At 4 SUN en L | qu hi « MÉMOIRES DE La SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÈGE. Q re TNT ART be a PAPER AE a El MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DS LLE@L, Nec temere nee timide V5 KOME TREIZIEME. HER LIÈGE , CHEZ H. DESSAIN , IMPRIMEUR. BRUXELLES , | PARIS, CHEZ C. MUQUARDT. | CHEZ RORET , Lire. 10 us LEIPZIG, MÊME MAISOY. ; RUE HAUTEFEUILLE , — L — Cours élémentaire sur la fabrication des bouches à feu en fonte et en bronze, et des projectiles ; PAR COQUILHAT , major d'artillerie , Sous-DmEcTEUz de la fonderie de Liége, Chevalier de l'ordre de Léopold , décoré de la croix commémorative de Belgique, Chevalier de l'ordre du Lion Néerlandais, Chevalier de 5" classe de l’ordre de l’Aïgle rouge de Prusse, Chevalier de 2me classe de l'ordre de S* Stanislas de Russie, Membre de la Société Royale des Sciences de Liége. TROISIÈME PARTIE. TOURNAGE , ACHÈVEMENT, VISITES, ÉPREUVES DES CANONS. LIVRE I. NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES TOURS. TOURNAGE DES BOUCHES A FEU ET DES GLOBES D'ÉPROUVETTE. CHAPITRE I. TOUR EN L'AIR. — TOUR A DEUX POINTES. ARTICLE I. DÉFINITION DU TOUR. — TOUR ORDINAIRE. — INDICATION DE QUELQUES LIEUX GÉOMÉ— TRIQUES RÉALISABLES AVEC LE TOUR. La forme extérieure des bouches à feu est composée de surfaces de révolution, à l'exception de quelques parties saillantes telles que les visières , les champs de lumière , les fronteaux de mire, les crocs de brague , etc. , ete. Ces surfaces doivent être achevées par un travail particulier lorsqu'elles n’ont pu être obtenues dans 1 2 Coquicuar. — Cours élémentaire sur la fabrication le coulage avec la netteté désirable et l'exactitude voulue dans les dimensions. Ce travail se fait sur une machine nommée tour. Le tour est un appareil avec lequel on contourne les objets suivant des surfaces de révolution. Les tours varient dans leurs formes. Le {our ordinaire est le plus simple. Pour tourner un corps solide avec cette machine, l'ob- jetest suspendu sur des supports qui ne lui permettent d'autre mou- vement que celui de rotation autour d’un axe invariable, tandis qu’un outil tranchant , parcourant lentement la courbe génératrice de la surface de révolution , enlève toutes les parties du solide qui ne sont pas comprises dans cette surface. Au moyen du double mouvement de rotation de l’objet à tour- ner et de translation de l'outil, on peut réaliser sur le tour ordi- naire quelques-unes des méthodes indiquées par la géométrie des- criptive pour la génération des surfaces. C’est ainsi qu’on ob- tient : 4° Une surface cylindrique , lorsque l'outil se meut suivant une droite parallèle à l’axe de rotation. 2% Une surface conique, quand la ligne droite suivie par l’ou- til, suffisamment prolongée, vient couper l’axe de rotation et qu’elle est inclinée sur cet axe. 5° Une surface plane, si la ligne droite parcourue par l'outil est dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. 4° Un hyperboldide de révolution , si l'axe de rotation et la droite parcourue par l'outil sont obliques l’un sur l’autre et non compris dans un même plan. 5° En supposant que l'outil se meuve suivant une circonférence de cercle. A Une sphère, quand l'axe de rotation de l'objet à tourner et le plan du cercle parcouru par l'outil sont parallèles , et que l'axe de rotation coupe la droite menée au centre du cercle perpendi- eulairement à son plan. B Un tore, une gorge, un anneau, une doucine , etc. , lorsque l'axe de rotation de l’objet et le plan du cercle décrit par l'outil sont parallèles , et que la droite menée au centre du cercle per- pendiculairement à son plan ne rencontre point l'axe de rotation de l’objet. C Un ellipsoïde de révolution , lorsque l'axe de rotation est obli- des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 5 que au plan du cerele parcouru par l'outil et est coupé par la per- pendiculaire menée par le centre de ce cercle. ARTICLE IL. MANIÈRES DIVERSES DE CONSTITUER LES TOURS. — MACHINES APPELÉES TOURS PAR EXTENSION. — DÉFINITION PLUS GÉNÉRALE, Certaines causes peuvent s'opposer au mouvement de rotation de l'objet; s'il possède, par exemple , une masse trop consi- dérable : dans ce cas , on imprime à l'outil un double mouvement de révolution autour de l'objet et de translation suivant la courbe génératrice de la surface. Le tournage des tourillons des bouches à feu a licu de cette ma- nière. Le couteau décrit un cercle autour de l'axe des tourillons en avançant à chaque tour d’une petite quantité vers le corps de la pièce. La surface cylindrique sur laquelle se fait ce mouvement devient celle du tourillon après le passage de l'outil. On parvient à contourner les objets suivant des surfaces très- variées en imprimant à l’ouil et à l’objet certains mouvements de translation ou de rotation avec des vitesses relatives déterminées. Les machines qui présentent ces combinaisons de mouvement sont aussi appelées tours , quoiqu'elles ne puissent pas toujours servir à former des surfaces de révolution. Considérées à ce point de vue , on appelle généralement tours , toutes les machines servant à façonner les objets par la continuité de l'action de l'outil. Ainsi on range parmi les tours les machines à dresser les surfaces, à forer, à mortaiser, à fileter, àscier, à creuser , à diviser, etc. , etc. Notre intention n'est pas de faire un traité complet sur les tours, nous ne donnerons que les notions nécessaires pour comprendre les appareils et les outils servant au travail des métaux et en usage à la fonderie de Liége pour le tournage des bouches à feu. ARTICLE III. GÉNÉRALITÉS SUR LES TOURS ORDINAIRES. — TOUR EN L'AIR. — TOUR A POINTES. — PARTIES QUI COMPOSENT LE TOUR EN L'AIR. 11 faut considérer dans un tour ordinaire : 1° Quels sont les moyens de suspension de l’objet et ceux qui 4 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication lui procurent le mouvement de rotation autour d’un axe inva- riable. 2 Quelle est la nature de l'outil, son action sur la matière à en- lever, la manière de le fixer et de le diriger suivant la courbe gé- nératrice de la surface de révolution. Il y a deux sortes de tours ordinaires : Le tour en l'air dans lequel l'objet est suspendu par une seule extrémité. (Fig. 1, planche XXIV). Le tour à deux pointes , dans lequel l’objet est serré entre deux pointes dirigées suivant l'axe de rotation (fig. 2). j Le tour en l'air se compose de 5 parties principales : 1° La poupée : appareil servant à fixer l’arbre du tour. 20 L'arbre de la poupée , servant d’axe à la roue motrice. 5° L'appareil pour fixer l’objet à l'extrémité de l'arbre du tour. 4° La roue motrice, imprimant le mouvement de rotation à l’ar- bre du tour. 5° Le banc du tour, ou établi, servant de base pour fixer la poupée et les appareils supportant l’outil, ARTICLE IV. DE LA POUPÉE. Planche XXIV. La poupée est l'appareil qui supporte l'arbre du tour. Les for mes en sont très-variées ; une des plus simples pour les tours des- tinés au travail des métaux, consiste en deux supports ou montants unis par une semelle, ou par des traverses, le tout en fonte et coulé d'une seule pièce. Les dimensions doivent être suffisantes pour prévenir les vibrations qui rendraient le travail défectueux. Les montants de la poupée ont à leur partie supérieure des en- castrements, pour le logement des coussinets entre lesquels tour- ne l'arbre. La semelle est reliée au banc par des boulons à écrou, qui traversent une barre mobile en fer forgé ou en fonte placée sous les jumelles du banc. ab (fig. 5 ) Boulon. cd Traverse reçue dans une entaille pratiquée sous chaque ju- melle du bane ct relié à la semelle e f par le boulon ab. On assure à la poupée une direction toujours parallèle à l'axe du banc, au moyen de deux saillies ou talons en dessous de la des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 5 semelle, emboitées à frottement doux dans la rainure ou intervalle entre les jumelles du banc. La hauteur des montants ou supports de la poupée, doit permet- tre de monter la roue motrice dans leur intervalle sur l'arbre du tour. Lorsque cette hauteur est insuffisante , on place la roue mo- trice en dehors de la poupée sur le prolongement de l'arbre ; mais celte disposition est moins avantageuse. a b (fig. 1) Montant de derrière de la poupée. c d Montant de devant. a c Semelle unissant les montants de la poupée, ef gh Boulons reliant la poupée au banc. Fig. 5. Montant de poupée. Vue de face. a b cd. Encastrement des coussinets. î k Talon : partie saillante sous chaque montant guidant la pou- pée de manière qu’elle reste toujours parallèle à l'axe du banc. ARTICLE V. DE L'ARBRE DE LA POUPÉE. Planche XXIV. L'arbre de la poupée ik (fig. 1) sert d'axe à la roue motrice et de support à l’appareil sur lequel on fixe l’objet à tourner, Il est ordinairement en fer forgé et tourné. Il est maintenu entre deux paires de coussinets, qui sont logés dans des encastrements ménagés à la partie supérieure des montants de la poupée. Chaque paire de coussinets est coiffée d’une bride ou chapeau (en fer ou en fonte) ,ef (fig. 5); relié aux montants par deux boulons à vis g, A, Une vis de pression !, traverse le milieu de chaque chapeau et resserre plus ou moins le coussinet sur l'arbre, de manière à éviter tout ballottement et tout excès de frottement. Des trous percés dans les coussinets et aboutissant à des sillons creusés dans leur surface cylindrique , permettent l’arrivée de l'huile qui lubrifie les surfaces. Il y a plusieurs moyens d'empêcher larbre de glisser sur les cous- sinets dans le sens de son axe. Nous citerons : Les embases a a, bb (fig. 7), rondelles ou saillies de l'arbre fesant épaulement contre les coussinets. Les embases ayant de plus grands rayons que l'arbre, donnent lieu à des frottements considérables lorsqu'elles s'appuient contre 6 Coquizmar. — Cours élémentaire sur la fabrication les coussinets pour résister à la pression produite , soit dans le tra- vail , soit par la pointe mobile resserrée contre l'extrémité libre de l'objet. De plus, des ballottements peuvent avoir lieu dans le sens de l'axe lorsque les embases sont usées. Les clefs, lames en fer ou en acier, recues dans des mortaises pratiquées dans les coussinets ou fixées à la poupée même et s’en- gageant dans des rainures ou gorges étroites creusées sur l'arbre. Ce moyen est d’une application facile, mais il présente l'incon- vénient d’user et d’affaiblir l’arbre , d’en accélérer la mise hors de service, et de ne s'opposer qu'imparfaitement à son glissement : suivant son axe. Une bonne combinaison , consiste dans l’empioi d’une vis de pression 1 (fig. 1 et 2). Cette vis terminée en pointe suivant l'axe de l'arbre , est fixée aux coussinets de derrière et dans une embase intérieure no (fig, 1) contre les coussinets de devant. Cette embase devient inutile si l’on donne à la partie de l'arbre reeue entre les coussinets de devant une forme tronc-conique a b, (fig. 8) dont la grande base est vers le corps de l'arbre. La vis empéche l'arbre de céder à la pression produite dans le travail et ne donne lieu qu'à un frottement négligeable à cause de la petitesse de sa pointe , tandis que l’embase ou le tourillon tronc-conique s'oppose au glissement vers le devant de la poupée. Il est utile de faire servir la poupée à deux fins , comme tour en l'air et comme tour à deux pointes. À cet effet on termine l'arbre, sur le devant de la poupée, par une pointe conique , mobile à volonté, k (fig. 1 ). Cette pointe, en acier trempé , présente une tige cylindrique ou légèrement conique reçue dans un logement creusé sur le bout de l'arbre. Pour avoir la pointe concentrique avec l'axe du tour, on a soin de la tourner avant la trempe , sur l’arbre même. Quel que soit le mode employé pour fixer l'objet à tourner, il est avantageux que l'arbre présente une embase où rondelle ex- térieurement et sur le devant de la poupée. L'extrémité de l'arbre doit avoir une forme qui permette d'y adapter l'appareil servant à fixer l'objet à tourner. Un bon moyen consiste à fileter le bout de l'arbre, (fig. 7 et 8), et à engager le bout fileté dans un écrou pratiqué sur l'appareil à fixer l’objet à tourner. On rend l'assemblage plus solide en vissant l'appareil jusqu’à ce qu'il vienne s'appliquer exactement sur l’embase que l'arbre présente de ce côté. des bouches à feu en fonte et en boonze , etc. 7 Afin que le mouvement de rotation de l'arbre ait lieu autour d’un axe invariable, il faut que les parties de l'arbre reçues dans les coussinets soient parfaitement circulaires et concentriques. On doit pouvoir rapprocher les coussinets à mesure qu'ils s’u- sent par le frottement, afin de les maintenir toujours en contact avec l’arbre ‘et d'éviter un déplacement de l'axe de rotation. On se ménage cette faculté en enlevant une couche d'une cer- taine épaisseur aux surfaces de jonction des deux coussinets, On se réserve en même temps la facilité de déplacer les coussinets latéralement, pour ramener l'axe de l'arbre dans le plan de symé- trie de {la poupée, en donnant un peu de jeu aux coussinets dans leurs encastrements, et en les empéchant de ballotter par des coins ou calles en fer. ARTICLE VI. DE L'APPAREIL SERVANT A FIXER L'OBJET A TOURNER. Planche XXIV. Ces appareils de formes variées, dépendent de la matière et de la figure de l'objet à tourner. Une vis à l'extrémité de l'arbre » sert à fixer les plateaux et tampons en bois. Un bout carré > percé d'une mortaise pour le passage d’une clavette , permet d'ajuster sur l’ar- bre un manchon dans lequel l’objet est logé en tout ou en partie et assujetti par des vis de pression, par des coins, par le frot- tement , etc. La meilleure disposition pour travailler le fer et les métaux con- siste en une plate-forme ou plateau, circulaire en fonte ou en bronze, perpendiculaire à l'axe du tour et maintenu sur l'arbre par un écrou percé dans la plate-forme dans lequel on engage le bout fileté de l'arbre. De Jà le nom de tour à plate-forme (fig. 1). Lorsqu'il y a , en outre, une pointe k (fig. 1 ) à l'extrémité de l'arbre, l'appareil est appelé tour à plate-forme et à pointe. Nous ne nous occuperons que de ce tour. L'objet est relié à la plate-forme de plusieurs manières qui dé- pendent de sa forme et de ses dimensions ; par des vis de pression, par des brides maintenues par des boulons à marteau et à écrou , par des étriers, ete., etc. Le moyen le plus usité consiste dans les vis de pression traversant un écrou percé dans la tête d'un boulon. L'ensemble constitue ur appareil nommé méchoire (fig. 9). 8 Coquicnar. — Cours élémentaire sur la fabrication abcd(fig. 9). Tige carrée de la mächoire reçue dans une mortaise percée dans la plate-forme, bcfe Tète du boulon ou de la mâchoire. g h Écrou s'engageant sur le bout fileté de la mâchoire. ik Vis de pression traversant la tête de La mâchoire, Les mâchoires sont vissées sur la plate-forme aux places conve- nables et munies des vis de pression entre lesquelles on saisit l’objet. La figure (14) représente un boulon à marteau employé seul ou coneurremment avec un des moyens indiqués suivant la forme des objets. | La plate-forme p p (fig. 1) doit être bien dressée et perpendicu- laire à l'axe du tour. Elle est percée d’un grand nombre de mor- taises pour le placement des mächoires. Il importe que l’on puisse fixer l'objet dans une position déterminée relativement à l'axe du tour , ce qui s'appelle le centrer. En conséquence, la plate-forme présente un grand nombre de lignes ou sillons ‘circulaires peu profonds concentriques à l'axe de l’arbre. Ces cercles servest à repérer la position de l’objet relativement au centre de la plate-forme. Il est essentiel que la plate-forme soit suffisamment solide et convenablement fixée sur l'arbre de manière à prévenir toute flexion , toute vibration qui nuiraient au travail. ARTICLE VII. DE LA ROUE MOTRICE. La roue motrice est montée sur l'arbre du tour et mise en mou- vement par un moteur : elle est à engrenages ou à courroie ; dans ce dernier cas elle s'appelle poulie. Les roues à engrenages coûtent cher, demandent de la préci- sion dans l’ajustage et donnent lieu à une suite de petits chocs à chaque rencontre des dents. Les poulies à courroie , ont des mouvements moins brusques et permettent l’action du moteur à des distances auxquelles il serait difficile d'atteindre avec les roues à engrenages. Mais les courroies exercent de fortes pressions sur les axes et leurs coussinets, et en déterminent l’usure prompte et inégale. La quantité de travail nui- sible est done plus grande avec les poulies à courroie qu'avec les roues à engrenages. L'entretien des courroies est en outre couteux. des bouches à few en fonte et et bronze , etc. 9 . Ea pression exereée sur les axes par les courroies doit être pro- portionnelle à la résistance éprouvée par l'outil : on conçoit que la pression deviendrait énorme pour les travaux qui exigent de grands efforts , tels que le forage des canons de gros calibres ; aussi leur préfère-t-on , dans ce cas , les roues à engrenages. Les courroies ont l’avantage de glisser sur la poulie lorsque l’ac- tion de l’outil devient accidentellement trop forte : ce glissement fait éviter la rupture de l'outil ou des appareils de tour. Compensation faite des avantages et des inconvénients, on préfère généralement les poulies à courroie, quand il ne s’agit pas de produire de grands efforts. La roue motrice doit être ajustée sans ballottement sur l'axe du tour. Un bon moyen consiste à percer dans l’axe de la roue un trou cylindrique dans lequel on fait entrer l’arbre à frottement , et à fixer ces deux pièces l’une à l’autre par une clef ou coin. La circonférence de la roue doit être concentrique à l'axe de rotation et dans un plan perpendiculaire. Les dents des roues à engrenages doivent être bien ajustées , d'égales dimensions, à surfaces épicycloïdales , etc. ; ces détails sont du domaine de la mécanique industrielle. Il est important de pouvoir arrêter le mouvement à volonté. Les systèmes d'échappement sont plus ou moins compliqués. On désengrène facilement deux roues à dents en fesant glisser l’une d'elles sur son axe. Lorsqu'il s’agit de poulies à courroie, on en place ordinairement deux , d’égal diamètre , l'une à côté de l’autre, la poulie motrice et la poulie folle mm , 11 (Gig. 1, planche XXIV). La poulie folle diffère de la poulie motrice, en ce qu’elle n’est pas fixée sur l'arbre, mais peut tourner dessus comme une roue sur son essieu, Pour arrêter le tour, il suffit donc de faire passer la courroie de la poulie motrice sur la poulie folle. Les poulies sont légèrement bombées au milieu de la largeur de leur circonférence , afin de maintenir les courroies. Ce moyen est préférable aux rebords que ces roues présentaient autrefois. Pour entrainer une poulie , il faut que sa courroie s’enroule sur une autre poulie , la poulie maitresse , placée sur l'arbre du ma- nège , et l'on dit que cette dernière commande la première. Les diamètres de ces deux roues sont réglés de manière à obtenir la vitesse voulue, La poulie maitresse doit être cylindrique , afin que la cour- 10 Coquismar. — Cours élémentaire sur la fabrication roie reste sur la poulie motrice ou folle sur laquelle on la fait passer. Nous avons déjà fait remarquer que la vitesse de rotation doit va- rier avec le diamètre de la partie à tourner : de là des embarras par suite du déplacement des roues motrices et de leur remplacement par d’autres roues ayant des diamètres correspondants aux vitesses exigées. On les évite en montant sur l'arbre du tour plusieurs pou- lies juxtaposées et de diamètres différents , à l’ensemble desquelles , on donne le nom de poulie poire {m (fig. 2 et 5 , planche XXIV). Le tour est commandé par une autre poulie poire rs (fig. 5et4, planche XXIV ) en regard dela première, mais dont les différentes poulies sont placées dans un ordre inverse de grandeur; c'est-à-dire que la plus petite poulie de la poire motrice corres- pond à la plus grande poulie de la poire maitresse. Les diverses poulies des poulies poires , sont d’égales largeurs : leurs diamètres augmentent ou diminuent de l’une à l’autre d’une quantité constante , et forment une progression par différence en plus ou en moins , dont la raison est la même pour la poulie poire motrice que pour celle qui la commande. Il en résulte qu'une même longueur de courroie suffit pour envelopper deux à deux les poulies qui se correspondent dans cha- que poire ; et qu’on économise le temps nécessaire, dans tout autre système , pour allonger ou raccourcir la courroie suivant le chan- gement de roue donnant la vitesse voulue. Les poulies poires donnent autant de vitesses différentes , qu’il y a d'éléments dans leur composition. Dans un atelier bien organisé toutes les roues motrices (fig, 10, planche XXIV) sont en fonte et se composent d’une circonfé- rence , de rayons (courbes pour éviter leur rupture lors de la con- traction par le refroidissement après la coulée) et d'un moyeu, le tout coulé d’une seulepièce. Les poulies poires sont également en fonte , formées d’une en- veloppe ou poire proprement dite, et de deux couvercles ou pla- teaux aux extrémités, On obtient la légèreté et la solidité réunies en coulant avec de minces épaisseurs et renforçant le métal par des nervures ou arêtes saillantes. On emploie quelquefois des systèmes plus compliqués pour ob tenir des vitesses extrêmes et principalement des mouvements très- lents, pour tourner les objets d’un grand diamètre, Ces systèmes des bouches à feu en fonte et en bronze, etc, 11 consistent ordinairement en une certaine combinaison de poulies poires et de roues à engrenages. Les tours ainsi composés se nomment {ours à poulies poires ef à engrenages. ARTICLE VIII. BANC DU TOUR. Le banc est l'appareil qui sert d'appui au tour et aux outils ou machines dont le tourneur fait usage. Le banc est composé de deux longs côtés, les jumelles, en bois ou, ce qui est préférable , en fonte, assemblés par des traverses. Il doit posséder une grande rigidité et beaucoup de stabilité, pour éviter les vibrations que l’action de l'outil ou des courroies tend à produire. Il convient donc de donner de fortes épaisseurs aux longs côtés du banc et de les relier par de forts boulons à écrou à une fondation en pierres de taille. Les deux longs côtés du banc doivent être parallèles, horizon- taux et écartés de la largeur des talons ou saillies sous la semelle de la poupée. La table ou partie supérieure du banc doit étre dressée et offrir une base suffisante d'appui à la semelle de la poupée. La hauteur du banc doit permettre au tourneur de tenir et de diriger facilement ses outils : environ 1" depuis l’axe du tour jus- qu’au sol. On recouvre la table du bane s’il est en bois , vers ses bords in- térieurs et extérieurs de plaques ou tringles plates en fer, pour le protéger contre l'usure : c'est sur ces plaques que reposent les se= melles des poupées et autres appareils du tour. ARTICLE IX. DU TOUR A DEUX POINTES. Planche XXIV. Le tour à deux pointes (fig. 2) est celui dans lequel l’objet à tourner est fixé par les deux extrémités. Il se compose d’un bane et de deux poupées , dont l'une à pointe fixe , et l’autre à pointe mobile. Le nom de poupée s'applique non-seulement au support ou poupée proprement dite, mais encore à tous les accessoires qui en dépendent. La poupée à pointe fixe À B (fig. 2) est semblable au tour à plate-forme et à pointe , mais on peut se passer de la plate-forme , quoiqu'elle soit fort utile, 12 CoquicnaT. — Cours élémentaire sur la fabrication La poupée à pointe mobile C D (fig. 2) comprend la poupée ou support, et un arbre cylindrique en fer forgé , mobile sur son axe et terminé par une pointe conique en acier trempé. Les deux poupées sont fixées sur le banc de tour à une distance convenable l’une de autre. L'objet à tourner est d'abord centré ; c'est-à-dire marqué d'un coup de pointeau aux deux extrémités sur l'axe de rotation. Les cavités formées par le coup de pointeau sont ensuite assez approfondies pour recevoir les pointes du tour entre lesquelles l’objet doit être suspendu. On resserre ensuite con-. venablement l'objet entre les deux pointes en fesant avancer la pointe mobile vers la pointe fixe. Pour entrainer ensuite l'objet dans le mouvement de rotation de l'arbre du tour, on fixe sur le bout libre de cet arbre une griffe avec laquelle on accroche une partie saillante de l’objet, Très sou- vent celui-ci ne présente pas de saillie convenable ; on y supplée, ordinairement au moyen du doguin ( fig. 15), pièce de fer, per- cée d’une ouverture ovoide a b vers l’une de ses extrémités, dans laquelle on fait entrer l'axe de l'objet , et que l’on fixe sur cet axe à l’aide de la vis de pression c. La pointe mobile est soutenue par sa poupée entre deux paires de coussinets , ainsi que l'arbre du tour à pointe fixe. Le moyen le plus simple et le plus usité pour faire mouvoir la pointe mobile suivant son axe consiste à fileter la partie a b (fig. 2) opposée À la pointe et à convertir en écrou la paire de coussinets qu’elle traverse, Le banc du tour doit avoir la longueur nécessaire pour le place- ment des deux poupées et de l'objet à tourner : du reste, il ne dif- fère en rien d’un banc pour tour en l'air. Le tour à deux pointes doit satisfaire aux conditions suivantes : 1° L'arbre de la poupée à pointe fixe doit tourner autour d'un axe invariable , et être exempt de tout ballottement ou glissement. 2° Les axes des arbres à pointe fixe et à pointe mobile doivent être horizontaux, parallèles à la longueur du bane et dans le pro- longement l’un de l’autre. 5° L'arbre à pointe mobile doit se mouvoir parallèlement à lui- même afin que la seconde condition soit toujours remplie, 4° Tout le système doit posséder la solidité et la stabilité né- cessaires pour ne pas fléchir ni vibrer dans le travail. Les dimensions et le poids des diverses parties du tour doivent être mis en rapport avec le poids des objets à tourner et avec les des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 15 efforts à exercer dans le travail ; de manière à diminuer les résis- tances nuisibles. Lorsque l’objet à faconner doit être percé suivant son axe, ou que son poids est considérable, il ne peut plus être maintenu en- tre deux pointes ; on substitue alors une poupée à lunettes à celle à pointe mobile, et l’objet est fixé sur le tour à la manière des ca- uons sur le banc de forerie. Les pointes coniques en usage dans les tours ont l'inconvénient d’occasionner des décompositions de forces , les unes qui agissent perpendiculairement à l'axe du tour et les autres qui s’exercent parallélement àcetaxe , tendent à faire fléchir les montants de la poupée et à écarter les appuis de l’objet à tourner. On évite ces dé- compositions de force pour des objets très-pesants en les sus- pendant ; à la manière des canons , par une lunette engagée sous une portée et par une broche cylindrique , remplaçant la pointe fixe et engagée dans un trou de portée. L'objet à façonner doit avoir une gorge s’emboilant parfaite- ment avec la lunette, On est quelquefois obligé d'employer plusieurs lunettes inter- médiaires : c’est ce qui arrive lorsque la longueur de l’objet fait craindre qu’il ne fléchisse dans le travail. (Figure 2) Élévation d’un tour à deux pointes et à plate-forme avec poulie poire, (Figure 3). Vue de côté du tour à deux nr a E F (fig. 2.). Banc, solidement établi sur des traverses en hois relié à une fondation en pierres de taille. A B Poupée à pointe fixe : munie d’une poulie poire, et d'une plate-forme. C D Poupée à pointe mobile. r s.(fig. 4). Poulie poire maîtresse. CHAPITRE JI. TOURNAGE AU CROCHET DE TOUR. ARTICLE I. DIVISION GÉNÉRALE DES OUTILS POUR LE TOURNAGE DU FER ET DU BRONZE, Les outils employés au tournage des métaux, forment deux caté- gories , les crochets de tour et les burins & support fixe. Les crochets de tour sont des outils recourbés en acier tenus ef 14 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication dirigés à la main, avec lesquels on enlève lors du tournage les parties excédantes de métal. (fig. 2, planche XXV ). Les burins, lames où couteaux à support fixe, sont des outils également en acier , adaptés à un mécanisme solide , nommé sup- port fixe, à l’aide duquel on les fait agir sur l’objet à tourner. {Fig. 3, planche XXVII). ARTICLE II. CROCHETS DE TOUR. Planche XXV. Les crochets de tour sont des lames en acier, recourbées et tran- chantes à une extrémité, amincics à la partie opposée, la tige, qui s'engage dans un manche en bois. Le coude formé par la rencontre de la partie recourbée avec la tige se nomme /e talon. Le talon sert à appuyer le crochet contre une table en bois lors du travail. Il est pourvu de barbes ou encoches qui pénètrent dans le bois et empéchent l'outil de glisser. Figures 5 , 4, 5 et 6 Crochets de tour. ab (fig. 5) Tige du crochet. c Talon. . - : on AgTiCce III. Défauts de forage +. 142 ARTICLE IV. Défauts de métal dans Mes chambres, soufllures et gra: velures : 5 De .. 143 Anrricce. V. Dégradation dans l' ame occasionnées par lotir, L. «+ 143 CHAPITRE IV. Visite des bouches à feu. ARTICLE I. Visite de l'ame : : È " : - : re 15 ARTICLE II. Visite de la lumière. : . SHONLAË ArTicre Ill. Vérification des tourillons, des CPesee et des renforts. 159 Arricre IV. Vérification des dimensions extérieures des bouchesà feu 163 Articze V. Vérification de l'angle de mire naturel - ô #0 É Bt Arricce VI. Observations sur la visite des bouches à feu. : RAGE Arricce VII. Détermination de la prépondérance. . 168 Axnore VII. Le centre de gravité d’une nouvelle bouche à feu n ‘ayant été déterminé que par approximation dans le projet de construction, trouver pratiquement sur la pièce elle- même en cours d'exécution, la position de l'axe des tourillons qui procure une prépondérance donnée . 1% Table des matières contenues dans la troisième purtie. 269 ARTICLE I. ARTICLE Il. ArrTicLe III. ARTICLE IV. ARTICLE V. ARTICLE VI. Aericce VII. ARTICLE IX. CHAPITRE V. Epreuves du tir et de l’eau. Pages. But de l’épreuve du tir . . D : re Epreuves des bouches à feu en bronze. : SP ETTA id en fonte. 5 . 0176 Epreuve de l'eau . 6 . 188 Epreuve du tracé des bouches à feu en fonte. 5 0197 Durée des bouches à feu en bronze. . : : 04195 id. en fonte . 196 Arnore VIIL Effets du temps sur la résistance des bouches à feu en fonte . . 198 Considérations sur les canons en fonte ; : ‘leur fondage ct leurs épreuves . . . - . . - + 200 CHAPITRE VI. Réglements de la fonderie de Liége sur la visite, l'épreuve et la ré- ARTICLE I. ARTICLE II. ception des bouches à feu en bronze et en fonte. Réglement sur la visite, l'épreuve et la réception des bou- ches à feu en bronze . 204 Réglement sur la visite, l'épreuve et la réception des bouches à feu en fer . . . . . . AIT CHAPITRE VII. Principaux instruments pour la visite et la réception du mortier ARTICLE L ARTICLE IL ArrTiCce III. ARTICLE VI, éprouvette et du globe: Description de l'étoile mobile à crémaillère. . 220 Octogone à vis de repère pour mesurer les diamètres des globes d’ éprouvette . . . 223 Limites de durée de l’ éprouvette et du globe. - ve JTE Remplacement du grain de lumière. ô . . . - 224 CHAPITRE VIN. Réglement sur la visite et la réception des mortiers éprouvettes en fonte . : 2 : : . 225 NOTE I. Sur le pendule balistique . . . ‘ . + 234 NOTE I. Application, proposée par l’auteur, du pendule à axe de rotation horizontal à la détermination pratique des moments d'inertie des corps solides. : : « 249 70 Table des matières contenues dane la troisième partie. Pages NOTE IIL. Expériences faites par l’auteur à Tournay en 1849, sur sur la résistance utile produite dans le forage et le sciage du bois . : . « : D . 1101955 NOTE IV. Détermination du pas des hélices suivant lesquelles les rayures des canons doivent être inclinées. Pen 200 - d F ee | Re — Î ; = | etats sur les Tours Fabrication das bic feu es Tours. - nie VV | PS : ; 5 Tour à plate-forme et à 2 3 = EL Planche XIV. | Tour à plate-forme et & 2 pornter. 20 Plate: e eta 2 puinte . 20 Tour en l'air A | ‘ “ ; L : 7 | He _Elcmation . SRE MES : lue de cok 2 % Sapvort pour: crochet de tour | É RS ; Lun r | | id | fl ‘19 KA %e || 7 | | | L1|; truu à FT | es Deguin 1 77 = L mn) V2 ) M7 < \ Le = ï F 24, N 222 Ni u A ” 4 Pal Ÿ Sr [ l| Ÿ UK — + TRS 77777 b FI: 1 Fio 6 3 _ PA KE K & K x Fier 5 / | = A EAN | — 2 4 D ne RS - Fier 7 18 ; b D! A | ) | | 15 Jupport anglais £ | ®} | | e} OO | | Eleoation (0) = 2 - lan | | | | ou f Eubrication des bouches à jeu Planche XXVI Fi. 3 Vue et elevation du cote de lu semelle Vue et élovation dre cote pose d da semelle b | o = a = Fio 2 UE Fig. 4 Élepation L Cie si LU NE FAIT ul LE RU N AE Tournage des bouches & feu Fabrication des bmches à fêut 7 : [un = — nn = æ ES RE nn = — Planche XXVI — qe er j D S— re LE nu = LL 7 7 h | | 4° Fig. , g|/ Fi, 8 | = La L = En CR RE : - Ar =}; = = | : Toura plate forme et à cylindre. | à =) © [ar] « ; ie - | G CA # C “ Jupport des burins Latines 157 | "E Llevation : g LA Re dr || MESA Lol ay K | Ho] oO) @n —— RU | |A Fa; 4 À Fig 6 Pan Fig. 3. Plan. | Vue de l'extemite du banc. EE . 2 ja lune _ ABLE Machine à tourner les tourillons: Planche XXVHL. Fabrication des bouches à feu. Fig 1 Élevation parallèlement à la piece Plan "1m | - Fig. 4 Coupe suvant L'are des tourillons et propeetton. à ds . Centrage des lourillons. Lubrécation des bouches à fé Planehe XXIX | À ; b Ye Re F9". 1 ( Êy= Trace du truit carre | 7 Ÿ es à —— Fio. 8 Fig.9 Æegle à fil à plomb ol à pivot, a ue | PME A + | OP ù d sn | _ , O\ Cum bar où le} QD laura) y mme) Te c Du | | 7 | d) ñ 4) = Fire. 6 ? : x b Determination du pont entminants de le cntasse > LÉeAL) 5 2] HE ä Véveur a fil a plomb avec base | le] Fi n Fi € phuncree À / = 7 ——_—_—_—_— . al f LE — == | RE | Vrocau à bulle d'u: Er (l Al | (7 | . Quart decerele à pendule vt | à porteur mobil NI ro 10 = £ Eh “ N | Levier à lunette (LS, Fig. 4 Double equerre à tutons Wchine à tourner les globes d'eprouvelte inventee par l'auteur E d = - Planche. XXX Fabrication des bouches à feu [ ; 1 Fe 2 ] Globe avecmandrin dun L l'oelet jet au pole opposé Lu Fu FR mA __ Vota. Lerfigures 1 et 2 sont à la mème echelle: les autres ont des échelles amplifices Fig. 4 Plate-forme creutarnr : ‘ 1 Fo. 8 Coupe el lepution PAS ? m e F : s = E sŸ Glssrere ——— … re Î : F1 j \ É Conpopu ver plat sourit À B LE E eng at UT dif y , k NT Ru = Je [ Fig.5 ARS NN Ne N N (®) Fig 10. LULU : NS AE Me GS à «il 07?) (7 Up Un RS 7 VE KW C7 S | D) ®) K D\ Ve docole IS CD É } Ê, en us | 2 = TN = L Rico, | =. | | | | Glissrere | à _ = À | 2, Ÿ 0 8 | CD SF , ue . CE À Le : 4 , y N E. _ hi | | 77 —— — ; | Come ; 7 ee p\ F | Plan Etovation Plan ll. Muitils » ; . 5 Z rhaéhes à fi Uutils gabarits. Machine de Moritz: à tourner les globes : Planche XXE Fig 10 ou Fe 4 Fig 3 Fig 9 > Rs 2 : gi Banc « percer les lumueres. labrication des bouches à jeu == TT n\ TN D' Te VUULUUX il Planche XXXII lue et elevation du cote de la bouche Fie:. 2 à lever in A Gr 7 Kitoppsessssons É É—— ——— _trchel Fe 4 Fie. D Lure. | _ Fabrication des bouches à feu Machine à percer vertreute Le de cote rvvuuuY" N Z 41 tv Tourne à qauche Machine à percer verticale Filière ;taraud ete. Planche XXXIII mobiles RE ; Æiliere à coussinets Grain de lumiere es H Turaud. Waclane & percer verticale Vue. de face Fier sanple LL Lsents vertficateurs des bouches à feu et de l'eprouvette. < Planche XAXIV, Lrbrication des bouches 4 feu [ | à | È Fig 3 | | dre de cende grade UDC NONULS È e Ve | Fegle à fouvhe et coulesres E ; à i ann ris _ re : LS : È : Fig 1 os à | © Ÿ È ï Æ ÈŸ Fis 2 ; & À = SES es =S RE — —— _ : _ 2 IE = = Fie. 6 É Tube cquerre a coulasse 5 ER NT SES DE ES Ë 27 \ leyle talons FN, HR = | m- C(/ À Es 2| = 79 F [ | | Dont F nr \ Hire Ë Ÿ ae | Fio bis [ ÿ | Cyluidres de reception ctderebut + Æguerre en Ta coulisse pour mesurer L he | Ÿ ee = pourla antr'e de l agrouvette des donqgueurs de l'une etde la chambre è | de l'eprouvette à Fo 15 | Ÿ E 1 Ë Le ar = È \ | = 1 N | | | | | [24 JE | \ —— IE ? A k a ——— | | ee di î Pr g LP | | == —) Fig. 10 (| | D ee x : > 4 se 711 EN li ] Lo 1e ——— ; Er mn | É d2\@" ee , | Etoile mobile de l'epronvette dE , Ôl ii] | 74 À | Li AURA / La % ] 1 l [| ] al | = £ 1/1 7 ___— û l ‘ \ | | Eà : | \, 7/2 I] | 18 dd d'a \t CL EE / D ÿ Cétogone ti ves de nvcre Had 191 Etalon à deux brscuux TEE EEE Etalon à coulisse ct a vernier, D A LL LL LL LA ELA EL 11 LL LIL LD LA RU NU NRA n TT] TE ja 1 ’ RTL ARMR Ne Fabricution des bouches a fêu. ©) () lnstruments vertfreuteurs des bouches à fé. È : Coupe | — a Se —_—. Û—]—]— " ——— = ÉD = = EE =. — = _— —— b Etoile mobile | Fig. 1 | Le en le 2| —— |} 5 — = = S— | | Er Il | en E ne — Ê nm Fig 2 Chut — ll Tea B - = ! = = - à} F 2 F 9 4, Fior, 3. E Refouloir à Plun incline pour prenudre Les empretntes dans l'ame — ès) = = EE = é = ae Fig. g - Ù E lan i B MI US 8 Es a) > Ù | Fig, 4" | z | Compas d'excentriute.. Crochet pour sonder les Chambres. p : sn Ÿ LA | M fé 07772 a brunches paralleles = F2 Crunleryle d tasse et a cuerre zobile F @, = CR + Plan go. | Coupe et elevation Em ue LE Etoile mobrle. Planche XXXVI Erbrieation des bouches à feu & 16. É De DA + ET #0 / NS = | @ ( mL © ) Nota. Les fiqurts Sont dessinees aux échelles ct “Après tdipucés J'avour Figures 12704) 210) 7 CAPA 10, 11112, 19, 14, 1,10, à 7 figures 18 à Po. Fiqures 19 et 19 “à 5 “1 (2 Eubrication des bouches «feu Etoile mobile. Planche XAXVI 1% Partie de l'étoile mobile L LT, Fo. 3 arte de l'etnle mobile. ar ET — LE = >" | ji | Fig. à Fo. 2 1m Fe g J Lurte de L'étoile mobile | * $ fl EE - re. ——— En Ci { p | D. | Oh —] ne —— (2 2 (IE \= EE TR 5e — f ——— E = EE —— hi Re a RES a =. Jun on l Not Le fiqures 17/14 desstnces (UT cche les Î 12 ‘ 6 Edielle d'agrandessement cliquant les variations de dera decimillonctre } A nn ras Figures 1,2, 3, 4 et à à 4 CLAIITES cudiquees, Sabotr / 77) Z s 7 Frqures burau/i Echelle d Ho. 10, agrandissement indiquant les variutuns d'un point \ Curvimetre Fubrécution des bouches & jeu À Planche XXXVII Front s û Coupe suivant M1 D d urvunetre et coupe de lw prece RU Je \ [14 / D NA Fig. 6 Coupeparun plan suivant MN Echelle ampl/ice nr 22 j 3 | , Elevation de curvmmetre et coupe de lu mece / ER Eee Hg] Vue sur un plan perpendiculaire & MN Echelle amplifiee a nf l B À e pole) k Ru He + 4 dr, Pibrication des boucles à feu =———— 2 ne mt Î Wirou ref lecteur. Planche XXXIX EE —— — Fier. 1 ee - ré nec Hat Se ro D Dr: d Liel Q = fr) Fig. 2 = = a UC | sen: à Eubrrcation des bouches « feu Î, D mderance des bouches a cu. F5 reve de lea. Graltours. gp t je = == À Planche XL Fio il Grattoir à deux branches Oraltonr: “d une branche < Fic.3. Chat bavarois. } EE —— ; Fig. 4 Piipondérance des bouches a fèu Fio.5 ER | = Fo. 6. ll | Ÿ a: c : (à | \ = é, \ } J ] vx À CS: L Fio, 8, cl Épreuve de l'eau | En] [Pa ES F Tairacion ds Due à fra UMachine à raboter La semelle de 7 prou vette = d E E Planche XLI F = F=4 = de ra = = 3 É = = = = É = = E = a = Ve dedenunt = ME ET = _. = = = TE Er Fi .1 5 = {1 1 | oO ( = [TE = see DIRES L U lb Etevation \ / IL T L LepresentanLun mortier à dresser, L'U VUvHUULUL I, un, FRA = root le @}: b F | | 11] | | Pa | | © Fig, 4 le de derrière rèy \ c JUUUUUUU Ï —— ll SL —— = —. Fig. 2 T6 EAN Plan Lemortier étant enleve AA a] Fio.5. lapport de l'eprouvette. fi Banc de jorerte dispose pour le rayage. Fabrication des bouches feu Planche XL | Frot = cs \ (Le) F= ] 7 —_——— | CV VUUUUUUUUUUUUULITUUTUTTUUNUUTe UT LUUVTUVEUUUUUUUU Eatremte de le burre doforet montrant le pivot a gone recu dans la borté du charriot de fortrte clrvtente par une cheville, louteurx lorvl TO ona à TU ne BR Fi: . 11 s Plan ' e ne Le Fos à L 4 ar dl [Hi] en) [14 ) Elovation ‘ | ee donssinetet chupears du collier soutenant la buri de foret llart a KO wi Lntretose avce collier: travers par: Endreloise soutenant Le canon lubaurre porte-conteur l | © n Fie.6 one Llevution 5" = S, Abrtcutron der bouches à fèu TE — = Pance à percer les limieres > RL RER . k te Planche XLII ie | Plan = MY re 3 = | Eu LS à = nel F cs s A je jan [== 0 tu 1) Fe. ar = bis . je 6 Elévañion et le », L 0] AB ETC ND = toupe Fig 6, i, BA ART JET 70 AE L L Eubrecatun des bouches & feu - tppareil ayant serot aux CaperLences dynamometriques fuites pur l'auteur sur la résistance utile depensée dans le forage et le sctage du bois. Planche XLIV Fo. 4 Lite anterieure du chariot du tour: | Z 1 US ] LJ Je cylindrique | | | Fio 6 Fio = | = É =) 2 1 TEE 4 Ti { c H 1 | 0 Fio.3 Vue et coupe brasee du charrot du tour. Y Jv La } | lie 2 1 Appareil ayant serve aux cxpertences dynamometrique ) flan : ll 5 o Ce 2 = ] \ cle 3 E 3 _ © 5 o] | | | | == ge = 7) vw ü2 où ofe 0% ele 07e ad ago 1'œ | Echelle Plate er bo Fie,5 us Surlequel la scie etat fixe Fo. 8 lue de derriere de la scre ylndrique. ni In! Fo .1 leva lion LRNNPGNNNNE Planche XL. Fabrication des bouches à feu [ | D TE EE prenne RAA] 0) Or 9r- —Ùù.— o B M ANNEE ANNE L II. — Note sur l'espèce générale et les variétés remarquables de la trajectoire d'une molécule d'éther lumineux , PAR F. MEIER , DOCTEUR EN SCIENCES HYSIQUES ET MATHÉMATIQUES, PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES, A LIÉGE, OBJET DU MÉMOIRE. En admettant la force accélératrice, qui sollicite une molécule d’éther lumineux, inversement proportionnelle à sa distance de la position d'équilibre ; on prouve que la trajectoire de la molécule est l’intersection de deux cylindres à base elliptique. L'intersection de deux cylindres peut ètre plane ou à double courbure. Le genre de la courbure dépend, comme pour lin- tersection de toutes les surfaces, des paramètres qui figurent dans les équations des cylindres. A ce sujet M. Lamé dit, dans son cours de physique : No 580, « Dans le mouvement co mposé des 3 vitesses de vibration v, #!, v!!, (composantes rectangulaires de la vitesse d’une molécule suivant 3 axes ), chaque molécule du fluide doit décrire en général une courbe fermée et à double courbure, intersection de deux cylindres -à base elliptique. Dans cette question, M. Lamé n'a pas envisagé la nature particulière des paramètres , qui entrent dans les équations des cylindres , où ces paramètres sont tels que l'intersection doit toujours être plane. Prouver l'inexactitude des conclusions de M. Lamé , quelle que soit l'intensité des vibrations ; déterminer la direction du plan de la trajectoire par rapport aux mouvements composants par des considérations relatives au plan osculateur; étudier l'espèce générale de cette courbe, ainsi que les variétés remarquables qu’elle présente, en la rapportant à des axes choisis dans son propre plan; et établir, parmi les diverses conséquences , la loi de la polorisation cireulaire ; tel_est le but de ce mémoire. =» d9 272 F. Meier, — Âote sur l'espèce générale et les variétés Êquations de la trajectoire. En décomposant le mouvement de la molécule d'éther suivant trois axes rectangulaires et désignant par &, æ, æ” les am- plitudes des vibrations , par y, s#’, #” les phases suivant les trois axes, on a, pour les coordonnées de la molécule à un instant t, les formules : t o Zz — & COS 27 ( —— 5 T À y = à! cos 27 CG — — s) (1). 1 A 12 g ? æ —= «cos 27 (+ NE En donnant à t des valeurs arbitraires, on peut déduire de ces formules les coordonnées de la molécule vibrante à chaque instant. Mais si on élimine f entre ces mêmes formules, on obtient des relations entre les coordonnées de toutes les positions de la moléeule , c’est-à-dire leur lieu géométrique. Soit gp —?+" g! Ve + Cu , t Z= &« COS 2x (7-5) t Q7r:2 Ne tie (7-2) cos Et TT À on a o I7w + à sin 27 (= sin Lt x = d! cos 2r (+) cos = + a! sin 27 (=) sin remarquables de la trajectoire d'un molécule d'éther, etc. 273 t Gi Z En observant que : cos 2x (+ — 2) = : t z? : : : sin 27 (+ _— +) = + Vi —— ,et faisant disparaitre les (2 radicaux , on trouve : y? z 9yz Irc 270 DRE 0 se G ce z2 2xz QT o' .…., 27 3 Pr see 0 mp LL) = sin? —— (3) ou bien DER cos LC = a CE À 2 1 [LAS æ 7? 2x2 97 (p/—9) nr (Ce? Tu a z Fa © etu!, ou les différences des phases sont constantes pour une même molécule. | 9Tw j Posons cos =M, COS ce n | ! 9 - 3 2 — “=. w et les équations (2) et (5) deviennent : | y? z° 2yz ë | dE man 2) y 2 m ! A 4 (74 ax zx z 2x7 + uen GE) | re { | x | | | 274 K. Men. — Note sur l'espèce générale et les variétés IL. Discussion de la courbure de la trajectoire. Les équations (2), (3) représentent deux cylindres respec- tivement perpendiculaires aux plans des xz et des yz. Les ellipses qui servent de bases ont l'origine pour centre commun. L'intersection de ces deux cylindres est la courbe en question. Deux cylindres quelconques peuvent se’ couper suivant une courbe non interrompue et à double courbure ; il y a alors arrachement. Ce cas ne peut arriver ici, parce que les bases des deux cylindres sont des ellipses ayant l’origine pour centre commun , et que, par suite, leurs axes se coupent en ce point, S'il n'y a pas arrachement , les cylindres se couperont suivant deux courbes qui peuvent être ou planes à la fois, où chacune à double courbure. Pour déterminer le genre de courbure on pourrait appliquer par l'analyse le moyen qui sert de vérification en géométrie descriptive, et qui consiste à construire un cône ayant pour sommet un point de la courbe et pour directrice la courbe même, Si ce cône se réduit à un plan ou à deux, la courbe est plane. Ce moyen conduit à des résultats compliqués. J'emploirai la méthode suivante : Après avoir cherché l’équation d'un cône ayant l'origine comme sommet et les courbes d'intersection pour directrices, je démon- trerai que ce cône se réduit à un système de deux plans. Ce mode de démonstration m'a été fourni par la considération que les axes des deux cylindres se rencontrent à l’origine et que par conséquent, si l'intersection est comprise dans deux plans, ces plans doivent passer par l'origine. Les équations d'une génératrice quelconque sont : x —#ÿz (a) y=qz () Éliminant æ, y, z entre (a), (b), (2), (51), on a ’ n'q° du 2m q np? LITE mn 2e i 2 Re } x"? &? ETA æ æ ax remarquables de la trajectoire d'une molécule d'éther, etc. 275 É æ L'NRETIRES Remplaçant p et q respectivement par — ES VEN" e z LA ! 4 , ' ’ u n'—m 1 D dun 9m'n 72 Eee == De RL pe _—Lz — , Fa AE æ" L 112 Li 1 y= PT TZ 0 (4). Si l'intersection d'un plan quelconque , non passant par le sommet, avec ce cône est un système de deux droites, le cône se réduit à un système de deux plans. Coupons par un plan z=c—kzx, el nous avons pour la projection de l'intersection sur le plan des xy STE Là 9 LD A On) À 2 m 2mn'k Dm! nk ——— — — ————— = pe 4 2 m Y° mr T = (mn DA U1 (4 æ Or, pour que l'équation : Ay— Ba? — Cy + Dr =F ou bien G = LABzx—4ADzx 4AF je IS V ABa—4ADx +(4AF+C) représente deux droites , il faut que la quantité sous le radical soit un carré parfait quel que soit x, ce qui exige que : AD: — B(4AF+C) =0 ou, dans le cas actuel, ERNEITLE Pont ! 2pl2 MUR m nn mn Ts mn) + —— k2— 0 aa œ PURE E a? ce qui donne après avoir divisé par min k? + AT PE ; m(A—m)—n(1—m) = 0. Remplaçons », m',n, n par leurs valeurs, et il vient : , PL) Ir ° Ir! 270 sin? —— { {— cos —— }—sin2 —— À 1 — cos? = 0 À À À À 276 EF. Meier. — Note sur l'espèce générale et les variétés on 2 rw Qx« Ne 9rw . 97 : SIN? ——— = 0 (5). À SD — — sin sin? Cette équation est une identité et elle est par conséquent toujours satisfaite. Donc l'équation (4) représente un système de deux plans. L'équation (5) étant indépendante de &, &, æ" et toujours satisfaite quel que soit ©, + ou la différence des phases, j'en conclus que : Quelles que soient les longueurs des excursions parallèlement aux trois axes, et quelles que soient les différences des phases, la trajectoire de la molécule d’éther ne peut jamais être à double courbure. IL. Équations de ces plans. Ce qui précède serait déjà suffisant pour montrer que la courbe est plane; mais il est utile de connaitre les équations des plans renfermés dans l'équation (4). Pour y arriver on pourrait multiplier les équations de deux plans passant par l'origine. z + ax + by = 0 z + ax + by = 0 et identifier les coefficients respectifs du produit aux coefficients de l'équation (4). qu'on aurait soin de diviser préalablement par le coeflicient de z°. De ces équations on déduirait a, b, a DA Mais pour éviter ces calculs, j'emploirai un autre moyen, qui en même temps servira de vérification pour les résultats obtenus jusqu'à présent. En coupant les cylindres par un plan z—#4«, on obtient pour projections des intersections sur le plan des æy, y = aœmk + a V” m'(1—k2) x—a"uk a" n(1A—k) remarquables de la trajectoire d'une molécule d’éther, etc. 277 Ces équations, considérées simultanément, représentent les pro- jections, sur le plan des xy, des Æ points d'intersection du plan avec les 2 courbes. Pour toute valeur de 4 comprise entre — 1 et +1, ces valeurs sont réelles. Pour k—1 les 4 points coïncident en un seul, qui est le point de rencontre des deux courbes. Il en est de ième pour k—=—1. Désignons ces deux derniers points par X, X’, leurs coor- données sont : Z= & 21=——4 X { y— œm Xl y—=— a x = an xz——«x'n Tout plan mené à une hauteur telle que kZ> 1 où z > x, pe eoupera plus les courbes. La raison en est que dans l'équation t s ; z—ax cos 27 ln — — )« exprime la plus grande excursion 5 parallèlement à l'axe des z. Le cylindre représenté par l'équation (2°) coupe le plan des æy suivant deux droites y= Xe! W m', parallèles à l'axe des x. Le cylindre {3/) coupe le même plan suivant deux droites T= + a Von parallèles à l'axe des y. Ces 4 droites se coupent en quatre points et forment un rec- tangle dont les diagonaïes se coupent à l’origine. Soient B et D deux points opposés de ce rectangle, ils seront situés dans le plan de l’une des courbes, passant par B, X et D. Cherchons ce plan. Coordonnées de B : z'= 0, y=aV ww, eV nv. Coordonnées de D : = 0 yum, à =— d'y, Plan quelconque passant par l'origine : Max Æ Ny +: = 0. 278 F. Mere. — Note sur l'espèce gencrale el les variétés Conditions de passer par B, D « X Ma VN + Na ni = 0 Man + Nam + æ = 0. D'où d' LV m! M — == —- a'(mV wi —ny mi!) ES = 141 Fe d'(myn—nv ml) Done l'équation du plan BD X e:t VAT VAT mn —nV m' re Cr NU ie ; z= 0 (6) C4 En procédant de la même manière on trouverait pour le plan ACX, À et C étant les deux autres sommets du rectangle, l'équation : om V n mn +ny nm — à —— y— ——— :2:=0 (7). a a! æ En multipliant (6) et (7), et remarquant que men — nm = mt (ln) —n(1l— me) = nn =(1—w)—(1—-m)=n—n, on obtient l'équation (4). Substituons au lieu de m, m!, n, n# leurs valeurs, et les équations (6) et (7) deviennent … 9rw 1 97w' ZT Too Sn ss sin — — sin PACE = 0 (6!) a 2 œ \ Irc TL DTo z 27 (w —w') sin 2 Sn — — Sin —-— — 0120) fl À 1 œ À æ À (7) ces plans avec les plans coor- On a pour les angles de donnés remarquables de la trajectoire d'une molécule d'éther, etc. 279 9x ” IA RENE (CE OT ala" sin À cos (P-xy)= + ID RTS Fr a) \/z220 sin FT Ha? al? sin? — + al2al2 sin ne ë 270 aa sin £os (P . Te) — 2e 7 270 Dr : 2r(a— al) V a2a/? sin? —— + aal# sin? Fe mn 2rw aal! sin < À cos (P -yz) = + + 2rw SORT > ng 227 (0!) ata!l? sin?—— + aa" sin” rade SE [2 # h IV. Déterminalion du plan dans lequel s'opère le snouvement effectif. Comme la molécule d'éther ne peut se mouvoir à Ja fois dans deux plans différents, il s’agit de savoir lequel des deux plans contient la trajectoire. Pour résoudre cette question , je me base sur Ja considération que le plan osculateur d’une courbe plane est lé plan de la courbe même. Si je résolvais les équations (2), (3), j'aurais OCE x —=Wz æ et d étant des fonctions qui contiennent des radicaux avec le double signe Æ. Les différentielles dx, dy seraient aussi de double signe ct en substituant ces valeurs dans l'équation générale dn plan osculateur, j'obtiendrais les deux plans (6) et (7). Si, au contraire, je remonte aux équations primitives (4), qui donnent la position de la molécule à chaque instant, et que je regarde t comme variable indépendante, j'obtiendrai dr, dy, dz, dx, dy, d?z en fonction de t; le double signe dis- parait et ces valeurs substituées dans l'équation générale du plan osculateur donneront l’équation du plan dans lequel s'opère le mouvement effectif. 36 280 F. Meier. — Note sur l'espèce générale et les variétés Équation du plan osculateur : (x—x!) (dy d?z! — dz d'y + (y— y) ( dz! dx! +(z— 2) (dx dy — dy! dx’) = 0 (8) — dx'dz') On à : dz = — Î à sin (72) (+ T )+ cos (ra (5) zdl? ZA ns 2T AH (5) {Vi Len 2 Z sin =} à dy = — LE cos _ Va | ae dx (+): 1—< cos 2 ser =} dt dix = — +) We = cos Se +- 1: Ein jar. Désignons par : dre, Ayez, (rc NElCe, ce que deviennent : der dub dr mel, pour Z = &, il vient : dzx = dzs Le T7) ad? d 2 4 2 (A Ya = — 05 dr Ya T Le n d CEE m=—(+) RICOR re remarquables de la trajectoire d’une molécule d'éther, etc. 281 97 ET dr, = —— a! cos T dt 97 \ Dre d’ — 11 d 2 Ta = (F ) cos ie L D'où 9 Ya zx — d7, dy, = (re 2 ) aa Sin 2 dé 27! dz, dx, — dx, d'z, = É à au sin —— di À LA dx dYx = dYx dXax — (+ ) ga sin EE La substitution de ces valeurs dans (8) fournit : 9270 — (x — am) ax sin + (y — an) ax’ sin SVP 2 (<<) - 0, ou bien en observant que le plan passe par l'origine , divisant la! et changeant les signes : par aœ'æ GR CO PAOE re . 97e LME © —w = A9 — LU — — sin 27 —0, a À a! À À (4 équation qui coïncide avec (6). V. Équation de la trajectoire rapportée à deux axes rectangulaires choisis dans le plan de la courbe. Soit $ l'angle de la trace du plan (6) avec l’axe des x, 0 l'inclinaison du même plan sur celui des xy, en prenant celte trace pour axe des x/ et une perpendiculaire à la trace dans le plan nième et passant par l'origine pour axe des y, on a, comme cas particulier des formules d'Euler , les relations suivantes : æ—x# cos ? + y! sin ? cos 0 = æ" sin ? — y! cos? coso À (9). z—4y'sine o + % sui 20 282 F, Mmen. — Noe sur l'espèce générale et les variétés Pour obtenir l'équation de la courbe rapportée à ces nouveaux axes, il faudra substituer les expressions (9) dans une équation provenant de la combinaison des équations (2/), (3/). Le résultat de la substitution de ces mêmes formules dans une seule des équations (2), (5') ne serait pas exact, parce que à ces équations, on doit joindre respectivement les suivantes : æ—2 y—8 (10) tant que les deux cylindres subsistent isolément ; mais dans l’équa- tion de la courbe d’intersection les coordonnées x et y deviennent respectivement variables dépendantes de z ; et les équations (10) deviennent illusoires. En ejoutant (2) et (3) ce qui fournit une relation entre les 3 coordonnées de chaque point de la courbe et en introduisant les valeurs (9), on obtient l'équation suivante : Az! -+ Bry + Cy® = D, (11) dans laquelle AAC Sie. Re CAE 3 ; 1 1 | B— 2 6os ? sin ? Cus 0 — — — a (00 | 97" , 970 ) 9 cos ? COS sin g COS Lies À 4 — — sin e - one APR | € (+ sit cos? ? 2 sin? Q CG Cos pre ——— &/'2 SE 12 ZE a!3 fl ro! À 97 9 cos ÿ COS Sin g COS — dE si s À + — Sin 9 COS 0 4 [1 a! a! Ir PET D = sin? + sin? — À À Dans ces formules on a : remarquables de la trajectoire de la molécule d'éther, ete. 1 2ro a! sin g —= arc ( tang. 2 19 | tang NUE) \, HOT "Sin —- À 27 (© — wl | Pet arc ‘ cos F 927 ( V 'at2 sin? +«° MERCI —— 2 pe 2,12 ein? VI. Cas particuliers. — Polorisation circulaire. 1. Supposons o—, alors on a en vertu de (12), (15) a! Ë C4 CE tang pr CO æ as + æla PE + art L'équation de ta trajectoire devient : | D] Qt a? y® 2xryr Irc Ita 12 ra 32 het 12 Ta Er er Sl LS (14) ar La œ av a? + a À À À 27 Coroll. I, Soit «! — > on a cos real) | (13). 284 F.Mrien. — Note sur l’espèce générale ct les variétés o sin de — 0. D'où : À x"? y Qu! y! el EN/ a + a? x 2 == — + À) =0 è L” al a œ œ ; y = FE (15) 22 TE La trajectoire est une droite. Bemarquons qu’on aurait pu parvenir à la même conclusion : À À , : = en faisant = —, @ — — dans les équations (2) ct (5), 2 2 les cylindres se réduisent alors à deux plans. : 3À Coroll. LI. Faisons dans (14) = —— 4 ’ Irc 5 alors cos AU 0 9r« mena sin = Sin —7T—— 1 2 D'où 12 12 x y PE + a! en æ? = de (16) Cette ellipse est rapportée à ses axes principaux qui sont l’un la longueur d’excursion parallèlement à l'axe des z , l’autre la diagonale du rectangle construit sur les deux autres excursions. Pour & = Wan +a": l'ellipse devient un cercle. Coroll. LIT. (Polorisation cireulaire. } La molécule d’éther qui se trouve sur un rayon polcrisé ne vibrant que suivant une direction perpendiculaire au plan de polorisation, la formule (14) représentera le résultat de la ren- contre de deux rayons polarisés à angle droit et différant d’un . À L quart d’ondulation, pourvu, qu’on fasse & = —— et que l'exeur- remarquables de la trajectoire d’une molécule d'éther, etc. 285 sion de la molécule suivant l'ancien axe des y soit nulle, ou al = (). 2 2 æ y" On a alors —— + ea o PAIE a Remarquons que, cos 9 étant nul, l'axe des y! se confond avec celui des z, la formule précédente peut done s’écrire = 5e 5 Le mouvement est elliptique. Si les intensités des deux rayons sont les mêmes, c'est-à-dire pour ai—4@, il vient TU 7° — a (18) Telle est la formule de la polorisation circulaire. LE Autre manière de parvenir à la formule (18). : À Soit ©6—=0, &@— — — on à 4 tang. ?—0, cos p— 1 sin? —0. Ainsi le plan de la trajectoire passe par l'axe des x. De plus a à & COS EE SO — Va + ar" Va + a Ces valeurs introduites dans les cocflicients de l'équation (11) donnent 1 1 Le B=—0, SR en a: —4, Par suite l'équation de la trajectoire est x? y PTE po + =. (19) C'est une ellipse rapportée à ses axes principaux qui sont l'un 286 F. Mein. — Note sur l'espèce générale et les variétés l'amplitude parallèlement à l'axe des x, l’autre la diagonale du rectangle des amplitudes & et a. On voit que ce résultat est analogue avec l'équation (16). La raison de ceci est que l'équation (16) est fournie par la rencontre de 3 vibrations dont l'une parallèle à l'axe des z, est en avant d'un ’/; d'ondulation sur les 2 autres ; dans la courbe (19), c'est la vibration parallèle à l'axe des x qui est en avant d’un ‘/; sur celle des y et des z. Faisons dans (19) l’une ou l’autre des vibrations nulle, æ# par exemple et il vient æ y AE] 2 & Si les intensités des deux rayons sont les mèmes, on à + y = «° et comme y! coïncide avec z, à cause de cos 6—0 , on a a zx: formule identique avec (18). Corollaire. Si dans (19) on fait #=W a La, on a x"? + y° ps a c'est-à-dire la trajectoire est un cercle. Remarque Les corollaires qui précèdent montrent qu'il y a des cas où la trajectoire d’un rayon non polarisé, ni produit par deux rayons polarisés, est un cercle. Ici se présente la question : Quelles sont les conditions d'intensités et de phases des 3 mouvements vibratoires, pour que la trajectoire au lieu d'être elliptique devienne cireulaire. Pour résoudre ce problème d’une manière générale il faudra dans l'équation (11) poser B =0 A—C; remplaçant ensuite g et 6 par leurs valeurs , on obtient 2 équations , dans lesquelles figurent 5 constantes arbitraires : Il ( a, a 2, "o, a! En disposant arbitrairement de 53 de ces constantes, les équations remarquables de la brajectoire d’une molécule d'éther, eic. 287 B— 06 A ICE détermineront les deux autres. Remarque. Le but de la recherche du plan osculateur était de reconnaitre, dans lequel des plans, qui contiennent les courbes d’intersection des deux cylindres, s’opère ce mouvement effectif. Remarquons que ce résultat à lui seul , aurait prouvé que la courbe est plane et aurait en même temps déterminé son plan, par la raison que le plan osculateur reste le même, quel que soit £ , c’est-à-dire quel que soit le point de la courbe. J'ai successivement cependant préféré d’exposer toutes les consi- dérations qui m'ont conduit à la solution de la question. Remarquons , en outre, que cette méthode par le plan os- culateur s'applique avec avantage dans toutes les questions de mécanique , où les coordonnées du point mobile sont données. en fonction explicite du temps. —————@—p rm III. — Jntégrales définies. — Études faites à l'occasion de recherches sur les fonctions de Legendre et sur les fonctions de Lamé. —péc——— fl ÉTUDE SUR UN MÉMOIRE DE JACOBI, PAR N. C. SCHMIT, DOCTEUR EN SCIENCES THYSIQUES ET MATHÉMATIQUES: DE — INTRODUCTION. —+=— Le Mémoire de Jacobi, que je me propose d'étudier , a été terminé le 14 février 1846. Il se trouve dans le volume 32 du Journal de Crelle et aussi dans le premier volume des œuvres de Jacobi, sous le n° 43, page 559; il contient la valeur de l'intégrale définie 27 sin è . “É cos (8) de 1—Acosp—Bsinpy 0 pour toutes les valeurs entières de à depuis à = 0. L'illustre géomètre, qui a concouru avec Gauss à élever l’Alle- magne septentrionale au rang qu'occupe la France dans les Sciences Mathématiques, a probablement été amené à faire cette recherche , en généralisant une intégrale définie qui sert de base à un de ses travaux les plus remarquables , publié trois ans auparavant dans le volume 26 du Journal de Crelle. Là, en effet, pour retrouver d’une manière élégante et rapide les profonds résultats de Legendre et de Laplace sur la forme des fonctions sphériques , (1) il s'appuie sur la formule (4) Legendre. — Savants étrangers de l'académie de Paris vol. X, Attraction des Sphéroïdes homogènes, (Imprimé en 1785.) — Académie des sciences pour 200 N.C.Scumr. — Études faites à l'occasion de recherches 2x do a 927 A+iB cos p+7Csino | VAErFrC 0 qui n’est qu'un cas particulier de celle qui fait l’objet de ce mémoire, Je nomme Fonctions sphériques ce que les allemands appellent Kugelfunctionen , les français très-souvent Fonctions X,, Y,, Fonctions de Legendre du nom de celui qui les introduisit le premier dans l’analyse, Fonctions de Laplace parce que cet illustre géomètre en a non seulement trouvé des propriétés impor- tantes, mais encore parce qu'il en a fait un fréquent usage dans ses admirables recherches sur la forme des planètes, sur les marées, sur la rotation des corps célestes autour de leur centre de gravité. Je ne parlerai ici qu’incidemment de ces fonctions qui ont été de ma part l’objet d'études particulières et sur lesquelles je ne tarderai pas à publier un mémoire spécial. Jacobi a publié de nouveau dans un journal Italien, en lais- sant de côté quelques détails, le mémoire sur les fonctions sphé- riques, que j'ai rappelé; en 1845, Monsieur Liouville inséra ce dernier travail dans le tome X de son Journal de Mathé- matiques ; je ne crois donc pas sans intérêt l'étude d’un mémoire qui le complète. Toutefois il est des moyens simples et élégants de trouver immédiatement l'intégrale dont s'est servi Jacobi, sans recourir à l'intégrale qu'il a étudiée plus tard. Je reproduirai celui que Monsieur Lejeune-Dirichlet a développé dans son cours en été 1856, à l'Université de Gôttingen. EC IRL SE 1 U À ETES ue = —— où i = Lemme. Hi micose 1+ micosy VE Lm PE 1789, Mémoire sur la figure des planètes (lu le 28 août 1790 et imprimé en 1195.) Exercices de calcul intégral. Vol. 2 Laplace. — Académie des sciences pour 1782, — Traité de mécanique céleste, 1799, 2° volume, sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 291 Démonstration. — Il est évident que : 2% 27% + ldo micos pd? = a miicos ME (FE Pme cos p m? COS p? + mi cos p* 0 La seconde intégrale du second membre est nulle parce que ses éléments passent par des valeurs égales et de signes con- traires. La première intégrale a successivement pour valeurs : 2% PE. : 2 Æ [dy AE _ + de P+m° cos g (+ m2 cos g° 0 TU e ds ALP OE Le ee (EP + m:) cos$ + l sin &? AN VE +m 0 [4 Car on sait que : Li >» 2 de an 1 T A°cosg® + B’sinÿ A.B 2° 0 On adopte le signe (+) lorsque L est positif, le signe (—) lorsque Z est négatif. On a donc ainsi : 27 1 € do PTE 1 27 Eitmicos?r VEEm 0 2x Ne 1 e Théorème. = DRPENTELNES ÉD RE 27} ÆElLnicoss+pisne Vr+r Ep 292 N.C. Scnwr. — Études faites à l'occasion de recherches 2x 27 +è 27 — à De ce que : sr rs = ie — de HAE IH micose [mi cos, L+ micos ? 0 +3 LE il suit que l'on a : 27% 2% 1 de dax d? 27 Hl+micoss 27 + l+ mi cos(4+à) 0 0 27% 1 de 27 Æ {+ mi (cos # cos 9 — sin ? sind) 1 1 4 df == = à fe cos d) cos? —- i(—m sind) sin ? 0 Si l’on fait M Cod —n | | d'où m°=n +p —M sin d=p on obtient l'égalité qu'il fallait démontrer. J'ai reproduit cette démonstration de Monsieur Lejeune-Di- richlet , parce que j'ai quelque raison de croire que c'est celle même sur laquelle Jacobi se fondait, avant les travaux que J'étudie aujourd'hui, ear je ferai remarquer que considérer l'intégrale 2z d? + nicos ? + pisins 0 comme dérivant de l'intégrale plus particulière 2x de l+micos?r ? 0 sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 295 fait surgir la pensée de chercher des propriétés pour la pre- mière analogues à celles existant déjà pour la seconde, mais aussi réciproquement , si l’on expose des propriétés de la pre- mière intégrale analogues à des propriétés connues de la seconde, au moyen de procédés identiques , on est amené à croire que, pour trouver cette première intégrale, on s'est aussi servi de la seconde. Je vais faire voir que c’est ce qui a eu lieu , et que le Mémoire de Jacobi étend à la première intégrale une propriété connue de la seconde par des procédés identiques. 2z Théorème. — La formule is feu le ge — + = Hl+ mi cos VE+ne 0 peut servir à élablir la formule de Laplace (1) : 1 . — P, (cos p)= 2 J Ceos y — sin y cos #/ Ty" 43 0 Où P,(cosy), suivant la notation de M. Lejeune-Dirichlet, désigne le coëfficient de æ* dans le développement, suivant les puissances de x, de 1 VA — 2x cos y + a s l—=1—xcos7y Démonstration. Si l'on pose M = & Sin y il vient VE Em = VI — 22 cos y Le (1) Tome V. Livre XI des œuvres de Laplace. (Page 59). (Edition du Gouver- nemeut.) Cette formule sert à trouver la valeur que doit prendre P, (cos) pour # très-grand. Il est une manière simple d'arriver à cette valeur que je ne tarderai pas à publier, P, (cos 7) est comme on sait un cas particulier des fonctions sphériques, 294 N.C. Scumrr. — Études faites à l'occasion de recherches 9x 1 de 3 1 27 1 — a cosy + «sin y cos W—1 V1—9% cosy + 0 1 1— & (cos y — sin ycos;W—1) se développer suivant les puissances de & de la manière sui- vante : Le coëflicient de d, ou peut 4 + a cosy—siny cos? —1) +a (cos y — sin ycos?h/—1Y) + + etc... Le premier membre peut ainsi se mettre sous la forme : 27% 1 : ar Ye. Le fr- sinycosgV/—1) de, 0 et le second membre est égal à YXæP, (cos y), il faut donc, puisque ces deux développements coexistent pour des valeurs quelconques de x, que 2% 1 , — P, (cos y) =— TE (cosy — sin y cossW— 1)" d?. 0 27 d? 1 Ainsi f "© = + ——— ns [Er res V'E+m 0 permet de trouver une forme de P, (cos 7), qui a dévoilé une propriété nouvelle, parce que = peut ' À V1— 9% cos y + & 1 : : se mettre sous la forme >, On entre nécessairement dans VE Em sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 295 une propriété plus intime de P, { cos y) en remplaçant cos y par sa valeur : cos B cos B! + sin B sin B' cos (0 — 6"). 1 Le radical prend aisément [a forme V1 — 24 cos y + 1 À 1 analogue à ——— en posant : VE + + p° V E+m L = cos B— « cos B! n= sin B cos o — æsin £' cos 0" p= sin B sine —« sin B' sin e'. 2% ET UE ue = f de S'il existait une intégrale définie analogue aussi à ÿ LH mi cos # 0 et égale à ce radical, on formerait une nouvelle valeur de P, (cos y) en répétant les raisonnements précédents. Or cette intégrale existe, elle est : 2x d 1 a : DÉrenrr VE+n+p 0 En remplaçant /, #, p par leurs valeurs respectives, Jacobi obtient : 2% 1 d# 0 1 V1—2acosy + à ? puis par un procédé identique à celui que nous venons d'indiquer il arrive à : 27 P, (cos 7) = 97 [cos 8 % isin 6 cos (5 — 8) +! de. 0 58 296 N. C.ScumiT. — Études faites à l'occasion de recherches Formule tout-à-fait analogue à celle de Laplace, mais plus générale, puisqu'elle considère cos y non pas comme une quantité seulement, mais comme une fonction de deux angles, et plus profonde, puisqu'elle permet d'entrer dans la nature intime de P, (cos y) et de séparer, comme il est facile de le prévoir, ce qui est dépendant de l'angle 8 de ce qui est dépendant de l'angle 8. C'est sur cette formule que Jacobi se base pour arriver à la formule si remarquable , donnée d'abord par Laplace , (1) P, (cos y) = P, (cos 8) P, (cos 8") + (n—1)! . . nn dP,(cosS) d-P,(cos£') S (n+1)! DE decos B ‘ d-cosP ce (n—2)! . ,,. ,, deP,(cos£) d'-P,(cosf) La + 9 ray ne sin B Ta: cos£} (a EC EE cos 2(6 @) © ET CE Ainsi, pour me résumer, je crois pouvoir considérer la dé- monstration rapportée par M. Lejeune-Dirichlet comme étant celle dont s’est servi Jacobi, parce que de 27% dy Race L + mi cos ? VEEm 0 27 on déduit Pop fers cos oW—1}" de, T 0 (1) Legendre a cependant avant Laplace, trouvé une partie de celte formule dans un Mémoire sur l'attraction des Sphéroïdes. (Sav. étr. vol X.) Il a posé : 27 1 2 /P« (on 1) 20 = Pn (cos 8). Pn (cos £'). 0 sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 297 et de 27 de + 1 0 2r il a déduit P, (cos ÿ) = fu V/—singeos(#—s)]" 27 à leos8+ V—1 sin Bcos(o—#)l+ ° d’une manière complètement identique. Dans cette traduction , bien que je me sois efforcé de respecter la forme , je me suis surtout attaché à rendre le fond. Dans des notes rejetées à la fin de ce travail, on trouvera quelques développements de caleul et quelques remarques qui cherchent à pénétrer dans la pensée de l’auteur et à comprendre sa marche, qui, vers la fin du Mémoire, retrace bien plus la suite des idées dans leur plus rapide expression que le développe- ment systématique du fond. Le Mémoire est un chef-d'œuvre de style serré et clair. C’est à dessein que je commence ma carrière scientifique non pas par un travail personnel , mais par une étude des œuvres d'un grand maitre de la science ; c'est par la méditation de leurs ouvrages, que l’on peut se familiariser avec les méthodes qui ont fourni à la science leurs plus beaux résultats. IL faut recourir aux sources, il faut s'exercer à y puiser, et y puiser souvent. En France et en Allemagne on est surtout pénétré de cette vérité, aussi ces deux pays comptent-ils des savants nom- breux et distingués , presque tous sont aussi profonds penseurs qu'érudits infatigables. Qui ne connait l’érudition de Messieurs Chäsles, l’auteur de l'histoire de l’arithmétique, de l'algèbre, de la géométrie, Liouville, Bertrand, Biot, de Humbold, Ritter, etc... 298 N.C. Scumir. — Études faites à l'occasion de recherches SUR LA VALEUR QUE PREND L'INTÉGRALE DÉFINIE 2x do 1— A cos? —Bsins 0 POUR DES VALEURS IMAGINAIRES DE À ET DE B , Par C. G. J. JACOBI. ——4"— Dans ce Mémoire je veux rechercher la valeur que prend l’intégrale 27 de 1— A cos ç— Bsin? ? 0 lorsque les constantes A et B recoivent des valeurs quelcon- ques imaginaires ; j'écarterai toutefois celles qui rendraient infinie la quantité sous le signe intégral pour des valeurs réelles de 9. Lorsque les constantes A et B sont réelles, la condition pour que la quantité sous le signe intégral ne devienne infinie pour aucune valeur de $ est évidemment A? + B? <1; mais si l'on écarte cette hypothèse, et que l’on pose : A=a+aV—1 B=b+wW—1, a, & , b, L' étant des quantités réelles, et a! et b’ ne dispa- raissant pas en même temps, la quantité sous le signe radical, ne peut devenir infinie, ou 1—(a+ ad V1) cos ?—(bHUYT)sins ne peut devenir nulle que lorsque, pour des valeurs réelles de #, on a simultanément les équations : a cos? + bsine = 1 a'cos ? + b'sin? = 0; sur les Fonctions de Legendre et surles Fonctions de Lamé. 299 leur résolution algébrique fournit les relations b! Aer COS P = — Sin e — ab! — ab ? leur coexistence exige l'égalité : al —ab=Ve +0. C’est done là la condition pour que la quantité sous le signe intégral puisse devenir infinie, Elle peut se mettre aussi sous la forme : aa +bb=Va+b® Va +b?—1. Si donc j'écarte le cas où cette relation existe entre les cons- tantes a, a!, b, b', ainsi qu'il est nécessaire de le faire pour que l'intégrale ne devienne pas infinie ou indéterminée (1), la grandeur absolue de ab! —a'b sera ou plus grande ou plus petite que Wa" +". Dans ce qui suit nous adopterons la notation À = ab’— ab, et nous supposerons À positif, comme il est permis de le faire. Car si À n'était pas positif, il suflirait de changer + en 27—+, les limites de l'intégrale resteraient les mêmes, a et a! garde- raient leurs signes , tandis que b et b’ changeraient les leurs, ce qui rendrait positif celui de A. Je commence par poser l'équation identique 1 41—(a+a V1) cos ? — (b+b! — 1) sin ? 1 re ANT Eu A 1 2 RER er TE ET 1— Ce —1 où n—n V/—1—VI1—A—B: = Wi— (a+ V1) — CHU VTT (1) Voir Note 1. 500 N.C. Scumr. — Études faites à l'occasion de recherches De (a+) + (db) VA A=By23 1tun—nV 1 1+VT—A—B # (a—V)+G+N VIT A+By—T Ibn—n y —1 Ta Par le signe du radical exprimant la valeur de n—n'W—1 est quelconque ; j'admettrai qu'il est choisi de manière à ce que la quantité réelle x ait une valeur positive. Avant d'aller plus loin, il est indispensable de rechercher si les modules de C et de C' sont plus grands ou plus pelils que l'unité. Cette expression de module est prise dans la même acception que celle adoptée par Cauchy. Pour cela, je remarque d’abord que le module de 1—n+nr —1 1 En = na GC égal au produit des modules de C et de C’ VERS + n° ({+n) +Hn a une valeur moindre que un , parce que » par hypothèse est positif ; les modules de C et de C/ ne peuvent donc être tous les deux à la fois plus grands que l'unité, le plus petit des deux doit être plus petit que l'unité. Or ies quantités G et C/ ont respectivement pour modules Verre + bn +2 A CENTS ( +u} +n et À par hypothèse est positif, le module de C’ sera donc moindre que celui de G, et partant plus petit que un. Il nous reste encore à savoir quand le module de € est plus grand et quand il est plus petit que l'unité. On en trouve dans les considérations suivantes un critérium bien simple. 2? sur les Fonctions de Legendre et surles Fonctions de Lumé. 301 Le produit du carré des modules des quantités C, C/ est : Ca + +0 LEe 4 je 1 Entre on (+n + n° +LOn) Te 1Ln + nn? +L9n d'où résulte l'équation (+ à? + + pe y} — &A = + + n°) — 4; Elle montre que suivant que À est plus grand ou plus petit que n, aa? +b + 2 sera plus grand ou plus petit que 1+n + n2 et à fortiori 42 + a’ +2 + +2 À plus grand où plus petit que 1 + n2 + n/2 + 9n. POST ADO ETAT a + a? + b2 LbE LA Donc le module de C ou VISE HPTEZA sera plus grand ou plus petit que l'unité suivant que À sera plus grand ou plus petit que n. Or nous avons trouvé précédemment mn VI} =1— (a+ a VTT y — (bb y—1}, les quantités x et n! se détermineront par les équations : n° — np? = 1— a + «2 — 0? +: nn = aa + bb!; au moyen de ces deux relations : (A+ n"2)(A? —n2) = 14 Qu) A mn" = AŸH A (a+ — à — 0) — (aa +66) — À = A A (a HE — ae 04) (ot 0e) (a8 — (Aa +0) (A de 4?) Cette dernière équation nous montre que si À est plus grand ou plus petit que n, À sera aussi plus grand ou plus petit que Wa? 6=?. Le critérium peut donc s’énoncer ainsi : Le module de Cest plus grand ou plus petit que l'unilé suivant que À est Plus grand ou plus petit que TE + 0/2, Nous nous rappellerons que nous avons écarté le cas où À = ATEN 302 N. C. Scumr. — Études faites à l’occasion de recherches De ce que le module de C’ est toujours moindre que l'unité, on aura toujours : ! — = = pre ri Co—2e V—1 Move + C’e + Ce 29 + etc. , car le second membre cst une série convergente, On aura de plus, lorsque le module de C est plus petit que l'unité , 1 © ta de 3eV—i 0e OA et lorsque le module de C est plus grand que l'unité, Û RER —1 1— Cef/—1 1 28. 1 f: Cefv—1 =— {140 ter 40 2801 + ete }- Donc, suivant que (ab'— ba}? est plus petit ou plus grand que ad?+b®, il faudra, pour avoir des séries convergentes , recourir à l’une ou à l'autre des équations n—nY—1 A — (a+a y 1 cos? —(b+bV—1) sin? ET 20 cer Ado re HUE Neue n—nV—1 1 — (a+ a V=—1)cose — (b+bV—T )sin ? —2eV—T ue D, TP rt Der CE CMD USE (Ce Ct NE Pie Cela posé, on obtient les théorèmes suivants : (1) Note 2. sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 305 I. Lorsque a , a, b, b sont des grandeurs quelconques réelles qui satisfont à l'inégalité (a — ab} > ar +6", alors 97 J: de 0 1—(a+aV—1) cos 9 —(b+VY—1)sine ‘ 0 et, plus généralement , lorsque ( ab'— db ) est positif, pour toute valeur entière positive de i, on a: 27 f- cos î9 do I (aa) cos g— (O+b'p/—1)sine 0 9x sin 29 do 1—(a+a VI) cos 8 — (848 V—T) sing” = —1 0 IT. Si a, a, b, b' sont des quantités quelconques réelles qui salisfont à l'inégalité (ab'—w'b} La” +01, alors QT 1 do = V—1 )cosg—(b +0! V/—1) sin g 0 ve 2 x Vi (a+ V1} (o40 Ty | il faut déterminer la racine de manière à ce que sa partie réelle soit positive. 304 N.C. Scumr. — Études faites à l'occasion de recherches La grandeur C—1 se calculera au moyen de la valeur de CC’ donnée plus haut _A+n—nv—1 ñ a— VE (a + b)V A Cr? — = —— J—n+uV—1 1—ntny—1 » on obtiendra ensuite C'— C1 —2/}a—d+(a +) | n—nNVT (a+dV A} +(b+0 Vi} 7) A RTE Ter et le théorème suivant pourra s'établir : III. Lorsque a, à, b, L' sont des quantités quelconques réelles qui satisfont à l'inégalité (ab! —ba } > a+ 0?, et que ab! — ba! est positif (1), alors : 9x cos o d p A—(a+aV—1)cosr8—(b+bV—1)sing 0 27 + . de LEP SID & 1— (a+a' y —1 )cos ge —(b+UV—T )sing 0 ao 2T (a+ 6!) + (a —b)V 1 (4) Voir Note 2. — 1'° Remarque. sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 303 Que l'on pose (a+0)+(d—5)V=T—D, (a—8) + (a + D WET= D, alors n—WV—1=Vi—D), Le D 1—1V1— DD 1+y1—DD D’ . de D' _A1—VI—DD, 142V1—DD D Si lon emploie ces expressions, el que l'on se sert des développements en séries donnés précédemment, on trouvera les théorèmes généraux suivants : (1) IV. Soient a, a, b, b' des quantités réelles quelconques, qui ne satisfont cependant pas à l'équation (ab'— ab)" = a" +6" ; soit de plus (ab'— a/b) une quantité positive, et a+ +(d —61)V—1=D, a—V+(a +6) —1=D'; Lorsque (ab! — ab) x? + L®, alors pour une valeur entière de à, 9x f° cos de de an) cos 9 — (b+b'Y—T)sins 0 z Di Di W/ 1 DD {+1 DD |? 9x 5 sin îe de 1—(a+aW—1)cs?—(b+0 V1 )sins zV/—1 Di — D" , 1 DD Ht+Vi—DD'} {) Voir Note 3. 506 N.C. Somur, — Études faites à l'occasion de recherches Lorsque (ab — ab} 5 a? + LV, alors pour une valeur entière posilive de à, 97% 27 J: cos ip d? 22 : 4A— (a+ a VA) cosg— (+0 y/—T) sin ? fr sinte d? 1— (a+ a V1) cos 9 —(b+ 0 —1) sing api} 4 am} V'1—DD"- D: = — T Le radical V 1 — D D' doit toujours être déterminé de manière que sa partie réelle soit positive. Le théorème précédent fait voir que, dans le cas où (ab!—a'b} a"? +0?, les formules sont complètement diffé- rentes, Pour exprimer ces résultats en fonction des quantités À etB, il suffit d'y remplacer respectivement D et D’ par A—BY—1 et A+BY—1. Si, en multipliant le dénominateur par une constante ima- ginaire , on lui donne la forme (aa V1) (B4E BV ET) cost —(y+y V—1)sine, æ, «', B, E',7,7 sont des constantes réelles , alors les deux cas à distinguer seront ceux où (8y — By} sera plus grand ou plus petit que (&6—&'B) Æ(ay'— «!y}°, ei Von aura par exemple le théorème : (2) {41) Note 4. (2) Note 3, sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 507 Lorsque pour des valeurs réelles des quantités &, «, B, £!, Y,Y on a l’inégalilé : (6 — y} D (af — ap) +(ay —ayy, alors l'intégrale définie QT {= de / (æ HV) —(GHBVT)cos?—(y+y V1) sing s'annuile. Berlin, le 14 février 1846. 508 N.C. Scawir, — Études faites à l’occasion de recherches NOTES. : d , : : Démontrer que EE detente OÙ 1 — A cos e —B sin 9 0 indéterminée pour certaines valeurs des coefficients À et B - (A «tB désignent les quantités générales a+ a V1, b+WV—1.) La fraction Aer ne devient infinie que lors- que d'— «b=V a" +0", car alors il devient possible d’assigner des valeurs réelles de ? qui rendront nul le dénominateur 1 — A cos 9 — B sin #; les cosinus et les sinus de ces valeurs particulières que je désigne en général par & seront : b! cos P — HE ab" — ab L — à in Ÿ — ab! — vb L'intégrale donnée peut se partager en ces trois autres : D—eE, der de de 1—- A cos, — B sin ? dE 1 — À cos? — Bsin ? 0 D—eë, 9+ è de fe ? PHesi sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 509 où £o, 1 sont des indéterminées, et s une quantité quel- conque. Per, do = à — —— qui seule pourra C'est l’intégra 1— A cos, — Bsin? 4 E D—eË, rendre celle que j'étudie, infinie ou indéterminée. Or, pour « très-petit, la différence entre A cos a+ B sin & et À cos e + Bsin , est comparable à l'arc 8 — ; = %; la valeur de l'intégrale, à laquelle j'ai été ramené, sera done com- parable à eë1 - RCE — log ( £a ) 2 Ÿ + — Ë 0 2, ce qui est indéterminé, L'intégrale sera done elle-même in- déterminée, ou infinie, lorsque ab! — ab = Va — 5, Voir la théorie des intégrales singulières de Cauchy. NOTE 2. THÉorÈèME D. — Lorsque a, ar, b, L' sont des grandeurs réelles quelconques qui salisfont à l'inégalité (ab! — ab}? > a? + bp, alors A+ à 1 == === = 0, f: — (aa V—1) cos? —(b LD WT) sin ? ( et généralement , lorsque ab! — ab est positif, Pour toute valeur positive de à, 510 N.C. Scuwr. — Études faites à l'occasion de recherches 9x f cos io de (ose V—T)coso —(b+UV—1)sine 0 2x 3 sinisde D V—T) cos?— (bb VTT )sin ? | 0 Démonstration. Lorsque (ab — «'b} > a” + b" le coëflicient de ds de la première intégrale peut se mettre sous la forme : 1 ny —1 US ep Si ie f—c en ARC cn FREE E et cette intégrale devient : 27 9x > J C'— C1 1—Acos? — Bsin? nn A e Ce 0 0 97 CCF: FRE En" ET À de + ete. 0 Or les diverses intégrales du second membre sont nulles, comme on le voit facilement en remplaçant 7?" par cos ig—V/—1 sinis, done 2% 9: de 0 1— Acosp—Bsine 2 0 D'un autre côté : sur les Fonctions de Legendre etsur les Fonctions de Lamé. 511 27 9 UN = Mini cd a e iv La RE pe AO EEE 1— Acoss—Bsiny n—nV/—1 L 0 92% C2 C-2 y — —(i+2)o9 VI de n—nV—1 £ dy +etc., 0 toutes ces intégrales sont nulles, ce qui permet d'établir : ___ cosiedg = __ snipdge 1— A cos ,— e—Bsins 1— Acos? — Bsinf * Tuéorème Il. Lorsque a, a!, b, br sont des quantités réelles quelconques qui satisfont à l'inégalité (ab — ab} as -b", on pourra alors établir la relation : bu 97T cos tp do + eur à sintpdpy 1—Acos$—Bsng J 1—A cos g— Bsing 0 0 REMARQUE II. La deuxième partie du premier théorème n’est pas nécessaire- ment amenée par l'exposition systématique de la recherche annoncée par le titre du Mémoire, qui du reste n’est plus suffisant pour tout ce qui suit les théorèmes qui viennent d'être étudiés. Cest la suite des idées qui a entrainé Jacobi à intercaler ce résultat dans un ensemble où il n’aurait pas dû entrer. Le Mémoire du reste n’en est que plus précieux, il permet de suivre la marche de Jacobi. Il a d'abord recherché l'in- tégrale ÿ de 1 — A cos — Bsin ? 4 ( puis il a remarqué que dans un cas particulier A? > ar + il y avait une relation simple entre les intégrales 2% 9x cos 29 do sin êe de : 1—Acosp—Bsmn, ? ,/ 1—Acos;—Bsin, ? 0 puis il a recherché les valeurs absolues de ces intégrales , lors sur les Fonctions de Legendre etsur les Fonctions de Lamé. 515 bien même que la relation A? > a° +0" n'existait pas; enfin il a songé à l'intégrale générale 2x : dr CRT Aer CRT D CRE AE ST NOTE 3. 2x sin £ f cos (9) de ECHERCHE DE —————— e À — A cosy— Bsiny 0 Dans cette recherche il faudra distinguer deux cas, celui où (ab! — a'b})° est plus grand de celui où cette quantité est plus petite que a° + bd". 1 OS. (ab — ab} > a + br. 27% cos 79 d Je rechercherai d'abord l'intégrale | e rechercherai d'abord l'intégrale lc 0 1 1— A cos p—B sin? pement , il vient, lorsque à — 1 : Après avoir remplacé par son dévelop- 97 cos » de +# É 1— Acoss—Bsns 0 = —9V— 2x (CUS CARTE DRE LL 9 / dy — fcosp? D Apr — sis = TN 2e oi ET < 0 DÉPENS 816 N. C. Scumr. — Études faites à l'occasion de recherches or 2x fleosis } cosi?—V—fsinis } =7T, [a 0 9+ f cos it {eos it —W—Tsin is TE 0 done l'intégrale cherchée est égale à : C'— C-1 ; 1 = TE LE ———————————————— n—wV—1 (a+v)+(a—b)y—1 Dans le cas général, il vient de mème : 2—x Ù : cos 7e d? VE La 0 PAL 1, —?V=i d? cos ?? » € —-C e EC — Vi GnOoENCe —— 0 (QE > © 5 (1). n— NV A cause du théorème : 2z 2—% cos do do PAeNR sin 9 de 1—Acs?—Bsing 1— A cos? —Bsing ? 0 0 il ne sera pas nécessaire de faire une recherche spéciale pour la seconde intégrale; cette recherche se ferait du reste identi- quement de la même manière que pour la première. (1) Lorsque i—0 on retombe sur une équation obtenue dans la note pré- cédente. sur les Foncticns de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 517 TRANSFORMATION. Si l'on pose : a+V+(a—b)W—1=D, ,, fD=A—BY 1, (e] a—b+{a+b)ÿ—1=D, (D'=A+BV—1; on trouve facilement : DD'= (a+aV—1} +(b+uV—1), VD =y/1—(a+a V1} (+0 y in VTT, ue D MES DD VA DEEE D’ : D 1—V 1—DD' QE nn = pe re . 1+V1—0DD D (HA ——— devient ainsi n—nV—1 1 A EU V1—Dp D On peut donc écrire l'équation générale : 27% 27% 2 . à C0 cosiode Fer | sinipde 1— A cos? — B sin ? 1— A cos, — Bsins 0 0 JA VLDD UM EVA D Dr | LV 1— DD = — T7 518 N. C. Scuwir. — Études faites à l'occasion de recherches 2° Cas. (ab — ab) sin ie do 1—Acos;—Bsine ? 0 (1) Lorsque i—0 on retombe sur les valeurs étudiées dans la note pré- cédente. 1—A cos? —B sin ? sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lame. 319 car ici les deux intégrales ne sont plus unies par une relation très-simple. Cette intégrale est égale à : 27 PU/—I fs ie) 1+0Ce + ete. de : EP TUUE MTS n—nWy/—1 Er, Ci — C = LL =4 CR A RE ET n—nV—1 à car 27 fsnis À cos, V1 sin ÿ;} —0, 0 2x J'sini, | cos i; VW —1siné, ; = +1 T, 0 ce qui permet d'écrire : 2=% 2 . . sin to de 1—Acoss—Bsin, 0 r VA D'—D' ADD [IV REMARQUE I. Je me suis fréquemment servi dans cette note des for= mules : 2x : 0 pour A, cos t& cos 19 de = < | T pour i= 1, 0 320 N.C. Senmir, — Études faites à l’occasion de recherches 2x [sn ig cos de da = 0, LI 0 27% | à 0 pour iZi sin ig sin de dy — << < T pour i =", je vais en rappeler la démonstration. On sait que : 4 À cos (Ÿ +i cos(è— 1 cos ?y COS de = RER : Eur : sin (i+v sin(i— 1 ne fi De en PK 2 cos (i—)g — cos(i+i') int ne A PE CE sin te snvçe— ) ; les intégrales ci-dessus reviennent donc à celles-ci 2x 2x 21 fl CUT E 0 0 27% 2x VÉTOTSETET. 0 0 La première intégrale est toujours nulle, à cause de ses limites. La seconde est nulle tant que on mais pour =? elle devient 2% le —— 170 0 La troisième et la quatrième sont toujours nulles. Ce qui dé- montre les formules écrites ci-dessus. sur les Fonctions de Legendre et sur les Fonctions de Lamé. 321 REMARQUE Il. Jusqu'ici dans cette note, À a été considéré comme positif. Je suppose maintenant qu’il soit négalif, et fais la recherche dans le cas où A°> a? + b". 2% 2x cos î? de sé cos êg de D: VEESE = f; —Acoss+Bsins Re 0 0 changement de # en 27—+? _ (AB AHBV IS (nn V1) (1—V1—A—B:r 27% 27% sin ie de se sin if do 1—A cos? —Bsine 1 — A cos, +Bsin? 0 0 par le changement de # en 27 — 7 2x — 1 = es = fie forr )e ARLES a n—nV 1 0 I°—T A pr =T., _(A=B —1}h—(A+BV AT) (n—nV—=T)(1—V1—A 5} à cause des valeurs de T, T”. La combinaison des formules ei donne 2x Le | CRETE VE 1 PEUR RES e US 4 Er 1—Acose + Bsns PR EN ne (n—nvV 1) (1—V1—A EF), ».) 522 N. C. Scamr. — Études faites à l'occasion de recherches résultat auquel j'étais arrivé dans la note 2, 9xz 9% , au D ALTER ré Un au, T—Acosp—Bsing / 1—Acoss+Bsins — 0 0 et enfin : 2x JS cosigde Re sin RL 0 ii d? 1—Acos,—Bsin? 1—Acosz —Bsing 0 résultat que j'avais annoncé. NOTE 4. Renarque. Dans le cas où (ab'—a'b) Ka?—b"? on a les mêmes formules que lorsque À et B ont des valeurs réelles, ainsi : 27% d? 2 27 1—Acosr—Bsins 14 | 0 ALL AU ET A Hal 1—Acose—Bsing LE s {AB 1} + [AB =N Vi—A— Rp: {I+Vi a | 2r% É sin + de J 1—Acoss—Bsiny + 0 rV=T SA = Bt a tBry ut V1 A: —B: RECETTES TE l sur les Fonctions de Legendre elsur les Fonctions de Lamé. 525 Démonstration. Lorsque À et B sont réelles, alors a' et b' deviennent nulles et le critérium illusoire. Il est intéressant de chercher la valeur des trois intégrales dans l'hypothèse indiquée; on ne peut plus se servir des formules, car celles-ci apportent deux valeurs différentes, et le critérium n’enseigne plus laquelle des valeurs il faut choisir. Il suffira évidemment de chercher l'une des trois intégrales : si sa valeur se trouve parmi celles que l’on obtient lorsque (ab! — ab Ÿ < a° + D? alors il en est de même pour les deux autres. 27% d IL fant remarquer d’abord que —_—"? —— 1—A cos $ — B'sin ? 0 se ramène très-facilement à l'intégrale très-connue 2x dx j 1 — hcosx ? 0 il suffit de poser A= hcose h—=V À? + B. B— sine Il est ensuile aisé de prouver l'égalité 27% dx 27 1 —heosz Vip 0 P i ; ë — our y parvenir on peut, lorsque k < 1, développer He suivant les puissances de À cos x; ou bien poser cos æ =y et ramener l'intégrale à LE (1—Ay)V 1 y 524 N.C.Scumir. — Études faites à l'occasion de recherches qui s'intègre par des moyens connus, et donne pour intégrale générale sinxV/1— 7}? are tg— V1» 1 + cosx (1—h) ? qui entre les limites 0 et 27 donne enfin 27 “ V1 3 ou bien encore en posant w = tg{x, l'intégrale se ramène alors à 1+h 9 ve a(u VAT) A7 2 1 k 14 (x r—) 1—h dont l'intégrale générale est bien connue. Il est ainsi bien démontré que 2% de pr 27 1—Acos?—Bsin? V'1—A—RB ? 0 done la valeur de cette intégrale, dans le cas où A et B sont des quantités réelles, a la même forme que dans celui où (ab! — «'b ÿ < a? + bn. Si l'on voulait trouver directement les valeurs des deux autres intégrales pour À ct B réelles, on pourrait profiter des résultats indiqués dans le Mémoire de Jacobi. Journal de Crelle. Vol. 15. Formula transformationis integralium definitorum. (2° page.) sur les Fonctions de Legendre et surles Fonctions de Lumé. 593 NOTE 5. RECHERCHE DE L'INTÉGRALE 27% do PUS 5 1e +aV = 1)—(6+8 Vi )eosg—(7 + y'V—1) sin s 0 On peut la mettre sous la forme : 2% 1 de =" lon ana L/LS A anges ie Mn 1 PR ee + ® c+aV/—1 PRÉ) l'intégrale devient infinie ou indéterminée lorsque : æ— Bcoss—ysnmy—0, a! — G'eoss — y sing — 0, d'où l’on tire : ay —xly COS ten RTE : aB— xp SN 6 = ———. ? BY —£'y Pour qu'une valeur réelle de @ satisfasse simultanément à ces deux équations , il faut que : (6 — By) = (as — BR} + (ay — y}; c'est la condition pour que l'intégrale puisse devenir infinie ou indéterminée, 526 N. C. Seuwir. — Études faites à l'occasion de recherches, etc. Il est facile de voir que : (BP —Py Z (af dB) + (ay = #7} < servira aussi de critérium, et que les résultats obtenus pour 27% sin . eus (ir) de seront immédiatement appliquables 1—Acos,—Bsin, "RES 0 au cas dont ie m'occupe , si je remplace partout a, a, b, b! par leurs valeurs correspondantes Gatpe Ba—ba yatyas ya—ye COS EEE 7 RE DEN ? Lan Bruxelles, le 50 octobre 1857. IV. — Notice géologique sur le terrain crétacé des environs de Jauche et de Ciply, Jhr. VAN BINKHORST, A un quart de lieue de Jauche , près de Jodoigne , à 5 lieues de Tirlemont et à 2 lieues de Landen, dans une des contrées les plus riches et les plus fertiles de la Belgique, viennentaffleurer des couches crétacées, marquées sur la carte de Dumont de la lettre M. ( Système Maestrichtien ) , et considérées par les géoloques Belges et Français comme constituant un lambeau de la craie tuffeau du Limbourg Néerlandais. Nous avons étudié ces souches aussi minutieusement que nous avons pu le faire et le résultat de nos observations se résume dans la coupe que nous a fournie l'entrée des souterrains dits de Folx-les-Caves. Ces souterrains situés en partie sur le territoire de la commune du même nom et en partie sur le territoire de la commune de Jauche , ap- parüennent à M° Gerondal, Bourgmestre de Jauche, qui les exploite pour en extraire une grande quantité de pavés ser- vant au pavage des routes du Gouvernement et des chemins vicinaux ; un aqueduc d’une lon- gueur de 500 mètres y est construit à la pro- fondeur de 15 mètres, pour l'écoulement des eaux. Voici les diverses couches que nous avons observées. (Voir la figure ci-contre) a. Loess 50 centimètres à 2 mêtres d’épaisseur ; à plusieurs autres endroits mais toujours sur la droite de la vallée comme l'avait déjà re- marqué Dumont , nous avons trouvé celte argile atteignant de 7 à 8 mètres d'épaisseur. b. Des fragments minces et feuilletés du tuffeau 42 528 Jhr. Van Binknonsr. — Notice géologique sur le de Lincent (Landenien inférieur de Dumont}, entremélés de Loess et de sable d'un vert sale avec de rares petits cailloux roulés et quelques empreintes de bivalves : 2 mètres. c. 2 mètres de sable glauconifère (‘Landenien inférieur üe Dumont), avec Astarte inœquilateralis, Nyst. d. 50 centimètres de cailloux noirs, très-arrondis, entre- mélés de rognons de silex : les cailloux de la grosseur d'un œuf de pigeon à celle d’un poing, les rognons de silex quelquefois ayant un diamètre de 30 .centimètres. e. Une couche de craie tuffeau d’un blanc jaunâtre avec des taches de rouille et un grand nombre de petits cailloux. Elle est fort riche en fossiles; elle est surtout caractérisée par le grand nombre d'exemplaires de Microbacia nov. sp. Bourgueticrinus ellipticus , Miller. — = æqualis, d'Orbigny. Pecten quadricostatus, Sowerby. Belemnitella mucronata , etc. L'épaisseur de cette couche varie de 55 centimètres à À /, mètre à l'entrée de la carrière , elle a 15 à 30 centimètres de puissance. Sur le profil nous avons donné à cette assise un plus grand développement tel que nous l'avons observé à une petite distance de cette entrée des souterrains. Cette craie tuffeau à la première vue rappelle celle de Maestricht, mais elle est moins cohérente ; ses grains sont plus gros #t elle contient aussi de nombreux petits cailloux. Si un grand nombre de ses fossiles appartiennent à la faune de la craie de Maestricht, beaucoup autres espèces appartiennent à la craie blanche, mais tandis que la craie tuffeau du Limbourg Hollandais, est composée de couches ayant plus où moins ses espèces particulières à elle, dans la carrière de Folx-les-Caves et de Jauche, les fossiles de la eraie tuffean et de la craie blanche se trouvent mêlés à des bryozoaires , dans une couche caractérisée avant tout par un nombre considérable d'exemplaires de la Microbacia nov. sp. Nous considérons donc cette assise de la craie de Folx-les- Caves comme une couche intermédiaire entre notre craie tuffeau et la craie blanche sur laquelle elle repose, nous rappelant ainsi certaines couches de Kunraed , de Vetschau , de St. Pierre et de Fauquemont. Nous avons recueilli dans cette couche, les fossiles suivants : terrain crélacé des environs de Jauche-et de Ciply. Chelonia Hoffmanni, Gray. Mosasaurus Hoffmanni, Mantell. €Corax pristodontus, Agassiz. Otodus appendiculatus, id. — latus, id. Oxyrrhena Mantelli, : id. Belemnitella mucronata , Schloth. — quadrata, d'Orb. Baculites Faujasii, Lamarek. Aptychus rugosus, Sharpe. Rhyncholites Debeyi, Müller. Oncoparæa heterodon, Bosquet. Hypponix Dunckerianus, id. Ostrea vesicularis, grande variété, Lam, —— — petite variété de la craie tuffeau. — — larva , id. — — lateralis , Goldfuss. — — hippopodium, Nilson. A — flabelliformis, id. cu — canaliculata, d'Orb. Pecten (Jamra) quadri-costatus, Sowerby. on — striato-costatus, Goldf. — — quinque-costatus, Sow. | — Dutemplii , d'Orb. Avicula cœrulescens, Nils. Spondylus lineatus , Goldf. Crassatella Bosquetiana , d’Orb. Rhynchonella plicatilis, Davidson, Rhynchonella pisum , Sow. Magas pumilus, id. — Davidsoniana , de Kon. Terebratella striatula, Schloth. Crania Jgnabergensis, Retzius. Catopygus lœvis, d'Orb. Galerites sp. Echinocyamus placenta, Goldf. Pentetagonaster quinqueloba , id. Bourgueticrinus ellipticus, Miller: _— œqualis, d'Orb, Cidaris Faujasii, Desor. 329 530 Jhr. Van Binkmonsr. — Notice géologique sur Le Serpula gordialis, Goldf. — subtorquata, id. Eschara Lamarckii, Hagenow. — Jussieui , id. — pyriformis , Goldf. == dichotoma, Hag. Heteropora crassa, Hag. Inversaria, sp. Lunulites Goldfussii, Hag. Diastopora disciformis , id. Cellepora Granti, id. Micrabacia nov. sp. Trochosmilia Faujasii, Edw. et H. f. Une couche d'un calcaire dur de 1 mètre d'épaisseur for- mée de concrétions calcaires d’une forme irrégulière, d’un dia- mètre de 20 à 40 centimètres. Ces concrétions brisées montrent la mème craie tuffeau de la couche supérieure qui en remplit aussi les interstices. Leur surface est couverte d’un grand nombre de fossiles parmi lesquels dominent Belemnitella mucronata, Schloth. Ostrea hippopodium, Nils. — flabelliformis, id. Hipponyx Dunckerianus, Bosq. Pecten (Janira) quadricostatus , Sow. ue — striatocostatus, id. Spondylus lineatus, Goldf. Dans la partie inférieure de cette couche, d'après le pro- priétaire et les ouvriers, on à trouvé les fossiles suivants que la bienveillance de M. Geraldon etle vif intérét qu'il prend aux sciences nous a permis de déposer dans notre collection. Des dents, des vertèbres et fragments d'os de Mosasaurus Hoffmanni. Une vertébre biconcave d'un reptile que nous ne croyons pas encore avoir été décrit, et qui a les deux fossettes et la forme des vertèbres du genre Plesiosaurus. Un exemplaire d'une grande Ammonite de 60 centimètres de diamètre que nous croyons être une espèce nouvelle, Une nouvelle espèce de Scalaire et plusieurs autres espèces que nous avons déjà mentionnées, comme ayant été recueillies dans la même couche. terrain cretacé des environs de Jauche et de Ciply. 5351 g- # mètres de craie tuffeau peu cohérente d'une couleur grise claire avec peu de fossiles. C'est dans cette assise que l’on a creusé les galeries dont on exploite aujourd'hui la partie inférieure , durcie par le long sé- Jour qu'y ont fait les eaux. h. Ces bancs durs comme du marbre, traversent la craie tuffeau et ont de 6 centimètres à 1 */; mètre d'épaisseur. Leur couleur est grise et elles contiennent fort peu de fossiles. Nous n’y avons recueilli qu'un moule d'une grande Crassatelle. Nous avons compté quatre de ces bancs sous lesqueis se trouve la craie tuffeau dont nous n’avons pas pu déterminer l'épaisseur. ORP-LE-PETIT. A droite de la route qui mène de Orp-le-Petit à Jauche, où remarque une coupe qui constitue un véritable chaos, un pêle mêle des couches tertiaires diluviennes crétacées remaniées : bouleversées de manière que c’est assez difficilement que nous sommes parvenu à trouver notre chemin dans ce labyrinthe. Nous en donnons ia le profil. a. Terre végétale. b. Loess 2 mètres. c. Sable tertiaire d’un gris verdätre ( Landenien inféricur de Dumont}, 1 :/,—3 :/, mètres. d. Cailloux roulés noirs dont les plus grands ont la grosseur d’un œuf de poule , cette couche épaisse de */; de mètre contient aussi quelques rognons cylindriques de silex. Nous avons partout dans les environs de Jauche, remarqué cette couche et celle de sable tertiaire qui la couvre à Jandrain, Folx-les-Caves, etc. e. 1 :/, à 2 mètres de craie blanche à silex noirs. f. Craie tuffeau ressemblant beaucoup à celle du Limbourg, mais contenant un grand nombre de petits cailloux. Cette couche est crevassée de tous les côtés. M. d'Archiac et autres géologues la considèrent comme appartenant à la craie tuffeau du Limbourg. En fait de fossiles elle contient des milliers d'exemplaires de 352 Jhr. Van Binxnonsr. — Notice gévlogique sur le Thecidium radians. Les crevasses sont remplies souvent par les cailloux de l’assise d. g. 1 ‘J2 — 2 mètres d'une pierre crevassée et rappelant beau- coup notre pierre cornéenne dont elle renferme aussi plusieurs espèces de fossiles. Dans les erevasses de cette couche on re: trouve le sable tertiaire c. Elle renferme encore des débris d’une pierre calcaire dure qui contient aussi des petits cailloux et ne consiste qu’en débris organiques. Nous y avons. trouvé Belemnitella mucronata , Schloth, Terebratula carnea, Sow. — subplicata, Mant. Thecidium radians, Goldf. Pecten pulchellus, Nils. Ostrea vesicularis, grande variété, Lam. Catopygus lœvis , d'Orb. Ces fragments ou débris d’une couche riche en fossiles ont jusqu’à 50 centimètres de diamètre et se trouvent éparpillés dans cette assise et celle qui la couvre. Les fossiles sont en mauvais état. Enfin, sous cette couche de débris se retrouve la craie blanche à silex noirs dont les couches n’ont pas été boulever- sées et qui n'ayant ici qu'une épaisseur de 4 mètres peut étre mieux étudiée à Orp-le-Grand ou à Jandrain où ce dépôt a une puissance de 12 mètres, CIPLY. Nous retrouvons encore une partie de nos couches crétacées en Belgique à Ciply à une lieue au Sud de Mons, chef-lieu de la Province du Hainaut. Notre craie supérieure y remplit une dépression de la craie blanche, s'amincissant de l'Est à l'Ouest comme M. d'Archiae l'a déjà fait remarquer, de manière à manquer vers l'extrémité occidentale des talus formés par Ja craie blanche, s'amincissant également au Sud de Ciply et dis- paraissant au Nord-Ouest sous les sables tertiaires. M. d’Archiac (1) ajoute, « les dépôts analogues de Maestricht, de Folx-les-Caves (4) M. d’Archiac, progrès de la géologie 1851, tome IX, p. 176. __ _Lnon. Le. terrain crélacé dis environs de Jauche et de Ciply. 855 » ne constituent point absolument des lambeaux ou restes d'une nappe autrefois continue , mais ils ont rempli des dépressions » de la craie vers les bords desquelles on les voit s'amineir » et se terminer comme s'ils ne s'étaient Jamais étendus beaucoup » au-delà. » Nous sommes de l'avis de M. d’Archiac, qui pense que la craie tuffeau de Maestricht s’est déposée le long de la côte de la mer crétacée, là où sa faune trouvait réunies les conüitions nécessaires à son existence, c’est-à-dire des eaux limpides pro- fondes et agitées et que la dépression locale de la craie blanche y avait préparé le bassin dans lequel cette faune pouvait se développer. En suivant la route qui conduit de Mons à Cipiy, on re- marque à un quart de lieue de la ‘ville. à main droite de la chaussée, une coupe de largile d'Ypres (Londonclay), épaisse de 2 :/, mètres, couverte par 5 ou 6 mètres de sable gris glau- conifère ( Yprésien supérieur de Dumont ). Près de Ciply, le Landénien inférieur vient affleurer, et y re- couvre la craie tuffeau de Maestricht. Ces couches tertiaires sont recouvertes à leur tour par le Loess et un mince dépôt de cailloux roulés semblables aux couches que l’on observe dans le Limbourg Néerlandais, mais elles n’offrent pas la même con- uipuité, en sorte qu'on ne peut les étudier que dans très- peu d’endroits. A Ciply , la craie tuffeau de Maestricht (1) vient affleurer à gauche de la chaussée et y a une épaisseur de 5 à 8 mètres. Dans sa partie supérieure un banc de calcaire dur et compact d'un blane grisàtre crevassé, nous a rappelé un banc analogue à St.-Pierre et à Geulhem ; seulement ici la craie est chloritée et contient beaucoup de petits cailloux. Nous avons trouvé dans les crevasses de cette assise beaucoup de fragments de bryozoaires entre autres de (1) Les terrains modernes des environs de Mons, offrent un intérêl paléon- tologique et archéologique particulier. Ainsi dans le dépôt de tourbe de la vallée de la Haine qui se jette dans l’Escaut à Condé, on a trouvé avec des objets d'art de l'époque Romaine et Cello-Germanique, des restes de castor, bœuf, chien, cerf, mammouth, entr'autres de magnifiques cornes de bœuf et une tête entière de castor , qui se trouvent avec les autres objets dont nous venons de parler dans Ia belle et_ riche collection de M. Albert Toilliez, ingénieur des mines. 554 Jhr. Van Bivenonsr. — Notice géologique sur le Pustulipora virgula, Fag. — ruslica, id, — nana , id. — variabilis , id. — Benedeniana, id. Cricopora verticellata, id. — Reussi, id. Vincularia canalifera , id. — bella , id. — procera , id Idmonea lichenoides, Goldf. — lineata , Hag. Escharites gracilis , Goldf. Eschara Boryana , Hag. — Verneuilli. id. — rhombea , id. — Lamourouxi, id. — filograna , id. — coronata , id. — quinquepunctata, id. Diastopora disciformis, id. Nous y avons encore recueilli : Thecidium radiatum, Goldf. — vermiculare , Bosq. Terebr. decemcostata, Roemer, Pentetagonaster (Asterias) quinqueloba , Goldf, Des radioles de Cidaris Faujasii , et les Foraminifères suivants : Nodosaria Zippei, Reuss. Polymorphina lacryma, d'Orb. Guttulina elliptica, Reuss. Globulina globosa, id. Dentalina sp. Rotalia species. Dans le calcaire compact nous avons encore remarqué les deux espèces de Lithodomes abondants dans les couches ana- logues des environs de Maestricht. On y a également recueilli de beaux échantillons des espèces suivantes d’anthozoaires qui font partie de la belle et riche collection de la ville de Mons, et qui caractérisent cette même couche dans le Limbourg. terrain crélacé des environs de Jauche et de Ciply. 335 Astræa arachnoïdea , Golfd. — geometrica, id. — geminata, id. — gyrosa, id. — angulosa, id. — elegans, id. Gorgonia bacillaris, id. Moltkia Isis, Steenstrup. Trigonia limbata ? d'Orb. Cidaris Faujasii, Desor. Hippurites Lapeyrousii, Goldf. Crassatella Bosquetiana , d’Orb. Corbis sublamellosa, d’Orb. Fungia canccllata, Goldf. Diploctenium cordatum, id. quelquefois aussi cette craie dureie est couverte, comme dans le Limbourg, de Cellepores , de Diastopores, de Scrpules, d'Hui- tres, etc. Nous avons done retrouvé ici la craie tuffeau avec une de ses assises dures d’anthozoaires mais sans une couche de bryozoaires, nous avons recueilli , comme nous venons de le dire, de nom- breux fragments de ces petits êtres dans les crevasses et cavités du calcaire dur, mais une véritable couche de bryozoaires manque dans la craie supérieure qui nous occupe. Près de Ciply à droite de la route qui mêne à Vasmes, la craie tuffeau vient encore affleurer , et nous y avons pu étudier une bien belle coupe. a. Craie tuffeau de Maestricht, de 5 mètres d'épaisseur , de la mème couleur et comme dans le Limbourg , souvent forte- ment colorée par le fer ; les fossiles n’y sont pas abondants ; on y a recueilli des dents de Mosasaurus Camperi, H. Von Meyer. Corax pristodontus, Ag. Otodus appendiculatus, Ag. Enchodus Faujasii, id. Lamna Bronni, id. Notidanus sp. Pecten quadricostatus , Sow, — Faujasii, Defrance. Exogyra auricularis, Goldf. 45 356 Jhr, Van Bixxknorsr. — Notice géolugique sur le HS TR Ol Gryphæa vesicularis grande variété, Lam. | | — Jatcralis, Goldf. | | Spondylus plicatus, Münster. | a Arca rhombea, Goldf. Pinna diluviana , Schloth. Crania comosa , Bosq. Hemipneustes radiatus , Lam. Hemiaster prunella , id, Cidaris Faujasii, Des. Nucleolites scrobiculatus, Goldf. Cassidulus lapis caneri, Lam. — elongatus, d'Orb. Fibularia, sp. b. Dans la partie inférieure de ce dépôt se \ trouve une couche qui a 10 à 15 centimètres de puissance contenant un grand nombre de petits fragments de bryozoaires, le plus souvent indéterminables quant à l'espèce, mais appartenant aux genres. Eschara Pustulipora. Ceriopora, Idmonea. Ceripora. Nullipora. Le Ceripora verticillata y est abondant, il s'y trouve mélé à des dents de Enchodus Faujasii, Ag. Otodus appendiculatus , id. au Scalpellum pygmæum, Bosq. et à des débris de Mesostylus Faujasii, Bronn. Gryphæa vesicularis, Lam. — lateralis , Goldf. Terebratula striatula , d’Orb. Cette couche friable, d'une couleur grise claire, nous rap- pelait déjà la couche a Fissurirostra pectiniformis de la craie supérieure du Limbourg , mais lorsque M. Toilliez nous a montré, dans la collection du musée , des exemplaires de ce bra- chiopode et une Idmonea nov. sp., nous n’avons plus douté qu'elle ne füt identique , parce que ces deux espèces ne se ren- contrent chez nous , que dans la couche qui sépare le calcaire tuffeau jaune de la craie grossière grise à silex gris. terrain crétacé des environs de Jauche et de Ciply. 337 Ainsi la craie tuffeau du Limbourg est représentée, dans les environs de Mons par ses couches inférieures. Les assises supérieures et notamment les deux couches de bryozoaires man- quent. c. Une couche de cailloux roulés de la grosseur d’un pois à celle d’une noix, mélangés à de la craie grise chloritée et à des blocs plus ou moins grands de craie contenant ces mêmes cailloux souvent recouverts de serpules et bryozoaires encroutants. Cette couche a ici une puissance de 1 à 1 :/; de mètre. Nous l'avons encore rencontrée sur d’autres points des environs de Ciply, toujours au-dessous de la craie de Maestricht , et re- couvrant la craie blanche à silex noirs. Elle doit probablement son origine à un fort courant trans- portant avec lui des cailloux roulés, des restes organiques, des débris de la craie blanche et de sa faune. Car elle contient avec des fossiles bien conservés beaucoup de moules de gasteropodes indéterminables, fortement roulés et tout-à-fait silicifiés, Nous avons déjà eité la conclusion que M” d’Archiac et Hébert dé- duisent de cette dénudation évidente de la craie blanche, à savoir, que les dépôts de craie supérieure de Giply, de Maestricht et de Folx-les-Caves ont été formés dans des dépressions de la craie (1). Les fossiles suivants ont été recueillis dans cette couche pr M Ch. Le Hardy de Beaulieu , Alb. Toïlliez et par nous- même : Belemuitella mucronata , Schloth. Baculites Faujasii, Lam. Nautilus, nov. sp. Dekayi, Morton. Crania parisiensis , Defrance. — antiqua, id. — comosa, Bosq. — ignabergensis, Retz. Gryphæa vesicularis, Lam. Ostrea hippopodium, Nils. — semiplana, Sow. — Junata, Nils. — flabelliformis, id. Débris d'Iuocerames. (4) Bulletin de l’Académie royale de Belgique, Tome XX, {r* partie, 1853, 358 Jbr. Van Binkuonsr, — Notice géologique sur le Lima semisuleata, Goldf. Avicula cœrulescens , Nils. Janira (Pecten) quadricostata, Sow. —— = quinquecostata , Goldf. — — pulchella, Nils. — — cicatrisata, Goldf. — — striatocostata, id. Goniophorus pentagonalis, Miller. Cidaris Faujasii, Desor. — Sorigneti, id. — lingualis, id. — regalis, Goldf. Catopygus fenestratus , Agass. Salenia minima , id. Bourgucticrinus ellipticus, Miller. Serpula clava, Deshayes. Eschara faveolata, Hag. — variabilis , id. — cyclostoma, id. — stigmatophora , Goldf. — Lamarcki , Hag. — rhombea, id. Idmonca lichenoïdes , Goldf, Escharites distans, id. — gracilis, id. Heteropora dichotoma, id. Ceriopora nuciformis, Hag. Phletopora pseudotorquata , id. Syphonia cervicornis , Goldf. Diploctenium pluma, id. Parasmilia elongata, Milne Edw. et Haim. Cœlosmilia punetata , id. — Faujasii , id. Pentetagonaster (Asterias) quinqueloba , Goldf. d. Ici le calcaire est fort compact, d’un gris blanchätre rude au toucher. Il a une puissance de 1 à 1 :/, mètre et vers sa partie inférieure il est devenu fort dur. En quittant la localité dont nous venons de parler pour retourner à Ciply, on trouve sur son chemin éparpillés sur le sol des fragments de pierres cornée en tout semblables à celles du Limbourg. terrain crélacé des environs de Jauche et de Ciply. 559 Nous avons remarqué dans celle assise : Rhynchonella compressa , Lam. — subplicata, Mans. Bourgueticrinus ellipticus , Mill. e. Craie blanche à silex noirs d’une épaisseur d'au moins vingt mètres, comme on peut s'en assurer près du four à chaux à côté de cet escarpement. Elle contient les fossiles qui caractérisent partout la craie blanche. Nautilus Dekayi, Morton. Belemnitella macronata , d'Orb. Baculites Faujasii , Lam. Gryphæa vesicularis , Lam. Pinna quadrangularis, Goldf. Pecten quinquecostatus , id. Ananchytes ovata, Lam. Salenia antophora, Muller Holaster granulosus, Goldf. Micraster cor anguinum, Àg. Tetragramma variolare, Ag. Crania Ignabergensis , Retz. Terebratula carnea, Sow. Cette craie blanche qui entoure Mons comme une ceinture ct indique les limites de la dépression dans laquelle la craie tuffeau s'est déposée, a sur quelques points une puissance énorme; ainsi à Nimy, à une petite lieue au Nord de Mons un sondage a traversé 300 mètres de craie blanche sans atteindre la eraie chloritée. A l'entrée de Ciply, dans un chemin creux qui mène au château de Ciply, nous retrouvons les couches de la craie su- périeure qui y repose immédiatement sur la craie blanche à silex noirs, sans cailloux roulés, sans pierres cornéennes, comme l'avait remarqué M. Ch. Léveillé. En parlant de cette coupe, M. Hébert ajoute : « Là, en effet 4 au-dessus de la craie blanche » caractérisée par ses lits de silex et ses fossiles ordinaires » (Ananchytes ovata, Belemnitella mucronata , Rhynchonella » subplicata , Inoceramus Cuvieri, Ostrea vesicularis, Pecten » quinquecostatus , etc. ), On Voit : 4 « Au contact immédiat de la eraie blanche, une assise » de craie de couleur gris jaunâtre, analogue à celle de Maestricht , » et qui forme le toit de l'entrée d'une exploitation. 340 Jhr. Van Bivknonsr. —- Notice géologique sur le 2 « Craie grise tuffacée, remplie de fossiles et notamment » des suivants : Belemnitella mucronata, d'Orb. Terebratula carnea , Sow. Rhynchonella subplicata, Mant. Fissurirostra pectiniformis , d'Orb. Thecidea papillata, Goldf. Apiocrinites ellipticus , Millen. Dentalium (Serpula Mosæ, ) etc.. Bronn, » Cette assise est épaisse de 8 mèêtres environ; on n’y trouve * ni Hemipneustes, ni Baculites ; évidemment elle correspond » à la base des carrières de Maestricht. 3° » Au dessus de cette coupe, les champs contiennent en » abondance des débris de calcaire durs, jaunâtres | ayant la » mème texture que le calcaire à polypiers de la Montagne » St. Pierre. » En remontant ce chemin creux et en traversant ensuite la chaussée , on arrive à l’ancienne route de Maubeuge , où la craie jaune avec la couche à Anthozoaires dont nous avons parlé plus haut, vient affleurer et on peut aussi se convaincre que la craie jaune de Maestricht est supérieure à la craie grise dont il vient d'être question. Nous avons fait parler M. Hébert, parce qu'il nous a été agréable de nous convaincre qu'avant nous, ce savant géologue a observé à Ciply, comme nous venons de le faire, la couche à Fissuricostra pectiniformis. (1) Il nous reste à faire observer que dans la couche 1 de cette coupe nous avons recueilli les fossiles suivants : Ostrea lunata , Nils. Catopygus fenestratus, Ag. Holaster granulosus, Goldf. Terebr. striatula , d’Orb. — subplicata, Mantell. Rhynchonella , plicatilis Sow. Janira (Pecten) quadricostata , Sow. — — striato-costata. Dans la couche 2. (4) Mémoire de la Société géolog. de France 1° série t. II, pag. 52, terrain crélacé des environs de Jauche et de Ciply. 541 Ostrea , sulcata , Goldf. Avicula cœrulescens, Nils. Lima semisulcata, Desh. Nautilus nov. sp. À Obourg au Nord de Ciply en creusant un puits, on a traversé 20 mètres de calcaire de Maestricht, sans atteindre la craie blanche. A Maïzières aussi au Nord de Mons la craie chloritée qui se trouve sous la craie blanche a une puissance d'environ 2 mètres; Les collections de M. Le Hardy de Beaulieu, Toilliez et de nous-mêmes contiennent de œette localité les fossiles suivants : Ostrea flabelliformis , Nils. — sulcata, Goldf. — cCarinata, Lam. Exogyra decussata , Goldf. — lateralis, Nils. Janira (Pecten) quadricostata, Sow. — — multicostata , Nils. Spondylus spinosus , Sow. Inoceramus Cuvieri, id Terebr. gracilis, Schloth. — semiglobosa, Son. Serpula gordialis, Goldf. Dents de Picnodus. — Lamna. — Otodus. Plusieurs espèces de foraminifères et enfin le Scalaire nov. sp, que nous avons aussi recueilli à Folx-les-Caves. Pour faire connaitre les couches crétacées du bassin de Mons en-dessous de la craie blanche , nous donnons ici le profil qui nous a été communiqué par M. Alb. Toilliez, que nous avons déjà eu souvent l’occasion de citer. 1 Calcaire jaune tendre de Maestricht, traversé par une couche de calcaire jaune dur caverneux ( étage Danien de M. Alc. d'Orb, terrain pisolitique de M. Hébert, tous les fossiles à l’état de moules ). Galcaire tendre de Maestricht. Craie grossière tendre de couleur grise produite par de nombreux points verdätres de chlorite et contenant de nombreux cailloux. 4 Craie blanche proprement dite. O1 RO Senonien, 542 Jhr, Van Bixknonsr. — Notice géologique, etc. 5 à Craie grise couche de 1 à 2 mètres, 6 £& Silex gris en bancs puissants à grands Catillus. 7 SE Marne argileuse grise, 8 à Sables calcarifères verts avec galets (Tourtia d’Anzin\, 9 & Grés calcarifère dur avec points verts, 10 5 Poudingue calcaire , de couleur ferrugineuse (Tourtia Sl de Tournay et de Montignies sur Roc. aie Sables mouvants et argiles plastiques. En tout 130 à 200 mètres d'épaisseur. Quant au terrain pisolitique de M. Hébert, nous croyons avec lui et avee M. d'Archiac, que cette partie supérieure de la craie s'est déposée en France comme en Belgique dans des circons- tances analogues , dans des dépressions de la craie blanche, ou les mêmes genres d'animaux marins pouvaient exister et se développer. Il en résulte que tous ces dépôts appartiennent à la même époque et contiennent beaucoup de genres et d'espèces qui leur sont communes. (1) Cependant le nom de terrain pisolitique ne nous parait pas pouvoir s'appliquer à la craie supérieure de la Belgique et du Limbourg et nous croyons avec M. Hébert, qu’elle présente seulement un autre facies de la même époque. (1) C'est sous ce nom que ce Savant géologue désigne certaines couches de là craie supérieure de France et de Belgique. APPENDICE, Nous donnons ici à eôté de cette étude rapide de la craie supérieure des environs de Jauche et de Ciply, la coupe gé- nérale des couches crélacées du duché du Limbourg, extraite d'un ouvrage sous presse, intitulé : **Esquisse géologique et pa- léontologique des couches crétacées du duché de Limbourg et plus spécialement de la craie tuffeau, ouvrage qui'est le fruit de recherches non interrompues de cinq années.’ La craie tuffeau du Limbourg‘ repose sur ‘la craie blanche à silex noirs, dont les couches plongent au Nord -Ouest sous un angle d'environ 52 minutes; les marnes sans silex la li- mitent et l'entourent au Sud, à l'Ouest et à l'Est. Au Nord, elle est, pour ainsi dire, coupée par les dépôts tertiaires et quaternaires. Elle s'étend depuis les lambeaux de Ciply en Hainaut et de Jauche en Brabant, par Otrange, Sluse , la montagne S'-Pierre, jusqu'à Kunraad et Vetschau , à 6 kilomètres d’Aix-la-Chapelle, et l'ellipse allongée qu’elle forme dans le Limbourg occupe une étendue de 16 kilomètres ‘de: longueur, sur 10 kilomètres de largeur (entre Meerssen et Ryckholt ). Sous le microscope elle montre des fragments de carbonate de chaux, avec de nombreuses coquilles de foraminiféres , valves d’entomostracés, spicules de spongiaires, débris d’autres tes- tacés et quelques rares grains de glauconie. COUPE GÉNÉRALE. 4. Terre végétale. 9, Loess avec resles de mammouth, etc., 40 mètres, 3. Cailloux roulés. Dépôt de transport de la Meuse, avec pierres 54% Jun. Vax Binknongr. — Notice géologique sur le cornées renfermant des fossiles, de la craie et des restes de mammouth, etc. , 3, #, à 20 mètres. 4. Epoque tertiaire représentée par des sables siliceux à paillettes 10. 11 12 15. 14. de mica, de différentes nuances, glauconifères , et des argiles , disséminés en lambeaux sur la surface du sol, et sans restes organiques à l’exception des couches contenant des fossiles de l'étage Tongrien supérieur de Dumont , ‘/, mètre à deux mètres, Craie tuffeau , quelquefois fort dure avec un grand nombre de moules de fossiles, épaisseur 1 à 7 mètres. Couche de bryozoaires de 20 à 80 centim. Couche fort dure, perforée par des lithophages renfermant un grand nombre d'anthozoaires , 60 à 70 centim. . Craie tuffeau, 6 mètres. Couche fort dure et compacte, crevassée, fort riche en fossiles (bivalves, anthozoaires | et empreintes de gastéro- podes) , /; de mètre. Seconde couche de bryozoaires , d’un demi à un métre d'épaisseur , contenant un banc d’huitres, ainsi que beau- coup d’autres bivalves et le plus grand nombre des espèces de brachiopodes de notre craie supérieure. Couche très-dure, perforée par des lithophages , erevassée en tous sens et renfermant un grand nombre de concrétions lenticulaires qui ont dù séjourner au fond de la mer; car elles sont couvertes de cellépores , de serpules, et de nom- breuses empreintes d’anthozoaires; on y trouve en outre cinq espèces de rudistes tous appartenant à la quatrième zone de rudistes de M. d'Orbigny , de l'étage sénonien ; !/, mètre à 1 mètre d'épaisseur. Craie tuffeau , qu'on extrait à S'-Pierre, 12 mètres. Elle est traversée par une couche d’un demi mètre, vrai banc d'huitres , quelquefois fort dure et par une autre couche endurcie, formant à Fauquemont le plafond des carrières, de l'épaisseur de :/, mètre; # mètres de la partie infé- rieure de cette assise sont exploités aujourd'hui à Fauque- mont. Couche de 15 centimètres à un demi mètre, quelquefois fort dure, renfermant plusieurs espèces nouvelles pour notre craie et pour la science. Couche pétrie de Dentalium Mosæ , Bronn , et d'un grand nombre de gastéropodes , 15 à 20 centimètres. Are, terrain crèlacé des environs de Jauche et de Ciply. 345 15. Craie tuffeau avec rognons de silex gris, éparpillés dans la masse , 10 mètres. 16, Quatrième couche de bryozoaires formant la couche supé- rieure du dépôt des marnes de Kunraad, Bensenraad , Huls près de Simpelveld et Vetschau. 47. Marnes de Schaasberg, près de Fauquemont, Ransdahl, Kunraad , Bensenraad , Huls près de Simpelveld et Vet- schau , couches dures alternant avec des couches plus fria- bles. Presque toutes les espèces de fossiles appartiennent à la faune de la craie tuffeau. Au Schaesberg, en dessous des rails du chemin de fer d’Aix-la-Chapelle à Maestricht , il y a une couche formant une agglomération du moule d'une petite turritelle, dont elle est pour ainsi dire pétrie. A Ransdaal et dans les environs de Kunraad , tout ce dépôt y compris sa couche de bryozoaires, est couvert par la craie tuf- feau grise à silex gris, qui, à St-Pierre, etc. sépare la craie tuffeau jaune de la craie blanche à silex noirs, sur laquelle repose près de Kunraad et Simpelveld, le dépôt de marne dont nous nous occupons en ce moment, ainsi que la marne de Vetschau, comme M. Debey l'avait déjà remarqué. L'épaisseur de ce dépôt est de 50 mètres. Nous considérons done tout ce dépôt que caractérise encore d'une manière toute particulière, la présence de tiges cylindriques contournées, différentes des gyrolythes des sables verts, dans toutes les marnières que nous venons de signaler, comme la partie inférieure du dépôt de la craie tuffeau. 18. Couche d’un vert foncé d’une épaisseur de 5 centimètres ren- fermant beaucoup de coprolithes de poissons et de débris organiques. 49. Craie blanche à silex noirs , dans laquelle nous avons observé en plusieurs endroits des bancs de pierres cornées (hornstein) , d’une épaisseur de 9 à 60 mètres (à St. Pierre). 20, Marnes sans silex, d’une épaisseur de 4, 5 à 20 mètres. 21. Marnes dont le carbonate de chaux a été dissous en partie et enlevé par l’action lente et séculaire de l’eau atmosphérique. Deux couches d'argile sans fossiles la traversent près de Sim- pelveld. Puissance 10 à 12 mètres. 29, Sables verts à gyrolithes et à Belemnilella quadrala , avec banes durcis contenant un grand nombre d'empreintes et moules d’ètres organisés et quelquefois des rognons siliecux, 546 dir. Vax Binxuoñsr. —Nôtice géologique sur le remplis de ces mêmes fossiles admirablement bien conservés ; mais dont le test est changé en calcédoine. 23. Couche de cailloux roulés, É 24: Sable d’Aix-la-Chapelle. 25. Terrain houiller. La faune de la craie tuffeau seulement, indiquant les côtes et leur voisinage, se compose pour autant que nous avons réussi à Ja’ compléter, d'environ 251 genres et 797 espèces, parmi lesquelles une centaine, le caractérisant d'une manière spéciale à l'exception des bryozoaires, ne descendent pas plus bas que la craie tuffeau, et 150 espèces environ continuent, en partie jusqu’à la craie marneuse sans silex et en partie jusqu’au sable d’Aix-la-Chapelle. Voici. un tabléau approximatif de la répartition de ces genres et espèces dans les différentes classes, \ GENRES, ESPÈCES. Reptiles 4 4. Poissons 44 98 Crustacés. 30. 89 Céphalopodes 8- 17": Gastéropodes 20 80 x Cormopodes 55 115 Brachiopodes 410 35 Bryozoaires 60 280 Annélides 6) 17 Crinoïdes 4 5 Echinodermes 53 42 Anthozoaires 15 33 Foraminifères 18 39 Spongiaires 5 15 251 797 oi Le catalogue des fossiles de Maastricht, publié par M. d'Omalius d'Halloy, et rédigé par M. H. Nyst, contient 345 espèces. Notre catalogue contient donc 452 espèces de plus, à très-peu d'excep- tions près, représentées dans notre collection. En étudiant soigneusement la faune de chaque couche de tout le dépôt de la craie du Limbourg, rous avons acquis la terrain crélacé des environs de Jauche et de Ciply 547 preuve certaine qu'il appartient en entier à l'époque sénonienne par la continuation dans toutes les couches jusqu’au sable d’Aix- la-Chapelle , d’une centaine d'espèces , dont nous donnons la liste dänsnotre ouvrage , et l'absence des espèces caractérisant les étages au-dessous de l'étage sénonien. La craie jaune supérieure d'une couleur grise dans son assise inférieure, caractérisée par une centaine d'espèces dont notre Esquisse donne aussi la liste, recouvre la craie blanche à silex noirs qui ensuite devient marneuse en perdant ses rognons de silex, et se chargeant de glauconie , au fur et à mesure qu'elle se rapproche du sable vert; lequel sable glauconieux d’abord plus ou moins calcarifère, devient de plus en plus siliceux et est séparé du sable d’Aix-la-Chapelle par une mince couche de eailloux rou- lés. - Tout le dépôt, à l'exception peut-être du sable d’Aïx-la-Cha- pelle, est fossilifère ou plutôt, il est traversé horizontalement par -un certain nombre de couches fort riches en fossiles , contenant des exemplaires de plusieurs espèces qu’on rencontre dans toutes les ,couches et d’autres espèces qui sont particulières à une seule et indiquent le temps considérable qui quelquefois a dû s’écouler entre le dépôt de ces couches. La craie tuffeau qui les sépare, ne contient ordinairement qu'un petit nombre d'individus des espèces de la couche qui les recouvre et de cellé sur laquelle elle repose. Nous avons reconnu quatre groupes plus ou moins circon- scrits par une différence pétrographique et par un certain nom- bre d'êtres organisés, mais appartenant à la même époque sé- nonienne , à savoir : Craie tuffeau comprenant aussi le dépôt de Schaasberg , près de Fauquemont, celui de Ransdaal, Huls près de Simpelveld, Kunraad , Benzenraad, Vetschau et les couches supérieures de Ciply, de Folx-les-Caves et Jauche en Belgique, Craie blanche à silex noirs et marnes sans silex, Sables verts à Belemnittella quadrata. Sable d'Aix-la-Chapelle. Manstricht, 5 mai 1858. £ ; DATE DR0T: 4 LEA) TABLE DES MATIÈRES. CoQUILHAT , F. MER, N. C. ScumiT , Jhr, VAN BINKHORST, Cours élémentaire sur la fabrication des bouches à à feu en fonte et en bronze et des projectiles (Nrosemeparte) ON Note sur l'espèce générale et les variétés remarquables de la trajectoire d'une molécule d'éther lumi- LE ONE 6 du Fe MA TAN MOMONS GE Intégrales définies. — Études faites à l'occasion de recherches sur les fonctions de Legendre et sur les fonctions de Lamé. . . . . . . . 9289 Notice géologique sur le terrain crétacé des environs de Jauche et de Ciply. . . . . , . 321 FIN. ‘ } k Are t V LL dl al ge SL Fe WTA Lies Cd | AU KES CNE F RE LATE Aves RD j ra sis! À ÿ t * Le : s tastied: 208 alt EE! ni US | à de MAL ds et ae nc: din #3 AH pmyraatt TT pi ÿa RE Vas Ts) Frs it ou. ae MAMIE sf : js : aa Mo dÇ a ra boMyriie © ts hrs OPEN A Tr LU Y P'u LA TT 2! 7 ELA LUC TPS NE M