cos 2Ç - dal J cot ele sà 0 COS9 er ds Tm (44 "P ral... Erra fitreosg)sins blreosgusina, 4... LE — 0 Cos"ç a cin L, Pr 4-3 dec me Ei El a i Si l'on remplace les séries des deux membres par leurs sommes, savoir : c Se —(r Cos gç): (r cos g) cos ç -- (r cosç)2 cos 2p-l-ete. — (reosg) cosg—( 3) 1 —2r cos e) cos H- (cos q)" (reos ç)sinç F COS 9) SIN o —— (7 COS 9)" sin 2 ele, — (e006 1) EE EE pt 1—9(reosg) - (reosg)" " 144 ee cés Era a: Ces équations se changent en : 2 9 Jr de, Dl a El (A—r)At Qcoster 124 —l, co —oedo 1 El Sr) —I (114 DT di des . i í A d—(Ar—re)cos"ç — (M—rjt 2sinsar JS 0. (377) B. FONCTIONS F APPLIQUÉES A LA THÉORIE DES SUITES. Les propriétés des fonetions gamma donnent le moyen de som- mer un grand nombre de suites, et de caleuler , par les sommes connues de séries convergentes , la valeur de plusieurs intégrales définies qu'il serait difficile d'obtenir par d'autres procédés. Voyez sur cette matière le Calcul intégrat d'Euler, tom. 1, ehap. vuit, probl. 42, des Mémoires de M. Rummer, Journal de Crelle, t. 17 et 20, le Mémoire déjà cité de Gauss, 1812, le Mémoire cité de M. Binet, p. 507. a) Sommation des suites par lV'emploi des fonctions gamma. 4107 TREORÈME. Soit la série convergente e(X) EA, PF ax P a4x7 4 etc., (6) p un nombre entier el positif, je dis que l'on aura : BD a Ta, pen P der de Ta" BE Z TI E TD ESy $ pie Ei un LE ar —a)ie(a)dr. EP) E(9) 4 di pdège Démonstration. Multiplions l'équation (a) par are —a)s dr, puis intégrons entre les limites O et 1, on aura : 1 1 fi ar —e ja e(a)dr — ae farit— a) dr 4- 0 0 1 1 a, dd ap — a) da -. a, fi api — a) dx - etc. , 0 0 o Q E(P)E() ro 1)r(g) r(PT-20) te nptg TE 'rpblE) Tag T es (PT) Es PEP) q) a i pp rq) rota otorptó obrgeteti pg) i o ria) pa, plp-—-1)3a. F(p--q) de pq ca paper) Ses me TOME 7. 477 PART. 48 (378) d'oú l'on tire la formule demandée. Les deux théorèmes suivants . proeèdent au fond de la formule (115), due à Euler. 2" THEORÈME. Soit la série convergente (0) a, F aqu de au T ... (2) En supposant xX1 , soit fiux") la somme de la suite f(Ux) EE a, FF a,ux" I a,quxja TL... (8) dans laquelle y4 est positif, si p est un mombre entier et positif, a un nombre positif, je dis que l'on aura : 116 Lo au (116) ala-1)...(e-- p—i) Mrdaieia Gi Lali qu, TitEmeriecil rai Os 1 sl a —e)eurf)dr. rip)e Démonstration. Multiplions les deux membres de (6) par ae —a)r-dr, puis intégrons entre les limites 0 et 1, on aura : 1 1 AN — x)r de fluas) —s a, f ad —a)r da -- / / au f A — a) a A ase fe RI —a)je-tdax —- etc., 0 0 i CPA i Ciíprabg) , —, rípríe-d-2h) — ng Ed au Tota Cd Ta ue Der E JE d- etc., — pla: Est - — EPI EN abr ra) re 4) aque al abat et) Pep Nre LA) 2 Da -- 24) a, uU GISA Mi. afe pa i ao) etc. 1), dat qe ip ve ( 879) (le Ge IEC Claeirerateteipn au" -F etc. 1, Fe ea ah" 947-1) ... (a 24 -p—t) d'ot l'on tire la formule cherchée. EXEMPLE. Soit f(u) — (MP nu an ge des , Tu —I so i 1-2 on a ici dl JA, QS , ele. on a donc par la form. (116): 4 nu dat) (abr Di Giaatet i. te betr 1) d- etc. 1 i XI — ge dell ua)". de) és Soient, en particulier , d— 1, e— 1, p— 5, n— —1, il vient : 1 u ve CEEB CTT UCI Pd ami 1 — EE o — eur) dr, 1-2 0 ' 1 — Le 2) si db ua gi Re ds adx a'dx Tu Lin 3. Vi i de. A. len i qu ue ( 580 ) 59€ TUCORÈME. La sèrie Í(u) ss a, T au au" etc. (2) etant convergente , si, en supposant xX1, on désigne par flux) la somme de la suite Í(UX) — 8, a, (ux) - a.(ux): H- ete., (8) el par p un nombre entier et positif, on aura: (7) a, ee ud- rati , aut de ete, 1 i or rue. TCE apro a Démonstration. n étant un nombre entier on a : 1 l(p 4 2)E(q—P) Tn—I/A. —p—l Deia fo (A —a)a—1da VT EES) PEN) tn —i) Ep) (a—p) qiq-H1)...(q de e—t) lí) Multiplions les deux membres par ant, puis fesons n—0,1,2,5, elc., on trouve, en ajoutant les résultats : 1 f Ada tarde OF, 4 qe d- : P) a dt EXENPLE. Soit Qu) le is En Die ete, Puxy—l Un aura: au ea s ei et oiiear P): a es EAP a la fera ae (A — na), — Fi e—n)/ ( 581 ) Pour us 1, le premier membre ne cesse pas d'ètre conver- gent, et l'ona : Dpír- Ft) i Pal Tre Tag i D 1 cs a EQ) gp —a) tx Eplg—p) / d- etc. EF E(p)U(q— p — a) Led aq ge DL ESA F(2)5(q— p) F(q—a) ie mel o Pg—p—a Soit a— 1, celle-ci devient : pp) LaErg—p—t) EEr T aci) er Flg —1)E(qg—p) (q— DI (q—D) El (q—p—nD) Eq —1)E(q—P)X (q—p—I) "7 Re: moli pa tren El qo pH. (119) Ces deux dernières sont dues à Gauss. Les formules des théorèmes précédents se rapportent aux fonc- tions d'une seule variable, mais il n'est pas difficile d'étendre la sèrie d'Euler du 1" théorème aux fonctions à deux et plusieurs variables. En effet, soit Í(u,0), fonction à deux variables, la somme de la série convergente : fu, 0) — ae - au - aqui" - asé "P etc., - b,0 H- b.u0 -- bauiv —- etc., cs 0t cur" -- etc., etc. Si x est compris entre O et 1 , il en sera de mème de d'—1— 2, par suite la sèrie suivante restera encore convergente : fu, VA) — de T a (uz) F a(ua)" T as(ua) -- etc. P bi(va') b.(ux)(va') -- b3(ux) (va) L etc., A. ca (va')t 4- cs(ua)(va')" H-ete., etc, (582) Qu'on multiplie celle-ci par aP—(I—a)ja—dx, on obtient en intégrant entre 0 et 1, i i n PI — a) defuz, va) — ae fi PI — a)a—da -- 0 0 I i 1 at ferit — dr a f. qr —a)a—dx -. etc. 0 0 i 1 d- bo ferit —gjatt—dr 4. one fi ari—(I —ajat-da -- 0 0 i 1 Pbso fi ar —at da de etc. P co" É a — ae dx 0 0 1 Peauo" fi ap — ae) te— dg -- etc. 0 4 etc. , Ed) Ep NE) $ Plede RElg)r ei Tptg Ò "Tibet VO Tebeta Ç E(p)Elg--1) F(p FN) 4. TF 2ElgFI) Ò, IPE V PEU BE EA VS" Z 2 e . rn EAue Ep Fq 2) Rda Or PET ES) À -- etc. , FC 2) , Ep F DC 2) Tere DO era -- etc. o F(NE(g) p plp--1) ó Te E(p--g) etc pas - (pg)ptgr-1) qu TF elc. q pq pp 1)q dE Lcds b, di Tpeg Et (pt q)ptq—1) Al (pq) p--q4- 1) (pq 7-2) bsu o -F ete. q(q--1) cel p-a(g TI) Ccsuv" -- etc, i (120) On tendra aisément cette formule au cas de 5 etc. variables. tara ED i prDett Der D (385) b) Déetermination de la valeur des integrales définies par la sommation des suites. On a, par la form. (117) 3 Í(u2)— a, F a.(ua) -- etc. (4) r(p) pie Bis P pren, ar — a) (ua)da — Bet e au d- Ep ant P etce., (8) done si on determine les coèllicients a,, a., a., etc., de manière qu'on puisse sommer les suites (a) et (8), on aura la valeur de l'intégrale définie qui compose le premier membre de la form. (8). 17 ExEMPLE. Fesons dans les form. (a) et (8), um 1, x—sin"z, físin"z)—e(2), cd SO l'ob Cas. : Ri, 131.9 , Etc., on trouve, a 2 ad A (a) fe)ea— Ú gBsin ce 1 i 3 ae sin zí—ete. —:eo8(2q2), Ds El 9r i (8') SE fines CosPd—EP—1z egs (2q2)d2 — (EE AE) que POR pd (form. (118)J 3 33-12 OO TGtorG—n) Corollaire. Soient ici SA Ç qm fc ea on aura, à cause de DE) 2È7 VV 2r eq), / sin" coss"tz cos (4 - c)zdz — Legls Po coster MP ie0. NO Pe--9) (191) T Soit BE —y, El ehangé en ç et vice-versà , ( 584 ) cette dernière deviendra : T — 2 . T f sin 5 —peost 5 —n os (et rn) — 0 CAC, , i —— 008 167 Pet) 7 donc, en développant : T z) cos (6 ç) z feosey sinf—y cos (ul s)ydy - 0 TE (eo r(a) sin (ul) 5. coss—ty sins—y sin (ec) ydy — a del COS 347 5 0 à la place de la seconde intégrale mettez sa valeur donnée par (121), puis changez y en z, vous aurez : T -— 2 . . I r(dr(g) . 1 1 p—1 G—I Ei és o gin t dNSsu 0. fen Z Cos"—1z sin (e--e)eds — PR sin34T , Dau 0 Que EXEMPLE. Si nous posons dans les mèmes form. (a) et (G), Lu M MM, ls —— — semen ——i es vn 1 Es SG, Qg SS 1, Qq SE — — 3 da HB a ç P dd: lormó, D , £.1 1.1.1.2 etc. e(z) COS 4Z, On aura, par la form. de Gauss (118), uo h P, , PP) qua Gus ena ns dE s(s— DS HI) (AA 1 ee 1) — OlC, — ) Eq —)ríe— 5) ( 885 ) et par suite (6) devient : Li 3 3 r dege als costs —z cos (ez)dz r(8)T (9) gre—i) / r(e 2) e— s Posons ici ç — ur , il viendra : 3 / (cos gp cos (ez) lz — ir 1) À ed eta EE) Cette formule est due à Cauchy. ( Rap de sur les Inté- grales définies, prises entre limites imaginaires, pag. 40). (199) e) Développement en série de la fonction (3) (d—2a cos x Fa')—. Cette fonction qui se présente fréquemment dans les questions de haute mécanique, notamment dans le problème sur l'attraction des sphéroides, a fait depuis Euler, le sujet des recherches des analystes les plus éminents, des Laplace ( Mécanique célèbre, t. v, p. 335), Legendre ( Ezxercices de calcul intégral, t. m, p. 227), Plana, Jacobi (Journal de Crelle). M. Hansen s'en est occupé tout récemment dans un Mémoire publié à Leipsic, 1849. Nous donnerons le développement de cette fonction d'après Jacobi pour le cas seulement de s—4Y, et celui pour une valeur queleonque de s, en suivant la méthode de M. Binet , exposé dans le Mèmoire cité, p. 951. i Ed Développement de la fonction (l— 2a cos x -- ay 7 suivant les cosinus des multiples de x. Conformément à la série de Fourier (57: liv. form. (47)J on a: fl) , ss 3 A, TA, Cos x -- A, cos 22 -- elc., V 1— 2a cosa a" TT 9 cos nxdx CSS — a V 1— Jara" TOME 7. 40 PART. 49 ( 586 ) il s'agit d'intégrer An, à cet effet on a, par la transformation , liv. 1", form. (56), TA Cos neda i fe sintudu sS— . 9 V1—2a eos xa: a V1—ar sintu Mais on a : 1 GEN, 1 4 Vi—arsintu —Vl—a' Dec — X 4 Malta SP 46 i Vi 1 ra, 3 45, a vo d (—3 Ta COS U d'a as paio Jcosíu— etc. 1, done : 2n 2 J AE ru — Pers 3eudlleceçedy, A — SIN e COS" Ud Vi—asinvu Vi—a I—a JL li.i( I — V'sinteu- costudu — ete, J. Or, on a en général : x T 2 fm CosP udu — 2. f sinttucosPudu , Ll 0 2 -/ sintu) (1 —sintu)P 2sin u cos udu,, 0 1 Ei feu — P "de, — en fesant sin'ussz, 1 a 2a BM a pti ie 0 rada) pta) Tap) 7 128.5... On—I Va. 1.5... 9p—IV mM ami .9.5... Que 1 "515. (2n—t) 1:5:B ... (2p—I) 24.6... En) CPD En, Entap) ( 887) done : T u3 (493) A, — 9 cos nedx En Ja" sintudu 78 VI—2acosa pe OT VI—atsintu RI Bat A BP Ei —tj2 tacat MO -.. (En) A i 15... (Qp—t) a a vl, Q.h... Ap OO (En -F22n 4)... On--2p) H—a ) De5 ... (n—t) Ja" aci 1 ( a. vi Qeh ... (2n) — ya i On--2' i— a" 1-5. 1.5 da fl ee, 4 2.4 CEEC TEA NS mare) TES 2:. Développement de la fonction (Il — 2a cos x -- a). suivant les cosinus des multiples de x. Soit fa) (1 —2acos ad a') SS 3 As HA, Cos x È etc. F Ap cos (n8)-F etc. Il s'agit d'avoir l'expression dè A, en série convergente. Pour cela, développons par le binóme de Nevton , les facteurs du produit (1 — 2a cos 2 Fa") — (N— qe —yy 1 —ac et —)— ) et cherchons le coèfficient du terme du produit aflecté de ne —1 d. cone —1 I 5) — COS 1, On trouvera pour ce coèfficient : ars(s-- 1)...(s-n—1) pia. 818(8-1)(81-2). ..(s--1) TE EE RR d des EE Dreni dP quia s(s"-1) 1 s(s-1) ... (STn--1) 1-2 1-2... (2) Mais on a, par la form. (12) : s(s d-1)...(sF—h —1) B(5,0 (sets et 1). FL —) Si l'on fait ici 8--t— 1, B(5,) 2 Bel —) ss ——, O4s41, sin (78) on aura : edu. ed) 4 cie ada hia d-2...h "sin(ts) A,—21 d- etc. I. B(s--h4,0— Oasal, (388) 1 ES RE OI Cal LL en DO ou : fer (—a yi lda — 1-9..h sinfes) 1 dà EE frare 0 Fesons h sn, n--1, n-2, etc., on aura : i Al la vel L ante—lda(d — aus Le 1 1 a s fartedati —)i—— d at s(s 1) fi qatsti de(t ——y)— —i Es etc.) i 0 dr . 1 È pe ge farrt—a) della 2a Je Si da atmdete), 0 1 a fi gats —a) del — ar. (194) 0 Cette formule suppose 0 X s X1. Si s était plus grand que l'unité, il faudrait faire dépendre la fonetion proposée f(x) d'une autre dont l'exposant s remplisse la condition 0 Lís Ç1. 2 sin (8) T Corollaire. Lorsque n devient un grand nombre la formule pré- cédente prend une forme très-simple, car on a —ea—t—a dr ed—) —(—e) I EN, a. et en supposant —— El il vient : sa (1—2) 1 —a" a ea) de VP d—a) (d —a'x) i — (I—a)— (I — 102 — etc. J Multiplions les deux membres par atts—lde(f —2) P, et intégrons entre les limites O, 1, on aura : sin (s dE P BA best —3)— Es E VB(n-s, 5—3) 4 ete. J, Le B(n 4- s,2—s) H- (3890 sin cor ss SE 3 ela ns, I— Ui —— I— a" dE L4 s(s — Nat (M—sy2—s) EL dert (1 —a) (n--1)(2 1-2) s(sd-1) ... (s IH n—t) ai 2. sin (es) a s(s—1)...(s-bn—t) a —(s—t) L 1 ga (1—a')' 4-2..n i i ee mia s(s 1-1) at OO (s—i)(s8—2) . tc. TE ES en ed Cette formule est due à Legendre. ( Exercices de Calcul inté- gral, t. 1, p. 277). Mais on a : B(n ds, —8) — done : (198) 83" SECTION. DÉTERMINATION DES INTÉGRALES DÉFINIES AU MOYEN DE LA TRANSCENDANTE li-x El : 0 M. Soldner a publié à Munich, en 1809, une théorie et des tables de cette transcendante, qu'il appelle logarithme intégral, on peut donc s'en servir pour en faire dépendre les valeurs d'autres intégrales définies. A cet effet, il faut d'abord réduire l'intégrale dl ler — (Elx) Llei. (Ex le . - etc. Fc, d 1-2 1.2.3 cs0,8772156 ..., à des limites constantes. Le signe supérieur de l(-Elx) a lieu pour 21, le signe infé- rieur pour 21. ss AIS 1: Dans am TE, faites x say, on aura 0 1 d li. emef iq sn, (a) ( 590) 2. Fesons dans (a) y— c77, alors il vient : 0 co ham f( CEL dr pc À (8) o la—3 A la—z 9" Pour a— 8, a—ert, celle-ci devient : co liramlit— e /£ a h (7) e u—z 0 to—ad lia — lle) —— 5 i, ) ali) e Eiis è) 40 Pour zsux, celles-ci se changent en : co Í 4 etidx life) —e —, e) li(e)—— ef : (7) 0 tandis que l'on a en série da UC IE EST. y (en) — eh lu Ps: cd PS 133 d- ete. u u vó (er —e —— dni at EI: 6. t(e ) cla pt: 4.9 3 Tocs T die Cela posé, résolvons quelques problèmes. 10 PROBLÈNE. Chercher la valeur de chacune des intégrales : o co ec) frcectiea fi ur —e—ihi(e du , fertite)de. 0 Q Solution. On a : ge tegzefS da 4 I—a (G) (9) (391) Multiplions par uf ler udu , et intégrons entre 0 et c0, on a (196) Les efi (du — teu di i 0 0 Histènes L 02) Ra jÀ da fur ce exdu J I— 0 0 co CO te Eu) pol die. (a—I bat ) h, dx Th af q — a—l at p A, Corollaire 1. Soit axm1, on a: 2 ee l—h—1q foren — Fe) i À (4) —Ix 0 Mais à cause de la formule (58), 912 livre, pa—i de T 8 a ME mé EA 8 JI tg am " Pets Pa il vient : xi xi F l (127) fue E0. Do D0 UA), es És Corollaire 2. Soient a—2, e—1, on trouye free ff da me , L . (I—a 1-2) co Bo dx I—a sie Es RR , sn ma /— , pour ade V z, — 0, d'après (8). ( 399 ) Que PROBLÈME. Chercher la valeur de chacune des tntégrales : o co qo EA uP—te—ta fi(er du, pt uP—let li(e du , quo li(e "Mu , 0 0 ao f er li(e-)du , fitentie su, devutes du. 0 salir as les deux membres de co : edr Re arena PEL et intégrons entre O et co, il vient : par lle du, co i es ci uegj fitce te yd— f UP—I eq — he : x 0 0 0 T co co les cd es difon 1 DE mirbd ii) Ll 1r ho Ec) l Je: Gi El dx —— Fe) i /. roerirgs 8) Corollatre 1. Soit ase—1, on a : i uP—ltes i (e du — — a er gr) du P EA 1a af hr Ed EM sin(1—)2 " Don a (129) Corollaire 2, On peut donner à (128) une forme un peu (393) diffèrente, en posant , mt, Code alors on obtient : 1a der: dé 0 / uf—le—auji(e du —— ed Et Le I 0 sea a zH—1dz —I Be ar a (190 Corollaire 5. Pour a—0, eelle-ci donne fi / fue li(e dus Li (151) 0 Pour el, la mème gia feta fa REI — (EE a ef (152) 04 — Pour e— i, la mème lies à: fe Eema ji (dus fa 0 V a(l-Faz) TEErIM soit De ona: fu —i ai du TG La 0 are I 10 Soit 450, on a .: 1 Nicer or a EV ir), ns EE VE 9 Bei BECA A ce IV a V 1a). Done : Mrtes li(e du — ae a Ia) ei Va 0 TOME 7. 475 PART. 50 (594) remplaçons 4 par 42, on a : feria —— V- Va T V 1a) DO: (188) 0 20 Soit dc 40, on trouvera, par des procédés semblables : fercite due —V arcsinV a, —adl. (134) 0 Corollaire 4. Fesons dans (152), a—a-bV —1, en obser- vant que la bV —) lab) 4 V —I1 are g-, il vient, en séparant les termes réels et imaginaires : o alV (1-La)--b2 J. barc Mi fer cos bu li (edu — A Pr , 138) 0 I si bIV (1-0): 4-6 —a aretg Es 3 feria bu li(e du ——— a: na — ——, (156) 0 Pour a——0, celles-ci deviennent : 3 tb /. / cos bu li(e "du —— se 7 , f sinbuli(e du — de Ll i 0 0 Voyez sur cette matière l'ouvrage de M. Sehlómilch ( Beitràge zur Theo. bestim. Integ. léna, 1845, p. 70, etc.) OFIN DU QUATIMÈME LIVRE, 8 ESE DS IS VO CIC CI OSIO LO RICS DOSI OO SOS SOCI OSOR SIS El Ve: LIVRE. RÈDUCTION DES INTÉGRALES DÉFINIES MULTIPLES. Il s'agira dans ce livre de la réduetion des intègrales multiples en intégrales simples ou doubles, dans les cas oú les limites des inté- grales sont constantes ou bien variables , et données par une équa- tion de condition. A. RÈDUCTION DES INTÈGRALES MULTIPLES A LIMITES CONSTANTES, h PROBLÈME FONDAMENTAL. Soient Ux, U,, Us, ElC., Vx, Vy, Va, Ell. respeclivement des fonctions de x, de y, de z, etc. u, une constante, soient de plus US Ug d- Us Tu, Fu, F etc, (1) V ea Va Vp Vs cie, (2) el 44 une quantité positives on demande de réduire en une inlé- grale simple, lV'intégrale multiple ef dxdyd Vdx Dau ls (ff. o di yi te Solution, Gomme on a: Co r f e—tdte —— te) 5 pd u Bea 1 1 U—lteritdit, ( 596) Substituons cette valeur dans (8), on aura : : pe eotdt ff f f. vdedydz. ... (a) Ta) (8), da nous mettons ici de di u et 0 , respectivement leurs valeurs jet 2), L'egue gon (ze) devient : 1 Era — (uo Tu, a, Tu, dEel je fes sé LE i Us Uy Un. dadydz, 174 pere R 8 RG fi te "qe f ve "ar a ji me de .. (8) 0 a / € Les intégrales étant séparées , supposons que chaeune puisse 8 3, SUPp se déterminer par les méthodes connues, et que l'on ait en par- ticulier : £ ) 1 f se de—oelb) , ve My : / ve "que xit) , etc a 7 l'équation (8) deviendra : Se OA pa ET CR Vila men i D 8 co L'on voit que cette méthode générale de A qidoRell se rattache, quant au fond, à la seconde méthode de Cauchy pour la déter- mination des intégrales définies. Appliquons le procédé suivi dans la solution du problème fondamental à quelques cas particuliers très-généraux dans leur espèce. 15" PROBLÈME. Réduire lV'intégrale multiple co qo 9) $ t m—ijm—l ,p—1 —(axtbytezt ...) 8 (ff. aa ES dat iii zo dedydz... (e) El dr (E--ax-b-By 12 T ...) Solution. On a ici : de eo etaad By breu) A des Ed) v o (Baby ra.) ( 897 ) d'ou l'on tire : 1 A feies FO bre et, ham ya OT 8)4 En substituant cette expression dans l'intégrale proposée (2), on obtient, en séparant les variables : MR aelg —ht m—i em (area, S— RG a /' de f: 3 ele GtB0vgy fue de... 0 0 Mais on a : É lada g, — Em) (a at" JP — (body, — EM) fu e dy — (b- 80" Li Le 8) p—l,— (ebre, Ep) fe A da (en 0 etc., etc. l par là l'èquation précèdente devient : En) s P).. P—Ie— dt 4 o b-LBD(e 1t... 8) At COROLLAIE. i Si la formule (4) ne eontenait que la seule variable x, elle se réduirait à : da 4 EQ) fetge R Brai Te) J aa Changeons dans cetle dernière £ en x, et posons ami, E—1, elle deviendra : fs RURMANCÓ fes Em Jara Tos Tap ( 598 ) Différentions celle-ci par rapport à m , on aura : de "aa da — Fím) fr / 1 El bar De) (A aa)" 4 TEA) T dm) ha dm cs ba ef, le) de (Ar aa)" Mais on a (iv" liv., form. (48) : 1 dUm) dIF(m) fe Tia RO CAR EN done : co co (6) de edr —Flm) f xf-dx 1 (Far Tl (ee)r3 (ar i Il ax ió qi ds P gl— dx dE Tal ed / RE el/ rei 93€ COROLLAIRE. Faites, dans la form. (4), axbsse — ... 20, vous aurez: hi / f SET aa A PE dberbey tel) E(mC Ep... fe (—1 ei Dg Cd (a...) i EEES Das ima A al mb P fe ger: F(M CC)... i De—m—n—p..) i Es: CPP... DA setena i 69: COROLLAIRE. On peut donner à la formule (7) une forme un peu plus géné- rale, en introduisant à la place des variables primitives £, 4/, Z,.eg ( 399) les nouvelles variables É, 4, $,..., liées aux premières par les équations em il, ra, ZERÇ,.. On obtiendra par là : dety n—igp—i ma ns dydz... LI. (Ab ax By 13. . qyu Es co Eu ga—iyep —i Die 4 a Out e///- Gra i PL dE dy dE... o DMCA P)... i Els —m—n—p— ...) o am p P,,, MIT rer emit a ç Posons dans cette équation L U ne nN id matant eres ppm En, amat, 8—V, JjesC, Rel, remplaçons ensuite É, 4, È, ... , par X, y, Z, ... , puis òtons les accents, il viendra : SA I a 8 /. R d. re Que. m n p P MITSNIFEN:. i rela Era i dia grs... Eigjarbre"... q r $ AS COROLLAIRE. Fesons dans la form. (4) E-0, on aura : ff A e—ertirtet ja dyd e—íaz yi CZ TT... X y L Jan (ex b By ba. OO CENT (P)... ds t—dt i Tu) 4 (ara) Ben... lei l'intègration indiquée dans le second membre pourra s'effec- tuer, en effet, si l'on décompose la fonction rationnelle 1 (a-bat)"(b- 80" PP... en fractions simples, on aura une (400) co 3 dt sl suite d'intégrales à déterminer de la forme / ——bq4 : Màis en 0 Ti) posant tens , cette intégrale devient : Í co 4 id xi—da di EA (u—A) TEC Dic, ME COROLLAIRE,. Si dans l'équation (4) 4, m, n, p,... sont des nombres en- tiers et positiís, on pourra effectuer l'intégration indiquée dans le qQ DARÓ Ue—I e—Etdt second membre. Car alors l'intég. ds 0 (a-tatje (61-80 (et... se décompose en une suite d'intégrales de la forme nD v—idt i fm ou, en posantv— lA, pel 8, en une suite 9 (g EE) d'intégrales de la forme co if dl Adr Fa FA qui se déterminent par le procédé de la form. (41) du u"" liv. 27 PROBLÈNE. Réduire lVintégrale multiple DI A o vo 0 —)(— I (—)... ff FE RC cl de dy de Sa / Í Serem P PA: Solution. On a, par la form. (99) du iv": liv. : qo 1 1 GV ju i Ò EA seciiya IP Lialat-0')--bearc 6 Area ac), ec Y77... Pour b-— 0, il vient : l fic eta ma ES, (en) 0 a ( 401) Comme on a de plus : i 1 ay iber db pg tr b et, (lant eydat Org: on obtient d'abord : 40 pe 3 SG 71 — Et t fi dq—ate I e de (ze dx Si UE D hrdiaui fig a fig Mar Mais à cause de la form. (4), On a: o ui aee cla". lt Es alt El aiai at at (8) , asec--la, Le 8) NC CS A bel fig sugy — cl 8-- EE - , bc -l8, 0 Bt qo dir je lege — ia mida LA ct sades ab 0 Z "nt 7t etc. etc. etc. etc. En substituant ces valeurs dans la relation (/), on obtient : der ec ei Le. (93 Dans les ae précédents on a basé la réduction des intégrales multiples sur la propriété des fonetions gamma on peut aussi, dans le mème but, se servir de la formule de Fou- rier (110), liv. mí, pour a-0, 853 DG , savoir : fa Lf fisae—a fe) da de. 0 0 Le problème suivant, traité par Cauehy ( Journal de V'Ecole polytechmique, cah. 19), montrera l'usage de cette méthode. me JOME 7. 5 PART. 51 (402 ) 59: PROBLÈNE. Réduire l'intégrale multiple se / h. far". 8' 4...) cosaa cos bB ... da d6... (4) — CO — L) n etant le nombre des variables a, B, ... Solution. On a par la formule citée de Fourier : co c f(a)m - Si feosate—e) (4) de de. (8) 0 0 Soient a 67, e— 7", les limites des deux intégrales ne chan- geront pas, et l'équation (8) devient : (63) —f fesoe—o frejoderdr. — (3 0 0 Soit ds a. 8: . ..., celle-ci devient : dd LD I at LG...) -l fesstexes pd. —ten ederdr, (ò) 0 Q En substituant cette valeur dans (4), on obtient : ss ti dd f. fos (0 (a2-- 87 . L—T") cos da Cos VB... — —e0 da dB... fr joderdr, — à la partie réelle de o od 0 db dd Ju dife itin em CO$ das COS8 Bb... fr) da dB... nia Let LO odordr. — à la partie réelle de Lee Fnsgata 0 V—ieosbGiB... / / pe ygdordr. (€) (405) Mais on a, par la form. (86) du iv"" liv. : Le) — Bb , —— ( ——. qua EV ml VH et h des ia gre V/ Eq da Let a —o i daVi avi ou, en développant les exponentielles e sc d A Ec) R Es es —l cos badx 4-V —1 LA ea VV —sin bada — 1 . Ll T d'ou l'on tire, à cause de cos ps Vs — sin—, Le 8) 3 spin . LI fe v —l cos bade sà la partie réelle de ES dd gaie Veu h On a donc, d'après cette formule : sa CRCARA fore os aada 5. LV —i A TE Me 1 Vi PE va peca reials MS. Elgsl i —o ele. t etc. En substituant ces valeurs dans (s), et en considérant que le nombre des variables z, 8, ete., est 2, on obtient : S — à la partie réelle de CAPA La lar her Ne 3r: em (r)ederdr, 0 Q des S:s à la partie réelle de v Par Pb u— 37 je I DV i Ó C pe Ta SM — qe 2 Dr ji ir"). (4) (404) Mais on a : LV —I rey 3 RV AV) m (0057 L nn RA done : here sin) mé, S ss à la partie réelle de DES, co ya RE TA $ ad: - VI ha 2 f e dar) vi 400 eL rdr, 00 — à la partie réelle de a ao... — — EA fu em te— Panteó (tea and RO) Dir, en dcidleció iei l'exponentielle, on a, en rejetant la partie imaginaire du développement : S ef faci ger — er mé Mr La dr. (10) Cette Pa fait dépendre, comme l'on voit , l'intégrale mul- tiple proposée d'une intégrale double. Cependant lorsque 2 est impair, on peut, ainsi que nous le ferons voir maintenant, pousser la réduetion plus loin. En effet, la form. (4), en posant sar. b:-..., peut s'écrire : S -— à la partie réelle de —( a LL 3 n — es dm do (G) —— í(r)rdr en Pis fi fe qi Mais on a, par ha form. a du 27" liv. : Pe Ei ea fe NA de V ed) ela d — En différentiant n fois de suite les deux membres de cette formule on obtient : j Pqeh QV Ti dx de NC EA i é e PV Dg bi vos ay dir em CO La gra —al am 1 — —V — i — — V3 8 a Ds pe I 1 pe (nm n(a—1)(n—2) , Ll Donc, à cause de n impair, si nous Gris n—li mM, n—i gr t, si nous fesons de plus as", beS, on aura : ze cs a EES Pet) V—I de V AV LA gi el e Ar 1 EET ESPA 4 OE EEES ans ga—i gr (Vs 8 0 d(z) ed ma dm ——yP—e —— a — ei 3 i TV2 (—V —Iy Lu: er (el) P qua VA gr Tt a OR AE EE a Erepe" Ed Un de 7 par conséquent la form. (Ç) devient : S ss à la partie réelle de 4 n—l - Pl PV A, (DP ga IV Ci hm2 e( 3 yr. ( pe or Va LE feya. a) UE ta , n—l EN ari ml ds 2 Mais on a : ME Vs Na der I di dianes RT fre i Dalt v: L) V9 3 4 —— NT ,y— in fmns Ab iris —— am € , 3 Ed it n—i (a—1)r ad "ES il DNS i A RED) Pag, i ent (4 antes. ae BE es Va Vaca donc :.—S — à la partie réelle de n—l n—i sa remenat rlemaiies P ds ea et (—I) 8 de Y sa A a (Per. 0 ds Si l'on développe l'exponentielle, et qu'on supprime la partie imaginaire, on a: n—i Bn cent deter i Es Se) get if £ PIN edr, Ra de 2 Ei de (I) P ga i fessd/ seda, (1) deli, Pi RN a MS (I) ee " Gats es Ús —ge)da, (19) at Dans le eas particulier oú l'on aurait n— 3, la formule (11) donnerait : qo co qo sa / 4 ferrer j cos da cos bB cos cy da dE d'7 —loas—o —no dC Le doni hr cosVÍ saf(ede, (15) a ma hd —sin VM qai vals J Vs — QO ((e)de , men ee) 9r al(a')sin (epte cli ada. ral: (14) ( 407 ) L'équation (15) peut se mettre sous la forme suivante : S — hr EO (—iferyda, (15) DR id ans fe pat o a —Iigyda, (16) V ab e abr ce CoROLLAIRE 1. Supposons que dans la form. (16), a, 8,7 représentent des coordonnées rectangulaires, et qu'on veuille ehanger celles-ei en polaires p, q, r, on devra recourir aux équations : (a) a-—reosp, 8-—rsinpceosg, 4 rsinpsing, ad Be Lrmr, co co en substituant aux limites ami , Bel , ja , —O) — ÇO — DO 3 9n co respectivement les limites p—l j q-Í 4 ral ) Q 0 Il faudra de plus déduire des équations (2), les valeurs de da, dB, d:, en se conformant aux règles qui ont été données dans le 1"' livre pour le changement des variables dans les inté- grales multiples. A cet effet différentions les relations : (2) 10 Par rapport à a, alors 8,7 devront ètre considérés comme constants et l'on aura : de — dr cos p— r sin pdp, (8) 0-— dr sin p cos g -- r cos p cos qdp — r sin p sin gdq, (7) 0 — dr sin p sin g H-r cos p sin qdp -F- r sin p cos qdg. (4) Les équations (2) et (0) donnent par l'éElimination : reosp , — dq-s0, dr—m— AfA dp5 en substituant ces valeurs dans (8), on obtient : rdp da — 5 sinp (8) 2. Diflèrentions ensuite par rapport à 8, alors 7 sera eons- tant et l'on aura : d8ss dr sin p cos q — r sin p sin qdq, 0 — dr sin psin q d- rsinp cos qdg ç ( 408 ) és, cos qd Ja dernière donne dre — dE sl et par suite la première fournit : r sin p d —— : 8 sin q 4 en) 5 La troisième différentiation devant s'eflectuer par rapport à 7,p et q seront constants, et l'on aura : dV— dr sin p sin g. (6) Les équations (8), (4), (e), donnent par la multiplication i daded: — 1r" sin pdpdq dr. (9) Si nous substituons les valeurs (2) et (8) dans l'équation (16), nous obtenons : s-f A fites Je pea TB Re) —idade dr, —l—ÉÚDs—éllo —N TT 2T dE Mi te El my da VI fe gatet it (MD) Vaervre Cette formule, pour b—O0, c-— 0, donnant 2r Jfere racospV sin pdpdr del AV fue aaV/ —i 0 A —oa fada, ou : 398: Re AV La af frnegereat sin pdpdr— 2 di fa edu, a 0 i on a aussi . Or / fet rí Macia RE au VT € (at D eva V—ileyda: (18) (a d-b2 Ley JE —— des Berg ar dal (409 ) par suite l'équation (17) pourra ètre remplacée par la suivante : ve ND ds db i Es fr)e )grlacosp dd sin peosg Fe sing sing)V —1 sin pdpdq dr OO io -2./. fr fr) (a dr. et)ieos PV —1çin pdp dr. (19) Si pour Re on pose f (re) ee —igr — Fm), (20) 0 la formule (19) prendra la forme suivante i gel DE f fi acosp-- bsin p cos g H- csin psin Dairdode 0 O Les T i — 9a ( Fi (a. 6: ce) eosplsin pdp. — (21) 0 Cette relation est due à Poisson. COROLLAIRE 2. Si dans la form. (16) on pose a— VA 4, G—VB Bus VC./ 3 al VU 4 ar Der Om VA A P AS on trouve, en supprimant les accents : VA-B-C / f fitte i b8r407) elaa tb te) —i qadG, —é—— as —O—— P res at 02 Ci, ,— VC o ió de) RS En a ATPS EE 1 qm — — z fu EE LO) (A a')da. a. a Vs Eie 'Aeméss (22) Ah On tire de el en introduisant les eoordonnées polaires , et en ayant égard à la notation (20) : R 9R (ff a €os p H-b sin p eos q H- c sin p sin q dl (A costp-- B sinzp cos2q —- C sin"p sinfg)" sin p dpdq (A costp-- Bsin" peos"q spa psintg)i ad etef He SE -Y cos psin pdp. (25) TOMu 7. SU) PART. 30 Ja (40) Si la fonction F- 1, cette formule devient : R 2n // sinpdpdg — NS fal) (A cos"p H- Bsin"p cos "q Gsin" psin'qdi o VABC Conòriaó 5. L'éèquation (10), pour n-x2, donne : co co i di fiter- 8") 008 aa Cos ÒB da d8 per GA Pa co co : 2 2 — 4 f Jose men — de er") sie, a ff (6r EE te) Leer, . 1 d. Soient d'—m—, reu, d'r'sv, dg, 2rdrs edu, 73 d d dd EG deri Ra fica gota , da formule précédente de- 0 u" 9 L) viendra : 2) sn i fi lla" 4 6 ab qu fina € etev)dedv, —l—ÉÓ ss — ÇO 2y bi 218: ds diu sin tv cos ( E L ee) H- cos osin ( L 8) Mev)dede , 0 0 i co Do 2 ff sinvcos CT CIP Sin V COS h 0 O b ego) du do. (25) Ces deux derniers seconds membres sont égaux , puisque cha- cune des deux intégrales doubles de l'avant-dernier second membre est équivalente à l'intégrale double , b f fuut Ple, os — Vs (28) dadG. (4) B. RÈDUCTION DES INTÉGRALES MULTIPLES A LIMITES VARIABLES ASSUJETTIES A UNE ÉQUATION DE CONDITION. Lorsque les limites des intégrations sont variables , le moyen le plus puissant pour la réduetion des intégrales multiples consiste à rendre les limites constantes , car alors l'inversion dans l'ordre des intégrations étant permise, on pourra, par ce moyen, exécnter une ou plusieurs des intégrations indiquées. Or, suivant la méthode de M. Lejeune-Dirichlet, on parvient à rendre les limites des inté- grales constantes par l'introduction du facteur de discontinuité P. En effet, soit, comme nous avons vu dans le 1" livre , Die y.Pa, — e) l'èquation de eondition à laquelle devront satisfaire les limites variables x, y, ... de l'intégrale multiple zy Sa / ee 3h8,y, v.jdxdy , (8) il est clair que si l'on trouve un facteur P tel qu'on ait P—1, pour les valeurs de z,y,... satisfesant à la condition (2), et P--0, pour toutes les valeurs de ces mèmes variables situées en-dehors de l'intervalle compris entre È et A, on pourra substi- tuer à l'intégrale multiple (6), la suivante : S— fl otey, dedy... XP , dont les limites sont constantes. Ainsi toute la difliculté est réduite à trouver le facteur P jouis- sant des conditions énoncées. A cet elfet, soit ie, y, .. J— o, (7) on aura, par la form. (HI), - ge livre , (3 f ocre, finca, ERO, h 0-2 feus audu fit) cosutdts ESASc ou co RDA, T 0 d'oú il suit La B'eprçerion Co$ c Udu fi (€) cos utdt Fi J (M2) sera égale à l'unité, quand on aura tec DA, et sera nulle, pour les valeurs de x,/, ete., qui ne satisfont pas à la condition précédente. On a done, pour le facteur cherché L co Ll (D. Pead al cos o udur. f ((sinaddt— i i oa zí(o) 4 i 0 si c LA Qu ce) E. Ce facteur general se réduit à une intégrale simple, quand on a AS 0, ESA, fe) — I, par suite (OI , car alors on a : 1 í sin ut sin 4 f cosuidt — : if: COS Uidi — 9 Mas u et par conséquent le facteur P prend la forme plus simple co 1 2 fsinu. i pour o XI, (ID. — DA cos edu) don es ll 0 Nous allons donner des exemples de Réduetions basées sur l'un et l'autre facteur, en commençant par l'emploi du facteur (II). E. PROBLÈMES POUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES MULTIPLES BASÉE SUR L'EMPLOI DU FACTEUR (II). 4 PROBLÈME. Changer l'intégrale multiple SS // ... Flx,y...)dxdy... , dont les limites des imtégrations sont assujelties à l'equation de condition cms Py... Ei, en une autre dont les limites soient Q et co. Solution. Le facteur (II) devient ici : 2 fsi P— ale eos(x-b y- ..judu, par conséquent on a : Se2 ff... egadedy. x EE costery-e.. Judu. (26) 0 0 0 (415) Mais comme on a : cos(e L y-- ...)u sà la partie réelle de setem, on peut écrire aussi : S — à la partie réelle de 9 co AD co, Pare — he Fe, y.. )dady... X vA Les A rata dm ulerd 0 O 0 Que PROBLÈME. Réduire Vintégrale multiple SE ff... xy, er IAXdY... ex Ey Te. XI. Solution. On a ici F(x,y,...) SS ay. ee mare, on a done, par la form. (27): S — à la partie réelle de ef. eiy nel,,, g— aa—ay—. dedy.. fi uv ee TyT- V— — à la partie réelle de iftaf: m—i ada) eq fu n—l, —(a iu da ds — à la partie réelle de 9 L E(m) da RE Let Age dt ah (at uy/ —I1 i ja (at UV —I — à la partie réelle de l o 2 siny (a —y —1 jmtnt... (1914 r m r n EL e Ò — FE) ET IEC du, (e) Soit mb n-- ... st, on aura : a—y —1 a — oo 4 ara ll Era P aa RO Pip V —isinte), ç— a : El GOS pm ——— 3 csinç uU (dLurj a du aut (414) u A Log . . . g ss are tg — , done (a), en rejetant la partie imaginaire , devient : 44 u 00, cos t(arctg—) a t (ae) (98) Remarque. L'Equation (28) peut se mettre sous une forme plus simple. En effet, dans le cas ot l'on suppose que les variables pe) XL, y,... se réduisent à une seule, savoir x X1, la formule précé- dente donnera : u i cos m (arctg—) . D, fercerds ON (X a) , e T u is 0 0 (deu d'ou l'on déduit : qu Cos (arc tg—) L La del du -— Ra fererdr. 0 (a Lu" dir Done, en changeant m2 en t, on a: cos t(arct di Lari go, os t (are tg — al di are A — du a 1 Lu edat pi) 0 0 par suite l'équation (28) devient : SE ff Lc EE METITAREEY.,, 1 dd El A es Data gerra dor, 28' lin dnd. 4 (28) COROLLAIRE. Pour a— 0, on a areig—— ir, par suite l'équation (28) donnera : 1 JA ET, da dj. Pan) Da)... fanintede, Pm--n--...) Ú (415) Ei TM)... o (men. ) Em n-b..) CME)... OF dm En bi): (29) EI. PROBLÈMES POUR LA RÈDUCTION DES INTÉGRALES MULTIPLES BASÈE SUR L'EMPLOI DU FACTEUR (I). 17. PRosLÈxe. a, B,... Elant des nombres positifs, réduire V'integrale multiple Sa ff... XL, estESt Ex Ley 1... )dxdy... , en supposant que les intégrations se rapportent aux valeurs posi- tives de X,Y,... qui salisfont à la condition hox-y L-.. Xa. Solution, Soit ca y-—..., en aura , 9 fe da cos cudu. f F(0) cos uldí, I ds f oree f i —u/ —I fic du f F() cos utdt, l Ll i LS des ga em EST egy,,, Fc)XP, o- ef fi mel a—l i et by, : ie gi En i / — — / F (0: de fe cos utdu — LO (M6) La le 6) 1 -- là F(0d: fi cos utdu co o et i edr eea ú RE LA F(t)dr / cos utdu dl . El men g a (au —) (GPU —i je e9) o Pm)E du i F(N di Cos utdu 30 fra f que GL —I)".. ae Que PROBLÈNME. Réeduire l'intégrale multiple Xeaye . FG PEY Te) Se ghe.. Trento ami Jurat. dxdy..., les intégrations se rapportant aux valeurs positives de X,Y,..., qui satisfont à la condition Lo xy Te nn Zn Solution. Posons dans la form. (50), amo, Be fo, elc., u— vo, on aura, en omettant les accents, et en remplaçant S par sa valeur : l PR ee AN Fede. Lo, neu): /y De Í du a(adtV/ —I Je —I).. COS eolv quin t.e—l y Multiplions les deux membres par q'VPie—Te—todo, puis inté- grons entre les limites 0 et co, q aura : QP... Fe)dady.. fi mn aa 83 HeJag, co Rcir. (n).. è du F decos ot ç taF0: fia 3 ef es VT i dal dc (47) ou bien : lím nn...) sig) ni, Ni RE Vhuix ve Flo)jdxdy... (0 Far 8y F..Jaiat dé dal du 8 F(Dde : —i pen, 9 f g (al V —I (6 EV —I)"... 9 Tel) d'ou : m—iyja—i, ,, Fo dxdy... En) LAS. cel el deno). 4 F(t i ofe Jam Era (Ir V—I die Mais on a, par la form. aa du mi") livre , E, du 1 1 mo (4 (al / —)a (EV —iy mímini.. at oja(80--9)".. RE das 1 0 ym 9 n (aT rU (6 i par conséquent l'équation précédente devient : amat, , Fa Ly-.. )dedy... Me rent egd- Taps EM)... £. patata. E(m-bn-... fia ade LED: ConoLLamE 1. Fesons dans 0 0, iz— 0, on obtient : SP Ap, Fa Hy.. Jdedy... le) En)... minç..—i En nt A (Oi dt. le sis Daill G1) cette. dernière formule, a 8 — ele, — 0, (52) Cette formule particulicre est due à M. Liouville (Voy, Journal o de Mathèmatiques, t. 1V. p.- 251). TOME 7. SU PART. ( 418 ) COROLLAME 2. Si dans la form. (52), on pose F(a--y--...)31, alors en mettant pour € la lettre £, on obtient : Ne ir Em n)... 08 - i hè L,d d Ll GG n n su en nn acer mn fi tanta Id, E(MC 0)... pmint. mn.) Rec A de PmEn)... Ce: qe CFA Em ben ES RAE ai COROLLAIRE 95. Sí dans la form. (55) on fait : ., On obtient : J 4 pel, re(—), 3 3, ete ql LJ L/ I Ld (o fe (ee És 6-9... p(— pa — sa (La LL ae E(mE(n)... : TL a Lo) les intégrations du premier membre sont alors soumises à la con- dition que les variables hd Up cgateipegent à la relation (Es GB (— Je, 1. On peut mettre l'équation (2) sous la forme simplifiée : mapa... l(mEa)... eL alom—tglan-t dd... —s ler 4 dg: pq XI bmibets 0 Dj (ps (Dra. El. no n' a Posons encore m —— , ns —, elc., on aura, en suppri- p 3 r 3 2 2 P (54) mant tous les accents : amb PEE) ul pq... PT dte (PEN El. Sep dadgua 65) Es la mt le et A 279 a (419) Pour psq-ete. si, ona: Po EO LL Ll abr... Em) DA)... dm bon -F) doc ey bo be Sis Cette formule est due à M. Lejeune-Diriehlet. COROLLAIRE 4. Soit men-—ele. —1, et supposons que la form. (55) soit bor- , Dée aux 5 variables x, y, z, elle deviendra : du dt cal al rra rea ben, ff dedyde — — Ta di al 56) de) (EX (At (Ep sl Si l'on fait pm g—r-—2 , la form. (36) donnera l'expression du volume de l'ellipsoide à 5 axes. 5". PROBLÈME. Réduire V'intégrale multiple ya, Fa yi... dedy.. (obrar By Pa cbryT... LA. Solution. Aprés avoir posé , pour abréger, o Far 8yj..— mn... ce, multiplions les deux membres de l'équation (51) par ce f—idr, puis intégrons entre les limites 7 —0, r—oo, on obtiendra : ay Boi Feb y—.. dedy... fes e—P—idr — (i l DES Las co E(m)E(n).. te SAL, ro Le fia Far eEr FAO EA dol (490 ) QU.ie am-ya-t,,, Fede y4-... ldedy .. Ar LE EA /: Vies (res) EMm)EAN)... ee i te AF(ddt Ec) s var f de rar er 80... Fesons r st, on aura : f qe—h-1qr i "get Gamami JA Ll e—A—1di be do st0: EE 1 Fe—ale): Fo EC) : en substituant cette valeur dans l'expression précédente, on obtient : : Lo Te—er HA oeareps.. Fe yte)dadyu xer Ro Lles 8 3 e—1 lm)Ea)... sea te F)dt ng d e/ Prat ben. AR get, ,, Fe y -.. ee LS ff ber Far RA e— y di (un) sferef. (SF (Bdr Bis Lancó (6 ie Gel Re A PROBLÈNME. Réduire Vintégrale multiple aa a Rasa ració ebam ep) xX DES EES ee Da Solution. Si dans la form. (51), on pose F(0)— 1, . ed LJ mi TU dl res: y- (Es, etc., m ie 4 Aeri elc., a— ar, 6 804, elc., a ee Es gos dE as EE PET EE (491) on trouve, en omettant les accents : , add ad)... 0 Ja L mei (o bart P APM e)s mn OR) hp El ri ea He amb... di p JE q da j P l di pq... CIC Al, m n mg ia (oa aP)P (0 BO T ... Les intègrations du premier membre se rapportent alors à toutes les valeurs positives de x, y, ... qui satisfont à la condition : ES (EA (EN es Se COROLLAIRE. Si le premier membre de (58) est supposé contenir les trols variables x, 4, z seulement, de manière qu'il se présente sous la forme Lz m hJ Aqui (esa at yi ve) lo " on aura, pour mens le, QGSqQSRr 2, a— Gs7—1, la formule particulière : h' (59) Mmpee i ade p./i V id Es — 8 Ve d'O 0 EI Let I Fesons ici t— u" en sorte qu'aux limites /—- É , répondront VE à les limites u—l , l'équation (39) se simplifie, et devient : Vi VE Et dedydz —gete ui du d (etedpey 2 Verde Free ree) VI (40) (422) les intégrations du premier membre se rapportent alors à toutes les valeurs positives de x, y, z, qui satisfont à la condition : des. y Es RE 2, et PROBLÈME. Réduire l'intégrale de Sa QUE (ES FE PD A Le dt (ES (29 de Ep EP DA Soludion. Soit em (2): de (2) 4 (E): (Ep et, on aura : 3 9 le 8) coscudu f F(t) cos uidt: e/ 0 die , par econséquent (a). Se ff. F(o)dxdy... fl. F(o)dedy X P, 0 0 — A ll f. dedy... 1 queda fi cos uldt, 0 à — à la partie ròclle db if dedy.. Je cn ff ml. — à la partie réclle de 2 (roa fosa ff. eu —Igudy... A , 0 0 0 — de la partie réelle de co 2 fre ul cosuidu 2 1 / ue La Ba V fic ES) jul a (SPT 3, € 0 0 P— ( 425 ) Mais on a, par la form. (47) du 1" livre, en general : i P ir fites de am qr 3 0 1 uv —3 A donc, pour he ha, me" si on obtient :. Le 8) Ro Ei a (las i Vaca dema previ 7 l qe IV — et" U co l (EN Au —i ple UT / / at, dj be b AV Da , 0 etc. Soit n le nombre des variables x, y, ..., Di Da RA ACTE d- etc., on aura : L o 4 x ell va x Dels Me) ut —1 id a 2a ve I fi a dx dj. ss 1 Q e l 0 0 R Re I ab. aa (Ge FS I Giner l'E . : a Tag, e 2 i par conséquent l'expression (a) devient : S — à la partie TEST de (ae — I m1f (OdE fa tud — —e , 4 3 Bea 11 Dl aers cos lu nn re ne fa fer cos(— 4. qu)du. (8) 2 ada COS lu Faisons Tz fe cos( — — Lu q)du , u2 (424 h l'équation (8) devient : (7 et il ne s'agira P qu'à dicta N. A cet effet on a, en développant : a P9 eos tu cos qu y as D COS fu sin qu) du. (ò) u" Mais on a, pour Me : 2 cos lu Cos qu Cos (t-q)u -- cos (t—q)u , — 9 cos tu sin gu — sin (t- qu — sin (t— qu et, pour lXç, on a: 2 (05 lu Cos qu —s Cos(ç F Qu-- cos (e — Qu , 2 cos tu sin gu — sin (ç Lu H- sin (e— Du 5 Done 12 si tD ec, l'équation (ò) donnera : CiU fi US das qjudu 4/2 cos (í— a j— nr sal vi u2 Ma SIN — a co, ç o, h DE DOC T ió n FE n i 0 us 0 — Mais on a, par les form. (78), (79), du it" livre : L'eos rudu De ió dd Sin rudu a ar ur OLejeostar ut OO OFu)sinigar " done n nu n i Ei I Ca Ú ç dE regs Ep 21 tg 2E(3) I) - 90 Si tí 6, on trouvera T— 0. Ii y aura maintenant trois cas à distinguer, savoir : GD d, RDGDA, CA (425) East STC SS R. Comme on a (4, on aura, en plus forte raison (Le, done T::0, et par suite, la form. (/) donne : S'—s 0. DO" CAS are PAS Pour trouver dans ee cas la valeur de l'intégrale S, de. la I form. (7), il faut décomposer cette intégrale en deux autres l'une / prise de A à ç, l'autre de ç à È, ce qui donne n S E Se et EE) L/ioeer 4 froar ) Dans la première de ces deux intégrales on a t.£íg, donc T 0, par conséquent celle-ci disparait. n ac al . ' i (t — 8) 2 Dans la seconde intégrale on a tVç, done T — Meca mRE jq 3) a done: l s Y A ab... T $ as dd Ó ms gu sa fira dd, ED gerds, (41) lCg) s der CU6, , G CA, Comme on a (XA, on aura en plus forte raison toç, done, ——i I t—g) 7 i à cause de (8, PRE Lena: Dm , par suite : 3) n o 3 n b.. 3 ——1 S— — — fi FO: dt. eva Pg) 2 TOME 7. 5) PART. Çe Me ( 426) 67: PRoBLÈye. Réduire l'intégrale multiple Ca —laixt by Lu) S— / f .. e F(s by. ...)dxdy..., les intégrations devant se rapporter aux valems positives el né- gatives de X,y..., qui satisfont à la condition : Rox-Fy...Da Solution, Soit ces x-- yj-- ..., on aura ò I 9 cosc udu f F(0 cos utdt Fo A ii 0 La — P —— a, de F(t) cos utdt, Fo) a i on a cen - Sus Li F(òdt fes utdu.., EL fi ee tat pg. Je —l gay... , —— JL F(Dat fossa fi ee dat al —1 qq, ferrer Ge. — QO Mais on a, en general : co exi 2 —— ——— Jet es gan dei — ch CN P Ros urdr — done : gal E lec — 14 — J7 me cen) ea rer: SS dE fit0ar feos utdt... er a Mr e AR a Te ANA e B Soit n le nombre des variables, soit pour abréger aci ll OC EE A a a P SS Re Et El EE er (497) on aura : Li dl co See ft fa utdu eis 1 dau E Se ela PAR Or: Eedr F(t dr. seda : , "— 9r 2 i b (ja mb i ef E00 5 di. (49) à 705. PROBLÈNE. Réduire Vintégrale mulliple Fíx--y--...dxdy... ce RDox cd od AR JA (1 4 ax 6 MH 2 2 by Solution. Remplacons dans l'équation (42), les lettres a, 8 respectivement par aV a, BV a,... , ON aUra : (G) Bir. emlatat Pe dia d-...dedy — n—i EE — La 9r 2 ce, 5) fro pr d s ab Us Vajd geey G3 Multiplions les deux membres de celle-ei par af —e—ede, puis intégrons entre les limites ox 0, e—moc, on obtient : SQ Redgteatadg.. fab e SE A PPT qa 0 — — na 2 Ft l — Le . 1 e É 1 F t —( ua di Ri — a) aB... R (V a)" J (De Re e de, n—l n—i PEE È 9r 2 1 (1 Jo pm ii — De a al F9d fe . 2 de, , 0 mel EN n—i CIE NP SN ra ada qr va AB... Le F(t)dt el 7 A all outiees (IA) ou, en observant que o e—a aa P By Pera, dE Fe) i Je € xi (barat By... )T Se (ft a Ba (HLarat-Byr-.. a : n—i 9 2 —n Lear Es, FíOdt 45) aB... Te) EE (e'- 28) Es Ses. PROBLÈNE. Reduire V'intégrale multiple Fix y-- ...jdxdy... crea Qu doten. DA LA (de XS A Y')... ip de Solution. Soit oc — 2 - y — ..., on aura : co La P-— 2 cos c udu f F(t)eos utdt, F)r./ — à la partie réelle de i E 2 uV/ — el du f F(0) cos utdt, done : S — à la partie réelle de Da o co qo dedy... 2 cu/ —i Ra je du f F(0 cos tudu J J EE TS GET I cs $ P (499) h co 2 : S — à la partie réelle de EO t)de arge Ó sa igagy... Pey)... — LD ——— E co 9 a — à la partie réelle de il F(40) Ar tudu l Qua VI de ay va du l 4: dx By — à la partie réelle de E co 9 ——l —pPue £ fina fcostudux da DE Beca pe 5 a G — à la partie réelle de ce fi Ed fer tudi X —— ge EE Et, — à la partie réelle de Li co Qqn—i —ma LB. ju re Se J v'04s f cost , — à la partie réelle de E 22n— Vi ç en. JJ da —. aB... a RE gr dt Nous avons fait, pour abréger qsxa-- 8--..., et supposè que i d i n exprime le nombre des lettres a, 8, ete. Comme le 2: membre de l'expression précédente n'a pas de partie imaginaire , on a dé- finitivement : a Ca atm DESDARES SES sanes SL 2r ('E($d A 4 get i (4) ( 450) Que. PROBLÈNE, Réquire Vintègrale multiple Ss //... Fx-- y —...) dxdy..., x 2 i 2 IE FE) 90 Solution. Soient s— xy H-..., ap (4) ...5 on ai faire sine aV —i — à la partie réelle de Z — de, par là on peut éerire : S-—à la Aiel réelle de y fu Fodedy... sine ga —1 As —o —Q — à la di réelle de da ef£ eL i ig (8) ee dardy... — — Ç Mais on a: F(8) ee La du fe el(e—Bul —1R()dr Odts, done : Lama OD ren OD) SS à la pre réelle de feta dE dady... geo V —I, fufie- Qu — (Ne, — o — DO PQ l'Era — à la suèció réelle de 1 fi sine q, fe F(Odt.. fe a qu fi ea) —qady.., —— — CO — à la dia réclle de co, co co gi 1 / corb A fi FQ... f et —1gy di (o Q — o — o Ú Bi Xa: $ A Z 2 VI fs ab a)V qe 80 NC qu, — Q — QQ (451 ) S — à la partie réelle de qo o o ga EL 3 a reled: je Foae... / er —quX T 0 co ds a pan ibid —— qe pd EO a DE V T Rafa da V x geni qe a o ss à la partie réelle de h Sa Ed. fu X 2 - ae QÓ — OO i : : cuer nT res Tu, m2 ab... Pr 4t — e 3 n 2 co s à la partie réelle de qo a re fda — —— Huj—i —i pasat ay. aa fs fia fi du, on a supposé que a exprime le nombre des letres a, Ò, et l'on fait, pour abrèger : mail. ,., En executant l'intégration par rapport à 4 s ÒNs 8.2 S — à la partie réelle de a RO a SS ES RI AO GE SC NE n—3 n—li CPD re 3 Get nn —I ab. sin a 2 9 4 r R dr a ce ef F(6 si dt 2 ss à la partie réelle de i Do 2r " fr de a de, ( 452 ) On a done, en rejetant la partie imaginaire de cette expres- sion : di i db. sal i Pla — Sr . ri poe Lama : —n P 0 9 o) P TI Ta 8), (48) Remarque. Ges exemples suflisent pour faire connaitre le puis- sant usage que l'on peut faire de la formule de Fourier dans la réduction des intégrales multiples. Nous renvoyens pour d'autres détails à l'excellent ouvrage de M. Sehlòmileh, Analytische stu- dien, auquel nous avons emprunté la plupart des résultats qui précèdent. Nous terminerons ce livre par la rèduetion de l'intégrale triple I drdydz Era U dd Eecaa ui erm l donnée par Gauss, et qu'il nomme le potentiel de l'attraction ou de la répulsion exercéc par un ellipsoide sur un point de l'espace, suivant la raison directe des masses, et la puissance 8" réciproque de la distance. 107: PROBLÈNC. Reduire V'intégrale triple dd Ed Pe Dei ial — tb (6— gp de — nt PN) (A) HE de (— PSA Solution. Fesons pour abréger rebe—a re— Nit U— NE, om (EV (ES LIAP, LC) on aura, en introduisant le facteur Do, "sino ef cos ce de , co y o, dxaydz f sin o ge ES, ———n GE cos cede , T id 9 6) —. — a ——P) —— OO ( 445 ) ss à la partie réelle de QUAN A i drduds. sine ai I Dis da DS fa ge a — s—l qr e E) —é—nÇÇ — a — no — à la partie réelle de 2 1 sine 7 d fi — dedydz a — El ens siu Es El A —n OU er QO — à la partió Ei de ri I sIn e de S: (7 dodr dadydz av—i É ea 0 —ós —o —o Nous allons nous oecuper d'abord de la réduction de l'inté- grale triple (ò). A cet effet, pour arriver à la séparation des va- riables, nous introduirons , à la place du facteur RT 1 Son expression en intégrale définie La De) a s—è j Es ES i ae gi DR dl de, Sosa 2, (8) déduite de la form. (89) du iv"ò livre co "e—i beV/—i Te) terV —1 fe e dres pm € d sap S 0, en posant dans celle-ci : s—1 : 1/5 ar bars, SS 0. Par la substitution de (8) dans (2) on obtient : 1 h 4 je o LV LP s—3 Des PEE A f f dedyde rs a peca Mg" —— as ——Lo —Q 0 e — cai Je 2 af cf f ceps EG a és 9 —i, (d') N— 9 00: ms QP. 5 CO me TOME 7. 5 "PART. ce Qu (444) Mais, en ayant égard aux valeurs (a) et (8), on a : pla rQv—i, EE) ED Ja Vi de la—a)t 4 (8—3) de m3): 0 —i e 2 Ra lat B14-18)9V 1 ds OE (ge EO— ei (CA 0et—ape Vi ve gies done : fe fi fi dedydz e Co EO —1 ce 3: —, are IO st - (A Oca—2atelV—1 eres fi. aletes de ç mi (lb 0yi—ogoy)V i His qe TOy'—280y) es me CO ee) (( Qet— 9y62)V Li pen ea A (6) LO equi 4 Es ts x. — Ho fl a Han a are V de ps PO X ET: (ya T — V Rx e ciet a CAI (voir la form. (86) du iv": livre), (445) etat, Plldes h (o to o VE LE ME 8r bata: 62 8207 61y3e: Ne ga apa Da Ft labo 3 3 L de ar : X Vare FCE 292723 90272 242,72 Ada. P ae d0— das ge LS DA hi ee e 4 col a20 ab 6 a d- c26 I 3 di — X VE ES do 3r a 0 p'0 0 qae 1 da quel ada" reals si : , di Ll dg 60) dau () co o Ca VE tv 49 en fesant pour abréger 19 Bo 719 Ls S Em i o TV9 13 obectg En substituant l'expression (/) à la place de son 1" membre dans l'équation (a'), celle-ci deviendra : MR: ad: gui a qacet Cl di I — 1, - ee n . dr 9 Ve. 193, ra 19 (ò) Mettons l'expression (€') à la place de S, dans l'équation (8), alors celle-ci deviendra : (446) S —— à la partie réelle de 3 2 su 1 e 1 . À dat fi ad) mo s—i s—1 Ja pi 8.—8 co pera Dl — d dE de De —i IM Hg HE 0) RV —i NS), , — —I, on —)- pourra écrire maó pe ia de cette manière : S ss à la partie réelle de ae l sino : 053. de PA i EI : de Da) (o (4) 6) ar). 8 0 VE raro Il s'agit maintenant de réduire cette intégrale double en une intégrale simple. Pour cela introduisons une nouvelle variable r, o liée à la variable 6, par la relation miri 0 he 9) Aux limites 0—j répondront les limites rel j de plus o on aura : geel. des Ç u le 9 o pta dl —— , 0 "ds A - 2 1 I I cai i PA a II Varela Dan) Aj 1 Ma EE Ens P as i A a Bar do Pes ge — pl T 1 (xi EES i a Tapes :R di DT T 2 P2 y2 — es P. pe ar Fe b: -r gu Po Tr ( ) Nous avons par conséquent, à la place de (a") : el S — à la partie réelle de fs ae nens mari Ll Pericas i Sor 0 — V re hi qe P T a ais Ba art dd Egea 7) 2 S ss à la partie réelle de EES e—1 a za Me ha des ds ri de SS sn ae Fr s1 0 que ci Je V T T T (EL) 0 VU DU A Z) S — à la partie réelle de reial ene UA Les Vreèl Í r 2qr s-1 Egea Va at at. 5) ri Vi ès EO singer" de, 0 S — à la partie réelle de 8 Va di ro Eq, sine (Tam DV —i s--1 i T T DE) Vas Da ad 210 , - s On a fait, pour abréger, dr De ue (448 ) Comme on a (Ta — LV —i sr RE esa mL) LV i sin (Te —), on trouve , en rejetant la partie imaginaire : 8 cs . Page. Vr i r 3 dr sl r T DES 10 Van Et) co qe — US (To— Fo. (46) 0 Cette transformation de (z") permet d'effectuer la seconde inté- gration de (7/7). En effet, on a : sino sr "sin o Cos To fi cos (To — TL )do — cos pd ra dE sT ELL sin —— h 0 sin Todo. (87) Or on a, par les form. (78), (79) du 47" livre, 10 pour TZI , JS entode 3 fl (1 — Tjo dd d'E dj. Qi qÀ 0 0 -3 NOITTEr (d—mped mat, o o de din To diu fe siaai EE / os dre i (2) Q i 0 0 0 sl L o Al(A)eostar (te pe) 3 ( 449 ) 2. pour TS, sin (T--De , si sin (T—I) d da Ta a af TERESA, 0 Q 0 Q ps) 0 — z rr —ip— Fi , ere (T—I3A (TIR II co o cos (T—I)o Cos (T 1 1)o 0 o, sin o ds i sin Tudaet ( E—E 2) Elies 8 vi 0 — GF (aj costar (T—13- — (TI sen On a done, à la place de (ò"), les deux expressions : SR per f, 3 cos — — sin —— sine T 4 4 qe Cd ide pp dem sat TES EET" ll —Typ- 0 ea dSee ss sin 5) COS 5 L sin ds cos — — h 4 L SER: À ja d T)4 L) 1 , di Àr sn — cos — 2 9 sin — os — 9 3 Remettons dans ces formules, pour 4 sa valeur deis , Puis ÀrR ——— : . ÀR développons sing", C08———, ON trouvera, en réduisant : 8 i auie de T da h eo (To mm —L— (TD) ", Tal, 2F6—3) 0 co sin o de Li f. pts (To — i) 0, T3. a 0 (450) Ges deux formules peuvent ètre réunies en une seule, en éerivant : sin o de Dj ES cos (Te — —)—— LE, (eh 0t bj 0 at 2I(8— 3) pourvu que l'on convienne qu'on doit poser D'Hatcà e(T) — (I—T) — 7, quand on a TA1, et g(T)-— 0, quand on a TS1. Posons aussi, pour abréger El É dies T Vas Dt 2) on trouvera, à la de de 4 , l'intégrale simple : s F(r), Vr Le 9) len F(i)dr- (TT), RE 9P(8——) es made id F(o)dr. e(T). ( d'") CIE mET I Cette intégrale aura une valeur diflérente selon qu'on aura T 41 ou TS1. Il faut done encore examiner dans quelles cir- constanees l'un ou l'autre de ces deux cas a lieu. A cet eflet, soit ya B 2 RA . id (EAC) els (en) comme on a posé T— 2 82 2 Dia i pie cer" El que z croit depuis zéro jusquà l'infini, l'on voit que, sous la condition (8/7), on aura toujours TA1, par suite e(T) — 8 L (I—T) 2, par suite (a'") devient : 3 el 8 di , g— . sui ar Der — f Fode—T) 8. vn (Ar 6—3)0 (451) Soit de (EPA ES LL er Si nous désignons par T, la racine réelle positive unique de l'équation de B' ya ae d-r P ber ua dg — on aura TI pour 7 £r,, ce ECA pour rn: Cela posé, comme on a : from - Poe mt oeen), 0 0 T il est manifeste que dans la 1' intégrale à droite, oú l'on a TLT4, On aura TD, done e(T) — 0, eette intégrale est donc nulle. Mais dans la 27" intégrale à droite on a 7 P 7, , on a done aussi s TZ1, done e(T) — (I—T) — 3, il vient donc : s Co qo —— / F(ndr 4 T) — i F(rdr (I —T) A , — et par suite : 0 e 3 es PE — fia DT. en Cr 3—3). Les deux intégrales (7/7) et (87) peuvent ètre réunies en une seule x 8 de a Food, em 9F crear d en convenant de faire (— 0 ou t—7,, co que l'on a : EE bal on EE EC. Remettons dans la form. (d") pour F(r) sa valeur 8 ) ea ea" Va Ets LL) TOME 7. SU) PART. 86 ( 452) et à la place de S, son expression ee III da dy dz — (e—a) (y— 8) (e—it 2 on aura, à cause de la relation ed cis r définitivement : (46). II. I dedydz dl ea yo Fe La 8 2 Qu P L cd (1 —T) 3 Ll dar f' x T dr ber Ro cer 2 8. ya LO, pour EL EE A, 2 Teia y2 tr, pour RE dones T, est la racinc positive et réelle unique de l'équation T 2-1. FIN DU CINQUIÈME LIVRÉ, a ei a a 8'EPB CR OSIOSIOSIOSIC CI OS IO SOS OCI OSOR O SO SOS OR O ROS OSIS P VI" LIVRE. USAGE DES INTÈGRALES DEFINIES DANS L'INTÈGRATION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÈRENTIELLES PARTIELLES, Les questions de physique mathématique conduisent presque toujours à des équations linéaires aux différences partielles et à coèfficients constants, qu'il s'agit d'intégrer pour obtenir la loi eherchée des phénomènes. Dans ce livre nous donnerons un ré- sumé des méthodes d'intégration les plus usuelles de ces équa- tions, fondées sur les intégrales doubles et multiples de Fourier, et la transformation en séries d'exponentielles. Ce livre se partage donc naturellement en deux sections, dont la 1" s'occupera de l'intégration des équations linéaires aux différences partielles fon- dée sur les propriétés des intégrales de Fourier, et dont la seconde traitera de la manière d'intégrer ces mèmes équations par des séries d'exponentielles, 4" SECTRON, INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES PAR L'EMPLOI DES FORMULES DE FOURIER. Nous exposerons dans cette section d'abord la Méthode telle qu'elle a été donnée et pratiquée par Fourier, puis la gènéralisa- tion de cette méthode due à M. Cauchy. (451 ) (a) MÈTHODE DE FOURIER. (Voir la Théorie de la Chaleur, pag. 525-541.) La méthode de Fourier consiste : 1. à ehercher une intègrale particulière de l'équation proposée , 2. à ehercher la somme d'une infinité de ces intégrales , mise sous la forme d'une intégrale double ou multiple contenant une fonetion arbitraire j 32 à determiner cette fonction arbitraire au moyen de la valeur initiale de l'inté- grale cherchée et de ses dérivées, et des propriétés connues des intégrales de Fourier, 4" à démontrer à posteriori que l'intégrale trouvée est l'intégrale complète , et la plus générale de la pro- posée, en fesant voir : 10 qu'elle satisfait à l'équation donnée, 2: qu'elle reproduit les fonetions données désignant l'état initial de l'inconnue et de ses dérivées. Les exemples suivants éclairciront la marche de cette méthode. 17 EXEMPLE. Chercher l'inconnue uss f(x, ), etant donnée l'équation aux diffèrences partielles du d'u DNA A RRI pai J l Tea TE , de la fonction, tout-à-fail arbitraire , US e(X), (2 répondant à lVétat imtial t-— 0. Solution. Pour f-za7a" , on trouve que l'équation (1 est satis- faite, en fesant us EH 008 (ax). (5 Donc si u désigne une constante arbitraire ne contenant au- eune des quantités x, t, l'expression du FE teosa(e— a) de, — (4 qui ne diflère de (3 que par des facteurs constants, satisfera éga- lement à la proposée (1). II suit de là que l'intégrale double co o u— / f Fieges eosate—a)deda, (5 —€—o —P qui n'est qu'une somme d'une infinité d'intégrales particulières égales à l'expression (4, satisfait aussi à l'équation (1. ( 455 ) Mais pour t— 0, nous devons avoir 4— e(2), donc, pour cette valeur de t l'Equation (B devient : e(a) — A 0. F(4) cos at — 2)dgeda (6 —o —o Mais on a, par la form. (107) du mt liv., le 8) o ge Í fera Cos a (4 — 2)du da ç (7 1 donc, F(e)s 3: (é). En substituant cette valeur dans (5, on obtient , pour l'incon- nue cherchée : he 8) co U-— —f fosa eosaa—a)deda. (8 —o —— P Je dis que (8 est l'intégrale complète de l'équation proposée , en effet, 1" cette expression satisfait à l'équation (1, et 2. elle donne uz—— e(2), pour t— 0. d COROLLAIRE. En effectuant l'intégration par rapport à a, on peut donner à l'expression (8 une forme plus simple, A effet, comme on a: o 2 Vr EM ea fos Ohae "f due 7 TN) (i P, — o (de — 2) an — en posant DES CTE — ny, esa V t, de—9aV tdv, on obtient : u-— ny que mari eo a (ue —2) du da $ —o——O xii dfria ta fesae—s)c ddió PD o (e—a)" Sat t — JR ofe) due EG Tt 3 1 qu ges — — f € 9(2 20 (4, ab re (456) Qme EXEMPLE. Chercher uzt(x,t), etant domné du diu díu de Os TP que T 0 (I U— e(x), pour 1-0. Solution. Si l'on pose E—aat — bat H- ete., on trouve que la proposée (1 est satisfaite par la valeur particulière u — eteos(ar). Elle sera donc aussi satisfaite pour um et cosa (e—2), et par suite pour F(e) gi (aat — bat Tl e9s au — 2) duda 5 donc aussi pour Le 0) co u— / f Pimes EN cosa (e—adada, Pour t0, on doit avoir u —e(2), done e(a) — I fi F(gi) cos a (e—x)dedas —l—) —ÇO Mais on a, par la form. (107) liv. m, ex) a feto COS a (s— 2)de da ç —o—— o donc, à cause de (5 et de (4, 1 Fi) — 94 "Ú6) 5 done (2 devient : (2 (4 co co uv eh. ferma Pg (at — ba Ple gg a (e— Aqua, ( lt — CO C'est l'intégrale complète de l'équation proposée. Car, 1. L'expression (Ò satisfait à l'équation (1 , 3: Elle donne uz—e(x) pour t0. (487) 59: EXEMPLE. Chercher uz f(x,t) étant domé d'u diu — de — 50 1 die dxí nu A d Uzse(x) pour t0, 7 18) pour t—0. Solution, En posant US Cos (art) cos a (e— 2) , (2 on trouvye d'u a —— A 2 ai, qu ana cos (at t) cos a(e— 2), diu so be, aicos (att) cosa (e— 2) , donc l'expression (2 satisfait à la proposée , il en sera de mème de l'expression F(e) cos (ari) cos a(e — )dede , et par suite de la suivante : o co U— fi /f F(g) 0os (att)eos a (e—2)duda 5 ou de —o —o co co 1 , à U— ar I À fe COS (221) COS a( 4 — di du de. (5 ——o —o0 Cetle intègrale, quoique propre à satisfaire à la proposée (1, et donnant e(x) pour í-:0 , n'est pas l'intégrale complète, elle n'en dU A constitue quíune partie, attendu que Pes contenant sin (a2/), s'èvanouit avec £, et ne produit pas la fonction initiale J(z). Pour chercher l'autre partie V de l'intégrale complète, chan- geons dans (95, ç en iU, puis après avoir multiplié par d(, et inté- gré par rapport à £, on trouyera : , co qo V — /Ude — fi desb(e) fi da 005 a(—2)/ cos (atbdt, co co EE fss er gin X def —s Sin (al) COS de (4 — 2) da. l (4 ( 458 ) Celte expression de (4 satisfera encore à la proposée, el l'on trouvera de Xa : races De fei a fi cos (a't) cosa(g—2) , — re ol i Q, On a done, pour l'intégrale complète : u— U-FV. ($ En effet, 1" U et V satisfesant séparément à (1, il en sera de mème de leur somme 4. 2. Pour (0, (B donne uU, et par suite u— e(2). 5: En différentiant (B on obtient : du dU dV Tac ge cm d Or pour ís—0, on a se ee), di —90), qn done — — Ú(X). COROLLAIRE. On peut réduire l'expression (5 à une forme plus simple, en fesant usage de la formule (58) du n"e livre , mise sous la forme : T Z f decoseri costa je A sin ( z dels 177 et en posant ——— ss uv, Car alors on trouve : 9Vt Gel Pereijes (at) cosa(u— 0 de, Li) RR qu a) ea dE Same me DL qe J destina of iv, (e-- DV QV 3 EsinGe) TL eos()1, id 1 V ri, a Esin 18) Leos (ve) le(e 2sV t). — A PCE — ere ri rs ( 459 ) dt EXEMPLE. Chercher ust(x, y, ) élant donné deu d'u d'u me de aca Us e(X,y) pour t—0, - —iVíx,y) pour t— 0. Solution. En posant È — (at. 813, on trouve que l'équation (1 est satisfaite par U SS 008 (hi) Cos (ax) eos (84), elle le sera done aussi par les expressions COS d (es — 2) Cos 8 (vu — y) cos (at H- 8133, o Flue, i) Cosa (ue — 8) 008 B(v — 3) cos(et "- Bi tdadgduds, (2 et par suite par (0, U-— f Of Fieo COS ae —2) C0$ Blu—Yy) Cos (atle8n) ie —é a — OO — DO — QP da dB du dy 3 somme d'une infinitéè d'intégrales particulières égales à (2. Pour i— 0, cette expression devient e(e,y)— f Sa Ni fi F(ec, v) cos a (pe— 2) eos 6 (v—y) dadBdee'ls , —É a s—É as ——l) —— CO el comme on a aussi, par la form. (120') du m"" liv., e(2,Y) SS frtesesatea eos 8 (vu — y) — o — o —o —dA de dB die de . on déduit de ces deux équations 1 F(e,) ( Dq Vell, DE done: (5 devient : (4, Us ff £ Eco dreta desen —o —o —o —o R cos (at H- 88) edu dE de ds : Cest la 1" partie de l'intégrale cherchée. Pour obtenir la 2, il faut, comme dans l'exemple précédent, après avoir changé ç en L, mn TOME 7. GÚ PART. 51 ( 460 ) et multiplié par dE, intégrer (4, par rapport à (, et poser (5, VS f/UdiS ef /. fe (4, ) Cos a(u— 2) X — ls —o —D —P sin (at. 82)3€ da d8 de dv, Veg i €0s 8 (u — 3) - lintégrale complète sera usU--V. (6 En eflet, 10 U et V satisfont à (1, done leur somme 4 satis- fait à la proposée. 2. pour í—0, on a V —0, U-e(z,y), done dU dV u— e(2,y). 5 pour fm 0, on a 0, Ven): duc pour í0, on a : du dU , dV dV COR DM mat DO es ne EXEMPLE. Chercher u— Í(8,Y,2,t) élant donné di d'u dP dP LE ES dl a di dx2 dy" dz: u — e(X,y,2) pour t—0 — 1QÍ(X,y,2) pour ts 0. du dB Solution. Une intégrale particulière de la proposée est : u — C08 a (4 —2) COS B (u — 4/) COS 7 (ç — 2) COS (a: Le ny i done ue F(44,V, 9) cosa (a — 2) COS 8 (uv —y) 008 7 (e— 2) COS (at-- G: 4 /)34 da d6 di de dy de i satisfait anssi à l'équation (1, et par suite aussi la somme 0 LS SA fitondaen desen o —o — o —Q —P —D €08 7 (e—z) cos (at. 887-735 da d3 di ds du de. En raisonnant comme dans l'exemple précédent, et en ayant ègard à la form, (121') du mt" liv., on trouye, pour la 1" partie a dd A PE OS — ——— — (461) de SANS cherehée : gÈ fi / el f R fitesmàeosate—a) esp0—n — i ——Ç OO — PO —O —O X, 008 7(g — 2) cos (at-- 82 /) 14 da dB di de dy de. En changeant ç en i), on a, pour la 2: partie de la mème intégrale : V— /Udi— PER V, 6) Cos a(e — 2) X —ln as —— LO —— Ds —— É) —— CO — 2 2 2 gama dd NS A i PSI A V at 8t. en sorle que l'intégrale complète sera um UF V. cos B(y — 4) cos 7(e— 6800. EXEMPLE. Chercher u — Í(x, V, 2) etant donné du d'u deu Dr ra — o, —(Í dy" dz" du US e(X,Y) pour zS— 0, o vep pour zs— 0. Solution. En posant m-— FV at-G: , l'èquation proposée sera satisfaite par U — COS 40 COS By EL", par conséquent U za COS a (u—2X) COS Bo— ple" EFE Le Pala ais Ú est une intégrale particulière de l'quation (1. Cetle équation sera done aussi satisfaite par F(44,v) Cos a(e—2) 0os B(u—y) Le S TR Le SE P adBdgerty et par suite, par la somme U— 1 A fetencan—aesse—lel FE —ÉLa— — — tal reée —il a LP TP de dB des de, de (462 ) Done la 1'' partie de l'intégrale cherehée sera : - ff f fiem COS a(e— 2) COS Bu— te TE —no —o —P —Lo sn CER) de dE de du 3 De et on trouvera pour la 2: Re vega La ff fienena fe—2) Cos Giu—y) X As a (a pe Res OB da dE de du : Vas par eonséquent l'intégrale -complète sera usU-V. 770 EXEMPLE. Chercher u-——- f(x, y, t) élany donné déu diu diu Cia aris DO I i Da dxí Tqrdy dx'dy" 1 dyí dl du U -— Q(X,Y) pour 1-0, qe VD) pour (0. Solution. Pour fa" - 6, on trouve que u — 008 (42) Cos (By) cos (El) satisfait à (1, on peut done prendre pour une intégrale parti- eulière de (1, l'expression U —s 008 a (—2) Cos B (1— y) Cos (de H- PN. En raisonnant, comme dans les exemples précèdents, on trouve pour les deux ade de Ed cherchée : U— (3) f. fi fi foten ) cos ale —2) eos 8(v—y) cos(a" 1-8")t — o —o —a —o dalBledy, Ves ae LAS fre Cos a (ee — 2) 0os 8 (v— y) du ml. i rir ras ami: par conséquent l'intégrale complète est u— UV. (465 ) (6) METHODE DE CAUCHY. ( Voir le Journal de l'Ecole polytechnique, 19 cah., p. 545-570). En pratiquant la méthode précédente on doit chercher par tàtonnements , ou guidé par des propriétés puisées dans la nature de la question, une intégrale particulière, c'est-à-dire une expres- sion qui satisfasse à la proposèe. La méthode de Cauchy, quoique basée sur celle de Fourier , n'exige pas cette donnée préliminaire , et les préceptes dont elle se compose impliquent la détermination de cette donnée elle-mème. Pour rendre l'intelligence de cette méthode plus sensible, nous ecommencerons par des cas particu- liers en réservant pour la fin, l'exposition genérale du procèdé. 45 EXEMPLE. Chercher uss f(x, y,t) étant donné deu déu déu diu orga i aoer Du. A d US e(X,Yy) pour tx 0, xa — UX,y) pour t— 0. dt Solution. Soit T, une foncetion de €, telle que l'on ait T,— 1, 2 dT, de 8, pour t—0, et supposons de plus que — Te" V— EV —i satisfasse à la proposée (1, et que l'on ait par conséquent d'To a PO La HS l'Te o. l Cela posé, il est elair que les expressions T, eele— AV —I gB(y— VV —1 Pe i) T, ED ES ge odada, ms af DE fs fins ps EI queda deds. —o —od (5 satisferont identi à l'équation (1. (464 ) Les limites relatives à a et 8, dans celte dernière expression , sont —oo et oo, celles qui se rapportent à ge et à y sont des valeurs quelconques d, ss 4y, Es pouryu que ces nombres eom- prennent les variables yz et v. Pour t25 0, on doit avoir u— ç'2, y), par conséquent pour celte valeur de t, l'expression (5 devient : QO QS b si dE (ay) J if. / fitemeea fu —I qadBdudu j —o —o o 4 et comme on a aussi, form. (120), liv. nt, dg denfelt fumee-n dEy—)—1 —o —od 4 da dGdudu, il suit de ces deux Ens Fe) e (qe qoe (hsv). Par (mi (5 devia 3 ap) a fi Pr / fue )T, ee —I Pg —i —o —o 8 dadBdudy. (A On tire de cette Be: qui est la 17 partie de l'intégrale complète , T: dU d ea Gi cia a lA s 1 0, à cause de En 0. (b Pour avoir la 2'' partie de l'intégrale cherchée , supposons que T, soit une foncetion de 4, telle que l'on ait T,—0, pour d'T. (zel, ai, , pour t-— 0, et que ia P, d'EA ea satisfasse à la Eq ce qui exige que l'on ait Te Ple Fe pm. L alors, je dis que la 2'" pere demandée sera re LL f fret mudes nom mi caca CadBdudu, (7 et que l'on aura pour l'intégrale complète um U-F-V. (8 ( 468 ) En effet, 1: U et V satisfont séparèment à (1, done leur somme u y satisfera aussi , 2: Pour pm04 on a T,—0, done V — 0, done Lord ori, VU): , 3: Q du —n d 0 (pq i —e——e——a-— di 4 dU du —dV — 0, il vient —-—0, d ——j or pour (— 0, il vien P 0, done 7 FTEs dT, du et comme RA i, ona 7, —Vlx, y). En meltant pour U et V leurs valeurs, l'on voit que l'inté- grale Ç idea EA £ P fiponanatiarr — o —oè 4 dadBdedy -£ EI, h 1, ( a(a—b)V—i g8y—) VI (ef ff fumar. e dadBdudu, (9 ——lo —D dx serait determinée , si l'ou connaissait les fonctions T,, T,, done nées par les propriétés : Te, De, ss () 10 d'E, pour € . ( dd mail. deT, —e HU LsyTem o, i pp: Pb (aa. 80):T, —O. Pour déterminer T,, T,, observons que, s désignant une fonc- tion de £ et de b, si on avait la relation ss T,I-T,v, (12 les conditions (10 seraient remplies, pourvu que s jouisse de la nroprieté de se réduire à 1 pour (--0, et que l'on eút pour R (11 ds i d R la mème valeur de 4, a es Ó On obtiendrait en mème temps, à la place des deux équations (11, l'équation unique des qe FV (a 1 898 —0. (19 (466) 1 ds Cela posé, comme on doit avoir 81, CU) pour t0, les intégrales particulières de l'équation (12 seront de la forme ss s—ett, d'oú cipi si i et par suite, en substituant, (12 donne 3 vi beat LE — 0, (15 d'oú: l'on tire : o RV —i (de 8), ve — VV —i eL 8). — (U Par conséquent les deux intégrales particulières de (12 sont sl, get, ds — —0, pour (0, done, à cause des conditions de s—1, pa l'intégrale générale sera quot evt —I92 ba(c2 8212 45 LV a te (ts ou, à cause de 1 1 1 DES NE Por oa o R Midi En o o e(l—i) ia. 1 Da lemend Vg ea a me ClG., 2 2 fa só —— blat pa Es : DE Eggeit quel Med e)g— $ glo ere l (16 JH est facile de se convaincre à posteriori que la valeur (15 ou (16 de s se réduit à 1 pour t-X0, et que l'on a i Ra pour t— 0. Done, en comparant les équations (16 et (12, on en conclut : t , LE Nenes Let , ME pel Qu,2 CEE ne— red erl: sbgul (17 0, (467) Soit, pour abréger, A,—- — bt(at 41-83), evot evat R— 9us aus À d dR evot et one di Op, 9p,2 , eR cvot evrt dE SE In, - 90, 3 dR evot JL euit BT EC C dona (18 on aura : — T, — As de Ll T.— A,R. (19 En substituant ces valeurs dans l'équation (9, on obtient , pour l'expression de l'intégrale complète , a al gle—)V—I aca e BD A La L ETA Re AV — EV qayu) de dE dedy , —oOo— o pe—V— pg) —i diady e ( — at À— (a—p) i fes Es // 3 de X da d8 fe f fi Ds ff drirà El ee, Ra efly— deia dad3. (20 Cetle expression peut étre simplifiée en posant : Les DD Ho ae Qe(g- P f fe NS dec hdà, al —) —O d'oú : dQ 1 gla dR Vneri Vv— ho —E ee (—): GR ale—p)v —1 By—)V —1 Apa) J Ac adil —— ls —O IOME 7. 67" PART. : ( 468 ) on a a dl : U fi (4) dedu: A a fa f fia dady As —. (22 Mai à l'aide de unia el on forme aisément : d' a(e— iv —i gy—)V —1 La —AQ-El—— Li ES DECRET id d'Epden da dB 5 2 el comme ona —pç — A,qR-:0 (on s'en convainera par la subs- 2 titution des valeurs de A,, R, - dia ,) il vient ds —AQ —0, d'ot l'on tire, en différentiant : Me a dQ ES ff ER sae—V—A, pg )v —i Reg) / dadó ni de dE dè —o —o Lu (EE ae ay af Je (e—P) 1,89 ius P dB, Ep 23) Cette expression réduit l'intégrale complète (22 à la forme : u— / fen) deda L T dt Ja funda 24 èd a RS P Pour achever le caleul de u, il suífira de réduire la double intégrale représentée par P. A cet effet, ona : co co 1 et PEN a(a—p) VV —I Bg—)V —1 pes N ff PE as e dadó , Uot u,t mia P ia P) ST cos a (e—a) eos 8 (y—v) da dG , sf hi a —1 (at 8") ad pri ci au é (Go) EN PA 9 X C08 a (n—) Cos 8 (y—u) dz dB. Mais on a, par la form. (25) du ve: liv., do 0 co Co è 3 fera) COS da) BS dad62 Í fsin Ges LE rep)dade 0 0 0 O ( 469 ) done, en posant, pour abréger 8 (a —p)' TF (y—):, on obtient : gaBUY— Q g—lepj/—I Po 97 /f: .sin Beos — dadè, pepb —l y —egi—i (gp) ue esin BX de ib Fesons abi—a', da — Tri les limites ne changeront pas , et l'on aura, en omettant les accents : co Lo 1 1 : sa EST bena sin £ Cos Ge dP R co od 1 1 8 i TAE P ada Cep bec i AN 3.) 1. f de f cos ct8 zog ) Sin EdP d. —o Q 1 1 SAT s Mb S — ) sin 8dE. als, fa f enter rer) sim ds Mais si dans les formules de Fourier ( voir liy. ni, form. (98'), (105)J Ra) z Le fe feos a(a—pe edu, —ò 0 1 co o 0 gp de f eatet Ar : Li on fait e— f, Sa TT fe) sinf, on trouye LD Le 8) . s Ed i ia f siu Peosale— i) de— 27 sin Zbt —o 0 co f ea f sin P cosa(8-r M— 0 —ço P) (470) on a done 1 S 8 P i(—Ns LL Or sin Ra SH lat dre Bec la am sin ea) dr y): hrbt hbt i et par suite, pour l'intégrale cherchée : eo dl PL ea es U 3/ fue Tebes SN 4a J de dy A- fi f fuma Je Te ale fil ds dedu. (25) Que EXEMPLE. Chercher Ei t) éfant donné deu ti deu de das 5 Ed de eli i du Ue(X,Y,Z) pour (t— 0, o "ley1) pour (0. Solut Ter ePUV —i ga T, geV i pel ja er satisfesant à l'équation (1, ce qui exige que l'on ait : — P tat 8 7)T, —O, a i a EV ben) T, —O, L on trouve, en opérant comme dans l'exemple précédent, et en ayant ègard à la form. (121) du mt" livre, que l'intégrale cher- chée est de la di É "ela nf / / dl ui ES T, SAT z) — CO —l OO —O e'ETB) Eril (uv, 6 da dE d'5 due ds da -- (471) Ef FAI f ee er, ge i 4 (peu ada de di dedu de , pourvyu que les fonctions inconnnes T, , T,, de la variable €, soient telles que l'on ait : T.s 1 pour (20, de pour í 0, dT, 33 T. — 0 pour t—0, sa —1 pour fes 0, Ajoutons aussi que les intégrales relatives à a, 8, 7 ont pour limites — oo , - 00, tandis que les limites des intégrales qui se rapportent aux variables 4, y, s demeurent quelconques, avec la seule condition qu'elles comprennent ces quantités. Pour déterminer T,, T., observons que s étant une fonetion de tet dev, si l'on avait : s - T, T— Tv, (6 les conditions (B seraient remplies , si s était tel que l'on eút ss 1 pour is Q (1 4 ds de o" POUE i— 0, ce qui exige que s soit de la forme S — El, 8 De plus, à l'aide de l'équation (6 , les conditions (2 et 3 se réduisent à la EM unique Ei La Be T )s — O. (9 Mais comme (8 doit satisfaire à (9 , on trouve : va bat I- 8 320, (10 d'oú : to EV —I (ae 88 i. P', ii 0, — UV —I (at 88 38)5. Par eonséquent les deux intégrales particulières de (9 sont : dm ell , get, (12 donc, en ayant égard aux conditions (7, l'intégrale générale de cette équation sera : sms Lot bat 8 2)J i Que lv—te) i 20 (v—u) i ( 472) — —btat L 81.9) É: A ent j Era OI quit Vot — blat -- p' IES Ec a lo 4 ete. , (15 qui se réduit, comme il est facile de s'en convainere, à 1 pour ds t— 0, et donne qe OU) POUE ta 0. En comparant (13 avec (6, on trouye : evot evat Pes — b'lat I. pt. P) I PE) L sen , Us evot evit ne—egeilg tel Fesons pour abréger b'(d' - ge. /)SA,, d'oú : — — L— dR quot d eva t là El i (14 de 2 dR on aura : Te — Ara Ti —A,R, et on trouvera aisément, par la substitution des valeurs : dR : TA La A,R ue (). h (15 Soit maintenant od LD LV Als ue di Queta P fat ge dadhe, on trouvera, à cause de (13 : dQ EF AQ-O. (475 ) On tire de celle-ci : l dQ dQ Dr Ass sn ELL f agent gre ge qe, 4 e et de (16 : Cd — o Ra: Xe da Mia daded,. Cela posé, l'intégrale echerchée devient suecessivement : Ei fe a ff fi y, 6) du du de X ò J —) fi P. ES L te Ti pe ptes (o, — (D — CO: a OD dzd8 d, -- Ec i A f fovsv adedds X Doc mpeió co co le 8) di ad —— Ma De) si — y VES 0 / J. dosi LO ir a im feel Le TI —s Ds -— QQ — ee RO "JJ finoadeddex Ap $ 0-3 ee it A fue a) da deex—an, Òd y 0 eso t dQ —(f foto, dedi x— AL T atader e Et fal ff V, 0) du Cu de X — As —— 474 is (474) 3 JA (es, V, 6) de du de - dE a: SL fa ff Uu,v, edu du da: al (9 0 é n 0 Nous allons procèder maintenant à la réduction de l'intégrale ACA dQ triple représentée par de Pour cela éerivons à la place de l'équation (17 : Re mil 97 Ep fi fel "dP COS a (a—yu) 0os 8 (y—v) cos :(z—a) ——os —o —CP da dE de , Vol vil —(g- JEN E ú i ——by— C08 a (x— ge) cose(y—3) X — as —Los— OO cos (z — a) da dE d4, LE FEP A den 4a): iv —i Er S'rE. 2 —s ós —lÇO —— QO X cos a (x—u) cos 8 (y—v) cos 7 (2— a) da d8d:. Mais on a, par la form. (11) du v"" livre : co co co ff . far. 81-72...) cos aacos b8 Cos c7 ... da dE d1... — o — —o n—li ec UI i, —m(—I) " EC EE hi cos s'af(at)da, Que Ro dida done, pour n—5, ss rt (a — ut P (y—V)P -(2—a):, on a: a —i qu at —i DUR ES SE, l si rigèn V dorm COS Sa 5 da, —o — — i i, Cos s'ada cos (258, ——O xa LS cos (ra) cos (a)t) da. Ar dr ses P (20 as 2 (478) En substituant cette valeur dans (19, l'intégrale cherchée prend la forme : e LF t ee a dm (P Fossa es fa ff fue aj P. 821 CI 0 òd q 0 Celte forme n'est pas la plus simple, car l'intégration dési- gnée par P, peut ètre effectuée, en considérant l'expression o / cos (ra) cos (2bt) da, — ao comme la limite par rapport à A de l'expression o f edat cos (abt) cos (ra)de , —o À étant une quantité infiniment petite, qu'il faut remplacer par zèro après les intégrations finales. Or on a: o co fe —V at gos (abt) cos (ra) da — afe cos (a5t) cos (ra)da , sie 0 qo co ss fe cosa(r—bida - fe cosa (rbbide, 0 0 Es À À A (r— on: IE ar b0 Comme r— i (e—a)1- (u—y) HL. (a —2): P, est positif entre 0 et co, le second terme du 2' membre est nul. Il n'en est pas de mème du 1:" terme, car si r—bl est aussi infiniment petit, ce qui arrive lorsque r diffère infiniment peu de ò£, alors ce terme cessera d'ètre infiniment petit ou nul, on a donc , pour cette va- leur der : A RA (r—b) 7 fi fes US coa (2bt) cos (ra) da — cues par conséquent : À Ec sa a den: Ar — 60) bar dran) lo hrbr dt : Pe. — me TOME 7. 6 — PART. 59 (476) par suite alia di eherchée sera exprimée par : A el // der da ii AL — Ui) 9( V, 8) lo des HR ff, ide trbr di Graner i ge imat II: AL a Q( 4, V, 6) du du da 1: Té a A in Ps 1, 6) de du de. (22 Il faut observer, qu'après avoir effectué les intégrations indi- quées, on devra poser A—0. On obtient pour l'intégrale 4 une forme indépendante de 2, lorsqu'on introduit des coordonnées polaires. Soient, en effet, 2, yj, Z les coordonnées de la nouvelle origine , on devra poser us e--reosp, us y--rsinpeosg, as s F rsin psinq, et l'on trouvera, par les règles du 1"' livre, pour le changement des variables , de dy da — 1" sin p dp dg dr. Supposons de plus que les limites des intégrations ò, s, ete., soient —oo , "00, alors les limites des nouvelles variables seront . T 2r co pen di Í NE dra , 0 0 Ò par conséquent la form. (22 prend la forme : RR. 2R eo del mi/ Í fu per eosp, ger sin p cos, z hr sin psin q) xX Perry A ca rsin p dpdgdr ds m 2r rn af fi P(E4-reosp, UPrrsinp cosg, 4rsin psin q) dni ETT rsin p dpdgdr. (477) Comme, par hypothèse r diffère infiniment peu de ò, on peut écrire : Dle--reosp, y--rsinpeosq, 3r sin psin q)rsinp — D(a--bteosp, y -- btsinpeosg, z -- Òtsin psinq)òtsinp , done : À LI .- R ErU) Le -br cos p, y-Frsinpcosg, Z r sinp sin q) X 0 r sin pdr — P(x H-bt cos p, y H-btsin peosq, z--btsin p sin q) X co 0 El — a ea ampiieei Ot s08p, yd-dtslameoeg, z-bt sin p sin q. btsin p On a done aussi : À I I Jr tren, yersinpeosq, z-Prsin psinq) X rsin pdr — ròt sin pb (x —- bteosp, y--bt sin p cos q, z4-dt sin psin 9). On a done enfin : RE 2R RE s//: sin pb (e 1. dt cosp, 4 -- btsin p cos g, z--btsin psin q) dpdg -- TT 2r 73 7 pl f'isnrrettesp, y-F bt sinp cosq, z-F Otsin psin q) dpdg. (25 Cette LA ldio est due à Poisson. 5": EXEMPLE. Chercher us: fíx,t) étant donnè diu deu ir Del ES Val 1 die dx Ba ( d usze(x) pour t—Ò, va) pour t--0. Solution. Si T,,'T,, étant des fonetions de 4, les expressions her, VA u P, due A, satisfesant à la proposée, ce qui exige que l'on ait : 3 d'T, EE —a'T, 0, pu cr, cn 0 3 2 de (478) l'intégrale complète sera de la forme : 2 ue Està dada 4 d —o € co 1 Res CP Es / fu l'dtuds, pourvu que les conditions T.—1 , La ro Miep dt dT, 9 Es OU, Tac Ll, pour t— 0, soient remplies. Mais en supposant s— To Teo, (4 s— gut ò (ò les conditions (5 seront remplies, puisque pour t220, on a sei, - — v. De plus, l'équation unique Z — ds — 0 , L (6 remplacera les deux équations (2. A cause de (B, l'expression (6 donne : v— ae —0, doú vs La, vu rs—a, et par suite, les intégrales particulières de (6 seront : st, 8 l'a CM, (7 On a donc, pour l'intégrale complète ou générale de (6, evet evat ee Pal ga TE: evet el x à guet e al A 8 a ió Log: a E Ges DR ag l E ( Par la comparaison de (4, et de (8, on trouve : a a (479) evot vat ei Fesons R Gi RA NS mel d'ot : 3 put ut at — at a EET. Ta, T,—aR, dE i a ia $ — ao 2 1 j a(e—p)V—i ona: dcQ- i / d'R d dE ds OR quia de 3) È EQ adQ A Of dR ee— Vi, de do 9r cd — qo 4 2 at — STS ce Dete ee ee (e—p) ti 2r 2 — QO — P. (9 Par conséquent l'intégrale complète (2' deviendra RE fa die — Ee PA ger — qo co 1 a(a—uyV/ —3 fita L Pe AN da, P) PR) SO ea A Vies as SE EPA a SR alap)V —t f o (edu ef e i da - É) — 0 A op. Pera algu) VV —I1 Hoc ge/ PRe idees ), Li d d —ftàteee i HJ àdese, (480) do dQ El ( id sa: 3 À 3 fi ., ad Led dt SE di dt 2 — N Q fitàde Dpt fic def CR de, — fatàde P4 fitiodu ra. — (10 ò è Mais on a, par (9 : P'ime É 3 ee ple—p)V—1 Si a de, — op 1 Pet er ca —a —— C0$ a (e—p)dz, 2r de 9 4 P cat d- et ue 9r./ eedde ——3) o tosa(x — p)da H- 4 í P pat port ge Í'Urdde saf DE eosafr — da. (10 ò ee OO 3 ea : í A Du Le—at Pour intégrer l'expression CA —— 005 4 (t — da , ——oI 4 nous introduirons le facteur evS, È étant infiniment petit, et nous considérerons l'expression précédente comme la limite par rapport à A de l'intégrale : I get—Ia LL. gata 2 COS a (t— pe) da ç — 6 on aura alors : i P eti— I L gat —tar deaeit a cos E (a — p)da , (481) 3 t P EE) ec a Quar fe BE Le TE 005 a(x— p)da -- — o sap 2 4 — Eli ga Es dt ac ua EE COS d (U— pú) de , —o 42 ZD Ll ani A gai er L/fe é C0S a (ad — p)da d- — DO co Ll El ha 14 ja — JG 4 — H BE eo8a(a — p)da 1. de En efiectuant les intégrations indiquées, et en ayant égard à la formule co frcenanie- 3 abr 3) a — o on trouye, en posant 4 — x L 2F'o, ta co LE at t RS (11, ue (—) e ih ea Cos (ea 1 2V Fa)de 4. Vh 4 4 È ot EE), (fe af e—a cos) pet 2V Ee)do. 4" EXEMPLE. Chercher la Ni de u— Í(X, Y,z,1) élant donné du d'u , d'u de de Par ade dz" del) : U SE Q(X,Y,2) pas t— 0. Solution. En supposant que qae efUV —le ts — , Satis- fasse à (1, c'est-à-dire que l'on ait : d'E, ae dd LE 4 T,—0, 2 ( 482) on aura, pour la Tn de l'intégrale complète : 3 1/. /. vh 4a di od T, eele—b)V—i Pg—)V —i g — o — Do —bL e 8-9 — olee,v,6)die dv da da dB di , pouryu que l'on ait: T,— i, pour (—0, done Te et", devra satisfaire à (2, on a done, en substituant : vale L 8) — 0, vs — ae LE), done P ag EEES TIR. Par là, on CAE à la place de (ó : ci A Let remet ex (g,) LOU OO os Ei ge eu a)due du de da dB dr, e E 6 — Í f fotre ,6)du du des (ze) fe go dat PEN CC Gi HS je eea— Vi gi —i qe i qu dE d,. Soient s—(a— p)t d (y— ed) F (4—a)', ta. l fe sent 4 P LP ae—V i EN Ti (9, ola x dE —1qadpdr, (ec). a em dE FP P DNeos a(e— 4) cos 8(y— 3) (97 er, a ed a X 008 7 (3 — a)dad8 d:. Mais à cause de la formule A bA futerer 724... ) cos aa cos bBeos c7 ... da dB dj... — — oa — P —N cega posar ats sl (09 de — / cosV 3 -afa')da, — (4853 ) on a, pour n—— 3, et à cause de la formule 3 qo X Ej T dr fer 0088 ada — (—)ie ser a — QO dx Pl — be — e — f cosst gue tda z Br ds H ——o Lla L EUR 0083 fada 3 97: ds — ÇO 8 dC) e é83 1 Es 272 ds TE Aat E— — 5 , 8 (za): (e—2) P he —y) "(6 —2)" 1 DG) 4at CJ 3 2 8 (a7)" donc enfin : L: FE ç um 1 f fP ses adeda, ó P na O ea fohit o (u—a)t P p— yi (6 —)" JJ f (te,0, 8)e Des dedude. ES Ge a" Nous allons terminer l'exposition de la Méthode de Cauchy, en traitant l'exemple général qui comprend tous les précédents, savoir: 5" EXEMPLE. Chercher u- Í(2, Y, 7, ... t) étant donné du deu , d'u d u de Me EP) i Erra es de" Arreu a ur es pa ens du UE Ío(X,Y,Z,...) pour tx 0 À IE Ve) pour t— 0, etc. da gra P fm— (X, Y, 2...) pour tx 0 y on suppose que le nombre des variables X,Y, Z.., est n. TOME 7. 67 PART, 60 ( 484 ) Solution. Supposons que les expressions ae V —1 gEUV —Ig ga —i dr TES ie AMA, Pe qe h pi, ie tepr V—g a, ,, satisfassent à la proposée (1, et que l'on ait par conséquent : d ET —age pd PED —O, deT, di" — (—IJa (er I Bed a) Te — , l (2 etc. d'In. DE (afe pg 4 2. d'Taa 0, il est clair, qu'en soumettant les fonetions de t désignées par Las ss ss0 aca aux conditions d'avoir dT deT Tel, Dei i ea Cl brots de etc., pour (0, dT, —d'T. T, m0, a) deia etc. pour ts0, dT. dP. TO, Os qe — 1) pour to, (5 etc. dTm— do ta Tn 0 Y diga "DE 0, elc., dre -—l pour t—0 , et en fesant —( mb IE , T,e ae) —i, Eg—)v—i, Me—a)—i sha fs(a,v,a ...)dududa ... dadPd: ... , ag AA i EV A PM Pey (4 fi, 9, 6,...dudu da ... da dg d:... , etc., etc. 1 a(e—b)V —i gy—)V —1 Una (ad A/e: Tm t ( 8) LE ) i y,4 DV ei ee—B) Ana To A: dg.) ds duda ... da dE de. , on aura pour l'intégrale complète US U F 4a PF ... FT Ui (b is La asma I OC a ee ( 485 ) En effet, 12 chacune des relations (4, à cause de l'hyp. (V, satisfesant à la proposée, il en sera de mème de leur somme. 9o Pour ií—0, on a uv, —0, etc. um—ss0, donc um le — By, Zsee-). du — du, 7, EE S Ona: Dot ct peri done, à cause À due dum— des relations (5, on a : orina etc. qe Ob pour (0, du. — du, ele—bV—i ey—)V—1 donc de TE la) JI... IX fi (es, V,...) dadu ... dadb ... — Ley E,eee). etc. Cela posé, si l'on avait la relation — T, T— Tu — ese L Tm vi 3 (6 et que la fonction s sbit telle qu'on ait, pour (—O0, ds sa (7, seel, Era. elc., ere tgs ee qui exige que s soit de la forme se", (8 il est clair que les eonditions (5 seraient remplies , et qu'en mème temps les équations (2, pourraient ètre remplacées par la relation unique d" qe (Ne La brau. )s—0, (9 Mais puisque (8 doit satisfaire à cette relation , on trouve Un — (—I)a (a PET hot, Je Os (10 et si nous fesons 1 AT —— (— 1) "a L) et QUE o, À,, ... Àn—i, désignent les m racines de cette équa— tion, on trouvera, pour les m racines vo, V,, ... Um—i, dE l'équation ve (—Iyafe 8r -...), (11 l les expressions : ade Lee.) I tr A (at BP. )T, ete., Om Ana LB.) ( 486 ) et par suite, les m intégrales particulières de (9 : 8 um Ell gament QL, grat, Ges intégrales devant satisfaire aux conditions (7, si nous fesons pour abréger A (—a(ed pren de), Fu) ve — As, Fu) mv, on trouve pour l'intégrale générale de (9 : RS mt el (o—uv)jF(v) —(v—v)F'(U,) Ed reema icenió mes ie got evit (V Aj MU v—ty) T mosca) - deis ar Vnal MUn— ET (V— Un) : En développant cette dernière expression en série ordonnée selon Jes puissances croissantes de v , on obtient : et cuit cumat 8 Ào i mover de gla Ms petagasiyas sl P MUn—" Ao —R d- 4... i 3 vl. etc. - movi MU Vmat ea evit Ào mu em—i st mv, 2m—i P o dt pera pr ae ani home i-ete, (192 La comparaison des relations (12 et ea fournit : at guet evxé er T, — Ao m I m T gode HE : en mv I MUn—" evot cal Tal i mei ere de elc. etc. Tesi en A, — — T o i Lo. Soit , pour dei t 4 evot er: 4 gent i ———————ç m Us ra pm—i (487) on aura : den—iR vot - euit d- de euaat 3 Ta ) (1 6) Qlm—t m de R de GR l et 3 TS As que 7 TA qe elc. Ti SA R. (14 Soit de plus MA gest id a(e— PV —i, 8y—V —i ge—ó)V —i Que l/ f:Re 6 e due Es Ptge dadGd: ..., (15 on aura : a de SR pa(e—bV i ag TI A, del def. . Ao din— —i x CES Bé da d6 ..., d"Q I dg da —Q de — AQ 20, d'oú : Pr GR Lena die Done da: LE drQ Pren o qu i Ti cal da R qe VI pg Vi v(e—a CEE, — RA ff. ea EA, ris da dg DJ (a, IT. ce Em pe —éÉL ss — És Ds — CO (ai at ie Ddsus. 2 —P. (16. Si dans ($ nous mettons pour 49, u,, etc., um-1, leurs valeurs (4, en ayant égard aux expressions précédentes , On trouye suc- cessivement : USS JÍ ... Alt,v, 6,...) du duda ... X PF JR et VT AV SP Í ..a, CT ee i EV —i dins —l) — 9 If... Eiltsv, 6...) du du de ... X 1 é Co 0 de—R x va BAT er af f Re DN dadf A ( 488 ) gi (0, 6,..) daduda ... X (ge) dd AREC-BEI Pg edad ee, —/ f.. al (,U, dd. rar come. hÈ fe /f. Alesv.dady... it ha Val TS L (tes 9,...) dudy... A ae ABRIL AE m—i if 8/. Jit quen mas LE die a de. Píottev,.. de, ds... 4. S dt ff... PE (iegv.. dudu... MAT... Pís(tu,..)dedu... H- etc. L , furs. Pl LU, edad) ... (17 Le signe fs est employèé ici pour Mies, m—i intégra- tions eonsécutives. Comme on a, par la form. (16, UVo v, Val ET sat — COS d'a— COS B(y—)).dadB. —bb —og J ad ) "senor qe eL, Le eran, m X cosa(x— pe) cos B(y-——V) ... dadB.... On obtiendra, par les formules de réduetion déjà citées , i — QO — Q) Es 10 si n est impair, Ú n—li are ESP VI co era d'" Ei RE Al 2 3 Pest D, mEEt fe denes Or 2 qs 8 P LA El BE xue aut Re - iq Ets L (18 m Ses (es — 2)3 de (u—y): He etc. 5 i ( 489 ) 2o si n est pair, on aura, à cause de la formule y qe fat 82 1. ...) cosaa cos dB... dadf... ms —oa-— Ll n co CO 2 ado 2 02 08 P d hr 2 f fes Es pie 0272 peti al fír8) Le Tdr- , 0.205. l'expression : de. (19 En substituant (18 dans (17, on aura l'intégrale complète pour le cas de n impair, et en substituant (19 dans (17, on aura la mème intégrale pour le cas de 2 pair. ee SECTAON, INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉATRES AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES PAR L'EMPLOI DE SÉRIES D'EXPONENTIELLES. ——— (a) MÉTHODE DE FOURIER, LAGRANGE, ere. Soient LaU, be 0, l'0, etc. (2 plusieurs équations simultanées aux diflérences partielles , u—f(a,y,...t), linconnue, qui, pour t—0, se réduise à l'état initial u— F(2), F désignant une fonetion arbitraire , cela posé, Ja méthode qui nous occupe consiste principalement dans les points suivants. 1. On cherche une valeur particulière de la forme exponentielle ES a) , (5 satisfesant à l'équation (1. 2. On substitue la valeur (5 dans les équations (2, ce qui con- ( 490) duit à une équation (ordinairement transcendante), en ç, de la forme (60-50. , (4 5. On démontre que les racines de cette équation sont réelles , et en les désignant par Gry 629 Gng eeé on forme, à l'aide de (5, la suite des intégrales particulières Ep), E er), EO era), ($ 4. A l'aide de ces intégrales particulières, on forme l'intégrale complète uU XI Ap cele), n—1,2,5, ete., (6 5. et on détermine la constante A,, au moyen de l'état initial donné du problème. (Voir la Théorie de la Chaleur, par Fourier, p. 940, etc.) (Idem Lagrange, Mécanique analytique, tom. L, p. 347, etc.) 4 EXEMPLE. Chercher uzi(x,t) étant domnée l'Equation du b deu , 2du — — bi (— TF —) m0 I dt dxt EJ xdx d simultanément avec la suivanle du — d- cus 0 g qui doit avoir lleu pour XSr, (5 la fonction u se réduisant à la fonction arbitraire usF(3), (4 pour t- 0. Solution. On peut d'abord simplifier (1, en posant un X y étant une nouvelle fonction de x et de €, car alors on trouye : MM P ES A, 9 dE ad de ada a detóoO ada ada i xò) et par suite l'Equation (1 se réduit à dj —Q, d'y (491) Or on prouve aisément que youg-— Ac es tinga, satisfait à l'équation (5. Pour que la méme valeur satisfasse aussi à la relation (2, qui subsiste pour x—r, on doit avoir Ammy € PEL Ets, Ae—b'stecosgr — Ae Ges tinça Ac sin ça UE he c m0, x x x pour xezr, ou : er — (I—er)tgres 0. (1 Soient 64, Ga, Le: Ga, ve les valeurs rèelles de ç déduites de cette équation , et A,, A., ... An, ... les constantes corres- pondantes, l'équation (6 donnera les intégrales particulières ue A EP tinga, As o tinga, .. Ape de Sin gana, ... (8 et on aura pour l'intégrale complète ques (Ac V'é'tsin gua). (9 Déterminons la constante générale A, . A cet effet, comme pour t— 0, on a u€— F(z), l'équation pré- cèdente donnera pour cette valeur de €, cF(x) — E (Ansin 642). (10 Multiplions les deux membres par sinvadx, puis intégrons entre 0 et r, il vient : T 4: fs F(z)sinvadz — X /Ausin Ga Sin vadx J , 0 0 ad — El As f sinsesinvedz ). (11 Mais on a : 0 a fsincesinmadr — : (vsin çar eos ur — ca Sinyr cos çar J. (12 cn —V 0 De plus, en supposant que v soit pris parmi les nombres Gi3 Gay se. GN g vv on aura par l'équation (7 : y Be DR gra) — 180) — TOME 7. 67 PART. 61 (492 ) d'ou, Y SIN TG, COS lV — Gq COS Y'Gu Sin Yy — 0. II suit de là et de l'équation (12, qu'en supposant ç, diflérent de v, on aura : T feina sinveda — 05 (13 0 mais en supposant ç,s-v , l'équation (12 donnera : T an fiinesade it Nr— a Sin 2764 1. (14 0 26a Par conséquent, en posant u— ec, , l'équation (11, devient : T r DA. F(2) sin ç, edr — An f sint.,adx , 0 0 I 1 i Reg dr In 2r h SAnlr 3 si 2164 15 d'ou l'on tire : an x F(2) sin cuedx di (15 Ag 1 p——— SIN De yT-n n En substituant cette valeur dan3 (9, on trouye , pour l'intégrale cherchée : 2 fa F(2) sin ça dx 0 special eo Vetinea. (16 Ei p — — sin 2r en Don Le signe : désigne la somme de tous les termes qu'on obtient en posant dans l'expression qui suit ce signe, 1 — 1, 2, 5, etc. Que EXEMPLE. Chercher us f(x, y, 2) etant donnée l'Equation deu d'u d'u due T qe T dz2 Tl. 1 simultanement avec les suivandtes : a du has Thu O, i (2 Po Ri ( dy ( 495 ) dont la première subsiste pour y —l ou y—— l, et la seconde pour Zz2l ou z-x—l, de plus on doit avoir ul pour x—0, quel- que soient y el Z, pourvu que ces valeurs soient comprises entre 0 et 1. Solution. On prouve aisément que l'équation (1 est satisiaite par ———— uU TP: os ny-B cos pz. (4 Mais pour que cette valeur satisfasse aussi aux équations (2 et (5, il faut que n et p, aient les valeurs que donnent les racines des équations transcendantes : — lnsin (al) H- heosí(nl) —0, — tpsin (pl) H- h cos(p) — 0, ou les suivantes : hi hl À (ab tg(n)— sui (pD tg (pl) Sir é (ò Soient (nes, (p)—a, (6 et dr qua Gade gais edr Es ls j 'éve Enra des respectivement les racines réelles des équations h hl on pourra désigner par n,, n,, etc., P,, pa, etc., les valeurs de n et de p, correspondantes à ces racines, et écrire : Es €s em EO EE, de, s00 Nat pe etc. : (6 71 la 240 P: RRI pt P: a g 0 pr — EE) elec. L'on voit que ces valeurs de n et de p deviennent toutes infi- nies pour l-0, et par suite, pour la mème hypothèse de (, aci e Vint hp, — (). Si nous marquons par A,, A., etc., les valeurs de A corres- pondantes aux diverses valeurs de n, et par B,, B,, etc., les va- leurs de B correspondantes aux diverses valeurs de p, on aura, pour l'expression collective de toutes les intégrales particulières : — QV nmi ,2 dE TEA Ell Nmtje B. COS P, 25 i (7 et on les déduirait toutes de cette expression en posant m-——1,2, 9, elc., ree1,2,5, etc. ( 494 ) Il suit de là que l'intégrale complète pourra ètre exprimée par x Van pi FP Am COS nm: B- COS p,Z J. (8 Observons que , pour développer cette somme, il suffira de poser d'abord vesle ns1,2,ó, etc, sans ehanger r, ce qui donne un premier résultat, puis poser dans chaque terme de cette 1". somme rel, 32, 0,'ele. Pour déterminer les constantes sènérales Am, B:, nous deri recourir à l'état initial, qui répond à x-—x0, A cet eflet, on a d'abord, pour l/— 0, US 3 Am COS my: B, COS 012), — SA COSNmy X 3 B. COS p1Z. (9 Or, cette formule qui ne contient plus la variable x, répond aussi à xxx 0, comme le prouve la form. (8, et comme pour cs0, on a us 1, l'éèquation (9 se partagera en deux savoir : Is (AmCOSAmy), 13 (B,eosprz). (10 Cela posé, multiplions la première de ces équations par cosvydy, et intégrons entre O et l, on aura: Z / feos vydy ss Am f Cos ny cosuydy ). (11 0 0 Mais on a : Z L/ LJ da COS Nutj COS V Ydy 3 fes (Na — V) ydy $ feos (Na Lydy, 0 0 0 —li Des x sin (Nm— VI H- — sin (nau), (2) 1 area En FV) sin (na— VIH (has —V) Sin (na TV), Pr ós 7 (2m Sin (14l) COS (ul) —y C08 (am) Sin (ul) J. De plus, si vu est pris parmi les valeurs n,, n,, etc., on aura , par la première des équations (5 : Nm 18 (Nmlj — V (8 UI), 0u : Nm SIN (Al) COS (vl) — v Sin (ul) Cos (nal) ss 0. (498 ) Donc, tant que v diflère de nm , on aura Z feos NmYy COS vydy — 0. 0 Mais si l'on a v— c, l'on voit, par (2), que Z sin 22,1 feostrady — li. Gimcil: (12 0 di II suit de là, que l'équation (11 se réduit à Z U feos Nmydy— As f Costnmdy, 0 0 3 sin 2n, ARX ls d'oú : 2./ cosmydy 0 Lord Ara CIE dd T nm En opèrant sur la deuxième des équations (10, d'une manière tout-à-fait semblable , on trouve : : 2. /'cosp,zdz —— La : 4 Be 1 sin 2pl " ( a Op, par per iguet l'intégrale complète sera : 2 2 / COS 2 dj 2 / Cos p,zdz rq perd us l— ee) X COS Prz Le i - et ml PRE ds sin Sa (6) MÉTHODE DE POISSON. ( Voyez Théorie de la Chaleur, par Poisson , p. 165 et suiv.) Soient Le, It (0, 20, et. — P les équations données aux diflèrenegs partielles, la méthode de ( 496 ) Poisson consiste dans les points suivants : 1. u désignant l'intégrale eherchée, on pose u—sIRe "1, (5 et l'on substitue le terme général R,e7 $$ dans l'équation (1, ce qui conduira à une équation différentielle v- 0. l (4 2. On cherche l'inconnue R, de cette équation sous la forme Ra ss Ba ((G4) H- etc. Mb) 5. On substitue le mème terme R,e "7 dans les équations (2, ce qui fournira des équations propres à déterminer les constantes Gry Ga, dc. deia qui entrent dans les exposants de (5, et aussi propres à déter- miner les constantes B,, etc. , de (B, ce qui permeltra de mettre ($ sous la forme Rato Aena , et par suite (5 sous la forme um: lAnxale ". (6 4. On détermine alors la constante A, , par une méthode par- ticulière dépendante de l'état initial, qui fournit non-seulement la valeur de An, mais encore des relations à l'aide desquelles on démontre dà priori la réalité des racines , ou exposants cr, G., etc. EXEMPLE. Chercher us ((3,t) élant donné du du d'u R en , pour xs —l, a R A d'us 0, pour xe Il, us F(3) pour t—O. Solution. Soit uv — Rue LL Re et. ete,, — (Ra), G l'intégrale complète , R, étant une fonetion de x, et de constantes , cela posé, substituons Rue "P dans (1, on trouvera l'équation dif- férentielle deR qe P Ras a 0. Ú ni el ts dl (497) Nous avons remplacé, pour plus de simplicité, ç, par d'cat3 en sorte que l'intégrale complète est de la forme u—s(Re et), 8 En intégrant l'équation (4, qui est du second ordre, on trouve aisément : Ra Ba Sin ç,x - B,'coscoxç (6 B. et B./' étant les constantes introduites par cette intégration. Pour déterminer ces constantes , en mème temps que les va- leurs des exposants ç,, ça, ElC. c,, elc., il faudra recourir aux équations (2). En effet, pour que (5 soit l'intégrale complète , il ne suffit pas que cette expression satisfasse à (1, mais elle doit aussi satisfaire à (2, ce qui nous fournira les valeurs propres de c,, 4, , etc., pour que (5 satisfasse à (1 et à (2 à la fois. Or la substitution de u-— R,e— $€ dans les équations (2, donne les relations : dR, 7) E Ed — Ra — 0, pour e—x—l, i) 8) 13 Ra LL d'Ra — 0, pour al. dx n . : 3 dR En substituant dans ces équations pour R. , Tan leurs va- x leurs déduites de 6 , puis remplaçant dans 7) 2 par —l, et dans 8) 2 par l, on trouvera : 9) Ba LRen COS (Gal) H- a Sin (691) JF Ba' La 008 (64l) — Rea Sin (ea) 1, 10) Ba (sa 0os (Gal) -- 8 sin (gal) )— Ba" ( Ra Sin (gal) — 8 eos (sal) J. De ces équations on tire , 1: en divisant, et en remplaçant pour plus de simplicité 6, a' par fa, R2, l'équation transcendante (a 6' — 648) Sin 2oal -F (d' b aN64 008 2eal — 0, (11 Nous démontrerons bientòt que les racines de cette équation sont réelles, et nous les représenterons par 4, 62, -.e Gn, 1.2 De ces mèmes équations on tire, 20 en ajoutant : B, ( 2E64 COS gal H- (a—-9') Sin cal 1 Ba (a —a') cossal 1, d'oú : Ba (es — 2) CS (4) Bo 2hncoSsent - (a al) Singal ( 498 ) De celle-ci on tire , A, Etant une constante : (12 Ba — An (a —a') 008 (cal) , (15 Ba — Anl 264 COS (Gal) F (a-F6)) sin (ça) J. En substituant ces valeurs dans (6, on a: Ra — Aa Í (s'—a) È C08 (691) sin (42) — ( 264 C08 (641) -- (a. d') sin (6, DR COS (ga2) I . Si nous fesons, pour abréger , (Mo Xa ss (a — o) 008 (Gal) Sin (ç,x) — l 264 COS (€4l) 4. (a'—- 6) sin (ent) JE cos (Ga2) , on aura : Re her As Bes , (15 et par suite i U— 3 (Ap Xa 9). (16 Il nous reste encore à déterminer la constante As. Pour cela posons IJ f Xaidemo, l (17 dem d'oú : / aus El l (18 dd ade de Cela posé, multiplions l'équation proposée (1, par Xadax , puis intégrons entre —l et 1-7, on aura : fe ae fo — Xada, 4 dv de pe dada: 19 qni - Xadz. ( 0U : Cette équation peut étre beaueoup abrégée, en intégrant le se- cond membre par parties, en effet, on a : deu du du dXa IL arees SUA - Je x Ral re EL Pre dr dr de du dX dXs d'Xn om. ale Dorerel Í Fi rr dx dis dx dat BE dl (499) donc, en substituant la 2: dans h. pe 3 deu du cs 3 — 112 DOS Bar fa es Xadxs d'Xa rn TN 214 — dx -- c. Si nous désignons par des a Re ce que deviennent les deux premiers termes du second membre en remplaçant x par H, et par des crochets, les valeurs de ces termes pour e— — 1, l'in- tégrale précédente, prise entre les limites l et — I, devient : L due du d' Xa (20 feix de ss (d'Xa —— )— (au —) — ES — CER PO EN CE L/ E aiXa Tl la 2y tas foie é Mais comme X, est la valeur de Ra, pour Au——1, il suit des Equations (4, (7, (8, qu'on a aussi : deX, dx2 dXa A dx (21 m0, (22, pour e-——I, dXn dx De (21 on tire : L — SS — Xa Ga , (24 puis (22, (25 donnent : dXa A dx dXn È dx — 6 Xa, pour ee—l, — — d'Xa, pour es FL. En multipliant ces équations par 44, et les équations (2, savoir : h du pen —6u-0, pour ce —l, d he dus, pour e— El, TOME 7. 6 Ú PART. 62 ( 500 ) par Xa, on en Me aisément : u La des DE (2$ du Xa a). plu De 1 — (), A cause de (24 et (25 la form. P devient : Z a: cd Xadr — — 0164 fi Xqudx ss — a26,0 dd dx" done on trouve, à la place de ca i du ——— an 20 É dt d'oú : du ———— d.64 dE À 3) — ne 2 era Pe) pm ct (96, ou: Í Xaidz— ce a hi Pour déterminer la eonstante c, nous ferons t— 0 , et comme on a alors 2 F(2), il vient : ji Xa F(a)de — cs —i Done a devient : : / Xa uda — em Vet Í X, F(a)dz. (27 — ENS A , pour un moment, cp à la place de afs,f , et rem- plaçons u par sa valeur s(AnXae 5"), l'équation (27 deviendra : Z Z t Xa 3 (Ap Xa)e Oda es X, Fos, (28 i BEL ou, en développant la somme ApXa : IJ ah emer con, Ar mis Cf ( 501 ) De cette Egalité on tire, par la comparaison des termes multi- pliés par e— sé, / I l (30 fi Xa LA Xa Jde — 4 X, F(a)dr 5 an, —I et de celle-ci : f Xa F(a)dx (51 AE J Xatdx enl En substituant cette valeur dans (16), et en remeltant a'ç,t pour ça, on a, pour l'intégrale complète cherehée : : Xa F(x)dx 3 (52 ee — XU Sa t f Xaidx — Observons que l'équation (29 fournit, outre la valeur (51, en- core les relations l Z gfi XsXade— 0, fi XX. de— 0, ete,, (33 —i — à l'aide desquelles il est facile de faire voir que les racines c,, G., elc., sont toutes réelles. En eflet, démontrons , par exemple, que la racine c, est réelle Si elle etait imaginaire , et par suite de la forme CE liat f gV —I1 , il y aurait une autre racine différente de celle-ci , et de la forr - Ai frag est, Soient X, et X,' les valeurs de X, correspondantes à ces ra: cela posé, ces valeurs de X, et X.' seront aussi de la forme XS Fb-GV—i, XSF—GV—I et l'on trouvera parmi les relations (55, la suivante : Z Z pus XX 'dr— f (Ft LG de —O 5 Be, mA) d'oú l'on déduit F—0, G30, I en d'autres termes, ç, ne peut pas affecter la forme imaginaire: as fd-gV—i. (5092 ) Remarque 1. Les deux Méthodes exposées ci-dessus diffèrent essentiellement en ce que dans la première on doit démontrer d'abord , qu'une série de la forme 3(Ba), peut représenter l'état initial, correspondant à t-—0, et que nous donnons sous la forme d'une fonction F(2,y,2), tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue. Cela étant l'intégrale ui Ra€7 91) , à laquelle on parvient, sera complète , c'est-à-dire, qu'elle satis- fait aux équations differentielles données , et qu'elle reproduit l'état initial donné, correspondant à t—0. Dans l'autre Méthode, on doit démontrer que l'inconnu, ou l'intégrale complète cherchée , est toujours de la forme, — desa (Rre "es dans ce cas, en désignant toujours par F(2,z) l'état initial , on trouve , comme conséquencee , le développement de cette fonction arbitraire en série sous la forme F(2,y,2) SS 3 (Ba). Remarque 2. Le travail le plus paríait sur l'intégration d'un système d'équations linéaires , aux differences partielles , et à coéf- ficients constants, est celui que M. Cauchy a publié dans le tome 1: des Exercices d'analyse, 1840, p. 76. Cette Méthode , très-expéditive , est d'une généralité telle qu'en l'appliquant aux questions de physique, par exemple 4 on n'aura plus à s'occuper de rechercher séparément les intégrales qui représentent le mou- vement du son, de la chaleur, les vibrations des corps élasti- ques, etc. , le problème devra ètre censé résolu dans tous les cas dès que l'on sera parvenu aux équations diflerentielles ou aux dif- férences partielles. .. Nous regrettons que le cadre trop peu étendu de cet ouvrage, ne nous permette pas de donner une analyse de cet utile Mémoire. y FIN, bel TaBLE des valeurs de desde és et de ses log. de ls CN sots: pour toutes les valeurs de €, de (0, à tz—ó, (Extraite du Traité de Eramp sur les Réfr. Astro.) t G. A A: A3 At log. G. A A2 t 0.00/.—0.88622692 999968 201 199 9.9475448 49280 l 558 l 0.00 0.01 0.87622724 999767 400 199 9.9426168 49888 1 557 J 0.01 0.02 0.86622957 999867 599 200 9.9876880 50895 l 562 j 0.02 0.08 0.85628590 998768 799 199 9.9325985/( 50957 ( 568 ( 0.08 0.04 0.84624822 997969 998 197 9,9274978 51520 l 567 j 0.04 0.05 0.883626853 996971 J 1195 199 9.92234581. 52087 l 567 l 0.05 0.06). 0 82629882 995776 J 18394 196 9,91718371/ 52654 l 578 l 0.06 0.07 0.81684106 994882 J 1590 195 9.9118717 58227 l 572 l 0.07 0.08 0.80689724 9927992 l 1785 194 9.9065490 58799 571 0.08 0.09 l.—/0.79646982 991007 J 1979 195 9.9011691/I 54876 1 580 l 0.09 0.10 0.78655925 989028 J. 2174 192 9,89578151. 54956 J 580 1 0.10 0.11 0.77666897 986854 l 2366 190 9.890283591 55586 1 588 l 0.11 0.12) 0.76680048 984488 J 2556 189 9.8846828 Il. 56119 l 587 1 0.12 i 0.18 0.75695555 981982 l 2745 188 9.87907041 56706 l 588 l 0.18 0.14 0.74713628 979187 (2988 186 9.8788998 57294 l 591 J 0.14 0.15). /0.78784486 976254 I 8119 184 9.8676704 I. 57885 l 594 l 0.15 0.16 0.72758182 9783185 J. 8808 188 9.9618819 58479 1 595 I 0.16 i 0.17). 0.71785047 969832 l 83486 180 9.8560340 59074 ( 598 J 0.17 lo.18)./0.70815215 966346 Í 3666 l. 175 9.8501266/. 59672 l 600 1 0.18 0.19 0.69848869 962680 I 8841 178 9.8441594 60272 l 604 j 0.19 0.20 0.68886189 958889 /(. 4019 178 9.8381822 60876 l 602 j 0.20 lo.211 0.67927850 954890 Í 4199 171 9.8320446). 61478 Í 610 / 0.21 0.221. —0.66972580 950628 l 4808 168 9.8258968/J 62088 J 607 / 0.22 0.281. 0.66021902 946265 l 4581 166 0.8196880 62695 /l 618 / 0.28 0.24l 0.65075687 941784 J 4697 168 9.8184185 683808 J 618 J 0.24 0.25 0.64188908 9837037 l. 4860 160 9.8070877 68921 l 617 l 0.25 0.261. —0.68196866 982177 l 5020 157 9.8006956 I. 64588 l 617 l 0.26 0.27 0.62264689 997157 l 5177 155 9.7942418 65155 /.620 l 0.27 0.281 0.618837582 991980 l 5832 151 90.1877268 ll. 65775 l 628 I 0.28 0.29J). 0.60415552 916648 Í 5483 149 9, 7811488 66898 l 624 I 0.29 0.830. —0.59498904 911165 l 5682 145 9.7745090 67022 l 627 i 0.80 0.831 0.58587739 905588 J 5777 142 9.7678068 67649 1 629 Il 0.51 0.832). 0.57682206 899756 l 5919 138 9.7610419/j. 68278 ( 629 j 0.82 0.838 0.56782450 898887 l 6057 186 9,7542141 68907 l 685 l 0.38 0.841. 0.55888618 887780 Íl 6198 181 9.7473234l 69542 I 689 l 0.84 0.85 0.55000833 881587 l 6324 129 9.7408692 10174 l 688 4 0.85 0.836 0.54119246 875268 l 6458 125 9. 7388518 70812 l 640 l 0.86 0 87 0.53243983 868810 l 6578 121 9,7262706 71452 l 689 j 0.87 0.88/. 0.52375173 862239 I 6699 118 9.7191254/j 72091 Í 642 j 0.38/ t G. A A: A3 At ll log. G. 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G. l A A: t 9.07/ 0.00302898799 l. 13493307Í 549808) 19929/ 622 ll 7.4812976 I 197908 Í 806 l 2.07 9.081 0.00289405492 l 129483504/) 529874/ 19807/ 591 ll 7.4615068/ 198714 l 805 ( 2.08 9.09 I. 0.00276461988 ( 124183680J 510567Í 18716) 574 ll 7.4416354 1 199519 l 807 ( 2.09 2.10 / 0.00264048358 Í 11903063/ 491851) 18142) 582 ll 7.4216835/ 200326 l 807 j 2.10 9.11 0.00252145295 l 11411212J 473709/ 17560) 543 ll 7,4016509/ 201133 l 808 J 2.11 2,12 0.00240734083 Í 10937503) 456149) 17017) 587 ll 7.83815376/ 201941 J 806 ( 2.12 2,131 0.00229796580 (10481854) 4839132) 164801 540 ll 7.36134851 202747 l 809 J 2.18 2,14) 0.00219315226 l 10042222/J 422652J 15940) 510 li 7.34106881 203556 l 808 J 2.14 2,151 0.00209273004 l 9619570 l 406712) 154301 496 ll 7.83207132/l 204364 l 809 l 2.15 2.161 0.00199653434l 9212858 J 391282) 14934) 497 ll 7.3002768/ 205173 l 809 2.471 0.00190440576 l 8321576 l 376348) 144837) 478 ll 7.27975951 205982 ( 809 2.181 0.00181619000 ( 8445228 / 361911) 18959, 457 ll 7.2591613/ 206791 J 810 9.191 0.001781783772 Il 8083317 l 347952) 13502) 459 ll 7.2384822/ 207601 Í 812 2.20 I 0.00165090455 l 77835865 l 334450) 13048) 439 li 7.2177221/) 208413 ( 809 2.211 0.00157355090 J 7400915 J 321407) 12604) 482 li 7.1968808/ 209222 J 812 9.991 0.00149954175 l 7079508 l 808808) 12172) 411 ll 7.1759586/ 210084 l 809 9,23 I 0.00142874667 l 6770705 l 296681) 11761/ 408 ll 7.1549552/ 210848 J 814 2,241 0.001836103962 l 6474074 l 284870) 11853) 899 ll 7.13387091 211657 l 812 2.951 0.00129629888 l 6189204 l 273517) 10954) 880 ll 7.11270521 212469 J 811 9,96Í 0.001283440684/ 5915687 l 262568) 10574) 875 ll 7.0914583/1 218280 l 814 2,271 0.00117524997Í 5653124 l 251989) 10199) 859 Il 7.07013038/ 214094 / 812 2.981 0.00111871878/ 5401185 l 241790) 9840 l 854 ll 7.0487209/J 214906 Í 814 9.29 I 0.001064707881 5159345 l 231950) 9486 j 840 IJ 7.0272308/ 215720 J 814 2.301 0.00101311393/ 49278395 l 222464) 9146 l 881 Il 7.0056583/ 216534 l 818 9.311 0.0009683839981) 4704931 J 213318) 8815 l 8324 ll 6.9840049/ 217847 ) 815 9.391 0.00091679067 ( 4491613 l 204508) 8491 l 309 ll 6.9622702/ 218162 l 815 2.33Í 0.00087187454/ 4287110 J 196012) 8182 l 303 ( 6.9404540/ 218977 J 814 2.341 0.00082900344 ) 4091098 l 1878301 7879 l 299 ll 6.91855631 219791 l 816 9 351 0.00078809246 1. 3903268 l 179951) 7587 l 287 ll 6.8965772/ 220607 Í 815 2.361 0.00074905978 1 37288317 l 172364) 7800 l 271 ll 6.8745165/ 221422 l 816 2.371 0.00071182661l 3550958 Í 165064Í 7029 l 268 ll 6.8523743/ 222288 J 819 L o,881 0.000676317081 3385889 l 158085) 6761 l 260 li 6.88301505/ 228057 J 818 2.391 0.00064245819 I. 3227854 l 151274) 6501 l 245 ll 6.8078448/ 228870 J 819 2,401 0.00061017965 1 83076580 l 144778) 6256 l 244 I) 6.7854578/ 224689 ( 816 9.41 0.000579413851 2981807 l 188517) 6012 l 284 ll 6.76298891 225505 ( 818 2.421 0.00055009578/ 2793290 / 1832505/ 5778 J 226 IJ 6.7404384/ 226323 j 819 9.431 0.00052216288/ 2660785 l 126727) 5552 l 216 ll 6.7178061 297142 l 817 9,44l 0.00049555503 1 2534058 Íl 1211753 5336 l 212 jj 6.6950919 227959 J 818 9.451. 0.00047021445/. 2412883 1 115839/ 5124 l 204 ll 6.6722960, 228777 l 819 9.461 0.00044608562 l. 2297044 l 110715) 4920 l 196 Il 6.6494183/ 229596 J 820 9.471 0.000428311518/ 2186329 l 105795J 4724 j 191 ll 6.6264587/ 230416 ( 818 9,481 0.00040125189/1 2080534 l 101071) 4583 l 183 ll 6 60834171/ 231234 ( 821 les CE ame t G. A A2 A3 At log. G. A A2 t 2.49 l 0.00088044655 l 1979463 l 96538 l 4850 l 177 ll) 6.5802987/ 232055 j 819 J 2.49 2.501 0.00086065192 1 1882925 l 92188 j 4178 l 171 ll 6.5570882l 232874 j 818 J 2.50 2.51/ 0.00084182267 l 1790737 l 88015 l 4002 l 164 ll 6.58338008/. 238692 j 828 j 2.51 2.521 0.000832391530 l 1702722 l 84018 l 8888 l 160 ll 6.5104816/( 284515 J 821 l 2.52 2.58 1 0.00080688808 Il. 1618709 l 80175 l 8678 l 152 li 6.4869801 l 285886 /. 819 J 2.58 2.54 I 0.00029070099 l 15885834 l 76497 l 8526 l 148 ll 6.4634465 l. 236155 l 828 J 2.54 2.55) 0.000275815651 1462087 Íl 72971 l 83378:) 149 ll 6.43983101 236978 Í 821 Í 2.55 2.561 0.000260695281 18389066 l 69598 l 8236 l 187 ll 6.41613321 287799 l 822 l 2.56 2.57) 0.00024680462 I 13194783 l 66857 l 83099 l 181 ll 6.8928583 L 238621 Il 821 J 2.57 2.581 0.00028860989 I. 1953116 l 63258 J 2968 128 JJ 6.3684912 J 2839442 828 l 2.58 2.59 i 0.000221078731 1189858 l 60290 l 2840 l 121 ll 6.3445470 l 240265 l 828 l 2.59 2.601 0.000209180151 1129568 l 57450 l 2719 l 119 li 6.83205205/ 241088 l 828 l 2.60 2.611 0.00019788447) 1072118 l 54781 l 2600 Í 112 ll 6.2964117l 241911 l 822 l 2.61 2.621 0.00018716829J) 1017887 l 52131 l 2488 J 108 ll 6.2722206 Il 242788 l 828 l 2,62 2.681 0.00017698942l. 0965256 l 49648 l 2880 l 105 ll 6.2479473l 248556 l 825 l 2.68 2.64 0.00016788686 915618 l 47268 l 2275 l 101 ji 6.2285917/l 244881 l 828 J 2.64 2.651. 0.00015818078 868850 1 44988 l 2174 95 ll 6.1991586/ 245204 l 826 J 2.65 2.66 ' 0.00014949723 8283862 l 42814 l 2079 94 li 6.1746882/l 246080 l 822 l 2.66 2.67) 0.00014126861 780548 l 40785 ( 1985 88 6.1500302/. 246852 1 825 Í 2.67 2.68) 0.00018345818 789818 l 88750 ( 1897 85 ll 6.12583450j 247677 l 824 l 2.68 2.69) 0.00012606000 701068 Il. 86858 / 1812 88 ll 6.1005778/ 248501 l 827 l 2.69 2.701 0.00011904987 664210 l 85041 f 1729 78 ij 6.0757272) 2498928 j 825 ( 2.70 2.711 0.00011240727 629169 l 88812 l 1651 76 li 6.0507944/ 250153 J 825 J 2.71 2.721 0.00010611558 595857 l 831661 J 1575 71 ll 6.0257791/1 250978 l 826 l 2.72 2.18) 0.00010015701 564196 Il 80086 J 1504 70 ll 6.0006818/J 251804 l 824 J 2.78 2.74) 0.00009451505/J. 584110 l 28582 l 1484 67 il 5.9755009 /. 252628 829 l 2.74 2.151 0.00008917895/Í 505528 l 27148 l 1367 64 ll 5.9502881/ 258457 l 825 l 2.75 2.16) 0.00008411867/J. 478880 l 25781 J 1808 59 ll 5.992489941 254282 l 828 9.76 2.771. 0.00007988487 454599 j 24478 j 1244 60 ll 5.8994642 l 265110 j 827 Jriyh 2.181 0.000074808881 428121 l 283234 j 1184 56 Il 5.87895832 1 255987 J 826 j 2.78 2.719) 0.00007052767 404887 l 22050 Í 1128 53 ll 5.84845951l 256768 i: 828 J 2.79 2.80) 0.00006647880 882887 l 20922 l 1075 51 ll 5.82268382 J) 257591 / 828 J 2.80 2.811 0.00006265048 861915 Í 19847 f 1024 49 ll 5.7969241 Íl 258419 827 1 2.81 2.82 0.00005908128 842068 l 18828 975 48 ll 5.7710822 l 259246 , 829 l 2.82 2.831 0.000055610601. 8283245 J 17848 9927 48 ll 5.7451576/l 260075 l 827 Íl 2.88 2.84 j 0.00005287815 805897 l 16921 884 45 li 5.7191501/1 260902 l 828 l 2.84 2.85 j 0.00004982418/). 288476 l 16087 839 89 li 5.6980599 J 261780 J 881 l 2.85 2.86) 0.00004648942 212439 l 15198 800 AQ ll 5.6668869 l. 262561 ) 827 l 2.86 2.871 0.00004871508 2579241 l 14898 760 88 ll 5.6406808 l 268888 1 881 l 2.87 2.88) 0.00004114262 2492848 l 136388 122 84 ll 5.6142920/ 264219 l 827 Í 2.88 2.891 0.00008871419 229905 I 12916 688 86 ll 5.5878701/l 265046 l 881 J 2.89 2.901 0.00008642214 216289 ( 12228 652 81 ll 5.56183655/ 265877 l 829 Íl 2.90 (810) t G. A A: A3 lat ll log. G. A A: 2.911 0.00008425925J. 204061 l 11576 / 621 32 II 5.5347178/Í 266706 / 829 2.921 0.00003221864). 192485 l 10955 l 589 l 29 Il 5.5081072/ 267535 ( 832 2.93 0.00003029379 (181580 / 10366 4 560 29 ll 5.481835837) 268367 J 830 2.94) 0.00002847849 (171164 (9806 J 581 27 (I 5.4545170/ 269197 / 831 2.95) 0.00002676685/. 161358 l. 9275 l 504 1 25 ll 5.4275973) 270028 l 831 2.96) 0.00002515327 l. 152083 l. 8771 l 479 $ 24 5.4005945/ 270859 l 830 2.97) 0.00002868244 143812 8292 l 455 5.3735086 I 271689 / 831 2.981 0.00002219982 I. 135020 l. 7837 5.3463397/ 272520 Í 832 2.99) 0.00002084912 /.— 127183 5.8190877 (2738352 3.00). 0.00001957729 5.2911525 8 PRI CSIC OCI OCIO SO SL CI OSOR DOSI SIS DD RO DS OR AR DE TABLE DES MATIÈRES. NOTIONS PRÉLIMINAIRES . d 4 é : i È è n s I" LIVRE. Propositions fondamentales . . . . . : L é . Page Transformations relatives aux limites . n 3: . À . Passage des intégrales indéfinies en définies . i 8 d É Règles pour la différentiation des intégrales définies par rapport à une constante . e ó . . . . . Transformations sar qabies des intégrales définies. i 6 X Inyersion du signe d'intégration dans les intégrales doubles à limites constantes . A R s 6 8 : . . 8 Des intégrales doubles à limites variables . i : . d Du changement de la variable dans les intigratel définies simples et multiples. E . . R . Principes généraux pour la ducte des intégrales multiples. É Net LIVRE. 4:e Methode. Détermination des intégrales définies par la form. (8). 2: Methode, Détermination de la valeur des intégrales définies par la formule (57). . . i 6 gp an ó . 5: Methode. Détermination de la valeur des intégrales définies par substitution . . . . . . 4: Méthode. Détermination de la ler des inbeerates définies par des différentiations successives . 5 . . 5: Methode. Détermination de la valeur des intégrales définies par des intégrations successives —. h h $ 68 Méthode. Détermination de la valeur des iatègrafes définies au mcgèn de l'intégration par parties — . A A A 70 Méthode. Détermination de la valeur des integralas définies par l'introduction d'un facteur conyenable . 3 é : 8: Méthode. Détermination de la valeur des intégrales définies par l'extension des limites , 3 . . 9: Hcthode, Détermination de la valeur des intégrales dóliniés es la Méthode de Poisson , i P : R 5 . . ) ) ) y H TABLE DES MATIÈRES. 10: Methode. Détermination de la valeur exacte des intégrales définies par le moyen du développement en série h i . Page 155 11: Methode. Détermination de la valeur des intégrales définies par le moyen de transcendantes — . . . 4 3 ua MO: 12: Méthode. Détermination de la valeur d'intégrales définies par d'au- tres intégrales définies plus générales , ou par la combi- naison d'intégrales définies données . À R 3 ) 150 15: Methode. Détermination de la valeur des intégrales définies par la Méthode de Cauchy . È . Ú é ) 165 14: Méethode. Détermination de la valeur des intégrales 'definies par approximation . . 3 ó : i - h a AB dre Notes i Hi h 0 . i . R deu En ç x 187 9: Note : R A Ú : R i : d Ó i y 199 IM: LIVRE. ve SECTION. Principes fondamentaux de la théorie 8 L dé i : Ú x 205 Problème fondamental, A è E 7 - 208 Conséquences du théorème et du problims fondsiidutal ò 8 RS Qi Applications des formules de la 17€ section È : . . é 220 Que SECTION. Síries de Fourier et de Lagrange. Lemme : j : A i . L 3 0 i i y 933 Problèmes . h : A ç i 3 d È sa Qu . n 295 Applications de 4": espèce. 4 i Í À À È É RR Applicatious de la 2 espèce —. Lu, OS La a A 5sme SECTION. Expression des fonctions arbitraires par les intégrales doubles et multiptes de Fourier. Problèmes . : : R x . R x R H d 4 917 Cas particuliers . s . d f 8 d h A ds BOE Problèmes . É 8 4 i È Ò i Ò i a. CME Cas particuliers . . . h 3 . 4 X , BM Applications des formules de la 3e section. 3 P : cio an qne SECTION. Des fonctions arbilraires exprimées au moyen des séries ú quan pério- 3 9 diques dépendantes de l'expression (1— 2pa a") 7: EE i qy 9 Diverses propriétés de U, . 6 4 s . . $ / Ei, 2 Appendice du 52 livre : Ú : È : A $ È i y 200 Retour de l'équation z— 4(y) par les séries de Fourier et de Lagrange. — 9 995 ( TABLE DES MATIÈRES. Retour de l'équation x-— 4(y) par l'emploi des intégrales doubles de Fourier 4 3 È A A a a : . s . Page IV": LIVRE. le SECTION. Intégrales eulériennes de la 4". espèce . : : : È ep iió Que SECTION. ca el ts 507 Principes et applications de la théorie des fonctions gamma —. se NS S Formule de Stirling . é é : : É É s i z 546 Expressions de l'(— a) é . R : 4 : . à on 9581 Intégrales extraordinaires . S 4 E : . : . D 555 Construction et usage des tables des foueiloia gamma . È a B D 5SS Intégrales définies exprimées à l'aide de fonctions gamma. : ç n 562 Sommation des suites par l'emploi des fonctions gamma — . . ) 811 Détermination de la valeur des intégrales définies par la sommation des suites — . : : d i di : 3 : ) 585 Développement en séries de la fonction (1 —2a cos £ 4 a'y Ò . A , 585 5sme SECTION. Détermination des intégrales définies au moyen de la transcendante z Ú de Ui are . . . . . . . h n 589 la 0 Vam LIVRE. Réduction des iatégrales multiples à limites constantes —. : p 595 Réduction des intégrales multiples à limites variables : 3 411 VI": LIVRE. dre Section. Intégration des équations linéaires aux différences partielles par l'emploi des formules de Fourier. a) La Méthode de Fourier . . . P . . i 455 b) La Méthode de Caucby . RE Pi . .e OD 465 2: Section. Intégration des équations linéaires aux difiérences attGl par l'emploi de séries d'exponentielles. a) Méthode de Fourier, Lagrange, etc. : : : p 489 b) La Méthode de Poisson . . i ee. —) 498 Table de Eramp . h alla 3 : d 5 : n 509 FIN DE LA TABLE. iud5) P, A Ne Pe xi Se y NS Ep) xi, pen. Ed Ei Le DE En LI h.2 Diesy be, 3 Ú es EES sants Mi 4 h N xi id 4 PD o a pen - Pe a ha a ee Ga dr Da o a er aa, At I sos dte t, Ca US tara ei pat CE: Ad dis bi L) el ra, Hi h. V Ç i, ea i) y EA els ut a (perit Dr End ii: 3 Sa SEU Pepa ei ial vi Sa è, 09. h a ara is Pares bb (DR es pi da RAM Ei EN VT: Mite 4 t 3 Ni St TAS AR Ei