APERÇU HISTORIQUE

L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT

MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE.

« Lorsqu'on pense que c'est cette Géométrie qui fut si
féconde entre les mains des Ârchimède, des Hipparque , des
Apollonius ; que c'est la seule qui fut connue des Neper, des
Viete, des Fermât ^ des Descartes, des Galilée, des Pascal,
des Huygens, des Roberval ; que les Newton, les Hallej.
les Macïauria la cultivèrent avec une sorte de prédilection,
on peut croire oue celte Géométrie a ses avantages. (Carn OT,
Géométrie de Position^ Dissertation préliminaire, p. xxx.)

r=

I/'L ï.

APERÇU HISTORIQUE

DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE,

r*RTICDLIE&EaENT

DE CELLES QUI SE RAPPORTENT A LA GÉOMÉTRIE MODERNE,

X

soin b'cn

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

SIIRSSVX PRINCIPES GÉ<CÊBACX DE LA SCIEKCI, LA BCAlITi ET L'flOSOGRAPBIE ;

, PAR M. CHASLES,

ANCIEN kLKYE DE ficOLIL P OL Y T EC H N I Q C fe..

BRUXELLES,

M. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE.

1837.

APERÇU HISTORIQUE

sus l'oRICI.IE ETLE OiTELOrPEIERT

DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE ,

rAinCOUilEBUIT de CULBS qui si XAPrOBTEHT

A LA GÉOMÉTRIE MODERNE.

Nous nous proposoi^s, dans cet aperçu, de présenter une analyse
rapide des principales découvertes qui ont porté la Géométrie pure au
degré d'extension où elle est parvenue de nos jours, et particulièrement
de celles qui ont préparé les méthodes récentes.

Nous indiquerons ensuite, parmi ces méthodes, celles auxquelles
nous paraissent pouvoir se rattacher la plupart des innombrables théo-
rèmes nouveaux dont s'est enrichie la science dans ces derniers temps.

Enfin nous exposerons la nature et le caractère philosophique des
deux principes généraux de l'étendue, qui font l'objet principal de ce
mémoire.

Nous avons distingué dans l'histoire de la Géométrie cinq Époques
principales. On jugera, après la lecture, si les caractères particuliers
que nous avons reconnus à chacune de ces cinq Époques peuvent
justifier cette division.

Plusieurs Notes sont jointes à cet aperçu. Les unes sont destinées
au développement de certains passages que nous avons dû traiter
brièvement dans le cours du discours; d'autres présentent quelques
ToM. XI. 1

2 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

détails historiques dont l'étendue ne nous permettait pas de les donner
comme annotations marginales, parce qu'elles auraient entravé la lec-
ture. Plusieurs autres enfin seront le fruit de nos propres recherches
sur différentes parties des théories géométriques dont nous aurons eu
à parler, et présenteront peut-être quelques résultats nouveaux.

Celles-ci ne paraîtraient pas indispensables, si l'on n'envisageait que
le but historique de notre travail. Mais nous avons eu en vue sur-
tout, en retraçant la marche de la Géométrie, et en présentant l'état
de ses découvertes et de ses doctrines récentes, de montrer^ par quel-
ques exemples, que le caractère de ces doctrines est d'apporter dans
toutes les parties de la science de l'étendue une facilité nouvelle, et
les moyens d'arriver à une généralisation, jusqu'ici inconnue, de
toutes les vérités géométriques ; ce qui avait été aussi le caractère
propre de l'analyse, lors de son application à la Géométrie. Aussi con-
clurons-nous de notre aperçu, que les ressources puissantes que la
Géométrie a acquises depuis une trentaine d'années sont comparables,
sous plusieurs rapports, aux méthodes analytiques^ avec lesquelles
cette science peut rivaliser désormais , sans désavantage , dans un ordre
très-étendu de questions.

Cette idée se trouvera reproduite, puissions-nous dire justifiée! dans
plusieurs endroits de cet écrit; parce qu'elle en est l'origine et qu'elle
n'a point cessé de présider aux longues recherches qu'ont nécessitées
la partie historique, les Notes, et les deux Mémoires qui composent
cet ouvrage.

Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation
inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui
se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admi-
ration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans
bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle ^ sur tous
les points, la méthode géométrique. Mais, convaincu qu'on ne saurait
avoir trop de moyens d'investigation dans la recherche des vérités
mathématiques, qui toutes peuvent devenir également faciles et intui-
tives quand on a trouvé et suivi la voie étroite qui leur est propre

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 3

et naturelle, nous avons pensé qu'il ne pouvait qu'être utile de mon-
trer, autant que nos faibles moyens nous le permettaient, que les
doctrines de la pure Géométrie offrent souvent, et dans une foule de
questions, cette voie simple et naturelle qui, pénétrant jusqu'à l'ori-
gine des vérités, met à nu la chaîne mystérieuse qui les unit entre elles,
et les fait connaître individuellement de la manière la plus lumineuse
et la plus complète.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

\IV\AI\\\IVVV\A/\AA/VVV\NVVVV\MIVVA/VVVV\IVVV/V\VVVV\\\VVVVV\A^A/V^^

CHAPITRE PREMIER.

PREMIERE EPOQUE.

$ 1 . La Géométrie prit naissance chez les Chaldéens et les Égyp-
tiens.
iHALÈs, Thaïes qui, né en Phénicie, alla s'instruire en Egypte, et vint ensuite

né 639 et mort 548 «ns s'établir à Milct , v fonda l'école ionienne, d'où sont sorties les sectes

avant J.-C. '' '

des philosophes de la Grèce, et où commencèrent les premiers pro-
grès de la Géométrie.
MTHAGORE, Pythagorc , né à Samos, disciple de Thaïes, qui, comme lui, avait

né vers 580 avaat J.-C. yoyagé cn Egyptc, puis dans Ics Indes, vint se retirer en Italie, et y
fonda son école , beaucoup plus célèbre que celle d'où elle dérivait. Ce
fut principalement à Pythagore, qui incorpora la Géométrie dans sa
philosophie, et à ses disciples, que cette science dut ses premières
découvertes. Les principales furent la théorie de V incommensurabilité
de certaines lignes , comme la diagonale du carré comparée au côté ;
et la théorie des corps réguliers. Ces premiers pas dans la science de
l'étendue n'offrirent, du reste, que quelques propositions élémentaires,
relatives à la ligne droite et au cercle. Les plus remarquables sont le
théorème du carré de l'hypothénuse d'un triangle rectangle , dont la
découverte coûta, dit l'histoire , ou la fable, une hécatombe à Pytha-
gore; et la propriété qu'ont le cercle et la sphère d'être des m,axima
parmi les figures de même périmètre ou de même surface : propo-
sitions qui offrent le premier germe de la doctrine des isopérimètres.

•TIBt J.-C.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 5

§ 2. La Géométrie fut ainsi restreinte jusqu'à la fondation de l'école
platonicienne, époque de ses grands progrès.

Platon, comme les sages de la Grèce qui l'avaient précédé, alla riATo»,
s'instruire dans les mathématiques chez les prêtres égyptiens; puis en ««-»"
Italie auprès dos pythagoriciens.

De retour à Athènes , ce chef du Lycée introduisit dans la Géomé-
trie la méthode analytique ' , les sections coniques, et la doctrine des
lieua; géométriques. Découvertes mémorables, qui fu*ent de la Géo-
métrie, pour ainsi dire, une science nouvelle, d'un ordre plus élevé
que la Géométrie élémentaire cultivée jusque là, et que les disciples
de Platon appelèrent Géométrie transcendante.

La doctrine des lieux géométriques - fut appliquée , dès ce temps ,
d'une manière très-savante, aux fameux problèmes de la duplication
du cube, des deux moyennes proportionnelles , et de la trisection de
l'angle.

Le premier de ces problèmes, célèbre par sa difficulté et par son hiptocbatedechio,
origine fabuleuse, avait déjà occupé les géomètres. Hippocrate de Chio, "
si connu par la quadrature de ses lunules , l'avait réduit à la recherche

• La définition suivante de Vanalyse et de la synthèse, rapportée par Viète , au comraen-
ceinent de son Isagoge in arlem analyticem , caractérise parfaitement les deux méthodes des
Anciens : « Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité , que Platon
» passe pour avoir inventée, que ïhcon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi : Regarder
« la chose cherchée, comme si elle était donnée , et marcher de conséquences en conséquences ,
n jusqu'à ce que l'on reconnaisse comme craie la chose cherchée. Au contraire , la synthèse se
» définit : Partir d'une chose donnée , pour arriver de conséquences en conséquences à trouver une
u chose cherchée. »

2 On appelle lieu , en Géométrie, une suite de points dont chacun résout une question pro-
posée , ou jouit d'une certaine propriété dont ne jouit pas aucun autre point pris au dehors de
ce lieu. Les Anciens distinguèrent les lieux géométriques en diverses classes. Ils nommèrent
lieux plans la ligne droite et la ligne circulaire dont la génération a lieu sur un plan ; lieux
solides les sections coniques , parce qu'on concevait leur génération dans le solide ; enfin lieux
linéaires toutes les courbes d'un ordre supérieur , telles que les concboïdes, les cissoïdes, les
spirales et les quadratrices.

On a appelé théorème local, un théorème où il s'agit de démontrer qu'une suite de points
d'une ligne, droite ou courbe, satisfait aux conditions d'une question proposée, et problème
local celui où il s'agit de trouver une suite de points dont chacun satisfasse à une question
proposée.

vers 450 avaol J.-C.

# HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le
double de ce côté ; ce qui probablement a donné lieu au problème gé-
néral des deux moyennes proportionnelles.

Celui-ci a été résolu de différentes manières qui toutes font honneur
aux géomètres de l'antiquité. La première solution est due à Platon,
qui employa un instrument composé d'une équerre sur l'un des côtés
de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire , et reste con-
séquemment parallèle au second côté; premier exemple sans doute,
d'une solution mécanique d'un problème de Géométrie.

Menechme , disciple de Platon, se servit des lieuw géométriques,
qui furent deux paraboles, ayant même sommet et leurs axes rectangu-
laires ; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes.

Eudoxe, autre disciple et ami de Platon, se servait de certaines
courbes qu'il avait inventées pour cet objet ; malheureusement sa solu-
tion ne nous est point parvenue ; et nous ne savons quelles étaient ses
courbes.

La solution d'Architas _, célèbre pythagoricien dont Platon avait suivi
les leçons en Italie, était purement spéculative ; mais elle a cela de
remarquable qu'elle faisait usage d'une courbe à double courbure ,
qui paraît être la première qui ait été considérée par les géomètres ; du
moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues i.

Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportion-
nelles que nous venons de citer sont, comme on voit, essentiellement
différentes. Ce problème continua pendant un grand nombre de siècles
d'occuper les géomètres, qui en multiplièrent les solutions. Eutocius,

' Voici la description de cette courbe : « Que , sur le diamètre de la base d'un cylindre
11 droit circulaire , on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la
1" base du cylindre ; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans
» ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à
)i celui de la base du cylindre ; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la
Il surface cylindrique en un point j la suite de tous ces points formera la courbe à double
11 courbure en question. »

Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles , Arcliitas coupait cette
courbe par un cône de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité fixe du
diamètre du demi-cercle mobile ; le point d'intersection donnait la solution cherchée.

^

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 7

mathématicien du VI« siècle , rapporte , dans son commentaire sur le
second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, celles d'Era-
tosthène, d'Apollonius, de INicomède, de Héron, de Philon de Bisance,
de Pappus, de Dioclès et de Sporus. Nous citons ces mathématiciens
suivant l'ordre chronologique.

$ 3. Les savantes méthodes ébauchées par Platon et ses disciples, fu-
rent cultivées avec ardeur par leurs successeurs, et fournirent la matière
à plusieurs ouvrages assez considérables, où furent développées les prin-
cipales propriétés de ces célèbres courbes, les sections coniques qui,
deux mille ans après, ont joué un si grand rôle dans le mécanisme
de l'univers, lorsque Kepler les reconnut pour les vraies orbites par-
courues par les planètes et leurs satellites, et que Newton découvrit
dans leurs foyers les points mêmes où résident les forces qui animent
tous les corps du système du monde. : .

Le principal de ces ouvrages était d'Aristée ; il contenait cinq aristéb,
livres sur les sections coniques; les Anciens en parlent avec beaucoup "sssoaï.nt j.-c.
d'éloges; mais malheureusement ils ne nous sont point parvenus; non
plus que cinq livres sur les lieux solides du même géomètre *.

§ 4. C'est à peu près à cette époque que remonte la découverte de onosmiTE.
la quadralrice de Dinostrate. Cette courbe dont la principale propriété
la rend propre à la division d'un angle en un nombre quelconque de
parties proportionnelles à des lignes données, paraît avoir été inven-
tée pour résoudre le problème de la trisection de l'angle , agité dans
l'école de Platon. Elle résoudrait aussi le problème de la quadrature
du cercle, si l'on savait la construire géométriquement; et c'est cette
propriété qui lui a fait donner, chez les Anciens, le nom de quadra-
trice. Il paraît, d'après Pappus, que cette propriété a été découverte

' Ces cinq livres sur les lieux solides , dont parle Pappns dans le 7' livre de ses Collections
mathématiques , ont été rétablis sur cette indication , par Viviani , dans le style pur de la géomé-
trie ancienne, sous ce titre : De locis solidis secundo divinatio geomelrica in quinque libres in-
juria temporum amissos Aristei senioris geometrœ auclore Vincentio P^iviani, etc. (In-fol.,
Florence , 1701 ). Viviani avait déjà rétabli (en 1659) le B" livre des coniques d'Apollonius,
dont on n'avait alors que les quatre premiers , et qui a été retrouvé avec les 6" et 7" par Bo-
relli, pendant que Viviani terminait sou travail.

8 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

par Dinostrate, frère de Menechme. De là, les Modernes ont appelé
cette courbe la quadratrice de Dinostrate. Cependant il semble
résulter de deux passages de Proclus ' que Hippias , géomètre et phi-
losophe contemporain de Platon, en est le véritable inventeur, et en
avait démontré les propriétés ^.

$ 5. C'est dans ces premiers temps de la Géométrie que nous paraît
devoir être placé Perseus, qui mérite quelque célébrité pour l'inven-
tion de ses lignes spiriques. Ce géomètre formait ces courbes en
coupant, par un plan, la surface annulaire, ou tore, que produit la
révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, mené dans son plan.

Il ne nous reste d'autres renseignemens sur ce sujet qu'un pas-
sage de Proclus, dans son commentaire sur le l'^r livre d'Euclide ^ ,
où il décrit distinctement la génération de ces courbes dans la surface
annulaire, et en attribue l'invention à Perseus.

Quelques lignes plus bas, Proclus ajoute que Geminus avait écrit
sur ces lignes spiriques. Ce document est précieux, parce qu'il prouve
l'antériorité de Perseus sur Geminus qu'on sait avoir vécu vers le
temps d'Hipparque, dans les deux premiers siècles avant l'ère chré-
tienne.

Il est à regretter que les écrits de Perseus et ceux de Geminus ne
nous soient pas parvenus; il serait intéressant de voir leur théorie
géométrique de ces spiriques, qui sont des courbes du quatrième
degré, dont l'étude semble exiger aujourd'hui des équations de sur-

1 J^oy. la proposition 9 du livre 3 , et le commencement du 4° livre du Commentaire de Pro-
clus sur le l"' livre d'Euclide,

2 Le P. Léotaiid , géomètre du XVII" siècle , Irès-versé dans la Géométrie ancienne , a écrit
sur cette courbe un traité , où il lui découvre une infinité de propriétés curieuses , qui répon-
dent au titre du livre : Liber in quo mirabiles quadralricis facultates varice exponutitur. L'au-
teur la compare à la spirale d'Archimède et à la parabole; la fait servir à la détermination des
centres de gravité; lui reconnaît des branches infinies , etc. Jean Bernoulli a aussi découvert
quelques propriétés de cette courbe. ( P^oy, tom. I", pag. -447 de ses OEuvres , et tom. II , pag.
176 et 179 du Commerce épistolaire avec Leibnitz. )

3 Sur la définition quatrième d'Euclide.

Proclus parle aussi des spiriques dans son commentaire de la définition septième, et au
commencement de son 4° livre, où il dit encore les spiriques de Perseus.

285 tviiit J.-C.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 9

faces, et un calcul analytique assez profond {voyez la note 1).

<) 6. Euclide, le célèbre auteur des Elëmens de Géométrie , établit le locuw,
lien entre l'école de Platon, où il avait étudié, et celle d'Alexandrie,
qui prenait naissance.

Beaucoup de géomètres chez les Grecs avaient écrit, avant Euclide,
sur les élémens de Géométrie; Proclus nous transmet leurs noms, et
y distingue Hippocratede Chio; Léon, dont l'ouvrage était plus plein,
plus utile que celui de son prédécesseur ; Theudius de Magnésie ,
recommandable pour l'ordre qu'il avait mis dans sa rédaction; Hermo-
time de Colophon, qui, perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et
de Thœtète , mit aussi beaucoup du sien dans les élémens. Peu de
temps après vint Euclide, « qui, ajoute Proclus, rassembla les élé-
)) mens, mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe,
)) perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète, et démontra
)) plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que trop mollement
)) démontré avant lui. » *.

Euclide introduisit dans les élémens de Géométrie , la méthode
appelée Réduction à Vabsurde, qui consiste à prouver que toute
supposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque
contradiction ; méthode utile surtout dans les questions où l'infini se
présentait sous la forme des irrationnelles, dont Archimède dans plu-
sieurs de ses ouvrages, et Apollonius dans son 4*^ livre des coniques,
ont fait un usage heureux, et dont les géomètres, de nos jours encore,
ont tiré un grand parti , dans des questions où la science n'était pas
encore assez avancée pour procurer des démonstrations directes,
les seules qui mettent une vérité dans toute son évidence, et qui
éclairent et satisfassent pleinement l'esprit.

Les élémens d'Euclide sont en treize livres. On y joint ordinai-
rement deux autres livres sur les cinq corps réguliers, attribués à
Ilypsicle, géomètre d'Alexandrie, postérieur à Euclide de 150 ans.

« Pour se former une idée de l'ouvrage entier, on pourrait le con-

' Proclus , livre 2 , chap. IV, de son Commentaire sur le !•' livre d'Euclide.

ToH. XI. 2

10 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

sidérer comme composé de quatre parties. La première comprendrait
les 6 premiers livres, et se diviserait en trois sections ; savoir : la
démonstration des propriétés des figures planes, traitée d'une manière
absolue, et comprise dans les livres 1 , 2, 3 et 4; la théorie des
proportions des grandeurs en général, objet du 5^^ livre; et l'applica-
tion de cette théorie aux figures planes. La seconde partie renferme-
rait les 7*^, 8^ et 9<^ livres, qu'on désigne par l'épithète d'arithmétiques ,
parce qu'ils traitent des propriétés générales des nombres. La troisième
partie serait formée du lO*^ livre seulement, où l'auteur considère en
détail les grandeurs incommensurables. La quatrième partie, enfin, se
composerait des 5 derniers livres, qui traitent des plans et des solides.
De tout ce grand corps de doctrine, on n'a fait passer dans l'enseig-
nement que les 6 premiers livres, le 11^ et le 12*^ \ •»

$ 7. C'est surtout à ses Elémens qu'Euclide doit la célébrité de
son nom. Mais ce n'était pas le seul de ses ouvrages qui méritât l'ad-
miration. Ce grand géomètre avait reculé les bornes de la science par
divers autres écrits, qui ne lui feraient pas moins d'honneur, s'ils nous
étaient parvenus. L'un d'eux seulement, mais le moins important, inti-
tulé les Données , nous est connu. C'est une continuation des Elémens ,
destinée à en faciliter les usages et les applications à toutes les ques-
tions qui sont du ressort de la Géométrie.

Euclide appelle donné , ce qui résulte immédiatement, en vertu
des propositions comprises dans ses Elémens , des conditions d'une
question.

Par exemple : « Si, d'un point donné on mène une droite qui touche
un cercle donné de position, la droite menée est donnée de position et
de grandeur. » (Proposition 91 des Données d'Euclide.)

Les propositions des Données étaient toujours citées comme celles
des Elémens, par les géomètres anciens et ceux du moyen âge, dans
toutes leurs recherches géométriques; Newton même en fait usage
dans ses Principes, ainsi que des coniques d'Apollonius : mais depuis,

1 Nous empruntons cette analyse des cléniens d'Euclide de l'excellente Notice de M. Lacroix,
insérée dans la Biographie Universelle,

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 11

ces traces de l'antiquité ont disparu des écrits des géomètres, et le
livre des Données n'est plus guère connu que de ceux qui étudient
l'histoire de la science '.

On peut déduire aisément de quelques propositions du livre des
Données , la résolution des équations du second degré, qu'on ne trouve,
chez les Anciens, que dans Diophante, postérieur de plus do 600 ans à
Euclide. Telle est, par exemple, cette proposition : « Si deux droites
comprennent un espace donné, dans un angle donné, et si leur somme
est donnée, chacune d'elles sera donnée. » (Proposition 85)'.

Le 13*= livre des Élémens, qui traite de l'inscription au cercle et à
la sphère des polygones et des polyèdres réguliers, contient à la suite
de la 5^ proposition, la définition suivante de l'analyse et de la syn-
thèse : (( Ce que c'est que l'analyse, et ce que c'est que la synthèse.

» Dans l'analyse , on prend comme accordé ce qui est demandé ,
» parce qu'on arrive de là à quelque vérité qui est accordée.

)) Dans la synthèse, on prend ce qui est accordé, parce qu'on
» arrive de là à la conclusion , ou à l'intelligence de ce qui est de-
» mandé. »

Plusieurs propositions, à la suite de cette définition, sont traitées
par l'analyse et par la synthèse.

§ 8. Parmi les ouvrages d'Euclide qui ne nous sont point parvenus,

' Euclide fait usnge, dans ses Données, d'une expression embarrassante dans le raisonne-
ment, et dont le sens même est difficile à comprendre dans la dcfînition qu'il en donne. Comme
elle se trouve dans Apollonius et dans Pappus, et qu'elle était encore employée dans des ou-
vrages du dernier siècle, nous croyons utile de faire mention ici de cette expression. Euclide
dit que : «Une grandeur est plus grande .i l'égard d'une autre d'une donnée qu'en raison , quand la
grandeur donnée étant retranchée , le reste a avec l'autre une raison donnée. » (Définition 11"
des Données.) Ainsi soit A plus grand que B d'une donnée qu'en raison; soit c cette donnéoi

et fi la raison , on aura — j- — = ac. J

Euclide a voulu , comme on voit , énoncer sous forme d'une égalité k deax termes ane
équation à trois termes.

- Cette question renferme la résolution des deux équations xy=a', et x-\-y = h, qui don-
nent immédiatement l'équation du second degré x'' — bx -^a''^r=o. Ainsi la solution de la ques-
tion d'Euclide donne les racines de cette équation du second degré. ;

Une autre proposition (la 87') résout les deux équations xy = a'', et x' — ^y' = i' , dont
les racines s'obtiennent par une équation du quatrième degré , réductible au second.

12 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

les géomètres regrettent principalement quatre livres sur les sections
coniques , dont il avait considérablement augmenté la théorie; deux
livres sur les lieux à la surface ' ; et enfin, trois livres sur les porismes.

D'après la préface du 7*^ livre des Collections mathématiques de
Pappus, il paraît que ce traité des porismes brillait d'un génie péné-
trant et profond, et qu'il était éminemment utile pour la résolution
des problèmes les plus compliqués. ( Collectio artificiosissima mul-
tarum rerum, quœ spectant ad analysin difficiliorum et generalium
problematum. ) Trente-huit lemmes , que ce savant commentateur
nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes, nous prouvent
qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du
cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la Géométrie
récente, la théorie des transversales.

Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient
fait mention des porismes ; mais déjà, au temps du premier, la signifi-
cation de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne
sont obscures. Celles de Proclus n'est pas propre à éclaircir les pre-
mières. Aussi, ça été une grande question parmi les Modernes , de
savoir la nuance précise que les Anciens avaient établie entre les
théorèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de propo-
sitions, appelées porismes, qui participaient, à ce qu'il paraît, des
uns et des autres j et de savoir particulièrement ce qu'étaient les po-
rismes d'Euclide.

Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions
appartenant à ces porismes , mais ces énoncés sont si succincts, et
sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures
qui s'y rapportaient, que le célèbre Halley, si profondément versé
dans la Géométrie ancienne , a confessé n'y rien comprendre ^ , et

1 Nous formerons , dans la Note II , quelques conjectures sur cet ouvrage d'Euclide , qu'on
n'a point encore cherché à rétahlir.

2 Note de Halley, à la suite du texte de Pappus sur les porismes, reproduit avec la préface
du 1" livre des Collections mathématiques , au commencement du traité d'Apollonius de sec-
tione rationis , in-i», 1706.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 13

que, jusque vers le milieu du siècle dernier, bien que des géomètres
d'un grand mérite {voyez la Note III ) aient fait de cette matière l'objet
de leurs méditations, aucun énoncé n'avait encore été rétabli.

Ce fut R. Simson qui eut la gloire de découvrir la signification de
plusieurs de ces énigmes, ainsi que la forme des énoncés qui était
propre à ce genre de propositions.

Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des portâmes :

Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pou-
voir déterminer , et où Von détermine effectivement certaines choses,
ayant une relation indiquée, avec des choses fixes et connues, et
avec d'autres choses variables à V infini y celles-ci étant liées entre
elles par une ou plusieurs relations connues, qui établissent la loi
de variation à laquelle elles sont soumises.

Exemple : Étant donnés deux axes fixes, si de chaque point d'une
droite on abaisse des perpendiculaires jo, q sur ces deux axes, on
pourra trouver une longueur de ligne a^ et une raison « telles, que
l'on ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante ^^^ = a.

(Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus
grande à l'égard de la seconde d'une donnée qu'en raison. )

Ici , les choses fixes données sont les deux axes ; les choses variables
sont les perpendiculaires p, q; la loi commune à laquelle ces deux
choses variables sont assujéties, est que le point variable, d'où ces
perpendiculaires sont abaissées , appartient à une droite donnée ;
enfin, les choses à trouver sont la ligne a, et la raison a, qui établi-
ront ehtre les choses fixes et les choses variables de la question la
relation prescrite.

Cet exemple suffit pour faire comprendre la nature des porismes,
comme l'a conçue R. Simson, dont l'opinion a été généralement
adoptée depuis.

Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas
reconnu dans l'ouvrage de Simson la vraie divination de celui d'Eu-
clide. Pour nous, en adoptant le sentiment du célèbre professeur de
Glasgow, nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas dans son

14 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

travail, la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette
question, en eflFet, était complexe, et ses différentes parties exigeaient
toutes une solution que l'on cherche en vain dans le traité de Simson.

Ainsi l'on devait se demander :

1° Quelle était la forme des énoncés des porismes;

2° Quelles étaient les propositions qui entraient dans l'ouvrage
d'Euclide; notamment celles dont l'indication, très-imparfaite, nous
est laissée par Pappus;

3° Quels ont été l'intention et le but philosophique d'Euclide, en
composant cet ouvrage dans une forme inusitée;

4° Sous quels rapports il méritait l'éminente distinction qu'en fait
Pappus, parmi les autres ouvrages de l'antiquité; car la forme seule
de l'énoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite ni l'utilité;

5° Quelles sont les méthodes, ou les opérations actuelles, qui se
rapprochent le plus, sous une autre forme, des porismes d'Euclide,
et qui les suppléent dans la résolution des problèmes ; car on ne peut
croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu com-
plètement de la science des géomètres;

6° Et enfin, il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de
diflférens passages de Pappus sur ces porismes; par exemple, de celui
où il dit que les Modernes ne pouvant tout trouver par eux-mêmes,
ou, en quelque sorte, porismer complètement, ont changé la signi-
fication du mot ; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme
de son énoncé, comme il semble résulter du traité de R. Simson, il
aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en
auraient été susceptibles, et on ne voit pas pourquoi les Modernes y
auraient trouvé des difficultés qui leur auraient fait changer la signi-
fication du mot.

Nous sortirions du cadre de cet écrit, en poussant plus loin ces
réflexions sur la doctrine des porismes, mais ce sujet nous paraissant
offrir beaucoup d'intérêt, à raison surtout de ses rapports avec les
théories qui font le domaine de la Géométrie moderne, nous donne-
rons suite à ce paragraphe, dans la Note III, où nous essaierons même

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 15

de présenter quelques idées nouvelles sur cette grande question des
porismes.

§ 9. Peu de temps après Euclide, deux hommes d'une force d'esprit iBcaiaÉui
prodigieuse, Archimède et Apollonius, marquèrent la plus grande 287-212 ...«
époque de la Géométrie chez les Anciens, par de nombreuses décou-
vertes, qui ont fondé plusieurs théories des plus importantes aujour-
d'hui dans toutes les parties des sciences mathématiques.

La quadrature de la parabole, donnée de deux manières différentes
par Archimède, fut le premier exemple de la quadrature rigoureuse
d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.

Chacun sait que les spirales, la proportion de leur aire avec celle
du cercle, et la manière d'en mener les tangentes ^ que le centre de
gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes
des segmens des sphéroïdes, et des conoides paraboliques et hyper-
boliques ' ; la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit ; le
rapport de la circonférence au diamètre, etc., sont d'autres décou-
vertes d'Archimède. Découvertes à jamais mémorables pour la nou-
veauté et la difficulté qu'elles présentaient alors, et parce qu'elles sont
le germe d'une grande partie de celles qui ont été faites depuis, prin-
cipalement dans toutes les branches de la Géométrie qui ont pour
objet la mesure des dimensions des lignes et des surfaces courbes,
et qui exigent la considération de l'infini.

La question du rapport de la circonférence au diamètre était le
premier 'exemple d'un problème résolu par approximation; exemple
si utile, et si souvent mis à profit dans le calcul algébrique, comme
dans les constructions géométriques.

$ 10. Les procédés d'Archimède, pour démontrer des vérités si nou-
velles et si difficiles, constituent la méthode dexhaustion, qui consistait
à regarder la grandeur cherchée, l'aire d'une courbe, par exemple,
comme la limite dont s'approchaient de plus en plus des polygones

' Archimède appelle sphéroïdes les solides engendres par la révolution d'une ellipse tour-
nant sur son {;rand ou son petit axe ; et conoïdes les solides engendrés par la révolution d'une
parabole ou d'une hyperbole tournant sur son axe.

J.-C.

16 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

inscrits et circonscrits dont on multipliait, par la bissection, le nombre
des côtés, de manière que la différence devînt plus petite qu'aucune
quantité donnée. On épuisait ainsi, en quelque sorte, cette diffé-
rence; d'où est venu le nom de méthode d'exhaustion. Ce rapproche-
ment continuel entre les polygones et la courbe donnait de celle-ci
une idée de plus en plus précise ; et, la loi de continuité servant de
guide, on parvenait à la connaissance de la propriété cherchée. En-
suite, on démontrait, en toute rigueur, le résultat ainsi obtenu, par
le raisonnement ad absurdum.

On a dit souvent que les Anciens avaient regardé les courbes comme
des polygones d'une infinité de côtés. Mais ce principe n'a jamais paru
dans leurs écrits ; il n'aurait pu convenir à la rigueur de leurs démon-
strations; et ce sont les Modernes qui l'ont introduit dans la Géomé-
trie, et ont simplifié par là les anciennes démonstrations. Cette idée
heureuse fut le passage de la méthode d'exhaustion aux méthodes
infinitésimales.

On a dit aussi que la méthode d'Archimède était embarrassée et
difficile à concevoir ; et l'on s'appuie du témoignage de Boulliaud , géo-
mètre assez habile du XYII*^ siècle, qui dit n'avoir pu bien compren-
dre les démonstrations du livre des spirales. Mais cette opinion est
contraire aux sentimens des Anciens, que l'ordre et la clarté admira-
bles qu'Euclide avait introduits dans la Géométrie, rendaient si bons
juges dans cette question. Pour la repousser avec la propre opinion
des Modernes, il nous suffit de dire qu'elle est contraire aussi au sen-
timent de Galilée et de Maclaurin, qui avaient profondément médité
sur les ouvrages d'Archimède. « Il est vrai, ajoute Maclaurin, qu'il
a cru devoir établir plusieurs propositions pour préparer à la démon-
stration des principaux théorèmes, et c'est ce qui a fait regarder sa
méthode comme ennuyeuse. Mais le nombre de pas n'est pas le plus
grand défaut qu'une démonstration puisse avoir : on doit seulement
examiner s'ils sont nécessaires pour rendre la démonstration parfaite
et concluante. )) {Traité des fluxiotis, introduction. )

M. Peyrard, qui paraît être de nos jours le savant qui a le plus

217 avant J.-C.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 17

approfondi, dans toutes leurs parties, les ouvrages des quatre grands
géomètres de l'antiquité, Euclide, Archimède, Apollonius et Pappus,
qu'il a traduits et commentés, dit formellement : « Archimède n'est
)) véritablement difficile que pour ceux à qui les méthodes des An-
» ciens ne sont pas familières ; il est clair et facile à suivre pour ceux
» qui les ont étudiées '. »

S 11. Apollonius fit sur les sections coniques un traité en huit li- AfOLioRioi,
vres. Les quatres premiers renfermaient tout ce qu'on avait écrit avant
lui sur cette matière, où il avait seulement étendu et généralisé cer-
taines parties; c'est ce qu'on appelait alors les Elémens des coniques;
les quatre autres comprenaient les inventions propres de ce grand
géomètre.

Ce fut Apollonius qui considéra le premier les coniques dans un
cône oblique quelconque à base circulaire ; jusque-là on ne les avait
conçues que dans le cône droit , ou de révolution ; et encore avait-on
toujours supposé le plan coupant perpendiculaire à l'une des arêtes
du cône; ce qui obligeait à prendre trois cônes d'ouverture différente,
pour former les trois sections coniques. On désignait ces courbes par
les mots section du cône acutangle , section du cône obtusangle ,
et section du cône rectangle ^ elles ne prirent les noms à' ellipse,
d'hyperbole et de parabole que dans l'ouvrage d'Apollonius ^.

Tout ce savant traité repose à peu près sur une propriété unique
des sectiqns coniques, qui dérive directement de la nature du cône
où ces courbes sont formées. Cette propriété, que laissent ignorer la
plupart des traités modernes, mérite que nous la fassions connaître
ici, comme étant la clef de toute la doctrine des Anciens, et comme
étant absolument nécessaire pour l'intelligence de leurs ouvrages.

Concevons un cône oblique à base circulaire, la droite menée de

' Préface de la traduction des OEuvres d'Archimède.

* Cependant les deux mots ellipse et parabole étaient connus d'Archimède. Le premier ae
trouve dans le titre de l'un de ses traités {delà quadrature de la parabole), quoiqu'il ne s'y
rencontre jamais dans le texte : et le second commence à être employé dans la proposition 9°
du livre des conoïdes et des sphéroïdes.

ToM. XI. 3

18 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

son sommet au centre du cercle qui lui sert de base est appelée Yacce
du cône. Le plan mené par Taxe, perpendiculairement au plan de la
base, coupe le cône suivant deux arêtes , et détermine dans le cercle
un diamètre : le triangle qui a pour base ce diamètre, et pour côtés
les deux arêtes, s'appelle le triangle par l'axe. Apollonius suppose,
pour former ses sections coniques, le plan coupant perpendiculaire
au plan du triangle par l'axe. Les points où ce plan rencontre les
deux côtés de ce triangle sont les sommets de la courbe ; et la droite
qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce
diamètre latus transversum.

Que par l'un des deux sommets de la courbe on élève une perpen-
diculaire au plan du triangle par l'axe j qu'on lui donne une certaine
longueur, déterminée comme nous le dirons après; et que, de l'extré-
mité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet
de la courbe , maintenant que par un point quelconque du diamètre
de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée , le carré
de cette ordonnée, comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal
au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le
diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le
premier sommet et le pied de l'ordonnée. Telle est la propriété ori-
ginaire et caractéristique qu'Apollonius reconnaît à ses sections co-
niques, et dont il se sert pour en conclure, par des transformations
et des déductions très-habiles, presque toutes les autres. Elle joue,
comme on voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que l'équa-
tion du second degré à deux variables dans le système de Géométrie
analytique de Descartes.

On voit par là que le diamètre de la courbe, et la perpendiculaire
élevée à l'une de ses extrémités suffisent pour construire cette courbe.
Ce sont là les deux élémens dont se sont servis les Anciens pour éta-
blir leur théorie des coniques. La perpendiculaire en question fut
appelée par eux latus erectum ; les Modernes ont d'abord changé
ce nom en celui de latus rectum, qui a été long-temps employé; et
ensuite l'ont remplacé par celui de paramètre , qui est resté. Apol-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 19

lonius, et les géomètres qui écrivirent après lui, donnèrent différentes
expressions géométriques, prises dans le cône, de la longueur de ce
latus rectum pour chaque section : mais aucune ne nous a paru aussi
simple et aussi élégante que celle de Jacques Bernouilli. La voici :
« Que l'on mène un plan parallèle à la base du cône, et situé à la
même distance de son sommet que le plan de la section conique
proposée, ce plan coupera le cône suivant ou cercle, dont le diamètre
sera le lalus rectum de la conique '. »

De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée
sur un cône aussi donné.

(J 12. Les plus belles propriétés des sections coniques se trouvent
dans le traité d'Apollonius. Nous citerons celles des asymptotes, qui
font la partie la plus considérable du livre 2 ; le rapport constant des
produits des segmens faits par une conique sur deux transversales
parallèles à deux axes fixes, et menées par un point quelconque (pro-
positions 1 6 à 23 du livre 3 ) ; les propriétés principales des foyers de
l'ellipse et de l'hyperbole, qu'Apollonius appelle points d'application
(même livre, propositions 45 à 52) *; les deux beaux théorèmes sur
les diamètres conjugués (7^ livre, propositions 12 et 22; 30 et 31).

Nous devons citer encore le théorème suivant, qui est devenu d'une
si haute importance dans la Géométrie récente, comme étant la base
de la théorie des polaires réciproques, et dont De la Hire, auparavant,
avait déjà 'fait le fondement de sa théorie des coniques :

« Si par le point de concours de deux tangentes à une section
)) conique, on tire une transversale qui rencontre la courbe en deux
)) points, et la corde qui joint les points de contact des deux tan-
)) gentes en un troisième point; ce troisième point, et le point de
)) concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par
» rapport aux deux premiers. » (Livre 3, proposition 37.)

Les 23 premières propositions du livre 4 sont relatives à la division
harmonique des lignes droites tirées dans le plan d'une conique. Ce

' Notum theorema pro docirina secfionum conicarum (Acta Erad. aiin. 1689, pag. 586).
* roy. la note IV.

20 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

sont, pour la plupart, divers cas du théorème général que nous ve-
nons d'énoncer. Dans les propositions suivantes, Apollonius considère
le système de deux coniques, et démontre que ces deux courbes ne
peuvent se couper qu'en quatre points. Il examine ce qui arrive quand
elles se touchent en un ou en deux points, et traite de divers autres
cas de la position respective qu'elles peuvent présenter.

Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie
d'Apollonius. C'est là qu'ont paru pour la première fois les questions
de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes
analytiques d'aujourd'hui nous apprennent sur ce sujet; et l'on y re-
connaît le germe de la belle théorie des développées. En effet, Apol-
lonius prouve qu'il existe, de chaque côté de l'axe d'une conique, une
suite de points d'où l'on ne peut mener à la partie opposée de la
courbe qu'une normale; il donne la construction de ces points, et
observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette
différence remarquable, savoir : que de chaque point de l'un on peut
mener deux normales à la courbe, et que d'aucun point de l'autre
on n'en peut mener aucune. Voilà donc les centres dosculation, et
la développée d'une conique parfaitement déterminée.

Apollonius fait usage d'une hyperbole auxiliaire, dont il détermine
les élémens, pour construire les pieds des normales abaissées d'un
point donné sur la conique proposée. Toutes ces recherches sont trai-
tées avec une sagacité admirable.

Ce grand ouvrage avait fait donner à Apollonius le surnom de géo-
mètre par excellence, ainsi que le rapporte Geminus.

Les sept premiers livres seuls nous sont parvenus; les quatre pre-
miers dans leur langue originale, et les trois suivans en arabe. Halley
a rétabli le huitième dans sa magnifique édition des Coniques d'Apol-
lonius, la seule qui soit complète'.

S 13. Apollonius avait laissé d'autres écrits nombreux, qui avaient la
plupart pour objet V analyse géométrique. Mais un seul, le traité De

• Apollonii Pergœi conicorum lihri octo ; in-fol., Oxoniae ; 1710.

M. Peyrard , dans les préfaces de sa traduction d'Archiniède , et de sa traduction d'EucIidc

DF 276 «Tint J.-C.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 21

Sectione rationis, nous est parvenu; d'autres, qui avaient pour titres :
De Sectione spatii; De Sectione determinatd; De Tactionihus ;
De Inclinationibus; de Lacis plants, ont été rétablis par divers
géomètres, dans les deux siècles derniers, d'après les indications de
Pappus.

Apollonius a la gloire aussi d'avoir appliqué la Géométrie à l'astro-
nomie. On lui attribue la théorie des épicycles, qui servaient à expli-
quer les phénomènes des stations et des rétrogradations des planètes.
Plolémée le cite à ce sujet dans son Almageste.

S 14. Parmi les contemporains d'Archimède et d'Apollonius, on dis- ÉRiTosTBèiiE ,
tingue Ératosthène, qui naquit 276 ans avant l'ère chrétienne (11 ans
après Archimède et 31 ans avant Apollonius). Ce philosophe, profond
dans tous les genres de savoir, et qui fut, sous le troisième Ptolémée,
directeur de la bibliothèque d'Alexandrie, avait mérité d'être placé au
même rang que les trois célèbres géomètres de l'antiquité, Aristée,
Euclide et Apollonius, qui avaient travaillé sur l'analyse géométrique.
Pappus cite de lui un ouvrage en deux livres, qui se rapporte à cette
méthode, mais qui ne nous est point parvenu. Il avait pour titre : De
Locis ad Medietates; nous ne savons ce qu'étaient ces lieux.

Ératosthène avait inventé pour la solution des deux moyennes pro-
portionnelles, un instrument appelé mésolabe, qu'il décrit lui-même
dans une lettre adressée au roi Ptolémée, et où il fait l'histoire du
problème de la duplication du cube. Cette lettre nous a été conservée
par Eutocius, dans son commentaire sur la sphère et le cylindre
d'Archimède. Pappus donne ansSi, dans ses Collections mathématiques,
la construction du mésolabe d'Eratosthène.

S 15. Les travaux d'Archimède et d'Apollonius ont marqué l'époque
la plus brillante de la Géométrie ancienne.

Depuis, on a pu les regarder comme l'origine et le fondement de

en trois langues, avait annoncé une traduction française des coniques d'Apollonius. Plusieurs
feuilles étaient déj.i imprimées quand la mort est venu enlever ce savant laborieux. Il serait à
regretter que le fruit do ses travaux fût perdu pour la France. Le» fonds destinés à l'encourage-
ment des sciences ne sauraient avoir une application plus utile que la publication de cet ouvrage.

22 . HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

deux grandes questions qui ont occupé les géomètres à toutes les
époques, et auxquelles se rattachent la plupart de leurs travaux,
qu'elles divisent en deux classes; de telle sorte qu'elles semblent se
partager le domaine de la Géométrie.

La première de ces deux grandes questions est la quadrature des
figures curvilignes, qui a donné naissance au calcul de l'infini, ima-
giné et perfectionné successivement par Kepler, Cavalleri, Fermât,
Leibnitz et Newton;

La seconde est la théorie des sections coniques, pour laquelle ont
été inventées d'abord l'analyse géométrique des Anciens, puis les mé-
thodes de la perspective et des transversales ; qui était le prélude de la
théorie des courbes géométriques de tous les degrés, et de cette partie
considérable de la Géométrie, qui ne considère dans les propriétés
générales de l'étendue que les formes et les situations des figures, et
ne se sert que d'intersections de lignes ou de surfaces, et de rapports
de distances rectilignes.

Ces deux grandes divisions de la Géométrie, qui ont leur caractère
particulier, pourraient être désignées par les dénominations de Géo-
métrie des mesures et Géom,étrie des formes et des situations, ou
Géométrie d'Archimède et Géométrie d'Apollonius.

Ces deux divisions, du reste, sont celles de toutes les sciences

mathématiques, qui ont pour but, suivant l'expression de Descartes,

ARisTOTE, la recherche de Vordre et de la mesure^. Aristote avait déjà émis la

384-322. même pensée en ces termes : « De quoi s'occupent les mathématiciens

» si ce n'est de Vordre et de la proportion? ^))

Cette définition des sciences mathématiques, et les deux grandes
divisions qu'elle y marque, s'appliquent surtout à la Géométrie. On a
donc lieu de s'étonner que celle-ci soit appelée communément, même

' it Tous les rapports qui peuvent exister entre les êtres d'un même genre se réduisent à
deux, Vordre et la mesure. » [Règles pour la direction de l'esprit; ouvrage posthume de Des-
cartes , 14" règle. )

Précédemment Descartes avait déjà dit ; u Toutes les sciences qui ont pour but la recherche
de Vordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques. » {Ibid,, ¥■ règle.)

^ 3" chapitre du 11° livre de la Métaphysique d' Aristote.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 23

dans les meilleurs traités, la science qui a pour objet la mesure de
l'étendue. Cette définition est évidemment incomplète et donne une
idée fausse du but et de l'objet de la Géométrie. Cette observation
n'est peut-être pas dépourvue de toute espèce d'intérêt, et nous lui
donnerons suite dans la Note V.

5 16. Après Archimède et Apollonius, et pendant trois ou quatre
siècles, quelques géomètres renommés à juste titre, sans égaler ces
deux grands hommes, continuèrent d'enrichir la Géométrie de décou-
vertes et de théories utiles; ensuite vinrent, pendant deux ou trois
siècles encore, les commentateurs qui nous ont transmis les ouvrages
et les noms des géomètres de l'antiquité; puis enfin les siècles d'igno-
rance, où la Géométrie a sommeillé chez les Arabes et les Persans,
jusqu'à la renaissance des lettres en Europe.

Nous allons énoncer rapidement les principaux travaux des écrivains
les plus célèbres qui fleurirent dans les deux premières périodes de cet
intervalle de dix-sept siècles.

■ Mais nous devons dire d'abord que l'époque où nous entrons
est celle des grands progrès de l'astronomie. C'est à cette science
principalement que se rapportent les travaux des géomètres que nous
allons avoir à citer, et que ces géomètres, à l'exception de Nicomède,
doivent en grande partie leur célébrité.

M Ce changement de direction dans les esprits était une suite néces-
saire des grandes découvertes d'Archimède et d'Apollonius, qui deman-
daient des siècles d'étude et de méditation, avant qu'on pût aller au
delà, dans les matières qu'avaient traitées ces deux grands génies.

§ 17. Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus; et mcoséde,
ce géomètre ne nous est connu que comme inventeur de la conchoïde, "■ "O""' j c.
dont il fit un usage ingénieux pour résoudre, par un procédé méca-
nique, le problème des deux moyennes proportionnelles, et celui de
la trisection de l'angle.

La conchoïde, déjà célèbre par cette circonstance, qu'elle résolvait
les deux plus fameux problèmes de l'antiquité, acquit une importance
nouvelle, par la remarque que fit Viète, que tous les problèmes dont

24 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

la solution dépend d'une équation du troisième degré peuvent se ra-
mener à ces deux-là, et surtout par l'emploi que Newton fit de cette
courbe, dans son Arithmétique universelle , pour construire toutes
les équations du troisième degré.
HippAHQBE, S ^^- Hipparque, le plus grand astronome de l'antiquité, le véri-

150 avant j.-c, ig\)\Q foudatcur dc l'astronomic mathématique, avait composé un ou-
vrage en douze livres, où se trouvait la construction des cordes des
arcs de cercle \

Ses calculs et ses opérations astronomiques exigeaient la trigo-
nométrie rectiligne et sphérique , dont il avait donné les principes
géométriques dans son traité Des Levers et Couchers des étoiles ,
et dont il paraît certain qu'il fut le premier inventeur ^.

C'est à Hipparque aussi que parait remonter la découverte des
projections stéréographiques, et celle de deux théorèmes célèbres de
Géométrie plane et sphérique, que nous citerons en parlant de Méné-
laus et de Ptolémée.
GEMmos, S 19. On attribue à Geminus, qu'on suppose avoir vécu un peu après

100 avant J.-C. Nicomèdc et Hipparque , un ouvrage sur diverses courbes , entre
autres sur l'hélice décrite sur la surface d'un cylindre droit circulaire ,
dont il démontrait cette propriété, commune avec la ligne droite et
le cercle seulement , d'être partout semblable à elle-même \ Un
autre ouvrage de Geminus, intitulé Enarrationes geometricœ , sou-
vent cité par Proclus, devait être une sorte de développement philo-
sophique des découvertes géométriques. Ces deux ouvrages ne nous

1 Théon cite ce traité {Commentaire sur V Almagente , liv. 1 , ch. IX ).

2 Car, d'une part, Hipparque dit, dans son Commentaire du poème d'Aratus, qu'iV a démon-
tré la solution des triangles sphériques qui servent à trouver le point orient de l'écliptique ; et
ensuite on ne trouve avant lui aucune trace de trigonométrie sphérique , ni même de trigo-
nométrie rectiligne. Archimède , ainsi que le remarque M. Delambre , dans son Histoire de
Fastronomie ancienne ( tom. I", pag. 104), pour mesurer le diamètre du soleil, superpose
un angle sur le quart de cercle ; ce qui prouve qu'il n'avait pas les moyens de calculer
l'angle au sommet d'un triangle isoscèle , dont les côtés et la base sont donnés ; on n'avait pas
encore eu l'idée de calculer les cordes des angles. Ainsi la trigonométrie rectiligne était
ignorée.

* Proclus, Commentaire sur le l<" livre d'Euclide, 4° définition et proposition 5=.

T. 100 arant J.-C.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 25

sont point parvenus : on prétend que le premier se trouve manuscrit
dans la bibliothèque du Vatican.

§20. Théodose réunit sous le titre de Sphériques (SpH^iiRicoRim
tiBRi très), diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère,
qui étaient nécessaires pour établir solidement les fondemens de l'as-
tronomie, et le calcul des triangles sphériques. Ce calcul n'en fait
pas partie, le mot triangle n'y est pas même prononcé. Mais quel-
que élémentaire que soit cet ouvrage, il a été très-estimé, comme
étant méthodique et profond. Aussi a-t-il été commenté par Pappus,
et traduit par plusieurs géomètres modernes d'un grand mérite.

On a de Théodose deux autres traités, intitulés De Habitationibus ,
et De Diebus et Noctibus , qui ont pour objet la démonstration des
phénomènes que doivent apercevoir les habitans de la terre, suivant
leur position sur le globe, et celle du soleil dans l'écliptique.

§ 21. Ménélaus, géomètre et astronome, avait écrit comme Théo- «éhéiads,
dose, sur la géométrie de la sphère, un traité en trois livres, intitulé v. so.prè. j.-c.
Sphériques, qui ne nous est parvenu que traduit en arabe et en
hébreu : le texte grec a été perdu. Cette ouvrage va au delà de celui
de Théodose, car il traite spécialement des propriétés des triangles
sphériques; mais non point encore de leur calcul, c'est-à-dire, de
la trigonométrie sphérique qui, peut-être, avait fait partie d'un autre
écrit de Ménélaus, en six livres, sur le calcul des cordes, dont parle
Théon, et qui a été perdu.

La plus importante proposition des sphériques de Ménélaus est la
première du 3^ livre, qui fut la base de toute la trigonométrie sphé-
rique des Grecs. C'est une propriété des six segmens faits sur les trois
côtés d'un triangle sphérique par un arc de grand cercle quelconque.
Ce théorème fut aussi en grande considération chez les Arabes, qui
le commentèrent dans plusieurs écrits, et l'appelèrent Règle d Inter-
section. Son analogue dans la Géométrie plane, que donne aussi Méné-
laus, comme lemme pour la démonstration du premier, et dont nous
allons parler ci-dessous à l'article de Ptolémée, parce que c'est dans
l'Almageste que généralement on l'a remarqué, a acquis une nouvelle
ToM. XI. 4

26 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

et haute importance dans la Géométrie récente où l'illustre Carnot l'a
introduit, en en faisant la base de sa théorie des transversales.

Nous citerons encore des sphériques de Ménélaus les deux théo-
rèmes suivans, qui paraissent être dus à ce géomètre : 1° l'arc de
grand cercle , qui divise en deux également un angle d'un triangle
sphérique, fait sur le côté opposé deux segmens dont les cordes sont
entre elles comme celles des côtés adjacens; et, 2° les trois arcs qui
divisent en deux également les trois angles d'un triangle, passent par
un même point.

Ménélaus avait eaissi écrit sur la théorie des lignes courbes. Pappus
nous apprend qu'une telle ligne, probablement à double courbure,
car elle naissait de l'intersection de surfaces courbes, était appelée
admirable par ce géomètre \
PToïKBÉE, § 22. Ptolémée, astronome et géomètre d'un savoir immense, nous

». 125 après j.-c. a kissé dans son Almageste ^ un traité de trigonométrie rectiligne
et sphérique, le seul qui nous soit parvenu des Grecs; les ouvrages
d'Hipparque sur cette matière ayant été détruits. On y trouve cette
belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle , que (( le produit
des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés oppo-
sés; » elle est donnée comme lemme, pour la construction d'une table
des valeurs des cordes, inscrites dans le cercle et répondant à des arcs
donnés \

Ptolémée fonda sa trigonométrie sphérique sur le théorème des six
segmens, que donne Ménélaus, et se servit aussi, pour démontrer ce
théorème, de son analogue sur le plan. Celui-ci est une relation entre

' Collections mathématiques , liv. 4, après la proposition 30.

2 Ptolémée avait donné à son Traité d'astronomie le titre de Composition, ou Syntaxe ma-
thématique. Ses éditeurs ont changé ce titre en celui de Grande composition ; et les traducteurs
arabes en ont fait la Très-grande (Almagesti) ; et le nom d'Âlmageste lui est resté.

3 Livre 1, chap. IX. M. Carnot a montré, dans sa Géométrie de position, comment on peut
déduire de ce théorème toute la trigonométrie rectiligne ; et, depuis, Fergola a repris ce sujet ,
qu'il a traité complètement sous le titre : Dal teorema Tolemaico ritraggonsi immediatamente
i teoremi délie sezioni angolari di vieta e di wallis , e le principale verità proposte nella Trigo-
nometria analitica da moderni (tom. I'' des Mémoires de l'Académie des sciences de Naples ,
ann. 1819).

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 27

les segmens, qu'une transversale menée arbitrairement dans le plan
d'un triangle fait sur ses trois côtés; à savoir que le produit de trois
de ces segmens, qui n'ont pas d extrémité commune , est égal au
produit des trois autres '. On voit que c'est une généralisation de
la proposition qui est le fondement de la théorie des lignes propor-
tionnelles, savoir que : « une droite menée parallèlement à la base
d'un triangle divise ses côtés en parties proportionnelles. » Cette
remarque sullît pour faire entrevoir toute l'utilité dont ce théorème
peut être dans la Gréométrie. Il sert particulièrement dans les ques-
tions où l'on a à démontrer que trois points sont en ligne droite; on
imagine un triangle dont les côtés passent par ces trois points, et l'on
vérifie si la relation en question a lieu entre les six segmens que ces
trois points font sur les trois côtés du triangle.

Ce théorème semblait inconnu, quand il reparut, au commence-
ment de ce siècle, dans la Géométrie de Position, et peu après dans la
théorie des transversales, dont il est la base. Mais il avait déjà porté
des fruits à plusieurs époques, indépendamment de son utilité comme
lemme pour les démonstrations sphériques des Grecs. Il mérite par son
importance actuelle, qu'on en fasse l'historique. Nous consacrerons
à cet objet la Note VI.

La Géométrie ost encore redevable à Ptolémée de la doctrine des
projections , dont il jeta les fondemens en en faisant usage pour la
construction des cartes géographiques et la solution des problèmes de
gnomonique, dans deux ouvrages curieux intitulés De VAnalemme ,
et Du Planisphère. Mais ce second ouvrage, où se trouve enseignée
et pratiquée la projection stéréographique, parait à M. Delambre être
d'Hipparque et non de Ptolémée, comme on l'avait cru jusqu'ici.

Ptolémée avait composé un traité Des trois dimensions des corps,
dans lequel il parla le premier de ces trois axes rectangulaires aux-
quels la Géométrie moderne rapporte la position d'un point quelconque
dans l'espace \

1 Livre I , chapitre XI , intitule : Préliminaires pour les démonstrations sphériques.

2 Delambre, art. Ptolémée de la Biographie universelle.

28 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Enfin, parmi beaucoup d'autres ouvrages sur des matières diverses,
nous citerons l'optique de Ptolémée, où se trouvait résolu ce problème
de pure Géométrie, qui a occupé, depuis, plusieurs géomètres du
premier rang : il s'agissait de trouver sur un miroir sphérique le point
brillant, pour une position donnée de l'œil et du point lumineux.

§ 23. Ici se termine la première des trois périodes dans lesquelles
nous avons divisé l'intervalle de dix-sept cents ans, qui sépare Ar-
chimède et Apollonius de la renaissance des lettres en Europe.

Les grands progrès que l'antiquité devait faire faire aux sciences
mathématiques sont accomplis. Nous n'allons plus trouver d'auteurs
originaux j mais seulement de savans et célèbres commentateurs des
ouvrages de l'école grecque établie à Alexandrie.

Cependant Pappus, qui se présente à leur tête, mérite d'être placé
dans un rang plus élevé, parce que ses ouvrages tiennent encore du
génie et de la force productrice des siècles antérieurs.

S 24. Ce géomètre, sur la fin du IV'' siècle de l'ère chrétienne,
rassembla dans ses Collections mathématiques \ diverses découvertes
éparses des mathématiciens les plus célèbres, et une multitude de pro-
positions curieuses et de lemmes, destinés à faciliter la lecture de leurs
ouvrages. Ces Collections, monument précieux des mathématiques
anciennes, dont elles nous représentent à peu près l'état, contiennent
aussi diverses inventions de Pappus lui-même, que Descartes estimait
comme l'un des plus excellons géomètres de l'antiquité \

On y trouve la description sur la sphère d'une ligne à double cour-

' Pappi Alexandrini Mathematicœ collectiones , a Frederico Commandino in latinum con-
verses, et comvientariis illustratœ. Pisanii 1888, in- fol.; item Bononiœ 1660, in-fol.

^ « Je me persuade que certains germes primitifs des vérités que la nature a déposés dans
» l'intelligence humaine, et que nous étouffons en nous à. force de lire et d'entendre tant
» d'erreurs diverses, avaient, dans cette simple et naïve antiquité, tant de vigueur et de
» force que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu
i> aux plaisirs, l'honnête à l'utile, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence,
» s'étaient fait des idées vraies et de la philosophie et des mathématiques , quoiqu'ils ne pus-
» sent pas encore pousser ces sciences jusqu'à la perfection. Or je crois rencontrer quelques

Il traces de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophante « ( Descartes , /fè^r/e*

pour la direction de l'esprit , A' règle.)

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 29

bure remarquable. C'est une spirale que Pappus décrivait, à l'imita-
tion de celle d'Archimède, en faisant mouvoir uniformément un point
sur un arc de grand cercle de la sphère, qui tourne lui-même autour
de son diamètre (livre 4, proposition 30). Pappus trouva l'expression
de la surface sphérique, comprise entre cette courbe et sa base; pre-
mier exemple de la quadrature dune surface courbe.

Le fameux théorème de Guldin, qui fait usage du centre de gra-
vité pour la dimension des figures, se trouve dans les Collections ma-
thématiques, et paraît avoir été imaginé par Pappus lui-même'.

S 25. A la suite de la proposition 30 du livre 4, un passage, qui
sert d'introduction au problème de la trisection de l'angle, nous ap-
prend que la science des surfaces courbes, et des lignes à double
courbure tracées sur ces surfaces, ou produites par des mouvemens
composés (comme la spirale sphérique dont nous venons de faire
mention), avait été cultivée par les anciens. Pappus y parle des lieux
à la surface, et cite à ce sujet les ouvrages de Démétrius d'Alexandrie,
et de Philon de Tyane. Le premier avait pour titre : Recherches
linéaires; c'est la seule indication qui nous en reste. Le second traitait
des courbes qui naissent de l'intersection de certaines surfaces nom-
mées plectoïdes.

Montucla observe avec raison qu'il n'est pas facile de deviner, sur
une aussi légère indication, quelles étaient ces surfaces et quelles
étaient ces courbes. Mais un autre passage de Pappus (livre 4, pro-
position 29), dont il semble que ce savant historien n'ait pas eu
connaissance, nous apprend que la surface de la vis à filets carrés,
est une surface plectoïde; ce qui nous fait supposer que ce mot dési-
gnait d'une manière générale les surfaces réglées, auxquelles il nous
paraît convenir à raison de V entrelacement des lignes droites que
présentent ces surfaces, ou bien qu'il désignait les surfaces appelées
maintenant conoïdes, engendrées par une droite mobile qui s'appuie
sur une droite fixe et sur une courbe, en restant toujours parallèle à

I P^oyes la (In de la Préface du 7' livre des Colleclions mathématique*.

30 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

un même plan, ou bien encore qu'il désignait particulièrement les
surfaces héliçoïdes, ou seulement la surface héliçoïde rampante, c'est-
à-dire celle de la vis à filets carrés.

Un savant géomètre napolitain, M. Flauti, dans un ouvrage récent,
affecte, d'une manière générale, le nom de surfaces plectoïdes, à toutes
les surfaces engendrées par une ligne droite '.

Commandin, dans son commentaire de Pappus, avait pensé que le
mot plectoïde pouvait provenir d'une erreur de copiste, et qu'il devait
être remplacé par celui de cylindrique. Mais cette supposition est évi-
demment erronée; car le mot plectoïde, dans le passage de Pappus qui
donne lieu à l'observation de Commandin^, s'applique incontestable-
ment à la surface de la vis à filets carrés, et non à une surface cylindrique.

5 26. Pappus, à l'occasion de la quadrafrice de Dinostrate, fait
connaître deux propriétés de la surface héliçoïde rampante, qui mé-
ritent d'être remarquées, comme renfermant deux modes de con-
struction de la quadratrice, et surtout comme offrant une des belles
spéculations des Anciens sur les surfaces courbes et les lignes à double
courbure.

Après avoir donné la génération, qu'il appelle mécanique, de la
quadratrice, par l'intersection d'un rayon du cercle, qui tourne autour
du centre, et d'un diamètre qui se meut parallèlement à lui-même
(livre 4, proposition 25); Pappus dit que cette courbe peut se former
par les lieux à la surface, ou bien par la spirale d'Archimède. Voici
quels sont ces deux modes de construction :

Premier moyen, proposition 28. ce Soit une hélice décrite sur un
cylindre droit circulaire; de ses points ou abaisse des perpendiculaires
sur l'axe du cylindre; ces droites forment la surface héliçoïde rampante;

))Par l'une de ces droites on mène un plan, convenablement incliné
sur le plan de la base du cylindre; ce plan coupe la surface héliçoïde
suivant une courbe dont la projection orthogonale sur la base du
cylindre est la quadratrice. »

• Geometria di sito sul piano e nello spazio ; Naples 1821.

2 Livre 4, proposition 29, note F, pag. 92 de l'édition de 1660.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 31

Second moyen, proposition 29. « Qu'une spirale d'Archimède soit
prise pour la base d'un cylindre droit; que l'on conçoive un cône de
révolution ayant pour axe l'arête du cylindre menée par l'origine de
la spirale; ce cône coupera la surface cylindrique suivant une courbe
à double courbure ' ;

» Les perpendiculaires abaissées des différens points de cette courbe
sur l'arête en question du cylindre, formeront la surface héliçoïde
rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface plectoïde);

» Un plan mené par une arête de cette surface, et convenablement
incliné, la coupera suivant une courbe dont la projection orthogonale
sur le plan de la spirale sera la quadratrice demandée. ))

Ces deux constructions consistent, l'une et l'autre, à couper la
surface héliçoïde rampante par un plan mené par une arête, et à
projeter la section sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis.

Dans la première solution, on détermine la surface de la vis au
moyen d'une hélice, par. laquelle on fait passer les génératrices de
celte surface ; et dans la seconde construction on détermine ces géné-
trices par le moyen d'une courbe à double courbure qui est l'inter-
section d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône
de révolution qui a pour axe l'arête du cylindre menée par l'origine de
la spirale.

§ 27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur
les deux propriétés suivantes de la surface héliçoïde rampante, que
Pappus n'énonce pas expressément, mais qui se trouvent démontrées
dans ses deux propositions 28 et 29 :

' Cette courbe est l'hélice coniqite .- elle est une des lignes à double courbure que les An-
ciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la i' définition du l" livre
d'Euclide. Dans les temps modernes cette courbe a occupé plusieurs géomètres , parmi lesquels
on distingue Pascal (De la dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d'un
cône; OEuvres de Pascal, tom. V, pag. -422) ; et Guido-Grandi {Epistola ad Th. Cevam; OEa-
▼res posthumes d'IIuygens, tom. II).

M. Garbinski , professeur à l'université de Varsovie, a donné, il 7 a quelques années , ane
construction graphique des tangentes à cette hélice conique (voyez Annales de mathématiques,
tom. XVI, pag. 167 et 376).

32 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

1° Si l'on coupe la surface héliçoïde rampante par un plan mené
p^r une de ses génératrices, la section se projettera orthogonalement
sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface, suivant une qua-
dratrice de Dinostrate';

2" Un cône de révolution, qui a pour axe celui d'une surface héli-
çoïde rampante, coupe cette surface suivant une courbe à double
courbure, qui se pr()jette orthogonalement sur un plan perpendiculaire
à cet axe, suivant une spirale d'Archimède.

Ce second théorème offre une construction de la spirale par les lieux
à la surface, analogue à celle que Pappus donne pour la quadra-
trice.

S 28. Ces considérations de surfaces courbes et de lignes à double
courbure, pour la construction d'une courbe plane, qui rentrent au-
jourd'hui dans la Géométrie descriptive et font le caractère principal
de l'école de Monge, méritaient, ce me semble, d'être remarquées dans
l'ouvrage de Pappus. Elles auraient pu conduire ce géomètre à une
construction des tangentes à la spirale et à la quadratrice. Il eût suffi
de remarquer que ces tangentes étaient les projections des tangentes
aux deux courbes tracées sur la surface héliçoïde, et que la tangente
en un point de l'intersection de deux surfaces est l'intersection des
plans tangens en ce point aux deux surfaces. On parvient ainsi fort
aisément aux propriétés connues des tangentes de la spirale et de la
quadratrice ^. Mais c'est là tout-à-fait l'esprit de notre Géométrie des-
criptive moderne, et il n'est pas probable que les Anciens aient poussé
aussi loin leurs spéculations dans la science des surfaces courbes. Il
est douteux même que, du temps de Pappus, on eût une idée bien
nette du plan tangent en un point de la surface héliçoïde.

* Si le plan sécant, au lieu de passer par une génératrice de la surface héliçoïde , est mené
d'une manière tout-à-fait arbitraire , nous avons reconnu qu'on obtient alors en projection
une quadratrice alongée, ou accourcie, ou en d'autres termes, une conchoïde de la quadratrice
de Dinostrate.

- M. Th. Olivier, habile professeur de géométrie descriptive à l'école des arts et manufac-
tures, a déjà fait usage de ce moyen, pour construire la tangente à la spirale d'Archimède
{Bulletin de la Société philomatique de Paris, année 1833, pag. 22).

HISTOIBE DE LA GÉOMÉTRIE. ^S

§ 29. En réfléchissant sur la nature des deux théorèmes que nous
avons énoncés ci-dessus, on est conduit à les regarder comme de sim-
ples applications de deux modes généraux de transformation de toutes
espèces de courbes planes, en d'autres courbes différentes, au moyen
de la surface héliçoïde rampante. Et de ces modes de transformation
résultent des relations de construction, et de propriétés, entre des
courbes qui ne paraissaient avoir de commun entre elles que la même
forme d'équation entre des variables différentes ; telles sont quelques
spirales et les courbes qui portent le même nom dans le système de
coordonnées ordinaire. Je développerai cette idée dans la Note VIII.

S 30. On remarque dans les Collections mathématiques plusieurs
théorèmes qui appartiennent aujourd'hui à la théorie des transversales,
entre autres celui qui en est le fondement, et qui font supposer que
cette utile et élégante doctrine était employée par les Anciens, princi-
palement dans leurs écrits sur l'analyse géométrique, auxquels se rap-
portent ces théorèmes.

Parmi ces propositions, qui appartiennent à la théorie des transver-
sales, et dont plusieurs sont relatives à la proportion harmonique ,
nous citerons les suivantes, qui sont démontrées dans le 7*^ livre, comme
lemmes destinés à faciliter la lecture des porismes d'Euclide.

La 129'^ proposition fait voir que quand quatre droites sont issues
dun même point, elles forment sur une transversale , menée arbi-
trairemefit dans leur plan, quatre segniens qui ont entre eux un
certain rapport constant , quelle que soit la transversale. Ainsi soient
a, b , c, d, les points où les quatre droites sont rencontrées par une
transversale quelconque, et ac, ad, hc , bd, les quatre segmens;
le rapport —^ ; —, sera constant, quelle que soit la transversale.

Cette proposition mérite que nous lui consacrions tout ce paragra-
phe, pour appeler sur elle, dès à présent, toute l'attention de nos lec-
teurs. •

Les propositions 136, 137, 140, 142 et 145 sont ou des cas par-
ticuliers ou la réciproque de cette proposition principale.

Répétée sous tant de formes par Pappus, elle parait avoir été d'une
ToM. XI. 5

34 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

grande utilité dans les porismes d'Euclide. Cependant elle est aujour-
d'hui sans application. «

En recherchant les usages que les Modernes en ont pu faire, nous
trouvons que Pascal l'a mise, dans son Essai pow les coniques, au
nombre des théorèmes principaux dont il se servait dans son Traité
de ces courbes ; que Desargues fit d'un de ses cas particuliers ( qui est
précisément la 137^ proposition de Pappus) la base d'une de ses pra-
tiques de la perspective (édition de Bosse, 1648, pag. 336) ; et que
R. Simson l'a démontrée comme lemme de Pappus, et s'en est servi
pour la démonstration d'une proposition de son Traité des porismes.

Dans ces derniers temps, M. Brianchon l'a énoncée au commence-
ment de son Mémoire sur les lignes du deuxième ordre, et M. Pon-
celet l'a citée dans son Traité des propriétés projectives (pag. 12).
Mais ces deux habiles géomètres en ont fait peu d'usage, n'ayant eu
à considérer le plus souvent que le cas particulier où les quatre
droites forment un faisceau harmonique.

Cette proposition nous parait donc avoir à peine, jusqu'ici, fixé
l'attention des géomètres. Cependant nous la croyons susceptible de
nombreuses applications, et nous la regardons comme pouvant de-
venir l'une des plus utiles et des plus fécondes de la Géométrie.

Cette proposition jouera un rôle important dans nos deux principes
de dualisation et de déformation des figures, comme étant la base de
la partie qui concerne leurs relations de grandeur; et nous aurons
aussi à en faire usage dans le cours de cette introduction.

Par cette raison nous éprouvons, dès à présent, le besoin de donner
un nom au rapport des quatre segmens qu'on y considère. Ce rapport
étant dit harmonique dans le cas particulier où il est égal à l'unité,
nous l'appellerons dans le cas général rapport ou fonction anhar-
monique.

Ainsi, quand quatre droites issues d'un même point seront rer^con-
trées par une transversale en quatre points a, b, c, d, le rapport ^ : ^
sera dit fonction anharmonique des quatre points a, b, c, d.

La proposition de Pappus consiste en ce que cette fonction a con-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. »

stamment la même valeur, quelle que soit la transversale; les quatre
droites, issues d'un môme point restant les mômes. C'est là une belle
propriété de la fonction anharmonique de quatre points, qui la dis-
tingue de toute autre fonction différente qu'on pourrait former avec
les segmeris compris entre les quatre points.

La notion de la fonction anharmonique nous parait de nature à
apporter une grande simplification dans plusieurs théories géomé-
triques.

Elle sera bien plus propre que le théorème de Ptolémée à servir de
fondement à la théorie des transversales, où elle procure des démon-
strations intuitives de toutes les propositions connues sur les systèmes
de lignes droites, et donne lieu à beaucoup d'autres propositions
nouvelles.

Elle sera utile surtout dans la théorie des coniques, où elle mon-
trera, entre une infinité de propositions isolées, une liaison et des
rapports qui les rattachent toutes à un petit nombre de principes
généraux.

Nous comptons consacrer un écrit particulier à la théorie du rap-
port anharmonique. Mais il nous faut en faire connaître dès à présent
quelques propositions principales, particulièrement une autre forme
algébrique sous laquelle peut s'exprimer la proposition de Pappus;
nous renvoyons pour cet objet à la Note IX.

S 31. Revenons à Pappus.

La 130° proposition est une relation entre six segmens formés sur
une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un qua-
drilatère quelconque. Les 127° et 128° en sont des cas particuliers.

Au lieu de regarder la figure du livre de Pappus comme repré-
sentant les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère coupé
par une transversale, on peut la considérer comme représentant les
trois côtés d'un triangle, et trois droites menées par les sommets de ce
triangle et concourant en un même point. Ces six droites déterminent
sur la transversale six segmens, dont chacun est pris entre un côté
du triangle et une des deux droites menées par les sommets adjacens

36 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

à ce côté. La proposition de Pappus est facile alors à énoncer et à
retenir j elle consiste en ce que le produit de trois segmens , qui n'ont
point d exlrémilés communes , est égal au produit des trois autres :
rapport semblable à celui qui constitue le théorème de Ptolémée.

Envisagée ainsi, cette proposition de Pappus pourra servir pour
démontrer que trois droites menées de certaine manière j)ar les som-
mets d'un triangle , concourent en un même point , de même que
celle de Ptolémée sert à démontrer que trois points placés de cer-
taine manière sur les côtés d'un triangle sont en ligne droite.

La ISl'' proposition fait voir que dans tout quadrilatère , une dia-
gonale est coupée harmoniquenient par la deuxième diagonale et
par la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

La 132'3 énonce un cas particulier de ce théorème, qui, lui-même,
peut être regardé comme une conséquence du théorème général
exprimé par la proposition 130.

La 139'^, dont les propositions 134, 138, 141 et 143 sont, ou la
réciproque, ou des cas particuliers, prouve que quand un hexagone
a ses six sommets placés, trois à trois, sur deux droites, les trois
points de concours de ses côtés opposés sont en ligne droite. Théo-
rème remarquable par lui-même, et parce qu'il peut être considéré
comme le germe du fameux théorème de Pascal , sur l'hexagone inscrit
à une conique. Au système des deux droites, dans lesquelles Pappus
inscrivait son hexagone, se trouve substituée une conique quel-
conque, dans le théorème de Pascal '.

1 La proposition 139 de Pappus, que nous présentons ici comme exprimant une propriété
de l'hexagone inscrit à deux droites , peut être considérée sous un autre point de vue , et donne
lieu alors à cet autre théorème remarquable, que Simson a énoncé le premier, comme étant
l'un des porismes d'Euclide, celui auquel se rapportent ces mots de Pappus : u QnoD nmc ad
DATSM ruNCTUM VERGiT. » Etant pris , dans ttn plan, deux points fixes et un angle qui ait son
sommet situé sur la droite qui joint ces points ; si de chaque point d'une droite donnée on mène
deux droites à ces deux points fixes, elles rencontreront respectivement les deux côtés de l'angle en
deux points ; et la droite qui joindra ces deux points passera toujours par un même point (Sim-
son , De Porismatihus , proposition 34).

Nous citons ce théorème, parce qu'il nous sera utile dans la suite. Son analogue dans

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. É7

La proposition 130^, que nous avons citée plus haut, a reçu une
généralisation semblable, que nous ferons connaître en parlant de
Desargues.

Pappus énonce dans sa préface, comme généralisation d^un porisme
d'Euclide, un beau théorème, relatif à la déformation d'un polygone,
dont tous les côtés passent par des points situés en ligne droite,
pendant que ses sommets, moins un, parcourent des droites tracées
arbitrairement. Ce théorème a acquis quelque célébrité dans le siècle
dernier, par la nouvelle généralisation qu'il a reçue entre les mains
de Maclaurin et de Braikenridge , et par la rivalité qu'il a excitée
entre ces deux illustres géomètres. M. Poncelet a de nouveau traité
cette matière avec toute l'étendue et la facilité que comportent les
doctrines de son savant Traité des Propriétés projectives des figures.
(Section 4, chap. Il et III).

§ 32. Nous devons faire mention d'une question qui peut se ratta-
cher, comme les précédentes, à la théorie des transversales; c'est le
fameux problème ad très aul plures tineas , rapporté par Pappus
comme l'écueil des Anciens, et auquel Descartes a donné une nou-
velle célébrité, en en faisant la première application de sa Géométrie.
Il s'agissait, étant données plusieurs lignes droites, de trouver le
lieu géométtique d'un point tel que les perpendiculaires, ou plus
généralement les obliques abaissées de ce point sur ces droites, sous
des angles donnés, satis/îsse?it à la condition, que le produit de
certaines d entre elles fût dans un rapport constant avec le produit
de toutes les autres.

Cette question, connue sous le nom de Problème de Pappus, depuis
que Descartes l'a ainsi désignée, avait exercé la sagacité d'Euclide et
d'Apollonius, qui ne l'avaient résolue que pour trois ou quatre droites,
auquel cas le lieu géométrique demandé est une conique : D'où ré-
sulte cette propriété générale des coniques : « Quand un quadrila-

l'eapace, qui n'a point encore été donné, se présentera naturellement comme corollaire de nos
principes de transformation des figures.

38 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

tère quelconque est inscrit dans une conique, le produit des distances
de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère
est au produit des distances du même point aux deux autres côtés,
dans nu rapport constant, v

Newton a donné de ce beau théorème une démonstration, par la
Géométrie pure, et s'en est servi utilement dans ses Principes Mathé-
matiques de la philosophie naturelle. Les traités des coniques, qui
ont paru dans les premiers temps après ce grand ouvrage , lui ont em-
prunté ce théorème; mais sans en faire tout l'usage auquel il était
propre ; et depuis , il a en quelque sorte disparu de la théorie des
coniques '. Cependant, nous croyons pouvoir le regarder comme la
plus universelle et la plus féconde de toutes les propriétés de ces
courbes. Nous citerons particulièrement, comme n'étant que des co-
rollaires de ce théorème unique, le fameux hexagramme mystique
de Pascal, le théorème de Desargues sur l'involution de six points, le
rapport constant du produit des ordonnées au produit des segmens
faits sur l'axe, le beau théorème de Newton sur la description orga-
nique des coniques, et enfin, un autre théorème fondé sur la no-
tion du rapport que nous avons nommé ci -dessus anharmonique ,
et d'où se déduisent une infinité de propriétés diverses des coniques.

Mais nous dirons en passant, que ce dernier théorème est lui-même
d'une telle généralité, et se démontre à priori d'une manière si facile,
que c'est celui que nous proposerions pour fondement d'une théorie
des coniques. ( Voir la Note XV).

§ 33. Ici se présente naturellement une observation, qui pourra
justifier l'importance que nous avons déjà cherché à donner à la pro-
position 129 de Pappus, et à la notion du rapport anharmonique.

' La stérilité qu'eut pendant des siècles cette proposition fond.imentale , d'où dérivent pres-
que toutes les propriétés des coniques , et le peu d'importance que parurent aussi mériter,
jusqu'à ces derniers temps, les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui en sont des
corollaires naturels, rappellent cette pensée de Bailly, dont la justesse est bien sentie : « Il
11 semble que les idées aient comme nous une enfance et un premier état de faiblesse ; elles ne
» produisent point à leur naissance, et elles ne tiennent que de l'âge et du temps leur vertu
11 féconde. » (Histoire de l'astronomie moderne , tom. II , pag. 60, )

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. M

C'est que tous les théorèmes que nous venons de tirer du 7^ livre des
Collections mathëmatiquos , y compris celui sur la déformation d'un
polygone et celui ad quatuor lineas , et plusieurs autres théorèmes
sur l'involution de six points, dont nous allons parler tout-à-l'heure ,
théorèmes qui sont tous des plus généraux et des plus utiles dans la
Géométrie récente, peuvent dériver tous, comme de leur source com-
mune, de cette seule propriété du rapport anJiarmonique de quatre
points. Et cette manière de les présenter sera aussi simple que pos-
sible; car elle ne nécessitera pour ainsi dire aucune démonstration.

Nous ajouterons, qu'après avoir reconnu que la plupart des lemmes
de Pappus, qui paraissent se rapporter au l*^'^ livre dos porismes d'Eu-
clide, pouvaient se déduire de la proposition en question , nous avons
pensé que cette proposition pourrait bien aussi être la clef de tout
ce l*^*" livre des porismes , et conduire à une interprétation des énoncés
que Pappus nous a laissés. Car il existe toujours ainsi, dans toute
théorie, quelque vérité principale dont toutes les autres dérivent. Et
en effet, en prenant la proposition dont il s'agit pour point de départ
dans un essai de divination des porismes , nous avons obtenu divers
théorèmes, qui nous ont paru répondre aux énoncés en question.

S 34. Nous citerons encore du 1^ livre des Collection mathéma-
tiques ^ une quarantaine de lemmes relatifs au traité de determinatd
sectione d'Apollonius, et qui rentrent aujourd'hui dans les nouvelles
doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segmens faits
par plusieurs points sur une ligne droite.

On n'aperçoit pas, au premier abord, la vraie signification de ces
nombreuses propositions, ni les rapports qui peuvent les rattacher
ensemble à une même question, et la lecture dans cet état en est
pénible. Mais avec quelque attention , on reconnaît qu'elles sont toutes
relatives à la théorie de Vinvolution de six points, créée par Desargues
et devenue d'un grand usage dans la Géométrie récente. Ce ne sont
pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale, celle
qui a lieu entre six points ( il parait même que les Anciens n'ont pas
connu les transformations de celte relation générale), mais ce sont

40 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

des propriétés de plusieurs relations que l'on peut aujourd'hui consi-
dérer comme des cas particuliers de cette relation générale.

Ainsi , les propositions 22 , 29 , 30 , 32 , 34 , 35 , 36 et 44 con-
cernent une involution de cinq points. On y considère deux systèmes
de deux points conjugués ^ , et leur point central, celui dont le pro-
duit des distances aux deux premiers points est égal au produit de
ses distances aux deux autres; et l'on déduit de là une autre relation
entre les cinq points.

Pour conclure cette relation de la relation générale entre six points ,
il faut observer que le conjugué du cinquième point, ou point central,
est à l'infini.

Les propositions 37 et 38 concernent une involution de quatre
points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point
central. D'une relation entre ces quatre points, on en conclut une
autre.

Les propositions 39 et 40 sont une même propriété d'une involu-
tion de cinq points ; on y considère deux systèmes de deux points
conjugués, et un point double.

Les propositions 41 , 42 et 43 sont une relation entre deux sys-
tèmes de deux points conjugués et leur point central ; relation nou-
velle, d'une forme différente des relations connues de l'involution de
six points.

Il en est de même des douze propositions 45, 46, et 56, qui

sont une relation généi'ale entre deux systèmes de deux points con-
jugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propo-
sitions 41 , 42 et 43, ne donnent que des corollaires de cette relation
générale.

Enfin, les propositions 61, 62 et 64, expriment une belle propriété
de maximum et de minimum, concernant deux systèmes de points

' Il est utile , pour faciliter l'intelligence de ce passage sur les lemmes de Pappus , de lire
la Note X , où nous présentons les différentes propriétés de la relation d'invol ution de six points ;
c'est-à-dire les diverses transformations et les conséquences de cette relation. Nous y expli-
quons ce qu'on doit entendre par points conjugués, point central, et points doubles.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 41

conjugués et un point double; elle consiste en ce que le rapport des
produits des distances de ce point double aux points conjugués est un
maximum ou un minimum.

Pappus donne, par une construction élégante, l'expression géomé-
trique de ce rapport; mais il ne fait qu'énoncer sa propriété de
maximum ou minimum, qui se trouvait démontrée dans l'ouvrage
d'Apollonius. C'est une véritable perte, que celle de la démonstration
géométrique de ce cas de maximum ou minimum par les Anciens,
quoiqu'elle n'offre aucune dilliculté à l'analyse moderne. Fermât en
a fait une des premières applications de sa belle méthode de maximis
et minimis ( Opéra mathematica, pag. 67 ).

§ 35. Cette analyse des 43 lemmes de Pappus nous paraît pouvoir
en faire saisir l'esprit général et en faciliter la lecture. On y voit que
plusieurs propositions y expriment un même théorème : c'est que les
énoncés de ces propositions s'appliquent à des figures spéciales, et
ont entre eux quelques différences provenant de la différence de po-
sition des points que l'on y considère. C'est cette différence de position
des points donnés et du point cherché par rapport à eux, qui a fait
donner à l'ouvrage d'Apollonius le nom de Section Déterminée ; et
les différons cas que présentent les variations de position de ces
points, sont ce que ce géomètre, et Pappus d'après lui, ont appelé
Epitagma\

C'est un des grands avantages de la Géométrie moderne sur l'an-
cienne, de pouvoir, par la considération des quantités positives et néga-
tives , comprendre sous un même énoncé tous les cas divers que peut
présenter un même théorème, par la diversité de positions relatives des
différentes parties d'une figure. Ainsi, de nos jours, les neuf problèmes
principaux et leurs nombreux cas particuliers, qui faisaient l'objet
des 83 théorèmes contenus dans les deux livres de la section déter-

1 C'est le sentiment de Ilalley et de H. Sirason. Le savant Commandin n'avait point tronvc
la signification de ce mot qu'Apollonius appliquait à une partie de ses propositions ( Co//ec<.
math., pag. S06 de l'édition de 1660). Le mot monachi, qn'on trouve aussi dans Pappus,
parait avoir ëlé affenté par Apollonius aux propositions concernant les maxima et les minima.

Ton. XI. 6

42 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

minée d'Apollonius, ne font plus qu'une seule et même question,
résolue par une formule unique.

Beaucoup d'auteurs, dans leurs écrits sur l'analyse géométrique
des Anciens, se sont occupés de la Section déterminée , et ont cherché,
soit à en rétablir complètement les deux livres, soit à en résoudre seu-
lement diverses questions détachées. Nous trouvons au commencement
du XVII<^ siècle, Snellius, Alexandre Andersen, Marin Ghetaldi; vers
la fin du même siècle, Roger de Vintimille, Ilugo de Omérique; puis,
R. Simson dans son ouvrage posthume. Opéra reliqua anno 1776,
et vers le même temps, Giannini dans ses Opuscula mathematica.

Dans ces derniers temps, J. Leslie a encore consacré plusieurs pages
à ce problème, dans son Analyse géométrique (livre 2, propositions
10 — -18). Cette question est liée intimement à la théorie de Vinvolu-
tion de six points, et sa solution paraît devoir dériver de cette théorie.
En effet, une propriété nouvelle de l'involution nous a offert naturel-
lement une construction simple et générale du problème de la section
déterminée, qui nous paraît différer de toutes celles que l'on a données
jusqu'ici. La même théorie offre aussi une démonstration du cas de
maxim,um traité par Apollonius. {Voir la Note X.)

S 36. Les lemmes de Pappus sur les lieux plans d'Apollonius,
présentent aussi quelques relations entre les segmens faits par des
points sur une droite, mais qui sont différentes des précédentes, et ne
dérivent point comme elles des relations générales d'involution de six
points. Cependant, on peut les rattacher aussi à une seule et même
proposition , qui exprime une propriété générale de quatre points pris
arbitrairement sur une ligne droite, laquelle est le second des théo-
rèmes généraux de Mathieu Stewart \

Ainsi, les propositions 123 et 124, qui expriment une relation
entre quatre points pris arbitrairement sur une droite, et un cin-

1 Some gênerai theorems of considérable use in the Higher parts of mathematics . Edimbourg,
1746, in-8°.

Nous donnerons l'énoncé du théorème en question en parlant de Stewart , dans notre qua-
trième Epoque.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 43

quième déterminé d'après une certaine condition, sont une consé-
quence facile do ce théorème.

Los propositions 125 et 126 expriment une relation entre quatre
points pris arbitrairement en ligne droite ; et on reconnaît aisément
que cette relation n'est qu'une transformation très-simple du même
théorème.

Les quatre propositions 119 — 122, qui, avec les quatre dont
nous venons de parler, font les huit lemmes de Pappus sur les lieux
plans d'Apollonius, concernent le triangle. Il est assez remarquable
que ces quatre propositions, qui paraissent si différentes des autres
et n'avoir aucun rapport avec elles, sont aussi des conséquences du
même théorème de Stewart.

S 37. R. Simson, en rétablissant les porismes d'Euclide, la section
déterminée et les lieux plans d'Apollonius, a démontré un à un les
nombreux lemmes de Pappus relatifs à ces trois ouvrages. On voit par
ce que nous venons de dire combien aujourd'hui, en rattachant toutes
ces propositions à quelques-unes seulement, on simplifierait ce travail.
Mais une telle simplification n'était pas encore dans l'esprit de la Géo-
métrie au temps de R. Simson (il y a près d'un siècle); et y eùt-elle
été, elle n'eût point convenu au but de cet habile et profond géo-
mètre, qui était de suivre pas à pas les traces et les indications de
Pappus.

S 38. Les autres lemmes du 7^ livre des Collections mathématiques,
que nous passons sous silence, nous offrent moins d'intérêt que ceux
que nous avons cités. Ce sont des propositions isolées relatives au
cercle, aux triangles et aux sections coniques, et qui ne présentent
pas de difficultés. Ces lemmes s'appliquent au traité de inclinationi-
buSf à celui de tactionibus , et aux huit livres des coniques d'Apollo-
nius ; et enfm , aux lieua^ à la sur/ace d'Euclide.

Nous nous bornerons à remarquer parmi les lemmes relatifs au traité
de tactionibus , le problème suivant , qui est résolu très-simplement
par Pappus : « Faire passer par trois points situés en ligne droite les
trois côtés d'un triangle qui soit inscrit dans un cercle donné, v (Proposi-

44 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

tion 117^). Les propositions 105, 107 et 108 sont des cas particu-
liers de cette question; on y suppose l'un des trois points situé à l'infini.

Ce problème, qu'on a généralisé en plaçant les trois points d'une
manière quelconque, est devenu célèbre par la difficulté qu'il présen-
tait, et par les noms des géomètres qui l'ont résolu, et surtout par
la solution aussi générale et aussi simple qu'elle pouvait l'être , don-
née par un enfant de 16 ans, Oltajano, napolitain {voir la Note XI).

Nous citerons enfin la 238^ et dernière proposition, qui s'applique
aux lieux à la surface, et qui est la propriété de la directrice dans
les trois sections coniques, qui consiste en ce que a les distances de
chaque point d'une conique à un foyer et à la directrice correspon-
dante, sont entre elles dans un rapport constant. » Ce beau théorème
ne se trouve pas dans les coniques d'Apollonius.

S 39. Le livre 8<= des Collections traite principalement des machines
employées dans la mécanique pratique ; on y parle aussi de leur usage
pour la description organique des courbes. Diverses propositions de
Géométrie se trouvent aussi dans ce livre. Il en est une fort remar-
quable , sur le centre de gravité d'un triangle ; nous l'énoncerons
ainsi : (c Si trois mobiles placés aux sommets d'un triangle , partent
en même temps et parcourent respectivement les trois côtés ^ en allant
dans le même sens et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs
de ces côtés, leur centre de gravité restera immobile. »

Les géomètres modernes ont étendu ce théorème à un polygone
quelconque plan ou gauche. Montucla , en le démontrant par des con-
sidérations de mécanique, dans les Récréations mathématiques d'Oza-
nam, avait pensé que sa démonstration par la Géométrie pure offrirait
des difficultés. Celle qu'en donne Pappus s'appuie sur le fameux théo-
rème de Ptolémée , concernant les segmens faits sur les côtés d'un
triangle par une transversale. Pappus, dans le cours de sa démonstra-
tion, suppose la connaissance de ce théorème, dont il donne ensuite
la démonstration.

S 40. La proposition 14 du même livre est une solution très-simple
de ce problème : étant donnés deux diamètres conjugués d'une el-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 45

lipse, trouver en grandeur et en direction ses deux axes principaux.
Pappus ne fait qu'éuoncer sa construction, sans la démontrer. Euler
en a rétabli la démonstration, et a donné en môme temps plusieurs
autres solutions du môme problème {Novi Commenlarii , de Péters-
bourg, t. III, ann. 1750-1751). D'autres géomètres l'ont aussi traité
à leur manière.

Ayant résolu la question analogue dans l'espace, où il s'agit de
trouver, en grandeur et en direction, les trois axes principaux d'un
ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés, nous en avons
conclu une nouvelle construction des axes de l'ellipse, qui nous pa-
raît enchérir encore sur le degré de simplicité que présentaient déjà
plusieurs solutions de ce problème'.

Et, en effet, c'est une remarque qu'on peut faire souvent dans
l'étude de la Géométrie, que les solutions de la Géométrie plane, qui
ont leurs analogues dans l'espace, sont toujours les plus générales et
les plus simples. ^>

Ce principe donne un moyen d'épreuve, ime sorte de critérium,
pour reconnaître si l'on est parvenu, dans une question, à toute la géné-
ralité et à toute la perfection dont elle est susceptible, ou en d'autres
termes, si l'on a rencontré la méthode et la vraie route qui lui sont
propres.

8 41. La préface du 1^ livre des Collections mathématiques con-
tient une défuiition nette de V analyse et de la synthèse, qui ne laisse
aucun doute sur le caractère précis des deux méthodes; et Pappus
donne souvent, dans le cours de ce 7*^ livre, des exemples de l'une et
de l'autre, appliquées à une môme question.

I Soit 0 le centre de l'ellipse; oa, oh ses deux demi-diamètres conjugués donnés ;

Par le point a on mènera une droite perpendiculaire à ob, et on prendra sur elle deux
et scgmens ae , ae' égaux à oh ;

On tirera les deux droites oe, oe' ;

l" Les axes principaux de l'ellipse diviseront en deux également l'angle de ces deux droites
son supplément ;

S» Le grand axe sera égal à la somme de ces deux droites, et le petit axe égal à leur dif-
férence.

46 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

A la suite de cette définition, Pappus donne les titres des ouvrages
que les Anciens avaient composés sur ce qu'ils appelaient le lieu
résolu. Ils comprenaient sous ce mot certaines matières dont la con-
naissance est nécessaire à ceux qui veulent se mettre en état de pou-
voir résoudre les problèmes. Ces ouvrages étaient, pour la plupart,
des exemples de leur analyse géométrique; en voici les titres, tels
que les rapporte Pappus : un livre d'Euclide, des Données; deux livres
d'Apollonius, de La section de raison; deux de La section de l'espace
et deux des Attouchemens , du même; trois livres d'Euclide, des Poris-
mes; deux livres encore d'Apollonius, des Inclinaisons ; deux des
Lieux plans et huit des Coniques; cinq livres du vieux Aristée, des
Lieux solides; deux livres d'Euclide, des Lieux à la surface; et deux
livres des Moyennes raisons, par Ératosthène. A ce catalogue il faut
ajouter les deux livres d'Apollonius, de la Section déterminée, dont
Pappus parle dans la suite.

De tous ces ouvrages, il n'est venu jusqu'à nous que les Données
d'Euclide; les sept premiers livres des Coniques d'Apollonius, et son
traité de la Section de raison. Mais, sur ce qu'en a dit Pappus, les
autres ont été rétablis, aux XVI'' et XVII^ siècles, par divers géo-
mètres, dans le style de la Géométrie ancienne.

S 42. Le goût de cette Géométrie, qui a donné tant d'éclat aux
sciences mathématiques jusques il y a près d'un siècle, surtout dans
la patrie de Newton, s'est affaibli depuis, et aurait presque disparu,
si les géomètres italiens ne lui fussent restés fidèles. On doit, de nos
jours, au célèbre Fergola, et à ses disciples, MM. Bruno, Flauti,
Scorza, plusieurs écrits importans sur l'analyse géométrique des An-
ciens, qui s'y trouve rétablie dans sa pureté originaire.

Les ouvrages que les Anciens avaient composés sur cette matière,
et dont nous venons de rapporter les titres que nous a laissés Pappus,
formaient un système de complémens de Géométrie, qui eussent hâté
les progrès de cette science, s^ils nous eussent été transmis intacts à
la renaissance des lettres.

De tels complémens manquent à la Géométrie moderne : car on sent

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 47

qu'eu égard à ses progrès et à son état de perfectionnement, ces
complëmens doivent être faits aujourd'hui sur d'autres bases que ceux
do l'école grecque. Ils devront être empreints surtout de l'esprit de
simplicité et de généralité qui fait le caractère des nouvelles doctrines
de la Géométrie.

S 43. Vers le môme temps que Pappus, le géomètre Serenus s'ac-
quit quelque célébrité par un ouvrage en deux livres, sur les sections
du cylindre et du cône ', où il démontra, contre le sentiment de la
plupart des géomètres de son temps, l'identité des ellipses faites dans
ces deux corps, qu'il suppose à base circulaire et scalènes, c'est-à-
dire obliques.

On distingue dans le premier livre les deux problèmes suivans, dont
les solutions Sont d'une facilité et d'une élégance qui ne laissent rien
â désirer : (( Étant donné un cône oblique, à base circulaire, coupé
suivant une ellipse, faire passer par cette ellipse un cylindre qui ait
aussi pour base un cercle, sur le plan de la base du cône (propo-
sition 20). )) Et réciproquement : (( Etant donné un cylindre coupé
suivant une ellipse, etc.» (Proposition 21.)

Serenus suppose, comme Apollonius, que le plan coupant, dans le
cône, est perpendiculaire au triangle par l'axe : et c'est ici le lieu de
remarquer, puisque nous n'allons plus trouver jusques aux temps
modernes d'autre écrivain sur les coniques, qu'il parait que les An-
ciens n'ont jamais formé ces courbes que de cette manière particu-
lière; c'est-à-dire par des plans nécessairement perpendiculaires au
triangle par l'axe; et que la question de savoir quelles courbes don-
neraient d'autres plans sécans, menés tout-à-fait arbitrairement, n'a
point été agitée par eux, ou au moins n'a pas été résolue. Peut-être
leur avait-elle présenté des difficultés qu'il était réservé aux Modernes
de surmonter. Nous verrons que ce fut Desargues qui eut le mérite
de faire, le premier, ce pas important dans la théorie des coniques,

' U<illey a fait réimprimer en greo et en latin ces deux livres , à la suite de son édition des
coniques d'Apollonius.

48 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

où il fut imité immédiatement par Pascal , et ensuite par De la Hire.
Nous remarquerons encore ici que le cône à base circulaire, où les
Anciens formaient leurs coniques, est resté complètement étranger à
leurs spéculations; tellement qu'à l'exception du théorème de la section
sous-contraire, ils ne nous en ont transmis aucune propriété. Ce n'est
que dans ces derniers temps qu'on s'est occupé de cette matière, qui
offre un nouveau champ de recherches.
DiociÈs. § 44. Dioclès, inventeur de la cissoïde_, dont il se servit pour résoudre

le problème des deux moyennes proportionnelles, est de près d'un
siècle postérieur à Pappus. On lui doit aussi une solution, par l'em-
ploi de deux sections coniques, d'un problème difficile, traité par
Arclîimède, où il s'agit de mener un plan qui divise la sphère en raison
donnée; mais dont ce grand géomètre n'a point laissé la construction
qu'il avait promise. La question devant dépendre d'une équation du
troisième degré, et par conséquent ne pouvant être construite que
par une section conique, ou une courbe d'un genre supérieur, il est
probable qu'Archimède, qui ne se sert jamais que de la règle et du
compas pour la résolution de ses problèmes, n'avait point donné suite
à cette question, après en avoir promis la solution '.

La construction de Dioclès nous a été conservée par Eutocius, dans
son commentaire du second livre de la sphère et du cylindre d'Archi-
mède.
pRocms, 5 45. Vers le milieu du V^ siècle, un philosophe célèbre, Proclus,

chef de l'école Platonicienne établie à Athènes, y cultiva les mathé-
matiques, et contribua par ses travaux et ses instructions à en sou-
tenir l'éclat encore pendant quelque temps. Il nous est resté de ce
géomètre un commentaire sur le premier livre d'Euclide, qui contient
des observations curieuses concernant l'histoire et la métaphysique de

1 Cette question est la proposition 5' du second livre du Traité de la sphère et du cylindre.
Elle a donné lieu à une note très-intéressante de M. Poinsot , insérée dans le Commentaire de
Peyrard , sur les œuvres d^Archiviède , pag. -462, où l'on trouve l'interprétation géométrique
des deux racines étrangères à la question de la sphère. Ces racines se rapportent à une
question plus générale , qui comprend la sphère et l'hyperboloïde de révolution.

412-485.

V. $40.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 49

la Géométrie. On y trouve une description de l'ellipse par le mouvement
conlinu d'un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les
côtés d'un angle '.

Parmi les philosophes qui succédèrent à Proclus dans son école, ■*«i»08.
nous citerons, comme ayant rendu quelques sei-viccs à la Géométrie,
Marinus, auteur d'une préface ou introduction aux Données d'Eu-
clide, où il explique la nature et le genre d'utilité de ces Données ^
et Isidore de Millet, très-savant dans la Géométrie, la mécanique et "«o»» »« «iimt.
l'architecture, auteur d'un instrument pour décrire la parabole d'un
mouvement continu et résoudre par là le problème de la duplication
du cube; premier exemple, sans doute, avec celui de la description
de l'ellipse indiquée par Proclus, de la description organique des
coniques, dont les Modernes ont fait une étude spéciale. Cet in-
strument, dont parle Eutocius, ressemblait à la lettre grecque A.

Eutocius, disciple d'Isidore, nous a laissé des commentaires sur les ektocibs,
coniques d'Apollonius et sur quelques ouvrages d'Archimède. Celui
du second livre du Traité de la sphère et du cylindre est précieux
pour l'histoire de la science, parce qu'il contient plusieurs fragmens
de Géomét'i ie des auteurs les plus anciens qui nous soient connus, et
dont les ouvrages ne nous sont point parvenus. Ces fragmens sont
relatifs à la solution du problème de la duplication du cube, ou des
deux moyennes proportionnelles. Nous avons nommé, au commence-
ment de cette Époque, d'après cet ouvrage d'Eutocius, les géomètres
auxquels ils appartieuuent. C'est en exposant la solution de Menechme
qu'Eutocius parle de l'instrument dont Isidore se servait pour décrire
la parabole d'un mouvement conlinu.

S 46. Les travaux des mathématiciens que nous venons de nommer
furent les derniers qui illustrèrent l'école d'Alexandrie. Les arts et les
sciences s'affaiblissaient déjà, lorsque l'Egypte devint la conquête des
Arabes, et que l'embrasement de la fameuse bibliothèque des Ptolé-
raées, dépôt précieux, depuis dix siècles, de toutes les productions du

' Commentaire sur la définition 4' du 1" livre d'Euclide.

To«. XI. 7

50 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

génie et de l'érudition, fut le signal de la barbarie et des longues
ténèbres qui enveloppèrent l'esprit humain.

Cependant, ces mêmes Arabes, après un ou deux siècles, recon-
nurent leur ignorance, et entreprirent eux-mêmes la restauration des
sciences. Ce sont eux qui nous transmirent soit le texte, soit la tra-
duction dans leur langue, des manuscrits qui avaient échappé à leur
fureur fanatique. Mais c'est là, à peu près, la seule obligation que
nous leur devions. Car la Géométrie, entre leurs mains, à l'exception
toutefois du calcul des triangles sphériques, resta stationnaire, leurs
travaux se bornant à admirer et commenter les ouvrages grecs , comme
s'ils marquaient le terme le plus élevé et le plus sublime de cette
science.

^B»O«0«

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 51

^lVvvv^Alvvvvvvv\A\v\^^l\^lvvvvvvvvvv\lvvvvvvv\lv^^

CHAPITRE IL

DEUXIEME EPOQUE.

§ 1. L'état de stagnation où languirent les lettres, chez les Arabes
et les autres nations, après la destruction du musée d'Alexandrie, dura
près de mille ans; et ce ne fut que vers le milieu du XV^ siècle que
la Géométrie, suivant le mouvement général des sciences, reprit faveur.

Ses progrès furent lents d'abord; mais néanmoins les conceptions
des géomètres ne tardèrent point à prendre un caractère de généralité
et d'abstraction qu'elles n'avaient point encore eu jusqu'alors. Chaque
méthode, en effet, ne comportait rien de général, et se bornait à la
question particulière qui y avait donné lieu; chaque courbe connue,
et le nombre en était très-restreint, avait été étudiée isolément, et
par des moyens qui lui étaient tout spéciaux, et sans que ses propriétés,
et les procédés qui y avaient conduit, servissent à découvrir les pro-
priétés d'une autre courbe. Nous citerons, par exemple, le fameux
problème des tangentes, qui fut résolu pour quelques courbes, telles
que les coniques et la spirale d'Archimède, par des considérations
profondes, mais essentiellement différentes entre elles, et qui ne don-
naient aucune ouverture pour la solution du même problème appliqué
à d'autres courbes.

La méthode d'exhaustion , qui reposait sur une idée mère tout-à-fait
générale, n'ôta point à la Géométrie son caractère d'étroitesse et de
spécialité, parce que cette conception y manquant de moyens gêné-

5â HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

raux d'application, devenait, dans chaque cas particulier, une question
toute nouvelle, qui ne trouvait de ressources que dans les propriétés
individuelles de la figure à laquelle on l'appliquait. Cette méthode
néanmoins fait beaucoup d'honneur aux géomètres de l'antiquité,
parce qu'elle est le germe d'une suite de méthodes de quadratures
qui, depuis, ont fait, dans tous les temps, l'objet des travaux des plus
célèbres mathématiciens, et dont le but final, et nous pouvons dire le
triomphe, fut l'invention du calcul infinitésimal.

Ces considérations, qui tendent à faire lessortir la différence du
spécial au général, du concret à V abstrait, qui distingue la Géomé-
trie jusqu'au XV^ siècle, de la Géométrie postérieure, nous portent à
regarder cette première époque comme formant les préliminaires de
la science.

Le caractère de généralité et d'abstraction, que prit ensuite la
Géométrie , s'est prononcé de plus en plus dans les époques suivantes ,
et fait aujourd'hui une différence immense entre la Géométrie moderne
et celle des Anciens.

5 2. Les principales découvertes de la Géométrie, à sa renaissance ,
sont dues à Viète et à Kepler, qui sont à plusieurs titres les premiers
auteurs de notre supériorité sur les Anciens. ( Voir la Note XIT).
vrÈTE, Viète, après avoir complété la méthode analytique de Platon, par

l'invention de V algèbre, ou logistique spécieuse, destinée à mettre
cette méthode en pratique dans la science des nombres, eut encore
la gloire d'introduire cet instrument admirable dans la science de
l'étendue, et d'initier les géomètres, par une construction graphique
des équations du second et du troisième degré, dans l'art de représenter
géométriquement les résultats de l'algèbre ; premier pas vers une alliance
plus intime entre l'algèbre et la Géométrie, qui devait conduire aux
grandes découvertes de Descartes, et devenir la clef universelle des
mathématiques.

On doit à Viète la doctrine des sections angulaires, c'est-à-dire la
connaissance de la loi suivant laquelle croissent ou décroissent les
sinus , ou les cordes des arcs multiples ou sous-multiples. La première

1540-1603

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. S3

idée d'exprimer l'aire d'une courbe par une suite infinie de termes se
trouve aussi dans les ouvrages de ce grand géomètre.

Viète n'était pas moins profond dans la Géométrie pure des Anciens
que dans l'analyse algébrique. On lui doit le traité d'Apollonius De
Tactionibus , qu'il a restitué sous le titre ai Apollonius Gallus. C'est
là qu'il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cer-
cles donnés dans un plan, qui occupait alors les géomètres, et leur
présentait des difficultés. Le célèbre Adrianus Romanus ne le résolvait
que par l'emploi de deux hyperboles; ce qui était une faute contre
les règles d'une bonne méthode, puisque la ligne droite seule devait
suffire : aussi a-t-elle été relevée par Viète ( Opéra Vietœ , pag. 325 ,
édition de Schooten; 1646). Les plus grands géomètres ont continué,
depuis , de s'occuper de ce problème , et en ont donné différentes solu-
tions, parmi lesquelles on distingue celles de Descartes, de Nev^ton ',
de Th. Simpson, de Lambert, d'Euler, de Fuss.

Mais ce problème n'a plus offert aucune difficulté aux méthodes
récentes , qui en ont fourni des solutions incomparablement plus élé-
gantes et plus faciles, en théorie et en pratique , que toutes les autres ^,
et il ne doit plus aujourd'hui sa célébrité qu'aux grands noms qui bril-
lent dans son histoire *.

On remarque surtout, dans les écrits géométriques de Viète, une

• On trouve une solution analytique du problème en question dans VArilhmétique univer-
telle (prob. 47), et une solution purement géométrique dans le 1" livre des Principes de la
philosophie naturelle (lemme 16). Celle-ci est fondée sur la considération des deux hyperboles
d'Adrianus Romanus ; mais Newton n'a pas besoin de les construire , pour trouver leur point
d'intersection. 11 détermine deux droites qui doivent se couper en ce point.

2 On peut même généraliser la question , en prenant certaines sections coniques au lieu de
cercles; et les constructions conservent leur simplicité (voir la Note XXVIII, où la question
analogue sera traitée pour des sphères , et plus généralement pour des surfaces du second
degré ).

* M. Camorer a publié sur ce problème, il y a une quarantaine d'années , un livre intéres-
sant , à la suite duquel il a reproduit ['Apollonius Gallus de Viète ; voici le titre de cet ouvrage ,
qui indique les différentes parties dont il se compose : Apollonii de Tactionibus quœ super-
Bunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos libres grœcè , nunc primum édita e codicibus mscptis ,
cwn VietoB libroruttx Apollonii restitutione j adjectis obsercationibus , compulationibus , ac pro-
btematis Apolloniani historia. Gothqp 1795, in-B».

54 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

partie intitulée Variorum de rébus mathematicis responsorum, liber
VIII , divisée en vingt chapitres, dont les principaux traitent de la
résolution des triangles sphériques, de la duplication du cube et de
la quadrature du cercle. Les tentatives des Anciens, pour résoudre ces
deux grands problèmes, sont rapportées dans cet écrit avec une préci-
sion et une supériorité de savoir, qui font vivement regretter que les
autres parties, qui ont dû le précéder, ne nous soient pas parvenues.

La trigonométrie sphérique doit à Viète les plus utiles perfectionne-
mens ; entre autres la résolution de quelques cas nouveaux des trian-
gles, qui n'avaient point eu d'application dans l'astronomie, par exemple,
celui où il s'agit de trouver un angle par les trois côtés. Ces questions,
qui complétaient la doctrine des triangles sphériques, ont conduit
Viète à l'invention des deux formules analytiques générales qui com-
prennent tous les cas de la trigonométrie sphérique. Les deux autres ,
dont la première était contenue virtuellement, sans être énoncée
expressément dans la trigonométrie des Grecs, avaient été découvertes
par les Arabes, qui s'étaient beaucoup occupés de la trigonométrie.

§ 3. Nous devons surtout remarquer dans la trigonométrie de
Viète une idée neuve, et infiniment heureuse, qui a un rapport direct
avec les nouvelles doctrines de la Géométrie j c'est la transformation
des triangles sphériques en d'autres , dont les angles et les côtés
répondissent d'une certaine manière aux côtés et aux angles des
triangles proposés, a Si des trois sommets d'un triangle sphérique,
)) dit-il, comme pôles, on décrit des arcs de grands cercles, le triangle
)) nouveau qui en résultera sera réciproque au premier triangle, tant
» par les angles que par les côtés. » Hâtons-nous de dire que ce
triangle réciproque n'est pas précisément le triangle polaire ou sup-
plémentaire , dans lequel les côtés sont les supplémens des angles
du triangle primitif, et les angles les supplémens des côtés : deux des
côtés du triangle de Viète sont égaux aux angles du triangle proposé,
et le troisième côté égal au supplément du troisième angle. De cette
manière la parfaite réciprocité des deux triangles supplémentaires,
d'où résulte cette dualité constante des propriétés des figures sphé-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. IHI

riques, n'a pas lieu dans les deux triangles de Viète. Mais cette idée
féconde do transformer ainsi les triangles, pour certains cas de la
trigonométrie, n'en mérite pas moins d'être signalée, comme étant le
premier pas de l'esprit inventeur, et le premier germe des méthodes
générales de dualisatiou actuellement en usage.

Les géomètres qui écrivirent sur la Géométrie sphérique après Viète,
s'emparèrent de cette heureuse innovation et transformèrent aussi
les triangles sphériquesj mais en conservant le triangle réciproque
même de Viète. Tels sont Adrien Metius, Magini, Pitiscus, Neper
et Cavalleri '. Gellibrand, aussi, fit de ces transformations; mais il
parait n'avoir pas observé bien exactement les relations qui ont lieu
entre les triangles correspondans.

La découverte du véritable triangle supplémentaire, qui devait
résulter inévitablement de la doctrine de transformation de Viète, est
due à Snellius. Ce géomètre, célèbre à plusieurs titres, l'a exposée
comme un principe général fort utile, et dont il a montré les usages,
dans son Traité de trigonométrie, qui parut en 1627, après sa mort.
(Proposition 8, du livre ÏIL )

C'est sur ce principe de Snellius, considéré d'une manière abstraite,
et non point seulement comme moyen particulier de résoudre quelques
cas de la trigonométrie sphérique, que repose la loi de dualité de la
Géométrie de la sphère; loi qui a été connue depuis lors, mais dont on
n'a point aperçu la haute importance; car elle n'a jamais été prati-
quée dans toutes ses conséquences, et d'une manière systématique.
Aussi la loi générale de dualité de V étendue, c'est-à-dire cette double
face que présentent tous les phénomènes de l'étendue figurée, qu'on
aurait pu déduire immédiatement de la dualité des propositions sphé-
riques, comme nous le ferons voir dans le cours de notre cinquième

' Il ëtait diffîcile d'apercevoir dans la trigonomélrie de Viète , les relations exactes qui ont
lien entre ses deux triangles réciproques ; mais elles sont présentées d'une manière bien pré
cise, et qui ne laisse aucun doute, par Neper, dans son Mirifici logarithmorum canonis des-
criptio (in-4'', 1614), et par Cavalleri, d'abord dans son Directorium gênerais uranometricum
(in-4», 1632), pub dans son Traité de Trigonométrie (ina», 1643).

56 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Epoque, n'a-t-elle été aperçue que dans ces derniers temps, et par
d'autres considérations plus savantes et moins directes.
KEPiER, S '4. Kepler, dans sa Nouvelle stéréométrie ', introduisit le premier

1571-1631. l'usage de Vinfini dans la Géométrie; idée profonde, qui fut le second
acheminement, après la méthode d'exhaustion, pratiquée si habilement
par Archimède, aux méthodes infinitésimales. Kepler appliqua sa mé-
thode à la recherche des volumes des corps engendrés par la révo-
lution d'une conique autour d'une droite , située dans son plan ;
généralisation, alors importante, et qui offrait de grandes difficultés,
des problèmes d'Archimède, sur les conoïdes et les sphéroïdes.

On doit aussi à Kepler une remarque heureuse, savoir que l'ac-
croissement d'une variable , de l'ordonnée d'une courbe, par exemple,
est nul à une distance infiniment proche du maximum ou du mini-
mum; remarque qui contenait le germe de la règle analytique de
maximis et minimis, qui illustra Fermât vingt ans plus tard.

Nous devons ciler de Kepler sa belle méthode des projections, pour
déterminer, par une construction graphique , les circonstances des
éclipses de sol( il pour les habitans de difiTérens points de la terre.
C'était, 200 ans avant l'invention de la Géométrie descriptive , une
application ingénieuse de la doctrine des projections , comme on ferait
aujourd'hui. Cette méthode a été suivie par les célèbres astronomes
et géomètres Cassini, Flamsteed, Wren, Halley, et généralisée par La-
grange dans un mémoire où il est intéressant de voir avec quelle ha-
bileté l'illustre auteur de la Mécanique analytique savait aussi se servir
des procédés de la Géométrie descriptive , vingt ans avant que cette
production du génie de Monge eut vu le jour ^.

Les travaux de Kepler ouvrirent un vaste champ de spéculations
nouvelles; et si cette tête philosophique, qui créa l'astronomie moderne,

' Nova stereometria doliorum , etc. Accessit stereometriœ A rchimediœ supplementum , in-fol.,
Lincii, 1615.

* Le Mémoire de Lagrange a été In à l'Académie de Berlin en 1778, et imprimé en alle-
mand dans les Éphémérides de 1781. Il a paru en français dans la Connaissance des Temps
pour 1819.

1577- 1643.

HISTOIRE DE LA GEOMETIUE. 57

eût appliqué davantage les forces de son génie à la pure Géométrie,
cette science lui eût dû certainement des progrès considérables.

§ 5. Quelques années après que Kepler eut donné sa méthode pour catailï»! ,
déterminer les volumes des conoïdes, une autre théorie célèbre de la i»»*-""
même nature et destinée aussi à évaluer les grandeurs géométriques
par leurs élémens, la Géométrie des indivisibles de Cavalleri (publiée
en 1635), vint enrichir la science, et marquer l'époque des grands
progrès qu'elle a faits dans les temps modernes. Cette méthode, propre
principalement à la détermination des aires, des volumes, des centres
de gravité des corps, et qui a suppléé avec avantage pendant cinquante
ans au calcul intégral, n'était, comme l'a fait voir Cavalleri lui-même,
qu'une application heureuse, ou plutôt une transformation de la mé-
thode ai exliaustion.

§ 6. Nous devons placer entre les découvertes de Kepler et de Ca-
valleri la fameuse règle de Guldin, qui remonte, comme nous avons cotom,
dit, à Pappus; mais qui était inaperçue, lorsque Guldin la découvrit à
son tour, et s'en servit pour résoudre des problèmes difficiles et rebelles
aux autres procédés. Mais cette méthode n'était point destinée, comme
celles de Kepler et de Cavalleri, à reculer les bornes de la Géométrie.

§ 7. Le commencement du second tiers du XVII'^ siècle où nous arri-
vons, est l'époque des plus sublimes et des plus brillantes découver-
tes. Presqu'au même instant parurent Descartes, Fermât et Roberval,
qui ouvrirent des voies nouvelles aux spéculations les plus relevées.

Ces trois hommes illustres se partagent la gloire d'avoir résolu, cha-
cun d'une manière différente, un problème qu'aucun géomètre n'avait
encore osé aborder dans sa généralité; celui des tangentes aux lignes
courbes , problème « le plus beau et le plus utile » que Descartes eût
désiré savoir; et qui, en effet, était le prélude nécessaire à l'invention
du calcul différentiel.

Les anciens géomètres définissaient la tangente à une courbe une

droite qui, ayant un point commun avec la courbe, était telle qu'on ne

pouvait mener par ce point aucune autre droite entre elle et la courbe.

C'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes dans quelques-

ïo». XI. 8

58 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

unes des courbes qu'ils ont connues. Mais le peu de ressources qu'offrait
ce principe, força les géomètres modernes d'envisager les tangentes
sous d'autres points de vue. Ils les regardèrent comme des sécantes
dont les deux points d'intersection sont réunis, ou comme le prolon-
gement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un
polygone d'une infinité de côtés, ou comme la direction du mouvement
composé par lequel la courbe peut être décrite.

La première manière fut celle de Descartes et de Fermât, quoique
leurs solutions fussent très- différentes l'une de l'autre; la seconde,
qui est la plus usitée maintenant, a été introduite explicitement et dé-
finitivement par Barrow, qui simplifia par cette idée la solution de
Fermât; et enfin, la troisième est celle de Roberval \

La solution de Descartes repose sur les principes de sa nouvelle
Géométrie, dont nous parlerons plus tard, en en faisant l'origine de
notre troisième Epoque.

Nous allons d'abord jeter un coup d'œil sur les travaux de Roberval,
de Fermât et de quelques autres géomètres, leurs contemporains, qui
contribuèrent en même temps qu'eux aux progrès immenses que fit
alors la Géométrie pure des Anciens.
BOBERVAL, § 8. La méthodo de Roberval, pour mener les tangentes, est basée

1602-1675. syj. la doctrine des mouvemens composés, que Galilée avait déjà, quel-
ques années auparavant , découverte et introduite dans la mécanique ,
mais sans en faire d'application à la Géométrie.

Roberval énonce distinctement en ces termes son principe :

{( Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe
(qui vous seront données), examinez les divers mouvemens qu'a le point
qui la décrit à l'endroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces
mouvemens composés en un seul, tirez la ligne de direction du mou-
vement composé, vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

1 Depuis , Maclaurin a repris la définition des Anciens dans son Traité des fluxions , comme
étant la plus conforme à la rigueur géométrique qu'il voulait y observer ; et Lagrange l'adopta
aussi comme principe de sa belle théorie de l'osculation des courbes dans son Traité des fonc-
tions analytiques.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 59

Celte méthode présente, quant au principe métaphysicpie , une ana-
logie remarquable avec celle des Fluxions, que Newton créa long-
temps après. Mais elle n'eut pas entre les mains de Roberval toutes
les conséquences dont elle était susceptible, et dont l'honneur était
réservé à Newton , parce que le secours d'un procédé analytique uni-
forme, propre à la mettre en pratique, manquait alors. Néanmoins la
conception de Roberval, neuve sous plusieurs rapports, et vraiment
philosophique, assure à ce géomètre une place distinguée dans l'his-
toire des découvertes mathématiques.

Son principe, en effet, créait une nouvelle manière de considérer
les grandeurs, et d'en découvrir les relations. Dans la Géométrie, jus-
que là , on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer
entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération
des quantités , introduisait dans la Géométrie les puissances qu'il con-
cevait les engendrer, et des rapports entre ces puissances, il déduisait
ceux qui avaient lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance
qu'il imaginait former les grandeurs est le mouvement.

Les Anciens avaient connu la composition des mouvemens , ainsi
que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote * : de plus
ils l'avaient appliquée à la Géométrie pour concevoir la génération de
certaines courbes. La manière dont Archimède décrivait sa spirale,
par la composition du mouvement circulaire et du mouvement recti-
ligne , et la description de la spirale sphérique de Pappus en sont des
preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mou-
vement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point l'idée d'en
faire, comme Roberval, un principe de génération de toutes les cour-
bes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés.

' Patet igiiur, quotieseumque aliquid per diametrum duplice ut, tn diversa tendente , itnpel-
latur, illud necessario ferri secunduin rationem laterum, Quxst. mechan. , cap. II.

Aristote revient sur ce principe dans sa 23' question , pour montrer que selon que les
directions des deux mouremens composans font un angle plus grand ou plus petit , la quantité
et la direction du mouvement résultant peuvent devenir très-différentes.

Le célèbre philosophe parle encore assez distinctement du même principe , au chap. VIII du
12* livre de sa Métaphysique. ■ ' '

60 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Cette circonstance , que la méthode de Roberval comportait la plus
grande généralité, mérite d'être remarquée à une époque où la Géo-
métrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes,
considérées individuellement. C'est un des premiers exemples du pas-
sage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'é-
tendue.

On a fait quelques fausses applications de la méthode de Roberval,
en observant mal le principe de la composition des mouvemens, comme
il est arrivé aussi quelquefois dans des questions de mécanique. Mais
ces faits d'inattention ne portent aucune atteinte à la méthode, dont
la règle est énoncée par Roberval d'une manière sûre, quoique dé-
montrée d'un style peu facile, et dont les treize applications que l'au-
teur en fait à des courbes très-différentes * sont parfaitement exactes.

La conception de Roberval était à la hauteur de celles de Des-
cartes et de Fermât, auxquelles elle ne le cédait que parce que
celles-ci s'étaient aidées du secours puissant de l'analyse, sans lequel
elles seraient restées stériles. Roberval avait su apprécier cet avan-
tage des méthodes de ses deux illustres rivaux sur la sienne. Le ju-
gement qu'il porta à ce sujet, dans une lettre adressée à Fermât,
nous parait pouvoir être confirmé. Roberval, après avoir parlé de
diverses applications de sa méthode, ajoute : «Elle n'est pas inventée
)) avec une si subtile et si profonde Géométrie que la vôtre, ou celle
» de M. Descartes, et partant elle paraît avec moins d'artifice; en ré-
» compense elle me semble plus simple, plus naturelle et plus courte ;
» de sorte que, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il ne m'a
)) pas même été besoin de mettre la main à la plume. » ( Œuvres
de Fermât , pag. 165.)

S 9. Roberval fut encore l'émule de Fermât dans toutes les questions

• La parabole ; l'hyperbole ; l'ellipse ; la conchoïde de Nicomède ; diverses autres conchoï-
des ; le limaçon de Pascal ; la spirale d'Archimède ; la quadratrice de Dinostrate ; la cissoïde
de Dioclès; la cycloïde; la compagne de la cycloïde, et la parabole de Descartes (courbe du
troisième degré, que Descartes engendrait d'un mouvement continu, et dont il faisait usage
dans sa Géométrie, pour la construction des équations du sixième degré).

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 61

des dimensions des figures, et de leurs centres de gravité, qui tou-
chaient de si près au calcul intégral actuel. Il avait imaginé, pour résou-
dre ces questions, ime méthode analogue h celle de Cavalleri, mais
qu'il présentait sous un point de vue plus conforme à la rigueur géo-
métrique. Il intitula cette méthode, qu'il avait puisée, dit-il, dans une
lecture approfondie des ouvrages d'Archimède, Traité des indivisi-
blos. Il paraît certain qu'il la possédait avant que Cavalleri eût publié
la sienne, et qu'il la gardait in petto, dans la vue de se procurer
une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des problèmes
qu'elle le mettait en état de résoudre. Il en résulta que tout l'honneur
d'une aussi utile découverte resta à Cavalleri '.

g 10. La solution de Fermât, pour les tangentes des courbes, repose nntki,
sur les mêmes principes que sa belle méthode De maximis et mini- uBo-iaes.
mis, où il introduisait, pour la première fois, l'infini dans le calcul,
comme Kepler l'avait introduit dans la Géométrie pure. Aussi cette
méthode a fait regarder Fermât comme le premier inventeur du calcul
infinitésimal.

Le passage suivant, extrait du Calcul des fonctions de l'illustre
Lagrange, fait connaître d'une manière claire et précise l'esprit et le
mécanisme des procédés de Fermât, et le lien qui les unit aux nou-
veaux calculs : « Dans sa méthode De maximis et minimis, il égale
l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le
minimum , à l'expression de la même quantité dans laquelle l'in-
connue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait dispa-
raître dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y en a,
et après avoir effacé les termes communs dans les deux membres,
il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve
les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équa-
tion qui sert à déterminer l'inconnue de la question. Or, il est

' Le Traité des indivisibles ne parut , ainsi que la plupart des autres ouTragcs de Roberval ,
que près de vingt ans après sa mort , danslc recueil intitulé : Divers ourrages de mathématique»
et de physique, par M 31. de F Académie royale des sciences; in-fol., 1693; puis en 1730, dans
le tome VI des anciens Mémoires de l'Académie des sciences.

62 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul
différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expres-
sion qu'on veut rendre un maximum ou un minimmn, prise en fai-
sant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat,
parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme
infiniment petits dans le calcul différentiel , sont ceux qu'on doit sup-
primer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tan-
gentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et
l'ordonnée, qu'il appelle la propriété spécifique de la courbe, il aug-
mente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde
la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la
tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de
maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la mé-
thode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité
indéterminée dont on augmente l'abscisse, répond à la différentielle
de celle-ci, et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à
la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que dans
l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, imprimé dans
les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Nova
methodus pro maximis et minimis, etc., Leibnitz appelle la diffé-
rentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire
de l'abscisse comme l'ordonnée à la soutangentej ce qui rapproche
son analyse de celle de Fermât. ' »

• M. Poisson n'a pas été tout-à-fait aussi absolu que Lagrange dans le jugement qu'il a porté
récemment dans cette grande question. L'impartialité que nous devons apporter sur ce point
historique , où il s'agit de faire remonter à Fermât l'honneur d'une invention qui a répandu
tant de gloire sur l'Angleterre et l'Allemagne , nous fait un devoir de rapporter ici les paroles
de M. Poisson, qui d'ailleurs fout connaître de la manière la plus lumineuse le principe de
la méthode de Fermât , et la nuance précise qui existe entre elle et l'invention de Leibnitz.
A Fermât l'idée philosophique ; à Leibnitz l'instrument indispensable pour la mettre en pra-
tique.

<i A mesure qu'une grandeur s'approche de son maximum ou de son minimum , elle varie
» de moins en moins , et sa diSorentielle s'évanouit lorsqu'elle atteint l'une ou l'autre de ces
» valeurs extrêmes. En partant de ce principe , Fermât eut l'heureuse idée, pour déterminer
» le maximum ou le minimum d'une quantité , d'attribuer à la variable dont elle dépend ,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 63

L'opinion de Lagran^çe, sur la part qu'on doit donner à Fermât
dans l'invention des nouveaux calculs, a été celle aussi de ses illustres
confrères Laplace et Fourier; elle avait déjà été émise, dans un temps
où l'on n'avait pas encore songé à revendiquer pour Fermât la gloire
qui lui est due, par d'Alembert ', qui a écrit avec tant de profondeur
et de sagacité sur la métaphysique de la Géométrie, et môme par
Buftbn *, traducteur du Traité des fluxions , et admirateur enthou-
siaste du grand Newton.

§ 11. Fermât fut avec Pascal l'inventeur du calcul des probabilités,
l'une des plus belles productions du XVII^ siècle.

Il fut sans égal dans la théorie des nombres, où il possédait sans
doute une méthode simple qui nous est encore inconnue, malgré les
grands perfectionnemens qu'a reçus l'analyse indéterminée; car les
beaux théorèmes dont il ne nous a laissé que les énoncés, et qui
ont occupé depuis les plus célèbres géomètres, n'ont été démontrés
que successivement, à grand'peine et par des méthodes diverses.

» un accroissement infiniment petit , et d'égaler à zéro l'accroissement correspondant de cette
» quantité , préalablement réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable. C'est
Il de cette manière qu'il détermina la route de la lumière au passage d'un milieu dans un
» autre , en supposant , d'après la théorie qu'il avait adoptée , que le temps de ce trajet
n doit être un minimum. Lagrange le considère, pour cette raison, comme le premier inven-
II teur du calcul dififérentiel ; mais ce calcul consiste dans un ensemble de règles propres à
H trouver immédiatement les différentielles de toutes les fonctions , plutôt que dans l'usage
» qu'on fera de ces variations infiniment petites , pour résoudre telle ou telle espèce de pro-
» blêmes ; et sous ce rapport, la création du calcul difTérëntiel ne remonte pas an delà de
» Leibnitz, auteur de l'algorithme et de la notation qui ont généralement prévalu, dès l'ori-
» gine de ce calcul , et auxquels l'analyse infinitésimale est principalement redevable de ses
•I progrès. » (Mémoire sur le calcul des variations, par M. Poisson, lu à l'Académie le 10
novembre 1831 , inséré dans le tom. XII des Mémoires de l'Académie des sciences).

' « On doit à Deseartes l'application do l'algèbre à la Géométrie , sur laquelle le calcul
différentiel est fondé, et à Fermât la première application du calcul aux quantités différen-
tielles , pour trouver les tangentes ; la Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode
généralisée, m (Art. GtoHtrniE de Y Encyclopédie.)

^ « Fermât trouva moyen do calculer l'infini , et donna une méthode excellente pour la
résolution des plus grands et des moindres ; cette méthode est la même, à la notation près, que
celle dont on se sert encore aujourd'hui ; enfin cette méthode était le calcul différentiel si
son auteur l'eût généralisée. » (Préface de la traduction do la Méthode des fluxions de Newton.)

64 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Malgré sa prédilection pour ces recherches numériques. Fermât
enrichit aussi la Géométrie de belles découvertes.

A l'instar d'Archimède, qui avait donné la quadrature de la para-
bole, il carra les paraboles de tous les ordres j il détermina de plus les
volumes et les centres de gravité des paraboloïdes, et de plusieurs
autres solides ; et il découvrit les propriétés d'une spirale différente de
celle d'Archimède. Il alla encore au delà de ce prince des géomètres
de l'antiquité en résolvant, par une méthode purement géométrique
et fort analogue à la méthode d'exhaustion, une question dontArchi-
mède n'avait point laissé de traces, et que Descartes avait jugée au-
dessus des efforts de l'esprit humain, la rectification absolue de la
parabole cubique et de quelques autres courbes {De linearum curva-
rum cum lineis redis comparatione. Œuvres de Fermât, pag. 89);
mais, ce travail n'ayant été publié qu'en 1660, Fermât fut devancé
dans la gloire de cette grande découverte, de la rectification d'une
ligne courbe, par IVeil et Van Heuraet.

C'était sa méthode De maximis et minimis qui mettait Fermât
en état de résoudre la plupart de ces grandes questions. L'une des
plus belles applications qu'il en fit, fut au phénomène de la réfrac-
tion de la lumière, qui avait élevé entre lui et Descartes un démêlé
célèbre. Sa solution fut la confirmation de la règle trouvée par son
illustre antagoniste, qu'il avait combattue jusque-là. Cette solution
parut si belle, qu'elle lui fit partager avec Descartes la gloire d'avoir
agrandi le domaine de la Géométrie, en introduisant cette science
dans l'étude des phénomènes de la nature.

S 12. Fermât excella aussi dans cette autre partie de la Géométrie, qui
se rapporte à l'analyse géométrique des Anciens , et que nous avons
appelée la Géométrie d'Apollonius.

Il rétablit les lieux plans de ce géomètre, suivant les énoncés laissés
par Pappus. Il annonçait, dans une lettre adressée à Roberval, qu'il
en avait trouvé beaucoup d'autres très-beaux et dignes de remarques ;
mais les deux livres d'Apollonius seuls ont été imprimés, et nous sont
connus.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 65

Il apprit à trouver les lieux plans et solides, par une méthode
analytique et générale, et à se servir de cette méthode pour la con-
struction des problèmes par les lieux. C'était la méthode des coor-
données de Descartes, que Fermât avait lui-même conçue avant que
le célèbre philosophe eût mis au jour sa Géométrie.

Fermât étendit ensuite cette doctrine à la question difficile de la
construction des problèmes géométriques en général, par les courbes
les plus simples. C'est dans ses recherches sur le degré des courbes
nécessaires à la construction d'une équation quelconque, qu'il fut
conduit à ce principe général, que Jacques Bernoulli démontra de-
puis dans les Actes de Leipzig de 1688, en reprochant à la Géomé-
trie de Descartes de l'avoir omisj savoir : qu'il suffit toujours que le
produit des dimensions des courbes qu'on emploie ne soit pas moin-
dre que le degré de l'équation '.

§ 13. Dans son traité De contactibus sphœricis , Fermât résolut
le premier, et complètement, les problèmes sur les contacts des sphè-
res, comme Viète avait fait pour les contacts des cercles dans son
Apollonius Gallus.

Cette question lui avait été proposée par Descartes, qui dit, dans
ses lettres, l'avoir résolue par la ligne droite et le cercle; mais dont
la solution ne nous est pas parvenue.

Le travail de Fermât est complet, et écrit d'un style pur qui en fait
un modèle de bonne Géométrie. Nous devons dire pourtant qu'on a
fait beaucoup mieux dans ces derniers temps *. Voici sous quel rapport :

' De solutione problemafum geometricontm per curvai simplicissimas , etc. Opéra varia ,
pag. 110.

2 On n'avait point, jusqu'au commencement de ce siècle, d'autre traité du contact des
sphères que celui de Fermât. A cette époque cette question fixa l'attention de quelques disci-
ples de Monge , qui l'envisagèrent sous un point de vue nouveau , qui se ressentait déjà de la
généralité de méthodes et de conceptions, qui fait le caractère de la Géométrie de cet illustre
maître. Ces premiers essais furent consignés en partie dans le second numéro du 1" volume
de la Correspondance polytechnique ; une courte analyse d'un Mémoire de M. Ch. Dùpin, qui
devait les compléter, parut plus lard dans le mèrae recueil { lom. II, pag. -420); elle est de
nature , par les résultats élégans et nouveaux qu'elle contient , à faire regretter vivement que
ce célèbre académicien n'ait pas publié son travail. On doit à M. Gaultier, professeur au Con-

ToM. XI. 9

66 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

ce traité contient, outre le problème principal de la sphère tangente
à quatre sphères données , quatorze autres problèmes , qui ne sont au
fond que des cas particuliers de celui-là, mais que l'on est obligé de
résoudre successivement, en s'élevant de l'un à l'autre , pour enfin ar-
river, par cette voie progressive, au problème final, dont la solution
est élégante et facile , mais ne comprend pas celles des cas particuliers
de la question, et se ramène, au contraire, à l'un de ces cas particu-
tiers. La Géométrie moderne procède diflieremment ; elle donne tout
d'un coup la solution du problème général; et cette solution s'applique
à tous ces cas particuliers, par lesquels Fermât avait dû passer. On
conçoit tout ce qu'a de satisfaisant une telle généralité de concep-
tion et de méthode, et l'on y reconnaît de véritables progrès dans la
science. Qu'on nous permette d'ajouter que l'on peut, sous un autre
point de vue, apporter une nouvelle sorte de généralisation dans cette
matière, en substituant aux quatre sphères, quatre surfaces du second
degré semblables entre elles, et plus généralement encore quatre
surfaces du second degré quelconques, pourvu qu'elles soient inscrites
toutes les quatre dans une même surface du même degré ; et l'on fait
voir que ce problème et sa solution comprennent, comme corollaire,
le cas des quatre sphères. ( Voir la Note XXYIII. )

servatoire des arts et métiers , d'avoir repris cette question , qu'il a traitée avec une généralité
tout-à-fait nouvelle et satisfaisante. Des méthodes plus récentes ont encore donné un nouveau
degré de simplification à cette matière. Les unes sont purement descriptives, c'est-à-dire
qu'elles ne considèrent aucune relation de longueur de lignes , et ce sont les plus générales et
les plus simples. Parmi les autres , qui exigent la mesure et la composition de certains rapports
de lignes, on distingue celles que le célèbre Fergola et son savant disciple M. Flauti, ont
données dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Naples. { Voir aussi la Geometria
di sito de M. Flauti, seconde édition, ann. 1821, pag. 136.)

La question de la sphère tangente à quatre autres, est une de celles où la Géométrie a eu
pendant long-temps l'avantage sur l'analyse, Euler en avait présenté , en 1779 , à l'Académie
de Pétersbourg, deux solutions analytiques, qui ne parurent qu'au commencement de ce
siècle dans le Recueil de cette Académie pour les années 1807-1808 (imprimé en 1810).
Carnot déjà en avait indiqué une solution analytique dans sa Géométrie de position (p. -416),
mais sans en effectuer les développemens qui l'auraient conduit à une équation du second
degré. Ce fut , de nos jours, M. Poisson qui résolut , le premier , complètement cette question
par le calcul. {Bulletin de la Société philo matique , ann. 1812, pag. 141.) Peu de temps après.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 67

Cette comparaison de la solution de Fermât aux solutions modernes
ne paraîtra peut-être pas déplacée ici, comme montrant bien la na-
ture des progrès que la Géométrie a faits, et de ceux auxquels elle doit
tendre, même dans les questions où l'on se borne trop souvent à ad-
mirer les productions des grands géomètres, sans oser supposer que la
perfectibilité de la science puisse leur porter atteinte.

S 14. Fermât avait commencé et promis la restitution des porismes
d'Euclide, en donnant à ce mot un autre sens que celui qui a été
généralement adopté depuis, d'après R. Simson. Mais, si le célèbre
géomètre écossais a deviné et rétabli la forme des énoncés des po-
rismes. Fermât avait peut-être aussi pénétré, et non moins heureu-
sement, dans ce mystère, en concevant le but, la destination et la
haute utilité qu'Euclide avait assignés à son Traité des porismes.
Mais Fermât s'exprime k ce sujet si succinctement, qu'il a peut-être
fallu trouver à priori les idées et les intentions que nous croyons
apercevoir dans sa manière de considérer les porismes; et nous de-
vons remettre à un autre moment le développement de notre opinion
sur ce sujet.

Cinq théorèmes que Fermât a laissés, comme exemple ou spécimen
des porismes, nous font regretter qu'il n'ait pas donné suite à son
travail. Le troisième surtout de ces porismes, aurait mérité de fixer
l'attention des géomètres, comme étant certainement l'un des plus
beaux et des plus féconds de toute la théorie des coniques. C'est en
effet précisément le fameux théorème de Desargues, sur l'involution
de six points, si connu dans la Géométrie récente. Un autre porisme,
que Fermât avait proposé à démontrer à Wallis, est un corollaire de
ce théorème général appliqué à la parabole '.

Fermât avait promis non-seulement la restitution des trois livres des

MM. Binet et Français en ont donné aussi des solutions analytiques différentes ( 17' cahier
du Journal de l'école polytechnique , et tom. III des Annales de mathématiques).

■ R. Simson a emprunté de Fermât ces deux belles propositions, et les a démontrées, la
première dans son Traité des porismes, sou» le n' 81 , et l'une et l'autre dans son Traité dt»
sections coniques , livre 8', propositions 12 et 19. La seconde, celle qui concerne la parabole ,
a aussi été reproduite parOzanara , dans son Dictionnaire de mathématiques, à l'art. PoRisais.

1623 - 1662.

68 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

porismes d'Euclide; mais il devait étendre cette doctrine au delà des
bornes que le géomètre grec s'était posées, et l'appliquer aux sections
coniques et à toutes sortes d'autres courbes. Il y avait découvert, dit-
il, des choses ignorées et admirables \ Loin de penser comme Simson
que cette promesse était téméraire, nous croyons y voir un indice que
Fermât avait compris la vraie doctrine d'Euclide, et avait su en dé-
couvrir toute la portée et la fécondité.

§ 15. Dans le même temps Pascal, saisissant avec sa pénétration
accoutumée l'esprit de la méthode des indivisibles de Cavalleri, en
démontrait toute la rigueur, et se l'appropriait en l'appliquant d'une
manière générale aux questions difficiles des surfaces, des volumes et
des centres de gravité des corps. Ces recherches , qui offrent un mo-
nument précieux de la force de l'esprit humain, touchaient de près
au calcul intégral ; elles sont le lien entre Archimède et Newton.

Avec le secours de cette méthode, Pascal surpassait les plus célè-
bres géomètres dans la recherche des propriétés de la cycloïde.

Déjà cette courbe fameuse, dont l'histoire se rattache à toutes les
grandes conceptions du XVII° siècle, avait été l'objet des travaux de
Galilée, Descartes, Fermât, Roberval, Torricelli. Après avoir dormi
quelque temps, elle fut remise sur la scène par Pascal, qui voulut,
en quelque sorte, que la grande difficulté des questions nombreuses
auxquelles cette courbe donnait lieu , servit d'essai et fût la mesure
des forces et de la capacité des géomètres de son temps. Wren, Sluze,

1 Imb et Euclidem ipsum promovebimus et porismata in coni sectionibus et aliis quibuscumque
curvis mirabilia sanè , et hactenus ignota detegemus. (Varia opéra Mathematica , png. 119.)

Cette promesse, que le jugement sûr et le noble caractère de l'auteur ne nous permettent
pas de regarder comme exagérée, nous montre combien la Géométrie est intéressée à la dé-
couverte des manuscrits de Fermât, dont l'analyse, plus particulièrement, jusqu'ici , avait
déploré la perte.

Espérons que nous ne sommes pas privés pour toujours d'ouvrages si précieux. Déjà M. Libri,
dans les recherches auxquelles il se livre pour une histoire générale des sciences, a eu le
bonheur d'en découvrir deux fragmens , qui étaient restés inédits , et de trouver diverses indi-
cations qui lui font espérer de nouvelles découvertes. L'esprit supérieur de ce célèbre analyste
nous est un sûr garant qu'il attachera un haut prix, dans ses recherches, aux fragmens de
pure Géométrie, comme aux productions analytiques du génie de Fermât.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 69

Wallis, Huygens, La Loubère, Fabri, répondirent à cet appel, et
résolurent chacun une partie plus ou moins considérable des questions
proposées; mais laissant tous à Pascal la gloire d'une solution com-
plète. Depuis, la cycloïde eut une troisième phase, lors de l'invention
du calcul différentiel. Outre ses propriétés géométriques si belles et
si diverses, elle en acquit alors, entre les mains de Newton, de Leib-
nitz, des Bernoulli et du marquis de Lhôpital, de nouvelles, puisées
dans des considérations de mécanique, qui ajoutèrent à l'importance
et à la célébrité de cette courbe merveilleuse.

Le mouvement d'une roue sur un plan , dans lequel on a découvert
la cycloïde, offre ime seconde génération de cette courbe, à laquelle
je ne crois pas que l'on ait fait attention; c'est que l'enveloppe de
l'espace parcouru par un diamètre de la roue est précisément aussi
une cycloïde '.

La considération de cette courbe a été l'origine d'une classe nom-
breuse de lignes, produites par le roulement d'une courbe- donnée sur
une autre courbe fixe, qui ont été considérées dans toute la généralité
que comporte cette question, par Leibnitz, De la Hire, NicoUe, etc.,
et dont Herman et Clairaut ont étendu la théorie aux courbes décrites
de la même manière sur la sphère.

S 16. Les travaux de Pascal sur cette autre partie de la Géométrie,
qui se rattache à l'analyse géométrique des Anciens et à la théorie des
coniques, ne méritent pas moins notre admiration que ses étonnantes
découvertes sur la cycloïde , et que ses autres applications de la mé-
thode de Cavalleri. Nous y trouvons, ainsi que dans un écrit de
Desargues sur la même matière, le germe des nouvelles doctrines qui
constituent la Géométrie moderne. Nous devons donc parler avec
quelques détails de cette partie des découvertes de Pascal.

La plus saillante, et qui fut entre ses mains d'un usage magique, est

' Les épicycloïdes sont susceptibles aussi d'une double génération semblable ; et on déduit
de là direrses propriétés de ces courbes.

Si, au lieu d'un diamètre, on considère dans le cercle mobile une corde quelconque, son
enveloppe sera une développante d'une épicycloïde.

70 . HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

son beau théorème de Vhexagramme mystique. Il désignait ainsi
cette propriété de tout hexagone inscrit à une conique, d'avoir les
trois points de concours de ses côtés opposés, toujours en ligne droite.
Cinq points déterminent une conique ; ce théorème est donc une rela-
tion de position d'un sixième point quelconque de cette courbe par
rapport aux cinq premiers ; c'est donc une propriété fondamentale et
caractéristique des coniques. Aussi Pascal, alors âgé seulement de
seize ans, comme il le dit lui-même ', en avait fait la base d'un
traité complet des coniques. Cet ouvrage ne nous est pas parvenu.
Leibnitz, qui, pendant son séjour à Paris, l'a eu entre les mains,
nous fait connaître par une lettre adressée en 1676 à M. Perier,
neveu de Pascal, les titres des six parties, ou traités, qui devaient
le composer. (OEuvres de Pascal, tom. V, pag. 459. )

Le titre de la 1^^ partie nous apprend que Pascal se servait des
principes de la perspective, pour engendrer les coniques par le cercle,
et tirer, de cette manière , leurs propriétés de celles du cercle. Cette
méthode, suivant Leibnitz, était le fondement de tout l'ouvrage.

La 2'"*' partie roulait sur l'hexagramme mystique, a Après avoir
)) expliqué, dit Leibnitz, la génération du cône, faite optiquement
» par la projection d'un cercle, sur un plan qui coupe le cône des
)) rayons, il explique les propriétés remarquables d'une certaine
» figure, composée de six lignes droites; ce qu'il appelle hexagramme
)) mystique. »

Dans la 3'"'' partie se trouvaient les applications de l'hexagramme ;
les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement ;
et probablement les théorèmes qui constituent la théorie des pôles ^.

1 Conicorum opus completum , et conica Apollonii et alia innumera unicâ ferè propositione
amplectens; quod quidem nondum sex decimum œtatis annum assecutus excogitavi , et detndè in
ordinem congessi. ( OEuvres de Pascal , tom. IV, pag. -410.)

2 M. Poncelet a déjà exprimé cette opinion dans son Traité des propriétés projectives ,
pag. 101. 11 nous paraît facile de la justifier. Car le théorème de l'hexagone, quand on y
suppose que deux côtés opposés deviennent infiniment petits , auquel cas la figure représente
un quadrilatère inscrit à la conique, et deux tangentes menées par deux sommets opposés,
ce théorème, dis-je, donne immédiatement, comme corollaire, le suivant : quand un qua-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 71

La 4™" partie contenait ce qui a rapport aux segmens faits sur des
sécantes menées parallèlement à deux droites fixes, et les propriétés
des foyers.

Dans la 5™', Pascal résolvait les problèmes où il s'agit de décrire
une conique qui satisfasse à cinq conditions , de passer par des points
et de loucher des droites.

Enfin, la 6'"" partie avait été intitulée par Leibnitz De loco solido.
Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du
fameux problème de Pappus , Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragmens contenaient divers problèmes.

§ 17. Heureusement, à l'occasion de ce traité, Pascal avait réuni,
sous le titre à' Essai pour les coniques, quelques-uns des principaux
théorèmes qu'il devait contenir, voulant les soumettre à l'examen des
géomètres et avoir leur sentiment, avant de pousser plus loin son
travail. C'est cet Essai, qui parut en 1640, quand Pascal avait en
effet à peine 16 ans, dont il est question dans quelques lettres de Des-
cartes, à qui le P. Mersenne l'avait envoyé. Depuis il est resté ense-
veli pendant plus d'un siècle, et n'a revu le jour qu'en 1779, par
les soins de M. Bossut, dans son édition complète des Œuvres de
Pascal.

Cet écrit, de sept pages in-S», est un fragment précieux des décou-
vertes et de la méthode du grand Pascal, touchant les coniques.

En voici une très-succincte analyse :

Le fameux théorème de l'hexagramme mystique se trouve d'abord
énoncé, comme lernme, d'où tout le reste doit se déduire.

La première des propositions qui viennent ensuite est encore rela-
tive à l'hexagone inscrit dans une conique; c'est une relation entre les

drilatire est inscrit dans une conique, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets oppo-
sés, se coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Ce théorème paraît répondre aux mots de quatuor tangenlibus , et rectis puncta tactuum jun-
gtntihus , qui su trouvent au titre de cette troisième partie , et être l'un de ceux que Pascal
avait déduits de son liexagranime. Mais on reconnaît aisément que ce théorème contient toute
la théorie des pôles. Il nous parait donc prouvé que cette théorie était comprise dans les ap-
plications que Pascal avait faites de l'hexagramme.

72 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

segmens faits sur deux de ses côtés par deux autres côtés et deux
diagonales. Cette relation n'est au fond que le théorème de Desargues
sur l'involution de six points, mais présenté sous un point de vue
différent, qui pouvait le rendre propre à de nouveaux usages. Nous
développerons cette idée dans la Note XV.

La proposition suivante, exprimée par une double égalité de rap-
ports, renferme deux propositions différentes. La l^e est la 129" du 7®
livre des Collections mathématiques de Pappus, qui nous a donné
lieu d'introduire la notion du rapport anharmonique , et dont nous
avons déjà dit qu'elle pouvait être la base d'une partie considérable
de la Géométrie récente ; la seconde est le théorème de Ptolémée sur
le triangle coupé par une transversale.

Puis vient une proposition qui, eu égard à ce théorème de Pto-
^ lémée, se réduit à la belle et importante propriété des coniques, re-
lative aux segmens qu'une telle courbe fait sur les trois côtés d'un
triangle, due dans ces derniers temps à l'illustre auteur de la Géo-
métrie de position.

La proposition suivante est cette même propriété des coniques,
étendue à un quadrilatère quelconque, au lieu d'un triangle \ Ce
théorème généralisé par Carnot, qui l'a démontré pour un polygone
et une courbe géométrique quelconques, et l'a étendu même aux
surfaces courbes ', est un des plus féconds de la théorie des trans-
versales.

Ensuite on remarque le fameux théorème sur l'involution de six
points, « dont le premier inventeur est M. Desargues, un des grands
esprits de ce temps, et des plus versés aux mathématiques, et en-
tre autres aux coniques. » Pascal ajoute qu'il a a tâché d'imiter sa
méthode sur ce sujet, qu'il a traité sans se servir du triangle par

' Si l'on suppose que deux soramets du quadrilatère soient à l'infini , les segmens qui abou-
tissent à ces sommets seront égaux , deux à deux , comme étant infinis , et comptés sur des
droites parallèles; alors il en résulte la belle propriété des coniques, relative au rapport
constant des produits des segmens faits sur deux transversales issues d'un point quelconque ,
j)arallèlement à deux droites fixes.

2 Géométrie de position , pag. AZl. ^

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 73

l'axe, en traitant généralement de toutes les sections du cône'. »

^18. Nous concevons parfaitement , d'après la fécondité éprouvée
des théorèmes que nous venons de citer, que Pascal en ait fait,
comme il l'annonçait, la base (ÏÊlémens coniques complets ; et qu'en
les déduisant de sou hexagramme mystique, il ait tiré de ce seul prin-
cipe 400 corollaires, comme le dit le P. Mersenne , dans son traité
Do mensuris, ponderïbus, etc.; in-fol., 1644 ^ ( Voir la Note XIII).

On remarque que ces divers théorèmes principaux exprimaient
chacun une certaine propriété de six points situés sur une conique;
ce qui explique comment Pascal avait pu les déduire de son hexa-
gramme mystique, qui était lui-même une propriété générale de ces
six points. Mais chacun de ces théorèmes avait pris une forme difTé-
rente, qui le rendait propre à des usages particuliers qui compre-
naient un nombre immense de propriétés des coniques.

C'est cet art infiniment utile de déduire d'un seul principe un grand
nombre de vérités, dont les écrits des Anciens ne nous offrent point
d'exemples, qui fait l'avantage de nos méthodes sur les leurs.

§ 19. Pascal avait écrit plusieurs autres ouvrages de Géométrie,
dans le style 'de son Traité des coniques. Les titres seuls nous en
sont parvenus, par une note qu'il adressa en 1654 * à une société
de savans qui se réunissaient les uns chez les autres, avant la fonda-
tion de l'Académie des sciences, qui eut lieu en 1666.

Nous y voyons qu'à l'instar de Viète, il avait résolu, mais avec une
extension considérable et par une méthode extrêmement simple, les
problèmes sur les contacts des cercles; puis les questions analogues
sur les contacts des sphères; qu'il avait écrit un traité des lieux plans ,

I Nous avons expliqué, en parlant d'ApolIonias , ce qu'on entend par le triangle par Faxe ;
et nous avons dit que ce grand géomètre de l'antiquité supposait , pour former ses coniques ,
le plan coupant perpendiculaire au plan de ce triangle. Desargues , comme on voit , et Pascal ,
à son exemple, traitaient les coniques d'une manière beaucoup plus générale , puisqu'ils pre-
naient le plan coupant dans une position tout-à-fait arbitraire.

3 Unica proposilione unioersalissiina , 400 corollariit armatâ , integrum ApoUonium cotn-
plexut est.

* Œuvres de Pascal, tom. IV, pag. 408.

ToM. XI. 10

1593-1662.

74 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

plus étendu et plus considérable que ce qu'avaient fait les Anciens et
les Modernes sur ce sujet, et par une méthode neuve et extrêmement
expéditive; et enfin qu'il avait imaginé aussi une méthode nouvelle
de perspective, aussi simple que possible, puisque chaque point du
tableau se construisait par l'intersection de deux lignes droites.

Cette faible indication , que nous trouvons dans la note de Pascal ,
suffit pour nous faire regretter la perte d'écrits où devaient briller le
génie inventeur de ce profond géomètre, et l'art admirable avec le-
quel il savait généraliser une première découverte, et en tirer toutes
les vérités qu'elle renfermait.
DESABcuBs, g 20. Dcsargucs, que Pascal avait pris pour guide, et qui était

digne en effet d'un tel disciple , avait aussi écrit sur les coniques , un
an auparavant, d'une manière neuve et originale. Sa méthode repo-
sait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective * , et
sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous
reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits , in-
titulé : Brouillon projet d'une atteinte aux événemens des rencon-
tres du cône avec un plan. Les autres, s'il en a existé plusieurs,
ainsi que peut le faire supposer un passage de V Essai de Pascal,
étaient peut-être sur des feuilles volantes, comme il paraît que Desar-
gues en usait, soit pour communiquer ses découvertes, soit pour ré-
pondre à ses nombreux détracteurs.

' C'est une question de savoir si les Anciens ont connu les usages de la perspective dans la
Géométrie rationnelle ; et cette question, je crois, n'a point été approfondie. Au premier abord
on serait tenté de répondre affirmativement; tant cette méthode est naturelle , et parait liée à
leur manière d'engendrer les coniques , dans le cône à base circulaire. Aussi cette opinion
est-elle la plus commune chez les géomètres. Elle a été fortifiée dans ces derniers temps par
le sentiment particulier de M. Poncelet sur les porisraes d'Euclide, qui auraient été des propo-
sitions démontrées par cette méthode { Traité des propriétés projectives ; Introduction, p. xxxvij).
Mais, malgré tout le respect que nous professons pour l'opinion de ce célèbre géomètre, nous
devons avouer que nous n'avons trouvé dans la lecture des Anciens aucune trace , aucun indice
qui nous autorisent à la partager dans cette circonstance. Nous croyons, au contraire, que la
méthode de la perspective, comme nous la pratiquons actuellement en Géométrie rationnelle,
n'a point été en usage dans l'école grecque. Aussi, jusqu'à un plus approfondi et plus ample
examen , nous attribuerons cette méthode aux Modernes , et nous dirons que Desargues et
Pascal ont le mérite de l'avoir appliquée , les premiers , à la théorie des coniques.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 75

Celui que nous venons de citer parut en 1639. Il en est parlé dans
plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se distinguait par quelques propositions nouvelles, et sur-
tout par l'esprit de la méthode, qui était fondée sur cette remarque
judicieuse et féconde, que les sections coniques, étant formées par
les différentes façons dont on coupe un cône qui a pour base un cer-
cle, devaient participer aux propriétés de cette figure.

Desargues apportait donc une double innovation importante dans
l'étude des coniques. D'abord il les considérait sur le cône dans toutes
les positions possibles du plan coupant, sans se servir, comme les An-
ciens, du triangle par l'axe : et ensuite, il imaginait d'approprier à
ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Cette idée, qui nous parait si simple et si naturelle aujourd'hui,
parce que nous sommes accoutumés aux procédés de la perspective,
et à divers autres modes de transformation des figures, n'était pas
venue à l'esprit des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons
aucune trace dans leurs ouvrages : et nous y voyons qu'en se servant,
dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du
produit des segmens faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont
point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes; mais
seulement de démontrer leur théorème du latus rectum.

§ 21. La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théo-
rie des coniques, comme il le fit dans divers autres écrits, des vues
nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la mé-
taphysique de la Géométrie.

Ainsi, il y considéra comme des variétés d'une même courbe les
diverses sections du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyper-
bole et le système de deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient
toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à cha-
cune de ces sections '.

• Desargucsius primus sectiones conicas universali quadam ratione Iractare , ac propositiones
mullaa sic enuntiare cwpil, ut quacunque seclio subintelligi posset [Act. ervd,, ann. 1886,
pag. 400).

76 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Descartes nous apprend que Desargues regardait aussi un système
de plusieurs droites parallèles entre elles, comme une variété d'un
système de droites concourantes en un même point; dans ce cas le
point de concours était à l'infini, a Pour votre façon de considérer
» les lignes parallèles comme si elles s'assemblaient à un but à di-
» stance infinie, afin de les comprendre sous le même genre que

» celles qui tendent à un point, elle est fort bonne » * {Lettres de

Descartes , tom. III, pag. 457, édition in-I2.)

Leibnitz fait mention aussi de cette idée de Desargues dans un
mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une in-
finité de lignes (Acta erud. ann. 1692, pag. 168); et dans un autre
endroit, il la rattache à sa loi de continuité {Comm. epist., tom. II,
pag. 101 ). Newton adopta cette définition des parallèles dans les
lemmes 18 et 22 de ses Principes de la philosophie naturelle, où
il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé
à l'infini.

Desargues appliquait aux systèmes de lignes droites les propriétés
des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et très-
usitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une
équation unique, comme une courbe géométrique; mais ce qui était
alors une conception neuve et originale. Descartes en parle en ces
termes , dans une lettre adressée au P. Mersenne :

« La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant
)) tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus
)) belle qu'elle est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai
» coutume de nommer métaphysique de la Géométrie, qui est une
)) science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit servi,
» sinon Archimède. Pour moi, je m'en sers toujours pour juger en

1 Cette innovation fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes, comme exemple
des manières universelles de Desargues en Géométrie : « Il fait voir , comme il l'a écrit à un
» sien ami défunt , le rare et savant M. Pascal , fils , que les parallèles sont toutes semblables à
11 celles qui aboutissent à un point, et qu'elles n'en diffèrent point, n ( Traité des pratiques géo-
métrales et perspectives ; in-12, 166S.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 77

)) général des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je les dois
)) trouver » {Lettres, pag. 379 du tom. IV.)

S 22. Les idées de Desargues, concernant les systèmes de lignes
droites, comparés aux lignes courbes, ont dû le porter à chercher à
appliquer aux sections coniques diverses propriétés connues du système
de deux droites. L'une d'entre elles que Pascal, dans son Essai pour
les coniques , appelle merveilleuse, et qui, en effet, est d'une fécon-
dité extrême, nous a été conservée. C'est la relation des segmens
faits par une conique , et par les quatre côtés d'un quadrilatère qui
lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan
de la courbe.

Cette relation consiste en ce que : (( Le produit des segmens compris
» sur la transversale, entre un point de la conique et deux côtés op-
» posés du quadrilatère, est au produit des segmens compris entre
)) le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du
» quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits sem-
» blablement faits avec le deuxième point de la conique situé sur la
)) transversale. »

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coni-
ques y et par Beaugrand dans une lettre critique sur l'ouvrage de
Desargues , intitulé Brouillon projet d'une atteinte aux événemens
des rencontres du cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que
Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème involu-
tion de six points.

On voit comment les six points se correspondent, ou sont conjugués
deux à deux. Desargues examinait le cas où deux points conjugués ve-
naient à se confondre; il y avait alors involution de cinq points '; puis
celui oii deux autres points conjugués se confondaient aussi; alors on

I II peut y avoir encore , dans un autre cas , involution de cinq points : c'est quand le sixième
point est à l'inGni ; alors son conjugué a une position très-remarquable. Je ne sais si l'on a
examiné particulièrement ce cas , qui se présente souvent sans qu'on songe à le rattacher à
la thcorio de l'involution.

78 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

n'avait plus que quatre points, et la relation d'involution devenait un
rapport harmonique.

La relation d'involution de six points, telle que nous l'avons énoncée,
contient huit segmens; mais elle peut être remplacée par une autre, où
n'entrent que six segmens, et celle-ci est la même que celle que Pappus
a donnée pour les segmens faits sur une transversale par les quatre côtés
et les deux diagonales d'un quadrilatère (la 130® du livre VII des Col-
lections mathématiques).

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second
degré qui passe par les quatre sommets du quadrilatère, on voit que
le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de
Pappus, dans laquelle se trouve substituée, à la place des deux diago-
nales du quadrilatère, une conique quelconque passant par les quatre
sommets.

S 23. Un excellent écrit de M. Brianchon , intitulé Mémoire sur
les lignes du deuxième ordre (Paris 1817), est basé sur ce théorème,
et en fait voir toute la fécondité. Mais il paraît que Desargues lui-
même avait su en tirer un parti considérable, pour démontrer un grand
nombre des propriétés des coniques j car d'une part, Beaugrand dit,
dans sa lettre ' , qu'une partie du Brouillon projet, etc. , était em-
ployée à examiner les corollaires du théorème en question; et, de plus,
nous trouvons dans les Pratiques géométrales et perspectives du gra-
veur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même
théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues , et ajoute :
« Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont
» une des propositions en comprend bien , comme cas , soixante de
» celles des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a
» acquis l'estime des savans, qui le tiennent avoir été l'un des plus
» naturels géomètres de notre temps, et entre autres la merveille de
» notre siècle, feu M. Pascal. »

Nous trouvons encore quelques observations qui se rapportent au

1 Foir la Note XIV.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 79

théorème en cpiestion, et qui prouvent que Desargues avait su en faire
un grand usage, dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret, intitulé :
Optique de portraiture et peinture, etc. Paris 1670; in-fol.

Ainsi, il est constant que le théorème de Desargues était le fonde-
ment de sa théorie des coniques, et que les nombreuses propriétés de
ces courbes, que nous avons appris, depuis quelques années, à dé-
duire de ce théorème , n'avaient point échappé à l'esprit logique et
essentiellement généralisateur de Desargues.

Mais, outre son extrême fécondité, le théorème en question présente
un autre caractère qu'il n'est pas moins important de faire ressortir
dans un examen philosophique de la marche et de l'esprit des mé-
thodes concernant les coniques. C'est que ce théorème , par sa nature ,
permettait à Desargues de considérer, sur un cône à base circulaire , des
sections tout-à-fait arbitraires, sans faire usage du triangle par l'axe,
comme le dit Pascal ; tandis que les Anciens et tous les écrivains après
eux n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires à ce
triangle par l'axe. Cette grande innovation nous paraît être le principal
mérite du traité des coniques de Desargues.

g 24. On voit par ce qui précède que l'ouvrage de Desargues était
vraiment beau et original, et procurait une généralité et des facilités
nouvelles à la Géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel
par les grands génies du siècle. Nous avons déjà cité le sentiment d'ad-
miration de Pascal pour cet ouvrage ; nous trouvons qu'il fut partagé
par Fermât, qui, dans une lettre au P. Mersenne, s'exprime ainsi :
« J'estime beaucoup M. Desargues , et d'autant plus qu'il est lui seul
)) inventeur de ses coniques. Son livret qui passe, dites- vous, pour
V jargon, m'a paru très-intelligible et très-ingénieux, w {Œuvres de
Fermât, pag. 173.)

Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il
apportait dans la théorie des coniques, on aperçoit aisément quelle
en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout-à-fait
générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les Anciens
n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières

80 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

des six points, par exemple, pour le cas où quatre points étaient deux
à deux sur deux cordes parallèles entre elles ( la relation dont ils se
servaient alors était que les produits des segmens faits sur ces deux
cordes par celle qui joignait les deux autres points, étaient entre eux
comme les produits des segmens faits sur celle-ci par les deux pre-
mières). Il leur fallait donc toujours diverses propositions intermé-
diaires, pour passer de la considération directe ou implicite de cinq
points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là, le
grand nombre de propositions qui semblaient devoir entrer nécessaire-
ment dans un traité des coniques , et de là surtout la longueur des
démonstrations.

La solution du problème ad quatuor lineas , il est vrai , faisait con-
naître une propriété tout-à-fait générale de six points d'une conique;
mais jusqu'à Apollonius, ce problème n'avait point été résolu com-
plètement, et ce grand géomètre, qui dit l'avoir résolu à l'aide des
principes qu'il a compris dans son III" livre, n'a point eu le temps peut-
être d'en approfondir assez la nature pour le juger propre à entrer dans
ses élémens des coniques, de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez
les Anciens.

§ 25. Nous avons dit que Fermât avait laissé, parmi quelques pro-
positions présentées comme porismes, le théorème de Desargues; et l'on
ne peut douter que ce grand géomètre n'y soit parvenu de son côté.
Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de 25 ans. Desargues
a celui d'avoir connu et mis à profit toutes les ressources que ce
théorème offrait dans la théorie des coniques.

R. Simson nous paraît être le seul géomètre qui se soit servi , jusqu'à
ces derniers temps, de ce théorème qu'il a démontré dans le Ô'^ livre
de son Traité des Coniques (Proposition 12^); et dont il avait entrevu
la fécondité, car, après en avoir tiré six corollaires, il ajoute qu'ils
renferment des démonstrations naturelles et faciles de quelques pro-
positions du premier livre des Principes de Newton. R. Simson avait
emprunté ce théorème des OEuvres de Fermât, comme on le voit dans
son Traité des Porismes^ où il le démontre aussi sous le n» 81.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 81

S 26. On n'a considéré jusqu'à ce jour le théorème de Desargues
que sous l'énoncé sous lequel nous l'avons présenté; et c'est ainsi qu'on
en a fait de nombreuses applications. Mais, en y introduisant la notion
du rapport anharmonique , on peut envisager ce théorème sous un
autre point de vue, et lui donner une autre forme, qui en fera une
proposition différente, et propre j\ de nouveaux usages. Celte propo-
sition, qu'on peut regarder comme centrale dans la théorie des
coniques, car une infînité de propriétés diverses de ces courbes, qui
avaient paru sans liaison , et étrangères les unes aux autres , en dé-
rivent naturellement, comme d'un centre unique; cette proposition,
dis -je, offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues
à celui de Pascal, et vice versa, et de chacun de ces deux -là à
diverses autres propriétés générales des coniques, telles que le beau
théorème de Newton sur la description organique de ces courbes.
( Voir la Note XV.)

S 27. Les Anciens n'avaient considéré, pour former leurs coniques,
que des cônes à base circulaire; et Desargues et Pascal les imitaient
en ce point, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du
cercle. Il se présentait donc une question, à savoir si tous les cônes
qui avaient pour base une conique quelconque étaient identiques
avec les cônes à base circulaire; ou, en d'autres termes, si un cône
quelconque à base elliptique, parabolique ou hyperbolique, pouvait
être coupé suivant un cercle; et, dans le cas où cela serait, de déter-
miner la position du plan coupant. Ce fut Desargues, ainsi que nous
l'apprend le P. Mersenne ', qui proposa cette question, qui eut alors
une certaine célébrité à raison de sa difficulté; car elle est de la nature
de celles qui, admettant trois solutions, dépendent- en analyse d'une
équation du troisième degré, et, en Géométrie^ des sections coniques.
Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle Géométrie ana-
lytique, et d'une manière fort élégante, pour le cas où la base du cône
est une parabole; auquel cas il n'a besoin que d'un cercle, dont l'in-

■ Universœ geometriœ, mixtœque mathematicœ sijnopait , png. 331 ; in-fol., 1644.

Toa. XI. 11

82 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

tersection avec la parabole donne la solution demandée \ Depuis, cette
même question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres, le mar-
quis de LHopitaP, Herman*, le P. Jacquier*, qui suivirent la même
marche analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifi-
cations. Je ne crois pas que l'on ait donné de ce problème une solution
purement géométrique et graphique. La difficulté disparait devant les
nouvelles doctrines de la Géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs
solutions différentes ^

S 28. On doit à Desargues une propriété des triangles, qui est de-
venue fondamentale et d'un usage très-utile dans la Géométrie récente.
C'est que : «Si deux triangles, situés dans l'espace, ou dans un même
» plan, ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites con-

i Lettres de Descartes, édition in-12 , 172S ; tom. VI, pag. 328.

2 Traité analytique des sections coniques, livre 10", pag. 407.

^ Commentarii Academiœ Petropolitanœ , tom. VI; ann. 1732 et 1733.

* Elementi di perspettiva ; in-B". Roraœ 1785 , pag. 140.

* Il suffit de déterminer les trois axes principaux du cône, car on sait que de leur connais-
sance on conclut immédiatement la position des plans des sections circulaires.

Pour déterminer ces trois axes, je mène, par le grand axe de la conique C qui sert de base au
cône , un plan perpendiculaire à celui de cette courbe ; et dans ce plan je conçois une seconde
conique qui ait pour sommets , et pour foyers , respectivement les foyers et les sommets de la
première.

Je regarde cette seconde conique comme la base d'un second cône qui ait même sommet
que le cône proposé. Ce nouveau cône rencontrera le plan de la conique C suivant une autre
conique. Ces deux courbes se rencontreront en quatre points qui seront les sommets d'un qua-
drilatère , dont les points de concours des côtés opposés , et le point de rencontre des deux
diagonales , seront trois points appartenant aux trois axes cherchés.

Ainsi , le problème est résolu.

^ào solution. Par le sommet du cône proposé , menons des droites perpendiculaires à ses
plans tangens; elles forment un second cône du second degré qui rencontre le plan de la co-
nique qui sert de base au premier cône, suivant une seconde conique. Ces deux courbes se
rencontrent en quatre points qui servent , comme dans la solution précédente , à résoudre le
problème.

Nous devons dire, plus généralement, qu'il existe, dans le plan des deux courbes, trois
points tels que chacun d'eux a la même polaire par rapport aux deux coniques ; ces trois points
appartiennent aux trois axes principaux cherchés.

Nous avons trouvé différentes autres solutions du problème ; mais qui exigent toujours
la construction d'une conique ; ce qui doit être , puisque le problème admet trois solu-
tions.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 83

)) courantes en un même point, leurs côtés se rencontreront deux à
)) deux en trois points qui seront situés en ligne droite; w et réci-
proquement.

Ce théorème se trouve, avec deux autres, dont l'un est sa réci-
proque, à la suite du Traité de perspective, rédigé par Bosse ', d'après
les principes et la méthode de Desargues, mise au jour en 1636. Quand
les deux triangles sont situés dans deux plans différons, le théorème
est de vérité intuitive, ainsi que le remarque Desargues; quand ils
sont dans le même plan, sa démonstration offre cela de remarquable
qu'il y est fait usage du théorème de Ptolémée sur le triangle coupé
par une transversale. C'est un des premiers exemples, chez les Mo-
dernes, de l'application de ce célèbre théorème, qui depuis est devenu
la base de la théorie des transversales.

Le théorème de Desargues a été reproduit, pour la première fois
dans ces derniers temps, par M. Servois, dans son ouvrage intitulé :
Solutions peu connues, etc.; et a été employé depuis par M. Brian-'
chon {Correspondance polytechnique, t. III, p. 3.), par M. Poncelet,
dans son Traité des propriétés projectives, et par MM. Sturm et
Gergonne {Annales de mathématiques, t. XVI et XVII). M. Poncelet
en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiques. Il a
appelé les deux triangles en question homologiques, le point de con-
cours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets, centre
dhomologie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs
trois côtés, axe d'homologie.

$ 29. Mais on ne s'est servi jusqu'à présent que des propriétés des-
criptives des deux triangles en question; et leurs relations métriques,
ou de grandeur, non moins importantes que celles de situation, n'ont
pas encore été considérées d'une manière générale. On n'en connaît
que quelques cas particuliers. Ainsi, quand les deux triangles sont
semblables et semblablement placés, auquel cas leur axe d'homologie

' Manière universelle de M. Desargue», pour pratiquer la perspective par petit pied, comme
legéométral. In-8°, 1648, png. 340.

*

84 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

est à l'infini, on sait que les distances de leur centre de similitude à
deux points homologues quelconques sont entre elles dans un rapport
constant; et quand le centre d'homologie des deux triangles est à
l'infini, on sait que ce sont les distances de deux points homologues,
à l'axe d'homologie, qui sont entre elles dans un rapport constant. On
conçoit que ces deux relations ne sont que des cas particuliers d'une
certaine relation générale relative à deux triangles homologiques quel-
conques, dont ni le centre ni Vaxe d'homologie ne sont à l'infini.
Nous démontrerons cette relation générale dans un chapitre de ce
mémoire; mais sa simplicité nous permet de l'énoncer ici, comme
complément du théorème de Desargues : elle consiste en ce que (( le
» rapport des distances de deux sommets homologues quelconques
» des deux triangles, à leur centre d'homologie, est au rapport des
)) distances des deux mêmes sommets à l'axe d'homologie, dans une
)) raison constante. » Ce théorème nous sera très-utile, en nous of-
frant de nombreuses propriétés nouvelles des figures homologiques,
et particulièrement du système de deux coniques quelconques, dont
on n'a encore étudié d'une manière générale que les propriétés des-
criptives \

Nous remarquerons encore, au sujet du théorème de Desargues,
qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui
semble en être, en quelque sorte, la première destination; c'est que :
a Quand deux figures planes, situées dans l'espace, sont la perspective
» l'une de l'autre, si l'on fait tourner le plan de la première autour
)) de sa droite d'intersection avec le plan de la seconde, les droites
)) qui iront des points de la première figure aux points correspondans
)) de la seconde, concourront toujours en un même point ^; et cela
)) aura encore lieu quand les plans des deux figures seront superposés

' Les relations métriques de deux coniques quelconques, connues jusqu'à ce jour, se ré-
duisent , je crois , à quelques relations harmoniques.

2 Ce point de concours variera de position dans l'espace ; et il est facile de voir qu'il décrira
un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite d'intersection des plans des deux
figures.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 85

)) l'un sur l'autre, m Ce théorème peut offrir une intelligence facile
de certaines pratiques de la perspective.

S 30. Desargues s'était occupé des applications de la Géométrie aux
arts, et avait traité cet objet en homme supérieur, y apportant, avec
une exactitude alors souvent inconnue aux artistes, les principes d'u-
niversalité que nous lui avons reconnus dans ses recherches de pure
Géométrie.

Divers écrits de lui furent publiés sur la perspective, la coupe des
pierres et le tracé des cadrans. Il paraît que ces ouvrages étaient
très-succincts, et pour ainsi dire comme des essais, qui renfermaient
la substance d'ouvrages qui devaient être plus développés et plus
complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui,
quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour ap-
précier le génie de Desargues, fut initié par lui dans ses nouvelles
conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière très-
diffuse, qu'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui
ne l'était certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant,
les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont
acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient, au
géomètre qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les prin-
cipes théoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques
inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titres :

1" Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés
réellement, ou en devis, avec leurs proportions , mesures, éloigne-
tnens, sans employer aucun point qui soit hors du champ de t ou-
vrage, par G. D. L. (Girard Desargues, lyonnais), à Paris, 1636.
Le privilège était de 1630.

2" Brouillon projet de la coupe des pierres. 1640.

3° Les cadrans, ou moyen de placer le style, ou Vaxe, inséré à la
fin du Brouillon de la coupe des pierres '.

' Noos OTons trouvé le titre du premier de ces trois ouvrages dans la Perspective de Nicêron

86 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Le traité de perspective arrangé par Bosse contient un fragment
de l'ouvrage original de Desargues. On y reconnaît le fondement et
la substance de tout l'ouvrage de Bosse. Le but que s'y propose Desar-
gues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de
l'objet, et au moyen seulement de cotes indiquant la position de
chacun de ses points dans l'espace, de même que ces cotes servi-
raient, en architecture, pour construire le plan géométral et les coupes
de cet objet. C'est à cette occasion qu'il imagina V échelle fuyante ,
maintenant si en usage chez les artistes, et qui porte le nom de
Desargues dans quelques traités de perspective. ( Voir celui d'Oza-
nam, pag. 62, édition de 1720, in-S".)

Cet ouvrage était, au témoignage de Fermât ce agréable et de
» bon esprit. )) Descartes en porta un jugement semblable en écri-
vant au P. Mersenne : « Je n'ai reçu que depuis peu de jours les deux
» petits livres in-folio que vous m'avez envoyés, dont l'un qui
» traite de la perspective {et qui était de Desargues) , n'est pas à
)) désapprouver, outre que la curiosité et la netteté de son langage
» est à estimer. » {Lettres, tom. IV, pag. 257.)

Le livre des cadrans mérita aussi l'approbation de Descartes, qui
trouva que « l'invention en était fort belle, et d'autant plus ingénieuse
)) qu'elle était plus simple. » {Lettres, tom. IV, pag. 147.) Ce grand
homme n'exprime pas son sentiment sur le livre de la coupe des
pierres , parce que les figures y manquaient '.

Il paraît que l'invention des épicycloïdes et de leur usage en méca-
nique, dont Leibnitz a revendiqué l'honneur pour le célèbre astro-

( in-fol., 16S2 ) , et dans celle de Lambert (2« partie , Zurich 1773 ; in-S») ; et les titres des deux
autres , qui paraissent aujourd'hui tout-à-fait inconnus , car nous n'en avions jamais vu aucune
mention nulle part , dans un ouvrage fort rare de J. Curabelle, intitulé : Examendes Œuvres
du sieur Desargues; Paris 16-44, in4°(81 pages).

' Baillet, dans la P^is de Descartes, dit que ces deux livres de Desargue» ne furent publiés
qu'en 1643. C'est une erreur; Baillet les confond avec ceux de Bosse , publiés en effet en 1643.
Cet écrivain ignorait que Desargues eût produit en 1640 son Brouillon projet de la coupe des
pierres, suivi des cadrans , qui est le seul ouvrage dont ait pu parler Descartes dans sa lettre,
écrite en 1641 , au P. Mersenne.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 87

nome Roemer, est due à Desargues. Car de La Hire nous apprend,
dans la préface de son Traité des épicycloîdes , qu'il a fait au château
de Beaulieu, près de Paris, une roue à dents épicycloïdales, à la place
d'une autre semblable , qui y avait été autrefois construite par
Desargues. De plus, de La Hire répète dans la préface de son Traité
de mécanique , publié en 1695, qu'il donne la construction d'une
roue où le frottement n'est pas sensible, et dont la première in-
vention était due à Desargues , un des plus excellens géomètres du
siècle.

S 31. Le caractère principal des écrits de Desargues était une
grande généralité dans ses principes théoriques et dans leurs applica-
tions, telle que celle qui fait la beauté et le grand mérite de la Géomé-
trie descriptive de Monge. Ainsi, il dit au commencement de son
Brouillon projet de la coupe des pierres , que sa manière de trait
pour la coupe des pierres est la même production que la manière
de pratiquer la perspective \ Et dans une lettre écrite en 1643,
jointe au traité des cadrans, arrangé par Bosse, Desargues parle de
sa pensée et façon de concevoir ces matières dans F universel ,
comme c'est l'unique façon légitime de faire des savons.

Nous citerons encore le passage suivant des Pratiques géomé-
trales et perspectives de Bosse : (( M. Desargues démontrait univer-
» sellement^ par les solides, ce qui n'est pas l'usage ordinaire de
)) tous ceux qui se disent géomètres ou mathématiciens. »

Ces mots de Bosse, par les solides, ne signifieraient- ils pas que
Desargues employait dans ses démonstrations la considération des
figures à trois dimensions, pour parvenir aux propriétés des figures
planes? ce qui est aujourd'hui le caractère de l'école de Monge, en
Géométrie spéculative.

Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desar-
gues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie

' Ces paroles de Desargues sont rapportées par Carabelle , pa;;. 70 de son ouvrage cité pré-
cédemment.

38 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

et à ses applications; mais qu'il écrivait aussi sur l'analyse : on y
voit même que les matières philosophiques lui étaient également fa-
milières.

Ces détails montrent le génie de Desargues, dont ses plus illustres
contemporains. Descartes, Pascal, Fermât, faisaient le plus grand
cas; mais que des hommes médiocres, dont la nouveauté et la gé-
néralité de ses vues surpassaient l'intelligence, ont persécuté et
dégoûté.

On doit à M. Poncelet d'avoir, le premier, dans son Traité des
propriétés projectives , apprécié ce véritahle et profond géomètre,
et de l'avoir reconnu , sous le titre mérité de (( Monge de son
siècle, » comme l'un des fondateurs de la Géométrie moderne.

Nous ajouterons quelques détails au sujet de Desargues dans la
Note XIV.

Nous ne retrouverons que plus d'un siècle après, l'esprit des mé-
' thodes de Desargues et de Pascal. C'est de La Ilire qui nous le
transmettra, dans son premier ouvrage sur les coniques, en 1673.
Ce géomètre eut connaissance du Brouillon projet des coniques
de Desargues, dont il cite le titre; mais il parait que déjà VEssai
pour les coniques de Pascal était tombé dans l'oubli \

S 32. En parlant historiquement des travaux de Desargues et de
Pascal sur la théorie des coniques, on doit citer un troisième géomètre,
leur contemporain, qui les avait devancés de quelques années dans
«YD0B6E, cette partie de la science. Mydorge, célèbre comme savant, et comme
1585-1647. ami de l'illustre Descartes, eut le mérite d'être le premier en France
qui écrivit un traité des sections coniques , et qui entreprit de simplifier
les démonstrations des Anciens, et d'aller au delà de ce qu'ils avaient
fait sur ce sujet.

Cet ouvrage parut d'abord en 1631 , en deux livres, puis en 1641 ,

' Cum iiihil de his Pascalii, Desargtiesii autem pauca sint édita , eo gratior fuit lahor doctis-
sinii geometrœ l'h. de La Ilire, qui vestigiis istoriim insistens , multaque perpulchra de suo
adjiciens , jain ante 12 annos lihellum tittilo Nov.ï methodi SECTionES co.nicas et cylisdricas expli-
cANDi edidit (Jet. Erud., ami. 1685 , pag. 400.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 89

en quatre livres ; et devait être suivi de quatre autres qui sont restés
manuscrits. Le P. Mersenne nous en a donné les titres dans son
recueil Vnwersœ Geometriœ mixtœqucy etc., pag. 329. Mydorge n'a
pas pour but principal, comme Desargues et Pascal, de faire dériver
les propriétés des coniques de celles du cercle par la perspective
ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance.
Son ouvrage est écrit dans le style des Anciens ; mais cependant, en
faisant plus d'usage qu'eux de la considération du cône *, l'auteur
peut comprendre dans une seule démonstration des propositions qui
en demandaient trois à Apollonius ; et il apporte ainsi une grande sim-
plification dans cette matière.

On remarque dans l'ouvrage de Mydorge une solution élégante
de ce problème : « Placer sur un cône donné une section conique
donnée, w qu'Apollonius n'avait résolu, dans son sixième livre, que
pour un cône droit. (Propositions 39, 40 et 41 du 3^ livre.)

Le second livre est destiné à la description des coniques par points
sur le plan; objet dont Apollonius ne s'était pas occupé, mais qui
avait dû être compris dans les lieux solides d'Aristéej car cet ouvrage
traitait des coniques considérées sur le plan, et devait rouler sur celles
de leurs propriétés qui ne font point partie des Élémens coniques
d'Apollonius, puisque Aristée lui-même avait écrit un pareil traité,
différent de ses lieux solides.

Parmi les modes de description de Mydorge, nous citerons celle de
l'ellipse par un point d'une droite dont les deux extrémités glissent
sur deux droites fixes ^ ; et la description de la même courbe au moyen
du cercle dont on alonge toutes les ordonnées dans un rapport con-
stant; description déjà employée par Stévin {Œuvres mathématiques,

' Nous entrerons dans quelques développemens sur la méthode des Anciens, en parlant du
grand Traité des coniques de De La Hire.

* Ce mode de description avait déjà été démontré par Stévin , qui en attribue l'invention
à Guido Ubnldi , qui en effet l'avait donné dans son traité intitulé : Planisphœricorum univer-
salium Thcorica (in-4", 1570) ; mais cette description de l'ellipse fut connue des Anciens, ainsi
que nous l'apprend Proclus, dans son Commentaire sur la seconde proposition du l" livre
d'Euclide.

ToM. XL 12

90 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

pag. 348). On trouve dans le même livre que si d'un point pris dans
le plan d'une conique on mène des rayons aux points de la courbe,
et qu'on les prolonge dans un rapport donné, leurs extrémités seront
sur une nouvelle conique, semblable à la première; proposition extrê-
mement s impie , contenue virtuellement dans le sixième livre d'Apol-
lonius, qui traite des coniques semblables, et que nous ne citons ici,
que parce qu'elle est, avec le mode de description précédente (l'a-
longement des ordonnées dans un rapport constant), le point de
départ, et le cas le plus simple d'une méthode de déformation des
figures, que nous verrons prendre de l'extension entre les mains de
La Hire et de Newton , que M. Poncelet , dans son traité des figures
projectives, a étendue aux figures à trois dimensions , et que nous
regardons dans l'état d'accroissement où nous la présentons dans la
seconde partie de cet écrit, sous le titre de Déformation homogra-
phique, comme l'une des méthodes les plus puissantes de la Géométrie
moderne.

5 33. L'étendue que nous avons donnée à l'analyse des ouvrages de
Desargues et de Pascal qui se rapportent à la Géométrie récente,
nous a éloigné de cette autre partie de la Géométrie, qui concerne les
mesures, et qui fait usage sous une forme explicite ou déguisée avec
plus ou moins d'art, des considérations de l'infini.

Revenons à cette partie de la science, où nous avons déjà eu à
citer comme inventeurs Kepler, Guldin, Cavalleri, Fermât, Rober-
val, Pascal. A la suite de ces hommes de génie, et sur le même
rang, nous trouvons Grégoire de St.-Vincent.
GRÉGOIRE DE sAisT- Qq géomètrc , l'un des plus profondément versés dans la Géométrie
1584-1667. ancienne, appliqua, comme Cavalleri et Roberval, mais d'une ma-
nière qui lui était propre, les méthodes d'Archimède, pour les qua-
dratures des espaces curvilignes. Sa méthode, intitulée ffuctus plani
in planum , perfectionnement , comme celles de Cavalleri et de
Roberval , de la méthode d'exhaustion , était rigoureuse comme
celle-ci, et d'un usage plus facile que les autres. La disposition dif-
férente des polygones inscrits et circonscrits aux courbes lui donnait

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 91

une plus grande portée, dont Grégoire de St. -Vincent sut tirer un
parti considérable. Cette difl'érence entre la méthode d'Archirnède et
celle de Grégoire de St.-Vincent eut un autre avantage très-grand;
car on peut regarder avec raison que le petit triangle difl'érentiul qui
apparaît dans les figures de Grégoire de St.-Vincent, entre la courbe
et deux côtés consécutifs de l'un des deux polygones à échelles (in-
scrit ou circonscrit), a conduit Barrow, Leibniti et Newton au
calcul infinitésimal. C'est ainsi que dans les sciences toutes les vérités
s'enchaînent et s'étendent, et que les plus grandes découvertes, loin
d'être inspirées par révélation, ont été préparées de longue main.

Grégoire de St.-Vincent, dont le mérité n'a point été assez appré-
cié, malgré le jugement porté par Uuygens et par Leibnitz ', enri-
chit aussi la Géométrie de découvertes innombrables sur les sections
coniques. C'est à lui qu'on doit la propriété remarquable des espaces

' Voici les paroles de Leibnitz : Majora (nempè Galileanis et Cavallerianis) subsidia attule-
runt triumviri célèbres , Cartesius ostensa ratione lineas Geometriœ communis exprimendi per
œquationes ; Fermatius inventa methodo de maximis et minimis: ac Gregorius a sancto Vin-
centio multis prœclaris inventis. (^Âcta erudit., 1686, et OEuvres de Leibnitz, tom. 111, png. 192.)

Quinze ans après , Leibnitz écrivait encore : Elsi Gregorius à S, P^incentio quadraluram
circuit et hyperboles non absoherit, egregia lamen multa dédit. ( OEuvres de Leibnitz , toin. VI ,
pag. 189.)

Montucla s'exprime ainsi, dans son Histoire des mathématiques :

« L'ouvrage de Grégoire de St.-Vincent est un vrai trésor, une mine riche de Térités géomé-
» triques et de découvertes importantes et curieuses. »

Si les travaux de Grégoire de St.-Vincent n'ont point été cultivés comme ils étaient dignes
de l'être , la cause en est due , sans doute , à l'invention presque contemporaine de la Géomé-
trie de Descartes, et du l'analyse infinitésimale, qui ont tourné toutes les méditations vers le
calcul. Nous croyons pouvoir, après le double témoignage que nous venons de citer sur le
mérite de ce géomètre , engager les jeunes mathématiciens qui ont foi dans les ressources et
dans l'avenir de la Géométrie , à lire ses ouvrages. Plusieurs de ses belles découvertes leur
paraîtront encore nouvelles.

Une intéressante notice de M. Quetelet, sur Grégoire de St.-Vincent, nous apprend qu'il n
laissé de nombreux manuscrits, qui ont été réunis en 13 vol. in-fol. , et que possède la Biblio-
thèque de Bruxelles. « Il serait à désirer, ajoute M. Quetelet , qu'un ami des sciences prit la
peine d'examiner ce rare monument. Il trouverait peut-être des choses qu'aujourd'hui même
nous ignorons. Car les sections coniques oflrent une source intarissable de propriétés , et l'on
ne peut dire sans témérité que cette matière est épuisée. » ( Correspondance mathématique et
physique , tom. 1", pag. 162.)

92 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

hyperboliques entre les asymptotes, qui sont les logarithmes des
abscisses.

Parmi ses nombreuses manières d'engendrer les coniques sur le
plan, l'une par l'autre, nous devons citer ici deux procédés, qui,
depuis, sont devenus d'un usage fréquent dans les arts, et qui sont
le point de départ d'une série de méthodes pour la transformation
des figures, qui forment une des doctrines les plus importantes de la
Géométrie récente.

Le premier, qui avait déjà été employé par Stévin et Mydorge,
consiste à faire croître dans un rapport constant, les ordonnées d'une
courbe, et le second à faire tourner ces ordonnées autour de leurs
pieds, d'une même quantité angulaire, de sorte qu'elles restent pa-
rallèles entre elles.

Grégoire de St.-Vincent transformait le cercle en ellipse, par chacun
de ces deux procédés, ou par tous les deux, combinés de diverses
manières.

Nous devons dire toutefois que ces deux modes de transformation
n'en font réellement qu'un, et produisent identiquement les mêmes
figures; mais ils sont présentés sous une forme différente, qui leur
donne à chacun des avantages particuliers.

Il est toujours utile de considérer ainsi de plusieurs points de vue
une même vérité, pour en faire tous les usages et en tirer toutes les
conséquences dont elle est susceptible.

La théorie des coniques nous a déjà offert de cela une preuve
bien convaincante, par les différentes transformations que nous avons
vu que l'on peut faire subir soit au théorème de Desargues, soit à
celui de Pascal, et qui les mettent en état d'embrasser dans leurs
conséquences infinies la plupart des propriétés des coniques. (Voir
la Note XV.)

Grégoire de St.-Vincent fit sur la symbolisation de la spirale et de
la parabole, objet dont s'était occupé de son côté Cavalleri, un traité
profond, qui contient des rapprochemens étonnans entre ces deux
courbes, dont les nombreuses propriétés se correspondent. L'égalité

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 93

de deux arcs correspondans des deux courbes, démontrée aussi par
Roberval, mais d'une manière difficile, par sa doctrine des mouvemens
composés, a été plus tard le sujet d'un beau mémoire de Pascal, qui
offre le premier exemple de la comparaison de deux lignes de difiérente
nature par la pure Géométrie des Anciens, et sans la considération
des indivisibles '.

§ 34. Si nous écrivions une histoire de la Géométrie, et non point
seulement un aperçu de la formation successive de ses méthodes et
principalement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne,
nous aurions à citer, pour remplir le cadre de cette seconde Époque,
les travaux de plusieurs autres géomètres qui cultivèrent aussi avec
succès la pure Géométrie des Anciens et la nouvelle doctrine des
indivisibles, et qui contribuèrent aux progrès considérables que la
science fit alors. A leur tète se présenteraient les deux célèbres disciples
de Galilée, Torricelli et Viviani, dont nous aimerions surtout à retracer
les belles et importantes recherches, puis Leotaud, La Loubère, Gre-
gory, Etienne de Angelis, Michel-Ange Ricci, Mercator, Schooten,
Ceva, Huygens, Sluze, Wren, Nicolas, Lorenzini, Guido-Grandi, etc.

Plusieurs de ces géomètres s'adonnèrent aussi à la Géométrie de
Descartes, qui prenait naissance, et vont figurer dans l'Époque sui-
vante, parmi les promoteurs de cette grande invention.

' Égalité des lignes spirale et parabolique (OEuvres de Pascal, (om. V, pag. 426"4o2).

94 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

VVVV\\AIVVV\IV\NVVVVVV\IVVV\IV\ftA\\AAA(\\VV/V\\IVVVVV\^^

CHAPITRE m.

1 t

TROISIEME EPOQUE.

DESCARTES, § 1er. Le plus signalé service rendu à la Géométrie est dû à Descartes.

1596-1650. (;^g philosophe, par son inappréciable conception de V application de
l'algèbre à la théorie des courbes, se créa les moyens de franchir les
obstacles qui avaient arrêté les plus grands géomètres jusqu'alors, et
changea véritablement la face des sciences mathématiques \

Cette doctrine de Descartes, dont aucun germe ne s'est trouvé dans
les écrits des géomètres anciens, et la seule peut-être dont on puisse
dire, comme Montesquieu de son Esprit des lois, prolem sine matre
CREATAM, cette doctrine, dis-je, eut pour effet de donner à la Géométrie
le caractère d'abstraction et d'universalité qui la distingue essentiel-
lement de la Géométrie ancienne. Les méthodes créées par Cavalleri,
Fermât, Roberval, Grégoire de St.-Vincent, portaient aussi, dans leurs
principes métaphysiques, le cachet de cette généralité; mais ne l'a-
vaient point dans leurs applications. La conception de Descartes,
seule, procurait les moyens d'appliquer ces méthodes d'une manière
uniforme et générale; elle était l'introduction nécessaire aux nouveaux

' L'application de l'algèbre à la théorie des courbes est l'objet de la Géométrie de Descartes ,
qui parut à Leyde en 1637 , avec son Traité des Météores et sa Dioptrique , à la suite et comme
essais de sa célèbre 3Iéthode , sur laquelle repose la philosophie moderne.

Aucun système , certainement , n'avait jamais été produit avec l'autorité que donnaient a
la Méthode de Descartes de tels Essais.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 95

calculs de Leibnitz et de Newton, qui dès lors n'ont point tardé à surgir
de ces belles méthodes.

La Géométrie de Descartes, outre ce caractère éminent d'univer-
salité, se distingue encore de la Géométrie ancienne sous un rapport
particulier, qui mérite d'être remarqué; c'est qu'elle établissait, par
une seule formule, des propriétés générales de familles entières de
courbes; de sorte que l'on ne saurait découvrir par cette voie quelque
propriété d'une courbe, qu'elle ne fasse aussitôt connaître des pro-
priétés semblables ou analogues dans une infinité d'autres lignes.
Jusque-là, on n'avait étudié que des propriétés particulières de quel-
ques courbes, prises une à une, et toujours par des moyens diffé-
rens qui n'établissaient aucune liaison entre différentes courbes.

Aussi la Géométrie prit dès lors un essor rapide, et ses progrès
s'étendirent sur toutes les autres sciences qui sont de son domaine.
L'algèbre elle-même en reçut d'utiles secours; ses opérations symbo-
liques devinrent plus faciles à saisir, son importance s'accrut; et ces
deux branches principales de nos connaissances positives marchèrent
d'un pas également assuré.

Quant à l'algèbre, nous nous bornerons à dire que l'un des pre-
miers et des plus grands avantages que la Géométrie lui procura, fut
l'interprétation et l'usage des racines négatives, que jusque-là on
regardait comme insignifiantes, et qui avaient si fort embarrassé les
anciens analystes.

La méthode des coefficiens indéterminés, que Descartes créa dans
sa Géométrie, et dont il lit un si heureux usage, pour la construction
des lieux solides, est aussi une des découvertes les plus ingénieuses
et les plus fécondes de l'analyse.

S 2. L'esprit et les procédés de la Géométrie de Descartes sont trop
connus de toutes les personnes qui ont les premières connaissances en
mathématiques, pour que nous entrions ici dans aucun dévelop-
pement.

Nous allons tout de suite présenter un aperçu des travaux des prin-
cipaux écrivains, parmi les contemporains de Descartes, qui cultivèrent

96

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

DE BEADNE^
1601-1651.

les premiers sa Géométrie et qui s'en servirent pour étendre le cercle
des vérités mathématiques, particulièrement dans la théorie des
courbes.

On distingue d'abord Fermât et Roberval.

Le premier, digne émule de Descartes, employait lui-même, déjà,
des procédés analytiques semblables à sa Géométrie , avant qu'elle eût
paru. Mais la nature et le caractère spécial de ses travaux, basés en
grande partie sur sa belle méthode De maccimis et minimis, les rap-
prochent beaucoup plus des doctrines de la Géométrie ancienne que
de celles de Descartes.

Roberval, que la rivalité jalouse qui a existé entre lui et ce grand
philosophe portait à critiquer minutieusement la nouvelle Géométrie,
contribua de cette manière à en répandre la connaissance. Ce géomè-
tre a fait d'ailleurs, en quelque sorte, amende honorable, en laissant
sous le titre De resolutione œquationum,, une application intelligente
de cette méthode à la construction des lieux par leurs équations.

S 3. Dès que la Géométrie de Descartes eut paru, de Beaune en
pénétra l'esprit et l'excellence, et en facilita la lecture par des Notes,
très-estimées de Descartes lui-même, sur les passages qui, par leur
concision et la nouveauté du sujet, offraient des difficultés aux meil-
leurs géomètres.

C'est de Beaune qui, le premier, conçut l'idée d'introduire dans la
théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes, comme élément
propre à leur construction; et qui, par une question de cette nature
proposée à Descartes, donna ainsi naissance à la m,étJiode inverse
des tangentes.

Il s'agissait de construire une courbe telle que le rapport de sa sou-
tangente (prise sur l'axe des abscisses) à l'ordonnée, fut dans une
raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe
et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des abscisses,
passant d'ailleurs par l'origine de la courbe'.

' Lettres de Descartes , toni. VI , pag. 213.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 97

Ce problème, difficile, môme avec le secours du calcul intégral, et
qui a occupé, à la naissance de ce calcul, Leibnitz et les frères Ber-
noulli, a été résolu par Descartes, qui, avec son habitude de vaincre
les plus grandes diflicultés en Géométrie, sut ramener la question aux
lieux géométriques, en considérant chaque point de la courbe comme
l'intersection de deux tangentes infiniment voisines; et découvrit ainsi
que la courbe avait une asymptote parallèle à l'axe fixe, et que la
soutangente prise sur cette asymptote était constante. Ces propriétés
ont conduit Descartes à la construction de toutes les tangentes de la
courbe, et à celle de la courbe elle-même par l'intersection de deux
règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommen-
surabilité de ces deux mouvemens lui fit voir que la courbe était
mécanique, et de celles auxquelles ne s'appliquait point son analyse.
Aussi n'en donna-t-il pas l'équation. [Lettres de Descaries, t. VI,

p. 137.)'

Descartes n'avait compris dans sa Géométrie que les courbes dont
l'équation, dans son système de coordormées, était d'un degré fini; il
les appela courbes géométriques, et donna le nom de mécaniques à
toutes celles qui n'étaient pas géométriques. Leibnitz a substitué à ces
dénominations celles de courbes algébriques et courbes transcen-
dantes. On se sert maintenant indifféremment des deux expressions
géométriques et algébriques, pour désigner les courbes que Descartes
a considérées dans sa Géométrie. Mais nous emploierons toujours la
première, parce que les courbes auxquelles elle s'applique se distin-
guent de toutes autres par certaines propriétés géométriques qui leur
sont communes, tout aussi bien que par la nature de leurs équations;
et de plus on peut démontrer ces propriétés avec les seuls secours de
la Géométrie, et sans employer le système de coordonnées et les for-
mules algébriques de Descartes.

' Ln lettre dans laquelle Descartes communique à De Beaune ses idées sur cette question
d'un nouveau genre, qu'il regarde comme Yinverse de sa règle des tangentes, nous paraît mé-
riter de figurer comme l'un des documens les plus importans dans l'histoire des nouveaux
calculs.

To«. XI. 13

98 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

scHooTEi», S 4. Schooten écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de

16-1659. Descartes, et fit de nombreuses applications de cette méthode dans
plusieurs parties de ses Exercitationes Geometricœ , principalement
dans le livre 3'', qui est la restitution des lieux plans d'Apollonius; et
dans le livre 5*^, intitulé : De lineis curvis superiorum generuni, ex
solidi sectione ortis. C'est là que nous trouvons le premier exemple de
la méthode des coordonnées appliquée aux courbes considérées dans
l'espace; mais il est vrai qu'il n'y est question que de courbes planes,
et que Schooten n'a besoin d'employer que deux coordonnées. Mais
ce genre de spéculations n'en était pas moins nouveau alors, et un
premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui,
comme nous le verrons à la fin de cette troisième Epoque, ne s'est
développée que cinquante ans plus tard.

Schooten a écrit un Traité de la description orçjanique des coni-
ques, où il enseigne différentes manières de décrire ces courbes d'un
mouvement continu. La description de l'ellipse par un point d'une
droite, dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle, était déjà
connue; Guido Ubaldi et Stévin l'avaient donnée, et elle était due aux
géomètres anciens, ainsi que nous l'avons dit en parlant de Proclus.
Schooten la généralisait , en prenant le point décrivant au dehors de
la droite mobile. L'ouvrage contient, outre la description des sections
coniques, leur quadrature par la méthode des indivisibles de Cavalleri.

5 5. Le second livre des Exercitationes Geometricœ , est un recueil
de problèmes résolus par la ligne droite seulement. Ce sont les pre-
miers exemples que nous trouvons de ce genre particulier de Géomé-
trie, qui a été traité dans ces derniers temps d'une manière spéciale,
par MM. Servois et Brianchon, sous le nom de Géométrie de la règle.
A la suite de ce livre, et sous le titre d'Appendix, Schooten résout
douze problèmes, dans lesquels il suppose que des obstacles rendent
des points, ou des lignes, inaccessibles ou invisibles dans certaines
positions. Il confesse qu'il a été porté à ce genre de recherches par la
lecture d'un ouvrage intitulé Geometria peregrinans, où l'auteur se
proposait de résoudre, en se servant de jalons seulement, les problèmes

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 99

de Géométrie pratique, qui se présentent particulièrement à la guerre.

Cet ouvrage, anonyme et sans date, a paru à Schooten n'être pas •u-tiMi

ancien et avoir été imprimé en Pologne.

§ 6. Les secours que l'analyse fournissait à la Géométrie étaient si
grands et si merveilleux, que Schooten fut un des mathématiciens
qui voulurent attribuer à cette méthode la clarté et l'élégance que les
Anciens apportaient dans les démonstrations et les constructions de
leurs théorèmes et problèmes, les accusant d'avoir supprimé, pour
rendre leurs inventions plus capables d'exciter l'admiration de la
postérité, la véritable voie qu'ils avaient suivie. Pour appuyer cette
opinion, Schooten fit voir par de nombreuses questions traitées des
deux manières ', qu'effectivement la méthode synthétique peut toujours
se déduire de la méthode analytique. Mais Schooten ne s'attachait pas
assez à la vraie signification que les Anciens avaient donnée au mot
analyse, et aux exemples que Pappus particulièrement nous avait
laissés de cette méthode, et ce fut là la cause de son erreur; car ne
reconnaissant point d'autre analyse que celle qui repose sur l'emploi
de l'algèbre, et n'en trouvant aucun vestige avant Diophante, il en
concluait que les Anciens avaient caché leur analyse.

Cette accusation, portée par Schooten, l'avait été en premier lieu
par Nonius dans son algèbre, et a été reproduite au chapitre II de
l'algèbre de Wallis; mais depuis elle est restée sans créance et a paru
absurde.

5 7. Sluze et Hudde perfectionnèrent les méthodes de Descartes et sidie,
de Fermât, pour mener les tangentes et déterminer les maxima et '«"-'***
mimma:(ii le premier, s appliquant a la belle construction que Ues- ibm-ito*
cartes avait donnée des équations du troisième et du quatrième degré,
par un cercle et une parabole, eut la gloire de la compléter, en se
servant d'un cercle et d'une section conique quelconque de grandeur
donnée; généralisation alors très-désirée des géomètres.

' Traclatut de concinnandis demonstrationibus geometrici» ex calcula algebraïco. OuTrage pos-
thume. On y trouve tline démonstration analytique du théorème de Ptolémée sur les segmen»
qu'une transversale fait sur les trois côtés d'un triangle.

100 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

DE wiTT, § 8. Le célèbre pensionnaire de Hollande, Jean De Witt, simplifia

1625-1672. la théorie analytique des lieux géométriques de Descartes, et imagina
une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques, fondée sur
diverses descriptions de ces courbes, sur le plan, sans se servir du
cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs
propriétés principales.

Les descriptions de De Witt se faisaient par des intersections de
lignes droites qui, généralement, étaient les côtés d'angles mobiles.
Jusque-là il n'y avait eu que la parabole qu'on eût décrite de la sorte.
L'ellipse et l'hyperbole tiraient leur génération du cercle directement,
ou bien nécessitaient l'emploi de cette courbe dans leurs divers modes
de description.

Cependant nous devons dire que Cavalleri avait déjà eu l'idée de
rechercher pour l'ellipse et l'hyperbole un mode de description par
la ligne droite, analogue à celui de la parabole; et ses recherches
avaient eu un premier succès que ce célèbre géomètre avoue lui avoir
causé un vif plaisir '. Voici le principe de sa méthode, que nous pré-
sentons sous un énoncé plus général, qui la fera mieux concevoir :
(( Que l'on ait un angle, et qu'on mène des transversales parallèles
entre elles; que, des points où chaque transversale rencontre les deux
côtés de l'angle, on mène deux droites aboutissant respectivement à
deux points fixes; ces deux droites se couperont en un point qui aura
pour lieu géométrique une conique passant par les deux points fixes. »

Ce n'est pas ce théorème général que Cavalleri démontre , mais
seulement un de ses cas particuliers ; il suppose l'angle droit, les deux
points fixes placés sur ses côtés, et la direction des transversales telle
que ces deux points sont les sommets de la courbe.

Ainsi la pensée qui a dirigé De Witt, dans ses descriptions des
coniques par la ligne droite, n'était pas absolument nouvelle; mais
Cavalleri s'étant borné à un seul théorème, l'un des plus restreints de

1 Exercitationes geometricœ sex. Bononiœ , in-4" ; 16-47.

De modo facili describendi sectiones conicas , et in omnibus uniformi. [Exercitatio sexta.)

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 101

cette théorie qui est extrêmement féconde, l'ouvrage de De Witt pré-
sente réellement un caractère de nouveauté qui mérite d'être remarqué
dans l'histoire de la Géométrie.

Outre ce caractère de nouveauté, nous trouvons aussi, dans les
descriptions de De Witt, le germe de cette célèbre description orga-
nique des coniques, donnée par Newton dans le l^"* livre des PHnci-
pes, puis répétée dans VEnumération des lignes du troisième ordre,
et dans Y Arithmétique universelle. On obtient, en effet, plusieurs
théorèmes de De Witt, en supposant, dans celui de Newton, qu'un
angle soit nul et son sommet situé à l'infini.

La préface de l'ouvrage de De Witt nous apprend qu'il le regardait
comme l'introduction à une théorie générale et à l'énumération des
courbes d'un ordre supérieur. Idée féconde, que réalisèrent, cinquante
ans après. Newton, Maclaurin et Braikenridge.

§ 9. Wallis écrivit, le premier, un Traité analytique des sections waius,
coniques, suivant les doctrines de la Géométrie de Descaries. Mais sa 1616-1703.
prédilection fut pour cette autre partie de la Géométrie, qui se rat-
tache aux découvertes d'Archimède. En appliquant aussi, dans son
Arithmétique des infinis, la puissante analyse cartésienne à la méthode
des indivisibles de Cavalleri, il fit faire à la Géométrie des progrès
immenses dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine
du calcul intégral.

S 10. Iluygens, Van Heuraet et Neil furent aussi les promoteurs de
la Géométrie de Descartes.

Ces deux-ci se partagent la gloire d'avoir résolu, les premiers, le
problème de la rectification d'une ligne courbe, qui passait auprès
de quelques géomètres pour être, par sa nature, absolument insoluble,
et qui, du reste, offrait, à cette époque, de grandes difficultés d'un
ordre nouveau.

SU. Iluygens est célèbre à tant de titres , et ses travaux font tant
d'honneur à la Géométrie, qu'il nous faut entrer ici dans quelques
détails.

Ce grand géomètre sut à fond la méthode de Descartes, s'en servit.

ta:i lEDiiiT , aiii.

■DTSER9 ,
1619-169S.

102 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

et la perfectionna même dans plusieurs de ses applications. Mais son
goût irrésistible le retint fidèle à la méthode des Anciens, où la force
de son génie savait triompher des plus grandes difficultés.

S'il ne s'agissait que de marquer la place qu'Huygens doit occuper
dans l'histoire des mathématiques, il suffirait de dire que Newton
ne l'appelait que du surnom de Grand (Summus Hugenius), et ne
parlait de ses découvertes qu'avec admiration. « Il le tenait pour l'écri-
vain le plus éloquent qu'il y eût parmi les mathématiciens modernes ,
et pour le plus excellent imitateur des Anciens, admirables suivant lui,
par leur goût et par la forme de leurs démonstrations *. y>

Voici un aperçu des découvertes qu'Huygens dut à la Géométrie
des Anciens, et qui montre bien toutes les ressources que peut offi-ir
cette méthode à celui qui sait en pénétrer l'esprit et y découvrir les
voies de l'intuition qui lui est propre.

Huygens , en s'occupant de la quadrature approchée du cercle et
de l'hyperbole, trouva entre ces deux courbes des rapports nouveaux
et singuliers.

Il donna la rectification de la cissoïde, quand on n'avait encore rec-
tifié que deux courbes, la parabole cubique et la cycloïde.

Il détermina les surfaces des conoïdes paraboliques et hyper-
boliques ; premier exemple de telles déterminations de surfaces
courbes.

On lui doit des théorèmes curieux sur la logarithmique, et les solides
qu'elle engendre. Toutes ces propriétés, qui n'avaient été qu'énoncées
par Huygens à la suite de son discours sur la cause de la pesanteur,
ont été démontrées par Guido-Grandi , à la manière des Anciens.

Huygens résolut le problème de la chaînette, imaginé par Galilée,

' Pemberton , Préface des Élémens de la philosophie newtonienne.

On peut penser que cette admiration méritée pour le style géométrique d'IIuygens causa
chez le grand Newton une sorte d'émulation qui lui fit adopter la même manière d'exposi-
tion et de méthode dans son immortel ouvrage des Principes , quoiqu'il fût déjà en possession
de toutes les ressources de l'analyse la plus savante.

Nous énonçons cette opinion d'après M. le B'"". Maurice , qui l'a émise dans son excellente
Notice sur la vie et les travaux d' Huygens.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 103

qui y avait échoué, et remis sur la scène par Jacques Bemoulli; et
le célèbre problème de la courbe aux approches égales, proposé par
Leibnitz^ comme défi, aux disciples de Descartes, à l'occasion de son
démêlé sur la mesure des forces vives. Ces deux questions paraissaient
aux deux illustres géomètres qui les proposaient, nécessiter impé-
rieusement le calcul intégral. Huygens sut les résoudre par les seules
ressources de la Géoinétrio ancienne.

§ 12. Le célèbre traité De horologio oscillatorio doit prendre
place à côté de l'ouvrage des Principes , dans l'histoire des grandes
conceptions de l'esprit humain; il en est l'introduction indispen-
sable que Newton eût dû créer, si le génie d'Huygens ne l'eût
prévenu.

Chacun des chapitres de ce traité suffirait seul pour exciter l'ad-
miration.

' Le premier est la description des horloges à pendule, qui offraient^
pour la première fois, la mesure exacte du temps.

Le deuxième , intitulé De descensu gravium , complétait la grande
découverte de Galilée sur l'accélération des corps qui tombent libre-
ment par la pesanteur, ou qui glissent sur des plans inclinés. Huygens
considérait leur mouvement sur des courbes données. C'est là qu'il
démontra cette célèbre propriété de la cycloïde , d'être la courbe
tautochrone dans le vide. jh oqs.

j Le troisième {De enolutione et dimensione Unedrum curvartim)
est la célèbre théorie des développées ; acquisition capitale pour la
théorie des courbes, et dont les usages dans toutes les autres parties
des sciences mathématiques sont devenus aussi fréquens qu'étendus.
Cette importante découverte ne fut point une simple spéculation géo-
métrique dans les mains d'Huygens. H sut en tirer les plus heureuses
conséquences, pour démontrer une foule de propositions neuves et
remarquables, telles que divers théorèmes sur les rectifications des
courbes, et la propriété de la cycloïde, d'avoir pour développée une
seconde cycloïde égale, qu'on peut considérer comme la cycloïde même,
déplacée dans le sens de sa base de toute la longueur de la demi-cir-

104 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

conférence du cercle générateur, et dans le sens perpendiculaire à la
base, de la longueur du diamètre de ce cercle '.

Dans le quatrième chapitre de VHorologium oscillatorium, Huygens
résolvait d'une manière générale et complète le fameux problème des
centres d' oscillation j qui avait été proposé par Mersenne , et fort agité
entre Descartes et Roberval. C'est dans cette solution que l'on vit,
pour la première fois, l'un des plus beaux principes de la mécanique,
connu depuis sous le nom de principe de la conservation des forces
vives.

Enfin , le cinquième chapitre , où Huygens donnait une seconde
construction de ses horloges, est suivi des treize célèbres théorèmes sur
la force centrifuge dans le mouvement circulaire.

Ce fut l'application de cette théorie au mouvement de la terre autour
de son axe, et au mouvement de la lune autour de la terre, application
qui dérivait virtuellement des propositions 2 , 3 et 5 , qui fit découvrir
à Newton la loi de la gravitation de la lune vers la terre.

Cette même théorie semblait être le complément de celle des dé-
veloppées, pour conduire naturellement à la connaissance des forces
centrales dans le mouvement curviligne, qui fut aussi l'une des grandes
découvertes de Newton, et qui lui donna la démonstration à priori des
fameuses lois de Kepler. Mais ces rapprochemens échappèrent à l'esprit
d'Huygens, occupé de tant d'autres grandes conceptions.

S 13. Le traité de la lumière est un des plus beaux monumens du
génie d'Huygens, qui sut appliquer, avec une sagacité admirable, la
Géométrie à son ingénieuse théorie des ondes. On y remarque surtout
la belle loi mathématique , qu'il découvrit dans les phénomènes de la
double réfraction du spath d'Islande. C'était, je crois, la première

• Par cette disposition , la cycloïde et sa développée forment un pont à deux étages ; le
piédroit de l'étage supérieur repose sur la clef de l'étage inférieur.

On a coutume de dire que la développée de la cycloïde est une seconde cycloïde égale
et posée dans une situation renversée , ou bien posée en sens contraire. { Voyez V Analyse des
infiniment petits du marquis de Lhopital, pag. 92, et VHistoire des Mathématiques de Mon-
tucla, tora. II, pag. 72 et 154). Cette manière de s'exprimer est erronée. C'est pour cela
que nous avons décrit minutieusement la position de la cycloïde et de sa développée.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 103

apparition, qui s'est reproduite depuis, des surfaces du second degré
dans les phénomènes naturels. Cette grande découverte a été complétée
par Fresnel, qui, pour expliquer les phénomènes de la polarisation de
la lumière, a substitué aux ondes ellipsoïdales d'Huygens une surface
du quatrième degré '. Fresnel, qu'une mort prématurée a enlevé aux
sciences physiques et mathématiques, dont il était déjà l'un des plus
illustres adeptes, a rendu une nouvelle vie par ce grand travail à la
théorie d'Huygens, tombée depuis plus d'un siècle dans un oubli inex-
plicable ; il l'a replacée au rang qu'elle doit occuper parmi les grandes
vérités du monde physique.

C'est ici le lieu de remarquer encore une belle déduction mathéma-

1 Fresnel a donné , pour cette surface du quatrième degté , la construction géométrique
suivante , qui est extrêmement remarquable et qui conserve aux surfaces du second degré le
principal rôle dans toute cette théorie: Qu'on conçoive un ellipsoïde (dont les deux demi-diamètres
principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu,
ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités) ; qu'on mène par le cen-
tre de celle surface une Iransversale quelconque et qu'on porte sur cette droite , à partir du centre,
des segmens égaux aux demi-diamètres principaux de l'ellipse résultant de la section de la sur-
face par le plan diamétral perpendiculaire à la transcersale , les extrémités de ces segmens se-
ront sur la surface du quatrième degré en question. (Voir le Mémoire de Fresnel , sur la double
réfraction, dans le toni. Vil des Mémoires de l'Académie; le Mémoire de M. Ampère sur la Dé-
termination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est diffé-
rente suivant les trois directions principales , etc. , imprimé dans les Annales de chimie et
de physique, année 1828, et le Traité de la lumière de Herschel, tom. II, pag. 190 de la
traduction de MM. Verhulst et Quetelet. )

D'après ce théorème, les belles lois de polarisation, découvertes dans ces derniers temps
par d'illustres physiciens , et particulièrement celles de MM. Biot et le docteur Brewster , don-
nent immédiatement des propriétés géométriques de l'ellipsoïde, et en général des surfaces
du second degré.

Ainsi ces phénomènes optiques , qui ont déjà jeté une si vive clarté sur tout ce qui tient à
la structure intime des corps cristallisés, peuvent apporter les mêmes secours dans l'étude de
la Géométrie rationnelle.

On ne peut trouver un plus bel exemple de l'enchaînement qui unit toutes les sciences ,
ni une preuve plus évidente que des secours mutuels leur sont nécessaires pour suivre leur
marche progressive d'un pas sûr et rapide.

Puisse-t-on voir surtout , dans ce rapprochement , que les surfaces du second degré sont
destinées à jouer un rôle important dans toutes les déductions des lois les plus générales de
la nature , et que l'on ne peut trop se h.îter d'étudier et d'approfondir les innombrables pro-
priétés géométriques que présentent ces surfaces , suit dans leur constitution propre , soit
dans leurs relations entre elles.

To«. XI. 14

•

n'

106 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

tique, tirée par Huygens de sa Théorie de la lumière ; mais qui a eu
besoin d'être créée de nouveau, dans ces derniers temps, par M. Que-
telet , pour fixer l'attention des géomètres et porter les fruits dont elle
était susceptible. Huygens, par l'application de son système ondula-
toire, a trouvé que a quand des rayons incidens émanés d'un point
fixe, ou parallèles entre eux, se réfractent sur une courbe, si l'on conçoit
une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre ,
ou bien une droite perpendiculaire à la direction des rayons parallèles,
et que de chaque point de la courbe dirimante, comme centre, on
décrive une circonférence d'un rayon qui soit dans une certaine pro-
portion constante avec la distance de ce point, à la circonférence ou
à la droite fixe , toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe
enveloppe, à laquelle les rayons réfractés seront tous normaux. »

Cette courbe est la forme de Vonde réfractée. C'est de là qu'Huygens
concluait la loi du rapport constant des sinus d'incidence et de réfrac-
tion.

Ainsi, de même que Tschirnhausen a considéré, depuis ", la courbe
enveloppe des rayons réfractés, de même Huygens considérait la courbe
normale à ces rayons. La première seule a fait impression sur l'esprit
des géomètres , et sa considération est devenue la base de leurs travaux
en optique. La seconde a passé inaperçue, comme si elle n'avait pas
reposé, comme la première, sur une construction purement géomé-
trique, et indépendante du système, alors douteux, qui y avait donné
naissance.

Et cependant la courbe d'Huygens est généralement beaucoup plus
simple que celle de Tschirnhausen, et se prête mieux à l'étude des
propriétés optiques des courbes. H nous suffit de dire, par exemple,

I Tschirnhausen a communiqué en 1682 , à l'Académie des Sciences de Paris , ses premières
vues et ses premiers résultats sur la théorie des caustiques : Huygens avait présenté à la même
académie, trois ans auparavant, son Traité de la Lumière. II était alors en possession de-
puis long-temps de sa théorie des développées; il n'aurait donc eu à faire qu'un pas facile
pour donner son nom aux célèbres caustiques dont l'invention et les usages en optique ,
et en Géométrie pour la rectification de certaines courbes , ont fait la gloire de Tschirn-
hausen.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 107

que la caustique de Tschirnhausen, produite par réfraction dans le
cercle, s'est refusée jusqu'à ce jour à toutes les ressources de l'analyse
qui n'a pu encore en donner l'équation, tandis que la courbe analogue
d'Huygens est tout simplement une ovale de Descartes (courbe du
quatrième degré), dont quelques considérations de Géométrie, ou
quelques lignes d'analyse font connaître la nature ou l'équation '.

Néanmoins, les courbes d'Huygens sont restées inaperçues, et ce
n'est que depuis 10 ans que M. Quetelet, en cherchant à diminuer les
difficultés d'analyse que présentent les questions de réfraction de la
lumière, imagina de substituer, dans cette théorie, aux caustiques de
Tschirnhausen des courbes qui en fussent les développantes, et parvint,
en suivant cette idée heureuse, et par de pures considérations de Géo-
métrie , à la construction de ces développantes par l'enveloppe d'un
cercle mobile; ce sont ces courbes, qui répondent, comme on voit, aux
ondes réfractées d'Huygens, que M. Quetelet appela caustiques secon-
daires; cet habile géomètre en a étendu la doctrine au cas où les rayons
incidens étaient perpendiculaires à une même courbe , et au cas de l'es-
pace où les rayons incidens sont normaux à une même surface ^.

Celte extension était comprise aussi dans la théorie d'Huygens. \\
en résulte immédiatement cette belle loi de la réfraction de la lumière,
à savoir que « des rayons incidens, qui sont normaux à une même
surface , jouissent de la même propriété après une réfraction sur une
autre surface quelconque; et conséquemment se divisent après cette
réfraction en deux groupes , qui forment deux séries de développables
qui se croisent à angles droits. » Théorème que Malus, le premier, avait
aperçu dans un faisceau de rayons émanés d'un même point, ou pa-

' Dans la réfraction sur une droite, la dificrence entre les deux courbes de Tschirnhausen
et d'Huygens n'est pas moins sensible : la première est une courbe du sixième degré , dont
le calcul est assez long , et la seconde est simplement une ellipse ou une hyperbole , ainsi que
l'a trouvé, le premier, M. Gergonne. (Annales de Math. , tom. XI, pag. 229.)

Ce savant géomètre avait eu déjà la pensée qu'il se pourrait bien que les caustiques eus-
sent pour développantes des courbes beaucoup plus simples qu'elles. {Annal, de Math. ,
tom. V, pag. 289.)

' Nouveaux Mémoire» de l'Académie de Bruxelles, tom. III, IV et V.

108 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

rallèles entre eux, mais qu'il avait cru, d'après le résultat de calculs
trop compliqués, ne pouvoir être étendu à un système de rayons nor-
maux à une même surface \ C'est M. Dupin qui, le premier, par de
pures considérations de Géométrie, donna au théorème de Malus toute
la généralité qu'il devait comporter \

On voit, par les considérations qui précèdent, quelles ouvertures
utiles et fécondes le traité de la lumière d'Huygens présentait aux
géomètres, qui auraient eu confiance plus tôt dans les vues de ce
grand génie. Exemple remarquable de la lenteur avec laquelle avan-
cent et se perfectionnent nos connaissances positives, et leçon sévère
pour l'orgueil de l'esprit humain.

Cette digression est étrangère peut-être aux progrès propres des mé-
thodes géométriques ', mais du moins , elle roule sur l'une de leurs plus
belles applications aux sciences physiques, et peut-être pourra-t-elle
porter quelques-uns de nos jeunes lecteurs à ce genre de recherches
géométriques, qui est encore neuf et qui promet d'abondans résultats *.

5 14. La sagacité admirable qu'IIuygens a montrée dans toutes
les grandes questions qu'il a soumises à la Géométrie, ne l'a point
abandonné dans ses recherches sur la mécanique, telle que la fameuse
question du choc des corps , qu'il résolut en même temps que Wallis
et Wren ; et dans ses découvertes astronomiques , qui rendent son
nom inséparable de ceux de Kepler, Galilée et Newton.

1 Mémoire sur l'optique , art. 22 et 27, dans le 14* cahier du Journal de l'École Polytech-
nique .

2 applications de Géométrie et de Mécanique ; Mémoire sur les routes de la lumière , p. 192.

3 M. Uamilton , directeur de l'observatoire de Dublin, en continuant les beaux travaux de
Fresnel , est parvenu a soumettre tous les phénomènes si compliqué» et si délicats de la lu-
mière à un calcul analytique nouveau , qui parait devoir conduire aux lois mathématiques
qui dominent toute cette vaste et importante théorie.

Nous avons appris de M. Quetelet, avec un extrême plaisir, qu'un autre savant géomètre,
M. Mac Cullagh , poursuit les mêmes recherches que M. Harailton, mais par de pures consi-
dérations géométriques.

Puissent les travaux de M. Mac Cullagh réhabiliter la Géométrie auprès des personnes d'un
esprit juste et impartial , et rendre aux méthodes d'IIuygens et de Neveton l'estime qu'elles
méritent.

1620-1677.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 109

Quoique la méthode des Anciens ait été presque toujours son seul
instrument de raisonnement et de recherches, il connaissait toutes
les ressources non-seulement de la Géométrie de Descartes, mais aussi
du nouveau calcul de Leibnitz, qu'il avait étudié dès que cette su-
blime découverte avait paru, et dont il avait su apprécier tous les
avantages '.

S 15. Nous devons citer parmi les contemporains de Wallis et bareow,
d'Huygens, qui ont le plus contribué à l'avancement de la Géométrie,
Barrow, le professeur de Newton à l'université de Cambridge. Ce
géomètre publia en 1669 ses Lectiones Geoinetricœ , ouvrage rempli
de recherches profondes sur les propriétés des courbes, et particuliè-
rement sur leurs dimensions. On y remarqua surtout dans la dixième
leçon, sa Méthode des Tangentes; méthode peu différente, il est vrai,
de celle de Fermât, mais qui cependant, par la considération du petit
triangle différentiel et l'introduction dans le calcul de deux quantités
infiniment petites au lieu d'une seule, était un pas de plus vers la
doctrine et l'algorithme de Leibnitz.

On doit à Barrow, que ses connaissances dans les langues grecque
et arabe mettaient en état de rendre ce service aux sciences, des
versions latines, estimées, des élémens et des données d'Euclide ;
des quatre premiers livres d'Apollonius, des ouvrages d'Archimède et
des sphériques de Théodose. Les démonstrations, dans tous ces ouvra-
ges, se trouvent pour la plupart refaites et simplifiées extrêmement.

On a recueilli en 1684, sous le titre de Lectiones mathematicœ ,
les leçons faites par Barrow à l'université de Cambridge , sur la phi-
losophie des mathématiques, dans les années 1664, 1665 et 1666;
plus quatre leçons d'une date incertaine, qui ont pour objet d'indiquer
la méthode par laquelle Archimède a découvert ses plus beaux théo-

* L'anirersitë de Leyde possède de riches manuscrits qui lui ont été légués par Huygens ,
où se trouve, outre les productions de ce grand homme , une collection de lettres qu'il rece-
vait de tous les savans. Messieurs les curateurs de cette université ont pensé , il y a quelques
années, à faire imprimer une partie de ce précieux dépôt. Un projet aussi louable ne peut
recevoir trop tôt son exécution.

110 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

rèmes, et de montrer combien peu elle diffère de l'analyse moderne '.
On ne pouvait remplir ce but avec plus de précision et de clarté que
ne l'a fait Barrow; mais on regrette que ses autres leçons mathéma-
tiques soient hérissées de citations grecques qui en rendent la lecture
difficile.

Enfin, Barrow, dans ses Lectiones opticœ, a appliqué avec habileté
la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion
et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où
se réunissent ïes rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et
son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à con-
sidérer la courbe qui nait de la succession de ces points ou de l'enve-
loppe de ces rayons; comme Huygens, qui a touché de près aussi
à la découverte de cette courbe , il en a laissé l'honneur à Tschirn-
hausen.

S 1 6. C'est ici le lieu précisément de parler du géomètre que nous
venons de nommer.
TscHiaîiHAcsEs , Tschirnhausen a reçu une grande célébrité de ses fameuses caus-
tiques. Cette invention , en effet est devenue aussitôt la base de
plusieurs théories physico-mathématiques. Considérée comme pure
spéculation géométrique , elle avait le double avantage d'offrir un
second exemple après les développées d'Huygens, de la génération
des courbes comme enveloppes d'une droite mobile, et de donner
naissance à une infinité de courbes rectifiables.

des caustiques, de même que les développées, étaient en quelque
sorte une application pratique de l'idée de De Beaune, d'exprimer
la nature des courbes par quelque propriété commune à leurs tan-
gentes.

Mais ce n'est point cette considération abstraite qui a conduit
Huygens et Tschirnhausen à l'invention des courbes qui portent leur
nom ; et ce fut Leibnitz qui donna suite à l'idée de De Beaune, et la
généralisa même en cherchant la courbe enveloppe d'une infinité de

' Quo planiùs appareat qualeni ille stibtilissimus vir ( Archimedes) analysin usurpârit, et quant
hodiernœ nostrœ parum dissimilem.

1651 -1708.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 111

lignes droites ou courbes déterminées et liées entre elles par une pro-
priété commune '.

§ 17. Tschirnhausen, homme de génie et l'un des plus passionnés
pour la science qu'il cultivait, a encore eu d'autres titres, après l'in-
Yention de ses caustiques, à un rang distingué dans l'histoire de la
Géométrie.

Dans un traité intitulé Medicina mentis, publié en 1686 ^, dont
l'objet principal était d'indiquer les règles qui doivent nous guider
dans la recherche de la vérité, Tschirnhausen, partant de cette idée,
que les êtres mathématiques sont formés par le mouvement rapporté
à quelque chose de fixe, proposa une génération nouvelle et univer-
selle des courbes. Il les concevait décrites par un stylet qui tend un
fil qui, étant fixé par ses extrémités à deux points fixes, glisse sur un
ou plusieurs autres points fixes , ou s'enroule sur une ou plusieurs
courbes de nature connue. C'était, comme on voit, une généralisation
du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers; géné-
ralisation que Descartes avait déjà eu l'idée de transporter à la descrip-
tion de ses ovales '.

Tschirnhausen divisa les courbes en plusieurs genres, suivant qu'il
y avait plus ou moins de foyers, et suivant la nature des courbes fixes.
Il apprit à mener les tangentes aux courbes ainsi décrites; c'est là
l'origine du problème de la tangente à une courbe exprimée par une
équation dont les variables sont les distances d'un point quelconque
de la courbe à plusieurs points fixes.

S 18. Ce problème a eu quelque célébrité, et a été résolu de
différentes manières originales par les premiers mathématiciens de

" Acta Erud. Lipa. , ann. 1692 et 1694 , et OEuvres de Leibnitz , tom. III , p. 264 et 296.

- Medicina mentit, sive tenlamen genuinœ logicœ , in quâ disseritur de methodo detegendi
incognitos veritates, In-4o , Anist.

On trouve dans le tom. III de In Bibliothèque universelle et historique (aaa. 1686), une ana-
lyse très-détaillce de cet ouvr.ige remarquable de Tschirnhausen.

3 Géométrie de Descartes , liv. 2'. Ces courbes , imaginées par Desoartes , ont joué un grand
rôle surtout dans sa Dioptrique. Nous n'en parlerons que dans notre quatrième Époque , où
nous les trouverons reproduites dans le 1" livre des Principes de Newton.

112 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

l'époque : d'abord par Fatio de Duiller, qui releva une erreur échappée
à Tschirnhausen, et dont la solution, basée sur de simples considéra-
tions de Géométrie, nous parait offrir un des beaux exemples, aujour-
d'hui très-rares, de la méthode des Anciens dans la construction des
tangentes ' ; puis par le marquis de Lhopital qui , par la considération
des infinimens petits, et sans calcul, en donna une construction élé-
gante et de la plus grande généralité ^ ; et dans le même temps par
Leibnitz, dont la solution a qui a cet avantage que l'esprit y fait tout
sans calcul et sans diagramme, » repose sur un beau théorème de
mécanique qu'il imagina à cet effet ^. Quelques années après , Herman
compléta en quelque sorte cette théorie, en donnant une construction
très-simple du rayon de courbure des mêmes courbes de Tschirnhau-
sen, calculé directement et par la pure Géométrie, sans se servir des
coordonnées auxiliaires de Descartes *.

M. Poinsot a étendu aux surfaces ce mode de génération des courbes
et la construction de leurs normales, et s'en est servi utilement dans
un fort beau mémoire sur la mécanique ^

1 Réflexions de M, Fatio de Duiller sur une méthode de trouver les tangentes de certaines
lignes courbes, Bibliotbéqde cniveeseiie et historiqi'e , tom. V, année 1688.

Tschirnhausen a répondu à ces réflexions de Fatio , et reconnu son erreur dans le tom. X du
même recueil , même année.

2 Analyse des infinimens petits, section 2= , proposition 10.

* Leibnitz considère \a question sous cet énoncé : « Mener la tangente d'une hgne courbe
qui se décrit par des filets tendus. » Sa construction est fondée sur une règle générale de
la composition des mouvemens, qu'on peut énoncer ainsi, en substituant à l'idée de mouve-
ment celle de force , comme a fait Lagrange en reproduisant dans sa Mécanique analytique la
condition d'équilibre qui résulte du principe de Leibnitz. « Si tant de forces qu'on voudra ,
qui sollicitent un point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur
résultante passera par le centre de gravité des points extrêmes de ces droites , et sera égale
en grandeur à la distance de ce point au point sollicité , multipliée par le nombre des forces. »
(Journal des Savans , sept. 1693, et OEuvres de Leibnitz, tom. III, pag. 283.)

Ce théorème peut être étendu au cas où les forces sont appliquées à des points différens
d'un corps solide libre dans l'espace. {Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. V,
pag. 106.)

4 Methodus inveniendi radios osculi in curvis ex focis descriptis. Acta Erddit. , ann. 1702 j
pag. SOI.

5 Théorie générale de l'équilibre et du mouvement des systèmes; 13"" cah. du Journ. de l'école

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 113

5 19. Revenons à Tschirnhausen. En 1701, ce géomètre annonça
à rAcadémic des sciences une nouvelle méthode générale, propre à
suppléer le calcul infinitésimal dans plusieurs questions de haute Géo-
métrie , telles que la construction des tangentes et des rayons de cour-
bure '. Mais sa solution, qui reposait sur l'analyse de Descartes, n'était
qu'une imitation des deux méthodes que ce grand géomètre avait don-
nées du problème des tangentes, et qui consistaient à supposer que
deux points d'une courbe distans d'abord l'uu de l'autre d'une quan-
tité finie, venaient à se confondre.

Le titre suivant : Essai dune méthode pour trouver les touchantes
des courbes mécaniques , sans supposer aucune grandeur indéfini-
ment petite ^, sous lequel Tschirnhausen présenta l'une de ses décou-
vertes, fit grande sensation alors; et il devait en effet piquer vivement
la curiosité des géomètres et assurer à son auteur, déjà célèbre, une
gloire immortelle, si sa promesse était pleinement remplie. Mais cette
méthode, loin de convenir à toute courbe mécanique proposée, ne
s'appliquait qu'à un genre de courbes qui avaient pour abscisses des
arcs d'une courbe géométrique à laquelle on savait mener les tan-
gentes, et pour ordonnées des parallèles à une droite fixe ; et le calcul
employé par Tschirnhausen était le même que pour le cas ordinaire où
les abscisses étaient comptées sur une droite, au lieu d'être comptées
sur un arc de courbe. Mais cette méthode avait toujours le mérite
d'être une extension de celles de Descartes qui, pour maintenir l'uni-
versalité et la suffisance de sa Géométrie, en avait exclu, comme on sait,
les courbes mécaniques, désignant par ce mot celles qui ne pouvaient
pas se déterminer par une mesure exacte et connue. Dès 1682, Tschirn-
hausen avait exposé sa méthode des tangentes aux courbes géométri-
ques, dans les actes de Leipzig, sous le titre IVova methodus tangentes
curvarum expedite determinandi , et avait annoncé qu'il l'appliquerait
plus tard aux courbes mécaniques.

polytechnique. Co mëmoire vient d'être reproduit dans la 6* édition delà •S'/aft^wedeM. Poinsot.
' Histoire et Mémoires de l'Académie des Sciences, ann. 1701.
2 Mémoires de l'Académie des Sciences , ann. 1702.

ToM. XI. 15

114 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

aéBeiions «ur les mé- § 20. Lc but constaiit (Ic TscHimliausen , dans ses diverses spécu-

thodes en Géométrie. ^

lations géométriques, était de rendre la Géométrie plus aisée, per-
suadé que les véritables méthodes sont faciles ; que les plus ingénieuses
ne sont point les vraies , dès qu'elles sont trop composées , et que la
nature doit fournir quelque chose de plus simple.

Nous rapportons à dessein cette pensée de Tschirnhausen, persuadé
que toutes les vérités géométriques sont de même nature; qu'elles
doivent être toutes également susceptibles de démonstrations faciles,
et très-souvent intuitives. Et en effet, combien n'a-t-on pas d'exem-
ples que celles qui avaient semblé d'abord présenter les plus grandes
difficultés, et se refuser même à toutes les ressources des méthodes
connues, sont devenues ensuite les plus simples et les plus évidentes?
C'est qu'elles dépendaient de théories qui n'étaient point encore for-
mées ou assez étendues, ou qui ne reposaient point sur leurs véritables
bases.

C'est en cela, soit dit en passant, que nous parait consister le principal
avantage de l'analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux
méthodes a le merveilleux privilège de négliger les propositions inter-
médiaires dont la seconde a toujours besoin, et qu'il faut créer quand
la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de
l'analyse, a son côté faible, comme toutes les conceptions humaines;
c'est que cette marche pénétrante et rapide, n'éclaire pas toujours
suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui
rattachent la vérité trouvée avec le point de départ, et qui doivent
former avec l'une et l'autre un ensemble complet et une véritable
théorie. Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie
d'une science, de savoir quune chose est vraie, si l'on ignore com-
ment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre
des vérités auquel elle appartient ?

Il faut, ce me semble, dans l'état actuel de la Géométrie, pour at-
teindre le but de Tschirnhausen, le perfectionnement indéfini de cette
science, toujours observer, dans les spéculations auxquelles on appli-
quera son esprit, les deux règles suivantes :

lÊ HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 115

1° Généraliser de plus en plus les propositions particulières, pour
arriver de proche en proche à ce qu'il y a de plus général ; ce qui
sera toujours, en même temps, ce qu'il y aura de plus simple, de plus
naturel, et de plus facile ;

2" Ne point se contenter, dans la démonstration d'un théorème ou
la solution d'un problème, d'un premier résultat, qui sufllrait s'il s'a-
gissait d'une recherche particulière, indép.endante du système général
d'une partie de la science; mais ne se satisfaire d'une démonstration
ou d'une solution, que quand leur simplicité, ou leur déduction intui-
tive de quelque théorie connue, prouvera qu'on a rattaché la question
à la véritable doctrine dont elle dépend naturellement.

Pour indiquer un moyen de reconnaître si la pratique de ces deux
règles a conduit au but désiré, c'est-à-dire si l'on a rencontré les
vraies routes de la vérité définitive, et pénétré jusqu'à son origine,
nous croyons pouvoir dire que, dans chaque théorie, il doit toujours
exister, et que l'on doit reconnaître, quelque vérité principale dont
toutes les autres se déduisent aisément, comme simples transformations
ou corollaires naturels; et que cette condition accomplie sera seule le
cachet de la véritable perfection de la science. Nous ajouterons, avec
un des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie
des mathématiques, « qu'on ne peut se flatter d'avoir le dernier mot
d'une théorie , tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de paroles
à un passant dans la rue '.» Et en effet, les vérités grandes et primi-
tives, dont toutes les autres dérivent, et qui sont les vraies bases de
la science , ont toujours pour attribut caractéristique la simplicité et
l'intuition ^.

* Opinion de M. Gergonne, qui en faisait l'application à la nouvelle théorie des caustiques
de M. Quetelet. Nouveaux Mémoires de F Académie de Bruxelles , tora. IV, pag. 88.

2 Cette opinion, admise dan» les sciences positives, est un résultat d'expérience, au-
quel conduit la culture de chacune d'elles. Mai» on peut aussi la justifier à priori. Car les
principes les plus généraux, c'est-à-dire qui s'étendent sur le plus grand nombre de faits
particuliers , doivent être dégagés des diverses circonstances qui semblaient donner un ca-
ractère distinctifet différent à chacun de ces faits particuliers, considéré isolément, avant
qu'on eût découvert leur lien et leur origine commune ; car s'ils étaient compliqués de toutes

116 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. t

Division de la G^om^ S 21. Oïl aurd reïïiarqué , dans cette analyse succincte des progrès

en trois branches, ^ ^ r^ > . s- t .

prodigieux que la Géométrie a faits dans 1 intervalle d une trentaine
d'années, que ces progrès furent dus principalement à deux grandes
conceptions: celle des indivisibles de Cavalleri, et celle de V analyse
appliquée aux lignes courbes, de Descartes.

La première s'adaptait aux formes et aux procédés accoutumés de
la Géométrie ancienne ; et l'on regarda comme appartenant à la Géo-
métrie pure des Anciens les découvertes auxquelles conduisit cette
méthode de Cavalleri.

La deuxième, véritable instrument analytique, faisait de la Géomé-
trie une science toute nouvelle , qui exciterait l'étonnement et l'admi-
ration d'Archimède et d'Apollonius, qui n'en ont laissé aucun germe;
on l'a appelée Géométrie mixte ^ Géom,étrie analytique, ou Géomé-
trie de Descartes.

Mais, tandis qu'une sorte de division s'établissait ainsi dans les mé-
thodes de la Géométrie, un troisième mode de procéder, une troisième
espèce de Géométrie, pour ainsi dire, prenait naissance. C'est celle
que nous avons déjà dit avoir été employée par Pascal et Desargues,
et dont les premiers germes se trouvaient dans les porismes d'Euclide,
et nous ont été conservés par Pappus dans ses collections mathéma-
tiques.

Ainsi donc nous voyons la Géométrie divisée en trois branches :

La première comprend la Géométrie des Anciens , aidée de la doc-
trine des indivisibles et de celle des mouvemens composés;

La deuxième est l'analyse de Descartes, accrue des procédés de
Fermât, dans sa méthode de maximis etminitnis, pour calculer l'infini;

La troisième Mifin est cette Géométrie pure, qui se distingue essen-
tiellement par son abstraction et sa généralité ; dont Pascal et Desar-
gues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques,

ces circonstances ou propriétés particulières, ils en porteraient l'empreinte dans tous leurs
corollaires , et ne donneraient lieu , généralement , qu'à des vérités excessivement embarras-
sées et compliquées elles-mêmes. Ces principes les plus généraux sont donc nécessairement ,
par leur nature , les plus simples.

ê

# HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 117

et dont nous verrons que Monge et Camot, au commencement de ce
siècle, ont assis les fondemens sur des principes larges et féconds.

Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui
ce que nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs
algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations
métriques des figures que de leurs relations de situation, ou descrip-
tives ; mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes
d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni les opérations de
l'algèbre.

Cette Géométrie est la continuation de Vanalyse géométrique des
Anciens , dont elle ne diffère point quant au but et à la nature de ses
spéculations; mais sur laquelle elle offre d'immenses avantages, par
la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses conceptions, et de
ses méthodes, qui ont remplacé les propositions particulières, incom-
, plètes et sans liaison , qui formaient toute la science et l'unique res-
source des Anciens, et surtout par l'usage, si utile, de la contempla-
tion des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géo-
métrie plane.

C'est dans celte Géométrie générale que rentrent les théories et
leurs appliciitions, auxquelles on a donné, dans ces derniers temps,
les dénominations de Géométrie de la règle, et Géométrie de situa-
tion, suivant qu'on y faisait usage d'intersections de lignes droites
seulement, ou d'intersections de courbes ou de surfaces, dans l'es-
pace, pour découvrir les propriétés descriptives des figures.

Des trois branches, bien distinctes, que nous venons de reconnaître
dans la Géométrie, la seconde, qui est l'analyse de Descartes, offrit un
tel attrait, et de si prodigieux avantages, qu'elle fut cultivée avec une
prédilection marquée par les grands géomètres que nous avons nom-
més dans le cours de cette troisième Époque.

Il est vrai que cette Géométrie de Descartes, loin d'offrir un ordre
de spéculations particulières, n'était autre qu'un instrument universel ,
propre à toutes les conceptions géométriques anciennes et modernes.

S 22. Quelques mathématiciens cependant furent encore fidèles s\ la

118 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. ^

méthode des Anciens. Parmi eux on distingue surtout De La Hire.
DE LA HIRE, Ce géomètre, quoique familiarisé avec l'analyse de Descartes ^ enri-

1640-1718. chit la Géométrie pure de plusieurs ouvrages écrits dans le style des
A.nciens , et qui eurent beaucoup de succès.

Il fut aussi le digne continuateur des doctrines de Desargues et de
Pascal, et introduisit dans la Géométrie, principalement par une
nouvelle façon d'engendrer les coniques sur le plan, plusieurs inno-
vations qui se rapportent aux méthodes récentes. C'est donc à un
double titre que nous avons à citer ici ce célèbre mathématicien.

Ses principaux ouvrages écrits dans le style de la Géométrie an-
cienne sont : le grand traité des sections coniques , intitulé Sectiones
conicœ in novem libros distributœ (in-fol., Paris 1685); son Mé-
moire sur les épicycloïdes , contenant leurs dimensions , leurs déve-
loppées et leur usage en mécanique pour la construction des roues
dentées '; un second mémoire sur le même sujet, généralisé et ap-
pliqué à toutes sortes de courbes, sous le titre : Traité des roulettes,
où Von démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes ,
leurs points d'inflexion et de rebroussement, leurs superficies et leurs
longueurs , par la Géométrie ordinaire ^; et un mémoire sur les
conchoïdes en général, contenant leurs tangentes, leurs dimensions,
leurs longueurs, leurs points d'inflexion; (inséré dans les mémoires de
l'Académie des sciences, année 1708).

Nous devons ajouter à cette liste le Traité de Gnomonique , qui
parut en 1682, et qui était un ouvrage vraiment nouveau, où De La
Hire résolvait toutes les questions graphiquement, sans trigonométrie

' Ce rnémoire a paru en 1694, parmi d'autres mémoires de mathématiques et de physique
de De La Hire. Il a été imprimé de nouveau dans le tom. IX des anciens Mémoires de l'Aca-
démie des Sciences.

De La Uire y dit qu'il y a vingt ans qu'il avait découvert les épicycloïdes et leur usage en
mécanique. Depuis , Leibnitz a revendiqué l'honneur de cette double invention pour le célè-
bre astronome Roeraer , qui l'aurait imaginée en 167-4 , pendant son séjour à Paris. Mais,
comme nous l'avons déjà dit, il parait, d'après De La Hire lui-même, que la partie méca-
nique, au moins, de cette invention remonte h Desargues.

2 Imprimé en 170-4 dans les Mémoires de l'Acadèm.ie des Sciences.

♦ HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 119

même rectiligne, et en n'employant que le compas, la règle et le fil- à-
plomb.

S 23. Le traité des sections coniques eut une grande réputation
dans toute l'Europe savante, et fit regarder De La Hire comme un
auteur original sur cette matière. Sa méthode en effet, quoique pure-
ment synthétique comme celle des Anciens, en différait pourtant
essentiellement. Les Anciens avaient considéré les sections coniques
dans le cône, mais seulement pour en concevoir la génération et en
démontrer quelques propriétés principales (dont la plus considérable
était le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des
segmens faits sur l'axe) ', et faire servir ensuite ces propriétés primi-
tives à la recherche et à la démonstration de toutes les autres : de
sorte qu'ils formaient leur théorie des coniques sans connaître la na-
ture ni aucune propriété du cône, et indépendamment de celles du
cercle qui lui sert de base; et même Apollonius démontre souvent les
propriétés du cercle de la même manière et en même temps que celles
de l'ellipse. De La Hire conçut une marche plus rationnelle et plus
méthodique, et conséquemment plus courte et plus lumineuse. Il com-
mença par établir les propriétés du cercle qui devaient se représenter

' Si l'on demande la raison de la fécondité de cette propriété des coniques , on dira , en Géo-
métrie analytique, que c'est parce qu'elle n'est autre que l'équation même de la courbe, et que
dès-lors il n'est point étonnant que cette propriété se prête à toutes les transformations que l'on
ferait subir à cette équation. Mais en Géométrie pure, il faut remonter à une raison plus di-
recte , et prise de la nature seule de la chose, et non empruntée d'un système de coordonnées
auxiliaire et artificiel ; et l'on reconnaît alors que cette raison est que la relation en question
exprime une propriété de six points pris sur une conique. Mais ces six points n'ont pas
entre eux toute la généralité de position possible ; quatre de ces points sont deux à deux sur
deux droites parallèles.

Hais, malgré cette condition restreinte , la relation dont il s'agit suffit pour construire
une conique par points , quand on en connaît cinq , donnés arbitrairement. On conçoit donc
qu'elle doit suffire aussi pour conduire à toutes les propriétés des coniques. Mais il faudra
souvent suivre une voie moins directe, qui nécessitera quelques détours de plus que si l'on
connaissait une relation générale de six points quelconques d'une conique. Cette observation
explique pourquoi les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui expriment cette
relation tout-à-fait générale de six points d'une conique, ont apporté dans cette théorie
une facilité inconnue aux Anciens.

120 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. '

dans les coniques, particulièrement celles qui tiennent à la division
harmonique; et ensuite, il en fit usage pour découvrir et démontrer
dans les sections du cône les propriétés analogues. Et cette méthode
eut cela de remarquable alors, qu'elle ne faisait point usage du triangle
par Taxe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections
du cône.

Cette manière de procéder était, comme on voit, dans l'esprit de
celle de Desargues et de Pascal, qui, par la perspective, transportaient
aux coniques les propriétés du cercle. De La Hire a pu aussi emprun-
ter du Brouillon projet des Coniques de Desargues, l'usage heureux
que l'auteur y faisait de la proportion harmonique et de quelques re-
lations d'involution. • C'est sous ces deux rapports que nous regar-
dons ce géomètre comme le continuateur des doctrines de Desargues
et de Pascal.

S 24. Nous devons dire que la nouvelle méthode qui fait dériver les
propriétés des coniques de celles du cercle, et de la considération du
solide dans lequel ces courbes prennent naissance , avait déjà été pra-
tiquée par deux géomètres du siècle précédent. D'abord par Verner,
de Nuremberg, qui avait démontré ainsi plusieurs propriétés élémen-
taires des sections coniques ' ; et ensuite avec plus d'étendue et d'une
manière plus savante, par le célèbre Maurolicus de Messine, qui,
après avoir traduit plusieurs écrits des Anciens, mit au jour, entre au-
tres nombreux ouvrages de lui-même, un Traité des Coniques, où
il suivit cette marche nouvelle, attribuant à celle qu'avaient suivie les
Anciens, la prolixité de leurs démonstrations^.

Il est juste de citer encore à ce sujet Guarini, contemporain de
De La Hire, qui avait aussi donné en 1671, un Traité des Coniques,

1 /. P^erneri Lihellus super vigintiduohus elementis conicis , etc. ; in-4°. 1S22.

2 Çuoniam Âpollonms omnia ferè conicorum demonstrata conatus est in planutn rédigera ,
antiqtiioribtis insignior ; neglectâ conorum descriptione , et aliundè quœrens argumenta , cogi-
tur persœpe obscurius et indirecte demonstrare id , quod contemplando solidce figurœ sectionem ,
apertius et brevius demonstratur, (D. Francisci Madrolici Opuscbla uathematica. In-4''; Venetiis,
1575 ;pag. 280.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIEJ «1

où il faisait un usage fréquent de la considération du cône, pour dé-
montrer leurs propriétés. On y remarque surtout une démonstration
extrêmement simple , et qui s'applique aux trois sections coniques
en même temps, de la propriété du rapport constant des produits des
segmens faits sur des cordes parallèles, qui avait toujours exigé la
connaissance de plusieurs propositions préliminaires. Cette méthode
était un progrès dans la théorie des coniques; mais Guarini, extrême-
ment savant du reste dans toutes les parties de la Géométrie, ne l'a
pas suivie systématiquement et avec le talent de De La Hire. ( Voir au
sujet de Maurolicus et de Guarini la Note XVII.)

§ 25. Nous dirons, en passant, qu'outre la méthode des Anciens et
celle adoptée par De La Hire, nous en concevons une troisième qui n'a
point été employée, et qui eût été propre pourtant, si nous ne nous
abusons, à simplifier extrêmement les démonstrations, et à mettre dans
tout leur jour les principes et la véritable origine des diverses pro-
priétés des coniques : sous ce rapport, on ne peut se dissimuler que
la méthode des Anciens n'offrait qu'obscurité.

Cette méthode eût consisté à étudier les propriétés du cône lui-
même, et à les formuler, indépendamment et abstraction faite de
celles des coniques ; et celles-ci se seraient déduites des premières
avec une facilité et une généralité ravissantes. On le concevra sans
peine, car partout où les Anciens employaient trois démonstrations
différentes pour démontrer la même propriété dans les trois sections
coniques, ellipse, hyperbole et parabole, parce qu'ils s'appuyaient
sur les caractères particuliers à chacune de ces courbes, une seule
démonstration suffira pour démontrer, dans le cône même, la propriété
analogue , d'où celles des trois coniques doivent se déduire comme de
leur vraie et commune origine.

De cette manière, on eût vu prendre naissance dans le cône à plu-
sieurs propriétés des coniques, telles que celle des foyers, qu'il semble
qu'Apollonius ait devinée; et que ce géomètre, ni aucun de ceux qut
l'ont suivi, n'ont rattachée ni aux propriétés du cercle, ni à celles
du cône; de sorte que l'origine première de ces points singuliers, celle
To«. XI. 16

121 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

qui ne participe que de la nature du cône où la courbe prend nais-
sance, est restée ignorée.

Un autre avantage de la méthode que nous indiquons eût été de
former, en même temps que la théorie des coniques, celle des cônes
à base circulaire, dont très-peu de propriétés étaient connues jusqu'à
ces derniers temps. Cela n'eût présenté aucune difficulté; et nous
croyons pouvoir en indiquer comme preuve l'essai que nous avons
fait de cette méthode dans un mémoire, où, en n'admettant que les
seules propriétés du cercle dont la plupart sont évidentes, nous sommes
parvenu à un très-grand nombre de propriétés nouvelles des cônes du
second degré, dont une partie sont analogues et conduisent à celles
des foyers des coniques; ce qui montre comment l'existence de ces
points et leurs propriétés se rattachent à celles du cône '.

On penserait, à la lecture des premiers mots du Traité des sections
Coniques de Wallis, que la méthode que nous venons de proposer
fût celle que suivit ce grand géomètre. Car il annonce qu'ayant re-
connu que la théorie des coniques est difficile, et dans le but de la
simplifier, il va d'abord étudier la nature du cône mieux que n'ont
fait les Anciens, pour en déduire, comme de leur vraie source, les pro-
priétés de ces courbes. Mais Wallis se hâte d'ajouter qu'il se bor-
nera aux principales de ces propriétés , à celles qui peuvent conduire
à la découverte de toutes les autres. Et en effet, après avoir démon-
tré celle qui lui sert à exprimer les coniques par utie équation entre
deux coordonnées, à la manière de Descartes, il suit une autre marche,
et donne un traité analytique de ces courbes.

§ 26. Revenons au traité de De La Hire. Cet ouvrage est divisé
en neuf livres. Le premier, qui est le fondement de tout lé reste,
traite successivement des propriétés de la division harmonique d'une
ligne droite ; de celles des faisceaux harmoniques ; et enfin des lignes
divisées harmoniquement dans le cercle. Il s'y trouvé aussi quelques

' Mémoire de Géométrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. 111-4° ;
1830.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 123

cas particuliers de la relation d'involution de six points, quoique cette
relation ne s'y trouve pas dans toute sa généralité. Ce livre est une
introduction d'où se déduisent, dans la suite, des démonstrations fa-
ciles et générales de théorèmes qui avaient coûté aux Anciens de longs
et pénibles développemens. C'est en cela que consistent la nouveauté
et le mérite de la méthode de De La Ilire.

A l'exception du problème ad très et quatuor lineas, et des beaux
théorèmes généraux qui faisaient la base des ouvrages de Desargues
et de Pascal, toutes les autres propriétés connues des coniques se trou-
vaient réunies, pour la première fois, dans le traité de De La Hire,
et démontrées synthétiquement d'une manière uniforme et élégante.
Plusieurs étaient dues à ce géomètre. Parmi celles-ci, nous citerons
d'abord la théorie des pôles, qui consiste dans les trois théorèmes
suivans :

1° « Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui
)) rencontre une conique en deux points , les tangentes en ces points
)) se croiseront toujours sur une môme droite. ( Propositions 27 et
28 du livre l^S et 24 et 27 du livre 2. )

Et réciproquement « Si de chaque point d'une droite on mène deux
)) tangentes à une conique, la droite qui joindra les deux points de
)) contact passera par un point fixe. » ( Propositions 26 et 28 du
livre le% et 23 et 26 du livre 2. )

Ce point a été appelé, dans ces derniers temps, lepôle de la droite,
et cette droite la polaire du point.

2° (( Si par un point fixe on mène plusieurs transversales qui ren-
contrent une conique, les droites qui joindront deux à deux les points
de rencontre de deux quelconques des transversales se rencontreront
sur la polaire du point fixe. » (Propositions 22 et 23 du livre l^*",
et 30 du livre 2. )

3» Enfin (( Le point où chaque transversale rencontrera la polaire
» du point fixe sera le conjugué harmonique de ce point fixe, par
)) rapport aux deux points où cette transversale rencontre la courbe.»
( Propositions 21 du livre l*''', et 23 et 26 du livre 2.)

124 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Cette dernière proposition était connue d' Apollonius.

Elle est, dans le traité de De La Hire, la proposition fondamentale
dont presque toutes les autres se déduisent. On voit, par exemple,
dans la proposition 3 du 3«= livre, comment elle conduit naturellement
à la propriété du carré de l'ordonnée comparé au rectangle fait sur
l'axe.

Ainsi cette proposition joue dans le grand traité de De La Hire le
même rôle que la proposition du latus rectum, dans Apollonius ; que le
théorème de l'involution de six points dans le Brouillon projet des Co-
niques de Desargues; et que l'hexagramme mystique dans l'ouvrage
de Pascal.

Il est aisé de voir que, des trois propositions que nous avons énon-
cées, les deux premières sont comprises dans le théorème sur le qua^
drilatère inscrit aux coniques, que nous avons dit que Pascal avait
probablement déduit de son hexagramme , et que la troisième est une
conséquence aussi de ce même théorème, au moyen de la 131'ns pro-
position du 1*^ livre des Collections mathématiques , que nous avons
citée en parlant de Pappus.

Mais l'ouvrage de Pascal n'ayant jamais été publié, De La Hire a
le mérite de l'invention de ces belles propositions. Depuis elles ont
été reproduites par Maclaurin, dans son Traité des Fluxions, et dans
son Traité des courbes géométriques ; par R. Simson, dans son
Traité des Sections coniques ; par Carnot, dans sa Théorie des
Transversales ; et par divers autres géomètres.

La première et sa réciproque ont été démontrées dans la Géométrie
descriptive de Monge, d'une manière intuitive fort élégante, et ont
été étendues par cet illustre géomètre aux surfaces du second degré.
C'est de cette époque que datent l'importance et les usages de cette
théorie des pôles, renfermée auparavant dans les ouvrages profonds
que nous venons de nommer, et presque inconnue aux jeunes géo-
mètres qui n'ont étudié les coniques que dans les traités analytiques.

Parmi d'autres propriétés remarquables des sections coniques , dues
à De La Hire , nous citerons encore le lieu géométrique du sommet

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 125

d'un angle droit circonscrit à une conique, lequel est un cercle pour
l'ellipse et l'hyperbole, et une droite pour la parabole (8« livre, pro-
positions 26 , 27 et 28) ' ; et c'est Monge aussi qui a généralisé cette
proposition, et fait \oir que le point d'intersection de trois plans rec-
tangulaires, tangens à une surface du second degré, se trouve toujours
sur une sphère, qui devient un plan si la surface est un paraboloïde.

De La Hire a aussi considérablement enrichi la théorie des foyers ,
et donné une construction élégante et facile , par la ligne droite et le
cercle , d'une conique qui doit passer par trois points et dont le foyer
est donné. Problème utile en astronomie, et pour lequel le célèbre
astronome et géomètre Ualley, qui l'avait résolu le premier, avait em-
ployé une hyperbole "•

S 27. Jusqu'à Descartes, il n'y avait eu qu'une manière de con-
cevoir la génération des coniques, c'était dans le solide; c'est-à-dire,
dans le cône à base circulaire. Mais la Géométrie de cet illustre nova-
leur fit, comme dans les autres parties des mathématiques, une révolu-
tion complète dans la théorie de ces courbes : elle apprit à leur donner
naissance sur le plan, et sans qu'il fut besoin d'employer la consi-
dération du cône. Il suffisait à Descartes de remarquer que dans son
système de coordonnées toutes les coniques étaient représentées par
l'équation générale du second degré. Ce mode d'expression analytique

• De La Hire a aussi donné (dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1704),
lo lieu des angles égaux, aigus ou obtus, circonscrits à une conique , lequel est une courbe
du quatrième degré , qui se réduit au second , et devient une hyperbole , quand la conique
proposée est une parabole.

Dans ce même mémoire. De La Hire a traité la même question pour la cycloïde, et est
parvenu à ce résultat curieux, savoir, que tous les angles égaux , droits , aigus ou obtus ,
circonscrits à cette courbe, ont leurs sommets sur une seconde cycloïde raccourcie ou alongée.

Nous avons trouvé que les épicycloïdes du cercle jouissent de la même propriété ; c'est-à-
dire que :

Si à une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui roule sttr un au-
tre cercle fixe , on circonscrit des angles tous égaux entre eux , leurs sommets seront situés sur
une épicycloïde alongée ou raccourcie.

* Methodus directo et geometrica cujus ope incestigantur Aphelia , etc. , Planetarum. Tbaî^sac-
Tions FHiLosoPBiQUEs, anuéc 1676, n° 128.

126 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

était propre à la recherche et au développement de leurs nombreuses
propriétés. Cette méthode fut adoptée d'abord par Wallis, qui, le
premier, donna un traité analytique des sections coniques, et depuis
par la plupart des géomètres qui écrivirent sur ces courbes. Cepen-
dant on continua encore pendant un siècle, de considérer les coniques
dans le cône; et les traités qui parurent dans cet intervalle réunirent
les deux méthodes, celle des Anciens et celle de Descartes.

La manière de Desargues et de Pascal de considérer les coniques,
rentrait dans celle des Anciens, puisqu'ils formaient ces courbes par
la perspective du cercle. Mais leur méthode tirait un de ses principaux
avantages de l'emploi de la théorie des transversales, dont les Anciens
avaient fait usage dans les systèmes de lignes droites seulement, et non
dans la théorie du cercle ni des coniques.

Grégoire de St.-Vincent, comme nous l'avons dit, avait imaginé de
nombreuses manières de former les coniques, l'une par l'autre ; Schooten
en avait donné diverses descriptions organiques; De Witt avait fait un
pas de plus, en formant ces courbes de différentes manières assez gé-
nérales, dont il s'était servi avec habileté pour démontrer leurs pro-
priétés principales ; mais ses modes de description n'étaient pas les
mêmes pour les trois courbes.

De La llire , ayant sous les yeux la manière universelle , mais ana-
lytique de Descartes, et les tentatives de De Witt, chercha aussi un
mode de description générale des coniques sur le plan, qui put servir
à démontrer leurs mêmes propriétés que dans le solide.

§ 28. Il exécuta son dessein de deux manières , dans deux ouvrages
qui précédèrent son grand traité de 1685^ et commencèrent sa réputa-
tion comme géomètre, en 1673 et 1679.

Dans le traité de 1679 \ De La Hire définit les sections coniques
des courbes, telles que la somme ou la difierence des distances de cha-
cun de leurs points à deux points fixes, est constante, ou bien dont

I Nouveaux élémens des sections coniques. Les lieux géométriques, La construction ou effection
des équations, (ln-12 ; 1679.)

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 127

chaque point est à égale distance d'un point et d'une droite fixes. De
ce seul point de départ, il conclut un grand nombre de propriétés de
ces courbes.

Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée
par plusieurs géomètres, qui en ont fait la base de leurs ouvrages; tels
que le marquis de Lhopital, R. Simson, Guisnée, Mauduit, etc.

De La Uire réunit à cet ouvrage deux autres parties différentes sur
les lieux géométriques, traités par la méthode de Descartes, et sur
leur usage pour la construction des équations.

Cette dernière partie est terminée par la construction, en n'em-
ployant que la ligne droite et le cercle, d'un des plus fameux problèmes
sur les coniques, qui est de leur mener une normale par un point pris
au dehors de la courbe. Andersen ', Sluze et Iluygens l'avaient résolu
pour la parabole seulement ; ce qui n'offrait pas une grande difficulté,
parce que la question n'ayant dans ce cas que trois solutions , elle
pouvait être résolue par un seul cercle. Mais le cas de l'ellipse et de
l'hyperbole, qui admet quatre solutions, était une question très-diffi-
cile, qui suffisait pour prouver toute la sagacité de De La Hire dans
l'analyse de Descartes.

S 29. Le traité de 1673, intitulé : Nouvelle méthode en Géométrie,
pour les sections des superficies coniques et cylindriques , est celui
où De La Hire se montre traiment original et novateur, et celui surtout
qui nous porte à mettre ce géomètre au rang des fondateurs de la
Géométrie Moderne.

Cet ouvrage se compose de deux parties, dont chacune offre une
méthode nouvelle, et a un mérite différent. Le titre que nous venons
d'énoncer se rapporte j)lus particulièrement à la première partie, où
l'auteur considère les coniques dans le cône : la deuxième, où il les
engendre sur le plan, est intitulée Planiconiques.

La première partie peut être regardée comme un essai de la méthode
que De La Hire a suivie, douze ans après, dans son grand traité; car

' A. Andersoni Exercitafionum mttlhematicarunt Deçà» prima, etc. Paris; 1610, in-4'>.

128 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

il y commence par vingt lemmes qui roulent sur la même matière que
le l^^ livre de ce traité, et dont il se sert ensuite pour démontrer avec
une généralité nouvelle alors, et sans se servir du triangle par l'axe,
les principales propriétés des coniques. Mais ses démonstrations sont
loin d'offrir le même degré d'élégance et de simplicité que celles du
traité de 1685.

Dans ses Planiconiques , De La Hire imagina une description géné-
rale des coniques sur le plan, au moyen du cercle, comme dans l'espace,
et sans connaître aucune propriété de ces courbes : puis, il fit voir que
les courbes ainsi engendrées sont effectivement les mêmes que celles
que l'on peut tracer, dans l'espace, sur le cône. Ce que cette méthode
a surtout de beau, c'est que les mêmes lemmes qui ont servi à trans-
porter aux sections du cône les propriétés du cercle, servent pareil-
lement pour les appliquer aux planiconiques , et les démonstrations
restent les mêmes que dans la première partie.

§ 30. Ce premier ouvrage de De La Hire étant extrêmement rare ,
et les auteurs qui en ont parlé dans le temps , n'en ayant point fait
connaître l'esprit '^ on nous pardonnera d'entrer ici dans quelques
développemens pour dire ce qu'était cette merveilleuse théorie des
planiconiques , restée si long-temps ensevelie et ignorée, et qui offrait
la première méthode suffisamment générale pour la transformation
des figures en d'autres figures du même genre.

Concevons dans un plan deux droites parallèles entre elles, que l'au-
teur appelle V une formatrice , l'autre directrice , et un point appelé

' Les Transactions philosophiques, année 1676, n" 129, rendent un compte favorable de
l'ouvrage de De La Hire, mais ne parlent pas de la partie des Planiconiques.

Le Journal des Savans , année 1674 (17 décembre), après avoir donné l'analyse de la pre-
mière partie de l'ouvrage , dit ces seuls mots des planiconiques, qui devaient suffire pour les
préserver de l'oubli : « L'auteur a ajouté à sa nouvelle méthode un traité des planiconiques ,
n qui est très-beau et très-commode , puisque, par là , il n'est plus besoin d'imaginer aucun
11 solide, ni plan , que celui sur lequel est la figure. »

Wolf, dans son Commentaire des principaux écrits des géomètres, cite les autres ouvrages
de De La Hire et omet celui dont il est ici question. Montucla n'en dit mot non plus. Cepen-
dant Cornélius à Beughem en avait fait mention dans sa Bibliographica mathematica , et
Murrhard , depuis , l'a inscrit aussi dans sa Bihîiotheca mathematica.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 129

pôle. Par chaque point M d'une courbe donnée dans le plan, on mène,
sous une direction arbitraire, une transversale ; elle rencontre la direc-
trice en un point qu'on joint au pôle par une droite, et la formatrice
en un deuxième point par lequel on tire une parallèle à cette droite.
Cette parallèle rencontre la droite qui va du point M an pôle, en un
point 31' , qui est dit formé par le point M.

Chaqjie point de la courbe proposée formera ainsi le point corres-
pondant d'une seconde courbe.

Les points d'une ligne droite formeront des points appartenant à
une deuxième ligne droite, et ces deux droites se couperont sur la
formatrice.

Enfin , les points d'un cercle formeront les points d'une section
conique.

Pour démontrer cette proposition sans supposer aucune propriété
des coniques, DeLaHire imagine un cône à base circulaire, dans lequel
est faite une section plane ; il abat le plan du cercle sur celui de la sec-
tion en le faisant tourner autour de la droite d'intersection de ces deux
plans ; puis , prenant cette droite pour formatrice , une seconde droite
(qui, dans la position primitive du plan du cercle, était son intersection
par un plan mené par le sommet du cône parallèlement à celui de la
section), pour directrice , et pour pôle un certain point qu'il déter-
mine convenablement, il prouve, par des comparaisons de triangles
semblables, que la section peut être formée j)ar le cercle '.

Telle est la méthode par laquelle De La Hire effectuait sur le plan,
sans avoir besoin d'aucun solide, ni d'autre plan que celui de la figure,
les sections d'un cône. C'est ce qu'il appelait îéduire le cône et ses
sections en plan. J'appliquai à ces sections planes , dit-il dans la pré-
face de son traité de 1679, les mêmes démonstrations que j'avais
faites pour les solides, et je puis dire que cet ouvrage eut assez de
bonheur pour mériter l'approbation des plus savans géomètres.

L'éclat que jeta cette première production de De La Hire fut de peu

' Cette dcmonstrntioa est assez difficile; le principe de perspective que nous avons déduit
du théorème de Desargues en offre une qui est naturelle et d'une extrême simplicité.

Toa. XI. 17

' 180 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

de durée, et cet ouvrage, malgré son mérite incontestable, est, depuis
plus d'un siècle, tombé dans l'oubli ; ce dont nous nous étonnerions, si
nous ne savions que chaque époque a ses questions du moment, et que
les idées les meilleures et les plus fécondes, pour être bien saisies, doi-
vent venir dans le temps où les esprits sont tournés vers l'objet auquel
* elles se rapportent. L'étude des sciences nous offre à chaque pas la
preuve de cette vérité '.
LE POIVRE. S 31 . La méthode de De La Hire a pourtant été reproduite, ou plutôt

inventée de nouveau, en 1704, par Le Poivre (de Mons), géomètre
inconnu de nos jours, mais qu'il y aurait injustice à ne pas nommer
à côté de Desargues, Pascal et De La Hire dans l'histoire de l'origine
et des progrès de la Géométrie moderne. Son ouvrage est intitulé :
Traité des sections du cylindre et du cône, considérées dans le
solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles.
(In-8o de 60 pages). La partie relative à la description des coniques
sur le plan n'est au fond que la méthode de De La Hire, mais pré-
sentée d'une manière très-différente qui mérite que nous en exposions
ici l'esprit et les procédés ".

Il paraît que la première idée de l'auteur a été de tracer sur un
cône une section plane, sans mener effectivement le plan qui la con-

1 Nous pourrions ajouter avec Montucla: «Qu'il est des préjugés jusque dans la Géométrie ,
et qu'il est rare que ceux qui sont dès long-temps accoutumés à une certaine manière de
raisonner soient disposés à quitter une ancienne habitude pour en contracter une nouvelle. »
[Histoire des mathématiques, tom. II, pag. 1-4-4.)

2 II a été rendu compte de cet ouvrage dans le Journal des Savans, année 170-4 ; et dans
les Acta eruditorum , année 1707.

L'article fort étendu du Journal des Savans paraît supposer que la méthode de Le Poivre est
prise de celle de De La Hire. Mais la voie d'invention est trop différente dans l'une et l'autre ,
pour que nous adoptions cette conjecture. Ajoutons que l'ouvrage de Le Poivro a un mérite
qui ne se trouve pas dans celui de De La Hire et qui n'a point été remarqué par l'auteur de
l'article du journal; c'est de contenir un second mode de description de ses figures, basé
sur leurs relations métriques , dont l'auteur aurait pu tirer un parti considérable s'il eût
poussé plus loin cette idée heureuse.

Le Journal de Leipzig parle très-favorablement de l'ouvrage de Le Poivre. « Non solum,
inquit , intra paucas pagellas palmarias sectionum conicarum proprietates mira facilitate ac
perspicuitate explicatj sed inter eas quoque aliquot proponit anteà parum cognitas.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 131

tient; ce qu'il fait de deux manières : par l'intersection de chaque
arête du cône par une autre droite menée convenablement, ou bien
par une proportion dont le dernier terme détermine sur chaque arête
le point de la section. Puis, il remarque que ces mêmes procédés peu-
vent s'exécuter aussi sur le plan même du cercle qui sert de base au
cône, comme dans l'espace, et donner naissance aux mêmes courbes.

Concevons un cône à base circulaire ; un plan coupant mené arbi-
trairement déterminera sur le cône une section; c'est cette courbe
qu'il s'agit de construire en faisant abstraction du plan sur lequel elle
se trouve. Pour cela, il faut d'abord prendre dans l'espace les élémens
nécessaires à la détermination de la position de ce plan; ce qui peut
se faire de diverses manières. Le Poivre prend la trace du plan coupant
sur la base du cône et une seconde droite parallèle à cette trace, et
qui est l'intersection du plan de la base par le plan mené par le sommet
du cône parallèlement au plan coupant. Ces deux droites et le sommet
du cône déterminent la position du plan coupant; ces trois données
devront donc suffire pour la construction de la courbe qui résulterait
de l'intersection du cône et de ce plan , s'il existait réellement.

Or, il est aisé de voir que, pour effectuer cette construction, il n'y
a qu'à mener par un point M du cercle, base du cône, appelé cercle
générateur , une transversale quelconque qui rencontrera la trace du
plan coupant et sa parallèle, en deux points; joindre le deuxième de
ces points au sommet S du cône, par une droite, et mener par l'autre
point une parallèle à cette droite. Cette parallèle sera évidemment dans
le plan coupant, et rencontrera l'arête SM du cône, en un point M'
qui appartiendra à la courbe cherchée. Pour un autre point du cercle
générateur , on aura un autre point de la section.

Cette construction est générale, quelle que soit la position du point
S dans l'espace ; et elle subsiste quand ce point est situé sur le plan du
cercle, auquel cas il n'y a plus de côhe. La courbe formée alors par le
point est encore une section conique '.

' Pour s'en convaincre, il suffit de concevoir la courbe que nous venons de construire dans

132 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

Ainsi, la construction de l'auteur s'applique à la description des
coniques sur le plan, comme dans l'espace. Pour le cas du plan, c'est
comme on voit , la même construction que celle de De La Hire. Le
point S est le pôle , la trace du plan coupant est la formatrice , et sa
parallèle est' la directrice.

S 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie deux ma-
nières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La pre-
mière, est de déterminer les points cherchés par des constructions de
lignes; la seconde de les déterminer par des formules qui se réduisent
ensuite à des calculs numériques. Il est toujours utile de chercher ces
deux genres de solutions , parce que chacune comporte des propriétés
de la figure, que l'autre n'indique point; et la question n'est résolue
complètement que quand elle a été envisagée sous toutes ses faces , et
que les diverses propriétés graphiques et métriques qui se rattachent
aux deux solutions dont nous parlons , ont été découvertes et mises
dans tout leur jour.

La construction que nous venons de donner pour décrire les co-
niques, soit dans l'espace, soit sur le plan, appartient au premier
mode de solution. Pour la convertir en une formule numérique, on
compare deux triangles semblables qui ont un sommet commun au
point M du cercle générateur, et on en tire une proportion entre leurs
côtés adjacens à ce sommet. Cette proportion donne la distance du
point M' de la conique au point correspondant du cercle ; c'est la for-
mule cherchée '.

l'espace , et de la projeter sur le plan du cercle , avec toutes les lignes qui ont servi à sa
construction. On aura en projection une courbe, et des droites qui serviront à sa construc-
tion, comme les droites dans l'espace à la construction de la section du cône; c'est-à-dire
que la construction de la courbe projetée sera absolument semblable à celle de la courbe si-
tuée dans l'espace : et si l'on prend les lignes projetantes perpendiculaires à la trace du plan
de la section sur celui de la base du cône , et également inclinées sur ces deux plans , alors
la courbe projetée sera parfaitement égale à celle de la section du cône ; ce sera donc une
section conique.

On conclut de là aussi que, pour transporter aux coniques les propriétés du cercle, une seule
démonstration suffira , soit qu'on considère la conique sur le plan du cercle ou dans l'espace.

I II eût mieux valu prendre pour inconnue la distance du point M' au point S ; la formule

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 133

§ 33. La méthode de De La Hire et de Le Poivre était la plus
heureuse et la plus féconde qu'on pût imaginer pour découvrir les
nombreuses propriétés des coniques par celles du cercle; mais les
avantages qu'elle offrait ne devaient point se borner à cet usage parti-
culier ; elle avait un avenir plus grand , comme offrant un moyen gé-
néral de transformer , sur le plan, les figures en d'autres du même
genre, ainsi que ferait la perspective.

L'importance de ces méthodes, qui forment une des doctrines princi-
pales de la Géométrie récente , nous engage à entrer encore dans quel-
ques considérations au sujet de celle de De La Hire et de Le Poivre,
qui montreront ses rapports avec les pratiques de la perspective , avec
une méthode analogue imaginée dans le même temps par Newton , et
avec plusieurs autres méthodes, d'invention plus moderne, dont nous
aurons à parler dans la suite.

Le mode de transformation du cercle en une conique sur le plan,
employé par De La Ilire et Le Poivre, a pour propriété caractéris-
tique que : à chaque point et à chaque droite considérés comme ap-
partenant au cercle générateur, correspondent un point et une droite
appartenant à la conique ; et les relations de position des deux figures
sont telles que deux points correspondans sont en ligne droite avec
un point fixe S, et que deux droites correspondantes concourent
sur un axe fixe, qui est la droite que nous avons appelée formatrice
dans la méthode de De La Hire, et qui nous représentait, dans celle de
Le Poivre, la trace d'un plan coupant.

Ce point S et l'axe fixe, considérés comme appartenant au cercle,

aurait conduit naturellement à diverses propriétés des coniques, particulièrement à celles
de leurs foyers , dont l'auteur n'a rien dit. Il eût suffi , pour cela , de placer le point S au
centre du cercle générateur.

Cette dernière observation , relative à la position du point S , s'applique aussi au Traité de
De La Hire qui dcuiontre les propriétés des foyers, mais en supposant ces points connus à priori,
comme dans les coniques d'Apollonius , et sans être conduit à leur découverte. En plaçant le
pùle au centre du cercle, la formatrice et la directrice étant d'ailleurs quelconques (mais pa-
rallèles entre elles), on forme une conique qui a pour foyer le pôle : et diverses propriétés
du cercle s'appliquent immédiatement a la conique, relativement à son foyer.

134 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

sont eux-mêmes leurs correspondans par rapport à la conique; de
sorte qu'ils jouent le même rôle par rapport à chacune des deux courbes.

Si, du point fixe, on peut mener deux tangentes au cercle, elles seront
aussi tangentes à la conique; et si l'axe fixe rencontre le cercle en deux
points, la conique passera par ces deux points.

On démontre encore que, quand deux droites sont parallèles, leurs
correspondantes concourent en un point situé sur la droite que nous
avons appelée la directrice, de sorte qu'un point quelconque situé à
l'infini dans la première figure, a pour correspondant dans la seconde
figure un point situé sur la directrice ; ce qui prouve, parce qu'il n'y a
qu'une ligne droite qui puisse correspondre à une ligne droite, que
tous les points d'un plan qui sont à l'infini doivent être considérés
comme situés sur une même ligne droite.

§ 34. On reconnaît, à ces diverses propriétés, les figures homolo-
giques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité
des propriétés projectives, Y^e pôle S est le centre d' homologie ; et
la formatrice est l'axe d'homologie.

Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective
reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes
que l'on trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de
l'autre.

Ainsi, qu'on regarde la formatrice (ou axe d'homologie^, comme
la ligne de terre, la directrice comme la ligne horizontale , le pied
de la perpendiculaire abaissée du pôle (ou centre d'homologie) sur
cette directrice, comme le point de vue, et enfin que, pour déterminer
le point de distance, on porte, à partir du point de vue, un segment
égal à cette perpendiculaire, sur la directrice; puis, qu'avec ces don-
nées on construise la perspective de la conique décrite par De La Hire,
on trouvera précisément son cercle générateur. (Voyez la Note XVIIL)

Ainsi, la description générale des coniques sur le plan, qu'avait dé-
sirée ce géomètre , existait à son insu depuis long-temps ; mais elle
ne servait que comme simple pratique de la perspective à l'usage seu-
lement des artistes. De La Hire a le mérite très-grand d'avoir le premier

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 135

conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode
de Géométrie rationnelle, pour transporter directement à une courbe
les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan.

Cette méthode était une généralisation de deux autres modes de
transformation d'une figure en une autre de même nature. Le premier
consiste à mener d'un point fixe des rayons à tous les points d'une
courbe, et A les prolonger dans un rapport constant ; leurs nouvelles
extrémités forment une seconde courbe semblable à la première et
semblablement placée par rapport au point fixe; le second mode de
transformation consiste à abaisser de tous les points d'une courbe des
ordonnées sur un axe fixe, et à les prolonger à partir de cet axe dans
un rapport donné; leurs extrémités appartiennent à une seconde courbe
qui est du même degré et du même genre que la proposée; et les
tangentes en deux points correspondans de ces deux courbes se ren-
contrent sur l'axe fixe. C'est de cette manière que Stévin , Grégoire de
St. -Vincent et, avant eux, le célèbre peintre Albert Durer, formaient
l'ellipse au moyen du cercle. On tombe sur ces deux modes de déforma-
tion en supposant dans celui de De La II ire que la trace et la directrice,
dans le premier cas, et le point S dans le second, soient à l'infini.

Nous trotivons dans la Géométrie des lignes courbes de John Leslie ',
une construction des coniques, par l'intersection de deux droites mo-
biles autour de deux pôles fixes , qui revient à celle de De La Hire. Ce
célèbre géomètre a tiré cette construction des pratiques de la pers-
pective; mais il n'en a point fait usage comme De La Hire et Le Poivre,
pour démontrer les propriétés des coniques.

S 35. Dans le même temps que De La Hire conçut sa méthode de
description des coniques au moyen du cercle. Newton en imagina mwtox,
aussi une du même genre, dont le but général était d'opérer sur le plan '*"- '"'
des transformations de figures, dans lesquelles des points répondissent
à des points, et des droites à des droites; et oii certaines droites con-
vergentes devinssent parallèles. Il donna cette méthode dans le premier

' Geometrical analysis and G^ometry ofcurve Unes, etc. , Eldinbargh, 1821 , in-B».

136 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

livre de ses Principes , et montra comment elle pouvait servir pour
transformer une conique quelconque en un cercle et simplifier ainsi
des problèmes difficiles.

Ce grand géomètre donna une construction géométrique et une
expression analytique, l'une et l'autre très-simples, de ses figures trans-
formées ; mais sans laisser apercevoir la route qui l'avait conduit à ce
mode de transformation des figures j et c'est peut-être pourquoi il a
été peu cultivé depuis, car l'esprit éprouve toujours quelque difficulté
et quelque répugnance aux choses qui ne portent pas en elles plus que
l'évidence qui convainc , et où ne se trouve pas celle qui éclaire et
montre les véritables raisons des choses. Nous avons été curieux de
comparer cette méthode à celle de De La Hire et de rechercher les
différences qui pouvaient les caractériser, et donner quelque avantage
à l'une sur l'autre, espérant par là retrouver le fil qui avait pu guider
Newton. Nous avons reconnu que ses figures n'étaient autres que celles
de De La Hire placées dans une position différente, l'une à l'égard de
l'autre; et qu'on peut aussi les produire par la perspective, en les abat-
tant ensuite sur un même plan, mais d'une autre manière que ne l'avait
fait De La Hire ; et c'est ainsi probablement que Nevs^ton aura imaginé
sa méthode. Ce procédé est en effet une des pratiques de perspective
enseignées par quelques auteurs, dont nous citerons Yignole, Sirigati,
Pozzo. (FoîV la Note XIX.)

§ 36. Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que
ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient
offertes dès il y a un siècle et demi aux géomètres, si une fatale et
injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie
pure. Mais il nous suffit d'avoir fait voir que celle de De La Hire parti-
culièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que
la belle théorie des figures homologiques , dont M. Poncelet a tiré des
résultats aussi nombreux que remarquables. Cette méthode d'ailleurs,
comme celle de Newton , n'est qu'un corollaire de notre principe gé-
néral de déformation homographique , et nous ferions double emploi
en nous étendant ici davantage sur ses applications.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 137

S 37. En terminant cet historique des premières méthodes de trans-
formation des courbes, nous remarquerons que la manière ingénieuse
par laquelle Le Poivre est parvenu à la sienne aurait mérité aussi l'atten-
tion des géomètres; car elle repose sur une idée qui comprend tout un
système de Géométrie descriptive, ou de représentation graphique, sur
une aire plane, des corps situés dans l'espace. Cette idée consiste à re-
présenter, dans la pratique de la perspective, un plan situé dans l'es-
pace, par deux droites parallèles tracées sur le tableau, dont l'une est la
trace du plan, et l'autre la trace d'un plan parallèle mené par le point
de l'œil. De cette manière, une droite est déterminée par deux points,
qui sont ceux où cette droite et sa parallèle menée par le point de l'oeil
percent le tableau. Ainsi, voilà un moyen de représenter sur un plan
tous les corps de l'espace, en se servant uniquement d'un point fixe
pris arbitrairement au dehors de ce plan. Ce nouveau mode de Géo-
métrie descriptive a été conçu et mis à exécution , il y a peu d'années,
par M. Cousiuery, ingénieur des ponts et chaussées. Nous reviendrons
sur l'ouvrage de ce géomètre, quand nous en serons à parler de la
Géométrie descriptive de Monge.

S 38. Les travaux des géomètres que nous avons cités au commen- G<on.ftrie.ntiytiq«ei
cément de cette troisième Lpoque, comme les promoteurs de la Géo-
métrie de Descartes , ne roulèrent généralement que sur la Géométrie
plane. Cependant, ce célèbre philosophe, comprenant toute la portée
et la puissance de sa doctrine des coordonnées, ne l'avait pas restreinte
aux courbes planes, et en avait montré l'usage dans la théorie des
courbes à dottble courbure. Pour cela , des points d'une courbe quel-
conque tracée dans l'espace, il abaissait des perpendiculaires sur deux
plans rectangulaires ; leurs pieds formaient deux courbes planes qu'il
rapportait chacune à deux axes coordonnés situés dans son plan, et
dont l'un était l'intersection des deux plans.

Cette doctrine des courbes situées dans l'espace conduisait, comme

on voit, au système de coordonnées à trois dimensions, et à l'expression

d'une surface par son équation unique entre ces trois coordonnées.

Mais les spéculations des géomètres se bornèrent pendant long-temps

Ton. XI. 18

138

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE,

1666-1716.

1713-1765.

aux courbes planes; et la Géométrie analytique à trois dimensions ne
se développa que plus d'un demi-siècle après.

C'est, je crois. Parent qui représenta pour la première fois, en 1700,
une surface courbe par une équation entre trois variables, dans un mé-
moire qu'il lut devant l'Académie des sciences.

Ce mémoire, écrit d'une manière assez peu soignée, comme les autres
ouvrages de l'auteur, géomètre, du reste, très-habile et pourvu de con-
naissances très-variées , mérite pourtant d'être remarqué comme offrant
la première application de notre système de coordonnées dans l'espace ;
et cette application portait sur des questions assez difficiles. On y
trouve l'équation de la sphère , et celle de son plan tangent ; la déter-
mination des ordonnées maxima et minima dans certaines sections
de la sphère ; les équations de diverses surfaces du troisième degré ,
et des courbes à double courbure passant par les points auxquels ré-
pondent des ordonnées maxima et minima ; enfin , la construction
des points d'inflexion de certaines courbes tracées sur les surfaces '.

Depuis, Jean Bernouilli a aussi exprimé les surfaces par une équa-
tion entre trois coordonnées, à l'occasion du problème de la ligne la
plus courte qu'on puisse tracer sur une surface, entre deux points
donnés.

Mais ce ne fut qu'en 1 731, que Clairaut, dans son célèbre Traité des
courbes à double courbure , qu'il composa à l'âge de 16 ans^, exposa
pour la première fois, d'une manière méthodique, la doctrine des coor-

1 Des affections des superficies : 1" de leurs plans tangens ; 2° des plus grands et plus
petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus; 3" des courbes qui sou-
tiennent ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies ; 4" des courbes qui sou-
tiennent ou contiennent les inflexions des superficies, f^oir le deuxième volume des Essais
et Recherches de mathématiques et de physique de Parent; 3 vol. in-12, seconde édition,
1713.

2 Dès l'âge de 12 ans , Clairaut s'était déjà annoncé dans le monde savant , par un mémoire
sur quatre courbes géométriques, qui a été jugé digne d'être imprimé à la suite d'un mé-
moire de son père, dans le recueil de l'Académie de Berlin {Miscellanea Berolinensia , tom.
IV, ann. 1734).

Son frère puîné, mort à l'âge de 16 ans , avait annoncé la même précocité de talent, en
mettant au jour, à 14 ans, un écrit sur Diverses quadratures circulaires elliptiques et hy-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 139

donru^es dans l'espace, appliquée aux surfaces courbes et aux lignes à
double courbure qui naissent de leur intersection.

Les questions relatives aux tangentes de ces courbes , à leur recti-
fication, à la quadrature des espaces qu'elles déterminent par leurs
ordonnées, sont résolues dans ce traité avec une élégance et une faci-
lité qui ne le cèdent aux méthodes actuelles que sous le rapport de la
symétrie des formules, introduite par Monge dans son grand Traité de
ï application de l'Algèbre à la Géométrie.

La dénomination de courbe à double courbure adoptée par Clairaut,
parce qu'une telle courbe participe de la courbure de deux courbes
planes qui en sont les projections, est due à Pitot *, qui l'avait employée p,iot ,
dans un mémoire, concernant l'hélice tracée sur un cylindre droit cir- 1695-1771.
culaire, lu à l'Académie des sciences en 1724.

§ 39. Nous avons eu occasion de faire voir, en parlant d'Architas,
de Geminus et de Pappus, que les courbes à double courbure n'ont pas
été étrangères aux études des Anciens. Depuis, et jusqu'à Clairaut, d'où

perboliques , suivi d'une construction des paraboles cubiques et de diverses autres courbes
par des niuuTemens continus.

Ce petit ouvrage, qui a obtenu l'approbation de l'Académie des sciences de Paris en 1730 ,
et qui a été imprimé en 1731 , mérite d'être placé, dans le cabinet des bibliographes, à coté
de Y Essai pour les coniques àc Pascal , et des Recherches sur les courbes à double courbure da
frère aîné de l'auteur. La rareté du livre ajoute au prix de cette curiosité littéraire , offerte
par un géomètre de 14 ans.

' Pitot , en se proposant de carrer la courbe appelée d'abord la compagne de la cycloïde ,
puis, par Leibnitz, la ligne des sinus, parce que ses abscisses seraient égales aux sinus
des ordonnées si on enroulait celles-ci sur une circonférence de cercle ; Pitot, dis-je, trouve :
1° que cette courbe est ce que devient, dans le développement d'un cylindre droit circulaire
sur son plan tangent, l'ellipse qui aurait été formée sur ce cylindre par un plan sécant in-
cliné de 80 degrés sur son axe , et 2" que cette courbe provient aussi d'une hélice tracée
sur le même cylindre, et projetée sur un plan parallèle à l'axe du cylindre.

Ces deux propositions ont été démontrées depuis dans plusieurs ouvrages.

La courbe dont il s'agit , considérée comme provenant d'une ellipse , dans le développe-
ment du cylindre, a fixé l'attention de Schubert, qui en a donné la quadrature et la rectifica-
tion, dans les Nota Acta de Pétersbourg, tora. XIII, année 1795- 1796.

Burja , dans un Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristote, a remarqué que
ce prince des philosophes de l'antiquité a parlé de cette même courbe dans la question
sixième de la dixième section de ses Problèmes.

140

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Nomus ,

1492-1577.

LA LODEERE ,

1600-1664.

datent leur théorie et le rang qu'elles ont pris dans le vaste ensemble
des propriétés de l'étendue, on les retrouve encore dans les travaux de
plusieurs géomètres.

Voici, pour compléter l'historique de ces courbes, un exposé rapide
et suivant l'ordre des temps, des différentes circonstances où ces
courbes se sont présentées.

En 1530, Nonius, portugais, et plus tard Wright, Stevin, Snellius,
examinèrent la loxodromie qui est une courbe à double courbure tra-
cée sur le sphéroïde terrestre. C'est la route parcourue par un vaisseau
dirigé toujours sur le même rumb de vent. On doit à Halley cette pro-
priété curieuse de la loxodromie, d'être la projection stéréographique
de la spirale logarithmique.

Vers 1630, Roberval, dans son Traité des indivisibles , considéra
la courbe à double courbure, décrite par un seul trait de compas sur la
surface d'un cylindre droit circulaire, et démontra diverses propriétés
de cette courbe, et de celle qui en résulte par le développement du cy-
lindre sur un plan.

Peu après, La Loubère étudia aussi cette courbe, et l'appela cyclo-
cylindrique.

En 1637, Descartes, à la fin du second livre de sa Géométrie, dit
quelques mots des courbes à double courbure , sans s'occuper d'aucune
en particulier; mais ce peu de mots en comprenait toute la doctrine '.

Pascal résolut un problème sur la spirale conique qui est une ligne

' Descarte.s indique aussi la construction des normales aux lignes à double courbure; mais
sur ce point il commet une erreur ; car il suppose que les normales aux deux courbes planes ,
qui sont les projections de la courbe à double courbure , sont elles-mêmes les projections
d'une normale à cette courbe. Cela peut se dire des tangentes, mais non des normales.

Quelque peu d'importance qu'ait cette erreur , et quelqu'étrangère même qu'elle soit à
la méthode qui constitue la Géométrie de Descartes , il est fort étonnant qu'elle ait échappé
aux envieux comme aux admirateurs qu'a fait naître cette œuvre immortelle , et à Rober
val surtout, qui se mit l'esprit à la torture pour y découvrir quelque défaut. Bien plus,
le P. Rabuel , dans son Commentaire, démontra la construction indiquée par Descartes.
Il est vrai qu'il omet, dans cette prétendue démonstration , de citer les élémens d'Euclide,
comme il a coutume de faire à peu près une fois par chaque ligne.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

141

à double courbure tracée sur un cône droit {Œuvres de Pascal^ tom. V,
pag. 422).

Le P. Courcier, dans son traité : Opusculum de sectione superfi-
ciei sphœricœ per superficiem sphœricam , cylindricam atque coni-
caTn,etc. , in-4o, 1663, eut à considérer d'une manière spéciale des
courbes à double courbure. Ce sont celles qui naissent de l'intersection
de la sphère par le cône et le cylindre droits à base circulaire, et de l'in-
tersection de ces deux surfaces entre elles, considérées dans toutes les
positions qu'elles peuvent présenter. Cet ouvrage, quoique le sujet n'offre
pas de difficultés sérieuses, mériterait d'être plus connu qu'il ne l'est '.

Un problème proposé en 1692 par Viviani, où il s'agissait de percer
dans une voûte hémisphérique quatre fenêtres , telles que le reste de
la voûte fût quarrable, était résolu par des lignes à double courbure;
et donna lieu à Wallis, Lcibnitz et Bernouilli^ de considérer sur la
sphère de telles courbes.

Herman, en répondant à la question de tracer sur la sphère des
courbes rectifiables, proposée dans les Actes de Leipzig de 1718, fut
conduit à la considération de l'épicycloïde sphérique, engendrée par
un point de la surface d'un cône de révolution qui roule sur un plan,
son sommet restant fixe.

En 1728, Guido-Grandi considéra sur la sphère deux courbes à
double courbure qu'il appela délies, et dont il donna la quadrature.
L'une de ces courbes est simplement l'intersection de la sphère par
une surface héliçoïde rampante, dont l'axe passe par le centre de la
sphère.

Enfin parut l'ouvrage de Clairaut, qui fonda la théorie des courbes
à double courbure, et dès lors les spéculations concernant ces courbes
se multiplièrent considérablement.

1622 - 1703.

1678-1733.

CDIDO-CKAIDI ,

1671-1742.

' Frezier, dans son Traité de Stéréotomie, a considéré les mêmes courbes que le P. Cour-
cier. Celui-ci les avait appelées curvitegœ ; Frezier les appelle imbricatœ {en forme de tuile
creuse).

142 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

\|VV\rtNVVVVVVVV\IV\l\VV\IV\A\VVVVVVVVV\\\IV\\\^Al\A(V\^^

CHAPITRE IV.

QUATRIEME EPOQUE.

Calcul infinitésimal § 1 . Cinquante ans après que Descartes avait mis au jour sa Géo-
métrie, une autre grande conception préparée par Fermât et Barrow,
le calcul infinitésimal de Leibnitz et de INewton, prit naissance (en 1684
et 1687).

Cette sublime invention , qui remplaçait avec un avantage immense
les méthodes de Cavalleri, de Roberval, de Fermât, de Grégoire de
St.- Vincent, pour les dimensions des figures et les questions de maxima
etinininia, s'appliqua aussi avec une facilité si prodigieuse aux grandes
questions des phénomènes de la nature, qu'elle devint presque exclu-
sivement l'objet des méditations des plus célèbres géomètres. Dès lors ,
la Géométrie ancienne et les belles méthodes de Desargues et de Pas-
cal ^ de De LaHire et de Le Poivre, pour l'étude des coniques, furent
négligées.

L'analyse de Descartes, seule des grandes productions de nos deuxième
et troisième Epoques, survécut à cet abandon général. C'est qu'elle était
le véritable fondement des doctrines de Leibnitz et de Newton , qui
allaient envahir tout le domaine des sciences mathématiques.

Cependant, quelques géomètres, dans les premiers temps , et à leur
tête Huygens, quoiqu'il sût apprécier toutes les ressources de l'ana-
lyse infinitésimale, Maclaurin, profond commentateur du Traité des
fluxions de Newton, et Newton lui-même, furent fidèles à la méthode
des Anciens, et surent pénétrer dans les mystères de la plus profonde

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 143

Géométrie, pour résoudre avec son seul secours les plus hautes ques-
tions des sciences physico-mathématiques.

Quelques autres géomètres ensuite , tels que Ste wart , Lambert ,
dignes admirateurs de ces grands hommes, marchèrent sur leurs traces
et continuèrent leurs savantes méthodes. Mais enfin l'attrait de la nou-
veauté et les puissantes ressources que présentait l'analyse infinitésimale,
tournèrent tous les esprits vers d'autres idées et d'autres spéculations.
De sorte que, si l'on peut dire parfois que la Géométrie d'Huygens et
de Newton , après avoir posé les véritables fondemens de nos connais-
sances positives, devenait insuffisante pour continuer son œuvre, il est
juste de convenir aussi que des disciples lui ont manqué; car je ne
sache pas que, depuis trois quarts de siècle, on ait fait de nouvelles
applications de cette méthode ; et c'est aujourd'hui par tradition et
seulement sur parole, que, légèrement peut-être, on parle de son im-
puissance et des limites qui en restreignent pour toujours les usages.

S 2. Nous ne pouvons entreprendre ici d'analyser tous les travaux
des grands géomètres que nous avons nommés; cette tâche n'entre
point dans notre cadre et serait au-dessus de nos forces. Nous ne devons
citer que ceux de ces travaux qui se rapportent à cette partie de la
science de l'étendue, que nous avons appelée Géométrie des formes
et des situations ; qui prend son origine dans V analyse géométrique
des Anciens ; qui , pendant deux mille ans, s'est exercée sur l'inépuisable
théorie des sections coniques, et à laquelle enfin Descartes a soumis
d'un trait de plume l'innombrable famille des courbes géométriques.

Nous allons présenter d'abord un aperçu rapide des découvertes
successives des principales propriétés de ces courbes, puis, en reve-
nant sur nos pas, nous parlerons des progrès que la Géométrie a faits
dans diverses autres parties.

S 3. La Géométrie analytique de Descartes était un instrument uni- propreté. g«ér.ies

^^ •/ 1 des courbes géomé-

versel, éminemment propre à l'étude des courbes géométriques; et ce ''*''""•
philosophe en avait montré l'usage et toute la puissance dans la solution
des questions les plus diverses. Mais ce furent Newton et Maclaurin qui,
les premiers, l'appliquèrent à la recherche des propriétés générales et

144 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

caractéristiques de ce genre de courbes; et c'est à ces deux illustres
géomètres et à leur célèbre contemporain Cotes , que l'on doit la dé-
couverte des premières et plus importantes propriétés des courbes géo-
métriques.

Newton, dans son Enumeratio linearum tertii ordinis {anno 1706),
modèle admirable de haute Géométrie, fit connaître les trois suivantes ,
qu'il présenta comme extensions des propriétés principales des coniques'.

La première concerne leurs diamètres; elle consiste en ce que : étant
menées, dans le plan d'une courbe géométrique , des transversales
parallèles entre elles, et étant pris sur chacune d'elles le centre des
moyennes distances de tous les points où elle rencontre la courbe,
tous ces centres se trouvent toujours en ligne droite. C'est cette droite
qu'on appelle diamètre de la courbe correspondant, ou conjugué, à
la direction des transversales.

La seconde propriété générale (Concerne les asymptotes, et consiste
en ce que : quand une courbe a autant d'asymptotes qu'il y a d'uni-
tés dans, le degré de son équation, sous quelque direction qu'on tire
une transversale , le centre des m,oyennes distances des points où
elle rencontrera les asymptotes sera le même que celui des points
où elle rencontrera la courbe.

Ou, en d'autres termes, la somme des segmens compris entre chaque
bratiche de la courbe et son asymptote, sera la même départ et d'autre
du diamètre conjugué à la transversale.

Enfin , la troisième propriété générale est celle du rapport constant
des produits des segmeus compris sur deux transversales parallèles res-
pectivement à deux axes fixes. On l'énonce d'une manière générale,
en disant que : si par un point quelconque, pris dans le plan d'une
courbe géométrique, on mène deux transversales parallèles à deux
axes fixes , les produits des segmens compris sur ces deux droites,
entre le point par lequel elles sont menées et la courbe, sont entre
eux dans un rapport constant, quel que soit ce point.

' Proprietates seetionum conicarum competunt curvis superiorum generum. »

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 145

Il est aisé de reconnaître que ces trois belles propriétés, communes
à toutes les courbes géométriques, étaient une généralisation de trois
propositions de la théorie des coniques.

S 4. L'objet principal de l'ouvrage de Newton était l'énumération
des lignes comprises dans l'équation du troisième degré à deux varia-
bles, où il en reconnut soixante-douze espèces différentes, auxquelles
Stirling en ajouta quatre.

A la suite de cette énumération. Newton donna cette belle et cu-
rieuse proposition, qui range ces courbes en cinq grandes classes prin-
cipales, savoir : (( Qu'ainsi que le cercle , étant présenté à un point
)) lumineux, donne par son ombre toutes les courbes du second degré,
» de même les cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre
» toutes les courbes du troisième degré. »

L'ouvrage est terminé par la description organique des coniques au
moyen de deux angles mobiles autour de leurs sommets, dont deux
côtés se coupant toujours sur une droite, les deux autres engendrent,
par leur intersection, une conique ; et ce mode de description est étendu
aux lignes du troisième et du quatrième degré qui ont un point double.

Il est fâcheux que Newton se soit contenté d'énoncer ces belles
découvertes , sans démonstration , ni aucune indication de la méthode
qu'il avait suivie. Stirling, peu d'années après , suppléa à ce défaut en
rétablissant, avec les développemens préliminaires nécessaires, les dé-
monstrations des propositions de Newton , relatives à l'énumération des
lignes du troisième degré. Les autres parties de l'ouvrage ont été, depuis,
démontrées par divers géomètres. Le beau théorème sur la génération
de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre des cinq para-
boles divergentes, qui avait paru l'un des plus difficiles, l'a été par
Clairaut ', Nicole % Murdoch ' et le Père Jacquier *. Mais il nous
semble que les considérations analytiques dans lesquelles ces géomètres

' Mémoires de l'Académie det tciences , ann. 1731.

2 Ibid.

' Neuloni Genesis currarum per umhraa ; in-S». Loiid., 1746.

* Elemenfi di perspettira ; Appendice, in-B». Romœ , 1756,

ToM. XI. 19

146

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

MAClADHln ,

1698-1746.

1682-1716.

ont puisé des preuves suffisantes de la vérité du théorème de Newton ,
n'en ont pas pénétré la nature ni l'origine. Aussi un autre théorème
semblable , c'est-à-dire , un autre mode de génération de toutes les
courbes du troisième degré par l'ombre de cinq d'entre elles , qui a une
connexité intime avec celui de Newton , a-t-il échappé aux géomètres
qui ont écrit sur cette matière. Ce théorème consiste en ce que : parmi
toutes les courbes du troisième degré ^ il en est cinq qui ont un centre ';
et ces cinq courbes , par leur ombre projetée sur un plan, donnent
naissance à toutes les autres.

Ce nouveau théorème et celui de Newton reposent l'un et l'autre sur
une même propriété des points d'inflexion, qui nous parait en être la
véritable origine, et pouvoir être utile pour une classification purement
géométrique des courbes du troisième degré, basée sur leurs diffé-
rentes formes. Nous donnerons l'énoncé de cette propriété dans la
Note XX.

S 5. Maclaurin, inspiré par les belles découvertes de Newton, pro-
duisit sur les courbes géométriques deux écrits d'une haute importance.
Dans le premier, consacré à la description organique des courbes géo-
métriques ^ , l'auteur apprend à décrire de diverses manières , par l'in-
tersection de deux côtés de deux angles mobiles, dont le mouvement
est déterminé convenablement, toutes les courbes géométriques. Ses
démonstrations, traitées par la méthode des coordonnées, n'offrent pas
toujours un degré de simplicité satisfaisant; mais le deuxième écrit de
Maclaurin, intitulé : De linearum geometricarum proprietatibus ge-
neralibus tractatus , est d'une élégance et d'une précision admirables.

Tout cet ouvrage repose sur deux théorèmes, qui sont deux belles
propriétés générales des courbes géométriques. Le premier est celui
du célèbre Cotes, que son ami, le savant physicien R. Smith trouva
dans ses papiers et communiqua à Maclaurin. On peut l'énoncer de cette

J Ce sont, dans l'énumération des 72 espèces de Newton , les cinq courbes classées sous les
n»» 27, 38 , 89 , 62 , 72 , et représentées par les figures 37, -47, 67, 70 et 81 .

^ Geometria organica , site descriptio linearum curvarum unicersalis , in-J", 1719.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 147

manière : «Si , autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale
qui rencontre une courbe géométrique en autant de points A, B....
qu'elle a de dimensions, et qu'on prenne sur cette transversale , dans
chacune de ses positions, un point M tel que la valeur inverse de sa
distance au point fixe soit moyenne aritJmiétique entre les valeurs
inverses des distances des points A, B... à ce point fixe ^ le point M
aura pour lieu géométrique une droite.

Maclaurin a appelé le segment compris entre le point fixe et le point
M, moyenne harmonique entre les segmens compris entre le point fixe
et la courbe '; et M. Poncelet a appelé le point M, le centre des
moyennes harmoniques des points A, B.... par rapport au point fixe^.
Ce géomètre a fait voir que, quand le point fixe est à l'infini, le point M
devient précisément le centre des moyennes distances des autres points
A, B...., d'où il résulte que le théorème de Cotes est une généralisation
du théorème de Newton sur les diamètres des courbes.

Le deuxième théorème dont se sert Maclaurin, et qui lui est dû, est
celui-ci :

Que, par un point fixe pris dans le plan d'une courbe géométrique,
on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points
qu'elle a de dimensions , qu'en ces points on mène les tangentes à la
courbe; et que par le point fixe on tire une seconde droite de direc-
tion arbitraire, mais qui restera fixe ; les segmens compris sur cette
droite entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe , auront
la somme de leurs valeurs inverses constante , quelle que soit la pre-
mière transversale menée par le point fixe ;

Celte somme sera égale à celle des valeurs inverses des segmens
compris sur la même droite fixe, entre le même point et ceux où cette
droite rencontrera la courbe.

§ 6. Ce second théorème est une généralisation importante de celui

' Mncinurin dit qu'une quantité est moyenne harmonique entre plusieurs autres , quand sa
valeur inverse est moyenne arithmétique entre \es valeurs inverses de ces quantités ( 7Vat<é des
courbes géométriques , § 28).

' Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques ; Jocbral de M. Cielle, tom. III.

?^&:.

148 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

de Newton sur les asymptotes. L'un se transforme dans l'autre par la
perspective des figures.

Ainsi, deux des trois théorèmes de Newton sur les courbes géomé-
triques se trouvent généralisés par ceux de Cotes et de Maclaurin. Le
troisième, qui concerne les segmens faits sur des transversales paral-
lèles, a reçu une généralisation semblable dans la Géométrie de posi-
tion , où les transversales sont prises concourantes en des points fixes.
Carnot a même donné une autre généralisation plus étendue et plus
féconde de ce théorème, en le considérant comme cas particulier d'une
belle proposition générale relative à un polygone quelconque tracé
dans le plan d'une courbe géométrique.

S 7. Dans le théorème énoncé ci-dessus, Maclaurin considère le cas
où le point fixe, par lequel on mène des transversales, est pris sur la
courbe, et, au moyen d'une propriété du cercle, il transforme l'équation
qui exprime le théorème en une autre, où entre une corde du cercle
osculateur à la courbe au point fixe. De là il conclut deux autres
théorèmes, qui lui servent à construire le cercle osculateur, et à trou-
ver l'expression de la différentielle du rayon de courbure.

Cette construction géométrique du cercle osculateur, sur la figure
même, et sans le secours du calcul des fluxions, ni même de l'analyse
de Descartes, parait être restée inaperçue dans l'ouvrage de Maclaurin,
car nous ne voyons pas qu'on en ait jamais parlé. Nous croyons pourtant
qu'elle méritait d'y être remarquée, parce que ce problème avait paru
jusque là exiger absolument l'emploi de l'analyse.

Maclaurin suppose connue la direction de la normale au point où il
détermine le cercle osculateur. Nous nous étonnons qu'il n'ait pas eu
l'idée de construire aussi d'une manière purement géométrique , et sans
calcul, cette normale. Ce problème était du même ordre, et plus facile
que celui du cercle osculateur. Nous avons trouvé de l'une et de l'autre ,
une construction simple qui dérive du troisième théorème de Newton.
Nous ignorions alors que le cercle osculateur eût déjà été construit;
notre solution du reste diffère complètement de celle de Maclaurin,
puisqu'elle repose sur une autre propriété des courbes géométriques.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 149

g 8. Les quatre théorèmes généraux dont nous venons de parler
font l'objet de la première section de l'ouvrage de Maclaurin. Dans les
deux autres sections sont les applications de ces quatre théorèmes aux
coniques et aux courbes du troisième degré.

Les diverses propriétés de la division harmonique des sécantes dans
les coniques, et le théorème sur le quadrilatère inscrit, qui com-
prend la théorie des pôles (celui que nous avons déduit de l'hexa-
gramme de Pascal), se trouvent dans la seconde section. Le théorème
de l'hexagramme y est seulement énoncé, Maclaurin l'ayant déjà dé-
montré ailleurs de diverses manières ' .

La troisième section contient un grand nombre de propriétés cu-
rieuses des courbes du troisième degré. La plus considérable, d'où se
déduisent la plupart des autres, qui sont relatives aux points d'inflexion
et au point double, est celle-ci :

Quaîid un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points
de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré ^
les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se cou-
pent sur cette courbe.

Maclaurin avait déjà fait connaître ce théorème, qu'il avait énoncé
dans son Traité des fluxions (art. 401), en remarquant que celui
sur le quadrilatère inscrit aux coniques dont nous venons de parler,
n'en était qu'un cas particulier : ce qu'on voit aisément en considérant
la conique et la droite qui joint les points de concours des côtés oppo- ^

ses du quadrilatère , comme représentant une ligne du troisième degré.

Le théorème de Pascal pourrait être, aussi, considéré comme un
corollaire d'une propriété des courbes du troisième degré, plus géné-
rale que celle de Maclaurin, et dont voici l'énoncé :

Quand un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de
concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré,
le troisième de ces points de concours est aussi sur la courbe '.

' Transactions philosophiques, n"' 439, ann. 1735 et Traité des fluxions , n"' 322 et 623.
* Pour démontrer ce lliëorème, il suffit de regarder les trois cotés de rang impair de l'hexa-
gone comme formant une première ligne du troisième degré , et les trois côté» de rang pair

130 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

5 9. On a encore de Maclaurin , sur la théorie des courbes , un
fragment d'un mémoire qu'il avait écrit en France, en 1721, comme
supplément à sa Géométrie organique , et dont l'impression avait été
commencée, mais qui n'a point été mis au jour. Ce fragment fut adressé
en 1732 à la société royale de Londres, et se trouve dans les Transac-
tions philosophiques pour l'année 1735. On y remarque le théorème
général suivant, qui en est la partie principale :

Si un polygone, de forme variable , se meut de manière que tous
ses côtés passent respectivement par autant de points fixes dontiés,
et que tous ses sommets, moins un , parcourent des courbes géo-
métriques des degrés m, n, p, q...., le sommet libre engendrera
- une courbe qui sera en général du degré 2mnpq...; et qui se ré-
duira au degré sous-double mnpq...., quand tous les points seront
en ligne droite.

Si toutes les lignes directrices sont droites, la courbe engendrée par
le sommet libre du polygone est une conique ; et si le polygone est un
triangle, le théorème alors n'est autre que l'hexagramme de Pascal. Ce
théorème avait déjà été donné par Newton, pour le cas où l'un des trois
points par où devaient passer les trois côtés du triangle mobile était
situé à l'infini (lemme 20 du 1<''" livre des Principes). Mais c'est à Ma-
claurin qu'on doit son énoncé général, et d'avoir aperçu dans ce mode
de description des coniques, le beau théorème de Pascal, qui était alors
ignoré; V Essai sur les coniques , qui en contient l'énoncé, n'ayant
été retrouvé qu'en 1779, par les soins de M. l'abbé Bossut \

Depuis , Maclaurin démontra ce théorème directement pour le cercle ,

comme en formant une seconde. Par les neuf points d'intersection de ces deux lignes on
pourra faire passer «ne infinité de courbes du troisième degré; mais la proposée passe par
huit de ces neuf points ; il s'ensuit donc , par une propriété générale des courbes du troisième
degré, qu'elle passe par le neuvième.

ï 11 serait possible, il est vrai, que iUaclaurin , qui résida en France vers 1721, ait eu con-
naissance de l'ouvrage de Pascal ; mais le théorème de l'hexagone ressortait si naturellement
de la description des coniques par le triangle mobile, qu'il nous paraîtrait étonnant qu'il eût
échappé à la pénétration de Maclaurin , qui avait profondément médité sur tout ce qui con-
cernait la description des courbes, ainsi qu'il nous l'apprend lui-même, par sa lettre commu-
niquée à la Société royale de Londres, le 21 décembre 1732 [Trans. philosoph, , année 1733).

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

151

d'où il le conclut, par la perspective, pour toute espèce de coniques.
( Voir le Traité des fluxions, chapitre XIV, dans lequel Maclaurin dé-
montre les propriétés principales de l'ellipse, en la considérant comme
section d'un cylindre oblique à base circulaire.)

510. firaikenridge fut, dans la description des courbes de tous les
degrés, un digne émule de Maclaurin, et la théorie de ces courbes lui
est redevable de plusieurs belles propositions fondamentales, relatives
principalement à leur description par l'intersection de droites qui tour-
nent autour de pôles fixes, qu'il exposa dans son traité intitulé : Exer-
citatio Geometriœ de descriptione linearum curvarum (in-4'>, 1733),
et dans un mémoire qui fait partie des Transactions philosophiques,
année 1735.

Depuis , plusieurs autres géomètres appliquèrent avec succès la Géo-
métrie de Descartes à la théorie générale des courbes géométriques.

Nicole, à l'imitation de Stirling, qui avait démontré les propositions
seulement énoncées par Newton dans son Énumération des lignes du
troisième degré ^ avait aussi commencé une explication des principes
qui avaient guidé ce grand géomètre, et la démonstration de son im-
portante et curieuse proposition, non démontrée par Stirling, sur la
description de toutes ces courbes par l'ombre des cinq paraboles diver-
gentes '.

L'abbé de Bragelongne, qui, dès 1708, avait démontré, le premier,
les beaux théorèmes de Newtom sur la description organique des co-
niques, et des courbes du troisième et du quatrième degré ayant des
points doubles % entreprit l'énumération et l'examen des formes et des
ufiections des courbes du quatrième degré. Travail immense et difficile,
dont les premières parties seulement ont été publiées, la mort de l'au-
teur nous ayant privé des suivantes *.

BHtlKERaiDCE.

1683-1759.

BRÀGELORGilE .

1688-1744.

• Mémoireê de l'Académie des sciences, année 1731.

* Journal des satans, 30 septembre 1708.

•'• La première partie de cette énumération a été insérée dans les Mémoires de 'P Académie
des sciences, années 1730 et 1731; la seconde partie n'a pas paru; l'analyse s'en trouve dans
V Histoire de l'Académie pour 1732.

132

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

1712-1786.

1707-1783.

1704-1752.

OIOXIS DU SEJOCB
1734-1794.

eODDIX,
1734-1805.

L'abbé De Gua, dans un excellent ouvrage intitulé : Usages de V ana-
lyse de Descartes (in- 12, 1740), donna les moyens de déterminer les
tangentes, les asymptotes et les points singuliers (multiples, conju-
gués, d'inflexion et de rebroussement), des courbes de tous les degrés,
et fit voir, le premier, par les principes de la perspective, que plusieurs
de ces points peuvent se trouver à l'infini; ce qui lui donna l'explication
à priori d'une analogie singulière entre les différentes espèces de points
et les différentes espèces de branches infinies, hyperboliques ou para-
boliques , que peuvent présenter les courbes ; analogie à laquelle le
calcul l'avait déjà conduit.

Le but que s'était proposé cet habile géomètre , était de démontrer
que l'analyse de Descartes pouvait être employée avec autant de succès
que le calcul différentiel, dans la plupart des recherches relatives aux
courbes géométriques. Il ne reconnaissait l'utilité de l'analyse infini-
tésimale que pour la solution des problèmes de calcul intégral, et de
ceux qui concernent les courbes mécaniques. Ce sont en effet les seuls
pour lesquels il parait impossible de s'en passer, et ce sont même les
seuls que Newton ait résolus par cette voie.

Euler, dans son Introductio in analysin infinitorum (2 vol. in-4o,
1748), exposa les principes généraux de la théorie analytique des
courbes géométriques, avec cette généralité et cette clarté qui caracté-
risent les écrits de ce grand géomètre ; et, étendant ce genre de recher-
ches à la Géométrie à trois dimensions, discuta pour la première fois
l'équation à trois variables , qui renferme les surfaces du second degré.

Dans le même temps Cramer donna, sous le titre : Introduction à
l'analyse des lignes courbes algébriques (in-4°, 1 750) , un traité spé-
cial, le plus complet, et encore aujourd'hui le plus estimé, sur cette
vaste et importante branche de la Géométrie.

Peu après, parut le Traité des courbes algébriques (in-12, 1756)
de Dionis du Séjour et Goudin, où se trouvaient résolus par l'analyse
seule de Descartes, et avec clarté et précision, les problèmes sur les
affections des courbes, leurs tangentes, asymptotes, rayons de cour-
bure, etc.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 133

On a encore de Goudin un Traité des propriétés communes à toutes
les courbes, qui a pour objet de transformer une équation quelconque
d'une courbe, en une autre qui ait des coordonnées différentes. C'est
une suite de formules, à trois et à quatre variables, dont chacune ex-
prime une propriété différente des courbes en général '.

Nous citerons enfin Waring, qui, dans plusieurs écrits, a porté plus wtii!i«.
loin que ses prédécesseurs ses découvertes dans la théorie des courbes ^. 1734-1798.

Ce sont là, je crois, les derniers perfeclionnemens notables que la
science des courbes dut à la Géométrie des Anciens et à l'analyse de
Descartes.

§11. Les progrès dans les autres parties de la science de l'étendue ,
ont été moins marqués et moins satisfaisans pendant l'intervalle de
temps que nous venons de parcourir, que ceux qu'elle a faits dans la
théorie générale des courbes géométriques. Cependant, les coniques
ont continué d'être étudiées; et de nouveaux efforts pour donner l'in-
telligence et ranimer le goût de la Géométrie ancienne, ont été faits
par des mathématiciens d'un grand nom, tels que Halley, Stewart,
Simson, etc. : quelques questions particulières ont encore été traitées,
de loin en loin, par les célèbres analystes Euler, Lambert, Lagrange,
Fuss, etc., dans les courts instans de loisir que leur laissaient leurs
recherches de prédilection. Mais ces travaux , propres à entretenir la
connaissance des doctrines anciennes, ne nous paraissent pas en avoir
fait naître de nouvelles ; et les véritables progrès de la Géométrie pure
ne datent que du commencement de ce siècle.

• On y trouve , en particulier, quarante-cinq équations différentes de l'ellipse , en prenant
soit le centre , soit le foyer, pour origine des coordonnées.

Cet intéressant ouvrage de Goudin a eu 3 éditions , dont la dernière est de 1803 ; on a joint
à celle-ci , comme aux deux premières, un mémoire sur les éclipses de soleil, et un précis sur
les courbes algébriques, et, de plus qu'aux deux premières, un mémoire sur les usages de
l'ellipse dans la trigonométrie.

^ Outre plusieurs mémoires , écrits en anglais dans les Transaction» philosophiques , de 1763
à 1701 , Waring a donné sur les courbes géométriques les deux traités intitulés : Miscellanea
analylica de œquationibus algebraicis et currarum propriclatibu* , in-4o, 1762; et Proprietale»
geometricarum currarum , in-A", 1772.

ToM. XI. 20

154 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

oéoméirje appliquée Mois , la Géométrle s'est acquis, à l'époque qui nous occupe, un

aux phénomènes pliy- i X A i '

«cpies. autre titre à notre admiration, par ses applications aux phénomènes

physiques, et par les grandes découvertes auxquelles elle a conduit
Newton, Maclaurin, Stewart, Lambert, dans le système du monde.
A aucune époque, cette Géométrie appliquée n'a jeté un aussi vif
éclat; malheureusement, il a été de peu de durée, et nous devons
convenir que, de nos jours, cette science est à peu près inconnue. Le
calcul infinitésimal s'est emparé exclusivement de toutes les questions
auxquelles elle avait été propre entre les mains de Newton et de ses
disciples.

Progrès de la Géomé- S 1^* Rcvcnons à la Géométrio théorique, et essayons de nous

trie pure. i ■■ i . . i

rendre compte, pari analyse des principaux ouvrages des géomètres
qui l'ont cultivée pour elle-même, ou qui s'en sont servis comme d'un
instrument dans l'étude des phénomènes physiques, de la nature et de
l'étendue des recherches qui ont pu contribuer aux progrès de cette
science.
HAiLEï, Le célèbre astronome Halley, d'une grande érudition et très- versé

1656-1742 dans la Géométrie de l'école grecque, lui éleva un magnifique monu-
ment par ses traductions, plus fidèles que les précédentes, de plusieurs
ouvrages principaux des géomètres anciens. On distingue surtout sa
superbe édition du traité des coniques d'Apollonius, où se trouve
restitué, avec un grand talent, le 8" livre dont le texte jusqu'à ce jour
n'a point encore été retrouvé. A la suite, sont les deux livres de Serenus
sur les sections du cône et du cylindre.

On doit encore à Halley, la traduction, sur un manuscrit arabe, du
traité De sectione rationis , jusqu'alors inconnu; et la divination du
traité De sectione spatii, rétabli sur les indications de Pappus.

L'objet de ces deux ouvrages était, comme on sait, de mener par
un point pris au dehors de deux droites, une transversale qui fit sur
les deux droites, à partir de deux points fixes, deux segmens, dont
le rapport dans le premier cas, et le produit dans le second cas , était
donné.

Chacune de ces deux questions admet généralement deux solutions.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 155

et, par conséquent, conduirait en analyse à une équation du second
degré. Il est intéressant de voir avec quel art Apollonius résout la pre-
mière par une moyenne proportionnelle. Ses considérations géomé-
triques correspondent à l'opération que nous ferions pour chasser le
second terme d'une équation du second degré.

Dans l'estime que Newton portait à la Géométrie ancienne, il dis-
tinguait particulièrement ce traité d'Apollonius. « Plus d'une fois, nous
» dit le savant Pemberton ', je lui ai entendu approuver l'entreprise
M de Hugues d'Omérique , de rétablir l'ancienne analyse , et faire de
» grands éloges du livre d'Apollonius De sectione rationiSf ce livre
)) nous développant mieux la nature de cette analyse qu'aucun autre
» ouvrage de l'antiquité. ))

La traduction de Ilalley est enrichie de plusieurs scholies, qui em-
brassent dans des constructions générales et très-élégantes, le grand
nombre' de cas que comporte la question, et qu'Apollonius traite mi-
nutieusement, comme autant de formules que le géomètre doit toujours
avoir sous sa main dans la résolution des problèmes. Dans un de ces
scholies, on voit que le cas le plus général se réduit à mener, par un
point donné, deux tangentes à une parabole déterminée suilisamment
par les données de la question. Remarque heureuse, qui se prête à une
discussion facile et lumineuse des cas particuliers du problème , et qui
a conduit Halley à la connaissance de diverses propriétés de la para-
bole concernant ses tangentes, telles que celle-ci : Quand un quadri-
latère est circonscrit à une 'parabole, toute tangente à cette courbe
divise deux côtés opposés du quadrilatère en segmens proportion-
nels. Ces diverses propositions ne sont que des cas particuliers de la
proposition générale que nous avons appelée propriété anharmonique
des tangentes d'une conique. {Voir la Note XVI.}

Halley ne savait pas un mot d'arabe, quand son amour de la Géo-
métrie ancienne lui fit entreprendre la traduction du manuscrit de la

' F'iew of sir Isaac Newlon's philosophy, in^», 1728 ; traduit en français en 1786 , sons le
titre A'Elémens de la philosophie Netctonienne.

à.

156 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

section de raison. Dans sa préface, il fait l'histoire de ce manuscrit
enfoui depuis de longues années dans la bibliothèque Bodleïenne. Il dé-
plore la perte d'une infinité d'autres ouvrages de l'école grecque ; et ne
doute pas que beaucoup ne nous seraient rendus, si l'on voulait se don-
ner la peine de les rechercher. Il adresse à ce sujet une prière à tous
les savans qui peuvent avoir accès dans les bibliothèques de manuscrits.
Nous nous faisons un devoir de rapporter ici, et le sentiment, et les
vœux du célèbre Halley, qui doivent avoir une si imposante autorité au-
près de toutes personnes éclairées et en position de rendre, de quelque
manière que ce soit , quelques services aux sciences mathématiques.

Une édition des sphériques de Menelaus, en trois livres, revue sur
un manuscrit hébreu, avait été préparée par Halley. Mais elle ne vit
le jour qu'en 1758, par les soins de son ami le docteur Costard, auteur
d'une histoire de l'astronomie.

Halley joignait à une profonde connaissance de la Géométrie an-
cienne une parfaite intelligence de la méthode de Descartes. Il en fit
usage particulièrement pour perfectionner la construction des équa-
tions des troisième et quatrième degrés, par le moyen d'une parabole
quelconque donnée et d'un cercle '.

Les éditions qu'il a données des ouvrages d'Apollonius, de Serenus
et de Menelaus, sont très-recherchées des amateurs de la Géométrie ^,
et suffiraient seules pour assurer à Halley une place distinguée parmi les
savans qui ont contribué aux progrès des mathématiques, si ses travaux
en astronomie ne l'avaient placé à côté des hommes les plus célèbres
d'une époque qui a réuni les noms de Dominique Cassini, delluygens
et de Newton.

§ 13. Quoique Newton et Maclaurin, dont nous avons déjà fait con-
naître les belles recherches sur la théorie des courbes géométriques,
n'aient pas écrit spécialement sur la Géométrie des Anciens, ils portè-

' Transactions philosophiques, année 1687, n" 188,

^ Tous ces ouvrages sont très.rares, surtout le traité De sectione rationis, qui est encore
aujourd'hui le seul livre où l'on trouve, avec une traduction plus exacte que celle de Com-
niandin , le texte grec de toute la préface du 7' livre des Collections mathématiques de Pappus.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 157

rent une telle estime à cette méthode qu'ils s'en servirent presque ex-
clusivement dans leurs recherches physico-mathématiques. Nous avons
donc encore à jeter un coup d'oeil sur les travaux de ces deux grands
géomètres.

Nous citerons de Newton son Arithmétique universelle, et son grand
ouvrage des Principes.

\? Arithmétique universelle , modèle parfait de l'application de la
méthode de Descartes à la résolution des problèmes de Géométrie et à
la construction des racines des équations, présentait une foule de ques-
tions variées se rapportant à toutes les parties des mathématiques. Cet
ouvrage est trop peu lu de nos jours, parce qu'on oublie sans doute
que son illustre auteur, en en faisant le texte de ses leçons à l'uni-
versité de Cambridge, l'avait jugé propre à initier ses élèves dans la
science et dans l'art du géomètre.

S 14. Le premier livre des Principes contient un grand nombre
de propositions diverses de pure Géométrie. On y remarque particu-
lièrement de belles propriétés des coniques, et les problèmes sur la
construction d'une conique assujettie à passer par des points et à tou-
cher des droites , ou à avoir l'un de ses foyers en un point donné. Ces
recherches, nouvelles alors pour la plupart, étaient des préliminaires
qui suffirent à Newton pour soumettre à sa loi de la gravitation uni-
verselle tous les phénomènes du ciel, et pour déduire de ce principe
unique l'explication, à priori, et le calcul de tous les mouvemens des
corps célestes. C'est là le plus bel hommage rendu aux recherches
des géomètres de l'antiquité sur les coniques , depuis que Kepler y avait
puisé la découverte des véritables formes des orbites planétaires.

Le peu d'usage que l'on fait maintenant des propositions de Géo-
métrie, et des nombreuses propriétés des coniques, par lesquelles il faut
passer pour traiter par la méthode de Newton les grandes questions du
système du monde , a contribué , indépendamment des avantages que
présentait, sous d'autres rapports, la voie analytique, à faire abandon-
ner cette première méthode que l'on a jugée longue et pénible, et
qu'on a regardée comme ne promettant rien ou presque rien pour l'ave-

k

158 HISTOIRE DE LA. GEOMETRIE.

nir. Et cejugement a acquis chaque jour d'autant plus d'autorité que
l'analyse, cultivée exclusivement, a fait des progrès continus qui per-
mettent de simplifier et de perfectionner, de plus en plus, les premières
méthodes analytiques que l'on a substituées à celle de Newton. Celle-ci
au contraire, ayant cessé d'être cultivée, est restée dans l'état où elle
était en sortant des mains de son illustre auteur. Et l'on ne songe pas ,
quand on la met en parallèle avec l'autre, à prendre celle-ci à son
origine, et à citer les premiers essais des analystes pour convertir les
beaux résultats de Newton en une analyse d'abord pénible et sans élé-
gance, mais qui, depuis, s'est perfectionnée de jour en jour par les
efforts continus des plus célèbres géomètres. Pourquoi donc, au moins,
ne pas tenir compte des perfectionnemens que la méthode géométri-
que, qui peut devenir si souvent intuitive, eût reçus aussi, si elle n'avait
pas été abandonnée complètement?

Un examen attentif des diverses propositions de pure Géométrie ,
dont il est fait usage dans les Principes de Newton, donnera une idée
de ce qu'auraient pu être ces perfectionnemens. En effet, on reconnaît
que ces diverses propositions, qui paraissent différentes entre elles , et
dont chacune a sa démonstration particulière, peuvent pourtant se
rattacher toutes à deux ou trois propriétés principales des coniques ,
dont elles ne sont que des cas particuliers, ou des conséquences faciles.
Aujourd'hui donc, un commentaire nouveau des Principes de Newton,
fait dans l'esprit et dans les formes de la Géométrie moderne, abrége-
rait et faciliterait singulièrement la lecture de cet ouvrage immortel.

§ 15. Nous allons voir que les propositions de Newton peuvent dé-
river, comme nous venons de le dire, de deux ou trois seulement des
propriétés les plus générales des coniques.

Dans les propositions 19, 20 et 21, sont résolus tous les problèmes
sur la construction d'une conique dont un foyer est donné, et qui doit
toucher des droites et passer par des points. Or les solutions de toutes
ces questions se déduisent aujourd'hui immédiatement des questions
analogues sur le cercle assujetti à trois conditions, soit parla théorie
des figures homologiques, comme l'a montré M. Poncelet, soit parles

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 159

transformations polaires, comme nous l'avons fait. (Annales de mathé-
matiques, tom. XVIII.)

Leslemmes 17, 18 et 19, sont la propriété du quadrilatère inscrit
aux coniques, ou théorème ad quatuor lineas des Anciens. Nous avons
fait voir que ce théorème se déduit avec une extrême facilité de la pro-
position que nous avons appelée propriété anharmonique des points
d'une conique; et celle-ci se démontre d'une manière intuitive, sans
qu'il soit besoin de faire usage d'aucune propriété des coniques. [Voir
la Note XV.)

Les lemmes 20 et 21 , concernent la génération des coniques par
l'intersection de deux droites qui tournent autour de deux pôles fixes.

Dans le premier, les deux droites mobiles aboutissent respectivement
aux points où des transversales, parallèles entre elles, rencontrent deux
droites fixes. C'est le théorème que nous avons énoncé en parlant des
coniques de De W^itt, et dont nous avons signalé un cas particulier dans
un ouvrage de Cavalleri.

Si les transversales, au lieu d'être parallèles, concouraient en un
point, ce serait dans toute sa généralité le théorème de Maclaurin et
de Braikenridge , que nous avons cité, comme étant, sous un autre
énoncé, le théorème de l'hexagone de Pascal, et qui se déduit immé-
diatement, comme nous l'avons fait voir (même Note), de la propriété
anharmonique des points d'une conique.

Dans le second lemme, les deux droites mobiles sont deux côtés de
deux angles de grandeur constante, dont les deux autres côtés se croi-
sent sur une droite fixe. C'est la description organique des coniques,
qui a été reproduite par Newton dans son E numération des lignes du
troisième ordre , et dans son Arithmétique universelle. Nous avons
montré ( même Note ) que ce mode de description , dont les dé-
monstrations qu'on en a données ont toujours été assez longues, se
déduit avec une facilité extrême, comme le précédent, de la même pro-
priété anharmonique.

Les lemmes 23, 24 et 25, et leurs corollaires, sont des cas particu-
liers de la propriété générale du quadrilatère circonscrit à une conique ,

A.

m

160 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

analogue à celle du quadrilatère inscrit, et que nous avons appelée
propriété anharmonique des tangentes d'une conique. (Voir la Note
XVI).

Le corollaire 3 du lemme 25 prouve cette belle proposition, démontrée
depuis de bien des manières, savoir que : a dans tout quadrilatère circon-
)) scrit à une conique, la droite qui joint les points milieux des deux
)) diagonales passe par le centre de la courbe. »

Beaucoup d'autres propositions sont des problèmes sur la descrip-
tion des coniques assujetties à cinq conditions, de passer par des points
et de toucher des droites. Toutes ces questions se résolvent aujourd'hui,
comme on sait, avec une grande facilité.

Le lemme 22 sert à changer les figures en d'autres figures du même
genre. Dans les propositions suivantes. Newton s'en sert pour transfor-
mer des lignes concourantes, en des lignes parallèles, et faciliter la so-
lution de quelques problèmes. Nous avons parlé de cette méthode dans
notre troisième Époque; et nous avons fait voir qu'elle n'était autre
qu'une des pratiques de la perspective. Cette remarque nous paraît
propre à en faciliter l'intelligence.

§ 16. Dans toutes ces propositions préliminaires, et dans leurs co-
rollaires. Newton a borné ses recherches à ce qui lui était strictement
nécessaire pour sa grande entreprise. Mais on voit, par la nature de ces
propositions, que s'il eût eu en vue l'accroissement et le perfectionne-
ment de la théorie des coniques, elles l'eussent conduit facilement, par
des généralisations naturelles de ses premiers résultats, aux propriétés
les plus générales de ces courbes.

Il ne lui aurait point échappé , non plus , que sa méthode pour la
transformation des figures, s'appliquait naturellement aux figures à trois
dimensions; et, depuis près d'un siècle et demi, nous saurious, ce que
l'on n'a fait que dans ces derniers temps , transformer la sphère, par
exemple, en une surface quelconque du second degré, comme on trans-
forme par la perspective, depuis Desargues et Pascal, le cercle en une
conique, pour découvrir et démontrer les propriétés de cette courbe.

Toutes ces généralisations n'entraient point dans le but de Newton.

m

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 161

Mais elles n'auraient pu échapper aux géomètres qui auraient médité
sur la partie purement géométrique du livre des Principes; et cette
circonstance prouve combien peu les doctrines géométriques ont été
cultivées depuis lors.

§ 17. C'est dans l'ouvrage de Newton qu'a paru pour la première
fois la rectification des épicycloides. Il n'avait encore rien été écrit sur
ces courbes célèbres, quoi qu'il paraisse, au rapport de Leibnitz, que,
10 ans auparavant, Roemer les avait déjà imaginées; et même, d'après
De La Uire, que la première découverte de ces courbes et de leur usage
pour la confection des roues dentées, remonte à Desargues, dont le
génie, aujourd'hui mieux apprécié, était à la hauteur d'une aussi grande
et aussi utile invention. C'est quelques années après que l'ouvrage de
Newton avait paru, que De La Hire donna son Traité géométrique
des épicycloides.

5 1 8. Nous citerons encore, du livre des Principes, les fameuses ovales,
imaginées par Descartes pour réunir en un seul point, par la réfraction,
les rayons de lumière émanés d'un autre point, comme font l'ellipse et
l'hyperbole à l'égard des rayons de lumière parallèles entre eux'. Newton
fait voir, d'une manière très-simple, que ces courbes sont le lieu d'un
point dont les distances à deux circonférences de cercles sont entre elles
dans un rapport constant. C'est aussi ce qu'avait montré la construction
géométrique de ces courbes donnée par Descartes, et ce que Huygens
avait conclu immédiatement, et sans démonstration, de son système
ondulatoire, dans son Traité de la lumière.

Nous ferons ici, à ce sujet, une observation qui se rapporte à la Géo-
métrie de Descartes, mais que nous n'avons point trouvé l'occasion de
placer plus tôt : c'est que la construction géométrique de ses ovales,
qui était sulïisante pour l'application spéciale que le célèbre philosophe
fit de ces courbes à la dioptrique, n'était pas propre à les lui faire con-
naître complètement. Et Roberval, qui avait donné aussi, peu de temps

' Cette propriété des coniques , qui repose sur la relation entre le foyer et la directrice, est
due aussi à Descartes , qui l'a démontrée dans sa Dioptrique.

ToH. XI. -21

162 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

après, la construction de ces ovales et discuté leurs formes, nilluygens,
ni Newton n'en ont point eu non plus une connaissance complète,
sous le point de vue géométrique. En eflfet, une de ces ovales n'est point
à elle seule le lieu exprimé par la propriété démontrée par Newton, ou
par l'équation du quatrième degré trouvée par Descartes; mais ce lieu
doit toujours être l'ensemble de deux ovales conjuguées , inséparables
l'une de l'autre dans leur expression analytique.

Cette remarque a échappé à Descartes, dans sa Géométrie comme
dans sa Dioptrique, et ensuite aux célèbres géomètres que nous venons
de nommer. Elle pouvait bien être omise dans la Dioptrique , mais elle
eût dû , ce me semble , être faite dans la Géométrie. Il est résulté de
son omission que Tune des formes des courbes en question a échappé
à l'analyse de Descartes; c'est le cas où les deux ovales conjuguées ont
un point commun et forment une courbe unique ayant un point double ;
on trouve que cette courbe est celle qu'on appelle le limaçon de Pascal.
Il résulte de là, que cette courbe remarquable, qui est tout à la fois,
comme on sait, une épicycloïde et une conchoïde du cercle, jouit de
cette autre propriété, qu'on ne lui avait pas encore reconnue, d'avoir
deux foyers , comme les ovales de Descartes.

Dans ces derniers temps, ces ovales ont reparu sur la scène géomé-
trique. Le célèbre astronome J. Herschel les a appelées lignes apla-
nétiques \ à cause de leur usage en optique. M. Quetelet leur a
découvert de singulières et curieuses propriétés que nous ferons con-
naître dans la Note XXI.

S 19. Maclaurin partagea le goût de Newton pour la Géométrie
pure, et sut l'appliquer aussi avec la plus grande habileté aux recher-
ches philosophiques. Son Traité des fluxions , où il se proposait, en
établissant le lien et les rapports entre les méthodes d'Archimède et
celle de Newton, de démontrer celle-ci avec toute la rigueur de l'école
grecque, présente une foule de démonstrations synthétiques dans des
questions diverses de mécanique et de haute Géométrie, où l'analyse

' Sans aberration.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 163

n'eût été ni plus facile, ni plus expéditive. Tout le monde sait avec
quelle élégance et quelle facilité il résolut, par cette voie, la grande
question de la ligure de la terre , qui suffirait seule pour rendre son
nom immortel.

Il fallait connaître l'attraction d'un ellipsoïde de révolution sur des
points situés à sa surface ou dans son intérieur. Maclaurin sut tirer
de quelques propriétés des coniques, toutes les ressources suffisantes
pour la solution de cette question qui a toujours passé auprès des plus
célèbres analystes pour l'une des plus difFiciles. Le jugement porté par
l'illustre Lagrange à ce sujet, fera mieux apprécier que tout ce que
nous pourrions en dire , le mérite du travail et de la méthode de Ma-
claurin. Après avoir dit qu'il est des questions où la méthode géomé-
trique des Anciens a des avantages sur l'analyse, Lagrange ajoute :
(c Le problème où il s'agit de déterminer l'attraction qu'un sphéroïde
1) elliptique exerce sur un point quelconque placé à sa surface ou dans
)) son intérieur est de cette espèce. M. Maclaurin, quia, le premier,
)) résolu ce problème dans son excellente pièce sur le flux et le reflux
)) de la mer, couronnée par l'Académie des sciences de Paris, en 1 740,
» a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement
)) sur quelques propriétés de l'ellipse et des sphéroïdes elliptiques ; et
» il faut avouer que cette partie de l'ouvrage de M. Maclaurin est un
» chef-d'œuvre de Géométrie , qu'on peut comparer à tout ce qu'Ar-
» chimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme
» M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des
)) Anciens , il n'est pas étonnant qu'il l'ait employée dans la solution
» du problème dont nous venons de parler; mais il l'est extrêmement,
» ce me semble, qu'un problème aussi important que celui-là n'ait
» pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique, surtout
)) dans ces derniers temps où l'analyse est devenue d'un usage si com-
» mun et si général. On ne peut, je crois, en attribuer la cause qu'aux
» difficultés de calcul que la solution de cette question doit renfermer,

» lorsqu'on l'envisage sous un point de vue purement analytique

» Je me propose, dans ce mémoire, de faire voir que loin que le pro-

164 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

» blême dont il s'agit se refuse à l'analyse, il peut être résolu par ce
)) moyen d'une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et
» plus générale que par la voie de la synthèse, etc. '. »

Cette plus grande généralité consistait à calculer l'attraction dans
un ellipsoïde à trois axes inégaux, au lieu d'un ellipsoïde de révolution,
comme avait fait Maclaurin. Mais déjà, D'A,lembert s'était proposé
cette extension, et l'avait obtenue par de pures considérations de Géo-
métrie, en suivant pas à pas la marche tracée par Maclaurin ".

§ 20. Il est une autre partie du travail de Maclaurin , dont Lagrange
ne parle pas encore dans son premier mémoire que nous venons de
citer, et qui conservait à la méthode géométrique un véritable avan-
tage sur l'analyse; c'était le fameux théorème des ellipsoïdes dont
les sections principales sont décrites des mêmes foyers. Il consiste en
ce que les attractions de deux tels ellipsoïdes, sur un même point situé
au dehors de leurs surfaces, s'exercent suivant la même direction, et
sont proportionnelles aux masses des deux corps. Maclaurin n'avait dé-
montré que le cas particulier le plus simple de ce beau théorème, celui
où le point attiré est sur l'un des axes principaux des deux ellipsoïdes
(Art. 653 du Traité des fluxions). Mais, ce cas particulier présentait
d'assez grandes difficultés pour que les efforts de d'Alembert, qui y ap-
pliquait l'analyse, ne conduisissent ce grand géomètre qu'à supposer

' Mémoires de V Académie de Berlin, ann. 1773.

2 Opuscules mathématiques, tom. VI, pag. 163; ann. 1773.

Avant de savoir que d'Alembert , ensuivant les traces de Maclaurin , était parvenu par
de pures considérations de Géométrie, à une formule d'intégrale simple, pour l'attraction
d'un ellipsoïde à trois axes inégaux sur un point situé à sa surface ou dans son intérieur ,
nous avions cherché à donner cette même extension à la théorie de Maclaurin ; et, en adoptant
le mode de décomposition du solide en cônes élémentaires , qui a été employé par Lagrange ,
nous sommes parvenu , par la Géométrie seule , à la formule de quadrature que l'on ob-
tient en analyse. Notre procédé consiste à remplacer par des considérations géométriques ,
la première intégration que l'on effectue en analyse ; et cela se fait en remarquant que
cette intégration correspond, en Géométrie, à l'évaluation de l'aire d'une ellipse, qui est
la projection, sur un des trois plans principaux de l'ellipsoïde, de l'intersection de cette
surface par celle d'un cône de révolution autour d'un axe perpendiculaire à ce plan princi-
pal ; ce cône ayant même centre que l'ellipsoïde.

mSTOIUE DE LA GEOMETRIE. 165

faux le théorème de Macluurin ' ; et pour que Lagrange, qui le démontra
quelque temps après, bornât sa démonstration au cas particulier en ques-
tion*. D'Alembert, pour réparer son erreur, en donna aussi trois démon-
strations; mais, comme Lagrange, sans aller au delà de Maclaurin^. C'est
M. Legendre qui, peu de temps après, fit faire un pas h cette question, en
démontrant le théorème pour le cas où le point attiré est dans l'un des
plans principaux des ellipsoïdes, et qui, dès lors soupçonna toute sa géné-
ralité*, qu'il démontra en effet, quelques années après, dans un mémoire
d'analyse, qu'on peut regarder comme un chef-d'œuvre de difficulté
vaincue; mémoire fort beau et très-profond, et qui serait plus riche en-
core en résultats intéressans, si M. Legendre avait donné la signification
géométrique de plusieurs des nombreuses formules par lesquelles il lui
faut passer, pour arriver à la conclusion du théorème en question '.

Depuis, on a trouvé diverses autres démonstrations du théorème de
M. Legendre, dont une que nous pouvons citer ici comme rentrant dans
la méthode synthétique. C'est celle qui dérive du beau théorème de
M. Ivory, par lequel on ramène le calcul de l'attraction sur des points
extérieurs à celui des attractions sur des points intérieurs à l'ellipsoïde.
Les différentes démonstrations qu'on a données de ce théorème s'écar-
tent peu de celle même de son célèbre auteur , et l'on y fait usage de
quelques transformations de formules analytiques. Il est peut-être à
désirer, pour faire entrer ce théorème dans la théorie géométrique de
l'attraction des ellipsoïdes, à laquelle il appartient par sa nature, d'en
avoir une démonstration plus synthétique que les premières, c'est-à-
dire , tout-à-fait indépendante des formules de l'analyse.

La question de l'attraction des ellipsoïdes, restreinte au simple cal-
cul de cette attraction, est maintenant résolue aussi complètement
que le permettent les bornes de l'analyse, puisqu'elle se réduit à une

' Opuscules malhimaliques , tom. VI , pag. Hi.

- Mémoires de V Académie de Berlin , ann. 177+ et 1775.

' Opuscules mathhnaiiqucs, tom. VII, pag. 102; ann. 1780.

* Mémoires des savons étrangers, tom. X,

* Mémoires de l'Académie des sciences, ann, 1788.

im HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

formule de quadratures elliptiques, qu'on ne sait pas intégrer en termes
finis. Mais, cette grande question, envisagée sous d'autres points de
vue, est loin d'être épuisée, et donnera lieu encore certainement à bien
des recherches et à de belles découvertes *. Les travaux tout récens de
deux célèbres analystes de France et de Koenisberg, MM. Poisson et
Jacobi, sont une preuve qu'il restait encore beaucoup à faire, et appel-
leront de nouvelles méditations sur cette matière d'un si haut intérêt.
§ 21. Le problème de l'attraction des ellipsoïdes, considéré indé-
pendamment de son application à plusieurs questions de la philoso-
phie naturelle , appartient à la Géométrie , et la solution qu'en a
donnée Maclaurin est un des morceaux les plus propres à ranimer le
goût et l'intelligence de cette Géométrie pure et intuitive, si mécon-
nue depuis bientôt un siècle. Nous espérons que, par cette raison, on
nous pardonnera d'être entré à ce sujet dans quelques détails, qui
nous ont éloigné de la direction que nous aurions dû suivre dans
l'examen des travaux géométriques de Maclaurin : ce sera rentrer dans

' Par exemple , quoiqu'on ne sache pas déterminer d'une manière absolue , ni en grandeur
ni en direetion, l'attraction d'un ellipsoïde sur difiFérens points , ne pourrait-on pas trouver cer-
tains rapports entre ces attractions , ou entre leurs directions ?

Mais , sans imaginer de nouvelles questions , qui se présenteraient en foule à l'esprit, il en
est une qui , ce me semble , s'est oflFerte d'elle-même , et dont il ne paraît pas qu'aucun des
géomètres qui ont écrit sur cette matière, se soit occupé. On sait que la formule relative à
l'attraction sur un point extérieur contient un coefficient, qui n'est pas connu à priori, mais
qui dépend d'une équation du troisième degré, parfaitement déterminée; l'expression géo-
métrique de ce coefficient est connue ; c'est un des axes principaux de l'ellipsoïde qui passe
par le point attiré , et qui a ses sections principales décrites des mêmes foyers que celles de
l'ellipsoïde attirant. Mais cette équation du troisième degré est un fait d'analyse, que l'on ne
pouvait prévoir à priori d'après la nature de la question, et que l'on n'a point encore expli-
qué. Il annonce que le problème de l'attraction d'un ellipsoïde dérive d'une autre question,
d'un énoncé plus général , et qui admet généralement trois solutions. Dans deux de ces solu-
tions, les deux hyperboloïdes à une et à deux nappes , que l'on peut faire passer par le point
attiré, de manière que leurs sections principales soient décrites des mêmes foyers que celles
de l'ellipsoïde donné , feront la même fonction que l'ellipsoïde qui passe par ce point fait à
l'égard de la première solution qui résout la question même de l'attraction.

11 n'est pas rare de rencontrer de pareils faits d'analyse ; mais il est toujours intéressant d'en
savoir l'origine et la signification. Alors seulement une question peut être regardée comme
résolue complètement.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 1«7

cette direction que d'indiquer maintenant sur quelles propriétés des
coniques ce géomètre avait établi sa solution.

Une seule suffit pour le calcul de l'attraction sur des points situés à
la surface, ou dans l'intérieur de l'ellipsoïde, la voici :

« Étant données deux ellipses semblables, semblablement placées
» et concentriques; par un des sommets de la plus petite, on lui
)) mène sa tangente qui rencontre l'autre ellipse en deux points ;

» Par l'un de ces points, on mène dans cette seconde ellipse deux
» cordes quelconques, mais également inclinées sur la tangente en
» question; ■ -^ •>■ . ...

)) Par le sommet de la première ellipse, on mène dans cette courbe
)) deux cordes parallèles à celles de l'autre ellipse;

» La somme de ces deux cordes est égale à celle des deux autres
» cordes. »

Maclaurin démontre ce théorème dans le cercle, par la Géométrie
élémentaire ; et ensuite , en projetant les deux ellipses sur un plan
parallèle à la tangente en question, et convenablement incliné pour
que les ellipses deviennent en projection des cercles, il en conclut le
théorème énoncé '.

§ 22. Le calcul de l'attraction sur les points extérieurs à l'ellip-
soïde, n'était pas aussi facile; Maclaurin se servit, pour y parvenir, des
deux propositions suivantes, dont il n'énonça que la première , mais
dont on aperçoit la seconde dans le cours de la démonstration de cette
première :

{(1" Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si, par
» un point, pris sur un de leurs axes principaux, on mène deux trans-
» versales, de manière que les cosinus des angles qu'elles feront avec
» l'autre axe soient proportionnels respectivement aux diamètres des

• C'est le seul théorème qui servit à Maclaurin pour démontrer cette importante proposition ,
admise par Newton sans preuve , savoir qu'une masse fluide homogène , tournant autour d'elle-
même, devait prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution, dans l'hypothèse de l'attraction en
raison inverse du carré des distances. Et celte voie parut si belle à Clairaut , qu'il abandonna ,
dans sa Théorie de la figure de la terre, sa méthode analytique, pour suivre celle de Maclaurin.

L

168 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

)) deux coniques, dirigés suivant cet axe, les parties des deux transver-
)) sales, comprises entre les deux courbes respectivement, seront pro-
)) portionnelles aux diamètres dirigés suivant leur premier axe.

» 2» Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si l'on
)) mène deux diamètres quelconques, aboutissans à deux points cot^-
)) respondans des deux courbes, la différence de leurs carrés sera con-
)) stante. »

Nous appelons points correspondans , ceux dont les distances à
chacun des axes principaux sont proportionnelles aux diamètres des
deux ellipses, perpendiculaires à ces axes respectivement.

La première de ces deux propositions suffit à Maclaurin pour démon-
trer que les attractions que deux ellipsoïdes de révolution, décrits des
mêmes foyers , exercent sur un même point pris sur le prolongement
de l'axe de révolution , sont entre elles comme les masses des deux corps.
De là, il conclut, au moyen de la seconde proposition, que ce théo-
rème a lieu aussi à l'égard des points situés sur le plan de l'équateur des
deux sphéroïdes, au dehors de leurs surfaces. Ensuite, il remarque que
sa démonstration de ce second théorème s'applique aux ellipsoïdes à
trois axes inégaux , dont les sections principales sont décrites des mêmes
foyers, quand le point attiré est sur le prolongement d'un de leurs
axes; d'où résulte le célèbre théorème dont nous avons parlé.

D'Alembert, et ensuite Lagrange et Legendre, avaient pensé que
Maclaurin n'avait fait qu'énoncer son théorème, sans en donner la dé-
monstration ; c'était une erreur de la part de ces trois illustres géomè-
tres, car cette démonstration est identiquement la même que celle du
cas qui avait précédé, et l'auteur dès lors devait se borner, comme
il a fait, à ces seids mots : Von prouvera de la même manière , etc. ;
et ne pas répéter des raisonnemens qu'il venait de faire quelques lignes
plus haut, et auxquels il n'y avait à changer, ni ajouter, ou retrancher
aucun mot '.

' La méprise des trois grands géomètres que je viens de nommer n'a peut-être pas été aper-
çue, quoiqu'on se soit tant occupé, depuis, de la question de l'attraction des ellipsoïdes. Je
n'en fais la remarque ici , que parce qu'elle nous ofFre une preuve bien certaine de l'abandon

L

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 169

S 23. Les deux propriétés des ellipses décrites des mêmes foyers,
que nous avons énoncées ci-dessus , sont dues à Maclaurin ; ce sont
probablement les premières que l'on ait données sur les coniques bi-
confocales; de môme que son théorème sur l'attraction des ellipsoïdes
dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, offre la
première circonstance où il ait été question de deux tels ellipsoïdes.
Ces surfaces se sont présentées, depuis quelques années, dans d'autres
questions particulières; et elles nous paraissent devoir jouer désormais
un rôle important dans la théorie générale des surfaces du second
degré. Elles jouissent d'un grand nombre de propriétés qui n'ont point
encore été remarquées, et dont nous parlerons dans une des Notes
relatives à notre cinquième Epoque.

§ 24. C'est en considérant l'ellipse comme section oblique d'un
cylindre à base circulaire, que Maclaurin démontre les propriétés de

où est tombée In Gcomdtrie, dans la seconde moitié du siècle dernier, et dii peu de justice qu'il
y aurait aujourd'hui à l'accuser d'iuipuissance , puisque, loin de la soumettre à du nouveaux
essaii, on n'a pas même approfondi la nature et l'esprit des belles méthodes qui ont conduit
Newton et .Maclaurin à leurs grandes découvertes. On a préféré , au contraire , après avoir tra-
duit ces méthodes eu analyse, faire honneur à celle-ci des grands travaux de Newton , que ce
philosophe aurait revêtus ensuite de la forme géométrique. Supposition gratuite, qui montre
qu'on méconnaît le caractère de fécondité de la Géométrie, et la facilité extrême de ses dé-
ductions naturelles, et souvent même intuitives, dans les questions où elle peut avoir un
premier accès. Mais sans entrer en discussion , sur la nature et les moyens de cette méthode
qui demanderait un défenseur habile, il nous suflit de rappeler que, pour attribuer
ù la méthode analytique les découvertes de Newton , on est obligé de convenir que ce géomè-
tre, en suivant celte voie, aurait fait usage du calcul des variations , dont l'invention est due
à l'illustre Lagrange. Est-il possible d'admettre que le grand Newton, d'un esprit si réfléuhi et
d'une vue si sùro et si étendue, aurait méconnu assez le caractère et l'immense importance
d'une telle découverte, pour la passer sous silence , et dédaigner de s'en servir ensuite dans la
lutte si pénible et si passionnée qu'il soutint contre Leibnitz? Autant valait qu'il ne produisit
pas même son calcul des fluxions. Au reste, en attribuant à l'analyse les découvertes de
Newton, on devrait, pour être conséquent et pouvoir en conclure l'impuissance de la méthode
géométrique, en dire autant des travaux de Maclaurin, de Stewart, et même de la célèbre
formule de Lambert, proclamée par Lagrange lui-même, la plus belle et la plus importante
découverte de toute la théorie des comètes , quoiqu'elle ait dû le jour à de simples considé-
rations de Géométrie.

Lais.sons donc à la Géométrie ses œuvres. L'analyse a déjà d'assez brillans trophées, elle est
assez riche d'avenir, pour applaudir franchement aux anciens succès de sa sœur ainée.

ToH. XI. 22

170 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

cette courbe, en les faisant dériver de celles du cercle. Il ne s'est pas
borné aux propositions que nous avons citées ; mais ayant trouvé cette
méthode fort expéditive, il voulut la pousser plus loin que n'avait fait le
marquis deLhopital, qui l'avait déjà enseignée à la suite de son traité
analytique des sections coniques (liv. VI). En quelques pages seule-
ment, Maclaurin démontra, avec une simplicité extrême, les principales
propriétés de l'ellipse. On y remarque une démonstration naturelle, et
qui surpasse en brièveté celles de Newion, pour le problème des forces
centrales dans l'ellipse, le point attirant étant placé d'une manière
quelconque dans le plan de la courbe : on y voit immédiatement que
l'attraction est en raison directe de la distance, quand le point attirant
est au centre de l'ellipse ; et en raison inverse du carré de cette distance,
quand le point attirant est au foyer de la courbe.

Le Traité des fluxions de Maclaurin pourrait donner lieu à beau-
coup d'autres remarques concernant l'histoire et les progrès de la Géo-
métrie j mais nous avons déjà dépassé les limites que nous prescrivait
la destination de cet écrit; nous arrêterons donc ici notre aperçu sur
les travaux de ce grand géomètre.
1. siMsoîr, g 25. Robert Simson, que nous avons déjà eu plusieurs fois l'occa-

1687-1768. sjon de citer, est un des géomètres du siècle dernier qui ont le plus
approfondi la Géométrie ancienne, et qui ont le plus contribué à en
répandre la connaissance. On lui doit un Traité des sections coniques
en cinq livres, écrit dans le style rigoureux d'Apollonius, que l'on
commençait à abandonner pour suivre exclusivement la méthode ana-
lytique. Cet ouvrage était le premier qui contînt les deux célèbres
théorèmes de Desargues et de Pascal. On y trouve aussi le théorème
ad quatuor lineas / mais celui-ci avait déjà paru dans un traité des
coniques de Milnes ', qui l'avait emprunté des Principes de Newton.

' Sectionum conicarum elementa nova methodo demonstrata ; Oxonii 1702. Cet ouvrage, imité
du grand traité de De La Uire , comme l'auteur l'avoue dans sa préface , eut un grand succès
et plusieurs éditions. On y considérait les coniques comme sections d'un cône à base circulaire ,
par un plan tout-à-fait arbitraire, sans se servir du triangle par l'axe. Mais la méthode nous y
parait moins heureuse que celle de De La Hire , en ce qu'elle consiste à démontrer d'abord en

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 171

Cette circonstance, que l'ouvrage de Simson contenait les trois
théorèmes principaux que nous venons de citer, était la seule qui pût
lui donner quelque avantage sur le grand traité de De La Ilire ; car,
sous le rapport de la méthode, celui-ci nous parait lui être à plusieurs
égards infiniment supérieur; il avait été un perfectionnement notable
de la méthode des Anciens, et celui de Simson faisait sous ce rapport
un pas rétrograde.

En effet , Simson, à l'instar de De La Ilire dans son petit traité de
1679, et du marquis de Lhopital en suite, considère les coniques sur
le plan , en les définissant chacune par une propriété spécifique et par-
ticulière. Pour la parabole, c'est l'égalité des distances de chaque point
de la courbe au foyer et à la directrice; pour l'ellipse, c'est la somme
constante, et pour l'hyperbole, la différence, des distances de chaque
point de la courbe aux deux foyers. De ces modes de description des
trois courbes, Simson déduit les propriétés principales de chacune
d'elles , et montre ensuite que ces courbes sont les mêmes que celles
qu'Apollonius formait dans le cône oblique, en se servant du triangle
par l'axe.

Ce n'est qu'après avoir traité ainsi en particulier des trois sections
coniques, dans les trois premiers livres de son ouvrage, que Simson
les considère, dans les deux livres suivans, toutes trois ensemble,
d'une manière générale, et démontre un grand nombre de leurs pro-
priétés comnmnes.

Le théorème ad quatuor lineas est la vingt-huitième proposition
du livre quatre ; l'hexagramme de Pascal est la quarante-septième du
livre cinq; et le théorème de Desargues est démontré dans les proposi-
tions 12 et 49 du même livre. Simson n'a pas connu les rapports intimes

particulier certaines propriétés de l'hyperbole , qui servent de fondement pour passer à celle»
de l'ellipse.

Les démonstrations, du reste, sont purement synthétiques, et d'une grande simplicité;
quoique les proportions, sans cesse répétées, sous la forme ancienne , qu'il serait plus com-
mode et plus rationnel de remplacer par celle d'une égalité de rapports, en rendent aujour-
d'hui la lecture fatigante.

172 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

qui lient ces trois théorèmes entre eux, et qui n'en font, pour ainsi dire,
que des expressions différentes d'une seule et unique propriété géné-
rale des coniques ; mais il a su apercevoir toute la fécondité des deux
derniers , car il a fait voir que toute la théorie des pôles se déduit de
l'un, et après avoir tiré de l'autre six corollaires, il ajoute qu'ils con-
tiennent des démonstrations générales de plusieurs propositions du pre-
mier livre des Principes de Newton.

Il est à regretter que Simson n'ait pas mis à profit cet aperçu heu-
reux, pour comprendre sous un seul énoncé général, et dans une seule
démonstration, une foule de propositions partielles et restreintes, dont
il avait donné auparavant autant de démonstrations différentes. C'était
la seule manière de simplifier la théorie des coniques, d'en faciliter
et d'en étendre la connaissance et les usages, et de lui préparer de
nouvelles acquisitions.

, g 26. Nous ne ferons que mentionner ici le célèbre Traité des
porismes , oh. Simson a fait connaître la nature de ces propositions,
qui avaient été jusqu'à lui une énigme indéchiffrable pour les plus
savans géomètres : nous en avons parlé longuement à l'article d'Euclide
et dans la Note III.

La section déterminée , rétablie par Simson, fait partie du même
volume que les porismes.

Ce géomètre a aussi rétabli les Lieux plans d'Apollonius ', avec plus
d'exactitude et de fidélité que n'avaient fait Schooten et Fermât.

Il avait préparé une traduction nouvelle des œuvres de Pappus, qu'on
a trouvée dans ses manuscrits qu'il avait légués au collège de Glascow^ :
il est à regretter qu'elle n'ait pas été publiée; car c'était une entreprise
moins facile qu'on n'a peut-être pensé alors, et qui exigeait une pro-
fonde instruction dans la Géométrie ancienne. Personne n'était plus
capable que le savant Simson de remplir cette tâche avec intelligence
et habileté. On doit s'étonner que ses compatriotes n'aient pas recueilli
un tel travail j et qu'en cette circonstance, le noble exemple de Milord

J Apollonii Pergœilocorum planorum, libri II restituti ; in-U". Glosguœ, 1749.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 173

Stanhop, à qui fut due la publication des porismes et de la section dé-
terminée, n'ait pas eu d'imitateur dans la patrie de Newton, où la Géo-
métrie ancienne a toujours compté de dignes et célèbres admirateurs.
S 27. Mathieu Stewart, disciple de Simson et de Maclaurin au col-
lège de Glascow, puis à l'université d'Edimbourg, reçut de ses maîtres
le goût de la Géométrie ancienne, et lui dut, comme eux, sa célébrité.
Le premier de ses ouvrages, intitulé : Quelques théorèmes (jënéraux
d'un grand usage dans les hautes mathématiques ( écrit en anglais),
in-8", 1746, le plaça aussitôt dans un rang distingué parmi les géo-
mètres; et lui procura, peu de temps après, la chaire de mathématiques
devenue vacante par la mort de Maclaurin. La nature de ses fonctions,
et la direction de ses premières études, le portèrent à continuer de
cultiver particulièrement la méthode géométrique, et lui firent conce-
voir le projet de l'appliquer aux questions les plus difficiles de l'astro-
nomie physique, agitées alors parmi les géomètres, et qui, suivant eux,
n'étaient accessibles qu'à la plus sublime analyse. C'était continuer les
méthodes de Newton et de Maclaurin, dans les problèmes du système
du monde, devenus, par les progrès naturels de la science, plus nom-
breux et plus compliqués qu'au temps de ces deux grands géomètres.
Dans cette vue, .Stewart mit au jour, en 1761, l'ouvrage intitulé :
Tracts physical and 7nalhemalical, etc. , c'est-à-dire : « Traités de
)) physique et de mathématiques, contenant l'explication de plusieurs
M points importans de l'astronomie physique, et une nouvelle méthode
)) pour déterminer la distance du soleil à la terre, par la théorie de la
» gravité. » Une théorie très-étendue des forces centripètes, le calcul
de la distance du soleil à la terre, et le problème si difficile des trois
corps, où il s'agissait de calculer l'action réciproque du soleil, de la
terre et de la lune, étaient les questions principales que Stewart résolut
dans une suite de propositions qui n'exigeaient d'autres connaissances
mathématiques que celles des élémens de la Géométrie plane et des
sections coniques. L'ordre et la clarté de ces propositions, la simplicité
de leurs démonstrations et la nature des questions difficiles qu'elles
résolvaient, méritèrent à Stewart de grands éloges, et le firent estimer

a. STEWIBT,
1717-1785.

174 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

l'un des plus profonds géomètres de l'époque. Cependant, nous devons
dire que son calcul de la distance du soleil à la terre était erroné. La
cause de l'erreur fut reconnue et expliquée d'abord par Dawson en
1769 % puis en 1771, par Landen ^. Elle provenait, non de la mé-
thode en elle-même, mais de quelques quantités négligées à tort dans
le but de la simplifier. On a fait depuis, de cette circonstance, un ar-
gument contre la méthode géométrique; mais il suffit, pour le réfuter,
de rappeler que de telles fautes ont échappé aux plus célèbres ana-
lystes , et qu'elles ont été communes en astronomie surtout, où l'analyse
ne procède que par voie d'approximations successives.

g 28. Nous avons encore à citer de Stewart un ouvrage de pure
Géométrie, intitulé : Propositiones geometricœ , more Veterum de-
monslratœ , ad Geometriam antiquam illustrandam et promoven-
dam idoneœ. Edim., 1763, in-S».

Il nous faut entrer dans quelques détails , pour faire connaître cet
ouvrage, ainsi que celui des Théorèmes généraux , qui l'avait précédé
de dix-neuf ans. Peut-être à raison de la rareté de ces deux livres,
aimera-t-on à en trouver ici l'analyse et l'énoncé des principaux théo-
rèmes qu'ils contiennent.

Le livre des théorèmes généraux contient soixante-quatre propo-
sitions , dont cinquante seulement ont le titre de théorèmes j des
quatorze autres, trois sont au commencement de l'ouvrage, et servent
pour les démonstrations des théorèmes, et les onze autres le terminent;
celles-ci sont pour la plupart des propriétés du cercle.

Des soixante quatre propositions, les huit premières seulement sont
démontrées ; on y trouve les cinq premiers théorèmes. L'auteur annonce,
dans une courte préface, que pour démontrer tant de théorèmes si gé-
néraux, et de si grande difficulté, il lui aurait fallu plus de temps qu'il
ne pouvait en consacrer à ce travail. Je ne sais si, dans la suite, Stewart

' Four Propositions, etc.; c'est à-dire, Quatre propositions pour prouver que la distance
du soleil déterminée par M. Stewart est erronée.

^ Animadversions on d' Stewarls computation of the sun's dislance from the earth ; in-8°.
London.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 175

a restitué les démonstrations de ses théorèmes, ou si on les a trouvées
dans ses papiers, et quel usage on en a fait.

Les deux premières propositions expriment des propriétés générales
de quatre points, dont trois sont en ligne droite, et le quatrième placé
arbitrairement. Dans la seconde de ces propositions, le quatrième point
peut être pris sur la droite où sont situés les trois autres. Cette propo-
sition mériterait d'être plus connue qu'elle ne nous parait l'être. En
voici l'énoncé :

Etant pris en ligne droite trois points A, C, B, et un autre point
quelconque D, en dehors ou dans la direction de la droite, on aura

dT'bc .*- UiT'AC — dcT'ab = ab.ac.bc.

C'est cette proposition dont nous avons dit que les huit lemmes de
Pappus sur les lieux plans d'Apollonius peuvent dériver comme co-
rollaires ou conséquences faciles. Peu de temps après qu'elle avait paru
dans l'ouvrage de Stewart , Robert Simson en a fait un usage utile dans
un appendice à ses Loca plana restituta , et un autre géomètre célèbre,
Th. Simpson, l'a aussi démontrée et s'en est servi , sous le titre de lemme,
pour résoudre plusieurs problèmes, dans ses exercices choisis pour les
jeunes étudians en mathématiques '. Plus tard, Euler l'a aussi démon-
trée comme lemme, pour inscrire dans un cercle un triangle dont
les trois côtés passent par trois points donnés ", Nous trouvons en6n
que le célèbre physicien et géomètre John Leslie l'a aussi démon-
trée et s'en est servi dans le troisième livre de son Analyse géomé-
trique '.

On voit par ces citations, que cette proposition, qui est à peu près

' Select exercises for young proficients in the mathematicks ; in-B", 1752.

Les deus premières parties de cet ouvrage sont un recueil de nombreux problèmes d'Algèbre
et de Géométrie , résolus très-élégamment. Elles ont été traduites en français, sous le titre
A'Eléviens d'analyse pratique, ou application des principes de l'Algèbre et de la Géométrie , à
la solution d'un très-grand nombre de problèmes numériques et géométriques ; in-B", 1 771 .

2 Mémoires de l'Académie de Pétersbourg , ann. 1780.

' Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in-S". Seconde édition en 1821.

176 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

inconnue de nos jours, mériterait bien de prendre place dans les élé-
mens ou au moins dans les complémens de Géométrie '.

Les cinquante théorèmes de Stewart peuvent être compris, à peu
près, tous dans les quatre suivans, qui sont les plus généraux, et dont
la plupart des autres ne sont que des cas particuliers :

1° Soit un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle
du rayon R; soit n un nombre quelconque plus petit que ra;

Si d'un point quelconque {pris dans Vintérieur du polygone si n

1 Quand le point D est pris sur la même droite que les trois points fixes , le théorème de
Stewart exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite.
Nous avons reconnu que cette relation, ainsi que d'autres concernant aussi quatre points en
ligne droite , dérivent d'une relation générale entre cinq points situés en ligne droite :

Soient A , B , C , D , E , ces cinq points , on aura

ÊÂT'bC.CD.DB + ËbTcD.DA.AC— ÊGT'dA.AB.BD — ËDr'AB.BG.CA=o.

La manière de former les termes de cette équation est manifeste. Pour déterminer leurs
signes , on divisera tous les termes par le produit AB.BC.CA. L'équation prend la forme :

, DB.DG aDA.DG iDA.r)B_ j

Dans cette équation , on donnera le signe -<- au produit de deux segmens comptés dans le
même sens à partir du point qui leur est commun, et le signe — au produit de deux seg-
mens comptés dans des sens diiférens.

Voici quelles sont les relations entre quatre points , qu'on déduit de la relation générale
ci-dessus :

1° Si on suppose le point E à l'infini, on aura, en divisant par EU ,

BC.CD.DB -+- CD.DA.AC — DA.AB.BD — AB.BC.CA =o.

Chaque terme de cette équation est le produit des trois segmens formés par trois points
pris deux à deux ;

2" Si les deux points E , D se confondent , il vient :

DA.BC. + DB.AC — DC.AB = o.

Cette équation exprime la relation la plus simple entre quatre points A , G, B, D, situés
en ligne droite;

3° Enfin, quand le point D est à l'infini , l'équation générale devient

ÈIT'BG -+- ËE'AC — E"g^'AB = AB.BC.CA.
C'est l'équation de Stewart.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 177

est impair, et pris partout où Ion voudra si n est pair), on abaisse
des perpendiculaires sur les côtés du polygone, la somme des puis-
sances n de ces perpendiculaire sera égale à

m.(Il" -+- Ar'R"-' ■*- Br4R''-4 ^ Ce«.R"-« -t- etc. );

V étant la distance du point au centre du cercle ; et A étant le coef-
ficient du troisième terme du binôme élevé à la puissance n, multi-
plié par f; B le coefficient du cinquième terme du binôme, multiplié
par^; C le coefficient du septième terme multiplié par-^j et ainsi
des autres. (Prop. 40).
De sorte que

H(n-I)

A =,_-_-;

„ n{n-l) (n— 2) (n-3)

C =

n(n— 1) (»— 2) (n— 3) (n— 4) (n— 5)

2'.4'.6'
Etc., etc.

Si le point d'où l'on abaisse les perpendiculaires est pris sur la cir-
conférence, la formule se réduit à

1.3.8.7,.... (2n— 1) „ „ . . „„

m. ; î R". (Proposition 39.)

1.2.3.4 n

Ce théorème général comprend les propositions 3, 5, 22, 23, 28,
29 et 45.

2° Soit un polygone régulier de m côtés , inscrit dans un cercle
d'un rayon R ; et soit n tm nombre plus petit que m ;

Si l'on prend arbitrairement un point dont la distance au centre
du cercle soit v , la somme des puissances 2n des distances de ce
point à tous les sommets du polygone sera égale à

»n(R'" -t- o'u'R""-' ■+. 6'e4R"'-4 -^ c'eSR'-'-e ^ etc.) ;

To». XI. Î3

178 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

a étant le coefficient du second terme du binôme élevé à la puis-
sance n; b /e coefficient du troisième terme ; c le coefficient du qua-
trième terme ; et ainsi des autres. (Prop. 42).

Si le point est pris sur la circonférence, la formule se réduit à

1.3.5.7 (2n— n

m. ï -2"R'". (Proposition -41.)

1.2.3.4 n ^ ^ '

Ce théorème général comprend les propositions 4, 26, 27 et 34.

3° Étant donnés m points quelconques , et autant de quantités a ,

b, c, ; n étant un nombre plus petit que m; on pourra trouver

(n + 1) autres points, tels que la somme des puissances 2n des
distances d'un point quelconque aux points donnés , multipliées res-
pectivement par les quantités a, b , c, ... , sera à la somme des
puissances 2n des distances des points trouvés au même point, dans
le rapport de

(a -h b -{- c-i- ...) à (n-4-1). (Proposition iA.)

Ce théorème comprend les propositions 11, 12, 32, 33, 43.

4° Étant données m droites quelconques , et autant de quantités
a, b, c, .... j n étant un nombre plus petit que m, on pourra trou-
ver (n + 1) autres droites, telles que la somme des puissances n des
distances d'un point pris arbitrairement aux droites données, mul-
tipliées respectivement par a, b, c, ...., sera à la somme des puis-
sances n des distances du même point aux droites trouvées, comme

{a -^- b -\- c H — ) est à (n H- 1). (Proposition 49 et 83.)

Ce théorème comprend les propositions 17, 21, 24, 25, 37, 38,
42,50,51,52.

g 29. Nous avons trouvé qu'on peut donner aux énoncés des deux
derniers théorèmes une extension très-grande et assez remarquable.
Car, au lieu d'une seule relation, comme le comporte le premier de
ces théorèmes, entre les puissances 2n des distances d'un point quel-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 179

conque aux points donnés et aux points trouvés, il y a une pareille
relation entre les puissances 2 (n — (?) de ces mômes distances; t? pouvant
avoir toutes les valeurs 0, 1, 2.... (n — 1); de sorte qu'il existera entre
les distances d'un point quelconque aux points donnés et aux points
trouvés n relations. Le théorème de Stewart n'en comprenait qu'une
seule.

La dernière de ces relations aura lieu entre les carrés de ces dis-
tances. Elle prouve que les points trouvés ont le même centre de gra-
vité que les points donnés, les masses de ceux-ci étant a,À,c,...,et
celles des points trouvés étant toutes égales à l'unité.

Pareillement, dans le second des deux théorèmes en question, qui
énonce une relation entre les puissances n des distances d'un point
quelconque aux droites données et aux droites trouvées, on aura une
relation semblable entre les puissances quelconques (n — 2 S) dés mêmes

distances; <? pouvant avoir toutes les valeurs 0, 1,2, , jusqu'à " 7 ' si

n est impair, et jusqu'à ^^-^si n est pair. De sorte qu'il existera, entre
les distances d'un point quelconque aux droites données et aux droites
trouvées, un nombre ^^, ou-^-^de relations différentes, au lieu d'une
seule que donnait le théorème de Stewart. ( Voir la Note XXII.)

S 30. Nous avons reconnu aussi que les deux premiers théorèmes
énoncés ci-dessus, qui sont relatifs aux polygones réguliers inscrits et
circonscrits au cercîle , ne sont que des cas particuliers de théorèmes
plus généraux qui ont lieu dans les sections coniques : et ceux-ci font
partie d'une foule d'autres propriétés de ces courbes, qu'on ne paraît pas
avoir encore aperçues. Ces nombreux théorèmes offrent, sous un rapport,
une généralisation assez remarquable des propriétés connues des diamè-
tres conjugués et des rayons vecteurs menés des foyers d'une conique.

Ces courbes sont vraiment d'une fécondité inépuisable. Chaque jour
ouvre des voies nouvelles à l'étude de leurs nombreuses et intéressantes
propriétés. Que l'on ne pense pas que de telles spéculations soient oiseu-
ses, ni de mince intérêt. Chaque découverte sur ces courbes sera toujours
le prélude de découvertes plus belles et plus générales, qui agrandiront
le rôle qu'elles jouent dans toutes les parties des sciences mathéma-

180 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

tiques, et qui conduiront à la connaissance de propriétés analogues
dans une infinité d'autres courbes d'un ordre supérieur ; propriétés
auxquelles on ne serait point conduit, en travaillant directement sur
ces courbes trop compliquées et d^une étude difficile.

§ 31. Les Proposiliones geometricœ de Stewart sont en deux
livres, dont le premier contient soixante propositions, et le second
cinquante-deux.

Ces propositions sont relatives à la ligne droite, et au cercle.

Les premières roulent presque toutes sur une propriété générale
du quadrilatère, qui revient à celle que Pappus a démontrée dans ses
lemmes sur les porismes d'Euclide, savoir que toute transversale ren-
contre les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère en
sia; points qui ont entre eux la relation dinvolution.

Nous avons vu dans la Note X, que cette relation peut s'exprimer
entre six segmens, ou bien entre huit. C'est la relation entre six segmens
que Pappus a démontrée ; et celle entre huit segmens dont Stewart
fait usage. Il la démontre dans toute sa généralité, dans la proposi-
tion 59 du premier livre.

Les propositions précédentes 51 , 52, 53, 54, 56, 57 et 58 en sont
des cas particuliers dont Stewart se sert pour passer de l'un à l'autre,
et s'élever ainsi à la proposition générale. La proposition 60^ et dernière
du livre en est aussi un cas particulier, dans lequel deux côtés du
quadrilatère sont parallèles entre eux.

Les propositions 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 et 13 du second livre, sont
d'autres propriétés du quadrilatère, dans l'énoncé desquelles n'entre
pas la relation d'involution , mais qui peuvent s'en dériver aisément.
Toutes ces propositions roulent en effet sur ce théorème bien connu,
et que Pappus nous apprend avoir fait partie des porismes d'Euclide ,
savoir que : quand les trois côtés d'un triangle , de forme variable ,
tournent autour de trois pôles fixes , situés en ligne droite , et que
deux sommets du triangle parcourent deux droites fixes données , le
troisième sommet engendre une troisième droite qui passe par le
point de concours des deux premières , Stewart n'énonce pas cette

HISTOmE DE LA GÉOMÉTRIE. 1«1

proposition dans toute sa généralité, et n'en démontre que différens
cas particuliers. Il semble qu'il n'a pas aperçu sa liaison intime avec
la relation générale d'involution des segmens faits par les quatre côtés
et les deux diagonales d'un quadrilatère sur une transversale.

§ 32. Les propositions relatives au cercle peuvent être considérées
comme concernant la description de cette courbe par l'intersection de
deux droites qui tournent autour de deux pôles fixes, en faisant sur
une transversale fixe des segmens qui ont entre eux certaines relations.

Nous rangerons ces propositions en trois classes distinctes.

Dans la première, les deux pôles sont placés sur la circonférence
du cercle , et la transversale est prise arbitrairement.

Dans la seconde, les deux pôles sont placés arbitrairement, l'un
d'eux pouvant être sur la circonférence ; et la transversale est parallèle
à la droite qui joint ces pôles.

Dans la troisième classe enfin, les deux pôles sont j)lacés encore
d'une manière quelconque; mais la transversale est perpendiculaire ou
oblique sur la droite qui joint les pôles.

Les propositions de la première classe concernent, tous, les segmens
que les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit à un cercle , font sur une
corde du cercle.

On penserait qu'il s'agit ici du théorème de Desargues ; mais non :
Stewart exprime la relation entre les segmens en question , non pas
par une équation unique comme a fait Desargues, mais par deux équa-
tions où entrent un point et deux segmens auxiliaires.

L'élimination de ces deux segmens, que Stewart n'a pas faite, l'au-
rait conduit à une relation entre les seuls segmens formés sur la corde
du cercle par les quatre côtés du quadrilatère; mais cette relation n'a
pas la forme ordinaire de l'involution de six points; elle est une équa-
tion à trois termes : de sorte que nous devons penser que Stewart n'a
pas connu le théorème de Desargues, ou du moins qu'il n'en a tiré
aucun secours dans son ouvrage.

Le théorème auquel ce géomètre est parvenu, est démontré dans
toute sa généralité dans les propositions 46, 47 et 48 du premier livre.

182 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

Les propositions 41, 42, 43, 44 et 45 en sont des cas particuliers, qui
lui servent pour arriver à la proposition générale.

Les propositions 29, 30, 31 , 32, 33, 34, 35, 36, 37 et 38 se rat-
tachent aux propriétés du quadrilatère inscrit au cercle; Stewart ne
fait usage, dans leurs énoncés, que d'une équation; et l'on reconnaît
qu'elle exprime des cas particuliers du théorème de Desargues.

Les deux propositions 39 et 40 font connaître cette propriété assez
remarquable du quadrilatère inscrit au cercle ; savoir que : le carré
de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés est
égal à la somme des carrés des tangentes menées de ces deux points
de concours à la circonférence du cercle.

Cette proposition peut se conclure aisément, comme les précédentes,
du théorème de Desargues.

5 33. Presque tout le second livre est consacré aux propositions
concernant les segmens, que deux droites mobiles, tournant autour de
deux pôles fixes, non situés sur la circonférence du cercle, font sur
une transversale.

Dans les propositions 14, 15, 21 , et 44, 45 ... 52, la transver-
sale est parallèle à la droite qui joint les pôles. Les propositions 23 ,
25 et 26 du premier livre sont de même nature que celles-là.

On aperçoit aisément que, dans toutes ces propositions, les segmens
que les deux droites mobiles font sur la transversale fixe , ont toujours
entre eux une relation du second degré.

En voici la raison à priori; ce sera en même temps un moyen de
parvenir directement aux théorèmes de Stewart , de les rétablir s'ils
étaient perdus.

En général, quand le point d'intersection des deux droites mobiles
parcourt une conique, les segmens qu'elles font sur la transversale
fixe, supposée parallèle à la droite qui joint les pôles, ont entre
eux une relation du second degré; et réciproquement quand ces
segmens ont entre eux une relation quelconque du second de-
gré, le point de concours des deux droites mobiles décrit toujours
une conique (ce que nous démontrerons dans les applications de

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 18S

notre principe ^l homographie ). Donc, en premier lieu, quand la
courbe est un cercle, les segmens doivent avoir entre eux une
relation du second degré. Et en second lieu, étant donnés les deux
pôles et la transversale, ainsi que la forme de la relation du second
degré qu'on veut avoir entre les segmens, on aura deux équations de
condition pour exprimer que la conique décrite par l'intersection des
deux droites mobiles est un cercle. Ces deux équations serviront à
déterminer les valeurs de deux inconnues parmi un grand nombre de
choses arbitraires, qui seront les coefficiens de la relation, la po-
sition des deux pôles, celle de la transversale et celle des deux points
pris sur cette droite, et à partir desquels sont comptés les segmens.

Cette observation donne la clef des théorèmes de Stewart. Elle
s'applique aussi à diverses autres propositions semblables de ce géo-
mètre, que Simson a insérées dans son Traité des porismes. C'est
Fermât qui, par la quatrième des cinq propositions qu'il a laissées
sous le nom de Porismes, nous parait avoir donné lieu, le premier, à
ce genre de propriétés du cercle.

S 34. Stewart, après l'avoir imité dans les proposition que nous
venons d'énumérer, a généralisé cette idée, en comptant les segmens
sur une transversale de direction quelconque.

Ses dix-neuf propositions, comprises sous les n"» 22, 23, et 40,

expriment de telles propriétés du cercle.

Les segmens que les deux droites mobiles font sur la transversale
n'ont plus entre eux une relation toujours du second degré, et l'on
n'aperçoit pas aussi aisément que dans le cas précédent, la forme gé-
nérale commune aux diverses relations que démontre Stewart. Ce-
pendant on parvient à reconnaître que ces relations peuvent dériver
de celte propriété générale des coniques , savoir que :

Etant donnés deux pôles fixes, et une transversale qui rencontre
en un point E la droite qui joint ces pôles, et étant pris un point
fixe O sur cette transversale ;

Si autour des deux pôles on fait tourner deux droites qui ren-
contrent la transversale aux points a, a', tels que l'on ait entra les

184 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

deuiV rapports ^^ — une relation constante où ces rapports entrent
au second degré , le point d intersection des deux droites engendrera
une conique.

Et réciproquement , si le point de concours des deux transversales
parcourt une conique, les deux rapports ~, ~ auront entre eux une
relation du second degré.

Ce théorème général pourra conduire à une foule de propriétés du
cercle. Car on aura toujours deux équations pour exprimer que la coni-
que décrite est un cercle. Ces équations serviront à déterminer soit deux
coefficiens de la relation, soit la position de quelques parties de la figure.

§ 35. Je ne crois pas qu'on ait donné suite aux recherches de
Stewart, sur ce genre de propriétés du cercle.

Aujourd'hui on néglige ces sortes de spéculations géométriques,
parce qu'on se repose sur le secours de l'analyse à laquelle on compte
s'adresser au besoin ; et l'on ne se donne plus la peine d'étudier cer-
taines propriétés du cercle. Mais on conçoit que cette étude et ces
spéculations seraient utiles, et indispensables, si l'on voulait donner
suite aux travaux des Anciens et des géomètres du dernier siècle en
Géométrie. C'est cette idée qui me semble avoir présidé aux recherches
de M. Carnot dans sa Géométrie de position et sa Théorie des trans-
versales. Ces ouvrages me paraissent se rattacher, dans leur concep-
tion philosophique, de même que ceux de Simson et de Stewart, aux
Données et aux Porismes d'Euclide. Ces ouvrages sont de véritables
complémens de Géométrie, que les Anciens avaient regardés comme
indispensables pour les applications , soit pratiques, soit théoriques de
cette science.

g 36. L'analyse que nous avons donnée des ouvrages de Stewart
fait voir qu'il s'y trouve, démontrées individuellement, beaucoup de
propositions qui sont des cas particuliers les unes des autres. C'était
là la marche habituelle et nécessaire du géomètre qui s'élevait de
quelque proposition très-facile à une proposition du même genre,
mais un peu plus générale, et de celle-ci à une autre aussi plus éten-
due j de sorte que la démonstration d'une proposition tant soit peu

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 185

générale exigeait celle de plusieurs de ses cas particuliers. Aujour-
d'hui on peut démontrer de prime abord et directement les proposi-
tions les plus générales ; et établir ensuite entre ces propositions ,
considérées dans leur plus grande généralité actuelle, les mêmes spé-
culations qui n'avaient lieu auparavant qu'entre leurs plus simples
corollaires. Une telle facilité, qui simplifie extrêmement la science,
marque bien les progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps; et
cette facilité se répandrait sur toutes les applications de la Géomé-
trie aux grandes questions philosophiques traitées par Huygens et
Newton, si un goût exclusif pour l'analyse, encouragé seul dans les
établissemens destinés au développement et à la propagation des
sciences, ne détournait pas de l'étude et de l'usage de l'autre mé-
thode '.

Stewart annonçait dans la préface de ses Propositiones Geometricœ
qu'il publierait d'autres volumes sur les mêmes matières géométriques.
Nous ignorons si l'on a trouvé dans ses manuscrits les recherches qui
devaient entrer dans ces volumes.

S 37. Le célèbre Lambert, autre Leibnitz par l'universalité et la pro- LAmBiai ,
fondeur de ses connaissances, doit être placé au nombre des mathé- j'îs-i"^.

itnaticiens qui , dans un temps où les prodiges de l'analyse occupaient

f

1 On dira , sans doute , que les goûts sont libres en niatliéniatiqucs comme dans toute autre
carrière de la république des lettres; et que les géomètres n'ont à s'en prendre qu'à eux-mêmes
de l'abandon où ils laissent la Géométrie. Mais nous répondrons, qu'en reconnaissant d'abord
que la méthode analytique, à raison de son unirersalité, doit être enseignée de préférence
et peut-être exclusivement, dans les établissemens où les mathématiques ne sont point étu-
diées pour elles-mêmes, mais bien pour leurs applications, soit à d'autres parties des scien-
ces, soit aux services publics, nous pensons que la Géométrie et les belles méthodes qu'elle
a fournie» à quelques grands géomètres des deux derniers siècles , ainsi que les pcrfection-
iiemens qu'elle a pu recevoir depuis, devraient trouver place dans ceux des cours publics
qui sont destinés spécialement à l'exposition des découvertes nouvelles et des diverses doc-
trines mathématiques. Or les doctrines analytiques, et les découvertes qu'il est possible de
présenter par l'analyse, sont seules enseignées dans ces cours; peut-on dire que les goûts
sont libres 7 Cette indi£fërence , ou plutôt cette exclusion d'une partie si importante des
sciences mathématiques, n'est pas philosophique, et fait un très-grand tort ù leurs progrès;
car toutes les sciences ont entre elles un tel enchaînement , que les retards qu'éprouve l'une
d'elles arrêtent aussi les autres dans leur développement.

To«. XI. 24

1^ HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

tous les esprits, ont conservé la connaissance et le goût de la Géo-
métrie et ont su en faire les plus savantes applications.

Ses nombreux ouvrages présentent souvent des questions diverses
de pure Géométrie. Mais nous devons citer ici surtout son Traité de
perspective et son Traité géométrique des comètes.

La perspective de Lambert parut en 1759, puis en 1773, accrue
d'une seconde partie , où l'auteur, faisant usage des principes de cet
art, comme méthode géométrique, démontra plusieurs propositions
concernant les propriétés descriptives des figures , qui rentrent au-
jourd'hui dans la théorie des transversales^ et donna les élémens de
cette partie de la Géométrie qu'on a appelée dans ces derniers temps
Géométrie de la règle.

Le traité des comètes, intitulé Insigniores orhitœ cometarum pro-
prietates , in-8°, Augsbourg 1761, contient, dans un style purement
géométrique , de nombreuses propriétés des coniques , relatives à leurs
relations descriptives et à la mesure de divers secteurs pris dans ces
courbes ; et fait usage de ces belles découvertes pour la détermination
du mouvement des comètes.

On y distingue surtout cette propriété de l'ellipse , qui est devenue
d'une si haute importance dans cette théorie :

Si dans deux ellipses , construites sur le même grand axe , on
prend deux arcs tels que les cordes soient égales entre elles , et que
de plus les sommes des rayons vecteurs menés des foyers de ces
ellipses , aux extrémités de ces arcs respectivement , soient aussi
égales entre elles ; les deux secteurs co^npris dans chaque ellipse
entre son arc et les deux rayons vecteurs seront entre eux comme les
racines carrées des paramètres des deux ellipses. (Sect. 4*^, lemme 26).

Considérant l'ellipse comme une orbite planétaire, et substituant
aux secteurs les temps employés à parcourir leurs arcs , d'après le prin-
cipe de Newton, que le temps est comme l'aire du secteur parcouru ,
divisée par la racine carrée du paramètre ' , on en conclut que , dans

' Livre 1"', section 3, proposition XIV des Principes.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 187

les deux ellipses dont nous venons de parler, les temps employés à
parcourir les deux secteurs sont les mômes.

Ce théorème offre le moyen de ramener le calcul du temps employé
à décrire un arc d'ellipse donné, au temps par un arc d'une autre ellipse
quelconque, qui ait le même grand axe; et même au temps par une
partie de ce grand axe , en supposant que l'ellipse se confonde avec
cet axe par l'évanouissement de l'axe conjugué, et que le mobile
parcoure ce même axe.

Ces considérations géométriques sont simples, et cependant elles
ont suili pour conduire Lambert au théorème le plus important de la
théorie des comètes, dont les démonstrations qu'on en a données
depuis par la voie du calcul ont exigé toutes les ressources de l'ana-
lyse la plus relevée.

La propriété de l'ellipse, qui est le fondement de ce théorème , con-
vient aussi aux secteurs de l'hyperbole; ainsi que l'a démontré par
de simples considérations de Géométrie, le célèbre Lexell , dans un
mémoire où il fait connaître diverses autres propriétés des coniques '.

Lambert est revenu souvent sur la théorie et le calcul des mouve-
mens planétaires, et a trouvé encore à y faire un usage utile de la Géo-
métrie , particulièrement pour substituer à l'analyse des constructions
graphiques qui servent à déterminer les orbites des comètes par trois
observations *.

Nous ne pouvons rechercher dans les immenses travaux de Lambert
ses autres titres à la reconnaissance des amateurs de la pure Géométrie,
parce que le plus grand nombre de ses mémoires sont écrits en Alle-
mand.

§ 38. Nous terminerons ici cet aperçu des progrès et des services
de la Géométrie dans le cours du XVIII' siècle , qui forme notre qua-
trième Époque. L'usage et le goût de ces sortes de spéculations se sont

' Nova acta de Pétersbonrg, tom. I", nnn. 1783.

^ Cette méthode est détaillée et nppliqiice à plusieurs exemples dans la troisième partie
du recueil des Mémoires divers de Lambert, intitulé : Beytrâge sur Mathematik, etc. Berlin,
1765 à 1772; 4 toI. in-8°.

188 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

éteints et nous ne trouverions plus guère que des questions isolées,
éparses dans les collections académiques. Plusieurs cependant pour-
raient nous donner occasion de citer des noms célèbres, Euler^ La-
grange, Fuss, Lexell, etc.; et nous pourrions, en généralisant parfois,
au moyen des méthodes nouvelles, les premiers résultats de ces illustres
géomètres, montrer que la Géométrie a réellement fait des progrès
dans ces derniers temps, et qu'elle est susceptible de perfectionnemens
décisifs dont l'effet sera de diminuer un jour l'intervalle qui sépare
aujourd'hui cette science et celle du calcul.

Mais de nouveaux développemens nous éloigneraient de la fin de cet
écrit, à laquelle nous avons hâte d'arriver.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 189

^^\^^^\^\\^^^\^\^^v\^^^^\\\^^^^^A^^^^^v^vv^\^^'v\^^^^^^\v\\\\v^^\^^\\^^vv^^\v\vvvv\v\\■vvvv\\'Vvvvv>^

CHAPITRE V.

CINQUIEME EPOQUE.

S 1. Dans ces derniers temps, après un repos de près d'un siècle, ofeméin. i^cfint.
la Géométrie pure s'enrichit d'une doctrine nouvelle , la Géométrie
descriptive , qui était le complément nécessaire de la Géométrie
analytique de Descartes, et qui, comme elle, devait avoir des ré-
sultats immenses , et marquer une ère nouvelle dans l'histoire de la
Géométrie.

Cette science est due au géuie créateur de Monge.

Elle embrasse deux objets :

Le premier est de représenter sur une aire plane tous les corps
d'une forme déterminée, et de transformer ainsi en constructions
planes les opérations graphiques qu'il serait impossible d'exécuter
dans l'espace.

Le second est de déduire de cette représentation des corps leurs
rapports mathématiques , résultans de leurs formes et de leurs posi-
tions respectives.

Cette belle création, qui fut d'abord destinée à la Géométrie pra-
tique et aux arts qui en dépendent, en constitua réellement la théorie
générale , puisqu'elle réduisit à un petit nombre de principes abstraits
et invariables, et à des constructions faciles et toujours certaines, toutes
les opérations géométriques qui peuvent se présenter dans la coupe
des pierres, la charpente, la perspective, la fortification, la gnomo-

190 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

nique, etc., et qui auparavant ne s'exécutaient que par des procédés
incohérens entre eux, incertains, et souvent peu rigoureux. (Voir la.
NoteXXm.)

5 2. 3Iais outre l'importance due à cette première destination, qui
donnait un caractère de rationalité et de précision à tous les arts de
construction, la Géométrie descriptive en eut une autre très-grande,
due aux services réels qu'elle rendit à la Géométrie rationnelle, sous
plusieurs rapports, et aux sciences mathématiques en général.

La Géométrie descriptive , en effet, qui n'est que la traduction
graphique de la Géométrie générale et rationnelle, servit de flambeau
dans les recherches et dans l'appréciation des résultats de la Géomé-
trie analytique; et, par la nature de ses opérations, qui ont pour but
d'établir une correspondance complète et sûre entre des figures effec-
tivement tracées sur un plan et des corps fictifs dans l'espace, elle
familiarisa avec les formes de ces corps; les fit concevoir idéalement
avec exactitude et promptitude, et doubla de la sorte nos moyens d'in-
vestigation dans la science de l'étendue.

La Géométrie devint ainsi en état de répandre plus aisément sa gé-
néralité et son évidence intuitive sur la mécanique et sur les sciences
physico-mathématiques.

Cette influence utile de la Géométrie descriptive s'étendit naturel-
lement aussi sur notre style et notre langage en mathématiques, qu'elle
rendit plus aisés et plus lucides, en les affranchissant de cette com-
plication de figures dont l'usage distrait de l'attention qu'on doit au
fond des idées , et entrave l'imagination et la parole.

La Géométrie descriptive, en un mot, fut propre à fortifier et déve-
lopper notre puissance de conception ; à donner plus de netteté et de
sûreté à notre jugement ; de précision et de clarté à notre langage;
et sous ce premier rapport elle fut infiniment utile aux sciences ma-
thématiques en général.

S 3. En la considérant en particulier comme simple doctrine géo-
métrique, nous trouvons encore qu'elle apporta un immense secours
dans la science de l'étendue. Car elle devint , par ses principes et par

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. IM

la corrélation constante qu'elle établissait entre les figures à trois di-
mensions et les figures planes, un véritable moyen de recherche et de
démonstration en Géométrie rationnelle ; et par ses procédés , qui sont
en Géométrie pratique ce que les quatre règles de l'arithmétique sont
dans la science du calcul, elle fournit un moyen de solution à priori
dans des questions où la Géométrie de Descartes, toute puissante en
tant d'autres circonstances , se trouvait arrêtée par les bornes que ren-
contrait l'algèbre elle-même.

§ 4. Monge nous donna, dans son Traité do Géométrie descrip-
tive, les premiers exemples de l'utilité de l'alliance intime et systéma-
tique entre les figures à trois dimensions et les figures planes. C'est
par de telles considérations qu'il démontra, avec une élégance rare et
une évidence parfaite, les beaux théorèmes qui constituent la théorie
des pôles dans les courbes du second degré ; la propriété des centres de
similitude de trois cercles pris deux à deux, lesquels centres sont trois
à trois en ligne droite ; et diverses autres propositions de Géométrie plane.

Depuis, les élèves de Monge cultivèrent avec succès cette Géométrie,
d'un genre vraiment nouveau, et «à laquelle on a souvent donné, avec
raison, le nom d'école de Monge, et qui consiste, comme nous venons
de dire, à introduire dans la Géométrie plane des considérations de
Géométrie à trois dimensions.

Les découvertes faites de cette manière sont nombreuses ; leur exposé
présenterait certainement une page intéressante dans l'histoire de la
Géométrie ; mais nous ne pouvons nous le permettre ici , ni entrer
dans des détails qui alongeraient beaucoup trop cet écrit '.

g 5. Les procédés par lesquels Monge transforma les figures de Mrii.odedeir.nsniui.

■ L'un des géomètres qui les premiers aperçurent toutes les ressources de cette métliode .
fut M. Brianchon , qui , dans un mémoire imprimé dans le treizième cahier du Journal de
l'école polytechnique (année 1810 ), présenta sur ce sujet des réflexions neuves et étendues,
auxquelles M. Poncelet nous apprend devoir la première idée des belles et nombreuses re-
cherches géométriques , contenues dans son Traité des propriétés projectives. L'école de llonge
est très-redevable aussi à M. Gergonne , qui l'a servie utilement par ses propres travaux , tou-
jours empreints de vues philosophiques profondes, et par l'accueil qu'il a fait dans ses an-
nales de Mathématiqms , aux productions des anciens élèves de l'école polytechnique.

192 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

l'espace en figures planes, par les projections orthogonales sur deux
plans rectangulaires qu'il suppose abattus l'un sur l'autre, offrent en
particulier un moyen de découvrir une foule de propositions de Géomé-
trie plane sur les figures qui résultent de l'ensemble de ces deux projec-
tions. De sorte qu'il n'est point à^épure de Géométrie descriptive qui
n'exprime quelque théorème de Géométrie plane. Dans la plupart de ces
théorèmes, se trouveront des lignes parallèles entre elles et perpendicu-
laires à la droite qui servait d'intersection aux deux plans de projection;
mais si l'on fait ensuite la perspective de la figure sur un plan, ces
lignes deviendront concourantes en un point, et le théorème prendra
une plus grande généralité.

Voilà donc, comme nous l'avons dit, un moyen très-fécond de dé-
montrer, d'une manière toute nouvelle et toute particulière, une foule
de propositions de Géométrie plane. On démontrera, par exemple, la
plus grande partie des théorèmes, sinon tous, de la théorie des trans-
versales, et la plupart des innombrables propriétés des sections co-
niques.

Prenons, par exemple , l'épure où il s'agit de trouver le point d'in-
tersection de trois plans ; ce point sera à l'intersection des trois droites
suivant lesquelles ces plans se coupent deux à deux ; les projections
de ces trois droites sur l'un des deux plans de projection passent
donc par un même point; ce fait, évident, devient l'expression du
théorème suivant :

Si l'on a dans un plan deux triangles dont les côtés concourent
deux à deux en trois points situés sur une même droite L , et que
par un point , pris arbitrairement , on mène trois droites aux som-
mets du premier triangle / qu'on les prolonge jusqu'à ce qu'elles
rencontrent en trois points la droite L; qu'on joigne ces trois points
respectivement aux trois sommets du second triangle , par trois
droites ; ces trois droites iront concourir en un même point.

Ce théorème serait susceptible de plusieurs conséquences : nous
nous bornerons à faire remarquer qu'on en conclut, comme corol-
laire, le théorème de Desargues dont nous avons parlé (deuxième

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 193

Epoque, § 28); il suffit de supposer que le point pris arbitrairement
est le point de concours de deux des trois droites qui joignent les
sommets du premier triangle respectivement aux sommets correspon-
dans du second.

L'épure par laquelle on construit les traces d'un plan qui doit passer
par trois points dont les projections sont données, conduit à un autre
théorème de même nature que le précédent, et qui donne, comme
corollaire, le réciproque de celui de Desargues.

S 6. Ce genre de démonstration conduira avec une égale facilité à
des propriétés des coniques , et même des courbes de tous les degrés.

Concevons, par exemple, dans le plan horizontal, une conique qui
sera la base d'un cylindre dont la direction des arêtes soit donnée;
qu'on construise la trace de ce cylindre sur le plan vertical ; puis, qu'on
fasse la perspective de l'épure sur un plan quelconque : on aura une
figure qui représentera une première conique tracée arbitrairement,
et une seconde conique construite au moyen de la première par les
intersections de lignes droites issues de deux points fixes.

Si, au lieu de la première conique, on prend une courbe d'un degré
quelconque, on aura une seconde courbe qui sera du même degré.

Yoilà donc un moyen de transformer sur un plan, une courbe quel-
conque en une autre du même degré.

Il est clair que les tangentes à la seconde courbe se détermineront
au moyen des tangentes à la première; et ces tangentes se couperont,
deux à deux, en des points qui seront tous en ligne droite. Ce sera la
droite qui représente l'intersection des deux plans de projection. Cette
circonstance offrira un théorème de Géométrie concernant les courbes
de tous les degrés.

Prenons, pour dernier exemple, un cylindre vertical ayant pour base
sur le plan horizontal une conique; qu'on le coupe par un plan mené
arbitrairement, et qu'on construise sur le plan vertical la projection
de la courbe d'intersection; ce sera une seconde conique. Les tan-
gentes à ces deux coniques se correspondront deux à deux, comme
représentant les projections de chaque tangente à la courbe d'inter-
To». XI. 25

194 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

section du cylindre par le plan transversal; si donc au moyen de ces
projections on cherche les points où ces tangentes, dans l'espace , ren-
contrent l'un des deux plans de projection, ces points formeront une ligne
droite qui sera la trace du plan transversal sur le plan de projection.
Cette circonstance donnera lieu à une propriété générale des deux coni-
ques qui sont les projections de la conique située dans l'espace. Qu'on
fasse la perspective de l'épure sur un plan, il en résultera une propriété
générale du système des deux coniques quelconques, qui est celle-ci :

Si par le point de concours des deux tangentes cotnmunes à deux
coniques quelconques situées dans un plan, on tire arbitrairement
une transversale qui rencontre ces deux courbes chacune en deux
points, et qu'on leur mène leurs tangentes en ces points , les tan-
gentes à la première rencontreront les tangentes à la seconde en
quatre points qui seront deux à deux sur deux droites fixes , quelle
que soit la transversale menée par le point de concours des deux
tangentes communes aux deux coniques.

Il est plusieurs autres manières de démontrer par des considérations
de Géométrie à trois dimensions, ce théorème important dans la théorie
des coniques; par exemple, si par une courbe du second degré on fait
passer deux cônes, ayant pour sommets deux points quelconques de l'es-
pace, et qu'on cherche la seconde courbe d'intersection des deux cônes,
ce sera une seconde conique. Les relations entre ces deux courbes,
situées dans l'espace sur deux cônes , sont faciles à saisir. Maintenant
si l'on construit l'épure qui donnera la projection de la seconde co-
nique sur le plan de la première, on aura un système de deux coniques
situées dans un même plan , et dont toutes ces relations des deux
courbes dans l'espace, offriront des propriétés intéressantes, au nombre
desquelles se trouvera le théorème que nous venons d'énoncer.

§ 7. Ces exemples nous suffisent pour montrer comment chaque
épure de Géométrie descriptive pourra exprimer un théorème de Géo-
métrie plane, et nous croyons pouvoir dire que cette voie ouvrira une
mine féconde de vérités géométriques. Sous ce point de vue, la Géo-
métrie descriptive de Monge offre une méthode de Géométrie ration-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 193

nelle. Nous l'appellerons méthode de Transmutation des figures.

Outre ce premier résultat de la Géométrie descriptive, d'opérer la
transmutation des propriétés des figures à trois dimensions, en pro-
priétés des ligures planes, nous devons faire remarquer un autre usage
particulier de cette Géométrie; c'était de conduire à une infmité de
moyens d'opérer sur le plan des transformations de figures en figures
du même genre, ainsi qu'avaient fait De La Hire et Newton ; c'était, en
particulier, d'offrir une infinité de moyens de remplir le but que s'était
proposé De La II ire, de décrire sur un plan, au moyen du cercle, les
différentes sections coniques, et de transporter ainsi les opérations de
la perspective dans le plan. Il suffit, en effet, de concevoir un cône
à base circulaire, ayant pour sommet un point quelconque de l'espace,
et de couper ce cône par un plan mené arbitrairement; la section sera
une conique, dont une des projections pourra être regardée comme une
transformée de l'une des projections de la base du cône ; et comme
cette transformée se construira par des opérations planes, le but de
De La Hire se trouvera atteint.

Cette solution générale du problème de De La Ilire conduira, comme
on le pressent à cause de l'indétermination des différentes données de
la question, à un grand nombre de méthodes différentes; et l'on par-
viendra, de plusieurs manières, à celle même de De La Hire.

5 8. Bien qu'on ait apprécié les services rendus par Monge en fa-
miliarisant avec les considérations de la Géométrie à trois dimensions ,
et en apprenant à passer tour-à-tour de cette Géométrie à la Géométrie
plane, et de celle-ci à la première; on n'a peut-être pas reconnu dans le
mode particulier de démonstration dont nous venons de donner des
exemples, toute l'importance qui lui est due, tant à cause des vérités
géométriques auxquelles il pouvait conduire, et dont un grand nombre
alors eussent été neuves, que parce qu'il était un premier exemple
de transmutation des figures à trois dimensions en figures planes, et
réciproquement. Les services rendus par le seul mode de transforma-
tion usité jusqu'alors, la perspective, dont Pascal surtout avait fait un si
heureux usage, et dont De La Hire, dans son Traité des planiconiques ,

196 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

avait réduit toutes les opérations à des constructions planes, étaient
de nature à faire concevoir tous les avantages des autres modes de
transformation qui pourraient se présenter, soit dans l'espace, soit sur
le plan.

Mais au surplus, en réfléchissant sur les procédés de l'algèbre, et
en recherchant la cause des avantages immenses qu'elle apporte dans
la Géométrie, ne s'aperçoit-on pas qu'elle doit une partie de ces avan-
tages à la facilité des transformations que l'on fait subir aux expressions
qu'on y introduit d'abord? transformations dont le secret et le méca-
nisme font la véritable science, et l'objet constant des recherches de
l'analyste. N'était-il pas naturel de chercher à introduire pareillement
dans la Géométrie pure des transformations analogues, portant direc-
tement sur les figures proposées, et sur leurs propriétés?

La théorie des projections stéréographiques, par laquelle on ap-
plique à des systèmes de coniques semblables et semblablement placées
(parmi lesquelles peuvent se trouver des droites et des points), les pro-
priétés évidentes et palpables de systèmes de courbes planes tracées
sur une surface du second degré, cette théorie, dis-je, est un exemple
frappant des avantages des transformations géométriques. Diverses mé-
thodes qui se rattachent, comme nous le ferons voir, aux deux principes
généraux de l'étendue , la dualité et Vhomographie des figures , que
nous démontrons dans cet écrit, sont de telles méthodes de transfor-
mation.

Ces sortes de méthodes, dont l'utilité nous paraît bien constatée,
méritent d'être cultivées; et, si nous ne nous abusons, les géomètres
qui voudront méditer sur cet objet apprécieront davantage l'impor-
tance philosophique de la méthode de transmutation que nous avons
cherché à faire ressortir des principes de la Géométrie descriptive de
Monge,
Géométrie pcrspeciivc S 9- Lcs doctriucs dc Mougc ont déjà donné lieu à un ouvrage du

de M. Consinery.

même genre, dont l'occasion se présente de parler ici, par anticipa-
tion, la Géométrie perspective de M. Cousinery, ingénieur des ponts
et chaussées (in-4o, 1828), qui diffère de la méthode de Monge en ce

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 197

que l'auteur ne fait usage que d'une seule projection, ou perspective,
sur un plau.

Un plan, situé d'une manière quelconque dans l'espace, est déter-
miné dans l'épure par deux droites parallèles, dont l'une est la trace
de ce plan sur celui de projection , et l'autre est la trace d'un second
plan parallèle au premier, mené par l'œil ou point central d'où par-
tent les lignes projetantes. Une droite est déterminée d'une manière
analogue par deux points, dont l'un est celui où elle perce le plan de
projection, et l'autre est celui où une seconde droite menée par l'œil
parallèlement à la première, perce ce même plan. Pour déterminer un
point, il faut connaître deux droites sur lesquelles il se trouve, dont
l'une peut passer par l'œil, et se réduire à un point en perspective. Ces
procédés sont simples et ingénieux; les épures auxquelles ils condui-
sent ne sont point trop compliquées , et elles sont susceptibles, comme
celles de la Géométrie descriptive de Monge, d'exprimer divers théo-
rèmes de Géométrie, ainsi que le fait voir M. Cousinery.

Sans chercher à apprécier les avantages que cette méthode pourra
peut-être offrir sous le rapport industriel, c'est-à-dire comme instru-
ment analogue à la Géométrie descriptive de Monge dans les arts de
construction, nous ne la considérerons que comme moyen de trans-
formation des figures, et comme méthode pour la recherche et la dé-
monstration d'une foule de vérités géométriques : et sous ce rapport,
elle nous paraît digne de l'attention des amateurs de la Géométrie.
M. Cousinery, en se bornant à quelques exemples qui suffisaient pour
convaincre de l'utilité de sa méthode, a ouvert un nouveau champ de
spéculations géométriques, où l'on sera sûr de glaner abondamment.

S 10. Il nous reste, au sujet de la Géométrie descriptive de Monge, Noureiu mode d« a-
à parler de l'influence qu'elle a encore eue sur les progrès de la ''»■» co-ungeme.
Géométrie pure, en introduisant dans cette science un mode de dé-
monstration que les Anciens auraient repoussé comme une licence
incompatible avec leurs principes rigoureux , et qui a eu , entre les
mains de Monge et des géomètres de son école, les plus heureux ré-
sultats.

198 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Pour définir cette méthode, nous dirons « qu'elle consiste à consi-
)) dérer la figure, sur laquelle on a à démontrer quelque propriété
» générale, dans des circonstances de construction générale, où la
» présence de certains points, de certains plans ou de certaines lignes,
» qui dans d'autres circonstances seraient imaginaires, facilite ladé-
)) monstration. Ensuite , on applique le théorème qu'on a ainsi dé-
)) montré aux cas de la figure où ces points , ces plans et ces droites
)) seraient imaginaires ; c'est-à-dire , qu'on le regarde comme vrai
)) dans toutes les circonstances de constructions générales que peut
» présenter la figure à laquelle il se rapporte. )) La Géométrie de
Monge, nous offre de beaux exemples de cette manière d'agir.

Ainsi, pour démontrer que , quand des cônes circonscrits à une sur-
face du second degré ont leurs sommets en ligne droite, les plans de
leurs courbes de contact passent tous par une même droite, Monge
suppose que, par la droite lieu des sommets des cônes, on peut mener
deux plans tangentes à la surface j les courbes de contact des cônes
passeront toutes par les deux points de contact de ces plans tangens ;
leurs plans passeront donc tous par la droite qui joindra ces deux
points. Le théorème est donc démontré, pour la disposition supposée
de la figure ; et Monge prononce que cette démonstration s'étend au
cas où l'on ne pourra point mener de plans tangens à la surface par la
droite lieu des sommets des cônes; c'est-à-dire, que le théorème a lieu
pour toute position possible de cette droite.

Cette méthode de Monge nous paraît fondée sur cette remarque,
qu'une figure peut présenter dans sa construction la plus générale deux
cas différens ; dans le premier, certaines parties (points, plans, lignes
ou surfaces) d'où ne dépend pas nécessairement la construction géné-
rale de la figure , mais qui en sont des conséquences contingentes ou
accidentelles , sont réelles et palpables ; dans le second cas , ces mêmes
parties n'apparaissent plus; elles sont devenues imaginaires; et cepen-
dant les conditions générales de construction de la figure, sont restées
les mêmes.

Par exemple, si on dit de tracer dans l'espace une surface du second

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 199

degré et une ligne droite, qui aient entre elles toute la généralité pos-
sible de position; cette question comportera deux cas, celui où la ligne
droite rencontre la surface et celui où elle ne la rencontre pas; et ces
deux cas offriront la même généralité, parce que dans chacun d'eux
la ligne droite sera tirée arbitrairement, sans avoir égard à la position
déjà donnée à la surface du second degré, ils ne différeront qu'en ce
que les deux points d'intersection de la ligne droite et de la surface
sont réels dans le premier cas, et imaginaires dans le second. Nous
dirons que ces deux points sont une des relations contingentes ou ac-
cidentelles du système de la surface et de la droite.

Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que nous n'entendons
nullement parler ici des circonstances particulières de construction
d'une figure, auxquelles on a consacré l'expression de cas particulie?'s ,
qui sont celles où plusieurs ])oints^ lignes, ou surfaces, viennent à se con-
fondre. Ainsi , dans l'exemple précédent, si la droite est tangente à la
surface du second degré, ce sera un cas particulier ; et un théorème
démontré sur cette figure ne serait point regardé comme s'appliquant
nécessairement à la figure générale.

§11. La méthode dont il s'agit, qui nous parait avoir pris naissance
dans les beaux exemples que Monge nous en a donnés dans sa Géométrie
descriptive, a été suivie depuis par la plupart de ses disciples, mais
toujours tacitement, comme Monge avait fait lui-même, c'est-à-dire
sans entrer dans les considérations que nous venons de présenter , et
sans chercher à justifier cette manière hardie de raisonner.

Ce n'est que dans ces derniers temps que M. Poncelet a abordé PriDcip* d. ,
franchement cette question, qui méritait d'être approfondie, et qu'il a
rattachée à un point de doctrine important dans la Géométrie ration-
nelle. On voit que nous voulons parler du principe de continuité , que
ce savant géomètre a mis en avant et développé dans son Traité des
propriétés projectives, et dont il a fait les plus heureuses applications ;
mais qui, n'étant point démontré rigoureusement, n'a été considéré par
d'autres célèbres académiciens que comme une forte induction, et un
moyen précieux pour deviner et pressentir les vérités , mais non pour

200 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

suppléer aveuglément, et dans tous les cas, à leur démonstration rigou-
reuse.

Il faut en convenir, si les géomètres, en pratiquant la méthode de
Monge, ouïe principe de continuité, devaient justifier cette manière
d'agir, par des considérations de pure Géométrie", puisées dans quelques
principes préexistans et démontrés à priori, les moyens, jusqu'à cejour,
nous paraîtraient leur manquer : et si leur marche, comme celle de
Monge, a toujours été assurée et n'a point laissé de nuage dans leur es-
prit, ils ont puisé, ce me semble, cette confiance dans le sentiment d'in-
faillibilité que les habitudes de l'analyse algébrique ont fait naitre en eux.
Démonstration de la S 12. Nous croyons cu cfFet qu'on pourra, dans chaque cas parti-

méUiode de Monge. . ' , • • l /.l l .•

culier, justifier a posteriori la méthode en question, par un raison-
nement fondé sur les procédés généraux de l'analyse.

Il suffit de remarquer que les deux circonstances générales de con-
struction d'une figure, dont nous avons parlé, et dont la distinction est
importante , parce qu'elles nous paraissent être la véritable origine
de la question qui nous occupe, n'entrent jamais en considération dans
l'application de l'analyse finie à la Géométrie. Les résultats obtenus
par cette méthode s'appliquent dans toute leur étendue à ces deux
circonstances générales de construction. Ces résultats sont des théo-
rèmes concernant les parties intégrantes et permanentes de la figure ,
celles qui appartiennent à sa construction générale, et qui sont toujours
réelles dans les deux cas; théorèmes tout-à-fait indépendans des
parties secondaires , ou contingentes et accidentelles de la figure,
qui peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires, sans changer
les conditions générales de construction de la figure.

Donc, quand ces résultats généraux sont démontrés, n'importe com-
ment, sur l'une des deux figures, on peut conclure qu'ils ont également
lieu dans l'autre figure.

Cette manière de justifier la doctrine de Monge, qu'on regardera
peut-être aussi comme une démonstration à posteriori du principe de
continuité, considéré en Géométrie, comporte les exceptions dont ce
principe sera susceptible j car ces exceptions ne seront autres que celles

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 201

que rencontrerait l'analyse elle - même. Ainsi , par exemple, on devra
se garder d'appliquer ce principe aux questions dans lesquelles, si l'on
voulait faire entrer dans l'analyse les circonstances générales de
construction dont nous avons parlé, on trouverait qu'il y aurait à
changer autre chose que les signes des coefficiens des quantités va-
riables; par exemple, les signes des exposans de ces quantités '; on ne
devra point l'appliquer non plus aux questions qui, traitées par l'ana-
lyse, exigeraient des intégrales définies, parce qu'un simple change-
ment de signe, qui établirait la différence entre les deux circonstances
générales de construction de la figure, changerait totalement les
résultats de l'analyse.

Mais dans toutes les questions de Géométrie qui n'exigeraient que le
secours de l'analyse finie, telle que Descartes nous a appris à en faire
usage, on pourra mettre toute confiance dans la méthode de Monge.
Ainsi, par exemple, si l'on considère dans l'espace un cône du second
degré et un plan transversal placé de la manière la plus générale par
rapport au cône; ce plan pourra avoir deux positions différentes, qui
satisferont également à cette condition de plus grande généralité pos-
sible. Dans la première, il coupera le cône suivant une hyperbole,
dont on pourra tracer les deux asymptotes : dans la seconde, il coupera
le cône suivant une ellipse; et les deux droites qui, dans la première
figure, étaient les asymptotes de l'hyperbole, seront imaginaires dans
la seconde figure. Néanmoins, toute propriété générale de la première
figure, démontrée même avec le secours des deux asymptotes, appar-
tiendra à la seconde figure ; pourvu , bien entendu , que cette propriété
ne concerne point directement, ni implicitement, les asymptotes , parce
que dans ce cas elle ne serait point une propriété générale, indépen-
dante des circonstances de construction qui font que ces asymptotes
soient ou ne soient pas réelles.

' Nous ne pensons pas que de telles questions puissent se présenter. Car les deux circon-
stances générales de construction d'une figure, dont la considération est la base de notre
manière d'envisager la méthode de Monge , nous paraissent ne diOcrer dans l'expression algé-
brique de la figure que par la diScrence des signes des coeiBciens indépendans. ^

ToM. XI. 26

il

202 fflSTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Ce que nous disons de l'ellipse et de l'hyperbole, ne s'applique pas
à la parabole; parce que la position du plan transversal, qui donne
pour section dans le cône une parabole, est une position particulière^
et non plus parfaitement générale. Ainsi, une propriété de la parabole,
qu'on aurait démontrée en s'appuyant sur cette circonstance que le
plan transversal qui la fait naître dans le cône, a une position particu-
lière par rapport à ce cône , n'appartiendrait point, par la seule vertu du
principe de Monge, à l'ellipse ni à l'hyperbole.

S 13. Les mêmes considérations ont lieu pour les surfaces du se-
cond degré. Elles se divisent, sous un certain rapport, en deux classes;
pour l'une de ces surfaces (l'hyperboloïde à une nappe), le plan tan-
gent en chacun de ses points la touche suivant deux droites entiè-
rement comprises sur la surface ; et pour les deux autres surfaces
( l'ellipsoïde et l'hyperboloïde à deux nappes ) , ces deux droites sont
imaginaires. Eh bien, une propriété générale de l'hyperboloïde, dé-
montrée avec le secours des deux droites en question, pourvu qu'elle
ne comprenne ni directement, ni implicitement ces deux droites dans
son énoncé, appartiendra également aux deux autres surfaces.

Par exemple , qu'on veuille démontrer les deux théorèmes qui con-
stituent la doctrine des projections stéréographiques ; on prendra l'hy-
perboloïde à une nappe, pour lequel, avec le secours des deux droites
que, par chaque point, on peut mener sur sa surface, ces deux théo-
rèmes sont évidens; et on conclura immédiatement, avec toute sûreté,
qu'ils ont également lieu pour les autres surfaces du second degré
'>J'On conçoit que si, au lieu de démontrer ces deux théorèmes rela-
tivement à l'hyperboloïde à une nappe, qui est une surface d'une
construction tout aussi générale que celle de l'ellipsoïde et de l'hyper-
boloïde à deux nappes, on les eût démontrés pour la sphère, on n'aurait
pas pu les appliquer, en vertu seulement de la méthode de Monge , aux
autres surfaces du second degré, parce que la sphère n'est point une
surface d'une construction générale, mais au contraire d'une construc-
tion particulière.

S 14. Mais nous pouvons dire de suite qu'avec le secours d'une autre

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 203

méthode, on applique les propriétés générales de la sphère à l'cUip- Méthode de g«nér.iiia.
soïde ; et alors, par la métliode de Monge, elles deviennent des pro-
priétés générales de toutes les surfaces du second degré. Cette méthode
de transformation, que nous avons exposée dans la Correspondance Êj^

polytechnique (tom. III, png. 326), est analytique; elle consiste à
faire croître proportionnellement les coordonnées de chaque point de
la sphère. Nous nous en sommes servi pour transformer les propriétés
descriptives, et celles concernant les volumes des corps; depuis, nous
l'avons appliquée aux propriétés concernant les longueurs des lignes
courbes, et les aires des surfaces courbes. Nous l'avons généralisée
aussi sous un autre rapport en la rendant propre à transporter aux
hyperboloïdes les ])ropriétés générales des paraboloïdes , comme celles
de la sphère à l'ellipsoïde. Mais cette méthode générale étant com-
prise, comme cas particulier, dans notre principe général de défor-
mation homographique , nous n'insisterons point davantage sur ses
usages et son degré d'utilité.

Mais nous devons faire remarquer une différence caractéristique qui
distingue cette méthode de celle dont nous parlions d'abord, quoique
par l'une et par l'autre on généralise un premier résultat.

Le mode de déformation que nous venons d'indiquer est une véri-
table méthode de généralisation, qui transporte à une figure d'une
construction tout-à-fait générale, les propriétés connues d'une figure
d'une construction particulière.

L'autre méthode, au contraire, qui fait usage des relations contin-
|;eBtes, n'opère que sur une propriété d'une figure de la construction
la plus générale, et la transporte à une autre figure d'une construction
non moins générale, qui ne diffère de la première figure que par des
circonstances secondaires et accidentelles qui ont servi à la démon-
stration, mais qui, ayant en quelque sorte été éliminées dans le résul-
tat des raisonnemens où on les avait fait entrer, ne sont pour rien,
ni directement ni implicitement, dons l'énoncé de la proposition qu'il
s'agissait de démontrer.

S 15. Cette méthode nous paraîtrait mériter, plus qu'aucune autre.

204 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

le nom de méthode d'intuition , puisqu'elle est véritablement fondée
sur la vue des choses. Mais ce caractère d'intuition est le propre, en
général , des méthodes qui reposent sur la pure contemplation de l'éten-
due, et particulièrement de celles où l'on fait intervenir la considéra-
tion des figures à trois dimensions pour la démonstration des propo-
sitions de Géométrie plane. La dénomination de méthode d'intuition ,
qui convient en général à la Géométrie de Monge , ne caractériserait
donc pas ce principe , en vertu duquel on applique à un état général
d'un système, les propriétés qu'on a démontrées pour un autre état
également général du même système. Mais la dénomination de Méthode
ou principe des relations contingentes nous paraîtrait la caractériser
d'une manière assez précise et assez complète.

Nous préférons cette dénomination à celle àe principe de continuité,
parce que ce principe implique l'idée de l'infini , qui n'entre nullement
dans la méthode des relations contingentes. Nous développerons cette
idée dans la Note XXIV.

Nous pourrions citer beaucoup d'exemples de l'application qu'on a
faite tacitement du principe des relations contingentes ; mais nous
avons trouvé une question nouvelle qui nous paraît éminemment
propre à montrer l'usage et l'utilité de ce principe, c'est celle où il
s'agit de déterminer en grandeur et en direction les trois diamètres
principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres corijugués sont donnés.
La solution de cette question ne se serait peut-être pas présentée aussi
aisément par toute autre méthode. ( Voir la Note XXY.)

S 16. Ce principe des relations contingentes sera peut-être basé un
jour sur quelque principe métaphysique de l'étendue figurée, tenant
à des idées d'homogénéité, telles que celles qu'on a apportées quel-
quefois dans les sciences naturelles, particulièrement dans celles des
corps organisés; il semble appartenir déjà à quelque principe général
de dualité, tel que celui que semblent présenter ces mêmes corps où
l'on a à reconnaître deux genres d'élémens, élémens permanens, élé-
mens variables ; fixité et mouvement.

Mais, en attendant que notre principe des relations contingentes

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 205

soit ainsi démontré à priori, il nous parait assez justifié par les pro-
cédés de l'analyse, comme nous l'avons fait voir, pour qu'on l'emploie
avec assurance. ji

Ce serait, du reste, une chose heureuse pour les progrès de la Géo-
métrie rationnelle, que tous les géomètres n'abandonnassent pas les
principes rigoureux des Anciens, et que pendant que les uns, en se
confiant aux procédés faciles de la méthode de Monge, enrichiraient
la science de vérités nouvelles, les autres cherchassent à établir ces
vérités sur d'autres fondemens , offrant toute la rigueur désirable. Cette
sorte d'association et ce double but seront utiles à la Géométrie, et
contribueront puissamment à la doter de nouveaux principes et à fon-
der leur véritable métaphysique. Il faudra en effet, après avoir décou-
vert quelque vérité par la méthode, en quelque sorte superficielle,
de Monge, qui s'empare et tire parti de quelque circonstance externe
et palpable, mais accidentelle et fugitive, il faudra, dis-je , pour établir
cette vérité sur des raisons permanentes et indépendantes des circon-
stances variables de construction de la figure, aller au fond des choses
et faire usage non plus comme Monge , des propriétés secondaires et
contingentes qui suffisent, dans certains cas, pour définir diverses par-
ties de la figure, mais bien des propriétés intrinsèques et permanentes
de ces mêmes parties de la figure. Nous entendons par propriétés in-
trinsèques et permanentes celles qui serviraient, dans tous les cas, à la
définition et à la construction des parties de la figure que nous avons
appelées intégrantes ou principales ; tandis que les propriétés secon-
daires et contingentes sont celles qui peuvent disparaître et devenir
imaginaires dans certaines circonstances de construction de la figure.

La théorie des cercles tracés sur un plan nous offre un exemple de
cette distinction que nous faisons entre les propriétés accidentelles , et
les propriétés permanentes d'une figure. Le système de deux cercles
comporte toujours l'existence d'une certaine droite, dont la considé-
ration est fort utile dans toute cette théorie. Quand les deux cercles
se coupent, cette droite est leur corde commune, et cette seule cir-
constance suffit pour la définir et la construire ; voilà ce que nous

206 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

appelons une de ses propriétés contingentes ou accidentelles. Mais
quand les deux cercles ne se coupent pas, cette propriété disparait
quoique la droite pourtant existe toujours , et que sa considération soit
encore extrêmement utile dans la théorie des cercles. Il faut donc dé-
finir cette droite et la construire par quelqu'une de ses autres propriétés,
qui ait lieu dans tous les cas de construction générale de la figure,
qui est le système des deux cercles. Ce sera une de ses propriétés joer-
manentes. C'est par ces considérations que M. Gaultier ' , au lieu
d'appeler cette droite la corde commune des deux cercles , l'a appelée
aa^e radical / expression puisée dans une propriété permanente de
cette droite , qui consiste en ce que les tangentes aux deux cercles ,
menées par l'un quelconque de ses points, sont égales entre elles, de
sorte que chaque point de cette droite est le centre d'un cercle qui
coupe orthogonalement les deux cercles proposés ".

' Journal de l'école polytechnique , 16" cahier, ann. 1813.

Le beau Mémoire de M. Gaultier offre la première solution vraiment générale delà questioti
du contact des cercles, ou des sphères ; solution qui permet de supposer que les cercles de-
Tiennent des points ou des droites , et les sphères des points ou des plans.

- La même propriété a fait donner, depuis, à cette droite, par M. Steiner, le nom de ligne
d'égale puissance. { J^oir le Journal de M, Crelle, tora. I", et les Annales àe M. Gergonne ,
tom. XVII, pag. 29S.)

Cette droite jouit, comme on sait, de beaucoup d'autres propriétés permanentes remarqua-
bles, qui suffisent pour la construire, et qui auraient pu aussi servir à la définir. Ainsi, si
l'on décrit un cercle quelconque qui coupe les deux proposés , ses cordes communes avec eux
se rencontreront sur cette droite.

Si par un des deux centres de similitude des deux cercles on mène une transversale qui les
rencontre, et que par les points de rencontre on mène les tangentes aux deux cercles, les
tangentes du premier cercle rencontreront respectivement celles du second , qui ne leur se-
ront pas parallèles , en deux points qui seront sur la droite en question.

C'est cette dernière propriété, qui a également lieu dans le système de deux coniques quel-
conques tracées sur un plan , dont nous nous sommes servi pour définir deux droites qui
existent toujours dans le système de deux coniques , et dont chacune joue le même rôle , par
rapport aux deux coniques , que Vaxe radical par rapport à deux cercles. L'expression d'axe
radical étant fondée sur une relation de grandeur particulière aux cercles, ne pouvait con-
venir à ces deux droites, et nous les avons appelées axes de sijmptose, à cause de la rencontre
ou du concours, qui a lieu sur ces deux droites , des tangentes aux deux coniques, menées en
des points situés sur une transversale issue d'un de leurs centres d'homologie. ( Voir Annales
de Mathématiques , tom. XVIII , pag. 283.) :;>0

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 207

êl)ha connaissance des propriétés intrinsèques et permanentes des dif-
férentes parties d'une figure, qu'on sera conduit à rechercher quand
les propriétés accidentelles disparaîtront, sera très-utile au perfection-
nement des théories géométriques, en leur donnant toute la géné-
ralité qu'elles comportent, et souvent le degré d'évidence intuitive qui
faib un des caractères de la méthode de Monge.

' 'Ainsi, la circonstance que l'axe radical de deux cercles est leur
corde commune quand ils se coupent, a conduit Monge à démontrer,
en considérant trois cercles sur un plan comme les sections diamétrales
de trois sphères, que les axes radicaux de ces cercles, pris deux à deux,
passent par un même point. Ce théorème n'est pas moins évident si on
part, pour définir ces trois axes, de leur propriété permanente recon-
nue par M. Gaultier. Car on voit tout de suite que le point d'intersec-
tion de ces deux axes jouit d'une propriété caractéristique des points
du troisième axe; d'où l'on conclut qu'il se trouve sur ce troisième axe.

S 17. La doctrine des relations contingentes nous semble pouvoir im.giDiire.
offrir encore un avantage ; c'est de donner une explication satisfai-
sante du mot imaginaire , employé maintenant en Géométrie pure, où
il exprime un être de raison sans existence, mais auquel on peut ce-
pendant supposer certaines propriétés dont on se sert momentanément
comme d'auxiliaires, et auquel on applique les mêmes raisonnemens
qu'à un objet réel et palpable. Cette idée d'imaginaire, qui paraît au
premier abord obscure et paradoxale , prend donc dans la théorie
des relations contingentes un sens clair, précis et légitime. (Voir la
Note XXVI.) Sous ce rapport , la distinction que nous avons faite
entre les propriétés intrinsèques et permanentes des figures , et leurs
propriétés fugitives et contingentes , paraîtra peut-être de quelque
utilité.

§ 18. La Géométrie descriptive de Monge est une source de bonnes sijied«Mong«en«o-
doctrines , qui n a point encore été épuisée. Après y avoir reconnu le
germe, plus ou moins développé, de plusieurs méthodes, qui accrois-
sent la puissance et étendent le domaine de la Géométrie, nous y
voyons aussi l'origine d'une nouvelle manière d'écrire et de parler

en Géo-
métrie.

208 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

cette science. Le style , en effet , est si intimement lié à l'esprit des
méthodes, qu'il doit avancer avec elles; de même qu'il doit aussi, s'il
a pris les devans, influer puissamment sur elles et sur les progrès
généraux de la science. Cela est incontestable, et n'a pas besoin de
preuves.

L'ancienne Géométrie est hérissée de figures. La raison en est simple.
Puisqu'on manquait alors de principes généraux et abstraits , chaque
question ne pouvait être traitée qu'à l'état concret, sur la figure même
qui était l'objet de cette question, et dont la vue seule pouvait faire
découvrir les élémens nécessaires à la démonstration ou à la solution
cherchée. Mais on n'a pas été sans éprouver les inconvéniens de cette
manière de procéder , par la difficulté de construction de certaines
figures ; et par leur complication qui en rend l'intelligence laborieuse
et pénible. C'est surtout dans les questions de la Géométrie à trois di-
mensions, où les figures peuvent devenir tout-à-fait impossibles, que
l'inconvénient que nous signalons se fait le plus sentir.

Ce défaut de la Géométrie ancienne fait un des avantages relatifs de
la Géométrie analytique , où il se trouve éludé de la manière la plus
heureuse. On a dû se demander, après cela, s'il n'était point aussi, en
Géométrie pure et spéculative, une manière de raisonner sans l'assis-
tance continuelle de figures, dont un inconvénient réel, même quand
leur construction est facile, est tout au moins de fatiguer l'esprit et de
ralentir la pensée.

Les écrits de Monge et le professorat de cet illustre maître, dont les
manières nous avaient été conservées par l'un de ses plus célèbres dis-
ciples, héritier de sa chaire % ont résolu la question. Ils nous ont
appris qu'il suffit, maintenant que les élémens de la science sont for-
més et très-étendus , d'introduire dans notre langage et dans nos con-

> M. Arago , aujourd'hui secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences , quitta les bancs
de l'école, pour devenir suppléant de Monge, et bientôt après professeur titulaire. Les notices
scientifiques de l'Annuaire du bureau des longitudes, par lesquelles cet illustre astronome po-
pularise en Europe la science si difficile des phénomènes physiques, sont encore un modèle
précieux du style sans figures, qui nous paraît éminemment propre à hâter les progrès de la
Géométrie.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 209

ceptions géométriques, ces principes généraux et ces transformations
analogues à celles de l'analyse, qui , en nous faisant connaître une vé-
rité dans sa pureté primitive et sous toutes ses faces, se prêtent à des
déductions faciles et fécondes par lesquelles on arrive naturellement
au but. Tel est l'esprit des doctrines de Monge ; et quoique sa Géomé-
trie descriptive, qui nous en offre des exemples, fasse par sa nature
essentiellement usage de figures, ce n'est que dans ses applications
effectives et mécaniques, où elle joue le rôle d'instrument, qu'elle
opère ainsi : mais personne plus que Monge n'a conçu et n'a fait de
la Géométrie sans figures. C'est une tradition dans l'école polytech-
nique, que Monge savait, à un degré inouï, faire concevoir dans l'espace
toutes les formes les plus compliquées de l'étendue, et pénétrer dfins
leurs relations générales, et leurs propriétés les plus cachées, sans
autre secours que celui de ses mains, dont les mouvemens secondaient
admirablement sa parole, quelquefois difficile, mais toujours douée
de la véritable éloquence du sujet, la netteté et la précision, la richesse
et la profondeur d'idées.

S 19. Nous avons essayé, dans les pages qui précèdent, d'appré- mflueDce des docirinM

p*iii*i 1 •! ^^ Plonge iur TaQi-

cier, autant que nos laibles lumières nous le permettaient, la nature ')«
et l'étendue des services rendus à la Géométrie rationnelle par les
doctrines de Monge. Il nous resterait à parler de l'influence qu'elles
ont eue aussi sur la Géométrie analytique, et même sur l'algèbre,
considérée comme pure théorie des grandeurs abstraites, en général.
Mais ce serait nous écarter du but de cet écrit, et surtout il y aurait
témérité à nous d'aborder un tel sujet, où nous ne saurions être qu'his-
torien, et qui a déjà été traité par un géomètre qui joint la profon-
deur à la variété des connaissances dont il a fait preuve dans toutes les
parties des sciences mathématiques et philosophiques '.

Aussi nous nous bornerons à dire simplement que l'algèbre, qui
avait déjà dû des progrès considérables à la Géométrie, lors de l'al-
liance que Descartes fit de ces deux sciences, lui en dut de nouveaux,

' Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, pnr M. Ch.
Dupin; pag. 199-248 de l'cdition in-8".

To«. XI. 27

210 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

dans ses parties les plus relevées et les plus épineuses, l'intégration
des équations différentielles à plusieurs variables, par la corrélation
profonde que Monge sut établir entre les symboles de cette langue, et
les formes et les grandeurs de l'étendue.

Nous citerons, pour exemple, la double expression analytique de
certaines familles de surfaces, par une équation différentielle, et par
une équation finie renfermant des fonctions arbitraires, dont la seconde
se trouvait précisément l'intégrale complète de la première.

On conçoit qu'en rapportant ainsi les phrases analytiques à des
objets visibles, dont les parties ont entre elles des rapports évidens
et palpables , la Géométrie ait pu contribuer puissamment aux progrès
de l'analyse; et en un mot, que Monge ait pu faire de l'algèbre avec
de la Géométrie '.
Progrès de la G^omë- § 20. Il uous parait résulter des considérations dans lesquelles nous

trie dus aux écrits de , ^ • •» •-

Monge. sommes entré au sujet des doctrines purement géométriques de Monge,

qu'à l'apparition de sa Géométrie descriptive , la Géométrie propre-
ment dite, cette science qui avait illustré Euclide, Archimède, Apollo-
nius; qui avait été le seul instrument de Galilée, de Kepler, de Pascal,
d'Huygens, dans leurs sublimes découvertes des lois de l'univers; qui
enfin avait produit les immortels Principes mathématiques de la phi-
losophie naturelle de Newton; que cette Géométrie pure, dis-je, qui
depuis un siècle était délaissée, fut tout à coup agrandie dans ses con-
ceptions et dans ses propres ressources.

On dut concevoir dès-lors le désir et l'espoir de tirer rationnelle-
ment de cette science seule les vérités nombreuses dont l'analyse de
Descartes l'avait enrichie. •
Ouvrages de Carnet Divcrs ouvragcs fureut entrepris dans ce but et dans cet esprit.

Les premiers qui parurent, et qui, par leur importance et l'influence

' i< L'analyse ne peut que retirer un très-grand avantage de son application à ce genre de
» Géométrie ; car je donne la solution de plusieurs problèmes d'analyse qu'on aurait peut-être
» beaucoup de peine à résoudre sans les considérations géométriques. » { Monge , Mémoire
sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes, inséré dans le tora. IX des Mémoikes des
SAVANS ÉTBARGERs, ann. 1775.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 211

qu'ils ont eue, méritent d'être mis hors ligne, sont la Géométrie dépo-
sition, et VEssaisurla théorie des transversales , de l'illustre Carnot.

Ces deux ouvrages, dans l'histoire des progrès de la Géométrie ra-
tionnelle, ne doivent point être séparés de la Géométrie descriptive de
Monge, comme ayant été, comme elle, et dans le même temps, une
continuation des belles méthodes de Desargues et de Pascal, et ayant
aussi comme elle, contribué puissamment aux nouvelles théories et aux
découvertes récentes de la Géométrie.

Ce rapprochement entre les doctrines et les travaux des quatre grands
géomètres que nous venons de nommer, qu'avaient pu faire pressentir
nos observations sur les méthodes de Desargues et de Pascal , nous pa-
raît établir la véritable chaîne des pensées qui ont présidé aux progrès
de la Géométrie.

Mais peut- être devons-nous ajouter quelques mots pour développer
nos idées sur ce point, et justifier ce rapprochement.

S 21. Les figures que considère la Géométrie, et leurs parties , ont dc» genre, de m<-

_-_ 11*1 • 1 thodej en Géométrie

entre elles deux sortes de relations : les unes qui concernent leurs "«onneue.
formes et leurs situations, appelées relations descriptives , et les autres
qui concernent leurs grandeurs, appelées relations métriques. Ainsi,
par exemple, qu'autour d'un point fixe, pris dans le plan d'une co-
nique, on fasse tourner une transversale; et que par les deux points
où elle rencontre la courbe, dans chacune de ses positions, on mène les
tangentes à cette courbe j ces deux tangentes auront leur point de
concours sur une droite fixe, qui sera lo. polaire du point fixe. Voilà
une propriété descriptive de la conique ; voilà une relation descriptive
d'un point et de sa polaire.

Maintenant, que sur chaque transversale on prenne le point con-
jugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points où la
transversale rencontre la courbe ; ce point conjugué harmonique sera
précisément sur la polaire du point fixe. Voilà une propriété mé-
trique des coniques ; voilà une relation métrique d'un point et de sa
polaire.

Ces deux sortes de propriétés descriptives et métriques des figures ,

4

212 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

suffisent individuellement pour la solution d'un grand nombre de ques-
tions. Mais il est toujours utile, et souvent indispensable, de les con-
sidérer, en même temps, les unes et les autres. La science de l'étendue
doit les comprendre sans distinction, ou serait incomplète.

De là, on le conçoit, deux genres de méthodes en Géométrie ra-
tionnelle ; ou au moins deux parties distinctes d'une méthode générale ;
celle des relations descriptives et celle des relations métriques.

Desargues, Pascal, De La Hire et Le Poivre procédèrent des deux
manières; c'est-à-dire, qu'ils firent usage des deux genres de relations
des figures : des relations descriptives , en se servant de la perspective
pour transformer les figures ; et des relations métriques par l'usage
répété de la proportion harmonique , de la relation d'involution, et
de diverses autres propositions appartenant à la théorie des transver-
sales.

Cette distinction admise, on reconnaîtra que la Géométrie descrip-
tive de Monge était une généralisation, immense, il est vrai, de la pre-
mière méthode, la perspective, que ces géomètres employaient pour
la démonstration des relations purement descriptives de leurs figures :
nous avons vu en effet qu'elle était propre à cet usage , et c'est même
dans le but de justifier nos paroles actuelles que nous nous sommes
étendu alors sur ses applications pour cet objet.

Quant à la théorie des transversales , comprise d'abord implicitement
dans la Géométrie de position , puis exposée , sous son véritable titre ,
dans un écrit spécial, nous avons déjà dit et prouvé que ses principes
et plusieurs de ses théories principales avaient été la base des découvertes
de Desargues et de Pascal ; nous devons donc regarder cette théorie
comme la mise en corps de doctrine des principes qui avaient servi à
ces deux grands géomètres.

Ainsi nous pouvons dire que la méthode de Monge et celle de Carnot
sont, en Géométrie rationnelle , la généralisation et le perfectionnement
immédiat des méthodes de Desargues et de Pascal ; que ce sont deux
branches d'une même méthode générale, qui ont leurs avantages pro-
pres et particuliers, et qu'on ne doit point séparer dans l'étude complète

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 213

des propriétés de l'étendue. II serait, au contraire, extrêmement utile
de les y faire toujours marcher simultanément, sur deux lignes paral-
lèles : elles s'aideraient mutuellement, et les progrès de la science en
seraient plus complets et plus rapides '. Monge, et parmi ses disciples,
surtout le savant auteur des Dàveloppemens et Applications de Géo-
métrie, nous ont donné l'exemple d'une telle corrélation de méthodes,
par celle qu'ils ont établie entre les procédés logiques de la pure Géo-
métrie et le langage abstrait et symbolique de l'algèbre.

§ 22. Nous ne pouvons faire ici l'analyse des nombreuses et impor-
tantes propositions qui abondent dans les deux ouvrages de Carnot;
nous nous bornerons à y faire remarquer la belle propriété générale
des courbes géométriques de tous les degrés, concernant les segmens
qu'une telle courbe fait sur les côtés d'un polygone tracé dans son
plan ; propriété qui constitue l'extension de la théorie des transversales
à la Géométrie des courbes, et de laquelle, en particulier, se déduit,
comme corollaire, le troisième théorème de Newton, relatif aux pro-
duits des segmens faits sur des parallèles.

Passons aux autres ouvrages qui, après ceux de Monge et de Carnot, Divcr. ooTr.gM a.
ont servi le plus utilement la science.

Tels nous paraissent être :

L'intéressant Essai de la Géométrie de la règle, intitulé : Solutions
peu connues de dijférens problèmes de Géométrie pratique (in-8°,
80 pages, an XII) j où M. Servois, après avoir réuni les théorèmes

' Les ouvrages de Monge et de Carnot offrent de beaux exemples de ces deux méthodes
pour la démonstration des mêmes théorèmes, et prouvent, déplus, l'utilité de la concomi-
tance que nous voudrions voir souvent établie entre elles; car les applications que Carnot fait
de sa théorie des transversales , portent en partie sur plusieurs propriétés des sections coni-
ques, et sur celles des axes radicaux et des centres de similitude de trois cercles tracés dans
un plan , que Monge avait démontrées par de pures considérations de Géométrie. Mais Carnot ,
en se servant des relations métriques des figures , parvient, en même temps qu'aux théorèmes
de Monge , h plusieurs propriétés concernant ces relations métriques , qui échappent en géné-
ral à l'autre méthode, fondée en principe sur les propriétés purement descriptives des figures.

Nous avions déjà fait quelques réflexions sur ces deux manières différentes de démontrer
et de découvrir en Géométrie, à la suite do no» considérations sur le principe des relations
contingentes.

Géomédie.

214 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

principaux de îa théorie des transversales, en montre les usages,
en Géométrie rationnelle, pour la démonstration des propositions,
et dans la Géométrie pratique, pour résoudre sur le terrain, par
des alignemens, les différens problèmes qui se présentent surtout à la
guerre.

Les Développemens et les Applications de Géométrie de M. Ch. Du-
pin, où l'on a vu, pour la première fois, traiter par de pures considé-
rations de Géométrie les questions difficiles de la courbure des sur-
faces , qui avaient exigé entre les mains d'Euler et de Monge , toutes
les ressources de la plus savante analyse.

Les Élémens de Géométrie à trois dimensions (partie synthétique)
de M. Hachette, où plusieurs questions sur les tangentes et les cercles
osculateurs des lignes courbes, dont on n'avait jusqu'alors que des
solutions analytiques, furent résolues aussi dans toute leur généralité,
par des considérations purement géométriques.

Le Mémoire de M. Brian chon sur les lignes du second ordre ^ où
se trouvent déduites, pour la première fois, du célèbre théorème de
Desargues sur l'involution de six points, de nombreuses propriétés de
ces courbes.

Le Mémoire sur V application de la théorie des transversales , du
même auteur'.

1 Cet ouvrage a pour objet, comme celui de M. Servois, la solution de plusieurs problèmes
par la ligne droite seulement. Déjà M. Brianchon s'était occupé de cette partie de la Géométrie ,
sous le titre même de Géométrie de la règle. ( Voir Correspondance sur l'école Polytechnique ,
tom. II , pag. 383.)

Ce genre de Géométrie n'est point absolument nouveau. Nous avons parlé de l'ouvrage
de Schooten sur ce sujet , et d'un ouvrage un peu antérieur, intitulé : Geometria peregrinans.
Le traité de Schooten De concinnandis demonstrationibus , etc. , contient aussi des exemples
de cette Géométrie : on en trouve d'autres dans les Récréations mathématiques d'Ozanam
(édition de 1778), et dans divers traités de l'arpentage, particulièrement dans celui de
Mascheroni , intitulé : Problèmes pour les arpenteurs , avec différentes solutions. (Pavie 1793. )

L'occasion se présente ici de faire mention de la Géométrie du compas de Mascheroni (ann.
1797) , ouvrage original et curieux, qui a pour objet la résolution, par le compas seulement,
des problèmes que l'on résout ordinairement par la règle et le compas. Cette Géométrie est
plus riche et plus étendue que celle de la règle, parce qu'elle embrasse les problèmes du
second degré, qui sont tous ceux qui forment le domaine de la Géométrie ordinaire. Masche-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 215

Le Traité des propriétés projectives des figures de M. Poncelet,
qui a pour but, comme l'indique le titre, la recherche des propriétés
qui se conservent dans la transformation des figures par voie projective ;
et où, par l'usage heureux de trois doctrines puissantes, \e principe de
continuité, la théorie des polaires réciproques , et la théorie des figures
homologiques à deux et à trois dimensions, le savant auteur a su dé-
montrer, sans un mot de calcul, toutes les propriétés connues des
lignes et des surfaces du second degré, et un grand nombre d'autres
qui lui sont dues, et dont plusieurs sont regardées déjà comme des plus
importantes de cette riche théorie.

Divers mémoires de M. Gergonne, de M. Quetelet, de M. Dandelin
et d'autres géomètres, qui ont paru dans les recueils scientifiques ', ont
aussi enrichi la science de découvertes précieuses qui ont contribué à
ses progrès.

8 23. De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, Méihod
des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la
Géométrie pure peut puiser en elle-même, sont nées ces vérités sim-
ples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont

roni fait Toir qu'elle s'applique aussi arec facilité à la solution approximatire des problèmes
qui dépendent des sections coniques, et d'une Géométrie plus relevée.

Des essais du même genre que la Géométrie de la règle et celle du compas , et qui tiennent
pour ainsi dire le milieu entre les deux , avaient déjà occupé , long-temps auparavant, de cé-
lèbres mathématiciens. Cardan ,1e premier, dans son livre de suhlilitate, avait résolu plusieurs
problèmes d'Euclide , par la ligne droite et une seule ouverture de compas , comme si l'on
n'avait dans la pratique qu'une règle et un compas invariable. Tartalea ne tarda pas à suivre
son rival sur ce terrain , et étendit cette matière par de nouveaux problèmes. General trattato
di numeri, emisure; &'" parte, libro terso; in-fol. Venise, 1560. Enfin un savant géomètre
piémontais J.-B. de Benedictis en fit l'objet d'un traité intitulé : Resolutio omnium Euclidii
problematum , aliommque ad hoc necessarib inventorum, unà tantummodo circini data aperturâ ;
in-4". Venise, lSo3.

' Le Journal et la Correspondance de l'école polytechnique ; les Annales de M. Gergonne; la
Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet ; le Journal allemand de M. Crelle.

Plusieurs géomètres allemands , MM. Steincr, Plucker, MObius, etc., dignes collaborateurs
des célèbres analystes Gauss , Crelle, Jacobi , Lejeune-Dirichlet , etc., écrivent dans ce der-
nier recueil sur les nouvelles doctrines de la Géométrie rationnelle. Pious éprouvons un vif
regret de ne pouvoir citer ici leurs ouvrages , qui nous sont inconnus , par suite de notre
ignorance de la langue dans laquelle ils sont écrits.

les récentes ro
Géométrie.

216 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait
inaperçu, depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu,
se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui
constituent la Géométrie récente.

Parmi ces méthodes, nous distinguerons :

Premièrement , la théorie des transversales, dont le principal théo-
rème, relatif au triangle coupé par une droite, a une haute antiquité,
mais auquel Carnot a donné une nouvelle existence, en en mon-
trant, le premier , toute l'utilité et la fécondité, et en le transportant,
par une généralisation infiniment heureuse, dans la théorie des lignes
et des surfaces courbes \

Secondement, les doctrines sur la transformation des figures en d'au-
tres figures du même genre, comme fait la perspective.

Parmi les méthodes de cette nature, nous citerons :

1° La perspective elle-même, dont les principes sont la base des
ouvrages de Desargues et de Pascal sur les coniques, et dont les
usages, depuis, se sont étendus et souvent répétés.

2° La méthode qui consiste à faire croître dans un rapport con-
stant, les rayons visuels menés aux diflférens points d'une figure, pour
former une figure semblable et semblablement placée.

3° Celle qui fait croître proportionnellement les ordonnées des points
d'une figure , ainsi qu'on opère dans le dessin d'un profil dont on veut
rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables ; mé-
thode employée par Durer ^, Porta ^, Stevin, Mydorge et Grégoire de
S'-Vincent , pour former l'ellipse par le cercle *.

• Un théorème analogue , relatif aux segmens faits sur les trois côtés d'un triangle par trois
droites issues d'un même point et aboutissant respectivement aux sommets opposés, est aussi
l'un des principaux de la théorie des transversales. Celui-ci, qu'on a attribué jusqu'ici à Jean
Bernouilli , a été démontré en premier lieu par Jean Cera. { ï^oir la note VII.)

2 Institut iones geometricœ. Livre I""^.
•' Elemenla curvilinea. Livre l",

* Le P. Nicolas, qui a fait aussi usage de cette méthode dans son Traité des conchoïdes et
des cissoïdes, a appelé homogènes , les courbes ainsi formées l'une par l'autre. {De conchoidi-
bus et cissoidibus exercitationes Geometriœ } in4°. Tolosœ , 1692. )

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 217

4° Celle par laquelle on incline toutes les ordonnées d'une figure, en
les faisant tourner autour de leurs pieds sur le plan de projection , et
en leur conservant le parallélisme entre elles ; procédé usité surtout
en architecture, pour la construction des arcs rampans '.

5" La méthode pour la construction des bas-reliefs, enseignée par
Bosse et Pétitot*; et celle proposée, depuis, par M. Breysig, sous le
titre : Essai d'une théorie de la perspective des reliefs, disposée de
manière à servir en même temps aux peintres , in-8". Magdebourg,
1798 \

' On peut, en même temps , augmenter proportionnellement les ordonnées. M. Hachette a
fait usage de ce mode de déformation dans deux propositions de Géométrie, pour démontrer
qu'une des propriétés de la projection stéréogrnphiquc de la sphère ne pourrait avoir lieu
dans une autre surface qu'autant qu'elle serait du second degré. (Voir Correspondance poly-
technique, tom. I", pag. 77.)

Il est aisé de voir que ce mode de déformation peut être 'ramené à celui qui consiste à
faire croître les ordonnées d'une surface suivant leur propre direction , et dans un rapport
constant.

- La constraction des bas-reliefs est regardée généralement comme incertaine et dépourvue
de règles rigoureuses, comme était, par exemple, la perspective, il y a deux siècles, dans
l'esprit de la plupart des peintres. Cependant, dès il y a long-temps, Bosse a écrit quelques
règles géométriques pour cette construction. Nous les trouvons dans son Traité des pratiques
géoinétrates et perspectives (in-8° , 1665). Un passage du même ouvrage nous apprend que
Desargues, qui eut la gloire d'introduire dans les arts de construction les principes et la
rigueur des opérations géométriques , av'ait appliqué à la construction des bas-reliefs sa ma-
nière de pratiquer la perspective. II nous est permis de penser que ce sont les idées de Desar-
gues, ou sa méthode même, que Bosse nous a transmises.

Nous trouvons, depuis, de semblables règles pour les bas-reliefs, dans le Traité de Pers-
pective de Pétitot, intitulé -.Raisonnement sur la perspective, pour en faciliter Tusage aux artistes ,
in-fol. , Parme 1758 (en français et en italien).

Ces règles de construction de bas-reliefs produisant des figures du même genre que les
proposées, nous devons les comprendre parmi les méthodes dont nous faisons ici l'énumé-
ration. Il est vrai que ces règles sont presque ignorées, et surtout qu'elles n'ont jamais
été employées en Géométrie rationnelle , pour la recherche et la démonstration des pro-
priétés des figures ; mais elles n'en sont pas moins susceptibles d'un tel usage.

' Nous ne connaissons de l'ouvrage de M. Breysig que le litre, qui est rapporté par M.
Poncelet à la page 397 du 8' volume du Journal de M. Crelle; mais nous n'hésitons point
à mettre le mode de construction des reliefs, qu'il contient, au nombre des méthodes pro-
pres à transformer les figures à trois dimensions en d'autres 6gures du même genre, parce
que M. Poncelet nous apprend que les préceptes de l'auteur se trouvent d'accord avec les
siens propres, qui produisent de telles figures.

Toa. XI. 28

218 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

6° La méthode des Planiconiques de De La Hire, et celle de
Le Poivre, ayant pour objet, l'une et l'autre, de décrire, sur le plan
de la base d'un cône, les mêmes courbes que donneraient, dans l'es-
pace, les sections du cône par un plan.

7° Celle de Newton , pour transformer les figures en d'autres du
même genre ; comprise dans le lemme 22 du premier livre des Prin-
cipes^ et qui fut généralisée par Waring *.

8" Celle dont nous avons fait usage pour appliquer à l'ellipsoïde les
propriétés descriptives et de volumes de la sphère , qui consiste à faire
croître dans des rapports constans les coordonnées des points de la
figure proposée. {Correspondance sur V école polytechnique , tom. III,
pag. 326.) ="

9° Enfin , la belle théorie des figures homologiques ou perspective-
relief de M. Poncelet, qui rentre dans celle de De La Hire et Le Poivre
par le cas des figures planes, mais qui n'avait point encore été conçue
pour les figures à trois dimensions *.

' a: et y étant les coordonnées d'un point d'une courbe donnée, et a:', y' celles du point
correspondant de sa transformée , Waring prend les relations :

px' ■+■ qy' ■+■ r Vx' -\- Qy' ■+- R

"^ ~ Aa;' -1- By' -t- C ' ^ ~ Aar' + By' -t- c'

Il présente ce mode de transformation comme une généralisation de celui de Newton, où
l'on a

x' ^ x'

{Principes math., livre l"', lemme 22); et il se borne à faire voir que la nouvelle courbe sera
du même degré que la proposée. ( /ï/»sce/fa«ea analytica , pag. 82; Proprietales curvarum
algehraicarum , pag. 240. )

Nous démontrerons que les courbes ainsi construites peuvent être, aussi bien que celles de
Newton , produites par la perspective ; de sorte que la généralisation de PF^aring ne porte que
sur la position de la nouvelle courbe par rapport à la proposée , et non sur sa forme, ni sur ses
propriétés individuelles,

2 Euler avait indiqué ce mode de transformation pour les courbes planes ; mais sans en faire
d'applications : il dit que les courbes ainsi construites l'une par l'autre, ont de l'affinité; il les
appelle Lineœ affines. (Introductio in analysin infinitorum ; livre 2, art. 4-42.)

3 M. Le François a fait usage, dans ces derniers temps, de la théorie des figures homolo-
giques, comme moyen de déformation de quelques courbes du troisième degré , particu-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 219

Nous réunissons sous un môme titre ces diverses méthodes, parce
que nous ferons voir que toutes, et la perspective proprement dite
elle-même , dérivent d'un seul principe fondamental , dont elles ne
sont que des applications particulières.

Troisièmement , la théorie des polaires réciproques, que les élèves
de Monge puisèrent dans les précieuses leçons de cet illustre profes-
seur; dont il fut fait d'abord quelques usages particuliers pour trans-
former des figures en d'autres où des droites correspondaient à des
points et des points à des droites [voir la Note XXVI) ; et sur laquelle
le célèbre auteur du Traité des propriétés projectives des figures a
appelé toute l'attention des géomètres, en la faisant servir, le premier,
à la transformation des relations de grandeur métrique et angulaire.

Quatrièmement, la doctrine des projections stéréographiques, qui,
considérée d'abord dans la sphère seulement, servait à la construction
de certaines cartes géographiques; et qui, accrue d'un nouveau théo-
rème, et étendue d'une manière très-générale aux surfaces du deuxième
degré, offre aujourd'hui un moyen de recherche aussi simple qu'expé-
ditif '. Les mémoires de l'Académie de Bruxelles, particulièrement,

lièrement des focales de MM. Quetelet et Van Rees. (Dissertatio inauguralis tnathematica de
quibusdam curvis geometriciê ; in-4°. Gand, 1830.) La méthode de ce géomètre diffère de
celle de M. Poncelet, en ce qu'il se sert, pour construire ses courbes homologiques ,
d'une de leurs relations métriques. Mais cette relation n'est pas la plus générale que com-
porte cette théorie; elle est un rapport harmonique; tandis qu'on peut prendre un rap-
j)ort anharmonique qui donne plus de généralité à la construction des figures. Nous revien-
drons sur cet objet dans notre Mémoire sur la Déformation homographique.

La considération des relations métriques des figures étant la partie principale de ce Mé-
moire, on nous permettra de rappeler ici qu'il a été adressé à l'Académie de Bruxelles en
janvier 1830; et qu'ainsi il a précédé la publication de la thèse de M. Le François, que
ce géomètre nous a fait l'honneur de nous adresser quelque temps après.

' La théorie des projections stéréographiques de la sphère , telle qu'on l'emploie aujour-
d'hui dans la Géométrie spéculative, se compose des deux principes suivans :

1" La projection de tout cercle tracé sur la sphère est un cercle ;

S" Le centre de ce cercle est la projection du sommet du cône circonscrit à la sphère suivant le
cercle mis en projection.

Ce second théorème, aussi essentiel que le premier, n'est connu que depuis quelques an-
nées; nous l'avons énoncé pour la première fois, et démontré analytiquement, dans les if /é-
mens de Géométrie à trois dimensions de M. Hachette (année 1817). Depuis nous avons appliqué.

220 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

contiennent les applications les plus heureuses de cette élégante doc-
trine, par MM. Quetelet et Dandelin.

S 24. Telles nous paraissent être les quatre grandes divisions aux-
quelles on pourrait rattacher , sous le point de vue philosophique des
méthodes , dans l'état actuel de la Géométrie, la plupart de ses nom-
breuses découvertes récentes. Dans une cinquième, on comprendrait
quelques théories particulières et spéciales, que leurs auteurs ont fait
reposer sur les seuls principes de la Géométrie pure. Telles sont entre
autres, la théorie des tangentes conjuguées , due à M. Dupin, qui en a
fait les plus utiles applications spéculatives et pratiques; et la nou-
velle Théorie des caustiques , par laquelle M. Quetelet a réduit à quel-
ques principes de Géométrie élémentaire cette partie importante et
difficile de l'optique, à laquelle ne pouvaient suffire toutes les ressour-
ces de l'analyse.

Ces théories, qui semblent au premier abord étrangères aux mé-
thodes dont nous venons de parler, pourraient pourtant s'y rattacher
sous certains rapports, et en recevoir d'utiles secours. Les singuliers
rapprochemens que M. Quetelet a faits entre sa théorie des caustiques
et celle des projections stéréographiques, en sont une première preuve;
nous aurons occasion ailleurs d'en donner d'autres \

par de simples considérations de Géométrie, à toute surface du second degré , la théorie des
projections stéréogra()liiqiies , et l'avons généralisée sous deux rapports : 1° en considérant
des surfaces du second degré inscrites dans la proposée , au lieu de sections planes de celle-ci ;
2" en prenant pour plan de projection un plan quelconque. (Voir Annales de mathématiques ,
tom. XVllI, pag. 305, et toni. XIX, pag. 137. )

1 Par exemple, M. Ch. Dupin , dans sa belle Théorie géométrique de la courbure des surfaces ,
n'a pas dégagé entièrement de considérations analytiques la démonstration de cette proposi-
tion : u Quand deux surfaces du second degré ont leurs sections principales décrites des mêmes
» foyers, elles se coupent partout à angle droit. » Les méthodes récentes conduisent de di-
verses manières à une démonstration purement géométrique de ce théorème.

Disons même, pour offrir un exemple de la portée de ces méthodes, que l'on parvient , sans
plus de diihculté , à cette proposition beaucoup plus générale : Quand deux surfaces du second
degré ont leurs sections principales décrites des mêmes foyers , de quelque point de l'espace qu'on
les considère , leurs contours apparens paraissent se cotipar à angle droit.

Nous ajouterons que les beaux résultats contenus dans un mémoire sur les axes conjugués et
les momens d'inertie des corps (16" cahier du Journal de l'école polytechnique) , où M. Binet a

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. «1

Q 25. En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de Perf«iioonero«i d»
la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous
avons établie , elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère
précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que
nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point
encore l'étendue , la fécondité et le degré de puissance désirables.

Ainsi , par exemple , les méthodes comprises dans nos deuxième et
troisième divisions, d'un usage facile et général pour la découverte et
la démonstration des propriétés descriptives des figures, n'ont encore
été appliquées que d'une manière restreinte aux relations de gran-
c/ewr (lignes, surfaces ou volumes). N'est-il pas présumable qu'il leur
manque quelque principe qui les rende applicables à des relations
beaucoup plus générales, et peut-être à toutes sortes de relations?

On conçoit donc que ces méthodes ne reposent point encore sur
d'assez larges bases. Et en effet, nous croyons pouvoir dire que cha-
cune d'elles est susceptible d'une très-grande extension.

§ 26. La première , celle des transversales , peut être accrue de Théorie d« tr.ii«.r-

• 1 1 1 salei.

prmcipes nouveaux, qui la rendent propre à de nouveaux usages, et
suppléent en mille circonstances, et particulièrement dans l'étude des
propriétés générales des courbes géométriques, à l'analyse de Descartes:
dans son état actuel même, elle peut servir à diverses questions, qui
ne lui ont point encore été soumises ; par exemple au problème géné-
ral des tangentes et à celui des rayons de courbuf'e de toutes les
courbes géométriques, dont nous avons indiqué les solutions dans le
Bulletin universel des sciences (juin 1830) '.

fait aussi usage de la même proposition que M. Ch. Dupin, et ceux auxquels M. Ampère est
aussi parvenu sur le même sujet , dans son mémoire intitulé : Quelques propriétés nouvelles des
axes permanens de rotation des corps; nous ajouterons, dis-je, que ces belles découvertes,
regardées comme étant du domaine de la mécanique, et que leurs auteurs ont obtenues par
l'analyse, peuvent aussi dériver de pures considérations géométriques : et peut-être trouve-
rait-on que cette voie rattache davantage ces diverses découvertes à leurs principes premiers,
en montre mieux l'enchainement , et en rend l'exposition plus facile et plus rationnelle.

C'est ainsi que la Géométrie , en reculant ses limites, apportera toujours son flambeau dans
quelque partie nouvelle des sciences physico-mathématiques.

' Construction des tangentes. — Pour dcleriuiner la tangente en un point »/• d'une courbe

222 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Projections st^réogra- S ^7. La doctrine dcs projections stéréographiques, outre l'exten-
p iques. ^.^^ qu'elle a déjà reçue par son application à toutes sortes de surfaces
du second degré, est susceptible d'une nouvelle généralisation qui
consisterait à placer l'œil, non plus en un point de la surface, mais
arbitrairement en un lieu quelconque de l'espace , même à l'infini.
De cette manière les sections planes de la surface du second degré ne
seront plus, en projection, des coniques homothétiques entre elles,
ou bien des coniques ayant toutes un même axe de symptose ; ces
courbes auront entre elles une dépendance d'une expression plus gé-
nérale; elles auront toutes un double contact (réel ou imaginaire)
avec une même conique , qui sera la perspective du contour apparent
de la surface du second degré (cette conique pouvant elle-même être
imaginaire).

géométrique , d'un degré quelconque, on mène par ce point deux transversales wA , mA.', sous
des directions arbitraires ; on fait les produits des segmens compris sur ces droites entre
le point m et les autres points où elles rencontrent la courbe ; soient P , P' ces deux produits ;

Par un point /x , pris arbitrairement dans le plan de la courbe , on mène deux trans-
versales, parallèles aux deux droites mk, m A'; et on fait les produits des segmens
compris sur ces deux transversales entre le point /x et la courbe ; soient n , n' ces deux
produits.

On portera sur les deux droites mA , mA', à partir du point m, deux lignes proportion-

11 n n' . ,,....,,

nelles aux rapports — , — respectivement ; la droite qm joindra les extrémités de ces li-
gnes sera parallèle à la tangente au point m.

Ainsi la direction de la tangente est déterminée.

On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait sur les deux trans-

P P'
versales issues du point m, des lignes proportionnelles aux rapports —, — ; par les ex-
trémités de ces lignes et par le point m , on ferait passer un cercle ; son centre serait sur la
normale à la courbe au point m.

Construction des cercles osculateurs. — Pour déterminer le cercle osculateur en un point
m d'une courbe géométrique , on mènera , par ce point , la tangente à la courbe , et une trans-
versale quelconque mA ; on prendra les produits des segmens compris sur ces deux droites
entre le point m et les autres branches de la courbe ; soient T et P ces deux produits.

Par un point fi, pris arbitrairement dans le plan de la courbe , on mènera deux parallèles
à la tangente et à la transversale; et on fera les produits des segmens compris sur ces deux
parallèles entre le point ^ et la courbe ; soient t et ît ces deux produits.

P T

«t On portera sur la transversale mA une ligne égale à — . — ; Vextrémité de cette ligne sera sur

le cercle osculateur cherché.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 223

Ce théorème appartient à M. Poncelet, qui l'a donné dans son Traité
des propriétés projectives (art. 6 10), et en a montré l'usage pour l'étude
des propriétés d'un système de coniques ayant toutes un double contact
avec une môme conique. Si l'on y joint, comme dans la projection sté-
réographique proprement dite , un second théorème relatif à la projec-
tion des sommets des cônes circonscrits à la surface du second degré
suivant ses sections planes, cette théorie nouvelle offrira un champ de
recherches intéressantes et inépuisables, et où se trouveront résolus
une foule de problèmes sur la construction des coniques assujéties à
des conditions diverses. {Voir la Note XXVIII.)

S 28. Les méthodes comprises dans notre deuxième division , qui Méthode, a. d^rom.-

^^ * ' * tion det figarei. .

paraissent étrangères les unes aux autres, et sont destinées à des usages
pratiques difl'érens, peuvent, étant considérées comme moyen théo-
rique de déformation des figures, être résumées en un seul et unique

11 suit de cette construction que , si l'on désigne par i l'angle que la transversale mi

i p T

fait avec la tangente , le rayon de courbure sera égal à R = • — • ;r«

2 »in. fl T 1

Si la courbe est du degré «i, t et ît contiendront m facteurs linéaires, P en contiendra
m — 1 , et T en contiendra m — 2.

Quand la courbe sera tracée , ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales ;
et quand la courbe sera déterminée par son équation, on connaîtra immédiatement, au
moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, t, r; ce qui résulte,
comme on sait , de la théorie générale des équations.

Quand la courbe est tracée , il faut qu'elle le soit complètement , c'est-à-dire que toutes ses
branches soient décrites, pour que les transversales la rencontrent en autant de points que l'in-
dique le degré de la courbe. Par exemple , si la courbe est une de celles du quatrième degré ,
appelées ovales de Descarte» , il faut connaître sa compagne , qui est une seconde ovale ,
jouissant des mêmes propriétés que la première , qui n'est point indiquée par la construc-
tion géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes , mais qui
est renfermée dans la même équation, {foir la Note XXI.)

Les constructions précédentes peuvent être simplifiées , parce qu'au lieu de quatre trans-
versales, parallèles deux à deux, on peut n'en mener que trois, dont deux issues du point
de la courbe, et la troisième tout-à-fait arbitraire. Cette modification des solutions ci-dessus
repose sur la belle propriété générale des courbes géométriques donnée par Camot dans
sa Géométrie de position, pag. 291.

M. Poncelet a aussi donné une construction des tangentes ans courbes géométriques
dans son Mémoire présenté, en septembre 1831 , à l'Académie des Sciences de Paris, sous
le titre : Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes
et surfaces géométriques. (F'oir le tom. VIll du Journal de M. Crelle, pag. 220.)

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

principe de déformation , qui les remplacera toutes; principe qui nous
parait offrir une doctrine nouvelle d'une grande portée, et d'un usage
facile et plus étendu que celui de ces diverses méthodes. Cette doctrine
reposera sur un seul théorème de Géométrie, que nous regardons comme
la dernière généralisation, et pour ainsi dire comme l'original des prin-
cipes qui donnaient lieu à ces méthodes. Nous ajouterons que toutes
autres méthodes semblables, qu'on pourrait découvrir par la suite , pour
convertir les figures en d'autres du même genre, ne seront aussi que
des déductions de ce seul et unique théorème.
Polaires réciproques et S 29. Quant à la théoric des polaires réciproques, qui sert àtrans-

autres méthodes sein- p ir» J9i.iî 1 ,i * COr j. / 1 1 i

biabics. former les figures en d autres figures de genre dmérent ( dans lesquel-

les les plans et les points correspondent respectivement à des points
et à des plans des figures proposées), et à convertir les propriétés
Principe de dualité, dc ccs figurcs cu proprlétés des figures nouvelles, ce qui établit une
dualité permanente des formes et des propriétés de l'étendue figurée,
nous avons déjà annoncé {Annales de mathématiques , tom. XVIII,
pag. 270), que cette théorie n'est point une méthode unique pour
ces fins, et qu'il en existe plusieurs autres, qui mettent en évidence
cette dualité, et qui sont d'un usage aussi facile dans leurs applica-
tions.

Ainsi, la dualité reconnue depuis deux siècles ' dans la Géométrie
de la sphère, où chaque figure a sa figure supplémentaire dans la-
quelle des arcs de grands cercles correspondent aux points de la pre-
mière, et passent par un même point quand ces points de la première
figure sont sur un même arc de grand cercle, cette dualité , dis-je,
met dans une évidence parfaite la dualité des figures planes, et offre
un moyen facile de transformation de ces figures.

Qu'on conçoive en effet, sur une sphère, une première figure quel-
conque, et la figure supplémentaire (c'est-à-dire, la figure enve-
loppe des arcs de grands cercles dont les plans sont perpendiculaires

• Nous avons dit que le théorème sur lequel repose cette dualité est dû à Snellius, et que
^ sa découverte avait été préparée par les transformations de triangles sur la sphère, que Viète

avait faites pour résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

aux rayons qui aboutissent aux points de la première) ; et qu'on fasse
la perspective de ces deux figures sur un plan, l'œil étant placé au
centre de la sphère; on aura en perspective deux figures, dont l'une
sera la transformée de l'autre, et où la dualité en question sera évi-
dente.

Mais on reconnaît aisément que cette transformation d'une figure
plane peut s'effectuer directement sur le plan de la figure, sans l'em-
ploi d'une sphère auxiliaife. En effet, la perpendiculaire abaissée de
chaque point de la figure proposée sur la droite qui correspond à ce
point dans la seconde figure, passera par un point fixe qui est la pro-
jection orthogonale du centre de la sphère sur le plan de la figure;
et cette perpendiculaire sera divisée en ce point en deux segmens dont
le produit sera constant, comme étant égal au carré de la distance du
centre de la sphère au plan de la figure. Il suffira donc , pour former
une transformée d'une figure proposée, de mener, par un point fixe de
son plan, un rayon à chacun des points de cette figure, de prendre
sur le prolongement de ce rayon, au delà du point fixe, une ligne
proportionnelle à sa valeur inverse, et de mener, à l'extrémité de cette
ligue, une perpendiculaire au rayon. Toutes ces perpendiculaires cor-
respondront respectivement aux points de la figure proposée , et en-
velopperont sa transformée.

S 30. Il est manifeste que ce procédé de construction des figures
transformées s'applique aux figures à trois dimensions; nous l'énonce-
rons ainsi :

f Étant donnée une figure dans V espace, que d un point fixe, pris
arbitrairement , on mène à tous les points de cette figure des rayons ,
et que sur ces rayons {ou bien sur leurs prolongemens au delà du
point fixe), on porte des lignes qui leur soient respectivement pro-
portionnelles, que par les extrémités de ces lignes on mène des plans
perpendiculaires aux rayons; tous ces plans envelopperont une se-
conde figure qui sera la transformée de la proposée, comme on F en-
tend dans le principe de dualité. C'est-à-dire, qu'aux plans dans la
figure proposée, correspondront des points dans la nouvelle figure, et
ToM. XI. . 29

&.

226 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

quand ces plans passeront par un même point, ces points seront sur
un même plan '.

Quand les lignes proportionnelles aux valeurs inverses des rayons
menés du point fixe aux points de la figure proposée, sont prises sur
les directions de ces rayons, les plans menés par les extrémités de
ces lignes, perpendiculairement aux rayons, peuvent être considérés
comme les plans polaires des points de la figure proposée, par rap-
port à une certaine sphère décrite du point fixe comme centre.

Notre mode de transformation comprend donc celui de la théorie
des polaires réciproques considérées dans la sphère; et il est plus
général que celui-ci , en ce que dans la théorie des polaires les plans
correspondans aux points d'une figure proposée sont toujours menés
entre ces points et le centre de la sphère , tandis que dans notre mode
de transformation, ces plans peuvent être menés au delà du point fixe
qui représente ce centre ^.

Cette connexion intime entre la théorie des polaires réciproques,
d'invention toute récente, et la dualité des figures tracées sur la sphère,
connue et usitée depuis près de deux siècles, nous a paru mériter d'être
remarquée ici.

S 31. Passons à d'autres modes de transformation.

Il en est deux qui reposent, comme le précédent, sur des théories
connues. Le premier est offert par le porisme d'Euclide que nous avons
cité en parlant des collections mathématiques de Pappus (P "^ Epoque ,
S 31 ; en note); car, dans ce porisme, pour chaque point d'une figure
plane on construit une droite, et on reconnaît aisément que quand les
points de la première figure sont en ligne droite, les droites corres-
pondantes dans la seconde figure passent par un même point.

' La démonstration de ce théorème est extrêmement facile. Nous la donnerons dans la
note XXIX.

2 La plus grande généralité que nous venons de signaler n'a lieu que sous le rapport géo-
métrique , et non quand on emploie la voie analytique; parce que dans ce dernier cas on peut
supposer imaginaire le rayon de la sphère par rapport à laquelle on prend les polaires ; et alors
les plans polaires des points de la figure proposée sont menés au delà du point qui représente
le centre de la sphère.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 227

Le second résulte de la théorie des courbes et surfaces réciproques
dont Monge a donné l'expression analytique. {Voir la Note. XXX.)

§ 32. On peut imaginer d'autres modes de transformation.

Par exemple, soient dans l'espace un angle trièdre, et un triangle
situé dans un plan mené par le sommet de l'angle trièdre ; que par
chaque point d'une figure donnée dans l'espace on mène trois plans
passant pas les trois côtés du triangle ; ils rencontreront respectivement
les trois arêtes de l'angle trièdre en trois points qui détermineront un
plan; tous les plans ainsi déterminés envelopperont une seconde figure,
qui aura avec la proposée les rapports et les dépendances qui consti-
tuent la dualité en question.

Une figure étant donnée dans l'espace , qu'on lui imprime un mou-
vement infiniment petit quelconque, et qu'on mène par ses différens
points des plans normaux à leurs trajectoires; tous ces plans enve-
lopperont une seconde figure, qui sera une transformation de la pro-
posée, de même nature que la précédente.

Que l'on suppose qu'une figure donnée dans l'espace soit sollicitée
par plusieurs forces, et que par chaque point de la figure on mène le
plan principal de ces forces relatif à ce point; tous ces plans envelop-
peront une seconde figure qui sera encore une transformation de la
proposée, de même nature que les précédentes.

5 33. De ces trois modes de transformation dans l'espace, le pre-
mier, celui qui fait usage de l'angle trièdre, a son analogue sur le plan;
c'est le porisme d'Euclide. Les deux autres n'ont point leurs analogues
sur le plan : mais ils n'en sont pas moins propres à la transformation
des figures planes. En effet, qu'une figure plane soit donnée à trans-
former; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans
l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différens points de la
figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un
point du plan de la figure) ' , et un plan transversal mené arbitraire-

■ Nous donnerons la démonstration de ce théorème dans un écrit sur les propriétés géomé-
triques du mouvement d'un corps solide libre dans l'espace.

228 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

ment dans l'espace coupera cette surface conique suivant une figure
qui sera une transformée de la proposée.

On pourra faire servir ainsi, à la transformation des figures planes,
chacun des procédés qu'on emploiera pour la transformation des figures
dans l'espace, et qui n'aurait pas son analogue sur le plan.

§ 34. Nous pourrions citer d'autres modes particuliers de trans-
formation, qui feraient comme les précédens, soit dans l'espace, soit
sur le plan, le même office que la théorie des polaires réciproques.
princpe de transforma- Mais toutcs ccs méthodcs pcuvcnt ctrc remplacées, comme celle de
déformation, dont nous avons parlé ci-dessus , par un seul et unique
principe, plus général et plus étendu que chacune d'elles. Ce principe,
qui constitue une doctrine complète de transformation des figures,
prend sa source dans un seul théorème de Géométrie , qui nous paraît
être la raison première de cette propriété inhérente aux formes de
l'étendue, la dualité, sur laquelle de savans géomètres ont déjà écrit,
mais sans remonter, malgré les vues très-philosophiques qu'ils ont
apportées dans cette partie de la Géométrie, à son principe primordial,
indépendant de toute doctrine particulière.
Caractère particulier de S 35. Nous allous tout dc suitc fairc concevoir, par quelques ré-
flexions sur la nature de ce principe de transformation, et sur la
théorie des polaires réciproques, comment il offre une plus grande
généralité que cette théorie.

Les figures considérées dans ce genre de transformation , ont entre
elles une concordance , ou réciprocité , qui consiste en ce que à chaque
point de la fgure proposée correspond un plan dans sa dérivée , et
réciproquement à chaque point de celle-ci correspond tin plan dans
la figure proposée. Cela résulte d'une seule et unique condition dans
la construction de la seconde figure savoir, que : tous les plans qui,
dans cette figure , correspondent à des points de la proposée , situés
sur un même plan , doivent passer nécessairement par un même
point. Voilà comment un point de la seconde figure répond à un plan
de la première.

Cette condition, qui constitue à elle seule la doctrine de transfor-

la théorie des polai-
res réciproques.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 229

mation dont nous parlons, parce qu'elle la distingue d'une infinité
d'autres modes de transformation , dans lesquels des plans correspon-
dent à des points, ou bien des points à des plans, mais où ces deux
circonstances n'ont pas lieu en même temps; cette condition, dis-je,
se trouve remplie dans la théorie des polaires , où l'on sait que tous les
plans polaires des points d'un même plan passent par un môme point,
(ou en d'autres termes, quand des cônes circonscrits à une surface du
second degré ont leurs sommets sur un même plan , les plans de leurs
courbes de contact avec la surface passent par un même point). Voilà
pourquoi la théorie des polaires offre un moyen de transformation des
figures, et met en évidence la dualité de l'étendue.

Mais cette théorie offre une circonstance particulière; c'est que le
point par où passent les plans polaires des points de la première figure
qui sont situés sur un même plan, a lui-même pour plan polaire ce
plan. De sorte que la première figure se construirait au moyen de la
seconde, absolument de la même manière que cette seconde a été
construite au moyen de la première. Ainsi, il y a réciprocité parfaite,
ou plutôt identité parfaite de construction entre les deux figures.

La théorie des polaires ayant été jusqu'à ce jour le seul moyen em-
ployé pour la transformation des figures, on pourrait croire qu'elles
doivent leur concordance , ou réciprocité de formes , dont nous parlions
tout à l'heure , à l'identité de construction qui a lieu dans cette théorie
des polaires. Ce serait une erreur grave. Cette identité de construction
est une propriété accidentelle, particulière aux figures que produit la
théorie des polaires, et qui se présente aussi dans d'autres modes de
transformation ; mais ce n'est point elle qui donne lieu à la dualité de
l'étendue ; et en effet , elle n'existe point dans divers autres modes de
transformation, et notamment dans celui qui, comme nous le ferons
voir, comprend tous les autres comme corollaires, ou cas particuliers.
Aussi nous ne ferons aucun usage de cette identité de construction , et
nous l'écarterons de l'exposition de notre doctrine de transformation,
comme y étant étrangère, et ne s'y rencontrant que par circonstance
particulière et accidentelle.

tion.

230 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Caractère particulier de S 36. Daus Ig mocle de tvansformation pav Yoîe (Ib mouvemeiit mfi-

plusieurs autres mo- • ■•■•I '"■"■/l • i tir*

des de transforma. niment petit, il J 3 identité de construction, comme dans la théorie
des polaires : c'est-à-dire , que les plans normaux aux trajectoires des
points d'une première figure enveloppent une seconde figure, qui est
telle, que si elle eût été construite, et qu'elle eût éprouvé le même
mouvement que la première, les plans normaux à ses trajectoires en-
velopperaient la première figure.

Une pareille réciprocité a lieu aussi dans les figures faites par l'em-
ploi d'un système de forces.

Mais il n'en est plus de même dans les transformations faites par la
considération de l'angle trièdre. Si un point parcourt une figure don-
née, le plan déterminé comme nous avons dit, au moyen de l'angle
trièdre, enveloppera une seconde figure qui sera la dérivée ou trans-
formée de la première. Mais si le point parcourt cette seconde figure, le
plan mobile n'enveloppera point , comme dans la théorie des polaires
et dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, la
première figure ; il en enveloppera une troisième toute différente. Dans
le cas particulier seulement où les trois sommets du triangle seraient
situés dans les plans des faces de l'angle trièdre, il y aurait identité ,
c'est-à-dire , que la troisième figure ne serait autre que la première.

Dans le mode de transformation des figures planes fourni par le
porisme d'Euclide, il ne peut jamais y avoir identité de construction.
Ainsi, quand le point mobile parcourt une figure proposée, sa droite
correspondante, ou dérivée, enveloppe une seconde figure; mais si le
point mobile parcourt cette seconde figure, sa droite dérivée en en-
veloppera une troisième qui sera différente de la première.

Mais on peut toujours substituer au mode de construction employé
pour former la seconde figure au moyen de la première, un autre mode,
qui servira à construire cette première au moyen de la seconde. Dans
des cas particuliers, tels que ceux que présentent la théorie des po-
laires, le mouvement infiniment petit de la figure proposée, etc., ces
deux moyens de construction, qui généralement sont diflférens, se
trouvent être les mêmes. Nous donnerons les relations générales qui

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 231

ont lieu entre ces deux modes de construction, de manière à conclure
toujours l'un de l'autre.

S 37. Nous sommes entré dans des considérations, peut-être trop i. ib^ur» d» h»'"
développées, pour bien pénétrer le lecteur de cette idée, que la dualité ''î '""'j^™""" ••
de l'étendue ne provient nullement des circonstances de construction
qui avaient semblé, dans la théorie des polaires réciproques, faire le
caractère distinctif des modes de transformation propres à mettre cette
dualité en évidence.

Il résulte aussi de ces considérations, que la théorie des polaires
réciproques n'est pas le mode de transformation le plus général. Mais
si c'eut été la seule vérité que nous eussions voulu mettre en évi-
dence, il nous aurait suffi de dire que, dans le mode général, qui
comprend tous les autres, on peut, pour construire la figure corréla-
tive d'une figure proposée, prendre arbitrairement dans l'espace cinq
plans comme correspondant à cinq points désignés de la première
figure; tandis que dans la théorie des polaires réciproques, deux figures
corrélatives ont entre elles des dépendances beaucoup plus restreintes.
Car si l'on y considère deux tétraèdres dont les sommets de l'un cor-
respondent aux plans du second, les quatre droites qui joindront les
sommets du premier respectivement aux sommets du second , opposés
aux plans qui correspondent aux quatre sommets du premier, ces
quatre droites, dis-je , seront toujours quatre génératrices d'un même
mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe '.

Les autres modes de transformation ofirent pareillement quelques
dépendances particulières de situation entre les figures et leurs trans-
formées, mais qui sont différentes de celle que nous venons d'énoncer
pour les figures polaires réciproques.

' Cela provient de ce que /e« droite» qui joignent les quatre sommets d'un tétraèdre aux pôles
des faces opposées , pris par rapport à une surface du second degré quelconque , sont quatre géné-
ratrices d^un même mode de génération d'un hyperboloide à une nappe.

Ce théorème, que nous avons démontré dans les Annales de mathématiques, tom. XIX ,
|>ag. 76, est susceptible d'un grand nombre de corollaires. On en conclut , par exemple, qui;
les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées , sont quatre
génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloide.

232 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Ainsi, dans la transformation par voie de mouvement infiniment
petit, on trouve que deux droites quelconques, et leurs dérivées, sont
toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hy-
perboloïde.
Transformation des re- S 38. Nous n'avous parlé jusqu'à présent que des relations de des-
anguîâirTs""''"" " cription et de situation entre les figures et leurs transformées; mais il
y a à considérer aussi leurs dépendances de grandeur métrique et an-
gulaire. Ce seront ces dépendances qui serviront à traduire les théo-
rèmes 011 entreront des relations de grandeur.

Ces dépendances générales de grandeur entre une figure et sa
transformée reposent sur un principe très-simple qui n'a point été
mis en usage dans la théorie des polaires; aussi , cette théorie, qu'on a
appliquée d'une manière fort générale à la transformation des relations
de description , ne l'a été que d'une manière restreinte aux relations
de grandeur : d'abord parce qu'on ne lui a point soumis toutes les rela-
tions auxquelles elle était propre, et ensuite parce que, faute du prin-
cipe dont nous parlons, il a fallu prendre deux cas particuliers de cette
théorie pour opérer la transformation d'une relation de grandeur. On
a pris pour surface auxiliaire, ou une sphère, ainsi que l'a fait, le pre-
mier, M. Poncelet dans son Mémoire sur la théorie générale des po-
laires réciproques \ et ensuite M. Bobillier ^ ; ou un paraboloïde,
comme nous l'avons proposé dans nos deux mémoires sur la Trans-
formation parabolique des relations métriques *.

Les dépendances de grandeur, entre une figure et sa dérivée, ne
sont pas les mêmes dans ces deux modes de transformation. Elles con-
sistent, dans le premier cas, en ce que l'angle de deux plans d'une figure
est précisément égal à l'angle des rayons de la sphère auxiliaire qui
aboutissent aux deux points correspondans à ces plans dans la seconde
figure ; et dans le second cas, en ce que le segment intercepté sur l'axe

' Journal de M. Crelle, torn. IV. Ce mémoire a été présenté à l'Académie des sciences de
Paris, le 12 avril 1824.

2 Annales de mathématiques , tom.'KNlU., ann. \^11-\Z^Q.

3 Correspondance mathématique de M. Quetelet, tom. V et VI.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 233

du paraboloïdc auxiliaire par deux plans d'une figure, est égal à la pro-
jection orthogonale, faite sur cet axe, de la droite qui joint les deux
points de l'autre figure qui correspondent à ces deux plans.

Ces deux modes de transformation ont été appliqués l'un et l'autre,
et avec la même facilité, à toutes les relations qui se présentent dans
la théorie des transversales. Le premier l'a été de plus à quelques re-
lations particulières d'angles , par exemple aux théorèmes de Newton
et de Maclaurin sur la description organique des coniques '; et le
second à plusieurs relations de distances rectilignes, particulièrement
aux théorèmes de Newton sur les courbes géométriques, ce qui nous
a conduit à un genre tout nouveau de propriétés de ces courbes ^.

S 39. Outre cette différence entre les dépendances générales de gran-
deur, ces deux modes de transformation diffèrent encore l'un de l'autre
par les relations descriptives , qui leur donnent à chacun quelque chose
de particulier et de restreint.

Par exemple, quand on emploie une sphère pour surface auxiliaire,
s'il se trouve une autre sphère dans la figure qu'on veut transformer,
il lui correspondra dans la nouvelle figure une surface du second degré
de révolution ; on n'aura donc point les propriétés générales d'une sur-
face du second degré quelconque.

Pareillement, quand on prend pour surface auxiliaire un parabo-
loïdc, si l'on a à transformer les propriétés d'une figure où entre un
ellipsoïde, il lui correspondra toujours dans la seconde figure un hy-
perboloïde, et jamais un ellipsoïde. Mais ce n'est pas ce manque de
généralité qui offre le plus d'inconvéniens. C'est que toutes les droites
qu'on peut considérer dans la figure proposée comme étant situées à
l'infini, auront leurs dérivées, dans la seconde figure, toutes parallèles
à l'axe du paraboloïde, et par conséquent concourantes en un point

' Mémoire de M. Poncelet, sur les polaires réciproques.

* Nous citerons , par exemple, le théorème suivant, qui appartient à ce nouveau genre de
propriétés des courbes : Si l'on mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes parallèles
à une droite quelconque , le centre des moyennes distances de leurs points de contact sera un point
unique, quelle que soit la direction commune des tangentes. Nous avons appelé ce point le centre
de la courbe. La même propriété a lieu dans les surfaces géométriques.

To.ï. XI. 30

234 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

situé à l'infini. On aura donc une propriété de différentes droites
parallèles entre elles ; tandis que si l'on avait pris une autre surface
auxiliaire , on aurait eu la propriété correspondante pour des droites
concourantes en un même point.

Il est vrai que l'on peut, par une autre voie (et c'est l'objet des mé-
thodes comprises dans notre seconde division), appliquer les propriétés
de la sphère aux autres surfaces du second degré, et les propriétés d'un
système de droites parallèles entre elles à des droites concourantes en
un même point ; mais il y aurait à faire deux opérations graphiques ou
intellectuelles au lieu d'une.

S 40. Au surplus, sauf quelques cas particuliers, où les relations
de description ou de grandeur d'une figure sont trop restreintes pour
qu'on emploie le principe de transformation général et absolu, que
nous exposerons dans cet écrit, ce principe offrira presque toujours,
notamment en ce qui concerne les relations métriques, outre l'avan-
tage d'une plus grande généralité dans les résultats, celui d'une ap-
plication plus facile et plus spontanée que celle d'aucune méthode
particulière.

Sous ce rapport, ce principe de transformation et le principe de
déformation qui remplacera les diverses méthodes comprises dans
notre seconde division, appliqués dans leur plus grande généralité, et
de la manière la plus abstraite, nous paraîtront justifier ce précepte
de l'illustre auteur de la Mécanique céleste : a Préférez les méthodes
» générales, attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple,
)) et vous verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les
)) plus faciles ' ; » auquel M. Lacroix a ajouté, avec l'autorité que lui
donnent dans les sciences sa grande expérience et son profond savoir,
que (( les méthodes générales sont aussi les plus propres à faire con-
)) naître la vraie métaphysique de la science ". »
Théories particulières § 41. La Géométrlc s'est accrue, depuis une trentaine d'années, de

delà Géométrie. , , a i i • 11 • 1

propositions, et même de théories nouvelles, si nombreuses et si va-

' Séances des écoles normales; in-8°, 1800; tom. IV, pag. 49.
2 Essais sur l'enseignement; 3* édition, in-8°, 1828,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. fSS

riées, que nous avons dû, dans notre aperçu de ses progrès pendant
cet intervalle, nous borner à y distinguer les méthodes principales, à
en montrer l'origine, la nature et les usages en Géométrie rationnelle.

Une analyse plus étendue de tant de travaux, sur lesquels reposent
dans ce moment les progrès virtuels et l'avenir de la Géométrie, serait
incontestablement d'une grande utilité, mais exigerait un volume, et
dépasserait de beaucoup les limites que nous devons observer ici.

Cependant, nous ne pouvons nous dispenser de signaler, parmi tant
d'autres, deux doctrines, qui, sous des rapports différens, nous pa-
raissent d'une importance majeure pour le perfectionnement de la
Géométrie spéculative , et pour ses applications aux questions des
phénomènes physiques. Nous voulons parler de la théorie des surfaces
du second degré, et de la Géométrie de la sphère, c'est-à-dire, de la
doctrine des figures tracées sur la sphère.

Cette dernière est si ancienne , et les surfaces du second degré pa-
raissent un sujet si rebattu, depuis surtout quelques années, que l'on
ne pense pas, peut-être, qu'il reste grand'chose à faire sur ces deux
objets, et qu'ils méritent l'importance que nous voulons leur donner.
Nous devons donc nous empresser de justifier notre opinion, pour pré-
venir le sentiment d'incrédulité que nous craignons qu'elle ne rencontre
chez plusieurs des géomètres qui nous feront l'honneur de nous lire.

§ 42. La Géométrie de la sphère a une haute antiquité; elle a pris G«,m<tri<!d«u.phire
naissance le jour où l'astronome philosophe a voulu découvrir la chaîne
qui lie les phéiiomènes du monde planétaire. Ainsi , nous avons vu
qu'Hipparque , Théodose, Ménélaus, Ptolémée, ont été très -avant
dans la trigonométrie sphérique. Mais toute cette théorie se réduisait
au calcul des triangles; et si, depuis, elle s'est étendue, et a atteint
entre les mains de nos plus célèbres géomètres, un haut degré de
perfection, c'a été en conservant toujours à peu près le même cadre,
parce qu'elle avait toujours la même destination, le calcul des trian-
gles pour le service de l'astronome et du navigateur, et pour les grandes
opérations géodésiques qui ont fait connaître la véritable forme du
globe terrestre. Mais cette doctrine, qui répond à peu près à celle des

236 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

lignes droites et des triangle» dans la Géométrie plane , ne constitue
point à elle seule la Géométrie de la sphère. Combien d'autres figures,
à commencer par la plus simple , le cercle , ne peut-on pas considérer
sur cette surface courbe, à l'instar des figures décrites sur le plan?

Il n'y a pourtant guère qu'une quarantaine d'années que cette exten-
sion si naturelle a été introduite dans la Géométrie de la sphère. C'est
aux géomètres du nord qu'elle est due. Car si nous en exceptons la
théorie des épicycloïdes sphériques , et quelques questions isolées,
telles que celle des courbes que Guido Grandi a appelées délies, nous
ne voyons guère que l'on ait cherché à résoudre sur la sphère les
questions analogues à celles de la Géométrie plane, avant Lexell,
qui, dans les Actes de Pélersbourg (tom. V et VI), a recherché les
propriétés des cercles décrits sur la sphère , analogues à celles des
cercles décrits sur le plan. C'est à ce géomètre qu'on doit l'élégant
théorème sur la courbe qui est le lieu des sommets des triangles sphé-
riques de même aire et de même base.

Peu après, son compatriote Fuss, dans deux mémoires qui font
partie des Nova acta (tom. II et III), résolut quelques problèmes de
la Géométrie de la sphère, et s'occupa particulièrement des propriétés
d'une certaine ellipse sphérique. C'est la courbe qui est le lieu des
sommets des triangles de même base et dont la somme des deux autres
côtés est constante. Fuss trouva que cette courbe est l'intersection de
la sphère par un cône du second degré, qui a son sommet au centre
de la sphère : en d'autres termes, c'est la ligne de courbure des cônes
du second degré \

Ces premiers travaux de Lexell et de Fuss ne tardèrent point à être
continués dans les recueils de la même Académie^, par Schubert, que
nous avons déjà cité comme ayant assis toute la trigonométrie sphé-

' Cette courbe se décrit sur la sphère , comme l'ellipse sur le plan , au moyen d'un fil dont
les extrémités sont fixées à deux foyers , et qui est tendu par un stylet mobile. Les formules
analytiques dont Fuss fait usage le conduisent à ce résultat remarquable , savoir, que si la
longueur du fil est égale à la demi-circonférence de la sphère , la courbe décrite est toujours
un grand cercle , quelle que soit la distance des deux foyers.

- Nova acta, tom. XII, ann. 1794, pag. 196.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 237

rique sur le seul théorème de Plolémée. Ce géomètre résolut plusieurs -
questions sur les lieux géométriques des sommets de triangles qui ont
même base, comme dans les problèmes de Lexell et de Fuss, mais dont
les deux autres côtés ont entre eux diverses autres relations nouvelles.

Ce genre de recherches, qui promettait une moisson abondante de
vérités nouvelles et curieuses, est pourtant resté à peu près inaperçu,
à tel point que l'élégant théorème de Lexell, bien qu'il ait été repro-
duit par M. Legendre dans les nombreuses éditions de sa Géométrie,
n'avait point fait soupçonner l'existence du théorème analogue, et non
moins curieux, que donne la théorie des figures supplémentaires. Ce
n'est que dans ces derniers temps que M. Sorlin y est parvenu directe-
ment, dans un mémoire sur la trigonométrie sphérique, où la dualité,
c'est-à-dire, les doubles propriétés des figures tracées sur la sphère
sont présentées dans une concordance complète '. Ce n'est aussi qu'il
y a peu d'années, que V ellipse sphérique de Fuss a été remise sur la
scène par M. Magnus de Berlin, qui, après avoir découvert et dé-
montré directement, par l'analyse, la propriété correspondante dans
le cône , en conclut celle de cette ellipse. Mais ce géomètre en décou-
vrit une seconde, non moins belle, et analogue aussi avec l'une des
principales propriétés de l'ellipse plane ; c'est que les deux arcs de
grands cercles menés des deux foyers, à un point de la courbe, font
des angles égaux avec l'arc tangent en ce point ^.

S 43. Quelques autres géomètres avaient déjà, quelques années
auparavant, résolu difiérentes questions de la Géométrie de la sphère,
et cherché leurs analogies avec celles de la Géométrie plane. Ainsi
M. Lhuillier, de Genève, a trouvé dans les triangles sphériques rectan-
gles , les théorèmes analogues aux principales propriétés des triangles
rectilignes rectangles, telles que le carré de l'hypothénuse'; et déter-
miné le centre des moyennes distances d'un triangle sphérique *. M. Ger-

I Annale* de Mathématiques, tora. XV, ann. 1824-1825.
» Ihid., toin. XVI.

* Ibid., toin. I",ann. 1810-1811.

* Ibid., lom. 11, ann. 1811-1812.

238 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

gonne a proposé dans les Annales de Mathématiques , plusieurs ques-
tions de Géométrie sphérique, qui avaient aussi leurs analogues sur
le plan; nous citerons entre autres, cette belle propriété du quadrila-
tère sphérique , qui lui est commune avec le quadrilatère rectiligne ,
savoir que quand la somme de deux' côtés opposés est égale à la somme
des deux autres côtés, le quadrilatère est circonscriptible au cercle '.
Depuis, M. Guéneau d'Aumont, professeur à la faculté des sciences
de Dijon, a découvert dans les quadrilatères sphériques inscrits au
cercle, cette propriété caractéristique, qui correspond dans la théorie
des figures supplémentaires au théorème de M. Gergonne , savoir que
la somme de deux angles opposés du quadrilatère est égale à la
somme des deux autres angles ^; propriété qui sera nécessairement
l'une des principales dans les élémens de la Géométrie de la sphère,
comme exprimant une relation simple et féconde entre quatre points
appartenant à un petit cercle. M. Quetelet a considéré sur la sphère
des polygones formés par des arcs de grands ou de petits cercles
indifféremment, et a donné pour le calcul de leurs surfaces, une for-
mule simple et élégante^ : question qui avait déjà à plusieurs reprises
occupé les géomètres; d'abord le P. Courcier *, dont nous avons parlé
comme ayant écrit sur certaines courbes à double courbure; puis
D'Alembert ^ et Bossut % qui y avaient appliqué les ressources de
l'analyse^ et pour qui cette question avait été une preuve que la Géo-
métrie pure offre souvent une voie plus facile et plus expéditive que le
calcul le plus ingénieux et le plus subtil.

S 44. Nous n'apercevons, jusqu'ici, que quelques propositions
détachées, fort belles, et bien capables d'inspirer le goût de la Géo-
métrie de la sphère, mais qui n'annoncent point encore une étude

' Énoncée à la pag. 384 du tom. V, et démontrée par M. Durande , à la pag. 49 du loin. VI.
2 Annales de Mathématiques, tom. XII , ann. 1821-1822.
^ Nouveaux Mémoires de l' Académie de Bruxelles, tom. II , ann. 1822.

^ Supplementuin sphœrometriœ, sive triangularium et aliarum in sphœra figurarum quoad
areas mensuratio. 1676.

^ Mémoires de la iociéié royale de Turin, tom. IV, pag. 127; ann. 1706-1769.
^ Traité de calculs différentiel et intégral, tom. II , pag. ii22.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. * 239

méthodique et suivie de cette partie de la science de l'étendue. Ce
n'est que dans ces derniers temps qu'on a entrepris de fonder les
théories de la sphère à l'instar de celles de la Géométrie du plan.
M. Steiner, je crois, est entré le premier dans cette voie, par la pu-
blication de son mémoire intitulé : Transformation et division des
figures sphériques au moyen de constructions graphiques '; qui repose
sur l'élégant théorème de M. Guéneau d'Aumont, que nous venons de
citer. M. Steiner y démontre la proposition qui correspond, par la théo-
rie des figures supplémentaires , au théorème de Fuss sur l'ellipse sphé-
rique ^ ; et reconnaît dans ces courbes deux arcs de grands cercles qui
y jouent le rôle des asymptotes dans l'hyperbole plane. (Ce sont les
deux arcs que nous avons nommés arcs cycliques dans notre mémoire
sur les coniques sphériques , et auxquels nous étions parvenu de notre
côté par la considération des plans des sections circulaires d'un cône
du second degré).

Nous ne pouvons entrer dans d'autres détails au sujet du travail de
M. Steiner, écrit en allemand, et que nous ne connaissons que par
l'analyse qui s'en trouve dans le Bulletin universel des sciences,
tom. VIII, pag. 298. C'est ainsi que nous citerons encore M. Guder-
maim, comme ayant fait aussi une étude spéciale et approfondie de
l'analogie des figures sphériques avec les figures planes ^.

' Journal de M. Crelle, tom. II.

^ Cette proposition est celle-ci : l'enveloppe des bases des triangles qui ont même surface et un
angle commun , est une ellipse sphérique. Nous croyions, quand nous avons aussi démontré cette
proposition, d'abord dans notre nicniuire sur les surfaces du second degré de révolution, puis dans
un écrit spécial sur les coniques sphériques , y être parvenu le premier, ne connaissant point
alors l'analyse du mémoire de M. Steiner, qui se trouve dans le Bulletin des sciences. Sans cela ,
nous n'aurions point manqué de citer le travail de ce profond géomètre, avec le même em-
pressement que nous avons mis à rappeler, en plus d'une occasion , celui de M. Uagnus, sur
même sujet.

' Le Bulletin des sciences ( tom. XV, pag. 76 , février 1831 ) s'exprime ainsi , dans le compte
rendu du tom. VI du Journal de M. Crelle : « M. Gudermann expose quelques théorèmes qui
» se rattachent à une théorie nommée par lui la sphérique analytique, théorie dont il a exposé
» les principes dans un écrit publié récemment à Cologne. Il s'agit de passer par la voie de
» l'analogie des propriétés des fî{;ures planes , à celles des figures tracées sur la surface d'une
» sphère , et rapportées à un système de coordonnées sphériques. '■

240 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

S 45. Ainsi la Géométrie de la sphère est commencée d'une manière
régulière et dogmatique; et les noms des géomètres qui l'ont entreprise
nous garantissent des progrès rapides dans cette partie de la science
de l'étendue. On ne contestera point l'utilité théorique de pareilles re-
cherches. Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer
que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de
la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités
principales de la première doivent participer aux propriétés plus gé-
nérales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités
géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande
généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi dire, des
lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts
des géomètres. Elles ont, dans cet état de généralité, des rapports et
des analogies qu'on ne rencontre point dans leurs corollaires, et qui en
montrent l'enchaînement, et servent à s'élever plus haut et à décou-
vrir des principes généraux, dont les traces étaient effacées ou inaper-
çues dans les propositions plus circonscrites et plus particulières. La
Géométrie de la sphère, ne fut-elle donc considérée que comme mode
de généralisation des propriétés des figures planes, et indépendamment
de son caractère et de sa valeur propres et absolus, mériterait l'atten-
tion et l'étude des géomètres. Car, et nous l'avons déjà dit ailleurs *,
dans l'état où est parvenue la Géométrie, la généralisation est le
moyen le plus propre à nous conduire à de nouveaux progrès et à de-
nouvelles découvertes. Cette manière de procéder dans l'étude de la
science doit présider aux travaux du géomètre ^.
sorfaces du deuxième g 46. Il uous rcstc , pour tcrmiucr notre aperçu de la marche et des
progrès de la Géométrie récente, à parler de l'une de ses théories par-
ticulières les plus importantes et les plus cultivées, celle des surfaces
du second degré.

1 Chap. III,§20.

- Il Un aperçu de la science véritablement utile est celui qui ne voit, qui ne cherche dans
les progrès qu'elle fait chaque jour, que les moyens d'arriver à des lois générales , de renfer-
mer les notions acquises dans des généralisations d'un ordre plus élevé. » ( Herschel , Discours
sur l'étude de la philosophie naturelle. )

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. * Ut

Les Anciens ne nous paraissent avoir connu, parmi ces surfaces,
outre le cône et le cylindre, que celles qui sont de révolution, et qu'ils
appelaient sphéroïdes et conoïdes^ ; et jusqu'à Euler on n'avait point
conçu dans l'espace d'autre analogie avec les courbes planes si fameu-
ses, nommées sections coniques. Mais ce grand géomètre, transpor-
tant aux surfaces courbes la méthode analytique qui lui avait servi à la
discussion des courbes planes * , découvrit dans l'équation générale du
second degré entre les trois coordonnées ordinaires, cinq espèces dif-
férentes de surfaces % dont les sphéroïdes et les conoïdes des Anciens
n'étaient plus que des formes particulières. Euler borna son travail à
cette classification. C'était une introduction suffisante pour dévoiler
aux géomètres le vaste champ de recherches que leur présentait cette
théorie des surfaces du second degré.

Monge et son collègue, M. Hachette, en comprirent toute l'impor-
tance , et découvrirent dans une nouvelle discussion analytique de ces
surfaces, plus profonde et plus complète que celle d'Euler, plusieurs
de leurs propriétés principales. On y remarque leur double description
par un cercle mobile , qui était connue depuis Desargues ^ dans le cône
à base conique, mais qui n'avait été aperçue, depuis, que dans l'ellip-
soïde, par d'Alembert ^ : on y trouve aussi, pour la première fois, la
double génération de deux de ces surfaces , l'hyperboloïde à une nappe
et le paraboloïde hyperbolique, par une droite mobile **. Dans une

' Il faut excepter l'hyperboloïde de rcroliition à une n.tppe que les Anciens n'ont pas considéré.

2 Introductio in analysin infinitorum, 2 vol. in-4°, 1748; Appendice, cap. V.

3 Euler avait indiqué un sixième genre de surfaces du second ordre, c'était le cylindre pa-
rabolique ; mais depuis on a regardé celte surface , de même que les cylindres à base elliptique
et hyperbolique, comme des variétés des cinq espèces principales.

* Nous avons dit en parlant de Desargues, que ce fut ce géomètre qui proposa la question
de couper un cône à base conique suivant un cercle, qui fut résolue par lui et par Descartes.

* Opuscules nuithématiques , tom. Vil, pag. 103.

^ Cette découverte, l'une des plus importantes de la théorie des surfaces du second degré,
dont elle a multiplié les usages dans la Géométrie descriptive et dan» ses applications aux
arts, est duo aux élèves chefs de brigade, qui ont formé le noyau de l'école polytechnique.
(Voir le Journal de l'école , tom. I", pag. ë.)

Cette propriété de l'hyperboloïde nu fut démontrée d'abord , et pendant long-temps, que par
l'analyse. J'en trouvai , étant élève de l'école polytechnique, une démonstration purement

Tom. XI. 31

V

242 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

Note placée à la suite de ce Traité des surfaces du second degré, se
trouve démontrée, pour la première fois, l'une de leurs plus belles
propriétés, à savoir que les trois surfaces douées d'un centre , l'ellip-

géométrique, qui a passé dans l'enseignement de l'école , et a été reproduite dans divers ou-
vrages. [Voir le Traité de Géométrie descriptive de M. Vallée , pag. 86; et celui de M. Leroy,
professeur à l'école polytechnique, pag. 267.)

Cette démonstration repose sur ce théorème : Etant donné un quadrilatère gauche ABCD ,
si une droite mobile s'appuie sur les deux côtés opposés AB , CD , en deux points m, n, tels
que l'on ait

mA nD

mB «G

a étant une constante , cette droite engendrera un hyperholoïde à une nappe. Car elle s'appuiera
dans toutes ses positions sur toute autre droite qui rencontrerait les deux autres côtés op-
posés du quadrilatère en deux points p , q , tels que l'on ait

gA ^B

I q\) ■ p(j

(Voir Correspondance polytechnique, tom. II , pag. 446.)

La démonstration de ce théorème est très-facile , puisqu'elle n'exige que la connaissance
du théorème de Ptolémée , sur le triangle coupé par une transversale. ( Correspondance poly-
technique, tom, III, pag. 6). Depuis, la théorie du rapport anharmonique m'en a offert une
seconde démonstration , encore plus simple et plus élémentaire , qui ne repose absolument
que sur la notion du rapport anharmonique. ( foir la Note IX.)

Ce théorème s'applique aussi à la génération des sections coniques et exprime une belle
propriété générale de ces courbes. ( Voir la Corresp. mathétn. de M. Quetelet, t. IV, p. 363).

En disant que la double génération de l'hyperboloïde à une nappe prit naissance dans
l'école polytechnique , nous n'entendons parler que de l'hyperboloïde à axes inégaux ; et nous
devons ajouter que la double génération, par une droite, de l'hyperboloïde à une nappe
de révolution, était connue, mais peut-être oubliée, car sa découverte date de loin, et a
été reproduite rarement. Nous trouvons qu'elle est due à Wren , qui la fit connaître dans une
note très-courte, insérée dans les Transactions philosophiques (année 1669, pag. 961), sous
le titre : Generatio corporis cylindroidis hyperholici , elaborandis lentibus hyberbolicis acco-
modati, Wren indique l'usage qu'on pourra faire de ce mode de génération par une droite ,
pour la construction de lentilles hyperboliques.

En 1698 , Parent a aussi trouvé cette propriété de l'hyperboloïde de révolution , qu'il a
démontrée dans deux mémoires différens ; par l'analyse et par de simples considérations de
Géométrie. (Essais et Recherches de mathématiques et de physique , tom. II, pag. 645, et
tom, III, pag. 470.) Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces produites par la ré-
volution d'une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire à Parent que l'hy-
perboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six
sections différentes, savoir : l'espace parallèle, l'angle rectiligne , le cercle, la parabole,
l'ellipse et l'hyperbole. Ce géomètre appelle cette surface cylindroîde hyperbolique , de
même que Wren , et se sert aussi de sa propriété d'être engendrée par une droite ,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. " 243

soïdc et les deux hyperboloïdes ', ont toujours un système de trois dia-
mètres conjugués rectangulaires ^.

§ 47. Depuis, les élèves de Monge ont cultivé avec succès la théorie
des surfaces du second degré, et ont poussé très-loin la recherche de
leurs propriétés : d'abord de celles qui ne concernent que la constitu-
tion propre de chaque surface prise isolément, et considérée dans ses
relations seulement avec les êtres géométriques plus simples qu'elle, le
point, la droite et le plan; et ensuite de celles qui naissent de la com-
paraison de deux ou plusieurs surfaces entre elles. Et ce fut encore
Monge qui fit les premiers pas dans ces recherches plus compliquées.
Mais nous ne pouvons entrer dans le détail de toutes ces découvertes,
quelqu'attrait qu'il dut notis présenter. Elles se lient tellement à toutes
les recherches géométriques qui ont eu lieu depuis trente ans , que
nous tomberions, malgré nous, dans une prolixité que nous devons
nous efforcer d'éviter. Nous indiquerons, pour suppléer à notre silence
sur ce sujet, les passages où M. Ch. Dupin, en analysant les travaux
de Monge en Géométrie analytique, a rappelé les services de ses élè-
ves; et l'introduction du Traité des propriétés projectives , où M. Pon-
celet, avec un soin minutieux et bien louable, a signalé la priorité
que d'autres pouvaient avoir sur une partie des vérités géométriques
qui devaient découler naturellement de ses nouvelles doctrines.

§ 48. Malgré l'importance des progrès qu'a faits la théorie des surfa- progrès dont uih^one

. .des sarfaces dn le-

ces du second degré, nous devons ajouter qu us ne sont qu une mince ™nd degr< «i sn.-
partie de ceux dont elle nous parait encore susceptible. On le concevra
en jetant un coup d'oeil sur les propriétés principales des coniques ,

pour la construction, «ur le tour, des meules hyperboliques propres à la dioptrique.

Sauveur avait aussi démontré cette propriété de l'hyperboloïde de révolution , ainsi que
plusieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoïdes, dont
Parent avait communiqué les énoncés à ce géomètre. ( Essais et Recherches de mathématiques
et de physique, tom. III , pag. 528. )

' Nous reg.irdons le cône du second degré comme un cas particulier des hyperboloïdes , de
même qu'en Géométrie plane on regarde le système de deux lignes droites comme une forme
particulière, ou limite, de l'hyperbole. C'est pourquoi nous ne mettons pas la surface co-
nique au nombre des surfaces principales douées d'un centre. " '

2 F'oir le 11' cahier du Journal de l'école polytechnique, pag. 170.

244 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

dont nous ne connaissons point encore toutes les propriétés analogues
dans les surfaces du second degré. Ces propriétés analogues cependant
existent; ne fût-ce que pour donner, comme corollaires, en supposant
que la surface perde une de ses dimensions et se réduise à une conique ,
les propriétés de ces courbes. Non-seulement les surfaces du second
degré doivent présenter tous les phénomènes que nous offrent les coni-
ques, mais on y en doit trouver beaucoup d'autres, qui sont dus à leur
forme plus complète, à leurs trois dimensions, et qui disparaissent avec
l'une de ces dimensions : tels sont ceux, par exemple, qui concernent
ces lignes de courbure , que Monge a fait connaître le premier, et dont
MM. Binet et Dupin ont trouvé ensuite d'admirables propriétés '.

En nous bornant à celles des propriétés des surfaces du second de-
gré que la simple analogie avec les coniques doit nous faire soupçon-
ner, nous indiquerons, par exemple, les foyers de ces courbes, qui
sont la source d'une partie de leurs plus belles et plus importantes pro-
priétés. Ces points se retrouvent dans trois des surfaces de révolution
(l'ellipsoïde alongé, l'hyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde) ,
où M. Ch. Dupin leur a reconnu aussi des propriétés précieuses , en
théorie, et pour l'explication de certains phénomènes physiques '.
C'était là certainement une indication que quelque chose de sembla-
ble, et de plus général, devait se trouver dans toute surface du second
degré ; mais je ne sache pas que l'on ait encore cherché ce que cela
pouvait être.

Persuadé qu'une telle théorie, qui correspondrait dans les surfaces
du second degré à celle des foyers dans les coniques, serait une source
nouvelle de propriétés intéressantes, et très-utiles pour avancer dans
la connaissance parfaite de ces surfaces, nous en avons fait l'objet de
nos recherches. L'analogie que nous avions déjà suivie assez loin, en-
tre les foyers des coniques et certaines droites dans les cônes du

' M. Dupin est parvenu, entre autres beaux résultats, et par des considérations de pure
Géométrie, à une description mécanique des lignes de courbure des surfaces du second degré.
{Journal de l'école polytechnique, 14' cahier.)

- Applications de Géométrie, in--i". 18.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 245

deuxième degré ', nous mettiiit naturellement sur la voie des proprié-
tés analogues dans les surfaces, en nous indiquant que c'étaient des
courbes qui devaient y jouer le rôle de ces droites dans le cône, et de
ces points dans les coniques. Nous donnerons dans la Note XXXI quel-
ques résultats qui nous font supposer que nous avons rencontré l'ana-
logie que nous cherchions. Nous comptons publier ce travail, mais
nous en livrons, par avance, les élémens, désirant vivement que l'ou-
verture qu'ils donneront sur cet objet présente assez d'attrait pour pro-
voquer d'autres efforts que les nôtres.

S 49. Il est une autre question, d'où dépendent, aussi les progrès
futurs de la théorie des surfaces du second degré , et dont toute l'im-
portance a été appréciée par l'Académie de Bruxelles. C'est celle de
l'analogie qui doit exister entre quelque propriété de ces surfaces , en-
core inconnue, et le célèbre théorème de Pascal dans les coniques ".

Ce théorème , abstraction faite des différentes transformations dont
il est susceptible , et considéré uniquement sous la forme et l'énoncé
qui lui sont propres, peut encore être envisagé sous deux aspects dif-
férens. On peut le regarder comme exprimant une relation générale et
constante entre six points quelconques d'une conique, c'est-à-dire un
de plus qu'il n'en faut pour déterminer cette courbe ; ou bien comme
exprimant une propriété générale d'une conique par rapport à un
triangle tracé arbitrairement dans son plan '.

D'après cela, on peut concevoir de deux manières, dans l'espace,
l'analogue du théorème de Pascal. Ce sera, dans le premier cas, une
propriété générale de dix points appartenant à une surface du second
degré, c'est-à-dire un point déplus qu'il n'en faut pour déterminer une
telle surface. Dans le second cas , ce sera une propriété générale résul-

' Mémoire de Géométrie , sur les cône» du second degré.

2 Ce que nous niions dire du théorème de Pascal doit s'entendre aussi de celui de M. Briaii-
chon , qui joue le même rôle dans la théorie des coniques.

' Ce triangle est formé, par exemple, par les côtés de rang impair de l'hexagone considéré
dans le tliéorème do Pascal ; et alors ce théorème exprime que trois des cordes comprises dans
la conique entre les trois angles de triangle rencontrent respectireraent les trois côtes opposés
en trois points qui sont en ligne droite.

246 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

tant du système d'une surface du second degré et d'un tétraèdre placé
d'une manière quelconque dans l'espace.

La première question , qui devait être la plus utile à l'avancement de
la théorie des surfaces du second degré , avait été proposée par l'Aca-
démie de Bruxelles (année 1825) : elle est restée sans solution. Au con-
cours suivant, l'Académie a donné plus de latitude au géomètre, en
demandant simplement le^ théorème analogue, dans les surfaces du
second degré , à celui de Pascal dans les coniques ; ce qui comprenait
la première question, et laissait en même temps toute liberté sur la
manière d'envisager le théorème de Pascal et l'analogie qui pouvait
exister, sur ce point, entre les surfaces et les courbes du second degré.

Cette nouvelle question de l'Académie n'offrait point, comme la pre-
mière, de grandes difficultés. Nous donnons dans la Note XXXII l'é-
noncé d'un théorème qui nous parait la résoudre. Car il exprime une
propriété générale d'un tétraèdre et d'une surface du second degré,
analogue à la propriété d'un triangle et d'une conique qu'exprime le
théorème de Pascal. Mais il y a loin de ce théorème à la relation géné-
rale de dix points quelconques d'une surface du second degré; et la
recherche de cette relation est bien digne d'occuper les géomètres.
Sans doute que nous n'avons point encore tous les élémens nécessaires
pour cette recherche; c'est une raison pour étudier sous tous les rap-
ports, sous toutes les faces, les propriétés des surfaces du second de-
gré. Aucune théorie, aucune découverte, quelque minime qu'elle
paraisse d'abord, n'est à négliger; car, à défaut d'une application im-
médiate, chaque vérité partielle a au moins l'avantage d'être un an-
neau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de cette
vaste théorie ; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes
découvertes, que développeront rapidement les méthodes de généra-
lisation de la Géométrie moderne.

S 50. Peut-être ce serait une étude préparatoire utile pour parve-
nir à la relation de dix points d'une surface , de résoudre complètement
et dans tous les cas possibles, le problème où il s'agit de construire
une surface du second degré assujétie à neuf conditions, qui sont de

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. U7

passer par des points et de toucher des pians. Ce problème mérite déjà
par lui-même les efforts des géomètres. Cependant nous ne voyons
encore que M. Lamé, jusqu'à ce jour, qui se soit occupé de l'un des
cas généraux qu'il présente. Cet habile professeur a déterminé les élé-
mens suflisans pour la construction de la surface du second degré qui
doit passer par neuf points donnés '. Mais la discussion de sa solution
générale, et l'examen de ses corollaires, et des cas particuliers qui s'y
présentent, méritent de nouvelles recherches.

Peut-être encore serait-il utile, avant d'aborder sérieusement la
question des dix points d'une surface du second degré, de chercher la
relation générale qui a lieu entre neuf points appartenant à la courbe
à double courbure du quatrième degré, qui est l'intersection de deux
surfaces du second degré quelconques. Huit points dans l'espace dé-
terminent une telle courbe , il doit donc y avoir une relation constante
entre ces huit points et un neuvième, pour que ce dernier se trouve sur
la courbe que déterminent les huit premiers.

Ou bien, faut-il encore chercher préalablement la relation qui a
lieu entre sept points de la courbe à double courbure du troisième
degré, qui est l'intersection de deux hyperboloïdes à une nappe, qui
ont une génératrice droite commune , et qui est toujours déterminée
par six points pris arbitrairement dans l'espace. Cette question n'offre
pas les mêmes difficultés que les autres, et nous croyons l'avoir réso-
lue. (Foir la Note XXXIII).

Peut-être enfin , devrait-on , au lieu de prendre pour original et
terme de comparaison le théorème de Pascal, faire les mêmes essais
sur l'un des autres théorèmes qui expriment comme lui une propriété
de six points d'une conique, et qui en sont ou des conséquences ou de
simples transformations , comme nous l'avons fait voir dans la Note XV.
Parmi ces théorèmes, nous avions pensé que celui que nous avons pré-
senté comme expression différente de la propriété anJiarmonique des
points d'une conique (Note citée, art. 21), pourrait, au moyen de trois

' Examen des diffèrenteê méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie; in-S".
1818.

248 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

transversales prises arbitrairement dans l'espace , conduire à la rela-
tion cherchée de dix points d'une surface du second degré. Nos pre-
miers efforts ont été infructueux ; cependant nous fondons encore
quelque espoir sur ce même théorème, et nous désirons que l'on
essaye d'en tirer quelque parti.
Courbes à double cour- S 51. Lcs courbcs à double courbure du quatrième et du troisième

bure des troisième et ■■ » • • • i 7 n* ' ■ 11 i^i? • 11 1

quatrième degrés, ocgrc, qui Viennent de s onrir naturellement a 1 occasion de la grande
question des dix points d'une surface du second degré, ont d'autres
titres pour prendre place dans les recherches des géomètres. Ces
courbes peuvent aussi, comme les surfaces du second degré, pré-
senter dans l'espace certaines analogies avec les coniques; et il est
une foule de questions dans lesquelles on les trouvera, quand on ne
se bornera plus, dans les applications de la Géométrie, à la simple
considération des coniques, et qu'on approfondira les questions plus
difficiles qui se résolvent par des combinaisons de surfaces du second
degré.

Les courbes dont nous parlons n'ont encore été que très-peu étu-
diées, et nous ne trouvons même que celles du quatrième degré, dont
on ait donné quelques propriétés générales, qui sont dues à MM. Ha-
chette, Poncelet et Quetelet.

M. Hachette, les considérant comme l'intersection de deux cônes
quelconques du second degré, a discuté les formes des courbes planes
du quatrième degré que donne leur projection ou perspective sur un
plan '.

M. Poncelet, dans son Traité des propriétés projectives (art. 616),
a démontré que, par la courbe du quatrième degré provenant de l'in-
tersection de deux surfaces quelconques du second degré, on peut
généralement faire passer quatre cônes du second degré.

Et enfin, M. Quetelet a fait voir qu'en projetant sur un plan la courbe
d'intersection de deux surfaces du second degré déterminées conve-
nablement, on peut produire toutes les courbes planes du troisième

' Correspondance sur l'école polytechnique , tora. I"', pag. 368.

HISTOIRE DE LA GÉO^IÉTRIE. 249

degré '. Ce théorème, qui sera utile pour transporter aux courbes
planes du troisième degré, certaines propriétés des courbes A double
courbure du quatrième, et vice versa *, peut recevoir une sorte de
généralisation qui en rendra souvent les applications plus faciles et
plus étendues. On peut dire que la courbe d'intersection de deux
surfaces du second degré donne en perspective sur un plan, Fœil
étant placé en un point de cette courbe, toutes les courbes du troi-
sième degré.

$ 52. La belle proposition de M. Quetelet était de nature à faire
supposer que la projection, ou plus généralement la perspective, de
l'intersection de deux surfaces du second degré, pouvait aussi pro-
duire toutes les courbes planes du quatrième degré , et qu'il suffisait
pour cela de placer l'œil en dehors du périmètre de la courbe. Mais
nous croyons pouvoir répondre négativement à cette question ; et dé-
terminer, par le théorème suivant, la nature particulière des courbes
du quatrième degré que produit la perspective de la courbe de péné-
tration de deux surfaces du second degré ; savoir, qa^une telle courbe a
toujours [et généralement, c'est-à-dire sauf les modifications parti-
culières) deux points doubles ou conjugués; lesquels peuvent être
imaginaires.

Ce théorème mérite quelqu'attention. Car les conséquences qu'on
en tire sont nouvelles, et répondent à des questions qui ont occupé
les géomètres dans ces derniers temps.

On en conclut d'abord que la courbe du quatrième degré, qui provient
de la perspective de l'intersection de deux surfaces du second degré,
ne peut admettre plus de huit tangentes issues d'un même point, pris
arbitrairement dans son plan ; tandis que la courbe plane du quatrième
degré la plus générale admet douze tangentes issues d'un même point.

' Correspondance mathématique de Bruxelle», toin. V, pag. 195.

' Par exemple, de ce qu'une courbe plane du troisième degré a généralement trois points
d'inflexion , qui sont en ligne droite, on conclut que, X" par un point quelconque de la courbe
à double courbure du quatrième degré , en question, on peut mener généralement trois plans qui
soient osculaleurs à cette courbe en trois autres points; et 2° ces trois points et celui par lequel
sont menés les trois plans , sont tous quatre dans un même plan.

To«. XI. 32

250 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

On conclut encore de là, que la développable circonscrite à deux sur-
faces du second degré, est généralement, et au plus, du huitième degré.
On n'avait point encore indiqué le degré de cette surface ; M. Poncelet
s'étant borné à dire qu'il ne pouvait dépasser le douzième '.

Les applications du théorème en question, à la théorie des courbes
planes du quatrième degré , seront nombreuses ; car on rencontre
beaucoup de ces courbes que l'on reconnaît provenir de la perspective
ou de la projection de l'intersection de deux surfaces du second degré ^.

S 53. Ayant à parler des courbes à double courbure du troisième et
du quatrième degré, nous avons commencé par celles-ci, parce que nous
croyons qu'elles sont les seules dont on se soit occupé jusqu'ici. Les
premières cependant sont beaucoup plus simples et plus faciles à étu-
dier. Nous avons trouvé qu'elles jouissent de diverses propriétés inté-
ressantes, et qu'elles se présentent dans beaucoup de questions. Cette
matière pourrait donner lieu à un ample développement que nous
devons omettre ici.

' Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, art. 103; Journal mathématique
de M. Crelle, tom. IV,

2 Ainsi , par exemple , les ovales de Descartes , ou lignes aplanëtiques , sont la projection
stéréograj)hiquc de la ligne de pénétration d'une sphère par un cône de révolution ( Théorème
de M. Quetelet, voir la note XXI). On conclura de là que ces célèbres ovales ont toujours deux
points conjugués imaginaires situés à l'infini. Ce que l'on ne verrait peut-être pas par d'autres
voies; car on a négligé jusqu'à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes,
les solutions imaginaires , et même aussi les points situés à l'infini , lesquels échappent souvent
à l'analyse. Les uns et les autres cependant font partie des affections particulières des courbes,
et doivent jouer un rôle important dans leur théorie.

Ainsi encore , les lemniscates formées par les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point
fixe sur les tangentes d'une conique, sont les projections stéréographiques de l'intersection
d'une sphère et d'un cône du second degré ( Théorème de M. Dandelin ; voir le -4° vol. des
Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles) ; on en conclut que ces courbes ont deux
points conjugués imaginaires à l'infini. On sait qu'elles ont un troisième point double ou con-
jugué toujours réel , qui est le point par où l'on mène les perpendiculaires ; on conclut de là
que ces courbes admettent seulement six tangentes issues d'un même point. D'autres considé-
rations de Géométrie plane m'ont encore conduit à ce résultat.

Beaucoup d'autres courbes du quatrième degré ont pareillement des points conjugués ima-
ginaires situés à l'infini. Telles sont les spiriques ou sections planes de la surface annulaire ; la
cassinoïde, etc. , etc.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 251

Nous nous bornerons à dire que la perspective des courbes à double
courbure du troisième degré, ne donne point toutes les courbes planes
du troisième degré, mais seulement celles qui ont un point double, ou
conjugué, ou de rebroussement.

S 54. Nous ne pousserons pas plus loin ces considérations sur la utuit« de u théorie d»

1*1 ni^ll 11 1 1 11 «urfacei du lecond

théorie des surfaces du secoud degré, et sur celle des courbes à double ^««■^•
courbure qui naissent de leur intersection. Ce que nous venons, de
dire montre assez combien l'une et l'autre sont susceptibles d'accrois-
sement, et quel vaste champ de recherches nouvelles elles présentent
encore aux géomètres. Recherches que nous regardons comme indis-
pensables pour assurer les progrès ultérieurs de la Géométrie , et ceux
des sciences qui naissent du concours de la Géométrie et de la physique.

La Géométrie, en effet, est soumise comme toutes nos autres con-
naissances positives, à cette condition qui gêne l'esprit humain, de
ne marcher d'un pas sûr que progressivement, et toujours du simple
au composé : et, de même que les sections coniques ont été dans la
Géométrie plane les courbes les plus simples qu'il nous a fallu étudier
et approfondir avant de nous élever à de plus hautes conceptions, les
surfaces du second degré sont pareillement, dans la Géométrie à trois
dimensions, les objets les plus simples qui doivent nous servir d'élé-
mens indispensables pour pénétrer plus avant dans la connaissance des
propriétés de l'étendue. •

Quant aux sciences des phénomènes naturels, nous ne doutons point
que les surfaces du second degré ne doivent s'y présenter aussi dans
un grand nombre de questions, et y jouer un rôle aussi important
que celui des sections coniques dans le système planétaire. Déjà dans
les plus savantes recherches physico-mathématiques, l'analyse a dé-
voilé la présence de ces surfaces ; mais le plus souvent on a regardé
une si heureuse circonstance comme fortuite et secondaire, sans son-
ger qu'au contraire, elle pouvait se rattacher directement à la cause
première du phénomène , et même être prise pour l'origine réelle, et
non pas accidentelle, de toutes les circonstances qu'il peut offrir.

Maintenant que la Géométrie pure a en soi les moyens de présenter

252 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

d'une manière rationnelle, et sans recourir aux calculs et aux trans-
formations savantes et pénibles de l'analyse, les nombreuses propriétés
des surfaces du second degré, et de résoudre les questions qui s'y rap-
portent, il nous parait naturel de penser que, pareillement, dans les
phénomènes généraux qui font l'objet de la physique, où ces surfaces
joueront un rôle suffisamment important, on devra pouvoir aussi, avec
le seul secours de leurs propriétés et des lois générales du sujet, par-
venir par le seul raisonnement et la pure Géométrie à l'interprétation
et à la théorie complète des phénomènes. C'est-à-dire , en un mot ,
que la Géométrie appliquée aux phénomènes physiques , cette science
de Kepler, d'Huygens, de Newton, de Maclaurin, de Stewart, de
Lambert, se trouvera accrue, par le perfectionnement de la théorie des
surfaces du second degré , d'une utile et féconde doctrine qui lui per-
mettra de prendre un nouvel essor , après un repos de près d'un siècle.
Et nous ne doutons point que cette méthode toujours directe et na-
turelle, et si satisfaisante pour l'esprit, ne contribue puissamment à
éclairer sa marche et à étendre ses découvertes dans toutes les parties
de la philosophie naturelle '.

■■ Un mémoire tout récent de M. Poinsot, sur la rotation des corps , est un exemple frap-
pant de la facilité et des avantages de la méthode géométrique dont nous parlons. , Cette ques-
tion si difficile , et qui a coûté tant d'efforts aux plus célèbres analystes , depuis un siècle , y
est traitée avec une lucidité et une facilité vraiment admirables , et bien faites pour détruire
ce préjugé , qui , ne voulant voir dans la Géométrie que la haute antiquité de son premier
âge , et non la nature de ses services et de sa destination générale , nie son caractère de per-
fectibilité et l'assimile à une langue morte , désormais inutile et impuissante pour les besoins
de l'esprit humain. Qu'on nous permette d'opposer à cette erreur, qui n'est propre qu'à ar-
rêter les progrès de la science, l'opinion si imposante de l'illustre auteur de la Mécanique
analytique , émise il y a soixante ans, h l'occasion même d'une des grandes questions du
système du monde, où la Géométrie avait devancé l'analyse : « Quelques avantages que l'ana-
» lyse algébrique ait sur les méthodes géométriques des Anciens , qu'on appelle vulgairement
» quoique fort improprement synthèse, il est néanmoins des problèmes où celle-ci paraît
)) préférable , tant par la clarté lumineuse qui l'accompagne que par l'élégance et la facilité
n des solutions qu'elle donne. 11 en est même pour lesquels l'analyse algébrique paraît en
» quelque sorte insuffisante , et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable
11 d'atteindre. » ( Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques. Nouveaux Mémoires de l'Académie
DE Beulw, ann. 1773. )

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 233

«lv^A\v^A^^^lvvv\lvvv^^^lvvvvvvv^^vvvv^^vv\\\lv\lvv^n^^

CHAPITRE VI.

OBJET T>U MEMOIRE QUI SUIT.

g l«r. La Géométrie descriptive de Monge est passée dans l'ensei-
gnement des mathématiques. La théorie des transversales de Carnot ,
qu'un des géomètres qui ont le plus approfondi la métaphysique et la
nature des sciences a déjà depuis long-temps émis le vœu de voir intro-
duire dans les élémens de Géométrie ' , est appréciée par la plupart
des professeurs, qui en comprennent aujourd'hui dans leurs cours
les théorèmes principaux. Mais les autres méthodes dont nous avons
parlé, sont encore éparses dans les mémoires des géomètres qui s'en
sont servis, et dont la lecture, à cause du très-grand nombre des ré-
sultats nouveaux qu'ils contiennent, peut paraître longue et pénible.
C'est là, je crois, la véritable cause de l'éloignement pour la Géo-
métrie rationnelle où l'on ne croit voir, et cette erreur est déplo-
rable, qu'un chaos de propositions nouvelles trouvées au hasard, sans
liaison entre elles et sans avenir pour un perfectionnement notable
de la science de l'étendue.

Nous avions pensé q»i'il serait utile, pour chercher à détruire cette
erreur, de coordonner entre elles toutes ces vérités partielles et isolées,
de les faire dériver toutes de quelques-unes seulement prises parmi les

' Cette ingénieuse théorie des transversales, dont les principes simples et féconds

mériteraient bien d'être admis au nombre des élémens de la Géométrie. » ( Journal de l'école
polytechnique, 10" cahier; Mémoire sur les polygofies et les polyèdres, par M. Poinsot. )

254 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

plus générales, et de rattacher celles-ci aux méthodes dont nous avons
parlé; ce qui eût été aussi une justification de notre classification. Ce
travail aurait porté le titre à^Essais de complémens de Géométrie ra-
tionnelle. Son objet principal eût été une exposition dogmatique des
méthodes en question, et de leurs principales applications. Nous y
joignions une théorie nouvelle et purement géométrique des surfaces du
second degré, et une théorie, géométrique aussi, des courbes planes du
troisième degré, avec lesquelles enfin il est temps de se familiariser; con-
dition nécessaire des progrès ultérieurs de la Géométrie, comme a été
jusqu'à ce jour la connaissance complète des courbes du second degré.

Nos matériaux étaient plus ou moins avancés, ainsi qu'on peut en
juger par diverses Notes que nous y avons puisées pour nous en servir
dans cet écrit. Mais, ainsi qu'il devait arriver dans un travail qui em-
brassait tant de recherches diverses, la matière s'est étendue, et nous
avons reconnu qu'il nous fallait un plus long temps et un plus grand
cadre que nous n'avions cru d'abord, pour le terminer sans une trop
grande imperfection; et des retards trop prolongés devant avoir aussi
leurs inconvéniens, nous nous sommes décidé à écrire d'abord sépa-
rément sur les différentes parties que nous destinions à cet ouvrage;
nous promettant de revenir ensuite à notre premier projet; et désirant
toutefois qu'une plume plus habile et plus capable de le mener à bien
nous prévienne dans l'accomplissement d'une entreprise que nous
croyons utile à la Géométrie.

5 2. Nous nous proposons de traiter, dans le mémoire qui va
suivre, des méthodes comprises dans nos deuxième et troisième divi-
sions, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue,
auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher ;
et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de trans-
formation des figures.

§ 3. Nous démontrerons ces deux principes d'une manière directe,
qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes
de toutes méthodes particulières propres à les justifier ou à en faciliter
les applications dans quelques cas particuliers.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 235

Nous les présenterons, ainsi que nous l'avons déjà dit, dans une plus
grande généralité qu'aucune de ces méthodes. L'extension que nous
leur donnerons trouvera sa principale utilité dans un principe de re-
lations de grandeur extrêmement simple , qui les rendra applicables à
de nombreuses questions nouvelles.

Ce principe repose sur une relation imique, à laquelle il suffira tou-
jours de ramener toutes les autres. Cette relation est celle que nous
avons appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un fais-
ceau de quatre droites. C'est là le type unique de toutes les relations
transformables par les deux principes que nous démontrons. Et la loi
de correspondance entre une figure et sa transformée, consiste dans
l'égalité des rapports anharmoniques correspondans.

La simplicité de cette loi, et celle du rapport anharmonique rendent
cette forme de relations éminemment propre à jouer un rôle si impor-
tant dans la science de l'étendue.

Quand les relations proposées paraîtront au premier abord ne pas ren-
trer dans cette formule, l'art du géomètre consistera à les y ramener par
différentes opérations préparatoires, analogues, sous certaines rapports,
aux changemens de variables et aux transformations de l'analyse.

^^ 4. Nous commencerons par le principe de transformation dont
la théorie des polaires réciproques offre des applications, parce que
le second, quoique tout aussi général dans sa destination, en sera un
corollaire naturel. Nous l'appellerons principe de c/i/a/yV^, suivant l'ex-
pression de M. Gergonne; et nous dirons que deux figures qui auront
entre elles les dépendances voulues par les lois de ce principe, sont
corrélatives \

Après avoir démontré ce principe, nous en ferons diverses applica-

' Le mot corrélatif éiant employé d'une manière générale dans mijle circonstances, il serait
bien à désirer qu'on eût un outre ndjcctif dériré du mot dualité. Par cette raison nous avions
pensé à substituer au mot dualité celui de diphanie, qui aurait exprimé ce double genre de
propriétés que présentent toutes les figures de l'étendue ; nous aurions dit le principe de
diphanie, et nous aurions appelé diphaniques les figures qui auraient eu entre elles les re-
lations prescrites par ce principe. Mais nous n'avons point voulu nous permettre de substituer
une nouTclIc dénomination à celle qui a été généralement reçue.

«

256 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

lions, qui nous conduiront à des propositions nouvelles, dont plusieurs
seront des propriétés générales , d'un genre tout nouveau , des courbes
planes et à double courbure, et des surfaces géométriques : puis nous
donnerons la construction analytique et géométrique des figures cor-
rélatives les plus générales ; et enfin , nous exposerons les rapports qui
ont lieu entre ce principe et la théorie des polaires réciproques ; et nous
en déduirons plusieurs autres méthodes particulières , qui offriraient ,
comme cette théorie, des moyens faciles de mettre en usage ce principe,
s'il n'était démontré directement et à 'priori , comme une propriété
inhérente à l'étendue figurée.

S 5. Parmi les applications du principe de dualité , il en est une
qui mérite que nous en fassions ici une mention particulière.

En jetant un coup d'œil sur l'état de la Géométrie avant qu'on eût
fait usage de la théorie des polaires pour transformer certains théo-
rèmes , on s'aperçoit que l'on ne connaissait que très-peu de vérités
qui fussent les conélatives d'autres vérités connues. Dans la théorie
des courbes, par exemple , aucune de leurs propriétés générales n'avait
sa corrélative. Cette circonstance prouve que la méthode analytique
de Descartes , à laquelle on devait les plus belles découvertes , particu-
lièrement dans la Géométrie des courbes, n'est pas applicable, ou du
moins présenterait des obstacles très-grands si on cherchait à l'appli-
quer à ce genre de théorèmes qu'on obtient immédiatement, en vertu
du principe de dualité , comme corrélatifs de théorèmes démontrés
par cette méthode de Descartes. Le principe de dualité donne donc,
sous ce rapport, à la Géométrie pure un avantage incontestable sur la
méthode analytique.

Mais on ne conclura pas de là que l'algèbre , cet instrument merveil-
leux, qui , jusqu'à ce jour, s'est prêté à toutes les conceptions géométri-
ques, doive refuser son secours aux nouvelles propriétés de l'étendue,
qui semblent échapper aux procédés de Descartes. On pensera au
contraire qu'il suffira de modifier dans sa mise en œuvre, la grande
conception de Descartes, en lui reconnaissant pour objet adéquat l'ap-
plication des symboles algébriques aux idées de figure et d'étendue.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 257

Le moyen employé par Descartes a été de considérer tine courbe
comme la conjonction de points se succédant d'après une loi donnée ,
et d'exprimer la position de tous ces points par une relation constante
entre les distances de chacun d'eux à deux axes fixes.

On conçoit sans peine, que le procédé analogue dans la nouvelle
Géométrie analytique , sera de considérer chaque courbe comme l'en-
veloppe de toutes ses tangentes; et d'exprimer la position de toutes ces
droites par une équation unique entre deux variables, dont chaque
système de valeurs correspondra à l'une de ces droites.

Le principe même de dualité , appliqué aux procédés et aux rela-
tions géométriques que représente l'équation d'une courbe ou d'une
surface dans le système de Descartes , conduira immédiatement au
nouveau système de Géométrie analytique en question. C'est ainsi
que nous l'exposerons dans cet écrit, brièvement, comme simple ap-
plication du principe de dualité, nous réservant de revenir sur cet
objet, que nous avons traité directement, et sans le secours du prin-
cipe de dualité , en suivant à peu près la marche adoptée pour l'ex-
position de la Géométrie analytique en usage.

Nous avons déjà dit en peu de mots en quoi consiste notre nouveau
système de coordonnées , et nous en avons fait des applications {Voir
le tom. YI, pag. 81 de la Correspondance mathématique de M. Que-
telet). Mais si nous n'avons pas mis d'empressement à publier ce travail
qui, si le principe de dualité n'était pas connu, aurait une grande
utilité, parce qu'il servirait à démontrer directement tous les théo-
rèmes corrélatifs de ceux qu'on obtient par la Géométrie de Descartes,
c'est qu'il n'est point indispensable, aujourd'hui que le principe de dua-
lité sert j\ transformer sur-le-champ les vérités obtenues par la méthode
de Descaries.

Néanmoins ce nouveau système de Géométrie analytique nous pa-
rait mériter d'être développé, comme complétant, avec la doctrine des
coordonnées de Descartes, l'œuvre que s'est proposée ce grand philo-
sophe dans sa magnifique conception de l'application de l'algèbre à la
Géométrie.

Tom. XI. 33

238 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

§ 6. Ce que nous venons de dire de la Géométrie analytique , rela-
tivement aux propriétés de l'étendue découvertes par le principe de
dualité, s'applique aussi en partie à la théorie des transversales, telle
que Carnot l'a formée, et qu'elle a été appliquée depuis une trentaine
d'années. Cette théorie ne convient pas, dans son état actuel, pour la
démonstration de beaucoup de théorèmes relatifs aux lignes et aux
surfaces courbes, qui sont les corrélatifs d'autres théorèmes qu'on a
démontrés par cette théorie même. Cependant elle s'applique à ceux
de ces théorèmes qui ne concernent que les systèmes de lignes droites ,
parce que Carnot a compris dans cette théorie le théorème de Jean
Bernoulli (ou plutôt de Jean Ceva, comme nous l'avons dit. Note VI),
qui se trouve être le corrélatif de celui de Ptolémée.

Il suffira d'introduire pareillement dans la théorie des transversales,
quelques théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes , pour
la mettre en état de satisfaire par elle-même et directement aux dou-
bles questions qui doivent toujours se présenter désormais dans les
spéculations géométriques. Ces théorèmes, qui seront précisément les
corrélatifs des principes actuels de la théorie des transversales, ont
déjà été obtenus par M. Ponceîet dans ses applications de la théorie
des polaires réciproques; et cet habile géomètre en a fait usage dans
son mémoire intitulé : Analyse des transversales appliquée à la
recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géomé-
triques {Voir tom. YIII du Journal de M. Crelle).
Utilité du principe de .^ 7. Après avoir montré que le principe de dualité étend ses appli-

dualité dans l'algè- ^ T ITT ri

•"^ cations sur la Géométrie analytique , en y introduisant un nouveau

système de coordonnées, nous devons ajouter que l'influence et la
portée de ce principe peuvent s'étendre jusque sur l'algèbre même ,
considérée dans son abstraction absolue. On ne doit point s'étonner
de cela; car Monge nous a appris, par d'assez beaux exemples, qu'aux
lois de l'étendue et qu'à toutes les conceptions de la Géométrie suffi-
samment générales, peuvent correspondre des considérations et des
résultats de pure algèbre.

C'est sous deux points de vue que nous envisageons les usages du

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 259

principe de dualité en algèbre. D'abord comme moyen d'intégration dans
plusieurs cas; et ensuite comme pouvant donner, par l'expression algé-
brique de certains résultats de Géométrie , divers théorèmes d'algèbre.

Nous allons expliquer en peu de mots cette double application du
principe de dualité à l'analyse algébrique.

§ 8. A. une surface donnée, correspond, suivant le principe de dua-
lité, la surface corrélative; et à chacune des propriétés de la première
surface correspond une propriété de la seconde. ""'■'' '

Si la première surface est exprimée par une équation (dans un sys-
tème quelconque de coordonnées), les relations géométriques qui ont
lieu entrtf elle et la seconde surface serviront à passer de cette équa-
tion à celle de la seconde surface, dans le même système de coordon-
nées : et, réciproquement, à passer de l'équation de cette seconde
surface à celle de la première ( Nous donnerons les formules qui servent
à cela dans le système de coordonnées de Descartes). Si la première
surface est représentée seulement par une équation aux différentielles
partielles, à cette équation en correspondra une autre qui sera sa cor-
rélative et qui appartiendra à la seconde surface. Cette autre équation
sera généralement différente de la proposée , et pourra se prêter plus
ou moins facilement qu'elle aux méthodes d'intégration. Si l'on peut
l'intégrer, on aura l'équation de la seconde surface, et l'on passera, par
les formules en question, de cette équation à celle de la première sur-
face; ce sera donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles
proposée.

Cette méthode est celle, comme on voit, que nous avons développée
dans la Note XXX sur les surfaces réciproques de Monge, comme
ayant pu avoir été l'objet de cette théorie des surfaces réciproques.

Cette méthode, considérée analytiquement et abstraction faite de
toute considération géométrique, n'est au fond qu'un mode de trans-
formation algébrique, dont les relations entre les variables correspon-
dantes nous sont indiquées d priori par l'expression analytique des
relations qui ont lieu entre les figures corrélatives construites suivant
le principe de dualité.

260 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

g 9. Voici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe
de dualité à la découverte de divers théorèmes d'algèbre.

Que l'on ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie ; et
qu'en cherchant à démontrer ce théorème par l'analyse, c'est-à-dire,
par la méthode des coordonnées , on éprouve une difficulté insurmon-
table provenant de l'imperfection actuelle de la science algébrique,
on cherchera à préciser le point de difficulté, ou en d'autres termes,
la notion algébrique qu'il serait nécessaire d'admettre pour arriver à
la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d'al-
gèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations
géométriques.

Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder.

Supposons qu'on veuille démontrer par la méthode des coordonnées
en usage, ce théorème : Si à une surface géométrique donnée on mène
tous ses plans tangens parallèles à un même plan transversal, leurs
points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes
distances un même point de l'espace , quelle que soit la position du
plan transversal.

En représentant par F {ce, y, z) = o l'équation de la surface, on
trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangens,
sont données par cette équation et par les deux suivantes :

dx

■+-

(/F
"d.

=

0,

dY
dy

-+-

^1

=

o;

a et Z» étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction
commune aux plans tangens. Éliminant y el z entre ces trois équa-
tions, on aura une équation résultante en x dont les racines seront
les abscisses des points de contact des plans tangens avec la surface.
Il faudra donc, d'après le théorème énoncé, que la somme de ces ra-
cines soit la même, quelle que soit la direction commune des plans

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 261

tangens, c'est-à-dire, quels que soient les deux paramètres a et h.
De là résulte donc ce théorème d'algèbre :
Si entre les trois équations

F(*, y, s) = 0,

dF_ fltF _

dr ds

rfF rfF _

dy dz

on élimine les deux variables y et z, l'équation résultante en x aura
la somme de ses racines indépendante des deux coefjiciens a et b.

Cet exemple suffit pour montrer comment on fera usage du principe
de dualité pour établir des théorèmes d'algèbre.

§ 10. Les idées de dualité que nous avons appliquées, dans les para- Apni.ciiioDd,ipriiidpe
graphes précédens, à deux doctrines géométriques, la méthode des ■°''î"
coordonnées de Descartes, et la théorie des transversales, et à une
théorie algébrique, l'intégration des équations aux différences par-
tielles, peuvent s'étendre à d'autres parties des mathématiques, prin-
cipalement à la dynamique. Mais ce n'est point ici le lieu de traiter
ce sujet pour lequel nous renvoyons à la Note XXXIV.

g 1 1 . La seconde partie de cet écrit sera consacrée au second prin- Princp» a homogi.-
cipe général en question, celui de déformation des figures.

Comme les figures que l'on a à considérer dans les applications de
ce principe sont du même genre, c'est-à-dire, qu'à chaque point, à
chaque droite , à chaque plan de l'une correspondent respectivement
un point, une droite, un plan dans l'autre, ainsi que cela a lieu, par
exemple , dans deux figures semblables , ou bien dans deux figures
planes dont l'une est la perspective de l'autre, nous appellerons ces
figures homographiques ; et le principe en question sera dit principe
de déformation homographique , ou simplement principe d'homo-
graphie.

§ 12. Il ne paraîtra peut-être pas inutile, avant d'entrer en matière.

262 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

de bien préciser le caractère philosophique de ce principe, et la nature
de ses applications dans la Géométrie rationnelle.
Usages du principe d'ho Sa dcstinatiou première est de qénëraliser les propriétés de l'étendue.

mographie. ^ _ _ * *

De là naissent deux usages distincts auxquels il sera propre. Car
cette généralisation peut se faire de deux manières; elle peut porter
sur la construction et sur la forme de la figure, ou bien sur les pro-
priétés de cette figure.

Dans le premier cas la question qu'on se propose est celle-ci :
Connaissant les propriétés dtune certaine fgure , en conclure les
propriétés analogues cTune figure du même genre , mais dune
construction plus générale.

Par exemple, étant données certaines propriétés du cercle ou de la
sphère, en conclure les propriétés correspondantes des sections co-
niques ou des surfaces du second degré.

Dans le deuxième cas, la question peut être énoncée ainsi : (con-
naissant quelques cas 'particuliers d une certaine propriété qénérale
inconnue d'une figure, en conclure cette propriété générale.

Par exemple : prenons trois diamètres conjugués d'une surface du
second degré ; on sait que la somme de leurs carrés est égale à une
quantité constante. Ce théorème donnera lieu à cette question : étant
donnée une surface du second degré, et étant pris un point quelconque
dans l'espace , par lequel on mène trois droites ; à quelles conditions de
construction devront satisfaire ces droites, pour que dans le cas particu-
lier où ce point serait le centre de la surface, elles deviennent trois dia-
mètres conjugués ; et quelle sera la propriété de ces trois droites qui
deviendra celle des trois diamètres conjugués que nous avons énoncée?

Ainsi, on conçoit bien les deux questions générales auxquelles est
destiné le principe de déformation homographique.

$ 13. La première de ces deux questions donne lieu à une véri-
table méthode de recherches.

En effet, qu'il s'agisse de démontrer telle propriété d'une figure;
on prendra, parmi l'infinité des figures homographiques possibles,
celle dans laquelle, à raison de sa simplicité ou d'autres circonstances.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 9«3

le théorème sera, sinon évident, au moins d'une démonstration plus
facile. C'est ainsi que l'on a souvent réduit , par l'emploi de la pers-
pective, la recherche des propriétés des coniques à celles du cercle.

§ 14. Sous le point de vue de la seconde question, le principe de
déformation homographique peut être regardé comme appartenant à
la classe des méthodes inverses. L'opération à laquelle il est propre
est l'inverse de celle que nous pratiquons journellement pour con-
clure d'un théorème général les cas particuliers qui s'y rattachent.
Considéré comme une telle méthode, ce principe mérite peut-être
quelque attention. En effet, quoi qu'il soit toujours facile en Géo-
métrie de passer d'une vérité à ses corollaires , qui sont autant de
vérités moins générales que la première, on n'a point encore de règles
inverses pour passer de l'une de ces vérités particulières à la vérité gé-
nérale. L'induction, l'analogie ou quelques considérations particulières,
peuvent bien, dans certains cas, mettre sur les traces de cette vérité
primitive et la faire deviner; mais ensuite sa démonstration devient
une question toute nouvelle, pour laquelle on n'a aucune méthode
spéciale, he principe d'homographie, et les différens modes de défor-
mation qui en émanent, offrent une méthode de ce genre, véritable
méthode de généralisation , la seule, je crois, que l'on ait encore
tenté d'introduire dans la Géométrie rationnelle '. On appréciera

' Oseroi-je, par suite de ces considérations, indiquer un point de ressemblance entre cette
méthode et le calcul intégral. Le but est le même dans l'un et l'autre; il s'agit de passer d'une
dérivation d'un objet à cet objet.

Étant donnée une quantité , on sait toujours , et à l'instant même , trouver sa différentielle ;
mais pour la question inverse : étant donnée une quantité ou une équation différentielle ,
trouver son intégrale ; on n'a point de méthodes générales. Pareillement , étant donnée une
proposition générale, on peut énoncer sur le champ ses cas particuliers; et dans la question
inverse , où, étant donné un cas particulier d'une proposition générale inconnue, ou demande
de déterminer cette proposition générale , on n'a point non plus de méthode générale.

Ce rapprochement paraîtra peut-être moins étrange , si nous disons que le caractère pins
particulier du principe d'homographie , parmi les autres modes de transformation des figures ,
est de passer, comme daus le calcul intégral , de l'infini au fini. Ce sont les propriétés d'une
figure qui a des parties à l'infini qu'un veut, le plus souvent, dans les applications du principe
d'homographie, transporter à une figure du mémo genre , mais dont les mêmes parties sont
placées à des distances finies.

264 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

l'utilité de telles méthodes pour hâter les progrès de la science. Car
il n'est point de découverte un peu capitale dont on n'ait rencontré,
dès long-temps auparavant, quelques germes et quelques cas parti-
culiers, qui auraient pu sur-le-champ, à l'aide de ces méthodes de
généralisation, conduire à cette découverte. Il est donc important de
rechercher et de cultiver ces sortes de méthodes.

§ 15. Nous ferons diverses applications du principe de déformation
homographique : l'une d'elles portera sur le système de coordonnées
qui constitue la Géométrie de Descartes, et conduira à un nouveau
système de Géométrie analytique plus général, et qui serait propre à
la démonstration directe par l'analyse, des propositions que ce prin-
cipe aurait servi à démontrer comme généralisation de celles aux-
quelles s'applique la doctrine de Descartes.
Méthodes dérivées dn § 16. Lc prlucipe général de déformation homographique com-

principe d'homogra- ii» /Il -Ti • • l

l'ti» prend plusieurs méthodes particulières, qui serviront pour des questions

spéciales et plus restreintes. Nous en distinguerons trois principales :

La première sera la théorie des figures homologiques de M. Ponce-
let, qui servira, par exemple, pour déduire des propriétés de la sphère
une foule de propriétés des surfaces du second degré de révolution qui
ont un foyer; mais nous y joindrons le principe des relations métri-
ques, sans lequel cette élégante théorie ne pourrait atteindre à une
foule de questions, et serait incomplète \

La seconde sera une méthode propre à l'extension des relations
angulaires, qui servira particulièrement pour appliquer les propriétés de
la sphère aux surfaces du second degré de révolution qui n'ont pas de
foyer. Aucune des méthodes de transformation n'a encore été propre
à ce genre de recherches.

Et la troisième sera destinée à une classe très-nombreuse de pro-
priétés appartenant à la Géométrie des mesures , c'est-à-dire aux lon-

' Par exemple , ce principe des relations de grandeur est indispensable pour connaître les
propriétés métriques du système de deux coniques quelconques , dont M. Poncelet a donné les
propriétés descriptives ; il en est de même pour la théorie des bas-reliefs dont les propriétés
métriques ne sont pas moins importantes que leurs propriétés purement descriptives.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 265

gueurs, surfaces et volumes des figures, ce sera la traduction en pure
Géométrie de la méthode analytique que nous avons déjà employée
pour transporter aux surfaces du second degré, les propriétés de la
sphère. Cette méthode nous servira particulièrement pour démontrer,
par pure intuition, les belles propriétés connues, et plusieurs autres
des diamètres conjugués des surfaces du second degré, que l'on n'a
démontrées jusqu'ici qu'avec le secours de l'analyse.

S 17. En général, nos applications du principe d'homographie
aux surfaces du second degré, nous conduiront naturellement à de
nombreuses propriétés de ces surfaces, que les procédés analytiques,
employés jusqu'à ce jour, n'avaient point encore indiquées; et ces ap-
plications feront peut-être voir qu'il est possible de baser sur de pures
considérations de Géométrie et sans le secours du calcul, une théorie
très-étendue des surfaces du second degré, ainsi que nous l'avons
annoncé plus haut. L'analyse a de si beaux et de si immenses avan-
tages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous
permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second
degré, elle les cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beau-
coup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ; elle est aussi
plus lumineuse, parce que ne tirant ses ressources que de la nature
même des choses , et sans considérations auxiliaires , elle montre
mieux l'enchaînement des propositions, pénètre jusqu'à leur source,
et peut conclure de quelque relation primordiale entre les figures, une
infinité de déductions qui font autant de propositions diverses dont
les rapports n'apparaîtraient pas toujours dans les formules et les
transformations analytiques, et qui, dès lors, exigeraient des démon-
strations différentes, souvent longues et pénibles'.

S 18. Indépendamment des usages du principe d'homographie,

1 Noas croyons avoir déjà présenté dans notre Mémoire sur les propriétés des cônes du second
degré , un exemple des «ivnntnges que la méthode géométrique peut avoir souvent sur l'analyse
dans la théorie des surfaces du second degré. Car , outre que la méthode analytique n'avait
point mis sur la voie des divers théorèmes auxquels des considérations géométriques nous ont
conduit, elle les démontrerait plus longuement que nous n'avons fait; ce dont nous nous
sommes convaincu en traduisant nos premières démonstrations en analyse.

Toï. XI. 34

26$ HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

comme moyen de démonstration et de généralisation des propriétés
de l'étendue, ce principe, en lui-même, renferme un troisième genre
d'utilité, qui consiste dans la notion même de V homogf'aphie des
figures. En effet, la considération de deux figures homographiques,
et la connaissance des rapports qui les lient l'une à l'autre, présen-
tent des vérités géométriques nouvelles , auxquelles peuvent se ratta-
cher, comme corollaires, une foule de théorèmes connus, et qui
peuvent conduire à beaucoup d'autres résultats nouveaux qu'on n'ob-
tiendrait que difficilement sans le secours de cette doctrine des figures
homographiques.

Par exemple, nous dirons que les diverses manières de décrire les
coniques, données par Newton, Maclaurin , De Witt, etc., et un
grand nombre de propriétés de ces courbes, qui paraissent n'avoir
aucun rapport entre elles, sont des conséquences immédiates de la
théorie des figures homographiques. ( Voir les Notes XV et XVI.)

Les propriétés que présente le système de deux corps parfaitement
égaux, et même de deux corps semblables situés d'une manière quel-
conque dans l'espace, sont aussi des conséquences de cette même
théorie. Et ces propriétés, qu'on n'a point encore cherchées, sont
nombreuses et conduisent à divers théorèmes curieux sur le mouve-
ment infiniment petit, et même sur le déplacement fini quelconque
d'un corps solide '.

Nous ne considérerons, dans ce mémoire, les figures homographiques
que comme moyen de déformation propre à la démonstration et à la
généralisation des théorèmes ; nous proposant d'exposer dans un autre
écrit particulier leurs propriétés générales dont nous venons de parler.

Conclusion.
S 19. Après les considérations que nous venons de développer, sur

' Nous citerons, par exemple, ce théorème qui peut entrer dans les principes de la méca-
nique pratique : On peut toujours transporter tin corps solide d'une première position dans une
autre position déterminée , par le mouvement continu d'une vis à laquelle on aurait fixé ce corps.
( P^oir le Bulletin universel des sciences , novembre 1830 ; ou la Correspondance mathématique
de Bruxelles, tom. VII, pag. 3S2).

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 267

la nature et la destination des deux principes de dualité et d'homo-
graphie, on pensera peut-être que s'il doit exister, dans la science de
l'étendue, quelques lois primordiales vraiment grandes et fécondes,
comme en analyse le calcul infinitésimal qui a résumé et perfectionné
toutes les méthodes de quadratures et de maxima, comme en méca-
nique le principe des vitesses virtuelles d'où Lagrange a tiré tous les
autres, comme dans les phénomènes célestes la grande loi de Newton ',
on pensera peut-être, dis-je, que les deux simples théorèmes de Géo-
métrie, d'où dérivent les deux principes de dualité et d'homographie,
sont de ceux qui approchent le plus, dans l'état actuel de la Géométrie ,
de ces grandes lois générales qui nous sont encore inconnues.

Ces deux théorèmes, en effet, embrassent dans leurs conséquences
directes , non-seulement une multitude de vérités particulières , mais
aussi des théories et des méthodes fécondes et d'une grande portée.

Sans entrer dans le détail des applications de ces deux théorèmes,
et des routes nouvelles qu'ils ouvrent aux spéculations géométriques,
il nous suflira de dire que le premier divise en deux grandes classes
toutes les propriétés de l'étendue ; qu'il n'en est pas une, quelque gé-
nérale qu'elle soit, qu'il ne serve à convertir en une autre aussi gé-
nérale dans son genre;

Que le second généralise toutes les vérités particulières et isolées ,
en montre les rapports communs, et les lie entre elles en les rattachant

• C'est l'opinion , sans doute , des personnes accoutumées à contempler plus particulière-
ment les propriétés de l'étendue, leur nature, leur enchaînement et surtout cette continuité
merveilleuse, qui leur donne, à un degré éminent, un caractère d'extensibilité indéfinie, que
ne présentent point d'autres sciences positives; celle des nombres , par exemple. Cette opinion
sur la Géométrie et son avenir est celle d'un savant, à qui ses travaux dans plusieurs parties
diflërentes des sciences mathématiques, et la place distinguée qu'il a déjà prise, quoique
jeune, dans les premières académies de l'Europe, donnent une grande autorité : « Il est fà-
» cheux, m'écrivait M. Quetelet, que la plupart des mathématiciens de nos jours jugent si
» défavorablement de la Géométrie pure..«... II m'a toujours paru que ce qui les retient
» le plus est le défaut de généralité des méthodes qu'ils pensent y voir. Mais est-ce bien la
i> faute de la Géométrie, ou de ceux qui l'ont cultivée? Je serai très-disposé à croire qu'il
» existe quelques grandes vérités qui doivent être pour ainsi dire la source de toutes les
» autres , à peu près comme le principe des vitesses virtuelles est pour la mécanique, n

268 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

à une seule et même vérité générale ; et ce théorème comprend aussi ,
comme le premier, des méthodes dans ses innombrables corollaires.

§ 20. Les principes de dualité et d'homographie, et les diverses
méthodes qui en dérivent; les autres modes de transformation que
nous avons reconnus dans la Géométrie descriptive de Monge et dans
la Géométrie perspective de M. Cousinery, et celui que fournit la
théorie des projections stéréographiques , font, avec la théorie des
transversales, les plus puissantes doctrines actuelles de la Géométrie
récente, et lui donnent un caractère de facilité et d'universalité qui
la distingue de la Géométrie ancienne.

Ces modes de transformation, en effet, sont autant de moyens sûrs,
de moules, pour ainsi dire, qui servent à créer à volonté des vérités
géométriques sans nombre.

Qu'on prenne une figure quelconque dans l'espace , et l'une de ses
propriétés connues; qu'on applique à cette figure l'un de ces modes
de transformation , et qu'on suive les diverses modifications ou trans-
formations qu'éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on
aura une nouvelle figure, et une propriété de cette figure, qui corres-
pondra à celle de la première.

Ces moyens, que possède la Géométrie récente, de multiplier ainsi
à l'infini les vérités géométriques , peuvent être assimilés aux formules
et aux transformations générales de l'algèbre , qui donnent avec sûreté
et promptitude la réponse aux questions diverses qu'on leur soumet,
ou bien, en quelque sorte, aux réactifs du chimiste, qui opèrent
d'une manière sûre et invariable la transmutation des matières qu'il
leur présente; ces moyens sont donc de véritables instrumens, que ne
possédait point l'ancienne Géométrie, et qui font le caractère distinc-
tif de la Géométrie moderne.

Dans la Géométrie ancienne, les vérités étaient isolées; de nouvelles
étaient difficiles à imaginer , à créer ; et ne devenait pas géomètre in-
venteur qui voulait.

Aujourd'hui, chacun peut se présenter, prendre une vérité quel-
conque connue , et la soumettre aux divers principes généraux de trans-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 269

formation; il en retirera d'autres vérités, différentes ou plus générales ;
et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations; de sorte qu'on
pourra multiplier, presque à l'infîni, le nombre des vérités nouvelles
déduites de la première : toutes, il est vrai, ne mériteront pas de voir
le jour, mais un certain nombre d'entre elles pourront offrir de l'intérêt
et conduire même à quelque chose de très-général.

Peut donc qui voudra, dans l'état actuel de la science, généraliser
et créer en Géométrie ; le génie n'est plus indispensable pour ajouter
une pierre à l'édifice.

Aussi croyons-nous pouvoir regarder la Géométrie dans un état pro-
noncé de progrès et de perfectionnemens rapides; et pensons-nous
qu'on peut dire aujourd'hui, avec raison, de cette science, ce qui a
paru, dans un temps, faire le caractère exclusif de la Géométrie ana-
lytique : « L'esprit de la Géométrie moderne est d'élever toujours les
» vérités soit anciennes , soit nouvelles, à la plus grande généralité
)) qu'il se puisse '. w

• Fontenelle , Histoire de l'y4cadémie de» sciences, ann. 1704 ; sur les spirales à finfini.

\v^\^lvvvvvvvv\vvvvvvvv^lv^lvvv^^f^AAlvvv\\vvvvvvvv^lv^^^lvvv\^

NOTES.

NOTE I.

(PREHIKSB ÉPOQUE, §5.)

Sur les spiriques de Perseus. Passage de Héron d'Alexandrie relatif

à ces courbes.

Proclus est le seul écrivain qui nous ait transmis le nom du géomètre Perseus, dans
son Commentaire sur le premier livre d'Euclide; mais cet ouvrage n'est pas le seul de
l'antiquité qui ait fait mention des lignes gpiriques , comme on parait l'avoir cru jus-
qu'ici. Un ouvrage beaucoup plus ancien, de Héron d'Alexandrie, intitulé : Nomencla-
tura f^ocabulorum geometricorum , reproduit en 1571 et 1579 par Conrad Dasypodius ',
contient une définition très-distincte de la spire, ou surface annulaire, et des deux
formes différentes qu'affecte cette surface, dont leg sections sont des courbes qui ont
leurs propriétés particulières.

Voici ce passage de Héron : Speira fit qiiando circulns aliquis centrum habens
in circulo et erectus existons , ad planum ipsius circuit fuerit circumductus , et
revertatur iterum unde cœperat moveri; illud ipsum figurœ genus nominatur xcoceç
orbis. Discontinua autem speira est, quœ dissoluta est, aut dissolutionem habet.
Continua vero, quœ uno in puncto concidit. Diminutionem habens est, quando eir-

t Euclidit Elemenlorum libtr primua. Item Htnnis Ahxandrini vocabula quadam Gtomefrica, anteac
nvnquam tdita } grœce et latine, per Cunradum Daiiypodium. Argentins, 1671, in-8<>.

Oratio C. Daiypodii de Disciplinia mathemaiicis. Ejuadem I/eronis Alesandrini Nomenclatura Vocabuio-
rum gtometricorum translatio ; ejutdem Lexicon mathtmalicum , es divirsis eolleetvm anUtiuia scriptia.
Argent. , 1679 , in-8».

272 NOTES.

culus qui circutnducitur , ipsemct seipsum secat. Fiunt autem et hariim sectioneg ,
lineœ quœdam proprietatem suam hahentes.

Le passage de Proclus sur les spiriques, est un peu plus développé, et a l'avantage
de nommer l'inventeur de ces courbes. Ce passage a été reproduit dans son texte grec,
et traduit par M. Quelelet, à la suite d'une Notice sur les lignes spiriques, qui est
pleine d'intérêt et remarquable par l'érudition qui y abonde. Cette Notice a été im-
primée à la suite d'un mémoire de M. Pagani, sur ces courbes, qui a été couronné
par l'Académie de Bruxelles, en 1824, et dans la Correspondance mathématique de
M. Quetelet, tom. II, pag. 237.

Les lignes spiriques ont presque toujours été le sujet de quelques méprises de la
part des écrivains qui en ont parlé ; les uns ont pris ces courbes pour des spirales ;
et d'autres ont assigné un âge trop rapproché à leur inventeur Perseus.

Ramus, dans ses Scholœ mathetnaticœ, place ce géomètre après Héron et Geminus.

Dechales le wet aussi après Geminus; et, en attribuant à ce dernier les lignes spiri-
ques , il fait Perseus l'inventeur des spirales '.

Blancanus fait une confusion singulière. Il fait naître Geminus avant Perseus; attri-
bue à ce dernier les lignes spiriques, et dit, néanmoins, que Geminus avait écrit sur
ces mêmes courbes 2.

G.-J. Vossius place Perseus entre Thaïes et Pythagore, et lui attribue les spirales s.

Bernardin Baldi le fait contemporain d'Archimède et d'Apollonius (250 ans avant
l'ère chrétienne), et définit succinctement, d'après Proclus, les spiriques dont il est
l'inventeur *.

Heiibronner commet la même erreur que Vossius et Dechales, quant au nom des
courbes de Perseus; mais il nous paraît assigner à ce géomètre l'époque qui lui convient s.
Il l'inscrit entre Aristée et Menechme. C'est l'âge que nous avons cru devoir lui donner.

Montucla le fait beaucoup moins ancien. Il le place dans les deux premiers siècles
de l'ère chrétienne. C'est une erreur qui paraîtra incontestable d'après le passage de
Proclus qui cite Geminus comme ayant écrit sur les spiriques, et celui de Héron que
nous avons rapporté.

Montucla avait pensé qu'avant lui on avait toujours confondu les spiriques avec les
spirales d'Archimède, et qu'il était le premier qui eût fait connaître ce qu'étaient réel-
lement ces courbes®. On voit, par ce qui précède, qu'en effet, Dechales, Vossius et

1 Cursus maihematicus, tom. \" ^Tie progressu matheseos, p. 8.

2 De natura mathematicarum scientiarum tractatio , atque clarorum mathematicorum chronologiu. Bonoiiiae,
1615, iii-4'>.

3 De universœ mafhesios natura et consHlutione liber; cui suljungitur chronologia mathematicorum.
Amêtelodami, 1660, in-4o.

i Cronica d'e Matetnatici overo Epitome deW istoria dellc vite loro. In Urbino, 1707 , in-4». ic Perseo ,
non si sa benc di quai j^atria si ftnsse. Fù cgli , corne s'ha da Proclo j invcntore dolle liiiee spiricke ^ le
quali nascono dalle varie settioni dclla spira, n ( P. 25. )

5 If istoria matheseos universa. Lipsia: , 1742, in-4'>.

6 Histoire des mathématiques ^ tom. I", p. 316.

NOTES. 273

Heilbronner avaient commis cette erreur, mais elle n'avait point été partagée par Ber-
nardin Baldi, ni Blancanus. Deux autres écrivains ont parfaitement connu la nature des
spiriques. Le premier est Dysapodius qui, dans ses définition* et dioitiont ' de la Géo-'
métrie, parle plusieurs fois de ces courbes. Le seconil est le savant Savile, qui, dans ses
Prœlectiane» tredecim in principium elementormn E uclidi* (Oxonii, 1021 , in-4''),
énumére les lignes que les Anciens ont considérées, et rapporte textuellement le pas-
sage de Proclus qui fait connaître la génération des spiriques. (Lectura quarta , p. 73).

NOTE II.

(PRBHliRE ÉPOQDB, § 8.)

Sur les lieux à la surface d'Euclide.

Montucla dit, à la page 172 du premier volume de son Histoire de* mathématique» ,
que les lieux à la surface d'Euclide étaient des surface*; et, à la page 215 du même
Tolume, que c'étaient des lignes à double courbure décrites sur des surfaces courbes,
telles que l'hélice sur un cylindre circulaire. Il est jiossible que les Anciens aient désigné,
en général, par ce mot, les surfaces et les courbes qui y étaient tracées. Mais quels
étaient véritablement les lieux à la surface d'Euclide? Il ne nous reste, pour répondre
à cette question, d'autre indication que quatre lemmes de Pappus, relatifs à cet ou-
Trage; et comme ces lemmes ne traitent que des sections coniques, nous devons penser
qu'Euclide ne considérait que les surfaces que nous appelons aujourd'hui du second
degré. Et nous sommes porté à croire que ces surfaces étaient de révolution. Car, d'une
part, il est certain que les surfaces de révolution du second degré avaient été étudiées
antérieurement à Archimède, parce qu'après avoir énoncé quelques propriétés de leurs
sections par un plan, il dit à la fin de la 12° proposition de son livre Des sphéroïde* et

1 LtxicOH mathtmaticum , ex diversis collectum antiquis scriptisj faitant partie du ToIume de 1S79,
décrit ci-de(>a>.

Speirica aeefionet ila se haltni, ut altéra ait incurvata , implicala timilit cauda ejuina. Alttra vtn im
medio quidem est latior; es utraque vero parte déficit. Est etiam alia, qua oUonga c%m tit, in mtdio ,
intervallo utitur minore; sed ex utraque parte dilatatur. (f". 9, t». )

To«. XI. 35

274 NOTES.

des conoïdes, «les démonslrations de toutes ces propositions sont connues;» et de plus,
nous remarquons que le dernier lemme de Pappus est la propriété principale du foyer et
de la directrice d'une conique; et ce théorème nous paraît avoir pu servir à démontrer
que le lieu d'un point dont les distances à un point fixe et à un plan doivent être entre
elles dans un rapport constant, est un sphéroïde ou un conoïde, ou bien à démontrer
que la section de ce lieu, par un plan mené par le point fixe, est une conique qui a
son foyer en ce point, et pour directrice l'intersection du plan de cette courbe par le
plan fixe.

Ainsi il nous semble probable que les lieux à la surface d'Euclide traitaient des sur-
faces du second degré de révolution, et des sections faites par un plan dans ces surfaces,
comme dans le cône.

NOTE III.

(première époque, § 8.)

Sur les Porismes d'Euclide.

On doit à R. Simson d'avoir rétabli la forme des énoncés qui caractérise les propositions
appelées Porismes par les Anciens; et d'avoir aussi deviné plusieurs de celles qui sont
indiquées si imparfaitement par Pappus. Dans la suite de son ouvrage, Simson reproduit,
avec leurs démonstrations, souvent simplifiées et complétées, les 38 iQuamesA^s Collections
mathématiques, relatifs aux porismes ; et donne ensuite la démonstration de cinq pro-
positions de Fermât, converties en porismes, et diverses autres propositions très-générales
relatives au cercle, trouvées par Mathieu Stewart, et faisant de véritables porismes.

Mais Simson ne nous parait pas avoir abordé diverses autres questions que devait
comprendre une divination complète de la doctrine des porismes. Ainsi, nous n'y voyons
pas quelle a été la pensée d'Euclide en composant son ouvrage dans une forme inaccoutu-
mée; sous quel rapport il méritait l'éminente distinction qu'en fait Pappus ; par quelles
méthodes, ou opérations actuelles, il se trouve suppléé chez les Modernes, et enfin,
comment différons passages de Pappus sur les porismes , et la définition de Proclus ,
peuvent recevoir une interprétation satisfaisante. Nous dirons , en un mot , que la doc-

NOTES. 275

trine des porismes, son origine, ou la pensée philosophique qui l'a créée, sa destination,
•es usages, ses applications et sa transformation dans les doctrines modernes, sont autant
de mystères , qui ne nous sont pas dévoilés dans le traité de Simson. Ajoutons que nous
n'y trouvons rétablis que six des trente propositions énoncées par Pappus.

Un certain nuage nous a donc semblé couvrir encore cette grande question que nous
a léguée l'Antiquité; à moins que d'autres écrits, qui nous seraient inconnus, ne soient
venus depuis l'éclairer d'un plus grand jour, ou bien que notre faible intelligence n'ait
pas compris l'ouvrage du célèbre Simson.

Ces réflexions nous ont long-temps préoccupé, et détourné souvent de l'étude à laquelle
nous aurions voulu nous livrer; car l'intérêt que le sujet est de nature à inspirer, était
plus puissant que notre volonté. Nous avons été conduit de la sorte à former quelques
conjectures sur cette doctrine des porismes, et à rétablir les 24 énoncés de Pappus, qui
ont été laissés intacts par Simson. Nous allons présenter succinctement une analyse de
notre travail, en réclamant l'indulgence du lecteur, car nous n'abordons une telle ques-
tion, qui a excité la curiosité de grands géomètres , qu'avec la timidité et la défiance que
doit nous inspirer le sentiment de notre faiblesse.

Faute de documcns suflfisans pour rétablir par la voie analytique la doctrine complète
des porismes , il faut , en quelque sorte , recomposer cette doctrine à priori , par la pure
synthèse. C'est im système qu'il faut former, et soumettre à toutes les questions et aux
épreuves auxquelles peuvent donner lieu les fragmens qui nous restent.

La conception des porigmeg nous parait dériver de celle des donnée» ; et telle a été ,
selon nous, son origine dans l'esprit d'Euclide.

Les porttmet étaient par rapport aux propositions locale*, ce que les donnée* étaient
par rapport aux simples théorèmes des élémen*.

De sorte que les pori*mes formaient avec les donnée* un cotnplément des élémens de
Géométrie, propre à faciliter les usages de ces élémens pour la résolution des problèmes i.

Sous ce point de vue, la destination spéciale Aes poritme* était de procurer la connais-
sance des lieux ; en offrant les moyens de tirer des conditions par lesquelles un lieu
inconnu était déterminé, une autre expression plus simple de ce lieu, propre à en faire
connaître la nature et la position.

Par exemple, si on demande un point dont les carrés des distances à deux points fixes,
multipliés respectivement par deux constantes , aient leur somme constante, on démontrera

I Ici noa$ hatarderon* une réflexion que nout n'avons pa* o*ë non» permettre en parlant du liTre dei
Données d'Euclide.

Dan> lea énoncés de poriames laiaaéa par Pappua, bien qu'il soit difficile d'en deviner le sena, ou reconnaît
cependant que dana cea aortca de propositions , il y a quelque chose à trouver ; et Pappua désire cette cho*«
cherchée par le mot donné , comme a fait Euclide dans le livre des Données, et il applique en même temps le
même mot h chacune des choses données par l'hypothèse de la question. Les énoncés de Pappus auraient été
plus intelligibles «'il n'avait désigné que celles-ci par le mot donné, elles autres, c'eat-i-dire celle* qu'il faut
trouver , par le mot déterminé.

Cette observation a'applique au livre des donnéea d'Euclide; mais c'est surtout en m'occupant de la divina-
tion des poriamos , que lea inconvéniens d'un même mot pour deux chose* différentes m'ont para sensibles.

276 ■ NOTES.

qu'il existe un certain point fixe le) que la distance de chaque point cherché à ce point
fixe sera constante, et l'on déterminera par les seules données de la question la position
de ce point fixe et celte distance constante.

Ce sera là un porisme, et ce porisme fera voir que le lieu du point cherché esl une
circonférence de cercle.

Cet exemple montre quel a été l'usage des porismes. Nous dirons donc qu'un recueil
de porismes était un tableau de diverses propriétés ou expressions différentes des courbes
(droites et circulaires seulement dans le traité d'Euclide), et que ce tableau présentait
les transformations de ces propriétés les unes dans les autres.

De sorte que les porismes, dans l'esprit d'Euclide, étaient, en quelque sorte, les
équations des courbes.

Ils donnaient la facilité et l'art de changer de coordonnées (en comprenant sous ce mot
toutes les manières possibles d'exprimer une courbe par deux ou plusieurs variables).

La doctrine des porismes était donc la Géométrie anali/ tique des Anciens : et peut-être,
si elle nous était parvenue, y trouverait-on le germe de la doctrine de Descaries; nous
croj'ons au moins que l'équation de la ligne droite (abstraction faite de la forme algé-
brique sous laquelle nous l'employons) a fait partie des porismes mêmes d'Euclide; et
c'est pour cela que nous l'avons choisie pour exemple de porisme dans le texte du dis-
cours. Nous appuierons cette opinion de plusieurs preuves, dans un autre moment. Et
si ces premières conjectures ne paraissent pas dépourvues de toute vraisemblance, nous
ajouterons qu'il n'a manqué à Euclide que l'usage de l'algèbre pour créer les systèmes
de coordonnées qui datent de Descartes.

Voici quelle est la question générale à laquelle il nous semble qu'Euclide a pu destiner
ses porismes :

« Un lieu étant déterminé par une construction commune à tous ses points, ou par
un certain système de coordonnées, trouver une autre construction, ou un autre système
de coordonnées qui satisfasse à tous les points de ce lieu, et qui en fasse connaître la
nature et la position. »

D'après l'énoncé de cette question générale, l'objet des porismes aurait été de faciliter
les changemens de construction des lieux, ou les changemens de coordonnées propres à
tous leurs points; et le traité d'Euclide aurait été une collection de formules propres
à remplir ce but.

Ces changemens de construction, en effet, et ces transformations de coordonnées
étaient les seuls moyens que la Géométrie, chez les Anciens, pût employer pour étudier
les courbes qui se présentaient dans leurs spéculations, et pour s'en servir dans la réso-
lution des problèmes.

Proclus a donc laison de dire qu'il s'agit, dans les porismes, de l'invention d'une
chose, que Von ne recherche et que l'on ne considère point pour elle-niêtne.

En effet, ces nouveaux modes de construction, ces nouvelles coordonnées, que l'on
cherche, ne sont que des auxiliaires qui ne doivent servir qu'à l'étude et à la contem-
plation de la courbe sur laquelle on opère.

NOTES. Î77

Les porismes renfermés dans les trois livres d'Euclide étaient un recueil de formules
propres à la construction des lieux à la droite, au point et au cercle. C'étaient les ma-
nières connues alors, ou inventées par Euclide, pour exprimer par deux coordonnées ,
liées entre elles pur une certaine relation, les descriptions diverses de ces trois lieux, et
pour passer de l'une de ces descriptions à une autre.

Gela avait pour objet de ramener à une même description, ou à un même système de
coordonnées, les différentes parties d'une figure qui, par les hypothèses de la question,
étaient produites par des descriptions ou des coordonnées différentes. Opération en
quelque sorte analogue à la réduction de plusieurs fractions numériques ou littérales à
un même dénominateur. Opération du reste, dont l'utilité doit être bien sentie des
géomètres modernes qui la pratiquent journellement dans toutes les parties des mathé-
matiques, en se servant de différens modes de coordonnées auxiliaires, et en les trans-
formant les unes dans les autres, suivant les besoins de la question.

Nous allons peut-être mieux faire comprendre l'usage des porismes, par un autre
rapprochement avec les méthodes modernes.

Les Anciens n'avaient pas, comme nous avons depuis Descartes, des termes de com-
paraison entre les lieux auxquels ils étaient conduits dans leurs recherches géométriques.
Pour nous , il suffit d'exprimer un lieu en coordonnées ordinaires; et nous en savons im-
médiatement la nature : la discussion de son équation nous apprend ensuite les affections
et les circonstances singulières de ce lieu , et le rang qu'il occupe, comme variété, dans la
famille à laquelle il appartient. Ainsi l'équation du lieu , dans la doctrine de Descartes,
est en quelque sorte l'expérimentation unique à laquelle il nous suffit de le soumettre,
pour en connaître la nature , la position et les rapports avec les autres lieux connus.

Les Anciens, au contraire, ne possédaient pas un tel procédé général et uniforme d'in-
vestigation : et n'ayant pas un terme unique de comparaison , ils ont dû inventer divers
moyens auxiliaires pour arriver à reconnaître les rapports d'un lieu , qui se présentait
pour la première fois, avec les autres lieux déjà connus. Ces moyens ne pouvaient être
que des changemens de description, ou de coordonnées du lieu, pour parvenir à quel-
ques rapports assez simples, et même d'identité, avec les modes de description des lieux
connus.

Telle est l'origine de leurs porismes. Ils avaient pour objet de substituer à une expres-
sion géométrique ou analytique d'un lieu, une autre expression, géométrique ou analy-
tique du même lieu.

Ces considérations montrent les rapports qui existent entre la doctrine des porismes et
nos méthodes modernes; elles font voir aussi combien ces porismes devaient être utiles;
car, envisages de la sorte, ils formaient véritablement une Géométrie analytiijue , qui
ne différait de la nôtre que par les symboles et les procédés de l'algèbre, que Descartes a
la gloire d'y avoir introduits. Ainsi ces porismes suppléaient, chez les Anciens, notre
analyse moderne, qui les a remplacés à notre insu. Mais il est fort remarquable que la
chose n'a fait que changer de nom; car l'analyse de Descartes ne présente elle-même, dans
ses applications, qu'un porismo continuel, mais toujours d'une même nature, et d'une

278 NOTES.

forme convenue , qui est très-propre aux usages auxquels nous l'employons. Car cette
analyse a pour but, comme la doctrine des porismes d'Euclide , de tirer des conditions
d'un lieu, une expression nouvelle de ce lieu, qui nous soit connue, et qui, par ses
rapports avec certains termes de comparaison, nous fasse connaître la nature et la posi-
tion de ce lieu.

Par exemple, qu'on demande de trouver un point tel que le carré de sa distance à un
point fixe, soit dans un rapport donné avec la distance de ce point à une droite fixe.

En prenant dans le plan de la figure deux axes rectangulaires , et en appelant x et y les
distances du point cherché à ces deux axes, on trouve entre ces variables une relation
de la forme :

x' -1- y' -t- oa: -<- 6y c= c%

où a, b, c sont des coefficiens constans, composés avec les données de la question. Cette
équation exprime donc ce porisme :

« On peut trouver deux lignes , a , A et un carré c' , tels que les carrés des distances du
point cherché, aux deux axes menés dans le plan de la figure, plus les produits de ces
distances par les deux lignes a, b respectivement, forment une somme égale au carré c^. »

Ce porisme fait voir, parles élémens de la Géométrie analytique, que le lieu cherché
est un cercle.

Mais si ces élémens n'étaient pas formés, ou qu'on voulût s'en passer, on simplifierait
l'équation ci-dessus en changeant l'origine des coordonnées , et l'on arriverait à une équa-
tion de la forme : '

a?' -+- y' = A%

m

qui exprimerait ce second porisme :

« Il existe dans le plan de la figure un certain point, qu'on peut déterminer , et qui se
trouve toujours à une même distance, qu'on peut déterminer aussi , de chacun des points
cherchés. »

Ce porisme fait voir que le lieu du point cherché est un cercle , de grandeur et de posi-
tion déterminées.

Ces résultats, auxquels nous sommes parvenu par la méthode des coordonnées de Des-
cartes, auraient pu s'obtenir aussi sans calcul et d'une manière purement géométrique.
Mais quelle que soit la voie que l'on suive, on voit qu'on peut les considérer comme des
porismes. Et cela explique comment nous concevons que la méthode de Descartes a rem-
placé les porismes, en substituant, à l'aide du calcul, aux divers genres de porismes dont
les Anciens faisaient usage, une seule et unique formule générale qui se prête avec une
facilité merveilleuse à toutes sortes de questions.

Après avoir émis les idées que nous nous sommes faites sur la doctrines des porismes,
il nous faudrait les soumettre à une interprétation du texte que Pappus nous a laissé sur

NOTES. 279

cette matière. Mais cette Note est déjà trop longue , et nous ne pouvons entrer ici dans de
tels développeinens.

Nous nous bornerons à dire qu'en prenant pour point do départ, et pour base, notre
manière de concevoir la doctrine des porisnies, nous avons obtenu nsseï naturellement
une interprétation des vingt-quatre énoncés de porismes que n'a pas rétablis Simson.
Nous nous sommes aidé , dans ce travail , des trente-huit Icmmes de Puppus sur les poris-
mes, et de ses propositions sur les loca plana d'Apollonius. Car les porismes d'Euclide
étant des propositions locales sur la ligne droite et le cercle, nous avons pensé qu'Apol-
lonius avait dû s'en servir pour former ses /oca/^/una, qui, à leur tour, pourraient servir
pour former un traité des porismes.

Les limites dans lesquelles nous devons nous renfermer ne nous permettent pas d'énon-
cer ici les porismes que nous avons trouvés comme répondant au texte de Pappus. Mais
nous allons donner deux propositions très-générales qui nous ont paru comprendre, dans
leurs nombreux corollaires, les quinze énoncés de Pappus, appartenant au premier livre
des Porismes d'Euclide, et desquelles par conséquent on pourra déduire autant de théo-
rèmes répondant à ces énoncés.

De ces deux, propositions dérivent aussi plusieurs systèmes de coordonnées, particu-
lièrement celui de Descartes.

Il résulte de là une véritable connexion entre les porismes d'Euclide et les systèmes de
coordonnées modernes, qui sera peut-être un commencement de justification des idées
que nous avons émises sur la doctrine des porismes.

Voici quelles sont les deux propositions en question ; nous les énonçons sous forme de
porismes :

Premier porisme : Etant prit , dans un plan, deux points P, P', et deux transver-
sales qui rencontrent la droite PP' aux points E , E' ; et étant pris sur ces deux
transoersales respectivement deux poifits fixes 0,0';

Si de chaque point d'une droite donnée on mène deux droites aux points P, P' , qui
rencontreront respectivement les deux transversales EO , E'O' en deux points a, a';

On pourra trouver deux quantités / , ^ telles que l'on aura toujours la relation:

Oa O'a'

(1) =- -t- A = A*.

^ Ea E'a'

Second porisme : Etant menées, dans un plan, deux droites fixes qui se rencontrent
en un point S, et étant pris sur ces deux droites respectivement , deux points fixes 0,0';

Si autour d'un point donné on fait tourner une traversale , qui rencontrera les deux
droites fixes en deux pointsa, a';

On pourra trouver deux quantités X , [x telles qu'on aura toujours la relation :

/*» Oa O'a'

280 NOTES.

Les réciproques de ces deux propositions sont vraies; c'est-à-dire que :

1° Quand l'équation (1 ) a lieu entre les segmens que les deux points variables a ,a' font
sur les deux droites fixes EO , E'O', les deux droites Va, P'«' se croisent en un point dont
le lieu est une droite déterminée par les valeurs des deux constantes ^ et [l.

2° Quand l'équation (2) a lieu entre les segmens que deux points variables a , a' font
sur deux droites fixes SO, SO', la droite aa' passe toujours par un même point qui est
déterminé par les valeurs des deux constantes X et ;u.

Du premier porisme et de sa réciproque, on conclut aisément ce porisrae très-général
qui concerne toutes les courbes géométriques :

Porisme général. Les mêmes choses étant supposées que dans le premier porisme ,
si (le chaque point d'une courbe géométrique donnée on mène des droites aux deux
points P, P' , qui rencontreront les deux transversales fixes , aux points a, a', respec-
tive?nent ;

Il existera des valeurs des eoeffîciens a, ê, y, (?, etc. , qui satisferont à l'équa-
tion générale du degré m entre les deux rapports — , — ,

OaY f OV N /"Oa^"-'

De là résultent une infinité desj'stémes de coordonnées, propres à représenter tous les
points d'une courbe; on y trouve celui de Descartes, en supposant le point P à l'infini
sur la transversale O'E', et le point P' à l'infini sur la transversale OE, et que les deux
points 0, 0' soient l'un et l'autre à l'intersection des deux transversales.

Le second porisme et sa réciproque donnent pareillement lieu à un porisme très-
général, qui concerne toutes les courbes géométriques :

Porisme général : Etant menées dans le plan d'une courbe géométrique deux trans-
versales qui se rencontrent en S , et étant pris sur ces droites respectivement deux
points fixes o , o' ;

Une tangente quelconque à la courbe rencontrera ces deux droites en deux point»
a, a';

Et si la courbe jouit de ce caractère général que, par un point pris au dehors , on
puisse lui mener généralement et au plus m tangentes ,

Il existera des valeurs des eoeffîciens a, 6, y, , qui satisferont à V équa-
tion générale du degré m entre les deux rapports —, r7~>

OaV' ( O'a' A /Oa'^'"-'

Sa / V Sa' y V Sa

Revenons à nos deux propositions générales primitives exprimées par les équations (1)

et (2).

NOTES. 281

Chacune de ces équations peut so transformer de différentes manières en d'autres, qui
auront deux, trois ou quatre termes. Plusieurs de ces transformations sont nécessaires
pour donner l'interprétation des Poritme* du premier livre d'Euclide Nous devons ajou-
ter que chacuue des équations que l'on obtient ainsi , sert à exprimer plusieurs porismes
difiérens, parce qu'on y peut prendre pour inconnues du porisme, au lieu des coefBciens
constans, comme nous l'avons fait, différentes parties de la figure, telles que les points
o, o', ou les directions des transversales.

On tirera de la sorte, de nos deux propositions générales, une multitude de porismes,
et nous croyons ne pas exagérer en en portant le nombre à deux ou trois cents. Une telle
abondance s'accorde bien avec ce que dit Puppus, de lu fécondité des Porisme* d'Euclide:
« Per omnia Porinmata non nisi prima principia, et sernina lantum multarum et
» magnnrum rerum sparsisse videtur (Euclide). »

Des différentes équations identiques dont nous venons de parler , nous avons choisi
pour exemples les deux (1) et (2), parce que ce sont celles qui embrassent le mieux l'in-
fiuité de propositions que comporte celte matière, et surtout parce que ce sont celles qui
ont leurs analogues dans l'espace, et qui servent à étendre la doctrine des Poritmes
d'Euclide à la Géométrie à trois dimensions.

Voici les deux théorèmes généraux qui rempliront cet objet; nous les énoncerons sous
forme de porismes :

Premier porisme : Etant donnés dan* l'etpace un triangle ABC, et troi* tran*ver-
sale* quelconque* , qui rencontrent le plan du triangle en E, E' , E" i et étant prit tur
ce* troi* droite*, troi* points fixe* O, 0', 0" ;

Si de chaque point d'un plan donné on mène troi* plans postant retpectivement
par le* troi* coté* AB, BC, CA du triattgle , et rencontrant respectioement le* trois
tran*oer*ale* aux point* a, a', a";

On pourra trouver troi* quantités comtantes , telles qu'on aura toujours l'équation :

Oa

-t-

O'o'
Il a

+

/*

0"a"

Ea

E"o"

Et, réciproquement, les trois coefïiciens 1, ix, v étant donnés, il leur correspondra
toujours un certain plan qu'on pourra déterminer.

Second porisme : Etant pris dan* l'espace un angle trièdre dont le sommet est en
S , et étant pris sur ses arêtes trois points fixes O, O', O" ;

Si, autour d'un point donné , on fait tourner un plan transversal , qui rencantrera
les arêtes de l'angle trièdre en a, a' et a";

On pourra trouver trois quantités constantes,!, (j., v, telles qu'on aura toujours
l'équatian :

Oa O'o' 0"a"

To«. XI. 36

282 NOTES.

Et, réciproquement, si dans cette équation les trois coefficiens 1, [x, v sont donnés,
il leur correspondra toujours un certain point dans l'espace.

Ces deux théorèmes généraux sont susceptibles d'une infinité de corollaires , au nombre
desquels se trouvent le principe de transformation des figures en d'autres du même genre,
et celui de la- dualisation des propriétés de l'étendue. Mais nous ne pouvons entrer ici
dans tous ces détails.

Nous devons prévenir que, quoique nous n'ayons appliqué la doctrine des porismes
qu'aux propositions locales , nous l'étendons cependant, suivant la définition générale de
Simson, à toutes sortes d'autres propositions géométriques ou algébriques , où il y a cer-
taines choses variables.

Voici, pour terminer cette Note, une liste des auteurs qui ont écrit sur les porismes,
ou qui seulement ont employé ce mot, sans dire la signification précise qu'ils lui attri-
buaient.

Il faut rappeler d'abord que , dans son acception commune et générale , le mot Wopia^ ,
chez les Grecs, signifiait corollaire. C'est dans ce sens qu'Euclide en a fait usage dans
beaucoup de propositions de ses Élémens. Mais dans son Traité des porismes , il avait
un sens particulier.

Diophante, dans ses Questions arithmétiques , a plusieurs fois employé le mot pu-
risme, pour désigner certaines propositions concernant la théorie des nombres, sur les-
quelles il appuie ses démonstrations , et qui formaient probablement un ouvrage qui ne
nous est pas parvenu. (F'oir, par exemple, les propositions 3 , 5 et 19 du livre V.)

Pappus et Proclus, comme nous l'avons dit, nous ont laissé des définitions différentes
des porismes d'Euclide.

Ce sont là les trois seuls auteurs anciens où nous trouvions le mot porisme employé
dans une autre acception que la signification commune de corollaire.

Chez les Modernes, on le rencontre d'abord dans le cosmolabe de Besson( Paris, 1567,
in-4''), où il est employé concurremment avec le mot corollaire, pour désigner des pro-
positions déduites d'une proposition principale. (Pag. 203, 207 et 210.)

Vers le même temps, Dasypodius, dans son livre intitulé : Volumen II matheniati-
cum, complectens prœcepta mathematica , astronomica, logistica. (Argentorati, 1570,
in-8°) a donné une définition des porismes, suivant le sens de Proclus, (P. 243 et suiv. )

Viète s'est servi du mot porisma en parlant du corollaire qui suit la proposition 10
du IIP livre des Élémens d'Euclide. (p^arioruni de rébus mathematicis responsorum
liber FUI, cap. XIII.)

Neper, dans son immortel oawage : Mirifici Logarithmoru7n canonis descriptio ,
ejuaque usus in utraque tri(/onometria, etc. (Edimbourg, 1614, in-4°), appelle porisma
une sorte de scholie général qui résume les règles qu'il vient de donner pour la résolu-
tion des triangles sphériques qui ont un angle droit ou un côté égal à un quadrant.

Alexandre Anderson intitule Porisma un problème local, où il s'agit de trouver le
lieu des sommets des triangles , qui , ayant même base , ont leurs deux autres côtés
dans un rapport constant. Voir : Animadversionis in Franciscnni Fietam a Clémente

NOTES. 283

Cyriaco nuper editœ , bravit Aixxptut^, per Âlexandrum Andersonum. (Paris, 1617,
10-4", 7 pages.) '

Bachet de Meziriac, à l'instar de Diophante, a aussi employé le mot porisme, et l'a
donné à une série do propositions sur la théorie des nombres, qui précédent sa traduc-
tion et son commentaire des six livres arithmétiques de l'analyste grec ; et qui sont
comme autant do lemmes nécessaires pour l'intelligence de cet ouvrage. Ces porismes
sont en trois livres intitulés : Claudii Gaspart» Bacheti tebiuiani in Diophantum ,
Porùmatum lihri tre«. (Paris, 1621 , in-fol.)

Savile, dans ses Prœlectione* tredecim in principium elementorum Euclidti.(Oxonii,
1621, in-4°), a donné une définition des porismes, dans le sens de Proclus. (Lectura
prirna , p. 18.)

Albert Girard annonçait dans sa Trigonométrie (La Haye, 1626, in-16), et dans son
commentaire des œuvres de Stevin (Leyde, 1634, in-fol., p. 459), avoir rétabli les po-
rismes d'Euclide. Mais ce travail n'a pas vu le jour. Puisse-t-il n'être pas entièrement perdu!

Kircher, dans la partie de son Ars magna Lucis et Umbrœ (Romae, 1646, in-fol.),
qui traite des sections coniques, se sert en même temps des trois mots corollarium,
contectarium et porittna , pour désigner des conséquences d'une proposition princi-
pale. Mais le plus souvent cependant, le dernier mot s'applique à une proposition qui
n'est pas la conséquence de celle qui a été démontrée, mais qui en est au contraire une
généralisation , ou du moins qui s'y rapporte comme faisant partie de la même théorie.
Par exemple, après qu'une propriété de la parabole vient d'être démontrée sous le titre de
proposition , on trouve sous le titre de porismes les propriétés analogues de l'ellipse et
de l'hyperbole {voir pag. 237 et 238; 242 et 243).

Schooten, dans ses Sectiones triginta m,isoellaneœ (livre Y des Exereitationes ma-
thematicœ. Leyde, 1657, in-4»), intitule Porisma la section 24', où, pour donner un
exemple de la manière de découvrir en Géométrie les propriétés des figures, il se propose
de trouver celles qui appartiennent à la figure formée par différentes droites menées
d'une certaine manière dans le plan d'un cerclé". (P. 484 des Exereitationes mathematicœ.)

Les quatre géomètres suivans ont traité formellement de la divination des porismes :

Marin Glictaldi , De retolutione et compositione tnathematica, lib. V ^ opus pos-
thuroum. Romœ, 1640.

BuUiaud, Exereitationes geometricœ très : \° circa demonstrationes per inseriptas
et circumseriptas figuras; 2" circa conicarum sectionum quasdam propositiones ;
Z" de Porisniatibus. Parisiis 1657, in-4''.

'K.Kna\A\n\,Deresolutione et compositione mathematica, libri duo.Vaiay'ii, 1668, in-f".

Fermât, f^aria opéra mathematica. Tolosse, 1679, in-fol.

1 Anderson atiit écrit plntieart ouTrnges (nr l'analyie géométrique de< Anciens, qui n'ont pa* été publiét.
Uersenne, dans ton lirre de la Vérité des teisnces ( 162fi, in-12 ; p»g. 768), fait un grand éloge de ce géo-
mètre , qui, pendant sa -vie , dit-il , n'a pat été traité selon son mérite , bien qu'il pût approcher d'Arcbiméde
et d'Apollonius. Puis il ajoute qu'Anderson avait préparé plusieurs ouvrages pour suppléer à ceux des Ancien)
qui ne nous sont pas parvenus ; et il engage les personnes qui les possèdent à ne pas en priver les sciences.

284 NOTES.

Porismatuni Euclidœorum renovata doctrina, et s uh forma isag^^rjes recentiorihus
Geometricis exhihita. Cet écrit, de quatre pages, avait été communiqué par Fermât,
plusieurs années auparavant, à divers géomètres, et entre autres à Bulliaud qui en fait
mention dans l'ouvrage que nous venons de citer de cet auteur.

Maintenant, après qu'un siècle s'est écoulé sans nous offrir aucun écrit sur les poris-
mes , nous trouvons :

Lawson, Treatise concerning Porisms, 1777, in-4''.

Ce géomètre est auteur d'un autre ouvrage sur la Géométrie des Anciens, intitulé :
Geometrical analysis of the antients , in-S", 1775.

Wallace, Geometrical Porigms , 1796, in-4°.

Playfair , On the origin and investigation of Porisms ; Tran/iaclions de la société
royale d'Édittibourg , tom. III , année 1794 , et lom. III , pag. 179 des OEuvres de Play-
f air en quatre vol. in-8°, 1822.

Lhuillier, Élémens d'analyse géotnétrique et d'analyse algébrique ^ in-4'', 1809.

J. Leslie, Geometrical analysis, liv. III*^; in-8'', Edimbourg 1809 et 1821.

Cet ouvrage a été reproduit dans notre langue par M. Auguste Comte, à la suite du
second supplément à la Géométrie descriptive, par M. Hachette, in-4°, 1818.

Dans ces dernières années, M. Hoëné Wronski a donné une nouvelle interprétation des
porisraes, et s'est servi de ce mot dans son Introduction à la philosophie des mathé-
matiques (pag. 217).

M. Eisenman , professeur à l'école des ponts et chaussées de France, qui s'occupe d'une
traduction des œuvres de Pappus, accompagnée du texte grec, a porté son attention sur
la doctrine des porismes, dont il promet une explication nouvelle. (Voir Traité des pro-
priétés projectives, introduction, pag. 37).

Nous désirons vivement avec M. Poncelet, que la publication de cet ouvrage, qui serait
si utile à la Géométrie, n'éprouve pas de trop longs retards.

Castillon, célèbre géomètre du siècle dernier, qui était très-versé dans la Géométrie
ancienne, pensait que le Traité des Porismes existait encore en Orient au XIII" siècle,
et qu'un commentaire du fameux astronome et géomètre Nassir-Eddin de Thus, sur un
ouvrage d'Euclide, dont parle d'Herbelot dans sa Bibliothèque Orientale , se rappor-
tait à ce traité même, qui seul avait pu mériter d'être commenté par le célèbre géomètre
persan. « Heureux, s'écrie Castillon, si je ne me trompais pas! Heureux les géomètres qui
» posséderaient ces admirables livres et en connaîtraient le prix! » (Mémoires de l'acadé-
mie de Berlin , années 1786 — 1787.)

Que de découvertes précieuses pourront être faites dans les bibliothèques de l'Orient ' ,
si un jour elles sont explorées , sous les auspices de quelque gouvernement ami de<>
sciences, et jaloux de la gloire qu'elles ont répandue sur les siècles des Ptolémée, des
Médicis, de Louis XIV.

1 Les Persans prétendent posséder quelques ouvrages grecs que nous n'avons pas ; et nous voyons en effet
que les Arabes en citent plusieurs qui nous sont inconnus. ( Voy. Montucla, Uistoirc des viuth., tome 1",
pag. 373 et 394).

NOTES. 285

NOTE IV.

Ht

(PREUIÈBE ÉPOQUE, § 12.)

Sur la manière de construire les foyers dans le cône oblique, et d'y
démontrer leurs propriétés.

Apollonius appelle les foyer» des coniques, points d'application (Puncta ex appli-
eatione fada), et les déniiil ainsi : chacun de ces points divise le grand axe de l'ellipse
ou l'axe transverse de l'hyperbole, en deux segnaens dont le produit est égal au carré du
demi-axe conjugué, ou, pour parler le langage d'Apollonius, est égal au quart de la
figure. Ce qu'il appelle la figure est le rectangle construit sur le grand axe et sur le
latut rectum.

Cette construction des foyers ne les rattache, comme on Yoit, que très-indirectement
au cône; et je ne sache pas qu'on ait encore donné, de ces points, une construction
générale et directe, prise dans le cône même, dans le genre de celle de Jacques Ber-
noulli pour le latu* rectum: si ce n'est pour le cas particulier du cône droit, ainsi
que nous le verrons dans le cours de cette Note.

Voici pour le cas général du cône oblique, la construction à laquelle nous sommes
parvenu :

Le plan coupant étant «uppoté , comme dan» le» conique» d'j4polloniu» , per-
pendiculaire au TRiAKGLE PAR l'axe, gue par l'un de» deux »ommet» de la courbe ,
on mène un plan parallèle à la hane du cône, et le plan de la section sou»-con traire ;
ce» deux plan» couperont le cône suivant deux cercle» : gue par leurs centre» on
mène un cercle tangent au diamètre de la courbe »itué dan» le plan du triangle
par l'axe ; lj point de contact sera l'un des foyers de tA courbe.

Quand le diamètre de la courbe sera situé entre les centres des deux cercles, cette
construction ne sera plus exécutable; c'est qu'alors ce diamètre n'est plus le grand axe
de la courbe, qui, dans ce cas, est toujours une ellipse; le grand axe alors est perpendicu-
laire au plan du triangle par l'axe. La construction des foyers pour ce cas est dilTérente,
mais elle devient encore plus simple que dans le cas général. Que, sur la droite qui
joint les centres des deux cercles, prise pour diamètre, on décrive une circonférence de
cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui du triangle par l'axe ; le» point» où
cette circonférence rencontrera le grand axe de la courbe feront le» foyer» cherchés.

Ces deux constructions conduisent à une expression unique et générale de l'exccn-

286 NOTES.

Iricité d'une section conique, considérée dans le cône, savoir que : l'excentricité est
moyenne proportionnelle entre les distances du centre de la courbe aux centres des
deux sections .circulaires qu'on peut faire passer par l'un des sommets de la courbe,
compris dans le plan du triangle par l'axe.

Quand le cône est droit, l'expression de l'excentricité devient extrêmement simple:
Que, du centre de la section d'un cône droit par un plan, on abaisse sur l'axe du
cône une oblique parallèle à l'une des deux arêtes comprises dans le plan du triangle
par l'axe; cette oblique sera égale à l' excentricité de la section.

Remarque. — Notre construction des foyers, dans le cône oblique, démontre que
les focales de MM. Quelelet et Van Rees, ces courbes du troisième degré qui sont le lieu
géométrique des foyers des sections faites dans un cône, par des plans menés par une
tangente au cône , perpendiculaire à l'un de ses plans principaux , que ces courbes , dis-je ,
considérées sur le plan , sont le lieu géométrique des points de contact des tangentes
menées par un point fixe à plusieurs cercles qui passent par deux mêmes points, ou , plus
généralement, qui ont même axe de symptose deux à deux. Proposition que nous avions
énoncée déjà sans démonstration. [Correspondance math, de M. Quetelet, tom. VI,
pag. 207.)

Mais on voit de plus que ces focales ne sont pas toujours le lieu géométrique complet
des foyers des sections du cône; et que, quand ces sections sont faites par des plans
perpendiculaires au triangle par l'axe, il y a, outre la courbe du troisième degré.,
un cercle situé dans un autre plan, qui complète ce lieu géométrique.

Cette remarque avait échappé à l'analyse employée par M. Van Rees , dans son inté-
ressant mémoire sur les focales. [Correspondance mathém. , tom. V, pag. 361.)

La construction que nous venons de donner des foyers des coniques, prises dans le
cône oblique , ne se prête pas à la démonstration des propriétés de ces points , et n'est
pas propre même à indiquer à priori leur existence dans les coniques. Il reste donc à
rechercher comment, par la considération des coniques dans le cône, on peut être con-
duit à la découverte de leurs foyers.

Cette question a déjà occupé quelques géomètres.

Hamilton , auteur d'un bon Traité géométrique des coniques considérées dans le
càne^, a cherché à tirer de la nature même du cône les propriétés de la directrice des
coniques. Mais il se sert du cône droit, et il y suppose connu à priori le foyer de cha-
que section. (Pag. 100 et 122.)

Dans ces derniers temps , MM. Quetelet et Dandelin, en considérant les coniques dans le
solide, sont parvenus à de fort beaux résultats nouveaux, dont le suivant offre, je crois,
la première construction qu'on ait donnée des foyers des coniques dans le cône :

Un cône droit étant coupé par un plan , si on conçoit deux sphères inscrites dans le
cône , et tangentes au plan, les deux points de contact seront les foyers de la section

1 De sectionihus conicis tractatus geometricus ,in quo, ex naturd ipsius coni , secHonum ajfectiones facillime
deducuntur, methodo nova. Dublin , 1758 , in-4''.

NOTES. 987

du cône par le plan ; et le* droite* suivant lesquelles ce plan sera rencontra par les
plans des courbes de contact des sphères et du cône, seront les directrices correspon-
dantes à ces deux foyers respectioeinent.

M. Dandelin a étendu ce théorème aux coniques considérées dans l'hyperboloïde de
révolution, au lieu du cûne droit'; et depuis, nous l'avons généralisé encore, en le
rattachant, comme corollaire, à une propriété générale des surfaces du second degré.
{j4nnales de mathématiques , tora. XIX, pag. 1G7.)

Un autre corollaire de cette propriété générale, est lui-même une propriété des foyers
considérés dans le cône oblique, savoir que :

Un cône oblique étant coupé par un p^an quelconque , si l'on inscrit dans le cône
une surface du deuxième degré , qui soit tangente à ce plan, de manière que le point
de contact soit l'extrémité d'un des deux diamètres lieux des centres des sections
circulaires de la surface , ce point de contact sera le foyer de la section faite dans le
cône par le plan

Ce théorème est très-général; mais on conçoit qu'il ne pourrait pas conduire à la dé-
couverte des foyers d'une conique, et qu'il n'est pas propre à la démonstration des
propriétés de ces points. Le théorème de MM. Quetelet et Dandelin, au contraire, con-
vient parfaitement pour cet objet ; mais il ne concerne que les coniques prises dans le
cûne droit. 11 reste donc encore à trouver le moyen de tirer de la nature du cône oblique
la connaissance et les propriétés des foyers.

Nous proposerons pour cela deux méthodes :

La première consiste à prendre le plan coupant ( supposé perpendiculaire au triangle
par l'axe, comme dans les coniques d'Apollonius ) de manière que l'axe du cône fasse
avec ce plan un angle égal à celui qu'il fait avec le plan de la base du cône.

Le point où cet axe percera le plan coupant sera le foyer de la section.

Ce foyer correspondra au centre du cercle qui sert de base au cône, c'est-à-dire qu'il
en sera la perspective; et dès lors les propriétés de ce centre donneront des propriétés
caractéristiques du foyer. ^

La deuxième manière consiste à étudier d'abord les propriétés du cône, abstraction
faite des sections qu'y peut produire un plan coupant. On y trouve d'abord des propriétés
concernant deux plans menés par le sommet du cône, dont l'un est parallèle au plan de
la base (laquelle est un cercle), et l'autre au plan d'une section sous-contraire ; et ensuite
d'autres propriétés où deux lignes droites, menées d'une certaine manière par le sommet
du cône, jouent, sous un rapport, un rôle analogue à celui de ces deux plans ,et présen-
tent une grande analogie avec les foyers des coniques.

Si l'on coupe le cône par un plan perpendiculaire à l'une de ces deux droites , la
conique qui en résultera aura pour foyer le point où ce plan coupera cette droite; et
une partie des propriétés de la droite , considérée dans le cône, s'appliqueront à ce foyer
considéré par rapport à la conique.

I lUémoires de l'Acadèmi» du Bruxelles, tome III.

288 NOTES.

Voilà , comme on voit , un deuxième moyen d'étudier les propriétés des foyers dans le
cône même.

Quant aux propriétés du cône, relatives aux deux plans et aux deux droites dont nous
venons de parler, elles s'obtiennent facilement par de simples considérations de Géomé-
trie. Nous en avons trouvé un certain nombre , par cette voie , dans un écrit qui fait partie
du sixième volume des Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles.

KOTE V.

(PREMIÈKE ÉPOQUE, §15.)

Sur la définition de la Géométrie. — Réflexions sur la dualité , considérée

comme loi de la nature.

La distinction qu'Aristote et Descaries ont faite des deux questions différentes qui sont
l'objet constant des sciences mathématiques, nous autorise à hasarder une observation cri-
tique sur la définition de la Géométrie, qu'on trouve dans presque tous les traités élémen-
taires. C'est, dit-on, la science qui a pour objet la mesure de l'étendue. Or la mesure
proprement dite, n'est que la très-pefite partie des propriétés de l'étendue, qui font l'objet
des travaux des géomètres. Ainsi, nous ne sachions pas que MM. Gergonne, Poncelet, Stei-
ner, Plucker, etc., dont les travaux récens n'ont point été sans éclat, aient beaucoup
considéré la mesure, comme on l'entend dans la définition que nous venons de citer. La
Géométrie descriptive de Monge, qui appartient essentiellement à la science des propriétés
de l'étendue, peut servir pour trouver la fuesure des corps, mais ce n'est certainement
là que le moindre de ses usages. La définition en question est donc incomplète et insuffi-
sante.

Mais cette insuffisance n'est peut-être pas sans conséquence fâcheuse; et contribue
peut-être au délaissement où la science. est tombée. Caries mathématiciens qui n'ont pas
suivi, depuis trente ans, les progrés de la Géométrie, ne connaissent de cette science que
les méthodes de quadratures de Kepler, de Cavalleri, de Pascal, de Grégoire de S'-Vin-
cent, etc., parce qu'elles ont des rapports intimes avec les théories du calcul intégral qui
font chaque jour l'objet de leurs profondes méditations. Et l'on ne peut disconvenir que

NOTES. 289

le calcul intégral, perfectionnement final et sublime de ces méthodes géométriques, les
remplace toutes avec un avantage merveilleux. De là, l'idée que l'étude de la Géométrie
pure est chose oiseuse, puisqu'elle serait tout entière renfermée dans les formules d'in-
tégration, c'est-à-dire, dans une simple et unique question d'analyse.

Mais si l'on comprend dans la définition de cette science les rapports de forme et de
situation des figures , on ne pensera plus qu'une seule formule analytique puisse résoudre
la variété infinie de questions différentes qui se présenteront à l'imagination : et un exa-
men un peu approfondi de la nature de ces questions , conduira au contraire à reconnaître
les grandes dillicultés qu'y peut rencontrer l'instrument universel des mathématiques,
l'analyse de Descarlcs; on y reconnaîtra même un ordre général de questions pour les-
quelles cette analyse, sous sa forme actuelle , paraît insudisante , ainsi que nous le ferons
voir dans la suite (chap. VI, § 5). Nous pensons aussi qu'il résulterait encore de cet
examen, la conviction que l'étude de la Géométrie pure, cultivée pour elle-même, et par
ses propres ressources, est indispensable pour bien connaître les |)ropriétés de l'étendue,
pour parvenir à la solution d'un grand nombre de questions importantes, et éclairer la
marche de l'analyse dans toutes ses applications, soit à la Géométrie elle-même , soit aux
phénomènes naturels.

C'est un point historique digne de remarque, que les Latins, qui n'ont été que de
bien faibles géomètres, avaient néanmoins senti le défaut delà définition ancienne de la
Géométrie, et lui avaient substitué la suivante, que l'on trouve dans la Géométrie de
Boèce : Geometria est disciplina magnitudinis immobilis , formarumque descriptio
contemplativa , per quam uniusciijusque rei termini declarari soient. Cette défini-
tion, ([ue donne aussi, à peu près dans les mômes termes, Cassiodore •, paraît avoir été
employée depuis par les écrivains du moyen âge : nous citerons, par exemple, Vincent
de Beauvais (du XIII" siècle), qui la donne dans son Miroir doctoral (liv. XVI,
chap. XXXVI)'. A la renaissance elle était encore en usage. On la trouve dans la Mar-
ffarita philosophica de Reisch «; et la définition que donne Tartaléa dans la troisième
partie de son traité général des nombres et tlfes mesures est à peu près la même : « La
Geometria è itna scientia, oiter disciplina , che contempla la descrition délie figure,
ouer forme délia quantita continua itnniobile , corne che è la terra, e altre cose
simili. »

On a lieu" de s'étonner que cette définition n'ait pas été conservée. Dès il y a long-
temps, il est vrai, plusieurs géomètres, et particulièrement D'Alembert,dans son Essai
sur les éUmens de philosophie , ont cherché à y revenir, en appelant la Géométrie la
science des propriétés de l'étendue figurée. Si cette définition exacte n'a point été
adoptée depuis par tous les géomètres , nous en voyons deux raisons.

Les uns ont sans doute voulu conserver l'étvmologie grecque du mot Géométrie, qui
signifie mesure de la terre. Mais il est évident que ce mot , restreint à la signification rigou-

1 Aurelii Casiiodori , tenatorit, etc., Opéra omnia. Rotnmagi , 1679, in-fol., Iit. II, pag. 633.

2 Bibliotheca Mundi. Duaci, 1624, 4 vol. in-ful., tomiit tectindus, nnx Spéculum doctrinali inacribitur.
i* Heidelberg, 1480, in-4o. Réimprimé soutent k Strasbourg , à Bâie et à Fribonrg.

Toa. XI. 37

290 NOTES.

reuse de son élymologie , n'a pu convenir que dans le premier âge de la Géométrie. Dès les
premiers pas que cette science a faits, et du temps de Thaïes déjà, ce mot était insuiS-
sant. Aussi a-t-il été critiqué sévèrement par Platon qui l'a trouvé Wt^icu^e'. Depuis lors,
en conservant le nom de Géométrie à la science, on a substitué, dans sa définition, à
l'idée de la terre, qu'il exprime, celle de l'étendue en général. Il fallait faire plus, et
remplacer aussi l'idée simple àe mesure, par l'idée complexe de mestire et d'ordre, qui
est indispensable pour donner au mot Géométrie un sens vrai et complet.

C'est sans doute sous un point de vue philosophique que d'autres géomètres tiennent à
exprimer un but unique, la mesure de l'étendue, dans leur définition de la Géométrie;
voulant ainsi ramener à une idée unique et absolue, cet ordre particulier des phénomènes
de l'étendue , qui forme la partie la plus considérable de nos connaissances positives. Mais
quelque utile que soit toute espèce de généralisation dans les conceptions , comme dans les
principes et dans les méthodes, et quelque admiration que méritent les idées grandes et
belles que les principes d'unité, qui font le caractère de la philosophie ancienne, ont ins-
pirées à Py|.hagore et à d'autres philosophes , on peut croire pourtant qu'une unité absolue
n'est pas le principe de la nature. Les dualismes nombreux qui se remarquent dans les
phénomènes naturels, comme dans les différentes parties des connaissances humaines,
tendent au contraire à nous faire supposer qu'une dualité constante, ou double unité,
est le vrai principe de la nature.

Cette dualité , nous la trouvons dans l'objet même de la Géométrie , ainsi que nous ve-
nons de le dire ; dans la nature des propriétés de l'étendue où le point et le plan ont des
fonctions identiques [voir la note XXXIV); dans le double mouvement des corps cé-
lestes, où sa constance reconnue la fait admettre comme principe ^; et dans mille autres
phénomènes.

Ainsi, en cherchant à puiser dans des considérations d'un ordre plus élevé la définition
propre à la Géométrie, on voit que les convenances philosophiques ne s'opposent point à
y comprendre les deux grandes divisions, l'ordre et la m.esure , qui répondent au double
but de cette science.

1 Ilia cognitis atque perspectis , jiroxima estilla quam ridiculo admodum nomine [ 'yeXiîov ôvofia ) Geome-
triam nuncupant (^ In lÊ.p\nomiie. Platonis oper'a omnia ; traduction de Jean de Serres , t II. p. 990. )

Cette critique si juste de Platon, a été reproduite par plusieurs écrivains du XVI" siècle. Le célèbre phi-
lologue, et professeur de mathématiques , Nicodême Trischlin s'exprimait ainsi '. Amplissima est et pulcherrima
sciencia fiijurarum. A t qnùm est inepte sortita nomen Geometriœ .' ( Ger. J Vossius , De universœ mathesios
naturâ et cousiitutione Liber. )

- Ce principe est peut-être une objection contre le système de Newton sur la propagation de la lumière.
Car si une molécule lumineuse était animée d'un mouvement de translation , elle aurait probablement aussi ini
mouvement de rotation sur elle-même. Ce qui ne peut être admis, car il s'ensuivrait cette conséquence fausse
que , dans la réflexion d'un rayon lumineux sur une surface quelconque, l'angle de réflexion ne serait point égal
à l'angle d'incidence.

NOTES. 291

NOTE VI.

( PREMIÈBE ÉVOQVE , § 22. )

Sur le théorème de Ptolémée, relatif au triangle coupé par une

transversale.

C'est improprement que ce théorème est dit de Ptolémée, puisqu'il se trouve dans les
êphérique* de Mcnelaus , de qui Ptolémée l'avait emprunté. Mais l'Almageste étant beau-
coup plus répandu et plus connu que ces sphériques, c'est toujours dans le premier de
CCS ouvrages qu'on l'a remarqué, et de là est venue l'erreur qu'on a commise en l'attribuant
à Ptolémée.

rïuus trouvons que Pappus a démontré ce théorème, et s'en est servi dans le huitième
livre de ses CoWecfjon* mathématiqueg , pour démontrer une proposition curieuse sur le
centre de gravité de trois mobiles qui parcourent les trois côtés d'un triangle; qu'au XVI"
siècle , après que Purbarch et Regiomontant venaient de le reproduire dans leur abrégé de
l'Almageste", il parut être connu de tous les géomètres : Oronce Finée,dans son Arithmé-
tique -, et StifFels, dans son Traité d'algèbre » , en firent usage pour démontrer géométri-
quement la règle arithmétique det six quantités. Dans le même temps Cardan <, Gemma
Frisius ', J. Schoner «, sans construire la figure géométrique l'indiquèrent dans l'Alma-
geste, pour le même usage ">•, Maurolycus s'en servit, comme lemmc, pour démontrer

V

1 Cl. Ploltmai Àlisandrini in magnam conslructionem , G. Purbachii cujusque discijiuli J de Higio-
monte astronomicon epitoma. Venetiia, 1496, in-fol.

2 Arithmetica practica, liliris quatuor absoluta, etc., 1535, in-fol,, livre 4'^, chap. 4.
1 Arithmetica intégra. Norimbergee , 1544, in-4o. liv. 3°, pag. 294.

^ Practica anthmetice , et meiisurandi singularis. Ilediolani, 1639, in-S°, cap, XLVI. Opus novum de
proportionibus numcrorum, etc., Batileœ, 1570, in-fol., prop, 6'*.
^ Arithmetica practicm methodus facilis. Antwerpiœ, 1540, in-8°.

6 AlgorithmU3 demonatrtttua,^Qi'\mhr)T^œ, 1534, in-4'>, de proportionibuaappendix.

7 II «'agit , d«n> cette règle dei six quantités , de résoudre cette question : Lt rapport d'une première quan-
tité à Une seconde , étant composé du rapport d'une troisième à une quatrième , et du rapport d'une cinquième
à une sixième , trouver le rapport d'une quelconque des seconde, troisième et cinquième quantités à une quel-
conque des trois autres. Ainsi a, i, c, d, e, f étant le* six quantités , on a

a ce

1 ~d' f

et l'on demande d'en conclure le rapport d'une des trois quantités &, c, < k l'une des trois antres a, d, f. Cette
question, présentée sous cette forme algébrique, est assurément la plus simple que l'on puisse imaginer,

29â NOTES.

les propriétés des asymptotes dans l'hyperbole ' ; et Bressius pour la démonstration de
plusieurs formule de trigonométrie 2.

Dans le cours du XVII" siècle, les usages du théorème furent encore plus nombreux
et plus variés. Mersenne l'a énoncé , dans deux de ses ouvrages , parmi les propositions
principales des sphériques de Menelaus '. Stevin s'en est servi dans sa Pratique de
l'arithmétique , pour composer les raisons de raisons, et montrer, par cet exemple, que
la Géométrie peut, dans certaines questions, apporter plus de brièveté que l'algèbre ;
Snellius a résolu à l'aide de ce théorème, la 35° question des Zetemata Geometrica
de Ludolphe Van Ceulen ^; Beaugrand l'a employé dans sa Géostatique , pour composer
les rapports de lignes; Desargues s'en est servi pour démontrer une belle propriété géo-
métrique des triangles, qu'on trouve à la suite de son Traité de perspective , arrangé
par Bosse (1648, in-8°); Pascal l'a mis dans son Essai pour les coniques , au nombre
des théorèmes principaux sur lesquels devait reposer son Traité complet de ces courbes;
Schooten, dans son Traité posthume. De concinnandis demonstrationibus , etc., l'a
démontré synlhétiquement et par l'analyse : vers le même temps, un auteur italien,
Guarini , en a fait le même usage que Beaugrand , pour composer des rapports de
lignes ^. Peu d'années après, un autre géomètre italien, qui a eu quelque réputation
dans les sciences, le marquis Jean Ceva, est parvenu de lui-même et d'une manière ori-
ginale et ingénieuse à ce tliéorème, et à un autre du môme genre , qui est aussi l'un des
principaux de la théorie des transversales, et dont on avait regardé jusqu'ici Jean Ber-
nouUi comme le premier inventeur. L'ouvrage de Ceva où se trouvent ces deux théorèmes
et quelques autres qui méritent aussi d'y être remarqués , est intitulé : De lineis se
invicem secantibus, statica constructio. Milan, 1G78, in-4°. Nous ferons connaître,
dans la Note suivante, la méthode qui distingue cet ouvrage,

et l'on ne pourrait croire que Cardan, par exemple, lui ait consacré, dans ses deux ouvrages que nous
venons de citer , plusieurs pages, si Ton ne considérait que cette règle est une extension de la règle de pro-
portion entre quatre quantités, qui s'en déduit, en supposant, par exemple, c égal à d, et que celle-ci a
toujours été la partie difficile et transcendante , pour ainsi dire , dans les traités d'arithmétique, jusqu'à
l'invention de l'algèbre, et depuis encore, grâce à l'ancienne notation des proportions, qui fait usage de
trois signes au lieu d'un, pour exprimer une simple égalité de deux rapports, et qui, malgré les inconvé-
niens et les désavantages éviden» de cette complication , est encore employée de nos jours par beaucoup
d'auteurs.

Cardan attribue cette règle des six quantités au géomètre arabe Alchindus ( du X= siècle ) , qu'il place
au rang des douze plus puissans génies qui aient paru depuis l'origine des sciences. ( Voir De suhtilitate ;
lib. XVI, ) On trouve en effet dans la Bibliothcca Arulico-IIispantt de Casiri, une liste extrêmement nombreuse
des ouvrages qu'Alchindus avait écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques, philosophiques,
morales , etc., et qui étaient encore , il y a un demi-siècle , dans la riche bibliothèque de l'Escurial

t F. Maurolyci opuscula mathematica. Venetiis, 1575, in-4», pag. 281.

2 Metrices Astronomicœ lihri quatuor. Paris, 1681 , in- fol., liv. 4; prop»". 13.

3 Synopsis mathematica. Paris, 1626,in-24. Vniversœ geometriw , mixtœque mathematicœ synopsis , etc.
Paris, 1644, in-4».

=* OEuvres mathématiques de iudolphe Van Ceulen, traduites du hollandais en latin et enrichies de notes,
par Snellius Lcyde , 1619 , in-4° , pag. 120.

5 EucHdes udauetus et methodicus , mathematicaque universalis Aug. Taurinorura , 1671 , in-fol., pag 249.

NOTES. 293

Depuis, nous ne trouvons plus de traces du théorème de Ptoléraée, qui, après avoir
été fort en usage, et connu de tous les géomètres, pendant près do deux cents ans, est
resté infructueux, et peut-être même ignoré, pendant plus d'un siècle, jusqu'à ce que
Carnot, qui était parvenu de lui-mèmo à ce théorème, parmi plusieurs autres de même
nature, concernant le quadrilatère plan, l'eût fait connaître comme l'un des plus utiles
et des plus féconds en Géométrie rationnelle, Nous devons dire cependant que, quelques
années auparavant, Schubert l'avait déjà reproduit, comme lemme pour la trigonométrie
sphériquedePtolémée' ;et qu'un autre géomètre du Nord, N. Fuss, s'en était aussi servi,
ainsi que du théorème analogue dans la Géométrie de la sphère , pour démontrer quelques
propositions, telles que celle belle propriété du cercle, que Fuss attribue àD'Alembert :
« les points de concours des tangentes communes à trois cercles, pris deux à deux, sont en
ligne droite K »

Des auteurs que nous avons nommés , Mersenne seul a présenté le théorème en question
comme étant de Mcnelaus; la plupart l'ont attribué à Plolémée; quelques-uns n'en ont
point indiqué l'origine : ceux-ci sont, Maurolycus, Desargues, Pascal et Ceva : ce dernier
y est probablement parvenu de lui-même.

M. Flauli, dans sa Geomelrm di sito , avait déjà remarqué l'usage que Pappus a fait
de ce théorème dans le livre huit de ses Collections mathématique*. Nous avons em-
prunté du Mémoire de 31. Brianchon sur les lignes du second ordre, no» citations de
Maurolycus et de Schubert , et du Traité des propriétés projectives de M. Poncelet , celle
de Desargues. Nous ne doutons point que l'on n'en puisse trouver beaucoup d'autres que
celles que nous venons d'ajouter à ces premières. Car le théorème en question a dû être
très-familier aux Arabes, qui avaient commenté et illustré dans plusieurs écrits son ana-
logue sur la sphère, qu'il sert à démontrer: et les mathématiciens d'Europe, en recevant
ces théorèmes des Maures, en firent aussi le sujet de leurs méditations. Tel est Simon de
Bredon , anglais du XIV* siècle, dont on conserve plusieurs écrits sur cet objet dans la
bibliothèque Bodiéicnne, comme nous l'apprend le savant Halley dans satraduction des
sphéritjues de Mcnelaus.

Quant à l'origine des deux théorèmes, elle parait remontera Hipparque, qui avait pré-
cédé Ptolésaée et Menelaus dans le calcul des cordes et la trigonométrie. On conçoit très-
bien que ce célèbre astronome ait déduit la propriété du triangle sphérique de celle du
triangle rectiligne; mais quelles spéculations géométriques ont pu le conduire à celle-ci ?
Nous serions porté à penser que la découverte de ce théorème remonte à Euclidc , et qu'il
a fait partie de ses porismes. Car il est dans le genre de différons lemmes que Pappus nous
a laissés sur ces porismes; et l'un de ces lemmes (proposition 137 du septième livre des
Collections mathématiques^ qui ne diflère du théorème en question que par un rapport
de deux segmens substitué à un autre, nous parait avoir pu être destiné à faciliter la dé-
monstration de ce théorème.

1 Trigonometria tphsrica è Ptoleinœo ; iVora /4cta de Pëteribourg, ann. 1704 , tom. XII , pag. 105.

2 IVopa Acta PetropoUlttna,»an 1767 et 1708, tom. XIV.

294 NOTES.

Nous avons été encouragé dans cette conjecture , en voyant que ce théorème entrait na-
turellement dans une collection de propositions toutes du même genre, que nous avons
réunies comme pouvant répondre au premier livre des Porùmeg d'Euclide.

NOTE VIL

(suite de la note VI.)

Sur l'ouvrage de J . Ceva, intitulé : De lineis rectis se invicem secantibus ,
statica constructio (ia-4o, Milan, 1678).

L'idée sur laquelle repose cet écrit, consiste à se servir des propriétés du centre de gra-
vité d'un système de points, dans des questions où l'on a à considérer les rapports des
segmens que font les unes sur les autres , des droites qui se coupent, comme dans plusieurs
propositions de la théorie des transversales. On suppose placés aux points d'intersection
de ces droites des poids inversement proportionnels aux segmens faits sur ces droites; et
des rapports entre ces poids, que donne le principe du levier en statique, on conclut les
rapports entre les segmens.

Ainsi , pour démontrer le théorème de Ptolémée de cette manière , concevons un triangle
ABC dont les côtés AB,BG, CA soient coupés respectivement en c , a ,b par une trans-
versale quelconque. Je suppose placé en a. G, A trois points matériels, dont la masse a' du
premier est tout-à-fait arbitraire, et celles G' , A' des deux autres sont déterminées de ma-
nière que le point B soit le centre de gravité des deux points matériels situés en a et G, et
que le point h soit le centre de gravité des deux points matériels placés en G et A. Le centre
de gravité des trois masses sera le point d'intersection e des deux droites a A, A B.

On a par la loi de statique

oB G' _ .. Kh

oC a' -+- G' C6

Les poids a' et G' peuvent être remplacés par un poids unique (a' -t- G'), situé en B;

NOTES. 299

le coniparaat à A', on aura

il Tient donc

C. Q. F. D.

Ao
«'^C'=A'.^;

oB hb fie

— = — • — , ou oB.iC.cA = oC.cB.6A.

aC ko &o

Passons au second théorème. II s'agit de démontrer que quand trou droite» , ittue* de*
totiunet* d'un triangle , partent par un même point , les segmens qu'elles font sur les
côtés opposés sont tels que le produit de trois d'entre eux , qui n'ont pas d'extrémité
commune , est égal au produit des trois autres.

Soit ABC le triangle; et Aa, B^, Cy trois droites qui se croisent en un même point D,
et qui rencontrent respectivement les côtés du triangle en a, 6, y. Plaçons en A un point
matériel, dont la masse A' soit prise arbitrairement, et en B et C deux autres points ma-
tériels dont les masses B', G' soient telles que le centre de gravité des deux masses A', B'
soit en y , et que le centre de gravité des deux masses A' , C soit en &. Le centre de gravité
des trois masses sera à l'intersection des deux droites BS, Cy; c'est-à-dire en D. Il s'en-
suit que le point a sera le centre de gravité des deux masses B', G'; et qu'on aura

or , on a

Ba C

C^°^ F'

C Af b;_ _

k'~ CiT' *' A' ~

Ar
Br

B« Ce Ay

Gx Atf Br

1.

On a donc

G. Q. F. D.

Jean Bernoulli a aussi démontré depuis ce théorème ( tom. IV, pag. 33 , de ses OEuvres);
mais il ne parait pas qu'il en ait fait usage.

Après avoir démontré ce théorème par sa méthode statique , Ceva en donne deux autres
démonstrations purement géométriques,dont l'une, dit-il,estdeP. P. Caravagge. (Livre I,
Proposition iO.)

En considérant, au lieu d'un triangle, un quadrilatère, aux sommets duquel sont placés
quatre points matériels, Ceva parvient à cet autre théorème, qui est aussi l'un des prin-
cipaux de la théorie des transversales : quand un planrencontre les quatre côtés d'un
quadrilatère gauche , il y forme huit segmens qui sont tels que le produit de quatre
d'entre eux , qui n'ont pas d'extrémité comtnune , est égal au produit des quatre
autres. (Livre I", propooition 22).

296 NOTES.

Le premier livre est terminé par quelques propriétés de la pyramide triangulaire, et
quadrangulaire, démontrées par la même méthode.

Dans le second livre sont différentes propriétés des figures rectilignes, et des courbes
du second degré, démontrées à l'aide des principes du premier livre. Nous citerons ia pro-
position suivante, qui n'est aujourd'hui qu'un cas particulier de propriétés plus générales
des coniques, savoir: quand tme conique est inscrite dans un triangle, les droites qui
vont des sommets aux points de contact des côtés opposés se croisent en un même point.

Enfin, dans un appendix, que Ceva présente comme un ouvrage différent sur des ma-
tières étrangères à celles qui précédent, se trouvent résolues par une Géométrie profonde
plusieurs questions concernant les aires de certaines figures planes terminées par des
arcs de cercles différens , et les volumes et les centres de gravité de divers solides , tels que
le paraboloïde et les deux hyperboloïdes de révolution.

C'est cet appendix qui a fait dire à Montucla, qui probablement n'avait pas lu les deux
livres qui constituent l'ouvrage annoncé , que « le titre exprime fort imparfaitement le
contenu. » Le titre, au contraire , nous paraît convenir parfaitement à l'ouvrage auquel il
se rapporte; et on peut dire seulement que Vappendix méritait aussi d'être annoncé sur
la première feuille du volume.

Un mot nous suffira pour démontrer par la méthode de Ceva une propriété curieuse et
utile du quadrilatère. On a dans la figure dont nous avons fait usage en dernier Heu ,

AD C'-t-B' Ai? Ao/ AD XS Av

— = : or , C = A' — , et B' = A' — ; donc — = h

Bx A' ' es By' Ux es rB

Considérant le quadrilatère AS D^,dont les points de concours des côtés opposés sont
en C et B , on reconnaît que cette équation exprime le théorème suivant :

Dans tout quadrilatère , la diagonale issue d'un sommet, divisée par son prolonge-
ment Jusqu'à la droite qui Joint les points de concours des côtés opposés , égale la somme
des deux cotés issus du même sommet, divisés respectivement par leurs prolongemens
Jusqu'aux côtés opposés.

Ce théorème a son analogue dans l'espace, qu'on peut démontrer de la même manière,
en considérant, au lieu d'un triangle, un tétraèdre et quatre droites issues de ses sommets
et passant par un même point; la figure représente ainsi un hexaèdre-octogone, dont les
plans des faces opposées se coupent deux à deux suivant trois droites comprises dans un
même plan ;

La diagonale issue d'un sommet, divisée par son prolongement Jusqu'à ce plan,
égale la somme des trois côtés adjacens à ce sommet divisés respectivement par
leurs prolongemens Jusqu'au même plan.

C'est ce théorème que nous avons admis dans l'application d'un nouveau système de
coordonnées , insérée dans la Correspondance de M. Quetelet, lom. VI, pag, 86, an. 1830.

NOTES. 297

NOTE VIII.

^PREUIÈRE ÉPOQUE, § 20.)

Description des spirales et des quadratrices y au moyen d'une surface héli-
çoide rampante. Analogie de ces courbes avec celles qui portent le même
nom dans le système de coordonnées de Descartes.

Les constructions de la spirale et de la quadratrice, laissées parPappus, ne sont que de
simples applications de deux procédés généraux pour construire, par l'intersection de la
surface béliçoïde rampante et d'une seconde surface déterminée convenablement, toutes
les spirales, et une infinité d'autres courbes auxquelles je donnerai le nom de quadra-
trice», parce qu'elles sont exprimées par les mêmes coordonnées que la quadratrice de
Dinostrate.

La seconde surface qu'il faudra employer sera , pour la construction des spirales, une
surface de révolution autour de l'axe de la surface béliçoïde; et pour la construction des
quadratrices , ce sera une surface cylindrique dont les arêtes seront perpendiculaires à
l'axe de la surface béliçoïde.

Nos constructions donnent immédiatement les tangentes et les cercles osculateurs
des courbes que nous considérons. Mais elles ont pour principal avantage d'établir des
relations géométriques constantes entre ces courbes et celles qui, dans le système de
coordonnées ordinaires, portent le même nom; par exemple, entre la spirale hyper-
bolique, et l'hyperbole, entre la spirale logarithmique et la logarithmique. Dans ce
système , la spirale d' Ârchimède correspondra à la ligne droite.

Jusqu'à présent ces courbes n'avaient entre elles d'autres rapports que la même forme
d'équation entre des variables différentes, et cela n'établissait aucun lien de construction,
ni aucunes relations géométriques entre elles. Le procédé qui fait servir les unes à la
construction des autres conduit de la manière la plus satisfaisante aux propriétés qui ont
rendu ces courbes célèbres, particulièrement la spirale logarithmique , et donne à priori
les raisons géométriques de ces belles propriétés.

Construction des spirales. — Concevons une surface de révolution, engendrée par
une courbe quelconque autour d'un axe fixe situé dans son plan ; prenons cet axe vertical ;
les perpendiculaires abaissées des points de la courbe sur cet axe seront ses ordonnée* , et
les distances des pieds de ces perpendiculaires à un point fixe de l'axe seront les abscisses.

Supposons que le plan de la courbe tourne d'un mouvement uniforme , et qu'en même
ToH. XI. 38

298 NOTES.

temps un pointM,placésurla courbe mobile, se meuve sur celte courbe comme si elle était
immobile , et que le mouvemeut de ce point se fasse de manière que ses abscisses croissent
uniformément. C'est-à-dire que le mouvement du point, estimé suivant l'axe de rotation,
est proportionnel au mouvement de rotation. Le point M décrira ainsi , sur la surface
de révolution , une certaine courbe à double courbure.

La projection orthogonale de cette courbe, sur un plan perpendiculaire à l'axe de révo-
lution , sera une spirale , dont nous allons tirer l'équation de celle de la courbe génératrice
de la surface de révolution.

Soit a = Fy,

l'équation de la 'courbe génératrice; considérons cette courbe à un instant de son
mouvement; soit M le point générateur sur cette courbe ; son abscisse z sera proportion-
nelle à la rotation éprouvée par le plan de la courbe , depuis l'origine du mouvement ; cette
rotation se mesurera par l'angle que la trace du plan mobile sur un plan horizontal fera
avec un axe fixe qui marquera l'origine du mouvement ; soit donc u cet angle ; on aura

z = au; et conséquemment au = Fy.

Soit m la projection du point M sur le plan horizontal , et 0 le pied de l'axe de révolution
sur ce plan. Le rayon Om, que je désigne par /-, est égal à l'ordonnée y du point M ; on a
donc entre ce rayon et l'angle m, qu'il fait avec l'axe fixe dont nous venons de parler, la
relation

au ■=. Fr.

Cette relation est l'équation, en coordonnées polaires, de la projection de la courbe à
double courbure tracée sur la surface de révolution.

Remarquons maintenant que la perpendiculaire abaissée du point mobileM, sur l'axe de
révolution, engendre la surface d'une vis à filets carrés, qu'on appelle aussi surface hèli-
çoïde rampante ; car cette droite est toujours horizontale, et elle s'élève au-dessus d'un
plan horizontal d'un mouvement uniforme, en même temps que le plan vertical qui la
contient tourne uniformément autour de l'axe de révolution.

Donc la courbe engendrée par le point M est à l'intersection de la surface de révolution
par une surface héliçoïde.

On a donc ce théorème :

1° Toute spirale (nous entendons par spirale toute courbe représentée par une équation
entre les deux coordonnées polaires r et m ) peut être considérée comme la jrrojection
de l'intersection d'une surface héliçoïde rampante par une certaine surface de révo-
lution déterminée convenablement , ces deux surfaces ayant pour axe commun la
perpendiculaire au plan de la spirale, menée par son origine ;

2" au = Fr

étant l'équation de la spirale , et a le rapport entre le mouvement ascensionnel et le

NOTES. 299

mouvement de rotation de la droite génératrice de la surface héliçoïde , l'équation de
ta courbe génératrice de la surface de révolution sera

s « Fy;

let ahtcitse» i. étant comptée* suivant l'axe de révolution, et let ordonnées ^perpen-
diculairement à cet axe.

Pour la spirale d'Archimèdc , dont l'équation est au = r.

L'équation de la courbe méridienne de la surface de révolution sera z =y; c'est une
droite; ainsi la surface de révolution sera un cône; c'est là un des deux théorèmes de
Pappus.

Pour la spirale hyperbolique , qui a pour équation ur = constante ,

L'équation de la section méridienne de la surface de révolution sera

zy ^ a. const. = const.

C'est une hyperbole équilatère , qui a l'une de ses asymptotes dirigée suivant l'aie de la
surface héliçoïde.

Pour la spirale logarithmique dont l'équation est

u = log. r
on aura

a = a log. y;

C'est l'équation d'une logarilhmiqus.dans laquelle les abscisses 2^^ sont proportionnelles
aux logarithmes des ordonnées y.

Ainsi : Si une logarithmique ordinaire engendre une surface de révolution , en tour-
nant autour de son asymptote , et qu'on conçoive que cette asymptote soit l'axe d'une
surface héliçoïde rampante , ces deux surfaces se couperont suivant une courbe à dou-
ble courbure dont la projection orthogonale , sur un plan perpendiculaire à l'asymp-
tote , sera la spirale logarithmique.

Tangentes aux spirales. — Soit M un point de l'intersection de la surface héliçoïde
par la surface de révolution déterminée, comme nous avons dit, de manière à produire une
spirale donnée. La tangente en un point m de cette spirale sera la projection de l'inter-
section des plans tangens à ces deux surfaces au point M. Le plan tangent à la surface de
révolution rencontrera l'axe de révolution en un point 0 ; je suppose que le plan horizontal
sur lequel on a décrit la spirale passe par ce point 0 ; la droite OM se projette sur ce plan
en Om ; c'est le rayon vecteur de la spirale

Le plan tangent à la surface de révolution coupe le plan horizontal suivant une droite
0/ perpendiculaire au rayon Om.

Le plan tangent à la surface héliçoïde au point M passe par la génératrice de cette
surface, laquelle est parallèle au rayon Om; la trace de ce plan sur le plan horizontal est
donc parallèle au rayon Om. Il sullit donc, pour déterminer cette trace, d'en trouver un
point. Or ce plan tangent passe par la tangente à l'hélice conduite par le point M sur la

300 NOTES.

surface héliçoïde; cette tangente est dans le plan vertical perpendiculaire au rayon Om;
soit ô le point où elle rencontre le plan horiiontal et a l'angle qu'elle fait avec l'axe de la
surface liéliçoïde , on aura dans le triangle Mw9, rectangle en m, mù =:M«i tang. ce. Mais
on sait, par les propriétés de la surface héliçoïde , que la tangente trigonométrique de
l'angle a est proportionnelle à la distance du point M à l'axe de la surface; donc tang. « =
Om. Const. Cette constante est égale au rapport qu'il y a entre le mouvement circulaire et
le mouvement ascensionnel de la génératrice de la surface héliçoïde; nous avons repré-
senté ce rapport par — ; on a donc enfin

Om Mm. 0»t

tang. a = ; et mS =

a a.

La droite mflest perpendiculaire au rayon vecteur Om; la trace du plan tangent à la
surface héliçoïde est parallèle à ce rayon ; donc si on prend sur la droite 0^, perpendi-
culaire à ce rayon , une partie

Ont. Mm

Ot = ot5 =

le point t appartiendra à cette trace. Or cette droite Ot est la trace du plan tangent à la
surface de révolution; donc le point t appartient à l'intersection des plans tangens aux
deux surfaces, et conséquemment ce point appartient à la tangente en m à la spirale qui
est la projection de l'intersection de ces deux surfaces.

La ligne 0^ s'appelle , comme on sait, la sous-tangente de la spirale; la sous-normale
est la partie On comprise sur le prolongement de la droite Ot entre le point 0 et la nor-
male à la courbe ; elle est égale au carré du rayon divisé par la soutangente ; ainsi :

a. Om

On =

fll»»

Maintenant pour faire usage de ces formules , nous remarquerons que le plan tangent à la
surface de révolution au point M, passant par le point 0, la ligne Mm est précisément égale
à la sous-tangente de la courbe génératrice de la surface de révolution : cette sous-tangente
étant prise sur l'axe de révolution.

Appelons S cette sous-tangente , et remarquons que le rayon vecteur Ow de la spirale
est égal à l'ordonnée y de la courbe génératrice de la surface de révolution, nous aurons:

Ot = ^— ,
a

Telles sont les expressions de la sous-tangente et de la sous normale d'une spirale, en
fonction de la sous-tangente et de l'ordonnée de la courbe génératrice de la surface de
révolution.

NOTES. 301

Dans la spirale d'Arcbiméde , la ligne génératrice est droite ; on o '^ ^ const. ;
donc On == const. Donc

Dont la spirale d'Àrchtmède, la tout-normale ett conttante.

Pour la spirale hyperbolique, la courbe génératrice est une hyperbole équilatére,dan8
laquelle on a , comme on sait , S. y = const. , donc Ot = const. ; donc

Dant la tpirale hyperbolique la tout-tantjente ett conttante.

Dans la logarithmique la soutangentc comptée sur l'asymptote est constante, donc
S = const. ; et conséquemment dans la spirale logarithmique, on a

0* Ot

— = const. , ou ^ const. ;

y 0»»

Or — est égal à la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la spirale fait
avec le rayon vecteur ; donc cet angle est constant; ainsi :

Dant la tpirale logarithmique la tangente fait un angle conttant avec le rayon
vecteur.

Puisque Ot est proportionnel à Om, on voit que si l'on porte sur le rayon vecteur une
ligne égale à la sous-tangente, l'exlrémité de celte ligne sera sur une spirale logarithmique
semblable à la proposée; mais si on suppose que cette spirale fasse un quart de conversion
autour de son centre, chacun de ses rayons viendra coïncider avec la sous-tangente corres-
pondante de la proposée; donc les pieds des tangentes à cette spirale sont sur une seconde
spirale qui lui est semblable; or deux spirales logarithmiques semblables entre elles sont
nécessairement égales , parce que les angles que leurs tangentes font avec leurs rayons
vecteurs sont égaux, et qu'à un angle donné ne correspond qu'une spirale; nous pouvons
donc énoncer ce théorème :

Dans la spirale logarithmique , les piedt det tangentes sonttur une seconde spirale
logarithmique parfaitement égale à la première , tnais placée différemment.

La même propriété a également lieu pour les pieds des sous-normales.

Rayons de courbure des spirales. Les spirales étant considérées comme la section
droite d'un cylindre qui passe par la courbe d'intersection d'une surface de révolution par
une surface héliçoïde rampante, on trouve aisément , au moyen des théorèmes d'Euler et
do Meunier, la valeur de leur rayon de courbure en un point quelconque, en fonction du
rayon de courbure de la courbe méridienne de la surface de révolution. Pour abréger cette
Note, nous omettrons ici cette construction , sur laquelle nous reviendrons dans un autre
moment.

Nous renvoyons aussi à un autre écrit la construction des quadratrices , analogue à celle
des tpiralet.

302 NOTES.

NOTE IX.

(première époque, §30.)

Sur la fonction anharmonique de quatre points , ou de

quatre droites.

Quand quatre points a, b, c , d sont en ligne droite, nous avons appelé la fonction

ac hc
ad ' bel

le rapport anharmonique des quatre points.

La proposition 129° du septième livre de Pappus, signifie que : quand quatre droites
é'ont issues d'un même point, toute transversale les rencontre en quatre points dont le
rapport anharmonique a toujours la même valeur , quelle que soit la transversale.

Cette propriété de la fonction anharmonique de quatre points la distingue de toute
autre fonction qu'on pourrait former avec les segmens que ces quatre points font entre eux.

Mais la fonction anharmonique jouit d'une autre propriété encore plus capitale, et dont
cette première dérive , c'est que :

Si d'un point pris arbitrairement on mène des droites aboutissant à quatre points
situés en ligne droite, la fonction anharmonique de ces quatre points aura préci-
sément pour valeur ce que deviendra cette fonction quand on y substituera , aux
quatre segmens qui y entrent, les sinus des angles que feront entre elles les droites
qui comprendront ces segtnens.

Cette fonction entre les sinus des angles de quatre droites issues d'un même point , sera
Aile fonction anharmonique des quatre droites.

Ce théorème prouve que la fonction anharmonique de quatre points est de nature
projective, c'est-à-dire , que cette fonction conserve la même valeur quand on fait la pro-
jection ou perspective des quatre points auxquels elle se rapporte.

On peut généraliser ce théorème , en menant par les quatre points quatre plans quel-
conques, pourvu qu'ils se coupent suivant une même droite, prise arbitrairement dans
l'espace; la fonction anharmonique des quatre points conservera la même valeur y
si Von y substitue , à la place des segmens, les sinus des angles dièdres que les
plans qui comprennent ces segmens font entre eux.

Nous avons exprimé le rapport anharmonique des quatre points a, b, c, d par la fonction

ac hc
ad ' bd

NOTES. 303

Mais OD peut, tout aussi bien, prendre les deux autres fonctions

ac de ab cb
ab ' db ad ' cd

On n'en peut pas former une quatrième semblable , arec les quatre points a, b, c, d. De
sorte que le rapport anharmotiique de quatre point» peut t'exprimer de trois manières.

Si l'un des points est à l'infini, ce rapport se simplifie, il ne contient que deux segmens.
Ainsi soit le point d situé à l'infini , le rapport anharmonique des quatre points a,b,e et
l'infini , s'exprimera des trois manières :

ac ca ba
cb ab bc

Soient quatre points a, b, c, «/situés en ligne droite, et quatre autres points a',b', c', d'
situés sur une autre droite, et correspondans respectivement aux quatre premiers; suppo-
sons que le rapport anharmonique de ceux-ci, soit égal au rapport anharmonique des
autres; c'est-à-dire, que l'on ait l'une des trois équations suivantes :

(A).

ac

rd '

bc a'c'
bd a'd'

b'c'
' b'd''

ac
âb '

de a'd
db a'b'

d'c'
• d'b''

ab _

Vd '•

cb a'b'
cd a'd'

c'b'
' c'd''

Je dis que les deux autres équations s'ensuivront nécessairement. Ainsi, l'une quel-
conque des trois équations (A) comporte les deux autres. C'est une vérification qu'on
pourrait faire par le calcul. Mais il est plus facile de se servir , pour démontrer cette
propriété de la fonction anharmonique , d'une considération géométrique.

Qu'on place les deux droites sur lesquelles sont situés les deux systèmes de points,
de manière que les deux points correspondans d, d' se confondent en un point unique D;
qu'on tire les trois droites aa',bb', ce' ; ces trois droites se couperont en un même point.
Car soit S le point d'intersection des deux premières aa' , bb'. Tirons SD et Se; soit y
le point où Se rencontre la droite a'b'c'; on aura par la proposition citée de Pappus :

ao bc a'y b'y
^ * ÎD~^ • ïî)*

Mais nous supposons que la première des équations (A) a lieu; y mettant D à la place
de </, et la comparant à celle-ci , on en conclut que le point y se confond avec le point e".
D'où il résulte que les trois droites aa' , bb' , ce' passent par un même point S.

Considérant les quatre droites Saa', SM', Sco' et SD, coupées par les deux transversales

304 NOTES.

aJt'D, a'À'c'D ; on conclut de la proposition de Pappus, que les deux dernières des équa-
tions (A) ont lieu. '

Ainsi, chacune des équations (A) comporte les deux autres.

De sorte que l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points
qui se correspondent un à un, peut s'exprimer de trois manières, dont l'une quelconque
comporte les deux autres.

Cette propriété importante de la fonction anharmonique de quatre points, aura plu-
sieurs applications utiles.

Par exemple, on en peut conclure immédiatement que chacune des sept équations par
lesquelles on exprime la relation d'involution de six points , comporte les six autres.

L'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points peut s'exprimer
par une équation à trois termes qui sera souvent utile.

Ainsi, outre les trois équations (A), on aura les trois suivantes :

(B).

l ad •

bc a'b'
bd "^ a'd'

• ''' - 1

• c'd' - ^'

) ac

{ — •
ab '

de a'd'
db "^ a'b'

c'b

ab _

cb a'c'
cd a'd'

b'c'

Chacune de ces trois équations exprimant l'égalité des rapports anharmoniques des deux
systèmes de points , comporte les deux autres et les trois premières.

En un mot , chacune des six équations (A) et (B) comporte les cinq autres.

Les équations (B) sont faciles à démontrer. La première, par exemple, devient, à cause
de la troisième des équations (A) ,

ac bc ab cb
ad ' bd ad ' cd

c'est donc cette équation qu'il faut démontrer. Pour cela, faisons la perspective de la
droite aJcrf, sur une autre droite, de manière que le point /Z passe à l'infini; soient a, g, y
les perspectives des points a, b, c; on aura, puisque la fonction anharmonique est
projective ,

ac bc ay ab cb aS

ad ' bd Sy ad ' cd yC

l'équation deviendra donc

Cy yS

ay aS

1- — = 1 » ou Sx -\- ay= Cy.

NOTES. 305

C'est une relation identique entre les trois points ë, a , ^ , supposés placés dans l'ordre
où nous les écrivons.

Ainsi , tes équations (B) sont démontrées.

Remarquons que l'équation ci-dessus, qui devient, quand on chasse les dénominateurs ,

ab.cd — ac.bd -t- bc.ad = o,

exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite.

Cette relation a été démontrée par Euler, algébriquement et géométriquement : par
la première méthode, en substituant à certains facteurs leurs expressions en fonction
des autres, de manière à produire une équation identique; et par la seconde méthode,
en formant la figure qui représente les trois rectangles dont se compose l'équation; on
voit aisément que l'un d'eui égale la somme des deux autres. {Novi Commentarii de
Pétersbourg, tom. I", ann. 1747 et 1748. F'ariœ demonttratione» Geometricœ.)

M. Foncelet a démontré aussi la même relation dans son Mémoire »ur le» centre*
des moyennes harmoniqueg. [Journal de M. Crelle, tom. III , pag. 269. )

Le cercle jouit, par rapport à quatre droites issues d'un même point, d'une propriété
analogue à celle du système de deux transversales droites, exprimée par les équations
(A) ou (B).

Cette propriété consiste en ce que :

Quand quatre droites, issues d'un même point , rencontrent une circonférence de
cercle , la première en a, a'; /a seconde enh,h';la troisième en c, c'; et la quatrième
en A y à' ; on a la relation

• sin. { ca sin. i da sin. -J- c'a' sin. i d'à'
sin. i cb ' siii. j db sin. j c'b' ' sin. j d'b'

Cette équation est analogue à la première des équations (A). On aura semblablement
deux autres équations semblables aux deux autres équations (A); et trois équations sem-
blables aux équations (B).

Cette propriété du cercle donne lieu à diverses propositions nouvelles.

Nous appelons toute l'attention des géomètres sur la notion du rapport anharmoni-
que, qui, bien que très-élémentaire, pourra être extrêmement utile dans une foule de
spéculations géométriques, où elle procurera des démonstrations faciles et simples au-
tant que possible. Nous en ferons usage dans la Note X, sur l'involution de six points,
et dans les Notes XV et XVI, pour démontrer, en quelques mots, pour ainsi dire, les
propriétés les plus générales des sections coniques.

Cette théorie ne sera pas moins utile dans la Géométrie à trois dimensions.

Proposons-nous, par exemple, de démontrer la double génération de l'hypcrboloïde à
une nappe par une droite, que nous présenterons sous cet énoncé :

La surface engendrée par une droite mobile qui s'appuie sur trois droites fixes ,
peut être engendrée d'une seconde manière, par une droite mobile qui s'appuie sur

Tom. XI. 39

j£là.

306 NOTES.

trois position* de la première droite génératrice ; et cette surface Jouit de la pro~
prié té que tout plan la coupe suivant une conique.

La première partie de celle proposilion repose sur les deux lemmes suivans, dont l'un
est la réciproque de l'autre , et qui méritent eux-mêmes d'être énoncés comme théorèmes :

Thorème I. Quand quatre droites s'appuient chacune sur trois di-oites fixes si-
tuées d'une manière quelconque dans l'espace , le rapport anharmonique des seymeiis
qu elles forment sur l'une de ces trois droites , est égal au rapport anharmonique
des segtnens qu'elles forment sur l'une quelconque des deux autres.

Ainsi soient L, L',L" les trois droites données dans l'espace; a, h, c, d, les points
où les quatre droites A, B, G, D, qui s'appuient sur elles, rencontrent la première L, et
a', h' , c', d ; a", b" , c", d" , les points où ces mêmes droites rencontrent les deux
autres L', L". Je dis que le rapport anharmonique des quatre points a , h, c , d, esï
égal à celui des quatre points a , b', c', d . En efifet, chacun de ces deux rapports est
égal à celui des quatre plans qui ont pour intersection commune la droite L", et qui
passent respectivement par les quatre droites A, B, G, D. Ges deux rapports sont donc
égaux entre eux.

Théorème II. Réciproquement : Si quatre droites s'appuient sur deux droites fixes
dans l'espace , de manière que le rapport anharmonique des segmens qu'elles font sur
l'une de ces deux droites soit égal au rapport anharmonique des segmens qu'elles font
sur l'autre, toute droite qui s'appuiera sur trois de ces quatre droites s'appuiera né-
cessaireînent sur la quatrième.

En effet, soient deux droites L, L' dans l'espace, et quatre droites A, B, G, D, qui
rencontrent la première aux points a,b , c, d , ei la seconde aux points d ,h , c , d' , de
manière qu'on ait

ca da c'a' d'à'

7b ' db ~ ^F' ' TV'

il faut prouver que ces quatre droites sont telles qu'une droite quelconque L", qui s'ap-
puiera sur les trois premières A, B, G, rencontrera nécessairement la quatrième D.

Pour cela, par le point d de la droite L, menons une droite D' qui s'appuie sur la droite
L' et sur la droite L"; soient $' , â" , les points où elle rencontrera ces deux droites.
Les quatre droites A, B, C, D', s'appuyant sur les trois droites L, L' et L", on aura,
d'après le théorème I,

ca da c'a' tf'a'
Tb 'Tb'^Vb' ' ~PF'

Cette équation, comparée à la précédente, fait voir que le point ^ se confond avec
le point d. Ainsi la droite D' menée par le point d, de manière qu'elle s'appuie sur les deux
droites L' et L" est précisément la droite D. La droite L", qui s'appuie sur les trois
droites A, B, G, s'appuie donc sur la quatrième D. Ainsi le théorème est démontré.

Maintenant, soient trois droites L, L', L" dans l'espace, et soient A, B, G, D, etc. ,

NOTES. 307

des positions iliiïérentcs d'une droite mobile qui s'appuie sur ces trois droites : je dis
qu'une droite quelconque M, qui s'appuiera sur les droites A, B, G, rencontrera né-
cessairement une quatrième D. Car en vertu du théorème I, les quatre droites A, B,
G, D, font sur les deux L, L', des segmensdont les rapports anharmoniques sont égaux;
donc, en vertu du théorème II, une droite qui s'appuie sur les trois premières, ren-
contre nécessairement la quatrième.

Ainsi, quand une droite mobile t'appuie sur troit droites fixes, toute droite qui
s'appuiera sur trois positions de la droite mobile, s'appuiera sur toutes les autres
positions de cette droite.

Gela exprime la première partie du théorème énoncé.

Pour démontrer la seconde partie, concevons un plan transversal quelconque, qui
rencontrera les deux droites L , L', en deux points ^ , X' , et les quatre droites A , B , G , D ,
en quatre points a,î , y, à. Ges six points sont sur la courbe d'intersection de la sur-
face par le plan. Il s'agit donc de démontrer qu'ils sont sur une section conique. Pour
cela il suffit de faire voir, d'après une propriété générale des coniques, que nous
démontrerons dans la Note XV, que les quatre droites menées des points a, ë , y, à,
au point X, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites menées des
mômes points au point À'. Or, le rapport anharmonique des quatre droites Xst, }£ , ly, W,
est le même que celui des quatre plans menés par la droite L, et dont ces droites sont
les traces sur le plan transversal; et ce rapport est le même que celui des quatre points
où les droites A, B, G, D, par lesquelles passent ces plans, s'appuient sur la droite L'.
Pareillement le rapport anharmonique des quatre droites Va,l'S ,1'y, X'^ est égal à
celui des quatre points où les mêmes droites A, B, G, D s'appuient sur la droite L.
Mais ces deux rapports anharmoniques des points où les quatre droites A , B, G, D, ren-
contrent les deux droites L, L', sont e'gaux entre eux (théorème I) : donc le rapport
anharmonique des quatre droites ?^, Xff, Xy, XJ, est égal à celui des quatre droites
l'a, l'S, l'y, X'c?. Donc les six points «,§ , y, â, 1,1', sont sur une conique. Donc la
section de la surface par un plan transversal quelconque est une conique. G. Q. F. P.

Ainsi le théorème de la double génération de l'hyperboloïde à une nappe par une
droite est démontré complètement, et par des considérations géométriques tout-à-fait
élémentaires.

On démontre en analyse que les droites menées par un point de l'espace parallèle-
ment aux génératrices de l'hyperboloïde, forment un cône qui est du second degré'.
La théorie du rapport anharmonique donne encore une démonstration extrêmement
facile de cette proposition. Il suffit d'appliquer à la section du cône par un plan le
raisonnement que nous venons de faire pour une section plane de l'hyperboloïde; ou voit
que cette section est encore une conique.

Corollaire. — Le théorème I , considéré par rapport à l'hyperboloïde , exprime celte
propriété de cette surface :

Quatre ge'nératrices d'un même mode de génération d'un hyperholoïde à une
nappe font sur une génératrice quelconque du second mode de génération , quatre seg-

308 NOTES.

mens dont le rapport anharmonique a une valeur constante , quelle que soit la
position de cette génératrice du second mode de génération.

Ainsi soient a, h, c , d, les points où les quatre génératrices du premier mode de
génération A , B , G , D, rencontrent nne génératrice L du second mode ; et a, h', c' , d', les
points où elles rencontrent une seconde génératrice L' du second mode de génération ;
on aura

ca da c'a' d'à'

7b ' db '^VF ' 7b''

Cette équation se met sous la forme

ca

da d'à' \ ca c'a'

— = XI — : j ou — = X const.

cb c'b' ^ \^db d'b' J' cb c'b' ^

Ce qui exprime que : Si l'on a un quadrilatère abb'a' , et qu'on divise ses côtés
opposés ab, a'b' aux points c, c', de manière qu'on ait

ca c'a'

— = • const. ,

cb c'b' '

la droite ce' engendrera un hyperholoïde à une nappe.

Nous avions démontré d'une autre manière cette propriété de l'hyperboloïde, qui a servi
jusqu'ici pour prouver la double génération de cette surface par une droite. {Corres-
pondance sur l'école polytechnique , tom. II, p. 446.)

NOTE X.

(première époque, § 34).

Théorie de l'involution de six points.

(1) Nous diviserons cette Note en deux parties. Dans la première nous allons exposer les
propriétés connues de l'involution de six points. Dans la deuxième nous donnerons diverses

NOTES. 309

autres manières nouvelles d'exprimer cette involution, qui nous ont paru pouvoir simpli-
fier cette théorie, et en étendre les applications.

PKBMiiRE PARTIE.

(2) Quand six points , situés en ligne droite , et se correspondant deux à deux , tels que
A et A', B et B', C et C, fout entre eux de tels segmens que l'on ait la relation

CA.CA' _ C'A.C/A'
^'^^ CB.CB' ~ C'B.C'B' •

on dit que les six points sont en involution, et les points qui se correspondent sont
dits conjugués.

(3) Les six points jouissent de deux sortes de propriétés, dont nous appellerons les unes
arithmétiques , parce qu'elles ne concernent que des relations entre les segmens pris de
différentes manières entre ces points; et les autres géométriques , farce qu'elles con-
cernent certaines figures que l'on peut faire passer par les six points en question , ou dans
lesquelles se présente l'involution de six points.

Propriétés arithmétiques.

(4) L'équation précédente donne lieu aux deux suivantes :

BA.B\' B'A.B'A'

BC.ilC B'C.B'C '

■ AB.AB' A'B.A'B'

AC.AC A'C.A'C

Ainsi chacune des trois équations (A) comporte les deux autres.

(5) La propriété des six points, d'être en involution, peut être exprimée par une équa-
tion entre six segmens seulement , formés par ces points entre eux.

Cette équation sera :

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA' ,
. on AB'.BC.C'A' = AC.C/B'.BA',

^' ^ ou AB.B'C'.CA' = AC'.CB.B'A' ,

ou AB.B'G.C'A' = AC.C'B.B'A'.

Ainsi chacune de ces quatre équations (B) exprime Vinvolution des six points, et suffit
pour que les trois autres aient lieu.

(6) Les équations (B) se déduisent facilement des équations (A) par voie de multipli-

310 NOTES.

cation; et, réciproquement, celles-ci se déduisent aussi, aisément, des équations (B).
Mais, puisque chacune des sept équations constitue, à elle seule, l'inTolution des six points ,
il faut que d'une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe ; c'est-à-dire
d'une des trois équations (A) les deux autres; et d'une des équations (B) les trois autres.
C'est en effet ce que l'on peut faire par le calcul, en transformant les différens segmens
de l'équation proposée en d'autres qui se prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette
sorte de vérification à posteriori est longue, exige des tâtonnemens, et n'a rien d'élégant.

Aussi l'on se sert , pour montrer que l'une des sept équations (A) et (B) comporte les six
autres, d'une propriété géométrique des six points, à savoir: qu'on peut faire passer par
ces six points, les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère. C'est ainsi
qu'ont fait MM. Brianchon et Poncelet.

Mais nous avons trouvé que la notion du rapport anharmonique de quatre points pro-
cure une démonstration encore plus simple et plus directe , et conduit à beaucoup d'autres
relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d'utilité. Nous traiterons
de cet objet dans la deuxième partie de cette Note.

(7) Les équations (A), entre huit segmens , sont faciles à former. La nature des relations
(B), dans chacune desquelles n'entrent que six segmens, ne paraît pas aussi facile, au
premier abord , à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle que nous croyons que
l'on pourra retenir sans efforts de mémoire.

Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun deux fera
deux segmens avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segmens; le produit
de trois de ces segmens, qui n ont pas d'extrémité commune , est égal au produit des
trois autres.

(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D', et supposons
que ces deux points forment une involution avec les quatre A, A' et B , B'; on aura l'é-
quation :

AB.AB' _ A'B.A'B'
AD.AD' ~ A'D.A'D' '

La comparant avec la troisième des équations (A), on eu conclut

AC.AC A'C.A'C

AD.AD' A'D.A'D' '

Ce qui prouve que les six points A , A', C , G' et D , D', sont en involution.

D'où suit cette propriété générale de l'involution des six points, savoir que :

Si l'on a en ligne droite plusieurs systèmes de deux points , tels que les deux pre-
miers systèmes forment avec chacun des autres une involution; trois quelconques de
tous ces systèmes formeront aussi entre eux une involution.

Ce théorème admet plusieurs conséquences qui sont très-importantes dans la théorie
de l'involution.

NOTES. 311

(0) La suivante, par exemple, trouvera des applications utiles :

Quand on a , en ligne droite , quatre »y»lèine» de deux point» , formant trois à troiê
une involution , quatre point» appartenant respectivement aux quatre tyttème» ont
leur rapport anharmonique égal à celui de» quatre autre» point».

Ainsi A et A', B et B', G et C, et D et D', étant les quatre systèmes , on aura :

AC _ BC _ A^ BT/
AD ■ BD ~ 1^' ' BÏP '

En effet, les trois premiers systèmes formant une involution, on a (équations B),

AC A'C AB'
BC"^ BH7' ¥'

et pareillement les trois systèmes A et A', B et B', et D et D', formant une involution ,
on a:

AD A'D' AB'

BD B'D' A'B

Divisant membre à membre ces deux équations, on obtient celle qu'il s'agissait de dé-
montrer.

(10) Examinons quelques cas particuliers de l'involution de six points :
Si l'on suppose que les deux points C, C, se réunissent en un seul , et qu'on l'appelle E,
les équations (A) et (B) se réduiront aux quatre suivantes :

w

AB.AB'

A'B.A'B'

BA.BA'

B'A.B'A'

EA.EB

EA'.EB'

EA.EB'

B'E

AB
Â7F'

AB'
EA'.EB Â^'

Chacune de ces quatre équations comporte les trois autres.

Desargues, qui a examiné ce cas, l'a appelé involution des cinq points.

Nous appellerons le point E point double.

(11) Supposons maintenant que le point C soit à l'infini, et remplaçons son conjugué

312 NOTES.

G par 0; les équations (A) et (B) deTiendront :

OA.OA'

= OB.OB' ,

BA.BA'

BO

B'A.B'A'

B'O'

AB.AB'

AO

A'B.A'B'

A'O'

AB'

OB'

A'B

OA''

AB'

OA

A'B

~ OB '

AB

OB

Tïï

""oA"

AB

OA

AB-

OB'

Chacune de ces sept équations comporte les six autres , et constitue seule l'inTolution
des cinq points A, A', B, B', et 0. La propriété caractéristique de ce point 0 est que son
conjugué se trouve à l'infini. Nous l'appellerons le point central des deux systèmes A, A'
et B, B'.

La position de ce point central est déterminée par chacune des sept équations précé-
dentes. La première exprime que le produit des distances de ce point aux deux premiers
points conjugués, est égal au produit de ses distances aux deux autres points conjw-
gués i cette relation va nous conduire à une propriété remarquable de l'involution de six
points.

(12)Soient A, A';B, B';et C, C ces six points; et soit 0 le point central relatif aux quatre
premiers, de sorte qu'on ait OA.OA' = OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugué,
lequel est à l'infini. Les six points A, A', B, B' et 0, 0' forment une involution. Il résulte
donc du théorème (8) que les deux systèmes C, C et 0, 0', et un quelconque des deux
autres, le premier A, A', par exemple, forment une involution. C'est-à-dire que le point
O est le point central des deux systèmes A, A'etC, C. Ainsi l'on a OA.OA' := OC. OC.
Mais on a déjà OA.OA' = OB.OB'; on conclut donc delà le théorème général :

Quand trois systèmes de deux points forment une involution , il existe toujours un
certain point tel que le produit de ses distances aux deux points de chaque système
est constant.

Réciproquement, quand sur une transversale on prend , à partir d'un point fixe O,
deux points tels que le produit de leurs distances au point 0 soit égal à une quantité
constante , trois systèmes de deux points ainsi déterminés seront en involution.

Quand les deux premiers points seront pris du même côté par rapport au point 0, il en
devra être de même des deux points de chacun des deux autres systèmes , pour que les pro-

NOTES. 313

duils aient le même signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris de
côtés opposés par rapport à un point 0.

(13) Le théorème précédent, qui, je crois, n'a point encore assez fixé l'attention des
personnes qui ont écrit sur cette matière, me parait être la propriété la plus simple de
l'involution de six points, et celle par laquelle se manifestera , le plus souvent , dans les
spéculations géométriques, cette involution.

Nous dirons que le point 0, considéré dans une involution de six points , est le point
central de l'involution.

(14) Ce point central conduit naturellement aux points doubles, dont nous avons déjà
parlé, et fait voir que ces points peuvent être imaginaires.

En effet, soient A, Â; B,B', les quatre premiers points d'une involution. UssufTiscnt
pour déterminer le point central 0. Si les deux points Â, A' sont d'un même côté par
rapport à ce point 0, il en sera de même des deux points B, B', et des deux autres points
G, G' qui doivent compléter l'involution. On peut donc supposer que ces deux derniers
se réunissent en un seul, que nous appelons Ë; et l'on aura, pour déterminer ce point,
l'équation

OA.OA' = OB.OB' =01'.

Ge point E peut être pris arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point 0 ; de sorte
qu'il y aura deux points E.

Ainsi les quatre premiers points A, A' et B, B' étant donnés, l'involution pourra
être complétée de deux manières par un cinquième point qui sera considéré comme
double.

Mais si l'on suppose que les deux premiers points A, A' soient placés de côtés différens,
par rapport au point 0, i! en sera de même des deux B, B', et des deux G, G' qui doivent
compléter l'involution; ces deux derniers ne pourront donc jamais se confondre. Ainsi
dans ce cas il n'y aura pas de points doubles; l'analyse donnerait pour leur construction
une expression imaginaire.

(15) Soient six points en involution A, A' ; B, B' et G, G'. Que les deux premiers soient
du même côté du point central 0; on pourra prendre, des deux côtés de ce point, deux
points £, F, tels que

ÔË'=ÔF' = OA.OA'.

Cette double équation exprime que les deux points E, F sont conjugués harmoniques
par rapport aux deux premiers A , A'.
Mais on a aussi

ÛÊ' =W OB. =0B';

les deux points E, F sont donc aussi conjugués harmoniques par rapport aux deux points
B, B' , et de même pour les autres points G, G'. D'où résulte cette propriété, déjà connue,

To«. XI. 40

314 NOTES.

de l'involulion de six points , savoir qu'il existe deux points quisont conjugués harmoni-
ques par rapport aux deux points de chacun des trois systèmes de l'involution Ces deux
points sont situés de part et d'autre, et à égale distance du point central de l'involution.
Mais ces deux points peuvent être imaginaires.

(16) Il est aisé de voir que, quand les deux points B, B' seront situés sur le segment
AA', ou entièrement au dehors de ce segment, les deux points E, F seront réels ;

Au contraire, quand l'un des deux points B, B' sera sur le segment ÂA', et l'autre sur
son prolongement, les deux points en question seront imaginaires.

En effet, dans le premier cas, le point 0, qui est toujours réel, sera évidemment en
dehors des deux segmens AA' , BB' , pour que Téqualion OA.OA' = OB.OB' puisse avoir
lieu; c'est-à-dire que les deux points A, A' seront placés du même côté du point 0, et
dès lors les deux points E, F seront réels.

Dans le second cas, le point 0 sera évidemment placé sur la partie commune aux deux
segmens AA' , BB' , et les deux points A , A' seront de côtés différens par rapport au point
0 ; et dès lors les deux points E, F seront imaginaires '.

(17) Les deux points E, F jouissent d'une autre propriété caractéristique, qui était
démontrée par Apollonius dans son traité de sectione determinatâ , comme on le voit
par les propositions 61 , 62 et 64 du septième livre des Collections mathématiques de
Pappus ; c'est que le rapport

EA.E4' / FA. FA'
ou

EB.EB' l FB.FB'

est un maximum ou un minimum. C'est-à-dire que si l'on prend un autre point quelcon-
que m , le rapport

fwA.TOÀ'

mh.mW

atteindra son maximum ousonm,inimum quand le point m viendra se confondre avec l'un
des deux points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux A, A', et par
rapport aux deux B, B'.

(18) Deux systèmes de points A, A' et B, B' et leur point central 0 , jouissent de la pro-
priété suivante, démontrée par Pappus (propositions 45 , 46 ,... et 56 du livre septième
des Collections mathématiques ) :

Si l'on prend sur la droite ÂB , ou sur son prolongement , un point quelconque m,
on aura toujours la relation

mA.wA' — mB.mB' = (AB -t- A'B'). mO.

' M. Poncelet a présenté d'une autre manière cette discussion relative aux deux points B ,F, en se servant
de la construction géométrique propre à la détermination de ces deux points (Voir Traité des Propriétés pro-
fectives , pag. 201).

NOTES. 315

En prenant les points milieux a, S des deux segmens AÂ' et BB', on change cette rela-
tion en celle-ci :

mK.nK' — «wB.mB' = 2«f. wiO.

(10) En supposant que le point m se confonde successivement avec A , A' , B, B', on
aura des relations particulières entre les cinq points A , A' , B , B' et 0, qui ont aussi été
démontrées par Pappus, propositions 41, 42 et 43.

Propriété* géométrique».

(20) La plus ancienne propriété géométrique de l'inTolution de six points, se trouve
dans Pappus (proposition 130 du septième livre), où l'on voit que quand les quatre côtés
et les deux diagonales d'un quadrilatère sont rencontrés par une diagonale quelconque en
six points, A , A'; B, B';et G, C',dont les deux premiers appartiennent à deux côtés
opposés , les deux suivans aux deux autres côtés opposés , et enfin les deux derniers aux
deux diagonales, on a entre les segmens formés par ces points, les équations (B).

11 résulte évidemment de cette proposition que, réciproquement, quand une des équations
(B)a lieu, on peut faire passer par les six points , les quatre côtés et les deux diagonales d'un
quadrilatère; et l'on conclut de là, par la proposition de Pappus, que les trois autres équa-
tions (B) ont lien en vertu de la première.

Voilà comment, au moyen de la proposition géométrique de Pappus, on démontre cette
propriété arithmétique de l'involution de six points, savoir, que l'une quelconque des
équations (B) comporte les trois autres.

Et comme, en combinant ces équations entre elles, on en déduit immédiatement les
équations (A), il se trouve aussi démontré, parla seule proposition de Pappus, que les six
points où une transversale menée arbitrairement dans le plan d'un quadrilatère rencontre
ses quatre côtés et ses deux diagonales , ont entre eux les relations exprimées par les
équations (A).

(21) La démonstration du théorème de Pappus est facile; mais au moyen de ce que la
relation d'involulion est projective, on peut simplifier cette démonstration , en projetant
le quadrilatère de manière qu'il devienne un parallélogramme.

C'est ainsi qu'a fait M. Brianchon pour démontrer ce théorème , dans son Mémoire sur
les lignes du second ordre.

(22) Il ne parait pas que les relations (Â), qui comprennent huit segmens, aient été
connues de Pappus. Car parmi ses propositions sur le quadrilatère coupé par une trans-
versale, nous n'en trouvons qu'une qui se rapporte à ces relations; c'en est un cas parti-
culier. La transversale est menée par le point de concours de deux côtés opposés , parallèle-
ment à une diagonale (proposition 133). Les deux propositions qui précèdent celle-là
pourraient être aussi considérées comme des cas particuliers des relations (A); mais comme
elles viennent immédiatement après la proposition 130, dont elles sont aussi des cas par-

316 NOTES.

ticuliers, nous devons les y rattacher , et les regarder comme des corollaires des relations
(B) qu'exprime cette proposition 130.

(23) Les équations (A) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues ; c'est sous leur
forme que ce géomètre a caractérisé Vinvolution de six points, à l'occasion du beau
théorème suivant , qui est devenu si fécond dans la Géométrie récente, savoir , que :

Un quadrilatère étant inscrit dans une conique, les points où une transversale
quelconque rencontre la conique et les quatre côtés du quadrilatère, sont en involution.

Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de
Géométrie '.

(24) Et l'on en conclut successivement les deux suivans, qui sont plus généraux :
Quand deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère , si l'on tire une transver-
sale quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points , et deux côtés opposés du
quadrilatère en deux autres points ; ces six points seront en involution.

Quand trois coniques sont circonscrites à un même quadrilatère , une transversale
quelconque les rencontre en six points qui sont en involution.

Ces deux théorèmes sont, comme on voit, une généralisation de celui de Desargues,
qui s'en conclut comme corollaire. M. Sturm les a démontrés le premier par l'ana-
lyse 2.

(25) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de l'involulion de
six points , que nous avons appelées arithmétiques. Pour cela on considérerait différentes
autres coniques passant par les quatre mêmes points que les trois premières ; chacune
d'elles pouvant être déterminée par une cinquième condition. Si l'on demande qu'une de
ces coniques soit tangente à la transversale , on trouvera les points doubles ; si l'on veut
qu'une des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale, on trouvera le point
central; etc.

(26) Une propriété bien importante de l'involulion de six points, c'est que : Si d'un
point pris arbitrairement , on mène des droites à ces six points , les relations d'in-
volution [A) et [B) , qui ont lieu entre les segmens compris entre les points , auront lieu
aussi entre les sinus des anqles formés par les six droites qui interceptent ces seg-
mens.

On a coutume de démontrer cette proposition, en exprimant les segmens en fonction
des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport enharmonique de
quatre points nous en fournit une démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer
que chacune des relations d'involution (A) et (B) est une égalité de deux rapports an-
harmoniques ( ainsi que nous le ferons voir dans la deuxième partie de cette Note ). Ces
rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segmens, les sinus des
angles qui comprennent ces segmens ; par conséquent la relation d'involution a lieu en-
tre les sinus des angles que les six droites font entre elles.

Réciproquement , quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six

' Voir la Note XV.

2 Annales de Mathématiques ,tom. XVII, pag. 180.

NOTES. 317

droites issues d'un môme point font entre elles , une transversale quelconque rencontre
ces six droites en six points qui sont en involution.

On dit que ces six droites forment un faitceau en involution.

( 27 ) Telles sont les six tangentes menées d'un même point à trois coniques qui sont
inscrites dans un même quadrilatère.

(28) On peut regarder comme une des coniques, dont un axe est nul, la droite
qui joint deux côtés opposés du quadrilatère; comme une seconde conique, la droite qui
joint les deux autres sommets; et enfin comme une troisième conique, la droite qui joint
les points de concours des côtés opposés. Et l'on conclut du théorème général que nous
venons d'énoncer plusieurs corollaires, dont l'un est ce théorème :

Le» six droites menées d'un même point aux quatre sommets et aux deux points de
concours des côtés opposés d'un quadrilatère forment un faisceau en involution;
de sorte que toute transversale rencontrera ces six droites en six points qui seront en
involution.

( 29 ) Nous ne trouvons dans Pappus qu'une proposition qui puisse se rattacher à ce
théorème; c'est la 135° du septième livre. Il faut supposer deux côtés du quadrilatère
parallèles entre eux , et que la transversale leur soit parallèle et passe par le point de con-
cours des deux autres côtés.

(30) La relation d'involution nous parait devoir se présenter souvent dans plusieurs
théories géométriques, particulièrement dans celle des coniques. Cependant on ne l'a
guère considérée que dans le système de trois coniques inscrites ou circonscrites à un
même quadrilatère , et dans les cas particuliers d'un tel système.

Nous montrerons , à la fin de la deuxième partie de cette Note , que cette relation peut
se présenter dans beaucoup d'autres circonstances.

DEUXIÈME PABTIE.

(31) Les propriétés de l'involution de six points que nous venons d'exposer dans
la première partie de cette Note , sont, je crois , les seules qui soient connues, et encore
je ne sais si l'on avait remarqué expressément l'existence du point central, et le rôle
important qu'il joue dans cette théorie. %

Mais l'involution de six points jouit de plusieurs autres propriétés, et peut être expri-
mée sous diverses formes, diiTérentes des équations (A) et(B), et qui pourront être utiles
dans diverses recherches géométriques.

La propriété la plus importante de cette relation d'involution, celle qui nous parait
être la source de toutes les autres, repose sur la notion du rapport anharmonique. Cette
propriété capitale nous permet même de donner une nouvelle définition de l'involution
de six points, définition qui comprend, en même temps, les deux sortes d'équations (A)
et(B), et qui conduit naturellement à différentes autres expressions de l'involution de
six points.

( 32 ) Nous dirons que :

318 NOTES.

Six point*, qui sont conjugué* deux à deux, sont en involution, quand quatre
d'entre eux ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués .

Ainsi les sis point A, B, G, A', B', C, dont les trois A', B',G', sont conjugués res-
pectivement des trois premiers, sont en inyolution si le rapport anharmonique des quatre
A, B, C, et C est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués, A', B', C et C,
c'est-à-dire si l'on a l'une des trois équations :

CA CA

CB • C'B ~

C'A' CA'
CB' • CB' '

CA BA

CC • BC ~

C'A' B'A'
' ce • B'C '

CB AB
CC • AC ~

CB' A'B'
ce • A'C

CA.CA'

CA.CA'

CB.CB' CB.CB' '

CA.A'B'.BC = CA'.AB.B'C ,
CB.B'A'.AC = CB'.BA.A'C.

On voit qu'une de ces trois équations comporte les deux autres , puisque chacune d'elles
exprime que les quatre points A, B,C,G', ont leur rapport anharmonique égal à celui
des quatre points A', B', C, C , correspondans , un à un , respectivement aux quatre
premiers.

Ainsi notre définition de l'involution de six points donne lieu à trois équations , dont
une quelconque comporte les deux autres , et suffît pour exprimer l'involution.

(33 ) Il est aisé de voir que chacune de ces trois relations en comporte quatre au-
tres qui complètent, avec ces trois premières, les équations (A) et (B).

En efTet l'équation

CA.A'B'.BC = CA'.AB.B'C,

par exemple, peut s'écrire sous la forme d'une égalité de deux rapports anharmoniques,
de trois manières, dont la première est la seconde des équations du premier groupe ci-
dessus, et dont les deux autres sont les équations :

CA
CB'

BA
• BB'

C'A' B'A'
~ CB • B'B

CA

CB'

A'A
• A'B' ■

C'A' A A'
~ CB ' AB

La première de ces deux équations prouve que les quatre points A, B, G, B',ont leur
rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondans A', B', G', B; on a

NOTES. 319

donc les deux autres équations :

oo,

CA

CB

BA
• BB ■

C'A'
CB'

BA'
• BB' '

CB
CB'

AB
•AB' =

CB'
"^ CB

A'B'
• A'B'

GA.A'B.B'C

= C'A'

.AB'.BC ,

BA.BA'

B'A.B'A'

BC.BC B'C.B'C

Pareillement, la seconde des deux équations prouye que les quatre points A, B',
G, Â', ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondans
A', B, G', À; on a donc les deux autres équations :

CA

CA'

BA C'A' BA'
• BA' ~ CA * BA '

CB'
CA'

AB' C'B A'B
• AA' ■" C'A * A' a'

AC.AC A'C.A'C

AB.AB' A'B.A'B' '

CB'.BA'.AC e= C'B.B'A.A'C,

Ainsi les sept équations (A) et (B) résultent de la définition que nous avons donnée
de l'involution de six points.

(34) Nous venons de voir que l'équation

CA.A'B'.BC = C'A'.AB.B'C

exprime, en même temps, trois égalités de rapports anharmoniques ; savoir, entre les
quatre points A , B , G, G' et leurs correspondans A', B', G', G; entre les quatre points
A, B, G, B' et leurs correspondans; et enfin entre les quatre points A, B', G, A', et
leurs correspondans.

Ghacune des autres équations (B) exprime pareillement une égalité de rapports an-
harmoniques entre trois couples différens de quatre points , et on reconnaît aussi que
chacune des équations (A) exprime une égalité de rapports anharmoniques entre deux
couples de quatre points. On conclut de là que le* tix point* A et Â', B et B' , C et C ,
étant en involution, quatre quelconque* d'entre eux, dont trot* appartiennent aux

320 NOTES.

trois systèmes , ont leur rapport anharmonique égal à celui des ■points corres-
pondans.

(35) Nous disons que trois des quatre premiers points doivent appartenir aux trois sys-
tèmes; car autrement, deux des six points n'entreraient pas dans l'équation résultant des
deux rapports anharmoniques. Par exemple, si les quatre premiers pointsëtaient A,B, A', B',
leurs correspondans seraient A', B', A , B ; et , en égalant le rapport anharmonique des
quatre premiers à celui des quatre autres, on n'aurait pas une relation entre les six points
proposés, puisque C et C n'y entreraientpas. Mais l'équation qu'on obtient ainsi est iden-
tique. Nous pouvons donc énoncer d'une manière générale le théorème suivant :

Quand six points , qui se correspondent deux à deux, sont en involiition, le
rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre eux est égal au rapport anharmo-
nique des quatre points qui leur correspondent respectivement.

Ce théorème nous semble exprimer la propriété la plus féconde de la théorie de l'in-
volution de six points; il conduit naturellement à différentes expressions de l'involulion ,
que l'on n'a pas encore aperçues.

Nous allons les faire connaître.

(36) Nous avons vu, dans la Note précédente, que Kégalité des rapports anharmo-
niques de deux systèmes de quatre points peut s'exprimer de trois manières par une équa-
tion à trois termes; d'après cela on trouve que la condition d'involution de six points
peut s'exprimer de douze manières par une équation à trois termes. Quatre de ces douze
équations contiennent le segment AA', compris entre deux points conjugués, quatre
contiennent le segment BB', et quatre enfin le segment CC

Voici quelles sont les quatre premières de ces douze équations :

AB.AC AB'.A'C

(C)

AA'.BG AA'.B'C

AB.A'C. AB'.A'C

' n'r' '

= 1,

AA'.BC AA'.B'C

AC.A'B AC'.A'B' _

AA'.CB "*" AA'.C'B' ~ '

AC.A'B' AC'.A'B _

A'A'.GB' "^ AA'.C'B ~ "

On formera semblablement les quatre équations où entrera le segment BB', et les quatre
autres où entrera le segment CC.

En tout douze équations, dont chacune comporte les onze autres. Chacune de ces équa-
tions contient huit segmens dont sept sont différens.

(37) On a encore les huit équations suivantes, qui diffèrent des précédentes, quoi-
qu'elles soient aussi à trois termes , et qu'elles contiennent chacune huit segmens dont

NOTES.

Stfl

sept soDt dill'érenï :

t.

2.

3.

(D).

V

2'
3'

AC.AC
AB.AB'

AB.AB'
AC.AC

A'C.A'C
A'B.A'B"

A'B.A'B'

A'C.A'C

AC.AC
AB.AB

AB.AB'

AC.AC

A'C.A'C
A'B'.A'B

A'B.A'r.'

A'C.A'C

BC.BC _
BA.BA' " ' '

CB.CB'

CA.CA

TT7 =».

BC.BC

BA.BA'
CB.CB'

CA'.CA

= 1,

B'C.B'C _
B'A.B'A' ~ ''

C'B.C'A'
CA.CA' "^ ''

B'C.B'C

B'A'.B'A

CB.CB'

CA'.CA

= 1,

De ces huit équations, les quatre dernières, numérotées 1', 2', 3', 4', se déduisent res-
pectivement des quatre premières numérotées 1, 2, 3, 4, au moyen des équations (A).

Nous donnerons plus loin (45), la démonstration de ces huit équations.

(38) Voici une formule d'une autre forme, qui exprime l'involution de six points, par
une équation à quatre termes, entre six segmens différens.

Soient a, ê, y, les points milieux des trois segmens AA', BB', CC; supposons ces
trois points placés dans l'ordre a, ê,y, on aura la relation

(E)

«A .Cy — CB .ay ■+■ yC .aS = aS.Sy.'

Cette équation est unique; c'est-à-dire qu'il n'en existe point une seconde qui ail la
même forme.

Sa démonstration se déduira (4fl) d'une autre relation générale, que nous donnerons
ci-dessous.

(3!)) Quand les deux points C, G' se confondent en un seul point E, la relation devient

â\\cE — 7b\«E = aC. aE. CE.
Si les deux points B, B' se confondent aussi en un seul F, il vient :

aX = aE. aV.

Tox. XI.

41

322 NOTES.

C'est une des formules qui expriment que les points A , A' sont conjugués harmoniques
par rapport aux deux E, F.

(40) On peut exprimer, comme on sait, la relation harmonique de quatre points, au
moyen d'un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposés.
Il est aussi une manière d'exprimer l'involution de six points en se servant d'un point
auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposés; et cette manière donne lieu à un
nombre infini d'équations, dont une seule suffit pour exprimer l'involution.

Soient A et A', B et B', G et G' les six points en involution, et m un septième point
pris arbitrairement sur la droite sur laquelle sont situés les premiers; soient a, 6, y, les
points milieux des segmens A A', BB', GG'; supposant ces points placés dans l'ordre où nous
les énonçons , on aura la relation

(F) mk-mk' .Sy — toB, wiB'.ay -+- «iC. mC. afi" = o.

Gette équation a lieu quelle que soit la position du point m.

En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution,
ou avec les points a, 6, y, ou avec divers autres points déterminés, on aura diverses re-
lations qui exprimeront toutes l'involution de six points.

(41) La démonstration de l'équation (F) est facile. Nous allons faire voir que si cette
équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position
quelconque de ce point; c'est-à-dire qu'en appelant M cette nouvelle position du point m ,
on aura nécessairement

(F') MA.MA'.^y— MB.MB'.ayH- MC.MC'.af=o,-

ensuite nous montrerons que l'équation (F) a effectivement lieu pour une certaine position
du point m.

Pour déduire l'équation (F') de l'équation (F), j'écris :

jnA = MA — Mw , vik' — MA' — Mm. ,

ou

Pareillement :
et

mA.wA' == MA.MA' — (MA -^ MA')M»t ■+- Mm ,
«iA.otA' = MA.MA' — 2Ma.MM -t- M^'.
r/iB.mB' = MB.MB' — 2Mf.Mm -i- Mot' ,

mC.mC = MC.MC — 2My.Mm -h M»t .
L'équation (F) devient donc :

mXMA'.Sr — MB.MB'.«r-t- MC.MC. a^- —

2.M«t. (SyMa — ayMS + aSMr) -t- (fy— «r -H aS) Mm' == o.

NOTES. 323

Or, on a, entre les quatre points a, f , y. M, la relation

Sy-Ma — «y.MC -\- aC.My = o,

ainsi que nous l'avons démontré dans la rfoteIX(pag. 305); on a aussi, entre les points

a, f , ^, la relation

Qy — a,y -\- aC ^ o ;

l'équation ci-dessus se réduit donc à l'équation (F), qu'il s'agissait de démontrer.

Il reste à faire voir que l'équation (F) a lieu pour une certaine position particulière du
point m. Supposons que le point soit situé au point central de l'involution des six points;
on aura m.\.mÂ' = mB.mB' =mC.mG'; et l'équation se réduira à

Cy — ay ■+- aS :^ 0 ,
équation identique.

Ainsi la formule (F') , ou (F) qui lui est semblable, est démontrée.

(42) On peut remplacer dans l'équation (F) les segmens aê, ar/, êy, par d'autres segmens
entre les seuls points A, A', B, B', G et C : car on a

BC -+- B'C AC ■+■ A'C AB + A'B'

Cy = , ay= aS =

(43) Supposons que dans l'involution les deui points C , G', se confondent en un seul E ,
et que les deux points B, B', se confondent aussi en un seul F; l'équation deviendra

(G) «lA.mA'.EF — wîF" «E -4- mË'.aP = o.

Gette équation exprime une relation entre quatre points A, A', E, F, dont les deux pre-
miers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point
m pris arbitrairement.

En donnant à ce cinquième point différentes positions particulières, on aura différentes
expressions de la relation harmonique de quatre points.

(44) L'équalion (F) nous paraît être, jusqu'ici, l'expression la plus étendue et la plus
féconde de l'involution de six points; car on en conclut toutes les différentes équations
que nous avons données, et diverses autres qui donnent des expressions simples de plu-
sieurs rapports de produits de segmens, que l'on a à considérer dans cette théorie.

Far exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouve cette
expression très-simple du rapport de AG.AG' à AB.ÂB'

.\C.AC' ay AC -i- A'C

AB.AB' aC AB + A'B'

L'expression de

A'C.A'C
A'B.A'B'

est la même ; d'où l'on conclut les équations (A).

324 NOTES.

(45) Supposant que le point m soit en B, il vient

BC.BC ey BC + B'C

BA.BA' ~ ~ a ~ ~ BA -+- B'A'"

Ajoutant, membre à membre, cette équation à la précédente, et remarquant que l'on a
ay — êy = aê , on obtient la première des huit équations (D).

(40) L^équation (E) se déduit aussi très-aisément de l'équation (F).

En effet, on a entre les trois points «, S, y, et un quatrième point quelconque m la rela-
tion suivante due à Mathieu Stewart :

ma .Sy — mS .ay ■+- my .ci.S= ci.S.Sy.yct.. '
Retranchant de cette équation l'équation (F) , il vient

(ma' — >«A.»tA' ) Cy — (mf — »iB.»iB' ) «y -t- (wy — wC.mC' ) a.S= aS.Sy.ya.
Mais on a

ma — <xA = {ma -^ aK) {ma — aA) =: wA.wîA' ;
d'où

ma — mk.mk' = «A .
Pareillement

mS — »«B.»/»B' = Q\i , et my — mCmC = yÇ, •

L'équation ci-dessus devient donc

ak ,Sy — QQ .ay + yC .a£ = aC.£y.ya.
G. Q. F. D.

(47) On conclut aussi de l'équation (F) la propriété du point central , qui a été connue
de Pappus (18). Pour cela supposons le point C situé à l'infini, de sorte que le point G
deviendra le point central 0; et écrivons l'équation (F) sous la forme

ay inC

fnA.mk' — «iB.mB'. — -i- mC.aS. = o.

Sy £y

Le point y est aussi à l'infini, et l'on a

a-v eC -4- eC mC mC 2

:^ = l ; ey= ; -- = 2

ey~ '■~ '1 ' Gy ~ ec+sc ~ ec_ ^s£_'

mC »iC'
1 Veiilaeconàiei Some gênerai theorems , eic. ( Fotr quatrième £poque § 28.)

NOTES. 325

Or

ec ^' , . wc

= 0, et = 1 ; donc = 2 ;

l'équation devient donc

mA.mA' — wB.mB' ■+■ iaC.mO = o.
Remplaçant aS par

AB H- A'B'

2
on a l'équation de Pappus.

(48) Si l'on suppose que les deux points B, B' se confondent en l'un des points doubles E ,
de l'involution, cette équation deviendra

(H) »/»A.»iA' — wË' -4- 2aE.mO = o.

(4i)) Si les deux points Â, A', se confondent au deuxième point double F, il viendra

1^ — mË' + 2EF.mO = o.

Cette équation exprime une relation entre trois points quelconques m, E, F, et le point
milieu des deux derniers.

(50) La première des équations (D) et l'équation (H) donnent une démonstration, du cas
de maximum ou minimum, démontré par Apollonius, dont nous avons parlé (17). Car,
d'après la première de ces deux équations, on voit que le rapport

AC.AC

AB.AB' '

où A est supposé le point variable, sera un maximum eu minimum, quand le produit
BA.BA' sera lui-môme un minimum ou maximum. Or, d'après l'équation (H), on a

BA.BA' = lË' — 2aE.B0.

Le produit BA.BA' sera donc un maximum (ou un minimum à cause des signes)
quand le coefficient variable «E sera nul. Alors les deux points A , A', se confondront avec
le point E; ce qui est la proposition d'Apollonius.

(51) On peut exprimer rinvoliition de six points par une équation où entrent deux
points pris, l'un et l'autre, arbitrairement.

Soient m et n ces deux points ; soient « le conjugué harmonique du point n par rapport
à A et A'; € le conjugué harmonique de n par rapport à B et B'; et y le conjugué harmo-
nique de n par rapport à C et G. On aura , quels que soient les deux points m et n pris sur
la droite où sont situés les points de l'involution , la relation

,,_ mA.mA' wB.mB' «iC.mC

(') — : — — Cy.tix — — ay.nC -^ — - — —- ttC.ny = o.

nA.H.V nB.nB' «C.nC

326 NOTES.

Si l'on suppose le point » situé à l'infini, cette équation devient la formule (F). Cette
remarque suffit pour montrer la légitimité de cette équation.

(52) Si le point ?» est placé au point central, on aura tnA.niA.' = mB.mB' = wiC.mC ,
et la relation (I) devient

S'V.na ay.nC aC.ny

(J)

mA.wA' «B.nB' nC.nC

Cette équation est d'une forme différente de l'équation (F), et exprime , comme elle,
l'involution de six points, au moyen d'un septième point pris arbitrairement.

(53) Nous avons dit (30) que la relation d'involution peut se présenter dans diverses
spéculations où elle n'a peut-être pas encore été aperçue. Nous terminerons celte Note en
citant plusieurs circonstances où celte relation a lieu :

1° Trois systèmes de deux diamètres conjugués d'une conique forment un faisceau
en involution.

2° Quand trois cordes d'une conique passent "par un même point , les droites menées
d'un point quelconque de la courbe à leurs extrémités sont en involution.

3° Quand trois angles circonscrits à une conique ont leurs sommets en ligne
droite , leurs côtés rencontrent une tangente quelconque à la conique en six points qui
sont en involution.

4° Quand quatre cordes d'une conique passent par un même point, si par les extré-
mités des deux premières, on fait passer une conique quelconque , et par les extrémités
des deux autres, une seconde conique quelconque , les quatre points d'intersection de
ces deux nouvelles coniques seront deux à deux sur deux droites passant par le point
de concours des quatre cordes ; et ces deux droites et les quatre cordes formeront un
faisceau en involution '.

Si les deux premières cordes se confondent, et que les deux autres se confondent aussi,
la relation d'involution devient un rapport harmonique , et l'on a ce théorème :

Quand deux coniques ont un double contact avec une troisième conique, elles se
coupent en quatre points situés , deux à deux , sur deux droites qui passent par le
point d'intersection des deux cordes de contact; et ces deux droites sont conjuguées
harmoniques par rapport aux deux cordes de contact.

5° Par un point quelconque, pris dans le plan d'une conique, on peut mener deux
droites rectangulaires de manière que le pôledel'une, pris par rapport à la conique, soit
sur l'autre;

Six droites ainsi menées , par trois points pris arbitrairement dans le plan de la
conique; rencontrent chacun des deux axes principaux de la courbe en six points qui
sont en involution.

Le point central de l'involution est le centre de la courbe ; et les deux points doubles

' J'ai démontré dana la Correspondance polytechnique, la première partie de ce théorème. ( Tom. III , p. 339 . )

NOTES. 327

iont les foyers. Ces deux points doubles sont réels sur le grand axe, et imaginaires sur
le petit.

Pour un point pris sur la conique , les deux droites rectangulaires menées par ce point
sont la tangente et la normale.

Ce théorème est, comme on Toit, une propriété générale des foyert des coniques,
et fait voir comment il existe quatre foyer», dont deux sont imaginaires, mais jouissent
de certaines propriétés qui leur sont communes avec les deux foyers réels.

Nous retrouverons dans les surfaces du second degré un théorème analogue à celui-
là, et qui nous servira à caractériser certaine* courhen qui joueront daus ces surfaces le
môme rûle que celui des foyer* dans les coniques. ( f^oir la Note XXXI. )

La relation d'involution peut aussi se présenter dans des questions d'un ordre plus
relevé que les précédentes. Ainsi :

6° Quand troit turfaces courbe* quelconque* , qui ont un point de contact, te cou-
pent deux à deux en ce point, *i on mène le* tangente* en ce point aux deux branche*
de chacune de* trot* courbe* d'intertection , ces tix tangente* *eronten involution.

1" Ënfm : Quand , par une génératrice d'une evrface réglée, on mène troi* plan*
quelconque», chacun d'eux e*t tangent à la surface en un point, et lui e*t normal
en un autre point ; on a ainsi *ix point* qui sont en involution» ■.w-iH: -a >■■: .> 'ir t

Chacun des théorèmes que nous venons d'énoncer est susceptible de plusieurs consé-
quences qui trouveront leur place ailleurs.

(54) Nous ne pouvons terminer cette Note sans faire mention d'une propriété curieuse
du cercle , où six points pris sur sa circonférence ont entre eux des relations analogues à
celles de six points eu involution situés en ligne droite. Cette propriété est exprimée
par le théorème suivant :

Quand troi* droites, i**ue* d'un même point , rencontrent une circonférence de
cercle aux point* a , a' pour la première; b, b', pour la seconde et c , c', pour la troi-
sième , on a la relation :

sin. i ca, sin. i ca' sin. ic'a, sin. i c'a'
sin. i cb. sin. l cb' sin. i c'b. sin. i c'b'

On voit comment on formera deux autres relations semblables ; de sorte qu'on aura, entre
les six points a, a'; b, h' ;c , c', trois relations analogues aux relations (A) de l'involution
de six points en ligne droite.

Ajoutons qu'on aura pareillement, entre les six points, des relations analogues aux
équations (B), aux équations (C) et aux équations (D).

328 NOTES.

NOTE XL

(freuière époque, §38.)

Sur la question d'inscrire dans un cercle un triangle dont les trois
côtés doivent passer par trois points donnés.

Pappus nous a laissé une solution facile de ce problème, pour le cas où les trois points
sont en ligne droite.

Le cas général , qui offrait des difficultés , a été proposé en 1742 par Cramer, àCastil-
ion, qui avait déjà donné des preuves d'habileté dans la Géométrie ancienne. Castillon
trouva une solution du problème, fondée sur de pures considérations de Géométrie; elle
parut dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1776.

Aussitôt après, Lagrange en donna une solution différente, purement analytique et
fort élégante. (Même volume des Mémoires de Berlin.)

En 1780, Euler, N. Fuss et Lexell résolurent aussi ce problème (Mémoires de l'Aca-
démie de Pétersbourg.) La solution d'Euler nous donne lieu à cette remarque , qu'elle
repose sur un lemme qui est précisément le théorème de Stewart,dont nous avons parlé
au sujet des lemmes de Pappus sur le Traité des lieux plans d'Apollonius. (1"= Epoque ,
§36-)

Giordano di Oltaiano, jeune Napolitain, conçut la question d'une manière plus géné-
rale, et la résolut pour un polygone d'un nombre quelconque de côtés, devant passer par
autant de points, placés arbitrairement dans le plan du cercle. Malfati ne tarda point à
la résoudre aussi dans cet état de généralité. (Les Mémoires de ces deux géomètres sont
compris dans le tome IV des Memorie délia societa italiana.)

Lhuillier apporta quelques modifications aux solutions de ces deux géomètres, dans les
Mémoires de Berlin , année 1790 ; et revint sur cette question dans ses Elérneng d'analyge
géométrique et d'analyse algébrique , année 1809.

M. Carnot, dans sa Géométrie de position, reprit la solution de Lagrange , et en fit,
en y introduisant des considérations géométriques, une solution mixte, qu'il appliqua au
cas général d'un polygone quelconque.

M. Brianchon introduisit dans cette question un nouvel élément de généralisation; en
prenant une conique quelconque au lieu d'un cercle ; et la résolut pour le cas du trian-
gle, et en supposant les trois points situés en ligne droite. {Journal de l'école polytechni-
que , 10° cahier.)

M. Gergonne fit un nouveau pas , en prenant aussi une conique, mais en rendant aux

NOTES. 329

trois points leur généralité de position , et en ne se serrant que de la règle pour résoudre
le problème. Les solutions antérieures exigeaient l'emploi du compas [Annale» de
Mathématiquet , tom. I", page 341 , années 1810-1811). M. Gergonne n'avait pas abordé
directement ce problème : il s'en était proposé un autre qui lui est analogue; c'était de
circonscrire à une section conique un triangle dont les sommets fussent placés sur trois
droites données. La construction que donna ce géomètre n'employait que la règle , et était
un modèle d'élégance et de simplicité. Elle a été démontrée par MM. Servois et Rochat
(Annale* de Mathématiques , tora. I"', pages 337 et 342). M. Gergonne observa que,
par la théorie des /;o7e« dans les sections coniques, elle se transformait immédiatement en
une solution de même nature , pour la question d'inscrire dans une conique un triangle
dont les côtés passent par des points donnés.

Il restait, pour compléter cette matière, à résoudre aussi, pour une section conique au
lieu du cercle, le cas général d'un polygone quelconque. C'est à M. Poncelet qu'on doit ce
dernier eiTort. La solution de ce géomètre couronnait dignement les travaux de ses de-
Tanciers. Elle offre , sous tous les rapports , un bel exemple de la perfection à laquelle
peuvent atteindre les théories de la Géométrie moderne. (Voir Traité des propriétés
proj'ectives, page 352.)

NOTE xn.

(deuxième époque, § 2.)

Cette Note sera placée à la suite de la Note XXXIV.

To«. XI. 42

330 NOTES.

NOTE XIII.

(deuxième époque, § IS. )
Sur les coniques de Pascal.

La plupart des notes biographiques contiennent quelques erreurs au sujet des coniques
de Pascal; les unes en confondant le traité complet des coniques, qui n'a jamais été mis
au jour, avec Vessai, le seul qu'ait connu Descartes; d'autres en alléguant un prétendu
refus de ce célèbre philosophe de reconnaître Pascal comme l'auteur de cet essai, préfé-
rant l'attribuer d'abord à Desargues , puis au père de Pascal, très-versé lui-même dans les
mathématiques. Et quoique Bayle , dans son dictionnaire historique , ait réfuté une telle
interprétation de l'opinion de Descartes , qui est contraire aux documens qui nous restent ,
et on peut dire aussi au caractère de ce grand philosophe qui n'admirait presque jamais
rien, cette interprétation a pourtant été souvent reproduite depuis, et notamment par
Montucla dans V Histoire des Mathématiques (tom. II, pag. 62).

Dans ces derniers temps encore , un très-savant géomètre crut devoir attribuer à Desar-
gues, au moins le théorème de l'hexagone ; quoique Pascal le présente au commencement
de son essai comme étant de sa propre invention, et faisant la base de cet essai ; et qu'il
ait soin de citer ensuite Desargues comme auteur d'un autre théorème qu'il énonce aussi.

A celte preuve, qui serait suffisante pour assurer à Pascal la propriété de son célèbre
théorème, nous avons trouvé à ajouter le témoignage de Desargues lui-même. C'est un
passage d'un écrit de ce géomètre , en 1642 , rapporté par Gurabelle dans son Examen des
œuvres de Desargues (in-4". 1644). En parlant d'une certaine proposition (qui n'est pas
indiquée par Gurabelle), Desargues ajoute qu'il «remet d'en donner la clef quand la démons-
» tration de cette grande proposition , nommée la Pascale, verra le jour : et que ledit
» Pascal peut dire que les quatre premiers livres d'Apollonius sont, ou bien un cas, ou
» bien une conséquence immédiate de cette grande proposition. » On ne peut douter
qu'il ne s'agisse là du théorème de l'hexagone , que Pascal avait énoncé au commencement
de son essai, comme lemme d'où se déduisait tout son traité des coniques. On voit encore ,
par ce passage curieux, que déjà ce merveilleux théorème portait, comme à présent, le
nom de Pascal.

NOTES. 331

NOTE xrv.

(deuxième époque, § 23 et 31.)

t

Sxi/r les ouvrages de Desargtiesj la lettre de Beatu/rand j et l'Examen de

Curabelle.

Nous avons cité la lettre de Beaugrand , sur le Brouillon projet de* conique» de Desar-
gues, d'après ce qu'eu a dit M. Poncclet dans son Traité deg propriétés projectivea ,
p. 05 ; car elle est extrêmement rare, et nous n'avons pu nous la procurer.

Nous trouvons dans l'Examen des œuvres du sieur Desargues , par J. Curabelle ,
( in-4" 1644 ), ouvrage très-rare aussi, un passage qui fait mention de cette lettre , et qui
est assez curieux sous d'autres rapports. Curabelle, après avoir cité l'opinion émise par
Desargues, en 1G42, au sujet d'une proposition de Pascal (celle de l'hexagone, proba-
blement), dotit les quatre premiers livres d'Apollonius sont ou bien un cas, ou bien
une conséquence immédiate, ajoute : « Mais quant à l'égard du sieur Desargues^ cet abais-
» sèment d'Apollonius ne relève pas ses leçons de ténèbres , ni ses éoénemens aux
» atteintes que fait un cône rencontrant un plan droit , auquel a sudisamment
» répondu le sieur de Beaugrand, et démontré les erreurs en l'année 1639, et imprimé
» en 1G42, en telle sorte que le public, depuis ledit temps, est privé desdites leçons de
» ténèbres, qui étaient tellement relevées, au dire dudit sieur, qu'elles surpassaient de
» beaucoup les œuvres d'Apollonius, ainsi qu'on pourra voir dans la lettre dudit sieur
» de Beaugrand , imprimée l'année ci-dessus. »

Ce passage donne lieu aux réflexions suivantes.

D'abord il semble en résulter que Desargues , outre son Brouillon projet d'une at-
teinte aux événemens de* rencontres du cône avec un plan, avait écrit un autre
ouvrage sur les coniques , sous le titre de Leçons de ténèbres ; ce que font supposer aussi
quelques passages du graveur et dessinateur Grégoire Huret, dans son ouvrage intitulé:
Optique de portraiture et peinture , contetiant la perspective et pratique accotn-
plie, etc; Paris 1670, in-folio.

Les mots et imprimé en 1G42, nous avaient paru d'abord se rapporter à ce qui a été
démontré en 1630; d'où nous avions conclu que la lettre de Beaugrand n'avait été imprimée
qu'en 1642; mais nous la trouvons citée dans un autre écrit de Curabelle contre Desargues,
dont nous allons parler tout-à-l'heurc , où il est dit qu'elle a été imprimée en 1639.

D'après cela, il nous parait que les mots et imprimé en 1642, signifient que Beaugrand,
outre cette première lettre, avait encore écrit et imprimé en 1G42 contre Desargues;

332 NOTES.

peut-être à l'occasion de ces leçons de ténèbres , citées parCurabelle et Grégoire Hurel.

Et en effet , il paraît que Beaugrand ne nfanquait pas une occasion de se signaler parmi
les détracteurs de Desargues. Car nous trouvons qu'il avait aussi écrit une Lettre sur le
Brouillon projet de la coupe des pierres de Desargues (1640, in-4''). Cette lettre
est annoncée, sous ce titre, dans le catalogue de la bibliothèque royale, au nom de
Beaugrand et à celui de Desargues; mais malheureusement elle ne se trouve plus dans
la bibliothèque. Elle y faisait partie d'un volume dont la perte est bien regrettable , car
il contenait d'autres pièces relatives à Desargues, qui avaient paru en 1G42 '.

L'examen de Curabelle a amené des démêlés très-vifs entre lui et Desargues, qui nous
sont révélés par un autre écrit intitulé : Faiblesse pitoyahle du sieur Desargues , em-
ployée contre l'examen fait de ses œuvres, par J. Curabelle. Nous y voyons que Desargues
avait offert de soutenir la bonté de ses doctrines sur la coupe des pierres, par une gageure
de cent mille livres, qui n'a été acceptée que pour cent pistoles par Curabelle. Les ar-
ticles d'une convention à ce sujet ont été rédigés, le 2 mars 1044 ; mais la difficulté de
s'entendre sur tous les points, a donné lieu à divers libelles de part et d'autre; et enfin
l'affaire a été soumise au parlement , le 1 2 mai de la même année. Elle était en cet état
quand Curabelle publia l'écrit qui nous donne ces détails 2.

La difficulté de s'entendre provenait principalement du choix des jurés. Le passage sui-
vant montre bien l'esprit qui avait dirigé Desargues dans la composition de ses ouvrages
de coupe des pierres, et l'esprit dans lequel étaient faites les critiques de ses adversaires ;
c'est là en quelque sorte l'origine et l'âme du débat.

Desargues voulait « s'en rapporter an, dire d'excellens géomètres et autres per-
» sonnes savantes et désintéressées , et en tant qu'il serait de besoin aussi, des Jurés
» maçons de Paris. » A cela Curabelle répond : « ce qui fait voir évidemment que le
» dit Desargues n'a aucune vérité à déduire qui soit soutenable, puisqu'il ne veut pas
» des vrais experts pour les matières en conteste; il ne demande que des gens de sa
» cabale, comme des purs géomètres, lesquels n'ont jamais eu aucune expérience des
» règles des pratiques en question, et notamment de la coupe des pierres en l'architec-
» ture qui est la plus grande partie des œuvres de question , et partant ils ne peuvent
» parler des subjections que les divers cas enseignent. »

Ce passage, ce me semble, établit parfaitement la nature du démêlé, et peut faire
décider à pr/oW la question entre Desargues et ses détracteurs.

Quant à la méthode de Desargues en elle-même, elle a, depuis, été reconnue bonne et
exacte, et l'on a su apprécier le caractère de généralité qu'elle présentait. Ne pouvant
entrer à ce sujet dans aucun développement, nous nous bornerons à citer le jugement

1 La lettre de Beaugrand , sur le brouillon projet des coniques de Desargues , que M. Poncelet dit , dans son
Traité des propriétés projectives , exister à la bibliothèque royale , ne faisait pas partie de ce \olume , et nous
ne TaTons pu trouver inscrite sous aucun titre.

2 Je ne possède que les huit premières pages de cet écrit (in-4'>, petit texte), que j'ai trouvées jointes à
mon volume de VExamen des œuvres de Desaryues. Se désirais en connaître la suite; mais je n'ai pu en ren-
contrer nulle part un second exemplaire.

NOTES. 333

qu'en a porté le savunt Freiier , dans son Traité de la coupe de» pierre*. De la Rue ayant
dit que J. Curahelle avait relevé exactement toutet le* faute* de Detargue* (dans la
construction des berceaux droits et obliques), Frezier, aprésavoir cité ce passage, ajoute:
« Je n'ai pas tu cette critique, et par conséquent je ne puis juger de son exactitude;
» j'avancerai cependant, sans lu craindre, que la méthode de Uesargues n'est du tout
» point à rejeter. Je conviens qu'il y a des diflicultés, mais comme elles ne viennent que
» d'une faute d'explication du principe sur lequel elle est fondée, et un peu aussi de la
» nouveauté des termes, je vais suppléer, etc. » (Tom. II. pag. 208, édition de 17G8. )

Puis, dans l'explication de la méthode, Frezier dit que Desargues « a réduit tous les
» traits de la formation des berceaux droits, biais, en talus et en descenfe, à un seul
» problème , qui est de chercher l'angle que fait l'axe du cylindre avec un diamètre de sa
» base, etc. » (pag. 209.)

Et enfin Frezier conclut , après avoir expliqué clairement et dans toute sa généralité,
la méthode de Desargues, qu'e//« était ingénieuse, et aurait dû lui faire honneur,
si Bosse l'eût présentée d'une manière plus intelligible.

Curabelle est un écrivain totalement ignoré de nos jours; cependant il parait qu'il a
écrit sur la stéréotomie et différentes parties des arts de construction. Du moins l'extrait
du privilège, qui est en tête de son examen des œuvres de Desargues, fait connaître les
titres de plusieurs ouvrages qu'il devait mettre au jour après ce dit examen. Nous n'avons
pu trouver aucune trace de ces ouvrages, ni pu constater qu'ils aient effectivement paru.
De la Rue, dans son Traité de la coupe des pierres, cite plusieurs fois Curabelle, mais à
raison seulement de l'examen en question.

Desargues , en voulant assujettir la perspective pratique et les arts de construction à des
principes rationnels et géométriques , s'était fait beaucoup d'autres détracteurs que Cura-
belle, ainsi qu'on le voit dans les ouvrages du célèbre graveur Bosse, qui passa toute
sa vie à les combattre. Cette persévérance, qui fait honneur à son jugement et à son
caractère, lui attira aussi des persécutions; et il lui fut interdit d'enseigner les doctrines de
Desargues à l'Académie Royale de peinture , où il professait la perspective.

Des détracteurs de Desargues , le personnage le plus considérable parait avoir été
Beaugrand, secrétaire du roi, qui avait des relations avec beaucoup d'hommes distingués
dans les sciences , et qui , lui-même , n'était pas dépourvu de savoir en mathématiques ,
car il a publié , sous le titre In isagogem F. Vielœ Scholia , in-24, 1631, un commentaire
sur le principal ouvrage analytique de Viète , et il a joué un certain rôle dans l'histoire de
la cycloïde. Mais sa Géostatique, dont il est tant parlé dans les lettres de Descartes, et où il
démontrait géométriquement que tout grave pèse d'autant moins qu'il est plus près de la
terre , suffit pour montrer à quelles erreurs son esprit était sujet ; et l'on ne s'étonne pas
qu'il ait si mal apprécié les productions de Desargues.

L'estime que mérite Desargues, qui a été jusqu'ici si peu connu des biographes, nous a
porté à entrer dans ces détails, espérant qu'ils pourront piquer la curiosité de quelques
personnes, et les engager à rechercher les ouvrages originaux de cet homme de génie, et
les pièces relatives à ses démêlés scientifiques. Sa correspondance avec les hommes les plus

334 NOTES.

illustres de son temps, dont il partageait les travaux, et qui le Toulaient tous pour juge
de leurs ouvrages , serait aussi une découverte précieuse pour l'histoire littéraire de ce
dix-septième siècle qui fait tant d'honneur a l'esprit humain.

Quant aux ouvrages de Desargues, voici quelques indications qui pourront peut-être en
amener d'autres :

Bosse écrivait en 1665, dans ses Pratiques géométrales , etc., que «feu M. Millon,
» savant géomètre, avait fait un ample manuscrit de toutes les démonstrations de Desargues,
» lequel méritait bien d'être imprimé.»

On lit dans l'histoire littéraire de la ville de Lyon , par le P. Colonia , imprimée en
1728 : «On va bientôt donner au public une édition complète des ouvrages de Desargues.
» M. Richer, chanoine de Provins, auteur de deux mémoires curieux et détaillés sur les
» ouvrages de son ami M. de Lagny et sur ceux de M. Desargues, sera l'éditeur de cet
» important ouvrage qui intéresse singulièrement la ville de Lyon. »

Puisse un hasard heureux faire retrouver les manuscrits de Millon, et les matériaux
réunis pour l'entreprise de llicher.

NOTE XV.

(deuxième époque , § 26.)

Sur la propriété anharmonique des points d'une conique. — Démonstration
des propriétés les plus générales de ces courbes.

(1) Représentons-nous un quadrilatère inscrit dans une conique, et une transversale ,
comme dans le théorème de Desargues sur l'involutioa de six points.

De deux sommets opposés du quadrilatère, menons des droites aux deux points où la
transversale rencontre la conique; chacun de ces sommets sera le point de départ de qua-
tre droites. On reconnaît aisément que la relation d'involution de Desargues exprimera que
le rapport anharmonique des quatre points où les quatre droites issues d'un des sommets
du quadrilatère rencontrent la transversale , est égal au rapport anharmonique des quatre
points où les quatre droites issues du sommet opposé rencontrent cette transversale ; d'où

NOTES. 333

l'on conclut que le rapport anharmonique det quatre première» droite* est égal au
rapport anharmonique de» quatre autre».

(2) On a donc ce théorème général, qui est la réciproque de la conclusion que nous
venons de tirer du théorème de Desargues :

Quand on a deux faisceaux de quatre droite» , qui »e eorre»pondent une à une,
*i le rapport anharmonique de* quatre première» e»t égal au rapport anharmoni-
que de* quatre autre» , le* droite* d'un fai»ceau rencontreront , re»pectivement , leur*
correspondante» en quatre point» , qui »eront »ur une conique passant par les deux
points , centres des deux faisceaux.

Ce théorème, comme on le voit par la démonstration que nous venons d'en donner,
n'est au fond qu'une expression différente de celui de Desargues; mais ses corollaires , ex-
trêmement nombreux , embrassent une partie des propriétés des coniques, sur lesquelles
semblaient ne pouvoir s'étendre les théorèmes de Desargues et de Pascal. Et en effet , outre
les avantages propres de sa forme différente, il a quelque chose de plus général que chacun
de ces deux tliéorcmes; et ceux-ci s'en déduisent, non plus comme transformation, mais
comme simples corollaires. C'est ce que nous ferons voir tout-à-l'heure, en montrant la
nature des applications auxquelles se prête ce théorème.

Mais nous devons d'abord en donner une démonstration directe , puisque nous proposons
de substituer ce théorème aux plus généraux dont on s'est servi jusqu'ici, et de tirer ceux-
ci du premier.

(3) Cette démonstration est d'une facilité et d'une simplicité extrême. Car, le théorème
énonçant une égalité des rapports anharmoniques ôe deux faisceaux de quatre droites^ et
ces rapports conservant les mêmes valeurs quand on fait la perspective de la figure, il suffit
de prouver que cette égalité a lieu dans le cercle qui sert de base au cône sur lequel on con-
sidère la conique. Or, dans le cercle, les angles que les quatre droites du premier faisceau font
entre elles sont égaux respectivement aux angles que les droites correspondantes du deuxième
faisceau font entre elles, parce que ces angles soue-tcndent les mêmes arcs; donc le rapport
anharmonique des sinus des premiers angles est égal au rapport anharmonique des sinus
des angles du deuxième faisceau; puisque ces sinus seront égaux chacun à chacun.

Ainsi le théorème est démontré.

(4) Imaginons que trois droites du premier faisceau, el les trois droites correspondantes
du second faisceau , soient fixes ; que la quatrième droite du premier faisceau tourne
autour de son centre, el que la droite correspondante dans le second faisceau tourne
aussi , et de manière à ce que l'égalité des rapports anharmoniques des deux faisceaux ait
toujours lieu; ce» deux droite» mobile» »e cougeront toujour» sur une conique, qui
sera déterminée par les cinq points fixes de la figure, c'est-à-dire les centres des deux
faisceaux , et les points où les trois droites fixes du premier rencontreront les trois droites
fixes du second.

(6) De là naît une infinité de manières d'engendrer les coniques, par l'intersection de
deux droites tournant autour de deux points fixes. Car ou peut, d'une infinité de manières,
former deux faisceaux de lignes droites, qui se correspondent une à une, et telles que le

336 NOTES.

rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau , soit toujours
égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau.

(6) Par exemple, concevons un angle fixe; et qu'autour d'un point, comme pôle, on fasse
tourner une transversale; elle rencontrera, dans chacune de ses positions, les côtés de
l'angle en deux points. Quatre points ainsi déterminés sur l'un des côtés auront leur rap-
port anharmonique égal à celui des quatre points correspondans sur l'autre côté (parce
que ce rapport sera le même que celui des quatre transversales qui déterminent ces points).
Il s'ensuit que , si d'un premier point fixe on mène des droites aux points marqués sur le
premier côté de l'angle , et d'un second point fixe des droites aux points marqués sur le
second côté , on aura deux faisceaux de droites qui se correspondront une à une et qui se
couperont sur une conique passant par les deux points fixes. D'où l'on conclut que :

Quand les trois côtés d'un trianfjle , de forme variable, tournent autour de trois
points fixes y et que deux des sommets du triangle parcourent deux droites fixes,
le troisième sotnmet engendre une conique, qui passe par les deux points autour
desquels tournent les deux côtés adjacens à ce sotnmet '.

Ce théorème est précisément l'hexagramme mystique de Pascal , présenté sous une autre
forme. C'est sous cet énoncé qu'il a été trouvé par Maclaurin et Braikenridge ; et qu'il a
conduit le premier de ces deux géomètres à l'énoncé même du théorème de Pascal.

(7) Maintenant , soient deux faisceaux de droites, émanées de deux centres difTérens,
et se coupant une à une sur une même droite menée arbitrairement dans leur plan. Le
rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau sera égal au
rapport anharmonique des quatre droites correspondantes dans le second faisceau (parce
que ce rapport sera le même que celui des quatre points où ces droites se rencontrent une
à une sur la transversale fixe). Maintenant, qu'on transporte les deux faisceaux en d'autres
lieux de leur plan , de manière à changer leur position relative ; leurs droites correspon-
dantes ne se couperont plus une à une sur une droite ; mais il résulte de notre théorème
cruelles se couperont toujours sur une section conique, qui passera par les deux
sommets des deux faisceaux.

(8) Supposons que les deux faisceaux primitifs, dans leur déplacement , aient conservé
leurs centres respectifs; c'est-à-dire qu'ils aient tourné autour de leurs centres ; alors le
théorème que nous venons d'énoncer exprime précisément le théorème de Newton, sur la
description organique des coniques.

(9) Si les rayons des deux faisceaux primitifs , au lieu de se croiser sur une même droite,
se croisaient sur une conique passant par leurs deux centres, les deux faisceaux satisfe-

1 Le côté du triangle opposé an «ommet décrivant pourrait , au lieu de tourner autour d'un point fixe , rouler
(ur une conique à laquelle les deux droites fixes seraient tangentes; alors le sommet libre décrirait encore une
conique passant par les deux points fixes.

Cela résulte de ce que quatre tangentes quelconques à une conique en rencontrent deux autres, chacune
en quatre points, tels que le rapport anharmonique des quatre points de la première est égal au rapport
anharmonique des quatre points de la seconde ( voir la Note suivante).

Cette généralisation du théorème de Maclaurin et de Braikenridge conduira à un grand nombre de proposi-
tions diverses, dont la plupart seront nouvelles.

NOTES. 337

raient à la condition que quatre droites quelconques de l'un eussent leur rapport anharmo-
nique égal à celui des quatre droites correspondantes du second [d'après le théorème (2) ].
Donc, après un déplacement quelconque de ces deux faisceaux, leurs rayons correspon-
dans se couperont encore sur une conique.

(10) Si les deux faisceaux ne font que tourner autour de leurs centres respectifs, on en
conclut ce théorème :

Si deux angles de grandeur quelconque, mai» constante, tournent autour de
leurs sommets, de manière que le point d'intersection de deux de leurs côtés par-
coure une conique passant par leurs sommets, leurs deux autres côtés se croise-
ront sur une seconde conique qui passera aussi par les deux som?nets.

(11) Ce théorème, qui est une généralisation de celui de Newton, n'est lui-même qu'une
manière particulière, entre une infinité d'autres semblables, pour former les coniques
par l'intersection de deux droites mobiles autour de deux points fixes , ou par l'intersection
de deux côtés de deux angles mobiles autour de leurs sommets ; et au lieu de supposer ces
deux angles de grandeur constante , comme nous venons de le faire, on peut les supposer
variables, et il est alors une infinité de manières de régler la relation qu'ils devront con-
server entre eux.

Par exemple , on peut supposer que chacun d'eux intercepte sur une droite fixe des
segmcns de grandeur constante.

Ainsi le théorème de Newton , qui a eu quelque célébrité , et qui a paru capital dans la
théorie des coniques, ne se trouve plus qu'un cas très-particulier d'un mode général de
description de ces courbes.

(12) Cette circonstance nous parait bien propre à montrer deux choses : d'abord qu'il est
toujours utile de remonter à l'origine des vérités géométriques , pour découvrir, de ce point
de vue élevé, les différentes formes dont elles sont susceptibles et qui peuvent en étendre
les applications; car le théorème de Newton, que quelques géomètres très-distingués n'ont
pas dédaigné de démontrer, comme l'un des plus beaux de la théorie des coniques, n'a
pourtant point eu de grandes conséquences, parce que sa forme ne se prétait qu'à peu de
corollaires. Le théorème général, au contraire, d'où nous le déduisons, se prête à une
foule de déductions diverses.

On voit ensuite ici une preuve de cette vérité, que les propositions les plus générales et
les plus fécondes sont en même temps les plus simples et les plus faciles à démontrer; car
aucune des démonstrations qu'on a données du théorème de Newton n'est comparable en
brièveté à celle que nous avons donnée du théorème général en question (3); celle-ci même
a l'avantage de n'exiger la connaissance préalable d'aucune propriété des coniques.

(13) Reprenons les deux faisceaux que nous avons supposés se couper sur une droite ,
et supposons cette droite à l'infini; c'est-à-dire que les deux faisceaux aient leurs droites
respectivement parallèles. Qu'on les déplace en les faisant tourner autour de leurs centres;
alors leurs droites correspondantes se couperont sur une conique, qui passera par leurs
centres. On peut énoncer ce théorème en disant que : Quand on a dans un plan deux
figures semblables , mais non semblablement placées, les droites menées arbitraire-

To«. XI. 43

i

338 NOTES.

ment par un point de la première, rencontrent respectivement leurs homologues dans
la seconde, en des points situés sur une conique ; théorème que nous avions énoncé
sans démonstration dans un écrit sur le déplacement d'un corps solide dans l'espace
(^Bulletin universel des sciences, tom. XIV, pag. 321.)

(14) On peut donner au théorème général qui fait le sujet de cette Note, cet autre
énoncé : Quand un hexagone est inscrit dans une conique , si de deux sommets on
mèîie des droites aux quatre atitres sommets , le rapport anhartnonique des quatre
premières sera égal au rapport anharmonique des quatre autres;

C'est-à-dire que : Les quatre premières droites rencontreront une transversale
quelconque en quatre points , et les quatre^autres rencontreront une seconde trans-
versale en quatre points correspondans un à un aux quatre premiers ; et le rapport
anharmonique des quatre premiers points sera égal au rapport anharmonique des
quatre autres.

Cet énoncé a la plus grande généralité possible , à cause de l'indétermination de position
des deux transversales.

(15) Supposons que la première transversale est l'une des quatre droites menées par le
second sommet de l'hexagone, et que la seconde transversale est l'une des droites menées
par le premier sommet; alors le théorème qu'on obtient est précisément le premier des
théorèmes que Pascal a énoncés dans son Essai pour les coniques , comme se déduisant
de son hexagramme.

(16) Maintenant supposons que les deux transversales se confondent avec l'un des côtés
de l'hexagone, le théorème qui en résultera sera celui même de Desargues sur l'involution
de six points.

(17) Dans ce théorème deDesargues, substituons aux segmens compris sur la transversale
entre les deux points de la conique et les quatre côtés du quadrilatère , les expressions de ces
segmens en fonction des perpendiculaires abaissées des deux points de la conique sur les
quatre côtés; il en résultera ce théorème:

Un quadrilatère étant inscrit dans une conique , si d'un point quelconque de la
courbe on abaisse des perpendiculaires sur ses côtés , le produit des perpendiculaires
abaissées sur deux côtés opposés sera au produit des deux autres dans un rapport
constant quel que soit le point de la conique.

Au lieu des perpendiculaires, on peut prendre des obliques faisant respectivement avec
les côtés du quadrilatère sur lesquels elles sont abaissées, des angles conslans. Cette pro-
position est donc le théorème ad quatuor lineas rapporté par Pappus.

(18) Ainsi il est démontré , que l'hexagramme mystique, un autre théorème de Pascal
aussi sur l'hexagone , celui de Newton sur la description organique des coniques, celui de
Desargues sur l'involution de six points , et celui des anciens ad quatuor lineas, sont tous
des corollaires de notre théorème. On conçoit par là le grand nombre de vérités particu-
lières sur lesquelles ce théorème peut s'étendre, pour en montrer des rapports inaperçus
jusqu'à ce jour, et une origine commune et satisfaisante.

Nous pouvons donc regarder ce théorème comme étant, en quelque sorte, un centre,

NOTES. 339

d'où dérivent la plupart des propriétés des coniques, môme les plus générales : il serait
propre, à raison de cette très-grande fécondité, et de la facilité extrême avec laquelle il
se démontre, à servir de fondement à une théorie géométrique des coniques.

(19) Comme c'est la notion du rapport anharmonique qui fait le caractère principal de
ce théorème , et qui le rend propre aux innombrables déductions qu'on peut en tirer, nous
le désignerons sous le nom Ac propriété anharmonique des points d'une conique '.

Remarquons que , de même que les théorèmes de Pascal , de Desargues , de Newton , et
la question ad quatuor linea», sont des corollaires de cette propriété anharmonique,
celle-ci peut aussi se déduire, par la même voie, de chacun de ces théorèmes , et servir par
conséquent à passer de l'un à l'autre. Ce qui prouve que la notion du rapport anharmo-
nique est véritablement le lien commun entre ces divers théorèmes , et qu'ils ne diffèrent
l'un de l'autre que par la forme.

On avait déjà remarqué les rapports, nous pouvons même dire la presque identité qui
a lieu entre les théorèmes de Desargues et de Pascal, mais non point entre ceux-ci et les
autres théorèmes principaux que nous avons cités. On démontrait, au contraire, chacun
de ces théorèmes d'une manière différente, et toujours incomparablement plus longue que
la démonstration intuitive que nous avons donnée du théorème en question.

(20) Nous pourrions aussi déduire de ce théorème la belle proposition de Carnot, con-
cernant le rapport des segmens faits par une conique sur les trois côtés d'un triangle tracé
dans son plan, et qui exprime une propriété de six points pris sur une conique, tout aussi
générale que les théorèmes de Desargues, Pascal et Newton.

(21) Entin notre propriété anharmonique est encore susceptible d'une nouvelle forme,
qui en fait une proposition nouvelle, différente de toutes celles qui précèdent, et qui se
prête à un nouveau geure de déductions extrêmement nombreuses.

Cette nouvelle proposition s'exprime par une égalité à trois termes. On peut l'énoncer
ainsi :

Etant donnée* dan» un plan deux transversale*; et étant pri* sur la première ,
deux point* fixes quelconques O , E , et sur la seconde deux points O' , E' , aussi
quelconques ;

Si 1 autour de deux pôles fixes P, P' , pris arbitrairement dans le plan de la fi-
gure, on fait tourner deux droites qui rencontrent les deux transversales , respec-
tivement , en deux points a , a' , déterminés de manière que l'on ait la relation

Oa O'a'

^'^ Ê^-*-^Ëv='''

1 et IX étant deux constantes ;

Le point de concours des deux droites mobiles engendrera une conique qui pas-
sera par le* deux pôle* P, P'.

' Roui ditont des points d'une conique , parce que noua verront dans la Note tuitante que Ie( coniques jouis-
•ent d'une aeconde propriiti anharmonique, analogue à cette première, et qui concerne leur» tangentes.

340 NOTES.

(22) Ce théorème , où il y a tant d'élémens arbitraires , tels que les directions des trans-
versales, les positions des quatre points pris sur elles; celles des deux pôles , et les valeurs
(les ileuxcoeflîciens, ne diffère point, au fond, des propriétés générales des coniques dont il
a été question dans cette Noie; car nous le déduisons, comme chacune d'elles, de notre
proposition anharmonique. Mais sa forme permet d'en étendre les applications beaucoup
plus loin que l'on n'a fait à l'égard de chacune de ces propositions.

(23) Ainsi , par exemple, si l'on suppose les deux points E ,E', placés sur la droite qui
unit les deux pôles P, P', l'équation, au lieu d'exprimer une conique, devient celle d'une
simple ligne droite. De là résultent , comme corollaires d'autant de propriétés des coniques,
une infinité de propriétés de la ligne droite; et parmi ces propositions se trouvent divers
systèmes de coordonnées, particulièrement celui de Descartes.

Il est plusieurs autres manières de faire que l'équation représente une ligne droite. Il
suffit , en général , de satisfaire à une seule relation de condition entre les données de la
question, qui est exprimée par l'équation

— -f- X = u;

£ et £ étant les points où les deux transversales rencontrent la droite qui joint les
pôles P, P'.

Nous montrerons, dans un autre écrit, les nombreux usages auxquels l'équation (A) nous
a paru se prêter dans la théorie des coniques , et dans celle des transversales.

(24) Je reviendrai aussi ailleurs sur la propriété anharmonique des coniques, exprimée
sous la forme d'une égalité à deux termes par le théorème (2); parce qu'elle se présentera
dans la théorie des figures homo graphiques dont elle est une propriété générale. Nous
l'énoncerons alors en ces termes :

Deux faisceaux hotnographiques étant situés dans un même plan, les droites du
premier rencontrent respectivement les droites du second, en des points qui sont sur
une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Cet énoncé, qui substitue à l'idée de rapport anharmonique, qui est déjà très-
simple, mais qui ne concerne directement qu'un faisceau de quatre droites, une autre
notion qui comprend explicitement toutes les droites d'un même faisceau, apportera
dans les applications du théorème une promptitude et une facilité nouvelle.

(25) On nous pardonnera peut-être la longueur de cette Note , si l'on remarque qu'elle
contient, avec leurs démonstrations, la plupart des propriétés les plus belles et les plus
générales de la théorie des coniques. L'analyse, certainement, n'aurait point été plus briève,
ni plus facile, dans cette circonstance, que la pure Géométrie.

Nous observerons , à cette occasion , qu'aucune de ces propositions , qui sont pourtant les
plus considérables et les plus fécondes de toute la théorie des coniques, n'entre aujour-
d'hui dans les ouvrages analytiques où l'on étudie ces courbes. Ces ouvrages ne sont vérita-
blement pas des traités des coniques; ce sont des applications de la Géométrie analytique,

NOTES. 841

et une introduction à la théorie générale des courbes ; et dans ces applications on démontre,
non pas les propriétés les plus générales et les plus importantes des coniques, mais celles
seulement qui sont les plus élémentaires et les plus restreintes, parce qu'elles se prêtent
mieux aux formules de l'analyse. Les autres, qui seraient les plus utiles, et sur lesquelles
reposent les progrés incessans de la théorie des coniques, restent inconnues aux jeunes
géomètres qui n'ont étudié cette importante théorie que dans les traités de Géométrie ana-
lytique.

L'étude des coniques a donc rétrogradé , depuis un siècle , d'une manière extraordi-
naire. Cela est fâcheux ; non-seulement à cause du rôle important que ces célèbres courbes
jouent dans toutes les parties de la Géométrie , et qui rend leur connaissance indispensable;
mais aussi parce que , en principe général , on doit , dans toutes parties des sciences, accou-
tumer l'esprit à toujours établir ses spéculations sur les vérités les plus générales que pré-
sente chaque théorie. C'est le plus sûr, si non l'unique moyen, de simplifier l'étude d'une
science et d'en assurer les progrés.

NOTE XVI.

(suite DB la FBiciDERTE}.

Sur la propriété anharmonique des tangentes d'vne conique.

Les théorèmes dont il a été question dans la Note précédente concernent les point»
d'une conique. On sait qu'il correspond à plusieurs d'entre eux d'autres théorèmes ana-
logues, concernant les tangentes de la courbe. Ainsi à l'hexagamme de Pascal correspond
le théorème de M. Brianchon sur l'hexagone circonscrit; au théorème de Desargues cor-
respond celui-ci, qui a été donné en premier lieu , je crois, par M. Sturm ' : « Quand
un quadrilatère est circonscrit à une conique, les droites menées d'un point quelconque
à ses quatre sommets et les deux tangentes menées de ce point à la courbe, forment un
faisceau en involution. » Au théorème des Anciens ad quatuor linea* nous parait cor-

' Ce théorème était le lujet d'an mémoire annoncé comme devant faire (uite à deux premiers mémoire» de
K. Sturm , «ur la théorie des ligne* du deuxième ordre , insérés dans lea Annales de lUathématiques , tom. XVI
et XVU , mais qui n'a pas paru.

342 NOTES.

respondre le suivant, que nous avons démontré dans notre premier Mémoire sur les
transformations paraboliques ' : « quand un quadrilatère est circonscrit à une conique,
une tangente quelconque à la courbe a le produit de ses distances à deux sommets opposés
du quadrilatère dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux deux
autres sommets ; » enfin M. Poncelet a montré, dans sa Théorie des polaires récipro-
ques, que le théorème de Newton sur la description organique des coniques a pareille-
ment son correspondant ; et qu'il en est de même aussi du théorème de Garnot sur les
segmens faits par une conique sur les trois côtés d'un triangle '.

On doit penser que tous ces nouveaux théorèmes, qui expriment chacun une pro-
priété générale de six tangentes d'une même conique, doivent dériver tous , de même que
ceux auxquels ils correspondent, d'une seule et unique proposition qui correspondra à
celle que nous avons appelée, dans la Note précédente, propriété anharmonique des
points d'une conique.

C'est ce qui a lieu en effet, et cette nouvelle proposition peut s'énoncer ainsi :

Quand deux droites, situées dans un même plan , sont divisées chacune en qua-
tre segmens, et que les points de division de la première droite correspondent un à
un à ceux de la seconde ; si le rapport anharmonique des quatre premiers points
est égal au rapport anharmonique des quatre autres, les quatre droites qui join-
dront un à un les points correspondans , et les deux droites données, seront six
tangentes d'une même conique *.

On conçoit aisément que ce théorème comprendra une infinité de propositions diverses
concernant la description des coniques par leurs tangentes. Car il existe une infinité de
manières de concevoir deux droites divisées de t.elle sorte que le rapport anharmonique
de quatre points quelconques de la première soit égal à celui des quatre points corres-
pondans de la seconde.

En recherchant dans les coniques d'Apollonius, et dans les auteurs modernes, les
diverses propositions qui concernent les tangentes d'une conique , nous avons reconnu
que presque toutes ne sont que des applications ou des corollaires du théorème que nous
venons d'énoncer. Les théorèmes principaux que nous avons cités au commencement de
cette Note, tel que celui de M. Brianchon, ne sont que des expressions difi"érentes ou des
transformations de celui-là, qui, de la sorte, est un lien commun entre ces divers
théorèmes , et sert à passer de l'un à l'autre.

Nous appellerons ce théorème la propriété anharmonique des tangentes d'une co-
nique.

Il nous reste à donner la démonstration de ce théorème. Quelques mots suffiront.

' Art. lOjpag. 289dutom.V de la Correspondance mathématique de Bruxelles.

^ Journal de mathématiques , de M. Crelle , tom. IV_.

■' Quand les deux droites données ne sont pas dans un même plan , les droits qui joignent, un à un, leurs
points de division , forment alors un hyperboloîde à une nappe. Ce que nous avons démontré sous un autre
énoncé dans la Correspondance de l'école Polytechnique , tom. II , pag. 446. C'est de ce théorème général dans
l'espace , que nous avons déduit la propriété des coniques dont il s'agit {voir la Correspondance mathématique
de M. Quetelet , tom. IV , pag. 364).

NOTES. 84S

Le théorème exprimant une égalité de deux rapports anharmoniques , qui se conservera
quand on fera la perspective de la figure, il suffit de la démontrer dans le cercle qui sert
de base au cône sur lequel la conique est tracée. Il faut donc prouver que quand un
angle est circonscrit à un cercle, si l'on mène quatre tangentes quelconques au cercle,
le rapport anharmonique des quatre points où elles rencontreront le premier côté de l'an-
gle sera égal à celui des quatre points où elles rencontreront le deuxième côté. Or cela est
évident; car la partie de chacune des tangentes qui est comprise entre les deux côtés de
l'angle est vue du centre du cercle sous un angle de grandeur constante; et par consé-
quent les segmens que deux tangentes forment sur les deux côtés de l'angle sont vus , du
centre, sous des angles égaux. D'où l'on conclut que les quatre droites menées du centre
aux points où les quatre tangentes rencontrent le premier côté de l'angle , ont leur rapport
anharmonique égal à celui des quatre droites menées du centre aux points où ces tangentes
rencontrent le deuxième côté; et conséquemment les points de division du premier côté
ont leur rapport anharmonique aux points correspondans du deuxième côté.

Ainsi le théorème est démontré.

Ce théorème peut prendre une nouvelle forme, et s'exprimer par une équation à trois
termes, qui en fait une proposition différente, susceptible de nouvelles et nombreuses
applications.

Nous présenterons cette nouvelle propriété des coniques sous l'énoncé suivant :

Etant donnéeê dans un plan deux transversales, et étant pris arbitrairement
deux points fixe» 0, E , sur la première, et deux points fixes O' , E' , sur la seconde;
si deux jwints variables, a, a', parcourent ces deux droites, de manière que l'on
ait la relation constante

^ Oa O'a'

fia ti a

"k et (i étant des coefficiens constnns ;

La droite aa', dans chacune de ses positions, touchera toujours une même coni-
que qui sera tangente aux deux transversales fixes.

Celte proposition est susceptible d'un grand nombre de corollaires qu'on obtient en
disposant diversement des données de la question, qui sont les deux transversales, les
quatre points pris sur elles, et les deux coefficiens X et fx.

Si ces données ont entre elles la relation :

OS O'S

où S désigne le point de concours des deux transversales, la conique se réduira à un
point ; c'est-à-dire ^ que la droite aa' passera toujours , dans toutes ses positions, par un
môme point.

C'est ce qui a lieu, par exemple, quand les points E, E , sont placés au point de con-

344 NOTES.

cours S des deux trauTersales. De sorle que l'équation

Oa O'a' _

Sa Sa'

appartient à un point.

Nous reviendrons, dans un autre moment, sur le théorème qui fait le sujet de cette
Note. Nous le considérerons alors comme une propriété des figures homo graphiques ; et
nous lui donnerons cet autre énoncé, qui est très-propre à en montrer de nombreuses
applications.

Quand deux droites , dans un plan, «ont divisées homo graphiquement , les droites
qui joignent un à un les points de division de la première aux points homologues
de la seconde , enveloppent une conique tangente aux deux premières droites.

On peut remplacer, dans le théorème ci-dessus, le système des deux transversales
fixes par une circonférence de cercle. On a alors ce théorème :

Etant donnés quatre points fixes quelconques 0 , E , O' , E' sur une circonfé-
rence de cercle; si l'on prend sur cette circonférence deux points variables a, a', tels
que l'on ait la relation

sin. i aO sin. i a'O'

-+- ^ -■ : — tt; =f^i

sin. i aE sin. 5 a'E'

^ et // étant deux constantes ,

La corde aa', e?iveloppera une conique qui aura un double contact avec le cercle ,
et qui touchera la droite EE' .

Celte proposition, jointe aux deux qui nous ont déjà présenté de l'analogie avec le
rapport anharmonique de quatre points, et l'involution de six points, dpnne lieu à une
théorie dans laquelle une foule de propriétés du système de deux lignes droites se
trouvent transportées au cercle; et tout cela s'applique par une transformation conve-
nable, aune section conique quelconque; ce qui offre une source nouvelle de propriétés
de ces courbes.

Nous nous bornerons ici à faire remarquer qu'en prenant pour les points E , E', dans
le théorème ci-dessus, les extrémités des diamètres qui passent par les deux points O,
0' , respectivement , on donnera à l'équation cette forme plus simple

tang. 5 aO -H A taiig. j a'O' = fn ,

qui exprime un nouveau théorème.

Parmi les corollaires qui dérivent de ce théorème, on trouve cette propriété du cer-
cle osculaleur en un point d'une conique :

Étant mené le cercle osculateur en un point A d'une conique, toute tangente à
cette courbe le rencontre en deux points, qui sont tels que la différence des cotan-
gentes des demi-arcs compris entre ces points et le point A est constante.

NOTES. 345

NOTE XVII.

( TROISIÈME ÉPOQUE , § 24. )

Sur MauroUcus et Guarini.

Maurolicus, le plus savant géomèlre de son temps, est auteur d'un grand nombre
d'ouvrages, où se trouvent souvent des innovations heureuses et des traces de génie.

C'est à lui qu'on doit celte remarque, qui fut, entre ses mains, la base de nouveaux
principes de Gnomonique, que l'ombre de l'extrémité d'un style décrit chaque jour un
arc de section conique : et c'est à cette occasion qu'il composa son traité des coniques
dont nous avons parlé, et qui fait le sujet du 3" livre de sa Gnomonique, intitulée de
lineis horariis libri III, qui parut d'abord en 1553, puis en 1575. Mais ce traité des
coniques se borne à ce qui était nécessaire pour la Gnomonique; et ne comprend pas toutes
les propriétés de ces courbes, qui se trouvent dans Apollonius.

Nous citerons encore de Maurolicus l'introduction, dans les calculs trigonométriques,
des sécantes, dont il imprima une table dans le volume intitulé Theodosii sphœricorum
librilll, année 1558.

L'analyse est tussi infiniment redevable à ce géomètre, qui pourtant est peu cité à ce
sujet. C'est lui qui introduisit le premier l'usage des lettres, à la place des nombres,
dans les calculs de l'arithmétique , et qui donna les premières règles de l'algorithme de
l'algèbre. Maurolicus voulait, par cette innovation, élever les opérations nuQiériques à la
même généralité, et h la même abstraction que les opérations graphiques de la Géomé-
trie, dont l'ensemble est présent à l'œil, et peut même être suivi mentalement, et a le
singulier avantage de se prêter à mille applications diverses.

Nous avons cité Guarini à l'occasion du théorème de Ptolémée, dans la Note YI, et de
la théorie des coniques en parlant du grand traité de De La Hire.

L'ouvrage de ce géomètre, dont nous nous étonnons de ne trouver aucune mention
chez les auteurs qui ont écrit sur l'histoire des mathématiques, est intitulé : Euclidea
adauctus et methodicut , malhematicaque univenali» (in-fol. de plus de 700 pages,
sur 2 colonnes, Turin 1071). Il contient 35 traités sur différentes parties de la Géométrie
théorique et appliquée. Le 32" peut être regardé comme un chapitre de notre Géométrie
descriptive actuelle. Il traite delà projection sur des plans, des lignes qui proviennent de
l'intersection de la sphère, du cône et du cylindre entre eux; et du développement, sur
nn plan, de ces courbes à double courbure.

Toa. XI. 44

346 NOTES.

Guarini est auteur aussi d'un ouvrage sur l'astronomie, intitulé : Mathematica
cœlestis , in-fol. Milan 1683; que Weidler et Lalande ont cité, le premier avec ces mois
d'éloge, j4 perspictiitate commendatur.

Ces deux célèbres écrivains auraient pu comprendre aussi dans leurs bibliographies
astronomiques, un autre ouvrage de Guarini, intitulé : Placita philosophica (in-fol.
Paris, 1666), où , parmi d'autres matières relatives à la physique, à la logique et à la méta-
physique , l'auteur détruisait le système de Ptolémée et y substituait certaines lignes
spirales dans lesquelles il faisait mouvoir les planètes. Il émit aussi une opinion extraor-
dinaire sur le flux et le reflux de la mer , et sur divers autres phénomènes.

NOTE XYIII.

(troisième époque , § 34.)

Sur l'identité des figures homologiques avec celles qu'on décrit dans les pra-
tiques de la perspective. — Remarque sur la perspective de Stevin.

Il est aisé de reconnaître que les figures de De La Hire, celles de Le Poivre, et les
figures homologiques sont identiquement les mêmes que celles que l'on décrit dans la
méthode de perspective qui fait usage du point de vue et àes points de distance. Car
celles-ci jouissent des deux caractères distinclifs des premières , qui sont ; 1° que leurs
lignes homologues concourent sur une même droite, qui est la ligne de terre ; 2° que
leurs points homologues sont sur des droites concourantes en un même point ( qui
serait le rabattement du point de l'œil sur le plan du tableau, si le plan horizontal
mené par l'œil eut tourné autour de la ligne horizontale). Mais cette seconde propriété
des figures qu'on décrit dans la pratique de la perspective par le point de vue et les
points de distance, est rarement démontrée dans les traités de perspective; car , quoi-
que ces ouvrages soient extrêmement nombreux , nous n'avons peut-être aperçu cette
propriété que dans ceux d'Ozanam , de Jeaurat, de Lambert (édition de 1773 ), et dans
le traité récent de M. Choquet.

Dans d'autres méthodes de perspective , telles que celles de Stevin , de S'Gravezande ,
de Taylor et du P. Jacquier , qui se servent du point de l'œil rabattu sur le plan de la

NOTES. 347

figure, l'identité des figures construites , avec les figures de De La Hire, de Le Poivre,
et les figures homologiques, est évidente, parce qu'il est fait usage, dans ces pratiques ,
des deux propriétés caractéristiques que nous avons énoncées.

S'Gravezande et Taylor sont cités souvent , et à juste titre, comme ayant traité la per-
spective d'une manière neuve et savante : mais nous nous étonnons que l'on passe sous
silence Stevin qui, un siècle auparavant, avait aussi innové dans cette matière, qu'il
avait traitée en profond géomètre, et peut-être plus complètement qu'aucun autre,
sous le rapport théorique.

Ainsi, nous ne trouvons que dans cet auteur la solution géométrique de cette question,
qui est l'inverse de la perspective : Étant donnéet dans un plan et dan* une potition
quelconque l'une par rapport à l'autre, deux figures qui sont la perspective l'une
de l'autre, on demande de les placer dans l'espace de manière que la perspective
ait lieu , et de déterminer la position de l'œil.

Stevin, il est vrai, ne résout que quelques cas particuliers de cette question, dont
le plus difficile est celui où l'une des figures est un quadrilatère et la seconde un parallélo-
gramme.

Le cas où les deux figures sont deux quadrilatères quelconques comporte toute la
question. Mais Stevin ne pouvait le résoudre, parce qu'il ne faisait usage que des pro-
priétés descriptives des figures de la perspective; et qu'il eût fallu considérer aussi leurs
relations métriques.

Nous aurons occasion de résoudre cette question générale dans les applications de
de notre principe de transformation homographique.

NOTE XIX.

(troisième ÉPOQUE, $ 35.)

Siir la méthode de Newton, pour changer les figures en d'autres figures du
même genre. (Lemnae XXII du l" livre de» Principes).

Pour donner aux figures de Newton la même position l'une par rapport à l'autre, que

348 NOTES.

celles de De La Hire, il suffit de faire tourner la seconde autour du point B ', comme
pi\ot , jusqu'à ce que ses ordonnées dg soient dcTcnues parallèles aux ordonnées DG
de la première.

La ligne aB de la seconde courbe aura pris, pendant cette rotation, une position
a'B. On mènera par le point A une droite Ko égale et parallèle à a'B. Le point o
sera le pôle (ou centre d'homologie), et la droite Ba, considérée dans sa position pri-
mitive, sera la formatrice [oaaxe d'homologie).

Maintenant pour montrer comment les procédés de la perspective ont pu conduire
Newton à son mode de transformation, que l'on conçoive dans l'espace une courbe plane,
et un tableau sur lequel on fait la perspective de cette courbe; que, par l'œil, on mène
un plan transversal, et qu'autour des droites suivant lesquelles il coupera le plan de la
courbe et celui du tableau, on fasse tourner ces deux plans, jusqu'à ce qu'ils s'appli-
quent l'un et l'autre sur le plan transversal; alors la courbe proposée, sa perspective,
et le point de l'œil seront dans un même plan, et représenteront les figures de Newton.

La méthode de Nevston pourrait donc servir comme méthode pratique de perspective.
Et en effet , nous trouvons qu'elle diffère peu de la première des deux règles de Vignole,
démontrées par Ëguuzio Dante , et reproduites par Sirigatt et divers autres géomètres.

NOTE XX.

(quatrième époque, § 4.)

Sur la génération des courbes dit 3" degré ^ par les cinq paraboles divergentes ,
et par les cinq courbes à centre.

Les deux théorèmes que nous nous proposons de démontrer reposent sur une propriété
des points d'inflexion des courbes du troisième degré , comprise dans l'énoncé suivant :

Si, autour d'un point d'inflexion d'une courbe du troisième degré', on fait tourner
une transversale , et qu'aux deux points où elle coupera la courbe on mène les tangen-
tes, leur point de concours engendrera une ligne droite ;

1 Nous (upposons que l'on a le texte de Newton 80u> lea yeux.

NOTES. 349

Le* droite» qui joindront deux à deux les point* où deux trantvertale* rencontre-
ront la courbe te rencontreront tur cette droite ;

Enfin cette droite rencontrera chaque transversale en un point, qui sera le conjugué
harmonique du point d'inflexion par rapport aux deux point* où la transversale ren-
contrera la courbe.

II est manifeste que cette droite passe par les points de contact des trois tangentes à
la courbe, qu'on peut mener, généralement, par son point d'inflexion. On voit donc que
cette droite et le point d'inflexion jouissent, par rapport à la courbe , des mômes propriétés
qu'un point et sa polaire par rapport à une conique. Par cette raison, nous l'appellerons
la polaire du point d'inflexion.

Le théorème que nous venons d'énoncer se démontre aisément par quelques considéra-
tions de Géométrie ; et l'on en peut déduire diverses propriétés des courbes du troisième
degré. Mais nous ne nous proposons ici que d'en montrer l'usage pour la démonstration
des deux modes de génération de ces courbes par l'ombre de cinq d'entre elles.

On sait que toute courbe du troisième degré a un ou trois points d'inflexion. Qu'on la
projette, c'est-à-dire qu'on en fasse la perspective, de manière que l'un de ses points
d'inflexion passe à l'infini ; sa polaire , à cause de la troisième partie de notre théorème,
deviendra un diamètre de la courbe. C'est là l'origine des diamètres dans les courbes
du troisième degré.

Maintenant , que la perspective soit faite de manière que non-seulement le point d'in-
flexion, mais la tangente à la courbe en ce point, passe tout entière à l'infini; la courbe
aura un diamètre, et n'aura aucune asymptote, elle sera purement parabolique; c'est
le caractère exclusif des cinq paraboles divergentes. Il est donc démontré qu'une courbe
quelconque du troisième degré peut être projetée perspeclivement suivant une des cinq
paraboles divergentes; d'où résulte que réciproquement ces cinq courbes peuvent produire .
par leur ombre toutes les autres. C'est le théorème de Newton, le premier des deux que
nous nous proposions de démontrer.

Passons au second : Prenons la polaire d'un point d'inflexion de la courbe proposée ,
et projetons cette courbe, perspectivement , de manière que cette polaire passe à l'infini;
il résulte de la troisième partie du théorème ci-dessus, que le point d'inflexion sera en
projection le centre de la courbe. Ainsi donc toute courbe du troisième degré peut être
projetée perspectivement suivant une courbe ayant un centre; d'où résulte que récipro-
quement les cinq courbes qui ont un centre peuvent produire par leur ombre toutes les
autres. C'est le second théorème que nous nous proposions de démontrer.

Ce théorème et celui de Newton peuvent être compris sous ce seul énoncé, savoir :

Ainsi que les courbe* du second degré ne peuvent donner lieu qu'à une seule
espèce de cône , de mime le* courbes du troisième degré ne peuvent donner lieu qu'à
cinq espèces de cônes ;

En coupant ces cônes d'une certaine manière, on forme le* cinq paraboles cu-
bique» ;

Et le* coupant d'une autre manière, on forme le* cinq courbe* qui ont un centre.

350 NOTES.

Le théorème que nous avons énoncé au commencement de cette Note donne une expli-
cation facile de différentes propriétés des courbes du 3" degré qui ont un centre ; et de di-
verses autres relatives aux points d'inflexion de ces courbes. Mais nous ne pouvons entrer
ici dans ces détails.

NOTE XXI.

( QUATRIÈME ÉPOQUE , § 18.)

Sv/r les ovales de Descartes , ou lignes aplanétiques .

M. Quetelet, dans sa belle théorie des caustiques secondaires , qui sont des dévelop-
pantes des caustiques de Tschirnhau sen , a trouvé que les caustiques secondaires produites
par la réflexion et la réfraction dans un cercle éclairé par un point lumineux, sont les
ovales deDescartes, ou lignes aplanéliquesi. M. Sturm est parvenu aussi, de son côté et
vers le même temps 2, à ce singulier résultat, qui donne à ces ovales, créées par Des-
carfes pour la Dioptrique, une seconde application à cette même science.

Pour exprimer en langage géométrique le théorème de M. Quetelet, nous dirons que :

Deux cercles fixes étant donnés sur un plan, si le centre d'un troisième cercle tno-
hile , et de grandeur variable , se meut sur la circonférence du premier cercle , et
que son rayon soit toujours proportionnel à la distance de son centre à la circon-
férence du second cercle , ce cercle mobile enveloppera une courbe du quatrième de-
gré, qui sera l'ensemble de deux ovales conjuguées de Descartes.

Parmi d'autres propriétés intéressantes que M. Quetelet a trouvées à ces courbes , nous
citerons les deux manières dont il les forme dans le solide , ou , suivant l'expression des
Anciens , par les lieux à la surface.

Première manière : « Que l'on ait une sphère et un cône droit; que l'on fasse la pro-
» jection sléréographique de la courbe de pénétration de ces deux surfaces, l'œil étant"
» placé à l'extrémité du diamètre de la sphère parallèle à l'axe du cône , et le plan de

' Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. III.
2 Annales de mathématiques de M. Gergonne, tom. XV.

NOTES. 351

» projection étant perpendiculaire à cet axe; la projection sera une ligne aplanétique >. »

Seconde manière : « Concevons deux cônes droits , ayant leurs sommets en deux points
» difTércns , et leurs axes parallèles entre eux, l'intersection de ces deux cônes , projetée
» sur un plan perpendiculaire à leurs axes, donnera les lignes aplanéliqucs 2. »

Ces deux modes de génération donnent les deux ovales conjuguées qui forment une ligne
aplanétique complète; et ils sont propres à montrer les différentes formes que peuvent
prendre ces courbes, et particulièrement celles qui ont échappé à l'analyse de Descartes.

Nous avons trouvé que le second théorème peut ôtre généralisé de la manière suivante :

« Quand deux cônes obliques ont pour bases sur un même plan deux circonférences
» de cercles , et que les droites qui joignent les centres de ces courbes aux sommets des
» deux cônes respectivement, se rencontrent en un point de l'espace; un troisième
» cône ayant pour sommet ce point , et passant par la courbe d'intersection des deux
» premiers, rencontrera le plan de leurs bases, suivant une courbe du quatrième degré
» qui sera une ligne aplanétique 3. »

Pour décrire sur le plan, et sans la considération des lieux à la surface, ni des pro-
jections, les lignes aplanétiques, on pourra se servir de la construction suivante, qui est
plus expéditive que celle de Descartes, et qui a aussi l'avantage de donner en même
temps les deux ovales conjuguées.

Étant donnés deux cercle» dan» un plan, »i , autour d'un point fixe, pri» »ur la
droite qui Joint leur» centre» , on fait tourner une transversale , qui rencontre les
cercle» chacun en deux points; les rayon» mené» de» centre» de* deux cercle» à
leur» points de rencontre parla transversale , respectivement , se couperont en quatre
points , dont le lieu géométrique sera une ligne aplanétique complète, ayant se» deux
foyer» situés aux centres des deux cercle».

Cette construction résulte immédiatemeut du théorème de Plolémée, sur le triangle
coupé par une transversale. Car ce théorème, appliqué à la figure, fait voir que chaque
point de la courbe construite jouit de la propriété que ses distances aux deux circonfé-
rences de cercle sont entre elles dans une raison constante.

Cette description des ovales a encore l'avantage de donner, sans conslructiou aucune,
les tangentes à ces courbes; car chaque point de la courbe correspond d'après la cons-
truction, à deux points des deux cercles; et les tangentes à la courbe et aux deux cercles ,
en ces trois points, concourent en un même point; ce qu'il est aisé de démontrer par un
théorème de Géométrie ^.

On ne saurait avoir trop de moyens dilTérens de décrire une même courbe, parce que

■ Nouveaux Wémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. V; et supplément an Traité delà Lumière de Sir
J. Berachel , par H. Quetelet , pag. 403.

3 IVouveaux Mémoires de P Académie de Bruxelles, tom. V; et supplément au Traité de la Lumière , de Sir
J. Herschel, par M Quetelet, pag. 307.

' On peut généraliacr aussi le premier théorème, et considérer les lignes aplanétiques dans une sorface quel-
conque du second degré au lieu d'une sphère.

* Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. V, pag. 116

352 NOTES.

chacun exprime une propriété caractéristique de la courbe, d'où dérivent naturellement
plusieurs autres propriétés qui n'apparaissent pas aussi aisément dans les autres modes
de description.

Les descriptions précédentes des lignes aplanétiques font usage de leurs deux foyers;
voici une autre manière de les décrire, où l'on ne se sert que d'un foyer, et qui offre
plusieurs avantages particuliers.

Etant donné un cercle et un point fixe , pris arbitrairement dans so7i plan , si par
ce point on Tnène un rayon vecteur à un point quelconque de la circonférence du
cercle, et une seconde droite , qui fasse avec un certain axe fixe un angle double de
celui que fait le rayon vecteur avec cet axe , et qu'on porte sur cette seconde droite ,
a partir du point fixe , un segment proportionnel au carré du rayon vecteur, l'ex-
trémité de ce segment aura pour lieu géométrique une ligne aplanétique formée de
deux ovales conjuguées dont un foyer est au point fixe.

Ce théorème, faisant dériver directement les lignes aplanétiques du cercle, est très-
propre à faire découvrir plusieurs propriétés de ces courbes. Par exemple , les propriétés
connues du système de deux ou de trois cercles s'appliqueront immédiatement au sys-
tème de deux ou de trois lignes aplanétiques qui auront un foyer commun.

Pour faire usage de ce théorème, il faut remarquer que si , au lieu d'une circonférence
de cercle, l'extrémité du rayon vecteur parcourt une ligne droite, on forme alors une
parabole qui a son foyer au point fixe.

Ainsi, par exemple, quand deux droites tournent autour de deux points fixes en fai-
sant un angle de grandeur constante, leur point d'intersection engendre un cercle; on
en conclut que :

Si l'on a deux groupes de paraboles ayant toutes le même foyer, et dont les unes
passent par un premier point fixe , et les autres par un second point fixe ; et qu'on
prenne une parabole du premier groupe, et une parabole du second groupe, de
manière que leurs axes fassent entre eux un angle de grandeur constante , les points
d'intersection de ces deux paraboles seront sur une ligne aplanétique.

Ce théorème est susceptible de plusieurs conséquences, que nous ne pouvons exami-
ner ici '.

Les lignes aplanétiques jouissent d'une propriété assez curieuse qui , je crois , n'a pas
encore été donnée. C'est qu'aie lieu de deux foyers seulement , elles en ont toujours
trois : c'est-à-dire , qu'outre les deux foyers qui servent à leur description, elles en ont
un troisième qui joue le même rôle, avec l'un des deux premiers, que ces deux-ci en-
semble. La considération des trois foyers est bien propre à faire connaître toutes les
formes possibles des lignes aplanétiques.

Quand l'un des foyers est à l'infini , la courbe devient une conique , et conserve ses
deux autres foyers.

I On en déduit, entre autres, un théorème dont M. Quetelet a fait usage dans son Mémoire sur quelques
constructions graphiques des orbites planétaires. V. les JS^ouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles,

tom, m.

NOTES. 353

Quand deux foyers se confondent, la courbe a un nœud; elle devient le limaçon de
Pascal ; et elle a encore deux foyers.

Enfin, les lignes aplanéliqucs présentent un caractère générique qui pourra servir à
les classer parmi les nombreuses courbes du quatrième degré; c'est qu'el/e* (mt deux
point» ctnjtKjuéii imaijinaire» tituè» à l'infini. D'où l'on conclut que par uu point
pris au dehors d'une telle courbe, on peut lui mener généralement et au plus, huit
tangentes.

NOTE XXII.

(quatrième époque, § 29.)
Extension donnée à deux théorèmes généraux de Stetcart.

Voici quels sont les deux théorèmes qui présentent une bien plus grande généralité
que ceux de Slevvarl, et desquels ceux-ci se déduisent avec plusieurs autres.

Premier théorème : Etant donne* dan» un plan m point» A, B, C ,... et autant de
quantité» a, b, c, ;

n étant un nombre plu* petit que m, on pourra trouver (n + 1) autre* point»

A' , B' , C, tel» que, si l'on prend un point quelconque M, il y aura entre te»

distance» aux point» donnés , et »e» distances aux points trouvé* les a relations ex-
primées par la formule

mP^"-''^ -•- 6.mF^"-''> -+- = (mF^"-"^) + m'^^-<^^ -H .,..)■

où â peut avoir le* n valeurs 0, 1, 2,.... (n — 1).

Si l'on fait i= o, ou a précisément le théorème 44 de Slcwarl.

Les autres valeurs de c? donneront d'autres relations, qu'on pourrait énoncer comme
autant de théorèmes diiïérens, mais qui néanmoins ont lieu toutes ensemble. C'est cette
simultanéité de ces n relations différentes qui fait le caractère du théorème énoncé. '

On ne doit pas perdre de vue que le point M, dans ce théorème, est indéterminé; et
qu'ainsi on aura n relations pour chaque position de ce point.

ToM. XI. 45

354 NOTES.

â serait susceptible d'uûe (n-+- 1 )"""" valeur, égale à «, mais qui conduirait à l'identité

a -h b -t- c...
a-i-o-HC-4-... ^ (n-t-1)

JH- 1

yoilà pourquoi nous avons réduit à n le nombre des valeurs de à

Deuxième théorème : Etant données dans un plan m droites , et autant de quan-
tités a, b, c, .... ;

n étant un nombre quelconque plus petit que m, on pourra trouver (n -h 1 ) autres
droites, telles que si Von prend un point quelconque M dans le plan de ces droites,
et qu'on appelle Ma, 3IS ,.... les perpendiculaires abaissées de ce point sur les droi-
tes données, el Ma. , M§' , celles abaissées sur les droites trouvées , on aura entre

ces perpendiculaires les ^-j— , ou ^ relations , déterminées par la formule

n -t- I

où â peut avoir les ~— valeurs 0, 1,2,.... ^^^ , si a est impair, et les ^ va-
leurs 0, 1, 2, ^^i^> *«' n est pair.

Si l'on fait à ^= o , on aura le théorème exprimé par les propositions 49 el 53 de
Slewart.

Les autres valeurs de â donneront d'autres relations , qu'on pourrait énoncer aussi
comme autant de théorèmes différens ; mais qui cependant auront lieu toutes ensemble ;
et cela, quelle que soit la position du point M.

Jusqu'ici les théorèmes de Stewart, compris dans les deux théorèmes généraux que
nous venons d'énoncer, sont restés, je crois, sans application, et comme des propriétés
isolées d'un système de points, ou d'un système de droites. On peut penser cependant
que ces systèmes doivent jouir d'autres propriétés du même genre que ces premières , et
se rattachant toutes à une même théorie. J'aurais quelques raisons, par exemple, de
supposer qu'un système de points donnés, et le système des points déterminés suivant
le premier théorème en question, jouissent des propriétés communes aux systèmes de
quatre points qui sont les extrémités de deux diamètres conjugués d'une ellipse. Du
moins je formerai de tels systèmes de points en nombre quelconque ( systèmes particu-
liers, il est vrai, c'est-à-dire assujétis à une loi déterminée), qui présenteront toutes ces
propriétés.

Malgré celte première analogie, je puis me tromper dans mes conjectures. Quoi qu'il
en soit, on reconnaîtra , je crois , que les théorèmes de Stewart ne sont que les premiers
pas dans un champ de recherches nouvelles qui mériteraient d'occuper l'esprit des
géomètres.

NOTES. 355

.1'.

NOTE XXIII.

(CIHQUIÉHE ÉPOQUE, § 1".)

Sur l'origine et le développement de la Géométrie descriptive. ,^

En reconnaissant Monge comme le créateur de la Géométrie descriptive, il est juste
de convenir que divers procédés de cette science , et l'usage des projections , dans diffé-
rentes parties des arts de construction, étaient connus depuis long-temps, principale-
ment des charpentiers et des tailleurs de pierres. Philibert de Lorme, Mathurin Jousse ,
Desargues , le P. Deran , et De La Rue avaient donné l'art du trait appliqué à la coupe
des pierres et à la charpente, lequel reposait sur la théorie des projections. Desargues
déjà , parmi ces auteurs , avait montré l'analogie qui existait entre divers procédés diffé-
ren8,et les avait rattachés à des principes généraux. Enfin Frezier , officier supérieur
du génie , dans son Traité de stéréotomie , ouvrage savant et rempli d'applications cu-
rieuses cl utiles en Géométrie théorique et pratique, avait donné suite aux idées de
généralisation de Desargues , et avait traité géométriquement, d'une manière? abstraite et
générale, différentes questions qui devaient se présenter dans plusieurs parties de la coupe
des pierres et de la charpente. Nous citerons, par exemple, tout ce qui tient au dévelop-
pement sur un plan , des surfaces coniques et cylindriques ; la théorie de l'intersection
des surfaces sphériques, cylindriques et coniques entre elles; la manière de représenter
une courbe à double courbure dans l'espace, par ses projections sur des plans , etc.

Mais toutes ces questions abstraites , qui résumaient une foule de questions de pra-
tique , et qui font aujourd'hui autant de chapitres de notre Géométrie descriptive , dépen-
daient elles-mêmes, dans leurs solutions, de quelques principes et de quelques règles
plus élémentaires encore, qui leur sont communes, comme à peu près les quatre règles
de l'arithmétique sont les outils communs à toutes les opérations du calcul. Ce sont ces
règles élémentaires , abstraites et générales, que le génie de Monge a aperçues dans les
opérations de la stéréotomie, ou créées, et qu'il a réunies en un corps de doctrine, sous
le nom de Géométrie descriptive; doctrine dont la généralité, la lucidité et la facilité
montrent l'homme de génie dans l'habile continuateur.

A l'aide de ces principes simples et invariables, ou, suivant l'expression de Malus, à
l'aide de ces outils, Monge a pu rectifier plusieurs pratiques incertaines et inexactes de
la coupe des pierres, et a appris à v résoudre des questions qui avaient semblé jusque là
passer les bornes de la science des stéréotomistes, ou qui n'y avaient reçu que des solutions
empiriques.

336 NOTES.

En parlant de l'origine de la Géométrie descriptive, on ne peut passer sous silence les
services rendus à celte science par M. Lacroix et M. Hachette.

M. Lacroix fut le premier qui développa les principes de la Géométrie descriptive, et les
mit à la portée de tous les lecteurs, dans son ouvrage intitulé, d'abord Essai sur les plans
et les surfaces (vol. in-S", 1795) puis. Complément de Géométrie, où se trouvent la clarté
et la précision qui distinguent les écrits de ce célèbre professeur.

Monge, en publiant son traité de Géométrie descriptive, dans la vue de rendre cette
science aussi simple et d'un accès aussi facile qu'il se pût, en avait écarté d'abord diverses
questions compliquées, mais qui devaient naturellement y entrer dés que les esprits se
seraient familiarisés avec cette nouvelle doctrine. Ce fut M. Hachette , son élève à l'école
de Mézières , puis son collègue comme professeur à l'école polytechnique , qui le premier
remplit ces lacunes, dans deux ouvrages portant le titre de Supplémens à la Géométrie
descriptive Çen 1812 et 1818). Les nouvelles questions générales, ou théories , ajoutées
par ce géomètre à l'ouvrage de Monge, ont été reproduites dans le traité complet de
Géométrie descriptive que lui-même a publié en 1821'; et ont passé, depuis, dans les
nombreux ouvrages qui ont paru sur la même matière en France et à l'étranger. Sous ce
rapport M. Hachette a rendu un grand service aux sciences mathématiques. ïl m'a paru
qu'en Italie particulièrement, où la Géométrie descriptive et ses applications à la science
de l'ingénieur, sont cultivées dans toute leur étendue, et enseignées dans d'excellens
ouvrages -, on rendait à ce sujet pleine justice à ce savant en citant souvent ses ouvrages ,
et en les prenant même pour modèles. Nous regardons qu'ils ont grandement contribué
à répandre et à étendre la connaissance de la Géométrie descriptive '.

Depuis, d'autres bons traités de Géométrie descriptive ont encore paru en France. Nous
devons citer ceux de MM. Vallée, Leroy et Lefebure de Fourcy. Les deux premiers sont
aussi complets que le comporte l'état actuel de la science; le troisième, principalement
destiné aux aspirans à l'école polytechnique, est très-propre à remplir son but, par
l'ordre et la précision qu'on y trouve, et qui caractérisent toujours les ouvrages du sa-
vant professeur qui l'a écrit.

La Géométrie descriptive est encore en voie de progrès. M. Th. Olivier, pour qui cette
partie des sciences mathématiques est depuis long-temps une étude de prédilection , a

1 Une seconde édition a paru en 1S38.

2 Nous citerons entre autres le Traité de M. l'ingénieur Serenns, intitulé: Trattato di Goometria Descrii-
tiva, etc. , in-4'' , Rome 1826 ; et un recueil de mémoires divers , qui sont en partie des applications de la
Géométrie descriptive, fait annuellement, à l'instar du journal de l'école polytechnique, par messieurs les
professeurs de l'école de» ingénieurs des États Romains , sous le titre : Ricerche GeometrCche edidromotriclie
faite nella scuola de^rinyegueripontifici d'acque e strade.

' Depuis que cette Note était écrite, une mort prématurée a enlevé M. Hachette aux sciences et à ses
nombreux amis. Ses anciens élèves à l'école polytechnique, ceux surtout qui, comme moi, ont été honorés
de son amitié et qui l'ont connu dans l'intérieur de son excellente famille, liront avec émotion les éloquentes
paroles que trois savans illastres , ses collègues à l'Académie , MJI. Arago , Ch. Dupin et Poisson , et l'un de
ses disciples, continuateur de ses travaux sur la Géographie descriptive, HT. Th. Olivier, ont prononcées sur
sa tombe.

NOTES. 357

donné, dans les derniers volumes du Journal de l'école polytechnique ,[>\us\euTS mémoi-
res, sur différentes questions nouvelles qui entreront nécessairement désormais dans les
traités qui paraîtront sur cette science.

NOTE XXIV.

(CIHQDIÈME ÉPOQUE, § 15.)

*

Sur la loi de continuité , et le principe des relations contingentes.

On peut sans doute employer l'expression de principe de continuité , au lieu de
celle de relation* contingente* : «ependant il y a entre l'une et l'autre une différence
assez importante pour nous décider à adopter la seconde.

En effet, le principe de continuité remonte à Leibnitz. qui, le premier, l'a proposé,
comme exprimant distinctement celle loi de la nature que tout se fait par degrés inten-
tiblet, ou , comme le disait la philosophie scolastique, Natura abhorret à saltu. C'est dans
cette acception rigoureuse qu'on a employé, depuis lors, le principe de continuité. Ce prin-
cipe tire donc son origine de l'infini. C'est ainsi que le repos est un mouvement infiniment
petit; la coïncidence, une distance infiniment petite ; l'égalité , la dernière des inégali-
tés; etc. Leibnitz exprime ce principe de cette manière : «Lorsque la différence de deux cas
» peut ôtre diminuée au-dessous de toute grandeur donnée, in datis , ou dans ce qui
» est posé, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminuée au-dessons de toute grandeur
» donnée in quœtiti» , ou dans ce qui en résulte; ou, pour parler plus familièrement,
» lorsque les cas (ou ce qui est donné) s'approchent continuellement et se perdent enfin
» l'un dans l'autre, il faut que les suites, ou événemens (ou ce qui est demandé), le
» fassent aussi '. n

1 tfouctllei <U la République de» Lettres ; mai 1687 , pag. 744.

C'ett dan* ce recueil qne Leibniti , en répondant & Hallcbrancfae , an anjet de (a doctrine de» loi* du
mouTement, propota ta loi de continuité qui n'arait point encore été miae en avant par perionne.

Depui» , Leibnilt est revenu (ouTcnt »ur celte belle loi , qui lui «ervit de critérium ou de pierre de touche ,
dan* l'examen de diverte* doctrine* de* philo*ophe*.(Voir£Maù d« Théodicét, art. 348; Lettre il ■. Fancber \
Journal de» Savons, année 1693; Lettre à Varignon, ibid., année 1702; Nouveaux essais sur l'entendement
humain , pag. 11 ; Recueil do diverses jnèces , par meiiieur* Leibnilx , Clarke , Hewton , etc., troisième édition
in-8», 1769 , tom. II , pag. 4.50 ; etc.)

338 NOTES.

On voit donc que le principe de continuité , comme l'ont entendu Leibnitz, et ses sec-
latetirs, implique l'idée de l'infini, laquelle n'entre nullement dans le principe des
relations contingentes tel que nous l'avons développé; et c'est pour cette raison que
nous employons cette expression de relations contingentes , qui présente une idée pré-
cise, et une méthode parfaitement justifiée par le raisonnement que nous avons basé sur
les procédés de l'analyse.

Mais il est vrai que Leibnitz avait considéré aussi sa loi de continuité comme dérivant
d'un principe plus général , qu'il exprime par ces mots : Datis ordinatis etiam quœsita
sunt ordinata '. Ce fut, dit-il ailleurs , la règle des conséquences, avant que la logique
fût inventée , et elle est encore telle aux yeux du peuple ^.

Jean BernouUi, qui adopta le premier ce principe de Leibnitz , et s'en servit pour la
première fois ostensiblement dans la fameuse question des lois de la communication du
mouvement, l'exprime en disant que quand les hypothèses restent les mêmes , les effets
doivent attssi être les mêmes. (Commerce épistolaire de Leibnitz et BernouUi, tome
1<"-, pag. 300.)

Ce principe comprend la loi de continuité comme on a coutume de l'entendre avec
l'idée de l'infini , et la loi des relations contingentes.

L'usage du principe de continuité en Géométrie date probablement de l'origine de
cette science, ainsi que le remarque M. Lacroix dans la préface de son grand Traité du
calcul différentiel et intégral, au sujet de la propdsition seconde du livre douze des
Èlémens d'Euclide, qui a pour objet de prouver que les surfaces des cercles sont entre
elles comme les carrés des diamètres. « Dans la proposition précédente , dit M. Lacroix ,
» Euclide montre que ce rapport est celui des polygones semblables inscrits dans deux
)) cercles différons ; et il me paraît évident que le géomètre, quel qu'il soit , qui décou-
» vrit cette vérité, voyant qu'elle était indépendante du nombre des côtés du polygone ,
» et qu'en même temps ces polygones différaient d'autant moins des cercles qu'ils avaient
» plus de côtés, a dû nécessairement conclure de là, en vertu de la loi de continuité ,
)> que la propriété des premiers convenait aux seconds. »

C'est par des considérations semblables qu'Archimède s'éleva à des propositions beau-
coup plus difficiles, telles que les rapports des surfaces et des solidités du cylindre et
de la sphère, la quadrature de la parabole, etc. On regarderait aujourd'hui comme suffi-
samment prouvées par ces raisonnemens, les propositions qui en seraient l'objet; mais les
Anciens, tout en se servant de la loi de continuité, comme moyen de découverte , ne
l'ont point admise comme moyen suffisant de démonstration, et ont eu recours à des
procédés souvent très-pénibles, pour donner des preuves tout-à-fait convaincantes, et
hors d'atteinte de toute objection, des vérités qu'ils avaient à démontrer.

Mais, depuis Leibnitz, \e principe de continuité fut admis comme un axiome, et pra-
tiqué journellement en mathématiques. Ainsi , c'est sur ce principe que reposent la

' Nouvelles de la Répuhlique des Lettres , an lieu cité.

^ Commerce épistolaire de Leibnitz et BernouUi, tom. Il, pag. l\0.

NOTES. 359

méthode des limites et celle des premières et dernières raisons. Cependant les géomètres
ne firent usage de ce principe que tacitement, et sans l'invoquer comme une loi absolue,
ainsi queXcibnitz l'avait considéré.

On ne. peut se dissimuler qu'on doit à ce relâchement de la rigueur des Anciens, les
progrés immenses que les modernes ont faits dans la Géométrie. Les Anciens , plus jaloux
de convaincre que d'éclairer, ont caché tous les fils qui auraient pu mettre sur la trace de
leurs méthodes de découvertes et d'inventions, et qui auraient pu guider les continuateurs
de leurs travaux. Ce fut la cause de cette marche timide et embarrassée de la Géométrie,
de l'incohérence de ses méthodes dans des questions de même nature, ou, pour parler
pins exactement, de l'absence de méthodes sûres et propres comme celles de la Géométrie
moderne à des classes entières de questions comportant une certaine généralité.

i^fHR'f NOTE XXV.

(CIHQTJIÈME ÉPOQUE, J 15.)

Application du principe des relations contingentes à la question die déterminer^
en (frondeur et en direction j les trois diamètres principaux d'un ellipsoïde
dont trois diamètres conjugués sont donnes. , ^ i

■ ifO .»

Nous allons résoudre d'abord le problème analogue dans la Géométrie plane, où il

s'agit de déterminer en grandeur et en direction les deux axes principaux d'une ellipse
dont deux diamètres conjugués sont donnés. La solution de ce problème nous rendra
plus facile l'exposition de celle du problème de l'espace, et nous offrira d'ailleurs, comme
celle-ci , un exemple bien propre à montrer les usages du principe de» relation* con-
tingentet et à on faire apprécier les avantages.

Problème : Etant donné* deux diamètre» conjugué* d'une ellip*e, construire , en
direction et en grandeur, le* deux diamètre* principaux de la courbe.

Supposons qu'au lieu des deux diamètres conjugués d'une ellipse, on donne les deux
diamètres conjugués d'une hyperbole, et qu'on demande à construire les axes principaux
de cette courbe. L'un des deux diamètres conjugués sera réel, et donné en grandeur;
appelons-le a; l'autre sera imaginaire, et son expression algébrique bV — 1 sera donnée

360 NOTES.

La conslruclion des deux axes principaux de l'hyperbole est extrêmement facile; car on
sait que si, par l'extrémité A du demi-diamétre a, on mène une parallèle au diamètre
conjugué, elle sera tangente à l'hyperbole; et si sur celte droite on prend, de part et
d'autre du point de la courbe, deux segmens égaux à h, leurs extrémités seront sur les
deux asymptotes. Tirant doue ces deux asymptotes , et divisant en deux également l'angle
([u'elles font entre elles, et son supplément, on aura les directions des deux axes principaux
de l'hyperbole.

Ainsi le problème est résolu très-simplement.

Pour transporter cette solution au cas de l'ellipse, par application du principe' des
relations contingentes, il faut y remplacer la considération des parties contingentes de
la figure , qui nous ont servi , et qui sont les asymptotes , par la considération de quel-
qu'autre propriété de la figure, qui subsiste dans le cas de l'ellipse.

Regardons les deux points où la tangente à l'hyperbole rencontre les deux asymptotes,
comme les foyers d'une conique C, passant par le centre de l'hyperbole; les asymptotes
seront les deux rayons vecteurs de cette conique; par conséquent les deux axes principaux
de l'hyperbole, lesquels divisent en deux également l'angle et son supplément , formés par
ces deux rayons vecteurs , seront , l'un la tangente, et l'autre la normale à cette conique C.
Ainsi nous pouvons dire que la conique C, menée par le centre de l'hyperbole, est tangente
à l'un de ses axes principaux. A raison de celte propriété, la conique G servira pour la con-
struction des directions des deux axes principaux de l'hyperbole, et remplacera, pour cet
objet, les deux asymptotes qui nous avaient servi d'abord.

Mais cette conique G, à laquelle nous a conduit la considération des deux asymptotes,
peut être construite sans faire aucun usage de ces deux droites ; car nous connaissons la
direction de ses deux axes principaux qui sont la tangente et la normale à l'hyperbole au
point A, et son excentricité dirigée suivant la tangente, laquelle excentricité est égale à
b, c'est-à-dire au diamètre ù\^ — 1 de l'hvperbole divisé par V' — 1. L'autre excentricité de
la conique C sera dirigée suivant la normale, et égale à la première multipliée par (/ — 1 ;
c'est-à-dire à AV^ — 1 '. On a donc ce théorème :

Si l'on regarde la tangente et la normale en un point A d'une hyperbole , comme
les axes principaux d'une conique qui passerait par le centre de l'hyperhole , et
qui aurait son excentricité , dirigée suivatit la normale, égale précisé7nent au dia-
mètre conjugué de celui qui aboutit au point A , cette conique sera nécessairement
tangente à l'un des deux axes principaux de l'hyperbole.

Ce théorème exprime une propriété générale de l'hyperbole, indépendante des asymp-
totes, quoi qu'elles nous aient servi à la démontrer. Toutes les parties de la figure que
comporte cette propriété générale se retrouvent dans l'ellipse , nous pouvons donc , d'après
le principe des relations contingentes, appliquer cette propriété à l'ellipse; ainsi nous
dirons que :

1 Nous supposons qu'une conique a quatre foyers, dont deux réels et deux imaginaires; et deus excentricités,
dont une réelle et l'autre imaginaire; les carrés de ces deux excentricités étant égaux et de signes contraires.

4«-

,p NOTES. 861

>$'( l'on regarde la tangente et la normale en un point d'une ellipse comme let
axes principaux d'une conique qui passerait par le centre de l'ellipse, et qui aurait
son excentricité , prise sur la normale , égale au diaînètre conjugué de celui qui
aboutit au point pris sur l'ellipse, cette conique sera tangente à l'un des deux axes
principaux de l'ellipse.

L'excentricité située sur la norraalo sera réelle, puisque le diamètre auquel elle est
égale est réel ; les deux foyers de la conique seront donc sur la normale à l'ellipse. Les
rayons vecteurs menés de ces deux foyers au centre de l'ellipse feront des angles égaux
avec celui des deux axes principaux auquel la conique est tangente. On en conclut donc
ce théorème :

Si, sur la normale en un point d'une ellipse, on prend, de part et d'autre de ce
point, deux segmens égaux au demi- diamètre conjugué de celui qui aboutit à ce
point , et que, des extrémités de ces deux segmens , on tire deux droites au centre
de l'ellipse , ces deux droites seront également inclinées sur l'un des deux axes
principaux de l'ellipse.

Ce théorème donne , comme on voit , une construction extrêmement simple de la
direction des deux axes principaux d'une ellipse dont on connaît deux diamètres conju-
gués.

Il nous reste à trouver la longueur de ces axes principaux. Plusieurs manières se pré-
sentent, j,

D'abord, on peut projeter orlhogonalement les deux demi-diamètres conjugués donnés,
sur un des axes {)rincipaux ; la somme des carrés de leurs projections sera égale au carré
de cet axe principal.

On peut encore se servir de ce théorème, extrêmement facile à démontrer :

Si par uti point d'une conique on mène la normale; le produit des segmens faits
sur elle par le diamètre qui lui est perpendiculaire , et par un des axes princi-
paux, est égal au carré du demi autre axe principal.

Cette relation fait connaître les deux axes principaux.

Mais on peut obtenir une expression des longueurs de ces axes, sans connaître à priori
leurs directions.

Pour cela remarquons que si, sur la tangente et la normale à la conique, considérées
comme axes principaux, on construit une seconde conique qui passe par le centre de la
première, et soit tangente, en ce point, à un axe principal de cette première conique,
les segmens faits sur la normale, par sa perpendiculaire abaissée du centre de la première
conique, et par cet axe principal qui est tangent à la seconde conique, auront leur pro-
duit égal au carré du demi-axe principal de la seconde conique dirigé suivant cette nor-
male; cet axe principal sera donc égal au second axe principal de la conique proposée,
lequel est normal à la seconde conique ; on a donc ce théorème :

Si l'on prend la tangente et la normale en un point d'une conique pour axes
principaux d'une seconde conique qui passe par le centre de la première , et qui
soit normale en ce point à l'un des axes principaux de cette première conique ,

To«. XI. 46

362 NOTES. «,

l'axe principal de cette nouvelle conique , dirigé suivant la normale à la première ,
géra égal à l'axe principal de cette première conique auquel la seconde courbe est
normale.

C'est-à-dire que chacune des deux coniques a l'un de ses axes normal à l'autre courbe ,
et ces deux axes sont égaux entre eux.

Si la première conique est une ellipse^ nous avons vu que la seconde conique a ses
deux foyers réels placés sur la normale à la première conique ; son grand axe est donc
dirigé suivant cette normale , et il est égal à la somme ou à la différence des rayons vecteurs
menés des deux foyers au centre de l'ellipse proposée ; mais cet axe est égal à l'axe prin-
cipal de cette ellipse auquel la seconde conique est normale, on en conclut donc enfin
celte construction extrêmement simple du problème proposé :

Par r extrémité A d'un des deux demi-diametres conjugués donnés , on mènera
une droite perpendiculaire au second demi-diamètre ; on portera sur cette droite , à
partir du point A , deux segm,ens égaux à ce demi second diamètre;

On joindra par deux droites les extrémités de ces deux segmens au centre de la
courbe ,• »

On divisera en deux également , par deux nouvelles droites , l'angle que ces deux
premières feront entre elles et son supplément ;

Ces deux nouvelles droites seront , en direction, les deux axes principaux de l'el-
lipse ;

La somme des deux premières droites sera égale au grand axe, et leur diffé-
rence sera égale au petit axe.

La seconde partie de cette solution , relative à la longueur des axes, offre une construc-
tion de deux quantités radicales qu'on trouve dans quelques solutions analytiques de la
question, mais qui n'avaient point été construites aussi simplement.

La marche que nous avons suivie paraît longue , parce qu'ayant pour but de faire une
application du principe des relations contingentes , nous avons dû aller pas à pas et énoncer
des théorèmes auxiliaires pour bien montrer le passage du contingent à l'absolu , dans
les propriétés des foyers; ce qu'on n'aura point à faire généralement dans les applications
du principe , quand on sera familiarisé avec lui.

Ainsi nous résoudrons plus brièvement le problème de l'espace, quoiqu'il présente
quelques difficultés en comparaison du premier, qui n'en offrait aucune.

Problème : Etant donnés trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde , on demande de
déterminer , en grandeur et en direction , les trois axes principaux de cette surface.

Concevons un hyperboloïde à une nappe, et son cône asymptote. Le plan tangent à
l'hyperboloïde en un point m coupera le cône suivant une hyperbole 2, dont les dia-
mètres auront leurs carrés égaux, au signe près, aux carrés des diamètres de l'hyperboloïde,
qui leur seront parallèles respectivement '.

' Cela résulte de ce qu'un diamètre de l'hyperbole sera la partie d'une tangente à l'hyperboloïde , comprise
entre deux arêtes du cône asymptote , laquelle partie a son carré égal , au signe près, au carré du diamètre

NOTES. 363

Maintenant regardons cette hyperbole comme la coiiiqtie excentrique ' d'une surface
du second degré qui passerait par le centre de l'hyperboloïdc. Cette surface sera normale
à l'un des axes principaux du cAne^, qui sont les mêmes que ceux de l'hyperboloïde. Mais
l'un des axes principaux de cette nouvelle surface est dirigé suivant la normale à l'hyper-
boloïde au point m, et les deux autres suivant les diamètres principaux de la conique 2,
lesquels sont les tangentes aux lignes de courbure de l'hyperboloïde. Nous pouvons donc
énoncer ainsi le théorème , en faisant abstraction du cône asymptote :

Si, en un point d'un hyperboloïde à une nappe , on mène sa normale , et les tan-
gente» à tes lignes de courbure , et qu'on regarde ces trois droites comme les axes
principaux d'une surface du second degré qui passerait par le centre de l'hyperbo-
loïde , et qui aurait pour normale en ce point l'un des trois axes principaux de cet
hyperboloïde , la conique excentrique de cette surface , comprise dans le plan tangent
à l'hyperboloïde, aura les carrés de ses diamètres égaux, et de signes contraires ,
aux carrés des diamètres parallèles de l'hyperboloïde.

Ce théorème, par le principe des relations contingentes, s'applique aux deux autres
surfaces douées d'un centre ; on a donc cette propriété de l'ellipsoïde.

Si l'on regarde la normale en un point m d'un ellipsoïde et les deux tangentes
à ses lignes de courbure en ce point , comme les trois axes principaux d'une sur-
face du second degré qui passerait par le centre de l'ellipsoïde et aurait pour
normale en ce point l'un des trois axes principaux de cet ellipsoïde , la conique ex-
centrique de cette surface, comprise dans le plan tangent à l'ellipsoïde , aura les
carrés de ses diamètres égaux, et de signe contraire , aux carrés des diamètre*
parallèles de l'ellipsoïde.

Cette conique excentrique sera imaginaire; mais elle servira néanmoins pour construire
les deux autres coniques excentriques qui seront réelles.

En efl'et soient — b-cl — c- les carrés des deux demi-axes principaux de cette conique
{bel 0 étant les deux demi-axes principaux de la courbe d'intersection de l'ellipsoïde par
un plan parallèle à son plan tangent au point m); soit ^ > c; — c- est plus grand que
— b-, et les foyers de la conique imaginaire sont situés sur l'axe c.

Sur la normale à l'ellipsoïde, on portera, à partir du point m, deux segmens égaux
respectivement à i et à c;

Dans le plan déterminé par cette normale et une parallèle à l'axe c , on décrira une
ellipse qui ait pour demi-grand axe, le segment égal à b,el pour excentricité le segment
égal à c;

Dans le plan déterminé par la normale et une parallèle à l'axe b, on décrira une

de l'hyperboloïde, parallèle i cette tangente ; parce que te plan mené par cette tangente et ce diamètre eoape
l'hyperboloïde auiTant une hyperbole,

' Il ett néceoaire , pour l'intelligence de ce qui va luivre , de prendre une connaissance préalable de la
IVote XXXI, où nous expliquons ce que nous entendons par coniquet dcentriguei i'une surface du second degré,
et faisons connaître diverses propriétés de ces courbes.

2 F9trIIoTKXXXI,art. II.

364 NOTES.

hyperbole qui ait pour demi-axe transverse le segment c et pour excentricité le seg-
ment b.

L'ellipse et l'hyperbole ainsi construites seront les deux courbes cherchées, c'est-à-
dire les deux coniques excentriques d'une surface du deuxième degré qui, passant par
le centre de l'ellipsoïde, aurait pour normale en ce point l'un des axes principaux de
l'ellipsoïde. Par conséquent les deux cônes qui auront pour bases respectivement ces
deux coniques, et pour sommet commun le centre de l'ellipsoïde, auront pour axe prin-
cipal commun cet axe principal de l'ellipsoïde (Note XXXI, art. 11 ). Les deux autres
axes principaux communs aux deux cônes seront pareillement les deux autres axes prin-
cipaux de l'ellipsoïde, parce que par son centre on peut faire passer deux autres surfaces
du deuxième degré ayant pour coniques excentriques les deux mêmes courbes trouvées,
et qui seront normales respectivement à ces deux axes principaux de l'ellipsoïde. La ques-
tion de la construction des directions des trois axes principaux de l'ellipsoïde se réduit
donc à trouver les trois axes principaux qui sont communs aux deux cônes qui ont pour
bases les deux coniques en question ; ces trois axes principaux forment , dans l'un et l'autre
cône, un système de trois axes conjugués; il faut donc chercher le système de trois axes
conjugués communs aux deux cônes.

On conclut de là que :

Étant donnés trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde ; pour trouver la direction
de ses trois axes principaux , par l'extrémité A d'un des diamètres donnés , on mè-
nera une droite perpendiculaire au plan des deux autres, sur laquelle 071 prendra,
à partir du point A , deux segmens égaux respectivement aux deux demi-axes prin-
cipaux de l'ellipse construite sur ces deux diamètres conjujjués. Soit h le plus grand
de ces deux axes , et c le plus petit;

On mènera, par la normale, deux plans , dont l'un parallèle au diamètre c, et
l'autre parallèle au diamètre b ;

On construira , dans le premier plan , une ellipse qui ait pour demi grand axe le
segment b et pour excentricité le segment c; et dans le second plan , une hyperhole
qui ait pour demi-axe principal le segment c , et pour excentricité le segment h;

On regardera le centre de l'ellipsoïde comme le somtnet comtnun de deux cônes
ayant pour hases respectivement cette ellipse et cette hyperbole ;

Ces deux cônes se couperont stiivant quatre arêtes, qui seront deux a deux dans six
plans ; lesquels plans se couperotit deux à deux suivant trois autres droites ;

Ces trois droites seront les trois axes principaux de l'ellipsoïde.

Pour déterminer la longueur de ces axes principaux, on peut projeter orthogonale-
ment sur chacun d'eux les trois diamètres conjugués donnés; le carré de chaque axe sera
égal à la somme des carrés des trois projections faites sur lui.

Mais il sera plus simple de faire usage du théorème suivant, que l'on démontre très-
aisément :

La normale en un point m d'une surface du deuxième degré rencontre le plan dia-
métral qui lui est perpendiculaire, et un des plans principaux P, en deux points dont

NOTES. 365

le produit dei dùtancet au point m ett égal au carré du demi-diamètre de la surface ,
qui e«t normal au plan principal P.

On peut encore déterminer les longueurs des axes principaux de l'ellipsoïde sans con-
naître leurs directions; en construisant trois surfaces dont les axes majeurs sont égaux
respectivement à ces trois axes principaux. Cela dépend d'un théorème que nous allons
démontrer.

La surface qui a pour axes principaux la normale et les tangentes aux lignes de cour-
bure de l'ellipsoïde au point m, et qui passe par le centre de cet ellipsoïde et touche en
ce point l'un de ses plans principaux, cette surface, dis-je, a le carré de son demi-axe dirigé
suivant la normale égal au produit des segmens faits sur cette normale, à partir du
point m, par le plan principal et le plan diamétral perpendiculaire à cette normale '.
Donc, d'après le théorème que nous venons d'énoncer ci-dessus, cet axe de la surface
est égal à l'axe de l'ellipsoïde perpendiculaire au plan principal. On a donc ce théorème :

Quand deux turface» du second degré sont telles que chacune d'elles ait son centre
sur l'autre et ses trois axes principaux dirigés suivant la normale et les deux tangen-
tes aux lignes de courbure de cette autre ^ l'axe de la première surface dirigé suivant
la normale à la seconde est égal à l'axe de la secande surface dirigé suivant la nor~
r\t,ale à la première.

On conclut de là que :

Si l'on regarde la normale en un point d'une surface du second degré ^ et les tan-
gentes aux deux lignes de courbure en ce point , comme les trois axes principaux
communs à trois surfaces passant par le centre de la proposée , et tangentes respecti-
vement à ses trois plans diamétraux , les axes principaux de ces trois surfaces, diri-
gés suivant la normale à la proposée, seront égaux respectivement aux trois axes
principaux de cette surface.

Quand la surface proposée est un ellipsoïde déterminé seulement par trois diamètres
conjugués, nous avons vu comment on détermine les coniques excentriques communes
aux trois autres surfaces, ce qui suffit pour la construction de ces surfaces; ce dernier
théorème pourrait donc servir, à la rigueur, pour résoudre la question de déterminer les
longueurs des trois diamètres principaux de l'ellipsoïde, sans connaître leurs directions.
Mais cette manière serait difficile et peu praticable. Néanmoins le théorème sur lequel
elle repose nous a paru mériter d'être connu, comme exprimant une belle propriété
générale des surfaces du deuxième degré.

Les théorèmes précédens conduisent , sans difficulté , à plusieurs autres qui offrent
quelqu'intérèt.

Par l'extrémité m d'un des trois diamètres conjugués, menons deux droites égales et

I Cela rëtulte de ce théorème , connu dan» la théorie élémentaire det tnrfacea dn second degré , qne « le plan
tangent en un point de la surface et le plan mené par ce point perpendiculairement à l'un det trois diamètres
principaux , font sur ce diamètre , i partir du centre de la surface , deux segmens dont le produit est égal au
carré du demi-diamètre, »

366 NOTES.

parallèles aux deux autres; et décrivons une ellipse E qui ait ces deux droites pour dia-
mètres conjugués. Le cône qui a son sommet au centre de l'ellipsoïde , et pour base cette
ellipse, rencontre l'ellipsoïde suivant une seconde ellipse E' située dans un plan parallèle
à celui de la première. Ainsi les deux ellipses sont homothétiques. La seconde a son centre
sur le diamètre qui aboutit au point m; soit m' ce centre; on trouve aisément qu'on a
toujours om = om'V^S.

Cette seconde ellipse jouit de la propriété que si l'on prend sur elle 3 points A', B', C,
tels que le centre de leurs moyennes distances soit situé au centre de l'ellipse , les trois
droites OA', OB', OC, seront trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde. C'est là une pro-
priété des surfaces du second degré, qu'il est extrêmement facile de démontrer.

Maintenant regardons le point m' comme l'homologue du point m par rapport au point
0, pris pour centre de similitude, et concevons trois surfaces homothétiques aux trois
surfaces du théorème précédent, qui ont leur centre commun en ot, et qui, passant par
le centre 0 de l'ellipsoïde, sont normales respectivement à ses trois axes principaux. Ces
trois nouvelles surfaces auront leur centre de figure en ?n'; elles passeront par le point 0
qui est le centre des imilitude; elles seront tangentes, en ce point , respectivement aux trois
premières surfaces ; et par conséquent elles seront normales respectivement aux trois axes
principaux de l'ellipsoïde ; et elles auront toutes trois les mêmes coniques excentriques ,
situées dans des plans parallèles aux plans des coniques excentriques des trois premières
surfaces.

Soient A et c les deux demi-diamètres principaux de la conique E, J' et e' les deux
demi-diamètres principaux de la conique E' ; ils seront parallèles respectivement aux
premiers , et l'on aura

b_ , c_

Pour former les deux coniques excentriques des trois nouvelles surfaces, il faut donc
élever par le centre m de la conique E' une perpendiculaire au plan de cette courbe ,
prendre sur cette droite deux segmens égaux à A' et c' et décrire dans les deux plans rec-
tangulaires menés parla normale et par les deux axes i'et c' respectivement, une ellipse
et une hyperbole dont la première ait pour demi-grand axe b', et pour excentricité c'; et
dont la seconde ait pour demi-axe transverse c' et pour excentricité b'. Cette ellipse et cette
hyperbole seront les deux coniques excentriques des trois nouvelles surfaces.

Les cônes qui auront pour sommet le point 0, et pour bases ces deux coniques , auront
leurs axes principaux dirigés suivant les axes principaux de l'ellipsoïde.

On conclut delà le théorème suivant:

Etant donnés trou diamètres conjugués OA , OB , OC d'un ellipsoïde ; pour déter-
miner, en direction et en grandeur , les trois axes principaux ,

On cherchera, en direction et en grandeur, les deux demi-axes principaux de
l'ellipse qui passerait par les trois points A, B, C, et aurait pour centre le centre

NOTES. 367

det moyenne» dùtancet de cet trou point*. Soient h et c cet deux demi-axe* princi-
paux ;

Par le centre de l'ellipge on élèvera , *ur *on plan , une perpendiculaire, *ur laquelle
on portera deux «egmen* h' , c' égaux retpectivement à b-e^ à c ;

Dan* le* deux plan* rectangulaire* déterminé* par cette perpendiculaire et le* deux
axe* b , c , re*pectivement , on décrira deux conique* , dont l'une , qui *era une ellipee.
ait pour demi-grand axe le eegment h' et pour excentricité le eegment c , et dont
l'autre , qui *era une hyperbole, ait pour demi-axe tran*ver*e le eegtnent c', et pour
excentricité le eegment b' ;

1° Le* deux cône* qui auront pour eommet commun le point O, et pour ha*e* , re*-
pectivement , cette ellip*e et cette hyperbole , auront même* axe* principaux que l'el-
lip*oïde ;

2° Le* troi* *urface* qui auront pour conique excentrique cette ellipse et cette hy-
perbole, et qui pa**erontpar le centre de rellipeoïde, auront leur* troi* axe* majeur*
égaux aux troi* axe* principaux de Fellipeoïde, divi*é* par vS.

Ce théorème offre, comme on voit, une seconde solution de la question de trouver en
direction et en grandeur les trois axes principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres
conjugués sont donnés. Et cette solution est aussi simple que la première. Mais l'avantage
du théorème est de conduire à diverses conséquences que ne donnait point la première
solution.

Ainsi on en conclut immédiatement que :

Quand troi* diamètre* conjugué* dun ellipsoïde doivent aboutir à troi* point*
donné* , et qu'un de* troi* axe* principaux de V ellip*oïde doit avoir une longueur
donnée, le centre de l'ellipeoïde e*t indéterminé et a pour lieu géométrique une *urfaee
du eecond degré , dont le centre e*t *itué au centre de* moyenne* di*tance* de* troi*
point* où doivent aboutir troi* diamètre* conjugué* de l'ellipgoïde.

On peut donner les longueurs de deux des trois diamètres principaux de l'ellipsoïde, et
le centre de l'ellipsoïde est encore indéterminé ; alors il a pour lieu géométrique la courbe
à double courbure qui provient de l'intersection de deux surfaces du second degré qui
ont les mêmes coniques excentriques; cette courbe est une ligne de courbure de l'une et
l'autre surface. '^\io^ "

Quand les trois diamètres principaux de l'ellipsoïde sont donnés en longueur, huit
ellipsoïdes satisfont à la question; leurs centres sont les points communs à trois surfaces
du second degré qui ont les mêmes coniques excentriques.

Quanta la direction des diamètres principaux des ellipsoïdes, on a ce théorème :

Quand trois diamètre* conjugué* d'un ellipsoïde doivent aboutir à troi* point*
donné* ,

Quel que *oit le point de l'e*pace qu'on prenne pour le centre de cette *urface , te*
troi* axe* principaux *eront les trois axes principaux commun* à deux cône* qui au-
ront ce centre pour *ommet, et qui paseeront reepeetivement par deux conique* fixe*,
dont la construction dépendra uniquement de la position de* troi* point* donné*.

#.

368 NOTES.

Ces deux coniques sont telles que le cône qui a pour base l'une d'elles , et pour sommet
un point de l'autre courbe, est de révolution ; l'ellipsoïde qui aurait son centre au sommet
du cône sera aussi de révolution ; on en conclut donc ce théorème :

Si l'on demande un ellipsoïde de révolution dont trois diamètres conjugués aboutis-
sent à trois points donnés , une infinité d'ellipsoïdes satisferont à cette question ; leurs
centres seront situés sur deux coniques , ellipse et hyperbole , situées dans deux plans
rectangulaires , et dont l'une aura pour sommets et pour foyers les foyers et les som~
mets de l'autre.

NOTE XXYl.

( CINQUIÈME ÉPOQUE , § 17. )

Sur les imaginaires en Géométrie.

La considération des relations et des propriétés contingentes d'une figure , ou système
géométrique, est propre à donner l'explication du mot imaginaire , employé maintenant
assez fréquemment, et avec avantage, dans les spéculations de la Géométrie pure.

Enefi"et, on ne peut regarder l'expression d'imaginaire que comme indiquant seule-
ment un état d'une figure dans lequel certaines parties, qui seraient réelles dans un
autre état de la figure, ont cessé d'exister. Car on ne peut se faire l'idée d'un objet ima-
ginaire, qu'en se représentant en même temps un objet de l'espèce, dans un état d'exi-
stence réelle; de sorte que l'idée d'imaginaire serait vide de sens, si elle n'était toujours
accompagnée de l'idée actuelle d'une existence réelle du même objet auquel on l'applique.
Ce sont donc les relations et propriétés que nous avons appelées contingentes qui don-
nent la clef des imaginaires en Géométrie.

Mais on voit par là qu'on pourrait très -facilement éviter, si l'on voulait, la consi-
dération de» imaginaires , dans le raisonnement; il suffirait d& supposer, à côté de la
figure dont on a à démontrer quelque propriété , une seconde figure de même nature ,
mais, dans un état général de construction où les parties contingentes, qui sont imaginaires
dans la figure proposée, seraient réelles. C'est là effectivement ce que l'on fait tacitement,
en raisonnant sur les imaginaires comme sur des objets réels ; de sorte que l'on peut

NOTES. 369

dire que l'emploi du mot imaginaire est une manière abrégée de s'exprimer , et qui signifie
que les raisonnemens que l'on fait s'appliquent à un autre état général do la figure,
dans lequel les parties sur lesquelles on raisonne existeraient réellement, au lieu d'y être
imaginaires comme dans la figure proposée. Et comme , d'après le principe des relations
contingentes, ou si l'on veut, d'nprés le principe de continuité, les vérités démontrée»
pour l'un des deux états généraux de la figure s'appliquent à l'autre état , on voit que l'em -
ploi et la considération des imaginaires se trouvent complètement justifiés.

Nous devons faire ici une observation importante. La voici :

Etant donnée une figure, dans laquelle se trouvent des parties imaginaires , on peut
toujours, d'après ce que nous venons de dire, en concevoir une autre, de construction
aussi générale que la première , et dans laquelle ces parties qui étaient d'abord imagi-
naires, sont réelles; mais, et c'est en cela que consiste notre observation, il n'est jamais
permis de raisonner, ni d'opérer sur la première figure ellc-mAme, en y regardant
comme réelles, certaines parties qui y sont imaginaires. Par exemple, si une expression
donnée par le calcul, pour déterminer un point sur une droite, est imaginaire, ce point
sera lui-même imaginaire; et on commettrait une faute très-grave en construisant ce
point comme si son expression était réelle. Le point ainsi construit n'appartiendrait point
à la figure, ni à la question proposée; et tous les résultats déduits de la considération (Je
ce point seraient empreints d'erreurs.

Ainsi, dans chaque système de diamètres conjugués de l'hyperbole, les directions des
deux diamètres sont réelles ; mais la longueur de l'un des deux diamètres est toujours
imaginaire; le carré de cette longueur est réel, et les propriétés générales de l'ellipse, où
n'entrent que les carrés des diamètres conjugués, s'appliqueront à l'hyperbole comme à
l'ellipse; mais celles des propriétés dont il s'agit, où ces longueurs ne sont employées
qu'au premier degré, n'auront plus d'application dans l'hyperbole, parce que si l'on vou-
lait construire l'axe imaginaire de l'hyperbole en le supposant réel, on commettrait une
erreur; la ligne ainsi construite, et le point qui serait son extrémité , n'appartiendraient
pas à la figure, ni à la question proposée, mais bien à une autre figure et à une autre ques-
tion.

Ce serait une chose intéressante, de rechercher les rapports et la corrélation qui peuvent
avoir lieu entre les propriétés de deux figures , dans l'une desquelles on a construit ,
comme étant supposées réelles , des parties qui dans l'autre sont imaginaires '. Tels
sont l'hyperbole équilatère, et le cercle décrit sur son axe principal comme diamètre.
Toute corde du cercle, perpendiculaire à cet axe, a son carré réel: si son pied sur l'axe
est dans l'intérieur du cercle, cette corde a aussi sa longueur réelle; mais si son pied est
au dehors du cercle, cette longueur est imaginaire, bien que son carré soit réel ; si on la
construit en la supposant réelle, son extrémité déterminera un point qui appartiendra à
une hyperbole équilatère. Et la corde en question jouira de propriétés difi'érentes, suivant

' Ce qni retient , en analyse , è changer JZ+T en l/^, on , plu» généralemeut , Tonitë en l'une de ie«
racinea , dana cerlaina terme* dea formulea appartenant i la question propoaée.

To«. XI. 47

#

370 NOTES.

qu'elle sera prise dans le cercle ou dans l'hyperbole. Par exemple, dans le cercle, les
droites menées de l'extrémité de la corde aux deux extrémités du diamètre, font entre
elles un angle droit; et dans l'hyperbole, ces deux droites font entre elles un angle de
grandeur variable.

M. Garnot a déjà fait, dans son Traité de la Corrélation des figures de Géométrie , et
dans sa Géométrie de position, des réflexions sur la corrélation des figures dont nous
parlons, et sur celle des formules algébriques qui leur correspondent en analyse. Mais
l'objet principal des travaux de cet illustre savant, dans cette matière, étant la corrélation
des figures qui ne diffèrent que par de simples changemens de signes des variables elles-
mêmes, et non de leurs fonctions, dans les expressions algébriques, la corrélation des
figures qui diffèrent, comme nous venons de dire, en ce que l'on construit dans l'une,
comme étant réelle , une expression imaginaire dans l'autre, cette corrélation, dis-je, est
un objet de recherches tout nouveau , et qui nous paraîtrait susceptible de conduire à
quelques lois générales de l'étendue, qui pourraient accroître la puissance des doctrines
géométriques.

Nous citerons encore à ce sujet le célèbre Lambert , qui a fait un usage très-curieux
et très-utile des rapports imaginaires déduits de la comparaison de l'hyperbole équilatère
et du cercle, qui auraient un centre commun ; et qui a imaginé une espèce de trigonomé-
trie hyperbolique, au moyen de laquelle il trouve des solutions réelles dans des cas où
la trigonométrie ordinaire en fournit d'imaginaires , et réciproquement.

NOTE XXVIT.

(CIITQUIÈME ÉPOQUE, § 23. )

Sur l'origine de la théorie des polaires réciproques, et celle des mots pôle et

polaire.

Après que Monge eut démontré , dans sa Géométrie descriptive , que , quand le sommet
d'un cône circonscrit à une surface du second degré parcourt un plan, le plan de la courbe
de contact passe toujours par un même point; et que quand le sommet du cône parcourt
une droite, le plan de contact passe toujours par une seconde droite, MM. Livet et Brian-

■îsak.

NOTES. 371

chon firent voir que, quand le sommet du cône parcourt une surface du second degré, le
plan de contact enveloppe une autre surface du second degré. (XIII" cahier du Journal de
Yicole Polytechnique , année 1808.)

Dans le même mémoire, M. Brianchon fit usage de cette théorie pour déduire, du fameux
théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit aux coniques, le théorème non moins beau,
ni moins utile sur l'hexagone circonscrit à une conique , et qui consiste en ce que leê trou
diagonale* de cet hexagone, qui joignent deux à deux ses sommet» opposé* , pos-
tent par un même point. Premier exemple d'un tel usage de la théorie des polaire* ,
et dans lequel se présentait, d'une manière bien remarquable, par l'analogie de ce théo-
rème avec celui do Pascal , la dualité des figures planes.

Ensuite MM. Encontre et de Stainville se servirent de celte théorie pour faire une vé-
ritable transformation de figure. Il s'agissait de circonscrire à une conique, un polygone
dont les sommets fussent placés sur des droites. Ces géomètres remarquèrent que, d'après la
théorie des pôle* , ce problème pouvait être ramené à celui où il s'agit d'inscrire dans une
conique un polygone dont les côtés passent par des points donnés ; problème qu'on savait
résoudre. (Voir Annales de mathématiques , tom I", pag. 122 et 190) '.

C'est dans cet excellent recueil^ qui a si puissamment contribué depuis vingt ans aux
progrès des mathématiques, et de la Géométrie particulièrement, que les dénominations
de pôles plans polaires et droites polaires , qui ont facilité l'usage de cette théorie, ont
pris naissance.

M. Servois a d'abord appelé pôle d'une droite, le point par où passent toutes les lignes
de contact des angles circonscrits à uue conique, et qui ont leur sommet sur la droite ;
puis M. Gergonne a appelé cette droite \a polaire du point ; et a étendu ces dénominations
au cas de l'espace. (Voir Annales de mathématiques , tom. I", pag. 337, et tom. III,
pag. 297.) Elles ont été adoptées par tous les géomètres qui ont écrit sur les surfaces
du second degré.

' Nous avona donné l'hiatorique de ce problème dana la Note XI.

«■•

372 NOTES.

NOTE XXYIII.

(cinquième époque, § 27.)

Généralisation de la théorie des projections stéréographiques . — Surface du
second degré tangente à quatre autres.

Les deux théorèmes dont on fait usage dans la théorie des projections stéréographi-
ques, considérée comme méthode de recherche, deviennent les suivaus, dans cette
théorie généralisée comme nous l'ayons dit , c'est-à-dire, quand on prend le lieu de l'œil
en un point quelconque de l'espace :

Si l'on fait la perspective d'une surface du second degré sur un plan quelconque ,
l'œil étant placé en un point de l'espace, pris arbitrairement au dehors de la surface:

1° Les projections des courbes planes tracées sur la surface seront des coniques
ayant toutes un double contact , réel ou imaginaire , avec une conique unique, qui
sera la perspective du contour apparent de la surface;

2° Le pôle de la corde de contact de chaque conique avec la conique unique sera la
projection du sotnmet du cône circonscrit à la surface , suivant la courbe plane dont
cette première conique sera la projection.

A ces deux premiers principes , il sera utile de joindre ce troisième :

Les projections de deux droites polaires réciproques par rapport à la surface, sont
deux droites dont chacune passera par le pôle de l'autre; ces pôles étant pris par
rapport à la conique unique.

Au moyen de ces trois théorèmes , on parvient avec une facilité extrême à la découverte
des nombreuses propriétés d'un système de coniques inscrites dans une même conique
unique; et il n'est besoin, pour ainsi dire, d'aucune démonstration, parce qu'il suffit de
contempler dans l'espace, et de traduire sur le plan, les relations apparentes des courbes
tracées sur la surface du second degré.

De cette théorie des coniques décrites sur le plan , il est facile de s'élever à la théorie
analogue dans l'espace , c'est-à-dire aux propriétés d'un système de surfaces du second
degré , inscrites dans unç même surface unique du second degré. Nous appelons surfaces
inscrites l'une à l'autre, deux surfaces se touchant suivant toute l'étendue d'une courbe.
Pour deux surfaces du second degré , cette courbe de contact est plane.

On parvient ainsi à de nombreuses propriétés des surfaces du second degré, et à la
solution d'un grand nombre de questions relatives aux contacts de ces surfaces, et dont
toutes celles concernant les contacts des sphères, ne sont que des cas particuliers. Et ce

9

NOTES. 373

que cette théorie peut oiTrir de satisfaisant aux géomètres qui aiment à rechercher la plus
grande généralisation possible , c'est que toutes ces questions ne sont elles-mêmes dans
leur généralité , que les corollaires d'une seule , qui les comprend toutes dans son énoncé
et dans sa solution ; la voici :

Problème. — Etant donnéeê quatre surface» du tecond degré inscrite» dans une même
surface du second degré E , décrire une surface du même degré gui touche les quatre
première» , et qui soit , comme elles , inscrite dans la surface E.

La solution do ce problème est extrêmement simple ; mais pour la présenter avec
netteté et précision , il nous sera utile d'admettre quelques définitions :

Quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans une même surface du second
degré, elles se coupent suivant deux courbes planes, réelles ou imaginaires, mais dont
les plans sont toujours réels; nous appellerons ces plans, par analogie avec la dénomina-
tion d'axes de symptose dans les coniques , plans de symptose des deux surfaces.

Les deux surfaces jouissent aussi de la propriété , qu'on peut leur circonscrire deux cônes
du second degré; réeis.ou imaginaires, mais dont les sommets sont deux points toujours
réels. Nous nous servirons, pour désigner ces deux points, de l'expression de centre*
d'homologie des deux surfaces , employée par M. Poncelet.

Nous appellerons droite de symptose des deux surfaces, toute droite comprise dans
l'un de leurs deux plans de symptose, et plan d'homologie , tout plan mené par l'un de
leurs deux centres d'homologie.

Maintenant concevons trois surfaces du second degré , inscrites dans une même surface
du même degré , elles auront, deux à deux, deux plans de symptose ; en tout six plans de
symptose.

On démontre que ces six plans passent , trois par trois , par quatre droites ; et que
les quatre droites concourent en un même point de l'espace.

De sorte que les six plans de symptose sont les quatre faces au sommet , et les deux
plans diagonaux d'une pyramide quadrangulaire.

Nous dirons que chacune des quatre droites par lesquelles passent, trois à trois, les six
plans de symptose, est une droite de sympto»e commune aux trois surfaces; et qu'un
point quelconque de l'une de ces quatre droites est un point de symptote commun aux
trois surfaces.

Considérons les centres d'homologie des trois surfaces : prises deux à deux, elles en ont
deux ; ce qui fait six centres d'homologie. .à-. ■)_.. . • i

On démontre que ces tix centres d'homologie sont, trois par trois , sur quatre droites,
et que ces quatre droites sont dans unmême plan.

De sorte que les six centres d'homologie sont les quatre sommets et les deux points de
concours des côtés opposés d'un quadrilatère.

Nous appellerons droite d'homologie commune aux trois surfaces, chacune des quatre
droites sur lesquelles sont, trois à trois, les six centres d'homologie des trois surfaces , et
plan d'homologie commun aux trois surfaces, tout plan mené par l'une de ces quatre
droites.

374 NOTES.

Concevons quatre surfaces dn second degré , inscrites dans une même surface du second
degré.

On démontre que ce* quatre surfaces ont huit points de symptose qui leur sont
communs ; c'est-à-dire qu'il existe dans l'espace huit points , dont chacun se trouve sur
un plan de symptose de chaque combinaison des quatre surfaces deux à deux.

De sorte que chacun de ces huit points est le point d'intersection commun à six des
douze plans de symptose qu'on obtient en combinant les quatre surfaces deux à deux.

De même, on démontre que les quatre surfaces ont Imit plans d'homologie communs ;
c'est-à-dire qu'il existe huit plans, dont chacun passe par un centre d'homologie des
quatre surfaces prises deux à deux.

De sorte que chacun de ces huit plans contient six des douze centres d'homologie,
qu'on obtient en combinant les quatre surfaces deux à deux.

Tout ceci admis , nous pouvons donner un énoncé facile de la solution du problème
proposé.

Première solution. On construira les huit plans d'homologie communs aux quatre
surfaces, et leurs huit points de symptose communs.

On prendra , par rapport à l'une quelconque A des quatre surfaces, les pôles des huit
plans d'homologie, et on joindra par une droite, chacun de ces pôles à chacun des huit
points de symptose; on aura ainsi soixante-quatre droites, qui rencontreront la surface
A en cent vingt-huit points ; dont chacun sera le point de contact d'une surface cherchée
avec la surface A.

Seconde solution. Après avoir construit, comme pour la première solution, les huit
points de symptose, et les huit plans d'homologie communs aux quatre surfaces, on
prendra les plans polaires de ces huit points de symptose , par rapport à l'une quelconque
A des quatre surfaces; ces huit plans polaires rencontreront chacun des huit plans
d'homologie suivant huit droites; on aura ainsi soixante-quatre droites, par chacune
desquelles on mènera deux plans tangens à la surface A. Chaque point de contact des
cent vingt-huit plans tangens ainsi menés , sera le point où l'une des surfaces cherchées
touchera la surface A.

On voit , par chacune de ces deux constructions, que le problème admet, dans sa plus
grande généralité, cent vingt-huit solutions.

Il est utile de remarquer, pour la discussion des cas particuliers, très-nombreux,
renfermés dans ce problème général, et pour lesquels le nombre des solutions peut
diminuer considérablement, que ces solutions sont données seize à seize par chaque plan
d'homologie, ou par chaque point de symptose commun aux trois surfaces. De sorte qu'il
s'évanouira autant de fois seize solutions, qu'il manquera de plans d'homologie, ou de
points de symptose communs aux quatre surfaces.

Par exemple , si les quatre surfaces sont des sphères , elles n'auront qu'un point de
symptose (c'est le point que M. Gaultier a appelé centre radical des quatre sphères.) Il n'y
aura donc que seize solutions.

Il peut paraître étonnant , au premier abord , que quatre sphères situées d'une manière

NOTES. 375

quelconque dans l'espace, et une cinquième qui leur serait tangente, soient considérées
comme cinq surfaces du second degré, inscrites dans une môme surface unique du même
degré. Mais il est facile d'en voir la raison.

Une surface du second degré dont un des axes devient nul, se réduit à une conique;
toute autre surface du second degré passant par celte conique , la touche en tous ses
points, et peut être regardée comme lui étant circonscrite. Donc plusieurs surfaces du
second degré, qui passent par une même conique, jouissent des propriétés d'un système
de surfaces circonscrites à une même surface du second degré; cette surface ayant, dans ce
cas, l'un de ses axes nuls et se réduisant à une conique.

Remarquons que le plan de cette conique est, par rapport à deux quelconques des
surfaces, un plan de symptose,et que la conique peut devenir imaginaire, quoique ce
plan reste réel; on en conclut par le principe de continuité , ou de* relation» contin-
gente», que plusieurs surfaces du second degré, qui ont un plan de symptose commun,
peuvent être considérées comme autant de surfaces inscrites dans une même surface du
second degré.

Maintenant on peut supposer que le plan de symptose commun aux surfaces, soit à
l'infini; alors les surfaces seront semblables et semblablement placées. Donc plusieurs
surfaces du second degré semblables entre elles et semblablement placées , peuvent être
considérées comme un système de surfaces du second degré toutes inscrites dans une
même surface unique du même degré.

Ainsi il est démontré que les solutions que nous avons données d'une surface du second
degré tangente à quatre autres et inscrite, comme elles, dans une même surface du même
degré , s'appliquent à la construction d'une sphère tangente à quatre autres , et plus géné-
ralement d'une surface du second degré tangente et homothétique à quatre autres.

NOTE XXIX.

( CIRQCIÈHB ÉPOQUE, § 30.)

Démonstration d'un théorème d'où résulte le principe de dualité.

Le théorème en question ne peut pas se déduire , comme dans le cas des figures planes,
des propriétés des figures supplémentaires tracées sur la sphère; mais sa démonstration

376 NOTES.

directe est extrêmement facile. Elle repose sur cette proposition de Géométrie élémen-
taire, savoir: « Si d'un point fixe on mène des rayons aux différens points d'un plan,
» que sur ces rayons (ou bien sur leurs prolongemens), on porte, à partir du point fixe,
» des lignes proportionnelles aux valeurs inverses de ces rayons, les extrémités de ces
» lignes seront sur une sphère qui passera par le point fixe, et qui aura son centre sur
» la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan. »

Il résulte de là que les plans menés par les extrémités de ces lignes, perpendiculaire-
ment aux rayons, passeront tous par un même point situé sur cette perpendiculaire,
lequel sera l'extrémité du diamètre de la sphère.

Pour un autre plan, on aura un autre point correspondant.

Il faut prouver maintenant que si plusieurs plans 'passent par un même point, leurs
points coKKESvo'siiKfis seront sur un même plan. Or, à chacun de ces plans correspondra
une sphère, et toutes ces sphères passeront par un même point 0 situé sur la droite me-
née du point fixe S au point d'intersection de tous les plans.

La droite SO est donc une corde commune à toutes les sphères ; par conséquent le
plan perpendiculaire à cette droite , mené par le point 0 , passera par l'extrémité du dia-
mètre de chaque sphère , issu du point S. Or l'extrémité de ce diamètre est, sur chaque
sphère , le point correspondant au plan auquel cette sphère correspond ; donc tous ces
points correspondans sont sur un même plan. Ce que nous voulions démontrer.

Il suit de là, que les figures construites dans l'espace comme nous l'avons dit dans
le texte de cet écrit, jouiront des propriétés de la dualité', comme celles dont la cons-
truction sur le plan avait résulté des figures supplémentaires de la sphère.

NOTE XXX.

(cinquième époque, § 31.)

Sur les courbes et surfaces réciproques de Monge. — Généralisation de

cette théorie.

Voici quelles sont ces courbes et ces surfaces réciproques :

X , y étant les coordonnées d'un point d'une courbe plane, celles du point correspon-
dant de la courbe réciproque sont x' ■= p , y' = px — y , p étant égal à ^. La récipro-

NOTES. 377

cité des doAx courbes consiste en ce que la première so forme de la seconde, comme
celle-ci s'est formée de la première. (Voir Correspondance sur l'école Polytechnique ,
tom. I", pag. 73, ann. 1805.)

Le Mémoire de Monge *ur le» turfacet réciproque» se trouve indiqué dans une liste
de ses difl'érens mémoires, placée au commencement de son application de l'analy»e à
la Géométrie ( troisième édit. , ann. 1809). II devait faire partie des mémoires de l'Institut
année 1808; mais je crois qu'il n'a point été publié. Au titre de ce mémoire est jointe,
en ces termes, la définition des surface» réciproque» :

« X, y , z, étant les coordonnées d'un point d'une surface courbe, pour lequel on a
» l'équation difléreutielle dz =pda> -h qdy, les coordonnées x' , y', z' de son point ré-
» aiproque ont pour expressions

» Le lieu de tous ces points réciproques est la surface réciproque de la surface pro-
» posée. La réciprocité de ces deux surfaces consiste en ce que la première surface est
» le lieu des points réciproques de la seconde , comme la seconde est le lieu des points
» réciproques de la première. »

C'est-à-dire , que les valeurs de x, y, z en x' , y', z' auront la même forme que celles
de x', y' , z' en jr, y, z. Et en effet on trouve

* =P' > V'=^'î^ ' =p'x' -\- q'y' — «'.

On reconnaît à l'inspection de ces formules que à chaque plan tangent de la première
surface, corre»pond un point de la »econde; et que , quand ce» plan» tangen» pas»ent
par un même point, ce» point» , qui leur corretpondent , »ont »ur un même plan.

En effet , le plan tangent au point (x, y, z) de la première surface est déterminé par
les valeurs des coordonnées de ce point et les valeurs des deux coelEciens différentiels p
et q. Ces valeurs donnent aussi la position du point (^x, y', z') qui correspond à ce plan
tangent.

Maintenant, si ce plan tangent, dont l'équation est

«-Z=;)(*-X)-f-9{y-Y),

passe par un point fixe \»,S , ^) , on aura entre les coordonnées de son point de contact
( X, y, z) , la relation

z — y = p{x — a) -f. 5{y — f).

Substituant dans cette équation les valeurs de x,y, z en x', y', z', p' et q' , on a

V -+- y= ax' ■+■ Cy' ,

équation d'un plan , comme il fallait le trouver.

Ainsi les surfaces réciproques de Monge peuvent être considérées comme des trans-
formées l'une de l'autre suivant le principe de dualité.

Tom. XI. 48

378 • NOTES.

Et en effet ces surfaces sont tout simplement polaires réciproques par rapport au
paraboloïde de révolution qui a pour équation

a;' -4- y" =: a.

Cette construction géométrique des surfaces de Monge fait voir qu'elles ne sont qu'un
cas particulier d'une classe générale de surfaces réciproques , qu'on peut exprimer ana-
lytiquement comme celles-là , et qui , considérées géométriquement , sont des polaires
réciproques par rapport à une surface du second degré quelconque.

Il est à regretter que le mémoire de Monge n'ait pas été publié. Il eût été intéressant
de connaître la voie qui l'a conduit à l'invention de ses surfaces réciproques, et préci-
sément de celles dont l'expression analytique est la plus simple parmi une infinité d'au-
tres; de savoir si c'est la théorie des pôles dans les surfaces du second degré qui a guidé
ce grand géomètre; et surtout quel usage il faisait de la considération de ses surfaces
réciproques.

Nous savons que les courbes réciproques lui ont offert un moyen de ramener aux
quadratures l'intégration des équations différentielles à deux variables, de la forme
y = xYp '*' fp , F et ^ étant des fonctions quelconques de ^ = ^.

D'après cela, il est naturel de penser que Monge a imaginé pour le même usage les
surfaces réciproques; et qu'elles lui ont servi à intégrer des équations aux différences
partielles à trois variables.

Et en effet, on reconnaît qu'elles peuvent être propres pour cet usage.

Soit, par exemple, à intégrer l'équation aux différences partielles

^{x, y, 2, p, q) = o;

On la regardera comme appartenant à une surface A, c'est-à-dire, que son intégrale se-
rait l'équation de la surface A.

A l'équation différentielle proposée correspondra une équation appartenant à une sur-
face A' réciproque de A; cette équation sera

F (p'> i'' p'^' + l'y' — «'> ^' ) y') = o.

Si cette équation, qui est différente de la proposée, est intégrable, on obtiendra par
l'intégration une équation f{a;', y', z')=^o, qui sera l'équation finie de la surface A'.

On passera de cette équation, par la voie de l'élimination, à l'équation de la surface
réciproque de A', qui sera la surface A; cette équation sera donc l'intégrale de l'équation
proposée.

Si l'équation proposée contenait les coefiiciens différentiels du second ordre

_ rf'z _ d'z _ d'z

dx' dxdij dy'

la méthode serait la même. On passerait à l'équation différentielle en x' ,y', z' ,p',q , r , s', t',

NOTES. 379

en remplaçant les coefficiens différentiels r, #, t, par leurs expressions en fonction de
ceux r', *', t'. On trouTe pour ces expressions

•

7. 1 ' =

et réciproquement

rr — »"' r't'~-s' ' r't'—t"'

■ , »' = ■ T . ' =

r«— «' r«— «' rt — »'

On agirait de même pour des équations aux différences partielles d'un ordre supérieur.

Mais ce procédé d'intégration ne parait pas propre à procurer des intégrales générales ,
admettant les fonctions arbitraires que comporte l'équation différentielle proposée. Car
si l'on faisait entrer ces fonctions arbitraires dans l'intégrale de l'équation en x , y', z',
qui représente la surface Â', elles empêcheraient d'en déduire par la voie de l'élimination
l'équation de la surface réciproque A.

I Le calcul de ceaexprettion* eit facile.

Que l'on difîérenlie l'éituation x=p' , puis l'équation y =: q' , par rapport à x et i y sncceuiTement, en
regardant />' et g' cooime fonctions de x' eit/ , on aura lei quatre équation* :

et

1 dp' dx' dp' dy'
~ dx' dx ' dy' dx '

dp' dx" dp' dy'
dx' dy dy' dy

dq' dx' dq' dy"
" ~ dx' dx '*' dy' dx '

dq' dx' dq' dy'
dx' dy dy' dy

, on a

dp' dp' dq' , dq'
dx' ' dy' '^ dx'"^* ' dy' '

^r.

dx' dp dy' dq dx' dp
dx ds ' dx dx "' dy dy

dy

dy

t quatre équationa ci-dcMua deviennent donc

1 = r'r -+- »'s ,

0 = r'$ ^ t't.

0 = s'r ^ f» ,

1 == ,'« -♦- t't.

De ce( équation* on tire lei Taleura de r, t, t, en fonction de r' , t' , t ; et réciproquement.

380 NOTES.

Cette diflBculté doit faire regretter \ivement que le travail de Monge, qui avait déjà tant
contribué aux progrès de la science dans ce genre d'analyse si épineuse, ne nous soit pas
parvenu.

Nous avons dit que les surfaces réciproques de Monge étaient, parmi les surfaces po-
laires réciproques , celles dont l'expression analytique était la plus simple. Nous devons
ajouter qu'il est une autre espèce de surfaces réciproques, analogues à celles de Monge,
qui sont d'une égale simplicité dans leur expression analytique , mais qui ne font pas
partie des surfaces polaires.

Voici les relations de ces nouvelles surfaces réciproques :

X , y , z étant les coordonnées d'un point d'une première surface, et x' , y', z' , les
coordonnées du point correspondant de la surface réciproque, on aura

x' =z q, y' = — p, z' = — px: — çy -+- 2 ,
et

'^ — q') y=^—p', « = — p'^' — q'y' + ='•

Ces formules pourront servir, comme celles de Monge , pour l'intégration des équations
aux différences partielles; et il pourra arriver qu'elles conviennent dans des cas où les
autres ne conviendraient pas , c'est-à-dire , ne conduiraient pas à une équation intégrable.
Car l'équation proposée étant

F(*; y, ^, p, q) — o,

on la transforme , par les formules de Monge en celle-ci :

f (p'j q'> A' -+- q'y' — ^'^ ^'> y' ) = <>;

Et par les nouvelles formules , en la suivante :

f (î'j -~P'> — ;>'*■' — ÇY -+- 2' > — y'> 3;')=rr0.

Il est possible que cette seconde équation se prête plus facilement aux méthodes d'inté-
gration que la précédente.

Les relations des coefficiens différentiels du second ordre sont aussi simples que dans
les formules de Monge. On les obtient en différentiant successivement les deux équations
x = q', y= — p', par rapport à aT,puis par rapport à y, et en regardant q' et p' comme
fonctions de x' et y'. On a ainsi quatre équations , dont trois comportent la quatrième ,
et d'où l'on tire les expressions

- , »' = , r — ,

ri — «' rt — s' rt — s'

et

r' s' f

r'f — s" r't'—s' r't' — s"

NOTES.

381

Nos nouTellcs surfaces réciproques ont entre elles , comme celles de Monge, une rela-
tion géométrique qu'on peut exprimer de diverses manières.

Nous nous bornerons à présenter la suivante :

Une turface étant donnée , on pourra lui imprimer un mouvement infiniment petit ,
tel que let plant normaux aux direction* que prendront te» différent pointt , pendant
ce mouvement , teront précitément let plant tangent à la turface réciproque;

Le mouvement à imprimer tera le rétultat det deux mouvement élémentairet timui-
tanét ; dont le premier tera de révolution autour de l'axe det z regardé comme fixe ,
et le tecond de trantlation dant la direction de cet axe.

Les surfaces réciproques de Monge, et les nouvelles dont nous venons de donner l'ex-
pression analytique et la construction géométrique, sont, les unes et les autres , des cas
particuliers de surfaces d'une expression analytique beaucoup plus générale, et dont la
considération pourra servir, comme ces premières, à l'intégration des équations.

Voici quelles sont les formules générales qui correspondent à ces surfaces :

X , y, 2, étant les coordonnées d'un point de la première surface ,elp,q les deux coeflR-
ciens différentiels

dz dz
dx dy

les coordonnées du point réciproque de la seconde surface seront

(U

X =

y =

A'" (px-^qy—s) + A" - K'q -

-Kp

D'" {px + qy — z) ^ D" — D'î -

-Dp'

W"{px^qy-z) -t- B" — Wq-

- Bp

D"'{px-i-qy — z) -t- D" —U'q-

-Dp'

C" {px + qy—z) -f- C" — C'q -

-Cp

U"'{px-i.qy — M) ^ D" _ D'î — Dp

A, B, C , D; A', B', C, D' ; A", B", C", D" et A'", B'", C", D'", étant des coefficiens arbi-
traires.

Et l'on a réciproquement :

(ï)

y =

D (p'x'-^-q'y'—z')-t-C ~Bq' — kp'
D'" (pV ^ c'y' — s' ) -.- C" — B"'g' — A"'p' '

D' (pV-ngY — V)-f-C' — BY — A'p'
D'" (pV -H gy _a') ^ C" — B"'9'— A"'p' '

D" [p'x'+q'y' — z') -<- C" — V'q' — k"p'
D'" (pV -+- q'y' — z') -f- C" — B'q' — A"'p' *

Les expressions de p , q\ en x, y, z, et celles de p, q, en x',y', z', sont d'un calcul assez

382 NOTES.

long. Pour les former, nous représenterons par le symbole (A' B" C") le polynôme

A' ( B"C"' — B"'C" ) + A" ( B"'C' — B'C" ) -+- A"' ( B'C" — B"C' ) ;

par (B' C" A'") ce que devient ce polynôme quand on y change A' en B', B" en C" et
G"' en A'"; et ainsi des divers autres polynômes semblables, faits avec les seize coefEciens
A , B , C , D ; A', B', C , D' ; A", B", G", D" et A'", B'", G", D", pris trois à trois. On aura ,
d'après cette notation abrégée, les expressions suivantes de p', q',p et q :

(1)

(2)

, _ (B'C"iy")a; — (B"C'"D)y -+- {W"CW)z — (BC'l)")
P ~ ~ (U'A"B"')a; — (D"A"'B)y -f- (D"'AB')z — (DA'B") '

, _ (C/D"k"')x — (C"D'"A)y -t- (G'"DA')s — (CD' A")
' ~ (D'A"B"')j; — (D"A"'B)y -4- (D"'AB')a — (DA'B") '

(B'C"D'") a/ — (G'F'A"') y' +(D'A"B'") z'—(k'W'C"')
P == -~ (B"'CD')ar'— (C"'DA')y'-4-(D"'AB')z'— (A"'BC') '

(BC'^D'")a:' —(CD" A"') y' +(DA"B'")z'— (AB"C"')
^ "^ (B"'CD' ) x' — ( C"'DA') y' +(D'"AB' ) z' — (A"'BC' )'

Pour mieux apercevoir les rapports qu'ont entre elles les expressions de p', q', p, q ,
représentons par les lettres a, b, c, d; a', h' ,c' , etc., les différens polynômes qui sont
les coefficiens de ces expressions; de manière que l'on ait :

o = (B'C"D"'), 6 = - (C'D"A"'), c = (D'A"B"'),d= (A'B"C"') ,
a' = — (B"C"'D), h' = (C"D'"A), c' = — (D"A'"B), d' = — (A"B"'C),
a" = (B'"CD' ), b" = — (C"'DA'), c" = (D"'AB' ),</"= (V'BC ),
a'" = ( BC'D" ) , b'" = — ( CD'A" ) , c'" = ( DA'B" ).

D'après cela , les expressions iop', q',p, q seront

ax ■+- a'y -+- a"z — o'"
p' =

5 = —

ex

■+- e'y

+ c"z

bx

+ h'y

-4- b"z

— 6'"

ex

-f- c'y

-+- c"z

- e'" '

ax'

-f- by'

^ez'

— d

a"x'

+ b"y'

-t- c"z'

-d" '

a'x'

-t- Vy'

■+- c'z'

— d'

P =

^ a'W -f- b"y' -4- c"z' — d"

Dans les formules de Monge, il y a une parfaite réciprocité entre les valeurs de x' ,y' , z',
/>', y',enfonctiondear,y, z,p,j', elles valeurs de a;, y, ^, p, gi en fonction de a;', y', z',p',q';

NOTES.

388

c'est-à-dire, qu'outre la même forme, ces valeurs ont les mêmes coefficiens. Cela a lieu
pareillement dans les formules particulières que nous avons données après celles de
Monge. Mais une telle réciprocité parfaite n'a pas lieu dans les formules générales où les
expressions de x', y', z\ p', (/', sont bien de même forme que celles de x, y, z, p, q, mais
ont des coeiliciens diil'érens. Pour donner à ces formules générales la réciprocité parfaite
dont il s'agit, il suffit de disposer de six des seize coefficiens arbitraires Â,B, G,D;Â',
B', etc. ; et de faire

D = A'" , D' = B'" , D" = C" , B = A' , C = A", C = B" ;

il en résultera

d = a'" , d' = b'" , d" = c'" , b = a', c=a", c' = b"i

et les expressions de x', y', z',p', q, restant les mêmes, celles de x, y, z, p, q devien-
dront

(3).

K =

A'" (pV -t- q'y- -

-«''

-f- A"

-AY

-Ap'

D"'(pV+5y-

-»';

+ D"

-DY

-Dp"

B'" (p's' + q'y' -

-s'

)-»-B"

-BY

-Bp

D"'(pV -t-îY-

-■*';

)-t- D"

-DY

^Mp'

C"'(pV-.-9Y-

-x!

)-*-C"

-CY

-Cp

D"'(pV+9y-

— z! ^

)-+-D"

-DY

-Dp'

p = —

«y

1 =

ex' -H c'y' -4- c"s! — c"

bx' -4- b'y' -»■ fc"a' — b"
ex' -f- c'y' -t- c"a' — c"

Il faudra se rappeler que, des seize coefficiens A, B, G, D; A', etc., que contiennent les
formules (1) et (3), dix seulement sont arbitraires, à cause des six égalités que nous avons
supposées, D^ A'", D'=B'", etc. On disposera des dix coefficiens arbitraires, de ma-
nière à simplifier les formules, et à les approprier aux différentes questions auxquelles
on voudra les appliquer.

Pour obtenir les formules de Monge, il faut faire tous les coefficiens nuls , excepté les
trois A, B', C", auxquels on donnera les valeurs

A = — 1 , B' = — 1, C" = 1.

384 NOTES.

NOTE XXXI.

(CINQUIÈME ÉPOQUE, § 48.)

Propriétés nouvelles des surfaces du second degré , analogues à celles des

foyers dans les coniques.

§ 1. Propriétés des coniques excentriques d'une surface du second degré.

(1) « La tangente et la normale , menées par chaque point d'une conique, vont rencon-
» trer chacun des deux axes principaux de la courbe en deux points, qui sont conjugués
» harmoniques par rapport à deux points fixes;

» Ces deux points fixes sont réels sur le premier axe de la courbe; ce sont les deux
» foyers ; et ils sont imaginaires sur le second axe » *.

Voici le théorème analogue dans les surfaces du second degré :

La normale et le plan tangent , menés en un point quelconque d'une surface du
second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la sur-
face 2, en un point et suivant une droite ;

Ce point est toujours le pôle de la droite , par rapporta une certaine conique , située
dans le plan principal ;

Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface , cette conique est une ellipse ;

Sur le plan du grand et du petit axe , elle est une hyperbole ;

Et sur le plan du moyen et du petit axe , elle est toujours imaginaire.

(2) On peut encore considérer comme correspondant à la propriété des coniques que
nous avons énoncée , le théorème suivant :

Si, en chaque point d'une surface du second degré, on mène la normale à la
surface , et les tangentes aux deux lignes de courbure qui se croisent en ce point,
ces trois droites iront rencontrer chacun des trois plans diamétraux principaux de
la surface en trois points qui seront tels que la polaire de chacun d'eux, prise par
rapport à une certaine conique située dans ce plan , passera par les deux autres.

(3) Les trois coniques que l'on obtient , soit par ce théorème, soit par le précédent , sont

' Cea deux points donnent lieu à deux foyers imaginaires sur le second axe. De sorte qu'on peut dire que la
conique a quatre foyers , dont deux toujours réels , situés sur le grand axe , et deux toujours imaginaires, situés
sur le petit axe.

2 Nous supposons que la surface a un centre ; mais les théorèmes que nous allons énoncer s'appliqueront
d'eux-mêmes aux paraboloïdes.

NOTES. 385

parfaitement déterminées ; et l'on reconnaît aisément qu'il existe, entre chacune d'elles et
la surface, ces rapports trés-siraplos , et qui suffisent pour la construction de ces courbes ,
savoir, que:

Chacune de» trois conique* en qiiettion e»t gitue'e dan* le plan d'une section prin-
cipale de ta surface ; elle a pour foyer* ceux de cette *ectivn , et pour sommet* les
foyers des deux autres sections principale» de la surface.

(4) 11 résulte de là, que le grand axe de l'ellipse et l'axe transverse de l'hyperbole
sont situés sur le grand axe de la surface ;

Et que les sommets de l'ellipse sont les foyers de l'hyperbole , et réciproquement ; d'où
il suit que les deux autres axes principaux des deux courbes, lesquels sont à angle droit,
ont leurs carrés égaux entre eux , au signe prés.

Quant à la troisième conique, imaginaire, elle aura deux foyers réels, situés aux extré-
mités du petit axe de l'ellipse; et ses deux axes principaux imaginaires , leurs carrés étant
égaux, aux signes prés, aux carrés du grand axe de l'ellipse et de l'axe transverse de l'hy-
perbole.

(5) En supposant qu'une conique ait quatre foyers , situés deux à deux sur les deux
axes principaux, dont deux réels et deux imaginaires, on pourra énoncer ainsi les rela-
tions entre les trois courbes , savoir, que :

Une des trois courbes étant donnée , chacune des deux autres sera dans un plan
mené perpendiculairement à celui de la première par l'un de se» axes principaux, et
aura pour sommets les foyers , et pour foyer* le* *ommet* de cette première , *ituée
*ur son axe principal.

Gela suffît pour construire les deux autres coniques , quand l'une des trois est donnée.

(6) Pour fixer les idées , soit

*' y' *' ,

a' i' c'
l'équation de la surface ; les trois coniques en question auront pour équations

*' -,- y' _ 1

a'—c' "^ b' — c' '

X'

iT ^ ::^—r, = '>

o'— 6' c' — b'

i'—a' c' — a'

= 1.

Si a > & > 0, la première courbe, située dans le plan des xy , sera une ellipse ; la se-
conde, située dans le plan des xz, une hyperbole ; et la troisième, située dans le plan des
yz, imaginaire.

ToM. XI. 49

386 NOTES.

(7) Nous appellerons ces trois courbes les coniques excentrique» , ou les coniques fo-
cales de la surface >.

Ainsi, de même qu'une section conique a deux couples de foyers, ou deux excentri-
cités, dont l'une imaginaire; de même une surface du second degré a trois coniques fo-
cales, ou excentriques , dont deux réelles et la troisième imaginaire".

(8) On voit par la construction que nous avons donnée des coniques excentriques d'une
surface du second degré , que :

Quand deux surfaces du second degré ont leurs sections principales décrites des
mêmes foyers , elles ont les mêmes coniques excentriques ; et réciproquement, quand
deux surfaces ont une même conique excentrique , elles ont leurs sections princi-
pales décrites des mêmes foyers.

(9) Maintenant que la définition , et la construction des coniques excentriques d'une
surface du second degré sont bien entendues, nous allons exposer plusieurs propriétés
de ces courbes, et montrer leur analogie avec certaines propriétés des foyers dans les
coniques.

« Quand un angle est circonscrit à une conique, les deux droites, dont l'une divise en
» deux également cet angle, et l'autre son supplément, vont rencontrer chacun des deux
)) axes principaux de la courbe en deux points, qui sont conjugués harmoniques par
» rapport aux deux foyers situés sur cet axe. »

Pareillement :

Quand un cône est circonscrit à une surface du second degré, ses trois axes
principaux vont rencontrer chacun des plans diamétraux principaux de la surface
en trois points , qui sont tels que la polaire de chacun d'eux , prise par rapport
à la conique excentrique située dans le plan diamétral , passe par les deux autres.

(10) « Si d'un point, pris dans le plan d'une conique, on mène deux droites aux deux
» foyers, elles seront également inclinées sur la droite qui divise en deux également
» l'angle des deux tangentes menées de ce point à la courbe. »

Dans les surfaces , on a ce théorème analogue :

' J'emploierai la première de ces deux expressions, qaoique j'eusse préféré la seconde à cause de sa plus
parfaite analogie avec les foyers des coniques et les lignes focales des cônes. Mais le nom de focale ayant été
donné par M. Quetelet à une courbe du troisième degré, qui est le lieades foyers des sections planes faites d'une
certaine manière dans un cône du second degré, je ne puis me servir ici de ce mot pour désigner d'autres
lignes courbes.

Je proposerais d'appeler ces focales du troisième degré/bcoïde* ou plutôt/bcoigueSj conformément aux idées
de 91. Ch. Dupin sur la nomenclature de la Géométrie. (Développemens de Géométrie ; Notes à la suite du
quatrième mémoire).

Alors on consacrerait l'expression àe conicjucs focales, on a\m^\emen\, àe focales , aux deux courbes qui jouent
dans les surfaces du second degré le même rôle que les foyers dans les coniques.

Et, lorsqu'on considérerait ces deux courbes l'une par rapport à l'autre , et sans parler de la surface à
laquelle elles appartiennent , on pourrait les appeler focales conjuguées.

2 II paraîtra sans doute extraordinaire de nous entendre dire que de deux excentricités des coniques,
Vune est imaginaire ,• et que des trois coniques excentriques des surfaces du second degré une seule aussi est
imaginaire , quand on sait fort bien que les imaginaires ne peuvent jamais marcher que par couples. Aussi nous

NOTES. ssr

Un point de Vetpaee étant prit pour le tommet commun de» deux conet , dont l'un
circonscrit à une surface du second degré , et l'autre ayant pour base l'une des coni-
ques excentriques de la surface , ces deux cônes auront mêmes axes principaux et
mêmes lignes focales.

(11) «Si d'un point, pris sur une conique, on mène deux droites à ses foyers, ces
» deux droites sont également inclinées sur la normale à la conique en ce point, ou bien
» sur sa tangente : » C'est là l'une des plus anciennes propriétés des coniques ; Toici son
analogue dans les surfaces ;

Si un point , pris sur une surface du second degré , est regardé comme le sommet
d'un cône qui ait pour base une de ses coniques excentriques , la normale à
la surface et les tangentes à ses lignes de courbure en ce point seront les axes princi-
paux du cône '.

Et si la surface est un hyperboloïde à une nappe , les deux lignes focales du cône
seront les deux génératrices de cet hyperboloïde , qui passent par le sommet du cône.

(12) De la première partie de ce théorème on conclut que:

Si, par une tangente en un point quelconque d'une surface du second degré, on
mène deux plans tangens à l'une des coniques excentrique* de la surface , ils seront
également inclinés sur le plan tangent à la surface, mené par sa tangente.

(13) Le théorème (10) est susceptible de plusieurs conséquences.

En effet, quand deux cônes du second degré ont les mêmes axes principaux, et les
mêmes lignes focales , ils se coupent à angles droits^; on conclut donc du théorème (10)
que :

Pour un œil placé en un point quelconque de l'espace , le contour apparent d'une
surface du second degré , et l'une des coniques excentriques de la surface paraissent
se couper à angles droits.

(14) Les deux cônes qui ont un même sommet, et pour bases les deux coniques excen-
triques d'une surface, ont les mêmes axes principaux et les mêmes lignes focales; donc
ces deux cônes se coupent à angles droits ; ce qu'on peut exprimer ainsi :

dcTons dire qu'il exiate dan* le* conique» on troisième couple de foyers , qui sont toujours inuginaire* et
toi^ours situés à l'inflni.

Ces foyers n'ont point encore été aperçus , parce que l'on n'a point cherché à remonter , dans l'étude des
coniques , à la véritable origine de leurs foyers proprement dits , et à l'analogie qui peut avoir lieu entre leurs
propriétés spéciales et les propriétés générales relatives à tout autre point pris dans le plan de la courbe.

Pareillement il existe , dans chaque surface du second degré , une quatrième conique excentrique , tonjour*
imaginaire , et située ï l'infini.

Il nous est inutile ici de considérer le troisième couple de foyer* des coniques, ni la quatrième conique
excentrique des surfaces.

Nou* essaierons, dans un antre moment, de présenter les propriétés générale* des coniques, et celles
detsurfaces du second degré , d'où dérivent les propriétés particulières aux foyers et aux conique» excentriques.

' Oe sorte que , un cane ayant pour base une conique , si cette courbe est prise pour conique excentrique
d'une surface du second degré menée par le sommet du cône, cette *urface «era normale i l'un de* troi* axe*
principaux du cône.

' Mémoire sur les propriétés générales des cènes du second degré, pag. 88.

388 NOTES.

De quelque point de l'espace qu'on considère les deux coniques excentriques d'une
surface du second degré , elles paraissent se couper à angles droits i.

(15) Si, au lieu d'un cône, on circonscrit à la surface un cylindre, le théorème (10)
deviendra celui-ci :

Un cylindre étant circonscrit à une surface du second degré , si , par l'une des
coniques excentriques de la surface , on fait passer un second cylindre ayant ses
arêtes parallèles à celles du premier, les bases de ces deux cylindres , sur un plan
perpendiculaire à leurs arêtes , seront deux coniques décrites des mêmes foyers.

(16) Et on conclut de là que :

Les projections orthogonales des deux coniques excentriques d'une surface du
second degré , sur un ■même plan quelconque , sont deux coniques qui ont les mêmes
foyers.

(17) Le même théorème (10) donnerait lieu à beaucoup d'autres conséquences, rela-
tives aux systèmes des surfaces qui ont les mêmes coniques excentriques ; mais nous devons
nous borner , dans ce moment, aux propriétés de ces courbes mômes.

(18) Les foyers d'une conique jouissent d'une propriété générale, qui pourrait servir
à les définir, car elle est caractéristique; c'est que:

« Si par un point, pris arbitrairement dans le plan d'une conique, on mène deux
» droites rectangulaires, de manière que le pôle de l'une, pris par rapport à la conique,
» soit sur l'autre, ces deux droites rencontreront chacun des deux axes principaux de la
» courbe en deux points, qui seront conjugués harmoniques par rapport à deux points
» fixes ; ces deux points fixes sont réels sur le grand axe de la courbe ; ce sont ses deux
» foyers; ils sont imaginaires sur le petit axe. »

On a pareillement, dans les surfaces, cette propriété caractéristique des coniques ex
centriques :

Etant donnée une surface du seco7id degré , si par un point , pris arbitrairement
dans l'espace , on mène trois droites rectangulaires , telles que la polaire de chacune
d'elles , prise par rapport à la surface , soit située dans le plan des deux autres , ces
trois droites rencontreront chacun des trois plans principaux de la surface en trois
points , qui seront tels que la polaire de chacun d'eux , prise par rapport à la conique
excentrique située dans ce plan , passera par les deux autres.

(19) Pour saisir l'analogie entre certaines propriétés des coniques excentriques, qui
vont suivre, et certaines propriétés des foyers, il faut regarder la double excentricité
d'une conique , c'est-à-dire la droite qui joint ses deux foyers, comme étant elle-même une
conique dont le petit axe est nul ; de cette manière on regardera toute droite menée par
un foyer comme une tangente à cette conique.

(20) On sait que « toute transversale, menée par un foyer d'une conique, a son pôle, pris

' J'avais déjà eu occasion d'énoncer ce théorème dans mon Mémoire sur les propriétés générales des surfaces
de révolution , inséré dans le tom. \ àe» lYoïiv. Mém. de l'Académie de Bruxelles (ann, 1829) ; et j'avais dit alors
que les deux coniques en question jouissaient de beaucoup d'autres propriétés, qui n'avaient point encore été
découverte». Cette Note en effet en contient plusieurs qui me paraissent nouvelles.

NOTES. 389

» par rapport à cette courbe, sar la perpendiculaire à cette transTcrsale, menée par le
» fover. »

Pareillement :

Tout plan trantvertal , tangent à une conique excentrique d'une turface du tecond
degré , a son pôle ,pri* par rapport à la turface , sur la perpendiculaire à ce plan ,
menée par non point de contact avec la conique.

(21) Le théorème précédent, relatif à une conique, est un cas particulier de celui-ci ,
qui n'a peut-être pns encore été remarqué , mais qu'il est facile de démontrer :

« Étant menée une transversale quelconque dans le plan d'une conique, si on prend son
» pôle par rapport à la courbe, et le point conjugué harmonique de celui où cette droite
» rencontre le grand axe , par rapport aux deux foyers, la droite qui joindra ces deux points
» sera perpendiculaire à la transversale. »

Pareillement :

Étant donnée une turface du tecond degré , ti l'on mène un plan transversal quel-
conque , qu'on prenne ton pôle par rapport à la turface, et le pôle de ta trace tur U
plan d'une conique excentrique , par rapport à cette courbe, la droite qui joindra
eet deux pôles sera perpendiculaire au plan transversal. ,

(22) « Le produit des distances des foyers d'une conique à une tangente quelconque
» est constant. » Menons par les foyers deux droites parallèles à la tangente , et regardons-
les comme les tangentes à la double excentricité de la conique, suivant ce que nous
avons dit plus haut (19); le produit des distances de ces deux droites à la tangente sera
constant.

Pareillement :

Pour chaque plan tangent à une surface du second degré , le produit de ses distan-
ce* aux deux pointt d'une det coniquet excentriquet de la turface . pour letquelt le*
tangentes à cette courbe sont parallèles à ce plan , est constant.

(23) « Le produit des distances d'un foyer d'une conique à deux tangentes parallèles
» entre elles, est constant. »

Pareillement:

Le produit des distances de chaque point d'une conique excentrique d'une surface
du second degré , à deux plant tangent à la turface , parallèles entre eux et paral-
lèlet à la tangente à la conique au point pris tur elle , ce produit, tUt-je , ett con-
stant, quelque toit ce point.

(24) «Si, par un foyer d'une conique, on mène une droite parallèle à une tangente
» quelconque à la courbe, la dillércnce des carrés des distances de ces deux droites au
» centre de la conique, sera constante.» Cela se conclut immédiatement de ce que le
produit des distances des deux foyers à une tangente est constant.

Pareillement:

Etant mené un plan tangent quelconque à une turface du tecond degré, et un plan
tangent à l'une de tet cotiiquet excentriquet , parallèle au premier , la différence de*
carré* de* dittancet de ce* deux plant au centre de la turface tera conttante.

390 NOTES.

Ce théorème et le précédent pourraient servir à la construction des coniques excen-
triques d'une surface.

(25) « Le sommet d'un angle droit , dont un côté glisse sur une conique, et l'autre côté
» sur un foyer, engendre la circonférence de cercle décrite sur le grand axe de la courbe ,
» comme diamètre. »

Pareillement :

Le sommet d'un angle trièdre trirectangle , dont une de» face» glisse »ur une
surface du second degré . et dont le» deux autres faces glissent respectivement sur les
deux coniques excentriques , parcourt la sphère décrite sur le grand axe de la surface
comme diamètre,

(26) Deux faces de l'angle trièdre trirectangle pourraient glisser sur la surface , et la
troisième sur l'une des deux coniques excentriques; ou bien deux faces pourraient rouler
sur une conique excentrique et la troisième sur la surface , ou sur la seconde conique
excentrique : dans chacun de ces trois cas, le sommet de l'angle trièdre engendrerait
encore une sphère, qui serait différente dans chacun de ces cas.

(27) On aura reconnu , par la construction et par les équations que nous avons don-
nées des deux coniques excentriques d'une surface du second degré, les deux courbes
déjà trouvées, depuis long-temps, par plusieurs géomètres; par M. Ch. Dupin, Comme lieu
géométrique des centres d'une infinité de sphères tangentes à trois sphères données ', et
ensuite comme limites de deux séries de surfaces du second degré trajectoires orthogonales
entre elles ^ ; par M. Binet comme lieux de l'espace pour lesquels un corps solide a deux
de ses momens d'inertie principaux égaux entre eux 3 ; par M. Ampère comme le lieu
des points d'un corps qui admettent une infinité d'axes permanents de rotation ■* ; par
M. Quetelet 5, puis MM. Demonferrand ^ et Morlon ', comme le lieu des sommets des cônes
de révolution qu'on peut faire passer par une conique ; par M. Steiner *, et ensuite M. Bo-
billier *, comme le lieu des sommets des cônes de révolution qu'on peut circonscrire à une
surface du second degré.

Mais , dans les diverses recherches de ces géomètres , rien n'avait pu faire soupçonner ,
je crois, l'analogie que nous avons montrée entre les propriétés des courbes en question ,
considérées par rapport à la surface à laquelle elles appartiennent , et les propriétés des
foyers dans les coniques.

Plusieurs de ces propriétés ont été énoncées d'une manière plus complète que celles des

' Correspondance sur Vécole Polytechnique , tom. l<'^ , p. 25 , et tom. II, p. 434.
^ Développemens de Géométrie , p. 280.
B Journal de Vécole Polytechnique ,16^ cahier, p. 63.
* Mémoire sur les axes permanens de rotation des corps , p. 65.

' IVovveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles , tom. II, p. 151 , année 1830 ; et Correspondance ma-
thématique , tom. III , p. 274.

^ Bulletin de la société philomathique , ann. 1825.

' Transactions de la société philosophique de Cambridge , tom. III , première partie , p. 185.

8 Journal de M. Crelle, tom. \", p 38 ; ai Bulletin de M. De Férussac , n° de janvier 1827 , p 2.

' Correspondance mathématique de M. Quetelet, tom. IV, p. 157 .

NOTES. 391

foyers ; cela provient de la forme plus complète aussi des surfaces du second degré , qui
ont trois dimensions, et qui ne deviennent des coniques qu'en perdant une de ces dimen-
sions. U résulte aussi de là, que plusieurs corollaires, ou cas particuliers des propriétés
générales des coniques excentriques , peuvent bien n'avoir pas leurs analogues dans les
foyers; parce que ce qu'elles auront perdu de leur caractère de généralité, en devenant
cas particuliers, était précisément ce qui établissait leur analogie ou leur lien avec les pro-
priétés des foyers.

(28) Toutes les propriétés des coniques ont aussi leurs analogues dans les cAnes du se-
cond degré, où les deux lignes focales jouent le même rûle que les foyers. Mais il est,
dans ces cônes , une propriété caractéristique qui nous a servi a définir ces droites >, et qui
oe peut avoir lieu dans les coniques, quoiqu'elle conduise immédiatement à beaucoup
de propriétés des foyers dans ces courbes ; c'est que : tout plan perpendiculaire à une
ligne focale , coupe le cône suivant une conique qui a l'un de te* foyer» au point où
ce plan coupe la ligne focale.

Il était naturel de penser que ce théorème devait avoir son analogue dans les surfaces du
second degré. Et en effet on trouve que :

Chaque conique excentrique d'une surface du second degré Jouit de la propriété
que le plan normal, en un quelconque de tes points, coupe la surface suivant une
conique qui a l'un de ses foyers en ice point.

Ce théorème établit parfaitement l'analogie qui a lieu entre les coniques excentriques
d'une surface du second degré , et les lignes focales d'un cône du second degré.

(29) Il est une propriété principale des coniques, qui se retrouve dans les cônes, et
dont nous n'avons point encore fait mention relativement aux surfaces du second degré.
<( C'est que : la somme ou la différence des rayons vecteurs menés d'un point d'une co-
<( nique aux deux foyers est constante.» Nous avons fait, pendant long-tems, des tenta-
tives pour trouver quelque chose d'analogue dans' les surfaces: mais sans obtenir aucun
succès. Aussi désirons-nous vivement que cette matière offre asseï d'intérêt pour provo-
quer d'autres recherches. Nous avons bien quelques raisons de penser que le théorème que
nous cherchions ne sera pas exprimable explicitement comme celui des coniques, parce
qu'il dépendra d'une équation du troisième degré; mais nous n'en pensons pas moins
qu'il y a là quelque chose à trouver , et que cet objet doit exciter l'intérêt et la curiosité
des géomètres.

§ 2. Propriétés de deux ou de trois surfaces qui ont les mêmes coniques excen-
triques.

(30) Nous venons de considérer les rapports qui existent entre une surface du second
degré et ses coniques excentriques. Nous allons maintenant parler des propriétés com-
munes à deux ou à trois surfaces qui ont les mêmes coniques excentriques.

■ tVimoirt sur Us propriilis générales des canes du second dejri , p. 13.

392 NOTES.

« Par un point on peut faire passer deux coniques qui aient pour foyers communs
» deux points donnés; l'une est une ellipse, l'autre une hyperbole ; elles se coupent à
» angles droits, et les tangentes à ces courbes, en chaque point d'intersection, divisent
» en deux également l'angle et son supplément , formés par les deux droites menées de
» ce point aux foyers des courbes. »

Pareillement:

Par un point quelconque de l'espace, on peut faire passer trois surfaces du second
degré qui aient pour conique excentrique commune une conique donnée ; l'une est un
ellipsoïde; la seconde un hyperboloïde à une nappe et la troisième un hyperboloïde
à deux nappes ;

Ces trois surfaces se coupent deux à deux à angle droit ; les trois tangentes à
leurs courbes d'intersection ati point donné , sont les axes principaux du cône quia
son sommet en ce point, et pour base la conique excentrique ;

Et les lignes focales du cône sont les deux génératrices de l' hyperboloïde à une
nappe qui se croisent en son sommet.

Ajoutons que les courbes d'intersection de ces surfaces prises deux à deux , sont
des lignes de courbure de ces surfaces. Ce qui a déjà été démontré par MM. Dupin et Binet.

(31) Ce théorème est susceptible de nombreuses conséquences. Car il en résulte que
la plupart des propriétés relatives à une surface et à sa conique excentrique , donnent lieu
à des propriétés relatives à deux ou à plusieurs surfaces qui ont la même conique excen-
trique.

(32) Ainsi du théorème (11) ou conclut que :

Quand deux surfaces du second degré ont une même conique excentrique , si on
prend un point quelconque de l'espace pour sommet commun de deux cônes circonscrits
respectivement aux deux surfaces , ces deux cônes auront les mêmes axes principaux ,
et les mêmes lignes focales ;

Ces trois axes principaux seront les normales aux trois surfaces qu'on pourrait
faire passer par le sommet commun des cônes , et qui auraient mêmes coniques excen-
triques que les deux surf aces proposées .

Et les deux lignes focales seront les génératrices de l'hyperboloïde à une nappe qui
sera l'une de ces trois surfaces.

(33) On conclut de ce théorème que :

Quand deux surfaces du second degré ont une même conique excentrique, de quelque
peint de l'espace qu'on les considère, leurs contours apparens semblent se coupera
angles droits (1).

(34j Et, par conséquent : deux telles surfaces sont propres a former les deux
nappes , lieu des centres de courbure d'une certaine surface unique.

(35 ) Quand le sommet des cônes est à l'infini , le théorème (32) donne lieu au suivant :

' J'ai déjà démontré ce théorème pour deux surfaces de révolution dan» mon Mémoire sur les propriétés
générales de ce» surface» , et pour deus surfaces quelconques , ainsi que je l'énonce ici , dan» un mémoire sur
la Construction des normales à diverses courbes mécaniques , présenté à la société pliiloraatique en avril 1830.

NOTES. 393

Quand deux turfacet du second degré ont une même conique excentrique , si l'on
conçoit deux cylindres circonscrits à ces surfaces respectivement, et ayant leurs arête*
parallèles entre elles, les sectiotu de ces cylindres , par un plan perpendiculaire à
leurs arêtes , seront deux coniques qui auront les mêmes foyers.

On voit que la propriété des dcui surfaces , d'avoir leurs sections principales décrites
des mômes foyers , est une conséquence particulière de ce théorème.

(30) « Si, sur la tangente el la normale en un point d'une conique, prises pour
» axes principaux, on construit deux autres coniques, passant par le centre de la coni-
» que proposée, et normales respectivement à ses deux axes principaux :

« 1° Ces deux coniques auront les même foyers;

« 2° Leurs axes dirigés suivant la normale à la conique proposée seront égaux respec-
tivement aux axes de celle-ci , auxquels ces deux coniques sont normales respectivement. »

Pareillement :

Si la normale en un point d'une surface du second degré , et les deux tangentes aux
lignes de courbure en ce point sont prises , en direction, pour les trois axes principaux
de trois autres surfaces du second degré, passant toutes trois par le centre de la propo-
sée, et normales, en ce point, respectivement aux trois axes principaux de cette surface:

1° Ces trois surfaces auront les mêmes coniques excentriques ;

2° Les diamètres de ces surfaces , dirigés suivant la normale à la surface proposée ,
seront égaux respectivement aux trois diamètres de la proposée , auxquels ces sur-
faces seront normales.

(37) Le caractère par lequel on exprime, en analyse, que deux surfaces ont leurs sec-
lions principales décrites des mêmes foyers, consiste en ce que la différence des carrés de
leurs diamètres principaux est constante.

Ainsi o', A', c' étant les carrés des trois demi-diamètres principaux de la première sur-
face, et a", h", c", les carrés des trois demi-diamètres principaux de la seconde, on a
a' — a" = A' — b' = c ■ — c'\

Cette relation entre les deux surfaces, qui suffit pour exprimer qu'elles ont les mêmes
coniques excentriques, peut être généralisée de deux manières, et dériver de propriétés
relatives à tous les points des deux surfaces, et non pas seulement à leurs sommets.

Nous exprimerons l'une de ces propriétés générales par le théorème suivant :

Quand deux surfaces du second degré ont une même conique excentrique , si l'on
mène deux plans , tangens à ces deux surfaces respectivement, et parallèles entre
eux , la différence des carrés de leurs distances au centre des deux surfaces sera con-
stante, quelle que soit la direction commune de ces deux plans tangens.

(38) Il résulte de là que :

Quand un ellipsoïde et un hyperboloïde ont mêmes coniques excentriques , les
plans tangens à l'ellipsoïde , menés parallèlement aux plans tangens au cône
asymptote de l' hyperboloïde , sont toxu à la même distance du centre commun des
deux surfaces.

(30) La seconde propriété générale en question concerne deux surfaces de même es-

ToM. XI. 50

394 NOTES.

pèce, c'est-à-dire toutes deux ellipsoïdes, ou hyperboloïdes, à une nappe, ou à deux
nappes. Pour l'énoncer nous appellerons points correspondant des surfaces deux points
dont les coordonnées, suivant chaque axe principal, sont proportionelles aux demi-diamè-
tres des surfaces, dirigés suivant cet axe. D'après cela :

Quand deux surfaces du second degré , de même espèce, ont une même conique
excentrique , deux deini-dtatnètres de ces surfaces , aboutissant à deux points cor-
respondans , ont la différence de leurs carrés constante.

(40) On déduit de ce théorème une autre propriété remarquable des surfaces qui
ont les mômes coniques excentriques , et qui, considérée particulièrement dans les ellip-
soïdes, est le fondement du beau théorème de M. Ivory sur l'attraction de ces corps.
C'est que :

Quand deux surfaces du second degré, de tnême espèce, ont les mêmes coniques
excentriques, la distance entre deux points, pris arbitrairement sur ces deux surfaces
respectivement , est égale à la distance des deux points correspondant à ces deux
premiei's.

(41) Nous allons terminer ce paragraphe par deux théorèmes qui ont aussi, comme
celui-là, leur application dans la théorie de l'attraction des ellipsoïdes.

Maclaurin a démontré que : « Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si,
» par un point pris sur un de leurs axes principaux , on mène deux transversales qui fas-
» sent avec l'autre axe des angles dont les cosinus soient entre eux comme les diamètres
)> des deux ellipses dirigés suivant ce second axe, les segmens interceptés sur ces deux
» transversales, par les deux ellipses respectivement, seront entre eux comme leurs diamè-
» très dirigés suivant le premier axe. » (art. 648 du Traité des fluxions de Maclaurin.)

On peut donner au théorème analogue, dans les surfaces du second degré, un énoncé
plus étendu et plus complet. Le voici :

Quand deux surfaces du second degré ont les mêmes coniques excentriques , si
par un point fixe , pris sur l'un de leurs axes principaux , on mène arbitrairement
une transversale à travers la première surface; puis une seconde transversale dé-
terminée par la condition que les cosinus des angles que les deux transversales feront
avec chacun des deux autres axes principaux soiejit entre eux comme les diamètres
des surfaces dirigés suivant chacun de ces axes ; il arrivera que :

1° Les segmens interceptés sur les deux transversales par les deux surfaces res-
pectivement, seront entre eux comme les deux diatnètres des surfaces dirigés sui-
vant le premier axe principal ;

2" Les sinus des atigles que les deux transversales feront avec ce premier axe
principal, seront entre eux comme les diamètres des deux surfaces , qui passeront
par les points où les deux transversales perceront le plan diamétral perpendiculaire
à ce premier axe ;

3° Ces deux diamètres seront, dans les deux surfaces, correspondans entre eux.

(42) Ce théorème peut servir à démontrer très-facilement le théorème de Maclaurin,
concernant l'attraction des ellipsoïdes sur les points situés sur leurs axes principaux

NOTES. 395

(art. 053 du Traité de» fluxion» ) ; et celte démonstration est directe, et ne nécessité
pas, comme celle de Macluiirin, la connaissance préalable de l'attraction d'un ellipsoïde
de révolution sur les points situés sur son axe de révolution.

(43) On démontre aisément que : « Quand deux coniques ont les mêmes foyers ,
» si d'un point, pris sur l'un de leurs axes principarux , on leur mène deux tangentes,
» les cosinus des angles qu'elles feront avec l'autre axe principal seront entre eux
» comme les deux diamètres des coniques dirigés suivant cet axe. »

ParcillcmeDt :

Quand deux surfaces du second degré ont les mêmes coniques excentriques , si par
une droite située dans l'un de leurs trois ^10»» principaux on leur mène deux plans
tangen» , les cosinus des angles qu'ils feront aoec l'axe principal perpendiculaire à
ce plan seront entre eux comme les diamètres des surfaces dirigés suioant cet axe.

(44) Ce théorème aurait pu résulter de l'analyse employée par M. Legendre dans son
mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes >, si ce célèbre géomètre eût cherché la signifi-
cation géométrique des formules analytiques par lesquelles il lui a fallu passer pour ré-
soudre directement cette question difficile. Mais nous croyons pouvoir dire que cette
traduction , en langage ordinaire, des formules de M. Legendre, aurait conduit à beau-
coup d'autres résultats intéressans. Ainsi l'on y aurait vu que les surfaces coniques dont
il se sert pour représenter la marche de ses intégrales , ont toutes pour axes principaux
communs ceux de la surface conique circonscrite .à l'ellipsoïde attirant ; et que l'un de
ces axes est précisément cette droite qui jouit d'une propriété de maximum, et qui joue
un rôle important dans cette matière. Cette propriété de maximum est exprimée par
M. Legendre analytiquemcnt par une équation du troisième degré; en Géométrie elle
signifie que : Si autour du point attiré on fait tourner une transversale et qu'on
prenne la différence des valeurs inverses des distances de ce point aux deux points
où la transversale rencontre la surface de l'ellipsoïde , cette différence sera un
maximum quand la transversale aura pour direction celle d'un des trois axes
principaux du cône circonscrit à l'ellipsoïde , et qui a pour sommet le point attiré.

Et on trouve que quand cette différence, au lieu d'être un maximum , ào\\. être con-
stante, alors la transversale décrit un cône du second degré. Ce sont là les cônes dont
M. Legendre s'est servi. Leur propriété commune est qu'ils passent tous par les courbes à
double courbure du quatrième degré, qui sont les intersections d'un certain hyperbo-
loïde à deux nappes par une série de sphères concentriques.

(45) Nous ferons remarquer que tous les théorèmes que nous avons présentés jus-
qu'ici sont de la plus grande généralité , à l'exception des deux derniers ; c'est-à-dire que
dans ces théorèmes, les points, les plans, les droites, que l'on avait à considérer par rap-
port aux surfaces du second degré, avaient des positions tout-à-fait arbitraires dans
l'espace. Dans les deux derniers, au contraire, le point par lequel on mène les transver-
sales est pris nécessairement sur l'un des axes principaux des surfaces, et la droite par

' Voir le» Ximoirtt de VAcadimi» det Sciences , ann. 1788.

396 NOTES.

laquelle on mène des plans tangens à ces surfaces est prise dans l'un de leurs plans princi-
paux. Il serait intéressant de connaître les théorèmes généraux relatifs à des positions
tout-à-fait arbitraires de ce point et de cette droite dans l'espace; desquels théorèmes
généraux se déduiraient, comme cas particuliers , ceux que nous avons énoncés (41 et 43 ).
Nous signalons ce sujet de recherches, dans l'intérêt de la Géométrie, et aussi par ce
que nous croyons que ce serait un moyen de trouver directement, par la Géométrie et
sans se servir du théorème de M. Ivory, l'attraction des ellipsoïdes sur des points exté-
rieurs quelconques, comme nous avons dit que le théorème (41) donne WKtraclion sur
des points situés sur les axes principaux.

§ 3. Système de surfaces du second degré aigtmiies*''m^mesJçaniques

excentrique»

(46) « On peut décrire dans un plan une Infinité de conques qui aient pour
)> foyers communs deux points donnés; elles formant deux série/d'ellipses et d'hyperbo-
» les; chaque ellipse coupe en quatre points, et à ancle droit ,jffiacune des hyperboles. »

Pareillement :

On peut former une infinité de surfaces du second ^gré , qui nient toutes pour
conique excentrique commune une conique donnée ; toutes ces surfaces se partagent
en trois groupes; dans le premier ce sont des ellipsoïdes ; dans le second des hyper-
boloïdes à une nappe ; et dans le troisième des hyperboloïdes à deux nappes ;

Deux surfaces quelconques , appartenant à deux groupes différens, se coupent par-
tout à angle droit ; et leur ligne d'intersection est une ligne de courbure de chacune
des deux surfaces ;

Trois surfaces quelconques, appartenant respectivement aux trois groupes , se
coupent en huit points ;

En chacun de ces points les normales aux surfaces sont les axes principaux du
cône qui a ce point pour sommet et qui passe par l'une des coniques excentriques
communes aux trois surfaces ;

Et les deux génératrices de l'hyperholoïde à une nappe , en ce point , sont les deux
lignes focales de ce cône.

(47) « Plusieurs coniques, décrites des mêmes foyers , jouissent de toutes les pro-
)> priélés d'un système de coniques inscrites dans un même quadrilatère : les côtés du
» quadrilatère sont imaginaires, mais deux de ses sommets opposés sont réels, ce sont
» les deux foyers ; et la droite qui joint ces deux points peut être considérée comme une
)) des coniques inscrites dans le quadrilatère. «

Cette propriété capitale des coniques décrites des mêmes foyers , dont M. Poncelet a
déjà fait usage , peut être la source d'un grand nombre de propriétés de ces courbes ; et
de ces propriétés peuvent se déduire , comme cas particuliers, celles des foyers par rap-
port à chaque conique.

Pareillement :

NOTES. 397

Plutieura turface» qiiioht le» mêmes conique» excentrique* peuvent être con»idérêe»
comme étant toutes inscrites dans une même surface déoeluppable;

Cette surface est imaginaire; et cependant deux de ses lignes de striction sont réelle»;
ce sont les deux coniques excentriques communes aux surface» ; le» deux autre» ligne*
de ttriction tout imaginaires , l'une est la troisième conique excentrique de» turface»
( tituée dans le plan du petit et du moyen axe principal) , et l'autre e»t à l'infini.

Ajoutons que :

Le» deux ligne» de striction réelles peu cent être regardée» comme de» surfaces dont
un axe est nul , et qui appartiennent à la série des surfaces proposée».

(48) Ainsi :

De» »urfaces du second degré qui ont le» même» conique* excentrique» , et ce» deux
courbe», considérée» comme des surfaces infiniment aplaties .Jouissent de toute» le*
propriétés d'un système , de surfaces du second degré inscrites dans une même surface
déoeloppahle.

Ce théorème me parait être le plus fécond et le plus important de toute la théorie des
surfaces décrites des mêmes foyers. On en déduira aisément un grand nombre de pro-
priétés de ces surfaces.

(49) Un tel système de surfaces s'est présenté déjà dans diverses questions, et notam-
ment, ce qui est asseï remarquable, dans des questions de physique et de mécanique ; et
l'on a été conduit ainsi à découvrir quelques-unes de leurs propriétés. Mais ces propriétés,
peu nombreuses, sont restées isolées, sans qu'on ait cherché à les rattacher à quelque
théorie relative aux surfaces du second degré eu général, ni à quelque proposition fonda-
mentale , comme celle que nous avons énoncée en dernier lieu.

(50) Les théorèmes suivans sont des conséquences de cette proposition.

Quand plusieurs surfaces du second degré ont mêmes canique» excentrique» , li
l'on mène un plan transver»al quelconque qui le» rencontre »uivant de» conique» , et
que ce» courbes soient prises pour le* lignes de contact d'autant de cônes circonscrits
à ces surfaces respecticement , tous ces cônes auront leurs sommets sur une mente
droite , qui sera perpendiculaire au plan transversal.

Ou, en d'autre termes, et plus généralement :

Les pôles du plan transversal , pris par rapport aux surfaces, seront situés sur
une même droite perpendiculaire à ce plan.

(51) Comme les deux coniques excentriques des surfaces peuvent être regardées elles-
mêmes comme deux surfaces infiniment aplaties, on en conclut cette propriété particu-
lière de ces deux courbes :

Étant données les deux coniques excentriques d'une surface du second degré . si l'on
mène un plan transversal quelconque , et qu'on prenne , par rapport à chaque conique,
le pôle de la trace de ce plan sur celui de cette courbe , la droite qui Joindra ces deux
pôles sera perpendiculaire au plan transversal.

Et si ce plan transversal est tangent en un point de la surface du second degré , cette
droite sera la normale à la surface en ce point.

k

398 NOTES.

(52) Quand plusieurs surfaces du second degré ont les mêmes coniques excentriques ,
si par une droite quelconque de l'espace on leur mène des plans tanqens ; les normales
à ces surfaces, menées par leurs points de contact avec ces plans , formeront un para-
boloïde hyperbolique,

(53) Si la droite par laquelle sont menés les plans tangens est normale à l'une des
surfaces, le paraboloïde deviendra une conique; et les points de contact des plans tangens
aux surfaces seront sur une courbe plane du quatrième degré.

Et si la droite est située d'une manière quelconque dans un des plans principaux des
surfaces , les points de contact des plans tangens menés par cette droite seront sur une
circonférence de cercle.

(54) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques , si un point quel-
conque de l'espace est regardé comme le somtnet commun d'autant de cônes circonscrits
à ces surfaces , les plans des courbes de contact envelopperont une surface dévelop-
pable, qui Jouira de la propriété que chacun de ses plans tangens la coupera suivant
une conique; les trois plans principaux des surfaces , et les trois principaux com-
muns aux cônes qui leur seront circonscrits (32) , seront des plans tangens de cette
développable ;

Cette surface est du quatrième degré , et son arête de rebroussement est la courbe
à double courbure du troisième degré.

(55) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques , si d'un point
quelconque de l'espace on abaisse des normales sur ces surfaces,

1° Ces normales formeront un cône du second degré;

2° Les plans tangens aux surfaces , menés par les pieds des normales , formeront
une développable du quatrième degré.

(56) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques , si d'unpoint,
pris dans l'un de leurs plans principaux , on abaisse des normales sur ces surfaces:

1° Toutes ces normales seront situées dans deux plans , dont l'un sera le plan
principal , et l'autre sera perperdiculaire à ce plan principal ;

2° Les pieds des normales comprises dans le plan principal seront sur une courbe
du troisième degré , qui est celle que M. Quetelet a appelée focale à nœud ' ;

3° Les pieds des normales cotnprises dans le second plan sont sur une circonfé-
rence de cercle , qui a pour diamètre la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la
polaire de ce point , prise par rapport à la conique excentrique située dans le plan
principal oit ce point est placé ;

4" Enfin les plans tangens aux surfaces, menés par les pieds des premières norma-
les , enveloppent un cylindre parabolique ; et leurs plans tangens inenés par les pieds
des autres normales passent tous par une même droite , située dans le plan principal.

Si l'on conçoit menée par le point fixe une conique concentrique , semblable et scm-

' M. Quetelet a trouvé cette courbe comme lieu géométrique des sections faites dans un cône droit, par des
plans menés par une même droite tangente au cône et perpendiculaire à l'une de ses arêtes.

NOTES. 399

blablement placée à la conique excentrique , le plan dans lequel sont les second&t nor-
males sera normal à cette conique.

(67) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques , si on leur
mène des normales parallèles entre elles, leurs pieds seront sur une hyperbole équi-
latère , dont une asymptote sera parallèle aux normales.

(58) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques , si on mène
un plan transversal quelconque , et qu'on cherche toutes les normales aux surfaces ,
contenues dans ce plan :

1° Ces normales envelopperont une conique ;

2° Les plans tangens aux surfaces , menés par les pieds des normales passeront
tous par une même droite ;

3° Les pieds des normales sur les surfaces formeront une courbe du troisième
degré , qui sera la focale à nœud.

(59) On sait que le sommet d'un angle droit, dont les deux côtés roulent sur deux
coniques décrites des mêmes foyers, engendre une circonférence de cercle;

Pareillement :

Quand trois plans rectangulaires sont tangens respectivement à trois surfaces
du second degré , qui ont les mêmes coniques excentriques , le point d'intersection de
ces trois plans se trouve sur vue sphère.

Cette propriété de trois surfaces dont les sections principales sont décrites des mêmes
foyers, a déjà été démontré analytiquement par M. Bobillier {Ann. de Mathématiques ,
tora. XIX , pag. 329. )

(60) Les théorèmes que nous venons d'énoncer dans cette Note sont les plus impor-
tans de ceux auxquels nous sommes parvenu dans la théorie des coniques excentriques
des surfaces du deuxième degré. Il nous resterait maintenant à montrer que cette théorie
nouvelle sera un élément utile dans la Géométrie rationnelle ; mais cette Note étant déjà
trop longue, nous nous bornerons ici à citer, parmi les questions où l'on fera un usage
utile de cette théorie, les trois suivantes, dans chacune desquelles on parvient sans peine
à une foule de propositions diverses :

1° La distribution, dans l'espace, des axes principaux et des lignes focales de tous les
cônes qu'on peut faire passer par une même conique, ou bien circonscrire à une même
surface du deuxième degré;

2° La distribution dans l'espace des axes principaux de tous les ellipsoïdes qui ont
leurs centres en diiïérens points de l'espace, et dont trois diamètres conjugués aboutis-
sent à trois points fixes ;

3° Enfin, la distribution, dans l'espace, de tous les axes parmanens de rotation d'un
corps solide; et les valeurs des raomens d'inertie du corps par rapport à ces axes.

k

400 NOTES.

NOTE XXXII.

( GINQUIKSIE ÉPOQUE , § 49).

Théorèmes analogues, dans les surfaces du second degré, aux théorèmes de
Pascal et de 31. Brianchon dans les coniques.

(1) Soit un hexagone inscrit dans une conique. Ses trois côtés de rang impair, pro-
longés jusqu'à leur rencontre, forment un triangle; et les côtés de rang pair sont trois
cordes de la conique , comprises respectivement entre les trois angles de ce triangle. Le
théorème de Pascal exprime que ces trois cordes rencontrent respectivement les trois
côtés opposés du trianfjle en trois points qui sont en ligne droite.

On peut donc, pour exprimer le théorème de Pascal , substituer à la considération de
l'hexagone celle d'un triangle tracé dans le plan d'une conique.

C'est en envisageant sous ce point de vue ce théorème, que nous allons le transporter
aux surfaces du second degré , où son analogue sera une propriété d'un tétraèdre dont les
arêtes rencontrent une surface du second degré.

(2) Voici quel est ce théorème :

Quand les six arêtes d'un tétraèdre . placé d'une manière quelconque dans l'es-
pace , rencontrent une surface du second degré en douze points; ces douze points
sont trois à trois sur quatre plans , dont chacun contiettt trois points appartenant
aux trois arêtes issues d'un même sommet du tétraèdre ;

Ces quatre plans rencontrent respectivement les faces opposées à ces soniTnets ,
suivant quatre droites qui sont les génératrices d'un même mode de génération d'un
hyperholoïde à une nappe.

On peut former plusieurs systèmes de quatre plans qui contiennent, trois par trois,
les douze points de rencontre des arêtes du tétraèdre et de la surface ; le théorème aura
lieu pour chacun de ces systèmes. Par exemple , si les quatre sommets du tétraèdre sont
dans l'intérieur de la surface , on pourra prendre les quatre plans en question de manière
que chacun d'eux contienne les trois points où les arêtes issues de chaque sommet respec-
tivement , et non les prolongemens de ces arêtes , rencontrent la surface.

Cette propriété du tétraèdre, considéré par rapport à une surface du second degré, cor-
respond , comme on voit , à la propriété du triangle tracé dans le plan d'un conique, qui
est exprimée par le théorème de Pascal ; et c'est sous ce point de vue que nous présentons
le théorème ci-dessus comme l'analogue , dans l'espace, de celui de Pascal.

Si les six arêtes du tétraèdre sont tangentes à la surface du second degré, il n'y aura

NOTES. 401

qu'un seul système de quatre plans qui contiendront, trois par trois, les six points de
contact; et le théorème deviendra celui-ci :

(.3) Quand le* six arêtet d'un tétraèdre tant tangente* à une turfaee du *econd
degré', le plan de* trois points de contact des arête* issue* d'un même sommet ren-
contre la face du tétraèdre opposée à ce *ommet , *uioant une droite ; et le* quatre
droite* ain*i déterminée* appartiennent à un même hyperholoïde à une nappe '. '">

(4) Si le tétraèdre proposé est inscrit dans la surface du second degré, on pourra con-
sidérer chacun de ses sommets comme situé au dehors de la surface, mais infiniment
voisin d'elle; les trois points par où les arêtes issues de ce sommet pénétreront dans la
surface détermineront son plan tangent, et l'on conclut de là le théorème suivant:

Quand un tétraèdre est inscrit dans une surface du second degré , les plans tan-
gens mené* par ses sommets rencontrent respectivement les plan* des faces oppo*ée*,
suivant quatre droites qui *ont des génératrices d'un même hyperholoïde ^.

(6) Le théorème de M. Brianchon consiste en ce que dans tout hexagone circonscrit à
une conique, les trois diagonales qui joignent un à un les sommets opposés, concourent
en un tnême point. Considérons les sommets de rang impair, ils déterminent un triangle
de position tout-à-fait arbitraire par rapporta la conique. Chacun des sommets de rang
pair de l'hexagone est le point d'intersection de deux tangentes issues de deux sommets du
triangle; qu'on joigne ce point, par une droite, au troisième sommet du triangle, on
aura ainsi trois droites qui concourront en un même point. Cette proposition , qui n'est ,
sous un autre énoncé, que le théorème de M. Brianchon, est une propriété d'un triangle
quelconque tracé dans le plan d'une conique.

(fi) On a pareillement dans l'espace le théorème suivant:

Si par les arêtes d'un tétraèdre , placé d'une manière quelconque dans l'espace,
on mène douze plans tangens à une surface du second degré ; ces douze plans se ren-
contrent trois à troi* en quatre points , dont chacun est l'inter*ection de troi* plan*
mené* par le* arêtes comprises dans une face du tétraèdre ;

Le* droite* qui joignent ce* quatre points respectivement aux sommets opposés à
ces faces, sont quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperholoïde
à une nappe.

Tel est le théorème qui peut être considéré comme l'analogue, dans l'espace , de celui
de M. Brianchon. >

On pourra former de différentes manières, le système de quatre points qui sont les
intersections , trois par trois , des douze plans tangens à la surface du second degré.

(7) Si les arêtes du tétraèdre sont tangentes à la surface , il n'y aura qu'un seul système
de quatre points et le théorème s'exprimera ainsi : j»

Quand le* six arête* d'un tétraèdre sont tangentes à une surface du second degré,

' J'ai déjà déduit ce théorème d'un autre plu> général , et difTcrent du théorème ci-deuut, dani le tom. XIX
dea Annales de mathàmatùjues , p. 79.

3 M. Steiner et Bobillier (Voir A /ma/»* <{« matimathiques , tom. XVIII, p. 336) etnout, entuite ( tiùl.
tom XIX , p. 67), avoni déjà démontré ce théorème de divcrtet manière*

Tox. XI. 51

402 ISOTES.

le* plans tangeng à la surface , menés par les arêtes comprises dans une même face
du tétraèdre , se rencontrent en un point ; que ce point soit joint par une droite au
sommet opposé à cette face ; on aura ainsi quatre droites qui seront des génératrices
d'un même mode de génération d^un hyperboloïde à une nappe.

(8) Si le tétraèdre proposé est circonscrit à la surface, le théorème général donnera,
comme corollaire, le suivant :

Quand un tétraèdre est circonscrit à une surface du second degré , les droites qui
joignent ses sommets respectivement aux points de contact des cotés opposés , sont
quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe.

(9) L'ensemble d'un tétraèdre et d'une surface du second degré, situés d'une manière
quelconque dans l'espace , présente diverses autres propriétés différentes de celles expri-
mées par les deux théorèmes généraux (2) et (6) , et qui , comme elles , correspondent à des
propositions de Géométrie plane. Nous rappellerons ici le double théorème suivant , que
nous avons démontré dans les Annales de M. Gergonne (tom. XIX, p. 76), et qui nous
paraît plus fécond en conséquences que ces deux théorèmes (2) et (6) :

tlEtant donné dans l'espace un tétraèdre etune surface du second degré ;

\° Les droites qui joindront les sommets du tétraèdre respectivement aux pôles des
faces opposées , pris par rapport à la surface , seront quatre génératrices d'un même
mode de génération d'un hyperboloïde ;

2° Les droites d'intersection des faces du tétraèdre respectivement par les plans
polaires des sommets opposés, sont quatre génératrices d'un même mode de génération
d'un second hyperboloïde.

(10) Voici encore une propriété générale du tétraèdre, qui peut faire partie de la même
théorie que les précédentes :

Etant donnés dans l'espace un tétraèdre et une surface du second degré;

\° Le plan polaire de chaque sommet du tétraèdre , pris par rapport à la surface ,
rencontre les trois arêtes adjacentes à ce sommet en trois points ; on a de la sorte ,
sur les arêtes du tétraèdre , douze points ; ces douze points sont situés sur une même
surface du second degré ;

2° Si par le pôle de chaque face du tétraèdre , pris par rapport à la surf ace , on
mène trois plans , passant respectivement par les trois arêtes comprises dans cette
face ; on aura ainsi douze plans ; ces douze plans seront tangens à une mêtne surface
du second degré. ,

(11) Des quatre théorèmes généraux (2), (6), (9) et (10) que contient cette Note, les
deux derniers sont doubles, chacun d'eux ayant dans son énoncé deux parties différentes
qui pourraient faire deux théorèmes distincts. Les deux premiers auraient pu recevoir un
énoncé aussi complet, si nous ne nous étions pas renfermé strictement dans l'analogie
qu'ils présentent avec les théorèmes de Pascal et de M. Brianchon. Pour compléter ces
deux théorèmes , nous dirons que, dans chacun d'eux , on forme un second tétraèdre dont
les faces et les sommets correspondent respectivement aux faces et aux sommets du tétraèdre
proposé ; et que :

NOTES. 403

1* Leê face» correspondante* det deux tétraidret te coupent deux à deux , suivant
ifuttlre droite» qui sont les génératrices d'un même mode de génération d'un hyper-
boloïde,

Et 2" Le» sommets corresponduns de» deux tétraèdre» »ont , deux à deux , sur
quatre droites qui sont le» génératrice» d'un même mode de génération d'un »econd
hyperboloïde.

NOTE XXXIII.

( CINQUIÈME ÉPOQUE , § 50).

Relations entre sept points d'une courbe à double courbure du troisième degré.
— Diverses questions où ces courbes se présentent.

(1) Par six points donnés dans l'espace on peut faire passer une courbe à double
courbure du troisième degré.

En effet, regardons le premier des six points comme le sommet d'un cône du second
degré devant passer par les cinq autres points; ce cône sera déterminé, puisqu'on en con-
naîtra cinq arêtes. Pareillement on pourra mener un cône du second degré qui ait son
sommet au second des six points, et qui passe par les cinq autres. Les deux cônes auront
pour arête commune la droite qui joindra les deux premiers points ; ils se couperont donc
suivant une courbe à double courbure du troisième degré, qui, avec cette droite , fera
l'intersection complète, du quatrième degré, des deux cônes. Or cette courbe passera par
les six points proposés , par lesquels passent les deux cônes ; la proposition énoncée se
trouve donc démontrée.

(2) Remarquons que tout autre cône que les deux premiers, qui aura son sommet en
un point de la courbe à double courbure du troisième degré, et qui passera par celte
courbe, sera aussi du second degré. Car tout plan mené par son sommet ne coupera la
courbe qu'en deux autres points, et par conséquent ne coupera le cône que suivant deux
arêtes , ce qui prouve qu'il est du second degré.

Ainsi nous pouvons dire que :

Le lieu géométrique des sommets des cônes du second degré , qui passent to\i» par

404 NOTES.

»ix points donnés dans l'espace, est la courbe à double courbure du troisième degré
déterminée par ces six points.

(3) Considérons un seplième point, pris arbitrairement sur la courbe à double courbure
du troisième degré qui passe par six points donnés ; soient a,b,c,d,e.f, ces six points
donnés , et y , le seplième point. Ces sept points , pris dans un ordre quelconque , sont les
sommets d'un eplagone gauche , dans lequel ou peut regarder chacun des côté.s comme
opposé au sommet de l'un des angles respectivement. Ainsi , si l'ordre des sommets est
le même que celui des lettres a, h, c, d, e, f, y, qui les représentent , le quatrième côté
de sera opposé au premier sommet a, le cinquième côté ef au secoud sommet b, et ainsi
des autres.

Les relations qui doivent avoir lieu entre les sept points a, h, c, etc. , pour qu'ils appar-
tiennent à une courbe à double courbure du troisième degré , sont exprimées par le
théorème suivant :

Quand un eptagone gauche a ses sommets a, b j c , etc. , situés sur une courbe à
double courbure du troisième degré , le plan de l'un quelconque des angles a de
l'eptagone , et les plans des deux angles adjacensh et^, rencontrent respectivement
les côtés opposés, en trois points qui sont dans un plan passant par le sommet du pre-
mier angle a.

(4) Il suffit que cette propriété de l'eptagone inscrit à une courbe à double courbure du
troisième degré soit vérifiée pour deux angles de l'eptagone , pour qu'elle ait lieu pour les
autres angles. D'où l'on conclut que :

Quand un eptagone gauche est tel que le plan d'un angle et les plans des deux
angles adjacens rencontrent respectivement les trois côtés opposés, en trois points qui
soient dans un plan passant par le sommet du premier angle j et que la même chose
ait lieu pour un des six autres angles ; elle aura également lieu pour chacun des cinq
autres angles ; et alors , par les sept sommets de l'eptagone , on pourra faire passer
une courbe à double courbure du troisième degré.

(5) D'après ce théorème, il sera très-facile de construire, par points, en employant
la ligne droite seulement, la courbe à double courbure du troisième degré qui doit passer
par six points donnés. Pour cela on cherchera le point où un plan quelconque mené par
deux des six points donnés rencontrerait la courbe.

Le même théorème conduira à la solution de beaucoup d'autres questions, par exem-
ple, de déterminer les tangentes et les plans osculateurs à la courbe en chacun des six
points donnés; etc.

Mais au lieu d'entrer dans ces détails de construction des courbes à double courbure
du troisième degré , nous allons indiquer quelques questions où ces courbes se présentent.
Car, jusqu'à présent, elles ont à peine été aperçues dans les spéculations géométriques, et
les exemples que nous allons donner du rôle qu'elles peuvent y jouer, prouveront peut-
être qu'il sera utile de s'occuper de l'étude de ces courbes , et qu'on ne peut le faire
trop tôt.

(()) Quand les quatre faces d'un tétraèdre mobile sont assujéties à passer respecti-

NOTES. 405

ventent par quatre droites située» d'une manière quelconque dans l'espace , et que
trois sommets du tétraèdre doivent se trouver sur trois autres droites, placées aussi
d'une manière quelconque dans l'espace , le quatrième sommet du tétraèdre parcourra
une courbe à double courbure du troisième degré.

Ce théorème correspond à la proposition de Géométrie plane sur la description des
coniques, démontrée par Muclaurin et Bruikenridge, et d'où se déduit le théorème de
l'hexagramroe de Pascal.

(7) Ayant dans l'espace trois points et trois plans, placés d'une manière quelconque ,
si autour d'une droite fixe on fuit tourner un plan transversal qui coupera les trois
plans donnés suivant trois droites , et que par ces trois droites on mène trois autres
plans passant respectivement par les trois points donnés ; ces trois plans se couperont
en un point qui aura pour lieu géométrique une ligne à double courbure du troisième
degré.

Ce théorème peut être regardé comme correspondant aussi à la même proposition de
Géométrie plane que le précédent.

(8) Si trois angles dièdres , dont les arêtes sont fixes dans l'espace , tournent autour
de ces arêtes de manière que trois faces de ces trois angles aient leur point d'inter-
section toujours situé sur une droite donnée, le point d'intersection des trois autres
faces engendrera une courbe à double courbure du troisième degré, qui s'appuiera
sur les arêtes des trois angles mobiles.

Ce théorème a de l'analogie avec le théorème de Newton sur la description organique
des coniques par le point d'intersection de deux côtés de deux angles mobiles. £t,dc même
que le théorème de Newton n'est qu'un cas particulier de théorèmes plus généraux sur
la description des coniques, ainsi que nous l'avons montré dans la Note XV, le théo-
rème ci-dessus n'est lui-même aussi qu'un cas particulier de propositions plus générales
sur la description des courbes à double courbure du troisième degré.

(0) Telle est la proposition suivante :

Si trois cordes d'une courbe à double courbure du troisième degré, sont prises pour
le* arêtes de trois angles dièdres, de grandeur quelconque , et mobiles autour de ces
arêtes ; et que le point d'intersection de trois faces de ces trois angles parcoure la
courbe du troisième degré; le point d'intersection des trois autres faces des trois
angles engendrera une seconde courbe à double courbure du troisième degré qui
s'appuiera sur les trois cordes de la pretnière.

(10) Le théorème suivant appartient encore à la même théorie que les précé-
dens :

Si trois points se meuvent avec des vitesses quelconques, mais uniformes , sur trois
droites placées d'une manière quelconque dans l'espace , et que par chacun de ces
points et une droite fixe , différente pour chacun de ces points , on mène un plan ; le
point d'intersection des trois plans ainsi menés , engendrera une courbe à double
courbure du troisième degré , qui s'appuiera sur Us trois droites par lesquelles
passent les trois plans.

406 NOTES.

(11) Les théorèmes suivans appartiennent à des théories différentes :

Quand plusieurs surfaces du second degré passent par huit points donnés, leurs
centres sont sur une courbe à double courbure du troisième degré ;

Et, plus généralement, les pôles d'un plan quelconque , pris par rapport à ces
suî'faces , sont sur une courbe à double courbure du troisième degré.

(12) Quand un corps solide est en mouvement , si, à un instant quelconque , on
demande quels sont les points du corps dont les directions tendent vers un même
point donné, c'est-à-dire , dont les tangentes à leurs trajectoires passeîit par un
point donné , ces points seront situés sur une courbe à double courbure du troisième
degré , et les tangentes à leurs trajectoires , menées par ces points , formeront un cône
du second degré.

(13) Soit un S5'stéme de forces sollicitant un corps solide; que pour chaque point m
de l'espace on conçoive le plan principal de ce système de forces, relatif à ce point, et la
normale à ce plan, menée par ce point ;

Celles de toutes ces normales qui passeront par un point donné de l'espace , forme-
ront un cône du second degré ; et les points m par lesquels elles seront tnenées, seront
sur une courbe à double courbure du troisième degré.

(14) Les tangentes aux différens points d'une courbe à double courbure du troi-
sième degré forment une surface développable du quatrième degré;

Et réciproquement , toute surface développable du quatrième degré a pour arête de
rebroussement une courbe à double courbure du troisième degré.

On peut donc encore rattacher à la théorie de ces courbes les questions où se présentent
des surfaces développables du quatrième degré.

Telles sont les suivantes :

(15) Six plans étant donnés , situés d'une manière quelconque dans l'espace, sil'on
demande de mener une conique qui touche ces six plans ; une infinité de coniques
satisferont a la question; tous leurs plans envelopperont une surface développable,
du quatrième degré.

(10) Quand les quatre soinmets d'un tétraèdre variable parcourent quatre droites
fixes , placées d'une manière quelconque dans l'espace , et que trois faces du tétraèdre
passent respectivement par trois autres droites données , la quatriètne face roule sur
une surface développable du quatrième degré.

(17) Etant donnés dans l'espace trois points et trois plans , si le somjnet d'un
angle triède , dont les trois arêtes tournent autour des trois points , parcourt une
droite , les points où ces trois arêtes perceront les trois plans donnés seront dans un
plan qui roulera sur une développable du quatrième degré.

(18) Si trois points se meuvetit respectivement sur trois droites , avec des vitesses
quelconques , mais constantes , le plan déterminé par ces trois points roulera sur
une surface développable du quatriètne degré.

(19) Quand plusieurs surfaces du second degré sont tangentes à huit mêmes
plans, si l'on regarde un point de l'espace comme le sommet d'autant de cônes cir-

NOTES. ¥»

eonseritt à ces turface», le* plant de* courbe* de contact envelopperont une de've-
loppable du quatrième degré.

(20) Â une turface du second degré on peut circontcrire une infinité de cône* :
*% l'on demande qu'un det axet principaux de chaque cône patte par un point donné ,
ton* cet axet principaux formeront un cône du tecond degré; et le* plan* mené* par
le* *ommet* de* cône* , perpendiculairement à ce* axe* re*pectivement , enveloppe-
ront une déoeloppable du quatrième degré.

(21) Un corps solide étant donné, par chaque point de l'espace on peut mener trois
droites qui seront trois axes permancns de rotation du corps relativement à ce point, et
une infinité d'autres droites qui seront des axes permanens de rotation du corps relative-
ment à d'autres points pris sur ces droites ;

1" Toute* ce* droite* forment un cône du *econd degré :

2° Le* plan* mené* perpendiculairement à ce* droite* , par le* point* pour let-
quel* elle* sont de* axe* permanen* de rotation du corp* , enveloppent une déoelop-
pable du quatrième degré.

(22) Quand un corps solide est en mouyement , chaque plan , pris dans le corps ,
roule, pendant le mouvement, sur un surface développable qu'il touche successivement
suivant les diiTérentes arêtes successives de cette surface; nous appellerons cette surface
la déoeloppable trajectoire du plan ;

A un instant quelconque du mouvement , tous les plans qu'on aura menés dans le corps
toucheront leurs déoeloppable* trajectoire* , chacun suivant une droite;

Si on demande quelle* *ont celle* de ce* droite* qui , à cet in*tant du mouvement ,
sont situées dans im plan donné; toute* ce* droite* envelopperont une parabole ; et
tous les plans qui touchent leurs développables trajectoires suivant ces droites enve-
lopperont une déoeloppable du quatrième degré.

(23) Quand un corps est en mouvement , les tangentes aux trajectoires des points
d'une droite, à un instant du mouvement , forment un paraboloïde hyperbolique ; et
ce* tangente* *e meuoent pendant cet in*tant dan* de* plan* qui forment une déve-
loppable du quatrième degré.

Etc., etc., etc.

408 NOTES.

NOTE XXXIV.

(chapitre VI, § 10.)

Sur la dualité dans les sciences mathématiques. — Exemples pris dans l'krl
du Tourneur , et dans les Principes de la dynamique.

Parmi les modes de transformation sur lesquels reposent les doctrines les plus fécondes
de la Géométrie récente , on doit distinguer essentiellement celui qui donne lieu à recon-
naître cette loi mathématique de l'étendue figurée, \a dualité.

Outre l'avantage que présente cette méthode , comme moyen de découvertes , le principe
sur lequel elle repose établit une relation constante qui lie deux à deux toutes les vérités
géométriques; ce qui fait pour ainsi dire deux genres de Géométrie. Ces deux Géométrie»
se distinguent par une circonstance qu'il est très-important de remarquer : dans la pre-
mière le point est l'unité, et pour ainsi dire Vêlement, ou la monade , dont on se sert
pour former les autres parties de l'étendue; c'est là la base de la philosophie de la Géomé-
trie ancienne et de la Géométrie analytique.

Dans la seconde Géométrie on regarde la droite, ou ]e plan, suivant qu'on opère sur
un plan ou dans l'espace , comme l'être primitif, ou l'unité, qui doit servir à former
toutes les autres parties de l'étendue.

Cette division de toutes les propriétés de l'étendue en deux classes distinctes , reposant
sur deux idées premières essentiellement différentes, est un fait qui nous paraît, comme
à MM. Gergonnc et Poncelct qui l'ont montré dans tout son jour •, d'une haute importance
dans la Géométrie.

Mais nous étendons cette importance à plusieurs autres parties des sciences mathéma-
tiques, où il nous semble que, prévenu par cette belle loi de l'étendue figurée , la dualité,
et guidé par ce dualisme de l'être primitif qu'on peut prendre pour élément et point de
départ dans la Géométrie, on sera conduit à chercher quelque chose de semblable.

Nous trouvons un exemple d'une telle dualité, dans l'essai que nous avons présenté
d'une nouvelle doctrine de Géométrie analytique analogue à celle de Descartes, et où le
plan joue le même rôle que le point dans celle-ci^.

L'application des mêmes idées de dualité peut s'étendre sur la mécanique. En effet l'élé-

' Annales de Mathématiques , tom. XVI , pag. 209 et tom. XVII , pag, 265.

^ Noua avons exposé en peu de mots les principes de ce nouveau système de coordonnées dans la Corres-
pondance mathématique de M. Quetelet , tom. VI , pag. 81.

NOTES. 409

ment primitif des corps auquel on applique d'abord les premiers principes de cette science,
est comme dans la Géométrie ancienne, le point mathématique. IVc sommes-nous pas
autorisés à penser, maintenant, qu'en prenant le plan pour l'élément de l'étendue, et
non plus le point, on sera conduit à d'autres doctrines, faisant pour ainsi dire une nou-
velle science. Et s'il existe un principe unique pour passer de cette science à l'ancienne,
comme le théorème de Géométrie qui établit la corrélation des propriétés de l'étendue
figurée, ce principe sera la base d'une dualité semblable dans la science du mouTcment
des corps.

§ 2. Les deux exemples de dualité que nous venons de citer sont fondés sur le dualisme
que présentent, dans la composition des corps, le point et le plan. Mais on trouvera,
dans les différentes parties des sciences mathématiques, d'autres lois de dualité, fondées
sur d'autres principes; et l'on sera conduit, je crois, à regarder, comme nous l'avons déjà
dit dans noire Note sur la définition de la Géométrie (Note V) , qu'un dualisme universel
est la grande loi de la nature , et régne dans toutes les parties des connaissances de l'esprit
humain.

En nous renfermant ici dans le domaine de la Géométrie , nous allons présenter deux
exemples, trcs-différens, de dualité, qui viendront à l'appui des idées que nous venons
d'émettre.

§ 3. Le premier nous est fourni dans les arts de construction par le mécanisme du tour.

Il existe, pour chaque objet dont s'occupe le tourneur, une double manière de le
construire ; la première en fixant l'ouvrage, et en faisant mouvoir l'outil; la seconde, et
c'est celle employée par le tourneur, en fixant l'outil, et en faisant mouvoir l'ouvrage.

Voilà donc, dans les arts , une dualité de description bien prononcée et constante.

On sait que chacune de ces constructions repose, dans chaque circonstance, sur des
principes géométriques; il existera donc aussi, dans les deux théories relatives à ces deux
modes de construction, une dualité constante.

C'était, ce nous semble, une question intéressante, que de chercher les lois mathéma-
tiques qui pouvaient lier entre elles ces deux théories, de manière que les procédés indi-
qués par l'une servissent à faire connaître, en vertu de ces lois seulement, les procédés
correspondans dans l'autre.

Cette question, dans laquelle nous avions craint d'abord de rencontrer des difficultés,
nous a conduit à une loi de dualité extrêmement simple, qui peut offrir, en particulier,
une théorie du tour à tourner, et le moyen de décrire avec cet instrument toutes les courbes
qu'on a coutume de décrire par un stylet mobile. Voici sur quel principe reposera ce mode
de description.

Quand une figure plane ett en mouvement dans ton plan , l'un de te* pointt décrit
une courbe ;

Le mouvement de cette figure ett déterminé par des relationt constantet , qui doi-
vent avoir lieu entre elle et det points ou des lignes fixes tracées dont son plan :

Cet pointt et cet lignet forment , par leur entemble , une seconde figure, qui reste
fixe pendant le mouvement de la première ;

Tos. XI. 52

410 NOTES.

Que l'on considère maintenant la première figure dans une de ses positions , et
qu'on la suppose fixe; puis, qu'on fasse mouvoir la seconde figure , de manière
quelle se trouve toujours dans les mêmes conditions de position par rapport à la
première figure ;

Un stylet fixe , placé au point décrivant de la première figure , tracera sur le plan
mobile de la seconde figure une courbe , inobile avec ce plan , et qui sera identique-
m,ent la même [sauf la position) que celle qu'aura tracée d'abord le point décrivant
de la première figure , quand celle-ci était en mouvetnent.

Tel est le principe unique, qui lie entre elles les deux manières de décrire les courbes
planes, par un stylet mobile, et par un stylet fixe.

Pour en faire une application, prenons la description de l'ellipse par un point placé au
sommet d'un triangle de forme constante, dont les deux autres sommets se meuvent sur
deux droites fixes.

La figure mobile ici est le triangle; et les deux droites forment la figure fixe. Il faudra
donc, d'après notre principe, faire mouvoir ces deux droites de manière qu'elles passent
constamment par les deux sommets du triangle, qui glissaient sur ces droites. On conclut
de là ce théorème :

Quand les côtés d'un angle de forme invariable glissent sur deux points fixes , un
stylet fixe, placé en un point quelconque , trace , sur le plan mobile de l'angle en mou-
vement, une ellipse.

On voit, en effet, que le mécanisme du tour à ovale a pour but de donner à une sur-
face plane, le mouvement d'un angle dont deux côtés glisseraient sur deux points fixes.
Voilà donc la raison géométrique de ce mécanisme , qui est de l'invention du grand peintre
Léonard de Vinci.

Notre principe explique avec une égale facilité le mécanisme du tour à épicycloïde.
Car il donne le théorème suivant, sur lequel nous paraît reposer ce mécanisme :

Qua7id une courbe roule dans un plan sur une autre courbe , l'un de ses points
décrit une épicycloïde , qu'on peut engendrer d'une seconde manière , en faisant
rouler la seconde courbe sur la première , et en plaçant un stylet fixe au point dé-
crivant de la première courbe , lequel stylet tracera, sur le plan mobile une courbe
qui sera précisément cette même épicycloïde.

L'ellipse et l'épicycloïde sont , je crois , les seules courbes qu'on décrive sur le tour par
un mécanisme particulier à chacune. On pourra , au moyen du nouveau mode de descrip-
tion des courbes, tracer semblablement une infinité d'autres courbes.

Pour la conchoïde de Nicomède , par exemple , on est conduit à cette description :

Que l'on conçoive un angle déforme invariable, dont un des côtés, indéfini, glisse
sur un point fixe , et dont l'extrémité de l'autre côté glisse sur une ligne droite me-
née par ce point fixe ; un stylet fixe , placé en un point de cette ligne droite , tracera
sur le plan de l'angle inobile une courbe qui sera une conchoïde de Nico?nède.

Si la droite, sur laquelle glisse l'extrémité d'un des côtés de l'angle, ne passait pas par
le point fixe par lequel passe l'autre côté de l'angle, alors, en plaçant convenablement le

NOTES. 411

stylot fixe , on décrirait la cissoïde de Dioclés; une autre position du stylet fixe donnerait
la focale à nœud de M. Quetelet ; et en général , dans ce mouvement , un stylet fixe tracera
l'une des courbes tieuif des pied* det perpendiculaire» abai»*ée» d'un point sur le*
tangentes d'une parabole.

Nous avons appliqué notre principe à la construction de beaucoup d'autres courbes,
même en les considérant comme l'enveloppe de leurs tangentes, et non plus comme la
suite d'une infinité de points. Alors ce n'est plus un stylet qui imprime sa trace sur un
plan mobile, mais un outil tranchant qui emporte la superficie du plan mobile, et laisse
en relief la courbe qu'il s'agit de tracer. . '- '

Les mêmes théories s'appliquent aux figures à trois dimensions.

Ainsi voilà une dualité de doctrines, concernant la double description mécanique des
corps, qui est bien prononcée, et qui repose, comme celle des propriétés de l'étendue,
sur un seul et unique théorème.

$ 4. Nous puiserons notre second exemple de dualité dans le système du monde et dans
les lois de la mécanique.

Tous les corps célestes sont doués de deux mouvemens, l'un de translation, et l'autre
de rotation autour d'un axe.

Ce double mouvement se retrouve dans le mouvement élémentaire d'un corps solide,
c'est-à-dire dans tout mouvement infiniment petit de ce corps.

Celte coexistence de deux mouvemens est un fuit qui n'a rien d'étonnant, aujourd'hui
que les théories mathématiques en donnent l'explication , et le feraient découvrir si la
connaissance qu'on en a acquise n'avait été le résultat des observations des astronomes.

Mais, si le mouvement de rotation est, aux yeux de l'observateur, une propriété des
corps célestes, tout aussi prononcée que le mouvement de translation, et inhérente aussi
à tout ce qui est soumis à l'action des forces de l'univers, les géomètres n'ont pas traité
ces deux sortes de mouvement avec la même impartialité. Ils ont considéré que le mouve-
ment de translationestle mouvement naturel et élémentaire des corps. C'est dans le sens de
cette idée première, qui date de l'origine des sciences', que d'Alembert , dans le discours
qui précède son Traité de Dynamique, dit : « Tout ce que nous voyons bien distinctement
» dans le mouvement d'un corps, c'est qu'il parcourt un certain espace, et qu'il emploie
» un certain temps à le parcourir. C'est donc de cette seule idée qu'on doit tirer tous les
» principes de la mécanique, etc.» Cette manière de philosopher peut paraître avoir été

1 Quoique lea philosophes anciens aient connu le mouvement de rotation des astres sur eux-mêmes , et
l'aient regardé comme inhérent ii la nature des corps, ils n'en ont pas moins considéré le mouvement de trans-
lation comme le mouvement primitif et préexistant au mouvement de rotation. C'est ce que l'on voit dans
Platon qui dit que Dieu avait imprimé aux astres le mouvement qui leur étoit le plus propre, c'est-à-dire le
mouvement rcctiligne, qui les fait tendre vers le centre de l'univers, et qu'ensuite, par une conversion unique,
il changea le mouvement de chaque corps en un mouvement de rotation autour de lui-même, et un mouve-
ment circulaire dans l'espace. Motum enim dédit cœlo, eum qui corpori Ht aptissimus (t. e. directum),,. Itaque
vna concersione atque eddcm , ips$ circum se torquetur et vertitur. (On a interprété différemment ce passage de
Platon ; mais nous adoptons ici le sens qui lui a été donné par le grand philosophe Galiléi- , dans ses Discorsi «
ditnoetrasioni matematiche , pag. 264.) ^

412 NOTES.

une suite de l'habitude où l'on a toujours été de considérer le point comme l'élément de
l'étendue et non pas \eplan, qu'on a toujours considéré , au contraire , comme un assem-
blage àe points. La substitution définitive que Varignon a faite , dans la mécanique ration-
nelle , des forces aux mouvemens , substitution si heureuse sous d'autres rapports, nous
paraît avoir contribué puissamment aussi à fonder les doctrines de la mécanique actuelle,
qui reposent sur Tidée première du point considéré comme l'élément de l'étendue.

Mais ne peut-on pas supposer, maintenant, que les deux mouvemens inséparables des
corps de l'univers doivent donner lieu à des théories mathématiques dans lesquelles ces
deux mouvemens jouiraient identiquement le même rôle. Et alors, le principe qui unirait
ces deux théories, qui servirait à passer de l'une à l'autre , comme le théorème sur lequel
nous avons basé la dualité géométrique de l'étendue en repos, et celui qui nous a servi à
lier entre eux les deux modes de description mécanique des corps, ce principe, dis-je,
pourrait jeter un grand jour sur les principes de la philosophie naturelle.

Peut-on prévoir même où s'arrêteraient les conséquences d'un tel principe de dualité?
Après avoir lié deux à deux tous les phénomènes delà nature, et les lois mathématiques
qui les gouvernent, ce principe ne remonterait-il point aux causes mêmes de ces phéno-
mènes ? Et peut-on dire alors qu'à la loi de la gravitation ne correspondrait point une
autre loi qui jouerait le même rôle que celle de Newton, et servirait comme elle à l'ex-
plication des phénomènes célestes? Et si, au contraire , cette loi de la gravitation était
elle-même sa corrélative dans l'une et l'autre doctrine, ainsi que peut être une proposition
de Géométrie dans la dualité de l'étendue figurée, ce serait alors une grande preuve qu'elle
est véritablement la suprême et unique loi de l'univers.

Hâtons-nous de justifier ces idées (contre lesquelles nous ne nous dissimulons point les
objections tirées de la force centrifuge, qui établit dans la pratique, une différence radi-
cale entre la translation et la rotation des corps; mais dont nous faisons abstraction parce
que nous ne considérons que des mouvemens infiniment petits), hâtons-nous, dis-je, de
justifier ces idées par quelques réflexions sur ce qui nous paraît avoir été déjà fait, et
pouvoir être continué, dans le sens de cette corrélation que nous supposons devoir exister
entre les théories relatives au mouvement de translation, et celles relatives au mouvement
de rotation.

§ 5. Euler a fait voir, le premier, que quand un corps est retenu par un point fixe, tout
mouvement infiniment petit du corps n'est autre qu'une mouvement de rotation autour
d'une certaine droite passant par le point fixe.

Lagrange a donné dans la première édition de sa Mécanique analytique (année 1788)
les formules qui servent à décomposer ce mouvement de rotation en trois autres se faisant
autour de trois axes rectangulaires menés par le point fixe. Ces formules offraient une
ressemblance remarquable avec celles qui servent à décomposer le mouvement rectiligne
d'un point, en trois autres mouvemens rectilignes.

Plus tard Lagrange a complété cette analogie , en donnant dans la seconde édition de sa
Mécanique analytique (année 1811), la construction géométrique des trois rotations qui
peuvent remplacer une rotation unique. Cette construction se réduit à porter sur les axes

NOTES. 413

de rotation des lignes proportionnelles aux mouTemens de rotation, et à composer et
décomposer ces lignes comme si elles représentaient des mouveraens reclilignes.

Sitôt qu'on a su que tout mouvement d'un corps retenu par un point fixe était un mou-
vement de rotation autour d'une droite, on a reconnu que le mouvement d'un corps par-
faitement libre pouvait se décomposer à chaque instant eu deux autres, l'un de translation
commun à tous ses points, et l'autre de rotation autour d'un axe mené par l'un de ses
points. Cela se réduit à dire que quand un corps parfaitement libre éprouve un mouve-
ment infiniment petit , on peut mener par chacun de ses points une droite qui, pendant ce
mouvement, restera parallèle à elle-même.

Il est facile de reconnaître que toutes ces droites seront parallèles entre elles; et que
l'une d'elles te mouvra dan» ta propre direction; ce qui fait que le mouvement du corps
sera identiquement le même que celui d'une vis dans son écrou '.

Voilà , je crois, ce que l'on a fait relativement à la théorie des mouvemens de rotation.
Il paraîtra peut être étonnant qu'après avoir eu à considérer, dans le mouvement d'un
corps solide libre , la rotation autour d'un axe mené par l'un quelconque de ses points ,
on n'ait pas été conduit à supposer qu'un corps fût soumis à plusieurs rotations autour de
divers axes , comme dans le cas où il est retenu par un point fixe , et à composer entre elles
ces diverses rotations.

Celte question devient indispensable, pour faire les premiers pas dans les nouvelles
théories que nous concevons. Elle nous a conduit à reconnaître que, quand un corpt ett
toumit à plusieurs mouoemens de rotation autour de divers axes placés d'une ma-
nière quelconque dans l'espace, on peut remplacer d'une infinité de manières ce sys-
tème de rotations , par deux rotations uniques autour de deux axes dijférens.

L'un de ces axes peut être situé à l'infini ; ce qui fait voir que le mouvement effectif du
corps est une rotation autour de l'autre axe, pendant que celui-ci se meut dans sa propre
direction. Résultat conforme à celui que nous avons obtenu ci-dessus par la considération
des mouvemens reclilignes des points du corps.

La composition d'un système de rotations autour de plusieurs axes quelconques , est
très-simple , et conserve l'analogie que Lagrange a trouvée entre la composition des rota-
tions autour de divers axes passant par un point fixe, et la composition des mouvemens
reclilignes d'un point.

On portera sur chaque axe de rotation une ligne proportionnelle au mouvement de
rotation autour de cet axe, et l'on regardera toutes ces lignes comme un système de forces
sollicitant un corps solide. On composera toutes ces forces en deux forces uniques, et l'on
regardera leurs directions comme les axes de deux rotations qui pourront remplacer le
système de rotations proposé. Les mouvemens de rotation autour de ces deux axes seront
représentés en grandeur par les deux forces.

Maintenant, nous supposerons que les rotations d'un corps autour de divers axes appar-

l J'iTiia déjà énoncé ce théorème avec plu>iear> autres relatifs au déplacement d'un corps solide libre dans
Tespace. Voir le Bulletin universel des sciences ; tom. XIV , pag. 321 , année 1830 ; et la Correspondance de
n Qucteiet , tom. VU , pag. 358. '

414 NOTES.

tiennent à des plans menés par ces axes , de même que l'on regarde les mouvemens recti-
lignes imprimés à un corps, ou les forces qui sollicitent un corps, comme appliqués à
l'un des points du corps qui se trouvent sur les directions de ces mouvemens ou de ces
forces.

Chacun de ces plans, pendant le mouvement réel du corps, aura tourné sur lui-même ,
autour d'une droite située dans ce plan (laquelle droite ne sera point sortie, pendant le
mouvement du corps, de la position primitive du plan, dans laquelle elle aura tourné
autour d'un point fixe). Nous appellerons ce mouvement de rotation du plan sur lui-même,
sa rotation effective , et nous dirons que la rotation partielle du corps autour de l'axe
contenu dans ce plan est la rotation imprimée au plan. Ainsi la rotation effective d'un
plan est le résultat de la combinaison de sa rotation imprimée , avec les autres rotations
imprimées à d'autres plans du corps.

Ces dénominations étant admises , on parvient au théorème suivant :

Quand un corps solide est soumis à plusieurs rotations simultanées autour de
divers axes j, si par ces axes on conçoit menés des plans dans le corps , ces plans
éprouveront des tnouvemens effectifs sur eux-mêmes ;

Si on fait le produit de la rotation effective de chaque plan , par sa rotation impri-
mée, et par le cosinus de l'angle que font entre eux les axes de ces deux rotations , la
somme de ces produits sera une quantité constante , quels que soient les plans menés
par les axes de rotation;

Cette quantité sera égale à la somme des carrés des rotations imprimées , plus le
douille de la somme des produits de ces rotations multipliées deux à deux et par le
cosinus de l'angle que comprennent leurs axes.

Quand un corps soumis à plusieurs rotations est en équilibre, si on lui fait éprouver
un dérangement infiniment petit , des plans menés par les axes de rotation éprouveront
des rotations effectives sav eux-mêmes; nous les appellerons les roiOiûons virtuelles de
ces plans.

La condition d'équilibre du corps pourra s'exprimer par une équation qui nous ofl'rira
un principe des rotations virtuelles analogue au principe des vitesses virtuelles. Voici
ce principe :

Quand différens plans d'un corps solide sont soumis à des rotations autour de
différens axes contenais dans ces plans ; pour que ces rotations se fassent équilibre ,
il faut que si l'on donne au corps un mouvement infiniment petit quelconque, et
qu'on fasse, pour chaque plan, le produit de sa rotation imprimée par sa rotation
effective, et par le cosinus de l'angle que font entre eux les axes de ces deux rota-
tions , il faut , dis-je , et il suffit que la somme de tous ces produits soit égale à zéro.

Ce qui précède suffira pour bien faire comprendre comment nous avons entendu
qu'il était possible de créer de nouvelles doctrines dans la mécanique rationnelle, en
substituant dans les théories actuelles, pour ce qui concerne le mouvement général d'un
corps, les mouvemens de rotation aux mouvemens rcctilignes , et pour ce qui concerne
les corps eux-mêmes, considérés comme parties de l'étendue, les plans aux points.

NOTES. ^ 4M

I

comme on peut le faire dans la Géométrie pure et dans la Géométrie analytique '.

§ G. San.s rechercher si ces nouvelles doctrines pourraient offrir quelques avantages dans
leur application aux questions de l'astronomie pratique et de l'astronomie physique, ce
que l'on pourrait peut être contester à priori, parce qu'il parait probable que les mé-
thodes analytiques en usage , qui sont fondées sur la doctrine des coordonnées de Descartes,
conviennent mieux aux théories actuelles qu'à ces nouvelles théories, nous pensons que du
moins on ne pourra nier que leur introduction dans la mécanique rationnelle, ne soit pro-
pre à jeter un nouveau jour sur l'ensemble de son vaste domaine, et sur plusieurs ques-
tions particulières qui nous semblent n'avoir point encore été complétées. Nous citerons
par exemple, la singulière analogie qui a lieu entre les forces et leurs momens, par rap-
port à un point fixe; analogie qui s'explique très-clairement par l'ingénieuse théorie des
couples dans la statique. Cette concordance se retrouve dans la dynamique, entre les mou-
vemciis reclilignes et leurs momens par rapporta un point; on la reconnaît dans les deux
principes de la conservation du mouvement du centre de gravité et des aires; M. Binet
l'a démontrée aussi dans le principe des forces vives; elle s'étend certainement plus loin,
et sa cause première, encore ignorée, est une question d'un très-haut intérêt.

La théorie des couples , que nous venons de citer , nous parait une doctrine tout-à-fait
conforme aux idées de corrélation que nous venons de développer. C'est la statique traitée,
pour ainsi dire, d'une manière impartiale relativement aux doubles doctrines de dyna-
mique que nous avons fait entrevoir. Partout en effet les couples jouent le môme rôle que
les simples forces; celles-ci semblent destinées au mouvement de translation, et les couples
au mouvement de rotation; les unes et les autres sont soumis aux mêmes lois mathéma-
tiques de composition et de décomposition. Nous pouvons donc regarder cette élégante
théorie des couples comme une conception éminemment heureuse , et qui était indispen-
sable, comme introduction à une théorie complète de la double dynamique dont nous
avons parlé.

§ 7. Depuis que j'avais été conduit à considérer les mouvemens de rotation à l'instar des
mouvemens reclilignes, et à rattacher, comme je viens de le faire, celle question à la
dualité de l'étendue figurée en repos, j'ai lu les excellentes réflexions que mon ancien
camarade de l'école Polytechnique, M. Aug. Comte, a faites sur la théorie des couples de
M. Poinsot, dans les quatre leçons de son Cours de philosophie positive , où il traite de la
mécanique. J'ai été extrêmement flatté d'y voir mes idées sur ce sujet confirmées par la
manière dont ce profond penseur conçoit aussi la question générale du mouvement des
corps, et l'utilité de la théorie des couples dans les questions qui s'y rapportent.

Je terminerai cette Note par les propres paroles de M. Aug. Comte , qui seront de nature
à fixer l'attention des géomètres sur les nouvelles doctrines que l'on pourrait introduire
dans la dynamique.

I Cette théorie de« iiioureiii«fM de rotation fera partie néceMsirement de la nouvelle branche de la mécani-
que, que M. Ampère vient de comprendre dans >a olaaaifîcation de> connaistance» humaines, sous le nom de
Cinimatique (science du mouvement), qui doit précéder la statique , et faire avec elle l'objet complet de la
mécanique élémentaire. (Voir Essai svr la Philosophit des Sciences, par H. Ampère, in-S», 1834)

416 NOTES.

« Quelles que soient , en réalité , les qualités fondamentales delà conception de M. Poin-
» sot par rapport à la statique, on doit néanmoins reconnaître, ce me semble, que c'est
» surtout au perfectionnement de la dynamique qu'elle se trouve par sa nature essentiel-
» lement destinée, et je crois pouvoir assurer à cet égard que cette conception n'a point
)> encore exercé jusqu'ici son influence la plus capitale. Il faut la regarder en efi'et comme
» directement propre à perfectionner, sous un rapport très-important, lesélémens mêmes
» de la dynamique générale , en rendant la notion des mouvemens de rotation aussi
» naturelle , aussi familière , et presqu aussi simple que celle des m,ouvemens de
» translation , car le couple peut être envisagé comtne l'élétnent naturel du mou-
» ventent de rotation , aussi bien que la force l'est du mouvement de translation. »

Depuis que cette Note était écrite , a paru l'opuscule de M. Poinsot sur une Théorie
nouvelle de la rotation des corps. Cet ouvrage réalise les idées que nous avions con-
çues sur la possibilité et l'utilité d'introduire dans la dynamique la considération directe
des mouvemens de rotation, à l'instar des mouvemens de translation. Par cette méthode,
mise en œuvre avec une sagacité admirable, se trouve résolue par le simple raisonnement
une question compliquée et difficile, qui, jusqu'ici, avait été du ressort de l'analyse la
plus savante , et se trouvent démontrés de beaux théorèmes qui avaient échappé à cette
analyse, et qui présentent une image claire de toutes les circonstances de la rotation
d'un corps.

NOTE XII.

( DEUXIÈME ÉPOQUE , § 2. )

Sur la Géométrie des Indiens, des Arabes, des Latins et des Occidentaux au

moyen âge.

Les limites dans lesquelles nous avons dû nous renfermer, ne nous permettaient de
parler que des principales découvertes en Géométrie , particulièrement de celles qui
avaient donné lieu à quelque théorie, ou à quelque méthode se rapportant à la Géomé-
trie moderne. C'est pourquoi nous avons fixé le commencement de notre deuxième
Epoque aux travaux de Viète. Mais, depuis plus d'un siècle déjà, la Géométrie était cul-
tivée avec ardeur; et si elle ne s'est pas enrichie de méthodes d'une importance majeure,

NOTES. 417

comme l'analyse, qui, pendant ce siècle, avait poussé ses découvertes jusqu'à la résolu-
tion des équations des troisième et quatrième degrés; les travaux des écrivains qui l'ont
cultivée ont néanmoins préparé les grands travaux des géomètres du XVII" siècle sur-
tout CM introduisant dans celte science un élément nouveau, qui était le germe de ses
progrès ultérieurs. Cet élément était le calcul algvhrùjue , qui n'avait pas été connu des
Grecs, ou qu'ils avaient rejeté, par suite de leur distinction tranchée entre l'arithmé-
tique et la Géométrie. C'est ainsi, par exemple, qu'ils démontraient sur des figures et
par de pures considérations géométriques, les dix premières propositions du second livre
d'Euclide, qui ne sont au fond que des règles de calcul. Cet élément a fait le caractère
spécial de la Géométrie de Viète, de Fermât, de Descartes; nous devons donc, pour re-
monter à la source d'une si grande et si utile innovation, et pour la suivre dans ses dé-
\eloppemens, jeter un coup d'œil sur les premiers travaux des Géomètres à la renaissance
des lettres.

C'est à cet objet que nous avions destiné cette Note. Mais, depuis qu'elle était écrite,
a paru le premier volume de Y Histoire de» science» niathématiqueê en Italie, où M. Libri,
dans un éloquent discours préliminaire, expose la marche des sciences chez les dilTérens
peuples de la terre, à partir de la plus haute antiquité. Cet ouvrage, dont chaque page
porte le cachet de la plus profonde et de la plus étonnante érudition , attribue aux
Arabes et aux Indiens une plus grande part dans le développement des sciences, qu'on
n'a supposé jusqu'ici.

Nous avons cru dès lors devoir porter un regard rapide sur la partie géométrique des
ouvrages hindous et arabes, dont de savans orientalistes de l'Angleterre nous ont donné
des traductions il y a quelques années. Et pour compléter cet aperçu des élémens divers
qui ont concouru au rétablissement des sciences en Europe, nous l'avons étendu sur la
Géométrie des Latins et au moyen âge.

« L'esprit humain parait marcher dans une route si nécessaire : chaque progrès semble
tellement déterminé d'avance, qu'on essaierait en vain d'écrire l'histoire d'un peuple ou
d'une science, en partant d'une époque quelconque, sans jeter un regard sur les temps
et les événemens antérieurs '. » Cette pensée juste nous servira d'excuse pour la longueur
que la tâche qu'elle nous impose, va donner à cette Note.

Géométrie des Indiens.

Ayant reçu des Arabes, dans nos fréquentes communications avec ce peuple, noire système
de numération , nous lui avions d'abord fait honneur de celle idée ingénieuse et féconde,
qui a rendu de si grands services aux sciences, et à l'astronomie principalement. Mais
on a reconnu depuis, par dilTérens documens émanés des Arabes eux-mômes, que cet
honneur appartenait aux Indiens. Une si belle cl si utile invention, qui, avec neuf signes
seulement, prenant des valeurs de position suivant une loi très-simple, pouvait exprimer

' Oistoire des sciences maihématiijuet en Italie, par H. Libri j Discours préliminaire, 1. 1, p. 3.

To«. XI. 53

418 NOTES.

tous les nombres imaginables, et abrégeait singulièrement les calculs, si pénibles chez
les Latins, était propre à mériter à ses auteurs l'estime de l'Europe qui l'avait adoptée
universellement, et à faire penser que le peuple Hindou avait été capable d'autres progrés
dans les sciences mathématiques.

En effet , on ne tarda point à apercevoir quelques indications qui annonçaient que ce
peuple avait cultivé aussi une arithmétique supérieure, d'où dérivait celle qui nous a été
transmise des Arabes par Fibonacci , sous le nom (\' jélcjehra et Âbnucahala , et qui forme
aujourd'hui notre algèbre.

L'histoire des sciences était vivement intéressée à l'éclaircissement de ces premières
indications.

Depuis une vingtaine d'années elles ont reçu une confirmation complète.

Au commencement de ce siècle, MM. Taylor, Strachey et Colebrooke ' nous ont fait
connaître les ouvrages mathématiques de deux auteurs hindous , qui passent pour les plus
célèbres de leur nation , Brahmegupta et Bhascara Acharya; le premier du VI" siècle et le
second du XII" de l'ère vulgaire. Ces ouvrages traitent de V arithmétique , de l'algèbre et
de la Géométrie. L'arithmétique et l'algèbre en sont la partie la plus considérable , et con-
firment pleinement l'opinion émise en faveur des Indiens, comme inventeurs de ces deux
branches de la science du calcul , telles que nous les avons reçues des Arabes, et même
dans un état de plus grande perfection.

En effet, les commentaires de divers auteurs hindous, qui accompagnent le texte de
ces deux ouvrages , attribuent à un auteur, encore plus ancien que Brahmegupta, et qu'ils
nomment Aryabhatla, la résolution de l'équation du premier degré à deux inconnues, en
nombres entiers, par une méthode semblable à celle de Bachet de Méziriac, qui a paru en
Europe, pour la première fois, en 1624. « Les ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara
renferment des recherches d'un ordre beaucoup plus élevé. Outre la résolution générale
de l'équation à une seule inconnue du second degré , et celle de quelques équations déri-
vatives des degrés supérieurs, on y trouve la manière de déduire d'une seule solution
toutes les autres solutions entières d'une équation indéterminée du second degré à deux
inconnues; et cette analyse, que nous devons à Euler, était connue aux Indes depuis plus
de dix siècles. Un calcul qui a de la ressemblance avec les logarithmes, des notations par-
ticulières fort ingénieuses, et surtout une grande généralité dans l'énoncé des problèmes
attestent les progrès de l'analyse indienne. Cette science, que les Hindous appliquaient à
la Géométrie et à l'astronomie , était pour eux un puissant instrument de recherche , et
l'on doit citer avec éloge plusieurs problèmes géométriques dont ils avaient trouvé d'élé-
gantes solutions. »

Nous nous bornerons à celte indication succincte des travaux analytiques des Hindous,
que nous avons empruntée de l'Histoire des sciences mathématiques de M. Libri. Mais

' Bija Ganita, or ihe Àlgelra of the Ilinius , ly Edv. Strachey. london; 1813 in-4i>. — Lilawati or a
treatise on /Irithmetic aud Gaomctry by Bhascara Acharya, iranslated from the original sanscrit ly J. Taylor.
Bombay; 1816, in-4o. — Algehra, with Arithmetic and Mensuration , from the sanscrit of Brahmegupta and
Bhascara; translatedbyJI, T. Colebrooke. London j 1817, in-4''.

NOTES. 419

il nous faut entrer dans plus do déTcloppcmcns pour faire connaitre leur Géométrie , qui
est ici notre objet spécial.

Ou s'est borné, dans les extraits et les analyses qu'on en a donnés, à citer quelques pro<
positions, qui sont : le carré de l'hypoténuse; la proportionnalité des eûtes dans les trian-
gles équiungles; les scgmens faits par la perpendiculaire sur la base d'un triangle; l'aire
de celle figure en fonction des trois côtés; un rapport approché de la circonférence au
diamètre; la valeur des côtés des sept premiers polygones réguliers inscrits au cercle; une
relation entre la corde d'un arc, son sinus-verse et le diamètre; et enfin quelques propo-
sitions sur le calcul des distances par l'ombre du gnomon >.

On n cru voir, généralement, dans ces diverses propositions, et conséquemment dans
la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupla et de Bhascara, des élémens de Géo-
métrie, ou du moins, les propositions élémentaires et primordiales sur lesquelles repo-
sait toute la science des Hindous. Aussi a-t-un regardé leurs connaissances géométriques
comme infiniment inférieures à leurs connaissances en algèbre -.

Mais en cherchant à nous rendre compte, par une étude approfondie de la partie géo-
métrique des ouvrages hindous , de la signification de plusieurs propositions dont on
n'avait point encore parlé, et du rôle que ces diverses vérités, qui paraissaient d'abord
sans lien entre elles , et comme jetées au hasard , jouent dans cet ouvrage , nous avons été
conduit à reconnaître, d'une part, que les propositions dont il n'avait point encore été
fait mention étaient précisément celles qui avaient le plus de valeur; et ensuite, que l'ou-
vrage de Brahmegupta, principalement, loin de nous offrir des élément de Géométrie ,
ou le résumé des propositions les plus usitées chez les Hindous, roulait simplement
sur une seule et unique théorie géométrique.

Cette théorie est celle du quadrilatère inscrit au cercle. Brahmegupta y résout cette
question , digne d'être remarquée : Comtruire un quadrilatère inscriptible , dont l'aire,
le* diagonale» , le» perpendiculaire» et diverge» autre» ligne» , ainti que le diamètre
du cercle , «oient exprimé» en nombre» rationnel».

Tel est l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta, si nous ne nous abusons dans notre inter-
prétation de la plupart de ses propositions , dont le sens doit être deviné à cause de la con-
cision extrême des énoncés, où manque la plus grande partie des conditions qui devraient
y entrer.

On sera étonné sans doute de voir réduire à de telles questions ce qu'on a pu regarder^
avant une lecture attentive, comme formant des élémen» de Géométrie. Ces questions

' Voir Correspondance polytechnique , t. III. Jarcvier 1816; article traduit par H. Terqnem de l'oiiTrage de
9. Hutton , intitulé Tracts on Mathematical , etc. III vol. in.8°; Londres 1813. H. Hutton avait reçu cet neafi
et précieux document (ur l'algèbre et la Géométrie de» Indiens, de H. Strachey avant que le* publications di
ce savant orientaliste eussent paru. — Ediuburg Review, 1817, n" L\ II. — Delambre , Uisloire de l'Astronomie
ancienne, t. I; et Histoire d« l'Astronomie du moyen âge, Discourt préliminaire. — Journal de» savons,
septembre 1817.

" They [ihe kindus) cultivated Atgebra much more , and icith yreater suceess , than Geometry ; as i* évident
from the comparatively low state of Iheir knowledye in the one , and tke high pitch oftheir attuinments in ihe
otker. CoLUtooiJi; Brahmegupta and Bhascara, Algebra ; Dissertation , p. XV.

i

420 NOTES.

dénotent , sinon un savoir très-étendu , du moins une certaine hahilelé en Géométrie, et
une habitude du'calcul. Sous ce rapport elles sont dans l'esprit algébrique des Hindous. Elles
nous font voir qu'il nous reste entièrement à connaître leurs élémens de Géométrie, et elles
sont propres à nous faire désirer de retrouver encore d'autres fragmens semblables, du
temps de Brahmegupta, ou d'un temps antérieur; car elles nous prouvent que la Géomé-
trie alors a été cultivée avec succès.

L'ouvrage de Bhascara n'est qu'une imitation très-imparfaite de celui de Brahmegupta ,
qui y est commenté et dénaturé. On y trouve, en plus , quelques questions nouvelles sur le
triangle rectangle (qui étaient étrangères à la question traitée par Brahmegupta); une ex-
pression approximative remarquable de l'aire du cercle eu fonction du diamètre ; la valeur
des côtés des sept premiers polygones réguliers inscrits , en fonction du rayon ; et une
formule pour le calcul approximatif de la corde en fonction de l'arc, et vice versa.

Mais les propositions les plus importantes de Brahmegupta, relatives à sa théorie du
quadrilatère inscriptible au cercle, y sont omises, ou énoncées comme inexactes. Ce qui
montre que Bhascara ne les a pas comprises.

Cette circonstance et les commentaires de différens scoliastes , nous paraissent prouver
que, depuis Brahmegupta, les sciences, dans l'Inde, ont été en déclinant , et que l'ouvrage
de ce géomètre a cessé d'y être compris. On sait, du reste, que dans l'âge présent , les
savans indiens sont d'une ignorance profonde en mathématiques i.

Nous allons présenter une analyse succincte de l'ouvrage de Brahmegupta. Ensuite nous
analyserons semblablement celui de Bhascara; et nous signalerons les différences notables
que nous avons trouvées entre ces deux ouvrages , écrits à six siècles d'intervalle.

Stir la Géométrie de Brahmegupta.

Les ouvrages de Brahmegupta , dont l'Europe est redevable au célèbre M. Colebrooke ,
sont extraits d'un traité d'astronomie dont ils forment les douzième et dix-huitième cha-
pitres. Le douzième est un traité d'arithmétique (intitulé Ganita), et le dix-huitième un
traité d'algèbre (intitulé Cuttaca). La Géométrie fait partie du traité d'arithmétique, où
elle occupe les sections IV, V, ....,IX,sous les titres , dans le texte anglais, Plane fic/ure.
Excavations , Stacks , Saw, Mounds of Grain , et Measure hy Shadow.

La section IV, intitulée : figures planes, triangle et quadrilatère , se compose de
vingt-trois propositions , comprises sous les § 21-43.

Toutes ces propositions se réduisent à des énoncés d'un style elliptique, extrêmement
concis, et ne sont accompagnées d'aucune démonstration. Elles sont présentées d'une ma-
nière générale, sans le secours d'aucune figure , et sans qu'il en soit fait aucune application

' A Poona, que Ton peut regarder comme le principal établissement des Bramines, il y a tout au plus dix ou
douze personnes qui entendent le Lilavati ou le Bija-Ganita; et quoiqu'il y ait plusieurs astronomes de pro-
fession à Bombay , M. Taylor n'en a pas trouvé un seul qui entendit une page du Lilavati. (Delambre , Histoire
do rAstronomie ancienne , t. I , p. 545.)

NOTES. 421

Dumérique dans le texte. Mais des notes d'un auteur hindou , nommé Chaturreda , con-
tiennent les figures et les applications qui s'y rapportent.

Quelques-unes des propositions, mais en petit nombre, sont intelligible8,etlenr énoncé
renferme toutes les parties qui composent une proposition complète. Mais les autres sont
énoncées d'une manière très-imparfaite, et ne font aucune mention d'une partie notable
des conditions de la question dont la connaissance est indispensable. Par exemple, s'il
s'agit d'un quadrilatère, la proposition se réduit à l'expression des longueurs de ses quatre
cAtés , et laisse ignorer les autres conditions nécessaires pour construire le quadrilatère,
ainsi que les propriétés de cette figure , qui ont été , dans l'intention de l'auteur , l'objet de
cette proposition. Toutes ces propositions de Brahmegupta ont donc besoin d'être devinées.

Le sens que nous leur avons donné nous a porté à regarder l'ouvrage comme ayant eu
pour objet de résoudre les quatre questions suivantes , relatives au triangle et au quadri-
latère:

1" Trouver en fonction des trois côtés d'un triangle, son aire et le rayon du cercle
gui lui est circonscrit ;

2" Construire un triangle dans lequel celle aire et ce rayon soient exprimés en
nombres rationnels ; les côtés du triangle étant eux-tnémes des nombres rationnels ;

3° Un quadrilatère étant inscrit au cercle , déterminer , en fonction de ses côtés, son
aire, ses diagonales , ses perpendiculaires , les segmens que ces lignes font les unes sur
les autres par leurs intersections , et le diamètre du cercle;

4" Eufin, construire un quadrilatère inscriptihle au cercle , dans lequel toutes ces
choses, son aire, ses diagonales, ses perpendiculaires , leurs segmens , le diamètre du
cercle, soient exprimés en nombres rationnels.

Du moins, ces quatre questions se trouvent résolues complètement dans les dix-huit pre-
mières propositions de l'ouvrage de Brahmegupta , qui suffisent pour leur solution , et dont
aucune n'y est étrangère ; de sorte qu'on peut dire que ce traité est écrit avec intelligence
et précision. Quelques autres propositions , qui viennent à la suite, roulent sur d'autres
matières.

On peut regarder aussi l'ouvrage de Brahmegupta comme ayant eu pour objet unique
une seule des quatre questions que nous venons d'énoncer , qui serait la dernière, relative
au quadrilatère inscrit. Les trois autres seraient des prémices indispensables pour la solu-
tion de celle-là ; et en effet, toutes les propositions dont elles se composent ont leur applica-
tion dans la solution complète de la question du quadrilatère.

Avant de passer à l'analyse de l'ouvrage de Brahmegupta, il nous faut faire connaître
quelques expressions de la nomenclature mathématique des Hindous , dont ils font un
usage trés-hcurcux pour énoncer les théorèmes d'une manière concise et sans le secours de
figures ; ce qui leur donne un caractère de généralité qui manquait souvent à la Géométrie
des Grecs. T^ous nous servirons ensuite des mêmes expressions: elles nous faciliteront le
discours, et nous permettront quelquefois de conserver le style des géomètres indiens.

Dans un triangle , un cûlé est appelé la base , et les deux autres, les côtés ou lesj'ambes ;
la perpendiculaire est la ligne abaissée perpendiculairement sur la base, du point d'inter-

422 NOTES.

section des doux côtés; les gegmens senties parties comprises entre le pied de la perpen-
diculaire et les deux extrémités de la base.

Dans un triangle rectangle , un côté de l'angle droit est appelé le côté, et l'autre le droit
(upright), et le troisième l'hypoténuse. Au mot droit, qui ne s'applique dans notre nomen-
clature mathématique qu'aux angles, nous substituerons celui de cathèle , qui était em-
ployé par les Grecs et par les Latins.

Le polygone de quatre côtés est appelé tétragone (excepté dans le titre de l'ouvrage ;
( Triangle et quadrilatère); l'un des quatre côtés est la bage; son opposé est appelé le som-
met (summit), et les deux autres les flattes.

Ne pouvant nous servir du mot sommet, qui s'applique invariablement dans notre
langue, à un point, et jamais à une ligne, nous lui substituerons celui de corauste ,k
l'imitation des Latins qui donnaient aussi un nom particulier au côté opposé à la base du
quadrilatère, et l'appelaient coraustus. Ce mot se rencontre dans quelques anciens ma-
nuscrits, et a été reproduit en 1486 dans la Margarita philosophica.

Les perpendiculaires du quadrilalére sont celles abaissées sur la base des deux sommets
qui sont les extrémités supérieures des deux flancs; de sorte qu'elles correspondent respec-
tivement aux deux flancs. Chacune d'elles fait sur la base deux segmens. Le premier, situé
entre la perpendiculaire et le flanc correspondant, est appelé le segment , l'autre est son
complément. Les Indiens se servent du mot diagonale dans la même acception que nous.

Dans le rectangle, les dénominations sont spéciales. Le rectangle est appelé ohlong; et
deux côtés contigus sont appelés , comme dans le triangle rectangle , le côté et le droit;
nous dirons le côté et la cathète.

Le mot trapèze (trapezium) est employé plusieurs fois sans être défini. On voit par une
note de M. Colebrooke , placée au commencement de la partie géométrique de Bhascara,
et empruntée du scoliaste Ganesa,que ce mot, qui répond à la dénomination sanscrite
vishama-chaturbhuj a , s'applique au tétragone qui a ses quatre côte's inégaux.

C'est la signification qu'il avait chez les Grecs (voir la définition 34* du I'"' livre
d'Euclide), et qui a été conservée jusqu'ici chez les géomètres anglais '. C'est la significa-

' Aujourd'hui , en France , le mot trapèze «'applique eiclusiTement au quadrilatère qui a deux côté» parai»
lèles, et ses deux autres côtés non parallèles. C'est ver» le milieu du siècle dernier qu'il a pris cette nouvelle
signification ; jusque là il avait eu celle d'Euclide.

Cependant il avait déjà reçu à différentes époques, même éloignées, cette signification particulière; car
dan» la proposition 174« du 7= livre des collections mathématique» de Pappu», ce mot s'applique nécessaire-
ment à un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et se» deux autres côtés quelconques ; et dan» le commen-
taire d'Eutociu» sur la 49= proposition du 1" livre des coniques d'Apollonius, il a la même signification. Dans
les temps moderne» nous la trouvons exprimée formellement dans un ouvrage de Peucer : Elementa doctrinœ de
circulis cœlestibus , in-S", 1569, où nous lisons : Quœ vero no?i TXpxXXi^XÎ'i pxfi^x sunt, aut duas liaient Hneus
cequahiliter distantes , ut rpx^rsiiix, mcnsulœ ; aut nvllas prorsus parallèles lineas habent, «/Tpa^rtÇofiâ'^ç.

Les Latins avaient appelé mensa, ou mensula, le quadrilatère qui a deux côtés parallèle». Stévin l'a appelé
hache , parce que, dit-il , il ressemble mieux à une hache qu'à une table. [OEuvres mathématiques de Stévin ,
page 373.)

Du reste , toutes les dénomination» relatives aux diverses forme» du quadrilatère , ont beaucoup varié.

Le rectangle , appelé par les Grecs erepo/xtxei;, a pris le nom de tetragonus parte altéra longior chei le»

NOTES. 423

tion que nous lui donnerons aussi dans les propositions de Brahmegupta. Mais pour que
ces proposilioiis aient un sens, il nous faut nécessairement supposer que le trapèze a ses
diagonales à angle droit. Dans deux propositions seulement cette restriction n'est pas
nécessaire ; il y a lieu de croire cependant qu'elle entrait dans l'esprit de Brahmegupta.
Cette première condition dans la construction du trapèze n'est pas la seule que l'auteur
hindou ait dû observer. Nous avons reconnu qu'en outre, ce trapèze doit être interiptible
au cercle. Aucune de ces deux conditions ne se trouve indiquée, ni dans le texte de
Brahmegupta, ni dans les notes du scoliaste Chaturveda. Le mot trapèze n'est employé que
deux fois par Bhascara, et nous voyons que, dans les deux cas, l'auteur l'applique k
un quadrilatère construit d'une manière particulière, et qui a ses diagonales rectangu-
laires.

Nous emploierons le mot trapèze dans ce sens , à défaut d'un autre mot , voulant con-
server une expression abréviative , qui contribuera à faire ressortir le caractère propre des
propositions de l'auteur hindou.

La signification que nous venons d'attribuer au mot trapèze suffit déjà, avec la condi-
tion que cette figure est inscriptible au cercle , pour donner un .sens à plusieurs de ces
propositions, mais non pas à toutes; et dans plusieurs autres, il faut admettre pareil-
lement, quoiqu'elles ne concernent pas le trapèze, qu'il s'agit encore du quadrilatère
inscriptible. Dans celles-ci le quadrilatère a deux côtés opposés égaux entre eux , ou bien
trois côtés égaux.

Ces premières suppositions suffisent pour effectuer la construction des figures sur
lesquelles roulent les propositions de Brahmegupta; mais cela n'est pas assez; il faut
encore suppléer au silence de l'auteur, et découvrir quelles sont les propriétés dont ces
figures , ainsi construites , jouiront ; propriétés qui ont fait le véritable objet de l'ouvrage.
Cette question se présentera également pour d'autres propositions relatives au triangle ,
où les conditions particulières de construction de cette figure sont bien indiquées, mais
où il n'est rien dit des propriétés dont elle jouira.

D'après cela, voici le résumé des propositions que nous trouvons dans l'ouvrage de
Brahmegupta. Nous les présentons en donnant à celles dont l'énoncé était incomplet et
inintelligible , le sens et l'interprétation dont nous venons de parler. Nous les plaçons par

LatiiK [voir Bocce, Catsiodore). Au moyen Age, Campanuii et Vincent de Beauvais lui ont donné celui do
titrayone long; qu'il a conterTé à la renaiaaance, dans le< ouvrages de Zamberti, de Tartalea, etc. Ensuite
quelques auteurs l'ont appelé oblong (rotr Alstedius; Encyclopœdia univtraa , lib. XV). Enfin il a pris en
Trance le nom de rectangle (Mersenne, De la virile des scienctê, p. SIS) qu'il a conserTé. En Angleterre il
a'tppelle toujours oblong.

Vincent de Beauvais, écrivain du XIII° siècle, auteur d'une encyclopédie intitulée .^«cu/ummuniii, où se
trouve réunie, avec un immense savoir, une Toule de dacnmens précieux pour l'histoire, appelait climimn
le rhombe des Grecs, qui est notre losange ; timile climiam le rhomboïde, ou parallélogramme; et climinaria
tous les quadrilatères irréguliers, c'est-à-dire les trapèies des Grecs.

Campanus , écrivain du même temps, à qui l'on doit en Europe la première traduction dXuclide, qn'il
avait faite sur un texte arabe, a appelé le rhombe helmuayn ; le parallélogramme, êimilis helmuayn; et le
trapèie d'Euclide , helmuariphe. Ces noms étaient employés & la renaissance ; on les trouve dans la Géométrie
pratique de Bradwardio, et dans les ouvrages de Lucas de Burgo el de Tartalea.

424 NOTES.

groupes, sans observer l'ordre qu'elles ont dans l'ouvrage indien; mais, au moyen des
numéros de leurs paragraphes , on pourra rétablir cet ordre.

1° Quatre propositions sur le triangle, qui sont :

Première; le carré de l'hypoténuse, dans le triangle rectangle; § 24.

Deuxième; la manière de calculer la perpendiculaire en fonction des côtés; § 22.

Troisième; l'aire du triangle en fonction des trois côtés ;§ 21.

Quatrième; une expression du diamètre du cercle circonscrit au triangle; § 27.

Ces propositions, les deux premières du moins, doivent être considérées comme des
lemmes , utiles pour la suite.

2° Trois propositions qui ont pour objet de construire un triangle dont les côtés et la
perpendiculaire , et conséquemment l'aire et le diamètre du cercle circonscrit , soient
des nombres rationnels :

Première ; triangle rectangle ; § 35,

Deuxième; triangle isocèle; § 33.

Troisième; triangle scalène; § 34.

3° Neuf propositions sur le tétragone inscriptible au cercle , qui sont :

Première; l'aire du quadrilatère en fonction des quatre côtés; § 21.

Deuxième ; l'expression de ses diagonales ; § 28.

Troisième; la manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit, en fonction des
côtés; et une expression particulière de ce diamètre pour le trapèze (tétragone qui a ses
diagonales rectangulaires); § 26.

Quatrième; une expression particulière de la diagonale et de la perpendiculaire, dans
un tétragone inscrit dont les flancs sont égaux ; § 23.

Cinquième; manière de calculer les segmens que les diagonales et les perpendiculaires
font les unes sur les autres , dans un tétragone inscrit dont les flancs sont égaux; § 25.

Sixième; manière de calculer les perpendiculaires et les segmens qu'elles font sur la
base, dans le trapèze inscrit; § 29.

Septième; manière de calculer les segmens faits sur les diagonales par leur point d'in-
tersection , dans le même quadrilatère ; § 30-3 1 .

Huitième; manière de calculer la perpendiculaire menée du point d'intersection des
diagonales sur un côté , et le prolongement de cette perpendiculaire jusqu'au côté opposé ;
§ 30-31.

Neuvième; manière de calculer les segmens que les perpendiculaires font sur les diago-
nales et sur les côtés , et ceux que les côtés opposés font sur eux-mêmes ; § 32.

4" Quatre propositions sur la manière de construire un quadrilatère inscriptible dans
le cercle, dont les côtés, les diagonales, les perpendiculaires, les segmens que ces lignes
font les unes sur les autres, l'aire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit ,
soient des nombres rationnels:

Première; construction d'un rectangle ; § 35.

Deuxième ; construction d'un quadrilatère dont deux côtés opposés doivent être
égaux; § 36.

NOTES. 42ÎÎ

Troisième ; construction d'un quadrilatère ayant trois côtés égaux ; § 37.

Quutricmo; construction d'un quadrilatère ayant ses quatre côtés inégaux; § 38.
Le quadrilatère construit est un trapèze; c'est-à-dire qu'il a ses deux diagonales rectan-
gulaires.

Telles sont, suivant la signification que nous avons cru pouvoir leur donner, les pro-
positions comprises dans les dix-huit premiers paragraphes de l'ouvrage de Brahmegupta ,
qui nous ont paru se rapporter à la théorie du quadrilatère inscriptible au cercle, et
résoudre la question de construire un tel quadrilatère dont toutes les parties fussent
rationnelles.

Le mot cerclen'est prononcé que dans deux propositions, celles des §§ 26 et 27, où il
s'agit de trouver le rayon du cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère; et le
mot rationnel n'est jamais prononcé. Un quadrilatère n'est défmi que par l'expression des
longueurs de ses côtés, sans qu'il soit rien dit des autres conditions de construction que
nous avons supposé être l'inscriplibilité au cercle, ni des propriétés dont jouira le
quadrilatère , qui consistent en ce que toutes ses parties soient exprimées en nombres

rationnels.

5° Cinq propositions, qui viennent à la suite des dix-huit premiers paragraphes , sont
étrangères à la question du quadrilatère inscriptible.

La première concerne le triangle rectangle. Sous un énoncé très-différent, cette pro-
position se réduit à ceci : Trouver tur le prolongement au delà de l'hypoténute de
chaque côté de l'angle droit d'un triangle, un point dont les dittances aux deux
extrémité* de l'hypoténute fassent une somme égale à celle des deux côtés de l'angle
droit; §30.

Les quatre suivantes sont relatives au cercle :

Première. Expression de la circonférence et de l'aire du cercle en fonction du diamètre.

Soit D le diamètre , R le rayon ;

« Dans la pratique on prend circonférence = 3 D, et surface ^ 3 R^.

» Pour avoir les valeurs vraies (the neat values), on prend circonférence = V Hi,])^ ,
et surface = 1/ 10.11* » ; § 40.

Deuxième, u Dans un cercle, 1° la demi-corde est égale à la racine carrée du produit
des deuxsegmens du diamètre perpendiculaire; 2° le carré de la corde, divisé par quatre
fois l'un des segmens, plus ce même segment, est égal au diamètre. » § 41.

Brahmegupta appelle le plus petit segment la flèche.

Quand deux cercles se rencontrent, ils ont une corde commune. La droite formée des
deux flèches correspondantes ù cette corde, dans les deux cercles, s'appelle V érosion.

Troisième. « La flèche est égale à la moitié de la différence du diamètre et de la ra-
cine carrée de la différence des carrés du diamètre et de la corde ;

» L'érosion étant soustraite des deux diamètres, les restes multipliés par les deux dia-
mètres, et divisés par la somme de ces restes, donnent les deux flèches. » § 42.

Quatrième. § 43. Cette proposition est la même que la seconde partie du § 41.

Telles sont les vingt-trois propositions qui composent la section IV.

ToM. XI. 5^4

426 NOTES.

La section V est intitulée Excavations. Elle donne la mesure d'un prisme , et d'une
pyramide, et une méthode pour mesurer approximativement, dans la pratique, un corps
irrégulier.

Dans les sections VI, VII et VIII, intitulées Stacks, Saw et Mounds of grain , l'au-
teur donne des régies approximatives pour mesurer des piles de briques , des pièces de
bois et des tas de grains.

La section IX est intitulée Mesure par le gnomon.

L'auteur suppose une lumière placée sur un pied vertical, et un gnomon, qui est un
style placé aussi verticalement. Il résout ces deux questions :

1° Connaissant la hauteur de la lumière, celle du gnomon , et la distance entre le
pied de la lumière et celui du gnomon, trouver l'ombre projetée par le gnomon;
§53.

2° Trouver la hauteur de la lumière, en connaissant les ombres portées par le
gnomon placé dans deux positions différentes; § 54.

Telles sont les propositions qui composent la partie géométrique de l'ouTrage de
Brahmegupta.

Avant de nous livrer à l'examen de celui de Bhascara, nous allons faire quelques obser-
vations sur plusieurs de ces propositions.

La règle pour la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels , s'exprime
algébriquement ainsi :

Soit a un côté du triangle ,eth une quantité quelconque , le second côté sera :

i ( — — A ) , et l'hypoténuse k | —

o'

Cette règle repose sur l'identité

Brahmegupta ne prononce pas, dans son énoncé, le mot rationnel; mais on trouve la
même règle au § 38 de son Algèbre, et il l'intitule : Règle pour la construction d'un
triangle rectangle en nombres rationnels.

Bhascara donne la même proposition, dans la partie géométrique du Lilavati, § 140,
et il ajoute que les côtés seront rationnels.

Cette règle, pour la construction du triangle, est, comme on voit, une généralisa-
tion des deux règles que Proclus, dans son Commentaire sur la quarante-septième
proposition du premier livre d'Euelide , attribue à Pythagore et à Platon, pour
former un triangle rectangle en nombres entiers, un côté étant donné en nombre im-
pair ou pair.

NOTES. 427

Ces deux règles des géomètres grecs, sont exprimées par les deux formules :

/a' -+. 1 V /o' — 1 V

qu'on obtient en faisant successivement dans celle de Brahmegupta, £ = 1 et & = 2.
La formule de Brahmegupta peut prendre la forme :

( o' ^ i' )' = (o' — fc' )' -t- \a'h\

Cette formule a été très-usitée chez les géomètres modernes , où elle est le fondement
de leurs méthodes pour la résolution des équations indéterminées du second degré.
Brahmegupta s'en sert pour la construction du triangle isocèle dont les côtés et la per-
pendiculaire sont des nombres rationnels. Voici sa règle :

a e/ b étant deux nombres guelconqties , (a" -t- b') tera l'exprettion de» deux
côtés égaux du triangle, et 2 (a' — b") sera la base : la perpendiculaire sera
2 ab; § 33.

Pour former un triangle scalène dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres
rationnels, on aperçoit dans la règle algébrique de Brahmegupta, § 34, qu'il construit
deux triangles rectangles en nombres rationnels , ayant un côté commun. Ce côté est la
perpendiculaire du triangle scalène formé avec les autres côtés.

Plusieurs géomètres modernes ont résolu de cette manière la même question (voir
les Commentaires de Bachet de Méziriac sur le VI* livre des Questions arithmétique* de
Diophante, et les Sectiones triginta miscellaneœie Schooten, p. 429).

Nous avons reconnu que les deux propositions sur le triangle isocèle, et scalène sont
utiles pour la construction que Brahmegupta donne , sous les § 36 et 37 , pour le tétragone
inscriptible au cercle, ayant deux ou trois côtés égaux.

La formule

(a*-*-b*y = (a'—b'Y -f- ia'b\

qui a servi à Brahmegupta pour construire en nombre rationnels un triangle rectangle,
quand un côté est donné, peut servir aussi pour le cas où l'hypoténuse est donnée, car
soit c cette hypoténuse ; faisons b = 1 dans la formule , et multiplions ses deux mem-

' Bocce, en «o servant auasi de ce> deux formulea, dana le 2' tirre de ta Géométrie , attribue la seconde à
Archytas,

428 NOTES.

bres par : -: elle deviendra

c'(a' — I)'

ce qui fait voir que les deux côtés du triangle seront de la forme

, et ^

(a= + 1) '

a étant un nombre arbitraire.

Bbascara a donné cette formule. Elle ne se trouve point dans l'ouvrage de Brahniegupta,
parce qu'elle est inutile pour la solution de la question du quadrilatère inscrit, sur la-
quelle roulent toutes ses propositions.

Les § 2G et 27 sont les seuls où Brahmegupta ait fait mention du cercle circonscrit à la
figure. Aucune condition semblable n'est indiquée dans aucune des autres propositions
qui nous ont paru se rapporter au quadrilatère inscriptible au cercle.

Le § 27, qui donne la manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit à un triangle,
exprime la formule connue, « le produit de deux côtés d'un triangle divisé par la perpen-
» diculaire abaissée sur le troisième côté , est le diamètre du cercle circonscrit. »

La manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit au tétragone est la même; on
considère le triangle formé par deux côtés contigus et une diagonale. L'expression des
diagonales se trouve dans le § 28.

Pour le tétragone qui a ses deux diagonales rectangulaires, le diamètre est égal à la
racine carrée de la somme des carrés de deux côtés opposés.

Cette proposition repose sur la propriété connue des cordes qui se coupent à angle
droit dans le cercle , savoir que : La somme des carrés des quatre segmens faits sur
les deux cordes, par leur point d'intersection, est égale au carré du diamètre du
cercle. Propriété qui est la XP proposition du traité d'Archimède qui porte le titre de
Lemmes.

Le § 21 , qui donne l'aire du triangle et du quadrilatère en fonction des côtés, nous
paraît mériter une attention particulière, de la part surtout des personnes qui aiment à
rechercher les documens historiques que peuvent présenter les annales des sciences.

Ce paragraphe se compose de deux parties, dont la première nous paraît susceptible
de deux interprétations différentes. Si nous suivons textuellement son énoncé , elle
exprime, en quelque sorte, une proposition négative; elle dit que telle règle, pour le
calcul de l'aire d'un triangle et d'un tétragone, est fausse. Au contraire, en faisant un
léger changement au texte, nous en tirons une règle exacte pour le calcul du trapèze
qui joue le rôle principal dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Première interprétation.

1° Le produit des demi-sommes des côtés opposés donne une aire inexacte du
triangle et du tétragone ;

NOTES. 429

2° La demi-tomme det câtét e*t Jcrite quatre foi* ; on en retranche tucceêtioement
le* côté» ; on fait le produit de* reste* ; la racine carrée de ce produit e*t l'aire exacte
de la figure '.

Quoiqu'il ne 8oit aucunement fait mention de la condition d'inscriptibilité au cercle,
pour le tétriigonc, on ne peut douter qu'il ne s'agisse d'une telle figure dans la seconde
partie de la ])ropositionj car on y reconnaît la règle élégante qui sert pour le calcul de
l'aire du télragone inscrit, en fonction des quatre côtés. Cette règle comprend celle du
triangle. Il suffit d'y supposer que l'un des côtés du létragone est nul. C'est ainsi que l'a
entendu Chaturveda qui, dans une note très-courte, dit que pour le cas du triangle on
retranche les trois côtés, respectivement, de trois des quatre demi-sommes écrites, et
que la quatrième reste telle qu'elle est.

Cette formule de l'aire du triangle en fonction des côtés, a été remarquée dans l'ou-
vrage de Brahmegupta, par les géomètres qui en ont rendu compte, et a été regardée
comme en étant la proposition la plus considérable; et l'on n'a jamais cité, je crois, la
formule de l'aire du quadrilatère. Celle-ci cependant méritait à tous égards la préfé-
rence; car, outre qu'elle est plus générale, plus difficile à démontrer, qu'elle suppose
une Géométrie plus avancée, et, en un mot, qu'elle est d'une plus grande valeur scien-
tifique, elle parait, jusqu'ici appartenir en propre à l'auteur hindou; car on ne la trouve
dans aucun ouvrage des Grecs, et il n'en est pas de même de la formule du triangle,
comme nous le dirons plus loin.

Passons à la première partie de la proposition qui nous occupe, et qui énonce, comme
inexacte, une règle qui l'est en effet , pour l'aire du triangle et d'un tétragone quelconque
en fonction des côtés.

Dans une note, Chaturveda fait huit applications numériques de cette règle, aux trois
triangles , équilatéral , isocèle et scalène , et au carré , au rectangle , au tétragone qui a ses
deux bases parallèles et ses deux tlancs égaux ; à celui qui a ses deux bases parallèles , et
trois côtés égaux; et enfin au trapèze.

Pour le triangle, il fait la demi-somme des deux côtés, et il la multiplie par la demi-
base. 11 trouve toujours une aire inexacte. Cela doit être, car la demi-somme des deux côtés
ne peut jamais être égale à la perpendiculaire.

Pour le tétragone, il multiplie la demi-somme des deux bases, par la demi-somme des
deux flancs. Il dit que le produit est l'aire exacte dans le cas du carré et du rectangle ; mais
inexacte dans les trois autres cas.

Cette manière de calculer l'aire du tétragone était employée comme exacte, par les
arpenteurs romains. On la trouve dans le recueil intitulé : Rei agrariœ auctore» legesque
variœ^ , et même dans la Géométrie de Boëce (IP livre; De rhomboide rubrica).

' Voici le teite de H. Colebrooke, qu'il faut avoir août lea yeux pour apprécier Ie> deux iuterprétation*
dont il nout a paru susceptible : The jiroduct of half ihe sides and countersides is tht gross area of a triangle
and tétragone. llalf the sum ef the sides set down four times, and severallylessenedby the sides, beingmul-
tiplied together, the square-root of the product is the exact area.

' Cura Wilelmi Goesii. Amat. 1674, in-^"; voir p. 313.

430 NOTES.

La règle pour le triangle se rencontre aussi , du moins pour le triangle équilatéral ,
chez les Gromatici Romani. L'une et l'autre ont encore été pratiquées , comme bonnes ,
parmi nous, au moyen âge. Car nous les trouvons dans les œuTres de Bède, parmi ces
questions d'arithmétique ad acuendos juvenea ' , qu'on a regardées comme le germe du
livre si connu des Récréations mathématiques - , et que le prince abbé de St.-Emeran a
attribuées au célèbre Alcuin, le maître et l'ami de Charlemagne.

Ces deux règles, qui attestent que nous avons eu nos temps d'ignorance, auraient-elles
pénétré dans l'Inde, où des géomètres, véritablement dignes de ce nom, les auraient
reconnues fausses ? Et la proposition de Brahmegupta aurait-elle été destinéeà substituer
à cette pratique ignorante une règle vraiment exacte et géométrique?

Il semble, du moins à raison de leur identité, que ces règles des occidentaux, et celles
que l'auteur hindou énonce comme fausses, ont une même origine. Car il n'en est pas de
l'erreur comme de la vérité. La vérité, en Géométrie , est la loi commune , elle est une ,
elle appartient à tous les temps , à toutes les intelligences qui savent la comprendre; et sa
présence sur plusieurs points, chez plusieurs peuples, n'est pas une preuve de communi-
cations entre eux. Mais quant à l'erreur, ses formes n'ont pas de loi; elles sont diverses,
innombrables ; et la conformité , dans ce cas , dénote une origine commune.

Cette circonstance offre peut-être quelque intérêt , comme fait historique attestant des
communications scientifiques dans un temps éloigné , et prouvant du reste la haute supé-
riorité des Hindous d'alors sur les occidentaux contemporains.

Deuxième interprétation de la proposition.

Dans notre deuxième manière d'interpréter la proposition , nous changeons quelques
mots du texte , et nous lui faisons dire :

1° Dans le trapèze l'aire est égale à la dem,i-somme des produits des côtés opposés ;

2° Pour le triangle et le tétragone , la demi-som,me des cotés est écrite quatre fois ;
on en retranche séparément les côtés ; on fait le produit des restes ; la racine carrée
de ce produit est l'aire de la figure ^.

' Venerabilis Bedœ opéra ; 4tom. in-fol.; Cologne, 1812; 1. 1, colonne» 104 et 109. De campo qtiadrangulo ;
un quadrangle a sa base égale à 34, le côté opposé égal à 32 et ses deux flancs égaux à 30 et ù 32 j son

aire est

/34 4-32\ /30 + 32\

(— J— ) X (— ^— ) == 31 X 33 = 1023.

De campo trianijulo ; un triangle a se» flancs égaux à 30, et sa base égale à 18, son aire est

?^X-f==30X 9 = 270.

Ce» règle» fausse» sont encore appliquées dans lei questions intitulée» : De civitate quadranguld ; De civitata
triangulâ.

2 Montucla; Histoire des mathématiques , tom. I", pag. 490.

^ Voici quel pourrait être l'énoncé qui répondrait à cette interprétation; on -verra quel» légers changeraens
il suffirait de faire au texte anglais pour l'obtenir : IJa/f thc sum of the products ofthe sides and couniersides
is the area of a trapezium. In a triangle and tétragone half the sum of the sides set dowu four times , and seve-
rally lessened ly the sides, heing multiplied togeiher , the square-root of the product is the area.

NOTES. 431

Il est toujours question, bien entendu, du trapèze et du tétragonc inscriptibles au
cercle.

Pour obtenir cet énoncé, il suffit de supprimer le mot inexact {groi»), de remplacer
tétragone par trapèze, ei de faire passer le mot triangle dans la seconde phrase , en y
introduisant celui de tétragone. Cette seconde phrase conserve sa signification primitive;
et la première prend un sens clair, et devient une proposition assez belle qui, peut-être,
n'avait point encore été remarquée. Sa démonstration est facile , car les deux diagonales
étant à angle droit, il est évident que l'aire du trapèze est égale à la moitié du produit de
l'une par l'autre. Mais ce produit, suivant le théorème de Plolémée sur le quadrilatère
inscrit, dont Brahmegupta s'est évidemment servi dans la proposition du § 28 i, est égal
à la somme des produits des côtés opposés. Donc la moitié de cette somme est l'aire du
trapèze.

On n'avait cité, jusqu'ici , du § 21 , que la partie relative à la formule de l'aire du
triangle en fonction des trois côtés : et l'on n'avait point fait attention à la formule de
l'aire du quadrilatère inscrit au cercle, qui aurait mérité à tous égards la préférence sur
la première ; ni à cette proposition , qui déclare inexacte» des règles identiques à celles
qui ont été pratiquées par les Latins, puis parmi nous dans le moyen âge.

La formule de l'aire du triangle avait fait d'autant plus de sensation dans l'ouvrage de
Brahmegupta , qu'on ignorait généralement qu'elle eût été connue dans l'antiquité , par-
ticulièrement des Grecs. Montucla , qui l'avait attribuée d'abord à Tartalea , n'en avait fait ,
ensuite, remonter l'origine qu'à Héron le jeune, écrivain du VII° siècle. Aussi M. De-
lambre,en rendant compte de l'ouvrage de Brahmegupta, dans le discours qui précède
son Histoire de l'astronomie au moyen âge, n'a trouvé d'autre objection à faire, dans
l'intérêt des Grecs, contre cette formule du géomètre indien, si ce n'est que ce théorème
très-curieux n'est que d'une utilité fort médiocre en astronomie. Mais nous devons con-
venir ici que ce théorème , qui est resté inaperçu dans l'histoire de l'école d'Alexandrie ,
y a été connu. On le trouve démontré dans un traité de géodésie de Héron l'ancien (deux
siècles avant l'ère chrétienne), intitulé la Dioptre , ou le Niveau, que M. Venturi de
Bologne , a traduit , il y a une vingtaine d'années , sous le titre il Traguardo , dans son
histoire de l'optique -. M. Venturi a encore trouvé ce théorème , sans démonstration , dans
un fragment de Géométrie d'un auteur latin qui lui a paru être antérieur à Bocce. Nous
l'avons vu aussi dans un manuscrit du XI' siècle que possède la bibliothèque de Chartres.
Il y fait partie d'un traité de la mesure des figures , que nous croyons être le même écrit
que cite M. Venturi; et que nous serions porté à attribuer à Frontinus. Ainsi la priorité,
quant à la formule de l'aire du triangle, ne peut appartenir à Brahmegupta. Mais ce
géomètre peut la céder, sans rien perdre de l'estime qu'elle avait fait accorder à son ou-
vrage, puisque nous y trouvons la formule, beaucoup plus importante, de l'aire du

' Noa» n'entendon» pis dire que Brahmegupta a empranté ce théorème de l'AImageate de Ptolémëe; mai»
qu'il l'a connu , et qu'il t'en e(t aervi pour parvenir i l'exprestion de> diagoualea du quadrilatère intcrit , qu'il
donne dans le §28.

3 Commentari sopra la iloria » le Uorie dell' ottica. Bologna , 1814 , in-4<> , p. 77-147.

432 NOTES.

quadrilatère inscrit, en fonction des côtés , qui lui appartient incontestablement , comme
ne s'étant trouvée dans aucun ouvrage antérieur.

Celle-ci avait paru jusqu'ici appartenir aux Modernes. Snelllus l'énonce comme étant
de lui, dans son commentaire sur la première proposition du livre De prohlematibus
miscellaneîs de Ludolph Van Ceulen ^ Mais nous avons quelque raison de croire qu'elle
avait déjà été trouvée quelques années auparavant-. Sa démonstration géométrique n'était
pas sans difficulté, au dire même d'Euler, qui en a donné une dans les mémoires de
Pétersbourg^, trouvant très-embrouillées les deux que Philippe Naudé avait données pré-
cédemment dans les mémoires de Berlin*. Cette proposition se trouve dans peu d'ouvrages,
quoique souvent, dans le XVI" siècle et depuis, on se soit occupé du quadrilatère inscrit,
ainsi que nous le dirons plus loin.

Quant à la formule de l'aire du triangle , on la rencontre partout , chez tous les peuples
et dans tous les temps. Les Arabes l'ont connue, et c'est d'eux que nous est venue la pre-
mière démonstration que nous en ayons eue eu Europe. On la trouve dans un ouvrage de
Géométrie des trois fils de Musa ben Schaker, traduit de l'arabe en latin, sous le titre
F^erha filiorum Moijsi, filiiSchaker, 31ahutneti , Hameti , Haserv'. Elle y est démontrée
d'une manière géométrique différente de celle de Héron d'Alexandrie ; ce qui nous fait
supposer que les Arabes l'avaient reçue des Indiens; d'autant plus que les trois fils de
Musa ben Schaker disent, dans leur ouvrage , que cette formule a été employée par beau-
coup d'écrivains^ sans démonstration; et que d'ailleurs on sait que ces trois célèbres
géomètres avaient puisé une partie de leurs connaissances mathématiques dans les ou-
vrages indiens ". M. Libri a remarqué la formule en question dans un traité géométrique
du juif Savosarda , écrit vers le XII" siècle '. Elle se trouve ensuite dans la Pratique de la
Géométrie , de Léonard de Pise , où elle est démontrée à la manière des trois frères arabes.

' Après avoir dit qu'auparavant on calculait séparément les aires des deux triangles dont se compose le qua-
drilatère, Snellius ajoute : Quanta operosior est hœc vulgata ad instigandam aream via , tanià gratins novum
hoc nostrtcm theoremation benevolo lectori fiUuruja speramus,

2 Prœtorius, dans un ouvrage sur le quadrilatère inscrit au cercle, qui porte la date de 1698, et dont nous
parlerons plus loin, dit que l'on a déjà cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, en fonction
des côtés, et Vaire du quadrilatère.

' Novi commentarii , t. !";■■ , ann, 1747 et 1748. Variœ demonstratio-nes geomeiriœ. « La démonstration analy-
» tique de cette formule n'est pas difficile j mais ceux qui ont cherché à en donner une démonstration géomé-
)i trique ont trouvé de très-grandes difficultés. »

I,es Novaacta de Pélcrsbourg, t. X, ann. 1792, contiennent une autre démonstration par S.Fuss.

* Misccllanea Berolinetisia, t. III, ann. 1723.

' Cet ouvrage n'existe qu'en manuscrit. La bibliothèque royale de Paris en possède un exemplaire qui est joint
à un grand nombre d'autres pièces scientifiques intéressantes, traduites de l'arabe et réunies sous le titre
Mathemaiica, (Supplément latin , n" 49 , in-fol. Voir VHistoire des sciences mathématiques en Italie , de
M. Libri. T Ie--,p. 266).

L'académie de Bàle en possède aussi un manuscrit , sous le titre Liler trium fratrum do Geometrid,

^ Casiri, Biîliotheca Arabico-Hispana Escurialensis , etc. Mohammed len Musa Indonim in prœclurissimis
inventis ingenium et acumen ostendit. (T. l" , p 427.) On lit encore dans la table de l'ouvrage ; Librum artis
Ltgisticœ à Khata Indo editum enornavit. [Mohammed le» Musa.)

' Histoire des sciences mathématiques en Italie , p. 160.

NOTES. 433

Il parait qu'on l'a trouvée aussi , avec la même démonstration , dans quelque écrit de
Jordan Neinorariiis, postérieur de quelques années à Léonard de Pise. A la renaissance,
cette formule a paru dans presque tous les ouvrages de Géométrie. Reisch l'a donnée dans
la Margarita philotophica , en 1480. Nous avons de fortes raisons de croire qu'il l'avait
empruntée de l'auteur latin dont nous avons parlé plus haut. On la trouve ensuite, avec
la démonstration de Léonard de Pise, dans la partie géométrique de la Suinma de arith-
metica, Geometria , etc., de Lucas de Burgo (Dittinctio prima , capitiilum octavum ,
f" 12); et dans la troisième partie du Traité général des nombre» et des mesure* , de
Tartalea. Cardan l'a insérée, sans démonstration , dans sa Practica arithmetice ' ; et Oronce
Finée dans sa Géométrie, liv. II, chap. 4. Ramus, dans ses Scholw mathematicœ , a
rapporté la démonstration de Jordan et de Tartalea , en critiquant leur manière d'énoncer
la formule , et leur reprochant de dire que l'aire du triangle est la racine carrée du produit
de quatre lignes ; locution inusitée dans la Géométrie des Grecs , où le produit de deux ou
de trois lignes avait une signification géométrique, mais non le produit de quatre lignes.
Sncllius, en reproduisant cette critique de Ramus, dans ses notes sur les ouvrages de
Ludol|)h Van Ceulcn^, a énoncé la règle à la manière des Grecs, en disant que l'aire du
triangle est égale à celle d'un rectangle dont un côté est moyen proportionnel entre deux
des quatre facteurs qui entrent dans l'expression algébrique, et dont l'autre côté est
moyen proportionnel entre les deux autres facteurs. Millet Decbales s'est conformé aussi
à ce style rigoureusement géomélrique des Grecs '.

La formule en question se trouve dans une infinité d'autres ouvrages, qu'il est inutile
de citer ici. Presque tous se servent de la démonstration de Lucas de Burgo , laquelle est
celle des Arabes, qui nous a été apportée par Fibonacci. Quelques-unes cependant sont
dilTcrcntes : telles sont celles de Newton ^ , d'Euler s, de Boscovich ". Celles ci doivent
le degré de simplicité qui les distingue à la connaissance à priori de la formule dont il
s'agit de trouver une expression géomélrique. Celle de Héron et celle des Arabes ont le
mérite d'être naturelles, et de porter le cachet de l'invention. Mais probablement la voie
algébrique, qui fait usage de l'expression de la perpendiculaire, est celle qui aura procuré
originairement la découverte de cette formule ; particulièrement chez les Indiens ; car ce
genre de démonstration est tout-à fait dans l'esprit de leurs spéculations mathématiques,
qui reposent sur l'alliance de l'algèbre et de la Géométrie.

Nous terminerons nos observations sur celte formule par une remarque sur les trois
nombres 13, 14 et 15, que les Indiens ont pris dans l'application numérique qu'ils en
ont faite. Ces nombres sont très-remarquables, en ce qu'ils paraissent inséparables de
la formule. Ce sont, non-seulement ceux des Indiens a plusieurs siècles d'intervalle,

■ Cap. 03. De mmruris supêrficienim ; art. 4.

^ De figurarum traitsmutatioiie et sectione ; Problenia S.*), p. 73.

s Curtua malhematicus. 1690, in-fol., t. I". Trigonomelria liber tertiue , prop. X.

* Arithmilique uniteraelle ; t. I", problème XI

' Novi Cffinmonfam dePétertbourg; t. I^', ann 1747 et 1748

* {)p«ni, etc.; t. V, opu«14,

To«. XI. 5o

K_..

434 NOTES.

mais aussi ceux de Héron d'Alexandrie, de Héron le jeune' , des trois frères arabes,
Mohammed, Hamet et Hasen; ceux de Léonard de Pise, de Jordan, de Lucas de Burgo,
de Georges Vaila-, de Tartalea, et de presque tous les écrivains qui ont reproduit la
formule. Le morceau de Géométrie latin que nous avons cité, et la Margarita philoso-
phica, sont peut-être les seuls ouvrages qui ne s'en soient pas servis, ayant pris, pour
application numérique delà formule, un triangle rectangle ; mais ces ouvrages emploient
les trois mêmes nombres dans d'autres passages, pour calculer l'aire d'un triangle en
cherchant la valeur de la perpendiculaire. Pour la même question, traitée dans l'algèbre
de Mohammed ben Musa (l'un des trois frères arabes cités ci-dessus), on trouve pareille-
ment ces trois nombres *.

C'est une circonstance assex intéressante aux yeux de l'historien, que partout se retrouve
l'usage de la formule en question, et surtout des trois nombres 13, 14 et 15, employés
•dans les ouvrages les plus anciens, et chex tous les peuples, disons-nous; chez les Grecs,
presque à l'origine comme au déclin de l'école d'Alexandrie ; dans les Indes , chez les
Latins, chez les Arabes; et, dès la renaissance, dans toutes les parties de l'Europe où les
sciences sont cultivées.

L'usage général de ces trois nombres semble dire qu'ils ont eu une origine commune.
Telle avait été d'abord notre pensée , et nous avions regardé ces trois nombres comme une
circonstance heureuse, propre à répandre quelque jour sur la question concernant la
nature et l'étendue des communications scientifiques qui ont eu lieu dans des temps
reculés entre l'Inde et la Grèce. Mais nous n'avons pas tardé à reconnaître que ces nom-
bres n'offraient probablement pas les secours historiques que nous avions espérés d'abord.
En effet, on aura cherché naturellement, pour application numérique de l'expression de
l'aire d'un triangle, soit par la formule en question , soit par le calcul de la perpendicu-
laire, trois nombres pour lesquels cette aire, et conséquemment cette perpendiculaire,
fussent exprimées en nombres rationnels. La solution de cette question n'offre pas de
difficulté. Elle se réduit à construire deux triangles rectangles en nombres rationnels,
ayant un côté commun. C'est ainsi que Brahmcguptaa fait, comme nous l'avons dit au
sujet de son § 34. Et il est à remarquer que la manièi'e de construire un triangle rectangle
en nombres rationnels et entiers était connue des Grecs et des Latins, qui se servaient
des deux formules imaginées, l'une par Pythagore, et l'autre par Archytas ou Platon.

Maintenant, parmi tous lessytèmes de deux triangles rectangles exprimés en nombres
rationnels entiers , et ayant un côté commun , on aura pris celui où ces nombres sont les

■ Voir son Traité de Géodésie ,vas>ca\xicxii qui «e trouve à la bibliothèque royale, sou» le n° 2013.

Barocci a donné une traduction, accompagnée de commentaires , du Traité de Géodésie de Héron le jeune et
de son livre sur les machines de guerre, sous le titre : Ileronis mcchanici lihcr de Machinis iellicis , nccnon
liber de geodœsiâ; in-4'>, Venetii», 1572. Mais le manuscrit dont il s'est servi était incomplet , et la formule de
l'aire du triangle ne s'y trouve pas.

2 Georgii Vallœ Placentini viri Clariss. De expetendis et fugiendis relus opiis , etc.; 2 vol. in-fol., Venise,
150t. Liber XIV, et Geometriœ V. ; cap. VII, Dimcnsio universalis in omni triangulo.

' The Jlgebra of Mohammed ben Musa , edited and iranslated by F. Rosen. London , 1831 , in-S" , p. 82 du
texte anglais , et p. 61 du texte arabe.

NOTES. 435

plus petits; ce sont ceux qui ont pour eûtes, le premier 6, 12, 13, et le second
0,12,15.

Plaçant nés deux triangles de manière que leurs deux côtés égaux se confondent et que
les autres cdtés des angles droits soient dans le prolongement l'un de l'autre , on forme le
triangle scalcne qui a sa base égale à 14 , et ses deux autres côtés égaux à 13 et 15. C'est
ainsi que dillércns géomètres, chacun de son côté, auront pu être conduits au triangle
exprimé par les trois nombres 13, 14 et 15. Cependant nous devons dire qu'avec les deux
triangles rectangles dont nous nous sommes servi pour former celui-là, on en peut former
un autre encore plus simple. Pour cela il faut superposer leurs deux côtés 0 et 6 ; il en
résulte le triangle qui a pour base 4 , et pour côtés 13 et 15. Sa hauteur est 12 , comme
pour le premier. Mais ce triangle est obtusangle; sa perpendiculaire, tombe en dehors de
sa base; et, bien que ce cas puisse se présenter aussi souvent que celui d'un triangle acu-
tangle , on le regarde généralement comme étant moins propre à servir d'exemple. Ainsi ,
naturellement, on aura choisi le triangle dont les côtés sont 13, 14 et 15.

Ces considérations montrent que l'ou ne doit pas conclure , de ce que les Indiens ont
employé les trois nombres, 13, 14 et 15, de même que Héron l'ancien, dans leurs ap-
plications de la formule de l'aire du triangle, qu'ils ont reçu cette formule du géomètre
d'Alexandrie. Mais l'eussent-ils reçue, les droits de Brahmcgupta au titre de géomètre
habile n'en recevraient aucune atteinte, puisque son ouvrage contient une formule beau-
coup plus importante et des questions plus difficiles, dont nous ne trouvons pas de traces
chei les Grecs.

Le S 28 de Brahmegupta donne les expressions des diagonales d'un quadrilatère inscrit
au cercle, en fonction des côtés. Ce sont les formules connues. Elles résolvent le pro-
blème où il s'agit de construire avec quatre côté» donnés , un quadrilatère itiscriplihle
au cercle. De sorte que le géomètre indien a connu la solution de ce problème. Cette cir-
constance n'est pas indifférente. Car ce problème, agité chez les Modernes, y a eu pendant
un temps quelque célébrité ; et tous n'y ont pas réussi.

Nous donnerons une courte notice des géomètres qui s'en sont occupés , dans nos obser-
vations sur le§ 38, qui est une suite de ce premier problème.

Pour ne pas trop alouger cette Note, nous omettrons les observations auxquelles peu-
vent donner lieu les propositions des § 23, 25, 2S), 30-31 et 32. Nous dirons seulement
que la seconde partie du § 30-31 énonce une proposition assez remarquable. Brahme-
gupta montre comment on calculera la perpendiculaire abaissée du point d'intersection
des deux diagonales du trapèze sur sa base, et donne (sans indiquer le moyen de la cal-
culer), l'expression du prolongement de cette perpendiculaire, jusqu'à la base supérieure.
De celte expression nous concluons immédiatement que cette perpendiculaire pa*se par
le point milieu de la bâte supérieure. Proposition facile à démontrer, mais qui mérite
d'être signalée dans l'ouvrage de Brahmegupta. Elle fait bien voir qu'il est question d'un
quadrilatère qui satisfait aux deux conditions d'être inscriptible dans le cercle et d'avoir
ses diagonales à angle droit.

Nous allons rapporter les énoncés des quatre propositions comprises sous les § 35 ,

436 NOTES.

36, 37 et 38, qui nous ont paru résoudre la question de construire un quadrilatère
inscriptible dans le cercle, et dont toutes les parties fussent rationnelles.

§ 35. Le côté est prié arbitrairement ; son carré est divisé par une quantité quel-
conque; du quotient on retranche cette quantité ; la moitié du reste est la cathète de
Vohlong ; et si l'on y ajoute la quantité^ on aura la diagonale.

Ainsi soit a le côté de l'oblong, h la quantité prise arbitrairement.

5

b \ sera la cathète, et i ( b\-^b=\i—-*-b\ sera la diagonale.

En effet on a

D'après ce que nous avons déjà dit de cette formule , appliquée à la construction du
triangle rectangle, on ne peut douter qu'il ne s'agisse ici de la construction d'un oblong
dont les diagonales soient exprimées, comme les côtés, en nombres rationnels.

L'aire de l'oblong sera rationnelle aussi ; et il en sera de même du diamètre du cercle
circonscrit à l'oblong, puisque ce diamètre est égal aux diagonales.

§ 36. Que les diagonales d'un oblong soient les flancs d'un tétragone ; que le carré
du côté de l'oblong soit divisé par une quantité prise arbitrairement , et que le quo-
tient soit retranché de cette quantité ; le reste divisé par deux , augmenté de la
cathète de l'oblong , sera la base , et diminué de la cathète sera la corauste.

Soient a et i le côté et la cathète de l'oblong, et c une quantité prise arbitrairement.
Les deux flancs du tétragone seront égaux aux diagonales de l'oblong; sa base sera égale à

«'\ - / «' ,

c — — J + 6 , et sa corauste a i ( c — r- ) — b.

§ 37. Les trois côtés égaux d'un tétragone , qui a trois côtés égaux , ont pour va-
leur le carré de la diagonale d'un oblong. On trouve le quatrième côté en retranchant
le carré de la cathète de trois fois le carré du côté de l'oblong.

Si ce quatrième côté est le plus grand , il sera la base du tétragone , s'il est le plu*
petit il sera la corauste.

Ainsi soient a le côté de l'oblong, et b sa cathète; a- + b- sera le carré de sa diago-
nale. Nous supposons qu'il est formé suivant la règle du § 35; de sorte que sa diagonale,
\/a" -t- V , sera un nombre rationnel.

On prendra (a' + i ) pour la valeur des trois côtés égaux du tétragone, et (3a — b )
sera l'expression du quatrième côté.

§ 38. Les côtés et les cathètes de deux triangles rectangles , multipliés réciproque-

NOTES. 437

ment par le» hypoténuse* , tant le* quatre calé* inégaux d'un trnpéie. Le plu* grand
e*t la ba*e , le plu* petit la coraugte et le* deux autre* gont le* flancs.

Soient a,b, c,\c côlé, la callièle, el i'hypolénusc ilu premier triangle, el a', i', C, le
côté, la cathétc et l'hypoténuse du second triangle '. Les quatre côtés du trapèze seront
ao' , hc , a'c, h'c.

L'ordre dans lequel ces cAtés seront placés est indiqué par l'auteur, puisque les deux
extrêmes seront les bases et les deux moyens les flancs.

Les propositions que présentent ces quatre paragraphes sont évidemment incomplètes,
puisque chacune se réduit à donner une construction particulière des quatre côtés d'un
tétragone. Or, d'une part, ces côtés ne sufiiscnt point, excepté dans la première où il
s'agit de l'oblong, pour la construction du tétragone ; et ensuite le tétragone étant cons-
truit, il n'est rien dit des propriétés dont il jouira , et qui ont dû faire l'objet de ces pro-
positions. On doit donc penser que la construction des côtés, donnée par Brahmegupta,
répond à une question qui avait été énoncée primitircmcnt dans le titre de l'ouvrage et
qui en a disparu dans quelqu'un des manuscrits qui se sont succédé. Il fallait retrouver
quelle avait été celte question; sans quoi l'on n'aurait point connu et l'on n'aurait su
apprécier l'ouvrage de Brahmegupta. Le scoliastc Chaturveda, dans l'application numé-
rique qu'il fait des quatre propositions, parait avoir ignoré complètement leur destina-
tion; et ne nous fournit aucune donnée ni aucune lumière à ce sujet.

Mais ayant reconnu qu'il est question, dans la plupart des autres propositions dont
nous avons déjà parlé, du tétragone inscrit au cercle, nous avons pensé d'abord qu'il en
était de même des quatre propositions dont il s'agit. Ensuite, la première de ces quatre
propositions, exprimée algébriquement, nous présentant la formule qui sert pour la
construction d'un rectangle dont les côtés et les diagonales soient des nombres ration-
nels, et celle-ci, d'ailleurs, faisant suite dans l'ouvrage aux deux propositions qui nous
ont déjà paru avoir incontestablement pour objet, de construire un triangle dans lequel
les perpendiculaires et conséqucmment l'aire et le diamètre du cercle circonscrit, fussent
exprimés en nombres rationnels, nous avons été conduit naturellement à supposer que
c'était une question analogue que Brahmegupta avait résolue pour le tétragone inscrit.

En effet, en formant avec les quatre côtés dont l'expression est donnée par chacune des
quatre propositions, un tétragone inscriptible au cercle, et en appliquant à cette figure
les différentes formules que contiennent les autres paragraphes de l'ouvrage pour le cal-
cul de l'aire du tétragone, de ses diagonales, de ses perpendiculaires, du diamètre du
cercle circonscrit, et des segmens que différentes lignes font les unes sur les autres, nous
avons trouvé que toutes ces formules donnent des expressions rationnelles. Nous avons
dû en conclure que tel avait été l'objet des quatre propositions de Brahmegupta.

La proposition du § 38 nous donne lieu à plusieurs observations.

Les quatre côres du tétragone ont pour expressions ac , bc , a'c et A'c. L'auteur a pres-
crit l'ordre dans lequel ils seront placés; les deux extrêmes seront opposés. D'après cette

' ' Itoui détignerons plua loin cei deux triaoglei son* le nom de triangle* générateur*.

438

NOTES.

règle, on reconnaît aisément qu'ils proviendront de la multiplication des deux côtés d'un
même triangle par l'hypoténuse de l'autre; et les deux moyens de la multiplication des
deux côtés de celui-ci par l'hypoténuse du 1". Car la somme des carrés des deux côtés
ae', be', est égale à la somme des carrés des deux autres côtés a'c, b'c; cette somme étant
c^c'^. Ce qui prouve que si ac' est le plus grand côté , bc' sera le plus petit ; conséquem-
ment ac et bc' , qui proviennent de la multiplication des côtés d'un même triangle par
l'hypoténuse de l'autre, seront opposés entre eux, dans la construction du tétragone.

Nous concluons de là que la somme des carrés des deux côtés opposés est égale à la
somme des carrés des deux autres côtés; et le quadrilatère étant supposé inscriptible dans
le cercle, il résulte de cette égalité des sommes des carrés des côtés opposés, que le* deux
diagonales du quadrilatère sont à angle droit. Ainsi il est démontré géométriquement
que dans le § 38 ,1e mot trapèze s'applique exclusivement au quadrilatère qui a ses dia-
gonales à angle droit.

Soit ABCD le trapèze ; on aura

AB = ac' , BC = a'c , CD = bc' , et AD = b'c.
Les formules du § 28 donnent pour ses diagonales :

AC = ab' -+- ba' , BD = aa' h- bb'.

0

V IJ

On peut calculer l'aire du trapèze par la formule du § 21 ; mais il est plus simple de
remarquer que les diagonales étant à angle droit , celte aire est égale au demi-produit de
ces deux lignes ; ainsi son expression est | (ab' -+- ba') [aa' -f- bb'}.

Le diamètre du cercle circonscrit est égal , suivant la seconde partie du § 26 , à la racine
carrée de la somme des carrés des deux côtés opposés , qui est ici :

b'c" = c'Va'

b' = ce'.

Les perpendiculaires BE , CF abaissées des deux sommets B, C, sur la base AD , calculées
dans les deux triangles ABD, ACD, par la règle du § 22, ainsi qu'il est dit par Brahme-
gupta , au § 29, sont :

BE = -(«

bb') , CF = - (ab'

C

ba').

NOTES. 439

Les segmens que ces perpendiculaires font sur la base AD , sont :

AE = - (ab' — 60') , DE B= i (aa' h- bb') ,
e c

h a

DF=- (bb'—aa'), AF= - (ai' + Aa').

Les segmens faits sur les deux diagonales, à leur point d'intersection, calculées par la
règle du § 30-31 , sont :

A0 = a6', C0 = o'6, BO = oa', DO = W.

La perpendiculaire 01, dans le triangle AOD , calculée, comme il est dit au § 30-31 ,
(ou par une proposition résultante de la similitude des deux triangles EBD, lOD), est
01 =^; et son prolongement OL, jusqu'à la base supérieure, est égal , suivant la règle
du même paragraphe, à la demi-somme des deux perpendiculaires BE, CF, moins OU
d'où OL = i àc.

Enfin nous n'avons pas besoin de donner les expressions des segmens faits sur les diago-
nales et les perpendiculaires, par leur intersection, non plus que sur les côtés opposés ;
parce que tous ces segmens, dans un quadrilatère quelconque , sont exprimés rationnelle-
ment en fonction des eûtes, des diagonales et des perpendiculaires.

Ainsi toutes les parties de la figure sont rationnelles.

Nous pouvons donc regarder la proposition du § 38 comme ayant eu pour objet de
former un tétragone ayant ses quatre côtés inégaux, qui fût inscriptible au cercle, et dans
lequel toutes les expressions que Brahmegupta a appris à calculer par ses autres proposi-
tions , fussent rationnelles.

Ces expressions ne sont point calculées dans l'ouvrage indien. On ne doit pas en être
étonné, puisque Brahmegupta se borne toujours au simple énoncé , le plus succinct pos-
sible, de ses propositions , sans en donner aucune démonstration, ni aucune Térification
à posteriori.

Nous faisons cette observation parce que Bhascara donne , comme formant une propo-
sition nouvelle qu'il s'attribue, les expressions des diagonales AC, BD, et reproche aux
écrivains qui l'ont précédé, particulièrement à Brahmegupta, d'avoir omis cette règle,
beaucoup plus courte , dit-il, que la formule du § 28 qu'ils ont donnée.

Les valeurs assignées aux côlés du quadrilatère par l'énoncé de la proposition § 38 , et
les valeurs que nous avons trouvées pour les segmens OA , OB , OC , OD , font voir que les
côtés de chacun des quatre triangles AOB , BOC , COD , DOA , qui sont rectangles en 0 et
qui composent le quadrilatère, proviennent respectivement de la multiplication des trois
côlés de chaque triangle générateur , par un côté de l'autre triangle. Ainsi les trois côtés
du triangle AOB sont ac' , ah' , aa' ; ils proviennent de la multiplication des côlés e' ,b' ,
a', du second triangle générateur par le côté a du premier.

On peut donc, non-seulement déterminer les quatre côtés du quadrilatère, au moyen
des deux triangles générateurs, mais aussi effectuer la construction du quadrilatère. Car

440 NOTES.

il suffit de former, comme nons venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB,
BOG, COD, DOA , et de les réunir ensemble. C'est ainsi que les scoliastes, particulière-
ment Ganesa, dans ses notes sur l'ouvrage de Bhascara, ont compris la construction du
quadrilatère; et ont suppléé de la sorte à la condition d'inscriptibilité au cercle, que
nous supposons avoir été dans les intentions de Brahmegupta. On conçoit dès lors com-
ment Chaturveda a pu faire des applications numériques des règles de Brahmegupta, en
ignorant cette condition d'inscriptibilité.

Avec les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit au cercle, on peut former deux autres
quadrilatères qui seront inscrits dans le même cercle. Ainsi a, S, y, â, étant les quatre
côtés, pris consécutivement, du quadrilatère, on peut les placer dans l'ordre «, ê, â, y,
ou bien dans l'ordre a, y, ê, â. Ces trois quadrilatères ont, deux à deux, une même dia-
gonale; de sorte que de leurs six diagonoles il n'y en a que trois différentes; les trois
autres étant égales respectivement à ces trois premières *.

Si l'on applique cette remarque à la figure de Brahmegupta, les deux nouveaux qua-
drilatères ne seront plus des trajièzes, c'est-à-dire, qu'ils n'auront plus leurs diagonales
à angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles ; ainsi que toutes les autres par-
ties du quadrilatère que nous avons calculées pour le trapèze. De sorte que les deux
nouveaux quadrilatères satisfont à la question générale que nous supposons que l'auteur
hindou s'est proposée ; aussi aurait-il pu comprendre ces deux quadrilatères dans sa solution.

L'existence de ces deux nouveaux quadrilatères a été connue de Bhascara, qui a donné
l'expression de la troisième diagonale; mais qui n'a nullement aperçu quel était l'objet
de la proposition de Brahmegupta, soit par rapport à l'inscriptibilité au cercle, soit par
rapport à la rationalité des différentes parties de la figure.

Cette troisième diagonale est égale à ce. C'est précisément la valeur du diamètre du
cercle circonscrit au quadrilatère. Ce qui prouve que le quadrilatère a deux angles droits
qui sont opposés. Cette forme particulière du quadrilatère , qui mérite d'être remarquée ,
ne l'a pas été par Bhascara ^

• Ces trois quadrilatères ont la même surface. Leurs trois diagonales diffe'rentes ont avec cette surface et le
diamètre du cercle circonscrit une relation qui consiste en ce que : Le produit des trois diagonales , divisé par
le double du diamètre du cercle circonscrit, est égal à l'aire de l'un des quadrilatères.

Cette proposition parait due à Albert Girard, qui l'a «inoncée dans sa Trigonométrie. Nous ne trouvons pas
qu'elle ait été reproduite depuis.

2 Cette propriété du quadrilatère, d'avoir deus angles droits, fait voir que la question de construire un
quadrilatère inscriptible au cercle , dont les côtés , l'aire , les diagonales , les perpendiculaires , ainsi que le
diamètre du cercle, soient exprimés en nombre rationnels, est susceptible d'une solution très-simple , qui con-
siste à prendre pour le diamètre du cercle un nombre rationnel quelconque , et à décomposer de deux manières
différentes le carré de ce nombre en deux autres carrés, les racines de ces nombres carrés seront les côtés du
quadrilatère. On formera de cette manière les mêmes quadrilatères que par la méthode de Brahmegupta.

Il est facile de voir que l'on peut encore opérer ainsi : Que l'on prenne un triangle scalène quelconque ABC ,
de manière que ses côtés et sa perpendiculaire soient des nombres rationnels ; et que par ses deux sommets B ,
C, on élève des perpendiculaires sur les côtés AB, AC, respectivement. Ces droites se couperont en un point D,
et le quadrilatère ABDC satisfera à la question. En changeant l'ordre de ses côtés on formera le trapèze de
Brahmegupta.

NOTES. 441

Reprenons les expressions do la perpendiculaire CF el du segment FD. On a

b b

CF=: - (o6'^-io'), VD=- (bb' — aa').
c c

Les deux lignes CF, FD, sont les côtés d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est
CD = Ac'. Ces expressions ne contiennent pas explicitement la quantité c' , ni par consé-
quent le c6té CD, mais seulement les quantité a, b', dont la somme des carrés est égale
au carré de o', ou CO = a'b et DO = b'b , dont la somme des carrés est égale au carré
de CD. Ces expressions seraient donc encore rationnelles , quand bien même c', ou le côté
CD, ne le serait pas. Par conséquent les lignes CF, FD donnent une solution géomé-
trique de ce problème. Décomposer tin nombre donné [carré ou non) en deux nom-
bref carrée, connaitgant une première solution de la question.

Remplaçons o'', par A; on pourra exprimer ainsi, algébriquement, la question et sa
solution;

Pour résoudre l'équation x' -+- y = A , en nombres rationnels, quand on connaît
un premier système de racines x', y', de cette équation, on prendra arbitrairement
trois nombres carrés , a, b, c, tels que Von ait a' -t- b' = c^; et les racines cherchées

seront

ay' ■+- bif

c
hy' — ax'

y = —c —

Ces formules, auxquelles conduit naturellement la question géométrique de Brahme-
gupta, contiennent virtuellement les formules générales pour la résolution de l'équation
Ca?' ± A=y' ', que l'on a trouvées, au grand étonnement des géomètres européens,
dans l'algèbre de cet auteur hindou, et qui, dans le siècle dernier, avaient fait honneur
au grand Euler, qui, le premier, y était parvenu parmi les Modernes.

' En effet , dans l'ëqiiation à résoudre j:^ + y^ =: A , et dans les deux équations de condition x'^ -i- y'^ ^ K
et o^-t-A^^c*, remplaçons 4? par x\/C, x' par x\^C, a par oJ/Cj elles deviendront

Cx"

+ ?=■ = A,

Cx'"

+ y''= A,

Ca3

-t- i3 = c»;

et les

expressions

des

racine*

X

et

y

deviendrontj

, par ces substitutions,

S
V

ay' ■+■ bx'

0

Cax' — hy-

c
Ce sont les racine* de l'équation Cjt^ -|- y!> = A.

maintenant observons que ce* racine* satisfont k cette équation , quelle* que soient le* valeurs des deux

To». XL 56

442 NOTES.

Les Indiens faisaient usage concurremment de l'Algèbre et de la Géométrie dans leurs
spéculations mathématiques ; de l'algèbre pour abréger et faciliter la démonstration de leurs
propositions géométriques, et de la Géométrie pour démontrer leurs règles d'algèbre et pein-
dre aux yeux , par des figures , les résultats de l'analyse. Nous verrons des exemples de cette
manière d'opérer, dans plusieurs passages des ouvrages de Bhascara, et dans les ouvrages des
Arabes, qui ont reçu des Indiens cette alliance de l'algèbre à la Géométrie. Il paraît donc pos-
sible que les Indiens soient parvenus à leur solution des équations indéterminées du second
degré , par des considérations géométriques puisées dans la question du § 38, et que ce soit là
la raison primitive de la présence du morceau de Géométrie intercalé dans les Traités d'a-
rithmétique et d'algèbre de Brahmegupta. Ce qui viendrait à l'appui de cette conjecture,
c'est qu'il paraît que les Arabes s'étaient aussi occupés des équations indéterminées du second
degré, et qu'ils les avaient résolues par des considérations géométriques; ce en quoi ils
auraient été , probablement, les imitateurs des Indiens. Cela semble résulter d'un passage
de Lucas de Burgo, qui, dans sa Summa de Arithînetica , Geotnetria, etc. (distinctio
prima , tractatus quartus) , parle du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise,
où se trouvait résolue l'équation x- -t- y"= A , par des considérations et des figures géo-
métriques. Les formules de Léonard de Pise, que Lucas de Burgo rapporte', sont les

nombres C et A, qui par conséquent peuvent être supposés négatifs. De sorte que l'équation peut prendre

la forme ,

0*2 ± A = y2 .

et ses racines deviennent

/ ay' -t- bx'

' X =

c

(1) " r . , '

Cax ■+- by

Nous donnons le signe possitif à la valeur de y, parce que cette variable n'entrant qu'au carré dans l'é-
quation, son signe est indilTérent.

Les équations de condition entre x' et y' d'une part, et a, 4^ c, de l'antre, sont

Cx'^ ± A = 2/'3,
Ca2 -+- c3 = 4a.

C'est-à-dire que x' et y' sont un système de racines de l'équation proposée; et que - et - sont un système
de racines de l'équation Cx^ -\-\ ^ y^.

Les formules (1) qui résolvent l'équation Cx^ rt A = j^ sont précisément celles que l'on trouve dans l'al-
gèbre de Brahmegupta (section VU; pag. 364 et art. 63 de la traduction de M. Colebrooke.)

Ainsi ces formules générales pouvaient se déduire facilement de la simple question de Géométrie traitée
par l'auteur indien.

' Cardan dit aussi avoir emprunté de Léonard de Pise ces mêmes formules, qu'il donna, sans démonstra-
tion, dans sa Practica Arithmetice (chap. 68, question 44). Viète est le premier qui les ait démontrées, au
commencement du IV» livre de ses Zététiques. Sa démonstration est analytique. Peu de temps après, Alexandre
Andersen s'est aussi occupé de cette question d'analyse indéterminée, et a démontré par des considérations
géométriques les formules de Diophante , qui sont différentes de celles de Léonard de Pise ( voir Exercitatio-
num mathematicarum Decas prima. Paris , 1619, in-4'»).

Dans les notices historiques sur les équations indéterminées du second degré , on ne fait remonter qu'à

NOTES. 443

mêmes que celles que nous avons déduites de la question géométrique de Brahmegupta.
Or, Léonard (le Fisc avait rapporté ses connaissances mathématiques de l'Arabie. Nous
devons donc attribuer ses formules, pour la résolution des équations indéterminées du se-
sond degré, aui Arabes ; et penser que ceux-ci les avaient reçues des Indiens.

Après avoir formé notre opinion sur les questions précises qui avaient été l'objet des
§§ 21 à 38 de l'ouvrage de Brahmegupta, nous avons été curieux de savoir si, parmi les
Modernes, et à quelle époque, les mêmes questions avaient été traitées; et si l'on pouvait
établir une sorte de comparaison entre le travail des géomètres hindous et celui des géo-
mètres européens.

Voici ce que nous avons trouvé à ce sujet :

J.-B. Bencdictis a résolu la question de construire avec quatre côtés donnés un qua-
drilataire inscriptihle dans le cercle {voir son recueil intitulé : Diversarum specida-
tionum nutthemalicarum et p/iysicarum liber. Taurini , 1585 ; in-fol°). Ce problème lui
avait été proposé par le prince Charles-Emmanuel de Savoie.

En 1504, le célèbre Joseph Scaliger en inséra une solution inexacte dans ses Cyclome-
trica elementa duo (Lejde, in-fol. ). a, b, c, d, étant les quatre côtés donnés, on
conclurait de cette solution que le diamètre du cercle dans lequel le quadrilatère formé
avec ces quatre côtés serait inscrit, aurait pour expression Va'^^P ■+■ V c- -\- </2, D'où
il suivrait que le problème admettrait deux autres solutions , pour lesquelles les diamètres
des cercles seraient V'a- -\- c- + Vb- -t- </-, et Va- -*- d- -\- ]/b^ -+- c\ De sorte que Scali-
ger aurait, dans le fait, résolu avec la ligne droite et le cercle une question qui aurait
dû dépendre, en analyse , d'une équation du troisième degré. Mais il est vrai que cette
remarque, s'il l'a faite, ne pouvait l'arrêter; car on sait que sa grande réputation
littéraire le portant à ambitionner aussi le premier rang parmi les mathématiciens , il
avait résolu non-seulement le problème de la quadrature du cercle, qui était l'objet de
ses Cyclometrica elementa, mais aussi celui d'inscrire dans le cercle tout polygone régu-
lier d'un nombre impair de côtés '.

Cet ouvrage fut réfuté aussitôt qu'il parut par Errard, de Bar-le-Duc, ingénieur du
roi * ; et ensuite par Viéte * , Adrianus Romanus * et Clavius '.

Fermât l'origine de» traTanx des géomètres modernes. On aurait dû citer, ayant Fermât, Léonard de Pise,
Lucas de Burgo , Cardan et Viète surtout , qui te sont servis des formules mêmes sur lesquelles repose et d'où
peut se déduire la solution générale d'Euler.
' Elementum prius ; prop». XV.

3 Réfutation de ijuelgues propositions du livre d» M. De l'Escale , de la quadrature du cercle , par lui intitulé:
Cyclometrica elementa duo. Lettre adressée au roi. Paris, septembre, 1594; chei Auray, rue S'-Jean-dc-Beau-
vais, au Bcllérophon couronné.

Peu de mots suffisent & Errard pour montrer la fausseté des propositions 5< et 6* de Scaliger , qui disent, .
1" Que le circuit du dodécagone inscrit au cercle peut plus gue le circuit du cercle ; et 2° que le carré du circuit
du cercle est décuple au carré du diamètre.

' Cette réfutation est l'objet du Pseudo-.Vesolahum etalia quœdam adjuncta capitula, qui parut en 1606.

4 Apologia pro Archimede, ad clariss. virum Josephum Scaligcrum. Esercitationes cyclicce contra J. Scali-
girum, Orontium finœum , et Raymarum Crsum , in deccm dialogos distinctœ. VVuceborgi, 1697, in-fol.

' Voir sa Géométrie pratique.

444 NOTES.

Viète, à ce sujet, résolut la question du quadrilatère, et montra les paralogismes qui
avaient égaré Scaliger. Sa solution parut en 1596 dans son Pseudo-Mesolahum.

Nous trouvons ensuite Prœtorius, qui consacra à cette question un livre intitulé:
Prohlema , quodjubet ex quatuor redis lineis datis quadrilaterum fieri , quod sit in
circula, aliquot niodis explicatum ; à Johan. Pr^torio Joachimico. Norinbergœ , 1598,
in-4° (de 36 pages).

Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports ; d'abord par quelques indications
qu'il contient sur l'histoire du problème; et ensuite parce que, résolvant la même ques-
tion que Brahmegupta, au sujet des conditions de rationalité de quelques parties de la
figure , il nous fournit un point de comparaison entre les Indiens et nous , dans une ques-
tion particulière et originale chez l'auteur hindou , comme chez l'auteur européen.

Prœtorius nous apprend qu'anciennement ce problème avait été traité , et que l'on avait
cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, et l'aire de cette figure; qu'en-
suite Regiomontanus avait aussi proposé ces questions ; puis , que Simon Jacob avait cal-
culé les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle. Enfin il cite la solution de
Viète, et ajoute que, plus récemment encore, d'autres solutions en ont été données;
mais qu'il ne les connaît pas.

Après ce préambule historique, Prœtorius résout le problème en cherchant les ex-
pressions des diagonales , et montre comment on calculera le diamètre.

Ensuite il se propose de déterminer quatre nombres qui , étant pris pour les côtés du
quadrilatère, donnent pour les diagonales, ainsi que pour le diamètre du cercle, des va-
leurs rationnelles. Et il résout cette question de différentes manières. Dans l'une, il trouve
pour les côtes du quadrilatère les quatre mêmes nombres 60, 52, 25 et 39, qu'emploie
Brahmegupta. Mais il ne les place pas dans le même ordre, et il forme ainsi un quadrila-
tère différent de celui du géomètre indien '. Dans l'exemple suivant, il remarque qu'on
peut changer deux côtés de place , et il forme avec d'autres nombres , qui sont 52 , 56, 39
et 33, un autre quadrilatère inscriptible. Nous avons reconnu que ce quadrilatère a ses
diagonales rectangulaires comme celui de Brahmegupta; ce que Prœtorius n'a pas ob-
servé. Ce géomètre n'a pas remarqué non plus que différentes parties du quadrilatère,
que Brahmegupta a calculées, étaient aussi exprimées en nombre rationnels, comme
les diagonales et le diamètre du cercle. De sorte que l'on peut dire que Brahmegupta

' Prœtorius prend un triangle quelconque ABC, ayant ses cotés rationnels et tels que sa perpendiculaire
soit aussi rationnelle. 11 le construit au moyen de deux triangles rectangles , comme nous Pavons dit au sujet
du § 34 de Brahmegupta, Deux côtds de ce triangle AB, AC, sont pris pour deux côtés consécutifs du quadrila-
tère cherché, et le troisième BC, pour la diagonale qui les soutend. Il reste à construire les deux autres
côtés du quadrilatère; Prsetorius détermine leurs longueurs en menant quelques lignes, et en faisant deux
proportions.

Cette solution peut être singulièrement abrégée; car nous avons reconnu qu'il suffit de mener par les
points B, C, deux droites perpendiculaires aux côtés AB et AC, respectivement. Ces droites sont les deux
côtés cherchés.

Cette constructon fait voir que le quadrilatère de Prœtorius a deux angles droits, et que sa seconde diago-
nale est précisément le diamètre du cercle circonscrit ; ce que ce géomètre n'a peut-être pas aperçu.

NOTES. 445

a plus approfondi celte question, et l'a traitée plus complètement que les Modernes.

Dans sa dernière solution, Praetorius prend pour les côtes consécutifs du quadrilatère
les nombres 33 , 25, 1 H et 00, et il dit que « ce sont ceux que Simon Jacob a proposés,
sans montrer la voie qui l'avait conduit à cette solution. » Cela nous fait supposer que
Simon Jacob avait résolu aussi , outre lu question de construire un quadrilatère inscrip-
tible au cercle, avec quatre côtés donnés, celle de trouver, en nombre rationnels,
quatre côtés pour lesquels les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle fussent
rationnels '.

Nous ne connaissons que l'ouvrage de Praetorius où , depuis Simon Jacob, on ait traité
cette seconde question; quoique le problème de construire le quadrilatère inscriptible,
avec quatre côtés donnés, ait continué d'occuper quelques géomètres. Ludoiph VanCeulen
l'a résolu dans ses Prohlemata mi»cellanea ; ainsi que Snellius, dans les notes dont il
a enrichi sa traduction, du hollandais en latin, de cet ouvrage de Ludoiph. Quoique
Snellius y cite l'ouvrage de Prœtorius , il n'a point fait mention des nouvelles questions
que celui-ci avait résolues.

Enfin nous citerons J. De Billy (1002-1679), géomètre d'un grand mérite, qui, cepen-
dant, s'est mépris dans la construction du quadrilatère inscriptible avec quatre côtés;
parce qu'il a pensé que le problème était indéterminé, et que l'on pouvait prendre une
condition de plus, telle qu'une relation entre les deux diagonales. Il crut le résoudre en
se donnant le rapport des diagonales, puis leur somme , et enfin leur différence 2.

Nous avons cité, au sujet du § 21 , les géomètres qui se sont occupés particulièrement
de l'élégante formule pour l'aire du quadrilatère.

' Simon Jacob n'eat c!té par aucun historien dea mathématique*, et parait être aujourd'hui tout-à-fait in-
connu ; cependant noua trouvons dans le premier Tohime de la Bibliothèque mathématique de Hurhard , qu'il eat
auteur de deux ouTrages allemands qui ont eu un grand nombre d'édltiona. Le premier, intitulé Recherches
sur les liijnes [Rechnung aufder Linie ; Francfort, in-8») a paru eu 16.57, et a été réimprimé en 1689, 1590,
1699, 1607, 1608, 1610 et 1613. Le second, Nouveau traité élémentaire du calcul dos lignes et des nombres,
suivant la pratique italienne [ £in neu und iiohlgeyrûndet Rechenbuch auf der Linio und biffent , samt der
Welschen l'ractic, etc., in-4^), parut en 1560 et a été réimprimé en 1665, 1600 et 1612.

Roua trouvons encore dans la Bibliothèque mathématique de Murliard, que Simon Jacob, professeur de ma-
thématiques à Francfort-snr-Hein , a revu et fait paraître, en 1664, une édition d'un ouvrage de Pierre Apian
(1600-1662J, sur lea calcula relatifs au commerce.

Schooten cite Simon Jacob dans deux passages de ses Sectiones miscellanea , et l'appelle celehris arilhme-
ticvs (voy. Exercitationes mathematicœ , pag. 404 et 410). On y voit que ce géomilre avait imaginé plusieura
progressions telles , que chacun de leurs termes étant exprimé en fraction, le numérateur et le dénominateur
étaient les cotés de Tanglo droit d'un triangle rectangle dont l'hypothénuse était rationnelle

* Diofhantus geometra , sive opus contcxtum ex arithmeticâ et geometriâ simul, etc. Paris, 1660, in-4°,
p. 188 et 189.

Jacques de Billy , que Heilbronner et Hontucla citent i peine , fut un tréa-aavant algébriste , estimé dea plus
célèbrea mathématicicna de aon temps, en particulier de Fermât et de Bachet de Héxiriac. On trouve dana lea
Mémoires de lVicéron,t. 40, la liste des nombreux ouvrages qu'il a mis au jour, et de ceux, en plus grand
nombre, qui août restés manuscrits; ceux-ci faisaient partie do la bibliothèque des jésuites de Dijon : il parait
qu'ils n'ont pas passé dans celle de la ville , car nous n'en trouvons aucun dans lea catalogues de Hœnel.

S'ils existent encore , il serait bien à désirer qu'on fit connaitre au moins une analyae ou one table det matièrea
traitéea dana cea raanuacrita, qui étaient au nombre d'une vingtaine.

446 NOTES.

La théorie du quadrilatère inscrit n'offre plus aujourd'hui aucune difficulté , et a passé
dans les ouvrages élémentaires où l'on donne le théorème de Ptolémée sur le produit des
deux diagonales, et un second théorème sur le rapport de ces lignes ; de ces deux propo-
sitions se déduisent les valeurs des deux diagonales. M. Legendre a complété cette théorie
en donnant dans les Notes jointes à ses Elément de Géométrie, Ja démonstration, par le
calcul, des formules pour l'aire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit.
Mais je ne sache pas que l'on ait jamais, depuis Prœtorius, résolu la question de con-
struire un quadrilatère inscriptible , dont les parties fussent rationnelles ; ni même que
l'on ait fait attention à l'ouvrage de ce géomètre. L'apparition de cette question dans le
traité de Brahmegupta semble donner une sorte d'à propos , et un nouveau mérite à celui
de Prœtorius '.

Nous terminerons ici nos observations sur les dix-huit premiers paragraphes de la partie
géométrique de Brahmegupta. Les autres paragraphes offrent peu d'intérêt. Nous y remar-
querons seulement le rapport de la circonférence au diamèlre, exprimé par la proposi-
tion du § 40 , lequel serait égal à VlQ. Il paraît, d'après le texte anglais 2, que Brahme-
gupta a regardé cette expression comme étant le rapport exact de la circonférence au
diamètre. Chaturveda, dans ses notes, semble le croire ainsi. Cela ne nous étonne point
de la part de ce scoliaste; mais il est difficile de penser qu'un géomètre qui a été capable
d'écrire sur la théorie du quadrilatère inscrit au cercle, et de résoudre les questions que
nous avons trouvées dans l'ouvrage de Brahmegupta, ait commis celte faute. Il est vrai
que la quadrature du cercle a été aussi l'écueil d'un grand nombre de géomètres modernes ,
qu'elle a entraînés dans des erreurs semblables; quoique plusieurs d'entre eux eussent
donné des preuves d'un véritable et profond savoir en mathématiques. Il nous suffira de
citer Oronce Finée et Grégoire de S'- Vincent.

L'expression V^IO est précisément le rapport que J. Scaliger disait avoir trouvé le pre-
mier, et croyait avoir démontré géométriquement: mais on connaissait depuis long-temps
en Europe cette expression, qu'on savait n'être qu'approchée. On l'attribuait aux Arabes
ou aux Indiens, et l'on supposait que ces peuples l'avaient regardée comme étant exacte.

En effet, Purbach (1425-1461), dans son livre intitulé : Tractatus Georgii Peur-
bachii super propositiones Ptolemœi de sinibus et chordis , s'exprime ainsi , Indi vero

' J. Praetorius (1557-1616), n'est cité, généralement, que comme inventeur de l'instrument géodésique
appelé la planchette , qui pendant long-temps a eu le nom de Tabula Prœtoriana ; mais il fut un géomètre très-
habile et trcs-considéré dans son temps. Snellius . en citant son ouvrage sur le quadrilatère , s'exprime ainsi :
Clarissimus J. Prœtorius harum artium scientia nulli secundus j de quatuor lincis in circula inteyrum lihrum
puhlicavit , in quo multis modis ingeniosè sanè et acutè hoc idem prohlema effici passe demonstravit.

Le célèbre professeur de mathématiques Doppelmayer lui a consacré une notice dans sa biographie des ma-
thématiciens et artistes de Nuremberg. 1730, in-fol. (en allemand), où l'on voit que Praitorius a imprimé peu
d'ouvrages ; mais que plusieurs de ses manuscrits sont conservés à Altorf, où il a vécu dans la plus grande estime
pendant quarante ans.

On trouve un extrait de cette notice dans l'ouvrage de géodésie pratique de J.-J. Marinoni, intitulé ;jDe re
ichnographicd , cujus hodierna praxis exponitur , etc. Vienua; A.ustriœ, 1751, in-4<>.

2 The diameter and the square of the semidiameter , leing severally multiplied Jy three, are the practical
circumference and area. The square-roots extracted from ten times the squares oftho same arc the neat values.

* NOTES. 447

dicunt , ti qui» toiret radiée* numerorum rectâ radiée carentium invenire, ille faci-
liter inveniret , quanta ettet diameter retpectu eircumferentiœ. Et teeundum eot , ti
diameter fuerit unitai , erit circumferentia radix de decem : ti duo, erit radix de
quadraginta : ti tria, erit radix de nonaginta : et tic de aliit , etc. Rcgioinontanus
( 1436-1476 ), au contraire, attribue le rapport V\0 aux Arabes. Voici ses paroles : Ara-
het olim circulum quadrare polliciti ubi eircumferentiœ tuœ œqualem rectam det-
criptittent, hanc pronuntiavere tententiam : ti circuli diameter fuerit ut unum ,
circumferentia ejut erit ut radix de decem. Qiiœ tententia cum tit erronea... Butéon
(1492-1.')72), dans le second livre de son ouvrage De quadraturâ circuli , libri duo
(Lyon , 1559 , in-8°), où il fait l'histoire de ce problème, et réfute les paralogismes qu'il
avait déjà occasionés, énonce en ces termes la même opinion que Kcgiomontanus : Te-
TRAGONiSMus SECVKDUM Arabes. Omnit circuU perimetrot ad diametrum. décupla ett

potentià Putet igitur hujutmodi tetragonitmum teeundum Arabet ette faltum , et

extra limitet Archimedit.

Sur la Géométrie de Bhascara Acharyn.

Les ouvrages de Bhascara sont, comme ceux de Brahmegupta, un traité d'arithmétique,
que l'auteur appelle Lilavati, et un traité d'algèbre qu'il appelle Bija-Ganita.

La Géométrie se trouve comprise dans le Lilavati, où elle forme les chapitres VI, VII,
VIII , IX , X et XI, sous les §§ 133-247.

Le chapitre VI est le plus considérable ; il traite des figures plants : les autres sont peu
de chose, et ont les mêmes titres, excavationt , ttackt , etc., que dans le traité de Brah-
megupta.

Le Bija-Ganita contient aussi quelques questions de Géométrie , qui s'y trouvent comme
applications des règles de l'algèbre , et qui sont résolues par le calcul. On remarque encore
dans cet ouvrage quelques propositions algébriques qui y sont démontrées par des consi-
dérations géométriques. Nous ferons connaître ces propositions isolées , après que nous
aurons examiné la partie géométrique proprement dite.

Nous diviserons celle-ci en cinq parties : les trois premières seront relatives au triangle
en général, au triangle rectangle et au quadrilatère; la quatrième comprendra quelques
propositions sur le cercle ; et dans la cinquième seront les règles pour la mesure des volu-
mes, et le chapitre sur l'usage du gnomon.

Première partie : Proposilionx tiir le triangle.

1° Théorème du carré de l'hypoténuse, § 134.

2° Expression des segmens faits sur la base d'un triangle par la perpendiculaire ; et
expression de la perpendiculaire, §§ 163-104, 165, 166.

3° L'aire du triangle est égale à la moitié du produit de la base par la perpendiculaire,
§1641.

' Le commentateur Ganéta démontre autrement que noui n'avont coutume de le faire, d'après Euclide, que
l'aire du triangle est égale a la moitié du produit de la base par la perdendiculaire.

448 NOTES. «

4° Formule qui donne l'aire du triangle en fonction des côtés, § 167.

Nous l'énoncerons ci-dessous, au sujet du quadrilatère.

Deuxième partie : Sur le triangle rectangle.

1° Régies pour former un triangle rectangle en nombres rationnels;

Quand un côté est donné , §§ 139, 140, 141, 14.3, 145;

Quand l'hypoténuse est donnée, §§ 142, 144, 146.

2° Construire un triangle rectangle dont on connaît un côté et la somme ou la diffé-
rence de l'hypoténuse et du second côté, §§ 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153.

3" Règle pour déterminer sur un côté d'un triangle rectangle le point dont la somme
des distances aux extrémités de l'hypoténuse est égale à la somme des deux côtés de l'an-
gle droit , §§ 154, 155.

4° Construire un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse et la somme ou la
différence des deux côtés de l'angle droit, §§ 156, 157, 158.

Troisième partie. Propositions sur le quadrilatère.

1» La demi-somme des côlés est écrite quatre fois, on en retranche séparément les
côtés, et l'on fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est l'aire, inexacte
dans le quadrilatère , mais reconnue exacte dans le triangle ; §§ 167 , 168.

C'est la formule de Brahmegupta , que Bhascara a copiée , sans l'avoir comprise , et sans
avoir aperçu qu'il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Yoilà pourquoi il dit
que la règle est inexacte pour le quadrilatère ; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de
demander l'aire d'un quadrilatère dont on ne connaît que les côlés , parce qu'avec les
mêmes côlés, dit-il, on peut former plusieurs quadrilatères différens '. §§ 169-170,
171, 172.

2° Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange , l'aire est égale à la moitié du produit

Il forme un rectangle qui a même base que le triangle , et pour hauteur la moitié de la perpendiculaire. La
base supérieure du rectangle retranche du triangle un petit triangle qui est divisé par la perpendiculaire en
deux triangles rectangles. Ceux-ci sont égaux respecti\ement aux deux triangles qu'il faut ajouter à la portion
inférieure du triangle proposé pour compléter le rectangle. D'où il conclut que l'aire du triangle est égale à
celle du rectangle, et conséquemment égale au produit de la base par la moitié de la perpendiculaire.

Cette démonstration est très-simple et parle aux yeux autant qu'à l'esprit. C'est celle qu'emploient les Arabes,
et qui a été adoptée à la renaissance, particulièrement par Lucas deBurgo etTartaléa.

' Le scoliaste Suryadasa, auteur de deux commentaires excellen», sur le Lilavati et le Bija-Ganita (Cole-
brooke ; Brahmegupta and Bhascara, al<jebra,p. ïxvi), ne paraît pas avoir été plus habile que Bhascara dans
l'intelligence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singulière raison pour prouver que l'aire est
exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatère :

Il Si les trois restes sont additionnés ensemble , leur somme est égale à la moitié de la somme de tous les côté».
Le produit de la multiplication continue des trois restes étant multiplié par la somme de ces restes , le produit
ainsi obtenu est égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la base.
C'est une quantité carrée , car un carré multiplié par un carré , donne un carré. La racine carrée étant extraite ,
le résultat est le produit de la perpendiculaire par la moitié de la base, et c'est l'aire du triangle. Donc la véri-
table aire est ainsi trouvée. Dans un quadrilatère, le produit de la multiplication ne donne pas une quantité
carrée, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est l'aire de la figure ; non pas toutefois la véritable,
car divisée par la perpendiculaire elle devrait donner la moitié de la somme de la base et de la corauste. n
{Lilavati, p. 72).

ï

NOTES. 449

des deux diagonales. L'aire du rectangle est le produit de la base par la hauteur; § 174.

3" Dans le quadrilatère dont les deux perpendiculaires sont égales , l'aire est le produit
de la demi-somme des deux bases par la perpendiculaire; §§ 175 , 177.

4° Dans le losange, la somme des carrés des deux diagonales est égale à quatre fois le
carré du côté; § 173-175.

5" Formules qui donnent les segmens que les diagonales d'un quadrilatère dont les
flancs sont perpendiculaires sur la buse , font l'une sur l'autre par leur point d'intersec-
tion; et expression de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la base; § 150, 160.

6" Connaissant les côtés d'un quadrilatère, et l'une de ses diagonales, trouver l'autre
diagonale, les perpendiculaires du quadrilatère, et son aire; §§ 178, .... 184.

L'aire est la somme des aires des deux triangles qui ont la diagonale connue pour base;
§184.

Les propositions où les différentes parties de celle question sont résolues ne présentent
aucune difliculté. £lles reposent sur le principe de la proporlionalité des côtés dans les
triangles équiangles.

7° Règle pour former avec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui ait ses deux per-
pendiculaires égales; § 185-186.

8" Règle pour trouver les diagonales d'un quadrilatère; § 190.

C'est la règle donnée au § 28 de Brahmegupla, pour le quadrilatère inscrit au cercle.
Mais elle ne s'applique point, dans l'ouvrage de Bhascara. à un quadrilatère inscriptible
quelconque, parce que ce géomètre n'a jamais prononcé le mot cercle dans aucune de ses
propositions relatives au triangle ou au quadrilatère; et qu'il a ignoré absolument que le»
propositions de Brahmegupla concernassent le quadrilatère inscrit. "

On reconnaît que la règle énoncée par Bhascara concernait seulement , dans l'esprit
de ce géomètre, le quadrilatère à diagonales rectangulaires, formé au moyen de deux
triangles rectangles tjénérateurs , comme nous l'avons dit dans nos observations à la
suite du § 38 de Brahmegupla. Cela est confirme par la règle plus simple, et propre
uniquement à ce cas particulier , que Bhascara substitue à la règle générale dans son
§ 191-102.

Une autre observation de Bhascara prouve encore bien clairement qu'il a ignoré qu'il
fût question dans Brahmegupla du quadrilatère inscriptible au cercle; c'est qu'il lui re-
proche d'avoir donné une règle générale pour déterminer des diagonales qui , dit-il ,
étaient indéterminées. Voici tout ce passage de Bhascara:

« § 187-189. Les côtés ont pour mesure 52, et 39'; la corauste est égale à 25 et
» la base à (îO. Ces nombres ont été pris par les anciens auteurs , comme exemple d'une
» figure ayant ses perpendiculaires inégales; et les mesures précises des diagonales ont
)) été trouvées 56 et 63.

I Remarquoni ici en pasiant que Bhaicara, pour exprimer 39, procède par louitraction, à la manière de*
Latint; il dit : 40 moins 1 (ono Itss thanforly). Hais il parait que ce mode de compotition des nombres n'est pat
général dans PInde. Chaturveda ne le suit pas; il pionooce toujours trinit-ntuf {thirtif-nint). (Voir ses com-
mentaires sur Ies§ 21 et 33 de Brabuiegupta).

ToM. XI. 57

430 NOTES. "

» Former aTec ces quatre mêmes côtés, un autre quadrilatère qui ait d'autres diago-
n nales , et particulièrement celui qui aura ses perpendiculaires égales. »

Bhascara résout cette question ; puis il ajoute :

« Ainsi avec les mêmes côtés , il peut y avoir différentes diagonales dans le tétragone.

» Quoiqu'indéterminées, les diagonales ont cependant été trouvées comme déterminées
» par Brahmegupta et d'autres. Leur règle est la suivante :

» § 190. Règle. Les sommes des produits des côtés aboutissans aux extrémités des dia-
» gonales étant divisées l'une par l'autre, et multipliées par la somme des produits des
» côtés opposés, les racines carrées des résultats seront les diagonales dans le trapèze.

» L'objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales , c'est qu'il
» est long; comme je vais le faire voir en proposant une méthode plus courte.

» § 191-192. Règle. Les cathètes et les côtés de deux triangles rectangles, multipliés
» réciproquement par les hypoténuses, sont les côtés; et de cette manière est formé un
» trapèze dans lequel les diagonales peuvent se déduire des deux triangles.

)> Le produit des cathètes ajouté au produit des côtés est une diagonale ; la somme des
» produits des cathètes et des côtés , multipliés réciproquement , est l'autre diagonale.

» Quand cette courte méthode se présentait , je ne sais pourquoi une règle laborieuse
» a été employée par les premiers écrivains. »

Bhascara ajoute que : « Si la corauste et l'un des flancs changent de place, l'une des
» diogonales deviendra égale au produit des hypoténuses des deux triangles rectangles.»

Nous devons conclure de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de
Brahmegupta qu'il reprend. Celui-ci, comme nous l'avons déjà dit, n'a pas énoncé les for-
mules données au § 191-192 de Bhascara, parce qu'elles n'étaient, dans son esprit, qu'une
simple vérification de la rationalité des diagonales , et non pas le sujet d'une proposition.

Bhascara remarque qu'en changeant de place deux côtés contigus du quadrilatère , on
en forme un second, où l'une des diagonales est différente, et a pour expression le produit
des hypoténuses des deux triangles générateurs. Cela est vrai ; mais Bhascara ne dit pas
plus pour ce second quadrilatère que pour le premier, quelles seront ses propriétés qui
avaient été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta. Il ne remarque pas non plus que ce nou-
veau quadrilatère a deux angles droits.

9° Calcul des segmens que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatère, et
les côtés prolongés, font les uns sur les autres; §§ 193-194, 195-196 , 197, 198-200.

On suppose connus les côtés , les diagonales et les perpendiculaires.

Tous ces calculs sont sans difficulté ; ils reposent sur le principe de la proportionnalité
des côtés dans les triangles équiangles.

Telles sont les propositions sur le quadrilatère. Elles forment, avec celles qui concer-
nent le triangle , la partie de l'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers
paragraphes de celui de Brahmegupta. Avant de passer aux autres propositions de Bhas-
cara , nous allons faire ressortir les différences que ces premières ont avec celles de Brah-
megupta, dont elles ne sont qu'une imitation.

Ces différences portent sur les points suivans :

NOTES. 431

1° Toutes les propositions de Bhascara sont étrangères au cercle dont il est question
formellement dans l'énoncé des §§ 2G et 27 de Brabmegupta, et qui joue le rôle principal
dans plusieurs autres propositions.

2" La formule pour l'aire du quadrilatère (inscrit au cercle), donnée par Brabmegupta,
est déclarée inexacte par Bhascara.

3° L'expression générale des diagonales du quadrilatère inscrit, donnée par Brabme-
gupta, est censurée par Bhascara, comme étant d'un calcul pénible, et est regardée par
lui comme n'étant applicable qu'à un quadrilatère d'une construction particulière.

4° Plusieurs propositions de Brabmegupta ne se trouvent point dans l'ouvrage de Bhas-
cara. Telles sont les suivantes :

I". L'expression du diamètre de cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère;

II*. L'expression particulière du diamètre du cercle circonscrit à un quadrilatère ayant
ses diagonales rectangulaires;

IIP. La propriété de ce quadrilatère, qui consiste en ce que la perpendiculaire sur l'un
de ses eûtes , menée par le point d'intersection des deux diagonales , passe par le milieu
du côté opposé;

IV La manière de former un triangle isocèle ou scaléne dont les côtés et la perpendicu-
laire soient des nombres rationnels ;

V La manière de former un quadrilatère inscriptible au cercle, dont deux côtés oppo-
sés, ou bien trois côtés, soient égaux, et dont toutes les parties, ainsi que le diamètre du
cercle , soient rationnels.

L'absence de ces dernières propositions (IV° et V) dans l'ouvrage de Bhascara prouve
que ce géomètre n'a point eu en vue comme Brabmegupta, de résoudre la question de
construire un quadrilatère inscriptible au cercle, et dont toutes les parties soient ration-
nelles.

Enfin nous devons dire que l'ouvrage de Bhascara contient quelques propositions sur
le triangle rectangle , qui ne se trouvent pas dans celui de Brabmegupta ; et qui , en effet,
y eussent été étrangères à la théorie qui est l'objet de cet ouvrage.

En résumé : l'ouvrage de Brabmegupta résolvait complètement, et avec précision , la
question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont toutes les parties fus-
sent rationnelles. Aucune proposition n'était étrangère à cette question, ni inutile pour
sa solution.

Celui de Bhascara n'a point un objet unique. On peut le diviser en trois parties prin-
cipales , indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on donne l'expression de la perpendiculaire dans un triangle; et la
formule pour le calcul de l'aire de cette figure en fonction des trois côtés;

Dans la seconde, on traite de la construction d'un triangle rectangle en nombres ra-
tionnels, et de quelques questions sur le triangle rectangle;

Dans la troisième , l'auteur calcule différentes lignes dans un quadrilatère quelconque
dont on connaît les quatre côtés et une diagonale.

Il y a donc des différences nombreuses et tranchées entre les deux ouvrages. Malgré

452 NOTES.

ces différences, nous devons reconnaître que le plus récent n'est qu'une imitation ou
une copie du premier; copie imparfaite et défigurée, qui prouve évidemment queBhas-
cara n'a pas compris l'ouvrage de Brahmegupta.

Les notes de divers scoliastes, qui accompagnent le texte du Lilavati , nous montrent
que ces écrivains n'ont pas été plus heureux que Bhascara , et qu'ils n'ont pas eu nou plus
l'intelligence des propositions de Brahmegupta.

Mais les propositions qu'il nous reste à citer du chapitre VI du Lilavati ont beaucoup
plus de valeur que celles auxquelles elles correspondent dans le Traité de Brahmegupta.
Nous allons en présenter les principales, où l'on aura à remarquer surtout une expres-
sion très-approchée du rapport de la circonférence au diamètre, et une formule très-
simple pour le calcul approximatif d'une corde en fonction de son arc.

§ 201. « Le diamètre du cercle étant D, l'expression D. ^ est à peu près la circonfé-
» rence ; D. — est l'approximation employée dans la pratique. »

Ces deux expressions ne se trouvent pas dans l'ouvrage de Brahmegupta. Le rapport ~
est celui d'Archimède. Le premier -^ est plus exact; car il est égal à 3,14160 , et l'on
a — = 3,1428571.... Pour obtenir une plus grande approximation il faut se servir du
rapport 3,1415926....

L'approximation des Indiens • est remarquable surtout à cause du petit nombre de

355

chiffres qui y entrent. Toutefois le rapport d'Adrien Metius,— = 3,14159292 est

préférable.

§ 203. "c Règle. Le quart du diamètre multplié parla circonférence est l'aire du cercle.
» Celte aire multipliée par 4 est la surface de la sphère. Cette surface , multipliée par le
» diamètre et divisée par 6 est la valeur précise du volume de la sphère. »

Ç 205-206. « Rèqle. Soit D le diamètre du cercle; D' — ^ est l'aire du cercle d'une ma-

•* -^ jj ' 6000

» nière assez rapprochée; D'— est sa mesure grossière employée dans la pratique;
» — - -f- — - — est la mesure du volume de la sphère. »

Ces deux dernières expressions résultent du rapport d'Archimède ; car on a

^ 11 _ D' 22 î^ J. 5! _ I^' 22

§ 206-207. Ce sont les relations entre la corde, sa flèche et le diamètre du cercle,
données par Brahmegupta; §41 et 42.

1 Le rapport -rf-r ne doit pas être attribué à Bhascara; il est beaucoup plus ancien que ce géomètre.
On le trouvent sou» la forme '" , dans l'alficbre de Mohammed ben Musa , qui , après avoir donné le»

■»ri(l(i(i ' o I i I i

:ioooo ■

62832

deux rapports — et \/lO, dit que les astronome» se servent d'un troisième, qui est ^" "" [Voirp. 71
de la traduction de M. Frédéric Roscn.)

D'après cela on peut se demander si ce rapport appartient aux Indien» ou aux Arabes. M. Rosen et M. Libri
pensent qu'il est d'origine indienne. (Voir Mohammed hen Musa, Algelra translated by F, Rosen , p. 199; et
Histoire des sciences mathématiques en /«o^jc^pag. 128.) Ce rapport est connu en Europe depuis long-temps.
Purbach en parle dans son traité de la construction des sinus , et Stevin dans sa Géographie.

NOTES. 4d3

§ 209-211 et 212. « Dans le cercle dont le diamètre est 2000, les côtés du triangle
» équilatéral inscrit, cl des autres polygones réguliers sont: pour le triangle 1732 — ; pour
wletélragone 1414-; pour le pentagone 1175—; pour l'hexagone 1000; pour l'epla-
» gone867 — ; pour l'octogone 765 — ; et pour le nonagone 683 — ■ »

L'auteur ajoute : « De différens autres diamètres on déduira d'autres côtés, comme
» nous le montrerons sous le titre de conttruction des tinu*, dans le traité sur les sphi-
» rique*.

» La règle suivante enseigne une méthode expédilive, pour trouver les cordes par
» une approximation grossière. »

§ 21.3. Soit c la circonférence, a l'arc; D le diamètre et G la corde; on aura :

40. a{c-a)
le' — a{c — a)

Cette formule approximative est très-curieuse; il serait intéressant de savoir comment
les Indiens y sont parvenus. M. Servois l'a obtenue en prenant la formule qui donne,
en série, le sinus d'un arc en fonction de cet arc (Voir Correspondance sur l'école
Polytechnique , tom. III, troisième cahier).

§ 214. Exemple. Le diamètre étant 240, les cordes des arcs de 20, 40, 60, 80, 100,
120, 140, 160 et 180 degrés seront 42,82, 120, 154, 184, 208, 220, 236 et 240.

§ 215. Formule qui donne l'arc a, en fonction de la corde C, de la circonférence
c et du diamètre D.

-=-.-v/^

ic^c

4D+C

On tire cette formule de celle du § 213, en résolvant une équation littérale du se-
cond degré.

Les chapitres VII, VIII, IX et X ne contiennent rien de plus que ceux auxquels ils
correspondent dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Le chapitre XI a pour objet le calcul des distances par l'ombre du gnomon. On y trouve
les questions traitées par Brahmegupta, et, de plus, celle-ci: un gnomon étant éclairé
par deux points lumineux différons, si on connaît la différence des ombres et la diffé-
rence de leurs hypoténuses, on saura déterminer les ombres.

Cela se réduit à ce problème :

Connaittaiit la perpendiculaire d'un triangle , la différence des segmens quelle
fait sur la hase , et la différence des deux autres côtés , construire le triangle.

Soit h la hauteur, ou perpendiculaire, du triangle, ^ la différence des segmens; et d

434 NOTES,

la diiTérence des côtés; les segmens seront égaux à

(^±d . /l

C'est la formule de Bhascara.

On trouve dans le Bija-Ganila plusieurs questions de Géométrie résolues par le calcul ,
et plusieurs règles d'algèbre démontrées par la Géométrie. Toutes ces questions sont trai-
tées avec une précision et une élégance bien remarquables.

Dans quelques-unes , qui pouvaient être résolues de plusieurs manières , c'est la solu-
tion la plus simple que l'auteur a choisie , on croit lire un passage de V Arithjnétique
universelle, où Newton donne des préceptes si judicieux sur le choix des inconnues.

Ainsi, ayant à trouver la base d'un triangle scalène dont les côtés sont 13 et 5, et
l'aire 4, Bhascara remarque que « si l'on prend pour l'inconnue la base cherchée,
» on tombe sur une équation quadratique. Mais si l'on cherche la perpendiculaire abais-
» sée sur l'un des côtés donnés, du sommet opposé, et les segmens faits sur ce côté, on
)) en déduit, par une simple extraction de racine carrée, la base cherchée. Elle est 4.»
(Bija-Ganita,§117.)

Bhascara donne deux démonstrations du carré de l'hypoténuse. La première consiste à
chercher par une proportion , l'expression des segmens faits sur l'hypoténuse par la per-
pendiculaire ; et à ajouter ensemble ces deux segmens. C'est la démonstration employée
par Wallis. [De sectionihus angularihus , cap. VI.)

La seconde est tout-à-fait d'origine indienne ; elle est fort remarquable. Sur les côtés
d'un carré, Bhascara construit intérieurement quatre triangles rectangles égaux entre
eux, ayant pour hypoténuses ces côtés , et il dit voyez. En effet , la vue de la figure suffit
pour montrer que l'aire du carré égale les aires des quatre triangles (ou quatre fois l'aire
de l'un d'eux), plus l'aire d'un petit carré qui a pour côté la différence des deux côtés
de l'angle droit de l'un des quatre triangles. C'est-à-dire que l'on a, en appelant c l'hy-
poténuse d'un des triangles et a , A ses deux autres côtés ,

ah

c' = i H {a—by = '2ab -t- (a~by , ou, c' = a'' -f- 6\

ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer (Bija-Ganita , § 146).
Les formules d'analy.se

Hab -h {a — by= a'-^-b\
(a + by — (a'-+-Z» ') = "lab ,
(a-i-by — iab = {a — by ,

sont démontrées par des figures qui parlent aux yeux et à l'esprit, sans qu'il soit besoin
d'aucune explication (§ 147, 149 et 150).

NOTES. 455

Pour la résolution en nombres rationnels de l'équation indéterminée du second degré ,

Bhascara fait Toir , par une figure qui donne une signification géométrique à cette équa-
tion , qu'elle peut se transformer en celle-ci

{x — b) (y — a) = ab -h c.

D'où il conclut qu'on peut prendre pour les valeurs rationnelles de x et de y

ab-t-c
xe=:b -^ n, y = a -i ;

n étant un nombre arbitraire.

Bhascara appelle cette démonstration géométrique. Il en donne ensuite une purement
algébrique (§212-214).

Plusieurs questions de Géométrie sont résolues dans le Bija-Ganita, comme applica-
tion des régies d'algèbre. Quelques-unes dépendent d'équations indéterminées du second
degré. Telles sont ces deux-ci : « Trouver (en nombre rationnels) les côtés du triangle
» rectangle dont l'aire est exprimée par le même nombre que l'hypoténuse , ou bien
« est égale au produit des trois côtés. » (§ 120.)

Dans le premier cas, les côtés du triangle sont -T' 'ë ^' T ' *' ^^"^ '® second cas,
ils sont 7^, -j^ et — . Bhascara ajoute qu'on peut trouver d'autres solutions '.

Ces détails montrent que les Indiens, du temps de Bhascara du moins, appliquaient
l'algèbre à la Géométrie, et la Géométrie à l'algèbre. Nous ne trouvons pas les mêmes
traces d'une alliance aussi intime entre ces deux sciences , dans l'ouvrage de Brahme-
gupta. C'est probablement parce qu'il est écrit beaucoup plus succinctement que celui
de Bhascara; qu'il contient beaucoup moins d'exemples des règles algébriques, et qu'il
n'en donne jamais aucune sorte de démonstration. Mais nous devons penser que cette
application de l'algèbre à la Géométrie, qui donne aux ouvrages de Bhascara un carac-
tère particulier, date d'un temps bien antérieur à cet écrivain, d'autant plus qu'elle a
fait aussi le caractère des ouvrages arabes plusieurs siècles avant l'âge de Bhascara ; au
temps, par exemple, de Mohammed ben Musa (IX" siècle). Les Arabes n'ont pu puiser
que chez les Indiens, cette manière de procéder en mathématiques, qui n'était point
pratiquée par les Grecs.

Nous avons rejeté l'idée que les ouvrages indiens nous présentassent des élémens de

' L«> deux problèmet dépendent reipectiTement des deux éqnationi ;

436 NOTES.

Géométrie , de même qu'ils nous offrent des traités d'arithmétique et d'algèbre. Nous
crovons avoir démontré , en effet , que tel ne pouvait avoir été l'objet de l'ouvrage de
Brahmcgupta , qui roule sur une seule question de Géométrie. Mais nous ne pouvons
en dire autant de l'ouvrage de Bhascara; et nous consentons à y voir le résumé des
connaisssances géométriques en circulation dans les temps modernes chez le peuple
indien. La manière dont l'auteur a défiguré l'ouvrage de Brahmcgupta pour former le
sien , et les notes des divers scoliastes , dont aucun ne l'a repris, nous prouvent que la science
a singulièrement décliné chez les Indiens, et qu'ils n'ont plus de véritable traité de Géo-
métrie.

Nous ne saurions nous prononcer de même sur l'état de la science au temps de Brah-
mcgupta. Les documens nous manquent ; et nous ne pourrions dire si l'intelligence et le
génie mathématiques de cet écrivain et de ses contemporains étaient bien à la hauteur des
ouvrages si parfaits et si remarquables qu'il nous a transmis ; ou bien si ces ouvrages ne
seraient pas eux-mêmes, comme ceux des écrivains postérieurs , de simples fragmens d'un
savoir véritable et très-ancien, qui auraient échappé à la destruction des temps et qui
n'auraient point encore perdu, dans le siècle de Brahmcgupta, leur perfection et leur
pureté primitive. Le célèbre hollandais Stevin , qui admettait un giècle sage « où les
» hommes ont eu une connaissance admirable des sciences», siècle qui avait précédé celui
des Grecs et qui ne lui avait transmis qu'une faible partie seulement de son savoir an-
tique ' , Stevin, disons-nous, et notre illustre Bailly^ ne balanceraient point à se pro-
noncer dans cette question , à la vue des ouvrages si étonnans de Brahmcgupta.

Pour nous, qui n'avons point à aborder ici une si haute question historique, nous nous
bornerons à appeler sur la partie géométrique des ouvrages de Brahmcgupta et de Bhas-
cara, qu'on avait négligée jusqu'ici, l'attention des savans orientalistes, et des érudits
qui s'occupent de l'histoire de l'Inde et delà marche de la civilisation humaine. Cette par-
tie géométrique pourra leur procurer quelques documens et quelques aperçus utiles.

Sur la Géométrie des Latins.

Nous continuerions , pour ainsi dire, le même sujet, en passant de la Géométrie des
Indiens à celle des Arabes. Mais, comme ce que nous aurons à dire de celle-ci , se liera
plus naturellement encore avec les premiers travaux des géomètres européens, à la re-
naissance des lettres, où nous verrons l'élément arabe non moins répandu, et non moins
influent que l'élément grec, nous allons faire de suite une courte digression pour dire
quelques mots de la Géométrie chez les Latins.

' OEuvrcs mathématiques de Simon Stevitt ; in-fol., leyde , 1634. Géographie ; définition VI , p. 106.

2 « Ces méthodes savante», pratiquées par des ignorans, ces systèmes, ces idées philosophiques, dans de»
V têtes qui ne sont point philosophes , tout indique nn peuple antérieur au\ Indiens et aux Chaldéens : peuple
)i qui eut des sciences perfectionnées , une philosophie sublime et sage , et qui , en disparaissant de dessus la
i> terre , a laissé aux peuples qui lui ont succédé quelques vérités isolées , échappée» à la destruction , et que le
» hasard nous a conservées. « {Ilistoire de l'astronomie ancienne, livre III , § xviu).

NOTES. 457

Les sciences mathématiques furent extrêmement négligées par le peuple romain , où
les esprits supérieurs ne s'appliquèrent qu'à l'art de la guerre, et à l'éloquence. La Géo-
métrie, particulièrement, fut à peine connue à Rome. L'astronomie y fut plus en hon-
neur, et l'on peut citer plusieurs écrivains célèbres, tels que Varron, J. César, Cicéron,
Lucrèce, Virgile, Horace, Sénèque, Pline, qui possédaient la connaissance des phéno-
mènes du ciel. Mais aucun ne les regarda comme devant être l'ohjct de recherches scien-
tifiques et ne fit faire un pas à la science. On no cite même que Suipicius Gallus qui ait
cultivé l'astronomie pratique, et qui ait prédit des éclipses.

La Géométrie semble n'avoir eu pour objet unique chez les Latins, que de mesurer les
terres et d'en fixer les limites: et les arpenteurs, qu'on appelait agrimenitoret ou gro-
tnalici , étaient des hommes très-considérés , qu'on regardait comme les vrais dépositaires
de la science. Cependant, quelques fragmens de leurs écrits qui nous sont parvenus,
nous portent à leur refuser absolument le litre de géomètres. Car, outre que ces écrits
roulent sur les questions les plus élémentaires de la Géométrie pratique, nous y trouvons
des erreurs grossières. L'aire du triangle et l'aire du quadrilatère y sont calculées d'une
manière inexacte. Nous avons rapporté leurs régies eu parlant du § 21 de la partie géo-
métrique des ouvrages do Brahmcgupta.

Malgré la considération dont les Gromatici ont joui à Rome , à raison des services
qu'ils rendaient dans les différentes contrées de ce vaste empire, et quoique les noms
des plus habiles nous aient été transmis par Boèce, à peu près tous aujourd'hui sont
inconnus dans l'histoire de la Géométrie.

Mais quelques hommes véritablement célèbres à d'autres titres, avaient cultivé les
sciences pour elles-mêmes. Varron, qui passa pour le plus savant des Romains, et qu'ils
regardaient comme un second Platon , avait écrit sur l'Arithmétique, la Géométrie, l'As-
tronomie, la Musique et la Navigation. Il est fâcheux qu'aucun de ces ouvrages ne nous
soit parvenu. Cet écrivain mérite d'être cité surtout pour avoir soupçonné l'aplatissement
de la terre , comme nous l'apprend un passage de Cassiodore.

L'architecture de Vitruve nous prouve qu'il fut un des hommes de son temps qui eu-
rent le plus de connaissances en mathématiques.

On peut citer encore Julius Scxtus Frontinus , qui a écrit en ingénieur habile sur la
conduite des eaux. Son livre, qui est intitulé : De aquœductibus urbia Romœ nous est
parvenu. On a de lui un autre ouvrage estimé sur l'art militaire '.

Nous supposons que Frontinus avait écrit aussi sur la Géométrie , et qu'un Traité de la
mesure des surfaces, que nous trouvons dans un manuscrit du XI" siècle, avec d'autres
fragmens des Gromatici romains, parmi plusieurs ouvrages de Boèce, peut lui être at-
tribué 2.

Deux raisons concourent à nous autoriser à former cette conjecture. D'abord, Boèce,

' Stratagematum libri gualuor.

^ Ce manutcrit , grand in - folio , sar parchemin , appartient à la bibliothèqae de la ville de Chartre*.

n. le 0'' G. Ilacnel l'a inacrit dans «es Calalogi librorum manuscriptorum , etc. (Lipsin, 1819, in-4'>).

tout le titre •ul\ant : Arùtttelù M. elenchorum { Boctii Loyica , Rhatarica , Arithmetica , JUusica j

To«. XI. 58

458 NOTES.

au commencement du second IWre de sa Géométrie, qui roule sur la mesure des surfaces ,
nomme Julius Frontinus comme ayant été très-habile dans cet art , et annonce qu'il lui a
fait des emprunts pour ce second livre. Vers la fin de l'ouvrage, Boèce donne la liste des
principaux arpenteurs romains, et y inscrit Julius Frontinus. Cette double circonstance
nous prouve que cet auteur avait écrit sur la Géométrie pratique. Ensuite, nous remar-
quons que le morceau de Géométrie que nous trouvons dans le manuscrit dont nous venons
de parler, présente avec le second livre de Boèce tant de points de ressemblance, qu'on
en doit conclure avec certitude que l'un des deux ouvrages a été copié en grande partie
sur l'autre. Le style pur et plus facile de ce morceau de Géométrie , annonce qu'il est an-
térieur à l'époque où a vécu Boèce ; nous sommes donc porté naturellement à conclure
qu'il est l'ouvrage même de Frontinus auquel Boèce a annoncé qu'il avait fait des em-
prunts.

Juin Firmici muthematica ; Materni Juniorts geometria ; cnnoncs , talulœ et diversa de astro?iomià.

Ce titre est emprunté d'une note placée sur la partie intérieure de la couverture en bois du volume, et qui
paraît aussi ancienne que lui ; elle est ainsi conçue :

In hoc vohtmine continentur :

Liber eleticorum Arisiotelis ;

Logicaj Reîhorica ^ Aritlnneticaf Musica j Boecii ^

Muthematica Julii Firmici, Materni Junioris ;

Geometria ;

Canoiie.1, tabulai et alia de Attronomia.

Vis-à-vis les mots Mathematica Julii^ etc., se trouve une annotation qui paraît aussi fort ancienne, et où
nous croyons lire : liane suppositam credo. Et, en effet, nous ne trouvons aucune pièce de Julius Tirmicus
Matcrnus. Mais il est vrai que, malheureusement, il manque 104 feuilles (140. ..343) dans ce manuscrit, à
partir du chap. 20 du second livre du traité de la musique de Boèce, Nous supposons ({ue le reste de ju
musique occupait 64 feuilles à peu près; de sorte que 40 feuilles auraient contenu d autres matières qui nous
«ont inconnues et où aurait pu se trouver quelque chose de Firmious Matcrnus ; cependant on ne connaît et
on ne cite de cet auteur que son traité d'astrologie en 8 livres.

La feuille 244, la première après la lacune, contient la fin d'un écrit sur les corps réguliers. Puis, on
trouve différentes pièces, placées les unes à la suite des antres, sans titres , et sans indication d'auteurs , et
qui traitent, la plupart, de la Géométrie des arpenteurs romains et des mesures dont ils faisaient usage.
Nous avons distingué parmi ce pêle-mêle les morceaux suivans, dont les deux derniers surtout rendent le
manuscrit très-précieux :

1» Celui que nous attribuons à Frontinus;

S» le livre d'arithmétique de Martianus Capella;

3» Le cinquième livre de l'ouvrage De re rusticd de Columelle , qui traite de la mesure des champ»;

40 Différens autres fragmcns de Géométrie , des arpenteurs romains ;

5» Un passage dul5« chap. des Éti/mologies d'Isidore de Séville, qui traite des mesures;

6° Les deux livres de la Géométrie de Boèce , dont le premier contient les neuf chiffres et le passage relatif
au nouveau système de numération ; et dont le second est terminé par un autre passage encore relatif à cette
numération , et qui ne se trouve pas dans les éditions qu'on a données de Boèce ;

7" Enfin un autre écrit sur l'usage des neuf chiffres , qui présente des analogies frappantes , d'une part avec
les passages de Boèce et la lettre de Gerbert , et d'autre part avec notre propre système de numération.

Cet écrit, dont il paraît qu'on n'a point encore eu connaissance, pourra jeter quelque jour sur la question
encore controversée, delà vraie signification des passages de Boèce et de Gerbert, et de la date précise de
l'introduction en Europe, de la numération indienne.

Le manuscrit est terminé par quelques notions de la sphère céleste, puis un traité d'astrologie et des tables
astronomiques.

NOTES. 459

Ce morceau de Géométrie, du reste, peut faire honneur à cet écrivain, et est plus
digne de porter son nom que le traité De qualitate at/rorum qu'on lui a attribué. Car
nous le regardons comme l'écrit le plus parfait qui soit sorti de la plume d'un géomètre
latin, sans en excepter le second livre de la Géométrie de Boéce. Car d'une part nous
trouvons dans cet écrit la formule pour la mesure de l'aire du triangle par les trois côtés;
et d'autre part, nous n'y trouvons pas la règle inexacte dont tous les arpenteurs romains
se servaient pour mesurer l'aire du quadrilatère'; règle reproduite par Boéce lui-même.

De nombreux points de ressemblance nous font penser que c'est ce traité qui a servi,
h la renaissance des lettres, à composer la partie géométrique de l'encyclopédie qui a
paru en 1480 , et a eu depuis de nombreuses éditions sous le titre de Margarita philo-
tophica. Indépendamment de cette circonstance, qui doit lui donner quelque prix à
nos yeux, ce traité aurait mérité les honneurs de l'impression, comme étant le meilleur
écrit de Géométrie qui nous soit venu des Romains.

Nous devons dire, cependant, que nous y trouvons , dans le calcul de l'aire des poly-
gones réguliers en fonction du côté, une erreur que Boéce a commise aussi, et qui a
encore été reproduite à la fin du XV' siècle dans la Margarita philotophica.

L'auteur se sert de la formule suivante :

Soit a le côté du polygone régulier, et n le nombre de ses côtés; son aire a pour ex-
pression

(n— 2)a' — (n— 4)o 2

L'absurdité de cette formule est palpable; d'abord parce qu'elle n'est pas homogène,
et ensuite parce qu'on en conclurait, par une «impie érjualion du second degré,
l'expression du côté d'un polygone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon du
cercle , et réciproquement le rayon en fonction du côté. Questions qui dépendent , comme
on sait , d'équations de degrés supérieurs.

Peut-être tout le passage qui concerne la mesure des polygones réguliers , a-t-il été
introduit par un écrivain postérieur dans le morceau de Géométrie que nous attribuons
à Frontinus. Car la règle qui concerne le triangle équilatéral est en contradiction avec
une autre règle parfaitement géométrique donnée auparavant. Ainsi nous trouvons

' Fotr page 313 du recneil intitulé : Aat agraria auclores legesqua varia; curd WUelmi Goetii, cujut
acctdunt indices, antiquitates agraria et nota, unà cum /V. Rigaltii noiis et observationilittt. iLmtt , 1674,
in-4'>; et page 172 de l'ouvrage de Columelle , Do re rusticâ libri XII. Pari» , 1643 , iii-8».

' On reconnaît cette formule dans le< règlea que l'auteur donne pour les polygones régulier» de 7, 8 , 0 , 10,
II et 18 côté»; mai» pour le triangle, le pentagone et l'hexagone , il »e »ert de* formule» (uirante» :

Pour le triangle,
Pour le pentagone ,
Pour l'hexagone ,

a '

3a3-4-o

3

4o3-f

460 NOTES.

d'abord , sous le titre de trigono ysopleuro : « a étant le côté d'un triangle isopleure ,
)) o' — (^I!)^est le carré de la perpendiculaire; la perpendiculaire multipliée par jest l'aire
» du triangle. Soit a = 30 , il vient

/30\' 30

(30)' — ( -r ] = 673 = (26)' ; et 26 X -^ — ^^*^-

» C'est l'aire du triangle. » Cette règle est exacte, et l'application numérique l'est aussi,
en négligeant toutefois les fractions dans l'exlraclion de la racine de C75 '. On doit
s'étonner alors de trouver ensuite , encore sous le litre de trigono ysopleuro , cette se-
conde règle : « a étant le côté du triangle isopleure, son aire est-^^; — . Soit a = 28, l'aire

1 . ■ 1 (28)' +28 812 ,.„

» du triangle sera ^— ^-; , ou — = 406. »

Remarquez que, de la sorte, le triangle dont le côté est 28, a une plus grande surface
que celui dont le côté est 30. Ce rapprochement entre les deux exemples numériques de
l'auteur , semble annoncer que la seconde règle lui est étrangère et a été prise d'un autre
écrit.

Cette seconde manière de procéder est suivie de sa démonstration , mais qui ne présente
qu'une pétition de principe. Voici le raisonnement de l'auteur. Une aire donnée S est la
surface d'un certain triangle équilaléral , dont le côté est égal à K "s+i — >_ Mettant à la
place de S l'aire trouvée f_+f on a pour résultat a, qui est le côté du triangle proposé ;
donc l'aire trouvée est exacte.

Le défaut de cette prétendue démonstration est manifeste, car la formule

l/8.aire H- T — 1

côté = ^ — '

est précisément, sous une autre forme, la même que celle-ci ; aire ^ " , , qu'il s'agit
de démontrer.

Mais pour passer de l'une à l'autre de ces deux formules , il faut résoudre une équation
littérale du second degré. Cette circonstance est assez remarquable dans la Géométrie
des Latins.

> Prendre j/675 = a6, c'est la même chose que 15.l/3 = 28, ou \/3 =-^5-
D'après cela l'expression de l'aire du triangle, qui est exactement

-»/ 3, devient-. ^^ = «^ 33 ■

C'est la formule dont se sont servis quelques auteurs latins, tels que Columelle (Oe re rusHcâ ; liv.V,
chap. 2); et qui a été employée encore dans les temps modernes. On la trouve dans plusieurs ouvrages de
Géométrie pratique (voir Georgii Vallœ , de expetendis et fugiendis relus ; liber XIV et Geometrije V ; cap. IIII.
— Il brève trattato di Geometria del sig. Gio. Franc. Peverone di Cuveo ■ m Lione, 1550, in-40. — Livre III de
la Géométrie pratit^ue de Benrion ; p. 341 et 349 ; seconde édition , Paris , 16S3).

NOTES. 461

Le morceau de Géométrie en question étant ce qui nous est parvenu de mieux et de plus
complet des écrivains latins, et paraissant résumer tout leur savoir en Géométrie, nous
allons donner l'indication des questions sur lesquelles il roule. Ce sont :

1° Le calcul de la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont donnés' ;

2» Le calcul de l'aire du triangle, en fonction de cette perpendiculaire; et la formule
qui donne l'aire en fonction des trois côtés ;

3» Les deux formules qui servent à former un triangle rectangle en nombres entiers,
l'un des côtés étant donné en nombre pair ou impair , qui sont :

-¥■ a\

Pour un nombre impair ( — ~ 1 = ( j

Pour un nombre pair j|_)-f.l|=:jf_j — ||

4° L'expression dii diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle, qui est égal
à la somme des deux côtés de l'angle droit moins l'hypoténuse;

5° Le calcul de l'aire du carré , du parallélogramme , du losange (ou rhombe) et du
quadrilatère à bases parallèles ;

L'auteur appelle l'un des côtés du quadrilatère sa base , et le côté opposé le commet ou
la corauste {vertex «eu coraustus). Le mot coratistug ne se trouve plus dans aucun
lexique; il n'a peut-être été reproduit chez les Modernes que dans la Margarita philo-
sophica ;

6° Le calcul (basé sur une règle fausse) des surfaces des polygones réguliers ;

7° Le rapport — ou —, de la circonférence au diamètre ;

8° Enfin l'aire de la sphère , égale à celle de quatre grands cercles ;

Les noms sont si rares dans l'histoire des sciences , chez les Latins, que l'on est réduit à
citer les écrivains qui nous ont laissé quelques traces d'un faible savoir en Géométrie ,
même sans avoir contribué à ses progrès. C'est ainsi que nous nommerons Martianus
Capella, saint Augustin, Macrobe, Boèce, Cassiodore et Isidore de Séville. Le premier,
sur l'époque duquel on n'est pas d'accord , et que les uns fixent au III* siècle et d'autres
au V", nous a laissé un ouvrage en neuf livres ^, dont les deux premiers , qui forment une
sorte d'introduction aux sept autres, sont un petit roman philosophique et allégorique,
intitulé : de* Noce» de la philosophie et de Mercure , et dont les sept autres sont consa-

' L'autenr prend ponr les côté« du triangle le« trois nombres 13, 14 et 15, dont s'était servi Héron d'Alexan-
drie dans son traité de Géodésie, et qu'on trouve aussi dans la Géométrie des Indiens. {Voir ci-dessus l'analyse
de l'ouvrage de Brahmegupta).

' JUartiani JUinei felicis Capellœ , Carthagtnùnsiê , viri pneotisulari* , Satyricon , in quo dtlVtipUù Phito-
loijia it Mtrcvrii lUri duo et d» leptam artibus liberalilius libri ringulam , etc.

462 NOTES.

crés aux sept arts libéraux : la Grammaire, la Dialectique , la Rhétorique , la Géométrie ,
l'Arithmétique , l'Astronomie ' et la Musique.

Dans le livre de la Géométrie, l'auteur semble avoir employé ce mot suivant son sens
étymologique ; car il débute par des notions de géographie. Ce qui est de la Géométrie
proprement dite , se réduit à quelques définitions des lignes , des figures planes et des
solides , qui la plupart sont prises d'Euclide , et énoncées sous leur nom grec. Chose assez
remarquable, parce que dans d'autres écrits du même temps ou un peu moins anciens,
tels que ceux de Boéce , de Cassiodore , les noms grecs ont été remplacés par des dénomi-
nations latines.

Le livre d'arithmétique de Marlianus Capella est plus savant que son livre de Géométrie.
Il est, comme l'arithmétique de Boèce, une imitation des ouvrages platoniciens et pytha-
goriciens, particulièrement de celui de Nicomaque,qui traite des propriétés des nombres
et de leurs divisions en diverses catégories, dénombres pairs, impairs, composés, parfaits,
imparfaits, abondans , diminutifs, plans, solides, triangulaires, etc.

Saint Augustin a écrit sur la musique. On lui attribue aussi, assez légèrement, des prin-
cipes d'arithmétique et de Géométrie; mais qui n'offrent qu'une simple nomenclature.

Il en est de même du traité de Géométrie de Cassiodore, compris dans son seizième
livre , qui traite des sept arts libéraux , et de la partie géométrique de cette espèce d'ency-
clopédie que le célèbre Isidore de Sévillc a laissée sous le titre i\'Eti/mologies.

La Géométrie de Boèce a plus d'importance que les écrits dont nous venons de parler;
parce qu'elle est plus savante, qu'elle fait connaître pour la première fois , chez les Latins,
la Géométrie d'Euclide , et qu'elle contient quelques traits intéressans de l'histoire des
sciences. Nous allons donner une analyse de cet ouvrage , qui est aujourd'hui peu connu.

Il est en deux livres. Le premier est une traduction à peu près littérale des définitions
et des énoncés des propositions des quatre premiers livres d'Euclide. Ensuite on trouve ,
sous le titre defigiiris geometricis , quelques problèmes résolus par Boèce, qui n'offrent
rien d'intéressant.

Ce premier livre est terminé par l'exposition d'un nouveau système de numération,
différent des systèmes grec et romain , qui fait usage de neuf chiffres, et que l'on a cru
reconnaître pour être précisément notre système de numération actuel. Mais ce point de
l'histoire des sciences , qui depuis deux siècles a fixé l'attention des savans , n'a pas encore
été résolu d'une manière définitive. Nous reviendrons , plus loin, sur ce passage intéres-
sant de la Géométrie de Boèce. Nous discuterons aussi , dans un article spécial , un autre
passage du même livre , où nous croyons trouver la description du pentagone étoile ou de
seconde espèce.

Le second livre est consacré à la Géométrie pratique , telle qu'elle était connue des
arpenteurs romains. L'analyse que nous avons donnée, en parlant de FrontinuSj d'un
traité de Géométrie pratique, resté manuscrit, répond à ce second livre, qui paraît avoir

' Dan» ce huitième IiTre se trouve un chapitre très-remarquable, intitulé : Quod tellus non sit centrum
omnibus planetis , où Martianus Capella fait tourner Mercure et Vénus autour du soleil. C'est là que Cop ernic a
pris la première idée de son système.

NOTES. 463

été copié sur ce manuscrit, cl qui n'en diffère essentiellement qu'en deux points, au désa-
vantiige de Roécc. Cet écrivain célèbre ne donne pas la formule pour le calcul de l'aire du
triangle par les trois côtés , qui se trouve dans le manuscrit , et donne la règle inexacte,
employée par les arpenteurs romains , pour le calcul do l'aire du quadrilatère , qui ne s'y
trouve pas.

En donnant les deux formules pour construire un triangle rectangle en nombres en-
tiers, l'un des côtés étant connu, Boècc attribue à Ârchytas celle où ce côté est pair.
Proclus, comme on sait, attribue cette formule à Platon et l'autre à Pythagore.

A la suite de ce livre de Géométrie pratique, on a joint une autre partie, qui ne se
trouve pas dans tous les manuscrits de Boèce, et dont voici le sujet. Après une sorte de
dissertation sur l'origine, l'utilité et l'excellence de la Géométrie, Boèce rapporte la
substance d'une lettre de J. César, où l'on voit que ce grand homme voulait que la Géomé-
trie servît de règle dans tout l'empire romain et ses colonies, pour ce qui regardait la
mesure et la limitation des terres, les édifices publics et particuliers, les fortifications des
villes et les grands chemins. L'auteur énumère ensuite les diverses matières qui peuvent
donner lieu à controverses dans les opérations de la mesure des terres. Il remarque quelles
sont les qualités que doit avoir un arpenteur, et donne les noms de ceux qui ont eu le
plus de célébrité, et des empereurs par ordre desquels ils ont travaillé. Il donne ensuite
la nomenclature des bornes diverses dont on se servait pour distinguer les provinces , les
grands chemins et les possessions des particuliers. Puis il énumère les connaissances qui
sont nécessaires en arithmétique et en Géométrie, pour être un parfait géomètre. Ces
connaissances embrassent les propriétés des nombres et leur divisions en nombres pairs,
impairs , composés, etc. ; l'ordre logique que l'on doit suivre en Géométrie ; les définitions
des figures que considère la partie la plus élémentaire de cette science , et les différentes
mesures en usage chez les arpenteurs romains.

Enfin l'ouvrage est terminé par un morceau qui ne concerne que l'arithmétique, et que
nous avons reconnu , en effet, n'être qu'une réunion de divers passages du premier
livre de l'arithmétique de Boèce, pris, dans l'ordre suivant, du chapitre 32, de la
préface, et des chapitres 1 , 2, 1 , 32, 19 , 20 , 22, 12, 20 et 27. Tout ce morceau
est sans doute étranger à la Géométrie de Boèce, et y a été joint à tort par quelque
compilateur.

Les éditions de Boèce, et la plupart des manuscrits, ne contiennent que deux livres de
Géométrie. Cependant il existe quelques manuscrits qui en contiennent cinq. M. Libri en
signale un à Florence, à la bibliothèque de St.-Laurent >. Nous voyons dans la Biblio-
theea hihliolhecarum ic Montfaucon (tom. I", pag. 88), qu'il en existe aussi un dans la
bibliothèque du Vatican , avec un traité sur les nombres , en deux liercs [Boetii de
numeris duo /iiri),qui paraît être différent de l'arithmétique. Il est à désirer que ces
manuscrits , qui peuvent être utiles pour l'histoire des sciences , sortent enfin de la pous-
sière des bibliothèques.

' HUloire du sciencts m Italie, tom. 1" , p S9.

464 NOTES.

Sur le passage du premier livre de la Géométrie de Boàce, relatif à un nouveau

système de numération .

Le passage de la Géométrie de Boèce, dont il s'agit, paraît être resté inaperçu pendant
long-temps, quoique les manuscrits des œuvres de cet écrivain ne soient pas rares , et que
sa Géométrie ait été imprimée dès 1491 , puis en 1499 et en 1570. Ce n'est, je crois , que
vers le milieu du XVII° siècle que Isaac Vossius,dans ses notes sur la géographie de
Pomponius Mêla , fit connaître ce passage , et signala les neuf caractères ou chiffres ,
qu'il contenait. Depuis, ça été une question souvent agitée , de savoir si c'est bien préci-
sément de notre système de numération que Boèce veut parler, et si les Grecs en ont eu
connaissance, ainsi qu'il le rapporte.

Ce point historique offrait un grand intérêt , par lui-même , et comme devant être d'une
haute importance dans la question plus générale de l'origine du calcul indien , et des voies
qu'il avait suivies pour se répandre au loin, et apparaître tout à coup parmi nous, au
commencement du XIII" siècle, dans de nombreux ouvrages '.

Cependant on n'a point encore été d'accord jusqu'ici sur la vraie signification du pas-
sage de Boèce, et l'opinion émise le plus généralement a été en faveur d'une autre pièce,
du X" siècle, qui est une lettre et un petit traité attribués à Gerbert (devenu pape en 999,

' 1° L'ouvrage de téonard Fiboiiacci , de Pise, commençant ainsi : Incipit liber Abbaci, compositus à
Leonardo filio Bonacci Pisano, in anno 1202; et dans lequel se trouvent aussi, pour la première fois, en
Europe, les principes de l'algèbre.

a» Le Traité d' Arithmétique pratique de Jordan Némorarius (ver» 1200), resté manuscrit dans la bibliothèque
savilienne , sous le titre : Algorismus Jordani, tam in integris quavi in fractis demonstratus. Cet ouvrage est
différent de l'Arithmétique spéculative en dix livres, du même auteur, mise au jour et illustrée par Fabre
d'ÉtapIes, en 1496.

3" Le traité d'Arithmétique de Sacro Bosco, intitulé : Tractatus /4lgorismi , écrit en 1236, en vers, et com-
mençant par CCS deux-ci :

Hiec algorismus t ars prœsens , dicitur in quâ
Talibus Indorum fruimur bis quinque JîgHris.

4^ Un passage du Spéculum doctrinale , de Vincent de Beauvais (1194-1264), intitulé : De computo et alyo-
rismo (livre XVI, chap. 9), où la connaissance de nos neuf chiffres, et de leurs valeurs de position, ainsi que
l'usage du zéro, sont parfaitement exposés.

5° VAlgorisme , ou Traité d' Arithmétique , écrit en français par un anonyme, sousPhilippe-le-Hardi (1270-
1285). (M. Daunou, dans le Discours sur l'état des lettres en France , au XIII« siècle , mis en tète du tom. XVI
de V Histoire littéraire de la France (in-4», Paris, 1824), fait mention de ce Traité , qu'il dit exister dans la
bibliothèque de S'e-Geneviève , sous le n" BB 2 , in-4<> ; mais malgré les recherches réitérées de MM. les con-
servateurs de cette bibliothèque , nous n'avons pu l'y trouver).

6° Le Traité de Maxime Planude , écrit en grec , vers la fin du XIII» siècle, sous le titre : Calcul selon les
Indiens , dit le grand calcul.

Il est assez singulier qu'aucun de ces traités d'Arithmétique , qui sont si précieux pour l'histoire des sciences,
et qui marquent un grand pas de l'esprit humain , n'ait pas encore été imprimé.

Outre ces ouvrages, il existe d'autres écrits du même temps, tels que le Calendrier de Roger Bacon, les
Lettres de Jordan Némorarius , et les traités De sphœra el De computo de Sacro Bosco , où il est fait usa g e des
chiffres arabes.

NOTES. 463

sous le nom de Sylvestre II), oi!i l'on a aperçu notre système de numération , et l'on a ré-
pété, <lcpuis que Wallis a émis cette opinion dans son f/i»loire de l'Âlgèhre, (\ue Gcrhcrl ,
le premier, nous a fuit connaître le système de numération indien, qu'il avait appris des
Sarrazins, en Espagne. Et c'est l'opinion émise encore dernièrement par l'illustre président
de la société asiatique de Londres , dans sa savante dissertation sur l'origine de l'algèbre ■ .
Mais il faut dire ici que c'est plutût d'après le témoignage unique d'un historien du
XII' siècle, Guillaume de Malmesbury, dont les paroles- ont été empruntées et repro-
duites un siècle après par Vincent de Beauvais^ , qu'on a fondé celte opinion, que sur le
traité môme de Gerbcrt, que l'on a rarement lu, et que Wallis particulièrement n'a pas
connu. Et, chose assez singulière , si c'cQt été l'examen de eu traité qui eut servi de base
à l'opinion de Wallis , nous ne balancerions pas à dire que la question agitée au sujet du
passage de Boècc est résolue par cela même, et qu'à Boèce doit être reporté l'honneur
attribué à Gerbert. Car la comparaison que nous avons faite du traité de Gerbert avec le
passage de Boècc , ne nous laisse aucun doute qu'il roule absolument sur le même sujet et
sur le même système de numération ; et que l'un et l'autre ont la même origine. Cette
remarque, qui n'avait pas encore été faite, aura besoind'être justifiée; j'y reviendrai dans
lin autre moment, et ferai alors quelques autres observations auxquelles peut donner lieu
le traité de Gerbert ''. Je dois ici me renfermer uniquement dans l'examen du passage de

■ y/i»* (Gerbert), vpon his retum, he communicated ta Christian Europe , ieaching the melhod of number»
utider the deaiijnation o/"Abacu8, a namc apparentlyfirst introduced bi/him [rationea nuineroniin Abaci), lii/ nies
abstruse and difficnlt to be understood , as William of Malmesbury affirms. It uius probaUy owing to thit
obscurity of his niles and manner or ireating the Arabian , or rather Jndian arifhmetic , that it made so little
projress between his time and that ofthe Pisan {Leonardo of Pisa). (Colebrooke , Brahmegupta and Bhatcara ,
Algebra , ditterltlioa , p. lui.)

3 Abacum cerle primus a Saracenis rapiens , régulas dédit, gua a sudantibus àbacistis vix inteUigunlar .
Voir De gestis Anglorum iibri V. (Liire II , p. 64 et 65.)

^ Spéculum historiale. Diiaci, 162t, in-r'>. Voir livre XXIV, chap. 98 ,p. 997.

* Par exemple , ce traité , et la lettre d'envoi qui lui sert de préface , sont-iU bien de Gerbert ? Et en suppo-
sant qu'ils roulent sur notre système de numération (ce que je crois), leur origine directe vient-elle des
Sarraxins d'Espagne ? Ces deux questions, qui sont soulevées ici pour la première fois depuis que , sur l'autorité
de malmesbury , on a fait honneur à Gerbert de l'importation du système arabe , ne sont peut-être pas dépour-
vues d'intérêt. Car cette lettre et le traité, qu'on croit généralement être resté manuscrit, sont imprimés en
entier , sous le titre de numerorum divisione, dans le» OEuvres de Bcde (672-735), comme étant de cet écrivain.
Il est asset étonnant qu'ils n'y aient pas été aperçus , surtout par Montucla et par Delambre , qui , l'un et l'autre,
ont parlé de ce chapitre des œuvres mathématiques de Bède. (Voir Histoire de» mathématiques , tom. I",
p. 496, et Histoire de l'astronomie ancienne , tom. l'"', p. 322.)

naintenant , ce sera peut-être un point d'histoire à résoudre , de savoir si U lettre et le systènie de numéra-
tion attribués à Gerbert , sont de lui ou de Bède.

Sans vouloir aborder cette question, qui est du ressort des savans écrivains qui continuent V//istaire littéraire
de la France ,no\it nous permettrons de dire que la grande ressemblance, quant au fond et dans les mot*
mêmes , que nous reconnaissons entre ce Traité et le passage de Boèce , nous porte à le croire de l'écrivain le
plus rapproché de ce dernier; c'est-à-dire de Bède, qui ne lui est postérieur que de deux siècles. Dne antre
raison, c'est que du temps de Gerbert, les Haures d'Espagne devaient se servir, comme les Indiens et les
Arabes , du zéro (ou du point, comme séro); de sorte que Gerbert , en transmettant leur système de numéra-
tion, aurait fait usage et aurait parlé expressément du téro, dont nous ne pouvons trouver aucune trace dana
le traité en question , où nous supposons que ce signe auxiliaire est suppléé par l'emploi de colonnes , comme

To«. XI. S9

466 NOTES.

■*-

la Géométrie de Boèce , qui est la partie la plus importante de cet ouvrage , surtout comme
document historique unique.

Voici la traduction à peu près littérale , qui nous paraît rendre le sens de ce passage :

« Les Anciens avaient coutume d'appeler digits toute espèce de nombre au-dessous de
» la première limite , c'est-à-dire ceux que nous comptons depuis un jusqu'à di.\, qui
» sont 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8 et 9.

» Ils appelaient articulés tous ceux de l'ordre des dixaines, et des ordres suivans à
» l'infini ' ;

» Nombres composés tous ceux compris entre la première et la seconde limite , c'est-
» à-dire , entre dix et vingt , et tous les autres suivans , excepté les limiter- ;

» Et nombres incomposés tous les digits et toutes les limites -.

» Les nombres multiplicateurs changent de place entre eux ; c'est-à-dire que tantôt le

dans Boèce , ainsi que nous allons le dire. £niîn une troisième considération , qui rend admissible l'opinion que
Bède a pu écrire ce Traité, c'est que l'on trouve nos chiifres dans quelques manuscrits très-anciens des oeuvres
de cet écrivain , ainsi que l'a remarqué Wallis dans son Histoire de P Algèbre (p. 11).

' C'est-à-dire tout décuple ou centuple, etc., d^an digit.

Cette distinction des nombres, en digits et en articulés , avait pour objet snrtout de donner des dénomina-
tions spéciales au chiffre des unités et à celui des dixaines, dans un nombre exprimé par deux chiffres, tel
que 27 j parce que ces deux chiffres, considérés dans un calcul, pouvaient bien ne pas représenter les vérita-
bles unités et dixaines de la question. C'est ce qui a lieu, par exemple, si le nombre 37 résulte, dans une
multiplication, du produit du premier chiffre du multiplicateur par le second ou le troisième chiffre du
multiplicande.

Les àéaominnûons ie digits ei articulés (digitus ei articulus) mét\ieiA bien d'être remarquées ici, car on
peut dire qu'elles suffiraient seules pour indiquer qu'il est question de notre système de numération, avec
lequel elles se sont toujours présentées depuis : au X" siècle ou antérieurement, dans le Traité attribué à
Gerbert; au XIII= siècle dans les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais, etc.; et à la renaissance
dans tous les traités d'arithmétique, qui commencenttoujours comme ce passage de Boèce (, Voir Opuscultim
de praxi numcrorum guod algorismum vocant, pièce très-ancienne, trouvée et mise au jour en J503, par Josse
Clicthovée; Margarita philosophica ; Summa de Àrithmetica de Lucas de Burgo ; Algorithmus demonstratus de
Schonet ; S eptem partium Logisticœ arithmetices questiones, de Schroter; Arithmetica practica in quinquo
paries digesta , de Morsianus ; Arithmetica practica lihris IV ahsoluta, d'Oronce Finée ; Arithmetica practicœ
methodns facllis j de Gemma Frisius , etc.)

2 Ainsi les /mi«!« étaient des nombres, et n'étaient autres que les arttc«i<ii.

Il n'y avait donc , dans le fait, que trois espèces de nombres , les digits , les articulés et les nomhres composés ,

Cette division des nombres en trois espèces, était enseignée dans tous les traités d'arithmétique , à la renais-
sance. Le mot limes j que nous avons traduit par limite j était aussi employé dans plusieurs ouvrages \ mais il n'y
désignait pas des nombres ; il s'appliquait à des collections de nombres. On appelait limites (latine) les différens
ordres d'unités, dixaines, centaines, etc., que les Grecs appelaient cyycadiç. Kinù primus limes él&it l'ordre
ou la colonne des unités ; secundus limes , l'ordre ou la colonne des dixaines ; et ainsi de suite.

Le passage suivant de VAlgorithmus demonstratus , de Sehoner, définit bien nettement la signification des
mots digitus , articulus ^ numerus compositus , et Urnes.

Bigitus est omnis numerus minor decem. Articulus est omnis numerus qui digitum décuplai , aui digili
decvplum, aui decupli decuplum , et sic in in^niium, Separantur autem digiti et articuli in limites. Limes est
collectio novem numerorumj qui aui digiti suntj aui digitorum œque multipliées , quilihet sui relativi. Limes
itaque primua digitorum. Secundus primorum articulorum. Teriius est secundorum articulorum. Et sic in
infnitum,, IVumerus composilui est qui constat ex numeris diversorum limUum, Item numerus compositus est
qui plurilus figuris significativis reprœsentatur.

^ NOTES. « 467

» plus grand est le multiplicateur «lu plus petit , et tantAt le plus petit est le multiplicateur
» du plus grand. Souvent un nombre est mulliplicalcur de lui-même. Mais les nombres
» les plus petits sont toujours diviseurs des plus grands.
^ ♦

» Des pythagoriciens , pour éviter de se tromper dans leurs multiplications , divisions et
» mesures (car ils étaient en toutes choses d'un génie inventeur et subtil), avaient imaginé
» pour leur usage un tableau, qu'ils appelèrent, en l'honneur de leurmailre, tahlede
» Pythagore ; parce que, ce qu'ils avaient tracé, ils en tenaient la première idée de ce
» philosophe. Ce tableau fut appelé par les Modernes abacu*.

» Par ce moyen , ce qu'ils avaient trouvé par un effort d'esprit, ils pouvaient en rendre
» plus aisément la connaissance usuelle et générale , en le montrant pour ainsi dire à l'œil.
» Ils donnaient à ce tableau une forme assez curieuse , qui est représentée ci-dessous. »

Ici se trouve la table démultiplication dans les éditions de Boèce , et probablement
dans les manuscrits que les divers écrivains qui ont disserté sur ce passage ont eu à leur
disposition, car toujours ils ont raisonné dans cette supposition, et Weidler, particulière-
ment, s'en est fait un argument pour prouver que ce sont bien nos chiffres et notre
système de numération que Boèce a décrits'. Mais cette table dePythagore ne se trouve
pas dans un très-beau manuscrit du XI° siècle, appartenante la bibliothèque de Chartres,
qui est souvent plus correct que l'édition de 1 570. Cette circonstance m'a fait naître l'idée
que peut-être ce n'était pas la table de multiplication (à laquelle, sur l'autorité même
de ce passage , on avait donné depuis le nom de Pythagore), dont Boèce avait réellement
parlé. Et j'ai pensé dès-lors que la difficulté que l'on avait trouvée à donner un sens aux
paroles de l'auteur, pouvait provenir de ce qu'on voulait les appliquer à cette table de
multiplication. Mais que faut-il mettre à sa place? Notre manuscrit ne répond pas entiè-
rement à cette question ; cependant il peut mettre sur la voie.

Voici ce que nous y trouvons : f

Sur une première ligne , sont les neuf caractères par lesquels Boèce représentait les neuf
premiers nombres, un, deux, trois , neuf. Ils y sont écrits de droite à gauche , et au-
dessus d'eux sont leurs noms , comme il suit :

SiFOS

CILIHTI9 TiMEXits. Zbms. Ca ltis. QoiaAS Ahbas Obmis. Aiidras. Igih 3

©G'^'AlaH BH>"G I

On voit à la suite du neuf, un rond dans lequel est inscrite la lettre a; nous parlerons
plus loin de ce dixième signe.

' Spiciiegium obserrationum ad hittoriam notarun nupuratium pertinentium , etc. Vitlemlierg , in-to,
(28 page»), 176.5

" Cet noms avaient dëj& ëtë trouvés dans un manuscrit , par le savant orientaliste Greaves. Le célèbre Huet ,
ëvf que d'Avranclie , pensait qu'ils y avaient été insérés postérieurement à Boèce , en faveur des Orientaux , au

468

NOTES.

#

Au-dessous de cette première ligne en est une seconde, sur laquelle sont les chiffres
romains I, X, C, M, X, G, M.I, etc , écrits de droite à gauche.

Trois autres lignes , ensuite , contiennent en chiffres romains , d'autres nombres qui sont
respectivement la moitié , le quart et le huitième de ces premiers.

Enfin , sur deux autres lignes, sont d'autres caractères romains représentant les fractions
de l'once; et sur une dernière ligne , sont les nombres 1,2,3, 4, 12, écrits en chif-
fres romains.

De tout cela , nous ne prenons que la ligne des chiffres I, X, C, M, X, etc.; et nous sup-
posons que la table dont Boèce ^eut parler , « que les Anciens , dit-il , appelaient table de
Pythagore , et à laquelle les Modernes ont donné le nom à' Abaque. » n'était point la
table de multiplication , mais un tableau destiné à faire les calculs dans le nouveau
système de numération qu'il va exposer.

Voici ce qui caractérisait ce tableau , et ce qui le rendait propre à cet usage.

Dans la partie supérieure , était une ligne horizontale , divisée en un certain nombre de
parties égales; et des lignes verticales partaient des points de division. Ces lignes , prises
deux à deux consécutivement , formaient des colonnes.

Sur les portions de la ligne horizontale, comprises entre ces colonnes, étaient inscrits ^
en allant de droite à gauche, les chiffres romains I, X, C, M, X, C, M.I, X. M.I, etc.?
signifiant un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, mille mille , dix mille mille, etc. ;
comme il suit :

X.I.M.I I.M.I C.M.I X.M.I M.I

M

I

>»■

A l'aide de ce tableau, substitué à la table de multiplication , nous allons pouvoir,
je crois, donner un sens intelligible au texte de Boèce, dont je reprends la traduction:

« Voici comment ils se servaient du tableau qui vient d'être décrit. Us avaient des
» apices ou caractères , de diverses formes. Quelques-uns s'étaient fait des notes d'apices,

» telles que J^ répondait à l'unité, Vj) à deux ; ^^ à trois; LœL^ » quatre;

» \£ à cinq; §^ à six; J_>' à sept; Ç) à huit ; et enfin Ç\ à neuf .Quelques

temps où la connaissance des lettres arabes s'introduisait parmi nous. II attribuait aux quatre suivans, Ârlan ,
Quimas , Zenis et Tcmenias ,une origine hébraïque [Demonstratio Evangelica, prop. IV. Voir aussi Heil-
bronner, Ilistoria mathcseos , p. 744^.

' Nous reproduisons ici les neuf chiffres sous la forme qu'ils ont dans ce plissage de notre manuscrit. Plusieurs

NOTES. ^ 469

» antres, pour faire usage de ce tableau, prenaient les lettres de l'alphabet; de manière
» que la première répondait à l'unité, la seconde à deux; la troisième à trois, et les
» suivantes aux nombres naturels suivans. D'autres enfin, se bornaient à employer, dans
» ces opérations, les caractères usités avant eux pour représenter les nombres naturels.
» Ces apicet (quels (|u'ils fussent), ils s'en servaient , comme de la poussière ' ; de ma-
» niére que s'ils les plaçaient sous l'unité, chacun d'eux ne représentait toujours que
» des digit*. »

Cette dernière phrase et les suivantes sont très-importantes. C'est là ^ne nous crovons
Toir ce qui fuit précisément le caractère propre de notre système de numération , c'est-à-
dire la valeur de position de* chiffre*. Pour les comprendre, il faut fixer son attention
sur le tableau que nous avons décrit et tracé ci-dessus. Car c'est ici que se montrent l'uti-
lité et l'usage de ce tableau.

?(ous reprenons la dernière phrase de Boèce, et nous continuons :

« S'ils plaçaient ces divers apices sous l'unité (c'est-à-dire dans la colonne de» unités),
» ils représentaient toujours des digits.

» Plaçant le premier nombre, c'est-à-dire deux (car l'unité, comme il est dit dans les
» arithmétiques, n'est pas un nombre, mais l'origine et le fondement des nombres),
» plaçant donc deux sous la ligne marquée dix , ils convinrent qu'il signifierait vingt ;
» que troit signifierait trente ; quatre , quaraîtte; et ils donnèrent aux autres nombres
» suivans les significations résultantes de leur propre dénomination.

» En plaçant les mêmes apice* sous la ligne marquée du nombre cent, ils établirent
» que 2 signifierait deux cents ^ 3, trois cents ; 4, quatre cents ; et que les autres ré-
» pondraient aux autres dénominations.

» £t ainsi de suite dans les colonnes suivantes : et ce système n'exposait à aucune
erreur. »

On peut voir, je crois , dans ceci une description assez claire du principe de notre sys-
tème de numération, la valeur de position des chiffres , croissant suivant une progres-
sion décuple en allant de droite à gauche. Les colonnes dont il était fait usage, et qui
sont formellement indiquées dans le texte par le mol paginula oa pagina ( petite bande),
permettaient de se passer du zéro , parce que là où nous l'employons , on laissait la place
vide. Un passage de l'arithmétique de Planude s'accorde avec cette supposition, que, dans
l'origine de notre système de numération, on se servait de colonnes qui dispensaient de
l'usage du léro. Car Planude dit que le léro ( rÇty/sa) se met dans les places vides ; et
comme les places augmentent les valeurs des chiffres , ainsi font les zéros qui rem-

<ont (liCTérens, comme on voit, de ceux qui ae tronvent avec leura nom> en dehors du texte, ce qui fait suppoier
que ceux-ci ont été ajouté» par quelque copiitc. Cela nous confirme dans l'opinion que cette ligne de chiffres
no faisait pas partie, dans l'autographe de Boèce, du tableau dont il parle; et que ce tableau ae composait
seulement de colonnes verticalea au haut desquelles ëtaieut inscrits les nombres un, dix, cent, mille, etc., sigoi-
fiant unités , dixaines , centaints , etc.

' lia varie eeu pulverem disperyere..,. Boèce fait allusion sans doute à la poussière, au pulvis emditus de
Cicéton {De nalurd ûeorum, lib. II), que les Anciens étendaient sur leurs abaque* pour y tracer leur* figures
de Géométrie.

m-

m

470 ^ NOTES.

plisgent les places vîdes^. Ainsi, antérieurement à l'usage du zéro, il y avait des places
vides; ce qui ne pouvait se faire qu'au moyen de colonnes. Peut-être, quand on aura
voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé
pour ce genre de calculs , aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des zéros ;
de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une co/onwe) auraient fait l'of-
fice du zéro. Ensuite on aurait changé cette figure en celle du zéro actuel , qui est d'une
description plus simple.

Après avoir exposé succinctement le principe du nouveau système de numération ,
Boèce donne les règles de la iniiltiplication et de la division. Voici comment il s'exprime :

« Dans les multiplications et les divisions, il faut savoir, et observer avec soin, dans
» quelle colonne on doit placer les digits , et dans laquelle les articulés. Car , si un
» nombre des unités est multiplicateur d'un nombre des dizaines, on place les digits
» dans les dixaines, et les articulés dans les centaines; si le même nombre est multiplica-
» teur d'un nombre des centaines, on place les digits dans les centaines , et les articulés
» dans les mille; s'il est multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digitx
» dans les mille, et les articulés dans les dix mille; et multiplicateur d'un nombre des
» cent mille , on place les digits dans les cent mille , et les articulés dans les mille-mille.

» Mais si un nombre des dixaines est multiplicateur d'un nombre des dixaines, on
» place les digits dans la colonne marquée cew^, et les articulés dans les mille;

» S'il est multiplicateur d'un nombre des centaines , on place les digits dans les mille ,
» et les articulés dans les dix-mille ;

» Multiplicateur d'un nombre des mille , on place les digits dans la colonne des dix
» mille , et les articulés dans celle des cent mille ;

» Et multiplicateur d'un nombre des cent mille , on place les digits dans les mille-
^Iff^ » mille, et les articulés dans les dix mille-mille.

» Semblablement, un nombre des centaines étant multiplicateur, etc. , etc.

Tout ce passage est très-intelligible , et répond parfaitement aux règles que nous obser-
vons pour la multiplication; il confirmerait, au besoin, le sens que nous avons donné aux
phrases précédentes. C'est dans ce passage principalement qu'on a trouvé de l'analogie
avec notre système de numération.

Viennent ensuite les règles de la division. L'auteur commence ainsi :

« Maintenant les divisions , de quelques grands nombres qu'il s'agisse , deviennent
» faciles pour le lecteur dont l'esprit est préparé par ce qui précède. Aussi nous n'en par-
>> lerons que sommairement; et s'il se rencontre quelque difficulté, nous laissons à l'atten-
)) tion du lecteur le soin de la résoudre. »

L'obscurité du texte ne nous permet pas d'en traduire la suite; nous supposons qu'il
nous est parvenu tronqué et défectueux; mais cette suite n'est pas nécessaire pour fixer
notre opinion sur le système de numération que Boèce vient d'exposer ; ce qui précède
suffit.

' Dclambrc , Histoire de l'astronomie ancienne , t. 1='' , p. 519.

k

NOTES. • 471

Les régies que l'auteur donne pour la division , nous paraissent se rapporter aux cinq
cas suivans :

1° Diviser des dixaines par des dixaines , ou des centaines par des centaines, etc.;

2° Diviser des dixaines, ou des centaines, ou des mille, etc., par des unités; ou bien
des centaines ou des mille, etc., par des dixaines;

3° Diviser des dixaines ou un nombre composé de dixaines et d'unités , par un nombr»^
composé do dixaines et d'unités;

4° Diviser des centaines ou des mille, etc., par un nombre composé de dixaines et
d'unités;

5° Enfin , diviser des centaines ou des mille, par un nombre composé de centaines et
d'unités.

Ici se termine le premier livre de la Géométrie de Boéce.

Le passage que nous venons de rapporter est le seul que l'on ait cité comme traitant ,
d'un nouveau système de numération, et c'est le seul probablement qui se trouve dans
les manuscrits sur lesquels on a travaillé jusqu'ici. Mais celui que nous avons sous les
yeux, contient encore, à la fin du second livre, un second passage sur le même sujet ,
qui mérite d'être connu , car il nous parait montrer bien distinctement la valeur de po-
sition des chinVes. Le voici :

Apre» le tableau des fractions de l'once, Boéce ajoute:

« Dans la formation du tableau ci-dessus , ils (les Anciens) se servaient de caractères de
n différentes sortes et de formes différentes. Mais nous , nous n'en employons pas d'autres ,
» dans tout ouvrage de ce genre, que ceux que nous avons tracés dans la construction de
» l'abaque. Nous avons assigné la première ligne de ce tableau aux unités; la seconde aux
» dixaines; la troisième aux centaines; la quatrième aux mille; et enfin les autres lignes
» aux litnitet ' des autres nombres. Si on place des apiceg sur la première ligne , ils repré-
» senteront des unités; sur la seconde des dixaines, sur la troisième des centaines; sur la
» quatrième des mille , et ainsi de suite des autres. »

Ensuite Boéce donne les valeurs des fractions de l'once, dont auparavant il a donné
seulement les noms, dif/itiiéi , statera , qtiadrans , drachma , etc.

Tout ce passage se rattache évidemment au tableau des divisions de l'once, et doit être
rétabli dans l'ouvrage de Boéce.

De ce qui précède f nous croyons pouvoir conclure que le système de numération exposé
par Boéce, est le système décimal , dans lequel les neuf chiffres dont il se sert prenaient
des valeurs de position, croissant en progression décuple en allant de droite à gauche;
et enfin que ce système de numération était précisément celui des Indiens et des Arabes ,
et le nôtre actuel; avec cette différence légère, que, dans la pratique, les places où nous
mettons le zéro, restaient vides alors; et que cette dixième figure auxiliaire était suppléée
par l'emploi de colonnes marquant distinctement l'ordre des unités, dixaines, centai-
nes , etc.

' Ici Boéce donne an inot limes nne acception temblable & celle qu'il a prite cliei lc« Hodemei. Voir dan»
une note ci-des<a<, le pauage que nous avona cité de YAlgoriihmus deinoiutratut de Scboner.

472 * NOTES.

Nous devons ajouter ici que dans le manuscrit dont nous nous servons , à la suite des
neuf chiflVes tracés avec leurs noms sur une même ligne, se trouve, après le neuf, un
dixième caractère qui est un rond dans lequel est une petite lettre a. Ce dixième signe
représente, bien probablement, le /.éro ; l'a qui y est inscrit est peut-être la terminaison
du mot si/phru ; ou la première du mot arcux que nous trouvons employé dans une autre
pièce contenue dans le même manuscrit, et relative au même système de numération,
pour exprimer le mol colonne , parce que les colonnes qui y sont tracées sont surmontées
d'arcs de cercles , de sorte que cette lettre a voudrait dire que le rond tient lieu d'une
colonne. Cette origine du zéro serait assez, naturelle.

Nous ne supposons pas que cette dixième figure se soit trouvée dans l'autographe même
de Boécc ; elle aura été ajoutée plus tard. Mais il est bon de la remarquer dans un manus-
crit du Xl° siècle, parce que c'est une opinion partagée par des écrivains d'une grande
autorité, que le zéro ne nous a été apporté qu'au commencement du XIII* siècle par
Fibonacci.

Le sens que nous avons donné au passage de Boèce a reposé sur cette double supposition ,
que le mot ubacus- , qui s'y trouve employé, ne s'applique point à la table de multipli-
cation, comme on l'avait supposé jusqu'ici, mais bien à un tableau d'une disposition
particulière, proj)re à la pratique des nombres dans notre système de numération. Cette
double supposition n'est pas contredite par les documens littéraires qui nous restent sur
la signification ancienne du mot abacus , et se trouve confirmée par celle qu'il a prise
dans le moyen âge , et qu'il avait encore au XVI° siècle.

En effet :

1" On sait par divers auteurs grecs et romains, qui ont fait usage, avant Boèce, des
mots «Sa| et abacus , qu'ils signifiaient proprement un tableau sur lequel les Anciens
faisaient leurs calculs d'arithmétique et leurs figures de Géométrie. ( /^o«V Polybe ,
V livrej Plutarque, f^ie de Caton d'Utique, sur la fin; Perse, satyre 1", vers 131 ;
Marlianus Capella, De nuptiis Philologiœ et Mercurii; liber VI, de Geonietria).

2° Nulle part, avant Boèce, il n'est parlé ni de la table de multiplication, ni de la
table de Pythagore ; ce n'est que sur l'autorité de ce passage de sa Géométrie, où s'est
trouvée, dans des manuscrits, la table de inultiplication , qu'on a appliqué, depuis, à
cette table, les noms de mensa pythagorica , et de abacus pythagoricus.

Et il est à remarquer que, dans son traité d'arithmétique, où Boèce a fait un grand usage
de cette table , pour mettre en évidence les propriétés des nombres considérés dans leurs
diverses catégories en nombres triangulaires, pentagonaux , etc., il ne l'a désignée ni sous
le nom de Pythagoi-e, ni par le mot abacus.

On ne trouve après Boèce qu'un seul auteur ancien , Bède, qui ait appelé mensa pytha-
gorica seu abacus numerandi , une table de multiplication, qui est beaucoup plus
étendue que celle dont nous faisons usage. Mais il faut vérifier si ce double titre est bien
dans les manuscrits de Bède, surtout dans les plus anciens.

3° Le mot abacus est employé dans la lettre et dans le traité De numerorum divisione,
attribués à Gerbert , et là évidemment il ne désigne pas la table de multiplication, mais

NOTES. • 473

liicn le nouveau système de numération que l'nutcur expose. Or, comme nous l'aTons dit
dans une note précédente , ce système est absolument le même que celui de noèce ; nous
en devons donc conclure que, dans Boéco aussi , le mot abacua a une signiGcation parti-
culière qui se rapporte à ce système.

Nous supposerons que Bocce s'est servi de ce mot ahacut («ous-entendant peut-être
pythagoricus) pour désigner le tableau propre à faire les calculs dans le nouveau système
de numération ; et qu'un écrivain postérieur, tel queGerbert,adonné ce nom au système
lui-même.

Cette conjecture semble confirmée par l'opinion que Wallis a fondée sur de nom-
breux documens historiques , savoir : que le mot abacu» , dans le moyen âge et à la re-
naissance, a été employé comme synonyme de al(jori*mtis {De Algehrâ tractalii» ,
p. IG); que l'un et l'autre ont toujours désigné la pratique des nombres par les chifl'res
arabes , c'est-à-dire notre système de numération ' (ibid., pag. 19); et que dans quelqu'au-
teur où l'on trouvera le mot algorùmuê , on en pourra conclure avec certitude que ces
chiffres étaient connus au temps de cet écrivain -.

Le passage de lu Géométrie de Boècc, et le traité de numerorum divitione attribué à
Gerbert , sont jusqu'ici les seuls monumens anciens de notre système de numération , qui
nous soient connus. Nous en avons trouvé un troisième, à la suite de la Géométrie de
Boèce, dans le manuscrit duXI° siècle dont nous avons parlé. Nous ferons connaître cette
pièce dans un autre écrit. Elle confirmera, je crois, le sens que nous avons donné au pas-
sage de Boèce. Les neuf chiffres y ont les noms igin , andra» , etc.; et leurs valeurs , c'est-
à-dire les nombres qu'ils expriment, sont indiqués par neuf vers que voici :

Ordine primigeno • nomen possitlpl A/)'. . _^

Andras ecce locum previndicat ipse secuniluin.
Ormis post ntimcrus non compositus sibi primuh.

' Kous voyons qu'en eiTut au commenceracnt du XIW siècle, Fibonacci appelle son traité d'arithmétique,
Libir abbaci.

Un siècle après, un autre auteur italien, Paolo di Dagoinari , qui eut de la célébrité comme géomètie^ astro-
nome et littérateur, était surnommé Paolo deW ahbaco , c'est-à-dire J'aul de V arithmétique , k cause de sa
grande babileté dans la science des calculs.

A la fin du XV^ siècle , Lucas Paccioli dit que notre système d'arithmétiqne a été appelé abacus , pour dire
i Ir manière des Arabes , muodo arabica ; mais que suivant d'autres , ce mot dérive d'un mot grec, (.^aniiiia de
Arithmetica. Dislinctio 3'; de numeralione).

Vn ouvrage du même temps , de Fr. Pellos,a pour titre : Sen segue de la art de arilhmeticha, e semblantment

de Jeumetria dich ho nonimat compendion de lo abàco complida es la opéra f»r Fr. fellos Impresso

in Thaurino ,to présent compendion de knco per 1402. ^

Enfin Clicthovée , au commencement du XVI" siècle, appelle son traité d'arithmétique Praxis numerandi
quem abacum dicunt, et y joint un traité semblable d'un auteur ancien qui lui est inconnu , et qu'il intitule :
Optuctilum de Praxi numerorum quod algorismum vecanl. Ce qui prouve bien qu'au temps du Clicthovée,
abaeus et algorismus étaient synonymes et s'appliquaient h notre système de numération, comme l'a pensé
Wallis.

^ Et ubicunque in scriptore aliqvo Algorismi nomen roperiiur , certo cOHcludas figuras hatei eâ atalt fuisse
cognitas (de iiouka TBiicTATCs, p. 12}.

' Ici se trouve un blanc dans le manuscrit. Le mot sibi conviendrait.

ToM. XI. 60

I

474 NOTES.

Denique bis binos succedens indicat Arhas.

Significat quinos ficto de nomine Quimas.

Sexta lenet Calcis perfecto munere gaudens.

Zenis enim digne septeno f'ulget honore.

Octo beatificos Temenias exprimit unus.

Hinc sequitur Sipos est qui rota namque vocatur '.

Nous ne nous sommes occupé , dans celte note, que de rechercher la vraie signification
du passage de Boèce, et de fixer notre opinion dans la question de savoir s'il se rapportait
à notre système de numération. Mais ce passage a donné lieu à une autre question, qui
est même celle qui a été le plus souvent discutée ; c'est de savoir si , comme le dit Boèce ,
ce système a été connu des pythagoriciens. Plusieurs écrivains l'ont pensé '; mais le plus
grand nombre n'ont pu admettre que les Grecs aient possédé un système de numération
supérieur au leur, et dont ils auraient méconnu l'excellence au point de le laisser se
perdre dans l'oubli. Cette objection est grave; et Montucla, pour y répondre, suppose
qu'il s'agit des Grecs d'un temps rapproché, où le savoir et l'amour des sciences étaient
déjà sur leur déclin. Cette supposition est plausible; mais est-il bien nécessaire d'y avoir
recours? Nous pensons que Montucla ne l'a faite que parce que l'on s'exagère , en général ,
la différence qu'il y a entre le système de numération des Grecs et celui des Indiens, et
la difficulté prétendue à opérer dans le premier. Il nous semble qu'au contraire les deux
systèmes diffèrent très-peu l'un de l'autre. Tous deux ont pour base la progression décu-
ple; et expriment un nombre quelconque de la même manière, par unités, dixaines,
centaines, mille, etc., au moyen des neuf nombres radicaux et générateurs un, deux,

trois , , neuf, qui forment l'ordre des unités , et servent à former l'ordre des dixaines ,

des centaines , des mille , etc. En un mot les deux systèmes de numération reposent l'un et
l'autre sur la même formule suivante, qui exprime la composition d'un nombre quel-
conque :

^- N = A.IO'' + B.IO'-' -1- C.IO'-^ -t- . .. + E.IO.' -+- F ,

où chacun des nombres générateurs A, B, C , E,F, est l'un quelconque des neuf

premiers, un, deux, trois , , neuf.

■ Ce dernier vers s'applique ici au chiffre 9. Cependant , dans la suite de l'écrit , le 9 est appelé celeniis.
Quelle est la raison de ce double nom, sipos et celentis , qui se trouve aussi, comme nous l'avons vu ci-dessus ,
dans le manuscrit de Boèce ?

Dans ce nouvel écrit on remarque, à la suite des neuf chiffres , comme aussi dans celui de Boèce , un rond ,
qui représente sans doute le zéro. Le mot sipos ^ dans le principe , n'aurait-il pas été destiné à cette dixième
figure, à laquelle il convient bien? Alors il manquerait ici un vers pour le chiffre 9 , celentis.

Nous soumettons ces questions aux lecteurs à qui la connaissance de l'hébreu pourra en faciliter la solution.

2 Conrade Dasypodius, Isaac Vossius, Huet, Dom Calmet, Edouard Bernard, Weidler, Jean Ward , Bayer,
Villoison , Montucla.

lia paru en Italie, au commencement de ce siècle, une nouvelle dissertation sur la question qui nous
occupe; elle a pour titre : ^/emorie ««Wa cifre arabiche.Jil'Aan, 1813, grand in-4'>. Nous ne nous sommes pas
encore procuré cet écrit.

NOTES. 475

5

Quelle est donc la difTérence réelle entre les deux systèmes de numération? C'est qu'après
avoir représenté, dans l'un et l'autre, les neuf nombres de l'ordre des unités par neuf
caractères particuliers, les Grecs représentent les neuf nombres de chacun des ordres
suirans par d'autres caractères diiïérens, tandis que les Indiens les représentent par les
neuf premiers caractères eux-mêmes; dont les valeurs diverses sont dillérentiées et indi-
quées par les places qu'ils occupent : et comme ces places sont les mêmes dans les deux
systèmes, on voit que les calculs ne doivent point être plus didlciles dans l'un que dans
l'autre, et qu'ainsi il n'y avait pas de raison bien majeure pour substituer le système indien,
quoique plus savant et plus complet , au système grec ; substitution qui aurait pu se faire
entre les mathématiciens; mais qu'il n'aurait pas été facile d'imposer à tout un peuple.
On en trouve la preuve chci les Romains, dont le système de numération rendait les
calculs extrêmement pénibles, et qui néanmoins l'ont conservé, quoiqu'ils connussent
celui des Grecs qui lui était infiniment supérieur.

Une objection, qui au premier abord parait très-forte contre l'opinion de ceux qui
pensent que les Grecs ont connu le système indien, c'est que dans le leur ils n'avaient
pas de moyen pour exprimer de très-grands nombres (ils s'arrêtaient à quatre-vingt-dix-
neuf millions), et qu'Archimède a écrit un livre des Principe», pour remédier à ce défaut,
et s'est servi dans son Arénairc du moyen qu'il avait imaginé. Si dans l'école de Pytha-
gore, dit-on, on avait possédé le système indien, Arcbimède l'eût connu, et n'aurait pas
eu besoin de chercher les moyens d'exprimer de grands nombres; puisqu'il lui aurait suffi
de proposer ce système. Sans doute, si Arcbimède avait voulu créer un nouveau système
de numération, on en conclurait qu'il ne connaissait pas celui des Indiens; mais tel n'a
point été son but; il n'a voulu que trouver le moyen d'exprimer de grands nombres dans
le système même des Grecs. Qu'a-t-il fait pour cela? Il a appliqué à ce système, à partir
de la limite où il cessait de satisfaire aux besoins du calcul , le système indien , c'est-à-dire
la valeur de ■position des chiffres. Est-ce là une preuve qu'Archimède ignorait ce système
indien? Peut-on dire même qu'il n'en avait pas parlé dans son livre des Principe* , qui
ne nous est pas parvenu, et qui roulait sur la numération, et appliquait au système des
Grecs le principe des valeurs de position des chiffres. Dans son Arénaire il n'a point eu à
entrer dans les détails qui se seront trouvés dans les Principes , parce que cet ouvrage
n'avait pas pour objet d'exprimer de grands nombres, comme on parait le croire quelque-
fois ; il avait pour objet uniquement de calculer le nombre des grains de sable qui se
trouveraient dans la sphère décrite du soleil comme centre et embrassant les étoiles fixes.
Et ce nombre calculé , il voulait l'exprimer dans le système de numération des Grecs.
C'est pour cela qu'il propose de donner aux chiffres placés au delà de la huitième colonne,
des valeurs de position , qui étaient les mêmes que dans le système indien.

Le peu de documens qui nous restent, ne nous dit pas comment se faisait la fixation de
ce point à partir duquel les chiffres avaient une valeur de position. Etait-ce par un signe
particulier ? ou bien fallait-il que les huit premières colonnes fussent en nombre complet?
ce qui aurait introduit dans le système grec la considération du 7.éro,sous une forme quel-
conque, telle qu'un point, un vide ou une colonne. On sait, du reste, que le zéro était

476 NOTES.

connu des Grecs , et qu'il leur servait à marquer l'absence de degrés ou de minutes , etc.,
dans leurs calculs des fractions sexagésimales '.

Toutes ces considérations n'étaient pas au-dessus du génie d'Archimède; mais rien, ce
me semble , ne doit nous autoriser à dire qu'il n'a pas pu en puiser le principe dans la con-
naissance du système indien ; ou bien que s'il avait connu ce système , il eût fait autrement
dans son Àrénaire.

Mais Apollonius, dira-t-on, s'est occupé aussi , après Archimède, de perfectionner le
système de numération des Grecs; il a réduit à quatre colonnes les octades ou tranches de
huit colonnes d'Archimède ; s'il eut connu le système indien , il aurait appliqué à partir de
la seconde colonne , le principe de valeur de position qu'il appliquait à la cinquième.

Mais , pour juger le travail d'Apollonius, qui ne nous est point parvenu , et dont le résultat
seul nous est connu par des fragmens de Pappus , il faut rechercher pourquoi il s'est fixé à
quatre colonnes , plutôt qu'à trois ou à cinq. La raison nous paraît être celle-ci : C'est que
les Grecs avaient trente-six chiffres pour exprimer tous les nombres composés de quatre co-
lonnes, tels que 2354. Les yingtsept premiers chiffres étaient des lettres différentes de
leur alphabet; et les neuf suivantes , qui exprimaient les mille, étaient les neuf chiffres
des unités , marqués d'un iota, ou d'un accent. C'étaient ces trente-six mêmes chiffres qui
leur servaient à exprimer les nombres au delà des simples mille, jusqu'à la huitième co-
lonne exclusivement; et à partir delà cinquième colonne, ces chiffres représentaient des
myriades, et on plaçait au-dessus d'eux la lettre m, ou bien après eux, et avant la qua-
trième colonne, les lettres m» pour désigner ces myriades. Ces signes étaient embarras-
sans, compliquaient les calculs, et pouvaient faire naître des erreurs; et Apollonius a
voulu les supprimer. C'est ce qu'il a fait en imaginant les tranches de quatre colonnes, et
en leur donnant des valeurs de position.

Nous voyons dans cette idée d'Apollonius, de même que dans celle d'Archimède, l'in-
tention de conserver religieusement les caractères employés par les Grecs avec leur signi-
fication, et de les approprier à l'expression de tous les nombres possibles. Et nous voyons
que ces deux grands géomètres sont parvenus à leur but de la manière la plus heureuse,
en attribuant à ces caractères des valeurs de position, suivant le principe même de la
numération indienne.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien ?

Sur un passage de la Géométrie de Bocce , relatif au pentnyone réçjtdier de
seconde espèce. — Origine et développement des polygones étoiles.

Boèce, dans le premier livre de sa Géométrie, qui est une traduction de propositions
prises des quatre premiers livres d'Euclide, ne donne pour chaque théorème, ou problème,
que son énoncé et la figure qui s'y rapporte.

Sa dernière proposition prise d'Euclide est le problème d'inscrire dans un cercle un
pentagone régulier ( proposition XI" du 4™° livre d'Euclide) ; après l'énoncé de cette ques-

' Voirie Mémoire de M. Delambre sur l'arithmétique des Grecs

NOTES. 477

tion, se trouve, suivant l'usage, la figure qui s'y rapporte, et cette figure a cela de remar-
quable, qu'elle présente à la fois le pentagone ordinaire et le pentagone étoile, ou de
teconde etpece.

De plus, après cette figure se trouve une explication qu'on ne rencontrait pas à la suite
des autres propositions , et qui nous a paru avoir pour objet de justifier cette double figure,
ou plutôt ce nouveau pentagone , présente comme répondant au problème proposé.

Comme ce passage de Boèce est assez difficile à comprendre, et que nous pouvons très-
bien nous tromper dans la signification que nous lui donnons, nous allons le rapporter
ici, en suivant le texte d'un manuscrit beaucoup plus correct que l'édition deBasle (1570),

« Intra datum circulum, quinquanyulum quod est œquilaterum atque œquiangu-
)) lutn detignare non disconvenil. »

Ici se trouve la figure qui répond à la question, et l'auteur ajoute:

M Nain omnia qiitecutnque xunt numerorum ratione guâ constant ; et proportiona-
» literalii ex aliis conslituuntur. Circumferentiœ œqualitate multiplicationibus suis
» quidem excedentes ; atque alternatim portionibus suis terininum facientes. »

Il faut inscrire dans le cercle un pentagone équilatêral et équiangle.

La figure qui répond à la question, présente deux pentagones, dont l'un est de forme
nouvelle, et diffère, par conséquent, du pentagone ordinaire. Boèce le justifie ainsi :

Car tout ce qui est exprimé en nombres , a lieu par la propre raison des nombres ;
et ceux-ci se déduisent proportionnellement les uns des autres.

Les arcs ' deviennent plus grands d'une quantité égale à eux-mêmes , par leur dou-
blement, et leurs cordes- , prises de deux en deux, forment le périmètre ' de la figure.

Si cette traduction du texte de Boèce est admissible, elle nous paraît répondre à la con-
struction du pentagone étoile. En effet, soient A, B, G, D, E, les cinq sommets du penta-
gone régulier ordinaire. Les arcs que soutendent ses côtés sont ÂB, BC, CD, DE, EÂ.
Qu'on les double , ils deviennent ABC, BCD, CDE, DEA, EAB; et les cordes de ceux-ci
sont AC, BD, CE, DA , EB. Qu'on prenne ces cordes de deux en deux, on a AC, CE,EB,
BD, DA : et considérées dans cet ordre, ces cordes forment le pentagone étoile.

■ Circumferentia est , dan< plusieura autre» passages de Boéce , la dénomination des arcs du cercle.

' Nous traduisons portionibus far \e mot cordes, parce qne portio est la dénomination da segment ée cercle,
qui n'en arait point d'autre chei les Latins. ( Portio circuli est figura quœ sub recta et circuit circumfirtntiâ
continetur). Et ici nous supposons que Boèce a pris le tout pour la partie, c'est-à-dire le segment pour sa
corde , parce que le mot corde n'avait pas alors de dénomination simple, on disait linea inscripla,

" Los I^lins appelaient terminus l'extrémité d'une ligne, et le périmètn d'un polygone on d'une figore
quelconque [Figura est quod sub aliquo vil aliqu^us TiiBiRU continetur. Définition de Boiee}.

478 NOTES.

Du reste, on ne doit peut-être pas s'étonner de trouver dans Boèce cette figure; car il
paraît, comme nous allons le montrer ci-dessous, qu'elle a été connue dans l'antiquité,
particulièrement de Pythagore; et de plus, on la retrouve au XIIP siècle dans le com-
mentaire de Campanus sur Euclide ; et pendant trois ou quatre cents ans , la théorie des
polygones étoiles, qu'on appelait alors polygones égrédîens , a été cultivée et avait même
pris de l'extension. Mais cette théorie , depuis, s'est perdue , et est restée ignorée, parce que,
sans le concours de l'analyse algébrique, elle n'offrait qu'un intérêt de curiosité et n'ap-
portait aucune utilité réelle en Géométrie. Mais l'illuslre géomètre qui l'a créée de nou-
veau au commencement de ce siècle , et dont elle porte le nom , lui a donné une importance
qu'elle ne peut plus perdre, en montrant son véritable caractère scientifique, et le lieu
analytique qui l'unit nécessairement et d'une manière indissoluble aux polygones anciens '.

Néanmoins cette théorie peut faire honneur au moyen âge , où l'on a si rarement l'oc-
casion de signaler quelques traces de génie, et quelques germes d'innovations fécondes.
C'est pourquoi nous allons rapporter ce que nous avons trouvé à ce sujet dans l'histoire
d'une époque dont il nous reste de trop rares documens.

Mais disons d'abord sur quelle autorité nous avons avancé que le pentagone étoile avait
été considéré dans l'antiquité, particulièrement par Pythagore.

Nous trouvons dans l'Encyclopédie d'Algtedius"^ , au XV* livre, qui traite de la Géo-
métrie , immédiatement après la construction du pentagone régulier ordinaire, le passage
suivant :

« Pentagonum etiam ita scrihitur , et à svperstitiosis notatur hoc noniîne iesns. r>

(Ici se trouve figuré le pentagone étoile, avec les lettres i, e , g , n , g , placées à ses
cinq sommets. )

« Si -pentagono ita eonstrueto addas lineam ex super iori angnlo in oppogitnm angu-
» lum ductam , fiet illa figura, quam wocanf sanitatemPvthagorae; quia Pythagorag ,
» hac figura delectalus, adscribebat singulis prominentibus angulis lias quinque
)) lifteras v,y,i,fi,a, Germaui vacant eiu Trudcnfus: quia sacerdotes veteres Ger-
» manoruin et Gallorum, vocabantur Druidœ : qui dieuntur calacos (peut-être cal-
» ceos) hujus figurœ gestasse.i)

Kirchcr dans son Aritlimologia^ { pars V , De Magicis amuletis ) , parle dans le même
sens du pentagone étoile; qu'il appelle 2>en<a//i/ta, parce que deux côtés contigus for-
ment , avec un autre côté qui les coupe , la lettre A. Il désigne ses sommets par les lettres
u , y , i, (i, a.. Voici le passage de cet auteur : « In quibus (sigillis inagicis) nil fre-
» quentius occurrit , quàm pentalpha et hexalpha; est autem pentalpha nil aliud,
» quàtn linearis figura in quinque A diductum , quibus Grœci vytf/a., id est salu-

' Voir article 15 da Mémoire sur les polygones et les polyèdres ; par M. Poinsot. [Journal de r école polytech-
nique ; X= cahier , t. 4).

2 E ncyolopœdia universa. Herborna;, 1620, in-4<'. — Item Secunda aucta, ibid. 1630, in-fol, 3 vol. — Item
lusduni , 1649 , in-fol., 2 vol.

•^ Arithmologia, sive de abditis numerorum mystcriis , gud origo , antiquitas , et fahrica numerorum expo-
nilur , etc., etc. Romac, 1665, in-4''.

NOTES. 479

» lem et sanitatem expritnehant ; tjuo Antiovhiim vexillo hnpo*ito , jn**u j^lexandri
» in nomno apparenlU , inox ailmirahilern à Galati* victoriam reportaite Magi fin-
» gttnt , eoqne tanquam tumma' felicitati» tymholo in êuî» nugamentiê utuntur. »

Ensuite Kircher rapporte plusieurs circonstances mystérieuses où l'on faisait usage du
pentalpha.

Au XVI' siècle le fameux alchimiste Paraceise a encore regardé l'étoile pentagonalc
comme l'emblème de la santé '.

Nous voyons dans la Bibliothèque mathématique de Murhard que le savant professeur
Kàslner a traité du pentalpha et de Vhexalpha, dans ses Recueils de Géométrie (Geo-
metritche Abhandlungen. Erste Sammlung, Antcendungen der ebenen Géométrie
und Trigonométrie. Goitingcn, 1790, iu-S").

Passons à la théorie proprement dite des polygones étoiles.

Nous en trouvons les premiers germes dans les commentaires que Campanus, géomètre
du XIII" siècle , a joints à sa traduction des élémens d'Eiiclide, faite sur un texte arabe,
et la première qui ait paru en Europe. Au sujet de la trente-deuxième proposition du
premier livre, qui dit que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits,
Campanus a présenté le pentagone étoile comme exemple d'un polygone jouissant aussi
de cette propriété du triangle, d'avoir la somme de ses angles égale à deux droits. Cette
proposition a été reproduite dans les éditions de l'Euclide de Zamberti, où se trouvent,
avec les commentaires de ce géomètre, ceux de Campanus 2; et divers autres auteurs en
ont fait usage dans leurs propres commentaires sur les élémens d'Euclide ; tels sont Lucas de
Burgo' , Peleticr* et Clavius*. Ramus, dans ses Scholœ mathematicœ^^ liv. IX, a aussi
cité le pentagone étoile, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, dont les an-
gles ont leur somme égale à deux droits'.

Mais tous ces géomètres se sont bornés , comme Boèce et Campanus , à la considération
du pentagone étoile, sans faire entrevoir la théorie à la(|uelle ce genre de figures pouvait
donner lieu. Nous trouvons que c'est un écrivain du commencement du XI V siècle , Brad-

I « Stellam pentagonicam , seu Germanico idiomatt pedem Truttœ , TTieophrasto Paracelso signum

tanilatis. ( Kepler, Harmonices Mundi, liber aecundua , p 60. )

3 Lei Commentaires de Campanus ont élé imprimés seuls en 1483 et 1491 , puis avec les Commentaires de
Zamberti en 160S, 1616, 1637, 1646.

' Euclidit opéra a Campano interprète fidùsimo tralata. Lucas Paciolus , iheofogusinsignis, altissima ma-
iJtimaticarum disciplinarum scientia rorissimus judicio caatigatissimo delersil, imendavit , etc., etc. Venetiis ,
1609, in-ful.

* Demonstraiionum in Euclidis Elementa Geomeirica , lihri six. Lyon , 1667 , in-8<>. — Item, 1610 , in-4°.
— Les six premiers livres des élémens géométriques d'Euclid» , avec les démonstrations de Jacques Peletier , du
Mans. Genève , 1628, in-8°.

' Euclidis clementorum ,libri XV -y accessit XVI de solidorum regularium comparatione ,eic.'R.oma, 1674,
in-S°. A eu de nombreuses éditions.

' Scholarummathemalicarum,liinXXXl. îranof., 1S69, in-4'>. — Item, Basile», 1669. — Item, Francf ,
169». — Item, ibid., 1627.

' Sic quinquangulum è continuatis crdinatis quinquanguli taleribus factum aquat quinqu» inttriorts angulos
duohut redis.

480 NOTES.

wardin , qui , le premier, a étendu la théorie dii pentagone étoile aux polygones d'un plus
grand nombre de côtés , et qui a fondé la yéritable doctrine des polygones étoiles.

L'ouvrage dans lequel nous la trouvons, a pour titre : Geometria speculativa Thome
Bravardini , recoligens ornncg conclus iones (jeometricas studentibus artium , et phi-
losophiœ Aristotelis ,valde necessarias , simul cum quodam tractatu de quadralurâ
circuit; noviter editio. Parisiis, apud Reginaldum Chauldiere, in-fol., vingt feuilles,
sans date. La première édition de cette Géométrie était de 149Gi; plusieurs autres ont
paru en 1505, 1508, etc. 2. Nous ne connaissons que celle que nous venons de citer.

Après avoir traité des polygones réguliers ordinaires , qu'il appelle figures simples ,
Bradwardin consacre un chapitre aux polygones étoiles , qu'il nomme figures à angles
égrédiens. Il dit que ces polygones sont formés par le prolongement des côtés d'un
j)olijgone simple , jusqu'à leur rencontre deux à deux ; et il ajoute qu'il n'a pas vu qu'il
ait été parlé de ces nouvelles figures par d'autres géomètres que par Campanus, qui en a
traité en peu de mots et accidentellement.

Voici l'analyse de cette partie de l'ouvrage de Bradwardin.

Le pentagone est la première figure à angles égrédiens. La somme de ses angles est égale
à deux droits. La somme des angles des autres polvgones à angles égrédiens va en augmen-
tant de deux droits, comme dans l'ordre des figures simples.

Cela s'accorde avec la formule 8 = 2 (m — 4), qui donne la somme des angles du poly-
gone égrédient de w côtés.

Les polygones égrédiens au premier orrfr« donnent lieu, parle prolongement de leurs
côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux, aux polygones égrédiens du second ordre;
comme les polvgones simples ont formé les polygones égrédiens du premier ordre.

L'eptagone est la première figure à angles égrédiens du second ordre ; il provient de l'epta-
gone à angles égrédiens du premier ordre ; celui-ci est la troisième figure du premier ordre.

Pareillement le pentagone égrédient, première figure du premier ordre, avait été
formé du pentagone simple, troisième figure de l'ordre des polygones simples. Cette ana-
logie conduit Bradwardin à énoncer ce principe général : la première figure d'un ordre
est formée par le prolongement des côtés de la troisième figure de l'ordre précé-
dent.

Enfin l'auteur termine en disant qu'il serait trop long de parler des angles de ces figures ;
mais qu'il croit , sans pouvoir l'assurer , que la première figure de chaque ordre a la somme
de ses angles égale à deux droits, et que dans les autres figures cette somme va en aug-
mentant toujours de deux droits en passant d'une figure à la figure suivante.

Les figures représentées en marge de l'ouvrage, sont le pentagone, l'hexagone, l'eptagone
et l'octogone du pcemier ordre ; l'eptagone , l'octogone et le nonagone du second ordre ,
et enfin le nonagone, le décagone et le dodécagone du troisième ordre.

Deux siècles après Bradwardin, Charles de Bouvelles, dont on ne cite ordinairement
qu'une prétendue solution de la quadrature du cercle , a reproduit dans diverses éditions

' Heilbronner , Ifistoria Mathcscos , p. 523.

^ Montucla , Uisioire des mathématiques ^ t. I^'^, p. 573.

I

NOTES. /«81

d'un traité de Géométrie ' , la théorie des polygones égrédien»; mais moins complètement
que n'avait fait Bradwardin. On trouve dans son ouvrage le pentagone égrédient,i\n"\\ a
appelé aussi taillant, et dont il prouve que la somme des cinq angles est égale à deux
droits , l'hexagone éijrédient , composé do deux triangles , l'cptagone égrédient , provenant
du prolongement des côtés do l'cptagone ordinaire, et l'eptagone pltts égrédient, formé
par le prolongement des eûtes de l'eptagone égrédient , et dans lequel l'auteur prouve que
la somme des angles est égale à deux droits.

On a fait mention de cette théorie dans l'extrait de la Géométrie de Bouvelles, inséré
dans les Appendices de la Maryurila philoxophica -,

Ces premières notions sur la théorie des polygones étoiles , ont passé inaperçues dans
les nombreuses éditions de cet ouvrage, comme dans celles de la Géométrie de Bouvelles,
dont on n'a parlé qu'au sujet et sous l'inspiration d'une fausse solution de l'inscription de
l'eptagone régulier au cercle, et d'une prétendue quadrature du cercle, empruntée du
cardinal Nicolas De Cusa.

On trouve dans les figures de la perspective de Daniel Barbare*, le pentagone, l'hexa-
gone et les deux eplagones étoiles. Mais il ne paraît pas que l'auteur ait eu l'intention de
produire ces nouveaux polygones, il a voulu seulement montrer que les polygones réguliers
ordinaires donnent lieu de deux manières à d'autres polygones qui leur sont semblables.
La première est de prolonger leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux (comme pour
former le polygone de seconde espèce) ; les points de rencontre sont les sommets d'un
secoud polygone semblable au proposé. La seconde manière est de tirer toutes les diago-
nales allant de chaque sommet au second ou au troisième sommet après lui; elles forment
par leurs intersections un autre polygone, semblable aussi au proposé. Mais dans ces deux
modes de construction, on forme aussi un polygone étoile, qui se trouve être la partie la
plus remarquable de la figure.

Kircher , que nous avons cité déjà ci-dessus au sujet du pentalpha et de X'hexalpha , a
fait usage, dans un autre ouvrage ^, de l'eptagone du second ordre (ou troisième espèce)
pour rendre sensible l'explication comprise dans un passage remarquable de Dion Cassius,
au sujet des sept jours de la semaine que les Égyptiens ont consacrés aux dieux dont les
sept planètes portaient le nom. Ces planètes étaient, dans l'ordre de leurs distances à la
terre , Saturne , Jupiter , Mars , le Soleil , Vénus , Mercure et la Lune. Kircher les suppose

' Geomefrim introducHonU libri sex , hreviscvlU annotationihus explanati, guibus annectvntvr libelli de
circuli quadraturâ , et de ctilicatione sphtrœ , el iniroductio inperspectivam Caroli BovilU. Paris, 1503, in-fol.

Cet ouvrage , moina Viiilroduclio in perspectivam , a été reproduit en français , sous le titre ; Livre singu-
lier et utile , touchant l'art et pratique de Géométrie , composé nouvellement en français , par maître Charles de
Bouvelles , chanoine de Koyon , Paris , 1542 , in-4°. D'autres éditions ont paru en 1547, 1561 , 1557 et 1608.

Bouvelles a composé beaucoup d'autres ouvrages, où il s'est montré philosophe, théologien, historien,
orateur, poète et canoniste.

3 Page* 1831 , 1233 et 1235 de l'édition de 1535. (c Penlagonus uniformis dicitur , cujus lattra non se
mufuo intercidunt Egrediens verà, citm ejus lalcra se invicem sécant. /lexayonus..,, »

' La pratica délia perspettiva di monsignor Daniel Barbare , Venise , 1689 , in-fol.

* Ars magna lucis et umbrœ in decem libros digetta Koma , 1646 , in-fol , pages 217 et 637.

Ton. XI. 61

482 NOTES.

rangées dans cet ordre sur une circonférence de cercle ; et en passant successivement de
la première à la quatrième, de la quatrième à la septième, de celle-ci à la troisième , etc.,
il trace une figure qu'il appelle eptagone (c'est l'eptagone de troisième espèce) , dont les
sommets consécutifs désignent les sepi jours de la semaine , dans leur ordre naturel. Ainsi
Saturne répond au samedi, le Soleil au dimanche, la Lune à lundi, Mars à mardi. Mer-
cure à mercredi , Jupiter à jeudi et Vénus à vendredi. La formation de cet eptagone , dit
Kircher , est une belle propriété du nombre sept.

Les ouvrages dont nous avons parlé jusqu'ici , bien que leurs auteurs aient joui d'une
certaine célébrité, ne sont plus guère connus depuis long-temps; parce qu'en effet ils
ne se recommandaient point par ces productions du génie qui immortalisent les œuvres
et leurs auteurs, où l'on aime à rechercher encore, après des siècles, les pensées des
inventeurs et les traces de leurs efforts. Il n'y a donc rien d'étonnant que le polygone de
Boèce, celui de Campanus, et la théorie de Bradwardin, soient inconnus aujourd'hui.
Mais nous avons à citer maintenant, dans l'histoire de cette théorie, un nom célèbre , un
ouvrage mémorable, une de ces découvertes rares qui font la gloire des temps modernes ,
enfin des considérations analytiques qui, il y a deux siècles, auraient dû faire une impres-
sion profonde sur l'esprit des géomètres. Mais Kepler a devancé son siècle; car c'est de
lui qu'il s'agit , et de l'ouvrage de V Harmonique du inonde ' , et de la belle proposition
sur le rapport des carrés des temps des révolutions aux cubes des distances au soleil ,
et de celte autre, d'un genre tout différent , qu'une même équation détermine les diverses
espèces de polygones d'un même nombre de côtés. On observera sans doute aujourd'hui
qu'aucune conception nouvelle ne s'était jamais présentée dans des circonstances en
apparence plus favorables pour assurer rapidement à l'auteur une gloire durable. Cepen-
dant la savante théorie de Kepler est tombée dans l'oubli, et, de son livre immortel, il
n'est resté que l'énoncé de sa grande loi des mouvemens des corps célestes ; encore
a-t-elle été méconnue , et peut-être dédaignée, par ses contemporains, parmi lesquels on
nomme à regret et Descartes et Galilée ; encore a-t-il fallu que , près de 80 ans plus tard ,
Newton l'expliquât, la fît comprendre et lui donnât la vie"! La théorie des polygones , qui
a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée;
la simple curiosité ne s'en est pas mêlée ; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli
qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois de
Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle à ses contemporains,
ils n'écoutent pas ! » Non ce n'est pas en vain ; mais trop souvent les vérités nouvelles ne
sont que pour l'avenir.

' Harmoniccs Mxindilihri V. Lincii AustriiB ; 1619 , in-fol.

2 Kepler a prévu en quelque sorte que les découvertes qui lui avaient coûté 17 ans de travail , et de travail
continu , ne seraient comprises qu'après un long intervalle de temps :

Il Le sort en est jeté , dit ce grand homme , avec l'accent de l'enthousiasme , j'écris un livre qui sera lu par
11 ceux de l'âge présent ou par la postérité, il n'importe : qu'il attende son lecteur pendant cent ans; Dieu
11 n'a-t-il pas attendu six mille ans le contemplateur de ses œuvres? « [Jacio in aleam, librumque scrilo , seu
prœacutihus , seu jjosieris legeiidum; nihil interest : expectat Me suum lectorem pcr annos ccntum ; si Deus
ipse per annorum sena millia contemplatorem prœstolatus est. HtRHosiCES Mhhdi, liber V; p. 179.)

NOTES. 483

L'ouvrage Je Kepler est en cinq livres. Le premier , qui a pour titre : De fignrarum
regularium ,quœ proportione» harmonica* pariuiit, ortu, clattibut , ordine et diffe-
rentiù , cauxâ tcieitliœ et demontlrationi» , est consacré à la théorie générale des
figures régulières, et comprend en particulier celle des polygones étoilét.

Dans le préambule, Kepler reproche à Ramus d'avoir critiqué le X" livre d'Euclide,
et d'avoir voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des
polygones réguliers qui ne sont pas inscriptibles dans le cercle géométriquement , et en
montrant ce qui les distingue de ceux qu'on sait inscrire. Il promet d'écrire sur cette
partie de la Géométrie en philosophe, et d'une manière plus claire, plus aisée et plus
populaire qu'on n'a fait jusqu'alors.

Ce livre commence par de nombreuses définitions, indispensables pour comprendre
l'ouvrage ; mais dont nous ne rapporterons ici que les deux ou trois suivantes.

Les figures régulières sont celles qui ont leurs côtés égaux, et leurs angles égaux.

On les distingue en deux classes. Les unes sont primaire» et radicales ; ce sont les
polygones réguliers ordinaires; et les autres sont e/oiVee*,' celles-ci sont formées par les
prolongemens des côtés d'une figure rae//cfl/e '.

Inscrire une figure dans le cercle, c'est déterminer par une construction géométrique
(c'est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport de son côté au
diamètre du cercle.

Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du X' livre d'Euclide, dont il se servira.
Et il commence à la proposition trente-cinq , à traiter des dilTérens polygones réguliers.
Il considère d'abord ceux qui sont inscriptibles dans le cercle géométriquement.

On remarque , quant aux polygones étoiles , le pentagone de seconde espèce , l'octogone
et le décagone de troisième espèce , le dodécagone des troisième et cinquième espèces , les
pentédécagonesdes deuxième, quatrième et septième espèces, et l'étoile de 24 côtés, des
cinquième , septième et onzième espèces.

Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement , il démontre
que l'eptagone ordinaire et ses deux étoiles sont du nombre. Alors il a recours à l'analyse,
pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile , et de ne rien lui apprendre. Ce pas-
sage contient plusieurs aperçus analytiques qui auraient dû préserver l'ouvrage de l'oubli.

« On m'objectera, dit-il (page 34), l'art analytique, appelé algèbre par l'arabe Geber ,
)) et cotta par les Italiens : car les côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir
» être déterminés par cette méthode.

» Par exemple, pour l'eptagone. Juste Byrge, qui dans ce genre a imaginé des choses
» très-ingénieuses et même incroyables, procède ainsi etc. »

Kepler cherche par des considérations géométriques l'expression du côté de l'eptagone
régulier inscrit au cercle , en fonction du rayon ; et il parvient à cette équation:

7 — 14y -f- 7 iiij — 1 vj œquè valent pgurœ nihili;

■ Kepler ne dit pat *i celte idée de polygone* étoilét ett de loi , ou t'U l'a empruntée de quelque ouvrage
antérieur.

484 NOTES.

ou, suivant nos symboles actuels,

7 — 14 a;- -t-l x'* — a?s==o.

oùar est le rapport du côté de l'eptagone au rayon du cercle.

« La valeur de la racine d'une telle équation , dit-il , n'est pas unique ; car il y en a deux
» pour le pentagone, trois pour l'eptagone, quatre pour le nonagone , et ainsi de suite.»"

Il ajoute que (pour l'eptagone) les trois racines sont les côtés de trois eptagones dif-
férens, qu'on peut concevoir inscrits dans le même cercle.

Voilà l'interprétation bien nette des trois racines de l'équation qui donne le côté de
l'eptagone régulier inscrit au cercle. Voilà la notion analytique qui unit nécessairement
la théorie des polygones étoiles à celle des polygones des Anciens.

Kepler exprime encore, plus loin, ce même principe en des termes remarquables , car
en avouant les difficullés que fait naître la fécondité même de l'analyse, il reconnaît tout
ce que cette méthode a de beau.

u Jusqu'ici, dit-il, le côté d'un polygone, et celui d'une étoile du même nom, avaient
» eu chacun une description propre et sûre. Dans l'analyse algébrique , ce qu'il y a surtout
» d'admirable ( quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre) , c'est que
i> la chose demandée ne peut pas être donnée d'une seule manière. Mais , encore bien que
» ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé
» plus haut, qu'il y a autant de nombres qui satisfont à l'équation, qu'il se trouve, dans
» la figure, de cordes ou de diagonales de longueurs différentes ; comme, dans le penta-
» gone , deux; dans l'eptagone, trois; dont un pour le côté, et les autres pour les diago-
» nales. C'est pourquoi , enfin , tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure
» au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre.»

Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante , où il démontre
que la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc. parties, n'est pas possible géométri-
quement. «Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d'une propriété com-
» niune à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l'une
y> d'elles. ' »

Le second livre, intitulé : De ftgurarum régula ritirn cotujnientîâ , traite encore
des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe eu revue les différentes ma-
nières d'assembler des polygones, soit de même espèce, soit d'espèces différentes, pour
remplir exactement une surface plane, et pour former des polyèdres réguliers.

' Au milieu de ce» considération» mathématiques si justes et si profondes , on trouve quelques réflexionl
qui annoncent l'usage bizarre et chimérique que \eut faire de ses savantes spéculations sur les polygones
le génie de Kepler, dominé par les idées pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmo-
graphiques des nombres : tel est ce passage qui termine la proposition 45« : « Il est donc prouvé que les
» côtés de ces figures doivent rester inconnus, et sont de leur nature introuvables. Et U /t'y a rien d'èton-
i> nant en ceci, que ce qui ne peut se rencontrer dans l'Archétijpe du monde, ne puisse être exprimé dans la
)> conformation de ses parties, n

Ce sont de pareilles idées qui ont conduit Kepler à l'une des plus grandes découvertes qu'on ait jamais
faites !

NOTES. 485

Le livre III, De ortu proporlionum harmonicarum , deque naturâ et differentiii
rerutn ad catitum pertinentium , qui ne trailo que de l'harmonie musicale, est étran-
ger à la Géométrie et à l'astronomie.

Dans le livre IV, qui a pour litre : De configurationibu* harmonicig radiorum tide-
raliutn in Terra, earinnque eff'ectii in ctendts Meteoris, aliiique Naturalihii» ,
Kepler fait usage des polygones étoiles et de la valeur de leurs angles, auxquels il com-
pare les configtiraliont , ou distances angulaires des planètes : ces angles correspondent
à des circonstances et à des phénomènes sublunaires qui diflèrent suivant qu'ils appar-
tiennent à tels ou tels polygones. Les configuration* efficaces , celles qui sont propres à
stimuler la nature subluuaire et les qualités intérieures de l'àme, sont exprimées par les
angles des polygones inscriplibles géométriquement. On y trouve le carré, le triangle, le
pentagone de seconde espèce, l'eptagone de troisième espèce, le décagone de troisième
espèce, et le dodécagone de cinquième espèce.

Le V* livre a pour titre : De harmoniâ perfectissimâ motuum cœlettium , ortuque
exiigdem Excentricilatum , semidiametrorumque et Temporum periodicorum. Kepler
y compare les cinq corps réguliers aux rapports harmoniques; et cherche à y découvrir
des analogies avec les mouvemens des planètes. C'est dans ce V livre, comme l'indique
le titre, que se trouve sa magnifique loi du rapport constant des carrés des temps des
révolutions des planètes aux cubes de leurs distances au soleil '.

On voit par l'analyse que nous venons de donner de l'ouvrage de Kepler, que la doc-
trine des polygones étoiles y joue un rôle important et nouveau sous le rapport analy-
tique. Cependant nous ne saurions en trouver depuis aucune trace , quoiqu'elle eût dû
se présenter dans la théorie des sections angulaires qui a occupé souvent les géomètres.
Wallis particulièrement, qui, un demi-siècle seulement après Kepler, a écrit l'histoire
de l'algèbre, et un traité des sections angulaires, n'aurait pas dû la passer sous silence.
Ce géomètre a bien vu que la seconde racine de l'équation du second degré par laquelle

' On revient tonjonra «Tec une senaibilité mèli'e de vénération sur le* termes même» dont Kepler te tert pour
annoncer «a grande découverte ; il* expriment tout «on bonheur , et toute l'importance qu'il a mite & pénétrer
ce tecret >i caché :

« Aprèa avoir trouvé les vraies dimensions des orbites parles observations de Brahé et parl'eflbrt continu
i> d'un long travail, enfin, dit-il, enfin , j'ai découvert la proportion des temps périodiques & l'étendue de
» ces orbites ;

Sera ^idem refpexit inertem ,
Respexit tamen , et tongo post tempore venit ;

» Et si vous voulcx en savoir la date précise, c'est le 8 de mars de cette année 1618, que d'abord conçue dans
D mon esprit , puis essayée maladroitement par des calculs , partant rejetée comme fausse , puis reproduite le
» 16 de mai avec une nouvelle énergie , elle a surmonté les ténèbres de mon intelligence : mais si plei-
» nement conGrmcc par mon travail de 17 ans sur les observations de Brahé, et par mes propres médita-
« tions parfaitement concordantes, que je croyais d'abord rcver et faire quelque pétition de principe :
» mais plus de cloutes j c'est une proposition très-certaine et très-exacte, que le rapport entre les temps
« périodiques de doux planites est précisément sesqui - altère du rapport des motfennes distances. » ( Livre V,
pag. 189. )

486 NOTES.

on détermine le côté du pentagone régulier inscrit au cercle , en donnait la diagonale ' ;
mais cette interprétation géométrique de la racine étrangère ne suffisait pas ; il fallait la
rapprocher de l'énoncé même de la question, pour y voir non pas seulement une diago-
nale , mais le côté d'un second pentagone. Cette idée qui nous paraît si simple aujour-
d'hui, et qui complète la solution analytique de la question, a échappé aux Bernoulli, à
Euler, à Lagrange, et n'est venue que de nos jours à l'esprit d'un géomètre.

La doctrine des polygones égrédiens de Bradvrardin , a été vivement combattue par un
auteur du XVII" siècle , Jean Broscius, dans un ouvrage intitulé : Âpologia pro Aris-
tote/e et Euclide contra P. Ramnni et alion. Dantisci , 1652,in-4°. Elle n'avait rien à
redouter d'aucune attaque, qui n'aurait dû servir même qu'à la propager, et à en
répandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet ouvrage de Broscius
est peut-être le dernier qui ait traité de ces polygones , qui depuis sont tombés entièrement
dans l'oubli, et qui n'ont même réveillé aucun souvenir, au commencement de ce siècle ,
quand M. Poinsot les a créés et remis sur la scène.

Voici ce que contient l'ouvrage de Broscius , sur ces polygones.

D'abord il reprend fortement Ramus pour s'être servi du pentagone étoile , comme
exemple d'une figure , autre que le triangle, où la somme des angles était égale à deux droits.
« Ce qui prouve , dit-il , l'ignorance de Ramus en Géométrie. Car celte figure est un dé-
>) cagone qui a cinq angles renlrans et cinq angles saillaus , et la somme de ces angles est
» égale à seize droits. »

Broscius cite l'ouvrage de Bradwardin , et prouve qu'on peut former une infinité de
figures dites à angles égrédiens, de 7, 9, 11 , etc., côtés, dans lesquelles, comme dans
celle de Ramus , la somme des angles soit égale à deux droits. Bradvyardin n'avait fait que
soupçonner cette belle proposition, sans la démontrer; et Charles de Bouvelles ne l'avait
appliquée qu'à l'eptagone égrédient de troisième espèce. Broscius va plus loin ; il considère
les figures de différentes espèces pour un même nombre de côtés , et donne la somme de
leurs angles.

Il trouve qu'il y a trois espèces d'eptagones, y compris l'eptagone ordinaire, dans les-
quels la somme des angles est 10, 6 et 2 droits ;

Trois espèces d'octogones, dans lesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits;

Six espèces de figures à 14 angles égrédiens (y compris le polygone ordinaire de 14
côtés), dans lesquelles la somme des angles est égale à 24, 20,16, 12, 8et4 droits ;

Sept espèces de figures à quinze angles égrédiens, dans lesquelles la somme des angles
est égale à 2G, 22, 18, 14, 10, 6 et 2 droits.

Ces résultats s'accordent avec la loi trouvée par M. Poinsot, d'après laquelle la somme

' Cette remarque avait déjà été faite probablement, un siècle et demi auparavant, par Stifels ; car oa
trouve dans son algèbre les expressions du côté et de la diagonale du pentagone régulier en fonction du
rayon du cercle circonscrit ( cos'r son Arithmetica intégra, fol 178 V ), et en supposant qu'il n'ait point
obtenu ces expressions par la résolution de l'équation du second degré, leur forme a dû lui montrer que
les carrés faits sur ces lignes sont les racines d'une semblable équation; car ce géomètre, très-babile algé-
bristc pour son temps, était fort exercé dans la résolution des équations du second degré.

NOTES. • 487

des angles de chaque polygone est S=2(m — 2 A), m étant le nombre de côtés du poly-
gone, et h celui qui marque Vetpèce , ou l'ordre do cette figure.

Le point de vue sous lequel Broscius considère ces nouvelles figures , en les regardant
comme des polygones à angles saillant et renlran* alternatiTemcnt, et dont les côtés ne
se coupent pas, le conduit à un mode de construction nouveau de ces figures, et à une
propriété curieuse d'isopérimétrie.

Prenons pour exemple un eptagone régulier ordinaire, et marquons les points milieux
de ses sept côtés. Qu'autour de la droite qui joindra deux points milieux consécutifs, on
fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche de l'eptagone, et que ce triangle
s'applique entièrement sur la surface de la figure. Qu'on fasse tourner semhlablcment
autour de chacune des six autres droites joignant deux points milieux consécutifs , le petit
triangle qu'elle retranchait de l'eptagone; tous ces petits triangles formeront , dans leurs
nouvelles positions, un nouveau polygone de quatorze côtés, à angles saillaus et rentrans
alternativement.

Ce nouveau polygone de quatorze côtés a évidemment le même périmètre que l'epta-
gone proposé.

Maintenant, qu'autour de chaque droite qui joint deux sommets d'angles rentrans con-
sécutifs , on fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche du polygone, on for-
mera de cette manière un troisième polygone de quatorze côtés, ayant encore ses angles
alternativement saillans et rentrans ; et ce nouveau polygone aura évidemment son péri-
mètre égal à celui du second, et par conséquent à celui du premier.

Les surfaces de ces trois polygones sont extrêmement différentes entre elles ; puisque le
second est placé dans l'intérieur du premier, et le troisième dans l'intérieur du second.

Maintenant, on reconnaît aisément que le second polygone n'est autre que l'eptagone de
seconde espèce dans lequel les portions de ses côtés comprises dans son intérieur auraient
été eflacées; et que pareillemeut le troisième polygone n'est autre que l'eptagone de
troisième espèce , dont les parties de ses côtés comprises dans son intérieur auraient aussi
été effacées.

Voici donc une nouvelle manière de former les polygones égrédiens , en les faisant
dériver les uns des autres. Celte méthode méritait d'être remarquée, surtout à cause de
cette circonstance singulière, que tous les polygones déduits ainsi d'un premier, quel
qu'il soit , ont toujours le même périmètre.

Nous ne trouvons pas d'autre ouvrage où l'on ait parlé des polygones égrédiens, jus-
qu'au commencement de ce siècle où cette théorie a reparu toute nouvelle, sans que son
célèbre auteur et les géomètres qui l'ont admirée, se soient doutés du rôle qu'elle avait
déjà joué pendant quatre siècles.

Géométrie des Arabes.

Depuis le VIII" siècle jusqu'au XIII», l'Europe demeura plongée dans une ignorance
profonde. L'amour et la culture des sciences furent concentrés pendant ce long intervalle

I

488 NOTES.

chez un seul peuple , les Arabes de Bagdad et de Cordoue. C'est à eu\ que nous ayons
dû la connaissance des ouvrages grecs qu'ils avaient traduits pour leur usage, et qu'ils
nous ont transmis, long-temps avant qu'ils nous parvinssent dans leur langue originale.
Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que c'était là la seule obligation que nous eus-
sions aux Arabes ; et l'on a négligé de rechercher et d'étudier leurs propres ouvrages ,
pensant que l'on n'y devait trouver rien d'original , ni d'étranger aux doctrines et à l'éru-
dition grecques. C'est une erreur sur laquelle on revient aujourd'hui, surtout depuis
qu'on connaît les ouvrages hindous, et que l'on sait que les Arabes y ont puisé les
principes du calcul algébrique qui les distingue essentiellement des ouvrages grecs.
Mais il y a trop peu de temps que cette erreur est détruite, et les ouvrages arabes nous
sont encore inconnus. Un asseï grand nombre existent depuis plusieurs siècles en Eu-
rope, la plupart dans leur langue originale et quelques-uns en latin, ayant été traduits
dans les XII° et XIII" siècles. Faisons des vœux pour que leur importance soit appréciée
et pour qu'ils ne tardent pas à sortir des bibliothèques où ils sont restés enfouis : alors
seulement on pourra songer à une véritable histoire scientifique des Arabes. Pour le mo-
ment il n'est possible de réunir que quelques faits principaux et quelques données
éparses , qui ne permettraient pas de juger avec confiance de la part que cette grande et
illustre nation a prise dans l'œuvre de la propagation et du perfectionuement des sciences
mathématiques, et où n'apparaîtrait pas dans un jour suffisant le caractère que ces sciences
ont reçu du mélange des élémens grec et hindou qui les ont constituées. Mais ce carac-
tère se montre dans les ouvrages des Européens au XV° siècle, ouvrages imités de ceux
des Arabes , et c'est là pour le moment où nous pourrons l'étudier et le reconnaître avec
évidence.

Le goût et l'ardeur des Arabes pour les sciences se développèrent rapidement au
VIII° siècle, où commença le règne des Abbassides. Ces princes , nobles imitateurs des
Ptolémées d'Egypte, firent de Bagdad le centre de tous les talens du monde '. Ils recueil-
lirent avec activité toutes les lumières qu'ils purent trouver chez les nations que les suc-
cesseurs du prophète et les Ommiades avaient subjuguées. Les Arabes s'approprièrent
ainsi des sciences toutes faites 2, dont ils devinrent les seuls dépositaires, quand, par
suite d'une fatalité attachée à l'espèce humaine, elles déclinaient et se perdaient chez
les peuples qui les avaient créées et perfectionnées pendant des siècles. Les Grecs surtout
et les Hindous^ furent tributaires dans ce contingent scientifique. Telle est l'origine
des sciences, de la Géométrie particulièrement, chez les Arabes.

Les élémens d'Euclide paraissent être le premier ouvrage qu'ils traduisirent, sous le

' Libri, Histoire des sciences mathématiques en Italie , tom. I«', pag. 117.

^ « On ne peut point douter que Ics^Arabes n'oient eu depuis la fondation du Khalifat et l'établissement de leur
empire, une grande estime pour les arts et pour les sciences , puisqu'ils ont traduit en leur langue tous les
meilleurs livres grecs , hébreux , chaldéens et indiens. » ( D'Herbelot , Bihl. orientale ^ au mot Etm \science~\ ).

' On litdans la Bill, orientale de U'IIerhelot, au mot helah (qui signifie Traité) , les titres d'un grand nombre
d'ouvrages que les Arabes avaient traduits ou imités des ouvrages indiens, sur toutes les parties des sciences
mathématiques et philosophiques.

NOTES. 489

régne (l'Almansor, dans le YIII" siècle. Bientôt après on dut aui encouragcmcns éclairés
du calife Al Mamoun (qui commença à régner à Bagdad en l'an 814) la connaissance
des ouvrages d'Archiméde, d'Apollonius, d'Hypsicle, de Ménélaus, de Tbéodose et l'Al-
magesle de Ptolémée.

Dès lors les progrés des Arabes dans les sciences furent rapides; et le IX* siècle compta
des géomètres habiles et d'un savoir très-élendu.

Trois frères , Mohammed , Hamet et Hascn , fils de Musa ben Schaker, furent célèbres ,
par les traductions qu'ils donnèrent de divers ouvrages grecs et hindous , et par leurs
propres écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques, dont plusieurs nous
sont parvenus. Des tables astronomiques que Mohammed ben Musa avait dressées dont
le tyttème indien, furent long-temps célèbres dans l'Orient. Mais un ouvrage beaucoup
plus précieux et plus important à nos yeux, est son Traité d'Algèbre , le plus ancien
qui fût connu jusqu'à ces derniers temps, où ceux des Hindous nous sont parvenus. C'est
dans cet ouvrage que nous avons puisé nos premières connaissances algébriques, d'a-
bord par l'entremise de Léonard de Pise qui avait été s'instruire en Arabie, et ensuite
en l'ayant nous-mêmes à notre disposition , et en le traduisant au XIII° siècle. De là,
on a regardé Mohammed ben Musa comme l'inventeur de l'Algèbre ', et son nom est
resté, à juste titre, en grande réputation chez les géomètres européens. Cependant son

' Cardan dit, au commencement de ion Àra magna ; Bœe an olim à Mahomet» , Mosis Araiis filio , initium
êvmpsit. Et$nim hujus rei locuples testis Leonardus Pisanus.

Il répète la même cboae dam son traité De subtilitate (liv, XVI) , où il place Hohammed ben Buta apré»
Arohytat , et le neuvième parmi les douze plus grands génies de la terre, lluic Afahomelus Moisis filius
Àrabs, Alyebraticœ ut ita dicam artis inventer , succcdil, Ob id inventum ab artis nomine cognomen adeptus
est.

Tartalea attribue aussi à Sohammed ben Husa , rinvention de l'algèbre , qu'il appelle dans le titre de la
VI° partie du Traité général des nombres et des mesures : Antica pralica speculativa de larte magna , detta in
Arabo /tlgebra et Almucabala , over regola delta cosa, trovata da Alaumeth, figlio de Moite arabo , la qvale
se puo dire la perfetta arte del calculare , etc.

On avait attribué d'abord l'invention de l'algèbre à Gcber , autre géomètre arabe. Ainsi, Stifels , célèbre algé-
bristre allemand , contemporain de Cardan , écrit au professeur Milichius : Tuo quoque constlio usus , Algebram
( }U(im persuasisti bonis rationibus à Gebro astronome, autore rjus , ita esse nuncupatam) mullis exemplis
illustratam scripsi ^Arithmetica intégra, pag. 226 v<> ) ; et appelle souvent l'algèbre Régula Cebri. Cette
opinion était encore partagée au XVII° siècle {voir Kepler, IJarmonices Mundi lib. I, prop. 45) ; mais
comme elle n'avait pas d'autre fondement que la ressemblance (les mots, elle n'a pu se soutenir, surtout
quand on a connu la vraie étymologie du mot Algèbre , qui provient de la double dénomination Algebr
V Almocabelah, dont te servent toujours les Arabes , et qui signifie opposition et comparaison. Cette déuo-
minatinn, que nous avons remplacée par le seul mot Algèbre, se rapporte asaei bien aux équations dont le
mécanisme est le fondemeni de toute la science.

D'autres écrivains, à la tète desquels on trouve Regiomontanus et Scheubel, avaient regardé Diophante
comme le premier inventeur de l'algèbre, et cette opinion a prévalu généralement; parce qu'en effet,
Diophante avait une grande antériorité sur les Arabes. Hais aujourd'hui la question de priorité est entre
les Grecs et les Hindous. Brahmegupta est postérieur de deux siècles à Diophante, mais la perfection de
loa ouvrage annonce certainement que l'algèbre avait déjà une existence très-ancienne dans l'Inde.

Car, ainsi que le dit Peleticr dans son Algèbre, c'est là une de ces choses qui, loin de devoir leur in-
vention à un seul auteur , n'ont pris règle , forme et ordre qu'après un long temps de circuitions , d'inter-
missions et de continuelles exercitations d'esprit.

To.li. XI. 62

490 NOTES.

ouvrage, auquel, ne fût-ce que par reconnaissance, étaient si légitimement dus les hon-
neurs de l'impression, est resté manuscrit, et depuis trois siècles dans l'oubli, quand
pour la première fois, en 1831, M. Rosen l'a publié en arabe et en anglais. M. Libri
Tient aussi de reproduire, dans le P' volume de son Histoire des sciences en Italie ,
l'une des traductions latines que l'on conservait à la bibliothèque royale. Celle-ci n'est
pas aussi complète que le manuscrit dont s'est servi M. Rosen. La partie géométrique ,
entre autres , ne s'y trouve pas.

On sait que Mohammed ben Musa avait tiré des Indiens une partie de ses connais-
sances mathématiques ^ Nous devons penser que c'est d'eux qu'il reçut l'algèbre. Son
ouvrage présente des points de ressemblance certains avec les leurs , et nullement avec
celui de Diophante. Mohammed y fait usage, comme les Indiens, de considérations
géométriques, pour mettre dans tout son jour la certitude des opérations de l'algèbre;
on distingue surtout la manière dont il démontre, par cette méthode, les règles pour
la résolution de l'équation du second degré dont il considère trois cas -. L'ouvrage con-

' Casiri, Bihliotheca Arabica- ffispana , pag. 427-42S. — Coiebhooke, Brahmegupta and Bhascara Algelra ;
Dissertation, pag. lxxii. — F. Rosen, Algelra of Mohammed ben Musa. Préface , pag. viii.

^ Ces trois cas dont l'auteur ne donne que des exemples numériques, sont exprimés par les trois équations
littérales :

ax^ -\- bx — c r= 0 ,
ax^ — bx — c := 0 ,
ax^ — Jo; -V- c = 0.

Le quatrième cas que peut présenter l'équation générale du second degré est

ax^ -\- bx -i- c z= 0 ,

où tous les termes sont positifs. Mohammed n'en parle pas, parce que les racines, dans ce cas, sont tou-
jours négatives.

Dans les autres équations il ne prend que les racines positives, et laisse de côté, comme insignifiantes,
les racines négatives.

Dans la troisième, ax^ — bx -\- c = o , où les deux racines

b . 1

' = ^ ± 2li l/i^-4ao

sont positives (supposé qu'elles sont réelles), Mohammed dit qu'on les calcule l'une et l'autre, mais que
dans chaque cas il faut s'assurer qu'elles répondent à la question. On essaie d'abord la première , qui pro-
vient dusl^aeplus; et si elle ne convient pas, la seconde, qui provient du signe moins, conviendra cer-
tainement. ( tVhen you meet with an instance ivhich refers you ta this case , try ils solution by addition,
and ifihat do not serve, then subtraction certainly will. Page 11.)

Les Indiens admettaient aussi les deux racines, dans les cas où elles convenaient toutes deux [Bija-Ganita,
§ 130, 139), et en rejetaient une, comme absurde, dans d'autres cas {ibid., § 140, 141). Par exemple
dans cette question : L'ombre d'un gnomon qui a douze doigts de hauteur, étant diminuée du tiers de l'hypo-
ténuse, devient 14 doigts, quelle est l'ombre? On est conduit pour déterminer l'ombre, à une équation
du second degré dont les deux racines sont positives et égales à "^ et à 9. La première convient parce
qu'étant plus grande que 14, elle peut, étant diminuée du tiers de l'hypoténuse, devenir égale à 14;
mais la seconde étant plus petite que 14 , elle doit être rejetée , dit Bhascara , à cause de son absurdité
(ly reason of its incongruity).

Lucas de Burgo suit en tout point Mohammed ben Musa; il considère trois cas aussi; il donne la solu-
tion de chacun dans un strophe de quatre vers latins; puis il la justifie par des considérations géomé-

NOTES. 491

tient aussi , comme ceux des Indiens, une partie géométrique sur la mesure des surfaces.

On y rcmarquo les trois expressions -^, kIO et -^^^ du rapport approché de la cir-
conférence au diamètre, qui, comme nous l'avons dit, ont été connues des Indiens ■;
et les trois nombres 13, 14 et 15 pris pour les calés d'un triangle que nous avons trou-
vés aussi dans les ouvrages de Brahmegupta et de Bbascara.

L'ouvrage de Mohammed est beaucoup moins étendu que ceux-ci ; il ne traite pas
comme eux des équations indéterminées du second ni du premier degré. Nous en trou-
vons la raison dans la préface de l'auteur qui nous apprend qu'il a composé ce traité
succinct, à la demande du calife Al Mamoun , pour faciliter une foule d'opérations qui
se présentent dans le commerce des hommes et dans les besoins de la vie.

Ce passage suffirait pour nous prouver que les Arabes possédaient alors des ouvrages
plus étendus et d'un ordt'e plus élevé, si nous ne savions pas qu'en effet ils connaissaient
les savans ouvrages des Indiens, et qu'eux-mêmes ont écrit sur la résolution des équations
du troisième degré, comme nous le dirons plus loin.

Quoi qu'il en soit, c'est un fait bien remarquable et digne de la méditation des savans
de l'Europe, qu'un traité d'algèbre, regardé comme élémentaire au IX" siècle chez les
Arabes, et en quelque sorte comme manuel pratique à l'usage du peuple, a été 700 ans
après V Ars magna des Européens, et la base et l'origine de leurs grandes découvertes
dans les sciences ^.

triques. Quant nu cas où les deux racines sont positives, il reconnaît qu'elles peuvent convenir l'une et
l'autre dans certaines questions , mais que dans d'autres l'une seulement satisfait. ( Siche luno e laltro modo
satisfa cl ihema. Ma a le volte se hane la verita a luno modo, À le voile a laltro. El perche se cavando la radice
del ditto rémanente de la mita de le cote non satisfacesse al thema. E tu la ditta R ( radice ) agiongi a la
mita de le eose, e haverai el quesito : et mai fallara che a uno de H doi modi non sia satisfatto et quesito,
cioe giongneudola , overo cavandola del dimeccamento de le cose , etc. (Samma de Arithmetica, etc. Distinc-
tio 8, tractatus 6, art. 12.)

Ces rapports manifestes, qui ont lieu entre l'ouvrage de Mohammed ben Ilusa et ceux des Indiens , d'une
part , et celui de Lucas de Burpjo, de l'autre , montrent bien l'origine de l'algèbre des Européens , et l'in-
fluence directe que les ouvrages arabes ont eue sur les progrès et le caractère des sciences mathématiques

& la renaissance. Tel a été l'objet de cette note.
gofi3'* 39**?

' Il parait que le rapport .' ' = p^ = 8,14160 est dû aux Indiens , et qu'ils l'avaient trouvé en cal-
culant le côté du polygone régulier de 768 côtés. Gl' Indiani, corne apparisce da un liiro dei Bramini, inti-
tolato Ajin-Akbari, avean trovalo con ingegnosissimo metodo Geomeirico , viediante l'inscrizione di un poli-
qono regolare di 768 lati, che la circonferenza del circolo sta al diamètre corne 3027 a 12-50. ( Saggio sulla
ttoria délie matemaliche , opéra del sig. P. FaiifciiiNi, Lucca, 1821 , in-8°.) Th. Simpson est parvenu de lui-
même au rapport 3,1416, par l'inscription du polygone de 788 côtés j il a obtenu même le rapport plus ap-

Droché — • ( y. ses Élim. de Géom.) Sa méthode est très-simple : je ne sais pourquoi on n'en parle jamais.

•^ 200000 "■ ' r I J 1 T

3 Jusqu'ici nous n'avions connu des Arabes que le traité d'algèbre de Mohammed ben Husa. C'est le seul
du moins dont les géomètres du XVI^ siècle, Lacas de Burgo, Cardan, Peletier, Tartalea, Stevin , etc.,
aient parlé. Hais beaucoup d'autres auteurs arabes ont écrit sur l'algèbre; on trouve les noms de plusieurs
d'entre eux et les titres de leurs ouvrages dans la Bibliothèque orientale de D'IIerbelot , au mot Gebr ; et
an mot Ketab (pag. 966 , 2™" colonne ; 967 , 1" col. ; 981 , 1« col. ; édit. in-fol. de 1697).

Il existe un ouvrage, traduit de l'arabe en anglais, à Calcutta, en 1812, qui traite de l'Arithmétique,
de la Géométrie et de l'Algèbre, ot dont je m'étonne que l'on ne parle pas depuis quelques années qu'on

492 NOTES.

Mohammed avait écrit sur les triangles plans et sphériques un traité qu'on dit exister
encore sous le titre : De figurîs plants et sphœricis.

On possède aussi un ouvrage de Géométrie qu'il a composé probablement en commun
avec ses deux frères, Hamet et Hasen , car il a pour titre p^erba filiorum Moi/si, filii
Sehaker, Mahumeti , Hameti, Hasen. Dans cet ouvrage se trouve démontrée la formule
de l'aire du triangle en fonction des trois côtés ; et l'application en est faite au triangle
qui a pour ses côtés les trois nombres 13 , 14 et 15, comme chez les Indiens. La démon-
stration est celle que Fibonacci et Jordan Nemorarius ont donnée au XIII° siècle et que
Lucas de Burgo et Tartalea nous ont fait connaître. Elle paraît appartenir aux Arabes,
car elle est différente de celle de Héron d'Alexandrie.

Les trois fils de Musa ben Sehaker ont écrit beaucoup d'autres ouvrages dont on trouve
l'indication dans la Bibliotheca yï rahico-Ilùpana de Casiri (tom. I'"', pag. 418).

Alkindus, l'un de leurs plus célèbres contemporains, que Cardan met comme Mohammed
ben Musa au nombre des douze plus puissans génies du monde ' , a aussi écrit sur toutes
les parties des mathématiques. Cardan cite avec éloge son traité De régula sex quanti-
tatum -. Nous avons dit dans la Noie VI quel était l'objet de cette règle des six quantités ,
qui s'effectuait par le calcul ou par une construction géométrique déduite du théorème
de Plolémée.

Alkindus avait écrit sur l'arithmétique des Indiens [De Arithmeticâ indicâ) , et sur
l'algèbre ( Z?e quantitate relatioâ , seu Algehrâ). Nous ne citerons pas ses autres ou-
vrages, qui sont extrêmement noml)reux. Une partie doit se trouver encore dans les biblio-
thèques d'Espagne. Plusieurs, sans doute , ofi'riraient de l'intérêt s.

«'occupe d'étudier l'histoire des sciences chez les Indiens et les Arabes. Nous trouvons le titre suivant de
cet ouvrage que nous ne connaissons pas encore, dans le catalogue de la bibl. de H, Langlès, art. 562,
The khoolasut-ool-hisai , a compendium of arithmeiic and gcometry ; in ihe arabic language, by Buhae-
oodd-deen , of Amool in Syria, with a Iranslation into persian and commcntary , hy ihe late Muoluwee Rtioshvn
L'iee of Jvonpoor: to whichis added u ircatise on algcbra, hy Nvjm-ood-den Ulee khan, head Qazee , ta the
Stidr Dccwanee and Nizamut Vdalut. Rcviscd and edited ly Tarinec Churun Mitr, Muoluwee Jan Vlee and
Ghoolam f7(4Kr. Calcutta , Pereira, 1812, grand in-8",

M. Libri vient de mettre au jour un ouvrage d'algèbre traduit de l'original arabe en latin, et resté manus-
crit à la bibliothèque royale, sous le titre : Liber augmenii et diminuiionis vocatus numoratio divinationis
ex eo ({uod sapicntes Indi posuerimt , qtiem Abraham compilavit, et secundum librum gui Indorum dictus est,
composuit.

Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports. D'abord il est essentiellement différent de celui de Moham-
med ben Musa ; car il roule uniquement sur les règles de fausse position simple et double. Et ensuite il nous
apprend que ces règles viennent des Indiens. On les avait attribuées jusqu'ici aux Arabes , sur l'autorité de
Lucas de Burgo, qui les a appelées règles d'/felcataym, « e vocabulo Arabo, « [Summa de Arith., etc., Distinctio
septima , tractatus primus.)

Mais dans d'autres ouvrages du même temps, on les appelle Régula falsi , seu augmenti et dccrementi ,
comme le compilateur Abraham (voir Algorithmus de inlegris , minutiis vulgaribus , ac proportionibus ,
cum anncxis de tri , faUi , aliisque regulis. Liptzck, 1507, in-4<>. )

' De sublilitate libri XXI , lib. XVI.

^ Ibid., lib. XVI. — Practica arithmetice , cap. 46. — Opus novum de proportionibus nnmerorum , etc.
Prnpositio quinta.

^ Tel serait son traité d'arithmétique indienne. Car il est assez singulier que, depuis si long-temps qu'on

NOTES. 493

Thébit ben Corab , disciple de Mohammed bcn Musa, fut aussi un géomètre célèbre
qui embrassa les malbémaliqucs dans toute leur étendue. Parmi les nombreux ouvrages
qu'il a laissés , et dont on trouve le catalogue dans Casiri , il en est un dont le titre De
problematibus aUjebrici* geometricâ ratione comprobandit , aurait dû piquer vive-
ment la curiosité des géomètres; car il annonce que Thébit avait appliqué l'algèbre à
la Géométrie. C'est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Montucla que :
<( Thébit a écrit sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique, ce qui pour-
» rail donner lieu de penser que les Arabes eurent aussi l'idée heureuse d'appliquer
» l'algèbre à la Géométrie. » Cette conjecture est devenue pour nous un fait certain ,
constaté déjà par l'algèbre de Mohammed ben Musa , et dont on trouve une preuve
plus convaincante encore dans un autre ouvrage dont on doit la connaissance récente à
M, L.-Am. Sédillot.

Cet ouvrage est un fragment d'algèbre (trouvé dans le manuscrit arabe n° 1104 de la
bibl. royale), où les équations du troisième degré sont résolues géométriquement.

M. Sédillot nous apprend qu'avant de passer à la solution de ces équations, l'auteur
donne celle du problème des deux moyennes proportionnelles, qu'il résout par deux pa-
raboles, et dont il se sert pour la solution de certaines équations. Le géomètre arabe se
serait-il aperçu que toutes les équations du troisième degré peuvent se résoudre par les
deux moyennes proportionnelles, et la trisection de l'angle; ce qui est, comme on sait,
une des découvertes qui ont fait honneur à Viète. Il construit les racines des équations
de la forme x^ — ax — b=o, par un cercle et une parabole. Mais nous pensons qu'il ne
s'agit encore que d'équations numériques , les seules qu'on trouve dans les ouvrages arabes
et chez les Modernes jusqu'à Viète, à qui est dû le pas immense qu'il fallait franchir
pour arriver à l'idée et à la considération d'équations littérales.

Toutefois , malgré cette restriction dans les spéculations algébriques des Arabes , nous
pouvons dire que non-seulement ils ont possédé l'algèbre, mais qu'ils ont connu aussi
l'art d'exprimer graphiquement les formules, et d'en présenter aux yeux la signification;
art si beau et si précieux que Kepler regrettait de ne pas savoir ', et qui a été l'une des
grandes conceptions de Viète.

On avait toujours pensé que les Arabes n'avaient pas été au delà des équations du se-
cond degré. On fondait cette opinion sur ce que Fibonacci et Lucas de Burgo s'étaient

agite la question de l'origine de notre système de numération , et qu'on ne peut s'accorder sur la signi-
fication du passage de Boèce et de la lettre de Gerbert qui s'y rapportent , on n'ait pas , au lieu de raison-
ner sur la forme des cliifl'res, qui nécessairement a dû varier, compare ces deux pièces avec les traités
d'arithmétique que les Arabes nous ont laissés, et dont aucun, je crois, n'a été ni traduit, ni publié dans le
texte original.

■ Kepler, ne pouvant traduire graphiquement la propriété que représente l'équation du second degré qui
donne le rapport du côté du pentagone régulier au rayon du cercle circonscrit , s'exprime ainsi : Quomodo
affectionem Teprvesentalo ? quo actu geometrice? Nullo alto id doceor facere , quàm usurpando proporlionem ,
giiam qiiœro ; princiiiium petitur, Miatr calculator, destitutus omnibus geometriœ prasidiis , harens inler
spineta numerorum , frustra cossam suam respectai. /Toc unum est discrimtn inter cossicat et inter geome-
tricas determinationes. ( Hauomcu buubi liber I; pag. 87)

494 NOTES.

arrêtés à ce point de la science'. Montucla , le premier, l'a mise en doute, et a pensé
que les Arabes pouvaient bien avoir traité des équations du troisième degré ; il se fon-
dait sur le titre Algehra cuhica , seti de prohletnatum solidoruni resolutione , d'un
manuscrit apporté de l'Orient par le célèbre Golius , et qui se trouve dans la bibl. de
Leyde 2. Le fragment d'algèbre trouvé par M. Sédillot confirme la conjecture de Montucla,
et en fait un des points les plus importans de l'histoire scientifique des Arabes.

Mais nous devons dire que rien ne nous autorise encore à penser qu'ils aient connu la
résolution algébrique des équations du troisième degré, c'est-à-dire l'expression des
racines de ces équations. Le titre du manuscrit de la bibl. de Leyde semble, au contraire,
indiquer qu'il y est question de leur construction géométrique par les lieux solides ( les
sections coniques) , comme dans celui de la bibl. royale de Paris.

La trigonométrie est une des parties des mathématiques que les Arabes cultivèrent
avec le plus de soin, à cause de ses applications à l'astronomie. Aussi leur dut -elle de
nombreux perfectionnemens qui lui donnèrent une forme nouvelle , et la rendirent propre
à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très-péniblement.

Les premiers progrès de la trigonométrie datent d'Albategnius, prince de Syrie 3, qui
florissait vers l'an 880 et qui mourut en 928. C'est ce grand astronome, surnommé le Pto-
lémée des Arabes, qui eut l'heureuse et féconde idée de substituer aux cordes des arcs,
dont les Grecs se servaient dans leurs calculs trigonométriques , les demi-cordes des arcs
doubles, c'est-à-dire les sinus des arcs proposés. « Ptolémée , dit-il, ne se servait des
cordes entières que pour la facilité des démonstrations ; mais nous , nous avons pris les
moitiés des arcs doubles ■*. »

Albategnius est parvenu à la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique
cos. a =cos. h COS. c. ■+- sin. b. sin. c. cos. A , dont il a fait diverses applications ^.

On trouve dans ses ouvrages la première idée des tangentes des arcs, et l'expression
■^^^r^ , dont les Grecs ne se sont pas servis. Albategnius la fait entrer dans les cal-
culs de gnomonique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des
Modernes. On voit qu' Albategnius avait des tables doubles , qui donnaient les ombres
correspondantes aux hauteurs du soleil, et les hauteurs correspondantes à des ombres;
c'est-à-dire les tangentes des arcs , et les arcs correspondans à des tangentes. Mais ses
tables étaient calculées pour le rayon 12 , tandis que celles des sinus l'étaient pour le
rayon 60; ce qui prouve qu'il n'a pas eu la pensée d'introduire ces tangentes dans les
calculs trigonométriques *.

' Fibonacci résout bien quelques équations d'un degré supérieur , mais qui se réduisent au second.

^ Histoire des Mathématiques , tom, I'"' , pag. 383,

' Le nom propre de ce géomètre est Mohammed ben Geber ; il fut surnommé al Batani , parce qu'il était
né à Batan , ville de la Mésopotamie, et de ce nom les Modernes ont fait celui de Albategnius.

* Delambre , Histoire de l'astronomie du moyen dye , pag 13.

' Ibid, , pag. 21, 164. On sait que la formule correspondante, cos. A = sin. B sin. C cos. a — cos. B cos. C,
est due à Viète qui l'a donnée en 1593 dans son Variorum de rébus mathematicis responsorum liber octavus,

^ Delambre, Histoire de l'astronomie du moyen âye , p. 17.

NOTES. 493

C'est à Âboul Wefa et à Ebn Jounis , qui lui sont postérieurs d'un siècle, qu'est dû ce
nouveau pas.

Aboul Wefa (0.37-908), après ayoir exposé la théorie des sinus , définit d'autres lignes
trigonomélriqucs « qu'il emploiera dans son ouvrage pour les faire servira la solution de
diflércns problèmes de l'astronomie sphériquc. »

Ce sont les tangente* cl cotangentes , qu'il appelle ombre verte et ombre droite, tl
les técantes qu'il appelle diamètre de l'ombre.

Aboul Wefa a calculé sa table de tangentes pour un rayon égal à 60 : il n'a pas
calculé les sécantes.

On n'a point cette table des tangentes ; mais ce qu'il importait de savoir, c'était la date
certaine de leur introduction dans le calcul trigonométrique.

Cette heureuse révolution dans la science, qui en bannissait ces expressions composées
et incommodes qui contenaient le sinus et le cosinus de l'inconnue, ne s'est opérée que
600 ans plus tard chez les Modernes; on en a fait honneur à Regiomontanus; et près d'un
siècle après lui Copernic ne la connaissait pas encore.

Ebn Jounis (970-1 008) se servit aussi des ombres ou tangentes et cotangenles , et en eut
aussi des tables sexagésimales '.

Il eut le premier l'idée de calculer des arcs subsidiaires qui simplifient les formules,
et dispensent de ces extractions de racines carrées qui rendaient les méthodes si pénibles.
Ces artifices de calcul, aujourd'hui si communs, sont restés long-temps inconnus en
Europe, et ce n'est que 700 ans plus tard qu'on en trouve quelques exemples dans les
ouvrages de Simpson (Delambre, Histoire de l'astronomie du moyen âge, pag. 165).

La trigonométrie sphériquc doit à Geber, astronome qu'on suppose avoir vécu vers
l'an 1050, la formule Cos. C=sin. B cos. c, qui est la cinquième des six qui servent à la
résolution des triangles rectangles^. La sixième, Cos. a» cot. B. cot. G, est resté incon-
nue jusqu'au XVP siècle; on la doit à Vièlc.

Ces deux formules sont celles qui contiennent les deux angles obliques du triangle. Les
Grecs n'avaient eu que les quatre premières, qui leur suffisaient, parce que dans leurs
applications de la trigonométrie à l'astronomie , le cas des trois angles connus ne se présen-
tait pas.

Tels sont les principaux perfectionnemens que les Arabes apportèrent à la trigono-
métrie.

Ils purent ainsi cultiver l'astronomie avec succès. Aussi compte-t-on un très-grand
nombre d'auteurs arabes qui s'adonnèrent à celle science. Nous n'avons point à parler ici
des progrès qu'ils y firent ; et nous dirons seulement quelques mots de l'une de ses appli-
cations, la gnomonique, qui n'est au fond qu'une question de pure Géométrie.

Les Arabes attachèrent une grande importance à la construction des cadrans qui étaient
à peu près leur seul moyen do compter le temps. Dès le neuvième siècle, des géomètres

' Delambre , Hittoir» de l'astronomie du moyen Age , p. 164.

* Roui appelons B , C , le* deux angles obliques du triangle ; i , c , les côtés opposés , et a l'hypoténuse.

496 NOTES.

célèbres s'en occupaient. C'est à cet art que se rapportaient sans doute deux ouvrages
d'Alkindus, intitulés : Z>e /loro/o^. scialhericorum degcrijitione ;el De horolog. hori-
sontali prœstantiore , et les deux suivans de Thébil ben Gorah : De horometriâ seu horis
diurnii- ac nocturnig ; et De figura linearum qiias (jnomometrum [stijli apiciéi umhra)
percurrit. Ce dernier litre semble annoncer que Thébit se servait de la considération des
sections coniques dans la construction des cadrans. Nous allons voir cette méthode pra-
tiquée savamment par un autre géomètre arabe du XIIP siècle. Maurolycus en a eu la
première idée chez les Modernes; et elle a donné à son ouvrage un caractère d'originalité
qui lui a fait honneur.

L'écrivain arabe auquel la gnomonique paraît le plus redevable , est Aboul Ilhassan Ali ,
de Maroc, qui vivait au commencement du XIII° siècle; son ouvrage avait pour titre:
Livre qui réunit les commencemens et les fins , parce qu'il se compose de deux parties
distinctes , dont la première traite des calculs et la seconde des instrumens et de leur
usage. M. Sédillot , dont les sciences mathématiques et les langues orientales déplorent la
perte récente (en 1832), a fait une traduction de cet ouvrage qui a été mise au jour par les
soins de M. L. Am. Sédillot, son fils, sous le titre : Traité des in,strumens astronomi-
ques des Arabes (2 vol. in-4°, Paris, 1834).

Cet ouvrage est un traité complet et très-détaillé de la gnomonique des Arabes. 11
contient plusieurs choses nouvelles qui sont de l'invention d'Aboul Hhassan.

On y trouve pour la première fois les lignes des heures égales , dont les Grecs n'avaient
point fait usage. Il paraît que cette innovation, qui a été conservée chez les Modernes,
est due à l'auteur lui-même, car il dit : « Ceci fait partie des choses inusitées que nous
donnons dans cet ouvrage, comme le résultat de nos méditations et de nos réflexions. »
(Liv. m , chap. 14). Il expose dans le plus grand détail la construction des lignes d'heures
temporaires Rappelées aussi heures antiques, inégales^ , judaïques).

Dans les chapitres XXVI et suivans , intitulés : Détermination du paramètre et de
l'axe principal des parallèles , en quelque lieu que ce soit, Aboul Hhassan se sert des
propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. Il calcule les paramétres
et les axes de ces courbes , en fonction de la latitude du lieu , de la déclinaison du soleil
et de la hauteur du gnomon.

Cette partie de l'ouvrage prouve que le géomètre astronome Aboul Hhassan, était un
homme de mérite. Il ne donne pas la démonstration de ses règles , mais elle devait se

' Ces heure» étaient égales entre elles pendant un même jour, mai» leur durée changeait d'un jour à l'autre ,
parce qu'elle était toujours la douïième partie du temps compris entre le lever et le coucher du soleil, les
lignes qui marquaient ces heures étaient des courhes très-peu différentes de la ligne droite , ainsi que l'a
reconnu M. Delamhre , par le calcul. [Histoire de l' astronomie ancienne , t. 3 , p. 481 ). Mais la nature de ces
lignes n'est pas encore connue ; elle peut faire le sujet d'une belle question d'analyse , qui se réduit à ceci :

Que sur une demi-sphère on suppose tracés des arcs de cercle dans des plans parallèles entre eux , et inclinés
sur le plan du yrand cercle qui sert de hase à la demi-sphère ; que ces arcs parallèles soient divisés dans un
rapport donné ; les points de division formeront une courbe à double courbure , située sur la demi-sphère ; que
par cette courbe on fasse passer un cône ayant son sommet au centre de la demi-sphère , la section de ce cône par
un plan, sera la ligne d'une des heures égales.

NOTES. 497

trouver dans un Traité dei tectiont conique» , qu'il avait composé. M. Dclambre , qui a
approfondi toute cette partie géométrique de l'ouvrage d'Aboul Hhassan, la trouve bien
préférable aux procédés enseignés par Commandin et Clavius, qui ont aussi tracé leurs
arcs des signes par des moyens tirés de la théorie des coniques. Cependant il reconnaît que
les règles du géomètre arabe n'ont pas encore toute la simplicité dont elles sont suscep-
tibles : il fait usage de la hauteur du pôle pour déterminer le paramètre , ce qiii com-
plique et allonge les calculs bien inutilement, puisque l'expression de ce paramétre,
réduite aux élémens indispensables, est indépendante de la hauteur du pâle, et ne con-
tient que la déclinaison et la bauteur du gnomon , ainsi que le démontre M. Dclambre.
C'est là un théorème assci remarquable, dit-il, et qui était assez important en gnomonique
pour n'être pas négligé par les auteurs qui ont donné des méthodes si compliquées pour
tracer les arcs des signes d'après les propriétés des sections coniques '.

Ce théorème, en langage géométrique, signifie que toute* les sectiont d'un cône droit,
faite» par det plans coupans , également éloignés de son sommet, ont le même para-
mitre.

Cette propriété du cône droit a lieu aussi dans le cône oblique. Cela résulte du beau
théorème de Jacques Bernouili, que nous avons énoncé en parlant des coniques d'Apollo-
nius, et qui lui a servi à déterminer le paramètre dans les sections du cône oblique (en
supposant les plans coupans perpendiculaires au triangle par l'axe).

On attribue à Mahomet Bagdadin , géomètre du X° siècle , un élégant traité sur la divi-
sion des surfaces, qui a été traduit par Jean Dec et Commandin ^.

Cet ouvrage a pour objet de diviser une figure en parties proportionnelles à des nombres
donnés, par une droite menée d'après certaines conditions. Il se compose de vingt-deux
propositions, dont sept sont relatives au triangle, neuf au quadrilatère et six au pen-
tagone. L'auteur les énonce sous la forme de problèmes , dont il donne la solution , qu'il
démontre ensuite.

Cet ouvrage, par sa nature, est un complément nécessaire d'un traité de géodésie; aussi
il a été imité par tous les géomètres modernes dans leurs traités de Géométrie pratique.

Dée et Commandin pensèrent que ce traité pouvait provenir d'Euclide , qui, au rapport
deProclus, dans son commentaire sur le premier livre des Elémens , avait aussi écrit sur
la division des figures. Cette opinion n'a pas été partagée par Savile ; et depuis , la question
est restée indécise. Nous sommes tout-à-fait porté à attribuer l'ouvrage à un géomètre
grec; à Euclide, si l'on veut (puisque Proclus cite de lui un traité De divisionibus); car
il ressemble parfaitement, par sa forme et par la pureté du style géométrique, aux ou-
vrages des Grecs, et nullement à ceux des Arabes, qui , alliant la science des premiers à
celle des Hindous, avaient introduit le calcul algébrique dans leur Géométrie, et démon-
traient leurs propositions les plus générales sur des données numériques, et non pas dans

■ Histoire de l'astronomie du moyen âge , p 636.

^ De tuperficierum divisionibus liber âlachomelo Bagdedino ascriptus, IVune primiim Joannxs Dee Londi-
nensù , et Federici Commandini l'rbinatis operâ in lucem edilus.
Ftdtrici Covimandini de eadem re iibeUnt, Piwuri, 1670 , iii-4<>.

To«. XI. 63

498 NOTES.

l'état de généralité et d'abstraction que présentent celles du traité en question. Ajoutons
que les Grecs avaient écrit sur la Géodésie dés les premiers temps de l'école d'Alexandrie ,
comme nous le Toyons par un ouvrage de Héron l'ancien, mis au jour par M. Venturi; et
que s'ils n'avaient pas eu leur traité De divuionibus guperficierum , c'eût été une lacune
que ne peut faire supposer la perfeclion qu'ils donnaient à leurs ouvrages.

L'optique a été traitée chez les Arabes par un grand nombre d'auteurs , dont le plus
célèbre est Alhasen. Son ouvrage , qui nous est parvenu ' , se recommande par des considé-
rations de Géométrie savantes et étendues. On y remarque surtout la solution d'un pro-
blème qui dépendrait, en analyse, d'une équation du quatrième degré. Il s'agit de trouver
le point de réflexion sur uq miroir sphérique, le lieu de l'œil et celui de l'objet étant
donnés. Ce problème a occupé de célèbres géomètres modernes, tels que Sluze,Huygens,
Barrow, le marquis de Lhopital, R. Simson. Ce dernier l'a résolu très - simplement
par de pures considérations de Géométrie. (iS'ecfioMMm conicarum libri V. Appendix,
p. 223.)

On a pensé que l'ouvrage d' Alhasen était imité du traité d'optique dePtolémée. Ça été
l'opinion de Monlucla. Mais Delambre, quoiqu'il fût généralement porté en faveur des
Grecs, ne l'a pas partagée. Il a même pensé qu'il se pouvait qu'Alhasen n'eût pas eu con-
naissance de l'ouvrage de Ptolémée, parce que le sien lui est très-supérieur 2. Quoi qu'il
en soit, l'ouvrage d' Alhasen fait honneur aux Arabes, et nous devons le regarder comme
ayant été l'origine de nos connaissances en optique. Vitellion, géomètre polonais, l'un des
plus savans du XIIP siècle, y a puisé utilement pour la composition de son traité d'op-
tique, le premier qu'ait fait paraître un géomètre européen.

On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance récente d'un ouvrage original des Arabes ,
intitulé : Traité des connues géométriques , par Hassan ben Haithem •*,

Ce géomètre florissait vers l'an 1009, et mourut au Caire, en 1038. Il a composé un
commentaire de l'Almageste , et un autre sur les définitions qui sont en tête des Elémens
d'Euclide.

Son traité des connues est divisé en deux livres: «Le premier, dit-il , comprend des
» choses tout-à-fait neuves et dont le genre môme n'a pas été connu des anciens géomè-
» très, et le second contient une suite de propositions analogues à celles qui ont été
» traitées dans le livre des Data , mais qui ne se trouvent pas dans cet ouvrage d'Euclide. «

Sous le titre de Prolégomènes , l'auteur se livre à une discussion métaphysique sur la

' Imprimé à Bàle en 1673 , avec la troisième édition de l'optique de Vitellion , 80118 le titre : Opticœ thésaurus.
Alhazeni Arahis lihri septem^ nunc primum editL Ejnsdcvi liher de crepusculis et nubium ascensio-nibus . I tcvi.
VitelHonis Thuringo-Poloni libri dcccm , à Fr. Risnero , in-fol ,

2 Uistoire de r astronomie ancienne ,^. iXZàa tome \l.

' Nouveau journal asiatique , mai 1834.

La copie sur laquelle M. Sédillot a fait cette traduction est du 3 juin 1144; elle se trouve, avec six autres
opuscules sur les mathématiques, dans le manuscrit arabe, n» 1104 de la bibl. royale. M, Sédillot promet de faire
connaître ces pièces, dont une, qui est le fragment d'algèbre sur la résolution des équations du troisième degré
dont nous avons parlé plus haut , sera l'un des monumens les plus précieux de l'histoire des sciences chez les
Arabes.

NOTES. 499

définition des connue* , leurs divisions et subdivisions ; et la nature des quantités aux-
quelles elles se rapportent.

Ces préliminaires, dit M. Sédillot, qui caractérisent l'esprit des érudits du temps de
Hassan ben Haithem, permettent d'apprécier assez exactement la philosophie mathéma-
tique des Arabes.

Mais le savant traducteur ne nous fait connaître que le commencement de ces prolégo-
mènes , et nous ne voyons pas bien quelle peut être l'application de ces distinctions
subtiles aux propositions de Géométrie qui forment le corps de l'ouvrage; sans doute elles
portaient sur la forme môme que l'auteur a donnée aux énoncés de ces propositions ; mais
raontraienl-ellcs l'utilité de cette forme inusitée , et le caractère scientifique , ainsi que la
vraie destination de ces propositions? C'est là ce qu'il nous importerait de savoir.

Cette forme est la même que celle des donnée* d'Euclide, de sorte que ce traité est une
imitation et une continuation du livre des donnée* du géomèlre grec; mais avec cette
diflérence que les propositions du premier livre «choses tout-à-fait neuves, et dont le
genre même n'a pas été connu des Anciens, » roulent sur des propositions locales, tandis
que toutes celles d'Euclide étaient des théorèmes ordinaires où tout est déterminé.

Ainsi, dans les donnée* d'Euclide, l'objet d'une proposition était de démontrer que
telle chose (point, droite, ou quantité), devant résulter de telle construction ou de telles
conditions, était parfaitement connue; et de déterminer la valeur et la position de cette
chose.

C'est là aussi l'objet des propositions du premier livre des connue* de Hassan ben
Haithem ; mais il y a dans chaque question une indétermination de condition , résultante
de la considération d'un lieu géométrique.

Ces propositions sont de deux espèces.

Dans les premières il s'agit de démontrer que tel lieu, formé par la succession de points
déterminés par telles conditions, est parfaitement connu; et de donner la construction
directe et immédiate de ce lieu.

Voici }|énoncé d'une proposition de cette espèce :

« Lor*que de deux point* connu* de po*ition on mène deux ligne* droite* qui *e
coupent enun point, où elle* forment un angle connu, et qu'en*uite on prolonge direc-
tement une de* deux ligne*, si le rapport de cette ligne à son prolongement est connu,
ton extrémité *era *ur une circonférence de cercle connue de position. » (Proposition VII
du !•' livre.)

Dans toutes ces propositions, le lieu géométrique est la ligne droite ou circulaire. Elles
paraissent prises en général des lieux plan* à' K^oWonms.

Dans les propositions de la seconde espèce , ce n'est pas le lieu géométrique qu'il s'agit
de déterminer , mais quelqu'autre chose qui s'y rapporte , et qui doit être commune à une
infinité de points ou de lignes , à cause d'une indétermination dans les conditions de con-
struction. Exemple:

« Lor*que deux cercles connus *ont tangens, et que l'un e*t dan* l'intérieur de
l'autre , si l'on mine au petit cercle une tangente dont l'extrémité [autre que le point de

500 NOTES.

tangence) soit terminée à la circonférence du grand cercle, et qu'on joigne par une
droite cette extrémité au point de tangence des deux cercles, le rapport de cette der-
nière ligne à la tangente est un rapport connu. >> (Proposition XIX.)

Cette dernière proposition et celles de son espèce, sont , comme on voit , dans le genre
des porismes d'Euclide, entendus suivant la doctrine de R. Simson.

Les premières , qui sont différentes , parce que la chose à déterminer est le lieu géomé-
trique , répondent à l'idée que nous nous étions faite sur la nature et la vraie destination
de ces porismes, avant de connaître cet opuscule du géomètre arabe. (Voir Note III.)

Cet ouvrage est le seul, jusqu'à ce jour, qui nous ait présenté de l'analogie, ou du
moins une apparence d'analogie, avec le célèbre traité des porismes d'Euclide. Cette cir-
constance lui donne du prix à nos yeux; et la découverte de cet opuscule, qui vient
confirmer en quelque sorte l'opinion du savant géomètre Castillon, qui pensait qu'au XIII"
siècle le traité d'Euclide existait encore en Orient, nous permet du moins d'espérer de
trouver encore parmi les nombreux manuscrits arabes , restés jusqu'ici inconnus au fond
des bibliothèques , quelques traces de cette doctrine des porismes. Nous ne savons si c'est
à cette théorie que se rapporte un ouvrage de Thébit ben Corah , que nous trouvons indi-
qué sous le titre suivant dans le catalogue des manuscrits orientaux de la bibliothèque de
Leyde : Dato?'um sive determinatorum, liber continens prohlemata geometrica. Cet
ouvrage , par son titre et par le nom de l'auteur , se recommande à l'attention des géomè-
tres qui possèdent la langue arabe.

Toutes les propositions du second livre des connues sont dans le genre , mais différentes
de celles d'Euclide; elles appartiennent, comme celles-ci, à la Géométrie élémentaire ,
(à la ligne droite et au cercle); mais plusieurs offrent un degré de plus de difficulté. Elles
sont de celles qu'on propose aujourd'hui comme exercices , aux jeunes étudians qui possè-
dent déjà les élémens de la Géométrie. Nous citerons les suivantes:

Lorsqu'on a un triangle dont les côtés et les angles sont connus , et qu'on mène
une ligne du sommet à la hase , si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé
sur les deux segmens de la base est un rapport connu , la ligne menée sera connue de
position. (Proposition XV.)

Lorsque sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position on
prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre
point de cette circotiférence , si le produit des deux droites est connu , chacune de ces
droites sera connue de grandeur et déposition. (Proposition XXII.)

Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on mène une
droite tangente aux deux cercles , cette droite est connue de grandeur et de position.
(Propositions XXlV et XXV, dernières de l'ouvrage.)

« Toutes ces choses , dit en terminant Hassan ben Haithem, sont d'une utilité majeure
pour la résolution des questions géométriques , et n'ont été dites par aucun des anciens
géomètres. »

Cet ouvrage mérite , par sa nature, d'être placé entre les données et les porismes
d'Euclide, et les lieux plans ^' k^oWoams, , d'une part, et les ouvrages de R. Simson et de

NOTES. 501

Stewart,(]e l'autre; il forme comme eu\ des complément de la Géomélrie élémentaire,
destinés à faciliter la résolution des problèmes.

On a cru trouver dans cet ouvrage de Hassan bcn Haithem , de l'analogie avec la Géomé-
trie de position « comme D'Alembert et Carnot l'ont entendue. » Mais nous ne pouvons
voir dans la pensée de D'Alembert, qui lui-même en reconnaissait la réalisation contraire
à la nature de l'algèbre ' , dans la Géométrie de ponition de Carnot , et dans l'ouvrage du
géomètre arabe, une telle analogie. Carnot , dans sa Géométrie de position , a eu principa-
lement en vue d'établir la véritable théorie des quantités négative» ; et la Géomélrie de
position ne fut , dans son esprit , et dans le fait , que la Géométrie ordinaire , dans laquelle,
d'après cette doctrine des quantités négatives , une seule démonstration , établie sur un
état suffisamment général d'une figure , devait s'appliquer immédiatement et sans nou-
veaux frais, à toute autre forme de la figure ^,

C'est à ce caractère nouveau de généralité , de facilité et de brièveté , et à la nature des
théories et des nombreuses propositions nouvelles que contenait l'ouvrage de Carnot,
qu'il a dû son importance scientifique et l'heureuse influence qu'il a eue sur les progrès
de la Géométrie pure.

Sans mettre en œuvre l'idée de D'Alembert, le livre de Carnot n'a donc aucune ana-
logie avec l'ouvrage du géomètre arabe sur les connues géométrique».

Nous ne pouvons terminer notre aperçu des travaux des Arabes en Géométrie sans dire
un mot du célèbre astronome et géomètre persan Nassir Eddin de Thus ( 1201-1274),
dont les ouvrages, qui traitent de toutes les parties des connaissances humaines, sont
écrits en langue arabe. On y remarque , outre ceux qui se rapportent à l'astronomie , des
traductions de plusieurs ouvrages grecs, d'Euclide, d'Archimède et de Théodose; un traité
d'algèbre et un compendium d'arithmétique et d'algèbre. De tous ces ouvrages , les élé-
mens d'Euclide seuls ont été publiés dans la célèbre imprimerie des Médicis (Rome,
1594, in-fol.), avec les commentaires de Nassir Eddin, qui sont estimés et qui, con-
tenant plusieurs démonstrations nouvelles des propositions d'Euclide, ont servi à plu-
sieurs auteurs modernes , dans le temps où la connaissance de la langue arabe était plus
répandue qu'aujourd'hui. On y distingue une démonstration du cinquième postulatum ,

' '> Il serait à sonhaiter qne Pon trouvât moyen de faire entrer la situation dans le ralcul des problèmes ;
cela les simplinerait extrêmement pour la plupart ; mais l'état et la nature de l'analyse algébrique ne paraissent
pas le permettre. » {Encyclopédie , article sitvation.)

^ C'était là une véritable innovation que n'avaient point osé se permettre , quelques années auparavant ,
deux mathématiciens qui avaient fait de la Géométrie pure l'objet spécial de leurs travaux , et qui lui avaient
dû leur célébrité. Ifous voulons parler de R. Simson et de Stcwart qui donnaient , d'une proposition , autant de
démonstrations que la figure & laquelle elle se rapportait prenait de formes différentes par le changement de
position respective de ses parties. Carnot , au contraire , après avoir démontré une proposition sur une figure
considérée dans un état général de construction , montrait ce que devenaient cette proposition et les formnle*
qui l'exprimaient , ou qui s'y rapportaient , quand la figure changeait de forme par le changement de position
de ses différentes parties. Ces nouvelles formules , qu'il appelait corrélatives , par rapport à la première , et
qu'il déduisait immédiatement de celle-ci, sans démonstration , auraient été démontrées directement comme
la première elle-même , par Simson et Stewart.

502 NOTES.

que Wallis a trouvée ingénieuse , et qu'il a reproduite dans le tom. II de ses œuvres.

De ce qui précède nous conclurons en résumé :

Que les Arabes ont montré une grande estime et un goût prononcé pour les sciences
mathématiques ;

Qu'ils ont eu une connaissance complète des ouvrages et du savoir des géomètres
grecs ;

Qu'ils ont perfectionné la trigonométrie d'une manière notable , et que cette j)artie de
la Géométrie a reçu d'eux sa forme moderne, indispensable pour les progrès de l'as-
tronomie;

Qu'ils ne paraissent pas avoir été au delà des Grecs dans les autres parties de la Géo-
métrie, soit parce qu'ils n'ont pas eu le génie inventeur, soit parce qu'ayant acquis
rapidement de grandes connaissances dans toutes les parties des sciences, ils ne se sont
pas donné la peine de chercher à en reculer les limites ;

Mais qu'ils ont eu, sous un autre rapport, un véritable avantage sur les Grecs;

Qu'ils ont possédé l'algèbre des Indiens , et qu'ils ont connu l'application de l'algèbre
à la Géométrie ;

Que leurs travaux en ce genre ont été poussés jusqu'à la solution des équations du
troisième degré par une construction géométrique ;

Enfin , qu'en traitant l'une par l'autre , et par les secours que ces deux parties se prê-
taient mutuellement, la Géométrie des Grecs et l'algèbre des Hindous, ils ont empreint
leur science mathématique d'un caractère propre , caractère original qu'ils ont transmis
aux Européens, et qu'il faut prendre entre les mains de ceux-ci pour l'origine et le
fondement de la supériorité rapidement acquise au XVI° siècle sur les géomètres de
l'Antiquité.

Géométrie chez les Occidentaux au moyen âge.

Pendant que les Arabes fournissaient une rapide et brillante carrière dans les sciences,
les Européens étaient plongés dans l'ignorance. Ainsi , après Isidore de Séville, qui est le
dernier que nous ayons nommé dans notre aperçu sur les travaux des Latins, peu d'écri-
vains, jusqu'au XII" siècle, nous ont laissé quelques traces, non-seulement de la cul-
ture, mais de quelques connaissances des sciences. Vers cette époque, un premier
mouvement intellectuel s'opéra en Europe, et de nombreux efforts furent faits pour y
transporter les sciences anciennes de la Grèce, conservées et cultivées par les Arabes.
Ce mouvement se reproduisit avec une nouvelle énergie vers le milieu du XV siècle, et
favorisé alors par la connaissance que l'on eut des manuscrits grecs , prépara les grandes
découvertes du XVI" siècle, d'où date l'immense supériorité des Modernes sur les An-
ciens, dans les sciences mathématiques.

Nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les travaux qui se rapportent à la Géomé-
trie pendant cet intervalle de 800 ans.
Tiii'' SIÈCLE. Au commencement du VIII" siècle , Bède eut une grande érudition pour son temps.

NOTES. 503

et écrivit sur beaucoup de matières différentes. Ses ouvrages qui se rapportent aux ma-
thématiques sout : 1" deux traités sur la musique théorique et pratique; 2° différentes
pièces sur l'astronomie, où l'on distingue un petit écrit De circuit* tphœrœ et polo, un
do gnomonique sous le titre De meimurâ horologii , et un De astrolahio , où il se sert
de constructions graphiques ; 3° et enfin quelques pièces sur l'arithmétique. Une inti-
tulée De arit/imelicu numeriê , est un extrait cxtrômement succinct de quelques défi-
nitions prises des traités d'arithmétique d'Apulée et de Boèce, dont les noms sont cités
par Bède. Une autre , De loquelâ per gettum digitorum , montre à compter par les doigts
et leurs articulations. Ce livre a été emprunté et reproduit par divers auteurs.

Une troisième, qui nous parait offrir aujourd'hui le plus d'intérêt dans le volumineux
recueil des œuvres do Bède, est le traité De ntimerorum divùione, auquel on a fait
jusqu'ici si peu d'attention, que les écrivains qui en ont rendu compte, se sont mépris
sur son contenu '. Ce traité est précisément le même que celui qui fait suite à la
lettre de Gerbert à Constantin, où généralement on a cru voir l'exposition de notre
système de numération. Est-il de Bède ou de Gerbert ? Nous avons déjà soulevé cette
question, en parlant du passage de la Géométrie de Boèce, relatif au même système de
numération , et dont ce traité nous a semblé être une imitation et un développement :
du moins l'un et l'autre roulent sur la même matière, et ont, à notre sens, la même
origine *. Du reste on trouve dans les manuscrits anciens de Bède les chiffres arabes
comme dans ceux de Boèce. ( fVallig , de algebrâ tractatu*, cap. IV. )

Enfin, les œuvres de Bède contiennent un livre De arithmetici» propositionihu* , où
l'on trouve d'abord différentes manières de deviner un nombre qui a été pensé; et ensuite
un assez grand nombre de questions arithmétiques, ad acuendos juveneg , est-il dit, et
qui prouvent l'intention d'entretenir la culture des mathématiques. Mais on voit dans
quel état déplorable elles étaient tombées , par les règles dont l'auteur se sert pour cal-
culer l'aire du triangle et du quadrilatère. Nous avons rapporté ces règles en parlant des
ouvrages de Brahmegupta.

' Hontacla , Histoire des mathématiques , t. I, p. 495 : • Bède fat auteur d'un livre d'arithmétique intitulé
De numeris ; et d'un autre , De numerorum divisione , par lequel on voit combien dans son temps^ cette opéra-
tion était embarrassée, n — Delambre , Histoire de l'astronomie ancienne, t. I, p. 382. « Dans ce chapitre [De la
division des nombres), Bède enseigne à se servir des doigta et de leurs articulations , pour faciliter les divisions
et les multiplications. »

' Kous nous empressons de réparer ici une erreur que nous avons faite en disant précédemment , que l'on
n'avait point encore remarqué que la lettre de Gerbert se trouvait dans les œuvres de Bède. Nous ne nous étions
pas aperçu alors que la remarque en avait été faite par Andrès, dans son ouvrage Delforigine , de progressi ,
e dello stato attuale d'ognilitteratura ; Parme, 7 vol. in-4», 1782-1799 ; où il s'exprime ainsi : Ma à da ossercarsi,
cià che non vedo rifletluto né da matematici,nè da critici, che taie leitera riportata fra le Gerberziane i quella
medetima affatto , che si ritrova nelle opère di Beda al principio del libre De numerorum divisione ad constan-
tinom ; neio roijlio decidere se sia da riporsi fra le opère di Gerberto ovver fra quelle di Beda (t. ÏV, p. 63).

Sais Andrès ne parleque delà lettre même, et non du traité qui lui fait suite; traité qu'il n'a connu que dans
lei oeuvres de Bède, et qu'il n'a pas su être le même que celui qu'on attribue à Gerbert.

Ifout ajouterons enfin que ce célèbre historien, qui a commenté longuement le passage de Boèce, pour
prouver qu'il ne peut en aucune manière s'appliquer à notre système de numération (t. IV, p. 41-4Ô) , n'a pas
remarqué son analogie avec le traité De numerorum divisione en question.

S04 NOTES.

Le livre De arithmeticig propogîtionibus a été revendiqué pour Alcuin, et compris
dans ses œuvres. La question de propriété ici est sans intérêt.

Âlcuin, disciple de Bédé, fut, comme lui, un prodige d'érudition dans son temps.

' Nous nous bornerons ici à dire qu'il a écrit sur les sept arts libéraux, et en particulier

sur l'astronomie. Il ne nous est parvenu de ces ouvrages que les parties qui traitent de
la grammaire et de la rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits de Cas-
siodore. La célébrité qu' Alcuin a conservée provient surtout de la part qu'il a prise dans
la fondation des universités de Paris et de Pavie , et dans les efforts de Charlemagne
pour résister au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe , et rallumer le
flambeau de la science.

Mais la scolaslique prenait naissance, et l'élément religieux qui lui servait de base,
fut tout puissant et occupa exclusivement les esprits. Aussi, chose très-remarquable dans
l'histoire, aux efforts mêmes de Charlemagne succéda précisément l'époque de la plus
profonde ignorance. Elle dura prés de deux siècles.

x= SIÈCLE. Pendant ce temps l'histoire ne prononce guère que le nom de Gerbert (qui devint

pape en 999 et mourut en 1003), et de quelques-uns de ses disciples. Ce moine, à
l'exemple des sages de la Grèce qui avaient été s'instruire en Egypte, alla aussi s'in-
struire en Espagne, seul point de l'Europe où les sciences, importées de l'Orient ^
fussent cultivées par les Sarrazins. De retour en France, il répandit avec ardeur ses
connaissances. Elles tenaient du prodige aux yeux de ses contemporains, au point qu'il
fut accusé de magie. Mais cela montre combien l'ignorance était profonde alors , car on
doit convenir que l'ouvrage de Gerbert sur la Géométrie et ses traités de la sphère, de
l'astrolabe et des cadrans solaires , ne roulent que sur les matières les plus élémentaires
de la science , et ne comportent que des connaissances très-superficielles. Le contraste
que ces ouvrages présentent avec l'état avancé des sciences à cette époque , chez les
Arabes de Séville et de Cordoue , fait douter que ce fût d'eux que Gerbert ait reçu ses
connaissances, comme on a coutume de le répéter d'après Guillaume de Malmesbury. On
V reconnaît plutôt, surtout dans sa Géométrie, une imitation et un commentaire des
ouvrages de Boèce, qu'un reflet du savoir et des méthodes arabes ' dont nous ne trouve-
rons les premiers germes, en France, qu'au XIT" siècle.

1 Cetteobservation s'accorde avec celle de Goujet, qui dit que le Toyage de Gerbert en Espagne est réel , mais
que le motif qu'on en donne ne l'est pas [De l'état des sciences en France depuis la mort de Charlemagne jus-
qu'à celledu roi Rolert, p 55).

Andrès, au contraire, qui a attaché une grande importance historique aux connaissances et aux travaux de
Gerbert , leur attribue une origine arabe , en supposant toutefois que ce n'étaient pas précisément les Sarrazins
qui avaient été les maîtres de Gerbert , mais bien les chrétiens espagnols leurs disciples , qui ne pouvaient
enseigner aussi que les sciences et les méthodes des arabes. « Queste rayioni mifanno conyetturare non settza
qualche prohahilità, che quel dotlo e grand'uomo che fu Gerlerto tutto egli si fece sotto la disciplina de'' crisiiani
spaynuoli, sema avère avuto bisogno di mettdicare il soccorso dalle scuole de' Saraceni. Ma quantunque
spagnuolifossero i maestri di Gerlerto , arabica pur era la dottrina , ch' ei trasse dalle Spagne e comunicà aile
Gallio ed all'Italia. La scicnza favorita di lui era la matematica ; e la matematica, que si sapeva in Ispagna,
tutia venive dclle scuole e da' libri de' Saraceni. Se vero è, che Gerlerto délia Spagna aile suuole Europee recasse
l'aritmetica aralica, colla quale facili divenivano moite operazioni, che nell'antico metodo troppo erano , imba-

NOTES. 505

Voici l'analyse de ce traité de Géométrie qui a été rais au jour par Bernard Pcx, dans
le tora. III , seconde partie, de son Thetauriu anecdotorum novistimu». (Augustae Vin-
delicorum, 1721, in-f°.)

Après avoir donné les premières définitions relatives à la Géométrie , Gerbert fait
connaître les mesures dont les Anciens faisaient usage; ce sont les digitu* , uncia,
paltnus , texta , dodrant , etc., des Romains, dont on trouve la nomenclature dans la
Géométrie de Boèce. Il se sert de ces mesures dans tout le cours de son livre , ainsi que
des signes qui les représentent, et qui expriment aussi d'une manière abstraite les
fractions telles que J , J, etc. Il emploie le mot coraustus pour désigner la base supé-
rieure d'un quadrilatère. Il consacre plusieurs chapitres aux triangles rectangles, qu'il
appelle trianguli pythatjorici, et qu'il apprend à construire en nombres rationnels, un
côté étant donné. Il se sert pour cela des règles connues , attribuées à P) thagore et à
Platon, qui donnent des nombres entiers pour les côtés du triangle ; et d'autres règles qui
donnent des nombres fractionnaires. Les unes et les autres qui sont du même genre, déri-
vent des formules générales que nous avons trouvées dans les ouvrages indiens. Au sujet
de ces triangles rectangles, Gerbert résout un problème remarquable pour l'époque, parce
qu'il dépend d'une équation du second degré; c'est celui où, étant données l'aire et l'hy-
pethénuse , on demande les deux côtés. Soit A l'aire , et c l'hypothénuse , la solution de
Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expression :

i\ l^c'-+-4A± Vc'—ikk ].

Ensuite il apprend à calculer avec l'astrolabe ou avec un autre instrument qu'il
appelle horoscope, la hauteur d'une tour, la profondeur d'un puits, et la distance
d'un objet inaccessible. Puis il calcule la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés
sont connus. Il prend pour ces côtés les trois nombres 13, 14 et 15. II donne pour la sur-
face des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains , et résout aussi
comme eux le problème inverse, étant donnée l'aire d^un polygone régulier , trouver
son côté.VouT le cercle, il donne le rapport j. On trouve sous les titres: In campo
quadrangulo agripennos cognoscere, et In campo triangulo agripennos invenire, les
formules fausses que nous avons déjà signalées dans les œuvres de Bède, pour la mesure
de l'aire du quadrilatère et du triangle; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes
nombres que Bède. Enfin on trouve (chapitre 85) la formule qui donne la somme des
termes d'une progression arithmétique '. La formule pour l'aire du triangle en fonction

razsanli, (jutata o imnudiatavunti , o p»f mez»o de' maestri sj>agnuoti rapiia fu da lui à Saraceni, corne dice
Gugliemo di Malesburi, ( Dell' origine , de progreaai , etc., I' parte , cap. IX. ) — La nature dei ouvrage* de
Gerbert ne nous permet paa de partager cette opinion sur l'origine de ses connaissances.

' Villoison dit que dans un manuscrit très-ancien, ce chapitre 8^ contient les chiffres arabes, (Voii AiuUecta
grœca,i. 2, p. 163). Hais nous devons convenir que dans les deux manuscrits de la Géométrie de Gerbert qui
existent & la bibliothèque royale de Paris (n»' 7185 et 7S77 c), nous n'avons vu que les chiffres romains, et les
signes par lesquels les Latins représentaient les fractions. Ces signes ont été rapportés fidèlement par Pcx dans
son édition de la Géométrie de Gerbert.

To.T«. XI. 64

506 NOTES.

des trois côtés n'y est pas; et on en trouve une autre pour le triangle rectangle, qui n'est
pas exacte.

A la suite de la Géométrie , est un petit écrit intitulé : Gerherti epùtola ad Adolhol-
dum de causa diversitatig arearum in trigono œquilatero geometricè arithmeticève

expenso. Gerbert explique que la formule géométrique \V^ de l'aire du triangle équi-
latéral est exacte, et que la formule arithmétique - — - ne l'est pas, et qu'elle n'est qu'ap-
proximative. Dans son explication Gerbert commet une erreur, car c'est la formule
■f-il.k-J. qui devait résulter de son raisonnement: et celle-ci est véritablement ap-
proximalive. Car si on la rend homogène, en y introduisant l'unité de mesure linéaire,
que nous appellerons ô, elle devient f-il-.k_â , et celle-ci approche d'autant plus de

2 y .

l'expression -^ K 3, qui est l'aire exacte du triangle, que jJest plus petit.

On voit par cette analyse de la géométrie de Gerbert, qu'elle est dans le genre des
écrits de Boèce et de Bède ; et qu'on n'y peut reconnaître l'origine arabe qu'on a attribuée
légèrement, et sans critique, aux connaissances scientifiques de l'auteur.

Il parait que Gerbert a beaucoup écrit sur l'arithmétique, particulièrement sur un
système de numération différent du système latin alors en usage; et c'est pour cela prin-
cipalement que son nom est resté célèbre dans l'histoire des sciences. Nous avons parlé,
au sujet du passage de la Géométrie de Boèce , du traité de numerorum divisione qu'on
lui attribue '; et, en remarquant que cette pièce se trouve dans les deux éditions que
l'on a des œuvres de Bède, nous avons eu la pensée qu'elle pourrait être de ce dernier.
Mais Gerbert et ses disciples ont laissé plusieurs autres écrits sur le même sujet, qui
prouvent qu'ils avaient alors une grande connaissance des procédés du calcul dans ce
système de numération, qu'ils appelaient le système de VAhaque. Les écrits de Gerbert,
qui la plupart se trouvent dans la bibliothèque du Vatican, sont intitulés : 1" Gerherti
scholastici Abacus compositus ; 2° De numeris ; 3° Regulœ Abaci; 4° Fragmentum
Gerherti regulœde Abaco ; 5° Gerherti arithmetica. l,c premier, Abacus compositus ,
existe dans plusieurs autres bibliothèques. Pez ayant trouvé à sa suite , dans la bi-
bliothèque de l'abbaye de S'-Emeran à Ratisbonne, une autre pièce intitulée : G. Liber
subtilissimus de ^W</i»ie/îc<î, l'a attribuée , â cause de l'initiale G, à Gerbert. Dans ce
manuscrit de Ratisbonne , le traité de \' Abacus porte aussi le nom d'Algorismus ; il est
adressé à l'empereur Othon III ^. La bibliothèque de Leyde possède deux manuscrits pro-
venant de Scaliger et de Vossius , dont le premier est intitulé: Libellas 7nultiplicationutn,
in qiio epistola Gerherti ad Constantinum de doctrinâ Abaci ; et le second : Gerherti
de Divisionibus cum notis ad illas. (Gatalogus BiBLiOTHECiE universitatis Lugduno-
Batav^, p. 341 et 390.)

' Le premier éditeur des lettres de Gerbert a rapporté, à la suite de la 161= et dernière lettre , les premières
lignes de ce traité. Le second éditeur en conservant la lettre , en a supprimé ces premières lignes.

^ Gerberti Abacus seu Àlgorismus ad Ottonem imp, (Voir Thésaurus anecdotorum novissimus, 1. 1 Dissertatio
isagogina, p xxxviii.)

NOTES. 507

Quant au traité De numerorum divisione , il est assez singulier qu'il ne se trouve sout
ce titre dans aucun des grands dépôts littéraires; du moins on ne le cite dans aucun cata-
logue, sous ce titre, disons-nous. Cette circonstance ayait contribué à nous faire sup-
poser que ce traité pourrait être do Bède, tout en reconnaissant que le procédé de calcul
sur lequel il roule était familier à Gerbcrt '. Quel qu'en soit l'auteur, nous persistons
à le regarder comme imité du passage de Boéce sur le même sujet, et à penser qu'il roule
sur un système de numération qui ne diffère du nôtre qu'en un seul point, l'emploi du
zéro qui y a été introduit postérieurement et a permis alors de supprimer les colonnes.
Dans cette manière de voir, il ne resterait à résoudre, au sujet de cet Jbacu» , que la
question de savoir, si cette innovation heureuse, l'emploi du zéro, a été un perfection-
nement direct du système mémo de YAhaque , ou bien si les Européens l'ont prise dans
l'arithmétique arabe, vers le XI" ou le XII" siècle.

Plusieurs contemporains de Gerbert, qu'on regarde comme ayant été'ses disciples, ont
aussi écrit sur l'arithmétique pratiquée dans le système de l'Abaque. Tels sont Âdalbolde ,
évéque d'Utrech, Heriger, abbé de Laubes, etBernelin.

Il reste du premier, dans la bibliothèque du Vatican, un écrit intitulé : Alholdi ad
Gerbertum tcholatticum de Astronomiâ , seu Abaco 2. On trouve dans le t. III du
Thetauru» anecdotorum novùgimus de Pez (2* partie, p. 86) un autre écrit d' Adalbolde
intitulé: Libellus de ratione inveniendi cratsitudinem nphœrœ, où il donne pour le
volume de la sphère, la formule D'-ii, D étant le diamètre, qui a pour base le rapport
d'Ârchimède. Dans son calcul numérique Adalbolde se sert, comme Gerbert dans sa
Géométrie, des caractères romains qui exprimaient les fractions j, } , etc.

Heriger commenta VAbacua de Gerbert , dans un écrit qui se trouve dans la bibliothè-
que de Leyde, sous le litre: Ratio Abaci secundùm divum Ilerigerum '.

Bernelin avait écrit sur la Musique, la Géométrie et l'Arithmétique, un ouvrage inscrit
dans la bibliothèque du Vatican, sous le titre : Bemelini Abaci, Mutica, Arithmetica et
Geometria* ; et un autre traité en quatre livres , De Abaco et numeri», que Vignier, dans
sa Bibliothèque hittoriale , assure que le célèbre jurisconsulte Pierre Pithou avait pos-
sédé *. On voit dans le t. XII de l'Histoire littéraire de la France , écrit en 1773, qu'alors
un exemplaire de cet ouvrage se trouvait dans l'abbaye de S'- Victor de Paris. La préface

' Deux exemplaire» de cet écrit, qui ae trouvent à la bibliothèque royale de Pari» •oa> d'autres titres, portent
le nom de Gerbert, qui, il est vrai, a été ajonté & une époque rapprochée : le premier est intitulé Rationes
num«roruiK Abaci (manuscrit n° 6680) ; et le second Traciutus de Abaco {n- 7189. A). Nous supposons qu'une
partie des manuscrits dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, particulièrement ceux de la bibliothèque de
Leyde, ne sont aussi que ce même traité De numerorum divisione.

3 Montfaucon , Bibtiotheca bibliothecarum manuscriptorum nova , t. I, p. 87.

' Histoire littéraire de la France, t 7, p. 206.

* Montfaucon , ibid, t. I , p. 84: on voit à la pag. 116 que la bibliothèque dn Vatican possède d'autres pièce*
du même auteur sous le titre : Berttelinus junior de A baco et alia plurima.

' Nous allons rapporter ce passage de Vignier, auquel il ne parait pas qu'on ait fait attention, et qui cepen-
dant a une importance historique qui n'est point & dédaigner, car il nous prouve qu'au XVI' siècle on regardait
no» chifire* et notre système de numération comme dérivant , si non dn système même de VAbaqtu , du moins

508 NOTES.

avait pour titre : Incipit prœfatio lihri Ahaci quem junior Bernelinu» edidit Pari-
siig '. C'est peut-être encore à ce traité de l'Abaque que se rapporte une autre pièce de
Bernelin qui se trouve dans la bibliothèque de Leyde, à la suite de l'^AacM^de Gerbert,
sous le titre : Scolica {Scholia probablement) Bernelini Parigiis ad Amelium suum
édita de minutiis.

On cite encore un moine nommé Halber qui, dans le même temps, a aussi écrit sur
VAbaous de Gerbert. [Histoire littéraire de la France , t. 7, p. 138.)

Il serait bien utile, pour éclaircir enfin les questions historiques relatives à l'origine
et à l'introduction en Europe de notre arithmétique, et particulièrement à ce système de
V Abaque, qui tient une grande place dans l'histoire littéraire du X° siècle, et qui pro-
bablement n'était que renouvelé , après quelques siècles d'oubli , des ouvrages de Boèce,
et de quelques auteurs du même temps -, qui eux-mêmes le tenaient de l'école de Pytha-
gore, ainsi que le dit Boèce ^, il serait utile, dis-je, que l'on mît au jour les différentes
pièces de Gerbert et de ses disciples, dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, et que
l'on fit attention, dans les bibliothèques de manuscrits, aux pièces semblables que cer-
tainement on y devra découvrir.

Au XP siècle, Hermann Contraclus se fit un nom par différens écrits sur les ma-
thématiques, dont un sur la quadrature du cercle, et un sur l'astrolabe. Celui-ci, en
deux livres, qui traitent de la construction et de l'usage de l'astrolable, a été imprimé
dans le tome III du Thésaurus novissimus de Pez. Wallis dit, dans son histoire de l'al-
gèbre, qu'un passage d'un manuscrit ancien de la bibliothèque Bodléienne l'autorise à

de la même origine que lui ; ce passagejyient à l'appui de l'interprétation que nous avons donnée de VAhacns
de Boèce :

ic Gerbert, dit Vignier, eut encore un autre sien compagnon ou disciple es sciences géométriques et ma-
» thématiques nommé Bernelinus, qui composa quatre livres De A baco et numeris. Desquels se peult apprendre
n l'origine de Chiffre dont nous usons aujourd'hui es comptes d'arithmétique. Lesquels livres M. Savoye Fithou
11 m'a assuré avoir en sa bibliothèque, et recognoistre en iceux un sçavoir et intelligence admirable de la
■» science qu'ils traitent. Et pour ce qu'avec ceux là furent encore fort renommés au même temps en la France
« plusieurs autres grands personnages , à cause de leur grand sçavoir es mêmes sciences philosophiques et
» mathématiques , comme, etc. « [Bibliothèque historiale , 3 vol, in-f". ; Paris 1588 ; second vol. p. 643.)

' Il existait dans la bibliothèque de l'abbaye deS'-Victor un autre traité de VAbaque , que lUontfaucon inscrit
sous le titre : Radulphi Laudunensis de Abaco. [Bib. bib. t. II , p. 1374.)

3 Par exemple nous sommes porté à croire que Victorius, mathématicien contemporain de Boèce, avait
aussi écrit sur ce système, ou du moins avait laissé des calculs qui s'y rapportaient ; et que c'est à ce sujet que
Gerbert et ses disciples citent souvent le calcul de Victorius et sa brièveté , car il ne parait pas que cela doive
s'entendre du nouveau canon pascal que Victorius avait calculé.

5 Iln'estpas rare de trouver dans l'histoire des sciences, des idées, des principes, des théories même , qui
ont paru et disparu ainsi , plusieurs fois et à de longs intervalles , avant de trouver un sol préparé pour y jeter
de profondes racines et prendre une existence durable. Les polygones étoiles nous offrent un exemple de
pareilles intermissions. Considérée d'abord dans l'école de Pythagore, et oubliée pendant dix siècles, Vétoile pen'
iagonale reprend naissance dans la Géométrie de Boèce ; oubliée encore pendant six siècle», elle doit une nou-
velle vie à Campanus ; un siècle après elle produit la théorie des polygones égrédiens ; deux siècles plus tard ,
le nom et les travaux mémorables de Kepler semblent devoir assurer un rôle brillant et durable à cette théorie ,
qui pourtant retombe dans un oubli complet pendant deux siècles , pour reprendre enfin l'existence impérisable
que lui assurent les considérations analytiques qui l'unissent à la théorie des polygones ordinaires.

NOTES. 5U9

penser que Hermann Contractus connaissait notre système de numération; et il le met
après Gerbert , en tête des auteurs qui ont écrit sur ce sujet '.

Le XII° siècle se distingue par quelques efforts contre l'ignorance générale. Plu- m» tiÈCLt.
sieurs Européens, suivant l'exemple de Gerbert, quittent leur pays pour aller s'instruire
au loin. On distingue parmi eux Adhélard , ou Âthélard, et Gérard de Crémone. Le
premier visita l'Espagne, l'Egypte et l'Arabie; et à son retour traduisit de l'arabe
plusieurs ouvrages, au nombre desquels se trouvent les Êlémens d'Euclide. C'est la
première traduction que l'on ait eue en Europe de cet ouvrage, que l'on ne con-
naissait que par l'extrait trés-reslreint et qui se bornait à quelques énoncés de proposi-
tions, que Boèce en avait donné dans le premier livre de sa Géométrie. Adhélard avait
joint à sa traduction , des Commentaires sur les propositions d'Euclide. Cet ouvrage est
resté manuscrit -.

M. Jourdain attribue à Adhélard un Traité de l'Astrolabe et une doctrine de \' Abaque '.
( Recherches tur le* traduction* d'Arittote , pag. 100. )

Gérard de Crémone ( 1114-1187 ) alla résider pendant long-temps à Tolède, pour y
apprendre l'arabe et y faire de nombreuses traductions qu'il rapporta dans sa patrie. Elles
s'étendaient sur toutes les parties des sciences qui Hérissaient parmi les Maures d'Espa-
gne. On y distingue l'Almageste de Ptolémée, le traité des crépuscules d'Alhazen et le

' Bujutce Bermanni mentiontm reperio in juodam Bibliotheca BodleiatUB MSO, vbi dicUur guod ab Uer-
manno et Prodocimo didicerini KsKcvit, hoc est [alio ttomine) ÀlGoaiSHCli.

Hermann Contractus passe aux yenx de quelques historiens , de Brucker particulièrement, pour avoir coltivé
des premiers la langue arabe , et fait les premières traductions latines d'Aristote. Mais M. Jourdain, en remon-
tant à la source de celte opinion, croit qu'elle est erronée , ou du moins qu'elle n'est pas justifiée ; il pense que
le traité de Tastrolabe d'IIermann n'est pas une version d'un ouvrage arabe, mais bien composé d'après des
matériaux déjit publiés. [Recherches sur l'âge et l'origine des traductions latines d'Arislote, p. 166.)

Je rapproche ce sentiment de M. Jourdain du fait cité par Wallis, parce qu'on en tire une induction favorable
à l'opinion que j'ai déji émise souvent , savoir que tous les écrits sur V Abaque , tels que ceux de Gerbert et de
ses disciples, émanent de la même source que celui de Boèce et ne proviennent point directement des ouvrages
arabes empruntés des Sarraxins d'Espagne.

3 lise trouve dans la bibliothèque des dominicains deS'-IIarc à Florence, sous le titre : Euclidis Geometria
cum Commenta Adelardi; et dans la bibliothèque Bodléienne sous celui de : Euclidis elementa cum scholiis et
diagrammatis latine reddita per Adelardum Bathoniensem. La bibliothèque royale de Paris en possède aussi
une copie (n° 7213 des manuscrits latins). Une autre , qui a appartenu à Regiomontanus , se trouve dans la
bibliothèque de Nuremberg.

' Tlous ne savoni sur quelle autorité M. Jourdain se fonde , au sujet de cette doctrine de VAbaque, ni si elle
portait précisément sur le système de VAbacus de Boèce et de Gerbert. Ce point historique est d'une grande
importance, parce que tous les travaux d'Adhélard ont eu pour objet de faire connaître les ouvrages philoso-
phiques et mathématiques des Arabes, dont il reconnaissait la haute supériorité sur les doctrines de la scolasti-
quc du temps ; et nous serions porté à croire que s'il a écrit sur l'arithmétique, ce serait sur l'arithmétique même
des Arabes, qui reposait bien sur le même principe de la valeur de position des chiffres , que le système de
l'Abaque , mais qui en difTérait, suivant nous , par l'usage du xéro. Peut-être l'ouvrage d'Adhélard établissait-il
la transition du système de l'Abaque à celui de» Arabes, et montrait-il l'identité des deux systèmes, dont le second
néanmoins était d'une application pratique plus facile , et a remplacé le premier en prenant le nom d'Algoris-
mus. Cet ouvrage d'Adhélard pourrait donc être très-précieux , comme résolvant peut-être la question ,
encore irrésolue, de la véritable origine , parmi nous, du système de numération en usage depuis cinq ou six
•ièolM.

510 NOTES.

livre de scientiis d'Alfarabius '. M. Jourdain pense que c'est aussi à Gérard de Crémone
qu'on doit le traité de perspective d'Alhazen. ( Recherches critiquée sur les traductions
latines d'Âristote, pag. 128.) Un traité d'arithmétique, qui se trouve dans la bibliothè-
que Bodléienne sous le titre Algorismus magistri Gerardi in integris et minutiis -,
serait-il aussi de Gérard de Crémone, qui, en effet, en rapportant d'Espagne une par-
tie des connaissances scientifiques des Arabes, n'a pu négliger leur ingénieux système de
numération, à moins que déjà il ne fût bien connu des hommes qui se livraient à
l'étude des sciences, ainsi que nous serons porté à le penser, en voyant dans le siècle
suivant le grand nombre d'auteurs qui ont écrit sur ce système de numération ou qui
s'en sont servis dans leurs ouvrages.

Trois autres hommes , contemporains d'Adhélard et de Gérard de Crémone , travaillè-
rent aussi à faire connaître les ouvrages mathématiques répandus chez les Arabes. Ce
sont Platon de Tivoli (Plato Tihurtinus) , le juif Jean.de Séville, connu sous le nom
Johannes Hispalensis, et Rodolphe de Bruges ( Brughensig ).

Le premier traduisit de l'arabe les sphériques de Théodose, vers l'an 1120 (imprimé
en 1518); de l'hébreu, un traité de Géométrie de Savosarda ^; et divers autres ouvrages.

Jean Hispalensis traduisit les élémens astronomiques d'Alfraganus (en 1142, suivant
G. J. Vossius et plusieurs autres auteurs ) , et divers ouvrages sur l'astrologie, au nom-
bre desquels est un traité d'Albumasar qui se trouve en manuscrit dans la bibliothèque
Magliahecchi sous le titre : Liber introductorii majoris in magisterio scientiœ
Astrorum , editione Albumazar et interpretatione Johannis Hispalensis ex ara-
bica in latinum. Cette version paraît avoir été faite en l'an 1171 , car elle se termine
par ces mots, scriptus est liber iste anno dornini nostri Jesu Christi 1171. Elle est
précieuse, en ce qu'elle contient des tables astronomiques en chiffres arabes ''.Ce sont
peut-être les plus anciennes qui aient une date certaine. Jean Hispalensis a aussi laissé
un traité d'arithmétique arabe sous le titre A' Algorismus. C'est , jusqu'ici, le plus an-
cien traité d'arithmétique qui porte ce nom, que nous trouverons dans tous les ouvrages
du XIP siècle. Ce traité commence ainsi : Incipit prologus in libro Algorismi de
practicâ Arithmeticœ , gui editus est à Magistro Johanne Hispalensi. W est très-com-
plet; il comprend les sept opérations, addition, soustraction, duplation, médiaion, mul-
tiplication , division et extraction de racines , d'abord pour les nombres entiers , puis pour
les fractions. On trouve à la suite, sans interruption , et de la même écriture , sous le titre :

' Fabricius a formé une première liste de» traductions attribuées à Gérard de Crémone. [Bib. med. et infimœ
lat,, t. 3, p. 115.) SI. Jourdain en a donné une seconde presque double. L'ouvrage d'Alfarabius n'y est pas com-
pris C'est M. libri qui l'a trouvé dans un manuscrit de la Bibliothèque royale , sous le titre : Liber Alfarabii ,
de scientiis , translutus à magistro Gherardo Cremonensi, in Toleto, de arabica in latinum. [Uistoire des
sciences mathématiques en Italie, t. 1 , p. 172.) _

2 Heilbronner, Ilist. Math. , p. 601.

■' Liber Embadorum a Savosarda judœo in hebraico compositus , et a Platane Tiburtina in Latinum sermonem
translatus, (In Bibliothccâ S. Marci DominicorumFlorentice.) M. Libri doit donner dans le second volume de son
Histoire des sciences mathématiques , une analyse de cet ouvrage important.

■• Targioni , Rclazioni di alcvni Viaggi, etc. , t. 2, p. 67.

NOTES. 5U

Exeerptioneê de libro qui dicitur Gehra et Mucahala ', un morceau d'algèbre qui pa-
raît en faire partie. C'est la résolution des équations du second degré. On y résout plu-
sieurs questions telles que celles-ci : Quel est le nombre qui, ajouté à 10 fois sa racine,
donne 39? Quel est le nombre qui, ajouté à 9, égale (5 fois sa racine?

Cet ouvrage , qui paraît être resté ignoré jusqu'ici , est précieux - , comme étant le plus
ancien traité d'arithmétique arabe et d'algèbre qui soit connu. On avait regardé jusqu'ici
celui de Léonard de Piso comme étant le plus ancien.

On doit à Rodolphe de Bruges la connaissance du Planisphère de Ptolémée, qu'il tra-
duisit de l'arabe, sur une version commentée par un auteur nommé Molscra. Le texte,
grec ne nous est pas parvenu. L'ouvrage de Rodolphe de Bruges a été imprimé pour la
première fois en 1507, à la suite de la géographie de Ptolémée (Rome, in-folio); puis
en 1530 '. Commandin en a donné en 1558 , une traduction plus correcte , accompagnée
d'un commentaire qui est, en grande partie, un traité général de perspective; ouvrage
écrit d'un stvie géométrique assez facile qu'on ne rencontre pas, généralement, dans les
nombreux traités de perspective qui ont paru dans les XVI" et XVII' siècles.

Le XIII° siècle marque une ère nouvelle dans l'histoire des sciences. Il prépare leur jme siècle.
rétablissement en répandant la connaissance usuelle du système de numération arabe,
de l'algèbre , et de plusieurs ouvrages importans de l'école grecque. Cette époque est
presque féconde en écrivains ; on y trouve Jordan Nemorarius, Léonard Fibonacci de
Pise , Sacro-Bosco , Campanus deNovarre, Albert-le-Grand, Vincent de Beauvais, Roger
Bacon, Vitellion, dont les noms sont restés célèbres et honorent le moyen âge.

Campanus traduisit sur un texte arabe et accompagna de commentaires les treize livres
des élémens d'Ëuclide et les deux qu'on a attribués à Hypsicle ''. C'est cet ouvrage qui a
servi à répandre en Europe la connaissance de la Géométrie. Il a été imprimé pour la pre-
mière fois en 1482, et a eu plusieurs autres éditions. Pendant long-temps encore , après
la renaissance des sciences , il a joui d'une grande estime; et les commentaires de Cam-
panus ont été consultés par les géomètres qui ont écrit sur les élémens de la Géométrie,

■ Le manntcrit dit Exceptiont* de tibro qui dicitur Gleba et JUutabilia ; mais cela provient probablement
d'erreur* du copitte,

' Let copies en doivent être très-rares , car les catalogues de manuscrits n'en indiquent aucune.

' Avec le Planisphère de Jordan , et ditTérentes autres pièces concernant l'astronomie, sous le titre général :
tphœrœ atque astrorvm cœlestium ratio, natura et motus ; Valderus , Basileœ, 1636 , in-4<>.

H. Delambre, dans son Histoire de l'Astronomie ancienne (t. 2, p. 4S6), a donné à la traduction latine de
Rodolphe de Bruges la date de 1544 , au lieu de 1144. Cette erreur a été cause que ce célèbre astronome s'est
étonné qu'une traduction faite en 1644 se trouvât dans un ouvrage imprimé en 1636.

* Quelques historiens ont pensé que cet ouvrage de Campanus n'était autre que la traduction d'Adhélard , à
laquelle Campanus avait joint des commentaires. Voici comment s'exprime Andrès à ce sujet , Sei [Campano)
non Iraduxse corne si dice comunemcnle ; certo iltustro con comenti l'Euclide , iradotto primo dalV Arabo in
Lalino daW Inglese Alclardo Gotho, corne ha fatto vedere il Tiraboschi [Dell' origine, de progresti, e dello
stalo attuale d'ogni titteratura. Parte I, cap. IX). Le titre suivant d'un exemplaire manuscrit de l'Euclide de
Campanus qui se trouve à la bibliothèque royale de Paris, sons le n° 7213, vient confirmer cette opinion :
Euclidis philosophi socratici incipit liber Elementorum artis geometricae translatus ab Arabica in Latinum per
Adelardum Gothum Bathonientem , sub commenta Magittri Campani JVotarriensit. (MS. du XIV< siècle).

512 NOTES.

tels que Zamberti, Lucas de Burgo,Peletier du Mans, Clavius, etc., et par les algébristes
qui ont traité des quantités incommensurables, comme Stifels dans son Arithmetica
intégra.

Nous avons dit , en parlant du passage de Boèce où nous avons cru apercevoir le pen-
tagone étoile , que cette figure a été considérée expressément par Campanus, dans son
commentaire sur la proposition 32° du premier livre d'Euclide , et que c'est là que Brad-
wardin , dans le siècle suivant, a pris l'idée de ses polygones égrédiens , dont il a donné
une théorie assez étendue.

On trouve, à la fin du quatrième livre, deux propositions de Campanus ', dont la première
a pour objet la trisection d'un angle ; et la seconde , l'inscription , dans le cercle , du nona-
gone régulier. Ce second problème dépend de celui de la trisection de l'angle; et la solu-
tion que Campanus donne de celui-ci est remarquable par sa simplicité; elle se réduit,
en pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicomède. En voici le principe: Que
du sommet de l'angle, comme centre, avec un rayon arbitraire, ou décrive une circon-
férence de cercle , qui rencontrera les deux côtés de l'angle en deux points a; 6; que l'on
mène un demi-diamètre perpendiculaire au premier côté, et que par le point h on mène
une droite, de manière que sa partie comprise entre ce demi-diamètre et la circonférence
du cercle soit égale au rayon ; et enfin que par le sommet de l'angle on tire une parallèle
à cette droite , cette parallèle opérera la trisection de l'angle.

Campanus ne dit pas comment on déterminera la direction de cette droite issue d'un
point de la circonférence, et dont la partie comprise entre le diamètre et l'autre partie
de la circonférence , doit être égale au rayon. Peut-être était-ce là un problème dont il
avait donné ailleurs la solution. On voit qu'elle peut s'effectuer, comme nous l'avons
dit , par une conchoïde de Nicomède. Ce problème a eu quelque célébrité vers la fin du
XVII" siècle, parce qu'ayant été proposé publiquement avec deux autres, dans le Jour-
nal des Savans (août 1676), il a été résolu par Viviani , dans son ouvrage intitulé :
Enodatio prohlematum universis geometris propositorum à Cl. et R. D. Claudio
Cotniers, canonico Ebredunensi, collegialis ecclesiœ de Ternant Prœposito dignissimo.
Prœmiêsig, horum occasione , tetitumentis variig ad golutionem illustris veterutn
probletnatis de anguH trisectione (Florentiœ, 1677, in-4°). Viviani fit voir, par une dé-
monstration géométrique très-simple, que les trois points où la conchoïde rencontre la
circonférence du cercle, et qui répondent aux trois solutions du problème de la tri-
section de l'angle, sont sur une hyperbole équilalére.

On sait que la section d'une droite en moyenne et extrême raison, joue un grand rôle dans
la théorie des quantités incommensurables du dixième livre d'Euclide, dans son treizième
livre, et dans la théorie des corps réguliers. Les nombreuses propriétés de celle division
d'une droite n'ont point échappé à Campanus , qui les a signalées comme étant admi-
rables, et dérivant de quelque principe digne de l'attention des philosophes^. C'est cette

' Dan» l'édition de 1537 (Basle , in-fol.), qui comprend tous les ouvrages d'Euclide qui nous sont parvenus,
ce» deux propositions sont placées à la fin du volume.

2 Mirabilis itaqve est poteniia lincœ seciindnm proportioncm hahentem médium duoqvc ex tréma divises.

NOTES. 313

division que Lucas de Bur^o a appelée proportion divine , dans son ouvrage qui a pour
titre: Divina proportione, etc. , et dont il a détaillé treize effetti , ou utilités. Aujour-
d'hui ces propriétés sont peu connues , par ne qu'on ne voit dans la division d'une droite
en moyenne et extrême raison, que la résolution il'unc équation du second degré qui doit
renfermer toutes ces propriétés. Cela est vrai de celles qui sont purement analytiques ,
mais les plus remarquables et les plus nombreuses sont celles qui naissent de considéra-
tions géométriques. Elles mériteraient qu'on réunit de nouveau toutes les propositions qui
s'y rapportent, comme quelques géomètres ont fait à l'égard de la division harmonique
d'une droite '. Ce serait assurément un recueil de propositions intéressantes, qui donne-
raient lieu à de nouvelles découvertes sur le même sujet, et à quelques relations sembla-
bles et d'une plus grande généralité ^

Campanus cite, dans une note qui est à la suite do la première proposition du quatorzième
livre (le premier des deux d'Hypsicle), Aristée et Apollonius comme ayant démontré cette
proposition, que les surface» du dodécaèdre et de l'icosaèdre réguliers inscrit* dans la
même sphère sont entre elles dans le rapport des volumes de ces deux corps. L'ouvrage
d'Aristée , dit-il , était intitulé : Expositio scientiœ quinque corporutn , et celui d'Apol-
lonius avait pour objet la Comparaison flu dodécaèdre et de l'icosaèdre. Au commence-
ment de la proposition dixième du même livre, qui est précisément celle que nous venons
d'énoncer, Campanus prononce encore les noms d'Aristée et d'Apollonius. Les ouvrages
de ces deux géomètres célèbres de l'antiquité ne nous sont point parvenus; et peut-être
étaient-ils inconnus aussi de Campanus , qui a pu en parler d'après Hypsicle qui les cite
à peu près dans les mêmes termes , au commencement de la seconde proposition de son
premier livre. Dans sa préface, Hypsicle avait déjà parlé longuement d'Apollonius et de
sou ouvrage De dodecahedri et Icosahedri in eâdeni sphœrâ descriptorum comparatione.
II paraît qu'on n'a fait attention généralement qu'à ce passage; car on ne cite ordinaire-
ment que l'ouvrage d'Apollonius, et nullement celui d'Aristée , et je ne vois que Ramus

Cui cum plurima phitosophantium admiratione digna conveniant, hoc principium v$l prœcipuum tx supe-
riorum principionim invanabili procedit natura , ut iam diversa solida tum magnitudine tum basium
numéro, tum etiam figura, irraiionali quadam symphoniaraiionaliliter conciliet, (Lib. XIV, propoiition 10.)

' De Billy , Tractatus de proportione harmonica. Paria , 1668, in-4°. — Saladini , Delta proporsione armoiiica .
Bologne, 1761, in-8'>.

3 Par exemple : la diTision d'nne droite en moyenrie et extrême raiaon, ae réduite i trouver entre deux
pointa donnéaA, B, un troiaième point C, tel que l'on ait AC = AB. CB : un moyen facile de génëraliaer
cette queation, c'eat de la regarder comme dérivant d'une autre , dana laquelle on a anppoaé qu'un point de la
droite propoaée a diaparu en paaaant à l'infini. Soit I ce point ; lo point cherché C devra aatiafaire , par rap-
port aux troia pointa donnéa A , B , 1 , à l'équation :

câ^Ib! = CB.CI.BA.IA.

En cITet, ai l'on auppoae le point I il l'iniini, l'équation ae réduit à la première ci-deaaua.

Cette équation a cela de remarquable, que chacun dea quatre pointa qui y entrent y joue le même rôle par
rapport aux troia autrea ; et que, quel que aoit celui dca quatre pointa qu'on auppoae i l'infini, l'équation
résultante exprime toujoura la diviaion d'une droite en moyenne et extrême raiaon.

Ton. XI. 63

I

514 NOTES.

qui ait mis ce dernier au nombre de ceux qui ont écrit sur les cinq corps réguliers. Les
historiens des mathématiques ne parlent de lui qu'au sujet de ses cinq livres ù'Élémens
cotiiques , et de ses lieux géométriques , dont Viviani , comme on sait , a donné une divi-
nation.

Du reste , il n'est pas étonnant qu'Aristée ail écrit sur les cinq corps réguliers ; car cette
théorie a été fort cultivée, et en grand honneur dès la plus haute antiquité des sciences
chez les Grecs, Pythagore en avait fait le principe de sa cosmogonie , dans laquelle les
cinq corps réguliers répondaient aux quatre élémens et à l'univers ', ce qui a fait qu'on
les appelait les cinq figures mondaines [figurœ mundanœ -). Platon adoptait ces idées ^ ,
et avait aussi cultivé cette théorie * , sur laquelle Theatète , l'un de ses disciples, passe pour
avoir écrit le premier ^. Ensuite, on trouve donc Arisléc, puis Euclide, Apollonius et
Hypsicle ®. Ce dernier cite dans ses deux livres, Isidore-le-Grand , son maître, de qui il
avait appris ce qu'il savait sur cet objet. Ces cinq corps réguliers ont joué un si grand rôle
dans l'antiquité, par suite des idées pythagoriciennes et platoniciennes , qu'on les re-
gardait comme étant le but final auquel étaient destinées et l'étude et la science des
géomètres '.

Pappus nous apprend * qu'Archimède a cherché à étendre cette théorie , et que ne pou-
vant former plus de cinq polyèdres réguliers, il en avait imaginé d'un nouveau genre ,
qu'on a appelés semi-réguliers : leurs faces étaient, comme dans les cinq premiers, des
polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux. Ces nouveaux corps étaient au
nombre de treize. Pappus en a donné une description très-claire, que Kepler a repro-

' Le cube représentait la terre j le tétraèdre , le feu j l'octaèdre , l'air ; l'icosaèdre , l'eau ; et le dodécaèdre
l'univers. (Plutarque, Placit. philos., liv. 11 , cap. 6.)

2 Proclus, Commentarius in Euclidem, lib. 11, cap. 4. — Kepler, harmonices mundi liber secundus , p. 58.
' Timée, 3« partie — Vlulaïque , Platonicœ questiones,

* Pappus, Collections mathématiques, livre 5, à la suite de la proposition ïvii. — Proclus, in Euclidem ,
lib. 11, cap. 4.

' Theatotus , Aiheniensis , Archytœ sodalis, Geometrica auxit, primusque de quinque aolidis tractavit ut
Laertius et Proclus produnt, (Ueilbronner , Ilistoria matheseos , p 149.)

* On n'est pas d'accord sur l'époque où a vécu Hypsicle que les uns placent dans le second siècle de notre
ère , et les autres dans le second siècle avant J.-C, un peu après Apollonius. C'est cette seconde époque
que nous avons adoptée en parlant d'Euclide; nous avons dit qu'Hypsicle lui était postérieur de près de 150 ans.

Ce fut là le sentiment de Bernardin Baldi, dans sa Cronica de matematici, p. 37 , et de Vossius, qui pensa
qu'Hypsicleavait vécu vers le temps de Ptolémée Lathyre ; et Isidore-le-Grand, son maître, dont il parle dans
«es deux livres , sous Ptolémée Physcone. Cet Isidore-le-Grand pourrait être , suivant Vossius , celui que cite
Pline dans sa Géograpbie. (\ ossius , De scientiis mathematicis , p. 328.)

le savant médecin Mental , dans la préface de sa traduction latine du petit ouvrage astronomique d'HypsioIe,
mWiuXé Anaphoricus sive de Ascensionihus ; Paris 1657 — 4'; et récemment M. Delambrc (Histoire de l'astro-
nomie ancienne , t. !"■, p. 246) , et M. Francliini (Saggio délia storia délie matematiche , p. 146), ont placé aussi
Hypsicle ver» l'an 146 avant J.-C. Mais Fabriciu» (Bibliotheca grccca, t. II , p. 91) , et d'après lui, Weidler ,
Heilbronner , Montuola et Lalande l'ont fait naitre dans le second siècle de notre ère.

' Nihil in antiquâ Geometriâ speciosius visum est quinque corporilus ordinatis, corumque gratta Geometriam ,
ut ex Proclo, initie , dictttm est, inventa esse veteres illi crediderunt. (Kamus, Scholaruvt malhematicarum ,
liber xxx.)

8 Collections mathématiques , livre 5 , à la suite de la proposition 17.

NOTES. 515

(luile, en donnant les figures qui s'y rapportent , dans le second livre de son Harmonie
du Monde. Les historiens passent sous silence ce travail d'Ârchiméde : il est vrai qu'il
est, par sa nature, bien inférieur aux autres découvertes de ce grand homme. Il eût été
plus digne du génie d'Archiméde , puisqu'il voulait aller au delà d'Euclide et des autres
géomètres, dans cette théorie des figures régulières, de créer les nouveaux polyèdres
étoilét, qu'ai décrits M. Poinsot, et qui forment la véritable extension dont cette antique
et célèbre théorie était susceptible.

Revenons à Campanus. Lucas Gauricus, astronome et astrologue napolitain, a mis au
jour, au commencement du seizième siècle, sous le nom de ce géomètre, un traité De te-
tragonitmo , *eu Quadratura circuli ' ; et depuis , quelques auteurs ont répété que
Campanus a écrit sur la quadrature du cercle. Mais l'ouvrage dont il s'agit ne dénote
qu'ignorance dans son auteur, et est absolument indigne de porter le nom du savant in-
terprète d'Euclide. L'auteur prend pour base de sa quadrature le rapport — de la cir-
conférence au diamètre, «.tecundùtn qtiod plerique tnathematici tcripgerunt etjuxta
physicam veritatein)) ; et, en passant par quelques propositions intermédiaires, il en
conclut que le côté du carré qui est égal en surface à un cercle, est 5 fois et \ la sep-
tième partie du diamètre du cercle. De sorte que D étant le diamètre, l'air du cercle

serait ^(— ) , au lieu de ^«-^r*

4 7'' 47.

Sacro Bosco a dû une longue célébrité à son traité De gphœrâ mundi, qui est un ex-
trait de l'Almagesle de Ptolémée , et qui pendant plus de 400 ans a servi dans les écoles
à enseigner l'astronomie. Imprimé pour la première fois en 1 472 à Ferrare , il a eu depuis
au moins cinquante éditions. Un grand nombre d'auteurs des plus célèbres , tels que
Purbach , Regiomontanus, £lie Vinet, Glavius, etc. , l'ont éclairci par des notes ou des
commentaires.

Mais il est important de remarquer ici , pour se faire une idée vraie de l'état de la
science alors, que cet ouvrage ne contenait que les notions les plus élémentaires de Pto-
lémée; il faisait connaître les cercles de la sphère, les phénomènes du mouvement
diurne , et disait quelques mots des éclipses. Ce n'est que deux siècles plus tard que l'on
fit un pas de plus dans la connaissance de l'Almagesle , et que Purbach expliqua la théo-
rie des planètes, qui en est la partie la plus importante et la plus difficile.

Sacro Bosco a laissé sous le titre De yilgorigjno,\ia traité d'arithmétique écrit en vers.
C'est notre arithmétique actuelle ^ : Sacro Bosco l'attribue aux Indiens. Il la divise en
9 parties, qui sont: Numération, addition, soustraction, médiation^, duplation*.

' Tetragonismus , id est circuli quadratura por 'Campanum , A rchimedem Syracusanum atgue Bœtium ,
mathematicw perspicacissimos adinventa. Venetiia , 1503 , in-4°.

3 On a du même temps, un outre traité d'arithmétique écrit aussi en vers latins, par Alexandre de Villedien.
(Vossius , De icientiis malhematicis , p. 40. — Daunou , Uitloire littéraire de la France , t XVI , p. 113.)

' Division par deux.

* Hultiplication par deux. Cette opération et la médiation ont été comprises dans les ouvrages du XVI° siècle,
dan» les règles générales de la multiplication et de la division ; de sorte que les traités d'arithmétique n'ont plus
eu que sept chapitres au lien de neuf. (Voir la Summa de arithmttica de Lucas de Burgo )

516 NOTES.

multiplication , division, progression et extraction des racines carrées et cubiques.
Pendant très-long-lemps, les traités d'arithmétique se sont composés de ces 9 chapi-
tres : on les trouve encore dans des ouvrages du XVP siècle.

On a de Sacro Bosco quelques écrits sur l'astronomie , où les calculs sont faits en chif-
fres arabes. Ces pièces et le traité de l'algorisme sont restés manuscrits. Les chiffres de
Sacro Bosco sont l'origine des nôtres ; on suit très-bien dans les manuscrits des XIV"
et XV° siècles , et même dans plusieurs ouvrages des premiers temps de l'imprimerie,
les petites altérations successives qui leur ont donné définivement la forme actuelle.

On doit à Jordan Némorarius :

1° Un ouvrage d'arithmétique en dix livres, qui est un traité sur les propriétés des
nombres , imité de ceux de Nicomaque et de Boèce. Cet ouvrage a été imprimé avec des
commentaires de Fabre d'Etaples ( Faier Stapulensis) en 1496, et a eu depuis plusieurs
autres éditions.

2" Un traité d'arithmétique pratique, dans le système arabe, intitulé Âlgorismus ,
qui est resté manuscrit.

.3" Un traité du planisphère, qui a été imprimé en 1507, 153fi et 1558 avec celui
de Ptolémée. C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois dans
toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le
fondement de la construction du planisphère, savoir que : tout cercle se projette sui-
vant un cercle. Ptolémée n'avait démontré ce théorème que pour des positions particu-
lières du cercle de la sphère mis en perspective, parce que cherchant partout la clarté
et la facilité , comme le dit Proclus au chapitre X de son Hypotypose, il n'introduisait
dans ses ouvrages et n'y démontrait que les propositions géométriques qui lui étaient
absolument indispensables.

Ptolémée faisait la projection sur le plan de l'équateur, l'œil étant placé au pôle, Jordan
l'a faite sur le plan tangent à la sphère mené par le second pôle. Depuis, Mauroljcus
et les autres géomètres l'ont imité. Nous remarquons ces légères différences entre l'ouvrage
de Jordan et celui de Ptolémée, parce qu'elles sont, pour l'époque, de véritables inno-
vations qui marquent les premiers pas de l'esprit de recherche et d'invention qui était
rare au XIII" siècle, où les intelligences avaient assez, à faire d'acquérir les connais-
sances que les Arabes leur livraient.

La dénomination de projection stéréographique , que l'on a donnée à la projection
employée par Ptolémée dans son planisphère, est moderne; elle est due à Aguilon qui
l'a proposée et s'en est servi dans son optique '.

La projection stéréographique jouit d'une propriété très-remarquable, qui consiste
en ce que l'angle de deux cercles tracés sur la sphère, est égal à l'angle des deux

' Àguilonii Opticonim librisex. Paris 1613, in-f".

" Quare tametsi stereographices ?iomiïic nusquavi vocatuvi hoc projecHonis genus repeHmiis ; qtiià tamen ncc
alio guident uUo solitum est appellari , placuii hoc nomen usurpare ^ quod nohis in prœscnti visnm est ad rem
ipsam quàm maxime accommodatum v (in praifatione).

NOTES. 517

cercle» en projection. Ce beau théorème n'a pas été aperçu par Ptolémée ni par Jordan '.
L'ouvrage le plus ancien, a la connaissance de M. Delambre, où il se trouve, est le
traité de navigation de Roherston (1754). (Voir Traité d'astronomie , t. III. )

Il existe un traité manuscrit De trianguli» de Jordan *.

Il avait aussi écrit trois livres De geometriâ , que Vossius suppose devoir se trouver
dans la bibliothèque du Vatican ^, et qu'a possédés aussi la bibliothèque de l'académie
de Leipsick *.

Ramus lui attribue la démonstration de l'élégante formule ponr l'aire du triangle en
fonction des côtés ^ Nous ne savons dans quel ouvrage Jordan l'a donnée; M. Venturi
ne l'a pas trouvée dans son traité De triangulis'^. Cette démonstration est la même
que celle que Léonard de Pisc a donnée dans le même siècle , dans sa géométrie prati-
que. Elle paraît être d'origine arabe, car elle se trouve dans l'ouvrage des trois géomètres,
fils de Musa bon Schaker, et dans celui du juif Savosarda.

Jordan a aussi écrit sur l'optique, et sur la mécanique ^.

Albert-le-Grand, ainsi nommé, dit Montucla , soit à cause de sa réputation , soit parce
que son nom propre qui est Grolt, signifiait ^rand dans le langage du temps, avait écrit
sur l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Ces ouvrages ne nous sont
point parvenus. Il fut célèbre par son habileté en mécanique. Cet écrivain, d'une fécon-
dité étonnante, avait une connaissance étendue des ouvrages arabes.

Roger Bacon, l'un des plus puissans génies du moyen âge, occupe le premier rang
parmi les promoteurs de la renaissance générale des lettres et des sciences. II contribua
particulièrement aux progrès des mathématiques en montrant dans plusieurs de ses ou-
vrages" le rang qu'elles tiennent dans l'ensemble des connaissances humaines, et les
secours qu'elles peuvent procurer dans toutes les recherches scientifiques , dont elles sont
le fondement. Son optique contient, comme tout le monde sait, de savans aperçus et des
découvertes réelles en théorie, et l'invention de plusieurs instrumens devenus de la plus
haute utilité.

Ses connaissances en astronomie lui firent reconnaître les erreurs du calendrier, dont
il conçut la réformation. Le calendrier qu'il calcula, et qui est resté manuscrit, se dis-
tingue par sa correction et par l'usage des chiffres arabes, qui sont les mêmes que ceux
de Sacro Bosco.

' Nous avons dit dans notre cinquième Epoque que la projection (térëographique jouit d'une autre propriété
■ttez belle, concernant la détermination du centre d'un cercle en perspective ; et que les principes de cette
projection , transportés aux surfaces du second degré , forment aujourd'hui uno méthode de recherche en
Géométrie rationnelle.

' Ce traité se trouve dans la bibliothèque des nominicains à Florence (Montfaucon , Bib, hib.); dam celle de
la ville de Basle (Uicnel, ca/a/o^t, etc.), et dans la bibliothèque royale de Paris (n" 7S78. A.).

' De scientiis mathematicis , p. 333.

* C. Getnei , B ibliothcca universalis , ttc , t. II, fol. 77 v
' Schola mathemuthicœ ; à la suite du livre xwi'

* Comme ntari sopra la storia e le leorie dell'oUica. Commentario II; del Traguardo, cap. XXX.
' Jordani de ponderibus propositionet XIII etdemonstrationes, KorimbergO), 1631, in-^».

" Spécula mathematica. — Opus IVajui; quatrième, cinquième et sixième parties.

518 NOTES.

Vitellion a laissé un savant trailé d'optique, imité de celui de l'arabe Alhasen, et
qui est remarquable , surtout pour l'époque où il parut , par les principes de bonne Géo-
métrie de l'école grecque, sur lesquels il repose.

Tout le premier livre est consacré à la Géométrie. L'auteur y a réuni les propositions
dont il aura à faire souvent usage dans la suite, et qui ne se trouvent pas dans les élémens
d'Euclide. Quelques-unes sont prises des coniques d'Apollonius que cite Vitellion. D'au-
tres qui concernent la division harmonique d'une ligne droite, sont dans le genre de
celles qu'on trouve dans le septième livre des collections mathématiques de Pappus. D'au-
tres enfin sont dans le genre de celles qui se trouvent dans le traité De inclinationibus
d'Apollonius. Mais il n'est pas fait mention de cet ouvrage, ni de celui de Pappus.

Vitellion, en citant les élémens d'Euclide et les coniques d'Apollonius, ouvrages avec
lesquels il parait familiarisé , nous montre, d'une part, qu'une autre traduction d'Eu-
clide que celle de Gampanus alors trop récente, était déjà en circulation en Europe, et
ensuite que le fameux traité des Coniques y était aussi déjà connu. On avait pensé qu'on
n'avait commencé à le connaître que 200 ans plus tard , vers le milieu du XV° siècle
où Regiomontanus en méditait une édition '.

Un autre écrivain, contemporain de Vitellion, Peccam, archevêque de Cantorbéry,
a aussi laissé un traité d'optique ; mais qui est moins savant que celui du géomètre polonais.

Vincent de Beauvais n'est point un auteur original ; mais son apeculum mundi, recueil
immense , qui a reçu le nom à' Encyclopédie du XIII" siècle, mérite d'être cité comme
donnant une idée de l'état où les sciences se trouvaient à cette époque , si l'on n'y com-
prend pas, toutefois, les progrès notables qu'elles ont faits dans ce siècle même. On trouve
dans cet ouvrage des extraits d'Euclide, d'Aristote, de Vitruve qui avait paru jusque là
inconnu dans le moyen âge, de Boèce, de Cassiodore, d'Isidore de Séville, d'AIfarabius,
d'Avicenne et de divers autres auteurs arabes.

Vincent de Beauvais dit qu'Alfarabius - distinguait huit sciences mathématiques , qui
sont l'arithmétique , la géométrie, la perspective, l'astronomie, la musique, la métrique
ou la science des poids et mesures, et la science des esprits (c'est-à-dire la métaphysique).
Il n'y a là que sept sciences ; la 8" qui est omise, est l'algèbre, qu'Alfarabius avait placée
après l'arithmétique. Vincent de Beauvais n'en parle pas non plus dans la suite , ce qui
fait penser qu'alors l'algèbre avait à peine pénétré en France, ou du moins qu'elle n'y était
connue que dans le cercle restreint d'un très-petit nombre de mathématiciens.

Notre système de numération est exposé très-clairement avec le zéro, sous le titre
A' Algorismus.\idL Géométrie se réduit aux définitions et à quelques notions élémentaires.
Ce qui nous prouve que les matières sur lesquelles roulaient les savans ouvrages de Sacro
Bosco, de Campanus, de Jordan, de Vitellion, étaient encore toutes nouvelles, et que la
connaissance n'en était point parvenue à Vincent de Beauvais.

' Muntucla, Histoire des mathématiques , 1. 1, p. 348.

^ Alfarabius fut l'un des arabes les plus célèbres du X° siècle , surtout comme géomètre et astronome. Dans
le catalogue de ses nombreux ouvrages on en remarque un dont le titre : IVilns felicilatum, seii disciplinarum
i.iathematicarum Thésaurus , prouve tout le prix qu'il attachait à la culture des mathématiques.

NOTES. 519

Si nous avions suivi l'ordre chronologique, dans notre examen des écrivains du XIII"
siècle, nous l'aurions commencé sans doute par Fibonacci, appelé communément Léonard
do Pise , dont le Liber jébbaci porte la date de 1 202. Mais cet ouvrage a eu une telle in-
fluence sur la direction qu'ont prise les sciences mathématiques au XV" siècle, que nous
avons voulu le distinguer spécialement de ceux dont nous avons parlé jusqu'ici. Ceux-ci
appartenaient à l'école grecque, quoique ce soit par l'entremise des Arabes, et dans leur
langue , qu'ils aient pénétré en Europe. Ceux de Léonard de Pise , au contraire nous pa-
raissent être d'origine Hindoue , quoiqu'ils aient passé aussi par la main des Arabes. C'est
de là que provient le caractère qui les distingue des autres.

Léonard Fibonacci a voyagé, comme on sait, en Orient; et à son retour a fait paraître
un traité d'arithmétique et d'algèbre, commençant par ces mots : Incipit Liber Abbaci
compotitu* à Leonardo filio lionacci Pisano , in anno 1202. L'arithmétique est notre
8;|rstème actuel , avec le zéro ; Fibonacci l'attribue aux Indiens :

« Novetn figures Indorum hœ tunl :

viiii, VIII, VII, VI, V, iiii, m, II, L

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.'

cum hi* itaqne uovem fiyuri» et cum hoc sîgno O quod arahicè zephiruin appellatur,
tcrlhitiir quilihet numeru», etc. » ^.

Le traité d'algèbre que Fibonacci appelle, comme les Arabes , Algehra et Âlmuchaha,
s'étend jusqu'à la résolution des équations du second degré, et de quelques autres qui se
réduisent à celle-là. Il est une imitation de cette partie de l'algèbre, traitée par Mohammed
ben Musa, qui était élémentaire, et en quelque sorte populaire au IX° siècle chez les
Arabes. Fibonacci y fait des application de cette science à la Géométrie. Et c'est là le
premier exemple et l'origine, chez les mathématiciens européens, de l'introduction de
l'algèbre dans les démonstrations et les spéculations de la Géométrie. Cette alliance de
deux sciences qui avaient été si distinctes chez les Grecs, forme le caractère propre de
l'ouvrage de Fibonacci, où non-seulement elle se trouve mise en pratique, mais où elle

■ Cea chiffre» ressemblent il ceux de Sacro Bosco que beaucoup d'auteurs ont rapportés dans leurs ooTrages.
[Voir particulièrement Heilbronner et Hontucla.] Du reste les chilTrcs arabes qu'on trouve dans un grand nom-
bre de manuscrits latins des XIII' et XIV' siècles ont toujours la même forme.

^ On voit que presque tous les auteurs du XIII' siècle , Fibonacci , Jordan, Sacro Bosco , Vincent de Beanvais,
Alexandre de Villcdieu , Roger Bacon, ont écrit sur le système de numération arabe , ou plutôt indien. Cela
prouTe évidemment que depuis long-temps ce système était déjà connu et pratiqué des mathématiciens ; et que
les recherches à Taire pour fixer la date de son introduction en Europe, dont l'honneur ne peut être attribué it
Fibonacci ni&aucun des autres écrivains que nous venons de nommer, doivent remonter au delà du XIII' siècle.
On ne peut croire en efTet que les écrivains du siècle précédent, qui avaient rapporté d'Espagne de nombreuses
traductions des principaux ouvrages des Arabes , n'y aient pas compris leur système de numération, tant pour
lui-même que parce qu'il devenait indispensable pour traduire leurs tables et autres ouvrages astronomiques ,
tels que ceux d'Ariachel, d'Alfraganus , etc.

Kt en elTet nous avons déjà cité un traité à'' Atgorisme qui parait être de Gérard de Crémone , et un autre de
Jean Uispalensis Ces deux écrivains ont vécu dans le XII' siècle.

520 NOTES.

est exprimée formellement comme tenant à la nature même des deux sciences, qui doivent
se prêter de mutuels secours ; car dans sa préface , Fibonacci dit : Et quia arithnetica
et Geometriœ scientia sunt connexœ , et suffragatoriœ sibi ad invicem, non potest de
numéro plena tradi doctrina, nisi inserantur geometrica quœdam , vel ad Geometriam
spectantia; et il ajoute que souvent les règles et les opérations de l'algèbre tirent leur
évidence et leurs démonstrations des figures et de considérations géométriques. Ensuite
l'auteur annonce qu'il traitera avec plus d'étendue de ce qui concerne la Géométrie, dans
un livre de Géométrie pratique qu'il a composé.

Cet ouvrage divisé en huit chapitres est intitulé : Leonardi Pisani de filiis Bonacci
Practiea Geometriœ , composita anno MCCXX. Il est resté manuscrit, de même que le
traité d'algèbre. Bernardin Baldi nous apprend que Commandin avait préparé une édition
de ce traité de Géométrie, mais qu'il est mort sans avoir pu réaliser ce projet '. Edouard
Bernard, savant géomètre et astronome anglais du XVII" siècle, devait comprendre le
traité d'algèbre dans le septième volume de la magnifique collection qu'il avait préparée
des ouvrages des mathématiciens anciens -.

Fibonacci avait laissé aussi un traité des nombres carrés, qui , d'après ce qu'on en peut
juger par des passages de la summa de arithmetica , etc., de Lucas de Burgo, et de
l'arithmétique de Cardan , qui le citent, roulait sur l'analyse indéterminée du premier et
du second degré. Les formules dont ces deux géomètres font usage difi'èrent de celles de
Diophante, et sont les mêmes que celles que l'on trouve dans les ouvrages indiens, à
l'exception toutefois qu'elles ne résolvent point des questions aussi difficiles et aussi gé-
nérales que dans ces ouvrages indiens. Nous devons regarder ce traité de Fibonacci
comme une copie de quelque ouvrage arabe, emprunté lui-même de ceux des Hindous.

Ainsi, en somme, les écrits de Fibonacci, qui au XVI" siècle ont été le modèle et le
fondement de ceux de Lucas de Burgo, de Cardan et de Tartalea, avaient une origine
purement arabe, et primitivement hindoue. C'est donc une opinion erronée, sur laquelle
il faut revenir, que nous avons dû notre savoir et nos progrès dans les sciences, directe-
ment et exclusivement aux ouvrages des Grecs.

Les ouvrages de Fibonacci, dont on reconnaît aujourd'hui toute l'importance, sont
cependant encore inédits; les manuscrits en sont très-rares; et le traité des nombres
carrés est déjà perdu, depuis une soixantaine d'années. C'est le sort réservé aux traités

' Cronica de matematici , p. 89.

2 Cette collection devait avoir 14 volumes ; le détail des ouvrages qui devaient y entrer se trouve dans la
Bililiotheca grœcaile"lùbTicius (\ih. 3, cap. 23).

On remarque dans le volume VI , destiné à l'algèbre , le titre suivant d'un ouvrage de Thebit ben Corah , qui
montre bien l'alliance intime que les Arabes avaient établie entre l'algèbre et la Géométrie, qui forme le carac-
tère propre de leur science mathématique : Thabeti traciatus de veritate propositionum algebricariim demon-
strationibus Gcomeiricis adstruenday cum aliis tractatibus egreyiis ^ quœ Gcbricam artem spectant, Arabicè
et latine

Les immenses et précieux matériaux préparé» par Éd. Bernard ont passé après sa mort dans la bibliothèque
Bodléienne. On a lieu de s'étonner qu'une aussi belle et aussi utile entreprise n'ait pas reçu son exécution , dans
un pays où les sciences ont trouvé souvent de nobles et généreux encouragemens.

NOTES. »tî

•
d'algèbre et de Géométrie, si l'impression ne vient promptemcnt nous assurer la conser-
vation de ces monumens si précieux de l'histoire scientifique des Européens '.

Le XIV' siècle parait avec moins d'éclat que le XIII", dans l'histoire du moyen âge; xit* sUcle.
parce qu'en cfTet les productions neuves et importantes qui rendent célèbres les noms de
Fibonacci, de Sacro Bosco, de Campanus,de Jordan, de Vilellion, de Roger Bacon, de-
mandaient à être méditées et étudiées silencieusement pour être bien comprises et porter
leur fruit. Toutefois le XIV" siècle, trop peu connu encore , nous semble avoir rempli sa
tâche; les études mathématiques ont continué d'être cultivées, et elles ne se sont point
réduites à la simple reproduction ou à l'imitation de quelques ouvrages arabes: de pre-
miers efforts ont été faits pour appliquer les connaissances acquises, et pour aller au
delà ; les esprits ont été préparés à la lecture des textes grecs et au mouvement rapide et
général qui a produit , dans le siècle suivant, le renouvellement des sciences.

Le premier tiers du XIV° siècle nous olfre un homme qui a eu une grande célébrité
par son savoir en philosophie, en mathématiques, en théologie et dans la littérature arabe,
Thomas de Bradwardin, archevêque de Cantorbéry. Nous avons fait connaître la savante
théorie des polygones égrédiens que ce géomètre imagina, sur la simple donnée du pen-
tagone étoile de Campanus. Cette théorie était véritablement une conception nouvelle,
qui doit faire honneur au XIV* siècle. Elle se trouve, comme nous l'avons dit, dans un
traité intitulé : Geometria speculaliva, qui a été imprimé en 1490, et a eu depuis plu-
sieurs autres éditions -. Cette date de 1 490 parait avoir induit en erreur les historiens des
mathématiques. Bernardin Baldi, Heilbronner et Montucla , qui ont placé l'auteur à la
fia du XV" siècle; et c'est peut-être là la cause pour laquelle on n'a pas fait attention jus-

■ iiLe» pertonnes qui ne se aont pas spécialement occnpées de recherches historiques, ne sauraient s'imaginer

i> combien de manuscrits précieux ont été détruits, même dans ces derniers temps Après de si coupables

» négligences, comment ose-t-on parler encore de la destruction des manuscrits au moyen âge ? Sous peine de
n passer pour des barbares aux yeux de la postérité, il faut arrêter une telle dévastation. » {Uisloire des sciences
mathématiques en Italie, 1. 1, p. ij).

Nous nous faisons un devoir de répéter ces paroles de M. Libri ; nous voudrions qu'elles eussent souvent de
l'écho. Sais on sent que le devoir qu'elle» commandent n'est point celui de simples particuliers ; mais bien
celui des gouvernemens désireux de contribuer aux progrès des sciences et au développement de l'intelligence
humaine. L'impression de quelques manuscrits auxquels s'attache un intérêt scientifique et historique, de
même que la reproduction dans la langue nationale de quelques ouvrages étrangers, serait de leur part une
digne et utile coopération , peu coûteuse du reste , aux travaux des hommes qui se vouent à l'étude.

TJne seconde mesure à prendre, pour arrêter la destruction des raretés littéraires ( telles , par exemple , que
les productions du XVI1° siècle, qui disparaissent tous lesjours), serait l'établissement d'une bibliothèque spé-
ciale destinée aux sciences j bibliothèque en quelque sorte historique, où se trouveraient réunies, par siècles,
toutes les productions du savoir et du génie, et qui deviendrait un centre où chacun se ferait un devoir et un
bonheur de porter ses petites propriétés particulières, qu'on laisse perdre aujourd'hui parce qu'on ne sait
réellement à quoi les réunir pour les rendre utiles et leur assurer une conservation durable.

' Dans un manuscrit de la bibliothèque royale (n° 7368 , copie du XIV" siècle) se trouve une pièce intitulée
dans le catalogue , Fragmentum elementorum Geometria, où nous avons reconnu des passages de la Géométrie
de Bradwardin. La théorie des polygones égrédiens y est ; mais on ne trouve dans les figures que le pentagone
de seconde espèce et l'eptagone de troisième espèce, qui y sont appelés, comme dans l'ouvrage imprimé, penta-
gone àa premier ordre , et eptagone in second ordre. Les autres polygones égrédiens n'y sont pas représentés.

ToM. XI. 66

522 NOTES.

qu'ici à son ouvrage; car le rajeunir ainsi de plus d'un siècle et demi, c'était en diminuer
le mérite. Pour l'époque où il fut écrit, il nous paraît remarquable , non-seulement parla
théorie des polygones égrédiens, mais encore par plusieurs autres, parmi lesquelles on
dislingue quelques propositions sur les figures isopérimètres.

Voici l'analyse de cet ouvrage :

Son second titre est : Brève compendium artis Geometriœ à Thoma Bravardini ex
libris Euclidig , Boetii, et Campant peroptimè compilatum. L'auteur aurait dû nom-
mer aussi Archiméde et Thépdose, qu'il cite souvent, et de qui il a fait plusieurs em-
prunts, pris du livre De quadraturâ circuit du premier, et des Sphériques du second.

L'ouvrage est eu quatre parties :

La première comprend les définitions , les axiomes et les pontulata qui sont en tête des
élémens d'Euclide; et la théorie des polygones égrédiens.

La seconde partie traite des triangles, des quadrilatères, du cercle, et des figures iso-
pdrimetres , dont Euclide n'a pas parlé dans sa Géométrie , ainsi que le remarque Brad-
wardin. Mais on sait que dans l'école même de Pythagore cette théorie a été ébauchée ; et
que Zénodore, disciple de ce philosophe, a laissé sur cette matière un écrit, destiné à
combattre ce préjugé vulgaire que les .fig.ures de contours égaux avaient des capacités
égales. Cet ouvrage , le plus ancien des écrits géométriques des Grecs qui nous sont
parvenus, a été conservé par Théon dans son commentaire sur l'Almageste '. Pappus a
traité aussi cette matière, au commencement du cinquième livre de ses collections ma-
thématiques. Bradwardin ne dit pas si les propositions qu'il démontre sont prises de cet
ouvrage, ou de l'Almageste, ou bien s'il les a imaginées de lui-même. En voici les
énoncés :

Première proposition. — De tous les polygones isopérimètres , celui qui a le plus
grand nombre d'angles est le plus grand en surface.

Seconde proposition. — De tous les polygones isopérimètres d'un même nombre
d'angles , le plus grand est celui qui a ses angles égaux.

Troisième proposition. — De tous les polygones isopérimètres qui ont le même nombre
de côtés et leurs angles égaux , le plus grand est celui qui a ses côtés égaux.

Quatrième proposition. — De toutes les figures isopéritnètres , le cercle est la plus
grande. L'auteur ajoute que la sphère Jouit de la même propriété parmi les solides.

La troisième partie de l'ouvrage traite des proportions et de la mesure des aires du
triangle, du quadrilatère, des polygones et du cercle.

Bradwardin dit que l'aire du cercle est égale à celle du rectangle construit sur la moitié
de la circonférence et la moitié du diamètre , pour côtés. Il conclut cette proposition de
celle d' Archiméde qui est la même, en d'autres termes, et qu'il emprunte, sans démon-
stration, du livre De circuli quadraturâ , où elle est énoncée ainsi : Un cercle quelconque
est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon
de ce cercle , et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce

' Clavius l'a reproduit dans son commentaire sur la sphère de Sacro Bosco.

NOTES. 323

»

même cercle. Bradwardin ajoute que le rapport de la circonférence au diamètre est -V-;
« Aoc ut habetur ah eodem Arcliimenide ' in prœdicto libello (De quadraturâ circuit.^»

La quatrième partie traite des figures à trois dimensions , des places , des angles solides ,
des cinq corps réguliers et de la sphère.

Le chapitre de la sphère est une collection de diverses propositions sur les cercles tracés
sur cette surface, que Bradwardin dit avoir prises du livre des tphérique» de Théodose.

Enfin on trouve un petit traité particulier sur la quadrature du cercle, qui est intitulé:
Traotutu» de quadraturâ circuli editus à quodum archiepiscopo ordinù fralmm mi-
norum. Ce traité est précisément le même que celui que Gauricus a attribué à Campanus.
D'après ce que nous en avons dit, on pensera qu'il ne doit pas plus porterie nom de
Bradwardin que celui de Campanus.

Une idée de Bradwardin , fruit des premières lueurs de la philosophie platonicienne
qui commençait à pénétrer en Europe, mérite d'être remarquée. C'est que cet écrivain
chercha , le premier , à appliquer la méthode géométrique à la théologie ; et répandit de
la sorte les premiers germes de cet esprit d'indépendance qui ne larda point à se faire sentir
dans les cloîtres et les couvens; et qui, cultivé avec plus de succès dans le siècle suivant
par un autre prince de l'église, le cardinal Nicolas de Cusa , philosophe platonicien , se-
coua le joug de la scolastique du moyen âge, et aboutit à la philosophie moderne.

Continuons l'histoire du XIV" siècle. Pediasimus, au commencement de ce siècle, a
écrit sur la Géométrie et la géodésie; le moine Barlaam a laissé un traité d'arithmétiqne,
et un traité d'algèbre en six livrés, intitulé : Logitticœ libri f^I , écrit en grec *, quoique
l'auteur fût italien ; mais il avait été résider en Orient pour apprendre la langue grecque.
Une version latine du traité d'algèbre a été imprimée en 1572 (Strasbourg, in-8°), puis
en 1600 (Paris, in-4''), avec des scolies de Jean Chamber. Le traité original est peut-
être le plus ancien ouvrage d'algèbre qui nous soit parvenu, après celui de Fibonacci,
qui lui est antérieur de plus d'un siècle.

Killingworlh a laissé des tables astronomiques, et un traité d'algorisme.

Simon de Bredon a commenté l'Almageste de Ptolémée 3, et a écrit sur l'arithmétique.

Isaac Argyrus, moine grec, a calculé des tables astronomiques, et a écrit sur l'astrolabe ;
sur l'arithmétique, De extractione radiai* quadraticœ quadratorum irrationalium ;
sur la géodésie , Compendium geodœêiw «eu de dimentione locorum. methodus brevi»
ac tuta; et sur différentes parties de la Géométrie, De invenlione quadrangularium
laterum ; Theorem,ata de triangulis ; De dimensione triangulorum aliarumque figu-
rarum, ; De figuri» non rectangulit ad rectangula* reducendi*.

' Bradwardin appelle KTc\i'\mkAe Archimenidti.

' Delambre , en rendant compte du livre de cet ouTrage qui te rapp.orte aux calculs aitronomique* , a
placé l'auteur avant Bède, en dinant toutefoia que l'on ignore l'époque précite où il a vécu. Cette inad-
vertance ett tingulière, car Barlaam ett un pertonnage encore célèbre dant l'hittoire littéraire et politique
du XIV' tiècle.

■'' Ed. Bernard devait comprendre cet ouvrage dant le t. VIII de ta collection dont ooat avont parlé plat
haut. Il Tintitule : Super demonstrationas alù/uas Almageati : Orss mBOcrta.

524 NOTES.

*

Aucun de ces écrits n'a été imprimé ; nous regrettons de ne pouvoir dire quel en est
l'objet, ni ce qu'ils ofl'raient, dans le temps où ils ont paru, de neuf et d'utile. Edouard
Bernard devait en comprendre un, en grec et en latin , sous le titre : De figurarufii
transmutatione ,(\ans sa collection des auteurs anciens.

Paolo di Digomari , connu sous le nom de Paolo dell Ahbaco, a écrit sur l'algèbre, la
Géométrie et l'astronomie , et fut aussi un littérateur distingué , qui a mérité d'être cité à
côté de ses célèbres contemporains le Dante et Pétrarque.

Montucla place au XIV° siècle Biagio di Parma qui écrivit sur l'arithmétique , la Géomé-
trie, l'astronomie et l'optique, et qui fut un homme distingué dans son temps. Lucas de
Burgo le cite parmi quelques auteurs modernes dont les ouvrages lui ont été utiles pour
composer sa Suinma de Ârithmetica , etc. Mais il le place immédiatement après
Léonard de Pise , et avant Sacro Bosco et Prosdocimo dePadoue, ce qui nous porterait à
croire que ce géomètre l'a regardé comme étant du XIII'-" siècle ; c.ir il a observé , du reste,
l'ordre chronologique dans renonciation des autres noms qu'il cite. Ce sont parmi les
Anciens, Euclide et Boèce, et parmi les Modernes, Léonard de Pise, Biagio di Parma,
Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue.

Ce dernier a vécu sur la fin du XIV" siècle et dans le commencement du XV"; il a
calculé des tables astronomiques, et écrit un livre De algorithmo , où Montucla suppose
qu'il a traité de l'algèbre [Histoire des Mathématiques , t. II, p. 71G); mais cet ouvrage
est probablement un simple traité d'arithmétique pratique, comme tous ceux qui portent
le même nom i'algorisme ; d'autant plus que Bernardin Baldi ne cite Prosdocimo que
comme ayant écrit sur l'arithmétique, et non sur l'algèbre. Du reste , le traité De algo-
rithmo a été imprimé en 1483. C'est peut-être le premier ouvrage sur notre système de
numération que l'imprimerie ait mis au jour. Le Compendium arithmetices Boetii de
Fabre d'Etaples a bien été imprimé en 1480 ; mais cet ouvrage ne roule que sur l'arith-
métique spéculative, ou théorie des nombres, qui est indépendante de la manière de les
représenter en se servant de quelques-uns seulement pour exprimer tousjes autres '.

Cossali , dans son histoire de l'Algèbre -, cite plusieurs autres Italiens qui ont écrit sur
cette science dans le XIV siècle. On y voit que Guillaume de Lunis avait traduit l'al-
gèbre de Mohammed ben Musa, sous le titre La Régala delV algehra. Nous avons dit,
en parlant de la Géométrie chez les Arabes, qu'on avait eu dans les XIIP et XI V° siècles
plusieurs autres traductions latines de cet ouvrage, dont l'une a été reproduite par
M. Libri dans le premier volume de son Histoire des sciences mathématiques.

L'astronomie a été la science la plus cultivée dans le cours du XIV'' siècle, où l'on

1 Le traité De alyorithmo de Prosdocimo nous parait olTrir de l'intérêt , parce qu'il confirme l'opinion de
Wallis sur l'identité de la signification des mots ahacus et algorismus , dont il pensait que le second avait
remplacé le premier dans les derniers temps du moyen âge. Walli» ayant lu dans un manuscrit de la Bib.
Bodléienne que Hermann Contractus et Prosdocimo avaient écrit sur Vabacus , ajoute que cela signifie , sous un
autre nom , algorismus, ou système de numération arabe. Le titre de l'ouvrage de Posdocimo , que Wallis ne
connaissait pas, justifie pleinement son opinion.

2 Sioria critica d'ell' origine , trasporto e primi progressi in Italia d'elV Algehra. Parme , 1787 ; 2 vol. in-4o.

NOTES. S2o

trouve un grand nombre d'astronome»; la plupart ont laissé des traités de l'astrolabe.
Nous n'avons point eu à les nommer, parce qu'il parait qu'ils n'ont pas écrit particuliè-
rement sur la Géométrie.

On voit, par ce qui précède, que les connaissances mathématiques chez les chrétiens
du moyen âge, se sont formées lentement depuis le VI11° siècle jus(|u'à la fin du XIV°,
d'abord de quelques notions superËoielles empruntées primitivement des Grecs et trans-
mises parBoèce, Cassiodore et Isidore de Sévillc, et ensuite des ouvrages véritablement
savans, que vers le XII" siècle on a tirés de l'Espagne et traduits de l'arabe en latin.
Ceux-ci paraissent aujourd'hui, d'après les citations que nous avons faites , avoir été en
très-petit nombre; car après avoir trouvé des traductions d'Euclide, de Théodose, de
Ptolémée, d'Âlfaazen, de Mohammed ben Musa, nous avons auguré seulement, de quel-
ques passages de l'optique de Yilellion, que les coniques d'Apollonius étaient connues,
mais nous n'avons eu à citer aucune traduction de cet ouvrage important, ni de ceux
d'Archimède, de Héron, de Ménélaus, de Pappus, de Serenus, de Proclus. Cependant
nous ne pouvons croire que les ouvrages de ces géomètres grecs , dont il existait de nom-
breuses traductions arabes, n'aient pas pénétré chez les chrétiens d'Europe aux XII" et
XIII" siècles, en même temps que les élémens d'Euclide. Et en effet il existe des traduc-
tions latines de quelques-uns '. Mais leur rareté, et le silence gardé sur les géomètres qui
en ont été les auteurs , ou qui s'en sont servis, prouvent que ces ouvrage ont été peu con-
nus, et que les sciences mathématiques, à la fin du XIV siècle, étaient encore dans
l'enfance, en comparaison de l'état florissant qu'elles avaient atteint dès les premiers
temps de l'école d'Alexandrie chez les Grecs, et dès le IX" siècle chez les Arabes *.

Mais au XV" siècle, qui est l'époque de la renaissance générale des lettres, des scien- w' siicLs.
ces et des arts, en Europe, les sciences mathématiques reçurent une impulsion nouvelle
et féconde qui prépara rapidement les grands progrès qu'elles firent dans le siècle sui-
vant. Cette impulsion fut provoquée par la connaissance des ouvrages grecs que l'on
étudia pour la première fois dans leur langue originale, et dont on prépara aussitôt des
traductions qui firent connaître dans toute sa pureté la Géométrie d'Euclide , d'Archi-
mède, d'Apollonius, et des autres grands écrivains de l'antiquité.

Ces premiers pas étaient déjà un progrès notable dans l'étude des sciences, quisufli-
rait seul pour rendre célèbre le XV° siècle. Mais en même temps, un autre élément
scientifique, en quelque sorte étranger aux connaissances des Grecs , l'algèbre indienne
qui languissait depuis bientôt 300 ans en Europe, sans qu'on parût y faire attention,
fut reproduite de nouveau; ses usages furent enseignés, et son importance mise dans

' Particulièrement dana le manuscrit de la Bibliothèque royale intitulé: Mathematica (lupplément latin,
no 49, in-fol.) H. Libri a donné dans ton Ilistoir» des sciences math, en Italie , t. !<', p. 265, la liste de< ouTrages
qui te trouvent dans ce volume.

" Il faut cnnTcnir toutefois que nous connaissons très-imparfaitement l'histoire do moyen ige , que l'on a
négligée jusqu'ici, tout occupé que l'on a été, depuis le XV^ siècle, d'étudier la littérature et les sciences
grecques , et de puiser aux sources incomparablement plus précieuses qu'elles nous ont offertes , pour établir
les fondemens de nos connaissances.

526 NOTES.

tout son jour. L'alliance entre elle et la Géométrie, que Fibonacci avait prescrite, ne
fut plus une idée stérile, mais un principe mis déjà en pratique. Enfin quelques ou-
vrages originaux, premiers essais du génie, et premières applications des connaissances
empruntées des Grecs et des Arabes , viennent encore contribuer à l'éclat duXV° siècle.
Ajoutons que l'invention de l'imprimerie, qui prit naissance au milieu de ce siècle,
apporta un secours immense et merveilleux aux efforts de l'esprit humain entravé et
rebuté auparavant par la rareté et la défectuosité des manuscrits. Cette invention
mémorable était le complément, en quelque sorte, d'un autre grand événement du
XV° siècle, la prise de Constantinople qui livrait à l'Europe les arts, la littérature, la
philosophie et les sciences de la Grèce ancienne '.

Nous allons passer rapidement en revue les géomètres à qui sont dus les premiers
travaux d'où datent nos progrès dans les sciences.

A leur tête on trouve Purbach, et surtout son célèbre disciple Regiomontanus.

Le premier est connu surtout comme astronome, et comme auteur du livre des Théo-
riques des planètes^. Cet ouvrage était une suite de la sphère de Sacro Bosco, destiné à
compléter la connaissance de l'almageste de Ptolémée, que Purbach avait débarassé des
calculs et des démonstrations géométriques. Ensuite Purbach entreprit une traduction
sur le texte grec, récemment apporté en Europe par le cardinal Bessarion , de la partie
géométrique de cet ouvrage de Ptolémée. Cette traduction , qu'une mort prématurée
l'empêcha de terminer, fut continuée par Regiomontanus, et parut à Venise en 1496,
sous le titre : Ptolemei Âlexandrini astronomortim principis in magnam construn-
tionein Georgii Purhuchii , ejusque discipuli Johannis de Regiomonte astronomicort
epitomn. Venetiis , 1496 , in-folio.

Les deux savans traducteurs substituent dans les calculs trigonoraétriques de Ptolémée,
les */nM* aux cordes, ainsi qu'avait fait Albategnius, et après lui les autres écrivains
arabes ; mais ils conservent les expressions — — , et ne font pas usage des tangentes

' ^ costnus ' I o o

qu'Ebn Jounis avait connues et qu'Aboul Wefa avait introduites dans la trigonométrie
.500 ans auparavant. Plus tard Regiomontanus les imagina, à son tour, et en fit une
table connue sous le titre de table féconde , qu'il lui donna.

Regiomontanus est un des hommes les plus remarquables que présente l'histoire des
mathématiques. L'universalité de ses connaissances, la fécondité extrême de son esprit
infatigable et le nombre de ses productions, peuvent le faire regarder comme le vérita-
ble restaurateur des sciences en Europe. Ces productions comprennent, d'une part, les
principaux ouvrages des grands géomètres de l'école d'Alexandrie, Euclide, Archimède,
Apollonius, Ménélaus,etc. , que Regiomontanus, le premier, lut dans leur langue ori-

' Plusieurs autre* événemens contemporains, comme la découverte de l'Amérique , du Cap-de-bonne-£spé-
rance et des Indes Orientales , qui amena le perfectionnement de l'astronomie , de l'optique , de la Géométrie ,
vinrent contribuer aussi à l'activité générale des esprits , et à l'impulsion forte que reçut la culture des
sciences à cette époque.

^ Theoricœ Planetarum, imprimé pour la première fois à Venise, in-4<>, 1488, 38 ans après la mort de l'au-
teur ; et réimprimé depuis , un grand nombre de foi) , le plus souvent avec des commentaires.

NOTES. 527

ginale et dont il avait fait des versions plus correctes que celles qui nous venaient des
Arabes; et, d'autre part, les propres découvertes de Regiomontanus. Parmi celles-ci on
distingue surtout son traité De trianrjuU* omnimodis libri quinque (Norimberga? , 1 63>'i ,
in-folio). Cet ouvrage est un traité complet de trigonométrie plane et spbérique. Les
deux [jremiers livres sont pour les triangles rectiligncs; ils renferment une foule de
problèmes qui paraissent pour la première fois. Il s'agit toujours de déterminer, au
moyen de trois données quelconques, les autres parties d'un triangle. Ainsi par exem-
ple, dans le problème 7 du livre II, on donne le périmètre et deux angles d'un triangle;
dans le problème 12 du même livre, on donne la base, la perpendiculaire et le rapport
des deux cAlés. Regiomontanus dit que ce problème n'a pas encore été résolu par la
Géométrie '. Et il y applique l'algèbre, qu'il appelle ars rei et cenetu; elle le conduit
à une équation du second degré ; et il ajoalc quod re*lat prœoepta artii edocebunt'^.
On voit par là que Regiomontanus possédait la connaissance de l'algèbre , qu'il avait
acquise soit par l'ouvrage de Léonard de Pise , qu'il avait pu consulter en Italiç ; soit par
les traductions de l'algèbre de Mohammed ben Musa; et cela n'est point étonnant, car
un esprit vaste et pénétrant comme celui de Regiomontanus ne pouvait ignorer une in-
vention aussi belle et aussi utile, l'un des plus précieux dons que nous aient faits les
Arabes; mais ce passage offre de l'intérêt, parce que ses termes prouvent que déjà,
vers le milieu du XV siècle, la connaissance des règles de l'algèbre était répandue
et vulgaire parmi les mathématiciens. Et en effet Regiomontanus, qui fait encore
usage souvent de la règle rei et centus , dans ses lettres que le célèbre bibliographe
De Murr a publiées^, écrit à l'astronome Blanchinus, qu'il pense que cet art lui est

' La aolution de ce problème par la aeule Géométrie n'offrait paa de difficulté, et je ne «ait pourquoi Regio-
montanus a cru devoir y employer néceasairement l'algèbre. En effet d'aprèa l'énoncé de la queation, le
sommet du triangle cherché ae trouTera d'abord sur une droite parallèle à la baae donnée , et enauite aur nne
circonférence de cercle, qui eat le lieu dea pointa dont lea diatancea aux deux extrémitéa de la baae aont
entre ellea dana le rapport dea deux cotéa.

Cette propoaition était connue dea Anciens : Pappua t'énonce comme l'une de cellea qui ae trouvaient dana le
aecond livre de Lieux plant d'Apolloniua, et Eutociua l'a démontrée au commencement de aea commen-
tairea aur lea coniquea de ce géomètre, pour donner un exemple des lieux géométriques qui servaient aux An-
ciens dana la solution des problèmes. Elle ae trouve dana le Traité des connues géométriques de l'arabe
Hassan ben Uaitem (1" livre, propoaition 9] Chez les Jlodernes nous la trouvons dans le livre De proportionibus
numerorum , motuum , etc., de Cardan ; puis dana un ouvrage d'Alexandre Anderson (voir notre note III aur
lea poriamea) ; dana les Discorsi e dimostrazioni matematiche, etc. (p. 39} de Galilée ; dana lea Lieux plans d'A-
polloniua , reatitués par Fermât , Schooten et A. Simaon ; dana la Dioptrique de Huygena , et dana beaueonp
d'autrea ouvrages. M I.egendre l'a comprise dana aea élémena de Géométrie.

' La baae étant 20, la perpendiculaire 6, et le rapport dea deux cotéa - , Regiomontanua prend pour l'incon-
nue la différence dea deux aegmens faits sur la base par la perpendiculaire; et il arrive, par dea conaidéra-
tiona géométriquea , a l'équation 20 census plus 200U aquales 680 rébus ; c'est-i-dire 20 f ^+2000=680 jr.

Dans le problème 83 , où il s'agit de construire un triangle dont on connait la différence dea deux cotéa, la
perpendiculaire , et la différence des aegniona qu'elle fait aur la base , Regiomontanua emploie eucore la règle
rei et census. Nous avona dit , en parlant de la Géométrie dea Indien* , que ce problème te tronvait réaolu
dan* le Lilavati de Bhascara.

' Dan* le premier volume de son recueil intitulé : Xtemoral/ilia Bibliothecarum puilicarum /Vorimiergensium
ctunivtrsittttisAltdorfinœ Xorimbergs, 1786, S vol. in-8°.

528 NOTES.

très-familier ' ; et celui-ci, en effet, s'en sert aussi dans ses réponses à Regiomontanus.

Les livres III, IV et V traitent des triangles sphériques.

Le livre III est dans le genre des sphériques de Ménélaus. Le livre IV renferme une
trigonométrie complète ; et le livre V divers problèmes qui sont résolus pour la pre-
mière fois. On y remarque celte proposition , qui correspond à une propriété des
triangles plans connue des Grecs , savoir que : L'arc de grand cercle qui dioise en
deux également r angle au nonimet d'u7i triangle sphérique, fait sur la base deux seg-
jnens dont les sinus sont entre eux comme les sinus des cotés qui comprennent l'angle.

Regiomontanus a écrit un traité d'arithmétique pratique qu'il appela ^Igorismus
demonstratus. C'est l'ouvrage que Schoner a imprimé en 1534 sous le titre Âlgorith-
mus demonstratus; changeant ainsi le mot algoristnus en algorithmus ,^aYCQ qu'il
pensait que l'ouvrage de Regiomontanus, dont il avait trouvé une copie, avait dû être
intitulé par ce géomètre algorithmes , ce mot provenant, dit-il, du mot grec aocSuoi
altéré par les Sarrazins. Schoner ignorait donc que le mot algoristnus était consacré
depuis plusieurs siècles, comme on le voit par les ouvrages de Sacro Bosco, de Vin-
cent de Beauvais, etc., pour désigner notre système de numération -; et qu'ainsi c'était
à dessein que Regiomontanus l'avait employé. Cet ouvrage , que nous avons déjà eu
occasion de citer plusieurs fois, est très-remarquable sous un rapport dont nous n'avons
point eu encore à parler ; c'est qu'il fait partout usage i\e lettres au lieu de quantités
numériques suivant la coutume du temps; et ces signes abstraits, qui constituent la
forme des sciences mathématiques modernes, sont employés même pour exposer le
système de numération , et pour démontrer les règles de l'arithmétique pratique. Si
une mort prématurée n'avait enlevé Regiomontanus dans la première période d'une
carrière si brillante, peut-être lui aurions-nous dû la grande conception de Viète.

Dans le recueil de lettres que nous avons cité précédemment on remarque une solution
Irigonométrique de la question de construire avec quatre cotés donnés , un quadrila-
tère qui soit inscriptible au cercle. Nous avons donné, en parlant de la Géométrie des
Indiens, une notice historique sur ce problème dont plusieurs géomètres se sont occupés
dans le XVI" siècle.

Nous ne parlerons point des autres ouvrages de Regiomontanus, dont le nombre est
très-considérable, mais dont la plupart, malheureusement, sont restés inédits. La liste
s'en trouve dans plusieurs ouvrages dont nous citerons, comme étant les plus répandus,
VHistoria matheseos de Heilbronncr, et Y Historia astronomiœ de Weidler.

On concevra, à l'inspection de cette liste, d'autant plus étonnante que l'auteur a été
enlevé aux sciences à l'âge de quarante ans, et que pendant sa courte existence il s'était

' Sed nunc eam eligi qtiam vohis arlitror familiarissimam, per artcm videlicet rei et censiis quod quœreiatis
absolvendo , p. 94 du I" vol. du recueil cité.

^ La pièce ancienne mise au jour par Clichtoyée sous le titre Opusculum de praxi numerorum , qvod algo-
rismum vacant , et quelques autres, restées manuscrites (dont deux existent à la bibliothèque S'f-GéneTJèTe ,
et une, en français , à la bibliothèque de l'Arsenal), disent que le mot algorismus provient du nom d'un
philosophe appelé Aigus. Mai» on ne trouve aucune preuve de cette origine.

NOTES. 529

livré principalement aux observations et aux calculs astronomiques, qu'il avait fait ilcs
éphémérides comprenant trente années, dans un temps où le secours des logarithmes
manquait au calculateur, qu'il était habile mécanicien et qu'il dirigeait une imprimerie,
on concevra, dis-je, que Ramus l'ait mis sur le même rang que les grands génies qui ont
honoré la Grèce '.

Le cardinal Nicolas de Cusa, bien que ses œuvres mathématiques soient empreintes
souvent de paralogismes qui leur ôtcnt aujourd'hui toute valeur, est cependant un des
hommes qui ont le plus contribué au rétablissement des sciences, par l'importance qu'il
leur reconnut et en les popularisant par l'usage qu'il chercha à en faire dans tous ses
écrits, et même dans ceux qui se rapportaient à la théologie. Il suivait en cela l'exemple
donné un siècle et demi auparavant par Bradwardin.

On cite Nicolas de Cusa surtout au sujet de sa quadrature du cercle , où il a eu le pre-
mier l'idée, en spéculations mathématiques, de faire rouler un cercle sur une ligne
droite. On a cru voir dans cette idée les premières traces de la cycloïde, et Wallis s'est
efforcé de faire remonter l'origine de cette courbe, devenue si fameuse dans le WII" siè-
cle, à Nicolas de Cusa ; lui reprochant toutefois de l'avoir crue un arc de cercle. Mais rien
ne nous parait annoncer, dans l'ouvrage de ce cardinal, qu'il ait songé à considérer la
courbe engendrée par un point de la circonférence qu'il faisait mouvoir sur une ligne
droite ; et , l'arc du cercle qu'il décrit sert seulement pour déterminer le point de la droite
où venait se placer, après une révolution du cercle, le point de sa circonférence qui tou-
chait d'abord cette droite. Il nous parait probable que l'auteur avait trouvé par des expé-
riences mécaniques les principes de sa construction ^.

Le cardinal Cusa est resté célèbre dans l'histoire, pour avoir adopté les principes de la
philosophie platonicienne qui prenait naissance, et surtout pour avoir eu l'honneur de
ressusciter, le premier parmi les Modernes, le système de Pythagore sur le mouvement
de la terre autour du soleil , renouvelé depuis avec plus de succès par Copernic et Galilée.

Le XV siècle nous présente deux peintres célèbres Albert Durer et Léonard de Vinci ,
qui méritent d'être comptés aussi au rang des géomètres les plus savans de leur époque.
Le premier a laissé un ouvrage de Géométrie destiné aux architectes et aux peintres, écrit
en allemand et qui a été reproduit en latin sous le litre suivant, qui fait connaître l'objet

' Noriberga ium Regiomontano fntebatur : maihematici indè et studii et operit gloriam tantam adepta , ut
Tarentum Archyta , Syracusa Archimede, Sitantium Proclo, Alexandria Ctesibio ,nou justius guàm IVoriberga
Regiomontano gloriaripossit. (Scholœ niathematica] , lib. 2, p. 62.)

' Let écrits mathématiquei de nicnlaa de Cu>a forment la troisième partie de aei œuvres complètes impri-
mées à Paris en 1S14, in-f°, et & Basie en 156S, in-f». Ils se composent des pièces suivantes: lo De Geomttricis
transmulationibus ; 2° Oe arithmeUcii complementis ; 3° De mathematicis complemenii» ; 4o De quadraturA
circuit ; 6° De rinibus et chordie ; 0" De uud recti curvigue mensurd ; 7" Complementum iheolojicum figuratMm
in complementis malhematicit ; S'' De mathematicd perfectione ; O" Reparatio calendarii ; 10» Correctio tabu-
larum AlfonH ; II» A lia guceda m ex Gaurico in Cusam adjecta,

La plupart de ces écrits roulent sur la quadrature du cercle , qui parait aToir occupé constamment Nicolas
de Cusa. Dans celui D» mathemaiicit complementis , l'autear parle des tectiont coniques, et apprend i les
décrire sur le plan.

Toji. XI. 67

330 NOTES.

de net ouvrage : Institutionum geometricarum libri quatuor, in quîhus tineas , super-
ficies et solida corpora ita tractavit , ut non matheseos soluni sludiosis , sed et picto-
ribus , fabris œrariis ac lignariis , lapicidis , statnariis , et universis demùm qui
circino, gnomone , libella, aut alioqui certâ mensurû opéra sua examinant, sint
summè utiles et necessarii.

Dans le premier livre, Albert Durer apprend à décrire différentes lignes courbes; on y
trouve plusieurs hélices planes, cylindriques, sphériques et coniques, la description de
l'ellipse par l'allongement des ordonnées du cercle dans un rapport constant; ou bien en
la considérant comme la section d'un cône droit, que l'auteur appelle pyrameWe. Il ap-
prend à décrire aussi les deux autres sections coniques, l'hyperbole et la parabole. C'est
un des ouvrages les plus anciens chez les Modernes , qui aient traité des sections coniques.

On trouve aussi dans ce premier livre, la description par points, de l'épicycloïde en-
gendrée par un point du plan d'un cercle qui roule sur une circonférence fixe.

Dans le second livre on trouve l'inscription des polygones dans le cercle, et différentes
autres figures régulières formées par des arcs de cercle; puis une quadrature du cercle et
la manière d'assembler différens polygones pour remplir exactement une surface plane;
on n'y voit point les polygones étoiles. Après avoir donné la construction du pentagone
inscrit au cercle qui se trouve dans le premier livre de l'Almagcste dePtolémée, Durer
apprend à construire un pentagone régulier sur un côté donné; et sa construction a cela
de remarquable qu'elle se fait avec une seule ouverture de compas ; mais elle n'est qu'ap-
proximative, et la figure, qui a conservé le nom Ae pentagone de Durer, n'a pas tous
ses angles égaux ' , ainsi que l'ont démontré J.-B. de Benedictis ^, et Clavius •* dans le siècle
suivant. Cependant à cause de sa facilité , la construction de Durer est employée par la
plupart des architectes.

Le livre III traite des corps solides ; des colonnes et des pyramides de différentes formes ;
et des lignes qu'on trace sur leurs surfaces , dans les arts; de la construction des cadrans
solaires, et de celle des lettres de l'alphabet.

Dans le cinquième livre, l'auteur donne la description des cinq corps réguliers, et de
plusieurs autres corps formés par des polygones réguliers , mais non tous semblables entre
eux, comme sont les treize corps semi-réguliers d'Archimède. Puis on trouve plusieurs
solutions de la duplication du cube; et enfin un traité de perspective , dans lequel Durer
a imaginé le premier instrument connu, pour faire la perspective mécaniquement sur
un verre ou une toile transparente. C'est surtout pour cette partie que l'ouvrage de Durer
est cité dans l'histoire des mathématiques.

Léonard de Vinci , l'un des plus grands peintres de l'Italie, fut un dé ces génies rares
qui manient avec une égale facilité tous les objets des connaissances humaines, et dont
le nom se présente dans l'histoire de chacune d'elles. Il cultiva particulièrement les ma-

' Chacun des angles d'un yrai pentagone régulier est de 108 degrés. Dans le pentagone d'Albert Durer ,
deux angles sont de 107" 2'; deux autres de 108» 22', et le cinquième a 109» 12'.
2 Diversarum speculationum •mathematicarum et physicarum Liber ; Turin 1585, in-f»,
' Geometria practica , lib. viii , prop», 29.

NOTES. 531

thématiques, et les sciences qui en dépendent, telles que la physique, la mécanique ra-
tionnelle et pratique, l'hydrostatique, la musique, etc., persuadé, comme il le dit, qu't'/
n'y a point de certitude dan* le» tciencet où on ne peut pa* appliquer quelque partie
de» mathématique», ou qui n'en dépendent pa» de quelque manière. Vérité trop peu
sentie de nos jours encore, malgré les progrés qu'à faits depuis trois siècles, la raison
humaine.

Léonard de Vinci a laissé de nombreux manuscrits, où se trouvent répandues ses mes
nouvelles et ses spéculations sur toutes les parties des sciences mathématiques: mais mal-
heureusement ils n'ont point encore été étudiés; et sont restés jusqu'à ce jour sans porter
aucun fruit. M. Venturi, savant professeurdeBologne, devait en faire connaître les parties
les plus importantes dans trois traités qui se seraient rapportés à la mécanique, à l'hy-
draulique et à l'optique. Malheureusement ce projet n'a pas reçu d'exécution. On doit
seulement à M. Venturi la connaissance de quelques fragmens détachés des œuvres physico-
mathématiques de Vinci '. Dans le premier, intitulé : De la degcente de» corp» grave»
combinée avec la rotation de la terre, on voit que le célèbre peintre admettait l'idée du
mouvement de la terre, émise déjà quelques années auparavant, par Nicolas de Gusa
dont les œuvres n'étaient point encore publiées.

Nous tie nous étendrons pas davantage sur les travaux physico-mathématiques de
Léonard de Vinci. Mais il est une de ses inventions en mécanique que nous devons distin-
guer ici , parce qu'elle se rapporte essentiellement à la Géométrie , et que nous la regardons
comme le premier germe d'une théorie, peu cultivée depuis, et qui mérite néanmoins de
fixer l'attention des géomètres. Nous voulons parler du tour à ovale, queLomazzo, élève
de Vinci, lui attribue en ces termes: « f^inci fut au»»i l'inventeur du tour ovale ,
ouvrage admirable qu'un élève de Melzi apprit à Déni» , Frère de Maggiore, qui »'en
»ert aujourd'hui avec beaucoup d! adre»»e (Lomazzo, Trattato délia Pittura, p. 17.)

Or il nous parait que le tour à ovale , auquel les géomètres ont fait peu d'attention , car
on n'en trouve nulle part la théorie mathématique, reposait sur une idée tout-à-fait nou-
velle, concernant la description des courbes; et cette idée donnait lieu à une spéculation
nouvelle en Géométrie.

Jusque là on avait décrit les courbes par la trace d'un stylet mobile, imprimée sur un
plan fixe: Vinci conçut leur description d'une manière inverse, c'est-à-dire au moyen
d'un stylet fixe qui imprime sa trace sur un plan mobile. Tel est l'office du tour à ovale,
qui sert à décrire l'ellipse.

Quel mouvement fallait-il donner au plan mobile, pour obtenir ainsi une ellipse?
Telle est la question qu'a dû se proposer Léonard de Vinci. Elle était, comme on voit, d'un
genre tout nouveau; et ce célèbre peintre a su découvrir, parmi une infinité de solutions
dont elle était susceptible , la plus simple incontestablement; elle se réduit à donner au
plan mobile le mouvement d'un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent

' Eêêai tur l»$ ouvragts phytico-malhinatiques dt Léonard de Vinci , avec de* fragmens tiré* d* *e* manv-
criU. Pirit, an V, in-4°.

532 NOTES.

sur deux points fixes. L'histoire de la science serait intéressée à connaître les considéra-
lions de Géométrie qui l'ont conduit à ce beau résultat.

Malgré tout l'intérêt que cette question, considérée comme moyen nouveau et général de
décrire les courbes, devait offrir, et dans les arts, et comme pure spéculation géométrique, elle
n'a fait presqu'aucun progrèsjusqu'àcejour. Sinos recherches historiques à ce sujet ne nous
induisent point en erreur , nous croyons qu'elle n'a fixé l'attention que d'un seul géomètre,
le célèbre Clairaut , qui l'a traitée dans un mémoire lu en 1740 à l'académie des sciences.
Après avoir signalé le nouveau mode de description des courbes dont le tour à ovale offrait
le seul exemple connu, Clairaut dit qu'il avait supposé d'abord que la courbe décrite sur
ce tour devait être une conchoïde du cercle, mais qu'il n'a pas lardé à reconnaître qu'elle
est une vraie ellipse d'Apollonius. Puis il fait deux applications de ce nouveau mode de
génération des courbes. Il suppose dans la première qu'un cercle roule sur une droite;
et dans la seconde qu'un cercle roule sur un autre cercle. Un stylet fixe imprime sa trace
sur le plan du cercle mobile , et cette trace forme une courbe dont Clairaut cherche les
équations. Sa solution est entièrement analytique, et les équations auxquelles il parvient
contiennent même des intégrations qui ne sont pas effectuées. Dans un seul cas les inté-
grales disparaissent et l'on reconnaît la spirale d'Archiméde.

Ainsi , sous le rapport géométrique, Clairaut a laissé cette question intacte; c'est-à-dire
que les diverses propriétés géométriques de ce mode de description des courbes, ses rap-
ports avec la description ordinaire par un point mobile, et la manière de substituer un
mode de description à l'autre, pour produire la même courbe, sont encore des questions
neuves.

Ces questions nous paraissent, tant sous le rapport théorique qu'à cause de leurs appli-
cations aux arts , mériter d'entrer dans les spéculations de la science. Nous y reviendrons
dans un autre écrit. Pour le moment nous renvoyons à la Note XXXIV, où se trouvent
quelques développemens sur celte théorie, qui offre un exemple assez remarquable de
dualité. Nous nous bornerons à ajouter ici que de cette théorie il résultera , sans cal-
cul , que les courbes dont Clairaut a trouvé des expressions algébriques fort compliquées ,
qui ne lui ont permis de reconnaître la nature que d'une seule d'entre elles, la spirale
d'Archiméde, sont tout simplement des épicycloïdes. Les unes peuvent être engendrées
par un point mobile lié fixement à une droite qui roule sur une circonférence de cercle ;
et les autres, par un point du plan d'une circonférence de cercle qui roule sur un cercle
fixe.

J. Verner n'a pas été un écrivain d'un esprit aussi vaste et aussi fécond que Léonard
de Vinci et Régiomontanus, les deux plus grands hommes du XV° siècle que nous ayons
nommés. Mais, considéré comme simple géomètre, il nous paraît devoir être placé immé-
diatement après Régiomontanus. Ses ouvrages ne sont point l'imitation ou la reproduction
des ouvrages grecs, comme c'était l'usage dans ces premiers temps de la culture des
sciences; mais ils sont le fruit des propres idées de l'auteur et portent avec le cachet de
l'originalité, celui d'une excellente et solide Géométrie.

Dans un livre qui a été imprimé en 1.522, Verner traite des sections coniques, de la

NOTES. 533

duplication du cube, cl du problème d'Archimède où il s'agit de diviser une sphère par
un plan en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné '. Une quatrième
partie de l'ouvrage est consacrée à l'astronomie ^ Nous avons déjà parlé, dans notre III'
Epoque, du petit traité des coniques, qui, outre l'avantage d'être le premier qui ait paru
en Europe, avait aussi celui de reposer sur une méthode différente de celle des Anciens.
Verner considérait les coniques dans le cône, et se servait des propriétés de ce solide pour
en déduire, d'une manière très-facile, celles de ces courbes. Méthode rationnelle , qui a
été mise eu usage aussi , 50 ans après , par Maurolycus et sur laquelle ont reposé ensuite
les ouvrages de Desargues, de Pascal et de Dclahire.

Verner avait composé plusieurs autres écrits qui n'ont point vu le jour. Heilbronner en
donne la liste dans son histoire des mathématiques ( p. 515). On y remarque un traité des
triangles sphériques, en cinq livres , et un autre sur les applications de la trigonométrie a
l'astronomie et à la géographie; un traité d'arithmétique et un de gnomoniquc, et un
ouvrage intitulé: Tractatii» retolutoriu* qui propè pedinequii» exUtit librt't Datoruni
Euclidis , qui paraît, d'après ce titre, se rapportera l'analyse géométrique des Anciens.
Peut-être , faisant suite aux données d'Euclide , était-il dans le genre des porismes. ( F'oir
notre opinion émise à ce sujet dans la Note III.) Nous serions curieux de connaître cet
ouvrage de Verner.

Il nous reste à parler de Lucas Paccioli , connu généralement sous le nom de Lucas de
Burgo, dont l'ouvrage principal appartient à la fin du XV siècle et peut être regardé
comme l'origine de l'école italienne qui a produit Cardan etTartalea, et qui a contribué
si puissamment à donner aux sciences mathématiques la forme nouvelle qu'elles ont prise,
dès la renaissance , et qui résultait de l'alliance de l'algèbre des Hindous et de la Géométrie
des Grecs. Cet ouvrage est intitulé : Summa de Ârithmetica , Geometria , Proportioni e
Proportionalila. Il a été imprimé pour la première fois en 1 494 par Paganino de Paganinis
de Brescia , et a eu une seconde édition en 152t3. Nous avons eu occasion de le citer sou-
vent , et de dire déjà l'influence qu'il a eue sur le renouvellement des sciences ; aussi nous
nous bornerons à en donner ici une analyse briève, dont nous nous dispenserions même
si cet ouvrage était moins rare et plus connu.

Il est divisé en deux parties principales : l'ime, relative à la science du calcul, com-
prend l'arithmétique et l'algèbre, et l'autre traite de la Géométrie. Les ouvrages dont
l'auteur annonce s'être servi pour composer le sien sont ceux d'Euclide, de Boèce,de
Léonard de Pisc, de Giordano Biagio de Parme, de Sacro Bosco, et de Prosdociroo de
Padoue.

■ Ealociut, dan* ion commentaire >ar leaecond livre de la aphère et du cylindre, a rapporté le» solutions
de ce problème données par Dionysidore et par Diodes.

" Libellus super viginti duobus elementis conicis, — Commentorius , seu parapkrastica enarratio in unde-
cim modos conficiendi ejus proUematis quod cuti duplicatio dicitur. — Comme niatio in Dionysidori pnblema ,
guo data tphœra piano sut data ratione secatur. Alius modus idem problema conficiendi ab eodem Vernero nooM-
nmi compertua , demonstratusque. — De molu octavœ sphœrœ tractatus duo , ut et summaria enarratio theo-
rica moiu* octavœ spkarœ. NorimbergiB , 1623 , in-4».

334 NOTES.

La première partie est un traité complet de l'arithmétique spéculative, qui considère les
propriétés des nombres, et de l'arithmétique pratique.

L'arithmétique spéculative est dans le gCnre des ouvrages de Nicomaque, de Théon, de
Boèce et de Jordan Nemorarius. M'ais elle est terminée par une partie sur les nombres
carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages et qui est très-remarquable. C'est une
suite de questions qui appartiennent aujourd'hui à l'analyse indéterminée du second
degré. Lucas de Burgo en donne seulement les solutions sans démonstration; il les em-
prunte, dit-il, du Traite des nombres carrés de Léonard de Pise, où elles étaient démon-
trées ^«r des considératiotis et sur des figures géométriques. Ces solutions, particulière-
ment celle qui se rapporte à l'équation a?'-t-y' = A, sont difTérentes de celles de
Diophante, et sont les mêmes que celles qu'on trouve dans les ouvrages indiens, et qui
ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler , ainsi que nous l'avons déjà dit en par-
lant de la Géométrie de Brahmegupta.

L'arithmétique pratique commence par l'exposition du système de numération , «dont
les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas de Burgo, sont les Arabes; ce
qui fait que cet -art a été appelé abaco pour dire el muodo arabica; mais d'autres, ajoute-
t-il , font dériver ce nom d'un mot grec '. » On trouve les quatre opérations fondamentales
de l'arithmétique -, la théorie des progressions, et l'extraction des racines carrées et cubi-
ques des nombres, arithmétiquement et géométriquement; puis le calcul des fractions;
les règles de trois ; celles de fausse position que l'auteur appelle, d'après Léonard de Pise,
règles A' Helcataym , et qu'il attribue aux Arabes , mais qui leur venaient des Indiens ; et
l'arithmétique commerciale , traitée avec une grande profusion de questions et d'exemples :
cette partie de l'ouvrage a été imitée par beaucoup d'auteurs allemands , dans la première
moitié du XVP siècle.

Lucas de Burgo, en passant à l'algèbre (Z)ï*<îwc^io octava), la regarde comme la partie
de la science du calcul la plus nécessaire à l'arithmétique et à la Géométrie. Il dit qu'on
l'appelle communément l'^rte niaggiore , ou la règle de la cosa, ou Algebra e Almuea-
bala. Comme cet ouvrage est le premier traité d'algèbre qui ait été imprimé , et qu'on a

' Ce passage fait voir que , du temps de Lucas de Burgo , on n'était pas fixé sur la yraie origine de notre sys-
tème de numération, La signification que nous avons dounée au mot abucus employé par Boèce nous autorise
à adopter la seconde supposition de Lucas de Burgo, c'est-à-dire à regarder le mot ahaco comme dérivé du
grec. Quoi qu'il en soit ce passage mérite d'être pris en considération dans les recherches sur l'origine de notre
système de numération.

2 L'auteur donne plusieurs procédés pour chaque opération. Parmi ceux de la multiplication se trouve une
méthode indienne donnée par Ganesa dans ses commentaires sur le Lilavati de Bhascara, qui consiste à écrire
le produit de chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur , en plaçant séparément ,
dans les deux cases triangulaires d'un carré , les chiffres des unités et des dixaines. Cette méthode ingénieuse
sur laquelle repose celle des bâtons de Neper , paraît avoir été très-usitée dans le moyen âge et au XVI<= siècle ;
car on la trouve dans plusieurs manuscrits {voir les no* 7378. A et 7352 des manuscrits de la bibliothèque royale
de Paris) et dans plusieurs ouvrages imprimés, dont nous citerons le Compendion de lo abaco de Pellos ;
Varithmeiica practica d'Oronce Finée; Varithmetica praciica de Peverone , et les scholœ matliematicœ de
Ramus. M. Libri l'a trouvée aussi dans un ouvrage chinois. {Histoire des sciences mathématiques en Italie ,
t. I,p. 341.)

NOTES. 535

coutume de le regarder comme ayant initié les géomètres dans celte science, il est essen-
tiel de remarquer que Lucas de Burgo ne présente point l'algèbre comme un art nouveau,
mais bien comme une chose connue depuis long-temps du vulgaire [del vulgo). Gela s'ac-
corde avec la remarque que nous avons faite en rendant compte du traité De trianyulit
de Rcgiomontunus, qui parle aussi des règles do l'algèbre comme d'une méthode fami-
lière aux géomètres. On peut en conclure que, depuis le XIII" siècle où l'algèbre a été
introduite en Europe par Fibonacci ' et par les traductions qu'on a faites alors de l'ou-
Trage de Mohammed ben Musa , cette science a toujours continué d'être cultivée.

Lucas de Burgo démontre d'abord la règle des signes; il apprend à faire les opérations
arithmétiques sur les quantités irrationnelles , et démontre la plupart des propositions du
dixième livre des élémensd'EucIide, qui forme une théorie étendue de ces quantités. Puis
il passe aux équations du second degré , dont il considère trois cas , comme nous l'avons dit
en parlant de l'algèbre de Mohammed ben Musa. Il dit que plusieurs autres équations d'un
degré supérieur peuvent être ramenées à celles-là. Il considère les équations qui contien-
nent l'inconnue, son carré, et sa quatrième puissance; ce qui donne lieu à huit cas qui
s'expriment, par les symboles actuels, de cette manière:

«4 = 0, x'^ -y- ax =: bx^ ,

«4 = 0*, *4 4- o = 6x\

x^ ■= ax^ , «4 -t- ax'=^ h ,

x^ + ax^ = bx , ar4 ï= o -t- bx^ -.

Il apprend à résoudre les trois premières , et les trois dernières ; mais la quatrième et
la cinquième, dit-il, sont impossible». En effet elles ne peuvent se réduire au second degré,
mais seulement au troisième. Cela prouve qu'au temps de Lucas de Burgo la résolution
des équations du troisième degré était inconnue.

Cette première partie de l'ouvrage (arithmétique et algèbre) est terminée par les règles
de société et une foule de questions relatives aux opérations commerciales , et même à la
tenue des livres en parties doubles.

Dans beaucoup de passages, Lucas de Burgo se sert de considérations géométriques
pour illustrer ses règles de calcul ; il démontre ainsi les régies de fausse position ; la

' Noas nou( conformona à l'opinion reçue, en répétant que Fibonacci a, le premier, introduit l'algèbre en
Europe, au commencement du XI1I° tiède ; mais nous pensons cependant que , depuis un siècle au moins , on
avait déjà quelque connaissance de cette science ; et nous fondons cette opinion sur ce fait rapporté pré-
cédemment , que Jean Hispalensis u écrit dans le XII» siècle sons le titre d''Algorismus , un traité d'arithmé-
tique, & la suite duquel se trouve la résolution des équations du second degré, extraite, est-il dit, du livre
De Gebrd et Slucabalâ.

^ Lucas de Burgo énonce ses équations en langage ordinaire; seulement, par abréviation, il se sert des
lettres pet m pour signifier plus{più) et moins {mino) ; il se sert du mot égal., mais non du signe ==. Il appelle
l'inconnue co«a; son carré censo ; et sa quatrième puissance censo de cetiso ,et la quantité connue il numéro.
De sorte qu'il énonce la dernière équation , par exemple , ainsi : cens» de censo ejuale a numéro e censé.

536 NOTES.

règle des signes en algèbre; et les formules pour la résolution des équations du second
degré. Nous allons Toir que, réciproquement, dans la seconde partie de l'ouvrage, qui
traite de la Géométrie, Lucas de Burgo fait un grand usage de l'algèbre.

Ce traité comprend des éléraens de Géométrie asseï complets. 11 repose en partie sur
les élémens d'Euclide; cependant, comme il en dilTère sous plusieurs rapports, nous
allons en donner l'analyse. Il se divise en huit parties, en considération, dit l'auteur,
des huit béatitudes (a reverentia de le S beatitudine).

Dans la première, qui traite des figures triangulaires et quadrilatérales, on trouve la
plupart des propositions qui font l'objet des I'='^, II" et VI" livres d'Euclide. L'auteur
démontre à la manière des Indiens que l'aire du triangle est égale au produit de la base
parla moitié de la hauteur; il démontre la formule de l'aire en fonction des trois côtés,
comme Fibonacci et les trois frères arabes Mohammed, Hamet et Hasen, dans leur ou-
vrage intitulé p^erba filiorum Moùi filii Schaker. Il apprend à calculer la perpendi-
culaire dans un triangle, et pour cela il se sert du théorème des deux segmens qu'elle
fait sur la base. Il donne de ce théorème une démonstration géométrique très-remar-
quable. Il s'agit de prouver que la différence des carrés des deux côlés du triangle est
égale à la différence des carrés des deux segmens faits par la perpendiculaire sur la base;
ou bien, que le produit de la somme des deux côlés, multipliée par leur différence, est
égal au produit de la base multipliée par la différence des deux segmens. Lucas de Burgo
construit une figure dans laquelle se trouvent les expressions géométriques des quatre
facteurs qui forment cette égalité; et, par la comparaison de deux triangles semblables ,
il conclut que le premier produit est égal au second. Cette démonstration est très-élé-
gante et élémentaire, puisqu'elle ne fait pas usage de la proposition du carré de l'hy-
pothénuse. Elle a été reproduite par Tartalea dans son General Trattato di Numeri e
Misure ( 4" parte , f" 8 ).

Dans la seconde partie on résout de plusieurs manières ce problème : Étant donnés
les trois côtés d'un triangle et étant pris deux points sur deux d'entre eux, trouver la
longueur de la droite qui joint ces deux points.

La troisième partie traite de l'aire des quadrilatères et des autres polygones ; on y
résout plusieurs problèmes sur les rectangles, par la voie algébrique : Lucas de Burgo se
sert des formules qu'il a enseignées précédemment pour la résolution des équations du
second degré.

La quatrième partie comprend les propositions qui sont l'objet du IIP livre d'Euclide
et la mesure du cercle. L'auteur démontre le rapport —, comme Archimède, par
l'inscription du polygone de 96 côlés; et apprend à former la table des cordes des
arcs, donnée par Plolémée dans le premier livre de l'Almagesle.

La cinquième partie traite de la division des figures dans des rapports donnés; c'est
celte partie de la Géométrie qui fait l'objet de l'ouvrage De superficierum divisionibus,
de Mahomet Bagdadin, qu'on regarde comme imité d'un ouvrage d'Euclide , ou comme
étant de ce géomètre lui-même. Lucas de Burgo complète cette matière, en traitant
aussi de la division du cercle suivant des conditions données.

NOTES. 8â7

La sixième partie concerne les volumes des corps; elle contient les propositions du
XI» livre d'Euclide.

Dans la septième partie on parle des diiïérens instruraens qui servent, dan^ la prati-
que, pour mesurer, à la vue simple, les dimensions des corps.

Enfin la huitième partie est un recueil de cent problèmes de Géométrie , résolus la
plupart par l'algèbre, suivi d'un traité particulier des cinq corps réguliers.

Voici quelques-unes des questions qui font partie de ces cent problèmes :

Etant donnés deux côtés d'un triangle et son aire , trouver le troisième côté.

Etant données l'aire et la différence des deux côtés d'un rectangle, trouver ces côtés.

Soit a' l'aire, et d la différence des deux côtés; Lucas de Burgo prend pour le plus
grand côté cota più -, c'est-à-dire a? -t- -, et pour le second côté cota mèno -, ou
s — -. On a immédiatement, pour déterminer l'inconnue, l'équation

t' = o', d'où X

V?

d'où se concluent les valeurs des deux côtés.

Cette solution est plus simple que si l'on avait pris directement pour inconnues les
deux côtés, ce qui eût conduit aux deux équations

ys = a\ y — s = d ,
et à l'équation finale du second degré ,

y'-dy = à'.

Dans la première partie de son ouvrage, Lucas de Burgo a donné d'autres exemples
de pareils artifices de calcul, qui prouvent que l'algèbre, dans de certaines limites,
était cultivée et perfectionnée depuis long-temps. Par exemple, que l'on demande deux
nombres dont la somme des carrés soit égale à 20, et le produit égal à 8. Lucas de
Burgo ne pose pas les deux équations a?"-»- y' = 20 etay = 8, qui conduisent à une
équation du quatrième degré, réductible au second. Il fait mieux : il prend la somme de
deux inconnues {x-\-z) pour le premier nombre cherché, et leur différence (j; — z)
pour le second > ; de sorte qu'on a immédiatement les deux équations :

*' -4- a' = 10 , et «' — «' = 8 ;
d'où

«' = 9 et s' = 1 ; a; = 3 , z=\.

Les deux nombres sont donc 4 et 2.

' Luc» de Burgo appelle la première inconnue cosa, et la seconde (jHantità. Il dit que lei Ancieni ippelaient
celle-ci cosa seconda ; mail que le» Hodernet la nomment timplement quanlitd, ^Distinctia oelava ; tractatus
seitus.)

To>. XI. 68

538 NOTES.

Cette solution ressemble, par son élégance et sa simplicité , à celles que nous avons re-
marquées dans les ouvrages indiens.

Trouver le diamètre du cercle inscrit dans un triangle dont les côtés sont connus.

Dans un triangle décrire deux cercles égaux , tangens entre eux , et dont chacun touche
deux côtés.

Étant donné un cercle , en décrire 3, ou 4, ou 5 , ou 6 autres égaux entre eux , tangens
au cercle proposé, et tels que le premier touche le second, le second touche le troisième,
le troisième touche le suivant, etc.

Trouver le diamètre du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés sont donnés.

Étant donnée l'aire d'un triangle dont on sait que le second côté surpasse le premier
d'une unité, et le troisième côté surpasse le second aussi d'une unité , quels sont les côtés
du triangle.

L'aire du triangle étant 84, Lucas de Burgo détermine ses côtés par une équation du
quatrième degré , résoluble comme celles du second ; il trouve pour ces côtés les nombres
13,14 et 15.

Par les sommets d'un triangle on élève trois perpendiculaires sur son plan , et l'on
demande de déterminer le point de ce plan qui se trouve à égale distance des extrémités
des trois perpendiculaires.

Étant donné un triangle , on demande le diamètre du cercle qui , étant tangent à ses deux
côtés , aura son centre sur la base.

Dans tous ces problèmes les données sont numériques , et leurs solutions sont algébri-
ques et dépendent la plupart d'équations du second degré.

Pareillement, dans les premières parties de l'ouvrage, qui forment des élémens de Géo-
métrie, les figures sont toujours exprimées par des nombres, comme s'il s'agissait de faire
une application particulière d'un théorème. Ainsi, par exemple, pour démontrer la for-
mule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés, l'auteur prend le triangle
ABC dont les côtés sont 13, 14 et 15, et se sert toujours, dans tous le cours de son rai-
sonnement , de ces nombres, à la place des côtés, que les Grecs employaient d'une manière
abstraite en les désignant ainsi AB, BG, GA. Cette méthode était empruntée des Arabes,
qui la tenaient des Indiens; elle a été suivie exclusivement par tous les géomètres du
XVI° siècle , Cardan , Stifels , Tartalea , J.-B. Benedictis , Memmius , Commandin , Clavius,
Slevin , Ad. Romanus, Ludolph Van Ceulen, etc., jusqu'à ce que Viète introduisît l'usage
des lettres dans l'algèbre. Nous dirons plus loin la cause de cette manière de procéder, les
avantages qu'elle offrait et les graves inconvéniens qui en résultaient.

Lucas de Burgo a laissé deux autres ouvrages, qui méritent d'être cités, mais qui n'ont
pas l'importance de celui dont nous venons de présenter l'analyse. Le premier est inti-
tulé : Lueœ Pacioli divina proportione , opéra à tutti glîngegni penpicaci e curiosi
necessaria ; ove ciacnn studioso diphilosophia , prospettiva , pictura , sculptura , ar-
chitectura , musica e altre niateinatiche , soavissima , sottile e admirabile dottrina
eonsequira e delectarassi con varie questione di gecreti»sitna scientia. Veneliis, 1509,
in-4°. L'auteur appelle proportion divine la division d'une droite en moyenne et extrême

NOTES. 539

raison, dont il démontre de nombreuses propriétés, et dont il fait diverses applications
aux arts. L'autre ouvrage de Lucas de Burgo roule sur les polygones et les polyèdres ré-
guliers , et sur l'inscription mutuelle de ces figures les unes dans les autres ; il a pour titre :
Libellut in tre» partiale» tractatut , dioitu* quorumcumque corporum regttlarium et
dependeiitium active pertcrutationis ; Venise, 1508, in-4°. L'auteur fait encore un
fréquent usage de l'algèbre dans ces deux ouvrages de Géométrie.

On voit par ce qui précède, que les ouvrages de Lucas de Burgo, comparés à ceux des
géomètres grecs, présentaient un caractère propre qui mettait entre eux et ceux-ci une
diil'érence bien marquée; c'est qu'ils reposaient sur une union constante entre l'algèbre
et la Géométrie ; et ce caractère a été celui de presque tous les écrits mathématiques du
XVI" siècle. Comme les ouvrages do Lucas de Burgo sont les premiers , parmi ceux qui
ont enseigné les préceptes de l'algèbre et son application à la Géométrie, qui aient été
imprimés, on les a regardés généralement comme la seule origine, au commencement du
XVI" siècle, delà forme nouvelle que les sciences mathématiques ont prise, et des progrès
immenses qu'elles ont faits depuis. Il n'est pas douteux, en effet, que les deux célèbres
géomètres de l'Italie Cardan et Tartalea , n'aient dû leurs connaissances et la méthode
qu'ils ont suivie à la Summa de Arithmetica , etc., de Lucas de Burgo, qu'ils citent
souvent. Mais il y a lieu de croire qu'en Allemagne surtout, quelques autres ouvrages
formaient un autre foyer de lumières, et ont répandu les mêmes principes d'algèbre et
d'application de l'algèbre à la Géométrie. On en juge par le savant ouvrage de Stifels qui a
paru en 1544 sous le titre Àrithmetica intégra (Nuremberg, in-4°), où se trouvent des
élémens d'algèbre et une foule de questions de Géométrie , résolues par cette voie, comme
dans la Summa de Lucas de Burgo. £t cet ouvrage de Stifels présente avec celui-ci des
différences qui y font reconnaître une plus profonde connaissance et une plus ancienne
culture de la science algébrique, ainsi que quelques pas de plus vers la forme abstraite
qu'elle a prise depuis. Ainsi , par exemple , on y trouve les signes -+- et — et le signe ra-.
dicalj/ ; l'inconnue et ses puissances sont représentées aussi par des symboles, au lieu de
l'être parles mots cota, cento , cubo , cento de censo , etc.; et quand il y a plusieurs in-
connues , les seconde, troisième, quatrième, etc., sont représentées par les lettres
A, B, C, etc. '; le principe de la multiplicité des racines dans une équation , que Lucas de
Burgo avait méconnu, est exprimé formellement et démontré-; et quant à l'application
dogmatique de l'algèbre à la Géométrie, les exemples que Stifels en donne sont extrêmement

' Voir livre 3, chap. 6, inUiuXé De secundis radicibus.

C'eit le premier exemple de l'uaage des lettre», pour représenter dans les équations les inconnues de la ques-
tion. Il n'a pas tardé à être suivi par Peletler dans son Algèbre (ann. 16M ) et parButéon dans sa Logistica
(ann 1659). Il est asseï singulier qu'une idée aussi heureuse, qui apportait dans le calcul une facilité actuelle
si évidente , n'ait cependant pas été appréciée de Cardan ni de Tartalea. C'est là une des preuves les plus frap-
pantes de l'empire de l'habitude, même chei les esprits les plus supérieurs.

" Sunt autem œquationes quadam , quibus natura rerum hujus modi , dédit habere duplicem radicem, vidêlicet
vtajorem et minorem : idquodpleni docebo alque demonstrabo. (Arithmetica intégra, f°. 243). Plus loin l'au-
teur ajoute que l'équation ne peut avoir plus de deux racines : plures auttm duabus, nulla aquatio habebit.
r''.844.vo.

540 NOTES.

nombreux; on y remarque particulièrement toutes les propositions du 13" livre d'Euclide,
qui s'expédient facilement par le calcul des équations du second degré. Cet ouvrage, il
est vrai , est postérieur de prés d'un demi-siècle à celui de Lucas de Burgo ; et l'on pourrait
croire que les différences que nous venons de signaler sont le fruit de la culture, pendant
ce demi-siècle, des principes mêmes enseignés par Lucas de Burgo. Mais l'ouvrage de Stifels
n'est, dans tout ce qui concerne cette partie de l'algèbre , qu'une imitation des ouvrages
de deux autres algébristes allemands, Adam Risen et Christophe Rudolff, qu'il cite sou-
vent avec de grands éloges, le second surtout. On avait déjà de celui-ci un traité d'algèbre
en allemand , imprimé en 1522 sous le titre Die Coss , et dont il a été fait, dans le temps,
en Italie, une traduction latine qui existe dans les manuscrits de la bibliothèque royale
(n° 7365, in-4°, des manuscrits latins), sous le titre: jirithmetica Christophori Ro-
dolphi ah Jamer, è germanicâ linguâin latinanià Christophoro Auvero , Pétri Da-
negii mandato, Romœ anno Christi 1540 conversa. Nous avons reconnu dans cet
ouvrage les progrès notables de l'algèbre et ses applications à la Géométrie que nous
venons de signaler dans celui de Stifels. On trouve encore, dans quelques petits traités
d'arithmétique qui ont paru en Allemagne dans les premières années du XVI° siècle , des
exemples de l'application des règles du calcul aux questions de Géométrie: ainsi dans un
Algoritlimus de integris et minutiis, imprimé à Leipsick en 1507, les règles défausse
position sont appliquées à cette question : Etant donnés un côté de l'angle droit d'un
triangle rectangle , et la somme des deux autres côtés , trouver ces côtés. Nous rappellerons
enfin que , dès le XV siècle , Regiomontanus et l'astronome Blanchinus étaient très-versés
dans la pratique des règles de l'algèbre , et que le premier en faisait usage dans son traité
De triangulis , pour résoudre les propositions de Géométrie.

Ainsi nous pensons pouvoir dire avec certitude que l'algèbre, dès les premiers temps
du renouvellement des sciences en Europe, a été cultivée et appliquée particulièrement
aux questions de Géométrie, et que le caractère des sciences mathématiques, au XVI°
siècle, qui est résulté de celte union intime entre l'algèbre et la Géométrie, s'est mani-
festé même avant qu'eût paru l'ouvrage de Lucas de Burgo ; mais que celui-ci ayant élé,
le premier, mis au jour par la voie de l'impression, est devenu le plus répandu et a eu la
plus grande influence sur les progrès des sciences mathématiques et la direction qu'elles
ont prise.

Les bornes de cet écrit, que nous avons déjà depuis long-temps dépassées, ne nous per-
mettent pas de donner une analyse des ouvrages de Cardan, de Tartalea, de J. B. Bene-
dictis 1 et de quelques autres géomètres du XVP siècle , où nous aurions aimé à étudier la

I J.B. Benedictis , dans son ouvrage intitulé : Diversarum speculationum mathematicarum et physicaruvi
liber ; Tauiitii , 1585, in-f» , fait usage continuellement de considérations géométriques pour démontrer ou
Térifier les règles d'arithmétique et d'algèbre. Voici un exemple curieux de cette méthode. L'auteur se propose
une question à trois inconnues, qui s'exprime parles trois équations x+y=:a, y+z^h, s+x=^c. Il la résout
algébriquement, et pour vérifier les expressions qu'il a trouvées pour les inconnues , il se sert de cette consi-
dération géométrique : Qu'on forme un ti'ianyle qiii ait pour côtes les trois nombre a^ b, c , et gu'on lui inscrive
un cercle tanyent à ses trois côtés, les segmcns que les points de contact formeront sur ces côtés seront les

NOTES. 541

marche de cette science, qui différait tant alors, par sa forme, de celle des Grecs, à en
suivre les pas et à en constater les progrès , jusqu'aux travaux de Viète qui lui ont fait
subir une nouvelle transformation éminemment heureuse, qui était nécessaire pour assurer
à la Géométrie, dans toute l'étendue de ses besoins, les secours que la science du calcul
devait lui prêter.

Mais il nous faut bien préciser cette nouvelle forme qu'a prise la Géométrie , qui fait
la différence immense qui a lieu entre les ouvrages du XVII" siècle et ceux du XVI°, et
d'où datent véritablement les grands progrès qu'elle a faits depuis.

La Géométrie, dans tout le cours du XVI" siècle, différait essentiellement de celle des
Grecs, sous un certain rapport, c'est qu'elle n'opérait que sur des données numériques,
ainsi que nous l'avons déjà dit ,à la suite de notre analyse des ouvrages de Lucas deBurgo.
Cela était une conséquence naturelle de l'union intime qui s'était établie entre cette
science et l'algèbre, union qui n'était possible qu'avec des données numériques, car
l'algèbre alors n'était qu'une arithmétique supérie'ure , exclusivement numérique , qui ne
différait essentiellement de l'arithmétique ordinaire que par l'usage de la règle des signes,
et du mécanisme des équations; elle n'était point une science de symboles abstraits,
comme Viète l'a constituée sous le nom de Logistique spécieute. Les opérations et les
artifices de calcul , qui simplifiaient les démonstrations et remplaçaient les considérations
géométriques dont tout géomètre grec aurait fait usage exclusivement, 'n'étaient donc pos-
sibles , dans le XVI° siècle , que quand la Géomètre se faisait sur des données numériques.
Aussi c'est ce qui a eu lieu jusqu'à Viète, ainsi qu'on le voit dans tous les ouvrages de cette

taltur» dts trois inconnues x, y, i; d'où l'on conclat immédiatement que les valenr* de cet inconnaet
«ont«=:^! ^^^^, etc., comme le calcal le( avait données, {foy. p. 82.)

Benedicti» construit géométriquement, comme ou fait aujourd'hui, la racine poaitiTe de l'équation xi-t-4i.r:=i>.
Il est vrai qu'il ne propose pas pécisément cette équation elle-même ; mais elle exprime immédiatement la
question qu'il résout , et qui est celle-ci : Etant données deux droites », b , on demande d'en trouver une
troisième x telle que l'on ait (x-i-a) x=:b^. {V. p. 368.) C'est peut-être le premier exemple de la construction
géométrique d'une équation du second degré. Car les problèmes qu'Euclide a résolus (propositions 28 et 20 du
sixième livre des ÉUmeus , et 84 , 85 , 80 et 87 des Données ) , bien que , traduits en algèbre , ils conduisent
finalement à une équation du second degré, différaient essentiellement, par leur énoncé géométrique, d'une
question algébrique.

Les ouvrages de Cardan et de Tartalea , infiniment supérieurs è celui de J. B. Benedictis, font aussi constam-
ment usage de l'algèbre en Géométrie et de la Géométrie en algèbre Les principes d'une alliance intime entre
ces deux sciences sont exprimés trop formellement, et les exemples en sont trop nombreux pour que nous
ayons besoin d'insister sur cet objet.

Outre la partie algébrique des ouvrages de Tartalea, qui est la sixième partie de son Traité général des nom-
bres et des mesures, ce géomètre avait composé un traité d'algèbre sous le titre à'Algebra nova, qui ne nous
est pas parvenu, et dont la perte est bien regrettable. Dans la cinquième partie du Traité général (f" 88 v),
Tartalea donne la solution d'une question de maximum , dont la démonstration devait se trouver dans cet
ouvrage d'algèbre. Cette question est remarquable pour le temps ; il s'agit de diviser le nombre 8 en 2 parties,
telles que leur produit multiplié par leur différence, soit un maximum. La solution de Tartalea est générale,
et telle que la donnent les régies du calcul infinitésimal actuel. Prenez, dit-il , le carr^ de S, ajoutez-y le tiers
de ce carré, et prenez la racine carrée de la somme , ce sera la différence des deux nombres cherchés. Ce choix
de l'inconnue , la différence des deux parties du nombre proposé , est très-heureux et annonce une profonde
connaissance des pratiques de la science.

542 NOTES.

époque, l'une des plus mémorables de l'histoire de la science. Mais on conçoit que de la
sorte la Géométrie avait perdu cette pureté de forme, et ce caractère de généralité et
d'abstraction auxquels s'étaient tant attachés les Anciens, et qui paraissaient être l'apanage
de cette science ; et si , sous un rapport , il y avait avantages réels , sous un autre , il y avait
inconvéniens graves, provenant, d'une part, de ce que l'esprit, en opérant sur des
nombres , perdait de vue les objets qu'ils représentaient , et ensuite , de ce que , en effec-
tuant au fur et à mesure les calculs , on détruisait la trace et le fil du raisonnement. Aussi
les démonstrations géométriques sont-elles d'une lecture très-pénible dans les ouvrages
du XVI" siècle.

La Géométrie des Grecs avait donc subi une véritable altération, mais altération très-
heureuse , puisque c'est dans cet état que Viète a dû la prendre, pour lui appliquer
sa grande conception de l'algèbre littérale, et lui rendre ainsi toute sa pureté et son
abstraction primitives, en conservant néanmoins tous les avantages que la science du
calcul pouvait lui apporter. Mais il est fort remarquable qu'il ait fallu, pour arriver à ce
grand résultat, à ce perfectionnement de la Géométrie des Grecs , passer par un état d'al-
tération, qui faisait perdre à cette science son caractère d'abstraction et de généralité,
et qui la faisait descendre au rang des opérations concrètes et numériques.

Ces considérations peuvent nous faire regarder les XV® et XVI' siècles, comme mar-
quant dans l'histoire de la Géométrie une époque de préparations et de transition , où
s'est élaborée la nouvelle forme qu'ont prise les sciences mathématiques; et nous devons
ajouter que les Indiens et les Arabes ont une grande part dans cette transformation
et ce perfectionnement, puisque le germe s'en trouvait dans leur principe d'application
de l'algèbre à la Géométrie, et qu'ils l'ont développé eux-mêmes par leurs travaux d'un
grand nombre de siècles.

TIN DES NOTES.

^l^^lVv^A^^^v^^lvv^^^^^\^^^^A^Alvv^AlVv^vv/vvv^^^l\^^;vv\^lvv^A^/vvv^

ADDITIONS.

Page 23.

Héron d'Alexandrie, disciple du célèbre mécanicien Ctésibius, et célèbre lui-même par
son Traité des Pneumatiques, et par diverses autres inventions mécaniques pour lesquelles
il est cité dans le huitième livre des Collections de Pappus , excella aussi dans la Géométrie.
Eutocius nous a conservé sa solution du problème des deux moyennes proportionnelles , et a
emprunté d'un de ses ouvrages , vepl fierpixôy la règle arithmétique pour l'extraction de la racine
carrée d'un nombre. Proclus le cite comme auteur de nouvelles démonstrations de diverses pro-
positions des élémens , où il n'admettait que trois seulement des axiomes d'Euclide ' ; et Grégoire
de Nazianzc (ann. 328-389) le met au rang des grands géomètres de l'antiquité. (Oratio 10.)

Les ouvrages de Héron étaient nombreux, mais la plupart ne nous sont pas parvenus, ou
sont restés inédits. De ceux qui concernaient spécialement la Géométrie il n'en est que deux qui
aient été traduits et mis au jour. Le premier, dont les historiens des mathématiques , je ne sais
pourquoi , n'ont point parlé, est dâ à Dasypodius. Il a pour titre : Nomenclatura tocabulorum
geometricorum -, C'est une suite de définitions des différentes matières qui font l'objet de la
Géométrie. Ces définitions sont accompagnées de commentaires et de développemens présenté»
avec clarté '.

Dans sa préface , Dasypodius annonçait qu'il possédait plusieurs autres ouvrages de Héron ,
qu'il se proposait de faire connaître. L'un d'eux, qu'il appelait AcTT/j/xa, est le second des
deux ouvrages géométriques de Héron qui nous sont parvenus. Mais celui-ci ne nous est connu
que depuis quelques années. Nous en sommes redevables au savant professeur de Bologne
J.-B. Venturi, qui l'a traduit en italien, sous le titre : // Traguardo (Le Niveau), répondant

■ Commentarius tn Euclidem , liber tertiut.

' Euclidis Elementorum liberprimus. Item Iferonis Alexendrinivocabula quœdam Geometria anted nvnguam
«dita, yrœcà et latine ; per Cunradum Dasypodium. Argentinae, lS7I,in-8o. — Oratio C. Dasypodii de Disciplinis
mathematicis Ejuadem Uironis Alexandrini Nomenclaturœ vacabulorum geometricorum translatio, Ejutdem
Lesicon mathamaticum , ex diversis collectum antiquis tcriptis. Argent., 1579, in-8o.

' Fabriciut {Bill, grœca , lib. 3, cap. 24), et Heilbronner [Uist. Matheseos , p. 398) , attribuent cet onvrage à
Héron le jeune qui a vécu à Conttaiitinople , au VU» siècle de notre ère. Bernardin Baldi l'avait mii , comme
Datypodiu» , au nombre dei ouTragea de Héron l'ancien, foir Cronica de matemaiici, p. SA.

544 ADDITIONS.

au titre du texte grec , rsp} MoTrpx; , et l'a mis au jour dans ses commentaires sur l'histoire
et la théorie de l'optique '. Cet ouvrage est un traité de géodésie dans lequel se trouvent résolues
graphiquement sur le terrain , à l'aide de l'instrument appelé la dioptre par les Anciens , une
foule de questions de géométrie pratique.

Ce traité est digne du nom de Héron; il est un monument précieux de la Géométrie des Grecs ,
et doit prendre place à la suite des ouvrages d'Euclide , d'Archimède et d'Apollonius. 11 rem-
plit une lacune qui existait dans les écrits qui nous sont parvenus de l'antiquité. Car les Anciens
ayant toujours distingué sous le nom de géodésie , la Géométrie pratique de la Géométrie pro-
prement dite 2, ils ont dû écrire particulièrement sur cette géodésie; et cependant il ne nous
était rien venu de l'école d'Alexandrie , sur cette branche de la Géométrie.

Nous connaissions seulement le traité de géodésie de Héron le jeune, postérieur de près de
huit siècles à Héron l'ancien. Mais cet ouvrage, qui se réduit aux opérations les plus simples,
dépourvues de démonstrations , n'était pas digne de figurer à côté des ouvrages géométriques
des Grecs. La proposition la plus importante qu'on y remarquât était la formule qui donne l'aire
du triangle en fonction des trois côtés. C'était le seul ouvrage grec où l'on trouvât cette formule ,
si répandue en Europe dès le commencement du treizième siècle , et qui paraissait d'origine
arabe. Mais elle se trouve aussi dans le traité de Héron l'ancien , oîi elle est démontrée par une
construction géométrique très-élégante. C'est là probablement que Héron le jeune l'a prise, car
il cite souvent les ouvrages de son homonyme et ceux d'Archimède , et de plus il se sert dans
l'application numérique qu'il fait de la formule , des trois nombres 13 , 1-4 et 15 pour côtés du
triangle , qui sont ceux précisément de Héron l'ancien.

Ces trois nombres , et la formule en question , se rencontrent aussi dans la Géométrie des
Indiens et dans celle des Arabes , et même chez les Latins , ainsi que nous l'avons dit en parlant
des ouvrages de Brahmegupta.

Le traité de géodésie de Héron l'ancien étant encore à peine connu , nous allons énoncer plu-
sieurs des questions qui s'y trouvent résolues au moyen de l'instrument qu'il appelle la dioptre.
Elles font connaître ce qui constituait la géodésie , ou Géométrie pratique chez les Grecs ; et
elles sont de nature à faire regretter que le texte original de l'ouvrage de Héron , et d'autres
versions que celle de M. Venturi, n'aient pas encore été publiés '.

■ Commentari sopra la storia e le teorie deWottica, Bologna , 1814 , in-4».

Cet ouvrage se compose des quatre parties suivantes :

1» Considerazioni sopra varie parti dell'ottica pressa di antichi ;

Z° Erone il meccanico del traguardo tradotio dal greco ed illustrato con note ;

3" Dell'iride , degli aloni e dé paregli ;

41" Appendice intorno alVottica di Tolommeo,

2 Si enim in hoc differret solum Geometria à Geodœsia , quod hœc quidem eorum est quœ sentimus , illa vero
non sensihilium est. (Aristote , lir. 2 de la Métaphysique , chap. 11.)

^ H. Venturi cite trois bibliothèques qui possèdent le traité de Héron ; ce sont la bibliothèque royale de Paris,
celle de Strasbourg et celle de Vienne ; dans celle-ci l'exemplaire est incomplet ; il est le seul dont les biblio-
graphes aient fait mention; on l'a pris, d'après Lambecius, pour un traité de Dioptrique. — {Voir Fabricius ,
Bih. grœca, lib. 3, c.24; — Hcilbronner, JTist. math. p. 283.)

M. Venturi a fait sa traduction sur une copie de l'exemplaire de la bibliothèque royale , coUationné sur
celui de Strasbourg. Ce dernier est probablement l'exemplaire qui a été en la possession de Dasypodius Que
sont devenus les autres ouvrages de Héron que ce géomètre possédait aussi ?

Conrad Gesner dit, dans sa Bihliotheca universalis {sive catalogua omnium scriptorum locupletissimus in
tribus linguis laiina, grœca et helraica, Tiguri, 1545, fol.) que le célèbre Diego Hurtardo de Mendoza,

'ff'

ADDITIONS. 545

1° Mesurer la différence de hauteur de deux points invisibles l'un de l'autre.

2* Tirer une ligne droite entre deux points invisibles l'un de l'autre.

8" Trouver la distance du lieu oij l'on est, à un point éloigné duquel on ne peut approcher.

4" Mesurer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.

K° Mesurer la distance qui sépare deux points éloignés.

6° Mener, par un point donné , une perpendiculaire sur une droite dont on ne peut approcher.

7° Mesurer la hauteur d'un point inaccessible.

8° Mesurer la différence de hauteur de deux points inaccessibles.

9° Mesurer la profondeur d'un trou.
10° Traverser une montagne en suivant une ligne droite qui joigne deux points donnés des
deux cdtcs de la montagne.

1 1" Creuser un puits sur une montagne , de manière qu'il aboutisse à une excavation souter-
raine déterminée.

12° Tracer le contour d'un rivage.

18° Donner au terrain la forme d'un segment de sphère déterminé.

14° Donner au terrain une pente déterminée.

1S° Mesurer un champ sans entrer dedans.

16° Le diviser en parties données par des droites partant d'un même point.

17° Diviser dans une raison donnée un triangle et un trapèze.

Page 45.

La première proposition du livre IV des collections mathématiques de Pappus est une pro-
priété générale des triangles , que l'auteur présente comme une généralisation du théorème du
carré de l'hypothénuse dans les triangles rectangles. On n'a pas encore remarqué que cette
proposition est précisément, sous une autre forme, la propriété des parallélogrammes sur
laquelle repose en mécanique la théorie des momens; laquelle propriété n'a été découverte
qu'au commencement du siècle dernier par Varignon qui l'a présentée aussi comme « quelque
chose de semblable à la proposition 47 du I" livre des Élémcns d'Euclide (celle du carré de l'hy-
pothénuse) , » et l'a énoncée ainsi :

5» sur deux côlés contigus d'un parallélogramme, et sur la diagonale issue du même sommet
qu'eux, on construit trois triangles ayant un sommet commun situé en un point quelconque du
plan de la figure, la somme ou la différence des deux premiers triangles sera égale au troisième
triangle. (Voir les Mémoires de l'académie des Sciences de Paris, année 1719.)

Déjà, long-temps auparavant, Varignon avait démontré, et avait employé en mécanique un
théorème sur le parallélogramme , très-connu dans la Géométrie moderne , et qui n'est au fond
que ce premier, sous un énonce très-différent , savoir que : Si deux côtés contigus d'un parallé-
logramme et la diagonale issue de leur sommet commun, sont projetés sur une droite quelconque,
la projection de la diagonale sera égale à la somme ou à la différence des projections des deux côtés.,
(Voir Projet dC une nouvelle Mécanique, in-4° , 1687, pag. 189.)

i qui l'Europe fut redevable d'nn grand nombre de mnnnacrit* greca , en avait plnaieuri de Héron (r^tr
fol. 319 verte). Ceux-ci le trouvent aani doute dan» la bibliothèque de l'Etcurial, où eat entrée la précieuse
collection de Hendoxa.

ToM. XI. 69

546 ADDITIONS.

Page SS. § 3.

Au nombre des géomètres qui , à l'imitation de Viète , ont fait des transformations de triangles
sphériques , il faut placer Albert Girard qui a fait aussi usage du triangle réciproque , dans sa
trigonométrie, imprimée en 1626, un an avant celle de Snellius; mais ce géomètre a compris
sous ce mot les quatre triangles différens formés par les arcs de cercle qui ont pour pôles les
trois sommets du triangle proposé ; de sorte qu'il regarde comme réciproques d'un triangle donné,
le triangle de Viète et celui de Snellius.

Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard , qui est à la suite d'une table des sinus , tangentes
et sécantes, est très-succinct, et néanmoins contient plusieurs clioses intéressantes. Dans la
préface on voit qu£ l'auteur s'était occupé de V Analyse géométrique des Anciens, et avait rétabli
leurs traités dont les titres nous ont été transrais par Pappus ; il dit , à ce sujet , qu'après ce petit
Traité de Trigonométrie , « qu'il donne comme échantillon , il mettra au jour quelque chose de
plus grand. »

Page 68. § 14.

Fermât avait écrit sur les Lieux à la surface.

Mersenne nous l'apprend en ces termes : Omitto locos ad superficiem, cujus isagogem vir
idem Cl. (Fermatius) amicis communem fecit, et alia quœ titinam ah eo tantitm impetremus.
(Voir Vniversœ Geometriœ mixtœque mathematicœ synopsis, in-4°, 16-4-i, p. 388).

Page 81, § 27.

Nous avons dit que Desargues avait proposé la question de couper un cône à base elliptique ,
hyperbolique ou parabolique , suivant un cercle , et que Descartes en avait donné une solution
fondée sur les principes de sa Géométrie analytique. Nous aurions dû ajouter que Desargues
avait résolu aussi ce problème, par une construction graphique '. Ce que nous voyons dans la
préface de la Synopsis universœ Geometriœ du P. Mersenne. Desargues réduisait ce problème à
la recherche de l'axe principal du cône, c'est-à-dire de celui qui jouit de la propriété qu'un
plan qui lui est perpendiculaire coupe le cône suivant une ellipse qui a son centre sur cet axe.
Il construisait cet axe en employant deux lignes dont il déterminait autant de points qu'il
voulait. Mersenne ne dit pas quelles étaient ces lignes : c'étaient probablement des sections
coniques.

Après avoir déterminé les sections circulaires du cône , Desargues s'en servait pour résoudre
différens autres problèmes , tels que de couper le cône suivant une conique semblable à une co-
nique donnée , ou qui satisfasse à la condition que le plus grand angle que fassent deux diamè-
tres conjugués soit de grandeur donnée.

' Archimède a résolu ce problème pour le cas où le sommet du cône est dans le plan mené par l'un de»
diamètre» principaux de la conique perpendiculairement à son plan; ce qu'on voit par le» proposition» 8 et 9
du livre des Sphéroïdes et des Conoïdes,

Ce» propositions montrent aussi qu' Archimède avait déjà , avant Apollonius , considéré le cône oblique à
base circulaire ; mais néanmoins c'est Apollonius qui , le premier, a étudié la théorie des coniques dans le cône
oblique.

*

ADDITIONS. 547

Desarfjucs résolvait encore ce problème , le plu» général , dit Mersenne , qu'on puisse se pro-
poser sur celle matière :

Étant donnés un cône à base elliptique, parabolique, ou hyperbolique , et un plan sécant,
déterminer, sans construire la courbe d'intersection du cène par ce plan , ses diamètres conjugés
faisant entre eux un angle de grandeur donnée, ses tangentes, ses ordonnées, ses paramètres,
et les autres principales lignes de cette courbe.

Desargues fait lui-m^me mention d'un problème de celte nature, à la fin de son livret sur la
perspective, compris dans le Traité de Perspective, arrangé par Bosse (in-S», 1648 ; roir
p. M4) ; où il s'exprime ainsi :

Ayant à pourtraire une coupe de cône plate , y mener deux lignes dont les apparences soient les
essieux de la figure qui la représente.

C'est-à-dire ; une conique étant mise en perspective , trouver sur son plan les deux droites
qui seront , en perspective , les deux axes principaux de la perspective de la conique.

Enfin nous voyons encore dans la préface de la Synopsie de Mersenne , que Desargues avait
composé un traité complet sur l'angle solide où il résolvait ces quatre problèmes :

1° Étant donnés les trois angles plans , trouver les trois angles dièdres;

2° Étant donnés deux angles plans et un angle dièdre, trouver l'autre angle plan et les deuj
autres angles dièdres;

8' Étant donnés un angle plan avec deux angles dièdres, trouver les deux autres angles plans,
et le troisième angle dièdre;

4° Enfin , étant donnés les trois angles dièdres , trouver les trois angles plans.

Mersenne ajoute que Desargues formait un second angle Irièdre , dans lequel les angles plans
étaient les supplémens des angles dièdres du premier, et réciproquement. Ce qui réduisait les
quatre problèmes à deux.

C'est, comme on voit, l'angle trièdre supplémentaire, qui répond au triangle supplémentaire
de la trigonométrie spbérique que Snellius avait imaginé quelques années auparavant , dans
sou Traité de Trigonométrie. Et quant aux problèmes , ils constituent une solution graphique
de la trigonométrie spbérique. C'est ce qu'on a appelé depuis la solution de la pyramide trian-
gulaire. Ils forment aujourd'hui un chapitre des Traités de Géométrie descriptive et sont d'un
fréquent usage dans les applications de celle science, principalement à la coupe des pierres.
(Voir le Traité de Géométrie descriptive, de M. Hachette, et le 8' cahier du 1" volume de la
Correspondance polytechnique.)

Pagi 83. ^28.

M. Poncelet a donné, comme correspondant, dans la Géométrie à trois dimensions, au
théorème de Géométrie plane de Desargues , le suivant : Quand deux tétraèdres ont leurs sommets
placés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point, les plans de leurs faces se
coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont dans un même plan. {Traité des Propriitè»
projectires, art. 582.) Ce théorème peut être généralisé de cette manière :

Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites qui sont les gé-
nératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe, leurs faces se coupent
deux à deux suivant quatre autres droites qui sont les génératrices d'un second hyperboloïde.

5^. ADDITIONS.

Page 95.

On trouve dans les lettres de Descaries de nombreux passages relatifs à la Géométrie. Son
volume d'Opuscula posthuma (Amst. 1701 , in-i°) , contient aussi quelques morceaux de Géo-
métrie. Il est à regretter que l'on n'ait pas encore songé à réunir tous ces passages épars , et à les
comprendre dans une des nombreuses éditions que l'on a faites de la Géométrie de Descartes.

Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres, une méthode particulière, que ce cé-
lèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et «es illustres
contemporains Fermât , Robcrval et Pascal ; le problème de la tangente à la cycloide. Cette
méthode, qui a eu alors une grande célébrité, était d'une simplicité extrême, et convenait aux
cycloïdes accourcies et allongées , comme l'a très-bien vu Descartes , et même à toutes sortes de
roulettes, décrites par un point du plan d'une courbe quelconque qui roule sur une autre courbe
flxe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinité de côtés.
Ces polygones sont en contact suivant un côté commun , et conséquemment ont à chaque instant
deux sommets communs ; pendant un mouvement infiniment petit le premier polygone tourne
autour d'un de ces deux sommets qui reste fixe ; le point décrivant engendre donc un arc de
cercle qui a son centre en ce sommet fixe ; la normale à cet arc de cercle , qui est un élément
de la roulette décrite , passe donc par ce sommet.

Cette méthode , qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les
tangentes, est d'une simplicité extrême, et a toujours été employée depuis. Mais, à raison
sans doute de cette simplicité même , elle n'a point attiré autant l'attention des géomètres qui
n'en ont fait usage que dans la même question , en se bornant seulement à l'étendre aux épicy-
cloïdes sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de distinctif et de spécial par rap-
port aux autres solutions du problème des tangentes , il était naturel de chercher si le principe
sur lequel elle reposait n'était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait appli-
cable à d'autres questions.

Le théorème suivant nous paraît offrir la généralisation de celui de Descartes :

Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment petit dans son plan, il existe tou-
jours un point qui, pendant ce mouvement , reste fixe;

Les droites menées par les différens points de la figure, perpendiculairement aux trajectoire
qu'ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe.

D'après ce théorème , quand une courbe est décrite par un point d'une figure en mouvement
dans son plan , il suffira , pour mener sa normale par le point décrivant , de déterminer le point
qui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position qu'on consi-
dère. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure.

Par exemple , si l'on connaît le mouvement de deux points de la figure , on mènera par ces
points les normales aux courbes qu'ils parcourent, le point d'intersection de ces deux normales
sera le point cherché.

Ainsi , qu'une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités par-
courent deux droites fixes, on sait que chaque point de la droite, et même que chaque point
pris au dehors de la droite , mais fixé invariablement à elle, décrit une ellipse. Pour déterminer
la normale à cette courbe, on mènera les normales aux deux droites fixes par les extrémités de
la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par où passera la normale
cherchée.

ADDITIONS. 549

Le mouvement de la figure mobile peut être rëglc par diverses autres conditions qui permet-
traient encore de déterminer très-aiscmcnt le point en question.

Soit, par exemple, la conchoïdc de Nicomëde décrite par un point d'une droite dont l'extré-
mité parcourt une droite fixe , pendant que cette droite mobile glisse sur un point fixe. Consi-
dérant la droite mobile dans une de ses positions, par le point fixe on lui mènera une
perpendiculaire , et par son extrémité on mènera une droite perpendiculaire à la droite fixe ;
le point de concours de ces deux perpendiculaires sera le point cherché par lequel passera la
normale 5 la conchoïdc.

Nous ne passerons point en revue ici toutes les autres conditions diverses du mouvement de
la figure mobile pour lesquelles on saura déterminer le point en question , ni toutes les courbes
auxquelles il sera facile par ce moyen de mener les tangentes.

Ce qui précède suffit pour faire voir que le théorème que nous avons énoncé est une généra-
lisation de l'idée de Descartes au sujet de la tangente à la cycloïde , et qu'il constitue une véri-
table méthode des tangentes , méthode diflcrente de toutes les autres , et même de celle de
Roberval , quoiqu'elle repose comme celle-ci sur des considérations de mouvement. Mais on
conçoit que cette méthode , si facile , sera aussi comme celle de Roberval , bornée dans ses ap-
plications , puisqu'elle suppose qu'on connaît les conditions géométriques du mouvement d'une
figure de forme invariable , à laquelle appartient le point décrivant. Cependant elle s'applique
h un grand nombre de courbes particulières et à des familles entières de courbes.

Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie ; il peut être utile
aussi en mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des
difTcrens points de la figure mobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points
2t celui qui , pendant l'instant où l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suflit donc,
ce point étant déterminé , de connaître la force vive d'un autre point quelconque de la figure.
M. Poncclct nous a appris qu'il avait fait un tel usage de ce théorème dans plusieurs questions
sur les machines , où l'on n'avait point jusqu'ici de métliode géométrique pour le calcul des
forces vives.

En énonçant le théorème en question , il y a quelques années (voir Bulletin Universel de%
Science», t. XIV) , nous l'avons présenté comme un cas particulier d'un théorème sur le dépla-
cement fini quelconque d'une figure plane dans son plan, et même d'un théorème encore plus
général relatif à deux figures semblables , situées d'une manière quelconque danS un plan. Mais
ces théorèmes dépendent eux-mêmes d'un principe encore plus général , que voici :

Si l'on conçoit dans un plan deux figures qui ont été primilicement la perspective l'une de
l'autre, et qui se trouvent actuellement placées d'une manière quelconque l'une par rapport
à l'autre;

Chaque point de l'une des figures aura son homologue dans l'autre figure;

Il existera généralement trois points dans l'une des figures qui se trouveront superposés respec-
tivement sur leurs homologues dans la seconde figure ;

L'un de ces trois points sera toujours réel; les deux, autres pourront être imaginaires.

Il résulte de là qu'il y a aussi trois droites dans l'une des figures , qui se trouvent superjK)- •
sées sur leurs homologues dans la seconde figure; ce sont les droites qui joignent deux à deux
les trois points.

L'une de ces riroitrs est toujours réelle , et les deux autres peuvent être imaginaires.

Quand les deux figures sont semblables, ce qui est un cas particulier de la perspective.

«

550 ADDITIONS.

deux des trois points , et deux des trois droites sont toujours imaginaires ; le troisième point
est réel ; la troisième droite est aussi réelle ; mais elle se trouve située à l'infini.

Cela a lieu pareillement quand les deux figures sont égales entre elles.

Ces propriétés des figures planes ont leurs analogues dans les figures à trois dimensions, pour
lesquelles j'ai déjà énoncé quelques théorèmes qui se rapportent à cette théorie. ( Voir Bulletin
Universel des Sciences, t. XIV, p. 321 , année 1880.)

Page 98. § 4.

Les Arabes se sont occupés aussi de la description organique des courbes , et particulièrement
des sections coniques. Nous le voyons par le titre des trois ouvrages suivans qui se trouvent
dans la bibliothèque de Leyde :

1° Ahmed hen Ghalil Sugiureus De conicarum sectionum descriptione ;

2° Abu Schel Cutnœus De circino perfecto , quo etiam sectiones conicœ et aliœ lineœ curvœ
describi possunt ;

â° Mah. ben Husein De circino perfecto et formatione linearum. (Voir Catalogus Hbroriim
tam impressorunt quam manuscriptorum bibliothecœ publicœ universitatis Lugduno Batavœ, in-
folio, 1716, p. 4S4et45S.)

Page 119.

Parmi les pratiques nouvelles que contenait la Gnomonique de De la Hire , il en est une que
nous aurions dû citer , parce qu'elle repose sur des considérations géométriques qui rentrent
dans les doctrines de la Géométrie moderne.

Il s'agit de la construction des lignes horaires , en se servîint de quelques-unes d'entre elles ,
qui sont déjà tracées. De la Hire résout trois questions :

Dans la première il suppose connues sept lignes horaires consécutives ;

Dans la seconde , -4 heures consécutives et l'équinoxiale ;

Et dans la troisième, 3 heures consécutives , l'équinoxiale et l'horizontale.

Et il détermine les autres lignes horaires.

Soient connues , dans le premier cas , les sept lignes des heures consécutives X , XI , XII ,
I , Il , III et IV. Voici quelle est la construction de l'auteur pour déterminer les cinq autres :

Par un point 0 de la ligne IV, on mène une transversale parallèle à la ligne X ; elle rencontre
les lignes III, II, I, XII et XI en des points a, h, c, d, e; on porte sur cette transversale, de
l'autre côté du point o, des segmens oa', ob', oc', od' , oe' égaux respectivement à oa, ob, oc, od, oe;
et les points a' , b' , c', d' , e' appartiennent aux cinq heures cherchées.

En eflfet , les deux plans horaires X et IV sont à angle droit ; les deux plans horaires III et V
sont inclinés également sur le plan IV, et conséquemment ces deux plans sont conjugués har-
moniques par rapport aux deux premiers X et IV. Il suit de là que les deux lignes horaires III
et V sont conjugées harmoniques par rapport aux deux lignes horaires X et IV : donc toute
transversale rencontrera ces quatre lignes en quatre points harmoniques ; et conséquemment ,
si cette transversale est parallèle à la ligne X , les deux points où elle rencontrera les lignes III
et V seront à égale distance de celui où elle rencontrera la ligne IV. C. Q. F. P. '.

' Cette démonstration géométrique , que nous empruntons de l'ouvrage de De la Hire , est aussi rigoureuse

ADDlTlOiNS. 531

Nous ne rapporterons pas les pratiques de De la Hire pour les deux autres questions ; elles
sont aussi simples que la première , et reposent aussi sur les principes de la Géométrie élémen-
taire qui rentrent dans la théorie des transversales.

Mais ces trois problèmes donnent naturellement lieu à une observation que je m'étonne qu'on
n'ait pas faite dans les ouvrages qui les ont reproduits. Cette observation porte sur le grand
nombre de données que prend De la Hire pour construire les lignes horaires inconnues. Dans
le 1" cas il en prend sept, dans le 2° quatre, plus la ligne équinoxialc ; et dans le 3° trois,
plus la ligne équinoxialc et la ligne horizontale; ajoutez à cela que les lignes données doivent
être consécutives.

Est-il besoin de toutes ces données? Et quel est le plus petit nombre de lignes horaires qui
soit suffisant pour construire les autres?

La réponse à ces questions , c'est que trois lignes horaires quelconques suffisent pour déter-
miner toutes les autres , dont on peut donner une construction tout aussi simple que celle de
De la Hire pour le cas de sept lignes horaires consécutives connues.

Voici quelle sera cette construction , qui va nous offrir une nouvelle application de la Théorie
du rapport anharmonique , sur laquelle nous avons déjà cherché dans plusieurs passages de cet
ouvrage à appeler l'attention des géomètres.

Désignons par a, b, c les trois lignes données , qui répondent à des heures déterminées , mais
quelconques , et qui seront même des fractions d'heure , si l'on veut. Soit d la ligne d'une
4° heure quelconque, qu'on veut construire au moyen des trois premières. Le rapport anhar-
monique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre plans horaires dont elles sont les
traces sur le plan du cadran. Ainsi soient A, B, C, D ces quatre plans, on aura

sin. c,a sin. da sin. C,A sin. D,A

sin. c,b * sin. dj) sin. C,B ' sin. D,B

que brière ; cependant H. Delambre ne la regarde pas comme bien >atiifaiiante ; et comme la pratique en
qaettion lui parait utile et curieu>e , et mérite une démonstratioH en forme, il <e propose de la démontrer de la
manière la plus générale et la plus rigoureuse. [Ilist. de l'astronomie au moyen âye, p. 634.) Kais nous devons
le dire , la démonstration de H. Delambre occupe près de deux pages de calculs , et assurément n'est pas plus
rigoureuse que le court raisonnement de De la Hire.

Nous ne faisons point cette observation dans un esprit de critique; le nom et les travaux de H. Delambre, son
dévouement à la science et les recherches fastidieuses et pénibles auxquelles il s'est livré pour écrire son
histoire de Tastronomie , ne trouvent en nous que respect et admiration. Mais notre remarque rentre essen-
tiellement dans l'esprit qui a présidé i la composition de notre ouvrage ; parce qu'elle présente , d'une part,
un exemple palpable des avantages que peut offrir souvent la voie géométrique ou du simple raisonnement ,
sur celle du calcul ; et qu'elle montre ensuite cette direction qu'ont prise les éludes mathématiques , où l'on
ne trouve plus de preuves claires et convaincantes de la vérité en Géométrie, et de démonstration en forme ,
que dans une vérification par le calcul algébrique. Cette direction nouvelle est l'inverse de ce qui s'est fait
dans tous les temps : chci les Grecs, où la Géométrie fut renommée pour la rigueur de ses démonstrations; chei
les Hindous et les Arabes qui se rendaient compte des résultats de l'algèbre, par une démonstration géomé-
trique ; chet les Modernes , jusqu'au siècle dernier où Newton et Maclaurin n'employaient le calcul qu'à regret
et au point où il devenait indispensable.

Quelle est la cause de cette direction exclusive dans les études mathématiques? Quelle sera son influence
sur le caractère et les progrès de la science? Kous n'essaierons pas de répondre à ces questions, sur les-
quelles on serait peut-être difficilement d'accord. Mais quelles que soient les opinions à leur égard, on ne
disconviendra pas du moins , qu'il serait utile que la méthode ancienne, suivie jusqu'au siècle dernier, con-
tinuât d'être encouragée et cultivée concurremment avec la nouvelle.

552 ADDITIONS.

Les angles que font entre eux les quatre plans A , B , C , D sont connus , puisque ces plans cor-
respondent à quatre heures déterminées ; le second nombre est donc une quantité connue m.

On voit donc déjà que notre équation servira à déterminer la direction de la ligne d, et
qu'ainsi elle résout la question.

Pour en déduire une construction facile , menons arbitrairement une transversale qui ren-
contrera les trois lignes o, b, c en des points a , S, y et appelons J'ie point où elle rencontrera
la ligne cherchée d. Le rapport anharmonique des quatre points a, S, y, & sera le même que
celui des quatre droites a , b , c, d; l'équation précédente se transformera donc en celle-ci :

ya êx. ^ cfsc 1 ya,
— : — = n ; d'où — = — .

rc de se n ye

Le second membre est connu ; cette équation fera donc connaître la position du point cf qui
appartient à la ligne cherchée.

Cette solution devient d'une facilité extrême, si l'on mène la transversale parallèle à l'une
des deux lignes o, i, à la première, par exemple, car alors on a — = 1 , et l'équation se
réduit à

j-é' = n . yf .

Le segment yS est connu , donc le segment iS l'est aussi ; le point if et , par conséquent , la
droite d sont donc déterminés. Ainsi le problème est résolu. Et cette construction générale , qui
ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques , et qui sert pour en déterminer une
quatrième aussi quelconque, est, comme nous l'avons annonce, tout aussi simple que celle de
De la Hire qui nécessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois.

Quant à la quantité «, qui n'est pas donnée directement, mais qui dépend des angles que
les quatre plans horaires A , B , C , D font entre eux , il est facile d'en calculer la valeur graphi-
quement, sans faire usage des lignes trigonométriques qui entrent dans son expression. Pour
cela, on mènera par un point 0 quatre droites OA', OB', OC, OD' faisant entre elles, deux à
deux , des angles égaux à ceux des plans horaires ; on tirera une transversale quelconque , qui
rencontrera ces droites en quatre points a , C, y' , J'; le rapport anharmonique de ces quatre
points sera égal à celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura

y'a ê' a'

y'c ' ye' ~

Telle est la valeur de ». On simplifie son expression, en menant la transversale parallèle-
ment à l'une des quatre droites OA', OB', OC, 01)', à la première, par exemple, car on a

alors '-rr-r=^ 1 . et il vient

ADDITIONS. 553

Pasi 161 , § 17.

La considération de» épicycloïdes remonte très-haut , puisqu'elles ont joué un grand Tôle
dans le système astronomique de Plolémce. Mais il ne parait pas que l'on ait jamais étudie géo-
métriquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre
des lignes courbes qu'il a appris à décrire par points et dont l'usage pouvait être utile dans les
arts de construction ; mais il n'en a point étudie non plus aucune propriété.

La première épicycloïde dont la nature ait clé connue est due à Cardan ; c'est celle que décrit
un point de la circonférence d'un cercle qui roule sur la concavité d'un cercle d'un rayon
double. Cette ligne est, comme on sait, une droite. Cardan a démontré cette proposition dans
son livre intitulé : Opui novum de proportionibus numerorutn, tnotuum, etc. [Foir Proposi-
tion 173, p. 186).

Ensuite Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un
cercle sur lequel tombent des rayons parallèles est une épicycloïde engendrée par un point de la
circonférence d'un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé ; ce cercle mobile ayant
«on diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci. Huygens a donné la rectification et la qua-
drature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière , chap. VI).

Vers le même temps. Delà Hire a trouvé que la caustique de Tschirnhausen , formée par la
réflexion dans un cercle éclairé par des rayons parallèles est aussi une épicycloïde ,■ qu'on en-
gendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d'un autre cercle d'un
diamètre double de celui du cercle fixe.

Cette courbe est précisément la développée de celle de Huygens.

Ce sont là, je crois , les premières épicycloïdes dont on ait connu quelques propriétés géomé-
triques. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions Ae. physique et
de mécanique oii elles ont joué un riAc remarquable.

Page 218.

Clairaut a considéré avant Euler les courbes que celui-ci appelle lineœ affines; il les regarde
comme étant la projection l'une de l'autre, c'est-à-dire comme deux sections planes d'un même
cylindre ; et il les appelle courbes de même espèce, 11 fait voir que les coordonnées d'un point
de l'une rapportées à deux axes pris dans son plan , étant x et y, les coordonnées du point cor-
respondant dans la seconde courbe , rapportées aux deux axes qui correspondent dans le plan
de cette courbe aux deux premiers axes, sont de la forme X = X3r, Y=^y. Ce qui montre
que ces courbes de Clairaut sont les mêmes que celles d'Euler. (Voir Mémoires de l'Académie des
Sciences de Paris, année 1731.)

Page 265.

Un caractère propre des principes de dualité et d'homographie tels que nous les exposerons,
et qui repose sur l'usage que nous y faisons du rapport anharmonique , c'est que, par la nature
même de ce rapport, tous les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes,
presque toujours, aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un

ToM. XI. 70

534 ADDITIONS.

moyen facile et naturel de transporter aux figures sphériques toutes les propriétés des figures
planes, et de généraliser même les propriétés déjà connues des figures sphériques.

Le principe de dualité, par exemple, fera voir qu'une première figure étant tracée sur la
sphère, outre la figure supplémentaire , la seule connue jusqu'ici comme jouissant de la pro-
priété que , aux points et aux arcs de grands cercles de la figure proposée , correspondent , dans
cette figure supplémentaire , des arcs de grands cercles et des points , respectivement ; outre cette
figure supplémentaire , dis-je, on en pourra tracer sur la sphère une infinité d'autres jouissant
des mêmes propriétés ; et ce principe enseigne le mode de construction de ces figures , parmi
lesquelles la figure supplémentaire n'est plus qu'un cas particulier.

Ainsi nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véri-
table méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures
planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de
l'étendue peut dès aujourd'hui faire de rapides et faciles progrès.

Page 282.

Les deux porismes de Géométrie plane que nous avons appliqués à la Géométrie à trois
dimensions ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

\" porisme. Etant pris sur la sphère deux points fixes P, P', et deux arcs qui rencontrent
l'arc PP' en E et E' ; et étant pris sur ces deux arcs, respectivement , deux points fixes O , O' ;

Si de chaque point d'un arc donné on mène deux arcs aux points P, P', qui rencontreront res-
pectivement les deux arcs EO, E'O' en deux points a, a.', on pourra trouver deux quantités >., /j.,
telles qu'on aura toujours la relation

sin. Oo sin. O'o'

-+- A. -, = fi.

sin. Ea sin. E'a'

2" porisme. Etant menés sur la sphère deux arcs de grands cercles, qui se rencontrent en S ,
et étant pris sur ces deux arcs respectivement deux points fixes O, O' ;

Si autour d'un point donné de la sphère on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs

fixes en deux points a, a' , on pourra trouver deux quantités A, u telles qu'on aura toujours la

relation

sin. Oa sin. OV

-: — -^- X. -: = /i.

sm. Sa sm. Sa

Page 294.

Depuis que la note VII , sur l'ouvrage De lineis rectis se invicem secantihus statica constructio
de Jean Ceva , était imprimée, a paru le 2-4" cahier du Journal de l'école Polytechnique , où se
trouve un mémoire de M . Coriolis , intitulé : Sur la Théorie des momens considérés comme analyse
des rencontres des lignes droites, qui a le même objet que cet ouvrage de Ceva. M. Coriolis y
démontre , en peu de mots et sans calculs , par la théorie des momens , des théorèmes de la
nature de ceux qui se trouvent dans la théorie des transversales de Carnot , mais qui présen-

ADDITIONS. 555

tcnt une plus grande gcnëralité. On y remarque particulièrement une démonstration de la double
génération de l'hyperboloïde à une nappe par une ligne droite.

Pagi sis.

A la suite de l'article (12) , ajouter :

(12 bis). Il suit du théorème (12) que si l'on a trois systèmes de deux points A, A', B, B' et
€,C', conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes E, F, les six poinU A, A', B, B', C,C'
seront en involution.

Car soitO le point milieu du segment £F , on aura

OA.OA' = ÔÊ', OB.OB' = ÔË', OC.OC = ÔË'.
Donc les six points A, A', B, B', C, C forment une involution (art. 12).

Page 890 , Abt. 27.

Dans un mémoire qui a pour titre : Recherches sur ce qu'il y a d'analogue au centre des forces
parallèles, dans un système à forces non parallèles, M. Minding , docteur à l'université de
Berlin , a démontré un théorème remarquable qui offre une nouvelle propriété des deux coni-
ques excentriques d'une surface du second degré. Voici l'énoncé de ce théorème :

« Les forces d'un système étant supposées telles qu'elles ne se fassent pas équilibre, si on les fait
tourner autour de leurs points respectifs d'application, sans déranger leurs inclinaisons mu-
tuelles, il y a une infinité de positions du système dans lesquelles toutes les forces peuvent être
remplacées par une résultante unique, La direction de cette résultante coupe toujours les contours
d'une ellipse et d'une hyperbole situées dans deux plans perpendiculaires entre eux; ces deux
courbes sont d'ailleurs dans de telles relations , que les foyers de l'une coïncident avec les sommets
de Pautre.

» Réciproquement, chaque droite qui joint un point de l'ellipse à un point de l'hyperbole, peut
être considérée comme la direction de la résultante unique , pour une certaine position du sys-
tème, n (Voir le Compte rendu des séances de l'académie des sciences de Paris , par MM. les se-
crétaires perpétuels, année 18315 , p. 282.)

En considérant les deux courbes en question comme les limites d'une série de surfaces du
second degré toutes inscrites dans une même développable (voy. p. 397), on est conduit à
penser que le théorème de M. Minding n'est qu'un cas particulier de quelque théorème plus
général , dans lequel ces surfaces du second degré joueraient un rôle analogue à celui de ces
coniques.

Par exemple, au lieu de supposer que toutes les forces du système doivent prendre autour
de leurs points d'applications des directions telles qu'elles aient une résultante unique , qu'on
suppose que le couple minimum relatif à chaque position du système ait une valeur donnée
(qui sera zéro dans le cas de la résultante unique), et qu'on demande quelle sera dans l'espace
la position de l'axe de ce couple minimum ou axe central des momens. (Voir les Elément de sta-

536 ADDITIONS.

tique de M. Poinsot, 6™' édition , p. 3S9). Le résultat de cette recherche offrira nécessairement
une orénéralisation du beau théorème de M. Minding; et peut-être que les surfaces du second
degré y joueront le rôle que nous venons d'indiquer.

Cette théorie d'un système de forces qui tournent autour de leurs points d'application , en
conservant leurs grandeurs et leurs inclinaisons mutuelles , peut prendre une grande extension
et donner lieu à plusieurs questions intéressantes , si l'on y introduit la considération de l'axe
central des niomens , au lieu de se borner au cas particulier d'une résultante unique. Par
exemple :

1° Que l'axe central des momens doive rester parallèle à une même droite ; quelle sera la sur-
face cylindrique qu'il décrira?

2° Qu'il doive rester parallèle à un même plan ; quelle sera la surface courbe qu'il touchera
dans toutes ses positions?

3° Qu'il doive passer toujours par un même point; quelle sera la surface conique qu'il
décrira ?

W Qu'il doive être situé dans un plan donnné ; quelle sera la courbe qu'il enveloppera ?

Nous ne pouvons nous occuper dans ce moment de ce genre de recherches ; nous l'indi-
quons , dans l'espoir qu'il offrira de l'intérêt à quelques lecteurs.

Page 396 , § 45.

Depuis que cette Note est imprimée , je suis parvenu à la généralisation des deux théorèmes
des §§41 et 43 , et j'ai reconnu , comme je l'avais pensé , que le second conduit à une démon-
stration purement synthétique et indépendante d'aucune formule d'analyse , du beau théorème
sur l'attraction que deux ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers ,
exercent sur un mêihe point situe au dehors de leurs surfaces. Une telle démonstration avait
paru à d'illustres géomètres devoir offrir des difficultés , et être peut-être au-dessus des res-
sources de la synthèse '.

Les deux théorèmes généralisés peuvent se déduire des deux cas particuliers énoncés aux
§§ 41 et 43, au moyen d'un autre théorème qui est aussi une belle propriété des surfaces du
second degré qui ont les mêmes coniques excentriques. Nous nous bornerons ici à l'énoncé de
ce théorème :

Quand plusieurs surfaces du second degré A , A' , A" , etc. , ont les mêmes coniques excentri-
ques , si autour d'un point fixe S on fait tourner une transversale qui rencontre l'une d'elles A en
deux points a , a', et qu'en appelant D le diamètre de cette surface qui est parallèle à la corde aa' .
on porte sur la transversale , à partir du point S un segment Sm égal à J" ,, if étant une con-

stante, l'extrémité m de ce segment sera sur une surface du second degré S, qui aura son centre
au point S ;

Pour les autres surfaces A' , A", etc., on formera semblablement , avec d'autres constantes y,
^•",etc., d'autres stir faces Z' , i;", etc.;

Toutes les surfaces X, i:', S", etc. , auront, en direction , les mêmes axes principaux ;

Et on pourra prendre les constantes d', J", etc. , de manière qu'elles aient aussi les mêmes co-
niques excentriques.

' l,e^enàxc , Mémoire sur l'attraction dea ellipsoïdes , inséré dam les Mémoires de l'Académie des sciences ,
année 1788j voir page 486. — Poisson , JVote sur le mouvement de rotation d'un corps solide j année 1834.

ADDITIONS. }im

Page 4K9.

La furmulr^

ln—i)a' — (n—A)a

dont les arpenteurs romains se serraient pour calculer l'aire du polygone régulier de n côtés,
est celle qui exprime les nombres polygonaux de l'ordre (n — 2).

Ces nombres polygonaux étaient très-connus des Anciens ; on les trouve dans les ouvrages
de Nicomaque , de Jamblique, de Théon , de Diophante , et dans l'arithmétique de Roècc , où ils
occupent une grande place. C'est là l'origine de cette formule, employée par les écrivains
latins , et qui n'a dû être regardée par eux que comme approximative. Mais l'approximation est
très-grossière , et ne repose sur aucune considération vraiment géométrique.

Nous avons dit que Gerbert avait reconnu que la formule relative au triangle n'était pas
exacte , et qu'il avait essayé de la démontrer comme une formule approximative ; mais que soii
raisonnement aurait dâ le conduire à l'expression

g'H-o |/3
2 T'

qui est véritablement la formule approximative : l'approximation est d'autant plus grande que
l'unité linéaire prise pour exprimer le cdté a est plus petite.

Page i69.

Les mots pagina et paginula que nous avons traduits par le mot colonne , ce qui nous a
conduit à un sens clair du texte de Boèce , sont employés par cet auteur dans le chapitre XVI
du i' livre de son Traité de la Musique , où ils ont évidemment cette même signification ; les
colonnes étant décrites , et indiquées dans la figure et dans le texte par des lettres.

Nous trouvons encore une signification à peu près semblable des mots pagina et paginula
dans une pièce sur l'astronomie , où ils sont employés pour exprimer l'intervalle entre deux
cercle» concentriques , dans la description d'un astrolabe. Cette pièce se trouve dans un manu-
scrit du XI' siècle , à la suite de la lettre de Gerbert h Constantin , sur la construction d'une
sphère céleste. ( Manuscrits de la bibliothèque de Chartres. )

Page -470.

Au lieu de cette phrase : « Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne
pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs , aura-t-on laissé seu-
lement celles où se trouvaient des zéros , de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant
une colonne) , auraient fait l'office du zéro.n II faut substituer celle-ci : « Peut-être, quand on
aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour
ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des places vides; de sorte
qu'alors deux petites lignes verticales ( formant une colonne ) auraient indique »ine place vide ,
et fait l'office du zéro actuel. »

558 ADDITIONS.

Page 472.

Le Vocahularium de Nestor Dionisyus donne au mot Abacus la signification suivante : Tabella
super qua decuplationes fiunt : Abacus dicta est quin etiam ipsa decuplatio. (Édition de 1496
Venise, in-folio.) Ce passage s'applique parfaitement à notre explication de Y Abacus, et sem-
blerait prouver qu'au XV" siècle la signification de ce mot n'était pas encore perdue , comme
nous l'avons pensé déjà d'après un passage de la Bibliothèque historiale de Vignier.

Page 476.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien ? C'est par une inadvertance ,
causée par la précipitation que nous avons mise dans la rédaction de cette dissertation qu'at-
tendait l'imprimeur dont nous retardions à regret le travail , que nous nous sommes servi de
l'expression système indien, au lieu de dire système de TAbacus. Il est évident que nous avons
eu en vue seulement de prouver que l'assertion de Boèce n'était point inadmissible ; c'est-à-dire
que le système de numération qu'il exposait, avait pu être connu des Pythagoriciens, comme
il le dit : et ce système , nous le répétons , n'était pas précisément celui des Indiens , c'est-à-dire
le nôtre actuel ; mais il n'en différait que par l'absence du zéro, et par l'usage nécessaire de
colonnes qui marquaient la place des chiffres.

Ce système n'était au fond que la représentation écrite de la table à compter, connue chez les
Romains sous le même nom A' Abacus, qui était formée de cordons placés parallèlement, sur
chacun desquels on pouvait faire glisser neuf boules , destinées à former des groupes qui re-
présentaient les nombres 1 , 2 , 3 , 4 , S , 6 , 7 , 8 et 9; et les cordons exprimaient la nature des
unités que ces groupes représentaient ; le premier cordon était celui des unités simples ; le Second
celui des dixaines ; le troisième celui des centaines , et ainsi de suite.

On voit que Y Abacus figuré n'était autre que V Abacus manuel ou palpable; les colonnes re-
présentaient les cordons, et les neuf caractères (ou chiffres) représentaient les neufs collections
de boules que l'on pouvait former sur chaque cordon.

La transition de V Abacus manuel à V Abacus figuré, était donc naturelle, et n'exigeait aucun
effort de génie ; on ne refuserait pas d'en faire honneur aux Romains , si Boèce ne l'attribuait
pas à Pythagore. Et c'est ce nom de Pylhagore qui donne lieu , aux yeux de quelques person-
nes, à l'objection la plus forte contre notre explication du passage de Boèce ; car on ne veut pas
admettre qu'Archimède et Apollonius aient eu connaissance de ce système de numération qui
leur eiU donne l'idée de la valeur de position des chiffres.

Mais déjà plusieurs écrivains ont pensé que les Grecs, du temps même de Pythagore, ont
connu la machine à compter, que nous venons de décrire sous le nom A' Abacus des Romains ;
car cette machine est de la plus haute antiquité chez tous les peuples ' . Or , cette machine ,

' Cette machine est le suanpan des Chinois. Elle était en usage non-seulement dans plusieurs parties de
l'Asie, mais dans plusieurs autres contrées de la terre, chez les Étrusques, en Egypte, au Pe'rou. Voir le
mémoire de H. Alex, de llumboldt, inséré dans le tom. IV du Journal de mathématiques de M. Crelle,
pag. 205, sous le titre : Vher die lei verschiedeneii Vôlkcrn ûhlichcn Système von Zahlzeichen vnd ûber den
Ursprung des S tellenwcrthes in den indischen Zahlcn : c'est-à-dire, Sur les systèmes de chiffres usités chez
les différens peuples, et sur l'origine de la valeur de position dans V arithmétique indienne.

On trouve cette machine , soit celle des Chinois , soit celle des Romains , représentée dans plusieurs ou-

ADDITIONS. 559

comme l'observe l'iHustre M. de Humboldt ' , e»t fondée sur le principe de la valeur de position
de» signe» rcprcsentalif» de» nombre». Elle devait donc , tout au»8i bien que Wibacus figuré,
décrit par Boèce, donner à Archimède et à Apollonius l'idée de la valeur de position, idée, du
reste , que ces deux grands hommes ont eue , puisqu'ils l'ont appliquée , comme nous l'avons
dit , le premier à se» oclade» et le second à ses tétrade».

Paob Kie.

On a imprimé sous le nom de Sacro Bosco , un traité à' Algoritme , intitulé : Algorismus domini
Joannis de Sacro liuêco, noviter impressum, Venetiis , 1523, in-4°. Cet ouvrage n'est pas de
Sacro Rosco, dont le traité d'arithmétique est écrit en vers; mais il est le même que celui que
Clichtovée a fait imprimer sous le titre : Opusculum de praxi nutnerorum quod Algorismum
tocant.

Ce traité présente avec les autres une différence légère, mais qui mérite néanmoins d'être
remarquée. C'est que l'auteur dit vie placer un point au-dessus du chiffre des mille, pour le dis-
tinguer des autres ; puis scmblablement, un point sur le quatrième chiSre après celui des mille ;
et ainsi de suite sur le» chiffres pris de quatre en quatre. Ce sont, comme on voit, les tétrades
d'Apollonius qui sont réduites, daus le système actuel, à des tranches de trois chiffres, puisque
nous dénommons un nombre par tranches de trois chiffres en nous servant des mots unités,
mille, millions, billions, etc. Au point on a substitué des virgules qui séparent ces tranches de
trois chiffres.

On trouve aussi ces tétrades marquées par un point , dans le Traite d'arithmétique de Purbach ,
Algorithmus G. Peurbachii in integris ,yieunx, 1515, in-4".

Tragei. ( KotrVeUer, Rerum augusianarum vindelicontm libri octo, Venite, 1693, in-folio , pag. 268. — La
Loubère, Du royaume de Siam , Paria, 1601, 2 yol. in-12. — Du Holinet, Le cabinet de la bibliothèque de
S^'-Geneviève , Pari», 1698, in-folio, pag. 23. — V.ager , An Explanafion of the Elemenlai-y Characters ofthc
Chinese f Lond.,1801, in-folio.
' foir le mémoire cité de H. de Humboldt.

nir DS.S ADDITIONS.

•*(■

vv vvvvvv^lVvvvvvvvv^\vv^^vv^^A^^{V\lv^lvwvv^^^lvvvvv\^\vvvv\^\^

TABLE DES MATIÈRES

L'APERÇU HISTORIQUE.

Paget.

But de Fouvrage 1

Cdapitre. I. Première épocpic de la Gcomctrie 4

— II. Deuxième époque 61

— III. Troisième époque 9-4

— IV. Quatrième époque 143

— V. Cinquième époque 189

— VI. Objet du mémoire de Géométrie 263

NOTES.

Note. I. Sur les spiriques de Perseus 271

— II. Sur les lieux à la surface d'Euclide 278

— III. Sur les porismcs d'Euclide 274

— IV. Sur la manière de construire les foyers dans le cône oblique, et d'y dé-

montrer leurs propriétés 285

— V. Sur la définition de la Géométrie. — Réflexions sur la dualité, consi-

dérée comme loi de la nature 288

— VI. Sur le théorème de Ptolémée, relatif au triangle coupé par une trans-

versale 291

— VII. Sur l'ouvrage de J. Ceva, intitulé : Delineis rccti» se inticem secan-

tibus, statica conslruclio (in-4°, Milan 1678) 294

— VIII. Description des spirales et des quadratrices, au moyen d'une surface

héliçoïde rampante. — Leur analogie avec d'autres courbes, qui por-
tent le même nom dans le système de coordonnées de Descartes . . 297

— IX. Sur la fonction anltarnionique de quatre points, ou de quatre droites. SO'2
-- X. Sur l'involution de six points. — Relations nouvelles entre ces points. S08

— XI. Sur la question d'inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés

doivent passer par trois points donnés 328

Ton. XI. 71

k

o62 TABLE DES MATIERES.

Pages.

Note. XII. Sur la Géométrie des Indiens, des Arabes, des Latins et des Occiden-
taux au moyen âge 416

Géométrie des Indiens 417

Sur la Géométrie de Brahmegupta 420

Sur la Géométrie de Bhascara Acharya 447

Géométrie des Latins 486

Sur le passage de la Géométrie de Boôce relatif à un nouveau système

de numération 464

Sur un passage de la Géométrie de Boèce relatif au pentagone régu-
lier de seconde espèce. — Origine et développement des polygones

étoiles 476

Géométrie des Arabes 487

Géométrie des Occidentaux au moyen âge . . • 602

— XIII. Sur les coniques de Pascal 330

— XIV. Sur les ouvrages de Desargues ; la lettre de Beaugrand ; et l'Examen de

Curabelle 331

— XV. Sur la propriété anbarmonique des points d'une conique. — Démonstra-

tion des propriétés les plus générales de ces courbes 334

— XVI. Sur la propriété anbarmonique des tangentes d'une conique . . . , 841

— XVll. Sur Hlaurolycus et Guarini 345

— XVIll. Sur l'identité des figures homologiques avec celles qu'on décrit dans les

— pratiques de la Perspective. — Bemarque sur la perspective de Stevin. 346

— XIX. Sur la métbode de Newton, pour changer les figures en d'autres figures

du même genre. (Lemme XXll du l""' livre des Principes) , . . 347

— XX. Sur la génération des courbes du troisième degré , par les cinq para-

boles divergentes ; et par les cinq courbes à centre 348

— XXI. Sur les ovales de Descartes , ou lignes aplanétiques 350

— XXII. Extension donnée à deux théorèmes généraux de Stewart 353

— XXllI. Sur rorigine et le développement de la Géométrie descriptive . . . 335

— XXIV. Sur la loi de continuité et le principe des relations contingentes . . 357

— XXV. Application du principe des relations contigentes à la question de déter-

miner, en grandeur et en direction, les trois diamètres principaux
d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés. . . . 359

— XXVI. Sur les imaginaires en Géométrie 368

— XXVll. Sur l'origine delà théorie des polaires réciproques, et celle des mots pôle

et polaire 370

— XXVIII. Généralisation de la théorie des projections stéréographiques. Surface

du second degré tangente à quatre autres. 372

— XXIX. Démonstration d'un théorème d'où résulte le principe de dualité. . . 375

— XXX. Sur les courbes et surfaces réciproques de Monge. — Généralisation

de cette théorie 376

— XXXI. Propriétés nouvelles des Surfaces du second degré , analogues à celles

des foyers dans les coniques 384

— XXXII. Théorèmes analogues, dans les surfaces du second degré , à ceux de

Pascal et de M. Brianchon dans les coniques 400

— XXXÎII. Relation entre 7 points quelconques d'une courbe à double courbure

du troisième ordre. — Diverses questions où ces courbes se présentent. 403

— XXXIV. Sur la dualité dans les sciences mathématiques; exemples pris dans l'art

du tourneur, et dans les principes de la dynamique ...... 408

Additions , 543

¥iy DE LA TABLE.

l^^^^^^^^^(\a\vv^lvv^Alvvvvvv^^^^^^^^^^^^lvvv\^^^A^\^^lvvv^^(vvvv^^^

TABLE DES AUTEURS

RoiHia

DANS L'APERÇU UISTORIQUE.

A.

Aboul Wefa, 49S, 526.

Aboul Hhassan Ali, 49 6.

Abraham Abenezrx, -492.

Adalbolde, 507.

Adhelard, 509.

A(juilon, 516.

Ahmed benGhalil, 550.

Albategnius , -494, 526.

Albert-le-Grand , 611,817.

Albumasar, 510.

Alchindus, 292,492,496.

Alcuin , 430, 504.

Alfarabius, 510,518.

Alfraijanus, 510.

Alhazcn , 498, 509.

Almansor , 489.

Alstedius,423, 478.

Ampère, 105,221,390, 415.

Anderson (Alexandre), 42, 127, 282, 283,

442, 527.
Andrès, 503, 504,511.
Angelis, 93.
Apian (P.), 446.

Apollonius,?, 9, 15, 17—23,87, 41,42,
46,47, 80, 89,90, 116, 119, 121 , 124,
210,285,814, 325, 831, 476,489,500,
813,614,518, 558.

Apulée, 503.

Arago , 208 , 856.

Archimède, 15—17, 21—23, 48, 86, 69, 76,
91, 116, 162, 163, 210, 273,358, 428,
475, 476, 489, 514, 513, 523, 546, 558.

Archytas, 6,427,434,463.

Argyrus, 523.

Aristée, 7, 21, 48, 89, 518, 514.

Aristole, 22, 59, 288, 544.

Augustin (Saint), 461, 462.

Auver (Christophe), 540.

B.

Bachet de Meziriac , 28S, 418 . 427, 448.

Bacon (Roger), 464.

Railly,38, 456, 482.

Baillet , 86.

Barbaro (Daniel), 481.

Barlaam , 523.

564

TABLE DES AUTEURS.

Barocci, 43-4.

Barrow,91,109, 142,498.

Bayer, 474.

Bayle , S30.

Beaugrand, 77, 78, 292, 331 , 333.

Bède, 430, 463, 472, 502, 303, 303, 306.

Bernard (Éd.) , 474, 320, 323, 324.

Bernardin Baldi, 272, 814, 320, 821 , 824,

543.
Bernelin , 307.
BernouUi (Jacques), 19 , 63 , 69 , 97 , 103 ,

497.
BernouUi (Jean), 69, 97, 141, 216, 238,292,

338.
Benedictis (J.-B.), 213, 443, 338, 340.
Besson, 282.
Bessarion , 326.
Beughem , 128.
Bhascara Acharya, 418, 419, 420, 423, 426,

428, 442, 447—490, 491, 327.
Biagio de Parme , 324.
BiUy (De), 443, 313.
Binet , 66, 220, 244, 390, 415.
Biot, 103.
Blancanus, 272.
Blanchinus , 527, 540.
Bobillier,232, 390, 399,401.
Boèce , 289 , 423 , 427 , 437 , 438 , 439, 461 ,

462, 463, 493, 803,303, 306, 808, 316,

328, 387.
Borelli , 7.
Boscovich , 433.
Bosse, 76, 78, 83, 88, 86, 87,217, 292, 833,

Bossut, 71, 130,238.

Bouillaud, 16, 283.

Bouvelles , 480, 486.

Bradwardin , 423, 480, 486, 512, 821, 823.

Brahé, 483.

Bragelongne, 131.

Brahmegupta, 418, 419, 420—447, 480,

431,489, 491.
Braikenridge , 37, 101 , 131 , 139 , 336, 40S.
Bressius, 292.
Brewsler, 103.
Breysig, 217.

Brianchon, 34, 78,83, 98,191,214,293,

310, 315, 328, 371 , 400—402.
Broscius, 486—487.
Bruno , 46.
Bufifon, 63,
Buhae-ood-deen , 492.
Burja, 139.
Butéon, 447—839.
Byrge , 483.

c.

Calmet (D.), 474.

Camerer, 33.

Campanus, 423, 478, 479, 308,511—314,

518.
Capella (Marlianus) , 458 , 461 , 462 , 472.
Caravage, 293.
Cardan, 213, 291, 433, 442,489,491,492,

820, 827, 333, 338, 839, 840, 333.
Carnot,72, 117, 124, 184,211—213,216,

238 , 293 , 328 , 342 , 370 , 301 .
Casiri, 292, 432, 490, 492, 493.
Cassini , 36 , 181.

Cassiodore , 289 , 423 , 461 , 462 , 323.
Castillon, 284, 328,800.
Cavalleri , 22 , 33 , 57 , 61 , 68 , 90 , 92 , 94 ,

100, 116, 142, 159,288.
César (J.), 457,463.

Ccva (J.) , 93, 216 , 238 , 292, 293 , 294, 554.
Chamber, 823.
Charleniagne , 804.

Chaturveda, 421 , 423 , 428 , 437 , 446, 449.
Choquet, 346.
Ciceron, 437, 469.

Clairaut, 69, 138,141, 143,167,832, 853.
Clairaut (J«) , 138.

Clavius, 443, 479, 497, 512, 313, 338.
Clichtovce,466, 473.

Colebrooke , 418 , 419 , 420 , 422 , 465, 490.
Colonia , 834.

Columelle , 458 , 489 , 460.
Comiers, 512.

Commandin, 30, 41 , 497 , 320, 338.
Comte, 284, 413.

TABLE DES AUTEURS.

363

Copernic, 463, .iOS, 529.

Coriolis, 5S4.

Cossali , S24.

Cote», 144, 146.

Courcicr, 141 , 238.

Cousinery, 137, 196, 268.

Cramer, 152,828.

Crclle,20G,215.

Ctcsibius, 543.

Curabellc, 86, 87, 330, 831 , 332.

Cusa (Nicolas de) , 481 , 523 , 529.

D.

D'Alembert, 63, 164, 168, 238, 241, 289,

293,411,501.
Dandelin, 215, 220,250, 286, 287.
Dante (Egnazio) , 348.
Dasypodius, 271 , 273 , 474 , 558.
Daunou, 464.
Dawson , 74.
De Beaune, 96, 110.
Dechales , 272 , 433.
Dde, 497.
De Gua , 162.
De laHire, 19,48,69,87,88,90, 118—

180, 142,161,171, 195,212,218,346,

550 , 553.
Delambre, 24, 27, 419, 431 , 465, 470, 476,

495 , 496 , 497 , 498 , 503 , 511 , 514 , 517,

623, 550.
De la Rue, 333, 355.
Delorme (Philibert), 855.
Dcmctrius , 29.
Demonferrand , 390.
De Murr, 527.
Dcran, 355.
Desargues, 34, 39, 47, 67, 72,78,74—

88, 89, 92, 116, 118, 120, 128, 180,

142, 160, 161, 182, 211, 212, 216,

217, 241, 292, 293, 316, 830, 831—

834, 855, 546.
Descartes, 22, 28, 37, 62, 63, 67, 58, 60,

65, 68, 71, 75, 76, 81, 86, 91, 94—

07, 104, 111, 113, 116, 140, 143, 161,

256, 257, 277, 288, 830, 850, 417,

482, 548.
De Stainville, 871.
Dherbelot, 488, 491.
Dinostrate, 7, 30.
Diodes, 7, 48, 411, 588.
Dion Cassius, 481.
Dionis du Séjour, 152.
Dionysidore, 633.
Diophanle, 11, 99, 282, 442, 489, 490,

1567.
Doppelmayer, 446.
Dumolinet, 559.
Dupin (Ch.), 65, 108, 213, 214, 220, 243,

244, 356, 886, 890.
Durrande, 238.
Durer (Albert), 13S, 216, 529, 5tSS.

E.

Ebn Jounis, 495, 626.

Eisenman, 284.

Encontre, 371.

Eratosthène, 7, 21 , 46.

Errard, 443.

Euclide, 9—14, 16, 21, 37, 39, 46, 67,

118, 273—284, 293, 422, 447, 497,

500, 511, 512, 514, 522, 541.
Eudoxe, 6, 9.
Euler, 45, 53, 66, 152, 153, 175, 214,

241 , 301 , 305 , 328 , 412 , 418, 432,

433, 486.
Eutocius, 49, 422, 5^3.

F.

Fabre d'Étaples, 464, 816, 624.

Fabri, 69.

Fabricius, 610, 614, 520, 643.

Fatio de Duiller, 112.

Fiiucher, 357.

Fergola, 46,66.

Fermât, 22, 41, 87, 68, 60, 61—68, 79,

566

TABLE DES AUTEURS.

86, 88, 90, 94, 96, U2 , 172, 283,

417, 4-43, 443, 527, 846.
Fibonacci (Léonard de Pise), 482, 433, 434,

442, 404, 473, 489, 492, 493, bU ,

i519, 835.
Flamsteed, 56.
Flauti, 30, 46, 66, 293.
Fontenelle, 269.
Fourier , 63.
Français, 67.
Franchini , 491, 514.
Fresnel, 108.
Frezier, 141, 333, 358.
Frischlin, 290.
Frisius (Gemma), 291, 466.
Frontinus, 431, 457, 458, 489.
Fuss, 53, 183, 188, 236, 293, 328, 432.

G.

Galilée, 16,68, 93, 103, 210,411, 482,

527, 329.
Ganesa, 422, 440, 447, 334.
Garbinski, 31.
Gaultier, 68, 206, 207.
Gauricus, 514.
Gauss, 215.
Geber, 483, 489.
Gellibrand , 55.
Geminus, 8, 20, 24.
Gérard de Crémone, 509, 519.
Gerbert (Sylvestre II), 458, 464 , 468 , 466,

472, 493, 803, 804, 808, 857.
Gergonne, 83, 107, 113, 191, 218, 238,

288, 288, 328, 329, 371, 408.
Gesner (C), 817, 544.
Ghetaldi (Marin), 42, 283.
Giannini, 42.

Girard (Albert), 283, 440, 546.
Goens (W.), 459.
Golius, 500.
Goudin, 152.
Goujet, 504.

Grandi (Guido) , 31 , 93, 102, 141.
Greaves, 467.

Grégoire de Nazianze, 543.

Grégoire de St.-Vincent, 90—93, 94 , 126,

133, 142, 216, 288, 446.
Grégory, 93.
Guarini, 120, 348.
Gudermann, 239.
Gueneau d'Aumont , 238.
Guillaume de Malmesbury, 465, 304.
Guisnée, 127.
Guldin, 29, 57, 90.

H.

Hachette, 214, 217, 241 , 248, 284, 356,

347.
Haenel,445, 457.
Hager, 559.
Halber, 508.
Halley, 12, 20, 41, 47, 36, 125, 140, 153,

134—136,293.
Hamet ben Musa, 432, 434, 489, 492.
Hamilton, 108, 286.
Hasenben Musa, 432, 434, 489, 492.
Hassan ben Haithem, 493 — 301 , 327.
Heilbronner, 272, 445, 468, 514, 321,

328, 543.
Henrion , 460.
Heriger, 507.

Hermann (Jacques) , 69 , 82 , 112, 141.
Hermann Contractus , 308.
Hermotime de Colophon , 9.
Héron d'Alexandrie, 7, 271 , 431 , 433 , 434 ,

492, 498, 543.
Héron le jeune, 431 , 434, 544.
Herschel, 103, 162, 240.
Hipparque,24,233,293.
Hippias , 8.

Hippocrate de Chio, 3, 9.
Horace , 457.
Hudde, 99.
Huet, 467, 474.
Hugo de Omérique , 42.
Humboldt, 538,539.
Huret (Grégoire) , 79, 331.
Hutton, 419.

TABLE DES AUTEURS.

567

Huy{îen8,69,91,93, 101—109, 110, 127,
142, U3, 156,161,210,252, -498,527,
B58.

Hypsicle, 9, 489, Bll, 513, 514.

I.

Isidore-le-Grand , 514.

Isidore de Millet, 49.

Isidore de Séviile, 458, 461 , 462, 525.

Ivory, 165, 394,896.

J.

Jacob (Simon) , 444 , 445.

Jacobi, 166,215,

Jacquier, 82, 145, 346.

Jamblique, 557.

Jean de Séviile {Johanne» Hispalensis) , 510,

619, 535.
Jeaurat , 346.
Jordan Nemorarius, 433, 434, 464, 492,

511,516,518,519.
Jourdain, 509.
Jousse (Mathurin), 355.

K.

Kâstner, 479.

Kepler, 7, 22, 52, 56, 61, 90, 104, 157,

210 , 288 , 252 , 479 , 482-485 , 489,

493, 508, 514.
Killingword , 523.
Kircher, 283, 478, 481.

L.

Lacroix, 10, 234, 356, 358.

Lagny, 334.

Lagrange, 66 , 61, 63, 112, 153 , 163, 165,

168, 169, 188, 252, 267, 328, 412,

486.
Lalande, 346, 514.
Laloubèrc, 69, 93, 140.

Laloubère (Simon), 559.

Lambert, 53, 86, 143, 153, 154, 169,

185^187, 846, 870.
Lamé, 247.
Landen, 174.
Laplace, 63, 234.
Lawson, 284.
Lefebure de Fourcy, 856.
Lefrançois, 218, 219.
Legendre, 165, 168, 237, 395,446,536.
Leibnitz, 22, 62, 69,70,76, 86, 91, 97,

110, 112, 141, 142, 857, 859.
Lejeune Dirichlet, 215.
Léon , 9.

Léonard de Pise [voir Fibonacci.)
Léonard de Vinci {voir Vinci.)
Léotaud, 93.
Le Poivre, 130 — 135, 137, 142, 212,

218, 346.
Leroy, 242, 356.
Leslie, 42, 135, 175, 284.
Lexell, 187, 188, 236, 328.
Lhopital, 69, 82, 104, 112, 127, 170,

171 , 498.
Lhuillier, 237, 284, 328.
Libri, 68, 417, 418, 432, 452, 463, 490,

492, 510, 621, 524, 634.
Livet, 370.
Lomazzo, 531.
Lorcnzini , 93.

Lucas de Burgo (voir Paccioli.)
Lucrèce , 457.

Ludolph Van Ceulen , 292, 432, 433, 445, 538.
Lunis (Guillaume de) , 524.

M.

Mac Cullagh , 108.

Maclaurin, 16, 37, 101, 124, 142, 143, 146

—151, 154, 159, 162—170, 262, 266,

836, 394, 405.
Macrobe, 461.
Magini , 55.
Magnus, 237,239.
Mahomet Bagdadin, 497.

568

TABLE DES AUTEURS.

Mahomet ben Husein , 830.

Malfati , 328.

Mallebranche , â57.

Malus, 107, 333.

Mamoun (Al) , 489, 491.

Margarita philosophica , 289 , 422 , 433, 434,

439, 461,481.
Marinoni ,446.
Marinus, 49.
Mascheroni, 214.
Maternus (Julius Firmicus), 438.
Mauduit, 127.
Maurice, 102.

Maurolycus, 120, 291 , 293 , 343, 496, 316.
Memmius, 338.
Mendoza , 344.
Menechme, 6, 49.
Ménélaus , 23, 26, 233, 291, 489.
Mentelius, 314.
Mercator, 93.
Mersenne, 71, 73, 79, 81, 86, 89, 104, 283,

292,293,423,346.
Metius (Pierre), 33.
Meunier, 301.
Milichius, 489.
Millon , 334.
Milnes, 170.
Minding, 333.
Mobius,213.
Mohammed ben Musa , 432 , 434 , 432 , 48S ,

489—492, 324.
Monge, 32, 36, 63, 87, 117, 124, 123, 139,

189—210,211,219, 241,244, 268,288,

833, 370,376—383.
Montesquieu , 94.
Montfaucoa, 463.
Montucla, 29, 44,91, 104, 128, 130, 272,

273, 296, 330, 431, 443, 463,474, 493,

494, 303,314, 821.
Morssianus , 466.
Morton, 390.
Murdoch ,148.
Murhard, 128, 443,479.
Musa ben Schaker, 432, 489, 817.
Mydorge, 88, 92,216.

Nassir Eddin de Thus, 284, 801.

Naudé, 432.

Neil,64, 101.

Neper, 83,282,334.

Nestor ( Dionysius) , 838.

Newton , 7, 10 , 22 , 38 , 33, 39 , 69, 76, 80,
81, 90, 91, 101, 102 , 104, 133, 142, 143,
144—146, 134, 133, 137—162, 167, 169,
193 , 210, 218 , 232, 266 , 336 , 347, 403 ,
412, 433,482.

Nicéron , 83, 448.

Nicolas , 93, 216.

Nicole, 69, 143,181.

Nicomaque, 462, 816, 334, 887.

Nicomède, 7, 23, 410.

Nonius, 99, 140.

0.

Olivier, 32 , 386.

OItaiano, 44, 328.

Oronce Finée, 291 , 433, 446, 466, 834.

Ozanam, 44, 67, 86, 346.

P.

Paccioli (Lucas de Burgo), 42.3, 433, 434,

442, 447, 466, 473, 479, 490, 492, 493,

812, 313, 320, 333—339.
Pagani, 272.
Paolo di Digomari , surnommé Paolo dell'

Abbaco, 473, 324.
Pappus, 7, 12, 14, 17, 26, 28 — 46, 87,

39 , 1 16 , 180 , 274 , 291 , 297, 313 , 324 ,

328, 422, 476, 814, 327, 348.
Paracelse , 479 .
Parent, 138, 242.
Pascal, 31, 34, 48, 63, 68—74, 76, 78,

81,88, 89, 92, 93, 116, 120, 123, 140,
. 142, 160, 162, 193, 210, 212, 216, 243,

288 , 292 , 293 , 330 , 33 1 , 336 , 400—402 ,

408.
Peccam, 818.

TABLE DES AUTEURS.

569

Peletier, 479, 489, 491 , 812, 839.

PeIlo8,473, 834.

Pemberlon, 102, 158.

Perier, 70.

Perse, 472.

Perseus, 8, 271.

Petitot, 217.

Peucer, 422.

Peverone, 460, 834.

Peyrard, 16, 20, 48.

Pez (B.), 808, 306, 308.

Philon de Tyane, 7, 29.

Pithou, 807.

Pitiscus, 88.

Pitot, 139.

Planude, 464, 469.

Platon, 8, 7, 290, 411, 426, 434, 463, 814.

Platon de Tivoli, 810.

Pline, 437.

Playfair, 284.

Plucker, 218, 288.

Plutarque, 472, 814.

Poinsot, 48, 112, 282, 283, 415, 416,

478, 486, 318, 336.
Poisson, 62, 66, 166, 386, 886.
Polybe, 472.
Poncelet , 34 , 37, 70 , 74 , 83 , 88 , 90 , 1 34,

136,147,138, 191, 199,213,218,219,

223 , 232 , 243 , 248 , 230 , 238 , 264 , 284,

288,293,308,310,314,329,342,408,

847.
Porta, 216.
Pozzo, 136.

Proetorius , 432 , 444 , 448 , 446.
Proclus, 8, 9, 12, 24, 31, 48, 89, 272,

274,276, 426, 463, 497,814.
Prosdocimo , 309 , 624.
Ptolcmée , 28 , 26 , 27 , 233 , 291 , 431 , 489 ,

494,498,809,815, 316.
Purbach , 291 , 446 , 432 , 813 , 326 , 339.
Pylhagore, 4, 290, 428, 434, 463, 467, 472,
478, 808,814,829,538.

Quetelet,91 , 108, 106, 107, 118, 162, 218,
Toï. XI.

219, 220, 238, 248 , 267 , 272, 286, 380,
332,386,390,398,411.

R.

Rabuel, 140.

Radulfus Laudunensis , 808.

Ramus, 272,433, 479, 483,486, 814, 817,

829.
Regiomontanus, 291, 444, 447, 489, 493,

813, 326—529, 540.
Reisch. (Voir Margarita philosophica.)
Renaldini , 283.
Ricci (Michel Ange) , 93.
Richer , 334.
Rigault(N.),489.
Riscn (Adam) , 840.
Robertson, 317.
Roberval , 87 , 88—6 1 , 68 , 90 , 93 , 94 , 96,

104, 140, 142, 161,848.
Rochat , 329.

Rodolphe de Bruges , 510, 811.
Roemer, 87, 161.
RogerBacon,511,517,319.
Romanus (Adrianus), 33, 443,838.
Rosen, 452, 490.
Rudolff (Christophe) , 540.

S.

Sacro Bosco, 464, 466,311, 315, 318,819.

Saladini , 313.

Sauveur , 243.

Saville, 273, 283.

Savosarda, 432, 810, 817.

Scaliger (J.), 443, 446.

Scheubel, 489.

Schoner (J.), 291, 466, 471, 823, 828.

Schooten, 93, 98, 128, 172, 214, 283,

292, 427, 448, 527.
Schroter, 468.
Schubert, 139, 293.
Scorza , 46.
Scdillot, 496.

72

570

TABLE DES AUTEURS.

Sédillot (L, Am.), 493, 494, 496, 498, 499,

Sénèque, 437.

Serenus, 47.

Serenus (Ch.) , 3S6.

Servois, 83, 98, 213, 329, 371, 453.

S'Gravezande , 346.

Simon de Bredon , 293.

Simpson (Th.), 33, 75, 495.

Simson (R.), 13, 34, 36, 41, 42, 43, 67,

68, 80, 124, 127, 133, 170, 173, 184,

274, 273, 498, 300, 501, 327.
Sirigatti, 136, 348.
Sluze , 68 , 93 , 99 , 127 , 498.
Snellius, 42, 53, 140, 2^4, 292, 432, 433,

445.
Sorlin, 237.
Sporus, 7.
Stanhop , 73.

Steiner, 206, 213, 239, 288, 390, 401.
Stevin, 89, 92, 98, 133, 140, 216, 292,

346, 422, 456, 491, 538.
Stewart (M.), 42, 143, 133, 154, 169,

173—185, 232, 274, 324, 328, 333, 501.
Stifels, 291, 486, 489, 338, 339.
Slirling, 143, 131.
Strachey, 418, 419.
Sturm, 83, 316, 341, 330.

T.

Targioni, 310.

Tartalea, 213, 289, 423, 43!, 433. 434,

447, 489, 491, 492, 320, 533, 530,

538, 539.
Taylor, 346, 418, 420.
Terquem, 419.
Tirabosclii, 511.
Thaïes, 4.

Thebit ben Corah , 493 , 496 , 520.
Théodose, 25, 235, 489, 510.
Théon, 5, 534, 337.
Theudius de Magnésie, 9.
Thœtète , 9.
Torricelli, 68, 93.
Tschirnhaussen , 106, 110—114,553.

u.

Ubaldi (Guido), 89, 98.

V.

Valla(G.), 434, 460.

Vallée, 242, 356.

Van Heuraet, 64, 101.

VanRees, 219, 286.

Varignon, 357, 412, 545.

Varron, 457.

Velser, 859.

Venturi, 431 , 498, 517, 631, 543.

Verhulst, 103.

Verner, 120,332,333.

Victorius, 308.

Viète, 5, 52-55, 65, 73, 282, 417, 442,

443, 493, 494, 538, 341, 542.
Vignier, 507.
Vignolle, 136, 348.
Villedieu (Alexandre), 513, 519.
ViUoison, 474, 805.
Vincent de Beauvais, 289, 423, 464, 465,

466, 311, 518, 519.
Vinci (Léonard de), 410, 529, 530—532.
Virgile, 437.
Vitellion,498,311,518.
Vitruve, 437.

Viviani , 7 , 93 , 141,312,514.
Vossius (Gérard-Jean) , 272 , 510, 314 , 515.
Vossius (Isaac), 464, 474.

w.

Wallace,284.

Wallis,67,69,99, 101, 108, 122, 126,

141 , 454 , 465, 466 , 473, 485, 502, 508 ,

524 , 529.
Ward(J.),474.
Waring, 133,218.
Weidler, 346, 467 , 474, 314 , 328.

TABLE DES AUTEURS. 571

Witt (Jean de) , 100 , 126 , 189 , 268. Wronski , 284.

Wolf, 128.

Wren,86,68, 93, 108,242. ^«

Wright, 140. Zamberti , 423, 479, K12.

Fin DE LA TABLE DES AUTEURS.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

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DEUX PRINCIPES GENERAUX

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DE LA SCIENCE

LA DUALITÉ ET L'HOMOGRAPHIE.

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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

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DEUX PRINCIPES GENERAUX

DE LA SCIENCE :

LA DUALITÉ ET L'HOMOGRAPHIE.

PREMIÈRE PARTIE.

PRinCIPE DE DUALITE.

$ I^*". Deux méthodes à suivre.

Nous avons dit, dans notre cinquième Époque, que le Principe de
Dualité, que nous énoncerons d'une manière absolue, comme une
propriété inhérente aux formes de l'étendue, n'est qu'une déduction
rationnelle d'un seul théorème de géométrie. Il paraîtrait donc natu-
rel de commencer par démontrer ce théorème, pour en tirer, comme
une simple conséquence, le principe en question. C'est en efiet ce
que l'on peut faire aisément. Mais si, généralement, une déduction
d'une vérité fondamentale , offre moins de généralité que cette vérité

576 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

première , de telle sorte que l'on ne puisse passer indifféremment de
l'une à l'autre, il n'en est pas ainsi du principe de dualité, tel que
nous allons le présenter. Ce principe comporte une si grand généra-
lité, et il est d'une manière si précise l'expression ou la traduction
du théorème en question, dans toute sa portée, que l'on peut pas-
ser du principe de dualité à ce théorème, avec la même facilité que
du théorème au principe.

De là résulte qu'on peut suivre deux marches différentes, l'une con-
duisant directement au principe, et l'autre directement au théorème.

Dans la première, nous faisons usage de la géométrie analytique
de Descartes, c'est-à-dire de la doctrine des coordonnées; la seconde
se renferme dans les seules ressources de la géométrie pure des An-
ciens qui 5 de la sorte , auraient pu parvenir , avec leurs seules con-
naissances acquises, au principe de dualité.

Cette seconde manière de procéder serait plus logique, et plus
conforme au but que nous nous sommes proposé dans cet écrit, la
généralisation et l'accroissement des doctrines de la géométrie ; mais,
bien que cette marche soit extrêmememt simple, il nous faudrait
cependant prendre d'un peu haut diverses considérations géométriques
auxquelles on est moins accoutumé aujourd'hui qu'à l'emploi des
formules de l'analyse. Pour nous conformer donc aux habitudes de
la plupart des géomètres, et offrir une lecture plus facile, nous em-
ploierons, pour le moment, la méthode analytique. Ainsi nous dé-
montrerons directement le principe de dualité, et nous en conclurons
le théorème unique de géométrie, dont ce principe n'est que l'ex-
pression.

Nous donnerons dans un autre écrit , où nous présenterons la
théorie et diverses applications du rapport anharmonique , la dé-
monstration directe, purement géométrique et indépendante de la
doctrine des coordonnées, du théorème général en question. Cette
démonstration, quand les voies seront préparées, sera plus briève et
plus facile que la marche analytique que nous allons employer pour
le moment.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 577

§ II. Méthode analytique. — Propositions préliminaires.

(1) Théorème I. Si Von conçoit dans V espace un plan mobile ,
déterminé dans chacune de ses positions par une équation rap-
portée à trois axes coordonnés quelconques des x, y et z; et que les
paramètres de cette équation contiennnent , au premier degré, les
coordonnées d'un point que nous appellerons directeur ;

1° Quand ce point parcourra un plan, le plan m,obile tournera
autour d'un point fixe ;

2" Quand le point parcourra une droite , le plan mobile tournera
autour dune seconde droite ;

S** Quand le point parcourra une surface courbe , le plan mobile
roulera sur une autre surface courbe ;

Si la première surface est du second degré , la seconde sera
aussi du second degré ;

Et si la première surface est géométrique et du degré m, la
seconde surface sera aussi géométrique, et telle que par une droite
quelconque , on pourra lui mener m plans tangens.

En effet soient x' , y\ s', les coordonnées du point directeur, l'équa-
tion du plan mobile sera de la forme

(1) Xjt' -4- Yy' -»- Z«'=:D;

X, Y, Z et U étant des polynômes de la forme ax -\- by -{■ es — d,
où les coordonnées courantes x, y, s n'entrent qu'aii premier degré.
Soit

(2) Lr H- My -t- N» = 1

l'équation du plan que parcourt le point directeur; L, M, N étant
des constantes. Les coordonnées a?', y', s' de ce point auront entre
elles la relation

(8) L*' + My' -H Na'= 1.

On voit aisément que les valeurs des trois coordonnées x, y, 2 ,
tirées des trois équations suivantes :

(4) X = LU, Y = MU, X = NU,

578 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

déterminent un point qui se trouve sur le plan mobile dans toutes
ses positions. Car si on substitue ces coordonnées dans l'équation (1)
du plan mobile , il en résultera l'équation Lx' -f My' -J- N^' = 1 , qui
est identique, puisqu'elle n'est autre que l'équation de condition (3).

Ainsi le plan mobile, dans toutes ses positions, passe par un point
fixe , dont les coordonnées sont déterminées par les trois équations (4) ;
ce qui démontre la première partie du théorème.

Appelons ce point fixe le pôle du plan que le point directeur a
parcouru.

Quand le point directeur parcourt une droite, qu'on imagine deux
plans passant par cette droite ; le point directeur se mouvra dans ces
deux plans en même temps; le plan mobile passera donc par deux
points fixes qui seront les pôles de ces plans ; ce plan mobile tour-
nera donc autour de la droite qui joint ces points ; ce qui est la se-
conde partie du théorème.

Si le point directeur parcourt une surface courbe A , le plan mo-
bile enveloppera une seconde surface courbe A'.

Supposons la surface A géométrique et du degré m : une transver-
sale menée arbitrairement la rencontrera en m points ; à chacun de
ces points, considéré comme point directeur, correspondra un plan
tangent à la surface A'; ces plans tangens, qui seront en nombre m,
passeront tous par une même droite ( d'après la seconde partie du
théorème) ; la surface A' admettra donc m plans tangens passant par
une même droite quelconque.

Si la surface A est du second degré, la surface A' sera donc aussi du
second degré ; ce qui démontre les deux dernières parties du théorème.

(2) La surface A', qui est l'enveloppe du plan mobile, quand le point
directeur parcourt la surface A, peut être déterminée d'une seconde
manière, par points, au moyen du théorème suivant :

Théorème II. Quand le point directeur parcourt une surface
courbe A, la surface enveloppe du plan mobile est le lieu géomé-
trique des pôles de tous les plans tangens à la surface A;

Et le point où le plan mobile , dans une de ses positions, touche

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 579

cette surface enveloppe , est le pôle du plan tangent à la surface A,
mené par le point directeur auquel correspond cette position du
plan mobile.

En effet, pour obtenir le point où le plan mobile ^ dans une de
ses positions, touche sa surface enveloppe A' , on regarde ce point
comme l'intersection de ce plan tangent et de deux autres plans tan-
gens infiniment peu différens ; or ces trois plans correspondent à trois
positions du point directeur infiniment voisines, c'est-à-dire à trois
points d'un élément de la surface A , lesquels sont sur son plan tan-
gent. Le point de contact du plan mobile et de la surface A' est donc
le pôle de ce plan tangent à la surface A ; ce qui démontre, en même
temps , les deux parties du théorème énoncé.

(3) Remarque. Ce théorème sera très-utile pour construire, par
points, la surface enveloppe du plan mobile, quand le point direc-
teur parcourra une surface donnée A.

Car il suffira de mener les plans tangens de la surface A, et de
chercher leurs pôles ; ce seront les points de la nouvelle surface. Or
ces pôles se déterminent aisément, car soit La? + My -|-N^= 1 l'équa-
tion d'un plan tangent à la surface A, les coordonnées de son pôle
seront données par les trois équations linéaires

X = LU, Y = MU, Z = NU.

Ce moyen de construire par points la surface enveloppe du plan
mobile, sert aussi pour trouver immédiatement l'équation de cette
surface, sans recourir au calcul différentiel, ordinairement indispen-
sable dans les questions de surfaces enveloppes.

Car le calcul se réduira à éliminer entre les trois équations que
nous venons d'écrire, et l'équation de la surface proposée A, les coor-
données x' , y' , z' appartenant à cette surface; l'équation résultante
en X, Y, Z, qui sont des fonctions des coordonnées x, y, z de la
surface enveloppe du plan mobile, sera précisément l'équation de
cette surface.

Supposons, par exemple, que le point directeur parcourre la sur-

580 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE,

face du second degré représentée par l'équation

Aa;^ -H By" -♦- Ca^ -t- 2 (Da; + Ey -+- Fa) = K;

l'équation du plan tangent au point {x' , y' , s' ) de cette surface sera

x{kx' -f- D)-+-y (By' -t-E) -4- a(Ca' -i- F) = K — (Dar' h- Ey' -*- Es').

Les trois équations de condition ci-dessus seront donc

X [(K — {Dx' 4- Ey' -t- Fa')l = (Aa;' h- D). U ,
Y [(K — (D:r' -+- Ey' + Fa')] = (By' + E) U ,
Z [(K — {Dx' -+- Ey' + Fa')] = (Ca' -t- F) U.

Il suffit d'éliminer x' ,y' , z' entre ces trois équations et la suivante

kx" ^ By" -t- Qz" -I- 2 (Do;' -4- Ey' h- Fa') = K.

Le résultat

/X= Y' Z'\/ D' E' F'\ / LD ME NF\,

(r- -^ F -" c^J( '^ -" r -*- r -^ rj = (' " T " T -" rj '

est l'équation de la surface enveloppé. Cette équation est du second
degré, puisque X, Y, Z sont des fonctions linéaires des coordonnées
courantes x ,y , z.

(4) Théorème IIL Quand le point directeur se meut à l'infini,
le plan mobile tourne autour d'un point fixe , comme si le point
directeur parcourait un plan.

En effet, si le point directeur est situé à l'infini sur une droite ayant
pour équations

a; = oa , y = bz,

on aura

x' = az' , y' = bs' ;

et l'équation (1) du plan mobile, correspondante à cette position du
point directeur, deviendra

(aX -t- 6Y -t- Z)2' = D. *

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 581

Or z' est infini; cette équation se réduit donc à

oX -♦- AY H- z =: o.

Telle est l'équation du plan mobile, dans sa position correspon-
dante au point directeur situé à l'infini sur la droite dont nous avons
posé les équations.

Ce plan passe évidemment par le point dont les coordonnées a? , y,z

sont déterminées par les trois équations

i

Donc, dans quelque position que soit situé, à l'infini, le point di-
recteur, le plan mobile passera par le point fixe que déterminent ces
trois équations j comme si le point directeur parcourait un plan.
C. Q. F. D.

(5) Si l'on cherchait à déterminer ce plan, il faudrait mettre dans les
trois équations (4), à la place dex,y, z , leurs valeurs tirées des trois
équations ci-dessus; on aurait ainsi les valeurs des coefficiens L, M, N
correspondantes à la position de ce plan. Or ces équations deviennnent

LU = o, MUt=o, NU=so,-

U n'est pas nulle, puisque c'est une fonction de x , y, z, qui est
devenue un nombre par la substitution des valeurs de ces coordon-
nées; il faut donc qu'on ait

L = o, M = o, N = o;

et dès lors l'équation L;r 4- My + Ns = 1 représente un plan situé à
l'infini, et indéterminé de direction.

Nous pouvons donc énoncer, avec M. Poncelet, cette idée para-
doxale, mais d'une justesse mathématique:

L'espace indéfini a pour enveloppe une surface plane. ( Traité

DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES, p. 373 ).

To«. XI. 74

582 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(6) Théorème IV. Quand le point directeur prend quatre posi-
tions a, b, c, d, en ligne droite, le plan mobile prend quatre positions
correspondantes^ que nous désignons par Al, B, C^ D;

Ces quatre plans passent par une même droite , et leur rapport
anharmonique^ est égal à celui des quatre points a, b, c , d ; c'est-à-
dire que l'on a

sin. C,A sin. D,A ca da
sin. C,B ' sin. D,B ch ' db

En effet, les quatre plans A, B, C_, D passent par une même droite,
puisque les quatre points a, b , c , d sont en ligne droite j par consé-
quent si on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre
plans aux points «, 6, y, è, on aura

ya ^a sin. C,À sin. D,A
yÇ ' dS sin. C,B * sin. D,B

Il suffit donc de prouver que le premier membre de cette équation
est égal au second membre de l'équation ci-dessus.

Pour cela, soient |, y, ç, les coordonnées d'un point fixe K , pris sur
la droite des quatre points a, b, c, c?; et soient r' , r" , r'" , r'\ les
distances de ces quatre points au point Kj leurs coordonnées seront

x' = Ç -H /r' , j

y' = V -f- mr' , \ pour le point a ;

z' = Ç H- wr',- j

x" = § -+- Ir" , I

y" = y -+- mr" , \ pour le point b;

z" = Ç -+- nr"; \

x'" = Ç -t- Ir'" , I

y"' = V -\- mr'" , ) pour le point c ,•

z'" = Ç -t- nr'"; /

et a;iv = Ç + ;riv , j

yiv = y ^_ twr'v , \ pour le point d ;

' Nous avons donné dans la Note IX la définition du rapport anharmonique de quatre points,
ou de quatre plans.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 583

Ijtn, n étant les quantités angulaires qui déterminent la direction de
la droite ab.

L'équation du plan mobile, dans sa position A , correspondante au
point directeur a, est

1-,

XÇ -f. Yv -1- ZÇ — U -•- (/X H- mY -(- rtZ) r' = 0.

soit p' la distance du point K au point où ce plan rencontre le droite
ab ; les coordonnées de ce dernier point seront de la forme

X = Ç -\- Ip ,

y = !/ -4- mp , , )

a = Ç -f- ♦»/;

elles doivent satisfaire à l'équation du plan; les y mettant, on aura
une équation qui donnera la valeur de p'. Cette équation sera évidem-
ment de la forme

P + Q/ + (R + S/)r' = o,-

P, Q, R, S étant des fonctions de ^, v, ç, /, m, n.

Les distances /s", p'" , p^^, du point K aux points où les trois autres
plans B, C, D rencontrent la droite ab, seront données parles équa-
tions semblables

p + Qp" + (R -H S/' )f" =0,
P + Qp"' +{K+ S/")r"'=o,
P -t- Q/î«' -+- (R -F Sp" ) r'v = 0.

De ces équations, on tire

p'" — p' r"' — r' 0-4-Sr"

D'où

/// '/

r'" — r"

Q + Sr' '

^IV p'

r.v_^

Q-i-St^'

û\y — p"

f<y — f"

Q + Sr'

n /

. P" — P'

r"'_r'

riv — r-

'" «"

• prr-p"

- /"_r"

■ r^y — r"

équation qui démontre le théorème énoncé.

584 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(7) Remarque. L'équation P -f Qp' + (K + S/s' ) r' ^= o fait voir que :
sur une droite quelconque , il se trouve en général deuo) 'points qui,
regardés comme deux positions du point directeur, donnent deux
plans mobiles qui passent par ces points respectivement.

En effet, si on veut que le plan A, correspondant au point a,
passe par ce point, on aura, dans l'équation ci-dessus, p' = r' , et
elle deviendra

p + (Q + R) r'-t-Sr"=o.

Les deux racines de cette équation détermineront les deux points
en question sur chaque transversale.

En général, quand le plan mobile passe par son point directeur,
ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré.

En effet l'équation du plan mobile est

Xa;' -4- Yy' H-Zz' = U;

si ce plan passe par le point directeur, cette équation sera satisfaite
quand on mettra x' , y' , z' à la place de x ,y , z , dans X, Y, Z et U.
Mais alors on aura une équation du second degré; cette équation
représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le
point directeur ; ce qui démontre le théorème.

Il faut observer, cependant, que si l'équation du plan mobile était
telle qu'en y faisant x=x', y=y',z=z' , on la rendît identique,
ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile
passerait constamment par le point directeur.

(8) Théorème V. Étant données cinq positions du point direc-
teur, on pourra, prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans
qui seront les cinq positions du plan m,obile, correspondantes
respectivement à ces cinq points.

En effet soient x' , y' , z' les coordonnées d'un des cinq points
donnés, et

p.* + Qy + Rs = 1 ,

l'équation du plan qui doit correspondre à ce point.

MÉMOIRE DE GEOMETRIE. o85

Cette équation doit être identique à l'équation générale du plan
mobile, que nous avons représentée par

X, Y, Z. et U sont des fonctions linéaires de a?, y , s de la forme

X :^ ax -i- by -t- es — d,

Y = a'x H- b'y ■+■ c'z — d' ,
Z = a"x -I- b"y -t- c"a — d" ,

V = a"'x -H 6"'y -f- c"'s — d'" .

D'après cela, l'équation générale du plan mobile est

{ax-\-hy-^cs — d) x' -+- (o'j;-4-i'y-t-c'js — d')y' -\- {a" x -^-Vy -^ c"z — d")s,'
= (a"'x + b"'y -t- c"'z — d'") ;

OU

( ax' -f- a'y' h- a"s' — a"')x -\- [bx' -\- b'y' -^ b"z' — b'") y -t- (ca:' -+- c'y' -t- c"z' — c'") z
= (dx'-^d'y' -t-d"z' — d"').

Pour que cette équation soit identique à l'équation particulière du
plan donné , il faut qu'on ait les trois équations de condition

ax' -h a'y' -t- a"z' — a'" = P {dx' + d'y' + d"z' — d'") ,
bif H- b'y' -4- b"z' — b'" = Q (dx' -+- d'y' + d"z' — d'"},
ex' -f. c'y' -»- c"z' — c'" — K{dx'-i- d'y' h- d"s' — d'").

Pour chacun des quatre autres plans donnés, on aura trois équations
de condition semblables à celles-ci , et où entreront les coordonnées
du point auquel correspond ce plan. On aura donc en tout quinze
équations de condition, qui serviront à déterminer quinze des seize
coefficiens a, b, c, d, a', etc.; et comme ces cofficiens n'entrent
qu'au premier degré dans ces quinze équations, leurs valeurs seront
toujours réelles, et s'obtiendront facilement. Le théorème est dortc
démontré.

On voit par la forme des quinze équations, qui n'ont pas de termes
connus , que le seizième coefficient restera indéterminé. Car on peut
diviser ces quinze équations par l'un des seize coefficiens.

586 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

(9) Le théorème I conduit à une proposition de Géométrie analy-
tique dont nous aurons occasion de faire usage ( § XVII ) ; la voici :

Quand les coefficiens des trois coordonnées , dans t équation d'un
plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du pre-
mier degré , ce plan passe constamment par un point fixe;

Si ces coefficiens ont entre eux une relation du second degré, le
plan enveloppe une surface du second degré ;

Et, en général, si ces coefficiens ont entre eux une relation du
degré m , le plan enveloppe une surface géométrique à laquelle on
peut mener m plans tangens par une même droite.

En effet, soient x', y' , z', les trois coefficiens de l'équation du plan
mobile ; cette équation sera

x'x -+- y' y ■+- z' z = A ;

chaque système de valeurs de x' , y', 2' déterminera un plan.

Mais on peut regarder ces trois variables comme les coordonnées
d'un point, et la relation donnée entre elles représentera une surface,
lieu géométrique de ce point; le théorème énoncé est donc une consé-
quence du théorème I.

§ III. Démonstration du Principe de Dualité.

(10) Nous diviserons ce principe en deux parties, dont la première
est relative à la corrélation des relations descriptives des figures; et
la seconde à la corrélation de leurs relations de grandeur, ou mé-
triques.

Première partie. Lorsqu'une figure de forme quelcofique est don-
née, on peut toujours former, d'une infinité de manières, une
autre figure , dans laquelle les points, les plans, les droites, corres-
pondront respectivement à des plans, à des points, d des droites de
la première figure ;

Les points situés sur un même plan, dans Vune des deux figu-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 5jW|

res , auront pour correspondans des plans passant tous par le point
qui correspond à ce plan ;

Les points situés sur une même droite , dans l'une des deux
figures, auront pour correspondans , dans l'autre figure, des plans
passant par la droite qui correspondra à la première ;

.Les points situés sur une surface courbe, dans la première
figure , auront pour correspondans , dans la seconde , des plans
tangens à une autre surface courbe / et les plans tangens à la pre-
mière surface, en ces points, auront pour correspondans précisé-
ment les points de contact des plans tangens à la seconde surface ;
~, Enfin, toits les points situés à l'infini, considérés comme ap-
partenant à la première figure , seront regardés comme situés sur
un même plan, et tous les plans qui leur correspondront passeront
par un même point , qui correspondra à ce plan situé à tinfini.

Ce sont ces deux figures que nous appellerons corrélatives.

Ce principe résulte évidemment des théorèmes 1, II et III. Car on
formera la seconde figure, en faisant mouvoir un plan dont l'équation
contienne au premier degré les coordonnées d'un point mobile auquel
on fera parcourir toutes les parties de la première figure. La seconde
figure sera l'enveloppe du plan mobile.

(1 1) Il est clair que des droites situées dans un même plan auront
pour correspondantes, dans la seco.nde figure, des droites qui passe-
ront toutes par un même point ; ce point correspondra au plan des
premières droites.

Par conséquent, des droites situées à l'infini auront pour corres-
pondantes des droites passant toutes par le point de la seconde figure
qui correspond à l'infini de la première.

Pareillement des droites passant toutes par un même point, dans
la première figure, donneront lieu à des droites situées toutes dans
le plan correspondant à ce point. rf/^tf» <

Par conséquent, des droites parallèles entre elles donneront lieu à
des droites situées tontes dans un même plan passant par le point
de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première.

588 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Des plans parallèles entre eux donneront lieu, dans la seconde figure,
à des points situés sur une même droite passant par le point qui
correspond, dans cette seconde figure, à l'infini de la première» Car
les plans parallèles entre eux seront considérés comme passant par une
même droite située à l'infini.

Enfin des plans parallèles à une même droite donneront lieu à des
points situés tous sur un même plan passant par le point qui corres-
pond à l'infini.

(12) Deuxième partie. Dans deux figures corrélatives , à quatre
points de la première , situés en ligne droite, correspondent , dans la
seconde , quatre plans passant par une même droite , et dont le rap-
port anharmonique est toujours égal au rapport anharmonique des
quatre points ,*

Et, à quatre plans de la première figure, passant par une même
droite, correspondent dans la seconde figure , quatre points situés
en ligne droite, dont le rapport anharmonique est égal précisément
au rapport anharmonique des quatre plans.

Ainsi soient a, b , c, d quatre points de l'une des deux figures, si-
tués en ligne droite, et A, B, C, D les quatre plans correspondans,
dans l'autre figure, on aura toujours

sin. C,A _ sin. D,A ca _ da
^^^ ■ ■ sin. C,B * sin. t»,B ~ cb ' db'

Cela résulte du théorème IV.

Si on tire arbitrairement une transversale, qui rencontre les quatre
plans A, B, G, D aux points «, ê, y, â, on aura

<ya tfx ca da

^^' Ze ' 7c ^ d) ' db'

Car le premier membre de cette équation est égal au premier mem-
bre de l'équation du théorème.

(13) Si le point dest situé à l'infini, le plan D passera par le point
qui correspond, dans la seconde figure, à l'infini de la première ; le

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 589

rapport ^ sera égal à l'unité, et les deux équations ci-dessus se
réduiront à

sin.

C,A ^

sin.

D,A

ca

sin.

C,B •

sin.

D,B

cb'

ca

'^ 7b'

Ajoutons que si le point de la seconde figure, qui correspond à
l'infini de la première, est lui-même à l'infini, tous les plans qui ré-
pondront dans la seconde figure aux points à l'infini de la première ,
seront parallèles à une même droite.

Si donc on prend pour transversale une parallèle à cette droite ,
le point d sera à l'infini, et la seconde des deux équations précédentes
se simplifiera encore ; elle deviendra

ya ca
yS cb

Ainsi une partie des relations métriques des deux figures pourront
être exprimées par des équations de cette forme.

(14) L'équation (l) exprime la propriété la plus importante des
figures corrélatives. On peut dire qu'elle est le fondement de toute cette
théorie. Car c'est sur cette relation si simple que reposent la construc-
tion des figures corrélatives les plus générales , et la plupart des ap-
plications du principe de dualité.

C'est, le plus généralement, sous sa forme même , ou sous celle de
l'équation (2), que nous appliquerons cette relation. Mais cependant
elle est susceptible d'une autre expression, qui simplifiera extrême-
ment les transformations, dans certains cas, et que nous allons de
suite faire connaître.

Écrivons l'équation (1) de cette manière :

sin. C,A ca sin. D,A da
sin. C,B ' cb sin. D,B * db

A un cinquième plan E de la première figure, passant par la même
ToB. XI. 75

590 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

droite que les quatre premiers, correspondra un cinquième point e
de la seconde figure, situé sur la même droite que les quatre pre-
miers; et l'on aura l'équation

sin. E,A ea sin. D,A ^ da
sin. E,B ' eb "" sin. D,B * db

Donc , en général , quel que soit un plan C mené dans la première
figure , par la droite d'intersection de deux plans fixes A , B de cette
figure, il lui correspondra un point c de la seconde figure, situé sur
la droite qui joint les deux points fixes a, b qui correspondent aux
plans A, B; et l'on a entre ce plan C et ce point c la relation

sin. C,A ca

-r— • ; — = const.

sin. C,B cb

Maintenant, concevons dans le plan C un point quelconque m; le
rapport ^^-^ sera égal au rapport des distances de ce point aux deux

plans A, B.

Au point m correspond, dans la seconde figure, un plan M qui
passe par le point c, puisque le point m est pris dans le plan C. Le
rapport ^ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des
deux points a^ b sur le plan M. Notre équation exprime donc que le
rapport des distances du point m de la première figure, aux deux plans
fixes , est au rapport des distances du plan M de la seconde figure ,
aux deux points a, b, dans une raison constante, quel que soit le point
m, et le plan M qui lui correspond.

(15) Ainsi nous pouvons énoncer comme principe des relations mé-
triques des figures corrélatives , ce théorème , qui est une autre ex-
pression de la seconde partie du principe de dualité :

Dans deux figures corrélatives , le rapport des distances d'un
point quelconque de la première figure , à deux plans fixes de cette
fgure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce
point, dans la seconde figure , aux deux points qui correspondent

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 591

aux deux plans de la première , dans une raison constante , quel
que soit le point pris dans la première figure.

(16) Examinons le cas où l'un des deux plans fixes de la première
figure est à l'iufini. Soit le plan B situé à l'infini. Il nous faudra alors
nous servir de l'équation (2) , qui devient

<ya ca da

fa. cb ' db

OU

Ca da

OU

''"M ='^ = 76'

ca

'va l — = const. ;
cb

quel que soil, dans la première figure, le plan C mené parallèlement
au plan Â.

Or ya est proportionnel à la perpendiculaire abaissée d'un point m
du plan C sur le plan A; ^l est égal au rapport des distances du
plan M, qui correspond au point m, aux deux points a, c; l'équation
exprime donc ce théorème :

Dans deux figures corrélatives . la distance d'un point quelconque
de la première figure , à un plan fixe de cette figure, est au rapport
des distances du plan qui correspond à ce point dans la seconde
figure , au point qui correspond à ce plan fixe , et au point qui
correspond à l'infini de la première figure, dans une raison cons-
tante, quel que soit le point pris dans la première figure.

Ce théorème et le précédent seront d'une application spontanée
dans beaucoup de cas de la transformation des figures.

§ IV. Applications du Principe de Dualité aux propriétés descrip-
tives des figures.

(17) Pour appliquer le principe de dualité, on devra d'abord con-

592 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

cevoir la forme et la description de la figure corrélative de la figure
proposée ; ce qui se fera rapidement et sans difficulté , au moyen de
la première partie du principe.

Par exemple, que la figure proposée soit une courbe à double
courbure; à chacun de ses points correspondra un plan dans la figure
corrélative; et cette figure sera une surface développable, enveloppe
de tous ces plans. Chaque tangente à la courbe étant considérée
comme le prolongement de la corde qui joint deux points infiniment
voisins, à cette tangente correspondra une droite qui sera l'inter-
section de deux plans tangens à la développable, infiniment voisins,
c'est-à-dire une arête ou caractéristique de cette surface. A un plan
mené par une tangente à la courbe , correspondra un point de la
caractéristique correspondante à cette tangente. Le plan osculateur
en un point de la courbe proposée passe par deux tangentes infini-
ment voisines ; le point qui lui correspondra sur la développable sera
donc à l'intersection de deux caractéristiques consécutives; ce sera
donc un point de l'arête de rebroussement de la surface.

Ainsi on voit que la forme générale de la figure corrélative d'une
courbe à double courbure est parfaitement déterminée.

Réciproquement, à une surface développable proposée, corres-
pondra, dans la figure corrélative, une courbe à double courbure.

(18) Que la figure proposée soit une surface courbe coupée par un
plan ; à cette surface correspondra dans la figure corrélative une se-
conde surface courbe; aux points d'intersection par le plan corres-
pondront des plans tangens à la seconde surface ; et tous ces points
étant dans un plan, tous ces plans tangens passeront par un même
point, qui correspondra à ce plan; ces plans formeront donc un cône.
Ainsi on aura, pour figure corrélative, une surface courbe inscrite
dans un cône.

(19) Si deux surfaces ont un point de contact , les deux surfaces
corrélatives auront aussi un point de contact. Car au point de con-
tact des deux premières, et à leur plan tangent commun en ce point,
correspondront un plan tangent commun aux deux autres surfaces.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 593

et un point qui sera sur ces deux surfaces leur point de contact
commun avec ce plan (Théorème II).

D'après cela, si deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre
suivant une courbe, les deux surfaces corrélatives seront aussi cir-
conscrites l'une à l'autre, et les plans tangens à ces surfaces, menés
par les points de leur courbe de contact, formeront une développable
correspondante à la ligne de contact des deux premières surfaces.

(20) Si deux courbes ont un contact de l'ordre n en un point , c'est-
à-dire ont w élémens consécutifs communs, les deux développables
corrélatives de ces courbes auront n caractéristiques consécutives com-
munes; conséquemment tout plan les coupera suivant deux courbes
qui auront un contact de l'ordre n ; ces deux surfaces auront donc un
contact de l'ordre n suivant une caractéristique commune.

(21) D'après cela, soient deux surfaces ayant un contact du premier
ordre suivant toute l'étendue d'une courbe, coupons-les par un plan
tangent à cette courbe ; on sait que les deux sections auront un con-
tact du troisième ordre; formons la figure corrélative, nous en con-
clurons aisément que :

Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant
une courbe , si on conçoit la développable qui leur sera circonscrite
suivant cette courbe , et qu'on regarde un point d^tme caractéris-
tique de cette développable comme le sommet commun de deux
cônes circonscrits aux deux surfaces , ces deux cônes auront un
contact du troisième ordre suivant cette droite.

(22) Si le plan sécant, au lieu d'être simplement tangent à la courbe
de contact des deux premières surfaces, était un plan osculateur de
cette courbe, les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan
auraient, comme on sait, un contact du cinquième ordre (Dévelop-
pemens de Géométrie de M. Ch. Dupin, p. 230 ) ; on en conclut que :

Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant
une courbe, si on conçoit la développable circonscrite à ces surfa-
ces suivant cette courbe, et qu'on regarde un point de l'arête de
rebroussement de cette développable comme le sommet commun de

594 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

deux cônes circonscrits aux deux surfaces , ces deux cônes auront
un contact du cinquième ordre suivant leur arête commune , qui
sera la caractéristique de la développable , sur laquelle est pris leur
sommet commun.

On voit comment les théorèmes généraux sur les contacts des sur-
faces, démontrés par M. Ch. Dupin dans ses Développemens de
Géométrie , donneront lieu à d'autres théorèmes aussi généraux , qui
seront leurs corrélatifs.

(23) Soit ce beau théorème de M. Monge : a Si_, par tous les points
» d'une surface courbe, on conçoit des droites menées dans l'espace sui-
» vant une loi quelconque, et qu'on considère l'une de ces droites; de
» toutes celles qui lui sont infiniment voisines, il n'y en a générale-
)) ment que deux qui la rencontrent. » ( Voir le Mémoire de Monge
sur les déblais et remblais, inséré dans les Mémoires de l'académie
de Paris, ann. 1781, etla Correspondance poly technique, i. III, p. 152.)

Formant la figure corrélative , on aura une seconde surface courbe,
dont les plans tangens correspondront aux points de la première. Les
droites menées par ces points, auront pour correspondantes des droi-
tes menées dans les plans tangens de la seconde surface , suivant une
certaineloi. Or, quand deux droites se rencontrent , leurs corrélatives
se rencontrent aussi; on conclut donc du théorème énoncé le suivant :

Si, dans tous les plans tangens d'une surface courbe, on con-
çoit des droites menées suivant une certaine loi, et que Von con-
sidère une de ces droites; de toutes celles qui hii sont infiniment
voisines , c'est-à-dire qui sont situées dans les plans tangens infi-
niment voisins de celui où se trouve la première droite, il n'y eu
aura généralement que deux qui la rencontreront.

Ainsi, par exemple, si l'on projette une droite fixe sur tous les
plans tangens d'une surface courbe quelconque, et qu'on considère
l'une de ses projections; de toutes les projections infiniment voisines
de celle-là, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.

(24) Le théorème général que nous venons de déduire de celui de
Monge, comme son corrélatif pouvait s'en conclure directement.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 595

comme n'étant au fond que ce théorème même, présenté sous une
autre forme. Car toutes les droites comprises dans les plans tangens
à la surface vont rencontrer un plan fixe, mené arbitrairement, en
ses différons points ; on peut donc les considérer comme issues de ces
points, suivant une certaine loi déterminée; dès lors chacune d'elles
doit être rencontrée par deux de celles qui en sont infiniment voisines.
Il arrive ainsi quelquefois qu'un théorème a pour corrélatif ce théo-
rème lui-même , présenté sous le même énoncé ou sous un énoncé
différent. Mais ce sont là des exceptions ; car généralement deux
théorèmes corrélatifs sont essentiellement différons.

$ V. Applications du Principe de Dualité aux propriétés métriques

des figures.

(25) Ce qui précède suffit pour montrer comment on établira toujours
la corrélation de formes et de description des figures. Nous pouvons
donc, sans entrer dans de plus longs développemens, nous occuper de
la corrélation de leurs relations de grandeur ; ce qui est la partie la plus
importante du principe de dualité, parce qu'on a presque toujours de
telles relations à considérer dans les recherches des propriétés de l'é-
tendue.

C'est au moyen de la seconde partie du principe qu'on établira la
corrélation des relations métriques des figures.

Supposons qu'on ait une relation entre les distances de plusieurs
points d'une figure; on formera, relativement à ces points et aux plans
qui leur correspondront dans la figure corrélative, autant d'équations
semblables à celle du principe (12), que la question en comportera; et,
au moyen de ces équations , on cherchera à éliminer dans la relation
donnée les distances des points de la première figure ; il restera une
relation entre les sinus des angles des plans correspondans de la seconde
figure; ou bien entre les segmens que ces plans feront sur certaines
transversales ; ce sera la relation corrélative cherchée.

596 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Il ne faut pas perdre de vue que quand des points de la première figure
seront situés à l'infini, les équations se simplifieront beaucoup (13).

Divers exemples vont faire comprendre parfaitement l'usage de cette
méthode.

§ VI- Sur les pôles et les plans polaires des surfaces
du second degré.

(26) Soit une surface du second degré ; si on lui mène deux plans
tangens parallèles entre eux, la droite qui joindra les deux points de
contact a, b passera par le centre o de la surface; et l'on aura

oa =■ 00 , ou — = 1 .

00

Faisons la figure corrélative; nous aurons une seconde surface du
second degré, un point fixe * correspondant à l'infini (10), une droite
menée par ce point , correspondant à la droite d'intersection , située à
l'infini , des deux plans tangens ; les deux points où cette droite percera
la surface correspondront à ces deux plans tangens; et les plans A, B,
tangens en ces points, correspondront aux deux points a, b; donc leur
intersection correspondra à la droite ab, et sera par conséquent dans
un plan fixe 0 correspondant au centre o de la première surface ; soit I
le plan mené par cette droite et par le point i, il correspondra au point
à l'infini sur la droite ab; on aura donc

^ sin. 0,A sin. I,A oa

sin. 0,B * sin. I,B ob

Soient a, S, w les points où une transversale menée par le point i perce
les plans A, B, 0; on aura, d'après cette équation,

iS ' aC

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 597

On conclut de là que :

Si, autour d^ un point fixe pris arbitrairement , on fait tourner une
transversale qui rencontre une surface du second degré, les plans
tangens à la surface aux deux points de rencontre se couperont sur
un plan fixe; et la transversale percera ce plan au point conjugué
harmonique du point fixe, par rapport aux deux points de la surface.

C'est la propriété fondamentale àes pôles et i^Xsxns polaires dans les
surfaces du second degré.

(27) Nous pouvons donc dire que : quand on fait la figure corrélative
dune surface du second degré, on a une seconde surface du second
degré dans laquelle le plan qui correspond au centre de la première
a pour pôle, pris par rapport à cette seconde surface, le point qui
correspond à tinfini de la première figure.

(28) La droite d'intersection de deux plans tangens à une surface du
second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points
de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer
prouve donc que : Toutes les droites qui passent par un même point
ont leurs polaires situées dans un même plan; et réciproquement.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie des pôles et
des plans polaires , qui est parfaitement connue.

$ VIL Généralisation du théorème sur la proportionnalité des rayons
homologues dans deux figures homothétiques '. — Construction
nouvelle des bas-reliefs.

(29) Soient deux tétraèdres abcd, a'b'c'd' semblables et semblable-
ment placés; c'est-à-dire ayant leurs faces respectivement parallèles;
on sait que les quatre droites qui joignent un à un leurs sommets ho-
mologues concourent en un même point u ; et le rapport des distances

• Nous avons appelé ainsi deux figures semblables entre elles et semblablement placées.
(Voir Annales de mathématiques, tom. XVIII, pag. 280.) Depuis, plusieurs géomètres ont
employé cette expression abréviative , dont nous continuerons dès lors à faire usage,

To«. XI. 76

598 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

de ce point à deux sommets homologues est constant; c'est-à-dire
qu'on a

na ub

(1) = = etc.

lia' ub'

Faisons la figure corrélative ; nous aurons deux tétraèdres, dont les
sommets correspondront respectivement aux faces des deux tétraèdres
proposés ; ces sommets seront donc, deux à deux , sur quatre droites
qui passeront par un même point i correspondant à l'infini (11). Les
faces A, B... de ces deux tétraèdres correspondront aux sommets a,b...
des deux premiers; elles se couperont donc, deux à deux, suivant quatre
droites qui seront dans un même plan U, correspondant au point ii (10).
Que, par la droite d'intersection des deux faces A, A', on mène un
plan I passant par le point i, il correspondra au point situé à l'infini
sur la droite aa' ; on aura donc

sin. U,A sin. I,A ua

sin. U,A' * sin. I,A' ua'

ou , en appelant « , «' , ^ les points où une transversale , menée par le
point i, rencontre les trois plans A, A' , U,

Aa ia ua

Xa' ix' ua'

Soient pareillement S, & et p. les points où une transversale, menée
par le point i, rencontre les plans B, B' et U, on aura

faS iS ub

On a donc, en vertu de l'équation (1),

ta Xx iS fiS

ix' ' Xx' iC ' /uC'

Les segmens la , W sont proportionnels aux distances des deux points

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 699

a, «' au plan U; pareillemeut {£, f£' sont proportionnels aux distances
des deux points 6, 6' à ce plan. On conclut donc de là le théorème
suivant :

Quand deux tétraèdres ont leurs sommets situés deux à deux sur
quatre droites concourantes en un même point i,

1<» Leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui
sont comprises dans un même plan U;

2" Le rapport des distances du point i à deux sommets homologues
des deux tétraèdres est au rapport des distances de ces points au
plan U, dans une raison constante , quels que soient ces deux som-
mets homologues.

(30) La première partie seule de ce théorème était connue ; elle est la
base de la construction géométrique des figures homologiques dans
l'espace, de M. Poncelet. (Voir Traité des propriétés projectives ,
supplément, p. 374.)

La seconde partie, qui est une généralisation de la proportionnalité
des rayons homologues dans deux figures semblables et semblablement
placées , peut devenir très-utile en géométrie. Elle complète la théorie
des figures homologiques , et servira pour les construire par de simples
calculs numériques; car on cherche ainsi, le plus souvent, dans la
pratique, à remplacer les opérations graphiques par des opérations
numériques.

Soient a, «' deux points correspondans quelconques, dans deux fi-
gures homologiques ; i le centre d'homologie , et X le point où la droite
ictx rencontre le plan d'homologie; on aura, suivant le théorème que
nous venons de démontrer ,

ta Xx

-— '. — ; ^ const. = n.

ta' Aa'

Cette relation prend la forme

n 1 n -t- 1

ta ta' t'A

600 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

D'où l'on tire une expression très-simple de ix' en fonction de /«, et
réciproquement.

Il est diverses autres expressions qui simplifient encore les calculs ;
mais nous ne pouvons entrer ici dans ces détails.

Les bas-reliefs étant de véritables figures homologiques, ainsi que
l'a fait voir M. Poncelet ', la relation générale que nous venons de don-
ner sera utile aussi pour leur construction, qui pourra se faire, comme
dans certaines pratiques de la prospective, par des cotes calculées nu-
mériquement.

Cette relation servira aussi pour exprimer, en géométrie analytique,
la position des différons points d'un bas-relief, ou l'équation de sa sur-
face, si le modèle est lui-même une surface exprimée par une équation.

Nous reviendrons dans un autre moment , sur la construction des
bas- reliefs; et nous ferons voir qu'il est plusieurs moyens très-simples
de la pratiquer. On peut, par exemple, en réduire toutes les opérations
à une seule et unique perspective du modèle proposé, sur un plan.
Cette manière, je crois, pourrait être agréée des artistes, auxquels,
généralement, maintenant, les pratiques de la perspective sont fami-
lières ^

§ VIII. Relations descriptives et métriques de deux surfaces du
second degré inscrites dans un cône; et de deux coniques quel-
conques situées dans un même plan.

(31) Soient deux surfaces du second degré semblables et sembla-
blement placées ; on sait qu'elles se coupent suivant une courbe plane ,

' Voir le supplément du Traité des propriétés projectives.

2 Cette construction des bas-reliefs , par une perspective du modèle sur un plan , est facile à
concevoir. Elle repose sur ce théorème : Étant donné un corps dans l'espace; si, de ses points

m, m', ..., on abaisse des perpendiculaires mp , m'p', sur un plan P; et qu'on fasse la

perspective du corps sur un plan parallèle à ces droites, l'œil étant placé en un lieu quelconque de
l'espace; puis, qu'on abatte ce plan sur le premier P , en le faisant tourner autour de leur in-
tersection commune; les perpendiculaires mp, m'p', .... seront, en perspective, des droites ^r,
/j-'t , .... parallèles entre elles; qu'on relève ces droites, en les faisant tourner autour de leurs

MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 601

et qu'elles ont une autre courbe d'intersection (réelle ou imaginaire)
située à l'infini.

Si on mène quatre plans tangens à ces surfaces , parallèles entre eux,
les droites qui joindront deux à deux les points de contact sur la pre-
mière surface aux points de contact sur la seconde, concourront deux
à deux en deux points fixes qui seront les centres de similitude des
deux surfaces; et ces deux points seront les sommets de deux cônes
(réels ou imaginaires) circonscrits aux deux surfaces.

Faisant la figure corrélative , on aura deux surfaces du second degré,
qui seront inscrites dans un même cône dont le sommet correspondra
au plan situé à l'infini, sur lequel est une des deux courbes d'intersection
des deux premières surfaces; on aura donc ce théorèmç, dont la dernière
partie se démontre absolument comme dans le théorème précédent :

Quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans un même
cône , si par le sommet de ce cône on tire une transversale qui les
rencontre en quatre points , et qu'on mène les plans tangens à ces
surfaces en ces points; les plans tangens à la première couperont les
plans tangens à la seconde suivant quatre droites qui seront deux à
deux sur deux plans fixes ;

L'intersection des deux surfaces se composera de deux courbes
planes {réelles ou imaginaires) situées dans ces deux plans;

Le rapport des distances du sommet du cône à deux points pris sur
les deux surfaces, en ligne droite avec ce sommet, est au rapport
des distances de ces deux points au plan fixe sur lequel se coupent
les deux plans tangens en ces points , dans une raison constante.

(32) La dernière partie de ce théorème donne les relations métriques
qui ont lieu entre deux surfaces du second degré qui se coupent suivant
des courbes planes.

pieds T , t' , ...., jusqu'à ce qu'elles soient perpendiculaires au plan P, leurs extrémités fi, ft, ....
formeront un corps qui sera un relief du corps proposé.

Pour construire un relief par cette méthode, on disposera du point de l'œil, du plan de
projection et du plan sur lequel on fait la perspective , de manière à satisfaire aux conditions
qu'on veut observer , soit dans la position , soit dans les proportions du relief par rapport au
modèle.

602 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

On ne connaissait ces relations que dans deux cas particuliers ; celui
où les deux surfaces sont semblables et semblablement placées, et celui
où les deux surfaces sont inscrites dans un cylindre. Ces deux cas sont
des corollaires du théorème général que nous venons d'énoncer.

Il est clair que les mêmes relations métriques appartiennent au sys-
tème de deux coniques quelconques situées dans un même plan. On
n'avait considéré, d'une manière générale, que les rapports de situation
que présente ce système; et quant aux relations métriques des deux
courbes, on s'était borné, je crois, à quelques relations harmoniques,
qu'on déduira aisément de la relation métrique fondamentale comprise
dans la dernière partie du théorème ci-dessus.

Deux surfaces du second degré inscrites dans un même cône , ou bien
deux coniques placées d'une manière quelconque dans un plan, ont
entre elles diverses relations métriques remarquables dont nous par-
lerons en traitant spécialement des figures homologiques dans la se-
conde partie de cet écrit.

§ IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués
^ des surfaces du second degré. — Théorie des axes conjugués relatifs

à un point.

(33) Soit une surface du second degré ; menons trois diamètre con-
jugués, c'est-à-dire, tels que les plans tangens aux extrémités de l'un
quelconque d'entre eux soient parallèles au plan des deux autres; faisons
la figure corrélative; nous aurons une surface du second degré; un plan
fixe correspondant au centre de la proposée , et un point * correspon-
dant à l'infini; ce point sera le pôle du plan fixe (27). A.ux trois
diamètres conjugués, correspondront trois droites situées dans le plan
fixe; aux points où un diamètre rencontre la première surface corres-
pondront les plans tangens à la seconde surface, menés par une des trois
droites ; et les points de contact de ces deux plans tangens correspon-
dront aux plans tangens aux extrémités du diamètre; la droite qui

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 608

joindra ces deux points de contact, qui sera la polaire de la droite en
question, correspondra à la droite d'intersection, située à l'infini , des
deux plans tangens aux extrémités du diamètre ; le plan des deux autres
diamètres passe par cette droite située à l'infini ; donc le point d'inter-
section des deux droites correspondantes à ces deux diamètres se trouve
sur la droite qui joint les deux points de contact sur la seconde sur-
face ; donc

A trois diamètres conjugués d'une surface du second degré , cor-
respondent, dans la surface corrélative , trois droites situées dans
un même plan fixe, qui sont telles que la polaire de chacune délies,
prise par rapport à cette seconde surface , passe par le point d'intei-
section des deux autres;

Aux extrémités des trois diamètres de la première surface, cor-
respondent les plans tangens à la seconde surface , menés par ces
trois droites ;

Et enfin , les points de contact de ces plans tangens avec la se-
conde surface coi'respondent aux plans tangens à la première sur-
face , menés par les extrémités de ses trois diamètres conjugués.

(34) Soient A, B, C les trois droites en question; et A', B'_, C leurs po-
laires , prises par rapport à la seconde surface ; ces trois droites passent
par le pôle du plan fixe dans lequel sont situées les trois premières, A ,
B, C (28); et elles jouissent de cette propriété caractéristique que la
polaire de chacune délies est comprise dans le plan des deux autres.
En effet la polaire de A' est la droite A ; il faut donc prouver que la
droite A est comprise dans le plan des deux droites B', C. Mais B' , par
construction, passe par le point de rencontre de A et C; C passe par le
point de rencontre de A etB; donc B' et C s'appuient sur A. Donc là
droite A , polaire de A' , est dans le plan des deux autres droites B' , C'.

Chacune des trois droites A' , B' , C passe par les points de contact
de la surface et de ses deux plans tangens menés par la polaire de cette
droite. De sorte que les trois droites A', B', C, menées par le pôle du
plan fixe, peuvent servir pour déterminer les plans tangens à la surface,
qui passent par les trois droites A, B, C.

604 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(35) Quand le point par où sont menées les trois droites A', B',C', est
le centre de la surface, ces trois droites sont trois diamètres conjugués;
de sorte que les théorèmes que nous allons trouver, relativement soit à
ces droites, soit à leurs polaires A, B, C, seront une généralisation
des propriétés des diamètres conjugués des surfaces du second degré.

Les trois droites menées par un point fixe, de manière que la po-
laire de chacune d'elles , par rapport à une surface du second de-
gré, soit comprise dans le plan des deux autres, donnent donc lieu
à une théorie analogue à celle des diamètres conjugués. Les propriétés
de ces trois droites sont nombreuses; et nous allons avoir plusieurs
fois à parler de ces systèmes de trois droites , dans nos applications du
principe de dualité, puis du principe d'homographie; par cette raison,
et pour abréger le discours, nous les appellerons axes conjugués , re-
latifs au point par lequel elles sont menées.

(36) Si l'on conçoit que ce point soit le sommet d'un cône circon-
scrit à la surface, ces axes seront trois axes conjugués du cône, c'est-à-
dire que les plans tangens au cône menés par chacun d'eux auront leurs
arêtes de contact situées dans le plan des deux autres. Et si l'on conçoit
un hyperboloïde ayant son centre au point fixe , et auquel le cône soit
asymptotique, ces trois axes seront trois diamètres conjugués de l'hy-
perboloïde. Ainsi nous pouvons dire que :

Trois axes conjugués dune surface du second degré , relatifs
à un point fixe , sont toujours, en direction, trois diamètres con-
jugués d'une autre surface du second degré ayant son centre au
point fixe.

Nous donnerons , dans nos applications du principe d'homographie,
une autre démonstration de ce théorème, qui est l'un des plus impor-
tans de la théorie des axes conjugués, et nous apprendrons à construire
la surface par rapport à laquelle ces axes sont toujours trois diamètres
conjugués.

(37) Soit une surface du second degré , dont le centre est o ; pre-
nons trois demi-diamètres conjugués; on sait que la somme des carrés
des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur un plan diamé-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 605

tral de la surface, sera constante, quel que soit le système des trois
diamètres conjugués.

Faisons la figure corrélative; nous aurons une surface du second
degré; un plan fixe O, et un système de trois droites situées dans ce
plan, telles que la polaire de chacune d'elles passera par le point de
concours des deux autres (33). Nous aurons de plus trois plans tan-
gens à la surface, menés par ces trois droites respectivement; un
point fixe pris dans le plan 0, et correspondant au plan diamétral de
la surface, dans la première figure; et enfin un second point fixe cor-
respondant à l'infini de la première figure, et qui sera le pôle du plan
0 par rapport à la nouvelle surface (27).

Appliquant à la propriété énoncée des trois diamètres conjugués,
le principe de transformation des relations métriques de l'art. (16),
nous en conclurons immédiatement ce théorème :

Si par trots droites , prises dans un plan fixe , de manière que la
polaire de chacune délies, par rapport à une surface du second
degré, passe par le point de concours des deux autres , on mène trois
plans tangens à la sur/ace , la somme des carrés des distances de ces
trois plans à un point fixe pris arbitrairement dans le plan fixe,
divisés respectivement par les carrés des distances de ces plans au
pôle du plan fixe , sera constante.

(38) Les droites menées du pôle du plan fixe aux points de contact des
trois plans tangens, sont, comme nous l'avons fait voir (34), les polaires
des trois droites prises dans le plan; ce sont les droites que nous avons
appelées axes conjugués relatifs au point par lequel elles sont menées ;
nous pouvons donc donner au théorème précédent cet autre énoncé :

Si, par un point fixe o, on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré , les plans tangens à la sut face en
trois des points où ces axes la perceront jouiront d^ cette propriété ,
que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitraire-
ment dans le plan polaire du point o, divisés respectivement par les
carrés de leurs distances à ce point o , sera constante , quel que soit
le système des trois axes conjugués.

To«. XI. 77

606 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

(39) Soit i le point pris dans le plan polaire du point o ; « le point
où l'un des plans tangens à la surface rencontre la droite oi; le rapport
des distances de ce plan aux deux points i, o , sei*a égal au rapport des
segmens ai, «o. Ainsi le théorème exprime que la somme des carrés des
trois rapports, tels que£, sera constante.

(40) Si la droite oi est parallèle au plan polaire du point o, tous les
segmens aé seront égaux, comme étant infinis et comptés sur une même
droite ; on en conclut ce théorème :

Si par un point fixe on mène trois axes conjiiçjués par rap-
port à une surface du second degré, les plans tangens à la surface ,
menés par trois des points où ces axes la rencontreront, feront
sur une droite menée par le point fixe parallèlement au plan po-
laire de ce point , trois segmens dont la somme des valeurs itiverses
des carrés sera constante j quel que soit le système des trois axes
conjugués.

(41) Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront
trois diamètres conjugués de cette surface; le plan polaire du point fixe
sera à l'infini, et d'une direction indéterminée; de sorte que toute
droite menée par le point fixe pourra être considérée comme parallèle
à ce plan ; on conclut donc du dernier théorème cette propriété des
diamètres conjugués :

Les plans tangens à une surface du second degré menés par les
extrémités de trois demi-diamètres conjugués font , sur un axe fixe
mené arbitrairement par le centre de la surface , trois segmens dont
les carrés ont la somme de leurs valeurs inverses, constante.

§ X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes
de trois axes conjugués relatifs à un point.

(42) La somme des perpendiculaires abaissées des six extrémités de
trois diamètres conjugués d'une surface du second degré., sur un plan
fixe mené arbitrairement dans l'espace, est constante.

On en conclut, par le principe de l'art. (16), que :

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 607

Si par trois droites, prises dans un plan fixe, de manière que
la polaire de chacune d'elles , par rapport à une surface du second
degré , passe par le point de concours des deux autres, on mène six
plans tangens à la surface , la somme des carrés distances de ces six
plans à un point fixe, pris arbitrairement dans l'espace, divisés
respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du
plan fixe, est constante.

(43) Par la considération des axes conjugués, on donne à ce théorème
cet autre énoncé :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rap-
port à une surface du second degré , les six plans tangens à la
surface , menés par les six points où ces trois axes la rencontre-
ront, jouiront de cette propriété que , la somme des carrés de leurs
distances à un point pris arbitrairement dans l'espace, divisés res-
pectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera
constante , quel que soit le système des trois axes conjugués menés
par ce point.

(44) Soit o le point par lequel sont menés les trois axes conjugués ,
et i le second point fixe pris arbitrairement dans l'espace; soit « le point
où l'un des six plans tangens rencontre la droite oi; le rapport des
distances de ce plan aux deux points i et o sera égal à ^. On aura donc
six rapports semblables à ^ , dont la somme des carrés sera constante.

Ainsi l'on aura

ai Ci

-t- — •+■ etc. ^ const.

(45) Supposons le point i situé à l'infini, tous les segmens <n, €i, etc.,
seront égaux, comme infinis et comptés sur une même droite; il restera
donc

I ]

— -f- ^^^ ■+■ etc. = const.
ao Co

Donc : Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par

608 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

rapport à une surface du second degré, et que par les points où ils
rencontreront la surface , on mène les six plans tangens ; ces plans
feront sur une droite fixe , menée arbitrairement par le point fixe ,
six segmens , compris entre ce point et ces plans respectivetnent ,
dont les carrés auront la somme de leurs valeurs inverses, con-
stante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(46) Supposons que, par le point o, ont ait mené trois droites fixes
perpendiculaires entre elles; on aura pour chacune d'elles une équation
semblable à la précédente; les ajoutant membre à membre, et remar-
quant que la somme des valeurs inverses des carrés des segmens qu'un
plan quelconque fait sur trois axes rectangulaires issus d'un même
point, est égale à la valeur inverse du carré de la distance de ce point
au plan , on en conclura ce théorème :

Si, par un point fixe , on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré, et que par les six points où ils per-
cent la surface , on mène six plans tangens à cette surface, la somme
des valeurs inverses des carrés des distances de ces six plans au
point fixe sera constante , quel que soit le système des trois axes
conjugués.

(47) Si l'on suppose, dans le théorème exprimé par l'équation du
n° 44, que le premier point o soit situé à l'infini, les segmens ao, So, etc.,
seront égaux, comme infinis, et l'on aura l'équation :

ai -»- Si •+- yi -t- etc. = const.

Ce qui exprime que :

Si dans un plan diamétral d'une surface du second degré on
prend trois droites, de m.anière que la polaire de chacune d'elles
passe par le point de concours des deux autres , et que par ces trois
droites on mène six plans tangens à la surface , la somme des carrés
des segmens compris entre un point fixe de l'espace et ces six plans,
sur une droite menée par ce point parallèlement au diamètre con-
jugué au j)lan diamétral, cette somme, dis-je, sera constante quel

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 609

que soit le système des trois droites prises comme il est dit, dans
le plan diamétral.

$ XL Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs
à un point. — Réflexions sur les méthodes de transformation.

(48) Soient trois axes rectangulaires ox, oy, oz, et une droite quel-
conque om menée par le point o; que, par le point m de cette droite,
on mène trois plans perpendiculaires respectivement aux trois axes,
et les rencontrant aux points a,', h^ , c,'; on aura

om B= oa', -f- oh\ -4- oc\ •

Nous pouvons exprimer ce théorème en disant que la somme des
carrés des trois projections de la droite om , sur trois axes rectangu-
laires, est constante, quelle que soit la position de ces trois axes; ainsi
l'on a

oa!, -\- ob', -4- oc', = const.

Pour transformer ce théorème, concevons une sphère qui ait pour
centre le point o : les trois axes ox, oy, oz, seront, en direction,
trois demi-diamètres conjugués de cette sphère : soient o,, ,6,, c,, les
points où ils la rencontrent; nous pourrons mettre notre équation
sous la forme

oa',' ob'," oc','
(1) ■+■ -»- = const.

oa, ob, oc.

Faisons la figure corrélative. Nous aurons une surface du second
degré, trois droites X, Y, Z, comprises dans un plan O, qui seront
telles que la polaire de chacune d'elles par rapport à cette surface,
passera par le point de concours des deux autres; soient X', Y', Z',
ces trois polaires; elles passeront par le pôle i du plan 0, pris par
rapport à la surface; et elles seront trois axes conjugués relatifs à ce

610 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

point i. Ce sont les droites qui correspondent aux trois droites situées
à l'infini dans les plans y os, zox , xoy , de la première figure.

Nous aurons encore, dans le plan 0, une quatrième droite corres-
pondant à la droite om; et si l'on mène par cette droite un plan
transversal M, il correspondra au point m.

Aux trois plans menés par ce point m, perpendiculairement aux
trois axes occ, oy, oz , correspondront les trois points où le plan M
rencontre les trois axes conjugués dont nous venons de parler.

D'après cela, on voit aisément que, aux quatre points o, a/ , a, et
l'infini , situés sur l'axe ox , correspondront , dans la nouvelle figure ,
quatre plans passant par la droite X : le premier est le plan 0 ; le
second passe par le point où le plan M rencontre l'axe X' qui est
la polaire de la droite X; le troisième est tangent à la surface en
l'un des deux points où cet axe la rencontre; et le quatrième passe
par le point i.

Le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des
quatre points de la première figure, auxquels ces plans correspon-
dent, lequel est ^. Exprimons le rapport anharmonique des quatre
plans par celui des quatre points où ils rencontrent l'axe X'. Soient
a, a', a, les trois premiers de ces quatre points, dont le quatrième
est *'; on aura

oa' , cm' ia'

oa, aa ia

Par chacune des deux autres droites Y' , Z' , passeront pareillement
quatre plans, qui donneront lieu aux deux équations

oh', ev

ih'

oh, eh

• ih'

oc', yc'

. *'"'

oc, yc

te

où l'on conçoit parfaitement les points représentés par les lettres
e,h,b' ,y,c,c'.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 611

On aura donc, d'après l'équation (1), la suivante, qui en est la
transformée ,

faa! fo'Y /Ci' tfc' V

fyd ic"

I — : — 1 = const.

yyc ic

OU

l'a ta' \i / ih ib' \ '

= const. ,

• , I • 1 . • I, 1 ■ I — • -r == const-
at aa I \ bS bC I \ cy c y '

' D'où résulte ce théorème :
Etant donnés une surface du second degré et un plan transversal^
si, autour d'un point '\, pris arbitrairement , on fait tourner trois
axes conjugués par rapport à la surface, et qu^on désigne par
a, 6, y, les points où, ils rencontrent le plan polaire du point i ; par
a, b, c, trois des six points où ils rencontrent la surface ; et enfin
par a', b', c', les trois points où ils rencontrent le plan transversal ,
on aura

quel que soit le système des trois axes conjugués menés par le
point i.

(49) Ce théorème exprime une propriété très-générale des systèmes
de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à
un point.

L'indétermination de position du plan transversal par rapport à la
surface , ou de la surface par rapport au plan, permet de faire diffé-
rentes suppositions qui conduisent à quelques théorèmes assez simples.

Ainsi, en supposant le plan transversal parallèle au plan polaire
du point fixe i, les rapports

ta' ib' ic'

ô^' Pc' cV

seront égaux ; et l'on aura

ta ib te

— - -+- rrt ■+- rr^ = const. ;
aa bS cy

612 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

ce qui exprime que :

Si, par un point fixe , on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré, la somme des carrés des segmens
compris entre le point fixe et trois des points où les trois axes ren-
contreront la surface , divisés respectivement par les carrés des
segmens compris entre ces trois points et le plan polaire du point
fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(50) Dans l'équation générale (2), qui a lieu pour une position
arbitraire du plan transversal, remplaçons le rapport |J par le
rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a , a' sur le
plan 0. Soient ap , a'p' ces perpendiculaires; le premier terme de
l'équation (2) deviendra

'îffl ia'
ap ' a'p'

Changeons de la même manière les deux autres termes , nous aurons
l'équation

/ia y f ia' y

(8) \ —■]''[ -r-,\ -^ «'te. = const.

\'^PJ \a'p'j

(51) Maintenant, c'est un théorème de géométrie élémentaire, très-
facile à démontrer par une comparaison de triangles , que si l'on mène
par le point i une perpendiculaire au plan mené par ce point et l'in-
tersection des deux plans M et 0 ; que cette droite rencontre le plan
M au point d' , et que de ce point d' on abaisse une perpendiculaire
d's' sur le plan O, on aura

= COS. (atd),

d's' a'p' ^ '

Cette équation a lieu quelle que soit la direction de la droite ia' .
D'après cela, l'équation (3) devient

t{ — 1 COS.' (o'td') -t- etc. : [ - — 1 =

= const.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. dlS

ou, en faisant passer le facteur {'^j,y dans le second membre, et
le comprenant dans la constante,

ta N'

— 1 C08. ' (a'id') -4- etc. = const.

apj

Cette équation exprime une propriété générale des systèmes de
trois axes conjugés d'une surface du second degré, relatifs à un même
point. La direction de la droite id' , dans ce théorème, est arbitraire,
puisque le plan transversal M, qu'elle a remplacé, était lui-même de
position arbitraire.

(52) Si l'on conçoit, menées par le point i, deux autres droites, on
aura, par rapport à elles, deux équations semblables à la précédente.
Et si l'on suppose ces deux droites et la première id' perpendiculai-
res entre elles, on aura, en ajoutant membre à membre ces trois
équations,

ta tb te

— j- — ■+■ — = const. :

ap bq cr

Ce qui exprime ce théorème :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré , et que, sur chacun deux, on prenne
un des deux points où ils perceront la surface ^ les trois points ainsi
pris jouiront de celte propriété , que la somme des carrés de leurs
distances au point fixe, divisés respectivement par les carrés de
leurs distances au plan polaire du point fixe, sera constante, quel
que soit le système des trois axes conjugés.

(53) Supposons, dans le théorème général (48), que le plan O soit
à l'infini; le point i sera le centre de la surface; les trois axes conju-
gués ia, ib, ic seront trois diamètres conjugués; les rapports ^, , etc. ,
seront égaux à l'unité, et l'équation (2) se réduira à

-4- -♦- = const. ;

'w'' "^7' "^^

ta tb te

To«. XI. 78

614 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

ce qui prouve que :

La somme des carrés de trois demi-diamètres conjugués d'une
surface du second degré , divisés par les carrés des segmens faits
sur ces diamètres par un plan transversal fixe, est constante.

(54) Enfin supposons que la surface, dans le théorème général (48),
soit de révolution, et ait un foyer situé au point i ; le plan 0, qui
est le plan polaire de ce point , sera le plan directeur correspondant
à ce foyer, et les trois axes conjugués ia, ib, ic, seront rectangulai-
res ; de plus les trois rapports ^ , etc. (50) , seront égaux et cons-
tans, et l'équation (3) se réduira à

a'p' b'q' cV

z=7 -+- ■=-, + ==i = const.
ta' ib' ic'

Ce qui signifie que :

Etant donnés deux plans et un point fixe dans V espace, si autour
de ce point on fait tourner trois axes rectangulaires , gui rencontre-
ront le premier plan en trois points , la somme des carrés des dis-
tances de ces trois points au second plan , divisés respectivement par
les carrés de leurs distances au point fixe , sera constante.

Ce théorème peut se démontrer directement au moyen de la pro-
position exprimée par l'équation

= ■ COS. (a'id'), (51).

d's' a'p'

(55) Il est curieux de voir tant de théorèmes différens, et dont plu-
sieurs sont des propriétés si générales des surfaces du second degré,
résulter d'une simple proposition de géométrie élémentaire relative
aux projections d'une ligne droite sur trois axes rectangulaires. Cet
exemple suffirait pour montrer l'utilité et la puissance des nouvelles
méthodes de transformation.

Ces méthodes nous paraissent répondre parfaitement à cette pensée
de M. Poinsot : a En géométrie, comme en algèbre, la plupart des
)j idées différentes ne sont que des transformations; les plus lumi-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 61» *

» neuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux
» image, et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours
)) et dans le calcul. » (Élëmens de statique, 6*= éd. , p. 351). Ce sont
ces idées les plus lumineuses et les plus fécondes, que les méthodes
de transformation feront découvrir, soit en établissant les liens cachés
qui ont lieu entre une foule de propositions qui semblaient d'abord
isolées et étrangères les unes aux autres, soit en variant très-diverse-
ment, par des procédés certains, les formes d'une idée primitive.

Et que l'on ne croie pas que celte foule de théorèmes divers, qu'on
peut aujourd'hui multiplier indéfiniment par ces méthodes, doivent
compliquer la géométrie, et en rendre l'étude plus longue et plus
pénible. Toutes ces propositions, nouvelles ou plus générales que
celles qu'on connaissait déjà, auront, au contraire , pour effet certain,
de simplifier cette science et d'en étendre les doctrines.

En effet, d'une part, les propositions d'un nouveau genre donneront
lieu à des théories et à des considérations géométriques nouvelles ; et
d'autre part , les propositions qui rentreront dans des théories connues
forceront, par leur généralité, d'élargir les bases actuelles de ces
théories, et de les asseoir sur des principes susceptibles de déductions
plus diverses et plus générales. Car nous considérons les méthodes de
transformation comme des moyens précieux pour la découverte de
théorèmes nouveaux , et la démonstration de quelques vérités partielles;
mais quand il s'agit de vérités appartenant à une théorie déjà formée, •
les démonstrations que procurent ces méthodes artificielles ne nous
paraissent pas complètement satisfaisantes; cette théorie doit trouver
en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe
des vérités qui lui appartiennent, sans qu'on soit obligé de s'appuyer
sur les vérités correspondantes dans la théorie corrélative. Ainsi, par
exemple, si nous faisions entrer dans un traité des surfaces du second
degré les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les para-
graphes précédons, telles que celle des aaaes conjugués relatifs à un
point, ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés, et
non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui.

616 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

nécessairement, amèneront un perfectionnement notable dans les
théories géométriques.

Ainsi, ce n'est pas seulement sous le rapport du grand nombre de
propositions qu'on introduira dans la géométrie, que nous reconnais-
sons une haute utilité aux méthodes de transformation; mais c'est aussi
parce qu'il en résultera un perfectionnement certain des méthodes et
des théories, et que, par suite, la science gagnera en étendue et en
facilité.

Nous pouvons citer, à l'appui de ces réflexions , la théorie des coni-
ques. On s'est effrayé parfois du nombre prodigieux de propositions
dont elle s'est accrue depuis une trentaine d'années; et cela a détourné
peut-être de l'étude de la géométrie ; cependant les personnes qui ont
suivi ce développement, penseront certainement qu'un traité des co-
niques qu'on écrirait aujourd'hui, et qui embrasserait toutes ces pro-
positions récentes ainsi que toutes les anciennes, serait beaucoup plus
facile, plus lumineux, et plus court en paroles, en même temps que
plus étendu en doctrine, que le grand traité d'Apollonius, et que les
ouvrages célèbres de De la Hire, de L'Hôpital, et de R. Simson.

§ XII. Transformation des propriétés du centre des moyennes
distances d'un système de points. Centre des moyennes harmoniques.

(56) Soient plusieurs points a, h, c, en ligne droite; on sait qu'il

existera sur cette droite un certain point g tel que, quel que soit un
autre point m, pris sur cette droite, on aura toujours l'équation

ma ■+■ mb ■+■ me -+- .... = n.mg ,

ou

ma mb me

— -4- ■ — -4- 1- .... = n;

mg mg mg

n étant le nombre des points a, b , c,

Le point g est appelé le centre des moyennes distances des points
a, c, b '.

' La théorie du centre des moyennes distances contient implicitement celle du centre de gra-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 617

Faisons la figure corrélative, nous aurons des plans A, B, C, ....
G et M passant par une même droite, et un dernier plan I, passant
aussi par cette droite, et correspondant au point situé à l'infini sur la
droite ma. L'équation ci-dessus donnera, en vertu de la seconde partie
du principe de corrélation (13),

(1) . . .
ou

(2) . ...

sin. I, sin. I,B sin. I,G

Tirons une transversale quelconque qui rencontrera ces plans aux
points a, S, y, 9, (lel i; on aura

sin. M,A sin.

I,A sin.

M,B ^

sin. l,ii

sin. M,G * sin.

I,G sin.

M,G '

sin. I,G

sin. M, A

sin. M,B

-♦- -. r-

-+- ....

sin. M, G
. = n. — — •

fiia ta sin. M, A
fi6 ' iS sin. MG

sin. lA
sin. IG '

ftx fiC fty

_ + H H- ...

iX iS ry

.. = n. —

,9

et par conséquent

(»)

Le point m était arbitraire dans l'équation (1); donc le plan M, et
par suite, le point ^ sont aussi arbitraires dans les équations (2) et (3) :
prenons ce point ju à l'infini, l'équation (3) deviendra

«t iS ty i9

Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans

vite , parce que , pour passer de la première à la seconde , il suffit de supposer que plusieurs
points du système se réunissent en un seul. On introduit de la sorte, dans l'cquation (1),
comme dans toutes celles qui se rapportent à celte théorie, des coefficiens dont chacun marque
le nombre des points réunis en un seul , et peut être regardé comme la masse de ce point uni-
que. Ainsi nous pouvons, pour plus de simplicité, ne parler que du centre des moyennes dis-
tances , et néanmoins les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes au centre
de gravité d'un système de points matériels.

618 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

A, B, C,... , G et I, les points où elle percera ces plans donneront tou-
jours lieu à cette équation.

Maclaurin a appelé, dans cette équation, la distance t9 la moyenne
harmonique entre les distances ix, £, ty.... ' ; et M. Poncelet a appelé le
point 9 le centre des moyennes harmoniques des points a, ê, y,.... 'par
rapport au point i ^.

(57) L'équation (4) exprime donc ce théorème, qui est le corrélatif
de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points
situés en ligne droite, exprimée par l'équation (1) :

Etant donnés plusieurs plans A, B, C, et un dernier plan I ,

passant tous par une même droite ; il existera toujours un certain
plan G, passant aussi par cette droite, et jouissant de cette pro-
priété, que, si l'on mène une transversale quelconque , le centre
des moyennes harmoniques des points où elle percera les plans A ,

B , C , ... par rapport au point où elle percera le plan I , sera tou-
jours dans ce plan G.

(58) Remarquons que si la transversale était menée parallèlement
au plan I, on aurait

ta iS

et l'équation (2) deviendrait

Ce qui prouve que le point 0 est le centre des moyennes distances des

points», 6, y,

Ainsi nous pourrions dire que le plan G est tel que toute transver-
sale, parallèle au plan I, le rencontre en un point qui est le centre
des moyennes distances des points où cette transversale rencontre les
plans A, B, C ,

(59) La position du point 9, qui est le centre des moyennes harmo-

' § 28 de son Traité des propriétés générales des courbes géométriques.

^ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques , inséré dans le t . 111 du Journal de Mathé-
tiiatiques de M. Crelle.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 619

niques des points a, ê, y,.... par rapport au point t, est déterminée
indifféremment par l'équation (4), ou par l'équation (3), qui contient
un point arbitraire n ; de sorte que ces deux équations sont identiques.
Cette identité résulte de la propriété même du centre des moyennes
distances, exprimée par l'équation (1) où le point m est indéterminé;
mais on peut en donner une démonstration directe, très-facilement.

D'abord on passera de l'équation (3) à l'équation (4) en remplaçant,
dans la première, [jm par fu — ta, fié par fu — £; et ainsi des autres segmens.

Réciproquement, on passera de l'équation (4) à l'équation (3) en
prenant l'équation identique

4a iC ly li

- •*---* 1- .... =«• -,

uc iC ty êd

et la retranchant de l'équation (4), après avoir multiplié les deux
membres de celle-ci par |U«; car il en résulte

fil — /« fil — iS fil — ly fil — li
H H 1 = n. ,

IX iS ly li

OU

lut fiC fcy fii

u iC . ly li

Ainsi l'identité des deux équations (3) et (4) est démontrée directe-
ment. Elle exprime une propriété importante du centre des moyennes
harmoniques d'un système de points situés en ligne droite.

(60) Maintenant, si nous considérons l'équation (4), non plus sous
le rapport de sa signification propre dans la théorie du centre des
moyennes harmoniques, mais comme exprimant une relation entre
cette théorie et celle du centre des moyennes distances, relation
fondée sur le principe de dualité, nous aurons ce théorème, qui nous
sera utile dans la suite :

« Si l'on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des
» moyennes distances, et qu'on fasse la figure corrélative, on aura
)) des plans passant par une même droite; dont le dernier, qui corres-

620 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

» pondra au centre des moyennes distances, sera tel que si on tire
» une transversale quelconque, le point où elle rencontrera ce dernier
)) plan sera le centre des moyennes harmoniques des points où elle
» percera tous les autres plans , par rapport au point où elle percera
» le plan correspondant au point situé à l'infini sur la droite des points
w de la première figure. »

(61) Considérons plusieurs points en ligne droite, a, h, c,..., et
leur centre des moyennes harmoniques g , pris par rapport à un point
o de cette droite; on aura

ou

1

l

oa

-t-

ôb

oa

+

hb

og

Faisons la figure corrélative. Nous aurons n plans A, B, C,... un
plan 0 , et un dernier plan G, plus un plan I , correspondant au point
de la droite ah situé à l'infini; tous ces plans passeront par une même
droite. Menons une transversale quelconque, qui rencontrera ces
plans aux points «, S, y,. ..m, 0 eX i; on aura, d'après la seconde partie
du principe de dualité,

ai iS aô i9

— : — ■+- — : — H....=w;

aa IX aS iS

ou

ta iS lû

— + 1-....=». — ,

ou, suivant ce qui vient d'être démontré ci-dessus,

1 1 M

— -f- — I- .... = — •

act. aS ai

Ce qui prouve que :

« Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des
)) moyennes harmoniques par rapport à un point de cette droite;
)) si l'on fait la figure corrélative, on aura des plans passant par une

MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 621

» même droite, dont l'avant dernier sera tel que si l'on mène une
)) transversale quelconque, elle rencontrera ces plans en des points
)) dont l'avant dernier sera le centre des moyennes harmoniques des
)) premiers par rapport au dernier. »

(62) Soient des points», b, c,.... placés d'une manière quelconque
dans l'espace, et g leur centre des moyennes distances ; la propriété
de ce point est que, si par tous ces points on mène des plans paral-
lèles entre eux, une transversale quelconque les rencontrera en des
points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous
les autres.

Faisons la figure corrélative; nous aurons des plans A, B, C,....
placés d'une manière quelconque dans l'espace, et un dernier G,
correspondant au centre des moyennes distances g. Tous les plans
menés parallèlement entre eux par les points a, b,.... g, donneront lieu
à des points situés sur les plans A, B,.... G, et tous sur une même
droite passant par le point i qui répond à l'infini de la première figure;
le dernier de ces point sera le centre des moyennes harmoniques de
tous les autres par rapport au point i (60) ; on a donc ce théorème :

Quand on a plusieurs plans, placés d'une manière quelconque
dans l'espace, si, autour d'un point ficee , on fait tourner une trans-
versale, et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmo-
niques des points oii elle perce les plans , par rapport au point fixe ,
ce centre aura pour lieu géométrique un plan.

M. Poncelet a appelé ce plan, dans son Mémoire cité ci-dessus, le
plan des moyennes harmoniques , relatif au point fixe.

Il est remarquable que ce théorème soit précisément le corrélatif
de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de
points.

Maclaurin a démontré ce théorème pour le cas d'un système de
lignes droites situées d'une manière quelconque dans un plan ' ; nous
le reproduisons ici pour montrer cette relation remarquable qui existe

' De linearum geometricarum proprietatibu» generalibus tmciatus, § 26.

To«. XI. 79

622 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

entre ce théorème et la propriété du centre des moyennes distances
d'un système de points. On n'aurait pas supposé à priori des rapports
aussi directs et aussi simples entre deux propositions en apparence
si différentes.

(63) En appliquant le principe de dualité au théorème que nous
venons de démontrer, on parvient immédiatement au suivant :

Quand on a un système de points a, b, c^.... dans V espace, et
un plan fixe I , si par une droite , prise arbitrairement dans ce
plan , on mène des plans passant par tous ces points ; puis qu'ori
tire une transversale quelconque, et qu!on prenne sur elle le centre
des moyennes harmoniques des points où elle percera ces plans ,
par rapport au point où elle percera le plan I, le plan mené par
ce centre et par la droite prise dans le plan I , passera par un point
fixe, quelle que soit cette droite.

Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet le centre des moyennes
harmoniques des points a, h, c,... par rapport au point I.

Ce théorème est une généralisation de la propriété du centre des
moyennes distances d'un système de points; car si le plan I est à
l'infini , le point fixe sera précisément le centre des moyennes distances
des points a, h, c,....

(64) Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points,
par rapport à un plan, jouit de diverses autres propriétés que nous
omettons ici, parce que nous reviendrons sur cette théorie dans la
seconde partie de cet écrit , en appliquant le principe de déformatioti
homo graphique.

§ XIII. Théorème de Newton sur les diamètres des courbes. — Pro-
priétés nouvelles des surfaces géométriques.

(65) Soit une surface géométrique. Si on tire des transversales pa-
rallèles entre elles, et qu'on prenne le centre des moyennes distances
des points où chacune d'elles rencontrera la surface, le lieu géomé-
friqtie de ces centres sera un plan.

HtMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 623

Cela est une conséquence du théorème que Newton a donné sur les
diamètres des courbes géométriques, au commencement de son Énu-
mération des lignes du troisième ordre.

Faisons la figure corrélative; nous aurons une nouvelle surface
géométrique: aux transversales correspondront des droites, toutes
situées dans un même plan, qui correspondra au point de concours
(situé à l'infini) des transversales; d'après ce que nous avons dé-
montré (60) , sur la transformation de la propriété du centre des
moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite , on
aura ce théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan , situé dune
manière quelconque dans V espace, si par une droite , prise arbi-
trairement dans ce plan , on mène les plans tangens à cette surface;
puis , qu'on tire une transversale quelconque et qu'on prenne sur
elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera
tous les plans tangens , par rapport au point où elle percera le
plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans
le plan donné, passera par un point fixe , quelle que soit cette
droite

(66) Si la surface primitive est l'ensemble de plusieurs plans, sa
transformée se réduira à plusieurs points isolés, et le théorème expri-
mera la propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système
de points, déjà démontrée ci-dessus (63).

(67) Si par les points où une des transversales T, dans la première
figure , rencontre la surface , on mène les plans tangens à cette surface,
et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où toute
autre transversale rencontre ces plans tangens, ce centre sera sur le
plan P, lieu géométrique des centres relatifs à la surface. Car ce point
sera sur un plan fixe P', parce que les plans tangens forment une sur-
face géométrique ; mais quand la transversale sera infiniment voisine
de la première T, les points où elle percera la surface se confondront
avec les points où elle percera les plans tangens ; les deux plans P, P',
auront donc plusieurs points communs , et se confondront.

624 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Faisant la figure corrélative, on conclut aisément de là, d'après le
théorème (66) , ce nouveau théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan fixe situé d'une
manière quelconque dans l'espace , si par une droite , prise arbi-
trairement dans ce plan , on m.ène les plans tangens à la surface, le
centre des moyennes harmoniques de leurs points de contact avec la
surface , relatif au plan fixe , sera toujours le même point de
l'espace, quelle que soit la droite prise dans ce plan.

(68) Si le plan fixe est à l'infini , on conclut de ce théorème cette
autre propriété singulière des surfaces géométriques :

Etant donnée une surface géométrique , si on lui mène ses plans
tangens parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la
surface auront pour centre des m,oyennes distances un point fixe,
quelle que soit la direction commune des plans tangens.

(69) Les propriétés générales des surfaces géométriques, que nous
venons de démontrer, ont lieu, bien entendu, pour les courbes planes;
et elles s'appliquent aussi aux courbes à double courbure; car dans
les théorèmes connus d'où nous les avons déduites, par notre principe
de transformation, la surface proposée pouvait être développable et
donner pour transformée une courbe à double courbure (17).

(70) Ces théorèmes, combinés entre eux, et appliqués à des systèmes
de cônes et de cylindres circonscrits à une surface géométrique, ou
passant par une même courbe à double courbure , conduisent à plu-
sieurs autres théorèmes curieux qui sont une généralisation des pro-
priétés des cônes circonscrits à une surface du second degré, et ayant
leurs sommets sur une droite ou sur un plan.

Il ne peut entrer dans l'objet de cet écrit de nous étendre davantage
sur ce genre tout nouveau de propriétés générales des surfaces et des
courbes géométriques. Nous en avons fait d'ailleurs l'objet d'un mé-
moire spécial inséré dans la Correspondance mathématique de
M. Quetelet. (Voir le second Mémoire sur la transformation para-
bolique des relations métriques des figures. Correspondance, t. VI.)

Nous donnerons dans la seconde partie de cet écrit quelques autres

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 625

propriétés des courbes et des surfaces géométriques , qui appartiennent
à la même théorie.

$ XIV. Propriété du quadrilatère gauche j double génération de
thyperboloïde à une nappe, par une ligne droite mobile.

(71) Soit un quadrilatère gauche aa'b'b ; on sait que si l'on mène
une droite mm' qui divise les côtés opposés ab, a'b', proportionnelle-
ment, c'est-à-dire de manière qu'on ait

am a'tn'
^'^ ï^ "" PW '

1" La droite mm' sera dans un plan parallèle aux deux autres côtés
aa'ybb;

2° Cette droite rencontrera toute droite, telle que nn', qui s'appuie
sur les côtés aa', bb', et qui est parallèle au même plan que les deux
côtés ab, a'b' . {Géométrie de Legendre, 5^ livre.)

Faisons la figure corrélative. Nous aurons un second quadrilatère
gauche aa'êS' y dont les plans des angles «, «', S, S', que nous désignons
par A, A', B, B', correspondent respectivement aux sommets a, a', b, b'
du premier. Aux points m , m' correspondront, dans la nouvelle figure,
deux plans M, M' passant respectivement par les deux côtés a£, a'6'; et
aux points n, n' correspondront deux plans passant respectivement
par les deux côtés aa', €S'.

Soient I , I' les deux plans qui correspondent aux points situés à
l'infini sur les deux côtés ab , a'b'; ces plans passeront par les deux
côtés ç£ , tt'6' respectivement ; et l'on aura

sin. M, A

sin. I,A

sin. M,B

' sin. I,B

sin. M',A'

^ sin. I',A'

ma
mb

sin. M',B' ' sin. r,B' m'b'

626 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

On a donc, d'après l'équation (1):

sin, M,A sin. I,A sin. M',A' sin. r,A'

(2)

sin. 1V1,B * sin. I,B sin. M',B' ' sin. r,B'

C'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre plans A, B, I, M,
est égal au rapport anharmonique des quatre plans A.', B', I', M'.

Les droites aa', bb', mm' étant parallèles à un même plan, on peut
les considérer comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini;
les droites qui leur correspondent, dans la nouvelle figure, s'appuie-
ront donc aussi sur une même droite ; et cette droite rencontrera la
droite d'intersection des deux plans I, I', puisque celle-ci correspond
aussi à une droite située à l'infini, et que toutes les droites à l'infini
sont considérées comme étant dans un même plan.

Enfin, la droite nn' étant dans un plan parallèle aux deux côtés
ab, a'b', ces trois droites peuvent être considérées comme s'appuyant
sur une même droite située à l'infini; à cette droite située à l'infini
correspond la droite d'intersection des deux plans I , I'; à la droite nn'
correspondra donc une droite quelconque s'appuyant: l"* sur la droite
d'intersection des deux plans A , A'; 2" sur la droite d'intersection des
deux plans B, B'; et 3° sur la droite d'intersection des deux plans I, I'.

De là on conclut ce théorème :

Étant donnés trois plans A, B , l, passant par une droite y et trois
autres platis quelconques A', B', F , passant par une seconde droite;
si autour de ces deux droites on fait tourner deux plans M , M' , de
manière que le rapport anharmonique des quatre plans A, B ,1, M,
soit égal au rapport anharmonique des quatre autres plans A', B',
r , M' , la droite d'intersection des deux plans M , M' s appuiera ,
dans toutes ses positions , sur toute transversale qui s'appuierait sur
les trois droites d'intersection des plans A, B, /, par les plans A' , B', /',
respectivement.

Cela prouve que la droite d'intersection des deux plans M, M', en-
gendre un hyperboloïde à une nappe ; et comme la transversale sur
laquelle cette droite s'appuie dans toutes ses positions est indéter-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 617

minée, on en conclut aussi la double génération de cette surface par
une ligne droite.

Ce théorème correspond à celui que nous avons appelé, dans la
géométrie plane, propriété anharmonique des points d'une conique
{voir la Note XV). Il nous sera très-utile dans la théorie des surfaces
du second degré.

ni) Remarquons que l'équation (2) donne

sin. M, A sin. M', A' sin. I,A sin. r,A'

•in. M,B * sin. M',D' sin. I,B * sin. 1,8'

= consl.

»in. M, A

-^ „'- est égal au rapport des distances d'un point du plan M aux
deux plans A, B. Prenons ce point sur la droite d'intersection des
deux plans M, M'. Le rapport des distances du même point aux deux
plans A', B', est égal à ii°.M''.B'' Ce rapport est donc au premier dans
une raison constante; donc

Si ton demande un point dont le rapport des distances à deux
plans donnés soit au rapport de ses distances à deux autres plans ,
dans une raison constante, le lieu géométrique de ce point sera un
hyporboloïde à une nappe.

Cela est encore un exetnple assez remarquable qui montre la pos-
sibilité de tirer par nos méthodes de transformation, d'un simple
théorème de géométrie élémentaire , des propriétés générales des sur-
faces du second degré.

§ XV. Transformation des propriétés générales des surfaces
géométriques rapportées à trois axes coordonnés.

(73) Soient une surface géométrique du degré m, et trois axes
coordonnés ox ,oy , os; que par chaque point de la surface on mène
trois plans parallèles, respectivement, aux trois plans coordonnés ; les
segmens ox', oy' , os' , que ces plans formeront sur ces axes, auront
entre eux une relation constante du degré w, quel que soit le point

628 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

de la surface; cette relation, que nous représentons par

(l) F (03:', oy', oz') = o,

est l'équation de la surface.

Formons la figure corrélative ; nous aurons une surface géométrique
à laquelle on pourra mener, par une droite quelconque , m plans tan-
gens (réels ou imaginaires); et trois droites situées dans un même
plan 0 : les trois sommets A, B, C du triangle formé par ces trois
droites correspondront aux plans coordonnés yz, zx et xy ; de sorte
que les trois droites BC, CA, AB, correspondront respectivement aux
trois axes ox , oy, oz. Aux trois plans menés par un point de la pre-
mière surface, parallèlement aux trois plans coordonnés, correspon-
dront les trois points ^', v', Ç', où un plan tangent à la nouvelle surface
rencontrera les trois droites fixes menées des trois sommets du triangle
au point i, qui correspond à l'infini de la première figure. Aux trois
points x\ y', z', correspondront les trois plans menés par les trois côtés
du triangle et par les trois points où le plan tangent rencontre les trois
droites issues du point i; soient X', Y', Z' ces trois plans.

Prenons sur les axes ox , oy, oz, trois points fixes d, e, /",• et soient
D, E, F, les trois plans correspondans, lesquels passent par les trois
côtés du triangle ABC ; les trois plans îBC , îAC, î'AB, correspondront
aux trois points situés à l'infini sur les trois axes ox, oy, oz; on aura
donc

ox' sin. 0,X' sin. «I5C,X'
od sin. 0,D * sin. iDC,D

oy' sin. 0,V sin. tCA,Y'
oe sin. 0,E ' sin. zCA,£

oz' sin. O.Z' sin. «AB,Z'

of sin. 0,F ' sin. îAB,F

Soient 5, e, (p, les points où les trois plans D, E, F, rencontrent res-
pectivement les trois axes ^A, iB, iC; le second membre de la pre-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 629

mière de ces trois équations sera égal à

on aura donc

o£ _ Ar ^ »r
d'où

, /AÇ' A^\ ^

On a semblablement

/B/ Bf

\ tv te '

Mettant à la place de ox' , oy' , oz' , ces valeurs dans l'équation (1)
de la surface proposée , on aura une équation où les trois rapports

AT B/ CÇ'

ir ' i/' 7F'

qui déterminent la position de chaque plan tangent à la nouvelle sur-
face, entreront au degré m. Cette équation ne contiendra pas d'autres
variables que ces trois rapports; car k$, i$, od, etc., sont des con-
stantes. On peut comprendre ces constantes dans les coefficiens de l'é-
quation; on a donc cette propriété générale des surfaces géométriques :
Quand on a une surface géométrique , et un tétraèdre situé dune
7nanière quelconque dans l'espace , chaque plan tangent à la sur-
face fera deux segmens sur chacune des trois arêtes aboutissant
au sommet du tétraèdre ; si on forme les rapports des trois seg-
mens situés du côté de la base aux trois autres respectivement , ces
trois rapports auront entre eux une relation constante d'un degré
égal au nombre des plans tangens qu'on pourra mener à la sur-
face par une même droite.

To«. XI. 80

630 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Et, réciproquement :

Si, ayant un tétraèdre, on mène un plan de manière que , si on
forme le rapport des segmens qtiHl fera sur chaque arête aboutis-
sant au sommet du tétraèdre (le segment situé du côté de la base
du tétraèdre étant pris pour numérateur dans ce rapport), les
trois rapports ainsi faits aient entre eux une relation constante
du degré m, le plan enveloppera une surface à laquelle on pourra
mener m plans tangens par une même droite.

(74) Ainsi, si la relation est du premier degré, le plan tournera
autour d'un point fixe;

Si la relation est du second degré, le plan enveloppera une surface
du second degré. D'où l'on peut conclure différentes propriétés des
surfaces du second degré.

(75) Nous avons trouvé

, /At' t?'\
oar' = — - : ^ . od;

si le point i est à l'infini, on aura seulement

od

et pareillement

ox' = Af.

Acf '

„ , oe
oy =Bv.-,

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et comprenant les con-
stantes

od oe of

7^' b7' c7'
dans les coefficiens de l'équation, on aura une équation

F (Ar, B/, cr) = o,

qui sera du degré w par rapport aux variables A^', Bi/', Cç'. Donc :
Si l'on a une surface géométrique, et que par trois points fixes

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 631

on mène trois axes parallèles entre eux; chaque plan tangent à
la surface coupera ces axes en trois points dont les distances aux
trois points fixes respectivement auront entre elles une relation con-
stante d!un degré égal au nombre des plans tangens qu'on peut
mener à la surface par une même droite ;
Et réciproquement.

(76) Ainsi : Si l'on a dans t espace trois droites parallèles entre
elles, sur lesquelles sont pris trois points fixes, et qu'on porte sur
ces droites , à partir de ces trois points fixes, trois segmens qui
aient entre eux une relation constante du premier degré , le plan
déterminé par les extrémités de ces segmens passera , dans toutes
ses positions , par un point fixe.

(77) Reprenons l'expression de ox' ,

ox = ( • : — . od.

Supposons les trois points k, B, G, à l'infini; il viendra

et pareillement

03^

_ 1

iV.

od;

orf

_ 1

~77 '

tf.

oe,

0«'

1

iC

if.

of.

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et faisant entrer les con-
stantes dans les coefficiens, on aura une équation

\i^ tv' iC j

où les variables

J- J_ _L

♦r ' »' ' .y

entreront au degré m.
Donc
Quand on a une surface géométrique , si par un point on tire

\

632 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

trois awes fioces quelconques , chaque plan tangent à la surface les
rencontrera en trois points dont les distances au point fixe auront
entre leurs valeurs inverses une relation constante d'un degré égal
au nombre de plans tangens qu'on pourra mener à la surface
par une même droite ;
Et réciproquement.

(78) Ainsi : si Ton prend sur les arêtes d'un angle trièdre trois
points dont les distances au sommet de l'angle aient entre leurs
valeurs inverses une relation constante du premier degré, le plan
déterminé par ces trois points passera, dans toutes ses positions ,
par un point fixe.

(79) Concevons le tétraèdre «ABC, et le plan qui coupe ses trois
arêtes ik, ^B, «C, aux points 'i', v', ç'; soient p, p', p" , p'", les distances
de ce plan aux quatre sommets i , A , B , C ; on aura

/ _ AÇ' p" _ B/ p'" _ cX

p lii p vj p tC,

on aura donc , d'après le théorème (73) , une relation

F -, — , — =0,

OÙ les trois rapports entreront au degré m; si donc on multiplie tous
les termes par p"' , on aura une équation homogène du degré m entre
les quatre distances p, p' , p" , p'".

Donc

Dans toute surface géométrique, les distances de chacun de ses
plans tangens à quatre points fixes , pris arbitrairement dans l'es-
pace, ont toujours entre elles une relation homogène d'un degré
égal au nombre des plans tangens (réels ou imaginaires) qu'on
peut mener à la surface par une même droite.

Et , réciproquement :

Quand les distances d^un plan mobile, à quatre points fixes, ont
entre elles une relation homogène du degré m, ce plan enveloppe

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 633

une surface courbe, à laquelle on peut mener, par une même droite
quelconque , m plans tangens (réels ou imaginaires) '.

(80) Ainsi, si l'on demande un plan, tel que ses distances à quatre
points fixes , multipliées respectivement par des constantes , aient leur
somme égale à zéro, une infinité de plans satisferont à la question,
et tous ces plans passeront par un même point. Et en effet on sait
que ce point serait le centre de gravité des quatre points fixes, s'ils
avaient des masses proportionnelles aux constantes qui multiplient les
distances du plan mobile à ces points.

§ XVI. Nouvelle méthode de géométrie analytique.

(81) Les théorèmes précédons offrent une manière de déterminer,
par une équation entre trois variables, tous les plans tangens à une
surface courbe, analogue à celle par laquelle on détermine en géomé-
trie analytique, par une équation entre trois variables, tous les points
d'une surface.

On prendra arbitrairement dans l'espace un tétraèdre «ABC. Un
plan rencontrera les trois arêtes t'A, «B, tC,en trois points ^, u, ç, qu'il
sullira de connaître pour que le plan soit déterminé. On déterminera
ces points eux-mêmes par les rapports

AÇ Bv CÇ

tÇ »y tÇ

qn'on pourra appeler les coordonnées du plan, et que nous repré-

' Ce théorème s'applique à un nombre quelconque de points fixes ; c'est-à-dire que :
Étant donnés plusieurs points fixes dans l'espace , si on mène un plan de manière que se» dis-
tances à ces points aient entre elles une relation homogène constante du degré m , ce plan enve'
loppera, dans toutes ses positions, une surface géométrique à laquelle on pourra mener m plans
tangens par une même droite.

Ce théorème se conclut , par le principe de dualité , de cette autre proposition , dont la dé-
monstration résulte des premiers principes de la gcomélric analytique , savoir : Le lieu d'un
point dont les distances à plusietirs plans fixes ont entre elles une relation constante du degré m,
est une surface géométrique qu'une droite quelconque rencontre en va points {réels ou imaginaires).

634 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

senterons par x, y , z. Chaque système de valeurs de ces trois coor-
données donnera un plan. Donc une équation entre ces trois coordon-
nées représentera une infinité de plans , tous assujettis à une certaine
loi exprimée par celte équation, et qui, par conséquent, enveloppe-
ront une certaine surface.

Il résulte du théorème (73) qu'une équation F {x, y , z) == o , ohles
variables x,y, z, n'entrent qu'au premier degré, représente un point;
c'est-à-dire que tous les plans déterminés par cette équation passe-
ront par un même point ; qu'une équation du second degré représente
une surface du second degré; et en général qu'une équation du degré
m représente une surface à laquelle on peut mener m plans tangens
par une même droite.

(82) Deux équations qui devront avoir lieu en même temps , déter-
mineront les plans tangens communs aux deux surfaces que ces équa-
tions individuellement représentent; ces deux équations représente-
ront donc la surface développable circonscrite à ces deux surfaces.

Pareillement trois équations donneront les plans tangens communs
aux trois surfaces représentées par ces équations.

Il suit de là que, quand trois surfaces seront inscrites dans la même
développable, les équations de deux d'entre elles devront rendre iden-
tique l'équation de la troisième.

Ainsi, si l'on a deux surfaces du second degré représentées par
les équations F = o, /" = o, toute autre surface du second degré,
inscrite dans la développable circonscrite aux deux premières , aura
son équation de la forme ¥ -\- l. f= o,l étant une constante.

(83) Chaque plan tangent à une surface la touche en un point
qu'on déterminera par une formule semblable à l'équation du plan
tangent à une surface dans le système de coordonnées en usage.

Ainsi soient F (Xj y^ z) = o l'équation de la surface, et x' , y' , z' ,
les coordonnées de son plan tangent; l'équation du point de contact
sera

d? dV dV

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 633

(84) Si l'on veut avoir l'intersection de la surface par un plan, on
indiquera que le point dont nous venons de donner l'équation doit
être sur ce plan. Soient «, 6, y, les coordonnées de ce plan; on aura
l'équation de condition

dT , rfF rfF

-_(,_.) ^_(C-y')-H_(y-y) = o.

Cette équation représente une surface dont les coordonnées cou-
rantes sont a?', y' , s'. Cette surface est telle que les plans tangens
à la surface proposée , en ses points d'intersection par le plan (a, 6, y),
lui sont aussi tangens. Donc cette équation et celle F (a?' , y' , z') '= o
de la surface proposée, représentent une développable circonscrite
à celle-ci suivant sa courbe d'intersection par le plan dont les coor-
données sont a^ €, y. Ainsi cette courbe d'intersection est déterminée.

(85) Nous ne pousserons pas plus loin ces analogies, qui suffisent
pour faire voir le mécanisme de ce nouveau système, et à quel genre
de questions il conviendra particulièrement. Mais on conçoit que,
pour l'employer avec avantage, il est nécessaire de le présenter di-
rectement et d'une manière élémentaire, pour connaître la signifi-
cation des coefficiens de certaines équations qui se représenteront
toujours, telles que celles du point et de la ligne droite. La méthode
par laquelle nous venons d'exposer les propriétés principales de ce
système ne suffit pas pour donner les expressions géométriques de ces
coefficiens, parce qu'ils renferment les segmens, orf, oe, of, (73), qui
appartiennent à l'ancien système. Nous reviendrons donc sur cette
nouvelle méthode de géométrie analytique, pour l'exposer directe-
ment, et avec les développemens nécessaires.

(86) On remarquera que quand les trois axes «A, t'B, tC, sur les-
quels sont comptées les trois coordonnées de chaque plan, sont pa-
rallèles entre eux, ces trois coordonnées deviennent précisément les
segmens Af, Bv, Cf, d'après le théorème (75). Le système alors se
simplifie beaucoup, et a une plus grande analogie avec le système
de coordonnées de Descartes.

636 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Au contraire, quand les trois axes iA, iB, iC, passent par un même
point, et que le plan ABC est à l'infini, les trois coordonnées de
chaque plan sont, d'après le théorème (77), les valeurs inverses des
distances du point i aux points oii le plan rencontre les trois axes
*A, iB, *C.

§ XVII. Suite du précédent. — Applications du nouveau système

de géométrie analytique.

(87) Première application. Considérons le système de coordon-
nées le plus général, celui où l'on a un tétraèdre «ABC, et où les
coordonnées de chaque plan sont les rapports

At Bv CÇ

*f ty îÇ

On démontrera aisément, en faisant les mêmes raisonnemens que
pour la démonstration du théorème I ($ II) , le suivant , qui d'ailleurs
est le corrélatif du théorème (9) :

Quand, dans l'équation d'un point mobile , les coef^ciens des
coordonnées courantes sont trois variables liées entre elles par une
relation du premier degré, le point engendre un plan ,•

6'* les coefficiens ont entre eux tme relation du second degré ,
le point engendre une surface du second degré ;

Et, en général, si les trois coefficiens ont entre eux une rela-
tion du degré m, le point engendre une surface qui est rencontrée
en m points par une transversale quelconque.

(88) Ce théorème conduit à une propriété géométrique du centre
de gravité de quatre points matériels.

En effet, soient x' , y' , s' , les trois coefficiens des variables, dans
l'équation d'un point; cette équation sera

x'x -t- y'y ■+- z'z ■+- K = o;

X, y , z, sont les coordonnées qui déterminent chaque plan qui passe

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 637

par ce point. Nous avons vu (79) qu'on peut les remplacer par les
distances p, /, p" y p"',de ce plan aux trois sommets i, A, B, C, du
tétraèdre; on aura donc

X'p' + y'p" H- s'p'" -H K/, == 0.

Nous avons vu aussi (80) que le point que représente cette équation
est le centre de gravité des quatre points i, A, B, C, si on leur sup-
pose des masses proportionnelles aux quantités K, !v' , y', et s'. On
conclut donc du théorème précédent celui-ci :

Si l'on a quatre points fioles matériels, et qu'on prenne leur
centre de gravité j et que, la niasse de l'un d^eux restant constante,
celles des trois autres points varient en conservant entre elles une
relation constante du degré m, le centre de gravité des quatre points
engendrera une surface du degré m.

On pourrait faire varier les masses des quatre points; mais alors
il faudrait qu'elles eussent entre elles une relation homogène; le centre
de gravité de ces quatre points engendrerait une surface d'un degré
égal à celui de cette relation.

(89) Deuxième application. Pour faire une seconde application
du nouveau système de coordonnées à une question qui offrirait des
difficultés, si on voulait faire usage du système ordinaire, proposons-
nous de démontrer cette propriété générale des surfaces géométriques :

Étant donnés une surface géométrique , deux plans fixes et un
axe parallèle à l'intersection de ces deux plans, si on méfie un
plan transversal quelconque , et que par les deux droites suivant
lesquelles il coupera les deux plans fixes on mène les deux faisceaux
de plans tangens à la surface , les produits des segmens compris
sur l'axe fixe, entre le plan transversal et les deux faisceaux de
plans tangens, seront entre eux dans un rapport constant, quel
que soit le plan transversal.

Prenons un système de trois axes coordonnés Aa?, By, Q>z, paral-
lèles entre eux. Que le plan des deux axes k.x , By, et celui des
deux axes kx , Cs , soient les deux plans donnés.

ToK. XI. 81

638 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Soit F [x, y, z) == o l'équation de la surface. Soient oc', y',z' , les
coordonnées d'un plan transversal; les plans tangens menés à la sur-
face, par la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan
des deux axes kx, By, couperont l'axe kz en des points dont les
distances z au point C seront données par l'équation

F (^% y', 2) = 0.
On peut mettre cette équation sous la forme

F [a;', y', z' H- (^ — «')] = 0.

ou

^, , . ,, d'f , „ d'^ (2—2')' d^Y {z—z'y

F [or , «', z) H (z — z ) -\- -f- + = 0 ,

^ ^' ^ dz'^ ' dz" 1.2 dz'- 1.2. ...m

m étant le degré de l'équation de la surface.

Les racines {z — z') de cette équation sont les segmens compris sur
l'axe des z, entre le plan transversal et les plans tangens; leur pro-
duit est égal à

\.-i....m.T{x',y',z')
da"»

Mais la transversale donnée est parallèle à l'axe Cs , donc les seg-
mens interceptés sur elle, entre le plan transversal et les plans tan-
gens, sont proportionnels aux segmens interceptés entre les mêmes
plans sur l'axe ÇaZ. Ainsi le produit des segmens faits sur la trans-
versale est égal à

K.1.2....OT. F (a;', y', g')
d-F '

K étant une constante qui ne dépend que de la distance de la trans-
versale donnée au plan des deux axes Axy By.

Pareillement, si par la droite d'intersection du plan transversal et
du plan des deux axes kx, Cs, on mène les plans tangens à la sur-
face, le produit des segmens compris sur la transversale, entre le

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 639

plan transversal et les plans tangens, sera égal à

d"F ♦

dy'"

K' étant une seconde constante qui ne dépend que de la distance de
la transversale au plan des deux axes Aa? _, Cs.

Le rapport des deux produits des segmens faits sur la transversale,
suivant l'énoncé du théorème, est donc égal à

K d"¥ ^ d-F
F' d^ ' 1^-'

Ce rapport est constant , parce que l'équation de la surface étant du
degré m, les deux expressions

d-F d"F
rfy'"' dz'"

sont des nombres ; le théorème est donc démontré.

(90) Notre système de coordonnées peut procurer aussi une dé-
monstration directe des propriétés générales des surfaces géométri-
ques, que nous avons déduites ($ XIII), par le principe de dualité,
du théorème de New^ton sur les diamètres des courbes. Nous avons
donné cette démonstration directe dans la Corresp. math, de M. Que-
telet, t. VI, p. 81. Je ne pense pas que le système de coordonnées
en usage puisse conduire à une démonstration de ces propriétés , d'un
nouveau genre, des surfaces géométriques.

§ XVIII. Construction analytique des figures corrélatives.

(91) Dans les applications que nous venons de faire du principe
de dualité, pour démontrer des propriétés générales de l'étendue,
nous avons fait usage de ce principe seul, pris dans toute sa géné-
ralité, sans avoir besoin de construire les figures corrélatives, et sans
avoir égard aux différentes variétés de formes qu'elles pourraient pré-
senter, suivant le mode de construction qu'on emploierait.

640 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

Mais on peut demander de construire la figure corrélative d'une
figure donnée. Cela se fera très-aisément de deux manières générales,
analyliquement et géométriquement.

D'abord par l'analyse. On prend l'équation générale d'un plan ,
rapportée à trois axes coordonnés quelconques, et renfermant, au
premier degré, les coordonnées x' , y' , z' , d'un point; cette équa-
tion sera de la forme

(1) Xa:' -4- Yy' -1- Zs' = U,

X, Y, z et U, étant des fonctions linéaires des coordonnées courantes
X, y, z.

Si on veut déterminer un plan de la figure corrélative, correspon-
dant à un point de la figure proposée, on mettra les coordonnées de
ce point dans l'équation (I) à la place de x' , y' , z' ; et cette équation
deviendra celle du plan cherché.

Si on veut déterminer un point de la figure corrélative , correspon-
dant à un plan de la figure proposée, on prendra l'équation de ce
plan ; je la suppose

(2) La: + My -f- N« = 1 ;

et les coordonnées du point cherché seront données, ainsi que nous
l'avons démontré (1), par les trois équations

(3) X = LU, Y = MU, Z = NU,

OÙ ces coordonnées n'entrent qu'au premier degré.

(92) Si, réciproquement, on veut déterminer, dans la première
figure, le plan auquel correspondra ie\ point désigné de la seconde
figure, on fera usage des mêmes équations (3), où l'on remplacera
les coordonnées x , y , z, qui entrent dans les polynômes X, Y, Z,
et U, par les coordonnées x" , y" , z" du point donné de la seconde
figure; et ces équations donneront les valeurs des paramètres L, M,
N, du plan cherché.

Désignons par X", Y'', T," , U", ce que deviennent les polynômes

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 641

X, Y, Z, U, par la substitution dont nous venons de parler; on aura

X" Y" Z"

L = — , M = — , N = — ,

L" U" 11"

et l'équation du plan de la première figure, auquel correspond le
point {x" , y" , s",) de la seconde figure, sera

\"x ^ T'y + Z"a = U".

(93) Remarquons que si le point a;", y", s", était considéré comme
appartenant à la première figure, le plan qui lui correspondrait dans
la seconde, aurait pour équation

Xx" -f- Yy" -t- Zs" = V.

Cette équation diffère, en général, de la précédente; ce qui fait voir
que :

Dans doux figures corrélatives , à un même point de F espace,
considéré successivement comme appartenant à la première figure,
puis à la seconde, correspondent deux plans différens.

Dans quelques modes de construction des figures corrélatives, tel
que celui des polaires réciproques , ces deux plans se confondent tou-
jours. Mais c'est là un caractère particulier de ces figures, étranger
en quelque sorte au principe de dualité, et dont en effet nous n'avons
point eu besoin de faire usage dans nos applications de ce principe.

Nous donnerons dans un des paragraphes suivans la théorie géné-
rale des figures corrélatives qui jouissent de cette propriété particulière.

(94) Nous avons dit comment on déterminera, au moyen des trois
équations linéaires (3), les coordonnées du point qui correspond,
dans une figure corrélative, à un plan de la figure donnée. Comme
ce calcul, sans offrir de difficulté, est un peu long, nous allons en
donner le résultat.

Conservons à X, Y, Z et U, les expressions générales que nous
leur avons données (8); et désignons par le symbole (ab'c") le polynôme

a (b'c" — b"c') -f- o' (b"c — Ac") H- a" (ic' — *'c);

642 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

par le symbole {a'b"c"') ce que deTÏent ce polynôme quand on y
change a en a', b' en b" , et c" en &" / par {d'u"b"') ce que devient
ce premier polynôme , quand on y change a en d' , b' en a" , et c"
en b'" ; et ainsi de suite.

Les expressions des coordonnées x , y , z, au point qui correspond
au plan donné, seront

_ (db'c") — {d'b"c"')L -+- (d"b"'c) M — (d"'bc') N
"^ ~ (ab'c") — {a'b"c"') L -+- (a"b"'c) M — (a"'bc') N '

_ (da'c") — (d'a"c"') L + {d"a"'c) M — (rf"^ac") N
^~ (afi'c") — (a'i"c"') L -h (a"Z>"'c) M — (o"'ic') N '

_ (<to'&") — {d'a"b"') L -t- ((/'^a'"fc) M — (d"'ab") N
*~ (ai'c") — {a'b"c"') L -<- (a"è"'c) M — {a"'bc' ) N '

Au moyen de ces formules, on connaîtra tous les points de la
figure corrélative, correspondans à des plans déterminés de la figure
proposée.

Ainsi la construction des points et des plans de la figure corréla-
tive la plus générale d'une figure proposée sera extrêmement facile.

(95) Si cette figure proposée est une surface courbe exprimée par
son équation, nous avons vu (art. 3) comment, par une simple éli-
mination , on trouvera l'équation de la surface corrélative.

Et si l'on veut déterminer cette surface par points, on observera
que chacun de ses points est le pôle , ou point correspondant , d'un
plan tangent à la surface proposée (théorème II). Les coordonnées de
ce point seront donc données par les formules précédentes, où L, M,
N, seront les coefficiens de l'équation du plan tangent en un point
de la surface proposée.

Ainsi soit

F (ar, y, z) = G

l'équation de cette surface; et

(x — x') p' -^ {y — y') q' —{z — z')=o

l'équation de son plan tangent au point (w' , y' , z') ; p' et q' étant les
coefficiens différentiels ^^ , ^ où l'on a remplacé les coordonnées x ,

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. b43

y, z, par a;', y', z'. On a

p'x' ■+- q'y' — z' p'x' -h q'y' — «' />V -»- c'y' — z'

Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, on obtient

^ (db'c") (p'x' t- q'y'—z') — {d'b"c"') p' + {d"h"'c) g' + (d"'bc')
^ '^ (ab'c") (/)V -I- q'y'—z') — {a'b"c"')p' -t- {a"b"'c) q' -+- {a"'bc') '
(da'c") (p'x' H- g'y'— a') — (d'a"c"') p' -»- (rf"o"'c) q' -t- (rf"'ac")

* ~ (ab'c") (p'x' ■+■ q'y'—z')—{a'b"c"')p' -♦- {a"b"'c)q' -t- (o"'6c') '

(«to'fc") (pV + 9'y'— g') — {d'a"b"') p' -4- (rf"a"'fc) g' + {d"'ab")

* "^ (oi'c") {p'x' -f- 9'y'— a')— («'A"c"')i>' + (o"i"'c) g' -t- (a"'Z>c' ) *

Telles sont les coordonnées d'un point de la surface corrélative d'une
surface proposée, en fonction des coordonnées d'un point de celle-
ci. Les deux points se correspondent^ mais comme jusqu'ici le mot
correspondant nous a servi pour désigner la relation entre deux parties
corrélatives dans une figure et sa transformée , telles que un point
et un plan, nous dirons que ces deux points des deux surfaces sont
réciproques.

On reconnaît les points réciproques dont Monge avait donné une
expression particulière dans le titre d'un mémoire qui , je crois, n'a
pas été publié. {Voy. la note XXX.)

§ XIX. Construction géométrique des figures corrélatives.

(96) Soient a, b ,c, d, e, cinq points quelconques delà figure pro-
posée; on pourra prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans
A, B, C, D, E, comme devant correspondre respectivement à ces
cinq points, dans la figure corrélative qu'il s'agit de construire. ($11,
théorème V).

Il nous faut déterminer dans cette figure:

!•* Le plan qui correspondra à un sixième point quelconque de la
figure proposée;

644 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Et 2° le point qui correspondra à un plan quelconque de cette figure
proposée.

Pour cela, considérons le tétraèdre abcd. Par le point e menons
trois plans passant respectivement par les trois arêtes ab , bc, ca',
et par un sixième point m menons trois autres plans passant aussi par
les trois arêtes ab , ac, bc.

Soit M le sixième plan de la figure corrélative, qui correspond au
point m; c'est le plan que nous voulons déterminer. Aux quatre
plans qui, dans la première figure, passent par l'arête ab, et qui
sont cab, dab , eab , mab , correspondent, dans la seconde figure,
les quatre points CAB, DAB, EAB, MAB'. Le rapport anharmoni-
que des quatre plans est égal au rapport anharmonique des quatre
points. (Théorème IV.) Cette égalité fera connaître le point MAB,
c'est-à-dire le point où le plan cherché coupe la droite d'intersection
des deux plans donnés A, B. Une égalité semblable fera connaître
le point où le même plan cherché rencontrera la droite d'intersec-
tion des deux plans donnés A, Cj et enfin une troisième égalité sem-
blable fera connaître le point où ce plan rencontre la droite d'inter-
section des deux plans B, C. Ainsi le plan cherché est déterminé
par trois de ses points. C'est la première question que nous avions à
résoudre.

Maintenant, pour trouver le point n qui correspond à un plan N
de la première figure, on prendra le point où ce plan N rencontre
l'arête da du premier tétraèdre; à ce point correspondra, dans le
second tétraèdre , le plan mené par l'arête DA et par le point cher-
ché. On aura ainsi sur l'arête da quatre points qui seront 1° a, 2" t/,
S*' le point où le plan ebc rencontre l'arête da , et 4" le point où le
plan N rencontre cette arête ; et l'on aura quatre plans correspondans,
passant par l'arête DA, lesquels seront 1° A, 2° D, 3° le plan mené
par le point où le plan E rencontre l'arête BC, et 4° le plan mené
par le point cherché. Le rapport anharmonique de ces quatre plans

' Nous désignons un point par les trois lettres qui représentent trois plans passant par ce
point.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 645

sera égal à celui des quatre points; cette égalité fera connaître le
quatrième plan , celui qui passe par le point cherché.

Deux autres égalités semblables feront connaître deux autres plans
menés par les deux arêtes DB, DC, respectivement, et passant par
le point cherché. Ainsi ce point sera donné par l'intersection de trois
plans qu'on déterminera facilement.

Le problème de la construction géométrique des figures corrélatives
est donc résolu complètement.

(97) Dans la pratique, on exprimera le rapport anharmonique de
quatre plans par celui des quatre points où ces plans rencontrent une
transversale; et on prendra pour cette transversale l'arête du tétraèdre
opposée à celle par laquelle passent les quatre plans.

On réduira, de cette manière, la construction des figures corré-
latives à des formules très-simples et d'une grande généralité.

Les quatre plans A, B, C, D, de la seconde figure, forment un
tétraèdre dont les quatre faces correspondent respectivement aux
quatre sommets du tétraèdre abcd de la première figure. Désignons
par a' , b', c', d' , les quatre sommets opposés à ces faces respective-
ment.

Soient e, « les points où les deux plans ebc , mbc rencontrent l'arête
ad; et soient e' , «' les points où les deux plans E , M rencontrent l'arête
a'd' du second tétraèdre.

Le rapport anharmonique des quatre plans abc, dbc , ebc , mbc
sera le même que celui des quatre points , a, d,e, a; mais il est égal ,
comme nous l'avons dit ci-dessus (96), à celui des quatre points
d' , a', e', a, qui correspondent aux quatre plans, dans la seconde
figure; on aura donc

aa ea a'd' e'd'

(Aj ~T • "7 ^ ~r~i • ~7T î

ad fd aa ea

d'où

aa a'd' f ea ^ e'd'

ad a a' Ked ' e'a'

Le rapport f^«-^ est une quantité constante, quel que soit le
To«. XI.' ' 82

646 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

point m, puisqu'il ne dépend que de la position du point donné e
et du plan pris arbitrairement E , qui lui correspond.
Ainsi l'on a

aa a'd'
(a) — = A :

tta a a

1 étant une quantité constante.

Pareillement 6 étant le point où le plan mac rencontre l'arête bd
du premier tétraèdre; et & le point où le plan M rencontre l'arête b'd'
du second tétraèdre, on aura

eh e'd'

(a) — = H- ;

^ ' Sd S'b' '

/x étant une constante.

Et enfin , appelant y le point où le plan mab rencontre l'arête cd;
et/ le point où le plan M rencontre l'arête c'c/' du second tétraèdre,
on aura

( ) ïl — . ïlÉL.

lyd y'c'

V étant une troisième constante.

(98) Ces trois équations donnent immédiatement la construction
des points et des plans de la figure corrélative d'une figure pro-
posée.

Car les points a! , & , y', déterminés par ces équations, appartien-
nent respectivement à trois plans passant par les arêtes b'c' , c'a', a'b'
du second tétraèdre, et correspondans aux trois points «, 6, y; et
réciproquement les trois points «, g, y appartiennent à trois plans,
passant par les trois arêtes bc , ca, ab du premier tétraèdre, et cor-
respondans aux points «' , S' , /.

D'après cela, veut-on construire le plan de la seconde figure qui
correspond à un point m de la première ? Par ce point m on mènera
les trois plans mbc , inca , mab qui rencontreront les arêtes ad, bd, cd
en trois points; on regardera, dans les formules ci-dessus, «, S, y,
comme étant ces trois points; et alors «', £', y' seront les points où

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 647

le plan cherché rencontre les trois arêtes a'd' , b'd' , c'd' du second
tétraèdre.

Veut-on construire le point de la seconde figure, correspondant
à un plan de la première? On regardera, dans les formules, a, 6, y,
comme étant les points où le plan donné rencontre les trois arêtes
ad, bd, cd du premier tétraèdre; et alors «', 6', y' seront les points
ou les trois plans menés par le point cherché et les trois arêtes b'c',
c'a' , a'b' du second tétraèdre rencontreront les arêtes opposées a'd' ,
b'd' , c'd' ; ce point sera donc déterminé '.

§ XX. Suite du précédent. — Discussion des formules pour la-
construction géométrique des figures corrélatives. Divers théo-
rème de géométrie qui s'en déduisent. Généralisation d'un po-
risme d'Euclide.

(99) Les formules (a) conduisent naturellement à divers corol-
laires, dont plusieurs offrent des propositions de géométrie, nouvelles
et très-générales.

D'abord ces formules expriment le théorème suivant :

Etant donnés deu.T tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd', si par
chaque point d^une figure donnée on mène trois plans passant res-
pectivement par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre,
et rencontrant ses arêtes opposées aux points a, 6, /;

Puis, qu'on prenne sur les arêtes d'à', d'b', d'c' du second té-
traèdre, trois points «', 6', / de manière qu'on ait toujours

CM _ a:d'
ad a a' '

Cb e'd'

ye r'd'

V. ■

yd y'c'

l, ft et V étant trois coefficiens constans.

' Nous regrettons d'avoir été oblige de réserver exclusivement le mot correspondant pour

648 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Le 'plan déterminé par les trois point «', S', y' enveloppera une
seconde figure qtii sera corrélative de la première.

De sorte qu'aux points de la première figure qui seront situés dans
un même plan, correspondront, dans la seconde figure, des plans
passant tous par un même point.

(100) Maintenant, remarquons que si du point m on abaisse des
perpendiculaires sur les plans abc et dbc, leur rapport sera égal à
celui des perpendiculaires abaissées du point « sur les mêmes plans ,
lequel est égal à

ffla. sin. (da,abc) aa

: — , , ,, . OU — X consl.

ax. sin. [aa,abc) dx

Dans le tétraèdre a'b'c'd' , le rapport des perpendiculaires abaissées
des deux sommets d' , a', sur le plan aJS'y' , est égal à ^; donc, puisque
-^ est proportionnel à ^, d'après les équations ci-dessus, nous pou-
vons dire, que le rapport des distances du point m aux deux faces
abc, dbc est proportionnel au rapport des distances du plan M aux
deux sommets d' , a' du second tétraèdre. D'où il suit que :

Dans deux figures corrélatives , le rapport des distances d'un
point quelcoîique de la première figure à deux plans fixes de cette
figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce
point , dans la seconde figure , aux deux points qui correspondent
aux deux plans de la première , dans une raison constante , quel
que soit le point pris dans la première figure.

(101) De là on conclut le théorème suivant, qui n'est autre que
le théorème (99) présenté sous un autre énoncé :

Étant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux té-
traèdres quelconques , dont A, B, C, D sont les faces du premier,
et Q.,h, c, Aies sommets du second ;

Si de chaque point m de la figure proposée on abaisse des per-

désigner , dans la figure corrélative , le plan ou le point qui correspondent \ un point ou à un
plan de la figure proposée. Si nous avions eu une autre expression, nous aurions appelé cor-
respondans les points tels que a et a' , et nous aurions pu ainsi abréger le discours dans ce qui
précède.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 649

pendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre , et qu'on
prenne les rapports de la première perpendiculaire aux trois autres^

Et que Ton mène un plan transversal M , de manière qu'étant
prises ses distances aux quatre sommets a, b, c, d du second té-
traèdre, les rapports de la première distance aux trois autres
soient dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports ,
respectivement , ce plan M, qui correspondra ainsi, da?is toutes ses
positions, aux points m de la figure proposée , formera une seconde
figure corrélative de cette proposée.

(102) La propriété caractéristique des figures corrélatives consiste
en ce que, aux points de l'une, qui sont situés dans un même plan,
correspondent, dans l'autre, des plans passant tous par un tnéme
point. D'après cela, on conclut du théorème (99) cette proposition
de géométrie.

Étant donnés un tétraèdre SABC , et un plan , situés d'une ma-
nière quelconque dans l'espace^

Si, par chaque point de ce plan, on mette trois plans, passant
respectivement par les trois arêtes à lu base ABC du tétraèdre,
et rencontrant respectivement les trois arêtes opposées SA, SB,
se, en trois points a, 6, y; et qu'on forme les rapports des segmens
que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS es yS
7k' CB' ■?€'

Puis, que l'on prenne arbitrairement un second tétraèdre S' A' B' C ,
et que l'on divise ses arêtes au sommet, par trois points «', 6', /,
de manière que les trois rapports

a'k' fB' r'C

7W ' Ts'' Vs^'

soient aux trois premiers , respectivement , dans des raisons con-
stantes et quelconques ,*

Le plan déterminé par ces trois points «', 6', /, qui correspondra

630 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

dans toutes ses positions aux différens points du plan donné, pas-
sera toujours par un même point fixe.

(103) Ce théorème, qui résulte ici comme corollaire de notre
théorie analytique des figures corrélatives, en renferme néanmoins
toute la doctrine. Et si ce simple théorème de géométrie était dé-
montré à priori, et directement , nous en conclurions toute la théorie
de ces figures, comprenant leurs relations descriptives et leurs rela-
tions de grandeur.

C'est ce théorème dont nous avons voulu parler dans la partie his-
torique de cet ouvrage (5" Epoque, $ XXXIV), en disant que la théorie
générale des transformations analogues à celles que présente la théorie
des polaires réciproques, et d'où résulte le principe de dualité, déri-
vait dun seul théorème de géométrie. Nous donnerons dans un autre
écrit la démonstration géométrique et directe de ce théorème, et
nous ferons voir comment tout ce qui se rapporte à cette doctrine
de transformation peut en dériver. De sorte que le calcul algébrique
dont nous avons fait usage pour exposer cette théorie, ne sera nul-
lement nécessaire ; et les ressources de la pure géométrie lui suffiront,
comme cela doit être , puisque cette théorie est elle-même une simple
question de géométrie.

(104) Reprenons les trois équations (a), sur lesquelles est fondée
la construction des figures corrélatives; et supposons que la face ahc
du premier tétraèdre soit située à l'infini ; les segmens «a , Sb , yc seront
infinis, et dans l'équation

aa la ad' s'd'

— j • "j^^ TT • , , '
ad ca a a sa

qui a donné lieu aux trois (a) , le rapport ^ deviendra égal à l'unité ;
cette équation se réduira donc à

ed a'd'' s'd'

ad a'a' ' s'a'

ou

a'a' f s'a'

-^ = 71'- ['''-Td'

MOIRE DE GEOMETRIE. 651

on

ad = -— X const.

a a

Ainsi les trois équations (a) deviennent

yd = y. — - •
ly d

On pourra faire usage de ces formules pour certaines transfor-
mations de figures dont les propriétés seraient exprimées en fonc-
tion des projections de leurs points sur trois axes fixes.

(105) Maintenant supposons que le sommet d' du second tétraèdre,
lequel peut être pris arbitrairement dans l'espace, soit situé à l'infini.
L'équation

td _ a'rf' _ e'd-
ad CL a e a

s'écrira

, , , B'd- frf

ad ^ a a . • ;

ad' s'a'

et, à cause que le rapport ^ est égal à l'unité, on aura

ad = oV. — — ;
ta

1-^ est une constante: on a donc enfin

t a

(c) ad = ^. a'a .

£t pareillement

,. i:d = ,..c'b',

\ yd = V .y c .

Ainsi ce sont là les trois équations qui serviront aux transformations ,
quand on voudra que le point qui correspondra, dans la seconde
figure, à l'infini de la première, soit lui-même à l'infini.

652 s MEMOIRE DE GEOMETRIE.

C'est ce qui a lieu, par exemple, dans la transformation para-
bolique, et dans la transformation par voie de mouvement infini-
ment petit, ou bien par la considération ê^un système de forces.

(106) Mais ces divers modes particuliers de transformation ren-
trent, comme on le voit, dans le principe général exprimé par les
trois équations ci-dessus; et ce principe général conduirait immédia-
tement à toutes les propriétés nouvelles des courbes et des surfaces
courbes auxquelles nous sommes parvenu dans nos deux mémoires
sur la transformation parabolique \ Et cela justifie ce que nous di-
sions, au commencement du premier de ces deux mémoires, que ce
n'était point un privilège exclusif pour la théorie des polaires réci-
proques , de pouvoir servir à la transformation des figures ; qu'il exis-
tait d'autres moyens, qui même étaient d'une grande simplicité. Et
si l'on observe que les formules (c) ne sont qu'un corollaire des
formules (a), on verra que les théorèmes auxquels elles conduisent,
tels que ceux que nous avons obtenus par la transformation para-
bolique, ne sont, ainsi que nous l'avions annoncé alors % que des
cas particuliers de théorèmes plus généraux qui répondent aux for-
mules (a).

(107) Supposons que les bases abc, a'b'c' des deux tétraèdres soient
l'une et l'autre à l'infini, les rapports — et ^, dans l'équation (A),
seront égaux à l'unité; et il en résulte que les trois équations (a)
deviendront

A

ed = —,

V

(108) Si les deux sommets d, d! des tétraèdres sont Tun et l'autre

' Correspondance mathématique et physique , tom. V et VI ; années 1829 et 1830.
- Ibid. , tom. V, pag. 303.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. f^ 633

à l'infini, les formules deviendront

a a'

ff'A"

y

ro = -r:

ye

(109) Nous pourrions encore supposer que les deux tétraèdres se
confondissent, et ensuite que leur base commune, ou leur sommet
commun fût à l'infîni.

(110) Les différens cas que nous venons d'examiner donneraient
lieu à divers théorèmes , semblables au théorème général (99) , mais
qui n'en seraient que des corollaires ; par cette raison nous nous dis-
penserons de les énoncer.

(111) Enfln, il nous reste un dernier cas à examiner, qui va nous
conduire à un mode général de description purement graphique, des
figures corrélatives, et à un théorème de géométrie, correspondant,
dans l'espace, à une proposition sur l'hexagone inscrit à deux lignes
droites, souvent répétée par Pappus, et regardée par R. Simson comme
un des porismes d'Euclide.

Supposons que les quatre sommets a', b', c', d' du second tétraèdre
soient placés respectivement sur les quatre faces opposées aux som-
mets a, b, c, d du premier tétraèdre.

Soit e un cinquième point donné de la première figure ; prenons
pour le plan correspondant E, dans la seconde figure, le plan dé-
terminé par les trois points e', <f', y' où les trois plans ebc , eca, eab
rencontrent respectivement les trois arêtes d'à' , d'b', d'c' du second
tétraèdre. Soient £, 9, x les points où ces trois plans rencontrent les
trois arôtes t/a, db , de du premier tétraèdre.

Soient m un sixième point quelconque de la première figure, et
M le plan correspondant dans la seconde figure; soient a, S, y les
points où les trois plans mbc, mca, mab rencontrent respective-
ment les trois arêtes da, db, de; et «', 6', y' les point où le plan M
ToM. XI. 83

654 M. MEMOIRE DE GEOMETRIE.

rencontre les trois arêtes d'à', d'b', d'c' du second tétraèdre. On aura
l'équation

aa ta a'd' e'd'

ad ed a a' e'a'

Le premier membre de cette équation exprime le rapport anhar-
raonique des quatre plans abc, dbc, sbc, xbc qui passent par l'arête
bc. Les trois premiers de ces plans rencontrent l'arête d'à' du second
tétraèdre aux points d' , a' , e' ; soit «" le point où le quatrième de ces
plans rencontre cette arête ; le rapport anharmonique des quatre plans
s'exprimera d'une seconde manière, par le rapport anharmonique des
quatre points d' , a' , e' , a" , lequel est

a"d' f'rf'

On a donc l'égalité

a"a'

• e'a'

CM

7d "^

a"d' _

a'a'

e'd'

Comparant cette équation à la précédente, on en conclut que les
deux points «', «" se confondent; c'est-à-dire que les point «' esta
l'intersection de l'arête d'à' par le plan mbc. D'où l'on conclut que le
plan M correspondant au point m, passe par les trois points où les
plans mbc, mca, mab rencontrent respectivement les trois arêtes
d'à', d'b' , d'c'.

On a donc ce théorème :

Étant donnés dans l'espace, un triangle et un angle trièdre dont
le sommet est situé sur le plan de ce triangle , et dont les arêtes
correspondent une à une aux côtés du triangle j si par chaque
point d'une figure donnée, on mène trois plans passant respecti-
vement par les trois côtés du triangle et rencontrant respective-
ment les trois arêtes opposées de Vangle trièdre, en trois points ;
le 'plan déterminé par ces trois points enveloppera une figure cor-
rélative de la proposée.

(112) Et, par conséquent :

Ce plan passera toujours par un même point, quand le point
de la première figure parcourra un plan.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. ^ 655

C'est en cela que consiste le théorème de géométrie à trois dimen-
sions qui correspond à celui de géométrie plane, connu sous le nom
de porisme d'EucIide, et qu'on énonce ainsi :

Étant donnés , dans un plan, deux points fixes et un angle dont
le sommet est placé sur la droite qui joint ces deux points ; si de
chaque point d'une droite donnée on mène deux droites à ces deux
points fixes , elles rencontreront respectivement les deux côtés de
l'angle en deux points qui détermineront une droite qui tournera
autour d'un point fixe '.

(113) Si, dans le théorème ci-dessus, on place les sommets du
triangle abc de manière qu'ils soient respectivement dans les plans
des faces correspondantes de l'dngle trièdre, alors on démontre que
le plan des trois points «' , S' ,-/ , passe par le point m , c'est-à-dire que

' M. Poncelet a aussi remarqué que ce porisme d'Euclide offrait un moyen de transformer
les fi(jures sur le plan. {Analxjte des transrersales appliquée à la recherche des propriètéê projectices
des lignes et surfaces géométriques. Voir Journal de M. Crelle , t. VIH , p. 408 ; année 1832.)

Pour conserver à cette proposition le nom de poristne, il faut l'énoncer sous la forme d'un
théorème local, ainsi que nous venons de le faire, d'après R. Simson dans son traité de Poris-
matibus (proposition 34). Mais ce théorème est susceptible d'un autre énoncé , plus simple et
plus expressif, dont s'est servi Pappus, en le considérant comme une propriété de l'hexagone
inscrit à deux droites. Cette propriété consiste en ce que les trois points de concours des côté*
opposés de cet hexagone sont en ligne droite. On peut se demander quel sera , dans la géométrie
à trois dimensions, l'énoncé correspondante celui-là. Pour répondre à cette question , nous
présenterons sous une autre forme le théorème de Pappus; nous dirons que :

Étant donnés trois points quelconques sur une droite , et trois autres points quelconques sur une
seconde droite; si l'on regarde ceux-ci comme les sommets de trois triangles ayant respectivement
pour bases les trois segmens formés par les trois premiers points, pris deux à deux; il passera par
les extrémités de chaque segment , outre les deux côtés du triangle quia pour base ce segment; deux
autres côtés appartenant aux deux autres triangles; ces deux côtés se couperont en un point, et l'on
aura de la sorte trois points ;

Cet trois points seront en ligne droite.

Le théorème correspondant , dans l'espace , sera le suivant :

Étant pris arbitrairement dans un premier plan quatre points, et dans un autre plan quatre
autres points; si ceux-ci sont regardés comme les sommets de quatre tétraèdres ayant pour bases
respectivement les quatre triangles formés par les quatre premiers points , pris trois à trois; par
ht côtés de chacun de ces triangles il passera, outre les trois faces du tétraèdre qui a pour bâte ce
triangle , trois autres plans appartenant respeclirement aux trois autres tétraèdres; cet troit plans
se couperont en un point ; et l'on aura ainsi quatre points dont l'espace;

Cet quatre points seront dans un même plan.

656 4ià MEMOIRE DE GEOMETRIE.

le plan correspondant à chaque point m de la figure proposée
passera par ce pomt.

Ainsi les deux figures corrélatives seront les mêmes que celles que
nous avons formées par voie de mouvement infiniment petit.

De là pourraient découler plusieurs conséquences que nous sommes
obligé d'omettre , parce qu'elles s'écarteraient de l'objet de cet écrit.

$ XXI. Différentes méthodes particulières pour former des figures

corrélatives.

(114) Il nous reste à axaminer diverses méthodes paticulières,
propres à la construction des figures corrélatives, dont nous n'avons
point voulu parler encore, pour mieux montrer combien le principe
de dualité, démontré directement, et envisagé de la manière la plus
générale dans ses deux parties, est d'un usage facile et spontané.
Mais on conçoit que des méthodes particulières pourraient, dans
certains cas, offrir des avantages, parce qu'elles établiraient, entre
deux figures corrélatives, quelques rapports particuliers , qui n'ont
pas lieu explicitement, en général, dans deux figures corrélatives
quelconques. Par exemple, ne pourrait- on pas établir la corrélation
de manière qu'il y eût, entre les deux figures, des relations concer-
nant certains élémens de ces figures, tels que les volumes, les sur-
faces, les longueurs de courbes, etc. De telles corrélations particu-
lières conduiraient certainement à une foule de vérités géométriques
qu'on ne peut soupçonner.

Le moyen de recherche, dans cette question d'une si haute im-
portance, nous semble renfermé dans le peu d'analyse qui nous a
servi à mettre en évidence le principe de dualité. En effet, pour for-
mer une figure corrélative d'une figure donnée, analytiquement,
ou géométriquement, on a à disposer de quinze constantes arbi-
traires ; et chaque variation dans une , ou dans plusieurs de ces con-
stantes, donnera une figure différente. On devra donc prendre l'équa-

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 657

tion générale du plan mobile où entrent ces quinze constantes, et
chercher quelles sont les différentes variétés de celte équation, ou
les valeurs particulières de ces constantes, qui peuvent conduire à
des modes de construction des figures corrélatives, propres à mettre
en évidence des relations de certaine nature entre les deux figures.
Ce ne sera point le hasard qui guidera dans de telles recherches.
Mais différons rapprochemens entre des propriétés connues, diffé-
rentes circonstances géométriques, pourront conduire à des analo-
gies qu'on soumettra à l'analyse que nous venons d'indiquer comme
la source commune de toutes les méthodes pour établir la corréla-
tion.

Nous allons examiner rapidement plusieurs de ces méthodes, et
montrer ce que les figures ont de particulier et de caractéristique
dans chacune d'elles.

La première, et la seule qui soit encore connue, est fondée sur
la théorie des polaires réciproques , si usitée maintenant , mais à la-
quelle on n'a point appliqué, dans sa généralité, et comme type
unique des relations métriques transformables, le théorème qui con-
stitue la seconde partie du principe de dualité.

$ XXII. Méthode des polaires réciproques. Réflexions sur la trans-
formation des relations métriques.

(115) Toute surface du second degré est représentée par l'équa-
tion

A*' -+- By' ■+■ Ca' ■+■ Hxy -t- Exs ■+■ Tyz -4- Gar -♦- Hy -4- la — 1 ^ o.

Si l'on circonscrit à cette surface un cône ayant son sommet au
point {x', y', s'), sa courbe de contact avec la surface sera sur le plan
qui a pour équation

(2A*' -+- Dy' -f- Ea' -«- G) * -t- (2Ey' -4- D^ -»- F»' -t- H ) y -<- (2C«' -«- Ex' -♦- Fy' -v I) »
-4- (Gof' -4- Hy' H- la' -4- 2) = 0.

Cette équation ne contenant qu'au premier degré les coordonnées

658 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

x' , y' , z' , il résulte du théorème I(§ II) que, si le sommet du cône
parcourt un plan, le plan de contact tournera autour d'un point fixe;
si le sommet du cône parcourt une droite, le plan de contact tour-
nera autour d'une droite; et en général, si le sommet du cône par-
court une surface du degré m, le plan de contact roulera sur une
surface à laquelle on pourra mener, par une même droite, m plans
tangens. C'est-à-dire que le plan de contact formera une figure cor-
rélative de la figure parcourue par le sommet du cône.

Le plan de contact mobile est appelé le plan polaire du sommet
du cône, et ce sommet est dit le pôle du plan.

Ainsi la théorie des pôles et plans polaires peut servir pour la
construction des figures corrélatives.

(116) Ajoutons à ces propriétés descriptives des figures joo/o^>e*
réciproques , la suivante, qui concerne leurs relations de grandeur :

Si le sommet du cône prend quatre positions a, b, c, d, en ligne
droite , le plan de contact prendra quatre positions A, H , C , D ,
telles qu'on aura toujours

Sin. C,A Sin. D,A ca da
Sin. C,B * Sin. D,B ~ cï ' dï*

Ce qui résulte du théorème IV ( § II).

Cette relation complète la théorie des polaires réciproques, consi-
dérée dans ses applications à la construction des figures corrélatives
et à la démonstration des deux parties du principe de dualité.

(117) Remarquons que l'équation du plan mobile, telle que la
donne cette théorie, ne renferme que neuf constantes arbitraires,
tandis que l'équation générale qui nous a servi à démontrer le prin-
cipe de dualité, en contient quinze. Le mode de construction des
figures corrélatives qui résulte de cette théorie n'est donc pas le plus
général; de sorte qu'une figure donnée, et sa corrélative construite
par cette théorie, n'offrent pas, dans leur ensemble, la plus grande
généralité possible (ce que nous rendrons évident dans le § suivant).
On peut donc espérer qu'en disposant convenablement des quinze
constantes arbitraires, on parviendra à des modes de construction

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 6S9

qui offriront, entre les deux figures, des relations que ne peut don-
ner la théorie des polaires; de môme qu'en \ariant la forme de la sur-
face du second degré auxiliaire, on peut obtenir de cette théorie des
propriétés différentes des figures.

Ainsi en prenant une sphère pour surface auxiliaire, M. Poncelet,
et d'autres géomètres ensuite, sont parvenus à des résultats fort inté-
ressans concernant les relations d'angles des figures. [Mémoire sur la
théorie générale des polaires réciproques^ journal àe M^'Crelle, t. 4.)

En prenant un paraboloïde, nous avons obtenu des résultats d'un
autre genre, concernant principalement les relations métriques. (^Cor-
respondance mathématique de M. Quetelet, t. V et VI.)

(118) On sait que quand le plan polaire d'un point passe par un
second point, réciproquement le plan polaire de ce second point
passe par le premier. C'est de là qu'est venue la dénomination de
polaires réciproques. Cette propriété résulte de ce que l'équation du
plan polaire d'un point (w' , y' , s') , ne change pas , quand on y met
X , y f z , kXix place de x\ y' , s' , et réciproquement.

Ainsi les plans polaires des différons points d'un plan P passent
par un même point p, qui lui-même a pour plan polaire, par rap-
port à la même surface , précisément le plan P.

Il suit de là que, dans les figures corrélatives construites par la
théorie des polaires, à un même point de t espace, considéré comme
appartenant successivement à la figure proposée , puis à sa cor-
rélative, correspond un même plan.

(119) Cela n'a pas lieu en général dans la construction des figures
corrélatives; ainsi que nous l'avons déjà vu (93). C'est donc là un
des caractères particuliers des figures corrélatives construites par la
théorie des polaires. Ce caractère se présente dans d'autres modes de
construction, ainsi que nous le verrons dans un des paragraphes sui-
Tans. Mais il est important de remarquer ici que cette identité de
construction des deux figures corrélatives, l'une par l'autre, dans la
théorie des polaires, doit être regardée, dans la théorie générale des
figures corrélatives, comme un fait accidentel, tout-à-fait indifférent

660 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

soit pour la démonstration du principe de dualité,, soit pour l'applica-
tion de cette théorie à la transformation des propriétés de l'étendue.

(120) Nous ne saurions trop appeler l'attention du lecteur sur
l'équation du n» (116),

Sin. C,A Sin. D,A ca da

Sin. C,B ' Sin. D,B "^ 7b ' db'

qui représente toutes les relations qui sont transformables immédiate-
ment par la théorie des polaires, de même que par les autres mé-
thodes du même genre. Faute d'avoir aperçu cette relation, et de
l'avoir reconnue comme le type unique de toutes celles qu'on pouvait
soumettre à la théorie des polaires réciproques, on a été obligé de
faire intervenir dans les transformations polaires la théorie des dé-
formations par voie de perspective , pour les figures planes, et par la
considération des figures homologiques , pour les figures à trois di-
mensions. De sorte qu'on a fait dépendre les applications du principe
de dualité , de la théorie des figures homologiques ' , tandis que l'un

' M. Poncelet, dans son Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, après avoir
pris une conique , ou une surface du second degré quelconque , pour transformer les relations
descriptives , prend , pour la transformation des relations métriques , un cercle et une sphère.
Puis il justifie cette méthode et démontre la généralité de ses résultats , en ces termes : ic On peut
)) remarquer en passant , qu'attendu la nature particulière des relations que nous venons d'exa-
i> miner , ces différens théorèmes auraient lieu , d'une manière analogue , dans le cas oii , à
)i la place d'un cercle , on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxi-
i> liaire; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou projec-
» tion centrale de l'autre , pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient
Il elles-mêmes projectives de leur nature , et ne concernent par conséquent aucune grandeur
)> constante et déterminée.

» Au surplus, je crois devoir le dire expressément , cette observation, qui s'applique éga-
» lemcnt au cas de l'espace que nous aurons bientôt h examiner, n'ajoute rien à la généralité
)> des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédons , quoique leur énonce
)> suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport à un cercle
i> auxiliaire, n (Voir Journal de M. Crelle , t. IV , p. 55.)

Ainsi M. Poncelet démontre à posteriori , au moyen de la perspective , la généralité de ses
transformations faites sur le plan avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de l'es-
pace il n'indique pas la démonstration analogue ; mais on comprend que ce sera par son ingé-
nieuse théorie des figures homologiques , dont il a déjà fait de nombreuses et belles applica-
tions dans le supplément de son Traité d^s propriétés projectives des figures.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 661

et l'autre doivent avoir une égale indépendance et une égale facilité
d'action. Et si même l'on veut établir entre l'un et l'autre des rap-
ports, ce sera la théorie des figures homologiques qui pourra dé-
river complètement du principe de dualité, comme nous le ferons voir
au commencement de la seconde partie de cet écrit, tandis que ce
principe ne peut nullement dériver de cette théorie. Aussi, dans nos
applications du principe de Dualité, nous n'avons point été obligé
de rechercher, comme on avait fait auparavant, les relations pro-
jectives , c'est-à-dire qui sont transformables par la perspective ou
par la théorie des figures homologiques; l'équation ci-dessus, et les
diverses interprétations que nous lui avons données [§ III) , ont re-
présenté toutes les relations transformables dont nous n'avons point
eu à faire l'énumération. Il nous a suffi toujours de ramener les rela-
tions proposées à la forme du rapport anharmonique , et de leur
appliquer, d'une manière invariable, le principe de l'équation (1)
(même$, art. 12) ou de ses diverses interprétations.

Mais , pourra-t-on dire , la relation anharmonique est elle-même
projective, et par conséquent de celles que l'on sait transformer par
la théorie des Jtolaires. Cela est vrai. Mais il est vrai aussi, l» que
cette relation n'a jamais été transformée d'une manière générale, et
qu'elle n'aurait pu l'être, dans l'état où nous avons pris la théorie des
polaires en entreprenant cet écrit, qu'au moyen d'une sphère ou d'un
paraboloïde pour surface auxiliaire ; parce que la propriété des sur-
faces du second degré exprimée par l'équation ci-dessus, est nou-
velle; 2<* que, bien que la relation anharmonique soit projective,
on n'a pas songé à la prendre pour le type unique des relations
projectives, ni des relations transformables par le principe de dualité,
c'est-à-dire pour la forme unique à laquelle devaient être comparées
et ramenées toutes les autres relations ; ce qui donne un caractère de
généralité et de précision aux méthodes de transformation, qui au-
paravant étaient restreintes, et avaient quelque chose de vague et
d'incertain dans leurs applications.

Les théorèmes nouveaux auxquels nous sommes parvenu dans les
ToM. XL 84

662 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

paragraphes précédens, la généralité qu'ils comportent et la facilité
avec laquelle nous les avons obtenus, nous semblent justifier l'im-
portance que nous attachons à la relation anharmonique et à l'équa-
tion ci-dessus.

(121) Cette équation, abstraction faite de son importance dans la
théorie des polaires réciproques considérée comme moyen de trans-
formation des figures , exprime une belle propriété des surfaces du
second degré, dont on n'a pas encore fait usage, et qui mérite d'être
introduite dans la théorie de ces surfaces, où elle sera susceptible
d'applications très-nombreuses. Nous en présenterons, pour le mo-
ment, une seule, qui, concernant la description des figures polaires
réciproques , ne sera point étrangère à l'objet de cet écrit : et même
les théorèmes que nous y démontrerons nous seront utiles dans le
paragraphe suivant. Mais pour ne point interrompre notre examen
des différentes méthodes particulières propres à la construction des
figures corrélatives, nous reportons cette application de l'équation
en question, dans un dernier paragraphe sous le titre de Note.

§ XXIII. Autre méthode tirée de la considération des sur/aces du
second degré , et plus générale que celle des polaires réciproques.
Applications de cette méthode.

(122) Soit l'équation d'une surface du second degré

Ax' -t- By' -4- Cz'= 1.

Prenons pour l'équation d'un plan mobile

kx'x -H By'y -{- Cz'z = l -\- Lx' -+■ My' -t- Na' ,

où a?', y'j z' , sont les coordonnées du point directeur m' ($ premier).

Nous allons parvenir , par la considération de la surface du second
degré, à une relation géométrique entre ce point directeur et le plan
mobile.

Ce plan a pour pôle , dans la surface du second degré , un point

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 663

m" dont les coordonnées x" , y", z" , ont pour expressions

ar" =

y =

l -t-Lx' -t- My' ■+■ Na' '

y'

l -t- La;' -i- My' -t- Na' '

a'
1 -t- L»' -t- My' M- Na'

Concevons un plan fixe qui ait pour équation

Lr -«- My -f- Na -f- 1 = o.

La perpendiculaire abaissée du point m' sur ce plan a pour valeur

1 -t- Lar' -4- My' -♦- Na'
mp 5=: ■ - — •

J/ L' -4- M' -+- N'

On a donc

x' 1

*^P VL' -h M' -I- N'

Soit o l'origine des coordonnées, qui est le centre de la surfacej

on a

otn X

otn' x'

et par conséquent,

om I

om

*>*P |/L' + M' -♦- N'

Soit fx le point oii la droite om" perce le plan mobile, dont le point
m" est le pôle; et soit oa le demi-diamètre de la surface, dirigé sui-
vant cette droite; on a comme on sait.

„ oa

ont = —

Oft

664 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

D'où

oa om

1

o/i m'p \/L' -h M' -+- N'

Cette équation exprime les relations géométriques qui ont lieu entre
le point directeur m' {x' , y' , z') et le plan mobile.

On en tire '

1 m p

o/jt. = oa, . const.

otn'

Ce qui donne lieu à ce théorème :

Si du centre d'une surface du second degré on mène un rayon
à chaque point d'une figure proposée A' , et qu'on prenne sur ce
rayon, à partir du centre de la surface, un segment qui soit à ce
rayon divisé par la distance du point de la figure à un plan fixe,
et multiplié par le carré du demi-diamètre de la surface compris
sur ce rayon, dans une raison constante, le plan mené par l'extré-
mité de ce segment, parallèlement au plan diamétral conjugué à la
direction du rayon, enveloppera une autre figure A qui sera corré-
lative de la proposée.

(123) Si le plan fixe est à l'infini, cette figure A sera précisé-
ment la polaire réciproque de la proposée.

Car, dans ce cas, on a L = o, M = o, N = o, et l'équation du
plan mobile se réduit à

\x'x -+- By'y -t- Cz'z = l ,

qui est l'équation du plan polaire du point {x', y', z',) , par rapport à
la surface du second degré.

Et la formule géométrique prend alors la forme connue

oa

Ofi = ;■

Ainsi le mode de transformation exprimé par le théorème ci-dessus
comprend, comme cas particulier, celui que donne la théorie des po-
laires réciproques.

(124) Ce mode de transformation jouit de la propriété suivante.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 665

qui est l'une des plus utiles dans les applications de cette théorie,
savoir, que

Le plan corrélatif d un point est parallèle au plan diamétral de
la surface auxiliaire , qui est conjugué à la droite qui va du centre
de cette surface à ce point.

Sous ce premier rapport, le mode général de transformation offre
donc les mêmes facilités dans ses applications, que celui des polaires
réciproques.

(125) Mais, sous un autre rapport, il offre un grand avantage que
n'a pas cette théorie. C'est que, à un même point de l'espace consi-
déré comme appartenant successivement aux deux figures, ne corres-
pond pas, dans les deux figures, un même plan, comme cela a lieu
dans la théorie des polaires. Ainsi par exemple, au point pris pour
centre de la surface auxiliaire , considéré comme appartenant à la
figure A', correspond l'infini dans la surface A; et à ce point, con-
sidéré comme appartenant à la figure A, correspond le plan fixe dans
la figure A'.

Cette différence rend notre mode de transformation immédiatement
applicable à plusieurs relations métriques auxquelles la théorie des
polaires réciproques n'est pas propre.

Quelques exemples éclairciront cela.

(126) Mais disons d'abord que le mode de transformation se simplifie
quand la surface du second degré est une sphère. Alors les plans de
la figure A sont perpendiculaires aux rayons menés du centre de la
sphère aux points correspondans de la figure A'; et la formule de trans-
formation est, en comprenant le rayon de la sphère dans le coefficient
constant ,

m'p'
Ofi = X. — îp.
om

Et si l'on vient à supposer que le plan fixe P, sur lequel sont abais-
sées les perpendiculaires m'p' , soit à l'infini, la formule se réduira à

A
0^= — ;•
om

666 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

(127) Il faudra se rappeler toujours, dans les applications de la
formule générale, que, au point o considéré dans la figure A, corres-
pond le plan fixe dans la figure A'.

D'où il suit que :

1° A un plan M mené par le point o, et considéré comme appar-
tenant à la figure A, correspond, dans la figure A' , un point situé dans
le plan fixe P ;

Ce point est sur la perpendiculaire au plan M, menée par le point
o (126).

2° A une droite L, menée par le point o, et considérée comme ap-
partenant à la figure A, correspond, dans la figure A', une droite
située dans le plan P;

Cette droite est l'intersection de ce plan par le plan mené par le
point o perpendiculairement à la droite L,

(128) La formule

■m'p'
OfJ. == A.

om

ne donne directement que les points m' de la figure A' correspondans
aux plans de la figure A, et non les plans de la figure A' correspondans
aux points de la figure A. Mais il est facile d'en tirer la manière de
construire ces plans. Pour cela, étant donné un point s de la figure A,
on concevra mené par ce point un plan perpendiculaire à la droite os ;
on prendra dans la surface A' le point correspondant à ce plan , et la
droite correspondante à la droite os ,* le plan mené par ce point et par
celte droite sera le plan cherché.

D'où l'on conclut que :

Pour construire le plan S' de la figure A', correspondant à un point
s de la figure A, on tirera la droite os, sur laquelle on prendra le point

s' déterminé par la formule

sy

os = A.

oS'

Par le point o on mènera un plan perpendiculaire à la droite os ; ce
plan coupera le plan fixe P suivant une droite ; le plan mené par cette

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 667

droite et par le point «' sera le plan cherché, qui correspond dans la
figure A' au point * de la figure A.

(129) Première application. Soit une sphère A ayant son centre
en o. Menons -lui un plan tangent; la distance 0(x de ce plan au
point o sera égale au rayon R de la sphère ; ou aura donc

t

m'p' _ j, ^ om'

A. =n; dou — 7-,=con8t.

om tnp

Ce qui prouve que la figure A' est une surface du second degré de
révolution, qui a un foyer en o, et le plan P pour plan directeur cor-
respondant à ce foyer.

Nous aurions pu dire à priori que la surface A' serait de révolution,
parce que la sphère proposée A est placé symétriquement par rapport
au plan P; et alors l'équation ^ = const. aurait démontré la pro-
priété du foyer et du plan directeur.

(130) Considérons trois plans diamétraux rectangulaires dans la
sphère A; il leur correspondra, dans la surface de révolution A', trois
points situés dans le plan P, qui seront tels que le plan polaire de
chacun de ces points, par rapport à la surface de révolution, passera
par les deux autres points. Ces trois points seront, par construction,
sur les perpendiculaires aux trois plans diamétraux de la sphère, me-
nées par le point o. Ces trois droites sont trois aa^es conjugués^ de la
surface de révolution relatifs au point o, pai'ce que ce point est le
pôle du plan fixe, par rapport à cette surface; on conclut de là que :

Datis une surface du second degré de révolution , trois axes con-
jugués relatifs à un foyer sont rectangulaires.

(131) Supposons maintenant que la figure A soit une sphère ayant
son centre en un point quelconque «. La surface A' sera du second
degré, et l'on aura un plan S, correspondant au point s, qui sera le
plan polaire du point o par rapport à cette surface A' ^.

' Voir § IX , art. 35 la dcGnition des axe* conjugués relatifs à un point.

* Car, en gcncral, le plaa correspondant au point s est le plan polaire, par rapport à la
surface A' , du point qui correspond à l'inCni de la première figure (27) , et ici ce point est le
centre de la surface auxiliaire, c'est-à-dire le point 0 (128)^^^ *" *• *"

668 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

A trois plans diamétraux rectangulaires de la sphère, correspon-
dront trois points situés dans le plan S, qui seront tels que le plan
polaire de chacun d'eux, par rapport à la surface A', passera par les
deux autres. Les droites menées du point o à ces trois points seront
rectangulaires, comme étant, par construction, perpendiculaires res-
pectivement aux trois plans diamétraux de la sphère; et ces trois droites
seront trois axes conjugés relatifs au point o, puisque ce point est le
pôle du plan S, par rapport à la surface A'. Ainsi trois axes conjugués
relatifs au point o , sont rectangulaires; ce qui prouve que la surface
A' est de révolution , et quelle a le point o pour foyer, et le plan S
pour plan directeur correspondant.

Cette surface est située d'une manière quelconque par rapport au
plan P, puisque la direction de son plan directeur S dépend de la
position du centre s de la sphère proposée, et que ce centre est pris
arbitrairement dans l'espace.

Si la sphère enveloppe le point o, la surface A' ne coupera pas le
plan P; parce que si elle le coupait, à la courbe d'intersection cor-
respondrait un cône circonscrit à la sphère, et ayant le point o pour
sommet.

Et si, au contraire, le point o se trouve au dehors de la sphère A,
le plan P coupera la surface A'.

(132) C'est un théorème de géométrie élémentaire, facile à dé-
montrer, que « si autour d'un point fixe on fait tourner une trans-
)) versale qui rencontre une sphère en deux points, et qu'on mène
)) les plans tangens en ces points, la somme ou la différence des va-
)) leurs inverses des distances de ces plans au point fixe sera con-
» stante. )) Ce sera la somme quand le point fixe sera pris au
dedans de la sphère, et la différence quand il sera pris au dehors.

Prenons pour le point fixe le point o, et appliquons ce théorème
à la sphère. A chaque transversale menée par le point o, corres-
pondra, dans la seconde figure, une droite comprise dans le plan
P; aux points où la transversale rencontre la sphère, correspondront
les plans tangens à la surface A' , menés par cette droite ; et aux

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 669

plans tangens à la sphère correspondront les points de contact des
pians tangens à la surface A' : on conclut donc du théorème énoncé,
d'après la formule

OM

s=

A.

mp

r t

om

1

1

ont'

—

=^

—

0/K

A

m'p'

OU

cette propriété générale des surfaces du second degré de révolution
à foyers :

Étant mené un plan transversal cCune manière quelconque par
rapport à une surface du second degré de révolution , si par une
droite quelconque , prise dans ce plan , on mène deux plans tangens
à la surfacCy et qu'on prenne pour chacun des deux points de
contact le rapport de ses distances à un foyer de la surface et au
plan fixe , la somme de ces deux rapports , si le plan fixe ne ren-
contre pas la surface , ou leur différence , si le plan fixe rencontre
la surface , sera une quantité constante.

(133) Si le plan fixe est situé à l'infini, les points de contact des
deux plans tangens sont les extrémités d'un diamètre de la surface ;
la distance d'un de ces points à un foyer est égale à la distance de
l'autre point au second foyer ; d'où l'on conclut que :

Dans une surface du second degré de révolution , la somme ou la
différence des distances de chaque point de la surface aux deux
foyers est constante '.

(134) Pour mieux montrer sous quel rapport le théorème précé-
dent est une généralisation de cette propriété des foyers, nous re-
marquerons que la droite qui joint les points de contact des deux
plans tangens à la surface, passe par le pôle du plan fixe; et que par
conséquent le théorème peut être énoncé ainsi :

1 Nous verrons dans la seconde partie de cet écrit (§ XXI), que ces proprictcs, qui semblent
être particulières aux surfaces du second degré de révolution, peuvent dériver d'une propriété
générale des surfaces géométriques d'un degré quelconque.

ïo«. XI. 85

670 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Si autour (fun point fixe on fait tourner une transversale qui
rencontre une surface du second degré de révolution en deux
points , la somme ou la différence des distances de ces points à un
foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points
au plan polaire du point fixe , sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est situé dans l'intérieur de la
surface, et la différence s'il est situé au dehors de la surface.

Nous pourrions, par la même méthode de transformation, démon-
trer diverses autres propriétés nouvelles des foyers des surfaces de
révolution, mais elles se présenteront dans nos applications du prin-
cipe d'homographie.

(135) Seconde application. Soit un polygone régulier de m côtés
circonscrit à un cercle, et soit n un nombre plus petit que m; la
somme des puissances n des perpendiculaires abaissées d'un point fixe
o sur les côtés du polygone, sera constante, quelle que soit la posi-
tion du polygone par rapport à ce point. Cela résulte d'un théorème
de Ste wart , qui donne l'expression de la somme de ces puissances n,
en fonction du rayon du cercle , du nombre m et de la distance du
point o au centre du cercle '.

Appliquant à ce théorème la formule

m'p'

O/X. = A. ;- ,

om

on en conclut le suivant :

Si, autour du foyer d'une conique, on fait tourner une rose des
vents de m rayons ,•

n étant un nombre plus petit que m ;

La somme des puissances n des distances des m points où ces
rayons rencontreront la conique , à une droite fixe , divisées res-
pectivement par les puissances n des distances de ces points au
foyer de la courbe, sera constante.

(136) On peut remplacer, dans ce théorème, la distance de cha-

' Some gênerai theorems of considérable use in the higher parts of mathematics ; prop. 40.

MIMOIRE de géométrie. 671

que point de la courbe au foyer, par la distance de ce point à la
directrice. On donnera ainsi au théorème un autre énoncé. Mainte-
nant, si l'on observe que le rapport des distances d'un point de la
courbe à la droite fixe et à la directrice, est au rapport des distances
de la tangente en ce point au pôle de la droite fixe et au foyer, dans
une raison constante {voir la Note, $ XXVI), on conclut du théorème
ci-dessus le suivant :

Si, autour du foyer d'une conique, on fait tourner une rose des
vents de m rayons ; et que par les m points où ils rencontrent la
courbe, on lui mène ses tangentes ;

n étant un nombre plus petit que m, la somme des puissances n
des distances de ces tangentes à un point fixe, divisées par les puis-
sances n de leurs distances au foyer, sera une quantité constante.

(137) Ce théorème et le précédent sont susceptibles d'une foule de
conséquences , que nous ne pouvons examiner ici. Mais eux-mêmes ne
sont que des cas particuliers de propriétés des coniques très-géné-
rales et où n'entre pas nécessairement la considération de leurs foyers.
Une partie, par exemple, sont relatives aux diamètres des coniques,
et sont une généralisation des propriétés des diamètres conjugués.
Nous reviendrons, dans un autre moment, sur cette théorie, qui nous
paraît nouvelle, et qui comprendra un très-grand nombres de théo-
rèmes.

(138) Troisième application. Si, autour de deux points fixes, pris
sur une circonférence de cercle, on fait tourner deux droites, dont
le point d'intersection soit toujours sur la circonférence, les distances
de ces deux droites à un point fixe pris arbitrairement sur la circon-
férence, seront entre elles dans un rapport constant.

Qu'on prenne ce point fixe pour le point o, et qu'on applique à ce
théorème la formule de transformation

m'p'
om

on obtient cette propriété générale des coniques :

672 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Étant menées trois tangentes fixes à une conique^ si Von mène
une quatrième tangente quelconque , elle rencontrera les deux pre-
mières en deux points, qui seront tels que le rapport de leurs dis-
tances à la troisième tangente sera au rapport de leurs distances à
un foyer de la courbe, dans une raison constante.

(139) Si la conique est une parabole, on pourra prendre pour la
troisième tangente fixe sa tangente située à l'infini, et l'on aura cette
propriété de la parabole :

Etant menées deux tangentes fixes à une parabole , une troisième
tangente quelconque les rencontre en deux points dont le rapport
des distances au foyer de la courbe est constant.

(140) En considérant, dans le théorème général, deux positions de
la tangente mobile, qui feront, avec les premières tangentes fixes,
un quadrilatère, on en conclura ce théorème :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique , le produit
des distances dune cinquième tangente quelconque à deux sommets
opposés du quadrilatère est au produit des distances de la m,éme
tangente aux deux autres sommets, dans un rapport constant; .

Et ce rapport est égal au produit des distances d'un foyer de la
conique aux deux premiers sommets du quadrilatère , divisé par
le produit des distances du même foyer aux deux autres sommets \

On voit que chacun des deux foyers joue, en quelque sorte, le
même rôle, par rapport aux quatre sommets du quadrilatère, que
chacune des tangentes à la courbe.

(141) La seconde partie de ce théorème donne une relation entre
les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une conique et
les deux foyers de la courbe , qui est exprimée par le théorème sui-
vant :

' La première partie de ce théorème donne immédiatement , en vertu du théorème de l'ar-
ticle 159 (§ XXVI ) , le suivant :

Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique , le produit des distances d'un point quel-
conque de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même
point aux deux autres côtés, dans une raison constante.

C'est le théorème ad très aut quatuor lineas des Anciens.

♦ MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 673

Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique , le produit
des distances d'un foyer à deux sommets opposés , est au produit
des distances du même foyer aux deux autres sommets , dans une
raison qui reste la même, quel que soit celui des deux foyers qtûon
a pris \

(142) Quatrième application. Soit le théorème de Cotes sur la
division du cercle en parties égales. Donnons-lui, pour en faciliter
la transformation, cet énoncé : « Un polygone régulier de 2m côtés
» étant circonscrit à un cercle, si d'un point O, pris sur la droite
» indéfmie menée par le centre du cercle et par le point de contact
» du premier côté du polygone, on mène des droites aux points de
» contact de tous les autres côtés;

)) l'' Le produit des droites menées aux points de contact des côtés
» de rang impair sera égal à OC — R'";

» 2° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés
» de rang pair sera égal à OC — R" ;

» R étant le rayon du cercle, et le point C son centre. »

Faisons la transformation. Au cercle correspondra une conique
ayant son foyer en 0 (131); aux côtés du polygone correspondront
des points de la courbe, situés sur des rayons qui diviseront l'espace
angulaire autour de ce foyer en 2m parties égales; aux points de
contact des côtés du polygone , correspondront les tangentes à la co-
nique menées par les points pris sur elle. Ces tangentes se construi-
ront comme nous l'avons dit (128). On obtiendra ainsi un théorème,

' Si l'un des foyers est à l'infini , cette raison sera égale à l'unité , d'oii il suit que :

Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole , le produit des distances du foyer de
la courbe à deux sommets opposés du quadrilatère , est égal au produit des distances de ce foyer
aux deux autres sommets.

Si l'on suppose que les deux premiers sommets du quadrilatère soient deux points de la
courbe , les deux autres sommets se confondront avec le point de concours des tangentes en ces
deux points ; et il en résultera ce théorème :

Quand un angle est circonscrit à une parabole, le produit des distante* des points de contact
de ses deux côtés au foyer de la courbe, est égal au carré de la distance de son sommet à ce foyer.

Ce théorème est un de ceux dont Lambert s'est servi dans ses Insigniores orbitœ cometarum
proprietatcs. (Section l", lemme 3.)

674 MEMOIRE DE GEOMETRIE. ♦

correspondant, dans une conique quelconque, au théorème de Cotes.

L'expression de ce théorème est un peu comphquée. Pour la sim-
plifier nous supposerons que la droite qui, dans la nouvelle figure ,
est corrélative du point 0 de la première figure, soit située à l'infini.
Alors on a le théorème suivant :

Si l'on divise l'espace angulaire autour du foyer dune conique
en 2m parties égales , en menant 2m rayons, dont le premier coïn-
cide avec le grand axe ; et qu'aux points où ces rayons rencontrent
la courbe , on lui mène ses tangentes ;

Le produit des distances des tangentes de rang impair, au foyer,
sera égal a ^^;:zr^;

Et le produit des distances des tangentes de rang pair, au foyer,

sera éqal a — .

a e^ b étant les deux demi-axes principaux, et c l'excentricité
de la conique.

Si la conique est une parabole, on a ce théorème :
Si l'on divise Vespace angulaire , autour du foyer d'une para-
bole, en Ira. parties égales, par 2m rayons, dont le premier coïn-
cide avec Vaxe de la parabole , et qu'on mène les tangentes à la
courbe aux m points où, les rayons de rang pair la rencontrent ,
le produit des perpendiculaires abaissées du foyer sur ces tan-
gentes sera égal à la puissance m de la distance du foyer à la
directrice.

§ XXIV. Autres modes de construction des figures corrélatives : —
Par le déplacement fini, ou infiniment petit, dun corps solide
libre dans l'espace. — Par la considération d'un système de forces
appliquées à un corps solide libre.

(143) Quand on a un corps solide placé d'une manière quelcon-
que par rapport à trois axes coordonnés, que nous supposerons
rectangulaires, on sait que si l'on fait éprouver à ce corps un mou-

• MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 675

vement infiniment petit, les variations des coordonnées de chacun de
ses points seront données par les formules suivantes, dues à Euler;

ix' ^ii — y VN ■+■ S.' m ,

/y' = ,tm — «VL -H *VN ,
^g' =s,tn — x'JM -f- y'Jl ,

OÙ les coefficiens H, im, $n, dL, (?M, (fN sont constans pour tous les
points du corps. (Voir les Mém. de t Académie de Berlin, ann. 1750,
pag. 185 — 217, ou la Mécanique analytique de Lagrange, tom. I^r^
pag. 169.)

L'équation du plan mené par un point {x' , y', z') , perpendiculai-
rement à l'élément rectiligne décrit par ce point, pendant le mouve-
ment infiniment petit du corps, est

(«—*') ^x' -». (y— y') iy' -t- (a—*') <^a' = o,

ou

xJ'x' -+- ytTy' ■+• aJ'a' ^ x'Jx' ■*- yVy' -♦- z,'Jz.'.

Mais le second membre est égal, d'après les formules ci-dessus, à
x'Sl -\- y'im + z'$n ; l'équation du plan est donc

xéx^ ■+■ yJ'y' -4- sJs' = x'il ■+■ y' dm ■+■ s'Jn.

fx'f iy' , Sz' sont des fonctions linéaires des coordonnées x' , y' , z' ;
de sorte que l'équation du plan ne contient ces coordonnées qu'au
premier degré. On a donc, d'après le théorème 1 ($ II), cette propriété
générale du mouvement d'un corps solide :

Quand un corps solide éprouve un mouvement infiniment petit,
les plans normaux aux trajectoires des points du corps situés
dans un même plan, passent tous par un même point;

Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une
même droite, passent tous par une même droite ,*

Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une
surface du second degré, sont tous tangens à une autre surface du
second degré ;

676 MEMOIRE DE GEOMETRIE. •

Et, en général , les plans normaux aux trajectoires des points
d'une surface du degré m, envoloppent une seconde surface géo-
métrique à laquelle on peut mener m plans tangens par une même
droite.

(144) Ainsi, quand une figure de forme quelconque, éprouve un
déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de
ses points enveloppent une seconde figure qui est corrélative de la
première.

Voilà donc une manière très-simple de concevoir la description des
figures corrélatives.

(145) Cette méthode offre des avantages dans la géométrie spécu-
lative, parce que les figures y ont une dépendance particulière, qui
n'a pas lieu dans la théorie des polaires j c'est que chaque plan de la
nouvelle figure passe par le point correspondant de la figure propo-
sée. Cela fait que la seconde partie du principe de corrélation, c'est-
à-dire le théorème IV, n'a plus besoin de démonstration; il est une
conséquence immédiate de la construction des figures.

(146) Mais il y a entre les deux figures un rapport de relations
métriques beaucoup plus simple, qui repose sur ce théorème :

// existe dans le corps un certain axe qui n'a de mouvement
que dans sa propre direction ;

Les plans normaux aux trajectoires de deux points quelconques a,
b du corps rencontrent cet axe en deux points «, S, qui sont les pieds
des perpendiculaires abaissées sur lui, des points a, bj

De sorte que Von a toujours

aS = ab. COS. (ab, X) ;

X désignant la direction de l'axe en question.

Ainsi l'on aura, entre les distances des points de la figure pro-
posée et les segmens que les plans correspond ans , dans la figure cor-
rélative, intercepteront sur l'axe X, des équations de cette forme.
Ces équations serviront à convertir les relations métriques de la
figure donnée en relations appaitenant à la nouvelle figure.

• MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 677

Nous nous bornons, pour le moment, à énoncer cette proposition,
pour ne pas surcharger cet écrit de détails étrangers à son but
principal ; nous nous proposons do revenir sur ce sujet , pour établir,
par de simples considérations de géométrie, les propriétés générales
du mouvement d'un corps solide; lesquelles propriétés sont nom-
breuses et intéressantes, et sont susceptibles, quoique purement géo-
métriques, d'apporter quelque lumière dans plusieurs questions de
mécanique.

(147) Le déplacement fini quelconque d'un corps solide dans l'es-
pace peut donner lieu aussi à la construction de figures corrélatives.
Cette construction est fondée sur le théorème suivant :

Si l'on a dans l'espace deux figures parfaitement égales , et pla-
cées dune manière quelconque tune par rapport à l'autre ;

Que l'on joigne par des droites les points de la première figure
aux points correspondans de la seconde; et que par le milieu de
chacune de ces droites on lui mène un plan normal^

Tous ces plans envelopperont une figure qui sera corrélative
de chacune des deux figures proposées , et corrélative , aussi, dune
troisième figure formée par les points milieux des droites qui joi-
gnent les points homologues dans les deux premières.

Ainsi, si la première figure est plane, la troisième sera plane aussi;
et les plans menés par ses différens points passeront par un même
point (ce point sera situé dans le plan de cette troisième figure).

Si la première figure est une surface du second degré, la troisième
figure sera aussi une surface du second degré ; et les plans menés par
ses points envelopperont une autre surface du second degré.

Nous donnerons dans un autre écrit la démonstration de ces théo-
rèmes, qui peut se faire par de simples considérations de géométrie,
ou par l'analyse '.

' On peut vérifier aisément ces théorèmes, au moyen des formules suivantes relatives
au déplacement fini d'un corps solide dans l'espace, en fonction des six coefficiens indé-
pendans qui sufiisent pour exprimer ce déplacement.

Soient x, y, 3 les coordonnées d'un point du corps dans sa position primitive, et *', y', s'
ToM. XI. 86

678 MEMOIRE DE GEOMETRIE. •

(148) Le mode de construction des figures corrélatives que nous a
fourni le déplacement infiniment petit d'un corps solide, peut être
présenté d'une autre manière, où n'entre pas l'idée de mouvement.
Voici comment ;

Soit une vis , placée dune manière quelconque dans V espace;
concevons que par tous les points dune figure proposée passent des
hélices de la vis;

\° Les plans normaux à ces hélices, menés par les points de la
figure, envelopperont une seconde figure qui sera corrélative de la
première ;

2° Le segment compris sur l'axe de lavis, entre deux plans nor-
maux, sera égal à la projection orthogonale de la droite qui joint
les deux points correspondans.

De sorte que les relations métriques de la première figure seront
faciles à transporter dans la seconde.

(149) Il résulte de là que si Von coupe la surface dune vis (à

les coordonnées du même point considéré après le déplacement; ces coordonnées ont des
valeurs de la forme

iv'=l -4-2;J/ 1— (L^-+-M^+N')-+-(Ma— Ny)+ ^ — ^— ^ '- ■ L.(Lan-My-+-Ns),

y'^zm-t-yV^l — (L'+M=-f-N')-4-(Na;— L3)h ^^ '-• M.(La;+My-t-Na),

1-

-\/ï

-(L

•+w

■ + N')

-VT.

4-M;

+ N^

1-

-(L'

-t-M-

+IN')

L^-

-t-M^

+ N'

1-

-»/l-

-{V

'+M-'

+ 1N0

z':=n -+-Z l/l — (L^-i-lVr-f-N^)-t-(Ly— Ma;)H ,, 1.^ ^, -■ N. (La;-4-My+N3);

où /, m , M , L , M , N , sont six coefliciens indcpendans.

Ces formules sont la généralisation de celles d'Euler, qui ne convenaient qu'à un dé-
placement infiniment petit du corps solide.

Elles peuvent servir aussi pour la transformation d'un système de coordonnées rectan-
gulaires en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et soùs ce rapport elles satisfont
à une question qui a occupé dans un temps les géomètres , savoir , de trouver de telles formules
qui ne contiennent que les trois coefliciens indépendans nécessaires et suffisans pour exprimer
la position des nouveaux axes, et oii ces coefliciens entrent d'une manière symétrique.

Les formules de Monge qui ont résolu cette question (Mémoires de l'académie de Turin ;
ann. 178-4 et 1783) ont l'inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Les
formules précédentes n'en contiennent qu'une.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 679

filets triangulaires ou rectangulaires, indifTéremment) par un plan
quelconque , et que parles différens points de la courbe d intersection
on mène les plans normaux aux hélices qui passent par ces points ,
tous ces plans passeront par un même point. Ce point sera situé
dans le plan coupant.

Ces considérations, qui conduisent à diverses propriétés nouyelles
de la vis, offrent des méthodes de géométrie descriptive pour le dessin
des épures relatives à différentes questions qui se présentent dans les
arts.

(150) Voici enfin un dernier mode de construction des figures cor-
rélatives, que nous pouvons exposer sans calcul.

Qu'on conçoive un système de forces sollicitant un corps solide
libre; on pourra les remplacer d'une infinité de manières par deux
forces uniques F, F'. L'une de ces forces sera tout-à-fait arbitraire
de direction ; c'est-à-dire qu'on pourra prendre une droite quelcon-
que pour représenter la direction de cette force; la seconde force
sera alors tout -à-fait déterminée en direction et en grandeur.

Si on cherche le plan du moment principal des forces du système,
relatif à un point quelconque de la force F, ce plan passera par la
force F'. Donc si on fait tourner la première force autour d'un point
fixe, la seconde ne cessera pas d'être dans un même plan, qui sera
le plan du moment principal du système de forces , relatif au point
fixe. Et réciproquement, quelle que soit la position de l'une des deux
forces dans ce plan, l'autre force passera par le point fixe; d'où il suit
que les plans des momens principaux du système de forces, relatifs
aux différens points du plan, passeront par le point fixe.

On conclut de là que :

Si Von conçoit dans t espace un système de forces, et que ton
prenne les plans des momens principaux de ces forces , relatifs à
tous les points dune figure , ces plans envelopperont une seconde
figure qui sera corrélative de la première ,• c'est-à-dire que les plans
relatifs à des points situés sur un plan passeront par un même point;
ceux relatifs à des points situés en ligne droite passeront par une

680 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. m

même droite; ceux relatifs à des points situés sur une surface du
second degré envelopperont une seconde surface du second de-
gré, etc.

(151) Quant aux relations métriques de la nouvelle figure, on les
conclura de celles de la figure proposée , au moyen de la proposition
suivante, dont la démonstration est sans difficulté, mais serait ici
sans intérêt :

Si l'on prend un certain axe fixe , 'parallèle à la résultante de
toutes les forces (l'axe que M. Poinsot a appelé l'axe central des
momens ' ), le segment intercepté sur cet axe par deux plans quel-
conques appartenant à l'une des deux figures ^ sera égal à la pro-
jection orthogonale , sur cet axe , de la droite qui joint les deux
points correspondans dans t autre figure.

% XXV. Caractères particuliers de divers modes de construction

des figures corrélatives.

(152) Nous avons vu que la théorie des polaires réciproques n'offre
pas la construction la plus générale des figures corrélatives, parce
qu'elle ne donne à disposer que de neuf constantes, au lieu de
quinze. Il en est de même des autres modes que nous venons d'ex-
poser dans le paragraphe précédent, dans chacun desquels on ne
peut disposer que de six constantes. Dans ces dernières méthodes,
les figures corrélatives ont un caractère particulier; c'est que les
plans d'une figure passent par les points de l'autre figure auxquels
ils correspondent. Mais ces méthodes ont un autre caractère propre,
qui leur est commun avec celle des polaires réciproques , et qui
ne se présente pas d'une manière aussi palpable ; c'est une récipro-
cité parfaite entre deux figures corrélatives; réciprocité qui consiste
en ce que si, après avoir construit la figure corrélative A' d'une
figure A, on voulait, par le même mode de construction, former

' Élémens de statique ; 6° édition , pag. 358.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. «81

la figure corrélative de A', on retrouverait la figure A. Cela a lieu,
comme on sait , dans la théorie des polaires , parce que le point fixe
par lequel passent tous les plans polaires des difTérens points d'un
plan, a précisément pour plan polaire ce plan (118). 11 en est de
même dans la construction des figures corrélatives par voie de mou-
vement infiniment petit; c'est-à-dire que si la figure qui est l'enve-
loppe des plans normaux aux trajectoires des points de la figure
proposée, éprouvait elle-même le même mouvement, les plans nor-
maux aux trajectoires de ses points envelopperaient la première
figure; cela provient de ce que le point par lequel passent les plans
normaux aux trajectoires de tous les points d'un plan a sa trajectoire
normale à ce plan.

Il en est de même aussi dans le mode de construction fondé sur
la considération d'un système de forces; c'est-à-dire que si après
avoir construit la figure enveloppe des plans des momens principaux
d'un système de forces, relatifs aux différens points d'une première
figure, on construisait la figure enveloppe des plans des momens
principaux des points de cette nouvelle figure, par rapport au même
système de forces, on retrouverait la première figure; cela vient de
ce que le point par lequel passent les plans des momens principaux
des diiférens points d'un même plan a précisément son moment prin-
cipal situé dans ce plan.

(153) Il est naturel de chercher s'il n'existerait pas d'autres sys-
tèmes de figures corrélatives où une pareille réciprocité aurait lieu.

Nous allons prendre la question d'un peu plus haut; et d'abord
nous proposer la suivante :

Quand un point direcleur parcourt une surface A, le plan mobile
enveloppe une surface A' {§ II, théorème I);

Si l'on suppose qtiun nouveau point directeur parcoure cette
surface A' , quelle devra être l'équation d'un nouveau plan mobile
entrainé par ce nouveau point directeur, pour qu'il enveloppe la
première surface A 9

Soient x' , y' , z' les coordonnées du point directeur situé sur la

682 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE,

surface A, et

Xx' -4- Yy' -f- Zs' = U ,

l'équation du plan mobile ; ce plan enveloppe la surface A'.
Soit

La; -4- My + Ns = 1 ,

L'équation d'un plan tangent à la surface A en un point a. Si le
point directeur parcourt ce plan , le plan mobile tournera autour
d'un point de la surface A' , dont les coordonnées sont données par
les trois équations

X = LU , Y = MU , Z = NU ;

et ce point est précisément celui où le plan mobile touche la sur-
face A' quand le point directeur est en a. (Théorème II.)

Soient a;" , y", z" les coordonnées de ce point, et remplaçons,
dans les trois équations précédentes X, Y, Z et U par X", Y", Z"
et U", pour indiquer que les trois variables y ont les valeurs a;",
y" , s"', nous aurons les trois équations

X" = LU", Y" = MU", Z" = NU".

L'équation

X"x -t- Y"y -4- Z"z = U"

représente un plan mobile entraîné par le mouvement du point
(iv" , y" , z"). Si nous supposons que ce point soit sur la surface A',
les trois équations précédentes auront lieu ; par conséquent l'équa-
tion générale de son plan mobile se réduira à

L^ -+- My -H Ni = 1.

C'est précisément l'équation du plan tangent à la surface A.
L'équation

\"x -+- Y"y + Z"z = U"

est donc celle qui convient au second plan mobile, pour qu'il en-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 683

veloppe la surface A, pendant que son point directeur parcourt la
surface A'.

Or on voit que, pour former cette équation, il faut changer, dans
l'équation du premier plan mobile, les coordonnées courantes en
celles du second point directeur, et celles du premier point direc-
teur en coordonnées courantes. On peut donc énoncer ce théorème
général :

Quand téquation dun plan mobile contient au premier degré
les coordonnées x', y', z' d'un point directeur, si on y change les
coordonnées courantes x, y, z, e» x', y', z', et vice versa, on aura
une seconde équation qui représentera un second plan mobile ,
correspondant au même point directeur ;

Si le point directeur parcourt une surface A, le premier plan
mobile enveloppera une surface A' ;

Et si le point directeur parcourt la surface A' , le second plan
mobile enveloppera la pretnière surface A.

Ainsi les deux surfaces jouissent de la propriété réciproque d'être
engendrées l'une au moyen de l'autre, mais par deux plans mobiles
différentes, c'est-à-dire dont les équations sont différentes.

(154) D'après cela, on voit sur-le-champ que si l'on veut que le
plan mobile ait la même équation , ou la même construction géo-
métrique, pour les deux surfaces, comme cela a lieu dans la théorie
des polaires réciproques et dans les autres systèmes qui reposent soit
sur le déplacement d'un corps solide, soit sur la considération d'un
système de forces, il faut que l'équation du plan mobile soit symé-
trique par rapport aux coordonnées courantes et à celles du point
directeur; car alors elle restera la même quand on y changera a;,
y , s, en x' , y' , s' et vice versd, et les deux plans mobiles du
théorème précédent auront la même équation.

Cela a lieu dans la théorie des polaires; l'équation du plan polaire
d'un point reste la même quand on y met les coordonnées de ce
point à la place des coordonnées courantes, et vice versd. Il en
est de même pour le plan normal à la trajectoire d'un point d'une

684 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

figure dé forme invariable qui éprouve un déplacement infiniment
petit; ce qu'on voit d'après l'équation de ce plan normal (143). Il
en est de même aussi pour le plan du moment principal d'un sys-
tème de forces, pris par rapport à un point; l'équation de ce plan
reste la même si on y remplace les coordonnées courantes par les
coordonnées du point, et vice versa. Car en supposant les trois
axes coordonnés rectrangulaires , et en désignant par A^, A^, A^
les sommes des composantes, suivant ces trois axes, des forces du
système, transportées toutes à l'origine, et par M^, IVI,., M. les pro-
jections sur les plans yz , zx et xy , du moment principal relatif
à cette origine, on trouve que le plan du moment principal d'un
point quelconque [x' , y' ^ z') , a pour équation

{z'ky — y'Kz — Mx ):» -t- {x'kz — z'Kx — My )y -4-
(y'Ax — x'ky — Mz )3 -f- ar'Mi -»- y'Mjr + z'Mj = o ;

et une simple vérification fait voir que cette équation reste la même
quand on y change les coordonnées courantes x, y , z en x' , y' , z'
et vice versa.

L'équation du plan mobile dans ce dernier mode de construction
des figures corrélatives a tout-à-fait la même forme que celle du
plan normal à la trajectoire d'un point d'une figure en mouvement;
il y a en effet dans ces deux questions des rapports intimes re-
marquables, dont il serait hors de propos de parler ici, et sur
lesquels nous reviendrons ailleurs.

(155) Il nous reste à faire voir que chaque fois que l'équation du
plan mobile sera symétrique, comme dans les exemples précédens,
elle aura nécessairement la forme de l'équation du plan polaire d'un
point par rapport à une surface du second degré , ou celle du plan
normal à la trajectoire d'un point d'un corps solide en mouvement.

En effet, l'équation générale du plan mobile est de la forme

{ax-i-bij-\-cz—d) x' -t- {a'x -»- b'y -+- c'a — d') y' -t- {a"x -+- h" y -4- c"s — d") z

— {a:"x -4- h" 'y -+- c"'a— rf'") = o.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 685

Celte équation sera la même, après le changement de x, y , s
en x' , y' , z' et vico vorsd, si son premier membre est resté iden-
tiquement le même, soit avec le môme signe soit avec un signe dif-
férent.

Dans le premier cas, en comparant le premier membre à ce qu'il
devient par le changement en question, on trouve les six conditions :

«

rf = a"', rf'=i"', d" = c"', b = a' , c==a" , c' = b" ;

et dans le second cas, on trouve les conditions

0 = 0, b' = 0 , c" = 0 , a" = 0 f
rf = — o'", d'= — b"', d" = — c"' , b = — a', c = — a", c = — b".

Telles sont les deux seules solutions de la question.

Les deux équations du plan mobile qui y correspondent sont

ax'x -4- b'y'y -t- c"«'a -+- b(y'x + x'y) + c{z'x •+•«'«)-♦- b"(s'y -+- y'*)
— d{x -f- x') — d'{y -f- y') — d"{z h- s') — d'" = o ,

et

b{y'x—x'y) -»- c(«'«— »'s) h- b"{»'y—y'*) — d{x—x') — d'{y—^)—d"{z—z') = o.

Faisons

o=2A, 6'=2B, c" = 2C, A = D, c=E, i" = F, d= — G, d' = — H, d" = — \,

la première équation devient

(2A*' -+- Dy' H- Ea' -+- G)« -h {2By' -^ Dx' -t- Fa' h- H)y -t-
(2Ca' -H Ex' -4- Fy' H- I)a -f- Qx' -\- \\y' -t- la' — d'" = o.

C'est l'équation du plan polaire du point {x', y', s')^ par rapport
à la surface du second degré qui a pour équation

d!"
Kx'' ■+■ By' -4- Ca' -4- Dj?y -t- Exa -t- Fya -»- G* -4- Hy ■+• la — = 0.

Donc , dans le premier cas, le plan mobile pourra toujours être
Toi. XI. 87

686 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

considéré comme le plan polaire du point directeur par rapport à une
surface du second degré.

Nous devons observer que cette surface pourrait être imaginaire;
alors en changeant le signe du dernier terme de son équation, on
aurait une surface réelle. Ainsi on pourrait encore, dans ce cas, di-
riger le mouvement du plan mobile par la considération d'une surface
auxiliaire du second degré.

Dans le second cas, si l'on fait

d = — J'/, d' = — cf»/j , d" = — fn, b = Jîi, c = ^M, h" = cfL ,

l'équation du plan mobile devient

(ar — x') ^l -+- (y — y') J'm -4- (s — a') Jn — (t/'m — x'y) tfN —
{3;'z — s'x)jM — {z'y — y'z)^L=:o.

C'est l'équation du plan normal à la trajectoire du point (a?' , y' , z')
considéré comme appartenant à une figure de forme invariable , qui
a éprouvé un mouvement infiniment petit.

Remarquons que cette équation est satisfaite quand on y fait a; = a;',
y= y'^eiz^ z'.

(156) Il résulte de cette analyse que :

Quand Véquation d'un plan mobile contient, au premier degré .
les coordonnées x', y', z' d'un point , et qu'elle reste la même quand
on y change les coordonnées courantes x, y, z e/i x', y', z' et vice
versa, elle ne peut avoir que deux formes différentes ^ et le plan
mobile peut être considéré comme le plan polaire du point (x' , y' ,
z'), par rapport à une surface du second degré déterminée j ou bien
comme le plan normal à la trajectoire du point (x', y', z'), regardé
comm.e appartenant à un corps solide qui éprouve un mouvement
infiniment petit.

Mais on conçoit que ces deux formes de l'équation du plan mo-
bile pourraient avoir d'autres interprétations géométriques; comme
nous l'avons fait voir à l'égard de la seconde , qui convient aussi au

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 687

plan du moment principal d'un système de forces, relatif au point

(^', y', -').

<J XXVI. Note sur une propriété générale des surfaces du second

degré.

(157) La propriété dont il s'agit est exprimée par l'équation

... sin. C,A sin. D,A ca da

sin. C,B gin. D,B cb db ^ '

OÙ A, B, C, D, sont quatre plans (quelconques passant par une même
droite, et o, i6, c, t/, les pôles de ces plans, respectivement, par rap-
port à une surface du second degré.

Cette propriété est bien simple; néanmoins elle est une des plus
fécondes de la théorie des surfaces du second degré; nous aurons à
en faire ailleurs un grand usage ; pour le moment nous allons en pré-
senter une seule application, concernant la description des figures
réciproques.

L'équation (I) est résultée de notre théorie générale des figures
corrélatives, et n'a pas besoin d'une démonstration particulière; ce-
pendant, à cause des nombreuses conséquences du principe exprimé
par cette équation, indépendamment de ses usages dans la théorie des
transformations, nous allons en donner une démonstration directe;
ce qui est chose très-facile.

Soient «, S, y, J, les points où les plans A, B, C, D rencontrent la
droite L sur laquelle sont situés les points o, ,6, c, rf,* ces plans pas-
sent par une même droite; par conséquent on aura, par la propriété
du rapport anharmonique (Note IX) :

sin. C,A sin. D,A ya. éx

sin. C,B * sin. D,B ~ K ' <^ff'

688 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

il suffit donc, pour démontrer l'équation (1), de prouver que l'on a

yx ifc. ca da
yS ' êS cb ' db

Or , le point a étant le pôle du plan A , les deux points a et « sont
conjugués harmoniques par rapport aux deux points où la droite L
rencontre la surface. Pareillement les deux points b, ê, sont conju-
gués harmoniques par rapport aux deux mêmes points ; il en est de
même de deux points c,y, et des deux points d, t?; donc trois quel-
conques de ces quatre systèmes de deux points forment une involution
(Note X, art. 12 bis, p. 555 )j et par suite les huit points ont entre
eux la relation que nous voulions démontrer (même Note, art. 9).
(158) Maintenant, pour faire l'application que nous nous propo-
sons de la formule (1), mettons-la sous la forme

ac sin. A.C ad sin. Â.D

bc ' sin. 6,C bd ' sin. B,D

Le second membre est constant, quels que soient le point c et son
plan polaire C. Que dans le plan C on prenne un point m; son plan
polaire M passera par le pôle c du plan C. Le rapport des distances

du point m aux deux plans A, B, sera égal à ^ï^^txc? ^® rapport des
distances du plan M aux deux points a, b, sera égal à ^; et, d'a-
près l'équation ci- dessus, ces deux rapports seront entre eux dans
une raison constante.

On a donc cette propriété générale des surfaces du second degré :
Étant pris dans l'espace deux points fixes a, b, et leurs plans
polaires A, B, par rapport à une surface du second degré ^ si l'on
mène un plan transversal quelconque , le rapport de ses distances
aux deux points a, b, sera au rapport des distances du pôle de ce
plan aux deux plans A, B, dans une raison constante quel que
soit le plan transversal.

(159) Si le plan transversal est tangent à la surface, son pôle sera
son point de contact, on en conclut que :

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 689

Étant pris dans Vospace deux points fixes et leurs plans polaires
par rapport à une surface du second degré, le rapport des dis-
tances dun point quelconque de la surface à ces deux plans sera
au rapport des distances du plan tangent à la surface en ce point,
aux deux points fixes , dans une raison constante.

D'après cela , on reconnaît de suite que plusieurs des théorèmes que
nous avons démontrés sur les plans tangens à une surface du second
degré menés par les extrémités de trois axes conjugués relatifs à un
point fixe, donnent lieu immédiatement à d'autres théorèmes diffé-
rens, concernant les extrémités mêmes de ces trois axes conjugués.

Mais ces théorèmes devant se présenter dans la seconde partie de
cet écrit, comme application directe du principe de déformation ho-
mographique, nous ne les énoncerons pas ici.

(160) Soit C un plan transversal mené arbitrairement dans l'es-
pace, et c son pôle par rapport à la surface du second degré. Dési-
gnons par (^) la distance du plan C au point a , et par (é) la distance
du point a au plan C; ces deux expressions seront égales, mais en-
visagées sous un point de vue différent.

D'après cette notation, le théorème que nous venons de démon-
trer s'exprimera ainsi

l étant une constante indépendante de la position du plan transversal
C et de son pôle c.

Pour déterminer cette constante, supposons que le plan C se con-
fonde avec le plan B ; le point c se confondra avec le point A ; et il
viendra

Or (4 ) est égal à (ô) , comme exprimant la même distance ; il reste
donc

(•)-x.a) ;...,= (::):(*)

690 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

D'après cette valeur de X, l'équation ci -dessus devient

» G) c)-o-c)-a)-o-

Cette équation est susceptible de plusieurs conséquences.

(161) D'abord, elle établit une relation générale entre trois plans
quelconques et leurs pôles, pris par rapport à une surface du second
degré, qui fait voir que, trois plans étant donnés, on ne peut pas
prendre arbitrairement trois points pour représenter les pôles de ces
trois plans par rapport à une surface du second degré. Deux de ces
points peuvent être pris arbitrairement, mais le troisième doit néces-
sairement être assujetti à une certaine condition exprimée par l'équa-
tion (2). L'expression géométrique de cette condition est que le
troisième pôle doit être pris sur un certain plan déterminé.

Car l'équation (2) fait connaître le rapport (1) : („), qui lui-même
détermine la position du plan mené par la droite d'intersection des
deux plans A, B, et par le pôle c du troisième plan C.

(162) Nous conclurons de là, d'abord, ce théorème :

Quand plusieui^s surfaces du second degré sont telles que deux
plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces,
les pôles d'un plan transversal mené arbitrairement seront sur un
même plan qui passera par la droite d'intersection des deux plans
donnés.

(163) Si le plan transversal est à l'infini, ses pôles seront les centres
des surfaces; donc

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux
plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à toutes ces
surfaces, ces surfaces ont leurs centres situés sur un même plan.

(164) La même équation (2) donne le rapport Q) : (4); ce rapport
détermine sur la droite ah un point par où passe le plan C; on con-
clut de là que :

Quand plusieiirs surfaces du second degré sont telles que deux
plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces sur-

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 691

faces, les plans polaires d'un point , pris a?'bilrairement clans T es-
pace y passeront par un même point de la droite qui joint ces deu.v
pôles.

(165) Désignons par L le plan mené par le point a et par la droite
d'intersection des deux plans B, C; par M le plan mené par le point
b et par la droite d'intersection des deux plans C, A; et enfin par N
le plan mené par le point c et par la droite d'intersection des deux
plans A, B. Le rapport des perpendiculaires abaissées du point a sur
les deux plans B, C, sera égal au rapport des sinus des angles que le
plan L fait avec ces deux plans B, C. Ainsi l'on a

sin. L,B

c"

Pareillement

et

/i\ /'b\ sin. M,C

KcJ ' ^U -li^nvTÂ'

/c N /^c>v sin. N,A

L'équation (2) devient donc

sin. L,B sin. M,C sin. N,A

f 8) ....... . — . • '- = 1 .

sin. L,C sin. M, sin. M,B

Cette équation prouve, par un principe de la théorie des transver-
sales, que les trois plans L, M, N, menés respectivement par les trois
arêtes de l'angle trièdre formé par les trois plans A, B, C, passent
par une même droite. On a donc ce théorème :

Etant donnés un angle iriède et une sur/ace du second degré ;
et étant pris, par rapport à la surface, les pôles des trois faces
de cet angle trièdre / les trois plans înenés respectivement par les
arêtes de l'angle et par les pôles des faces opposées à ces arêtes,
passeront tous trois par une même droite.

Ce théorème exprime la construction géométrique du plan sur

692 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

lequel doit se trouver le pôle d'un troisième plan, par rapport à une
surface du second degré, quand les pôles de deux premiers plans sont
donnés.

(166) Maintenant considérons le triangle abc, et soient /, m, n,
les trois points où les plans A, B, C, respectivement, rencontrent
les trois côtés bc, ca, ab. Le rapport des distances des deux points
Z>, c au plan A, sera égal à ^; ainsi l'on a

pareillement

fa ^ f^\ "**

an
bn

L'équation (2) devient donc

an M cm

équation qui prouve que les trois points /, m, n, sont en ligne droite.
Donc :

Un triangle étant placé (Tune manière quelconque par rapport
à une surface du second degré , les plans polaires de ses sommets
rencontrent respectivement les côtés opposés en trois points qui sont
en ligfie droite.

Ce théorème pouvait se conclure immédiatement du précédent par
la théorie des polaires réciproques, mais il nous a paru intéressant
de montrer que l'un et l'autre sont exprimés par la seule équation (2).

(167) Des deux théorèmes (165) et (166) on déduit sans difficulté
cette propriété générale des surfaces du second degré :

Étant donné un tétraèdre , et étant pris les pôles de ses quatre
faces , par rapport à une surface du second degré, et les plans
polaires de ses quatre somme f-f ,•

1" Les droites qui joindront les sommets du tétraèdre aux pôles

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 693

des faces opposées à ces sommets seront quatre génératrices d'un
même mode de génération d'un hyperboloide à une nappe ;

2° Les droites d intersection des plans polaires des sommets du
tétraèdre par les faces opposées à ces sommets 7espectivement ,
seront quatre génératrices d'un mémo modo de génération d'un
second hyperhohïde à une nappe.

(168) Ce théorème est susceptible d'une multitude de conséquen-
ces. Nous en avons exposé déjà plusieurs dans les Annales de Ma-
thématiques, tom. XIX, pag. 76. Nous nous bornerons ici à faire
remarquer qu'on en conclut que :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que trois
plans dontiés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces :

\° Les pôles dun autre plan transversal quelconque , pris par
rapport à ces surfaces, sont situés en ligne droite ;

2** Les plans polaires dun point quelconque de l'espace, pris par
rapport à ces surfaces, passent par une même droite;

3" Enfin, toutes ces surfaces ont leurs centres situés sur une
même droite.

( 1 69) L'équation (2) servira pour la solution de cette question :

Coîistruire une surface du second degré telle que quatre plans
donnés aient pour pôles , par rapport à celte surface , quatre points
donnés ; ces points satisfaisant à la condition exprimée par le
théorème (167).

On concevra un plan transversal situé à l'infini, et l'on construira
son pôle , par trois équations semblables à l'équation (2), dont chacune
déterminera un plan sur lequel sera ce pôle. Ce point sera le centre
de la surface cherchée.

On déterminera de même le pôle de tout autre plan transversal.

Par le centre o de la surface et le pôle a d'un plan^ on mènera
une droite qui rencontrera ce plan en « ; le produit oa. oa. sera égal
au carré du demi-diamètre compris sur la droite. Si les points a et
« sont d'un môme côté du point o, ce diamètre sera réel; et si ces
points sont de côtés différens du point o, ce diamètre sera imaginaire.
Tom. XI. 88

694 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

On déterminera ainsi autant de points qu'on voudra de la surface.

Si l'on veut construire ses trois axes principaux, on cherchera
d'abord un système de trois diamètres conjugés, ce qui se fera très-
aisément. Pour cela on mènera par le centre un plan transversal
quelconque, et on cherchera son pôlej on trouvera un point situé à
l'infini sur une droite dont la direction sera l'intersection commune
de trois plans qu'on déterminera par trois équations semblables à
l'équation (2). La droite diamétrale parallèle à cette droite sera le
diamètre conjugué au plan transversal. Par ce diamètre on mènera
un second plan transversal, et on cherchera semblablement son
diamètre conjugué. Ces deux diamètres et la droite d'intersection des
deux plans formeront un système de trois diamètres conjugués. Ces
trois diamètres feront connaître, par la construction que nous avons
donnée dans la Note XXV, les trois axes principaux de la surface.

Ainsi le problème est résolu complètement.

Nous nous sommes étendu sur cette solution, parce que nous
croyons qu'il serait utile qu'on ne négligeât aucune occasion de con-
struire les surfaces du second degré déterminées par diverses condi-
tions, pour hâter le perfectionnement de leur théorie, et arriver à la
connaissance de la relation si désirée qui doit exister entre dix points
d'une telle surface. Peut-être parviendra-t-on d'abord, en s'occupant
de ce genre de questions, à quelques cas particuliers de cette relation ,
qui mettront sur la voie de la relation générale elle-même.

.a.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 695

l\^lv\^lvvvv\^^^lvvvvv\^^^^lvv^\vvv^^vv^lvvvvvv\^^\v^^^^^^^^^\^^

DEUXIÈME PARTIE.

PRINCIPE D'iIOXOGRilPlIIE.

§ I. Démonstration du Principe d'homographie.

■ li'i - ■

(170) Les propositions auxquelles nous avons applicpié le principe
de dualité nous ont conduit souvent à des propositions d'une plus
grande généralité, dans leur genre, que ces premières dans le leur. On
conçoit donc qu'en appliquant le même principe à ces nouvelles pro-
positions, on en obtiendra d'autres, du genre des premières, mais
qui pourront être plus générales qu'elles. Le principe de dualité offre
donc le moyen de généraliser une foule de propositions connues.
Mais on voit sur-le-champ que ce moyen devant toujours être le
même, puisqu'il se réduit à répéter deux fois le mécanisme de la
transformation des figures par le principe de dualité; on voit, dis-je,
que ce moyen peut être érigé lui-même en principe général de l'é-
tendue, immédiatement applicable aux figures proposées.

(171) Voici comment nous énoncerons ce principe :

Une figure de forme quelconque étant donnée dans f espace, on
peut toujours concevoir une seconde figure du même genre, et jouis-
sant des mêmes propriétés descriptives que la première, c*estàdire
qu'à chaque point, à chaque plan, à chaque droite de la première fi-
gure, correspondront, dans la seconde, un point, un plan, une droite;

Aux points à V infini dans la première figure , correspondront,
dans la seconde, des points situés tous sur un même plan ; de sorte
qu'à des faisceaux de droites parallèles appartenant à la première

»

é

696 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

figure, correspondront, dans la seconde , des faisceaux de droites
concourantes en des points situés tous sur un même plan ;

Les deux figures auront entre elles des relations do grandeur ,
qui consistent en ce que :

1» Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne
droite dans la première figure, sera égal au rapport anharmo-
nique des quatre points homologues dans la seconde figure ;

Et 2° Le rapport anharmonique de quatre plans de la première
figure , passant par une piême droite, sera égal au rapport an-
harmonique des quatre plans homologues, dans la seconde figure.

Ainsi a, b, c , d, étant quatre points quelconques de la première
figure, situés en ligne droite, et a' ,b' , c' , d' , étant les quatre points
homologues dans la seconde figure, on aura toujours l'égalité

ca da c'a' d'à'
^^^ 'cb '' Ib ~ '^' ' Jb' '

et A, B, C , D, étant quatre plans quelconques de la première figure,
passant par une même droite, et A', B', C, D', étant les quatre
plans homologues dans la seconde figure, on aura l'égalité

sin. C,A ^ sin. D,A sin. C',A' sin. D',A'
^ ' sin. C,B ' sin. D,B ~ sin. C,'B' ' sin. D',B' "

La démonstration de ce principe est bien simple; il suffit de con-
cevoir une figure A' corrélative de la proposée A, c'est-à-dire sa
transformée par le principe de dualité; puis de former une autre
figure A" corrélative de A'; il est clair que A" sera du même genre
que A , et que les deux figures auront entre elles toutes les dépen-
dances comprises dans l'énoncé du principe.

(172) Si les quatre plans A, B, C, D étaient parallèles entre eux,
on remplacerait le premier membre de l'équation (2) par le rapport
anharmonique des quatre points où ces plans rencontreraient une
transversale quelconque; ainsi soient «, 6, -/, à, ces points, on aurait

-, yo. d'à sin. C',A' sin. D',A'

'^"■' ■'• 7?' ^ ~ sin. C',B' * sin. D',B' '

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. b97

On agirait de même si les quatre plans correspondans A', B', C, D',
de la seconde figure, étaient parallèles entre eux.

(173) Ces formules se simplifient quand un ou deux des points
qui y entrent sont à l'infmi.

Si le point d de la première figure est situé à l'infini , l'équation
(1) deviendra

ca c'a' d'à'

Si l'un des quatre points a' , h', c' , d' de la seconde figure est
aussi situé à l'infini, l'équation deviendra encore plus simple , car
le second membre ne contiendra que deux segmens, de même que
le premier.

(174) Les deux équations (1) et (2) sont susceptibles d'interpréta-
tions géométriques qui faciliteront dans beaucoup de questions les
applications du principe d'homographie.

L'équation (1) s'écrit sous la forme

ca c'a' da d'à'
Tb '7b' ^ db ' Jb''

Le second membre est indépendant de la position du point c,
situé sur la droite ab, et de son homologue c'; nous pouvons donc
écrire

ca c'a'

— : -— = const.,

cb cb

quel que soit le point c sur la droite ab.

Menons par le point c un plan quelconque Mj considérons-le
comme appartenant à la première figure, et menons par le point c'
le plan M' qui lui correspondra dans la seconde figure. Soient p, q,
les distances du plan M aux deux points o, b^ on aura

P ' ca
q cb

698 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Soient pareillement p' , q' , les distances du plan M' aux points
a' , b' ; on aura

p' c'a'
q' c'b'

On a donc

P ?'

- : i- = const

9 î

Le plan M a été mené arbitrairement par le point c / et ce point
avait une position quelconque sur la droite ah / de sorte que le plan
M a une position tout-à-fait arbitraire dans l'espace. Cette équation
exprime donc que :

Bans deux figures homographiques, le rapport des distances d'un
plan quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure,
est au rapport des distances du plan homologue , dans la seconde
figure , aux deux points fixes qui correspondent à ceux de la pre-
mière figure, dans une raison constante.

(175) Maintenant considérons l'équation (2), et écrivons-la sous la
forme

sin. C,A sin. C',A' sin. D,A _ sin. D',A'

sin. C,B ■ sin. C',B' ~ sin. D,B ' sin. D',B' '

Le second membre est indépendant de la position du plan C, qui est
arbitraire , pourvu seulement que ce plan passe par la droite d'inter-
section des deux plans A, B; on a donc

sin. C,A sin. C'.A'

; = const.

sin. C,B sin. C',B'

Prenons dans le plan C un point quelconque m, appartenant à la
première figure, et dans le plan C le point correspondant m' de la •
seconde figure. Le rapport des distances du point m aux deux plans
A, B, sera égal à ^!"' ' ; le rapport des distances du point m' aux
deux plans A', B', sera égal à fl^^inF- Ces deux rapports seront entre
eux dans une raison constante, d'après l'équation ci-dessus. On en
conclut ce principe :

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 699

Dans deux figures homographtques , le rapport des distances dun
point quelconque de la première, à deux plans fixes appartenant à
cette première figure, est au rapport des distances du point homo-
logue dans la seconde figure aux deux plans fixes qui correspondent
aux deux premiers , dans une raison constante.

Cette raison ne dépend que de la position des plans fixes auxquels
on rapporte les points des deux figures.

(176) L'un des deux plans fixes de chaque figure peut être pris à
l'infini, nous allons voir ce que devient alors le théorème.

Supposons que le plan B soit à l'infini, les quatre plans A,B, C,
D, étant alors parallèles entre eux, nous nous servirons de l'équation
(3), dans laquelle î est à l'infini. Cette équation devient

ya sin. C',A' sin. D',A'
da sin. C'jB' * sin. D',B' '

ou

sin. C',A' sin. D',A'

y a. ', : ==</'«; ,

sin. C',B' sin. D',B'

ou enfin

sin. C',A'
sin. C ,B

quel que soit le plan C, et le plan C qui lui correspond dans la se-
conde figure.

ya. est proportionnel à la distance d'un point quelconque du plan
C au plan A, puisque le plan C est parallèle au plan A; ^'.°' ^','-^i est
proportionnel à la distance d'un point du plan C aux deux plans A',
B' ; on conclut donc de là que :

Dans deux figures homographiques , la distance dun point quel-
conque de la première à un plan fixe de cette première figure, est
au rapport des distances du point homologue, dans la seconde figure,
aux deux plans qui correspondent , dans cette figure , Vun au plan
fixe et Vautre à tinfini de la première , dans une raison constante.

(177) Si le plan fixe de la première figure est le plan qui cor-
respond à l'infini de la seconde figure, on voit aisément, en sui-

700 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

vant la même marche que tout à PReure, que le théorème prend cet
énoncé :

Dans deux figures homographiques , la distance d'un point quel-
conque de la première , au plan de cette première figure qui cor-
respond à t infini de la seconde, est en raison inverse de la distance
du point homologue de la seconde figure au plan qui correspond,
dans cette seconde figure , à l'infini de la première.

Ces théorèmes, qui sont des expressions différentes des deux équa-
tions (1) et (2), ont lieu pour toutes les surfaces homographiques,
et seront très-utiles pour transformer immédiatement, et sans autre
démonstration , un grand nombre de propositions de géométrie.

(178) Le principe ô^ homographie , ou de description de figures du
même genre , comprend deux parties, dont l'une relative aux relations
descriptives des figures, et l'autre à leurs relations métriques.

Les relations descriptives consistent en ce que : à chaque point et
à chaque plan de l'une des deux figures , correspondent , dans l'autre,
un point et un plan, respectivement.

Les relations métriques consistent en ce que : quatre points en
ligne droite, dans la seconde figure, ont leur rapport anharmonique
égal à celui des quatre points de la première figure auxquels ils cor-
respondent.

Mais nous devons dire que ces relations métriques sont une con-
séquence des relations descriptives, et qu'il n'est pas nécessaire de les
comprendre dans la définition des figures homographiques / les pre-
mières seules suffisant pour définir ces figures d'une manière carac-
téristique, et avec une précision rigoureuse.

Ainsi nous dirons que :

Deux figures , quelle qu'ait été leur construction, qui satisfont
à cette condition que , à chaque point et à chaque plan de l'une
correspondent , respectivement , un point et un plan dans l'autre ,

sont H0M0GnA.PHIQUES.

Et ces deux figures jouissent de cette propriété constante , que
quatre points de l'une, pris en ligne droite, ont leur rapport anhar-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 701

inonique égal à celui des quatre points correspondons dans l'autre.

Cela résulte de ce que dans les figures corrélatives , les relations
métriques sont aussi une conséquence des relations descriptives.

Mais quand nous présenterons directement , et sans le secours du
principe de dualité, la théorie des figures homographiques, nous nous
renfermerons dans la définition que nous venons faire reposer sur leurs
relations descriptives seules, et nous conclurons de cette définition
même, les relations métriques des figures et toutes leurs propriétés.

On voit par cette définition ce que les figures homographiques ont
de caractéristique parmi une infinité d'autres figures, qu'on peut for-^J
mer l'une par l'autre de manière qu'aux points de la première cor-
respondent des points dans la seconde. C'est que, outre cette première
condition, les figures homographiques satisfont à cette autre que, à
des points de la première figure, situés dans un même plan, corres-
pondent toujours dans la seconde figure, des points situés aussi dans
un même plan. C'est cette seconde condition qui caractérise les fi-
gures homographiques. î

(179) On fait usage, dans les arts et dans la géométrie rationnelle/'
de plusieurs modes de déformation des figures, qui offrent des ap-
plications du principe d'homographie.

Par exemple, quand on fait la perspective d'une figure plane, on
a une seconde figure plane qui satisfait évidemment à l'énoncé du
principe.

Il en est de même de deux figures quelconques semblables entre
elles.

Quand , des points d'une figure , on abaisse des ordonnées sur un
plan, et que par leurs pieds on mène des droites parallèles entre
elles et proportionnelles aux ordonnées, les extrémités de ces droites
forment une seconde figure qui a encore avec la figure proposée les
dépendances prescrites par l'énoncé du principe.

Il en est de même de la figure que l'on forme en augmentant, dans
des rapports donnés, les trois coordonnées de chaque point d'une
figure proposée.

ToM. XI. 89

702 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Enfin, la perspective relief, ou théorie des figures homologiques ,
que M. Poncelet a exposée dans son Traité des propriétés projectives,
donne lieu encore à des figures qui satisfont à l'énoncé du principe.

(180) Nos figures homographiques ont une plus grande généralité
de construction, quant à leur forme et à leur position respective,
que les figures homologiques , qui n'en sont qu'un cas particulier;
c'est pourquoi nous n'avons pu nous servir du même mot pour les
désigner. Nous conserverons du reste l'expression homologique cha-
que fois que nous aurons à parler des figures produites par le mode
de déformation de M. Poncelet.

Le principe d'homographie conduit immédiatement, et sans au-
cune démonstration, à de nombreuses propriétés nouvelles des figures,
concernant leiirs relations descriptives et leurs relations métriques.

Nous allons faire diverses applications de ce principe ; puis nous
donnerons la construction géométrique et analytique des figures ho-
mographiques les plus générales ; et enfin nous exposerons trois mé-
thodes de construction particulières qui, bien qu'elles conduisent à
des résultats moins généraux, seront plus ou moins utiles dans cer-
taines questions particulières.

$ II. Applications du principe d'homographie. Pôles et plans po-
laires dans les surfaces du second degré. Axes conjugués relatifs
à un point.

(181) Soit une surface du second degré 2; sa figure homogi'aphi-
que sera une seconde surface du second degré 1'. A chaque diamètre
AB de la première surface, correspondra dans la seconde une corde
A'B' passant par un point fixe C. Ce point correspondra au centre C
de la première surface ; les plans tangens à la surface 2' , aux extré-
mités A', B' de la corde A'B', auront leur intersection située dans
un plan F qui correspond à l'infini de la première figure. La droite
A'B' percera ce plan I' en un point D', qui correspondra au point

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 703

situé à l'infini sur le diamètre AB; on aura donc &«tâ«2

C'A' D'A' CA , ,„_,

ce qui prouve que les deux points C, D' divisent harmoniquement
la corde A'B'.

On a donc ce théorème, qui constitue la propriété connue des pôles
et plans polaires :

Dans toute surface du second degré, si autour d un point fixe on
fait tourner une transversale , et qu'on mène les deux plans tangens
à la surface, aux points où la transversale la rencontre ; '

10 Ces deux plans se couperont sur un plan fixe ; '
2" Le point où ce plan rencontrera la transversale sera le conju-
gué haiinonique du point fixe, par rapport aux deux points où la
transversale percera la surface.

C'est ce plan qu'on appelle \e plan polaire du point fixe, appelé
lui-môme le pôle du plan.

(182) La relation harmonique que nous venons d'énoncer fait voir
que le plan polaire d'un point quelconque d'un plan passe par le
pôle de ce plan.

D'où l'on conclut que : Quand un point parcourt une droite, son
plan polaire tourne autour d'une seconde droite; et, réciproquement,
les plans polaires des points de cette seconde droite passent par la
première.

Ces deux droites sont dites polaires l'une de l'autre. Si l'une d'elles
rencontre la surface, les points de rencontre ont pour plans polaires
précisément les plans trangens à la surface en ces points, et ces plans
tangens passent par l'autre droite.

11 suit de là que la polaire d'un diamètre de la surface est située
à l'infini.

(183) II est évident, d'après ces propriétés des pôles, plans po-
laires, et droites polaires, que si l'on a deux surfaces du second degré
homographiques, à un point et à son plan polaire pai" rapport à la

704 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

première surface, correspondront un point et son plan polaire par
rapport à la seconde; à deux droites polaires réciproques par rapport
à la première surface, correspondront deux droites polaires réci-
proques par rapport à la seconde.

(184) D'après cela, soient trois diamètres conjugués de la pre-
mière surface 2; la polaire de chacun d'eux est située à l'infini dans
le plan xles deux autres; donc, à ces diamètres correspondront, dans
la surface homographique 2', trois droites passant par le point C, qui
seront telles que la polaire de l'une d'elles sera dans le plan des deux
autres ; et ces polaires seront toutes trois dans le plan polaire du point
C. On peut dire que ces trois droites sont telles que la polaire de
chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres.

Nous avons déjà eu à considérer, dans la première partie de cet
écrit, le système des trois droites menées par un point fixe de manière
que chacune d'elles ait sa polaire, par rapport à une surface du se-
cond degré, comprise dans le plan des deux autres. Nous les avons
appelées a^ves conjugués relatifs au point fixe.

Ainsi, par un point donné, on peut mener une infinité de systèmes
de trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré.
Ces systèmes de trois axes conjugués jouissent de nombreuses pro-
priétés dont plusieurs sont des généralisations des propriétés connues
des systèmes de diamètres conjugués des surfaces du second degré.
Nous avons déjà démontré un certain nombre de ces propriétés ; mais
la matière est loin d'être épuisée, et nous aurons à y revenir dans
plusieurs de nos applications de la théorie des figures homographiques.

§ III. Lieu géométrique du point de rencontre de trois plans tangens
à une surface du second degré assujettis à certaine condition.

(185) On sait que si l'on mène trois plans rectangulaires tan-
gens à une surface du second degré 2, leur point d'intersection a pour
lieu géométrique une sphère concentrique à la surface. Ce théorème
est dû à Monge.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 703

-w Pour le généraliser par la déformation homographique , au lieu de
dire que les trois plans tangens sont rectangulaires, considérons-les
comme étant parallèles à trois plans diamétraux d'un sphère, qui soient
conjugués entre eux.

Concevons cette sphère et ses trois plans diamétraux conjugués;
désignons là par U, et soit W la sphère décrite par le point d'inter-
section des trois plans tangens à la surface 2. Faisons la déformation
homographique. Nous aurons deux surfaces du second degré 2' , U' ;
un plan I' correspondant à l'infini de la première figure; trois plans
tangens à la surface 2' , ayant pour traces sur le plan 1' trois droites
telles que la polaire de chacune d'elles, par rapport à la surface U',
passera par le point de rencontre des deux autres (184). Le point de
rencontre de ces trois plans engendrera une surface du second degré
W, homographique de.W, et qui par conséquent aura une courbe
d'intersection commune avec U' située sur le plan I' (parce que les
deux surfaces U et W étant semblables et semblablement placées, ont
une courbe d'intersection à l'infini); et ce plan I' aura même pôle dans
les deux surfaces 2' et W (parce que ce pôle correspondra au centre
commun des deux surfaces U et W).

Nous pouvons donc énoncer ce théorème général :
Etant données deux surfaces quelconques du second degré, si
dans un plan fixe on prend arbitrairement trois droites , telles que
la polaire de chacune d'elles, par rapport à la seconde surface ,
passe par le point de rencontre des deux autres , et que par ces
trois droites on mène trois plans tangens à la première surface , le
point de rencontre de ces trois plans aura pour lieu géométrique
une surface du second degré qui coupera la seconde surface sur le
plan fixe ; et le pôle de ce plan dans cette nouvelle surface sera le
même que dans la première des deux proposées.

Ce théorème général est susceptible de plusieurs corollaires.
(186) D'abord, si le plan I' est à l'infini, on en conclut que :
Étant données deux surfaces du second degré, si ton mène trois
plans tangens à la première , qui soient parallèles à trois plans

706 MÉMOIRE DE GÉOMETJIIE.

diamétraux conjugués de la secondé , le point d intersection de ces
trois plans sera une troisième surface du second degré , semblable à
la. seconde et semblablement placée.

Quand la seconde surface est une sphère, ce théorème est préci-
sément celui de Monge , d'oii nous sommes partis.

(187) Si le plan I' coupe la seconde surface suivant une conique,
les trois droites prises dans ce plan seront telles que le pôle de cha-
cune d'elles par rapport à cette conique sera le point de concours
des deux autres; on peut donc donner au théorème ce second énoncé,
qui n'est moins général que le premier, que parce qu'il ne permet
plus de supposer que le plan fixe soit à l'infini :

Si Ion a dans l'espace une surface du second degré et une co-
nique; et que par trois droites pt^ises dans le flan de cette courbe
de manière que le pôle de chacune délies, par rapport à la courbe,
soit le point de concours des deux autres, on mène trois plans tan-
gens à la surface ; leur point d'intersection aura pour lieu géomé-
trique une surface du second degré qui passera par la conique,
et qui sera telle que le cône qui lui serait circonscrit suivant cette
courbe aurait pour sommet le pôle du plan de cette courbe pris par
rapport à la surface proposée.

La dernière partie de ce théorème prouve que si la conique est une
section de la surface proposée , les deux surfaces se toucheront suivant
cette courbe.

(188) On peut supposer, dans les théorèmes précédons, que l'un
des diamètres principaux de la première surface devienne nul, c'est-
à-dire que cette surface se réduise à une conique; on aura de nou-
veaux théorèmes , dont nous n'énoncerons que le suivant :

Si l'on a deux coniques situées d'une manière quelconque dans
l'espace , et que par trois droites prises dans le plan de la seconde,
de manière que le pôle de chacune d'elles par rapport à cette se-
conde courbe, soit le point de concours des deux autres, on mène
trois plans tangens à la première conique , leur point d'intersection
aura pour lieu géométrique une sut^face du second degré qui pas-

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 9W*

sera par la seconde conique, et le cône circonscrit à cette surface
suivant cette courbe aura pour sommet le pôle de la droite din-
tersection des plans des deux coniques, pris par rapport à la pre-
mière.

Il résulte de la dernière partie de ce théorème que , si les plans des
deux courbes sont parallèles, le sommet du cône circonscrit à la sur-
face suivant la seconde courbe sera le centre de la première ;

Et que, si la première conique a son centre sur le plan de la se-
conde, cette seconde conique sera une section diamétrale de la sur-
face.

On pomrait supposer que la première conique eût un de ses axes
nul, et se réduisît à une ligne droite limitée à deux point fixes. Des
trois plans tangens à cette conique deux passeraient par l'un de ces
points, et l'autre par le second point. Et les théorèmes précédons s'ap-
pliqueraient encore à ce cas.

On pourrait même supposer que l'un des deux points extrêmes de
la droite fixe fût à l'infini.

(189) Reprenons le cas général de deux surfaces quelconques; si
le plan I' est tangent à la première , il est clair que tout point de ce
plan appartiendra à la troisième surface, parce qu'on pourra le con-
sidérer comme l'intersection de trois plans tangens à la surface, menés
par les trois droites prises dans ce plan; ces trois plans se confondant
avec ce plan lui-même. 11 résulte de là que dans ce cas la troisième
surface sera le système de deux plans dont l'un est le plan fixe.

On a donc ce théorème :

Etant données deux surfaces du second degré, et un plan fixe,
tangent à la première; si par trois droites prises dans ce plan de
maière que la polaire de chacune d'elles , par rapport à la seconde
surface, passe par le point de concours des deux autres, on mène
trois plans tangens à la première surface, le point d'intersection de
ces trois plans sera toujours sur un même plan.

La première surface peut se réduire à une conique, comme dans
les théorèmes précédens; et à la seconde surface on peut substituer

708 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

la considération d une conique. On aurait ainsi divers autres théo-
rèmes.

(190) En appliquant le principe de Dualité au théorème de Monge,
ou au théorème général (185), on obtient sur-le-champ cette autre
propriété générale des surfaces du second degré :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré, si par
un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à la seconde
Cl 84)^ le plan déterminé par trois des points de rencontre de ces
trois axes avec la première surface roulera sur une troisiètne sur-
face du second degré qui aura pour centre dhomologie avec la se-
conde surface le point fixe; et ce point aura le méîne plan polaire
dans cette troisième surface et dans la première des deux proposées.

Nous entendons ici, avec M. Poncelet, par centre dhomologie des
deux surfaces, le sommet d'un cône (réel ou imaginaire) circonscrit
aux deux surfaces.

Nous ne nous arrêterons pas à montrer les diverses conséquences
de ce théorème général.

§ IV. Propriétés des systèmes de trois axes conjugués dune surface
du second degré relatifs à un point.

(191) Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second
degré; la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs
extrémités sur un plan diamétral fixe sera constante :

Faisant la déformation homographique, on conclut de là, d'après
ce que nous avons dit ci-dessus (184), et par le principe de relations
métriques du n» 176, cette propriété générale des surfaces du second
degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second, degré , et qu'on prenfie sur chacun d'eux
un des deux points où il perce la surface , on aura ainsi trois points
qui seront tels que la somme des carrés de leurs distances à un plan

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 709

fixe mené par le point donné, divisés respectivement par les carrés
des distances des mêmes points au plan polaire du point donné , sera
constante.

Si l'on prend le plan fixe parallèle au plan polaire du point fixe,
le théorème sera susceptible d'un autre énoncé qui exprimera une pro-
position déjà démontrée d'une autre manière (1^'= Partie, § XI, art. 49).

(192) Concevons menés par le point fixe trois plans rectangulaires ;
pour chacun d'eux on aura l'équation qui exprime le théorème ci-
dessus. Ajoutant membre à membre ces trois équations, on voit qu'il
en résulte une autre propriété des systèmes de trois axes conjugués
relatifs à un point. Cette propriété est le théorème de l'art. (52),

(193) Si dans le théorème général (191) on suppose le point fixe
situé à l'infini, on obtient le théorème suivant, en observant que les
trois axes conjugués relatifs au point fixe percent son plan polaire en
trois points dont chacun a pour polaire, par rapport à la section de
la surface par ce plan , la droite qui joint les deux autres :

Si dans un plan diamétral d'une surface du second degré , on
prend trois points tels que chacun d'eux ait pour polaire , par rap-
port à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les
deux autres, et que par ces points on mène les trois cordes de la
surface parallèles au diamètre conjugué au plan diamétral, la somme
des carrés des distances de ces trois points à une droite fixe située
dans ce plan, divisés respectivement par les carrés des trois cordes,
sera constante , quel que soit le système des trois points.

La droite fixe, située dans le plan diamétral, peut être à l'infini;
et on en conclut que la somme des valeurs inverses des carrés des
trois cordes est constante.

(194) Si on remplace dans ces théorèmes les trois cordes par les
produits des segmens faits par la conique contenue dans le plan dia-
métral, sur des parallèles à une même droite, menées par les trois
points en question, on aura de nouveaux énoncés, où n'entrera plus
la considération de la surface et qui exprimeront des propriétés des
coniques.

To«. XI. 90

710. MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

§ V. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une
surface du second degré relatifs à un point.

( 1 95) La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des six
extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second dé-
gré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, est con-
stante.

On conclut de là, par le principe de relations métriques du n° 176,
cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré, la somme des carrés des distances
des six points où ils perceront la surface, à un plan fixe mené
arbitrairement dans l'espace, divisés respectivement par les carrés
des distances de ces points au plan polaire du point fixe, sera con-
stante, quelque soit le système des trois axes conjugués relatifs au
point fixe.

(196) Si dans la première figure on prend pour le plan fixe celui
qui correspond à l'infini de la seconde figure, on aura, par le principe
du n» 177, ce théorème, qui n'est autre que le précédent, où le plan
fixe est situé à l'infini :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface dîi second degré, la somme des valeurs inverses des
carrés des distances des six poitits où ils perceront la surface ,
au plan polaire du point fixe , sera constante , quel que soit le sys-
tème des trois axes conjugués.

(197) Et appliquant le théorème ci-dessus (195) à trois plans rec-
tangulaires, on aura trois équations qui, ajoutées membre à membre,
donneront lieu au théorème suivant :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport
à une surface du second degré , ils rencontreront la .surface en six
points dont les carrés des distances à un second point fixe quel-
conque, divisés respectivement par les carrés des distances de ces

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 711

* .

points au plan polaire du premier point fixe, auront une somme

constante.

% VI. Propriété très-générate des systèmes de trois axes conjugués
relatifs à un point, de laquelle les autres se déduisent.

(198) Dans nos applications du principe de Dualité, nous sommes
parvenu à plusieurs propriétés des axes conjugués d'une surface du
second degré relatifs à un point, concernant les plans tangens à la
surface aux points où ces axes la rencontrent. Les propriétés de ces
mêmes axes, que nous venons de trouver dans les paragraphes pré-
cédens, concernent les points mêmes où ces axes percent la surface.
Celles-ci peuvent être exprimées toutes sous un seul énoncé très-
général , que nous allons présenter comme application du principe
d'Homographie.

Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; si
d'un point fixe O on mène des droites aux six points A, a, B, b ,
C, c, où ils rencontrent la surface, on sait que la somme des carrés
de ces six droites est constante, quel que soit le système des trois
diamètres conjugués.

Ainsi l'on a

OA -*- Go -4- OB -4- Ofc -+- OC -4- Oc = const.

Concevons une sphère qui ait pour centre le point O; et soient A',
a', B', b', C, c', les points où ses six rayons qui aboutissent aux
points A, a, etc., la rencontrent; on aura

, -4- =? -4- etc. = const.
OA' Oa'

Faisons la figure homographique , et désignons par les mêmes let-
tres les points correspondans , dans cette figure, aux points O, A,
a , etc., de la première; soient de plus L, /, M, m, N, n, les points

712 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

où les six droites OA, Oa, OB, 0,6^ OC, Oc, dans la nouvelle figure ,
percent le plan qui correspond à l'infini de la première, on aura,
en appliquant à chacun des termes de l'équation ci-dessus , la for-
mule du n" 173, le théorème suivant :

Étant donnés deux surfaces du second degré et un plan fixe ; si
par le pôle de ce plan par rapport à la première surface , on mène
trois axes conjugués par rapport à cette surface , qui la rencontre-
ront aux six points il, a, 5, b, C , c^et que par le pôle du plan, par
rapport à la deuxième surface, on mène six rayons aboutissant à
ces points , et rencontrant la deuxième surface aux six points A', a',
B'f b', C' , c', et le plan fixe aux points L,\, M, m, N, n,on aura
l'équation

/OA LA \^ /Oa la \'

n — : TT, ■+■ -7r~, '' -r~, \ -*- etc. = const.,
l OA' LA' y l Oa' la' j

quel que soit le système des trois axes conjugués pris par rapport à
la première surface.

(199) Ce théorème est l'une des propriétés les plus complètes et les
plus générales des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du
second degré relatifs à un point. Aussi ses corollaires sont très-nom-
breux. On les obtiendra en faisant diverses suppositions sur la forme
et la position des deux surfaces, et celle du plan fixe. On pourra sup-
poser que la seconde surface soit l'ensemble de deux plans, lesquels
pourront être parallèles, ou bien qu'elle soit de révolution et qu'elle
ait pour foyer le point O; puis, que le plan fixe soit à l'infini, etc.

Nous n'entrerons pas dans l'examen de tous les théorèmes que l'on
obtient ainsi, dont la plupart sont des propriétés de trois axes conju-
gués d'une surface du second degré relatifs à un point, que nous avons
déjà démontrées, ou des propriétés connues des systèmes de trois
diamètres conjugués.

Nous n'énoncerons que le suivant, que nous n'avons pas encore eu
l'occasion de démontrer.

(200) Que l'on suppose que le plan fixe ait un même point O pour

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 713

pôle dans les deux surfaces , et que la première surface soit de révo-
lution et ait ce point pour foyer, et le plan fixe pour plan directeur
correspondant; que dans Téquation qui exprime le théorème général,
on remplace chaque rapport j-^ par le rapport des perpendiculaires
abaissées des points A , A.' , sur ce plan fixe ; on aura le théorème
suivant :

«Si autour d'un point fixe pris arbitrairement par rapport à une
surface du deuxième degré, on fait tourner trois droites rectangu-
laires , qui rencontreront la surface en six points , la somme des
carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe ,
divisés respectivement par les carrés des distances de ces mêmes
points au point fixe , sera constante.

(201) Ce théorème a lieu aussi pour trois seulement des six points
où les trois droites rectangulaires rencontrent la surface j parce que les
six termes de l'équation sont égaux deux à deux. Car A et a étant les
points où l'une des trois droites menées par le point O rencontre la
surface , et L le point où elle perce le plan polaire du point 0 , on a
entre les quatre points O, L, A et a, la relation harmonique

OA _ LA

Mais AP et ap étant les perpendiculaires abaissées sur le plan , on a

donc

Ce qu'il fallait prouver.

LA _ AP
La ap

OA Oa

ÂP ~'^'

5 VII. Propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système

de points dans l espace.

(202) Soient a, b, c, plusieurs points situés en ligne droite, g

714 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

leur centre des moyennes distances, et O un autre point quelconque
de cette droite ; on aura

(1) 00 -t- 0/6 -t- oc -+-.... = ». ojr ;

n étant le nombre des points.

Formons la figure homographique ; nous aurons des points a' , b' ,
c' ,..., situés en ligne droite, un point g' correspondant au point g, un
point o' pris arbitrairement pour correspondre au point o , et un point
i' correspondant au point situé à l'infini sur la droite ab ; et l'on aura

oa o'a t'a'

og o'g' ' i'g' '

ob _o^ ^ i'b'

og o'g' ' i'g' '

l'équation (1) donne donc celle-ci :

o'a' o'b' oc' o'q

(2) y. — -+- — ■ -\- ....= ». -2-.

^' t'a' i'b' i'c' i'g'

Cette équation a lieu entre les points a', b' , c' ,.... g' et ^', quel que
soit le point o' , sur la droite qui unit ces points.
Si on suppose le point o' à l'infini, on aura

111 11

(3) — ^- 1777 + — + •••• =~- — •

^ ta t b te tg-

Ainsi le point g' , qui correspond au centre des moyennes distances

g des points a, b, c, est déterminé par la condition que la valeur

inverse de sa distance au point i' est moyenne entre les valeurs in-
verses des distances des points a', -6', c',.... à ce point i'. On dit que
ig' est moyenne harmonique entre les distances i'a', i'b', i'c' , etc. ,

' Nous avons démontré directement, dans la première partie, § XII , l'identité des équations
(2) et (i) , en montrant comment on passe de l'une à l'autre.

ÛIEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 715

et que le point g* est le centre des moyennes harmoniques des points
a',b', c',...., par rapport au point i' (t*-' Partie, § XII).

Nous dirons donc que :

<( Quand on a plusieurs points en ligne droite , et leur centre des
)) moyennes distances, si l'on fait la transformation homographique,
» on aura des points en ligne droite, et leur centre des moyennes
» harmoniques par rapport au point qui correspond à l'infini de la
» droite sur laquelle sont les points de la première figure. »

(203) Remarquons que l'équation (2) donne, quand le point o' se
confond avec le point y' ,

g'a' g'b' g'c'

ta t b % c ^

relation très-simple, entre les différens points et leur centre des
moyennes harmoniques.

(204) Si le point i' est pris à l'infini, on aura, dans l'équation (2),

»'</' i'q'

TTT = 1 . rr: = 1 . etc. .
ta t a

et elle deviendra

0 a ■+- 0 0 -f-oc ■+■ .... n- o g ;

le point o' est quelconque , cette équation exprime donc que le point
g' est le centre des moyennes distances des points a', b', c',.... ;
de sorte que : le centre des moyennes harmoniques d'un système
de points en ligne droite , relatif à un point de cette droite, est
précisément leur centre des moyennes distances , quand ce point
est à l'infini.

Ce qui a été remarqué par M. Poncelet ' , et .ne l'avait pas été
par Maclaurin.

(205) Soient des points a, b, c,...., situés d'une manière quelconque
sur un plan, et g leur centre des moyennes distances; ce point jouit de

' Mémoire sur tes centre» des moyennes harmonique». Voir Journal de M. Crelle, annde 1828.

716 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

la propriété que, si par tous ces points on mène des droites toutes
parallèles entre elles, mais sous une direction arbitraire, elles ren-
contreront une transversale quelconque en des points dont le dernier
sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant
la figure horaographique, et observant que toutes les droites paral-
lèles ont pour correspondantes des droites concourantes en un même
point, et que ce point appartient à une droite qui correspond à la
droite située à l'infini sur le plan de la première figure, on aura ce
théorème :

Étant donnés , sur un plan, un système de points et une ligne
droite , si par un point pris arbitrairement sur cette droite on
mène des rayons à tous les points donnés , et un dernier rayon au
centre des moyennes harmoniques des points où une transversale
quelconque rencontre ces rayons , relatif au point où cette trans-
versale rencontre la droite fixe , ce dernier rayon tournera autour
d'un point fixe, quand le point pris sur la droite fixe parcourra
cette droite.

Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet, le centre des moyennes
harmoniques du système de points relatif à la droite fixe ' .

(206) Ainsi nous pouvons dire que :

(( Quand on a sur un plan un système de points, et leur centre des
y> moyennes distances, la déformation homograpliique donne un sys-
)) tème de points, et leur centre des moyennes harmoniques , relatif
» à la droite qui correspond à l'infini sur le plan de la première fi-
)) gure. ))

(207) Soit un système de points situés d'une manière quelconque
dans l'espace , et leur centre des moyennes distances 5 si on les pro-
jette tous sur un plan, par des droites parallèles entre elles, on aura,
en projection , un système de points et leur centre des moyennes dis-
tances. Faisant la figure homograpliique, et observant que les droites
projetantes deviendront des droites concourantes en un même point

' Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Voir Journal de M. Crelle , année 1828.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 717

d'un plan fixe correspondant à l'infini de la première figure , on aura ,
d'après ce qui précède, ce théorème :

Étant donnés un système de points dans V espace et un plan ,
si d'un point pris arbitrairement dans ce plan on mène des rayons
à tous ces points , et un dernier rayon au centre des moyennes
harmoniques des points oie ces rayons rencontrent un plan trans-
versal quelconque , pris par rapport à la droite d'intersection de
ce plan tratisversal et du plan donné, ce dernier rayon passera
par un point fixe, quel que soit le point pris dans le plan donné.

Ce point est nommé le centre des moyennes harmoniques du
système de points, par rapport au plan donné.

(208) Nous pouvons donc dire que :

« Quand on a un système de points dans l'espace, et leur cettlre
)) des moyennes distances, le principe d'Homographie donne un sys-
)) tème de points, et leur centre des moyennes harmoniques , par
)) rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure. »

(209) Si par des points pris dans l'espace, et par leur centre des
moyennes distances, on mène des plans parallèles entre eux, une
transversale quelconque les percera en des points dont le dernier sera
le centre des moyennes distances de tous les autres j faisant la figure
homographique on conclut de là, d'après ce qui précède, cette autre
proposition :

Étant donné un système de points dans Tespace, et un plan
fixe , si par une droite prise arbitrairement dans ce plan on mène
des plans passant par tous ces points ; et qu'on prenne le centre
des moyennes harmoniques des points où une transversale quel-
conque rencontrera ces plans, par rapport au point où cette trans-
versale rencontrera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par
la droite , tournera autour d'un point fixe , quand on fera mou-
voir cette droite dans le plan donné.

Ce point fixe est le centre des moyennes harmoniques du système
de points, par rapport au plan donné.

(210) Ces divers théorèmes sont dus à M. Poncelet qui les a dé-
ToM. XI. 91

718 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

montrés par une voie directe dans son 3Iémoire sur les centres des
moyennes harmoniques . W^ expriment, en quelque sorte, les pro-
priétés descriptives du centre des moyennes harmoniques d'un système
de points, puisqu'ils apprennent à déterminer ce point par des in-
tersections de lignes droites et sans calcul.

Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter quelques autres
propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de
points, qui sont d'un autre genre, et qui nous paraissent être les plus
importantes de cette théorie, parce que les premières s'en déduisent
aisément.

$ VIII. Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques

d'un système de points.

(211) Soit un système de points dans l'espace, et leur centre des
moyennes distances- ce point jouit de la propriété que sa distance à un
plan transversal quelconque , multipliée par le nombre des points , est
égale à la somme des distances de tous les points à ce plan.

Faisant la déformation homographique , on aura un système de
points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport au plan
qui correspond à l'infini de la première figure (208). Appliquant à
la propriété du centre des moyennes distances , que nous venons d'é-
noncer, le principe des relations métriques de l'art. (176), on obtient
ce théorème :

Le centre des moyennes harmoniques dHun système de points,
pris par rapport à un plan donné , jouit de la propriété que la
somme des distances de tous ces points à un plan transversal
mené arbitrairement , divisées respectivement par les distances des
mêmes points au plan donné, est toujours égale à la distance du
centre des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée
par sa distance au plan donné et multipliée par le notnbre des points.

Ainsi, soit I le plan donné, et tt le plan transversal mené arbi-
trairement, et représentons par ai, bi , .... gi, les perpendiculaires

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 719

abaissées des points a, b, et de leur centre des moyennes har-
moniques g sur le plan I, et par ai:, bn, .... gn, les perpendiculaires
abaissées des mêmes points sur le plan 7;^ on aura

OT br gr

ai bi ig

quel que soit le plan transversal n.

(212) Ce théorème peut servir à définir le centre des moyennes
harmoniques d'un système de points par rapport à un plan donné.
On peut même lui donner un énoncé plus caractéristique ; car si l'on
suppose que les points soient matériels et aient, respectivement, leurs
masses proportionnelles aux valeurs inverses des distances des points
au plan donné, on voit que le centre de gravité de ces poids sera
le centre des moyennes harmoniques des points du système. De sorte
qu'on peut dire que :

Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points ,
relatif à un plan donné , est le centre de gravité de ces points ,
supposés matériels , et ayant leurs masses en raison inverse des
distances de ces points au plan donné.

Cette définition du centre des moyennes harmoniques d'un système
de points relatif à un plan, comprend les propriétés de ce point, que
nous avons démontrées dans le paragraphe précédent; c'est-à-dire que,
de cette définition , on déduit aisément ces propriétés ; et de cette ma-
nière la théorie du centre des moyennes harmoniques, bien que plus
générale que celle du centre des moyennes distances, devient une
simple application de celle-ci.

(213) On peut encore supposer que les points du système soient
sollicités par des forces parallèles entre elles, et égales aux valeurs
inverses des distances de ces points au plan donné; alors on dira
que le centre des moyennes harmoniques de ces points par rapport
à ce plan, est le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire le point
par où passera leur résiiltante quelle que soit leur direction commune.

C'est sous ce point de vue que M. Cauchy a considéré le centre

720 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

des moyennes harmoniques d'un système de points ' , et est parvenu ,
par des considérations de statique, à en conclure les autres pro-
priétés de ce point. Ce célèbre analyste a tiré de là aussi un moyen
facile d'exprimer par trois équations, dans le système de coordonnées
ordinaire, la position du centre des moyennes harmoniques, soit d'un
système de points, soit d'un corps solide de forme donnée.

(214) Si dans le théorème général (211) on suppose le plan trans-
versal TT à l'infini, les rapports ~, ■^,-- seront égaux à l'unité, et

l'équation deviendra

1 I n

ai bi gt

Ce qui prouve que :

La somme des valeurs inverses des distances de plusieurs points
à un plan ^ est égale à la valeur inverse de la distance, à ce plan,
du centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport
au plan , multipliée par le nombre des points.

(215) Si l'on suppose, dans le théorème général (211), le plan
transversal parallèle au plan fixe, en conclut cette autre propriété du
centre des moyennes harmoniques :

Quand on a un système de points et leur centre des moyennes
harmoniques par rapport à un plan, si d'un point quelconque de
l'espace on mène des rayons à tous ces points , et qu'on fasse le
rapport de chaque rayon au segment com'pris entre le point auquel
ce rayon est mené et le poitit où il perce le plan , le rapport relatif
au centre des moyennes harmoniques , multiplié par le nombre des
points, sera égal à la somme de tous les autres rapports.

§ IX. Propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système
de points qui se meuvent dans l'espace.

(216) Soient des points A, B, C,.... auxquels on imprime desmou-

' Voir dans le lom. XVI des Jnnalesde Mathématiques le rapport de MM. Legendre, Ampère
et Cauchy sur le Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques de M. Poncelet.

lliNPmE DE GÉOMÉTRIE. 721

vemens quelconques, mais uniformes et rectilignes; on sait que leur
centre des moyennes distances parcourra une droite.

Soient a, 6, y,.... les positions de ces points après un temps 6', et

a, b, c , leurs positions après un autre temps i; on aura, puisque

les mouvemens sont uniformes

Ââ~7' BÏ~7'**''

Faisons la figure homographique ; nous aurons un système de points
A', B', C',.... qui parcourront des droites, de manière qu'au bout du
temps 9 ils seront en «',6', /,... et qu'au bout du temps / ils seront
en a', b' , c',.... On aura en désignant par iyj, k,... les points où
ces droites percent un plan fixe P correspondant à Tinfini de la pre-
mière figure.

ou

AV

«V kx 6

A'a'

' la' ~ \a ~ t '

B'C

iC BC 6

B'i'

' IP ~ Bb ~ t'

AV

A'a' 9

ta'

' ia' ~ t '

Br

B'i' 6

ib'

• ih' - 7 '

• •

.

et le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au
plan P, parcourra une droite, correspondante à la droite décrite par
le centre des moyennes distances des points A, B, C,....

Les distances des points «' , et a' au point i sont entre elles comme
les distances de ces points au plan P : on peut donc les remplacer
par ces dernières, dans la première des équations précédentes; il en est
de même des dislances des points b' et b' au point j; et ainsi des autres;
on a donc ce théorème :

722 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Si des point situés dans l'espace prennent des mouvemens rec-
tilignes , de manière que les espaces qu'ils parcourent, divisés
respectivement par les distances des points, dans leurs nouvelles
positions, à un plan fixe, soient proportionnels aux temps , le centre
des moyennes harmoniques de ces points , pris par rapport à ce
plan f parcourra une ligne droite.

(217) Supposons, dans les équations ci-dessus, que les points A',
B', C... soient à l'infini, il viendra

1 J 6

ta ta t

1 J «

ce qui prouve que :

Si des points situés dans l'espace prennent tous des mouvemens
rectilignes , de manière que les valeurs inverses de leurs distances
à un plan fixe soient toujours proportionnelles aux temps , le centre
des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan,
décrira une ligne droite.

§ X. Propriétés nouvelles des suîfaces géométriques.

(218) Nous avons démontré, dans nos applications du principe de
dualité : que , Si, par une droite prise arbitrairement dans un plan
fixe , on mène les plans tangens à une surface géométrique , leurs
points de contact avec la surface ont toujours pour centre des
moyennes harmoniques , par rapport au plan, un tnéme point de
V espace, quelle que soit cette droite. Cette proposition donne lieu,
d'après les théorèmes du § VIII, à cette autre propriété générale des
surfaces géométriques :

Si par une droite , prise arbitrairement dans un plan fixe , on
mène les plans tangens à une surface géométrique , la somme des

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 723

dislances de leurs points de contact avec la surface , à Uîi plan
transversal quelconque , divisées respectivement par les distances
de ces points au plan fixe, sera une quantité constante , quelle
que soit la droite prise dans le plan fixe.

(219) Si le plan transversal est à l'infini, le théorème devient le
suivant :

Si par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe, on
mène les plans tangens à une surface géométrique , la somme des
valeurs inverses des distances de leurs points de contact avec la
surface , au plan fixe, sera constante, quelle que soit la droite prise
dans ce pla?i.

(220) Si c'est le plan fixe qui est à l'infini, le centre des moyennes
harmoniques des points de contact devient leur centre des moyennes
distances, eilc théorème (218) exprime une propriété générale des sur-
faces géométriques que nous avons déjà démontrée, (l*^*^ Partie, art. 68).

(221) Ces théorèmes ont également lieu pour une courbe géomé-
trique plane, ou a double courbure.

(222) Ils s'appliquent aussi aux surfaces coniques. Voici ce qu'ils
deviennent dans ce cas.

Que dans le théorème général (218) on suppose que la droite prise
dans le plan fixe, tourne autour d'un point de ce plan; les plans tan-
gens à la surface, menés par cette droite, seront tangens au cône qui
a ce point pour sommet et qui est circonscrit à la surface; et si l'on
suppose que le plan transversal passe par ce point, le rapport des per-
pendiculaires abaissées du point de contact d'un des plans tangens à la
surface sur le plan transversal et sur le plan fixe sera égal au rapport
des sinus des angles que l'arête du cône qui passe par ce point, fait
avec ces deux plans ; on a donc cette propriété générale des cônes
géométriques :

Étant menés deux plans fixes par le sommet d'un cône géomé-
trique, si par une droite prise dans le premier plan et passant par
le sommet du cône , on mène à cette surface tous ses plans tangens^
la somme des sinus des angles que les arêtes de contact feront avec

724 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

le second plan, divisés respectivement par les sinus des angles
que ces arêtes font avec le premier plan , sera constante , quelle que
soit, dans le premier plan, la droite par laquelle on a mené les
plans tangens.

(223) Par la considération du cône supplémentaire , formé par les
perpendiculaires aux plans tangens du premier cône, on conclut de
ce théorème cette autre propriété des surfaces coniques :

Étant menées deux! droites fixes par le sommet d'un cône géo-
métrique, si autour de la première on fait tourner un plan trans-
versal et qu'on conçoive les plans tangens au cône suivant les
arêtes comprises dans ce plan , dans chacune de ses positions, la
somme des_ sinus des angles que ces plans feront avec la seconde
droite, divisés respectivement par les sinus des angles qu'ils feront
avec la première , sera constante pour toutes les positions du plan
transversal.

(224) En appliquant aux surfaces du second degré, et particu-
lièrement aux surfaces coniques, les théorèmes généraux de ce pa-
ragraphe, on obtient diverses propriétés nouvelles de ces surfaces.

Si l'on prend une surface de révolution ayant un foyer, et que l'on
observe que la distance de chaque point de la surface au plan directeur
est proportionnelle à la distance de ce point au foyer, le théorème
(218) exprimera la propriété générale des surfaces de révolution que
nous avons démontrée dans nos applications du principe de Dualité
{§ XXIII, art. 133). Ainsi l'on voit que cette propriété, qui paraissait
d'un genre tout particulier aux surfaces du second degré de révolu-
tion, dérive d'une propriété très-générale des surfaces géométriques,
comme nous l'avions dit alors.

(225) Les deux théorèmes (222 et 223) donneront diverses propriétés
des cônes du second degré, lesquelles seront applicables immédiate-
ment aux coniques sphériques, et plusieurs correspondront à des pro-
priétés connues des coniques planes.

Et si le cône est supposé de révolution, on aura diverses proposi-
tions concernant un petit cercle tracé sur la sphère. Nous énoncerons

MÉMOIUE DE GÉOMÉTRIE. 723

les quatre suivantes qui sont assez simples, et qui nous paraissent
nouvelles :

Un petit cercle étant tracé sur la sphère ;

1" La somme des sinus des arcs menés par les extrémités d'un
diamètre quelconque du petit cercle , perpendiculairement sur un
grand cercle fixe, sera constante^

2<» La somme des sinus des distances d'un point fixe de la sphère
aux arcs de grands cercles tangens aux extrémités dun diamètre
du petit cercle , sera constante ;

3° Si, par un point quelconque pris sur un grand cercle fixe,
on mène deux arcs tangens au petit cercle , la somme ou la dif-
férence des valeurs inverses des sinus des distances des points
de contact , au grand cercle fixe , sera constante /

Ce sera la somme si le grand cercle fixe ne rencontre pas le petit
cercle proposé ; et la différence s'il le rencontre.

4° Si autour dun point fixe on fait tourner un arc transversal
qui rencontre le petit cercle en deux points , et qu'on mène les
arcs tangens en ces points , la somme ou la différence des valeurs
inverses des sinus des distances de ces arcs tangens , au point fixe ,
sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est pris dans l'intérieur du petit
cercle , et la différence s'il est pris au 'dehors.

§ XL Généralisation du théorème de Newton sur le rapport constant
du produit des abscisses au produit des appliquées , dans une
courbe géométrique.

(226) Le théorème de Newton , appliqué aux surfaces, consiste en
ce que : Dans toute surface géométrique , de quelque point de
Vespace qu'on mène deux transversales parallèles à deux axes
fixes , le rapport des produits des segmens faits sur ces deux
transversales , entre ce point et la surface, sera constant.
To«. XI. 9*

726 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Ainsi soit M ce point, et soient A, A', A",... et B, B', B"...., les
points où les deux transversales rencontrent la surface, on aura

MA. MA'. MA"

= const. ,

MB. MB'. MB"

quel que soit le point M.

C'est cette propriété des surfaces géométriques que nous allons gé-
néraliser, en supposant que les deux transversales, au lieu d'être
parallèles respectivement à deux droites fixes, concourent en deux
points fixes.

Pour cela, concevons un plan fixe quelconque P, et soient E, F,
les points où les deux transversales MA, MB, le rencontrent. Le
rapport ^vp sera constant, quel que soit le point M. On pourra donc
écrire l'équation ci-dessus sous cette forme

(!)•

MA

MA'

MA'

ME

ME

ME

••

MB

MB'

MB"

MF

MF

MF '■■

'•_

Faisons la transformation homographique. Nous aurons une sur-
face géométrique, un plan fixe, et deux transversales issues d'un point
quelconque de l'espace et passant par deux points fixes i,j. Ces deux
transversales rencontreront la surface en des points a, a' ,a"y.. b, b',
b" ,.... et le plan fixe en e eif; et l'on aura

MA

ma

ta

ME

me

te

MB
MF

mb
- mf

.fi

L'équation (1) devient donc

ma ma' ma" _ /me\"

ta ta' ta \»e/

mb mb' mb" ^ /«i/'\ "

Jb' ~W' 'W'""''^jf)

= const.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 727

n étant lo nombre des points de rencontre de la surface par chacune
des transversales. On tire de là

ma. tua', ma" ta, ta.' ta" /meX" /mfX"

= ( 7- : ( -^7- X

(*)••• mb.n^b-.mb-' 'jb.jy.jl^' ^ (^j '(fJ ^ '""*'' ^ ""'""''

Ce qui exprime cette propriété générale des surfaces géométriques:
Quand on a une surface géométrique et deux points fixes i , j , de
quelque point m de l'espace quon mène deux transversales passant
respectivement par ces deux points fixes, le rapport des produits des
segmens compris entre le point m et la surface sur ces deux droites,
sera au rapport des produits compris sur ces mêmes droites entre
les deux points i, ], et la surface, dans une raison constante.

(227) Supposons le point m. situé à l'infini sur la droite ij, et soient
c, c' , c" ,.... les points où cette droite rencontre la surface; les rap-
ports ^, ^,. .. seront égaux à l'unité, et l'équation deviendra ,

mb' mb'

je. je. je

— :^ const.

te. te . te ....

On a donc

ma. ma', ma" ta. ta.' ta" je. je', je"

mb. mb'. mb" * jb.jb.'jb"

ou

ma. ma', ma". ... jb. jb'. jb"

= 1.

10. ta. ta".. .. mb. mb.' mb" j<^'j<^''j'^'

Cette équation exprime le beau théorème de Carnot sur les surfaces
géométriques. (V. Géométrie de position, p. 291.)

On savait que ce théorème donnait comme cas particulier celui de
Newton, mais on n'avait pas cherché à remonter de ce cas particu-
lier au théorème général de Carnot. Le principe d'Homographie, en
présentant sous un nouveau point de vue les relations qui ont lieu
entre les deux théorèmes, sert à passer aussi facilement du cas par-
ticulier au théorème général, que du théorème général au cas parti-
culier.

728 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(228) Ce théorème conduit naturellement à une solution graphique
du problème des tangentes et de celui des rayons de courbure des
courbes géométriques. Nous donnerons cette solution, qui est étran-
gère à notre objet actuel, dans une Note à la suite de cet écrit.

(229) Le théorème de Newton ne pouvait s'appliquer aux courbes
tracées sur la sphère; le théorème général s'applique à ces figures.
Pour cela il suffit de substituer dans l'équation (2), aux segmens wa,
ia,... les sinus des arcs correspondans sur la sphère. Nous n'avons
pas besoin d'énoncer le théorème de géométrie sphérique qui en ré-
sulte.

§ XII. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques
rapportées à trois axes coordonnés. Théorèmes très-généraux,

(230) Soient trois axes coordonnés O^ , Qy , Os; que par un point
de l'espace on mène trois plans; parallèles respectivement aux trois
plans yz , zx, xy^ et soient a, h , c, les points où ils rencontreront
les trois axes Ox, Oy, Oz.

Si l'on a entre les trois segmens Oa, Ob , Oc, une relation con-
stante du degré w F (Oa, 0Z>, Oc) = o, le point m sera, dans toutes
ses positions , sur une surface de l'ordre n ;

Et réciproquement, si le point m appartient à une surface de l'ordre
n, il y aura entre les trois segmens Oa , Ob , Oc une relation con-
stante

(1) F (Oa, 06, Oc) = o

du degré n.

C'est cette propriété des surfaces géométriques que nous allons
généraliser.

Faisons la figure homographique; nous aurons trois axes O'x', O'y',
O'z' , et un plan, correspondant à l'infini de la première figure, qui
coupera ces trois axes en trois points A', B', C, de sorte que ces
trois points correspondront à ceux situés à l'infini sur les trois droites
Ox, Oy, Oz.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 7*9

Au point m correspondra un point m', et aux trois plans menés
par le premier, parallèlement aux trois plans yOz, zOa;, aOy, cor-
respondront trois plans menés par le second, et passant respective-
ment par les trois droites B'C, C'A', A'B'. Soient a' , b' , c', les points
où ces trois plans rencontreront les trois axes O'x' , O'y' , O'z' , res-
pectivement. Soient enfin trois points d, e , f, pris arbitrairement sur
les trois axes Ox y Oy, O5, et c?', e', /', les points correspondans sur
les axes O'x' , O'y', O's'; on aura

Oa _ O'a' A'a'
Od ~Wd' ' K'd' '

Ob _ O'b' B'6'
Ôë ~ ÔV ' BV '

Oc _ O'c' Ce'
Of~'Ôf''Cf'

Et Téquation (1) deviendra

/•^ r r/^^'"' ^'^\ ^. /'O'b' 0'e'\ /O'c' 0'f\ -\

W • • «^ [(Xv '' X^'j- ^'\Wb^ •• B-vJ- ^«' (^ ■' w} ^^ J == "•

Les facteurs Od, Oe, Of, sont des constantes que nous pouvons com-
prendre dans les coefficiens de l'équation, qui sera simplement

/OV ^ o'd' <yw_ ^ OV ov _ o'f\
(^Âv • Âv ' B^6^ • BV ' cv • cj'j ^ "■

Remplaçons les lettres accentuées par les mêmes lettres sans accent,
l'équation sera

/Oa

[Ta

W„ , -„ OD Ob OE Oc OF
' * • ÂD' BÎ • Si' Û • CF

Cette équation signifie que

Si l'on a un tétraèdre OABC, et trois points fixes D , E , F ,
pris sur ses trois arêtes au sommet OA, OB , OC , et que par

730 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

les trois arêtes à la hase , BC , CA, AB, on mène trois plans qui
rencontrent respectivement ces trois premières arêtes en trois
points a, b, c, t/e manière que les trois rapports

Oa _ OD Oi _ OE Oc _ OF
Ta ' ÂD' BÏ " BË ' C7 ' CF '

aient entre eux une relation constante du degré n, le point dJinter-
section de ces trois plans sera sur une surface de ï ordre n ;

Eit réciproquement.

(231) Ce théorème est déjà très-général par lui-même, et est sus-
ceptible d'un grand nombre de corollaires; mais on peut encore le gé-
néraliser, et lui donner une expression qui le rende propre à un plus
grand nombre encore de conséquences.

Pour cela, remarquons que les trois rapports qui y entrent sont
des rapports anharmoniques de quatre points situés respectivement
sur les trois arêtes au sommet du tétraèdre. A ces trois arêtes on peut
donc substituer trois autres droites prises tout-à-fait arbitrairement
dans l'espace. Ainsi soient A' , D' , a' et A" les quatre points où les
quatre plans ABC, DBC, aBC, OBC, qui passent par l'arête BC et
par les quatre points A, D, a et O, respectivement, rencontrent une
transversale fixe quelconque, on aura

Oa DO A'V D'A"

Ao ' DA AV * D'A'

Soient pareillement B', E', b' et B" les points où les quatre plans BAC,
EAC, âAC, OAC, rencontrent une seconde transversale fixe; et C,
F', c', C", les points où les quatre plans CAB, FAB, cAB, OAB ,
rencontrent une troisième transversale fixe; on aura les deux égalités
de rapports anharmoniques

et

06
66

EO
• ËB

B"6'
B'6'

E'B"
* E'B'

Oc

FO
• FC

C"c'
Ce

_ F'C"

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 731

L'équation (3) devient donc

„ /A"o' D'A" B"A' E'B" C'V F'C"\
^ ^ ' ' ' ' y A'a' • D'A' ' B'A' ' E'B' ' CV ' F'C J

=s 0.

Et , quand cette équation sera du degré n par rapport aux trois
rapports qui y entrent, le point d intersection des trois plans
a'BCj h'CA, c'ABj sera sur une surface de l'ordre «;

Et réciproquement.

Ce théorème est d'une extrême fécondité, à cause de l'indétermina-
tion de position des trois transversales et du triangle ABC.
Nous allons examiner les principaux corollaires qu'on en déduit.

(232) D'abord, on remarque sur-le-champ que les trois rapports

D'A" E'B" F'C

t(\ii

Tl

D'A' E'B' ' F'C

étant des constantes , nous aurions pu les comprendre dans les coef-
ficiens de l'équation : nous ne l'avons pas fait de suite, parce que,
comme nous le verrons, la présence de ces trois rapports peut être
utile pour donner plus de généralité à l'équation, et la rendre suscep-
tible d'un plus grand nombre de conséquences, en permettant de sup-
poser les points A', B',C', A", B", C", à l'infini.
Maintenant, comprenons les trois rapports

D'A" E'B" F'C"

D'A' ' E'B' ' F'C

dans les coefBciens de l'équation, ou bien supposons que les trois points
fixes D, E, F, soient à l'infini, ce qui nous conduira au même résul-
tat; l'équation se réduit à

/A"o' B"f»' C"e'\
( ÂV"' h'b' ' c7j

Ce qui prouve que :

Étant donnés dans l'espace un triangle ABC, et trois droites fixes

ni MEMOIRE DE GEOMETRIE.

quelconques qui rencontrent le plan du triangle en trois points
A'j B' , C' , et sur lesquelles sont pris trois points fixes A", B" , C";
Si, par les trois côtés BC , CA,AB, du triangle, on mène trois
plans rencontrant, respectivement, les trois droites en trois points
a! , h' , c' , tels qu'il y ait entre les trois rapports

k"a B'T C'V

k'a' ' B'i' ' CV

une relation constante du degré n, le point d'intersection des trois
plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.
El réciproquement.

(233) Supposons que dans l'équation (4) les points A', B', C', soient
à l'infini, et comprenons les segmens A"D', B"E', C"F', qui sont des
constantes, dans les coelïiciens de l'équation; elle deviendra

F(A"a', B"A', C'V), =o;

ce qui prouve que :

Etant donnés un triangle ABC , et trois droites quelconques
parallèles au plan de ce triangle ; et étant pris sur ces droites
trois points fixes A', B', C' ;

Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui ren-
contrent respectivement les droites en trois points a' , h', c' , de
manière que les segmens A'a' , B'h' , C'c' aient entre eux une rela-
tion constante du degré n, le lieu géométrique du point de ren-
contre des trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

(234) Maintenant supposons que dans l'équation (4) les points A"^
B", C", soient à l'infini, et comprenons les constantes A'D', B'E', C'F',
dans les coefficiens de l'équation, elle deviendra

1 1 _i_

Âv' W' CV

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 733

ce qui prouve que :

Étant donné un triangle ABC y et trois droites quelconques menées
par trois points A' , B' , O, pris dans le plan du triangle;

Si par les côtés de ce triangle on mène trois plans qui rencontrent ,
respectivement , ces trois droites en des points a', b', c', tels que
ton ait entre les valeurs inverses des segmens A'a!, B'h', Ce', une
relation du degré n,le point d'intersection des trois plans aura pour
lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

(235) Supposons que le triangle ABC soit à l'infini; les trois trans-
versales conservant des directions arbitraires dans l'espace ; les points
A', B', C, seront à l'infini; et l'équation (4), si nous comprenons
les constantes A"D', B"E', C"F', dans les coefficiens, se réduira à

F(A"o', B"A', C'V) = 0.

Ce qui prouve que :

Etant données trois transversales dans t espace , sur lesquelles
sont pris trois points fixes A", B", C" , si par chaque point dune
surface de tordre n, on mène trois plans parallèles respectivement
à trois plans fixes, et rencontrant respectivement les trois trans-
versales en trois points a', b', c', il y aura toujours entre les trois
segmens A"a.', B"h' , C"c', une relation du degré n.

El réciproquement.

(236) Tels sont les quatre théorèmes principaux qui se déduisent
de l'équation (4). Mais chacun d'eux est encore susceptible de plu-
sieurs corollaires, à cause de l'indétermination de position des trois
droites fixes.

Le dernier donne immédiatement le principe sur lequel repose le
système de coordonnées en usage , si l'on suppose que les trois trans-
versales passent par un même point, que ce point soit l'origine des
segmens comptés sur elles, et que les trois plans menés par chaque
point de l'espace soient parallèles respectivement aux plans formés
par ces droites deux à deux.

ToM. XI. 93

734 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(237) On peut supposer, dans les quatre théorèmes, que les trois
transversales se confondent, de sorte que les trois segmens qui ser-
vent à déterminer la position d'un point dans l'espace, seront comptés
sur une même droite , à partir de trois origines différentes , qui pour-
ront même se réunir en une seule.

Dans cette hypothèse le théorème (233) prend cet énoncé :

Étant donnés dans l'espace un triangle ABC , et une droite paral-
lèle à son plan , sur laquelle est pris un point fixe;

Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui fas-
sent sur la droite , à partir du point fixe , trois segmens entre les-
quels il y ait une relation du degré n, le point d^ intersection des
trois plans aura pour lieu géométrique une surface de Tordre n.

Et réciproquement.

(238) On peut changer l'énoncé de ce théorème , en prenant sur
la droite donnée deux points fixes au lieu d'un seul ; alors le théo-
rème s'exprime ainsi :

Étant donnés dans l'espace un triangle et une droite parallèle
à son plan, sur laquelle sont pris deux points fixes 0, 0' ; si par
les côtés du triangle on mène trois plans , de manière que les six
seqmens qu'ils feront sur la droite 00' aient entre eux une relation
constante du degré n, le point d'intersectio?i des trois plans en-
gendrera une surface de l'ordre n.

En effet soient a, h , c , les points où les trois plans rencontrent
la droite 00'; si on remplace , dans la relation donnée entre les seg-
mens Oa , O'a, Ob , O'b, Oc, O'c, les trois segmens O'a, O'b, O'c
par leurs valeurs (00' — Oa) , (00' — 0^) , (00' — Oc) , on aura une
relation entre les trois autres Oa , Ob , Oc , seulement ; et cette re-
lation sera encore du degré n. Donc, par le théorème précédent,
le point d'intersection des trois plans sera sur une surface de l'ordre n.

(239) On a pareillement, dans la géométrie plane, le théorème
suivant :

Si autour de deux points fixes A,B, on fait tourner deux droites ,
de manière que les quatre segmens qu'elles feront sur une droite

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 733

fixe 00' parallèle à AB, aient entre eux une relation constante du
degré n, le point d'intersection de ces deux droites engendrera une
courbe de l'ordre n.

(240) Donc :

Si la relation entre les quatre segmens est du premier degré ,
le point d'intersection des deux droites eîigendrera une droite;

Et si la relation entre les quatre segmens est du second degré,
le point d'intersection des deux droites engendrera une conique.

(241) Réciproquement :

Si le sommet d'un angle dont les deux côtés tournent autour
de deux points fixes , comme pôles , parcourt une ligne droite; les
segmens que ses deux côtés feront sur une droite fixe de longueur
donnée et parallèle à celle qui joint les deux points fixes, auront
entre eux une relation du premier degré;

Et si le sommet de l'angle parcourt une conique , les quatre seg-
mens auront entre eux une relation constante du second degré.

(242) Ce dernier théorème exprime une propriété générale des co-
niques, qui est la clef d'un grand nombre de propositions concernant
le cercle, démontrées par Stewarl dans son ouvrage intitulé : Proposi-
tiones geometricœ more veterum demonstratœ. Quelques théorèmes du
même géomètre, donnés comme porismes par R. Simson dans son Traité
des Porismes, sont aussi des conséquences du théorème précédent.

Si au lieu de prendre la transversale parallèle à la droite qui joint
les deux points fixes, on lui suppose une direction arbitraire, on con-
clura du théorème (232) la propriété des coniques que nous avons
énoncée dans le g 34 de notre IV'' Epoque, et de laquelle peuvent
dériver aussi plusieurs des propositions de Stewart, relatives au cercle.

(243) Reprenons le cas général des figures dans l'espace, et sup-
posons que dans le théorème (234) les trois transversales passent par
un même point du plan ABC ; on aura le théorème suivant :

Étant donnés un triangle et un angle triédre ayant son sommet
situé dans son plan , et dont les trois arêtes correspondent res-
pectivement à ses trois côtés ;

736 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. ,

Si par ces trois côtés on mène trois plans qtii fassent respec-
tivement sur les trois arêtes correspondantes de V angle trièdre, à
partir de son sommet , trois segmens qui soient tels qu'il y ait
entre leurs valeurs inverses une relation du degré n, le point
d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une sur-
face de tordre n.

T!>t réciproquement.

(244) Nous avons démontré dans la première partie de cet écrit
(5 XV, art. 77) que dans ce cas, où les segmens ont entre leurs valeurs
inverses une relation du degré w , le plan déterminé par leurs extré-
mités enveloppe une surface à laquelle on peut mener, par une même
droite, n plans trangens. Supposons que la surface soit plane, on
conclut de là et du théorème précédent, que :

Étant donnés dans V espace un triangle et un angle trièdre ayant
son sommet situé dans le plan du triangle , si par chaque point
d'un plan transversal quelconque oti mène trois plans passant par
les trois côtés du triangle, ils rencontreront respectivement les
trois arêtes de l'angle trièdre en trois points ; et le plan déter-
miné par ces trois points passera par un point fixe.

C'est le théorème que nous avions présenté comme la généralisation
d'un porisme d'Euclide, pouvant servir à la construction de figures
corrélatives dans l'espace (V^ Epoque, $ 32), et dont nous avons déjà
donné une démonstration (première partie, § XX, art. 112).

(245) Enfin supposons , dans le théorème (234) , que les trois
transversales soient perpendiculaires au plan du triangle ABC; les
segmens A'a', B'Z>', Ce', seront proportionnels aux tangentes des
inclinaisons des trois plans a'BC, Z>'CA, c'AB sur le plan ABC; et
les valeurs inverses de ces segmens seront proportionnelles aux co-
tangentes de ces inclinaisons; le théorème peut donc prendre cet
énoncé :

Si par les trois côtés d'un triangle on mène trois plans, de
manière que les cotangentes de leurs inclinaisons sur le plan du
triangle aient entre elles une relation constante du degré n, le

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 787

point d intersection de ces trois plans aura pour lieu géométrique
une surface de l'ordre n.
Et réciproquement.

(246) Dans l'équation (4), au rapport anharmonique des quatre
points A', D', a'. A", exprimé par

A'V D'A"
ÂV * D'A' '

on peut substituer le rapport anharmonique des quatre plans menés
par le côté BC du triangle ABC, et par les quatre points A', D', a'. A"
respectivement. Aux deux autres rapports anharmoniques qui entrent
dans l'équation , on substituera pareillement les rapports anharmo-
niques de quatre plans : ces rapports s'expriment entre les sinus des
angles que les plans font entre eux. Maintenant si l'on considère que
les sinus relatifs aux plans qui passent par les points D', E', F', sont
constans, et qu'on peut les comprendre dans les coefTiciens de l'é-
quation, on aura une équation entre les sinus des inclinaisons des
trois plans a'BC, ;6'CA, c'AB, sur le plan ABC et sur les trois plans
fixes A"BC, B"CA, C'AB; ceux-ci forment avec le plan ABC un
tétraèdre fixe ; on a donc ce théorème :

Etant donné un tétraèdre , si par les trois arêtes à la base on
mène trois plans , de manière que les rapports des sinus de leurs
inclinaisons sur la base, aux sinus de leurs inclinaisons sur les
faces adjacentes respectivement aux trois arêtes, aient entre eux
une relation du degré n, le lieu géométrique du point d'inter-
section des trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

(247) Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par
une arôte d'un tétraèdre sur les deux faces adjacentes, est égal au
rapport des perpendiculaires abaissées d'un point de ce plan sur ces
deux faces; le théorème donne donc le suivant :

Étant donné un tétraèdre, si P on prend dans l'espace un point qui
soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre étant divisées

738 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

par sa distance à la quatrième face, les trois quotiens aient
entre eux une relation constante du degré n, ce point aura pour
lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

(248) Ainsi soient r, r' , r" , r'", les distances d'un point de l'es-
pace aux quatre faces du tétraèdre, on aura entre les trois rapports

r"

une relation du degré n,

, r r r ,

Multipliant tous les termes par r'" on aura une équation homogène
du degré w, entre les distances r, r', r", r'".

Ainsi :

Quand un point est pris de m^anière que ses distances à quatre
plans fixes aient entre elles une relation constante du degré n,
ce point a pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement, étant donnés une surface géométrique de
l'ordre n, et quatre plans fixes, les distances de chaque point de
la surface à ces quatre plans auront toujours entre elles une
certaine relation homogène du degré n.

(249) Ainsi, par exemple, étant donnés quatre plans dans l'espace,
si de chaque point d'un cinquième plan on abaisse sur ces quatre
premiers des perpendiculaires r, r' , r" , r'" , on pourra trouver trois
quantités a, S, y, telles qu'on aura entre ces quatre perpendicu-
laires , la relation constante

r -t- ar' -+- Sr" ■+■ yr'" = o.

Les trois quantités a, 6, y, ne dépendront que de la position du cin-
quième plan par rapport aux quatre premiers , et varieront avec la
position de ce plan.

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 739

Pareillement, si de chaque point d'une surface du second ordre,
on abaisse des perpendiculaires r, r', r" , r'" , sur quatre plans fixes,
on pourra trouver neuf quantités constantes, a, b, c, d, e, f, g,
h , i , telles quon aura entre ces perpendiculaires la relation con-
stante

r' +. or" -4- bt"' -4- Cf""' ■*■ drr' -^ err" H- frr'" ■+■ gr'r" -h Ar'r'" -♦- ir"r"' = o.

Ces théorèmes sont des porismes. Ils sont propres à montrer la
nature de ce genre de propositions ; et font voir comment nous avons
pu dire, dans notre Note III sur les porismes d'Euclide, que la géo-
métrie de Descartes avait remplacé cette doctrine.

(250) Les théorèmes démontrés dans ce paragraphe sont de ceux
qui n'offrent pas de difficulté à la géométrie analytique; mais par
cette voie il faut une démonstration particulière pour chacun d'eux,
et on ne découvre pas les rapports intimes qui ont lieu entre eux.
Il est intéressant de voir que tous ces théorèmes, au nombre desquels
se trouve le principe même de la géométrie analytique en usage, sont
ou des expressions différentes ou des corollaires les uns des autres ,
et tous des conséquences d'un même et unique principe exprimé par
l'équation (3).

Tous ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à le géométrie plane ,
et la plupart ont leurs analogues aussi dans la géométrie de la sphère ,
où il suffira de remplacer par des rapports de sinus d'arcs de grands
cercles, les rapports de segmens rectilignes.

5 XIII. Généralisation du système de coordonnées en usage.

(251) Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précé-
dent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue
au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermine-
ront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une sur-
face, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire

740 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera ren-
contrée par une ligne droite quelconque. De tous ces systèmes de coor-
données, il en est un que nous allons examiner, parce qu'il conserve
une analogie parfaite avec le système en usage, dont il est une géné-
ralisation très-simple.

Concevons que dans le théorème (232) les trois droites transversales
soient les arêtes au sommet d'un tétraèdre OABC, dont la base soit
le triangle ABC ; et remplaçons les points a', Z>', c', dans l'équation ,
par les points a, h, c , on aura ce théorème :

Si par les trois arêtes à la base ABC dun tétraèdre OABC , on
mène trois plans qui rencontrent respectivement les arêtes opposées
aux points a., h, c, tels que Von ait entre les trois rapports

Oa Oh Oc

• ^^

Aa ' B6 ' Ce

une relation constante du degré n, le lieu géométrique du point
d'intersection de ces trois plans sera une surface de V ordre n.

Et réciproquement.

(252) Puisqu'on a, pour tous les points d'une surface, une relation
constante

Oa Oh Oc \

F

Ao Bi Ccj

entre les trois rapports

Oa 06 Oc
Aa Bi Ce

il est clair qu'on peut, en prenant ces trois rapports pour variables
indépendantes , représenter la surface par cette équation ; c'est-à-dire
que chaque système de valeurs de ces trois rapports qui satisfera à
l'équation, donnera trois points a, h, c, sur les trois axes fixes OA, OB,
OC, et les plans menés par ces trois points et par les côtés BC, CA,
AB, de la base ABC, se couperont en un point qui appartiendra à la
surface.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 741

Appelons ces trois rapports les coordonnées de ce point, et dési-
gnons-les par X , y f z j l'équation de la surface sera

F (^, y, a) = 0.

Si cette équation est du premier degré, elle représentera un plan;
et en général si elle est du degré n, elle représentera une surface de
l'ordre n.

Deux équations du premier degré donneront tous les points d'une
droite.

Ainsi une ligne droite sera représentée par les deux équations

X ^ a« -H <t ,
y z= bz -i- C.

En général, les formules qu'on aura à considérer dans ce système
de coordonnées seront de même forme que les formules du système
en usage ; seulement les coordonnées courantes , au lieu d'être des
lignes, seront des rapports, et leurs coefficiens seront respectivement
égaux aux coefficiens des équations relatives aux mêmes questions dans
le système usité, multipliés par des constantes (230).

(253) Les figures construites par ce système de coordonnées pou-
vant être considérées comme les homographiques des figures construites
au moyen d'équations de même forme dans le système ordinaire, on
voit sur-le-champ que tous les points de ces dernières figures qui se
trouvaient à l'infini, ont pour correspondans, dans les premières, des
points situés sur la base ABC.

Ainsi des équations qui représentaient des droites parallèles entre
elles, représenteront, dans le nouveau système, des droites concou-
rantes en un même point du plan ABC. •

Des équations qui représentaient des plans parallèles entre eux,
représenteront des plans passant par une même droite située sur la
base ABC.

Ainsi les deux équations

X = as -H a ,

y = bs -i- e,
ToH. XI. 94

748 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE,

représentent une première droite; et ces deux-ci

X = az ■+- a ,
y = bz -\- S',

représentent une seconde droite qui rencontre la première en un point
situé sur la base ABC.
Les deux équations

ax -i- by -i- cz -\- d = o ,
ax -i- by ■+- cz -\- d' ^= 0 .

où les coefficiens des variables sont les mêmes , représentent deux plans
qui se coupent sur la base ABC.
Les deux équations

Aa;' H- By' -♦- Ca' -t- K = o ,

k{x—ay -t- B(y — ey -t- C{z—ry -t- K' = 0 ,

représentent deux surfaces du second degré qui ont une courbe d'in-
tersection sur le plan ABC; parce que, dans le système ordinaire,
ces deux équations représentent deux surfaces semblables et sembla-
blement placées, et qui, conséquemment, ont une courbe plane d'in-
tersection (réelle ou imaginaire) située à l'infini.

(254) Mais ces rapprochemens entre les deux systèmes de coordon-
nées , qui sont propres à faire ressortir les propriétés caractéristiques
du nouveau système, sont insuffisantes pour mettre en état d'en faire
usage dans les questions auxquelles ne s'applique pas le principe d'ho-
mographie. Car on sent qu'il sera indispensable de connaître les
rapports qui ont lieu entre les coefficiens de diverses équations et les
élémens fixes du système.

Par exemple, on sait, dans le système ordinaire, ce qu'expriment
les coefficiens a, b , dans les équations

X = az ■+■ a ,
— y = bz -i- £,

d'une ligne droite ; ce sont des tangentes trigonométriques. Il faudra

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 743

donc aussi savoir ce qu'expriment ces coefficiens, et beaucoup d'autres,
dans le nouveau système.

Pour cela il faudra exposer le système directement et avec méthode,
comme si celui d'où nous le déduisons n'était pas connu. Alors ce nou-
veau système de coordonnées pourra conduire à des résultats qui échap-
peraient à la méthode de transformation homographique.

(255) Nous avions déjà exposé succinctement le principe de ce nou-
veau système de coordonnées , dans la Correspondance mathématique
de M. Quelelet (t. VI, p. 81, année 1830); et nous en avons fait alors
une application pour démontrer une des propriétés des systèmes de
trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un
point. Nous n'insisterons pas davantage ici sur cet objet. Nous allons
seulement démontrer une certaine relation générale entre les trois
coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine ; relation
qui sera souvent utile dans les applications du système de coordonnées,
et qui, du reste, est un théorème de géométrie qui mérite par lui-même
d'être connu.

Soient les trois axes coordonnés ox , oy , os ; par un point m, me-
nons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés; ils rencontre-
ront les trois axes aux points a, b, c / les segmens oa, ob, oc, sont les
coordonnées du point m : soit mené par le point o un axe fixe oK, et
par les points m, a, b, c, des plans parallèles entre eux; ils rencon-
treront l'axe oK en des points //, a. S, y; et l'on aura, comme on sait,

Ofc = ox -H off -t- oy,

ou

oa oS oy
(I) — H -t- — ^1.

Oli Oft Ofi

Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes o'x' , o'y' ,
o'z' , coupés en A, B, C, par le plan qui correspond à l'infini de la
première figure. Si par un point in' et les trois côtés du triangle ABC
on mène trois plans, ils rencontreront les trois axes aux points o',
b' , c' ; que par une droite prise dans le plan ABC , on mène quatre

744 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

plans passant par les quatre points m', a' , b' , c' , ils rencontreront un
axe o'K' en quatre points /^', a' , 6' , / ; et l'on aura, en appelant i le
point oii l'axe o'K' rencontre le plan ABC,

(2).

oW

oV •

ieif

0«

"~* 9
OfC

o'S'

iS'

oV.

iy'

oy

'équation (1),

ix.'

• =

(256) Cette équation exprime un théorème de géométrie très-géné-
ral, qui est susceptible de plusieurs corollaires, à cause de l'indéter-
mination de direction de l'axe o'K', et de position de la droite prise
dans le plan ABC.

Si l'axe o'K' est mené parallèlement au plan ABC, l'équation de-
vient

o'a' + &€" -»- o'r' = o'/i'.

Si, l'axe o'K' conservant une direction quelconque, on suppose
que la droite prise dans le plan ABC soit à l'infini , on aura

o'a' o'a' o'S' o'b' o'y' o'c'

ÏT^^Âô^' ÎÎ^^bF' 7/""^ Ce'*

Soit h le point où la droite o'm' rencontre le plan ABC; on aura
aussi

oV

o'm'

iV

hm'

nt donc

o'a' o'b'

o'c'

o'm'

Ao' "^ Bb'

-+-

Ce'

hm'

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 743

Les rapports

o'a' o'b' oc'
ÂcT' W' C?"'

sont les coordonnées du point m' , dans le nouveau système de coor-
données, nous pouvons donc dire que :

La somme des coordonnées d'un point est égale à la distance de
ce point à l'origine , divisée par sa distance au point où la droite
qui le joint à l'origine perce le plan de la base '.

(257) Nous avons fait dériver le nouveau système de coordonnées
du système en usage, par la transformation homographique. Si cette
transformation était faite de manière que les trois points A, B, C,
fussent à l'infini, alors on aurait un nouveau système semblable au
premier ; et l'équaticn (2) du paragraphe précédent fait voir que l'é-
quation d'une surface étant F {x, y, z), = o dans le premier système,
l'équation de la surface correspondante dans le second système serait
de la forme F (X;r, ny, vs) = o.

Ajoutons que les trois axes du nouveau système étant indéterminés
de position, on peut supposer qu'ils se confondent avec les premiers,
de sorte que les équations F (a?, y, s,) == o et F {Ix, i*y,vz) = o, qui
se rapportent à un même système d'axes coordonnés, représentent
deux surfaces homographiques.

C'est un tel mode de déformation des surfaces dont nous avons fait
usage dans la Correspotidance polytechnique (t. III, p. 326, année
1815), pour appliquer immédiatement aux surfaces du second degré
les propriétés de la sphère.

§ XIV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales
des surfaces du second degré.

(258) Dans les applications que nous avons faites du principe d'Ho-

• Nous nous sommes servi de ce théorème, sans le démontrer alors, pour faire une applica-
tion du nouveau système de coordonnées ((7orre«pon</ofice mathématique de M. Quetelet, t. VI,
p. 86). Ce thcorèrao est un de ceux auxquels se prête la méthode statique de J. Ceva. (f'oir la
Note vu de l\^perçu historique, p. 296.)

746 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

mographie, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites
situés à l'infini, qui se transformaient, dans la figure homographique,
en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut
avoir à considérer, à l'infini, des figures plus compliquées; alors le
principe d'Homographie sera d'un secours très-utile, parce qu'il offrira
le moyen de représenter avec vérité l'image de ces figures dans un
plan situé à distance finie. Tout ce qui se passerait à l'infini, dans la
question proposée, aura lieu, ou s'exécutera en réalité, sur ce plan.
Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan,
et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là on saisira
mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure pro-
posée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini,
échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la
nouvelle figure. On évitera des constructions qu'on serait obligé de
concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini; et les rai-
sonnemens, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumi-
neux, et plus convaincans.

Ainsi, par exemple, quand on a deux surfaces du second degré, si
l'on veut connaître la nature des relations qui ont lieu entre les deux
courbes d'intersection de ces surfaces par un plan situé à l'infini, il
suffira de concevoir deux surfaces homographiques, et de les couper
par un plan réel qui représentera l'infini de la première figure; les re-
lations générales des deux sections, transportées aux deux surfaces pri-
mitives, deviendront des propriétés de ces deux surfaces.

Cette marche va nous conduire aisément à trois propriétés des sur-
faces du second degré; propriétés dont on n'a connu jusqu'ici que des
cas particuliers, et que nous allons présenter dans une généralité nou-
velle qui en fera mieux connaître la nature et la raison première.

Mais nous sommes obligé de rappeler préalablement les propriétés
générales du système de deux coniques situées dans un même plan.

(259) Quand on a deux coniques quelconques dans un plan, il y a à
considérer :

1" Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que l'un quel-

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 747

conque d'entre eux a même polaire , par rapport à Tune et à Vautre
courbe^ cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres
points.

Ces trois points sont toujours réels, quand les deux coniques se
coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout ; et l'un d'eux
seulement est réel, quand les coniques ne se coupent qu'en deux
points.

Quand les deux coniques se coupent en quatre points, ces trois
points A, B, C, sont les points de concours des côtés oppojsés, et le point
de rencontre des deux diagonales du quadrilatère qui a pour sommets
les quatre points d'insertion des deux courbes.

2" Deux droites L, L' , toujours réelles sur lesquelles sont les points
d'intersection (réels ou imaginaires)des deux courbes, et qui jouissent de
la propriété que si par un point pris sur l'une délies on mène quatre
tangentes aux deux coniques , les droites qui joindront les points
de contact de la première courbe aux points de contact de la seconde ,
passeront , deux à deux , par deux points fixes. Nous avons désigné
ces deux droites par le nom à^axes de symptose [Annales de mathéma-
tiques, avril et juillet 1828), pour les distinguer des autres sécantes
communes aux deux coniques, lesquelles, deux à deux, peuvent être
aussi, dans certaines circonstances, des axes de symptose, c'est-à-dire,
peuvent jouir de la propriété que nous venons d'énoncer; mais qui
peuvent bien aussi selon la disposition des deux coniques, quand elles
sont des hyperboles , ne pas jouir de cette propriété.

3" Enfin les deux points fixes dont nous venons de parler, qui sont
des points de concours des tangentes (réelles ou imaginaires) communes
aux deux coniques. La propriété caractéristique de ces points consiste
en ce que une transversale menée par l'un deux , si elle rencontre
Vune des coniques, rencontre aussi l'autre ; et les tangentes aux
points de rencontre se coupent deux à deux sur les deux axes
de symptose.

Ces deux points, qui, dans le cas de deux coniques semblables et
semblablement placées , sont leurs centres de similitude , ont été appe-

im MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

lés par M. Poncelet, dans le cas général de deux coniques quelconques ,
leurs centres dhomologie. (Trailë des propriétés projectives , p. 164.)

Quand les deux coniques se coupent en quatre points, elles peu-
vent avoir trois systèmes de deux centres d'homologie , ou n'en avoir
qu'un seul. Quand elles ne se coupent qu'en deux points, ou qu'elles
ne se éoupent pas du tout elles n'ont qu'un seul système de deux cen-
tres d'homologie. [Annales de mathématiques , t. XIX, p. 30.)

(260) Quand les deux coniques sont les courbes d'intersection de
deux surfaces du second degré par un même plan transversal, chaque
plan mené par l'un de leurs deux axes de symptose, coupe les deux
surfaces suivant deux coniques qui ont évidemment aussi cette droite
pour axe de symptose.

Si le plan transversal ne coupait qu'une des deux surfaces, l'une
des coniques serait imaginaire; mais les deux axes de symptose subsis-
teraient toujours; parce qu'il existe généralement trois systèmes de
deux axes de symptose; ce qui prouve que l'un de ces systèmes est
toujours réel, ainsi qu'il arrive dans toutes les questions qui admettent
généralement trois solutions.

Il en serait de même si le plan transversal ne rencontrait aucune des
deux surfaces, ou bien s'il en touchait une, ou s'il les touchait toutes
deux.

Nous dirons donc que :

Quand on a deux surfaces du second degré et un plan trans-
versal mené arbitrairement ,

1° Il existe toujours dans ce plan deux droites L , L' , qui sont
telles quun plan m-ené par l'une d'elles coupe les deux surfaces
suivant deux coniques qui ont cette droite pour l'un de leurs axes
de sym.ptose ;

2° Si ces deux coniques ont quatre points communs réels , les
deux droites L, L' , seront deux des six cordes communes aux deux
courbes ; les quatre autres cordes communes pourront jouir de la
même propriété que ces deux premières ; mais ne jouiront pas néces-
sairement de cette propriété.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 749

3° Enfin, dans tons les autres cas de la section des deux sur-
faces par le plan coupant, il n existera que deux droites L, L'.

(261) Considérons maintenant, dans le plan transversal, les trois
points A, B, C, relatifs aux deux coniques (259). L'un d'eux A est le
point do concours des deux droites L, L'; ainsi il est toujours réel ; il
a la même polaire dans les deux coniques; cette droite a pour polaires
dans les deux surfaces les deux droites qui vont du point A aux pôles
du plan transversal, par rapport aux deux surfaces respectivement.

Si les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent
pas du tout, les deux autres points B, C, sont toujours réels. Cela a
encore lieu quand une des coniques est imaginaire; c'est-à-dire quand
le plan transversal ne rencontre pas l'une des deux surfaces. En effet,
ces deux points B, C, jouissent de la propriété de diviser harmonique-
ment le segment compris (sur la droite qui les joint) entre les deux axes
de symptose des deux coniques, et le segment compris dans une troi-
sième conique quelconque qui passerait par les quatre points d'inter-
section (réels ou imaginaires) des deux proposées. Si l'une des deux
coniques, ou toutes deux sont imaginaires, ces deux segmens ne pour-
ront être superposés, parce que cela indiquerait que les deux axes de
symptose rencontrent la troisième conique, ce qui est impossible parce
que les points de rencontre appartiendraient aux deux premières, dont
nous supposons, au moins l'une imaginaire; donc ces deux segmens ne
sont point superposés; et on sait qu'alors les deux points B, C, qui les
divisent l'un et l'autre harmoniquement, sont toujours réels. {Traité
des propriétés projectives , p. 201.) Donc

Etant donnés deux surfaces du second degré, et un plan trans-
versal;

1" Si ce plan rencontre la courbe d intersection des deux surfaces
en quatre points , ou ne la rencontre pas du tout , il existera dans
ce plan trois points , tels que les droites menées de l'un quelconque
d'entre eux aux pôles du plan , pris par rapport aux deux surfaces,
auront la même polaire dans les deux surfaces, cette polaire com-
mune sera la droite qui joindra les deux autres points;
To». XI. 95

7Se MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

2" Si le plan transversal rencontre la courbe d'intersection des
deux surfaces en deux points , deux des trois points en question se-
ront imaginaires , et le troisième sera toujours réel ; c est-à-dire
qu'il existera dans le plan un point tel que les deux droites qui le
joindront aux pôles du plan, pris par rapport aux deux surfaces,
auront la même polaire dans les deux surfaces. Cette polaire sera
située dans le plan transversal.

Ces principes généraux vont nous conduire aisément aux théorèmes
que nous avons en vue.

(262) En effet, considérons les deux surfaces et le plan transversal,
et formons la figure homographique de manière que le plan transversal
passe à l'infini ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles sur-
faces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux
diamètres de ces surfaces qui seront parallèles entre eux ; et leurs plans
conjugués seront aussi parallèles entre eux, parce qu'ils passeront par
la droite correspondante à la droite BC, laquelle sera à l'infini; il en
sera de même des droites menées des deux pôles à chacun des deux
points B, C, si ces points sont réels; dans ce cas la courbe d'intersec-
tion des deux nouvelles surfaces aura quatre asymptotes ou n'en aura
aucune ; et dans le cas où les deux points B, G , sont imaginaires, cette
courbe d'intersection aura deux asymptotes. On conclut donc de là ce
théorème , dans lequel nous supposons les deux surfaces concentriques,
pour en rendre l'énoncé plus facile :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques , et,
du reste, dans une position quelconque l'une par rapport à Vautre,
si leur courbe d'intersection a quatre asymptotes , ou n'en a au-
cune, il existe toujours trois droites diamétrales dont chacune a
même plan conjugué dans les deux surfaces; ces trois droites for-
ment, dans l'une et l'autre surface , un système de diamètres con-
jugués;

Et si la courbe d'intersection des deux surfaces a seulement deux
asymptotes , deux de ces trois droites diamétrales sont imaginaires ,
et la troisième est toujours réelle; de sorte qu'il existe toujours une

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 751

droite diamétrale , et il nen existe qu'une , qui a même plan conju-
gué dans les deux surfaces. ,

(263) On conclut de là que si l'une des deux surfaces est un el-
lipsoïde, le système des trois diamètres conjugués communs existe
toujours; parce que la courbe d'intersection des deux surfaces ne peut
avoir aucune asymptote.

Mais si les deux surfaces sont des hyperholoïdes , elles n'ont plus
nécessairement un système de trois diamètres conjugués communs ,
ainsi <|u'on l'aVait supposé d'après 1 énoncé, trop absolu, du théorème
de Monge. {Correspondance sur l'école polytechnique , t. 2, p. 319.)

(264) Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan trans-
versal, et considérons les deux droites L, L'. Tout plan mené par
l'une d'elles coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont
cette droite pour axe de symptose. ^ '

Faisons la figure homographique de manière que le plan transversal
passe à l'infini, les plans menés par l'une des deux droites L, L', de-
viendront des plans parallèles ; et les deux coniques suivant lesquelles
chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symp-
tose à l'infini, ce qui prouve qu'elles seront semblables et serablable-
ment placées. On a donc ce théorème :

Etant données deux surfaces du second degré quelconques , pla-
cées arbitrairement l'une par rapport à l'autre, il existe toujours
deux séries de plans parallèles , dont chacun coupe les deux sur-
faces suivant deux coniques semblables entre elles et semblablement
placées.

Si l'une des surfaces est une sphère on en conclut le théorème sui-
vant, que Monge et Hachette ont démontré analytiquement , et dont
M. Poncelet a donné une démonstration purement géométrique dans
son Traité des propriétés projectives , p. 299 ;

Dans toute surface du second degré, il existe deux séries de
plans parallèles qui la coupent suivant des cercles.

(265) Remarquons que les deux droites L, L', se coupent au point
A. qui devient, dans la figure homographique, l'extrémité, à l'infini,

7ÎS2 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

d'une droite diamétrale qui a même plan conjugué dans les deux sur-
faces (que nous supposons concentriques) ; les plans qui coupent les
deux surfaces suivant des coniques semblables et semblablement pla-
cées sont donc parallèles à cette droite. Donc

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques , les
deux plans diamétraux qui les coupent suivant des coniques sem-
blables et semblablement placées passent par Vun de leurs trois
diamètres conjugués communs.

(266) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal
ne se coupent pas, les deux droites L, L', ne rencontrent pas la sur-
face j quand les deux coniques se coupent en deux points seulement,
l'une de ces deux droites passe par ces deux points , et la seconde ne
rencontre pas les coniques ; et enfin quand les deux coniques se cou-
pent en quatre points, les deux droites L, L', passent par ces points
pris deux à deux. On conclut de là que :

Quand la courbe dintersection de deux surfaces du second degré
concentriques na aucune asymptote , les plans des deux séries de
courbes en question dans le théorème (264), les coupent suivant
des ellipses ;

Quand la courbe d'intersection des deux surfaces a deux asymp-
totes, les plans d'une des deux séries les coupent suivant des ellipses ^
et les plans de Vautre série suivant des hyperboles ; ces derniers
plans sont parallèles aux deux asymptotes ;

Et, quand la courbe d'intersection des deux surfaces a quatre
asymptotes, les plans des deux séries les coupent suivant des hyper-
boles; les plans d'une série sont parallèles à deux asymptotes et
les plans de l'autre série sont parallèles aux deux autres asymptotes.

(267) Nous avons vu que quand les deux coniques comprises dans
le plan transversal ont quatre points d'intersection réels, il peut y
avoir, en outre des deux axes de symptose L, L' , deux autres systèmes
de deux droites semblables (259); donc

Qua?id la coîirbe d'intersection de deux hyperboloïdes a quatre
asymptotes, il peut exister six séries de plans parallèles qui les

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 753

coupent suivant des coniques semblables et semblahlement placées;
ces plans sont parallèles aux asymptotes prises deux à deux.

(268) Enfin considérons les deux centres d'homologie des deux co-
niques suivant lesquelles un plan transversal coupe deux surfaces du
second degré. Supposons que le plan transversal ait le même pôle dans
les deux surfaces. Autour de ce pôle faisons tourner un plan tangent
à la première surface, sa trace sur le plan transversal sera tangente
à la courbe d'intersection de cette surface par ce plan transversal ;
et quand cette trace passera par l'un des deux centres d'homologie,
elle sera aussi tangente à la section de la seconde surface par le plan
transversal. Donc , par la droite qui joint l'un des deux centres d'ho-
mologie au pôle du plan transversal, on peut mener deux plans tan-
gens communs aux deux surfaces. Donc cette droite jouit de la pro-
priété que, si on prend un quelconque de ses points pour sommet
commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces , par cette droite
on pourra mener deux plans tangens communs aux deux cônes; et dès-
lors un plan quelconque coupera les deux cônes suivant deux coniques
qui auront pour l'un de leurs centres d'homologie le point où ce plan
coupera la droite en question. Nous dirons, par cette raison, que cette
droite est un axe central d'homologie des deux cônes.

Faisons la figure homographique, de manière que le plan trans-
versal passe à l'infini; nous aurons deux surfaces concentriques, et le
théorème suivant :

Etant données deux surfaces du second degré concentriques, il
existe toujours deux droites diamétrales telles que si on prend un
point quelconque de tune d'elles pour sommet commun de deux
cônes circotiscrifs aux deux surfaces, cette droite sera un axe cen-
tral d'hojnologie des deux cônes ; c'est-à-dire que tout plan coupera
ces deux cônes suivant deux coniques qui auront un de leurs centres
dhomologie au point où ce plan coupera cette droite.

(269) Si on prend le sommet commun des deux cônes à l'infini sur
l'une des deux droites, ces cônes deviendront deux cylindres qui au-
ront pour axe commun cette droite. Tout plan les coupera donc suivant

754 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

deux coniques concentriques dont le centre sera sur celte droite ;
mais ce centre sera en même temps leur centre d'homologie , ce qui
exige que les deux coniques soient semblables et semblablement pla-
cées. Les deux cylindres seront donc eux-mêmes semblables et sem-
blablement placés. Donc

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, il
existe deux droites diamétrales telles que si on circonscrit aux deux
surfaces deux cylindres qui aient lune de ces droites pour axe
commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablement
placés.

(270) Si l'une des surfaces est une sphère, il en résulte que :
Dans toute surface du second degré qui a un centre , il existe deux

droites diamétrales , telles que si on circonscrit à la surface un cy-
lindre qui ait ses arêtes parallèles à l'une d'elles, les sections droites
de ce cylindre seront des cercles.

(271) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal
(259) se coupent en quatre points, elles peuvent avoir six centres
d'homologie; on en conclut que :

Quand la courbe d'intersection de deux surfaces dti second degré
concentriques a quatre asymptotes , il peut exister six droites dia-
métrales telles que si on circonscrit aux deux surfaces deux cy-
lindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun, ces deux
cylindres seront semblables et semblablement placés.

§ XV. Construction géométrique des figures homographiques. —
Divers théorèmes de géométrie.

(272) Pour construire une figure homographique d'une figure
proposée, on pourra prendre arbitrairement dans l'espace les cinq
points a', b' , & , d', e', qui devront correspondre respectivement, dans
la nouvelle figure, à cinq points désignés a, b, c, d, e, de la figure

prO UOS66* «Aim'iuvwiMAHF-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 75»

Ces cinq points suffiront pour déterminer chaque point m' et cha-
que plan M' de la nouvelle figure, qui correspondront respectivement
à chaque point m et A chaque plan M de la proposée.

Considérons les deux tétraèdres ahcd , a'b'c'd'. Menons dans le
premier les deux plans ebc , mbc , qui rencontreront l'arête ad en
£, «; et dans le second, les deux plans e'b'c' , m'b'c' , qui rencontre-
ront l'arôte a'd' en e' , «'. Les quatre points a',d', e' , «', seront, dans
la seconde figure, les homologues des quatre points a, c/, e, a, de la
première figure ^ on aura donc l'équation

ax as a'a! aV

& • 57 "^ dv • 5v '

Les trois points a', â , e', sont connus; cette équation fera donc
connaître le point «'. De sorte que le plan mené par l'arête b'c' du
tétraèdre a'b'c'd' et par le point cherché m' , sera déterminé. Par
deux équations semblales on déterminera les plans qui passeront par
les arêtes ac , ab, respectivement, et par le point cherché. Ce point
sera donc déterminé par l'intersection de ces trois plans.

(273) Maintenant déterminons le plan M' qui, dans la seconde
figure, correspond à un plan M de la première.

Soit a le point où ce plan rencontre l'arête ad, et soit a' le point
correspondant à « dans la seconde figure ; ce sera le point où le plan
cherché M' rencontrera l'arête a'd'. On aura entre les quatre points
a, d, e, a, et les quatre points a', d' , e', «', la relation

ax ae a'a' a'e'

qui fera connaître la position du point «'.

On déterminera par deux équations semblables les points où le
plan cherché rencontrera deux autres arêtes du tétraèdre a'b'c'd'.
Ainsi ce plan sera déterminé.

Si le plan M de la première figure est à l'infini, la solution restera
la même ; seulement, dans l'équation précédente , qui sert à détermi-

756 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

ax

ner la position du point «' du plan cherché, le rapport-;^ sera égal
à l'unité.

Le problème de la construction géométrique des figures homogra-
phiques est donc résolu complètement.

(274) Ce mode de construction peut être exprimé par trois for-
mules très-simples, qui se prêteront à la discussion des différens cas
qui peuvent se présenter, et qui nous conduiront à divers théorèmes
de géométrie qui nous paraissent nouveaux.

Reprenons l'équation

ax ae a'a' a'e'
ax ai' a a a e

dans laquelle s et « sont les points où les deux plans ebc , mbc, ren-
contrent l'arête ad, et s , a! , les points où les deux plans correspon-
dans e'b'c' , m'b'c, rencontrent l'arête a'd' . Écrivons-la sous la forme

aa a'a' / ae a't'

ad x'd' l de ' d't'

_ ae a' s' . • 5.1

Le rapport ^ • ^y est une quantité constante, puisqu il ne dépend

que de la position du point fixe e de la première figure et du point
fixe e' qui lui correspond dans la seconde figure. Représentons ce
rapport constant par X; il viendra

(a) - = ^

xa

ad x'd'

Pareillement S et 6' étant les points où les deux plans mac, m'a'c'
rencontrent, respectivement _, les deux arêtes bd, b'd' , des deux té-
traèdres, on aura

Sb e'b'

(i étant une constante.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 7»7

Et enfin y, y' , étant les points où les deux plans mah, m'a'b', ren-
contrent, respectivement, les deux arêtes cd, c'd' , on aura

/„) 2!£ = V Lfl

<yd y'd'

V étant une troisième constante.

(275) De ces équations on conclut ce théorème général sur les
figures homographiques :

Etant donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd', si par
chaque point dune figure donnée on mène trois plans passant par
les trois arêtes bc, ca, ab, du premier tétraèdre, et rencontrant
respectivement les arêtes opposées en «, 6, y, et que sur les trois
arêtes a'd', b'd', c'd', du second tétraèdre, on prenne trois points
«', 6', y', déterm,inés par les trois équations

xa x'a'

eb Cb'

ye

"3 = * "77'
ad ad

cd-^cd''

yd —

yd'

"k, fjL, V, étant trois constantes , prises arbitrairement;

Le point d intersection des trois plans «'b'c', S'c'a', y'a'b', ap-
partiendra à une seconde figure qui sera hohograpuique à la pre-
mière.

(276) Le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendicu-
laires abaissées d'un point quelconque du plan abc sur les deux faces
abc, dbc du premier tétraèdre, car s e\. p étant ces perpendiculaires,
on a

aa $ sin. (da,dbc)
ad p sin. (ad,abc)

Pareillement, le rapport -tj est proportionnel au rapport des perpen-
diculaires abaissées d'un point du plan a! b'c' sur les deux faces a'b'c' ,
d'b'c' du second tétraèdre.

D'après cela, soient p, q, r, s, les distances d'un point m de la
première figure aux quatre faces du premier tétraèdre, elp', q', r" , s' ,
Toa. XI. 96

758 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

les distances du point homologue m' de la seconde figure aux quatre
faces correspondantes du second tétraèdre ; les trois équations (a) se
changeront en celles-ci :

p p' q q' r r'

s as s s »

De là on conclut ce théorème général :

Étant donnée une figure dans l'espace ^ et étant pris deux tétraè-
dres quelconques dont les faces se correspondent une à une;

Si de chaque point de la figure on abaisse des perpendiculaires
sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu'on prenne les rap-
ports de la première aux trois autres;

Puis , qu'on cherche un point , tel quêtant prises ses distances
aux quatre faces du second tétraèdre, les rapports de la première
aux trois autres soient respectivement dans des raisons constantes
avec les trois premiers rapports, ce point, qui correspondra ainsi,
dans toutes ses positions , aux points de la figure proposée, appar-
tiendra à une seconde figure homographique à cette proposée.

{111) Maintenant concevons le plan déterminé par les trois points

a, 6, y; le rapport ^ est égal à celui des perpendiculaires abaissées
des points a, d, sur ce plan. Pareillement, le rapport ^ est égal au
rapport des perpendiculaires abaissées des points a' , d', sur le plan
a' ê' y'. D'après cela, soient P, Q^R, S, les perpendiculaires abaissées
des quatre sommets du premier tétraèdre sur un plan M et P', Q',
R', S', les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre
sur le plan correspondant M' de la seconde figure, on aura les trois
équations

p P' Q Q' R R'

D'où l'on conclut ce théorème :

Étant donnée une figure dans t espace , et étant pris deux tétraè-
dres quelconques , dont les sommets se correspondent un à un ;

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Si , pour chaque plan faisant partie de la figure , on forme les
rapports de ses distances aux quatre sommets du premier tétraèdre^

Puis, qu'on mène un plan , de manière que les rapports de ses
distances aux quatre sommets du second tétraèdre soient respecti-
vement aux premiers rapports dans des raisons constantes , ce plan
appartiendra , dans toutes ses positions, à une figure homogra-
phique à la proposée.

(278) Reprenons les trois équations (o)

aa a'a

ad ad

. . I Cb e'b
(a) / — z=u.

yc y'c'

•yd y'd

Ces équations comprennent la construction complète des figures ho-
mographiques les plus générales. Car elles donnent les positions des
trois points «', e' ,/ , correspondant respectivement aux trois points a,
6, y; et ceux-ci déterminent un plan et un point de la figure proposée.
Ce plan est celui des trois points; et ce point est l'intersection des
trois plans menés respectivement par ces trois points et par les arêtes
bc , ca, ab, du premier tétraèdre. Les trois autres points «' , 6' , y' , dé-
terminent semblablement un plan et un point de la seconde figure,
correspondant respectivement au plan et au point de la première.

Ainsi les trois équations serviront à la construction des points et
des plans d'une figure homographique d'une figure proposée.

(279) Les quatre points a, b , c , d, qui sont les sommets du pre-
mier tétraèdre auquel on rapporte la figure proposée, peuvent être
pris tout-à-fait arbitrairement dans l'espace, pourvu qu'ils ne soient
pas dans un même plan ; il en est de même des quatre points a', b', c' ,
d' , qui leur correspondent dans la figure homographique qu'on veut
construire.

On pourra donner à ces divers points différentes positions qui sim-

760 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

plifieront les trois équations ci-dessus^ ou qui établiront entre les
figures des relations de position particulières, propres à la transfor-
mation de certaines propriétés de grandeur métrique ou angulaire,
de superficie ou de volume.

(280) Supposons le sommet d du premier tétraèdre situé à l'infini ,
les segmens ad, êd, yd, seront infinis ; les faisant entrer dans les con-
stantes >,, ^, V, les trois équations prendront la forme

W

a'a'

aa

—

X

a'd"

Sb

=

n.

frf"
v'c'

yc

^^^

V.

v'd'

(281) Mais il nous faut peut-être démontrer rigoureusement ces
équations , c'est-à-dire faire voir que nous pouvions comprendre les
segmens infinis dans les cofficiens. Pour cela reprenons l'équation

aa £0 a a £ a
ad ' cd a'd' e'd'

qui nous a servi (274) à démontrer les trois équations (a).

Le point d étant à l'infini, les deux segmens ad, ed, sont infinis,
et leur rapport est égal à l'unité; l'équation se réduit donc à

aa o,'a' t'a'

ea a'd' ' e'd' '
OU

aa' r i'a' \

ald' V i'd'J

r^o • PZy ^^^ "^^ constante indépendante de la position du point «
et de son homologue «' ; on a donc

aa aa

aa= -— X const. = a -— ■
aa ad

MÉMOIRE DE GÉOMÉTiyE. 761

Ainsi il est prouvé que dans nos formules de construction des fi-
gures homographiques, nous pouvons faire entrer les segmens infinis
dans les constantes.

(282) D'après cela, supposons que le point c? étant à l'infini, au-
quel cas on a les formules (b) , son point homologue d! soit aussi à
l'infini j les formules (a) deviendront

!aa ^ X. n'a! ,
eb = /u. Cb' ,
yc = y yV.

(283) Si, au contraire, les points d, d', étant à distances finies,
les deux plans abc , a'b'c' sont l'un et l'autre à l'infini , les formules
seront de la forme

Iarf = A d'à' ,
•yd= V y' à'.

Ces formules comprennent le mode de transformation par accrois-
sement, dans des rapports donnés, des coordonnées des points d'une
figure. Mais la transformation qu'elles donnent est plus générale que
celle-ci , parce que les coordonnées de la seconde figure peuvent être
comptées sur d'autres axes que celles de la figure proposée.

Nous consacrerons deux des paragraphes suivans {% XXIII et XXIV)
à ce mode de déformation homographique, qui est susceptible de
nombreuses applications.

(284) Si l'on suppose le point d à l'infini, et le plan a'b'c^ aussi
à l'infini, les formules deviendront

(•).

A

Cb''

V

762 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(285) Toutes ces formules sont très-simples. Elles expriment di-
vers théorèmes de géométrie qui seraient nouveaux et qui pourraient
offrir quelqu'intérêt ; mais comme ils ne sont que des corollaires du
théorème général (275), nous nous dispenserons de les énoncer.

(286) Les formules (a) peuvent donner lieu encore à d'autres cas
particuliers du mode général de construction des figures homogra-
phiques, qu'on obtient en donnant aux sommets a', b' , c' , d' , du
second tétraèdre^ différentes positions particulières par rapport au
premier tétraède. Il est deux de ces cas dont nous ferons l'objet de
deux paragraphes particuliers {% XVII et XXII) à cause de leur im-
portance,

(287) Les formules (a') et (a") sont susceptibles aussi d'une discus-
sion analogue à celle des formules {a), et de différons cas particuliers,
comme celles-ci. Mais nous n'entrerons pas dans cet examen, qui
n'offre aucune difficulté, surtout si l'on a égard aux théorèmes (176
et 177) qui se rapportent à cette question.

(288) Le théorème (275) donne lieu à deux propositions de géo-
métrie , qu'on peut considérer comme indépendantes de la théorie des
figures homographiques.

La figure construite dans le théorème (275) étant homographique
à la figure proposée, aux points de celle-ci, qui seront sur un même
plan , correspondront des points situés aussi sur un même plan ; on
peut donc énoncer ce simple théorème de géométrie :

Étant donnés un tétraèdre SABC , et un plan mené arbitraire-
ment dans l espace ;

Si par chaque point de ce plan on mène trois plans , passant
par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre , et rencontrant les
arêtes opposées en a, S , y , et qu'on forme les rapports des segmens
que ces points font sur ces arêtes , lesquels rapports sont

«s f s yS _

TK' clj' ^'
Puis, qu'on ait un second tétraèdre quelconque S'A'B'C', et qu'on

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 763

prenne sur ses trots arêtes au sommet trots points «', ë', y , tels que
les trois rapports

±51 £Ë! ?1^

«'A'' f'B" r'C'

soient, respectivement, aux trois premiers dans des raisons don-
nées et constantes ^

Les plans menés par les trois points a! , S', y', et par les trois
arêtes B'C, A'O , A'B' , respectivement, se rencontreront en un
point qui aura pour lieu géométrique un plan.

(289) Les trois points «, ë, y, dans le théorème (275), détermi-
nent un plan appartenant à la figure proposée , et les points «',€',/,
déterminent le plan correspondant dans la figure homographique ;
donc, si le premier plan tourne autour d'un point fixe, le second tour-
nera aussi autour d'un point; on en conclut donc ce théorème :

Étant donnés un tétraèdre SABC , et un point situé dune ma-
nière quelconque dans V espace,

Si autour de ce point on fait tourner un plan transversal , qui
rencontre les trois arêtes au sommet SA, SB, SC, du tétraèdre,
en trois points a, 6, y; et qu^on forme les rapports des segmens que
ce plan fait sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS es rS

1Â' 7b' ^'

Puis, qu'on prenne un second tétraèdre quelconque S'A'B'C ,
et qu'on mène un plan transversal qui rencontre ces arêtes au som-
met S'A' , S'B' , S'C , en trois points a , ê', y', tels que les trois
rapports

a'S' tf'S' ^'S'
7k'' CB'' yX'

soient aux trois premiers dans des raisons constantes , ce plan pas-
sera toujours, dans toutes ses positions , par un même point.

(290) Ce théorème et le précédent, que nous venons de déduire

764 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

de la théorie des figures homographiques, en renferment, l'un et
l'autre, toute la doctrine. Si l'un ou l'autre de ces deux théorèmes
était démontré à priori et directement, nous en conclurions notre
principe de déformation homographique, comprenant les relations de
description et les relations de grandeur des figures.

C'est l'un ou l'autre de ces deux théorèmes dont nous avons voulu
parler dans notre Aperçu historique sur les méthodes en géométrie
(V^ Epoque, § 28), en disant que toute la doctrine de transformation
des figures en d'autres du même genre ^ reposait sur un seul et unique
théorème de géométrie. Nous donnerons dans un autre écrit, qui trai-
tera du rapport anharmonique et de ses nombreuses applications , la
démonstration directe et géométrique de ce théorème. De sorte que
le principe de déformation homographique se trouvera démontré di-
rectement, et indépendamment du principe de Dualité.

$ XVI. Construction analytique des figures homographiques .

(291) La propriété des figures homographiques exprimée par le
théorème (276) conduit à l'expression analytique la plus générale de
ces figures, dans le système de coordonnées de Descartes.

En effet, prenons trois axes coordonnés quelconques ox, oy, os,
auxquels nous rapporterons les deux figures; et soient

Aa: -f- By -I- Cs — 1 = o ,

k'x ■+■ B'y ■+- Cz — 1=0,

k"3i -4- B"y -4- C'a —1=0,

K"'x -V- B"'y + C"'z —1=0,

les équations de quatre plans appartenant à la figure proposée; et

ax -y- hy -+- ca — 1 = o ,

a'x -\- b'y + c's — 1 = o ,

a"x ■+- b"y -f- c"z — 1 ^ o ,

a"'x -+- b"'y -f- c"'z — 1 = o ,

les équations des quatre plans donnés qui doivent correspondre, dans
la nouvelle figure, à ces quatre premiers, respectivement.

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 765

Soient X, Y, Z, les coordonnées d'un point M de la figure pro-
posée, et X , y, s , celles du point m qui lui correspondra dans la
figure cherchée. Il faut déterminer ces coordonnées x, y, z, en fonc-
tion de X, Y,Z.

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point M sur le pre-
mier et le quatrième plan de la première figure, est égal à

AX -4- BY -t- CZ — 1

A"'X H- B "Y ^ C"'Z — I ^ **"**' '

la constante étant indépendante des coordonnées X, Y, Z, et ne ren-
fermant que les coefficiens A, B, C, et A'", B'", C", des équations
des deux plans, et les quantités angulaires relatives aux axes coor-
donnés, que nous supposons obliques pour plus de généralité '.

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point m {x, y, z) , de
la seconde figure, sur le premier et le quatrième plan de cette figure,
aura une expression semblable à la précédente.

On aura donc, d'après le théorème (276), les trois équations sui-
vantes, entre les coordonnées de deux points homologues dans les
deux figures,

(«)

De ces trois équations , on tirera les valeurs des trois inconnues x ,

' L'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point (x' , y' , z') , sur le plan qui a pour
équation

as -f-iy-t-cs — 1=»,

est

(qj' + ty'-f-cj'— 1) t/l — co».'x,y— co«.ajr,» — COI ' y s -^i co: x,y. co». x,3. co: y,z.

V/o* «in.s y,» -+-i* iin.ï *,s-i-c' *ia.^s,y — 2ab $iu. y^. tin. b^ co». {»s^y) — iac »in. s,y. sin. *,y coi. (y*,y«)
— Sic »in. M^, tin. *,y oo(. {sM^y).

ToM. XI. 97

ax ■+■ by -t-

cs —

- = /«•

AX -4-

A"'X -4-

A'X -t-
A"'B -f-

A"X -f-

A"'X -H

BY -4- CZ — 1

a"'x + b"'y +
a'x -t- b'y ■+■

c"'s —
c'a —

B "Y + C "Z — 1 '
B'Y + C'Z — 1

a"'x + b"'y -t-
a"x -t- b"y -t-

c"'s —
c"z — 1

B"'Y -t- C"'Z — 1 '
B"Y -t- C"Z — 1

a"'x + b-'y -H

c"'s — 1

B'"Y H- C"'Z — 1

766 . MEMOIRE DE GEOMETRIE.

y , s, qui déterminent la position du point m correspondant, dans la
seconde figure, au point M de la proposée.
Ainsi le problème est résolu.

(292) Les trois équations (1) renferment toute la théorie des figures
homographiques. En donnant des valeurs convenables aux divers
coefficiens qui y entrent , on exprimera par ces formules les différens
modes de transformation particuliers. Mais nous n'entrerons point ici
dans la discussion de ces formules, qui ne peut offrir aucune difficulté,
surtout si l'on prend pour base la discussion des modes de construction
géométrique que nous avons donnée dans le § précédent.

(293) La première figure étant donnée de forme et de position par
rapport aux trois axes coordonnés , les douze coefficiens A, B, C, A',
B', C, A", B", C", A'", B'", C", sont des quantités connues, et il
n'y a d'arbitraires dans les formules (1) que les quinze coefficiens a,
b, c, a', b'y c', a", b", c", a'", b'", c'", l, ix. et v, qui servent à déter-
miner la forme de la nouvelle figure et sa position, dans l'espace, par
rapport à la première.

Ainsi, pour effectuer la construction la plus générale des figures
homographiques, tant par rapport à leur forme qu'à leur position
dans l'espace, on a à disposer de quinze coefficiens arbitraires.

Mais si l'on fait abstraction de la position de la nouvelle figure par
rapport à la première, et qu'on ne considère que sa forme, on n'aura
à disposer que de neuf coefficiens. Car il faut six conditions , et par
suite six coefficiens indépendans pour fixer la position d'une figure
dans l'espace, comme on le voit par les formules du déplacement d'un
corps solide, que nous avons données dans la note de la page 677.
Il s'en suit que des quinze coefficiens a, b, c, etc., six serviront à
déterminer la position de la seconde figure dans l'espace , et les neuf
autres à déterminer sa forme. Et en effet, cinq plans donnés, corres-
pondans à cinq plans de la première figure, suffisent pour déterminer
la seconde figure, quelle que soit leur position dans l'espace. Il suffit
donc de chercher combien de données sont nécessaires pour déter-
miner la forme de la pyramide tronquée formée par ces cinq plans.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 767

Or, l'un d'eux coupe les quatre autres suivant un quadrilatère qu'on
détermine par cinq conditions, et il reste à déterminer les quatre in-
clinaisons de ces quatre plans sur le premier ; ce qui se fait par quatre
données. Il en faut donc, en tout, neuf. Ainsi, une figure étant donnée,
pour construire une figure homographique de la forme la plus
générale en faisant abstraction de sa position dans l'espace, on
a à disposer de neuf coefficiens arbitraires.

(294) Les valeurs des trois coordonnées x, y , z, d'un point de la
seconde figure, en fonction des coordonnées X, Y, Z, du point cor-
respondant de la première figure, tirées des trois équations (I), seront
de la forme

(«) y = '-

Il n'est pas nécessaire de calculer les expressions de ar, y, z, pour
vérifier qu'elles sont en effet de cette forme ; en voici une démonstra-
tion à priori.

Considérons les trois plans coordonnés yos, zox^xoy^ comme ap-
partenant à la seconde figure , et cherchons les plans correspondans
dans la première figure; soient

. ax -t- Cy -f-r« — 1=0,
a'x -4- C'y -*- y'Z — 1 = o,
a"x -»- C'y -+- y"a — 1 = o,

leurs équations.

Concevons qu'on ait cherché le plan qui, dans la première figure,
correspond à l'infini de la seconde (273) j et soit

a"'s ■+. e"'y-h y"'»— 1 = o,

son équation.

La distance du point m {x, y , z) de la seconde figure au plan xoy
sera proportionnelle au rapport des distances du point M (X, Y, Z),

aX -+-

GY -f-

yZ - 1

a"'X-H

C"Y-t-

y'"Z— 1

a'X -+-

CY +

y'Z - 1

a"'X ■+-

C'Y +

y"'Z- 1

cl"\ -h

<r"Y -H

y"Z - 1

«'"X -f-

ff"'Y-+-

y"' - 1

768 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

de la première figure, aux plans qui correspondent, l'un au plan woy,
et l'autre à l'infini ; ce rapport est

«X -+- fY -\- yZ — 1

La distance du point m au plan yoz est égale à la coordonnée w mul-
tipliée par une constante; on a donc une équation de la forme

_ aX -t- gY -i- yZ — 1

'^ ^ ' a"'X -+- e"'X -»- y"'Z — 1 '

On aura des valeurs semblables pour les valeurs de y et de z. C'est ce
que nous voulions démontrer.

Ainsi les formules (2) expriment la construction des figures homo-
graphiques les plus générales, quant à leur forme et à leur position.

(295) Dans ces formules, les coordonnées des points des deux fi-
gures sont comptées sur les mêmes axes coordonnés. Si l'on voulait
rapporter celles de la seconde figure à d'autres axes que celles de la
première, on pourrait simplifier les formules.

Car regardons les trois axes ox, oy, os, comme appartenant à la
seconde figure, et soient OX, OY, OZ, les trois droites correspon-
dant à ces axes dans la première figure; prenons -les pour trois nou-
veaux axes coordonnés auxquels se rapporteront les coordonnées des
points de la première figure; soit

aX -\- SY -^- yZ — l = o

l'équation du plan de cette première figure qui correspond à l'infini de
la seconde; on aura, d'après le théorème (176) les trois équations

aX

aX -h SY +- yZ -

- 1'

luY

«'X + fY -+- rZ -

- r

vZ

aX -t- g'Y -f- rZ — î

X, ju, j, étant trois constantes.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 769

Si l'on prend les trois axes coordonnés OX, OY, OZ, de manière
que le plan ZOY soit parallèle au plan qui , dans la première figure,
correspond à l'infini de la seconde , l'équation de ce plan sera simple-
ment

X — A = o.

Et les formules seront

aX
X-A'

(*)

y =

X-A'
X— A ■

Telles sont les formules les plus simples qui expriment, dans toute
la généralité possible , la construction des figures homographiques.

(296) Pour les figures planes, les formules les plus générales , rela-
tives à un même système d'axes coordonnés, sont

WaX -t- CY — 1 a'X -t- C'Y — 1

«"X -+- C'Y —1' ' a"\ + C"\ — 1

Ces formules ont été données par Waring pour transformer une
courbe en une autre {Transformare unam curvam in altérant),
dans ses Miscellanea analytica de œquationibus algebraicis et cur-
varum proprietatibus , in-4°, Gantabrigise 1762; puis dans son traité
des courbes géométriques intitulé : Proprietates algebraicarum cur-
varum, in-4°, 1772. L'auteur se borne à dire que la nouvelle courbe
sera du même degré que la proposée, sans faire entrevoir quelles
seront les propriétés communes aux deux courbes, et quels pourront
être les usages et les applications de ce mode de transformation. 11
ajoute seulement que la construction d'une courbe semblable à une
courbe donnée, et la construction d'une courbe dont les coordonnées
de chaque point sont dans des rapports constans avec les coordonnées
du point correspondant d'une courbe proposée, sont des cas particu-
liers de ses formules. Dans la préface du second ouvrage, Waring dit

770 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

que ce mode de transformation est la généralisation de la méthode de
Newton comprise dans son Lemme 20 du premier livre des Principes.
Mais nous ferons voir dans la suite de ce paragraphe que cette géné-
ralisation ne porte point sur la forme des figures, mais seulement sur
leur position respective.

Ainsi, quoique Waring ait donné, pour transformer une courbe en
une autre du même degré, les formules mêmes qui expriment la con-
struction de nos figures homo graphique s , nous pouvons dire néan-
moins que notre théorie de la transformation homographique est
nouvelle, tant sous le rapport des propriétés des figures que l'on y
considère, que sous le rapport de ses usages pour la démonstration et
pour la généralisation des propositions de géométrie.

(297) Reprenons les formules (5) ; les coordonnées a;, y, de la nou-
velle figure sont comptées sur les mêmes axes que les coordonnées
X, Y de la figure proposée. Si l'on veut se servir de deux systèmes
d'axes coordonnés différons, on pourra simplifier les formules, comme
dans le cas des figures à trois dimensions, et les réduire à la forme

X— A

Ces formules expriment la construction des figures homographiques
les plus générales de forme et de position. Les deux axes ow , oy étant
considérés comme deux droites appai'tenant à la seconde figure, les
axes OX , OY sont les droites correspondantes dans la première figure;
et l'une de ces droites, la seconde OY, est prise parallèle à la droite
qui correspond, dans la première figure, à l'infini de la seconde, et
cette droite est celle qui a pour équation

X — A = o.

(298) On peut encore trouver des formules répondant à toute la
généralité de construction des figures homographiques , et néanmoins
un peu plus simples que ces dernières.

En effet , qu'on rapporte les points de la première figure à deux axes

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 771

coordonnés, dont l'un OX soit la droite qui correspond, dans cette
figure, à l'infini de la seconde, et dont l'autre OY soit pris arbitraire-
ment; et qu'on rapporte les points de la seconde figure à deux axes
coordonnés dont le premier ox soit la droite qui correspond à l'infini
de la première figure, et l'autre oy soit la droite correspondant à
l'axe OY de la première figure; on aura, d'après le théorème (176) les
deux équations

Ainsi ces deux équations, quoique très-simples, expriment les fi-
gures homographiques les plus générales.

Ce sont précisément les formules données par Newton.

Nous pouvons donc dire que les formules de Newton sont aussi
générales que celles de Waring, puisque les unes et les autres répon-
dent à la forme et à la position les plus générales des figures homo-
graphiques. Mais il y a cette différence entre les unes et les autres ,
que dans celles de Waring les points sont rapportés à un même sys-
tème d'axes coordonnés, tandis que dans celles de Newton il y a deux
systèmes d'axes coordonnés différens.

(299) Jusqu'ici nous avons supposé aux deux figures une généralité
absolue de position l'une par rapport à l'autre. Mais une question
se présente naturellement, c'est de rechercher quelle position rela-
tive il faut donner aux deux figures, pour qu'étant rapportées à un
môme système d'axes coordonnés, elles soient exprimées par les for-
mules les plus simples.

Les considérations précédentes conduisent à la solution de cette
question. En effet, quelles que soient les formules relatives à un même
système d'axes coordonnés^ ces formules donneront lieu, si on change
la position relative des deux figures , à des formules de même forme ,
relative à deux systèmes d'axes coordonnés. Les formules relatives à
un même système d'axes coordonnés ne pourront donc pas être plus
simples que les formules les plus simples relatives à deux systèmes
d'axes coordonnés. Celles-ci sont les formules (7); il faut donc voir

772 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

si ces formules conviennent à un même système d'axes coordonnés;
c'est-à-dire si l'on peut placer deux figures homographiques données ,
de manière qu'il existe dans leur plan un système d'axes coordonnés
pour lequel les formules qui lient entre elles les deux figures soient
de la forme

__ X _ fzY

^ — ^, y — Y'

Voici la solution de cette question.

Que l'on cherche la droite I, dans la première figure, qui corres-
pond à l'infini de la seconde; et la droite J' de la seconde figure, qui
correspond à l'infini de la première. Que l'on place les deux figures de
manière que les deux droites soient superposées sur une même droite L.
Cette position , qui laisse encore quelque chose d'arbitraire puisqu'on
peut faire glisser l'une des deux droites sur l'autre, satisfera à la
question. On prendra la droite L pour l'axe des y. Voici comment on
déterminera l'axe des o!. Il existe toujours dans deux figures homogra-
phiques quelconques , quelle que soit leur position, une certaine droite
qui, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est elle-
même son homologue dans l'autre. {Voir ci-dessous, § XXV). Ainsi
pour la position que nous venons de donner aux deux figures , il existe
une telle droite. C'est cette droite qu'on prendra pour l'axe des a;.

De cette manière , l'axe des y , considéré comme appartenant à la
première figure, correspondra à l'infini de la seconde; et, considéré
comme appartenant à la deuxième figure , correspondra à l'infini de la
première. Et l'axe des w, considéré comme appartenant à l'une des
deux figures, sera son homologue dans l'autre. Donc, d'après les théo-
rèmes (176 et 177), on aura les formules

^ = - , y — 'Y'

Ce qu'il fallait démontrer.

(300) Ainsi nous pouvons dire que étant données deux figures
dont les points se correspondent un à un , et sont liés par les re-
lations suivantes entre les coordonnées X, Y de chaque point de la

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 773

première figure et les coordonnées \ , y du point correspondant
de la seconde figure, rapportées aux mêmes axes coordonnés

a.\ -^ fY - 1 a'X -t- <r\' — 1

' " * «"X H- C'Y - 1 ' y - "• a"X + f'Y - 1 '

on peut, en changeant la position relative des deux figures , trouver
un système dJaxes coordonnés , tel que les relations entre les coor-
données de deux points correspondans soient de la forme

}^ mY

Ce théorème est un de ceux dont la démonstration semblerait être
particulièrement du domaine de l'analyse, puisqu'il s'agit d'un chan-
gement de système d'axes coordonnés. Mais cette voie serait longue et
difficile, parce qu'il ne suffit pas de changer le système de coordon-
nées, il faut encore changer la position relative des deux figures
proposées , ce qui exigerait, en analyse, de très-longs calculs. Les con-
sidérations géométriques, au contraire, procurent une démonstration
extrêmement simple du théorème, et une solution de la question qui
en dépend.

$ XVII. Théorie des figures homologiques. Leur construction.

i

(301) Soient a, b , c , d, quatre points d'une figure , dans l'espace ;
formons une figure homographique dans laquelle les quatre points cor-
respondant à ces points, respectivement , soient ces points eux-mêmes.

Soit un cinquième point m, de la figure proposée, et m' son ho-
mologue dans la figure homographique. Soient «,6, y, les points où
les trois plans mbc , mca, mab , rencontrent les trois arêtes ad, bd,
cd, du tétraèdre abcd, et a , 6', /, les points où les trois plans m'bc,
m'ca, m'ab, rencontrent les mêmes arêtes; nous avons vu qu'on aura

oJt "•»' ^ bf C'y cy' „ „., ^_.,

1. . . _ = A— , - = ^— , -^= v^. (S XV, art. 274).

da du de d^ cy cy

Ton. XI. 98

774 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Le point m' peut être pris arbitrairement dans l'espace. Supposons
qu'il soit situé sur la droite dm , et soit à le point où cette droite
rencontre le plan abc , on aura

dx, ' dy! dm dm'

parce que l'un et l'autre membres de cette équation expriment le
rapport anharmonique des quatre plans a^ôc ;, mbc ^ m'hc, dbc. Com-
parant cette équation à la première des trois précédentes^ on en con-
clut cette valeur de l,

tfm im
dm, dm'

On trouvera que f/ et v ont la même valeur ; de sorte que les trois
coefjiciens constans 1, [j., v, sont égaux entre eux.

(302) Réciproquement quand ces trois coefficiens sont égaux , cha-
que point m' de la seconde figure est situé sur la droite 'menée du
point correspondant m, au sommet d du tétraèdre abcd. Car soit
m" le point où le plan mbc rencontre la droite dm , on aura

ua ax (fm <fm"

dx dx dm dm"

Soit m.'" le point où le plan m'ac rencontre la même droite dm;
on aura

bS bS' J'm tfw'"

de ' de' ^ di^ ' d^''

Les premiers membres de ces deux équations sont égaux, puisque
nous supposons dans les équations (1) ;\ = /x; les seconds membres
sont donc égaux aussi; d'où l'on conclut que les points m" , m'" se
confondent; c'est-à-dire que les deux plans m'bc , w'ca passent par le
même point de la droite dm, ou, encore, que les deux droites cm' ,
dm se rencontrent.

Ainsi , qiiand l = jx les deux droites dm , cm' se rencontrent toti-
jours, quels que soient les deux points homologues m, m'.

MÉMOIUE DE GEOMETRIE. 775

Pareillement, si l'on a, A = v, les deux droites dm, bm' se rencon-
treront. Donc si l'on a en même temps A = /x = >/, les deux droites cm' ,
bm,' rencontreront la droite dm ^ c'est-à-dire que le point m' sera
sur la droite dm.

Ainsi, quand dans les équations (l)on aX = |u = v, deux points
homologues quelconques des deux figures sont toujours en lignes droite
avec le point d.

(303) Il suit de là que :

Chaque point du plan abc est lui-même son homologue dans les
deux figures',

Et, par conséquent, deux plans correspondons des deux figures
rencontrent le plan abc, suivant la même droite;

Et deux droites homologues quelconques percent ce plan au même
point.

On reconnaît, à ces propriétés descriptives, les figures homologiques
de M. Poncelet. Le point d est leur centre dhomologie , et le plan
abc leur plan dhomologie.

(304) Ainsi, les figures homologiques rentrent dans la théorie des
figures homographiques et ne sont qu'un cas particulier du mode gé-
néral de construction de celles-ci.

Les relations métriques qui ont lieu d'une manière générale entre les
figures homographiques, s'appliquent donc aux figures homologiques.

De là nous allons conclure dilTérentes relations métriques entre
ces figures, qui n'ont point encore été remarquées, et sur lesquelles
repose une partie considérable des applications de la théorie des fi-
gures homologiques.

(305) En général, les relations métriques des figures sont encore
plus importantes et plus utiles à connaître que leurs relations pu-
rement descriptives, parce qu'elles sont susceptibles d'un plus grand
nombre d'applications, et que d'ailleurs elles suffisent presque tou-
jours pour arriver à la connaissance des relations descriptives. Aussi
nous regardons comme le côté faible de l'école de Monge, en géomé-
trie spéculative , de s'appuyer spécialement et par principe , sur les

776 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

propriétés descriptives des figures. La méthode des transversales est
plus féconde, et procure des résultats plus variés, plus généraux et
plus complets. Un examen comparatif de quelques théories géomé-
triques^ ou seulement de quelques théorèmes obtenus par les deux
méthodes, justifierait constamment cette observation.

(306) Appliquons le principe de l'art. 175 aux figures homologi-
ques. Prenons pour l'un des deux plans fixes de la première figure un
plan passant par le centre d'homologie, ce plan sera lui-même son
homologue dans la seconde figure 5 et si l'on remarque que le rapport
des distances de deux points homologues à ce plan est égal au rap-
port des distances de ces points au centre d'homologie, on en con-
clura que :

Dans deux fgures homologiques , le rapport des distances de
deux poitits homologues au centre d'homologie, est au rapport des
distances de ces points à deux plans homologues , quelconques ,
mais fixes f dans une raison constante, quels que soient ces points.

(307) Ce théorème admet deux corollaires qui sont deux propriétés
importantes de la théorie des figures homologiques.

D'abord nous pouvons prendre pour représenter les deux plans fixes
homologues des deux figures, leur plan d'homologie ; il en résulte que :

Dans deux figures homologiques , le rapport des distances de
deux points homologues au centre d'homologie , est au rapport des
distances de ces deux points au plan d'homologie , dans une raison
constante.

Soient a, a' les deux points homologues, S le centre d'homologie,
et a le point où la droite Saa' rencontre le plan d'homologie; le rap-
port des distances des deux points a, a', h ce plan sera égal à ^; on
aura donc, d'après l'énoncé du théorème,

Sa aa

— ; : ^ == const.

ba aa

C'est la relation que nous avons déjà démontrée dans nos applica-
tions du principe de Dualité {§ VII).

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 777

(308) Ainsi, étant donnée une figure, et étant pris un point S et
un plan fixe, si de ce point on mène une droite à chaque point a
de la figure , qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en « avec
le plan fixe , et qu'on prenne sur cette droite un point a! tel que
l'on ait

Sa aa

Sa' ' aa'

>l étaîit une constante quelconque ; le point a' appartiendra à une
figure homologique à la proposée.

Le point S et le plan fixe seront le centre et le plan dhomologie
des deux figures.

La constante l peut être égale à l'unité. Alors les points a , a' sont
conjugués harmoniques par rapport aux deux points S et «.

(309) Soit I' le plan de la seconde figure , qui correspond à l'infini
de la première; ce plan est parallèle au plan d'homologie, parce que
deux plans homologues doivent se couper sur ce plan d'homologie.

Le plan qui dans la première figure correspond à l'infini de la
seconde, sera pareillement parallèle au plan d'homologie.

Le rapport des distances d'un point a' de la seconde figure, à un
plan fixe mené par le point S et au plan I', sera dans une raison con-
stante avec la distance du point a de la première figure au même plan
fixe (176).

Or le rapport des distances des deux points a , a' , au plan fixe est

égal à g^; on a donc, en appelant a'i' la perpendiculaire abaissée du
point a' sur le plan 1',

Sa'
So = A. — — ,

a %

X étant une constante , pour tous les points des deux figures.

Ainsi : *t dtun point fixe on mène un rayon à chaque point a
dune figure , et que sur ce rayon on prenne un point a' tel que
le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au
rayon dans une raison constante , ce point appartiendra à une se-
conde figure , homologique à la première.

778 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Le centre d'homologie sera le point fixe; et le plan d'homologie
sera parallèle au plan fixe.

La distance entre ces deux plans sera égale à la valeur inverse de
la raison constante donnée.

Car pour un point « du plan d'homologie, on aura Sa = Sa', et

1 = ^ ou ai' = 1, et d'après l'énoncé, la raison constante est j*

(310) Ainsi, si une figure A est donnée, et que le point S et le plan
I' étant pris arbitrairement , on mène de ce point des rayons à tous les
points a de cette figure, et qu'on prenne sur ces rayons des points a'
déterminés par l'équation

So'

So = A •

a' i

ces points a' appartiendront à une seconde figure A' homologique à
la première.

Le centre d'homologie sera le point S et le plan d'homologie sera
parallèle au plan I'. Sa distance à ce plan sera égale à la constante l.

Réciproquement, si la figure A' est domiée, et que le point S et
le plan I' soient pris arbitrairement , l équation

So
Sa = A — —
a i

servira à déterminer les points a d'une seconde figure A qui sera
homologique à la proposée.

Ces théorèmes seront susceptibles de nombreuses applications.

(311) V étant le plan de la figure A', qui correspond à l'infini de
la figure A , soit J le plan de la figure A qui correspond à l'infini de
A'j et soit aj la distance d'un point a de la figure A au plan J, et
a'i' la distance du point correspondant a' au plan I'; on aura, d'après
le principe du n'' 177,

aj. a'i' = const.

Cette équation donne une manière nouvelle de former la figure

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 77fl

homologique d'une figure proposée, au moyen du centre d'homo-
logie et de deux plans parallèles entre eu\.

La construction des figures homologiques serait susceptible d'une
plus ample discussion, dans laquelle nous n'entrerons pas ici.

$ XVIII. Applications de la théorie des figures homologiques.
Propriétés générales des sur/aces géométriques.

(312) Soient deux surfaces géométriques, d'un degré quelconque,
homologiques entre elles j et soit S leur centre d'homologie.

Que par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe P, on
mène les plans tangens à la première surface; et soient o, b, c, ....
leurs points de contact. A ces plans tangens correspondront des plans
tangens à la seconde surface, en des points a', b', c', ....homologues
aux points a, A , c, ....; et ces plans tangens passeront par une même
droite située dans un plan fixe P', correspondant, dans la seconde
figure, au plan P de la première.

Soient ap, a'p', les perpendiculaires abaissées des points a, a' sur
les plans P , P' respectivement ; on aura

— : ^- = const. = A (306).
Sa ap

Soit o't;' la perpendiculaire abaissée du point a' sur un plan fixe II'
mené arbitrairement dans l'espace; et mettons l'équation sous la forme

Sa ap o't'

Sa ax ap

Soient pareillement bp et b'p', les perpendiculaires abaissées des
points bf b' sur les plans P, P', respectivement, et b'r:' la perpendi-
culaire abaissée du point b' sur le plan II'; on aura de même

S6 bp b'r'

Si' b'r' b'p'

780 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Et ainsi pour les autres points.

Or les points a' , h', .... étant les points de contact de la seconde
surface par des plans tangens menés par une même droite prise dans
un plan fixe P' on a (218)

On a donc aussi

ou

(1)

a'tc b'r'
a'p' b'p'

const.

Sa
Sa'

ap Sb bp

' -^— ■+■ • -^— -\- ...

• aV Sb' ' //t'

,. = const.

Sa
ap

Sa' Sb Sb'
a tr bp b TT

. = const.

Ce qui exprime ce théorème :

Si ton a deux surfaces géométriques homoloyiques , et que par
une droite prise arbitrairement dans un plan fixe , on mène les
plans tangens à la première surface ; puis , qu'on fasse le rapport
des distances de chaque point de contact , au centre dhomologie
et au plan fixe , et qu'on divise ce rapport par celui des distances
du point ho'mologue dans la, seconde surface , au même point et à
un plan fixe mené arbitrairement dans V espace , la somme de tous
les quotiens ainsi formés sera constante.

Ce théorème donne lieu à deux corollaires qui sont eux-mêmes des
propriétés très-générales des surfaces géométriques.

(313) Que l'on suppose un second plan n" parallèle au planll', et
qu'on fasse pour ce second plan l'équation analogue à l'équation pré-
cédente ; puis , qu'on retranche ces deux équations l'une de l'autre ;
tous les termes du premier membre de l'équation résultante auront un
facteur commun qui sera la distance entre les deux plans n', II"; fai-
sant passer ce facteur dans le second membre, on aura l'équation :

Sa

Sb

Sa' -^ — : Sb' -t- ..

,. == const. ;

up

bp

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 701

ce qui exprime ce théorème :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques , si par
une droite , prise dans un plan fixe, on mène les plans tangens à
la première ; qiCon fasse le rapport des distances de chaque point
de contact au centre dhomologie et au plan fixe , puis le quotient
de ce rapport divisé par la distance du point homologue dans la
seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quo-
tiens sera constante , quelle que soit , dans le plan fixe , la droite
par laquelle on a mené les plans tangens.

(314) Supposons que le plan n', dans le théorème (312), se con-
fonde avec le plan P , et que celui-ci soit situé à l'infini , les perpen-
diculaires ap, hp , oV, ÂV, .... seront infinies, et les rapports

bp

ar

b X

seront égaux à l'unité; de sorte que l'équation (1) se réduira à

Sa Sb

s^'-^sb'-*- •••• = ''''''•

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces géométriques sont homologiques , si Pan
mène à la première tous ses plans tangens parallèles à un même
plan quelconque , la somme des distances des points de contact
au centre d'homologie, divisées respectivement par les distances
des points homologues de la seconde surface au même centre d'ho-
mologie , sera constante , quel que soit le plan auquel les plans
tangens seront parallèles.

(315) Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques
homologiques, planes ou à double courbure. Conséquemment ils s'ap-
pliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique,
parce que ce sont deux courbes homologiques , dont le centre d'ho-
mologie est le sommet du cône.

Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un
To». XI. 99

782 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

cône, et remarquons que les perpendiculaires abaissées des différens
points d'un plan sur un autre plan fixe sont proportionnelles aux per-
pendiculaires abaissées des mêmes points sur la droite d'intersection
des deux plans ; on aura cette propriété générale des surfaces coniques :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique ; et
que par un point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première
section, on mène toutes les tangentes à cette courbe; qu'on fasse
le rapport des distances de chaque point de contact au sommet du
cône et à la droite fixe , et qu'on divise ce rappo?'t par celui des
distances du point homologue dans la seconde section, au sommet
du cône et à une droite fixe menée arbitrairement dans le plan
de cette seconde courbe ; la somme de tous les quotiens ainsi formés
sera constante , quel que soit le point de la droite prise dans le
plan de la première section par lequel on a mené les tangentes à
cette courbe.

(316) Si l'on suppose que la droite fixe dans la seconde section,
soit à l'infini, le théorème prendra cet énoncé :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique quel-
conque, et que par chaque point d'une droite fixe, prise dans le
plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette
courbe , la somme des distances des points de contact au sommet
du cône , divisées respectivement par les distances de ces points à
la droite fixe et par les distances des points correspondans , dans
la seconde courbe, au sommet du cône , sera constante.

(317) Si la droite fixe, prise dans le plan de la première section,
est à l'infini, le théorème devient le suivant :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique , et
que l'on mène à la première courbe toutes ses tangentes parallèles
à une même droite quelconque , la somme des distances des points
de contact au sommet du cône, divisées respectivement par les dis-
tances des points homologues dans la seconde section, au sommet,
sera une quantité constante.

Ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à deux courbes planes ho-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 783

mologiques situées dans un même plan, si au sommet du cône on
substitue, dans leur énoncé, le centre d'homologie des deux courbes
planes.

§ XIX. Surfaces du second degré homologiques. Propriété fonda-
mentale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.

(318) Deux surfaces du second degré homologiques sont inscrites
dans un même cône qui a pour sommet le centre d'homologie j ce
cône peut être imaginaire, bien que son sommet soit réel.

Mais on ne peut pas dire d'une manière absolue que, réciproque-
ment, quand deux surfaces du second degré sont inscrites dans un
même cône, elles sont toujours homologiques. Car, par exemple, si
l'une des deux surfaces est un hyperboloïde à une nappe et l'autre
un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes, il est évident qu'il
ne peut y avoir homologie, car l'hyperboloïde à une nappe pouvant
être engendré par une ligne droite, sa figure homologique ne peut être
aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites,
c'est-à-dire un hyperboloïde à une nappe, ou un paraboloïde hyper-
bolique.

Il est un autre cas où deux surfaces du second degré inscrites dans
un même cône ne sont pas homologiques; c'est celui où l'une des sur-
faces est un hyperboloïde à deux nappes placé à l'extérieur du cône,
et l'autre un ellipsoïde , ou bien un hyperboloïde à deux nappes com-
pris dans l'intérieur du cône, parce que dans ce cas aucune droite
menée par le sommet du cône ne peut rencontrer en même temps les
deux surfaces ; par conséquent aucun point de l'une de ces surfaces
ne peut avoir son homologue dans l'autre.

Mais dans les autres cas , où une droite menée par le sommet du
cône pourra rencontrer les deux surfaces en même temps , elles seront
homologiques; et l'on pourra prendre pour leur plan d'homologie,
indifféremment, l'un ou l'autre des deux plans des courbes d'inter-
section (réelles ou imaginaires) des deux surfaces. Cela résulte du Ihéo-

784 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

rème général démontré dans le § VIÏI de nos applications du prin-
cipe de Dualité '.

' Généralement deux surfaces du second degré inscrites dans un c6ne se coupent suivant
deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu ; mais il me semble qu'on
**• l'énonce d'une manière trop absolue ; car on suppose que , dans le cas même où les deux courbes

sont imaginaires , leurs plans sont toujours réels.

Cela n'est pas ; car ces plans peuvent être imaginaires , comme il arrive dans toutes les ques-
tions où les choses qu'on considère sont doubles , ou admettent deux solutions.

Pour en donner un exemple , qu'on conçoive une section elliptique faite dans un hyperbo-
loïde à une nappe , et un cône circonscrit à celte surface suivant cette section ; qu'on fasse dans
le cône une seconde section elliptique qui rencontre la première en deux points, et qu'on ins-
crive dans le cône un ellipsoïde qui le touche suivant celte seconde section. Cet ellipsoïde et l'hy-
perboloïde devront se couper suivant deux courbes planes , réelles ou imaginaires. Dans ce cas
ces deux courbes sont imaginaires ; car l'ellipsoïde est renfermé dans l'intérieur du cône , et l'hy-
perboloïde est tout-à-fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils
doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cône et des
deux surfaces ; et si ces plans étaient réels , chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces.
Ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.

Ainsi , dans ce cas , il est démontré que les deux plans sont imaginaires ; il n'y a de réel que
leur droite d'intersection.

L'analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit F=:o l'équation d'un cône, ou plus géné-
ralement d'une surface quelconque du second degré ; l'équation d'une seconde surface du second
degré inscrite dans cette première, sera de la forme

F -f- mV = o,
P := o étant l'équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces.
Pareillement l'équation d'une troisième surface inscrite aussi dans la première sera

F + m'P" = 0,
f = 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact.

Des équations de ces deux surfaces inscrites dans la première , on tire

nif — »j'P" = 0.
D'où

P ± P

Cette d'ouble équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces.
Mais on voit que ces plans ne seront réels que quand les deux coefficiens m et m' seront de
mêmes signes ; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefficiens seront de signes contrai-
res. Et dans ce cas l'équation donne les deux suivantes

P = o, P' == 0.

Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont point d'autres points d'intersection que sur la
droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact, l^es deux points d'intersection
peuvent être imaginaires ; mais cette droite est toujours réelle , parce qu'elle est l'intersection
des plans des deux courbes de contact.

DIRE DE GÉOMÉTRIE. 785

(319) Les différens modes de construction des figures homologiques
que nous avons donnés dans le $ XVII, appliqués aux surfaces du
second degré, conduisent à différentes propriétés nouvelles de ces
surfaces, relatives particulièrement à leurs relations métriques. Nous
n'entrerons pas dans le détail de ces diverses propriétés ; nous allons
seulement examiner un mode de construction qui va nous conduire
à une propriété nouvelle et fondamentale des systèmes de trois axes
conjugués relatifs à un point.

(320) Soit une surface du second degré A, un point fixe S, et un
plan fixe P mené arbitrairement. Que du point S on mène une droite
à chaque point a de la surface, et qu'on prenne sur cette droite un
second point a' tel que l'on ait

Sa' = A — ,
ap

ap étant la perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P, et X
étant une constante; le point a' appartiendra à une seconde surface
du second degré homologique à la proposée. Le centre d'homologie
sera le point S, et dans cette seconde figure , l'infini correspondra au
plan P de la première.

Deux plans homologues dans les deux figures, auront pour pôles,
pris par rapport aux deux surfaces respectivement , deux points homo-
logues. Supposons que le plan P ait pour pôle dans la première sur-
face le point S, centre d'homologie; ce point étant lui-même son
homologue, sera le pôle du plan situé à l'infini par rapport à la nou-
velle surface; c'est-à-dire que ce point S est le centre de figure de
la nouvelle surface. Ainsi :

Étant donnée une surface du second degré j tout point de V espace
peut être pris pour le centre dhomologie d^une seconde surface
homologique à la proposée , et ayant son centre de figure en ce point.

(321) Cette seconde surface est indéterminée de grandeur, puisque
ses demi-diamètres Sa' ont pour expression

ap

786 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

où l est une constante arbitraire. Mais cette surface est déterminée
d'espèce pour une position donnée du point S; c'est-à-dire que,
quelle que soit la grandeur de cette surface , elle sera toujours sem-
blable à une certaine surface unique, dont la nature ne dépendra
^ que de la position du point S par rapport à la surface proposée.

(322) Mais si la surface A' est donnée , la surface A sera indéter-
minée d'espèce et de position; parce que pour la former on disposera
arbitrairement du plan fixe P. On construira ses points par la formule

Sa 1

— = - . Sa'.
ap A

(323) Si la surface A' est une sphère, on aura — = constante.
Or, il est évident qu'à cause de la forme symétrique de la sphère, la
surface homologique A doit être de révolution, et avoir pour axe de
révolution la perpendiculaire au plan fixe, menée par le centre de la

sphère; l'équation — = constante exprime donc une propriété des
surfaces de révolution. Propriété connue, du reste.

Ainsi nous pouvons dire que :

Une surface du second degré de révolution , et une sphère qui a
son centre en l'un des foyers de cette surface, sont deux figures
homologiques ; leur centre d'homologie est ce foyer.

(324) Il suit de là que :

Deux surfaces du second degré de révolution , qui ont un foyer
commun, sont homologiques, et leur centre d'homologie est ce foyer.

Car si l'on conçoit une sphère ayant ce foyer pour centre, elle sera
homologique à chacune des deux surfaces; d'où l'on conclut que
celles-ci sont homologiques entre elles '.

' En général , quand deux figtires sont homologiques à une troisième , et ont avec elle le même
centre d'homologie , elles sont aussi homologiques entre elles, et ont ce même point pour centre
d'homologie.

En effet soit S le centre d'homologie commun aux trois figures ; a un point de la première ,
et a', a", ses homologues dans la seconde et la troisième. Soit P un plan de la première figure
et P', P", les plans homologues dans les deux autres. Soient enfin a^, a'p', a"p", les perpen-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 787

(325) Ces deux théorèmes sont la source d'un grand nombre de
propriétés des surfaces du second degré de révolution, considérées
par rapport à leurs foyers. Quelques-unes de ces propriétés, celles
particulièrement qui ne concernent que les relations descriptives des
surfaces, sont connues; mais beaucoup d'autres, où entre la considé-
ration des relations métriques, seront entièrement nouvelles. Nous
exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier (§ XXI).

(326) Reprenons les deux surfaces homologiques A, A', dont la
seconde a son centre de figure au centre d'homologie.

Considérons dans la surface A' trois diamètres conjugués ; leur pro-
priété caractéristique est que le point situé à l'infini sur chacun d'eux
a pour plan polaire, par rapport à la surface, le plan des deux autres.
Les trois droites homologues, dans la surface A, jouiront donc de la
propriété que le point oii chacune d'elles perce le plan fixe (qui est
le plan polaire du point S), a pour plan polaire le plan des deux
autres. D'où il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire com-
prise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont donc ce que
nous avons appelé aives conjugués relatifs au point S. Or ces trois
droites sont, en direction, les trois diamètres conjugués de la surface
A'; donc

Chaque système de trois axes conjugués d'une surface du second
degré , relatifs à un point fixe , forme , en direction , un système de
trois diamètres conjugués dune seconde surface du second degré ,
qui a son centre en ce point ;

diculaire» abaissées des poinU a , a, a", sur les plans P, P', P", respectivement. On aura

Sa ap Sa ap

S^^'" <^' *^ S^ ""• a"p"'
D'où

S«' M «>'

oa A a p

Cette équation prouve que le point o" appartient à une figure homologique à celle à laquelle
appartient le point a' (306). Les plans P', P" se correspondent, dans ces deux figures; et le
point S est leur centre d'homologie.

Ainsi le théorème est démontré.

788 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Cette seconde surface est homologique à la proposée ; et le centre
d'homologie est le point fixe.

Les demi-diamètres de cette seconde surface se construisent par la
formule

Sa

So' = A

ap

Nous donnerons, plus loin, deux autres constructions de ces demi-
diamètres, sans se servir du plan fixe, qui est le plan polaire du
point S par rapport à la proposée.

(327) Du théorème précédent, et surtout de la formule

So
Sa' = A — .
ap

découlent naturellement les propriétés des systèmes de trois axes con-
jugués d'une surface du second degré relatifs à un point ; car ces
propriétés seront des conséquences de celles des diamètres conjugués
d'une surface du second degré.

Ainsi, l'on en conclut d'abord que, parmi tous les systèmes de
trois axes conjugués relatifs à un point, il en est un où les trois axes
sont rectangulaires.

(328) Ces trois axes déterminent sur la surface les points pour les-
quels le rapport ^— a une valeur maximum ou minimum,.

Si l'on demande les points pour lesquels le rapport — a une va-
leur donnée, ces points seront sur une courbe à double courbure
provenant de l'intersection de la surface par un cône du second degré
ayant son sommet au point fixe. Les axes principaux de ce cône seront
précisément les trois axes conjugués rectangulaires de la surface,
relatifs au point S.

Car il est clair que ce cône passera par la courbe d'intersection de
la surface A' par une sphère concentrique; ce qui prouve qu'il sera
du second degré, et qu'il aura pour axes principaux les trois diamè-
tres conjugués rectangulaires de la surface A'.

(329) Soient trois axes conjugués Sa, Sb, Se, de la surface A, et

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 789

Sa', Sb'y Se', les trois demi-diamètres conjugués de la surface A', qui
leur correspondent ; on aura

^ o„ S6 ^ , Se

Sa' = A —, Si' = A — , Se' = A — ,
ap bp cp

ap, bp, cp, étant les perpendiculaires abaissées des points a, h, c, sur
le plan P, qui est le plan polaire du point S par rapport à la surface A.
La somme des carrés des trois demi-diamètres Sa', SA', Se', est
constante; on a donc aussi

ce qui exprime un théorème déjà démontré (52 et 191).

(330) La somme des carrés des projections des trois demi-diamè-
tres Sa', SA', Se', sur une droite, est constante j on en conclut le théo-
rème (191).

(331) La somme des carrés des aires des triangles formés par les
trois demi-diamètres conjugués Sa', Sb', Se', pris deux à deux, est
constante ; de sorte qu'on a

(So'. Si', sin. o'Si')' ■*- (Sa'. Se', sin. o'Sc')' -4- (Si'. Se', sin. i'Sc')' = const.

On a donc

(Sa. Si. sin.oSi)' (Si. Se. sin. iSc)' (Se. Sa. sin. cSa)'

ap . bp bp . cp cp . ap

== const.

Les numérateurs sont les carrés des aires des triangles formés par les
trois axes Sa, Sb, Se, pris deux à deux. Cette équation exprime donc
une propriété de ces trois triangles.

(332) Enfm si l'on a deux systèmes de trois demi-diamètres con-
jugués de la surface A', le tétraèdre formé par trois quelconques de ces
six demi-diamètres est égal en volume au tétraèdre formé par les trois
autres. Exprimant le volume d'un tétraèdre par le produit des trois
demi-diamètres qui le forment, multiplié par une fonction des angles
que ces droites font entre elles, on en conclut que :

To«. XI. 100

790 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

Si l'on a dans une surface du second degré , deux systèmes de
trois axes conjugués relatifs à un point, le volume du tétraèdre
formé par trois quelconques de ces six droites, divisé par le pro-
duit des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois
droites sur le plan polaire du point fixe , sera égal au volume du
tétraèdre formé par les trois autres droites, divisé par le produit
des perpendiculaires abaissées des extrémités de ces trois droites
sur le même plan.

(333) Si les trois demi-diamètres Sa', Sb', Se', sont rectangulai-
res, on sait qu'on aura

1 1 1

-=7 -4- —=; -t- —=r = const.;
Sa' Si' Se'

"Py . f'±S ^ f'l\ = const.

donc

l Sa y \^^J ^ ^^

ce qui exprime le théorème (201).
(334) La formule

Sa

(1) Sa' = A —

ap

peut être transformée de deux manières en une autre, qui donnera
les demi-diamètres Sa' de la surface homologique k', sans se servir
du plan P.

Soit b le second point où la droite Sa rencontre la surface proposée
A', ;6j5, la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan P, et b' le
point homologue sur la surface A'; on aura

bp

Mais Sb' = Sa'^ puisque ce sont deux demi-diamètres de direction
opposée; donc Sa' == > r^- Le plan P étant le plan polaire du point S,
par rapport à la surface A , les plans tangens à cette surface aux points

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 791

a, b, se coupent sur ce plan; on a donc, d'après la propriété générale
des surfaces géométriques (219),

1 1

— ± -— = const. ;
ap bp

le signe + étant pris quand les perpendiculaires ap, hp, seront di-
rigées dans le même sens, et le signe — quand elles seront en sens
contraire. Le premier cas a lieu quand le point S est dans l'intérieur
de la surface, et le second quand ce point est pris au dehors de la
surface.

De cette équation on conclut

Sa' Sa' I

± — - = const. = — •

Sa So n

D'où

1 / 1 In

(*) s^=ni^*i-J-

Ainsi cette équation servira à déterminer les demi-diamètres de
la surface A', de même que l'équation (1).

On prendra le signe + quand le point fixe S sera dans l'intérieur
de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

On conclut de cette équation, ce théorème :

Si autour cTtin point fixe on fait tourner une droite qui rencontre
une surface du second degré en deux points , et qu'on prenne sur
cette droite , à partir du point fixe, un segment dont la valeur in-
verse soit proportionnelle à la somme des valeurs inverses des
distances des deux points de la surface au point fixe , si ce point
est dans V intérieur de la surface , ou à la différence des valeurs
inverses des deux mêmes distances, si le point fixe est au dehors
de la surface , l'extrémité de ce segment sera sur une seconde sur-
face du second degré, qui sera homologique à la proposée j le centre
dhomologie sera le point fixe ; et ce point sera aussi le centre de
figure de la nouvelle surface.

792 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(335) Les différens théorèmes que nous avons indiqués ci-dessus
au sujet du rapport — , s'appliquent, comme on voit, à l'expression

ap

' . l Sa S6

Ainsi nous pouvons dire que, si l'on demande de mener la droite
Sab de manière que cette quantité soit un maximum ou un minimum,
trois directions de la droite satisferont à la question; et ces trois di-
rections seront à angle droit. Si le point S est au dehors de la sur-
face, elles seront les trois axes principaux du cône circonscrit à la
surface et ayant son sommet au point S.

Si on demande que l'expression

j_ 1

Sa S/5

ait une valeur donnée, la droite Sab aura pour lieu géométrique un
cône du second degré '; et ce cône aura pour ses axes principaux,
les trois directions pour lesquelles cette expression a une valeur
maximum ou minimum.

Si la droite Sab prend trois directions rectangulaires, la somme
des carrés des valeurs correspondantes de l'expression

_i_ 1

Sa Sb

sera constante. Etc., etc.

' Ce sont ces cônes du second degré dont M. Legendre s'est servi pour régler la marche de
ses intégrales dans son mémoire sur l'attraction des sphéroïdes sur des points extérieurs , et
dont il n'a donné que l'expression analytique. Et les droites qui jouissent d'une propriété de
maximum, et qui marquent la limite des intégrales, sont précisément les axes conjugués rec-
tangulaires de l'ellipsoïde attirant, relatifs au point alliré; ce sont aussi les axes principaux
communs à tous ces cônes. Les considérations géométriques précédentes procurent une inter-
prétation géométrique de plusieurs autres résultats analytiques obtenus par M. Legendre dans
son mémoire, et font connaître particulièrement la signification d'un beau théorème relatif à
l'attraction de différens ellipsoïdes semblables et concentriques sur un même point extérieur.
(Voir Mémoires de V Académie des Sciences de Paris; année 1788 , p. -454).

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 793

(336) Maintenant, écrivons l'équation (2) sous la forme

Sa' V Sa. SA /

On sait, par une propriété générale des surfaces du second degré,
que d étant le demi-diamètre de la surface, parallèle à la sécante Sab,
on a 5^~~g^ = const., quelle que soit la direction commune de ce
diamètre et de cette sécante. Il vient donc

1 _ , SA db Sa

Or, si le point S est dans l'intérieur de la surface, (Sa -{- SA) est
la corde comprise dans la surface sur la droite Sab', et si le point S
est au dehors de la surface, {Sb — Sa) est cette corde; la désignant
par c, on a donc, dans les deux cas.

ou

ce qui exprime que :

Si autour d'un point fixe on fait tourner une droite qui ren-
contre une surface du second degré en deux points , et qu'on porte
sur cette droite , à partir du point fixe , un segment proportionnel
au carré du diamètre de la surface qui lui est parallèle, divisé
par la corde comprise dans la surface sur cette droite, V extrémité
de ce segment sera sur une surface du second degré qui sera ho-
mologique à la proposée. Le point fixe sera le centre dhomologie
des deux surfaces , et le centre de figure de la seconde.

On déduit de là plusieurs théorèmes relatifs à l'expression —, cor-
respondant aux différentes propriétés connues des diamètres d'une
surface du second degré. Nous n'avons pas besoin d'insister sur cet
objet.

1

Sa'

sa

/■«'.

C

5^'

S«'

=

1

c

794 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

§ XX. Propriétés générales , nouvelles, des surfaces du second degré.

(337) Les propriétés générales des surfaces géométriques, démon-
trées dans le $ XVIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du
second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires oii se trou-
vent plusieurs propriétés nouvelles de ces surfaces et de ces courbes.
On y distinguera particulièrement certaines propriétés concernant
leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous
allons présenter d'abord des propositions d'une plus grande généralité.

Supposons dans le théorème (3 1 2) que les deux surfaces soient du
second degré; par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener
deux plans tangens à la première surface; la corde qui joindra les
deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de
ce plan par rapport à cette surface; nous pouvons donc énoncer ce
théorème :

Quand deux surfaces du second degré ont un centre d'homologie ,
si autour d'un point fixe on fait tourner une corde de la première
surface, les rapports des distances des extrémités de cette corde au
centre d'homologie et au plan polaire du point fixe , divisé respecti-
vement par les rapports des distances des deux points homologues
dans la seconde surface ^ au même centre d'homologie et à un plan
fixe mené arbitrairement , auront leur somme ou leur différence
constante.

Ce sera la somme , si le point fixe et pris dans l'intérieur de la sur-
face, et la différence , s'il est pris au dehors.

Ainsi soient a ^ b, les extrémités de la corde de la première surface;
a' , h' , les points homologues de la seconde; ap, hp, les perpendicu-
laires abaissées des points a, h sur le plan polaire du point fixe, pris
par rapport à la première surface ; et a'n , Z>':r, les perpendiculaires abais-
sées des points a' , h' , sur un plan fixe n mené arbitrairement ; on aura

Sa _

Sa' Sb

Sb'

— ± — :

— = const

ap '

a!r bp

6V

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 793

(338) Si le plan fixe mené arbitrairement est à l'infini , on conclut
du théorème (313) celui-ci :

Quand deux sw faces du second degré ont un centre dhomologie ,
si autour d'un point fixe on fait tourner une corde de la première
surface , la somme ou la différence des rapports des distances des
extrémités de la corde au centre dhomologie et au plan polaire du
point fixe , divisés respectivement par les distances des points homo-
logues de la seconde surface au centre dhomologie , sera constante.

Ainsi l'on a

S« . , SA „,,

— : So' ± — : Si= const.

ap bp

On prendra le signe -j- quand le point fixe sera dans l'intérieur
de la surface , et le signe — quand il sera au dehors.

(339) Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan
polaire sera à l'infini, et le théorème prendra cet énoncé :

Quand deux surfaces du second degré sont homologiques , si du
centre dhomologie on mène deux rayons aux extrémités dun dia-
mètre de la première , la som,me ou la différence de ces rayons di-
visés respectivement par les rayons menés aux points homologues
dans la seconde surface , sera constante.

Ce sera la somme quand la première surface sera un ellipsoïde , et
la différence quand elle sera un hyperljoloïde.

Si dans ce théorème on suppose que le centre d'homologie des deux
surfaces soit le centre de figure de la première , on obtient le théo-
rème de l'art. (334) que nous avons démontré directement.

(340) Dans les trois théorèmes précédons, on peut suposer que la
seconde surface se confonde avec la première, de manière que deux
points de celle-ci, situés en ligne droite avec le centre d'homologie, se-
ront homologiques ; et le plan d'homologie sera le plan polaire du point
pris pour centre d'homologie. Car soient a, a' , les points où une droite
menée par le point fixe S rencontre une surface du second degré, et
soit « le point où elle rencontre le plan polaire P du point S ; on aura ,

796 MÉiMOIRE DE GEOMETRIE,

comme on sait,

Sa aa Sa aa

— ;■ = — , ou — : — ; = 1 = const. ;

Sa' aa' Sa' aa

ce qui prouve que les points a et a' peuvent être considérés comme
appartenant à deux figures homologiques (308).

Si le point S est pris au dehors de la surface, son plan polaire,
qui est le plan d'homologie, divisera la surface en deux nappes, qui
pourront être considérées comme étant les deux figures homologiques.

(341) D'après cela, le théorème (337) donne le suivant :

Si, autour dun point fixe 0 , on fait tourner une corde dune sur-
face du second degré, et que d'un second point fixe S on mène aux
extrémités a, b de cette corde , deux droites qui rencontreront la sur-
face en deux autres points a', b'; et qu'on appelle ap, bp, les perpen-
diculaires abaissées des points a, b, sur le plan polaire du point 0,
et Bln^ b'TT, les perpendiculaires abaissées des points a', b', sur un
autre plan fixe mené arbitrairement , on aura

Sa Sa' S 6 S6'
ap ' a'fr bp h'ir

On prendra le signe -f- quand le point 0 sera dans l'intérieur de
la surface, et le signe — quand il sera au dehors.

(342) Si le plan fixe pris arbitrairement est à l'infini l'équation se
réduira à

O-, CI,

— : Sa' ± — : SÈ' = const. (338).
ap bp

(343) Si le point O est le centre de la surface, son plan polaire
est à l'infini, et l'équation, d'après le théorème (339), se réduit à

Sa S6

— ± = const.

Sa' Se'

Donc :

Si d'un point fixe on mène deux rayons aux extrémités d'un dia-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 797

mètre d'une surface du second degré, ils rencontreront la surface en
deux autres points ,• et la somme ou la différence des deux rayons di-
visés respectivement par les segmens compris entre le point fixe et
ces deux autres points , sera constante.

Ce sera la somme si la surface est un ellipsoïde ^ et la différence si
elle est un hyperboloïde.

(344) Si sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré
on prend deux points fixes situés de part et d'autre et à égale distance
du centre, les droites menées de l'un de ces points aux extrémités
d'un autre diamètre quelconque, seront égales réciproquement aux
droites menées de l'autre point aux extrémités du même diamètre.
D'après cela, on peut donner au théorème précédent cet autre énoncé:

Si sur un diamètre quelconque dune surface du second degré on
prend, de part et et autre et à égale distance du centre , deux points
fixes, et que de ces points on mène des rayons à un point quelconque
de la surface, la somme ou la différence de ces deux rayons divisés
respectivement par les autres segmens faits sur eux entre les points
fixes et la surface , sera constante.

Ainsi soient F, F' les deux points fixes pris sur un diamètre quel-
conque d'une surface du second degré, de part et d'autre et à égale
distance du centre ; que de ces points on mène deux rayons aboutis-
sant à un même point quelconque w de la surface, et rencontrant cette
surface en deux autres points n, n', on aura, quel que soit le point m,

Tm î'm

± — — = CODSt.

Fn F n

Ce sera -|- si la surface est un ellipsoïde, et — si elle est un hy-
perboloïde.

(345) Dans les trois théorèmes des art. 337, 338, 339, les deux
surfaces peuvent se réduire à des coniques situées sur un même cône ;
alors on aura diverses propriétés des cônes du second degré.

Ainsi le théorème (337) donne le suivant :

Etant fait deux sections planes dans un cône du second degré, si
To«. XI. lél

798 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

autour et un point fixe , pris dans le plan de la première section, on
fait tourner une corde qui rencontre cette courbe aux points a, b,
et que ap, bp, soient les perpendiculaires abaissées de ces points
sur la polaire du point fixe , prise par rapport à cette première
section, et vl'u, h'n, les perpendiculaires abaissées des points ho-
mologues de la seconde section sur une droite fixe menée arbi-
trairement dans le plan de cette courbe , on aura , en appelant S
le sommet du cône ,

Sa Sa' S6 S6'

— : -p ± — : — - = const.

af a 7r bp b t

Ce sera le signe + quand le point fixe pris dans le plan de la pre-
mière section sera dans l'intérieur de cette courbe, et le signe — quand
il sera au dehors.

(346) Si la droite prise dans le plan de la seconde section est à
l'infini, l'équation devient

Sa „ , , S6 „,,

— : Sa d= — Si = const. \

ap bp

(347) Si le point fixe, pris dans le plan de la première section, est
le centre de cette courbe , la polaire de ce point est à l'infini , et l'é-
quation devient

Sa S6

— ± — = const.

Sa' Si'

ce qui exprime que :

Si l'on fait deux sections planes dans un cône du second degré ,
la somme ou la différence des arêtes menées aux extrémités d'un
diamètre quelconque de la première section , divisées respectivement
par les segmens compris sur ces arêtes, entre le sommet du cône
et la seconde section, sera constante.

Ce sera la somme si la première section est une ellipse, et la diffé-
rence si elle est une hyperbole.

(348) Si dans le théorème (346) on suppose que le cône soit de
révolution , et que la seconde section soit un cercle, les arêtes Sa' , Sb',

«

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 799

seront de longueur constante, on aura donc Téquation /

Sa Si ")

— dr -— = const.; >\

ap bp

ce qui exprime que :

Une section plane quelconque étant faite dans un cône de révolu-
tion, si autour dun point fixe du plan de cette courbe on fait tourner
une droite qui la rencontre en deux points, la somme ou la différence
des distances de ces deux points au sotnmet du cône, divisées respec-
tivement par leurs distances à la polaire du point fixe , prise par
rapport à la courbe, sera constante.

Ce sera la somme quand le point fixe sera pris dans l'intérieur de
la courbe, et la différence quand il sera pris au dehors.

(349) Si le point fixe est le centre de la courbe , l'équation devient

Sa ± Sft = const.

D'où l'on conclut que :

Quand un cône de révolution passe par une section conique , la
somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités dun
diamètre de cette courbe est constante.

Ce sera la somme si la courbe, est une ellipse, et la différence si
elle est une hyperbole.

(350) Si dans le théorème (347) on suppose que le cône soit de
révolution, et que la première section soit un cercle, son centre sera
sur l'axe du cône, et le théorème prendra cet énoncé :

Quand un cône de révolution passe par une conique, la somme
des valeurs inverses des arêtes comprises dans un plan quelconque
mené par l'axe du cône est constante.

:l

§ XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré de révo-
lution , et des cônes du second degré.

(351) Nous avons démontré (324) que : Quand deux surfaces du

800 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

second degré de révolution ont un foyer commun , quelle que soit la
position respective de ces deux surfaces , elles sont homologiques , et
leur centre d'hom^ologie est leur foyer comm,un.

Appliquons aux deux surfaces le théorème (337), nous aurons
celui-ci :

Quand deux surfaces du second degré ont un foyer commun F,
si autour dun point fixe quelconque O on fait tourner une corde
de la première surface , et que a et h soient ses extrémités; quon
mène les rayons Fa, Fh, qui rencontrent la seconde surface aux
points a.', h', homologues des points a, b; que ap, bp, soient les per-
pendiculaires abaissées des points a, b, sur le plan polaire du point O,
pris par rapport à la première surface; et a'tt, h'j:, les perpendicu-
laires abaissées des points a', b', sur un autre plan fixe U, mené ar-
bitrairement dans l'espace , on aura

So Sa' Si S6'

— : — — ± — : — = const.
ap ar hp b'-x-

Le signe + ayant lieu quand le point fixe est pris dans l'intérieur
de la première surface , et le signe — quand il est pris au dehors.

(352) Ce théorème donne lieu à plusieurs conséquences.
D'abord on en conclut, comme nous l'avons fait voir (art. 313), un

théorème où n'entre point la considération du plan n, et qui est
exprimé par l'équation

Sa Si

— : Sa ± — ; So = const.
ap bp

(353) Maintenant, prenant pour le plan II, dans le théorème gé-
néral, le plan polaire du point fixe O par rapport à la première sur-
face, et supposant ce plan polaire à l'infini, le point O sera le centre
de cette surface ; les rapports

ap bp

~7' ' TT" '

a TT o 7r

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 801

seront égaux à l'unité , et l'équation deviendra

Sa ^Sb

± __ se: COnSt.

Sa' Si'

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces du second degré de révolution ont un foyer
commun , si par ce point on mèîie deux rayons vecteurs aux ex-
trémités d'un diamètre de la première surface, la somme ou la
différence de ces deux rayons divisés respectivement par les rayons
de la seconde surface qui ont la même direction qu'eux, est constante.

Ce sera la somme si la première surface est un ellipsoïde, et la
différence si elle est un hyperboloïde.

(354) Le rayon mené d'un foyer à un point quelconque d'une sur-
face de révolution est égal au rayon mené par le second foyer,
parallèlement au premier , mais en sens contraire ; d'après cette
remarque, on voit aisément que le théorème peut prendre cet énoncé :

Si l'on a deux surfaces du second degré de révolution placées
d'une manière quelconque dans l'espace, la somme ou la différence
des deux rayons vecteurs menés des deux foyers de la première à
un point quelconque de cette surface , divisés respectivement par
les rayons vecteurs de la seconde surface menés respectivement de
ses deux foyers, parallèlement à ces deux premiers, sera constante.

(355) Ce théorème est une généralisation assez remarquable de la
propriété connue des foyers d'une surface du second degré. Car si
l'on suppose que la seconde surface soit une sphère , on a précisément
cette propriété, c'est-à-dire que

La somme ou la différence des rayons vecteurs menés des deux
foyers dune surface du second degré de révolution à un point de
la surface est constante.

(356) Si Ton suppose, au contraire, que la première surface soit
une sphère, on aura ce théorème :

Si par les deux foyers dune surface du second degré de révo-
lution, on mène deux rayons vecteurs sous une même direction

802 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

quelconque , la somme de leurs valeurs inverses sera constante.

Ce qui revient à dire que :

Toute corde menée par un foyer dune surface du second decjré
de révolution, est divisée en ce point en deux parties dont la somme
des valeurs inverses est constante.

(357) Supposons, dans le théorème (352) que la seconde surface
soit une sphère, les lignes Sa', Sj6', seront des rayons de cette sphère;
on peut les faire passer dans le second membre de l'équation qui
devient :

Sa S6

— ± — = const.

ap bp

Ce qui prouve que :

Si d'un foyer d'une surface du second degré de révolution on
mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'une corde de la sur-
face, qui tourne autour d'un point fixe, la somme ou la différence
de ces deux rayons divisés respectivement par les perpendiculaires
abaissées de leurs extrémités sur le plan polaire du poitit fixe,
pris par rapport à la surface, sera constante.

Ce sera la somme si le point fixe est pris au dedans de la surface
et la différence s'il est pris au dehors.

(358) Si dans le théorème (35 1 ) le point fixe est le foyer commun
aux deux surfaces, on aura

il restera donc

Sa SZ>

— = — = const. ,

ap bp

± = const. ,

Sa' S6'

ce qm prouve que :

Si par un foyer d'une surface du second degré de révolution on

tire une transversale quelconque , qui rencontrera la surface en

deux points , la somme des distances de ces points à un plan trans-

.versal quelconque , divisées respectivement par leurs distances au

foyer sera constante.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 803

(359) Si l'on prend pour le plan transversal le plan directeur cor-
respondant au second foyer de la surface, on en conclut que :

r: Si cTun foyer d'une .surface du xecond degré on mène deux rayons
aux extrémités dune corde passant par le second foyer, la somme
de ces deux rayons divisés respectivement par les distances de leurs
extrémités au second foyer sera constante.

Dans ce théorème, comme dans le précédent, c'est la somme que
nous prenons et non la différence, parce que, dans les deux cas,
le point autour duquel tourne la corde de la surface est dans son
intérieur. »

(360) Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe,
il est facile de démontrer que les tangentes trigonométriques des
demi-angles que les rayons de la sphère menés aux extrémités de la
corde font avec le rayon mené au point fixe, ont leur produit con-
stant '. Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface
du second degré de révolution ; ces deux surfaces seront homologiques,
et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspon-
dront, dans la surface de révolution, aux extrémités de la corde de
la sphère seront sur les prolongemens des rayons menés à ces extré-
mités; on conclut donc, de la propriété de la sphère, cette propriété
des surfaces de révolution : *

Si dun foyer dune surface du second degré de révolution , on
mène deux rayons aux extrémités dune corde qui tourne autour
dun point fixe , le produit des tangentes trigonométriques des demi-
angles que ces deux rayons feront avec la droite qui joint le foyer au
point fixe, sera constant, quelle que soit la corde menée par ce
point.

(361) Si le point fixe est pris au dehors de la surface, et que la

' Ce produit est égal à ^^ , R étant le rayon de la sphère , et D la distance du point fixe h
son centre.

Ce théorème, considéré dans le cercle, est dû à Lagrange, qui s'en est servi pour résoudre
le problème d'inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points
donnés. (Voir Mémoires de l'.^cadémie de Berlin, ann. 1776, page 286.)

804 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

corde soit menée tangentiellement à la surface, son point de contact
sera sur une courbe plane; et, d'après le théorème, le rayon vecteur
mené à chaque point de cette courbe fera un angle constant avec la
droite menée du foyer au point fixe ; d'où l'on conclut ce théorème :
Le cône qui a pour sommet un foyer (Tune surface de révolution
et pour base une section plane de la surface , est de révolution et
a pour axe la droite menée du foyer au sommet du cône circonscrit
à la surface suivant sa section plane.

(362) Si la corde, en tournant autour d'un point fixe, reste toujours
dans un même plan, ses extrémités seront sur la section faite par ce
plan dans la surface, et le cône qui aura cette section pour base et
le foyer de la surface pour sommet, sera de révolution; d'où l'on
conclut que :

Si autour d'une droite fixe, menée par le sommet d'un cône de
révolution, on fait tourner un plan transversal , il coupera le cône
suivant deux arêtes qui seront telles que le produit des tangentes
trigonométriques des demi-angles qu'elles feront avec la droite fixe,
sera constant.

(363) Par la considération du cône supplémentaire , formé par les
perpendiculaires aux plans tangens du premier, on conclut de ce
théorème le suivant :

Étant donné un cône de révolution et un plan fixe mené par son
sommet, si par un droite prise dans ce plan et passant par le som-
met du cône, on mène deux plans tangens à cette surface, le pro-
duit des tangentes trigonométriques des demi-inclinaisons de ces
plans tangens sur le plan fixe sera constant.

(364) Ce théorème et le précédent donnent lieu à deux proposi-
tions de la géométrie de la sphère, dont voici l'énoncé :

1° Un petit cercle étant tracé sur une sphère, si autour d'un
point fixe on fait tourner un arc de grand cercle qui rencontre le
petit cercle en deux points , le produit des tangentes trigonométri-
ques des demi-arcs compris entre ces deux points et le point fixe ,
sera constant.

IRE DE GEOMETRIE. 005

2° Un petit cercle étant tracé sur une sphère, si par un point
pris arbitrairement sur un arc de grand cercle fixe , on mène deux
arcs de grands cercles tangens au petit cercle , le produit des tan-
gentes irigonométriques des demi-angles qu'ils feront avec l'arc de
grand cercle fixe, sera constant.

(365) La première de ces deux propositions peut être considérée
comme répondant au théorème de géométrie plane qui exprime la
propriété des segmens des cordes qui se coupent dans le cercle.

La seconde correspond aussi à un théorème de géométrie plane qui
consiste en ce que :

«Si de chaque point d'une ligne droite tracée dans le plan d'un
cercle on mène deux tangentes au cercle, le produit des tangentes
trigonométriques des demi-angles quelles feront avec la ligne droite
fixe , sera constant.

(366) Les deux propositions précédentes peuvent être considérées
comme exprimant, la première une propriété de quatre points pris
arbitrairement sur la circonférence d'un petit cercle de la sphère ;
et la seconde une propriété de quatre arcs de grands cercles tangens
à un petit cercle. Sous ce point de vue , ces deux propositions seront
très-utiles dans la géométrie de la sphère. Nous en ferons diverses
applications dans un autre moment.

On peut encore dire que la première exprime une propriété du
quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle; et la seconde une
propriété du quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle.

§ XXIL Méthode pour les relations angulaires. — Transformation
de la sphère en un sphéroïde aplati.

(367) Considérons deux figures homographiques à trois dimensions ;

qu'elles soient coupées respectivement par deux plans homologues

quelconques P, P'; les sections seront deux parties homologues des

deux figures ,,de sorte qu'elles seront elles-mêmes deux figures planes

To«. XI. 102

806 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

homographiques. On pourra placer les deux corps de manière que ces
deux figures planes soient la perspective l'une de l'autre ; c'est-à-dire
de manière que les droites joignant les points a de la première aux
points homologues a' de la seconde , concourent en un même point 0
de l'espace. (Cela sera démontré dans le $ XXVI.)

Considérons ce point 0 comme appartenant à la première figure ;
il lui correspondra un point O', dans la seconde figure ; et aux droites
Oa correspondront les droites O'a'. De sorte que les deux figures se-
ront placées de manière que toutes les droites issues du point O dans
la première, rencontreront toutes leurs homologues, respectivement,
en des points situés sur un m,ême plan P' .

Et, plus généralement.

Deux droites homologues quelconques rencontrent respectivement
les deux plans P , P' , en deux points a, a' qui sont en ligne droite
avec le point O.

(368) Maintenant, prenons pour le plan P', qui est arbitraire, celui
dont le correspondant, dans la première figure , est à l'infini ; les points
a seront à l'infini; on peut donc dire que : '

Les deux figures seront placées de manière que, si Von prend
deux droites homologues quelconques , une parallèle à la pre-
Tïiière , menée par le point 0 , rencontrera la seconde sur le plan
fixe P' . '

(369) Réciproquement, une figure étant donnée, nous pouvons en
construire une seconde, qui ait une telle forme et une telle position,
par rapport à la première , que cette relation ait lieu.

En effet, une figure étant donnée, prenons cinq points arbitraires,
dans l'espace, a', b' , c' , d' et 0' pour former la figure homographique;
et convenons que ces points correspondront à cinq points de la pre-
mière figure, que nous allons déterminer.

Que le point O' corresponde à un point 0 pris arbitrairement dans
la figure proposée. Que les points a' ,b' , c' , correspondent respecti-
vement aux points de cette figure situés à l'infini sur les droites Oa' ,
Oh' , Oc' ; et que le point d' corresponde à un point de la première

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 807

figure pris sur la droite menée du point 0 au point c^ où la droite O'd'
rencontre le pian a'b'c'.

Nous pourrons, avec ces données, construire la figure homogra-
phique de la proposée.

Dans cette figure, il est clair que le plan a'b'c' correspond à l'infini
de la proposée.

Le point ^ correspond au point situé à l'infini sur la droite Oc^.

Ainsi les quatre points a', b' , c' , â', situés dans un même plan,
correspondent à quatre points situés sur les droites Oa' Ob', Oc', Oi'.
Ce qui prouve que la figure située dans le plan a'b'c' est en perspec-
tive avec son homologue dans la première figure. Par conséquent tout
autre point s' du plan a'b'c' a son homologue à l'infini sur la droite Oî'.

Il s'ensuit que

Toute droite, dans la seconde figure , aura son homologue, dans la
première , parallèle à la droite menée du point O au point où cette
droite de la seconde figure rencontre le plan a'b'c'.

Et si l'on regarde le point O comme faisant partie de la seconde
figure, et qu'on le fasse entrer dans les propriétés de cette seconde
figure, on voit qu'awa? angles que différentes droites de la première
figure font entre elles, correspondront des angles égaux, faits par
les droites menées du point 0 aux points où les droites homologues ,
dans la seconde figure, rencontrent le plan a'b'c'.

Diverses applications de cette méthode particulière vont en faire
connaître parfaitement l'usage.

(370) Supposons que la figure proposée soit une sphère ayant son
centre au point O; la seconde figure sera une surface du second degré.
Prenons le point O', qui est arbitraire, sur la perpendiculaire abaissée
du point O sur le plan P'. Cette surface sera alors de révolution au-
tour de la droite 00' , parce que tout sera symétrique de part et d'autre
d'un plan mené par cette droite. Ce moyen de déformation donnera
donc des propriétés des surfaces du second degré de révolution , cor-
respondantes à des propriétés de la sphère.

Après avoir disposé du point O' et du plan P', nous pouvons encore

808 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

prendre arbitrairement un point d' pour correspondre à un point d
de la sphère, en observant cette seule condition que les droites Od,
O'd' se rencontrent sur le plan P'. Ainsi , pour un point O' et un plan
P' déterminés, on pourra former une infinité de surfaces de révolution
horaographiques à la sphère j et les propriétés de la sphère produiront
des propriétés de ces surfaces.

Nous pouvons faire en sorte que l'une de ces surfaces ait son centre
au point 0 qui est le centre de la sphère.

En effet, prenons le point d de la sphère sur la droit 00'; le point
correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite 00'; et ce
point d' peut être pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en
quel lieu il doit être placé pour que la surface ait son centre au point O.

Remarquons que le point 0' correspond au point O de la première
figure , et le plan P' correspond au plan à l'infini de cette première
figure. Ce plan à l'infini est le plan polaire du point O par rapport à
la sphère ; le plan P' est donc le plan polaire du point 0' par rapport
à la surface de révolution. Donc, si le point O est le centre de cette
surface, on aura Od'' = 00'. Oâ'.

Il faut donc prendre le point d' de manière que l'on ait cette égalité;
et alors la surface aura son centre au point O.

-Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un
point donné m de la sphère, on mènera par le point m les deux droites
mO, md , dont les correspondantes passeront par les points 0' et d'
respectivement. La première passera par le point où la droite Om
perce le plan P', et la seconde passera par le point où une parallèle
à la droite md, menée par le point O, perce ce plan P'. Ainsi le point
m' sera déterminé.

Si la droite Om est parallèle au plan P', la droite O'm' sera paral-
lèle à Om. On trouve aisément, par une comparaison de triangles
semblables, que O'm' = Od'. De sorte que^ une corde de la surface,
menée par le point 0', perpendiculairement à l'axe de révolution, est
égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre
est le plus petit de la surface ; car s'il était le plus grand, on ne pour-

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 809

rait pas inscrire dans la surface une corde qui lui fût égale. Ainsi la
surface est un ellipsoïde aplati. Et le point O' jouit de cette propriété
qu'il est pris sur l'axe de révolution de manière qu'une corde menée
par ce point, perpendiculairement à cet axe, est égale au diamètre
de l'ellipsoïde dirigé suivant cet axe.

Le plan P' est le plan polaire du point O' par rapport à l'ellipsoïde.
Si on veut le déterminer directement sans chercher d'abord le point
O', on trouve cette expression remarquable de sa distance au centre
de l'ellipsoïde, savoir que :

La valeur inverse du carré de la distance de ce plan au centre de
V ellipsoïde , est égale à la différence des valeurs inverses des carrés
des deux demi-axes principaux de l'ellipse génératrice de V ellipsoïde.

(371) Dans ce qui va suivre nous désignerons toujours le plan en
question par P' , et son pôle par O'. Il est bien entendu que ce plan
et ce point ne sont pas arbitraires, et qu'ils sont, au contraire, abso-
lument déterminés. Seulement si on les prend à droite de l'équateur
de la surface, il existera pareillement, à gauche, un pareil plan et
un pareil point. Nous regrettons de n'avoir pas à donner à ce plan et
à ce point des dénominations particulières. Ces dénominations pour-
raient tirer leur origine de celles de foyer et plan directeur^ car le
plan et le point en question ont une relation directe avec le foyer et
le plan directeur d'un ellipsoïde de révolution allongé. C'est que si
l'on fait la transformation polaire de cet ellipsoïde, par rapport à une
sphère concentrique, on obtient un elHpsoïde aplati, dans lequel le
plan et le point en question correspondent respectivement au foyer
et au plan directeur de l'ellipsoïde proposé.

(372) Concevons une sphère ayant son centre au point O, et l'el-
lipsoïde de révolution, aplati, formé homographiquement comme nous
l'avons dit ; prenons le plan P' et le point O' de cet ellipsoïde ; ce plan
correspondra à l'infini de la première figure j et ce point correspondra
au point O, centre de la sphère.

Nous allons passer en revue dilTérentes propriétés de la sphère qui
s'appliqueront à l'ellipsoïde.

810 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

Tout cône qui a pour base une section plane de la sphère et pour
sommet le centre de cette surface, est de révolution.

A ce cône correspondra, dans l'ellipsoïde, un second cône ayant
pour base une section plane de cette surface, et pour sommet le point
O' j et ce second cône rencontrera le premier sur le plan P' ; d'où l'on
conclut que :

Tout cône qui a pour sommet le point 0' et pour base une section
plane de l'ellipsoïde , rencontre le plan P' suivant une conique qui^
vue du centre de la surface ^ parait être un cercle.

(373) Un cône circonscrit à la sphère est de révolution. A ce cône
correspond un cône circonscrit à l'ellipsoïde, qui rencontre le plan
P' suivant une conique qui correspond à l'infini du premier cône. Si
donc par cette conique on fait passer un cône qui ait son sommet au
centre de l'ellipsoïde, il sera parallèle au cône circonscrit à la sphèrej
donc

Tout cône circonscrit à V ellipsoïde rencontre le plan P' suivant
une conique qui, vue du centre , parait être un cercle.

(374) Un plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon
qui aboutit au point de contact; donc

Un plan tangent à V ellipsoïde et la corde menés du point 0' au
point de contact, rencontrent le plan P' suivant une droite et en un
point qui sont tels, que la droite menée du centre à ce point est per-
pendiculaire au plan mené par le centre et par cette droite.

(375) Deux plans tangens à la sphère font des angles égaux avec
la corde qui joint les points de contact; donc

Etant menés deux plans tangens à V ellipsoïde et la corde qui joint
les points de contact, si par les droites suivant lesquelles ces deux
plans rencontrent le plan P' , on mène deux plans passant par le
centre de la surface, ils seront également inclinés sur la droite me-
née du centre au point oie la corde qui joint les points de contact
rencontre le plan P'.

(376) Dans la sphère, deux droites polaires réciproques sont à angle
droit, donc ,.™i™„.

MÉMOIRE DE GEOMETRIE. 811

Deux droites polaires réciproques par rapport à t ellipsoïde ,
rencontrent le plan P' en deux points qui sont tels que les droites
menées de ces points au centre de l'ellipsoïde sont à angle droit.

(377) Trois diamètres conjugués de la sphère sont rectangulaires ;
donc

Trois axes conjugués de V ellipsoïde , relatifs au point 0' , rencon-
trent le plan P' en trois points tels que les droites menées du centre
de l'ellipsoïde à ces trois points sont rectangulaires.

(378) Beaucoup d'autres propriétés de la sphère s'appliqueraient
avec la même facilité à l'ellipsoïde aplati. Il est inutile de nous étendre
davantage sur cet objet.

Gomme nous l'avons dit ci -dessus, la théorie des polaires récipro-
ques, ou plus généralement, le principe de Dualité, établit une rela-
tion très-simple entre les ellipsoïdes de révolution allongé et aplati,
et peuvent servir à passer des propriétés de l'un aux propriétés de
l'autre ; de sorle que nous aurions pu déduire les théorèmes précé-
dons des propriétés connues de l'ellipsoïde allongé. Mais ce n'était pas
là notre but. Nous avons voulu donner une méthode qui servît à tirer
directement, des propriétés de la sphère, les propriétés de l'ellipsoïde
aplati, de même que par la théorie des figures homologiques on peut
démontrer celles de l'ellipsoïde allongé. {Voir §§ XIX et XXI.)

§ XXIII. Méthode propre pour toutes sortes de relations , de lon-
gueurs, d'aires et de volumes.

(379) Dans la transformation homographique d'une figure , le plan
situé à l'infini peut être pris pour son homologue dans la nouvelle
figure.

Dans ce cas, les formules générales qui nous ont servi à la con-
struction des figures homographiques [S XV, équations (a) ] se sont
simplifiées et sont devenues

(1) arf = A. «'«/', ed = /u. f'rf', yd = V. y'd'. (Éq. («0, art. i83.)

812 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Ces formules expriment que :

Étant pris trois axes coordonnés quelconques Ox, Oy, Oz, dans la
première figure ; et dans la seconde trois axes coordonnés O'x' , O'y',
O'z', qui soient précisément les droites correspondantes aux pre-
miers axes; si\,y, z, désignent les coordonnées d'un point quelcon-
que m de la première figure, rapportées aux trois premiers axes ,
et x' , y' , z' , les coordonnées du point correspondant de la deuxième
figure, rapportées aux trois autres axes, on aura

(2) X = Xx' , y = fiy', z = vz' ,

1, fj. et V étant trois constantes.

Réciproquement, quand, entre les points de deux figures rappor-
tées à deux systèmes d'axes coordonnés quelconques, on a ces rela-
tions, ces deux figures sont homographiques , et ont cela de particulier,
que le plan situé à l'infini, considéré comme appartenant à l'une d'elles,
est lui-même son homologue dans l'autre.

(380) Des formules (2) nous déduirions aisément toutes les proprié-
tés des deux figures, et notamment celles sur lesquelles vont reposer
les applications que nous allons faire de ce mode de transformation;
mais nous préférons, pour ne point nous écarter de la voie purement
géométrique que nous avons suivie jusqu'ici, déduire ces propriétés,
particulières aux deux figures, de la théorie générale des figures ho-
mographiques.

(381) Soient donc deux figures homographiques, telles que le plan
situé à l'infini dans la première soit lui-même son homologue dans
la seconde. Les propriétés caractéristiques des deux figures seront,
sous le rapport des relations descriptives , que à deux droites paral-
lèles dans l'une , correspondrotit deux droites parallèles dans l'autre;
et conséquemment, à deux plans parallèles dans l'une, correspon-
dront deux plans parallèles dans l'autre; cela est évident;

Et sous le rapport des relations métriques, que deux droites ho-
mologues sont divisées en parties proportionnelles par des points
homologues ^ c'est-à-dire que a, b, c, d, .... étant des points de la

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 813

première figure situés en ligne droite, et o', b', c', d'y .... les points
correspondons dans la seconde figure, les segmens ab , cd, .... sont
proportionnels aux segmens a'b', b'c' , .... En effet on a

ba da Va' d'à'

bc ' de b'c' ' d'&

Supposons le point d à l'infini, le point d' sera aussi à l'infini et
l'équation deviendra

ba b'a'
bo b'c'

Ainsi les segmens ab,bc, sont proportionnels aux segmens a'b', b'c'.

(382) Il suit de là que quand une droite de la première figure est
divisée en parties égales, la droite homologue dans la seconde figure
est aussi divisée en parties égales par les points correspondans aux
points de division de la première droite.

(383) Les deux sortes de relations descriptives et métriques que
nous venons de reconnaître à nos figures homographiques donnent
lieu à trois propriétés principales de ces figures , sur lesquelles repo-
sent les applications auxquelles ce mode de déformation sera propre.

Ces trois propriétés sont les suivantes :

l'^ Le rapport de deux segmens pris sur deux droites parallèles
quelconques dans la première figure , est égal au rapport des deux
segmens correspondans dans la seconde figure.

2° Le rapport des aires de deux polygones plans quelconques
situés dans deux plans parallèles , appartenant à la première fi-
gure, est égal au rapport des aires des deux polygones correspon-
dans dans la seconde figure.

3** Les volumes de deux parties correspondantes des deux figures
seront entre eux dans un rapport constant.

(384) Nous allons démontrer successivement ces trois propositions.
Soient ab, cd, deux lignes parallèles, dans la première figure, et

a'b', c'd', les deux lignes correspondantes de la seconde figure; il faut
To«. XI. 103

814 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

,>,

prouver qu on a

ab a'b'
â ~ Vd/'

Les deux lignes acj bdse coupent en un point e, et l'on a

ab ea
cd ec

Pareillement les deux lignes a'c', b'd' se coupent en un point e' ,
et l'on a, parce que les deux lignes a'b' , c'd' sont parallèles,

a'b' _ eV
c^ ~ 7c''

Or on a

ea e'a'

-= —(381.);

ec ec

donc les premiers membres des deux équations sont égaux; c'est-à-
dire que

ah a'b' „ „ „ „
_ = C. Q. F. P.

cd cd'

(385) Soient deux aires planes T, U, situées dans deux plans pa-
rallèles, et appartenant à la première figure, et soient T', U', les aires
correspondantes dans la seconde figure ; elles seront aussi dans deux
plans parallèles entre eux.

Quelle que soit la forme des deux polygones T , U , on peut les dé-
composer chacun en un certain nombre de petits parallélogrammes
tous égaux entre eux, et ayant leurs côtés parallèles à deux axes fixes.
T contiendra m de ces parallélogrammes , et U en contiendra n. Le
rapport des aires des deux polygones sera — • Tous ces petits parallé-
logrammes auront pour correspondans dans la seconde figure d'autres
parallélogrammes , et ceux-ci seront aussi égaux entre eux (382) ; de
sorte que les deux polygones T', U', seront divisés en autant de paral-
lélogrammes, respectivement, que les deux T, U; par conséquent le
rapport de leurs aires sera aussi — • Il sera donc égal au rapport des
aires des deux premiers polygones.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 815

(386) Il nous reste à démontrer la troisième proposition , savoir :
que deux parties correspondantes des deux figures homographiques
ont leurs volumes dans un rapport constant.

Soient V, V, les volumes de deux polyèdres correspondans; il faut

V

démontrer que le rapport y, est constant, quels que soient les deux
polyèdres, c'est-à-dire que v et v' étant les volumes de deux autres
polyèdres correspondans, on aura

» _ V
7 ~ V'*

En effet, que l'on divise chacun des deux corps V, », en un certain
nombre de petits rhomboïdes égaux entre eux, en menant trois séries
de plans parallèles, dont les plans de chaque série soient également
éloignés entre eux; supposons que les deux corps contiennent, le
premier m rhomboïdes , et le second n ; le rapport de leurs volumes

m

sera — •

Les deux corps correspondans V, v' , dans la seconde figure, seront
divisés aussi en m et n rhomboïdes, qui seront différons des premiers,
mais qui seront aussi égaux entre eux. De sorte que le rapport des vo-
lumes de ces deux corps sera —- Il est donc égal au rapport des
volumes des deux premiers corps. C. Q. F. P.

(387) Les trois propositions que nous venons de démontrer ser-
viront pour faire la transformation des relations de distances, d'aires
et de volumes d'une figure.

La transformation des relations de volumes se fera immédiatement,
puisque les volumes des différentes parties de la nouvelle figure sont
proportionnels aux volumes des parties correspondantes de la figure
proposée.

(388) Pour opérer la transformation des relations de distances et des
relations de surfaces, concevons qu'une sphère fasse partie de la figure
proposée. Il lui correspondra, dans la nouvelle figure, un ellipsoïde.

Soit une ligne quelconque AB de la figure proposée, et R le rayon

816 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

de la sphère qui lui est parallèle; on aura dans la nouvelle figure une
ligne A'B' et un demi-diamètre D' de l'ellipsoïde, qui sera parallèle
au rayon R, et l'on aura

^ - 52 («). D'où AB = Ç. K.

Donc :

Pour faire la transformation d'une relation entre certaines lignes
et une figure proposée, il suffira de remplacer, dans cette relation,
ces lignes par les lignes correspondantes de la figure homographi-
que , divisées respectivement par les demi-diamètres d'un ellipsoïde
quelconque f qui leur seront parallèles , et multipliées par une con-
stante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante
égale à l'unité.

(389) Pour les relations d'aires, concevons toujours une sphère
faisant partie de la figure proposée; soit S une aire plane, et 2 la
surface du carré construit sur deux rayons rectangulaires de la sphère,
compris dans son plan diamétral parallèle au plan de l'aire S. On aura
dans la seconde figure une aire plane S' et la surface 2' du parallélo-
gramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de l'ellipsoïde
correspondant à la sphère, ces demi-diamètres étant compris dans le
plan diamétral parallèle au plan de l'aire S', et l'on aura

D'où

S'

s = ~. s.

2 est une constante, quelle que soit la direction du plan de l'aire S;
on conclut donc de là que :

Pour faire la transformation d'une relation entre des aires planes
d'une figm'e, il suffit de substituer, dans cette relatiofi, à ces aires,
les aires correspondantes de la figure homographique , divisées res-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 817

pectivement par les surfaces des parallélogrammes construits sur
deux demi- diamètres conjugués dun certain ellipsoïde, compris
dans des plans parallèles à ceux de ces aires, et multipliées par une
constante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante
égale à l'unité.

(390) Enfin nous pouvons énoncer de suite cette troisième règle :
Pour faire la transformation dune relation entre les volumes de,

différentes parties d'une figure, il suffit de substituer à ces volumes
dans cette relation, les volumes des parties correspondantes de la se-
conde figure, multipliés respectivement par une constante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante
égale à l'unité.

(391) On voit que ces principes de transformation introduiront,
généralement, dans la nouvelle figure, la considération d'un ellipsoïde.

Gela donne lieu aux observations suivantes, dont l'application se
présentera dans beaucoup de questions :

1" Cet ellipsoïde auxiliaire est indéterminé de position; et géné-
ralement il est indéterminé de forme ;

2° S'il se trouvait une sphère dans la première figure, il faudrait
prendre dans la seconde figure, pour l'ellipsoïde auxiliaire, l'ellipsoïde
même correspondant à la sphère, ou du moins un ellipsoïde homothé-
tique (semblable et semblablement placé) ; parce que deux corps ho-
mothétiques dans la première figure, donnent lieu dans la nouvelle
figure à deux corps qui sont sussi homothétiques entre eux;

3° Dans les théorèmes qui, par leur nature, seront susceptibles de
l'application du principe des relations contingentes, on pourra substi-
tuer à l'ellipsoïde auxiliaire une autre surface du second degré.

(392) Nous allons faire diverses applications de ce mode de dé-
formation homographique.

Prenons d'abord une sphère ; le principe de déformation donnera
un ellipsoïde à trois axes inégaux; et les propriétés de la sphère se
convertiront immédiatement en propriétés de l'ellipsoïde. Il est évi-

818 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

dent qu'au centre de la sphère correspondra le centre de l'ellipsoïde;
et qu'à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondront trois
diamètres conjugués de l'ellipsoïde.

(393) Le cube construit sur trois rayons rectangulaires quelcon-
ques a toujours le même volume; donc

Le rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un
ellipsoïde a toujours le même volume, quel que soit le système de ces
trois diamètres.

Soient a,b, c les trois demi-diamètres principaux de l'ellipsoïde, le
volume du rhomboïde construit sur trois autres demi - diamètres con-
jugués sera toujours égal à ahc.

(394) Le volume de la sphère est égal au cube construit sur le
rayon, multiplié par | n. Donc

Le volume de V ellipsoïde est égal au volume du rhomboïde con-
struit sur trois demi-diamètres conjugués , multiplié par \ tt, c'est-
à-dire à "l TT abc.

(395) Quand deux sphères sont concentriques, les plans tangens à
la plus petite retranchent de la plus grande des segmens égaux ; donc :

Quand deux ellipsoïdes sont concentriques et homothétiques , les
plans tangens au plus petit retranchent du plus grand des segmens
égaux.

Les secteurs correspondant à ces segmens sont aussi égaux.

Les cônes circonscrits à l'ellipsoïde suivant les bases des segmens
ont aussi des volumes égaux.

(396) Prenons ce beau théorème d'Archimède : Le volume d'un
segment de sphère est au cône qui a même base et même hauteur ,
comme le rayon de la sphère, plus la hauteur de l'autre segment, est
à la hauteur de cet autre segment. {De la .sphère et du cylindre; livre
II, proposition 3.)

On en conclut immédiatement cet autre théorème, démontré aussi
par Archimède, pour l'ellipsoïde de révolution seulement. {Des sphé-
roïdes et des conoïdes, proposition 32.)

Le volume d'un segment d'ellipsoïde quelconque est au cône qui

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 819

a mémo base et même sommet, comme la moitié du diamètre qui
aboutit à ce sommet, plus la partie de ce diamètre non comprise
dans le segment, est à cette même partie.

Nous appelons sommet du segment l'extrémité du demi-diamètre
qui passe par le centre de la base du segment.

(397) La surface de la sphère est égale à quatre fois celle d'un
grand cercle; donc

Si l'on considère un ellipsoïde comme un polyèdre d'une infinité
de faces infiniment petites , l'intégrale double qui donnera la somme
de toutes ces faces divisées respectivement par les aires des sections
faites dans l'ellipsoïde par des plans diamétraux parallèles à ces
faces, sera égale à quatre.

(398) Soit une sphère et deux plans fixes menés par son centre ;
si autour de ce point on fait tourner un troisième plan , de manière
que la somme des angles dièdres qu'il fera a\ec les deux plans fixes,
soit constante, ce plan enveloppera un cône du second degré; et le
produit des sinus des angles que chaque arête de ce cône fera avec
les deux plans fixes sera constant '.

L'aire du triangle sphérique déterminé sur la sphère par les deux
plans fixes et par le plan mobile sera constante, puisque la somme
des trois angles de ce triangle sera toujours la même; conséquem-
ment le volume de la pyramide sphérique comprise sous ces trois plans
sera aussi constant. Le cône percera la sphère suivant une conique
sphérique. Le produit des distances de chaque point de cette courbe
aux deux plans fixes sera constant; ce qui prouve que cette courbe est
sur un cylindre hyperbolique dont les deux plans fixes sont les plans
asymptotes. On conclut de là que :

Étant donné un ellipsoïde, et deux plans fixes menés par son
centre , si autour de ce point on fait tourner un troisième plan, de
manière que la portion de l'ellipsoïde comprise dans l'angle trièdre

' J'ai (Icmontrc ces deux propositions dans mon Mémoire êur les propriétés générales des cônes
du second degré, art. 24 et 26.

820 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

formé par ces trois plans ait son volume constant, le plan mobile
enveloppera un cône du second degré ; et la courbe d'intersection
de la surface de l'ellipsoïde par ce cône , sera située sur un cylindre
hyperbolique dont les plans asymptotes seront les deux plans fixes.

(399) Si par un point fixe S on mène une transversale qui ren-
contre un sphère en deux point a, a' , on aura

Sa. Sa' = const. ;

Donc

Si par un point fixe S on mène une transversale qui rencontre
un ellipsoïde en deux points a, a', on aura

Sa, Sa'

= const.

D étant le demi -diamètre de l'ellipsoïde parallèle à la trans-
versale.

(400) Si par un point fixe on mène des droites aux extrémités a , b
d'un diamètre quelconque de la sphère, on aura

Sa -»- S4 = const.

Donc

Si d'un point fixe on mène des droites aux extrémités d'un dia-
mètre quelconque d'un ellipsoïde, la somme de leurs carrés divisés
respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces
droites, est constante.

Ainsi l'on a

So S6

— H = const.

Or on a, par le théorème précédent.

Sa. Sa' Si. Sb'
= const. = X , — — — = A.

On conclut de là

Sa Sb

— -4- — = const.

Sa' Si'

OIRE DE GEOMETRIE. 021

C'est le théorème de l'art. 343 (§ XX).

(401) La somme des carrés des droites menées des extrémités d'un
diamètre à un point quelconque de la sphère est constante et égale
au carré de ce diamètre; donc

La somme des carrés des droites menées des extrémités dun
diamètre de l ellipsoïde à un point quelconque de cette sui'face , di-
visés respectivement par les carrés des diamètres parallèles à ces
droites , est constante et égale à l'unité.

Ainsi soient A, B, les extrémités d'un diamètre de l'ellipsoïde, et m
un autre point quelconque de cette surface, et soient D, D', les dia-
mètres parallèles aux deux droites ?nA, mB, on aura

mk. mB

(402) Si, sur un diamètre d'une sphère et sur son prolongement,
on prend deux points conjugués harmoniques par rapport aux extré-
mités du diamètre, le rapport des distances de ces deux points à un
point quelconque de la sphère sera constant ; donc

Si sur un diamètre dun ellipsoïde on prend deux points conju-
gués harmoniques par rapport aux extrémités de ce dia7nètre , les
distances de chaque point de V ellipsoïde à ces deux points , divisées
respectivement par les demi- diamètres parallèles aux droites sur
lesquelles se mesurent ces distances, ont un rapport constant.

(403) Si l'on a un système de points dans l'espace, et leur centre
des moyennes distances, et que de ce point, comme centre, on décrive
une sphère, la somme des carrés des distances d'un point quelconque
de cette sphère à tous les points du système sera constante ; donc

Si Ion a un système de points dans l espace , et un ellipsoïde qui
ait son centre de figure au centre des moyennes distances de toits
ces points, la somme des carrés des droites menées dun point quel-
conque de l'ellipsoïde à tous les points, divisés respectivement par
les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera constante.

(404) Soit un cercle, et deux axes coordonnés rectangulaires rae-
Toï. XI. 104

82i MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

nés par son centre. Qu'on mène deux rayons quelconques rectangu-
laires; soient a;' j y' , les coordonnées de l'extrémité du premier, et a;",
y", les coordonnées de l'extrémité du second; on aura évidemment,

x" = ± y' et y" == ip x'.

Faisons la déformation homographique ; nous aurons une ellipse,
deux axes coordonnés Oa?^ Oy, dirigés suivant deux diamètres conju-
gués, et deux autres diamètres conj ugués; et l'on en conclut ce théorème :

L'équation d'une ellipse rapportée à deux axes conjugués étant

a' b"

si l'on représente par x', y' et x", y", les coordonnées des extrémités
de deux demi-diamètres conjugués quelconques , on aura

,, a b
* = ± - y' et i/" = =f: - :r.

Ces relations entre les coordonnées des extrémités de deux demi-
diamètres conjugués sont très-simple, et peuvent servir à démontrer
rapidement les diverses propriétés connues de ces diamètres. Elles
pourraient être introduites avec avantage dans la théorie analytique
des sections coniqties, où on les démontrerait directement.

(405) Qu'on prenne le théorème de Cotes, et qu'on le transporte
à l'ellipse, en observant qu'à des secteurs égaux dans le cerle, cor-
respondront des secteurs égaux dans l'ellipse, on aura le théorème
suivant :

Si l'on mène dans l'ellipse 2n demi- diamètres , qui divisent sa

surface en 2n secteurs égaux, et qu'on appelle m„, m,, m,, les

points de division consécutifs ; que d'un point 0,pris à volonté sur
le demi-diamètre Cm^ , ou sur son prolongement, on mène des droites
à tous les points de division;

I ° Xe produit des droites menées à tous les points de division de
rang pair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
droites, sera égal à

n ' >

C»«o

2** Le produit de toutes les droites menées aux points de division
de rang impair, divisé par le pioduit des demi-diamètres parallèles
à ces droites , sera égal à

cô"

Cnto

Nous pourrions dire que les points de division m„, m,, .... sont pris
de manière que l'intégrale de l'élément de l'arc d'ellipse, divisé par le
demi-diamètre parallèle à la direction de cet élément, a la même va-
leur entre deux points de division consécutifs quelconques.

On pourrait généraliser de même le théorème de Moivre.

$ XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des di-
verses propriétés des diamètres conjugués dune surface du second
degré.

(406) Soient trois rayons rectangulaires r, r', 7-", d'une sphère, et
trois autres rayons rectangulaires p, p', p" ; le sinus de l'angle que le
rayon p" fait avec le plan des deux rayons r, r', est égal au sinus de
l'angle que le rayon r" fait avec le plan des deux rayons p, p' ; donc le
rhomboïde construit sur les trois rayons r, r' , p", a le même volume
que le rhomboïde construit sur les trois rayons r", p, p'. On conclut de
là que :

Quand on a deux systèmes de trois diamètres conjugués dune
surface du .second degré, le rhomboïde construit sur deux diamètres
du premier système et un diamètre du second, est égal au volume
du rhomboïde construit sur les trois autres diamètres.

Nous avons déjà démontré (393) que le rhomboïde construit sur
trois diamètres conjugués quelconques a toujours le même volume;
on peut donc dire que :

824 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Étant donnés deux systèmes quelconques de trois diamètres con-
jugués , le rhomboïde construit sur trois quelconques d'entre eux a
le même volume que le rhornhoïde construit sur les trois autres.

(407) La somme des carrés des cosinus des angles que les trois
rayons r, r' , r", font avec le rayon p est égale à l'unité; donc la somme
des carrés des projections orthogonales des trois rayons r, r' , r" , sur le
rayon p, est constante, quel que soit le système des trois rayons rec-
tangulaires r, r', r" ^ on en conclut que :

Si Von projette trois diamètres conjugués d'une surface du second
degré sur un axe fixe, par des plans parallèles au plan conjugué à
cet axe, la somme des carrés des projections sera constante, quel
que soit le système des trois diamètres conjugués.

(408) Si l'on mène une droite perpendiculaire aux plans projetans ,
la projection othogonale d'un diamètre, sur cette droite, sera égale
à sa projection sur le diamètre fixe, multipliée par le cosinus de l'angle
que ce diamètre fait avec la droite; on en conclut que :

La somme des carrés des projections orthogonales de trois dia-
mètres conjugués sur une droite fixe, est constante, quel que soit le
système des trois diamètres conjugués.

(409) Si l'on fait les projections sur trois droites rectangulaires,
et qu'on fasse la somme de leurs carrés, on aura pour résultat,
que :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante.

(410) Appliquant à ce théorème le principe du n° 388, on le gé-
néralise de cette manière :

Étant donnés deux ellipsoïdes quelconques , la somme des carrés
de trois diamètres conjugués du premier , divisés par les carrés des
diamètres du second, qui leur sont parallèles respectivement, est
constante.

(411) Et si la première surface est une sphère, on en conclut que :
La somme des valeurs inverses des carrés de trois diamètres rec-
tangulaires d'un ellipsoïde est constante.

(412) La somme des carrés des perpendiculaires abaissés des extré-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 82;'»

mités de trois rayons de la sphère, rectangulaires, sur un diamètre fixe,
est constante; donc

Si, des extrémités de trois demi-diamètres conjugués quelconques
d'un ellipsoïde, on abaisse sur un diamètre fixe des obliques paral-
lèles au plan conjugué à ce diamètre, la somme des carrés de ces
obliques , divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres
qui leur sont parallèles, sera constante.

(413) Soient les trois rayons rectangulaires r , r', r" ; la somme des
carrés des cosinus des angles que les trois plans qu'ils déterminent
deux à deux font avec un plan donné, est égale à l'unité; on en con-
clut que la somme des carrés des projections othogonales des paral-
lélogrammes construits sur ces rayons deux à deux , sur le plan donné,
est constante ; donc

Vn rhomboïde étant construit sur trois diamètres conjugués dtun
ellipsoïde , si Von projette ses faces sur un plan fixe, par des droites
parallèles au diamètre conjugué à ce plan, la somme des carrés des
projections sera constante, quel que soit le système des trois diamè-
tres conjugués.

(414) Si on mène un plan perpendiculaire aux droites projetantes,
on aura les projections othogonales des faces du rhomboïde sur ce
plan ; elles seront égales aux projections sur le premier plan, multi-
pliées par le cosinus de l'angle des deux plans ; d'où il suit que :

Les faces du rhomboïde cotistruit sur trois diamètres conjugués
quelconqïies d'un ellipsoïde étant projetées orthogonalement sur un
plan fixe, la somme des carrés de leurs projections est constante ,
quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

(415) Faisant les projections sur trois plans rectangulaires et ajou-
tant leurs carrés, on en conclut que :

La somme des carrés des faces du rhomboïde construit sur trois
diamètres conjugués est constante.

(416) Substituant, dans ce théorème, au parallélogramme con-
struit sur deux diamètres conjugués, l'aire de la section faite dans
l'ellipsoïde par le plan de ces deux diamètres , et appliquant au

826 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

théorème le principe de transformation du n" 389, on a le sui-
vant :

Étant donnés deux ellipsoïdes concentriques , la somme des carrés
des aires des sections faites dans le premier par trois plans conju-
gués, divisés respectivement par les carrés des aires des sections
faites par les mêmes plans dans le second ellipsoïde, est constante.

(417) Si la première surface est une sphère, il s'ensuit que :
Dans un ellipsoïde , la somme des valeurs inverses des carrés des

sections faites par trois plans rectangulaires, est constante.

Pour appliquer ce théorème et le précédent aux hyperboloïdes, on
substituera aux aires des sections diamétrales les aires des rhombes
construits sur deux diamètres conjugués compris dans les plans de
ces sections.

(418) On voit par les théorèmes précédens, que les pi'opriétés des
faces des rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués sont
analogues aux propriétés relatives aux longueurs de ces diamètres. Et
en effet, les unes se peuvent déduire des autres facilement, au moyen
du théorème suivant :

Si par le centre d'une surface du second degré on élève sur cha-
que plan diamétral une perpendiculaire proportionnelle à Vaire du
parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués compris
dans ce plan, l'extrémité de cette perpendiculaire sera sur une se-
conde surface du second degré.

Soient Oa, Oh, les deux demi-diamètres conjugués pris dans le
plan diamétral, et Oy la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle
est égale à l'aire du parallélogramme construit sur Oa et 0Z>. Concevons
le demi-diamètre Oc qui forme avec les deux premiers un système de
trois demi-diamètres conjugués, et menons le plan tangent à la sur-
face, au point c , et la perpendiculaire Op sur ce plan. Cette perpen-
diculaire sera en raison inverse de l'aire du parallélogramme construit
sur Oa et Ob , d'après le théorème (393). Donc Oy est en raison
inverse de Op. Donc le point y appartient à la surface polaire réci-
proque delà proposée, prise par rapport à une sphère auxiliaire con-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 827

centrique. Celte surface polaire est du second degré ; le théorème est
donc démontré.

(419) Reprenons une sphère, et soient r, r' , r", trois rayons rec-
tangulaires; menons un diamètre fixe p; le plan tangent à l'extrémité
du rayon r rencontre le diamètre /î en un point dont la distance au
centre de la sphère a sa valeur inverse égale au cosinus de l'angle
que le rayon r fait avec le diamètre p : donc les plans tangens aux
extrémités des trois rayons r, r", r", font sur le diamètre p trois seg-
mens dont les valeurs inverses ont la somme de leurs carrés con-
stante; donc

Les plans tangens à une surface du second degré aux extrémités
de trois demi-diamètres conjugués, rencontrent un diamètre fixe en
trois points dont les distances au centre de la surface ont la som^me
des carrés de leurs valeurs inverses constante.

(420) Soient les trois rayons rectangulaires r, r', r", et un plan
fixe P. Projetons sur ce plan, par des droites parallèles au rayon r",
le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r, r' ; la
projection sera égale à ce parallélogramme divisé par le cosinus de
l'angle que son plan fait avec le plan P; donc la valeur inverse de cette
projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme, multipliée
par le cosinus ; si on projette de même sur le plan P les deux autres
parallélogrammes construits, l'un sur ret r"^ et l'autre sur r', r", ou
aura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés
sera égale à une constante. On en conclut, dans les surfaces du se-
cond degré , une propriété que nous pouvons énoncer ainsi :

Les faces dît rho7nhoïde construit sur trois demi-diamètres con-
jugués d'une surface du second degré, rencontrent un plan fixe sui-
vant six droites qui sont parallèles deux à deux, et qui, prises quatre
à quatre, déterminent trois parallélogrammes; la somme des valeurs
inverses des carrés de ces trois parallélogrammes a une valeur con-
stante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
On peut exprimer ce théorème de cette manière :
Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués

828 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

quelconques d'une surface du second degré, si on projette chacune
de ses faces sur un plan fixe , par des droites parallèles au diamè-
tre conjugué au plan de la face projetée , la somme des valeurs
inverses des carrés des projections sera constante, quel que soit le
système des trois demi-diamètres conjugués.

(421) Si d'un point de l'espace on abaisse des perpendiculaires sur
trois plans rectangulaires quelconques, menés par un point fixe, la
somme des carrés de ces perpendiculaires sera constante, et égale au
carré de la distance des deux points; donc

Si d'un point m de l'espace on abaisse sur trois plans diamétraux
conjugués quelconques d'un ellipsoïde trois obliques parallèles res-
pectivement aux trois diamètres conjugués à ces plans , la somme
des carrés de ces obliques, divisés respectivement par les carrés des
demi-diamètres qui leur sont parallèles , sera constante, et égale
au carré de la droite menée du point m au centre de l'ellipsoïde,
divisé par le carré du demi-diamètre compris sur cette droite.

Ainsi soient a,b, c, trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde;
prenons leurs directions pour celles de trois axes coordonnés Ox , Oy,
Oz, et soient x, y , z les coordonnées d'un point m de l'espace;
soit Od le demi-diamètre de la surface compris sur la droit Om, on
aura l'équation

x" y' z^ Om

a' b' c' ~ ôJ''

quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués a, b, c.
Cette équation fait voir que la quantité

a;' v" v'

— -t- ^ + —
a' b^ c'

est plus grande ou plus petite que l'unité, suivant que le point m est
pris au dehors ou au dedans de l'ellipsoïde; et qu'elle est précisé-
ment égale à l'unité, quand le point m est pris sur la surface; c'est-

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 829

à-dire que l'équation

s* «« »'

— ^ f- ^. __ 1

a' 6' c'

appartient à tous les points de la surface.

(422) Soient deux droites fixes menées par le centre de la sphère,
la somme des produits des cosinus des angles qu'elles font avec trois
rayons rectangulaires est égale au cosinus de l'angle qu'elles font
entre elles; ainsi cette somme est constante, quel que soit le système
des trois rayons rectangulaires; on conclut de là que la somme des
produits des projections orthogonales des trois rayons sur les deux
droites, est constante. Et si l'on conçoit deux plans diamétraux per-
pendiculaires respectivement aux deux droites fixes, on peut dire que
la somme des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités
des trois rayons rectangulaires sur les deux plans, est constante.

A ces trois perpendiculaires, correspondront, dans la figure ho-
niographique, les obliques abaissées des extrémités de trois demi-
diamètres conjugués de l'ellipsoïde, sur deux plans diamétraux,
parallèlement aux diamètres conjugués à ces plans. Ces obliques seront
proportionnelles respectivement aux perpendiculaires abaissées des
mêmes points sur les deux plans fixes; on a donc ce théorème :

Étant menés deux plans fixes par le centre d'un ellipsoïde, la somme
des produits des perpendiculaires abaissées des extrémités de trois
demi-diamètres conjugués sur ces deux plans, sera constante.

Si les deux plans sont conjugués, cettesomme est égale à zéro.

(423) Si l'on conçoit deux droites perpendiculaires aux deux plans
respectivement, les perpendiculaires abaissées sur ces plans seront
égales aux projections othogonales des demi-diamètres sur ces droites;
on peut donc dire que :

La somme des produits des projections de trois demi-diamètres
conjugués sur deux droites fixes, est constante.

Si les deux droites se confondent, on aura, comme simple corol-
laire, le théorème (408).

To«. XI. 105

830 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

(424) Soient deux plans fixes et trois plans rectangulaires quel-
conques menés par le centre de la sphère , la somme des produits des
cosinus des angles que ces trois plans feront avec les deux plans fixes
sera constante et égale au cosinus de l'angle des deux plans. Il s'ensuit
que si l'on conçoit trois rayons rectangulaires , la somme des produits
des projections, sur les deux plans, des rhombes construits sur ces
rayons pris deux à deux, sera constante.

On conclut de là un théorème semblable, à l'égard des projections
des parallélogrammes faits sur trois demi-diamètres conjugués pris
deux à deux; ces projections étant faites sur deux plans fixes par des
droites parallèles aux diamètres conjugués à ces plans; et si l'on con-
çoit deux autres plans perpendiculaires respectivement à ces deux
droites, les projections othogonales sur ces plans seront égales res-
pectivement aux premières projections multipliées par les cosinus des
angles que les premiers plans font, respectivement, avec les deux nou-
veaux; on peut donc énoncer ce théorème :

Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués
d'un ellipsoïde, si Von projette orthogonalement chacune de ses faces
sur deux plans fixes , et qu'on fasse le produit de ces deux projec-
tions, la somme de ces produits est constante, quel que soit le sys-
tème des trois demi-diamètres conjugués.

Si les deux plans se confondent, on a le théorème (414).

(425) Si par un point fixe on mène dans la sphère trois cordes rec-
tangulaires, la somme de leurs carrés sera constante {Géométrie de
position, p. 166); donc

Si par un point fixe on mène dans un ellipsoïde trois cordes paral-
lèles à trois diamètres conjugués quelconques , la somme de leurs
carrés , divisés respectivement par les carrés de ces diamètres , est
constante.

Le point fixe peut être pris sur la surface de l'ellipsoïde.

(426) Si par un point pris dans l'intérieur d'une sphère on mène
trois plans rectangulaires, la somme des aires des trois sections est
constante [Géométrie de position , p. 167); donc

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 831

Si par un point fixe pris dans l'intérieur d'un ellipsoïde on mène
trois plans parallèles à trois plans conjugués quelconques , la somme
des aires des trois sections, divisées respectivement paries aires des
sections diamétrales faites par les plans conjugués , sera constante.

(J XXV. Réflexions sur la théorie des figures homographiques. —
Démonstration de quelques-unes de leurs propriétés générales.

(427) Nous n'avons considéré, dans ce Mémoire, la théorie des
figures homographiques que comme méthode de transformation pro-
pre à la démonstration et à la généralisation des propositions de géo-
métrie. Mais cette théorie est susceptible de développemens d'une autre
nature. Deux figures homographiques, situées d'une manière quel-
conque dans l'espace, donnent lieu à un ensemble de propositions
assez nombreuses qui appartiennent à la théorie propre de ces figu-
res, et ces propositions pourront, soit dans leur généralité , soit dans
divers cas particuliers, être utiles et offrir des résultats intéressans.
Par exemple, deux corps semblables, ou deux corps parfaitement
égaux, quelle que soit leur position dans l'espace, forment un sys-
tème de deux figures homographiques ; les propriétés générales de ces
figures appartiendront donc aux deux corps. La théorie des figures
homographiques conduira donc aux propriétés générales du déplace-
ment fini quelconque , ou du mouvement infiniment petit d'un corps
solide dans l'espace.

On voit donc que cette théorie mérite d'être étudiée pour elle-même,
indépendamment de ses usages pour la transformation des figures.
Aussi nous comptons revenir sur cet objet.

Nous nous bornerons, dans ce moment^ à faire connaître seulement
deux propriétés générales des figures homographiques, qui trouveront
des applications fréquentes dans diverses recherches géométriques.
Elles justifieront la forme des énoncés que nous avons donnés à deux
propriétés des coniques, dans nos Notes XV et XVI 5 et nous en

832 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

déduirons une propriété particulière à deux figures homographiques
planes, dont nous avons fait uscige précédemment (g XVI, art. 299.)

Ensuite nous appliquerons, dans le paragraphe suivant, la théorie
des figures homographiques à la perspective et particulièrement à une
question dont nous avons parlé au sujet de la perspective de Stévin
(Note XVIII); question dont ce savant géomètre hollandais n'a résolu
que des cas particuliers, et qui depuis n'a jamais reçu une solution
complète.

(428) Quand on prend, dans deux figures homographiques, trois
droites qui se correspondent, aux points a, b,c ,d, .... de la première
correspondent des points a' , b' , c' , d' , .... de la seconde; et quatre
quelconques des premiers points ont leur rapport anharmonique égal
à celui des quatre points qui leur correspondent.

Nous dirons que les deux droites sont divisées homographiquement
par les points a, b, c, .... et a', b', c', ....

Pareillement aux plans A, B, C, menés par une droite de la

première figure, correspondent des plans A', B', C, .... passant par
la droite correspondante de la seconde figure. Et le rapport anharmo-
nique de quatre quelconques des plans A, B, C, .... est égal à celui
des quatre plans correspondans. Nous dirons que les premiers plans
forment un faisceau et que les plans correspondans forment un second
faisceau, et que ces deux faisceaux de plans sont homographiques.

Si les figures étaient planes , au lieu de faisceaux de plans , nous
considérerions des faiceaux de droites ; et nous dirions que deux fais-
ceaux correspondans sont homographiques.

Ainsi, en résumé.

Deux droites sont divisées homographiquement , quand le rapport
anharmonique de quatre points quelconques de la première est égal au
rapport anharmonique des quatre points correspondans de la seconde;

Deux faisceaux de droites , compris dans un même plan ou dans deux
plans diflerens, sont homographiques , quand le rapport anharmonique
de quatre droites quelconques du premier faisceau est égal au rapport
anharmonique des quatre droites correspondantes du second faisceau ;

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 833

Et deux faisceaux de plans sont homographiques quand le rapport
anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est
égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondans du se-
cond faisceau.

(429) Los deux propriétés générales du système de deux figures
homographiques que nous allons démontrer sont les suivantes :

Première proposition. — Quand deux droites , placées dune ma-
nière quelconque dans l'espace, sont divisées homographiquement ,
les droites qui joignent deux à deux les points de division corres-
pondans , forment un hyperboloïde à une nappe.

En effet quatre points de division a, b , c, d, de la première droite,
ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points cor-
respondans a' , b' f c', d'y de la seconde droite. Il s'ensuit (ainsi que
nous l'avons démontré dans notre Note IX, page 306) que, une droite
quelconque qui s'appuiera sur trois des quatre droites aa', bb' , ce',
dd', s'appuiera nécessairement sur la quatrième; d'où il suit que ces
quatre droites appartiennent à un hyperboloïde à une nappe.

(430) Deuxième proposition. — Quand on a dans l'espace deux
faisceaux de plans homographiques , les droites suivant lesquelles
se coupent deux à deux les plans correspondans, forment un hy-
perboloïde à une nappe.

Cette proposition résulte directement de la précédente; car soient
L, L', les axes des deux faisceaux; A, B, C, D, .... les plans du pre-
mier faisceau, et A', B', C, D', .... les plans correspondans du se-
cond; les plans A, B, C, D, .... rencontreront la droite L' en des

points a, b, c, d, ; et les plans A', B', C', D', rencontreront

la droite L en des points a', b', c', d' Les quatre points a, b , c,

f/, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre plans A, B,
C, D; les quatre points a', b', c', d', ont leur rapport anharmonique
égal à celui des quatre plans A', B', C, D'. Mais par hypothèse le
rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre
plans correspondans A, B, C, D. Donc le rapport anharmonique des
quatrepoints a, b, c, d, est égal à celui des quatre points a', b', c', d'.

834 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

Donc les quatre droites aa' , bb', ce', dâl , appartiennent à un hyper-
boloïde à une nappe. Or la droite aa' est l'intersection des deux plans
A, A'; bb' est l'intersection des deux plans B, B', et ainsi des autres;
donc, etc.

(431) Les deux propositions précédentes ont leurs analogues dans
la géométrie plane, et celles-ci exigent des démonstrations particulières.

Première proposition. — Quand deux droites situées dans un même
plan sont divisées homographiquement , les droites qui joignent deux
à deux les points de division correspondans , enveloppent une coni-
que qui est tangente aux deux droites proposées.

Cela résulte évidemment de la propriété anharmonique des tangentes
d'une conique, que nous avons démontrée dans la Note XVI.

(432) Deuxième proposition. — Quand on a dans un plan deux
faisceaux homographiques , les droites de l'un rencontrent respec-
tivement les droites correspondantes de Vautre en des points situés
sur une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Cela résulte de la propriété anharmonique des points d'une conique,
démontrée dans notre Note XV.

(433) Cette proposition et la précédente conduisent à une propriété
remarquable du système de deux figures homographiques situées dans
un même plan, dont voici l'énoncé :

Quelle que soit la position de deux figures homographiques dans
un même plan, il existe généralement trois points qui, considérés
comme appartenant à la première figure , sont eux-mêmes leurs ho-
mologues dans la seconde ; et trois droites qui, considérées comme
appartenant à la première figure, sont elles-mêmes leurs homologues
dans la seconde ;

Deux des trois points peuvent être imaginaires , le troisième est
toujours réel;

Et deux des trois droites peuvent être imaginaires , et la troisième
est toujours réelle '.

' C'est cette proposition dont nous avons fait usage dans un paragraphe précédent (art. 299 ).

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 833

Il est évident que quand les trois points sont réels, les trois droites
sont précisément celles qui joignent deux à deux ces trois points.

Pour démontrer le théorème , concevons dans les deux figures deux
faisceaux correspondans dont les centres soient O, O'; les droites de
l'un rencontreront respectivement les droites correspondantes de l'au-
tre en des points situés sur une conique. Pour deux autres faisceaux
ayant leurs centres en deux points correspondans û, Q', on aura pa-
reillement une seconde conique. Les deux coniques passeront évi-
demment par le point d'intersection des deux droites Où, O'û'; parce
que ces deux droites sont des rayons correspondans dans les premiers
faisceaux, ainsi que dans les deux autres. Soient A, B, C, les trois
autres points d'intersection des deux coniques ; je dis que chacun de
ces points, considéré comme appartenant à l'une des deux figures,
est lui-même son homologue dans l'autre. En effet, les deux droites
O'A, û'Ade la seconde figure correspondent respectivement aux deux
droites OA, ûA de la première; donc le point d'intersection des deux
premières correspond au point d'intersection des deux autres; c'est-
à-dire que le point A, considéré comme appartenant à l'une des deux
figures, est lui-même son homologue dans l'autre.

Maintenant , les deux coniques ayant toujours un point d'intersec-
tion réel, qui est le point de concours des deux droites Où, O'û', elles
auront toujours un second point d'intersection réel; donc l'un des
trois points A, B, C, est toujours réel.

Quand les trois points A, B, C, sont réels , chacune des trois droites
AB, BC, CA, considérée comme appartenant à l'une des deux figures,
est évidemment sa correspondante dans l'autre figure ; de sorte qu'on
peut dire que dans deux figures homographiques situées dans un même
plan , il existe , généralement , trois droites dont chacune est elle-même
son homologue dans les deux figures; et de là on peut conclure que
de ces trois droites l'une et toujours réelle, parce qu'une question qui
admet trois solutions en a toujours une réelle ; mais on démontrera
cela directement, par un raisonnement analogue à celui que nous
avons fait pour démontrer la réalité d'un des trois points. Au lieu de

836 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

prendre des faisceaux correspondans, on prendra des droites divisées
homographiquement, et l'on considérera les coniques enveloppées par
les droites joignant les points de division correspondans. Cette dé-
monstration est sans difficulté d'après ce qui précède.

Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties.

(434) Quand on sait à priori que deux des trois point A, B, C, sont
réels, on en conclut que le troisième est réel aussi, parce qu'alors les
deux coniques qui servent à déterminer ces points ont trois points
d'intersection réels, et par conséquent ont leur quatrième point d'in-
tersection réel aussi.

Pareillement quand deux des trois droites en question sont réelles,
la troisième est nécessairement réelle aussi.

§ XXVI. Application de la théorie des figures homographiques à la
perspective ût à la construction des bas-reliefs.

(435) Une figure plane et sa perspective sur un plan sont deux
figures homographiques; car elles satisfont à la condition constitu-
tive des figures homographiques, savoir que, à chaque point et à
chaque droite de l'une , correspondent un point et une droite dans
Vautre.

Il suit de là que les relations générales, descriptives et métriques,
de deux figures homographiques, et les propriétés qui en dérivent,
s'appliquent à deux figures planes qui sont la perspective l'une de
l'autre.

De ces propriétés, on n'a considéré, généralement, que celles qui
sont purement descriptives; et c'est sur elles qu'ont reposé la plupart
des applications que l'on a faites de la perspective en géométrie spécu-
lative, depuis que Desargues et Pascal, il y a deux cents ans, ont in-
troduit cette méthode dans la théorie des coniques. En fait de relations
métriques, on s'est borné généralement aux relations harmoniques; et
quoique Pascal, dans son Essai pour les coniques , ait mis au nombre

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 837

des propositions principales qui lui servaient dans son traité complet
de ces courbes, la propriété que nous appelons égalité des rapports
anharmoniques de deux groupes de quatre points correspondans ,
on n'a pas tiré de cette proposition, si simple et si féconde, tout le
secours qu'elle pouvait apporter dans les applications de la perspec-
tive en géométrie rationnelle. Aussi ces applications nous paraissent
n'avoir pas reçu tout le développement dont elles étaient susceptibles.
L'élément le plus important et le plus indispensable en géométrie,
les relations métriques, manquaient à cette théorie.

Ces relations métriques sont les mômes que celles que nous avons
démontrées pour les figures homographiques les plus générales. Elles
dérivent, comme celles-là, de l'égalité des rapports anharmoniques
de deux groupes de quatre points correspondans. Nous allons les re-
produire ici, en adaptant leur énoncé aux figures particulières que
l'on a à considérer dans la perspective.

(436) 1" Quand deux figures planes sont la perspective tune de
Vautre , le rapport des distances dune droite quetcofique de la pre-
mière à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances
de la droite correspondante dans la seconde aux deux points cor-
respondans à ces deux points fixes, dans une raison constante.

(437) 2» Quand deux figures planes sont la perspective Pune de
l'autre, le rapport des distances dun point quelconque de la pre-
mière à deux droites fixes de cette figure , est au rapport des
distances du point homologue de la seconde , aux deux droites cor-
respondantes, dans une raison constante.

(438) Dans ce second principe, une droite de chacune des deux
figures peut être située à Tinfini; ce qui donne lieu aux deux corol-
laires suivans qui seront utiles dans beaucoup de questions :

Premier corollaire. — Quand deux figures planes sont la perspec-
tive Vune de VatUre, la distance d'un point quelconque de la pre-
mière à une droite fixe prise dans le plan de cette figure , est dans
une raison constante avec le rapport des distances du point homo-
logue de la seconde figure à deux droites fixes, dont la première
ToM. XI. 106

038 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

correspond à la droite prise dans le plan de la première figure,
et la seconde est Fintersection du plan de la seconde figure par le
plan mené par V œil parallèlement à celui de la première figure.

(439) Deuxième corollaire. — Quand deux figures planes sont la
perspective tune de l'autre , si l'on mène dans le plan de la première
la droite correspondante à l'infini de la seconde (c'est-à-dire la droite
qui est l'intersection du plan de la première figure par le plan mené
par l'œil parallèlement à celui de la seconde), et dans le plan de la
seconde figure la droite qui correspond à Tinfini de la première,
les distances de deux points homologues quelconques des deux
figures à ces deux droites, respectivement, auront leur produit con-
stant.

(440) Ces théorèmes, qu'on n'avait pas encore donnés, je crois,
permettront d'appliquer les principes de la perspective dans beaucoup
de questions où l'on n'a point encore songé à en faire usage. Par
exemple, on généralisera les propriétés des diamètres conjugués, et
celles des foyers des sections coniques, comme nous avons fait à
l'égard des surfaces du second degré par la théorie des figures ho-
mographiques. Mais il est inutile d'entrer dans plus de développemens
à ce sujet.

Passons à d'autres rapprochemens entre la théorie de la perspective
et celle des figures homographiques. \ ;

(441) Puisqu'une figure plane et sa perspective sur un plan sont
deux figures homographiques, on doit se demander si, réciproque-
ment, deux figures planes homographiques quelconques peuvent tou-
jours être considérées comme la perspective l'une de l'autre; ou, en
d'autres termes , si deux figures planes homographiques quelconques
peuvent toujours être placées sur une même surface conique.

Si cela est, on conçoit que le problème de la perspective d'une
figure plane sera réduit à une question de simple géométrie plane, sans
considération aucune de géométrie à trois dimensions , savoir, de con-
struire la figure homographique d'une figure donnée, qui satisfasse
à certaines conditions de forme et de position.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 839

Il est donc important de résoudre la question que nous venons de
poser. , tt

(442) Pour parvenir à sa solution, remarquons qu'une figure homo-
graphique d'une figure proposée sera parfaitement déterminée si l'on
connaît quatre points qui doivent correspondre , un à un , à quatre
points de la figure proposée; de sorte que la question se réduit à
celle-ci :

Étant donnés deux quadrilatères plans , dont les sommets de l'un
correspondetit , un à un, aux sommets de l'autre , on demande de
les placer dans l'espace de manière quHls soient la perpsectioe l'un
de Vautre.

Il est clair que, dans cette position, les quatre côtés du premier
quadrilatère rencontreront respectivement les quatre côtés correspon-
dans du second quadrilatère en quatre points qui seront sur une même
droite qui sera l'intersection des plans des deux figures. Et l'on sait que
si autour de cette droite on fait tourner le plan d'une des deux figures,
pour l'appliquer sur l'autre , les deux figures se trouveront, sur ce plan,
dans les mêmes conditions que dans l'espace, c'est-à-dire que les
droites joignant les sommets du premier quadrilatère, respectivement
aux sommets correspondans du second, concourront encore en un
même point. (C'est un des théorèmes de Desargues. Voir deuxième
Epoque, § 28.)

(443) D'après cela, le problème se ramène à cette question de
géométrie plane :

Étant donnés, dans un plan deux quadrilatères quelconques dont
les sommets de lun correspondent un à un aux sommets de l'autre ,
on demande de les placer, dans leur plan, de manière,

l"^ Que les droites joignant les sommets de lun aux sommets cor-
respondans de l autre, concourrent en un même point ;

Et 2° que les côtés correspondans se rencontrent un à un en quatre
points situés en ligne droite.

Solution. On regardera les quatre sommets a, b, c, d, du premier
quadrilatère, comme appartenant à une première figure quelconque.

840 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

et les quatre sommets a', b', c' , dl du second, comme appartenant à
une seconde figure qui doit être homographique à la première. Nous
savons construire cette seconde figuré; c'est-à-dire que nous savons
trouver tous ses points correspondans à des points donnés de la pre-
mière; et réciproquement nous savons déterminer à quels points de la
première figure correspondent des points désignés de la seconde. La
construction des points des deux figures sert à déterminer leurs droites
correspondantes {§ XV, art. 272).

On cherchera la droite I qui dans la première figure correspond à
l'infini de la seconde; et la droite J' qui dans la seconde figure cor-
respond à l'infini de la première.

On placera les deux figures de manière que les deux droites \, i'
soient parallèles entre elles. Le côté ab de la première figure ren-
contre la droite I en un point e qui correspond au point e' situé à
l'infini, dans la seconde figure, sur la droite a'b'. A une droite quel-
conque eg menée par ce point e, correspondra dans la seconde figure
une droite e'g' parallèle à la droite a'b'. Menons eg parallèle, elle-
même, à la droite a'b', et supposons qu'on ait déterminé la droite e'g'
qui lui correspond.

Pareillement, par le point f où le côté cd rencontre la droite I,
menons une parallèle fli à la droite c'd' , et soit fh' la droite corres-
pondante dans la seconde figure (le point f étant à l'infini).

Les deux droites eg , fh se rencontreront en un point S , et les deux
droites e'g', fh' se rencontreront en un second point S'.

On placera les deux figures de manière que les deux angles eS/*,
e'S'f , qui sont égaux, soient superposés l'un sur l'autre; et le pro-
blème sera résolu.

Démonstration. Remarquons d'abord que les deux droites I , J',
dans cette position des figures, seront encore parallèles entre elles;
ce qui est évident.

Maintenant, les deux droites Se , S/" de la première figure, ont pour
correspondantes, dans la seconde, les deux droites S'e', S'/'/ les points
S et S' se correspondent donc. Par conséquent , quand l'angle e'S'f est

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 8 il

superposé sur l'angle eSf, le point S est lui-môme son correspondant
dans la seconde figure ; et les droites Se, S/* sont elles-mêmes aussi leurs
correspondantes dans la seconde figure. Il existe donc une troisième
droite qui est elle - même sa correspondante dans les deux figures
( § précédent art. 434).

Le point situé à l'infini sur la droite I, considéré comme apparte-
nant à la première figure, est à l'intersection de la droite I et de la
droite située à l'infini ; son homologue est donc , dans la seconde fi-
gure, à l'intersection de la droite située à l'infini et de la droite J';
c'est-à-dire que ce point est lui-même son homologue dans les deux
figures. Par conséquent la droite Si, menée par le point S , parallèle-
ment aux droites I, J' est elle-même son homologue dans les deux
figures, de même que les deux droites Se, S/! Il suit de là qu'une
quatrième droite quelconque Sk sera aussi son homologue dans les
deux figures, parce que les quatre droites Se, Sf, Si, Sk, con-
sidérées comme appartenant à la première figure, ont leur rapport
enharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes dans
la seconde figure. Les trois premières de celles-ci sont Se, S/" et St
elles-mêmes, la quatrième est donc aussi la quatrième du premier
groupe.

Il suit de là que deux points homologues quelconques a, a', des deux
figures , sont en ligne droite avec le point S ; ce qui est l'une des deux
conditions du problème.

Il reste à prouver que deux droites homologues quelconques se ren-
contrent sur une droite fixe.

Soit E le point de rencontre de deux droites homologues ab, a'b';
si on considère ce point comme appartenant à la première figure, son
homologue sera sur la droite SE et sur la droite a'b'j ce sera donc le
point E lui-même. Soient s et y' les points où la droite SE rencontre
les deux droites I et J'. Considérons sur la droite SE les quatre points
de la première figure qui sont S, s, E et l'infini, et les quatre points
homologues de la seconde figure, lesquels sont S, l'infini, E et y'. Éga-
lant le rapport anharmoniquc des quatre premiers points à celui des

842 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

quatre autres, on a

ES ES

Ef j)'S

d'où

Ee = y'S.

Cette équation fait voir que le point E est sur une droite parallèle
aux deux droites I, J', et distante de la première I d'une quantité
égale à la distance du point S à la seconde J'. C'est sur cette droite
que se couperont, deux à deux, toutes les droites correspondantes des
deux figures. Ainsi la seconde condition de la question sera remplie.
Ce qu'il fallait prouver.

(444) Maintenant si l'on veut placer les deux figures dans l'espace,
de manière qu'elles soient la perspective l'une de l'autre , il suffira de
faire tourner l'une d'elles, la seconde par exemple, autour de la droite
sur laquelle se coupent les droites correspondantes. Pour chaque po-
sition de cette figure il y aura perspective : le lieu de l'œil variera de
position; et l'on démontre aisément, par des comparaisons de triangles
semblables, que, dans toutes ses positions, l'œil se trouve toujours
sur une circonférence de cercle, dont le centre est sur la droite I,
et dont le plan est perpendiculaire à cette droite. Quand le plan de
la seconde figure aura fait une demi-révolution complète, il se re-
trouvera abattu sur le plan de la première figure. Cette position des
deux figures, comprises encore dans un même plan, présentera une
seconde solution de la question que nous avons résolue, de placer
deux quadrilatères dans un même plan, de manière, etc.

Nous aurions pu obtenir directement cette seconde solution, comme
la première ; mais pour cela il aurait fallu retourner le plan du second
quadrilatère et l'appliquer de nouveau sur celui du premier.

(445) Puisque deux quadrilatères dont les sommets se correspon-
dent un à un peuvent être mis en perspective, on en conclut que deucû
figures planes homographiques quelconques peuvent être placées de
manière à être la perspective l'une de l'autre.

(446) // suit de là que deux figures qui sont des perspectives dif-

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 843

fàr&ntes dune même figure plane, peuvent être placées de manière
à être la perspective lune de Vautre.

Ou , en d'autres termes :

Quand deux cônes passent par une même courbe plane, de quelque
manière qu'on les coupe respectivement par deux plans, les deux
courbes d'intersection pourront être placées sur un troisième cône.

Donc, si l'on fuit la perspective B d'une figure plane A, puis la
perspective C de la figure B , puis la perspective D de la figure C , et
ainsi de suite, toutes ces perspectives étant faites sur des plans quel-
conques et pour des positions différentes de l'œil, la dernière figure
pourra être produite directement par une perspective de la première.

(447) Le problème que nous avons résolu au sujet de deux qua-
drilatères plans donne lieu naturellement à cette autre question :

Étant donnés deux pentagones gauches quelconques, dont les som-
mets de l'un correspondent un à un aux sommets de Vautre, peut-on
les placer dans Vespace de manière que leurs sommets correspon-
dans soient sur des droites concourantes en un même point, et que
leurs côtés correspondans se coupent en des points situés sur un
même plan?

Le premier pentagone étant regardé comme appartenant à une
figure quelconque , le second déterminera une figure homographique ;
la question revient donc à celle-ci :

Deux figures homographique s quelconques à trois dimensions peu-
vent-elles être placées de manière à être homologiques 9 j ;

La réponse à cette question est négative, ainsi que nous allons le
démontrer.

Que l'on cherche dans la première figure le plan I qui correspond
à l'infini de la seconde ; et dans celle-ci le plan J' qui correspond à
l'infini de la première.

Que par un point m de la première figure on mène une droite ma
parallèle au plan I; et qu'on cherche la droite homologue m'a' de la
seconde figure ; elle sera parallèle au plan J' ; car le point «' où elle
rencontrera ce plan correspondra au point « situé à l'infini sur la

844 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

droite ma de la première figure ; mais ce point a. situé à l'infini est sur
le plan I, puisque ma est parallèle à ce plan ; donc son correspondant
a' dans la seconde figure est à l'infini. Donc la droite m'a' est parallèle
au plan J'. Ainsi toutes les droites ma,mb , me,... menées par le point
m parallèlement au plan I, ont leurs homologues m'a', m'b', m'c',....,
parallèles au plan J'. Si les deux figures étaient placées homologique-
ment, les deux plans I, J' seraient parallèles entre eux, et les droites
ma, mb , me,.. . seraient parallèles respectivement aux droites m'a',
m'b' , m'e' ,.... Or, on peut bien placer les deux figures de manière que
les deux plans I , J' soient parallèles entre eux, et que deux droites
correspondantes ma, în'a' soient parallèles entre elles; alors deux
autres droites correspondantes mb, mb" seront aussi parallèles entre
elles; mais aucune des autres droites me, md,.... de la première
figure, ne sera, en général, parallèle à sa correspondante.

En effet , prenons deux figures homographiques quelconques , pla-
çons-les de manière qu'une droite quelconque ab de la première coïn-
cide avec son homologue a'b' dans la seconde, et de plus que les
deux points correspondans a, a' coïncident; il existera sur ces droites
un second point b qui coïncidera avec son homologue b' ; et il n'en
existera pas un troisième, sans quoi les deux droites seraient divisées
en parties égales ' ; ce qui est un cas particulier de la division homo -
graphique de deux droites.

' En efiTet soit i le point de la droite ab qui correspond à l'infini de la droite a'b', et soit/ le
point de celle-ci qui correspond à l'infini de la première ; considérons sur ab les quatres points
a, b, i, et l'infini, et sur a'b' les quatre points correspondans, a', (ou a, puisque ces deux
points sont superposés), b', l'infini , et j'; égalons les rapports anharmoniques de ces deux grou-
pes de quatre points ; on aura

ba b'a
bi j'a

Cette équation fait voir que si l'on veut que les points b et b' coïncident , il faudra qu'on ait
bi =j'a ; condition qui détermine la position commune des points b, b'.

Les deux points a', b' , coïncidant avec leurs homologues a, b, deux autres points homologues
c, c', ne peuvent pas coïncider, à moins qu'il n'en soit de même de tous les autres points d, d', etc.
Car si les quatre points a,b, c, d, correspondent respectivement aux quatre points a, b, c, d',
en égalant les rapports anharmoniques , on trouve que les points d, d', coïncident.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 845

Supposons donc les deux points a, b, de la première droite super-
posés sur les deux points a', b', de la seconde. Soient m, m', deux
points homologues quelconques des deux figures ; menons du premier,
aux points a,by c,.... de la première droite, les rayons ma, mb,
me,...., et du second, aux points correspondans de la seconde droite,
les rayons m'a', m'A', m'c',.... Menons par la droite ab {a'b') un plan
transversal quelconque; regardons-le comme appartenant à la pre-
mière figure et soit Q' son homologue dans la seconde; puis, regar-
dons-le comme appartenant à la seconde figure et soit P son homo-
logue dans la première.

Maintenant faisons la transformation homographique du système
des deux figures, de manière que le plan transversal passe à l'infini,
c'est-à-dire que son homologue dans les nouvelles figures soit à l'in-
fini, les deux plans P, Q', deviendront parallèles entre eux; ce seront
les deux plans que nous avons désignés ci-dessus par I et J'. Les droites
ma, mb deviendront parallèles respectivement aux droites m'a', m'b';
mais les autres droites, me, md,.... ne deviendront pas parallèles à
leurs correspondantes. Les deux figures ne seront donc pas homolo-
giques.

(448) Ainsi nous pouvons dire que :

Deux figures homographiques à trois dimensions ne peuvent pas ,
en général, être placées de manière à être homologiques.

Il suit de là que les figures homographiques sont d'une forme plus
générale que les figures homologiques.

(449) Toutes les propriétés des figures homographiques s'appli-
quent aux figures homologiques; conséquemment elles doivent s'ob-
server dans la construction des bas- reliefs. Ainsi les diverses relations
métriques qui existent entre deux figures homographiques, ont lieu
aussi entre une figure à trois dimensions et sa perspective-relief, de
même qu'entre une figure plane et sa perspective sur un plan. Et si ,
au lieu de supposer qu'un relief est fait pour une position unique de
l'œil, de même qu'une perspective plane, on le considère plus géné-
lement, comme une représentation dun objet, dans laquelle des

ToM. XI. 107

846 MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

points correspondent à des points et des surfaces planes à des sur-
faces planes , alors la théorie des reliefs ne serait autre que la théorie
générale des figures homographiques ; il y aurait simplement à pres-
crire certaines règles générales à observer dans la disposition des
données de la question pour produire, selon la destination du relief,
la plus parfaite illusion pour telle et telle place du spectateur. Mais
ces règles d'ordonnance ne pourraient point être absolues, et dépen-
draient dans chaque question de l'expérience et du sentiment de l'ar-
tiste; après quoi il resterait à construire géométriquement le relief,
considéré comme figure homographique de l'objet qu'on veut repré-
senter.

$ XXVII. Note ($ XI, art. 228). Construction graphique des tan-
gentes et des cercles oscillateurs des courbes géométriques.

(450) Que l'on applique le théorème du $ XI à une courbe plane
géométrique; et que l'on prenne le point m infiniment voisin du
point de la courbe où l'on veut mener la tangente ; que les trois trans-
versales mi, mj, ij, soient menées tout-à-fait arbitrairement; et que les
points a, b, soient ceux où les deux premières rencontrent l'arc de la
courbe duquel le point 7n est infiniment voisin ; cet arc sera pris pour
la tangente, et le rapport '^ sera égal au rapport des sinus des angles
que les deux droites mj, mi font avec cette tangente; après avoir rem-
placé le premier rapport par le second, on pourra supposer que le
point m soit sur la courbe même 5 alors, en substituant dans l'équa-
tion de l'art. 227, au rapport ^ le rapport des sinus des angles S, «,
que les deux droites mj , mi font avec la tangente à la courbe au
point m, on aura l'équation

sin. S mb' . mh" .... im.ia' .ia" .... je. je', je" ....

___ w __^ w .f o J ^

sin. a ma'. ma"..,. jm.jb'.jb".... ic.ic'.ic"

Tous les facteurs du second membre sont des segmens faits sur les

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 847

trois transversales arbitraires mi, mj , ij, de sorte que le second
membre est connu j et conséquemment la direction de la tangente
est déterminée.

Ainsi ce problème des tangentes, qui a eu une si grande célébrité
il y a 200 ans, qui était (t le plus beau et le plus utile » que Descartes
ait désiré savoir, se trouve résolu géométriquement, d'une manière
tout-à-fait générale et très-simple, pour les courbes même auxquelles
s'appliquaient les deux solutions analytiques de ce philosophe.

Si l'on applique l'analyse à cette solution , on obtiendra la formule
employée en géométrie analytique.

(451) L'équation (2) conduit avec la même facilité à la solution^
d'un problème d'un ordre plus élevé que celui des tangentes, du pro-
blème des cercles osculafeurs aux différens points d'une courbe
géométrique.

En effet, soient pris sur une courbe géométrique trois points con-
sécutifs A, a, b', infiniment voisins. Par le point a soit menée, ar-
bitrairement, une droite rencontrant bb' en m et la courbe aux points

a', a", Soient b", b'",... les points où la corde bb' rencontre la

courbe ; et menons une transversale quelconque qui rencontrera ma
en î, mb enj, et la courbe en c, c', c".... On aura l'équation

jb. ib'. jb" ic.ic'.ic"

X , „ ,„ X ■ ., ■„ = 1. art. (227).

mb. mb , mb 3^'J^-J''

Concevons le cercle qui passe par les trois points b ^a, h' ; et soit
e le point où la droite ma le rencontre, on aura

ma. me = mb, mb'

d'où

mb. mb'

ma.

ma'.

, ma"

ta.

ta'.

ta"

et d'après l'équation ci-dessus,

ma', ma".... ib. ib'. ib".

•«' = 77. X . . , . „ X -

mb".,., ta, ta', ta".... je. je', je".,..

Pour chaque transversale menée par le point a on aura une équation

848 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

semblable. Ainsi l'on déterminera autant de points qu'on voudra du
cercle passant par les trois points b, a, b'. Et si l'on suppose que
ces trois points se confondent, on aura le cercle osculateur à la courbe.
Alors la droite bb' devient la tangente à la courbe au point w, et ce
point m se confond avec le point de réunion des trois points b, a, b' ;
la formule devient donc

ma'. ma".... itn.ib".... icic'.ic" ....

mi = — X .' . r . „ X

im.ia . ta .... jc.jc.jc ....

La tangente au point m étant connue, il suffira de déterminer un
seul point e, pour que le cercle osculateur soit connu. Si l'on veut
calculer son diamètre , on mènera la transversale mi perpendiculaire
à la tangente ; alors l'expression de me sera la longueur du diamètre
du cercle.

On convertira aisément cette solution graphique en la formule
analytique connue.

(452) Il est important d'observer que pour ce genre de solution
graphique des deux problèmes que nous venons de résoudre, il faut
que la courbe soit tracée complètement , de manière que les transver-
sales que l'on mène la rencontrent en autant de points réels que la
courbe en comporte, c'est-à-dire, en autant de points réels qu'il serait
indiqué par le degré de l'équation de la courbe, exprimée dans le
système de coordonnées en usage.

FI!V.

^^^\v^vvv\^^^lvvvvvv\^^/vvvvvvvvvv\vvvvv\^^^^lvvv\^A^(vvv^^

TABLE DES MATIÈRES

COKTEKCES

DANS LE MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

PREMIÈRE PARTIE.

P»ge».

Principe de Dcalitê 57S

Paragraphe I. Deux méthodes à suivre Ib.

— II. Méthode analytique; propositions préliminaires 577

-f- m. Démonstration du principe de dualité S86

' ; ■— IV. Applications du principe de dualité aux propriétés descriptives des

figures o91

— V. Applications du principe de dualité aux propriétés métriques des figures. 595

— VI. Sur les pôles et les plans polaires des surfaces du second degré . . . 596

— VU. Généralisation du théorème sur la proportionnalité des rayons homolo-

gues dans deux figures homothétiques. — Construction nouvelle des
bas-reliefs 597

— VIII. Relations descriptives et métriques de deux surfaces du second degré

inscrites dans un cône ; et de deux coniques quelconques situées dans

un même plan 600

— IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués des sur-

faces du second degré. — Théorie des axes conjugués relatifs à un
point 602

— X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes de trois

axes conjugués relatifs à un point 60G

— XI. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un

point. — Réflexions sur les méthodes de transformation .... 609

— XII. Transformation des propriétés du centre des moyennes distances d'un

système de points. — Centre des moyennes harmoniques .... 616

850 TABLE DES MATIERES.

Pages.

Paragraphe XIII. Théorème de Newton sur les diamètres des courbes. — Propriétés nou-
velles des surfaces géométriques 622

— XIV. Propriété du quadrilatère gauche; double génération de l'hyperboloïde

à une nappe , par une ligne droite mobile 625

— XV. Transformation des propriétés générales des surfaces géométriques rap-

portées à trois axes coordonnés 627

— XVI. Nouvelle méthode de géométrie analytique 6iS

— XVII. Suite du précédent. — Applications du nouveau système de géométrie

analytique 636

— XVIII. Construction analytique des figures corrélatives 639

— XIX. — géométrique des figures corrélatives 643

— XX. Suite du précédent. — Discussion des formules pour la construction

géométrique des figures corrélatives. — Divers théorèmes de géomé-
trie qui s'en déduisent. — Généralisation d'un porisme d'Euclide. . 647

— XXI. Différentes méthodes particulières pour former des figures corrélatives. 636

— XXII. Méthode des polaires réciproques. — Réflexions sur la transformation

des relations métriques 637

— XXIII. Autre méthode tirée de la considération des surfaces du second degré ,

et plus générale que celle des polaires réciproques. — Applications

de cette méthode 662

— XXIV. Autres modes de construction des figures corrélatives : — Par le dépla-

cement fini ou infiniment petit d'un corps solide libre dans l'espace ;
— Par la considération d'un système de forces appliquées à un corps
solide libre 674

— XXV. Caractères particuliers de divers modes de construction des figures cor-

rélatives 680

— XXVI. Note sur une propriété générale des surfaces du second degré . . . 687

DEUXIÈME PARTIE.

Principe d'Homographie 69S

I. Démonstration du principe d'homographie Jb.

II. Applications du principe d'homographie. — Pôles et plans polaires dans

les surfaces du second degré. — Axes conjugués relatifs à un point. 702

III. Lieu géométrique du point de rencontre de trois plans tangens à une

surface du second degré , assujettis à certaine condition 70-4

IV. Propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second

degré, relatifs à un point 708

V. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du

second degré, relatifs à un point 710

TABLE DES MATIÈRES. 851

Pakagraphe. VI. Propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à

un point, de laquelle les autres se déduisent 711

— VII. Propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système de points

dans l'espace 712

— VIII. Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système

de points 718

— IX. Propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système de points

qui se meuvent dans l'espace 720

— X. Propriétés nouvelles des surfaces géométriques 722

— XI. Généralisation du théorème de Newton sur le rapport constant du pro-

duit des abscisses au produit des appliquées , dans les courbes géo-
métriques 72.5

— Xll. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques rapportées à

trois aies coordonnés. — Théorèmes très-généraux 728

— Xlll. Généralisation du système de coordonnées en usage 739

— XIV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales des surfaces

du second degré 745

— XV. Construction géométrique des figures homographiques. — Divers théo-

rèmes de géométrie 734

— XVI. Construction analytique des figures homographiques 764

— XVII. Théorie des figures homologiques. — Leur construction 773

— XVlll. Applications de la théorie des figures homologiques. — Propriétés géné-

rales des surfaces géométriques 779

— XIX. Surfaces du second degré homologiques. — Propriété fondamentale des

systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point 783

— XX. Propriétés générales , nouvelles , des surfaces du second degré . . . 794

— XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré de révolution , et des

cônes du second degré 799

— XXll. Méthode pour les relations angulaires. — Transformation de la sphère

en un sphéroïde aplati 80a

— XXIII. Méthode propre pour toutes sortes de relations, de longueurs, d'aires

et de volumes 811

— XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des diverses pro-

priétés des diamètres conjugués d'une surface du second degré . . 823

— XXV. Réflexions sur la théorie des figures homographiques. — Démonstration

de quelques-unes de leurs propriétés 881

— XXVI. Application de la théorie des figures homographiques à la perspective

et à la construction des bas-reliefs 836

— XXVII. Note (§ XI , art. 228). Construction graphique des tangentes et des cer-

cles osculateurs des courbes géométriques 846

VIN Dl lA TABLK.

1^ c-

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