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HARVARD UNIVERSITY.

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LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

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by:
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a MÉMOIRES

DE LA

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec lemere, neë timide.

EUXIÈME SÉRIE.
TOME XIL

Le tome XI

DÉPOTS :

LONBRES ; PARIS LERLIN
chez Wicraus et Norcarz, chez Rorer, libraire, | chez Frixoranper et Son,
Henrietta Str., 14. | rue Hautefeuille, to bis. | Caristrasse, 11.

- BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE KOYALE,
rue de Louvain, 108.

Sy
\ MAI 1885.

MEMOIRES

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

MÉMOIRES

DE LA

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec lemere, nec timide.

BEN TME MEN ER TE,

TOME XII.

DÉPOTS :

LONDRES; | PARIS BERLIN)
chez Wicrams et Norcare, | chez Rorer, libraire, chez Fnieoranoen et Sohn,
Renrietta Str., 14. | rue Hautefeuille, 10/15, Carlstrasse, 14.

‘7 BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE,
rue de Louvain, 108.

MAI 1885.

TABLE

DES

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XH.

1. Discours sur les travaux mathématiques de M. Eugène-Charles

Catalan, par P. Mansion.

2, Mélanges mathématiques; par Eugène Catalan.

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LISTE.

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 51 MAI 1885.

Pureau.

Président, M. NeuBErc.
CATALAN.
CANDÈZE.
DE KONINCK.
LE PAIGE.

Vice-Président,
Secrétaire général,
Trésorier,
Bibliothecaire,

CAC CC]

Membres effectifs.

1842 pe Konincx, L. G., professeur émérite à l’université de
Liège.

CHANDELON, d. T. P., professeur de chimie à l'université
de Liège.

SeLys LonccHamps (baron E. pe), membre de l'Académie
royale des sciences, des lettres et des beaux-
arts de Belgique.

TRAsENsTER, L., recteur de l’université de Liège.

1844 KuPFFERSCHLAGER, Is., professeur émérite à l’université
de Liège.

1845

1847

1855

1855

1856

1860

1861

1865

1868
1869
1870

NE

Dezvaux pe FENrFrFE, Ad. ingénieur honoraire des mines,
à Liège.

De Cuyrer, A. C., professeur émérite à l'université de
Liège.

Canpëze, E., membre de l’Académie des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain.

PÂQuE, A., ancien professeur de mathématiques à l’athénée
de Liège.

DEwaLQuE, G., professeur de minéralogie, de géologie et
de paléontologie à l’université de Liège.

Bourpox, J., docteur en sciences naturelles, à Liège.

CaraLan, C.E., professeur d'analyse à l'université de Liège.

GiLLonw, A., professeur de métallurgie à l’université de
Liège.

Perar», L., professeur de physique à l’université de Liège.

Morren, Éd., professeur de botanique à l’université de
Liège.

Foie, F, administrateur-inspecteur de l'université de
Liège.

GRAINDORGE, L. A. J., professeur à l'université de Liège.

Hagers, A., professeur à l’université de Liège.

Masius, V., professeur de pathologie et de clinique à l'uni-
versité de Liège. |

VanxLzaiR, C., professeur de pathologie et de thérapeutique
à l’université de Liège.

Van Bexkoew, Éd., professeur de zoologie, de physiologie
et d'anatomie comparées à l’université de Liège.

MaLuergE, R., ingénieur des mines, à Liège.

Firxer, Ad., chargé de cours à l’université de Liège.

SPRING, W., professeur de chimie à l’université de Liège.

SWAEN , À., professeur d'anatomie à l’université de Liège.

»E Koninck, Lucien, professeur de chimie analytique et
de docimasie à l’université de Liège.

Le Parce, professeur de géométrie supérieure à l’univer-
sité de Liège.

Jorissex, docteur en sciences, à Liège.

1880
1881
1884

1542

1845

1844

1845

1848
1852

Neuser6, J., professeur à l’université de Liège.
FraiponT, J., docteur en sciences, à Liège.

DeruyrTs, J., docteur en sciences, assistant à l'université.
Ronkar, Ém., chargé de cours à l'université.

Uracus, P., répétiteur à l’École des mines.

Membres correspondants.

Van BENEDEN, J. P., professeur à l’université de Louvain.

LAGuEsse, ingénieur en chef des mines, à Mons.

NEUENS, général d'artillerie, à Anvers.

STas, J. S., membre de l’Académie royale des sciences,
des lettres et des beaux-arts de Belgique, à
Bruxelles.

KEYsERLING (comte A. DE), membre de l'Académie des
sciences de Saint-Pétersbourg.

ReicuerT, professeur à l’université de Berlin.

STEICHEN, professeur à l'École militaire, à Bruxelles.

SIMONCFF, directeur de l'Observatoire de Kasan (Russie).

CHEFFKINE, général, aide de camp de S. M. l'Empereur de
Russie, à Saint-Pétersbourg.

Leconte, professeur de mathématiques supérieures, à
Anvers.

Maus, inspecteur général des ponts etchaussées, à Bruxelles.

Navez, lieutenant-colonel d'artillerie en retraite, à Schaer-
beek.

CoquiLuar, général d'artillerie, à Anvers.

HAGEN, professeur à l’université de Cambridge (États-Unis).

KLIPSTEIN (VON), professeur à l’université de Giessen.

Davipsow, Th., membre de la Société royale de Londres.

ETTINGSHAUSEN (von), professeur de physique à l'université
de Vienne.

Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,
à New-Haven (États-Unis).

ETTINGSHAUSEN (baron Constantin vox), membre de
l'Académie des sciences de Vienne, à Graz.

1855

1854

1855

1857

1858

1859

1860

— X —

Wesrwoop, professeur de zoologie à l’université d'Oxford
(Angleterre).

WATERHOUSE, Conservateur au Musée Britannique, à
Londres.

BÈve, Em., industriel, à Bruxelles.

PETRINA, professeur de physique, à Prague (Bohème).

KÔLLIKER (VON), professeur à l’université de Wurzbourg
(Bavière).

DurREux , receveur général, à Luxembourg.

Drouer, H., naturaliste, à Charleville (France).

Weger, professeur de physique à l’université de Gottingue
(Prusse).

STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).

£RLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).

Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle,
à Paris.

BLaxcHarD, E., membre de l'Institut, à Paris.

Geinirz, H. B., professeur à l'École polytechnique, à
Dresde.

Liais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio
de Janeiro, maire de Cherbourg.

TenÉéBycHErr, P., membre de l'Académie des sciences, à
Saint-Pétersbourg.

Micuor (abbé), botaniste, à Mons. :

Janin, JS. C., membre de l'Institut, à Paris.

Wricur (D'Th.), membre de la Société royale de Lon-
dres , à Cheltenham (Angleterre).

CaLIGNY (marquis pe), correspondant de l’Institut, à Ver-
sailles (France).

MarsEuL (abbé pe), entomologiste, à Paris.

Beyricu, professeur à. l'université de Berlin.

Marcou, J., géologue, États-Unis.

Du Bois-Reymonp, professeur à l’université de Berlin.

BrüucKkE, professeur à l’université de Vienne.

STUDER, B., professeur émérite à l’université de Berne
(Suisse).

1862

1865
1864

1865

1866

1867

Caspary, professeur de botanique à l'université de Kôünigs-
berg (Prusse).

WaRrrMann, É., professeur de physique, à Genève (Suisse).

Gossace, membre de la Société chimique, à Londres.

Taousox, J., membre de la Société entomologique de
France, à Paris.

BRUNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra-
phes, à Vienne.

Durieu pe MalSONNEUVE, directeur du Jardin Botanique,
à Bordeaux (France).

HuGuENY, professeur, à Strasbourg.

TERSSEN, général d'artillerie, à Anvers.

De Cocxer p'Huagr, conseiller d'État, à Luxembourg.

LEIS, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle,
à Dresde.

Mine Epwarps, membre de l'Institut, à Paris.

DaussE, ingénieur en chef des ponts et chaussées,
à Paris.

LE JoLis, archiviste perpétuel de la Société des sciences
naturelles de Cherbourg (France).

GoDpwiN AUSTEN, R. A. C., membre de la Société royale de
Londres, Chilworth Manor, Guilford (Angle-
terre).

HamiLToN, membre de la Société géologique de Londres.

DE BorRE, A., conservateur au Musée royal d'histoire
naturelle, à Bruxelles.

RopriGuez, directeur du Musée zoologique de Guatémala.

LEDENT, professeur au collége communal de Verviers.

DeEsains, membre de l'Institut, à Paris.

GOssELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille
(France).

BarnarD, président de l'École des mines, à New-York
(États-Unis).

Raposzkorrskt, président de la Société entomologique de
Saint-Pétersbourg.

BoxcompaGni (prince Balthasar), à Rome.

NS

1868 Rexarv (S. Ex. le chevalier), conseiller d'État, secrétaire
de la Société impériale des naturalistes de
Moscou.
CLausius, R., professeur de physique à l’université de
Bonn (Prusse).
Hezuaozrz (von), professeur de physique, à Berlin.
CaILLETET, pharmacien et chimiste, à Charleville (France).
1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique
de Montsouris.
1869 ScuLômiLca, professeur d'analyse à l'École polytechnique
de Dresde.
Simon, E., naturaliste, à Paris.
Pisco, professeur à l'École industrielle de Vienne.
1870 Daeuix, professeur à la faculté des sciences de Toulouse
(France).
FrauTscHoL», professeur à l’École d'agriculture à Pétrovs-
koï, près Moscou (Russie).
MaLaise, C., professeur à l'Institut agronomique de Gem-
bloux.
BERTRAND , d. L. F., membre de l'Institut, à Paris.
Van HoorEn, docteur en sciences, à Tongres.
INSCHENETSKI, professeur à l'université de Karkoff (Russie).

mi
Q
= |

Müccer (baron von), botaniste du gouvernement, à Mel-
bourne (Australie).

Hexey, L., professeur à l'université de Louvain.

Durée, professeur à l’université de Prague (Bohême).

MaxweLz T. Masrers, membre de la Société royale, à
Londres.

Tuomson, James, vice-président de la Société géologique
de Glasgow.

CapELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Bologne.

Le BouzexGt, P., colonel d'artillerie.

1872 VaLLës, inspecteur honoraire des ponts et chaussées,

à Paris.

GariBaLni, professeur à l'université de Gènes (Italie).

1872

1875

1874

EXT TRÈS

FRADESSO DA SILVEIRA, directeur de l'Observatoire, à Lis-
bonne.

Kanirz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen-
bourg (Hongrie).

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Barres, H., membre de la Société royale de Londres.

MELsExs, membre de l’Académie royale des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique.

Hermire, membre de l'Institut, à Paris.

DarBoux, professeur à la Sorbonne, à Paris.

HALL, James, paléontologiste de l'État, à Albany (États-
Unis).

WorTHEeN, À. H., directeur du Geological Survey de l'Hi-
nois (États-Unis).

Wirney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo-
gical Survey de Californie (États-Unis).

GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux, à Rio
de Janeiro.

LanisLao Nerro, botaniste, directeur du Musée impérial
de Rio de Janeiro.

DE Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro. |

BurEIsTER , H., directeur du Musée national de Buenos-
Ayres.

Morexo, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.

ARESCHOUG, professeur adjoint à l’université de Lund
(Suède).

WinKLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem
(Néerlande).

HayoEw, géologue de l'État, à Washington.

Van RYSSELBERGHE, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles,

GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.

HACkEL, professeur à l’université de léna.

WaLpeyer, professeur à l’université de Strasbourg.

HuxLcey, professeur à l’école des mines, à Londres.

AU E

1875 Mansion, professeur à l’université de Gand.

1876

1877

1878

18

re)

MicHaeuis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul,
Minn., département de Dakota (États-Unis).

DEwALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.

Marie, M., examinateur à l'École polytechnique, à Paris.

DesPryrous, membredel’Académie des sciences (Toulouse).

Houez, membre de l'Académie des sciences (Bordeaux).

Marmieu, Em., membre de l'Académie des sciences (Naney).

Ever, professeur à l'université de Tubingue.

DE La VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université
de Bonn.

Ray-LankEsTER, professeur à l'université de Londres.

Packarp, professeur à l’université de Salem (États-Unis).

FLEmmne, W., professeur à l’université de Prague.

PLarTeau, F., professeur à l’université de Gand.

Rômer, F., professeur à l'université de Breslau.

SAPoRTA (Gaston marquis bE), correspondant de l'institut
de France, à Aix (France).

Bazrour, J. H., professeur de botanique à l'université
d'Édimbourg.

Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à
Londres.

Mac LacnLax, Rob., membre de la Société entomologique,
à Londres.

Tissannier, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris.

Herrwic, B., professeur à l'université de Künigsberg.

STRASBURGER, professeur à l’université de léna.

BLunrscuLi, professeur à l'université de Heidelberg.

BronGniarT, Charles, à Paris.

Werrergy, professeur à l’université de Cincinnati.

SYLVESTER, professeur à l’université de Baltimore.

CzuBER, professeur, à Prague.

CREMONA, directeur de l'École d'application, à Rome.

Weyr, Em. professeur à l’université de Vienne (Autriche).

IBANEZ, général, directeur de l'Institut cartographique, à
Madrid.

1880

1881

1882

Bouivar, L., professeur, à Madrid.

RirsEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Leyde.

RENARD, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Bruxelles.

STUDNICKA, F., professeur de mathématiques à l’université
de Prague.

GENoccuai, membre de l’Académie de Turin.

Van DER MENSBRUGGE, professeur à l’université de Gand.

LiAGRE, général, secrétaire perpétuel de l'Académie royale
des sciences, ete., de Bruxelles.

DE Tizzy, J., colonel, membre de l’Académie de Belgique.

ViLLARCEAUXx, membre de l’Institut, à Paris.

Boxer, membre de l’Institut, à Paris.

SÉBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris.

ANGoT, À., attaché au burcau central météorologique de
France, à Paris.

WIEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig.

PLANTÉ, G., à Paris. |

Konzrauscx, directeur de l'Institut physique de Wurz-

bourg.

Quincke, professeur de physique, à Heidelberg.

Rey AxEL, professeur à l’École de médecine de Stockholm.

Rerzus, G., professeur à l'École de médecine de Stockholm.

GioRDaNo, inspecteur du corps des mines, à Rome.

MENEGHINt, professeur à l'université de Pise.

Guiscarpi, professeur à l’université de Naples.

TARAMELLI, professeur à l'université de Pavie.

LaisanT, député, à Paris.

BeLrram, professeur à l’université de Pavie.

GESsTRO, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle
de Gênes.

SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin.

MascarT, professeur au Collège de France.

Bouniaxowski, membre de l'Académie des sciences, à
Saint-Pétersbourg.

= AVI

1885 Huze, Eduard, directeur du Geological Survey d'Irlande.

SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz-
bourg.

Breiror, N., professeur à l’université de Louvain.

Mirrac-LErFLer, G., professeur à l’université de Stock-
holm.

Gomës TEIxEIRA, F., professeur à l’université de Coïmbre.

1884 Bierens DE Haan, D., professeur à l’université de Leide.
TRriNGHESI, professeur à l’université de Naples.

GERoNo, C., rédacteur des Nouvelles annales de mathèma-
tiques, à Paris.

DE HEEN, P., correspondant de l’Académie royale de
Belgique, à Louvain.

1885 Scnur, Fréd., professeur à l’université de Leipzig.
Hazpuen, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris.
Picouer, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris.
pE LonGcHamrs (Gohierre), professeur au lycée Charle-

magne, à Paris.
VANÈCEK, d. S., professeur, à Jicin (Bohème).

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.

AVEC LESQUELLES
LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE
échange ses publications.

—“ + ———

BELGIQUE.

Bruxelles. — Académie royale des sciences, des lettres et des
beaux-arts de Belgique.
Observatoire royal.
Société entomologique de Belgique.
Société malacologique de Belgique.
Société royale belge de géographie.
Société belge de microscopie. |
Musée royal d'histoire naturelle.

Liège. — Société géologique.
Mons. — Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du
Hainaut.

ALLEMAGNE.

Berlin. — Xünigliche Akademie der Wissenschaften.
Deutsche Geologische Gesellschaft.
Entomologischer Verein.
Zeitschrift für die gesammten Naturwissenschaften.

Bonn. — Vaturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande
und Westphalens.

— XV =

Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.

Colmar. Société d'histoire naturelle.

Erlangen.

Physikalisch-medicinische Societüt.

Francfort.
schaft.

Fribourg.

Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell-

Nalurforschende Gesellschaft.
Giessen. — Oberhessische Gesellschaft für Natur-und Heilkunde.

Gôrlitz. — Valurforschende Gesellschaft.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften.

Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschaften und
Georg-August-Universilät.

Halle. — Vaturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thü-
ringen.

Naturforschende Gesellschaft.

Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie

der Naturforscher.
Kiel.
Kônigsherg.
schaft.
Landshut.

Naturwissenschaftlicher Verein.

Künigliche physikalisch-ükonomische Gesell-

Botanischer Verein.
Naturforschende Gesellschaft.

Leipzig.

Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.

Munich. — Xüniglich Bayerische Akudemie der Wissenschaften.
Künigliche Sternwarte.

Munster. — West/ülischer Provincial-Verein für Wissenschaften
und Kunst.

Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde.

Stettin. — £Entomologischer Verein.

Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür-
temberg.

Wiesbaden. — Vassauischer Verein für Naturkunde.

Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz-

Wurzhourg.
burg.

Zwickau. — Verein für Naturkunde.

— XIX —

AUTRICHE-HONGRIE.

Hermannséadé.
schaften.

Siebenbürgischer Verein für Naturwissen-

Imnspruel. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein.

Prague. — Xüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften
Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.

Vienne.

Kaiserliche Akademie der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft.
Kaiserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.

ESPAGNE.
Madrid. Real Academia de Ciencias.

FRANCE.
Béziers. Société d'étude des sciences naturelles.
Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts.

Société linnéenne.
Sociélé des sciences physiques et naturelles.

Caen. Société linnéenne de Normandie.
Cherbourg. Société des sciences naturelles.
Dijon. — Académie des sciences.

Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts.

Académie des sciences.
Société d'agriculture.
Société linnéenne.

Lyon.

Montpellier. — Académie des sciences et lettres.

Naney. — Sociélé des sciences (ancienne Société des sciences natu-
relles de Strasbourg).

Paris. Société géologique de France.
Société Philomatique.
Muséum d'histoire naturelle.

Société des amis des sciences naturelles.
Académie des sciences.

Rouen.

Académie des sciences.
Societé des sciences physiques et naturelles.

Toulouse.

Troyes.

Société académique de l’Aube.

Agen. — Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Dublin. Royal Irish Academy.
Natural history Society.

Édimbourg. — Geological Society.

Londres.

Geological Society.
Linnean Society.
Royal Society.

Glasgow. — Geological Society.
Natural history Society.
Philosophical Society.

Manchester. — Lillerary and philosophical Society.

ITALIE.
Bologne. — Accademia delle Scienze.
Catane. — Accademiu gioenia di scienze naturali.
Gênes. — Osservatorio dellu R. Universila.
Modène. — Sociela dei naturalisti.

Naples. — Societa Reale.

Palerme. Istituto tecnico.
Sociela di scienze naturali e economiche.

Pise. — Societa di scienze naturali.

Rome. — PBullettino di bibliografia delle scienze matematiche,
publié par le prince B. Boncompacnr.
Reale Accademia dei Lincei.
Accademia pontificia de’ Nuovi Lincei.
R. Comitato geologico d'Italia.

nd ©, Mer

LUXEMBOURG.

Luxembourg. — /nstilut royal grand-ducal, section des sciences
naturelles et mathématiques.

NÉERLANDE.

Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen.

Harlem. — Société hollandaise des sciences.
Musée Teyler.

Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke
wijsbegeerte.

Delft. — École polytechnique.

PORTUGAL.

Coïmbre. Journal des sciences mathématiques et astrono-
miques, rédacteur : M. Gouès TeixerRa.

Lisbonne. Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. — Société des sciences de Finlande.
Moscou. — Société impériale des naturalistes.
Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences.

Société d’archéologie et de numismatique.

Société entomologique.

Société impériale de minéralogie.

SUÈDE ET NORWÉGE.
Bergen. — Museum.
Christiania.
Stockholm. — Académie royale des sciences.
Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' AxeL Key.
Entomologiska [üreningen.
Acta mathematica, rédacteur : M. Mirrac-LerFLer.

Kongelige Frederiks Universitet.

— XXI —

SUISSE.

Nalurf{orschende Gesellschaft.
Société helvétique des sciences naturelles.

Berne.

Neuchâtel. — Societé des sciences naturelles.

Schafhouse. — Vaturforschende Gesellschaft.

AMERIQUE.

ETATS-UNIS.
American Associalion for advancement of sciences.

Baltimore. — American Journal of mathematics.
Johns Hopkins University : Circulars.

Boston.

American Academy of arts and sciences.
Society of natural History.

Cambridge. — HMuseuin of comparative zoology.
Coilumbus. — Ohio State agricultural Society.
Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.

New-Haven.

Connecticut Academy of arts and sciences.

Newport. — Orleans County Society of natural sciences.
New-York. — Academy of sciences.
Philadelphie. — Academy of nutural sciences.

American philosophical Society.
Wagner Free Instilute of sciences.
Portland. — Vatural History Society.

Salem. — 7Zhe American Naturalist.
Essex Institute.
Peabody Academy of sciences.

San-Franeisco. — Californian Academy of sciences.

Washington. — Smithsonian Institution.

GUATEMALA.

Guatemala. — Sociedad economic.

MN AUITTT

MEXIQUE.

Tocubhaya. — Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. — Universidad.

ASLE.

INDES ANGLAISES.

Caleutta. — Asiatic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavin. — ÆKoninklijke natuurkundige vereeniging in Neder-
landsch Indië.

AUSTRALIE.

Hobart-Town. — Tasmanian Society of natural sciences.
Melbourne. — Observatoire.
Sydney. — Linnean Sociely.

Royal Society of New South Wales.

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MAERANAE

D 0
RAC

DISCOURS

SUR LES

TRAVAUX MATHÉMATIQUES

DE
M. Eugène-Charles CATALAN,

PAR

P. MANSION,

PROFESSEUR ORDINAIRE A L'UNIVERSITÉ DE GAND,
CORRESPONDANT DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE.

NAM.
NCM.

ABREVIATIONS.

. Mémoires de l’Académie pontificale des MNuovi Lincei.
. Bulletins de l’Académie royale de Belgique.

. Comptes rendus de l’Académie des sciences de Paris.
. Journal de l’École polytechnique.

. Journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville.

Mémoires de l’Académie royale de Belgique.

. Mémoires couronnés et autres mémoires de l’Académie royale

de Belgique, in-4°.

Mémoires in-8° de l’Académie royale de Belgique.

Mélanges mathématiques (ouvrage formant le tome II de la
2e série des Mémoires de la Société royale des sciences
de Liège).

Nouvelles Annales de Mathématiques.

Nouvelle Correspondance mathématique.

(2), I, 417-420 signifie 2e série, tome IT, pages 417-420.

DISCOURS
PRONONCÉ LE 7 DÉCEMBRE 1SS4,
A LA SALLE ACADÉMIQUE DE L'UNIYERSITÉ DE LIÉCE,

A L'OCCASION

DE LA PROMOTION DE M. E. CATALAN A L'ÉMÉRITAT (*).

—_—_—

CHER ET VÉNÉRÉ MAÎTRE,

Le Comité chargé de l’organisation de la fête d'aujourd'hui
m'a appelé à l'honneur de porter la parole en son nom, pour
esquisser, en un tableau rapide, l’ensemble de vos principales
publications scientifiques.

Il n’était pas difficile de trouver, parmi vos anciens élèves de
Paris, des voix plus autorisées que la mienne pour rendre à votre
talent, comme professeur et comme savant, un hommage mérité.

Mais l'éloignement et des recherches absorbantes n’ont pas
permis, aux illustres géomèêtres auxquels je fais allusion, d’abor-
der l'examen rétrospectif de vos nombreux travaux.

Ceux de vos disciples plus jeunes, qui occupent si honorable-
ment, à côté de vous, des chaires de votre Université, sont
engagés, maintenant, dans des études trop éloignées des vôtres;
et ils ne pouvaient guère, ont-il dit avec trop de modestie peut-
être, entreprendre l'analyse détaillée de vos publications.

C'est ainsi que, sans avoir eu jamais le bonheur d’entendre vos
savantes leçons, la tâche m'est échue de parler ici au nom de
tous ceux qu’elles ont initiés aux mathématiques transcendantes.

(") A cette occasion, les anciens élèves et les amis de M. Catalan lui ont
offert son portrait, dù à l’habile pinceau de M. Delpérée.

D

Quoique je connaisse toutes les difficultés de cette honorable
mission, j'ai été heureux de l’accepter, parce qu'elle me permet
de vous donner publiquement un témoignage d’amitié et de
reconnaissance pour la bonté avec laquelle vous avez encouragé
mes premiers travaux; pour l'appui que vous n’avez cessé de
m'accorder, depuis que, essayant de marcher sur vos traces, je
me suis consacré à l'étude de l'analyse mathématique.

Pour un autre motif encore, je suis heureux de porter ia
parole en ce jour. En 1870, j'ai eu l'honneur de subir, moi
élève de l’Université de Gand, devant la Faculté des sciences
de Liège, les épreuves du doctorat spécial en mathématiques.
Je n’oublierai jamais, Messieurs (*), l'extrême bienveillance
avec laquelle vous m'avez accueilli, ni les suffrages unanimes
dont vous avez couronné mes efforts, en cette heure solennelle
de ma vie.

En venant done aujourd’hui contribuer à la glorification de
l’un de vos plus illustres professeurs, d’un maître qui a été pour
moi un guide et un ami depuis quinze ans, c'est d’une dette de
gratitude envers lui et envers l’Université de Liège que j'essaie
de m'acquitter, dans la mesure de mes faibles forces. Puissé-je
ne pas rester trop au-dessous de ma tâche et ne pas tromper
la confiance du Comité d'organisation !

Maintenant, cher et vénéré Maître, permettez-moi d'aborder
l'exposé de vos travaux en lui donnant cette forme imperson-
nelle qui sied si bien à la plus abstraite des sciences positives,
à nos chères mathématiques.

Permettez-moi, en particulier, de parler de vous à la troisième
personne, comme si vous étiez, dans cette vaste assemblée,
quelque auditeur dont je ne soupçonnerais pas la présence.
Ainsi, je serai plus à l'aise; je serai plus libre de vous louer
hautement comme si vous à'étiez pas là, et j'oserai aussi, çà et là,
mêler à mes éloges quelques critiques, discrètes et bienveil-
lantes , comme il convient à un disciple et à un ami.

(") MM. les professeurs de la Faculté des Sciences de Liège.

LS

INTRODUCTION.

La carrière de M. Catalan se divise naturellement en trois
périodes de durées inégales, dont la première commence en 1855
pour se terminer en 1852; la deuxième s'étend jusqu'à sa
nomination à l’Université de Liège, en 1865; la dernière enfin
commence à cette date et, espérons-le, pour notre cher jubilaire
et pour la science, elle ne se terminera pas de sitôt.

La première période est caractérisée par un grand nombre de
Mémoires où il aborde et résout, souvent avec un rare bonheur,
diverses questions d'analyse et de géométrie infinitésimale, alors
à l’ordre du jour chez les géomètres. Dans la deuxième, ce sont
les publications d’un caractère à la fois pédagogique et scientifique
qui prédominent; enfin dans la troisième, plus libre de son
temps et de son travail, M. Catalan se laisse aller à ses propres
inspirations et suit davantage une voie originale.

Mais cette division en trois périodes n’est pas aussi absolue
que cette esquisse peut le faire croire; et, je me hâte de le dire,
il m’arrivera plus d’une fois, dans la suite, de rapprocher des
travaux anciens et des travaux récents de notre éminent collègue.

M. Catalan est, en grande partie, un autodidacte. Né à Bruges,
comme deux autres mathématiciens illustres, Stevin et Grégoire
de Saint-Vincent, il fut élevé à Paris, où son père était venu
s'établir comme architecte. Il fréquenta, dans cette ville, des
cours de géométrie pratique, de perspective, d'architecture et de
construction, soit à l'École de dessin, soit à l'École des beaux-
arts. Mais son aptitude pour les mathématiques spéculatives fut
remarquée par Lefébure de Fourcy, qui le prit en affection et

pee

lui donna le conseil de se présenter à l'École polytechnique.
M. Catalan, déjà répétiteur à l'École de dessin, se laissa aisément
persuader. Il se fit pendant six mois l'élève de M. Delisle au
collège Saint-Louis et il fut reçu à l’École polytechnique en 1853.
En même temps, il remportait le prix d'honneur au grand
concours des Mathématiques. Sa composition nous a été con-
servée (1) : il résout, aussi complètement que possible, une ques-
tion difficile, en employant simultanément les ressources de
l'analyse et de la géométrie, comme il le fera si souvent plus
tard, lorsqu'il abordera des problèmes d’une nature plus élevée.

A sa sortie de l'École polytechnique (1855), M. Catalan,
abandonnant la carrière des Ponts et Chaussées, fut nommé
professeur au collège de Chàlons-sur-Marne; puis il revint à
Paris, où il fonda, avec Abel Pagès, Sturm et Liouville, la cé-
lèbre École préparatoire Sainte-Barbe (1858). La même année,
il était nommé répétiteur adjoint de géométrie descriptive et, en
1859, examinateur suppléant à l'École polytechnique. Il n'avait
que vingt-cinq ans (*).

C’est à partir de son retour à Paris que commence la publica-
tion de cette série de Mémoires qui n'a plus cessé de porter au
loin la renommée de M. Catalan. Liouville venait de fonder,
en 1856, le Journal de Mathématiques pures et appliquées, con-
sacré surtout aux parties les plus élevées de la science; en 1842,
Gérono et Terquem firent paraitre les Nouvelles Annales de
Mathématiques, publication d’une nature plus didactique, où se
coudoyaient élèves et professeurs, articles élémentaires et
mémoires savants. Dès le début de chacun de ces deux nouveaux
recueils scientifiques, M. Catalan, lié d’amitié avec leurs rédac-
teurs, en devint le collaborateur assidu.

(*) NAM. (1), IV, 214-224. La clef des abréviations est au revers du titre.
(‘) Ces renseignements biographiques sont empruntés, en partie, au Liber
memorialis de l'Université de Liège, de M. le professeur ALP. Le Roy.

IT.

CALCUL DES PROBABILITÉS, COMBINAISONS.

Les premiers volumes du Journal de Liouville contiennent de
nombreux Mémoires de M. Catalan sur la théorie des combi-
naisons et le calcul des probabilités. Tous ceux qui ont attaqué
ce genre de questions savent combien elles échappent souvent
aux méthodes habituelles de l’analyse; sans l'attention la plus
soutenue, on risque toujours d'oublier quelques-uns des cas
favorables ou défavorables dont il s'agit de faire l'énumération
complète.

M. Catalan montre, dans les questions de ce genre, autant de
sagacité que d'habileté analytique. Citons quelques-uns de ses
travaux : en 1857, la Solution d’un problème relatif au jeu de
rencontre (2); en 1858, une démonstration ingénieuse et directe
de la formule des combinaisons complètes (5); en 1840 et 18492,
d’autres questions encore, dont il est difficile de donner une
idée, même superficielle, en langage vulgaire (#).

En 1858 et en 1841, il avait traité deux autres problèmes dont
il faut faire plus qu'une simple mention, l’un à cause des consé-
quences analytiques qu'il a su en déduire, l’autre à cause de sa
portée théorique.

Au siècle dernier, Segner avait donné une formule, assez
incommode, pour trouver de combien de manières un polygone
peut se partager en triangles, au moyen de ses diagonales. Euler
indiqua immédiatement une formule plus simple pour résoudre
la même question. Vers 1858, sur les instances de Terquem,
divers géomètres (Lamé, Rodrigues, Binet) essayèrent de démon-

() L, (4), I, 469-482. (5) L., (4), IN, 111-112; MM, 1-5.
(5) L., (4), V, 264; VII, 511-515.

LE PURES

trer, directement ou indirectement, la formule d'Euler. M. Catalan
s'occupa aussi de la question et il parvint à une troisième solu-
tion, en même temps que Binet, sans recourir, comme celui-ci,
à la délicate théorie des fonctions génératrices. 11 parvint, en
outre, à déduire, des divers résultats obtenus, d'innombrables
conséquences analytiques, entre autres sur les fonctions eulé-
riennes (5).

Dans son Mémoire de 1841 (9), M. Catalan fut conduit, par la
résolution de divers problèmes, à cette conclusion qui constitue
un nouveau principe de probabilité, disait-il : « La probabilité
d'un événement futur ne change pas lorsque les causes dont il
dépend subissent des modifications inconnues ». Le principe
n'est pas nouveau, comme M. Catalan l’a reconnu; car il se
trouve incidemment, sous le nom de Lemme, au $ 90 de l'ou-
vrage de Poisson sur la Probabilité des jugements. Mais Poisson
ne semble pas en avoir saisi l'importance; c’est M. Catalan qui,
en 1877 (7) et en 1884 (#), a de nouveau appelé l’attention sur
ce principe et en a signalé la fécondité. Pour en faire saisir la
portée, il suffira d'en citer une application : supposons que dans
un grand pays, comme la France, on vote, dans quarante ou cin-
quante mille bureaux différents, pour ou contre un candidat à la
Présidence de la République. Eh bien, on pourrait supprimer,
dans chacune des cinquante mille urnes, la moitié ou les trois
quarts des suffrages, pourvu qu'on le fit vraiment au hasard. Le
résultat de l'élection serait presque certainement le même que
si l'on n'y avait pas touché. Pour les mathématiciens, bien
entendu, le nouveau principe présente un tout autre intérêt :
dans un grand nombre de cas, il permet de remplacer, par un
raisonnement de quelques lignes, des calculs vraiment formida-
bles, comme notre auteur l’a prouvé dans une récente commu-
nication académique.

M. Catalan est revenu, maintes fois, à la théorie des combinai-

(5) L., (4), I, 508-516; IV, 94-94, 95-99; VI, 74.
(5) L., (4), VI, 75-80. (') BB., (2), XLIV, 463-468.
(*) BB. (5), VII, 72-74; MB., XLVI, 1-46.

MO} Lee

sons et au calcul des probabilités, dans la suite de sa carrière
scientifique. Pour achever ici ce qui regarde cette partie de
l'analyse, je citerai, en particulier, ses recherches sur le pro-
blème des partis, en 1855 et 1878 (?), deux notes sur la somma-
tion de certains coefficients binomiaux (1°), maintes formules
combinatoires (1877) (!!) et une curieuse lettre sur la loterie de
l'Exposition (1880) (2), mais surtout ses Remarques sur la théo-
rie des moindres carrés (15). Ce Mémoire a été publié, en 1878,
par l’Académie de Belgique; mais une première rédaction, lue
en 1874 à l'Association française pour l'avancement des sciences,
a été détruite dans l'incendie de l'imprimerie Danel, de Lille, et
c’est là une circonstance qu'il est peut-être utile de mentionner
au point de vue de la priorité des résultats obtenus dans Île
Mémoire.

La méthode des moindres carrés est, comme l'on sait, un pro-
cédé conventionnel de résolution d'équations linéaires, dont les
coefficients sont entachés de légères inexactitudes, mais dont le
nombre surpasse celui des inconnues. Gauss, Laplace et, après
eux, beaucoup d’autres, ont essayé de prouver que cette méthode
est la meilleure de toutes celles qui peuvent servir à résoudre le
problème proposé. Mais il faut bien avouer que personne n°y a
réussi, et tout ce que l’on peut dire en faveur de cette méthode
c'est que, entre celles qui accordent la même influence à toutes les
équations données, elle est la plus simple. Mais cette méthode la
plus simple est-elle d’un usage plus facile? Hélas ! non. Les cal-
culs qu’elle exige sont presque toujours extrêmement longs.
Ceux-là sont donc bien venus qui parviennent, comme M. Catalan,
dans son Mémoire, à y introduire quelques simplifications. Au
point de vue pratique, grâce à un emploi judicieux de la théorie
des équations linéaires et de celle des déterminants, il a réussi
à améliorer considérablement les procédés de formation et de
résolution des équations finales auxquelies conduit la méthode.

() MM., 72-74; NCM., IV, 8. ('°) MM., 195-196; NAM., (4), XX,
147-148, 260-265. (1) MB., XLII, Motes, etc., 13-14, 17-48.
(2) NCM., V, 104-109, 195-196. (5) MB., XLIII, 1-42.

Mais, en outre, chemin faisant, suivant son habitude, il établit
des formules algébriques curieuses et surtout des théorèmes
généraux, relatifs à la méthode même. Citons-en deux sur les-
quels les rapporteurs de l’Académie, plus compétents que nous,
en celte matière, ont appelé spécialement l'attention :

I. Si la somme des carrés des erreurs véritables est un mini-
mum, la somme des carrés des erreurs virtuelles est aussi un
minimum, les erreurs virtuelles élant les quantités qui se trou-
vent dans les seconds membres des équations auxiliaires, lesquels
sont nuls dans le cas des erreurs véritables.

IT. Si l’on a un système d’équations linéaires en x, y, z, etc.,
et qu'on élimine x entre ces équations prises deux à deux de
toutes les manières possibles, par la théorie des déterminants, les
nouvelles équations obtenues, traitées par la méthode des moin-
dres carrés, donnent pour y, z, etc., les mêmes valeurs que les
équations primilives, trailées par la même méthode.

XII.
DÉTERMINANTS ET INTÉGRALES MULTIPLES.

Vers l’époque où M. Catalan écrivait ses premiers Mémoires
sur le calcul des probabilités, l'Académie de Belgique mit au
concours une question d'analyse algébrique, dont le sujet était
laissé au choix du concurrent. Le jeune professeur de Sainte-
Barbe descendit dans la lice avec un Mémoire contenant la
Théorie générale de la transformation des intégrales multiples.
Ce travail fut couronné en 1840 et publié presque immédiate-
ment (!#). En 1846, il fit paraître, dans les Bulletins de l'Aca-
démie, un Mémoire moins étendu, qui était le complément du
premier (15).

Dans ces deux écrits, M. Catalan fait connaitre d’abord les
principes fondamentaux de la théorie des déterminants, doctrine

(‘) MCB., XIV, 1-50. (5) BB. (1), XI, 554-555.

“LT ENS

féconde et destinée à un grand avenir, mais alors à peine connue
et à peine employée, sauf par Cauchy, Jacobi, Reiss et Lebesgue.
Il simplifie considérablement l'exposé des propriétés fondamen-
tales des déterminants, grâce à l'emploi d'une notation ingénieuse,
due à Cauchy, parait-il, mais qui était loin d’être classique, à
cette époque. Outre la théorie générale, il fait connaitre deux
théorèmes nouveaux, l’un qui est la généralisation d’une célèbre
identité de Lagrange, l’autre que l’on énonce aujourd’hui de la
manière suivante : Un circulant est égal, en valeur absolue, à la
somme de ses éléments, multiplié par le déterminant persymé-
trique ayant pour éléments les différences successives des éléments
du circulant.

. La transformation générale des intégrales multiples est ensuite
exposée avec une rare élégance, grâce à l’heureuse idée qu'a eue
M. Catalan de laisser sous forme implicite, les relations entre
les anciennes variables et les nouvelles.

Les deux Mémoires se terminent par de belles applications
à diverses intégrales. L'auteur généralise les coordonnées ellip-
tiques de Lamé et arrive, sur certaines intégrales hyperellip-
tiques, à des théorèmes très généraux, analogues à ceux de
Legendre sur les intégrales elliptiques complètes.

On a dit, dans plus d'un ouvrage classique, que la transfor-
mation des intégrales multiples est un problème qui a été résolu
par Jacobi avant de l'être par M. Catalan. C'est une erreur : les
deux mémoires de Jacobi, sur les déterminants et sur les déter-
minants fonctionnels, n'ont paru qu’en 1841, dans le tome XXII
du Journal de Crelle, et c’est là seulement que Jacobi démontre
les formules générales de la transformation. Que Jacobi connût
les formules auparavant, cela ne fait pas de doute. En 1855
(dans le tome XIT, page 58 du Journal de Crelle), il énonce la
formule générale, mais sans démonstration et seulement dans
le cas où les anciennes variables sont données explicitement en
fonction des nouvelles et, si l’on veut, d'une ou deux variables
auxiliaires. Ce qui est vrai, c’est que, dans le Mémoire de 1855,
Jacobi traite plusieurs questions spéciales que M. Catalan, sans
s'en douter, a reprises, après lui, en 1840.

A4)

Le Mémoire du jeune lauréat passa tout entier dans le meil-
leur traité de calcul intégral de l’époque, celui de l'abbé Moi-
gno , écrit, comme l'on sait, sous les yeux de Cauchy, et digne,
par les précieux matériaux qui y sont condensés, de cet illustre
patronage. l

Il en fut de même dans un autre Mémoire du jeune auteur,
publié en 1859, dans le Journal de Liouville (15), et qui contient
une méthode spéciale de détermination des intégrales mul-
tiples, devenue classique sous le nom de Méthode de Catalan.
M. Catalan y a été conduit à propos de l’aire de l’ellipsoïde. Cette
aire s'exprime par une intégrale double qui représente aussi le
volume d’un certain cylindre. Décomposez celui-ci, d'une cer-
taine manière, en couches cylindriques concentriques, et l'inté-
grale double se transforme en une intégrale simple, réducuble
aux intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce.

Ce que nous venons d'esquisser pour l'aire de l'ellipsoïde est
étendu aux intégrales triples, au moyen d’une interprétation
mécanique, puis aux intégrales multiples quelconques, par une
voie purement analytique. Les jeunes géomètres, venus après
Riemann, ne manquent pas d'exposer maintenant la méthode de
M. Catalan, dans ces derniers cas, en employant la terminologie
relative à l’espace à quatre, à cinq ou à un plus grand nombre de
dimensions. Notre cher et vénéré maitre est l’adversaire de cette
terminologie; mais il faut bien l'avouer, il a tort, car si elle
n'existait pas, il faudrait l’inventer tout exprès pour faire con-
naître son ingénieuse méthode de transformation des intégrales
muluples.

(15) L., (4), IV, 525-554. Voir aussi MM., 5-8, 8-9, 9-11.

IV.

RECHERCHES DIVERSES D'ANALYSE.

M. Catalan a traité, entre 1840 et 1852, un grand nombre de
difficiles questions d'analyse, d’un intérêt moins général que
celles dont nous venons de nous occuper, mais dont il convient
néanmoins de dire quelques mots, avant d'aborder ses recherches
sur la théorie des surfaces.

Citons, en premier lieu, ses Problèmes de calcul intégral,
publiés dans le Journal de Liouville (17), qui le montrent en pleine
possession de la théorie des intégrales elliptiques, cet admirable
instrument analytique auquel les efforts persévérants de Legendre
étaient enfin parvenus à faire donner droit de cité dans la
science. En 1841, M. Catalan trouva l’aire de l’ellipse sphérique,
ou la valeur d’un angle solide compris dans un cône du second
degré, d’abord, au moyen d’une intégrale elliptique complète
de troisième espèce et d’un terme algébrique, puis au moyen des
intégrales des deux premières espèces. La même année, il par-
vint à exprimer le volume de la partie commune à un ellipsoïde
et à une sphère concentriques, en fonction de deux intégrales
complètes de troisième espèce, de même module, mais de para-
mètres différents. Vingt-cinq ans plus tard, M. Catalan reviendra
à la théorie des intégrales et des fonctions elliptiques, et y fera
d'heureuses trouvailles que nous citerons en leur lieu.

Nous devons énumérer, ensuite, dans l’ordre chronologique,
divers articles ou mémoires, plus ou moins étendus, sur le
calcul intégral : 1° une Note ingénieuse sur une intégrale de
Poisson (18); 2 la démonstration d’une formule de Tehéby-

(7) L., (4), VE 540-344, 449-440. ('#) L., (1), VI, 81-84.

a PA

cheff (1%); 3° une Note sur l'intégration de certaines équations
différentielles simultanées, qui contient une extension, digne
d’être signalée, de la méthode de la variation des constantes
arbitraires (2°); 4° une autre Note, publiée en 1847, dans le
Journal de l'École polytechnique, sur la théorie des solutions
singulières (2t). L'auteur indique comment il convient de cor-
riger certaines règles généralement admises pour la recherche
de ces solutions. Un élève de l'Université de Liège, auquel je me
plais à rendre ici un publie hommage, Louis Houtain, devait,
quatre ans plus tard, publier, en réponse à une question du con-
cours universitaire, un vrai Traité sur les solutions singulières.
Toutes les difficultés analogues à celles que M. Catalan avait
soulevées et résolues en 1847, y sont étudiées avec une érudition
et une rigueur bien rares à cette époque. Qu'il me soit permis de
signaler en cette occasion, puisque je parle devant l'Université
de Liège, où Houtain a été Répétiteur, cet ouvrage remarquable
auquel il n’a manqué, pour appeler l’attention du monde savant
sur son auteur, qu'une publicité moins restreinte; depuis
trente ans, il est enfoui dans un recueil plus administratif que
scientifique, les Annales des Universités de Belgique. 5° A
l'extrème limite de l’époque que nous étudions, nous rencontrons
encore une nouvelle formule de quadrature approchée, qui porte
le nom de M. Catalan (22). Son auteur l’a délaissée depuis long-
temps, parce qu’il a découvert qu'elle est contenue implicite-
ment dans une formule du calcul des différences, comme la
plupart des formules analogues. Elle ne mérite pas cet abandon,
comme nous l’avons prouvé il y a quelques années, car elle est
à peu près aussi exacte que celle de Simpson; quand celle-ci
ne peut être employée, parce que le nombre des ordonnées de
la courbe étudiée est pair, c’est la nouvelle formule qui doit la
remplacer.

Enfin, parmi les travaux d’analyse transcendante de M. Cata-
lan, d'avant 1859, se distinguent encore deux Mémoires publiés

(*°) L., (4), VI, 259. (2?) NAM. (1), IV, 245-244; MM., 60-61.
@:) EP., XVII, 51° cahier, 271-276, (2?) NAM., X, 412-415.

Re + LES

dans le Journal de Liouville, et relatifs à une théorie où il devait
plus tard briller au premier rang, la théorie des séries. Dans le
premier, il établit, d’une manière rigoureuse, le célèbre théorème
de Goldbach : La somme des inverses de la différence, avec l’unité,
de tous les nombres entiers qui sont des puissances, est égale à
Punité (25). La méthode de démonstration est ingénieuse et donne
à l’auteur la somme de plusieurs séries analogues à celle de
Goldbach. C’est à cette époque que M. Catalan a proposé aux
géomètres son célèbre théorème empirique : Zéro et l’unité,
huit et neuf, sont les seuls couples de nombres entiers consécutifs
qui soient des puissances exactes (2*). Dans le second Mémoire (?#),
qui date de 1844, notre auteur obtient, pour tous les cas, les
conditions de convergence d'une série que l’on peut appeler le
binôme d’Euler. Il m'est impossible de donner ici, en langage
vulgaire, la moindre idée de la formule démontrée par M. Catalan.

V.

RECHERCHES SUR LES ÉLASSOÏDES, ET AUTRES MÉMOIRES GÉOMÉTRIQUES.

Dans la plupart des travaux de M. Catalan, dont nous avons
parlé jusqu'à présent, le but est le plus souvent l'analyse, la
géométrie un moyen, quand il en est fait usage. C’est l'inverse dans
ceux dont Je vais maintenant vous entretenir. Dès ses débuts, le
jeune Répétiteur à l'École polytechnique aborde le champ si
varié et si attrayant des spéculations géométriques, tantôt d’une
manière directe, par la voie intuitive, tantôt en mettant l'analyse
au service de la science de l’espace.

La plus remarquable de ses découvertes en ce genre se rap-
porte aux élassoïdes. Aujourd'hui, on appelle ainsi les surfaces
à aire minima, que les travaux d’un des plus illustres savants
belges, Joseph Plateau , ont fait connaître dans le monde entier.

(5) L. (4), VI, 4-42, (24) Journal de Crelle, XX VII, 492; MM., 40-41.
(5) L., (4), IX, 161-174.

AT es

Ce grand physicien, devenu aveugle en 1845, n en résolut pas
moins, malgré sa cécité, d'étudier sous toutes ses faces la sta-
tique des liquides soumis aux seules forces moléculaires. Il pour-
suivit son projet avec une ténacité invincible, pendant plus d’un
quart de siècle; il imagina, d'année en année, de nouvelles expé-
riences plus ingénieuses les unes que les autres, montrant ainsi,
par un exemple mémorable que c’est l'œil intérieur, la lumière
de l’esprit, qui révèle au génie les voies secrètes conduisant aux
grandes découvertes. C’est dans le cours de ces recherches
mémorables qu’il réalisa, sous forme de lames liquides brillam-
ment colorées, un grand nombre de surfaces courbes dont la
plupart sont d’une grande complexité au point de vue mathé-
matique. Ces surfaces, que Plateau a montrées à tout le monde,
sans jamais les voir lui-même, sont, comme on le sait, des
surfaces à aire minima, des élassoïdes. Mais ce que l'on ne sait
pas, c’est le rude travail préliminaire que les géomêtres ont dû
s'imposer pour fournir à Plateau les éléments nécessaires à leur
réalisation.

Lagrange, à ses débuts, a donné l'équation aux dérivées par-
tielles des élassoïdes; Monge, leur équation finie, sous diverses
formes qui la rendent pratiquement inutile. Meusnier a prouvé
qu'ils ont, en chaque point, leurs deux rayons de courbure prin-
cipaux et de signes contraires ; de plus, il a trouvé deux élas-
soïdes spéciaux, le caténoïde ou alysséide, engendré par la
révolution d’une chainette tournant autour de sa directrice, et
la surface de vis à filet carré ou conoïde hélicoïdal. Scherk, un
demi-siècle après, en découvrit cinq autres, ou plutôt il en
détermina les équations sans les étudier vraiment au point de
vue géométrique.

La question en était là quand M. Catalan l’aborda. Du premier
coup, par une voie intuitive, qu’il nous a conservée dans ses
Mélanges mathématiques, il établit ce théorème, soupçonné par
Scherk : le conoïde hélicoïdal est le seul élassoïde réglé (25). Tra-
duisant en analyse cette idée ingénieuse, il rendit sa démonstra-

(*5) MM., 67-68.

SN RE

tion absolument inattaquable (?7). Depuis, elle a été simplifiée,
commentée et généralisée par divers géomètres, Wantzel, Serret,
Michel Roberts, Bonnet, Beltrami, Dini. Mais, on le sait, en
mathématiques, comme ailleurs, c'est souvent le premier pas
qui est le plus difficile. Souvent aussi, rien n'est si aisé que de
trouver des généralisations compliquées de théorèmes simples.

M. Catalan, au reste, ne s’en tint pas à ses premiers pas dans
cette théorie des élassoïdes. Dans un Mémoire (?$) sur les sur-
faces gauches à plan directeur, qu'il publia en même temps que
celui que je viens d'analyser, il trouva, outre divers résultats
dignes d'intérêt, l'équation finie des lignes de courbure du
conoïde héliçoïdal et établit de nouveau le théorème de Dupin,
-depuis étendu par M. Roberts à tous les élassoïdes, savoir que,
sur cette surface, les lignes asymptotiques font un angle de
_quarante-cinq degrés avec les lignes de courbure.

Douze ans plus tard, M. Catalan reprit de nouveau la question,
et, presque en même temps qu'Ossian Bonnet, il résolut un pro-
blème qui avait résisté jusqu'alors aux efforts des géomèêtres : il
découvrit des élassoïdes algébriques (2). La méthode qui l'a
conduit à ces nouveaux résultats, et aussi à une nouvelle forme
de l'équation finie des élassoïdes, est digne d'attention. Il soumet
l'équation de Lagrange à diverses transformations de variables
qui permettent de l'intégrer par une somme de deux fonctions,
dont chacune ne dépend plus que d’une seule lettre. Il retrouve
ainsi plusieurs surfaces de Scherk, entre autres la première, dont
il décrit la forme et la génération, de manière à permettre à
Plateau de la réaliser expérimentalement; puis divers élassoïdes
nouveaux parmi lesquels le remarquable paraboloïde cyeloïdal,
qui jouit de la propriété curieuse de contenir une infinité de
courbes algébriques, quoique ce soit une surface transcendante.

Je lasserais votre patience longtemps avant d’avoir épuisé mon
sujet, si je voulais analyser les autres questions géométriques

(7) L., (4), VU, 203-211. (*) EP., XVII, 29e cahier, 121-156.
(°) CR. XLI, 55-58, 274-276, 1019-1023, 1155; EP., XXI, 57e cah.,
129-168.
2

QE

traitées par M. Catalan pendant cette période ou un peu au delà.
Je me contenterai de citer, sans entrer dans aucun détail, son
remarquable théorème sur la courbure de la transformée plane
d'une courbe tracée sur une surface développable (5), le Mé-
moire où il a déterminé les trajectoires orthogonales des sections
cireulaires d’un ellipsoïde (51), et enfin une Note sur la projection
stéréographique (52).

VI.

M. CATALAN ET LE COUP D'ÉTAT DE 4831.

Si je voulais être fidèle, d'une manière absolue, à l'ordre chro-
nologique, je devrais vous signaler ici de nombreux articles sur
la théorie des nombres, la géométrie élémentaire, la géométrie
analytique, la statique, ete., dont M. Catalan enrichit la collection
des Nouvelles Annales de mathématiques de son ami Terquem.
Je devrais vous parler aussi de ses Éléments de Géometrie,
publiés en 1845; mais je préfère réunir l'examen de ces écrits,
dans quelques instants, à celui des travaux analogues qu'il fit
paraitre dans la seconde période de sa carrière.

Au moment où nous en sommes arrivés, M. Catalan est dans
tout l'éclat de son talent. Auteur de nombreux Mémoires insérés
dans les premiers recueils scientifiques de la France, Professeur
de mathématiques supérieures au lycée Saint-Louis, Répétiteur
de géométrie descriptive à l'École polytechnique, il semblait tout
désigné pour occuper, à la première occasion, une des chaires de
cette grande École. Hélas! le coup d'État du 2 décembre 1851
vint anéantir les plus légitimes espérances de M. Catalan. Comme
tant d’autres fonctionnaires; il se trouva brusquement placé entre
la douloureuse alternative de prêter un serment qui répugnait

(°) CR., XVII, 758-759; MM., 52-53. (5) L., (1), XII, 485-490;
MM., 288-202. (5) L., (1), XIX, 152-158. Voir aussi, CR., LXXVIII,
1040-1041.

0)

profondément à sa conscience, ou de briser sa carrière. Il n'hé-
sita pas : d'accord avec la digne compagne qui, depuis quinze ans,
s'associait à toutes ses joies et à toutes ses douleurs, il renonça
courageusement au brillant avenir qui s’ouvrait devant lui et
refusa de prêter serment au nouveau pouvoir. Cauchy, en 1850,
avait pris une résolution semblable pour ne point paraître admettre
la légitimité du régime issu des journées de juillet. On peut bien,
dirons-nous avec le biographe de cet illustre géomètre, défendre
ceux qui interprètent d’une manière plus adoucie la portée du ser-
ment prêté par un homme de science, aux divers gouvernements
qui se succèdent, dans un pays comme la France; mais il n’en
faut pas moins réserver un tribut spécial d'estime et d’admi-
ration pour les hommes généreux dont la conscience s’effraie à
la vue des transactions sur ce terrain délicat, et qui préfèrent tout
sacrifier à ce qu'ils pensent leur devoir.

La néfaste journée du Deux-Décembre, dont ses auteurs mêmes,
comme on l’a remarqué, n’osèrent jamais célébrer l'anniversaire,
non seulement fit perdre à M. Catalan la position officielle qu'il
occupait, mais elle le sépara, plus ou moins, de quelques-uns de
ses anciens amis, qui avaient cru devoir se rallier à l'Empire ou
du moins le subir. Il est bien difficile de ne pas voir, dans cette
séparation, l’une des causes de certains insuccès de notre cher
jubilaire.

À partir de 1852, M. Catalan fut chargé, en tout ou en partie,
de l’enseignement préparatoire à l'École polytechnique, dans les
institutions Jauffret, Barbet, Lesage, ete. C’est pendant cette
période de sa vie qu'il publia les admirables Manuels qui l'ont
fait connaitre du monde des Écoles comme ses Mémoires l'ont
fait connaitre du monde savant. Ces Manuels, avec la Géométrie
qui avait paru en 1845, forment un cours complet de mathéma-
tiques, depuis les premiers éléments jusqu'aux débuts du calcul
différentiel et du calcul intégral. Qu'il nous soit permis d’en dire
quelques mots, en y réunissant le Cours d'analyse de l’Université
de Liège, publié en 1870.

VIT.

OUVRAGES DIDACTIQUES DE M. CATALAN.

Les divers Manuels de M. Catalan se distinguent, à première
vue, de la foule des écrits analogues, par l'élégance, la clarté, la
concision du style et par l'heureux enchaînement des proposi-
tions (*). Sa méthode d'exposition a aussi quelque chose de carac-
téristique, surtout dans le Traité élémentaire des séries, le Manuel
des candidats à l’École polytechnique et le Cours d'analyse. En
général, 1l préfère élucider les principes fondamentaux de chaque
théorie, moins par des explications abstraites que par de petites
remarques détachées qui font pénétrer le lecteur au fond de la
question traitée; il subdivise si habilement les difficultés qu'elles
semblent peu à peu s'évanouir. La plupart des Manuels de
M. Catalan contiennent d’ailleurs des applications nombreuses
qui aident beaucoup à l'intelligence complète des théories propre-
ment dites; puis des questions graduées et bien choisies. Le plus
souvent ce sont de véritables questions qui exigent, pour être
résolues, quelque esprit d'invention; il y en a même qui suppo-
sent déjà, chez le lecteur, une grande habileté dans le maniement
du raisonnement ct de l'analyse.

Dans plusieurs de ces Manuels, outre les qualités de la forme,
outre l’excellente disposition des matières, il y a des vues mathé-
matiques, nouvelles à l'époque de leur publication, et qu'il importe
d'autant plus de signaler qu'elles sont devenues ou tendent à
devenir classiques, sans que personne songe à en faire honneur
à M. Catalan.

Les Éléments de Géométrie parurent en 1845. Le plan de

(‘) Voir, à la fin de ce discours, la liste des ouvrages publiés par
M. Catalan, ailleurs que dans des Recueils scientifiques.

oil iue
l'ouvrage est le mème que celui de la Géométrie de Legendre.
Comme Legendre, mais d’une manière plus systématique encore,
l’auteur introduit partout, à la place des relations entre les gran-
deurs, les relations entre les nombres qui les mesurent; et, en
conséquence, plus encore que son illustre prédécesseur, il ose
recourir à l’Algèbre. C’est, on le voit, l’antithèse de la méthode
euclidienne. De plus, M. Catalan améliore, en une foule de points
de détail, l'enseignement traditionnel de la géométrie ; il substitue
partout, par exemple, la méthode des limites aux méthodes plus
lentes des anciens et de Legendre. Mais ce n'est pas là ce qui
est vraiment original dans son ouvrage. Ce qui le caractérise
essentiellement, au point de vue philosophique, c'est la manière
dont sont définies les longueurs des lignes courbes, les aires des
surfaces courbes ou des surfaces planes terminées par des courbes,
et les volumes des corps ronds. Pour lui, « l'aire d’une figure
plane terminée par une courbe est la limite des aires que l'on
obtient, en inscrivant à cette courbe une série de polygones con-
vexes dont les côtés diminuent indéfiniment, de manière à devenir
moindres que toute grandeur donnée ». Cette limite est unique
d’ailleurs, d’après un théorème de Newton, retrouvé par Cauchy.
L'auteur définit de même les longueurs des lignes courbes, les
aires des surfaces courbes, etc.

Cette idée nouvelle de M. Catalan scandalisa- ses collègues
de 1845. L'un d'eux disait, à cette époque, en parlant de la
Géométrie : « Peut-être trouvera-t-on que l’auteur a été trop loin
en introduisant l’idée de limite dans les définitions mêmes (55) ».
L'impression générale fut que, en effet, il avait été trop loin.
Sous l'influence des écrits de Duhamel, la manière de voir de
M. Catalan ne fut admise qu'à moitié, c'est-à-dire pour les
longueurs et les aires courbes, mais non pour les aires planes
et les volumes. Mais à la fin, la logique a triomphé, grâce
surtout à la publication de la seconde édition des Éléments de
Géométrie en 1866, qui a révélé à beaucoup de professeurs les
vues complètes de M. Catalan sur ce point. Aujourd’hui, tout le

(55) Tuisaucr, NAM., (1), II, 583-584.

monde admet qu'il faut, dans l'exposition de la géométrie, ou
bien revenir à la méthode euclidienne, ou bien y employer
systématiquement l’arithmétique et l'algèbre, et, dès lors, intro-
duire la notion de limite dans les définitions, même pour l'aire
du triangle et le volume de la pyramide.

Mais cela suppose, dira-t-on, toute une théorie des préliminaires
des nombres incommensurables. Sans doute. Et, précisément,
au point de vue philosophique, le mérite principal de son petit
Manuel d’Arithmétique et d’Algébre, c'est d’avoir exposé cette
théorie, comme il le fallait, il y a trente ans, à une époque où
personne n'y songeait. Dans ce petit ouvrage, qu'il faut compléter
par les premiers chapitres du Manuel des candidats à l’École
polytechnique, M. Catalan définit d'abord, avec Cauchy, le nom-
bre incommensurable, comme la limite d’une suite de nombres
commensurables; il s’aide, auxiliairement au moins, d'une
représentation géométrique, pour faire saisir l'existence de cette
limite. Ensuite (et c'est ce qu'il y a d'original dans sa manière de
voir), il transporte de nouveau l'idée de limite dans la définition
d’un produit de deux incommensurables en disant que c'est la
limite du produit des nombres commensurables dont les facteurs
sont les limites. Récemment, Heine, Dedekind, G. Cantor,
Lipschitz et, après eux, beaucoup d'autres, ont développé des
idées semblables, sans se douter, semble-t-il, que notre collègue
les avaient devancés dans son Arithmétique.

Nous devons signaler, absolument dans le même ordre d'idées,
la manière dont M. Catalan a défini les opérations sur les
quantités négatives. L'un des premiers encore, le premier peut-
être, il a remarqué, comme pour les incommensurables, qu'il
faut prendre pour définition les égalités, qu’il y a un siècle,
on voulait démontrer, parce que l’on posait mal la question. De
cette manière s’évanouissent toutes les difficultés qui tiennent à
ce point de doctrine. Sous une forme ou sous une autre, c'est
ainsi que procèdent maintenant tous Îles auteurs au courant de
la question. Les uns, toutefois, énoncent et les autres sous-enten-
dent cette remarque essentielle : les conventions relatives aux
quantités négatives ne sont pas arbitraires; bien plutôt elles

RE LEA COS

s'imposent, si l’on veut que les règles du calcul algébrique soient
générales.

Je n’abuserai pas de votre patience, en vous parlant aussi
longuement des autres ouvrages didactiques. Je n’en dirai
qu'un mot.

Les Théorèmes et Problèmes de Géométrie, dont six éditions
ont paru depuis 1852, constituent le meilleur recueil de ce genre.
Il est impossible, croyons-nous, de réunir plus de matériaux en
moins de pages, tout en restant toujours clair.

.Le Traité élémentaire de géométrie descriptive est classique
en France et en Belgique. Les notions fondamentales sur les
surfaces réglées y sont exposées avec plus de soin que dans
maint ouvrage plus complet.

Dans le Manuel des candidats à l’École polytechnique, nous
signalerons l’Algèbre, où, en particulier, toutes les questions
relatives à la résolution numérique des équations sont traitées
d’une manière à la fois simple et complète, grâce à un judicieux
usage de l'intuition géométrique ; la Géométrie analytique, résumé
sobre, concis, admirablement elair, d’un cours lithographié plus
étendu. C’est dans ce cours que M. Catalan a démontré plu-
sieurs théorèmes remarquables, apparentés avec ceux de Pascal
et de Brianchon, dont M. Folie, qui les a trouvés de son côté,
a fait ressortir l'importance, il y a quelques années (5#).

Le temps et la compétence me manquent à la fois pour vous
parler des autres manuels de M. Catalan, la Mécanique et la
Cosmographie. Je passerai rapidement aussi sur le Cours
d'analyse. La seconde édition de cet ouvrage, plus encore que
la première, à cause du chapitre additionnel sur les lignes à
double courbure, est une excellente introduction aux Traités
plus étendus; introduction théorique et pratique à la fois, et
très complète, sous un petit volume. On y rencontre, à chaque
page, des points de détail exposés d’une manière personnelle, et
parfois d'heureuses trouvailles, comme le procédé d'intégration
des fractions rationnelles et la démonstration si simple de

(5) NAM. (4), XI, 173-174; BB., (2), XLVI, 946-949, 379-581.

op

l'important théorème : une fonction continue dont la dérivée est
nulle est constante.

Enfin, je ne puis pas oublier le Traité élémentaire des séries,
opuscule de cent trente-deux pages qui renferme, comme l’au-
teur le dit avec raison, beaucoup plus de choses qu'on ne serait
tenté de le croire au premier abord. Dans aucune partie de
l'analyse, en effet, M. Catalan n'est plus dans son propre domaine
que dans la théorie des séries. C’est un sériéiste, comme l’ap-
pelait Terquem; il connaît les séries une à une, comme nous
connaissons les propositions élémentaires de la Géométrie. Dans
son livre, il expose les vrais principes de la théorie de ces
expressions remarquables, sur lesquelles le X VIIT: siècle avait
accumulé tant de nuages; il les expose avec une telle profusion
d'exemples et d'applications que le lecteur en est ébloui et
presque épouvanté. Chemin faisant, il relève les erreurs et les
contradictions des esprits attardés qui osent encore traiter les
séries divergentes ou indéterminées, de la même manière que
si elles étaient convergentes.

Partout, en un mot, il se souvient de cette vérité si importante
et qu'il a d’ailleurs inculquée dans tous ses autres ouvrages (55) :
l'infini, en mathématiques, n'est qu'une manière de parler; en
réalité, il s’agit de limite, quand on parle de l'infini (Gauss).

Le Trailé élémentaire des séries n'a pas encore été remplacé,
el il reste, pour le savant comme pour l'étudiant, le manuel
classique sur la matière, malgré quelques petites imperfections,
presque inévitables à l'époque où il a été écrit.

(55) Sur les séries, voir encore, NAM., (1), II, 570-572; XVIII, 195-198;
(2), XIE, 60.

MER L'ORERE

VAII.

RECHERCHES DIVERSES DE M. CATALAN, JUSQU’A SON ARRIVÉE
EN BELGIQUE.

L'ouvrage dont nous venons de parler avait été préparé par de
nombreux articles publiés dans divers Recueils, par exemple,
dans les Comptes rendus de l'Académie de Paris, sur la série
harmonique (55) et sur les cas limites de la formule du binôme (57).

Un Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques
intégrales définies, présenté en 1865 à l'Académie de Bruxelles,
en est le complément (58). C'est là que, par une méthode ingé-
nieuse, M. Catalan calcule la célèbre constante G, au moyen de
laquelle il a exprimé tant d'intégrales définies, dans un travail
publié par l'Académie de Saint-Pétersbourg en 1885. Il est
impossible de donner une idée de ces recherches sans recourir
aux hiéroglyphes de l'algèbre, et je dois me contenter de cette
mention rapide.

En 1859, M. Catalan publia, dans les Annales de Tortolini, ses
premières recherches sur les Nombres de Bernoulli, sujet qu'il
n'a plus abandonné depuis et sur lequel il est arrivé à divers
résultats remarquables (5°). Un de ses élèves devrait les réunir
et Les résumer pour le publie savant.

Trois ans plus tard, une étude curieuse sur un article mal

(55) CR., XLIIT, 626-650 ; MM., 164-167; MB., XLII, Votes, 22-95.

(57) CR., XLV, 641-644 (inséré en note à la fin du Cours d'Analyse
de Srurm, publié par Prouner); NCM., I (Are édition), 121-195.

(55) MCB., XXXIIL, 1-50; CR., LIX, 618-620. Voir aussi MM., 223-251.

(®) Reproduite MM., 115-120; voir aussi 110-145, 121-127, 127-159,
515-554; NAM., (1), XV, 250-255; CR., LIV, 1050-1055, 1059-1062 ;
LVI, 415-416; LVIII, 902-905, 1105-1108; LXXXI, 441-445; MB.
XXXVIL, 1-19; XLII, Notes, etc., 15-16, 26-28; NCM., IV, 119.

rio pu

rédigé du Code civil, l'article 757 (4), le conduisit à des trans-
formations de séries, dont il déduisit d'innombrables conséquences
dans un Mémoire publié, en 1870, par l’Académie pontificale
des Nuovi Lincei (41).

S'il était possible d'être complet, il faudrait encore citer diverses
Notes insérées aux Comptes rendus, sur les équations du troi-
sième degré (#2), sur la détermination du nombre des racines
imaginaires des équations (#5), sur une application du binôme
aux intégrales eulériennes (##); puis dans d’autres recueils, sur
la théorie des roulettes (#5).

En 1865, M. Catalan présenta à l’Académie de Belgique un
Mémoire Sur les lignes de courbure du lieu des points dont
la somme des distances à deux droites qui se coupent est con-
stante (#6). Il résout cette question dans le cas particulier où les
droites sont perpendiculaires; mais, en même temps, il traite divers
problèmes relatifs aux lignes de courbure, aux surfaces-canaux,
aux surfaces parallèles et aux systèmes triples orthogonaux. C’est
là qu'il a exposé, sur ce dernier sujet, des vues nouvelles qui ont
donné naissance, plus tard, à une Note publiée dans les Comptes
rendus (#7) et renfermant des résultats très dignes d'attention,
mais peut-être difficiles à établir avec une entière rigueur.

J'ai hâte d'arriver à un Mémoire plus important qui est cer-
tainement, avec le travail sur les Élassoïdes de 1855, le plus beau
de ceux que l’auteur ait écrits pendant la seconde période de sa
vie : je veux parler de son Mémoire sur les polyèdres (5), des-
tiné, dès le premier jour, à devenir classique, comme ses recher-
ches de 1839 sur la transformation des intégrales multiples.
L'auteur a raconté lui-même, dans une brochure un peu vive
peut-être, intitulée : Histoire d’un concours, l’origine et les des-
tinées de ce Mémoire.

(®) MM. 251-254; NAM,, (2), M, 107-111.

() AP. XXII, 1 pagesin-4e. (‘) MM., 202-205; CR., LIV, 659-660.

(5) CR. XLVII, 797-800. (‘*) CR., XLVII, 545-549; MM., 150-162.

(5) NAM., (1), XV, 102-108; MM., 49-51, 181-184; BB. (2), XX VII,
144-145. (5) MCB., XXXII, 1-54. (1) CR., LXXIX, 28-52.

(5) EP., XXIV, 41e cahier, 4-71; MM., 206-208.

Pa oyi

En 1861, l'Académie des sciences de Paris mit au concours
une question ainsi formulée : Perfectionner, en quelque point
important, la théorie géométrique des polyèdres. Pendant plus
d’un an, M. Catalan ne trouva rien sur cette question qui sem-
blait épuisée après les travaux de Cauchy, de Poinsot et de
M. Bertrand. Mais enfin, un certain jour, un commencement de
lumière se fit, et, peu à peu, il imagina la construction d’une sorte
d'échiquier dont les pièces, disposées d’après ecrtaines règles,
correspondent aux éléments du polyèdre supposé; si toutes ces
pièces ne peuvent être placées, le polyèdre n'existe pas. Cette
ingénieuse découverte ramenait la théorie de la possibilité des
polyèdres à l'analyse indéterminée du premier degré et à un
problème analogue à celui du Cavalier, du Solitaire, ete.

M. Catalan expose, dans son Mémoire, cette réduction de la
question, en la faisant précéder d'une discussion originale et
très complète des conséquences de la célèbre formule de Des-
cartes et d’Euler, sur la relation qui existe entre les nombres
d’arêtes, de faces et de sommets d’un polyèdre. Nulle part,
croyons-nous, il n’a été plus clair, plus simple et plus coneis que
dans cette première partie du travail que nous analysons.

La seconde est une monographie des polyèdres semi-réguliers,
c’est-à-dire ayant des faces régulières et des angles égaux ou des
angles réguliers et des faces égales. Pappus a fait connaitre som-
mairement, et Képler a décrit, en quelques pages, treize polyé-
dres semi-réguliers du premier genre dont l'invention remonte
à Archimède (Harmonia mundi, HW, 28; Œuvres, V, 125-126).
Lidonne (Tables de tous les diviseurs des Nombres, calculés depuis
un jusqu'à cent deux mille. Paris, in-8°, 1808; voir p. 185-218)
en fit aussi un catalogue assez informe, en ajoutant treize fois,
aux données de Pappus et de Képler, cette proposition fausse :
Les polyèdres d’Archimède sont à la fois inscriptibles et circon-
scriptibles à une sphère (*). Enfin, d’après Baltzer, treize polyé-
dres du second genre, conjugués des précédents, avaient été
signalés, en 18592, dans la Trigonométrie de J.-H.-T. Müller.

(”) 1 affirme aussi qu’il ne peut y avoir plus de treize polyèdres semi-
réguliers (p. 186).

La ME

M. Catalan traite la question d’une manière autrement com-
plète; il prouve qu'il y a, non pas treize, mais quinze polyèdres
du premier genre et pas davantage; que les deux nouveaux ont
une infinité de formes possibles; qu'ils sont tous inscriptibles. II
calcule tous les éléments de ces polyèdres qu'il représente dans
des épures admirablement soignées. Il démontre, de même,
l'existence de quinze polyèdres semi-réguliers, du second genre,
lesquels sont circonseriptibles à une sphère et conjugués des
premiers; il en donne aussi la représentation géométrique sur
deux plans de projection.

Tout, dans ce Mémoire, est remarquable et vraiment définitif
sur les questions traitées : les conséquences nombreuses du
théorème de Descartes et d'Euler, la représentation, sur un échi-
quier, des solides à facettes, la théorie des polyèdres semi-régu-
liers. Il n'obtint néanmoins pas le prix; le Rapporteur ne semble
pas avoir fait attention à la première partie du Mémoire et il a
cru, à tort, que les travaux antérieurs sur les solides d’Archi-
mède avaient une valeur scientifique sérieuse. Heureusement le
Mémoire put être publié dans le Journal de l’École polytechnique.

IX.

NOMINATION DE M. CATALAN A LIÉGE.

Quelque élevé que soit l’enseignement des grandes écoles pré-
paratoires de Paris, il était évident que M. Catalan, auteur de
tant de beaux Mémoires d'analyse et de géométrie, y occupait
une position inférieure à son mérite. Depuis longtemps déjà, sa
place était marquée dans l’enseignement supérieur. Ce fut l'Uni-
versité de Liège qui eut à la fois l'honneur et la bonne fortune
de lui offrir une chaire digne de son talent; cette chaire était
celle que venait de quitter M. Schaar, ce maitre éminent dont
je suis heureux de rappeler le souvenir en ce jour, moi son disciple
et son successeur à Gand. M. Catalan fut nommé Professeur
ordinaire à la Faculté des sciences de Liège le 1° mars 1865

= 99"

et chargé des cours de calcul différentiel et de calcul intégral,
d'analyse supérieure et de calcul des probabilités.

Pendant les vingt années qu'il a occupé cette chaire, il a main-
tenu l’enseignement de l’analyse à la hauteur où l’avait élevé son
prédécesseur. IT a fait plus : il en a agrandi le cadre, en introdui-
sant, chaque année, dans ses cours du doctorat, les résultats de ses
dernières recherches. Comme à Paris, il s'est montré professeur
distingué : là-bas, il avait préparé aux études d'analyse et de
géométrie transcendantes, les Hermite, les Mannheim et tant
d’autres qui occupent maintenant les positions les plus élevées
dans la science; il en avait deviné et fait éclore le talent mathéma
tique. Lei à Liège, il a guidé dans leurs études d'innombrables
élèves de l'École des Mines et de la Faculté des sciences ; quel-
ques-uns, plus spécialement ses disciples, sont devenus ses col-
lègues et se sont déjà fait connaitre par des publications remar-
quables. Leur légitime succès, dans le monde savant, a son ori-
gine première dans l'enseignement de M. Catalan et en est le

plus bel éloge.

La même année 1865, notre cher collègue fut nommé Associé
de l’Académie de Bruxelles, dont il avait été le lauréat, un quart
de siècle auparavant. Depuis cette époque, il n'a cessé d’enri-
chir de Mémoires, de notes et de rapports les recueils de notre
premier corps savant. La liste seule de ses publications acadé-
miques occupe sept ou huit pages de la Table des Bulletins,
en petit texte. D'autres sociétés savantes s’empressèrent de l'ap-
peler dans leur sein : la Société royale des sciences de Liège,
l'Académie pontificale des Nuovi Lincei, à qui il a envoyé de
beaux travaux sur les fonctions elliptiques et l’Arithmétique
supérieure; la Société mathématique d'Amsterdam, qui l’a élu
membre d'honneur, il y a quelques années; enfin, plus récem-
ment, l'Académie de Saint-Pétersbourg, où il a trouvé dans
l'illustre mathématicien qui préside à cette solennité (*) un

digne appréciateur de ses travaux (**).

() M. Tchébycheff, venu de Saint-Pétersbourg à Liège, pour la remise
du portrait offert à M Catalan par ses élèves et ses amis.

(*) M. Catalan a été nommé associé de l’Académie de Turin, peu après
la cérémonie du 7 décembre 1884.

0

Comme on le voit, l'heure de la réparation a sonné pour
M. Catalan, du moment où il a foulé le sol de sa première patrie.
Et pourquoi ne le dirais-je pas? il y a trouvé, non seulement la
position que son mérite lui donnait le droit d'espérer, mais aussi
des institutions politiques plus en harmonie avec ses aspirations
que celles de la France impériale.

X.

TRAVAUX DE M. CATALAN, DEPUIS 1865.

Pour terminer ma tàche, Messieurs, il me reste à vous entre-
tenir des travaux de M. Catalan pendant les vingt dernières
années. À aucune époque de sa vie, il n’a pu se livrer plus com-
plètement à ses recherches de prédilection que depuis sa nomi-
nation à Liège. Plus encore qu'auparavant, il a su donner car-
rière à son imagination inventive en analyse et en géométrie.
Mais, à cause de cela même, ses travaux sont d’une nature plus
spéciale que ceux dont j'ai parlé antérieurement; d’ailleurs, la
plupart ont été publiés en Belgique et sont sans doute connus de
ses élèves et de ses amis. Je me contenterai donc d’en esquisser,
à grands traits, l'objet et les résultats, en suivant plutôt l’ordre
logique que l’ordre chronologique. Je vous parlerai done, suc-
cessivement, de ses recherches en théorie des nombres, en ana-
lyse et en géométrie.

Tout le monde connait la partie élémentaire de la théorie des
nombres, l’arithmétique usuelle; mais on ignore généralement
qu'il existe une arithmétique supérieure dont l'étude présente
plus de difficultés que n'importe quelle autre partie des mathé-
matiques, parce que le géomètre n'y est plus guidé, comme en
analyse, en géométrie et en mécanique, par la loi de continuité.
Les nombres sont des entités discrètes, séparées ; ceux qui sont

RENE +

voisins les uns des autres dans leur suite naturelle ont, presque
toujours, des propriétés radicalement distinctes.

M. Catalan s’est occupé, toute sa vie, de questions relatives à la
théorie des nombres, comme en témoignent les articles publiés
dans le Journal de Liouville, les Nouvelles Annales de mathé-
matiques, la Nouvelle Correspondance mathématique, sur l'ana-
lyse indéterminée (4°), les fractions continues (°°), la partition
des nombres (5!), sur le dernier théorème de Fermat (#?), sur
une formule de Tehébycheff (55), ete., ete. Mais, c'est surtout
dans ces dernières années qu’il a écrit, sur la matière, de grands
Mémoires spéciaux. Je citerai, en particulier, le Memoire sur
quelques décompositions en carrés (5#) et les Notes sur la théorie
des fractions continues et sur certaines séries (%5), qui ont paru
en 1884.

Le premier contient d'innombrables théorèmes déduits, pour
la plupart, d’identités très simples et relatifs à la décomposition
d'expressions diverses en une somme de carrés. Je citerai, par
exemple, celui-ci : toute puissance entière d’une somme de trois
carrés est aussi une somme de trois carrés. Les arithméticiens
remarqueront surtout, dans ce travail, ce qui se rapporte à un
théorème célèbre de Gauss. M. Catalan établit qu'un des polv-
nômes considérés par le grand géomètre de Gœttingue est à la
fois décomposable en quatre et en cinq carrés.

Les Notes sur les fractions continues échappent, par leur nature
même, à toute analyse. Nous devons signaler toutefois les déve-
loppements nouveaux obtenus par l’auteur pour la racine carrée
d'un nombre; puis, les résultats relatifs à diverses séries ellip-
tiques, suite et complément d’un Mémoire dont nous parlerons
plus bas.

() NAM., (4), II, 97-401; MM., 21-25, 58-40, 99-105, 248-251; NAM.,
(2), VI, 63-67, 276-278. (5) NAM., (1), IV, 126-150, 257-259, 405-409 ;
VIN, 154-209 ; MM., 75-98. (%) MM., 16-18, 18-21, 62-64, 505-519;
NAM,, (2), VIII, 407-414. (#) MM., 196-202. (5%) NCM., IV, 508-515.

(5) AP., XXXIV, 5 p. in-4°, XXXV, 14 p. in-4e, XXXVII, 66 p. in-4°.

(5) MB. XLV, 1-82. Voir aussi BB., (3), V, 612-618.

LA tro

La seconde branche des mathématiques pures, l’analyse ou
théorie des fonctions, comprend, d’abord, une partie relative-
ment élémentaire, le caleul différentiel et le calcul intégral, tels
qu'ils sont enseignés dans nos grandes écoles techniques; puis une
partie supérieure, qui offre aux géomètres un champ d'études,
pour ainsi dire, indéfini. Jusqu'à présent, ils ont exploré prinei-
palement trois provinces de cet immense domaine, la théorie
des fonctions eulériennes, celle des fonctions sphériques ou poly-
nômes de Legendre, enfin celle des fonctions elliptiques, hyper-
elliptiques, abéliennes, ete. M. Catalan a laissé sa trace dans
chacune d'elles par des œuvres remarquables. |

Sur les intégrales eulériennes, indépendamment de Notes
publiées autrefois dans les Comptes rendus et ailleurs, il a fait
paraitre, depuis dix ans, trois Mémoires in-#°. Le premier est
intitulé : Sur la constante d’Euler et la fonction de Binet (55)
et se trouve dans le Journal de Liouville de 1875; le deuxième
est inséré dans les Mémoires de notre Académie, pour 1877 (#7);
le troisième enfin a eu l'honneur d’être imprimé dans ceux de
l'Académie de Saint-Pétersbourg (58). C’est le travail sur la con-
stante G, dont j'ai parlé plus haut. Dans tous les trois, notre
savant Collègue fait connaitre la valeur ou les relations mutuelles
d’une foule de séries et d’intégrales définies nouvelles ou an-
ciennes; mais, encore une fois, il est impossible d'en donner
une idée, à moins de recourir aux formules mathématiques.

Les nombreux écrits de notre cher jubilaire sur les fonc-
ions X, de Legendre et d’autres polynômes apparentés sont
tout aussi rebelles que les précédents à une analyse en langage
ordinaire. Les recherches de M. Catalan, sur ce sujet, datent
de 1876 seulement. C’est alors qu'il débute dans l'analyse des
fonctions sphériques par une courte Note lue au congrès de Cler-
mont-Ferrand, devant l'Association française pour l'avancement
des sciences (%?). Depuis cette époque, il n’a cessé d'exploiter,

(55) L., (5), I, 209-240; CR., LXX VII, 198-201. (57) MB. XLIHI, 1-20.
(55) Mém. de Suint-Pétersbourg, (7), XXXI, 51 pages in-4.
() Association francaise, etc., 1876, pp. 68-74.

avec une ardeur toute juvénile, le nouveau filon qu'il avait décou-
vert (60). Son dernier Mémoire sur la matière est de 1882 et a
plus de cent pages in-4°. Il a fait regretter, au célèbre spécialiste
de Halle, le professeur Heine, d’avoir publié la seconde édition
de son Handbuch der Kugelfunctionen, avant d’avoir pu le con-
sulter.

Dans la théorie des fonctions elliptiques, M. Catalan n’a pas
été moins heureux et moins fécond. Dans une Note publiée par
notre Académie, en 1870, il a coordonné et complété ses recher-
ches antérieures sur l’aire de l’ellipsoïde(6!). Dans deux Mémoires,
qui ont paru à Rome, en 1867 et en 1875 (6?), il a réduit, au der-
nier degré de simplicité, la démonstration du théorème de Legendre
sur la relation entre les intégrales elliptiques des deux premières
espèces, en prouvant qu'elle équivaut à la décomposition de la
sphère, en rectangles infiniment petits, par des coniques sphéri-
ques orthogonales; puis il établit d’autres relations semblables,
et commente ou corrige divers résultats de Legendre sur les équa-
tions modulaires, les intégrales de troisième espèce, ete.

Trois autres notes sur l'addition des fonctions elliptiques, la
transformation de Landen et l'interprétation géométrique que
l'on en peut donner, sont aussi très intéressantes (65). C’est dans
la première que M. Catalan a établi que l'équation différentielle
elliptique peut se ramener à une équation de Clairaut. Cette
réduction a paru si ingénieuse à l'illustre Cayley, qu'il l’expose
dès les premières pages de son Trailé des fonctions elliptiques.
Mais il l’attribue à M. Walton, qui ne l’a publiée qu’un an après
notre savant Collègue.

Mais le plus beau travail d'analyse de M. Catalan sur les fonc-
tions elliptiques et probablement le plus remarquable de tous les
Mémoires qu'il ait écrits depuis vingt ans, ce sont ses Recherches

(°°) MB., XLII, Notes, 5-10; M8B., XXXI, 1-64; MB., XLII, 1-10;
1-40 ; 1-9 (trois mémoires); NCM, VI, 596-402 ; MB., XLIV, 1-104.

(‘:) BB., (2), XXX, 97-104. (‘?) AP., XX, 171-180; XXV, 45 p. in-8e.

(55) BB., (2), XXVII, 145-151; CR., LXXVIIE, 4479-1481; MB., XLII,
Notes, 29-52 ; MB., XLV, 1-20.

CI

— 5% —

sur quelques produits infinis (54). Tous ceux qui ont quelque
teinture d'analyse supérieure connaissent, au moins de nom, les
Fundamenta de Jacobi. La seconde partie de cet ouvrage im-
mortel contient les développements en série et en produits infinis
des fonctions théta et d’une foule de quantités qui en dépendent.
Le rapprochement de divers développements obtenus conduit
Jacobi à des théorèmes d’arithmétique supérieure, sans aucune
connexion apparente avec la théorie des fonctions elliptiques,
celui-ci, par exemple : tout nombre entier est un carré, ou la
somme de deux, trois ou quatre carrés.

C'est dans cette région, d'abord difficile, où la haute analyse
et l’arithmétique supérieure se touchent, que M. Catalan à
pénétré et d'où il a rapporté une ample moisson de faits nou-
veaux. L’idée-mère qui lui a servi dans ses Recherches sur quel-
ques produits infinis est d’une simplicité extrême. Il décompose
les expressions à étudier en un produit de plusieurs expressions
de même genre. Les facteurs et leur produit étant transformés
en séries, il obtient un produit de plusieurs suites infinies égal à
une autre suite infinie, résultat d’où découlent tout naturellement
une foule d’identités. À chacune d’elles correspond un théorème
d’arithmétique supérieure. En voici un comme spécimen : Quand
un nombre n'est pas pentagonal, il admet autant de décomposi-
tions en un nombre pair qu'en un nombre impair de parties iné-
gales. Le Mémoire contient plus de quatre cents formules numé-
rotées, plus ou moins importantes, et les Mémoires ultérieurs de
l’auteur en renferment peut-être encore une centaine; ear il est
revenu à plusieurs reprises sur ce sujet, pour ainsi dire, inépui-
sable, entre autres dans son écrit sur la constante d'Euler.

Tels sont, avec les Mémoires sur le caleul des probabilités
cités au début de cette étude, les principaux écrits de M. Catalan
sur l’analyse et la théorie des nombres, pendant la période qui
nous occupe. L'auteur des belles recherches sur les élassoïdes et

(6) MB., XL, 14-427; comp. MM., 186-187; NAM., (2), XIII, 518-595.

Bean

les polyèdres semi-réguliers ne pouvaient pas non plus délaisser
la géométrie. Aussi ne l’a-t-il pas fait. Il est revenu, encore une
fois, à la théorie générale des surfaces réglées et des courbes
gauches dans trois brochures (65) qui, réunies avec ses écrits
antérieurs analogues, forment, pour ainsi dire, un traité sur la
matière, puis il a publié un remarquable Mémoire sur la surface
des ondes et la transformation apsidale, que je vous demande
encore la permission d'analyser brièvement (66).

Les méthodes générales de transformation des figures sont
l’une des conquêtes les plus fécondes de la géométrie, au
XIX° siècle. Pour en donner une idée, prenons un exemple :
partons d’une figure éminemment simple, la sphère. Si on l'al-
longe d’une manière uniforme dans un sens unique, elle devient
un ellipsoïde de révolution; celui-ei, à son tour, agrandi dans
un sens perpendiculaire au premier, par un procédé analogue,
se transforme en un ellipsoïide quelconque. Soumettez celui-ci
à la transformation apsidale, étudiée avec tant de soin par
M. Catalan, il devient cette surface des ondes imaginée par
Huygens pour expliquer, par la théorie cartésienne de la lumiére,
les phénomènes de la double réfraction. Chaque propriété de la
surface primitive se répercute dans la surface transformée et s'y
dessine, pour ainsi dire, en traits plus marqués. Il semble que
l'on ait transporté, en géométrie, les ingénieuses théories du
transformisme idéaliste des biologistes modernes. Tout ce qui
était confondu, indistinet, non différencié dans la sphère, appa-
rait dans l’ellipsoïde et la surface des ondes avec sa fonction
propre. Tous les points de la sphère sont identiques; sur l'ellip-
soïde, il y a déjà dix points extraordinaires, les six sommets et les
quatre points sphériques. Rien ne trahit ceux-ci aux yeux de
l'observateur vulgaire; mais ils apparaissent, aux géomètres,
comme une singularité naissante. Dans la surface des ondes,
ils sont remplacés par quatre points singuliers, où la surface n’a

(55) M8B., XVII, 1-80; XXIV, 1-48; Mém. de la Soc. royale des sciences
de Liège, (2), VI, 1-79.
(55) MB., XXXVIIL, 1-64; Association française, etc., 1878, 56-62.

pas de plan tangent, mais une surface conique tangente. A leurs
propriétés géométriques correspond l’un des phénomènes les
plus extraordinaires de l'optique, la réfraction conique, que le
génie de Hamilton a découverte, dans ses formules, avant que
l'expérience l’eùt révélée aux physiciens.

Les propriétés de la surface des ondes que je viens d’esquisser
sont connues depuis longtemps. M. Catalan en a trouvé ou
retrouvé une foule d’autres, de la manière la plus naturelle, au
moyen de la transformation apsidale. Dans cette transformation
les points correspondants sont à la même distance d'un pôle
fixe ; le plan de ces trois points contient d'ailleurs les normales
aux deux surfaces, et ces normales sont perpendiculaires entre
elles. Notre éminent Collègue a d’ailleurs étudié les propriétés
générales de la transformation apsidale et l'a appliquée, avec son
habileté ordinaire, aux surfaces parallèles et aux surfaces podaires
ou inverses l’une de l’autre. Son Mémoire est, à la fois, une étude
approfondie sur la plus célèbre des surfaces après les quadri-
ques et une monographie d’une très intéressante méthode de
transformation des figures.

CHER ET VÉNÉRÉ MAÏTRE,

Je termine ici l'analyse de vos savantes recherches. Je crains
bien d’avoir été trop long, au gré de l’impatience de vos élèves
et de vos amis, qui ont hâte de vous acclamer et de vous offrir
un témoignage de leur affection et de leur reconnaissance, plus
durable que mes faibles paroles. Et cependant, vous le savez, à
quelque rude épreuve que j'aie mis votre modestie, en parlant si
longtemps de vos écrits en votre présence, j'ai été bien incom-
plet encore. J'ai passé sous silence plus de cent Notes diverses
insérécs dans vos précieux Mélanges mathématiques, dans les
Nouvelles Annales et dans la Nouvelle Correspondance, cet excel-
lent recueil que vous avez fondé en 1874 et qui continue à vivre
sous un autre nom, grâce à votre patronage et à l'impulsion que
vous lui avez donnée.

De PS

Puisse au moins mon exposé de vos travaux, tout imparfait
qu'il est, avoir donné une idée de leur importance et de leur
multitude à ceux de mes jeunes auditeurs qui ne peuvent encore
les apprécier par eux-mêmes; puisse-t-il leur faire comprendre
au prix de quels labeurs incessants, depuis un demi-siècle, vous
avez enrichi la science mathématique de tant de vérités nou-
velles! Votre vie, en effet, a été consacrée toute entière au tra-
vail, aussi bien au milieu des brillantes espérances de votre
jeunesse que dans les amertumes et les déceptions de votre âge
mür, ou pendant les années plus paisibies passées en Belgique.
Comme on l’a dit de Cauchy, la politique à troublé votre vie,
mais elle n’a pu troubler votre honneur, ni ralentir votre passion
pour les recherches savantes. Le deuil est venu s'asseoir à votre
foyer : la mort vous a ravi vos chers enfants, qui, en ce jour,
hélas! ne peuvent que contempler, du haut de leur suprème
demeure, l'hommage rendu à leur père. Vous vous êtes courbés
sous les coups de la Providence; mais, appuyé sur votre fidèle
compagne, vous avez courageusement surmonté votre douleur,
et puisant des consolations dans l'étude, vous n'avez cessé de
travailler pour la science et pour vos chers élèves, leur donnant
ainsi l'exemple d’un dévouement complet à vos devoirs profes-
sionnels. C’est par là que vous avez conquis leur estime et leur
affection, c'est par là que vous avez conquis celle de ces nom-
breux amis qui vous entourent aujourd'hui. Ils vont enfin pou-
voir vous en donner un témoignage public. Je ne veux plus
retarder l'expression de leurs vœux; mais en terminant, laissez-
moi vous dire, une fois encore, que les miens vous accompagne-
ront dans votre studieuse retraite, et qu'ils partent d’un cœur
profondément dévoué et reconnaissant.

OUVRAGES DE M. CATALAN, PUBLIÉS A PART.

Éléments de Géométrie. À vol. in-8° (Paris, Bachelier, 1845; Liège, Car-
manne, 1865).

Théorèmes et Problèmes de Géométrie élémentaire. À vol. in-8° (Paris, Dunod,
1852; six éditions, la dernière, publiée en 1879).

Traité élémentaire de Géométrie descriptive. 2 vol. in-8° (Paris, Dunod, 1852;
cinq éditions, la dernière publiée en 1881).

Manuel du Baccalauréat ès sciences (Paris, Delalain, 1852; douze éditions)
1 vol. in-12, en cinq parties : Arithmétique et Algèbre, Géométrie, Tri-
gonométrie et Géométrie descriptive, Cosmographie, Mécanique.

Manuel des Candidats à l’École polytechnique. 2 vol. in-12 (Paris, Mallet-
Bachelier, 1857).

Traité élémentaire des séries. À vol. in-8° (Paris, Leciber, 1860).

Cours d'Analyse de l’Universilé de Liège. 4 vol. in-8° (Liège, 1870; 2e édi-
tion, 1880).

Application de l’Algèbre au Code civil. L’Article 757. Broch. in-8° (Paris,
Dentu, 1862; 2° édition, 1871).

Histoire d’un concours. Broch. in-8° (Liège, Carmanne, 1865; 2e édition,
1867).

Notions d’Astronomie. À vol. in-18 (Bibliothèque utile; trois éditions).

MÉLANGES
ATHÉMATIQUE

PAR

EUGÈNE-CHARLES CATALAN.

Ancien élève de l'École polytechnique, Professeur émérite à l’Université de Liège;
Associé de l’Académie de Belgique, de l’Académie des sciences de Toulouse
et de la Société des sciences de Lille;
Correspondant des Académies de St-Pétersbourg, de Turin, des Vrovz Lincet;
Membre de la Société des sciences de Liège,
de la Société mathématique de France et de la Société philomathique de Paris;
Correspondant de la Société mathématique d'Amsterdam,
de l’Institut national génevois, de la Société havraise d’études diverses
et de la Société d’agriculture de la Marne.

« Ceci est mon testament. »

TOME PREMIER.

AVERTISSEMENT.

J'aurais voulu, dans une courte préface, faire con-
naître l’origine de ce livre, en expliquer l’épigraphe,
et remercier la Société des sciences, de Liège, pour
la généreuse hospitalité qu’elle m’accorde. Une grave
maladie m’empêche, quant à présent, d’exécuter ces

projets.

Liège, 25 avril 1885.

de.

MÉLANGES

MATHÉMATIQUES.

EL — Sur les combinaisons avec répétition. (1838) (‘).

Le terme général du développement de
(a@+b+c+ + 01)"
est, comme l'on sait,

4.9.5...m
SCO RP RETIRE GRISES EDS ET

ax bB c? … t?, (1)

les exposants æ, B, y, …, 0 satisfaisant à la condition
a+p+y+ +0 m. (2)

Le nombre des termes de ce développement est celui des
solutions, en nombres entiers non négatifs (**), de l'équation (2),

(*) Cette Note, qui a paru dans le Journal de Liouville (t. HT), a été écrite
à l’occasion d’un Mémoire de Brianchon (Journal de VÉcole polytechnique,
25° Cahier).

(””) C’est afin d'éviter toute ambiguité que j'emploie cette locution :
nombres non négatifs, bien qu’elle me paraisse constituer un véritable pléo-
nasme : un nombre, c'est-à-dire le rapport de deux grandeurs de même
espèce, est essentiellement positif.

12 Quel

qui renferme n inconnues, n étant le nombre des termes du
polynôme proposé; ou le nombre de manières dont il est pos-
sible de former une somme m avec n nombres entiers, positifs
ou nuls; ou enfin le nombre de combinaisons que l’on peut effec-
tuer avec n lettres différentes, prises # à m, chaque lettre pou-
vant entrer 0, 1, 2, …, » fois dans chaque combinaison. C'est
de ce dernier point de vue que je considère la question, et je
représente par N le nombre cherché.

Afin de trouver N, j'observe que, pour former les combinai-
sons avec répétition dont il s’agit, on pourrait employer le moyen
suivant : |

a, b, c étant, pour fixer les idées, trois lettres qu'il s’agit de
combiner 7 à 7 :

1° Prenons la quantité a'b'c'd'e’f'g', qui renferme 7 lettres
accentuées, écrites dans l’ordre alphabétique;

2° Dans un terme quelconque égal à celui-là, effaçons 1, 2
ou 3 lettres (en général, n lettres au plus si n est <m, m let-
tres au plus si n est > m); puis remplaçons chaque lettre effa-
cée par une des lettres a, b, c (en général, par une des lettres
a, b,c, …, t), en ayant soin que, dans chaque terme ainsi formé,
les lettres sans accents n'offrent pas d'inversion alphabétique;
qu'aucune ne soit répétée; et qu’une suite de lettres accentuées
soit toujours précédée d’une lettre sans accent (ce qui exige que
l’on efface toujours la lettre a’).

Nous obtiendrons ainsi une suite de termes tels que

abic'be fab abc dieico bb cd que (A)

3° Enfin, dans chacun des termes de la suite (A), remplaçons
chaque lettre accentuée par la lettre sans accent qui la précède.
Nous aurons la nouvelle suite :

aaabbbb, abbbbec, bbbbecc… (B)
Si l'on a effectué sur la quantité a'b'c'd'e'f'q" les opérations

indiquées, de toutes les manières possibles, la suite (B) renfer-
mera toutes les combinaisons avec répétition demandées.

RP

Or, la suite (A), qui contient autant de termes que la suite
(B), est formée des combinaisons simples des 6 lettres b', c', d’,
e', f,g et des 5 lettres a, b, c, prises 7 à 7. Donc, en général,

N = Ce MIT CHERS #n—19
savoir
n+m—A1 n+-m—Q n

INÈ— 900 9 5
| 2 m 6)

ou
M+i1 m+) M + n —1À

(9

1 2 n — 1

Les formules (3) et (4) donnent le nombre des termes du
développement dont (1) est le terme général.

Addition. — (Mars 1881.)

La démonstration précédente peut être abrégée (*).
Soient les combinaisons

aaabbbb, abbbbce, bbececc, aaaaacc,… (B)

4

Dans chacune, substituons, à chaque lettre répétée, le rang
qu'elle occupe : la suite (B) sera remplacée par

a25b567, ab54dc7, b2c4567, a2545c7,.…

Cette nouvelle suite contient toutes les combinaisons, simples,
des 3 lettres a, b, c et des 6 nombres 2, 5, 4, 5, 6, 7; ete. (**).

(*) Cours d’analyse de l’Université de Liège.
("*) Un récent numéro des Comptes rendus renferme une démonstration

de la formule
N = Cau+ m—ai, mn»

remarquable par la longueur : elle contient trois pages!

EE

EX. — Aire de l’hyperboloïde à une nappe. (1839.)

I. Soit
x’? 12 z'?
Dee an D

l'équation de l'hyperboloïde. L'aire de la partie de cette surface
comprise entre le plan des xy et un plan parallèle au premier
est déterminée par la formule

| 272 2
Pr ee
A — ke dx'dy" £ ' p F Fa 9 (2)
OU
+ — À
c> Ga

dans laquelle x' et y’ doivent recevoir toutes les valeurs posi-
tives satisfaisant aux conditions

"2 12
CAR (5)
a G° > D F

i

12 PAC] 2
ANNE (4)
a? 2 < A

> 4

k est la distance des deux plans-limites, ou la hauteur de la zone
hyperboloïdique.

IT. Si nous posons, pour abréger :

x’ y! y? ,2 à le? :
A ES RESTE 0 Ed (6)
c 6 ù GE 6° y°
les relations précédentes deviennent
; a°x° + by — 1
À — 428 dxdy ; : - (6)
LH Yy-A
CURE (7)

2
LA V7 lerCe (8)

NE Ve

IL Afin de réduire l'intégrale double (6) à une intégrale
simple, j'emploie la méthode exposée dans mon Mémoire sur la
réduction d’une classe d’intégrales multiples, c'est-à-dire que je
suppose, simultanément :

oies f) AGE Le (9)
nat 150, CTP US (10)

alors la formule (6) devient
a= 408 fV,; (11)

0

et le problème est réduit à trouver l'intégrale (9), ou seulement
sa dérivée relative à v.

IV. À cet effet, soient

Œ==UC0SP, Y—USINY;
d'où

T ARTE |
F (v) =f ? def udu V'{a* cos © + b?sin*o) uw — 1;
. "

el, par conséquent,

1d.F Z
En Jde g + sing) (+ 0 — 1. (12)
(( LA

0

Tv

Au moyen de cette valeur, la formule (11) devient
A — 16 f'ef du V/(a? cos" o + bsin?o@)(1 + n°) — 1. (15)
‘0 0

V. En général,
y en —_— sv P+ Pr-
Pareil. CE AA
2] Vp Don

0

(") Cette lettre désigne un logarithme népérien.

donc
VA duV”(a? cos” @ + b°sin*o)(1 + v*) —1
0
1 a’cos’o+b’sino—1 |
o+b*sinp eg )

(a V/(a*cos"o+0* sin* @)(1 + €) —1 +

L

V’a?cos’o+b’sin’o

en posant, pour abréger,

cV/a* cos’ o + b sin? @ + V/(a° cos © + L’ sin’ @) (1 + «) —1

D —

Va? cos? o + bsino—1

La substitution dans la formule (15) donne

À — 2caf [ue (a cos®@ + b°sin’@) (1 + c*) —1
‘a

T 2 2 Ein
Ta cos © + bsino—1 bp
Lo RQ à,

V/ a? cos? o + b°sin*o@

d'où enfin, à cause des valeurs (5) :

9h rZ
A — ee 1 ? do Vas + (h° + 97) (6 cos" o + &* sin* +)
V.
0 à (14)

: 22 9 CHARS
JE B* cos” ® + &° sin o P
+ 2° [ ‘do NUE
Vas? + y*(6* cos’ ® + a sin? o)

€
0

@, représentant la quantité

NV + y 4B'cos + sin o) +V hp + y UhE + 7°) (B'eos p-+a*sin'o)

AVAST DO
7° V6 cos*o + a*sin*o

Addition. — (Août 1865.)

VI. Les trajectoires orthogonales des sections parallèles au
plau des xy sont caractérisées par l'équation

œy'dx" — Ex dy = 0. (15)

DUOT MARS

Soient ds l'élément d’une section parallèle, do l'élément d’une
trajectoire : dA = dsds.

Premièrement, si l’on différencie l'équation (1) en y suppo-
sant z’ constante, et que l'on fasse, pour plus de symétrie,

FPS RE EE VO RU MERE
= - V3 + y 00s 0, D EVE isine,
œ Y 6 04
on trouve
Vér e È
ds = ——— V $c0s* 8 + à? sin? 9 db. (16)
7 :

En second lieu, l'équation (1), différenciée par rapport aux
trois variables, donne

228?
2 1 ! 2 , i DATE)
Bax'dx" + «y'dy — tre dz';
d'où, à cause de la relation (15) :
2649 442 4
XX Z x 5" y 2
D RE ON re) us te RUR OU EAUNUnNSS
y + Br) PE + Er)
ou, ce qui est équivalent :
a PIN (024 cos 4
to — f EE = =—— ,
VALVE Er SNA 0 EE 5 ACOSAD
20 z'dz' G
æœ Z AZ sin 4
dy =—

Y Ver + a° sin 6 + 6° cos* 4

Il résulte, de ces valeurs,

de = à 7 si
o— (z' ————— ————— + |. 17
ï v° (2°? + y°)(& sin* 6 + 6° cos’ 6) (D

Par suite,

dA = — dédz / [e*8? + y? (a°sin*4+ Bcos’6)]z "+9 (x'sin"0 + B°cos6);
91

ou plutôt

A cause des notations (5), la relation (18) ne diffère pas de la
formule (15).

VII. Ce rapprochement donne lieu à la remarque suivante : la
méthode dont j'ai fait usage, en 1839, pour ramener aux qua-
dratures l’aire de l’ellipsoïde, équivaut à la décomposition de la
surface en rectangles curvilignes. Cette décomposition, très
laborieuse quand les rectangles sont déterminés par les lignes
de courbure (*), devient incomparablement plus simple lorsque
ces éléments résultent de sections parallèles à l’un des plans
principaux, et de leurs trajectoires orthogonales.

Autre addition. — (Octobre 1881.)

A la fin d'une Note sur la détermination de l'aire de lellip-
soïde (**), j'ai donné la relation suivante :

A1

T « 9 9 MED 29 NET Ua
Ji 4 — a*sin*® — b* cos ie V’ a* sin*o + L?cos*p d
— = — = LE = = op
€

Nm
V'asino + b'eosto | 1—V'asin?o + cos?
0
1 — à

F(k, uw),

dans laquelle :
a— sing, b—ak, KA.

() Voyez LeGenDRE, Théorie des fonctions ellipliques, t. 1, p. 554.
(‘‘) Bulletin de l’Académie royale de Belyique, t. XXX.

DE

Elle devient, pour a — 1 :

1—b° 1 cos e de QE VAT) cos?
4 VA (1 — cop * 1 —V/4 — (1 — b?) cosy

0

— — | + E, (b);
ou, si l’on a fait
1 — LL — 2e Len — 6
GA) 5
c° E sin 0 de A+ V1 — csin’s
E, (b) —1 HS en VE qe mr
ri. 1/1 — c'sin?e 1 — V1 — c sin°a

dx + by — 1

III, — Sur l’intégrale [fin DRAM BAIE
DU

Au lieu de prendre, pour conditions aux limites,
EE it UNE NU DE

comme dans la Note Il, admettons que l'intégrale doive être
étendue à toutes les valeurs de x et de y satisfaisant aux rela-
tions

x + y = 1 PR CE CR NE CEE

et supposons, en outre,

CON DR
Soit
QUr2 + 0? ÿ° — à

2

DRE
Ho ——=

+ y —1

l'intégrale, que je désignerai par V, représente le volume com-
pris entre le plan des xy, la surface représentée, elle-même, par
l'équation précédente, et les cylindres dont les équations seraient

C+Y—=t, (ot — aa + (et — dy = À —1.

UE) ee

Conséquemment (*)

en supposant

à —1 ; Jr — 1
Xe VV = V’'= Fee
On trouve ensuite, par un calcul facile,
pe z°dz
ner OA Se M NP
- Ca) AE": )Eer:

co 2
+&—0/ z°dz
U (3? — B?)V/ (3? — a) (3° — ©)

puis, en prenant

; Coras Le
g — a —(z —0b*)sin ©, b—ea, sin =

© C — de

v r(d — 1) en — & sin?

a(l — ec). sin*@
1 ——
aemat) ef doV”1 —esin*o;
AE CS

ou encore

x (a?—1) 2 de _— de
V— — —————— S Le,
a cos? 9 V”/1— «sin? 0 ad (
0 0

pourvu que l’on suppose

(‘) Mémoire sur la réduction, etc. (Journal de Liouville), t. IV, p. 525.

DATE LA

IV. — Démonstration d’une formule de Dirichlet.

Cette formule, célèbre autant que remarquable, est

a b c
. Lu. Meme)
vL a ya dxdydz…. = P q 22 A
Jp pqr…. r| GUN |

A++ ++

NE!

On suppose les n variables x, y, z, …, positives et satisfaisant à la

condition
CÉORO EX
Na SN ES NE or
La 6) YA < :

dans laquelle les constantes &, B,7, … p, q, r, .… sont positives.
Pour établir la relation (A), je commence, comme le; fait
M. Liouville (*), par la réduire à celle-ci :

a b C
ARS PU EU rfr(rt)
ff fx nl 2 AP D PR AR ERA PEUR

dans laquelle

E

Soit maintenant

> à b €
B = my 2 …dydz.…,

la condition aux limites étant

et soit V ce que devient la même intégrale B, lorsque la condition
aux limites est

So) |
Il est visible que

b €
n—i+--1+--1+.
V=(I — x) 4 ’ B,

ou
DATA
V—=(i— a) t"B.
D'ailleurs
4 a OS EG
== ES
A8 {+ (Er EE
0

ou, d’après une formule connue,

(" DERREC |
IP EEE
r
DE

]

| NAN ;
We")

Dan ig A
Cette relation (C), qui réduit le cas de n variables à celui de

n — 1 variables, équivaut au théorème proposé; car, dans le
cas d’une seule variable w, l'on a

RL

V. — Réduction d’une intégrale multiple (‘).
Soit

EN + 7° - n
4, — f'axiyas.\) +yÿer+.)

= = = = 2 (4)
l+(r+Yy + +...)

les n variables, supposées positives, satisfaisant à la condition

ci 2 c ==
LAY RE El
« RS

(‘) Cette Note est extraite, en partie, du Journal de Liouville (t. IV).

OR ES

Je pose, à l'ordinaire (*),
1—(+y +2 +.) ë
SENTTSRET = US

A+ (a + y + 2 +.)

DT

- d’où résulte
i + v

sp ++.

les limites de © sont 1 et 0. Si donc je représente par

tégrale
7 dxdydz ….,

la condition aux limites étant

" F(v) l'in-

OU Ne Es AE it = |
push TEL) ie

|

\ ere te) \ 1 + v*)

j'aurai
1
A, =f ve. F (v).

Par la formule de Dirichlet,

pee cl ;
/ , Î 2
[A ë + 1) va
2
done
Le) Lu n
2 170)
À, = — vd. Ê , :
n v°
ou
Le) 1 ji
2 vtt" v'dv
À, = 2n — ac
n | + v° (+ v°)

(‘) Mémoire sur la réduction, ete.

A EMN L'ACES

Soit
1
Ÿ — ES op
d'où
1 — v° HN =cosp dv ea
— COS ve — — - cos = Edo :
eo Pur 2 21
2 cos

È
CT
19 €
|
DEL
|
|

ou

É sf 5 >: !

cos ode — cos? oo

n n |

RS QUE ue

Lorsque n — 1,

; rf) r()
JE EE fl mi ni
À, — l = -|/ ais
1 mme PLAN F5) 1 "
DEN
Mais
5) r|/2
r (= r(
! ;)
donc

0
Si l’on pose x = cos 9, l'intégrale se transforme en
7 sin*odo sin RES

V1 + cos’ o nf
t D — sin (0)

A

7 |
2 ( —À + ssinte)ée

Ainsi, l'intégrale eulérienne, l'(+), et les intégrales elliptiques
complètes, Et(1/5), F1(V/2), satisfont à la relation

Additions. — (Octobre 1831.)

I. Cette relation (6) est connue. En effet (*),

No

donc, par le théorème de Legendre,

et, en conséquence,
(| 2
rl
1 pl | ol Ar
VAE AMIReLe
2 AT TE (5)
LS
4

IE. Si x est un nombre pair 2n', la formule (4) devient

DT g'

k 1 .

Ne n'— ancen'+ 1
TT à cos" ! odp — cos” +! odo |.

0 (l —]

w| A

Maintenant, il y a deux cas à distinguer.
4° Si n'est pair :
cs DT OPEN (AE
ess ne)
5.9.7...(n —1)

0

La 2.4.6... n°
2 cos" +? qd = — : Re
5.5.7...(n + 1)

0

(*) Lecenvre, t. If, p. 582. L’illustre auteur écrit

F) sf dx
—| —=9 ;
1 V1 — 24

puis

MER PAM

2° Sin est impair :

7 4.5.5 ….(n'—9
? cos" "quo — AR End) ?
29.4.6 ..(n— 1)
0
Do de DE
cos" TT ET RE
a s" + pi 29,.4.6 ….(n' +1)
0

Dans le premier cas,

En résumé, lorsque n est pair, l'intégrale À, dépend, unique-
ment, de la transcendante 7.

VI. Autre intégrale multiple.

dxdydz …
ER (c+y+z+ …)"

les n variables x, y, z, … étant positives et satisfaisant à la con-
dition

Soit

DV TEA EE
<2
Si l’on pose

DEMI ENTIER IUT)

B = ji
A sinv ”

9

on aura

ee der

F (v) = f'dxityas ne

et que, dans cette intégrale multiple, les variables vérifient
la relation

pourvu que

TH+Y+IT+-: Zv.
Or, par la Formule de Dirichlet (Note IV),

v"

L'(n + 1°
Une il Je ve 1 dv
(7) sin v

0

Addition. — (Septembre 1865.)

F (v) =

donc

Si n — 1, l'intégrale est infinie.

Sin —9,

Z vdv T v
Bb: — 2 - = — Pre du:
SIN Ÿ , + 19
0

ou, en supposant (g 5 0 — u :

Dans le cas général, la détermination de l'intégrale simple,
dont dépend B,, parait exiger l'emploi de séries compliquées (**).

(*) Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales
définies. (Académie royale de Belgique, Savants étrangers, t. XXXUT.) La
constante G, égale à la somme de la série À — ++ + — 4 + SE — …,
a pour valeur 0,915 965 594 177 21...

Plus loin, nous reviendrons sur cette transcendante. Dans le petit Mémoire
intitulé : Recherches sur les déterminants (Bulletin de l’Académie royale de
Belgique, t. XI, 1861), on trouve d’autres exemples d'intégrales multiples.

(**) Baerexs DE Haaw, T. 259.

VII. — Sur la partition des nombres.

PROBLÈME. — Trouver le nombre N des solutions entières, posi-
lives, de l’équation

Lit LH XX + + XX, —=S,

dans laquelle s est un nombre entier donné.
La solution résulte immédiatement de ce que l'on a vu dans
la Note I. En effet, l'équation ci-dessus peut être écrite ainsi :

ft —1)+ (re —1)+ + (x, —1)=Ss— 7.

Donc le nombre N des décompositions de la somme s, enn
parties positives, est égal au nombre des décompositions de s — n
en n parties, nulles ou positives (*). Donc aussi, d'après la for-
mule de la page 5,

(s— 1)(s— 2)... (s—n +1)

NC RASE
Jun 10e)

Addition. — (Septembre 1865.)

Dans le développement de
(a+b+c+..+k},

le nombre des termes contenant une seule lettre est, d'après la

formule précédente,

n
Cr X n ?

n désignant le nombre des lettres a, b, c, … k.

(°) Il est bien entendu qu'il ne s’agit pas ici des décompositions essentiel
lement différentes : 5 + 2 et 2 + 5 sont considérées comme deux décompo-.
sitions du nombre 5.

00 2
De même, les termes contenant deux lettres sont en nombre

CE 1.9 5)

et ainsi de suite.
Enfin, parmi les termes du développement considéré, le
nombre de ceux qui contiennent les n lettres est

Cr 1 X 1.

D'ailleurs, le nombre total des termes est, comme on l'a vu
dans la Note H,

Ce

On a donc la relation suivante, qui peut être démontrée
directement :
Co X C, he Ci X (OM ER A UE Ces X Ce = CRE
R

Parexemple, sip—"12/etin — 5":

DAS PDT 12411 DNA 2 IA 00)

IX — + — + ——— ———
é" 1 4 152 1189 à 12 15275 1
192-44:10:9 17.16.15.14
DR DE CRE NA)
152074 1.2.5.4

ou
5 + 12.10 + 66.10 + 220 .5 + 495 — 2 380;

ce qui est exact.

ASTTE Sur la décomposition d’un produit

en facteurs.

PRoBLÈME. — De combien de manières le produit abcd...k = N,
composé de n facteurs premiers, inégaux, peut-il être décomposé
en p facteurs?

Soit x,, ce nombre inconnu.

Si nous introduisons un nouveau facteur premier /, différent

RMC | IE

221

de a, b,c, …,k, nous pourrons décomposer le produit N/ en p
facteurs, soit en multipliant par { un quelconque des p facteurs
dont le produit est N, soit en multipliant par / le nombre N
décomposé en p — 1 facteurs.

Par conséquent

Liti,p = Pl, p E Ln,p—13
ou

ap = DPI 1,p + Lh—1,p-1- (1)

On conclut aisément de cette équation, à cause de x, = 1 :

Done Lao pot Drap Tr spi te D Tr pa tp (2)
Cette nouvelle équation aux différences finies est moins simple
que la précédente : néanmoins, nous allons pouvoir en conclure,

par induction, l'intégrale de celle-ci.
1° Soit d'abord p — 2 : l'équation (2) devient

M a D allie De eee LD EST ID
n n—1,1 a—2,1 n—3, 2,4

Mais, évidemment,

Lh1,1 ce Xn_9,1 re Lo, ! = À ;
done
me 211 — A (4), 6)

DAS OID 10

La,3—=(2*—1)+5 (25 — 1) + 5° DAMEM)EE
ere 5-4 (2° 342. 1) ie 5-5 (2 1: 1)
PAPA ES CE En OS AC EP EE)

—(H+5+.. + 5")

—= 9 (5° — 28) —_ __ _____ —

ou

3° Soit encore p — 4 : l'équation (2) se réduit à

1 [ ; J
mens (0 ne 2 ol) 00e 0)

1 l52 à
A ee met ECS)

1
+- TE (3° — 2.9 +1)

1 x
0 ne Ur nr Carr + + 44)
1 "
de UE ee 2/5 + 4774)
VE 22 (pn—5 =n—3 9 (An—5$ Qn—5 re nn 1
one — 315) — 2 (47 — ) El — 1)
1
Es : A5 5e 5 2);
2.5
ou
1 E
TU — _ AE),
2,9

La loi des résultats est maintenant évidente; et l’on a, en

général,
1
FU NS A
7 4.25...(p—1) (on (>

Addition. — (Septembre 1865.)

I. La valeur (A), substituée dans l'équation (1), conduit à la
relation
Ibn (HE) Le. p A?° 1 4” F) a (p es 1) Ar? CHE
que l’on peut écrire ainsi :
AU Qu) (0 AQU Er TAN UEE (B)

Celle-ci ne diffère pas de celle que j'ai employée dans ma
Note sur les différences de 1? et sur le calcul des Nombres de

Hg
Bernoulli (*). La concordance de ces relations est une vérifica-
tion nouvelle de la formule (A).

II. Les valeurs de x,, sont celles que j'ai désignées par
A, B,, C,, …, dans une Note sur la somme des puissances sembla-
bles des nombres naturels (**). De là résulte un rapprochement,
assez inattendu, entre deux problèmes dont les énoncés sont bien

différents.

II. Si l'on veut savoir de combien de manieres le nombre N
est décomposable en facteurs, il suffit de calculer

al
S, = y, 1 np X,, 2 a PAS OT EE re Th, n.

Soit, par exemple, x — 6 : la table contenue dans la Note dont
il vient d'être question donne

Ta À, Te,2— O1, Xe,3— 90, Li 69, Los = 1Ÿ, Lo, — 1;

donc

IX. Analyse indéterminée du premier degré (°°).

Si les coefficients a, b sont entiers, premiers entre eux, et
que c soit entier, les solutions entières de l'équation

ax + by = 0 (1)

sont, comme l'on sait, données par les formules :
x—ax—b0, y —8 + a, (2)
dans lesquelles «, 5 représentent un système de valeurs entières

de x, y : 0 est un entier quelconque, positif, négatif ou nul.

() Annali di matemalica pura ed applicata, &. M.

(”) Nouvelles Annales de mathématiques, t. XV, p. 210.
Plus loin, on trouvera ces deux Notes.

(*) Nouv. Ann., 1844.

Supposons a, b, c positifs. Alors les solutions positives, nêves-
sairement en nombre limité, sont déterminées par les inégalités

(42 ; (71
À cause de
ax + bB—c,
on a

6 ax — €
Tr 3

(7 ab
done les inégalités (3) équivalent à celles-ci

ax ax — C

on an 0 Gras (4)

La différence entre les deux limites de 0 est +. Conséquem-

ment, la partie entière de D; ou celte partie entière augmentée

d’une unité, indique le nombre des valeurs que l’on peut attribuer

à 0. En d’autres termes : le nombre des solutions positives de

Péquation (1) est égal à l’un des deux quotients entiers de €
par ab (*).

Addition. — (Septembre 1865.)

Considérons d'abord le cas où c serait un multiple de «b:
c— abq. On peut prendre 6 — 0, « — bg; et il est clair, par les
lormules (2), que 8 peut recevoir les g+1 valeurs 0, 1,2, … q (**).

En second lieu, supposons c — abq + c', c' étant positif et
moindre que ab; puis prenons simultanément les équations

ax + by = abq + c', (A)
ax" + by —=c", (B)

(*) Ce petit théorème, que je trouve dans mes notes de 18539, est souvent
attribué à M. Hermite. J'ignore si ce profond Géomètre l’a publié quelque
part.

(‘*) A vrai dire, les solutions x = 0, y = aq; x = bq,y = 0 ne sont pas
essentiellement positives ; néanmoins on peut les compter, parce qu'elles sont

non-négalives.

d’où résulte celle-ci :
a(x — x") + b(y — y) = abq. (C)

Si l'équation (B), qui ne peut avoir plus d’une solution posi-
tive, en a réellement une, nous aurons, en désignant par &’, Ê’,
ces valeurs positives de x, y' :

y—$ —08, x —x —bq—b»;
ou
y—=6 + a, x—x + b(q — 6). (D)
A cause de €’ € ab,on a
B <a, D ND:

donc les deux dernières formules donneront des valeurs positives
Shlonfait0= 0102.10:

Ainsi, quand l’équation (B) admet un système de valeurs posi-
tives, l'équation (A) en admet q + 1.

Si l'équation (B) n’a aucune solution positive, on peut supposer,
dans les formules (D),

D LEONE ET

ceci résulte des préliminaires de la théorie. Par suite, les seules
valeurs admissibles pour 8 sont 0, 1,2, 5, q — 1. Donc, iorsque
équation (B) n’admet aucune solution positive, l’équation (A) en
admet seulement q.

En résumé :

1° Si ce — qab, l’équation

ax + by = c

admet q + À solutions non-négatives ;
2° Si e— qab + c', cetle même équation admet 4 + 1 ou
q solutions positives, suivant que l’équation auxiliaire

ax" + by —c

a ou n’a pas de solution positive.

œ
COS ax

X. Sur l’intégrale f :
j (EEE)
0

æA(H).

I. D'après une remarque faite par Poisson (**), si l’on appelle
y, cette intégrale définie, on trouve aisément l'équation linéaire,
d'ordre 27 :

ny, n(n—1) d'y, S dy,

1 de LA 419 dat M: da" = 05 (1)

Ur ce

dans laquelle « y, représente l'intégrale f* cos ax dx.
0

» Cette intégrale est, en général, indéterminée ; mais iei on
» peut la supposer nulle; car, en adoptant cette valeur, on est
» conduit à

F œ
Y—=—-0 *
Ur ) ;
» Valeur exacte (***). »

IT. A cause de y, — 0, l'équation (1) est vérifiée par y, — €’,
L représentant une racine quelconque de

ñn n (n —1
ER An) DER ND IEEE
| 1402
ou de
(1 — y" = (. (2)

Cette équation (2) a n racines égales à + 1, et n racines
égales à — 1. D'ailleurs l'intégrale proposée ne peut croître

(‘) Le texte de cette Note, tel qu'il a paru dans le Journal de Liouville
(t. V), renferme quelques fautes de calcul et d'impression.

(”) Journal de l’École polytechnique (16° Cahier, p. 222).

(‘*) M. Serret a critiqué, avec raison (Journal de Liouville, t. VIIE,
p. 191), l'emploi que j'ai fait de l'intégrale indéterminée [eos axdx, à
l'exemple de Poisson. J'avais prévu l’objection qui pouvait être faite; car la
phrase quillemetée, que je n’ai pas reproduite dans le Journal de Liouville,
est tirée de ma rédaction primitive (15 février 1840). Du reste, je donne
cette démonstration pour ce qu’elle vaut.

ANS PAT

indéfiniment avec x; par conséquent, la valeur de cette intégrale
doit être donnée par la formule

A A AUS:
pneus Re | (5)

4:9 4...(n—1
A, À,,.…. À, , étant des constantes, qu’il s’agit de déterminer.
HE. Pour cela, je représente par P le polynôme entre paren-

thèses, et je prends les n — 1 premières dérivées des deux
membres de l'égalité (5), ce qui donne généralement

dy, ee dP i(i—1) dP I
——— — LT 2 — + ——_—— — — lt
da ‘ 1 dx 172) 0da da Ge)
Faisant à — 0 dans les équations (5) et (4), j'obtiens
GA) =
_ 0 i(i—1)
pet El AE ane 5

(y) et |? 5 représentent les valeurs de y, cu _. — répondant à
a —) 0!

La nature des équations (5) permet de les résoudre facilement :
on trouve

[da CR 2 LA
ame fi) EEE)

dx

IV. J'observe, actuellement, que :

* cos ax dx
Re
0
dy, * sin ax. xdx
en (+ e) ?

he = D COS ax . x de
el + x)"

RC RE
d'y, 1 sin ax . x°dx
——© = + RÉEL
dé ; (A + 0)"
0

d'y, ® cos ax . xdx
= + — ,
da, : (1 + 2°)"
0

d'où :

TETE
GLEN (re
{5
ei mr
da
a PP
a ——
an ; (À + x°)

Pour évaluer ces diverses intégrales définies, je considère
généralement
TO T

do ni ET

0

l’exposant 2p étant moindre que n (*).
Si l’on pose

4 À el ns :
si fe AR) RE; (8)

(‘) L'intégrale B, ne devient infinie que pour 2p = 2n; mais, dans la
formule (6), à est inférieur à »; et le nombre pair 2p remplace :.

ENT (3 ARE
où
PR es A PAC (9)
Par conséquent, à cause de l'égalité (6),

ME ELU Cr | à ;
rl 5) r(" J 1.2 rÉ) r(n—i 4 - | ao

Lorsque + est pair, le dernier terme de la quantité entre pa-
renthèses est

/

ce A
Enr }:
D ns

12
=

4

et, quand à est impair, ce dernier terme égale

ir (5 r nus)
2 9

V. La valeur de A; peut être écrite autrement.
Si lon fait

x — (g9,
on trouve
LE
Er sin?® cos”* oo. (41)
ü

Par suite

\ T4q On —2 ii 1) Re can E

À; — do | cos D— 1 sin” © COS D+
; +2
0

La quantité entre parenthèses est la partie réelle du déve-
loppement de cos”-'-*© (cos © + V/— 1 sin ©); done, par le
Théorème de Moivre,

T
7

res V4 cos” —i?o cos iodo. (12)

0
VI. On a, identiquement,

cos À @ = cos o cos (à — 1) © — sin & sin (i — 1) g;

a Or te

done

us Æ
a fous peos(i 1) qe f ? cos" * “psinpsin{i—1)ody;
k Ù

0
ou, en intégrant par parties et observant que le terme

1

See TA cos” !osin(i— 1)

s’annule aux deux limites :
N—
PRE DR SERV EL +
DE

D'ailleurs,
& 1 j\ Re 1
— 2 2n—2 EE ———— = NI
; = 1 ne 20 (n) 5 6 h (a : 1

ou, par une formule de Legendre,

æ T(2n—9)
Anis ane en et

2? L'{n) L'(n —1)
done, après quelques réductions,

r V'(2n—1—1)
gi L'(n)L'(n—1)

La comparaison des valeurs (10), (12) et (15) donne

ni 1 ere hi
Er )-r SIMS

Fe rm n
1.2.3.4 Qi J'(n—1)
ou

27 qi 9, .

= nt Tr On—i—1)
[eos 3ç cos pe real di 0) *
Pit ln) L'(n — 0)

e
(D

NAS) Cr e m [ni

():

(14

(15)

(16)

(17)

(*) Cette formule, qui subsiste pour toutes les valeurs positives de n» ct
de n — à — 1, parait due à Cauchy (Journal de Liouville, t. VIII, p. 2)

(septembre 1865).

DRM VE

VIT. Revenant à l'intégrale proposée, je substitue les valeurs
(15) dans la formule (3), et j'obtiens

[= ox dx \
. (1 + ax)"
0

n—
[ren-1 )+- AT

(18)
re *

= PT (| (22)T' (27 —2)+..+(24)" | .

Si, dans cette formule (18), on remplace les symboles T° par
les intégrales eulériennes qu'ils représentent, on pourra l'écrire
ainsi :

2C05 ax dx re * ge à
0 ee ev y" "(y +22) "dy, (19)
ü 0

ou
208 axdx Ta IC ALPINE. ne c
1 Se non) e#z"-t(z+ a) de, (20)
0

0
ou enfin, en représentant & + 2z par of :

_ a 2n—1 _
l =)
COS axux 2}
h ES e4(E—1ÿ-! dt. (21)
on] ñ

(1 + x)" (ln) *

KE.

Problème de smémismuunm. (1S44.)

Mener un plan tangent à un ellipsoïde donné, de manière que
le triangle formé par les intersections de ce plan avec les plans
principaux, ait une aire minimum (*).

I. L'ellipsoïde étant rapporté à ses axes, et x, y, z désignant
les coordonnées du point de contact, on a

9 2 2
x y Z
—+ —+-—ld. Ï
a ONbEMi Le (1)

(*) Note rédigée à l'occasion d’une solution inexacte, publiée dans le
tome [IT du Journal de mathématiques.

Le plan tangent coupe les axes en des points dont les distances
au centre sont

t-

a? L? ce
x y z

Les faces du tétraèdre tri-rectangle déterminé par les quatre
plans ont done pour aires, respectivement :

4 b° c? | c'a° 4 «@b?

DE ATEN TA ANT Cie à
Par suite, l’aire cherchée est

1 VA Ê à) É =} Es}
P—— + +- ;
2 zx

2

y=
ou
1 ac? e)
Re XYZ ;
en supposant
1 x? ÿ° r? J
+= + —: (5)
2 4 4
p a b C
on sait que p est la distance du centre au plan tangent.
IL. Soient
x? vu £?
— —= U, 2 =, —=—w; (4)
d b c
alors les équations (1), (2) peuvent être remplacées par
u +U+w—=]Î, (à)
PA IRa bic | u v =) (6)
Ti = mes + es Le
? PAT A NO LEO

La condition do — 0 équivaut à

Ë v ®) ÉE dv _ le dv 2
+ —+—-||— + — + —|— + — + —]|—0,

a? b° ©) \u v 10 | b? ec?

ou, plus simplement, à

( v = du Ê : dv Ë à dw
Lane |) A ent A nus nt VAR ES —
b? ©) u £

D'ailleurs

du + dv + dw = 0.

(S)

Si l'on combine par soustraction ces deux égalités, après
avoir divisé tous les termes de la seconde par une indéterminée X?,

et que l’on égale ensuite à zéro les coefficients des différentielles
du, dv, dw, on aura

u Ù 20 ( V un u V wW
D ne no
relations d’où l'on tire aisément
D + (a? + D + c°) 2° — abc? = 0. (10)
Cette équation peut être mise sous la forme
1 | 1 1
eribix don »’ Ke
ou encore sous celle-ci :
a b° (3

anti

v

TN (2

een
b + x”

D'un autre côté, si l’on compare deux à deux les équations (9),
on trouve

u U w 4 js
Re eme) (5)
nl es

à cause des relations (1) et (12). Par suite :

(7 b° CA
L— ns Y —= ri — nr —; (14)
ACTE Var) V2 (c? + 1°)
Î Î 1 Î 1
med ; NAT Had canins [42
DA En DEEE NN cr 128

A QE
c'est-à-dire, en vertu de l'équation (12) :
p—iV2. (15)

Enfin, le minimum cherché à pour valeur

EAN SRE D UAUE ME CPR RENE AE Re
Pn Va) 020) E1e)"(). (46)

Addition. — (Octobre 1865.)

III. On reconnait, de diverses manières, que les équations
(40), (41) ou (12) donnent, pour 2?, une valeur positive et deux
valeurs négatives. D'après les équations (9) ou (15), la valeur
positive satisfait seule à la question. Pour simplifier l'équation
(10), on peut faire

abc
en (17)
d’où l’on conclut
LÉ — (a° + D? + c)t — Qabc = 0. (18,

Cette nouvelle équation, qui est bien connue, se rapporte au
problème suivant : Trouver le diamètre t d’un demi-cercle
auquel on puisse inscrire trois cordes consécutives, égales à des
droites données à, b,e (**). On voit que si ce demi-cercle était tracé,
il serait facile de construire les diverses lignes qui déterminent
le triangle minimum. Ce rapprochement, entre deux problèmes
d'apparences bien différentes, parait assez curieux.

(‘) Pour le détail des calculs, on peut consulter le Cours d'analyse.
(*) Arithmélique universelle, de Newton, t. I, pp. 420 et suiv.

Autre addition. — (Octobre 1880.)

1. Soit, généralement,

| u v w
= |". 2.2..), (1)

uvw … \a* bre
les variables satisfaisant à la condition
U+HV+EWtHe. =]. (2)

On trouve, en suivant la même marche que ei-dessus :

ANS U ER v U LL WE Ex Ù G)
QUE ET AU ? EU ELITE) e + + ce n)
Res 0: ; ANG a: 40?
Je pose
u () w J
te Fe TE OO —X n (4)
a° b È

4 | 4 4
AT TIRER OU TNA OU ame
GE D Le ne enr le ETS 12

Cette équation, dans laquelle À est l’inconnue, peut être écrite
ainsi :

a L° c |

AD ee ol ot © ()

ñn étant le nombre des variables.
IT. On tire, des relations (5), (2) et (6),

1
EE is enns 7
(n —1)à (m

Donc

10e AU PAIE Lu URe
a om PE)

URSS DESERT 0 ===
n—1 ad + À nm INDEEN nl VC ro

puis
(a? + a?) (0? + à) (ec? + 2°)...

AUD ACL

U—=(n— 1)"

XII. — Problème de géométrie. (1844.)

Déterminer le rayon du cercle circonscrit à un triangle,
connaissant les distances des côtés au centre du cercle.

ABC étant le triangle cherché (*), soient p, q,r les distances
des côtés BC, CA, AB au centre O. Désignons par x le rayon
inconnu, par 6, y les angles OAB, OAC. On à

NUE
sin» y SEE QUE

D'un autre côté,
sin? 6 + sin?y + 2 sin £siny cos (8 + y) + cos? (6 + y) — 1.
Donc, par l'élimination des angles,
D — (pt + g +7) — 2pqr = 0.

D'après cette équation, le rayon x est le diamètre d’un demi-
cercle auquel seraient inscriles trois cordes consécutives, égales
aux distances p, q, r (***). Des considérations géométriques con-
duisent à la même conclusion.

(‘) Le lecteur est prié de faire la figure.
(‘*) En effet, 1 BOC = A = (6 + ;).
(*"*) Voir la Note précédente.

XIII. — Théorème de géométrie. (1840) (‘).

De toutes les pyramides ayant même hauteur et même angle
polyèdre au sommet, la plus petite en volume a pour centre de
gravité de la base, le pied de la hauteur.

La base est déterminée par un plan tangent à une sphère ayant
pour centre le sommet de la pyramide, et pour rayon la hauteur,
que nous adoptons comme unité. Le sommet étant pris pour
origine des coordonnées rectangulaires, soient x, y, z les coor-
données du point où le plan de la base touche la sphère : nous
aurons |

LH YILz — 1. (1)

Soient «, B1, 7, les angles que forme, avec les axes, une
première arête, et 21, Y1, z1 les coordonnées du point où elle
perce le plan tangent. Nous aurons encore

LA + YY + Zu =], (2)

1 Yi 71 l (5)
== — — 15 )
COS&; cos 5; cos >,

en représentant par /, la longueur de l’arête considérée. D'après
ces équations,

|
— — X COS a + Y COS Bi + ZT COS F1. (4)
1

Projetons, sur le plan des xy, la base de la pyramide. C étant
l'aire de cette projection, la formule de Stainville donne

2C — D (Xi Ye S Lo Yi). (5)

Soient 9,0, … les rayons vecteurs menés, de l'origine des
coordonnées, aux sommets du polygone situé sur le plan des xy;

(‘) Publié dans les Nouvelles Annales de mathématiques, t. VI. Cette pre-
mière rédaction présente quelques inexactitudes.

SE Fe AL

soient 0,, 0,, … les angles formés par ces droites avec la partie
positive de l’axe des x :

Li —= À COS 0j, Lo — do COS 6»,
Yi = À SIN D, Ya — do SIN 8;
donc
Ty Ya — Lo Yi — di do SIN (9 — 03).
Et comme
= hisIN 9 01 siny2

la formule (5) devient
20—= > ll sin y, sin y, sin (4 — 8,). (6)

L’angle formé par la base de la pyramide, avec le plan xy,
a pour cosinus z; done, P étant l’aire de la base,

1 ù : ;
D D— : > ll, sin +, sin y, sin (4 — 92). (7)

Dans cette équation (7), di, , 5, … sont des fonctions de
x, y, z; les autres quantités sont indépendantes de ces varia-
bles. D'ailleurs, le minimum du volume répond au minimum
de P; donc la question est ramenée à un simple problème de
Caleul différentiel.

Posons

» ll sin y, sin y, sin (6: — 6,) —F (x, y, 2):

, Al ? Q ’ e 1
en égalant à zéro la différentielle de = F(x, y, z), nous avons

æ
22

IF IF dF
(de + y + Did) — de (my, 9 0 (8)

De plus, à cause de l'équation (1),
xdx + ydy + zdz = 0. (9)
On conclut aisément, de ces deux relations,

GE dF D
once (10)

tro ei

Pour interpréter ce résultat, observons que, d'après la valeur

de Ë (4) :
(Li dl dl
d (la sr (RARE CS ER Lila(l COS o1 + ls COS 02),
dx dx dx
ou
d (LL
= 2) = — A (æ; She Xa)-

Le premier membre de léquation (10) équivaut done à
—yŸUlssin Y,siny»sin Gr )ai+r)= y Ÿ 90, sin (6, —6,)(X1 + Xe).

0,09 sin (%— 0) représente le double de l'aire du triangle
déterminé par les rayons vecteurs d,, %; x, +2 est le double
de l’abscisse du milieu de la base correspondante. Désignant
done par f, l'aire de ce triangle, et par g, l'abscisse de son centre
de gravité, nous avons

Ÿ 192 SIN (83 — 6) (X + Lo) — 6ù ATTE
ou encore

» dida Sin (92 — 63) (X1 + Lo) — 6CX,

X étant l’abscisse du centre de gravité du polygone C.
On aurait, semblablement,

Ÿ Dd2 SIN (62 — 85) (ya + Ya) = 6CY.

L'équation (10) devient donc

Ainsi, les coordonnées du point de contact cherché sont pro-
portionnelles aux coordonnées du centre de gravité de la base;
ce qui démontre le théorème.

MT pue

XIV. — Problème d'analyse indéterminée. (1842.)
Trouver un triangle dont les trois côtés et la surface soient
représentés par des nombres entiers.
L. D’après la formule
T=p(p—a)(p—b)(p — 0), (1)

le périmètre 2p doit être un nombre pair; done les nombres
entiers a, b, c doivent être pairs; ou bien l’un d'eux doit être pair,
les deux autres étant impairs.

Soient
c—œQn, p—a—x, p—b—B8; (2)
d'où
a+ B— In, (5)
T° = paf (p — 2n). (4)

La dernière équation donne

p=nsV/n+T (5)

en supposant
25195 (6)

ne T2
ainsi n°? + — est un carré. D'ailleurs, en vertu des équations (5)
et (6), nu) doit aussi être un carré. La question est donc
ramenée à la résolution, en nombres entiers, des deux équations

n— y —=%, (7)

M +——=Y. (8)

Si l'on prend arbitrairement n et x, l'équation (7) donnera
pour y une valeur entière, après quoi l'on trouvera T et y au

moyen de l'équation (8), si toutefois cette équation admet des
solutions entières.

IT. Si y contient un facteur carré 2, T doit être divisible par À,

LA NP Ve

et l'équation (8) se simplifie immédiatement, sans changer de
forme. Supposons done que y ne renferme aucun facteur carré ;
alors T doit être divisible par y; ainsi

y; (9)
puis
y —yz— nr, (10)

III. Si cette équation (10) admet un système de valeurs
entières,
pb CAN (11)
on aura

1=— C7; x =V/n—7—A, p=n+B, o—n+A, B—n—A;

et enfin
a—B— A, b—B+A. (12)

IV. Prenons, par exemple,
TON NNTE PAR EPA

Il résulte, de ces valeurs, y — 275 ; en sorte que l'équation
(10) devient
Yi 27152 — 289. (15)

En supposant
SN OR ONNEA T

on réduit l'équation (15) à

Au moyen des Tables de Legendre (*), on trouve que cette
dernière relation est vérifiée par
done
puis

T = 748.273 — 204 204, a —12555,. b—192 565, c — 534.

(*) Théorie des nombres, 1. 1, table X.

XV. — Quelques théorèmes empiriques. (1842-43.)

En étudiant la série

1 { 1 1 À

LE — 2 + ——— + — +,

9.4 17.800 8.904516, 12247925

dont le terme général a la forme nn p étant une puissance (*),
je fus conduit, par induction, au théorème suivant :

Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne
peuvent étre des puissances exactes. Après avoir perdu près
d’une année à la recherche d’une démonstration qui fuyait
toujours, j'abandonnai cette recherche fatigante. Néanmoins, elle
ne fut pas complètement inutile, parce qu’elle me conduisit à
quelques propositions sur la Théorie des nombres, dont Je
donne aujourd'hui les énoncés. On voudra bien regarder ces
propositions comme de simples théorèmes empiriques, attendu
que, depuis longtemps, les démonstrations, ou plutôt les tenta-
tives de démonstration, de la plupart d’entre elles, sont égarées.
Vrais ou faux, ces théorèmes empiriques pourront peut-être
provoquer d'utiles travaux.

I L’équation (x+1) —x 1 est impossible en nombres
entiers, excepté pour x —0, x—1.

I. X'— y" —1 est impossible en nombres entiers, excepté pour
XV 2100):

HI. L’équation x' —1—P, dans laquelle p et P sont premiers,
n’est vérifiée que par x—=2, p—9, P=7.

IV. x°—1—P?2 est impossible.

V. L’équation x?— 1=—p" n’est vérifiée que par x=5,p=—2,
MSN IouxX—2 D — 0m — 17

VI. L’équation x° — q"—1, dans laquelle p et q sont premiers,
est impossible, excepté lorsque x=5, p=2, q—2, y= 5.

(*) Journal de Liouville, t. VII, p. 9.
(**) On ne compte pas la solution insignifiante : = 1, y = 0. La même
restriction subsiste pour quelques-uns des énoncés suivants.

RAR MN

VII. x5+ y5=—p°? est impossible, sauf le cas dex—=2, y—1,
p=—= 5.

VIN. L’équation
Caen

(LG Ra
ARS 9n—2?

est impossible en nombres entiers, excepté dans le cas de n—5,
x=— 1.

XVI. — Lieu géométrique. (1843.)

ProBLèME. — Une ellipse, dont le plan est immobile, tourne
autour de son centre O (*). Dans chacune de ses positions, on
mêne à la courbe une tangente TT’, parallèle à une direction
donnée. Quel est le lieu du point de contact M?

Soient a, b les demi-axes de l’ellipse; OM — uw; OA — a’, le
demi-diamètre parallèle à T'T'; AOM — «.

On a, par les théorèmes d’Apollonius :

a'+u— 0 + 0, a’u sin — «ab;

ou, en remplaçant les coordonnées polaires par des coordonnées
rectangulaires ,

a+ +y = a +, ay — ab;
d'où
2 4) (y hp?
x? un (a y ) G ) (1)
y

Addition. — (Décembre 1865.)

I. L'équation (1) appartient au lieu décrit par le centre d’une
ellipse donnée, glissant et roulant sur une droite fixe, de manière
que le point de contact soit immobile sur la droite (**).

(") Le lecteur est prié de faire la figure.
(*’) Manuel des candidats à l'École polytechnique, t. 1, p. 424.

HA) TRES

Cette propriété est générale. En effet, si la courbe AMB tourne
autour du point P, et que TT
soit la tangente parallèle à la di-
rection donnée, les coordonnées
du point de contact M, relative-
ment au pôle P et à l’axe PX
(parallèle à TT’), sont les mêmes
que les coordonnées de P, relati-
vement au pôle M et à l’axe MT.
IT. D'après cela, si l'équation de AMB est

U—f(), (1)
l'axe Px faisant corps avec la courbe, on aura
ud3
9 o— — — ; 2
go; @

d'où, en éliminant 8, on trouvera l'équation de la courbe décrite
par le point P.

IT. Si cette deraière équation est donnée, l'égalité (2) prend
la forme
do — o{u) du; (5)

en sorte que, par une simple quadrature, on retombera sur
l'équation (1). D’après cela, une courbe quelconque A'B' peut
être décrite par un point P, lié invariablement à une courbe AB,
glissant et roulant sur une droite fixe; ou, sous une forme plus
concise,

Toute courbe plane est une tractoire (*).

IV. On tire, de l'équation (2),

udu — du’ ù
de = —————— de. cos s. (4)
du

(‘) Ce théorème a une grande analogie avec celui que j'ai donné, en
4855, dans les Nouvelles Annales de mathématiques (t. XV, p. 105). Ordi-
nairement, on appelle éractoire une courbe dont la génération diffère de
celle qui est indiquée ici; néanmoins j'ai conservé cette dénomination, pour
n'avoir pas à créer un mot.

ie pa tenLe

Mais, si l'on désigne par do l'élément de AMB et par p le
rayon de courbure MC, on a
do

CPE CES AT NES EEE e
d8 (do° + du? — ud°u)

Au moyen de ces valeurs, et à cause de

C du
COS? © — É
do?
la formule (4) devient
do
do = de — —. (b)

Ainsi, l'accroissement infiniment petit de w est égal à l’accrois-
sement infiniment petit de l’angle 9, moins l’angle de contingence
de la courbe AMB. Ce résultat est évident par la Géométrie.

V. Si l’on désigne par V l'angle MPS que fait la tangente PS
avec le rayon vecteur w, on a

, udo u | à = udo
ENTRE ET NE RE) Pen EL
“ du du P è pdu
ou
u
ts V+Htg o— :
p COS ©
ou encore
sin(V+e) (6)
cos VV P
sin MCP

Le second membre est égal à =; donc

sin(V +) sin MCP
cos V sin MPC

Cette proportion prouve que PS est perpendiculaire à CP.
Ainsi la droite PC, qui joint le centre de courbure de la GLissANTE
AMB au point décrivant P, est normale à la tractoire.

VI. Si la glissante est une développante de cercle, la tractoire
Ce) 2

est une perpendiculaire à TT’; si la glissante est une spirale
logarithmique, la tractoire est une ligne droite, etc.

LAC ES

XVII. — Théorème sur les surfaces développables.
(1843) l‘).

LEMME. — Soit un triangle sphérique ABC (**), dans lequel le
côté BC —e est infiniment petit, ainsi que l’excès d du côté AB
sur le coté AC. On a

0)
cos B— -—. (1)

€

La formule fondamentale donne

cos b — cos(b + d) cos 6 + sin(b + d)sine.cos B;
ou, si l’on néglige les infiniment petits du deuxième ordre :

cos b— (cos b — 9 sin b) + (sinb)ecosB,
ou
0 — — 9 +e cos B.

THÉORÈME. — Soient : p, le rayon de courbure d’une ligne c,
tracée sur une surface développable >; R, le rayon de courbure
de la transformée par développement ; 6, l’angle du plan oscula-
teur de © avec le plan tangent à È. On a

pe —=R cos 6. (2)

Remplaçons la courbe c par un polygone ABCD... Soit BG
une génératrice de È : ABG est le plan tangent; ABC est le
plan oseulateur.

Soient encore BB’ le prolongement de AB : CBB'—e est

l'angle de contingence de c. Quand on développe à, les angles

(‘) Publié dans les Comptes rendus (t. XVII). La première démonstration
exigeant, pour être complète, d'assez longs développements, nous en propo-
sons une autre, qui remonte à 4874, et dont le principe se trouve dans
la Géométrie descriptive, de La Gourneric.

(**) Le lecteur est prié de faire les figures.

OT AA

GBC, GBB' se conservent; et, en conséquence, GBC — GBB'—E
est l'angle de contingence de la transformée de c.
Le lemme, appliqué au trièdre B, dans lequel dièdre AB—9,

donne
E
COS 0 — —:.
[4
Mais
ds ds
E—, 5——;
R e
donc
» cos 6
R

Remarques. — (Décembre 1865.)

I. Si la courbe c est tracée sur une surface quelconque $S, on
peut remplacer celle-ci par la développable Z, circonserite à S
suivant c. Au moyen de cette modification, le théorème devient
beaucoup plus général (*).

I. L'équation (4) étant mise sous la forme

cos À}
== ,

1
R e

on voit que la courbure de la transformée G ne diffère pas de ce
que l'on appelle, depuis quelques années, courbure géodésique
d’une courbe e.

(") Ce théorème se trouve, sans citalion d’auteur, dans le Calcul des
variations, de l'abbé Moigno (1861), et dans le Calcul différentiel, de M. Ber-
trand (1865).

NOR NAT te

XVIII. — Sur le tétradéeagone régulier. (1843.)

EL La construction au moyen de laquelle on établit le théorème
relatif au côté du décagone régulier s'applique, jus-
qu'à un certain point, aux polygones réguliers de
quatorze côtés, de dix-huit côtés, etc. (*).
Considérons, par exemple, le tétradécagone régu-
lier. Soit AB le côté de ce polygone, OA étant le

\
\ . . p
Là \ rayon du cercle circonserit. En désignant par «
a\ l'angle au centre, et en prenant l'angle droit pour
f/

24\) unité, on a æa=—°; done
B
—_ OU

YA S

De là résulte que si l'on fait l'angle OBC — «, on aura
ACB — ABC — 2; en sorte que le triangle ABC est isoscèle.
Soient maintenant

OC—BC— zx, AB—AC=—=Yy, AO —BO'1:

les équations du problème sont

= 2riCoS, (4)
æ — 2y cos 2x, (2)
x +y — À. (5)
Par suite,
Cr Led — 10. (4)

(‘) Le polygone de trente-quatre côtés donne lieu à une épure intéres-
sante, dont voici l'indication :

O étant le centre, soit AB le côté du polygone. Construisez les quatorze
triangles isoscèles ABC, BDC, DCE, DFE, FEG, FHG, HGI, HKI, KIEL,
KML, MLN, MPN, PNQ, PRQ, dont les sommets sont situés sur OA ou OB :
le triangle restant, QOR, est égal à CBA.

De ce réseau de triangles, on conclut des équations qui peuvent servir
à la résolution du problème connu :

Au moyen de lu règle et du compas, inscrire, à un cercle donné, un poly-
gone régulier de trente-quatre côtés. (Théorèmes et Problèmes de Géométrie

élémentaire.)

OU Le

II. Cette équation (4) a deux racines positives et une racine
Li a) 7 4 1
négative. Elle ne change pas quand on y remplace x par 1 —=.
fl s'ensuit que si €, b, a sont ces racines, rangées par ordre de
grandeur décroissante, elles satisfont aux relations :
il
b—1—-, 7 c—1—-.
(a a
En même temps, à cause de l’équation (5), les valeurs de y
sont indifféremment représentées par

A à, 4 —0, 4 —c,
ou par

IT. La racine b, comprise entre 0 et 1, est celle qui répond au
problème. Elle donne, pour le côté y du tétradécagone, environ
0,445. Les deux autres racines de l'équation (4) correspondent
aux tétradécagones réguliers éloilés, dont les angles au centre
sont © et © d'angle droit. On trouve aisément que les systèmes
d'équations, relatifs à ces deux polygones, sont, pour lun :

G'—=2y COS «, y = 2 cos 2x, x—y—];
et, pour l'autre :
1 — — 2x cos 24, y — 205%, —rx+i—7Yy.

Dans les deux cas, l'élimination de y et de « fait retomber sur
l'équation (4).

XEX. — Sur la toreïde. (4843) (*).

On appelle toroïdes les parallèles à l'ellipse, c'est-à-dire les
courbes qui ont mêmes normales qu'une ellipse donnée. Cette
dénomination est fondée sur ce que La projection du contour

() Note extraite des Nouvelles Annales, &. UT, p. 555.
4

apparent d’un tore, sur un plan quelconque, est une toroïde (*).
Pour trouver l’équation de cette courbe, il faut éliminer 8 entre
es équations

CE by raie Py° ip
2e TAC 7 ae À ne )-
(8 + d°) (8 + 6) (+ a) (9 + b°)

Cette élimination se fait assez simplement de la manière sui-
L
vante.
Chassant les dénominateurs, on a d’abord :

a (0 + b°ÿ à + D (8 + ) y = (8 + «°° (6 + L°), (1)
82 (0° + D x + 6° (0 + &$ y = K (6 + a) (9 + LP. (2)

Mulupliant par @, par a?; retranchant membre à membre, et
supprimant le facteur (8 + a?)?, j'obtiens

(a? — D?) y — (9 + D?) (u2k? — st). (5)
De même,
(a? — D?) Ex — (9 + a) (8 — LR). (4)

Si l'on ajoute membre à membre les équations (5), (4), et si
l'on supprime le facteur commun (a? — b?), on trouve

P (x + y) = À (au + D? + 20) +- K° (8 — «°b°). (5)

Multiplions l'équation (5) par @?, l'équation (4) par b?; ajou-
tons, et supprimons le facteur (a? — 6?) : il vient

4 (ay + Lx) = 4 (a°b° — #) + KR? (a? + D?) + 2. (6)
Les équations (5), (6) peuvent être écrites ainsi :
QD — (x + 9 — n° — D — FE) 8 — a bk —0, (5

D)
+ (a + Da — aff — LE — nb?) 8 — SL — 0. (6)

(‘) Je crois que cette remarque est due à mon regretté camarade de
l'École de Dessin et de l'École polytechnique, Fleur Saint-Denis, si connu
par les beaux travaux qu’il a exécutés au pont de Kehl.

(*) Caveny, Comptes rendus, t. XIII, p. 1062.

J'élimine tour à tour, entre ces deux dernières équations, le
terme en ® et le terme indépendant; je trouve ainsi :

A OBS C0 (7)
FD OA D 0; (8)

en posant, pour abréger :

Aa +y — nd —b—/h, Boy + br — ak — DL — ab°,
(CALE

Les équations (7), (8), traitées comme les deux précédentes,

donnent
9 (A° + 5B)9 + AB— 9C—0, (9)

(AB — 9C)4 + 2(B° + 5AC) —0. (10)

Enfin, l'élimination de 0, entre ces deux dernières équations,

conduit à
(AB — 9C) = 4 (4° + 5B)(B? + 3AC)

L'équation de la toroïde est done
+} — où D — (a + Dar — GE — DIE — ab?)
+ LR (a+ — D — Ÿ — 27 ab
ÆABQ DRE" + y — — D — À) (a + Dr — al D D?)

+ (ay + Dr = QD? ab?) DAT

(11)

Addition. — (Juin 1866.)

Si a —b, et que l’on fasse x? + y? — u?, l'équation (11) se
réduit à
Qu 2a Ru 0) + Lu 90 + au 2h02)

AB Ru — Da )(u 212 — a?) 27 al = 0.

(12)

Pour simplifier celle-ci, je pose u? — a? — k? = {2 : la trans-
formée est
CE — QC — LR (PE — à + 4e (EE —

+ 1 8a°k° (e — «) (Ë au 12) — 97 ait — ù

ES oi Eu
ou
+ (a+ RS + (a RUB + Nha + k) 0. (15)

Lorsque a = b, l'ellipse devient un cercle; par conséquent,
la toroïde doit se réduire au système de deux cercles concen-
tiques avec le premier, et dont les rayons sont u = a Æ k : le
premier membre de l'équation (15) est donc divisible par
(2 + 2ak) ( — 2ak). Si l'on fait la division, on trouve, pour
quotient, (2 + a? + A2}, c'est-à-dire u#. Conséquemment,
l'équation (12) est vérifiée par uw? — 0; ce qui prouve que l’on
a, identiquement,

[(2a®+ Ra? + 0) +R = 4 Qu +2) + ka QUE + a) + 108afkf:

ou

(aë + TR + KY = (a? + KEY + a (RÉ + a) + Qakt; (14)

ou encore, en faisant a? — a5, k? — (55 :
(a + Taig5 + EY — (Qaig + Gi) + (of + Da + (5x6). (15)
Cette identité (15) donne une infinité de solutions entières de
l'équation

En voici deux :

En effet,
AD? = 17° «+ 20° + 19°,
et
29 689 — 705° + D16° + 35 000°.

Remarque. — L'identité (45) ne fait pas connaitre toutes les
solutions de l'équation (16). Par exemple, on n'en pourrait
ürer celle-ci :

AUS
XX. — Sur ln toroïde.

D'après la définition (p. 49) les trajectoires orthogonales, d’une
suite de normales à l’ellipse, sont des toroïdes.
Une de ces normales étant représentée par

cm
7 UE Se
Va? + bm°
l'équation différentielle des toroïdes est
dx c'dx

dy V «dy + b’dx°

JR

D'un autre côté, l'équation générale de ces courbes est

+ ADRE (x? + y — à — D? — ES — 927 a bfkS
HA BG Do + — à — D — LE) (ag + x — LR — ab?) \

+ 4 (ay + Da — Re — LE — D) — 0 (°),

(ec? + y — à — D — RS (ag + De — PE — x°b°ÿ
| (2)

k représentant la distance arbitraire prise sur la normale, à partir
de l’ellipse. Gette équation (2) est donc l'intégrale générale de
l'équation (1). Il serait peut-être difficile d'arriver directement à
ce résultat.

Addition. — (Juillet 1866.)

Généralement, soit

fa, 6) —0, (1)
l'équation d'une courbe donnée €. Si l’on fait
da
— dé ne (2)
on pourra mettre, sous la forme
y = MX + © (m). (5)

(‘) Page 51.

l'équation

de la normale D au point («, 6).

Cela posé, l'équation différentielle des courbes qui coupent
orthogonalement les droites D; ou, ée qui est équivalent, l'équa-
tion différentielle des courbes parallèles à C, est

dx dx
y=—2e+el-©). 6)

Bien que cette équation différentielle puisse échapper à toutes
les classifications connues, il est facile d’en trouver l'intégrale
générale.

En effet, cette intégrale appartient à l'enveloppe des cercles
représentés par

(ae — 0ÿ + (y — 6) = k?. (b)

Par conséquent, si l’on élimine «, 6 entre les équations (1),

() et

m—a y—$

re nr à 6
df de (6)
du dG
l’équation résultante,
IMÉOMOIENUX (7)
sera cette intégrale générale.
XXE. — Sur l’intégration des équatiens
simultanées. (1844.)
PROBLÈME (*). — Intégrer les deux équations
CEE ÉUIC RG RUE 1)
— — D —— + y — 2x — ,
dt dé À
dy dx dx En Le
EAU Ue A DR ee a (2)
CAEN LE dt MERS V4 + 1
0
(‘) Proposé au concours d’Agrégation des Collèges, en 1844. — La

solution suivante à paru dans les Nouvelles Annales (t. IV, p. 245).

— — 2x —2— — 9y. (5)
Regardant le second membre comme une fonction de #, incon-
nue, nous aurons, par la méthode de la variation des constantes :

lA l
mi VACE, = des Ê UE %)
«l

La valeur de x donne

dx ! fe d'A
D eee +- j

dx A d?2 \
Ze = e?! LA + L — + | .
dt dt?

Substituant ces. valeurs dans léquation (2), nous la trans-
formons d’abord en

dy à ee | PONT
= HYy+ÉT— — — |) — ——— . (4)
dt at dé |

G At
Mais
d'A / dy _
= 6% | 18y 152 + 9%).
JA NON el ee
d’où
AVI TEA sat . FU dy
on Cl 70 EU ee Graz le
an tee
L'équation (4) devient donc
Pa d ONCE
DA CL eue ee CT Ne : (5)

et le calcul n'offre plus de diffieulté (*).

() Ce procédé, applicable à un grand nombre de eas, a quelque analogie
avec celui que lon peut employer dans l'Analyse indéterminée du premier
degré (Cours de mathématiques, par Auguste Blum, t. , Appendice).

Rp ne

XXII. — Sur la partition des nombres. (1848) (‘).

Soit (n, q) le nombre de manières de former une somme »,
avec q nombres entiers, inégaux; et soit [n, qg] le nombre de
manières de former cette même somme par l'addition de g nom-
bres entiers, égaux ou inégaux. On peut toujours supposer que
les g nombres entiers qui concourent à former la somme n sont
rangés par ordre de grandeur non décroissante. Par exemple, sil
s’agit de former la somme 57 par l'addition de 5 entiers, on
pourra considérer ces groupes :

19, 12, 15;

h, 8, 24;
mais non CeUx-Ci :
13 14920042;

DA NE MHS:
Cela posé, on aura les théorèmes suivants (**) :
THéorÈE L. (7, q) —{(n — q, q —1)+(n — q, q). (1)

Démonstration. — Si l'on considère un groupe quelconque
formé de q termes et que l’on retranche une unité de chacun
d'eux, on obtient un nouveau groupe dans lequel la somme des
termes est seulement n — q. D'ailleurs, ce nouveau groupe est
formé de q — À termes ou de g termes, suivant que le premier
groupe commençait par | ou par un nombre supérieur à 1.
La même remarque subsiste pour chacun des groupes proposés ;
donc, etc.

THÉORÈME Il. [n, qg]—[n—1,q—1]+[n— 09,91]. (2)

Démonstration. — Partageons nos groupes en deux séries ;
mettons, dans la première, ceux qui commencent par | ; et, dans
la seconde, ceux qui commencent par un nombre supérieur à 4.

(‘) Les démonstrations suivantes, que je retrouve dans une lettre
adressée autrefois à M. Terquem, m'avaient été demandées par ce savant
Géomètre.

(**) Ils ont été démontrés par Euler.

MAILS APS

Sapprimons le premier terme dans tous les groupes composant
la première série, puis retranchons ! de chacun des termes for-
mant les autres groupes. Nous obtiendrons ainsi deux espèces de
sommes : les unes égales à n — 1 et composées de q — 1 termes,
les autres égales à n — q et composées de q termes. C'est là ce
qu'exprime l'équation (2).

9

Pr

Tuaéorème I. (n, q) = E MO Ge à 1 (5)

Démonstration. — Soit un groupe formé de q termes inégaux,
dont la somme est n. Retranchons O0 du premier terme, 1 du
deuxième, 2 du troisième, et ainsi de suite. Il est évident que
nous obtiendrons un nouveau groupe dont un terme quelconque
sera égal ou inférieur à celui qui le suit (*). D'ailleurs, la somme
des termes de ce nouveau groupe est

n—(U{+2+5+... + q—1)
ou
qg—1
— :

—

L'équation (3) est ainsi démontrée.

Tuéorème IV. [aq] = Ÿfn— qi]. (4)

i—1

Démonstration. — Prenons un groupe de q termes, égaux ou
inégaux, dont la somme soit n, et dont les q — à premiers soient
égaux à {. Si nous retranchons 1 de chaque terme, nous forme-
rons un nouveau groupe de qg termes, ayant pour somme # — q,
et dont les g — à premiers termes seront des zéros; ou, ce qui
est équivalent, un groupe composé de à termes, égaux ou inégaux,
et dont la somme est x — q. Donc, etc.

THéorenE V. (7, q) — > (n— iq, q —1), (>)

p étant le quotient entier de n + À par q.

(*) Reciproquement : Si, à des termes rangés par ordre de grandeur non
décroissante, on ajoute, respectivement, 0, 1, 2, … unités, les nouveaux
termes ainsi formés seront inègaux et croissants.

MAeA LR

Démonstration. — Considérons un groupe dont le premier
{erme soit à, et retranchons à de chacun de ses termes. À cause de
ü — à — 0, nous obtiendrons ainsi un nouveau groupe composé
de qg — 1 termes, formant la somme n — iqg. Et comme n — iq
doit être égal ou supérieur à q — 1, on doit supposer ? égal
où inférieur au quotient de n + À par q, ce quotient étant pris
par défaut.

Remarque. — Les équations (1), (2), (4), (5) supposent
n 5 2q. Sin — 2q, elles se réduisent à :

(29 9) =(q4,q —1) 0, (1°)
[29 q)=[2q —1,q—1]+ 1, (2)
(29, gl = [g, 1]+ [q, 2] +++ [gs gl. (4)
Applications et vérifications. — Soient n —15,q=—5; les

relations démontrées ci-dessus deviennent :

(5, 3) — (19, 2) + (19, 5),

[15,5] = [14,2] + (19, 3],

(15,5) = [12,5],

M5, 3]— (42, 1] + [19, 2] + (12, 5],

(15, 5) — (12, 2) + (9,2) + (6, 2) + (5, 2)

15, 3) — 19, (19, 2) — 5, (19, 5) —7,[13, 3] — 19, [14, 2] = 7,
[42, 5] — 12, (12, 1] — 1,[492,21—= 6, (9,2) —# (6,2)—=2;(5, 2)—1/;
done

19 = 57,

19=17 +12;

192);

19 = 1 + 6 + 49,
19=5+4%+9+1;
ce qui est exact.

(‘) La quantité {q, 9) égale zéro.

XXEHIE.

Sux l’hélicoïde de raccordement.

I. Soit M un point quelconque de l’hélice BM, tracée sur un
cylindre de révolution dont AO est l'axe. Soit C le centre de cour-
bure relatif au point M. On a, par une formule connue,

CM = OM (4 + 19°«), (1)

m «étant l'angle que fait la tangente MS

donc

Mais

| avec sa projection PS.
Cette relation équivaut à

MP\?
CO — OM 1922 — OM | — |
ps

Pour une autre hélice B'M’, tracée
sur l'héliçcoïde déterminé par AO et
BM, on aurait

MP \?
C'O — OM! | | :
P'S"

CO OM es
co ow\Prs/

PS" AP: OM’
PS AP OM

l'équation précédente devient

ou

CO O
CO OM
CO . OM — CO. OM — consl. (2)

Ainsi, pour loutes les hélices tracées sur un même héliçoïde à
plan directeur, les distances d’un point et du centre de courbure
correspondant, à l’axe du cylindre, forment un rectangle constant.

IL. Soit R le rayon du cylindre pour lequel « — 45°. Dans ce
cas, CO — OM" —R; donc, en général,

CO . OM = R°. (3)

III. Cette relation est symétrique; en sorte que CM est le rayon
de courbure commun des hélices décrites par les points G, M.

IV. On a, par l'équation (1),
OM — CM cos°«.

De même, f étant l'angle formé par la tangente CT avec sa
projection QT :
OC — CM cos” 6.
Mais
OM + OC — CM;
donc
COS + COS EG — 1.

Ainsi, les angles aigus S, T sont complémentaires; d'où il
résulte que les plans tangents à l'hélicoïde, aux points M, C,
sont perpendiculaires entre eux (*).

V. Le lieu des tangentes MS est évidemment un paraboloïde
hyperbolique : ces deux surfaces ont, en chacun des points de
OM, même plan tangent; c'est-à-dire que, suivant l'expression
consacrée, elles se raccordent le long de la génératrice commune.
Conséquemment, on peut toujours déterminer un hélicoïde de
raccordement avec une surface gauche donnée : l’axe de l’hélicoïde
est la commune perpendiculaire à la génératrice donnée et à la
génératrice infiniment voisine ; le plan directeur est perpendicu-
laire à l'axe, etc. (**).

(‘) Ce résultat est compris dans un théorème de Chasles (Journal de
Liouville, t. I, p. 415).

(*) Aujourd'hui, l’on dirait simplement : L’axe est la perpendiculaire au
plan asymptotique, passant par le point central (mai 1866).

ARTS EE

XXIV. — Sur l’hélicoïde à plan directeur.

TuéorÈème. — L’hélicoïde à plan directeur est la seule surface
gauche à courbure moyenne nulle (*).

Soient G, G', G’' trois génératrices consécutives de la surface
cherchée S. Par un point m, situé sur la première, faisons passer
un plan P, perpendiculaire à cette droite G, et soient m’, m'' les
points où il coupe G’, G’. La section normale passant par G
ayant une courbure nulle, il en doit être de même pour la section
faite par le plan P; c'est-à-dire que les points m, m’, m'' sont en
ligne droite (**). Conséquemment, la surface du second degré,
osculatrice de S le long de G (***), est un paraboloïde rectangu-
laire, dont l’un des plans directeurs est le plan P, et dont l'autre
plan directeur, Q, est perpendiculaire à P. Trois génératrices
consécutives quelconques étant parallèles à un même plan, il
s'ensuit que la surface S admet un plan directeur, savoir, Île
plan Q.

Remarquons maintenant que, parmi les génératrices du para-
boloïde osculateur, il en est une qui rencontre orthogonalement
G, G’, G'’; done la surface S est un conoïde droit.

Le reste est évident.

(‘) Dans le Journal de Liouville (t. VII, p. 205) le même théorème est
démontré par le calcul. A défaut d'autre mérite, cette première démonstra-
tion a celui de la priorité. Néanmoins, on peut lire, dans le 52€ Cahier du
Journal de l'École polytechnique (1848, p. 154) : « Meunier a le premier
démontré cette proposition remarquable dans son Mémoire sur les surfaces,
qui a été inséré au Recueil des Savants étrangers ». Cette assertion si
précise atteste un grand effort d’imaginative : Meusnier prouve seulement
que, parmi les surfaces engendrées par une droite Lorizontale, l'héliçoïde
satisfait seul à la propriété énoncée; ce qui est bien différent.

Pour comprendre le procédé que je relève ici, on doit se rappeler les
maximes de Bertrand et de Raton (La Fontaine, livre IX, fable XVII) —
(mai 1866).

(*) Autrement dit, la surface S est de telle nature que toute section
plane, perpendiculuire à une génératrice, présente une inflexion au point où
elle coupe cette génératrice. Cette propriété appartient, en effet, à l'hélicoïde
(mai 1866).

(°””") Leroy, Géomitrie descriptive, p. 560.

AKV. — Sur un cas particulier de l’hyperholoïde
gauche. (1849.)

On sait que si les faces d’un angle dièdre droit passent respec-
tivement par deux droites AB, CD (*), non situées dans un
mème plan, l’arête du dièdre engendre un hyperboloïde dont
les trois axes satisfont à une équation de condition. Cette surface
jouit de quelques propriétés qui n'avaient peut-être pas été
remarquées.

I. Si l'on prend pour origine le milieu de la plus courte
distance des directrices AB, CD; pour axe des z, une parallèle
à la droite AB; pour axe des x, la plus courte distance; et si l'on
désigne par 7 l'angle des directrices, ces droites sont représen-
tées par

X—— 4, | (AB) X—+a, (CD)
pt y=z189;
et l'équation de l'hyperboloïde est
LÉ +Y—yztgy = 0. (1)

II. A l'inspection de cette équation, on voit que l’hyperboloïde
peut être engendré par une circonférence dont le plan resterait
perpendiculaire à AB, et qui couperait, aux extrémités B, D d’un
même diamètre, les deux directrices. Des considérations de
Géométrie descriptive conduisent au même résultat.

IE L'équation (1) est vérifiée par x = Æ a, y — 0; done les
sections circulaires de l’hyperboloïde rencontrent deux généra-
trices, perpendiculaires aux plans de ces sections (**).

Puisqu'il en est ainsi, les trajectoires orthogonales des sections
circulaires se projettent, sur un plan perpendiculaire aux deux

(‘) Le lecteur est prié de faire la figure.
(*) I s’agit ici d’un des deux systèmes de sections cireulaires : le second
système jouit d’une propriété semblable.

D cs

génératrices, suivant des circonférences ayant leurs centres situés
sur la droite qui joint les pieds des génératrices.
Ces circonférences sont déterminées par l'équation

+Yyÿ +Ax+a —=0, (2)
À étant un paramètre variable.

IV. Si les sections circulaires sont considérées comme des
lignes de niveau de l’hyperboloïde, les projections des lignes de
plus grande pente sont done des circonférences (*). Ce résultat est
d'autant plus remarquable que, dans le cas général, les trajec-
toires orthogonales des sections circulaires d'un hyperboloïde
sont des courbes très compliquées (**).

V. Remarque. — Le diamètre BP du cercle générateur est
la normale, en B, à l'hyperboloïde (***). De là résulte que le lieu
décrit par ce diamètre est le paraboloïde normal suivant AB; etc.

KKVEI

Problème d’algèbre. (1849.)

Décomposer un polynome, égal à la somme de deux carrés, en
une autre somme de deux carrés.

I. Si A, B sont des polynômes, et que l’on veuille rendre
identique l'équation

A° + B°— 4° + B*,
(7) Voyez, sur ce point, le Journal de Liouville (t. XIX, p. 132).
(”) Journal de Liouville (t. XI, p. 485).
(”") H y a un théorème plus général : « Pour obtenir la normale en un
point P de la surface gauche engendrée par l’arête d’un angle dièdre droit,
dont les faces sont normales à une courbe donnée, menez, par le point P,
un plan perpendiculaire à l'arête; construisez les points Q, R où ce plan
perpendiculaire est rencontré par les axes des cercles osculateurs à la

D

2

»

courbe donnée, pour les points où cette courbe est normale aux faces

2

de l'angle dièdre; avec PQ et QR comme côtés, construisez un rectangle
PQNR : la diagonale de ce rectangle sera la normale demandée ». (Société
Philomathique, 4 novembre 1848.)

ÿ

D AR

il suffit que l’on prenne, soit

A’ = A coso + B sin ©,

B'— À sin o — B cos o;
soit
A'= Acoso —Bsino,

B'—Asinœ + Bcoso;
œ étant un arc quelconque : pour plus de simplicité, on peut le
choisir de manière que sin o et cos + soient rationnels.
IT. De cette remarque, il résulte d’abord que

AAREUS LONZ

EUR à
étant l'équation d’un hyperboloïde à une nappe, les deux systèmes
de génératrices rectilignes peuvent être représentés par

æ

DZ ; HEriez .

— == — COS O + Sin O, — = — COS ®— Sin Y,
ane CONNC

(Poule lue 1 Ce

É = = sin @ — c0s g; == sing + cos g(.
DANC z

HE. De plus, si A, B sont des fonctions de x, y, z, du premier
degré, l'équation
A? + B— 0,
qui, en général, représente une ligne droite, peut, de deux infi-
nités de manières, être remplacée par
A? + B°— 0.
Soit, par exemple,
A=x+2y—52 +1,

— 2% — Y + Z.
Si l'on prend

O1

(‘) Cette méthode, que j'ai enseignée il y a bien longtemps, me parait
préférable à celle qui est généralement suivie en France. (Juillet 1866.)

sg

on pourra substituer, à l'équation
(x + 2y — 52 + 1) + (2x — y + zÿŸ — 0,
soit
(x + 2y — 52 + 5) + (— 2x + 11y — 15z + 4) — 0,
soit
(— 5x + 10y — 15z + 5) + (10x + By — 9x + 4ÿŸ — O0,
En effet, ces trois équations deviennent respectivement, étant
développées :
Da + Dy° + 1077 — 44yz — 2x + Ix + ky — 67 + 1 — 0,
19527195" +9507—550yz —50zx+50x+100y—150z+25—0,
125x°+125y°+ 2507 — 550yz — 50zx + D0x+100y—150z+ 25 — 0 ;

et il est visible que les deux dernières équivalent à la première.

XXVIE. — Sur le problème des partis. (1853.)

Je rappelle l'énoncé de ce problème :

À chaque coup, l’un des deux joueurs À, B gagne un point.
Pour que la partie soit terminée, il manque a points au joueur À,
et il en manque b au joueur B. Sachant que les probabilités de
gagner un point sont « pour À et Ê pour B, on demande quelle
est, pour chacun des joueurs, la probabilité de gagner la partie.

I. En désignant par p la probabilité relative à A, on trouve,
par diverses méthodes :

paf: ri M pe D qe a)

if DUare ee)
pre a+ b—1 PET a+b—1 el at, (2)
1 b—1
l(a+b)[at b—1 a+ (b—1)b—9) a+? Ge HP 5)
— PO En re er ee ana A

De même, la probabilité q, relative à B, peut être mise sous ces
trois formes :

b b(b+1 b 1). b—9
ie ICONE" AB UN (as arcer te
1 1.9 DOUTE

L)

— 66 —

A DEA Ge DEAN NL EE
phare

tr Qa+i -1 Ga+b-2 7 nu LA b_a-1
q i FT 1 i Géenr 1 a—1 B ge 2 ()
nel a SET nn (a—1)(a—2) pr ou gats1 1
F(a)l'(b){ b 1 b+1 12 0002 a+b—1
Il. Si l'on fait « ee ,Ê— — 5, ei que l'on combine, par

addition, les égalités correspondantes, on trouve :

Ù b—°2
CE) CETTE al (a+ }. (a+ 1]

1.2..(b—1) D
b(b+-1 2
+ [er de na(eg ae],
(or) NUE D 2 y+e. eee “|
1.2...(b— (8)
: AAC El Done ù ES !
mA EURE LY ee + —_——_—————— 0%" |
1 1.2..(a—1)
L'(a+b) M DE Te
, GVEA LT GÉANT EME b—2 +
(+3) l'(a TO ar" #) l 0) “ … (9)
L'(a+b), LME Eu a—1 y + rs
(|.
T(a)T (6)? 2l Le Tee) y |)

HT. Soit y — (m — 1) x, m étant entier. Les trois dernières
relations se réduisent à :

1) —-
gnt+é-1 == me Le É (mi — 1 )m + + AGE L pet 2) (m — 4)
fl 1.2..(a—1) (10)
DITS se ee
Se A PE RS ER ee
1 …(b—1)
a+ b—1 A ou {)
MTL A + (in —1)+.. RENAN) en
1.2...(b—1) (4)
es b—1)...(b+1
+(m—1) PS ane tem Ù
4 1.2..(a—1)
br D = 1
m°+-! (GR) ni Er . 1 ! TL ECO 0e ef een
T'(a)l'(b) Le RNEU QE 0 EM (19)

D{a)L (0) AT A

F'(a+b) 1 a—1 m-1 (m—1}s "1
n—1} 1 SAN :
TR |; ; 1 b+1 ir |

SN PSE

IV. Les égalités (10), (11) prouvent que les nombres entiers

1)... (a+ b—9
mit! [ne + mr —I }m'-?+.. Gone A Ra Hi

1.2...(b—1)

+b—1 —1).. À
mt] ane —— (m—1)+..+ mi

sont divisibles par (m — 1); les quotients sont

b(b:+ 1)..(u + b — 9)

a—1 — ma-? PAR :
MN roman
a+b—1 (a+b—1)..(b +1)
= j| a—1 SEE NE — ne ee ,
Gent 4 mon mont)

5—[5*+5.92.5+6.2.5 + 10.9%.3+15.2 . A
= 9 +0.5+15,

95
B—[1+7.92+921.94 55.945594]
ER Mo ue ie nee 21:
ou
2187959 _ 2187 — 939
50e
52 32

ce qui est exact.

V. Dans l'application précédente, les parties négatives des
deux dividendes sont égales entre elles : il en est toujours ainsi.
En effet, ces quantités sont des expressions différentes de p, mul-
tipliées par un même facteur. On a done

1e b— 92
HE = (m — À) mi? +... + Le) (m — 1)

1.2..(b—1)
se b—1).. 1
M Le (Er EEE ONE TE
I TROMTEr)
Mob) A be 1 0 1 ne 1
= ———— | — mt — ones ||
(a) T'(b)[« AE a+b—1

Conséquemment, le dernier nombre est entier ; ce qui n’était
pas évident a priori.

ee

Addition. — (1878) (*).

VI. On a, en série convergente,

prgmefi fes Me | (13)
puis, par soustraction,
Q = 2" [Cast 0 P° + Capo, sas BP + ce]. (14)
De même,
DeIG + (OR CRE PEECIE (15)

Ainsi, les probabilités p, 4 sont développées en séries.

VIH Avant de chercher l'interprétation de ces formules,
reprenons l'égalité (15), mise sous la forme

Ba + ce (16)

Dans le second membre :

a est la probabilité que A fera a points en a coups;

© Ba* est la probabilité que A fera a — 1 points en a coups,
et un point au coup dont le rang est a + 1;

LE Bat est la probabilité que A fera a — 1 points en a +1
coups, et un point au coup dont le rang est a + 2;

(1):

(‘) Nouvelle Correspondance mathématique, t. IV.
(‘*) Ce raisonnement est celui dont Poisson fait usage (Recherches sur les

probabilités des jugements, p. 190).

at Pr PS

L'équation (15) exprime done ce fait évident :
Si l’on prolonge suffisamment la partie, le joueur À finira par
gagner les a points qui lui manquent.

VIII, Revenons à la formule (15), ainsi écrite :
p = Cogs-1,5 1 2 BE + Cou, ga TR + Copsgn sa at? ft + … (17)

RO O6 eric Dim 0 cestilaiprobae
bilité que le joueur B, ayant gagné b — 1 points en a + b—1
coups, gagnera encore un point au coup dont le rang est a + b;

DO OC a Nc BE urobabiliterque
le joueur B, ayant gagné b — 1 points en a + b coups, gagnera
encore un point au coup dont le rang est a + b + 1; etc.

Done, le second membre de la formule (7) représente la
probabilité que le joueur B gagnera b points, en un nombre de
coups égal ou supérieur à b + a. Si l'on se reporte à l'énoncé
du problème, on voit que cette probabilité est la même que celle
du joueur À, de gagner a points en à + b — 1 coups.

IX. Soient « — 5 —{. Alors, comme le fait remarquer
Laplace, on peut imaginer une urne renfermant une boule
blanche et une boule noire; la première pour A, la seconde
pour B : à chaque tirage, on remet, dans l’urne, la boule tirée.
Cela posé, la comparaison des valeurs (1), (17) conduit à cette
proposition :

La probabilité que la boule blanche sortira a fois, en a + b—1
tirages, est égale à la probabilité que la boule noire sortira b fois,
en un nombre de tirages égal ou supérieur à b + a (*).

(‘) Voir une Note d'Émile Ghysens, jeune Géomètre enlevé à la Science
(Nouvelle Correspondance mathématique, t. IV, p. 85).

= 7Q —

XXVIII — Sur les fractions continues. (1849) (*).

I. Soit l'équation

ax? — Db,x — a — 0,
> @, Lg étant des nombres entiers tels, que

D5 + ous —= À
ne soit pas un carré.

La plus grande racine est donnée par les deux formules

D AVAA 1
En un ad
a; x

X

Nommons N la racine carrée entière de A, et posons

b, SF N — di; d, —— di 2 Ti;
nous aurons, de même :

D +N—Gd, ds = 19: + rs,

b, 2 N — da, d; — AVE SF V3

Mais
bi = ag — bo = 0, + NE Pi 0) —

conséquemment

La loi des dividendes est donc connue.
D'un autre côté, la relation

a — d5 + 2b5g1 — &qi (°°)

Nr;

(‘) Note extraite d'une Théorie des fractions continues périodiques, publiée

dans les Nouvelles Annales.
(*) Voir le travail cité.

donne

ds = Go + Qi (2b5 — @igs) = Go + Qi (205 — bi — bo)

= do + Qi (bo — bi) = @o + Qi (di — ds) = do + Qi (Ti — To):
De là le tableau suivant, qui montre la marche du caleul :

IN ONE à
d, — ais Eu NE da —= 9N — Vis (a == do 2 qi (ri = To);

3 = Aaa + Vos d=N— re, = + (ra — 73),

IE. S'il s'agit de l'équation
ax? — 2b,x + «y — 0,
il suffit de changer le signe de «&.
HE. En appliquant cette méthode à l'équation

3x? — 8x — 5 — 0

on à
RE MN EU NANTES re
puis
= a) —0:
9—53. 53 +0, de — 10, a —5—3—)9,
10 AD EP O0 MAIRES,
LOS 0 = SE 5,
DAC di — 6 a —3-+r0—0,
COMME OM LM A;
TO AAO EE 0 10 a 16;
IDSGMI EM NS Na MEL 5;
6—5. 1 +1, d — 9, a —6—3—5,
DES EN NT UT SE Se
donc

a = (5, 5,5,1,1,10,1,1).
IV. Pour la seconde racine, prise positivement, on aurait

LA

CR EU) SE OR Sn SE ENS

puis
d) — À, ANS;

1310 4m EM Pre
J—=51+4, ds — 6, a; —535+5—6,
66 15001) ADN CRE, 0e
10=110 +0, d; —10, a — 6,
10—6. 1+4, dé — 6, a; —1+4— 5,
6514 4e) qu eee
9— 53 3+0, ds —10, a —5—3—9,
10—2. 5+0, dy —10, & = 5,
105524 0) 9 eos es:
DD ME MA LE

donc

—x"—0, (4,4, 40, 4, 1,53, 5,3)
V. Prenons encore l’équation

62x° — 400x + 645 — 0,
laquelle donne

200 +V/40 200 — 1/10
LE ————— :

TERRES RES ?

62 | 62

Pour la première racine :

um —=62, u——645, N—53, d,— 203;

puis
205 = 62.5 + 17, ds ——11, a, — — 645+5(203+11)——53,
—11——53—2, d;,—8, us — 62— 3.19—5,

8 — 9.1 + 5, 25, a—=— 5 + 5—),

92 el 1H DH 25;

5 = 3.1 + 2, d; = 4, A —2 +1 —53,

4— 5.1 + 1, d7— 10; ay = 3 — 1 = 9,

)— 2.9 + 1, d3 = 5, CEE,

D— 5.41 +2, di —"%; CH EE IE

À cause de dy — d4 et de ao — 4, la période est en évi-
dence ; et

DA ere
On trouve, semblablement,
a" = 3, 5, (1,2, 1)= 5, 5, 1, (2, 4, 1).

VI. Pour terminer, résolvons les équations du second degré
auxquelles on est conduit lorsqu'on cherche la valeur d'une
fraction continue périodique.

D'abord, l'équation :

Q'y° + (P°—Q)y— P—0
donne

1e emo) V/(p en EE 4PQ

20
Mais PQ! — PQ— + 1 (); done

__—(P—Q)+EV(P + QÿŸ +4
D 50 UT

Plus généralement, soit l'équation :

Q"{D'x — D} — (P' — Q) (D'x -— D) (E'x — E) — P (E'x — Eÿ—0,

1 [Q'D'?— (P°— Q) D'E —PE*| x
— [2 (Q'DD'— PEE') — (P° — Q)(DE' + D'E)lx
+ Q'D?— (P’ — Q)DE — PE — 0.
Il en résulte
2 (Q'DD' — PEE') — (P° — Q) (DE' + D'E) &VL
D OT ISIODE PES OC) O0

L désignant la fonction

[2 (Q'DD' — PEE') — (P' — Q)(DE' + D'E)|
— 4{Q'D*— PE*— (P'— Q)D'E') [Q'D* — PE? — (P' — Q) DE |.
En développant cette fonction, et ayant égard aux relations
PQ — PQ = +1, DE'— D'E — + 1, on trouve qu'elle se
réduit à (P' + Q} + 4.

(‘) Loc. cit.

AN RES

I suit de là que si l'on cherche la valeur d’une fraction conti-
nue périodique, le radical contenu dans cette valeur a la forme
Vu? + 4, laquelle, si w est pair, se réduit à 2V/u'? + 1. Par
suite, d'après le théorème de Lagrange (*), l'irrationnelle V/A,
dans laquelle À est un nombre entier, ne doit différer, de l'irra-
tionnelle Vu? + 4, que par un facteur commensurable À. En
d'autres Lermes, on peut toujours satisfaire à l’équation

A — +4.

KMXIY%. — Analyse indéterminée.

(Janvier 1867) (**).

PROBLÈME. — Trouver plusieurs cubes entiers, consécutifs, dont
la somme soil un carré (***).

Ï. A cause de la relation

L AR 10e n(n + 1) |
A Ont rs | ARR le

on à

! 2

a+ (a+ Pa (ay) = Or y 1)Laat-4 (y — 1 Jae+-2y (y—1)]:

ou, en représentant par s la somme des y cubes, et en posant

2x + y —1—2: (1)

16s — 2yz (y° + z° — 1). (2)

(Bo cut

(‘*) Résumé de deux Notes publiées dans les Atti dell’ Accademia Pon-
tificia de’ Nuovi Lincei.

(‘**) Cette question m'a été suggérée par la lecture d’un beau Mémoire
de M. Angelo Genocchi (Note sur quelques sommations de cubes). Bien que
ce savant Géomètre y donne les solutions rationnelles de l'équation générale

a + (c+r$ + (+ 2r$ +. + (x + nr —r) = y,
il m'a semblé intéressant de chercher les solutions entières de l'équation

particulière
DS +(r+ +. + (r+n — 1} = y.

AREA An

D'après l'égalité (1),.y et z sont de parilés différentes. Par
suite, 2yz et y? + 2? — 1 sont divisibles par 4.

Soient :
dyz = ka, (5)
y + z —1 — 246, (4)
s—l"— «af. (>)
Soient encore
a—ô0u, 6—6v;

6, 9’ ne contenant aucun facteur carré ; autrement dit :
49— abcde …, 8 — a'b'c'd'e…;

a, b, c, d, e, …, d'une part, et a’, b', c', d’, €’, …, de l’autre, étant
des facteurs premiers inégaux. À cause de l'équation (d), 89" doit
être un carré; donc

ou
Ge
el, par conséquent,
a — hou, 6 — 4Ov°. (f)
Prenons
DONC URe (g)

p, q étant deux nombres donnés, l’un pair, l'autre tnpair,
premiers entre eux. Les équations (b), (c) deviennent, à cause
des valeurs (f) :
pqr* — Zu”, (h)
(p° + g)9° — 1 — 46v°. (k)
Eliminant 0, on trouve
2
u
2 2 2 .
(RAR CURE

donc « est divisible par y :

Uu—=YU'; (l)
et la relation (k) devient

pq = 26u*. (A)

HT ei

I. Dans chaque cas particulier, on.décomposera done l? en
.deux facteurs w’?, 8, dont l’un soit un carré, l’autre n’admettant
aucun facteur carré; après quoi l’on cherchera les solutions
entières de l’équation

(p° + g*)y7* — Aou — 1. (B)
Si elle en admet, on emploiera les formules

cn Re Asie TURC en

2 2
s — (u'vey). |

(C)
I. Applications. — 1° p—5, q — 4. L'équation (A) donne
JE EN
en sorte que (B) devient :
(59) — 6(2v0) — 1. (1)
La solution la plus simple est
HU — UP
d'où l’on déduit, par exemple,
| VOTE MNUE 100
puis
T4) NT UM 059 0 —)16:97299)%
Conséquemment
495 + DO + 515 +... + 559 — (6 97 99);
ce qui est exact.

2,n—5,q—80Ontrouve0—5; 402, puis

897*— 5 Qu) = 1. (2)

Le développement de

VE 445
RAT % HS

XI

©

SM NC

en fraction continue donne, comme fractions complètes :

R R+920 R+16 R+5 R+15 R+18 R +15
RO RU ao TE AT on |
R+D R+16 R+20 R+920 R+16
no ste om aps? ete
Par conséquent (*), l'équation (2) n’admet aucune solution
entière.

8% p—5, q— 12. On a u — 1, 0 — 30; donc

(13 y) — 190 v° — 1. (5)
Cette équation est vérifiée par

4537 = 11; urv—"1;

mais, comme la valeur de y est fractionnaire, on doit recourir à

la relation
(11 + V/490) — 15 > + vV/190,

en disposant convenablement de n. Après quelques essais, l’on
trouve que n — 9 donne

y —= À5 579 559 447, 0 — 54 085 725 209.
On conclut, de ces valeurs :

1697? — 351 051 854 604 867 350 921 721,
120% — 351 031 854 604 867 330 921 720,
x — 159 515 698 065,

x + y— 1 — 387 590 595 299,

s— (50.45 575 359 447. 54 085 723 209}.

(*) Théorie des Nombres, t. I, p. 108. — La Table X renferme une faute
typographique : au lieu de 1 850, on doit lire 7 850.

IN LT

Addition. — (Mai 1881.)

IV. Examen d’un cas particulier. Si l'on suppose y= x + 1,
on est conduit à l'équation
Re" : (12)
dans laquelle
S

(5x +5), His

D—

1
2

Les solutions de cette équation (12) sont données par les
formules

= [(4 + V48)"+1 dE a —V/15)%+1],

= ——©[(4 + V5 (V5) ];
21/15
d’où il résulte :
| Le
a = [(4 + VASPr+t + (4 — 145) + —5],
1

SON ER Sn)

Zz = 500 tv 5) 2n+1 —(4—V 15)" LCR A 5) A1 5) 5 TE.

Si, pour abréger, on fait
G+V/A5)+ = A, (4— V5)" BR,
on à donc, identiquement,

(A+ B—5)+(A+B+ 92) + (A +8B +7) +..+ (24 + 2B — 6)

al O1

(A — B}° P(A+BT— 3).

V. Vérifications. 1° n—0, A—4+V/15, B—4-—V/15.
On doit trouver

B5 + 10° — EE Re

& | O1

ES U7 EI
ou
1+8—9.
2 n=1, A—(4 + 1/15 — 244 + 65 1/45,
B— (4 —V15ÿ= 244 — 65 V/15.
L'identité devient
4855 + 490 + 495 +...+ 9705 — 3. 65°. 15. 485,

ou
975 + 98 + 99° +...+ 1945 — 9. 65°. 97°.

Le premier membre égale (97 . 195)? — (97 . 48)?; donc
195? — 48° — 9. 63°;

etc.

XX. —_ Modification à la méthode
de Newton. (1835.)

I. Si, dans l'équation

h° k"

Re Te en à 0 ete

f(&) + hf" (o) +

on conserve les trois premiers termes, on obtient

CAE)
(2 f'{e)
puis, en appliquant la méthode des approximations successives (*),

f (e) ARE)

h —

La formule due à Newton peut done être remplacée par
celle-ci :

A

(") Manuel des Candidats, t. I, p. 25.

RECY Ve

dans laquelle nous avons écrit f, f’, f” au lieu de {{«), f'(a),
HOË

II. Cette nouvelle formule, qui donnera souvent une valeur
fort approchée de la racine inconnue a, peut, comme celle de
Newton, être interprétée géométriquement. En effet, si l’on
remplace la courbe dont l’ordonnée est f(x), par une parabole
osculatrice, ayant son axe parallèle à l’axe des x, l’abscisse du
point d’intersection de ces deux dernières lignes est «y.

II. Application. f(x) = x5 — 7x + 7 —0.

Nous prendrons «a = 1,557 (*). Cette valeur donne

f— — 0,000 153 707, f——1,475 653, f"— 8,142;
puis
0,000 153 707 4,071 {0,000 153 707\°
21 — 1,557 SE EE APT RTTE CESR TER ERREUR + = a —— .
1,475 653 1,475 653 | 1,475 653

+ 0,000 153 707 » : à :
La fraction OCR égale, à peu près, 0,000 1. De même,

4,071 = . , .

Ses — 9, environ. Par conséquent, le dernier terme de &,
Ê

diffère peu de 0,000 000 05. Il suffit done de calculer chacun
des deux derniers termes avec neuf décimales exactes. A ce degré

d'approximation,

0,000 155 707 0,000 153 707

2
— 0,000 104 162, | — 0,000 000 044,

1,475 653 1,475 655
4,071 [0,000 155 707\*
Re Es ne ] —0,000 000 030;
1475 655 | 1,475 655
puis

= 1,557 — 0,000 10% 162 + 0,000 000 030,
ou
a — 1,556 895 868.

La différence entre ce résultat et la valeur exacte est inférieure
à 0,000 000 000 11 (**).

(‘) Manuel des Candidats, t. I, p. 220.
(*) Loc. cit.

AMG

XXXI. — Sur la somme des puissances semblables
des nombres naturels. (1855) (‘).

La plupart des Traités d'Algèbre donnent la relation générale

‘p+tl)p p+l

qu + 1 fe +11 + Ro

Manet
dans laquelle S, représente la somme des puissances p des n
premiers nombres entiers. Cette relation permet de calculer,
assez rapidement, les valeurs de S;, Se, S;, S,; mais elle devient
presque illusoire dès que l'indice p surpasse 4. Il y a dix ans,
M. Puiseux, probablement frappé de cet inconvénient, donna,
dans le Journal de M. Liouville, la valeur de S,, en fonction
explicite de n et de p. Malheureusement, la méthode employée
par ce savant Géomètre est assez compliquée (**); en outre, les
valeurs qu'il trouve, pour les coefficients de $,, très satisfaisantes
en théorie, le seraient fort peu s’il s'agissait de passer aux
applications numériques (***).
La méthode suivante, dont le germe se trouve dans le grand
ouvrage de Lacroix, sera peut-être, à cause de sa simplicité,
capable d’intéresser les Géomètres.

(*) Les quatre Notes suivantes ont paru dans divers Recueils. Si je les
réimprime (avec quelques modifications), c’est parce qu’elles me semblent
pouvoir être regardées comme les prolégomènes d’une théorie des Nombres
de Bernoulli.

(”*) Cette observation , qui n’est pas une critique, s'applique également
au Mémoire de M. Pépin, inséré aux Nouvelles Annales (janvier 1856).
Du reste, l’auteur, dont je n’ai connu le travail qu'après avoir terminé le
mien, dit expressément, en parlant de la formule trouvée par M. Puiscux :
« L'expression générale de la fonction 5,,4 est fort mal appropriée au
calcul ».

(**) Par exemple, le coefficient 550 exigerait ces opérations :

46—5.3+43.96 1 4096—2187+192—1 92100 ip
= = —— = ))(.

1.2.5 6 6

RS

6

DAC A

1. On a, identiquement,
n=nm—1)+n.

En multipliant les deux membres par

n=(n—2)+2=(n—1) +1,
on trouve

n°—n(n—1)(n —2) + 2n(n —1)+n,
+ 1

ou
n=n(n—1)(n —2) + 5n(n —1)+n.

Multipliant les deux membres de cette nouvelle égalité par
n=(n—5)+5=(n —2)+2—(n—1)+ 1,

on à encore

n'=n(n—1)(n—2)(n—3) +5|n(n—1)(n—2)+6!n(n—1)+n,
+3 +1

ou
né—=n(n—1)(n—2)(n — 35)+ Gn(n—1)(n —2)+7n(n—1)+n.

La loi des résultats est actuellement évidente; de sorte qu’en
désignant par A,,, le nombre des arrangements de n lettres
prises p à p, et par B,, C,, …, L,, (p — 2) coefficients, indépen-
dants de », on peut écrire :

n—A,,, + BA, + CA, e + + LA: + n. (A)

= IL Pour démontrer, par le raisonnement connu, la généralité
de cette relation, et pour trouver la loi des coefficients, supposons

n° u AE —+- B, à: À ,,p-2 + (Der ASUS AO K,_ A, oe + n,
et multiplions les deux membres de cette égalité par

n—={(n—p+1)+(p—1)=(n-—p+#2) +(p—2)=...—(n —1)+#1;

nous aurons

A (p—1) A4, 014 (P —2) Blu pate + 2K ile n;
+ B, ; + Ci + Î
et, par conséquent :
B, == B,_1 + (P ne 4),
Co, Co + (p — 2)B,
D, = D,_, +{p —5)C,_:, | (B)
[

LE, —= | QG 2K,,_1.

-JIL Ainsi que l’a fait remarquer Lacroix (*), le calcul des
coefficients B,, C,, …, L, est fort simple. En effet, si l'on sup-
pose, successivement,

DM ON NA

on trouve, par les formules (B) :

9 530 | 511

l

(”) Et'aussi M. Pépin.

eu

Il résulte, de la formation de ce tableau, que le l**° terme d’une:
colonne verticale quelconque est égal au terme écrit au-dessus,
augmenté de | fois le terme placé à la gauche de celui-ci (*).
Par exemple,

4701 = 501 + 4.550.

IV. Si l’on écrit ainsi les nombres contenus dans le tableau
précédent :

501 966 | 3025

1701 | 7 770 | 54 105

6951 | 42525

22 827

on voit que les termes de la première ligne horizontale sont
tous égaux à l'unité, et que ceux de la deuxième sont égaux
aux puissances successives de 2, diminuées de 1. En outre,
un terme quelconque N,,, occupant le rang x dans la l”* ligne

() Pour plus de régularité, on a représenté par A, le coefficient de À,,,
coefficient égal à l’unité. Le Mémoire de M. Pépin contient également le
tableau ci-dessus.

ag

horizontale, est égal a 1 fois le terme écrit à gauche, augmente
du terme écrit au-dessus. I n'est pas bicn difficile de conclure
de là: |

Leu
1.2.3...) N = PH (I) + EE. (0)

Cette formule générale, beaucoup moins commode que la
règle précédente, a été trouvée par M. Puiseux.

V. Revenant à l'équation (A), nous aurons, en changeant
nenn—1,n—72,.… 5,92, 1, et ajoutant :

pat B C L |
Pot Brit Anstot nu Anpcteit Aunst 9 As (D)
ou
ge hu tint) à )
— n+l)nin—1).(n—p+:
Mes pi Î

B
+ L(n + 1)n..(n— p +9)
P

C,
——:{ Ajn.…(n — 5
jee IE Jet p +5)
L,
+ —(n + 1)n(n —1)
3
1
+ (a Are
Par exemple, si n— 10 :

1 15 65
nn 01-10.5-8.7.6:5 +41 10-98-76 °-11.10.9.8,7

90 51 1
4 10 08 11 10 0011, 10
L 6) 2

== 110 (2 160 + 7 560 + 6 552 + 1 620 + 95) + 55 — 1 978 405.

Mhder des
En effet,

Er. HAN —A + 64 + 7929 + 4 096 + 45 625 + 46 656
+ 117 649 + 262 144 + 554 441 + 1 000 000 = 1 978 405 (*).

XXXII. — Sur les différences de 1’, et sur le ealcul
des Nombres de Bernoulli.

(Juillet 1859.)

I. La formule

AU = U, — . Uni + Je Une + ce EU
donne, en supposant 49 = 1” :
A"(17) = (n + 1} — LUTTE Len D = Lot 4,
1 152 2
Ar) =nr— _ (n—1ÿ+ — — (ni 9ÿ—. + ee PAF.

On conclut, de ces deux équations,

(n + 1) A" (47) + n AT" (17) =

(n + 1ÿPF1 — É . ee | nr+
=" n
—+-

— | (n—1)}#—. p[(n+1 }a—n(n—1 [2 (241 a}?

152? 1

—1
= (n + 1}* —: nr + _ )

n
(nn) F3 QPHI + PH

Donc
A" (AP) = (n + 1) A" (17) + n A" (HP). (A)

IF. La relation (A) donne le moyen d'obtenir, de proche en
(*) On peut rapprocher le développement (E) de celui qui résulte d'une

remarquable formule due à M. Prouhet (Cours d'Analyse, de Sturm, t. II,
p. 557) (octobre 1866).

Au Qt AN

proche, et par un calcul assez simple, les différences successives
der, 150180
En effet, si l’on prend les nombres naturels :

1,9, 5, 4, 5, 6, …

dont les différences premières et secondes sont

0, 0, 0, 0, 0, 0,
on en conclut que les quantités

1, A(4, A°(1)
ont pour valeurs

111, 10°

Multipliant ces derniers nombres, respectivement, par

ce qui donne

on a, par la formule (A) :
A()—=1+9—5, A()—92+0—9%, A(1)= 0.

Ainsi, la quantité 1? et ses différences successives ont pour
valeurs

En continuant, on forme le tableau suivant (*) :

(*) Ce tableau est tiré, en grande partie, d’une brochure intitulée Table
des quarrés et des cubes, pur C. Séguin l’ainé (1801). L'auteur, après avoir
donné, sous forme empirique, la relation (A), indique le développement de

Sp = 1P4+2P +... + nr,

ordonné suivant les puissances de n. Je dois la connaissance de ce curieux
opuscule, très rare aujourd’hui, au savant M. Terquem.

46 620 52 552 640

HT. Dans une Note sur la somme des puissances semblables
des nombres naturels, insérée aux Nouvelles Annales de mathé-
maliques (*), j'ai démontré la formule

‘ A

S, =" {n + 1)n(n—14). (n—p+t)
p+îi

B, |
+ —{(n + 1)n(n —1)...{n — p+ 2)

12
+ er (n + 1) n(n — 1) an — p + 5) ul

L ‘ il
+ —(n + 1jn(n —1) + st + 1)n.
2 2 |
("} Tome XV, page 250. — Cette Note est celle qu'on vient de lire

{novembre 1866).

— 89 —

Les coefficients A,, B,, G,, … ont les

valeurs contenues dans
cet autre tableau :

7770 | 3025

42 525 | 34105 | 9 330

59

1455 |25 980 | 162 687| 179 Lai 246 430| 145 750! 28 501 | 1023] 1

Avec un peu d'attention, on reconnait que les nombres placés
en diagonale, dans ce second tableau, sont égaux à ceux qui
constituent le tableau précédent, divisés par les produits 1.2,
1.2.5,1.2.5.4,... Autrement dit :

3—A(1°) 7 —A(15), 15—A(:),
ui 1 1

6—-A(5), 25—-A(1), 90 = A* (1)
1 1

TOR TON s(1), 250 — —— A5(1e
EE ol Qi a 3 } 250 A (1°),

JERAENTT) VE

De là résulte que l'on peut écrire ainsi la formule (B) :

1 1
$, = 0 + Ajn + 3 + f)n(n—1)A(r

1
1 HN os or eu) (n + Ajn.….(n — p + 1)AP (45). |

+ u+ Jhn (nu — 1) (na — 2) A (181) + | (C)
(p+1).2.3..(p—1)

Cette seconde expression de S, (trouvée par M. Puiseux) va
nous donner les Nombres de Bernoulli sous une forme beau-
coup plus commode, pour le calcul effectif, que toutes celles
que l'on connaît jusqu’à présent.

En effet, le (p—1})° Nombre de Bernoulli est égal au coefficient
de n, dans le développement de S,, ordonné suivant les puissances
de n (*). Done, d'après l'équation (C) :

1 4 1
BD ES 7 ar-1 LA | LL) ER APr—! | Lo
ou, pour plus de régularité dans la notation,
Be MA AE RO D)
C PTE 9 5 ( ) nur n ( ) in tr q rs 2 ( :

IV. Cette relation générale donne successivement, d'après le
premier tableau :

| 4 1
BE
2. 900, 6
1 SE
B—-—-+-—0,
2'UD NURE
CN LL as
nos VU 208 M 00 MR 00
1 45 50 60 24 1 1
B,= - — — + — 2 — + —— — + —— | —=0;

2 3 4 5) 6 D)

() Lacroix, t. IE, p. 84.
(*) On sait que B, = 0, si l'indice q est pair.

qe

V. Le Tableau des quarrés et des cubes donne, sous forme
empirique, une règle qui équivaut à la formule

4 1
LE gH) 5 AU43H) +
B,—1 A(1 = (121) :

née

L 1
AIT) = Ar 111), E
en me

laquelle est un peu moins simple que la nôtre. Pour en vérifier
l'accord, il suffit de prouver que

: 1 ! 5 1 2(49
Are ES [A (TE A()]— TA (art) + A%(49)] +

|
g +2

== [A+ (4H) + A9 (1)] = 0. (F)

Or, la relation (A) peut être écrite sous cette forme :
Ar (PH) + A4 (4e) = (n + 1) [A (47) + An)
puis sous celle-ci :

A’ arr! Ari 4e
( ne "( À amor)

n +!
donc l'équation (F) équivaut à
1 — (2) + À (27) — A? (29) + + AT (29) = 0.

Enfin cette dernière relation est identique, si l’on à égard à la
formule presque évidente :

us — Au, + Mu —... Æ Mu = 9 E APF (ui).

XXXIII. — Sur les Nombres de Bernoulli, et sur
quelques formules qui en dépendent.

(Mai 1862.)
L. Développement de ———.— On peut, de bien des manières,
prouver que, pour des valeurs réelles ou imaginaires de x dont
le module soit suffisamment petit, l'on a

x

x
———— —= À — — + An + A,x + Aa + +, (A)
e— 1 2

Ag LE

les coefficients A3, A,, A6, … étant donnés, en fonction des
Nombres de Bernoulli, par les formules :

B, As B; A B; (1)
119 NT Nota el 40e 11516 0

IL. Développement de x cot x. — Si, dans l'équation (A), on
change x en xæV/— 1, on obtient, comme l'on sait,

xcotx — A — 4 Aoù + 4 Ant — 45 AS + (B)

NII. Développement de ——. — On a, identiquement,

Ccot —- x — cot x = — à
2 SIN x

donc, à cause de la formule (B),

— DES 2y2__9(95__1 4 9 (95 _. (hd
nt + 2(2—1) Ant —2(P—1)Asat+2(2—1)Axt —… (C)

IV. Développement de tang x. — On a aussi

cotx — 2cot2x — tangz;
d'où l’on conclut

tangx = 4 (4 — 1)Asx — AE — 1)A;xs +45 (45 — 1) Aa. ("). (D)

V. Développement de ——. — Parmi les différentes manières

cos X
d'y parvenir, la plus simple (quant à présent) nous parait con-
sister à écrire

1 P, x’ P,x* P, x°
= À + + = _ ;
cos x 4.2 4.2.3.4 1.2.3.4.5.6
ou
P,x P, x° | x° x*
1 — —- = .…. ee —
1.2 1205974 : LD SONNONE DEN

(‘) M. Schlômilch s'est occupé de cette série (Archives mathématiques de
Grunert, t. XVT).

CANA NUR

Il résulte, de cette égalité :

4.5 6.5 6.5
P,—1—0, nn 2 0 Rec P,+ on
et, en général,
2n(2n—1) 2n(2n—1)(2n—2)(2n—5)
D ae
Conséquemment

PA UP 5 Pb 61 P 439880

puis
1 1 61 1 585
ne peau ame Lise 10
COS x . 2.0: Too ..

x

VI. Développement de tang É —- :)- — L'identité

LENS
tang ( <F =: — lang x +
cos x

donne, au moyen des formules (D), (E), en mettant pour les
coefficients A leurs valeurs :

RE 5
ang (+ E)=i+ a+ Le x° + cn en
He 15 1.5 MONS |
4 61 31
+ = aÿ + QIerE TE 0)
1:2%:3:5 1.2.3.4.5.6 12:51:35.)
1 583 496
——_— D + —— 0; + |
1:28 4.2.3.4.1.3.5.7.9 |

VII. Développement de £'tang Fe + = — De

+ dx 1 Ê :)
—_ — ang | — — |,
Cos x \ 5 nine 9

on conclut

Pt F <) + 1 ë dl x
+= c+ ——— 20 + ——
RE NS 1.2.3 1.2.3.4.5

QUE

VIII. Relation nouvelle entre les Nombres de Bernoulli. —
On a, identiquement,

x cot T.sin T = x COS x;

done, à cause de la formule (B) et des équations (1),

B;, _ 1 B:,2:
jules enr EUR à
1.9... (2n) 1.2.5 1.2... (2n —2)
1 ! In
+ 4 En —
4.2: (2n—1)1.2: 1.2.3. (2n +1)
ou
2n +1 (22 + 1) 2n(2n — 1) \
"OURS RU ae AE
On + 1) 2n A)
LA, \
1.2 ]

Cette relation générale diffère de celles qui sont indiquées
dans Lacroix (*).
Si l’on suppose

Be, _:
Bz, _ 1 — QT?
on remplace l'équation (H) par
9n(2n—1 On(2n—1)(2n—2)(92n—5 |
UN Ami Ne) er) Boss à
2,5 2.5.4.5 ue
. (Hr)
»41) n
+ — B, — ,
2 On + 1 |

Celle-ci serait précisément la relation connue, si l'on sup-
primait les accents, et si l’on écrivait, au lieu du second
9n — 1

membre, —

? 9(9n +1)"

IX. Détermination d’une intégrale définie. — Dans les

(°) Tome III, page 84 (1819). Celles-ci renferment une faute de signe :
au lieu de (+ ?), on doit lire, partout, (— 1).

AE 9h et

Mémoires de l’Académie de Turin (1820), M. Plana démontre

la formule
æ© pin! dt
B., 4 SE = 4än f' ô
! etTt— |

0

Il en résulte, à cause de la relation générale dont il vient d’être
question,

110 dt ee __2n CR En Re) pen ++]
e 1 1.2.5 1

2n — 1
4 (2n +1)

.

]

La quantité entre parenthèses est égale à

GED np (fa)

GARE

Si l’on suppose { — cot «, on arrive à la formule

T
2

à sin 2na«da ne 2n — 1 1)
Pie coneocmpren: qu

0

dans laquelle on doit prendre le signe + si n est impair.

À. Autres intégrales. — L'équation (H), traitée de la même
inanière, donne

x

Æ sin 2nxdx te de

2 — RS — 6 JA
1 (eT tx 1) sin” +?& An +1 mi
0

De plus, la comparaison de cette seconde formule avec la
précédente conduit à ce résultat remarquable :

Es sin 2nodx Fa 1

2 | mm —
à (eZ ERA CHE pis) sin en En re
8

nage 2e

XI. Si, dans la formule (L), on suppose n = 1, 2, 3, …, 2p, on
obtient

__— si) (Ti — =
0 CLAIRE a #4. sin 44, n—1 &n+if

La valeur du second membre est

ae una 1 |
le — ————
SLA 4p + 1

1 1 [A+ por
Rs
Tao A + £

0

D'un autre côté, à cause de la formule connue :

ou

À de en sina—x*sin(2p+-1)a-+x*#tsin2pa
Sin a+ 2° Sin 2a-+ +++ 250 par —— —— ——\,
1— 2x cosa + x

on à
D sin 2n« 4 sin 2 sin® +? — sin? a sin(4p + 2) + sin ne

1 Sin” sinŸa 1 — 9 cos 2asin°?a + sin*a

Par conséquent,

4 — 9 cos 2 sin? a + sin* «&
1 1 fire ®
M er
PA TEA 1+f
0

On peut observer que, si le que Éer p augmente indéfi-
niment, le second membre tend vers +, Il en est done de même
du premier membre, bien que la fonction contenue sous le

signe / n'ait aucune limite déterminée.

sin2asin #a—sin#xsin(4p+2)a+sin4pa
1 (er eta 1 )sinP#t cotæ __ ne sin ?7+tz

ADN AN

KXNXKXEV. — Sur le caleul des Nombres de Bernoulli.

(Juin 1864.)

Les relations nombreuses qui existent entre les Nombres de
Bernoulli donnent lieu à des calculs pénibles, parce qu’il s’y
introduit, nécessairement, des fractions de plus en plus compli-
quées. Dans la présente Note, j'établis les formules

B P: P; B me Ba
RE Sins CNT Qn—A1 — 2 (4 — 1)
On(2n—i 2n(Qn—1)\(2n—2)(2n—5 On

n—A mi In—5 2 N Eu oo +—P,=1 9
6 DAS 2.5.4.5

P,,P...., P,,,, …, étant des nombres entiers impairs.

x
æ

FE. En partant du développement de ——, on trouve (*)
tango 4(4—1) x — eee EE U4 —1)

Pour développer directement tang x, il suffit de prendre l'équation
P ÿ
y COS x — Sin X,

et d'employer ensuite la formule de Mac-Laurin. On obtient ainsi

x° x?
ANS L — Yi X + Ys ——© + 0 + Ya
Ce JE ROAD er

1

.2.3 ) » (B)
Yi Ys Y5s ……, étant des nombres entiers, déterminés par la

relation
(2n — 1) (2n — 2)

Yon—1 ET 1.2 Yan-3
; (C)
Dn—1)(2n—92)\(2n—3)(2n —4 9n— 1
mm DS HE
4 270502

(") Page 92.

LAON

Il. La comparaison des formules (A), (B), donne

9n
PM PERS rie D
2 1 En)" 4 ( )

D'un autre côté, à cause des relations

2n(2n — 1 9 9
47 Ba + "1 HET) be He + 4 np — re ;
2.5 2 2n + 1
2n(2n —1 On On — 1
RU Re hr — = —— (*),
2019 2 2(2n + 1)
On à
2n(2n —1) 9n n
é "1 RE D = °° — — — ue,
(4 — 1) Bei + (4 1) 9 5 B,, :+ + (4 1) 2 Be
d’où, en posant
P.,
BE = = E
MEET CE (E)
2n(2n — 1)
Pon-1 — ê = On -3 |
2.3 æ)
2n(9n — 1)(2n — 2)(2n —5 9
Mare Der) Ce) PO een
225.4 .0 ) |

III. Si, dans la dernière équation, on suppose n — 1, n — 9,
n — 5, …, On trouve

P,=1, Ps —1" PES; Pr—= 7117: P, — 155, P, — 2075, ….

en sorte que les premières valeurs de P.,, sont entières. Pour
démontrer que toutes le sont, je m'appuie sur les remarques

suivantes :
1° A cause des formules (D), (E) :

P, — {° (G)
Donc, st P.,, est entier, .ce nombre est divisible par tous les
diviseurs impairs de n (**);

(‘) Page 94.
(‘*) Autrement dit, si n—/n', n' étant impair, P,,_ est divisible par n’.

Ls99 =

2? à étant la fraction irréductible équivalente à

T'(a + b) ct)
DE EE UN MEL

le dénominateur D divise a et b; d'où il résulte que C se réduit à
un nombre entier, lorsque a et b sont premiers entre eux;
3° Le terme général de l'équation (F) est, abstraction faite du

Signe
ii L (On + 1)

OO L On
F'(2p + 2) L'(2n — 2p +1) 2n —%p — 1 (H)

Le dénominateur de la fraction irréductible équivalente au
coefficient de P,,,,, est un diviseur commun à 2p + 1 et
2n — 2p, ou commun à 2p + 1 etn — p (2°); si donc P,,_., ;
est un nombre entier, ce dénominateur divise P,,_.,_, (1°);

4° Conséquemment, si P,, P;, P,, …, P., , sont des nombres
entiers, P,,_, est un nombre entier.

IV. Les nombres entiers

F'(2n +1) p l (2n + 1)
L'Op +9) (2n — 2p +1) 7 T'(9p + 1)T (On —9p+1)

sont tous deux pairs ou tous deux impairs, lorsque P,,_.,., est
impair. Si donc P,, P;, …, P,,_; sont impairs,

2n (2n — 1
Pi = es )
2n (2n — 1) (2n — 2) 9n — 5) 2n (2n —1)
meme mm 1 (MO. 2):
4.2.3.4 15

ou, d’après la formule du binôme,
Pi gen TES 4 = | (mod. 2) ©
P,,_, est impair (**).
(‘) a et b sont des nombres entiers.
(**) Les démonstrations précédentes sont longues et difficiles. M. le lieute-

nant Mangon, l’un de mes meilleurs élèves, en a trouvé d’autres, remar-
quablement simples. (Nouvelle Correspondance mathématique, t. V, p. 129.)

— 100 —

V. Remarque. — D'après la formule (D), on pourrait calculer
les Nombres de Bernoulli au moyen des nombres entiers

Yn > Y3> Y5> 3 Mais Ceux-ci croissent beaucoup plus rapidement
que PPS PS

Addition aux deux dernières Notes. — (Novembre 1866.)

L. Développement de tq = x. — La formule (D) (p. 92) équi- .
vaut à

B, B
tgr=h(h—1) a POULE VE EU RS À Pt Be ES

1. ET 1.2...2q
Soit, comme ci-dessus,
Poy—
D eu— = , Î
24 î D) (41 — 1) ( )
La formule devient
P, P; e pe,
D D =— 19 £ 9x\ 9 Dy\21— 1 2
Bee OO sn Sp tte
ou, par le changement de x en + x :
1 P ID 4 pe
tg—x — UT —— +. PR en ASS (A)
D) 122 LES 1.2...2q

IL. Développement de tq? x. — À cause de P, — 1, on con-
clut de l'équation (A), en prenant les dérivées des deux mem-
bres :

l |
To
2 cos” — x
2
P, n Pa 24— 2
L'+ — SON = He,
2 DS LG …(2q — 2) 2q
ou
AN P, ps
19° — x — Des De = #2... (B)

O0

III. Calcul des nombres P. — Le calcul de ces nombres,
tel qu'il résulte de la relation (F), exige des additions et des
_soustractions. 1 serait abrégé si, pour déduire un de ces
nombres de tous les précédents, on n'avait à faire que des
additions. Une relation qui conduit à un tel calcul se tire de la
comparaison des formules (A), (B) (*).
En partant de

on trouve
P;—98227, Pis— 929569, P;7— 28 820,619 ()....;

puis, par la relation (1) :

Rp dd pou pas ie ie 11 fee ?
te 5617 _ 43867
De DIN 510 > Du7 one

Autre addition. — (Août 1884.)

I. On a
Di
D"
(41 — 4)

D'un autre côté, par le Théorème de Staudt et Clausen (***),

(‘) Voir la Note XXXV.

(*) 5221, 17—2+1, 185—5(25— 1), 2075—691(2— 1),
38227 — 5 461(25— 1), 929 569 — 3 617 (25 + 1),
98 820 619 — 3 202 291 (25 + 1):

ainsi, chacun des nombres considérés admet un diviseur premier, de la
forme 2° + 1. Cette propriété est-elle générale?

(***) Voir, dans le Bulletin de M. Darboux (1880), notre démonstration
de ce beau théorème.

(“) on’, n!!, n!!!,… sont les nombres premiers, supérieurs à 5, qui, diminués
de 4, divisent 2q. En outre, La fraction est irréductible.

— 102 —
La comparaison des deux formules donne l'égalité
snn'n Pr, 3—=(21—1)N,

dans laquelle N,,, n’est divisible par aucun des nombres pre-
miers 5, n', n'’… Ainsi, tous ces nombres divisent 2°7— 1.

IT. Parmi les diviseurs premiers de 2* — 1, il peut y en avoir
qui aient la forme 2° 1, et qui, en outre, surpassent 2q + 1.
Dans ce cas, P.,,_, admet un diviseur de cette même forme (*).

Soit, par exemple, 2q — 64. Alors

9 4 — (95 + 4) (915 + 4) (95 + 4) (25 + 1) (2° + 1) (2! + 1),

ou
2 _1—5.5.17.957 (2° +1)
D'ailleurs :
NO 7
Donc

Ps — (Qi + 1) De + 1) Né
HIT. D'après le théorème cité :

2q —(n—1)f = {(n" —1)f =;
puis

Sn'n'n'" : po Le [at — 1 Nes = he a | ] Na ARE

En vertu du Théorème de Fermat, le premier binôme est
divisible par n'; le deuxième (égal au premier) est divisible
parents etc. (C0):

(‘) Ceci est un acheminement à la démonstration de la propriété énoncée
ci-dessus.

(”) Le Théorème de Staudt et Clausen serait-il un simple corollaire du
Théorème de Fermat?

— 105 —

KXXV. — Sur les Nombres de Bernoulli et d’Euler.

(Mars 1867) (*).

On ICE)
î Pog-1 2q—1
r- 1
85 Nbre 0e on
C 1 É (2q Ko 1)Pet CPE
gx —9 22 9
8 2° 2 F(2q +1) )

Par conséquent,

(2q — 1) P2,_: 97 — 9 Fe AE 24— 1 |
NU rat ae ie ——— 2 tt,
22, eg + D 2, Teen

ou

(2 )ID M NE :
9 DE RAT LEA RE pu — 2 — a j
2, l(2q +5) “ 2

Dans le second membre, le coefficient de x*7*° est

PP: P;P2, 5 Fe PP,

TOI @+1) TOI Ey—1) ra emT6)

donc

{ F(2q +5)
Qi << | = P,P., _:
P:,+ F (5) lOg+ 1) 1E 99

F(2q +5) à T'(2q + 5) : -
QU er 2 EL ER EE Le ;
Moore)" NET EMDINE) pa

(‘) Ce travail, qui vient de paraître dans les Mémoires de l’Académie
royale de Belgique, complète mes précédentes recherches sur les Nombres
de Bernoulli (pp. 90 et suiv.).

On peut consulter encore : Démonstration du théorème de Slaudt et Clausen,
Mémoires sur les fonctions X,, Sur une suite de polynômes entiers, Recherches
sur la constante G, etc. (188#).

(”*) Page 100.

— 104 —

ou, plus simplement,

a+! 2q (2q — 1)
Po, +1 = 2 Le Ur NT oi P;P2, 5 :
2q(2q—1)(2q—2)2q —5 2q(249—1
Mein) . L - q DORE CET ere!

IL. Le nombre des termes contenus dans la parenthèse est
égal à qg. Si q est pair, on peut écrire, au lieu de la formule (4) :

2q (2q — 1
Posa = (g +1) je, Ep, à |
2q (2q — 1)... (q + 5) G)
ee |
5.4...

Si q est tmpair, il y a un terme du milieu, ayant pour expres-
sion

9
P;,+1 = (q + 4) LES

6)
129 (2q—1)(1+2 D |

Ie Rep D ee an
SAN at NE Een) |

Le calcul des nombres P, par les formules (4), (5), (6), est
plus simple que par la relation démontrée à la page 98.

JT. D’après la définition des nombres P, jointe à une formule
de Plana,
EAU
P:, _1 — 8q Gen f Na TRS (7)

rt
0

Au moyen de cette valeur, l'équation (2) devient

gtie— 46/7 Ce VE ACC em a me
œ e7t— 1 T'(2q Le 1)

œ dt (IE ANT y
1 Ne. Dates (8)

TI 4, l'(2q +1)

MO
On a, identiquement,

pa î) 12 +1 x?

11 S= (2tx)1 (0)
RL NAS =
1 V(2q + 1) (296 Â) nul (2g + 1)
done, à cause de
a x°1
D EU TT E—9
CHAN = À >

o L'(2q + 1) |
(P) d1x “ Î
1 (2q Si 4) 2
ÿ: (re | (
1 L'(2q + Lt D)
et, par conséquent,
(A4) + qu
3° — 9 (e° "e rm 10)
1 F(2q + 1)
ou
œ (art co) 1) LH tt [ tr

= ———— — — |
nil D (24 + 1) 2)

La substitution dans l'équation (11) donne

ot Æ He 1 tt
RM e—e *| (ke +7+ 4e") — —
TANT

\
0

= X;
LP EN2
ou, par le changement de x en 2x :
UE AT : RE OR os Are
——— (0% — 6“) (het +7 + he) —-tg x. (À)
j eTt— À 4
0

Cette intégrale définie, que je ne trouve pas dans les Tables

dues à M. Bierens de Haan, peut en donner beaucoup d'autres,
dont quelques-unes sont connues.

4

IV. Soit, par exemple, x — . : la formule (A) devient

106

et, si l’on pose

(1 + z)(1 + 27°) (1 + 7)

Fa — z)(4 + 7z + 43°) 7° 2
zdz— — — (3 —91/9).
Je L 2 (822). (10)

La fraction

est décomposable en

 7z 17 5Ÿ4

1 — 4z — at = ——— + ———
2) AE) NO ARE MEET:

Par conséquent,

T° 2 4/9 T° T° 7
Re PU NO RSR
ET 96 U32: 1 (641 pe À

ce qui est identique. On a ainsi une vérification de (A).

— 107 —

V. En passant, nous signalerons une sommation de série

probablement connue.

Il est visible que
Lz de s” (— 1)" “'z{adz ve (— 1)"
ie 1 + 2° > + Oo (an +5)
D'ailleurs,
2°) L 2 dz 7° V2,

tit Fa
ve Re ET

donc
y” —4y On + 1 à V9 au)
0 (An + 1) (an + 5) 28
VI. Dans la relation (A), supposons
T Li 1
Le ee —=—
9 V'z
elle devient
2 2
- (12)

z dz — D
£ (2

L
29
1 1+z+r

0

La fraction
1 — z)(4 + 72 + 47° 9z + 1
2 NL RS es s
4 +z + 2

LEE ST

Par suite, la formule (12) se réduit à

ZE MALAUTES
z = ——);
9

4
“1 NÉE ER RN

0

ce qui est exact (**).
(*) Cette intégrale remarquable a été déterminée par Euler (BierExs
DE Haaw, T. 152). On voit qu'elle résulte de la formule (A).

(*) Bierens, T. 155.

— 108 —

VIT. Plus généralement, soit x — T; x étant un nombre
entier. Si l'on fait

on transforme la relation (A) en celle-ci :

TR (AS) A ET ECS : 7
[—< ) LAN (B)

Hz sie. ZA ON n
0

La fraction

À se Fr? ne in m—1
1—2:+ CRETE Sr Sr Le EPST SE
AS LAS ON AE ONE 0
De plus,
1
7 (A — 42) P zdz—0;
0
donc

ON 1 7-4 de Pr (04 EP APR USSR PORN il Le r M À
Kzdz=——ts —. (C)
e nn n

ARE ET EE nl

Cette formule, qui en donne une infinité d’autres, n’est encore

: moe 1
qu'un cas particulier : en remplaçant, dans (A), e* par 7=> 0n
trouve la relation générale

1 T >

Z (1 == aie (4 + 727 + 43°) Le = — xlgx (D)

=
7
1 1
fé

0
Celle-ci subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre
0 et 7. On en trouverait d’autres, aussi générales, en différen-
clant ou en intégrant par rapport à x. Enfin, l'égalité

gn—5 (1 EAN z) (4 ET A 4°) 4 = je 9 :
SRE PAS NS MERR Re
À COM ARE EAN SE A0 Es ani 1=0

— 109 —

conduit à un développement de (E 87}? assez remarquable. Je
laisse de côté ces détails, afin de passer à un autre sujet.

VIII. Si l’on suppose

on trouve

puis (”)
2n(2n—1) 2n(2n — 1)(2n —2)(2n — 5)
E:,— TER LT ET) EL RE EE EE TA SU PT ON on EE
419 1.2.3.4 A
2n (2n — 1). (2)
Re oi

Les nombres entiers E sont appelés, par M. Sylvester, Nom-
bres d’Euler (**). De la relation (14), on conelut qu'ils sont
impairs (***). On peut représenter E,, par une intégrale définie.

A cet effet, j'observe que la formule connue

j 4 een (ex ares ex ge }\ 1)

CAGE

da

Î 2 |
COX 7 pos
T
[4 T T
+ 2 ue 1 | Pr a) + € il (15)
ET —

() (Page 95).

(**) Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences, t. LIT, p. 161.

(*"”) La démonstration est plus simple que pour les nombres P (p. 99).
On vérifie aisément que les Nombres d’Euler ont la forme 4k + 1. Cette
propriété a été signalée par M. Sylvester.

— 110 —

Si l'on suppose le second membre ordonné suivant les puis-
sances croissantes de x, le coefficient de x” est

9 2n+-1
C > ()

T

a "da BE
Din (ET __ p—OT) —
ir . + 1) eee TE. | É ui (

L'intégrale se décompose en

w|\
&
|
[ss
NE
Cd
|

L°2]

& Z
a

PE
a" dax
Ji 7 ta —
et + A
0 9
92r 9D?2n+1 æ p=t 2" du
= 0 ES Re HUE pare
= NE sr 1) hi. . +1 ;
0
donc
c ù Su 2 ei. 0 ET" y Qn du
2 0 | Re | RE
: 7 F(2n + 4) \z f e +1
0
Et comme
E,
Co, — ? =
F(2n + 1)
on à
QAR QAR ae ur
1 É (nr + 1)—21|- (110)
m 7 é "+1

0

Pour simplifier cette expression, je remplace F (2n + 1) par
WA e-"u”"du : j'obtiens

0
PAU > "dan
E,, — 2 F) vé RE (17)
7 CNE
0
ou, en posant UT:
NET
_—_— Jn+i ni
Be, — 4 JE APE (Ë)

e
Ü

formule analogue à celle de Plana :

7 © {21 di
B.,_: = + in f° 22714 .
x et — 1

0

— A11 —

IX. su le second membre de l'équation (15), le coefficient
de x”

7 T7
j: eË7 +e 57 )(2x)"-! (. NE en
Û) + 9 + —— |,
eTo + F (2n) (2x)

SR 1 Ê ° :
Il doit être nul, ear —— est une fonction paire; done

1 n—1 T T 9?n—1

(02 da bu La Ts 0 S (2h)
- DIN (UT + ep AT) — Le ?+e :) nee

: CHEN | Lo

0

On reconnait facilement que cette relation est une identité.

X. On peut déterminer les Nombres de Bernoulli au moyen
des Nombres d'Euler; et réciproquement.
1° Ecrivons ainsi la formule (1) :

ne Pan+
L 9\2n+1
io — >» Für + 3) (RS (18)

puis prenons les dérivées des deux membres ; nous aurons

LH > (2n + 1) ) Pons D2n+H1 p2n
cos? x E(2n + 5)

Ainsi, le coefficient de x*", dans le développement de —=>, est

Ccos-x

(9n + 1) Pas

F(2n +5)

92 anti

D'après l'équation (15), ce coeflicient a pour valeur

EE, EE, _» E,E
CSA NET Dr LL. Gus ES mo 5
F(1)T (2n + 1) F(5)F (27 — 1) F(2n +1)7(1)
donc
L 1 à E Er E Es
Pau = te F(2n + 1) re MORE VO
; F(H)P(G@n +1) F5) (22 —1)

E,E j
a INCTE a) k

— 112 —
ou, avec la notation des combinaisons :

n +1
Ponu == gril EE + Con, 2 B2Ëon 0 + Con ; Eau + + BB, | (). (F)

2° On tire, de l'équation (15), en prenant les dérivées des

deux membres :
E,,

sin X
COS x 2, F (22)

2n—1

Le premier membre égale (1 + tg? x) sin x. Par conséquent,
si l’on multiplie les deux séries
(5) SP; ee DP; ; (2n—1)Pa_;
——9+ —— 2x" + DD ee —— ——
PTS) (7) F(22+1)

2n—1

D?n—1p2n-2 1, | +1gx,

x x x x

T@ PGO Te

SIN,

le coefficient de x°”", dans le produit, sera E,,. De là résulte la
formule

E,, ps (2n ER 1) 9?2n-1 T(2n) SIA
(2) (2n +1)
Ë . F (22) F(2n)
LOUE 9; pee g?n—5 ‘u ES Te
Cr TNT NCS Rent de OMEr oi Et

que l’on peut écrire ainsi :

Î
Es, = ———— |(9n —1)41C,. Pa,
: n(2n +1) [ a (G)
— (2n TT 5) L Conts,3P an 3 000 Æ Coyran-aPi |:
Par exemple,
Î ;
BE LT COQUE — 5.4°.84.5 + 5.4.1926.1 — 56.1];

ou, en effectuant,

(") D’apres la relation (F), si n esf pair : 1° le nombre entre parenthèses
est divisible par 4", el le quotient est un nombre impair; 2° P.,,, est divisible
par n + Î.

— 115 —

XI. Les relations (F), (G) ne sont pas les seules qui existent
entre les Nombres d'Euler et les Nombres de Bernoulli.
1° A cause de
sin x tg x CHE

= =) He (19)

COST COS Toile (270)

on a, par les formules (15) et (18) :

co E,, x x Y° po, (2x)! x 12 On —1
“4 FOn+t1) “, lOn+1) nr)
done
E?: PE _gn-1 P_3E9 ie DER T PE, 0 9,
L(22) F(22+1)7(0) F(22—1)7(5) F(5s)F(2n—1)
ou
E, Er

Î e

— [4 *P;, 10 + 4" ConoPon_3 Eù + 4 Con Pons Es + + } (H)

n

+ ConoP1Eon 2 ll

2 L'équation (19) donne aussi

Fe] De y RÉT E Tes co _Eo, Monci NS (— x)?" :
NE Sn
AL Dons A) ER 2n) (ane 4)

et, par conséquent,

n

Pay — 41

[En — Co _ 1,2 É9n0 RE Con —1,4 E, PL HET AT ni Cons, 1 E;]. (K)

XI. Dans les relations (G), (K), qui sont, pour ainsi dire,
conjuguées l’une de l’autre, substituons, aux nombres P, E, les
intégrales dont ils représentent les valeurs. En commençant par
l'équation (K), nous trouvons

4? RE . ee
FN LEE = 2) ENTER Etes re Cona, 21)" + st HCo112].
n DD A En et CO
0

La quantité entre parenthèses égale

: (2 + VTT) à (2 =V=Tp |

8

— 114 —

. Conséquemment
ini æ dt
: Ps f | eV 1} D Con de | (20)

0

Soit 24 — coto, d'où

Honne = ls (4 5} RC) er) 1} 9 cos(2n—1)o

4 sin sin”—lo

l'équation (20) se réduit à

2 COS & COS Le — l)œ do Q2n—5 à l k
2 cot & DA Teot © sin"? FRET n 2n—1 ( ). ( )
€” +'e |

0

XIE. La formule (G), traitée de la même manière, devient

d'abord
: NEC EE Pen
n (2n + 1) En f Ne
y
T représentant le polynôme

Qn(An—1)(4"47—1)Co,,, 7 (Qn —92)(2n—5) AIT) Coast
+ (20 —4)(2n —5A AE Con ED M4 A) Coq an a

Pour simplifier cette quantité, je suppose
Q(1)—= Cou +4, (40) — Con, (4) + Con4a, A)" — GES Contaon 141)
UL) = Cons, (2t)” tri Cut,s(20)" + Con+1,5(20)" 7 — EE Con+4, on (20)

il est visible que
T— n'! (1) — d” (t).

[l

Mais
. (at ne vs n Has (at tte Vue n a
AAA TV !
pu =,
2V—1

(*) D'après la note de la page 112, n étant impair, cetle intégrale définie
est égale à un nombre entier pair, excepté quand n = 1.

— 115 —

donc
2n—1 a,
p'(t) = 4n (2n + 1) Ge aa)— mn Ce ee DE ji
9V/_1
SE On—1 AS M) — re
D docreGereurs
GA DAT

el, par conséquent,

—— ;

(DA V4

L ; 2% tdt (4e Ke (ET) n at AA (at an ame
Q9n — # Pr) Ven -

0 21)

n (2
9 j tdt (or + (40 il De LEE (ar GUPe DAban "4
= 9 e7t Tet FEAT er ; )

e
0

| pen er en vi)"

Si, dans la première intégrale, on fait { —; coto; et, dans
la seconde, { — © cotw, on change cette équation en

T sin (9n — es 7 sin (2n — 1) « cos do
( au cu IFRS ce DE Lt

Le nl membre est réductible à

E., —

ce Cl

1 Z sin (9n — 1) « cos « do
} DAT, ;
Le ah. 1 1) SIN EC

A7 sin (2n — 1) cos «do
r = — 2E,, (). (M)

< eot À
| 2 ee 1 sin"?

donc enfin

0

(*) Cette formule est en défaut dans le cas de n — 0. Cela devait arriver,
attendu qu’elle n’est qu’une transformation de (G).

— 116 —

XIV. Dans la Note citée au commencement de ce Mémoire,
j'ai démontré la formule remarquable

7 sin 2nedo 1
“A (CZ A ORNE RES one ) (N)

0

que l’on peut regarder comme une conséquence des relations (2)
et (7). De même, la combinaison des équations (14) et (E)
donne d’abord

dE 2n(2n—1 In(In—
d Le Sen NE TE ere | 0;

CAÉea a 1.2

puis, par la transformation employée plusieurs fois,

Le cos 2nedo

= 0. (P)

—

7 T

— Ccot © — 7 cot © Eee
. [e° re ? ]sinttta
0

XV. Cette intégrale étant nulle (excepté lorsque nr = 0), il
s'ensuit que la formule (LE) peut ètre remplacée par celle-ci :

‘7 sinosin(22—1)o do De p Q
Z co —Tcot co sin?"#? © RC S n 2n—1 2 ( )
e e +

0

d'où l’on conclut aisément
= P, lin Con1, 1 E,= x Css, 5 E,_; CE Es. (R)

Cette relation, différente de (K), peut être déduite de celle-cr,
jointe à l'équation (14).

(‘) On doit prendre le signe + si n est impair.

— 117 —

Addition. — (Mai 1867.)

XVI. On peut substituer, aux équations (2) et (14), une
relation unique, dounant à la fois les Nombres de Bernoulli et
les Nombres d'Euler. Pour la découvrir, reprenons les égalités

Le is 3° Pa, 24 Â ce, LE» en.
2 1F (29 + 1) cosxæ *oT(2n +1)
et posons
i n
Jonas +igx, Pas = Gas Es, — G»;
nous aurons
co x’
0 G; 5 ? 22
2 TÜ+1) Ge?)
a ai!
UE >, st (2)
Mais
NOTONS DEEE 1 À
Ar cos CN ARE net
donc
F x° x° x x x°
CREER im — +)
1 1.2 12215 104:2.5004.25.4.5

De là résultent les formules
CSG CG 00 OC:
et, en général,
Gi — Cia Gi + Cine Gis — Gi sGs + —0. (S)

Les valeurs des nombres G sont, d'après cette équation aux
différences :
G,=1, G—1, G—2; Gi, G;— 16, G;—61, I
Gg — À 389, Go — 7 936, Go — 59 5242 .

— 118 —
Par conséquent,

E—1, E—5, E—61, E,— 1585, Es — 30 521, …
et
2 5
P, (CAES Ps En sue PO ee
L 5
BG 7, P,—=— .G— 155
4° Le

comme précédemment.

XVII Dans le dix-huitième Cahier du Journal de l’École
polytechnique, Poisson a démontré les formules

2 e?ci mis e 22
is X — 2 À RE da

I i co e?7* ne er 2x
k —+7 ——— (ds.
CRT STE cos x é er?
0

0

Il en résulte immédiatement, à cause des égalités (1) et (15) :

Ê à v 2171 de
9 —=— (4 ——————
I - l e7% — pe TC d

= (T)
0
2 œ 2q
AE pri a da , (U)
me $ eTE + er FT
0

De ces deux relations, la seconde a été trouvée ci-dessus ; et

la première, comme on le vérifie aisément, ne diffère pas, au
fond, de la formule :
Are e 421 dx
Pa eg (A) NE (7)
0
Du reste, en partant de l'équation (22), et en y remplaçant y
par

œ etT+2:)% Pos (T + 2:)x
tg x + — "4 —— de,
; COS X CERCLE 14

0:
on trouve

— 119 —

et, suivant que à est émpair ou pair, cette formule reproduit (T)
ou (U).

XVIII. La formule

pi dl
P:,_1 — Sq (41 ns 1) Cr TN n (8)

€

0

nous a donné

CA LCE AL à Ju
1 "(€ —e ") (4e + 7 + 4e) — ris a. (A)
D AMLTE [

ZT CN Î
Q)

En adoptant la nouvelle valeur de P,,,, on trouve, absolument
de la même manière que ci-dessus,

RACE ee) NO
RE — — (9° x. (A')
eTt — e-Tt PR -

0

NKKXVIE. — Sur ia théorie des moëmbres. (18577.)

E PROBLÈME EL — De 1 à n (inclusivement), combien y a-t-il
de nombres non divisibles par des nombres premiers donnés,

HN. T°
Dans la suite

19 S NA EUNE (1)
les multiples de « sont
nee n .
d20 Jus) COOIE (2)
œŒ

lyena (): Conséquemment, le nombre des termes de la suite
(1), non divisibles par «, est

Nu |").

Supprimons maintenant les multiples de f, premiers avec à.

(‘) Pour abréger, je représente généralement par [a] le quotient entier
de a par b. Cette notation équivaut à celle-ci : Ef;}. due à Legendre.

— 120 —

D'après la formule (2), appliquée à 3 les multiples dont il
s'agit sont au nombre de

JE
% Dos \ Be ue xB :
Retranchant de N, la quantité Che nous trouvons done,
pour le nombre des termes de la suite (1), premiers avec x et £ :

= (4 n n
0-0.) 6
En continuant, on voit que le nombre demandé est
: n n n n
N=n 01 —| — H|———]. (A
2 su ss D e > a Æ = 1 - (A)

Soient, par exemple :

n— 60, x—5, B—7, y—15;

on aura
N — 60 — (19 + 8 + 4) + 1 — 57.

En effet, de 1 à 60, il y a 57 nombres premiers avec 5, 7

et 15; savoir
1,9,5496180041:12/1641741801902220529200 700205165255
94, 56, 37, 58, 41, 45, 44, 46, 47, 48, 51, 55, 54, 57, 56, 59.
IL. REMARQUES. — 1° Six, G, 7, …,n sont tous les nombres

premiers qui ne surpassent pas n, N — 1.
% Sin—c" "y ….r., N est le nombre des entiers inférieurs
et premiers à n : on trouve

N= a 7x — 1)(6—1)(y7 — 1)... (x — 1) ().
(‘) Cette démonstration d'un théorème connu ne diffère pas de celle

que j'ai donnée dans les Nouvelles Annales de mathématiques (t. l, p. 466).
La Théorie des Nombres (t. 1, p. 8) en contient une autre, peu satisfaisante.

more

SS ne .1, et que t soit le plus grand nombre
premier qui ne Surpasse pas 1,

4 2 4 6 10 7r—1

IL. ProBLème Il. — De n + 1 à n°? (inclusivement), combien
y a-t-il de nombres premiers ?

Soient +, B, 7, .…, x les nombres premiers qui ne surpassent
pas n. Les termes de la suite

ADS NL,

non divisibles par ces facteurs premiers, sont ceux que l'on
cherche (l'unité exceptée). Donc

DOI EE NL

, par exemple, n — 12:

L/ / / 4
pee Es Pre A te a
\9 5 > 7 11
Es EVA É ee si ue [t# Le
2 | SR nn Er LE = — =
D) AN 2 ALC EN PRE RACE NT EN nl (55/7

js pi Le (. ( : es
— + + + — | +
AET 22 66 70 10 _
— 145 — (72 + 48 + 28 + 20 + 13)

+ (24 +4 +HAIO+HG+I+<G+4 +4 + I +1)

—(4+5+2+2+1+1);

SE
1
1
—

4 ; Ho 12 4 T—1
La fonct IS
() La fonction numérique ;: : 2-2 =

par f(r), a été calculée, par Legendre, jusqu'à 7 — 1 229. M. Tchébychef
a prouvé que la valeur de f(r) est, sensiblement,

C

?
log 7

, que nous représenterons

C étant une constante (Journal de Liouvitle, t. XVII). On doit observer,
à propos de la Table de Legendre, que cet illustre Géomètre ayant fait
abstraction du facteur premier 2, les nombres de la Table sont égaux à 2/{r).

oo ne

ou enfin

En effet, de 15 à 144, il y a 29 nombres premiers; savoir :
15, 17, 19, 95, 29, 31, 57, 41, 45, 47, 55, 59, 61, 67, 71, 75, 79,
85, 89, 97, 101, 105, 107, 109, 113, 127, 151, 137, 139.

IV. Une question très difficile, résolue seulement par M. Tché-
bychef, est celle qui consiste à déterminer combien il y a de
nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Si, dans la
formule (A), on remplace les entiers

7 af a6y

par les valeurs exactes :

ñ LL) ñ

« aË aGy
on à, comme première approximation,

N—nf(x). (A)
De même,
N'——1 + n'f(r). (B)

V. Pour plus de régularité, représentons par P (n) la quotité
des nombres premiers qui ne surpassent pas #. Alors la formule
précédente devient, en négligeant le terme (— 1):

P (n°) = P (n) + n° f(x). (C)

Ceue relation, beaucoup moins approchée que la formule
empirique de Legendre et que la formule démontrée de M. Tché-
bychef, a cependant quelque utilité, au moins jusqu'à une
certaine limite. Si l’on prend les valeurs de P (x) dans une table
de nombres premiers, elle conduit aux résultats suivants :

0,158 704
9,135 780
0,129 623
0,124 651

0,121 570 1 009,7

1 229 1

4 202,8

500 250 000 ) 0,089 610

1000! 1000000 | 169 0,080 965

j

Comme termes de comparaison, nous donnons ici les valeurs
de P(n?) qui résultent des Tables, de la formule de Legendre ou
de la formule de M. Tehébychef (”).

(‘) La formule de Legendre (Théorie des Nombres, t. IF, p. 65) est

n

P(n) = ——-— ;
log n — 1,083 66

et la formule de M. Fchébychef :
n

P(n) =

los n—"1

Il est assez curieux que celle-ci soit moins approximative que lautre.

— 124 —

8 100

10 000

40 000

90 000

250 000

1 000 000

VI. ProgLème HI. — De n+1 à n+i (inelusivement), combien
de nombres non divisibles par les nombres premiers «, 6, 7, … mr?

En nous reportant au Problème I, représentons par N (n) ce
que nous avions simplement appelé N; le nombre demandé
sera

N'—N(n+i)—Ni(n).

VII. Propième IV. À et p étant deux nombres premiers

consécutifs, combien y a-t-il de nombres premiers entre 2X et 2u?

(On suppose 2 > u) (*).

(‘) On sait qu'entre a et 24 — 2, il y a au moins un nombre premier,

a étant plus grand que 5.

— 195 —

De 1 à 2 v, les termes non divisibles par 2, 5, 5, … À, u sont
premiers; car tout nombre non premier, compris entre ces
limites, admet un facteur compris lui-même entre 2 et u. Le
nombre de ces termes est N (2u). Semblablement, entre 1 et
2, il y a N (22) nombres premiers, autres que 2, 5, 5, … À, u.
La réponse à la question est done

x = N (2) — N (2),

les diviseurs étant 2, 5, 5, À, u.
Soient, par exemple,

527000 ue 15010 22 9 604092 1")7122:

De 1 à 2 654, les nombres non divisibles par 2, 5, 5, … 1 561

sont :
1, 1567, 1575, 1581, 2653, 2647:
en tout, 166 nombres premiers. Ainsi, N (22) — 166. De mème,
N (2u) — 180. Donc
LA;

En effet, les nombres premiers compris entre 2 654 et 2 722

sont

2687, 2659, 2665, 2671, 2677, 2685, 2687,
2689, 2693, 2699, 2707, 2741, 2715, 2719.

Soient encore
1— 590%, w—5209, 22 — 6406, Ju — 6 418.

On trouve N (2) — 581, N (2) — 581; done x —0. En
effet, entre 6 406 et 6 418, il n’y a aucun nombre premier.

VIII Progcème V. — Dans une progression par différence
donnée, trouver n termes consécutifs, respectivement divisibles par
n nombres premiers donnés. (On suppose que le premier terme
et la raison sont des nombres entiers, premiers entre eux.)

Soient les x termes inconnus :

a+(l+1)d, a+(l+92)9, a+(l-+5)9,… a+(l+n)d,

— 126 —

qui doivent être respectivement divisibles par les n nombres
premiers :
D DANIEL CNT DR

Dans chaque cas particulier, les n équations
a+(l+l)d=pir, a+(l+2)d=pr, … ax(l+n)d=—p,x, (1)
feront connaître la valeur générale du terme a + (1 + 1)0.

IX. Reuarques. — 1° Les équations (1) exigent que d soit
premier par rapport à tous les diviseurs donnés.

2 On trouve que le premier terme, a + ({+ 1)9, doit avoir
la forme

x + Ma,

étant un entier arbitraire, et M désignant le plus petit mul-
tiple des nombres premiers donnés (*).

9° Le nombre n est quelconque; donc, dans une progression
donnée, on peut trouver autant de termes consécutifs qu’on le
voudra, qui soient divisibles par des nombres premiers donnés.

4° Par suite, la différence entre deux nombres premiers
consécutifs peut dépasser toute limite donnée.

X. APPLICATIONS. — 4° Soient

a—5, d—5, n—4, p—=2, p—7, p;s—AM, p;—=19.
Les équations (1) deviennent

DO (A) T5 DEN) Gr SU) re,
Si l’on résout celles-ci, on trouve, successivement :

+4 — 1 +2, 0 ——9/ + 70;, O0 416: ; —= 9 + 196,
l+A1—1467+92.7.11.199, a+(l+1)9—7 558+ 2.7.11.190.

Les termes cherchés sont donc, par exemple,
HS MOSS SUN 555

(") S'ils sont tous inégaux, M — p,p, … p,.

— 127 —

En effet, ces quatre nombres sont, respectivement, divisibles
par 2, 7, 11 et 19.

20 a—1, d—A, n—6, pi, p=5, p:=5, piT, pl, po—15.

Opérant comme dans l'exemple précédent, on trouve que les
termes cherchés sont égaux aux nombres

60 848, 60849, 60850, 60851, 60852, 60855
augmentés d'un multiple quelconque de 180 180.

010 76010, p,— 1100 7 D D pe 51

La progression étant prolongée indéfiniment dans les deux
sens, les termes cherchés sont, d'après l'exemple précédent :

— 60 855 + 1801800, — 60 859 + 180 180 8...
ou, en remplaçant 0 par 0 + 1:

119 527+180 18060, 119528+180 1809, 119 329+ 180 1804...

2

XI. Remarque. — Si le Problème V a été résolu pour le cas
de la suite naturelle, il pourra l'être, immédiatement, pour toute
autre progression. Soient, en effet, n nombres entiers consécutifs :

N+l N+2,., N+n, (2)
respectivement divisibles par

DIR De RD

Si les n termes

a+(l+1)9, a+(+2),. a+(l+n)d (3)
doivent être divisibles par les mêmes nombres premiers, pris
dans le même ordre, on devra disposer de l’inconnue /, de
manière que

a+(l—N)d

ose

soit divisible par p4, Pa; .…, p,. Désignant par M le plus petit
multiple de ces diviseurs, on aura donc l'équation

d— Mr = NI— «a, (4)

à laquelle on peut toujours satisfaire, puisque d et M sont
premiers entre eux (XI, 1°).
Soient, par exemple, les nombres

2658, 2659, 2640, 2641,

respectivement divisibles par 2, 7, 11, 19. Si l’on prend a = 5,
9 — 5, l'équation (4) devient

Elle est vérifiée par x—2, /—1 466 : les nombres cherchés
sont donc
TE TIC ENTRE NT DEEE

comme on l'a vu ci-dessus.

XIE. PRoBième VE. — Si la suite (2) a le nombre maximum
de termes, la suite (5) peut-elle en avoir davantage ?

Nous disons que la suite (2) a le nombre maximum de termes,
lorsque N ni N + x + à n'est divisible par aucun des nombres
Premiers Py, Pos se Due

Cela posé, admettons que « + 1 soit divisible par l'un de
ces nombres premiers, p, sans que N le soit. Le facteur p ne
divisant pas 0, il ne divisera pas N9; donc a + 1 — NO, ou
a+ (l— N)9, ne serait pas divisible par p; et nous venons
d'établir le contraire. Ainsi les suiles (2) et (5), prolongées
autant que possible, ont toujours le méme nombre de termes.

XIIFL Exeupzes. — 1° Les nombres consécutifs

62, 65, 64, 65, 66
étant divisibles par

De 7, 2 », 3,

— 129 —

sans que 61 ou 67 soit divisible par aucun de ces facteurs
premiers ; prenons a — 15, 0 — 11. L'équation (5), qui devient
A1 — 910x — 658,
donne
l = 98 + 210 8.
La suite la plus simple, répondant à 0 — 0, est donc

4102, 1115, 1124, 1155, 1146.

Ces nombres sont divisibles par 2, 7, 2,5; 3; mais 1 091 et
1 157 n’admettent aucun de ces diviseurs.

2° Trouver sept nombres impairs consécutifs, respectivement
divisibles par

Si l’on représente ces nombres par
THIS, XHD, +7, +9, x +, x +13, x +15,

on devra prendre, pour x, un multiple pair des nombres pre-
miers donnés. Les différentes suites qui satisfont à la question
sont donc, à cause de M— 5.5.7.11.15 — 15 O15 :

Se 5, 7e 9, 11, 15, 15;
50055, 50035, 50037, 50059, 50041, 30045, 50 045:
60065, 60065, 60067, 60069, 60071, 60075, 60 075;
90095, 90095, 90097, 90099, 90101, 90105, 90405;

De plus, chacune de ces suites a le nombre maximum de termes.

XIV. La solution précédente, et les exemples à l'appui, sup-
posent que les diviseurs premiers donnés sont toujours pris dans
l'ordre où ils l’étaient primitivement. Si cet ordre est arbitraire,
la conclusion trouvée ci-dessus (XII) ne subsiste plus. Par
exemple, les nombres impairs consécutifs

— 150 —

sont divisibles, chacun, par un des nombres premiers
Sr ae MAIS.

tandis que 1 et 17 ne le sont pas. Mais, si l’on suppose ces
facteurs premiers rangés dans l'ordre suivant :

SAND S, ANS NS ET SC)

le nombre maximum des termes, au lieu d’être 7, devient 10. Les
suites cherchées sont alors, à cause de ce changement dans les
conditions du problème :

O4, 9443, 9445, 9447, 9449, 9451, 9435, 9453,
9457, 9439:

309741, 509745, 509745, 509747, 309749, 509751,
309 755, 509755, 309757, 509 759;

610041, 610045, (610045, 610047, 610049, 610051,
610053, 610055, 630057, 610 059;

(”)

XV. Tuéorëne Î (Théorème de Jacobi). — Toute progression

par différence, dans laquelle le premier terme et la raison sont

premiers entre eux, contient une infinité de termes non divisibles

par un nombre premier donné.

Cette proposition résulte des deux lemmes suivants, qu'il suffit
d'énoncer :

4° Le premier terme a et la raison d étant premiers entre eux,
deux termes consécutifs quelconques sont premiers entre eux ;

2° Sur deux termes consécutifs, il y en a un, au moins, non
divisible par le nombre premier p.

XVI. Reuwarques. — 1° Si p divise d, aucun terme n’est divi-
sible par p.

(‘) Cet ordre est admissible, parce que les multiples de 5 doivent revenir
de trois en trois ; ceux de 5, de cinq en cinq, etc.

(‘*) Ces exemples sont tirés d’un remarquable Mémoire de M. Desboves
(Nouvelles Annales, t. XIV).

— 151 —
2 Si p divise a, les termes divisibles par p sont
a, a+pd, a+ 2pd, à + 5po,…

5° Si p ne divise ni a ni 9, un seul des p premiers termes est
divisible par p. Soit a + id ce terme. Alors tous les termes divi-
sibles par p sont compris dans la formule

x — a + (i + pe),
0 étant un entier quelconque.
XVII. LEE. — Soit une progression
a, a+d, a+ 2, a + 59,

dans laquelle a est premier avec d et moindre que d. Si l’on prend,
dans cette progression, les termes divisibles par un nombre pre-
mier p, les quotients forment une seconde progression

LA

a’, a'+d, a+ 2%, a’ + 50,

dans laquelle a’ est premier avec d et moindre que 0.
D’après la dernière remarque,

MAG NO)
a — ?
P
à étant inférieur à p; done
,—a+{(p—1)9
a RE AAA
< P
et, à plus forte raison,
GO:

D'un autre côté, si a’ et À avaient un facteur commun, ce
facteur diviserait a; etc.

XVIIL Tnéorème IL — Si, en partant d’une progression
a, a +0, a+ 20, ….
on forme, comme il vient d’être dit, la progression

a’, a'+0, a+ 2%,

uis, qu’au moyen de celle-ci, on passe à une troisième progression
) 9

1°

as DAME Na 20, 2.5

et ainsi de suite, on finira par retomber sur la progression primi-
tive. De plus, le nombre des progressions différentes divise le
nombre des entiers inférieurs et premiers à d.

1° On vient de voir que les termes initiaux a’, a'’, a”, … sont,
comme a, inférieurs et premiers à d; donc ils se reproduisent
périodiquement, en tout ou en partie. Soit a” — af. A cause
de

at) ae que D at*—1) ze am-0 6
al”) RE —_— — —]— ]— —— —"— al") Em 4)

j} fa

at—1) PEER al ne (me LA Len 1e)o Re 0,

On à

équation absurde, à moins que

at!) — am).

Ainsi, quand deux quotients al"), a®) sont égaux, les quotients
at, a, qui les précèdent respectivement, sont égaux : a fait
donc partie de la période des quotients.

2° Soient

DOG 0, PQ 00. pa QD Cat ANSE)
n étant le nombre des termes de la période. On conclut, de ces
égalités,
pin) Le + pi +

a
d Del

Si done, dans le système de numération dont la base est p, on
réduisait en pécrmALes (*) la fraction <, on trouverait

= O,itr—1) 2) j'iim-Dte2)
Or, on sait que le nombre n des termes de la période décimale

(‘) C'est-à-dire en fractions de la forme D

— 135 —
est un diviseur de o (9), o (2) désignant le nombre des entiers
inférieurs et premiers à À (*).

XIX. Reuarques. — 1° A cause des égalités (1),
GÉANT PA fr

sont les restes de la division, par 9, de

LA4

DA para) M Da pe
les quotients correspondants sont

NÉE

2 D'après la théorie des fractions périodiques, la période
formée par les progressions a un seul terme si = p — 1; et, si
9 — p + 1, elle en a deux.

XX. APpLicarioNs. — 1° a — 4, 0 — 9, p — 11. Les progres-
sions sont

AS 02 0 SOL O MATE SN O7 76 NS DEN
DATI SS MATE GE GE MITA NSSNNODNE
AO A OS SAN AG ES IL04, 175, VS 0 917
AO SON O0 50 GS ETS MUR
TAG D SAN MAS OMG TO NN TONNES MOT
SATA #55, ANNE T A 60 715008 DNS QE 0 SN
RAS 090 51, AO NAN ES IN G7 NT GS NOR

La période a 6 termes, et 6 —9 <—0 (9).
20— 7, 0—920,p—53.0nitrouve

Te CD LA TS MOT NS TER
D, 29, 49, 69, 89...
RACE BORN CS
1, 21, 41, 61, 81,
HOT ET NGTANISNE

Ainsi, n—4, g(0)—920.1.i—8.

G

(") Nouvelles Annales, t. 1, p. 465.

— 154 —

S a— 7,0 — 10, p — 11. La période doit avoir un seul
terme (XIX, 2°). En effet, de

Fe AT OT STATS GT NT TNT

on tire la progression

MAT ETS TE
ka =7,0 — 19, p— 11. La progression donnée étant
1,019 051,023 0055 007 TON el
on en déduit
DAT OO ASS GET ISO
après quoi l’on retombe sur la première progression.

XXXVII. — Sur une application de la formule du
binôme aux intégrales eulériennes. (1858) (*).

I. Le coefficient de x", dans le produit des polynômes

l L(—1)
l + x + x ++ x,
4 4.2
$ U(E—1)
ET LT Het xl,

est, en représentant par C,, le nombre des combinaisons de
l lettres, prises k à k :
l' l'(l —1)
Le Ga + Ge + 5

=

Cyrpo Ur
D'un autre côté, ce coefficient est égal à celui de x", dans le
développement de (1 + x)*”x"; done

di Ut)

Cr, V+x —4A0, Cr a gr Sn PAUOR Cirse + (1)
.

(‘) Un extrait de cette Note a paru dans les Comptes rendus (t. XLVII).

IH. On a
jun n (RM AN Near amer a
Ge em Ur D ro ko
De plus,
AU PE+1) (ht 1
NA) DS 0 ne Dem)
1

Cirrrr =
ARS En CNE BEN
Au moyen de ces valeurs, l'équation (1) devient

BA SN Er (EM) te) At)

————————————— = —— —_—_————————— ee 9
B('+k+1,1—k) AT ETES (k+ 1 )(E + 2) 12)

ou, en posant

k+li=p, l'+k+1=qg, l—k—=m:

B(p, m) EE |

B (g, m) | 1062 p(p+l) a)
bninet)(n2) (Pong + ip) |
1%12/95 p(p + 1)(p + 2)

IL. L'égalité (A) a été trouvée en supposant /, l' et k entiers
positifs. Par conséquent, elle parait soumise à de nombreuses
restrictions. Néanmoins elle est générale, c’est-à-dire qu'elle
subsiste lorsque p, q, m étant des quantités positives quelconques,
le second membre est un polynôme ou une série (*).

(") Cette série est toujours convergente. En effet, lorsque p surpasse q,
les termes du second membre sont, en valeur absolue, respectivement
moindres que ceux de la série

m m(m—1) mim—l)(m—2)

A + + + a
1 189 1.2.5 @

laquelle est convergente (Comptes rendus, t. XLV); et, si q surpasse p, les
mêmes termes, pris encore en valeur absolue, sont, à partir de l’un d’eux,
respectivement moindres que ceux de la série (a), multipliés par un facteur
constant.

— 156 —
Pour démontrer cette proposition, évidente si p—q, nous
distinguerons deux cas :
1° p>q.Ona
Pad Bb 0 4) PT NPD ee 9 Re)
P B (p — 4; q) Dh TINNTENTENt)

donc le second membre de la formule (A) égale

etc.;

m(m—1)
1.2

m
LATE Fi B(p—q+1,q)+ Bpq2.0)— |

1

a Re MC ner g-at( — 4j 1(1 — 6)" do
HDESCE ie

B(p—q;,q)

_B(p— 9; m + q) _ B(m+q,p—4).
B(p — 9; 9) B(q:p— 4)

Ainsi, l'équation (1) se réduit à

B(p,m) _ B(m+qp—9). G)
B(g;m) B(g;,p—9q) ;

Mais, en vertu d’un théorème d'Euler :

B(p,m) B(p,m +0)

== — y

B(q,m) B(q,m+p)
B(m+g,p—g) B(m+gp).

B(q, p — q) B(q,m + p) 2

donc l'équation (5) est identique.

2° p < q. L'équation (A) étant démontrée pour les valeurs
de q inférieures à p, il suffit de faire voir qu’elle subsiste quand
on y change q en q + 1. A cet effet, appelons © (m”, p, q) le
second membre : on trouve aisément

o (M, p, q) — o (m, p, q + 1) — Us (Îm—1,p+1,qg+1) (4)
Ê
D'autre part,

B (p, m) B(p, mn) m B(p, m) m
RER = (mr, 9 À)

B(g,m) B(g+1l,m) q B(q, m)

— 157 —
Conséquemment, il reste à vérifier que

po(m, p, q)= qo(m—1,p +1,q +1),
ou que

pfi-T it rm rt em D |

22 0 PA Et mt 0 a La D
3 p+lp+l 1m (p+1)(p + 2)

(6)

Le premier membre de cette égalité peut être écrit ainsi :

m—1 (p—q\{p—q+1) (m—1)(in—2)

P annee p+l 4.9
(p—g\p—q+1) (p—q)\p—4+1)(p—4+2)
D RO Dee) vu
Or,

p—(p—q) =;

(p — +) ro
LUE q)(p— q D) Pi
Di p +1

et, en général,

Cd (P —9+1)..(p—q+ù (p—q\(p—q+1)..(p—q+i+1)

(p +1)(p + 2) … (p+i (p +1)(p +2) … (p+i+1)
A LA ee
(p+l)(p+ 2) …(p+i+1)
PE et mai HE 1
p+i+li Hip

La relation (6) est donc identique.

IV. Dans son savant Mémoire sur les intégrales définies eulé-
riennes, Binet démontre une formule équivalente à :
B(p,m) p—q m (p—q\p—qg—1) mm +1)

EE Re NA)

B(q,m) 1 m+q 1.2 (m+g\m+q+1)

— 158 —

Par le changement de p—q en m, de m en p— q, et dep en
m + q, celle-ci devient

a 2 a A Pme D mm

a me, mms ——————_— —_—_———

B(q, p — q) AP 1.2 p(p + 1)

7

d’où, à cause de la formule (A) :

Bim+q;p—gq) B(p, m).

B(q; p — q) B(q, m)”

ce qui est précisément l'équation (3). Ainsi, le Théorème d'Euler
donne l’une des formules (A), (A') au moyen de l’autre; et,
réciproquement, ce théorème est une conséquence des deux
formules.

V. La formule (A) permet de développer, en séries conver-
gentes, l'intégrale eulérienne de première espèce et son inverse.
En effet, si l’on suppose q entier,

MS CE)

BG MN EE EE RES PRE OS VE
Eh mm +1)..(m+q—1)

done, par le changement de m en q et de q en m:

DO re ere LD er vom LL

qg(g+1)...(qg+m—1) 1 p 1.2 p(p + 1)
m est un nombre entier arbitraire. Si, par exemple, m— 1 :

a DE il —1) 1 —1)(q—2) 1
Bel] te ) q(q \g-

ÉSLER EEE La 60 | fa(((O
p—1 1p 1.2 p+1 1.2.3 p+2 fo

1 =D (D)
B(p,q) 1.2.5... (m—1)[ 1 m 1.2 m(m+i1)
et
fee PET OED à (m)
B(p, q) 1 1 1.2 1.2

— 159 —

se 1 , l(pT(m+g).
VI. Le premier membre de la formule (A) égale DL 0

Si l’on suppose p— q + à, à étant un nombre entier, ce premier
membre se réduit à

qg(q+1).…(q+i—1)
(m+ qgjm+q+lt).(m+q+i—1)

Conséquemment,

g(g+t).q+i—1)
(nm +qgim+q+l).(m+qg+ri—t1)

(F)
Fa) î mm — À) i(i+1)
1q+i 172 CEE MEEEUTION
Par exemple,
GARE min — 1) re a no
m+q q+1 (g+1)@+2) (G+1a+2)Xg+5)

VIT. Parmi les applications de la formule (A), l’une des plus
intéressantes me parait être le développement de x ou de=, én
séries convergentes. Pour obtenir une infinité d'expressions de
la première transcendante, il suffit de supposer

DS AE OR y AN ai
qenter, p En m+q Ho

‘ et 2 étant des nombres entiers. On trouve, en effet,

12/32. (g — 1) 498 1.2.5. (+)

HO) QUE) Le

| ju RP «| |
|

p 4.2 (p + 1)

Soient, par exemple,

(‘) Cette formule est due à Stirling.

— 140 —

De même, en prenant

(| /
p entier, RP SRE m+p—=t à

on trouve

: [ mp, eee
D à 1.2 p(p + 1)

Soient

alors

4 AY 1e 155912
14 + |-) + + | —— | +. (L)
T 2 2.4 2.4.6

VII. La formule (L) équivaut à la proposition suivante, que

l'on peut interpréter géométriquement : La somme des carrés
, Q LU 4
des termes du développement de V2 —(1 + 1):, égale =.

IX. Plus généralement, puisque la formule (A) est la traduc-
ion de l'équation (1), celle-ci subsiste en même temps que la
première. Par conséquent : soit k un nombre entier, positif ou
nul; soient > &, l'> —1 : le coefficient de x”, dans le produit
des séries

l L(—1) , 1(—1(—2).

DR + ————— 20 + ——— 2° +,
1 102 AO
l RUE, US S)
D CE ee LU ls
| 1279 IN PALTES

(‘) Comme une de ces séries est nécessairement divergente, il est bien
entendu que l'expression : coefficient de x*, dans le produit, signifie : somme
des produits des termes dans lesquels la somme des exposants égale k.

— A4 —

égale
Fl+l +1)

FC+k+DT(—k+1)

Par exemple,

, TRES ! EE ’
Po UC), AANVer 4)

MAT aus PU+10( +1)

X. Considérons les séries :

ne 1 1 30e
y—=A +) à + | | xt + eee 6
J 9 1 NT NE Ne (6)

a oË eE ee 2
FSI ST me Rue (7)

pour æ = 1, la première se réduit au développement (L).
On trouve aisément les équations différentielles

dy\’
(ea): )
im ! La dz l'’

dans lesquelles les accents indiquent des dérivées (**). Si done
la fonction z était connue, nous aurions

MATRE
il = 7 xzdx.
; X ù

(‘) Laplace avait remarqué l’équation

HU pe _ T(@i+1).
+) + —) DEN

mais sa démonstration (rapportée par Lacroix) suppose 1 entier positif.

(”) L'intégrale générale de l'équation (9) est

1 da 1 do
sa f ER —
e V/(1 — x?) (1 — ax?) : VA — 2} (1 — 02 + ax?)

(Journal de mathématiques, t. XIX); mais cette formule n’est pas nécessaire
à l’objet que nous avons en vue.

— 142 —
On sait (*) que

z—- AR NU a
V1 — x° sin? o

d’où résulte

or sin*o dx
jun — — SR RE
sin” re, V1 — x°sin° @

0

ou
z à 9 RE
We xz —° f* ae — VA — x sin 1@);
0 0
puis
2 2 do + dx ———— ————
HN EN TIE AV AE EE SnioE
. i 7, eu D Fe +)
0
Posant
sin 6
_ sing
j'obtiens
& |
1 Ê DD
— (4 ARRETE TE p)— sin 0 d0 —
e dE 0
ou

Ve ne 1171 — x sin oc) —1 — 0056 + 2 (cos 0.
Par suite,

|
1 + 1==1co50-712 P'cos 01
? el + je)

(‘) Voir, par exemple, la Mécanique, de Poisson, t. I, p. 546.

— 145 —

et enfin, par un calcul plus long que difficile,

ë

ge nn A (
—-| 2 doV”1—x"sin*®_—(1—x°) le (AE)
aie à V/1—x*sin°@
0 0

Telle est, sous forme d’intégrale définie, la somme de la série

(6). Pour x — 1, y se réduit à _ ce qui devait être.

XI. Dans la formule (B), changeons p en "# et m en q:il en

résulte
pers, pe p—1)gq ET mnt
1 p 1.2 p@+l
enr, m-nlere D ] Îl=
A0 1 m(m—1)
—= 1}

ou

Si, par exemple,

il 3 5 1 Ll 1
A —. ee — + — +) — 1.
& 64% 256 24 ME TS0.

XII. Écrivons ainsi la formule (A) :

AO UN, a dre m(m—1)(q—p)(g —p—1)

à ONCE NO 0m me a

GI ON RP NRree p(p+1) a)

4.2.5 A2

— 144 —

En y remplaçant p par q et q par p, puis en combinant par
multiplication, on trouve

prie +
172 p(p +1)

x fit ne Pen a
: ee qq +1)

Cette relation remarquable, qui n’est peut-être pas nouvelle,
peut être déduite de la formule (M), par un changement de lettres.
Elle donne, en particulier,

RU Tru) + RG) 4 4.53 k.5.2
1—5- +5 —— L+5-+ 5. — + = {|
HO IATONIA H) 5.6 5.6.7
XIII. Soient, dans la formule (A) :
A AD Des
p—=1; Hanirno fee

t étant un nombre entier. Le premier membre devient

et le second membre :

—

=) 2 +1 —| = 21 — 9 |
1 + _ +

E EN 2 7 6
Donc
1 [A\2[135. (241) (oil? Oi+1 94)
dust DA PA CP ae 1
7 \9 1.2.5...(i+1) 2 2 k

On a ainsi une infinité de développements de la transcendante
1
: la formule (L) en donne un.

— 145 —

Addition. — (Août 1884.)

XIV. Si, dans la formule (A) (p. 155), on fait
M—a, J=Y—a, p—y —a—6$,

elle se transforme en

BU ER ent) not
B(y —«, a) y —a—8 1.2 (7—a-£6)y—a—f6+1)

En vertu du Théorème d’Euler, le premier membre est la
même chose que

mA UNS

B(Yy —a,% —f#) T(y—a)l vw —8

Ainsi

Lys), « Bal) B(B—1)

Fée) (8) Diperur 149 (7—a—8)\y —a-5+1)

+... (R)
Cette relation, dans laquelle les arguments sont positifs (*),
a une grande analogie avec la célèbre formule de Gauss :

Fiy —a—6)r(>) æfB a(x+1)8(8+ 1)
——————; = 1 + He ———."— +
V(y — a)l (7 — 6) ly 1.2 9(7+1)

(S)

Il y a plus : on peut passer de l’une à l’autre, au moyen de la
formule de Binet (p. 157). En effet, ce savant Géomètre l'a
donnée sous la forme

BG— 0,9 0. «++

B(p, q) p+q 2p+qp+q+t1)
a (a+ 1)(a + 2) q(q + 1)(q + 2)

29 (pm 0)(peq eu) (pe QE

() D'après les hypothèses faites sur », n, p (p. 135).
.(**). Journal de L'École polytechnique, 27° Cahier, p. 150.
10

— 146 —
Or, si l'on suppose
q= 46, p+q=—),

ie second membre devient la série de Gauss. Quant au premier
membre , il a pour valeur

Ainsi, la formule de Binet ne diffère pas de celle de Gauss.
D'ailleurs, on a vu ci-dessus (p. 156) que les relations (R), (T)
se ramènent l'une à l’autre; etc.

XV. Remarque. — D'après ce que nous venons de rappeler,
(R) est une simple transformée de (S). Néanmoins, si la quan-
tilé &« + (5 est positive, la première formule est préférable à la
seconde. Voici les motifs de cette appréciation :

4° Lorsque « ou Ê sont des nombres entiers, le second membre
de (R) est composé d'un nombre limité de termes, le second
membre de (S) est une série.

2 La série (R) est plus convergente que la série (S).

Soient, en effet, w,, U, les termes généraux des deux séries ;
Sa VOIr :

a(x+A)..(x+n—2)B(6 + 1)...(8 + n — 2)

U, —= ,
‘8 12 (n 41) (y + 1)... (y + n —2)

ax —1)...(a—n +92) B(B— 1) .(B8—n +2) |
4 1.2...(n—1) (7 —a-Bly—x—53+1).(y—1x—f$-7n—2)

. mo.

De là résultent :

Un a+n—165+n—1
Us n y +n—1À
Dome En B—n+i
U, n Yv—a—6ÿ+n—1

Ces fractions tendent vers l'unité. Donc la proposition énoncée

— 147 —

sera établie si nous vérifions que, à partir d’une certaine valeur
de n, on a constamment

U, Ut:
U, u,

Or, au moyen d'un caleul fort simple, cette inégalité se trans-
forme en

(a + 8) [(n — 1Ÿ + (27 — x — p) (a —1) — aÿ] > 0.

XVI. Décomposition d’une fraction. — Si x est un nombre
entier, égal ou inférieur à 6, on a
T (>)
ne nec en 7 eur 2) 04e x),
l'(>7 — à)
V7 — à — 6) 4

MSN AR See"
et l'égalité (R) se réduit à

21) 0) 00) de
Ca 2) 5)
CNE 6 a(x— 1) BEA) (U)

a —— pote He
17—a—£$ 1.2 (y —a—B(y—a—86 +1)

Hi A) ER :s
Cane) (ne SOS)

Ainsi, la fraction rationnelle formant le premier membre est
décomposée en 1, plus la somme de x fractions rationnelles.

XVII. Décomposition d’un produit. -— Remplaçons y par x,
æ par n, É par a, et chassons les dénominateurs; nous aurons

(x — 1) (x — 2) ….(x — n) —
(x —a—1)...(x — a — n) + af —a—1)..(s —a—n + 1) |

RPC ETC

(V)

2

+ a(a—1)..(a—n+t1). |

— 148 —

XVII. Remarques. — I. Dans cette identité, n est un nombre
entier, a est une quantité quelconque.

IT. Le second membre est indépendant de a.

HIT. La formule (V) est analogue à celle du binome des facto-
rielles, mais plus générale que celle-ci.

IV. Si l’on désigne par f(x) le second membre, les racines
de f(x) = 0 sont 1, 2, 5, … n.

XXXVIII — Théorème d'analyse. (185$.)

Soient
fi (x) —= (j COS À + a COS 2X +... + Q, COS NT He, (L)
p(x) — b, cos x + b, cos 2x +. + b, cos nx +... (2)

deux séries convergentes. Je dis que

2 [7
db, + abs ++ a,b, + f f(x)o(x,dx() (6)
Te
En effet,

f(x) (x) = > a,b,, cos nx cos n'x + Ÿ ab, cos* nx;

in

done

T T 41T
fe f(x) (x)dx=Y ab f COS AE COS n'xdx+Ÿ cf cos’ nxdx;
Le LA LA
0

0 0

(") Ce théorème, énoncé d’une manière un peu différente, est connu sous
le nom de Formule de Parseval. Mais la démonstration donnée par ce Géo-
mètre est inadmissible, car elle suppose l’emploi des deux séries

dy + ot Ha +,
b,+bat + bit? +...;

et, si l'une est convergente, l’autre est ordinairement divergente.

DL

ou , d'après les relations

T L d z
fe cosnxcos n'xdx = 0, f cos nx dx — : :
€ e _
0

ne fa)o(x)dx — . » ab,

4

0

Application. — Si l'on part des formules connues :

1 em Lien rit) | cost cos 2x cos 5x
— [47 =— -—1|—= - +. + : ,
24 ET — 6e 7 1+a 4k+u J+a

1 ; CHENE COS X COS 2X COS 5X 6)
PTE — AT = = + re ;
24 ET —e 7 A+ 4+a 9+a
on à

| 1 1

— —————— me

He 9,9
(ha one a NO Em)

{ GT etT—2) Moi a(T-x) et + ep
= — 1 (Es — > —A|[1 —ur dx.
9ra*,./ Clone
Ü .

Hip et
Le produit des deux binômes est

eT DONC et{r—?3) ini enNcne |

fetes Heu Ts ee en) St

aT ar
C1 e

(") Traité élémentaire des séries, p. 115.

— 150 —
Si donc nous appelons A l'intégrale définie cherchée,

ar? 2 Aer 2aT e2°T —"1
À = | 7 (ee 6) ET > + ET ——
(er em 7): 24 2a

Tr RE CES CA ER eT|l+7r
er —e "7 | |

2202

az CRTC HEC
= ————————— | 7 (OT + TT) + —_——— | — 7.
(et Eu cn)

Par suite,
1 1 1

————— —— — ———— —- —…—_
A+) (4+aÿ (9+a)
(e'T — TR — am (7 — 6747) — ar? (ET + 677)

Da (ce Les GE):

Lorsque a — 0, le second membre se réduit à 7; donc

TRE ST EI TEE
Mo C0 00

résultat connu.

Addition. — (1884.)

Dans le Traité du Calcul des probabilités, de M. H. Laurent,
on lit (*) ce qui suit :
« Si l’on a

o(etV-1) 0 ue ir ae dt

pe) — bo FE bien VA Er bem VE 1 me QUO
» en faisant le produit... on trouve

il

27

a+27 ne sas
(A) 1 ( Ce’ We) d (rt) dt — ab, + ab, + abs + +.

œ

» Cette formule permet, …, de trouver la valeur de la série dont

(*) Page 7.

»

»

»

)

— A5 —

le terme général est a,b,, quand on connait les valeurs des
séries (supposées convergentes, lorsque le module de x est 1),
dont les termes généraux sont a,x, et b,x,; et c’est en cela

que consiste le théorème de Parseval. »
Marc-Antoine Parseval (*) dit tout autre chose (Mémoires

des Savants étrangers, t. I, p. 639) :

« Si l’on a donc deux suites

A + Bf + Cf? + Ff+ ete. =T

1 1 1
a+b-+C=+/f+ete. = T

RC NDDN

» dont on a les deux sommes respectives T, T', on aura la somme

» de la suite

Aa + Bb + Cc + Ff + ete. = V

» en faisant l'opération suivante... Je dis que l’on aura

| NV
\ re LG
U: 9

» u étant fait égal à 180° après l’intégration »
Il n’est question, ni de convergence, ni de module, chose peu
étonnante en l'An VIL. L’eremple choisi par l'Auteur est fort

curieux :
« On a, comme on sait,

MCE TIC. AT Een
f+atf + ë) —

» Je demande Ja somme de la suite
À + x? + x + x + etc. »
Si l’on suppose x — f < 1, la seconde série devient
AUTOS Pre RS,

et tout l'édifice s'écroule!

(*) Dans la plupart des Biographies on ne trouve aucun renseignement

sur ce Géomètre.

— 152 —

XAXIX. — Sur la série harmonique (1856) (”).

I. On sait que

| 1 FANFESE | ] £ È |
+ += Hot — — ——
i ie pas n — q(n) + C, (1)

o(n) s'annulant quand n devient infini, et C représentant une
constante dont la valeur, calculée par Euler et Mascheroni, est

C= 0,577 215 664 901 532 860

9
En remplaçant fn par

n n — 1
nr NN a
on a
Dal SAN n 1
PTE SRE
Un) AR 2 G = een n @)
Soit
DO aUT l
Ga Car n
d'où
UE — — ET "AeE — À — à),
s (24
0
el

Cela posé, en appliquant mot à mot la méthode employée par
M. Liouville, dans sa Note sur l'évaluation du produit 1.2.5 x,
on trouve

1 1 1
H>— A)<—+ (a)

=)
9n 192n°

(*) Relativement à la série harmonique, on peut consulter les Mémoires
intitulés : Sur la constante d’Euler et la fonction de Binct; Recherches sur la
constante G, etc.

et, par conséquent,

il 1 4 | 1
+= += tet+-<$Pn+—+C, (A)
il 2 9 n : 2n
1 LAS à 1 C (B)
LS ne nt RE ONCE pes Ce

DNS n oi on 19n°

Les formules (A), (B) donnent ainsi deux limites entre les-
quelles est comprise la somme $, des n premiers termes de la
série harmonique. Si l’on fait n — 1 000, on trouve

So L 7,485 47095, Sim > 7,485 470 86.
Ce résultat est d'accord avec celui que donne Lacroix.

II. La série dont le terme général est w, est convergente (”).
D'après le $ F, elle a pour somme

1— C— 0,422 784 555 098 476 159.

IT. La série harmonique est très peu divergente, puisque la

somme de ses mille premiers termes est à peu près 7,5 ; mais
[2 © [2 LA 1 e 0
la série dont le terme général est ans diverge encore bien plus
n 0
lentement. En effet, si l'on suppose

+ — + : (>)
22 HE) nfpn
el

on trouve :

(*) Comples rendus, t. XLHH, p. 627.

more

Soil
p = 1 000,
auquel cas
pi — 21000
ee 2

nombre de trois cent deux chiffres. Les formules (C), (D) donnent
SA 0200, RS ent ID 8e

Ainsi, bien que la série considérée soit divergente, la somme
de ses premiers termes, jusqu’à un rang marqué par un nombre
de 302 chiffres, est inférieure à 11. On arriverait à des résultats
encore plus eurieux si l’on considérait la série divergente

| 1 1
2 Po(PPA 5P5ILES npa(PPn)

IV. Écrivons ainsi les formules (A), (B) :

1 fl Core . Eur
ET UON nie Ce
Ë In 197% à 2

Nous aurons, en changeant n en 2n :

fl I i
(27) + — — OS QOn) ERIC
Er

An 48n°
el ar conséquent :
2

nn Rene

4kn 48n° än 19n°
Ainsi, la somme des n termes qui, dans la série harmonique,
suivent les n premiers, est comprise entre
l Î { L
119 —— et PA — + —_—.
Y kn 48n° À 4n 19n°
De là résulte

1 Les :4 l |
lim |[- LS Re SE).
Im + He + 5 LÉ ()

n + Î n + 2

(‘) Voyez, sur ce point, les tomes XVII et XVIIT des Nouvelles Annales
de mathématiques, et aussi le Traité élémentaire des séries.

— 155 —

Addition. — (Juillet 1872.)

La dernière formule est une conséquence de l'identité, presque
évidente :
1 Î 1 { Î À

MARIE +... =
n +1 n + 2 2h 2 9 2n

XL. — Sur une fonction homogène entière. (1838) (‘).

Plusieurs Géomètres, parmi lesquels il suffit de citer
MM. Cauchy, Bertrand et Serret, ont indiqué divers procédés
qui permettent d'évaluer la fonction

n+p—i n+p—1 n+p —1
a D ,

© ++ —
fa) f’(b) ft)

au moyen des coeflicients de l'équation f(x) — 0, dont a, b,
€, …, k, l sont les n racines (supposées inégales); mais personne,
que je sache, n'a fait attention à l’identité de cette fonction
symétrique fractionnaire avec la fonction homogène entière, du
degré p :

He Dot Ac AL

Cette identité résulte de la proposition suivante :

TuÉORÈME. — Soient a, b, ce, …, k, | des quantités quelconques,
inégales ; et soit, pour abréger,

f(x) = (x — a) (x — D). (x — k) (x — 0).
La fonction, entière et homogène, des n lettres a, b, e, … k, L

dont p est le degré, est égale à la somme des valeurs que prend la

(*) Note sur une formule de M. Botesu (Bulletin de l’Académie royale de
Belgique).
(”) Cette Note a paru dans les Comptes rendus.

— 156 —

Ô xn+p—i 2
fraction, quand on y remplace x par à, be UkRNPUEN

d’autres termes,

y 5 P a"tr-1 b'tr-1 dr+r-1
H,, —= aEDA CTI ne UN PPS Gin EU red (4)
Mo AG AU) AU)

les exposants «, B, y, …, À, entiers el non négatifs, étant déterminés
par l'équation
a+B+y--+1—=p. (2)
Pour démontrer l'équation (1), qui devient identique si n
égale 1 ou 2, il suffit de faire attention que

Ho nt Hu, QUE (He up DH er (LS ,

et d’avoir égard aux relations connues :

n—1 b"=1 dr-1

n, Sr F ++ = — |,
PANNE) AU
a"? b"—? n—2

PE PU —— tot ——0
Htc) (D) fu

CoroLLaiRe. — Si l’on multiplie la fonction H,.,, qui renferme
hl
Cun-to 1 (ermes, par

P—{(a—b)(a—c)….(a—l) xX(b—c) (b—d)..(b—1) XX (k— D,
le produit contiendra seulement n termes.
Par exemple,

(a5 + D + © + ob + ac + Da + be + ca + cb + abc)
X{a—b){a — c)(b— ce) = (b —c) + b$(e — a) + c° (a —b).
Remarques. — I. Le dernier énoncé suppose que l'on ne

développe pas les produits qui multiplient a"t?7", bte! crc.
[TE Dans le cas contraire, la fonction H,,, P prend la forme

> are D GATE RS

d'après un théorème de Vandermonde ; et alors elle contient un
nombre de termes égal à 1.2.5...n.

— 157 —

I. Si l’on divise x"? * par f(x), et que l’on désigne par
o (x) le reste, on a

. (1 Ur Ne HR *\.
o(x) = f(x) ere GA a Vi

donc le premier terme de ce reste est

a”"+?—1 b'tr-! dr+r-1

XLI. — Sur les surfaces eyclotomiques. (1859) (“).

I DériniTion. — La surface cyclotomique est engendrée par une
circonférence de rayon variable, dont le centre O est fixe et dont
le plan passe par une droite fixe Oz (***).

IL. Équation de la surface. — Ox, Oy étant deux axes perpen-
diculaires à Oz, soit M un point quelconque de la surface, situé
sur le méridien GMH ("). Posons

OM—=u, MOG—6, GOx — «.

Il est clair que « est une fonction de w; donc nous pouvons
prendre, pour équation de la surface, soit,

u = f{&), (4)

soit

#+ÿ+s=g(t) (2)

(‘) En général, le reste de la division de F(x) par f(x) est

F(a) F(4) ]
OO
(x— a)f'(a) (œ— 1) f'{b)

(”) Cette dénomination, très bien choisie, m'a été proposée par
M. de Saint-Venant.

(""") Le lecteur est prié de faire les figures.

(”) Le point G est supposé dans le plan xOy, et le point H, sur Oz :

&(x) = f(x) |

GMH est donc un quadrans du cercle générateur.

— 158 —

UT. Normale. — Il est visible que la droite MN, normale en
M à la surface, rencontre l'axe OI du méridien GMH : cet axe
est d’ailleurs la perpendiculaire à OG, située dans le plan xOy.

IV. Trajectoires orthogonales des sections méridiennes. —
Considérons le cône de révolution engendré par OM tournant
autour de Oz, et projetons la figure sur le plan méridien GMH.
La tangente MT, à cette section, est normale au cône. D’un autre
côté, la normale à la cyclotomique est projetée suivant MO (HIT).
D'après un théorème connu, ces deux droites sont perpendicu-
laires entre elles ; donc le cône coupe orthogonalement la surface.
La tangente à l'intersection PMQ est perpendiculaire à MT, ou
normale à GMH ; donc les trajectoires orthogonales des sections
méridiennes sont les sections de la cyclotomique par des cônes de
révolution autour de Oz (*).

V. Équation des trajectoires. — L'équation (1), qui représente
la surface, représente aussi la directrice, supposée située dans le
plan æy. Si nous appelons r la projection de OM sur ce même

plan, nous aurons
r —= U COS 6,

r — C0 8 f («). (5)

Par conséquent, les trajectoires orthogonales des sections méri-

diennes se projettent, sur le plan de la directrice, suivant des
courbes semblables à celle-ci.

ou

VI. Relations entre les coordonnées d’un point. — On à
x = UCOS0C0S&, - y = UCOSOSIN&, Z— USINE. (4)

On déduit, de ces formules :

dx ee dy Roue dz G)

— — — usinSCoso, ———wsingsin®, —— W#COsS6

d3 7 de ? db ;

dx du REC 0 du .

—— — COS 0 | — coso—usina), —— —€CO0S6|— SIn& + COS),

do do do do (6

)

LATE 10 MS )
a ar 19
do de

(‘) Démonstration nouvelle (février 1867).

— 159 —
VIL Élément de la génératrice. — A1 a pour valeur
ds = ud6. (7)

VIII. Élément de la trajectoire. — En désignant par © la
longueur de l'arc PM, comptée à partir d'une certaine origine,
on a, par les relations (6) :

do =V/du + 0? cos” ode (*) (8)

IX. Angle du rayon vecteur avec la tangente à la trajectoire. —
Soient «, G, y les angles formés par cette tangente avec les trois
axes ; soit À son inclinaison sur le rayon OM. On à

x y Fe
COS } == — COSX + — COSB + — COS 7.
u

u 7
Mais
dx do ! dy do dz do
COS a — GO 0 — COSY — — : —:
do do # do do do de’

donc, à cause des valeurs (4) et (6) :

du dc
COS = — =,
do do

ou, avec la notation de Lagrange,

uw”
COS À = — ; (9)
(ox
et, par conséquent,
1 u COS 8
sin À —-— (10)
C
X. Distance de l’origine au plan tangent. — II est visible

qu'elle ne diffère pas de la distance k comprise entre l'origine et
la tangente à la trajectoire ; done

h — u sin à,
ou
u° COS 4

hr (11)

C

(‘) Cette formule devient évidente, sans calcul, si l'on considère le déve-
loppement du cône de révolution.

— 160 —

XI. Aÿre de la surface. — On peut prendre, pour élément de
la surface, le rectangle infiniment petit déterminé par deux sections
méridiennes et deux trajectoires. Ainsi

d'A — dsdo,
ou
d'A = udôdo Vu? + u?cos’e. (12)

L'aire totale est donc exprimée par la formule
Lu 27:
À == AE & f uds V/u"? + n?cos 0. (15)
0 0

XII. Volume. — Le corps limité par la surface cyclotomique
se compose de pyramides infiniment petites, ayant chacune pour
base un élément de la surface, et pour hauteur, la perpendicu-
laire . Par conséquent,

ds
AN = = cos 6dôds,
5

9 7 27
V — oi cos so f. u° da,
d LA
0 0

ou, plus simplement,

0] 427
V — 71 u°de. (1 %)
- )

0

XIII Remarque. — D'après la dernière formule, l'onglet
compris entre deux demi-méridiens consécutifs a pour volume
= uS dw. Cette expression représente aussi le volume de l'onglet
appartenant à la sphère dont le rayon serait w. En effet, la diffé-
rence entre ces deux éléments est infiniment petite par rapport
à l'un et à l’autre.

XIV. Application. — Supposons que la directrice soit une
circonférence, située dans le plan des «y, et passant par l’origine.
Si nous appelons a le diamètre, l'équation (1) devient

U = A COS&, (15)

— 161 —
et l'équation (2) :
er) (x y) ax. (16)

Dans ce cas, la surface cyclotomique est done du quatrième
degré. Elle se compose de deux nappes fermées, symétriques par
rapport à la droite Oz, ligne de contact mutuel (*).

Le volume de cette cyclotomique circulaire est, par la for-

mule (14) :
9 27.
V—- ëf COS° «de,
5

0

8 5 F 3 **
V—-a cos’ œdo (*”);
9 e
0

et enfin, par un calcul très simple,

ou plutôt

DRE
Mon (17)

Ainsi, chacune des doubles-cornes dont se compose le corps
dont il s’agit est les © du cube ayant a pour arète.

XV. La formule (15) devient

,T ,
A — se f 2 af

(0 0

T T
A se fl? d8 7 ? cos wdo V/ cos? 8 + sin*6sin?w. (18)
8 5

[A

cos we V” sin” & + cos? w COS? 6,

OU

(") Jugeant qu'il ne serait pas facile, au moyen d’une figure, de repré-
senter convenablement cette singulière surface, M. de Saint-Venant a eu
l’obligeance de m'en faire exécuter un modèle.

("”") La trace de la surface, sur le plan æy, a pour équation

U— = 0COS 0:

mais, si l’on adoptait la double valeur de uw, on trouverait V— 0. On doit
donc chercher le volume limité par l’une des nappes, puis doubler le résultat.

11

— 162 —
Pour réduire celle-ei aux quadratures, il suffit de poser

sin w — cot4tgo;

d'où
T COS” 8 (l
— 8a° A à nl cs \
sin 6 cos” @
En effet,
ve do 1 [sino S E :]
HR 2 orne ?
' cos" @ 2 |cos*4 4 2
donc
7 cos” 4 T 6]
À — 4 AMIE ere à 1 !
, 1 | sin 4 N PAU MS
ou

À : T C0S° 0 PVO
A — 97 + 40° A do {. tgl— + —):
“ Sin ÿ 4 »

0

Si l'on fait tg 16 — {, on trouve

T cos? 4 T0 1 — dt LA+t

2 Lis à = [EE =.
(y ins NX °\4 2 U + mr À el
0 0

ou encore, en remplaçant — : par 6 :

9

La substitution dans la formule (19) donne enfin

1 2
9 L 4 D: dB
— 90° — 520
te
0

Addition. — (Février 1867.)

XVI. Détermination d’une intégrale définie. — Soient

Dis ‘ x'dx pi of" de
Te eo DATES ETES)

)

fall

(20)

GS

et, par conséquent,

p—|o te] rh = (21)

On a, identiquement,

co à DAS IPN DANS DR net

1
D su ul FA ROUES
(H+aÿ(i—a) 8l+x 81—x 4l+a 9(+x))

donc

Par conséquent,
P 1 SP 1 1 e) 1 1 D FO ‘(99
Q CRC qu +) {s « le x Ce (22)

2 DE et + x si dx
Ann A + a
À de dx ol + x Tr
f 9° ne He RUE
0

, ù { On
En développant QE , On trouve aisément

ou

donc

Ho dx 1 T° T ne
RS STE (85

Il reste à déterminer la différence des valeurs que prend la
fonction Q P x pour x — 1 et pau x = 0.

Les termes P x P(1 + x) et © Lx, nuls lorsque x — 1,
s’annulent encore avec x : en effet, x f x — 0 pour x — 0.
Quant au terme Pr£f(Η x), je dis qu'il est nul aussi aux

— 164 —

deux limites : comme il est symétrique par rapport à x et 1—x,
il suffit de vérifier qu'il s’annule avec x.
Or, si l’on fait x —e *, on a

La Lis Lez ef + ——)= 0 é :

e° — À e— !

9 étant compris entre 0 et !. Lorsque z augmente indéfiniment,
la fraction tend vers zéro; etc.
En résumé, la formule (21) se réduit à

ue
X
0
1

x°dx à Fr 7
————— LL = — — — ; 24
Ven = Pas 16 52° 29

0

ou

et, en conséquence,

= (25)

XVII Autre intégrale. — D'après les formules (19) et (25) :
T: cos? 4 3 T 6 r Îr :
fute+)=16-1)o (26)

0

XVII. Remarque. — Si nous écrivons ainsi la formule (18) :

z 7 D Poe
A— 80? j ? cos ste f° ? doV/1 — cos’ wsin’ 0,
0 ô

et si nous employons la notation de Legendre, nous aurons ce

résultat curieux :
2

2T 7
7 ? E! (cos «) cos cd Re (27)
"
XIX. Cyclotomique à directrice rectiligne. — Si la surface
coupe le plan xy suivant une ligne droite, les trajectoires ortho-

(*) Cette valeur résulte aussi de deux intégrales rapportées dans les Tables
de M. Bierens de Haan.

— 165 —

goneles des sections méridiennes se projettent, sur le même
plan, suivant des parallèles à cette droite ($ V). Conséquemment,
ces trajectoires sont des hyperboles.

XX. Remarque. — Les deux surfaces que nous venons de
prendre comme exemples sont réciproques l'une de l’autre. En
effet, leurs équations sont

» Ui = A COS ©.

XELII. — Sur ia théorie des rouletées. (1838) (*).

I. Soit une courbe DCM, roulant sur une droite fixe EF.
Pendant le mouvement, un
point quelconque A, inva-
riablement lié à la courbe
roulante, décrit une roulette
AA'B. On sait que, pour tra-
cer cette courbe par points,
il suffit de construire la tan-
gente MT en un point quelconque M de DC, et de prendre

[ee

CM'— arc CM, FM'A'—TMA, M'A — MA :

A’ est la nouvelle position du point A. De plus, M'A’ est la
normale, en A’, à la roulette.

Cela posé, au point d’inflexion I de cette courbe, l'angle A'M'F
devient maximum ou minimum; donc il en est de même pour
son égal AMT. Ainsi :

Pour trouver le point d’inflexion 1 de la roulette décrite par
ie point À, cherchez, sur la courbe roulante DOM, le point K
pour lequel AMF est maximum ou minimum : correspond à K.

() Cette Note peut être considérée comme faisant suite à celle qui a paru
dans les Nouvelles Annales de mathématiques (t. XV, p. 402).

— 166 —

IT. Dans le cas où la courbe roulante est une circonférence O,
le point K, comme on le

D Sn LUE
voit aisément, est situé sur
à la parallèle à EF, menée
à par le point A. Par suite,

\ I
DANCE la tangente en [I est la
F à y y nouvelle position D'O’ du
rayon DO.

II. Si le point A se déplace sur OD, le point d'’inflexion E
se déplace aussi : le lieu de ce point est l'enveloppe du diamètre
CD, c’est-à-dire la cycloïde décrite par le point C, considéré
comme appartenant au cercle dont CO serait le diamètre (*).
Cette courbe enveloppe les cycloïdes engendrées par tous les points

de CD.
IV. Soient
AM—u, CAM—o, arcCM—s, arcAA'—50, AMT—V.
Représentons encore par o le rayon de courbure de AB, au

point A’. On a (**)

e)

Ü

#
dscosV— du, dssin V—ud:— £ 4 4 ds,

udo do
te V——, ——d\.
e (d
De là résulte
do = u(de — dV).
Or,
u
MEarents ;
done
12 [74
u'?— uu
AV = — = do, (1)

U+U

(*) Géométrie descriptive de Leroy, p. 391.
(**) Voir la Note citée.

puis
[AA
U+U
do — u? 5 = (do,
U +u”
Ne u”
Pin rs Fi
u'° — uu

V. Soit A l'aire de la figure CAA'M'. A cause de

A'M'— AM—u, A'MF—AMT—V,
on à

d'A _ [(e + u) — | UV;

ou, par les formules (1), (5) :

1 2 +u +u
PT de.
2 + u

La fraction contenue dans le second membre égale

19 LEA
U — UU
2 ET y 1% ;
U+U.
donc

il
d'A = u°do — ù u’dV.

Par conséquent, si l'on fait

{ a 1 +
fs — D: | UN IC:
2e 2

A — 2B — C.

(#)

(6)
(7)

B est l'aire du secteur ACM. Quant à l'intégrale C, elle repré-
sente l'aire de la courbe obtenue en menant, par À, des droites

égales et parallèles aux normales A'M' (*).

(*) Il semble, d’après la formule (7), que À ne peut surpasser 2B; et le
contraire a lieu sur la figure. Mais, comme l’angle V augmente ou diminue

avec w, les éléments de l'intégrale C peuvent être négatifs aussi bien que

positifs : dans le cas actuel, ils sont négatifs; et la soustraction indiquée

devient une addition.

— 168 —

VI. Considérons le cas général d’une courbe ACB roulant

sur une courbe DCE et entrai-

“15 nant une ligne FPG. Soient PC,

. B MN, M'N' des normales à FPG:;

soient mn, mn les nouvelles
positions de ces droites.

La ligne mn, normale à la
trajectoire du point M ($ D), est
normale, aussi, à la nouvelle
position de FPG. Donc cette
ligne FPG, quand elle est entrainée par ACB, touche succes-
sivement, en P, m, m', … les trajectoires de ses différents
points P, M, M’, … Ainsi, non seulement la courbe Prm' est
l'enveloppe de FPG (théorème connu), mais encore : cette
courbe Pmm' est l'enveloppe des trajectoires de tous les points
appartenant à FPG. Autrement dit : Quand une courbe ACB
roule sur une courbe DCE, en entrainant une ligne FPG, l’en-
veloppe de celle-ci coïncide avec l'enveloppe des trajectoires de
(ous ses points.

VII. Si, rendant la courbe ACB immobile, on fait rouler DCE
sur ACB, FPG deviendra l'enveloppe de Pmm' et des trajec-
toires des points P, @#, m',.. En particulier, lorsque la ligne FPG
se réduit à un point P, la ligne Pin, dans toutes ses positions,
passe par ce point P.

XLIII. — Lieu géométrique. (1859.)

PROBLÈME. — Quel est le lieu des sommets des paraboles tan-
gentes aux côtés d’un triangle rectangle isoscèle ACB (*)?

D'après le Théorème de Simpson, si l’on décrit, sur l'hypo-
ténuse AB comme diamètre, une circonférence ACBD ; que l’on
prenne un point quelconque F de cette circonférence; que
l'on mène FP perpendiculaire à CA, FQ perpendiculaire à CB ;

(*) Le lecteur cst prié de faire la figure.

— 169 —

que l’on trace la droite PQ; enfin, que l’on abaisse FS perpen-
diculaire à PQ : S est le sommet d'une des paraboles tangentes
aux côtés du triangle donné.

Prenons CA, CB pour axes; désignons par «, B les coordon-
nées du foyer F; par x, y les coordonnées de S; et soit a la lon-
gueur commune des côtés CA, CB. Les équations du problème
sont

Le

Rue ne nl

= (1

A A me à
ne @)

+ — a(x + 6) — 0. (5)

Afin de les simplifier, posons
&æ—= AC0s0, B —" sin 6 :
l'équation (3) donne, immédiatement,
1 — a (cos 0 + sin 6).
Par suite, les équations (1), (2) deviennent

x sin 8 + y cos 0 — a sin 8 cos 8 (cos 8 + sin 6),

x COS 9 — y sin 8 — a (cos*8 — sin? 8) (cos 6 + sin 6).
On tire, de ces dernières,

. x — a(cos 8 + sin 6) cos’0,

y — a (cos 5 + sin 6) sin°6;

puis
LA A AE MT UE 2
a + ÿ— (cos 6 + sin6Ÿ, x° + y°— a’(cos 6 + sin 0);
et enfin
2 2}? 20
Le + ÿ) = al + A (A)

Telle est l'équation du lieu. L'emploi des coordonnées polaires

la transforme en
1
COS® © + Sin° ©
QU OR (B)

2 2 2
(cos w + Sin° c)

XEEV.

Sur un produit convergent. (1859.)

I. Pour établir la convergence du produit
Pi (La) (LES g 0) OU Ego EE go) (A ci) SANTA)

composé d’un nombre indéfini de facteurs, il suffit de prouver
que la série

RE AE ANNEES SN)
est convergente (*).

Or, ia somme $,, des n premiers termes, est comprise entre

rer)

de A tar

et
Li l AN on Mie)
(a mi + (q—< (gs) re) Rent

donc la série (2) est convergente. De plus, S étant la limite de
S,,on a

k q q dnigs U
GA RARE AS EE RRe
Nr per 21— q° G)
IL. À cause de
f n n 1 Qn L 5n I En
\M+g)=9 io D ose
œ À | F2 Ê
re D ie te D ie D
ou
0 1 2 | è Â :
Sie EN RET DR T PT (4)

(‘) On suppose q compris entre 0 et + 1. Lorsque q est négatif, le déve-
loppement de P, suivant les puissances de q, forme une série très remar-
quable, étudiée par Euler, Jacobi et d’autres Géomètres.

— 171 —

On reconnait encore que la somme S est comprise entre les
limites indiquées ci-dessus.

III. Développant chacun des termes de la série (4), on trouve

0 SE TEE ES +l|g +.

1 ( 1 (
mo Ne SA Mon PAS as
1

— — + —

A 5

A6

Il est visible que le coefjicient de q” est égal à la somme des
inverses des diviseurs impairs de N, diminuée de la somme des
inverses de ses diviseurs pairs (*).

XLV.

Remarques sur un Mémoire

de Poisson. (1859.)

I. Dans le 18 Cahier du Journal de l’École polytechnique,
Poisson donne l’importante formule

den 79 ** sin px dx
af ST (a)
A—e? p CE |

0

(‘) 4e Si N est impair, le coefficient de q" a pour valeur

N désignant, suivant la notation d’Euler, la somme des diviseurs de N.
20 Soit N — 2%N', N° étant impair. On trouve aisément

ga 5
re
N

Dans les deux cas, Cy est positif. — (Mars 1867.)
La question précédente, et d’autres du même genre, sont traitées dans
les Recherches sur quelques produits indéfinis (septembre 1884).

— 172 —
mais il y parvient au moyen des intégrales indéterminées

æ ; C2 eTE + pe TE .
sin px dx, ———— sin px dx :
È F PO EEE
0

0

e ® ’ 4 1 (I
Poisson les suppose, respectivement, égales à - et à

p
p P
Are cren
DRE

—e ?

Il y a plus : ce grand Géomètre obtient la première valeur en
faisant b— 0 dans une formule qui suppose b > 0 ; et la seconde,
en faisant 067 dans une intégrale qui exclut cette valeur-limite.
La formule (A) n’est done pas rigoureusement démontrée. Mais
il est facile de rectifier la méthode employée par Poisson.

En effet, à cause de

on a d’abord

sin pe dx he = p
LE =Y Ji TE Sin px dx — > D Ant

0

ou
sin px dx p ° 1

9
e?T= === | Lkr° 1

(”) Traité élémentaire des séries, p. 115.

— 175 —

donc
Fe P PE
sin px dx A |pe+e ©
RE pot PURE NU
ef — 1 2p12 2 ne
Ù Diese

ce qui est précisément la relation (A).

II. Cette formule (A) peut être considérée comme un cas-
limite d'une formule plus générale, à laquelle on parvient aisé-
ment en partant de l’équation

démontrée par Poisson (*).
En effet, le second membre est la même chose que

© OpTE + etr-20): 8
2 ne Fat sinpedx
eTT En eT=

0

œ etr-20): + pe TE LEE
=? D | et sin pxdx
à eT? eu

0

œ

noie 2 © ex + e-(27-06)x 4
2 er sinpxdx + 2 ——— sin pxdx.
eT= e— TT

e

Lorsque 0 est inférieur à 7, chacune de ces intégrales est finie

A Te le ù (t* p
et déterminée : la première a pour valeur ( DEprer cer ; donc
ep — ep? 2p co et + e-(27—6)
— ef ———— sin px dx;
EME 2e050+ er p+(r—0). . er en
0
ou
er) + e- (7-67 ADN) p
: SIN PA dx = = —————— — ——— —. (6)
ef — À 2eP+2c088+0P p+(x —0)

(*) Journal de l’École polytechnique, 18e Cahier, p. 297.
(*) Journal de l'École polytechnique, 16° Cahier, p. 219.

— 174 —

III. Si, dans cette relation générale, on suppose successive-
ment

6 — 0, Ge O7,
on trouve :
er +e 7: GREEN
SIN pr dx = = —— Î 2 (C)
CIHAECUA DCR ANNE ENT
Ô
; sin pr dx 1e? — 1
P EP SONDE 1 (D)
T2 n 2 e°P. + 4 9 F.
e DE Des
ue AE
Treo
sinpxzdx 1e —1 1

e?7 — À 4e + A 2p

La dernière ne diffère pas de (A). Elle est, comme nous l'avons
annoncé, comprise dans la relation (B) (*); mais, à cause de

l'hypothèse 8 < 7, d'où l'on est parti, une démonstration directe
était nécessaire.

IV. Muluplions les deux membres de l'équation (B) par d8, et
intégrons à partir de 0 — 0. A cause des formules

: 6 RC o 22)
Ge 7. 6 dix — 1
& x
e
(
0 ; he 1
do 9 CEE e
AO CUP UE pl arc tg ir
e ep + 2C0s8 + e7? GLEN AL 5 5 rs 59 ;
) (AET CAC ONE
0
ds 1 p5
on mmmnnec ed CO eee À
e 2 rl pr NE 12 p° + 7(r—6)

() Celle-ci est due aussi à Poisson (mars 1867).

TS ee

que l’on vérifie aisément, nous aurons

Perf — ed) + 67e (ee 1) sin pr
= — dx
| D
€
0
12 ul
e*—e Fe ' ! p°
— arc ig Ge — arcis TR
Se MEME) °p+ tr —6)
© +e *
ou
7 0 0
pen Le ne 1 Ja
TE — 1
0
Ca Î , p3
= EN GE — arcis
aretg (= 35° arcig

p+r(r—0)

V. Soit, comme cas particulier, 0 — 7
devient, après quelques simplifications,

2® T7
__ TT
e7T7—0* +1 sinpx eP—{
re AU 0 - dx =arctg
e7 + À x e
* ji

Le premier membre se décompose en
a

_, SIN px ? sin px
en 7x : dx Ur dx .
x

D'ailleurs (*),

Sin PX
(TA P dx — arts :
X T
(A
0
donc
PE Tz
er tNsInnre 2p : et — 1
Aa rue dx = arcig — — urctg —
e CAC CE T P + A

(‘) Journal de l'École polytechnique, 16° Cahier, p. 220.

(E)

= la dernière formule

je = iQ à
P+1 2p° + T

— 176 —

Ar
in
(ARE D | Z
& ———— dx — arc cot |e°).
0

er +AÂ x

VI. Si l’on prend les dérivées des deux membres, par rapport
au paramètre p, l'égalité (F) donne

© cos px dx 2x & G
Lx rm hpt er +1? C)
CNET EU)

0

et, en supposant p = 0:

formule presque évidente.

Sur la sommation de certains coefficients
hinomiaux. (18G1) (‘).

XEVE.

I. ProgLème. — Dans le développement de (1 + z)", on prend
les termes de p en p. Quelle est la somme de leurs coefficients ?
(L'exposant » est supposé entier positif) (**).

Représentons par So, S3, …, S, , les sommes dont les premiers
termes sont

m mm — 1)... (m— p + 2)

1:22 (pb 4)
Soit 0 une racine primitive de l'équation

8P— 1 —0. (4)

(‘) Extrait des Vouvelles Annales de mathématiques, t. XX.

(‘*) Un jeune Géomètre, M. Haton de la Goupillière, a résolu la même
question pour le cas d’une fonction quelconque. Néanmoins, à cause de la
simplicité du résultat exprimé par la formule (C), j'ai cru pouvoir le faire

connaitre.

— 177 —

En remplaçant z, successivement, par 0, 02, …, 6°, nous aurons,
en vertu de cette équation,

(A +0)" =So+ S0 +. + S, 077!
(+6) —=S,+ Se +. + S, pt),

(2)
(1 + GE) — S + S,eP-! ER ToD ns SPC Rite

A+A} =S+s +. +s, a.

Il. Pour tirer, des équations (2), la valeur deS,, il suffit de
les ajouter membre à membre, après avoir multiplié par 07“ les
deux membres de la première, par 0-* les deux membres de la
deuxième, ete. En effet, le coefficient de S,;, dans l'équation
résultante, est

ARS ACER CES ET à

attendu que £’ et k, étant inégaux et inférieurs à p, 6° est une
racine primitive de l'équation (1).
Par suite,

)

CA

PS = (1 + 6)"0 (A + DPPMOT UE + (A + GP)MOT PE

IT. Soit maintenant

0 — cos p + V/— 1 sin; (4)
d'où
| Loi
1+0 —2cos -@.e? ,
2 2ov=
1 + 0— 9 cos 0. e?? ,
2

p P?
EMI IQ RCE

La formule (3) devient

COS" — Auot ne ne (-s)pv
PSE 2
As + cos" Le. AE

— 178 —

Par conséquent :

7

VA m 2 m
COS" — COS D a g + cos” — p cos 2 Sion D

S; = 27 È A
ne .P m (4)
+ ne GO Su en? SOU Go

(B)

ADAUEN ANTEEM
ie + cos SP Snpls—k p.

IV. Très souvent, l'évaluation de la quantité entre parenthèses,
dans la formule (A), est plus compliquée que la détermination
directe de S,. Mais, par cela même, l'égalité (A) peut être
regardée comme représentant cette quantité. Pour plus de sim-
plieité, posons

m—2k= 9,

et rappelons-nous que

27
P = ;
p
nous aurons
T T 27 T DT T
COS" — COS Q — + COS” — COS 2q — +. + COS" pes COS pq — — _ Sy (C)
D P p P il (DE
Par exemple,
AA TE 927 107 3 3 :
COS? — COS — + COS — COS —— + COS’ 7 COS Dr — — (7 + 55 + 1).
5) 6) 6) 9 7)

V. Sik+ p surpasse m + 1, la somme S, est composée d'un
seul terme, égal à C,,,; done, dans ce cas,

Tr T 27 T mPT T
COS" — COS q — + COS” — COS 2q — + +++ + COST — . COS PQ —
p p p
p m(m—1)….(m—k+i)
Te TOR

— 179 —

Soient, pour fixer les idées,

TS D AMOR SN QT

BUT 7r je 97 dur JE 37 A7
COS CDS COS COS cos ec OS
11 41 41 11 11 41
b 11
+ cos 7 COS 7r — Re 286.

4

XEVHE. Sur le Théorème de Fermat. (1861.)

I. A la page 4 du Mémoire de Legendre (Académie des
Sciences, 1862), on lit :

« p" est divisible par x + y. Par une semblable raison p" est
diisible par y + z et par z + x. Donc » étant un nombre impair
quelconque, p" sera divisible par le produit

» @+yl(y+z)G+ax)()»
Dans sa démonstration, Legendre à égard à l'équation
Lt HY + 77 = 0, (1)

dont il s’agit de prouver l'impossibilité, x, y, z étant des entiers,
positifs ou négatifs; donc il ne peut être question que de divi-
sibilité numérique. Or, rien ne prouve que les nombres x + y,
Y+z,z+ x soient premiers entre eux, deux à deux; et, par
conséquent, la démonstration laisse à désirer. On peut la com-
pléter comme il suit.

Dm y 27 —P

est divisible, algébriquement, par les binômes x + y, y + z,
z+2. Done, ceux-ei étant des quantités premières, P est divisible,
algébriquement aussi, par le produit (x + y) (y + z) (z + x).
Si l’on remplace x, y, z par des nombres entiers quelconques,
le quotient Q deviendra un nombre entier ; et, si l'équation (1)

(") Le Mémoire roule sur l'équation æ7+-yr+2"—0; p représente &-+-y+7.

— 180 —

est vérifiée par les valeurs attribuées à x, Y, z, p” sera divisible,
numériquement, par (x + y) (y + z) (z + x). D'après le Théo-
rème de Fermat, non encore démontré, l'équation (1) est impos-
sible en nombres entiers ; donc a, b, c étant des nombres entiers,
(a + b + c)" n'est peut-être jamais divisible par

(b + c)(c + a)(a + b).
IE. On peut se proposer de connaitre le quotient de P par

+ y) (y + 7) + x) (1.

Soient
P—(x+y)Q, Q—(y+z)Q, Q'—(z+ x)Q”".
es Gr D vrr Ra VAEEAU
4° DE te Pr Vie Le POP A ARS
x + p — 2 x+Yy
ou

Q= pt + zp + zip +. + 2"!

Re. (nes SE Lun us YÉL SP RTE a):

2 La première ligne, divisée par y +z=—p—%x, donne
pour quotient

n—3

p' + (a+) po + (a+ 2x +2) pts + (a ga es +7),

et, pour reste,

n—2 2 5

Qt pe gr? 4 gas + + al,

Par conséquent, si nous représentons par H,(x, z) la fonction
homogène
a? + 2x7! + 2x +. + 21,
nous aurons

Q'= pp" + H(x, z)p" + (x, z)p" ft + + + H, (x, 2)

1 : DUR:
D [yat (ya) (pa — (gr,
y+z

(‘) Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons n impair ct plus grand
que 5.

SE —————

— 181 —
ou
Q'= pp"? + H(x, z)p" + Ex, z)p"f + + H, (x, z) |
a (yat y — ra
— (gr Se AY TS + — 7),
5° Le quotient de la première ligne, par x + z —p — y, est
p" 5 + Hip + Hp + 2 + MH, 5 (0);
et le reste :
Ye + Hix, 2) y" + He, 2) y" + + + H, (x, 2).

Donc

Q"= p'+ + Hip" + Hp +... + H

n—5

+

Lu + Hi(x, 2)y" + H(x, 2) y ++ (x, 2)

TX +Z
HD — (y — 2) a + (y — y + ga —

dE à. (CEE LES EU an ZE CRETE ze).

Les fonctions

Hit a) x 7 0H:(r 7) = zx 7 Tr C7,

H(x, z) = 2° + zut + 20 + 2x + 2x + 25, …,

sont divisibles par x + z : les quotients

2 m2 4

À NME: nebes PO NE SR PL Qt TR

sont des fonctions homogènes de x?, z?; par conséquent

HE; 5)
Q'= pp + Hip + Hp +. + NH, ;
+ Y 5 + Ha, 2°) + (a, 2) y + ce + H, (x, 7°)
on
|

L+Z

Lu? + Ha, 2) y + Mix, 2) y + + H (x, 2) y
HA — (y — 2) a + (y — yz + a —

SEEN (ur Lu ATP 2 LATINE RETRAITE 2 IE

(”) lei, H=x+y+z, Ha +y +2 +yz+ 2x + ay, etc. Voyez,
sur ce point, la Note XL, p. 155.

— 182 —

La première ligne entre parenthèses, ordonnée par rapport aux
puissances décroissantes de x, devient

Ya ya + (ya paye pra" (yet za
+1 gi +Y rt 5 SA y" te + y" 2;

done la quantité entre parenthèses égale

+ sas + (y + za (gx + 2) + (y + Visit) 2) Cine
—+-

Z:) x"? D SIRET Le Yu ne OT a q gt
c’est-à-dire

nr A (UE 7) (ur) act EEE (A) en
2

+ (y, 2) za + zH, (y, 2).
2

De là résulte

Q” Se Pa ne H,p"-" ae Hp"—° is 1, _;

+ GATE se H,(x”, 2°)" + H(x°, z°) ie

+ 25 + (y, za + Hey, za ++ H, (y, 2°);
TER

ou, plus simplement,

Q" = pp + Hip + Hp ++ 5 + 2H, :(2, y z) (5)
2

En effet, chacune des deux dernières lignes, dans la formule (4),
représente la fonction homogène de x?, y?, z?, du degré n — 5.

IH. Comme application, prenons n —7 ; nous aurons

9

7 y té fl

X+Yy+z) —2 —y —z
CRE RE in re nm Q —=(x+y +2) + (x +y+z)(x +y+2)
y + DE + +)
+ (a+ y ++ yz + ax + xy)(x + y +2)
(a+ +2 + yat y + ra + rx + y+xy +xyzNx+y+z) (6)
Hat + gé + gt + pe + ya + 2x + 22° + dy + x y

2 12 2 n 20) 22 2n 12
+ Yz + Var + za y + Y'a + ZX + d'y

+2 (at + y + 2f + et + 2x + x°y).

Mes un

IV. Divisons, par y + 7, le polynôme entier Q”; représentons
par À le quotient et par à le reste, de manière que
(+ y+z) — x — y" — 7

(y+ z)(z + x) (x + y) —=A(y+z)+a. (7)

La règle ordinaire donne
x"! FE: gi
Ce
a — 7°
Conséquemment,

Q" (x: ae LA — À (y + z) (x? NE z°) +n (arme Gr LEE
et, par une permutation tournante,

Gr) eu) nie

CES LT pes),
Q"( — x) = Ce + y) (2 — y) + nat — y.
Ajoutant ces trois égalités, nous trouvons

A(y + z)(x — 2°) + B(z + x) (y — x) + C(x + y) (7° — y7) = 0.

Les deux derniers termes sont divisibles par x + y; done A
est également divisible par ce binôme. Autrement dit :

Le polynôme Q" n’est généralement pas divisible par y +7;
mais, À désignant le quotient entier de Q” par y +7, À est
divisible par y+x. De même, le quotient de Q"” par z + y est
divisible par z + x; le quotient de Q” par z + x est divisible
par z + y; etc.

V. Sin est premier, tous les coefficients du polynôme
(x +y+z) — x — y" — 2"

sont divisibles par n; et, d’après ce qui précède, il en est de
même pour les coefficients du polynôme entier

(x +y+z) — x — y" — 27"

()

(y +2)( + x) (x + y)

() Le dividende et le quotient sont supposés développés suivant les
puissances et les produits de x, y, z; sans quoi la proposition n’aurait pas
de sens.

— 184 —

On vient de voir que le polynôme A est divisible par x + y.
L'égalité (7) prend done la forme
(x+y+z) 2x" —y"—2" gl gl

(y + 2) (z Ra 6) (x <= y) Fe Mn —=n(y+2)\(x+y)p(x, y, 2); (8)

m2
o(x, y, Z) étant un polynôme entier, à coefficients entiers.

Dans l'exemple ci-dessus, le second membre de l'égalité (6),
ordonné suivant les puissances de y, devient d’abord (*) :

2yÿ* + 8x + 2z)y° + 12(x + 2) y° + 8(x + 2) y + 2(x + 2)
+ Yi + (x + 2)yf + (he + az + hp + (x + 2) (527 + Lxz + 52°)y
+ a+ 502 + bar? + Sax + 2!
+ Y + (x + 2) + (2x + 5x2 + 22°)y + (x + z)(2x° + x2 + 27°)y
+ af + 2a°z + 2x°z° + One + z7f |
+ SY + (x + 2)y + (5° + xz + 52 )y* + (x + 2) (2° + 2°)y

+ 9x + az + 5x°z° + x 2° + 32!
Si, de ce polynôme, on retranche

PR a gui
D ————— —= 17 (af + 2° + 2°),

on trouve
7ÿ + 1h (x + 2)y° + 7(52° + Dxz + 57°)y°
+ 7 (x + 2) (22° + 5xz + 22°)z + A4xz (x? + 27 + 2°).

Ce nouveau polynôme, abstraction faite du facteur 7, est le
produit de
Y° + (x + z)y + xz
par
Yÿ + (x + z)y + Q(x° + x2z + 7).
Donc, dans le cas particulier considéré,

px, y, z) = y + (x + 2)y + 2(x° + xx + 7°).

(‘) Pour plus de clarté, nous isolons, pour ainsi dire, les diverses par-
ties du développement.

— 1385 —

VI. Si x, y, z sont remplacés par des nombres entiers, la
propriété (8) peut être formulée ainsi :

(a+b+c}—a"—b"—c". a —c"

= JT - (a+b)(b+c) (). (9)

n(b + c)(c + a)(a + b) Mia
Exemples :
15—55—55-75 5—7 759 575— 943 —5 125—16 807
2e PESTE PA _ —(9+49)
b.8.10.12 5°—7° 4 800
739 200 4
= 58 — 154 — 58 — 96 — DIT [(5 + 5)(5 + 7].
X 800
De même,

470 859 575 — 2 187 — 78 195 — 895 D45
169 955 520

— — 9 995 — 953 ) = . 90.
GET 9 995 — 953. 96 — NU. 96

XLVIII. — Sur l’équation du troisième degré.
(4861) (”*).

I. En désignant par A, la somme des puissances n°"* des
racines de l'équation
x + px + q = 0, (4)

on a, comme l'on sait,
A, ER PA,» Te QAy-3.
à partir de n — 5. En même temps,
A = A, = 0, Aa — — 2p.
(‘) Dans la première édition, par suite d’une erreur de copie, le second

membre est, fautivement, MC (b + c) (à + c).
(**) Comptes rendus, t. LIV, p. 659.

— 186 —

II. Si l'on forme successivement les valeurs de A3, A4, Ay, …,
on trouve bientôt qu'elles sont comprises dans les deux for-
mules

AC (2k + 1) Lot (En à : ct 5 reg
(E—5)(k— 4)(k—5)(k—6) ..
AN TU Se MU G)

DS RTS
PIÉRIES SRE ten
DD. 4.1 D 10:07

(ke Fer 8) (k — 9) pq + | ,

st k—2 . (k—5)(k—4)(k—5)
Dh eo | Su dinar orne ven ot
4
Den Eee k-9 6 : “
ETC PE AE
dont la vérification est facile (*).
LIL Le cas particulier de ee 1, qg— — 1 conduit à un
résultat curieux.
On trouve, en effet, à cause de
A, = — RES + Anse (5)

_Ae—— 2, AE—5, —2, A3 —— à, As—1, A;—7, As—=6,

As — — 6, A0 — 15; A —10, A—.-—10".

Ainsi, au moins jusqu'à une certaine valeur de n, le nombre
entier À, est ou n’est pas divisible par n, suivant que n est ou
n’est pas premier. Au moyen de la formule (5), on démontre
aisément la première partie de cette proposition.

Si la seconde partie était également démontrée, on aurait un
criterium, analogue au Théorème de Wilson [mais incompara-
blement plus simple (**)], pour reconnaitre si un nombre est
premier où non premier.

(‘) On doit prendre les signes supérieurs si Æ est pair.
(‘*) Les valeurs de A, croissent très lentement : A,,—5, A,,——26 924.

— 187 —

IV. Si l’on suppose p = — 1, q — — 1, on trouve des résul-
tats analogues à ceux qui viennent d’être indiqués :

AD À; — 3, A2, AE), AD; = A3—10,
A, = 42, Au —= 22 —= 11 . 2 A, —= 29% As — 59 —15 2.

Addition. — (Juillet 1866.)

V. Quelque temps après la publication de la Note précé-
dente, M. Eisenlohr (*) démontra l'inexactitude de la proposition
que j'avais énoncée sous forme dubitative. Malheureusement,
M. Eisenlohr prend, pour point de départ, l'équation

D ALEE ALEaane

m 1m

A, Er Am
G se Are TRE À, _3m ,

qui n'est nullement évidente : la démonstration proposée est donc
incomplète (**).

Les choses étant ainsi, j'ai cru nécessaire de continuer,
beaucoup plus loin que je ne l'avais fait, le calcul des sommes
désignées par AÀ,. On verra, par le tableau suivant, que A2 est
divisible par 121; donc A, peut être divisible par n, sans que n
soil premier.

(") Comptes rendus, t. LV, p. 64.
(”*) Je n’aflirme point qu’elle soit fausse.

— 188 —

Sommes des puissances n°"* des racines de l'équation

2 + x — 1 —0..

_

61.5 751
870 2|— 117 647
5 65 | — 255 065

1 257 64 546 458

879 65 157 418

1270 66 | — 601 525

57.98 67 67.5 120

598 68 753 941

5 416 — 810 565

1 749 — 529 901 100

41.95 71.219284 |101
— 5 165 280 662 102 579 541 154
— 45.48 15.28 485 | 105 105.6 281 879

8 978 1 850166 |104 |:

5 101 1798743 |105

11 042 5 909 571 106

47.257 51 425 107

5108514 |108
— 79.149886 | 109 109.5 587 656
— 5 676 891 110 2 700 182 879

9649508 |111 949 800 289

1755897 |112 3 509 255 203
— 85.184 655 | 115 | — 115.52 500 756

7915411 |114|— 9359 454 914

17 062 096 | 115 6 959 218 571
— 25 259 610 | 116 | — 1 290 548 254
— 9148685 |117| — 95318 653 285

40 501 706 | 118 8 249 766 625
89 | — 89.158 325 | 119 8 028 105 051
90 | — 49 450 591 | 120 | — 17 568 419 910
191 121.1 851 914

O1 19 =

O1 19

CSS
O1 O1 O1 O1 QI O1 OI O1 Oo!
TD 1 OO © À&

©
(en)
©

re à
= =

CS
19

> + > =>
O1 NO = © © © 1 oO

[ss
QI

CSS
XX À

&

IEC OT TR OIMOMeR

1
(+)

19 —
>

_
OT & 9 1
= y

©
19
CO
=

D OO À = À
s «CZ a
©
CO (2)
O [=

Ô1 19
LL NW
D O1 1
CU

Cr
© S

(or)
Co
Fee

C7
|
O1

[en]
|
e2)

19 1O t1Q 19Q 19 19 9
2 À
©
à
(o2)
[ep]

1
! © ©
D © À OO 7 OO!

19 19
co
© © to ©
= € À
Ͼ
œ

O1

(==)

|

19 ©

— 189 —

XLIX. — Rayon de Ia sphère circonscrite à un
polyèdre semi-régulier.

(Mars 1862) (*).

Le centre O de la sphère, les centres C, C' de deux faces
adjacentes, et le milieu P de l’arête c commune à ces deux faces,
sont les sommets d'un quadrilatère OCPC", dans lequel les
angles C, C’ sont droits : ce quadrilatère est donc inscrit à la
circonférence décrite sur OP comme diamètre.

Représentons par p, q les diagonales OP, CC'; par « l'angle
CPC’; par a, a’ les apothèmes CP, C'P des faces dont C, C’ sont
les centres. Soient, en outre, n, n' les nombres de côtés de ces
faces, et n” le nombre des côtés de la face qui, avec les deux
premières, constitue un angle trièdre du polyèdre (**).

La diagonale OP — p est perpendiculaire au milieu de c;
done, R étant le rayon de la sphère circonscerite,

CRAN PERTE) c
R y di (1)

La corde GC’ sous-tendant un arc capable de l'angle «, dans
une circonférence dont le diamètre est p,

q—=psin«. (2)
De plus,

q = à + a°* — Jaa’ cos «. (3)

La formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique
donne ensuite, comme on le voit aisément,

T 27 27
COS — + COS — COS —
n ñn n
CDS GE LS (4)
MODE ME à
Sin — Sin De
n n

(*) Question résolue à l’occasion de mon Mémoire sur la théorie des polyèdres
(Journal de l’École potytechnique, 41° Cahier).

("*) Voir le Mémoire cité. Voir aussi la brochure intitulée Histoire d’un
concours.

— 190 —

C T 5
tipo ( )
C T
@ — — cot — - 6
5 er (6)

Il s’agit donc d'éliminer p, q, «, a, a' entre ces six équations.
Pour simplifier l'écriture, posons

à
à
à

ur 1, Se it (7)
Nous aurons d’abord, en éliminant a, a’ :
2
CAES c nt2 2 9 8
AC SE GNT Ep EE (8)

cos 2 + cos 21 cos 2x
COS EEE
sin 2à sin 2w

On conclut, de la dernière formule :

cos(a+p+7)cos(u+7—2)00s (+) —p) COS(1+u—»)
(sin 22 sin 2u)

sin? a — — 4

?

x COSI7nae
cot? À + cot? x — 2 cot à cot w COS a —= | —— | ;

sin À sin x
donc
€ cosy
Se
2sinAsmp
ne , COS” À COS* x COS? »
ri

COS (À + & + p)cos(u + — 2)cos (+2 —)cos (1 +p —?)

La substitution dans (1) donne ensuite

_ C2 er, COS? À COS? & COS”
Ho cos(à+ u+7)cos(u+7—2)c0s(7+A—w)c0s(2-+u—) |?

ou, par un Calcul que nous omettons (**),

R?=—
c? (COS }4-COS COS »)(— COS À+- COS + COS »)(COS À — COS y-H-C0S »)(COS }H-COS 4 — COS »)
4 cos (}+ u+v) COS(u + »— ))COS(» +) — y) COS() + —v)

(‘) Voir le Mémoire.
(”") Nouvelles Annales de mathématiques (1865), pp. 275 et 456.

MAT

EL. — Sur une fraction rationmmelle.

(Décembre 1862.)
[. Soit

A cause de

FO MN eee LS Gr ere A +zx

- Tr Ÿ)
ER eee SON dE UN Nr ES

A+ x + a ++ 7) (1 + x)

17 AE
ou
x HA ++ x"
HEC) (2)
| NEO ai
IL. Quand x est compris + 1 et — 1,on a
1 : 1 In+-2 3n+3
j = = 1 SRE xt 2 E- x? TER xt Nes 5
4 + TX
donc
p=e
y= 1 +2 D (24): pa + a + ue) (5)
p=0
Par exemple,
A+ x + x° + x°Ÿ) he D
= =: - L —1+9Y (— 1} | Pete ati arts,
+ +at+x
P—

ou

(+x) (1 +x°)

; 1 +2 [eat t-atrranattat (4)
+ x

ce qui est exact.

— 192 —

III. Si, après avoir multiplié par dx les deux membres de
l'équation (5), on intègre entre 0 et 1, on trouve

P—2 (| 1 4
à piste Ci] - re tene en) (5)

(p+1)(n+1)
D'un autre côté, l'égalité (2) peut être écrite ainsi

D PU io on 9
Net TEE pen ar 1 + a"?
donc

e 114 x+ x +e A,
ydx=1+2
0

da _ Le —_—_——
À + D'RARMRREE =
0

En vertu de la formule

due à Euler, on a

A++ ++! T 1 1 1

2 ——\lx= — = he

1 + ar! n+Ai| . 7 .… 2r nr

Sin =— sin
0 n+1 n+1 n+1
On a aussi.
UGS P=c 1
= er
: 1 + xt 0 (n+1)+1

Par conséquent,

! T 1 | 1 ù
ydx=A + — LE PR IEEE RE 7
n+A| . T 27
5

. 1 e nr
sin — sin Sin ——
n+1 n+i n+1 |)(6)
9 SN À
+ AO DNS — 1 :

HE 22, een |

— 195 —

Égalant les valeurs (5) et (6), nous trouvons

Pre 1 il 1
2, 15m us pee 7 pre ï
entente Au ta) nee Ju)
A{n+1) LT 27 a n+!
 n+1 n+ 1

à NE 1 : AC 2 COR | 16, Pat 1 1 |

LE Rene H=+—+— + ——
ST spot 100 A 10
1 1 1
= + + = ne,
8 T Mir 97 k
SIN — SIN — Sin —
9 7
ou
1 ot 1 Une 1
sn er nn OV De PONTS
OMR sue à ) Res 1)

IV. Si, après avoir mis la fonction y sous la forme

( EL — À ARS x° | EU x"+! | ne, Â ve x"+1 LEEDS x"+2?
D Te

2n+-2 a an 1 RU El 1 n+ 1 ; n+2 ?
À — x — X 1 + x œ — X + AA

on prend la dérivée, on trouve

k (A + x) [A + 2 + ù ++ à —(n + 1) x°]

= 2 ————————.

(A — x) (1 + x")

Le polynôme entre parenthèses est divisible par 1 — x; done,
Q représentant le quotient,

nn o)
Écrivant ainsi le polynôme dividende :
(a+) — x") — (1 — à) — (A — 2) —— (1 — x),
on a, immédiatement,
Q=(n+1) (lex ++ at) — (fx) — (A + x + x + x) | (10)

(+++ tn) — ce — (naar), |
15

— 194 —

ou

2n—4

Q—(1+ x) +2 (0° + 2°) +5 (a+) + — 2 (x + g—5)

qi (ua ot ra) (

(1)

V. Malgré la complication du polynôme Q, on s’assure aisément
qu'il ne peut admettre, comme diviseurs réels, que 1 — x et
À + x ().

En effet, de

(— x) Q = 1 + 2 + x ++ 2 — fn + 1) x”,
résulte
A—x) (A —x)Q—1— 27" — (0 + 1)a + (n + A)a;
et l'équation
Or) LR EU) TN EM) 00 (12)
n’a pas plus de quatre ou de six racines réelles, suivant que n
est impair ou pair. Or, dans le premier cas, o(x) est divisible

par (1 — x)5 (1 + x); et, dans le second, © (x) est divisible par
(1 — x)5 (1 + x)5; etc.

VI. D'après cette discussion sommaire, la fonction y a un
seul maximum, répondant à x — 1, et dont la valeur est n + 1;
elle a aussi un seul minimum, répondant à æ — — 1, minimum

l . . .
dont la valeur est 0 ou —— , selon que n est impair ou pair.

(‘) Suivant que n est impair ou pair, la partie centrale du polynôme est

n +1
2

(Ga ne æ")

ou

n n
_ (mn—2 n—1) = (y a+ 1
5 (arm DE) E (æ" + )

Dans ce dernier cas, le polynôme est divisible par À + x.
(*) D'après la formule (40) : 4° Q est toujours divisible par 1—x; 2 Q est
divisible par 1 + x quand n est pair.

— 195 —

LE. Sur les normales à ume surface.

(Janvier 1865.)

[. Dans le Journal de l’École polytechnique (58° Cahier),
M. Abel Transon démontre ce remarquable théorème, dû à
Sturm (*) :

« Soit AN la normale d’une surface au point A; toutes les
» normales, relatives aux points voisins (**) de À, rencontrent
» les deux droites élevées perpendiculairement à AN dans les
» plans des deux sections principales et par les centres de cour-
» bure de ces deux sections respectivement. »

Si l’on remplace la surface S par l’ellipsoïde osculateur en A,
et si l’on considère la section s de cet ellipsoïde par un plan
parallèle au plan tangent en A, et infiniment voisin de celui-
ei (***), les normales en tous les points de s rencontrent les
droites dont il vient d'être question. On peut se demander si,
la section s étant située à une distance finie de A, la même pro-
priété subsisterait. Et comme on peut substituer, à l'ellipsoïde, le
cône droit circonserit suivant s ("), la question revient à celle-ci :

Les normales à un cône droit, à base elliptique, menées en tous
les points de cette base, rencontrent-elles deux droites fixes ?

y

S

IL. Prenons, pour plan horizontal de projection, le plan
même de la base du cône; et,
pour plan vertical, celui de
la section principale as'b. Les
traces du plan tangent en un
point quelconque (#, m') de
la base sont la tangente mt
et la droite ts’. Par suite, la

(‘) Comptes rendus, t. XX, p. 1241.

(”) Lisez : infiniment voisins.

(°**) La courbe s est l’indicatrice de S, pour le point A.

(*) La courbe s est dans un plan parallèle au plan d’une section prin-
cipale de l’ellipsoïde.

— 196 —

projection verticale de la normale est m'n', perpendiculaire à 45’.
Les triangles sm'r', ss't sont semblables ; done

ms TS

= — >;

,

ss st
ou
MIS SL —ISSE US.
Mais, par une propriété de l’ellipse,

——
m's.st— as = 4;

donc
12 a”
TS — PL
ss
ou
a?
TS — —) |
; (1)

h étant la hauteur du cône.

La distance r's étant constante, il s'ensuit que les normales
rencontrent une droite fixe, projetée en r’. Si l’on avait projeté
sur le plan de profil s'sr', on serait arrivé à une conclusion
semblable. Ainsi :

Taéorème 1. — Les normales à un cone droit, à base ellip-
tique, menées en lous les points de cette base, rencontrent deux
droites fixes À, B, perpendiculaires à l’axe du cône, et respective-
ment situées dans les deux plans principaux.

IL. D'après ce qui précède ($ 1), cette proposition peut être
ainsi généralisée :

Taéorème I. — Les normales à une surface du second degré,
en tous les points d’une section parallèle à l’un des plans princi-
paux, rencontrent deux droites fixes, perpendiculaires à l’axe
principal correspondant, et respectivement situées dans les deux
autres plans principaux.

IV. Revenons au cas du cône; appelons «, Ê les distances des
droites À, B au plan de la base. Nous avons, d’après l'équa-

tion (1) :

190

Si « est pris arbitrairement, il en résulte

a? b?

et, par conséquent :

TuéorÈme HIT. — Si les normales à une ellipse rencontrent une
droite fixe À, parallèle à l’un des axes, et située dans le plan
passant par cet axe, perpendiculairement au plan de la courbe,
elles rencontrent aussi une droite fixe B, parallèle au second axe,
et située dans le plan passant par cet axe, perpendiculairement
au plan de la courbe.

V. L'équation du lieu des normales à la base du cône est

DA by?
se RE

(a? — hzŸ F (D)

Cette surface gauche, qui admet deux directrices rectilignes,
° . . . , Q Q ab
admet aussi deux sections circulaires, déterminées par z = Æ +:

Addition. — (Avril 1867.)

VI. La dernière remarque démontre les propriétés suivantes :

Tuéorëme IV. — Les normales à un cône droit, à base elliptique,
menées en tous les points de cette base, rencontrent deux circonfé-
rences fixes, ayant pour axe commun l’axe du cône.

THéorèMe V. — Les normales à une surface du second degré,
en tous les points d’une section parallèle à l’un des plans princi-
paux, rencontrent deux circonférences fixes, ayant pour axe
commun celui qui correspond au plan principal considéré (*).

(‘) Ce dernier énoncé, pris à la lettre, est en défaut dans certains cas,
dont le lecteur fera aisément la discussion. Par exemple, les normales à un
paraboloide, en lous les points d’une section parallèle à l’une des paraboles
principales, rencontrent une droite fixe.

— 198 —

LIT. — Lieu géométrique.
(Mars 1865.)

En un point quelconque M d’une ellipse donnée, on mène la
tangente TMT", la normale MN, puis les cordes MP, MQ, bis-
sectrices des angles NMT, NMT'; puis encore les tangentes PS,

QS en P, Q.
Quel est le lieu du point S ?

I. Supposons, pour un instant, que le point M soit fixe; pre-
nons MT pour axe des abscisses, MN pour axe des ordonnées :
l'équation de l’ellipse sera

AY + Bxy + &° + Dy — 0. (1)
Le système des droites MP, MQ est représenté par
y — 2x —0. (2)

Ajoutant, et supprimant le facteur y, on trouve l'équation de
la corde PQ :
(A + 1) y + Bx — D —0 (*). (5)

Soit R le point où PQ rencontre MN : d’après l'équation (5),

D
MR — -——.
A+
IT. Pour trouver les équations des tangentes PS, QS, il suffit
de combiner, successivement, l'équation (1) avec

y—2)=0, (y+ a) =0.

(°) C'est ainsi que Terquem démontrait le Théorème de Frégier : Si un
triangle rectangle PMQ est inscrit à une conique, et que le sommet M de l’angle
droit soit fixe, l’hypoténuse PQ passe par un point fixe R, situé sur la nor-
male en M (Nouvelles Annales, t. II, p. 186).

— 199 —

On obtient ainsi :
(A—1)y + (B + 2) x — D — 0, (4
(A — 1) y + (B—92)x— D—0.

RS
id
LE

Ces deux équations sont vérifiées par

Eye

done les tangentes PS, QS se coupent sur la normale MN.
De plus,

et, conséquemment,
NS re
MR MS MN

Cette relation prouve que (les points R, S divisent harmoni-

quement la corde MN.
En effet, PQ est la polaire de S.

IT. Rapportons l’ellipse à son centre et à ses axes; puis
cherchons le lieu du point R. Il est facile de voir, par le Théorème
de Frégier, que ce point est situé sur le diamètre M'M” conjugué
de OM. On a donc, simultanément :

ay" + bx° — a°b°, (6)
M
SOEUR 7e 7
T°? (7)
x'y — Lay — cxy. (8)

D'après l'équation (7), le lieu du point R est une ellipse sem-
blable à l’ellipse donnée. Éliminant x et y, on trouve

(9)

IV. Le point S étant l'intersection de la normale en M avec la
polaire de R, il faut, pour trouver l'équation du lieu cherché,

— 200 —
éliminer x, y, x', y entre les équations (6), (8), (9) jointes à
day — b’Bx = xy, (10)
dy + bx'a = ab: (11)

dans celles-ci, «, Ê représentent les coordonnées de S.
On satisfait aux équations (6), (8), (9) en prenant

ac? 2

D :
CoS®, 7 D corn E.

e !
X—4aC05®, y—bsinyg, r— Ext

Ces valeurs, substituées dans les équations (10), (11), les
transforment en

ax sin © — bB cos o = c* sin p cos o, (10)

ab (a + b*)

ba cos @ — ab sin o — = ; (11)

C
et il ne reste plus qu’à éliminer o.
V. Soient, généralement, les équations

A sino+ B coso—Csinocosy, (12)
A sin o + B' cos o— C'. (15)

On peut les remplacer par

C'— B'cos o B cos o C’— A’sin o Asin®
A’ | Coeosp—A B' _ Csno—B

ou
CB’ cos © + (BA’ — AB’ — CC”) cos + AC’—0,
CA’ sin°@ + (AB — BA’ — CC') sin o + BC'— 0.

On conclut, de ces deux-ci,
— B'(AB' — BA’ — CC) sin o + A’ (AB’ — BA' + CC') cos
AAMPIBE)CT CAE
ou, pour abréger,

P sing + Qcoso — R. (14)

— 9201 —
Les équations (15), (14) donnent, immédiatement,
(B'R — C'Q}° + (C'P — A'R} — (A'Q — B'P};
c’est-à-dire, après quelques réductions,
(A+ B°?)[(A?+ B°) C'?— (AB'— BA'}]

+ 2CC' [AB'(B°? — C?) + BA’ (A? — C*)]

(15)
CAE c) BEC 10;

VI. Dans la question proposée :
AG NB RO E NC.

b(a° + bd?
Aa, B'— — ab, Roi

c°
en sorte que l'équation du lieu décrit par le point S est :
(a°8° me ba) [(a? + b’} (a°? 2 b°e°) Lun PE (x? re gÿ]
+ 2 (a? + D?) [ct(a*g + bat) — ab? (@? + D) (cé? + 8] ( (6)
+ [eg — 6? (a? + D?) ]Lcte? — à? (à? + b)] = 0.
VIL Si l'on veut construire la courbe par points, ou en faire

la discussion, il est plus simple de résoudre les équations (10),
(12) par rapport à «, 6. On trouve :

a coso (a? + D?) D? — c'sin* o
a —= ————————
c b?cosp— a sin*o
b sin @ (a + b°) a — c cos’ @
© bcos ® — «sin
LIIL — Quelques intégrales définies.

(Mai 1865.)

I. a étant une variable dont le module est inférieur à l’unité,
soit

ou, ce qui est équivalent,

| 1 ni | | | |
A—a 41+a 79 So

Soient ensuite :

— 202 —

x—4 Â x?
nrmee ei
is AE
fe 1+a ou 29+ a
d'où
dy
dx

et, par conséquent,

1 “ d
= f U+a Rene

0

 1
È le =
2+a)/ 5\5—a 35+a

+) nage). (2)

AIME
= Sn
RETEE
See nt

— x 4! « + X), 2 LE LA + x);

On a d’ailleurs, par une formule connue (*),

(a) —

donc

0

ar

dx

VAT + X) = ton

2a° \sin ar

(5)
— 1) : (4)
et

II. Multiplions par ada les deux membres de l'équation (A),
et intégrons à partir de «a — 0. A cause de

[er (CHE)

0

a
ada = ——

fax

(ir De

(*) Traité élémentaire des séries, p. 115.

— 905 —

et de
y o ar
torse
| rda = ë )
Sin a7 RS TE ar {
0 2
nous aurons
1 ar
Pat) — ( 2) de NS 0
a Sax — x") — (x + x — œ
NN EE OO Ib
Ex ne CE
6 2

III. Si, dans les relations générales (A), (B), on suppose a—;,
on trouve, en changeant x en x? :

1
fissure, (C)
0
(1 — 1) —
70 x) [(x + IRRETAE 64 à «7 de =2£T.
@ Lx)
IV. Ces mêmes relations deviennent, si l'on y remplace a
Dana le

0

- |
D: Ë . | ï Ë . eue

; (Lx)

7 _or (F)
| 8 COEeRE
dE 4 a ATX ur:
réa [e + € :)
Q |
Donc, en particulier,

D: x x |
ne pren L* 7 7

LOT GÉANT ef —e }
pe Cia {= > —. (G)

Fa 0e)

V. Enfi

aisément à

I Has

0

— 204 —

n, la combinaison des formules (D), (G) conduit
celle-ci :

— Lx cos Lin 7 al (es tx]

0)
(1+x°)dx
(x fx) \
T T
CRETE
=—,9 1e = .
DS EN AN E

Addition. — (1875.)

VI. Des formules

9

A + a

on déduit,

1 1 1 (MEET TRES l 5)
RATE ONE er er

1 1 il 2a7
ASE Noa 7 7 2% É a

par addition et soustraction :

1 1

z [eT+eT— 9
= + = : = — | —
1: 9 + a° 25 + a 4a CCR
| | il ‘| een 7 9
: = + - +e——|ar — 2 |;
+ AG+a 3614 La? ET — T7
ou, plus simplement :
il 1 | T 12 4
Ep tnt Er (x)
= JEPG Deer 4a eT + 1
| | 6 x 67 + A 1
+ + - : = xs D
k+a 16+a 56+a La e°7 — 1 2a

(‘) Traité élémentaire des séries, p. 115.
(**) Les égalités (5), (L) ne différent qu’en apparence.

— 205 —

VII. Lorsque a — 1, la relation (K) devient, à cause de la
formule de Leibniz,

il | il 1
_— À — — —
eT —1 DA PI 2 60
eT +1 1 il
l—— + — + — +
9 is)

Conséquemment,

1 1 1 1 il Î 1
A+ —{=——)+ ls) — = ——) +
2 Pal) D 26 F0)
1 | 1 1 1 1 dl
A ——l— {+ —)+l=——)— + =) +
2 SH 10 5 26 7 50

VIII. Des relations (K), (L) on conclut encore, en suppo-
sant a— 1 :

T° Re EE 1 1 1 1 1 k
rs + ere ++ =+:)0). A
D AT AS. MO MR260ENS0

Autre addition. — (Février 1881.)

IXY A cause de la formule, presque évidente,

Fe Â
sf e="* sin zdz — =?
A+rm

| 1 | | CITES
stat f - dz(®)
2 à) 10 17 ; e — 1!

0

on à

Mais cette série numérique peut être représentée par une
autre intégrale définie.

Posons
2 5 aq'° 17
FO Ter HE N
2 D 10 17
égalité d’où résulte :
du
a dd 4 He.

#

(‘) Si l’on effectue, chaque terme du produit prend la forme
(*) Brerens DE Haan, T. 264.

1
er

op

On à, par la théorie des fonctions elliptiques,

nt

donne

Donc, pour g—1 :

il ,9 À La do
ue RNA dq ————
a à : V4 — Ksin°o
0 0

et, finalement, à cause de la formule (5),
DE ee
V1 = Æsin’@ DE 71
9 0

LEV.

Sur une transformation de série.

(Juin 1864.)

I. Dans un Mémoire sur les séries des nombres aux puissances
harmoniques (?), imprimé à Kasan, en 1852, M. Simonoff se
propose la question suivante :

Connaissant
p(x) = A5 + Aix + Aox° + +, (4)
trouver
D = À, sin x + À, sin 2x + -., (2)
el
Q — A, + A, cos x + À, cos 2x + --- (5)
L'emploi des exponentielles imaginaires le conduit aux for-
mules :
© ev—i 15 eV
per Rite "
2
xV=1 DRE
ON ma CU, (5)
2V— 1 |

() Voir, par exemple, les Recherches sur quelques produits indéfinis.

— 207 —

Prenant o (x) — À (1 + x), ce qui lui donne

Q = £ (2 00
= : COS — X |
tale NE |
) 1+V—itgs
pe = - y,
ANRT | 2

l’auteur arrive enfin aux relations connues :

 Π1 l
—x — sinx——sin 2x + — sin 5% — — sin #%+.-. (*), (4)
2 2 6] 4

£ (260 à x) COST Hi 2x + — COS 5X — 4x + +. ("). (5)
2 2 9 4
IL. De ce développement, M. Simonoff en veut déduire un
autre, ordonné suivant les puissances de x ; mais la méthode qu'il
emploie est inadmissible (pour ne rien dire de plus); en effet, il
s'énonce ainsi :
« La dernière série nous donnera

log cos —x = — (1 — 9 + 5 — 4 + etc) —
2 102

— (Se) ——

HS EUC HUE).

Îl est facile de trouver, rigoureusement, la série demandée.

() Celle-ci a été donnée par Fourier (Théorie de la chaleur, p. 258).
(‘”") Rapportée dans mon Traité élémentaire des séries.

(*”*) Le Mémoire est plein de résultats de ce genre. Dans son préambule,
l’auteur, après avoir dit que l’équation

1—2+4—8 +... —

ot —

a l’apparence d’un paradoxe, ajoute : « Tous les analystes cependant ne con-
viennent point de ce paradoxe »; c’est-à-dire, probablement: Tous les analystes

En effet, de

on tire

On
tg a — 4 (4 — 1) Aux — 4? (42 — 1) Aux + 45 (45 — 1) Asx — +,
OIL

one D CRU NEO EES

et, par conséquent,

2 x 6

X HA
y=C—(—1)A + (E—A) AT — (8 —1) A tons

D'après l'équation (6), C— 42; donc

L 2 Fi -
— 8 oosnr) etats —1)a + (4 DA (7)

2
pour des valeurs de x suffisamment petites.

IL. Si l’on combine l'équation (5) avec celle-ei :

et que l’on change ensuite x en 2x, on trouve cet autre dévelop-
pement :

1 ie Le 1e
-- ; L (cos x)=sin*x — sin 2x + — sin? 5x — z sin 4x +. (8)
2 5

24

n’adimettent pas les séries divergentes. Il ne faut pas oublier que M. Simonoff
écrivait en 1852 : à cette époque, ur célèbre Géomètre allemand (cité par
M. Simonoff) cherchait les sommes des séries

RE re eee CE

1er eee in

() Note XXXIN, p. 92.

— 209 —

IV. La série (5) peut être rattachée à code définie

cf'$ she, Le AREr

ou

T Aa

ANR PER ea

ui mn) (9)
ou encore

C= £2+6, (10)
en supposant

dt

G= 1 — = + —— ..— 0,915 695 594.
JADND

En effet, si l’on remplace x par tg ®, on a

c=— [Lis de (11)
Mais Fe
ATEN à Pp— £Lcoso. (12)
Q

+), représentons par z cette fonction ;

Pour développer # |
nous aurons
dz @cotp—1.
RE
ou, à cause de (**)

pcotp— 1 = — #4 À; op + 4° A, of — 45 A; of +:

. 2
2 ANR ALES LA RUEAN EU Le
(9) 2 k

Et comme

1 1 1
L(cos®)— — K2+c052p— eoshp + —cos6p— + cos8p + … 2

ed
SZ

(*) Mémoire sur la transformation des séries (Académie de Belgique,
& XXXIIT, p. 52). Les formules rapportées ci-dessus datent de 1859.
(*) Note XXXIII, p. 92.

14

— 210 —
l'équation (12) devient
p q‘ A (C) \
QD) à nes BA, ——RA,— + + LPC)
j ; (15)

| | 1
— cos 2 — COS 4D — — cos 6E + — COS 8D—..-
? ms ? 5 e n ?

Multipliant par do les deux membres, et intégrant, nous
trouvons

G 4 A° () WA, ) 4 A, (°) T (") T
—— — — ———— | — —— | — |, + ee Ds Le
DEN AIT FE ñ

1 1 1 1
— —E —— — + — —
25 0 NPD. AOMTE ALT

La dernière ligne a pour valeur — 0 done

+
J ; (14)
RS |
V. Ona
B, B. B,
= 0 À, — ? A, — ,
TE Ur 0 Us. 2 LIN AIO SA TE IC

et, d’un autre côté, si l’on représente par So, S,, Sç; …, les sommes
des puissances 2°", 4%re, 62% … des inverses des nombres
naturels :

1.2 S 19052; 1.2.5.4.5.68,
B, = — —, B; — — SE), RE —9
9 T° 95 T4 95 6
donc
Sa S SG Sg
A UT de 0 ANR

Au moyen de ces valeurs, l'équation (14) devient

T7 Sa S, SG Se Z(P 9 j 3
RS 3F + HE | RETEE Es NA
162.5 zou 67e soaet | attr—£21} (5)

— 211 —

Addition. — (Mai 1867.)

VI. Dans mon Mémoire sur la transformation des séries et
sur quelques intégrales définies, j'ai donné diverses expressions
de la constante G (*). En partant de la formule (12), on peut
exprimer cette constante par de nouvelles intégrales définies,

assez remarquables.
A cet effet, j’observe d’abord que, de la relation connue

4 oo e?2z ne er 2x we
= — mu da ( Va
cos x ; eT® + ep TC

0

e?= SE eT 22 dax
re
Dre a
ï ee) ee no ; 5) dx
Lisp— ANA

D'ailleurs :

résulte

ou

donc, à cause de la formule (11):

| CAVE Car Or
G—— TR
4, CHE EN RECENT

se CEE ten OT u6
EE EE + ea c )

() Voir aussi les Recherches sur la constante G et sur les intégrales culé-
riennes (Académie de Saint-Pétersbourg, 1885).
(**) Note XXXV, p. 118.

— 212 —

VII. Si l’on intègre a parties, la fonction
et +e-*—21
epseile

s’'annule aux deux limites ; donc

gt du
= f = er (17)

ae 4 Cr œ

VIII. La constante G étant connue, il en est de même des
intégrales (16) et (17), ainsi que de toutes celles qu'on peut
déduire de ces deux-ci. Il paraît difficile d'en tirer des dévelop-
pements en séries, plus convergents que ceux auxquels je suis
parvenu dans le Mémoire cité.

Autre addition. — (Octobre 1884.)

IX. La formule (5) (p. 207) peut être écrite ainsi :

£ (200: x) — ; (— 1)" = cos nx. (18)
Il en résulte

co

1 1
2cos 2ax £ [2008 = x) = » (—1)"" : [cost 2a)x + cos(n—2ahe |
À 1

puis, en supposant que a soit un nombre entier :

2a—1

1 1
2cos2ax £(2 cos — x) = D (—1)—" FE cost +92a)x + cos (2 |
= nl

æ 1
+ » (—1 He ETES cos 2e |

2a+1

1
— — [es Lax + |
2a

og
Multiplions par dx, et intégrons entre 0 et +:

sin(ri—2a)=

x | sin(n+2a)
: 2 (2e : r) du SCA pl - + 2
2 M À %2 A n| n+2a n — 2a

0

sin(n--2a) sin(n—20)= (19)
np | n—1 Œ an ——
qi > n| n+ 24 n — 2u
T
4a

X. Lorsque n est pair, les sinus s’annulent. D'autre part,
à cause de

T à T
sin | — 24) — — sin Ê + 2a | —:
2 2
Conséquemment, si l'on pose :
in (x + 2a) = in (n + 2a) =
sin (n + 2a) — sin (n + 2a)—
2 ES | 2

S, = D A NURet So — OT)
; > n n + 2a À > ñn n — 2a (

1 1

les valeurs de x étant impaires, on aura
Æ 1 1 T
2 U 9 EE 3 EEE )
a cos 2ax QE cos : z) dx ; fs, + . es (21)
0

XI. Selon que a est pair ou impair,

r à T

sin C + 2) —— —ÆE sin n —

2 2

Donc
e FT 0 T
; sin n 3 sin # =
Le -] Le]

, nn + 2a 1 An —2a

le signe + répondant au cas de a pair. Mais ces formules peu-
vent encore être simplifiées.

— 214 —

En effet :

dl pe El 1 1 = | 1 "|
n(n+%a) Jan n+ a n(n—2a) Qa\n—2a nn!

Ainsi :
ST) ns | sin 7 —;
S=+ > -] ME i0e
puis
S, + sr > =] nn. (29

XII. La somme contenue dans le second membre peut être
décomposée en
T ; T ; T
nn — sin à — sin À —

4a—1 9 C9

2e ——Ùÿ —_—.
y N—I2a “un —2a \n + 2a

Si, dans la deuxième somme partielle, on remplace n par 4a+p,
elle devient

e T e. T
sin p — sin n —
œ 2 É 2

:
#, 2a + p 1 + 24

en sorte que la formule (25) se réduit à
fe T
Sin À —
|

SR ANR
re der 2a À, n — %a

(24)

Faisant n—1, 5, 5, .…, 2a—1, 2a+1, …, ka —1, on trouve

D 2 | 1
A PEU sy,

+ AE

— 15 —

selon que a est pair ou impair. La substitution dans les éga-
lités (24), (21) donne enfin

z jo LED E | 9 TÉNMRBR AA CAPE KDE LA EE) OTO Es)
Dh cos 2ax £ (acos sx ds Al Ts For 0 (25)
0

XIII De cette formule remarquable (**), on conclut, en inté-
grant par parties,

Z 1 AA 1 T
VRCTELAEIESSS ©}: (26)

2a —1

puis, de celle-ci :

T

z 1 2
5 [sin (2a + 2)x — sin 20 | ts 5 DOTE 27)

2a + 1
0

LV. — Sur un problème d’Algèbre légale, et sur une
transformation de série (").

(Mars 1862.)

I. D’après le Code civil (art. 757), le droit de l’enfant naturel
est d’un tiers de la portion héréditaire qu’il aurait eue, s’il eût
été légitime (").

(‘) La méthode précédente, bien connue, est applicable à la détermi-
nation de l'intégrale
T

2 > 1
“e sin 2ax £ É cs a) dæ;

0

mais le résultat est moins simple que le précédent.

(‘*) Je ne l’ai pas trouvée dans les Tables de M. Bierens de Haan.

(***) Cette formule, démontrable directement, est en défaut pour a = 0.
On en peut déduire toutes les autres.

(”) Note extraite des Nouvelles Annales de Mathématiques.

(") Cette partie de l’article 757 se rapporte au cas du partage entre
enfants légitimes et enfants naturels. Lorsque des enfants naturels con-
courent avec des ascendants ou des collatéraux, la loi a des conséquences
bizarres et même absurdes, dont je ne parlerai pas ici. (Voyez une brochure
intitulée : L’Article 757. — Application de l’Algèbre au Code civil.)

op

Soient : / le nombre des enfants légitimes; n le nombre des
enfants naturels ; x,, la part d’un enfant légitime; y, la part d’un
enfant naturel.

On a d’abord, en prenant pour unité la somme à partager
entre les ! + n enfants,

ln enye UN? (1)
D'un autre côté, conformément à la prescription ci-dessus,
1
Yin = ZE Li, n° (2)
5
De ces deux relations, on conclut aisément la formule suivante,
connue depuis longtemps (*),

1 n n(n—1) n(n—1)...3.2.1 £
a ()
U Sl+1) 5{(+1)(1+2) 3"{(l+1)...({+n)

IT. La complication de cette formule est peut-être ce qui
empêche les jurisconsultes d’obéir, sinon à l'esprit, du moins au
texte de la loi, quand il s’agit pour eux d'effectuer un partage
entre enfants légitimes et enfants naturels. Mais on peut la rem-
placer par une autre expression, beaucoup plus commode.

On a en effet

= - (1 e)Pe- "da;
Se de ee Hi
0

Lin —

: An A n(n—1) il
DAT AE EE AE 9) EE 7
VA ul: NO le rer Em 3 ( |

d’où enfin

1 APN 1. nn—1{) 1 1
Eine MST On DNS (green, Lette Lie RAA eenr
ue JE 164 ner OR 0) ire (@)

(*) Elle a été donnée d’abord par M. Cournot (Bulletin de Férussac,
t. XVI, p. 5).

— 217 —

Il est visible que, pour former la quantité entre parenthèses,
il suffit de développer (2 + 1)" et de diviser, par !, 1 + 1,
1+9,..,l+ n, les termes du développement. Du reste, il est
facile de vérifier, par un procédé purement algébrique, l'équiva-
lence des deux expressions de x...

III. Cette équivalence étant démontrée, il en résulte que
l'on a
1 n Ur (re) (ne)

D TENTE TENTE
1 n 1 Z n(in—1) 1 LE
Doi puu) ir:
l À LA \—z 1.9 [+9

même quand les deux membres, au lieu d’être composés d’un
nombre fini de termes, deviennent des séries convergentes. Par
exemple, en supposant

3

(2)

on trouve

1/1 A PSE ANS NUE TES
A++) +) +292 — +);
2 \2 9 \2 4 \2 DM STUNT

ce qui est exact.

IV. Si l’on pose

2
À — z ARE
d’où résulte
pr,
& — 107 1

l'équation (5) devient

| n 1 nin —1 |

real Fan (ne ) peer

l 1{+4A 12 2 UE

s'AARRR ND n l n(n —1) | DHAI\E ie
no enestenres ——)+ |

— 218 —

ou plutôt, par le changement de t en 7:

10 01 n(n—1) 1,
EE + © —— À —
EU ES 1.2 +9 (6)
ue n z n(n—1) | z |
= (1 — © —— + —————— |- +
DO L(+1)1—z (+1) (149) MU —2z

Cette seconde transformation est, pour ainsi dire, conjuguée
de la première. On peut les renfermer dans la double formule :

1er 1 nn SA) ANS
— z + — —— À —
LU Al+1 4.9 1%
CE) = —
1 n z n(n—1) z |
un Es ÉÉCre
DOTE PPT A TER :
1 n n(n—1) : (1)

D MEN RTE) A
Abinien z n(n—1) 1 | z |
+. |

CIE Re te
l ATÉMRIE 1900720

lex

Celle-ci a d’assez nombreuses conséquences, sur lesquelles je
pourrai revenir dans une autre occasion (*).

LVI. — Une propriété des déterminants.
(Octobre 1865.)

I. Soient les équations
Aix + B,x2 3 Cu —= 0,
AoT, SF Boxe 3E CT: —= 0, (1)
A: RF B:x LUS G;x; —\,
dans lesquelles

A, = bc: — Heline B, = oCs — Cols) C, —= ab; — ba; ,

Ao— bits — Gibs, Be — @ics — Giû5, Co — ad; — bia; ,

A; — Dico — Cibe, B3 — @ie — Ci, C; — aibz — bia,

A — aibeC; RS a,C:b; AE Ca2b; nu b,asc; 2 bicoa; Si CidoGs .

(*) Voir le petit Mémoire intitulé : Sur quelques sommalions et transfor-
mations de séries (Académie des Muovi Lincei, 1870).

— 219 —
On y satisfait en prenant
Li 5, Lo — Ds, LC.
Mais, par l'application des formules de Cramer, on trouve

N, Ne N;

Li = Lo —= —»? TL; —
D

en supposant

D A,B:C; = A,CB; Se C, AB; ec B,A.C; + B,C:A; ex CiBoÂ; ;
N,—(B;C— CB:)A, No — — (AC: — C,A2)A, N;—(A;B;— B;A2)A;

donc

Ainsi : 1° les déterminants de déterminants,

sont proportionnels aux quantités

d;; b:, C5

PAT == aiCob; ar Ca; nn bac: ar bicoa: = GAUTER
De plus, comme le calcul direct donne

B,C» ST CB:
PR A re

ds

— À :

% le déterminant de déterminant, D, est égal au carré du
déterminant A.

II. Soient maintenant les équations

Aix + Bix Œ C;x; QG æ D,x, == 0,
At SE Bar RE (QE LE Dir, = 0,
Ati AE B;:%2 + C:x; D;x, = 0,

AT 2% B,% Ste CT; + D,x;— À,

— 220 —

dans lesquelles :

A= Dh, B= Sac, = Sabd, Di Saber,

= Dick, B—Sacd, C—Sabd, D: abs,

À; — DUT B:— Sacds, (Cn=—= S'ab;ds, D S'abacs,

A DUT B, — J'ai, Ce S'abid, D,— S'œbecs,
A = Ÿ'asbc:d,

suivant la notation de Cauchy (*).

On reconnait facilement que les équations (5) sont vérifiées
par

D — y Lo + by As —=— 0, LC —= + di,

d'où l'on conclut, comme dans le premier cas,

BCD; J'ACD; Ÿ'AIB,D; J'AIB:C5 D
Un b, ( d4 A

cette fois,
D — > A,B:C;D..

[IL 1° Considérons, par exemple, l'égalité

a, j ACD,

> BCD; — js

Le premier membre est entier; b, est premier avec a,; donc b,
divise Z A,CD;. Autrement dit, le rapport commun À est un
polynôme entier.

2% Le déterminant A, contient les lettres b, c, d et les indices
2, 5, 4. De même B, est composé des lettres a, c, d, affectées
des indices 1, 5, 4. Enfin, C; renferme les lettres a, b, d et les

(*) Dans chacun de ces déterminants, un terme a le signe + ou le signe —
suivant qu'il contient un nombre pair ou un nombre impair d’inversions
alphabétiques.

— 221 —

indices 1, 2, 4. De là résulte que chaque terme de À (abstraction
faite du coefficient numérique) a la forme

Pia 384 + PiqarsSis

P,q,r, Set p',q',r',S", tenant lieu des lettres a, b, c, d.

9° D'après le mode de formation des quantités A,, B, G;,
chaeun des facteurs piger ss, , piges, a le signe + ou le signe —,
suivant qu'il renferme un nombre pair ou un nombre impair
d'inversions alphabétiques ; conséquemment, ce facteur est un
terme du déterminant A.

4° Ces remarques tendent à faire croire que À — A? (*).
IV. Dans le cas de cinq équations à cinq inconnues,

Hi Ÿ A,B,C;D,

VI
€

Cette fonction, du quinzième degré, serait probablement
(2 abocsdie,)S. Et ainsi de suite (**).

LVHE.

Démonstration de la formule de Stirling.
(Novembre 1866) (***).

[. Si l’on suppose

X
nn don (1)

(") C’est là une simple induction, qui aurait grand besoin d’être justifiée,
au cas qu’elle le puisse être. Si je me décide à faire paraître cette ébauche
de démonstration, c’est afin de provoquer des recherches sur une question
intéressante (mai 1867).

(‘*) La propriété qui faisait l'objet de cette Note est démontrée, au moins
en partie, dans le célèbre Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une fonction
peut acquérir, ete, par A. L. Cauchy (Journal de l'École polytechnique,
17e Cahier). (Octobre 1884.)

("**) Cette démonstration a quelque analogie avec celle qui a été donnée
par M. Serret (Calcul différentiel de Lacroix, 6° édition). Cependant, si je
ne me trompe, elle est plus simple et plus directe que celle-ci (mai 1867).

— 222 —

on trouve
1
F(O) = 0, F0)—0, P(0)—<,
puis
Jun
D —=F#)(0) ne £ FP—0(0) + p(p — Him) (0) + + F(0). (2 (2 )

A{p+1) 2.3

Cette relation générale ne diffère pas de celle qui existe entre
les Nombres de Bernoulli (*); done, à cause de

on à
FP(0) = B,_;; (5)

et, pour des valeurs réelles ou imaginaires de x, dont le module
soit suffisamment petit :

y ce + NE EA AE Eve
19 1.2.3.4 1275797

II. De l'identité
| co
Ta LA 2° HAT

on tire

= 20
sin ax G
e rai tee —= + e-?"7% sin axda ;
0

ou, par une formule connue (***),

° sinax TEE il
vi e?Tœ —_1 dx = kr? 2 x? ; (5)
— +
me

(”) Voyez Note XXXVI, p. 119.
(*) La fonction F(x) est paire; done F?—1(0) — B3,_+ = 0.
(**) Mote LIT, p. 205.

D'un autre côté,

HR A au
hr°
ou
d 1 27°
> ES is (0) (6)
Mn
4r°
Conséquemment

F{)— 9e fe dalr (7)

0

IT. ax étant un arc positif, de grandeur quelconque, et
désignant un nombre compris entre 0 et 1, on a

ax ax? 271 x"! o2+1 g2"+1!
SIN — +. E ==) (a)
1 4225 1.2.3...9n—1 1.2.5...2n+1

La formule (7) équivaut done à

2 co

À F x adax x vi do
9 Gr ra EU NO CV creme
0

0

me M mot Le: Géré CNT
ne free
4.2.5...92n—1 CT NS 12 50 p 11 eTü__]

0 0

Chacun des éléments de la dernière intégrale est moindre que

ani da

a LE
e27T% __ À

(‘) Traité élémentaire des séries, p. 115.

(**) Mote XLV, p. 171.

(***) Quand on développe sin «+ par la formule de Mac-Laurin, on vérifie
seulement que 8 est compris entre — À et +1 (Srurm, Cours d’Analyse, t. I,
p- 98). Mais, par des considérations très simples, on prouve les inégalités
CU as D asx®

SIN «TX CAD — ——+———— , etc;
1.2.5 ? < 125 125457 :

Pare

sin az < ax, sinax > ax —

d’où résulte

— 224 —

| |
x? C3 dada a2"+2 us Hu (9)
ue Et © Vence mit ue ——
1.2.5...2n—1, an 1.2.5...9n +1 A Ce
9 0

0, désignant, comme 6, un nombre compris entre 0 et 1.

IV. Si l’on compare les développements (4) et (9), on trouve
d’abord la formule de Plana :

® a! da
Be, 2 nf era A dar 5 (10)
0
puis l'équation
B B pion B,,
F(x)=—2°+ him RP Heu RS Pons 5 El pre (1 1)
1.2 1.9.5 4 1.2.5...9n 1.2.5...9n+2

due à Cauchy, et qui subsiste pour des valeurs quelconques de x,
réelles ou imaginaires.

V. A cause de

+ CRE me
Lx ——— du» (12)
A œ
0
on a, comme l’on sait, pour toute valeur entière et positive de x,

{(1.2 sf Er 0 (13)

Si donc, comme l’a fait M. Liouville, on représente par w la
fonction de x contenue dans le second membre, on aura

du © da x

Re sr A COR ORE — de |. L

dx VE a É can" | E
0

(74

e% — À

La fraction

œ

(*) Journal de Mathématiques, t. IV, p. 518.

90

du 1 RE)
= = — en de. 15
Fa op fs : eT% da (15)
0
Le n° terme de F (x) étant
Be: On
V(2n +1)

l'intégrale définie correspondante devient

co
Ba, 1 va ex a 1 la a il a ;
F (2n + 1) On x”

0

Quant à l'intégrale

ve Den asales

elle se réduit à 0

F (2 + 2)

2

x?+?
, étant compris entre 0 et 1.
Par suite,
du 2 | 1 B, 4 B: 1 ba 09 Br (16)
a PRLS ne LES SES ot == a
dx À DOROPE DUREE DT NORD)

et enfin, par un caleul facile et très connu,

1 B B-
9% ’ == È _ — =
L(1 2.5...x) = x Lx + 5 K (27) LATE ANNEE
be Bony

— + O0 °
(2n —1)2n.2°""1 (2n + 1) (2n + 2) «#1

(17)

Telle est la formule de Stirling. Le facteur @, qui entre dans
l'expression du reste, est, bien entendu, compris entre 0 et 1 (*).

(*) On peut consulter, sur cette question, les Mémoires intitulés : Sur {a
constante d’Euler et la fonction de Binet, Recherches sur la constante G, etc.
15

996 Le

LVIII. — Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde.
(Mai 1867.)

I. On sait que, À, x, y étant les angles formés , avec les axes
de coordonnées, par la normale MN à une surface quelconque $,
les lignes de courbure de cette surface peuvent être ainsi repré-

sentées :
dx dy dz

= (1)

d.cosx d.cosu d.cos>

Introduisons, comme nouvelles variables, le rayon vecteur w et
la distance v de l'origine au plan tangent en M; de manière que

= x + y + 2, (2)

U— ZX COS À + y COS & + Z COS ». (5)

La normale étant perpendiculaire à l'élément MM de la ligne
de courbure,

cos 1. dx + cos w. dy + cos ». dz = 0;
et, par conséquent,
dv = xd (cos à) + yd (cos w) + zd (cos »). (4)
La valeur commune des rapports (1) est donc

xdx + ydy + gx udu
2

xd (cos à) + yd (cos u) + zd (cos :) dv

et l'on peut prendre, comme équations des lignes de courbure,

dx dy dz udu 5)
a = ——— = ——————…— — — J
d.cosx d.cosx d.cos? dv
IL. Dans le cas de l'ellipsoïde :
x° a 2 z°?
C0 ON rie (6)
x° Vi 7° 1
AE ent on %

— 227 —

De ces équations, jointes à la relation (2), on tire

b°c°
— + — D — 6°
mn
2 4
D = À ———— ——. 8
ns @
De plus,
VX vdx + xdv
COS——, À(C0s 1) = —————;
a? a
donc
a°dx udu
———————— —= ——
vdi + xdv dv
ou

(ado — vudu) xdx = ux* dudv.

Si l’on remplace x? et xdx par leurs valeurs, on trouve, après
quelques réductions,

uvidu® — uv (a? + b? + © — uw?) dudv + ab'édu — 0. (9)

Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure de
Pellipsoïde, rapportées aux variables w, v.

III. Pour la simplifier, posons

2p°? 2
UE + à + + c, =: (10)
il vient
VdU? — UdUdV + dV°—0,
ou
UE} A 11
me TS (14)

Cette équation, qui rentre dans la classe considérée par
Clairaut (*), a pour intégrale :
1
U= mV + —;
m
m étant une constante arbitraire.

(‘) Il y a quelques années, M. Mansion a démontré ee beau théorème :
Toute équation du premier ordre est réductible à l’équation de Clairaut (Bul-
letin de l'Académie de Belgique, février 4877). (Octobre 1884.)

— 228 —

Par suite, l'intégrale de l’équation (9) est

212,2
a*b°c 1
U — À —0 2 —m - : + —;
( m
ENS Dis
ou, si l'on remplace m par — =} :
abc
abc ua CEE 0. (12)
U

A cause des valeurs de w?, v?, cette équation équivaut à

bel l bl
É +1) x? + E +1) Y+ U …1) ga +b°+c— =. (15)
c

IV. Les surfaces représentées par l'équation (15) sont des
ellipsoïdes ou des hyperboloïdes, ayant mêmes plans principaux
que l’ellipsoïde donné, et dont les intersections avec celui-ci sont
les lignes de courbure de cette surface. Lorsque

L abc
Dane.
l'équation (15) représente l’origine. De même si [= + , etc.

Si l’on élimine le paramètre l'entre l'équation (12) et sa dérivée

relative à !, on trouve

ka°b?c°?

2 2 2 D\2 ER
Qu — — 0 — ÿŸ ——

(14)

(a)

Cette relation est une conséquence de :

ka?b°?c°

= +++,

done la surface (14), enveloppe des ellipsoïdes (15), peut étre
engendrée par les intersections d’une série d’ellipsoïides semblables

et de sphères.
En outre, la combinaison des équations (12), (14) conduit à

Qabe + (u?— a —b— c)}l—0; (15)

par suite, chacun des ellipsoïdes enveloppes touche, suivant une
courbe sphérique, la surface-enveloppe.

— 229 —

V. Combinons, par addition, les équations (6), (15), après
avoir multiplié par À5 les deux membres de la première; le

résultat peut être écrit sous la forme abrégée :

DCLAREN
NME . 22,33 24 b+c)1— abc (16
> (+ Tes x + (a? + D + €) abc (16)

a

Pour une valeur donnée de !, cette relation appartient à toutes
les surfaces du second degré qui passent par la ligne de courbure
correspondante : on doit done pouvoir déterminer À de manière
que l'équation (16) représente les hyperboloïdes homofocaux
avec l’ellipsoïde donné. Cette condition donne

5 Fe («? se L° + c)l — abc ee a (a° + UE +- cl nr abc 9 b?
_ L1 ) ja 5 3 it a oh
aa label b5 + D + cul

équation d’où l’on tire
be + ca + ab

3° = 1

L'équation (16) devient ainsi :

DORE DOTE Co ER a OP
» RC en EE RETRO M
a” da” a”bC
2.2 279 272
OI Ca ab sl : ;
— 5 — b FE + (a + D + &)l — abc;
abc

ou, plus simplement,

— 230 —

LIX. — Sur le plus grand commun diviseur
algéhrique.

(Septembre 1865.)

L. Taéorène. — Soient F5, F; deux polynômes à coefficients
entiers, dont les degrés sont m, m — 1. Soit F, le reste de la
division de BF, par Fs, B étant le coefficient du premier terme
de F,. Soit, semblablement, F; le reste de la division de CF,
par Fo, Co étant le coefficient du premier terme de F,. Si les degrés
des restes F,, F; sont, comme il arrive ordinairement, m — 2,
m — 5, le second reste est divisible par B (*).

En supposant :

Fo Ag" + Aix"! + An”? + + A, (1)
Et Bora Bi Br +. + B,_1, (2)
BR = FAQ + PF, (G)

Fe = Con"? + Ca +. + Ce, (4)
CF, — F:Q: + F;, (5)

D ec Dire Er. LD: (6)

on voit, d'abord, que Q, est le quotient entier de

Bé (Aox° + A;x + A:)
par Box + B:.

Ainsi
Qi: — A5 Box + AB, — AB;,
ou
Q; — BoAox + A,) — AB. (7)
De même,
Q: = B Cox + BC — B,Ci, :
ou

Q: — By(Cor — Ci) + BCo. (8)

(*) Ce théorème est dû, en partie, à Labatie (Méthode d’élimination par
le plus grand commun diviseur, 2e édition, p. 8). Mais la démonstration de
l’Auteur exige que les coefficients de F,, F, soient des polynômes; et cette
condition n’est pas nécessaire.

— 951 —
En outre, d’après l'égalité (3), C est le coefficient de x"-* dans
Bè. A,x"2 — (Ba? + Box”) [ABix + AB, — AiB;);
c'est-à-dire que
CEE CAB, ABB + (A Bi ABB; (9)
Pour la même raison, C, est le coefficient de x"* dans
BEA" 5 — (Box + B;x”—#) [AoBox + A1Bo — AoB:];

donc
C, — (A:Bo —— AB:) B, + (AB: er AB) B:. (10)
Maintenant, l'élimination de F,, entre les égalités (5), (5),

conduit à
F; — (CG UE Q:Q:)F: — BiQ:F. (1 1)

La seconde partie du second membre est divisible par B : il
suffit donc, pour démontrer le théorème énoncé, de faire voir
que la première partie l’est également.

Or, d'après les formules (7), (8), (9) et (10), on a, relativement
au module B, :

QQ= + BBi(AiCo + AoC1) — AoBiCo,
AC, + AC = — (2A AB, + AB, + AËB,)B, + AB: (AB: + ABo),
QQ = + A,BB}AB, + AB) — A,B2(AoB? — AoBoBe— A,B0B;)
= + 2A,B,BE(AB, + AB) — AçBé,

C=— (AB + A.B,) B, + A,B°,
Ci = — 2A,B'(A,B + A,B,)B, + A6B;;
donc enfin

Ci + QQ—AT. B.
IT. Application.
Fat + a + 9x +x +, Fi 7x + 4x + x +1.
On trouve, en multipliant F, par 72 :

EF = 79x? + 59x + 46;

— 252 —
puis, en multipliant F, par 79? :
F; = — 20 S74x + 4 265 — 7° (— 426% + 87).
Ainsi, le deuxième reste est divisible par 7?.

Si maintenant on prend 4262F, pour dividende, et #26x — 87
pour diviseur, le reste R égale

79.872 + 59.87. 496 + 46. 496°
— 79.87? + 496 (3 595 + 19 596)
— 79 [87° + 496 . 291];

ou enfin
R— 79.1 665.

LX. — Sur l'équation du quatrième degré. (1863.)

I. Pour résoudre l'équation
xt + Ax° + Bx + C — 0, (1)
à coeflicients réels, posons
dt + Aù° + Bx + C— (x + px + q)(x° — px + q'):

nous devons trouver, pour les inconnues p, Qq, q', au moins un
système de valeurs réelles.
En égalant les coefficients des mêmes puissances de x, dans
les deux membres, on obtient
: B
ES PE tn TE
puis, en éliminant q et q',
B°
(A + p} —— — AC. (2)
12

Soit
A+p—=q +q—2z; (5)

l'équation (2) devient
25 — Az — 4Cz — (B° — 4AC) = 0. (4)

Telle est la réduite de l'équation (1).

IL D'après la relation (5), l'équation (4) a au moins une
racine plus grande que A (*). Si l’on désigne par 7 cette racine,
on trouve

p=Vy —A,

, 1 B

NN ar ee :

: . Po: (3)
] BIMENC

S 2 ren) |

etc.

HI. L'équation
xt + à + 8x — 15 — 0
a pour réduite
2 — 7° + 607 — 124 — 0.

Celle-ci donne y — 2. Done

et enfin
af + à + 8x — 15 — (x? + x — 5) (x — x + D).

IV. Remarque. — Lorsque la réduite (4) a trois racines réelles,
plus grandes que A, la proposée (1) a toutes ces racines réelles.
Mais alors les formules de Cardan (**) deviennent illusoires; et
les valeurs de p, q, q' ne peuvent être exprimées, sous forme
réelle, en fonction des coefficients A, B, C. Il en est de même si
la réduite a ses racines réelles, mais non supérieures, toutes trois,
à A. Les formules de Cardan ne sont done applicables, utilement,
à la résolution de l'équation (1), que si la réduite (4) a une seule
racine réelle (***). Ce cas est celui où les coeflicients A, B, C
satisfont à la condition

— 16 (A2 — 40) C + 4ABE (A? — 56C) + 927B > 0.

(‘) On reconnaît aisément qu’elle en a un nombre impair.

(*) Ou plutôt de Tartaglia. Voyez la savante Notice insérée, par
Terquem, au tome XV des Nouvelles Annales de Mathématiques.

(***) Je mets de côté, bien entendu, le cas où l'équation (1) aurait des
racines égales.

— 25% —

LXI. — Sur les coordonnées curvilignes (*).
I. Soit un ellipsoïde donné, ayant pour équation
Ai = = 1. (4)

Les hyperboloïdes, homofocaux avec cette surface, peuvent
commodément être représentés par

2 2

x Û z
_ + 2 D (2)
dd —u D —u C—u
2 2 2
L ? z e
2 2 2 2 SM (5)
a —- v b— v —v
Nous supposons
AD AU EAU ICS (4)

de manière que l'équation (2) représente des hyperboloides à deux
nappes, et l'équation (5), des hyperboloïdes à une nappe.

IL. On tire, des équations (1), (2), (3) :

4 ——

1 (a =u)(a-v) h (Du )(b—0") (uw) —v)

0 (a—b")(a—c°) Vies (b?—a?)(b?—c°) (c?— a?) (c?—b?)

puis, de celles-ci :

d a (a? — v')udu + (a —u*)vdv |
RS
V/(a* TER b°) (a° He c:) V/(a LE u?) (a? Es v’)
b (b®— v’)udu + (b° — u*) vdv
UE (0)
ATTEINTE"
; (4 (ce? — v°)udu + (°° — u?) vdv
dz — = ——

ty V/(c?.— a) (c? mr b) V/(c? -— uw?) (c? — v°)

(*) Résumé de quelques leçons faites à l’Université de Liége, en juin 1866.

— 255 —
Nous allons calculer, au moyen de ces valeurs, les quantités

dx°

2
X
2 PALIN 2 M 2 1.2
Dir Der S dx, D Ÿ adx?,
dont nous aurons besoin plus tard.

IL. 1° En posant

on a d’abord

D ae ee > a? (b? c:) (a? — u®) (a? ir v°)
— — - [> a°(b? — 0?) —(u?+v°) DU c)+ uv Ÿ ab? 2]

Or :

Ya (Bt — ©) — — P (a? + b + c),

Ÿ a (b° — D — P;

> a? (b? — cé) = 0:
donc

Da + D + © — uw — v;
ou
a + + = + D? + € — vf — v° (). (7)

% De mème,

ne. [ut a(b—c*) — abc {u*+v°) » (b?— c°)+u°v° Ÿ Wet) | ;

a*b°c°P

ou

ra ni bi. n C a°b°?c? | (8)

(*) Cette relation, très connue, est comprise dans un théorème général,
que j'ai démontré autrefois (Mémoire sur la transformation des variables, etc.;
Académie de Bruxelles, 1840).

— 256 —

3° Des formules (6), on déduit
» dx?

2 2 2 2 2
a d —v Ê—u

=} pan | à du + Qurdudo + dt |;
(a® — b)(a? — c°) | a? — u° a —v

ou, en supprimant une somme nulle,

» dx?
=" | da (b— 0°) en +vdu À db c°) en (9)
P 4 FE RER) À
Or :
D UE
2 b? 2
DEC ner
1 9/12 °
ne on cer One OS
a — 4°?
D a (b? Au c°) es

À 2/p2 2
PR Or > LL nc)

De plus, à cause de

(a? — v°) (b° — n°) (c? — n°)
= bc — (0° + ©?) n° + du — bc? + (0° + €?) w?0° — uv :

» a? (b? — €?) (a? — v?) (D? — w?)(c° — w)

— bo a (be) ei Ÿ a (b° — c)

+ uf » at (b® — 0?) — aber > (b° — À)

+ wv° » a? (05 — cf) — uv° » a (b° — c?)

— 1) Ÿ af (D? — 6?) + w°v° Ÿ a” (b° — c‘)

= — Puf (ui — v°).

La relation (9) devient, simplement,

de + dy dei = (ut — 0%) [Uhëdu® — Vaud]: (10)

dans celle-ci,

Re ee VE = — —— — Ù _ _— mA
(a? — w?)(b?— w?)(c° — u?) (a? —v*)(b?— v°)(c? — 1?) 0

4 On trouve, avec la même facilité,

d 2 d 2 | 2
+ D ge (ut — v?) [dut — VAd*] (11)
:

5° La quantité Z a?dx? se décompose en

ARC I AC 2 2
u°du GA
— Ÿ a* (b? — c)

P a? — uw?
uvdudv
ep DC Lie)
Le v’dv° Te GRR)
P RER
Or :
av
> a“(b? — c°) RE

D ee nn Ou

Ÿ'ar(b— = —P,

ne

S at {b° — c?)

a — v°
1

D =) OUR ME

De plus, en négligeant deux termes nuls :

> af (b?— 0?) (a? — v°) (0° — uw?) (c? — uw?)
— — P abc — vw? > a (D — c°) + u* D a (b? — €?) + Pur”
= — P| «°b° 2 (be + ca? + abtju? + (a? + L° + jui — uv]

— — P[(a?—w?)(b}— u°)( — u°) + (ur — v*) |.

(") En vertu des inégalités (4), les fonctions U?, V? sont positives.

— 258 —
La somme cherchée est donc
[A+ Uut(ué — v?)]utdu? + Quvdu de + [1+ Vror(u? — u?) Ju*dv” ;

et, par conséquent,
> a’dx°
= (udu + vd) + (u° — v?) (Uuidu? — V'védv?). (12)
IV. Soient !, p les distances du centre O à un point quel-
conque M et au plan tangent en M (*). Soient, en outre, ds, ds’

les éléments MM”, #m° d'une courbe et de sa transformée sphé-
rique, déterminée par les formules

les équations (7), (8), (10), (11) deviennent :

PE à? + D? + © — u? — v?, (7°)
puv = abc, (8)

ds = (n°? — v°) [Uu?du? — V'v*dv°|, (10")
ds"? — (ni? — v°) [Udu? — V?dv°]. (11)

V. Considérons, sur l'ellipsoïde, deux espèces de courbes : les
unes, intersections de cette surface par des sphères concentriques
avec l’ellipsoïde; les autres, lieux des points de contact des plans
tangents dont la distance au centre est constante. D'après les
relations (7°), (8), les équations de ces courbes sont, respecti-

vement,
u° + v° — const (“*), uv — const.

Ces mêmes relations (7!), (8') expriment, d'ailleurs, que les
parallélipipèdes ayant pour arêtes 1, u, v ou p, u, v, ont les
diagonales constantes ou un volume constant.

(*) Le lecteur est prié de faire la figure.
(‘*) Il est assez remarquable que, dans ce système de coordonnées,
l'ellipse sphérique soit, pour ainsi dire, représentée par l'équation du cercle.

VI. Soient R,, R, les rayons principaux en un point quel-
conque de l'ellipsoïde. On sait que
a + D + € — l? abc
R; nur R: ES Te tel RR — Di (a):
P P
Au moyen des équations (7), (8'), on transforme ces formules
en celles-ci :

d'où l’on conclut, en supposant R, > R, :

u°v à uv°
ee
abc abc (

valeurs remarquables par la simplicité.
Il en résulte, en particulier, que les équations des ombilics sont

OU

2 2 2 2
d Le 0 : 0 —c
= —, y—=0, —6c \

2 ?

GEL DAC

VII Dans un beau Mémoire de Joachimstal (**), l'équation
générale des lignes géodésiques est mise sous la forme

Ÿ dXdx > XdX D dxd?x

SE te RE qe 14
> dXdx > X° Ÿ dx° 5

X, Y, Z étant les dérivées partielles de la fonction F(x, y, z)

(*) Durin, Développements de Géométrie, p. 212. Il résulte, de la dernière
relation, que si un plan roule de manière à toucher constamment un ellipsoïde
el une sphère concentriques, le lieu de ses points de contact avec l’ellipsoïde est
une ligne de courbure constante. On peut consulter aussi le Mémoire intitulé
Recherches sur les surfaces gauches (Académie de Belgique, 1866).

(**) Journal de Crelle, t. XXVI.

— 240 —

qui forme le premier membre de l'équation de la surface donnée.
Dans le cas actuel,
2% 2 23
ee

ou

Par suite, une intégrale première de l'équation (14) est

4 dx? + dy° + dz° (15)
RANCE CA TENTE
NE IES
g représentant une longueur arbitraire.

Au moyen des formules du paragraphe IE, on transforme cette

intégrale, soit en la relation

1 à
sf pis, (16)

soit en celle-ci :

(U'du? — V?dv?) uv? — RE (U'udu? — V'v'dv”), (17)
dans laquelle
abc
h —= mi 0

VIII. On tire, de l'équation (17),

Uudu Vvodv
3E

Vu? — h° u VA?

(18)

Par conséquent l'intégrale seconde de l'équation (14), ou
l'équation des lignes géodésiques, est

LÉ d u°du |
( ue”) (D — uw) (c° — uw?) (u ) u9)

à v'dv
ΠGA
V (a? — v?) (D? — v°) (c? — v?) (v° — h?)

Elle équivaut à

Fu) == P(v) =tconst, (20)

— 241 —
F(æ) représentant, en général, l'intégrale abélienne
ado

SANTE meer

IX. La combinaison des équations (10") et (18) donne

à (uw —v) Uu'du’
ds — MONT SONT EU ?
—h
ou
(u° — v°) Uudu

Vu — là
Le second membre est la même chose que

Uu° du Uuv° du

Dear he Va —R _ he
donc, en vertu de l’équation (18),
Ur du Vo dv
pe + ——————————
VOTE cor

« Ici, » dit M. Liouville, « les variables sont séparées comme
dans l'équation même de la courbe; on a donc cette formule
très remarquable » :

u‘du v'dv :
g 21
re 2_y?)(c—u Nue) 2— 0702 —0°)(c2—v?)(v?— h?) V

+ const.

ds —

Il en résulte que l'arc de la ligne géodésique s'exprime par la
somme ou la différence de deux intégrales abéliennes.

(") Voir, sur ce point, une Note de M. Liouville (Journal de Mathèma-
tiques, t. IX). La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir
ont été démontrés déjà par ce savant Géomètre; mais il les a trouvés en
considérant la ligne géodésique comme la trajectoire d’un point qui ne serait
sollicité par aucune force accélératrice; nos méthodes sont donc essentielle-
ment différentes.

16

— 242 —

X. D'après une remarque de Joachimstal, le rayon de courbure
d’une ligne géodésique est donné par la formule

(4 D”
dans laquelle »# est une constante. À cause de p4 — FR cette
, Q 4 2
formule équivaut à
RR:)
= — Const. (22)

Si la ligne géodésique est une section principale, p = R;, et

3
2

— —= Const.
1

Au sommet C de la section principale AOC, R,; — =, R—T:

b6 Là
la valeur de la constante est donc —= ; et, par conséquent,

ac? ?
F; bÿ le
Rae Fe

XI. Pour chaque valeur attribuée à la constante 9, l’équation
(15) représente une série de lignes géodésiques. Cherchons les
trajectoires orthogonales de ces courbes (*).

En représentant, pour un instant, par dx, dy, 0z les différen-
tielles relatives à la trajectoire, on a

dxdx + dydy + dz9z = 0, dx + D dy + © dz — 0;
a C

d'où
dx dy dz

: RE PS

HOT Ro
— 0z — — 0y 7 5x Se ue or
b? € c Us a b°

(‘) IL est bon d'observer que, d’après une remarque de M. Michael Roberts,
toutes ces lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure
(Journal de Liouville, t. X). Conséquemment, les trajectoires orthogonales
cherchées sont, pour ainsi dire, des développantes de la ligne de courbure.

ons

Substituant dans (15), et rétablissant dx, dy, dz au lieu de
0x, dy, 0z, on trouve

y Ge
g° D (Hu — <ay)
re (24)
> = + dy

équation différentielle des trajectoires cherchées

La somme placée en numérateur est égale à

2 2
D + Te Ne dydz

sd b?e 2

ds? . ydy zdz | ds”
= —— |— + + = —.

p° a” b? ca F

p

z 2 AU OR Es 2

sé ses _—. = («dx + ydy + zdz)

= > _. [> dx — (xdx + ydy + sas |
DC
L'équation (24) devient done, par cette première réduction

> ddr? — (xdx + ydy + zdz) — h'ds*.

Nous avons trouvé :

» dx? — (udu + vdv) + (u° — v°) [Uudu* — V'v'dv*],
ds® = (u° — v°) [Uu*du? — V'v*dv*].
De plus, à cause de la relation (7)

adx + ydy + zdz = — (udu + vdv).

Par suite, l'équation (25) devient

Uufdu® — V'v'dr? — h° [Uu?du? — V°v°dv*],

— 244 —
ou, ce qui est équivalent,
Uu Vu — à du = + No V/v? — Re dv. (26)

L'intégrale de celle-ci, c'est-à-dire l'équation des trajectoires,
est donc

[du VA u? LAERS h?
WE je = v)
+ f va Va — const.
(a — v)( — v)(é — v)

Addition. — (Août 1867.)

(27)

XII. Le dernier caleul peut être simplifié et généralisé. A
cause de
(a® — v°) udu + (a° — uw?) vdv
a
Vita rt) a) tr)
(a? — v°) udu + (a? — u°) viv

V/(a? — D?) (a? — c?)(a? — uw?) (a? — s}

dx = —

2

OX — —

la condition
dx 0x + dydy + dzdz = 0,
équivaut à

dd —v te

2e a?
D a°(b°—c*) É Fe ududu+uv(dudv+dvdu)+ —

2

sav | —(i}
ou, par les transformations employées ci-dessus (IE, 3°), à
Uududu = V°v'dvdv. (28)

Il est facile de comprendre l'usage et l’utilité de cette relation
générale : si l’on se donne l'équation différentielle

Mdu — Ndv (29)

d’une série de courbes C, on en conclut immédiatement, pour
leurs trajectoires orthogonales C1 ,

U’u° V’v°
= (50)

— 245 —

XIII. 1° Si les courbes C sont les lignes géodésiques consi-
dérées dans le paragraphe VIT,

Uu Vo
—————, NE ———;
PRE v° — h°

M
et l'équation (50) devient
Uu Va = hèdu = + Vo V RE v° dv :

celle-ci ne diffère pas de la relation (26).

2 Si les courbes C sont définies par w? + v? — const, ou par
uv — const. (V), on a, dans le premier cas,

M — «, = — V;

et, dans le second,

L'équation différentielle des trajectoires C est done, soit

Uu du + V'v du — 0, (51)
soit
Uudu + V'v"dv — 0. (32)

Dans chacune de celles-ci, les variables sont séparées, et
l'intégration est facile.

3° Supposons que les courbes C constituent un système de
sections circulaires de l'ellipsoïde. L'équation différentielle de
ces courbes est, comme l’on sait,

dz oc a — b°

dœ aV bc
le radical pouvant être pris avec un signe quelconque. Mais, par
les formules (6),

dz oc Vi __ (é—v}udu+(c—w?)vde rs)

dx a D (a—v'hudu+(a—u’}vdo V (c—u)(c—v?)

— 246 —

conséquemment, l’équation différentielle des sections circulaires,
rapportées aux coordonnées w, v, est

(2 — v}udu + (© —w)vde (a? —v)udu + (a — w)vde

V/(c? — w?)(c? — v°) E

V/ (a? — u?)(a? — v°)

ou, plus simplement,

udu vdv FRle
PE Se ane = : (53)
Va — w)(— 0) V/(a*—v?) (0 — v°)
Par suite, l'équation (50) devient :
u° du v° dv

| (54)
(b°? — u°) Va — WJuË — c°) (D? — v°) VI Te

XIV. Pour intégrer, on peut prendre :

Fr p° + o re Q + ce
1 + p 1+
on trouve ainsi :
dp° + À dp qq + à dq
(a? — b?)p? — (b° — À) 1 + p° Ho b?)q® — (b° — c) 1 +
D'ailleurs
pp + À 1
(a? — D) p? — (lb? — À) 1 + p°

b? l |
QVb— | pb VE plV/a—b |
il

À + ra

L'intégrale de l'équation (54) est done

b° , PV —Vb— 6°
_ N plat + e

ne di ae CA on + arctgq — const.;
2V/(a— b?)(b?— c?) | qV'é—bP+Vh— ct !

+ arcis p

— 247 —

ou, si l’on fait

b? — ç?

a
b? sin(®—y)sin(9— y)

+ p+ 8 — const (*). (35)
2 ==") sin(o+y)sin(s+ y)

XV. Remarque. — L'intégrale de l'équation (53), ou l'équation
des sections circulaires, rapportées aux coordonnées o et 0, est

p — 6 — const. (36)

Pour interpréter ce résultat, considérons les deux hyperbo-
loïdes passant par un point quelconque M de la section cireu-
laire C, puis les cônes asymptotiques correspondants. Soient OG,
OH les traces de ces cônes sur le plan zx, de manière que OG
soit l’asymptote de l'hyperbole représentée par

2?

+ =

CRETE EME EE "y

et que OH soit l'asymptote de l'hyperbole dont l'équation est

12
x Z

a
av? )).c
On à
o= GOx, 60— GOH;
et, par conséquent :

Les génératrices principales (situées dans Le plan zx) des cônes
asymptotiques aux hyperboloïdes passant en un point quelconque
d’une section circulaire de l’ellipsoïde, font entre elles un angle
constant.

(*) On trouvera, dans la Note suivante, une autre solution du problème
des trajectoires orthogonales des sections circulaires d’un ellipsoïde.

— 248 —

LXII. — Trajectoires orthogonales des sections

circulaires d’un ellipsoïde.
(Novembre 1865) (*).

I. Soit un ellipsoïde OABC (**) ayant pour centre le point O,
et dans lequel les demi-axes, rangés par ordre de grandeur
décroissante, soient OA — a, OB — b, OC — c. Si, dans le plan
de la section principale CA, nous prenons un rayon vecteur
OE — OB — b, le plan BOE coupera l'ellipsoïde suivant un
cercle; et il en sera de même pour tous les plans parallèles à
celui-là. Les limites de ces cercles, c’est-à-dire les points E, L' où
l'ellipsoïde est touché par deux plans parallèies à BOE, sont des
ombilics de la surface.

Cela posé, si nous rapportons l’ellipsoide aux droites OE, OB
et à une perpendiculaire Oz au plan BOE, la projection P du
contour apparent de la surface pourra être représentée par

an ee (1)

IT. Les sections circulaires parallèles à BOE, ou les lignes de
niveau de l’ellipsoïde, se projettent, en vraie grandeur, suivant
des circonférences doublement tangentes à l’ellipse P, et dont les
centres sont situés sur Ox.

(‘) Rédaction nouvelle d’une Note publiée dans le Journal de Mathé-
matiques (t. XIT).

(‘*) Le lecteur est prié de faire les figures.

(°"*) Il est évident que qg = b. De plus, un calcul fort simple donne

a2b? + bc? + ca?
b? :

p° —=

— 249 —

On trouve aisément que l'équation de ces circonférences est

ea ga [t Elo; @

en supposant AN
=p — 0.

Par conséquent, les trajectoires orthogonales des sections circu-
laires de l’ellipsoide, ou les lignes de plus grande pente de cette
surface, ont pour projections, sur le plan xOy, les trajectoires
orthogonales des circonférences dont il s’agit.

II. Le caleul ordinaire conduit à
Go'yde — q'edy} = rpg" — p'yf — g'x)dy, (3)
équation différentielle des trajectoires (**).

Avant de chercher à l'intégrer, on peut reconnaitre, soit par
le calcul, soit graphiquement, que chacune des courbes repre-
senlée par cette équation (5):

1° Passe par les deux foyers; 2 présente un rebroussement
au point où elle coupe l’ellipse.

Conséquemment : 1° les trajectoires orthogonales des sections
circulaires de l’ellipsoïde, parallèles au plan BOE, passent toutes
par les ombilics X, [; 2° au point d’intersection P d’une de ces

(*) La discussion de l’équation (2) donne lieu aux remarques suivantes :

4° Si « est compris entre 0 et = la circonférence touche en effet l’ellipse
en deux points, symétriquement placés relativement à l’axe des abscisses;

20 Lorsque a T la circonférence devient osculatrice à l’ellipse : son

rayon p — D

5° Si « est compris entre 2 et r, la circonférence est intérieure à l’ellipse;
mais, au point de vue algébrique, ces deux courbes sont doublement tan-
gentes l’une à l’autre;

4° Enfin, lorsque «= +r, l'équation (2) représente les foyers de l’ellipse :
ces points sont les projections des ombilics l’, 1 (Journal de Mathématiques,
t. XII, p. 486).

(**) Elle ne diffère, que par la notation, de celle qui se trouve dans la Note
citéc [Journal de Mathématiques, t. XIL, p. 484, éq. (2)].

— 250 —

courbes, avec le contour apparent de l’ellipsoïde, relatif au plan
BOE, la tangente PS est perpendiculaire à ce même plan (*).

IV. La variable « étant moindre que r, on peut supposer
æ— r Sin Q.
De plus, on satisfait à l'équation (2) en prenant
x =rsiNnE + qCoSPCOS6, y —q cos op sin 0 (**). (4)
On conclut, de ces valeurs,

2

pq —p'y—q'a—(q+r")g—(q+r°)q*cosœsin*8— q°(rsinp+qcospcost)
—q"sin*® — 2q°r sin @ cos p cos 6 + gr” cos*o cos” 0
—=4(q sin o — r cos pcos 0);

puis, au lieu de l'équation (5),

p° cos @ sin 8dx=| q(r sin @+- q cos cos 6) + r(q sinç — r cos@cos8)|dy;

? “ e Là d
c’est-à-dire, en séparant les deux valeurs de 7:

dy
— — Îg 0

dy p° cos o sin 6

dx 2grsin® + (q° — r°) cos o cos ë
V. D'après les formules (4),

dy cos @ cos 6d6 — sin ® sin 6dp

dx Tr cos od® — q sin ® cos 6de — q cos @ sin ädo ”

(‘) De là résulte, suivant une remarque de M. Chasles (Journal de Mathé-
matiques, t. IE, p. 295), que Le plan osculateur en P, à la trajectoire orthogo-
nale considérée, est normal, tout le long de l’arête PS, au cylindre qui projette
Vellipsoide sur le plan BOE.

(**) Si ce est le centre d’une circonférence doublement tangente à l’ellipse P,
et que m soit le point où cette ligne est coupée par la trajectoire correspon-
dante, x est l’abscisse de c, et 8 est l'angle formé par le rayon mc avec Ox.

— 251 —

en sorte que l’équation (5) devient, après quelques réductions,

dg =? —. (7)

q 1 |
ie te = 101): $S
ete (gs); 8)
À étant la constante arbitraire (*).

VI. Le point m, considéré tout à l'heure, est l'intersection de
la circonférence cm avec une circonférence c'm, doublement
tangente à l’ellipse E. En appelant o', 0’ les quantités analogues
à o et 0, relatives à cette seconde circonférence, on aurait

x =rsing + q cos cos", y— qeosop'siné';
done, pour le point m" :
cos @ sin 8" = cos o sin 6,
r Sin @’ + q COS @' COS 0’ — r Sin E + q COS E COS 6.

On tire, de ces équations :
p° cos o sin 4

&6—1g9, (go — À AE 0
ô Ê : 2 qr sin @ + (g* — r?) cos & cos à (9)
De ces deux formules, la première équivaut à 9° — 8; la
seconde, comparée à l'équation (6), donne
dy
7 — {sg 6e
dx =
ou
qu up
dp —- qi
Ÿ r sin 6’? (a
et, par suite,
ol £ dl ;) :
None 59 (8”)

(*) On peut comparer cette équation des trajectoires orthogonales avec celle
que nous avons trouvée ci-dessus (p. 247).

— 252 —

Cette intégrale ne différant, de l'équation (8), que par la nota-
tion, il en résulte que le système des formules (4) et (8) peut
être regardé comme étant l'intégrale générale de l'équation (3).
Autrement dit, cette équation (5), du premier ordre et du second
degré, représente seulement les trajectoires orthogonales qu'il
s'agissait de trouver.

Addition. — (Juin 1877) (*).

VII. M. Boset, Professeur à l'Athénée de Namur, s’est proposé
ce problème :

Une conique C étant donnée, trouver une circonférence telle
que, si, d’un point quelconque M de C, on mène une tangente MP
à la circonférence, la longueur de cette tangente soit une fonction
rationnelle, du premier degré, des coordonnées x, y du point M.

L'énoncé donne l'équation

(x — à) + (y —BŸ —R°— (my + nx + |}, (10)
laquelle doit pouvoir être identifiée avec l'équation de C :
Yÿ° = 2px + qu. (41)

Identifiant, et appliquant la théorie connue, on trouve, en
supposant »m —= 0 (**) :

B=0, n—1—0Q, In+a—=p, l—&+R —0;
puis, par l'élimination des inconnues /, n :

Er (12)
+

L'équation de la circonférence focale est done

RAA 2
edge ET. (13)

() Tirée, en partie, d’un Rapport sur la Note de M. Boset.
(”) L'hypothèse n — 0 serait inadmissible.

— 255 —

Si l'on y remplace y? par sa valeur (11), on trouve que l'équation
en x a ses racines égales. Par conséquent :

1° Chaque circonférence focale est doublement tangente à la
conique; 2° les circonférences focales sont celles dont il a été
question ci-dessus (IT).

VIIL. Supposons, pour fixer les idées, que C soit une ellipse,
rapportée à son centre et à ses axes. Dans l'équation (15), posons :

b° b?
L=X+A, {Aa + U, (On PE TE
Cette équation devient
2
Ge y b £ —=| (14)

Il en résulte, pour la longueur de la tangente MP :

a C
d—-x—-x.
C a
La longueur de la tangente MP’, menée du même point M de
l’ellipse, à la circonférence conjuguée de la première, serait don-
née par la formule

Par conséquent,

(71
d+d = 2-ax— const.
C
On a done ce théorème, qui n'a peut-être pas été remarqué :
Si un jil, de longueur constante, est tendu de manière que ses
deux parties soient constamment tangentes à deux cercles égaux,
le sommet de l’angle, formé par le fil, décrit une ellipse double-
ment tangente à chacun des cercles, et symétriquement placée par
rapport à ceux-ci.
IX. L'équation
ay? + br? — ab”,
mise sous la forme (10), donne, non seulement l'équation (14)
des circonférences focales, mais encore les équations

a? a?

L=——a, T—+—x (15)
c

— 254 —

de deux séries de droites remarquables, que l'on peut appeler
droites radicales. Chacune de ces droites est la corde de contact
(réelle ou imaginaire) commune à l’ellipse donnée et à une
circonférence focale. En outre, la distance d’un point M de la
courbe, et la longueur de la tangente correspondante, sont dans
un rapport constant, égal à celui qui existe entre les distances de
M à une directrice et au foyer correspondant.

Sur les surfaces à courbure moyenne
nulle (°).

LXIIT.

(Mai 1867) (*).

I. On sait qu’en représentant par a, b les cosinus des angles
formés par la normale avec les axes des x et des y, on peut
mettre l'équation des lignes de courbure sous la forme

da: dx — db : dy,
on plutôt sous celle-ci :
da da db db
ta) (u tj
É dx + 7 y | dy Re dx + 7 dy | dx (1)

D'un autre côté, dans un Mémoire (***) sur les surfaces dont
il s’agit, j'ai prouvé que leur équation est, si l’on veut,

da db
ser

ee) 9
dx. dy (2)
Il résulte, de celle-ci,
d d
AT Ce (3)
dy dx

(‘) Dans un beau Mémoire couronné par l’Académie de Belgique,
M. Ribeaucour a proposé, pour les surfaces à courbure moyenne nulle, la
dénomination d’Àlesséides.

(‘*) La présente Note est, en grande partie, rédigée depuis plus d’un an;
j'en ai indiqué les résultats dans mon cours à l’Université de Liége.

(**) Journal de l’École polytechnique, 57° Cahier, p. 130.

— 255 —

o étant une certaine fonction de x et de y. Soit z, cette fonction ;
soient D, Qi T1 Sa, La les dérivées partielles de z, : d’après les
formules (5) :

b da da db db
— = — Pis — —= $1, — —={4, ——— #, 5 pus ;
a VLE Pi dx 1 dy 1 Fe 1 dy Si
puis, au lieu de l'équation (1),

r,dx® + 9s,dxdy + tidy° = 0. (4)

Soient S la surface à courbure moyenne nulle, S, la surface
qui a pour équation z, —9 (x, y). En observant que l'équation
(4), transformée de (1), appartient aux lignes asymplotiques de
S,, on a ce théorème :

Les lignes de courbure de la surface S, et les lignes asympto-
tiques de la surface Si, ont mêmes projections sur le plan xy.

IT. Si la surface S est connue, et qu’elle ait pour équation
f(x); onaura

da = pidæ + qidy = —bdx + ady,
ou

dz, ==

VA + p+ PORTE
puis

Pour déterminer Y, on a la relation

FAT LR
RO ee SAS TU
VA+p+ 9 dy dy

(°) Il est plus simple de prendre

db
= [ve + fau [ay [ Tax.
y

— 256 —

D'ailleurs
——— —— l
k D AR +p°+q i—q LUS
V1 DRE VA +p°+ 0° (+pi— pqs.
SAT PE en LOT En ET RC NE M RENTE AT ie
dy 1+p°+q (+ p+ q'f
done

Y 1 t— 7
- 4 p 9 VA PD PE ay ()
YO VWA+p+ A+ p'æ gh

A cause de

(A + pi — 2pqs + (1 + gr — 0, (8)

on vérifie aisément que le second membre de l’équation (7) est
indépendant de x; ce qui doit être.

III. Soit, par exemple,

D d .
A ROUE

L'équation (7) devient

dY k COS X COS y Sin X COS y
EE à EE
Û 2 LEE CIRE
J À ( D V’ cos* y + cos” x sin°y

COS® y + COS x sin” y)

ou , si l’on fait sin x — À:

dY FA da À COS y
PR ON LA A ee
"3 (EL — 2° sin? y}° V1 — x sin° y

L'intégrale à pour valeur
à

;
V1 — sin" y

donc
dY

ds

—0, Y— const.

OST

Si, pour plus de simplicité, on suppose cette constante nulle,
on trouve, au moyen de la formule (6),

sin Z, —= — Sin x Sin y. (9)

Telle est l'équation de la surface S,, la surface S étant repré-

sentée par s
d
z = L cos y — L cos x.

IV. L'équation des lignes de courbure de la surface S, est,
en général,
.dx +pidu dy +qda

dpi un UT
ou
dx — b(ady — bdx) dy + a(ady — bdx)
db ï Hate mi
ou
[(1+-0?) dx—abdy|d. DR ir + [(1+a )dy—abdx ]d. ee ANT ES
V1+pi+qf V1+p"+0°

Si l’on effectue les différenciations indiquées, et que l'on
remplace a, b par leurs valeurs, on trouve, au lieu de cette
équation,

[A + 2q°) r — 2pqs] 02
= à) [ (4 + p + q)s— pq(r + t| dxdy (10)
+ [(1 + 2p°) | — 2pqs] dyn—=01(0)°

L'équation des lignes asymptotiques de la surface S étant

rdx? + 2sdxdy + tdy* — 0, (11)

(*) On arrive plus simplement à cette égalité en partant de celle-ci :

da,
— dx che, = (F7 av + Te dy) de,
dx dy

et en observant que
q p
== ? 1 >
VAE 2p° + 2q° V/1+ 9p° + + 2q°?
17

— 258 —

ces courbes auront mêmes projections que les lignes de courbure
de S;, si l’on a

Il résulte, de ces proportions,

S $ S 1 À
RE DEN D; (15)

et, en supposant s différent de zéro (*) :

Les racines de celte équation sont :

D L
ee UN ES nt (15)
V. 1° La première valeur donne
T = — d S, l — — P S,
P q

c'est-à-dire
PT dq dp d
dont Dors 0, pl+qi=—
dx dy dy
d'où
DIRE (16)

Cette équation exprime que toutes les normales à la surface S
sont également inclinées sur l’axe des z. Cette même équation a
la forme F(p, q) = 0; done la surface S est développable. En
combinant ces deux propriétés, on conclut que la surface S est

(‘) Je laisse de côté le cas où l'on aurait, simultanément :
gr =?ps, pl=qs:

la surface $ est alors un cylindre.

— 259 —

l'enveloppe d’un plan qui fait un angle constant avec le plan xy;
elle ne diffère donc pas de la surface à pente constante (*).

D'après un théorème dont j'ai donné autrefois la démon-
stration (**), cette surface réglée ne saurait être à courbure
moyenne nulle. Par conséquent, la première racine de l’équation
(14) ne répoud pas au problème. Dans le paragraphe XIT, je
reviendrai sur cette circonstance.

2% Si l’on prend À = À = — = (p? + q°?), on trouve
2 2
ee On SEE (17)
Aer © (Nr 0

La première équation équivaut à

dp dq
ne = pa:
Pa pq

2

(g

Pour intégrer, Je suppose p = aq : il vient

FAN be
doc dx
p Fm TEST
et, conséquemment,
Y
AT AA
ou
p° + { _—_ pY,

Y étant une fonction de y.

La seconde équation (17) donnerait, pareillement,

p° + = qX;
donc
X2Y XY°

love ace

(18)

() Moncr, Application de Analyse à la Géométrie, $ VII; La GouRNERIE,
Traité de Géométrie descriptive.

(”*) Journal de Mathématiques, t. VII.

— 260 —

Si l’on a égard à la condition

et si l’on opère un déplacement d’origine, on trouve enfin, pour
l'équation de la surface S,

3 x
— — 9rC ig —> (19)
9 7
g étant une constante arbitraire : la surface S est donc un hélicoide
à plan directeur. Cherchons la surface S, correspondante.
VI. On a
9y PNR

, =——

PTE y”
de sorte que l'équation (5) devient

xdx + ydy
+ Y du

— dz; = 9 (20)

a ge +?
V/1 ÿ Vu? + g°
Dre

U— TA EAU.

si l'on suppose

Intégrant, et déterminant la constante de manière que z, — 0
pour # — 0, on trouve

ut lé es) (21)

Cette équation appartient à une surface de révolution : la
section méridienne, représentée par

— 261 —

ces deux courbes ont pour diamètre asymplotique la logarith-
mique représentée par

VII. La surface de révolution S, est donc telle, que ses lignes
de courbure se projettent, sur le plan xy, suivant des circon/fé-
rences et des rayons, projections des lignes asymptotiques de
l'hélicoïde S. Cette propriété subsisterait pour toute autre surface
de révolution autour de Oz. Mais il y a plus: les lignes asympto-
tiques de Si, et les lignes de courbure de S, ont mêmes projections
sur le plan xy; en sorte que les surfaces S, Si, sont conjuguées.

Pour vérifier ce dernier point, j'observe qu'en vertu de
l'équation (20) :

Dre QU RME A ee
uV'u + g° uV/u? + g°
puis
20f912 2 2 fO)y2 2
re (Qu + g)— x Eu Sn)
uw (u? + q°}

(Qu + g°) «y
Rens mes

u5 (u? + 9°)

Si —

UŸ Qu + g°7) — y° (Qu? + g°)
L—=—9g-

3
uÿ (u° + g°}

L'équation des lignes asymptotiques de S, est donc

Qui — Qu°x* + g°y*) dx* — 2 (Qu? + 9°) xydxdy 2)

+ (ui — Dy* + g?x°) dy* = 0.
On peut l'écrire ainsi :
uË (dx? + dy?) — Qu? (xdx + ydy) + 9° (ydx — xdy} = 0.
Mais, si l'on prend des coordonnées polaires, on a

da? + dy? = du? + wda*, xdx + ydy — udu, ydx — xdy = — u°do;

d’où l’on conclut
du

do = + ——— :
V9 + n°

(25)

Or, cette équation (23) appartient aux lignes de courbure de
l’héliçoïde (*).

VIII. Le résultat auquel nous venons de parvenir nous parait
d'autant plus remarquable que, par une autre voie, on peut
trouver une seconde surface conjuguée de l’hélicoide; savoir,
le caiénoïde représenté par

1e re). (24)
2
IX. On peut se demander dans quel cas la surface S, est-elle,

comme la surface S, à courbure moyenne nulle? Pour qu'il en
soit ainsi, z, = (x, y) doit être une intégrale de

da mo db;
de ae
c'est-à-dire, de
7 D SAN RUE AN ne à P
VA + 9p° + 2 V1 + 9p° + 2°

dax dy
En développant, on trouve
Nr, _.
q ps+ql
Ainsi, la surface S, qui satisfait à l'équation
(1 + pt — 2pqs + (1 + gr —0,

doit satisfaire encore à l'équation (25). L'intégrale première de

celle-ci est
z = Y(p° + qd), (26)

Ÿ étant une fonction arbitraire. Cette équation (26) exprime que,
pour tous les points appartenant à une ligne de niveau, l’incli-

(*) Journal de PÉcote polytechnique, 29° Cahier, p. 145.

— 265 —

naison de la normale à la surface, sur le plan de cette ligne, est
constante. De là résulte que toutes ces courbes sont équidistantes
et qu’elles se projettent, sur le plan xy, suivant des courbes
parallèles à une première ligne donnée.

La surface ©, représentée par l'équation (26), peut être engen-
drée par une ligne plane G, dont un point M décrit une ligne D,
pendant que les deux plans restent perpendiculaires entre eux.
Si la directrice D est une ellipse, les lignes de niveau sont des
toroïdes; ete.

X. Soit B— F(x) l'équation de la directrice D, que nous
supposerons située dans le plan des xy. Une parallèle à cette
courbe a pour équation :

G—a+(y—68)65 —0, (x —0) + (y—8#ÿ= 0"

Dans le cas actuel, le rayon p est une fonction de z; donc
l’intégrale seconde de l'équation (25), ou l'intégrale première de
l'équation (26), est représentée par le système

t—u+(y—F)F—0, (x—0)+(y— F}—/f(z), (27)

dans lequel f et F sont des fonctions arbitraires. Dans chaque
exemple particulier, l'élimination de « donnera l'équation d’une
surface Ë, à lignes de niveau équidistantes, et ayant une directrice
donnée.

XI. La surface Z jouit des propriétés suivantes : 1° Les lignes
de plus grande pente, toutes égales entre elles, sont situées dans
des plans verticaux ; 2 ce sont des lignes de courbure; 3° les
courbes de niveau sont des lignes de courbure (*) ; 4° si l’on consi-
dère la courbe C suivant laquelle la surface touche le cylindre
vertical, enveloppe des plans qui contiennent les lignes de plus
grande pente, cette courbe C est une développée de la surface 3.
C'est-à-dire que si le cylindre se déroule, C engendre 2; ete. (**).

(*) En effet, ces courbes sont des trajectoires orthogonales des lignes de
plus grande pente.

(**) Voir, sur le même sujet : Remarques sur la théorie des lignes et des
surfaces ; Note sur les surfaces orthoyonales, etc. (Novembre 1884.)

=

XIL. La surface Z, dont nous venons de nous occuper, n'est pas,
en général, à courbure moyenne nulle : pour qu'elle le soit, la
directrice D et la génératrice doivent satisfaire à certaines condi-
tions.

Afin de les découvrir, remarquons d’abord que, le plan de la
ligne de courbure G contenant la normale à la surface, cette ligne
G est une section principale. De plus, en tous les points d'une
même ligne de niveau, le rayon R, de cette première section
principale a une valeur constante. A cause de

le rayon R, de la seconde section principale doit aussi être
constant. D’après le Théorème de Meusnier, joint à la définition
de la surface, R, ést égal au rayon p de la ligne de niveau, divisé
par le cosinus d’un angle constant. Done p — const. : les lignes
de niveau sont des circonférences. De plus, elles doivent être équi-
distantes (IX); et cette propriété caractérise une surface de
révolution. En résumé, la surface S est un caténoïde.

LXIEV. Sur la partition des nombres.
(Octobre 1867) (*).
PROBLÈME. — De combien de manières peut-on former une

somme n, avec q nombres entiers, éqaux ou inéqaux ?
I. Désignons par N,, (**) le nombre cherché, et considérons
l'équation
Li + Le Es + ET, —N. (1)

En supposant que les valeurs des inconnues soient rangées par
(*) Cette Note peut être considérée comme faisant suite à celle de la

page 56.
(**) Dans la Note citée, N,,, était remplacé par [x, q].

— 965 —

ordre de grandeur non décroissante, nous pourrons attribuer à x,
successivement, les « valeurs entières :

IR AE ART

a représentant le plus grand nombre entier contenu dans ns de
sorte que

Soit, en particulier, x, — a : les valeurs de x2, x3,... x, ne
pouvant être inférieures à a, nous ferons

La —= Ys + a — À, Xs—= Y;s +a— 1, do NE LE

et nous aurons ainsi, au lieu de (1), « équations de la forme
Ya + Ys + +y—=n—1—(a— 1), (5)

dans lesquelles les 9 — 1 inconnues pourront recevoir les valeurs
1, 2, 3... Le nombre des solutions de l'équation (3) étant
Ne... 11 sensuitique

a=®

N°: = Lu NE g—1 (4)

ou
kx
Ne =N,_,çi+ Nip tt Note nee N, —1—(0:—1)g, a=1 ). (5)

IH. Le nombre des termes du second membre, dans l'équation
(5), est à. Si q — 2, chacun de ces termes se réduit à 1 ; done
N,:— «, ou

Na (°): (6)

relation évidente.

(*) Comme nous l'avons déjà dit, la notation ( équivaut à celle-ci : E(®}
adoptée par Legendre.

(‘*) Cette relation générale résulte, immédiatement, de celle qui constitue
le Théorème II (p. 56).

— 966 —
HT. Si q — 5, l'équation (5) devient
N,,: = Ne + Nue + Nyse tee + Ne 52,05 (7)

ou, d’après la formule (6),

em a ee mn

Par exemple,

mens) (+ 6) 660

— 9 + 7 + 6 + k + 35 + À

— 90;

à cause de « — (3) — (6.

En effet, les décompositions du nombre 19 sont :

141417, 2+9+15, 545-415, 44441, 5+5+9, 6+6+7,
149416, 2+5+14, 5+4+19, 445410, D+6+8,
A+5+IiD, 2+4+15, 5+D+411, 4+6+ 9, 5+7+7,

1+4+ 14, 5+5+12, 5+6+10, 4+7+ 8,

145415, 5+6+11, 5+7+ 9,

1+6+19, 5+7+10, 5+8+ 8,

1+7+11, 5+8+ 9,

1+8+10,

1+9+ 9,

IV. Pour déterminer le second membre de l'équation (8), on
doit considérer les diverses formes du nombre #, relatives au
diviseur 6. On trouve ainsi, sans difficulté :

Pour n — 6n’, NE NES re
n = 6n + 1, N—n'{(5n +1);
n—6n + 2,: N—n'(5n +2);
1 e bal 3 15. Î (9)
n=6n + 5, N=(n +1} —n";
n = 6n + 4, N—{(n'+1)(5n +1);
n — 6n" + 5, N=—(n' + 1)(5n' + 2).

— 267 —

V. Remarque. — Au lieu de ce système de formules, on peut
prendre celui-ci :

n
n — 6n’, Serre
6n +1 ni
n—= On + 1, —= 12 ,
n° — À
n = 6n + 2, ANT $
oi (10)
ds n + 5
n—=6n +5, N — ;
12
: nn — 4
n—=6n +4, N — T 3
n—1 :
n=ûn'+5, N— |
12

Ilen résulte ce théorème curieux, proposé par M. Vachette (*):

Parmi les quatre nombres n°?, n? — 1, n? — 4, n? + 5, ilen est
un divisible par 19 : le quotient égale le nombre des manières
différentes de partager n en trois parties entières, positives, égales
ou inégales.

VI. Si q surpasse 5, il parait difficile d'exprimer le nombre
des solutions de l'équation (1), au moyen d’une formule qui ne
soit pas illusoire; et l’on est réduit à faire usage, une ou plusieurs
fois, de la relation (5). Soit, par exemple, n — 59, q = 4; d’où
a — 9, Cette relation devient |

No: = N5g,s Te N,5 Ru N0,5 + No6,5 nu N,5 + Ns,5 Qui Nu,s min Nio,s She APE
Mais, par les formules (10) :

58 — 4
——— — 120,

DA LL
Na, 5 = Ho 96,

() Nouvelles Annales de mathématiques, octobre 1867.

30°

SES me on ND
26°? —

Do
DOS

No, — 12 = 40,
18°?

Nus = —— 97,

18,3 19
V4 — 4

1,3 12 — 16,
10°? — 4

Ni,5 — 12 9)

Te 6° )

N5,3 nom

donc
N30,4 — 120 + 96 + 75 + 56 + 40 + 927 + 16 + 8 + 3 — #4,
résultat conforme à celui que donne Euler (*).

VIL. Si, comme l'a fait ce grand Géomètre, on veut construire
une table des valeurs de la fonction N,,,, on peut, au lieu de la
relation (5), appliquer avec avantage le Théorème II de la
Note XXIT, lequel équivaut à l'équation

Nu,9 = Not, © Noos (11)
ou à celle-ci :

N — N it+N

n+q q n+g—1, g— n, q°

Au moyen de cette relation, et des valeurs initiales :
N,,1 = 1, Nyni = 1, Non = 1;

on forme aisément la table suivante, qui contient les valeurs de

N

n+9

(*} Jntroduction à l’Analyse infinitésimale, t. 1, p. 252.

— 269 —

Valeurs de n.

D
©
T
a
=
©
=
s
>

101 1134117412

D’après la formule (12) :

Un terme quelconque de la troisième ligne horizontale est égal
à celui qui le précède de trois rangs, augmenté de celui qui est
écrit au-dessus ;

Un terme quelconque de la quatrième ligne horizontale est égal
à celui qui le précède de quatre rangs, augmenté de celui qui est
écrit au-dessus ;

Etc.

— 9270 —

VIII. De la relation (11), on peut déduire, très facilement, la
fonction génératrice de N,,,. En effet, soient

F(x, g)=a + Nat He HN, QE +,

4 —1
Fe, q—1)= a" + NN, gui at ee N, ua + ee

Multipliant par 1 — x" les deux membres de la première égalité,
par x les deux membres de la seconde, on trouve deux déve-
loppements qui doivent être identiques; donc

F(x, q) =" F (œ, q — 1).
1 À — x!

Et comme

; x
F(x, l=x+a +x +. —

1 — x
la fonction géneratrice cherchée est

x? *
Eee ae) eue 0

(15)
IX. Le second membre de la dernière équation est égal au
produit des séries

CHA ++ + +
DH ++ +X +

2

x + af + x + à + x +
ES PERS EE AE EE DEEE LEE

x + ati + Qt dE Qt D QE

L’exposant de x”, dans ce produit, étant la somme des exposants
de x dans les facteurs de chacun des produits partiels, on a ce
théorème remarquable (**) :

Il y a autant de manières de décomposer un nombre n en q
parties entières, égales ou inégales, qu’il y en a de décomposer ce

(‘) Ce théorème est dù à Euler, aussi bien que tous ceux que nous avons
donnés dans la Note XXIH.

(‘*) Il a été donné, sous une autre forme, par Euler (/ntroduction à l’Ana-
lyse, t. 1, p. 244).

mème nombre en q
progressions

1,

L

1

1,
1,
1,

(g +1),

— 271 —
parties appartenant, respectivement, aux

CN PE RP AT
ENT ANNEE AUDE LE
7 AO LAS M6
9

PA EAN Ce

(29+1), (59+1), (4q + 1), …

Par exemple, nous avons trouvé que le nombre 19 admet 30
décompositions en trois parties. Or, ce nombre 19 admet aussi
les décompositions suivantes :

A+ 1+17,
1+ 5+15,
1+ 5+15,
4+ 7+11,
414 9+ 9,
1+11+ 7,
1+415+ D,
1+15+ 5,

1+417+ 1,

et celles-ci

k+ 1+14,
k+ 5419,
k+ 5410,
4+ 7+ 8,
k+ 9+ 6,
k+A11+ 4,

k+15+ 2,

7+ 1411, 10+1+8, 15+1+5, 16+1+9;
7+ 5+ 9, 10+5+6, 15-+5+5,

7+ + 7, 10+5+4, 15+5+1,

1+ 7+ 5, 10+7+2,

7+ 9+ 5,

7+11+ 1,

sont également au nombre de 50 (*).

LXV.— Aire d’une surface du quatrième degré.

I. Cette surface, bien connue, est engendrée par une droite
D, de longueur donnée, dont les extrémités glissent sur deux
droites fixes A, B, non situées dans un même plan, et, pour
plus de simplicité, supposées perpendiculaires entre elles.

(‘) Le Mémoire ayant pour titre Recherches sur quelques produits indéfinis

est consacré, en grande partie, à la question qui fait l’objet de la présente
Note. (Novembre 1884.)

— 272 —

En appelant 2c la longueur de la commune perpendiculaire
aux directrices, et y l'angle constant formé par les directions
de cette droite et de la génératrice, on trouve aisément que
l'équation de la surface est réduetible à

(ce + z} He (c— z) = #7 (0. (1)

Quant à la génératrice, elle peut être représentée par
x —(c+z)tgy cosp, y —(c—z)tg y sin, (2)

étant l'angle de A avec la projection de D sur le plan xy.
Les angles «&, 6, que fait D avec les axes des x et des y, sont
déterminés par les formules

COSæ —Ssiny COSP, Cos f — — sin y sin Y. (5)

II. Lorsque la génératrice se déplace, un point M de cette
ligne décrit un petit arc d’ellipse : la longueur et les projec-
tions de cet arc vérifient les relations

ds — dx° + dy”,

, k
dx = —(c+z2)tg7 sin odo, dy —(c— 2) tg7 cos odo. (@)
V étant l’angle de ds avec D, on a
À: d in° d
cos N ee icone à to eee Sn ee (5)
ds ds ) cosy ds

Si l’on prend sur D, à partir du point M, une distance infini-
Q dz , .

ment petite MM' = do — =, le parallélogramme qui a pour

côtés ds ct ds peut être considéré comme l'élément de la surface.

L'aire de ce parallélogramme est

dA — dsdo sin V.

(‘) Chacune des deux parties dont se compose la surface (limitées aux
directrices A, B) a la forme d’un de ces bonnets de police en usage vers 1850.

— 275 —
Mais, par les formules (3), (4), (5) :

ds*sin V = tg°7[(c +2) sin?o + (c— 2} cos’® — c?sin?> sin° 2o| do
= tg*y [(z— c cos 2) + ce? cos? y sin’ 2] de’;
donc

sin y
dA = —— dpdz V(z — c cos 2) + c* cos? > sin? 20 ;

cos” y
puis

sin y

x PE CUT EUR ae 0 PAR
me je 3 de f deV/(z— c cos 29) + c cos’ sin? 29 (*). (6)

0 TC

III. En général,
ù ———, ———
uvre + d F0 uV/u? + à + 5 d L (x +V u° + a) + const;
donc, R étant le radical qui entre dans la formule (6) :
1 1 RATE
fra g(e—cc08 2)R+ 6605" y sin” 29 Lz—ccos 20+R]+consl;

+c CRE ee 7 A ES PARTS NT VIENS LE D
DE Rdz=—926° [ sin‘ V/1—sin?y cos’p+coso V/1—sin?y sin? d]
*4 , a (7)
F 1 c'es*y sin°29 (sin p+ V/1—sin*} cose) sing
2 (—cosp+Vl/1-siny sin*® )cos®

Au moyen de cette valeur et de l'identité
sino + V1 — sin y cos o
— cos® + V1 —sin?y sin’
(sin E + V1 — sin?> cos? o) (cos E + V4 — sin?y sin? o)

sin* o cos* y

(*) On ne considère ici que la partie de la surface limitée par le plan zx,
le plan zy et les directrices.

18

— 274 —

la formule (6) devient cos” y |
c° sin y

7 7 RARE ER ARTE
=2| f° sin*edeV”1—siny os g+ ? cos’odoV/1—sin?y sr |
0 0
les en DATES ETC
QUE 2 1 sin” 2odo £(sin? + V1 — sin°> cos ) (8)

0
Zs
+ f[ ? sin° 2ode £ (cos ®+V1—sin°7 sin? o)
0
LE LA
— de sin” 2çdp L (sin o) — 2 £ (cor) f sin? 24e | -
Le S

IV. Les quatre premières intégrales sont égales deux à

deux (*); donc :
COS? 7 NP ER RER Ro”
“és A = 4 "A cos” odoV/1 — sin* y sin° o

0
T SA te
+ COS y Je sin* 2odp £ (cos o+V/1— sin" 7 sin* o)

0
7 a
— cosy f° *sin* 2d L (sin p)— cosy Los) f ?sin*2ody;
À ‘

0

csiny .
4M+Ncos y | — siny | P + cos 19
cos” y | | r| ex 2] @)

ou

À —

en supposant :

GS
M =f 2 cos’ odoV”1 — sin° y sin°o, |
Ü
LS RON ERP CAPE US FRE
N — JP * sin° odo L (cos o +V1— sin y sin° o),
0

P — f *sint2gde £ (sin @),

2
Q =; sin* 2odo.
|
0

(‘) Il est visible que la bissectrice de l’angle x0y est un axe de symétrie
de la surface. Nous aurions donc pu, au lieu de la formule (6), en prendre

(10)

une autre, dans laquelle les limites seraient 0 et 7 0 et c. Maïs cette sim-

plification est plus apparente que réelle.

— 275 —

La question proposée se réduit donc à la détermination de ces
quatre intégrales (*).

1 Es T
V1 Of F(1— cos 19) de 7. (41)
2 4
0
2 Pour calculer M, posons
. sin 9
S =
LS sin y
Il résulte, de cette transformation :
À sin? y — sin” 4 d cos 0d8
Co = ————— cos —= ;
“t sin? y 0 ts sin y
puis
1
M —

27
SE = (sin? y — sin° 6) cos” 6d8
0

1 6) 1 7
= — 1 (1 + cos 26) do — — JC (1 — cos 46)d8;
2 sin y 8 sin°y

0 0

c'est-à-dire :
Â
” 96siny

3 1 4 à

et, après quelques réductions,
1

7 16 sin y

MY E 1077
3° ps f * L(ing dp—> f Ÿcos 19 L (sin 9) de:
0 0

[(2 — cos 2y) sin 2y + 2y (1 — 2 cos 2y)]. (12)

On sait que

[7 Ktin g) dp=— 5 £2(").

(‘) Les valeurs de M, P, Q sont connues. Voir les Tables de M. Bierens
de Haan.

("*) Bierens DE Haa, T. 550. — L'en-téte de cette table contient une faute
typographique. Au lieu de : Lim. 0 et Fo on doit lire : Lim. 0 et 2.

— 276 —

De plus, à cause de x $ x — 0 pour x — 0,

Ze | LS
[cos 4e L (sin 9) de = + f F sin 19 de,
: s
0

in @

0
ou
LS , 1 æ T 7
VA DO AE Je cos2pdo + 5 +f Fonte |
0 ‘ 0 5
ÉRAR
n°78
Par suite,
De
PES : 1
sfr) Û

VI. La détermination de l'intégrale
as Ce
NE 11 sin? 2odo L (cos o+V1—sin7 sin? o)
‘0

présente d’assez grandes difficultés. Pour essayer de les lever,
je considère d’abord les cas parüculiers de y — 0 et de 7—=5 ù

N = f* sin* 2od L( + cos @),
0

7
N, =} ? sin? 2œdo L (2 cos ?).
0

savoir

27 T
119 Ni £2 f si 2edo + [sin age £ (eos œ).

üA . , ! T
La première intégrale égale Q —7 ; la seconde ne change pas

quand on y remplace @ par & —®; c'est-à-dire qu'elle est égale
à P. Conséquemment,
T
Ni — 1
IR (14)

2 La comparaison des intégrales N, et P conduit à

Zn 1
N—P—— f sint29 £ 8 pdp.

— 277 —
Remplaçant sin? 2% par —%#%, puis intégrant par parties,
on trouve aisément, au lieu du second membre,

us T
Jane 5 JPA — 2 sing cos qe,
û 0

La première intégrale a pour valeur le double de la constante
G (*); l’autre est égale à £. Conséquemment,

1
N—P=G—=;

ou
T7 4
Ne HER) SG EE ). (15)

VII. Remarquons, maintenant, que la dérivée de N, relative
au paramètre y, est

dN , Le sin? 29 sin? odp
——— siny C0SY 7 EN ——
dy e (cosg-+l/1—sin} sin oW/1— sin} sin’
7 cos o + V1 — sin’> sin
y é ee ? 2ody,
V1 — sin’y sin’ (o

ou

d À “TALSIne Il
m=uwr| 7 sin 2p cos pdp on (16)
dy V1 — sin y sin’ o

0

Pour calculer l'intégrale

__ sin” 29 cos pd u7)
nee — sin*y sin?

je pose, comme ci-dessus,

(*) Basrens DE Haaw, T. 259. Voyez aussi la Note LIV.
(**) Un calcul direct, beaucoup plus long que celui-ci, conduit au même
résultat.

— 278 —

Cette transformation donne

k TA

S = — 1 (sin? — sin* 8) sin° 6de.
sin°y.

0

Comparant avec l'intégrale M, on a

15e à ae :
7° sin > + Msiny = 1 (sin? y — sin° 6) dé
0

1 1
— y sin y do (75 sin 2) ;
puis, à cause de la formule (12),

— ————— |(1 +9 cos >)sin y cos y + y (1 —4cos y)|. (18
2 sin° y !-

Substituant dans la formule (16), on trouve

aN 2
dy 2sintycosy

CES (+ 2008») — © 187;

sin° y

et, par conséquent,

N —= No + |
PU AURA) ON © £ (cosy) (a
9 sin‘ y cos y 4

L'intégrale indéfinie se décompose en

ydy ; 1 y Cosydy ne dy | | |
LT — —— —9$ |tg-> |=F(y).
VE cosy é sin‘ y Nix sin 1e 2) % Gr)

On peut vérifier que

dy 1 1 4 + siny 1
Jets RE SRE ©
SIN” y COS y 3sin°y 2 —siny siny

D'ailleurs,
I cos y dy |
sin 3siny

979

On a donc, en intégrant par parties,

y 1 er Y
F = + — —— —
(r) in° A À — sin y sin y

dy ,1+sny | | |
2 mr d te >|:
+ VE fo 4 étages sin y mec 597

ou, à cause de

Y 1 1+siny 2 cosy 1 1+siny
Ne ua nu ee)
sin’y 2 1—siny siny sin y 2 1—siny

cos y (y cosy — siny) Ja y dy
GS e

sin° y cos y

POS

La fraction en dehors du signe f°se réduit à — = pour y= 0;

conséquemment

79 (1 — 4 cos y) + sin y cos y (1 + 2 cos y)
sin y cos y

4 cosy (y cos y — sin y) Ÿ ydy
AT SOON EC ;
3 Sin° y COS y

puis, par la substitution dans la formule (19),

1 cosy (y cosy — siny) 7
à A6 9 sin° y L £ )

Pr dy
ne
De cos y
0
ou encore, en réunissant les deux termes qui deviennent infinis
pour y —7 :

1 cos y (> cosy — sin y
NN, er pres
6 2 sin° y

pe A HER à (29)

cos 4

— 280 —
VIII. Si l’on fait

T
= 2 m0
on change la dernière intégrale en

La T T T

È Feoso—T+e) 2SiInv
2 2 T 9

"(1 dv +
sin v 2
COSS
T T T
au Tnt a)
D'ailleurs,
T
? sin —7
T T 94
de — 2 £ (cos =) + D dE cos (=?)
1 4 k 2
cos — v
= 2
ul 4

— 2712 [eos + sin?) :
done la formule (20) devient

T RE 2 EN 7 vdv
ne += $ |cos -=+sin -)—- — ;
2 sin°y 2 2 DE Un QE

ant
ou plus simplement, et à cause de la valeur de N, :

Ne Re

D 7

T VA QUE
Re + = $ |cos - + sin —
2 sin° y 2 2 2
2 sin v”
0
ou enfin

NA 2e 7 PA A Lena 2)
16 4 2

2 sin’ y
1 Z d Gi)
Ja vav
+ _ ————————
2

sin Ÿ
0

— 281 —

On voit ainsi que la fonction désignée par N se compose d’une
somme de quantités données, augmentée de la moitié d'une
intégrale de forme très simple, mais dont la valeur n'est pas
connue généralement. Le problème que nous nous étions proposé
de résoudre se réduit donc, en dernière analyse, à la recherche
de cette même intégrale.

IX. Reprenons les formules (9), (11), (12), (15) et (21) :

hp ]—csin [P + Q P(cos>)]
— es A 4 74 ,
1
M 2 — cos 2y)sin 27 + 27 (1 — 2 cos2
ions L v) 4 A ”,
T x [ + sin c) COS y (y COS y — sin y)
N— — + - ——— ——
16 4 ®) 2 sin° y
oi Z_, vdv
») sin v

La substitution des valeurs de M et de N donne d’abord, au
moyen de quelques réductions,

æ

5
4M+N cos y — 3 COS y +

T 1+siny 1 Z_vdv
+ — cos? 41+4 | | — COS? Dh —.
16 | Ÿ 2 }s Ha sinv
0

De plus,

(5 sin?y + 2 cosy)

P+Q£(osr= | È ]:

cos y
Conséquemment
ANUS Y 1 + sin
——-tgy +—-(5tg y +2)+-siny | ]
|

080

X. Si l'on compare cette valeur à celle qui résulte de l’équa-
tion (6), et que l'on prenne c pour unité, on trouve

+1
Vie Ua ARE SE ET AE à (z — cos 29)? + cos’ y sin° 29
0

(=)

En

4 > G 9
— — C0$Y + ———(3sin +92 cosy Æ cos
2 2 sin y ie je L 7 p(T cos y

| Z _y vdv
+ — COS? 2 —(").
2 7 1 Pr)

0

LXVI. — De quelques propositions inexactes.

relatives aux séries.

(Novembre 1867) (**).

I Dans une Note intitulée : Addition à la première partie des
Recherches sur la nature et la propagation du Son(***), Lagrange
répond ainsi à de très Justes critiques :

« … 9° M. d'Alembert attaque aussi les caleuls que j'ai fait
» dans le Chap. VI pour trouver d'une manière directe & géné-
» rale la somme d’une suite infinie, telle que

« sing X sin 6 + sin 29 X sin 26 + &c. »

(‘) Cette formule semble en défaut lorsque 7 = 72 Mais dans ce cas,
l'intégrale relative à z doit être décomposée ainsi :

cos 2P +1
‘A (cos 25 — 3) dz + 7 (3 — cos 2r) dz ;

ef] cos 29

parce que, dans le premier membre de (25), le radical est supposé positif.
(‘*) Cette Note renferme certaines vivacités d'expression. Peut-être, aujour-
d’hui (juin 1884), l’écrirais-je autrement. Néanmoins, j’ai cru devoir ne rien
changer à ma rédaction primitive.
(**) Miscellanea taurinensia, pp. 326 et suiv. (1760-61).

— 285 —

Cette série est sinon divergente, du moins indéterminée. En
effet, la somme des n premiers termes a pour valeur

no) Sat

se (n +1)(@—0) ie n(g —6) nu (n + 1)(9 +6) se n(g+ 6)
2 2 9 2

p— 0

) D)

9 sin

et, lorsque n croit indéfiniment, cette quantité ne tend vers
aucune limite fixe. Néanmoins, à l'endroit cité, Lagrange cherche
à prouver que la somme de la série égale zéro. On va voir
comment l’illustre Géomètre arrive à un pareil résultat.

« La méthode que j'ai emploïée dans cette recherche est
»_très-simple ; après avoir transformé la suite proposée en deux
» autres composées de simples cosinus, j'ai mis à la place de
» chacun de ces cosinus son expression exponentielle imaginaire,
» & j'ai cherché la somme de suites résultantes, par la méthode
» ordinaire de la sommation des series géométriques, en suppo-
» sant le dernier terme nul comme on le fait communement
» lorsque la serie va à l'infini.

» M. d'Alembert m'objecte que cette supposition n'est point

» exacte, parce que dans la suite VA + VTT &e. le dernier

» terme est eV quantité qui est infinie au lieu d'être zéro. »

Non seulement Lagrange n'admet pas l’objection, mais encore
il ne la comprend pas; il y a plus : il s'étonne que d’Alembert
conteste une proposition complètement absurde ! Le Géomètre de
Turin continue en effet ainsi sa polémique avec le Philosophe de
Paris :

« Or je demande si toutes les fois que dans une formule
» algébrique, il se trouvera par exemple une serie géométrique
» infinie, telle que 1 + x + x? + x5 + &e. on ne sera pas en
» droit d'y substituer ——, quoique cette quantité ne soit réelle-
» ment égale à la somme de la serie proposée qu’en supposant
» le dernier terme x” nul.Il me semble qu’on nesauroit contester
» l'exactitude d’une telle substitution sans renverser les Principes

» les plus communs de l’Analise. »

— 9284 —

Ainsi, ce serait renverser les principes que de contester l’exacti-
tude de la substitution d’une quantité À à une quantité B, lorsque
B diffère de A! On croit rêver quand on lit de pareilles choses,
signées d’un si grand nom! Mais ce n’est pas tout :

M. d’Alembert apporte encore un argument particulier pour
» prouver que la somme de la suite

» COS X + COs 2x + cos 5x + etc. à l’infini

» ne peut pas être — £ comme je l’ai trouvée par mon caleul. Il
co : . . 1
» LUE œ Fa) etil HEURE que cette suite devient = , 0,

D = — 1, — = , 0, + a + 1, etc. après quoi qulè recom-

» mence : or (dit-il) la one de cette suite finie est, ou —=, ou 0,

» ou— 1, ou — 1 — = selon qu’on y prendra plus ee de
» termes. Donc la son de la suile entière est aussi ou De ou 0,
» Ou — À, où — 1 — La selon le nombre des termes qu’on y
» prendra, quel que soit d’ailleurs ce nombre de termes fini ou
» infini, & cette somme ne serait point —=0, à moins que m x 45°
» ne soit — à une infinité de fois la circonférence, ou 155° + une
» infinilé de fois la circonférence. »

Sauf peut-être les mots somme de la suite entière, il n'y a rien
à objecter au raisonnement de d'Alembert : aujourd'hui, on ne
s'y prendrait ni autrement, ni mieux que lui, pour établir l'indé-
termination de la série

COS X + COS 2x + COS 16e +

Au lieu de se rendre à des arguments si clairs, présentés en
si bons termes, le futur comte de l’Empire le prend de très haut
avec Jean-le-Rond ;

« Je répons qu'avec un pareil raisonnement on soutiendroit
» aussi que — n’est point l'expression générale de la somme
» de la suite infinie 1 — x + x? — x5 + etc. parce qu'en faisant
» x=4onal—1 +11 + etc. ce qui est ou 0, ou 1, selon
» que le nombre des termes qu'on prend est pair, ou impair,
» tandis que la valeur de Ti: est ©. Or, jene crois pas qu'aucun
» (éométre voulut admettre celte conclusion. »

— 285 —

Depuis longtemps tous les Géomètres sont d'accord sur cette
proposition :
L’équation
1

A + x

1 — x + x — x + …

est absurde si x égale ou surpasse l’unité ;

et tous les étudiants en mathématiques sont en état de la démon-
trer. D’Alembert avait donc raison; et il ne reste rien, absolument
rien, de la réfutation de Lagrange (*).

IT. Un Mémoire sur la convergence des séries, dù à l’un des
plus éminents Géomètres de ce siècle, commence ainsi (**) :

« Soient
Uno Us (Us, Uz, * ETC... (1)

» les différents termes d’une série réelle ou imaginaire ; et
Sy = Uo + + ee + Un (2)

» la somme des n premiers termes, n désignant un nombre entier
» quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la
» somme s, s'approche indéfiniment d’une certaine limite s, la
» série sera dite convergente, et la limite en question sera ce
» qu’on appelle la somme de la série. Au contraire, si, tandis
» que x croit indéfiniment, la somme s, ne s'approche d'aucune
» limite fixe, la série sera divergente et n'aura plus de somme (***).

(‘) Comment le nouvel éditeur des œuvres de ce grand Géomètre a-t-il
laissé passer, sans les signaler aux lecteurs, des théories aussi fausses?
M. Bertrand, dans sa belle édition de la Mécanique analytique, avait donné
un exemple bon à suivre.

(‘*) Exercices de Mathématiques, t. II, p. 221 (1827).

(***) On voit que Cauchy n’admet que deux espèces de séries. Cette clas-
sification, acceptée par la plupart des auteurs, ne me semble pas rationnelle.

Dire que

A A EM Re
est une série divergente, c’est attribuer au mot divergent unc acception
contraire à son sens habituel.

— 286 —

» D’après ces principes, pour que la série (1) soit convergente,
» il est nécessaire, et il suffit que les valeurs des sommes

Suns Snyis Snpas **

» correspondantes à de très-grandes valeurs de n, diffèrent
» très-peu les unes des autres, en d’autres termes, il est néces-
» saire, et {| suffit que la différence

Sagem — Sn = Un, + Un + + Unym-i (5)

» devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une
» valeur infiniment grande, quel que soit d’ailleurs le nombre
» entier représenté par m.….. »

J'ai déjà fait remarquer (Traité élémentaire des séries, p. 4)
que la phrase imprimée en italiques énonce (si je l’ai bien com-
prise) une proposition fausse; car le sens le plus naturel qu'on
lui puisse attribuer est celui-ci :

Une série est convergente si la somme d’un nombre quelconque
(mais déterminé) de termes conséculifs tend vers zéro, lorsque le
rang du premier d’entre eux croît indéfiniment; et il est évident
que la série harmonique satisfait à cette condition.

On peut, il est vrai, supposer que par l'expression quel que
soit le nombre entier m, Cauchy a voulu entendre que m peut
être infini, ou plutôt indéfiniment grand. Mais alors le théorème
énoncé (et non démontré) se réduirait à cette proposition aussi
insignifiante qu'incontestable : une série est convergente..…. quand
elle est convergente!

En effet, pour que la quantité s,,, — s, tende vers zéro quand
on y fait croître indéfiniment et successivement, d’abord m, ensuite
n, il faut et il suffit que cette quantité tende vers une limite finie
et déterminée quand on y fait d’abord croitre indéfiniment " ;
c'est-à-dire il faut et il sufjit que la série soit convergente; ce qui
n’apprend rien.

IT. Cette proposition fausse ou insignifiante, que l'on est
étonné de rencontrer chez l'illustre Géomètre à qui l’on doit les
vrais principes sur la convergence des séries ; cette proposition,

— 287 —

dis-je, a été reproduite, avec aggravation, dans un grand nombre
d'ouvrages didactiques, la plupart très recommandables. Voici
quelques eitations :

1° « Réciproquement, lorsque toutes ces conditions (*) sont
remplies, la série est convergente ; car les sommes 5,, 8,4:,
Sugar Sy439 CtC., pouvant devenir aussi peu différentes les unes
des autres qu’on le veut, ces sommes convergent nécessaire-
ment vers une limite... » (Algèbre de Choquet et Mayer,

p. 584, 1849.)

Ici, l'erreur est manifeste : la différence $,,, — s, peut tendre

vers Zéro, pendant que 5, et s,,, Croissent indéfiniment.

2 « Réciproquement si la somme € (**) tend vers zéro, quel
que soit #, quand n augmente indéfiniment, toutes les
sommes désignées par s,,,, différant très peu les unes des
autres, quand n est très grand, tendent évidemment vers une
limite commune, et la série est convergente. » (Brior, Lecons

d’Algèbre, 2% partie, p. 51, 1853.)

Évidemment, les sommes désignées par s,,, peuvent croître

au delà de toute limite, tout en différant très peu les unes des
autres.

ÿ

ŸY

>

3° « Pour qu’une série soit convergente, la condition néces-
saire el suffisante consiste en ce que la somme d’un nombre
quelconque de termes au-delà du n°", u,, soit aussi petite que
l’on voudra, si n est suffisamment grand. Cette condition...
est suffisante, car si

Usa EN DO Eure Un;

est compris entre — € et + €, S,,, Scra comprise entre S, — €
et S, + €, limites qui se rapprocheront de plus en plus à
mesure que x auginentera.…. » (STurM, Cours d'Analyse,

LE, p. 54, 1857.)

(*) Celles dont il vient d’être question.
("*) « désigne sum — 5».

— 288 —

Si S, croit indéfiniment avec n, il en est de même pour $,,,,;
done la proposition et la démonstration sont inexactes (*).

IV. Une théorie des séries, très rigoureuse et très complète,
se trouve dans le Trailé de Calcul différentiel et de Calcul
intégral, de M. Bertrand. Comment se fait-il que ce Géomètre,
dont personne ne conteste l’érudition et la sagacité, ait imprimé
la formule suivante, laquelle est toujours absurde ?

7 siny Asin2y Asin5y
“ fe =

_— + =
2 cosy 2cosy 5 cosy

2 00 (0)

Il est bien vrai que, quelques lignes plus bas, l’auteur ajoute :
« Nous retrouverons la plupart d’entre elles (la plupart de ces
» séries) par d’autres procédés qui nous permettront de décider
» dans quels cas elles sont applicables ». M. Bertrand s'est-il
réservé le plaisir d'apprendre plus tard, à ses lecteurs, qu'il a
voulu leur tendre un piège mathématique? Ce serait là une
étrange espièglerie (***).

V. Dans un Cours de Calcul différentiel et intégral (sie), que
fait paraitre M. Serret, on lit :
« Réciproquement, la série

Uos Us Us, Uyys

(*) Le Cours de Sturm a été publié, après la mort de l’auteur, par Prouhet,
l'un de ses meilleurs élèves, dont la fin prématurée est bien regrettable.
Il est donc possible que la faute signalée ne soit pas le fait du profond
Géomètre qui sut toujours, dans ses démonstrations, allier la rigueur à la
simplicité.

(*) Tome I, page 504. — Ce volume, publié en 1864, est le seul qui
ait paru.

(‘*) Le grand Traité de M. Bertrand, beaucoup plus complet, beaucoup
plus exact que celui de Lacroix, ne remplacera pas cette œuvre remar-
quable : il y manque (je parle du Trailé nouveau) l’ordre et le style. Puis,
contrairement à son respectable devancier, qui cherchait à rendre justice
à tous, M. Bertrand ne cite presque personne, sauf ses amis, bien entendu.
Croirait-on que, dans la Table des matières, M. Liouville est signalé, uni-
quement, pour avoir inventé une dénomination ?

os

z
=

est convergente lorsque la somme

Un + Un He + Unpp 1

a

tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente indéfiniment.
» En effet, désignons par € une quantité positive aussi petite
que l’on voudra, et par S, la somme des n premiers termes
de la série. Comme la différence

Sutp — Sn = y Æ Un Æ de Æ Uno

» tend vers zéro, quel que soit p, par hypothèse, quand n tend
» vers l'infini, on peut donner à # une valeur déterminée assez
grande pour que la différence dont il s’agit soit comprise, quel
» que soit p, entre — € et + €. On aura donc

C2

Sr On CO iriele:

Cela posé, le nombre n restant invariable, faisons tendre p
vers l'infini... »

On voit que le théorème de M. Serret est la proposition de
Cauchy, accompagnée d’une démonstration très peu claire : l’au-
teur en convient. On voit aussi, par les derniers mots cités, que,
suivant M. Serret, le nombre p doit être supposé indéfiniment
grand. Nous avons déjà démontré ($ IT) que la proposition de
Cauchy, entendue ainsi, équivaut à ce théorème inattaquable :
Une série est convergente quand elle est convergente ; mais, afin
d’élucider entièrement une théorie sur laquelle tant de Géomètres
se sont trompés, croyons-nous, nous allons, à propos du théorème
de M. Serret, reprendre et compléter notre démonstration.

Soit

Surp —S, = F (n, p).

Si, laissant n constant, on fait croître p indéfiniment, il peut
arriver deux choses : ou F(n, p) tend vers une limite finie et
déterminée À = F(n, œ ) — q(n), ou le contraire a lieu. D’après
l'énoncé de M. Serret, la seconde hypothèse doit être rejetée :
car dire qu’une quantité infinie tend vers zéro quand on fait
croître une variable n qui n’y entre pas, ou qu’une fonction de n,

419

— 290 —

périodique, a pour limile zéro, c’est proférer deux non-sens.
Reste donc le cas où F(n, © )—œ(n) —2À Mais alors la
somme des n + p premiers termes de la série tend vers S, + o(n)
lorsque, n restant invariable, n + p croit indéfiniment ; ainsi, la
série est convergente, et elle a pour somme la quantité constante

S, + p(n) =S ().
Ajouter, comme le fait M. Serret, la condition
lim.œo(n) = 0,

c'est demander que, dans une série convergente, la différence
entre la somme des n premiers termes et la limite de cette somme
tende vers zéro; c'est-à-dire, c'est demander que ce qui est, ait
lieu. Le théorème de M. Serret se réduit done, comme nous
l'avons annoncé, à celte naïveté : Une série est convergente, quand

elle est convergente.

VI. Le Traité élémentaire des séries renferme, à la page 110,
les relations

ru er Aus na T |
a? o—= sin" 30 + — Sin DD — ++ —-;,

sin” @ - () 5 o) Z (1)
9 1 9 æ 1 9 à T

HS RE GET C0 Poe mnt (2)

que j'ai tirées d'un Mémoire de Lobatto (**).

Si on les ajoute membre à membre, on trouve ce résultat

inexact
1 1 | T
+ -— +. 0
si ï) 7 2

(‘) Je dis que S, + p(n) = constante. En effet,

Sn = Sn + Un
et
Sn+! —= g(n) — Uni.
(”*) M. Lobatto, Professeur d'Analyse à l’Université de Delft, et auteur
d’un grand nombre de travaux intéressants, est mort l’année dernière.

— 291 —

Pour découvrir où git l'erreur, posons
2

1 fl
Gen 50 + Su 5P — + — À, (3)

1 1
RCE QE QE EN SE B; (4)

ou, ce qui est équivalent :

T

1 1
ip cs 2 = CE 6® + RE 109 — - — 9A,

4

À 1
+ cs 2p — 5 cos 6E + 5 cos 100 — | — 9B,

Or, lorsque l'arc x est compris entre — 7 et + 7 (exclusive-
ment), on a (*)
1 PTE PAIE .
COS © — — COS DX + — COS DE — + — —;
5 D 4
done, 29 étant compris entre les mêmes limites, on a aussi
OUR

En résumé, les formules (1), (2) doivent être remplacées par
celles-ci :

1 {

sin? ® — = sin® 59 + — sin” 5® — ... — 0, (4°)
6) à)

COS* @ — os + de DD — +. nt (21)
5 5 4°

auxquelles on doit joindre la double inégalité

Si l'on supposait

(") Traité élémentaire... p. 106.

on trouverait

| 1
one — (1);

1 1 T
A+ ——... —-;

DRE 2

relations fausses et contradictoires.

VIT. Nous terminerons par deux remarques importantes, déjà
publiées (*) :

1° Une série, dans laquelle la somme d'un nombre indéfiniment
grand de termes consécutifs a pour limite zéro, peut être diver-
gente.

Soit, par exemple, la série divergente

1 1 1
RCE EN OEEA

Prenons n termes à partir du x“"° : la somme
S S : :
D — = - + 0002 —————
k (2n + 1) ) L(2n + 1) 1)

est inférieure à — a ; donc

N

lim (S:, —S,) =

2 Une série à termes alternativement positifs et négatifs,
dans laquelle le terme général a pour limite zéro, peut être diver-
gente.

La série
1 Â ] À | |

UE ns == A 2 2m ORNE UE on +...
DE A0 170 ENS QE

(‘) Trailé élémentaire des séries, pp. 6 et 29.

— 293 —
satisfait aux deux conditions énoncées. Mais, si on l'écrit ainsi

| 1 1

D Li, ren
DA AS NAS A AS lt

on voit que

Il il 1 1
Si ++ — + + — ;
ROUES n

done la série est divergente.

Addition. — (Novembre 1884.)

Dans le Cours d'Analyse de l'École polytechnique, par M. C.
Jordan, on lit (*) :

«… On doit done, quelque petite que soit la quantité €, pou-
» voir déterminer une quantité n telle que l'on ait, pour toute
» valeur de p,

Sn+p re Un ER oo Untp < €
(en valeur absolue).

» Réciproquement, si cette condition est satisfaite (sic), deux
» quelconques des sommes considérées s,,, et s,,, différeront
» de moins de 2:. Les sommes successives s3, 5, .… $,, CONVer-
» geront donc vers une même limite. »

Comme nous l'avons fait observer ci-dessus (p. 287), la difjé-
rence Siyp —S peut tendre vers zéro, pendant que s,,, et 8,
croissent indéfiniment. La proposition énoncée est done inexacte.

() Tome I, page 402. Le titre du paragraphe est Séries infinies. Pour-
quoi infinies ?

— 294% —

LXVII — Sur un théorème d’Abel (‘).

I. Le théorème de l’illustre Norwégien a été ainsi énoncé par
l'auteur :
« Si la série

ke (a) = % + Vit Æ Von + ve LE ER ee

» est convergente pour une certaine valeur à de «, elle sera
» aussi convergente pour toute valeur moindre de &, et, pour
» des valeurs toujours décroissantes de , la fonction f(« — f)
» s'approche indéfiniment de la limite f(x), supposé que « soit
» égal ou inférieur à 0 (**). »

IT. En 1862 parut, dans le Journal de Mathématiques, une
Note ayant pour titre : Démonstration d’un théorème d’Abel;
Note de M. Lejeune-Dirichlet, communiquée par M. Liouville.
Voiei le commencement et la fin de cette Note :

« Il s’agit de prouver que si la série

D +++ ie +, +

n

» est convergente et a pour somme À, la somme de la série
» lo + Gp + PP ++ ap +:

» qui sera convergente à fortiori en prenant la variable p positive
et < 1, tendra vers la limite A lorsque l’on fera tendre indé-
» finiment p vers l'unité (***). Causant un jour avec mon excel-
» lent et si regrettable ami Lejeune-Dirichlet, je lui disais que je
» trouvais assez difficile à exposer (et même à comprendre) (*)
» Ja démonstration qu’Abel a donnée de ce théorème important.

[3

(‘) Cette Note à paru dans Mathesis.

(**) OEuvres d’A bel, Are édit., t. I, p. 69; 24e édit., p. 225.

(*"*) Ces six lignes sont, pour ainsi dire, la traduction du texte d’Abel,
rapporté ci-dessus.

(*) Ici, je suis complètement d'accord avec mon excellent el si regretté
ami Liouville.

oo

» Dirichlet se mit sur-le-champ à écrire sous mes yeux, dans le
» seul but de me venir en aide, la Note ci-après, qui m'a été
» d'un grand secours et qu'on me saura gré de livrer au public.
» Le mode de démonstration qu'on y trouve comporte de nom-
» breuses applications.

» Je ne pense pas que personne puisse songer désormais à
demander de nouveaux éclaireissements. »

>

JL. L'article du Journal de Mathématiques provoqua la lettre
suivante, qui n'a jamais été publiée. Elle ne le serait pas encore
aujourd’hui, si je ne la croyais propre à provoquer la discussion
sur une partie, assez obscure, de la théorie des séries. Sauf peut-
être en un seul point, mes opinions, touchant le théorème d’Abel
et la démonstration de Dirichlet, n'ont pas varié. Ceci dit, voici
la lettre :.

» Mon cher Monsieur Liouville,

» Votre numéro d’Août, que je reçois ce soir, me jette en de
» terribles perplexités : d’un côté, le Théorème d’Abel me semble
» évident ; de Fautre, la démonstration de Dirichlet exige, si je
» ne me trompe, de nouveaux éclaircissements : je veux dire
» qu'elle est bien compliquée. Accordez-moi, pour chacun de
ces deux points, trois minutes d'attention.
» 1° Si une série

=

» Ag + UE + ee + Ana He. (1)

» est convergente pour toutes les valeurs positives de x qui ne
» dépassent pas une certaine quantité b, de façon que, pour cha-
» eune de ces valeurs, la somme de la série (c'est-à-dire la limite
» vers laquelle tend fa somme de ses n premiers termes, quand
» n augmente indéfiniment) soit F(x); peut-on révoquer en
doute lexactitude de l'équation

=

» &y + Mb + 0° + ab +. = F(b)?

Autrement dit, peut-on contester celle-ci :

» limF(x) = F | lim x} —F(b)?

»

»

C2

ÿ

>

=

C4

4

CA

>

y
ŸY

— 296 —

» 2° Quoi qu'il en soit, si le Théorème d’Abel a besoin d’être
démontré (ce que je ne puis me persuader), voici un essai de
démonstration (*).

» Soient f(x) la somme des n premiers termes de la série (1),
(x) le reste : cette dénomination est permise, puisque la série
est convergente. On aura

» F(x) = f(x) + 9, (x). (2)

» Dans les deux membres, faisons tendre x vers b : la limite
du premier membre étant égale à la somme des limites des
deux parties qui composent le second, on aura encore

» F(b)— f,(b) + g,(b). (5)

» Maintenant, faisons croître n indéfiniment : d’après l’hypo-
thèse, le terme /,(b) tend vers une certaine limite B; le terme
9,(b) tend vers zéro (**). D'ailleurs F(b), ne contenant pas n,
n’a pas changé; donc enfin

» F(b) —B. (4)
» Votre bien affectionné et dévoué ancien élève,

» E. CATALAN.
» Paris, 25 janvier 1865 (9 h. !).

» P.S. En relisant mon 2, je m'aperçois qu’il n’ajoute rien à
l'évidence que je crois reconnaitre dans le Théorème en ques-
tion; et, malgré moi, je pense aux gens difficiles qui voudraient
démontrer ce postulatum, moins célèbre que celui d’'Euclide :

» Deux points C, D, étant situés de part et d'autre d’une
droite indéjinie AB ; la droite qui joint ces deux points coupe
nécessairement AB. »

() Ici, trois lignes étrangères à l’objet en litige, et que, par ce motif,

je supprime.

(‘”) Voir le paragraphe IV.

O0

IV. Dans certains cas très rares, la somme désignée par f,(b)
est indépendante de n : cette somme est une simple constante.
Par suite, le reste o,(b) se réduit, aussi, à une constante.
L'égalité (5) prenant la forme

F(b)=B + C, (5)

le raisonnement employé ci-dessus n’est plus applicable; et la
formule (4) se change en la dernière (*).
Soit, par exemple, la série

ne
Sin Æ — —$sin 2X + — SIN 9X — +,
2 5)
citée par Abel (**). Pour toutes les valeurs de x, inférieures à 7,
on a, comme l’a trouvé Fourier (***), F(x) —£x. En même
temps,
10 Let À
falx) = sin x — — sin 2x + —sin 5x — +. + —-sin nx.
2 9 n
Mais, lorsque x —7, la dernière somme s’annule : elle est

done indépendante de n. Aussi la formule (4), appliquée mal à
propos, donne-t-elle ce résultat absurde :

(‘) Sije ne me trompe, cette remarque, sur laquelle je reviendrai peut-
être, rend compte de certaines difficultés, bien connues, que présentent les
séries périodiques.

(**) OEuvres, t. II, p. 267.

(*’) Théorie de la Chaleur, p. 258.

Pose

EX VER. — Démonséradion d’une formule
de Poisson.

(Février 1867.)
Pour établir la relation

m
a + ni mes + + CG, "7? GP

172 M — (1)
= (p+1)C sn fee

M, p+A1 x (6 se cite
0

Poisson commence (*) par démontrer que le premier membre
équivaut à

1
É +16 Rene, HE bio de Gr | al

Ce lemme préliminaire, qui pourrait être vérifié directement,
est inutile.
En effet, de l'identité

LP? d—p—1 amp?
d. A+ — (ie AO Us

on conelut
k£—? 2x der Un Lo t—? di
— es LL 5
(HE R)e nf à (1 + D nf (A + a oi }; (6)
0 0
puis, en multipliant les deux membres par
MAN A ME DEEE

1 2 p
JP 1) C va pm—-p—1 dt . Je tm? dt
SERRE TR m Run mn AVE SR ET
p (1 He ky" P ar » PH (1 Es Dr 1 »P (1 se 10
0 0

(‘) Recherches sur la probabilité des jugements, p. 189. Dans les équa-
tions (1) et suivantes, à +B5=1,p+q=m.

== (D p a

(**) On a ainsi une relation simple entre deux intégrales définies très com-
plexes : chacune d'elles serait exprimée par un polynôme ou par une série.

— 299 —

Maintenant, si l'on change p en p — 1, p—2.….92,1,0,et
que l’on ajoute membre à membre les p + 1 équations ainsi for-
mées, on trouve

m 1

ke + f-1 ES boo ee ce LP k pm?! dt

EN CE ee moral
(il es ky" (p ) »p+1 (1 re t)f0re 2

0

et cette équation ne diffère pas, au fond, de l’équation (1).

LXIK. Démonstration d’une formule

d’Euler. (4840) (*).

Euler trouve

T | 1 {
== —— + —— — +
5 fl 15 49
| | | |
= —— + ——— +.
5 A1 17 25

Soient A, B les sommes des séries partielles. Il est visible que

1 dx 1 xtdx
a f ) B — ë
A+ x ; d + x
0

e
0

Or, généralement,

GE Et 2 1 DNS
dx = = arc ig x + —arctg D:

4 + x° 5 5 A x

Donc

(*) Movi Commentariæ, 1740.
(”) Pour vérifier cette formule, il suffit de différencier.

— 500 —
Addition. — (Juin 1884.)

Soit la relation connue (*) :

DA (ire r
eee (1)
7 . Nr
m sin —

0

dans laquelle, bien entendu , »m surpasse n.

Le premier membre égale
met MAT OE
— + ne ee
4 + 2” A+ 77
0 : 1

. . , 1 .
Si, dans la seconde intégrale, on change z en - , elle devient

1 g -n—1
——— dz.
1 +2"
0

On a done cette autre relation connue :
1 zn—1 Te g—n—i
A + z"

m Sin —
x m
d’où l’on peut conclure divers développements de 7; et, en

particulier, celui qu'Euler a trouvé (**).

(*) Due à Euler.

(**) La question actuelle est résolue, plus généralement, dans la

Note XXXVII.

st

— 9501 —

LXX. — Série de Saigey. (1841.)

M. Saigey (*) a trouvé que

2 NI AO" LG

+ ——— +.
DUO TARDE 10

I
=

Sa démonstration repose sur les égalités successives :

ER NET RC EN EN
2—2, + ——9, -+
à) D DEA DEA

On peut, généralement, établir la proposition suivante :

a, b, à étant des quantités positives, on a

a a(a+d) a(a + d)(a + 20)
+ :

a one Oern Ne à
DE

Démonstration. — 1° Le n“*" terme de la série étant

a(a + d).….(a+n—15)

b(b + 9)... (b rt)

UR—

I

soit S, la somme des n premiers termes. Posons :

ou

ou

U,=S, + u, (a + no).

Le changement de x en n + 1 donne, var soustraction,

Uni — Ù, = Un + du (a +n +1 ) — U, (a + nd),

ui — U, = Un [1 +a+n + 1) — b— no];
encore, d’après la condition (2) :
Us: ca U, = 0.

Ainsi, la quantité U, est constante.

(‘) Savant Physicien et Mathématicien, mort vers 1871.

+ ——— — 2, …

(5)

D'ailleurs,

U=u(i+a+d=-({+a+d)—=a;

(2
b
donc
U, = €. (5)
2 Cela posé, la relation (4) devient

u + d a + 20 a + nd

[it |
DID b+&n—10

EN ND té)
S,—=a |1 — — ES À, (6)
b b + 9 b+n—10d

ou

Si donc le produit

DE MN NET PE
P,— Le D D ET (7)
b b + d b+n—îid

a pour limite zéro, on aura
limS Ta: (8)

Or, il est connu que l'inverse de P,, savoir

1 1 1
rer, Â ne ll | |
hs) +233) +)

est un produit divergent. La proposition est done démontrée.
Application. — Soient a—V/2, b—2+V9, d—1. On
trouve, après suppression de facteurs communs :

 . |
a ———————— +
(1 +12) (2 + V/2) (2 + 1/2) (5 + 1/2)
F1
Ha ES NON

Cette égalité devient évidente quand on l'écrit ainsi :

Ç A 5 nr 1 É Ts ——

| s 1 | 40e"
+ + 0 — 2 — à
En2s rp20)

LKXE.

Une propriété des hélicoïdes.
(Octobre 1881.).

[. Soit une hélice H, tracée sur un cylindre de révolution.
Soit G une génératrice de ce cylindre. On sait que si une droite D
s’appuie sur ces deux lignes, en restant perpendiculaire à la seconde,
la surface ainsi engendrée est un hélicoïde à plan directeur.

J'ignore si l’on a fait attention à la propriété suivante, réci-
proque de la première :

Si deux hélicoïdes égaux ont même plan directeur, leur inter-
section est une hélice.

Prenons, pour plan de la figure, le plan directeur commun.
Soient alors O, O' les projections
des deux directrices rectilignes ; et
OA, O'A les génératrices situées
dans le plan directeur.

Quand une droite engendre un
hélicoïde, sa vitesse de translation
est proportionnelle à sa vitesse an-
gulaire (*). Si donc nous tracons
les droites Om, O'm faisant, avec
OA, O’A, un angle arbitraire «,
les nouvelles droites pourront être
regardées comme les projections des sections faites, dans les deux
surfaces, par un plan quelconque, parallèle au plan directeur.
Le lieu du point » est la circonférence OO'A; done le lieu du
point M, de l'espace, est une hélice, tracée sur le cylindre dont
cette circonférence est la section droite.

IT. La même figure démontre cet autre théorème :
Si deux hélicoïdes égaux ont même cône directeur (**), leur
intersection est une hélice.

(‘) En effet, l'équation de cette surface est

q
R—harcts LL
œ

D'ailleurs, la propriété énoncée résulte de la définition même de l’hélice.
(””) I s’agit, cette fois, de la surface de vis à filet triangulaire.

— 304 —

LXXITI. — Courbure des lignes et des surfaces (‘).

4. THÉORÈME princiPa. — AMB étant une ligne quelconque,

tracée sur une surface S ; soient

MT la tangente, MC — bp le

n rayon de courbure de AMB.

Soit encore MN la normale à S.

i En désignant par 0 l'angle NMC,

et en conservant les notations
ordinaires, on a

VA pq"
— C0 2 ———— FA) TA
É D ARTE | AI
2. Remarque. — Pour une

même surface S, une même
tangente MT, et un même plan
osculateur CMT, le second
T membre ne change pas. Done :

LL

TuéorÈME I. — Toutes les courbes G, C', GC", …, tracées sur
une surface S, et ayant même plan osculateur, ont aussi même
cercle osculateur.

3. TuéorÈme II. — Le cercle osculateur d’une ligne C, tracée
sur une surface S, est osculateur à la section faite, dans S, par
le plan osculateur de C : les lignes ©, C’ ont même courbure.

En effet, parmi les courbes C', C”, …, on peut considérer
l'intersection de S par le plan osculateur commun.

4. Remarques. — 1 (***). Ce Théorème IL, dont M. Bertrand
a donné une démonstration assez obscure, est, on le voit, un
simple corollaire du Théorème IT.

IT. La formule (A) a été donnée par Poisson (”). Mais ni iui,

(‘) Leçons faites à l’Université de Liége (1876).

(**) Démonstration connue. Voir, par exemple, le Mémoire de Poisson
(Journal de l'École polytechnique, 21° Cahier).

(**) Due à M. Mansion.

(”) Ou plutôt par Euler.

— 50 —

ni la plupart de ses continuateurs, n’ont fait observer qu'elle
s'applique à toute courbe, plane ou à double courbure, tracée
sur une surface (*).

5. Tuéorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans
le Théorème I, soit MI le rayon de courbure d’une ligne C;, tracée
sur S, et dont le plan osculateur soit NMT : le rayon MC, de C,
est la projection du rayon MI (**).

6. Supposons que C soit une courbe donnée. Par cette ligne
faisons passer une surface quelconque S, dont la normale soit MN.
D’après le dernier théorème, 1 est le centre de courbure de la
section normale, faite par le plan NMT. Donc :

Tuéorème V. — Les sections faites par un même plan TMN,
dans toutes les surfaces, S, S', S”', … contenant une même courbe
AMR et ayant une normale commune MN, ont même cercle
osculateur.

%. COROLLAIRES. — ]. Quand la normale MN varie, le lieu
des centres À, des circonférences osculatrices à toutes ces sections
planes, est l’axe du cercle osculateur à la courbe AMB.

" IL. Le lieu des mêmes
7 circonférences est une

cyclide à directrices

rectilignes : l’une des

: G directrices est MT;
l'autre est la droite

HGH', perpendiculaire

7 à MT, et passant par
H' le point G, diamétrale-
T ment opposé à M (***).

() On lit, dans le Cours d'Analyse de Sturm (t. 1, p. 201) : « Telle est
la formule qui donne le rayon de courbure d’une section quelconque... »
Pourquoi section ?

("”) Théorème de Meusnier, un peu généralisé.

(°**) J'ai proposé, pour cctte droite remarquable, la dénomination d'’anti-
tangente (Remarques sur la théorie des courbes ct des surfaces).

20

— 506 —

s. Remarque. — D'après le dernier théorème, le second
membre de la formule
R — LASER (B)
ra + 2sab + tb?
est constant pour toutes les sections faites, par le plan TMN,
dans les surfaces S, S', S''.. La normale commune MN et la
tangente MT dépendent seulement : l’une, des quantités p, q;
l’autre, des quantités a, b. Donc, pour toutes les surfaces S, S’,
S", …, la fonction ra? + 2sab + tb? est invariable (*).

9. Relation entre deux théorèmes. — La proposition démon-
trée dans la Note XVIT, et le Théorème de Meusnier, ont une
grande analogie. On peut fa développer comme il suit :

Soit une développable Z, coupée par un plan P. Soit M un

point de la courbe d’in-

N tersection, C. Supposons

le plan de la figure per-

\ pendiculaire à la tan-

gente en M. Soient alors

MP la trace du plan P,

et MT Ia trace du plan

\ tangent à S, en M. Me-

N nons encore MN perpen-

o! N . diculaire à MT: MN est
Dore rois Oil ainormalente

5 7 M
7 D'après le Théorème
de Meusnier, le centre
de courbure O, de la
0 !

ligne C, est la projection
du centre de courbure fF,

7 de la section normale :
:

G

e —R cos 0.

(") A cause de

Î
COS V = ———

V1 +p° +

cette fonction représente l’inverse de la projection de MI sur l’axe Oz.

— 507 —

D'un autre côté, si R, est le rayon de courbure de la trans-

formée par développement,

pe — R, cos TMP,

ou
pe —R;sine.

Done R, est représenté, en grandeur, par MG.

De là résulte, en particulier,

—

1 il il
AT

+ —-

= 19

(C)

406. Généralisation. — Si GC est une courbe quelconque, tracée
sur une surface S, non développable, on remplace P par le plan
osculateur, et S par la développable X, circonscrite suivant C.

#4. TaéorÈme VI (de Hachette) (*). — AMB étant l'inter-

N

kr

section de deux sur-
faces S, S'; soient MI,
MI Les rayons de
courbure de deux sec-
tions normales, conte-
nant la tangente MT.
Si, du point M, on
abaisse MO perpendi-
culaire à IF’, O est le
centre de courbure de
AMB, et OMT est le
plan osculateur de
celte ligne.

En effet, parmi toutes les droites finies, menées du point M,
perpendiculairement à MT, MO est la seule qui soit, à la fois,

projection de MI et de MF".

() Retrouvé par Binet (Comptes rendus, t. XIX), et généralisé par
M. Gilbert (Mémoire sur la théorie générale des lignes.., 1868).

— 508 —

#2. Remarques. — 1. Si les surfaces S, S' sont orthogonales,
il résulte, de la comparaison des deux figures précédentes, que
les points G, [” coïncident. Ainsi :

THéorÈME VIL — Le rayon R,, de la transformée par déve-
loppement, est égal au rayon R' de la section faite, par le plan
tangent à S, dans la surface S', orthogonale à S (*).

II. Parmi toutes les surfaces orthogonales à S, le long de la
courbe AMB, on peut choisir la normalie ayant AMB pour
directrice. Le dernier énoncé prend donc cette autre forme :

Taéorème VIIL. — Soit une courbe C, tracée sur une surface S.
Soit N la normalie à S, ayant C pour directrice. Si l’on trans-
forme, par développement, la courbe C, le rayon R,, de la trans-
formée, est égal au rayon de la section faite, dans N, par le plan
tangent à S, en un point quelconque de C.

IT. © étant l’angle des normales MN, MN’, le double de l'aire
du triangle IM[" est

MO. I = MT. Ml sin o — RR’ sin o.

Mais,
—2
W'—R° + R°— 2RR' cos y;
donc
p°(R? + R'°— 2RR' cos @) — R°R"* sin°®,
ou
sin? @ il 1 2
= — + — — — cos;

DD RENUR EMEA

1 I

(‘) Bien entendu, si, à la surface S', on circonscrit, suivant AMB , une
développable 2’, le rayon de la nouvelle transformée égale R. A ce point de
vue, deux surfaces orthogonales quelconques sont conjuguées.

(‘*) Cette relation, semblable à la formule (C), peut servir à démontrer
le Théorème VII.

— 509 —

IV. Soient, en un point M d’une surface S, MN la normale, et MG

une droite située dans le plan

D tangent. Le plan GMN déter-

mine une section normale. Soit I

le centre de courbure de cette

——— n section. Par le point M, faisons

passer une surface $’, choisie de

manière que la normale MN’,

à S', soit perpendiculaire à MG.

[' étant le centre de courbure

de la section normale GMN’, le

centre de courbure O, de l'intersection des deux surfaces, est le

pied de la perpendiculaire abaissée de M sur IF. Ce point appar-
tient à la circonférence décrite sur MI comme diamètre. Donc

TuHéorème IX. — Le lieu des centres de courbure de toutes les
lignes qui, tracées sur une surface S, ont un point commun M
et une langente commune MG, est la circonférence décrite sur le
rayon MI de la section normale GMN, pris comme diamètre.
Cette circonférence est située dans le plan NMN', perpendiculaire
à la tangente MG.

13. Si MG varie, le centre O varie aussi. Il en est de mème
pour la circonférence dont nous venons de parler. Mais cette
circonférence passe au point M, et rencontre toujours la nor-
male MN. En conséquence :

THéoRÈME X. — Si l’on trace, sur une surface S, une infinité
de lignes ayant un point commun M, leurs centres de courbure,
relatifs à ce point, appartiennent à une surface cyclotomique
ayant, pour directrice rectiligne, la normale MN à S (*).

(*) Cette surface est l’osculatrice de Ghysens ( Remarques sur la théorie
des courbes et des surfaces, p. 10). Nous appelons cyclide toute surface
engendrée par une circonférence variable; la cyclotomique exceptée.

— 510 —

LXXIIT. Une intégrale définie.

(Septembre 1868.)

Suivant Poisson (*) :

T
0

D?nt1 T
Cou, 291 — [| ? cos”? x cos (2n + 2 — 4p) xdx. (1)

Par conséquent, si l’on fait, pour abréger,

SA —

P

cos(2n — 2) x + cos(2n — 6) x +». + COS(2n + 2—4p)x, (2)

on à
c)2n+1 T
Con + Cons ee + Coop L de COS LS, UE (©)
0
En général . k+1
8 . sin o]
2 k
cos a + COS (a + à) + + + COS (a + ko) = ——— cos | a + SUIE
L
; sin — à 6
done, à cause de 2
a—(2n +2—4p)z, dx, k—p—1:
sin 2px e 9p)
= ———— cos (2n — 2p) x.
1 sin 2x 1
La formule (2) devient
Con, 1 1 Cou, s A TT Con, 2p—1
9?n+1 7 sin 2px k
= [ * cos” x se cos (2n — 2p) xdx. ÿ)
T sin 2x

0

Lorsque p — n, le premier membre est la somme des termes
de rang pair, dans le développement de (1 + 1)”; c'est-à-dire
2-1, On a donc

gs sin 2nx F
1 2 COS à ——— dx = —(*). (A)
L sin 2x L

0

() Recherches sur les probabilités des jugements, p. 181.
(‘*) La simplicité de ce résultat est le seul motif qui m'engage à le publier.
(Décembre 1884.)

nn es

Addition. — (Décembre 1884.)

En général (*) :

Jn+i T
Co — 1e cos" x cos (n — 2q) xdx; (b)
t ‘0
done
DR eZ
COCO SEC EC EE MCOSA TS dre 0(6)
T

0
S, représentant

COS NX + COS (N — 2) x +... + cos (n — 24) x;
ou, par la formule rappelée ci-dessus :

sin(g + |l)x
== ———— cos (n — q) x.

q

sin x
Conséquemment,
DES LS sin(g +4 )x
Cent EC nr ? cos" x ie cos(n—q)xdx; (7)
To SIn x
0
ONG D:
_ sin (nr + 1)x Tr
COS LE ——— (x = = (B)
: sin x 2
0
Remarques. — 1. La comparaison des formules (A), (B)

donne ce résultat connu :

A

[cos x cos (2n + 1) xdx = 0.

0

Il. D’après une relation démontrée dans la Note LXVII
(p. 299), le premier membre de l'égalité (7) égale

DRE AG
2"(g +1), Eu (A + D É
0

(‘) Recherches sur les probabilités des jugements, p. 181.

— 9512 —

Par conséquent,

tes x ORAE cos (n — q) xdx —

sin x

0 n

g—+l nt (C)
== 2 LE CU TL NE ;
2 (1 + 1}

0

ou, si l’on suppose {— 19? :

7 l
Ta COST LOUE cos (n — q) xdx

sin x

z (D)
—(g+1l)7rc,, nr Mein OC aq:

0

IT. En particulier,

z ,. Sinnx M
COS" EG — dx = nr cos”! © sin œdy;
. sin x :

0 0

cest-à-dire,

Que sin nx Tr | 1
7 COS DIET ii = (1 — .) (O (E)

sin x 2

0

LXXIEV. — Application d’une formule de Jacobhi.
(Novembre 1868.)

I. Cette formule remarquable, assez facile à vérifier (*”"), est

d"-1(1 — x?" 1.3.3..2n — 1
re Lo RE NE À
dE n

on y suppose
G— COST: (2)
Nous allons en déduire un développement de sin na, suivant
les puissances de cos à.

(‘) Cette valeur simple résulte aussi de la relation (C).
("*) Dans le tome VI du Journal de Mathématiques, M. Liouville en a
donné une démonstration.

— 3513 —
IT. Soit, pour abréger,

2n—1 In—5 In—2p+1

ne Din SUR ART UUR 3
Fume 2 4 2p . ®

alors

p=0
Prenant la dérivée d'ordre n — 1, on a donc
d' y p=o
TN CHA DOME Or RE Pere ue (1)

p—0

pourvu que la série soit convergente.

HI. Si 2p est inférieur à n — 1, la dérivée (n — 1)°* de x*”?
est nulle. On doit done, dans l'égalité (5), supposer 2p > n — 1:
tous les facteurs qui suivent À, sont positifs. En outre,

À, . 2p (2p — 1)... (2p —n + 9) —

(9n — 1)(2n — 5). (90 — 2p +1) ,
TE MEL D CL (2p — 1). (2p — n +2) —
(2n — 1) (2n — 5)... (2n — 2p +1) 16125620
2RAIG)... 20 182 .(2p—n +1)

St
(27 — 1) (2n — 5)... (An — 2p + 1).1.5.5.....(2p — 1)
1.2.5...(2p —n +1)

La formule précédente devient :

dr yo
dx'n:
+ nn 5)...(2r— 92 1).4.5.5...(92p —1
S (—1y! n )(2n—5)...(2n p+1).1.5.5...(2p ) pm (6)

1 2.3...(2n—n+t1)

__n—1
É 15 |]

IV. Comparant les expressions (1) et (6), nous avons done
le développement annoncé :

k n
sin nx — (— 1)!

de Dee AD 1 (A)
(2n—1)(9n—5)..(2n—2p+1 . 5.5....12p—1) 2p-n+i |
Det 1.2.5...(2p—n+1) SA EE |

— 514 —

Par exemple,

5 5.3...(7 —92p
sin 54 — S(—1y 1.5.5... (2p — 1)(cos «)? ?
ane ed one CS
ou
SIN 9% —
APE SA : DS D 44 #
| —5+—1.5c05a— —— 1,5.5C0$ x — —— 1.5.5. 7008 — |
b) 4.2 4 1.2 5.4 5.6
ou enfin
Cr 9 à 11000
SIN 0 AE COS AE COS COS da
2 8 16

V. On peut, de plusieurs manières, vérifier la convergence
de la série (A), pour les valeurs de cos à différentes de Æ 1.
D'ailleurs, il est facile de prouver, a priori, la possibilité du
développement de sin n«, suivant les puissances de cos. En
effet :

Sin n%

1° = — (9 cos a} 1— C,_,, (2 cos «)*
Sin & ) : at : ) (7)
OP cos) EEE) EL
n étant tnpair (*).
1 l 1
DS (A nn CS COS (8)

Par conséquent, si l’on multiplie cette série (8) par le poly-
nome (7), on aura le développement de sin na, lequel devra être
identique avec (A). En exprimant cette identité, nous allons
trouver une formule de sommation qu'il n'est peut-être pas
inutile d'indiquer.

VI. Le second membre de l'égalité (8) peut être écrit ainsi :

1 —F(cos° a)
1.5.5..9q 5 Ho (29—1)(24+1)

27e t 2
— —— cos" «À DE COS AH ——————— çC0S a+:

NT mu re (24+2)2q + 4) /

(*) Sur quelques développements de sin nx et de cos nx (NOUVELLES ANNALES,

1885). L'application à » — 7 renferme une faute de signe : au lieu de
sin 7r SIN

a on doitlire
SIN SID ZX

— 515 —

F(cos? æ) étant un polynôme entier, dont le degré ne surpasse
pas 2q — 2. Autrement dit, dans le développement de sin nc,
le coefficient de (eos «)"-"T*# égale

ne .3.D es cu Poele) e) ]
DAAIUE #20 2q+2 : : (2q+2)2q+4)

15.5...2q—5 D tone 2q—1 sions (2q9—1)(2q+1) ue \
2.1.6...2q En (29+2)(2q+0) )
—(_ jy n Qn—1)2n—5)..(2n-2p+1)..15.5.(02p—0)
1.5.5... (2n—1) 1.2.3...(2p— n +1)
si
2p—n+1—n— 1 + 29;
c'est-à-dire, st
p=n+q—t.
Cette relation peut être notablement simplifiée.
D'abord, la valeur de p transforme le second membre en
n (2n—1)(2n—5)..(5—2q)... Ai 5.5..(2n+2q7—5)

(— 1)! © —© — ——_—_——— —— —— ——_———— ———
1.5.5...(2n —1) 1.2.5...{(n + 2q —1)

En second lieu, le produit

(2n — 1) (2n — 5)..(5 — 2q)

L'égalité (9) devient done, par la suppression de deux facteurs
communs :

5q—1)(2 l
ec g—l(2qg+1)
29 +2 (2q + 2)(2q + 4)

n 3, 2 Tai

5... (2n + 2q —5)

NS TD En

— 516 —

ou, finalement,

no rt ne te 1) 2q + 1) An
DD 0 ete) x
_ (29 +3) (29 +5) .-(q + 2n—5) (B)
(2q + 2)(2q + 5)... (2q + n—1)
VIL Remarques. — 1. Cette relation, trouvée en supposant »

impair, est générale.
II. Lorsque q croit indéfiniment, elle donne l'identité con-
nue (*) :

DR Or PC OMC OP Ce — mn)

LXKV. — Sur les asymptotes des courbes

algébriques (‘*).

%. Leume. — Soit F(x, À) — 0 une équation algébrique, du
degré m par rapport à x. Soit, pour À—=a, n le nombre des
racines réelles : m — n est un nombre pair.

En effet, m — n est le nombre des valeurs imaginaires de x,
répondant à À = «.

2. Remarque. — L’énoncé et la démonstration supposent que
le coefficient de x" ne s’annule pas pour À — «. En outre, pour
plus de simplicité, nous admettons que les valeurs réelles de x,
répondant à À — «, sont inégales.

3. CorozLaiRe 1 — Si, pour À— a, a, a", …, l’équation

2 2 2 2 9
F(x,})—0an,n',n",… racines réelles, les nombres n, n', n”, …
sont de même parité.

4. CoroLLaiRe IT. — Si une courbe algébrique est rencontrée,
en p, p',p',… points, par des droites d, d', d”’, … parallèles
entre elles, les nombres p, p', p'', … sont de mème parité.

(‘) Sur quelques développements de sin nx et de cos nx.
(**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. 1.

— 517 —

5. CoroLLaire III. — Les courbes algébriques n'ont pas de
point d'arrêt.

Supposons qu'un arc AB se termine brusquement en A.
Menons, de part et d'autre du point d'arrêt À, deux parallèles
d, d', infiniment voisines de ce point. Si la droite d, qui coupe
AB, à p points communs avec la courbe, la droite d' n’en a que
p — 1. Donc la courbe considérée n'est pas algébrique.

&6. Remarque. — Soit une ligne plane quelconque, traJec-
toire d’un point M qui s'arrête après être revenu à sa posi-
tion initiale À (*) : le nombre des points d’intersection de celle
ligne, avec une transversale quelconque, rectiligne ou curviligne,
est pair.

En effet, si la transversale rencontre la courbe aux trois
points A, B, C, par exemple; les ares AA’, CC’, situés de part
et d’autre de la transversale, donnent lieu, en se réunissant, à
un quatrième point d’intersection (**).

2. Remarque. — La dernière proposition parait en défaut
dans ce problème, bien connu des écoliers : tracer, d’un seul
coup de crayon, les côtés et l’une des diagonales d’un rectangle
ABCD. Mais, si À est la position initiale du curseur, celui-ci,
après avoir décrit la diagonale AC, doit, d’après l'hypothèse (6),
revenir en À : cette condition entraîne la construction d'une
nouvelle ligne CEA, allant de C en A.

8. Des BRANCHES iNFINIES. — Si un point M, parti de la posi-
tion À, décrit une ligne ABCD, de manière que la distance
rectiligne AM puisse croitre au delà de toute limite, nous dirons
que la trajectoire ABCD à une branche infinie.

9. Remarque. — D'après cette définition, un seul arc continu,
indéfini dans les deux sens, est considéré comme composé de

(‘) Cette ligne est un trait de plume, une toile d’araignée, etc.
(‘‘) Ce raisonnement est celui dont on fait usage pour établir, par la
Géométrie, les théorèmes sur l'existence des racines réelles.

— 518 —

deux branches infinies. Par exemple, l’hyperbole ordinaire a quatre
branches infinies ; la ligne droîte a deux branches infinies; etc. (*).

#0. THÉORÈME. — Dans toute courbe algébrique, le nombre
des branches infinies (**), asymptotiques à une même droite,
est pair.

Soit F(x, y) — 0 l'équation de la courbe, rapportée à
l’asymptote X'OX, prise comme axe des abseisses : F(x, y) est
un polynôme entier. Soient y—æ+e les équations de deux
droites MQ, M'Q', parallèles à X’X : ces transversales rencon-
trent la courbe en divers points M, G, IE, L, Q, …, M’, G', …
Soient M, Q,.. M", les points qui s’éloignent indéfiniment de
l'origine O et se rapprochent indéfiniment de X’X, lorsque &
tend vers zéro. Pour exprimer ce fait, nous dirons que les
points M, Q,… M' se transportent à l’infini, ou que chacune
des branches infinies rencontre l’asymptote en un point situé à
Pinfini (7).

(*) Pour éviter toute confusion, on pourrait reprendre les dénominations
de bras ou de rameaux, employées par les anciens Géomètres. C’est ce qu’a
fait M. de La Gournerie : « chaque branche (infinie) est formée de deux BRAS... »
(Traité de Géométrie descriptive, p. 91.)

(*) Ou plutôt : des bras.

(**) Plusieurs Géomètres, très estimables d’ailleurs, admettent, a priori,
que lasymptote, ct une même branche de la courbe, ont au moins, deux points
communs, situés à l’infini. Cette manière de voir ne me parait pas acceptable.
A plus forte raison ne saurais-je croire à l’'axiome suivant : on peul considérer

— 519 —

Cela posé, il s’agit de démontrer que le nombre des points
M,Q,... M', est pair.

Soient #, n' les nombres de valeurs réelles de x, répondant à
y—=+ey——scin+n est pair (Corollaire Il). Supposons
que, pour y — 0, l'équation F(x, y) — 0 devienne X = 0 (*).
Les racines réelles de cette nouvelle équation déterminent les
points H, K, … situés sur X’X, à des distances finies de l'ori-
gine. Soit p le nombre de ces points, ou le nombre des racines
réelles de X — 0. Comme on le voit à l'inspection de la figure,
ces racines sont les limites communes des racines réelles, soit de
l'équation

(ne) =10
soit de l’équation
F(x, — €) = 0,

qui ne croissent pas indéfiniment quand & tend vers zéro. Le
nombre de celles-ei est done 2p (**). Conséquemment, le nombre
des points situés à l'infini est n + n° — 2p.

Remarque. — Le théorème peut encore être énoncé ainsi :
Dans toute courbe algébrique, le nombre des points situés à l’infini,
sur la courbe et sur une asymptote quelconque, est nécessairement
pair.

une droite comme une courbe fermée, dans laquelle un point situé à l’infini
forme la jonction des deux bras qui s'étendent dans les deux sens opposes;
ou à d’autres du même genre.

(‘) On fait abstraction des valeurs infinies de +.

(**) Le point H est la limite commune de G et G'; le point K est la limite
commune de [et de L; etc. On voit que la démonstration serait en défaut
si la courbe considérée pouvait avoir des points d’arrêt. Aussi avons-nous
commencé par établir qu’elle n’en a pas. :

LXXVI — Théorème de Staudt et Clausen. (1880) (*).

I. LeMMESs PRÉLIMINAIRES. — Ï. Si n est un nombre non pre-
nier, supérieur à 4, on a

1.2.5...(n—2)—= Mn.

Soit n — abc …, les facteurs a, b, c, … étant premiers entre
eux, deux à deux. Chacun de ces facteurs ne surpasse pas © ;
done il se rencontre dans Ja suite 2, 5, …, (n — 2). Par consé-
quent, le produit 1.2.5. (n — 2) est divisible par abc …

IT. Si n est un nombre premier, supérieur à un nombre entier K,

/
(n—2)(n —5).….(n —}

— k
ONE ee T GUÈL SEE

selon que k est pair ou impair.

4° Le numérateur, composé de Æ — 1 facteurs consécutifs,
est divisible par le dénominatcur.

2 Si k est pair, ce numérateur est un multiple de n, diminué
de 2e. E.

En représentant par Pn ce multiple, et en appelant F la frac-
tion proposée, on a donc

Pr

te
1.2...(k—1)

— k —= entier.

5° A cause des hypothèses faites sur n et k, le produit
1.2...(k— 1), qui divise Pn, est premier avec n : il divise P;
et, finalement,

F = Jin — k.

Mème démonstration si k est impair.

(‘) La démonstration suivante a été mentionnée ci-dessus (p. 101). Nous
croyons pouvoir la reproduire, en y introduisant quelques améliorations.

— 521 —

IIT. n étant un nombre premier, impair, et p un nombre entier,
moindre que n — 1, on a

Sp, na +2 + + (n = 1)? — NU n CE
IV. Si n est un nombre premier, impair, on a
Sn ES PA lo LESC EX

D'après le Théorème de Fermat, chacune des puissances n — 1
est un multiple de n, augmenté de l'unité; done

Sani = DIR + (n — 1) = An —1.

V. (CoroLLaiRe DES LEMMES [I ET IV). n étant un nombre pre-
mier, impair, la somme S, _, est un multiple de n, diminué de
Punité, ou un multiple de n, selon que n — À divise ou ne divise
pas l’exposant p.

VI. Les nombres de Bernoulli sont donnés par chacune des
deux formules :

1 | 1 I ; qg+2
nn AC AO) EE NT A EE 0
B, 5 = AE EAN) + A (UE : M(17, (A)
ARS |
De PAU) TONI
1:2:3..(n 9)
_ ; pu, + (B)
1.2.9
Lane p (qq)

dans lesquelles q est impair (**).

(‘) Ce curieux théorème, presque évident, a été démontré par Lionnet
(Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 1, 1845), J’ignore à qui on le doit.
Voir le Mémoire intitulé : Quelques théorèmes d’Arithmétique (1884).

(*) Sur les différences de 4°, et sur le calcul des Nombres de Bernoulli
(MÉLANGES MATHÉMATIQUES; ANNALI D1 MaremaATICA, 1859). Dans cette Note,
les nombres entiers ÿ(1, q), #(2, q), … sont désignés par B,, C,, …

21

= Ee

II. THéorèMEe pe STAUDT ET CLAUSEN. — Soient n, n', n”, … les
nombres premiers, impairs, tels que n — 1, n'—1,n"— 1, …
divisent q + 1. Le q“"* Nombre de Bernoulli, B,, est donné par

la formule
- É 4:14 1
— BD, — OS Re pt DEL 0 (C)

dans laquelle E, est un entier, positif ou négatif.

Démonstration. — A1 s’agit d'examiner quelles sont, dans la
formule (A), les fractions réductibles à des nombres entiers.

(Goo eue)!

SNS

A (15) —

Lo
L

q étant impair, 3 = JAN 4 — 1. Donc la quantité entre paren-
thèses est un multiple de 4; et, en conséquence,

1
à AM) "entier:

2% Sin est un nombre composé, supérieur à k,

1.2 3..(n—2)

à q(n — 2, q) — entier ;

d'après le Lemme I.
3° Soit n premier, impair.
On a
A2 (19) = (n — 1 — -

Par le Lemme IF, le second membre égale
A+ (n—1)+Q(n —2) + 5(n —5)+ + + (n— 2)21+ (n — A1)A?,

ou
NUA — [ (ne — AJ + (n — 9) + + IH 1H)

Ainsi
A MDN S,:,, 1. (E)

— 925 —

IL y a, maintenant, deux cas à distinguer :
Si n — 1 ne divise pas q + 1, le second membre est un mul-
tiple de n :

1
— A7? (11) = entier.
n

Si, au contraire, n — 1 divise q + 1, l'égalité (E) devient

A (19) = In — (Na — 1),

ou
1 d Î
— A (19 = entier + —:
n .n
En résumé,
A RE CA AA
PR ere pee er + 6710,

ARNO NS en nn
ou, ce qui est équivalent,

A le ADIEU
LOU FRE SA VE RENE PE RU F
q q 9 5 n' n'' n'!! ( )

II. Remarques. — 1° Soit

DANSE nm 2.5.nn'n'"
Cette fraction est érréductible (*). Donc la forme la plus simple
des nombres de Bernoulli est
N,
(G)

B, = + TT EAU/0
2.5.nNn nn.

2° Tous les dénominateurs sont divisibles par 6.

En effet, le nombre pair, q + 1, est divisible par 2— 1
et par 5 — 1.

3° Sin —5, q— A4 — 1:B;,B;,B,,,… contiennent, en
dénominateur, le facteur 5.

De même, B;, B,4, By7, … contiennent, en dénominateur, le
facteur 7; etc.

(°) Proposition démontrée dans les éléments d’arithmétique.

— 9524 —

4 Si 4 divise q + 1, et que les nombres 2n'— 1, 2n” — 1, …
soient composés, B, et B,,,, ont même partie fractionnaire.
Les diviseurs de g +1 étant

1,09 na AN On A.
ceux de 2q + 2 sont
4, 2, 4, 9n'—9, 9n'—9,…
Ceux-ci, augmentés de l’unité, deviennent
DNS ND One MP MOT EI ER

A ’ na V0 sh : ne À 1 ;
Si 2n'— 1 était premier, B,,,, contiendrait la ACHON EE
mais, par hypothèse, 2n' — 1 est un nombre non-premier. Done
B,,,1 et B, sont composés des mêmes fractions.

Par exemple,

6 | il
By —0 tt -+ —)
DORE à) 47
À 1 | 1
SR OS (ne ee en
DNS 5 17
donc
By; — B; — 15 116 515 760.
Se Généralisation du Lemme II :
en 2E CE =. NTn (QE
Exemple :
114.10.9.8 21.920.19.18
RER GRR ne) TORON)

MERE? 1.2.5.

(*) Si g est pair, on doit prendre le signe —.

— 525 —
Addition. — (Janvier 1885.)

IV. Le Lemme II peut être énoncé ainsi :
n étant un nombre premier, supérieur à k,

CE k—A1 —= JR n == k,

selon que k est pair ou impair.
Si l’on change k en £ — 1, on a donc

Cr — Ita Æ(i— 1);
et, par conséquent,
Ce,pa + Cno,re = ON n + (—1 ne (H)

Ainsi, dans le développement de (x + a)"* (n premier), la
somme de deux coefficients consécutifs est un multiple de n,
augmenté ou diminué de 1.

En outre :

la somme des deux premiers coefficients égale Mn —1,
la somme des quatre premiers coefficients égale An — 2,

la somme des six premiers coefficients égale Mn — 5,

n —1

la somme de tous les coefficients égale M n — (#):
V. On sait que
C,_», Pere? C,_2,1-0 = Grer
Par conséquent :
Dans le développement de (x + a)" (n premier), chaque

coefficient est un multiple de n, augmenté ou diminué de 1 (**).

(*) Cette dernière somme est 2"—*, Donc
DL | OCR I PS

conformément au Théorème de Fermat.
("*) La démonstration directe est semblable à celle du Lemme II.

— 9326 —

VI. Sin — 2 est premier, le premier membre de l'égalité (H)
a, simultanément, la forme nx + 1 et la forme (n — 2)y. Donc,
pour satisfaire à l'équation

nx —(n—2)y = +E À,

on peut prendre
1

n — 9

f
Ceres ,

7

k étant compris entre 5 et n — 5, inclusivement.

Exemple :
15x — 11y— + 1.
Faisant
RSA EE NN 0)
on trouve

puis
ris D Re Demhrire 7

VII De la relation

C DE Ce — DAC ñ ,

P+4: q
ou
Coq CNET :DEGS C, pH, — IC n,

on conclut aisément
Cp, à Æ Cn-gnip = On ();
puis
C,_»-1,0 ns CM Du re CE n-p-1 —

Æ [Opus o — Ce p + + EC, | + ONU.

Le premier membre égale 2"7-* Donc, si l'on multiplie
par 2”, et qu'on applique le Théorème de Fermat, on a

+ PC, Gate EC. le tn 1(#) UK)

(‘) On doit prendre le signe supérieur, si p et q sont de même parité.
("*) Le signe +., si p est pair.

— 527 —
Par exemple,
2 [Co 6 TS Co, 6 A C6 ES Cr Em Co, 6] — JU 11 + À.

En effet, la quantité entre parenthèses égale 148; et, si l'on
néglige les multiples de 11, il reste

2 x 5—1i —1.

VIII. Remarque. — La relation (K) deviendrait plus intéres-
sante si l’on savait évaluer

7 e
Ci4,p ra C=2,p HE DEEE

mais cette recherche nous semble diflicile.

LKXXVEHE.

Sur wume série double (*).

%. THÉORÈME. — Soit
fa) = ao + 4x + ax +...
Soit la série double, supposée convergente :

S — 9 + GX + Aux? +

Y(ax + Aù° +...)

(m + 1)(m + 9)
41.12

y{@ox* + ax + +)
Hs
m étant un nombre entier.

Si l’on pose

ms

on «a

() Bulletin de l’Académie (juin 1883).

— 528 —

Démonstration. — En admettant que les termes puissent être
groupés dans un ordre arbitraire :

m +!
—= dj + L + 1 y| us

in + 1 m + 1 2

+

1 D}

ee LR SE a ten) a, x?
1 12 .-D

SU RON AS Qu Mot OMS M oo LE A ru 7 ot Ba

ou, si l’on fait

ve" RP OR DEA
RARES 1-272p

178
p=2
S = > Y,a,x?.
D—0
Le polynôme Y, est la dérivée m°”° de
1
1.2..m

CR : JAY)
ee Re |

Donc S est la dérivée m“”° de

JE p—=2 dr
ER À — yrt")a, x? :
eee EE

c'est-à-dire, la dérivée m“”° de

y" : -
1.2. m(l —y) LG) — sf},
conformément à l'énoncé.

2. Remarque. — Sim—= 0,

_1@) — yf(ey)

1399 — 6

8. Exemple (”) :

IL est visible que

f(x) =” co) es |
Donc
HMS ER A
Es) PTE en A) re se]
DATE 1 — est) we cos(L/x) — coV/xy)

x (1 — y)x°

dg Nes [tnt 2 + cos(l/x)— sa) |
A/y

et, finalement,

1 É — y)V/x sin (Lxy)
y L 21/y

S — + cos (l/x) — cos Vs |

LXXVIEHE.

Quelques théorèmes de Géométrie

élémentaire (‘*).

4. Annexes d’un triangle. — Soient M, N, P les points symé-
triques des sommets A, B, C d’un triangle, relativement aux
côtés BC, CA, AB. Si l’on mène les droites PB, NC, elles déter-
minent en général, avec BC, un triangle BCA”(**”), que l’on peut
appeler annexe de ABC, suivant BC. De même, CAB’, ABC sont

(*) Proposé par un Astronome.

(‘*) Bulletin de l'Académie, 1882.

(‘**) Il est visible que, si l’angle A est droit, les lignes PB, NC sont paral-
lèles entre elles. Cette conclusion résulte, d’ailleurs, des valeurs suivantes.

des annexes. Ces triangles jouissent de propriétés assez remar-

quables.

2. Angles des annexes. — Soit Bx le prolongement de AB.
D'après la construction,

A'Bx — PBA — CBA — B;

donc
A'BC— 2? 2B.
De même,
BCA'— 2° —0C:
Par suite,

A' = 94 — 9A (*),

Ainsi, les angles de l’annexe suivant BC sont les suppléments
des doubles des angles de ABC. II en est de même pour les deux
autres annexes. Conséquemment, les trois annexes sont sembla-

bles; et, en outre :
ABC —= ABC RP;
BCA' — ACB'—C,
BAG UABI AC

() Lorsque A=1*, A’ est nul, conformément à la remarque précédente.

æ. Remarque. — Soit O le centre du cercle circonserit au
triangle ABC. L'angle au centre, BOC, est double de A. Done
BOC + A'— 2":

le quadrilatère BOGA' est inscriptible. De mème, COAB, AOCA'
sont des quadrilatères inscriptibles (*).

&. Hexagone des annexes. — Dans l'hexagone A’CB'AC'BA,
les angles en A’, B', C' ont pour valeurs, respectivement :

Di__9A, D_9B, 99.
L’angle en À égale
CAB’ + À + BAC’ — 24 + A — 4° — 5A.

Done l’angle extérieur (**), B'AC', est le triple de À. Sembla-

blement : angle ext B'CA’— 53C,

angle ext. C'BA'— 5B.

5. Remarques. —1Æ. La somme des angles intérieurs, en À, B, C,
ci 194 5(A + B + C)— 6";
donc un au moins, de ces trois angles, surpasse 2 droits.

IT. L’hexagone est non-convexe.

IE. La somme des angles intérieurs, en A, B', C’, égale 2 droits.

&. TuéorÈme. — 1° La droite
AA’, qui joint un sommet de ABC
au sommet correspondant d’une
annexe BCA', contient le centre O
de la circonférence circonserite
au premier triangle et le centre x
de la circonférence inscrite à
l’annexe; 2° le second centre est
situé sur la première circonfé-
rence.

Soient Bf perpendiculaire à BA,
Cg perpendiculaire à CA. D'après
la définition (1), ces droites sont

() Nous reviendrons sur cette propriété.
(*) L'expression : angle extérieur, n’a pas, ici, la signification habituelle.

550

bissectrices des angles CBA', BAC’; donc elles se coupent au
centre « du cercle inscrit à l'annexe.

En second lieu, la circonférence déerite sur Aa, comme
diamètre, contient les sommets B, C : elle est circonscrite au
triangle ABC. ,

Menons la droite «A', laquelle est bissectrice de l'angle A’.
Nous aurons :

1
BaA'— 2 — (A + B)=— A + B;

s)

_

et, parce que BaA, BCA sont inscrits au même segment :

BaA — BCA = C.
Donc
BaA’ + BaA — À + B + C— 9294:

A'aOA est une ligne droite.

2. CorozLaires. — I. Si, dans le cercle O, la corde BC est fixe,
et que le point A soit mobile, le lieu du point A’ est un arc de la
circonférence BOC (5).

IL. Si, au contraire, le point A est fixe, et que la corde BC soit
mobile, le lieu du point A’ est le prolongement du diamètre passant

en À (©).

S. Autre construction de l’annexe. — Soit « le point diamétra-
lement opposé à À, dans la circonférence circonscrite au triangle
ABC. De ce point, comme centre, décrivez la circonférence tan-
gente au côté BC. Des extrémités de ce côté, menez les tangentes
BA’, CA/ : elles se coupent en un point A’, situé sur AO; ct
BAC est l'annexe demandée.

9. Annexes d’un polygone inscrit, ayant un nombre impair
de côtés. — Soit, par exemple, le pentagone ABCDE, inserit à la
circonférence O. La construction indiquée ci-contre détermine les
annexes DA/C, EB'D, …; puis le décagone AC'EB’D..., dans
lequel les diagonales se coupent au centre du cercle donné (**).

(‘) On verra, tout à l'heure, comment on doit prendre la corde mobile,
pour que le point A’ soit fixe.

(‘*) En outre, les quadrilatères AC'EO, EB'DO, DA’CO, CE’BO, BD'AO
sont inscriplibles.

40. Circonférence des neuf points. — Supposons que À, B, C
soient les milieux des côtés d’un triangle FGH. La circonfé-
rence O devient la circonférence des neuf points (milieux des

côtés, pieds des hauteurs, milieux des segments compris entre les
sommets et le point de concours des hauteurs), relative à 'ce
triangle. D’après le Théorème (6), cette circonférence contient les

centres «, 5, y des cercles inscrits aux annexes de ABC; et ces
centres sont diamétralement opposés à À, B, C.

Voilà donc trois points ajoutés aux neuf (*) que l’on con-
naissait (**).

11. Cercles ex-inscrits aux annexes. — A'A est la bissectrice
de l’angle A" (6). Le côté BA, perpendieulaire à la bissectrice
Bz de A’BC, est bissecteur de l'angle extérieur A'Bx. Pour la
même raison, CA est la bissectrice de A’Cy. Donc A est le centre
du cercle ex-inscrit à l’annexe BCA', tangent au côté BC. Le
rayon de ce cercle est la hauteur AH.

L

Fig. 5.

(‘) Ou plutôt aux quinze. (Théorèmes et problèmes de Géométrie élémen-
taire, 6e édit., p. 177.)

(**) de fais abstraction, bien entendu, des points remarquables, en nombre
indéfini, où la circonférence O touche certains cercles. (Loc. cit., p. 181.)

Considérons les deux autres cercles ex-inscrits à BCA’. Le
centre de l'un est l'intersection de AB avec la droite YZ, menée
par À’, perpendiculairement à A’A ; le centre de l’autre est l’in-
tersection de cette même droite YZ avec AC. Par conséquent :

Les centres des cercles ex-inscrils aux trois annexes sont :

1° Les sommets du triangle ABC ;

2 Les intersections des côtés de ce triangle avec les droites YZ,
ZX, XY, menées par A’, B', C', perpendiculairement à A'A,
B'B, C'C.

#2. Remarque. — Ces droites sont parallèles aux tangentes,
en À, B, C, au cercle O.

43. LEmue. — Soit ABC un triangle isoscèle, inscrit à un
cercle O. Si l’on trace la corde AD, coupant en E la base du
triangle, on a

AD. AE — AB.

Menons le diamètre AOG et la corde GD. Le quadrilatère DEHG,
qui a deux angles opposés droits, est inscriptible (*). Done

Fig. 6. AD . AE — AG. AH.
A.
AN D'après un théorème connu,
a N it le second membre égale
B£ Hi \ SK £ ——2
’ CNRS € AB. AC — AB :
Î | LE K \
j | \ \ iüne la proposition est démon-
c À IMATCE:
1 |
\ À 44. Relation métrique. —
\ à ‘
i _Y . Le Lemme précédent, appli-
a _"#f qué à la figure 5, donne
DS | Le 2 j \
FU ei OB.OC R°
RNA OA'— = — )
G OI OI
puis A Al
AS— R = $)
OI
tee R #0]
AA’ AI

(*) Autrement dit, les triangles ADG, AHE sont semblables.

De même :
R OK R OL
BB 00BK D'ICETCE
Par conséquent,

R R R OI OK OL
— ++ — + — + —:
AA" BB” CC AI BK CC

Mais il est connu (et évident) que la somme des trois derniers
rapports se réduit à l'unité (*). Donc enfin

1 1 I 1
— + — + RE
AA’ BB’ CC” R

relation semblable à celle qui existe entre les rayons des cercles
tangents aux trois côtés d’un triangle (**). Par suite, on peut
construire un triangle dans lequel ces quatre rayons soient égaux

à R, AA’, BB, CC’ (**).

25. THÉORÈME. — Si un triangle inscrit ABC a un sommet
fixe A, et que le côté BC passe par un point fixe À, appartenant
au diamètre Aa, le sommet A" de l’annexe est invariable.

En effet, on vient de voir que

46. Remarques. — TI. La réciproque est vraie : Si le sommet
A’ est fixe, toutes les cordes BC passent en un point fixe, situé
sur AA.

IT. La propriété qui vient d’être démontrée complète l’une de
celles qui l'ont été ci-dessus (7, IP.
(‘) De là résulte que, dans tout triangle rectiligne,
sin 24 + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

Cette proposition, également connue, est facile à vérifier directement.
(‘*) Théorèmes et Problèmes.., p. 198.
(**) Jbidem, p. 116.

HI. Les points 1, A’ sont réciproques (*). Donc la polaire du
point I est la droite YZ (I). De même, ZX et XY sont les
polaires des points L, K.

47. Hexagone de Brianchon. — Les diagonales de l'hexagone
A'CB'AC'B se coupent au point O. Donc cet hexagone est cir-
conscrit à une conique.

48. Hexagone de Pascal. — On vient de voir que C'BA'CB’'A
est un hexagone de Brianchon. Donc les droites C'A, BC, A'B',
CA, B'C’, AB, jonctions successives des sommets de cette figure,
sont les côtés successifs d’un hexagone de Pascal (**). Cet hexa-
gone est DÉFGHI. Autrement dit, les points D, E,F, G,H,1I
sont situés Sur une conique.

49. Circonférence des neuf points. — Supposons, comme
précédemment (10), que A, B, C soient les milieux des côtés
d'un triangle T (**). Soit O la circonférence des neuf points,

(‘) Éléments de Géométrie, p. 114.
(”) Note LXXXIX.

(**) Non représenté sur la figure.

relative à T, et soient ABC’, BCA', CAB' les annexes de ABC.
Les dernières remarques donnent lieu à la proposition suivante :
4° L’hexagone AC'BA'CB est circonscrit à une conique;

2 L'hexagone DEFGHI, formé par les intersections succes-
sives des droites AB, C'A', BC, A'B', CA, B'C', AB, est inscrit
à une conique.

20. Remarque. — Si, comme au n° 9, on remplaçait le triangle

ABC par un polygone convenablement choisi, on pourrait géné-
raliser les dernières propriétés.

LXXIX. Sur les surfaces orthogonales (‘).
M. Bouquet a montré (**) que les surfaces S, représentées
par une équation de la forme

Huy e) En

ne font pas toujours partie d'un système orthogonal triple.
Autrement dit, à la série des surfaces S ne correspondent pas,
nécessairement, deux autres séries de surfaces S,, S,, représen-
tées par
He) 0 MU M) ETC

et telles qu’une surface quelconque, prise arbitrairement dans
une des séries, coupe orthogonalement toutes les surfaces appar-
tenant aux deux autres groupes.

Récemment, on est allé plus loin dans cette voie restrictive; et
un jeune Géomètre, déjà célèbre, suppose qu'une surface quel-
conque ne peut faire partie d’un système triple orthogonal (***).
Quand il a énoncé cette proposition, M. Darboux ignorait pro-
bablement l'existence du Mémoire (") dans lequel j'ai établi,
implicitement, le théorème contraire. Il n’est done peut-être pas

(‘) Bulletin de l'Académie (juin 1868).

(‘*) Journal de Liouville, t. XY, p. 646.

(°**) Annales de l'École normale, t. H, p. 39.
(“) Académie royale de Belgique (Mémoires couronnés, t. XXXII, p. 15).

inutile de revenir sur ce théorème, en y insistant un peu plus
que la première fois.

I. Commençons par rappeler une définition et quelques
théorèmes (*).

« Définition. — Par un point M, pris sur une surface S, on
» élève une normale MM, ayant une longueur donnée {. Le lieu
» des points M' est une surface S’ qui peut être dite parallèle
» À S. »

« THÉORÈME. — Si une surface S' est parallèle à la surfaceS ,
» réciproquement celle-ci est parallèle à S'.

« TaéorÈmEe. — Les surfaces parallèles à une surface dévelop-
» pable sont développables.

Ty

y

« THÉORÈME. — Des surfaces parallèles S, S', S'', … appar-
» liennent toujours à un système orthogonal. »
CoroLLaiRE. 1. — Toute surface fait partie d’un système triple

orthogonal. En effet, quelle que soit une surface donnée, S, on
peut construire une infinité de surfaces S/, S”, … paralléles à S.

CoroLLAIRE IT. — Le nombre des systèmes orthogonaux triples
est infini (**).

I. On connait peu de systèmes orthogonaux, sans doute à
cause des difficultés que présente la recherche de l'équation des
surfaces parallèles à une surface donnée S. Par exemple, on n’a
pas encore, parait-il, écrit l'équation des surfaces parallèles à
l’ellipsoïde. M. Cayley lui-même a reculé devant ce travail (***).
Dans le Mémoire cité plus haut, j'indique, sans effectuer les
calculs, le système triple déterminé par des tores elliptiques
parallèles. Pour compléter la présente Note, je chercherai suc-
cessivement :

1° L’équation des tores elliptiques S, S', S'', … enveloppes de
sphères dont les centres parcourent une ellipse E donnée ;

(‘) Les passages guillemetés sont extraits du Mémoire cité.

("”) Dans un très beau Mémoire sur les surfaces orthogonales (Journal
de Liouville, t. XII, p. 242), M. Serret a émis, sous forme dubitative,
cette opinion : Le nombre des surfaces susceptibles de faire partie d’un
système triple pourrait bien être assez limité. On voit que l'hypothèse de ce
Géomètre ne s’est pas réalisée.

(") Annali di Malemalica, t. I, p. 545.

— 540 —

2% L'équation des plans Z,, Z2,, Z,, … normaux à cette
ellipse (*);

9° L’équation des surfaces développables Z,, 2, 2, .… ortho-
Jonas SSSR CEE), DE ie

II. Équation des tores elliptiques. — Soit une ellipse E,
déterminée par les équations

dy + b’x* — a°b?, (1)

z— 0. (2)

Si le centre d'une sphère s décrit E, le tore elliptique S, enve-
loppe de s, ne diffère pas de la surface qui serait engendrée par
la circonférence c du grand cercle dont le plan est normal à E (**).
Dans ce mouvement, un point quelconque de c engendre une
toroide T, dont l'équation est (***)

(AB — 90) — 4(4° + 5B) (B° + 3AC), (A)
en supposant

A 2° + y — à — b?— k,
SRE D pe Er (5)
C = a’b°k°?.

D'ailleurs 4? — 2? — z?, À désignant le rayon de la sphère ;
donc les tores elliptiques S, S’, S'/, … sont représentés par
l'équation (A), dans laquelle

A= à + y + 2 — a — b° — °,

B= ay" + ba + (a + D)? — (a? + Lx + «°b?, (4)
— ab(x? — 7°), |
IV. Équation des plans normaux. — Cette équation est

(a° — b°hm
Y = MX + —— »;

a + b’m°
(‘} Mémoire cité, p. 18.

(‘*) Mémoire cité, p. 18.
("**) Mote XIX, p. 51.

— 541 —
ou sous une forme plus symétrique,
(x sin w — y cos w)* (a cos” u +b° sin? we) — (a*— D?) sin* «cos u. (B)

V. Équation des développables 2. — Chacune de ces sur-
faces est engendrée par une normale à l’ellipse E et à la
toroïde T ; d’où il résulte que 2, est une surface à pente constante,
dont les lignes de niveau sont des toroïdes (*). Si y est l'angle
de la génératrice avec l’axe des z, on a

k— 7 sg 2.
Ainsi, l'équation cherchée est encore
(AB — 90} — 4(4° + 5B)(B° + 5AC), (A)

pourvu que

y — a — b?,

A—ax + y — 7 lg
B = a°y° + ba — (a° + D?) °° » — ab”, (5)

(DST AURA

Addition. — (1875.)

VI. Autres systèmes orthogonaux. — 1° s étant une surface
donnée, soit S la surface déduite de s au moyen de la transfor-
mation due à Mac-Cullagh : les surfaces s, S … sont dites
conjuguées (**). Cela posé, les conjuguées de surfaces parallèles
étant des surfaces parallèles (***), il s'ensuit que :

À tout système orthogonal, composé de surfaces parallèles
s, S', …, de surfaces développables o,, o,, oi, …, et d’autres
surfaces développables o,, :, 52, …, correspond un second sys-
tème orthogonal, composé de surfaces parallèles S, S', S'', …, de

(*) Mémoire cité, p. 19.

(”) Mémoire sur une transformation géométrique et sur la surface des ondes
(pp. 1, 5).

(°**) Jbidem, p. 29.

— 342 —

surfaces développables X,, X,, Z;, …, et d’autres surfaces déve-
loppables 3,, 2, 2, (*).

2° Soient, dans un plan P, un système de courbes AB, A,B,,
A2B2, … dont les trajectoires orthogonales soient CD, C,D,,
CD; , … Supposons que le plan s’enroule sur une développable s,
de manière à prendre les positions P;,, P,, … Chacune des
courbes engendrera une surface d’enroulement (**), et les
surfaces appartenant à la première série seront orthogonales à
toutes les autres (***). De plus, ces surfaces coupent, orthogona-
lement, les plans P, P,, P:.

Voilà donc un système orthogonal triple, composé de plans et
de surfaces d’enroulement.

LXXX. — Théorèmes d’Arithmétique (*).

Les propriétés suivantes, qui n’ont peut-être pas encore été
signalées, sont des conséquences immédiates de la théorie des
équations binômes. Il suffit done de les énoncer.

Quelle que soit la base b du système de numération :
1° p, q étant deux nombres impairs, premiers entre eux,

Dur DE pur +. 4 PH A be LE pen LL b+l

EI DEN CEE Er NE

— entier.
Par exemple, pour p = 5, 4 — 5 :

1 001 OOI 001 001 10 000 100 001 :
—_— —— = —— — enler.
11111 14/1

(‘) Mémoire, p. 51.

(**) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. 16.

("**) Deux surfaces de révolution, qui ont même axe, sont orthogonales
si leurs sections méridiennes le sont. Or, à chaque instant, les lignes AB, …,
CD, … tournent autour d’une génératrice de s.

() Mémoires de la Socièté des sciences de Liége (février 1877).

— 545 —
2 Le plus grand commun diviseur, entre deux nombres de la

forme 111. 11, a cette même forme.

3° Si le premier nombre contient n chiffres et que le second en
contienne n', le plus grand commun diviseur en contiendra À;
A étant le plus grand commun diviseur entre n et n’.

Exewpce : Le plus grand commun diviseur entre

VAN AAA AAA AAA et 111 111 111,
est 111.

AUTRE EXEMPLE. — Les nombres 11 111, 11 111 111 sont pre-
miers entre eux.

4° Les nombres
1, 14, AAA, AA AAA, A AM AAA, AA AA A1 111,

composés de un, deux, trois, cinq, sept, onze, … chiffres, sont
premiers entre eux, deux à deux ;

Etc.

LXKXI. Problèmes et théorèmes

d’Aritimétique (‘).

#4. PROBLÈME [. — De 1 à n (inclusivement), combien y a-t-il
de nombres non divisibles par des nombres premiers donnés,

ÉeT?
Soit N le nombre cherché. On sait (**) que
or n n
es fe 3()-e. à
> lee (1)
2. Taéorème [. — Soit n un nombre entier, compris entre 2 et

(*) Mémoires de la Société des sciences de Liége (1882).
(") Note XXXVI, p. 120.

— 544 —

2*# __ 4 (inclusivement) ; soient , y, 9, … les nombres premiers,
supérieurs à 2. On a

-30)-32)-3)+-r0 ©

Dans la suite

sont

Ainsi, N—# + 1.

8. Remarque. — De n—4àn—14, le premier membre se
réduit à n — (5) ;
De n—15 à n—104 (**), ce premier membre se réduit à
ñn n
> eo
et ainsi de suite.

&. PROBLÈME [I — Connaissant les nombres premiers qui ne
surpassent pas n, trouver combien il y a de nombres premiers
compris entre n + 1 et 2n.

Soit 7 le plus grand nombre premier, non supérieur à n.
De 1 à 2n, les nombres non divisibles par

B— 5, VIDE Do Te
sont, d'une part,

1,2, 22, 24H;

(‘) L'égalité (2), à peu près évidente, est une simple variante de celle-ci :

(jf)
n as ay
qui résulte de la Remarque 2 (p. 120).
(*) 15—5.5, 104—53.5.7 —1.

— 545 —

et, en second lieu, les nombres premiers compris entre n + 1
et 2n. Soit x la quotité (*) de ceux-ci. Nous avons, en vertu de
l'égalité (2) :

CPS CRE CES

By B

py9

5. Application. — Entre 25 et 50, combien y a-t-il de nombres
premiers ?
Dans cet exemple,

D — 2) On UNE EU
En outre, les diviseurs simples sont :
3, 5, 7, 41,13, 17, 19, 95;

et les diviseurs composés :

Par conséquent,
6+x— 50 — [16 +10+7+4% +5 +92 +9 +72]
+[5+2+1+1+1);
d'où
x — (6.
En effet, entre 25 et 50, il y a six nombres premiers, savoir :

29, 51, 37, 41, 45, 47.

6. Remarque. — La combinaison des égalités (2), (3) donne
celle-ci :

D sf] 3{8-«()
+3) le

Pour simplifier le second membre, on peut s'appuyer sur la
proposition suivante.

() J'emploie ce mot pour éviter l'expression : nombre des nombres.

— 546 —

On \
3. LEUME. — Selon que ( sl PAIR OU IMPAIR,

égale zéro où un.
1° De

IDE TT ER
on déduit

Donc, à cause de r < a, u est le quotient entier de n par à (*).
Autrement dit :

In ñn Jn n
—|— Ju —9|-|, 91 10!
« a a a

et, par conséquent,

2 Soit

n = Au +

2

De » < a, on conclut + < a : p est le quotient entier den

par a. Nous avons donc, simultanément :

2n n Dn n
É ur ils Fe, = — 2|-)—=1.
a (4 (44 1}

8. Revenons à la formule (4). En vertu du Lemme, chacun
des binômes soumis au signe Z égale 0 ou 1, selon que son pre-
mier terme est pair ou impair.

D'après cela, si l’on appelle :

2n ,
l,, le nombre de ceux, des quotients 5) qui sont impairs ;

o

By

L, le nombre de ceux, des.quotients L qui sont impairs ;

(‘) Ce petit théorème se trouve dans tous les Traités d’arithmétique.

— 541 —
l'égalité (4) peut être énoncée ainsi :

Tuéorème LL. — En conservant les hypothèses et les denomina-
tions précédentes, on a

x=k—l+h—l; +. (A)

9. Application. — Entre 25 et 50, combien y a-t-il de nombres
premiers ?
Je divise

par

puis par
15, 91, 35, 39, 35,
4 + +

en négligeant les quotients pairs.
Je trouve 4 — 2, l, — 4; donc

x—k—2+4k—6;
comme ci-dessus.

10. Autre application. — De 61 à 120, combien y a-t-il de

nombres premiers ?

Dividende :

Premiers diviseurs :

5, 5, 7, 414,15, 17, 19, 25, 99, 31, 37, 41, 45, 47, 55, 59.
+ + + + + + L = 6.

Deuxièmes diviseurs :

A5, 21, 55, 59, 51, 57, 69, 87, 95, 111, 55, 55, 65, 85,
+ + + D EUR + +
95, 145, 77, 91, 119.
Le ae Non Le or lb = 15.

Troisièmes diviseurs :
105.
—- l; = 4.
x —5—6 +15 —1—153.

Les treize nombres premiers, compris entre 61 et 120 (inclu-
sivement), sont

61, 67, 71, 75, 79, 85, 89, 97, 101, 105, 107, 109, 115.

42. Remarque. — Si l'on admet qu'entre n + 1 et 2n, il y a,
au moins, un nombre premier (*), l'égalité (A) donne

E—li+bkt +. si.

Inversement, si l’on pouvait, a priori, établir la relation (B),
le postulatum serait démontré (**).

42. Taéorëme IL. — n étant toujours un nombre entier, com-
pris entre 2° et + — 1, soient G, y, 9, … les nombres premiers,
supérieurs à 2. Soient, en outre :

2n É k S
M, le nombre de ceux, des quotients Æ , qui sont impairs ;

2, le nombre de ceux, des quotients a , qui sont impairs ;
D

e

On a
M — De + As —#. (B)

Ce théorème, conséquence des égalités

ORPI EE

résulte aussi du Théorème II.

(‘) Cette proposition ne diffère pas, au fond, du postulatum de M. Ber-
trand, démontré par M. Tchebychef (Journal de Liouville, t. XVII, p. 581).

(**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. VI, p. 263.

(***) Voyez les paragraphes 6 et 8.

— 549 —

Soient, en effet, p, s, 9, … w les x nombres premiers, compris
entre x + 1 et 2n.
Chacun . quotients (); (©) 3 (+)... égale 1; et chacun des
n 2n

quotients (Ge): (Ch … est nul (*). Donc

MEN Nils, Va lan 00
Par suite, l'égalité (A) devient

GRR) A,
ou
À — À Ge 13—.— k. (C)

43. Application. n — 5, k — k.
Dividende :
d0.

Premiers diviseurs :

DD ASS A AMIS MONS EST MAIN AS VAT:
+- + + + + + + + li —=S8.

Deuxièmes diviseurs :

44. Remarque. — La fonction qui constitue le premier membre
de l'égalité (C) dépend, uniquement, de n : appelons-la F(n).
Cette fonction conserve la même valeur quand n varie entre 2* et
2! 1 (inclusivement). En outre, chaque fois que n dépasse
une nouvelle puissance de 2, F(n) augmente d’une unilé. Cet
exemple de discontinuité, analogue à celui que présente la fonc-
tion E(x), nous parait remarquable.

45. Sur une équation indéterminée. — L'identité

(a+ Be — DUB — Da) + DB a — Put 08 + B), (D)

(‘) À cause de 829,9 >n.

— 550 —

facile à vérifier, donne une infinité de solutions, en nombres
entiers, de
ER (5)

En effet, on peut prendre

5
mar pla— 2962), y=añe—f), = —2p+ fe (0)

—

Ces valeurs seront entières, si «, Ê sont de même parité.

16. Remarque. — Ces formules ne donnent pas toutes les
solutions. Par exemple, on n’en saurait déduire

x—=Yy—2—4À4.
135. Autres identités.

(at + by = (ai — 6a%0? + 05) + [4(a? — b?) ab} ()
= (af + D} + (2a°b) + (Qu°b°) + (2ab°).

Ainsi, (a? + 2)" est : un carré; une somme de deux carrés;
une somme de quatre carrés. Généralement, ce nombre n'est pas
la somme de trois carrés.

M. Realis, à qui j'avais communiqué les identités (D), (E),
m'a répondu par l’intéressante Note suivante :

« La résolution de l'équation

2

» L° + 9Y —Z

» en nombres entiers, se rattache directement à la théorie géné-
» rale développée, par Lagrange, dans le $ IX des Additions
» à l’Analyse indéterminée d’Euler.

» Le nombre z, diviseur du premier membre, ne peut être
que de la forme &? + 5f?; on a donc l'identité

y
=

» œ(x? JE 98°) M 5654? À, 36°) _ (0° + 3B°},

Y

renfermant toutes les solutions entières de l'équation. En effet,

»

gs
E

ÿ
Y

ne te

à toute valeur de z de la forme indiquée, c’est-à-dire à tout
système de valeurs de « et 5, correspondra un système de
valeurs de x et y; comme « et peuvent toujours être supposés
premiers entre eux, autant il y aura de manières de représen-
ter z par la forme susdite, autant il y aura (pour le z considéré)
de solutions distinctes de l'équation. On s'assure sans peine,
d’ailleurs, que l'identité ci-dessus, où « et 6 restent indéter-
minés, ne saurait être remplacée par aucune autre formule
donnant l'expression de (a? + 562)5 sous la forme requise.

» Quant à l'égalité 4? + 5.42=— 45, où 4? est facteur commun
à tous les termes, elle ne conduit pas à une solution, car en
écrivant comme on doit le faire 12+ 5.1°—4.15, on n'a pas
un cube dans le second membre.

» Quant, enfin, à l'identité

» (a+ B}(a— 28) 16 — Da) + 27/0 (a — 4 (of — 08 + 6Ÿ,

rapportée par M. Catalan, elle n’est manifestement qu’une
transformée de celle qui précède.

» IT. L'expression (a? + b?)# est assurément : un carré, —
une somme de deux carrés, — une somme de quatre carrés.
On ne peut pas affirmer qu’elle est généralement une somme
de trois carrés effectifs, puisque (1? + 12)=—16, par exemple,
ne l’est pas. Cependant, pour des nombres a, b premiers entre
eux (ou simplement inégaux), on peut mettre: en évidence,
par des formules, que l'expression considérée est toujours une
somme de trois carrés.

» 4° Si a et b sont premiers avec 3, posons l'identité

» + (a+ 5h) = (a + hÿ + (a + 2h) + (2h) (),

dans laquelle on prendra a premier avec ; il s'en déduit, par
l'emploi répété de la formule connue

D (ar + BE + y) = (0 + BR — 9°) + (227) (267),

(‘) Lettre de M. Catalan à D. B. Boncompagni, en date de « Liége,

44 novembre 1880 ».

Ÿ

le théorème général exprimé par la relation
» [at + (a + 3h} |" — A? + B' + C,

où À, B, C sont des entiers dont aucun n'est nul, et m est
une puissance de 2.

» Il s'ensuit, comme corollaire, que : « et b étant deux entiers,
dont un seul est divible par 5, et # désignant une puissance
de 2, l'expression [2(a? + b?)]" est la somme de trois carrés.
» 2 Si l’un des nombres a, b, premiers entre eux, est un mul-
tiple de 5, par exemple, a —53a/, on pose l'identité

» (Ja? + D — (7a? — D + 16a (a + bŸ + 16a?(a — b),
et l'on en déduit, comme ci-dessus, la relation

» (9a'? + by" — A? + B° + C?,
en nombres entiers, #2 étant une puissance de 2.

» Observation. — Tout ce qui précède est entièrement indé-
pendant de la Théorie des nombres proprement dite; on n'y fait
usage que de formules directes, exprimant les propositions, et
indiquant en même temps les calculs à effectuer. Mais si l'on
sort des éléments, et que l’on s'appuie sur les théorèmes de
l'arithmétique supérieure, toutes les propositions énoncées, et
bien d’autres, se présentent comme des conséquences immé-
diates de ce principe, que : tout bicarré impair, autre que
l’unilé, est la somme de trois carrés. D’après ce principe (qui
ne se démontre pas à l’aide de simples identités algébriques),
un nombre de la forme (a? + b?)* est toujours décomposable
en trois carrés, s'il ne se réduit pas à une puissance de 2. »

» Turin, 6 mars 1882. »

DXUTe

e

Mém. de la Soc.des se.ae/Liége.2° $

x

}

Halal.

de’ 1

me

ê

Probl

— 55 —

Addition. — (Janvier 1885.)

Quelques-unes des questions traitées ci-dessus ont été reprises
et développées dans le Mémoire sur certaines décompositions en
carrés (*). Parmi les nouveaux résultats auxquels nous sommes
parvenu, indiquons ceux-ci :

Toute puissance entière, d’une somme de trois carrés, est une
somme de trois carrés ;

X, y étant deux nombres entiers, premiers entre eux,

An in—92,,2 En—4,,4 4n

LL Y HAT Y — + y

est la somme de deux carrés et la somme de trois carrés.
Soit, conformément au Théorème de Gauss,

le polynôme YŸ est la somme de quatre carrés et la somme de
cinq carrés.
La somme des puissances kn, de deux nombres entiers, inégaux,
est une somme de quatre carrés, dont deux sont égaux entre eux.
Soit s le nombre des puissances de 2 ayant n pour somme :
4° est la somme de 4" carrés impairs. |

LXXXEI — Sur le problème de Malfatti C2):

La solution de ce célèbre problème, que j'ai donnée (d'après
M. Lechmütz) dans les Nouvelles Annales de Mathématiques
(t. V, p. 61), peut être notablement réduite.

#. ABC étant le triangle donné, dont les angles sont À, B, C;
soient :

p = OA" = OB'=— OC le rayon du cercle inscrit;

24, 26, 2} les suppléments respectifs de A, B, C:

À, Y, Z les centres des cercles cherchés ;

x, y, z les rayons de ces cercles.

() Académie des Nuovi Lincei, 16 décembre 1885.
(”) Bulletin de l'Académie royale de Belgique, octobre 1874.
25

2. PU étant la tangente commune aux cercles X, Y, il
est visible que le triangle XUY est rectangle en U; donc
PU — DU — GU —V/xy. Projetant AXYB sur AB, on a la
première des trois équations du problème :

xiga+ VV xy + ytg8 — pig a + tg B). (1)

Pour la simplifier, résolvons-la par rapport à V/x : la valeur
positive de cette inconnue est

—_Vy cot a + Vy cot a (cot x — tg 6) + p(1 + cot x tg 6).

Ainsi

V’æsina + V/ycose— V/y cosa cos (2 + 8) + 9 sin x sin (a+).

cos 5

Et comme à + f + y— #, cette égalité devient

| =
V’osinasiny —ycosæcosy. (2)
cos f

V/x sin & + V/y cos & —

3. Le second membre est une fonction symétrique de &, y;
donc
V/x sin & + V/y cos « = y/zsin y +/ycosy; (5)

puis, au moyen d'une permutation tournante :
V'ysinB + V/z cos f = V/x sin « + V/Z COS «, (4)
V/zsiny + V/x cosy = V/y sin 8 + px cos £. (5)

Ces équations (5), (4), (5) déterminent les rapports de
V’x, V’y, V’z. Au moyen des deux premières, on trouve

V/y(cos « — cos y + sin 8) — V/z(c0s «x — cos 6 + sin y);
ou, par une transformation simple,

. 1 É 2 il (£ 8
7 Y COS — BE COS | — — — | —= Z COS—Y COS | — —— |;
A AE ne

ou encore
2 (| LEE Â
Va l+te-9 —V/z À + 19 — ë
” A0) °9
Nous pouvons donc prendre, au lieu des équations ci-dessus,
les proportions

G AREAS ARR (6)

TENTE 1 \? 4 \!
(sus) (ruse) (rrusr)

4. À étant la valeur commune des trois rapports, soient, pour
abréger :

ua

+
Cl
(ui)

1 1
&sa—f BB — 9; parer

L'équation (1) se transforme en

nor PDT | ! He : |

On tire, de celle-ci,
1 — p ie gi :
UE) EEE)

Mais, à cause de

| T
Gé ES de Ste 27 0 ?
on a la relation connue :
{g + gh + RENE (7)
ou
1 — {9 —=(f + g}h;
donc

g :
RTE NE) (e)

puis, par les relations (6) :

ARE 1+f
TON) à
1 +9
don an EME)
A+h
UP +g) @)
er Va ay = (10)

5. Pour construire ces expressions, il suffit d'observer que

4 1 | | , |
COS — « cos — « | COS — x — sin -«
| 2 2 2 2
| fr 1 AE) cos «
COS — & + Sin =«
2 2
A1 + cosa—sinx 1 | |
= — — —— + 1 —tga
2 COS « 2 \cos «

En effet, cette transformation donne

pra DCE JE PS =: (40 + OC’ — AC’),

À +
z ere _ (BO + OA" — BA’), | (114)
1 +9 2
1
D US DU= > (CO Le
Eu xy=DU = - (CO + OB' — CB’).

On trouve, de la même manière :

(| |
(40 + OC'+ AC’), |

A
—— — — (BO + OA’ + BA’),
2

1
— - (CO + OP + CB).

— 557 —

6. Remarque. — Si l'on se rappelle les propriétés des cercles
tangents aux trois côtés d’un triangle donné, on arrive à cette
interprétation géométrique des formules (11), (12) :

A l’angle AOC’, inscrivez les deux cercles tangents à C'A : les
distances du sommet O, aux points où ces cercles touchent le
coté OC, représentent el + La pncna nero, appli-

, . AU. ! Le D AA?
quée aux triangles BOA', COB’, détermine ne eut CL rues

7. Autre remarque. — Chacune des équations

V/x sin « + V/y cos a =V/zsiny + |/y cosy, (5)
V/y sin 8 + V/z cos 8 —V/x sin «a + V/z cos «, (4)
V/zsiny + V/x cosy =V/ysin 6 + V/x cos B (5)

exprime une propriété assez curieuse, dont il serait intéressant
de trouver une démonstration directe. Considérons, par exemple,
l'équation (4). En l’écrivant ainsi

V'xz sin « + z cos « — V'yz sin B+zcosf,
et en observant que V'xz = KT, z— KZ, etc., on en conclut :
projection de TZ, sur AO — projection de SZ, sur BO.

De même,

projection de UX, sur BO — projection de TX, sur CO,
projection de SY, sur CO = projection de UY, sur AO.

s. La valeur commune des binômes

V'xz sina + zcosa, Vyzsin 8 + z cos 8
est
e 2f 1+h À — f°

nee pe Do) EE

Ni P OS en
des [2/ (4 + h)(1 Hi

La quantité entre parenthèses égale

(1 ON GE IE 9)
f+9 f+g

P —

A+f+h(—f)=1 +f+

— 9598 —

donc

formule très simple.

9. On a
AU = AD + V/xy =xtga+V/xy;

et, par les formules (9), (10) :

AU E lé aa
A+ g(1+h)(1—f)

Mais, à cause de la relation (7),

1 + — f
donc à
ERA e (14)

| H+pa—p
ou, ce qui est équivalent,

au—e| L | (14)

Te TE

10. D'après les formules (11), (12), (14) :

1
(AO — BO + AC’ + BA’),

me

AU
ou

AU —- (AO + AB — BO). (15)

191 =

Cette valeur a la même forme que l'expression de DU (5);
donc la remarque faite ci-dessus (6) est applicable, et, en consé-
quence :

Le point U est celui où le côté AB touche la circonférence
inscrite au triangle AOB (*).

(‘) Propriété connue. En outre, la droite PU, tangente commune aux
cercles X, Y, touche aussi les cercles inscrits aux triangles BOC, COA
(Théorème de Steiner).

orgie

De même, les circonférences inscrites aux triangles BOC, COA
déterminent les points S, T.

Ces points U, S, T étant construits, il en résulte les points
D, G, F, … où les circonférences cherchées touchent les côtés du
triangle donné.

#1. Remarques. — I. On a

(AO + AB — BO — CO — OB’ + CA’);

| =

AD = AU — DU —
ou, si l’on désigne par p le demi-périmèêtre du triangle ABC :

1
(AO — BO — CO + p— p).

5

AD

Pour que le second membre devienne une fonction symétrique,
il suffit de le retrancher de AO ; on trouve ainsi

À

fl
AO AD—BO — BF — CO —CK—-(A0+BO-+CO0 —p+e). (16)

2

Ce résultat simple et la construction qui en résulte sont dus
à M. Simons (*).

Il. D’après les relations (11),

=

1 1 l
AO + BO + CO D) pin ee ei |
(AO + BO + CO + o — p) ere | (17)

IL. Si l’on désigne par a, b, c les rayons des cercles inscrits
aux triangles BOC, COA, AOB, on trouve :

|

g+kh h+f [+9

To TETE EE ET (6)

IV. Enfin, p, étant le rayon du cercle inscrit au triangle XYZ :

@

RTE ft

p1

(‘) Bulletin de l’Académie, juillet 1874.

— 360 —

LXXXIIEI — Nouvelle formule d'intérêt

composé (‘).

I. La relation
A=a(l +r},

conséquence nécessaire du principe de l'intérêt proportionnel au
temps, conduit à des résultats presque absurdes (**).

D'un autre côté, il est admis que, si l’on paye l'intérêt simple,
on doit toujours le capital. De cet axiome résultent les rentes
perpétuelles (***), l'accumulation des capitaux dans quelques
mains, etc.

IT. Il s'agit de remplacer la formule ci-dessus par une autre
qui ne présente pas les mêmes conséquences antisociales, et qui,
cependant, s'accorde sensiblement avec la première, tant que n
ne dépasse pas la durée des contrats ordinaires : 40 ans, 50 ans,
ou au plus 100 ans. Cette nouvelle formule doit encore satisfaire
aux deux conditions suivantes :

1° Que, pour de petites valeurs de n, l'intérêt soit à peu près
proportionnel à n;

2 Que, n augmentant indéfiniment, A tende vers une limite
assez restreinte : on peut la supposer, par exemple, inférieure
à 10 a.

(‘) Un résumé de eette Note a été communiqué au Congrès de Bor-
deaux, le 6 septembre 1871.

(‘*) Un franc, placé à 5 pour 100 au commencement de l'an 800,
aurait valu, à la fin de 1869, 47 049 000 000 000 000 000 francs.

(‘**) La France vient de contracter un emprunt de trois milliards, au
taux de 85. Notre malheureuse patrie doit donc distribuer, à ses créanciers
bénévoles, environ 176 millions par an. Dans cent ans, après avoir payé
presque six fois la valeur de la dette primitive, elle ne sera pas plus avancée
que le premier jour!

— 961 —

IIL. Après quelques tâtonnements, j'ai trouvé, comme solution
de ce problème indéterminée,

| n 1 (1)
y —= — =
y D e + 100
d’où résulte
us
A j u il (2)
— 10) == + —
a + pa e r 00
c'est-à-dire
A— ali + y). (5)

y représente l'intérêt de 1 franc, pour n années;
e est la base des logarithmes népériens ;
p est un nombre entier, constant, déterminé par la condition

400
p Le — ( + = | — taux de l'intérêt de À franc |).

100
IV. Soit
100
| ñn i
z = + — | ;
100
alors
100 100 + n
102 z = —— ]0g ==————-, %
RER TT @
y = p(e— x). (à)

Au moyen des formules (4) et (5), on peut facilement con-

(") Plus exactement p est le quotient entier du second membre par

1 100
e—|1+— — 1,015 468.
100

# 0,05 ie ss
Si, par exemple, le taux est 5 pour 100, comme He = 5,7..., on fait
+}

p = 4.

— 362 —

struire une Table numérique, sorte de Baréme des intérêts.
Voiei un spécimen de cette Table, calculé pour p—4 :

las L ae
se 100 e 1 ar 4 de ne
fr.
110,0043214 | 0,432157 |2,704814 | 0,013468 0,05587 5,887
2 | 0,0086002 | 0,450009 |2,691587 | 0,026695 0,10678 5,291
3 | 0,0128572 | 0,427907 |2,678599 | 0,059683 0,15875 5,195
410,1705534 | 0,425853 |2,6658356 | 0,052446 0,20978 5,105
5 | 0,0211895 | 0,425786 |2,655297 | 0,064985 0,25994 5,016
61 0,0253059 | 0,421764 |2,640974 | 0,077508 0,50923 4,929
710,0295858 | 0,419768 |2,628864 | 0,089418 0,55767 4,844
8 | 0,0554257 | 0,417797 |2,616959 | 0,101323 0,40529 4,762
9 | 0,0574265 | 0,415850 |2,605251 | 0,115051 0,45212 4,683
10 | 0,0415927 | 0,415927 |92,595742 | 0,124540 0,49816 4,604
20 | 0,0791812 | 0,595906 |2,4883520 | 0,229962 0,91985 5,925
30 | 0,1159454 | 0,579811 |2,397790 | 0,520492 1,28197 5,211
40 | 0,1461280 | 0,565520 |2,519100 | 0,599182 1,59673
50 | 0,1760913 | 0,552183 |2,250000 | 0,468282 1,87515

s

60 | 0,2041200 | 0,340200
70 | 0,2504489 | 0,329215
80 | 0,2552725 | 0,5190906
90 | 0,2787556 | 0,309726

19

1
25
188770 | 0,529512 | 2,11803
154090 | 0,584192 | 2,13677
084926 | 0,655356 | 2,53342
040451 |0,677851 | 2,71132
100 | 0,5010300 | 0,301030 |2,000000 | 0,718282 | 2,87515
500 | 0,7781515 | 0,155630 |1,450969 | 1,287515 | 5,14915
11000 | 1,0415927 | 0,104139 |1,270981 |1,547301 | 6,18920
co p(e—1)=6,875

> + HO 19 to 19

LXXXIV. — Une trisection de l'angle.
(Septembre 1882.)
(A PROPOS D’UNE NOTE DE M. B.)

I. Voici le commencement de la Note.
« Diviser un angle AOB ou arc quelconque AB en trois par-
» lies progressives et proportionnelles aux nombres 3, 4, 5.

» Construction. — Achevez le cercle, tirez le diamètre AOC,
» ainsi que CBE et OBD, de manière que BD et BE soient égaux
» au rayon en décrivant de B l’are DE. Joignez EO coupant le
» cercle en F; tirez et prolongez DF en G et joignez ce point G
» du cercle avec le point E coupant alors le cercle en H, enfin
» joignez OH. La construction se trouve faite : BF, FH, HA sont
» successivement proportionnels aux nombres 5, 4, 5. »

La somme de ces nombres est 12, et 4 en est le tiers. Le
problème que M. B. croit avoir résolu est donc celui de la tri-
section de l’angle.

Tous les élèves qui ont vu quelque peu d’Algèbre et de Géo-

— 364 —

métrie analytique connaissent cette proposition,surabondamment
démontrée : « au moyen de la règle et du compas, on ne peut
diviser, en trois parties égales, un angle quelconque ». Néanmoins,
de même qu'il y a des quadrateurs, il y a des trisecteurs qui,
ordinairement, ignorent les premières notions de la Géométrie.
L'auteur de la Note n'appartient pas à cette classe : circonstance
aggravante, il est, paraît-il, ancien Professeur de Mathématiques !

Quoi qu’il en soit, la construction indiquée donne lieu à une
intéressante discussion.

IT. Le rayon OA étant pris pour unité, représentons, par #42,
l'arc AB. De là résulte

OCB = OBC — DBE — 2x.

Par construction, BD — BE — OB ; donc le triangle OED est
rectangle en E; et, dans le triangle isoscèle OBE, chacun des
angles BOE, BEO égale à (*).

Dès lors,

1
BF — « — — AB.
4

Soit
FOH — 8 (**).
Prolongeons EO jusqu’à sa rencontre, en F", avec la circon-
férence; et tracons la corde F'G.
L’angle F’GF, inscrit à un demi-cerele, est droit. Et comme
OED l’est également, la circonférence, décrite sur DF’ comme
diamètre, contient les points E, G.

Par conséquent,
DGE = DF'E.

Mais DGE, ou FGH, est la moitié de $. Donc aussi

1

() I faudrait dire : a pour mesure «; mais il est permis d’abréger.
(*) Suivant M. B., 8 = À 2.

— 56 —

Dans le triangle rectangle DEF,

1 EF’
cos DF'E = cos — 6 —= —— :
2 DFE’

Le triangle isoscèle OBE donne OE —2 cos x; donc
EF —92 cosæ—1, EF’ — 92 cos « + 1.
De plus, DE— 2sin«. Par suite,
Do la se En eoe El b Bore

et, finalement,
1 2cosx +1

COS ———
© V5 + 4 cos «

(1)

Si cette valeur satisfaisait à la condition Ê—2x, ou À B—° «,
on aurait, identiquement,

LA

5
Go 60s 22 ;

ou, en faisant cos 4 — c :

DOMINENT 2c +1
AE 9 1: (2)
V5 + 4e V5 + 4e

Or cette équation, vérifiée par c— 1, est loin d’être identique.

II. Soit I le point où DF' coupe la circonférence. L'égalité des
angles F', G entraine celle des arcs IF, FH. On a vu que BF—&.

Si done FH, ou B, était égal à £a, on aurait IB—:{BF. Ainsi,

5

la construction proposée peut être réduite à ce qui suit.

— 566 —

Soit FB l'arc donne. On trace la circonférence FBF'; on prend
OBD—FF"; on trace la droite DIF". T étant le point où elle coupe
la circonférence, on doit avoir BI=— : FB.

Or, c'est ce qui n'a pas lieu. Soient, en effet, y et x les deux
arcs. On à :

DEF” — 1! + 4 + 4 cos x — 5 + 4 cos x,

eur 9
D ;
D + 4 cos x Sel
puis
4 + 5 cos x
COS y = — - (2)

Le second membre n'est pas égal à cosix; mais, si l’arc x est
suffisamment petit, on peut adopter la formule approximative :

1 4 + 5 cos x ÿ
COST = ———— ("). (5)
5 D + 4 cos x
(‘) Si l’on suppose
1 1 + a cos æ
COS = TD = ——,
5) b+C COS æ

on trouve, en remplacant les cosinus par leurs développements, et en négli-
geant les puissances supérieures à la sixième :

7 93 1
HR Ver,
20 20 5
Par conséquent,
1 20 + 7 cos æ
COS D
5 23 +- 4 cos x

Cette formule, moins simple que la formule (5), est beaucoup plus
approximative.

— 567 —

LXXXV. — Sur les équations linéaires.

(Novembre 1868.)

[. Soient, pour fixer les idées :

dy EEE dy

PE OA RU Ve 1)
D Na J (L
d'Y : GA Q dY re ;
== — + — — Q D

dx is dx° dx Le è @)

y et YŸ étant les intégrales générales, je suppose
y =YŸ+Zz. (5)
La substitution donne

A NO E pe (4)
dx dx° dx :

On voit que z est une intégrale particulière de l'équation (1).
Cette intégrale ne doit contenir aucune constante, sans quoi y en
contiendrait trop. De plus, d'après la formule (3), z est ce que
devient y quand on suppose Y — 0 ; ou encore, z est ce que devient
y quand les constantes de Y sont nulles. Enfin, la fonction z est
unique. En effet, si cette quantité pouvait avoir deux valeurs,
Zi 39, l'équation (1) aurait deux intégrales générales.

IT. Par conséquent : l’intégrale complète, de l’équation avec
second membre, se compose de l'intégrale complète de l'équation
sans second membre, augmentée de l'intégrale particulière dont
il vient d’être question (*).

() Dans son Traité de Calcul infinitésimal (t. M, p. 425), M. Hoüel
énonce la proposition suivante :

« Si z est une intégrale PARTICULIÈRE QUELCONQUE de l’équation complète,
» el si y est l’intégrale générale de l’équation sans second membre,

Y=N +3
» sera l'intégrale générale. »

— 3568 —

Addition. — (Avril 1884.)

III. On sait que yy, Ye, Y3, étant trois intégrales particulières
de l’équation (2), l'intégrale générale de l'équation (1) peut être
représentée par

y = Ci + Cyr + Coys; (à)

les fonctions inconnues Ci, C2, C; satisfaisant aux relations

dc, dc; AU
RTE el Re ae
dy; dG dy: dC; dy; dG;
de upeae nr HUE (6)
d'y dc # QE dC nl d'Ys dC; y.
dx? dx dx? dx dx? dx |
Il en résulte :

dC N dC N, dC N

1 Un th 2 ane 3 #.0n DO Y (7)

MR OA CNE NT PIE re AO

en supposant :

dy; dy: dy; dy: dy dy;
N,— Dan 5 em UN 2 eee De UE cat en
me dx J dx I] dx ‘1 dx LE dx 92 dx (8)
dy: dya lys
AIN NAN 9)
à. dx° von dx? de. dx? (9)

IV. On conelut, des formules (7) :

N N° N
Gas f à vx, Ce+ f FR Vdx, Cet f À Var: (10)

puis, en supposant nulles les constantes C4, C2, C5, et en substi-
tuant dans l'égalité (5) :

fav e y (E
M TS + Vo sa X 5 ie Le
Yi AIME Je RUE ex f à dx (11)

— 369 —

V. Il est visible que, pour une équation linéaire d'ordre n,
on aurait des résultats analogues à ceux-là. En particulier,

z —) nf Vax. (A)
qui

Telle est l'expression de l'intégrale sans constante (*).
VI. Soit l'équation

d'y d'y

Re ee
dx" dre

++ A,y = V, (12)

les coefficients A,, … A, étant des constantes. Dans ce cas, les
intégrales particulières de l'équation sans second membre sont
données par les racines de l'équation caractéristique :

FO = + A+ + À, 0. (15)

Si, pour plus de simplicité, ces racines sont supposées inégales,
la formule (A) devient, comme on sait,

n et
= D —— ENT 14
= 27 Joe e

VII. Supposons, en outre, que V soit un polynôme entier,
du degré p. Il en est de même pour z, ainsi qu'on le reconnait
aisément. On a done ce théorème :

Soit f(t) le produit de n facteurs inégaux : 1—a,t—b, …,
t— 1]. Soit V un polynôme entier. La quantité

ef? vu
D mn Le

est un polynôme entier, de même degré que V.

(*) Il serait bon de trouver, pour cette fonction si remarquable, une
autre dénomination.

24

ne DIE

LXXXVE. Sur Ia eyclide de Dupin (‘).

L. Génération de la cyclide. — Soient c,, ©, c; trois circonfé-
rences, sections principales de trois sphères données, 51, 5, 53.
Soient &, Q deux circonférences conjuguées, tangentes à €, ©, cs.

Soit enfin c une circonférence quelconque, tangente à ©, Q : cest
ia section principale d’une sphère mobile s, dont trois positions
particulières sont s4, Sa, 85.

La cyclide est l’enveloppe de la sphère s (**).

(*) Cette Note complète l’article sur le même sujet, qui a paru dans la
Nouvelle Correspondance mathématique (t. VI, p.459), et auquel nous ren-
verrons fréquemment

(Co) ELocAcit

— 571 —

De plus, le lieu du centre c est l’ellipse E qui a pour foyers
w,Q, et dont deux sommets sont les milieux M, N des segments
A'B", AB du diamètre B'oOB (*).

IT. Équation de la cyclide. — Prenons ce diamètre pour axe
des abscisses, et placons l’origine au centre I de E, milieu de oQ.

À représentant le rayon du cercle c et de la sphère s, l'équation
de cette surface est

(x — à) + (y — 6) + 2° — »°. (1)
Soient encore :
MN= 946026 WoA—= OP —'R:
Nous aurons, par les propriétés de l’ellipse :

2 2
NS OURTS (2)

GAL EENCA

C
Co —p +0 + —-"«,
(41

O=R—)—a@—-3x;
a
puis
C
DR —90) 2140 Ro (3)
a
Si nous posons
R—p—%, 2—b—u, (4)

les paramètres u et À seront déterminés, en fonction de «, par

les formules

C C
RON DIET ETC (à)
(4 a

On satisfait à l'équation (2) en prenant

a—acosp, B—V/a —c'sino. (6)

(") Loc. cit.

— 572 —

Au moyen de ces valeurs, l'équation (1) devient, après
quelques réductions fort simples, |

+ y rat bc — (ax +bc)cosp+IV/a— ysine. (7)
La combinaison de celle-ci, avec
0 — — J{ax + be) sinp + 2 à — 'ycoso, (8)
donne l'équation d’une nappe de la cyclide :
(ac + + 2 + a — D — cd) — kfax + bc) + A(a? — c)y. (A)

IL. Remarques. — 1. L'équation (8) représente une infinité de
plans cycliques. Elle est vérifiée, indépendamment de toute
valeur attribuée à ©, par

L—=——, y=0.
u

Ces plans passent donc par une droite fixe, axe radical des

sphères données (*).

II. L'équation (A) peut être écrite ainsi :
(ae + + 2 — à — + Ÿ = 4(ex + ab) + (ce — a)z°. (B)

Conséquemment, la surface admet un second système de plans

cycliques ; ete.

IV. Nouvelle génération de la cyclide. — Soit P l’un des deux
plans-limites qui touchent la eyclide suivant une circonférence.
Soit { le point où la sphère s touche ce plan P. Le ravon ct est
perpendiculaire à P, et c appartient à l’ellipse E. Par suite :

La cyclide est l'enveloppe d’une sphère dont le centre e parcourt
une ellipse E, tracée sur un cylindre de révolution, et dont le
rayon est la partie de la génératrice du cylindre, comprise entre
c et la base (**).

() Théorème connu (Nouvelle Correspondance mathématique, t. VI,
p. 445).
(‘*) Un calcul, semblable au précédent, conduit à la même conclusion.

V. Remarque. — Toute section droite du cylindre peut ètre
prise comme base. Done : les surfaces, parallèles à une cyclide
donnée, sont des cyclides (*).

Addition. — (Décembre 1884.)

VI. Circonférence de Dupuis. — La sphère s touche la eyclide
suivant une circonférence dont le plan est représenté par l’équa-
tion (8). Le coefficient angulaire de la trace de ce plan est

a

a —— |
LATE

O.
î

ue

D'un autre côté, le coefficient angulaire de la normale à
l’ellipse E, au point c, est

Ainsi, le plan cyclique (8) est parallèle à la normale à lellipse E,
au point © (**). En particulier :

Le plan de la circonférence suivant laquelle la sphère s1 touche
la cyclide (circonférence de Dupuis) est parallèle à la bissectrice
intérieure de l'angle ocQ (*).

VII. Coniques sphériques. — Dans l'équation
(+ + 2 + — D — Cd) = (ax + bc) + k(a° — dy", (A)

supposons
D + Y + + a —b— = 2p", (9)

(‘) De là résulte un système orthogonal fort simple : des cyclides paral-
lèles entre celles, et deux séries de cônes de révolution.

(‘*) Cette propriété devient évidente à l'inspection du triangle «co.

(**") Cette remarque, peut-être nouvelle, complète le Théorème de Dupuis.
Comment ce Géomètre, prédécesseur de Dupin, a-t-il laissé échapper, pour
ainsi dire, la théorie de la cyclide?

— 97% —

équation d'une sphère ayant son centre à l’origine. Il résulte, de
ces égalités, |
(ax + bc} + (a? — c?)y? = pf. (10)
Par conséquent :

Les intersections de la cyclide, avec une infinité de sphères
ayant leur centre commun au point À, se projettent, sur le plan
Principal XY, suivant des coniques homothétiques : le centre
d’homothétie est celui des circonférences &, Q.

De même, si l’on combine l'équation
CE (Cr ab) (ce a)z* (B)

avec
D EY + a —b+c—96, (14)
on {rouve
(ex + ab) + (ce? — a°)z° = qf (*). (12)

D'ailleurs, les sphères (10) et (12) coïncident si les para-
mètres p, g satisfont à la condition

p° — à = à — 6. (15)

Ainsi, la cyclide peut être considérée comme le lieu des inter-
seclions de sphères concentriques, soit avec des cylindres ellip-
liques, soit avec des cylindres hyperboliques (**).

VIL. Volume de la cyclide. — Soit d'abord, pour plus de
généralité, une surface 2, engendrée par une circonférence dont
le centre # parcourt une directrice plane amb, dont le plan est
perpendiculaire à celui de amb, et dont le diamètre, MM’, varie
proporlionnellement au rayon vecteur Om (***).

(°) Si l'équation (10) représente des ellipses, l'équation (12) représente
des hyperboles.

(”) La forme remarquable des équations (A), (B), conduit, aisément,
à d’autres générations de la eyclide; mais elles semblent peu intéressantes.
Notons, cependant, celle qui résulte de l'intersection des cylindres (10)
et (11), si les paramètres satisfont à la relation (15).

(”) Le lecteur est prié de faire la figure.

— 515 —

En observant que, d’après une propriété connue, les tangentes
en M, M’, » sont parallèles, on peut prendre, comme élément,
le volume de la tranche cylindrique comprise entre deux plans
consécutifs OMmM', ONnN.

D’après une autre propriété, également connue, ce volume
a pour expression

7. Mm .mnsinm. (14)

Si donc

u = f(0)

est l'équation de ab, que l’on suppose Mm = uk, et que l'on ait
égard à la formule

ds. sin m = ud;
on aura

227
Ve / u°do, (15)

0

V étant le volume cherché.

Dans le cas de la cyclide, l'équation (14) est

u —= re cos & + V1 — e* sin? œ),

r représentant le rayon de la directrice, et e, une fraction
donnée (*).
De là résulte, avec la notation de Legendre :

2

u nt s É /
— = 65 05° & + 56° cos o. À + 3e cos «(1 — e° sin? ©) + À°.
PF

Donc, en négligeant les intégrales nulles :
T
V—9rkr 1 (5e? cos? © + 1 — e* sin e)Ado,
0
ou
LEYA
V — res [| 2[(1 + 5e?) cos” & + (1 — ?) sin? &| Ado.

0

(‘) Pour abréger, nous admettons cette hypothèse.

— 516 —
On sait que (*)
z 1
a F cost à Ado = —[(1 + 69Ei—(1 — 6) ,],

Z [
[sien = [—(1 — 26)E, + (1 — &)F,].

Par suite,

k ; 2
V—=7kr [ (7 + €&)E, — (1 + 5e°)F f (C)
5
LXXX VIE. Théorèmes empiriques (‘*).

I. 2° — 1 étant un nombre premier p, 2 — 1 est un nombre
premier p', 2° — 1 est un nombre premier p"”, etc.
PET SENS 1_AG}! 17 _O)127 RLL:
Exemple. Si n—5, on trouve p—7, p—127, p—2%—1 (°"*).

IL. Le triple de tout carré impair, non divisible par 5, est égal
à la somme des carres de trois nombres premiers, autres que 2
CIS):

IL. n étant un nombre entier, 6n? + Gn — 5 est la somme de
trois carrés, entiers et posilifs.

() Brerens DE Haan, T. 55.

(*) Nouvelle Correspondance mathématique, t. H, HF et VI.

(**) Suivant M. Édouard Lucas, p” est premier (Nouvelle Correspondance
mathémalique, t. 11, p. 96).

(*) Nous avons fait la vérification jusqu’au nombre 5.87?—107°+97°+45°
(Nouvelle Correspondance mathématique, t. WE, p. 50). Mais, très probable-
ment, la proposition est inexacte.

— 3577 —

LX XX VAN. FThéorèmes sur les coniques (‘).

I. Soit ABCDEF un hexagone inscrit à une conique C, et dont

M |M' \M' M’ M’

\e

(") Ces théorèmes datent de 1848. A cette époque, ils ont été publiés
dans un ouvrage lithographié, intitulé : Application de l’Algèbre à la Géo-
métrie, épuisé depuis longtemps. En 4852, afin de prendre date, je les ai
reproduits, sans démonstration, dans les Nouvelles Annales (t. XI, p. 175).

Malgré cette précaution, ils ont été si bien oubliés (même par l’auteur)
que M. Folie, mon savant Confrère à l'Académie de Belgique, a réinventé
les deux premiers (Bulletin de l'Académie, août 1877, p. 186). Un peu plus
tard, M. Folie a spontanément reconnu mes droits d'ancienneté [ Restitution
de priorilé en faveur de M. Catalan (Bezremniw, octobre 1878)].

Sauf quelques légères corrections et abréviations, le texte qu’on va lire
est conforme au texte primitif.

— 578 —

les côtés se rencontrent en H, G, I. Prolongeons les côtés
alternatifs AB, CD, EF : nous obtiendrons un triangle MNL.
De même, les côtés BC, DE, FA, prolongés, forment un
triangle M'N'L’.

Les points G, H, I, situés sur un même droite (Th. de Pascal),
sont ceux où se coupent les côtés correspondants de ces deux
triangles; donc les droites MM’, NN’, LL’ concourent en un
même point p (Th. de Desargues); donc aussi, par la réci-
proque du Théorème de Brianchon, l'hexagone MM'NN'LL”’
est circonscriptible à une certaine conique C”. Ainsi :

TaéorÈme Î. — Les intersections successives des côtés aller-
nants dun hexagone de Pascal sont les sommets successifs d’un
hexagone de Brianchon (*).

H. La réciproque est vraie. Par exemple, les droites MN,
L'N', NL, diagonales de l'hexagone circonserit ML'NM'EN’,
forment l'hexagone inscrit ABCDEF. Autrement dit :

TuaforÈème IT. — Les jonctions successives des sommets alter-
nants d’un hexagone de Brianchon sont les côtés successifs d’un
hexagone de Pascal.

III. Par les sommets de l'hexagone ABCDEF, menons des
tangentes à la conique G : nous formerons un hexagone circon-
scrit, abcdef. Considérons, avec celui-ci, l'hexagone ML'NM'LN'.
Les points a, © sont, respectivement, les pôles des cordes
AB, CD; donc le point M, où concourent ces cordes, est le pôle
de ac (**). De même, M' est le pôle de df. Done MM est la
polaire du point de concours, s, des droites ac, df.

Semblablement, NN’ est la polaire du point de concours, 4,
des droites ce, bf; LL’ est la polaire du point de concours, u,
des droites db, ae. D'ailleurs, MM’, NN’, LL’ concourent en un

(*) Comme dans la Note sur les hexagones de Pascal et de Brianchon
(BuzzeriN, décembre 1878), j'adopte, presque textuellement, les énoncés
de M. Folie, qui ont le double avantage d’être concis et clairs.

(*) On a omis les droites ac, df, be, pour ne pas trop compliquer la figure.

même point p; donc les points s, t, u sont siluës Sur une même
droite, poluire de p.

Les diagonales ac, bd sont, d’après ce qui a été démontré
plus haut, les côtés d’un hexagone inseriptible; et les points
s,t, u sont ceux où concourent les côtés opposés de cet hexa-
gone. En conséquence :

Taéorème IL. — Lorsque deux hexagones H, H° sont lun
inscrit, l'autre circonscrit à une même conique GC, de manière
que les sommets du premier soient les points de contact des côtes
du second; l'hexagone de Brianchon, déduit de H (Th. 1), et
l'hexagone de Pascal, déduit de H' (Th. I), sont polaires réci-
proques, relativement à la conique C.

IV (*). Voici, je pense, la manière la plus simple de formuler
les relations entre les théorèmes de Pascal, de Desargues et de
Brianchon :

Dans deux triangles homologiques : 1° les côtés sont ceux d’un

hexagone de Pascal; 2° les sommets sont ceux d’un hexagone de
Brianchon (””).

LYKKIS. — Trajectoires orthogomales des lignes
de courbure comstamée, sur la surface d’un ellip-
soide donné.

(Juin 1869.)

EL R,, R étant les rayons principaux, en un point M d’une
surface S, j'appelle ligne de courbure constante le lieu des
points M pour lesquels le produit = est constant (***).
Dans le cas où S est un ellipsoïde, cette ligne C, lieu des points

() Bulletin de l’Académie royale de Belyique, décembre 1878.

(‘*) D’après une bienveillante communication de M. J. Neuberg, mon
savant Collègue à l'Université de Liége, les théorèmes précédents seraient
dus à Môbius. Nil novi sub sole ! (1er février 1885).

(***) Recherches sur les surfaces gauches, p. 45.

— 580 —

de contact des plans tangents dont la distance au centre est une

constante (*) À, ne diffère pas de Ja polhodie de Poinsot (**).

II. Les équations du problème sont :

as + >
QU b°? c° :
ON DU AN 1
_— + + — — —,

a* Lt c‘ 2
LOL NYOUMNNZOZ

9 J nu 2 = 0,
a” b° C

xox ydy zo0z
GENE ARS ENUTE
a b €

xdx ydr zuz
= + 2e) +——0,
a b* CA

dxdx + dydy + dzdz = 0 (**).
HI. Des équations (5), (4), on déduit

xx yIy zdz

SENTE)

Par suite, la condition (6) devient

dx

ou

L'intégrale de cette équation est, évidemment,

l l
Mb — 6°) — + Det — a)-T + (a? — D) = 0,
x y 4

È = _ = Ê AE
ce (en ate)ES

C
D

HET x A M 2 y Ê . z
= — us ere 4 LE — — 0, 9
(L ï) (> à = =) ie ni DER a Le (9)

(*) Recherches sur les surfaces gauches, p. 45.

(**) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. 57 (janv. 1885).

xx

(*°) La caractéristique d se rapporte aux courbes C, et la caractéristique d,

à leurs trajectoires orthogonales.

— 981 —

ou

a? u2 2 æ
SE C VE 1) a2 e2 G a? b?

_ = Es — À ; A
fe) ( h (a)

h étant la constante arbitraire (°).

IV. Remarques. — I. Les surfaces À, représentées par l’équa-
tion (A), sont orthogonales à l’ellipsoïde $, et à tous les ellip-
soïdes homothétiques à celui-ci. En effet, la condition

ab — €) à
po
sd

x a”
est remplie.

II. Elles sont orthogonales, également, aux ellipsoïdes S,,
que représente l'équation (2), si A est un paramètre variable ;
car la condition

ab — €) x
D —-—0
_ % u*
se réduit à lidentité :
2 2\ ee
D (bc) 0:

IT. Toutes ces surfaces sont homothétiques; car l'équation (A)
n'est pas altérée si l’on y change

Le URI

en
PL AU ATEN

Addition. — (Janvier 1885.)

V. L'équation (9) a la forme
gLz+h£Ly+k£z—0. (B)

(‘) On voit que l'équation (5} est inutile. C’est à quoi l’on pouvait s’at-
tendre : chaque trajectoire est l'intersection de S avec une certaine surface.

— 582 —

D’après une intéressante remarque, due à M. Bouquet (*), les
surfaces À, qu’elle représente, appartiennent à un système ortho-
gonal triple.

En appliquant la méthode que nous avons développée
ailleurs (**), nous trouvons l'équation homogène, et par consé-
quent intégrable :

CES Te [GA RE eg ke] daxdB — hBda° — 0, (C
déjà rencontrée par M. Serret (***).

VI. Remarque. — Les surfaces Z, orthogonales aux surfaces
Z,, 2 définies par l'équation (C), sont orthogonales, encore, aux
ellipsoïdes S, S, (IV). Mais chacune de ces séries d’ellipsoides,
comme l’a démontré M. Bouquet ("), ne peut faire partie d'un
système orthogonal triple. Ainsi, particularité assez curieuse :
les ellipsoides S,, les ellipsoïdes Sa, les surfaces 3, et les sur-
faces 2, rencontrent, orthogonalement, toutes les surfaces 3.

xXC. Énoncé d’un théorème de Liouville (°).

n
X,u—(x —n + 1)X, + 7 :

n
2°

l'équation X,,,—0 a toutes ses racines égales à

(‘) Journal de Liouville, 1846, p. 449.

(”") Recherches des lignes de courbure de la surface.., p. 8; Note sur les
surfaces orthogonales (Comptes RENDUS, juillet 1874); ete.

(***) Journal de Liouville, 1847, p. 246. Dans cette équation :

OP CE AN Te LE
VO ES)
(") Loc. cit.

(‘) Retrouvé dans des notes de 1858. J’ignore si mon illustre maître
l'a publié.

KCHI — Sur ume formule de Gauss.

(Juin 1867.)
1. Cette formule, l’une des plus importantes de la théorie des
surfaces, est, comme on sait (*) :

dG\? ‘dE dG EG
EG — re RS) 2 |

a) po ee |
“4 dG dE d?E
G | & E—— —2GE—
dq dg dq dq”
dE dE dG dF dE
EG afp +c
dpdq dp dq dq dp
35 ne dG UE dE dFdG dF _ cn)
+ — — — — — —
dp° dj” dpdp dqdq

5 (E dG dE _
dp.dq T dq dp
dF dE d'E
en a
LEE cette équation, k est la mesure de la courbure, c’est-à-
dire KR, F ; R,, R étant les rayons principaux ; etc.

JL. Dans le Journal de Mathématiques (t. XII, p. 506),
M. Liouville a fait observer que, si les courbes coordonnées,
représentées par

p — const., q— const.,
sont orthogonales, et que, de plus, E—1, la formule (1) se
réduit à

1 EV/G
De FFE (2)
VACP
(‘) Mowce, Application de l'Analyse à la Géométrie, édition de Liouville,
p. 525. A la deuxième ligne, au lieu de — oe, on doit lire : + a D

Cette faute a été corrigée dans la traduction du Mémoire de Gauss, faite
par M. d’Abadie (Nouvelles Annales, t. XI, p. 218).

— 584 —

III. Pour généraliser ce résultat, supposons d’abord F — 0.
Alors

dG\° dE dG dG
MRC ENG ee EG
dp dp dp dp°
de) dG dE dE
Era ES E — NE TES 2 E HENTTO
dq dq dq dq°
La première ligne égale dG \
d' dp |
3 (FC
— 9(EG)* 5
dp
la seconde :
dE
d| dq
(po VF
a ) dl

Ainsi, lorsque F —0, la formule de Gauss est remplacée par

celle-ci :
dG dE
4 dp d\ dq
V’EG V/EG ;

—9kV/EG — ne He FE (*). (5)

IV. Quand les courbes coordonnées ne sont pas orthogonales,
on peut, comme il suit, simplifier la relation (1).
1° La somme des deux premières lignes est, par ce qui précède,

l dG | dE \
d| dp d\ dq
SAITAEC \V/EG
2(EG)°| — + ———— |.
dp dq
(‘) Au lieu du second membre, M. Bertrand obtient, par une méthode
particulière :
| d/G: | d/E
d\ dp | di dq_
‘VE \V&
2 + 2 ———
dp dq

(Calcul différenticl, p. 763.) Mais les deux expressions sont équivalentes.

— 98) —

2° La troisième ligne égale

dF =
ne) NE {a
E G,

9° La quatrième :
dE /dG

.| d| dq d

2 F° al |

dq Wie dp |

F

4° La sixième :

F
——— +
On a donc, finalement,
| dG dE
5|d| dp ï
DRAM EEE CYUIAIt à EI AU
V’EG V/EG
dp dq
dE dE
ee ï & 7)
E G
E + G
dp dq
jee dF dG dF
LL ES (ua)
—————————_— + ——_————— _——
dq dp

1 _
+ Ft — + — — |.
2 \dpdq dqdp

86 —

XCII — Sur les roulettes et les podaires (‘).

Soit une courbe ACB, roulant sur une droite fixe DE, en
entrainant un point M, de manière à lui faire décrire une rou-
lette MM'M”... Soit ensuite PP'P”... le lieu des projections du
point M sur les tangentes DCE, D'C'E", … à la courbe ACB,
c'est-à-dire la podaire du point M (supposé fixe) relativement
à cette courbe (supposée fixe).

Comme le fait Legendre (**), rapportons la podaire au point M,
pris pour pôle, et à un certain axe Mx : soit u— f(w) l'équation
de cette ligne. Désignons par 0, r, R les rayons de courbure des
trois courbes, aux points correspondants C, M, P. Désignons
encore par v la droite MC. On trouve aisément

| et

9

(u° + u?)

4

DEEE, RE

1®

uu”"—u
D'ailleurs,

(u° + 1)
7 —

ROUE Tu CE

La comparaison des deux dernières valeurs donne la relation
suivante, qui n’a peut-être pas été remarquée :

==, (A)

On a donc ce théorème :

LES

La somme (***) des courbures de la roulette et de la podaire,

en deux points correspondants, est égale à l’inverse de la distance
comprise entre le point décrivant la roulette et le point ou la
courbe roulante touche la droite fixe.

(‘) Bulletin de l'Acadèmie de Belgique, 1869.
(*) Traité des fonctions elliptiques, t. Il, p. 588.
(**) I s’agit ici, bien entendu, de somme algébrique.

— 587 —

Les applications de la formule (A) sont nombreuses. On en
conclut, par exemple, le Théorème de Steiner, retrouvé par
MM. Mannheim et Paul Serret, puis généralisé par notre Con-
frère M. Lamarle (*).

XCIII. — Quelques intégrales définies (").
L. Considérons, en premier lieu, l'intégrale

A … 7 * sin° 20 P (1 + cos ©) do. (1)

0

Il est visible que

A

0 Hi
7 Or) = 9 1
=—{. 2 f{* sint 20 de + 2 7 sint2p & (a cos à g do.
0

0

° 0 , T , °
La première intégrale a pour valeur +. Conséquemment, si

l'on pose
D fn 29 & (2 cos < +) do (2)
" |
2 + 92B (5)
On a (p. 207)
U Don — COS ue M ooete
= S 27 = o 9 1 5 P k T

l
sin” 20 — = (4 — cos ko) ("*).

(‘) Journal de l’École polytechnique, 40° Cahier ; Bulletin de l’Académie,
2e série, t. IV.

(‘*) Sous ce titre, déjà employé (p. 201), je réunis certains résultats,
plus ou moins intéressants, obtenus à diverses époques.

(***) C’est cette décomposition qui donne

£ T
# ? sin? 2p dp — a
0

— 588 —
Donc le produit est

À 1 1
5 Loos @— à cos 2 + A MS 4Q +. | ;

1 1 1 Û
HU ECS 2 cos 2pcos4o + — .2 cos 59 COS 4P — 7: 2008 ipeosig a | ;
(2 z 6) k
ou bien :
1 1 9 TE LU |
5 Co Po 0 Q + = cos FOIE Ko+..),
i| È £ 1 l
ne (cos 59 + cos ÿp) — 9 (cos 29 + cos 69)

l l
+ — (cos g + cos 74) ar (1 + cos 80) dr | |
5 1

Multipliant par do, puis intégrant entre 0 et =, je trouve :

PARDON LAN D
DRE EN UE
:| 1 1 1107) .

er —2+s+s(t—:
4 sn ACC 7
FA | :] 1 | 1 il | 1 Ë L |

_— +++ ——| ++ —)+ct.
OO D 7 HOTEL ONONLS

La première ligne égale G. La seconde peut être écrite ainsi :
(3 4A[ 4 4 4 4 p
— — — | — — se pts LR = 600 ||
SOS MONS 700 0 ORPI IE

Elle a donc pour valeur :

T sl EVE 1 VAL FRA CARS TPE I Ü 1 |
ire 1 —— no Re ES 6000 || à
32 ÿ) < il ‘

c'est-à-dire :

— 989 —

Par suite :

4 TK { T T (|
B—-G+———, A——-p.9+G+——-. (4
2 22 12 NS 16 6

I. Soit la relation

2 1 —& sin®—bcose 6 1 + Va? sin’@ + b°cos'o ï

l
qe Va sin o + beos® 1 + V/a*sin’® + b*cos*p
(Ù
1 — 0°

F(K', 4),

VA—a)(t—b)—1+aE(k", x) +
u

dans laquelle
— (HD):

d—ISIn Te

k V” ——— L 12 gl
À — 1 CE o — 5 — (Es

le premier membre devient

+ 1 a{1 — sine) 51 al Sinte :
= 6.

71 a V1 — k sin?0 4 — aVA1 — sin’0

Ainsi, avec la notation de Legendre :

j fTi— A 1 + a DRAP
PRES AT ET TS
TT aA 1 — aÀ
0
2

1— a
— 1 + aE(k,u) +

F(£,«),

ou
T dé 1 + Asi
fito-surntiras
A 1—Asnz (5)

0
=r [sin «eos se VE sing — sin u+sinxE(#", v)+ cos’uF(k', u)|.

(‘) Bulletin de l’Académie, août 1870.

— 590 —

D'après M. W. Roberts (*),

°F d8 , 1+Asinx :
= ER © — 5 F (6).

1—Asinx
0

Donc, par soustraction,

(UT ORNE |

1—Asinx
0

2e Leur DB

sin w

CRE ) (6
mo) (6)

puis, par une nouvelle soustraction,

VA sin de LÀ + Asinx \
c A ; — À sin w |
ù ——— —— — ) (7)
us 1 — cos “VA RSsine
= | E(K, «) — - = :
La sin # |

A cause de la relation évidente

LS (1 — A) —9 P(k) + 2 P (sin 6),

on à

7. dô LE)
< At — À) = 2 P(LF, W+2 [+ À (ins)

0 0

Cette dernière intégrale a pour valeur

Donc

(‘) Journal de Liouville, t. XI, p. 165.
(‘*) Bierens DE Haan, T. 522.

— 391 —
ZS

La formule de W. Roberts donne, lorsque » —-

| AO
Par suite :
7 de 1 ;
JFReu+a=s pipe + TE (9)
T d T
0 : TL U—A)=S PE Te TE)

On a trouvé, ci-dessus,

FAO NT
[TREND PE FD TE)

il en résulte, par la comparaison avec l'égalité (9) :
RE 1 + A)sins] —0 11
à [(1 + A) sin 9] —0. (11)
0

IT. Nous avons considéré, précédemment (*), l'intégrale

27 $
NE 1 * sin? 29 do P (cos @ + V1 — sin? > sin° y).
‘0
Soit
7 a
N, — 1 ? sin” 2ç de P(— cos + V’1— sin?> sin®); (15)
É

et, par conséquent,

LA x
N+Ni—2 P{cosr) / Fsintaçder2 f|*sintague L(sing) (14)

0 0

(‘) Page 274.

0

— 592 —

La première intégrale auxiliaire égale ; (*). La seconde se
décompose en

] Es à | « à
sf ? dp $ (sin ©) — 5 à cos 4o do £ (sin ?).
Ainsi déjà :
T 7 F D
N+Ni— 5 {cos Def ? do L (sin (u) —f # cos ko de£ (sing). (15)
0 0
On sait que

= do Ling =—5<2
0

D'un autre côté, l'intégration par parties donne

4 L all 7 sin 4
[ *cosapde Ring)" [sinée L(sing)]é —; f* sin 4p cosodo

sin
: P

ou, comme le terme intégré s’annule aux deux limites (**) :

= 1 7 si
Fa £ cos 4o do £ (sin =; f 2 Le D
e sin @

0 0

ou encore, par des simplifications évidentes :

VA ? cos 4p de £ (sin p)— — he cos? cos pd = —*.
5 Lz

0

L'égalité (15) devient
é T COS y | à

() Page 587.
() En général, x f x — 0 pour x = 0.

2

T 7 A +siny cosy (y cosy —siny)
2

Ai a dx
ie AE
2, sin & ”

2 sin° y

donc

T
+ = LT ——— ;
1674 2 2 sin°>

T Te
Pgo
16 4
j T Ti il
N—=-—-{2+-—6G
16 4

1 —siny cos y (> cos > — sin y)

(18)

La première valeur ne diffère pas de celle que nous avons
obtenue pour l'intégrale A. En effet, lorsque y—0, N se réduit

à À.

IV. Soit

m étant un nombre entier.

Posant, suivant l'usage, cos?xæ—0, on trouve

r ee ==

4

Fee nes)
7

(*) Page 280.

— 594 —

et, par le changement de » en m—1 :

DE)
k

AE
A _1— Es Vx
2

2m +1\
a )
4
Conséquemment,
A AS = He 5 21
UNS REA e0
relation simple et remarquable.
Il en résulte, si m est pair :
1020080 2m — 5
A, = — . ... — à 29
En ME sh
et, Si M est émpair :
TAROT ANA 2m — 5 :
}. = 9° 00 (25)

AS D OMS NO mn EU

D'ailleurs, par la formule (20), combinée avec un théorème
d'Euler,

Or meer” (24)

2/27

Cette dernière expression est réductible à une intégrale
elliptique, de première espèce. En effet, la formule (19) donne

ee AU
- V” cos x

Done, si l’on pose cos x — cos? :

- I à 1
Le SN F, AUS (25)
1
s V1 sing

Par suite, : 1 GI un
F, | — [À Eu 5 o)
(/ 2 LA | n CE

relation connue (*).

c 4 dx
n+1 =f (QE cos ire H

0

V. L'intégrale

dans laquelle À surpasse l'unité, peut, généralement, être déve-
loppée en série convergente; mais, si n est entier positif, elle
est exprimable sous forme finie.

En effet,

ou

Or, d'après l’une de mes Notes d’Algèbre et d’Analyse (”) :

d” Lt PSE 1] ne

1° — Ai) UE PE
da" )

P
lequel les exposants sont de mème parite que n;

étant un polynôme à coefficients entiers, du n°" degré, dans

n

(*) Lecennre, Traité des fonctions elliptiques, t. 11, p. 586. Dans les
Recherches sur la constante G (MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DE SAINT-PÉTERSBOURG,
1885), j'ai donné le développement, en produit indéfini, de l'intégrale

Vu Écosse Trad.
LA

0

(*) Brerens DE Haan, T. 82.
(°**) On suppose

(*) Mémoires de l'Académie de Belgique, 1877.

— 9596 —

h + 7
2° P, = ef (1 + cos "do.

T
0

Par suite,

2 Pan __2n+1 T
Cyus = (— 1) ' (1 GS 2) ; 11 (à + cos o)'do,

ou
_?2n+1 T
CHI DEMI vi (1 + cos p)"d (*).

Finalement,

T dx 5 2n +1 T
HA ARTE) CE DNS ni (à + coso)"de (**). (28)
0

VI. Dans la relation connue :

2 | 20 + 1)2g(2q —1 2q+1)2 |
TRE AC Eee CHER RU Te)
APS 4 :°2 2

(*) Parce que, en vertu de l'hypothèse précédente,

_ 2n+1 __2n +1 _ _2n+1
AS) ee Et ro 4) te

Ainsi, des identités équivalentes :
a=—ax—1, —a=ax —1,

on ne doit pas conclure celles-ci :
Va=V—aV 1, V=a=VaV 1,

lesquelles sont contradictoires, si le symbole |/— 1 a de même signe dans
l’une et dans l’autre.
(*) Cette relation est démontrée, d'une autre manière, dans mon premier
Mémoire sur les fonctions X, (p. 24). Elle subsiste pour toute valeur de 7.
(”**) Elle résulte de ces deux-ci :

2 9 9n(2a — 9 % 1
2q +1 (2q + 1)2q(2q — 1) ETES
ST 0 ce EM
(2q + 2) (2q +1) (2q°+ 2) (29 + 1)2q(2q — 1)
1.2 ee 1.2.3.4 Pre
(2q +2)(2q + 1)
+ 10 = Di = 4)

dont la première est attribuée à Moivre, et la seconde à Le Besgue.

— 597 —

remplacons les Nombres de Bernoulli par leurs valeurs, expri-
mées en intégrales définies (*). Elle devient

era 1 *
1 or EE) Né

si nous posons, pour abréger,
T = CGyuit — 2 Coy+4, 3 LENS Coyys,s Ê— + Æ q Copa, (HÉTRE
Soit encore
= Coyaa 1° — Ca sl + ee Coots, Aie

de manière que

nl aT,
MON
Évidemment,
ME Ven ten,
CT CM PARENT TE
donc
T = SES [Ga “ es) dl (1 re 1ÿ*]
PACE
2q +1 ——\24 MRErTN
= ONE enter

Au moyen de cette valeur, la formule (50) est réduite à

ee
‘ €

+ (29 +1)t Ver RES AE + (—1 V— 17%] (51)
RUN re
2

(*) Voir, page 95, la formule de Plana.

— 598 —
Pour simplifier celle-ci, j'emploie la transformation habi-

tuelle :
Ü=—= iso.

Il en résulte :
A ner _cosp+l/—1sin®

COS
D D car A 0 em nr à sin @
7 COS ©
ele. :
puis
KE do sin (29+1)® cos 249 |
2 : ARR ER Er is .(€ | l ERRRE —
ÿ (e?7'#?—j)cosp ( cos+'o HÉrAUEr cos #0 | 7ù
ou
RON +1)9+(2q+1)si 2qo | = 32
(7881) cos ot q+1)p+(2q+1)sin@ cos 2qo AE (32)
0
J'ai donné, autrefois, la formule
20
@)

le sin 2q « dx Fe
ter no 1) sin +? & FE À (2q = 1)

8 14 T . . ur
Si l’on y remplace à par 5 — ©, elle devient, sans ambiguïté

de signe,
20

Le 5 sin 2q © do
: (er 88 — 1) cos? o 7 (qg +1)
0
Il en résulte, à cause de l'égalité (52) :
7 T sino cos 2qo do 1 55)
en — 5
(e718? — 1)cos%#%o 4(g+1)(2q +1) *

() Voyez page 95.

— 399 —

VII. La théorie de la fonction de Binet donne, comme on
sait (*) :

æ 2 d\eRs PS »
af +) d—1—$.2 (Gi
0

2 2\\C ME :
B — + =) di 22 (25), (55)
e e — | GDINEE
0
MO pr 4\er*
C— RE (56)
CTI x} x

Ïl en résulte :

DEN OT NEC ROLE 2a—B—@.(").

Ainsi
o —9Qx
A (e— 1) — dr = Ê.9(*) (57)
5
œ e? = eS —x
7) A +C—B— 2 — — e*|— dx,
e** — 1!
0
ou
œ (e*® — A) (9e + 1) ee?
A CPE ){ ) dx.
e + 1 an
Conséquemment,

o (et — 1) (267 À —2x
[ ) (2e° + en En
e +1 x

0

(*} Recherches sur la constante G, et sur les intégrales eulériennes ; for-
mules (57), (58), (64).

(*) Pour vérifier ce résultat connu, il suffit d'observer que le développe-
ment de la différentielle est

Un æ?
ex [++ +].

IFRS

d'intégrer chaque terme ct de faire la somme des intégrales.

ou me E
| JA 5 neue — de Ç 7. (58)
6
5° CAN
1e P 9 —x EN 7e nn x
He Eee he +1 far fe 4 _—, : “e
Donc

CHA EULE: (40)

Il est visible que

D —1—2 [extx a 1)rens
>

0

— 1 — 25 (— I DA eMHExdax.
1 :

0

(2 1
e Mr =. ——,
k (n + 1)

0

DES OU

nee — s7
—, (n 5 1} 9? 32 pb?

ou, par une formule connue,

œ (— 1) r°

ee _—_ june
2, (n +1) 12

Conséquemment,

2

ne ee to ul
e*xadx = — — À.
sf e° + À 6 )

0

(‘) Cette formule, due à Euler, est une conséquence des égalités (34), (35).
Elle se vérifie aussi facilement que la première.

— 401 —

Des formules (59), (41), on conclut, par le changement de x
en (go:

Pr 14 LÉ). (42)

1 + e7? sin o cos So 6

| 1 «dx arc ga
= 4 + a°
0

Jr ue es = (are tg a)
&X) «
(A + 7) (1 + dx (A + (1 + ax) D

La fraction

1 4 | Te
TURC EEe À + a ; À

dcnc l'intégrale relative à & est

IX. On a

puis

ERA + «9 — LU + et]

Par suite, l'égalité précédente devient

. RRSENRRES) dx —= (arc tg a). (43)

d

Cette formule (*), peut-être nouvelle, en donne plusieurs autres

Soient, var exemple :

L u—=tgf, ox —tgo;
d'où

LUAEROTS cosq
2

“
L = -——"—— , etc. ;
1 + &x° cos 8° &wBcos’®o" ‘?

(‘) On y arrive, d’une autre manière, en faisant le carré de

CRT
— — — © — "29°

1 5 5
26

—:402 —

puis
?£ cos
Ÿ cos 6 dœ 6
FAN rite g6—1 ta” peoso 2186
ou
28 Pere
\ cos 6 E

ve a nn (44)

À sin” f cos ® — sin cos" 6 sin
ou encore :

ÿ cos

Ê do g b ee ? : Ê
ET — . 4
sin 6

à sin (5 + ®) sin (6 — œ)

En particulier,

< do (V2 cos o) F° o
PARUS ER (46)
COS” © 32

0

Dans la formule (44), posons
COS @ == 7 COS 6.
Elle se transforme en

sée /3 Da dz 22
DAME RUES = < Ê ; (47)
(M) VAT COSRE 2 sin £

1

(") Note interrompue par une grave maladie de l’Auteur. Il ne désespère
pas de la compléter dans le tome second.

Liège, 19 avril 1885.

ERRATA.

Page 179, ligne 7, au lieu de 1862, lisez 1825.

245, dernière ligne. Le second signe — doit être supprimé.

T Z
274, ligue 16, au lieu de N = 1 ? sin? pdp…., lisez N = f e sin?2pdr..

0 0
505, — 925, — perpendiculaire à MT, — parallèle à l’axe.
309, — 927, — cyclotomique, lisez cyclide.

eme 9 a

TABLE DES MATIÈRES,

AVERTISSEMENT 0) 20 SUN NI OR ST INA
I. — Sur les combinaisons avec répétition . . . . - . .
Il. — Aire de l’hyperboloïde à une nappe . . . . . +. .
272 292 —
IL. — Sur Pintégrate {fuir \V BE —. D En É
IV. — Démonstration d’une formule de Dirichlet . . . . .
V. — Réduction d'une intégrale multiple
VI. — Autre intégrale multiple. . . . . .
VII — Sur la partition des nombres . . . . . . .
VITE — Sur la décomposition d’un produit en facteurs. . . .
IX. — Analyse indéterminée du premier degré. . . . . .
; EU LS MINCOS x T
X. — Sur l'intégrale f He
XI. — Problème de anne
XIL — Problème de géométrie
XII. — Théorème de géométrie . à
XIV. — Problème d'analyse indéterminée. . , .
XV. — Quelques théorèmes empiriques
XVI = ADieu géométrique REP NC CN US
XVII. — Théorème sur les surfaces développables .
XVIIL — Sur le tétradécagone régulier .
XIXe — Surla toroide 07 HR
XX. — Sur la toroïde . à SEE
XXI. — Sur l'intégration des équations simultanées .
XXII. — Sur la partition des nombres . . . . . . . . .
XXIIT. — Sur l’hélicoïde de raccordement
XXIV. — Sur l’hélicoïde à plan directeur. a PE
XXV. — Sur un cas particulier de l'hyperboloïde Sache
XXVI. — Problème d’algèbre
XXVII. — Sur le problème des partis .
XXVIIL. — Sur les fractions continues .

Pages.

XXIX.
XXX.
XXXI.

XXXII.
XXXIIT.

XXXIV.

XXXV.
'XXXVI.
XXX VII.

XXX VII.
XXXIX.
XL.
XLI.
XLIT.
XLIIT.
XLIV.
XLV.
XLVI.
XLVIT.
XLVIIT.
XLIX.

LVI.
LVIT.
LV.
LIX.
LX.
LXI.
LXIT.

— 406 —

Analyse indéterminée. :

Modification à la méthode de Non

Sur la somme des puissances semblables des Nombies
naturels site ;

Sur les différences de 4?, et sur 11 ent dus Nombres
de Bernoulli. CRE à : SAS

Sur les Nombres de Bernoulli, et sur co for-
mules qui en dépendent

Sur le calcul des Nombres de Bernoulli .

Sur les Nombres de Bernoulli et d’Euler.

Sur la théorie des nombres . OR ee

Sur une application de la formule du binôme aux
intégrales eulériennes .

Théorème d'analyse

Sur la série harmonique.

Sur une fonction homogène entière

Sur les surfaces cyclotomiques .

Sur la théorie des roulettes .

Lieu géométrique .

Sur un produit convergent .

Remarques sur un Mémoire de Poisson .

Sur la sommation de certains coefficients binomiaux .

Sur le Théorème de Fermat

Sur l’équation du troisième degré . BEN

Rayon de la sphère circonscrite à un polyèdre semi-
régulier Re

Sur une fraction rationnelle.

Sur les normales à une surface.

Lieu géométrique .

Quelques intégrales définies.

Sur une transformation de série SE

Sur un problème d’Algèbre légale, et sur une transfor-
mation de série . ONE

Une propriété des déterminants

Démonstration de la formule de Stirling.

Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde. . .

Sur le plus grand commun diviseur algébrique.

Sur l'équation du quatrième degré.

Sur les coordonnées curvilignes . . . . . .

Trajectoires orthogonales des sections circulaires d’un
elIPS0IdE EM CS

Pages.
74
79

s4

86

91
97
105
119

154
148
152
155
157
165
168
170
171
176
179
185

189
191
195
198
201
206

215
218
221
226
250
252
254

248

LXIIT.
LXIV.

LXV.
LXVI.

LXVIT.
LX VII.
LXIX.
LXX.
LXXI.
LXXIL.
LXXIIT.
LXXIV.
LXXV.
LXXVI.
LXXVII.
LXXVIIT.
LXXIX.
LXXX.
LXXXI.
LXXXIL.
LXXXIIL
LXXXIV.
LXXXV.
LXXX VI.
LXXX VII.
LXXX VII.
LXXXIX.

CX.
CXI.
X CII.
XCII.

ERRATA .

— 407 —

Sur les surfaces à courbure moyenne nulle

Sur la partition des nombres .

Aire d’une surface du quatrième degré .

De quelques propositions inexactes,
séries

Sur un ihéorèmel d’ Abel L QUE

Démonstration d'une formule de Poisson

Démonstration d’une formule d'Euler .

Série de Saigey . .

Une propriété des héliçoïdes .

Courbure des lignes et des surfaces,

Une intégrale définie see

Application d’une formule de Jacobi

Sur les asymptotes des courbes algébriques

Théorème de Staudt et Clausen .

Sur une série double : EDEN

Quelques théorèmes de Géométrie lémoataie

Sur les surfaces orthogonales .

Théorème d’Arithmétique . o

Problèmes et théorèmes d° Arihmetique

Sur le problème de Malfatti

Nouvelle formule d'intérêt composé .

Une trisection de l’angle

Sur les équations linéaires.

Sur la cyclide de Dupin

Théorèmes empiriques... 1.1,

Théorèmes sur les coniques

Trajectoires orthogonales des lignes de courbure
constante, sur la surface d’un ellipsoïde donné

Énoncé d’un théorème de Liouville .
Sur une formule de Gauss.

Sur les roulettes et les podaires .
Quelques intégrales définies .

relatives aux

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